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Biblioteka Politechniki Krakowskie)

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II. Teil : Integral - Rechnung.

Von

Dr. Ludwig Kiepert, Dr. 3ng.,

Geheimer Regierungsrat,

Professor der Mathematik an der technischen Hochschule zu Hannover.

Elfte Auflage

des gleichnamigen Leitfadens von weil. Dr. Max Stegemann.

Mit 186 Figuren im Texte.

Hannover 1918.

Helwingsche Verlagsbuchhandlung.

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Aile Redite Vorbehalten.

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Vorrede zur ersten Auflage.

In ähnlicher Weise wie bei der Differential-Rechnung habe ich bei der Bearbeitung des vorliegenden, die Integral-Rechnung behandelnden Bandes die didaktische Seite besonders berücksichtigt. Ich bin deshalb bei der Anordnung des Stoffes zuweilen von dem gewöhnlichen Lehrgänge abgewichen; so z. B. habe ich zu Anfang das Integral als eine reine Umkehrung des Differentials definiert und erst später den Begriff desselben erweitert.

Nach dieser höchst einfachen und leicht faßlichen Definition habe ich unmittelbar die Methoden vorgetragen, die zur Bestimmung des allgemeinen Integrals führen. Die zahlreichen Übungs-Beispiele, welche hierbei eingeschaltet sind, dürften um so mehr am Platze sein, weil es erfahrungsmäßig feststeht, daß zum weiteren Eindringen in diesen subtilen Teil der Mathematik große Gewandtheit in den . arithmetischen Operationen und klare Übersicht über dieselben durchaus notwendig sind,” und daß dem Anfänger an einem Beispiele oft manches klar wfird, was ihm in der allgemeinen Theorie nur halb verständlich geworden oder ganz unverständlich geblieben ist.

Es liegt in der Natur des Menschen, daß er nur selten eine allgemeine Theorie auf einmal erfaßt; in der Regel steigt er von speziellen Fällen zur allgemeinen Theorie hinauf. Die Geschichte der Wissenschaft gibt hierfür viele Belege; so z. B. waren die Gesetze des freien Falles, des Pendels und der Planeten - Bewegungen schon lange bekannt, als sie in ein allgemeines Gesetz, das Gravitations-Gesetz, zusammengefaßt wurden.

An die Behandlung des allgemeinen Integrals (Seite 1 bis 134) hätte ich die Behandlung des bestimmten Integrals und der dahin gehörigen Untersuchungen (Seite 162—242) unmittelbar anreihen können. Ich habe jedoch das Kapitel über die Quadratur der Kurven (Seite 135—161) dazwis'chen eingeschaltet, teils um hieran die Bedeutung der Integrations-Konstanten und die Ermittelung des Wertes derselben zu erläutern ; besonders aber, um mir hierdurch ein ausgezeichnetes Mittel zur Behandlung der bestimmten Integrale, der Doppel-Integrale usw. zu verschaffen. Diese Anordnung dürfte schon durch die Paragraphen 45—50 allein gerechtfertigt werden. Die Differential-Gleichungen sind nur so weit behandelt, als sie dem wissenschaftlichen Techniken unentbehrlich sind. Ich konnte mich zu dieser Einschränkung um so eher entschließen, weil ich hoffe, daß den beiden erschienenen Bänden (welche übrigens für sich ein Ganzes bilden sollen), später noch zwei andere Bände über Differential- und Integral-Rechnung folgen werden«

Hannover, den 16. August 1863.

M. Stegemann.

Vorrede zur vierten Auflage.

Der ungewöhnlich starke Absatz, welchen die Integral-Rechnung von Stegemann gefunden hat, ist ein Zeichen dafür, daß die darin angewendete Methode für den Lernenden durchaus angemessen ist.

Daneben kann indessen nicht geleugnet "werden, daß die drei bisherigen Auflagen eine große Zahl von Ungenauigkeiten und Druckfehlern enthielten und daß außerdem manche Ul tersuchungen und Sätze fehlten, welche auch für den Techniker unentbehrlich sind.

Deshalb erschien eine vollständige Umarbeitung und eine durchgreifende Ergänzung des Buches erforderlich. Dies ist nun in der vorliegenden Auflage geschehen ; die in großer Zahl bemerkten Fehler sind verbessert, viele Beweise strenger gefaßt und die wesentlichsten Lücken ausgefüllt worden. Trotzdem hat der Umfang des Buches nur eine Erweiterung von wenigen Bogen erfahren, da es möglich war, viele Entwickelungen kürzer zu fassen.

Für die Abgrenzung des Stoffes waren dem Herausgeber die Anforderungen maßgebend, welche von einem billig denkenden Examinator bei der ersten Staats-Prüfung (Bauführer-Prüfung) in Integral-Rechnung gestellt werden dürften.

Es soll jedoch ausdrücklich hervorgehoben werden, daß das Buch auch für solche Leser geeignet ist, welche an der Universität Mathematik studieren.

Im ganzen ist die von Stegemann gewählte Anordnung und Behandlung des Stoffes so viel wie möglich beibehalten. Besondere Sorgfalt ist darauf verwendet, das Buch durch-

weg leicht verständlich zu fassen, so daß es bei voller Berücksichtigung der wissenschaftlichen Strenge doch für den Lernenden, nicht für den Gelehrten berechnet ist.

Hinzugefügt, ist auch eine Tabelle der hergeleiteten Formeln, welche einerseits die Anwendungen sehr erleichtert, andererseits aber ein erprobtes Hilfsmittel bei Repetitionen bietet.

Hannover, den 11. August 1885.

L. Kiepert.

Vorrede zur fünften Auflage.

Als es im Kreise meiner Fachgenossen bekannt wurde, daß ich eine neue Auflage der Differential- und Integral-Rechnung von Stegemann herausgegeben hätte, erhielt ich von hochgeschätzter Seite den dringenden Rat, doch lieber ein eigenes Lehrbuch zu schreiben. Dieser Aufforderung bin ich dadurch nachgekommen, daß ich die kürzlich erschienene 6te Auflage der Differential-Rechnung und ebenso die hier vorliegende 5te Auflage der Integral-Rechnung fast im vollen Umfange neu abgefaßt habe. Von dem Texte des Stegemannschen Leitfadens habe ich nur wenige Stellen und von den Aufgaben nur eine kleine Zahl beibehalten; dagegen habe ich mich in einem Punkte eng an das ursprüngliche Werk angeschlossen, nämlich in dem Bestreben, die Darstellung und Anordnung so zu wählen, daß der Anfänger dem Lehrgänge ohne Schwierigkeit folgen kann. Ich habe deshalb eine möglichst elementare Fassung gewählt und zur Erläuterung zahlreiche Übungs-Beispiele hinzugefügt. Die Reihenfolge ist so getroffen, daß das Neue an Bekanntes angeknüpft wird, damit der Lernende von leichten Aufgaben allmählich zu schwierigeren aufsteigt.

Ans diesem Grunde ist auch die Einteilung des Stoffes in der Weise erfolgt, daß in dem ersten Teile von der Integration der gebrochenen rationalen, der irrationalen und der transzendenten Funktionen nur die einfacheren Fälle behandelt sind, und daß dann sogleich die Anwendungen der Integral - Rechnung auf die Quadratur und Rektifikation der Kurven, auf die Kubatur der Rotationskörper und auf die Komplanation der Rotationsflächen folgen. Wenn der Lernende möglichst früh erkennt, welche Vorteile die Integral-Rechnung bei den Anwendungen auf die Geometrie bietet, wird er mit größerem Interesse und reiferem Verständnisse an die ausführliche Behandlung der Partialbruch-Zerlegung und an die mühsameren Methoden, welche bei der Integration irrationaler und transzendenter Funktionen zu erfassen sind, herantreten. Dagegen würde er leicht ermüden, wenn er die ganze Theorie vor den Anwendungen, welche außerdem zur Einübung und Befestigung der bis dahin erklärten Formeln und Sätze dienen, durcharbeiten müßte.

Den theoretischen Erörterungen des zweiten Teiles sind gleichfalls zahlreiche Aufgaben aus der Geometrie beigefügt. Leider mußten die interessanten und äußerst lehrreichen Anwendungen auf die Mechanik ausgeschlossen werden, weil sonst der Umfang des Lehrbuches über Gebühr gewachsen wäre.

Obgleich die früheren Auflagen in erster Linie für die Studierenden an den technischen Hochschulen bestimmt waren, hat das Buch doch auch bei den Lehrern und Studierenden der Mathematik an den Universitäten freundliche Aufnahme und Verbreitung gefunden. Diesem höchst erfreulichen Umstande habe ich Rechnung getragen, indem ich die meisten Erklärungen und Beweise noch strenger gefaßt und den Inhalt wesentlich bereichert habe. Freilich darf man in dieser Beziehung bei einem Buche, mit dessen Hilfe sich der Anfänger vor allen Dingen tüchtige Fertigkeit im Differentiieren und Integrieren aneignen soll, nicht gar zu hohe Anforderungen stellen.

Die Zitate aus der Differential-Rechnung beziehen sich auf die 6te Auflage, welche im November 1892 erschienen, zurzeit aber bereits vergriffen ist. In der alsbald folgenden 7ten Auflage der Differential-Rechnung soll daher dieselbe Anordnung der Abschnitte und Paragraphen beibehalten werden, damit die Zitate auch dafür noch zutreffende sind.

Den Herren Lampe, von Mangoldt, Franz Meyer, Runge und Voß, die mir auch bei der Umarbeitung der Integral-Rechnung wertvolle Ratschläge erteilt haben, bin ich zu aufrichtigem Danke verpflichtet; ganz besonders Herrn Voß für die ausführlichen Mitteilungen über kritische Stellen des Buches. Außerdem muß ich mit dem besten Danke die freundliche Mitwirkung des Herrn Petzold beim Lesen der Korrektur hervorheben.

Die Verlagsbuchhandlung ist allen meinen Wünschen auf das bereitwilligste entgegengekommen, wofür ich auch an dieser Stelle meinen verbindlichsten Dank ausspreche.

Hannover, den 23. April 1894.

L. Kiepert.

Vorrede zur siebenten Auflage.

Da mir seit dem Erscheinen der sechsten Auflage nur wenige, sich auf Änderungen beziehende Wünsche bekanntgeworden sind, so unterscheidet sich die vorliegende siebente Auflage von der vorhergehenden nur in einigen Punkten, von denen ich den Abschnitt über Gaußsche Quadratur hervorheben möchte. Ich werde aber jedem, der mir für die späteren Auflagen nützliche Verbesserungs-Vorschläge macht, dankbar sein und rechne dabei insbesondere auf die Mitwirkung der Herren Techniker, die in den letzten Jahren so viel über die notwendige Reform des mathematischen

Unterrichts geschrieben haben, deren Ausführungen jedoch wirklich verwendbare Vorschläge, wie man es im einzelnen besser machen kann, bisher nicht enthalten. Wenn ich auf das vorliegende weitverbreitete Lehrbuch Bezug nehmen darf, so verlange ich bestimmte Angaben über etwaige Abschnitte, Lehrsätze und Aufgaben, welche sich darin finden, für den Techniker aber entbehrlich sind; ferner bitte ich um Mitteilung von Untersuchungen und Aufgaben, welche in dem Lehrbuche fehlen. Auch Vorschläge über Änderung des ganzen Lehrplanes werde ich mit Dank entgegennehmen.

Ich hatte schon früher um derartige Mitteilungen gebeten und kann mit Genugtuung feststellen, daß mir von seiten der mathematischen Fachgenossen nützliche Winke in großer Zahl zugegangen sind. Für die vorliegende Auflage haben mir besonders die Herren Rodenberg in Hannover und Stachel in Kiel gute Ratschläge erteilt und mich dadurch zu bestem Danke verpflichtet. Von den Herren Technikern dagegen habe ich bisher nur einen einzigen Verbesserungs-Vorschlag erhalten, der sich auf die Aufnahme der hyperbolischen Funktionen bezieht.

Die Forderung, der mathematische Unterricht an der technischen Hochschule müsse das, was die Techniker später wirklich brauchen, noch mehr, als bisher geschehen ist, berücksichtigen, erscheint mir durchaus berechtigt; dieses Ziel wird aber nicht durch kränkende Vorwürfe erreicht, sondern durch freundschaftliche, gemeinsame Arbeit. Die Kluft, welche zwischen Theorie und Praxis bestanden hat, wird durch die neuerdings beliebten Angriffe auf die Mathematik noch vergrößert; nur durch beiderseitiges Entgegenkommen kann sie überbrückt oder ganz ausgefüllt werden zum Heile der Wissenschaft und zur Förderung der technischen Anwendungen.

Den Fachgenossen, welche an den technischen Hochschulen und Universitäten Differential- und Integral-Rechnung vortragen und an ihre Zuhörer die angehängte Tabelle verteilen wollen, stellt die Verlagsbuchhandlung eine größere Anzahl von Separat-Abzügen kostenfrei zur Verfügung. Die

Benutzun'g dieser Tabellen, von denen ich jedem meiner Zuhörer ein Exemplar zu überreichen pflege, hat mir bei meinen Vorträgen stets sehr gute Dienste geleistet; denn erstens brauche ich jede Formel nur einmal herzuleiten und kann bei der späteren Anwendung auf die Tabelle verweisen. Sodann gewinnt der Lernende über das, was er wissen soll, durch die Tabelle einen besseren Überblick. Damit stelle ich jedoch gewiß nicht die Anforderung, daß jemand die ganze Tabelle auswendig lernen soll. Im Gegenteil liegt der Hauptzweck der Tabelle in der Absicht, das mechanische Auswendiglernen von Formeln möglichst einzuschränken. Diejenigen Formeln, welche einen wichtigen Satz oder eine häufig verwendete Rechnungsmethode enthalten, muß man sich natürlich merken, aber nicht durch Auswendiglernen, sondern durch den wiederholten Gebrauch. Die übrigen Formeln würde man doch sehr bald wieder vergessen, auch wenn man sie noch so sorgfältig auswendig gelernt hätte. Man kann auch um so lieber auf das Auswendiglernen verzichten, wenn man eine Tabelle zur Hand hat, in welcher jede dieser Formeln leicht aufzufinden ist. Ich möchte deshalb ausdrücklich hervorheben, daß die Tabelle meinem Lehrbuche beigefügt ist, nicht um den Lernenden mit vielem Formelkram zu belasten, sondern um eine Entlastung herbeizuführen.

Herrn Petzold habe ich wieder für die freundliche Unterstützung beim Lesen der Korrektur und der Verlagsbuchhandlung für die wohlwollende Berücksichtigung meiner Wünsche bei Ausführung des Druckes den verbindlichsten Dank abzustatten.

Vorrede zur achten Auflage.

In der vorliegenden achten Auflage sind einige nicht unwesentliche Änderungen vorgenommen und einige neue Abschnitte hinzugefügt worden. Namentlich ist in dem ersten Teile die Anordnung so gewählt, daß die verschiedenen Methoden zur Ermittelung der Integrale (Integration durch Substitution, Integration durch Zerlegung und partielle Integration) sich noch schärfer voneinander abheben.

Von den hyperbolischen Funktionen, welche bereits in der neunten Auflage der Differential - Rechnung benutzt worden sind, ist hier ebenfalls zur Vereinfachung zahlreicher Integrationen Gebrauch gemacht, und zwar mit besonderer Rücksicht auf die Gegenüberstellung solcher Integrale mit den verwandten Integralen, welche auf zyklometrische Funktionen führen.

Hinzugefügt sind etliche Untersuchungen aus der Theorie der Differential-Gleichungen, insbesondere auch ein Abschnitt über die Behandlung und Integration simultaner Differential - Gleichungen.

Am Schluß ist auch noch eine kurze Tabelle für die Werte der elliptischen Normal-Integrale erster und zweiter Gattung auf gestellt, in der Überzeugung, daß die Anwendung dieser Integrale, die sich in der Technik und in der mathematischen Physik häufig genug einstellen, denen aber die Herren Techniker bisher in der Regel sorgfältig ausgewichen sind, erst dann möglich ist, wenn eine leicht zugängliche, handliche Tabelle vorliegt. Eine solche Tabelle findet sich bereits in der Formel-Sammlung von Ligowski (Taschenbuch der Mathematik, dritte vermehrte Auflage, Berlin 1893); es erschien aber erwünscht, die Zahl der berücksichtigten Werte des Moduls und der Amplitude zu vergrößern und die Zahl der Dezimalstellen von vier auf fünf zu erhöhen. Bei Aufstellung der Tafeln wurde das große Werk von Legendre, Traité des fonctions elliptiques,

t. II, Paris 1826, benutzt, indem aus den dort angegebenen

Logarithmen die Werte der Integrale K — F^k,

E=E

(*■ i)

selbst berechnet worden sind. Die Werte

von F (Je, (p) und E(k, q>) auf Seite 623 und 624 sind den Legendre sehen Tafeln ohne Umrechnung, nur mit Einschränkung der Stellenzahl entnommen.

Den Fachgenossen, welche an den technischen Hochschulen und Universitäten Differential- und Integral-Rechnung vortragen und diese Tafel nebst der angehängten Formel-Tabelle an ihre Zuhörer verteilen wollen, stellt die Verlagsbuchhandlung eine größere Anzahl von Separatabzügen kostenfrei zur Verfügung.

Die Figuren, deren Anzahl ebenfalls vermehrt ist, sind sämtlich neu hergestellt.

Auch diesmal sind mir von verschiedenen Seiten Anregungen zu Verbesserungen und Ergänzungen zugegangen. In dieser Beziehung bin ich besonders den Herren Stächet in Kiel und Frandtl in Hannover zu Dank verpflichtet. Herr Frandtl hat mich namentlich auf einige Abschnitte aus der Theorie der Differential -Gleichungen aufmerksam gemacht, deren Behandlung für die Ingenieure von Bedeutung ist.

Den aufrichtigen Dank, den ich bei den früheren Auflagen der Verlagsbuchhandlung für die bereitwillige Gewährung meiner Wünsche und Herrn Petzold für die freundliche Mitwirkung beim Lesen der Korrektur zu erstatten hatte, muß ich auch bei dieser Auflage aufs wärmste wiederholen.

Vorrede zur neunten Auflage.

Die Gesichtspunkte, die bei den früheren Auflagen dieses Lehrbuches maßgebend gewesen sind, konnten auch für diese neue Auflage festgehalten werden.

Im einzelnen sind aber in der neuen Auflage noch mancherlei wichtige Ergänzungen hinzugetreten.

Vollständig umgearbeitet ist die Untersuchung der Konvergenz-Bedingungen für die Reihen - Entwickelungen, welche zur Integration gewöhnlicher Differential - Gleichungen erster Ordnung benutzt werden. Der neue Beweis, der wesentlich einfacher und kürzer ist als der früher gegebene, wurde dem Verfasser von Herrn Stäckel in Hannover mitgeteilt. Auf Anregung von Herrn Stäckel ist auch eine wissenschaftliche Erklärung der Grundsätze für den Gebrauch des AmsZerschen Polarplanimeters in das Lehrbuch aufgenommen worden mit Benutzung eines Manuskriptes, das Herr Stäckel dem Verfasser für diesen Zweck freund lieh st zur Verfügung gestellt hatte. Für die Darstellung der Koeffizienten einer trigonometrischen Reihe sind einige charakteristische Beispiele hinzugefügt.

Ferner ist der Zusammenhang zwischen dem allgemeinen Integral einer Differential-Gleichung erster Ordnung und der singulären Lösung noch eingehender behandelt worden als bisher.

Besonderes Gewicht legt der Verfasser auf den letzten Abschnitt, in welchem die zuerst im Jahre 1894 von Herrn Runge in Göttingen ausgeführte Übertragung der Simpson-schen Regel auf die Integration gewöhnlicher Differential-Gleichungen erläutert ist. Da in der Technik sehr viele Differential-Gleichungen auftreten, die man in geschlossener Form nicht integrieren kann, so wird das durch die Verallgemeinerung der Simpsonsehen Regel gegebene Näherungsverfahren , das bei richtigem Gebrauch stets hinreichend genaue Resultate liefert, voraussichtlich gute Dienste leisten.

Auf Wunscli einiger Leser sind am Schlüsse des Buches noch ein alphabetisches Verzeichnis über die Bedeutung der in den Formeln benutzten Buchstaben und ein alphabetisches Inhaltsverzeichnis aufgestellt worden zum leichteren Verständnis und zur besseren Übersicht über die in dem Werke behandelten Untersuchungen.

Um die Benutzung der den Anhang des Werkes bildenden „Tabelle der wichtigsten Formeln“ zu erleichtern, hat die Verlagsbuchhandlung in der äußeren Ausstattung der neuen Auflage insofern eine hoffentlich willkommene Verbesserung eingeführt, als sie die Tabelle in auslegbarer Form hat einheften lassen. Hierdurch ist es ermöglicht, die Tabelle während des Gebrauchs neben das aufgeschlagene Buch zu legen und so die in den einzelnen Paragraphen des Werkes gegebenen Hinweise auf die Tabelle ohne zeitraubendes Hach schlagen des Gesamtwerkes gleichzeitig zu benutzen.

Auch im übrigen hat die Verlagsbuchhandlung alles aufgeboten, um die Ausstattung des Buches zu verbessern. Namentlich sind für den Druck vollständig neue Typen zur Verwendung gekommen. Ich spreche daher der Verlagsbuchhandlung auch an dieser Stelle für das mir bewiesene Entgegenkommen meinen verbindlichsten Dank aus.

Herr Petzold hat mich beim Lesen der Korrektur wiederum in freundlichster Weise unterstützt, wofür ich ihm ebenfalls herzlich danke.

Hannover, den 1. Oktober 1907.

L. Kiepert.

Vorrede zur elften Auflage.

Durch Berücksichtigung der vielen Wünsche und dankenswerten Anregungen, die mir für die Ausgestaltung der Integral-Rechnung zugegangen sind, ist die elfte Auflage gegen die vorhergehende um etwa 19 Bogen vermehrt worden. Die beträchtliche Erweiterung des Umfanges ergab sich zum Teil aus einer sehr gründlichen Umarbeitung bereits vorhandener Abschnitte, zum größeren Teil aber aus der Neuaufnahme von Untersuchungen, die für den mathematisch gebildeten Techniker ein größeres Interesse haben. Die hinzugefügten Abschnitte umfassen unter anderen die folgenden Gebiete:

Landen sehe Transformation der elliptischen Integrale,

Darstellung der Funktionen tg#, ctgx,    ,

smx cos#

unendliche Partialbruch-Reihen, das Gauß sehe Fehlerintegral, Anwendnngen auf die Mechanik, nämlich Berechnung der Masse, der statischen Momente, der Trägheitsmomente und der Schwerpunkts-Koordinaten, ferner die Theorie der LJulersehen Integrale, der Kurven-Integrale, etliche Fälle, bei denen die Integration nicht homogener linearer Differential-Gleichungen mtov Ordnung durch die Methode unbestimmter Koeffizienten leicht ausführbar ist. dann ein

durch

ausführlicher Abschnitt über lineare Differential-Gleichungen zweiter Ordnung und ein Abschnitt über Integration linearer Differential - Gleichungen mter Ordnung durch Reihen-Ent

wickelung.

streiten, ob die Kenntnis all dieser Untersuchungen für den Techniker erforderlich ist, da die Bedürfnisse bekanntlich sehr verschieden sind. Deshalb ist es dem Leser überlassen, eine Auswahl zu treffen. Wer z. B. die Landen sehe Transformation oder die Theorie der EWerschen Integrale nicht braucht, kann sie ohne Schaden für das Verständnis der folgenden Untersuchungen überschlagen.

Dagegen herrscht große Übereinstimmung darüber, daß die Behandlung der Differential-Gleichungen möglichst weit zu führen sei. Aus diesem Grunde habe ich gerade auf diesem Gebiete Untersuchungen in größerem Umfange neu aufgenommen und wäre dabei noch weiter gegangen, wenn es der zulässige Rahmen des Leitfadens gestattet hätte. Ich behalte es mir vor, diese Ausführungen an einer anderen Stelle zu ergänzen, und zwar in dem Sinne, daß die Behandlung der in der Mechanik und Technik auftretenden Differential-Gleichungen besonders berücksichtigt wird.

Bei der Abfassung der neuen Auflage haben mir die Ratschläge, die mir von vielen Seiten zugegangen sind, sehr gute Dienste geleistet. Namentlich hervorheben möchte ich die ausführlichen Mitteilungen von Herrn Aurel Voß in München und die zahlreichen Verbesserungsvorschläge des Herrn Prange in Hannover, der das Lesen einer Korrektur freundlichst übernommen hatte. Auch mehrere wertvolle Anregungen des Herrn Jahnke in Berlin habe ich gewissenhaft berücksichtigt.

Allen diesen Herren sage ich meinen aufrichtigen, tiefgefühlten Dank und ebenso der Verlagsbuchhandlung, die mir wieder in jeder Beziehung das bereitwilligste Entgegenkommen bewiesen hat.

Inhalts-V erzeichnis.

Erster Teil.

I. Abschnitt.

Allgemeine Begriffe und Fundamentalsätze der Integral - Rechnung.

Begriff und geometrische Deutung des Integrals ....

Einführung der Integrationsgrenzen................

Einige Hilfssätze für die Ausführung der Integration

Unmittelbare Integration einiger Funktionen........

Übungs - Aufgaben.................................

Allgemeine Bemerkungen..........................

Seite

18

. 19

24

27

II. Abschnitt.

Integration durch Substitution.

Erklärung der Substitutions-Methode....................

Beispiele für die Substitutions - Methode..................

Integration von einigen irrationalen Funktionen durch Substitution ...........................................

§ io.

Integrale von der Form

f'(x)dx

f(x)

§ H-

§ 12.

Integrale von der Form f F' (t)dt, wenn t = f(x) irgendeine transzendente Funktion von x ist..................

Integration durch Einführung trigonometrischer oder hyperbolischer Funktionen...................................

HI. Abschnitt.

Integration durch Zerlegung.

§ 13. Integration von einigen gebrochenen rationalen Funktionen durch Zerlegung.......................................

63

§ 14. Integration von einigen transzendenten Funktionen durch Zerlegung. Anwendung der Moivresehen Formeln...'....

75

IV. Abschnitt.

§ 18.

Partielle Integration.

Erklärung der partiellen Integration.....................

Beispiele für die partielle Integration....................

Integration von einigen trigonometrischen Funktionen

durch partielle Integration..............................

Integration von einigen irrationalen Funktionen durch partielle Integration....................................

81

82

85

98

Anwendungen der Integral -Rechnung.

Y. Abschnitt.

§ 19.

3 20.

§ 21.

§ 22.

§ 23.

Quadratur der Kurven.

Quadratur der Kurven bei Anwendung rechtwinkliger

Koordinaten ..........................................

Quadratur der Kurven bei Anwendung schiefwinkliger

Koordinaten ...........................!..............

Quadratur von Figuren, welche oben und unten durch

eine Kurve begrenzt sind..............................

Quadratur der Kurven bei Anwendung von Polarkoordinaten .................................................

Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten ...........................................

110

126

129

141

148

VI. Abschnitt.

■ t/fJ tlA

to K> o< >e«

Kubatur der Rotationskörper.

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers Übungs -Aufgaben..............................

155

159

VII. Abschnitt.

§ 26.

r- co

cm o\

COS COS

§ 29.

Rektifikation der ebenen Kurven.

Rektifikation ebener Kurven, deren Gleichung auf ein

rechtwinkliges Koordinaten - System bezogen ist.........

Übungs - Aufgaben.....................................

Rektifikation ebener Kurven, deren Gleichung auf Polarkoordinaten bezogen ist................................

Übungs -Aufgaben.....................................

176

178

188

189

Seite

§ 30.

§ 31.

VIII. Abschnitt.

Komplanation der Rotationsflächen.

Berechnung des Flächen-Elementes bei einer Rotationsfläche .................................................

Übungs -Aufgaben.....................................

195

196

§ 32. § 33.

IX. Abschnitt.

Rektifikation der Raumkurven.

Berechnung des Bogen-Elementes einer Raumkurve-.... 208 Übungs -Aufgaben

210

Zweiter Teil.

X. Abschnitt.

Integration der gebrochenen rationalen Funktionen.

Echt gebrochene und unecht gebrochene rationale Funktionen ................................................

Zerlegung der echt gebrochenen rationalen Funktionen in Partialbrüche, wenn die Wurzeln der Gleichung

f(x) = 0 sämtlich voneinander verschieden sind.........

§ 36. Zerlegung der echt gebrochenen rationalen Funktionen in Partialbrüche, wenn die Gleichung f(x) = 0 auch gleiche Wurzeln besitzt

A

§ 37. Integration der Funktionen —_- dx und

§ 34.

§ 35.

(x—ayi

213

215

232

dx....    242

§ 38. Integration der Funktionen

dx

§ 39. Integration der Funktionen § 40. Übungs -Aufgaben.........

(sc—g)2jrh2 (Px-{-Q)dx (x—g)²+h²

und

und

dx

[(x-g?+A*\

(Fx-f- Q)dx

249

n

[(x—gf+h²)n

252

253

COo rj/i

tC l-¹

XI. Abschnitt.

Integration der irrationalen Funktionen.

Allgemeine Bemerkungen.......................

Integration rationaler Funktionen der Argumente

264

x,

( aæ + ßX (aX_±jY

\yx -f- 8s ' \yx -f- 8s

265

ŁO3 CO0

267

Übungs -Aufgaben.....................................

Zurückführung der Differential - Funktionen von der Form F(x, VAx²-\-2Bx-]-C)dx auf Differential-Funktionen von der Form f(y, VyZ—a?)dy, f(y, Va²+ y*)dy, f(y, Va²—y*)dy 272

cöa cos te-

05 p!

§ 47.

§ 48.

% 49.

Ö 4

iß iß ■ff. oen

Übungs-Aufgaben.....................................

Integration der Differential-Funktion

F(x, y Ax²-\-2Bx-\-C)dx, wenn A positiv ist.............

Integration der Differential - Funktion

F(x, VAx²-\-2Bx+C)dx, wenn C positiv ist.............

Integration der Differential-Funktion

F(x, VAx²+2Bx-}-C)dx, wenn B²—AC positiv ist........

Integration der Differential-Funktion

F(x, Y Ax²-\-2Bx-\- C)dx, wenn die drei Größen A, C und

B'² — AC negativ sind.................................

Normalintegrale von der Form )F(x, yAx²-{-2Bx-\-C)dx. Integration einer Differential - Funktion von der Form

273

276

284

293

299

300

jF(x, yax-f/9, yyx-{-d)dx

305

ßi co    4

lO lO    iß

coo coo \

Vf.

aüs cßo <Un cto

OI CT O' Ot JO CO p

v/ § 60.

§ 61.

4—. SĄ §

62.

§ 68.

\§ 64.

§ 65.

§ 66.

C- 00

co co -y/s ooo

XII. Abschnitt.

Theorie der bestimmten Integrale.

Integrale zwischen unendlichen Grenzen................

Integration von Differential-Funktion en, die an den

Grenzen des Integrals unstetig werden.................

Integration von Differential-Funktionen, die zwischen den Intégrations - Grenzen unendlich werden Näherungsmethoden durch Einführung einfacherer Funktionen ................................................

Mittelwertsätze........................................

Neuer Beweis des Taylor sehen Lehrsatzes..............

Gliedweise Integration unendlicher Reihen..............

Berechnung der elliptischen Normalintegrale ei’ster und

zweiter Gattung ......................................

Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und

zweiter Gattung durch trigonometrische Reiben.........

Vereinfachung der numerischen Rechnung durch die

Landen sehe Transformation.............................

Differentiation der Integrale...........................

Berechnung bestimmter Integrale durch Differentiation..    357

Berechnung der Werte von einigen bestimmten Integralen 359

Darstellung der Funktionen tgæ, ctgæ durch unendliche Partialbrucli-Reihen ...

Darstellung der Koeffizienten einer trigonometrischen oder

Fourier sehen Reihe...................................

Übungs-Beispiele .....................................

Berechnung bestimmter Integrale bei Anwendung mehrdeutiger Substitutionen................................

Messungsmethoden zur Berechnung bestimmter Integrale 408

306

310

314

318

322

326

328

334

338

350

354

sin x ’ coscc

376

380

387

401

Seite

ÇQ

C- L— O C~

y/ä vji vji

Simpson sehe Kegel.....

Übungs-Beispiele ......

Gauß sehe Quadratur ... Amsler s Polarplanimeter

412

422

429

438

\\

ffo CÔS Vyj rjj. rfy. cfo CZ» V/; c/X

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C3K)HppCO-]Çnp'^

XIII. Abschnitt.

Kubatur der Körper und Komplanation der krummen Oberflächen. Mehrfache Integrale.

Kubatur der Körper durch Anwendung einfacher Integrale

Übungs - Aufgaben.....................................

Einführung mehrfacher Integrale.......................

Theorie der mehrfachen Integrale......................

Einführung von neuen Intégrations-Veränderlichen......

Das Gauß sehe Eehlerintegral..........................

Komplanation der Flächen.............................

Übungs-Beispiele.....................................

Einführung zweier variablen Parameter.................

Einführung räumlicher Polarkoordinaten................

445

tH

466

470

476

St

481

484

493

496

XIV. Abschnitt.

^Berechnung der Masse, der statischen Momente, der Trägheits-Momente und der Schwerpunkts-Koordinaten.

84.    Erklärung und Berechnung der Masse..................

85.    Erklärung und Berechnung der statischen Momente.....

86.    Erklärung und Berechnung der Trägheits-Momente.....

87.    Erklärung des Schwerpunkts und Berechnung seiner Koordinaten .............................................

88.    Gtildin sehe Kegeln....................................

89.    Übungs-Beispiele...................*..................

500

504

507

508

VA •//,

513

VV

514

§ 90.

tH r>i co rji

CS 05 05 05 0ÇQ CjQO 0QO ~Sjv

§ 95.

XV. Abschnitt.

Theorie der Euler sehen Integrale.

Erklärung der Euler sehen ‘ Integrale erster und zweiter Gattung

Darstellung der Gammafunktion durch unendliche Produkte

Eigenschaften der Gammafunktion.....................

Berechnung von IniTto)...............................

Einige besondere Werte der Gammafunktion und ihre Anwendung auf die Berechnung von- bestimmten Integralen 563

XVI. Abschnitt.

Integration der Differentiale der Funktionen von mehreren Veränderlichen.

Vollständige Differentiale der Funktionen von zwei Veränderlichen

546

551

554

557

GO» G03

G03

CD CD CD 00    p

Übungs - Beispiele.....................................

Vollständige Differentiale der Funktionen von drei Veränderlichen ..........................................

Übungs - Beispiele

570

576

581

o

o

C0O QpO

v§ 101. § 102. § 103. § 104. <-§ 105. § 106. § 107.

XVII. Abschnitt.

Kurven - Integrale.

Begriff des Kurven-Integrals............ .............

Darstellung eines Doppelintegrals durch ein Kurven-

Integral.............................................

Kurven-Integrale von vollständigen Differentialen.....

Funktionen einer komplexen Veränderlichen...........

Kurven-Integrale komplexer Funktionen...............

Der Satz von Cauchy.................................

Verallgemeinerung des Cauchy sehen Satzes............

Übungs-Beispiele.....................................

Beweis des Hauptsatzes der Algebra..................

585

590

596

600

602

606

608

609

613

Dritter Teil.

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen.

XVIII. Abschnitt.

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen erster Ordnung und ersten Grades.

Begriff und Einteilung der Differential-Gleichungen.... Auflösbarkeit der Differential - Gleichungen erster Ordnung zwischen zwei Veränderlichen. Integrations-Konstante ...............................................

§ 110. Auflösung der Differential-Gleichungen erster Ordnung

mit Hilfe der Taylor sehen Reihe......................

Untersuchung der Konvergenz-Bedingungen...........

Zusammenhang zwischen den verschiedenen Lösungen

einer Differential-Gleichung erster Ordnung............

Trennung der Variabein..............................

Integration der Differential-Gleichungen von der Form

§ 108. § 109.

613

619

629

§ Hl. § 112.

633

640

§ 113. § 114.

643

dy

dx

-KD

651

§ 115.

§ 116. § 117. § US. § 119. § 120.

Einige weitere Fälle, in denen man die Trennung der

Variabein ausführen kann.............................

Lineare Differential-Gleichungen erster Ordnung.......

Gleichung von Bernoulli..............................

Erklärung des integrierenden Faktors.................

Beispiele zur Erläuterung.............................

Bestimmung des integrierenden Faktors...............

656

661

671

674

679

Seite

XIX. Abschnitt.

Differential-Gleichungen erster Ordnung und höheren Grades.

121.    Zurückführung auf Differential-Gleichungen ersten Grades 691

122.    Integration durch Differentiation......................

123.    Die singulären Auflösungen der Differential-Gleichungen

erster Ordnung.......................................

§ 124. Ableitung der singulären Lösung aus der Differential-Gleichung selbst.....................................

125.    Singuläre Lösungen. Übungs-Beispiele...............

126.    Isogonale Trajektorien................................

127.    Übungs - Aufgaben....................................

128.    Evolventen..........................................

129.    Übungs - Aufgaben....................................

von zCD ÛÔO

695

705

712

c/jo crn> zfr: cöo oüo

718

724

727

743

744

XX. Abschnitt.

Gewöhnliche Differential-Gleichungen höherer Ordnung.

§ 130. Auflösbarkeit simultaner Differential - Gleichungen erster

Ordnung.............................................

§ 131. Auflösbarkeit der gewöhnlichen Differential-Gleichungen höherer Ordnung

748

756

§ 132. Integration der Differential - Gleichung

§ 133. Differential - Gleichungen von der Form / d»¹ y d?n—ly \dx»‘ ' dxm—l

dmy

dx»‘

= .....

757

760

•§ 134. Differential-Gleichungen von der Form

'    . ^ dm-2y\ = o ...............................

dx>» ’ dxm—2/

§ 135. Fälle, in denen sich die Ordnung der Differential-Gleichung erniedrigen läßt................................

765

770

C/>3 c/jo r/Jj

œ co co oo -j ro

rH tH

§ 139.

§ 140.

§ 141.

XXI. Abschnitt.

Lineare Differential - Gleichungen »der Ordnung.

Allgemeine Bemerkungen.........................

Homogene lineare Differential-Gleichungen »ater Ordnung 787 Nicht homogene lineare Differential-Gleichungen »der

Ordnung................................;...........

Nicht homogene lineare Differential - Gleichungen »ater

Ordnung mit konstanten Koeffizienten................

Einige Fälle, in denen die erforderlichen Quadraturen

ausführbar sind......................................

Zurückführung der linearen Differential-Gleichungen mter Ordnung auf lineare Differential-Gleichungen niedrigerer Ordnung, wenn partikuläre Integrale bekannt sind 835 Ein weiterer Fall. in dem sich die lineare Differential-Gleichung »ater Ordnung integrieren läßt

786

798

799

812

XXII. Abschnitt.

Lineare Differential-Gleichungen zweiter Ordnung.

854

863

§ 143. Integration der nicht homogenen linearen Differential-Gleichungen zweiter Ordnung, wenn ein partikuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung bekannt ist 851 § 144. Zurückführung auf die Xormalform. Äquivalenz § 145. Einführung einer neuen unabhängigen Veränderlichen.. 860 § 146. Beziehung zwischen j e zwei partikulären Integralen einer linearen homogenen Differential - Gleichung zweiter Ordnung ................................................

865

§ 147. Integration der nicht homogenen linearen Differential-Gleichung zweiter Ordnung durch Variation der Konstanten .............................................

«y

XXIII. Abschnitt.

Simultane Differential - Gleichungen.

§ 148. Zurückführung von simultanen Differential-Gleichungen zwischen einer unabhängigen und mehreren abhängigen Veränderlichen auf eine Differential - Gleichung höherer

Ordnung zwischen zwei Veränderlichen................

§ 149. Integration linearer simultaner Differential-Gleichungen erster Ordnung.......................................

870

875

XXIV. Abschnitt.

Integration durch Reihen.

150. Integration durch Anwendung der Taylor schien und der

885

891

'    Mac-Laurin sehen Reihe...............................

’/§ 151. Methode der unbestimmten Koeffizienten..............

§ 152.

rjjï <UA>

rH

§ 155.

XXV. Abschnitt.

Näherungsmethoden zur Integration gewöhnlicher Differential - Gleichungen.

Verallgemeinerung der Simpson sehen Regel zur Auflösung von Differential - Gleichungen erster Ordnung ... 904 Übungs - Beispiel

Integration von simultanen Differential-Gleichungen und Differential -Gleichungen höherer Ordnung Übungs - Beispiel.........................

913

919

924

1002

Tafeln für die elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung 935 Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Integral - Rechnung... 939 Alphabetisches Verzeichnis über die Bedeutung der in den Formeln benutzten Buchstaben Alphabetisches Inhalts-Verzeichnis ..

Erster Teil.

I. Abschnitt.

Allgemeine Begriffe und Fundamentalsätze der Integral-Rechnung.

-sr=f{x)

Integration von einigen irrationalen Funktionen durch Substitution.

tg(!) -

Beispiele.

ermittelt. Es ist z. B.

Quadratur der Kurven.

§ 21.

Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten.

(34 a.) V=a^- \y2Vy22 — a2 — y± V y ? — a2 + a(a?2 — a?i)j.

Aufgabe 4. Man soll die Länge des Bogens AP bei de

Rektifikation der Raumkuryen.

AD

 (x-m^+vx+w  m

=lnx- * ln(*3+!) = ln(|ÿ^i) '

Übungs-Aufgaben.

Auflösung. Hier ist

Integration der Differential-Funktion

Integration von Differential-Funktionen, die an den Grenzen des Integrals unstetig werden.

Mittel wertsätze.

]/( 1 — #2)(1 — Â;2#2) i?=4/ ]/(l — #2)(1 — fr2#2)

~2—F{k,cp),

deshalb wird

Übungs-Beispiele.

Messungsmethoden zur Berechnung bestimmter Integrale.

(11.) P=lJdxVSG

F = J l. do = l J do,

6/

Komplanation der Flächen.

=’'2[r2+(l)1c0^+''2O’

Übungs- Beispiele.

16a [lOjp0o 4 (2 — m2)«2]

Berechnung von Inrtp).

-/té

(2.)

Der Satz von Cauchy.

y»\<y 1].

§ 112.

y7y

Gleichung von Bernoulli.

und daraus durch Integration

Ableitung der singulären Lösung aus der Differential-Gleichung selbst.

Übungs-Aufgaben.

(102.)

f{mKx0) = y(x0, y®\ 2/i(0), y2{0\ ■ ../U),

y à2—y2

lim (Gi + C2ehx) = C + C'x,

(ß^2yi^2®2+2^iß)(a;—^)““2

+ fm—2<Z2 + fm—ld + fm] ~ • F(a)i

+ C2[y2w + fix). y2{m~1)-\ b fm-ix). y2‘ + fjx). y2)

Zurückführung auf die Normalform. Äquivalenz.

Auflösung. Setzt man

folglich ist

px2 W

1 <g*+g*)"

Übungs- Beispiel.

Allgemeine Begriffe und Fundamentalsätze der Integral-Rechnung.

§ l.

Begriff und geometrische Deutung des Integrals.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 1 und 2.)*)

Die Aufgabe der Integral-Rechnung besteht darin, daß eine Funktion F(x) gesucht wird, deren Ableitung

(1.)

F\x) = f(x)

gegeben ist.

Da das Differential einer Funktion F(x) gleich ist ihrer Ableitung F'(x), multipliziert mit dem Differential von x, da also

(2.)

dF(x) = F\x)dx = f(x)dx, so kann man die gestellte Aufgabe auch so fassen: „Ton einer Funktion ist das Differential gegeben, man soll die Funktion selbst aufsuchen.“

Die Operation, durch welche dies geschieht, nennt man die „Integration des vorliegenden Differentials“, und die Wissenschaft, welche von den Integrationen handelt, nennt man „Integral-Rechnung“. Das Operationszeichen für das Integral von F\x)dx ist ein J (ein langgezogenes S),**) also

*) Die wichtigsten Formeln sind im Anhänge zu einer Tabelle zusammengestellt.

**) Es wird später gezeigt werden, daß man jedes (bestimmte) Integral auch als den Grenzwert einer Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen auffassen kann. Dieser Auffassung entspricht das Operationszeichen J (erster Buchstabe des Wortes Summa), das von Leibniz eingeführt ist.

Kiepert, Integral - Rechnung.

fF\x)dx = F{x).

(3.)

(Sprich : „Integral von F\x)dx“, oder „Integral über F\x)dxu, oder kürzer: „Integral F'{x)dx¹¹. Da das Integral als Grenzwert einer Summe zu betrachten ist, so darf man nicht sagen: „Integral aus F/(x)dx.u)

In dieser Hauptformel ist somit ausgesprochen, was man unter dem Integral einer gegebenen Differential-Funktion

F\x)dx = f(x)dx

versteht.

Beispiele.

1) Ist

F(pc) = x³

so wird

2) Ist

so wird

F\x) — 3r², also J3x²dx = x³. F(x) — sina;,

F\x) — cosa:, also Jcosxdx — sina:.

3) Ist

so wird

F{pc) = arctgr,

™--nb

also

dx

1 -f- x²

= arctgr.

Aus der vorstehenden Erklärung folgt, daß Integration und Differentiation entgegengesetzte Operationen sind, die sich gegenseitig aufheben. Setzt man nämlich aus Gleichung (2.) den Wert von F\x)dx in die Gleichung (3.) ein, so erhält man

(4.)

JdF{x) = F{xf

(5.)

und wenn man beide Seiten der Gleichung (3.) differentiiert, djF\x)dx = dF{x) — F\x)dx.

Darin liegt auch ein Mittel, um das durch die Integration sich ergebende Resultat zu prüfen. Differentiiert man nämlich dieses Resultat, so muß man den Ausdruck erhalten, der unter dem Integralzeichen steht.

Weil F\x)dx nicht nur das Differential von F(x), sondern auch das Differential von F(x) + C ist, wo C eine beliebige Konstante bedeutet, so wird ganz allgemein

(6.)

J‘F'{x)dx = F(x) + C.

Das Integral von F\x)dx hat daher unendlich viele Werte. Dabei nennt man die Größe C die „Integrations-Konstante“.

Dies ist aber die einzige Willkür, welche bei der Bestimmung des Integrals auftritt, denn es gelten die folgenden Sätze:

Satz 1. Ist die Ableitung einer stetigen Funktion <p(x) für alle Werte von x zwischen a und b gleich 0, so ist der Wert von <p(x) in diesem Intervalle konstant.

(7.)

Beweis. Nach dem ersten Mittelwertsatz der Differential-Rechnung (D.-R.¹), Formel Nr. 88 der Tabelle) ist <p(a -f- h) — <p(a) -f- h . <p\a -f- Sh),

wo & zwischen 0 und 1 liegt. Nach Voraussetzung ist <p'(x) für alle Werte von x zwischen a und b gleich 0, folglich wird

<p\a -f- Oh) = 0,

(8.)

so lange a -f- h = x in dem angegebenen Intervalle bleibt. Da außerdem h eine endliche Größe ist, so wird cp(a -j- h) = (p{a), oder <p(x) — g>(a), d. h. (p(x) behält den konstanten Wert <p{a).

Hieraus folgt

Satz 2. Haben die beiden stetigen Funktionen F(x) und G(x) in dem betrachteten Intervalle dieselbe Ableitung, so unterscheiden sie sich voneinander nur durch eine Konstante.

Beweis. Setzt man

(9.)

<p(x) = G(x) — F{x)

so ist die Ableitung von <p{x) in dem Intervalle beständig gleich Null, also ist <p{x) nach Satz 1 eine Konstante C. Dies gibt 0{x) = F(X) + C.

(10.)

Satz 3. Sind die leiden Funktionen Fix) und G{x) Integrale derselben Funktion fix), so können sie sich nur durch eine Konstante voneinander unterscheiden.

(11.)

Beweis. Nach der Erklärung des Integrals muß F'{x) = f{x) und auch G'{x) = fix)

sein, d. h. es muß

F'{x) = G fx) sein, folglich ist nach dem vorigen Satze

(12.)

(13.)

G{x) = F{x) + C.

Satz 4. Zu jeder stetigen Funktion y = fix), die in dem betrachteten Intervalle eindeutig ist, gibt es ein Integral (während es nicht zu jeder stetigen Funktion eine Ableitung gibt).

Beweis. Der Gleichung

(14.)

V = ffr)

entspreche eine Kurve AP (Fig. 1), von der zunächst vorausgesetzt werden möge, daß sie, soweit ihr Bogen hier in Betracht kommt, oberhalb der X-Achse liegt. "Wie die Anschauung ergibt, wird dann der Flächeninhalt F der Figur / Ai QPA mit der Anfangsordinate Pl    Ai A eine Funktion F(x) von OQ

R    gleich x, denn er ändert sich zu

gleich mit x. Es ist also

(15.) F = AiQPA = Fix), und wenn man QQi mit Jx, Q\P\ = fix + Jx) mit yi bezeichnet,

AiQxPxA — Fix -j- Jx) = F + JF,

Fig. 1.

(16.)

folglich wird

(17.)

QQiPiP == JF = JF{x) = F(x -f- Jx) — Fix).

Legt man durch P die Gerade PP parallel zur X-Achse, so wird unter der Voraussetzung, daß die Kurve von P bis Pi steigt,

und legt man durch Px die Gerade PXS parallel zur X-Achse, so wird

(19.)

QQXPXP = A F ix) < QQ1P1S — yx. Ax.

Dies gibt

(20.)

A F ix)

V = ~ÄT “ Vl

oder, weil lim?/! = y für lim z/a; = 0 wird, dF(x)

y — j— ’

dx

Deshalb erhält man

F = Fix) = jF\x)dx = ff(x)dx,

(21.)

oder f{x) — F\x).

(22.) oder (22 a.)

F — Jydx.

Dieselben Schlüsse gelten auch noch, wenn die Kurve vom Punkte P bis zum Punkte

Mg. 2.

Px fällt (vergl. Fig. 2), nur erhalten dann die Ungleichheitszeichen die entgegengesetzte Richtung. Es wird nämlich in ~ diesem Falle

Q o7x

F = AxQPA = F(x),

■ AXQXPXA = Fix -f Ax) = F + AF, QQiPiP = AF = z/P(a;) = P(æ + Xc) — P(a;) QQiPP üs AFix) ^ QQiPiÄ,

oder

y .Ax=^ JFix) ^ ?/i. zhr,

JFix)

y-^r = yi'

also, da auch hier lim?/i = y wird für MmAx — 0

dFjx) dx

(23.)

(24.)

(25.)

oder (25 a.)

wenn

Das Resultat bleibt sogar auch dann noch richtig, die Kurve zwischen P und Px abwechselnd steigt und

fällt (Fig. 3). Man legt dann durch den höchsten Punkt H mit der Ordinate y/ und durch den tiefsten Punkt T mit der Ordinate y“ Parallele GGi und KKi zu der X-Achse.

Fig. 3.

Dadurch erhält man die beiden Rechtecke

Oh"

(26.)

QQ1G1G — y'. xtx und QQiKxK = y". Jx, und zwar wird (27.) ÿ'.Æè QQiP\P = JF{x) ^ y" . Jx,

oder

(2a> y' = = y“

also, da limy' = limy" = y für \\mAx — 0, dF(x)

y=xsr

Man findet daher in allen Fällen

F = AiQPA = f f(x)dx + C —f ydx -f- C.

Bei dieser geometrischen Deutung des Integrals erkennt man auch, weshalb zu dem Integral noch eine willkürliche Intégrations-Konstante hinzutreten muß. Die Anfangs-Ordinate AiAj durch welche die ebene Figur F auf der einen Seite begrenzt wird, ist noch beliebig. Einer Verschiebung dieser Anfangs-Ordinate entspricht eine Veränderung der Intégrations-Konstanten C.

Q Tt H, Q,

■x

(29.)

(30.)

oder fix) = F'(x).

§ 2.

Einführung der integrationsgrenzen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 3 bis 6.)

Es gibt in den Anwendungen der Integral-Rechnung Aufgaben, bei denen die Gleichung

fF\x)dx = Fix) + C

für jeden Wert der Intégrations-Konstanten C eine Lösung gibt. Man nennt dann F(x) -f- C das „allgemeine Integral“,

ans dem sich, die „'partikulären Integrale“ ergeben, indem man für C besondere'Tpartikuläre) Werte einsetzt.

Bei anderen Anwendungen der Integral-Rechnung aber darf die Intégrations - Konstante C nur einen bestimmten Wert haben, der sich im allgemeinen aus der Natur der Aufgabe ohne weiteres ergibt. Gewöhnlich wird die Integrations-Konstante C dadurch ermittelt, daß man den Wert von x aufsucht, für welchen das Integral in der vorgelegten Aufgabe verschwindet.

Ist a dieser besondere Wert von x, so nennt man a „die untere Grenze“ des Integrals und schreibt

(1.)

F = / F\x)dx — F(x) -f- C.

Da nach Voraussetzung das Integral für x — a verschwindet, so findet man hieraus

(2.)

0 = F(a) + (7, oder C = — F(a),

also

(3.)

F = JF \x)dx — F(x) — F(a).

Dieses Verfahren kommt auch bei der geometrischen Deutung des Integrals in Betracht. In den Figuren 1, 2 und 3 z. B. verschwindet der Flächeninhalt der ebenen Figur AiQPA, wenn die Ordinate QP mit der Anfangs-Ordinate A\A zusammenfällt, wenn also

x — a = 0A\.

In vielen Fällen braucht man den Wert von F nur für einen bestimmten Wert von æ, z. B. für x — 5; man nennt dann 6 „die obere Grenze“ und schreibt

b

(4.)

F = fF\x)dx = F(b) — F(a).

«

(Sprich: „Integral von F\x)dx zwischen den Grenzen a und 6“.)

während man nennt.

F heißt in diesem Falle ein „bestimmtes Integral“, F{x) das „unbestimmte Integral“ von F\x)dx

Um anzudeuten, in welcher Weise das bestimmte Integral aus dem unbestimmten hergeleitet wird, schreibt man

b    b

— F(a).

(5.) F = fydx =/F'(x)dx = [F(x)\ *) = F{b)

Satz 1. Das bestimmte Integral kann betrachtet werden als Grenzwert einer Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen.    *

Beweis. Der Flächeninhalt der ebenen Figur AßB-JdA (Fig. 4) war

(6.)

b

F =JF\x)dx =

F(b) — F(a)

wenn diese Figur durch die Kurve

y — F'(x), oder y = f(x)

begrenzt wird. Dabei werde vorausgesetzt, daß f{x) in dem betrachteten Intervalle eine stetige und eindeutige Funktion sei. Andererseits kann man aber auch den Flächeninhalt dieser Figur dadurch berechnen, daß man sie 4—x durch Parallele zur T- Achse in

■D/

n Streifen zerlegt, die alle verschwindend klein werden, wenn n ins Unbegrenzte wächst. Ist nun QQiPiP einer der Streifen, und zieht man durch P eine Parallele PP zür X-Achse, so wird dieser Streifen zerlegt in ein Rechteck QÇ^BP mit dem Flächeninhalte y.Ax und in das Dreieck PBP\, wobei mit Ax die Breite des Streifens bezeichnet ist. Die Summe der Rechtecke QQiRP ist daher

x=b—Ax

Fig. 4.

Pi

Py

Öf

A,

Q Q,

x=b—Ax

x=b—Ax

(7.)

F± = 2 y . Ax = 2 f[x) . Ax = 2 F\x). Ax.

x=a    x=a    x—a

Wächst n ins Unbegrenzte, so wird Ax verschwindend klein, und man erhält

lim Ui = lim2U'(:r). Ax = F,

*) Sprich: „F(x) zwischen den Grenzen a und bu.

weil die Dreiecke PRPi verschwindend kleine Größen höherer Ordnung werden, die neben den verschwindend kleinen Größen erster Ordnung vernachlässigt werden dürfen.

Von der Richtigkeit dieses Resultats kann man sich auch auf folgende Weise überzeugen.

Der Flächeninhalt des Dreiecks PRPi (Fig. 4) ist kleiner als der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Grundlinie PR = dx und der Höhe RPy = hx, also A PRPi < hx . dx.

Dieselbe Ungleichung gilt für die sämtlichen Dreiecke, welche in Figur 4 von den Streifen abgeschnitten sind. Bezeichnet man also die Summe dieser Dreiecke mit 2PPPi und die größte unter den Höhen hx mit Ä, so wird 2 PRPi < 2 hx. dx < h 2 dx,

oder, da 2ix, d. h. die Summe aller Grundlinien gleich AiB\ ist,

2 PRPi < h . AiBi - h(b — à).

Nach Voraussetzung ist die Funktion fix) für die betrachteten Werte von x stetig und endlich, deshalb werden die Größen hx, also auch h und dx zugleich verschwindend klein, folglich auch 2PRPi.

In Figur 4 steigt die Kurve von A bis B. Das Rechteck QQiRP ist deshalb um das Dreieck PRPi Meiner als

Fig. o.

Fig. 6.

V/

X]

fx

der Streifen QQxPiP. Dasselbe gilt für alle anderen Streifen, in welche die Figur zerlegt ist. Fällt dagegen die Kurve von A bis B (vergl. Fig. 5), so sind die Rechtecke um die

b,

■X

o\ A,

kleinen Dreiecke größer als die Streifen der Figur. Es können auch (wie in Fig. 6) die Rechtecke teilweise größer und teilweise Meiner als die Streifen sein. Die in Gleichung (8.) ausgesprochene Schlußfolgerung bleibt aber auch dann noch richtig, weil die Summe der vernachlässigten oder hinzugefügten Dreiecke zugleich mit Ax verschwindend klein wird.

Statt lim 2 schreibt man 8 und fügt die Grenzen der Summation, nämlich a und lim(i —Jx) = b unten und oben dem Summenzeichen 8, aus welchem das Zeichen / entstanden ist, hinzu. Dadurch erhält die Gleichung (8.) die Form

b    b

(8 a.)

F = Jydx = jF\x)dx = [F(x)] = F(b) — F(a)

a    n.    a

welche mit Gleichung (6.) übereinstimmt.

Bisher war die Voraussetzung festgehalten worden, daß der betrachtete Kurvenbogen oberhalb der X-Achse liegt, d. h. es sollte y — f(x) 0 sein für alle in Betracht kommenden "Werte von x. Die vorstehenden Schlüsse gelten aber in gleicher Weise auch dann noch, wenn der Bogen AB unterhalb der X-Achse liegt, wenn also y = fix) ^ 0 ist für die betrachteten Werte von x. In diesem Falle hat aber selbstverständlich

f{x). Jx — F‘{x). Jx und deshalb auch 2 F‘(x). Jx einen negativen Wert.

Es ist auch nicht notwendig, daß b > a ist; setzt man nämlich für Jx negative Werte ein, so muß b < a werden.

Bemerkung. ²)

Mit Rücksicht auf den elementaren Charakter des Buches wurde in § 1 der Integrationsprozeß als Umkehrung des Differentiationsprozesses eingeführt. Aber eine wissenschaftliche Behandlung darf dabei nicht stehen bleiben, da es möglich ist, den Begriff des bestimmten Integrals so zu fassen, daß er (wenigstens für stetige Funktionen fix)) zwar mit der vorstehenden Erklärung übereinstimmt, aber von der geometrischen Deutung unabhängig wird.

Um zu beweisen, daß es in dem Intervalle von a bis b immer eine eindeutige, stetige Funktion F(x) gibt, deren Ableitung in diesem Intervalle der gegebenen eindeutigen und stetigen Funktion f{x) gleich ist, teilt man das Intervall nach einem, für jeden Wert von n vorgeschriebenen Gesetze in n Teile und nennt die Teilwerte

(a < b

ai ) ®ät • • • •Xn—1 î b.

Dabei brauchen die Intervalle nicht einander gleich zu sein; aber das Gesetz der Teilung muß so beschaffen sein, daß mit wachsendem n die einzelnen Intervalle immer kleiner und schließlich beliebig klein werden. Aus der Stetigkeit von f(x) ergibt sich dann die Voraussetzung, daß der Unterschied zwischen dem größten Wert Ga und dem kleinsten Wert Ka, den f(x) annimmt, während x das Intervall von Xa—i bis xa durchläuft, kleiner als die beliebig kleine positive Größe f bleibt, wenn man n hinreichend groß und dadurch die sämtlichen Intervalle

(a — 1, 2, 3 ... n, wobei x₀ = a, xn = b.) macht, wo 8 eine hinreichend kleine Größe ist. Die Summe

(9.) Sn = (x₁ — a) f(a) + (x₂ — xf) f(xf) H-----b (b — xn-i) f (xn-i)

— d\ f (a) + 8% f{xi) + • • • + dnf{xn—l)*) nähert sich dann, wie sogleich bewiesen werden soll, mit wachsendem n einem bestimmten, endlichen Grenzwerte S. Diesen Grenzwert nennt man „das bestimmte Integral von f{x)dx innerhalb der Grenzen a und bu und bezeichnet es mit

da — Xa — Xa—1

b

(10.)

S = J'f{x)dx.

Gleichzeitig definiert dieser Grenzwert (in Übereinstimmung mit den früheren Ausführungen) den Flächeninhalt der Figur, die von der Kurve y — f(x), den beiden Ordinaten x — a, x = b und dem zugehörigen Abschnitt der X-Achse begrenzt wird.

Zum Beweise der Existenz des Grenzwertes S setze man unter Anwendung der oben eingeführten Bezeichnungen S ‘n = d\ + -Kq $2 + • • • + Kn dn,

S"n = G₁<î₁ -(- G₂d2 + • • • + Gndn,

(11.)

(12.)

dann wird

S'n

Sn    S "n •

Jetzt folgt aus den Gleichungen (11.) und (12.)

(14.) S “n — S'n — (G-l — K₁)S₁ + (G₂ — Kç))S₂ + • • • + (Gn— Kn)8n •

Nach Voraussetzung wird aber, wenn man n hinreichend groß

(13.)

macht,

*) Die folgenden Schlüsse bleiben auch dann noch richtig, man in Gleichung (9.) die Größen f{a), f{xf),... f(xn—l) mit fUif), /(I2)j ... f(jźn) vertauscht, wobei £₂,...|» beliebige Werte von x in den Intervallen a bis x₁, xt bis x₂,.. . xn—l bis b sind.

wenn

folglich wird

G a — A«

(15.)

S “n — S ‘n

Da man hierbei s für hinreichend große Werte von n beliebig

klein machen kann, und da b — a eine endliche Größe ist, so wird

(16    lim(S"w — S'n) = 0;

die beiden Summen S'n und S"n nähern sich daher demselben Grenzwerte S, folglich nähert sich auch die dazwischen liegende Summe Sn demselben Grenzwerte S. Es wird also

(17.)

lim S'n = lim S"n = lim Sn = S

n—oo

n—oo

n—oo

wobei S eine bestimmte, endliche Größe ist.

Es ist aber noch zu zeigen, daß bei jeder anderen Einteilung in Intervalle, die mit wachsendem n beliebig klein werden, der Grenzübergang denselben Grenzwert S liefert.

Zu diesem Zwecke zerlege man jetzt das Intervall von xa—l bis xa durch den Teilwert xJG in die beiden Teilintervalle xa—\ bis xaG) und xaW bis xa, und bezeichne mit G«(l), Gai²) bezw. die größten, mit Kai¹), Kai²) bezw. die kleinsten Werte, welche f(x) in diesen beiden Teilintervallen annimmt, dann wird Kai 1) Ka

Kai²) K

Gai 1)

Ga , G ai²) = G

folglich ist

Kai^Xai¹) — Xa—l) + Kai²)(xa — Xai¹)) = 1Ka[(£CaG) — Xa—\) + {Xa —£C«(l))j

= KaSa ,

G«(D(æa(l) — Xa-l) + Gai²\Xa —Xai¹))

= Gada •

Dieselben Schlüsse bleiben richtig, wenn man das Intervall nicht in zwei, sondern in mehrere Teilintervalle zerlegt; d. h. die Summe der an die Stelle von Kada tretenden Produkte ist sicher nicht

Ga[(a?rt(l) — Xa—l) + (Xa — SCa(l))]

kleiner als K da, und ebenso ist die Summe der an die Stelle von Gada tretenden Produkte sicher nicht größer als Gada •

Das, was für das eine Intervall gilt, gilt für alle Intervalle bei weiterer Teilung in Teilintervalle. Geht bei dieser Weiterteilung die Summe

über in S"'n, und die Summe

S'n = -Vi + KA + --- + Kndn

S"n = GA + GA + --- + Gndn

in S""n über, so geht also die doppelte Ungleichung (13.) über in

Sn =i S""n

(18.)

S'n S"'n

S"n .

Hieraus erkennt man, daß sich die Summe Sn demselben Grenzwerte S nähert, auch wenn man die für jedes n ursprünglich angenommenen Intervalle noch weiter in Teilintervalle zerlegt.

Bezeichnet man jetzt bei irgend einer anderen Einteilung in Intervalle die Teilwerte mit

a, x\, x\,... x'v—i, b, so erhält man für a = 1, 2,... v die Intervalle

x/CL 0CJCt—1

wobei x'₀ = a und x\ — b sein möge. Hier sei

(19.) 2,, = (x\ — a) f{a) + («2 — x\) f(x\) -f-----f (x\— x'v—i) f(x't—i)

— ^1 f(a\) "t" 3'.2 f (x'l) -(-••• + d'v f I(pc'y—l).

Bezeichnet man sodann mit G'a den größten und mit K'a den kleinsten Wert, den f(x) annimmt, wenn x das Intervall von x'a—\ bis x'a durchläuft, so sei

(20.)

(21.)

2 v — R\ à \ ~t~ R\ ^ \ + • • • +

2 v ⁼⁼ G'i à \ + G'% d '₂ + • • • + Gr'y S'v ;

dann wird

(22.)

2,

2",

Um zu zeigen, daß der Grenzwert 2, dem sich bei unbegrenzt wachsendem v die Summen 2\,' 2'"v und 2V nähern, mit dem Grenzwerte S übereinstimmt, zerlege man das ganze Intervall von a bis b so in Intervalle, daß dabei die Teilwerte a^, x%,... xn—1 nnd außerdem auch die Teilwerte x\ , x'%,... x\—1 Vorkommen. Man kann diese Einteilung als eine Weiterteihmg der ersten, und ebenso als eine WUerteilung der zweiten Zerlegung betrachten. Da aber nach den vorstehenden Ausführungen der Grenzwert S derselbe bleibt, wenn man die ursprünglich angenommenen Intervalle noch weiter in Teilintervalle zerlegt, so wird man in beiden Fällen auf denselben Grenzwert S geführt, was zu beweisen war.

Der Wert von

b

S = Jf(x)dx

ändert sich mit dem Werte von b\ deshalb möge die Summe S mit R(b) bezeichnet werden; es sei also

b

H(b) = J f(x)dx.

(23.)

Bezeichnet man jetzt mit G den größten und mit K den kleinsten Wert, den f(x) in dem Intervall von a bis b annimmt, so ist

G=^G

deshalb folgt aus der doppelten Ungleichung (13.)

(24.)

oder, wenn man die Größe M durch die Gleichung H(b) = (b — a)M

K(b — a)

Ka,

G(b — a),

■    (25.)

erklärt,

(26.)

d. h. M ist ein Mittelwert zwischen K und G, den die Funktion f(x), weil sie stetig ist, für einen Wert von x zwischen a und b heiße £ — auch wirklich annimmt. Dabei kann man bekanntlich £ in der Form

er

§ 2. Einführung der Integrationsgrenzen. £ = a -f 0 (b — a)

14

(0 0 + 1)

schreiben. Gleichung (25.) geht daher über in

b

(27.)

S(b) — Jf(x)dx — (b — ä)f[a + 0 (b — a)j,

eine Gleichung, von der sogleich Gebrauch gemacht werden wird. Nach Gleichung (9.) ist nämlich

(28.)

Sn = b\f(a) + $%f(xi) + • • • + ànf(Xn—l), und wenn man jetzt das Intervall über b — xn hinaus erweitert, indem man n mit n + m vertauscht,

(29.) Sn+m — f(a) ^2/(^1) + • • • + bnf(Xn—l) -f- $n+\f{n) + Sn+2f(Xn+1) + • • • + dn-\-mf(pCn+m—l)>

also

(30.) Sn+m — Sn = bn-\-if(x?i) -f- dn+2f(Xn+l) + • • • + dn+mffan+m—l)* Setzt man hierbei wieder xn — b und xn+m — c, so gehen bei unbegrenzt wachsenden Werten von n und m die Gleichungen (28.), (29.) und (30.) über in

(28 a.)

(29 a.)

b

= H(b) = J‘f{x)dx

a

c

lim4+»i = S(c) = J‘f(x)dx

a

c    b    c

= H(c) — R(b) — J'f[pc)dx—j'f(x)dx =Jf(x)dx.

a    a    b

lim Sn

(30 a.) lim Sn+m — lim Sn

Statt des konstanten Wertes b kann man in Gleichung (23.) den veränderlichen Wert x einführen und erhält dadurch

X

(31.)

H(x) = Jf(x)dx.

Es ist dann noch zu zeigen, daß H(x) eine stetige Funktion der oberen Grenze x ist, daß ihre Ableitung existiert und mit f(x) übereinstimmt, daß also

dll(x)

¹

Die Zitate, welche sich auf die zwölfte Auflage der Differential-Rechnung beziehen, sollen durch die Vorgesetzten Buchstaben : „D.-R.“ hervorgehoben werden.

²

Der Anfänger darf diese Bemerkung, wenn ihr Inhalt für ihn zu schwer verständlich sein sollte, übergehen.

-sr=f{x)

wird. Beides ergibt sich unmittelbar aus den vorstehenden Untersuchungen, denn setzt man in Gleichung (30 a.) b = x und c = x + /ix, so erhält man

x+Jx

(32.)

II(x -f Ax) — II(x) —j'f(x)dx.

Vertauscht man schließlich in Gleichung (27.) a mit x und b mit x /Ix, also b — a mit Ax, so erhält man x-\-Jx

(33.)

Jf(x)dx = Ax. f(pc + 0 . Ax),

oder

H(x + Jx) — H(x) — Jx . f{x -f- 0 . Jx).

Daraus folgt erstens, daß | R{x + Jx) — H(x) | kleiner gemacht werden kann als die beliebig kleine Größe t, wenn man

Jx <

(34.)

| f{x + 0 . Jx) |

macht, daß also 3(x) eine stetige Funktion von x ist, und zweitens wird H(x + Jx) —11 {x)

(35.)

Jx

= fix + 0 . Jx)

also

dH(x)

H(x + Jx) —3(x)

= /'(*)>

== lim

d. h. die integrierte Funktion f(x) ist in der Tat die Ableitung des Integrals H(x) inbezug auf die obere Grenze. Dabei ist unter Benutzung der früheren Bezeichnung

R(x) = F(x) — F(a), folglich wird auch

(36.)

dx

Jx

dF(x)

Aus den Gleichungen

folgt

(37.)

oder in Worten:

Satz 2. Man darf die obere und die untere Grenze eines bestimmten Integrals miteinander vertauschen, man gleichzeitig das Vorzeichen des Integrals umkehrt.

Hierbei ist in dem einen Integral die untere Grenze größer als die obere und infolgedessen dx negativ.

Aus den Gleichungen

C

fF\x)dx

a

folgt durch Addition

c    b

(38.) fF\x)dx + fF\x)dx = F{b)

a    c

oder in Worten:

Satz 3. Man kann ein bestimmtes Integral in andere zerlegen, indem man zwischen den Grenzen a und b eine beliebige Größe c einschaltet und das erste Integral

wenn

b

— F(c) — F(g) und J'F\x)dx = F(b) — F(c)

b

— Fla) = J'F\x)dx,

zwei

zwischen den Grenzen a und c, das zweite Integral zwischen den Grenzen c und b berechnet.

Am anschaulichsten wird der Sinn des Satzes durch die geometrische Deutung des bestimmten Integrals. Ist nämlich

V = f(x) = F\x)

■die Gleichung einer Kurve, so wird

Fig. 7.

o,

b    b

F = fydx = fF\x)dx

OA₁ = a, 0G₁ = c, 0B₁ = b.

der Flächeninhalt der ebenen Figur AiB\BA. Liegt nun c zwischen a und 6, so wird die Figur durch die Gerade C\C, welche im Abstande c parallel -g—x zur Y-Achse gezogen ist(vergl. Fig. 7), in zwei Teile zerlegt, nämlich in

und

C

AiCiCA — Jydx

b

CxBxBC — Jydx.

Der Satz bleibt aber auch dann noch richtig, wenn c

Fig. 8.

nicht zwischen a und b liegt. Es sei zunächst (vergl. Fig. 8) a < b < c, so ist unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen

r>

c

AiC\CA — jydx

a

c

BxCiCB = fydx

b

AiCiCA — BiCxCB = fydx—Jydx

a    b

beb

AiBxBA = Jydx == Jydx -J-Jydx.

o, x

OA₁ = a, 0BX = b, 0(7X = c.

also

B,

AxBxBA =

oder nach Satz 2

Ist endlich (vergl. Fig. 9) c < a <b, so ist unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen

Fig. 9.

also

b

C\BiBC = / y dx

C

a

CiAiAC = Jydx,

Cq

OCx = c, OAx = a, 0Bl = .

AtBtBA = CxBiBC —

b    a

G\A\AC = Jydx —Jydx,

oder mit Rücksicht auf Satz 2

beb

Jydx — Jydx -f- Jydx.

Der Satz läßt sich, noch in der Weise verallgemeinern, daß man zwischen den Grenzen a und b nicht eine, sondern beliebig viele Grenzen einschaltet. Dadurch erhält man z. B.

b    c    d    e    b

(39.)

Jydx = Jydx Ą-J y dx +Jy dx +Jy dx,

a _a_    ... c _d----«------— wobei c, d und e ganz beliebige Zahlen sind.

Voraussetzung ist dabei, daß die Funktion y — F\x) in den einzelnen Intervallen a bis c, c bis d, d bis e, e bis b und in dem Intervall von a bis b eindeutig und stetig ist.

Fig. 10.

Bei der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals war bisher vorausgesetzt worden, daß der Bogen AB der Kurve, welche

der Gleichung

y = F\x) = f{x)

entspricht, entweder seiner ganzen Länge nach ober- ⁰

b7~x

halb oder seiner ganzen Länge nach unterhalb der X-Achse liegt. Jetzt kann man aber die geometrische Deutung auch auf den Fall übertragen, wo der Bogen AB teilweise über, teilweise unter der X-Achse liegt. Schneidet der Bogen die X-Achse z. B. in den Punkten C und D (Big. 10), und setzt man

OAy — a, OC — c, OB = d, OB\ = 6,

so wird

(40.)

b    c    d    b

Jydx — fydx -j-Jydx -f- Jydx

a    a    c    d wobei für die einzelnen Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung die frühere Voraussetzung gilt. Wie oben ausgeführt worden ist, haben dabei das erste und dritte Integral einen positiven Wert, das zweite Integral dagegen hat einen negativen Wert.

COQ

3.

Einige Hilfssätze für die Ausführung der Integration.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 7 und 8.)

Satz 1. Ist die Differential-Funktion unter dem Integralzeichen mit einem konstanten Faktor multipliziert, so darf man diesen konstanten Faktor vor das Integralzeichen setzen, d. h. es ist

f 'AF\x)dx — A fF/(x)dx.

Beweis. Es ist

(1.)

d[AF(x) -\- C] — AF\x)dx

hieraus folgt

(2.)

(3.)

J~AF\x)dx — AF(x) -f- C.

Berner ist

J'F\x)dx = Fix) + CI, also

(4.)

AjF\x)dx = AF(x) -|- A. Ci.

Da nun die Werte der Integrations-Konstanten C und ACi ganz beliebig sind, so darf man A . Ci = C machen und erhält demnach aus den Gleichungen (2.) und (4.)

(5.)

fAF\x)dx = AJ‘F\x)dx.

Satz 2. Das Integral einer Summe von Differential-Funktionen ist gleich der Summe der Integrale dieser einzelnen Differential-Funktionen ; es ist also

J[F\x) + G'(x)\ dx = jF\x)dx -f jG\x)dx.

Beweis. Weil

(6.) d [F(x)-\-G(x)-{- C] = F\x)dx-\-G\x)dx = [F\x)-\- G\x)]dx, so ist (7.) f[F\x) + G'(x)]dx = F(x) + G(x) + C.

Ferner ist

(8.)

J'F\x)dx = F(x) -|- Ci,

(9.)

J G\x]dx = G(x) -f- Ch.

Durch Addition der Gleichungen (8.) und (9.) erhält man (10.) jF\x)dx -f- JG\x)dx — F(x) -f- G(x) -f- Ci -f- C2.

Die Integrations-Konstanten C, Ci, C2 haben auch hier ganz beliebige Werte, so daß man Ci -j- C2 — C machen darf. Man erhält demnach aus den Gleichungen (7.) und (10.)

(11.)    f[F'(x) -f- G\x)\dx — fF\x)dx -f-JG\x)dx.

Dieser Satz läßt sich unmittelbar erweitern auf Summen von beliebig vielen Gliedern, so daß man erhält (12.) J [F\x) -f- G'(x) -f- H\x) -f- • • -\dx

=J'F\x)dx A J'G\x)dx + fH\x)dx + • • • ;

sodann läßt er sich auch übertragen auf das Integral einer Differenz, so daß man erhält

(13.)

f[F'(x)— G\xf\dx = fF\x)dx—J'G'{x)dx.

GOQ

4.

Unmittelbare Integration einiger Funktionen.

(Vergl die Formel - Tabelle Nr. 9 bis 25 a.)

Aus der Erklärung des Integrals, nämlich aus der Formel

(1.)

jF\x)dx = F{x) + C, ergibt sich ganz von selbst, wie man durch Umkehrung von

Formeln aus der Differential - Rechnung eine Anzahl von Formeln aus der Integral - Rechnung finden kann. Denn nimmt man die Funktion Fix) beliebig an und bildet F\x\ so erhält man durch Einsetzen in Gleichung (1.) sofort J'F\x)dx.

so erhält man

Setzt man z. B. Fix) —

(2.)

xmdx —

+ G.

m-f- 1

Hierbei darf m jeden beliebigen positiven oder negativen, ganzzahligen oder gebrochenen Wert haben. Eine Ausnahme bildet nur der Wert m = —1, von welchem

nachher noch ausführlich die Rede sein wird.

Besonders hervorgehoben sei noch der Fall m = 0

nämlich

Jdx = x -f- G,

1| (2 a.)

ein Resultat, daß sich auch aus Formel Nr. 1 der Tabelle ergibt.

Mit Hilfe von Gleichung (2.) ist jetzt die Integration jeder ganzen rationalen Funktion ausführbar, denn nach den Sätzen des vorhergehenden Paragraphen wird

j\axn -f- ayxn~x -j-

+ • * • + an—\X -j- an)dx = aJxndx-\-aiJxn—¹dx-\-a2fxn~²dxĄ-----f-

a->x

. xn , X + &i b a2— n n-

Jxdx-\-anfdx x²

^2—b anx -j- G.

(3.)

_    an—\

Ferner findet man in der angegebenen Weise

jexdx = ex + G.

fi

axdx

ax

Ina

+ C.

(4.)

j~ = \nx+ C.

Diese Formel erledigt den Fall, der als Ausnahme von Gleichung (2.) zu betrachten war. Denn Gleichung (2.) würde für m — — 1 die unbrauchbaren Formeln

xr¹⁺¹

(5.)

far-'dx

+ g,

oder

(6.)

l'dx 1    ~

j^~ö + c = co+c

liefern. Man kann aber die Gleichung (4.) aus Gleichung (2.) durch einen Grenzübergang ableiten. Setzt man nämlich in Gleichung (2.)

(7.)

i + c'

so erhält man

(8.)

xmdx

Hl _

m -f- 1

¹ + C'.

Für limm = — 1 wird

(9.)

lim

xm+1 — 1

O! O

m 1

und wenn man Zähler und Nenner einzeln nach m diffe-rentiiert (vergl. D.-R. § 66),

m+1 _

m -f- 1

also in Übereinstimmung mit Gleichung (4.)

= Ina? -f- C'.

jcosxdx = sina? C.

Jsinxdx — — cosa? + 0.

(10.)

(11.)

(12.)

(13.)

(14.)

(15.)

(16.)

(17.)

(18.)

x

lim -

fdx

J x

' dx

cos²a?

dx

sin²a?

fdx

J1

= lim

xm+1lnx

= Ina?,

= tgx + C.

— — ctga? -f- C.

= arcsina? + C = — arccosx -f G'.

y 1 — a?2 f dx

J1 + a²

y®of xdx = j&inxdx = (Sofa? -f- O.

= arctga? Ą- C = — arc ctga? + C".

@tna? -f- C.

(20.)

dx

6of²a?

= Xga? -f- C.

(21.)

dx

(22.)

/,

f&xvPx

^X    — 5(r@tncc 4- C = ln(a? 4 Yx² 4 1) 4 C.

Yx² +1

— (Stga? 4- C.

(23.)

(24.)

fyx² — 1

f dx

J1

dx

— a?²

(25.)

dx

— x²

= sIr(Eofa? 4 C = ln(a? 4 Yx² — 1) 4- C = ± ln(æ 4- YxF^l) 4 C*).

= vixz^x 4 c = |ln(fzr|) + <?•

= «rGtfl* 4 C' =    4 C'.

Es erscheint auffallend, daß man für

zwei

Werte, nämlich

arcsina? 4 0 und — arceosrr 4 Cr/ findet. Die Richtigkeit beider Resultate kann man zunächst durch Differentiation prüfen, wobei sich

^(arcsina? 4 0) — -

dx

Y i — x²

und

d(— arccosa? 4 Cf/)

dx

Y i — æ²

ergibt. Rach Satz 3 in § 1 können sich daher die Funktionen arcsina? und voneinander unterscheiden. In der Tat, ist in einem Kreise mit dem Halbmesser 1

arccosa? nur durch eine Konstante

*) Man kann sich leicht davon überzeugen, daß ln(a; — Vx² — 1) = — ln(æ + Vx² —l)

wird, denn es ist x — Vx² — folglich ist

(x — Vx²—l)(æ + Væ² — i) x + Vx² — 1

ln(æ — Vx² — l) = ln (-\

\ x -f- y x² — i

Weil (Sof(— u) — Sof(+ u) wird, kann man den Wert von 21r@ofa; mit positivem und mit negativem Vorzeichen nehmen. (Vergl. D.-B,., Seite 139 und 146.1

x + y x² — i

^ = — ln (x -f- V x² — 1).

OF = ED = x

(vergl. Eig. 11), so wird

Fig. n.

jo

(26.) CD = arcsin#, DA = arccos#

also

(27.) arcsin#+arccos# = O.Z)+Zk4 = oder

(28.)

arcsin# =

— arccos#.

Dies kann man auch, unabhängig von der Figur zeigen, indem man

(29.)

arcsin# = t, also # = sinif

setzt; dann wird

(30.)

# = cos

(-0

oder arccos# =

l-t

folglich ist (31.)

Ebenso findet man

.    Jt

= arcsin# = ₀ — arccos#. A

(32.)

arctg# — ^ — arcctg#,

A

wodurch man erkennt, daß Gleichung (17.) richtig ist. Schließlich erkennt man aus den Gleichungen

(33.)    är£₈* = Iln(I±D

(34.) aret₈x = tln(|±i) - Un(i±f)- ln(- 1) daß (35.) 21rïg# = 5fr ©tg# + i-hi(— 1)

(36.)

= 9lrïg# -f- (7, wenn ;#|<+1,

wird, daß also die Gleichungen (24.) und (25.) richtig sind. Beschränkt man aber die Untersuchung auf reelle Größen, so müssen die Größen, deren Logarithmen auftreten, positiv sein; man muß also schreiben dx

— #²

(37.)

dx

— #²

= SlrStg# -f- C\

wenn

*|> + 1-

5.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll x³dx integrieren.

Auflösung. Setzt man in Formel Nr. 9 der Tabelle m = 3, so folgt ohne weiteres

iC³⁺¹

3 + 1

Aufgabe 2. Man soll 7x³dx integrieren.

x³dx =

xr

+ c-=x + c.

hält man

Auflösung. Nach Formel Nr. 7 und 9 der Tabelle er

J7 x³dx — 7 ^dx =

7t+C.

Aufgabe 3. Man soll y^xdx integrieren.

Auflösung. Es ist

3/    4

yx = xa;

hieraus ergibt sich, daß

jy^xdx = ja

x³ dx —

-3 +¹

xA

oder

fr

xdx = £ y x⁴ + C.

Aufgabe 4. Man soll folgende Differential-Funktionen integrieren :

dx

x³ ’

■j/ xbdx,

dx

fxb

4y/xdx,

4 dx

3/—

y x

Auflösung. Es wird

x—3+1

r fdx r

L h⁼r

x~³dx

II.

III.

j-j/x⁵dx =joc³ dx =

fw ⁼fx~hx

— 3 + 1

f+i x³

“I+¹

x ⁸

'T—^

fC=__2 + C=-^+C. 8

f C=~+C=ifä+C.

s

x~î

+ C = ^l+C.

oder

IY.

Y.

F dx

JW ⁼

4=+a

2y+²

^4-j/⁷rrćfcc = ^j-^xdx — 4:jx³ (ix = 4 ^

f*

xdx =

A X%

4 —

T + C = 3fæ* + C.

F 4    r_i    ». 3⁺¹

I dx = 4:lx ³dx = 4: —

Jÿx J    -i+l

«H

+ C.

fC =

f~dx = 4.|-^ + (7=    + C.

J y x

r³

4 —

I + C>

~J Aufgabe 5.

Man soll die Differential-Funktion

(z⁴ + 7 ÿx ¹¹

+ ~)

^ xV

dx

integrieren.

Auflösung. Kack Formel Nr. 8 der Tabelle ergibt sich

f(X' + ⁷    + )**

==f*dx +fl-y/xdx —: dx +f~ dx

—fxAdx + 7jx² dx —11j'x ³dx -+ 5 jx~⁶dx.

Wenn man die Integrationen, welche auf der rechten Seite dieser Gleichung angedeutet sind, nach Formel Nr. 9 der Tabelle ausführt und dabei die vier auf tretenden Integrations-Konstanten in eine einzige Konstante zusammenfaßt, so findet man

11

+ ^)dX

y⁷ x⁵

J'(x>+ Tÿx

x⁴+⁴

l+i

11-*

-ł+i

-1+1

_2

7»    ^    7»—5

-¹¹Ft + B+ + C'

-4+c-

₌ ^_ , ₇x²

5 ⁺ f

a?⁵    14 /-    33

-6 ⁺ 8V* + i?S?

26

§ 5. Übungs-Aufgaben. Aufgabe 6. Man soll den Ansdruck

3x²

dx

bereclinen.

Auflösung. Man erhält zunächst 3x²)

dx

xi dx —

~Jx~²dx

1 x³⁺¹

4 x⁴⁺¹

4 ar~²⁺¹

Dies gibt

X⁴

7—

ł+1

4 \ ₇ x⁴ 5 5/—r-f ,4 . , 4 ,

⁺35:r0+3x+a

74+1    3—2+1

+ c.

Aufgabe 7. Man soll den Ausdruck J(a sin x + 6cosx + cex)dx

berechnen.

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 14, 13 und 11 der Tabelle erhält man

J{a sinx + öcosx + cex)dx — — acosx + ôsinx + cex + C. Man soll den Ausdruck

Aufgabe 8.

berechnen.

//    ₇    , dx , dx \

j{ma*lx + n-+p-^)

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 11, 12 und 15 der Tabelle erhält man

//    ₇    , dx , dx \

J(ma*dx + nj+ p-^)-

ax

ln a

Aufgabe 9. Man soll den Ausdruck

+ n\nx + ptgx + C.

./(

dx

1 + x²

—|— Qj

dx

dx

@tn²x yi_xi

berechnen.

Auflösung. Durch Anwendung der Formeln Nr. 18, 22 und 17 der Tabelle erhält man

= — arcctgx — aStaa: — arc cos x + C'.

6.

Allgemeine Bemerkungen.

(1.)

In der Regel wird bei Anwendung der Hauptformel jF\x)dx — F(x) + C

nicht die Funktion F{x) bekannt sein, sondern nur ihre Ableitung

(2.)

./(

/ dx l-\-x

dx

dx

^ = arc tg x — a Stg x+arc sin x + C.

F'(x) = f(x).

Dann wird man in den meisten Fällen F(x) nicht unmittelbar angeben können; man wird vielmehr eine Lösung der Aufgabe mit Hilfe elementarer Funktionen überhaupt möglich ist griffe anwenden, von denen zunächst die folgenden erläutert werden mögen:

wenn

zur

Ermittelung von F{x) Kunst-

1. ) Integration durch Substitution,

2. ) Integration durch Zerlegung,

3. ) partielle Integration.

'H

II. Abschnitt.

Integration durch Substitution.

GOO

Erklärung der Substitutions-Methode.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 26.)

(1.)

Häufig kann man das vorgelegte Integral auf ein bekanntes zurückführen, indem man statt der ursprünglichen Intégrations-Veränderlichen x durch die Gleichungen x = <p(t), dx — <p'(t)dt eine andere Veränderliche t als neue Intégrations-Veränderliche einführt. Die gesuchte Funktion F(x) geht dadurch über in

(2.)

F(x) = F[<p(t)] = G(t),

d. h. in eine Funktion von einer Funktion, für welche nach D.-R. Formel Nr. 36 der Tabelle

mx)-dT-di=F'^

(3.)    dt

wird. Deshalb findet man die gesuchte Funktion F(x) — G(t) aus der Gleichung

(4.) Jf(x)dx — F(x) = Gif) — f G'(t)dt — ff[<pif)\. <p'(t)dt.

In vielen Fällen wird man die Funktion <p(t) passend so wählen können, daß sich die Funktion Gif) leichter ermitteln läßt als die Funktion Fix). Drückt man dann in dem gefundenen Resultate die Größe it, der Gleichung (1.) entsprechend, durch x aus, so ist die Integration vollzogen.

Dieses Verfahren, welches man „Integration durch Substitution“ nennt, wird am besten durch Beispiele erläutert.

§ 8.

Beispiele für die Substitutions-Methode.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 27 bis 30.)

— Aufgabe 1.

dx

x-\-a

Auflösung. Setzt man

x -f- a = t, also x — t — a, dx = dt, so wird nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(1.)

(2.)

f dx ₌ fdt

Jx + a J t

= ln£ = ln(a; -j- a)*).

In ähnlicher Weise findet man

(3.)

Aufgabe 2. Jcos(x + a)dx = ?

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei Aufgabe 1 findet man nach Formel Nr. 13 der Tabelle

Jcos(x -j- a)dx = sin(a: -f- a).

~j- Aufgabe 3. fsin{ax -f b)dx = ?

Auflösung. Setzt man ax -f- b = also x

so erhält man nach Formel Nr. 14 der Tabelle (6.) Jsin(ax-\-b)dx — —jsintdt— — - cost — —

-/ Aufgabe 4.    J-———

Auflösung. Indem man

3x — 4 = t, also 3 dx = dt setzt, erhält man nach Formel Nr. 15 der Tabelle f_dx

(4.)

(5.)

(7.)

(8.)

cos²(3a;—4)

TH ICO

cos² (3a; — 4)

dx =

dt

cos(ax -f- b).

Æs ⁼ ^ ⁼ &tg(3*-⁴⁾-

*) Die Intégrations - Konstante möge hier und bei den folgenden Aufgaben der Kürze wegen fortgelassen werden.

Aufgabe 5. ß

cos

toi

dx = ?

(9.)

Auflösung. Indem man

x — 2t, also dx — ^dt

setzt, erhält man

(10.)

ßosQdx = 2^c

cos tdt = 2sin£ = 2sin

t>0 8

In ähnlicher Weise gelangt man zu den folgenden Resultaten :

(11.)

eax+bdx

= ¹ icax+b . d(ax 4- b) = 1 aj    a

^ gax+b

(12.)

(13.)

Cx    C x /x\ x

leadx = alead(—j — aea.

/e adx = —a/e

= — ae

(14.) /©of

dx — a ©in

(15.)

©in

(16.)

dx

sin²

sin²

(17.)

dx

1 f £?(ûÆ7 -(- &)

1 + (aa; 4- bf

rH S

(18.)

1 4~ (a# 4~ ^)²

j(ax 4- ö)³c7^c =    4~ b)³d(ax 4- b) =

arctg(aa7 -{- ö). [ax 4- bf

4«

(19.) Iy⁷(«a? 4- 6)³^x = ~ß(ax + ö)'⁵ ^(«37 4~ ö)

1 r    —4

~f(ax 4~ &) ⁷ d(ax 4- b) =

~ (2a) /

(&C

ÿ (iax 4- bf

dx

a~ 4* x<i

5 y⁷(«37 4" &)⁸

8a

7 j/(ax 4- 6)³

(21.)

Auflösung. Setzt man

x = at. also dx — adt

so erhält man nach Formel Nr. IS der Tabelle

⁽²²°

Y"" Aufgabe 7.

adt

d² + dH²

⁼ yjf?⁼aarCtg(=^r0tg(f)'

dx

x² — a²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 25 und 25 a der Tabelle

(23.) I

dx

x² — a²

rH i SB

oder

<²⁴-> k

dx

— a?

r—I | SB

1 r dt

aj t² — 1

«•©-i'-o

1 /' dt

^äJW-ï

atSt9Ö ⁼ ^lnö

xdx a² 4- x²

a ! i-¹

rH I SB

: wenn

9lrßtg£

? wenn

I x | > a > 0.

Y" Aufgabe 8.

Auflösung. Setzt man

a² -f- x² — t, also 2 xdx = dt

(25.)

so findet man

Ç xdx Ja² + x²

Durch Vertauschung von + a² mit — a² erhält man aus Gleichung (26.)

(26.)

(27.)

h>

xdx — d²

tH \g*

ln (x² — a²).

9.

Integration von einigen irrationalen Funktionen durch Substitution.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 31 bis 42.)

Aufgabe 1 (vT

also a² — x² = \t².

(1.)

Auflösung. Setzt man Ya²— x² — t,

so wird

— xdx = tdt

und

<2.)

xdx

Ya²—x²

— t = — Va² — x².

jj T Aufgabe 2. J

xdx

y a²-\- x²

Auflösung. Setzt man

<3.)

y a² -1- x² = t, also a² -\- x² — t²,

so wird

xdx = tdt

und

<4.)

aus

=J tf = jdt = t = -f- ya² + x².

J y a² + x²

Durch. Vertauschung von -|- a² mit — a² findet man Gleichung (4.)

xdx

= 4- V%²—®²-

<5.)

xdx

y x²—ar

Die in den Gleichungen (2.), (4.) und (5.) enthaltenen Resultate hätte man auch leicht durch unmittelbare Integration finden können, wenn man von den Formeln Nr. 31 bis 33 der Tabelle für die Differential - Rechnung ausgegangen wäre.

dx

(6.)

Auflösung. Setzt man

x = at. also dx = adt. t =    ?

so erhält man nach Formel Nr. 17 der Tabelle

(7-)/

dx

Jya² — x²

■h

adt

Ya²—a²t²

Aufgabe 4.

r dt

C dx

JVa?+x*

Yl—t²

= arc sin t = arc sini

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier mit Rücksicht auf Formel Nr. 23 der Tabelle

= f——

J1

(8.)

f_dx

JY

y x² -J- a²

-K

)•

Ebenso findet man mit Rücksicht auf Formel Nr. 24

der Tabelle

+ f =

J ]/x² — a²

(9.)

Aufgabe 5.

= fcSof(f)=ln(

= ±ln(

= = ?

X + Y- O²

x -j- y x²—a² y)

ja

dx

xY a²— x²

Auflösung. Setzt man

(10.)

also dx — —

adt

t²

y a² — x² = j/

a² —

a²

J²

dann wird

— adt .t .t

== -Yt² — 1, t = t

1 /' dt

=:~a)yyïizi

r dx _ r

JxYci²—a:² Jt² . a . aY t²—1 dies gibt nach Formel Nr. 24 der Tabelle

*) Vergl. die Anmerkung auf Seite 22,

Kiepert, Integral - Rechnung.

(11.) f—=

Ja

xj/a² — x²

oder

(12.) /- dx

J x

ya²—x²

«t£of< = — hn(« + Vt² — l)

-ln( a \

*«<)-

Aufgabe 6.

j dx

J x² Y a²-

-X²

Auflösung. Durch, dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

— adt .t².t

(13.) f—ßßL Jx²Ya²— x²

also nach Gleichung (5.)

-£

t². a² . a,y t² — 1

¹ r.

a²J yt 2 _ 1

tdt

(14.)

dx

x² y a² — x²

Aufgabe 7.

, l-M H

H I Ö

yt²-1 =

y a²—x²

a²x

x y a² fi- x2 Auflösung. Setzt man wieder

(15.)

also dx — —

adt

~W'

Va? + x² = |/a? + -p =

yp + i, t= ,

so wird

f dx ₌ f

Jxya²-\-x² J t²

dies gibt nach Formel Nr. 23 der Tabelle

— adt .t.t

Vt² +1

1 J dt

aJ Vt² +1 ’

(16.)

Ja

oder

a?.) y~t

Ja

xy a²-\- x²

x y a² -f- x²

%x<5m(-)= — ¹\n( \x/ a \

a + y a²-\-x²

r dx

J x²y a² -}- x²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

/' dx    i' —adt.t².t _    1 /’ tdt

^ Jx²Ya² -f- x² Jt² . a² . a Yt² fi- 1    a~JYt² + 1

I

also nach Gleichung (4.)

(19.)

dx

Y à² -j- x²

x² Y d² -f- x²

a²x

Aufgabe 9.

r dx J xYx² —

Auflösung. Setzt man wieder

(20.)

x — —1

also dx =

a dt

-a² =

Y x²—a² = l/),-

so wird

dx

xY x² — a²

/'    — adt .t .t

J t² .a .

y t'

a Y1 — t²

ö : I“¹

C dt

Yi — t² ’

dies gibt nach Formel Nr. 17 der Tabelle

= — ¹ arcsin* = — - arcsin

(21.)

dx

Yx² — a²

Aufgabe 10.

f _dx

J x² Yx² — a²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

(22.) f—=

Ja

-f.

tdt

x² Yd²—. a2 also nach Gleichung (2.)

: —adt. t².t _    1 Ç

t² .a².a Yl- t² ~ d²Jyi — t² ’

(23.)

f_dx

Ja

yx²—a²

x² Y x² — a?

a²x

3*

§ 10.

/' {x)dx

r

f(vc)

36

§ 10.

rf'(x)dx

Integrale von der Form J f{^)—

Integrale von der Form /

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 43 bis 52.)

i.

' dx

Aufgabe 1.

Auflösung. Setzt man

a?lna?

t — Ina?, also dt =

dx

so erhält man

(2.)

f dx j'dt Jxlnx J t

ln£ = ln (Ina?).

(8a? — 7)dx

4a?² —7x + 11

Aufgabe 2. J

Auflösung. Setzt man (3.)    4a?² — 7x -f- 11 = t, also (8a; — 7)dx = dt

so erhält man

(4.)

(8a? — 7 )dx

4a?² — 7 a? -f- 11

=J    = ln£ = ln (4a?²

7a? -f- 11).

(12a?³ -f- 15a?² — 4a? -f- 8)dx 3a?⁴ -f- 5a?³ — 2a?² -j- 8a? — 7

Aufgabe 3.

Auflösung. Setzt man

(5.)

3a?⁴ -f- 5a?³ — 2a?² + 8a? — 7 = t

also

(12a?³ -f- 15a?² — 4a? -f- 8)dx = dt

so erhält man

(6.)

(12a?³ -j- 15a?² — 4a? -f- 8)dx

3a?⁴ -f- 5a?³ — 2a?² -f- 8a? —

v i'dt

7 J T ⁼

ln£

= ln (3a?⁴ -f- 5a?³ — 2a?² -f- 8a? — 7).

Die in den letzten Aufgaben angewendete Methode

f* dt

bestand darin, daß man das Integral auf die Form / —

brachte. Dieses Verfahren ist immer anwendbar, wennn

f\x)dx

unter dem Integralzeichen ein Bruch

Zähler das Differential des Nenners ist. diesem Falle nämlich

f{x)

steht, dessen Setzt man in

dx

Aufgabe 5.

(7.)

f(x) = t, also f\x)dx = dt,

so erhält man

(8.)

ff\x)dx l'dt

J fix) J t ~

und damit den

Satz. Steht unter dem Integralzeichen ein Bruch, dessen Zähler das Differential des Nenners ist, so ist das Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.

Bei den Anwendungen dieses Satzes wird man allerdings häufig mit der Funktion unter dem Integralzeichen erst eine Umformung vornehmen müssen, um sie auf die beschriebene Form zu bringen, wie man aus den hier folgenden Aufgaben ersehen kann.

J tgxdx — ?

Aufgabe 4.

Auflösung. Bekanntlich ist tgx =

sina?

cosa; *

so daß man

erhält

(9.)

j tgxdx = —J

— sina? da?

cosa?

Jetzt steht unter dem Integralzeichen ein Bruch, dessen Zähler das Differential des Nenners ist, folglich ist das Integral der natürliche Logarithmus des Nenners, und man erhält

(10.)

(11.)

J tgxdx = — ln (cosa;). In ähnlicher Weise findet man cos xdx

J et gxdx —J

sma;

— ln (sina;).

sina; cosa;

Auflösung. Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen durch cos²a?, so erhält

man

(12.)

dx

sina; cosa;

r dx

I COS²X I

J tgflî ~J

'd(tgx)

tga;

folglich wird

rf'(x)dx

38

§ 10. Integrale von der Form J ■’ •

(13.)

dx

sm^cosx

= ln (tga;) = — ln (ctga;).

Aufgabe 6.

' dx

sma;

Auflösung. Diese Aufgabe läßt sieb leicht auf die vorhergehende zurückführen, indem man

(14.)

x = 2#

setzt und die bekannte Formel

sina? = sin (2t) = 2 sin t cos t beachtet. Dadurch erhält man

(15.) /A- = f—— I smx J s

Aufgabe 7.

sin t cos t

ln(tg*) = ln[tg(0]= — ln[ctg(|)j

' dx

cosa;

Auflösung. Diese Aufgabe wird auf die vorhergehende zurückgeführt, indem man

(16.) x —

— t. also cosa; = sin£, dx — — dt. t =

setzt: dann erhält man

r dx z

J GOSX ~ J

'dt

sin£

= — ln tg

to

oder

(17.)

f dx

Durch die Substitution

= — ln

cosa;

tKï-i)]⁼⁺Hotg(ï_8]

ar

X — TT- - t

gehen die trigonometrischen Funktionen sina?, cosa;, tga;, ctga;

bezw. in die komplementären Funktionen von t über, nämlich in

cosf, sint, ctg£, tg£.

Bezeichnet man irgendeine Funktion von sina;, cos a;, tga;, ctga; mit /"(sina;, cosa;, tga;, ctga;), so wird

§ 10. Integrale von der Form    y •

T\x)

(18.) //'(sin#, cos#, tg#, ctg#)ćt# =—ff(cost, sint, ctgt, tgt)dt.

Hat man also das eine von diesen beiden Integralen gefunden, so ist damit auch das andere ermittelt. Hieraus

erkennt man, daß gerade die Substitution # = ~ — t sehr

u

häufig mit gutem Erfolge verwendet werden kann. j%§xdx — ?

(19.)

Aufgabe 8.

Auflösung. Hier ist

~©in#<t#    i'd(&of#)

©of# J ©of#

y©tg # dx — ?

j%Qxdx —j

= ln(©of#).

(20.)

Aufgabe 9.

Auflösung. Hier ist '©of#rf# ©in#

j&tQxdx = j

'd(Bin#)

©in#

= ln (©in#).

Aufgabe 10.

dx

©in#©of#

man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen durch ©of²#, so erhält man

Auflösung. Dividiert

/• ax

r dx    /©of ²#_/

‘J©in#©of# J 2 g# J

kt (2g#)

2g#

= ln(2g#) = —ln (©tg#).

Aufgabe 11.

dx

©in#

Auflösung. Setzt man

x = 2t, also dx — 2 dt, so wird nach D.-R., Formel Nr. 53 der Tabelle ©in# = ©in (2 t) = 2©int©oft, also mit Rücksicht auf Gleichung (21.)

_ f dt I ©int ©oft

- ln(2g t) = ln[2g(|)] =

(22.)

(23.)

⁽²⁴-> f<L -h

2 dt

2 ©int ©oft

— ln

1 + er*

dx — ?

Aufgabe 12.

1 -f- xe~x

Auflösung. Multipliziert man Zähler und Nenner des Bruches unter dem Integralzeichen mit ex, so wird der Zähler, nämlich (ex -f- l)dx, das Differential des Nenners ex -f- x, folglich wird das Integral gleich dem Logarithmus des Nenners ; d. h. es wird

(25.)

'1 + er*

1 + xe~x

dx

-j

\ex -f- 1 )dx

ex -f- x

= ln(e* -f- x).

§ 11.

Integrale von der Form jF'iftdt, wenn t = f{x) irgendeine transzendente Funktion von x ist.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 58 bis 83.)

Aufgabe 1. /(sin⁴a;—3sin³a;-b4sin²a;--f-llsnia;)cosa;cfa; = ?

Auflösung. Setzt man

(1.)

sina; = t, also cos xdx = dt.

so erhält man

(2.) y(sin⁴a; — 3sin³a; + 4sin²a; -f- 11 sina;) cos a:ć2a; =

j (t⁴ — 31* + 4P + 11 t)dt = t(5-|(4 + i«⁸ + ^a ₌

th Wo

3    4

sin⁵# —ysin⁴a; -f- ^-sin³a; -f- — sin²a:.

4    o    Z

Man erkennt sofort, daß diese Substitution immer eine Vereinfachung herbeiführt, wenn unter dem Integralzeichen eine Funktion F'(sinx) von sina; steht, welche mit cos xdx multipliziert ist; denn man erhält dann

(3.)

fF\smx)cosxdx — fF'(t)dt — F( sina;).

Aufgabe 2.

f-

cos xdx

sin³a;

Auflösung. Indem man die soeben angegebene Substitution benutzt, findet man

(4.)

"cos xdx

sin³#

-ß-ß

t~sdt =

t~²

2 sin²#

Häufig wird man die Funktion unter dem Integralzeichen erst umformen müssen, ehe man die in Gleichung (3.) angedeutete Substitution anwenden kann. AVie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

J cos³# dx — ?

(5.)

Aufgabe 3.

Auflösung. Durch Anwendung der bekannten Formel cos²# = 1 — sin²#

erhält man

(6.) fcos³xdx =/(l — sin²#)cos#d# =7(1 — sin²#)d(sin#)

— sin³#, o

=J( 1 — f-)dt =

H CO

t³ = sin # —

Aufgabe 4.

fcos2n+1xdx = ?

man hier

Auflösung. In gleicher Weise wie bei Aufgabe 3 findet

(7.) fcos2n+1xdx =7(1-sin²#)w. cosxdx = J{ 1—sin²#)”. d(sin#).

Durch den Faktor d(sin#) soll angedeutet werden, daß sin# zur neuen Intégrations-A^eränderlichen gewählt wird. Dadurch erhält man

(8.) fc,os2n+1xdx — 7(1 — t²)ndt

^t2n~² + *²”J dt

©?+©?-©

+----

2n — ï ⁺ 2n -f 1 '

Schließlich muß man noch für t wieder sin# einsetzen. fsin/nxcos2n+1xdx — ?

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

Aufgabe 5.

±©

t2n~l

(9.)    Jsmmxo,os2n+1xdx — fs,iu.mx{l — sin²a;)w . ^(sina:),

wo durch den Faktor ^(sina;) angedeutet werden soll, daß sina; zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird. Hierdurch erhält man z. B. cos³xdx

mf

sin⁴a;

ÏÏ1 — t²)dt

J *

: f(t~⁴ — t~²)dt

t-¹

3sin³a;

+ -1

sina:

In ähnlicher Weise wird man, wenn unter dem Integralzeichen eine Funktion von cos a?, multipliziert mit sin xdx, steht, durch die Substitution

(11.)

cösa; = t, also — sin xdx == dt eine Vereinfachung herbeiführen; denn es wird

(12.) JF'(cosx). sinawa: = —-f F\t)dt = — F(cosx).

I

Hieraus ergibt sich ohne weiteres die Lösung der beiden folgenden Aufgaben.

Aufgabe 6. J{cos³x — 2cos²a; -|- 3cosa; — 4)sinawa;

2    3

=---cos⁴a? -f- -5- cos³a; — — cos²a; 4- 4 cos x.

o    2

’sin xdx

Aufgabe 7.

./

cos⁴a;

3 cos³a;

(13.)

J sin⁵a?ćL? — ?

Auflösung. Durch Anwendung der bekannten Formel sin²a; — 1 — cos²x

Aufgabe 8.

erhält man

(14.) ysin ⁵xdx = j{l— cos²a;)². smxdx = —f(l—cos²xfd(cosx)

= -7(i—w + t^dt = - (< — I ts + ^ *s)

= — cosa; -f- -^-cos³a;— ^ cos⁵a?. o    o

Aufgabe 9.

Jsin2n+1xdx — ?

man hier

Auflösung. In gleicher Weise wie bei Aufgabe 8 findet

(15.) fs,\n2n+xxdx — /(I — cos²#)w . sin#*?#

= —7(1 — cos²#)w . d(cos#).

' Auch hier soll durch den Faktor d(cos #) ATngedeutet werden, daß cos# zur neuen Intégrations-Veränderlichen gewählt wird. Dadurch erhält

J sin2w+1#Ær = —J{l — t²)ndt,

also, abgesehen vom Vorzeichen und von der Bedeutung der Veränderlichen £, dasselbe Integral wie bei Aufgabe 4.

Aufgabe 10. J'cosmxsin2n+xxdx — ?

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei Aufgabe 9 findet man hier

man

(16.)

(17.) Jcosmxsm2n+lxdx = —Jc,o$mx(l — cos²#)wć2(cos#),

wo durch den Faktor d{c,osx) angedeutet werden soll, daß cos# zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird. Hierdurch erhält man z. B.

(18.) /3os²#sin³#rf# = —    — t²)dt = —f t² — t⁴)dt

—t+ -

3 ^

o> '■ÿ,

cos³# cos⁵# ~“3    ¹    5

f    doc

Aufgabe 11. j(tg³x — 8tg²# + 5tg# — 7)-^^ = ?

(19.)

Auflösung. Setzt man tg# = also

dx

cos²#

= dt:

so erhält man

(20.) j(tg³#—8tg²# -f- 5tgx — 7)

8t³ ht2 ~    3 ' 2

-fr

— 8t² + bt—l)dt

wenn

cos²#

tg⁴# Stg³# 5tg²#

3    ^

Dieselbe Substitution kann man immer anwenden, unter dem Integralzeichen eine Funktion von tg#,

7tg#.

multipliziert mit

dx

cos²#

steht, d. h. es wird ganz allgemein

(21.)

jF'{tgx) dx

cos²#

=jF\tgx). d(tgx) = F(tgx)

wo durch den Faktor d(tgx) angedeutet werden soll, daß tg# zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

Häutig wird man erst eine Umformung vornehmen müssen, ehe man auf die in Aufgabe 11 vorausgesetzte Form der Differential-Funktion geführt wird. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 12. /(tg³# — 7tg²# + 2tg# + 9)dx = ?

Auflösung. Damit die Funktion unter dem Integral-

clvc

cos-#

wird, muß man sie durch cos²# dividieren und deshalb

Zeichen eine Funktion von tg#, multipliziert mit

auch mit

(22.)

cos²# —

cos²#

cos²# -f- sin²# 1 -f- tg²# multiplizieren. Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (19.)

(23.) J{tg³#

7 tg²# -j- 2tg# -j- 9)dx

-f

tg³# — 7tg²# -f- 2tg# + 9 dx

tg²# -f- 1

cos²#

dt.

V — lt² + Zt + 9

t² + 1

Run ist, wie man durch Division findet,

(24.)

Ż³ — 7*2 4- 2t + 9 = (t² + 1)(* — 7) + f + 16, folglich wird mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 9, 30 und 18 der Tabelle

(25.)

7³_7*2_j_₂£ + 9

ctz

t² -f-1

=ß-7)dt+J

= 1 — 7« + J-ln(P+l)+16arotg(,

'tdt

*²-f-l

oder, wenn man beachtet, daß

(28.)

x = arctg*

< = tg*, i + <² =

l.(tg⁶x — 7 tg²x +21gx-h 9)dx =

Dieses Verfahren führt zu der allgemeinen Formel I?(tgx). dx =f-

7 tg:r—ln(cos x) + 16:r.

ßtgx)

■ d(tgx).

J\gnx .dx=?

Auflösung. Fach Gleichung (28.) erhält man, indem man tgx zur Intégrations-Veränderlichen macht und mit t bezeichnet,

Aufgabe 13.

(29.)

jtgnx dx — j

tgnx

■ d(tgx) =j

'tndt

*3 + 1

Bei der weiteren Behandlung des Integrals muß man zwei Fälle unterscheiden, je nachdem n gerade oder ungerade ist.

I. Fall, n = 2m.

Durch Ausführung der Division erhält man

(30.)

2mX . dx

fl m—2_ flm—i _J_ _ . . .

tg2 m-lx    t g2m~~³X

2 m — 1    2 m —

5 H-----± tgx + X.

±1 +

Es ist z. B.

(32.) jtg

II. Fall, n = 2m + 1.

Durch Ausführung der Division erhält man

-/iS*

t2m 1-ftm-Z _j--+

tg2mX

2m+1x.. dx

-/(

2m

2m —

*²-l-l + |ln(l + tg²F)

wobei man noch

łMl 4-1g²x) =    = — ln(cos«)

setzen darf. Es ist z. B.

(33.)

j\gx. ix _    ^ + ln (cos x).

Aufgabe 14.

dx

cos⁴«

Auflösung. Bekanntlich ist

⁽³⁴-> ^k = ¹ + tg2:c un,ä dx

folglich wird (35.)

cos²«

= d(tgx)

=ßa + tg²«)rf(tg«)

j' dx T 1 dx J cos⁴« J cos²« cos²«

= tgx + fe.

Dasselbe Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

(36.)

y^Ä⁼/(i+tg2x)"_y(tga:)

wo durch den Faktor d(tg«) angedeutet werden soll, daß tg« zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

(37.)

Aufgabe 15.

Auflösung. Setzt man ctg« = t, also

j (ctg⁴« — 3 ctg²« -f- 5)

dx

sin²«

dx

sin²«

= dt

so erhält man

(38.)ßctg*x — 3ctg²« + 5)sj^x = —ß(tl — 3t² -f 5)dt

_t*    3Ż³

“    5 ⁺ 3

ctg⁵«

—--(- ctg³« — 5 ctg«.

Dieselbe Substitution kann man immer anwenden, wenn unter dem Integralzeichen eine Funktion von ctg«, multipliziert mit

sin²«

steht, d. h. es wird ganz allgemein

§ 11. Integrale von der Form fF'(t)dt. = —JF'(ctgx). d(ctgx) =

(39.) j F'(ctgx) dx

— F (ctgx),

sin²x

wo durch den Faktor d(ctgx) angedeutet werden soll, daß ctgx zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

Aufgabe 16. J(ctg⁴x + 3 ctg²x — 7)dx = ?

Auflösung. Damit die Funktion unter dem Integral-

doc

sin²x ⁷

wird, muß man sie durch sin²x dividieren und deshalb auch mit

Zeichen eine Funktion von ctgx, multipliziert mit

(40.)

sin²x —

sin²x

sin²x -f- cos²x

1 -f- ctg²x

multiplizieren. Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (37.), wenn man die Division ausführt,

(41.) ßctg^x -f- 3ctg²x — 7)dx = —j

V + 3^-7

t² + 1

= —j(t² + 2 — lßp>)dt = —    + 2t + 9arcctg

oder, da ctgx = t und arcctgż = x ist,

(42.) fctg^x + 3 ctg²x — 7)dx =

ctg³x

|--2ctgx — 9x.

Dieses Verfahren führt zu der allgemeinen Formel

(43.)

Jf(ctgx). dx = —ß-

f( ctgx)

ctg²x + 1

• d(ctgx).

Aufgabe 17.

Jctgwx . dx = ?

Auflösung. Nach Gleichung (43.) erhält man, indem man ctgx zur Intégrations-Veränderlichen macht und mit t bezeichnet,

Lg»x.äx = -j-f

(44.)

tndt

** + 1

Die weitere Behandlung dieser Aufgabe ergibt sich sodann aus Aufgabe 13.

Aufgabe 18.

'dx

sin⁶x

Auflösung. Bekanntlich, ist slÄ = 1+CtgSl und

dx

sinja:

d(ctgx)

folglich wird

f dx // 1 \2 J sin⁶a; J \ sin²a‘/

dx

— -— ctga;

sin²a;

2 ctg³#

= — j( 1 -j- ctg²x)²d(ctgx) ctg⁵x

Dasselbe Verfahren führt zn der allgemeinen Formel

(45.)

-,

dx

sin2/wa;

== —ßl + ctg²x)m~id(ctgx)

wo durch den Faktor d(ctgx) angedeutet werden soll, daß ctg# zur Intégrations-Veränderlichen gewählt wird.

Was in den vorstehenden Aufgaben für die trigonometrischen Funktionen sina;, cos a;, tg a;, ctga; gezeigt worden ist, kann in gleicher Weise auch für die hyperbolischen Funktionen (Sina;, (Sofa;, SEga;, (Stga: ausgeführt werden. Dadurch findet man die folgenden Formeln:

(46.) fF'(&\T\x)^Lo\xdx = J'FX&mx). ^(@trta;) = .F(<3tna;). (47.) J\&o)2n+1xdx = J( 1 + ©tn²a;)w . ^(©tna;).

(48.) J'F\&o\x)&mxdx =fF'(&o)x). d(&ofx) = F(&ofx). (49.) J(&\n2n+1xdx = f ((5of²a; — l)n . d(Qofx).

(50.) Jf\%ga;)-

jf(%Qx)dx =j

fsfc-ß‘

jF*mx\)

(54.) jf(&tQx)dx =j-

(51.)

(52.)

(53.)

dx

©of²a;

= jF'iX^x). d(%ga;) = FÇIqx). •dÇt$x).

— %§²x'fl~l. d(îga;).

= — jF'i&tga;). ^((Etga;) = — F(&tga;). • d((5tga;).

* f®&x)

1 — $Eg²a;

dx

@in²a;

A® tga;)

— ©tg²a;

§ 11. Integrale von der Form fF'(t)dt.

(o5,)    ⁼ —ß^x

In ähnlicher Weise kann man durch Substitution ganz allgemein eine Vereinfachung des Integrals herbeiführen, wenn unter dem Integralzeichen das Produkt einer Funktion F'[f(%)\ der transzendenten Funktion f[x) und des Differentials von f{x) steht. Dann findet man, indem man

t = fix)

zur

neuen Intégrations-Veränderlichen macht,

(56.) jF'[f(xj). fXxflx =/F‘(t)dt = F(t) = F\f(Ą]-

Dies gibt ohne weiteres die folgenden Formeln:

(57.) J F\ax)

(58.) fF\ex). e*dx = fF\&) .d{e*) = F(ex), (59.) j F'Qnx) • ^ = JF'{lnx)

(60.) ^F,/(arcsina?)

. axdx

. d(ax) =

Ina

(61.) JF'i&rccosx) •

(62.) jF'ia,Tctgx) • (63.) Jf\arcctgo;) •

. d(\n.x) = F(lno;),

dX    = Jf'( arcsin a?). ^(arcsina;)

= F (arcsin x),

— —jF'i&Tccosx). d{arccosrr) = — F(arc coso;), dx    =J F "(arc tg x). d(arc tg z)=F(ar c t g x),

dx = —jF'i arcctga;)

Vl—x²

dx

yi-x²

1-j-o;

. ^(arcctga;)

= — F(arc ctga;).

arctgo;, arcctgo; zu werden.

Hierbei soll durch die Faktoren t?(ax), d(6X), t?(ln o;), ^(arcsinx), ^(arccosa:), £?(arctga;), ^(arcctga:) angedeutet werden, daß bezw. die Größen ax, e*, Ina;, arcsina;, arccosa;, Intégrations - Veränderlichen gewählt

Zur Einübung dieser Formeln mögen die folgenden Aufgaben gelöst werden.

Kiepert, Integral-Rechnung.

Aufgabe 19. J\a2x + 3 ax— 7 )dx = ?

Auflösung. Bezeichnet man ax mit t, so wird

(64.) f(a2x -f- 3 ax — 7 )dx = J\ax +3 — la~x). axdx

=Lß+³~ 7t~w=LQ+3t~71nt)

⁼L(la2’+3ax-7xina)-

'cos (Ina?). dx

Aufgabe 20. J

(65.)

Auflösung. Bezeichnet man Ina? mit t, so wird ’cos(lna?). dx

a?

-f

cos t dt ==■ sin£ = sin (Ina?).

Aufgabe 21.

'arcsina?. dx

Y1 —a?²

Auflösung. Bezeichnet man arcsina? mit t, so wird

(66.)

’arc'sina?. dx

Y1 — a?²

tdt =

\r — ^ (arcsina?)². Ł Z

Aufgabe 22.

Ç dx J (1 -j- a?²)arctga?

(67.)

Auflösung. Bezeichnet man arctga? mit f, so wird

r

dx

(1 a?²)arctga?

ln ^ = ln(arctga?).

Steht unter dem Integralzeichen irgendeine rationale Funktion von sina?, cosa?, tga?, ctga?, so kann man diese transzendenten Funktionen durch die Substitution

(68.)

tg(!) -

fortschaffen, so daß man unter dem Integralzeichen nur noch eine rationale Funktion von t behält. Es ist nämlich

sma?

= 2sin(|)cos(|) =

2sin(|)c°s(|) ,

oos2(f)+sin2(!)

COS« = cos²

(D~SKI) eos2(|) + sin2(|)

COS²

oder, wenn man Zähler und Nenner dieser Brüche durch cos²(|) dividiert, so folgt

aus

Gleichung (68.)

(69.)

smz =

toi

l + t²

(70.)

(71.)

>+*«•©

■-o ,

■+o

fg®    ’ ctëx = ¹

Aus Gleichung (68.) findet man sodann noch

COSX =

—t²

l + t²

—t²

2t

(72.)

a? == 2arctgf, also dx — und erhält dadurch die Formel

2 dt

1 +f²

* CO

fm

nx, cos«, tg«, ctg«)ć2« = 1— t²

f / 21    1 -t² 2t

J'Ki-ft²' i+*²’ i—t²

\ 2 dt ) 1 +t²'

Mit Hilfe dieser Formel kann man z. B. die folgende Aufgabe lösen:

Aufgabe 23.

Ç (1 -J- sin x)dx _ ? jsin«(l + cos«)

Auflösung. Nach Gleichung (73.) wird

*(1 + sin x)dx

sin«(l -j- cos«)

_« ⁼ Ift + 2 + t

)dt}

also

(74.)

{1 -(- sin x)dx

sina;(l -f- cosa;)

= |(| + 2i + ln<)

Ist f(sina;, cosa;, tgx, ctgx) eine rationale Funktion der vier Funktionen sina;, cosa;, tga;, ct gx, so erreicht man durch die in Gleichung (73.) angegebene Substitution, daß unter dem Integralzeichen eine rationale Funktion der einzigen Veränderlichen t steht. Die Integration rationaler Funktionen ist bereits früher in einigen besonders einfachen Fällen durchgeführt; wie sie aber ganz allgemein durchgeführt werden kann, wird an einer späteren Stelle gezeigt werden.

Steht unter dem Integralzeichen eine rationale Funktion der vier hyperbolischen Funktionen @ina;, Sofa;, S£ga;, (Stga;, so beachte man, daß diese Funktionen selbst wieder rationale Funktionen von e? sind. Es ist nämlich ©in# = \{ex — e~x)

ex - Q—X

%0X = -:-5

⁹ ex -f e~x Deshalb erreicht man es auch in diesem Falle durch die Substitution

(Sofa; = \(ex -f- e~x),

ßX Q-X

ex — e~x

(Stga; =

(75.)

ex — t

e~x = —,

dt

daß unter dem Integralzeichen eine rationale Funktion von t steht, die nach den später folgenden Regeln integriert werden kann.

Beispiel.

Setzt man also

/ ₌ dx = J&ojx    Jexe~x Je

exdx

e2x-j- 1

so wird

ex = t, exdx = dt

(76.)

= 2arctg£ = 2arctg(e*).

Man kann in diesem Falle die Funktion unter dem Integralzeichen auch dadurch rational machen, daß

man

(77.)

als neue Intégrations-Veränderliche einführt, denn es wird dann nach D.-R, Formel Nr. 57, 58 und 79 der Tabelle

21    ^    1 -f-1²

x = Y f2 ’

1 -K²

~2F’

(78.)

(79.)

(80.)

also

(81.)

©in#

Xga? =

2f

r+^’

æ = 23Irïg£,

ßtgx =

2 dt

Jf(<&mx, (Eof#, îga:, (Stga;)<&z =

1-M² 2t 1-H2 1 —    14-^2’ W

\    2 dt

J'Y^f²

§ 12.

Integration durch Einführung trigonometrischer oder hyperbolischer Funktionen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 84 bis 86 a.)

Während in den vorhergehenden Paragraphen gezeigt wurde, wie man die Funktion unter dem Integralzeichen, wenn sie trigonometrische oder andere transzendente Funktionen enthält, durch Substitution so umzuformen sucht, daß sie diese transzendenten Funktionen nicht mehr enthält, so gibt es auch Fälle, wo die Integration dadurch erleichtert wird, daß man für die Intégrations-Veränderliche x eine trigonometrische oder hyperbolische Funktion der neuen Intégrations-Veränderlichen t oder u einführt. Man wendet eine solche Substitution namentlich dann mit gutem Erfolge an, wenn unter dem Integralzeichen eine der Irrationalitäten Va? — x², Va²-j-x², V%² — ß2 auftritt.

So werden Integrale von der Form

ff(x, Va² — x²)dx

häufig durch die Substitution

x — asint

auf einfachere zurückgeführt. Es wird dann nämlich dx — acostdt, Y a² — x² — æcos/,

(1.)

(2.)

also

(3.) Jf{x, Y a² — x²)dx =J'f (asint, acost). acostdt.

In das sich hieraus ergebende Resultat muß man

Y a² — x²

sin£ =

cos/ —

(4.)

tg* =

, ctg/ =

]/ a² — x²

Y a² — x²

einsetzen, damit man schließlich eine Funktion von x erhält. Die gleichen Dienste leistet die Substitution x — a%Qu;

(5.)

dann wird

(6.) dx

a du

also

(So\²u

1/a*-x‘ = Va\\-%gu) = -^-

(7.)

wobei

@hm —

(8.)

Y a² — x²

Y a ² — x²

Xg u —

(Stgw =

1)

dx

X²Y O? — X²

Übungs - Beispiele.

^Otg« =

1 r dt a² J sin²/

Y o? — x²

a²x

oder

dx

x²Y a² — x²

1 J'u du

a²

@in%

=    u)~²d (@in u)

Y o? — x²

<z²@tn u

a²x

2)

dx

i r dt

{a² — x²) Y a²— x² ~ a²J cos²/ —

(Yergl. Formel Nr. 38 der Tabelle.)

a²Ycl² — x²

oder

dx

adu&o\³u

(a² — x²) y a² — x²

(Sof%. a³

=kh

udu =

©inw

a² Y a² — x²

3)

(a² — 2 x²)dx

y a² — x²

= 0^(1 — 2sin ²t)dt = a²J cos (2 t)dt

= aJcosm

a²

. <ü(2#) = ₀ sin(2#) L

= a²sintcost — xya²— x².

Bei Integralen von der Form

/fa. ÏÉ +

kann man häufig die Substitution

(9.)

x = atgt

mit gutem Erfolge anwenden. Man erhält dabei

(10.)

dx =

a dt

cos²#

also

(11.)

jffr, Va? + x*)dx = lf(atgt,

a dt

wobei

sin# =

(12.)

yd² -j- x²

ya² + x²

ctg< = --

l = ä

Die gleichen Dienste leistet dieJSubstilBtion

(13.) dann wird

y a2 + a;² = Va²(l + @m%) = aßi'i«

(14.) dx = a (Sof u. du also

(15.) /fix, yW+tf)dx = ff(a&mu, aSofw). aßofw . du, wobei

0⁻¹ \    ad/1    3\

= —ad

setzt,

,mh

x³dx

y a² -f- x²

= — ad

(1 — z²)dz

0⁴

apjlz-⁴ — z~²)dz

(17.)

1)

x³dx

y a? -f- x2 oder, wenn man

-/

'a³ sm³t . a dt. cost

cos³£. cos²£ . a

= at

sivdt dt

cos⁴£

©in u —

60\u =

Ycd -f- x²

--5

(16.)

y a² 4- x²

(Stgw =

Y a² -f x²

Übungs - Beispiele.

cos£ = 0, also sin£tfó = — dz

— 1/    3\0³    z)

Indem man schließlich noch

z — cos t =

y a² -f- x²

einsetzt, findet man

(19.)

x'dx

y a² -f- x²

as/(y d² -f- x²f 3 y a² + x2 ⁼ 3 V

cd

T-< Ico

y cd + x²(x² — 2a²).

Einfacher findet man dieses Resultat durch die Substitution x = a@tnM, denn dadurch wird

» fwh

a³/©in³M . du = adj(t&d\²u — l)^((Softt) = a³jj^(£o)³M — (So j wj = i y cd -f- x²(x² — 2a²).

= af

2) f—t

Ja.

xAycd -f- x²

1 fadt. cosH . cost adj cos²£ . sin⁴£ . a

1 fcos H ~cdhńrdtdt

Àn)d(sint) ~

cdf( sin⁴#

3 sin³£ sin t)

_ y a² + x²

(2x² — a²).

Nun ist

(21.)

sintf =

y a² -j- x²

sin£

folglich wird

(22.)

f_d^

Jx*ya² + x²

(ya2'+ x²f , yd² + x²

'öad

ya² -j- x²

('2x² — a²).

Auch hier führt die Substitution x = a@inw schneller zum Ziele, denn es wird

_ i f—

ay <Sin⁴w

du

r_dx

]^yw+ x²

oder, wenn man (Stgw = z setzt

dx

x*y a² + x²

— 1 )dz = —

<S-)

(Stgw

3a⁴

(3 — @tg²w) =

ya² + %²

3 cdx

(³

a² + x²\ x² )

3a⁴2ri

3)

dx

(a² + x²) y a² +

rt

a dt.cosH cos²t. cd

cos tdt

sin£_    __

⁼ a² “ cf/dd + x²

oder

dx

(a? -f- x²) y ad + x²

-U

du

d² y ad + x²

Bei Integralen ..von-der -Form

—    - mm

ff{x, Vd²— d²)dx kann man häufig die Substitution

(23.)

QDSd.---*

mit gutem Erfolge anwenden. Dabei wird asvntdt

Vx² — a² = j/ a

(25.) jf(x, Yx² — a²)dx = ///-^

(24.) dx =

cos ²t

cos ²t

d² — atgt,

also

atgt'ÿ ■

a sintfć#

cos²t

wobei

sin/ =

y x² — a²

cos/ - -

(26.)

tgt =

y x² — a²

, etgt ==

(27.)

y x² — a²

Die gleichen Dienste leistet die Substitution x — afëofw;

dann wird

(28.) c&r = a©inw. du, y#² — a² = )/«²((Eof²w. — 1) = a@tn w, also

(29.) y/*(ic, yx²— a²)dx = Jf{aQLü\u, a ©hm). a&mu . du, wobei

©in w =

Va:² — <2²

(30.)

£gw =

]/x² — a²

a?

ßtgw =

a;

Va;² — a²

Übungs - Beispiele.

1)

_ =/'

a;⁴Va:² — a² J

asintdt cos⁴/. cos/

cos²/. a⁴ . a sin/

⁼ i/c

cosHdt

sin³/

= ^4j( 1 — sin²/)d(sin/) = i^sin/

also

C dx

⁽³¹⁾/r=

x*V x² — a²

1 ^3 }/z² — a²    (Vx²—<z²)³

3a⁴

_ Vx² —

3 cdx?

Setzt man x = a(£ofw, so erhält man

— (2a:² -f- ß²) •

f dx

Jx*yx² — d²

oder, wenn man 2g u mit 0 bezeichnet,

ć/m

©of²u ’

n⁴]/»² — a²

îgw

3ß⁴

2)

J(x²

dx

— «²)V#² — a²

(3-£₉²m) = _ f_dx

J(

]/a;² —

3 a⁴a;⁸

— (2a;² -f- ß²)-

(Va:² — «²)

1 /cos / dt

’a sin t dt. cos⁸/ cos²/. a³sin³/

sin²/

«²sin/

also

(33.)

dx

oder

dx

— a²) Vx² — a²    a²Vx² — a² ’

— ißtgw

6/M

— a²))^²^ «²

«²_/@tn²M

a:

3)

dx

(a:² + «²)V#² — ß2

j^cosH

a²|/a:² — «2 asintdt. cos/

⁺ “O

. «sin/

- costdt _ 1 f d(smt)

1 + cos²/ “ a²J 2 — sin²/

Setzt man

(35.)

sin/ = 2,

Berechnung dieses Integrals Formel

so kann man zur Nr. 29 der Tabelle anwenden und findet

dx

(;X² -f- ß²) K X² — a²

i r dz

~^² z²^2 ~

1    , /Y2 — sintf

i„(

2«²y2

]/2 -f- sin £

) = - ¹ ln(

/ 2a²y2 v

~]n(h£-Î)

2 œ² V 2 VJ/2 + z/

xV2 + y^²—a²

x]/ 2 — j/#² — a²

Man beachte, daß in den drei hier behandelten Fällen die trigonometrische oder hyperbolische Funktion, welche für x substituiert wird, jedesmal so zu wählen ist, daß unter dem Wurzelzeichen ein vollständiges Quadrat steht, daß sich also die Wurzel ausziehen läßt.

Für x = asint wird nämlich

Va² — x² = Y a²(l — sin²£) — acost, für x — atgt wird Y a² + x² = Ya²( 1 -f- tg²£) = - , ?

COS v

-1

a²{ 1 — cos²£)

„ Yx² — a²

= «tgf;

\ und für x = a%§u wird Ya² — x² — Y a\ 1—£g²w) =

cos£

cos²f

:r = a@tnw „    ya²-f-a:² = ya²(l+©tn²w) = aßofM,

„ £C = «So|m

„ fa;²—a² — ya²(©of²^ — l)=a<StnM.

Kennt man die trigonometrischen Funktionen, die dabei zu substituieren sind, so ergeben sich die entsprechenden hyperbolischen Funktionen ohne weiteres aus dem, was über die Beziehung zwischen den hyperbolischen und den trigonometrischen Funktionen in § 31 der Differential-Rechnung gesagt ist. Bezeichnet man nämlich mit t den „transzendenten Winkel“ und mit u den gemeinsamen Winkel, so gelten die Formeln

sin£ — £gw, tgf = @inw, secć

= (Sofa.

cos t

(Vergl. auch D.-R., Formel Nr. 81 der Tabelle.)

Geometrisch läßt sich dieses Verfahren in folgender Weise deuten. Ist in dem Integral von fix, y)dx

(36.)

y = Ya² — x², also x² -f- y² = «²,

so entspricht dieser Gleichung ein Kreis mit dem Halbmesser a. (Vergl. Fig. 12.) Dabei lassen sich die Koordinaten x und y des Punktes P als eindeutige Funktionen des Zentriwinkels çp darstellen. Es wird nämlich

Fig. 12.

(37.) x = acos^, y = asincp, oder, wenn man den Komplementwinkel von cp mit t bezeichnet,

(38.) x = asinż, y = acost.

Ist

(39.)

y = y x² — a², also x² — y2, — a²,

Fig. 13.

'P

Y-x

so entspricht dieser Gleichung eine gleichseitige Hyperbel. (Vergl. Fig. 13.)

Auch hier lassen sich die Koordinaten x und y des Punktes P als eindeutige Funktionen von u darstellen. Es wird nämlich nach den Sätzen über hyperbolische Funktionen

(40.)

x = <z(£ofw, y — ß@inw.

Ist schließlich

(41.)

(42.)

y = ya? -\- x²₁ also y² — x² = a², so ergibt sich aus Fig. 13, indem man x mit y vertauscht, x = a&mu, y = a&o)u.

Bei der Integration durch Substitution ist die neue Intégrations-Veränderliche t im allgemeinen so zu wählen, daß aus der Gleichung

x = cp{t) die Gleichung t — ip{x)

abgeleitet werden kann, und jedem Werte von x innerhalb der Integrationsgrenzen nur ein Wert von t zugeordnet ist; und umgekehrt darf jedem Wert von t innerhalb der Integrationsgrenzen nur ein Wert von x entsprechen. Wenn diese Regel nicht beachtet wird, so können leicht Fehler entstehen. In einem späteren Abschnitte soll diese Frage noch besonders untersucht werden.

III. Abschnitt.

Integration durch Zerlegung.

§ 13.

Integration von einigen gebrochenen rationalen Funktionen durch Zerlegung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 29a, 87 bis 92.)

dx

In vielen Fällen kann man die Differential-Funktion f{pc)dx unter dem Integralzeichen in zwei oder mehrere Summanden zerlegen, die dann einzeln sehr leicht integriert werden können. Wie dies namentlich bei gebrochenen rationalen Funktionen geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

x² — a²

Aufgabe 1.

Auflösung. Die Aufgabe ist schon in § 8 (Aufgabe 7) behandelt worden; dabei ergab sich f dx

Jx²

(1.)

(Vergl. Formel Nr. 29 a der Tabelle.) Dasselbe Resultat findet man auch durch folgende Überlegung. Die beiden Unbekannten A und B lassen sich immer so bestimmen, daß identisch*)

(2.)

x² — a²

x -j- a

wird. In der Tat, schafft man in Gleichung (2.) die Nenner fort, indem man beide Seiten mit

x² — a² = (x — a) (x -f- a)

multipliziert, so erhält man

*) Die Gleichung heißt eine „identische Gleichung“, wenn sie für alle Werte von x gilt.

64 § 13. Integration von einigen gebrochenen rationalen Funktionen. 1 = A(x Ą- a) -f- B{x — a).

(3.)

Diese G-leicliung soll für alle Werte von x gelten, folglich auch für x = -J- « und für x — — a. Für x = -f- a findet man aber

(4.)

1 = 2 Aa, oder A = J¹

und für x = — a

1 = — 2 Ba

oder B — —

Setzt man diese Werte in Œeichung (2.) ein, so erhält

man

——- = —(—-—

— a²    2a\x — a

—y

x -f- a/

Von der Richtung dieser Gleichung kann man sich überzeugen, indem man die beiden Glieder in der Klammer auf gleichen Kenner bringt. Aus Gleichung (6.) folgt dann ohne weiteres nach Formel Nr. 27 der Tabelle

^dx

(6.)

(7.)

dx

— a²

x²

=¹ ( -¹

2 aj \x — a    x + a

Aufgabe 2.

dx

x² + 10a; + 16

Auflösung. Diese Aufgabe kann man auf die vorhergehende zurückführen. Ergänzt man nämlich die beiden ersten Glieder des Nenners zu einem vollständigen Quadrate, indem man 25 addiert und dann wieder subtrahiert, so erhält man

also dx — dt

(9.)

(8.) a;²-{-10a;16 = 0x² + 10a; + 25) + (16 — 25) = (x + 5)²—9. Indem man jetzt noch x -f- 5 = t

setzt, wird

/' dx ₌ f dt J[x + 5)² —9 Jt²

oder nach Gleichung (7.), wenn man x mit t und a mit 3 vertauscht

(10.)

dx

x² + 10a; -{- 16

— 3²

dx

(no

X² -T- lOx -f- 16

Aufgabe 3.

dx

x² -\- §x 13

hier den Nenner auf die Form

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe wird man

x -|- 3 = t, also dx = dt

(12.) x² + 6x -f13 = (x* + Qx + 9) + (13—9) = (x + 3)² + 4 bringen und (13.)

setzen; dadurch erhält man

(14.)

f.

dx

£C² -j- Qx 13

i' dx _ I' dt

⁼J(x + w+ï '

Wollte man jetzt die Integration nach der in Aufgabe 1 gefundenen Formel ausführen, so müßte man

also a = 2Y—1 — 2 i

a² — — 4,

setzen, so daß man für das Resultat eine komplexe Foim erhalten würde. Dies kann man vermeiden, indem man Formel Nr. 28 der Tabelle, nämlich

=-«arotgÖ

f dt Jt² -j-

für a = 2 anwendet. Dadurch findet man

mh

dx

x² -f- Qx -j- 13

= larotg(D ⁼ larctg(^)

Aufgabe 4.

J x²

dx

x²J[- Zbx -f- c

Auflösung. Wie man schon aus den beiden vorher-1lj gehenden Aufgaben erkennt, muß man bei diesei Aufgabe drei Fälle unterscheiden, je nachdem b² — c positiv, negativ oder gleich Null ist.

I. Fall.

J2_c>0.

Setzt man in diesem Falle der Kürze wegen

also b² — c= -f-

Yb² — c = + a so wird a eine reelle Größe, und man erhält

(16.)

Kiepert, Integral - (Rechnung.

(17.)

x² -f- 2bx -f- c — (x² + 2for + b²) -f- (p — b²)

= (x + b)² — a².

Dies gibt, wenn man x + b mit t bezeichnet, nach Aufgabe 1

_ f dt

Jt²

dx

oder

x² -f- 2 bx Ą- c

— a² 2 a

ln

x + b — Yb² —

(18.) f J* _ _h=ln(X

Jx +2 bxc    2 ]/&²—c Va;

Man erkennt ohne weiteres den Zusammenhang dieses Yerfahrens mit der Auflösung der quadratischen Gleichungen. Um nämlich die quadratische Gleichung x² -f- 25a; -f- c — 0

aufzulösen, bringt man die Gleichung auf die Form a;² -j- 2 bx Ą-b² = b² — c und zieht dann auf beiden Seiten dieser letzten Gleichung die Quadratwurzel aus. Dadurch erhält man

+ b + Yb² —

=)■

c/

oder

x -f- b = + Yb²—c

xi——b-\-Yb² — c, x-2 =— b — Yb²—c,

Xi — x-2 = 2"|/è²—c, a;² -f- 2 ôa; -j- c = a;² — (aq -f- a;₂)a; + aqa;₂ = (x — aq)(a; — x₂), wo Xi und x-2 die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung sind. Setzt man diese Werte in die Gleichung (18.) ein, so nimmt dieselbe die Form an

Xi . x₂ = c

(18a.)

dx

= -¹- ln(^VK»Y xx — x₂ \x — x₂/

(x — aq) (x — x₂)

Yon der Dichtigkeit dieses Resultates kann man sich in folgender Weise überzeugen. Die beiden Unbekannten A und B lassen sich immer so bestimmen, daß identisch

(19.)

{x — Xi) (x — x₂) wird. In der Tat, schafft man in Gleichung (19.) die Renner fort, indem man beide Seiten mit (x — aq)(a;— x₂) multipliziert, so erhält man

x-Xi

— x₂

1 = A(x — x₂) + B{x — x{).

Diese Gleichung soll für alle Werte von x gelten, folglich gilt sie auch für x = X\ und für x — x₂. Für x = X\ findet man aber

1 = A(xi — x₂), oder A = —-—j

X\ — x₂

1 = B[x 2 — Xi), oder B =--

X₂ — X\

Setzt man diese Werte in Gleichung (19.) ein, so er-

(20.)

(21.)

und für x = x₂

(22.)

hält man

(23.)

= ——(    ¹---¹—Y

(x — Xi)(X — x₂) X\—X₂\X — X\ x—x₂/

Daß die rechte Seite dieser Gleichung der linken

man

identisch gleich ist, ergibt sich ohne weiteres, indem die Glieder in der Klammer auf gleichen Kenner bringt.

Aus Gleichung (23.) folgt dann in Übereinstimmung mit Gleichung (18 a.)

dx

(x — Xi) (x — x₂)

= —— /(—I

Xi — X₂J\x — Xi

—---[Inte — Xi) — ln(ic — x₂)] = ——

Xi-X₂

—-—\dx x — x₂/

-ln * = — x₂ <x —

S)'l

b² — c< 0.

Setzt man in diesem Falle der Kürze wegen

— a²,

II. Fall.

y c — b² = a, oder b² — so wird a eine reelle Größe, und man erhält

(24.)

x² ₊ 2bx + c = (x² + 2bx + b²) + (c - i¹) = (x + if + «*• Dies gibt, wenn man wieder x -f- b mit t bezeichnet,

J_dx

also

x² -f 2 bx -[- c

r 'dx

⁼ /(i+w

⁼/Ä⁼

r-l : Ö

(25.)

dx

^ — arc tg ( — b² '

x + b

Vc^b²

x² + 2bx + c    Yc —

Es ist noch hervorzuheben, daß die Gleichungen (18.) und (25.) richtig bleiben, gleichviel ob b² — c positiv oder

UH

5*

negativ ist, die rechte Seite von Gleichung (18.) erhält aber eine komplexe Form, wenn b² — c < 0 ist, und auf der rechten Seite von Gleichung (25.) wird die Größe Vc — 62 imaginär, wenn b² — c > 0 ist. Der Zusammenhang beider Gleichungen ergibt sich aus D.-R., Formel Nr. 196 der Tabelle, nämlich aus

(26.)

ln

- Siarotg*.

Setzt man nämlich

9> = -i

so folgt aus Gleichung (26.)

oder

lnd+4) _ 1,./" + D _ 2iarctg(—)

\1 — ęij \a— xi/    \a/

\ i /x — ai\

) “ lnGr«)

— i(a -f- xi)

ln(— 1) = 2iarctg0)-

Dies gibt, wenn man beide Seiten der Gleichung durch 2ai dividiert und beachtet, daß nach D.-R., Formel Nr. 195 der Tabelle ln(—1) den Wert -j- l)jti hat,

(2h + 1)jc

ln

(— 1 )i(a — xi)

(27.)

1 i /x — ai\ 1    , /x\

25ln(ï+^) ⁼ «arctgw

wobei h noch eine beliebige, positive oder negative ganze Zahl ist.

Vertauscht man also in der Formel

fx²

dx

— a²

= 9M-7 “)

2 a \x -f- a/

die Größe a mit ai, so erhält man f dx

Setzt man noch

a = y c — 6², also ai = iYc.— b²=Yb² — c

und vertauscht x mit x -f- b, so geht Gleichung (27.) über in

(28.)

x² + a²

⁼ ïarctg©⁴

(2h -f- \)jt

(29.)

i— ln(g

2]/ft² — c \r

« + 5_]/62_

+ 6 + ]/6² —

=)

(2A -f- 1)# 21/c^P’

die beiden Werte, welche man in den Gleichungen (18.) und

1    ( x + b

y^TIct%

— &²

(25.) für 2    gefunden hat, unterscheiden sich also

(2A +1)#

2]/c~62*

voneinander nur durch die Konstante

b²— c = 0, oder c = b².______

Hier wird, wenn man wieder x -f- b mit t bezeichnet,

t~²dt = — ^

III. Fall.

dx

dx

x² + 2 bx + c

a:²+2 bx+b²

r dx

Jb+WJpJ

oder

(30.)

r dx Jx² + 2bx -f- b²

x -f- b

Beispiele.

f_dx —- = l„G±f);

J (X + 8)(2C + 4) \X 4/

= — arctg^ ^    ),

dx    ___1___

-f- 8æ + 16 x -j- 4

/ ÇPx -J⁻ Q)dx _p

J x² + 2 bx + c

I. Fall.

4 II. Fall.

III. Fall.

dt#

x² + 4x + 20

fx²

Aufgabe 5.

V'

Auflösung. Wäre bei dem Bruche unter dem Integralzeichen der Zähler dem Differential des Nenners gleich oder wenigstens proportional, so könnte die Integration nach Formel Nr. 43 der Tabelle ausgeführt werden, nämlich nach

der Formel

In dem vorliegenden Falle ist f'(x) = 2x + 2 b

deshalb nimmt man mit dem gesuchten Integrale die folgende Umformung vor. Es ist

Px + Q = (Px+Pb)+(Q-Pb) = ^(2x + 2 b)+(Q-Pb),

folglich wird

f(Px + Q)dx J x² -f- 2 bx -f- c

-fi

P(2x + 2b) + (Q - Pb) x² + 2 hx Pc PC (2a; + 2 b)dx

2 J x²    2bx -f-c

dx

also

(31.)

+w-pbyx*-₊ 2bx+c

ß^Al^+2ix+^-pb£

dx

x²-\-2bx-\-c

Das Integral, welches auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen geblieben ist, findet inan nach Aufgabe 4. So ist z. B. für b² — c > 0

(31a.)

(Pr -f- Q)dx

x² -f- 2bx -f- c

Q-Pb

2 ]/6²—

₌ln(*

c \x

x-\- b—yb²—

=>

c'

oder, da a?i -f-    — — 2b und Xi — x₂ = 2]/&² — c ist,

(Pr -f- Q)Ær

(a? — Xi) (x — x₂)

= 2"ln [(x —Xi){x—xij\ d

2 Q + P(xi + x₂)

2(a;i — x₂)

/x—rrA \x — xj

Aus den bekannten Formeln ln [{x — X]){x — asi)] = ln(a? — Xi) + ln(a? — x₂)

\n(--—^ = ln(;r — Xi) — ln(æ — x₂)

\x — x₂/

ergibt sich daher

(.Px + Q)dx

— Xi) {x — x₂)

(i+

2 Q -f- P{xi -f- x₂)

2(a?i — x₂)

^ln(a?

Xi)

2 Q -j- P(xi    x₂)

2{Xi — x₂)

\

)ln(;r — x₂)

oder

g 13. Integration von einigen gebrochenen rationalen Funktionen. 71

(32.) /₍

(Px + Q)dx

(X — Xi) (x — x₂)

= ——-[(Px, + Q)\n(x — Xi) — (Px₂ -f Q)ln(æ — x₂)].

X\ — x₂

Die Dichtigkeit dieses Resultates kann man in folgender Weise bestätigen. Die beiden Unbekannten A und B lassen sich immer so bestimmen, , daß identisch

(33.)

Px+Q

(x — Xi) (x — x₂)

_A_ ₊ __Z

X — X1 x — x₂

wird. Schafft man nämlich in Gleichung (33.) die Renner fort, indem man beide Seiten mit (x — Xi) (x — x₂) multipliziert, so erhält man

(34.)

Px -f- Q — A(x — X2) -j- B(x X,).

Diese Gleichung soll für alle Werfe von x gelten,

und für x = x₂. Für

folglich gilt sie auch für x = x, x = Xi findet man aber

i    \ -i a -PXl Q

(35.) Pxi + Q = Afa — x₂), oder A =

und für x = x₂

(36.) Px₂ + Q = B(x ₂ — Xi), oder B =

Setzt man diese Werte in Gleichung (33.) ein,

Px ₂    Q

Xi

so er

hält man

(37.)

Px+Q

/Px 1 + Q__Px 2 + Q\

X — Xi    X — X₂ )

(x — Xi) (x-X₂) Xi —

die rechte Seite dieser Gleichung der linken identisch gleich ist, ergibt sich ohne weiteres, indem man die beiden Glieder in der Klammer auf gleichen Nenner

Daß

bringt.

Aus Gleichung (37.) folgt dann in Übereinstimmung mit Gleichung (32.)

(38.) f

i r/rxi+a __ Px*+9\dx

-x₂J\ X—Xi x — x₂ /

_    ¹_[(Px, + Q) ln(æ -— Xi}— (Px 2 + Q) ln (x—x₂)} •

Xi — x₂

(Px -f Q)dx

yPxr+Q.

(x — Xi)(x — x₂) Xi —

auch am zweckmäßigsten

Beispiele.

(2a? + 1 )dx , ₄₂

F(2a? -f- 43 )dx ' Jx² + a? — 12

o/*    dx

= ln(a?² -f- a? —

12) + 61n0-pD

= 71n(ä? — 3) — 51n(a? -ß 4).

Dasselbe Resultat findet man aus Gleichung (32.), denn es ist in diesem Falle

#i=+3, a?₂ = —4, x₁ — x₂=7,

P = 2, Q — 43, Px\ -f- Q — 49, Pa?₂ -j- Q — 35.

II.

ß

Jx²

(4a? — 5)<7a?

— 4a? -f- 20

rZ(2x — 4)dx

Jx²

— 4a? -f- 20

⁺³4

III.

(4a? — 7 )dx

a?²-f-6a?fi-9

(a? — 2)² -f- 42 = 21n(a?² — 4a? -f- 20) + arctg^-^—'

dx = 4

*(4a?+12)—19 (a? + 3)²

10

= 41n(a? + 3) +

dx

19

dx

(a?-(-3)²

Form

a? + 3

Steht unter dem Integralzeichen ein Bruch von der

P(a?) a?² -f- 2öa? + c ’

wo der Grad von P(a?) gleich 2 oder noch größer als 2 ist, so ist die Funktion eine unecht gebrochene rationale Funktion. Sie kann durch Ausführung der Division auf die Form

Px-ß Q

⁺ z² + 2 hx + c gebracht werden, wobei g(x) eine ganze rationale Funktion ist. Nach dieser Umformung kann die Integration ohne weiteres, den vorstehenden Angaben entsprechend, ausgeführt werden.

Beispiel.

./

dx = ?

"3a?³ — 17a?² + 21a; —43 a?² — 8 a? -f- 15

g 13. Integration von einigen gebrochenen rationalen Funktionen. 73 Hier ist

3a;³— 17x² + 21a;—43 = (:x² - 8a; + 15)(3a; + 7) + (32a;—148),

also

’3a:³ — 17a;²-)-21a;—43 a:²—8a;-|- 15

Dabei wird

dx =

/(3® + 7 +

32a;—148

(x—3)(a;—5)

jdx.

,1

32 a: —148

(x — 3) (x — 5)

32a; — 148 = A{x — 5) + B{x — 3).

Dies gibt für x = 3

— 52 = — 2 A, also A — 26

und für x = 5

12 = 2_B, also B = 6

folglich wird 3a:³ — 17a;² + 21a; —43

x² — 8a; -f- 15

= ^a:² + 7a; + 261n(a; — 3) + 61n(a;— 5).

nur die

Die vorhergehenden Aufgaben behandeln einfachsten Fälle der Zerlegung in Partialbrüche. In einem späteren Abschnitte wird gezeigt werden, wie man jede gebrochene rationale Funktion durch Zerlegung in 1 axtial brüche integrieren kann.

Auf die Integration von gebrochenen rationalen Funktionen führen häufig die im vorigen Abschnitte behandelten Substitutionen, wie dort bereits hervorgehoben wurde. Als Beispiele mögen die beiden folgenden Aufgaben dienen.

dx

Aufgabe 6.

- = ?

asina; + bcosx + c

hier die in Formel

2 dt

-k

(c — b)t² + 2 at + {b + c)

(41.)

(40.)

f.

dx

ttsina? + bcos# -f- c

-k

2 dt

2at+ ô(l — t¹ 2) + c( 1 + t²)

(39.)

o-

also dx —

2 dt

sin# =

2t

1 + t²

cosa? =

1 + t² 1 —t²

1 -{-t²

setzen: dann erhält man

oder, wenn man die Größen by und Cy durch die Gleichungen a = by(c — 6), b -f- c — cy(c — b)

erklärt,

(42.)

dx

—LJ._ _

c — bj t² -j- 26it -f- ci

dt

asina? + bcosx -j- c

Für bi² — Cy > 0 erhält man daher nach Aufgabe 4 (Formel Nr. 87 der Tabelle)

mfc

dx

asina?-f-ôcosa?4:c c—b 2]/&i²_cy

ln /t+bi—Vbi²—Cy

t+by + yby²—Cy

Aufgabe 7.

dx

(b² -f- x²)ya² + x² Auflösung. Setzt man nach Formel Nr. 85 der Tabelle

x = atgt, Ya² + x²

cos£

dx =

Qj dt

cos²£

so erhält man

(44.)

dx

t “b by

a sin x-f- b cos x-f-c

ycy—by²

arc tg ^

)'

y c²—ci²—b²

t(c — b)-\-a

]/c2_a2_J2

<4B-> h

dx

(b² + x²)Vß2 + x2

-k

f adt.cost J cos²t(b² -f- a²tg²£). a

cos tdt

b²cos²t a²sin²£

r d(

Jb² + (d²

d(sint)

— 6²)sin²£ ’

oder, wenn man

(46.)

sin t —

Y a? -j- x²

setzt und die Größe + c² durch die Gleichung ö² = + (a² — b²)c²

(47.)

erklärt,

(48.)

dx

1    /' dz

₆2 +(a2_52₎₀2 a2ZTb²JW±^ '

dz

(b² + x²)Y a?-\-x²

Gilt das obere Zeichen, ist also a² > 6², so findet man hieraus nach Formel Nr. 28 der Tabelle

(49.)

f_dx___₌    1

J (b² -f- x²)Y a? + x²

l-V ■ c arCts(?)

arctg^

man

Xj/g2 — &2

bYd² -f- a?²

Gilt das untere Zeichen, ist also a² < 6², so erhalt nach Formel Nr. 29 der Tabelle

1 1 ₁

= ä²^b²‘^c\c + zj

/b Y a² + x² — x yW— g²y

]n\b yJT^ + * v&2 - <*'

/* dx

⁽⁵⁰⁻⁾ J(6² + F²)]/a² +^

bYa²-b²

§ H-

1 transzendenten Funktionen durch Zerlegung.

Anwendung der Moivresehen Formeln.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 93 bis 97.)

f_____dx

J '

Integration von einigen

Aufgabe 1.

sin²# cos²r

Auflösung. Mit Rücksicht auf die bekannte Formel sin²# -f- cos²# = 1

erhält man

f dx

J *

(sin²# -f- cos²x)dx

dx

sin²# cos²#

sin²# cos²#

sin²#

folglich wird nach Formel Nr. 15 und 16 der Tabelle

cos²# — sin²#

(!•)

/_dx

J *

sin²# cos²#

= tg# — ctg# =

sin# cos#

2 cos (2#)

sin (2#)

= — 2 ctg (2#).

f_dx

Aufgabe 2.

sin# cos#

Auflösung. Dieses Integral ist bereits durch Formel Nr. 46 der Tabelle berechnet. Damals wurde die Funktion unter dem Integralzeichen so umgeformt, daß der Zähler des Bruches das Differential des Nenners wurde. Man kann aber die Integration auch durch Zerlegung ausführen. Mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 44 und 45 der Tabelle erhält man nämlich

(2.)

r dx

J *

sin# cos#

-j

cos²# -f- sin²#

sin# cos#

dx

■/

cos xdx

sinxdx

sm#

= ln (sin#) — ln (cos#) = ln(tg#). Jcos²xdx = ?

cos#

Aufgabe 3.

Auflösung. Bekanntlich ist

2 cos²# = 1 + cos(2#)

folglich wird

(3.) Jcos-xdx |/[1 -f- cos(2#)]<i# = -j[x -f- -|-sin(2#)].

Aufgabe 4.

Jcosmxdx — ?

Auflösung. In dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, wendet man am besten Formel Nr. 54 der Tabelle an, nach welcher

(4.)

Jcos^+^xdx =/(l — sin²#)^(sin#)

wird. Ist abei m eine gerade Zahl, so kann man die Integration mit Hilfe der Moivresehen Formeln ausführen. Nach D.-R, Formel Nr. 190 der Tabelle ist

/2 n\

(5.) 22w(cosa?)2w = 2cos(2 nx)    l2cos(2w — Z)x

+(ï) 2 cos(2w —    “•-----1" (w ^ i) '2 cos(2^) + (²^) ;

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multipliziert und dann integriert, erhält man

(6.) Z2nJcos2nxdx = ^sin(2næ) + 2n — 2    — 2)³⁷

⁺ (²2*)2«^r4Sin<2” —4)a! + ' ' ' '+C-l)dn(ae) +C)X-

Man erkennt, daß Aufgabe 3 ein besonderer Fall dieser Aufgabe ist.

Beispiel.

(7.)    64 fcos⁶xdx — ^-sin(6a?) -f- 3sin(4:c) -j- 15sin(2x) + 20a?.

Auch in dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, kommt man mit Hilfe der 4/oiireschen Formeln zum Ziele, wenn auch nicht ganz so leicht wie durch Grleichung (4.). Nach D.-R, Formel Nr. 191 der Tabelle ist nämlich

(8.) 22w+1(cos xfn+1 = 2cos(2w + l)x + ^^~¹^2cos(2w — l)x + (2n + ¹^2cos(2w — 3)x 4-----ł-(^n — l')2c08(3x'*

+ Cn n ¹)2C0SX]

man

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multipliziert und dann integriert, erhält

(a) 22n+1Jcos2n+1Xdx

= x—:—* sin(2w + l)x Zn + 1

+ (²"l⁺¹)2«^lSin(2K"1)X + (²"2⁺¹)^^3Sin(2M'3) + "'

2sinx\

+(²;-i¹)l^)+(²\⁺¹)

Beispiel.

(10.) 128^cos⁷#Ær — ^sin(7#)+^sin(5#)-f-14:sin(3#)-{-70sin:r.

Jsin²xdx — ?

Aufgabe 5.

Auflösung. Bekanntlich ist

folglich wird

2 sin²# =1 — cos(2#)

Jsm²xdx = \fW — cos (2#)]ć£r = -|[#

Jsmmxdx = ?

Auflösung. In dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, wendet man am besten Formel Nr. 57 der Tabelle an, nach welcher

(11.)

•|sin(2#)].

Aufgabe 6.

(12.)

Jsirpn+ixdx — —J{ 1 — cos²#)^(cos#) wird. Ist aber m eine gerade Zahl, so kann man die Integration mit Hilfe der Ho ivre sehen Formeln ausführen. Nach D.-R., Formel Nr. 192 der Tabelle ist

(13.) (— l)nZ2n(smx)2n = 2cos(2n#) —^ ^2cos(2n — 2)#

-j-(^2^) ^ cos(2w —1)#--(-----b (— V)n~¹ ^ ^U ^ 2 cos(2#)

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multipliziert und dann integriert, erhält man

sin 2nxdx =

(14.) (-

l)w22wjl

f sin(2w#)

+(²2!)s^4sin(2”-⁴⁾*-

1    ^^sin(^)

+<-»•6-

Man erkennt, daß Aufgabe 5 ein besonderer Fall dieser Aufgabe ist.

Beispiel.

(15.) — 64fsirfixdx = ^-sin(6ic)—3sin(4æ) + 15 sin (2a?) — 20 x.

auch nicht ganz so leicht wie durch Gleichung (12.).

Auch in dem Falle, wo m eine ungerade Zahl ist, kommt man mit Hilfe der Moivresehen Formeln zum Ziele, wenn

Nach D.-R., Formel Nr. 193 der Tabelle ist nämlich (16.) (—l)nCl2n+\ńnxfn+1 = 2sin(2w + l)x

—1~ ”^2sin(2w — 1)#

(^n ^ 2 sin(2w—3)x \

+ (— VT + (-<.+ 1)

C-i)2sin(3æ)

2sina;;

indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dx multipliziert und dann integriert, erhält man

(17.) (—i)»23w+dsini2n+1xdx =

⁺ C't¹)2^1°0s{2n-1)X

-    C 2 ¹)ärrgcos(2,! - 3)* + - • • •

2cos:r.

-    (-1)I )| cos<3x> - (- V"C n L)

Beispiel.

r    2    14

(18.) 128/ sink» dx = ^ cos(7 x)---_ - cos(5x) + 14 cos(3+ ( 0 cos x.

In ähnlicher Weise kann man auch Jsinmx cosnxdx berechnen, wenn man die Euler sehen Formeln

2cosa: =    + e~~Tt

anwendet. Es ist z. B. nach den Gleichungen (19.) man

(19.)

2isinx = exi — e Xl

wenn

(20.) exi — cos x + ^sina? = s, e~xi — cosa? — «sina? = t setzt und beachtet, daß = 1 wird

(21.) —64sin²a?cos⁴a? = (exi— e~xi)²(exi Ą- e~~xif = (8- tf(S + ff

= s⁶ -f- 2sH—sH²—4s³£³—s²t^ —j— 2^if⁵ -f- £6 == (s⁶ + t&) + 2 (s⁴ + t⁴) — (s² + t²) — 4 = 2cos(6a?) -j- 4cos(4a?) — 2cos(2a?) — 4,

also

(22.) — 64fs,in²xco^xdx = -Lsin(6a?)-f- sin (4 a?)— sin (2 a;)—4a?.

IV. Abschnitt.

Partielle Integration.

§ 15.

Erklärung der partiellen Integration.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 98.)

Sind u und v zwei beliebige Funktionen von x, welche eine Ableitung besitzen, so ist bekanntlich (vergl. D.-R., Formel Nr. 29 der Tabelle)

(1-)

d(uv) — vdu -j- udv,

oder

(la.)

udv = d(uv) — vdu,

(2.)

oder, wenn man beide Seiten dieser Gleichung integriert, Judv = uv— Jvdu.

von

zu er-

Mit Hilfe dieser Formel ist die Integration der Differential-Funktion udv zurückgeführt auf die Integration vdu, wobei es durch passende Wahl der Faktoren u und dv häufig erreicht werden kann, daß Jvdu leichter mitteln ist als fudv.

Wie dieses Verfahren, welches man „partielle Integration“ nennt³), angewendet wird, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

§ 16.

Beispiele für die partielle Integration.

Aufgabe 1.

Auflösung. Setzt man

fxvctgx . dx — ?

(1.)

u = arctg#, also dv — dx

so wird

(2.)

du =

dx

1 -j- X²

JsbTctgx . dx — x . arctg# —■J'-

xdx

1 -f- x2

(3.)

Aufgabe 2.

Auflösung. Setzt man

u = arcsin x, also dv = dx,

folglich, erhält man nach Formel Nr. 30 der Tabelle Jsuctgx .dx — x . arctg# — |ln(l -f- x²). Järcsinx . dx = ?

(4.)

so wird

(5.)

du =

dx

y i—x²

./•

arcsinx .dx = x. arcsina: —

xdx

(6.)

Aufgabe 3.

Auflösung. Setzt man

u - ln#, also dv — dx

folglich erhält man nach Formel Nr. 31 der Tabelle yarcsina;. dx = x . arcsin# -j- Y1 — #². yin# . dx = ?

(7.)

so wird

(8.)

du —

dx

folglich erhält man nach Formel Nr. 98 der Tabelle

ln#. dx = #. ln# —

/' dx Ix • —

J x

= # . ln # —

-J dx,

(9.)

oder

yin# . dx = #(ln# — 1).

Aufgabe 4. fxm\nx .dx = ?

man

Auflösung. Setzt

(10.)

u = Ina?, also dv — xmdx,

so wird

(11.)

du —

dx

xm+1

m -{- 1

folglich erhält man nach Formel Nr. 98 der Tabelle

QßWl "t" 1

(12.)

xm\nx. dx =

m -f- 1

Ina? —

rrrf

m + lj

xmdx

^lna?

—~t)

m -f- 1/

Für m — 0 geht diese Aufgabe in Aufgabe 3 über. Jx . emx.dx — ?

Aufgabe 5.

Auflösung. Setzt man

(13.)

also dv — emx. dx,

so wird

(14.)

du = dx

v =--emx,

(15.)

Le

tn i

h-*-

. dx

— ——Tr • enlx(mx — 1).

jx&mx .dx — ^

Aufgabe 6.

Auflösung. Setzt man

(16.)

u — x,

also dv — sina:. dx,

so wird

(17.)

du — dx

v = — cosa?

Jx&mx. dx —

Aufgabe 7.

-f- /cosa?. dx = —xgosx + sina?.

Jx²cosx . dx = ?

— xcosx

Auflösung. Setzt man

(19.)

u = x², also dv = cosa? . dx

so wird

du = 2 xdx,

fx²cosa?. dx — a?²sina? — 2fxsinx . dx, folglich erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (18.) fx²cos# . dx = a?²sina? + 2a?cosa? — 2sina?.

J\\nx)m .dx — ?

(20.)

(21.)

(22.)

Aufgabe 8.

v — sin«,

Auflösung. Setzt man

(23.)

u = (lna+% also dv = dx

so wird

(24.)

du = m(lnx)m

dx

¹ • - 5

/(inxf¹. dx = x(lnx)m — mJ\ln x)m~~x. dx.

Das gesuchte Integral ist durch diese Gleichung auf ein ähnliches zurüçkge führt, das aus dem gesuchten hervorgeht, indem man m mit m — 1 vertauscht, und das deshalb einfacher ist. Durch wiederholte Anwendung der Gleichung (25.) findet man für jeden positiven ganzzahligen Wert von m das gesuchte Integral. Ist z. B. m — 4, so erhält man

(25.)

yjln a?)⁴ . dx — x(lnxf — 4f(\nxf . dx, y(lnxf . dx = x(lnxf — 3y|lna?)² . dx,

/(Ina?)² . dx — a?(lnxf — 2Jlnx . dx, ylna?. dx = afina? — x.

Indem man Gleichung (27.) mit — 4, Gleichung (28.) mit + 4.3, Gleichung (29.) mit — 4.3.2 multipliziert und sodann die Gleichungen (26.) bis (29.) addiert, erhält man

(30.)    f (ln a?)⁴ . dx = x [(ln a?)⁴ — 4(lna?)³

+ 4.3(lna?)² — 4.3.2(lna?) + 4.3.2.11.

(26.)

(27.)

(28.)

os .

§ 17. Integration von einigen trigonometrischen Funktionen. 85 In ähnlicher Weise findet man

(31.) J{\nx)m . dx = x[(\nx)m — m(\nx)m~l -f-    — l)(\nx)m~²

--{-••• + m(m — 1)... 3.2 . Ina? -j- m !].

Aufgabe 9.

Auflösung. Setzt man

> .x>”.dx = ?

also dv — ex. dx

(32.)

so wird

u = xm

cd Ai

du — mxm~l.dx, v — ex,

Jex . xmdx = a?w .    — mjex. a?**⁻¹. dx.

Auch hier ist das gesuchte Integral auf ein einfacheres zurückgeführt, das aus dem gesuchten hervorgeht, indem man m mit m — 1 vertauscht. Deshalb findet man

durch das gleiche Verfahren wie bei der vorhergehenden Aufgabe

(35.) Jex. xmdx = ex[x

-f- m{m — l)a?

• • • + m{m — 1)... 3.2 . x -\- m !].

— mx

§ l'Intégration von einigen trigonometrischen Funktionen durch partielle Integration.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 99 bis 118.)

/cos²a? .dx — ?

(1.)

Aufgabe 1.

Auflösung. Setzt man

u = cosa?, also dv = cosa?. dx

so wird

(2-)

du = — sina;. dx, v = sina?

(3.)

Jc,os²x. dx = cos a? sina? + Js\n²xdx.

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet aber, daß

man

sin²a? =1 — cos²a?

ist, so geht Gleichung (3.) über in

/cos²a?. dx = cos a? sina? + Jdx —Jcos²x. dx.

Dies gibt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch 2 dividiert,

(4.)

1    X

fl.

cos²# . dx = ^-sinamos# -f- ^ •

Aufgabe 2. Auflösung. Setzt

/sin²# . dx — ? man

(5.)

u — sm#. also dv = sin# . dx,

so wird

(6.)

(7.)

du — cos# . dx /sin²# . dx — — sin#cos# -j- /cos²# . dx.

v — — cos#

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, daß

cos²# =1 — sin²#

ist, so geht Gleichung (7.) über in

/sin²#. dx = — sin#cos# -\-fdx—Jsin²# . dx.

Dies gibt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch 2 dividiert,

(8.)

jsin²x .dx — — ^ sin# cos# -j- ^ •

man

Man erkennt ohne weiteres den Zusammenhang zwischen den beiden letzten Aufgaben. Die Gleichungen (3.) und (7.) stimmen miteinander überein, und durch Addition der Gleichungen (4.) und (8.) erhält

#.

(9.) /cos²#. dx -f-/sin²#. dx =/cos²# + sin²#)^# = fdx =

Außerdem wird auch noch die Lösung der einen Aufgabe durch die Substitution

(10.)

in die Lösung der anderen Aufgabe übergeführt. Man erhält nämlich durch diese Substitution

/in²#t?# = —Jcos²t dt.

Ähnliches gilt auch für die hier noch folgenden Aufgaben; die Aufgaben lassen sich einander paarweise so zuordnen, daß die Lösung der einen Aufgabe sich unmittelbar der Lösung der anderen durch Anwendung dieser Substitution ergibt,

Die Aufgaben 1 und 2 lassen eine wichtige Verallgemeinerung zu, die in den Aufgaben 3 und 5 untersucht werden soll.

Aufgabe 3.

Auflösung. Setzt man

u = cos— hc, also dv — cos a?. dx

aus

jcos^sL,.dx

(11.)

so wird

(12.)

du — — (m — l)cos—²xsinxdx, v — smaj,

hcsinæ-f- (m— 1) j‘cosm~²x sin²« dx.

(13.) /cos—«. dx = cos

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, daß

(14.) sin²« = 1 — cos²«, also cos-“²«sin²« = cos-~²«— cos-« ist, so erhält man (15.) /cos-« . dx = cos

——1«sin« -(- (m — l)/cos-⁻²« . dx

— {m — l)/cos-« . dxj

oder, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung, welches mit dem gesuchten Integral identisch ist, auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch m dividiert,

ti:

— cos—⁻'¹«sin« -1

—~Icos—⁻²«. dx.

(16.) Jcos—« . dx =

Für m = 2 geht diese Gleichung in Gleichung (4.) über. Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (16.) geht aus dem gesuchten Integral hervor, indem man

2 vertauscht, und wird daher einfacher, wenn m ^ 2 ist. Es sei z. B. m — 8, dann wird

mit

(17.)

cos⁸« . dx = cos⁷«sin« + ^ je

cos⁶«. dx

88    § 17. Integration von einigen trigonometrischen Funktionen.

cos⁶#. dx = ^cos⁵# sin# -f- jcos^x . dx, cos⁴# . dx — ~ cos³# sin # + cos²# . dx = — cos# sin# -f- ~ •

(18.)

(19.)

(20.)

05 0<

co Kh

cos²#. dx

Gleichung (19.) mit

Indem man Gleichung (18.) mit

7.5

876’

die Gleichungen (17.) bis (20.) addiert, erhält man

g~0 cos⁶# -f

Gleichung (20.) mit

7.5.3

8.6.4

multipliziert und sodann

(21.) Jcos⁸x . dx = sin #^cos⁷# -f

7.5

cos³#

7.5.3

Oi

8.6.4.2

cos#

In ähnlicher Weise findet man

(22.) ß

cos⁷# . dx — sin #

^ cos⁶# -f

-ZT COS⁴#

7.5

6.4

7.5.3

cos²#

)■

6.4.2

7.5.3.1

Man wird jedoch in allen Fällen, wo m = c2n -J- 1 eine ungerade Zahl ist, fcosmxdx lieber mit Hilfe von Formel Nr. 54 der Tabelle, nämlich mit Hilfe der Formel

sin²#)w. d(sin#)

/cos²”+⁴#. dx = /(I berechnen. Für m = 7 findet man dann z. B.

(23.) /cos⁷# . dx = J\1 — 3 sin²# -f- 3 sin⁴# — sin⁶#)^(sin#)

3    i

= sin# — sin³# -(- — sin⁵# — — sin⁷#.

ö    I

Man kann die Übereinstimmung der beiden Resultate in Gleichung (22.) und (23.) leicht nachweisen.

Ist dagegen m eine gerade Zahl und positiv, so ist man, wenn man nicht die Moivresehen Formeln anwenden will (vergl. Formel Nr. 94 der Tabelle), auf die in Gleichung (16.) enthaltene Rekursionsformel angewiesen. Dabei findet man ähnlich wie in Gleichung (21.)

(2n — l)(2w — 3)

cos2n~⁵x

2n . (2n — 2)(2n — 4)

cosa;

(2n — l)(2n — 3)... 5.3

2n (2n — 2) (2n — 4)... 4.2 (2n — 1) (2n — 3)... 5.3.1 2n(2n — 2) (2n — 4)... 4.2 X‘

Die Richtigkeit dieser Formel kann man mit Rücksicht auf Gleichung (16.) durch den Schluß von n auf w-f 1 beweisen.

Aufgabe 4.

(24.) ßc

cos2nx. dx

= sina? ~ cos2w—lx -J-

_2 n

2n{2n — 2)

- COS2/l~³X

f dx Jcosnx

Auflösung. Die Gleichung (16.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine von —1 verschiedene negative Zahl ist. Setzt man z. B.

also

m — 1= — n -j- 1 = — (n — 1) so geht die Gleichung (16.) über in

sin«    — (n — 1) /* dx

— (n — 2)c,osn~xx ⁺ — (n — 2)J cosnx In diesem Falle ist aber das Integral auf der linken Seite der Gleichung einfacher als das auf der rechten Seite. Deshalb bringt man die Gleichung (25.) auf die Form

(25.)

-,

dx

C,OSn~~²X

oder

n — 1 r dx n — 2 J cosnx

sin#

(26.) I

J

sina;

coswa; (n — 1) cosn~lx Es ist z. B.

’ dx

__, f dx

(n — 2) cosw—1 x Je

2 j' dx — I Jcosn~²x

cosn~²x

(27.)

* dx

sina;

4 cos⁴a;

3    /’ dx_

4    J cos³x

cos⁵a;

C dx sina;

J cos³x    2 cos²x

und mit Rücksicht auf Formel Nr. 48 der Tabelle

(28.)

, I f dx

' 2 J cosa;

(33.)

Aufgabe 5.

Auflösung. Durch die Substitution

ein Resultat, das mit dem in Gleichung (31.) übereinstimmt. Jsin^x. dx — ?

l-t

kann diese Aufgabe, wie schon erwähnt, auf die Aufgabe 3 zurückgeführt werden; hier möge jedoch, davon unabhängig, die partielle Integration angewendet werden. Setzt man

(34.)

u = sinw_1x, also dv = sinx. dx

so wird

(35.)

du = (m — l)sin^—2xcosx^x, v = — cosx,

— sin™⁻kr cosx -f- (m — l)Jsmm~²xcos²xdx.

(29.)

I

J cos a;

dx

= — ln

K-01

CO 'vH

Gleichung (29.) mit

also, wenn man Gleichung (28.) mit

multipliziert und die Gleichungen (27.) bis (29.) addiert,

3.1

4.2

dx

3 sina?

(30) ßeos^x 4cos⁴x ¹ 4.2cos²x Für n = 4 erhält man

<3L)/'

smx

3.1

4.2

ln

K-0]

’ dx

sinx

* dx

cos⁴x 3 cos³x

+ ²/

3 J cos²x    3 cos^x

smx

2

+ 3 tga?.

Man wird aber, wenn n eine gerade Zahl ist, zur Be-zweckmäßiger die Formel Nr. 61 der

-,

rechnung von Tabelle anwenden, nach welcher

cos^x

L%x - /⁽¹+tg%)

. d( tgx)

wird. In dem vorliegenden Falle ist z. B.

(32.)

m—1

(36.) Js\nmx. dx =

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, daß

(37.) cos²« = 1—sin²«, also sin™⁻²«cos²« = sin™⁻²«—sin"'« ist, so geht Gleichung (36.) über in

/sin™« . dx — — sin™“¹«cos« Ą- (m — l[/sin™—2« . dx

— (m — l^/sin™« . dx.

Dies gibt, wenn man das zweite Integral auf der rechten Seite, welches mit dem gesuchten Integral identisch ist, auf die linke Seite bringt und die ganze Gleichung durch m dividiert,

(38.) Jsinmx .dx — — sin™⁻¹«cos« -|

Für m = 2 geht diese Gleichung in Gleichung (8.) über.

Das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (38.) geht aus dem gesuchten hervor, indem man m mit m — 2 vertauscht, und wird daher einfacher für m^2. Es sei z. B. m — 8, dann erhält man

sin⁸« . dx = —

1—1 i §

sin™⁻²«. dx.

(39.)

(40.)

sin⁶« . dx — —

(41.)

sin⁴« . dx — —

1    7 f

^ sin⁷«cos« + ö /s

!““+[>

^ sin³«cos« -|-

sin⁶«. dx

sin⁴«. dx

sin²«. dx

(42.)

1 .    . x

— sm«cos« çr • a    A

Dies gibt ähnlich wie bei/cos⁸«. ć2«

sin²« . dx — —

(43.) jsm⁸x. dx

= — cos«

^sin⁷« + —g sin⁵« -f

7.5

7.5.

GO CO

8.6.4

sin³«

8.6.4.2

sin«^

7.5.3.1 8.6.4.2X'

In ähnlicher Weise findet man für m — 7

(44.) ß

sin⁷« .dx = — cos«

()sm,;x + ;r⁶_

6.4

7.5.3

sin²«

6.4.2

7.5.3.1

Man wird jedoch in allen Fällen, wo m = 2n -f- 1 eine ungerade Zahl ist, jsinmx. dx lieber mit Hilfe von Formel Nr. 57 der Tabelle, nämlich mit Hilfe der Formel

ysin2w+1a?. dx = —J{ 1 — cos²a;)w^(cosx) berechnen. Für m — 7 findet man dann z. B.

(45.) Jsiidx. dx = —1 — 3cos²a: -f- 3cos⁴.r — cos⁶x)^(cosa;)

== — cos a? -|- cos³a? — j^cos⁵a? -j- — coske.

O    4

Ist dagegen m eine gerade Zahl, und will man nicht die Moivresehen Formeln anwenden (vergl. Formel Nr. 96 der Tabelle), so ist man auf die in Bleichung (38.) enthaltene Rekursionsformel angewiesen. Dabei findet man ähnlich wie in Gleichung (43.)

sm?nx. dx =

(46.) ß

cos#

_2 n

sin²«—_j

2w(2w — 2)

sin2n~àx

(2 n — 1) (2 n — 3)

2'w(2w — 2) (2 n — 4)

(2n — 1) (2n — 3)... 5.3

2w(2n — 2) (2n — 4)... 4.2

sma?

(⁽2n — 1) (2n — 3)... 5.3.1 ~2n(2n — 2) (2n — 4)... 4.2 X'

f dx J sinnx

Auflösung. Auch Gleichung (38.) bleibt noch richtig, wenn m eine von — 1 verschiedene negative Zahl ist. Setzt man daher wieder

Aufgabe 6.

also

so

m — 1 = — n -f- 1 = — (n — 1) geht Gleichung (38.) über in

cosa:    —(n — 1) f dx

— {n — 2) s\TLn~lx — (n — 2) J sinnx Daraus folgt in ähnlicher Weise wie vorhin cosa;

m — 2 = — n,

f dn”~²x

dx

f dx

sinwx

(n — l)sinw—1a;

2 r dx — 1 Jsinn~²x

Es ist z. B.

f dx

J s

f dx J sin³#

und mit Rücksicht auf Formel Nr. 47 der Tabelle

(49.)

(50.)

(51.)

also

« B

Ist n

sin⁵#

cos#

sin⁵#

4 sin⁴#

cos#

2 sin²#

3 f dx

1 fjx

⁺ 2 Jï~

sura

smx

/=-■*[«©]

cos#

3 cos#

3.1

4 sin⁴# 4.2 sin²#

4.2

ln tg

/ dx

eine gerade Zahl, so wird /    • zweckmäßiger

durch die Formel Nr. 64 der Tabelle, nämlich durch die Formel

⁼ —ß¹ +    ■ dMgx)

¹

b)-\-a—]/d²-\-b²— ^ ya² + b²— c²    V(c—b)a-\~ya?-\-b² — c²/

²

und für by² — ci < 0 erhält man nach Aufgabe 4 (Formel Nr. 89 der Tabelle)

³

Die häufig gebrauchte Bezeichne ng „teilweise Integration“ ist sprachlich nicht zulässig.

Kiepert, Integral-Rechnung.

ermittelt. Es ist z. B.

(53.)

/sTn⁴# =    ctg2x)d(rtg%) = — ctg# — - ctg³#.

Aufgabe 7.

Jsinmxcosnxdx — ?

an-

Auflösung. Ist n eine ungerade Zahl, so findet man die einfachste Lösung der Aufgabe mit Hilfe von Formel Nr. 55 der Tabelle; und ist m eine ungerade Zahl, so kann man Formel Nr. 58 der Tabelle mit gutem Erfolge wenden. Sind aber m und n beide gerade Zahlen, so wird man in den meisten Fällen durch Anwendung einer der beiden Formeln

cos²# =1 — sin²# und sin²# =1 — cos²# auf die durch die vorhergehenden Aufgaben erledigten Fälle kommen. Handelt es sich z. B. um ycos°#sin⁴#^#, so wird man setzen

/cos^sin⁴#^# = /cos³#(l — 2cos²# -j- cos⁴#)^#

=^Jcos⁶xdx — 2 Jcos⁸xdx + fcoswxdx.

Diese Integrale kann man aber mit Hilfe der Ï ormel Nr. 101 der Tabelle berechnen.

Oder man setzt

Jco&xsirfixdx — fsiréxil — 3 sin²« -f- 3 sin⁴« — sin⁶«)e?«

=J&iv^x dx — Sjsirfixdx -f- 3frinHxdx —y sin¹⁰« dx und benutzt dann Formel Nr. 104 der Tabelle zur Berechnung dieser Integrale.

Man kann aber auch den Exponenten des einen Faktors der Differential-Funktion durch partielle Integration schrittweise verkleinern und dadurch den Faktor fortschaffen. Setzt man nämlich

(54.)

u = sin*”⁻¹«

dv — cos”«sin«^«,

und deshalb

(55.)

du = (m — l)sin;”⁻²«cos«ćfa;, v —

cos”⁺¹«

so erhält man

n -f- 1

(56.) jsmmxcosnxdx =

sin*”⁻¹« cos”+¹«

n -Fl

r/s

sin*”⁻²« cos”⁺²« dx.

n -f- 1

Daß sich hierbei der Exponent von cos« um 2 Einheiten erhöht, kann unter Umständen sogar vorteilhaft sein. Ist nämlich m positiv und n negativ, so ist diese Formel sehr brauchbar. Ist z. B.

so geht Gleichung (56.) über in

sin»*—¹«

'sin*”«

dx —

cos”*«

(— m + l)cos*”—x«

— m -f- 1

fi

'sin»*—²«

cos*”-:²x

dx

oder

(57.)

fr

mxdx =

tg»*—!« -

fr

m~²xdx.

Ist aber n gleichfalls positiv, so benutze man die Be

ziehungen

cos²« =1 — sin²«,

sin*”⁻²« cos”+²« = sin*”⁻²«cos”« — sin*”« cos”«.

Dadurch geht Gleichung (56.) über in sin*»—¹«cosw+1«

sin”*« cos nxdx —

m—

n -f- 1

n -f- 1 m —

\-

sin*»—²« cos”« dx

^ /sin*”« cos”« dx₎

§ 17. Integration von einigen trigonometrischen Funktionen. 95 oder

m + n n -j— 1

sin**# cos nxdx —

sin**⁻xx cosw+1x

n -f- 1

sin**~²a: coswx dx.

(58.) Js

Dann folgt sin**# cos nxdx —

sin**⁻xx cos**⁺¹#

m -f- n

— fsinm~²xcosnxdx. m -{- nj

Durch diese Formel kann man den Exponenten von reduzieren. Einen besonderen Fall dieser Formel er-

sma:

hält man für n — 0, dann geht nämlich Gleichung (58.) in

Gleichung (38.) über.

Vertauscht man in Gleichung (58.) m mit —m + 2, also m—1 mit —jw + l und m — 2 mit —m, so erhält man

fcosnx dx    cosw+1a; __m—1 j

J sin**⁻²#: — (n—m + 2)sin**-aa; n — m-\-2J

'cos nxdx

sin-^a;

oder

(59.) I

cos nxdx

cos*⁺¹a:

n — m-\-2 Ecosnxdx 1 J sin**⁻²a;

(m —2,) sin**⁻¹#

Einen besonderen Fall dieser Formel erhält man wieder für n — 0, dann geht nämlich Gleichung (59.), wenn man m mit n vertauscht, in Gleichung (48.) über.

sin**a:

In ähnlicher Weise kann man den Exponenten von cos x reduzieren. Setzt man nämlich

dv = sin**# cos xdx,

(60.)

u = cos*⁻¹#

also

(61.)

du — — (w — 1) cos*⁻²# sin x dx, v =

sin**⁺¹#

-:—— J

m -f- 1

so wird

(62.) js

sin**#cos*a'dx =

sin**⁺¹#cos*_1#

m -f 1

^ni/s

m + l J

Ist n positiv und m brauchbar; ist z. B.

si nm+2x cos n~²xdx. negativ, so ist diese Formel sehr

m = — n

so geht Gleichung (62.) über in

(63.)

~~²xdx.

Ist aber m gleichfalls positiv, so benutze man die Be

ziehungen

sin²# =1 — cos²#,

sinm+2x cosn—²x = sin²²²# cos"“²#— sin²²²# cos”#.

Dadurch geht Gleichung (62.) über in sin^+brcos"⁻¹#

sin²"# cos"# dx

m - j- 1

r>

m -f- 1 n—lf.

---— |sm*# cos nxdx.

m+l J

sin²²²# cos"⁻²# dx

oder

m -f- 1

sin"²# cos"# dx —

&m.m+1x cos" ■*•#

r/

sin"²# cos"⁻²# dx :

daraus folgt

(64.) ys

sin"²# cos²²# dx

sin"²*¹# cos"⁻¹#

sin"²# cos²²⁻²# dx.

Durch diese Formel kann man den Exponenten von cos# reduzieren. Einen besonderen Fall dieser Formel erhält man für m = 0, dann geht nämlich Gleichung (64.), wenn man n mit m vertauscht, in Gleichung (16.) über.

Vertauscht man in Gleichung (64.) n mit — n + 2, also n — 1 mit —n + 1, n — 2 mit —n, so erhält man

— n + 1    /sin²"# dx

m — n + 2J cos"#

sin²"#^#

sin"²⁺¹#

cos"—²# (m — n + 2) cos²²⁻¹#

oder

<65.) /

sin²"#«?#

sin²"*¹#

m — n + 2 / sin²"#<i# w — 1    / cos"⁻²#

(w — llcos²²⁻¹#

Einen besonderen Fall dieser Formel enthält bereits Gleichung (26.).

cos"#

Die hergeleiteten Formeln bleiben richtig, gleichviel, ob die Zahlen m und n gerade oder ungerade sind.

Was in den vorstehenden Aufgaben für die trigonometrischen Funktionen sina?, cos te, tgx, ct gx gezeigt worden ist, kann in entsprechender WTeise auch für die hyperbolischen Funktionen ©hur, Sofa?, liga?, Stga? ausgeführt werden ; um Raum zu sparen, sollen hier nur die Resultate angegeben werden. Es ist

mx. dx —

(66.) ^Soj

(67.) /©inmx. dx =

(68.) k g

(69.) ktt

mx. dx =

— Sof"*⁻bcSina? -(-m

lj^r

~²x. dx

th j g

©tn;w—xx Sof x

mx .dx — —

-jkin

m~~²x. dx

-Stgw_1a? + /(St g m — 1    J

~²x. dx

m~²x. dx.

Aufgabe 8.

Auflösung. Setzt man u — e

Jeaxcos(bx)dx = ?

ax

dv = cos (bx)dx,

(71.)

du — aeaxdx

sin (6a?)

so erhält man

(72.) firco» =

eaxsm(bx) —

o-! a

Jeax sin (bx)dx

Setzt man dagegen

(73.

also

dv = sin (bx)dx

(74.)

du — aeaxdx,

cos(bx)

so erhält man

(75.) Jeaxsm(bx)dx =

— &x cos Q>x) + ^leaxcos{bx)dx.

Dies gibt, wenn man Gleichung (75.) mit —~ multipliziert, zu Grleichung (72.) addiert und das Resultat durch

dividiert

a² + 6²

(76.)

jeax cos(bx)dx =

ßClX .

æcos(6x) -f- 6sin(6x)

Multipliziert man dagegen Gleichung (72.) mit ? addiert

Q% 1    ^2

dann Gleichung (75.) und dividiert durch —^—? so erhält man

(77.)

j eax sin (bx)dx —

ßUX .

asin(6x) — bcos(bx)

a² -f b²

Noch einfacher findet man diese Gleichungen (76.) und (77.) durch Anwendung der Formeln

2 cos (bx) — ehxi -f- e~bx\ 2i sin (6.x) = ebxi — e~bx*, wobei allerdings die Differential-Funktion eine komplexe Form erhält.

§ 18.

Integration von einigen irrationalen Funktionen durch partielle Integration.

Aufgabe 1.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 119 bis 131a.) xmdx

y a² — x²

Auflösung. Die Aufgabe ist mit Aufgabe 5 im vorhergehenden Paragraphen nahe verwandt, denn setzt man nach Formel Nr. 84 der Tabelle

x = «sin£ so wird

also dx = acostdt, Ya²—x² = acost,

'amsinmt. acostdt

acost

amJs

sin mtdt.

Ya²—x²

Die folgenden Umformungen entsprechen deshalb Zeile für Zeile denen in jener Aufgabe. Hier setzt man

xdx

Y o?—x²

dann wird nach Formel Nr. 31 der Tabelle

(IO

also dv —

(2-)

du — (m — 1 )xm~²dx₁ v = — y a² — x²

/’ xmdx

(â)h

a²—x²

_ — xm—iya2-x2 _j_ (jn-yjx

HxV a? -—x².

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung

ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, daß

Ya²—x²

a² — x²

also daß xm~‘²]/«² — x²

cdxm 2 — xm

Y a² — x²

ist, so geht Gleichung (3.) über in

Y a²—x²

f xMdx = — xm~x Va²—x² + [m - 1) / j Y cd—x²    J

'xm~:2 — xm)dx

y cd — x²

Dies gibt

xmdx

Y cd—x²

— — xm~xycd—x²    (m —

m~~²dx

— (m — 1)j

i)if»

* xmdx

Y cd—x²

Das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist mit dem gesuchten Integral identisch. Bringt man dasselbe auf die linke Seite und dividiert die ganze Gleichung durch m, so findet man

ccmdx

(4.)

(m

y cd—x²

)))

1 )a² Txm-²dx

Jya²—x²' ,W

In dieser Formel geht das Integral auf der rechten Seite der Gleichung aus dem gesuchten Integral hervor, indem man m mit m — 2 vertauscht. Es ist daher, wenn 2 ist, einfacher als das gesuchte

die ganze Zahl m Integral.

Für m = 6 erhält man z. B.

(5.)

xr,dx

x⁵

(6.)

y ad—x2 xAdx

Y od—x² 4

5ad /' x⁴dx

⁶ J Y d²—x² ^

(7.)

y cd—x2 x²dx

y cd—x² -f

x²dx

J_f_,

4 JYad—x²’

3 a²

—x²

ya²—x²

und mit Rücksicht auf Formel Nr. 34 der Tabelle

(8.)

dx

Ya² — x²

= arcsin

Gleichung (7.)

Indem man Gleichung (6.) mit

5.3 . la⁶

5.3 a⁴

ITT’

Gleichung (8.) mit die Gleichungen (5.) bis (8.) addiert, erhält man

mit

6.4.2

multipliziert und

(9.)

xHdx

ya?—x²

'= - Va² — x²(^

ba²x³ . 5.3cdx

6.4

6.4.2

5.3.1

a⁶ arc sin

¹ 6.4.2

In ähnlicher Weise findet man für m — 7 mit Rücksicht auf Formel Kr. 31 der Tabelle x⁷dx Ya²—x²

Man wird aber die in Gleichung (4.) enthaltene Rekursionsformel nur anwenden, wenn m eine gerade Zahl ist. Für ungerades m, also für m = 2n -f- 1 führt die Substitution

mi

--₉/xß 6 a² ad . 6.4a⁴x² . 6.4.2a⁶

Ya²—x²(---i

7.5 ¹ 7.5.3 ¹ 7.5.3.1

(11.)

y a² — x² — t

schneller zum Ziele. Es wird dann nämlich al — x² — t², x² = a² — t²

xdx = — tdt

also

(12.)

'x2n+1dx

\a² — t²)ntdt

y a? — x²

so daß man nur eine ganze rationale Funktion zu integrieren hat. Es ist z. B. x"dx

y a²—x²

= —— 3 afi² -f- 3 a²?!⁴ — tV))dt

= — (aH

aH³ +

(aG — aH² +

CO lO CO !lO

a²tb

a²tL —

oder, wenn man für t den Wert aus Gleichung (11.) einsetzt,

dB.)/

x'dx

y a²—x²

Va²—

Qa?xr

6.4 akr²

7.5

7.5 . B 6.4.2a⁶

7.5.3.1

Das in Gleichung (9.) enthaltene Resultat kann man sogleich verallgemeinern. Setzt man nämlich

1.3

2.4    ’

ci -

c₂ =

<?3 =

1.3.5

2.4.6

allgemein (14.) cn = so wird

1.3.5...(2n — 1)

2.4.6... (2 n)

1.3.5...(2n—1)(2» + 1) 2.4.6.7T(2n)(2n + 2)

(15.)

C₂

Ci

C2

os; O"'

Cn+1

Zn + 1

Setzt man ferner

Gx{x) = |

(Hx) - j +

(Hx) = f +

= CiX

,r~:

3a²;r

2.4

₌ ^ ÄX ₅r|    ■

Ci \ 3    2/ Ci L 3

5 akr³

4.6

3.5akr 2.476

C3 [x⁵ akr³ 3akr'

⁼ C2L5 ⁺ T ⁺ 274.

Ç3 [X⁵

c₂ 5

+ a²#₂(a;)J,

allgemein

rv*2i7Z-1

(16.) Gn(x) = —2^- +

(2 n — l)a²æ2w_3

(2n — 2) 2n

3.5... (2m — l)a2w-²x 2.4... (2w — 2)2w

(17.) Gn+l(x) =

(2n + l)a²:r2w

Zn + 2

Zn(Zn + 2)

(Zn —1)(2 n + 1 )a⁴x2n~³

(Zn — Z)(Zn)(Zn -J- 2)

Cn+1 f X2n+1

Cfi Zn -f- 1

a2x2n—i

Zn

3.5.. . (2w — l)(2n + l)a2w:r

2.4.. . (Zn—~Z)Zn(Zn + 2) (Zn — 1 )akr2w~³

(Zn — 2)2w

3.5.. . (Zn — l)a2nxl

2.4.. . (Zn — 2)2n _ ’

so wird

(18.

Gn+lipd) —

Cn+iT x2n + 1

cn JZn -j⁻ 1

+ a²Gn{x) .

Nach. Einführung dieser Bezeichnungen erhält man

= cn . a2narcsin

(a ) — ^0,2 — x2 '    •

(«■) fÄ

J y a²— x²

Die Richtigkeit dieser Formel kann man durch den Schluß von n auf n 1 beweisen. Es ist nämlich nach Gleichung (4.) für m — Zn + 2 'x2n+2dx

x2n+1

y a²—x²

Zn 4- 2

y a²—x² 4

(2n + l)a² Ç x2ndx

2n + 2 J y a²—sc²

oder, wenn man voraussetzt, daß Gleichung (19.) richtig ist, 'x2n+2dx

y a²—x²

/jqItz 4-1

2 n 4- 2

ya²—x²

(2 n 4- 1 )a²

Zn 4- 2

cncd‘n arcsin

(2n 4- 1 )a²

Zn 4- 2

ya²—x² . Gn(x)

folglich ist mit Rücksicht auf die Gleichungen (15.) und (18.) 'x2n+² dx

Ya²—x²

Ist also die Gleichung (19.) richtig, so bleibt sie auch richtig, wenn man n mit n 4-1 vertauscht. Aus den Gleichungen (5.) bis (9.) erkennt man, daß die Gleichung (19.) für n = 1, 2 und 3 richtig ist, folglich bleibt sie auch richtig für n = 4, 5, 6,..., d. h. für alle ganzzahligen, positiven Werte von n.

«/

2n+2

arcsm

x². Gn+i(x).

(21.)

Aufgabe 2.

Auflösung. Es ist

xmy a²—x² =

Jxmdx y a² — x² — ?

a?xm — xm+2

folglich wird

y a² — x²

(22.)

I xmdxy a² — x² — a²l

J    J

xmdx

'xm+2dx

y a² — x²

Ya²—x²

Nun erhält man aus Gleichung (4.) durch Vertauschung von m mit m 4- 2

'xM+2dx

m -f- 2

~\/ a?—x²

(m + l)ft- f xmdx

*+* 2 J y a? — x²

Subtrahiert man diese Gleichung von der vorigen, so ergibt sich

(24.) I xmdxVa²

x² =

m -f- 2

Y a² — x² +

a²

xmdx

x²

m + 2J y a 2

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man dann weiter durch die in Gleichung (4.) enthaltene Rekursionsformel reduzieren. Man findet z. B. für 0 mit Rücksicht auf Formel Nr. 34 der Tabelle

(25.)

jdx Y a²

— x² —

arc sin

und für m — 1 mit Rücksicht auf Formel Nr. 31 der Tabelle

(26.)

jxdxVa?

x²

a²

—x² = ₀ ya,²—x² — -5- yd²—x2 3    o

= — \    — x²) y d² — x².

o

Auch hier wird in dem Falle, wo der Exponent m eine ungerade Zahl ist, die Substitution

yaP^x² = t, x² = a² — t², xdx = — tdt

schneller zum Ziele führen. So ist z. B.

x²

= - jt²dt

woraus sultat ergibt.

sich wieder das in Gleichung (26.) gefundene Re-

J xn

dx

Aufgabe 3.

Auflösung. Gleichung (4.) bleibt auch dann noch

Setzt man z. B.

yd²—x²

richtig, wenn m eine negative Zahl ist.

— (n — 2) = — n + 2

also

— 1 = — n + 1 = — (n — 1), so geht Gleichung (4.) über in

m — 2 = — n,

r dx Jxn

Y cP—x²

(n — 1 )a²

— {n — 2)

r dx ! xn

Y cP — x²

In dieser Gleichung ist das Integral auf der linken Seite einfacher als das auf der rechten. Deshalb vertauscht man beide Seiten der Gleichung und findet durch Multi-

ry^ _ 2

plikation mit dem Faktor -—

(n — 1 )a²

(27.) / -

Jxn

dx

Y cP — x²

n — 2 P dx (n — 1 )cPj xn~² YtP—x²

(n — 1 )a²x

Es ist z. B. für n — 2 in Übereinstimmung mit Formel Nr. 38 der Tabelle

Y a² — x²

(28.)

f_dx

J :

X² Y Cp—X²

Y cP—X²

cPx

dx

Auf dieses Integral kann man /-

J x2mY cP — x

wiederholte Anwendung der gefundenen Fekursionsformel immer zurückführen. Dagegen/ gelangt man für ungerade

Werte von n zu

= durch

2

f____chp

JxY cP — X²

(27.) enthaltene Formel nicht mehr anwendbar ist, weil die rechte Seite die Form oo — oo annimmt. Man erhält aber

auf welches die in Gleichung

nach Formel Nr. 37 der Tabelle

(29.) f J x

dx

Y cP—X²

= — — üfr(Sof (—} = a ■    \x/

Aufgabe 4.

xmdx

Y Cpp-X?

Auflösung. Man kann das gesuchte Integral nach Formel Nr. 85 a der Tabelle leicht auf f Sinmu . du zurückführen, indem man

x = aSinw

setzt; denn dann wird

also

dx — a$Lo\u . du, Y cP -\-x² = a&o\u,

' xmdx

fi

’ j y a² 4-x²

= amß

Sinmu . du.

Unabhängig davon kann man die Aufgabe in folgender Weise lösen. Setzt man

(30.)

nt— 1

also dv -

xdx

Y a² -f- %²

so erhält man

(31.)

du — (m

r xmdx

⁽³²⁻⁾ JVcF+x² ~ x

l)xm~²dx, v — "K a² + x²

VST+^ -C-

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist nicht einfacher als das gesuchte Integral; beachtet man aber, daß

a²-\-x2 Y a² -f- x²

ist, so geht Gleichung (32.) über in

y a² -j- x² —

m—2

y a²-\-x²

a²xm~² -f- x

ya²-\-x²

(33.)/'

xmdx

m~²dx

y a²-j~x²

— xm~x y a²-\-x² — (m — 1 )a²/-- -₂

J y au x

/' xmdx

J y a² -f- x²

Bringt man das zweite Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung, da es mit dem gesuchten identisch ist, auf die linke Seite und dividiert die ganze Gleichung durch m, so erhält man xmdx

y o?+x²

Es ist z. B. für m = 6 x&dx

ya² + x²

xĄdx

(34.) /

(35.)

(36.)

(37.)

y u²4-3c²

x²dx

y a² + a?²

z**-¹

m ya+    m Jya? + z?

^    -2    ⁵®² i X*dX

= -6Va+x—eJvaą^

~iya+x iJVW+tf _£iiÆ+^-A/L^-

-₂Va+x

x:

und mit Rücksicht auf Formel Nr. 35 der Tabelle

x + y a² -f x²

(38.)

y«²+^²

(39.)

Dies gibt

xßdx

./

y a² -f- x²

= Ya? + x^

5    a²xà    5.3 aAx

6    .1 ⁺ 6.4.2

5.3.1

6.4.2

ft⁶ ln

x -f- V d~ -f- x²

In ähnlicher Weise findet man

(40.)

/,

;r⁷Ær

1/V+*²(y

6a²rr⁴ . 6.4a⁴,h²    6.4.2aß

7.5

7.5.3

7.5.3.1

]/ a² + x²

man wird aber, wenn m eine ungerade Zahl ist, schneller zum Ziele kommen, indem man die Substitution

y a² -j- x² = t, x² = t²—c²,

xdx

y a² -f- x²

= dt

anwendet. So findet man z. B. x⁷dx

(41.)

y a²-\-x²

■Jxßdt = ßtß

3ft²^⁴ -f- 3fth² — aß)dt

+ ft⁴F — ft⁶*,

o

Die vorstehenden Formeln bleiben sämtlich noch

richtig, wenn man -f- ft² mit — ft² vertauscht. Dadurch findet man z. B. aus Gleichung (34.)

—1

mh

xmdx

y x²—a² -j-

y x²—a²

und aus den Gleichungen (37.) und (38.)

(m — l)ft² r'xm~²dx

J y x²—ft²

<⁴³-)/

x²dx

y x² — a²

= jVx¹— a? + “ ln(

= | V^~a? + l" «r®oj(~Y

x -f- yx²—a²\)

*) Durch Vertauschung von -f- a² mit — a² geht allerdings

!n(

x + Va² -\-x²

^ = ln(æ -f- Va² -f- x²)

— Ina

über in

ln(æ + Vx² — a²) — ln(a V — 1) == lu

x -f V x² — a²

^ — lu (V— 1).

Hierbei darf aber die Intégrations - Konstante —ln (F—1) fortgelassen werden.

Man kann das

Integral J

’ Xmdx

y x² — a²

leicht auf J&o\mu.du

zurückführen, indem man

setzt; denn dann wird

dx = a&mu . du

Y x²— a² = a<Binu

also

= am/(io,

Aufgabe 5. Auflösung, Es ist

xmdx Y x²—a²

Jxmdx Y a?-\-x² — ?

mu.du.

(44.)

xm y o? -\~x² —

folglich wird

a²xm + xm+²

yWT^

(45.)

J xmdx Yd² -(- x² — a²J‘-

xmdx

'xm+2dx

Y a² + x²

Y a²-\-x²

Nun erhält man aus Gleichung (34.) durch Vertauschung von m mit m -f- 2

'xm+²dx

(46.)/

g.m+1

Y a²-\-x²

(m -f- 1 )a² C xmdx + 2 J y a? + x²

ya² -\-x2 m 4~ 2 Addiert man diese Gleichung zu der vorigen

so er

gibt sich

(47.) I xmdx Y d¹ A x² =

xm+¹

xmdx

m +    Y a² -J_ x²

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man dann weiter durch die in Gleichung (34.) enthaltene Rekursionsformel reduzieren. Man findet z. B. für 0 mit Rücksicht auf Formel Nr. 35 der Tabelle

m-\- 2

Y a²-\-x² +

(48.) IdxYo?x² = ^ Yo?x² ln/

x    Y a²-\-x²

und für m — 1 mit Rücksicht auf Formel Nr. 32 der Tabelle

(49.)jxdx Ya²+x² = **Ya²+x² + jYa²+x² = ^{a²Ą-x²)Y a²+x².

Auch hier wird man in dem Falle, wo der Exponent m eine ungerade Zahl ist, besser die Substitution

Y d²-j-X² — t

benutzen.

Durch Vertauschung von a² mit — a² gehen die Gleichungen (47.) bis (49.) über in

xm+l

m - j- 2

(50.) Je

(51.) jdx y%2 (52.) JxdxYx²

Aufgabe 6.

xmdx Yx²— a² =

Y x²—a² —

a²    /' xmdx

+ 2/Yx² — a²

— a² =

— a² =

^Yx²—a² — ~ ln^

i (x² — a²)Yx2 o

X -j- Yx² — ar\ *)

-a².

7-

J xn

dx

Y a² + x²

Auflösung. Gleichung (34.) bleibt auch dann noch richtig, wenn m eine negative Zahl ist. Setzt man z. B. m = — (n — 2) — — n-f-2,

also

so geht Gleichung (34.) über in

Y a2jrx²

(53.) f-J x

dx

Y a²-\-x²

(n — 2)xn'~¹

(n — 1 )a² r

n — 2 Jxn

dx

Y a²-\-x2    4

Vertauscht man beide Seiten dieser Gleichung miteinander und multipliziert sie mit dem Faktor so erhält man

(n — 1 )a²

(54.) f-J x'

dx

Ya² -j-x²

Y a²Ą-x²

(n—1 )a²xn~¹

2 f dx (n—l)a²Jx

Y a²-\-x²

Es ist z. B. für n = 2 in Übereinstimmung mit Formel Nr. 40 der Tabelle

(55.)

-,

dx

Y a²-\-x²

x² Y a²-\-x²

a²x

Auf dieses Integral kann /-    ,__

Jx2mYa²+x²

dx

durch wieder-

*) Vergl. die Anmerkung auf Seite 106.

sionsformel immer zurückgeführt werden. Dagegen gelangt man in dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist, zu

auf welches die in Gleichung (54.) enthaltene

Ja

dx

xva²-\- x²

Formel nicht mehr anwendbar ist, weil die rechte Seite

die Form — oo -{- co annimmt. Formel Nr. 39 der Tabelle

Man erhält aber nach

(56.) / Ja

dx

a    \x/

V'

a \

-f- Va²-\- x²

x Ya²-j- x²

Vertauscht man -j- a² mit — a², so gehen die Gleichungen (54.) und (55.) über in

(57.)

dx

y x²—a²

n ]/x² — a²

2 f dx

(n—\)a²xn-x 1 (n — 1 )a²J x

Vx² — a²

(58.-)

dx

Vx²— a²

J x²\x²—a2 Auf dieses In

a²x

(Vergl. Formel Nr. 42 der Tabelle.)

tegral läßt sichJ---

durch wieder-

x2mYx²— a²

holte Anwendung der in Gleichung (57.) enthaltenen Rekursionsformel immer zurückführen. Dagegen gelangt man

in dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist, zu j

dx

Y x²—a²

auf welches die in Gleichung (57.) enthaltene Formel nicht mehr anwendbar ist, weil die rechte Seite die Form oo annimmt. Man erhält aber nach Formel Nr. 41 der labeile

— —arcsin^ V

— oo

(59.)

dx

Y x²— a²

Anwendungen der Integral-Rechnung.

V. Abschnitt.

Quadratur der Kurven.

§ 19.

Quadratur der Kurven bei Anwendung rechtwinkliger

Koordinaten.

Nach Formel Nr. 4 der Tabelle ist der Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche begrenzt wird

1. ) von der Kurve y = f{x),

2. ) von der X-Achse,

3. ) von den beiden Ordinaten x — a und x = b,

gleich

6    b

(1.) F = Jydx = J‘F\x)dx = [X(:r)] — F(b) — F(a),

a    a    a

wobei F'(x) — f(x) sein soll.

Die Berechnung des Flächeninhaltes von solchen ebenen Figuren nennt man „Quadratur der KurvenMan kann die dafür angegebene Formel sofort zur Lösung der folgenden Aufgaben benutzen.

(2.)

Aufgabe 1. Es sei eine Kurve durch die Gleichung 8 y = x²

gegeben (Fig. 14); man soll die Fläche A\B\BA berechnen, welche durch die beiden Ordinaten

x — a = 2 und x = b — 7

begrenzt wird.

Auflösung. Nach Gleichung (1.) wird

(3.) F =

GO] l-¹

Mg. 14.

x²dx -

b/

= ^(7⁸ - 2³⁾

343 — 8    335

24

24

Aufgabe 2. Die Gleichung __ einer Parabel OP (Fig. 15) sei ⁰

y² = 2px, oder y — ]/2^x; soll den Flächeninhalt der Figur OQP berechnen. Auflösung. Da der Punkt 0 die Abszisse 0 und der Punkt P die Abszisse OQ gleich a hat, so erhält man nach Gleichung (1.)

Bf X

(4.)

man

Fig. 15.

(5.) F = Jydx — J Y2px. dx o    o

_ fi

= Y2pjx² dx o

^ x

r² fi

_/y» &

3

0

= y 2p

irx

oder

(6.)

F = -3~

In diesem Resultate ist der Satz enthalten:

Die von der Parabel OP, der X-Achse und einer beliebigen Ordinate QP begrenzte ebene Figur verhält sich Fläche des Rechtecks OQPR mit den Seiten OQ = x und QP = y wie 2:3.

Aufgabe 3. Die Gleichung einer Parabel (Fig. 16) sei oder y = '&y~x\

zur

(7.)

y² = Qx

man soll die Fläche A\B\BA berechnen, wenn

OA\ = 4, OBl 25

ist.

Auflösung. Nach Gleichung (1.) wird in diesem Falle

25    25,

(8.) F = Jydx = 3Jx² dx

4    4

Fig. 16.

R.

r² Ji

25

25

= 2 xYx

also

8) = 234.

■i-x (9.) F = 2(125

(10.)

Aufgabe 4. In einer Ellipse mit der Gleichung b²x² + a²?/² — a²b² — 0,

oder

(10a.)

y — + — Y a² — x²

Oj

sind die Ordinaten QiPi und Q2P2 gezogen (Fig. 17); man soll den Flächeninhalt der Figur Q1Q2P2P1 berechnen.

Fig. 17.

B Pi

Auflösung. Aus Gleichung (10a.) folgt, da man nur das obere Vorzeichen zu beachten braucht,

•>

Q,

tr(n.) F

Xi

=jydx

X\

'£■>

— ^JdxYa²

— X2¹)

folglich wird nach Formel Nr. 123 der Tabelle und mit Rücksicht auf Gleichung (10 a.)

(12.)

% ]/a² — x² -f

^2

arc sin

Xo

Xo

~xy , ab

= 2“+ ₂arc«m

oder

(13.) F =

(X2V2 — xiyi) + y arc sin(^²)

— arcsin

C)

Es sei z. B.

X2 — 5

also

ÿ, = |V36-l= 1/35, y₂ = dann wird

Ol CO

051

l/36-25 = |l/U;

= ^-(5 y 11 — y 35) + 12^arcsin

— arcsin

CT (—¹

Nun ist

₅yil = y275 = 16,583 123 5,916 080

&yn — y 35 » 10,667 043 |(5Vn - r§5) =

y35

3.555 681

12 arc sin

= 11,821 327

tH CO

(5yil — y35) + 12 arc sin    =

12 arc sin    =

15,377 008

2,009 377 F = 13,367 631.

Aufgabe 4-a. Man soll die ganze Fläche der Fllipse mit den Halbachsen a und b berechnen (Fig. 17.)

Auflösung. Man erhält den Quadranten der Ellipse, in der vorhergehenden Aufgabe

wenn man

Xi — 0 und X2 = ß,

also

yi = b und y2 = 0

setzt. Dies gibt

(14.)

ab

— arc sin 1 =    •    ?

Ü

folglich wird der Flächeninhalt der ganzen Ellipse JE — 4:F — abjc.

(15.)

(16.)

Aufgabe 5. In einer Hyperbel mit der Gleichung b²x² — a²y² = a²è²,

oder

(16 a.)

y = + — Yx² — a²

Qj

Mg. 18.

?/

p/

sind die Ordinaten Q\P\ und Q2P2 gezogen (Fig. 18); man soll den Flächeninhalt der Figur Qi Q2 P2 Pi berechnen.

A\ Q, QÏqTX

Auflösung. Aus

Gleichung (16 a.) folgt, da man nur das obere Vorzeichen zu berücksichtigen braucht,

(17.)

x₂    a*2

Jydx = —JdxYx²

— a².

xx

Xx

(18.) F =

Deshalb wird nach Formel Nr. 129 a der Tabelle

(x -f- Yx² — a²

ln(

~x

.2

Y x² — a²

)]

->zi

_2

%Yx²—a² —

oder mit Rücksicht auf Gleichung (16 a.)

l_ 2    2

= ~(xzy₂ — xiyi) —

Dabei ist ln^ entstanden.

Für den besonderen Fall, wo x\ gleich a und X2 gleich x ist, wo also die gesuchte Fläche AQP im Scheitel der Hyperbel beginnt, wird

(19.)

bx2 + ay 2

bxi -j- ayi

aus ]n

bx2 -f- ay2

bx i -f- ayi

e+D-'-e+i)

T-, xy ab, (x \

Aufgabe 6. Die gleichseitige Hyperbel ist, wenn man die Asymptoten zu Koordinaten-Achsen macht, durch die G-leichung

(21.) xy = 1, oder abgegeben; man soll den Flächeninhalt der Figur Q1Q2P2.P1 berechnen (Fig.

(20.)

Mg. 19.

19).

Auflösung. Aus Gleichung (21.) f ol gt nach F or mel Nr. 12 der Tabelle

Öl

A,

Qi

qTq~x

⁼ßdx -ß =

[Ina:]

also

(22.)

F — \nx2 — lna;i

- o-

(23.)

Setzt man Xi gleich 1 und X2 gleich x, so erhält man F = Ina:,

so daß der Flächeninhalt der ebenen Figur AiQPA, in welcher OA1 gleich 1 sein möge, die geometrische Deutung für die Funktion Ina: gibt.

Aufgabe 7. Die verallgemeinerte Parabel ist durch die

Gleichung

yn = 2px

oder y = y2p .xn

(24.)

gegeben, wobei m und n positive ganze Zahlen sind; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur Q1Q2P2P1 berechnen (Fig. 20).

Auflösung. Aus Gleichung (24.) folgt nach Formel Nr. 9 der Tabelle

Fig. 20.

(25.) F

~pl

<2*2    Xo

=jydx = y/2p jxndx

Xi

m + n

pj

= y%p

~nx n Y-

m 4- n

u    1    JXi

m-,x<2

— ——— xyüp

m n L

oder nach Gleichung (24.)

Für den besonderen Fall, wo Xi gleich 0 und x% gleich x ist, wo also die Figur im Scheitel 0 beginnt, wird

nxy m -f- n

(26.)

Qf

qTqx

m -f- n

7)

=--—OQPB.

m n

Dies gibt den Satz: Die von der Parabel OP, der X-Achse und einer beliebigen Ordinate QP begrenzte Figur OQP verhält sich zu dem Rechtecke OQPR mit den Seiten OQ gleich x und QP gleich y wie n zu m -f- n.

(27.) F = OQP =

Aufgabe 8. Die verallgemeinerte Hyperbel (oder polytropische Kurve) ist durch die Gleichung

(28.)

xmyn = 2p, oder y — y2p . x n gegeben, wobei m und n wieder positive ganze Zahlen sind ; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur Q1Q2P2P1 (Fig. 21 und 22) berechnen.

Auflösung. Es darf hier vorausgesetzt werden, daß die positiven ganzen Zahlen m und n voneinander verschieden sind, weil der Fall, wo m gleich n, bereits durch Aufgabe 6 erledigt ist. Unter dieser Voraussetzung folgt aus Gleichung (28.) nach Formel Nr. 9 der Tabelle

(29.) F

— iydx = y2p Ix n

nx n

1_n — m

Xi

Xi

X\

nfäp/ —m

=---V-( X2 H

n — m\

oder mit Rücksicht auf Gleichung (28.)

m-\

(30.)

x^Z2p .x n n{x 22/2 — xxyx)

Xl

—— [xy] n — m

Fig. 22.

Fig. 21.

0TX

Q,

q₂

Bei dieser Aufgabe tritt ein bemerkenswerter Umstand ein, von dem später noch ausführlicher die Rede sein wird, wenn sich die Ordinate Q\P\ der 7- Achse immer mehr nähert, wenn also

lim:ri = 0

wird. Die Y-Achse ist nämlich eine Asymptote der Kurve, so daß sich in diesem Grenzfalle der Flächenstreifen in der Richtung der 7- Achse bis ins Unendliche erstreckt. Damit ist aber noch nicht gesagt, daß dann auch der Flächeninhalt der Figur unendlich groß wird; es wird sich vielmehr ergeben, daß derselbe einen endlichen Wert erhält, wenn n > m ist (Fig. 21). Dann wird nämlich in Gleichung (29.) der Exponent — — positiv, und deshalb

lim^i

x,—0

so daß Gleichung (29.) in

(32.)

übergeht.

n/r\ n — m

₌ ny2p —nr₌ nx2y2 n — m

Yi _Yfl

Ist dagegen n <m (Fig. 22), so wird ——

negativ,

so daß man Gleichung (29.) besser auf die Form

n:y/2p

m — n

(33.)

X\ n

X₂ n

bringen wird. Jetzt ist

(34.)

lim^i n = 0 #1=0

also

(35.)

lim F = oo.

#i=0

Eine ähnliche Betrachtung stellt sich ein, wenn man X2, ins Unbegrenzte wachsen läßt. Dann erstreckt sich der Flächenstreifen in der Richtung der X-Achse bis ins Unendliche, und man erhält in dem ersten Falle, wo

n — m

> 0, lima?2 ,2*2=00

= OO

ist, aus Gleichung (29.)

(36.)

limF = co.

#2=00

In dem zweiten Falle dagegen, wo

m — n

--> 0,

n

lim

x₂ n

ist, findet man aus Gleichung (33.)

n \/2p    1

(37.)

lim F =

nxpgy

#2=00

XL n

Bei der in Aufgabe 6 behandelten gewöhnlichen gleichseitigen Hyperbel wird der Flächeninhalt der Figur unendlich groß, wenn die Ordinate QiP\ mit der Y-Achse zu-

sammenfällt, und ebenso auch, wenn die Ordinate Q2P2 ins Unendliche rückt, weil in Gleichung (22.)

lim ln^i = — 00 und lim lna?2 = 00.

#2=00

Aufgabe 9. Oie Kettenlinie ist durch die Gleichung

(38.) gegeben (D.-R., Seite 418); man soll den Flächeninhalt der Figur Q1Q2P2P1 (Fig. 23) berechnen.

Fig. 23.

Auflösung. Aus Gleichung (38.) folgt nach Formel Nr. 11 oder Nr. 19 der Tabelle

(39.) F

== jydx

r> *

lj(e«+e

a^)dx — ajk,o\(^jdx

IV

Xi

Xi

a²r A

X-?'¹

ea—e a —cd ©in

X‘2

Qi

Nun ergibt sich aber, wie auf Seite 418 der D.-R. gezeigt wurde, aus

Xi

Gleichung (38.)

( *

= \ea —

to, s

(40.)    + Vy²— a²

wobei das obere oder das untere Vorzeichen gilt, je nachdem x positiv oder negativ ist. Sind also Xi und X2 beide positiv, so geht Gleichung (39.) über in (41.) F - a[Vy² — a²f = a(]/y₂² — a² — Vyr—a²).

X\

Wäre Xi negativ, so würde man erhalten

(42.)

F = a(Vy₂²-a² + Vyi² — a²).

Wird Xi gleich 0 und x₂ gleich x (Fig. 24), so ist der Flächeninhalt der Figur OQPA gleich

und läßt sich auch sehr leicht als Rechteck darstellen. Beschreibt man nämlich um den Punkt A mit dem Halbmesser y einen Kreisbogen, welcher die X-Achse im Punkte B schneidet, so ist nach dem pythagoräischen Lehrsätze

Fig. 24.

(44.) OB = y~y*^~a², also Rechteck

p/

OBCA aVÿz^a?. Daraus erkennt man auch, wie man die Figur Q1Q2B2P1 (Fig. 23) in ein Rechteck verwandeln kann, bei dem wie-c der OA = a die eine Seite / und lA/2²—a² — VyC—a² die q jb~ andere Seite ist.

(45.)

Aufgabe 10. Die Zykloide ist durch die Gleichungen x = a(t — sinQ, y = a( 1 — cos t) gegeben (D.-R., Seite 419); man soll den Flächeninhalt der Figur berechnen, welche von einem ganzen Bogen OHA der Zykloide und von der X-Achse begrenzt wird (Fig. 25).

Fig. -25.

P,

F-

-ï-x

Auflösung. Sind x und y als Funktionen einer dritten Veränderlichen t gegeben, so wird es bei der Quadratur der Kurven (und ebenso bei den übrigen Anwendungen der Integral - Rechnung auf die Geometrie) im allgemeinen zweckmäßig sein, diese Größe t als neue Intégrations-Veränderliche einzuführen. In der vorliegenden Aufgabe bildet man daher zunächst

also, da OA gleich, dem Umfange 2aJt des rollenden Kreises ist,

2an

(2 a 7t)

(47.)

F =Jydx = a²J{ 1 ⁰ (0)

— cos#)(l — cos t)dt.

Bei Einführung einer neuen Intégrations-Veränderlichen muß man sorgfältig darauf achten, daß dabei auch andere Integrations-Grenzen einzuführen sind. Deshalb sind auch in Gleichung (47.) bei dem letzten Integral die Grenzen in Klammern eingeschlossen, um dadurch anzudeuten, daß sich dieselben noch auf die ursprüngliche Intégrations-Veränderliche x beziehen, und daß man dafür die entsprechenden Werte von # nachträglich einsetzen soll. Nun ist

x — 0 x — 2ax

folglich geht Gleichung (47.) über in

für # = 0,

„    # = 2jt,

2 71

(48.)

(49.)

F = a²J{ 1 — 2 cos# -j- cos²t)dt. o

[dt = #

Nach den Formeln Nr. 10, 13 und 99 der Tabelle ist Jcostdt = sin#, fcos²tdt = £ sin# cos# + £#,

so daß man erhält

J2ti

F = a²[t — 2 sin# + |sin#cos# + |#]Q

n²    M

= — [3# — sin#(4 — cos#)]o

Die Fläche eines Kreises mit dem Halbmesser a ist bekanntlich gleich a²Jt, folglich ist nach Gleichung (50.) die von der Zyldoide und der X-Achse begrenzte Fläche dreimal so groß wie die Fläche des erzeugenden Kreises (Fig. 25).

(50.)

= 3 a²Ji.

(51.)

Aufgabe 11. Die Astroide sei durch die Gleichungen «cos³#, y = a sin³#

man soll die von ihr

x —

gegeben (Fig. 26, D.-R., Seite 426); eingeschlossene Fläche berechnen.

x = 0 für t = —

t = 0

Jt

wird, so sind — und 0 die ent-

sprechenden Grenzen bei Einführung der Intégrations -Veränderlichen t. Deshalb erhält man

(52.)

dx = — 3«cos²£sini^,

a    0

(53.)

F = fydx = — 3a²fsinH . cos²£snUćfó

0    7t

= + 3a²JsinH cos²t dt.

o

Zur Ermittelung des unbestimmten Integrals von sin⁴£cos²£e^ beachte man zunächst, daß

(54.)

Fig. 26.

,p

Auflösung. Um zunächst den Flächeninhalt des Quadranten 0AB zu berechnen, muß in der allgemeinen Formel für x die Grenzen 0 und a einsetzen. Da nun

man

JsinHcosHdt = JsinH dt—JsinH dt

ist, und bilde nach Formel Nr. 100 und 104 der Tabelle die Gleichungen

JsinH dt = —|-sin⁶^ cosif -j~ | JsinH dt,

JsinHdt = —^sin³£cos£    % JsinH dt,

JsinHdt = —J-sin£cos£ -f-

Indem man Gleichung (55.) mit — 1, Gleichung (56.) mit —f -f- 1 = -f- -i-, Gleichung (57.) mit -f- ^ multipliziert und dann alle drei Gleichungen addiert, findet man

(55.)

(56.)

(57.)

(58.)

JsmHdt —jsinHdt =

— sin⁵# cos # —    sin³# cos #

6    24

^ sin# cos# -j- —

IG

16

71

folglich ist

(59.)

F = jg [cos#(8sin⁵# — 2sin³# — 3sin#) + 3#]^

a² 3^r 3a²jr ⁼ 16 ‘ 2 ⁼ 32 '

(60.)

Der Flächeninhalt der ganzen Astroide ist daher

3 a²jc

4:F =

Fig. 27.

c.

Dies gibt den Satz: Der Flächeninhalt der Astroide verhält sich zu dem Flächeninhalte des umschriebenen Kreises wie 3 zu 8.

Aufgabe 12. Die Zissoide des Diokles ist durch die Gleichungen

(61.) x — 2asin²9>, y — 2a

sin ³p

COSÇP

gegeben (D.-R., Seite 606); man soll den Flächeninhalt der Figur OQP 0 (Fig. 27) berechnen.

Auflösung. Aus den Gleichungen

(61.) folgt

x = 0 für <jp = 0

JT

(62.)

x = 2 a „ (p = g ’ dx — 4a sin p cos pdp,

oder

(63.)

F¹ = Jydx = Qay&irdpdp,

o    # o

man

folglich wird nach Formel Nr. 105 der Tabelle, wenn n gleich 2 setzt,

(64.) F = 8a² — cos <p

(jsin s<p

³^sin^ +

3.1 f

4.2

<P

a²[3g? — cos çp (2 sin³93 + 3singp)].

Da die Gerade AB eine Asymptote der Kurve ist, so erstreckt sich, der Flächenstreifen bis ins Unendliche, wenn die Ordinate QB der Asymptote immer näher rückt und schließlich mit ihr zusammenfällt, wenn also

(65.)

lima? = 2a

oder limçD — ~

man aus

wird. Der Flächeninhalt der Figur bleibt aber endlich, da Gleichung (64.)

. (66.)

,.    „ 3a²ar

lim F = —x—

7t    2

erhält. Die Kurve liegt zur X-Achse symmetrisch; deshalb wird der Flächeninhalt der Figur, welche von der ganzen Zissoide und der Asymptote begrenzt ist, gleich

3a²jr.

(67.)

Aufgabe 13. Die Gleichung

^(æ³ — 9a;² + 23a; — 15)

_ _J

b

soll Jydx berechnen.

a

Auflösung. Nach Formel Kr. 9 der Tabelle wird

6    d

jydx == ^^(a?³ — 9x² + 23a? — lb)dx

y = Î2

ist gegeben ; man

(68.) F =

1 Ta;⁴

12 lï

a?²

— 3a?³ + 23-^ — 15a?

-*a

= ^(6⁴ — 126³ -f 466² — 606 — a⁴ + 12a³ — 46a² + 60a).

Will man sich über die Bedeutung dieses Resultates Rechenschaft geben, so muß man beachten, daß die der Gleichung (67.), oder der Gleichung

(69.) DiAD = Jydx

+i

(67 a.)

V 12

entsprechende Kurve die X-Achse in den Punkten A, B, C mit den Abszissen OB = 3

OA = 1

\ (x — l)(r — 3)(x — 5)

Fig. 28.

OC = 5

schneidet. (Vergl. Fig. 28.) Setzt man daher z. B.

— 2, b — -f- 1

Di

tä:

E,

a — so erhält man

—2

= 48⁽-²⁵"⁴¹⁶⁾

147

16

Der Ausdruck ist negativ , weil die Figur DiAD unterhalb der X-Achse liegt.

Ferner wird der Flächeninhalt der Figur

+³

(70.)

ABS

=jydx = ~(- 9 + 25) =

H CO

+i

und zwar ist dieser Ausdruck positiv, weil die Figur ABS oberhalb der X-Achse liegt. Indem man a gleich 3 und b gleich 5 setzt, findet man den Flächeninhalt der Figur

4(-25 + 9) =

Ai.)

BCT =

jydx

48

H ! CO

und zwar ist dieser Ausdruck wieder negativ, weil die Figur unterhalb der X-Achse liegt. Endlich ist der Flächeninhalt der Figur

(72.)

CSyE

= jydx —

-^(119 + 25)= +3.

48

Dieser Ausdruck ist positiv, weil die Figur oberhalb der X-Achse liegt. Demnach ist

+7

(73.) Jydx = ~( 119 — 416) =

99

147

16

16

rH ICO

tH |co

—2

und kann geometrisch gedeutet werden durch die Summe der Figuren

ZMLD, ABU, BCT und CE\E, wobei aber die erste und dritte mit negativem, die zweite und vierte mit positivem Vorzeichen zu nehmen sind.

Dies gibt in Übereinstimmung mit der auf Seite 18 ausgeführten Untersuchung den Satz: Wenn man den Flächeninhalt einer ebenen Figur zwischen einer Kurve y — f{x), der Abszissen-Achse und zwei beliebigen Ordinalen durch Integration berechnet, so sind die Flächenstücke über der Abszissen-Achse mit positivem, und die Flächenstücke unter der Abszissen-Achse mit negativem Vorzeichen berücksichtigt.

§ 20.

Quadratur der Kurven bei Anwendung schiefwinkliger Koordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 132.)

Ist die Gleichung einer Kurve für schiefwinklige Koordinaten gegeben, und bezeichnet man den Winkel, welchen die positiven Richtungen der Koordinaten-Achsen miteinander bilden, mit /, so kann man auch ^ hier durch Parallele zur Y-Achse das Flächenstück in n Streifen zerlegen und die x auf Seite 8 und 9 ausgeführten Schlüsse in wenig veränderter Weise wiederholen. Dabei wird der Flächeninhalt eines solchen Streifens QQiFiF (Fig. 29), wenn man ihn unter Vernachlässigung der unendlich kleinen Größen höherer Ordnung als Parallelogramm betrachtet,

Fig. 29.

O.

A,t

Q Qi

Bi

(1.)

QQ1P1P = ydx . sin7,

also

(2.)

A1B1BA = sin yjydx.

(3.)

Übungs -Aufgaben.

Aufgabe 1. Die Gleichung

y² = 2px, oder y — y 2p. x~

Fig. 30.

stellt auch für schiefwinklige Koordinaten eine Parabel 'dar, wobei die Y-Achse eine beliebige Tangente ist, und die X-Achse durch den Berührungspunkt parallel zur Achse der Parabel läuft (Fig. 30); man soll den Flächeninhalt der Figur OQP    /

berechnen.    /

Auflösung. Hier ist nach / Gleichung (2.)

Ri

-2- x

r2Yh

2xy .

= -g—sin/.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms OQPR ist gleich xysiny, folglich bleibt der auf Seite 111 angeführte Satz auch in diesem Falle noch richtig.

Aufgabe 2. Macht man in der Ellipse zwei konjugierte Durchmesser, deren Länge 2r und 2s sein möge, zu Koordinaten-Achsen, so hat die Ellipse (Fig. 31) die Gleichung

(4.) F = sin7 .

__? i

Y2p jx* dx — o

siny . y2p ^

Fig. 31.

Ö)

—1Ti

(5.)

r²

, y²

oder

y — + —    — x²;

man soll den Flächeninhalt der Ellipse berechnen.

Auflösung. Hier ist nach Gleichung (2.) mit Rücksicht auf Formel Nr. 123 der Tabelle

r

= 4 sin yjydx = u

Io

arc sin

oder

(6.)

F — rsjc sin/.

Da der Flächeninhalt der Ellipse mit den Halbachsen a und &, wie schon in Aufgabe 4 a des vorhergehenden Paragraphen gezeigt wurde, gleich abjz ist, so folgt hieraus die wichtige Formel

rs . sin/ = ab.

Aufgabe 3. Die Gleichung einer Hyperbel ist, wenn man die Asymptoten zu Koordinaten-Achsen macht,

4 xy = e²,

(70

(8.)

Mg. 32.

oder

e²

P*

Fi

0/

Qs

y = T*

man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur Q1Q2P2P1 (Fig. 32) berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (2.) folgt in diesem Falle mit Rücksicht auf Formel Nr. 12 der Tabelle

(9.)

F = sin/

x₂

’Jydx —

Xi.

X₂

e²sin/ / dx e²sin/^ (X2\

4 J x 4 Vcri/

Xi

¹

In gleicher Weise wie bei den geometrischen Anwendungen der Dif ferential - Rechnung sollen auch hier die Koordinaten eines Kurvenpunktes P immer x und «/, die eines Kurvenpunktes P, immer 4C, und yt, allgemein die eines Kurvenpunktes Pn immer xn und yn heißen.

§ 21.

Quadratur von Figuren, weiche oben und unten durch eine Kurve begrenzt sind.

(Vergl. die Pormel-Tabelle Nr. 133.)

Eine Figur sei oben begrenzt durch die Kurve (Fig. 33)

(!■)

y' - M,

unten durch die Kurve

(2.)

y" = glp)

links und rechts durch die Ordinaten A" A' und B"B' y mit den Gleichungen (3.) x = a und x — b.

Man kann dann den Flächeninhalt der Figur A"B"B'A' berechnen, indem man zuerst den Flächeninhalt der Figur

Fig. 33.

£>/

(\

A"

P"

B"

Ö] A

Q Q,

BX

b

(4.)

ABB'A' = fy'dx

berechnet und davon den Flächeninhalt der Figur

(5.)

ABB"A" = fy'dx

abzieht. Dadurch erhält man

(6.) F

b    b    b

= A"B"B'A' = fydx — fy'dx =J(y' —

y")dx.

zur

Dasselbe Resultat findet man auch, indem man durch zwei benachbarte Punkte Q und Qi der X-Achse Parallele X-Achse legt, welche die beiden Kurven bezw. in den

Punkten P', P\ und P", P"i treffen.

P"P'\P\P' darf man unter Vernachlässigung von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung als ein Rechteck mit

Den Streifen

den Seiten

Kiepert, Integral - Rechnung.

P"P' = y' — y" und QQi — dx

betrachten, wenn QQX verschwindend klein wird. Dadurch erhält man für den Flächeninhalt des Streifens

P//P//₁P/iP/ = (y' — y“)dx,

so daß die Summe aller dieser Streifen, nämhch

b

F =/{y' — y")dx

den Flächeninhalt der ganzen Figur A"B"B'A' gibt.

Dabei ist zunächst stillschweigend die Voraussetzung gemacht worden, daß die Kurvenbögen A/P' und A"P"

Fig. 34.

beide über der X-Achse liegen. Das Resultat bleibt aber auch dann noch richtig, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist. Liegt z. B. der eine Bogen A"B" x unter der X-Achse (Fig. 34), so hat, wie schon früher hervorgehoben wurde,

b

1b"

Jy"dx einen negativen^ert,

so daß

b

JW — y")dx

b    b

Jy'dx — Jy“dx =

die Summe der beiden Flächenstücke ABB'A' und A"B"BA gibt.

In ähnlicher Weise kann man zeigen, daß Gleichung (6.) noch richtig bleibt,

A//P// unter der X-Achse liegen, und schließlich auch, die X-Achse von den Begrenzungskurven geschnitten wird. Den letzten Fall kann

wenn

beide Kurvenbögen A/B/ und

wenn

man dadurch auf die vorhergehenden Fälle zurückführen, daß man die Figur in mehrere Teile zerlegt, indem

man durch die Schnittpunkte der beiden Kurven mit der X-Achse Parallele zu der Y-Achse

zieht. Für jeden einzelnen Teil gelten dann die früheren Voraussetzungen.

Übungs - Aufgaben.

♦

(7.)

Aufgabe 1. Von einer Parabel mit der Gleichung y² = 2px, oder y — + ]/2p . x¹

Fig. 36.

Pi

ist durch die Sehne OPx (Fig. 35) das Segment über OPi abgeschnitten; man soll den Flächeninhalt dieses Segmentes berechnen.

Auflösung. Die Gleichungen der beiden begrenzenden Kurven sind in diesem Falle

und y" = — x,    ⁰

X\

folglich erhält man nach Gleichung (6.)

(8.) y' — V%p . x²

Xi

(9.)

— y")dx =

-f*

0

(M iCO

= [>2p . x

oder

(10.)

xiyi

a X^-2X^⁼~r

Das Segment üben OP\ ist also dreimal Meiner als das zugehörige Dreieck OQiPx.

Dasselbe Resultat ergibt sich

wenn man von der Fläche OQiPi, deren Inhalt nach Aufgabe 2 in § 19 gleich \xxyx ist, den Flächeninhalt des Dreiecks OQ\P\, nämlich \xxyx, abzieht.

Aufgabe 2. Von der Parabel mit der Gleichung

i

(11    y² = 2px, oder ÿ = ± V%p . x*

ist durch eine Gerade P\P% mit der Gleichung

9*

(12.)

Fig. 36.

P/.

y“ = mx -f- y

ein Segment P\OP₂ abge-schnitten (Fig. 36); man soll den Flächeninhalt des Segmentes berechnen, wenn die Koordinaten der Punkte P\ und P₂ gegeben sind.

Auflösung. In dem vorliegenden Falle, wo der Punkt P/i unter der X-Achse liegen möge, muß man die Figur durch die Gerade P'iPi, welche der X-Achse parallel ist, in zwei Teile zerlegen und erhält

Pl

q₂ x

(13.) PhPiO

&1    Xi

=jty'dx = 2]/2p jx² dx — 0 0

(14.)

P1P2P1

•T₂

=fy

— yu)dx

X\

X₂

=J(V~2p . X²

Xi,

— mx — y)dx

x₂

= V2p ■ -3

= g («2^2 — ®i2/i) — ₉ (x₂² — ah²)—yix₂ — a?i). Dabei ist aber bekanntlich

2/2 — y'i y₂ + i/i

yx

(15.)

— X\

X₂ - X\

x₂y\ y = —— #2

ahi/2 + X₂i/1

--j

#2 - ^1

wenn man noch die Gleichungen (13.) und

— x\y₂

— X\

folglich wird (14.) addiert,

(16.) F = -fGhi/i + x₂y₂) — 4(^1 + xz){yi + 2/2) -f- xii/2 + x₂y\. = Uxiyi + x₂y₂) + i(xiy₂ + x₂yi)

§ 21. Quadratur der Kurven bei rechtwinkligen Koordinaten. 133 Es sei z. B.

X\ — 4

x₂ = 16, 2p = 9

also

2/1 = 6, 2/2=12

dann wird

F = |(24 + 192) + i(48 + 96) = 108.

Aufgabe 3. Die Gerade (18.) y" — mx + p schneide von der Ellipse

(19.) y/ = ^ Va² — x²

(17.)

Mg. 37. P, B

Q, 0

ein Segment FiP₂B (Fig. 37) ab; man soll den Flächeninhalt des Segmentes berechnen, wenn die Koordinaten der Punkte F\ und P₂ gegeben sind.

Auflösung. Nach Gleichung (6.) wird in diesem Falle

(20.) F

X₂

=ßy'

— y")äy

x₂

Ya² — x² — mx — pjdx

Xl

X\

b0| «

Y a² — x² +

arc sm

mx²

yx

X»

Xx

X-i

xy — mx² —

2px + a&arcsin^^j

X\

(x₂y₂ — x\yi) — m{x 2² — x\²) — 2p(x₂ xi)

-f- ab arc sin    arcsin^-^-^|]

Nun ist aber bekanntlich

(21.)

2/2 —2/1

X2 — Xl

x₂y\ — x\y₂

X₂ — X\

F = 13,830 704 — i . 32,908107 = 2,861 335.

(27.)

also

12 arcsin

Dies gibt

(23.) F = Ł(a?i2/₂ — x₂yi) + ^ f

arcsin

— arcsin

Es sei z. B.

(24.)

X\ = — 1

also

(25.)

2/1 =

CO ICO

y 2 .=

x₂ = + 5

|vri,

dann geht Gleichung (23.) über in (26.) P = 12 arc sin +

Dabei ist 12 arc sin    =

arc sin

11.821327

Ü)H(1/n+By36)

Vll= 3,327 708

2,009 377,    5y35 = 29,580 399

Verbindet man den Nullpunkt 0 mit den Punkten Pi und P2 (Fig. 37), so erkält man ein Dreieck OP₂Pi mit dem Flächeninhalte \{x₂y\ — Xxy₂) . Wenn man daher dieses Dreieck zu dem Segmente über der Sehne P1P2 hinzufügt, so ergibt sich nach Gleichung (23.) für den Sektor P\OP2 der Flächeninhalt

(28.)

Sektor =

ab f . /x₂\ -=r arc sin ( — )

2    \a/

— arcsin

(29.)

Aufgabe 4. Eine Ellipse sei durch die Gleichung a^x² + 2<zi2 xy + a₂₂y² + «33 = 0 gegeben; man soll den Flächeninhalt derselben berechnen.

Auflösung. Der Anfangspunkt der Koordinaten liegt im Mittelpunkte der Kurve, aber die Koordinaten-Achsen fallen nicht mit den Achsen der Ellipse zusammen (Fig. 38).

Damit die Gleichung eine reelle Ellipse darstellt, müssen die Ungleichungen

(30.)

alla22-«12“    0,    «22«33 <C 0

befriedigt werden. Aus Gleichung (29.) folgt dann

«22y/ — - «12« + V(di2² -ana₂2)x²

d22y" = — «12« — V(a₁₂² — «n a₂₂)x² —

- «22 «33 ,

also

«22 «33

(31.)

y' — y" =

r~ V(ai2² — ana₂₂)x² —

«22

«22 «33 •

Nach den in den Ungleichungen (30.) ausgesprochenen Voraussetzungen kann man zwei reelle Größen c und k durch die Gleichungen

Fig. 38.

■P'

Pt

Q,

Qi

P,

(32.)

C — Y «ii «22 — «12²

* = ]/-

«22 «33

erklären, so daß Gleichung (31.) übergeht in

o__oP

— V— c²x² + k²c² = — Vk²

(33.)

y' — y" =

folglich wird

«22

«22

/y»2 t %Ax ^

■r₂

-Jw

X\

x₂

jdx Vk² — x²

(34.)

— y")dx =

2c

«22 .

Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen beachte man, daß (y/ — y")dx einer der Streifen ist, in welche man sich die ganze Fläche zerlegt denken muß. Die durch die Integration ausgeführte Summation aller dieser Streifen beginnt in demjenigen Punkte Pi und endigt in demjenigen Punkte P2, in welchem der Punkt P' mit dem Punkte P" zusammenfällt, so daß die Tangenten in den Punkten P₁ und

Po zur Y-Achse parallel sind. Die Werte von x\ und findet man daher, indem man

«22

y' — y" =

Yk² — x²

gleich 0 setzt. Daraus ergibt sich

(35.)

Xi — — k und X2 = + k

-Y k

(36.)

2 c r.

$22

—k

also nach Formel Nr. 123 der Tabelle

(37.)

2c Vx $22 _2

k²

Yk² — x² -(- arc sin

+k

k²c

$22

[arcsin 1 — arc sin (— 1)] =

k²c jt

$22

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (32.)

$33 jr

Y ®Uß22 - $12 ²

(38.)

$22 $33 JT

$22 C

Dasselbe Resultat findet man, wenn man die Halbachsen $ und b bestimmt und in die Formel

F = abji

einsetzt, denn es ist bekanntlich

a = f- -" $n

(39.)

- 2 $33

+ $22 dl V(Ä11 - &22)² + 4$x2²

— 2 $33

$11

+ ®22 + Y(a 11    $22) ² + 4$i2²

also

(40.)

ab -

— 2 $33

Y ($11 + a-22)² — («11 — «22)² — 4$12²

- $33

y $11 $22 — $i2²

Aufgabe 5. Man soll den Flächeninhalt der Figur berechnen, die von den beiden Parabeln

Fig. 39.

(41.) y² = und

(42.) x² = 2qy begrenzt wird. (Vergl.

Fig. 39.)

Auflösung. Hier ist, da sich die beiden Parabeln im Nullpunkt 0 und zum zweiten Male in einem Punkte Pi schneiden,

(43.)

yf - V%px, y“ = 2g

also

(44.) F

— y")dx

Xi

— y 2pjx

kl

o

xklx.

Dabei findet man die Koordinaten des Punktes Pi aus der Gleichung

yx²

Xi⁴

Dies gibt

(45.)

Xl 2p    8pq²

x\ = 2 ypçÿ, yi =

folglich wird (46.) F

Xl

= y 2p •

= g V 2P . V'Aplf - Splf = g

Wenn die Kurvenbögen, welche die Figur oben und unten begrenzen, Teile derselben Kurve sind, wie es in Aufgabe 4 der Fall war, so kann man die Rechnung durch Einführung eines ,,variablen Parameters“ t wesentlich vei-einfachen. Läßt sich nämlich die begrenzende Kurve durch die Gleichungen

Ico

CO

8pq    4pq _ 4pq^

(47.)

» = ¥f), y = v$)

darstellen, wobei <p(t) und ip(t) für die betrachteten Kurvenpunkte eindeutige Funktionen von t sind, so kann man den

Parameter t zur Integrationsveränderlichen machen. Um z. B. den Flächeninhalt der Figur zu berechnen, welche durch den Bogen A'BA" der Kurve und die Ordinate A\A"A' begrenzt wird (vergl. Fig. 40), erhält man zunächst nach den bisherigen Regeln

Fig. 40.

P'

A‘

pu

-P

Ali

Q.

•X

(48.) F=fy

y")dx.

OAx = a, OJ5₁ = b.

Jetzt durchlaufe der Kurvenpunkt P die Kurve von A' bis P, wenn t alle Werte von t\ bis t' annimmt, und er durchlaufe die Kurve von B bis M", wenn t alle Werte von t' bis #2 annimmt, wobei entweder ti < V < oder ti > t' > #2 sein möge. Dann wird

(49.)

(50.)

folglich ist

(51.)

Ein besonderer Vorteil dieser Methode liegt darin, daß man die Koordinaten des Punktes B und den zugehörigen Wert des Parameters t nicht zu ermitteln braucht. Außerdem kann man dieses Verfahren auch auf den Fall verallgemeinern, wo die begrenzende Kurve mehrere Ausbiegungen hat.

Will man z. B. auf diesem Wege die Aufgabe 4 lösen, so benützt man den Umstand, daß sich x und y durch die Formeln

x = ksint

«22 y = k(ccost — «i2 sin t) als eindeutige Funktionen eines Parameters t darstellen lassen. Dabei ist wieder

C² = «il «22 ®12²,

Die Richtigkeit dieser Formeln ergibt sich durch Elimination des Parameters t aus den Gleichungen (52.). Man erhält dann nämlich

sint =

(52.)

(53.)

C²k² - — «22 «33 •

cos t =

«12«: + «222/

kc

also

x²    «i2²«:² + 2«12«22xy + «22²y² __ *

k² ‘    k²c²

(c² + «12²)«:² + 2 «12 «22 *^2/ + a22²y² + «22^33 = 0,

oder

«n x² -f- 2«i2 xy 4- «22 2/² + «33 = 0.

Die Gleichungen (52.) stellen also dieselbe Ellipse dar wie die Gleichung (29.). (Yergl. Fig. 38.)

Für t = — ^ erhält man x — — k, y =

sind die Koordinaten des Punktes Pi. Für t = 0 erhält

= 0 w =-1--— ; das sind, wenn man voraussetzt,

’    «22

daß «22 positiv ist, die Koordinaten des Schnittpunktes der

Jl

Ellipse mit dem oberen Teile der Y-Achse. Für t — -j- ^

«12 k

(54.)

«12 k

«22

; das

man x

, also die Koordinaten

erhält man x = + k, y = —

des Punktes P2. Für t = x erhält man x = 0, y — —

also die Koordinaten des Schnittpunktes mit dem unteren

Teile der Y-Achse, und für t = ^ erhält man wieder die

Koordinaten des Punktes Pi.

Durchläuft also t alle Werte von ^ ^is ~b

durchläuft P den oberen Teil der Ellipse von Pi bis P2;

, J ,,    . 3^r

und durchläuft t alle Werte von -f- ^ 5is + 2 ’ läuft P den unteren Teil der Ellipse P2 bis Pi. findet

man

«22

kc

—,

«22

für den Flächeninhalt der Ellipse

t>2

so

so durch-

Daraus

071

(55.) F

Xo

=fy‘

— y")dx

X\

k² Ç

= — l(ccost — ai2sin t)costdt «22J

3 71

3 71

⁺ X

= —- c IcosHdt — ai2 Ismtcostdt .

«22 LJ    J    J

7t

Tt

2~

Dies gibt nach den Formeln Nr. 99 und 53 der Tabelle in Übereinstimmung mit Gleichung (38.)

k²

g- ^cost sin£ -f t)

-=II(t+D-¥(+‘-‘)]-

«22

«12 • 9,1 simr

k²cjz

«22

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (53.)

k²c²x

(56.) F =

«22 «33^

«33^r

ÿ «11 «22—«12²

Aufgabe 6. Man soll den Flächeninhalt der Kardioide (57.) x = a[2cos£ — cos(2Q], y — «[2sin£ — sin(2Q]

«22 c

CC22C

Fig. 41.

berechnen. (Vergl. Fig. 41.)

an-

Auflösung. Wenn t alle Werte von 0 bis jc annimmt,, erhält man die obere Hälfte der Kurve, aber in der Richtung von der Spitze A fangend; und wenn t alle Werte von x bis 2jt durchläuft, erhält man*die untere Hälfte mit dem Endpunkte Al Da die X-Achse eine Symmetrie-Achse ist, genügt es, für die obere Hälfte der Figur den Flächeninhalt auszurechnen und das gefundene Resultat mit 2 zu multiplizieren. Bezeichnet man dabei den größten Wert, den x annehmen kann, mit x/ und den zugehörigen Wert von t mit t\ so wird

x‘    x‘    X‘    + a

= ïyjy'dx —Jy"dx) = 2 (fy'dx +jy"dx).

Iia    + a    — Sa    x‘

man y\ y“ und dx

Dabei ergibt sieb aus den folgenden Schlüssen, daß die Berechnung von x' und f nicht erforderlich ist. Es wird nämlich in diesem Falle, wenn durch den Parameter t darstellt,

f

— sin(2Q]. [— sin£ -f- sin(2£)] dt

(58.) F = 4 a²J [2sin£

7t

0

+ 4u²/[2sinif — sin(2Q] . [— sin£ -f- sin (2 *)]«#,

oder

o

— sin(2Q]. [— sin£ -j- sin(2tf)]d#.

(59.) F = 4a²/[2sin£

7t

Dies gibt

r~    n    (ä)

(60.) F

= 4ß² 2/smHdt — 6J'sinH cos tdt -f- -i /sin²(2Q^(2Q - o    0    (0)

folglich wird nach den Formeln Nr. 100 und 53 der Tabelle

tV

(61.) F — 4a² —sin£cos£-f-^—2sin³£ — ^sin(2Qcos(2Q + o

Ł

= 6a²jc.

Man hätte hier sogleich die ganze Fläche der Figur erhalten, wenn man für t die Integrationsgrenzen 0 und 2jt genommen hätte. Dabei wäre der Fall in Betracht gekommen, wo die Kurve zwei Ausbiegungen hat.

§ 22.

Quadratur der Kurven bei Anwendung von Polarkoordinaten.

(Vergl. die Pormel-Tabelle Nr. 134.)

Bei Anwendung von Polarkoordinaten mögen die Koordinaten eines Punktes P immer mit r und <p, die eines

Punktes Pi mit ri und <pi, allgemein die eines Punktes Pn mit rn und cpn bezeichnet werden. Nennt man den Flächeninhalt einer Figur AOP, welche durch zwei beliebige Radii vek-tores OA, OP und durch den Kurvenbogen AP begrenzt wird (Fig. 42), S (Sektor), so ist S eine Funktion von cp. Den kleinen Zuwachs

Fig. 42.

L-up

<p

AS = POPi,

welchen diese Funktion erleidet,

(1.)

'x wenn der Winkel XOP gleich <p um die kleine Größe POPi gleich Acp zunimmt, findet man, indem man den Bogen PPi durch die Gerade PPi ersetzt und zunächst den Flächeninhalt des geradlinigen Dreiecks POPi berechnet. Für diesen erhält man

(2.) APOPi = \ OP. OPisin(Pp) = -|-r(r -f- Ar)

sin (Pp)

A(p

A(p.

Der Unterschied zwischen dem Kurvensektor POPi und dem Dreieck POPi ist ein Segment über der Sehne das eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung wird und deshalb vernachlässigt werden darf, wenn A(p verschwindend klein wird. Dann gehen auch die Größen QPi gleich Ar und AS bezw. in die verschwindend kleinen Größen dr und dS über, und man erhält

j(p—o A(p

PP

(3.)

also

lim(r -f- Ar) = r

Jip—o

(4.)

dS = ^r²d(p

und

(5.)

S — \ frld<$,

wobei <ÿ XOA = a und <)[ XOP — <p gesetzt ist.

Gewöhnlich wird bei den Anwendungen auch die obere Grenze çp einen konstanten Wert ß haben, welcher dem Radius vektor OB (Fig. 43) entspricht.

Auch dieses Integral kann als eine Summe endlich vielen, unendlich kleinen Größen betrachtet werden. Teilt man nämlich den Winkel AOB nach einem bestimmten Gesetze in n (gleiche oder ungleiche) Teile, so wird auch der Sektor AOB in n Teile zerlegt (Fig. 43), von denen man jeden einzelnen FOB\ unter Vernachlässigung unendlich kleiner Größen höherer Ordnung, nämlich unter Vernachlässigung der Dreiecke PQPi, als einen Kreissektor mit dem Flächeninhalte r²d<p betrachten kann. Dabei ist für das Gesetz der Teilung die Voraussetzung gemacht, daß, wenn die Anzahl n der Sektoren unendlich groß wird, die einzelnen Sektoren gleichzeitig sämtlich unendlich klein werden.

Durch Summierung aller dieser unendlich kleinen Sektoren findet man für den Flächeninhalt des ganzen Sektors

f

S — \Jr²d<p.

(6.)

von un-

Fig. 43.

qX'

[P

Übungs - Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Flächeninhalt des Sektors P1OP2 bei der Archimedischen Spirale (D.-R., Seite 494)

r = acp

(7.)

berechnen (Fig. 44).

Auflösung. Nach Gleichung (6.) ist in diesem Falle

Fig. 44.

P,

r>

(8-) 8

1 P    2 P

= 2fdcp = a^j(p²dxp

<pi    fi

P}

CU

6a

Aufgabe 2. Man soll den Flächeninhalt des Sektors P1OP2 bei der allgemeinen Spirale (D.-B., Seite 497)

(10.)

r = acpn

berechnen.

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe erhält man hier

(11.) 8

1 T    ₂ P

= 2 Jr²d(p = ~ l(p2nd(p

(pi    (pi

Fig. 45.

a² T <p2n+1 ' ^    a²(<jp₂2w+1 — <p₁2n+1)

2 [%n + 1

Aufgabe 3. Man soll den Flächeninhalt des Sektors PiOP₂ bei der loga-rithmischen Spirale (D.-B., Seite 498) (12.)

berechnen (Fig. 45).

Auflösung. Aus Gleichung (6.) erhält man in diesem Falle

2(2n + 1)

r — ea(P

(13.) S =

fl    fl

2jr²d(p = gje2a(rd<p

(fi    (pi

«P»)

Fig. 46.

= ^ je2a<rd(2acp) = ~ [e²«?]

U,'!)

also

(14.)

jp

1    V-2²

_(ß2a(p2_ £>2cap{j __

i Ch

Aufgabe 4. Die Gleichung

— n²

(15.)

r~i

² cos

(~ )

to he

oder

(15a.)

COS²l

to!'«

stellt nach D.-B., Seite 502 eine Parabel dar (Fig.46); man soll das Segment BCA berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (15 a.) folgt in diesem Falle

ii a

71

(16.)

S =    I r²d<p = |- /

dtp

71

71 COS⁴

oder, wenn man

cp = 2t

setzt und Formel Nr. 61 der Tabelle berücksichtigt,

.T

7t

(17.) S=a²j

dt

cos H

7t

7t

= a?[tgt + J-tg³*]    = ß²(-f + f) ⁼

(M

Ö CO

Aufgabe 5. Man soll den Flächeninhalt der Kardioide (D.-R,, Seite 501) mit der Gleichung

(18.)

oder

Eig. 47.

(18a.) r = acos²

LCi«

berechnen (Fig. 47).

Auflösung. Setzt man <p = 2t,

so wird zunächst mit Rücksicht auf Formel Nr. 102 der Tabelle

\A

(19.) £

(p    7'

= i /r²d<p = ~/cos⁴(|)# = a² jcosH dt o    o    ù

= ^Gcos^sinż + f cos Ż sin* + f *]Q,

also

(20.) S = |²r2cosä(|)sin(|)+ 3cos(|)sin(|)+ 3| ■

Läßt man (p bis x, also

to he

bis

wachsen, so wird

(21.)

3a²jt

16

die Hälfte des gesuchten Flächeninhalts, für welchen man daher

(22.)

3a²jc

erhält. Der Flächeninhalt der Kardioide verhält sich also zum Flächeninhalt des Kreises mit dem Halbmesser a wie 3 zu 8.

Aufgabe 6. Man soll den Flächeninhalt der Lemniskate (D.-R., Seite 500) berechnen (Fig. 48).

!Fig. 48.

Auflösung. Hie G-leichung r der Lemniskate ist

r² — a²cos(2<p).

(23.)

folglich wird

(24.) S =

r²d(p

2 /    2 ^

= a~j cos(2(p) d<p — a^j cos (2<p) d (2<p)

0    0

= j [sin(2go)]^ = ~ sin(2^p).

Den vierten Teil (Quadranten) der Lemniskate erhält man, wenn <p von 0 bis

folglich wird der Flächeninhalt der ganzen Lemniskate

also 2<p von 0 bis

wächst,

(25.)

F = (i²sim

= a?.

Aufgabe 7. Man soll den Sektor AOP der gleichseitigen Hyperbel

(26.) x² — y² — a²: oder nach D.-R., Seite 501 r²cos(2<p) = a2 berechnen (Fig. 49).

Auflösung. In diesem Falle wird

(26 a.) r² = also

Fig. 49.

cos(2qp)

(27.) 8 =

rH Ol

lr²dcp

2 %

_ a? l

2 J cos (2cp)

o

dg)

((p)

a² r d{2gp) 4 J cos (2<p)

(0)

Dies gibt nach Formel Nr. 48 der Tabelle

(28.) 8 =

J [ln Wf + ”)}]„ ⁼ îln[tg(4 + *)] '

Aufgabe 8. Die Gleichung des Folium Cartesii (D.-R., Seite 394) war für rechtwinklige Koordinaten x? -j- y³ — 3 axy = 0 ;

man soll den Flächeninhalt der Schleife berechnen (Fig. 50).

Auflösung. Bei Anwendung rechtwinkliger Koordinaten müßte man die kubische Gleichung (29.) nach y auf-lösen und erhielte einen Ausdruck für y' — y", dessen Integration große Schwierigkeiten bereiten würde, man dagegen durch die Gleichungen

(30.) x — rcosço, y = rsin<jp Polarkoordinaten ein, so geht Gleichung (29.) über in

3asinçp cosçp cos³çc> -f- sin³#)

Da der Kurvenpunkt P die Schleife durchläuft, wenn

Jt

g) die Werte von 0 bis _ annimmt, so findet man für den

Li

gesuchten Flächeninhalt

(29.)

(31.)

Führt

Fig. 50.

7)

•X

io*

K CM

7t

(32.)

r ₀    9a² /” sin²çp cos²(pd<p

I r V 2 / (cos³g) -j- sin³(p)²

rH Ol

Indem man Zähler und Nenner des Bruches, der unter dem Integralzeichen steht, durch cos⁶(p dividiert und beachtet, daß

dcp

COS²Ç>

= d(tggp)

ist, ergibt sich

(t)

(33.)

9a² l'tg²<pd{tg(p)    9a² /' t²dt

~ 2 J (1 + tg³9>)2 — 2 J(1 + ts)²

(o)

(0)

wobei tgcp mit t bezeichnet ist. Setzt man noch 1 -f- t³ = 0, also 3 t²dt =

so wird

(34.)

3t²^

./(1+^³)²

-/;-/•

folglich ist

7t

tO: a

3a²r__l

2 L 1 fiGg³9>J₀ ~~ 2

Der Flächeninhalt der Schleife ist also dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks AOB.

(35.)

'da² r

«Ni

J(0)

co

§ 23.

Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 135.)

(1.)

Ist eine Kurve durch die Gleichungen

x = ?>(*)» y = W)

gegeben, so führt man zur Berechnung des von ihr eingeschlossenen Flächeninhalts häufig mit gutem Erfolge Polarkoordinaten ein. Aus den Gleichungen

x ==■ rcosçp, y = rsmy

C2.)

findet man nämlich

(3.)

tgÿ = |

(4.)

d(f

COS²ÇP

xdy — ydx

a;²

und wenn man diese Gleichung mit

r²cos²çp = x^

multipliziert,

(5.)

r²d(p = xdy — ydx = (x~ — y^^dt. Dadurch geht Formel Nr. 134 der Tabelle über in

(6.) 8 =

r²d(p =

to M-

<g)

IC h-*-

(«)

(xdy — ydx) = J(x

dx

y dt

dt.

(«)

Übungs - Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Sektor AOP der gleichseitigen Hyperbel mit den Gleichungen

x = a^o\u, y — a&mu (also x²— y² — a²) berechnen (Fig. 49 auf Seite 147).

Auflösung. Aus den Gleichungen (7.) folgt dx — a&mu . du, dy = a&o\u . du,

(7.)

(8.)

also

(9.)

xdy — ydx = «²((£of²w —    = a²du

(10.)

ydx)

Für a gleich 1 wird deshalb u = 2 8,

d. h. u ist der doppelte Flächeninhalt des Sektors AOP, wie schon in § 29, Seite 144 der Differential - Rechnung hervorgehoben wurde.

Dieses Resultat stimmt auch mit dem in Aufgabe 7 des vorhergehenden Paragraphen gefundenen überein, denn aus den Gleichungen

(11.)

150

(12.)

§ 23. Quadratur der Kurven. x = aSojw = rcoscp, y — «Sinw = rsingp

folgt

(13.)

W ts(f + 9,)î=sï

2gw = tgcp,

1 + lg«? _ 1 + 2gu _ ßofw -f- Sinw — tgçp 1 — 2g u ßofw — (Sin u

Nun ist aber nach D.-R., Formel Nr. 50 und 51 der

Tabelle

6of u -f- Sin u = eu, ßofw — Sin u = e~u deshalb geht Gleichung (14.) über in

(15.)

(16.)

‘g(|+'<) =    =

IC

folglich wird

(17.)

und

(18.)

ln

Aufgabe 2. Man soll den Sektor AOP der Kreisevolvente (D.-R., Seite 429) mit den Gleichungen

| x = a(cost + £sin£),

[ y = a(sin£— tcost) berechnen (Fig. 51).

Auflösung. Aus den Gleichungen (19.) findet man

| dx = atcostdt,

\ dy = atshxtdti folglich wird xdy — ydx = a?tr dt,

Fig. 51.

(20.)

|X

QX

(21.)

(22.)

8 = jt²dt = ~

o

= AOP

Aufgabe 3. Man soll den Flächeninhalt der Astroide mit den Gleichungen (23.) x = acos³t, y = asm³t berechnen (Fig. 52).

Fig. 52.

,p

Auflösung. Aus den Gleichungen (23.) findet man

(24.)

j dx = — 3acos²tsintdt,

\ dy = -f- 3asin²£cos£bÜ folglich wird

(25.) xdy—ydx = 3a²(sin²£cos⁴£-i-sin⁴f cos²t)dt — 3a² sin²tcos²t dt,

(26.)

0.n2 /*

8 = ₉ lsm²tcos²tdt — AOP,

oder

(27.)    8 =

j4:sm²tcos²t

u

. dt

3a²

16

(öj

(t)

jsin²(2f)d(21)

Dies gibt nach Formel Nr. 100 der Tabelle

3n²    t 3d²

(28.)    8.= ^[- isin(2Qcos(2Q + t]Q = ^ [t - isin(4Q].

Fig. 53.

Für t =

^ erhält man

Ai

den Sektor AOJB, d. h. den vierten Teil der Astroide, folglich ist der Flächeninhalt der ganzen Astroide in Übereinstimmung mit Aufgabe 11 in § 19

(29.)

„ 3d²Jt ₌

Aufgabe 4. Man soll den Flächeninhalt der Epi-zykloiden mit den Gleichungen

(30.) x — a[mc,ost — cos(w?Q], y — «[rasinf — sin(m£)j berechnen (Fig. 53, vergl. D.-R., Seite 423).

Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt (31.) dx — ma[—sin£ + sin(m£)]tft, dy — ma[cost—cos(mt)]dt, also, wenn man beachtet, daß hier m — n -f- 1 zu setzen ist, (32.) xdy — ydx — ma²\{m -f- 1) — (m + l)cos(n£)]üft = mim -[- l)<x² [1 — cos(n£)]t&.

Dies gibt für den Sektor AOP

(33.)

m{m ■+■ Da² /

⁸= 2 ¹

J¹¹

o

cos(nt)]dt

mhn -j- l)a²

f 1 .

11—--sm(wf) .

L n

Wenn der Sektor durch einmaliges Abrollen des rollenden Kreises entstanden ist, wenn es sich also um den Sektor AOBC handelt, so hat man den Wälzungswinkel des rollenden Kreises

2x

nt = 2jz, also t =

zu setzen und erhält

m{m -j- 1)«².tt

(34.)    8 =

(n -j- l)(n + 2)a²Jt

= AOBC.

(35.)

Ist n eine ganze Zahl, so schließt sich die Kurve, und die ganze Fläche besteht genau aus n solchen Sektoren; in diesem Falle wird also der Flächeninhalt der Epizykloide F — n . AOBC = (n + 1 )(n + 2)a²;r.

Ist z. B. n — 6, wie es in Figur 53 der Fall ist, so

wird

(36.)

F — 56a²X.

Für n — 1 ist die Epizykloide eine Kardioide, deren Flächeninhalt demnach

(37.)

F = 6a²jr

ist. Dieses Resultat stimmt mit den in § 21, Aufgabe 6 und in §22, Aufgabe 5 gefundenen überein; nur war in dem zweiten Falle der Halbmesser a viermal größer als in den hier benutzten Gleichungen.

Aufgabe 5. Man soll den Flächeninhalt der Hypo-zykloiden mit den Gleichungen

\a

(n — 1) (n — 2)a²jt

= AOBD.

Ist n eine ganze Zahl, so schließt sich die Kurve, und man erhält fur den Flächeninhalt der ganzen Hypozykloide

(43.)

F = n . AOBD = (n — 1) (w — 2)a²x.

(44.)

(38.) x — ß[meos£ -f- cos(m#)], y — a[?wsin£ — sin(wzQ] berechnen (Fig. 54).

Auflösung. Ans den Gleichungen (38.) folgt

| dx — ma[— sin t — sin(mt)]dt1 I dy = ma[cos£ — cos(mt)\dt, also, wenn man beachtet, daß hier

(39.)

n — 1 zu setzen ist,

(40.)

xdy — ydx = ma?\{m — 1) — (m — l)cos(w#)]t& — mim — l)a²[l — cos(w#)]dtf,

folglich wird

(41.)

"to-W-ßi-oo «ugat

o

[~£ — — sin(wQ = A OP. L n

m(m — l)u²

Wenn der Sektor durch einmaliges Abrollen des rollenden Kreises entstanden ist, so hat man den Wälzungswinkel dieses Kreises

nt = 2.7t, also t =

2 31

Fig. 54.

zu setzen; dann wird m(m — l)a²jr

(42.) S =

j)/

Für den in Figur 54 berücksichtigten Fall ist 3 und F = 2a²jr,

also doppelt so groß wie der rollende Kreis, oder wie der durch die Punkte DEF gelegte Kreis.

Bei der Astroide hat man n — 4 zu setzen und erhält in Übereinstimmung mit Aufgabe 11 in § 19 und Aufgabe 3 in diesem Paragraphen

(45.)

F —

nur ist in der vorliegenden Darstellung der Wert von a viermal kleiner als dort.

VI. Abschnitt.

Kubatur der Rotationskörper.

§ 24.

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 136 bis 138.)

Eine Kurve (Fig. 55) mit der Gleichung

y = fix)

rotiere um die X-Achse, dann beschreibt jeder Punkt der Kurve einen Kreis. Um das Volumen V des Körpers zu berechnen, welcher bei der Rotation von der

y

Eigur AiQPA beschrieben wird, beachte man zunächst, daß Keine Funktion von x ist. Wenn nämlich OQ = x um die ö "

Größe QQi = Ax wächst, so wächst auch V um den von dem Viereck QQiP\P beschriebenen Rotationskörper A V. Dabei ist A V größer als der von dem Rechteck QQ\RP bei der Rotation beschriebene Zylinder y²Ji. Ax und kleiner als der von dem Rechteck QQiP\B\ bei der Rotation beschriebene Zylinder yßjt. Ax\ es ist daher

y²jt. Ax    yi²n . Ax.

(1.)

(2.)

Fig. 55.

ft, T,/

A,

St

Dies gilt nur, wenn die Kurve (wie in Figur 55) vom Punkte P bis zum Punkte Pi steigt; wenn sie dagegen in diesem Intervalle fällt, so wird

(3.)

y ²jc. Jx ^ JV ^ yfjt. Jx.

Steigt und fällt die Kurve in dem Intervalle von P bis Pi abwechselnd (vergl. Fig. 3), so sei y' die Ordinate des höchsten Punktes H und y" die Ordinate des tiefsten Punktes P, dann wird

(4.)

y/2x . Jx ^ JV ^ y"²oi. Jx.

In dieser Ungleichung sind die beiden vorhergehenden Ungleichungen (2.) und (3.) als besondere Fälle inbegriffen. Indem man die Ungleichung (4.) durch Jx dividiert, erhält man

(5.)

y/2x Eli

JV

Jx

Da nun für lim Jx = 0

\imy' = lim y" - y

wird, so folgt hieraus

(6.)

dV

dx

= y2jt;

oder dV — y²xdx ;

dies gibt

(7.)

V — xjy²dx,

wobei die untere Grenze a die Abszisse 0A\ des Kurvenpunktes A ist, denn für x gleich a wird das Volumen des Körpers gleich Null.

Gewöhnlich wird man auch für die obere Grenze einen konstanten Wert b einsetzen müssen, so daß man erhält

b

(8.)

= x Jy²dx.

Auch dieses Integral kann man als eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen ansehen. Zerlegt man nämlich die ebene Figur A\B\BA durch Parallele

Y-Achse in n Streifen, die alle verschwindend klein werden, wenn n ins Unbegrenzte wächst (Fig. 56), so beschreiben bei der Rotation die Ordinaten QP,    Ç1P1,. ..

Ebenen, welche auf der Rotations-Achse senkrecht stehen. Durch diese Ebenen wird der Rotationskörper, wenn die Ordinaten einander immer näher rücken, in unendlich viele, unendlich dünne „Schichten“ oder „Scheiben“ zerlegt, deren Summe gleich dem gesuchten Volumen V ist. Man darf jeden dieser Streifen QQxPiP als ein Rechteck, jede dieser Scheiben also als einen Zylinder betrachten, denn die kleinen Dreiecke PBPi, welche dabei vernachlässigt werden, beschreiben bei der Rotation ringförmige Körper, deren Volumina im Vergleich dem Volumen der ganzen Scheiben unendlich kleine Größen höherer Ordnung sind.

Das Volumen des unend-

zur

zu

lieh flachen Zylinders, welcher bei der Rotation von dem Rechteck QQ^RP beschrieben wird, ist

y²:x. dx

Fig. 56.

q/

Q Q,

b/

die Höhe dx des Zylinders sogleich verschwin-

wenn man

dend klein annimmt. Man nennt diese Größe y-jxdx das „Volumen-Element“ des Rotationskörpers. Die Summe allei dieser unendlich, vielen, unendlich flachen Zylinder (\ o-lnmen-Elemente) gibt dann das gesuchte \ olumen des Eo-nämlich in Übereinstimmung mit Glei-

tationskörpers chung (8.)

b

jr /y²dx.

In ähnlicher Weise findet man auch das Volumen bei welchem die F-Achse die Ro-muß man in diesem 1 alle x und y

eines Rotationskörpers tationsachse ist ; nur miteinander vertauschen, so daß man

(9.)

d

— Jtjxrdy

Fig. 57.

erhält. Es ist dabei zu beachten, daß hier y die Intégrations-Veränderliche ist, und daß man deshalb erst integrieren kann, nachdem man in Gleichung (9.) x² als Funktion von y dargestellt hat, während in Gleichung (8.) x die Intégrations -Veränderliche war. Um dies anzudeuten, mögen ■x die Integrationsgrenzen a und b in Gleichung (8.), da sie besondere Werte von x sind, mit xx und a?₂ bezeichnet werden; und ebenso mögen in Gleichung (9.) die Integrationsgrenzen c und d, da sie besondere Werte von y sind, mit yx und yz bezeichnet werden.

Man erhält daher

Lk

j)

Xo

== je Jy²dx,

■n

wenn die X-Achse die Rotations-Achse ist, und

(10.)

(11.)

= x Jx²dy

V\

wenn die 7-Achse die Rotations-Achse ist.

Fig. 58.

Durch Verlegung der Koordinaten - Achsen kann man es immer erreichen, daß die X-Achse oder die 7-Achse mit der Rotations-Achse zuist z. B. in

Ql

>c

sammenfällt.

Figur 58 die Gerade C\DX mit der Gleichung

x — a

man

Rotations -Achse, so verschiebe die 7-Achse parallel mit sich um die Strecke OA gleich a, indem man

§ 25. Kubatur der Rotationskörper; Übungs-Aufgaben. 159 x = x' -f- a, oder x' — x — a

setzt, dann wird

(12.)

= ji Jx/2dy =

y-i

Jtj\x

— a)²dy.

Die Berechnung des Volumens der Körper nennt man „Kubatur der Körper

§ 25.

Übungs-Aufgaben.

um

Fig. 59.

Aufgabe 1. Ein gerader Kreiskegel, dessen Grundkreis den Halbmesser a hat, und dessen Höhe gleich 7? ist, entsteht, indem ein rechtwinkliges Dreieck OCA (Eig. 59) die X-Achse rotiert; man soll das Volumen des Kegels berechnen.

Auflösung. In dem rechtwinkligen Dreieck OCA ist die Kathete OC gleich 7? , und die andere Kathete CA gleich «, folglich hat die Hypotenuse OA die Gleichung

(1.)

ax

v = n '

Das Volumen des Kegels Nr. 136 der Tabelle

wird daher nach Formel

h    h

(2.)

= * ly‘dx=^f*dx 0 0

also

(3.)

o?7i r xA W 3

a?Jih

den Halbmessern a\ und a₂\ man soll das Volumen des Kegelstumpfes berechnen.

Auflösung. Der Kegelstumpf entsteht durch Rotation des Paralleltrapezes OAA₂Ay um die X-Achse

Fig. 60.

À.2

-4x.

a₂

(Fig. 60), wobei OA gleich

•X

h mit der X-Achse und OAi gleich ai mit der Y- Achse zusammenfällt.

Die Glei

chung der Geraden A1A2 ist . daher

<4.)

a₂ — d\

--X —r-

h

folglich wird

<5.) V

"r-’i

Y («2 — a{fx²

2(«2 — ai)GL\X

F a² dx

~(a₂ — «i)²ar⁵

— Jt --_ ■    —

2(«₂ — a{)aix²

3 h²

2h

-f- ai²x

lat

— -g - [(«2 — «i)² + 3(^2 — aijai + 3«i²]

also

(6.)

lat

g- («l² + «1«2 + «2²) •

Aufgabe 3. Der Halbmesser einer Kugel sei «; man soll das Volumen einer Kugelschicht berechnen, welche unten

Fig. 61.

R., X;

und oben von zwei Kreisen mit den Halbmessern X\ und x₂ begrenzt ist und die Höhe h hat.

\pi

2+-

Auflösung. Die Kugelschicht entsteht (Fig. 61) durch Rotation der Figur K1P1P2K2 um die Y-Achse, wobei P\P₂ der Bogen eines Kreises mit der Gleichung

x² y² = a², oder x² — a² — y2 ist. Nach. Formel Nr. 137 der Tabelle erhält man daher

(7.)

?/2

= jr jx²dy = Ji I (a²

— y²)dy — jc dry —

V'i

V\

V\

V\

also

[3a² — ył — 2/12/2 — t/1²]

(9.) V = | [ 3a²(2/2 — ył) — (ył — 2/1³)] (y 2 — yi)x

(t/2 — t/i)jr

[3(a²—ył) + 3(a²—ył) + (t/2²—tyiy-2 + ył)\-

Nun ist aber

(10.)

2/2 — 2/1 = h, und nach Gleichung (7.)

t/2² — ^2/12/2 + ył — h²i

a² — ył = xł, a² — ył = #2²,

folglich wird

(11.)

lut

a, so man

g-$xł + Zxł + h²).

O

Setzt man in Gleichung (8.) t/i gleich 0 und t/₂ gleich geht die Kugelschicht in die Halbkugel über, so daß für das Volumen der ganzen Kugel

r    *1    4 cł%

(12.)

V = dry —

Jo

erhält.

Fig. 62.

Ł-

Aufgabe 4. Die Parabel OP mit der Gleichung

(13.

y² = 2px

rotiere um die X-Achse (Fig. 62):    ⁰

man soll das Volumen des von der Figur OQP beschriebenen Rotations-Paraboloids berechnen.

11

Kiepert, Integral-Rechnung.

Dies gibt den Satz: Das Volumen des Rotations-Para-boloids ist halb so groß wie der von dem entsprechenden Rechteck OQPR mit den Seiten x und y bei der Rotation beschriebene Zylinder.

Für x gleich y wird

(15.)

(14.) F

Auflösung. Nach Formel Nr. 136 der Tabelle ist

x² _ x. 2px. jz _ xy²x

— xJy²dx = 2pxjxdx — 0    u

2p.Tr--

Ex

K = 2

Fig. 63.

2Ex ^ 1

Ex,

Beschreibt man über einem Kreise mit dem Halbmesser x einen Zylinder mit der Höhe x, eine Halbkugel , ein Rotations - Para-boloid und einen Kegel mit der Höhe x (Fig. 63), so sind die Volumina dieser vier Körper bezw.

Ex Ex

sie verhalten sich daher zueinander wie

6 : 4 : 3 : 2.

Aufgabe 5. Rotiert eine Ellipse mit der Gleichung

Fig. 64.

B Pj

(16.)

X²

a²

oder

(a² —- x²)

(16 a.) y² =

⁽-<2

um die große Achse (Fig. 64), so heißt der dabei beschriebene Rotationskörper „längliches Rotations - Ellipsoid“; man soll das Volumen der Schicht berechnen, welche bei der Rotation von der Figur Q1Q2P2P1 beschrieben wird.

Auflösung. Nach Formel Nr. 136 der Tabelle wird in diesem Falle

.(17.) V

Xo    X'2

r h2jr r

= Jt ly²dx = ^ l(a²

X\    Xy

x²)dx =

b²Jt

a?

o-,x2

X⁶

³i,

b²ji

[3a²(a?₂ — Xi) — (a?2¹ 2 3 4 5 — xi⁶)]

b²:i(x₂ — X\)

3 a?

3a²

(3 a² — X2² — xix₂ — ab²),

ji(x₂ — Xi) f 3b²

~2 («² — X2²) d

ffi-

3 b²

a²

(a? — x{²)

a²

+    (x₂ — xxf

oder, "wenn man die Höhe a;₂ — x\ der Schicht wieder mit h bezeichnet und Gleichung (16 a.) beachtet,

(18.)

=4(^+3^)-

Für yi gleich 0, y₂ gleich 0, h gleich 2 a erhält das Volumen des ganzen Rotations -Ellipsoids, nämlich

\ab²x

man

(19.)

r~

(20.)

Aufgabe 6. Rotiert eine Ellipse mit der Gleichung

Fig. 65.

T¹

4- — a²^ b²

1,

(b²-y²)

■zt-

b²

\A

(21.)

a²ji

=    (b² — y²)dy =

V\

^(a*>+ &* + **)

b²

'//■>

//i

wobei die Höhe y₂ — y\ mit h bezeichnet ist.

Für Xi gleich 0, x₂ gleich 0, h gleich 2b erhält man das Volumen des ganzen Sphäroids, nämlich

4a²öjr

V = —g“‘

Aufgabe 7. Rotiert eine Hyperbel mit der Gleichung x² y²

ä²~b²

um die X-Achse, so entsteht das „zweischalige Rotations-Hyperboloid“ (Fig. 66); man soll das Volumen einer Schicht dieses Körpers berechnen.

(22.)

(23.)

b²

oder y² = — {x² — a²)

CL

Fig. 66i

P,

Ad

Auflösung. Hier ist

(24.) V

— xjy²dx

Xi.

-3/*

a²)dx =

b²Ji rxs

a²

₀--a²x

o

Xi

Xi

b²Jt

~W[xł b²x{x₂ — Xi)

Xi³ — 3 a²(x₂ — Xi)]

3 a²

(;x₂² -f- XiX₂ -f- Xi² — 3a²)

n(x₂

Xi) f 3 b²

3b²

a²

{x₂² — a²) -f- X₂- {Xi² — a²)

(X₂—Xi)² ,

oder, wenn man x₂ — mit li bezeichnet und Gleichung (23.) berücksichtigt,

(25.)

Für

= ^ (3yi² + 3y₂²

_ W

a²

Xi = a, yi = 0; x₂ — x, y-> = y\ h = x — a erhält man das Volumen des Körpers, der bei der Rotation von der Figur AiQP beschrieben wird, nämlich

b²(x — afl b²(x — dfjt

(26.) V =

(x — a)jt

3 y²

a²

3a²

(x -f- 2a).

(27.

Aufgabe 8. Rotiert eine Hyperbel mit der Gleichung

Fig. 67.

a² b²

)P

oder

a²

(27 a.) x² = p (y² + V²)

\A

um die Y-Achse, so entsteht das „ einschalige Rotations-Hyperboloid“ (Fig. 67); man soll das Volumen einer Schicht dieses Körpers berechnen. Auflösung. Hier ist

(28.) V

a²jt ry ¥ _3

yi

y\

f²

+ b²y\

-V

a²x{y₂ — yi)

3b²

(:ył 4- 2/12/2 4- yi² 4- 3&²)

oder

(29.) V = ----- ₆

(2/2 — yi)n \3a²

h2 (2/2² 4- ¥ 4

3a²

b²

(y² + ¥

d²

— h2 (2/2 — yif •

Bezeichnet man die Höhe y₂ — yi der Schicht wieder mit //, so wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (27 a.)

(30.)

Für

Xi = a, y₁ = 0; z₂ = x, y₂ = y, h = y erhält man das Volumen des Körpers, der bei der Rotation der Figur OAPR um die Y- Achse beschrieben wird, nämlich

a²yn

(31.)    (w + 8*»-^)-

Aufgahe 9. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kettenlinie um die X-Achse entsteht (Fig. 68).

Auflösung. Die Gleichung der Kettenlinie ist

Fig. 68.

(:V² + m-

~(e* + e~«)

oder

+ Vy²-—a² =    — e

Qs

= ß@tn

folglich wird

(33.) V =

dx.

Xi

Setzt man

also x = at, dx — adt

so erhält man nach Formel Nr. 113 der Tabelle

O2)

( 34.) V — d³jt I(So)²/ dt — oßjt ^ ©o) t ©in t -f- t

y-\ cq

(n)

Oi)

_ _,^2 ajt [ r/x\    /x\ ,    031

= 2-[“6»f(a)«@,n(-) + « =T

+ yVf—a?-{-ax

Xl

Daraus folgt, wenn X\ und x₂ beide positiv sind,

¹

der

²

(20 a.) x² = a

³

um die Meine Achse, so heißt

⁴

der dabei beschriebene Rotationskörper „Sphäroid“ (Fig. 65) ; inan soll das Volumen der Schicht berechnen, welche bei der Rotation durch die 1 igui RiEiP₂R₂ beschrieben wird.

⁵

Auflösung, ln ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

⁶

11*

(34 a.)    V=a^- \y₂Vy2² — a² — y± V y ? — a² + a(a?₂ — a?i)j.

Wird dagegen X\ negativ, wie es in Figur 68 der Fall ist, so wird

a² -f- a(x₂ — ^i)] • Für X\ — 0, y y — a\ x₂ — x, y₂ = y erhält man

(34b.) V = y [yzVyJ — a2 + yiVyi*

(35.)

^ (yVyY— a² + OX).

Aufgabe 10. Man soll das Volumen des Körpers berechnen , welcher durch Rotation der Zykloide um die

X-Achse entsteht(Fig. 69).

Eig. 69.

p.

Auflösung. DieGrlei- r chungen der Zykloide sind

(36.)

d. h. x und y sind beide als Funktionen einer dritten Veränderlichen t dargestellt; deshalb wird es zweckmäßig sein, t als Intégrations-Veränderliche einzuführen.

Dies gibt

dx = a{ 1 — cos t)dt,

der Körper durch Rotation der Figur OQP

(37.)

x    t

— ³¹ Jy2dx — a’Ji fil — cositfdt

0 0 (

= adjtj\ 1 — 3cos£ -f- 3cos'J£ — cosH)dt o

also, wenn entsteht,

(38.) folglich wird nach den Formeln Nr. 10, 13, 99 und 54 der Tabelle

(39.) F = a?Ąt — 3 sin if + fsinć cost + f £ — sint + |sin⁸ć)

= a³jt[%t + sint(— 4 -f fcosć + |sin³*)].

Für t = 2jt erhält man das Volumen des Körpers, welcher durch Rotation der ganzen Zykloide OAHP entsteht, nämlich

(40.)

F = ocfijt².

Aufgabe 11. Man soll das Volumen des Körpers berechnen , welcher durch Rotation der Astroide um die X-Achse entsteht (Fig. 70).

Fig. 70.

Auflösung. Die Gleichungen der Astroide sind

(41.) x = a cos³#, y — sin³#,

folglich ist, wenn man wieder # zur Intégrations - Ver and er-p liehen macht und zunächst den Körper berechnet, welcher durch Rotation der Figur OQPB entsteht,

(42.) dx — — 3a cos²# sin #t##,

(43.)

= x/fâ j=

⁰    ! I

t

'ôar’jr/sin⁶# cos²#sintdt

71

(/)

= 3ààjcJ(l — cos²#)³ cos²#. t#(cos#).

(y)

Setzt man also

cos# = z

so wird, wenn man beachtet, daß cos

(I) gleich

0 ist,

(44.) V = 3a³Jt f\z² — 3z⁴ -f- 3 z⁶ — z⁸)dz o

/z³    3z⁵    3g⁷

\3    5 ⁺ 7

(105 cos³# — 189 cos⁵# -f- 135 cos⁷# — 35 cos⁹#).

= 3 d³ji

z\

9/

d³:x

105

Für # gleich 0 erhält man das Volumen des Körpers, welcher bei der Rotation von dem Quadranten OAB beschrieben wird, folglich ist das Volumen des ganzen Rotationskörpers

(45.)

2 d³Jt

(105 — 189 + 135 — 35) =

32a³jr

105

Aufgabe 12. Man soll das Volumen des Körpers berechnen , welcher durch Rotation der Zissoide um die X-Achse entsteht (Fig. 71).

Fig. 71.

Auflösung. Pie Gleichungen der Zis-

solde sind

(46.)

x = 2 a sin²(jp, y =

2<zsin³<jp

folglich wird

COS 9)

Fl

(47.)

dx — 4a sin 9) cos cp dg),

(48.) V

16 a³jc

<p

' sin ‘(pdcp

COS (p

(49.)

so wird

Setzt man also COS9> == t, sin²9> = 1 — t2 sin <pd<p — — dt:

t = 1 für 9=0

und man erhält

(50.) 7 = — 16a%

'(1 — ff dt

1f(^ — 31 + 3ts — t^jdt

1

o V,    t² , ‘dt⁴

= — V6a°x ln£ — ^—I⁻ ^

= — 16a⁸jr

=    (— 121n£ + 18 — 91⁴ 4- 2F — 11).

3

Nun ist

(51.) t² = cos²9> = 1 — sin²9) =

2a — x 2a

24a³ ln{*²) = +

+ 72a³*² = 36a²(2a — x) = 72a³ — 36a²ar,

— 3 6a³£⁴ = — 9a(2a — a;)² = — 36a³ + 36a-o: 9aar,

+ 8aH⁽> — 44a³ = (2a — x)³ — 44a³

= _ 36a³ — 12a²a; -f 6az² — x³,

— 48a³ ln £ = —

Aufgabe 13. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, der durch Rotation der Zissoide um die Asymptote mit der Gleichung x — 2« entsteht (Fig. 72).

Auflösung. Zunächst möge das Volumen des Körpers berechnet werden, welcher bei der Rotation von der Figur OASPbeschrieben wird. Nach Formel Nr. 138 der Tabelle findet man, wenn man in diesem Falle a mit 2a vertauscht,

folglich wird (52.) V= [24a³ ln

£ co

/ 2a \

\2a — x)

— xs — 3ax² — 12a²x .

Fig. 72.

?'■

(53.) V = Jtj{x — 2afdy.

0

Dabei folgt aus den Gleichungen (46.)

x — 2 a = — 2acos²ç),

(54.)

dy =

COS²<jP

(3cos²<jp fi- sin²<p)sin²ç>rô<p

also

JP.

(55.)

V = 8aàJiJsm²cpcos²cp(3e,os²(p -f- sin²(p)d<p 0

= 8dàJtJ(1 — cos²<jp)cos²<p(l -f- 2cos²<p)d(p

0

= 8a³Ji J (cos²(p + cos⁴<jp — 2cos⁶<jd )d<p.

0

Nun ist nach Formel Nr. 101 der Tabelle

(56.)

(57.)

jcosö<pd(p — cosbpsing) -f- ^ Icoécpdq), jcos*<pd<p — ^ cos³<jp sin <p -f- ^ fcos²<pd<p,

(58.)

jcos²<pd<p = ^cos<jp siiup ^ cp.

Multipliziert man Gleichung (56.) mit

2-t

2, Gleichung

Gleichung (58.) mit — 3'4

(57.) mit —

1

j_ i — und addiert diese drei Gleichungen, so erhält man

2

unter Hinzufügung des Faktors 8a?jt

(59.) V = 8 dàJt

v

:J(cos²(p -f- coshp

0

2cos&<p)d(p

— 8a?jc

- ^-cos⁵<jpsin<p

I CD

cos³<jp sin 9)

+ £ cos <p sin <p + ^ <P ■ wächst, so wird y unendlich groß.

Wenn çp bis

Gleichzeitig erstreckt sich auch der Rotationskörper bis ins Unendliche. Das Integral verliert also zunächst seinen Sinn, denn bei seiner Erklärung war vorausgesetzt, daß die Funktion unter dem Integralzeichen endlich bleibt. Wenn aber den Wert des Integrals als Grenzwert erklärt,

man

wenn man

(</>)

also V= lim Jy²dx setzt, so bleibt das Volumen trotzdem

_ * (0)

2

endlich, denn man erhält (60.)

lim F = a³Jt².

v-2

Aufgabe 14. Man soll das V olumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Ellipse

Fi". 73.

(61.) y — c + — Va²—x²

p'

um die X-Achse entsteht (Fig. 73), wenn c größer als b ist.

Auflösung. Man kann das gesuchte Volumen V als die Differenz zweier Volumina V' und F// betrachten, von denen V' bei der Rotation von der

fff

A/

Ö\ Q,

Qi ~B,X

Figur Q1Q2P2P1 und V" von der Figur QyQ^PPPy' beschrieben wird. Dabei ist

(62.)

■f²

also

= aJy'Wx, V" =

Zi

x₂

Jt Jy'/2dx

X\

(63.)

V=V' — V"

X<i

= W²

Xi.

— y//2)dx.

Bei der vorliegenden Aufgabe ist

y" — c —

y a² — x

also

y' — y" =

y' + y" = 2c

— Y a² — x²

folglich wird

(64.) (ÿ + y") {y' — y") = y'² — y"² =

46c

]/a² — £c²

x₂

(65.)

^ïdxVW-X

a J

Will man das Volumen des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der ganzen Ellipse entsteht, so hat man

X2 = 4«

zu setzen und erhält nach Formel Nr. 123 der Tabelle Ya² — x² -f-

X\ = — a

(66.)

4 6c.Tr

+a

te a

arc sim

^ arcsin(+1)—    arcsin(—1)J

= 2a6c.Tr².

Auch hier kann man die Rechnung durch Einführung eines variablen Parameters t vereinfachen in ähnlicher Weise, wie es auf Seite 137 bis 141 bei der Quadratur der Kurven geschehen ist. Setzt man nämlich in der vorstehenden Aufgabe

(67.)

x — asint

so wird y — c -f- 6cos£.

Dabei durchläuft der Kurvenpunkt P die obere Hälfte

bis

der Ellipse von A bis 75, wenn t alle Werte von

Jt

+ — annimmt; und der Kurvenpunkt P durchläuft die

u

untere Hälfte der Ellipse von B bis A, wenn t alle Werte ?>jr

— annimmt. Deshalb wird

Li

von

Jt -i •

— bis

2

+a

(68.)

jyt2dx — aj[c bcost)²costdt,

7t

OTT.

(69.) —fy//2dx —    aJy'/2dx — af{c-\- bcos#)²cos£dt:,

folglich wird

37T

⁺1~

F = an /(c²cos£ -f- 26ccos²£ -j- b²cosst)dt.

71

Dies gibt nach den Formeln Nr. 13, 99 und 54 der Tabelle in Übereinstimmung mit Gleichung (66.)

(70.)

(71.) V = an[c²sint + bc{costsmt + t) + b^sint—^sinH)]

o\-¹+u-+    +f) +    3⁺ 3)]

Fig. 74.

= an

m| a

= 2oben².

Dies kann man sogleich verallgemeinern. Die ebene Figur A!BAB' (vergl. Eig. 74) werde durch den Kurvenbogen A'BA" mit den Gleichungen (72.) x == <p(t), y = f{t) und durch die Ordinate A\A“ A' begrenzt. Dabei seien wieder ?>(£) und ty(t) für die betrachteten Kurvenpunkte eindeutige Funktionen von £, d. h. der Kurvenpunkt P durchlaufe die Kurve von A' bis P, wenn t alle Werte von h bis V annimmt, und er durchlaufe die B bis A“, wenn t alle Werte von V bis h an-

Kurve von

P"

A"

-P

OAt = a, ORx = b.

nimmt, wobei ti < V < h oder t₁ > V > fa sein möge. Soll man dann das Volumen des Körpers berechnen, der durch Rotation dieser ebenen Figur um die X-Achse entsteht, so erhält man zunächst nach den bisherigen Regeln

(73.)

V = *J\V'²

y"²)dx.

Nun wird aber

folglich findet man

4

(74.)

= x Ję(t? . y\t)dt.

4

Ein besonderer Vorzug dieser Methode liegt auch hier wieder darin, daß man die Koordinaten des Punktes B und den zugehörigen Wert V des Parameters t nicht zu ermitteln braucht.

Aufgabe 15. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, der durch Rotation der Kardioide

(75.) a? = a[2cos£ — cos(2f)], y = a[2sint — sin(2i)]

Fig. 75;

um die X-Achse entsteht. (Vergl. Fig. 75.)

Auflösung. Wie schon in § 21 bei Aufgabe 6 gezeigt wurde, durchläuft der Kurvenpunkt P, von A anfangend, die obere Hälfte der Kurve, wenn t alle Werte von 0 bis x durchläuft. Bezeichnet man dann den größten Wert, den x annehmen kann, mit x' und den zugehörigen Wert von t mit t\ so wird

(76.) F = x)y'²dx — xJy"²dx = x/y'²dx -j- x /y"²dx

— 3a

x‘

t-    o    o

= x jxp(tf . <p'(t)dt -f- xfytf . (jy(t)dt = xJxfitf . F'tjdt.

7i    f    n

Da in diesem Falle

dx = (p\t)dt = 2a[— sin/ -j- sin(2/)]rf/

ist, so erhält man

sin (2/)] • [— sin/ -j- sin(2/)]d/

x‘

x‘

x‘

4- u

o

(77.) V = 2a³xy‘[2sint

71 7t

= 2a³x /[4sin³/ — 8sin²/sin(2/) -j- 5sin/sin²(2/) — sin³(2/)]d/.

o

Dabei ist nach den Formeln Nr. 57, 53 und 56 der

Tabelle /sinHdt = — /'( 1 — cos²t)d(cost) = — cos/ -f- cos³/,

/sin²/sin(2/)(// = ^JńFHcostdt = -|sin ⁴/,

Jsmtsm²(2t)dt = 4ysin³/cos²/d/ = — 47(cos²/ — cos⁴/)d(cos/) = — 4(| cos³/ — |cos⁵/),

fsin³ (2 t)dt = —    1—cos²(2 /)]ć/cos(2/)

= — J-[cos(2/) — -|cos³(2/)],

folglich wird

20

(78.) V = 2a³x

4

— 4 cos/ -j- q cos³/ à

7t

-(- 4 cos⁵/ + 9 cos (2/) — ^ cos³(2/)j

— 4 sin⁴/— ₀ cos³/ o

= 2 a³x

1)_(-4-^ + ⁴ + 2-6)]

64a³x

VII. Abschnitt.

Rektifikation der ebenen Kurven.

§ 26.

Rektifikation ebener Kurven, deren Gleichung auf ein rechtwinkliges Koordinaten-System bezogen ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 139.)

Ist

(i.)

y = f{x)

die Gleichung einer Kurve (Fig. 76), so wird der Bogen

AP gleich s ebenfalls eine Funk-, tion von x. Wächst nämlich x —-À    um die Größe    QQX gleich    Ax,

/    so wächst auch    der Bogen s    um

die Größe PPi gleich As. Betrachtet man zunächst As als so ist As die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck PRPX, so daß man erhält

(2.) PPX² = PB² + PPi², oder As² = Ax² + Ay²,

(2 a    As = yAx² -f- Ay².

Läßt man die beiden Punkte P und Px einander unendlich nahe    rücken,    so    gehen Ax, Ay,    As bezw. in    die

Differentiale    dx,    dy,    ds    über, und der    unendlich kleine

Bogen PPi fällt mit der unendlich kleinen Sehne PPi gleich ds zusammen. Deshalb erhält man für den unendlich kleinen Zuwachs ds des Bogens s aus Gleichung (2a.)

Fig. 76.

Q Q,

-X

die Sehne PP

i»

(3.)

ds — y dx² -f- dy² = dx^ 1 -f-    '

§ 26. Rektifikation ebener Kurven bei rechtwinkligen Koordinaten. 1 < < Daraus folgt durch Integration für den Bogen AP selbst

(O

Man wird hierbei die Integrationsgrenzen zweckmäßiger Weise mit xy und x₂ bezeichnen, um ahzudeuten, daß x die Intégrations-Veränderliche ist. Dadurch geht Gleichung (4.) über in

(4a.)

X!

Xl

Man kann nämlich auch y zur Intégrations-Veränderlichen machen, denn aus Gleichung (3.) folgt

(5.)

also

(6.)

P p ___ p ,/ - ,„ ,V:

S=fds = fVdx² + dy* = fdy]j 1 + ((ly) ;

V\    V\    M

ds =

Sind x und y als Funktionen einer dritten V eränder-lichen t gegeben, so wird man in den meisten Fällen mit Intégrations -Veränderlichen machen

gutem Erfolge t zur und schreiben

(7.)

(8.)

^2 ^2

,9 = jds = Jydx² + dy h    u

In dieser Formel sind die Gleichungen (4 a.) und (6.) als besondere Fälle enthalten, welche sich ergeben, wenn man

t = x bezw. t = y

setzt.

von

Auch hier kann man das bestimmte Integral als Summe unendlich vielen, unendlich kleinen Größen betrachten,

einer

Summe, bei der wo

12

Kiepert, Integral -Rechnung.

Mg. 77.

durch gleichzeitig ihre Anzahl ins Unbegrenzte wächst. Zerlegt man nämlich den Abschnitt Q1Q2 auf der X-Achse

(Big. 77) in n (gleiche oder ungleiche) Teile und legt durch die Schnittpunkte Parallele py zur B-Achse, so wird auch der Bogen P1P2 gleich s in n Teile zerlegt.

V,

<07

Q2

Indem man die aufeinander folgenden Schnittpunkte X des Bogens durch gerade Linien miteinander verbindet, erhält man zwischen Pi und P₂ ein Polygon von n Seiten. Wird nun n unendlich groß, und werden die einzelnen Seiten des Polygons unendlich klein, so fallen sie mit den Bögen, deren Sehnen ds sie sind, zusammen.

Der ganze Bogen P1P2 oder s wird daher die Summe von diesen unendlich vielen, unendlich kleinen Sehnen ds, so daß man wieder erhält

«2---

5 = jds ==j]/dx² + dy² = Jdx j/l -f-    '

X,

§ 27.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens OP der Parabel mit der Gleichung

y² —

Mg. 78.

P,

(1.)

berechnen (Big. 78).

Auflösung. Aus Gleichung (1.)

irx

folgt

(2.) ydy = pdx, oder ^

dx

Man wird hier nämlich y zur Intégrations-Veränderrational durch y dar-

liehen machen, weil sich x und

dx

dy

stellen lassen. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 139 der Tabelle

(3.)

4- 2/²j

und dies gibt nach Formel Nr. 129 der Tabelle

(4.)

lf

+ y² +^-ln

=%py?r+f+fat®in0'

PL

(V + Vp² +

y + Vp² + y²

Aufgabe 2. Man soll die Länge des Bogens PxP2 der Ellipse mit der Gleichung

(5.) b²x² -f- a²y² = a²b2 berechnen (Fig. 79).

Auflösung. Aus Gleichung (5.) folgt

Fig. 79. B PL

Q,

Qi

(6.)

r*C> ^

(P>

V a² — x²,    _________________

dx a Y a² — x²

aï — e²x2 a² (a² — x²) ’

•— bx

wobei

e² — a² — ô²

ist. Daraus ergibt sich

(8.)

-n

1 l'dxY aï — e²x²

•Tl

y a²—x²

X>2

-V-

aJv

(a⁴ — e²x²)dx

]/(ft² — £c²) (ft⁴ — e²#²)

Dieses Integral, das ein „elliptisches Integral zweiter Gattung“ genannt wird, kann erst an einer späteren Stelle ermittelt werden, da es sich weder durch algebraische

12*

Funktionen noch durch die bisher betrachteten transzendenten Funktionen ausdrücken läßt. Man erkennt daher aus dieser Aufgabe, wie die Anwendungen der Integral-Rechnung auf neue transzendente Funktionen führen.

Aufgabe 3. Man soll

p/ die Länge des Bogens P1P2 der Hyperbel mit der Gleichung

Fig. 80.

p/

1t Q, Q2Q

(9.) b²x² — a²y² = a²b2 _ K berechnen (Fig. 80).

Auflösung. Man findet hier in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe

(10.) s = —

1 /'    (a⁴ — e²x²)dx

aJ V(a²— x²) [aß— e²x²)

(e²x² — a⁴)dx

= -/ _

aJ y(x²—a?) (e²x² — aß)

Xi

nur ist bei der Hyperbel e² gleich a² -f- b².

Aufgabe 4. Man soll die Länge des Bogens P1P2 der Kettenlinie mit der Gleichung

(11.)

oder

+ Vy² —. a² = berechnen (Fig. 81).

Fig. 81.

(11a.)

✓ X

a( —

A“ -

Auflösung. Aus den Gleichungen (11.) und (11a.) folgt

(12.)

dy l( -

~y~ = =\ea — ea dx 2

= @tn

Pp

oder

(13a.)

dx

(14.)

a ©in

xx

xx

X'2

0}

-*x₁

= Vy₂² — aï—Vyi¹ — «² •

Für Xi gleich 0, x₂ gleich x wird der Bogen

AP = Vy¥— «“ und kann sehr leicht konstruiert werden. Beschreibt man nämlich um A (Fig. 82) mit dem Halbmesser y einen Kreisbogen, welcher die X-Achse Punkte B trifft, und vervollständigt das Rechteck OBCA, so ist

(16.) AC = Vy^^a* = AP.

In ähnlicher Weise könnte man die Bögen APi und AP2 als gerade Linien ACi und AC₂ darstellen, deren Differenz (17.) AC₂-ACx = ClC₂^C\P2 sein würde.

Aufgabe 5. Man soll die Länge des Bogens OP bei der Zykloide mit den Gleichungen

x = a(t — sin#), y = a(l — cos#)

(15.)

im

(18.)

Fig. 82.

Q Tb

berechnen (Fig. 83).

Auflösung. Aus den Gleichungen (18.) folgt dx = a(l — cos t)dt, dy = asmtdt,

Fig. 83.

P,

(20.) ds² = dx% dy² = a\ 1 — 2 cos if -J- cos²f -j- sin²£)^f2 — 2a²(l — cosif)^² = 4a²sin²^^d7².

Gvl

(21.) ds = 2asin^~^(# = 4asin^~^ć^ ^ folglich ist

(22.) «

(t)    t

=4ajsmQ)dQ=⁴{~ oos(l)]o

(|)1 = 8asin²(t).

(U)

= 4a 1 — cos

Wird der Wälzungswinkel t gleich. 2.tt , so rollt der die Kurve erzeugende Kreis einmal ab. Dadurch erhält man für den Bogen der ganzen Zykloide

(23.)

s = 8a,

ein Resultat, das schon bei der Krümmung der Kurven (D.-R., Seite 480) ermittelt wurde.

Aufgabe 6. Man soll die Länge des Bogens BP bei der Astroide mit den Gleichungen (24.) x = acos³£, y = asin³f berechnen (Fig. 84).

Auflösung. Aus den Gleichungen (24.) folgt

| dx — — 3acos²£sinf \ dy = -f- 3asin²if costdt,

Fig. 84.

(25.)

(26.)

ds² = dx² -j- dy²

= 9a²sin²fcos²f(cos²£ -f- sin²t)dt2 = 9a²sin²fcos²fdf²,

also

(27.)

ds — + 3asin#cos$flfit.

Hierbei ist das untere Zeichen zu nehmen, weil s zunimmt, wenn t abnimmt. Dies gibt

(28.)

s = — 3a jsintcostdt = —

ro

₂ [Sln

2

3a

3a

= -₀(1 — sin²#) = ^r-cos²#.

L    &

Für # gleich 0 wird s dem Quadranten BA der Astroide gleich, nämlich

(29.)

3a

Der ganze Umfang der Astroide ist daher TJ= 6a.

Da der Punkt P die ganze Kurve durchläuft, wenn t alle Werte von 0 bis 2jt annimmt, so hätte es nahe gelegen,

2n

JJ = —}- 3aJ sin# cos tdt

o

zu

setzen. Dann hätte man aber einen Fehler gemacht, schon daraus erkennt, daß der Wert dieses Inte-

wie man

grals gleich Null sein würde, gleichviel ob man das obere oder das untere Vorzeichen nimmt. Der Fehler ist .dadurch entstanden, daß man bei der Wurzelausziehung aus ds² = 9a² sin²# cos²# ć##²

für alle Werte von # dasselbe Vorzeichen genommen hat, während das Vorzeichen in verschiedenen Quadranten ver-Durchläuft nämlich der Punkt P die Kurve

schieden ist.

nicht in der Richtung B nach A, sondern von A nach B usw. bis nach A zurück, so wächst der Bogen 5 gleichzeitig mit #, d. h. ds und dt haben stets gleiches Zeichen. Darauf muß man bei der Wurzelausziehung

, so muß man

achten. Liegt t zwischen 0 und

ds = + 3asin#cos#d#

weil sin# und cost beide positiv sind. Liegt da

setzen

gegen t zwischen ^ und s0 mu^ man ds = — 3a sin# cost dt

setzen, weil sin/ positiv und cos/ negativ ist. Liegt / zwi-

so muß man

-,    -, 3 jt

sehen jc und - - i

U

ds = 4~ 3asin/cos/e//

setzen, weil sin/ und cos/ beide negativ sind; und liegt / 3ji

zwischen und 2#, so muß man wieder ds = — 3asin/cos/ć//

setzen, weil sin/ negativ und cos/ positiv ist.

Deshalb wird der Umfang der Astroide

7t

‘Ó7C

71

sin /cos/ dt —

-jsmt cost dt ~\-js

sin / cos tdt

71

T

371

271

sin /cos/ dt

7t

'in

7t

-,U

sin²/

sin²/

-f- sin²/ — sin²/

Jo

7t

7t

n

JZ7t'

dies gibt

3a

2~(l + l-f-l + l) —

6a.

Dieses Beispiel möge zeigen, wie vorsichtig man sein muß, um bei der Bildung von ds durch Wurzel auszieh ung aus ds² das Vorzeichen richtig zu bestimmen.

Aufgabe 7. Man soll die Länge des Bogens AP der Kreisevolvente mit den Gleichungen

I x — a(cos/ 4- /sin/) (30.)    • ,    ,    ,

\ y = a(sm/ — /cos/)

Fig. 85.

berechnen (Fig. 85).

Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt

irx

Ja

| dx = a/cos/dt [ dy — a/sin/ć//,

(32.) ds² = dx² -f- ć%² = a²£²(cos²tf -f- sinH)dt² — oH'²dtr,

(33.)

ćfo — at dt,

(34.)

/Jat2 s = a Itdt = —

/ ²

Aufgabe 8. Man soll die Länge des Bogens AP bei den Epizykloiden mit den Gleichungen (35.) x = a[mcost — ços(ratf)], y — a[msmt — sin(wż)] berechnen (Fig. 86).

Auflösung. Aus den Gleichungen (35.) folgt (36.) dx = ma[—sin# + sin(m#)]^, dy = ma[cost—cos(mt)]dt\ dies gibt, wenn man wieder m — 1 mit n bezeichnet,

(37.) ds² = dx² + dy² = 2w²a²[l — cos (nt)]dt²

- 4m²a²sin²^^

dt²

(38.)

ds - 2masin

(ÏHÏ)

(39.)

/nt\    kma .

( ----- ) dt —-sm

\ 2 /    n

(0)

— cos

/nt Vj _ 8 m

\ 2 /J~ n

sin²

Fig. 86.

Wird der Wälzungswinkel nt des rollenden Kreises gleich 2jt, so erhält man für den vollständigen Bogen ACB (Fig. 86)

(40.) * = — n

8ma 8(n + 1 )a

Al

Ist n eine ganze Zahl, so schließt sich die Kurve; ihr Umfang U besteht n solchen Bögen man erhält

aus

so

daß

Auch dieses Resultat ergab sich bereits bei der Krümmung der Kurven (D.-R., S. 483).

Für den Fall n — 6, welcher durch die Figur dargestellt ist, erhält man also

(42.)

JJ = 56a.

In dem Falle, wo n — 1 ist, wird die Kurve eine Kardioide, deren Umfang also

17= 16a

(43.)

ist.

Aufgabe 9. Man soll die Länge des Bogens AP bei den Hypozyldoiden mit den Gleichungen (44.) x — a[mcost -f- cos(w£)], y = a[m sin t— sin(ratf)] berechnen (Fig. 87).

Auflösung. Aus den Gleichungen (44.) folgt (45.) dx = ma[—sin#—sin(mt)]dt, dy = ma[cost— cos(mt)]dt]

dies gibt, wenn man (in Übereinstimmung mit der früher gebrauchten Bezeichnung) m -f- 1 gleich n setzt,

(46.) ds² = dx² -f- dy²

= 2m²a²[l— cos(nt)\dt²

= 4 m²a? sin²^^ dt²,

/vît \

(47.) ds = 2ma sinr—jdt

Fig. 87.

J)/

(48.)    5

Ama . /nt\ /nt\

T“fsHä)

(0) ⁰

4 ma T n

1 — cos

/nt Vj    8 m

V2/I ⁼

sin²

(r>

Wird der Wälzungswinkel nt des rollenden Kreises gleich 2^r, so erhält man für den vollständigen Bogen ADB (Fig. 87)

(49.)

§ 27. Rektifikation ebener Kurven; Übungs-Aufgaben. 187 8ma 8(n — 1 )«

Ist n eine ganze Zahl, so schließt sich die Kurve; ihr Umfang TJ besteht dann aus n solchen Bögen, so daß man erhält

(50.)

TJ = 8(w — 1 )«.

Für den in Figur 87 gewählten Fall, in welchem n gleich 3 ist, erhält man z. B.

(51.)

Z7= 16«.

Bei der Astroide hat man n gleich 4 zu setzen und

erhält

TJ = 24«.

Aufgabe 10. Man soll die Bogenlänge bei der TVei/schen Parabel berechnen (Fig. 88).

Auflösung. Die Evolute der Pa-

(52.)

Fig. 88.

rabel

y² = 2px

ist bekanntlich (vergl. D.-R., Seite 473) (54.) F{x, y) = 27py* — 8{x — pf = 0, (eine Kurve, welche man auch die _ „Neilsehe Parabel“ nennt. Zur Berechnung der Bogenlänge bei dieser Kurve bilde man zunächst (55.) F\ = — 24(:z — pf, F₂ = 54py, folglich wird

53.)

Qx

(56.)

dy

Mx — p)²

--1

dx

9 py

also mit Rücksicht auf Gleichung (54.)

« ©'-•+

ds _ Vp -f

v-v*

Setzt man daher

Yp -|_ 2x = t, also p-\-2x = t², dx = tdt,

16(x —pf = 81 p²y^

(57 a.)

dx

so erhält man

(59.)

s = —L= Jdx Yp -f- 2x

(x)

L fm ¹ m

3p J 3]/3jö J

(x)

(p)

oder

(60.)

s = —-= [(2a:    p)Y%x -f- p — 3pY3p\.

3]/3p

§ 28.

Rektifikation ebener Kurven, deren Gleichung auf Polarkoordinaten bezogen ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 140.)

Bei Anwendung von Polarkoordinaten sei die Grlei-chung einer Kurve AP (Fig. 89)

r = F (pp),

(1.)

dann ist auch die Länge s des Bogens AP eine Funktion von <p, denn der Bogen wächst gleichzeitig mit dem Winkel

<p. Nimmt man sogleich an, daß der Zuwachs POPi von cp verschwindend klein wird, und bezeichnet denselben dementsprechend mit d(p, so wird auch der Zuwachs PPi oder ds des Bogens verschwindend klein. Beschreibt man daher um 0 mit dem Halb-

Fig. 89.

Lttp

mess er OP gleich r einen Kreis-x bogen PQ, so kann man das rechtwinklige Dreieck PQPi als ein geradliniges Dreieck betrachten und findet nach dem Pythagoräischen Lehrsätze, wie auch schon früher gezeigt wurde,

<p

PP? - QP? + PQ²,

oder (vergl. D.-R., Formel Nr. 158 der Tabelle)

folglich wird

(3.)

§ 29. Rektifikation ebener Kurven; Übnngs-Aufgaben. 189 Dies gibt

ds — y dr² -f- r²dcp² = d(p

+ r²,

also, wenn man die Grenzen sogleich mit <pi und cp₂ bezeichnet,

(3.)

(4.)

(fi    (pi

Man kann natürlich statt (p auch andere Integrationsveränderliche einführen. Sind z. B. r und rp beide Funktionen von t, so folgt aus Gleichung (3.)

(5.)

und für t gleich r

(6.)

dies gibt

(7,)

§ 29.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens bei der Archimedischen Spirale mit der Gleichung

r = acp

(1-)

berechnen (Fig. 90).

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt (2.) dr — adcp,

ds² — dr² -f- r²dcp2 — a²{ 1 + <P²)d<p²,

Fig. 90.

Pf

r>

r2

P}

ds = ad cp Y1 + 9>²

(4.)

(5.) s

oder

(5 a.) s —

<f2    _

s = a/dtpyi -f- cp².

•Pi

Dies gibt nach Formel Nr. 129 der Tabelle = a | yi + cp² -f | Ülr@in9)J

V~1 + cp² 4- |ln (g> + Vl + cp²) 1 ,

-Vi

5P2 Vl + ÇP2²—gpi Vl + yi²

.2

'<p2 + Vl + <p2²'

r₂V^² + ^2²—r\\/a²r-? . a

a (

2ln(

V2 + V«² +^2²

r\ -f- V»² + ri

0-

Aufgabe 2. Man soll die Länge des Bogens bei der hyperbolischen Spirale mit der Gleichung

Fig. 91.

p,

(6.) rep = a, oder r = acp~x, berechnen (Fig. 91).

Auflösung. Aus Gleichung (6.)

p»

folgt

(7.) dr — — acp~²dcp,

ft

(8.) ds² = dr² -j- r²dcp²

— a²(cp~~i -f- <p~²)dcp²

(9.) ds — ~ Yl -f- cp². dtp

(10.) 5

<P2    <f2

= a\f ■*— + (-._

i-J<p²yi + cp² jyi-\-cp²-

<ri    (pi

Dies gibt nach den Formeln Nr. 40 und 35 der Tabelle

= aj

•pi

(po    _ ______

„ fdçpyi + cp²

al-^---

dep

cp²

(H.)

„ ' VI + <p²

a--

+ ln(^D + n + V²)

"V

a -f- y a² + r²

also

(12.) s = Va²-f-^i²— ya²-f-^2² -falnf

ri(g + Vg² + r*²)

r2(a+Va² + ri²)

Aufgabe 3. Man soll die Länge des Bogens bei der logarithmischen Spirale mit der Gleichung r — ea(f

Fig. 92.

(13.)

berechnen (Fig. 92).

Auflösung. Aus Gleichung (13.)

folgt

(14.)

dr — ea,P. ad(p — ard<p,

7Ä

oder

(14 a.)

(15.)

(16.)

dies gibt

(17.)

d<p — i

ds² = dr² + r²d(p² = dr²(l -j-ds = dry 1 +    = ^y«² + i;

Va²-f l

.V =

tH

•f²

r₂ — r i

Va⁸ + 1.

Fig. 93.

Aufgabe 4. Man soll die Länge des Bogens AP bei der Parabel mit der Gleichung

(18.) r

= a icos(~f)

oder r =

COs2(I) ^⁸

berechnen (Fig. 93).

Auflösung. Aus Gleichung (18.) folgt

)dcp

ßsinf

(19.)

dr =

cos³|

te

(20.)    ds² = dr² -f- r²d<p² =

d²d(p²

cos⁶|

,    adœ

(21.)

ds —-----

to e

COS³|

also, wenn man <p = 2t setzt und die Formeln Nr. 103 und 48 der Tabelle beachtet

<r

(22.) s — 2 a

cos³i

to e

= 2a/

i

'dt

cos H

' sin£ _2cos²£

-f- ńh L

oder

asm

(23.)

tO;^

cos²l

+ «ln^ctg^ ₄ ^

Aufgabe 5. Man soll die Länge des Bogens AP bei der Kardioide mit der Gleichung Fig. at.

(24.) r² = a² cos

CO: 'S

oder

(24 a.)    r — acos²i

\A

berechnen (Fig. 94).

Auflösung. Aus Gleichung (24 a.) folgt

(25.) dr = —acosQ^sin^^dçp,

(26.) ds² — dr² -[- r²dcp²

=i a²cos²

(l)[sin²(f)+cos²(I)]dSp2 =

a²cos²i

to h-6

dqr,

(27.)

ds = a cos

(f )df = 2acos(f)d(f)

Setzt man

(34.)

also

(33.) ds =

2a sin ydepY 1+3cos²çd

Fig. 95.

cos ²<p

(28.)

2a sin

(?)

Für <p gleich Jt erhält man die Länge des Bogens APO,

nämlich

s — 2a,

d. h. der Bogen APO ist dem Durchmesser des in Figur 94 der Kardioide umschriebenen Kreises gleich.

Aufgabe 6. Man soll die Länge des Bogens OP bei der Zissoide mit der Gleichung

2asin²g)

(29.)

(30.)

cos cp

berechnen (Fig. 95).

Auflösung. Aus Gleichung (30.) folgt

2asin<p(l + cos ²g))dcp cos²<p

(31.)

dr —

(32.) ds² = dr² -}- r²d<p² =

4a²sin²çp(l -f- 3 cos ²(p)dcp²

cos⁴gD

y3 . cos<p = t

also

— Y 3 smcpdcp = dt

so wird

(35.) ds =

2aY3. df/l + t²

ax

t²

(<p)

(36.)

dtYi+1²

t²

(0)

w r dt x

^Hfyr+rPjvT+Td

Kiepert, Integral - Rechnung.

13

folglich erhält man mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 40 und 85 der Tabelle

(37.)

—1~ ln(^ -f- Y1 -f- t²)

oder

(38.)

“1/1 —j— 3cos²go cos go

- 2 — }r3 . ln(

Y3 . cos go -j- Vl + 3cos²go

2 + Ÿ3

)]'

VIII. Abschnitt.

Komplanation der Rotations Hachen.

§ 30.

Berechnung des Flächen-Elementes bei einer Rotationsfläche.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 141 und 142.)

Rotiert eine Kurve mit der Gleichung V = f(x)

um die X-Aclise, so beschreibt der Bogen AP (Fig. 96) eine Rotationsfläche, deren Oberfläche 0 eine Funktion von x ist. Wächst nämlich x um die Größe QQ\ gleich Ax, so wächst auch die Oberfläche

Teil AO der Rotationsfläche, welcher bei der Rotation von dem Bogen PPi be-schrieben wird.

Zur Berechnung von A 0 betrachte man zunächst den Mantel des Kegelstumpfes, welcher bei der Rotation von der Sehne PPi gleich As beschrieben wird. Der Mantel dieses Kegelstumpfes ist nach bekannten Sätzen aus der Stereometrie

(1.)

um

denjenigen

■L 1

Fig. 9fi.

Qf

(2.)

M=x(QP+QiPü-PPi

= x(y + V\)-As.

13*

Rückt nun der Punkt Pi dem Punkte P unendlich nahe, so fällt der Bogen PPi mit der Sehne PPi zusammen; dabei geht Rs über in ds, und \imyi wird gleich y, folglich findet man für das Oberflächen-Element dO aus Bleichung (2.)

(3.)

(4.)

dO — 2jcyds.

Daraus ergibt sich durch Integration

x₂

0 = 2jtJyds,

Xi

wobei die Grenzen mit X\ und cc₂ bezeichnet sind, weil man x als die Intégrations-Veränderliche betrachtet.

un-

Auch hier kann man das bestimmte Integral als Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen betrachten, oder, strenger gefaßt, als Grenzwert einer Summe, bei der die einzelnen Summanden ins Unbegrenzte abnehmen, wodurch gleichzeitig ihre Anzahl ins Unbegrenzte wächst. Denn durch Schnitte, senkrecht zur Rotations-Achse, wird die Fläche in ,,Zonen“ zerlegt. Werden diese Zonen dadurch, daß die Anzahl der Schnitte ins Unbegrenzte wächst endlich schmal, so geht jede dieser Zonen über in den Mantel eines Kegelstumpfes mit der Seitenkante ds, begrenzt von zwei Kreisen mit den Halbmessern y und y -f- dy.

Rotiert die Kurve um die F-Achse, so erhält man in ähnlicher Weise für den Flächeninhalt der Rotationsoberfläche durch Vertauschung von x mit y

(5.)

0 = 2jtJxds.

Die auf diese Weise ausgeführte Berechnung der Oberfläche nennt man „Komplanation der Rotationsflächen

§ 31.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll den Flächeninhalt einer Kugelzone berechnen (Fig. 97).

Auflösung. Rotiert der Bogen PiP₂ des Kreises mit der Gleichung

(1.)

x² Ą- y² — a²

um

die K-Achse, so beschreibt er eine Kugelzone, deren

Oberfläche nach Formel Nr. 142 der Tabelle

y-

(2.)

0 = 2jiJxds

V\

wird. Dabei folgt aus Gleichung (1.)

(3.) dx =

Fig. 97.

ydy

fiî—x».

(4.) ds* =

(y² + a² — y²)dy²

iy

\P,

a²dy2 a² — y²

(5.)

ds =

ady

ady

(6.)

y a²—y2 xds — ady

y-i

(7.)

2ajth

wenn bezeichnet.

O =. 2anfdy = 2aji{y₂ — 2/i) —

V\

man die Höhe y₂ — 2/i der Kugelzone wieder mit h

Setzt man y₂ gleich + a, yi gleich a, also h gleich für die Oberfläche der ganzen Kugel

2a, so erhält man

(8.)

Aufgabe 2.

paraboloids berechnen (Fig. 98).

0 = 4a%.

Man soll die Oberfläche des Rotations-

Fig. 98.

Auflösung. Die Gleichung der Parabel ist

(9.)

y² = 2px\

daraus folgt

Q,

(10.)

dy p

°\

(1L) o

dx y p² + y² __ f + 'Ipx

7/²

(lia.)

= — ]/p² -f- 2\px

y

(12.)

yds = dx Yp² -(- 2px.

Setzt man

(13.) Yp²-Y^Px = 0 also P² 4“ %PX — t², pdx = tdt

so wird

(14.)

t²dt

yds —-?

p

also nach Formel Nr. 141 .der Tabelle

(15.) O = 2jc jyds =

0 (0)

{x)

t²dt =

2 ji

3p

[(Vp² + 2^x)³]₀-

Dies gibt mit Rücksicht auf Grleichung (9.)

3^ i(p² + y²) Vp² + y² --P³]-

Aufgabe 3. Man soll die Oberfläche des Rotationsellipsoids berechnen (Fig. 99).

Auflösung. Die Grleichung der Ellipse ist

(17.) b²x² + a²y² — a²b² = 0: daraus folgt

'■ <■»■> <3-

(16.)

2 jc

Fig. 99.

BR

b²x

2b

a^y² + b^x²

a-hr

Ir {ad — e²x²)

ahy²

(20.)

(21.) yds -

—    Y cd — e²x²

a²y

b^-Yad — e²x² = a²

Fs

dx

b . Æ(eæ)

a²e

Y cd — e²x²

2 bjt

(x₂)

fa)

Dies gibt nach Formel Nr. 123 der Tabelle, wenn man a2 mit a⁴ und x mit ex vertauscht,

LO

Y a⁴ — e²x² fl-

(23.)

arc sm

2for rex d²e _ 2 Für x-2 gleich a wird

Y a⁴ — e²X2² — aVa² — e² = ab ; deshalb erhält man, indem man Gleichung (23.) mit 2 multipliziert und Xi gleich 0 setzt, für die ganze Oberfläche des Rotationsellipsoids

(24.)

2 6jc

a²e

a²be fl- a⁴ arc sin ^

arcsin

= 2P» +

e

wenn man also a

Man kann sich davon überzeugen, daß der gefundene Ausdruck die Oberfläche der Kugel liefert, wenn die rotierende Ellipse in einen Kreis übergeht gleich & und e gleich 0 macht. Allerdings nimmt dann das zweite Glied die Form •§- an; setzt man aber

e = az,

von

so findet man nach der Regel, welche für die Berechnung solchen unbestimmten Ausdrücken in D.-R., Seite 353 angegeben ist,

(25.) lim -

e=0 _ 6

• arcsin

©i -

lim

arcsin 2

= lim

und

limO = 2a²Jt fl- 2a²Jt = 4a²Jt.

6=a

Aufgabe 4. Man soll die Oberfläche des Sph äroids berechnen (Fig. 100).

Auflösung. Aus der Gleichung (17.) der Ellipse folgt

(26.)

Fig. 100.

7.’

-V

,A

dx

a²y

(28.)

a⁴y² ¥x² + a⁴y²    a\¥ -f- d²y²)

¥x²

¥x²

¥x²

(29.)

ds

(30.) xds —

a. dy

b²

dy b²x

Y¥ e‘Ÿ ~

+ eY,

a . d(ey)

b²e

Y~¥ -j- eY

(.%)

(31.)

b²e

{yù

Dies gibt nach Formel Nr. 129 der Tabelle, wenn man a² mit ¥ und x mit ey vertauscht,

2ujt rey b²e [T

(32.)    0 =

VF+ëÿ + |in(^ + Vbi + **

b²

)]

lh

Für y2 gleich b wird

Yb⁴ + eV = bVb² + 4 ab:

deshalb erhält man, indem man Gleichung (32.) mit 2 multipliziert und y\ gleich 0 setzt, für die ganze Oberfläche des Sphäroids

(33.)

[„W,+ *]„(*£ + £>)]

₌ 2A + ^ln

e

2 aJt

b²e

Nun ist

(a 4- e)² (a + e)²

a 4- e

b²

a² — e²

folglich kann man den Ausdruck für 0 auch auf die Form bringen

ab²jt    /a 4- e\

e    \a — e)

(34.)

0 — 2a²jt 4"

Auch hier kann man sich davon überzeugen, daß der gefundene Ausdruck die Oberfläche der Kugel liefert, wenn die rotierende Ellipse in den Kreis übergeht, wenn man also a gleich b und e gleich 0 macht. Allerdings nimmt das zweite Glied wieder die unbestimmte Form ^ an; setzt man aber

e = az

so findet man nacli der Regel, welche für die Berechnung solchen unbestimmten Formen in D.-R., Seite 353 angegeben ist,

von

(35.) lim“ln(“-±^) = c=o e \a—e/

ln

lim

lim

ln(l-fe)—ln(l — z)

?—0

= lim

fi l

und

limO = 2a²jr -f- a²Jt. 2 = 4a²x.

b=a

Aufgabe 5. Man soll die Oberfläche des zweischaligen Rotationshyperboloids berechnen (Fig. 101).

Fig. 101.

(36.)

(37.)

Auflösung. Die Gleichung der Hyperbel ist b²x² — a²y² — a²b² = 0 ;

daraus folgt

(38.)

dy

b²x

(39.)

/ ds \²_

\dx/

dx ary

cdy² + ¥x² _ b²(e²x² — a⁴) ady²    ady²

(40.)

(41.) yds =

ds = - l - Y e²x² — a⁴, b . d(ex)

dx

d²y

b . dx

a²

Y e²x² — ad —

a*e

]/ e²x² — cd

(Z-<)

Dies gibt nach Formel Nr. 129 a der Tabelle, wenn man d- mit cd und x mit ex vertauscht,

2 bu Y ex a²e _ 2

Setzt man X\ gleich a und x? gleich x, so wird

Y e²x{²— a⁴ = aYe² — a² — ab,

und man erhält für die von dem Bogen AP bei der Ro-• tation beschriebene Fläche

bxjt

(43.) 0 =

Y e²x² — a⁴

tO!

. /ex 4- Ve²x²— a⁴

ln

a²

Xo

l

(44.)    0 =

Ye²x² — a⁴ — b²jt — a ^ ln^

ex -j- Y e²x² — a⁴

a(e -f- b)

Aufgabe 6. Man soll die Oberfläche des einschaligen Rotationshyperboloids berechnen (Fig. 102).

Fig. 102.

Auflösung. Aus der Grlei-

chung (37.) der Hyperbel folgt )P

(45.)

dx

a²y

dy b²x ’

₍,n v /dss² b⁴x² + a⁴y2 (4a) Kdy) ~

b⁴x²

a²(b⁴ -j- e²y²)

b⁴x²

(47.)

ds

yw + ê²y²

(48.)

xds =

dy b²x

(49.)

2 cur

(?/■>)

b²e

(m)

jd(ey)y b⁴ -f- e²y².

Dies gibt nach Formel Nr. 129 der Tabelle, wenn man a² mit b⁴ und x mit ey vertauscht,

2ajt rey b²e 2

(50.) O =

b²

)i.

§ 31. Komplanation der Rotationsflächen.; Übungs- Aufgaben. 203 Für yi gleich 0, y-i gleich y erhält man daher

(51.) 0 = « W+W + "⁴/⁷ t    -    )

Aufgabe 7. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kettenlinie mit der Gleichung

(52.)

ea Ą- e

oder (52 a.) ±Vy² — a² =

um

die X-Achse entsteht (Fig. 103).

Auflösung. Aus Gleichung

Fig. 103.

(52.) folgt

₌ic:₊₍ri)=<o

(54.) 0 = 2jt jyds

(53.)

dx

V.

X\

Q,

= 2 a²Ji

h

ko\Hdt

Dies

wenn man x = at setzt, gibt nach Formel Nr. 113 der

Tabelle

0 = 2 a~Ji

S«©«-©+ i:

to i-*-

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (52.) und (.>2a.)

0 = jr [y Y y² — a² + ax]

X\

= oz [y-2 y y 2² — a² -f- yiVyi² —    + a(X2 Xl)i •

Hierbei gilt das obere oder das untere Vorzeichen, je nachdem x± positiv oder negativ ist.

Aufgabe 8. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Zykloide

p.

Fig. 104.

I x = a(t — sin#),

\ y = a( 1 — cos #)

um die X-Achse entsteht (Fig. 104).

(56.)

\A

Auflösung. Aus den

Gleichungen (56.) folgt

(57.) ds — 2a sin f

)dt

(58.) yds — 2<z²(l — cos#) sin (^dt = Dies gibt

4 a² sin³

(s>-

(59.)

0 = 16«²jt

= — 16 d²jt

rß'mSQdQ

0

M

■.Hl-oos^dcosQ')

(0)

= — 16a²jr cos

rH ICO

cos³|

IC

16a²jt r

Für # gleich 2jt erhält man die Oberfläche, welche bei der Rotation von dem ganzen Zykloidenbogen OHA beschrieben wird, nämlich

^(2 + 3

Aufgabe 9. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Astroide

x = a cos³#, y = a sin³# um die X-Achse entsteht (Fig. 105).

Auflösung. Aus den Grleichungen (61.) folgt (6 )    ds = —3asin# costdt,

(6 )    yds = — 3a² sin⁴# cos #t##.

— 3 cos

Q+cwiï)}

(60.)

(61.)

64a²jr

1 =

(64.)

Dies gibt für die ganze Oberfläche

o

12a²:7rJ sinV cos t dt

~2

oder

71

2~

(ß5,) 0 = -(- 12a?jiJsn\H. d(sint)

o

Durchläuft £ alle Werte von 0 bis jt, so durchläuft der zugehörige Kurvenpunkt P, von A anfangend, die ganze obere Hälfte der Astroide. Trotzdem darf man bei Berechnung der ganzen Oberfläche nicht

71

0 — ßa²JtJ sin H cos t dt o

setzen. Denn, da nach dieser Festsetzung ds und dt gleiches

Vorzeichen haben, so muß man im ersten Quadranten ds — -j- Sasint cost dt

setzen; im zweiten Quadranten dagegen muß ds — — 3asin£cos£(^ setzen. (Vergl. die Ausführungen bei der Rektifikation der Astroide auf Seite 183 und 184.)

Aufgabe 10. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kreisevolvente x = ß(cos t + fsinf), y = a(siiR — tcost) um die X-Achse entsteht.

Auflösung. Aus den Gleichungen (66.) folgt ds — at dt.

Da ä mit t zugleich wächst, so haben ds und dt hier stets dasselbe Vorzeichen. Ferner ist

yds = a²(£snR — t² cos t)dt,

t

0 = 2a? JtJ'itsvat — t²cost)dt. o

12a² Jt

.7    12 a?Jt

Fig. 105.

,p

man

(66.)

(67.)

(68.)

Setzt man

v = smi

(70.) u = t², dv = cos tdt, also du = 2 tdt

in die Formel Nr. 98 der Tabelle, nämlich, in die Gleichung

uv —J vdu

(71.)

Judv —

ein, so erhält man

(72.)

ft²costdt = t²sint — 2ft sint dt.

Setzt man dagegen (73.) u = t, dv — sin tdt, also du — dt, v = — cos t in die Gleichung (71.) ein, so ergibt sich (74.) Jtsintdt — — tcost -f- J cos tdt = — tcost -f- sinO

Indem man Gleichung (72.) mit —1, Gleichung (74.) mit -f⁻ 3 multipliziert und dann beide Gleichungen addiert, findet man

(75.) Jtsintdt — Jt²costdt = — £²sin£ — 3£cos£ -f- 3sin£. Deshalb wird

(76.)

0 = 2<r²jr(3sin^ — 3£cos£ — £²sin0-Bezeichnet man denjenigen Wert von t, für welchen (bei wachsendem t) y zum ersten Male gleich Null wird, mit to, so darf in Gleichung (76.) t alle Werte von t — 0 bis t = to annehmen. Wird t größer als to, so wird y und infolgedessen auch yds negativ. Deshalb wird auch

t

2 %J yds 4

negativ, solange für die betrachteten Werte von t der Wert von y negativ bleibt. Damit man für diesen Teil der Oberfläche einen positiven Wert erhält, muß man daher für das entsprechende Intervall

t

2jtJyds 4

setzen.

Aufgabe 11. Man soll die Oberfläche des Körpers berechnen, welcher durch Rotation der Kardioide (77.) y — a[2cos£ — cos(2£)], afösint—sin (20] um die X-Achse entsteht.

Auflösung. Aus den Gleichungen (77.) folgt (78.) dx = 2a[— sin£ -j- sin(2£)]c?£ == 4asincos

(79.) dy = 2a[cos£ — cos(2/)]ć# = 4a sin ^^sin also

= 16 a² sin²^-^ dt², ds = 4asin^^G yds = 4a² [2 sin t — sin (2 £)] sin (J^dt

ds²

(80.)

(81.)

= 8a²sinf(l — cos t) sin (!^)dt

= 32a² sin⁴^-^ cos dt = 64a²sin⁴^0dsin^)

Dies gibt, da yds positiv bleibt, wenn t alle AVerte von 0 bis x annimmt,

(»)

0 = 128a²jr

(4)

/sin‘(£psinQ

128a²jr f . ./t\f    128a²x

IX. Abschnitt.

Rektifikation der Raumkuryen.

§ 32.

Berechnung des Bogen-Elementes einer Raumkurve.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 143.)

Der Durchschnitt zweier krummen Flächen mit den Gleichungen

<1.)

F(x, y, z) — 0 und G(x, y, z) = 0 ist im allgemeinen eine Raumkurve (vergl. § 145 und 46 der D.-R.). Indem man aus den beiden Gleichungen (1.) die Veränderliche z eliminiert, erhält man

<2.)

H(x, y) — 0, oder y = fix).

Dies ist die Gleichung eines Zylinders, welcher die Schnittkurve in die XY-Ebene projiziert. Ebenso findet man durch Elimination der Veränderlichen y aus den Gleichungen (1.)

(3.)

K(x, z) = 0, oder 0 — g(x).

zu-

Dies ist die Gleichung eines Zylinders, welcher die Schnittkurve in die XZ- Ebene projiziert. Da die Raumkurve, die durch die beiden Gleichungen (1.) erklärt wird, auf diesen beiden Zylindern liegt, so ist sie auch die Schnittkurve dieser beiden Zylinder, oder wenigstens ein Teil davon. Die beiden Zylinder können nämlich möglicherweise auch noch andere Kurvenstücke gemeinsam haben, die nicht mit der durch die Gleichungen (1.) gegebenen Kurve sammenfallen.

Setzt man noch für x irgendeine Funktion von einer vierten Veränderlichen t, so werden mit Rücksicht auf die

Gleichungen (2.) und (3.) auch y und z Funktionen von t, so daß man die Raumkurve auch durch die drei Gleichungen

(4.)

x = y = f$), z = fs{t)

darstellen kann. Umgekehrt lassen sich drei solche Gleichungen auch immer als Raumkurve geometrisch deuten.

parallel zu Ebenen (Fig. 106). Dann erhält ein rechtwinkliges Parallel-

Fig. 106.

Um nun die Länge s des Kurvenbogens AP zu bestimmen, nehme man auf der Kurve zwei benachbarte Punkte P und Pi an und lege durch jeden derselben drei Ebenen, den Koordinaten

man

epipedon mit den Kanten

Xi — x, yi — y, si — z und mit der Diagonale (5.) pPi =V(x^Mj^M^F-Rücken die Punkte P und Pi einander unendlich nahe, so fällt der Bogen PPi mit der Sehne Y PPi zusammen, die Größen X\ — x

■x

<3/

PPi,

gehen bezw. über in

(6.)

ds, dx, dy, dz, und aus der Gleichung (5.) ergibt sich ds² = dx² -f- dy² + dz².

zwei

Daraus folgt für die Länge des Bogens zwischen bestimmten Punkten der Raumkurve, die den Parameter-werten t = t\ und t = ^2 entsprechen,

(7.) « =

fes = fvdx> + df +1? = fdt ]/(!*)! + (I) +    j

Für t gleich x wird z. B.

(8.)

s=/L]/i+(D+(|)'

Auflösung, In dem vorliegenden Falle wird es zweckmäßig sein, x, y und z als Funktionen einer einzigen Veränderlichen <p*) auszudrücken, indem man

(2.)

x — acosçp

setzt, dann folgt aus den Gleichungen (1.)

(8.)

§ 38.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll die Bogenlänge bei der zylindrischen Schraubenlinie (vergl. D.-R., Seite 672 und 673)

y = xtgfö

(io

x² -f- y² = a?

berechnen.

y — asinçp, z = cçp,

und man erhält

dx = — asinçpdçp, dy — acos<pdcp, dz = cdçp ds² = dx² -f- dy² -f- dz² — (a² -f- c²)d<p², ds = dp Ya² -J- e²,

(4-)

(5.)

(6.)

__n    ____

(7-)

s — Ya² + c²Jdp — (çd₂ — cpi)Va² -j- c².

fi

Dieses Resultat ergibt sich auch daraus, daß die Schraubenlinie entsteht, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten uçp, cçp und der Hypotenuse <py a² + c2 auf den Kreiszylinder

x² + y² =*

so aufwickelt, daß die Kathete açp mit der Basiskurve (d. h. mit dem Kreise) zusammenfällt. Die Hypotenuse bildet dann die Schraubenlinie.

Aufgabe 2. Man soll die Bogenlänge bei der konischen

Spirale

(8.)

x = eß?cos(/D, y = ea(Psinçp, z — cea(P

berechnen.

*) Der Parameter ist liier nicht mit t, sondern mit cp bezeichnet, weil er mit dem Argument cp bei Polarkoordinaten übereinstimmt.

Auflösung. Die Projektion der Kurve in die XY-Ebene ist eine Kurve, bei welcher <p der Winkel zwischen der X-Achse und dem Radius vektor ist, denn aus den Gleichungen (8.) folgt

(9.)

Die Projektion hat daher in Polarkoordinaten die

Gleichung

oder r = e“f

(10.)

x² -\- y² — r² = e2afP d. h. die konische Spirale liegt auf einem Zylinder, welcher auf der XY-Ebene senkrecht steht und die logarithmische Spirale zur Basiskurve hat. Außerdem folgt aus den Gleichungen (8.)

(11.)

x² + y² —

c²

= 0;

die konische Spirale liegt also auch auf einem Kreiskegel, dessen Spitze in dem Anfangspunkt der Koordinaten liegt, und dessen Achse mit der X-Achse zusammenfällt.

(12.)

Aus den Gleichungen (8.) findet man dx = ea(P(a cos <p — sin <p)dcp, dy = ea(Kgsi\\(p -f- cos<p)d(p, dz — ea(P. acd(f>.

Dies gibt

(13.)    ds² = dx² + dy² + dz² = e2a<P(a² + 1 + d²c²)d<p²

(14.)    ds = ea(P. d<pV 1 + a² + a²c²,

(15.)

oder

s = yiĄ-a?-[-a²c²Jea,P .d<jp = ¹V1+a²+aV(e"^—e"'o)

<pi    a

(16.)

(17.)

"»-zhyi + tf + dw. ■

ac

Für einen ganzen Umgang wird

g>₂ = (pi + 2jt, z₂ = cea(‘P+27l) = Zi. e2a7t,

also

(18.)

s = — (e2a71 — l)Vl + a² -f- a²c². ac

Aufgabe 3. Man soll die Bogenlänge einer Raumkurve dritten Grades mit den Gleichungen

(19.)

x = 2 a²t, y — 3abt², z — ‘öb²t³ . berechnen, wobei a und b zwei beliebige konstante Größen sind.

(20.)

Auflösung. Aus den Gleichungen (19.) findet man dx = 2 a²dt, dy — Qabtdt, dz = 9 b²t²dt,

folglich wird

(21.) ds² = dx² -f- dy² + dz² = (4u⁴ + 3Qa²b²t² + 81 bH^dt2 = (2a² -f- 9 b²t²)². dt²,

also

(22.)

ds = (2 a² + 9 b²t²)dt.

Macht man den Anfangspunkt der Koordinaten, durch den die Kurve hindurchgeht, auch zum Anfangspunkte des Kurvenbogens, so erhält man

t

(23.)

x + z.

s — y(2a² + 9b²t²)dt — 2a²t -f- 3b²t³ =

o

Zweiter Teil.

X. Abschnitt.

Integration der gebrochenen rationalen Funktionen.

§ 34.

Echt gebrochene und unecht gebrochene rationale Funktionen.

Wie schon in der Differential-Rechnung (Seite 15 und 16) gezeigt wurde, läßt sich jede gebrochene rationale Funktion als Quotient zweier ganzen rationalen Funktionen darstellen, d. h. sie läßt sich auf die Form

(!•)

F{x) _ Axm -f- Aixm~l -f- A₂xm~² -f-----f- Am-ix + A„,

f{x) axn -f- aixn~l + a₂xn~² -(----+ an_xx -f- an

bringen. Hierbei sind die Koeffizienten A, Ai, A₂,... a, ai, a₂, • • • beliebige (reelle oder komplexe) konstante Zahlen, und die Exponenten m und n sind beliebige positive ganze Zahlen. Hätten F(x) und f{x) einen gemeinsamen Teiler <9’(;z), wäre also

F {x) = 0'(x)Fi{x) und fix) = &{x)fi(x), so könnte man in Gleichung (1.) Zähler und Nenner durch >Hx) dividieren und erhielte

Fjx) _ F,ix) ' fix) fix)

machen, weil man, wenn a von 1 verschieden ist, Zähler und Nenner des Bruches durch a dividieren kann. Der Nenner f(x) soll daher in dem folgenden immer die Form

(2.) f(x) = xn + axxn~l + azxn~² -j-----(- an-Xx + an

haben.

Man teilt die gebrochenen rationalen Funktionen in echt gebrochene und unecht gebrochene rationale Funktionen ein, und zwar heißt eine gebrochene rationale Funktion „echt gebrochenu, wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners; sie heißt dagegen „unecht gebrochen", wenn der Grad des Zählers größer oder mindestens ebensogroß ist wie der Grad des Nenners.

F (x)

f(x)

Hiernach ist die durch Bleichung (1.) erklärte Funktion echt gebrochen, wenn m<n, und sie ist unecht gebrochen, wenn m^n ist.

Satz 1. Jede unecht gebrochene rationale Funktion läßt sich als die Summe einer ganzen und einer echt gebrochenen rationalen Funktion dar stellen. Es ist also

(3.)

F(x)

fix)

= g{x) +

ep{x)

fix)

wo g{x) eine ganze rationale Funktion und der Brad von <p(x) kleiner ist als der von fix).

Der Beweis des Satzes ergibt sich einfach durch Division. Ist nämlich bei der Division von F(x) durch f{x) der Quotient gleich g(x) und der Rest gleich <p{x\ so ist

(4.)

F{x) = f{x)g{x) + <p{x)

wobei der Brad des Restes -<p{x) kleiner gemacht werden kann als der Brad des Divisors f(x). Aus Bleichung (4.) ergibt sich sofort

(5.)

F(x)

(p(x)

fix)

fix)

Am besten erkennt man das Verfahren aus einem Beispiele. Es sei

F{x) x³ -j- 9 a;² + 12 a: — 16 fix)

dann erhält man durch Division

brochene rationale Funktion.

Dieser Satz läßt sich unmittelbar auf die algebraische Summe von beliebig vielen echt gebrochenen rationalen Funktionen übertragen.

§ 35.

/(•*') =

F + 9x² + 12x _ 16 = (x² + 2x — 3)(x + 7) +.(x + 5), x³ + 2a?² — 3a?

-f- 7a?² -f- 15a? —16 -f- 7a?² -f- 14a? — 21

a? + 5

also

(6.)

a?³ -f- 9a?² -J- 12a? — 16

= (* + 7) +

a?² -f- 2a? — 3 In ähnlicher Weise findet man

a? + 5

a?² + 2a? — 3

(7.)

2a?⁴—3a?³ — 6a?² -f- 34a?—9 a?² — 3a? -f- 4

<Pix) und <Pdx)

= (2a?² + 3a?—5) Ą

7x+ll

a?² — 3a? -f - 4

Sind

fix)

fix)

zwei echt gebrochene rationale

Funktionen, bei denen fix) den Grad und fix) den Grad ri2 haben möge, so daß der Grad von <pi(x) höchstens n\ 1 und der von (pijx) höchstens n2 — 1 sein kann, so ist 0>i(a?) , <Pix)

(8.)

<pi(x). fix) -j- ⁽pix) • fix)

fix) fix)

fix) • fix)

wieder eine echt gebrochene rationale Funktion, denn dei Nenner hat den Grad n\ -f- W2, während jedes dei 1 rodukte <jPi(a?). fi^x) und <pix) ■ fix) und deshalb auch ihre Summe höchstens den Grad n\ -j- n% — 1 bat. Eine ähnliche 1 Betrachtung gilt für die Differenz zweier echt gebrochenen rationalen Funktionen. Dies gibt

Die Summe oder Differenz zweier echt gebrochenen rationalen Funktionen ist wieder eine echt gt-

Satz 2.

Zerlegung der echt gebrochenen rationalen Funktionen in Partialbrüche, wenn die Wurzeln der Gleichung 0 sämtlich voneinander verschieden sind.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 144.)

Nach dem im vorhergehenden Paragraphen bewiesenen Satze kommt es bei der Integration der gebrochenen ratio-

nalen Funktionen nur auf die Integration der echt gebrochenen rationalen Funktionen an; denn, wäre die gelegte Funktion unecht gebrochen, so könnte man sie in eine ganze und in eine echt gebrochene rationale Funktion zerlegen. Die Integration der ganzen rationalen Funktionen ist aber bereits auf Seite 20 in § 4 erledigt.

vor-

Die Integration der echt gebrochenen rationalen Funktionen kann man durch Zerlegung in Partialbrüche ausführen, wobei der Generalnenner der einzelnen Partialbrüche fix) sein muß. Deshalb muß man hier die Zerlegung der ganzen rationalen Funktion f{x) in lineare Faktoren benutzen. In § 112 der Differential-Rechnung (Seite 542) war nämlich der Satz bewiesen worden: Jede ganze rationale Funktion nten Grades. läßt sich in n lineare Faktoren zerlegen. Es ist also

(1.) f{x) = xn 4- a\xn~¹ -f- d2Xn~² d-----f- an—\X -f- an

— (X - Xj) (x — X2) (x — Xs) ... (x — xn),

und 2C1, X2, aj₃,... xn sind die Wurzeln der Gleichung

(2.)

m = 0.

Für das Folgende muß man zwei Fälle unterscheiden, je nachdem diese Wurzeln x±, X2, X3,... xn sämtlich voneinander verschieden sind oder nicht.

Hier möge zunächst der erste Fall behandelt werden, wo die Wurzeln der Gleichung (2.) sämtlich voneinander verschieden sind. Um die vielen Indizes zu vermeiden, mögen dabei diese Wurzeln mit a, 6, c,...k, l bezeichnet werden, so daß die Gleichung (1.) übergeht in

(3.) f(x) = (x — a)(x — b)(x — c)... (x — k)(x — l).

Es soll dann gezeigt werden, daß die echt gebrochene

rationale Funktion

cp(x)

f(x)

auf die Form

(4.)

9>(x)

f{x) x— a'x — b'x — c gebracht werden kann, wobei die Zähler A, B, C,... K, L der Partialbrüche konstante Größen sind¹).

Beweis. Es sei

(5-) A(a) = z.

fix)

- = (x — b)(x — c)... (x — k) (x — l) a

dann ist fix) nur noch eine ganze Funktion (n — l)ten Grades; ferner sei

<p(a)

(6.)

fia)

Nach diesen Festsetzungen wird die ganze rationale

Funktion

(7.)

(p{x) — Afi(x) =

<p(x)fia) — y(g)/i(aQ

deren Grad höchstens n — 1 sein kann, gleich 0 für daß nach Satz 2 in § 112 der D.-R (Seite 541)

Man er-

x = a, so

(p(x) — Af\(x) durch x — a teilbar sein muß.

hält also

(8.)

cp(x) — Afx(x) = {x — a)(px{x)

oder

(8a.)

<p(x) = Afi{x) + (x — a)<pi(x)

wo <Pi(x) eine ganze rationale Funktion von x ist, deien Grad höchstens gleich n — 2 sein kann. Hieraus folgt

<px(x)

(9.)

(p{x) _ Afijx) + (x — a)(pi(x) = (x — ä)fi(x)

fix)

V&l nach den gemachten Angaben wieder eine

Dabei ist

echt gebrochene rationale Funktion, welche aber einfa< hei

denn fix) ist nur noch vom Grade n — 1, und

(Pi(x) ist höchstens vom Grade n 2.

In derselben Weise kann man jetzt zeigen, daß

ist als

cp(x)

fix)

fix)

B , <P‘jx)

x — b fix)

wo f%(x) vom Grade n - 2 und <p°(x) höchstens vom Grade

fortfahren und findet die Glei-

(10.)

<Pi(x)

fix)

n — 3 ist. So kann man chungen

çpz(x) _ C , g>3(%)

fi{x) x — c fs(x)

(11.)

<Pn-2(%)

fn-2{x)

K___, (Pn-i(a?)

X — k'~ fn-x{x)

tyn-lipc) fn—l(x)

Addiert man die Gleichungen (9.), (10.) und (11.) und läßt die Glieder fort, welche auf beiden Seiten der Gleichung stehen, so erhält man

(12.)

(p{x)

fix) x

Dieser Beweis liefert sogleich den Wert von A; es ist

nämlich

(13.) A =

cp(a)

y(a)

f\{a)    (a — b) {a — c)... {a — k) {a — l)

In derselben Weise, wie A aus

cp{x)

f(x)

berechnet ist,

könnte man jetzt B aus

(pijx)

fi{x) '

C aus

<p₂{x)

Hx)

■ • berechnen.

9>i(a) <pz(z) Hx)¹ Hx)¹

Dazu würde aber erstens die Bildung von

erforderlich sein, und zweitens könnte man leicht glauben, daß die durch Gleichung (12.) erfolgte Zerlegung in Partialbrüche verschiedene Resultate liefere, je nachdem man

zu-

oder ein anderes absondert. Dies ist

erst das Glied

x— a

aber nicht der Fall, es gilt vielmehr der Satz: Die Zerlegung in Partialbrüche ist eindeutig; d. h. die Werte von A, B, C,...K, L sind unabhängig von der Reihenfolge, in der man sie herleitet. Multipliziert man nämlich Gleichung (12.) mit

f{x) — {x — a) (x — b) (x — c)... {x — k) (x — l)

so erhält man

(fix) = A{x — V){x — c)...(x — k)(x — l) + B{pc — a)(x — c)... (x — k)(x — l) + C(x — a)(x — b)... (x — Jc)(x — l)

(14.)

so wird

(15.)

(16.)

+ K(x — a)(x — b)... {x — i)(x — l)

+ Afx — a){x — b)... (x — i)(x — k) ²).

Setzt man in dieser Grleichung der Reihe nach x = a, x=b, x = c,...x = k, x = I,

(p{a) = A(a — b){a — c)... (a — k) (a — l) <p(b) = BQ) — a) (b — c).. .(b — k)(b — l), <p(c) — C(c — a)(c — b) ... (c — k)(c — Z),

<p(l) = L(l — a) (l — b) ... (I — i) (l — k).

Dies gibt

9>(a)

Ça — b) {a — c)... (a — k) (a — l)

9>(o)

(■b —• a) (b — c)... (J) — k) (b — l)

<7 =

<p{c)

(c — a) (c — b)... (c — k) (c — l)

<pQ)

(l — a) Q — b) ... (L — i) {l — k)

Man erhält also für die Zähler der Partialbrüche genau dieselben Werte, gleichviel ob man mit der Absonderung des betreffenden Partialbruches anfängt oder nicht.

Die Gleichungen (16.) lassen sich noch etwas einfacher schreiben. Aus Gleichung (5.) folgt nämlich

fix) = {x —a) fix).

Differentiiert man beide Seiten dieser Gleichung, so erhält

man

(17.)

und dies gibt für x — a

f\x) = ix — a)f\ix) + fi{x)

f\a) = M-

Deshalb geht Gleichung (13.) über in

(18.)

cp(a)

/»

In entsprechender Weise findet man dann

(18a.) B — j C —

<P(P)

.. K =

(pik)

cp{l)

Es war von vornherein die Voraussetzung gemacht worden, daß f(x) und (p{x) keinen gemeinsamen Teiler haben. Die vorstehenden Ausführungen würden zwar auch ohne diese Voraussetzung richtig bleiben, aber die Rechnung würde unnötigerweise umständlich werden. Hätten nämlich fix) und (fix) einen gemeinsamen Teiler, z. B. den gemeinsamen Teiler x — a. so würde der erste Partialbruch

wegfallen, weil cp(a) und deshalb auch A in diesem

Qj

X-

Falle gleich Null wären.

Für die Ausführung der numerischen Berechnung ist dasselbe Verfahren wie bei dem oben gegebenen Beweise am meisten geeignet; man schaffe also in Grleichung (12.) durch Multiplikation mit

fix) = [x — a)(x — b)(x — c)... (x — k)(x — l)

die Nenner fort, um die Grleichung (14.) zu erhalten, aus der sich dann die Werte von A, B, G,... K, L unmittelbar ergeben, indem man bezw.

x = a, x=b, x = e,... x = k, x = l

einsetzt.

Man kann allerdings zur Berechnung der Größen A, B, C,... K, L auch das folgende Verfahren an wenden, das später in dem allgemeineren Falle, wo die Wurzeln von f(x) nicht alle voneinander verschieden sind, noch in Betracht kommen wird.

In Gleichung (14.) ist die linke Seite höchstens vom Grade n1; ebenso ist die rechte Seite eine Funktion vom Grade n — 1, die man sich nach Potenzen von x geordnet denken kann. Da die Gleichung für alle Werte von x gilt, so müssen die einzelnen Koeffizienten der linken

Seite gleich sein den gleichstelligen Koeffizienten auf der rechten Seite, welche lineare Funktionen (d. h. Funktionen ersten Grades) der n gesuchten Größen A, B, C,... K, L sind. Nun hat aber eine Funktion (n. — l)ten Grades im ganzen n Koeffizienten. Man erhält also n lineare Gleichungen mit n Unbekannten, welche sich, wie aus den vorstehenden Angaben folgt, stets auflösen lassen.

Am besten wird man dieses Verfahren durch die Behandlung einiger Aufgaben verstehen.

15a;² — 70a; — 95

x³ — 6x² — 13a; -j- 42

Aufgabe 1. Man soll den Bruch in Partialbrüche zerlegen.

a^ — 6a;² — 13a: —(— 42 = 0.

Auflösung- Man setzt den Nenner gleich Null und erhält dadurch die Gleichung (19.)

Löst man diese Gleichung auf, so ergeben sich folgende

Wurzeln;

(20.)

a = 7,

b = — 3,

c = 2.

deshalb wird

(21.)    a;⁸ — 6x² — 13a; -f- 42 = (x — 7) (x -j- 3) (x — 2).

Hieraus folgt

(22.)

15a:² — 70a; — 95

15a:² — 70a: — 95    _

x³ — 6a;² — 13a: -f- 42 (x — 7) (x -f- 3) (x — 2)

x_7

Um die Werte von A, B und C zu ermitteln, schaffe man die Nenner fort, indem man Gleichung (22.) mit 33 _ 6x2 _ 13x    42 = (x — l)(x + 3) (x — 2)

multipliziert. Dadurch erhält man

(23.) 15a;² — 70a; - 95 = A(x + 3) (x — 2)

+ B(x — 7) (x — 2) + C(x — 7) (x + 3).

Da diese Gleichung für alle Werte von x gilt, so findet man daraus für x = 7

150 = 50.4, oder A = 3

für x = — 3

250 = 50 R

oder B = 5

und für x — 2

— 175 = — 250, oder 0=7

folglich wird

(24.)

15a;² — 70a; — 95

x³ — 6a:² — 13a: -f- 42

—+—• x -f- 3 x — 2

Man kann auch die rechte Seite von Gleichung (23.) nach fallenden Potenzen von x ordnen und erhält dann

(25.)

15a;² — 70a; — 95 = a;²(A + R + 0) + a:(M—9B — 40) + (— 6A + 14R — 210).

Diese Gleichung gilt für jeden Wert von a;, folglich müssen die Koeffizienten gleicher Potenzen von x auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein, d. h. es muß

A -F B + 0= 15,

A - dB — 40 = — 70,

— 6A + 14R — 210 = — 95

sein. Löst man diese Gleichungen zwischen A, B und 0 auf, so ergibt sich wieder

(26.)

(27.)

(28.)

(29.)

M = 3, B = 5,    0=7.

Zu demselben Resultate kommt man natürlich auch durch Anwendung der Gleichungen (18.) und (18 a.), indem man

(30.)

<f¥)

cp(b)

W)

/V)

(31.)

setzt. In dem vorliegenden Falle ist a = 7

und

(32.)

f\x) = 3a;² — 12a: —13;

dies gibt

(33.)

çp(7)    _ 15.49 — 70.7 — 95 _ 150

f'(7)    ~ 3.49 — 12.7 — 13 “ 50

$>(— 3)    15 . 9 + 70.3 — 95 _ 250

f\— 3) ~ 3 . 9 + 12.3 — 13 ~ 50 <p(2)    15. 4 — 70.2 — 95    —175

3. 4—12.2 — 13

25

= 7.

Aufgabe 2. Man soll die Funktion brücke zerlegen.

Auflösung. Hier ist

fix) = Æ³ — iC = x{x — 1) (x -j- 1)

(34.)

x² -f 1

xä — X

in Partial-

A'

also

(35.)

çp{x)

A»)

H i 8

CC to

a; — 1 +X + 1

— a:

Um die Größen A, B, C zu bestimmen, multipliziert man beide Seiten der Gleichung (35.) mit x⁶ — x und erhält

x² -j- 1 = A{x² — 1) -f- B(x² + x) -f- C{x² — x).

Diese Gleichung gilt für alle Werte von x₎ deshalb findet man für x = 0

(36.)

•^-7)

(37.)

1 =—A

oder A = — 1

für x = 1

(    7)

(38.)

oder B = + 1

4.

und für x — — 1

(39.)

2 = 2 O, oder <7= + l;

folglich wird

-|--¹--1----.

‘ x— 1 x -f- 1

(40.)

a:² -f- 1

a:³ — x

Ordnet man die rechte Seite von Gleichung (36.) nach fallenden Potenzen von x, so erhält man

(36a.) x²+l = x\A + B + G) + x(B— G) — A.

Da die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleich sein müssen, so zerfällt die Gleichung (36a.) in die Gleichungen

A+ R +<7=1 B — (7=0 — A = 1.

(41.)

(42.)

(43.)

Die Auflösung dieser Gleichungen gibt wieder B = 1

Dasselbe Resultat erhält man auch, indem man

cp(b)

0=1.

<p(a)

f\a)

<7 =

9>(c)

f\c)

a = 0

/■'(a?) = 3a:² — 1, çp(a?) = a?² -}- 1

setzt, denn es wird

0 + 1

*•

Ö- 1

¹

Für den Fall n — 2 ist die Zerlegung in Partialbrüche schon in § 13 durchgeführt worden.

²

In diesem Falle ist mit i nicht etwa V—1 gemeint, sondern i ist hier eine Wurzel der Gleichung f (x) — 0.

(46.)

AD

<7 =

9+— 1) 1 + 1

f(-l)”3-

r- + i.

in Partialbrüche zerlegen.

Punktion

Aufgabe 3. Man soll die echt gebrochene rationale 4a?² — 15a? + 19

(a? — 1) (a? — 2) (a? — 3)

(47.)

Auflösung. Hier ist 4a:² — 15a: + 19

(x — 1) (x — 2) (x — 3) x — 1 ⁺ a: oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit (x — l)(x — 2) (x — 3) multipliziert, (48.) 4a:² — 15a? + 19 = A(a? — 2)(a? — 3) + B(x — l){x — 3)

+ C(x — l)(a? — 2).

Dies gibt für a? = 1

für a? = 2

8 = 2A

oder A = 4,

oder B = — 5

und für a? = 3

10 = 2(7. oder (7=5

also

(49.)

4æ² — làx -j- 19 (x — l)(x — 2) (x — 3) x — 1

5__5_

x — 2 x — 3

Funktion

Aufgabe 4. Man soll die eclit gebrochene rationale in Partialbrüche zerlegen.

1 -J- x — x²

Auflösung. Hier muß man erst Zähler und Nenner des Bruches mit — 1 multiplizieren, damit der Koeffizient von x² im Nenner gleich + 1 wird. Dadurch erhält man

— 1

f(x) X² — x — 1

Die beiden Wurzeln der Gleichung f(x)₌₌x² — x— 1 = 0

(50.)

cp{x)

(51.)

sind

(52.)

Deshalb ist

(53.)

x²

1 X — Ul + Yb) x — 1(1 - V5)

oder

(54.)

2x—l + Vb

2x — l~Vo Multipliziert man diese Gleichung mit {2x — 1 — 1/5) (2x — 1 + Vö) = Hx² — x — 1), so erhält man

— 4 = 2A(2x — 1 + Yb) + 2H(2x — 1 — V 5),

oder

(55.) — 2 = 2x(A + B)-h A(— 1 + Vö) + B(— 1 — Vb);

daraus folgt

(56.)

oder

| A -f- B — 0,

| A(l — yü) + B(l+Vb) = ^,

(57.)

1/5

Dies gibt

—L(

Vo\2x—1 + 1/5 2x — 1 — y 5 Aufgabe 5. Man soll die gebrochene rationale Funktion 4a:⁴ — x³ — 46a;² — 20a; -f- 153 . x³ — 2a;² — 9a; + 18 in

(58.)

1 + x — x%

Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Die vorgelegte Funktion ist eine unecht gebrochene; deshalb muß man sie zunächst durch Division in eine ganze und eine echt gebrochene rationale Funktion zerlegen. Dadurch erhält man

4a;⁴ — x³ — 46a;² — 20a: +153

(59.)

x³ — 2a;² — 9a; + 18

= 4a; + 7 +

4a;² — 29a; + 27

x³ — 2a;² — 9a; + 18

sind

Die Wurzeln der Gleichung

fix) = x³ — 2a;² — 9a: + 18 = 0

(60.)

c — — 3,

folglich wird

(61.) fix) = x³ — 2a;² — 9a: + 18 = (x — 2) (x — 3) {x + 3), 4a;² —29a: + 27    _    A B    C

{x — 2)(a; — 3)(a; + 3)    x — 2    x — 3 a: + 3*

4a;² — 29a; + 27

= A{x— 3) {x + 3) + B{x — 2)(a; + 3) + C(x— 2)(a: — 3).

(62.)

(63.)

(64.)

Für x — 2 erhält man

— 15 = —5 A, oder A = 3

für x = 3

(65.)

— 24 = 6_B, oder B = — 4

und für x = — 3

(66.)

150 = 30(7, oder (7=5

also

(67.)

4a:⁴ — x³ — 46a:² — 20a: +153

x³ — 2a:² — 9a; + 18

Die angegebene Methode für die Zerlegung in Partial-brüche bleibt richtig, gleichviel ob die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 reelle oder komplexe Größen*) sind.

wenn

Im letzteren Falle werden aber die Partialbrüche selbst eine komplexe Form annehmen, die man vermeiden kann, die Koeffizienten von go(x) und f(x) reell sind.

Wie dies geschieht, möge zunächst die folgende Aufgabe lehren.

in Partialbrüche zerlegen.

Funktion

Aufgabe 6. Man soll die echt gebrochene rationale 13a;² — 68a; + 95 a£ — 11a;² + 43a; — 65

Auflösung. Indem man den Nenner gleich Null setzt, erhält man die Gleichung

x³ — 11a;² + 43a: — 65 = 0

mit den Wurzeln

(68.) a = 5, ô = 3 + 2 Y—Ï, c = 3 — 2 Y—Ï oder, wenn man Y—1 mit i bezeichnet,

a — b ₁ b — 3 —f- 2z, c = 3 — 2 i.

Demnach ist der Nenner der gebrochenen Funktion (69.) a^⁵—11a;² + 43a:—65 = (x — 6)(x— 3 — 2t) (a;—3 +2t).

(68a.)

Dies gibt

(70.)

13x²—68a; + 95

x—3—2i    x—3+2i

a;³—lla:²+43a;—65 und wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit

a:³ — 11a;² + 43a; — 65

multipliziert,

(71.)

13a:² — 68a; + 95 = A(x — 3 — 2 i)(x — 3 + 2 i) + B(x — 5) (x — 3 + 2i)

+ G(x — 5) {x — 3 — 2i).

Dies gibt für x = 5

(72.)    80 = A( 2 — 2t) (2 + 2t) = 8A, oder A = 10,

3 —8t

für x = 3 + 2t

(73.) — 44 + 20i = (— 2 + 2«)4i. B, oder B =    ₂

und für x = 3 — 2i

*) Yergl. D.-R., § 103—111.

Da die beiden letzten Glieder konjugiert komplexe Größen sind, so muß ihre Summe reell sein*). In der Tat, es ist

3 + 8i

3x + 7

2(a? — 3 — 2i)    2(x — 3 + 2i) x² — 6a? -f- 13 also

3a? + 7

(76.)

(74.) —44 — 20i =

(— 2 — 2i)4i. C, oder C —    ^

folglich ist

(75.)

13a?²—68a? -f- 95

10

3—8 i

_    3 —(— Si

a?⁸—lla?²+43a?—65    x—5    2(a?—3—2 t) 2(a?-—3+2i)

13x² — 68a? + 95    10

a?⁸ — lia?² + 43a? — 65 a? — 5    a?² — 6a? + 13

Ganz allgemein gilt nun folgendes. Sind in fix) die Koeffizienten reell, so treten die komplexen Wurzeln in fix) = 0 bekanntlich paarweise auf**). Ist z. B. h gleich g + hi, so ist eine andere Wurzel, sie heiße c, gleich g — hi, also

(77.)

(78.) B =

b — g + hi, c — g — hi.

Sind nun auch in (p{x) die Koeffizienten reell, so werden

¥fi) ₌ <p(g — hi)

f\c) f\g — hi)

<PQ>) ₌ <p(g + hi) f'{b) f'ig + hi)

und C =

konjugiert komplexe Größen, etwa

B = G + ILi, C = G — Bi:

folglich erhält man

G + Hi , G — Hi    2G{x—g)—2Eh

(a? — gf + h²

x-—g—hi ~ a?—g-\-hi

oder

(80.)

B C _ Pa? + Q x — b x — c (a? — g)² + h²

wo

(81.)

B=2G, Q = — 2Gg~2Rh

reelle Größen sind.

*) Yergl. D.-B., Seite 512, Satz 1. **) Yergl. D.-B., § 114.

Durch Anwendung der Gleichung (80.) kann man also bei der Partialbruch-Zerlegung die komplexen Größen ganz vermeiden.

(82.)

In Aufgabe 6 hätte man z. B. setzen können

^    , Px + Q

x — 5    X²— 6a:-f-13

13a:² — 68a: -f- 95

xs — 11a:² -f- 43a: — 65

beide Seiten dieser Gleichung mit

Multipliziert x⁶ — 11a:² -f- 43a; — 65 = {x — 5)(a;² — 6a: + 18)

man

so erhält man

(83.) 13a;²—68a:-)- 95 = A(x²—6a:-f-13) -)-P(x²—5x)-j-Q(x—5) = a:²(A+P)+a:(— 6Â — 5P+Q)+(13A — 5Ç). Daraus folgen die Gleichungen

A P — -f- 13,

< — 6A — 5P+ Q = — 68,

ISA — 5Q = + 95.

Durch Auflösung dieser Gleichungen ergibt sich A = 10, P = 3, Q = 7, und wenn man diese Werte in Gleichung (82.) einsetzt,

_________ 10__3a;-f 7

x² — 11a;² -f- 43a: — 65 x — 5    a:² — 6a; -f- 13

Dieses Resultat stimmt natürlich mit dem früheren überein.

Noch einfacher gestaltet sich die Rechnung durch die folgenden Überlegungen. Aus Gleichung (83.), nämlich aus der Gleichung

13a;²—68a; + 95 = A(a:²—6x -f-13) + P(x²—5 x)-{-Q(x—5)

(84.)

(85.)

13a;² — 68a: + 95

ergibt sich für x — 5

80 = 8A, oder A — 10; und für solche AVerte von x, für welche

(86.)

x² — 6x + 13 = 0, oder a:² = 6a: — 13 wird, erhält man weiter

10a; — 74 = (P + Q)x — 13P — 5 Q.

(87.)

Da Gleichung (86.) für zwei Werte von x befriedigt wird, nämlich für

a: — 3-j-2i und x = 3 — 2i,

so wird auch Gleichung (87.) für diese beiden AVerte von

x befriedigt. Nun ist aber Gleichung (87.) nur vom ersten Grade, folglich müssen (nach D.-R., § 112, Satz 5a auf Seite 543) die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung einander gleich sein, d. h. es wird (88.) P+ Q — 10, 13P+5Q = 74, also P = 3, Q = 7.

Wie sich dieses Verfahren allgemein durchführen läßt, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

Funktion

in Partialbrüche zerlegen.

Aufgabe 7. Man soll die echt gebrochene rationale 6a;² — 25a; -f- 89

x? — 7a;² -f- 32a; — 60

(89.)

(90.)

Auflösung. Indem man den Nenner x? — 7a;² + 32a; — 60 = 0 setzt, erhält man für die Wurzeln dieser Gleichung a = 3, 6 = 2 -}- 4i, c = 2 — 4i.

Deshalb ist

(91.) a;³—7a;² + 32a:—60 = (x—3)(a;—2—4 i)(x— 2 + 4 i)

= (x—3)(a;²— 4a;+ 20),

A , Px + Q___

x — 3    a;² — 4a; + 20

(92.)

6a:² — 25a; + 89 xA — 7a;² + 32a; — 60

Multipliziert man beide Seiden dieser Gleichung mit (x — 3)(a:² — 4a; + 20), so ergibt sich (93.) 6a;² — 25a; + 89 = A(x²—4a; + 20) + Pix²—3a:) + Q(x — 3). Daraus folgt für x — 3

(94.)

68 — 17A, oder A — 4,

und für

(95.) x² — 4a: + 20 = 0, oder x² — Ax — 20 (96.)    — x — 31 = (P + Q)x — 20 P — 3 Q.

Indem man die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiten dieser Gleichung einander gleichsetzt, findet man (97.)    P + Q = — 1, 20P + 3Q = 31,

(98.)

P = 2, Q = — 3;

und wenn man diese Werte in Gleichung (92.) einsetzt,

Qx² — 25a; + 89 xA — 7a;² + 32a; — 60 x —

(99.)

2a: — 3

x² — 4a; + 20

(103.)    7a;³ — 6a;² + 9a; + 108 = (Px + Q) (x² + 2a: + 5).

+ (ifa; + Ä)(a;² — 4a: + 13).

Dies gibt für

(104.)

x² — 4a; + 13 = 0, oder x² = 4x — 13, xs — 3x — 52 6x — 178 = P(16a; — 78) + Q(6a; — 8).

Da die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiten dieser Grleichung einander gleich sein müssen, so gelten die Gleichungen (105.)

folglich wird (106.)

8P + 3Q = 3, 39P + 4Q = 89

P = 3, Q = - 7.

Setzt man in Gleichung (103.) x² -f- 2a: -f- 5 = 0, oder x² = — 2a: — 5, x' = — x + 10, so findet man in ähnlicher Weise die Gleichungen (107.)    14a; + 208 = P(20a; + 30) + S(— 6x + 8),

(108.)

10P — 38=7,    15P + 48= 104,

(109.)

Funktion

legen.

Aufgabe 8. Man soll die echt gebrochene rationale 7a^ — 6a;² + 9a: -f- 108

\x² — 4x + 13) (x² -J- 2a; -J- 5)

in Partialbrüche zer-

Auflösung. Indem man den Nenner

f{x) = (x² — 4a; -j- 13) (a;² + 2a; -j- 5) = 0

(100.)

setzt, erhält man die vier komplexen Wurzeln

(101.) a = 2 -f 3i, 6 = 2 — 3i, c = — 1 -f- d = — 1 — 2«; deshalb wird man den vorgelegten Bruch auf die Form

Bx-\-8

(,x²—4a; +13) (a;²-)-2a:+5)    x²—4a;+13 ^ x²-j-2x-j- 5

bringen. Hieraus erhält man durch Fortschaffung der Nenner

(102.)

7a;³— 6x² -f- 9a: -j-108

Px-\- Q

P = 4, >8 = 11,

und wenn man diese Werte in die Gleichung (102.) einsetzt,

3x — 7

(HO.)

4a; +11

7af*—6x² + 9a; -|-108 (x²—4x-\-Và){x²-\-2x+&)    x²—4a;+13 ^ x² fi- 2a: + 5

In ähnlicher Weise findet man

Aufgabe 9.

2a;² — 10a; + 14 (x — 4) (x — 3) (x — 2) x — 4

Aufgabe 10.

— 22 a; +12 (x² — 4) (x — 4)

Aufgabe 11.

12a:² + 36a; — 18

xA — 9a;

= ł(JL ₊

3 Va; — 2 ‘

=§+-

11

19

i>

Aufgabe 12.

8a:²—16a; + 3    _ 5    1 /13 + 3V2 _ 13 — 3|/2

(x—l)(x²~4a;+ 2) ~ a;— 1 ⁺ 2J/2\z— 2—V2    a;—2+]/2

3a: + 7

a: — 1

x² — 4a; + 2

Aufgabe 13.

7a:² — 10a: + 37 [x + 1) (x² — 4a; + 13)

3_    2 - i    2 + i

a; + 1 a; — 2 — 3i a; — 2 + 3 i 4a; — 2

a; + 1

Aufgabe 14.

5a:³ — 12a;² — 9a; + 30

(a;² + 4a; + 5) (;x² — 6a; + 13)

a:²

3a; + 5    2a: — 7_

a;² + 4a; + 5 x² — 6 + 13

§ 36.

Zerlegung der echt gebrochenen rationalen Funktionen in Partialbrüche, wenn die Gleichung fix) = 0 auch gleiche Wurzeln besitzt.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 145.)

Hat die Gleichung f(x) = 0 auch gleiche Wurzeln, so kann man diese gleichen Wurzeln zusammenfassen und fix) auf die Horm

(1.) f{pc) — (x — a)u(x — bfix — c'y ... (x — hf (x — If

bringen, wobei die Größen a, b, c,.. .k, l sämtlich vonein-

ander verschieden sind, und von den Größen a, ß, y,... x, l mindestens eine größer als 1 sein soll. Dabei ist

(2.)

« + /?+/ + ••• + * +

n.

fix) x — a x — b^x

Auch möge wieder vorausgesetzt werden, daß <p(x) keinen Teiler mit f(x) gemein habe, daß also (f(x) für x gleich a, b, c,.. .k oder l von Null verschieden sei. Man erkennt sogleich, daß in diesem Falle die Gleichung 9ix)

— I

nicht mehr bestehen kann, weil der Generalnenner auf der rechten Seite nicht mehr gleich fix) ist.

zum

Hier kommt man durch folgende Überlegung Ziele. Es sei

(3.) fix) =

f{x)

und

(x — a)a

(x — b)ß(x — c)y... (x — k)*(x — iy

<p(a)

fm

dann wird die ganze rationale Funktion

(5.)

(p{x) — Axf'ix) =

(f{x) fio) — <p{a) fix)

A (a)

gleich 0 für x = a, folglich ist sie teilbar durch x — a. Man erhält also

(6.) ■

(p{x) — Axfipc) = {x — a)<pix),

oder

(6a.)

(pix) — Aifix) + (x — a)(fix).

Da die ganze rationale Funktion ç{x) — A\fi{x) höchstens vom Grade n — 1 ist, so kann (pix) höchstens eine ganze rationale Funktion vom Grade n — 2 sein.

Nach diesen Angaben wird also

(7.)

¥p) _ Aifjx)Ą-{x — a)(pjx) fix) (x—a)afi{x)

(pxix)

{x—a)

{x — a)u-lfxix)

Man hat also von rt-

(p{x)

fix)

ein Glied

(x — a)u

abgesondert,

so daß nur noch eine echt gebrochene Funktion

(pxix)

ix — a)a~xfxix)

übrig bleibt, bei welcher der Grad des Nenners nicht mehr n, sondern nur noch n — 1 ist.

Ist « > 1, so kann man dieses Verfahren wiederholen und erhält ebenso

(8.)

A₂

H%)

also

(x — ay—²fi(x)

(9.)

cp(x)

A₂

f(x)    (x—a)

(x — a)

S=ï +

Hx)

(x — a)a~²fx{x)

wo jetzt in der echt gebrochenen Funktion

Hx)

{x — a)a~²fx(x)

der Grad des Nenners wieder um 1 kleiner ist.

(10.)

Wendet man dieses Verfahren «-mal an, so ergibt sich

Hx)

<p(x)

Â!

A₂

H-----[

Aa

a fi{x)

f(x) (x—af (x — af~l

In dieser Weise kann man fortfahren und findet schließlich die Gleichung

(11.)

<p(x)

Ax

A2

f{pc) (x — af [x — cif

+ ---G

Aa

x— a

Bx

B₂

(x — b)ß    (x — b)ß—

i H-----1

L,

B₂

1 "t-----1

(x — iy [x — iy~

Die Zähler A1, A₂,... Aa, Bx, B₂, ---Bp, ... L\, L₂, ... Li dieser Partialbrüche berechnet man, indem man beide Seiten der Gleichung (11.) mit dem Generalnenner

fix) = (x — af(x — b)fi(x — c)y ... (x — kf(x — l)x multipliziert, nach Potenzen von x ordnet und die gl eich-stelligen Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung einander gleichsetzt. Dies gibt dann, wie man leicht bestätigen kann, n lineare Gleichungen mit den n Unbekannten Ax, A2,... Aa, Bx, B₂,... Bß,... Lx, L₂,... Lx, und zwar sind diese Gleichungen, wie sich aus den vorstehenden Ausführungen ergibt, immer lösbar.

Aus dem Umstande, daß diese n linearen Gleichungen mit n Unbekannten nur eine Lösung besitzen, kann man

wieder schließen, daß auch in diesem Falle die Partialbruch-Zerlegung nur auf eine Weise geschehen kann, d. h. daß man dasselbe Resultat erhält, gleichviel ob man zuerst die Partialbrüche

Aa

A2

(x — d)

(x — a)a—¹

absondert, oder ob man mit der Absonderung der Partialbrüche in einer späteren Zeile von Gleichung (11.) anfängt.

Die Berechnung der Zähler wird ziemlich umständlich, wenn n eine große Zahl ist; dann kommt man schneller zum Ziele, indem man, der Gleichung (4.) entsprechend, zunächst

<P(a) fi{a)

berechnet und das gleiche Verfahren auf die Ermittelung von Bi, C\,... Ki j Li an wendet. Dies geschieht am einfachsten, indem man in Gleichung (11.) durch Multiplikation mit

f(x) — (x — a)a{x — bf(x — c)y... (x — k)*(x — If die Nenner fortschafft und dann der Reihe nach

x = a, x — b, x — c,...x — k, x — l

setzt. Die Berechnung der übrigen Zähler der Partialbrüche geschieht dann nach dem zuerst beschriebenen Verfahren, ist aber viel leichter geworden, weil man nur noch n — m lineare Gleichungen mit n — m Unbekannten hat, wobei m die Anzahl der voneinander verschiedenen Wurzeln a, b, c,...k, l der Gleichung f{pc) — 0 ist.

Einige Beispiele mögen zur Erläuterung dieser Angaben

dienen.

Aufgabe 1. Man soll die gebrochene rationale Funktion Ix³ — 63x² -f- 33&Z — 619 (x — 7) (x — 5)³

Auflösung. In diesem Falle muß man 4a?³ — 63x² + 33&r — 619 (x — 7) (x — 5)³

in Partialbrüche zerlegen.

Bi

x — 7 (x — 5)³

Bo

Bs

(x — b)²

H---

X — o

setzen. Dies gibt, wenn man beide Seiten der Gleichung mit (« — 7) (« — 5)³ multipliziert,

(13.)

4«³ — 63z² + 338« — 619

= Aix — hf-\-Bi(x—7)4- B₂{x—7)(« — 5)4-B₃(x—7)(«—5)², oder

(14.)

4«³ — 63«² 4- 338« — 619 = «®(4 -j- Bs)

4- «^(— 154. 4- B2 — 17B3) 4~ «(754 4- B\ — 12_B₂ 4~ 95.B3) -f (— 1254 — 7Bi. 4- 35J9₂ — 175,B₃).

Daraus folgen die Gleichungen

(15.)

(16.)

4 -f Bä = 4,

— 154 4- B₂ — 17Bà = — 63, 754 4- B₁ — 12^2 + 95Bs = 338,

7B₁ 4- 3oB₂ — 1755₃ = — 619. Durch Auflösung dieser Gleichungen ergibt sich -Bi == 2, B₂ — — 3, Bs — 0,

— 1254

so daß man erhält

(17.)

4«³—63«²4-338«—619    4

(«—7)(«—5)³

« — 7    (« — 5)³    (« — 5)²

Wendet man das andere Verfahren an, indem man in Gleichung (13.) zuerst « = 7 setzt, so findet man

oder 4 = 4; und für « = 5 findet man aus Gleichung (13.)

(18.)

32 = 84

(19.)

4 = —2-Bi, oder Bi = 2.

Zur Ermittelung von B₂ und B;i braucht man jetzt nur noch zwei Gleichungen. Deshalb wählt man von den vier Gleichungen (15.), welche zur Verfügung stehen, diejenigen aus, welche sich am leichtesten herleiten lassen; d. h. man braucht jetzt garnicht mehr die Gleichung (14.) vollständig zu bilden, sondern berechnet von der rechten Seite dieser Gleichung nur den Koeffizienten von «³ und das konstante Glied. Daraus ergeben sich in Übereinstimmung mit den Gleichungen (15.) die Gleichungen

(20.)

4 4~ Bi = 4,

(21.)

— 1254 — 7Bi 4- 35.B₂ — 175B₃ = — 619,

die sich aber mit Hilfe der Gleichungen (18.) und (19.) auf

-^3 = 0,

35I?2 — 175A₃ = — 105

(20a.)

(21a.)

oder B₂ — — 3 reduzieren. Auf diese Weise wird man wieder zu dem in Gleichung (17.) angegebenen Resultate geführt.

Aufgabe 2. Man soll den Bruch Partialbrüche zerlegen.

Auflösung. Hier muß man

3ic³ -R IOjc²—x Ai , A<

(x²—l f ⁼ (x — 1)2 setzen und erhält durch Multiplikation mit (X² — l)² = (X — 1)²(X -f l)²

(22.)

3x³ -f- 10a;² — x .

(#2 -

-I- Bl I B'²

‘ (al + I)2 +

X -j- 1

(23.) 3a;³ -f 10a;² — x = Ax{x + l)² + A₂{x + l)²(a: - 1) + Bi(x — l)² + Bix + l){x— l)².

(24.)

Hieraus ergibt sich für x — 1

oder Ai — 3

12 - 4 A

und für x — — 1

(25.)

oder Bi = 2.

Zur Ermittelung von A₂ und B₂ suche man auf der rechten Seite von Gleichung (23.) den Koeffizienten von x3 und das konstante Glied auf und setze die gefundenen Größen den gleichstelligen Koeffizienten auf der linken Seite gleich. Dadurch erhält man die beiden Gleichungen

A₂ -f- B₂ — 3,

Ax — A₂ + Bi + B₂ — 0,

8 = 4R

(26.)

(27.)

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (24.) und (25.)

— A₂ -f- B₂ = — 5,

(27 a.) also

(28.)

A₂ = 4, B) = — 1, so daß Gleichung (22.) übergeht in

3    4    2

(X—I)² ^ X — 1 "H {X +1)2 X + 1

3a;³ + 10a;²—x

(a;² —1)2

In ähnlicher Weise findet man

Aufgabe 3.

xx — x³ — 16x² -f- 38r — 25

(x — l)²(x — 2)³

(x — 2 )³    (x — 2)²

³ | 2 (x—l)² x —

Dieses Verfahren gilt auch hier noch, wenn die Wurzeln a, c,... k, l sämtlich oder teilweise komplex sind. Man kann aber, wenn in f(x) und <p(x) die Koeffizienten sämtlich reell sind, das Resultat gleichfalls auf eine reelle Form bringen. Ist z. B. b gleich g -f- hi, so wird eine andere Wurzel, sie heiße c, gleich g — hi, und es wird ß gleich 7 sein, wie in der Algebra bewiesen wird (vergl. D.-R., § 114). Nun folgt aber aus der Bildung der Größen B\, B₂,■.. Bp und Gi, C₂, ... Cy, daß man die letzteren durch Vertauschung von -j- i mit — i aus den ersteren erhält. Ist also (30.) Bi — G~i -f- B\i, B2 = Gr2 -f- Bb-ii,... Bß — G-p -f- Bpi, so wird

(31.)

Ci = Gi — Bit, C₂=G₂ — B₂i,... Cp = Gp — Bpi. Deshalb werden die Summen

Bi

(x — bf

(,x — cf

B₂

C₂

(32.)

■ (x — bf~x (x — cf

ÊL

sämtlicli reell.

Man kann auch kier in der Zwisckenrechnnng die komplexen Größen ganz vermeiden. Wenn man nämlich die Ausdrücke (32.) auf gleichen Nenner bringt und addiert,

F(x)

wo der Nenner vom Grade

so erhält man

[(x — gf -f- h²]P

2/3, der Zähler aber höchstens vom Grade 2/3—1 ist; denn die Summe von echt gebrochenen rationalen Funktionen ist stets wieder eine echt gebrochene rationale Funktion. (Vergl. Satz 2 in § 34.) Jetzt findet man durch Division

(33.)

Fix) = l(x — gf + 7^²] Fix) + Pxx + Qx,

also

(34.)

Fix)

F\X -f- Qi

Fix)

{(x—gf-fh²)?

[(x—gf + h*Y Ebenso findet man durch Division

[(x — gf -j-

(35.)

Fix)

Fox -j- Q'2

F₂ (x)

[(x—gf + h²]?-¹    [{x—gf + h²f

[ix—gf -f- h²y~²

In derselben Weise kann man fortfahren und erhält

schließlich

(36.)

-Bi

B₂

Ct

C-2

{x-bf (x—bf—

_ P\x -j- Qi

~[(x—gf+h²Y ‘ [{x—gf+h²Y

X—b — (;X-cf (X—cf*¹

X—C

PßX-f- Qi

(■x—gf+h²

Die Berechnung der Größen Pi, Qi, P₂, Q₂₎...Pß, Qß erfolgt jetzt wieder wie früher, indem man den Ausdruck,

P'lXp Q-2

welcher sich für

<P(x)

fix)

durch Partialbruch-Zerlegung ergibt,

vorläufig aber noch die unbestimmten Größen Pi, Qi, P₂, Q₂,...P/j, Qß usw. enthält, mit f(x) multipliziert, nach Potenzen von x ordnet und die einzelnen Koeffizienten den gleichstelligen Koeffizienten von (p{x) gleichsetzt. Dadurch erhält man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten, deren Auflösung nach diesen Unbekannten immer möglich ist.

Man kann aber auch hier die Rechnung wesentlich abkürzen, indem man

(x — gf -f- h² — 0

oder x² = 2gx — g² — h²

setzt. Dadurch kann man die eben beschriebene Gleichung auf den ersten Grad bringen und durch Gleichsetzung der gleichstelligen Koeffizienten die beiden darin verbliebenen Unbekannten Pi und Qi berechnen.

Am besten wird dieses Verfahren durch Beispiele er

läutert.

F unktion

Aufgabe 4. Man soll die echt gebrochene rationale in Partialbrüche zerlegen.

2x -f- 2

(x— 1)(P²-F l)²

Auflösung. Nach dem Gesagten muß man hier

(37.)

2 a? -j- 2 A    P\X -f- Qi . P₂a? -f- Q₂

(a?—l)(a?²4-l)²    x — 1    (x² 4- lj² x² -j- 1

setzen. Wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit (x — 1) mal (a?² + l)² multipliziert, erhält man (38.) 2a?+2 = 4_(a?-+lb+(Pia?+Qi)(a?—-l)+(P₂a?+Q2)(a?—l)(a?²-fl), oder, wenn man die rechte Seite dieser Gleichung nach fallenden Potenzen von x ordnet,

(39.) 2a?-f-2 ^ x\A-AP₂)px\-P₂pQ₂)Px\2ApPlpP₂~Q^)

Qi)-

4~ a?(—Pi -(- Qi—P2P Q2) d⁻ (G — Q

Durch Gleichsetzung der gleichstelligen Koeffizienten ergibt sich hieraus

(40.)

I4-P2-O - P2 4- Q2 = 0 2G + Py 4- P2 - Q2 = 0 P\ 4~ Q

P2 4~ Q i — 2,

Qa = 2.

Löst man diese Gleichungen auf, so findet man

2, Qi = 0, P₂ = - 1, Ça = —1

A-Q

(41.) A = 1, Pi = also

(42.)

2a? 4~ 2

a? 4- 1

l)(a?² 4- l)² x — 1    (a?² + l)²    a?² 4-1

Die Rechnung wird wesentlich abgekürzt, wenn man in Gleichung (38.) zunächst a? = 1 setzt. Dadurch erhält

(a?

man

(43.)

4 = 44, oder A = 1.

Für a?² — — 1 geht sodann Gleichung (38.) über in (44.) 2a? 4- 2 = [P\x 4- Qx)(x — 1) = (— Pi 4- QO* — Pi — und daraus folgt

Pi 4~ Qi — 2 Pi =

Um noch die beiden Größen P₂ und Qa zu finden, braucht man auf der rechten Seite von Gleichung (38.) nur diejenigen beiden Koeffizienten zu berechnen, welche sich

(45.)

(46.)

Pi —

Q» ©>

i-O.

am

leichtesten ermitteln lassen, nämlich die Koeffizienten oc⁴ und a:⁰. Wenn man diese Größen den gleichstel-

von

lio-en Koeffizienten auf der linken Seite von Gleichung (38.) gleichsetzt, erhält man

(47.)

A — Ql — Q₂ — 2, oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (43.) und (46.)

(48.)

P2 z== - 15 Q -2 = - 1 •

Daraus ergibt sich wieder Gleichung (42.).

Funktion

brüche zerlegen.

Auflösung. Hier ist zu setzen

Aufgabe 5. Man soll die echt gebrochene rationale 3a:⁵ -j- 2x⁴ -f- 6a:³ — 11a;² — 12a: — 8    . t> , • i

-(x-m^+vx+w- m

/ÆQ 'i ₌    _i_ ^2    ,    P\.X-\~ Ql__, Pffi- V2 I

f(x)    (x — 2)²    x — 2    (x² -f- 2x + 2)² x² -f- 2x -f- 2 ’ ||

n

folglich wird

(50.) <p[x) — 3a:⁵ -f- 2a:⁴ -j- 6x³ — 11a:² — 12a: — 8

= A₁(x² + 2x + 2 f + Aix — 2) (x¹ + 2x + 2)³

+ (Pix + Ql)[x-2f + (P₂x + <M*-2)V + 2z + 2). Dies gibt für x = 2

(51.)

100 = lOOHi, oder Ai = 1 und für x² -f- 2a; + 2 = 0, oder x² = — 2a; — 2 lOx+30 = (Pia:+Q₁)(-6a;+2) = (14P₁-6Q₁>r+(12P₁+2Q₁), also

(52.)

7Px — 3Qi = 5,' 6PX+Çi= 15,

(53.)

Pi = 2, Qir 3.

Setzt man jetzt noch die Koeffizienten von a;⁵, x⁴ und x° auf beiden Seiten von Gleichung (50.) einander gleich, so erhält man

A-2 -f⁻ P2 =⁼ 3, Ai -j- 2A₂ — 2P2 + Q2 — 2,

4Hi — 8A₂ -j- 4Qi -j- bQ-2 =    8,

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (51.) und (53.) (54.) A₂ + P₂ = 3, 2A₂ — 2P₂ + Q₂= 1, A₂ — Q₂ = 3 also

3x⁵ + 2a:⁴ + 6xs — 11a:² — 12a: — 8

(56.)

(x — 2)²(a;² -J- 2a: -f- 2)²

¹ -

(x — 2)² x —

2a: + 3    x — 1

2    (a:² -f- 2a: -f- 2)² x¹ -j- 2a: -j- 2

In ähnlicher Weise findet man

Aufgabe 6.

2a:⁵ — 3a:⁴ -f- 16a:³ — 5a:² + 9a: + 19 (x — 3)²(a:² -f- x + l)²

—---1---

— 3 f^x-

2a; + 3    x — 1

(x

(55.)

â₂ = 2

Q2 = — 1.

Pa = l

Indem man diese Werte in die Gleichung (49.) einsetzt, erhält man

3    (x² -f- x -f- l)²    a:² + x -j- 1

Weitere Ubnngs-Aufgaben kann sich der Anfänger sehr leicht selbst stellen, indem er beliebig gewählte Partialbrüche auf den gemeinsamen Generalnenner bringt und dadurch die Funktion

cp{x)

f(x)

bildet.

<p{x)

Bei der Zerlegung von

ausgesetzt, daß man die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 bereits ermittelt hat.

f(x)

in Partialbrüche ist vor-

§ 37.

dx.

(x — a)n

Integration der Funktionen --dx und

X — ft

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 27, 29, 29a, 87, 88, 90, 92 und 146.)

Die Zerlegung in Partialbrüche macht es möglich, jede gebrochene rationale Funktion zu integrieren, denn man kann sie nach den Ausführungen der vorhergehenden Paragraphen stets (nötigenfalls nach Absonderung einer ganzen rationalen Funktion) in eine Summe verwandeln,

deren einzelne Glieder entweder die Form

oder

x — ft

(x — a)n integrieren.

haben. Diese Ausdrücke kann man aber sehr leicht

x— a

Adx (x—a)n

Setzt man nämlich

x — a = t, also dx = dt so wird nach Formel Nr. 12 der Tabelle

(1.)

A\nt

oder in Übereinstimmung mit Formel Nr. 27 der Tabelle

Jx

-dx — A\n(x — a). a

Ferner wird, wenn n von 1 verschieden ist, nach Formel Nr. 9 der Tabelle, indem man m — —n setzt,

(2.)

— a)

dx =

4S-4

t~ndt = A

t~n+1

— n+T

oder

(3.)

Für n = belle, nämlich

dx =

(■n — ï)(x — a)n~1 2 ergibt sich hieraus Formel Nr. 90 der Ta,-

[x — a)n

dx

f.

dx

x² -f- 2bx + b² j\x + bf

Wendet man dies auf die in § 35 und 36 behandelten Beispiele an, so findet man ohne weiteres die Lösung der folgenden Aufgaben.

(3a.)

x —j- b

Aufgabe 1. j

lbx² — 70x — 95

dx — ?

Jir

xA — 6x²    13a: -f- 42

Auflösung. Nach Aufgabe 1 in §35 ist

15a:² — 70a; — 95

xA — 6a:² — 13a: + 42 folglich wird f 15²—70a;—95 J x?—6a;²—13a:+ 42

dx =

j-Jzfx+j^4Ax+jx

2dx

Aufgabe 2. j

= 31n(a:— 7) + 51n(a:-f-3)4- 71n(a: — 2) = ln[(a;

'x² + 1

If (x + 3)⁵ (x—2)⁷].

dx = ?

Auflösung. Nach. Aufgabe 2 in § 35 ist

---1--¹—,

— 1 ^ x + 1

x² 4-1

_ ßß

= -¹ +—¹

X x —

folglich wird

dx

fx2± Xdx = —ßdx + I -- —rdx + /—i J xó — x    J x J x — 1 J x 1

= — Ina? + ln(a? — 1) + ln(a? 4- 1)

- K“)-

Aufgabe 3.

r 4a?² — 15a? 4- 19 J (a? — 1) (a? — 2) (a? — 3)

dx = ?

Auflösung, Nach Aufgabe 3 in § 35 ist 4a?² — 15a? 4" 19

1) (a? — 2) (a? — 3) a? — 1

(a?

a? — 2 a?

O'

. f dx „ C dx , _ /' dx 4^-⁵A=2 + 6A=3

dx —

folglich wird Ç 4a?²—15a? 4-19 J (a?— l)(a?—2)(a? — 3)

= 41n(a? — 1) —• 51n(a? — 2) 4~ 51n(a? — 3).

dx

Aufgabe 4. fl + x_x*

Auflösung. Nach Aufgabe 4 in § 35 ist

= —=(

Vb\2x — 1 4- Y 5 2x — l—V5

folglich wird

r dx

J1 4- a? — a?²

1/5V2£c— 14-1/5

[ln (2a?

1/5

J 2a?

1 4- V 5) — ln (2a; — 1 — "V" 5)]

2 dx

2<fa?

1 — 1/5

= "7=ln (

1/5 v

2a? — 1+1/5

2a? — 1 — 1/5

)■

Aufgabe 5.

"4a?⁴ — a?³ — 46a?² — 20a? —|— 153 a?³ — 2a?² — 9a? 4 18

dx — ?

(.x — 4)(a: — 3)(a; — 2)    x—4

= 31n(a:—4)—21n(a;—3) + ln(a:—2).

Auflösung. Nach Aufgabe 5 in § 35 ist

= ⁴*+⁷+^-5=3 + ^’

4a;⁴—a:³—46a;²—20a: +153 a^—2 a;² — 9a: -j- 18

folglich wird

*4a;⁴ — x³—46a:²— 20a: -f-153 a:³ — 2a:² — 9a: -f-18

dx =

4:jxdx + 7jdx +    9

Aufgabe 6.

‘/s=5 + VifB

= 2a:² + 7a: + 3 ln (x—2) — 41n(æ— 3) + 51n(a; +3).

’ (13a:² — 68a: 4- 9b)dx (x — 5) (x² — 6x + 13)

Auflösung. Nach Aufgabe 6 in § 35 ist 13a:²—68a: + 95 _ 10    3 — 8 i    3 + 8 i

(x—5)(a:²—6a:+13) x — 5    2(a:—3 — 2 i)    2(x — 3 + 2 i)

folglich wird

H13x² — 68a; + 95 )dx    ./'

J (x — 5)(a:² — 6a:+13) Jx

dx

, 3 — 8 if dx 5 '    2 Jx — 3-

3 + 8i r dx

2 jx

— 3 + 2t

Q _ Qi

= 101n(a? — 5) 4---—ln(a: — 3 — 2i)

u

^ *t^ln(a: — 3 + 2 *).

Dieses Resultat befriedigt deshalb nicht, weil es komplexe Größen enthält, obgleich man es, wie später gezeigt werden soll, auf eine reelle Form bringen kann.

' 2a:² — 10a: + 14 4)(a: — 3)(* — 2)

Auflösung. Nach Aufgabe 9 in § 35 ist 2a;² — 10a: + 14

Aufgabe 7.

(x

dx = ?

folglich wird *(2a:² — 10a; + 14+a:

{x—4)(a:—3)(a:—2)

x— a

Aufgabe 8.

22a? 4 12

(,x² — 4) (z — 4)

dx — ?

Auflösung. Nach Aufgabe 10 in § 85 ist

¹² +

— 2 ^ x+ 2

22z + 12

(z² — 4) (z — 4)

Cr

tH ICO

19 \

x — 4/

folglich wird

/*(—22z 4 12)^z

4) (z—4)

= -i[121n(z—2)-f 7 ln (z 4 2)—191n(z—4)].

Aufgabe 9.

12z² -j- 36z — 18

z³ — 9z

dx — ?

Auflösung. Nach Aufgabe 11 in § 35 ist

+ _

z z

12z² 4 36z

11

/y»3 _ Q ry>

t/ia/

folglich wird

'(12z² 4- 36z — 18)«üz

/y»ö _ ü rp

*AJ    t J «A/

= 21nz 4~ Hln(z — 3) — ln(z 4 3).

8z² — 16z -f- 3 (z — l)(z² — 4z 4- 2)

Auflösung. Nach Aufgabe 12 in § 35 ist

1 /13+3V2    13—31/2

1 ⁺ 2 l/äV-2—f/2    Z-2+V2

Aufgabe 10.

dx = ?

8z²—16z 4; 3 (z—l)(z²—4z 4- 2)

folglich wird

(8z² — 16z 4- 3)^z

(z — 1) (z² — 4 4- 2)

= 51n(z — 1) -|---

2]/2 L

(13 + 3 V 2)ln(z — 2 — Y 2)

= 51n(z—1)4

13

CM

\z

Aufgabe 11.

./

2 -f-1/2) ^ 4 ^ln(z² — 4z 4 2)-

(13 —3}/2)ln(z

2 — 1/2

2+V2

"é*³ — 63a;² + 338a; — 619 (z — 7)(z — 5)³

dx — ?

S 37. Integration der Funktionen ^x_ °    x — CL

Auflösung. Nach. Aufgabe 1 in § 36 ist 4ad — 63a:² + 338a; — 619 (x — 7) (x — 5)³

folglich wird

’4a;³ — 63a;² -j- 338a; — 619 ^

(x — 7)(a: — 5)³

__+_²___

X —    bf {x—bf

ft-

= 41n(a: — 7)

= 41n(a; — 7) -)

f 3a:³ + 10a:² — x

J (x*-l?~dx

Auflösung. Nach Aufgabe 2 in § 36 ist

Aufgabe 12.

— 5)²

(x — 5)² ' x — 5 3a: — 16

• (x — 5)²

(x

3ad + 10a:² — x (,x² — l)²

(x + l)² a: + 1

folglich wird 3a:³-}- 10a:²

(a:² — l)²

— dx

%-d

’ dx

J x -f-1

-³- + 41n(a:-1)--^.

x — 1    x -j- l

— ln(a: -f 1)

-K

(x — 1)

-)

5a; + 1 x¹ — 1

Aufgabe 13.

X + 1

V — a:³ — 16a:² + 38a;— 25 Tx — lf{x — 2f

dx = ?

(x

Auflösung. Nach Aufgabe 3 in § 36 ist ad — a:³ — 16a;² + 38a: — 25 l)²(a: — 2f ~

,2________

(*—1)

folglich wird

⁺ x—1 (x — 2)³ ' (x — 2)² x — 2

'(ce⁴ — cc³ — 16cc² 4~ 38cc — 25)Pr

(cc — l)²(cc — 2)³

—+ 21n(cc—1) + cc — 1

2(cc — 2)²

Die einfachsten Fälle der Partialbruch-Zerlegung sind schon im ersten Teile (§ 13) berücksichtigt worden. So ergibt sich z. B. Formel Nr. 29a der Tabelle, nämlich

(4.)

fx²

dx

1 , /x — a\ 2 a \cc 4- a )

!**<)

— a²

ohne weiteres durch Partialbruch-Zerlegung.

In gleicher Weise ergab sich auch Formel Nr. 88 der Tabelle, nämlich

(5.)

dx

/X- CCA

Vcc — X-J

in

(;X CCi) (CC — CC₂)

durch Partialbruch - Zerlegung.

Daraus findet man dann auch Formel Nr. 87 dër Tabelle, denn bezeichnet man die Wurzeln der Gleichung

cc² 4- 26cc -(- c = 0

CCi — cc₃

(6.)

mit cci und cc₂, so wird

b Ą-^b²— c, cc₂ = ■—ö—-]/è² — c CC! — cc₂ = 2 Y b² — c,

(cc — CCi) (cc — CC₂) = CC² 4- 2ÔCC 4~ G so daß Gleichung (5.) übergeht in

(7.)

(8.)

a?i =

dx

cc² 4~ 26cc 4- c

l_lry4

2}/è² — c 'cc

cc + ö — l/ö² —

4- b + Yb² —

=)•

c⁷

Ebenso erhielt man auch Formel Nr. 92 der Tabelle,

nämlich

(10.)

(.Pcc 4- Q)^cc

(cc — CCi) (cc — cc₂)

¹-[(Pcci 4- Q)ln(cc — Xi) — (Pcc₂ 4- Q)ln(cc — aca)]

CCi - CC₂ -

durch Partialbruch - Zerlegung.

[(*—gf+h-]” '

§ 38.

Integration der Funktionen

dx

und

dx

[{x — g)² -)- h²]n

(x — gf -f- h2 (Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 89, 147 bis 150.)

Nacli Formel Nr. 28 der Tabelle

r dx

Ja² -f- x²

Auf den Zusammenhang dieser Formel mit Nr. 29 und 29a der Tabelle, nämlich mit

dx

war

(1.)

= Ürctg(«)-

/a — a:\ \a -f- x)

slr6<)=łln<S>

ist bereits auf Seite 68 und 69 hingewiesen worden.

Aus Formel Nr. 28 der Tabelle ergibt sich Formel Nr. 89, nämlich

(2.)

oder

(2a.)

z²—a²

dx

x² — a²

ln

r dx J x² -f- 2 bx -f- c

indem man das Integral auf die Form

(3.)

V c — b²

arctg(>§=i)

d{x -f- b)

[x Ą-bf Ą- c — b²

bringt und c — b² gleich a² setzt. Dieses Integral geht in

= iarctgürO

(4.)

dx

(x — g)² -j- h2 über, Avenn man

-b

dix — g)

(x — gf + h²

(5.)

b = — g, c — b² — h²

setzt. Noch unmittelbarer erhält man dieses Resultat durch die Substitution

(6.)

dx — hdt,

-——*~i

x — g = ht,

dann wird nämlich in Übereinstimmung mit Gleichung (4.)

(x—gf+tö

(!)

dx

hdt

dt

(x — gf -f- hf² J h²(t² -f-1)

⁼ łarctg(^)'

C dx

Dieselbe Substitution kann man anwenden, um -

Kz-^+Äf.

zu berechnen für den Fall, wo n > 1 ist; dann erhält

man

nämlich

(8.)

dx

[(x — gf + Ji²]n Nun ist

jh2n{ 1 -f t²)n h²

hdt

1    /' dt

«-in

(i + ty

l+t² — t²

(i + ty “d"+ ty ~ d + ty

folglich wird

(9.)

t²

(i + tyr

(10.)

t²dt

f dt _ f dt    f

Ja + t²r Ja + <²)»-¹ J(

Setzt man jetzt in Formel Nr. 98 der Tabelle, näm-

(i + ty

lieh in

Judv = uv — Jvdu,

2 t dt    d{l + t²)

(i + ty ⁼ ~{i + ty

also

du — y dt

so erhält man

v (n — 1) (1 + ty-¹⁷

i r dt

2 (n—ifi+ty-¹ %n~V)Jdyfy=v

t²dt

(1L) Ja+t²r

und wenn man diese Gleichung von Gleichung (10.) subtrahiert,

mfX

(i yty

3 f dt

(2w —2)(1-j-ty—¹ 1 2n — 2y (1 +1²)

Durch diese Formel ist das gesuchte Integral auf ein einfacheres zurückgeführt. Durch wiederholte Anwendung der Formel kommt man schließlich auf

also

r dt

Jï+t~2 =

arctg£.

Beispiel für n = 3. /' dt

JV

Ç dt

Jl

(1 + t²f 4(1 + f-f

_i_jjf dt ^4J{

(l + t²f 2(1 +t²)

r dt

4J (1 + t²)2 + |arctg#,

3

(1    fif    4(i 4_ t²f ¹ 8(1 + t²) ⁺ 8 ,llClg/

t(3t² + 5) , 3

8 {t² + l)2 1 8

J⁻ arc tg t.

Man kann das gesuchte Integral für die praktische Ausführung der Integration auch auf Formel Nr. 102 der Tabelle zurückführen, indem man

(13.)

dt

(14.)

t = tg£, also z — arctgt, dz = ^    ’

l + *²=l + tg=    Y~+T²

= cos%

— = cos 2n~²Z

setzt, dann wird mit Rücksicht auf Formel Nr. 102 der Tabelle, wenn man 2n mit 2w — 2 vertauscht,

cos 2n~²zdz

(1 + t²)n

(15.)

r dt r

Ja + t²y Jc

[_L

|_2 n —

(2w—3)(2n—5)... 5.3 (2w—2)(2n—4)..' 6.4.2

— sin?

COS2m~⁵Z

- COS²*⁻³,? +    -ST7Ô-T\

2    (2 n — 2)(2w—4)

' (2w—3)(2«—5)...5.3.1 z cos ²J+(2n_2)(2w-4)... 6.4.2

Dabei ist

(16.) cos? =

vi+fi

sin? =

sin z cos z =

1 +t²

(Pæ-|-Q)dx [(x^gf+P]iT

(Px+Q)dx (x—gf+lfi

Für n — 3 erhält man z. B. wieder

f dt

(1 + t²f

— sinz^-cos³# 4- —

\4    ¹ 4.

)+

3.1

4.2⁰

1 +^²(4(1 + t²)

3\    3

+ gj+g-arctgf.

§ 39.

Integration der Funktionen

und

{Px + Q)dx

(,x — gf + h²

{Px -(- Q)dx

[{x—g)² -|- W}n

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 151 und 152.)

Setzt man in Formel Nr. 91 der Tabelle, nämlich in

{Px + Q)dx P^ + 2bx j_c) + (q —Pb)J-

x²+ 2bx -f- c

dx

(1.)

b = — g, c — b² = h²

so geht sie über in

(2.)

{Px 4- Q)dx P

{x—gf+h² 2

ln [{x—gf+h²]+{Pg+Q)J-

dx

{x—gf + h²¹

dies gibt nach Formel Nr. 147 der Tabelle

ml

'{Px 4- Q)dx P

{x—gf+h² 2

\n[{x—gf+h²]+

In ähnlicher Weise kann man

/' {Px 4- Q)dx

J[(p

auf-

finden, wenn n > 1 vorausgesetzt wird. Es ist nämlich

(4.)

f {Px 4- Q)dx

J[(x

— ff? + &²]

P{x — g) + Pg + Q

[{x — gf 4- h²Y

dx

_ P ? 2{x — g)dx

%J[{x — fff + h²]n

Setzt man jetzt

(5.)

{x — gf + h² = y, also 2{x — g)dx = dy

und

(6.)

x —g — ht, also dx — hdt so geht Gleichung (4.) über in

(Pa? + Q)dx

[(a? —    4- A3J»

(i +    ’

dies gibt

(7-)

r (Pa? + Q)<^a?

— g? + W ]n

(2w — 2)[(a? — ti²)

Pq + Q I dt ¹ j(i + t²r

h2n~

wobei das Integral auf der rechten Seite nach Formel Nr. 149 oder 150 der Tabelle berechnet werden kann.

Aufgabe 1.

.§ 40.

Übiings -Aufgaben.

(13a?³ — 68a? + 95)ß!a? (a? — 5)(a?² — 6a? + 18)

(1.)

Auflösung. Nach Aufgabe 6 in § 35 ist 13a?² — 68x + 95    10    3x + 7

(x — 5)(a?² — 6a? -f- 13) x — 5 x¹ — 6a? + 13 Nun ist nach Formel Nr. 27 der Tabelle

(2.)

l'lOdx , „, .

/-— = 101n(a? — 5)

J x~~⁵

und nach Formel Nr. 151 der Tabelle ist 3 /'(2a? — 6)dx 2 Jx² — 6a? -j- 13

(3./

' (3a? -f- 7 )dx

a?² — 6a? + 13

+¹“/;—*

folglich wird

"(13a?²— 68a?+95)^a? (a? — 5)(a?²— 6a? +13)

(4.)

(x — 3)² + 22 = ^ln(a?² — 6a? + 13) + 8arctg^—^^

= 101n(a?—5)-|-|ln(a?² —6a?+13)

^    /a? — 3\

+ 8arctg(-—y

(6a?² — 25a? + 89)da?^

— 3)(a?² — 4a? + 20)

Auflösung. Nach Aufgabe 7 in § 35 ist

2a? — 3

3 ⁺ x* — 4 x + 20

Aufgabe 2.

6a?² — 25a? + 89 (a? — 3)(a?² — 4a? -f- 20) a? —

4-

(6.)

Nun ist nach. Formel Nr. 27 der Tabelle /' 4dX

Jx

- = 41n(a — 3)

und nach Formel Nr. 151 der Tabelle ist

(7.)

r (2a — 3)dx

Jx²

(2a — 4 )dx

— 4a 4- 20

x² — 4a -f- 20

⁺h

dx

(x — 2 f + 42 = ln(a² — 4x -f- 20)    ^ arctg

folglich wird

\6x² — 25a + 89 )dx (x—3)(a² — 4x-j- 20)

(8.)

= 41n(a— 3) 4-ln (a²— 4a-{-20)

+ jaretg(4r?)-

Aufgabe 3.

7x² — 10a + 37

[x + 1) (a² — 4x -f- 13)

dx — ?

(9.)

Auflösung. Nach Aufgabe 13 in § 35 ist 7x² — 10 + 37 (x + l)(a² — 4x -(- 13)

-4-1 + »

4x — 2

x + 1 af² — 4a + 13 2a — 4

a² — 4a + 13

(a — 2)² + 3²

folglich wird

(7a² — 10a 4- 37)dx (a 4- l)(a² — 4a 4-13)

= 31n(a 4- 1) 4~ 21n(a² — 4a 4" 13) 4* 2arctg^-g—^

Aufgabe 4.

(ia) h

7a³ — 6a² 4- 9a + 108

(a² — 4a 4-13) (a² + 2a -|- 5)

dx — ?

(11.)

Auflösung. Nach Aufgabe 8 in § 35 ist 7a³ — 6a² 4" 9a + 108 (a²—4a 4-13) (a² -j- 2a 4~ 5)    a² — 4a 4-13 ^ a² 4~ 2a 4 3

2a — 4

⁼ 2 ' a² — 4a + 13~(a—2)² + 3²

i o 2a 4- 2__

a² 4- 2a 4- 5 (a 4~ l)² 4" 2²

3a — 7

4a + 11

/*( 7x³ — 6x² 4- 9x 4- 108)^x J(x² — 4x + 13) (a?² + 2x -j- 5)

CO i(N

ln (x² — 4x + 13) — ^arctg^-^—^

Aufgabe 5.

5x³ — 12x² — 9x + 30 (x² 4- 4x 4- 5)(x² — 6x 4- 13)

dx = ?

(13.)

Auflösung. Nach. Aufgabe 14 in § 35 ist

3x4-5

(æ2 ₊ 4x_|_5)(;Z;2_6a;_|_ Ï3) - x² 4- 4x + 5 ⁺ X- — 6x413

_ 3    2x44___

2 x² 4- 4x 4- 5 (x 4- 2)² 4" 1

2x—6    _

' x²—6x 4-13 ipc—3)² 4- 2²

5x³ — 12x²—9x 4- 30

2x—7

folglich wird

f    ^x2 — 9^ + 30)^x

' J(x² -j- 4x 4- 5)(x² — 6x 4-13)

= |ln(x² 4- 4x 4- 5) — arctg (x 4- 2)

Z

4- ln(x²— 6x 4- 13) — g arctg^—2~)'

(2x 4- 2)ax ix — i ) (x² 4-1f

«Auflösung. Nach Aufgabe 4 in § 36 ist

2x 4 2    ____

(X — 1)(X²4-1)² ~ X— 1    (x² 4- l)²

Nun ist nach Formel Nr. 27 der Tabelle

-1),

nach Formel Nr. 152 der Tabelle ist f 2xdx

JW+1? ⁼

Aufgabe 6.

2x

x 4- 1

x² 4-1

(16.)

(17.)

r dx . , Jx~l = ln("

x² 4-1

und nach Formel Nr. 151 der Tabelle ist

= £ln(x² + 1)4- arctg®.

dB.)

(x 4- 1 ) dx

x² 4- 1

Dieses letzte Resultat hätte man auch mit Hilfe der Hormein Nr. 30 und 18 der Tabelle finden können. Aus den Gfleicliungen (15.) bis (18.) ergibt sich daher

- !ln(

(19.)i /

(2# -j- 2 )dx

ix—1)(#²-|- l)²

LC I—¹

ln(ic²-)— 1 ) — arctg#

ix — l)²

X² + 1

>+

arctg#.

x² + 1

*(3#⁵ -f- 2#⁴ + 6#³— ll#²—12#—8 )dx (;x — 2)² (#² + 2# + 2)²

Aufgabe 7. j

Auflösung. Nach Aufgabe 5 in § 36 ist 3#⁵ -f- 2#⁴ -f- ß#³ — 1l#² — 12# — 8

(#—2)²(#² -f- 2# -f- 2)²

(#—2)² # — 2

2# fi- 3

2~ +

#² -f- 2# -f- 2

Nun ist nach den Hormein Nr. 146, 27, 151 und 152 der Tabelle

(#² -f- 2# + 2)

(21.)

dx

(22.) j

(23.) I

J(x — 2)²

'(#—1 )dx    1 /' (2# -j- 2)dx T

x² + 2# -f- 2    2 J x² -f- 2# -f- 2    J{x -f-1)² -f-1

= -|4n(#-f- 2#-f- 2)—2arctg(#-f-1),

1 l'2dx x — 2’ Jx

- = 2 ln (# — 2)

-J

dx

' (2# -|- 3)d#

(#² -j- 2# -|- 2)²

-t.

' (2# + 2)dx

(#² -f- 2# -f 2)

i+Ä

dx

[(# +1)² + ;]²

f dt

V( 1 + *²)³ ’

wobei # -j- 1 gleich t gesetzt ist. Dies gibt nach Hormel Nr. 149 der Tabelle

#² + 2# -f- 2

(24.)

/' dt

dt

(1 + t²)²    2(1 + t²) ⁺ 2/1 + t²

2(1 + t²) ⁺ \^t

x -f- 1

2₍x² + a» + 2) + §-arcts(æ + ⁴>

/i

(25.) J

(3a:⁵ + 2a:⁴ +    — 11a;² — 12a? — 8 )dx

(;x — 2)²(a;² + 2a: + 2)2 — - + 21n(^ —²) +

2(x² + 2a: + 2) + ,-|ln(a:² -f- 2a? -f- 2) — ■|arctg(a; + 1).

Aufgabe 8.

(x + 3)^a;

(a:² + x + l)²

Auflösung. Da in diesem Falle

a?² + x + 1 = (x + |)² + £ ist, so erhält man nach Formel Nr. 152 der Tabelle, indem man

(27.) P= 1, Q = 3 setzt,

mj{

wobei

C26.)

* (x + 3)dx

{X² + X 4- l)²

g—    £, h — £]/3, n — 2

Ç dt

2(x* + x + 1)^3V3J (1 + *²)²

20

(29.)

2a; + 1 = 11/3

gesetzt ist. Dies gibt nach Formel Nr. 149 der Tabelle

J- ^-arctg£

(1 ₊ t²)²    2(1 + t²) ¹ 2

(2a:+1)^3 8(a:² + x + 1) ^ 2

also

(3L) j

(x-\-?>)dx

5a: +1

(a;² + a;+l)²    3(a;² + a;+1) ⁺ 3]/3

10    /2a:+l\

SVW7'

Aufgabe 9.

2a;⁵—3a:⁴ + 16a:³—5a:² + 9a:+ 19 (x—3)²(a:² + a; + l)²

dx = ?

(32.)

Auflösung. Nach Aufgabe 6 in § 36 ist 2 a;⁵ — 3a;⁴ + 16a⁴⁵ — 5a:² + 9a: + 19 (x — 3)²(a:² + x + l)²

(x — 3)² ' x — 3 ‘

4    ,    1    , _

⁺ ®- 3 ⁺ (z² + a: + l)²    [(* + ł)² + f]²

2a: +1

2a: + 3

(a:² + x + l)2 2a: + 1

x² + x + 1

(x

a;² + a: + l

hx+if+ï

Kiepert, Integral - Rechnung.

17

Setzt man wieder

h = ]/3, 2a? + l = f}/,3, x¹x-\-1 = y,

l>0 l-¹

tO l-¹

so wird

(33.)

(34.)

3(1 + t²) = 4(x² + x + 1)

/’( 2a? + 1 )dx

J(x² + x-fl)

und ähnlich wie die Gleichung (30.)

16/3.dt 8 ft,    \

SoWivW+<l + ”"'f!)

(35.)

2 dx

K*+i)²+i]

4a? 4- 2

ąx2 + a;+l)T3]/3

arct<²w)’

(36.)

(2a? 4- V)dx

= ln(a?² 4- x 4- 1)

dx

(x 4-1)² + I

mk

Deshalb wird

4 dx

(2» 4- lf 4- 3 2]/3r dt

3 Jl

(38.) f

(2a?⁵ — 3a?⁴ 4- 16a)³ — 5a:² + 9a? 4- 19)ćfa?

(a? — 3)²(a?² + a: 4- l)²

4a: 4* 2

3(a:²4~a:4-l; 3]/ 3

x² -f- x 4-1 arctg^^¹) 4- |ln(a?² 4- æ +1)

Ico

,    4a: — 1    1    /2a? + 1\

~^3 + SC^ + x+l) _ 3/3 gV /IT)

+ \a(x — 3) + tln(æ² + x + 1).

Aufgabe 10.

Ç (5a?² — 8a? — 4)c?a?

J a?³ 4- 1

(39.)

Auflösung. Hier ist

5x² — 8x — 4

Px + Q

x² — x -f-1

X + 1

oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit

x³ + 1 = (x -f- l)(x² — x + 1)

multipliziert,

bx² — 8x — 4 = A(x² — x -f- 1) + (Px -f- Q) (x -f- 1). Dies gibt für x — — 1

9 = 3 A, oder A = 3 und für x² — x -f- 1 = 0, oder x² = x — 1

— 3x — 9 — (2P -|- Q)x -{- (— P -f- Q)

also

(40.)

2P+Q = -3, -P+Q = - 9

P= 2, Q = - 7,

X + l~ x² — x + l

Nun ist nach Formel Nr. 27 der Tabelle

zf-dx

und nach. Formel Nr. 151 der Tabelle (44, /

(41.)

(42.)

(43.)

bx² — 8x — 4

2<z — 7

x³ -f-1

\2x — 7 )dx

= 31n(a? -f- 1)

*(2 x — 1 )dx

(x - if + 4

= ln (x² —

x + 1) — 4 y 3 arctg(²y^-) »

folglich findet man (45.) /

(bx² — 8x — 4 )dx

4K3arctg(²^7fl).

x? -j- 1

= 31n(:r + 1) + M#² — x + 1) —

Dem Anfänger wird die Prüfung der vorstehenden Auflösungen durch Differentiation empfohlen.

Tri manchen Fällen, wo die Integration durch Partialbruch-Zerlegung sehr umständlich oder infolge von alge-

braischen Schwierigkeiten garni cht durchführbar sein würde, gelingt die Integration durch zweckmäßige Umformungen und Substitutionen, wie durch einige Beispiele zur Erläuterung gezeigt werden möge.

/* dx

Jx(xs -f-1)

Aufgabe 11.

(46.)

Auflösung. Setzt man in diesem Falle ? also dx — —

so wird

(47.)

fdx

x{xà -f-1)

mt

--JW+Ï-

[CO

ln(ć³ -f 1)

oder

T—I CO

ln

r—1 I CO    «

ln

<rP)

3 '“Cr- + l) ln(^₊₁

Man kann dieses Resultat auch in folgender Weise finden. Es ist

x²

(x³ -f- 1) — a;³ _ 1

x(xs -f- 1) x{x? +1) x x? -f- 1 ’

also

f dx fdx f

Jx(a? + 1) ~J x Jä

x²dx

x³ -f- 1

=lnx- * ln(*³+!) = ln(|ÿ^i) '

dx

Aufgabe 12.    ₊ , ,

Auflösung. Setzt man in diesem Falle

(49.)

x = —1 also dx =

dt

so wird

(50.)

t³dt

fdx    f

Jx(x* + 1)    Jt

= -iln(^ + l),

oder

Auch, hier findet man dasselbe Resultat aus der Glei

chung

(Bt) h

dx

x{x⁴ -j- 1)

= ln

tH !

(a?⁴ +1) — æ⁴ 1    a?³

x{x⁴ + 1)    a?(a?⁴ + 1) x X⁴ -f- 1

aus der dann unmittelbar folgt

r dx _ /'dx r Jx{xï-\-1) J x Ja

x³dx

a?⁴ -f- 1

Ina? —

Bezeichnet man in dem Falle, wo f{x)= 0 mehrfache Wurzeln hat, (in Übereinstimmung mit § 119 der Differential-Rechnung) den größten gemeinsamen Teiler von f{x) und f\x) mit dix), setzt man also

(52.) dix) = {x— a)“-\x — Vf~\x — c)'/-¹ ...{x — lf

und

(53.)

Qix) =

fix)

d{x)

— (a? — a)ix — b)ix — c)... ix — l)

um dix) und çfx) zu bilden, keineswegs

so braucht man die Wurzeln von fix) — 0 zu kennen, sondern kann sie durch rationale Operationen aus den Polynomen fix) und f\x) herleiten. Dann läßt sich die Partialbruch-Zerlegung auch in folgender Weise ausführen *).

(f{x)

Es sei n wieder der Grad von fix), und m sei der Grad von Qix), also die Anzahl der voneinander verschiedenen Wurzeln a, b, c, ...l der Gleichung fix) = 0. Die

konnte dann nach

echt gebrochene rationale Funktion Gleichung (11.) in § 36 auf die Form

*) Der Anfänger darf diese Auseinandersetzung übergehen.

x —

die logarithmischen Glieder

Aaln(æ — a) -f- B^ln(x — b) -|-----f- Lxln(a? — l)\

die übrigen Partialbrüche ergeben bei der Integration echt gebrochene rationale Funktionen, deren Summe wieder eine echt gebrochene rationale Funktion mit dem Generalnenner d{x) ist. Man findet daher

<p{x)dx ip{x) f{x) ~ ïï(x)

(55.)

(54.)

cp{x)

A₂

Aa

fix) (x — a)

(x — a)a~l

Bi

B₂

(x — b)ß (x — bf⁻'¹

?L

In

(x — l)¹

+ •••4

Lx

(x — l)x~¹

gebracht werden. Bei der Integration liefern nur die Partialbrüche

Aa

Bf

+ Aa\n(x — a) -f- Bp\n{x — b) d----

-p LAn.{x — l) wobei der Grad von d{x) gleich n — m, und der von

(56.) 1p(x) — C\X

n—m—1

+ C₂X

höchstens n — m — 1 ist. Auch die Summe

+ * ■ ■ d⁻ —m—ix -p cn—m

(57.)

Aa

Bß

Lx

6{X)

Q(x)

X-

ist eine echt gebrochene rationale Funktion, bei welcher der Grad von q(x) gleich m, und der Grad von

(j{x) — k\Xm~x -p k₂xm~² d-----j- km—\x -J- k

höchstens m — 1 ist. Die Funktion ip(x) kann jetzt bestimmt werden, ohne daß eine Integration ausgeführt zu werden braucht; denn aus Gleichung (55.) erhält man (f{x)    d-{x) . lp'(x) — 1p{x) . d-'(x) , ö(x)

{}(xf

wobei man noch auf der rechten Seite dieser Gleichung Zähler und Nenner des ersten Gliedes durch den größten

(58.)

(59.)

fix)

Qix)

gemeinsamen Teiler t[x) von d-(x) und &'(x\ der wieder durch rationale Operationen gefunden wird, dividieren kann. Setzt man dabei

!}(x) = r(x) . &i(x),    &\x) = t(x) . {h₂(x),

so geht Gleichung (59.) über in

(60.)

(59a.)

<p(x)    &\(x) . 1p\x)- 1p{x) . \>2{x) , dx)

fix)

q(x) •

■0-(x) . (h{%)

wobei #i(a?) ein Teiler von q(x) und deshalb {tfx). #i(x) ein Teiler von f{x) ist. Schafft man noch in Gleichung (59a.) die Nenner fort, indem man beide Seiten der Gleichung mit f(x) = &(x).ç(x) multipliziert, so müssen die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiden der neuen Gleichung einander gleich sein. Dadurch erhält man n lineare Gleichungen mit den n Unbekannten

ÜL ;    j • • • —m •> ^1 j &2 ; . • • Je

die sich immer auflösen lassen.

Man kann also die Gleichung (59a.) und deshalb auch

m •)

(61.)

&i(x). ip'(x) — ip(x). >h(x)

dx =

lp(x)

&(x)

&(x) . />i(x)

vollständig bilden, und zwar ist dieses Verfahren auch dann noch durchführbar, wenn man die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 nicht kennt. Dagegen ist zur Berechnung von

'ö(x)

dx in endlicher geschlossener Form die Kenntnis der Wurzeln a, b,.. .1 erforderlich.

Q{X)

XL Abschnitt.

Integration der irrationalen Funktionen.

§ 41.

Allgemeine Bemerkungen.

Im ersten Teile der Integral-Rechnung sind bereits irrationale Differential-Funktionen in größerer Anzahl integriert und die Resultate in die Formel-Tabelle aufgenommen worden. (Man vergleiche Nr. 17, 23, 24, 31 bis 42, 84 bis 86 a, 119 bis 131a der Formel-Tabelle.)

Dabei wurden in den Formeln Nr. 84 bis 86 a die Irrationalitäten

Y o?— x²,    Ya²-j-x², "jAc²— a²

bezw. mit Hilfe der Substitutionen

x — atgt

x — asin£, oder x — a%$u, x — a©tnw,

cos Y

weggeschafft. Dadurch erhielt man unter dem Integralzeichen rationale Funktionen der trigonometrischen Funktionen

sin£

cos£, tg£, ctgf, bezw. der hyperbolischen Funktionen

©in w, (Sofw, ÎQM, ßtgw. Setzt man dann noch

bezw.

so erhält man unter dem Integralzeichen eine rationale Funktion von z.

In betreff der übrigen irrationalen Differential-Funktionen ist zu bemerken, daß es verhältnismäßig nur wenige Fälle gibt, bei denen sich die Integration durch Anwendung algebraischer Funktionen oder der bisher hier betrachteten transzendenten Funktionen ausführen läßt. In den meisten Fällen werden durch die Integrale algebraischer Differential-Funktionen neue (d. h. bisher hier noch nicht betrachtete) transzendente Funktionen erklärt.

Zunächst mögen nur solche irrationale Differential-Funktionen in Betracht gezogen werden, welche sich durch eine Substitution auf bereits bekannte Integrale zurückführen lassen; namentlich sollen diejenigen Fälle berücksichtigt werden, in denen die gegebene irrationale Differential-Funktion durch Substitution in eine rationale umgewandelt und daher nach den Methoden der Partialbruchzerlegung erledigt werden kann.

§ 42.

Integration rationaler Funktionen der Argumente

m    p

/ax -f- ßY¹ /ax -f- ß\ß

X’ \^+ö) ’ VäT+d/ ’ " ‘ ’

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 153 und 154.)

Kommen in der Funktion unter dem Integralzeichen keine anderen Irrationalitäten vor als Wurzeln aus x selbst, so läßt sich die Differential-Funktion durch die Substitution

(1.)

x = t*

sehr leicht rational machen, wenn man den Exponenten x so wählt, daß x durch alle auf tretenden Wurzel-Exponenten teilbar ist.

Wie dies gemeint ist, möge zunächst ein Beispiel

zeigen.

Aufgabe 1.

(yx⁸ — 7-frx² -f 12yx)dx

x(^/ x — -y/x)

Auflösung. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzel-Exponenten 2, 3, 4 und 6 ist 12, folglich muß man

(2.)

X = t¹²

oder y^x = t

setzen und erhält

(3.)    y⁷#³ = tf⁹, y^X² = t⁸, Y~X = tß, y/X — i(⁴, yüc = if².

Dies gibt

(4.)

(y/r³—7y/£C²+12]/

{t²—7t⁸+l^)tndt

^(y⁷ iC— y/ x)

t¹²(tx — Ć²)

-«f-

{tQ—7t⁵+12ts)dt

t² — 1

Nun ist

(5.) Ż⁶—7£⁵+12£³ = {t²— l)(tA—7*³-H²-f-5£+l)-f 5£ + l also

(6.)    ^-^+^ ₌ ,-7<3 + ,3 + 6< + 1 + 5^1

t—1 ' t-\-1

= t*—7^³ + ^² + 5^ + l + ^— d--

folglich ist

(7.)

xi-j/x—y/x)

+ 31n(ż —1) + 21n(*+ 1)

= 12

wobei nach Gleichung (2.)

ist.

, 12/— t — y x

Daraus erkennt man schon, daß die oben angegebene Regel ganz allgemein anwendbar ist; denn bezeichnet man mit x das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen n die in den Exponenten von x als Nenner auftreten, und setzt man in Übereinstimmung mit Gleichung (1.)

x — t*, also t = y⁷ x

(la.)

dx = xtx~xdt

so erhält man

p_

y.m

yp

(8.) /fix, xni xq,.. .)dx =t n, t⁹ .. .)xty~¹dt wobei die Exponenten

n q

werden, so daß die Differential-Funktion rational wird.

• • sämtlich ganze Zahlen

Auf diesen Fall kann man den allgemeineren zurückführen, wo unter dem Integralzeichen eine rationale Funktion der Argumente

m    p

/ax -j- ß\n (ax -|- ßy

X’    ’ \ÿx^ÿô)

steht. Setzt man nämlich

(9.)

so wird

ax 4- ß

WT* = y

(10.)

öy — ß

yy — a

dx =

(aö — ßy)dy ^ (yy — a)²

so daß man erhält

p_

(11.)

!fh (

ax + ß

yx -f- ô

\n (ax + ßy 1,

)- u^+d),"‘rB“

JK

öy — ß

p_

-i yni y^i--

)•

(ccd — ßy)dy

(:yy — «)²

ry —

Ist jetzt ^ das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten n, q,. . tion rational durch die Substitution

so wird die Differential-Funk-

(12.)

y = t*-

(1-)

§ 43.

Übungs-Aufgaben.

xdx

Vx^l

Auflösung. Setzt man hier Vx — t, also x = t²

Aufgabe 1.

dx = 2tdt

so wird

Aufgabe 2.

fVx

Jx-1

dx = ?

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

t²dt

(3.)

*² —1

-f

(t² — 1 -f- 1 )dt

t² — 1

also mit Rücksicht auf Formel Rr. 29a der Tabelle

(4.)

£Ç>~a/(i₄

^î)*« -a* + KthFt)

y x—

)•

dx = ?

Aufgabe 3.

(5.)

Auflösung. In diesem Falle muß man -y/ x — t, x = t¹, dx — 3 t² 3 dt

setzen und erhält

(6.)

fV*

Jx — 1

rt. 3 m _ r mt    _ a*¹ — 1 +1)^

J inT = ¹ I?--ri “

= ^ + w=i)dt = 3t + 3fw=v

Um 3    -- zu ermitteln, wende man Partialbruch-

dx —

Zerlegung an und setze

(7.)

_____,    + Q .

t'⁶ — 1 t — 1 t² +1 +1 ’

dies gibt durch Fortschaffung der Renner

(8.)

3 = A(t² + # + !) + {Pt + Q){t — 1)

also für t — 1

3 = 3A und für t² -j- t -{- 1 = 0

(9.)

oder A = 1

.§ 43. Integration irrationaler Funktionen; Übungs-Aufgaben. 269 Dadurch, erhält man nach Formel Nr. 27 und 151 der

Tabelle

^ v o C dt C dt f

⁽¹²⁾ yF-^T ~Jt^J~J'i

(t + 2 )dt

t² + t + 1

= ln(# — 1) — |ln(^² + t + 1) — y3arctg(²l+

also

(13.)

f-^dx — 3y/x-\-ln(Yx—1)—^\n(^x²-\- -y/x-\-l)

'    -V3a rctg(^_hl).

Aufgabe 4. fxdx\a + x = ?

Auflösung. Hier ist zu setzen (14.) Ya-\-x = t, also a -|- x = t², x = t² — a, dx — 2tdt, dann wird

(15.) Jxdx\a Ar x — f2tt²—a)t²dt

21⁵    2 at³

= 2f#dt — 2a/t²dt = ~

oder

(16.) Jxdxy a -f- x = -fet³(3t²—5o) = Y${a-\-x)\/a + x$x ^a)■

Man hätte auch die Integration in folgender Weise ausführen können. Man setze

_ 3    1

(17.) xYa-j-x = (a-\-x—a)Ya-f-x — (a-j-x)? — a(a-f-a?)²,

also nach Formel Nr. 9 der Tabelle

(18.) fxdxVa + x =J(a + xfid{a + x) — af(a + x)?d(a + x)

= *(« + »)*—Mfl + *)*

=    x)Y<l Jrx{?>x—2a).

Aufgabe 5.

r dx

Vx + a

J x

Auflösung.

vorhergehenden Aufgabe findet

Durch dieselbe Substitution wie bei der man

(10.)

(19.)

f dx ₌r

JxYx-\-a J 0

2 tdt

(t² — a)t

- 2 / dt

Dies gibt nach. Formel Nr. 29a der Tabelle

(20.)

dx

xYx-j-a

y a \t + Ya/

(Yx + a — Ya)

-W-

Va V

= Aln( Va \

Aufgabe 6.

ln (V x+ a — V a Y a Nj/ic-j- a -f- Y,

“)

a/

•)

x -f- 2a — 2Ya(a -f- x)

fVa + x J r a — x

dx = ?

Auflösung. Es sei

(21.)

ii+x

also

= t², x —

t²—i

V +1’

(22.)

dx

kat dt

dann wird

(i!² + l)a

(23.)

t²dt

(t² + l)^

= 47

(t² + 1 — 1 )dt

(t² + 1)2

(24.)

. r f dt r dt

~ U vr+ï~Jw+ 1)²J

Nun ist nach Formel Nr. 18 und 149 der Tabelle

f dt

Jl

= arctg£

1 f dt

(1-M²)2    2(1 + ^²) ¹ 2Jl-\-t²    2(1 + t²)

folglich wird

(25.)

f dt

J(

1 + *²

fiarctgć,

(26.)

r-Ja + x

J 1 a~x

dx — 4 a

_2

-arctgtf

2(1 +1²)J

oder, da

i ₊ ^ = i₊e^ a — x

Ya² — x²

a — x 1 -f- t²

ist,

(27.)

m+x

dx

= 2aarctgj/^ ^

Y a² — x².

Einfacher kann man in diesem Falle die Integration ansführen, indem man

(28.)

tM-1

(a + xf

{a — x){a-\-x)    y a² — x²

setzt; dadurch erhält man nach Formel Nr. 34 und 31 der Tabelle

(29.)

fl'a±^dx = af-.dX₌ + l J f a — x    J Y a² — x² J

xdx

Y a² — x²

— x².

— a arcsin

Dieses Resultat weicht allerdings in der Form von dem in Gleichung (27.) enthaltenen ab; setzt man aber

(30.)

z, oder t gz

so ist

tg% = -

also x =

t g²z — 1 atg²z + 1

oder

(31.) x ---

sin% — cos²# a sin²# -j- cos²#

= — a(cos²# — sin²#) = — a cos (2#)

= usin

(—!>•

Deshalb wird

(32.)

arcsin

0-

n ^ O + l/a + X

2z-- = 2arctg(/ —

an-

durch eine Intégrations-

so daß die beiden in den Gleichungen (27.) und (29.) gegebenen Resultate sich nur Konstante voneinander unterscheiden.

§ 44.

Zurückführung der Differential-Funktionen von der Form F(x, Y Ax² + 2 Bx + C)dx auf Differential-Funktionen von der Form f(y, Yy²—o²)dy, f{y, Y~a? + tf)dx, f(y, Ya² — y²)dy.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 1B5 und 156.)

Es sei F(x, Y~Äx² -f- 2Bx -f- C) eine rationale Funktion von x und YAx² -f 2Bx -j- (7, dann ergibt sich eine Vereinfachung durch die Umformungen, welche man auch bei der Auflösung der quadratischen Gleichungen anwendet. Dabei mögen zwei Fälle unterschieden werden.

I. Fall. A>0.

Setzt man

Ax -f- B

(1.)

so wird

VA

also y² = Ax² -f- %Bx -f-

B²

<2.)

Hierbei wird

Ax² -|- %Bx -f- G = y2 B²—AC

B² — AG

positiv oder negativ, je nach-

dem die „Diskriminante“ B² — AC positiv oder negativ ist. Um diese beiden Fälle zusammenzufassen, setze man B² — AC

(3.)

dann wird

<4.)

also

(5.)

Ax² -j- 2Bx + C = y² -j- ß²,

Y Ax² + 2 Bx + C — Yy² + a². Aus Gleichung (1.) findet man noch

x = yVA-B A

dx —

dy

Ya

folglich wird

(6.) Jf[x, Y Ax*+'2,Bx+C)dx =Jf^Ä B

II. Fall. A < 0.

Setzt man Ax + B

<7.)

B²

i also — y² — Ax² + %Bx -f- ~j~ j

.so wird

(8.)

AC— B²

y~-

Ax² -f- %Bx 4- C — AC — B²

positiv oder negativ, je nachdem die „Diskriminante“ B² — AC positiv oder negativ ist. Um diese beiden Fälle zusammenzufassen, setze man

Hierbei wird

(9.)

AC-B² B² — AC

= + a²

dann wird

(10.)

Ax² -f- 2Bx -f- C — 4 «² — y'².

also

(11.)

} Ax² 4- 2Bx 4 C= V±a² — f. Aus G-leichung (7.) findet man noch

yV=Ä.-B

dx = —

dy

V-A

folglich wird

(12) jF(x, Y Ax² 4- ZBx 4- C)dx =

dy

V-A'

(13.)

Gilt in Gleichung (12.) das untere Zeichen, so wird YAx² 4- 2Bx 4- C = ]/—A² — y² =iVa² + y2 für alle reellen Werte von x imaginär, so daß in diesem i alle F(x, Y Ax² 4- 2 Bx 4- C) eine komplexe Größe ist. Deshalb lassen sich auch bei Ermittelung des gesuchten Integrals komplexe Größen nicht vermeiden. Man kann in diesem Falle auch

(14.)    Y Ax² + 2 Bx + C = i.Y— (Ax² + '1B + C)

setzen und erhält dadurch eine Wurzelgröße, auf welche die im Falle I gemachten Voraussetzungen zutreffen.

§ 45.

¹

= (— 2P+ Q)t + (-P-Q),

²

also

³

(11.) — 2P-fQ = 0, P+Q = —3, oder P=— 1, Q = — 2.

Übungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel-Tabelle îsr. 15< und lo8.)

dx

YAx² 4- 2Bx + C

Aufgabe 1.

Auflösung. Im Palle I erhält man nach den Formeln Nr. 155, 35 und 36 der Tabelle

(L)/i

dx

dy

¹ ln /y+Vy²jra*

VAx²-f2£x-j-C JVAVyZ+a? VA

= r4= [ln(y + Vy² + a²) — Ina]

VA

oder, wenn man die Integrations-Konstante

Ina

(la.)

dx

Va

fortläßt,

(2.)

(3.)

ln {y + Vy² + a²)

-|- VAx² -f- !iBx -f- (7^.

Beispiel 1. A = 4, B = 2, C = — 3, B² — AC = 16.

= ~ ln (2a; -f- 1 + V^x² -j- 4x

A

(7=1, B² — AC = —

= )n(^t- + V*%x+l).

y At² -f 2j5x + (7    ]/^

1 , /4a? -j- 5

in

Va

dx

V4x² -f- 4a? — 3 Beispiel 2. 4 = 1, B =

3).

dx

to I-¹

y^²"-}- a? -j- 1

Im Palle II erhält man nach Formel Nr. 156 der

Tabelle

(4.)

dx

-h

dy

y — a y + a² — y²

y Ax² -f- 2 Bx + (7

Beschränkt man die Lösung auf den Fall, wo das obere Vorzeichen gilt, so erhält man

(4a.)

dx

y Ax² -f- 2 Bx -f- C

y—A^ydt—y²

dy

y-a

arc sin

arcsin^

Ax-\-B

(5.)

Ax-\-B

arcsin

y-A

Beispiel 3. 4 = — 1, I? = a, (7 = 0, B² — 4(7 = a².

y B²—AO

Vb^-ag

j' dx

J y 2 ax — x²

= arcsin

Gilt das untere Vorzeichen, so wird die Aufgabe auf Fall I zurückgeführt, indem man

(6.)

r dx    i r dx

JVäx² + 2Bx + C ~ V VAiX² + %Bxx + Gl

setzt. Dabei ist

Bi = — B, Ci = — G.

Aufgabe 2. fdx]/Ax² + 2Bx + C = ?

Auflösung. Im Falle I, nämlich in dem Falle, woi>0 ist, erhält man nach der Formel Nr. 155 der Tabelle

(7.)

A₁ = — A

(8.)

jdx Y Ax² + 2 Bx + C = j=JdyVy² + a²,

also mit. Rücksicht auf die Formeln Nr. 129 a und 129 der Tabelle

(9.)

JdxyAx² + 2Bx -f- C =

also, wenn man die Integrations-Konstante —-

+ a?\n.a

fortläßt,

(9a.)

jdx]/Ax² + 2Bx + C AC — B²

1 TAx-\-B

2yjL ~yr~

yAx²-\-ZBx + C

Ax + B

+ y Ax² + 2 Bx + (?)] .

Beispiel 1. A — 4, B — 2, C = — 3, B² AC = 16.

(10.) jdxy±x² + 4a;—”3 = 4[(2z + l)V4x² + 4a? — 3

— 41n(2» + 1 -\~y^x² + 4x — 3)].

Beispiel 2. A = 1, B — + C — 1> B² AG = jdxVx² + »4-1=2

(11.)

ln

VA

¥•

¹ '?++! j/^2 ₊ a; ₊ 1

+! ln^±l+y?+ï+ï)]-

Im Falle II, nämlich in dem Falle, wo dL<0 ist, wird nach Formel Nr. 156 der Tabelle

(12.)

JdxY Ax² -f- 2 Bx -j- C

ykjfa V±a²—y²-

Beschränkt man die Lösung auf den Fall, wo das obere Vorzeichen gilt, so findet man nach Formel Nr. 123 der Tabelle

(13.) jdxY Ax²-\-2Bx-\-C =

^ - FyYa²_v² 4-a-

yzij l2Va y+2

arcsin

Ax + B

2V^al y^a

B² — AC

VAx² + 2Bx + C

arcsin^

Ax -f- B

YB² — AG

)]•

Beispiel 8. A = — 1, B = a, C = 0, B² — AC = a².

jdxY 2

ax—x² —

to i—¹

(x — a) Y2ax

x² -f- «² arc sin --—•

Diese Beispiele mögen zeigen, wie Integrale von der Form jF(x, Y Ax² -f- 2Bx -f- C)dx durch das in § 44 angegebene Verfahren mitunter auf bereits bekannte Integrale zurückgeführt werden können.

§ 46.

Integration der Differential-Funktion

F{x, y Ax² + 2 Bx +~C)dx, wenn A positiv ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 159 und 160.)

Aufgabe 1. ffiy, Yy² + <Wy = ?

Dabei darf c eine positive oder negative Größe sein. Auflösung. Wenn das gesuchte Integral mit keinem bisher entwickelten übereinstimmt, so setze man

(1.)

Vÿ² + c = t — y, oder +    + c

also

(2.)

y² + c = t² — 2ty -j- y²

2t ’

(3.)

y y² + c = t

t² — c t² + c

(4.)

dy =

(it² + c)dt

21²

folglich wird

ff (y,    + o)dy =fff—> t2fc) ■{t2 +c)<B

Wenn /(y, ]4/² -f- c) eine rationale Funktion von y und Vy2, + c ist, so hat man es durch die angegebene Substitution erreicht, daß die Funktion unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (5.) eine rationale Funktion der einzigen Veränderlichen t geworden ist. Diese Substitution wurde bereits zur Herleitung der Formeln Nr. 35 und 36 der Tabelle benutzt.

Nach Gleichung (5.) wird nämlich

(5.)

2t²

I' dy _ßt² + c)dt. 2it

JVy² + c • 2G(7² + c)

ryt    ,__

=J j = \nt = ln(y + Vy² + c).

Aufgabe 2. J'F{x, VAx² -f- 2Bx -f C)dx = ?

Auflösung. In § 44 wurde gezeigt, wie man das gesuchte Integral in dem Falle, wo A>0 ist, auf ein Integral von der Form jf{y, Vy² + c)dy zurückführen kann, wobei c = + a² ist (vergl. Formel Nr. 155 der Tabelle). Ist diese Umformung erfolgt, so gelangt man durch die in Aufgabe 1 angegebene Substitution zum Ziele. Man kann aber auch die Umwandlung der vorgelegten irrationalen Differential-Funktion in eine rationale unmittelbar ausführen, indem man

YAx² + 2Bx -f- C —t — xyA

(6.)

setzt. Dadurch erhält man

Ax² + 2Bx -f- C = t² — 2 tx y A -f Ax², 2x{t'VA -j- B) = t²—C,

(7.)

oder

t²— C

gß ____y

2 (tVÄ+B)

(9.) yAx²+2Bx+C = t

(t²yA -f- 2Bt -f- CyA)dt 2(t VA + Bf

if—c) y a _ t²yA+2Bt+cyÄ

2{tyi+B) ~ 2(tVÄ + B)

dx —

278 § 46. Integration Dies gibt

(10.)

JF(x, Y Ax²-\-2Bx-\-C)dx =

fF( t²-c

J \2 (tVA+B)

t*VA+VBt+CVA\ (t²VA+ZBt+CVA)dt

2(tvj+B) y

2(tVA+Bf

wobei nach ausgeführter Integration in Übereinstimmung mit Gleichung (6.)

t — xY A -f V Ax² + 2 Bx -f- C einzusetzen ist. Wenn F(x, Y Ax² -j- 2Bx -f- C) eine rationale Funktion von x und Y Ax² -f- 2Bx -J- C ist, so steht unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (10.) jetzt nur noch eine rationale Funktion von t, welche nach den Regeln des vorhergehenden Abschnittes integriert werden kann.

Man erkennt, daß die Aufgabe 1 nur ein besonderer Fall der Aufgabe 2 ist, welchen man erhält, indem man die Intégrations-Veränderliche mit y bezeichnet und A = 1, B = 0,

(11.)

setzt.

C= +c

Übungs - Beispiele.

Aufgabe 3. JdyYy² -f- c = ?

Auflösung. Nach Gleichung (5.) erhält (t² -f- c) dt t² + c

man

(12.) jdyYy² + c =ß

21²

1 i\t² -f- cf dt

⁼ AJ ¥

1 (t² , 0 w c²\ t± 4 \2 + 2c n 2t²)

— ^ j(t    2ct~y + c²t—³)dt

+ fnt.

— c²

8t²

Dabei ist

t² —

t² + c

yy* + °- %

also

t± — c2 41²    ’

folglich erhält man bis auf eine Intégrations-Konstante in Übereinstimmung mit den Formeln Nr. 129 und 129a der Tabelle

(13.)

yYy² + c =

(14.) fdyVy²

Aufgabe 4.

bOi'sS

Vy² + c + | ln(y + V y² + c).

/,

a?tfo?

]/a?² + 2a? -f- 2 Auflösung. In diesem Falle ist

.4 = 1, yz=i, 5 = 1, C=2

also

#²—2

(15.)

t = x -f- V*² -}- 2a? -f 2. a? =

]/a?² + 2a? -f- 2 =

nt2-2)(t²+2t-}-2)dt _ 1 ßt²—2)dt

-JW+W(P + 2t + 2) “ 2 J (t +1)²

2(f + 1)

dx —

(<² + 2t + 2)df

2(* + 1f~

2(* + 1)

xdx

Yx² 4- 2a? + 2 Nun ist, wie man durch Division findet,

t² — 2 = (t 4~ 1)(* — 1) — 1 = (t 4- l)² — 2(* + 1) — 1

also

(17.)

t² — 2

<t 4-1)²

(t +1?

folglich wird

(18.)

xdx

Yx² 4- 2a? 4~ 2    2

t — 2 ln (t 4- 1) 4~

4t]

t* + t + l

W +1)

t² 4" 2£ 4" 2

— ln(£ 4~ 1)

1).

Dies gibt mit Rücksicht auf die Gleichungen (15.) xdx

y x² 4-2a? 4-2

Bedeutend leichter findet man dieses Resultat durch Anwendung von Formel Nr. 155 der Tabelle, indem man a? = y — 1, also y = x 4~ 1, dx = dy,

1/zM- 2^ + 2 = Vy² + " 1

2(£ 4- 1)

mf

(20.)

= |/a?²4-2a?4-2 — ^—ln(a?+14- Vz²+2a?+2).

setzt; dann wird (9A f xdx --

JVxä+2a? + 2

also nach den Formeln Nr. 32 und 35 der libelle

f(y—l)dy ₌ j ydy

~Jyy² +1 / vy* -f

f dy J Vy¹ 4-1

(22.)

xdx

y X² + 2a? + 2

= y y² + 1— ln {y + y y² + 1)

= y x² + 2a? + 2 — ln(a? +1 + V#³ + 2a? + 2).

Dieses Resultat unterscheidet sich von dem vorher gefundenen nur durch eine Intégrations-Konstante.

Aufgabe 5.

x²dx

yx² + 2a? -f- 2

1 f(t² — 2)²dt

-ïj-ÿ+i?

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier x²dx

y x² + 2a? + 2

-U

tH

fcO TC

2    4

t ~ 3 + 7+T ⁺ (7+1? ^ (7 + 1?.

4

— 3£ + 21n(# + 1)

dt

H GO

#² — &

CO

t + 1    (*+1)1

i⁴ — 4Ż³ — H#2 _ 14* _

8(f + l)²

fi _ 4^8 _ 18^2 _ 28^ — 16

8(f + l)³

t + 1    2 (f + l)³.

+ 2 T⁻ 1)

—b 2 ~b

+ g + 2 "b !)•

Nun ist

^ _ u³ — 18t² — 28t — 16 = (*² + 2t + 2)(*³ — 6£ — 8)

= (t² + 2t + 2+² — 2 — 6(t + 1)] folglich wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (15.)

x²dx

(24.)/

1    t² + 2t + 2 /1² — 2    \

y x² + 2a? + 2

2    2(*+l) W + l)    /

' + g + ₉ ln(* + 1)

Vxa + 2x + 2 + |4-1 ln{x +1 + J/iT+2x + 2).

Auch hier ergibt sich das Resultat leichter durch Anwendung der in den Gleichungen (20.) angegebenen Substitution; dann wird

f x²dx    f

(2ö,) JyW-f- 2aT-F 2

(:v² —    4-1)#

y?/² +1

y²dy

Jvy* + i

Dies gibt nach Formel Nr. 127, 32 und 35 der Tabelle

ydy

JYÿ²"+Ï

Vy² +1

{mÄ

x²dx

Yx² -f- 2a? -j- 2

+ ^-ln(y + Vy² + 1)

^—^Yx² 4- 2a; + 2 + iln(» + 1 + yX² + 2a; + 2). ü    -

Dieses Resultat unterscheidet sich von dem vorher gefundenen nur durch eine Intégrations - Konstante.

In ähnlicher Weise kann man die Aufgaben

xndx

x'dx

J Y x²Ą-2x-\-2

behandeln.

adćfcc

Y x² Ą-2x-\-2

Yx²-\-2x-\- 2

(27.)

Aufgabe 6.    /-

Ja

Auflösung. Aus den Gleichungen (15.) ergibt sich hier

= 2 f-AL-h²-2

a:]/a;² -f- 2a; -j- 2

-,

dx

a;]/a;² + 2a; + 2 also nach Formel Nr. 29a der Tabelle

(28.) f

Ja

dx

xYx² -f- 2a; -j- 2

- -An C^ß)

y 2 v +1/2/

=rilnd

_ y2 -J- Va;² + 2a; + 2

+ 1/2 + yw+2x + 2

Aufgabe 7.

-,

dx

(a; — /c) Y x² + c Auflösung. Aus Gleichung (5.) findet man

'

-,

dx

(x — k) Yx² +

Dies gibt nach Formel Nr. 87 der Tabelle, indem man b mit —Je und c mit —c

vertauscht,

t — Je — Y Je² -f- c

(30.) f-—--- =    ¹_ln(

J (x — Je) yx² + o yje² -f- c \

Ist Je² c negativ, so erhält der gefundene Ausdruck imaginäre Form; dann findet man jedoch aus Gleichung (29.), indem man

t — Je -f- y Je² +

=)

c/

a — y — c, also c = — a2 setzt, nach Formel Nr. 89 der Tabelle

dx

— Je) yx²— a²

-if “

Zum Schluß muß man noch

JA

ya² — je²/

einsetzen.

t — x -f- y x² + c

Aufgabe 8.    /-    ,__

i—x²)y i + x²

Nach Gleichung (5.) ist in diesem Falle

dx

'S

t² —

t² -J— 1

2t

dx —

(;t² + 1 )dt

21²

1—x² = {l-\-x)(l— x) also

t²+2t—l — t²+2t+l

t±—Qt²+l

2t

2t

41²

(32.) f i 7__________

i—x²)y i-\-x²

wenn man t² mit u bezeichnet. Nun ist nach Formel

dx

tdt

du

t*—ep+i

Nr. 88 der Tabelle

⁽³³-⁾ ju²

du

du

—6m fi-1    J(u—ui)(u—u₂)

U\ — u₂

ln

/u — ma \U — Uo)

wobei

ui — 3    2j/2, u₂ = 3 — 2y~2

ist. Dies gibt

uy — Uo = 4]/2

(34.)

dx

(i — x²)Y i -f- X²

Vm(-

2]/2 \u

3 — 2/2

— 3 + 2]/2

= -U(ÎZ»±^\. 2]/2 V² —3 —2/2/

Um das Endresultat als Funktion von x darzustellen, beachte man, daß

■2+21/2

ż²—1

2T ⁼ *’

1 + /2

2t

rr + yi+a?²

also

(35.)

t² — 3 + 2]/2

= (2 —]/2> + (— 1 +]/2)l/l + x2 = (1/2— !)(//+X² + x]/2)

ist. Ebenso findet man t² — 3 — 2/2

(36.)

2*

= (:— /2 — 1)(V 1 + x² — xY 2),

folglich wird

<870 f:-

J{ 1 — iC

dx

__~rln

²)Y l + z² 2]/2

(]/2 — 1) (/l+a:²+ xY 2) 1

.(—/2—1) (Y 1 ■+ —&Y 2 ) r(/2—1)2(/I+äT²+ 2c/2)²]

2/2

i—

x²— 1

]/l + a:² + a:|/2 /a?²—1

Schneller kommt man zum Ziele durch Anwendung von Formel Nr. 85 der Tabelle, indem man

x — tgif, also dx = setzt. Dadurch erhält man

(38.)

dt

cos ²t

(39.) /

Je

dx

(1 — x²)Y 1 + x'ż

oder, wenn man

/' cos t dt ~~ J cos²t — sin²£

-h

cos t dt

— 2sin²£

also YZcostdt = dz

/2sin£ = z

setzt und Formel Nr. 29a der Tabelle beachtet,

m>A

dx

(1 —

J f dz

'V2jz²—1

¹ 1 (z ~ lN\

2 y 2 nWi/;

dabei ist

z = V2sin£ =

x\2

folglich wird

(41.)

fl

y\ + x²

1 ^x\2 +Vl + cc²^ (1 — x²) yi + x²    2]/2 \;z]/2 — y 1 -f- x²)

y i -y x² ~y xy2

dx

= v=ln(

1/2 V

yx²-1

Dieses Resultat stimmt, abgesehen von der Integrations-Konstanten, mit dem früher gefundenen überein.

§ 47.

Integration der Differential-Funktion

F{x, yAx² + 2Bx + C)dx, wenn c positiv ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 161 und 162.)

Aufgabe 1. ff{y, ya² + y²)dy = ?

Auflösung. Wenn das gesuchte Integral mit keinem bisher entwickelten übereinstimmt, so setze man

a -f- y a² + y²

(1.)

y a² + y² — ty — a, oder t =

also

(2.) a² + y² = t²y²

(3.)

ya²±y² =

2aty -f- a², oder y — 2 at²

2at

_ ait² ± 1) t² -j- 1 a “ t² + 1

t² + 1 ’

(4.)

dy =

2a(t² + 1 )dt

folglich wird

(t² +1)²

2 at    a(£² + l)\ —2a(t²+ l)dt

ć²=FT t² +1)

Wenn f(y, y a² + t/²) eine rationale Funktion von y und y a²-Y y² ist, so hat man es durch die angegebene

(5.)

ffiy, ya²±f)dy =jf(

(^ + 1)²

Substitution erreicht, daß die Funktion unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (5.) eine rationale Funktion der einzigen Veränderlichen t geworden ist. Hiernach wird z. B.

(6-) f

J a

dx

i'dt

ln£ == — -hiY

a \

a-\-Y a?—x²

xYa²—x²

ein Resultat, welches mit Formel Nr. 37 der Tabelle übereinstimmt.

Aufgabe 2. jFix, Y Ax² + 2Bx -f- C)dx = ?

Auflösung. In § 44 wurde bereits gezeigt, wie man das gesuchte Integral auf ein Integral von der Form Jf(y, Y«² + y²)dy zurückführen kann (vergl. Formel Nr. 155 und 156 der Tabelle). Ist diese Umformung erfolgt, so gelangt man durch die in Aufgabe 1 angegebene Substitution zum Ziele. Man kann aber auch die Umwandlung der vorgelegten irrationalen Differential-Funktion in eine rationale unmittelbar ausführen, indem man

(7.)

YAx² + 2Bx-fC =tx— YC

setzt. Dadurch erhält man

Ax² + 2Rr + C = t²x² — 2 txYC + C,

oder

(8.)

Ax + 2B = t²x— 2tYC,

dx = —

(9.) x —

also

2(tVG + B)

P — A

(10.) YAx² + 2Bx + C = Dies gibt

2(t*Vc+2Bt + AYCW (t² — Af.....

t²YC + 2Bt + AYC ' t² — A

(11.) fF(x, YAx² + 2Bx + C)dx =

—%t²YC+îBt+AY Ć]dt (t²—A)²

r^mYc+B) t²Yc+2Bt+AYc\

J'X fi-A~' ->

wobei

(12.)

-fl/(7 + Y Ax² + 2 Bx+C)

«IC

ist. Wenn F{x, VAx² -f ZBx -f- C) eine rationale Funktion von x und Yäx² -f- 2_Ba? -f- C ist, so steht unter dem Integralzeichen auf der rechten Seite von Gleichung (11.) jetzt nur noch eine rationale Funktion von t, welche nach den Regeln des vorhergehenden Abschnittes integriert werden kann.

Man erkennt, daß auch hier die Aufgabe 1 nur ein besonderer Fall der Aufgabe 2 ist, den man erhält, indem man die Intégrations-Veränderliche mit y bezeichnet und A=± 1, B = 0, (7 = -f a³

setzt.

Übungs - Beispiele.

(13.)

Aufgabe 3.

r    dx

JVAx² 4- 2R

x + C

Auflösung. Nach Gleichung (11.) erhält

—

dx

man

VAx² + 2Bx -f C

Ist A positiv, so folgt hieraus nach Formel Nr. 29a der Tabelle

Va V + Ya/

mf

dx

VAx² + 2 Bx+C

1 ^ fV C -j- Y Ax² -f- 2 iBx -f- C -f- xV A Y A V]/ C y Ax² -f- 2 Bx -f- C — xV A Dieses Resultat stimmt, abgesehen von einer Integrations-Konstanten, mit dem in § 45, Gleichung (1.) gegebenen (vergl. Formel Nr. 157 der Tabelle) überein, denn es ist

{YC+yAx²+2BxA-Y—xYA){Ax+B+yAYAx²A^2J3x+C) = (B + yj0)(VC + y Ax² + 2 Bx + G + xVÄ),

folglich wird

(15.)

Y C -f- y Ax² + 2Bx -j- C -f- xVÄ yc + VÄ^+~2Bx+~G — xV Ä

Ax -f- B -f- Y Ä y Ax² + 2 Bx + C

B -f yAC

ae.)/;

dx

tH

VAX² + 2 Bx + C Ax-\-B

VA

ln

VA

4wc)-ii.œ.

Ist A negativ, so erhält man aus Gleichung (18.) nach Formel Nr. 28 der Tabelle

dx

+ ÏMTC vh arctg(y=j)

1/(7 4- Y Ax² 4- 2Bx 4- C

yhjaiatz(

xY—A

Auch in diesem Falle kann man die Übereinstimmung mit dem in § 45 Gleichung (4.) gefundenen Resultate (vergl. Formel Nr. 157 der Tabelle) nachweisen. Setzt man nämlich

o-

(18.) <p = 2arct g(^=)’

also

V-A

so wird

(19.)

sinço =

CO!'©

2 tV—A

.+.«■©

1-t g²( )

t² — A

(20.)

COS (p —

t² + A

■ + «■(!)

t² — A

(21.)

Ist der Bogen a erklärt durch die Gleichungen

V—AC Vb* — Tc

sina =

YB² — AC

cos a =

so erhält man

(22.) sin(a — (p) — sin a cos çd — cos a sin cp

Y—AC.2tY—A r (t² — A) YB² — AC "H (t² — A) Yb² — ac

— B(t² + A)

— 2 A{tYC+B) (t² — 4) Y B² — A C Ax 4- B

” Yb² — ac

Yb² — ac

Fügt man also in Gleichung (17.) die Intégrations-

Konstante

cc    .

^=== hinzu, so erhält man in Übereinstimmung

mit Formel Nr. 157 der Tabelle

<23'fe

dx

a — œ    1    . /

_ —r—= . -arcsmi

²+2Bx+C V—A V—A \

AxĄ- B

Vb²-ac

x + x²

Aufgabe 4.

f xdx

JyT+

Auflösung. Hier ist

(24.)

A = 1, B = {-, C= 1

also

(25.)

2 (t² + t + 1 )dt

{t²—~rf

₌ ¹+V¹ +x+**, yr+ x+x² =

2t ~y i

X = “7ö-

t² - 1

dx —

t² + t+ 1

£²—1

Dies gibt, wenn man die Intégrations-Konstante 1 — \ ln 3 hinzufügt,

(26.) f

(21 + 1 )dt

xdx

(t² — l)²

-kfl

³ I ¹ I 1    1    1 Xf

{t—lf^t—1 ⁺(*+l)² t+lj

i . /St² + <;t + 3\

2ln( <■-1 )

= Y l-\-x-\-x²—^h\{2xJr^-Jr2A/'l-yx-yx²).

t² + t + 1

t²— 1

— ln 8

xdx

Aufgabe 5.    /--₂

J y 1 -\- x — X²

Auflösung. Hier ist

(27.)

(28.)

2t+ 1

x~T*~+l

i+y ï+x—x²

dx —

2 {t² + t — 1 )dt

(:t² + l)²

Ü1 4- x — .x- =

f² + f — 1 *²-f- 1 ’

oA2f 4-1)^

7 (*² +1)²

~    4 dt .

t* 4- X    _/|l 4- «2)2

Nun. wird nach. Formel Nr. 149 der Tabelle

w+p)⁺bIctgt’

folglich ist, wenn man die Intégrations-Konstante gleich — 1 setzt,

(29.)

(30.)

(31.)

Jy1 + . —

xdx

f dt

7(i + t²f ~

xdx

yl -j- x — x²

___2____L__i

t² 4-1 t² 4-1

— arctgf

t² + t — l

t² -f 1

= — yi-fx — x² — arc tg/

— arc tg t

1 4-1/1 4- x — x

Bedeutend leichter wird die Lösung durch Anwendung der Formel Nr. 156 der Tabelle, indem man

| 2x = — 2y 4- 1, also dx = — dy,

(Vl+x — x²=Va² — y², 2a = Y 5 setzt; dann erhält man nach Formel Nr. 31 und 34 der Tabelle

⁽³³',/i

(32.)

xdx

\2y — 1 )dy

y 1 -\r X —

72]/a² — y²

= — ya² — y² — \ arcsin^ ^

X /9^_X\

= - VT+X-X* + 2 arcsin(—

a las

Um die Übereinstimmung dieses Resultates mit dem früheren nachzuweisen, setze man

Kiepert, Integral - Rechnung.

19

290 § 47. Integration

(p = 2arctg^

>«©-

(34.)

i -\~y i x—

also

1 + ]/l -f z — x²

dann wird

(35.) sin <p —

to he

2(2x — 1 Ą-]/lĄ-x — x²)

(36.) cos <p

■+*■© 1 - *s!( )

■~+~ï©

toi-e

Erklärt man sodann den Bogen a durch die Glei

chungen

(37.)

sin« =

Vß

cos a =

so wird

(38.)

sin(a — (p) — sin «cos <p — cos a sin <p =

2x — 1

1/5

Fügt man also in Gleichung (31.) die Intégrations-

cc

Konstante ^ hinzu, so erhält man

xdx

— — yr+x—x²~j-g~₂-y

= — j/l    x — x² -(- ~ arc sin (^Xÿr '

(8a) f]

Aufgabe 6.    /—

J X

dx

y i + x—x²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (28.), erhält man

dx

4 dt

721 + 1

₌ _ln/» + 2 + 2l/l + a;

= — ln(2£ -f- 1)

x²

)•

_    (LZL

yr² — i

-f- yr² — I

Aufgabe 7.

f______dx__= p

S (x — k) Y1 —x²

Auflösung. Hier ist

a = 1, A = — 1, B = 0

folglich erhält man nach Formel Nr. 161 oder 162 der Tabelle

(41.)

(7=1

(42.) x =

2t

t²+ 1

(43.)

t²- 1 t² + l’

₌ o f    dt

Jkt² — 2t + k ’

— bezeichnet und die Formeln Nr. 87 r

y i—x²=

dx —

2(t² — l)dt

(*² + l)²

dx

(æ — &) y 1 — x²

oder, wenn man k mit und 88 der Tabelle berücksichtigt,

dx

(x—k)y i—x²

t²—2rt+±

V*.— 1 V — r

wenn r² > 1 ist; und nach Formel Nr. 89 der Tabelle

(45.)

j(:

dx

= arctg(

(x — k) y.i — x² y i —

wenn r² < 1 ist. Zum Schluß muß man noch

i+yi—x²

y l-

=),

f²/

(46.)

und r =

einsetzen.

Aufgabe 8.

dx

(1 -f- ^²)f/1 — x2 Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (42.), erhält man

(47.)

(48.)

J(i + x²)y i—x²

Da die quadratische Gleichung + 6t² + 1 = 0

dx

=-i

*(f²+ 1)^

die beiden Wurzeln

19*

ty = — 3 -j- 2 Y2 = — (Ÿ2 — l)²,

3 — 2 J/2 — — (j/2 + l)²,

liât, so findet man durch Partialbruch-Zerlegung

— 2t² — 2 _ 1 /1 — Ÿ2 1 + y2

t⁴ + &² + 1    |/2 \ t² a² t² + b²

(49.)

(50.)

wobei

t₂² =

a — y 2 — 1, & = J/2 + 1 gesetzt ist. Dies gibt nach Formel Nr. 28 der Tabelle

⁽52.)/;

(51.)

dx

(1 + x²)y 1 — x2 Setzt man noch

yl[arctg(£)+arotg(£)]'

(53.)

so wird

(54.)

t gÇP =

I <s

tgV = ï-V2 + l

also

(55.) tg(çp -\-y>) = -folglich wird

t g<P + t gę

tg 9* tg tp

V2

2ty2

1 — t²

yi — x²

èarctg(

x J/2

]/l—a;²

)■

— x²

Einfacher findet man dieses Resultat durch Einführung trigonometrischer Funktionen, also durch die Substitution

x = sinf, j/l—x² — cos£.

Yergl. § 12, Gleichung (3.).

§ 48.

Integration der Differential-Funktion

F(x, VAx* + 2Bx + C)dx, wenn B²— AC positiv ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 163.)

(1.)

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung Ax² + 2Bx + C = 0

sind bekanntlich

(2.) Xi —

— B + VB² — AG

— B-VB²— AC

- 5 X-2 =

Unter der Voraussetzung, daß B² — AC > 0 ist, werden beide Wurzeln x\ und a?2 reell. Setzt man in diesem Falle

wobei ay = A

(3.)

X\ =--J X2 = —

sein möge, so wird (4.) Ax² + 2 Bx + C = A(x — xi)(x — x₂)

= ay(x + ^(x + \^) ⁼ (ax +    + <*)•

Jetzt möge die neue durch die Gleichung

Intégrations-Veränderliche t

(5.)

man

y Ax² + 2 Bx + G = t[ax -f ß) eingeführt werden. Dadurch erhält

Ax² + 2 Bx + C=(ax + ß)(7* + d) = t²(ax + ß)²,

oder

(6.)

(7.)

yx + d = G(aa? + $ ßt² — 6

ß#²

dx —

2(/?/ — ßd)tö#

(/ — ß/²)²

(8.)

i/yx + d p ßx + ß¹

VAx* + 2Bx + c =

(07 — «dx _

at²

Dies gibt

yU(a;, ]/GF² + 25a? + G)da? =

r /ßt² — d (ßy — ßd)D 2(^7 — aö)tdt '    ₇ — cd² ) 1/ —

294 § 48. Integration wobei

(10.) t

yx-j- d ax -f- ß

1/ Ax²-\-2Bx-\- C = Y(ax + ß)(yx -f- d).

Übungs - Beispiele.

Aufgabe 1.

dx

Y (ax -j- ß) (yx -)- d) Auflösung. Aus Gleichung (9.) folgt

(11.)

dx

-iA

7 — at²

Y (ax -f- ß) (yx + d)

Setzt man hierbei — = + k², je nachdem ~ positiv

oder negativ ist, so erhält man für das obere Vorzeichen nach Formel Nr. 29a der Tabelle

mh

dx

V («X + ß) (yx + d)

R I bO

f dt

J*

— k²

Va(yx-\-ö) + Yy(ax-\-ß)

Yay (ya(yx-f~d) — Yy(ax-\-ß) Für das untere Vorzeichen wird nach Formel Nr. 28 der Tabelle

dx

Y (ax -f- ß) (yx -f- d)

2 r dt _

aJt²-\-k² akai*

y=Ęmtgf

a(yx + à)

y(ax -j- ß)

Aufgabe 2.

xdx

(14.)

Y rx — x²

Auflösung. In diesem Falle kann man setzen ax ß = x, yx -f- d = r — x,

also

(15.) cc = 1, ß = 0

d == r, ßy — ad = — r,

X t²+ 1

Y rx — x² -----

rt

W+T

dx =

2 rtdt

(t² + 1)2

f-V'

folglich erhält man mit Rücksicht auf Formel Nr. 149 der Tabelle

(17.) hXdX

JV

rx—x-

r dt

rj¥+W ~

L2(l -\-t²) ‘ 2

arc tg^

— — Vrx — x² — rarctg j/--—

In ähnlicher Weise kann man

x²dx

berechnen.

J Vrx—x²

r x³dx

Jy

rx—x²

Aufgabe 3.

dx

xYrx — x²

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe, also durch die Gleichungen (16.), erhält man hier

(18.)

Ja

dx

xY rx — x²

— jdt =

rJ

2t

2 i Ir — x r ! x

2 Y rx — x²

rx

Aufgabe 4.

J(:

dx

(x -f-1) yi—x²

Hier ist

LO l—'■

Ci Ö

(21.) x —

ax -f- ß — 1 + x, also /x -j- à = 1 — x, a = 1, ß = 1, y — — 1,    4 = 1, ßy — ad —

!, yr-x² = 2f

t² —

t² + 1

F+T’ dx

4 tdt

¥+1)³’

(22.)

1 + x'

t² +1 '

Dies gibt

(23.)

dx

J(x + 1) Yl — x²

Aufgabe 5.

-fr——tm

dx

(x — 1) Yî — x In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

(24.)

-,

dx

ix — 1)    1 —

_ fdt _    ¹ _ l/

Aufgabe 6.

dx

(x + l)Vx² — 1

Auflösung. Hier sei

ax -J- ß = x -f 1, also yx -j- à = x — 1, a = 1, ß — 1,    7 = 1,    6 = — 1, ßy — aö = 2

(25.) x = ÏH72⁵ ^ — 1 = J

£?X =

(1 — ć²)²

(26.)

x -f- 1 ’

Dies gibt

(27.)

/--%=-(*

J (x + 1) Vx² — 1 J

dt = t

Aufgabe 7.

dx

(x — 1) Vx²-1

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man

(28.)

dx

(x — 1) l/x²”—

j'dt    1    -i jx -f-1

I J t²    t    f x — 1

Aufgabe 8.

dx

(x — k)Yrx—x²

Auflösung. Auch hier findet die durch die Gleichungen (16.) angegebene Substitution Anwendung, und zwar erhält man, wenn man

(29.)

setzt,

(30.)

dx

(x — Ä:)]/rx—x²

r — kg

= -2f    dt

Jr

2 /* dt

~ kJ t² —g + 1

-W² +1)

-ir-*

kg-k{t?+1)

§ 48. Integration von F(x, I Ax'²+2 Bx+C)dx, wenn B-—AC>0. 297 Dies gibt für g > 1 nach Formel Nr. 29a der Tabelle

(B1-)

f dx    1    — Vg — 1

J(x — k)Yrx — x² kÿg — 1 v Y g— 1

Dieses Resultat kann man noch auf die Form

dx

⁽³²° k

1    — x)—Y x(r—k)

(x — k)Yrx— x²    Yk(r— k) \]//t(r— x) + Vx(r—k)

bringen. Ist g<l, so findet man nach Formel Nr. 28 der Tabelle

(33.)

dx

___ ___arct.pY

(x — k)Yrx—x²    k,y 1—g '

y l-

also

(34.)

dx

(x — k)Yrx—x²

—^=arctg( Yk(k — r)    '

Yk(r — x)

Yx(k — r)

Aufgabe 9.

dx

(1 -j- X²)Yl — X²

Auflösung. Man könnte hier dieselbe Substitution wenden wie in Aufgabe 4; man kann aber auch setzen ax + ß — 1 — x, yx + ó = 1 + x,

an-

(35.)

also

(36.) a — — 1, ß = 1, 7 = lj 4=1, ßy — aö

t² — 1 X~ t²+l

(37.)

} dx =

4 tdt

(38.)

Y1 — rr² = Daraus folgt

2^

#²+l

(*²+l)²'

l+-²=|ÿ|-

(39.)

r dx    _/

J(i + a?²) ]/i — «² ./

'(£2 4-1 )dt

Z⁴ + 1

Die Wurzeln der Gleichung

(40.)

+ i = (<® - #² + *) =■ 0

nämlich (41.) fi =

V2

4 =

y2

1 -f- i

V2

*4 =

V2 ’

komplexe Faktoren von t⁴ 1 miteinander multipliziert, erhält man die reellen Produkte

(42.)

(t

(43.)

(t—m

und die Partialbruch-Zerlegung

h)(t — t₂) = t² — tV2 +1 U) = t² + t ]/2 + 1

(44.)

t~ —j-1

t⁴ + 1

____ m + s

P — tYz + i ^ t² + tV2 + l

Pt ~b Q

= -( __ __

2 \#2 — t Y 2 +1    t² + t 1/2 +1

Deshalb findet man nach Formel Nr. 89 der Tabelle

tnh

dx

(1 + *>VÏ=* * ^[arctg(^-l)+arot#l/2 +1)].

Dieser Ausdruck läßt sich noch wesentlich- vereinfachen. Setzt man nämlich

arctg(£ V2 — 1) = g, arctg(£ V2 + 1) = «7,

(46.)

so wird

(47.)

(48.) tg(g + //)

tgg = *y2 —1, tg«y = #y2+ 1 2# Y2

tgê + tgg _______

1—tggtg//    2 —2£²

ć² — 1

Nun ist nach den Gleichungen (37.) und (38.)

* t² + 1 folglich wird

- , y 1 _ a;2 ₌ ....

\ V    #² + l

also

2#

t² — 1

i + , = -arctg(Ł^),

₌ ś +J7__Larctp-/

(i + x²)Vi — x² y2    y 2    \

In § 47, Aufgabe 8 hatte sich ergeben

r dx    1    / x V2

J(i 4- %²)Vi — x²    y2    g\y 1 — x²

Die Übereinstimmung dieser beiden Resultate findet man leicht, indem man

(49.) tg(g + ?y) =

mJc

(51.)

xY 2

dx

yi-^²

)•

(52.) arctg^

Ü1 — a;²

a: ]/2

)=<?

also tg g) =

y i—x²

a:

io

setzen; dann wird

(53.) ctgy ==

xY 2

Vi-

= arctg^

a:Ü2

VI — z²

Fügt man also in Gleichung (50.) die Integrations-ül~~ hinzu, so erhält man in Übereinstimmung

2Ü2

mit Gleichung (51.)

Konstante

dx

yï — x²

(1 -f- x²)Ü 1 — x¹    Y 2

¹ [f — ar°tg(

= Fl(s-⁵⁵) = ^iarctg(

xY 2

a: Ü2

VI-

Es war schon damals hervorgehoben worden, daß eine einfachere Lösung dieser Aufgabe durch die in § 12 angegebene Methode, nämlich durch Einführung trigonometrischer Funktionen, gefunden wird.

§ 49.

Integration der Differential-Funktion

Fix, yjxF+TBx+C)dx, wenn die drei Größen A, c und B² — AC negativ sind.

Es sei jetzt

<!•)

B² — AC< 0, also AC>B²>0-, die beiden Größen A und C haben daher dasselbe Vorzeichen, so daß die Voraussetzung

(2.)

A < 0

die andere

(3.)

C< 0

(4.) Ax² + 2Bx +<7 = 4 [A²x² + 2ABx + B² + AC — B²]

JbL

= j[(Ax + Bf + {AC-B¹)]-,

folglich ist in diesem Falle der Ausdruck in der eckigen Klammer beständig positiv, was auch x sein mag, also Mr²+2ihe+(7 beständig negativ, denn A ist negativ. Deshalb wird die Funktion F(x, VAx²Ä~⁽lBx-\-C) selbst eine komplexe Größe, wenn die Ungleichungen (1.), (2.) und (3.) gelten, weil y Ax² A-^Bx-A C stets imaginär sein muß. Es ist daher nicht möglich, jF(x, y~Ax²-\-XBx-\-C)dx in reeller Form darzustellen. Unter diesen Umständen wird man, wie schon in § 44 hervorgehoben wurde, am besten

(5.) jF(x, YAx²-\-2Bx-{-C)dx— jF(x, iy Axx² A-^BixA-CAdx setzen, wobei

(6.)

Ci = — C

Ax = — A, Bi = — B

ist. Man kann dann das in § 46 und § 47 angegebene Verfahren benutzen.

§ 50.

Normalintegrale von der Form/F(x, VAx²+2Bx+C)dx¹).

Ist F(x, VX) eine (ganze oder gebrochene) rationale Funktion von x und VX, wobei Ax² + 2Bx + C mit X bezeichnet hat F(x, YX) immer auf die Form

F(x, VT) =

a.)

man der Kürze wegen so kann man

g{x) + h{x). yX

<p{x)+fp(x).yx

bringen, so daß g(x), ++, <p(x), ip(x) ganze rationale Funktionen von x sind. Daraus folgt

übergehen.

(2.) F(x, VX)

[g(x) -f h(x) .VX]. [g>{x) — ip(x). j X [<p(x) + ip(x). Yx]. [<p(x) — f{x). yX]

G(x) -j- H{x). y X

(p{x)² — ip(x)² . X

wenn man

g(x)(p(x) — h(x) ip(x). X =■■ G(x), h(x)cp(x) — g{x)ip{x) — Hix) setzt. Bezeichnet man noch den Nenner cp(x)² — ip(x)². X mit N(x)} so ergibt sich

(4.) F(x, VX) =

(3.)

G(x)

H{x)

N(x)    N{x)

•V x —

G(x) H{x)X

Nix) ⁺ X{x). Vx

Die gebrochene rationale Funktion

G(x)

N(x)

kann man

nach den Angaben des vorhergehenden Abschnittes durch

Partialbruch - Zerlegung integrieren. Ebenso kann man Six). X

(nötigenfalls nach Absonderung einer ganzen rationalen Funktion) in Partialbrüche von der Form

Nix)

(x — ky

und

Ex -f- Q [{x — gf + h?]n

zerlegen. Deshalb kommt es im wesentlichen nur auf die Berechnung der folgenden vier Normalintegrale an:

'xmdx

Jl

(5.)

-in'J-!

yx

Js =

dx

(x — k)n y x

-k

(Ex Q)dx

[(X - gf + h*YVX

Diese Betrachtung bleibt auch noch richtig, wenn X eine ganze rationale Funktion beliebig hohen Grades ist. Ist im besonderen X eine ganze rationale Funktion zweiten Grades, so wird es im allgemeinen zweckmäßig sein, die in § 44 angegebene Umformung vorzunehmen, so daß die Berechnung des Normalintegrals J\ nur mein Nr. 34, 35 und 36 der Tabelle berechneten Integrale

x-\~y x2jra²

auf die in den For-

(6.) Et

71

y a²—x²

arcsin

dx

bezw. /

\a/ Jyx²±a²

-H

zurückkommt. In gleicher Weise geben nach dieser Umformung die Formeln Nr. 31, 32, 33, 119, 126 und 126a der Tabelle an, wie das Normalintegral J2, nämlich * xmdx

' xmdx

und

Yx²±a²

berechnet wird. Auch J3 kann man in dem Falle, wo k = 0 ist, mit Anwendung der Formeln Nr. 37 bis 42, 125, 131 und 131a der Tabelle berechnen. Ist aber k 0, so

y a²— x²

setze man

zur Berechnung von j-

dx

(7.)

kz -f- a²

also x — k —

(x — k)nY a²-\- x2 k² -f- a²

(8.) dx —

(,k² + a²)dz

(9.)

Y a² -\-x²

—

Dies gibt

(z — k)²

V(k² -f- ft²) (ft² -f- z²) z — k

Y(k² -f- a²)(a² -f- x²)

"°>i

dx

(z—k)n~xdz

(k²+a²)n~l Yk² + a²J Y a²    z²

(x—k)nY a²-\-x2 Das Normalintegral J3 ist also auf die Normalintegrale J\ und J2 zurückgeführt.

In ähnlicher Weise setze man zur Berechnung von

dx

(x — k)n Yx² — a²

(11.)

kz — 0?

also x — k —

k² — 0?

(12.) dx =

(k²—o?)dz

(,z—k)²

Y x²—a² =

Y(k²—a²) (z² — o?)

(13.)

Y(k² — «²) {x² — ft²)

Ist k² > ft², so wird daher

(14Ji

dx

~(z—k)n~ldz

. (x—k)n Yx²—ft2 und für k² < ft² wird

(k²—a²)n~~lYk² — a²J Yz² — ft²

mk

dx

\z— k)n~ldz

(k²—Y a²— k²J Y d² — z²

(;x—k)nYx²— a?

Die in den Gleichungen (11.), (12.) und (13.) angegebene

Substitution führt auch zur Umformung von /

J(i

dx

(x—k)n Ya² — x²

es wird nämlich

y d²—x² =

Y (k² — a²)(a² — z²)

(16.)

Ya? — z² =

Y(k² — a²){a² — x²)

also für k² > a²

(17.) f-    ..__

J (x—k)n Y a²—x²

und für k² <C a?

dx

x — k

1    f{z—k)n—xdz

(,k²—a²)n~l Y k² — a²J Y a² — z²

1    j\z—k)n~ldz

(k²— a²)n~lY d²—kV Y z² — d²

(18.) f

J {x—k)n Y a²—x2 Das Normalintegral ,/₄ kann bei Anwendung komplexer Größen durch Integrale von der Dorm Ja dargestellt werden. Will man aber komplexe Größen ganz vermeiden, so wird man entweder die in § 46, 47 und 48 angegebenen Methoden anwenden, oder man wird im allgemeinen noch zweckmäßiger nach den Angaben in § 12 (vergl. Formel Nr. 84, 85 und 86 der Tabelle) trigonometrische Funktionen einführen, nachdem man durch die lineare Substitution

az -|- ß 0 + 1

und durch passende Bestimmung der Größen a und ß das Integral auf Integrale von der Form I (Pz + Q)dz

J {z² + p²)nYŹ

zurückgeführt hat, wobei Z einen der drei M erte a~ + zur z² — d² oder d² — z² haben soll. Durch die Substitution

(19.)

(20.)

dx

adt

erhält man dann

°l> ,

(Pz 4- Q)dz

(z² -\-p²)nVa² -J- z²

(Pasm# -f- Qcost)cos2n~²t. dt (a²sin²# 4-J?²cos²it)n

/' cos2n~²td(cost)

— a?) cos²#]

jw+ïp²

sin²#)^_¹ć#(sin#)

— p²) sin²# -f-

Durch, die Substitution

(22.)    0 =

cos#?

dz —

ashitdt

cos²#

Y z² — a² — atg#

erhält man

(23.)

(Pz + Q)dz

'(Pa + Q Gost)GOs2n~²t. dt

(z² 4~ P²)n V& — d²

(a² 4- P² cos²t)n

=Pah

d(tgt)

[(a² 4- P²) 4" h²tg²# 4

+ Qf

(1

sin²#)w~¹. â!(sin#)

[(a² 4- P²) — p²sin‘²#]*\

Durch die Substitution

(24.) z — asin#, dz = acostdt, y a² — z² — acos# findet man

-i

(Pz 4- Q)dz

(z² 4~ p²)n y d² — z²

'(Pa sin # 4~ Q)dt

(a² sin²# 4- p²)n

— — Pa

/' d (cos #) ]\{d~ 4-P²)

— a² cos²#]**

+ Qk

(1 4- tg²#)w~^(tg #)

[(a² 4- l?²) tg²# 4- p²]n

Außerdem kann man zur Berechnung des Integrals J± auch Rekursionsformeln herleiten von der Form

(26.) I

'(Pz + Q)dz

(z² 4- p²yi y z

(Pz 4- Sjÿz

\Piz + Qi)dz

(z²pp²)n-xy~z

wobei man die unbestimmten Koeffizienten P, 8, Pi, Qi, P2, Qz dadurch ermittelt, daß man beide Seiten der Gleichung (26.) differentiiert und nach Fortschaffung der Kenner die gleichstelligen Koeffizienten einander gleichsetzt.

(z² 4- p²)n

⁺j<

⁺i

(P'2Z 4~ Qz)dz

(z²-\-p²)n~²y z

§ 51.

Integration einer Differential-Funktion von der Form

F(x, Yax + ß, Yyx -f- ö)dx.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 164.)

Ist F(x, Y ax ß, Yyx -j- d) eine rationale Funktion von x, Y ax ß und Yyx -j- d, so kann man die Ermittelung von J'F(x, Y ax -f- ß, Yyx d)dx auf die vorstehenden Methoden zurüekführen. Setzt man nämlich

Yax -J- ß — t, also ax -f- ß — t², dx

(1.)

so wird

(2.) x =

2 tdt

(3.)

yx -j- Ó = jF(x, Yax-ß, Yyx -j- d)dx =

yt² -f- ad — ßy

-7--,

H-.’

yt² -f- aó — ßy\ 21 dt

) a

d. h. man hat das Integral auf die Form /Fßt, YAt² + Bt + C)dt

gebracht und kann die früher angegebenen Regeln zu seiner Berechnung anwenden. Dabei ist

(4.)

r:

B = 0, C

aö — ßy

Beispiel.    f -p-—a dx

j y o x

Auflösung. Hier ist

Yx—a = t. dx = 2# dt

Unter der Voraussetzung, daß b— a > 0 ist, setzt man Yb — a = c, also b — a = c2 und erhält nach Formel Nr. 120 der Tabelle

'Y x — a .dx

(5.)

(6.)

(7.)

(8.)

x — a -f- t2 b — x = b — a — t².

a = t²

r 2t²dt

tYc²—t² -f- c² arc s in

y b—x

= — Y(x — a)(b —x) -f (6 — a) arcsin ( j/~ ~^)-

XII. Abschnitt.

Theorie der bestimmten Integrale.

§ 52.

Integrale zwischen unendlichen Grenzen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 165 und 166.)

Bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch. Formel Nr. 4 der Tabelle, nämlich durch die Gleichung

b

(1.)

fF'(x)dx = F(b) — F(a),

a

war bisher vorausgesetzt worden, daß die Grenzen a und b endliche, konstante Größen seien. Jetzt kann man sich aber vorstellen, daß die obere Grenze b nicht mehr eine konstante, sondern eine veränderliche Größe sei, welche schließlich bis ins Unbegrenzte wächst. Demgemäß möge

oo

fF'(x)dx durch die Gleichung

oo    b

-F(a)

(2.)

f F/(x)dx = lim J'F'(x)dx = lim F(b)

ô=oo a

b—oo

erklärt werden.

Auch die geometrische Deutung des bestimmten Integrals als Flächeninhalt einer ebenen Figur bleibt in diesem Grenzfalle noch bestehen, die ebene Figur aber, deren Flächeninhalt durch das Integral ausgedrückt wird, erstreckt sich in diesem Falle längs der X-Achse bis ins Unendliche. Es war schon früher (§ 19, Aufgabe 8) gezeigt worden, daß der Flächeninhalt der Figur trotzdem einen endlichen Wert haben kann.

erklärt werden.

Aus den folgenden Beispielen kann man ersehen, daß hierbei drei Fälle zu unterscheiden sind:

I. Das Integral zwischen unendlichen Grenzen wird selbst unendlich groß;

II. das Integral behält einen endlichen Wert;

III. das Integral wird unbestimmt.

Beispiele.

oo

In gleicher Weise kann auch die untere Grenze änderlich sein und bis ins Unbegrenzte abnehmen. Demgemäß möge J'F'(x)dx durch die Gleichung

— OO

b    b

fF\x)dx = lim J'F\x)dx = F(b) —

a——oo a

(3.)

—oo

a ver-

lim F(a)

a——oo

1.)

exdx

lim [ex] =

ö=oo ®

1 i in eb — 1 = oo. 0=00

Dagegen wird, wenn man a gleich —oo setzt,

1

eb — lim ea = eb — lim —

a——oo

b

la.) Iexdx = J    a

lim [exf =

- —oo    a

c— oo C'

= eA.

—oo

Man kann diese Resultate auch geometrisch deuten als Flächeninhalt der ebenen Figur, welche oben durch die Exponentiallinie mit der Gleichung

y = ex

(vergl. D.-Ru, 12. Auflage, Seite 417, Fig. 82) und unten durch die X-Achse begrenzt wird.

OO

2.)

e~xdx =

— lim [e—■x] = 0=00 ⁰

1 — lim 0=00

tH %

= 1.

OO

3.)

dx

dl -f- x²

¹ Hg©l “ ÏÜ” arCtgC) “ 2a

a fj

+ oo

4.)

dx

d² -f- x²

-OO

= lim

C=-|-00

4=—oo b

dx

dr -f X²

— — lim arctg ß c= + ooL 4=—oo

= — !" lim &rctg(CS)— lim arctgY—\1

alr=₊oo \a/    b=- oo \a/J

1 /jr je\    Jt

⁼ a\ 2 ⁺2/    ä'

Aus diesem Beispiele sieht man, wie die Definitionen (2.) und (3.) zu vereinigen sind, wenn gleichzeitig beide Grenzen unendlich werden. Im übrigen kann man die letzte Aufgabe auch durch Zerlegung des Integrals auf die vorhergehende Aufgabe zurückführen. Es ist nämlich, wenn man x = — y setzt,

+ oo

dx

dx

a² -j- x²

—OO

Ja² -f- x²

+oo

dx

a² -f- x²

—OO

4-00

dy

dx

4-00

a² + y²

a? -f- x²

OO

dx

Jt

a² x² a

OO

5.)

/'dx

JVx

lim [2Vxf — 2 lim \b — 2 = oo. 0=00 0=00

oo

6.)

* dx xVx

= — 2 lim

4=00

-Vx\

= 2 — 2 lim

4=oo

(£)-’

OO

7.)

/— _ nn;ri _ in/A\ — oo. J X 4=oo a 4=oo \0> /

oo

8.)

jcosxdx — lim [sina:] =

J    4=oo

0

lim sinö.

4=oo

Dieser Ausdruck nähert sich keiner bestimmten Grenze; in diesem Falle wird also das Integral unbestimmt, wenn

man die obere (oder untere) Grenze unendlich groß den läßt.

wer-

OO

9.)

sin xdx —

lim (— cosa?] — 1 — lim cosb.

b=oo    ®    0=00

Dieser Ausdruck wird ebenfalls unbestimmt. Davon kann man sich auch durch die geometrische Deutung über-

b

zeugen, denn das Jüxxxdx stellt den Flächeninhalt der

o

ebenen Figur dar, welche von der Sinuslinie mit der Gleichung

y — sm*

(vergl. D.-R., 12. Auflage, Seite 417, Figur 81) und der X-Achse begrenzt wird. Dabei sind die Teile über der X-Achse mit 'positivem und die unter der X-Achse mit negativem Zeichen in Rechnung zu ziehen.

Auch bei der Kubatur der Rotationskörper war ein bestimmtes Integral, dessen obere Grenze unendlich wurde, bereits aufgetreten. In § 25, Aufgabe 13 erhielt man für das Volumen des Körpers, welcher durch Rotation der Zis-soide um die Asymptote x = 2a entsteht, einen Wert, der auch dann noch endlich bleibt, wenn die Intégrations-Veränderliche y unendlich groß wird. Es war nämlich

sinjy ^ ^— 2 a — —2acos²gp, cos 93

x — 2«sin²9>, y — 2a

— jcJ(x

0

— 2afdy

= 8a³ar£— cos⁵9>sin9> — ^cos^sin^ -f- ^cos^singp -f- — <p ■

rH ICO

Für lim?/ — oo wird <p =

also

CO

= jiJ\x — 2a)² dy = o

a³jc².

§ 53.

¹

Der Anfänger darf die Ausführungen dieses Paragraphen

Integration von Differential-Funktionen, die an den Grenzen des Integrals unstetig werden.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 167 bis 169.)

Bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Formel Nr. 4 der Tabelle, nämlich durch die Gleichung

b

(io

J'F\x)dx = [F(xj\ = F(b) — F(a),

er.    a

war bisher auch die Voraussetzung gemacht worden, daß F'(x) in dem Intervalle von a bis b stetig und endlich sei. Jetzt möge aber F'(x) stetig und endlich sein nur für

x < b.

während

(2.)

F\b) = ± oo

ist. Bezeichnet man dann mit ß eine beliebig kleine positive Größe, so gilt für

ö-ß

JF\x)dx = F(b — ß) — F(a)

noch die frühere Erklärung des bestimmten Integrals, wie

b

klein ß auch sein mag. Dem entsprechend möge jF/(x)dx

a

erklärt werden durch die Gleichung (3.) fF\x)dx = lim jF\x)dx — lim F(b — ß) — F(a).

ß=0

(3=0 a

Es sei z. B.

F\x) —

yb — x

also F\b) = + oo

dann wird

jF'(x)dx = j

dx

yb — x

= — 21im[]/& — x] ß=o    «

b-ß

— — 2 ^lim y ß — Yb — aÿ = 2]/^ — a.

Bleibt F\x) stetig und endlich für a <c. x = b.

während

F'(a) =4-00

ist, so bezeichne man mit « eine beliebig kleine positive Größe, dann gilt für

(4.)

b

J'F\x)dx = F(b) — F(a + a)

a+a

noch die frühere Erklärung des bestimmten Integrals, wie

b

klein auch a sein mag. Dem entsprechend möge fF'(x)dx

a

erklärt werden durch die Gleichung

b    b

(5.) J'F/(x)dx = lim J‘F/{x)dx =

a    a=0 a a

Es kann auch Vorkommen, daß beide Fälle vereinigt sind, daß also

F(b) — lim F(a -f a).

a—O

F\a) — + oo und F'(b) = + oo, daß F'(x) aber stetig und endlich ist für

a < x < ö ;

b

dann wird fF\x)dx erklärt durch die Gleichung

(6.)

(7.) jF'(x)dx = lim fF\x)dx = limF(b —ß)— lmi F(a + a).

a    «=0„ , „    ß=0

ß=0

Beispiele von derartigen Integralen waren bei der Quadratur der Kurven mehrfach aufgetreten. So ergab sich bei Aufgabe 8 in § 19 für den I lächeninhalt dei

der verallgemeinerten Hy-

ebenen Figur, welche oben perbel

von

begrenzt wird

(8.)

X'i

=jydx=i

— m\

n—ut.

x\ n y

Ist n>w> 0, so wird lim x\ n = 0, und man er-

hält für

(9.)

Xi

—Jydx =

n a,    n-m

n y 2u —y — x₂ n

nx₂y-2

einen endlichen Wert, obgleich y unendlich groß wird für x = 0, so daß sich der Flächenstreifen längs der F-Achse ins Unendliche erstreckt.

Ferner fand man bei Aufgabe 12 in § 19 für den Flächeninhalt der ebenen Figur, welche von der Zissoide mit den Gleichungen

(10.)

x = 2asin²9), y = 2a

sin³<jD

COS (p

begrenzt wird,

(11.)

F — fydx — SaPjsvn^fpdcp o    o

= a²[3(jp — cösg)(2sin⁸gD -f- 3sin<p)].

Für x = 2a oder <p =

wird y unendlich groß, so

daß sich der Flächenstreifen längs der Asymptote x = 2a ins Unendliche erstreckt. Trotzdem bleibt

(12.) F =

fydx = a²lim[3gD — cos<jp(2sin³<jD -f- 3singo)] = —-

J    71    ^

ü    <p=y endlich.

Man erkennt aus den angeführten Beispielen, daß bei dieser Erklärung der Flächeninhalt einer ebenen Figur, die sich in der Richtung der F-Achse ins Unendliche erstreckt, noch durch ein bestimmtes Integral ausgedrückt werden kann, bei dem die Funktion unter dem Integralzeichen an einer der beiden Grenzen unendlich groß wird. Und umgekehrt kann ein derartiges Integral als der Flächeninhalt einer Figur, die sich in der Richtung der F-Achse ins Unendliche erstreckt, geometrisch gedeutet werden.

1.)

dx

y(x — a)²

Übuiigs - Beispiele.

= lim j(x — a) ,J,dx = 3 lim [y/,x

a—OJ    «=0

= 3 fb

a+a

a + cc

a — 31im -j/a — 3 -y/h — a.

u—0

2.)

f

JYx²

dx

— a²

,.    / dx

= lim 1—=

a=0j y X²

— a²

— lim [lr\(

a—0    \

a+a

-K

b -f- Yb² — a?

)— lim \n(

/    a=0    \

-K

b-h Y b² —a²

3.)

JY(x

dx

— à)(b — x)

— lim /

a=0 J

b-p

dx

ß=0 a + a

Y{x — d)(b — x)

Hier ist

Jy(x

dx

— a) (b — x)

Jv

dx

— cd> -j⁻ {et -f⁻ b)x — x²

dx

a + 6\²

2 )

— aô —

oder, wenn man

a;

C²

also

dx = dt, 2c = b — a

setzt

dx

dt

J Y(x — d) (b — x) J Yd² — t²

= arc sin

= arcsin^

2x — a — b b-a

Deshalb wird

dx

Y (x — d)(b — x)

— lim arc sin

a=0

fe-T

P=°

a-\-u

/a -f- 2a — b\ V b — a )

..    . /b — 2/9 — a\ ..

= lim arc sin I —=--) — hm arc sin

ß=°    '    ^ a '    «=°

— arcsin(-[- 1)— arcsin(— 1) = 2arcsinl = üc.

4.)

b

Jx²—b²

o

dx

— oo.

§ 54.

Integration von Differential-Funktionen, die zwischen den Intégrations-Grenzen unendlich werden.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 170.)

Wird die Funktion F'(x) für x = c unendlich groß, wobei c zwischen den Intégrations-Grenzen a und b liegen möge, während F'(x) stetig und endlich bleibt für a ^ x < c und für c < x ^ b, dann würde nach der bisherigen Definition des bestimmten

b

Integrals J'F/(x)dx zunächst keinen Sinn haben; es soll da-

a

her erklärt werden durch die Gleichung (1.) fF\x)dx — lim J'F/(x)dx + lim J’F'(x)dx

y=0 a

d=:0 C+Ô

~ F(b) — F(a) -f- limine — /) — limine -j- ö)

J=0

y—o

wobei 7 und ó beliebig kleine positive Größen sind.

Übungs - Aufgaben.

Aufgabe 1. Der Gleichung

(2.)

fx²

entspricht eine Kurve (Fig. 107), welche die Y-Achse zur Asymptote und außerdem zur Symmetrie-Achse hat; man soll den Flächeninhalt der Figur berechnen, welche oben

x²y³ = 1, oder y

durch, diese Kurve, unten durch die X-Achse, links durch die Ordinate — 1 und rechts durch

Fig. 107.

x =

die Ordinate x = -f- 2 be

grenzt wird.

Auflösung. Längs der F- Achse erstreckt sich die Figur ins Unendliche, denn für x = 0 wird y — oo, folglich ist in diesem Falle'

ir-x

+2

F = lim fydx + lim Jydx <J=o +ä

Man erhält also für den Flächeninhalt der Figur, die sich längs der F-Achse bis ins Unendliche erstreckt, einen endlichen Wert.

(3.)

also

(4.)

y—⁰ —i

(?=0

Aufgabe 2. Oer Gleichung (5.) x²y = 1, oder y = —g

Fig. 108.

entspricht eine Kurve (Fig. 108), welche gleichfalls die F-Achse und zur Symmetrie - Achse hat; man soll den Flächeninhalt der ebenen Figur berechnen, welche oben durch diese Kurve, unten durch die X-Achse, links durch

zur

Asymptote

Ai

die Ordinate x — — 1 und rechts durch die Ordinate x = -f- 2 begrenzt wird.

Auflösung. Längs der Y- Achse erstreckt sich die Figur bis ins Unendliche, denn für x — 0 wird y — oo, folglich wird auch in diesem Falle

(6.)

F — lim

y=0

lax , .. l'äx

+Ô

= lim ■

y=0 _

tH : «

+ Üm[-

x ô=o L

+2

+ (t

- lim —

y—0 7

Man hätte einen Fehler gemacht, wenn man geschrie

ben hätte

+2

fdx

x²

+2

i o cu

Man sieht, daß die geometrische Deutung des bestimmten Integrals, wie sie früher unter Ausschluß von Unstetigkeiten gegeben wurde, bei der Erklärung des bestimmten Integrals durch Gleichung (1.) auch dann noch bestehen bleibt, wenn F'(x) für einzelne Werte von x zwischen den Grenzen a und b unstetig oder unendlich groß wird. In dem Falle nämlich, wo F\x) für n verschiedene Werte von x zwischen den Grenzen a und b un-

b

J‘F'(x)dx in

stetig wird, muß man

n -f- 1 Integrale zerlegen

a

und bei jedem einzelnen das in Gleichung (1.) angedeutete Grenzverfahren anwenden.

+b

Aufgabe 3.

Cdx

J x

(a > 0, b > 0.)

Auflösung. Da die Funktion unter dem Integralzeichen für x = 0 unendlich groß wird, so muß man das Integral wieder in zwei andere zerlegen. Man setzt also

In diesem Falle hängt der Wert des bestimmten Inte-

y

grals von dem Grenzwert des Verhältnisses ^ ab. Da dieser

= 1 wird

Für lim ~ o

Grenzwert, je nachdem man über / und 6 verfügt, unendlich viele Werte haben darf, so hat auch das Integral unendlich viele Werte.

(8.)

+b

(7.)

l'dx

J X

—y

lim

y—o«, —a

+ô

= lim ln

y=0

GO+ëV'C)

/^lnÖ+lnl=lnG>

Dieser Wert heißt nach Cauchy „der Hauptwerk des vorliegenden bestimmten Integrals.

y (x — cf

Aufgabe 4. j ₆ -—

= ? wenn a < c < b.

Auflösung. Indem man wieder die Zerlegung des Integrals aus führt, findet man

(9.)

dx

j/(x — c)

= = j(x — c) *dx

c—y

= lim

l(x — c)~ %dx + lim (x — c)~^dx

J d=°J

= 5lim [Vx - cf-’ + 5 lim [fx-cf

y=0    a    d=0    c+ô

= 5 [lim -y/ — /—y a—cĄ-^/h—c

lim-)/ d]

7=0

j=o

= 5(^6 — c -j- -}/c    a).

318 § 55. N äberungsmeth öden durch Einführung einfacherer Funktionen.

§ 55.

Näherungsmethoden durch Einführung einfacherer Funktionen.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 171.)

In vielen Fällen, wo das unbestimmte Integral einer Differential-Funktion schwer zu ermitteln ist, kann man den Wert des bestimmten Integrals durch andere Hilfsmittel genau oder doch mit großer Annäherung berechnen.

Von diesen Hilfsmitteln sollen hier einige angeführt

werden.

Aus der geometrischen Deutung eines bestimmten In-

b

tegrals Jf{x)dx als Flächeninhalt einer ebenen Figur, welche

a

oben begrenzt ist durch die Kurve y — f(x), rechts und links durch die Ordinaten x — b, bezw. x — a und unten durch die X-Achse (vergl. Formel Kr. 4 der Tabelle), ergibt sich sofort der folgende

Satz 1. Sind yi = <p(x) und y = fix) zwei Funktionen, welche zwischen den Grenzen x — a und x — b sich durch Kurven geometrisch darsteilen lassen, und bleibt in diesem Intervalle (p{x) beständig gleich oder kleiner als fix), so ist auch

b    b

(1.)

J (p{x)dx < Jf[x)dx ;

denn, wie man aus Fig. 109 ersieht, hat die von der Kurve y = f[x) begrenzte Figur einen größeren Flächeninhalt als die von der anderen Kurve y\ = <p(x) begrenzte Figur A\B\DC. Dabei ist zunächst vorausgesetzt, daß die Kurven beide über der X-Achse liegen; der Satz bleibt aber auch dann noch richtig, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist.

Man kann den Beweis auch unabhängig von der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals führen, indem

Fig. 109.

/V

Ai

bTx

Ai B\BA

man dasselbe als den Grenzwert einer Summe betrachtet, bei der die Anzahl der summierten Glieder immer größer und die einzelnen Glieder immer kleiner werden. Die Glieder der beiden Summen, die man miteinander vergleicht, gehen dadurch über in <p(x)dx und f(x)dx. Aus (p{x)dx f(x)dx folgt dann auch die Ungleichheit der Summen, also

(2.)

b    b

J(p{x)dx < J'f(x)dx.

Satz 2. Liegt die Funktion f{x) für alle Werte von x innerhalb des Intervalles von a bis b der Größe nach beständig zwischen den Funktionen (p{x) und ip(x), ist also

(3.)

(p{x) f(x) y(x)

so ist auch

(4.)

b    b    b

J<p(x)dx < J'f{x)dx < Jip(x)dx.

Dieser Satz ergibt sich unmittelbar aus Satz 1.

Übungs - Beispiele.

0,5

dx

Aufgabe 1.

In—as³

0

Auflösung. Da x zwischen den Grenzen 0 und 0,5 liegt, so gelten die folgenden Ungleichungen:

0 ^ x ^ 0,5,

0 ^ a?³ ^ 0,5a?²,

1 üs 1 — x³ 1 — 0,5a?²,

1 Y 1—x? =£ ]/l — 0,5a?²,

Y l—x³ Vl 0,5a?²

folglich wird

0,5

Idx < I

J    J

0    0

0,5

dx

yi—a^

0,5

L

JY 1 — 0,5a?²

o

dx

320 §55. Näherungsmethoden durch Einführung einfacherer Funktionen.

Dabei ist nach Formel Nr. 34 der Tabelle, wenn man a = setzt,

(6.) I

0,5

dx

JVl — Öpx²

0

-ri

o

0,5

dx

y 2—x²

= V2

arc sin

(01’ =n&Icsi"(0

LO

Nach D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 112 der Tabelle wird ferner

(7.)

arcsin æ ==

1    s⁸ 1.3

2    "3 ⁺ 2.4

1.3.5 x7 2.476 7

T5- + --

also

(8.) narcsin^)

= i + - -JL

2 ' 2 3.

1.3    1

274 öTF

2 ' 2 3.24 = 0,511050 29 folglich geht die Ungleichung (5.) über in

1.3.5    1

2.4.6    7.2¹⁰

(9.)

0,5

0,5 <    ____

Jyi-x³

0

dx

< 0,511 050 29.

Aufgabe 2.    /

dx

jy i —j— a?³

0

Auflösung. Hier gelten die Ungleichungen 0 ^ x ^ 1,

0 ^ x³ ^ x2 1 ^ 1 -f- x³ ^ 1 -f- x², i^yi + ^y!^

folglich wird

(10.)

f dx

r >Jr~

dx

oder, da

J "K 1 -f- a?³ J y 1 -j- a?²

o    o

y2 = 1,414 214,

= jta (x -h "|/l -(- x²^j ,

j c dx

(U.) l>Jy=--

ln(l + V2) > ln(2,4) =

Dabei ist

ln 12 = ln3 + ln4 = 2,484 906 65, lnö = 1,609 437 91,

ln — 0,875 468 74;

dies gibt

(12.)

f da

J VT + æ³

0

> 0,875 468 74.

PI

Aufgabe 3.

dtp

— sin²« sin²<jp

Auflösung. Hier gelten die Ungleichungen 0 =1- sin²<p ^ 1,

0 ^ sin²« sin²#) ^ sin²«,.

1^1 — sin²« sin²#> ^1 — sin²« = cos²«,

1 ^ ]/l — sin²asin²#) ^ cos«, (für 0 < a <

Y l — sin²« sin²#>

cos «

folglich wird

7t

7t

7t

(13.)

dg)

'dtp

cos«

oder

71

(14.)

Ist z. B. « =

J

71 i'

2    J]/1 — sin²« sin²#»

o

~ oder 30°, so wird 6

sin« = 2 ’ cos« =

dtp

= < w-

71

2 cos«

Yl,

also

Kiepert, Integral-Rechnung.

21

lO

fcO|

R |<N»

■e

r—i

'S

co

Je kleiner der Winkel a ist, desto enger sind die Grenzen, zwischen denen das Integral liegt.

§ 56.

Mittel wertsätze.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 172 bis 175.) Es sei jetzt

(1.)

f{x) = g(x). h(x),

(2.)

wobei die stetige Funktion h(x) in dem Intervalle von a bis b zunächst beständig positiv oder doch wenigstens nicht negativ sein möge ; es sei also h(x) ^ 0. Ferner erreiche die in diesem Intervalle stetige Funktion gix) ihren kleinsten Wert K für x — X\ und .ihren größten Wert G für x = cc₂, wobei xx und x₂ zwischen den Grenzen a und b liegen oder auch mit diesen Grenzen zusammenfallen sollen; es ist also g(xi) = K und g{x%) = G

und

(3.)

K g{x) G.

Da h(x) ^ 0 ist, wird

(4.)

K. h(x)dx ^ g(x). h(x)dx = f(x)dx ^ G. h{x)dx ; folglich ist nach Satz 2 in § 55

J'f(x)dx = Jg(x). h(x)dx = MJh(x)dx,

(5.)

ung

(6.)

so folgt aus Ungleichung (5.)

(7.)

K< M< G

oder

oder mit anderen Worten, die Gleichung (12.) bleibt auch dann noch richtig, wenn die stetige Funktion h(x) in dem Intervalle von a bis b niemals positiv wird, wenn also h(x) ^ 0 ist. Es genügt also für die Gültigkeit des in Gleichung (12.) enthaltenen Satzes, welcher „der erste Mittelwert satz“ der Integral-Rechnung genannt wird, die Voraussetzung, daß h(x) zwischen den Grenzen a un da? Vorzeichen nicht wechselt.

Aus Gleichung (12.) folgen noch unmittelbar die Formeln

X    X

(13.)

(7 a.)

g{xi) <M< g(x₂).

Nach, einem bekannten Satze über stetige Funktionen muß es daher zwischen X\ und x₂ einen Wert von x geben — er heiße ß —, für welchen

(8.)

M = g(ß)

Da ß zwischen x₁ und x₂ liegt, so muß ß auch zwischen a und b liegen; es ist also

wird.

(9.)

b.

a^ß

Erklärt man also eine Größe O durch die Gleichung

(10.)

so wird

und man erhält

(11.)

(12.)

ß = a + &(b — a), M — g\a -f- 0(b — a)]. Deshalb geht Gleichung (6.) über in

b    b

fq(x). h(x)dx = q\a -f- @(ö — «)] fh(r\dx.________

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit — 1 multipliziert, folgt

(12a.)

b    b

—jd(x) • Mpc)dx = Jg{x) [— h(x)]dx

= g[a + 6(b

b

a)]f[— h(x)]dx

Jg(x). h{x)dx — gißx) Jh(x)dx o    o

§ 56. Mittelwertsätze.

324

a+c

a+c

(14.)

fg{x). h{x)dx = g{a + 0c) Jh(x)dx.

Setzt man

h{x)

b    b

— 1, also fh(x)dx — Jdx —

so geht Gleichung (12.) über in

(15.)

b

Jg{x)dx = (b — a)g\a + 0(b — <x)],

oder, wenn man die Buchstaben g und f miteinander vertauscht. in

(15a.)

b

J'f(x)dx = (b — a)f\a -f- 0(b — a)].

Für diesen besonderen Fall des ersten Mittelwertsatzes ergibt sich unmittelbar die folgende geometrische Deutung. Der Gleichung y — f(x) entspreche die Kurve AB, dann ist der Flächeninhalt der ebenen Figur

Fig. no.

b

(16.) A\B\BA = Jf(x)dx.

Da nun der Kurvenbogen AB stetig ist, so gibt es zwischen A und B mindestens einen Punkt P, welcher die Figen-schaft besitzt, daß die Gerade -jç-x BS, welche durch P zur X-Achse parallel gezogen ist, ein Rechteck A\Bi8R bestimmt, welches mit AXB\BA gleichen Flächeninhalt besitzt. Macht man nämlich

OQ — a -f- 0(b — a),

O! A,

so wird in diesem Rechteck

AXBX = b — a, QP — f[a + 0(5

«)],

also

b

(17.) AXBXBA = /f(x)dx = AXBX8B — (b — a)f[a + 0(b — «)].

Bezeichnet man das unbestimmte Integral von g(x). Ux)dx mit (p{x) und das von h(x)dx mit xp(x), so wird

Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung (12.)

erhält man

(18.) g(x). h(x) = <p'(x), Ji{x) = Ip'(x), g(x) =

(p\x)

y/(x)

(19.)

(20.)

fg(x). h{x)dx = <p(b) — (p(a),

a

b

Jh(x)dx =

ip{b) — ip(a).

(21.)

<p(b) — (p(a) = g[a + 0(b — a)]. [ip(b) — y){aj\

also

(22.)

<jv(b) — <p{a) _ 9?/ [a + @(b — a)] ip{b) — tp(d) ipJ[a -\-0(b — a)}

Damit ist der Mittelwertsatz auf eine Form gebracht, die übereinstimmt mit dem zweiten Mittelwertsatz der Diffe

(23.)

rential-Rechnung. Vertauscht man nämlich den Buchstaben mit g, so erhält man genau wieder wie damals çp(ô) — <p(d)    (p'[a -f- ß(b — <z)]

gib) — g(d) ~ g'[a + 6 (b — a)\

(Vergl. D.-R., 12. Auflage, § 37 und Formel Kr. 87 der Tabelle.)

Ein zweiter Mittelwertsatz möge hergeleitet werden, wobei die Forderung, daß h{x) in dem Intervall sein Zeichen nicht wechselt, aufgehoben wird. Dagegen möge bei

Jg{x)h{x)dx vorausgesetzt werden, daß die Funktionen g{x)

a

zunimmt. Man nennt die

(24.)

und h(x) innerhalb der Grenzen a und b eindeutig, endlich und stetig seien, und daß h'(x) in dem Intervall das Zeichen nicht wechsle. IstV^z) è 0, so nimmt h(x) in dem Intervall niemals ab, und ist h\x) ^ 0, so nimmt h(x) in dem Intervall niemals zu, wenn x Funktion in dem Intervall „monoton“, wenn eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist. Bezeichnet man dann das unbestimmte Integral von g{x)dx mit G{x), setzt man also Jg(x)dx = G(x), so kann dieser Fall durch partielle Integration auf den vorigen zurückgeführt werden. Indem man nämlich u = h{x), dv = g{x)dx, also du = h\x)dx, v = G{x) setzt, findet man durch partielle Integration

6    b b

(25.)

fg{x). h{pc)dx — \G(x). h(x)\ —jG(x)h/(x)dx.

a    a a

Nach den vorangestellten Voraussetzungen darf man bei dem Integral auf der rechten Seite der Gleichung den ersten Mittelwertsatz anwenden und findet, wenn man a -j- Q(b — a) = g setzt,

b    b

(26.) J'G{x) . h\x)dx = 6r(g) fh\x)dx = G(i-) [h(b) — h(a)].

a    a

Deshalb geht Gleichung (25.) über in

b

(27.) _ fg{x). h(x)dx = G(b). h(b) — G(a). h(a) — G(£). h(b) -f- G(s) ■ h{a)

= h(a) [G(|) — GKfl)] + h(b)[G(b) — G(^)]

oder, wenn man Gleichung (24.) beachtet,

(28.)

b    l    b

Jg{x). h(x)dx = h(a) Jgix)dx + b,(b) Jg(x)dx.

Vorausgesetzt ist dabei also, daß h\x) zwischen a und b das Vorzeichen nicht wechselt.

Der in dieser Formel enthaltene Satz wird der „zweite Mittelwertsatz“ der Integral-Rechnung genannt.

Ist z. B. g{x) — 1, so erhält man als einen besonders wichtigen Fall

b

(29.)

J)i(x)dx = (g — a)h{a) + (b — §)h(b).

§ 57.

Neuer Beweis des Taylor sehen Lehrsatzes.

Aus den Sätzen, welche in den vorhergehenden Paragraphen hergeleitet worden sind, ergibt sich ein äußerst einfacher Beweis des Taylor sehen Lehrsatzes.

Die Funktion f(x) sei mit ihren n -f- 1 ersten Ableitungen stetig und endlich für alle Werte von x zwischen a und ah, dann findet man durch partielle Integration, nämlich nach der Formel

Jvdu,

(1.)

uv —

judv =

durch Einsetzen der Grenzen

(la.)

Setzt man hierbei

Xo

fudv = *1

Xo    X-

\uv\ ¹ —fvdu

xl Xi

also

u = f\a Ą-h — t), dv = dt

du = — f'\a -\-h — t)dt, v — t, so findet man aus Gleichung (la.) für die Grenzen 0 und t

(2.) Jf\a -\-h —

o

t)dt = tf\a + h

t)tdt.

Für

erhält man

u — f"(a -f- h — t), dv — tdt

(3.)

t

jf"(a+h

£) -, dt.

2!

Wenn man in dieser Weise fortfährt, findet man die Gleichungen

(4.)

t

jrxa+h

o

t-

-t)^r-dt

2!

dt,

dt=t^f^Xa + h — t) +

t

jf(n+i)(a Ą-h — t)

tn

~^dt.

Durch Addition der Gleichungen (2.) bis (5.) ergibt

sich daher

jf'(a “ł" ^

o

— t)dt =

tn

f*(a + h — t) +

^f'\a + h-t) +

t

fW(a + h — t)+ lf^⁺¹Ka + h-t)

1!

ts

3!

f'"(a + h-t)

dt.

328

§ 58. Gliedweise Integration unendlicher Reihen. Beachtet man, daß

(7.)

Jf\a -f- Ä

o

— t)dt — — f(a + h — t) -f- f{a> + ä)

ist, so geht Gleichung (6.) für t = h über in

(8.) Ka + h) = M + f^h + f-^h* + ^-h*

fO\a)

wobei

n\

hn + R,

(9.)

h

=Jf(n+1\a + h o

tn

ist. Nach dem ersten Mittelwertsatz der Integral-Rechnung (Formel Nr. 172 a der Tabelle) ist daher, wenn man 1 — O mit 0\ bezeichnet,

(10.) R = f^+V{a-\-h

Bhf-

0

tndt    f(n+1\a -f- Oih)

(»4-1)1

hn+K

O ^ -j- 1 folgt hierbei, daß auch Oi = -f- 1.

Setzt man zum Schlüsse noch a = x und schreibt O

Aus 0

statt Oi, so erhält Gleichung (8.) die Form

(11.) f(x + ft) = f(x) +    4 f“{X)

+ •••4

rwy

3!

fO)(x)

wo

(12.)

hn+l

f{n+r)(^x ßty (n -f- 1)!

ist. Dieses Resultat stimmt genau mit D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 91 der Tabelle überein.

§ 58.

Gliedweise Integration unendlicher Reihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 176.)

Sind in der unendlichen Reihe

(1.)

f (x) — uo 4~ Mi 4"    4"    4" ■ ■ ■

die einzelnen Glieder

(2.) u₀ = fo(x), Ui = fßx), u₂ = f₂(x), u₃ = fà(x),... stetige Funktionen von x, so war in § 57 der Differential-Rechnung (12. Auflage, Seite 281) der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz folgendermaßen erklärt worden:

„Die Reihe

fo{x) + fl{x) -j- f₂{x) -j- • • •

heißt in dem Intervalle von a bis b gleichmäßig konvergentT wenn die Funktionen fo(x), fi(x), f₂(x),... in diesem Intervalle endlich und stetig sind, und wenn zu jeder beliebig kleinen Größe e eine ganze Zahl m so bestimmt werden kann, daß für n ^ rn der absolute Betrag von 8n+p(x) — Sn(x)¹) und deshalb auch der absolute Betrag von Rn{x) kleiner bleiben als s, welchen Wert x auch in dem Intervalle von a bis b haben mag.“

Für die Summe f(x) einer solchen gleichmäßig konvergenten Reihe gilt dann auch der Satz, daß sie selbst in dem Intervalle von a bis b eine stetige Funktion ist. (D.-R., 12. Auflage, S. 283.)

Dabei ist

(3.) Rn{x) = f{x) — \fjx) -f fx(x) + fix) H-----b fn-lG¹0] 5

oder

(4.)    f (x) = fo(x) -f- fi(x) -f- fix) + • • • + fn—l(x) -f- Rßx).

Daraus folgt

b    b    b    b

(5.) J'f(x)dx = Jfo(x)dx Ą-/fi(x)dx Ą-Jflx)dx +

b    b

----b J'fn—i (x)dx -b JRn{x)dx.

a    et

aus

von x

Da die Funktionen fix), fix), fix), f₂(x), • • • fn—i(%) in dem Intervalle von a bis b stetig sind, so ergibt sich Gleichung (3.), daß auch Rn(x) für die betrachteten W erte eine stetige Funktion ist; deshalb kann man für die Be-

b

rechnung von fRn{x)dx den in Formel Nr. 173 der Tabelle

ausgesprochenen Mittelwertsatz anwenden, nach welchem b

J'RJx)dx = (b — a)Rn[a +    — a)}

Reihe in dem Intervalle von a bis b gleichmäßig konvergent ist, so wird RJx) für alle Werte von x zwischen a und b beliebig klein, wenn n (gleich oder) größer als m

ist. Macht man die Voraussetzung, daß die vorgelegte

ist, folglich ward auch Rn[a &(b— «)], und da b

b

endliche Größe ist, auch jRn(x)dx beliebig klein. Man findet

— a eine

b

also Jf(x)dx, indem man die einzelnen Glieder der Reihe

a

uo — f {x\ Ui = fi(x), u₂ = fix), • • • integriert, denn der Rest

b

jRn{x)dx, welchen man bei Berücksichtigung von n Glie-

a

dern vernachlässigt, wird für hinreichend große Werte von n beliebig klein. Dadurch erhält man den folgenden

Satz. Sind die Funktionen u₀, ui, u₂, u₃,... für alle Werte.von x zwischen a und b stetig, und ist die Reihe Uq -f- U\ -f- u₂ -f- u₃ -f- • • •

in dem betrachteten Intervalle gleichmäßig konvergent und ihre Summe gleich f{pc), so ist auch die Reihe

b    b    b

Juodx + Juidx -f- Ju₂dx + • • •

konvergent, und ihre Summe ist gleich Jf{x)dx.

a

Man darf noch die obere Grenze mit x bezeichnen, so daß sich ergibt

X    XXX

(7.)

J'f{x)dx — Ju{)dx -f- Juidx + Ju₂dx

a    a    a    a

x

Dabei ist die Reihe, durch welche Jf{x)dx dargestellt

a

wird, in demselben Intervalle gleichmäßig konvergent wie die ursprüngliche Reihe.

Dieser Satz hat schon in der Differential-Rechnung bei der Methode der unbestimmten Koeffizienten Anwendung gefunden (D.-R., 12. Auflage, § 48).

Damals setzte man

(8.) fix) = A -f- Aix + Ä₂x² -f Asx³ -|-----f- Anxn + R,

dR

also

dx

Wie die Gleichung (9.) aus Gleichung (8.) hervorgeht durch Differentiation der einzelnen Glieder, so findet man umgekehrt die Gleichung (8.) aus Gleichung (9.) durch Integration der einzelnen Glieder zwischen den Grenzen 0 und x, und zwar erhält man dadurch f{pc) — f{0), woraus sich für A der Wert f(0) ergibt. Dabei erhielt man den

dB

Satz: Ist für hinreichend große Werte von n die Größe

(X/'jC

beliebig klein, so gilt dasselbe auch von B.

Man erkennt, daß dieser Satz nur ein besonderer Fall des eben bewiesenen Satzes ist ; denn er ergibt sich aus dem allgemeinen Satze, wenn man die Glieder mit steigenden Potenzen von x an die Stelle der Funktionen u setzt.

Die Beispiele, welche bei der Methode der unbestimmten Koeffizienten in der Differential-Rechnung gegeben wurden, nämlich die Entwicklung von

(10.) ln(l-{-#) =

i-¹, H

¹⁵⁰1 %

!co

(11.) arctgx =

11C^    oc *

3    5 — 7

-----für —1

x ^ -f-1

tOj h-¹

⁰³ i

1-1 loi

rH |<m

3.5    x‘

4.6    7

für — 1 ^ x ^ -f- 1

nach steigenden Potenzen von x, eignen sich daher auch als Beispiele für den vorliegenden Satz.

Aufgabe 1. Man soll die Länge des Bogens bei der

Lemniscate

(13.)

r² = a²cos(2<jp) berechnen (Fig. 111).

Fig. in.

jp

Auflösung. Aus Gleichung

(13.) folgt

rdr — —- a² sin (2<p)d<p

oder

dg)

dr

ar sin(2çp)

so wird

(17.)

(16.)

a²<ir

a⁴sin²(‘2(jp)

1-ł

a⁴—r⁴

a⁴

Æ⁴—r4 r

Setzt man

₃/ dr JVa±— r⁴

o

r = at. also dr = adt.

.. . ? ^ ]/ a-⁴ — r⁴

satze

(18.)

s — a I    •

0

Da £⁴ ^ 1 ist, so wird nach dem binomischen Lehr-

1.3

1.3.5

y 1 — i⁴

2.4

2.4.6

Ć¹² + • • •

also

(19.) s =

|t—I

rH

5!.! -s

1    r⁶

2    5a⁵

1.3 ^

271 9 + 1.3 r9 274 9aJ

1.3.5    £¹³

2.4.6    13

1.3.5

^•13

2.4.6 13a¹⁸

+->

4

Aufgabe 2.

f___dx = ?

0,5

./Vl 4- x³

(20.)

Auflösung. Nach dem binomischen Lehrsätze ist

1.3.5

y î-\- 3?

(I+Z³) ł = l-~af>4

1.3

2.4

ar

2.4.6

a;9 _J-----r

solange — 1 < x < + 1 ist. Deshalb kann man diese Entwickelung nur benutzen, um

i—y

= lim

y=0 J y 1 -f-a^

f dx

Jv

0,5

0,5

zu berechnen ; dabei findet man aus Gleichung (20.) 1

f dx_

0,5

Jyr+tf

lim

y=o

rH <M

1.3 x⁷ 1.3.5 10 274 7 2.4.6 0

h*! «

J0,5

Da die Reihe in der eckigen Klammer auch noch für x = 1 konvergent bleibt, so erhält man

(22.)

1.3

1.3.5

¹ _|_

2.4 ^ 2.4.7    2.4.6.10

+----

0,5

1.3

1.3.5

2 ^ 2.4.2⁴

1    15

2.416_r2.4.7 128    2.4.6.10 1024 ¹

Die Entwickelung in Gleichung (20.) gilt nicht mehr, wenn x > 1 ist. Rach dem binomischen Lehrsätze wird aber, wenn j b | > [ a j ist,

2.4.7.27 1.3    127

2.4.6.10.2¹⁰

1.3.5    1023

(23.) (a-\-b)m = b

Setzt man also in dem Falle, wo x > 1 ist, a = 1

so wird die Bedingung, daß j b\ > | a\ sein soll, erfüllt, und man erhält

(24.)

b — x?,

(25.) (1^ar^-³+ Q).x³^-⁶+    ----,

also für m = —

to ł—¹

(26.)

1    1 1    , 1.3 1    1.3.5 1

2.4.6 ]/^2f

Yl-\-x³    Y xó 2 yx9 2.4

Diese Reihe konvergiert gleichmäßig für x > 1, folglich ergibt die gliedweise Integration

4    4    4

«/vrb

l+j

1+e?

1.3.5    Ftfcr

2.4.6    j y x21 1+*

oder

= lim • _

t-H loi

1.3

ic

x⁷ 2.4 i3]/x¹³

1.3.5    2

2.4.6    191/^19

Ji+(î

Da die Reihe in der eckigen Klammer auch noch für x = 1 konvergent bleibt, so erhält man

(29.)

dx

1,1-31

7.43 r 2.4 13.4⁶

1.3.5    1

“2.4.“6 19 4⁹

+ 2(l

1.3

1.3.

Oi ■

= 2(

2.7 ¹ 2.4.13 1 2⁷ — 1 2.7    2⁷

2.4.6.19 1.3    2¹³ — 1

2 . . 13    2¹³

1.3.

2¹⁹

2.4.6.19

Durch Addition der Gleichungen (22.) und (29.) erhält man schließlich das gesuchte Integral

(30.)

4    14

Z' dx i' dx Ç dx

J Yl -\- xó Jy 1 -f- x³ J Y1 4 x³

0,5

0,5

§ 59.

Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 177 bis 180.)

Das in dem vorhergehenden Paragraphen angegebene Verfahren kann man auch zur Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung benutzen. Das elliptische Normalintegral erster Glättung, auf welches sehr viele Aufgaben der Geometrie, Physik und Mechanik führen, hat die Form

Jh 1

0

dx

x²) (1 — k²x²)

wobei k² < 1 und x ^ 1 sein mögen. Dann erhält man zunächst nach dem binomischen Lehrsätze

1.3.5

1.3

y 1—k²x²

2.4

2.4.6

oder, wenn man der Kürze wegen, wie in Formel Kr. 121 der Tabelle,

(2.) ^ =

setzt,

to t-*-

c₂ =

1.3

2.4

• • • cn —

1.3.5... (2w — 1)

2.4.6... (2n)

(3.)

= 1 -f- cik²x² -j- c₂k⁴x⁴ -j- C'sWx⁶ + • • •.

]/l — k²x²

Nach Satz 8 in § 58 der Differential-Rechnung (12. Auflage, S. 291) ist diese Potenzreihe gleichmäßig konvergent für — 1 ^ x ^ + 1, folglich ist auch die Reihe

(4.)

Y(1—ar²)(l—k²x²)    Yl—x²

{-Cik²

y i—x²

x⁴

y i—x²

+ •••

y i — x²

in demselben Intervalle gleichmäßig konvergent. Deshalb wird

(5.)

dx

___= / dx— + Clk²l

Y(1—x²){l—k²x²) JY 1— x² J

X

,, /' x⁴dx

o

x²dx

y i—x²

+ Cskj

0

xi:dx

y i — x²

X

-h

o

dx

n=oo

1/Y-,+ sa²

y 1 — Æ² n=1

X

C x2ndx

n I ----------

Jyr^x

o

(6.)

wobei

Nun ist aber nach Formel Nr. 121 der Tabelle

X

r x2ndx

J)

o

y i - .x-²

= cnarcsin x — Gn{x). T1 — x²

Gi(x) = ^ = ax, Ö₂(X) = ^ +

GaM = |“ +

lO

. a?³

6.4

1 X³

C\ 3 5.3 . x

6.4.2

/I

= ca! — \c₂

% co

allgemein

(7.) Gn(x) =

x2n~¹    (2 n—l)x²

(2n)(2n—2)

(2 n—1)(2 n—3)... 3.x

(2n)(2n— 2)... 4.2

1 X³

C\ 3

~    2k-

Deshalb erhält man

<8.)

dx

]/ ( 1 — #²)( 1 — k²x²)

= (l +”2°c³„P»)

\    n=1    /

arcsin#

_ n—oo

— Y1 — x² 2 cnk2nGn{x).

n—1

Von besonderem Interesse ist der Wert dieses Integrals, den man für x — 1 erhält und mit K bezeichnet. Es wird nämlich

dx

dx

A_____    = lim f-

¹

Sn(x) bezeichnet dabei die Summe der n ersten Glieder.

]/( 1 — #²)(1 — Â;²#²)    i?=4/ ]/(l — #²)(1 — fr²#²)

o

Jl /    «=oo    \

= 2-(¹+I,^”)

oder

do.) ri+(t)V+(h|)V+(

LOI £4

2.4.6

Noch häufiger wird man durch Aufgaben aus der Geometrie, Physik und Mechanik auf elliptische Integrale zweiter Gattung geführt, die man auf die Normalform

/']/1 — k²x²

I —    ■ - dx

J Vl-x²

0

bringen kann. Hier wird nach dem binomischen Lehrsätze (11.) yi—k²x² = 1 — ~k²x²

—fr⁴#⁴

1.3

2.4

2.4.6

fr⁶#⁶ —

= 1 — Ci

k²x² k⁴x4 1 C2 3

fr⁶#⁶

csw

oder

(12.)

also

„_    n—oo T/Lnrfln

y\-k²X²=\ - 2 Cn

n—1

(13.)

Y1 — k²x²

71—00 p l/ln

—•    O/ill

sjßln

V1— x²

y i—x²

Da diese Reihe zwischen den Grenzen 0 und x gleichmäßig konvergent ist, so erhält man

n=i2n — l yi — x²

(14.) j

0

Yi—k²x²

yi—x²

dx

-h

0

äx

x2ndx

y i—x²

oo r. L.2n /' i cnn,    1

^ Zn^iJyT^ß¹

o

also nach Formel Nr. 121 der Tabelle, nämlich nach Gleichung (6.),

(15.)

* y i—k²x²

Vl-X²

dx

/    n=oo r² V2n

= (l— v Cn \ ëi 2 n -

arcsin x

n—

,____oo p 1/ln

+ \ l X² 2 of--^G-n(x).

n—1    -1

Für x = 1 ergibt sich hieraus der Wert des Integrals, den man mit E bezeichnet, nämlich

~y 1 — k²x²

(15a.) E

-y

o

y i—x²

dx

ï=oo /jç2n

i 2 n

= ï(i-Clv-

t-h !co

c₂²/c⁴ —

t-h lO

c₃V‘ —Y

Auf ein solches Integral wird man z. B. bei der Rektifikation der Ellipse

(16.)

b²x² -j- dry² — d²b² = 0 geführt (vgl. Aufgabe 2 in § 27). Aus Gleichung (16.) folgt nämlich

(17.)

dy

bx

dx

a\cd—x²

« i <*>

<z⁴ — e²x2 a² (a² — x²)

also

(18.)

1 ÇixV ad — e²x²

aJ    y cd — x²

o

Setzt man jetzt

(19.)

x — at. e — ak

so wird

Kiepert, Integral - Rechnung.

22

t 1 und k < 1

(21.)

wirklich, erfüllt sind. Der Bogen s wird also, vom Faktor a abgesehen, dem in Gleichung (15.) berechneten elliptischen Normalintegral zweiter Gattung gleich, nur muß man die

cc

Intégrations-Veränderliche x mit t— — vertauschen.

§ 60.

Berechnung der elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattung durch trigonometrische

Reihen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 181 bis 184.)

(1.)

(20.)

s = aj 0

*dtV 1 — k²t²

^VY—t²

wobei die Bedingungen

Die in den Gleichungen (8.), (10.), (15.) und (15a.) des vorhergehenden Paragraphen angegebenen Reihen konvergieren nur langsam. Für die numerische Berechnung sind daher die folgenden Entwickelungen, die stärker konvergierende Reihenentwickelungen liefern, geeigneter. Setzt man a; = sin(jD, k = sina,

also

(2.) dx = cosçpdçp, VI —x² — cos cp so wird

dx

y i — x²

= dcp

(3.)

dx

dcp

und

(4-)

./

0

V(1 — x¹) (1 — k²x²) J Y1 — sin²asin²<jp o

* y i—k²x2 y i — x²

= F(k, cp)

dx

=JVI

o

— sin²asin²<jp. dcp — E(k, cp).

Um die Differentialfunktion zu entwickeln, formt man zunächst den Radikanden etwas um. Aus der bekannten Formel

ergibt sich

cos²/? -(- sin²/? = 1

§ 60. Berechnung der elliptischen Normalintegrale. cos⁴/? -|- 2cos²/?sin²/? -f- sin⁴/? — 1,

oder

cos⁴/? -j- sin⁴/? — 1 — 2 sin²/? cos²/? = 1 — ^^ß)_ .

u

(5.)

Daraus folgt

(cos²/? 4" sin²/?. eV)(cos²/? -|- sin²/?. er²^)

= cos⁴/? -f- sin⁴/? -f- cos²/?sin²/?(eV -f- e~2<pi)

= 1 + ^sin²(2/?)(e²9* — 2 -f- V) =1 — sin²(2/?) sin²<jD

oder

(6.)    1 — sin²(2/?)sin²<jp = cos⁴/?(l + tg²/?. e²'d)(l -f- tg²/?. er-V),

setzt,

oder, wenn man 2/? — a, also /? = (7.)    1 — sin²asin²9) =

eosl(i)[1 + ts2(!)

• eV

¹ + tg² (0 • e_2^ j •

"Wenn a zwischen 0 und ^ liegt, so ist tg²^^ < 15

außerdem ist der absolute Betrag von

e±2<pi = COs(2çp) + isin(2<jp)

"|/cos²(29d) -f- sin²(2<jp) = 1, folglich kann man

. g—2 if/

• e+V und

nach dem binomischen Lehrsätze entwickeln und erhält,

wenn man der Kürze wegen tg

mit s bezeichnet,

(1 + «²e¥)m = 1 + Qs²e¥+Q«W +    -|----

(1 g2e-2ytyn ₌ 1    + (^)t⁴e-V +    +

Indem man diese beiden Gleichungen miteinander multipliziert und dabei die Regeln anwendet, welche (in D.-R., 12. Auflage, § 56 und 107, vergl. auch D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 119 der Tabelle) für die Multiplikation zweier unbedingt konvergenten Reihen

22*

Mo + «i -j- m₂ H---- und vo + vi + v₂ -f----

gegeben worden sind, so erhält man, weil eV er~hri = 2cos(/lfjp)

ist, die Gleichung

(8.)

~KT)ß2 ■ 2cos(²^+£4[G)2cos^+(T)]

+ e⁶ [(3)2008(69) -)- (^)(^) 2 cos (2<p) j

+ fi8 [(4*)2cos(89⁾) +    )2cos(⁴^) + (g) J + «¹⁰ [( 5 )2 cos(109>) +(7)( 4 )² c°s(69) + (2) (™)2 cos (²^) oder, wenn man die Glieder vereinigt, welche mit cos(22çd) multipliziert sind, und Gleichung (7.) beachtet,

(9.) (1 — shGasin²«^ = Aq -f- 2d_iCos(29) + 2vl₂cos(49)

-f- 2J.3COs(69) + • • • •

= 1 setzt,

Dabei wird, wenn man

(10.) Aq — COS4lw

= cos4w

(11.) Ai — cos4w

— COS

(12.) A₂ = cos4w

— cos4w

©[‘+Ö-+0-+©•"+] ©1C)‘"

©[(')■*+(7X")'+(')ö"+-

©sex„:,>

©[»•+©©••+6X1)

/a\n=^°/m\ / m \

W.U) W\n+2+

2+4 n

4+4«

allgemein

(13.) Av = cos⁴**

£2v+4

£2»+4«

= cos⁴**

=    hinreichend klein ist, so sind die

"Wenn s

Größen A, wie sich zeigen läßt, durch stark konvergente Reihen ausgedrückt.

Die durch Gleichung (9.) dargestellte Reihe ist gleich-

v

mäßig konvergent¹), so daß manJ( 1 — sin²asin²(gr<^ erhält,

indem man die einzelnen Glieder der Reihe integriert. Dies gibt

9

(14.) J( 1 — sm²asm²(p)md<p —

o

Ao<P + y sin(2<p) + y sin(4go) + y sin(6çp) 4----.

In dieser Formel sind auch die „elliptischen Normalintegrale erster und zweiter Gattungnämlich die Integrale

d(p

= F (Je, <p)

dx

V( 1 — x²)(l — Je²x²)

-L

J]/1 — sin²asin²<jp

o

und

— sin²asin²<jD<2<p= EQe, <p)

Vi

=)n

o

ele besondere Fälle enthalten.

Zur Entwicklung des elliptischen Normalintegrals erster Gattung F (Je, y) hat man in den Gleichungen (8.) bis (14.) m = — ^ zu setzen und erhält

Setzt man in diesem Falle

M = 1- »l, 4î = + «2» • • • -4» = (— i)”«»,

so geht Gleichung (14.) über in

dg)

v

(16.)

<i&.) (7)=

rH I

= — Ci

1.3

2.4

o-

1.3 ... (2w

1)

2.4... (2w)

= + Cn •

F(k, ç>) = /-

dyi -- sin²asin²<jt>

ysin(2<jp) + ^sin(4g>)

3 sin (69)) H-----,

wobei nach Gleichung (10.) bis (13.), wenn man c₀ = 1 setzt, (1 -f- Ci²£⁴ -f- C2²£⁸ + C3²«¹² + ' • O

= ao<p —

(17.) a₀ =

cos²l

n—00

= (l + £²)2^²£4w

n= 0

(18.) ai =

cos²!

to «

(Ci£² + CiC₂£⁶ + C₂C₃£¹⁰ -j----)

^=00

= (14- e²) 2 cncn+1«²⁺⁴“,

»=0

(19.) a₂ =

(C₂£⁴ 4- CiC₃£⁸ + C₂C₄£¹² 4- ' • O

cos²l

n—oo

w=0

All gemein ist

n=oo

(20.)

av = (1 4- £²) 2 cwcw+v£2v+4w.

«=0

Man braucht aber nur «0 und a\ durch diese Eeilien zu berechnen, denn unter der Voraussetzung, daß man die durch Reihenentwickelung dargestellten Funktionen diffe-rentiieren darf, indem man die einzelnen Glieder der Reihe differentiiert, folgt aus der Gleichung

(21.)

]/i — sin²«sin²g9

durch Differentiation

= «o — 2«!Cos(2<jp) + 2«₂cos(4çp)

— 2a₃cos(6<p) -|--• • •

(22.)

sin²« sin çd cosep

]/(l — sin²«sin²9))⁸

= 4aisin(2gp) — 8«₂sin(4<jp)

+ 12a3sin(69>)--f- • • • •

Wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit

(23.)

2(1 — sin²«sin²<p) 2 — sin²« -f- sin²«cos(2gp)

sin²«

sin²«

2 — sin²«

sin²a

-f- cos(2<p)

multipliziert und der Kürze wegen 2 — sin²«

(24.)

1 + e⁴

sin²«

2e²

CT r

setzt, so erhält man, weil 2sin(24<p)cos(2(jp) bekanntlich gleich sin(22 + 2)<p -f- sin(22 — 2)çd ist,

sin(2<jp)

(25.)

YÏ — sin²asin²(jp

= — (—    + 4a₂)sin(29))

-f- (2ai — 8«₂£-+ 6«₃)sin(49))

—    (4«₂ — 12«₃£ + 8a₄)sin(6<p)

+ (6ö₃ — 16«₄£ + 10a₅)sin(8<jp)

-    +.............

Andererseits ergibt sich, indem man beide Seiten der

Gleichung (21.) mit sin(2$D) multipliziert und die bekannte Formel

2sin(2<jp)cos(22gp) = sin(22 + 2 )<p — sin(22 — 2)çd

anwendet,

(26.)

sin(2çp)

Y1 — sin²« sin²g>

== — («₂ — ao)sin(2^p) + (as — «i)sin(4çp)

— («4 — a₂)sin(6çp) -f- («5 — «s)sin(8<p)--(-••••

Aus der Vergleichung der Koeffizienten in diesen

findet man

beiden Entwickelungen von

sin(2<p)

Y1 — sin²« sin²<jp

Setzt man in diesem Falle

(31.) J.0 = &0, Äi= + ^1) d.2= — ^2) -d.3 — 4" ^3} • • • ^-n=(—V)n~lbn, so gehen die Gleichungen (9.) und (14.) über in

(32.) Y1 — sin²asin²9> = ö₀ 4- 2ÔiCos(2çd) — 2ô₂cos(49p)

4- 2ô₃cos(6<p)--

(33.) E{k, cp)

— 4ai£ 4- 4a₂

«■2 — ao — as — ai — 2ai — 8a₂Ç + Qa3 a± -—- a₂ — 4ft2 — 12æ₃£ 4~ 8a± a₃ — Qa₃ — 16a^ 4- 10ßs

folglich wird

(27.)

3a₂ = 4«i£— oo, 5a₃ = 8 a₂C, — 3«i, 7 a\ = 12«;4 — oa₂, 9a5 = 16«4^ — 7a₃,

allgemein erhält man also für n ^ 2

(2w — l)a* = 4(m — l)aw_4 — (2n — 3)an-₂.

(28.)

Zur Entwickelung des elliptischen Normalintegrals zweiter Gattung muß man, wie aus Gleichung (4.) hervor-

= -(- ^ setzen und

geht, in den Gleichungen (8.) bis (14.) m erhält

«04©=

2.4

1.3

2.4.6

allgemein

(30.)

o-<

— 1 f-¹

On—1

f__

= /y 1 — sin²asin²çp . d(p

= &o?> + y sin(2çp) — sin (4<p) + j sin(6çp)--|----

§ 60. Berechnung der elliptischen Normalintegrale.

Dabei ist nach Gleichung (10.)

Ci²

f8 + ÿ£l2 + ---)

(34.) S„ = co^(|)(l ₊ |î + 42

1    /    n=-oo

⁼ T+?(l + ^W+W

Man kann aber die Größe bo auch durch a₀ und a\ ausdiücken. Es ist nämlich nach den Gleichungen (17) und (18.)

^D    /    fl— OQ    <

(17a.) a₀ = (1 + f²) 2 cns*n = (1 -f e*) (l + £⁴ 2 c²n+1e*A

*=°    V    n=0    /

n—oo

»=o

(i8a.) ai = (i + f>²2V«₊₁fte; ferner ist

(35.)

k² = sin²a =

4tg²:

ŁO R

4e²

[¹⁺Ol

(1 + £²)²

(36.)

2—k²

'2(1 +

(1 + £²)²

Daraus folgt

1 + a²L

(37.) (2-F)oo = —=

n—oo

1 +    2 (c^ + l + Cn)s4n

(38.)

2é⁴

r+^

2 2c^₊₁£⁴«

w=0

also

(39.) (2-*2)00 — ^ = — ^=

1 -fi £²

* Nun ist aber

(40.) c»₊₁ = 2w ^ 2 deshalb geht Gleichung (39.) über in

o r    n=oo p

(41.) (2 -**. - W* -    ^ 2 7râ‘⁴”

n—co

1 + f⁴ 2 fe. - c«+i)²f⁴“

n=0

also Cft,    ^

cn

2 n -f- 2

= 2&0-

Auch die anderen Koeffizienten b\, bo, b₃,... kann man sehr einfach durch die Größen ao, «i, ao, . . . ausdrückem

daß man die durch Reihen-entwickelung dargestellten Funktionen gliedweise diffe-rentiieren darf, so findet man durch Differentiation der Gleichung (32.)

Setzt man wieder voraus

(42.)

sin%sin</D cos cp

Vl — sin²« sin²<p

= — 4&i sin(2<p) -j- 8ö₂sin(4(p)

— 42ô₃sin(69)) -f-----;

außerdem folgt aus Gleichung (26.) sin²« sin (p cos cp Y1 — sin²« sin²<p

(43.)

k²

= ₂ [(«2 — «o)sin(2r/))—(«₃ — «L) sin(4ç>) + («4 — a₂)sm(6(p)--1----],

folglich erhält man

8&i = &²(«o — «2), I662 = k\a\ — as), 24bs — k\a₂ — «4),.. allgemein

(44.)

8nbn = k\an-i — an+1).

Setzt man also «o— «2 = 2². Bi, allgemein

«1 — «3 = 4² . R₂,

«2 — «4 = 6³. Bs,. ■

(45.)

a*-i — a»+i = (2w)²R

so wird

k²

’ b₂,

c»| «S*⁻

(46.) h = -₂ • Bi, folglich geht Gleichung (33.) über in

f________

(47.) B(k, <p) — Jy 1 — sin²«sm²9?. drp

b/t

■Bs,... -

n

■ Bn,

k²

= boy + [Risin(2(jp) — R₂sin(4g>) -f- Rasin(6çp)--]—„•].

Von besonderem Interesse sind die Werte der beiden

Integrale F(k, cp) und E(k, (p) für <p =

mit K und E bezeichnet.

(33.) und (44.) wird

die man bezw. Nach den Gleichungen (46.),

(48.)

K= F

(*■ S)-f\

0

d(p

Y1 — sin²« sin²<p

aQjc

71

(49.) E

— sin²a sin²<p. dcp

box

= |[(2 — Ä⁸)flo —Ä²«!].

Eine kurzgefaßte Tabelle der Größen X und E, F(k, cp) und E(kj çp) ist in den Anhang dieses Bandes auf genommen²).

Fig. 113.

2.0

Fig. 112.

2J0

^-3 'S s

t9

18

17

1.5

1.4

1.3

12

1.0

0.9

0,8

0,7

Q6

0,5

0,4

0,3

03

Q2

Q2

0.1

0,0

10° 20°30°40° 50°60'⁾70o80o90°

10° 20o30°40° 50°60o70o80²90°

Über den Verlauf der Funktion y — F{k, ) gibt die Figur 112 Auskunft, wobei k = sina, und die gezeichneten Kurven, von unten nach oben gerechnet, den Werten a = 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° und 90° entsprechen. Über den Verlauf der Funktion y = E{k₁ cp) gibt Figur 113 Auskunft,, wobei k = sina, und die gezeichneten Kurven, von oben nach unten gerechnet, ebenfalls den Werten a = 0°, 15°,. 30°, 45°, 60°, 75° und 90° entsprechen.

Beispiel.

Die angeführten Reihen konvergieren um so schlechter,, je mehr sich k = sina dem Werte 1 nähert. Wenn also' in dem folgenden Beispiele

(50.)

k = 0,8, s —

1 — Vl—k²

= 0,5

gesetzt wird, so möge hervorgehoben werden, daß die Rechnung für kleinere Werte von k noch kürzer wird. Hier erhält man

£¹² = 0,000 244 14 e¹⁶ = 0,000 015 26 £2o ₌ 0,000 000 95

£24 _ 0,000 000 06;

1 + e² = 1,25

(1 + e2)e2 ₌ o,312 5

£⁴ = 0,062 5 £s ₌ o,003 906 25

ferner ist

cxC2 = 0,187 5 C2C3 = 0,117 187 5 c₃c₄ = 0,085 449 22 C4C5 = 0,067 291 26 c₅c₆ = 0,055 515 29 c₆c₇ = 0,047 254 09.

ci² = 0,25 c₂² = 0,140 625 Cg2 = o,097 656 25 c₄2 ₌ 0,074 768 07 c₅2 = 0,060 562 14 c₆2 = o,050 889 02 Daraus folgt

(51.) a₀ = ( 1 + 0(1 + ci%⁴ + C2²ć⁸ +•••) = 1,270 249 20, (52.) «i = (1 -f- e²)e²(ci + Cic₂£⁴ -f- c₂c₃e⁸ +•••)== 0,160 062 02..

Aus den Gleichungen (27.), nämlich aus den Formeln (53.) 3a₂ = 4ai£ — oo, 5a₃ = 8a₂£ — 3ai, 7a₄ = 12a₃£ — 5a₂,...r wobei

2 — 0,64    17

(54.)

ist, findet man — k²

Zr² " 0.64

(55.)

a₂ = 0,030 092 65 aa = 0,006 277 80 «₄ = 0,001 374 39 a₅ = 0,000 309 41 a₆ = 0,000 070 93

a₈ = 0,000 003 86 «₉ = 0,000 000 91

«io = 0,000 000 21 au = 0,000 000 05

«i2 — 0,000 000 01.

a₇ = 0,000 016 47

Es darf nicht verschwiegen werden, daß man diese Werte ans den Gleichungen (27.) nur dann findet man noch einige Dezimalstellen mehr berücksichtigt. Bei derartigen rekurrierenden Formeln werden nämlich die Fehler, welche durch die Vernachlässigung der folgenden Dezimalstellen entstehen, im allgemeinen bei jedem späteren Gliede größer. Wenn z. B. die letzte Dezimalstelle in a₀

wenn

und «i auch nur um 2 Einheiten unsicher ist, so wird in der Gleichung

3«2 = 4«i£ — «o

«i (und deshalb auch der Fehler von «fi mit 4£ = 8,5 multipliziert, so daß 3«2 um 19 Einheiten, «₂ selbst um heiten in der letzten Dezimalstelle unsicher ist. Die Größe «3 wird um etwa 23, «4 um etwa 172 Einheiten unsicher. So steigert sich die Unsicherheit mit jedem späteren Gliede außerordentlich schnell, weshalb die vorstehenden Resultate nach Gleichung (20.), nämlich nach der Formel

Ein-

a,

n=00

= (1 + f²) £ c„c,₊„e*'+'”

n—0

berechnet sind. Sodann findet man aus den Gleichungen 26o = (2 — Z:²)«o — k²«i = 1,36 . «o — 0,64«i,

4Bi = «0 — «2, I6R2 = «i — «3,    36R3 = «2 — «4,. • •

B₆ = 0,000 013 03 Re = 0,000 002 03 B-, = 0,000 000 34 Bs = 0,000 000 06 r₉ = 0,000 000 01.

(56.)

bo = 0,812 549 61 By = 0,310 039 14 B₂ = 0,009 611 51 Bs = 0,000 797 73 Bi = 0,000 093 26

Daraus folgt dann

(57.)

(58.)

K = F(k, 0    ^ = 1,995 302 78,

E =    0 =    - 1,276 349 94.

Soll z. B. bei der Rektifikation der Ellipse mit den Halbachsen

a = 10,

der Quadrant q berechnet werden, so erhält man e — 8,

also k = gehenden Paragraphen

6

— = 0,8 und nach Gleichung (20.) des vorher-

Qj

(59.) q

=aJ

0

'dt Ÿ1 — k‘H²

= aE(k, 0 = 12,763 499 4.

Zur Prüfung dieses Resultates beachte man, daß der Quadrant des Kreises mit dem Halbmesser a gleich 15,707 963 3, und der Quadrant des Kreises mit dem Halbmesser b gleich 9,424 778 0 ist. Der Quadrant der Ellipse liegt, wie durch das oben gefundene Resultat bestätigt wird, zwischen diesen beiden Werten.

§ 61.

Vereinfachung der numerischen Rechnung durch die Landenscht Transformation.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 185 und 186.)

Es sei wieder

(!■)

F{k, cp)

dn

0

dtp

—------- ?

— sin²a sin²#)

dann führe man eine neue Intégrations-Veränderliche ip ein durch die Gleichung

(2.)

tgcp =

sin (2#>)

sina -j- cos(2xp)

oder sin(2 ip — çp) == sin a sin#).

(3.)

also

(4.)

(5.)

Dies gibt durch Differentiation

d<p

cos²<p

= (1 + t g²<p)d<p =

2[1 -f- sina cos(2xp)]dxp [sin« -j- cos(2ip)]²

dep —

1 — sin²a sin²g) =

2[1 -f- sina cos(2 xp)]dxp sin²a -j- 2sinacos(2^) + 1 sin²a t g²(jp 1 + tg²ço

sin²a sin²(2tp) sin²a -|- 2sina cos(2xp) -)- 1

[sina cos(2xp) -j- l]²

sin²a -f- 2 sin a cos(2xp) -f- 1

Dabei ist

sin²« + 2sina cos(2tp) -j- 1 = (1 -f- sina)² — 4sin«sin²^.

Da

(1 — sina)² =1 — 2sina -f- sin²a > 0

ist, so wird

1    -j- 2sina -f- sin²a = (1 + sina)² > 4sina, folglich kann man

2    Vsina 1 -f- sin a

(6.)

= sin/9, also

4sina

= sin²/9

(1 4- sin«)²

setzen und findet aus den Gleichungen (4.) und (5.)

(7.)

dep —

2[1 + sinacos(2tp)]<9tp

(1 -j- sina)²(l

sin²ß siri²xp)

(8.)

Y1 — sin²a sin²(jp = Dies gibt

1 + sina cos(2^)

(1 -j- sina)]/l—sin²/9sin²tp

(9.)

dep

dxp

1 -f- sina yi

Y1 — sin²a sin²ÇD Da xp — 0 wird für cp = 0, so erhält man

sin²ßsin²xp

fn

0

dxp

dep

K-y , , .....

1 + sina J y i — sin²/9sin²tp

o

oder, wenn man sina mit k und sin/9 mit k\ bezeichnet,

(10.)

— sin²a sin²çp

FQt, 9>) = x + k F(h, y),

(10 a.)

wobei man den Wert von ip ans Gleichung (2.) findet.

Das Integral F(ki, ip) ist mühsamer zu berechnen, weil ki> k ist. Es ist nämlich

sina < 1, also 1 -f- sina <2,    (1 + sina)² < 4

folglich wird

sin²/? =

4 sin a

(1 -f- sina)²

4sina .    . „

> —^— = sina > sima.

Deshalb denkt man sich in Gleichung (10 a.) die Größen ki = sin/? und ip gegeben und bringt diese Gleichung auf die Eorm

d. h. man führt das mühsamer zu berechnende Integral F(ki, ip) auf das einfachere F(k, (p) zurück. Dabei berechnet man die Werte von cp und sina aus den Gleichungen (2.) und (6.), und zwar findet man aus Gleichung (6.)

(1 — sina)2 (1 -f- sina)² ’

(10b.)

cos²/? = 1

sin²/? =

oder, da man den Wert von ß zwischen 0 und nehmen darf,

an-

(11.) COS/? = “

— sma

1 -f- sina

also sina

1 — cos/?

oder

1 + cos/?

(12.)

j. i-yr-k?'

1 + 1/1 — h²

Setzt man z. B., dem Beispiele im vorhergehenden Paragraphen entsprechend,

ki — sin/? = 0,8, also cosß — 0,6,

so wird

k = sina =

1 — cos/?    0,4

1 + cos/?    1,6

1 — Vl—k² 1 — YÖ,9875

= 0,25

e - tg(l)=

£ = 0,125 016 654, £² = 0,016 133 230, £⁴ = 0,000 260 281, £⁸ - 0,000 000 068.

0,25

= 4—yih

Man darf deshalb bei der Berechnung der Größen

st) j ii j i '2 ? • •

&0 j ®1 ;    j • •

stellen berücksichtigt, alle Glieder vernachlässigen, die mit

selbst wenn man 9 Dezimal

s¹² oder mit einer höheren Potenz von s multipliziert sind.

Durch wiederholte Anwendung dieser Substitution wird man auf immer kleinere Werte von k == sin« geführt, und zwar nehmen diese Werte sehr schnell ab. Für

lim k = lim sin a = 0 wird

(13.) lim_F(k, cp) — lim

dcp

Idcp —

— sin²asin²œ

o

d. h. für kleine Werte von a ist F(k, cp) nur wenig von cp selbst verschieden.

Ä=0

a=0

Dieselben Formeln führen auch zu einer Reduktion des elliptischen Integrals zweiter Gattung E(ki, ip). Rach Gleichung (2.) ist nämlich

cos²ço =

1 4- tg²çp

[sina -J- cos(2ty>)]2 sin²a -R 2 sin a cos(2ip) -R 1

deshalb folgt aus den Gleichungen (5.) und (6.)

sin²a -R 2 sin a cos(2ty>) -R 1

Y1 — sin²a sin²#) -R sina cos cp =

]/sin²a -R 2sinacos(2^) -R 1 = |/sin²a -R 2 sin a cos(2xfi) -)- 1 = (1 -R sin a)y 1 — sin²/? sin²?/;,

2[1 -R sinacos(2i/>)]ć^

( 1 -f- sin a)]/1— sin²/9sin²^

und aus Gleichung (7.)

( K 1 — sin²asin²ęD -R sin a cos cp)dcp —

Dabei ist

2 [1 -f- sina cos(2ł/>)] = 2 -R 2 sin a — 4sin a sin²*/?

= (1 -f- sin a) [2— (1 -R sin a) sin²/? sin²!/?] = (1 -R sina) [(1 -R sina)(l — sin²/? sin²ip) + (1 — sina)],

folglich wird

(14.)

<r

ßvi

o

— sin²a sin²çD -R sin a cos cp)dcp

■w

= (1 -R sin

a)ß/l

o

sin²/?sin²ipdip -R (1 —

sin a)J^

o

dip

]/l—sin²/?sin²^

oder

(14 a.) F fk, cp) -f- k sin çp = (1F k)E{k\, tp) + (1 —k)F{kx, y). Mit Rücksicht auf Gleichung (10.) findet man hieraus

EQc, cp) -(- ksincp — (1 -f- k)E(kx, ty) -f- —

¹^F(k,<p)

_ Jr2

¹

Der Beweis für die gleichmäßige Konvergenz möge hier übergangen werden.

²

Eine ausführliche Tabelle der Größen K und E, F(k, cp) und E(k, cp) findet sich in der äußerst nützlichen Formel - Sammlung von Jahnke und Emde: „Funktionentafeln mit Formeln und Kurven“. Berlin und Leipzig 1909.

~2—F{k,cp),

also

(15.) Mh, 1p) =    f)

rrisin9’-

Durch diese Formel kann man E(kx, ip) zurückführen auf die Berechnung von F(k, çp) und E(k, cp), wobei der Wert von k nach Gleichung (12.) wesentlich kleiner ist als der Wert von kx.

§ 62.

Differentiation der Integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 187 bis 189.)

Nach Formel Nr. 4 der Tabelle war ein bestimmtes Integral durch die Gleichung

b

(1.)

J = fF\x)dx — F(b) — F(a)

erklärt worden. Betrachtet man a und b als veränderlich, so ist J eine Funktion von a und b, und man erhält durch Differentiation

(2.)

dJ

= — F'H = F'(b)

also

(3.)

b

dJ — d/F\x)dx —

— F'(a)da + F\b)db,

oder, wenn man F\x) mit f{x) bezeichnet,

(3 a.)

b

dJ = dJ f(x)dx =

— f(d)da + f(b)db.

Ist die Funktion unter dem Integralzeichen außer von x noch abhängig von einem variablen Parameter t, ist also

b

(4.)

F\x) = fix, t), J — /fix, t)dx

so ist auch das bestimmte Integral J eine Funktion von t, und zwar von t allein, wenn die Integrationsgrenzen a und b zunächst als konstant betrachtet werden. Das Integral J geht über in J Ą- 4 J, wenn t um 4t wächst; es wird also

b

J + I'J = Jf(%, t 4- 4t)dx.

a

Aus den Gleichungen (4.) und (5.) folgt daher

6    b

AJ = Jfix, t    4t)dx — ff^x, t)dx,

(5.)

(6.)

=J [fix, t -j- 4t) — f{x, t)]dx.

Nach Formel Nr. 88 der Differential-Rechnung (12. Auf

lage) ist

fia + h) — f{a) — h . f'{a -j- Oh)

wobei 6 zwischen 0 und 1 liegt. Wenn man nun unter der Voraussetzung, daß fix, t) für die betrachteten Werte von t eine stetige und differentiierbare Funktion von t ist,

dfix, t)

m mit f₂{x, t)

bezeichnet und in der vorstehenden Formel a mit t, h mit 4t, fia) mit fix, t), also f\a) mit fjgc, t) vertauscht hält man

so er-

f{x, t + 4t) — f{x, t) = 4t. f₂(x, t + 0.4t). Deshalb geht Gleichung (6.) über in

b

AJ — jAt. f₂(x, t -j- 0 • 4t)dx,

oder wenn man beide Seiten der Gleichung durch 4t dividiert,

(7.)

AJ

4t

b

— ff₂(x, t + & . 4t)dx

a

b    b

=fax, t)dx -f-J\Hx, t -f 6 . At) — f₂{x, t)]dx.

Läßt man jetzt 4t verschwindend klein werden, so wird, wenn auch f₂{x, t) für die betrachteten Werte von t

stetig ist, das zweite Integral auf der rechten Seite von Gleichung (7.) verschwindend klein, so daß man an der Grenze

ÔJ

(R) dt

'df(x, t)

dt

dx

erhält Dies gibt den

Satz. Fin bestimmtes Integral wird nach einem variablen Parameter t, den die Funktion f (x, t) unter dem Integralzeichen enthält, differentiiert, indem man diese Funktion nach t differentiiert.

Voraussetzung ist dabei, daß die Funktionen f(x, t) df(x, t)

und

dt

für die betrachteten Werte von t stetig sind.

Betrachtet man jetzt noch den Fall, wo die Integrationsgrenzen a und b veränderlich sind, so wird J eine Funktion der drei Veränderlichen a, b und 1₁ woraus sich für das totale Differential der Wert

öl

ÖJ

ÖJ

dJ = V¹- da + db -4- 44 dt da    ob    dt

ergibt.

Sind insbesondere die Integrationsgrenzen a und b gleichfalls Funktionen von t, so wird nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 231 der Tabelle

(9.)

dJ _ dJ da ÔJ db ÖJ dt da dt db dt dt ’

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (8.)

dJ

<¹⁰-> dt

b

Jf(x, t)dx

da

db

'df(x, t)

⁺J dt

dx.

Ist J das unbestimmte Integral einer Differential-Funktion f(x, t)dx, welche noch einen variablen Parameter t enthält, so kann die Integrations-Konstante C gleichfalls noch von dem Parameter t abhängig sein, so daß man erhält

(11.)

wobei <p(t) eine ganz beliebige Funktion von t ist. Wächst t um Jt, so geht J über in

J -f- JJ = J‘f{x, t -f- Jt)dx + (fit -j- Jt) ;

(12.)

folglich wird

(13.) JJ = f [f(x, t + Jt) — fix, t)]dx + rp{t + Jt) — epif), also    i

(14.)

JJ

'df{x, t)

of- dx + v'V)-

- = lim dt jt-o Jt

Da <p(t) eine ganz beliebige Funktion von t ist, so gilt dasselbe von <p'(t), d. h. spielt auch in Gleichung (14.) die Rolle einer beliebigen Integrations-Konstanten, so daß der Satz, der vorhin für die Differentiation eines bestimmten Integrals nach einem variablen Parameter ausgesprochen worden ist, in gleicher Weise auch für die Differentiation eines unbestimmten Integrals gilt.

§ 63.

Berechnung bestimmter Integrale durch Differentiation.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 190 und 191.)

Aus Formel Nr. 28 der Tabelle, nämlicb aus dx

a² -j- x²

folgt durch Vertauschung von a² mit t

(1.)

= 1 arctgf—) a \a/

oo

(2.)

s.

0

dx

i jt

Vt'*

x² t

Indem man beide Seiten dieser Gleichung nach dem Parameter t differentiiert und mit — 1 multipliziert, erhält man nach Formel Nr. 188 der Tabelle

OO

(3.)

y*.+1?

o

dx

th |<?q

üt

tVt ²

Wenn man beide Seiten dieser Gleichung nochmals nach 11 differentiiert und durch — 2 dividiert, so ergibt sich

F3 _J_

(x² + tf 2.4 t²y~t

oo

dx

to; a

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens findet man

OO

dx

(5.)

1,3.5    1

(x² + t'f 2.4.6 py f

OO

(6.)

fl

o

dx

1.3.5... (2n — 3)__

(x² + t)n    2.4.6... (2n — 2) fn—iyj 2 ’

ji

oder

oo

(6 a.)

fl

0

dx

{a² -j- x²)n

1.3.5 ... (2rc — 3) 2.4.6... (2 n — 2) a2n~¹

Ans

(7.)

e~txdx —

t. etx

folgt für positive Werte von t

OO

(8.)

e~txdx = — •

Indem man beide Seiten dieser Gleichung nach dem Parameter t differentiiert und mit — 1 multipliziert, erhält man nach Formel Nr. 188 der Tabelle

OO

(9.)

e~tx. xdx =

rH

und wenn man dieses Verfahren wiederholt.

OO

(10.)

e~~tx. xrdx

1.2

tà

oo

(11.)

e~tx. xódx =

1.2.3

OO

(12.)

/•

o

~fx. =

§ 64.

Berechnung der Werte von einigen bestimmten Integralen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 192 bis 197.)

Zur Berechnung eines bestimmten Integrals ist es nicht immer erforderlich, vorher das unbestimmte Integral zu ermitteln; es sind dabei vielmehr häufig Vereinfachungen möglich, wie man aus den folgenden Beispielen ersehen kann.

2

Aufgabe 1. fcos2nxdx = ? 0

Auflösung. Nach Formel Nr. 102 der Tabelle ist l cos2n~~lx -j

(1.) jcos2nxdx — sina?

{2n    l)(2n —3)... 5. .3

_2 n

da nun

2n(2n— 2)...6.4.2

2«(2n^2)Cos2”-³* + -'

1 , (2n— l)(2n — 3)...5.3.1

C0S 37 J ⁺ 2ń(2w —2)...674T2_ X 5

(2.)

sinO = 0, cosi

K (M

ist, so wird

(3.)

cos 2nxdx =

(2n — l)(2n — 3)... 5.3.1 Jt 2n{2n — 2)... 6.472    2

Aufgabe 2. fsm2nxdx — ? o

Auflösung. In ähnlicher Weise wie bei der vorigen Aufgabe ergibt sich aus Formel Nr. 105 der Tabelle, nämlich aus

(4.) Ism2nxdx = — cosd -^sin2w—lx 4

J    L2n

sin²»—s

(2n—l)(2n—3)... 5.3

2n(2n—2)...6.4.2 das bestimmte Integral

sina: -f

2n(2n —2)

(2 n—l)(2w—3)...5.3.1

2n(2n — 2)... 6.4.2

(5.)

sui2nxdx =

(2n — 1)(2n — 3)... 5.3.1 ji_ 2n(2n — 2)... 6.4.2    2

Die Formeln ]STr. 102 und 105 der Tabelle, deren Herleitung erst durch wiederholte Anwendung der partiellen Integration ermöglicht wurde, braucht man aber gar nicht einmal zur Berechnung dieser bestimmten Integrale; man findet vielmehr weit einfacher aus Formel Nr. 101 der Tabelle, nämlich aus

(6.)

cos 2nxdx —

cos2n~xx sin x 4-    „

Zn

l r

— lcos2n~²xdx

durch Einsetzen der Grenzen das bestimmte Integral

7t

7t

7t

(7.)

cos 2nxdx —

1    . Y

[cos2w—1fljsinr]o -f-

IC

-ß

o

cos 2n~~²xdx

7t

Y

—ßlOS2n~

0

²xdx,

weil das erste Glied auf der rechten Seite von Gleichung (7.) an der oberen und an der unteren Grenze verschwindet. Indem man n mit n — 1 vertauscht, geht Gleichung (7.) über in

7t

7t

(8.)

/c

cos 2n~²xdx =

^j'cos2n~ixdx. 0

In dieser Weise kann man fortfahren, bis man endlich die F ormeln

7t

7t

7t

7t

(9.)

cos Ąxdx

= -- fcos²xdx

V

0

(10.)I ß

0

cos ²xdx =

cs; (-*•

dx - -

tH i(M

erhält. Aus diesen Gleichungen ergibt sich dann wieder dasselbe Resultat wie in Gleichung (3.)

Ebenso liefert die Formel Nr. 104 der Tabelle, nämlich

2 n —

(10.) Isin2nxdx = — }

J    Zn

durch Einsetzen der Grenzen die Gleichungen

sin²^—i^cosr +

-ß

sin 2n~²xdx,

71

7t

di.)/

o

¥ •

sin 2nxdx = —

7t

1 ¥

— [sin2w—1£ccosa;]o

t-H !

sin 2n~²xdx

7t

An —

An

-fi

0

sin 2n~²xdx

71

7t

(12.)

fi

0

sin 2n~²xdx =

An — 3

2n — 2

ir

o

sin2w_

7t

7t

(13.)

fi

0

sm⁴xdx

- /■ o

CO

sin²xdx

TT

(14.)

fi

o

sin²xdx

iH 103

co a

Aus diesen Gleichungen ergibt sich wieder dasselbe Resultat wie in Gleichung (5.).

7t

Aufgabe 3. fcos2n+xxdx = ?

0

Auflösung. Setzt man m — 2w -J- 1, so erhält man

(15.) Je

also

cos 2n+1xdx =

7t

in Formel Nr. 101 der Tabelle

-—- cos2nx sin x + An + 1

cos 2n~~lxdx

7t

¥

(16.) jcos2n+1xdx — o

7t

[cos2rairsina;]o -(

2n

2w + 1

cos 2n~xxdx

7t

fi

0

cos 2n~xxdx.

Ebenso wird

71

7t

(17.)

/c

cos 2n~xxdx —

2w —-

2 C

— lcos2n~³xdx 0

71

71

(18.)

jcos³xdx = | jeosxdx =

71

2 2 3 Mo =

CO

folglich, wird

71

(19.)

cos 2n+1xdx =

2w(2w — 2)... 4.2

(2 n+ l)(2n — 1)... 5.3.1

Ebenso findet man aus Formel Nr. 104 der Tabelle

71

(20.)

sin2w+1£C£fcc =

2w(2n — 2)... 4.2

(2w -j- 1) (2n — 1)... 5.3.1

In ähnlicher Weise liefern die Formeln Nr. 108 und 111 der Tabelle, nämlich die Gleichungen

sinw;ccos nxdx — —

(21.) jl

sin^⁻bccos^+hr

(22.) Jsinmx cosnxdx

,    , — /s i nm~²x cosnxdx,

m + nj

sinw+1:rcosw~~]lx

m -f- n

—- fsinmx cosn~²xdx, m + n J

71

2"

ein einfaches Verfahren für die Berechnung von/sin/j*:rcos^r&c.

o

Aus Gleichung (21.) folgt nämlich, wenn m > 1 ist,

71

71

, — fsinm~²x cosnxdx. m ~r n J o

Je nachdem m gerade oder ungerade ist, wird durch wiederholte Anwendung dieser Vereinfachung das gesuchte Integral schließlich entweder auf das bereits ermittelte

(23.)

sin^xcos nxdx =

71

~2

Integral Jcosnxdx, oder auf o

(24.)

coswa?sin xdx — —

'cos”⁺¹af|²

_n -f- 1

Jo

n -f- 1

zurückgeführt.

Aus Gleichung (22.) folgt, wenn n > 1 ist,

71

(25.)

71 - 1 /

sinmx cosnxdx —-;— lsinmx cosn~²xdx.

m -f- n J

o

Je nachdem n gerade oder ungerade ist, wird durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung das gesuchte Integral schließlich entweder auf das bereits ermittelte

71

~2

Integral jsmmxdx, oder auf o

(26.)

sin^a? cos xdx =

~§,in.m+1x~

. m -f- 1 J₀    m-f-1

zurückgeführt.

Diese Resultate kann man auch zur Berechnung der

71

Zahl % benutzen. Es ist .nämlich für 0 y x y ^

(27.) 0 y sina? -y 1, also sin2w+1a? y sin2nx y sin²^_1a?, und deshalb nach den in § 55 ausgeführten Sätzen

y    y    y

(28.)

oder

Jsm2n+1xdx < jsin2nxdx <Jsin2n~lxdx, o    oo

(29.)

2n(2n — 2)... 4.2

(2n -j- l)(2w — 1)... 5.3

(2 n — l)(2w — 3)... 5.3.1 ar ' 2n(2n — 2)... 6.4.2~

und

(2n — l)(2w — 3)...5.3.1 ar , (2 n — 2)(2w — 4)... 4.2 2n(2w — 2)... 6.4.2    ' 2 < (2 n — 1)(2 n -^3)7^573

Daraus folgt

(31.)

vH ICO

CD liO

CD |t>-

2n — 2

2n

2n

2n — 1 2n — 1 2n -f- 1

und

oc

co !t-h

co Ico

vH ICO

d1

Oi| 05

-0| 05

2n — 1    2 n — 1

Die rechten Seiten dieser beiden Ungleichungen unter-

^2/yi

2n -f- 1

der sich für unbegrenzt wachsendes n der Grenze 1 nähert,

scheiden sich voneinander nur durch den Faktor

folglich ist

CO

cd

CO IrH

CO ICO

vH ICO

vH WO

0^1 05

CD |t>-

Diese Formel rührt von Wallis her und ist bereits vor Entdeckung der Differential- und Integral - Rechnung gefunden worden.

Aufgabe 4. Man soll das Integral

xp~xdx

/(‘-s

0

berechnen, wenn m eine positive ganze Zahl ist, während p zwar positiv ist, aber auch eine gebrochene Zahl sein darf.

Auflösung. Obgleich die Funktion unter dem Integralzeichen für p < -f- 1 an der unteren Grenze unendlich groß wird, findet man auch in diesem Falle für das gesuchte Integral im Sinne von § 52 einen endlichen Wert. Setzt man nämlich in der Formel (Nr. 98 der Tabelle)

(34.)

Judv — uv —• fvdu

also

u = ( 1——)

\ m/

dv — xp~xdx,

du — —

A    x*

( 1--) dx. v = —-

\    m/    p so wird, wenn man die Grenzen (nach der Anweisung von § 52) einsetzt,

(35.)

/o-sr

o

xp~xdx

_ rv    xyxpim

~ l\    m) p J₀

mp

/(>-3

0

m— 1

xpdx

mp

JÇ--3

0

xpdx.

Setzt man sodann in Gleichung (34.)

u=(i — -Y*1 \ m/

dv — xpdx

also

du =

m—

m—2

\dx, v =

xp+l

so findet man

(36.)

/(‘-3

xpdx

-(‘-3

m—1 xp + X ~\m

Jo

m(p + 1 )J\    vn)

o

m

L jP _ "Y"-²

1) / \ «*/

xp+1dx

xp+ldx.

m{p + 1)^

o

Ist m größer als 2, so kann man in dieser Weise fortfahren und findet

^/0-îT

xp+xdx —

² f(i-x)

m(p + 2)J \ m/

o

xp+2dx

(38.)

/(- 3

0

xp+m~'idx =

/(•-3

0

XP+m-2 dx

(39.)

/(‘-3

xp+m~²dx —

xP+m—\(lx

mP + m

Ans den Gleichungen (35.) bis (39.) folgt daher

771

xp~ldx —

2)... 3.2.1 . mp+m

mmp{p + 1 ){p -f- 2)... (p -f- m)

m\ mp

P(P + l)(p + 2)...(i? + w) Aufgabe 5¹). Man soll den Wert des Integrals

oo

xp~xdx

1 Ą- x

berechnen, wenn 0 <.p < 1 ist.

Auflösung. Das vorgelegte Integral spielt bei verschiedenen Untersuchungen eine wichtige Rolle. Seine Be

rechnung bietet eine gewisse Schwierigkeit, weil die Funk-

Xp~x

tion

unter dem Integralzeichen für x = 0 unendlich

1 -f- x

groß wird, und weil die obere Grenze des Integrals selbst

unendlich groß ist. Das gesuchte Integral hat trotzdem im Sinne von § 51 und § 52 einen endlichen Wert, wie sogleich gezeigt werden soll.

Unter der Voraussetzung, daß p eine rationale Zahl ist, darf man

(41.)

p = 2^ ’ also 2 np — m

setzen, wobei m < 2n ist und m und n positive ganze Zahlen sind; und zwar darf man annehmen, daß der Nenner eine gerade Zahl 2n ist; denn wäre das nicht der Fall, so könnte man den Zähler und den Nenner von p mit 2 multiplizieren. Einen anderen Faktor (außer 2) sollen aber m und 2n nicht gemein haben. Setzt man jetzt also dx — 2nz2tt~¹dzj xp~~x =

(42.)

x = z2n.

so wird

OO

OO

(43.)

xp~xdx

1 -f- x

-/

o

2nzm~xdz

1 -f

gehen.

Dadurch, ist die Funktion unter dem Integralzeichen eine rationale Funktion von 0 geworden, die man nach den Regeln der Partialbruchzerlegung integrieren kann. Die 2n Wurzeln der Gleichung

z2n = — 1 = e™ = cos Jt + i sin 71 sind nach D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 179 der Tabelle, wenn man der Kürze wegen

(2 h + l)x

(44.)

setzt.

(45.)

zh = eW = cos cph -f ism<pA

für h = 0, 1, 2, 3,...2w— 1. Deshalb wird nach den Regeln der Partialbruchzerlegung

2 nzm~l _A=Çr¹ G a 4- Ha i,

1 +    ~ té) z — eW

cp{e⁽P/ii) f\efphis)

cp{z)

Ga, + HÄi —

= — emw,

weil

ß2mpA>' — g(2A+l)7tt __ _

ist. Dies gibt

(46.)

2 nzm~x

h—2n—1 ßm<PA?'

_ _ So z — eW

1 + z2n

Dieser Ausdruck läßt sich wieder auf eine reelle Form bringen. Da nämlich $ni — 1 wird, ist

(4 n—2h—1) ni

{2 A+1) ni

(47.)

2 ti

&2 n—h—1    C

d. h. die Wurzeln zh und z^n—h-x sind konjugiert komplexe Größen, und zwar wird

(48.) zh — coscph + isincpA, z2n—h—1 = coscph — isincp/t,

(49.) (0 — Za){z — z2n-h-1) = {z — cos cphf + sin²cph

= 0² — 20COS(jDÄ 4" 1-

Gleichung (46.) geht daher über in 2 nzm~l

14- z2n

h=n—X /

So V

emw

e-m<pAi ^ + z — ß-w)

h=n—1

A=0

— e⁽Ph>

2(0 — coscph)cos(mcph) — 2 sin (ni cp A) sin ça _ (0 — coscph)² + sin ²cph

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit dz multipliziert und dann integriert, erhält man mit Hilfe der Formeln Nr. 43 und 18 der Tabelle *2 nzm~xdz 1 + z2w

(51.)

denn, wenn man

h=n—1

= — 2 cos(w^)ln[(0 — cosgP/d² + sin²^]

h—0

h—n—1    / g

+ 2 2 sin(w*9)^)arctg ( —

A=0    \

— cosyA

sin (ph )'

(*

cos <pA)² + sin²^ = y und z — coscp^ = tsincp/,.

setzt, wird

fr,

2 (z — cos <p/t)dz

— cos cpA)² + sin ²(p/t

fr,

sin <p/tdz

dt

— cos <pÄ)² + sin \h

1 + t²

= arctgU

Beim Einsetzen der Grenzen in Gleichung (51.) wird (52.) lim ln [(2 — cos<pAf + sin ²cpÄ\ — lim ln [g² — 20cos<jp/* + 1]

z=0

Z=0

= lnl = 0.

Sodann wird, wenn man z — - - setzt,

h=n—1

(53.)    2 cos+îQP/blnG² — 20cosçdâ + 1)

h=0

h—n—1    /

=    2 cos(wz(jc+ ln(

\

1 — 2wcos<jP/, + u²

V?

A=n—1

h=n—1

=    2 cos(w?gD^)ln(l — 2wcos+Ä + u²)—21 nu 2 cos(mq>A).

A=0

h=- 0

Aus der bekannten Formel

2 cos a sin b — sin(a + 6) — sin(a — b) folgt hierbei, wenn man a — m<pÂ und b = pjt setzt*) und beachtet, daß m = 2wp, also w?#)/* = (2A + l)pjt wird, 2sin(pjr) cos(w?gD^) = 2sin(pjr) cos (27?. + l)pjt

— sin(27i + 2)pjt — sm(2hpjt),

also für h — 0, 1, 2... .n — 1

*) Diese und einige der folgenden Untersuchungen werden etwas einfacher, wenn man die algebraischen Sätze über die Wurzeln der Gleichung z^n —f- 1 = 0 zu Hilfe nimmt.

2sin(jpjr)cos(w(jPo) = sin(2j9jr)

2 sin (pji) cos{mgi) = sin(4pjr) — sin(2pjr),

(54.)

2sin(njr) cos{mg₂) — sin(6jur) — sin(4pjr),

2 sin(^jr) cos(wgoM_i) = sin(2îïpjr) — sin (2 w—2)pjc.

Da 2np = m eine ganze Zahl ist, so findet man durch Addition dieser Gleichungen

A=n—1

2sin(j?jr) 2 cos(m<pA) = sm(2npjc) = sin (nut) — 0.

A=0

Dies gibt, da sin(^jr) 2 0 ist,

h=n—1

(55.)

2 cos {mgA) = 0

A=0

und Gleichung (53.) geht über in

A=n—1

(56.) 2 cos{mgA)\n{z² — 2z cos gA + 1) =

A=0

A=n—1

2 cos(w2^)ln(l — 2mcosçp/* -f- w²).

A—0

Beim Übergang zur Grenze z — oo ist daher

A—n—1

(57.) lim 2 cos{mg)k)\n{z² — 2zcosg,t -f- 1) =

z= oo A—0

A—n—1

lim 2 cos(ra<p/*)ln(l

u=Q A—0

Ferner ist für das zweite Glied in Gleichung (51.)

A—n—1    y-0

(58.) 2 lim 2 sin(m9P/*)arctg(-

2=0 A=0    \

2ucosgA + u²) = 0.

— cosgA

)-

smgA

A=n—1

— 2 2 sin {mgA) arc tg (ctg gÄ).

h= 0

(59.)

Setzt man dabei

arctg(ctg^) = aAl also ctggA = tgaÄ

so wird

(60.)

tg ci a = tg(| — Va) , oder ah = Deshalb geht Gleichung (58.) über

— <Pa-

fl—71—1    / Z

(61.) 21im 2 sin(w*g5Ä)arctg( —

2=0 A=0    '

— cos gh

svsxgh

A=n—l/jt    \

2    ^2 — <PAjsin{mg>A)

wobei der Wert der rechten Seite noch auszurechnen ist. Aus der bekannten Formel

2 sina sin b — cos (a — b) — cos(a -f- b) folgt hierbei, wenn man wieder a = mcp^ und b = pjt setzt, (62.) 2sin(»w<jp/0sin(^jr) = 2 sin(2/?. -(- l)jt?.7r sin(^jr) =

cos (2hpji) — cos (2h 4- 2)j?jr,

also für h — 0, 1, 2, . . . n — 1

2w)[l    cos (2^».?r)],

[cos(2/>jt)— cos(4pjr)], Vcos(4pjr)—cos(6pjr)] ?

5jt

2    — <Poÿ sin(pjc) sin (mcpo) =

2    — (pi^sm(pjt) sin(mçoi) =

2 — (P2jsm(pji) sin (mcp₂) =

²(

^sin (pjc) sin(mcp (2n — Y)jc

n—l) —

/jt

\2

2w

^[cos(2n — 2 )pji

cos(2npjt)\.

Durch Addition dieser Gleichungen findet man

h—n 1 ✓ jj.    \

(63.) 2sin(_pjr) 2    — <p/t)sm (m<pA) =

h—n—1

[1 + cos(2wj9jr)] —— V cos (2hpjz).

(n — l)jt

Dabei ist

(64.)

cos(2wj?jr) = cos (nut) — ■(— l)m.

Um noch    cos (2hpor) zu berechnen, setzt man in

2cosa sinö = sin(a -f- b) — sin(a — b), a — 2hpjt und b — pjt, und erhält

2sin(^jr) cos(2hpjt) — sin(2& -f- l)pji — sin(2Ä — l)px also für h = 1, 2, 3, .. . n — 1

2 sin ( pjt) cos (2 pjt) — sin (3pji) — sin ( pji) , 2sin(p^r) cos(4^?jr) = sin(5jöjr) — sin(3pjr), 2sin(j9jr) cos(Qpjc) — sin(7^)jr) — sin(5ü#),

2sin(jpjc)cos(2w—2)pjt = sin(2w— l)pjt — sin(2n—3 )pjc.

§ 64. Berechnung der Werte von einigen bestimmten Integralen. 371 /Durch Addition dieser Gleichungen erhält man

h=n—1

2sin(px) V cos(2hpx) = sin(2n

h=1

l)pji — si n(px).

Dabei ist

sin(2n — 1 )px = sin(2npx) cos(px) — cos(2npJt) sin(pjt): oder, da

sin(2wpjr) = sin(wjr) = 0, cos(2npjr) = cos (nvc) = (— Vf¹

ist,

also

sin(2w — 1 )pji — — (— l)wsin(^jr)

h=n—1

2sin(^jr) 2 cos(2hpx) =

h=1

oder, da sin(^jr)^0 ist,

2 V cos('2hpx) = — [1 + (— l'fn\.

h=o

Deshalb geht Gleichung (63.) über in

h—n—1 /    \

(66.) 2sin(^jr) V ( - — ph Ishfira^)

h=0 V-    /

(n — 1)jt

sin(_pjc)[(— l)m -f- 1]

(65.)

'ln

[i ₊ (_ ir] + [i + (_ i)-]

Da sini^jr) ^ 0 ist, findet man daher aus Gleichung (61.) den gesuchten Grenzwert, nämlich

h=n — 1    /g

(67.)    2 lim 2 sin(^9?/fiarctg( —

2=0 h=0    '

— COS <pk

sin <ph

[i + (-1 r].

2sin(7?jr)

Es bleibt noch übrig, den Wert der Summe für z — oo zu berechnen. Dabei ergibt sich

h — 7Z 1    / <y

(68.) 2lim V sin(w?gvdarctg( —

2=ca h—0    \

— cos cph

h=n—1

sin (ph

h—n—1

= 2 V sin(mçD^) arctg oo = x 2 sin(mcp/,).

h=0

h=0

Nun ist aber nach Gleichung (62.) 2sin(m<pfi)s\n(px) = cos (2 hpx) — cos (2h -f- 2)px, folglich erhält man für h = 0, 1, 2, ... n — 1

2 sin ( pjt) sin (mrpo) — 1 — cos(2^^r),

2sin(j?jr)sin(myi) = cos(2pjt) — cos(4pjr),

2sin(^>jr) sin(w?9?2) — cos(4yjr) — cos(6yjr)

2sin(_pjr)sin(w9Dw_i) = cos(2w — 2 )pjt — cos(2npjc)

= cos (2 n — typjz — cos (mjt)

= cos(2w — 2)pjt — (— l)m.

Durch Addition dieser Gleichungen findet man daher

A=n—1

2sin(^»jr) 2 sin— 1 — (— l)m

h=o

oder, da sin(jpjr) ^ 0 ist,

h=n—1    ^

2 sin (m<p/t) = -

(69.)

(— l)m

Ä=0

2sin(_pjr)

Deshalb geht Gleichung (68.) über in

(70.)    2lim* 2 'sin^y^arctg/- . C0SyA

z=ao h=0    \ Sin (p/t /

Jt

2 sin(yjr)

[i—(— i r],

Gleichung (51.)

aus

womit der letzte der vier zu bestimmenden Grenzwerte gefunden ist. Berücksichtigt man also die Gleichungen (52.), (57.), (67.) und (70.), so folgt

oo

(71.)

2 nzm~ldz

2sin(pjr)^ ⁽    ^⁺ 2sin(jpr)^^ sin(yjr)

oder das gesuchte Integral

OO

(72.)

'xp~ldx

jt

1 -f- x

sin(j)jrj

Aufgabe 6*). Man soll das Integral

(xp~¹ — x~p)dx

berechnen, wenn wieder 0 < p < -f- 1 ist.

*) Der Anfänger darf die Behandlung dieser Aufgabe übergehen.

Auflösung. Unter der Voraussetzung, daß auch hier p eine rationale Zahl ist, darf man wieder

(73.)

also 2 np — m

setzen, wobei m < 2n ist, und m und n positive ganze Zahlen sind. Dann sei wieder

x — z2n, also dx = 2nz2n~~xdz, xp~x — zm~2n, xr~p — z~m, also

(74.)

\xp~x — x~p)dx

i

-/

o

2 n{zm~x — z2n~m~x)dz

Jetzt steht wieder unter dem Integralzeichen eine echt

die man mit Hilfe der

cp{z)

gebrochene rationale Funktion

Partialbruchzerlegung integrieren kann. Die Wurzeln der Gleichung z2n = 1 sind

hni

Zh = e

für h — 0, 1, 2, ... 2n — 1 ;

¹

Der Anfänger darf die Behandlung dieser Aufgabe über

deshalb wird

cp(z)    2n(zm~x — z²”—m—i)    ¹ Gh + Hfyi

1 — z2n

h=0 z — Zh

Da z/t2n = 1 ist, wird dabei

m—^1

G/i 4" H/ti —

<P(ZA)

Zh

— Zh

in—m—1

f\Zh)

Zh

in—X

= - {z/r—zsr™),

oder, wenn man der Kürze wegen

(75.)

ll 7t

also zh = eW

setzt,

Gh -|- Hhi = — (emw — e~mW) = — 2ism(nupÄ).

Dies gibt

(76.)

2n{zm~X -

1 — z2n

h=in—1

—_2 i 2 —

Z

sin {rntph)

— zh

Da Zähler und Kenner des Bruches auf der linken Seite dieser Gleichung den gemeinsamen Faktor 1 — z2 haben, verschwinden auf der rechten Seite dieser Gleichung die Partialbrüche für ft = 0 und h = n. Dabei ist Zq = + 1

und zn = — 1. Die Zurückführung auf reelle Größen wird dadurch herbeigeführt, daß

(2 n—h')ni

(77.)

ist, daß also

(77 a.) zh — cos cph + ismqjÄ und z2n—h = cos cp,t — i sin <pA konjugiert komplexe Größen sind. Deshalb wird sin(wg>A) , ńn{m<p2n-h)

Z — Zh

Z‘in—h

= sin {m<pA)

Zh    Z    Z2n—h

= sin (mcpA)

2isin cph

(z — cospA)² -fi sin²^

und Gleichung (76.) geht über in

h=n—1 h=1

(78.)

sin(wçp/dsin cph

{z — cos cpÄf + sm²^

Setzt man

so wird

z — cos cph — tsmcpA

sin cpA. dz

f dt

Jl

Deshalb findet man, indem man beide Seiten der Gleichung (78.) mit dz multipliziert und dann integriert,

(z— cos cpA)² -f- sin²^

— arctg£.

mf-

o

2 n{zm—z2n~m~¹)dz

1 — z2n

rh—n—1    /g

4    2 sin(?wçp^)arctg(-

_ /%=!    \

— ooscph

sm <ph

)I

h=n—1    r

— 4 2 sin(mcp^ arctgf — h=1    L    \

— COS Cph

) 4- arctg(ctgr/)/dJ.

sin <pA

Zur Vereinfachung dieses Ausdruckes setze man ) = o-h und arctg (etg cpA) = ß/n

= fg(^)’ also aA = <f//

\ also ßA = |

(80.) arctgf³-: ⁰⁰⁸^ \ sm cpA

dann wird

t gaA = 1 tgßh = ct g<pA = tg(|

— cos cpA

sin cph

— <Ph

— <Ph

ah 4- ßh —

hO\ -4

<Ph

folglich wird

(SL) j 0

'2 n(zm — z2n~m~~¹)dz

h—ti—1

= 2 V (je — <ph)sm.{mtpü.

h=1

Zur Berechnung der rechten Seite beachte man, daß

m/iJt

-= Zhpji

n

m(pA =

ist, und daß deshalb

(82.) 2sin(j?JE) sin(mgp,j) — 2sin(j3JE)sin(2Äj?JE)

= cos (2/? — 1)^?je — cos(27e -f- 1 )px wird. Dies gibt für h — 1, 2, 3, ... (n — 1)

2 (je — 9Di)sin(j?jr)sin(m9)i) = ^je — [cos (^> je) — cos (3pje)] 2(je — g^sin^jEjsin^«^) = (n 2(je — cps)sin(pjt)sin(m(pä) = ^je

[cos(3pjr) — cos(5jöje)], \ [cos(5jöje) — cos(7^?je)],

2 (je — gDÄ_₁)sin(^jr)sin(wE^_₁)

^U —[cos(2n — 3)^je — cos(2n — 1)^je].

= ^JE

Durch Summation folgt hieraus

h=n—1

(83.) 2sin(j?JE) V (jr — <pA)sin(m<pA)

/i=i

jt h—n

— y\ cos(2h — 1)»je, n h=i

wobei jetzt nur noch die einfachere rechts stehende Summe zu berechnen ist. Aus

2sin(pjt) cos(2h — l)pjE = sin(2hpx) — sin (27^ — 2)px, ergibt sich

2 sin ( p je) cos ( pje) = sin (2pje) ,

2sin(pjE) cos(3j?jE) = sin(4^je) — sin(2pjr),

2 sin (p je) cos (5p je) = sin(6pjE) — sin (4p je),

= jecos(^je)

l)pji = sin (2npjt) — sin(2?E — 2)pji

2 sin (j? je) cos(2w

folglich wird, da sin(2npje) = sin(wjE) = 0 ist,

h=n

2sin(jpjE) 2 cos(27e — l)pjt = 0^ also auch 2 cos(27?.—1 )j?je = 0,

h=1

da sin(jpjE) ^ 0 ist. G-leichung (83.) geht daher über in

h—n

h=1

(84.)

h=n—1

2sin(p;7r) 2) {pc — <pA)sin(mg)t) = jccos(px),

h=\

oder

(85.)

h—n—1

2 2 & — 9>*)8in(mq)Ä) = Jtctg(px).

h=1

Deshalb findet man aus Gleichung (81.) und (74.)

(86.)

*2 n{zm~x — z2n~m~l)dz

'{xp~x — x~p)dx

sina?

§ 65.

Darstellung der Funktionen tga?, ctga?₇

durch unendliche Partialbruch-Reihen.

und

cos a?

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 198 bis 201.)

Die im vorigen Paragraphen zuletzt gefundene Formel

(1.)

(xp~x — x~p)dx

= jrctg(pjr) für 0 < p < -f- 1

kann man zur Herleitung einer bemerkenswerten Reihenentwickelung der Funktionen tg£C, ctgx, ——

und

cosa?

benutzen. Bekanntlich ist

oder

1 - 'Y*v

1 + X 4- x² -1-----f- Xv~l = --j

1 — X

rv*V

-—^=l+x + x²-\-----b X*-¹ + J——

also

(2.)

xp~¹ — x~~p

= (xp~l — xrp) -f- (xp Xl~~p) 4- (x1+p —• Xr~p)

xv[xp~y — x~~p)

4-----b (xv+p~² — xv~p~l) -b

Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichung mit dx und integriert zwischen den Grenzen 0 und 1 hält man mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

so er-

Y/xp

Jictg(px) =

xl~p

+(

xl+p

x2—p

1 -\-p    2—p

+ ■••+(

)+(

X2+p

X^~p

2 -\-p    3 —p

xv+p~l

xv~p

v-\-p—1    v—p

y+*

/J0

oder

(3.) xctg(pjt) = Q

wobei

~rp) ^ G '+P 3 —p)

.+(-¹—T--—jß,

—1    v—p) ‘

1

(4.)

'xv{xp~¹ — x~p)dx

ist. Da 0 < p < -f- 1 ist, darf man zur Berechnung von R wieder

also 2 np — m

(5.)

^    2 n

setzen, wobei m < 2n, und m und n positive ganze Zahlen sind. Sodann sei wieder

= .s⁻

(6.) x = z2n, also da? = 2nz2n~xdz, xp~~x = zF* 2n, cc ^ dies gibt

(7.)

=H

0

z2nvtzm—1 z2n~m~~l)dz

Die Funktion /‘(z) unter dem Integralzeichen kann man schreiben:

z2ttv+m—1 ( ] z2n—2mJ

~ 1 — z2n —

Zähler und

Danach muß man jetzt zwei Fälle unterscheiden, je nachdem n größer oder kleiner als m ist. Im ersten Falle (:n>m) wird die Funktion f(z), wenn man

Nenner durch 1 — z² dividiert,

(8.) f(z) =

z2nv+m-lÇL _[_ ₀2    ₀4 _|-----g z2n-2m-2)

2n—2

und daraus ergibt sich, daß f(z) für alle Werte von sehen 0 und 1 gleich oder größer ist als Null. Dabei ist

l-\-z²-gz⁴-\- ■ ■ ■ -}- z2n~2m~~² ^ n—m, ld-z²+z⁴-f-----\rz

folglich wird

Z ZW1-

2n-2^\

(n — m)z2nv+m~¹,

(9.)

also

2 n(n — m)

i

(10.)    0 < JR < 2n(n — m)J'z2nv+m~ldz —

o

Für hinreichend große Werte von v wird daher JR beliebig klein.

Im zweiten Falle (n < m) wird

(11.) /■(«) =

g2nv+2n—m—1^2m—2n . ^

1 — Z¹"

g2nv+2n—m—1 ^ J _J_ £2 _|_ g4 -J- . . . -j— z2m—2n—^)

1 + s² + H-----b zinr~²

und daraus ergibt sich, daß in diesem Falle f(z) für alle Werte von 0 zwischen 0 und 1 gleich oder kleiner ist als Full. Dabei wird

(12.)

— (m — n)z2nv+2n~m~ 1,

folglich ist

(13.) 0 > JR >—2n(m —

1

n)Jz2nv+2n~m~~ldz — 0

2 n(m — n)

Also auch in diesem Falle wird der absolute Betrag von JR beliebig klein für hinreichend große Werte von v. Man darf daher das Restglied JR in Gleichung (3.) vernachlässigen, wenn man v ins Unbegrenzte wachsen läßt; es wird also für rationale Werte von p

¹)- ( 1 +p/ \2—p

(14.)

3+J?)

X -\-x.

Dies gibt, wenn man pjt gleich x setzt, (15.) etg*=t-(-t-

(———--₇—¹—^---

\3jt—x    3x-\-x/

,    X

und wenn man px — — — x setzt

u

( ; - -

671

Da p zwischen 0 und 1 liegt, so gilt Gleichung (15.) zunächst nur für Werte von x zwischen 0 und ji. Vertauscht man aber x mit jc -f- x, so hat die linke Seite der Gleichung wieder den Wert ctga?, während sich auf der rechten Seite nur die Reihenfolge der Glieder ändert. Deshalb gilt Gleichung (15.) für alle endlichen Werte von x mit Ausnahme der Werte 0, + ar, + 2ji, + 3ar, ....

In ähnlicher Weise kann man zeigen, daß Gleichung (16.) für alle endlichen Werte von x gilt mit Ausnahme

3 ji

bji

(16.) tgx = Ç—-

“i a

——-—\

?■ + */

der Werte + %.

Aus der trigonometrischen Formel

sin

²(i)+°os2(i)

sina?

2 sin

©“•©

⁼⁼łt«(D⁺^otg(D

folgt sodann noch

sma?

- " X \Jt-X

Gar-X

Ï-W

Üi Ą- xj \

¹—\ "äji — x 2jt -f- x/

3ar -f- x)

JI

und wenn man x mit — — x vertauscht,

u

(18.)

cosx

(ń

¹—(—¹

X y X/ \ 2--X

⁺(

071

¹    5 71    ,

x -y + x

Die Gleichungen (15.) bis (18.) geben für die transzendenten Funktionen ctgx. tgx. —— i - eine Darstellung

sina? cosa;

durch unendliche Partialbruch-Reihen, die der Partialbruchzerlegung bei den gebrochenen rationalen Funktionen analog ist.

§ 66.

Darstellung der Koeffizienten einer trigonometrischen oder Fourier sz\\m Reihe.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 202 und 203.)

Sind die beiden positiven ganzen Zahlen m und n voneinander verschieden, so wird

(!•)

Jcos(m

o

— n)x . dx —

(2.)

Jcos(m + n)x o

. dx —

--[sin(w — ri)xf = 0,

m — nL    Jo

—— lsin(m 4- n)xf — 0. m -j- n ¹    Jo

Beachtet man die beiden bekannten Formeln | cos(a — b) = cosa cosb -(- sina sinô,

[ cos(a -f- 6) = cosa cosö —- sina sinö,

so findet man durch Addition und Subtraktion der Gleichungen (1.) und (2.) für

(3.)

m iE n

(4.)

(5.)

Jcos(mx) eos(nx)dx = 0, o

71

fsm{mx) sin(nx)dx = 0. o

Dagegen geht Gleichung (1.) für m = n über in

(la.)

71    71

_/cos(m — n)x . dx — /dx = jz o    o

während Gleichung (2.) auch noch für m — n richtig bleibt; folglich wird für m — n > 1

(6.)

Diese Formeln kann man zur Berechnung der zunächst noch unbekannten Koeffizienten der trigonometrischen Reihe

a2, ß3, • • •

(8.) f{x) — | ao -f- «i cos x -f- a₂ cos(2a:) -\-----(- an cos(nx) -]----

benutzen, wenn man weiß, daß sich die Funktion f(x) für Werte von x zwischen 0 und x in eine solche Reihe entwickeln läßt, und daß die Reihe gleichmäßig konvergent ist.

Multipliziert man nämlich Gleichung (8.) mit dx und integriert auf beiden Seiten zwischen den Grenzen 0 und x, so erhält man, da die Reihe gleichmäßig konvergent ist und deshalb gliedweise integriert werden darf,

(9.)

jf(x)dx = jdx = ^ o    o

oder «o

denn Jcos(nx)dx verschwindet für n> 0. Multipliziert

o

man

beide Seiten der Gleichung (8.) mit cos(nx)dx und integriert zwischen den Grenzen 0 und x, so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.) und (6.)

(10.)

oder

Jfix) cos(nx)dx o

= anjcos² (nx)dx — an ~ o

(10 a.)

an = jf(x) cos (nx)dx.

Betrachtet man auch Werte von x, die außerhalb des Intervalles von 0 bis x liegen, so erkennt man, daß f(x) eine gerade Funktion ist, die sich nicht ändert, wenn man x mit — x oder mit 2x — x vertauscht, d. h. es ist

(HO

f{2x — x) = f{— x) = f(x)\

deshalb findet man aus Gleichung (9.) und (10a.), indem man die Intégrations-Veränderliche t nennt und dann t — 2x — x setzt,

2 71

(12.) ao

^Jf(2x — x)dx = Jf(x)dx,

27t    71

In diesem Falle kann man f{x) als eine ungerade Funktion betrachten, die nur ihr Zeichen wechselt, wenn man x mit — x oder mit 2jt — x vertauscht, d. h. es ist

(17.)

fix).

Deshalb findet man aus Gleichung (16a.), indem man die Intégrations-Veränderliche t nennt und dann t = 2ji — x setzt,

(18.) bn

(13.) Qjft

o r

— — Jf(t) cos (nt)dt — o

2 71

— x) cos (nx)dx

2 TT

2 /*

— If(x) cos (nx)dx ;

JT J

folglich ergibt sich durch Addition der Gleichungen (9.) und (12.), bezw. der Gleichungen (10 a.) und (13.)

27t

(14.)

ÜQ —

Jf(x)dx,

0

ttn

27t

= — ff(x') cos(nx)dx.

jtJ

o

Weiß man, daß sich f(x) in eine gleichmäßig konvergente Reihe von der Form

(15.) f(x) = ôisinx + &2sin(2;r) + • • • + bnsin(nx) -f- • • • entwickeln läßt, solange x zwischen den Grenzen 0 und jc liegt, so darf die Reihe gliedweise integriert werden, und man erhält mit Rücksicht auf die Gleichungen (5.) und (7.)

(16.)

oder

(16 a.)

jf{x) sin (nx)dx — b„Js\n²{nx)dx — o

7t

})n = ~ jf{x)

sin (nx)dx.

bn '

LCl

27t

2 /*

= — f(x) sin (nx)dx

also durch Addition zu Gleichung (16a.)

2 71

(19.)

Weiß man endlich, daß sich f(x) in eine gleichmäßig konvergente Reihe von der Form

f(x) =    + «Lcosic -j- a-2 cos (2a;) -j----

+ G sina; -j- &2sin(2a;) -|----

entwickeln läßt, solange x zwischen den Grenzen 0 und 2ar liegt, so wird mit Rücksicht darauf, daß

(20.)

2 n

(21.) 4/isin(m-|-w)r4-sin(m—n)x]dx —J3in(mx)cos{nx)dx — 0 o    o

ist, gleichviel ob m und n voneinander verschieden sind oder nicht,

2 7t

2 71

(22.) an

= — Jf(x)cos(nx/dx 0

bn

= jf(x) sin (nx)dx o

t-H i

Dies gibt den Satz: In jeder trigonometrischen Reihe

n=oo

+ S [ancos(nx) + ö*sin(wa;)],

n—1

welche in dem Intervalle von 0 bis 2x gleichmäßig konvergent ist und dort eine Funktion von f(x) dar st eilt) haben die Koeffizienten an und bn die Werte

2 Tt

an

— — ff(x)cos(nx)dx. bn jiJ

o

2 Tl

— — (f[x)s\n{nx)dx Jtj

Aus den bekannten Gleichungen cos(a; + 2jt) = cosa;, cos (2a; + 4jc) = cos (2a;)

sin(a; + 2ar) = sina;, sin (2a; + 4jt) = sin fix)

ergibt sich, daß eine solche, im Intervalle von 0 bis 2ar gleichmäßig konvergente trigonometrische Reihe auch für alle Werte von x gleichmäßig konvergent ist und ihren Wert nicht ändert, wenn man die Veränderliche x um ein Vielfaches von 2ar vermehrt oder vermindert, d. h. die Werte der Funktion f(x), welche für alle Werte von x durch die Reihe erklärt ist, wiederholen sich periodisch. Deshalb nennt man solche Reihen auch „periodische Reihen“ und benutzt sie zur Darstellung solcher Vorgänge, die sich periodisch

wiederholen, wie z. B. bei Dampfmaschinen, Dynamo-Maschinen usw.

Dabei ist es nicht erforderlich, daß die Periode gerade

2jc ist. Indem man x mit

vertauscht, geht Gleichung c

(20.) über in

(23.)    f{pc) = \ ao -j- «i cos (-j +

«2 COS

(*?)+■■■

-j- 6i sin    + h sin    H----•

Die Gleichungen (14.) und (19.) gehen dann über in

2 /'

(24.) «o = — f(x)dx, an

CJ

(25.)

0

K = Jf(x) sin

cu t

dx.

dx

Dadurch erreicht man es, daß die Periode gleich c wird. Auch den Beginn der Periode, die sogenannte „Phasen-Konstante“, kann man noch beliebig festsetzen. Soll nämlich die Periode nicht mit x gleich Null, sondern mit x gleich a beginnen und das Intervall von a bis b umfassen,

so vertausche man Dadurch erhält man

in Gleichung (20.) x mit    '— •

(26.) fix) = \ a₀ + ai cos (^y_ a a>^ + «2COS    a + -

-f- bi sin^

2ji(x — a)\ , ₇    . /\ji{x — a)\ ,

j+    )+••• •

Diese Gleichung geht aber dadurch, daß man die Y-Achse um die Strecke a parallel zu sich selbst verschiebt und b — a gleich c setzt, wieder in die Gleichung (23.) über. Durch eine Verschiebung der Koordinaten-Achsen wird man häufig eine Vereinfachung der trigonometrischen Reihe erreichen.

Eine solche Vereinfachung der trigonometrischen Reihe tritt z. B. ein, wenn die Punktion fix) eine gerade oder eine ungerade Funktion ist; denn es gelten die folgenden Sätze:

1. Ist fix) eine gerade Funktion, ist also

f(— x)= + fix),

so findet man aus Gleichung (20.) oder (23.), daß in diesem Falle die Koeffizienten b\, b₂, bs, . . . sämtlich gleich Null sind. Deshalb wird unter dieser Voraussetzung

(27.) fix) —    + «i    + ß2 cos    H----•

2. Ist dagegen fix) eine ungerade Funktion, ist also

f{— x)=— fix),

so findet man aus Gleichung (20.) oder (23.), daß in diesem Falle die Koeffizienten ao, a\, a₂, . . . sämtlich gleich Null sind. Deshalb wird unter dieser Voraussetzung

(28.)

fix) = bi    + b₂ sin    H----•

Die trigonometrischen Reihen werden auch Fourier sehe Reihen genannt, weil Fourier in seiner „Théorie analytique de la chaleur“ zuerst die Behauptung aufgestellt hat, daß sich jede, in einem bestimmten Intervalle von a bis b willkürlich gegebene, eindeutige Funktion durch eine solche Entwickelung darstellen läßt; und zwar ist es dabei sogar noch zulässig, daß die willkürlich gegebene Funktion an einzelnen Stellen des betrachteten Intervalls von a bis b sich sprungweise ändert, und daß die dazwischen liegenden, stetig verlaufenden Stücke, geometrisch dargestellt, verschiedenartigen Kurven angehören, wenn nur die Integrale

jfix)dx, jf{x) cos (^n^X^dx, jfix) sin (^n^X^dx 0 0 0

berechnet werden können. Das wird z. B. der Fall sein, wenn die Funktion fix) aus Stücken besteht, von denen sich jedes als eine ganze rationale Funktion von x darstellen läßt.

Bei dem elementaren Charakter des Buches möge die strenge Untersuchung der Bedingungen, unter denen sich die verschiedenen analytischen Gesetze der einzelnen Stücke durch die trigonometrische Reihe als ein einziges zusammen-

25

Kiepert, Integral - Kechmmg.

fassen lassen, übergangen werden. Dagegen möge für die Anwendungen der Weg eingeschlagen werden, daß zunächst für die willkürlich erklärte Funktion die Koeffizienten «o, ai, «2, • • • und bi, b₂, h,... nach den Gleichungen (22.), bezw. nach den Gleichungen (24.) und (25.) berechnet werden, und daß man dann prüft, ob die auf diese Weise erhaltene Reihe konvergent ist. Dabei werden die Formeln Kr. 126 und 127 der Differential-Rechnung (12. Auflage) häufig gute Dienste leisten. Nach diesen Formeln gelten die folgenden Sätze:

1. Wenn die Größen ao, a\, a₂, a₃,... positiv sind und, beständig abnehmend, die Null zur Grenze haben, so ist die Reihe

\ao -f- ßi cosa? -f- a-2 cos(2a?) -f- a₃ cos(3a?) ----

konvergent für alle Werte von x, welche von 0, +

+ 4ar,... verschieden sind; und die Reihe

\clq — ai cosa? -j- a₂ cos (2a?) — a₃ cos(3a?) -|-----

ist konvergent für alle Werte von x, welche von + je, + 3Jt, + 5ar,... verschieden sind.

2. Wenn die Größen bi, b₂, bä, ... positiv sind und, beständig abnehmend, die Null zur Grenze haben, so sind die Reihen

bi sina? -f b₂ sin(2a?) + bs sin(3a?) + b₃ sin(4x) -j----

und

bi sina? — b₂ sin(2a?) + b₃ sin(3a?) — 6₄ sin(4:r) -|-----

für alle Werte von x konvergent.

man dann noch untersuchen müssen, ob eine so gefundene konvergente Reihenentwickelung die willkürlich erklärte Funktion für die betrachteten Werte

Schließlich wird

von a? auch wirklich darstellt. Zu diesem Zwecke wird es in den meisten fällen genügen, diejenige Kurve punktweise zu konstruieren, die man erhält, wenn man von der unendlichen Reihe nur eine beschränkte Anzahl von Gliedern berücksichtigt.

Wie das gemeint ist, mögen die Beispiele in dem folgenden Paragraphen zeigen.

§ 67.

Übungs-Beispiele.

(!•)

Aufgabe 1. Die zu entwickelnde Funktion entspreche einer Kurve, zusammengesetzt aus den Geraden (Fig. 114) j y = Ą- a für x — kc bis x — (k + ^)c,

„ x = (k + i)c bis x = (k + l)c, wo k alle ganzzahligen Werte annehmen soll.

Fig. 114.

ft

tel

ft

ft

‘'"r-

Auflösung. Da in diesem Falle f(x) eine ungerade Funktion ist, so hat sie die Form (2.) m _ 5isi„(?^)₊ 6₂si„(^)+ 6₃sin(⁶^)₊ ...

wobei nach Formel Nr. 203 der Tabelle

à    C

(3.)

2 /' . /2njix\ ,    2 Ç . /2njtx\

n — — ja sinf—-—\ dx — — Ja sinl—-—)

0    c

wird. Setzt man hierbei noch

also x —

so erhält man

(4)

sin

/2njcx\ . /    , 2njit\

{.—)=smKnM+~r)

= sin(«jt)cos^m^) -|- cos(njr)sin^n31^ = (-l)»Sin(^)

und deshalb

25*

(5.)

irjL(^)ät

o

c

Y

/2njcx\

v>Tin\e/

o

2a /L ,    ,, , . /2njtx\

T_/[l —(-l«.m(—)

0

c

/*. /2njtx\ 7 /sin f—-—late =

folglich wird

(6.)

(7.)

also

(8.)

(-

dx\

da:

= — [!—(—in

= 2^,; i¹ — (— W] i¹ — cos(ra)]. Dies gibt

&2a fl) ^2a+l

2n%

cos

^2njra;yj²

a(l -f— l) (1 -f- 1)

4a

(2a -f- 1)^

(2a -f- 1)ji

N 4af . /2jix\ , 1 . /6jix\ , 1 . /10jcx\ ,

f(x) -    ( c) + 3 ™(—) + 5 SI” (—) + • ' •

Da die Koeffizienten 1, -t, a, y,beständig abnehmend, die Null zur Grenze haben, so ist die Reihe konvergent. Konstruiert man die Kurve punktweise, indem man zuerst nur 3, dann 4, 5, 6 usw. Glieder der Reihe berücksichtigt, so findet man, daß sich die Kurve der in Figur 114 gezeichneten gebrochenen Linie immer mehr nähert. Setzt man z. B.

c = 64

4a

Jt

= 12

also a = 3jt = 9,425

so findet man, wenn man 6 Glieder der Reihe berücksichtigt,

f(x)

f(x)—a

6,549 10,455 10,997 9,643 8,543| 8,737j 9,651 10,119 '-2,876 +1,030 +1,5721+0,218 -0,882 —0,68Sj+0,226 +0,694

Weiter braucht man die Tabelle nicht fortzusetzen, da in dem Intervalle von x — 16 bis x = 32 dieselben Werte von f(x) in entgegengesetzter Reihenfolge wiederkehren. Ferner ist deshalb erhält f(x) in dem Intervalle von x = 32 bis x — 64, abgesehen vom Vorzeichen, dieselben AVerte wie in dem Intervalle von x — 0 bis x — 32. Uber den Verlauf der Kurve bei Berücksichtigung von 6 Gliedern der Reihe gibt Figur 115 Aufschluß.

Fig. 115.

Verschiebt man in der vorstehenden Aufgabe die

Q

Y- Achse parallel mit sich selbst um die Strecke x — j? setzt man also

Ci

10

ll

12

13

14

15

16

17

f{x)

9,707

9,027

8,897 9,407

9,899

9,788

9,238

8,928

9,238

f(x) a

+0,282

-0,398

-0,528-0,018

+0,474

+0,363

-0,187

-0,497

-0,187

x — x' -f-    5

so wird die Y-Achse Symmetrie-Achse, und die Funktion

/fa) = f(x' + 0

wird eine gerade Funktion von xf die man auf die Form

(9.)

,    ,    /2 jcx\ ,    /4:Jix\ ,    /6jix'\ ,

= %Oo + ay COS l - i + 02 cos    + a3 COS f—— 1 -\----

bringen kann. Dabei ist

3c    c    3c\

-t(

Sc

(10.) a₀

= jf(%' + ^)dX' ⁼

0

| tO

1    ^4    c

— jdx —Jdx + Ja

0 c

dx

T + j+^-T)=°,

(11.) a

- /<•■+})»(=)

CM I «

dar

3c

dx

îa r Ç /2nxx\ ₇    /' /2nxx\

t[ Jcos\—)dx-Jcos\-r)

o    «

+Ycos^)^]

H8⁵

nji

sin

/2njr;r\"|⁴

GH₀

3c

. /2nxx\]⁴ , f . /2njrx\lc

(—)J.+K—)L

sin

— sin

/3nx\ ,    . /njt\

V~2/ + sm\2/

= ^U(Ü-0

njt L \ 2 /

folglich wird

-j- sin(2wjr) — sin^^-^J

(12.)

= (- 1)“

(2a -j- 1 )jc

Dies gibt

(13.) f(x) = f(* + j)

4a ‘

cos

/2jix'\    1    /6xx'\    1 /I0xx\

VT)-8 “V« ) + 5 C0S(—)

Dieses Resultat hätte man auch unmittelbar aus Gleichung (8.) finden können, denn es ist

/2jtxf , ji\    /Sjcx'x

sin

(—+ a) =cos(—)

. /6jix' , 3jc\    /6jtx'\

smVT~ + 27 = -°os(^~)

(14.)

. /IOjix' , 5jt\    /10jr,r/\

m(—+ 2-) = C0S(—)

. /Mjo/ , 7ut\    /l4:Jtx\

m(~ + y) - ~ B0S{—)

Aufgabe 2. Die zu entwickelnde Funktion entspreche einer Kurve (vergl. Fig. 116), zusammengesetzt aus den geraden Linien

(15.)

für — £ 4

(J'    2) »

= x = + 4’ ^ , 3c

* = +T

y — -j- m (x — c)

3c

r + -£-= x /    3c\    5c

\x~2) ” ⁺T

5c

7c

x- + 4

Fig. 116.

JS

-X

Auflösung. Auch in diesem Falle ist f(x) eine ungerade Funktion, so daß man wieder erhält

f(x) =    + 62sin    + Min^^ _j.----

wobei nach Formel Nr. 203 der Tabelle

= jf(x) sin(^)

0

c

<M I «

dx

3c

Setzt man jetzt

a? —

so wird

sin

/2njix\ . /2njit ,    \

vrrv - sin(~+"v

und

— sin (~~~^ cos(war) -f- cos(~~^~ ^ sin(m/r) = (-l)»Sin(^)

sin

also

(elnjix\ . AIrutu    \ . /2nxu\

\ ~) = S1"(-c - + -«) = sin(^ )

(16.) bn =

!m T /’ . /2njtx\

nrsn\-c )

0

dx —

(— l)njt sin (^n^^dt

~T

+fusin(2np)du]

~T

= — [1 — (— l)n]ßxsm (ß^^dx

C

“T

2m r„    r

= — [!-(-!)»] • I

ex

2nji

cos

^2nxx\^

C²

+ -T-

4n²ar²

sin

(=)]

~T

folglich wird

4m

(17.) b2a = 0, &2tt+l ---

2c²

c 4(2cc -j- l)²jr²

• /(2ß -f- l)^r\ -2    )

= (- 1)“

2w?c

(18.)

Dies gibt

2 mc

(2« -f- 1)%²

2mc

JE²

9^r²

— -f-

Zmc

25x²

also

(19.) f(x)

2mcT . /<2,jtx\    1 . /6jra;\ , 1 . /l(br:r\

VHsin\<r/9 sin(^)+ »“ytv

Da die Reihe

r+ +Ł

rH o^>

"t" 49

1+-

konvergent ist, so konvergiert auch die Reihe in Gleichung (19.). Konstruiert man die Kurve punktweise, indem man zuerst nur die ersten 3, dann 4, 5, 6 usw. Glieder berücksichtigt, so sieht man, daß sich die Kurve der in Figur 116 gezeichneten gebrochenen Linie immer mehr nähert. Setzt man z. B.

c = 64,

⁽Lmc

jt¹

= 12.

also m =

3 Jt2,

32

= 0,925 275

so findet man, wenn man 6 Glieder der Reihe berücksichtigt.

f{x)

Ö 0,887 1,822 2,794j 3,74ö| 4,640 5,514| 6,432 7,411

f{x) — mx

0    —0,038 —0,029 +0,018 +0,044 +0,014 —0,038 —0,04ö[+0,009

10 ! 11 12

13

14    15    16    17

f(x)

8,388 9,290j 10,128j 11,012 12.031 13,108j 13,972 14,306 13,972 f(x) — mx 1+0,061 +0,038|—0,050|—0,091 +0,003 +0,165 +0,092 -0,499 +0,092

Auch hier braucht man die Tabelle nicht weiter fortzusetzen, da in dem Intervalle von x — 16 bis x — 32 dieselben Werte von f(x) in entgegengesetzter Reihenfolge wiederkehren, und da f(x) in dem Intervalle von x = 32 bis x = 64, abgesehen vom Vorzeichen, dieselben Werte hat wie in dem Intervalle von x — 0 bis x — 32.

Die Abweichungen der Kurve bei Berücksichtigung der ersten 6 Glieder von der in Figur 116 gezeichneten gebrochenen Linie sind so gering, daß sie in einer Figur im Maßstabe der anderen Figuren kaum zum Ausdruck gebracht werden können. Dem Leser wird empfohlen, bei diesem oder auch bei den anderen Beispielen die aufeinander folgenden Näherungskurven zu zeichnen, die man erhält, wenn man die Reihe nach dem lten,

Gliede abbricht.

Verschiebt man auch in dieser Aufgabe die Y-Achse

Q

parallel mit sich selbst um die Strecke —

x = x‘ -j-    1

so wird die Y- Achse Symmetrie-Achse, und die Funktion

2ten, ßten # . <

setzt man also

ifH o

f(x) = f(x' + 0

wird wieder eine gerade Funktion von x\ die man auf die Form

(20.) f(xf -f ^ = -i a₀ + «i cos^^-^ + a₂ cos

bringen kann. Aus den Gleichungen (14.) folgt dabei unmittelbar, daß

COS

/2jix'\ , 1    /6jcx'\

(, , -)

+ècos

Aufgabe 3. Es sei die Kurve (vergl. Fig. 117), die der zu entwickelnden Funktion entspricht, aus den geraden Linien

(22.)

c ^    c

2 ⁼ x = + 2 ’

y = m(x c) „    +

y = mx

für

tOj Ci

zusammengesetzt.

Auflösung. Da die Funktion wieder eine ungerade ist,

so wird

(23.) f{pc) = li sin + h sin + h sin (~^j H----.

Dabei ist nach Formel Nr. 203 der Tabelle

(24.)

= \ ß(x)sin(^X^dx,

o

Mg. 117.

y\

rX

oder, weil die Funktion die Periode c bat,

2 /V , . /2njix\ ₇    2m f . /2njcx\ ₇

= — jf(x) smf--------)dx = — jxsml jdx

~¥

2m '

<?£C

2»wr

cos

c²

4w%²

sin

also

~¥

(25.)

bn —

2m f c²

cos(wr)

c²

Anjt

cos (nn)

cm

1/131

(-1 r = (-1)

cm

njt

Dies gibt (26.) /■(*) =

cm

jr L

f . /2xx\    1    . /4rJix\ , 1 . /6jcx\

Sin(—)“2 sm(“)+3 Sln(-v)

1 , 1

— 2’ '3

-+••• . • • • beständig

Da die Koeffizienten 1

abnehmend, die Null zur Grenze haben, so ist die Reihe nach dem oben angeführten Satze konvergent. Konstruiert man die Kurve punktweise, indem man zuerst nur die ersten 3, dann 4, 5, 6 usw. Glieder berücksichtigt, so findet man, daß sich die Kurve der in Figur 118 gezeichneten gebrochenen Linie immer mehr nähert. Setzt man z. B.

c = 64

cm

3jt

JZ

= 12, also m=jQ= 0,589 049

§ 67. Fourier sehe Reihen; Übungs-Beispiele, so findet man, wenn man 6 Glieder der Reihe berücksichtigt,

396

fix)

0,039 0,294

0,897

1,848

3,009

4,159

5,074

5,617

f(x) — mx

0    -0,550

-0,884

-0,870-0,508

+0,064

+0,625

+0,951

+0,904

10

11

12

13

14

15

16

17

fix)

5,791

5,748

5,728

5,981

6 658

7,754 9,097

10,400

11,365

f(x) — mx

+0,490-0,143-0,751

-1,088

-1,000

-0,492

+0,262

+0,975

+1,351

18

19

20

21

22

23

24

25

26

fix)

11,799

11,704

11,294

10,943

11,061

11,939

13,617

15,814

17,957

f(x) — mx

+1,197

+0,512

-0,487

-1,427

-1,898

-1,609

-0,521

+ 1,087

+2,642

27

28

29

30

31

32

33

34

35

fix)

19,311

19,162

17,030

12,824

6,898

-6,898

—12,824

-17,030

f(x) — mx

+3,406 +2,669-0,052-4,847

—11,362

Fig. 118.

nur

Figur 118 zeigt den Verlauf der Kurve, die trotz der Berücksichtigung der ersten 6 Glieder noch ziemlich starke Abweichungen von der gebrochenen Linie in Figur 117 zeigt, weil die in Gleichung (26.) aufgeführte Reihe schwach konvergiert.

aus

Aufgabe 4. Die Kurve (Fig. 119), die der zu entwickelnden Funktion entspricht, sei zusammengesetzt den Geraden

o-! ö

(27.)

für — 46

(x + 26)    „ — 36 ^ x

+ 36

+ 46.

y =

Von da ab kehren dieselben Werte periodisch wieder. Die Länge der Periode ist dabei

(28.)

c = 86.

' Fig. 119.

A B

Auflösung. In dieser Aufgabe ist f(x) eine gerade Punktion. Deshalb wird

E ~F

1    /2jra?\    /4-jzx\

(29.) f{x) = g a₀ + ai cosfJ + a₂ cos H----•

Dabei ist nach Formel Nr. 203 der Tabelle

+ 4b

a₀

= jf(x)dx = ^Jf(x)dx

o    —⁴⁰

—3b

—b

+3b

— fdx +    -fydx + ~~Jdx — l)cßX—^)dx

—4 b

—3b

—b

4b

vfdx

+ d>b

—b

-tAH+H+H>

—4b —b    +3 b

-ff-H )

—3b

+3 b

also

86²    8Ô²    3J²_3è²\_

2    •    2    •    2 w) )

(30.) «₀ = ^(—6 + 26-6) + |^.

Ferner ist mit Rücksicht auf Gleichung (28.)

+4£

Ojn

—46

—36

—4,5    —ö<5

+ 8*

a / ni> /njrx\ ₇

wJ{x~2i)eos\Tbrx

+4-

46

!' /nxx\

fosvw)

—<5

dx

—b

dx —

+ 4,5

a I' /nxx\ ,

sbrs(-w)dx’

+ 36

oder wenn man bei den Integralen mit negativen Grenzen x mit — x¹ vertauscht

+36    0    6

dx

a r /' /njtx\ ₇ ,    /’ /njtx'\ ₇ . , /' /nxx\

a" ⁼ « L./C0S(l6-)^ -jao\-W-n +i°0S( 46 7

+4,5    + <5    0

+ 46

4.b²

oder

+3,5

f /nxx\

t0SKw)

dx

+ 36

j{+-2b)aos^)d+~ßx-2b)cos(^+)dx\

■+-öö

+6

+ 46

(31.) a„ = ^[ jaoS(^f)dx-jcoSQXX)

0    +36

dx

+36

<&C.

+ <5

Zur Ermittelung des letzten Integrals wendet man partielle Integration an, indem man

u = x — 26

dv = cos

/n:rx\ ₇

\-wrx'

also

du — dx

46

. /nxx\

v - - sm\~w)

rue

setzt, Dadurch erhält man

46

nje

46

nji

Ç. /nxx\

htw)

dx

46 r

nji

,    • /njtx\ 46

(z —26) sm(^-y +

— cos

nx

/nxx\\

\ 46 )\

Deshalb wird

(Ln

nx

b    4 b

<[.,(=)] _[,,(=)] )

0    Sb

2a [f ql\ • /nxx\ 46 |(a? —26)sm^—j +

nbjt

--COS

nx

Sb

/nxx\

VIT/.

b

nx

oder

/nx\ ,    . /3wjr\1    2a f . /3wjr\

(i)+sHTr,Ir(Tj

, . /?wrYI 8a T /3nx\    /n:r\l

+ sln(T)J-iÄ?LC0S(T-)-°0S(x)J

sin

(32.) an=

8a

n² x²

cos

/nx\    /3nx\

hr)-C⁰Shr)J“

16a

n²xź

sin

/nx\ . /nx\

(tMt/

(33.)

Dies gibt für n — 2a 16a

&2a

4a%²

sin

sin(ajr) = 0

und für n — 2a + 1

(34.) a2a+i =

16a

(2a -f- 1)%²

sin

also, da

sin

/2a -f- 1 \ . /2a -f 1 \

(—4"n(~5~4

sm

V2

sin

©-+>

sin

(¥)-

ist,

o    8aV2

{35.) ai — -|--

8a]/2

8a]/2

8aY2

9.rr²

25.Tr²

49:7t2 Man erhält also

> ®9 — +

8a]/2

81jt²

’ an =

8a 1/2 121 jr² ’ " ‘ '

(36.) /(x)

+ ~

^ 49

cos

8aV2 r /2ütx\ 1    /    1 /IOjtxX

|_cos( —) - 9 cos ( -) - 25 cos ( — )

/22jto;\    1

/14jto;\ ,    1    /18jr.r\

(—)+8ioos(~;

121

cos

Bemerkenswert ist hierbei, daß auf zwei negative immer zwei positive Glieder folgen.

Verschiebt man in dieser Aufgabe die F-Achse parallel mit sich um die Strecke x — — 26, setzt man also

x = x' — 26

so wird

f(x) = fix' — 26)

eine ungerade Funktion von xf die man auf die Form (37.) f(x' — 26) = 6isin(~) + 6₂sin(^-/)

+ 6₃ sin    ----

ji\    ,    . /2jix\

2)    = + sin(~)

cos

bringen kann. Dabei wird, da c = 86 ist, ^2jix'

cos

OJtX‘

. /6jix\ ~sm {—)

cos

(IOjix'

5jt\ ,    . /10Jtx'\

2) - + S1,,( —)

cos

/I^jcx'    7 Jt\

\ C    y) ⁼

— sin

folglich geht Gleichung (36.) über in

(38.) f(x'— 26)

8a]/2 f . /2jtx'\    1 . /6jtx'\

^-[aU\—) + 9sm( o )

1    . /10jcx'\    1    . /1^jcx\ ,    1    . /18.7r:z'\

r sm(—)-49sm(—)+ 8lsm( T )

. /22jcx'\

¹¹¹ \ c /-----J’

Da die Reihe T — ^    ~ +

81 121

1    9    2b

i05

----stark konver-

bezw. — +

i.+ i+A.

25    49 ^ 81 ^ 121

giert, so gilt dasselbe von den Reihen in den Gleichungen (36.) und (38.). Konstruiert man die Kurve punktweise unter Berücksichtigung der ersten 6 Glieder, so erhält man eine sehr starke Annäherung an die in Figur 119 gezeichnete gebrochene Linie. Es sei z. B.

8<z|/2

JC²

= 12, also

3jt²

= ~Vl8 = 10,468 296 4

dann findet man unter Berücksichtigung von 6 Gliedern der Reihe

f{x)

1,384 2,670

3,881

5,139

6,532

7,981

9,252 10,116

f(x) — mx

+0,075 +0,053

-0,045

-0,096

-0,011

+0,129

+0,092

-0,353

10

11

12

13

14

15

16

fix)

10,507 10,558 10,483 10,435 10,443 10,468 10,479 10,481 f{x) —a 11+0,038+0,089+0,015|-0,033|-0,025-0,000+0,011 0,012

Die Abweichungen der Kurve bei Berücksichtigung der ersten 6 Glieder von der in Figur 119 gezeichneten gebrochenen Linie sind so gering, daß sie in einer Figur im Maßstab der anderen Figuren kaum zum Ausdruck gebracht werden können.

§ 68.

Berechnung bestimmter Integrale bei Anwendung mehrdeutiger Substitutionen.

b

Führt man in ein bestimmtes Integral Jf(x)dx durch die Substitution

(i.)

y = <p&)

eine neue Intégrations-Veränderliche y ein, so muß man auch die Integrationsgrenzen ändern, und zwar ist in dem

Kiepert, Integral-Rechnung.

vorliegenden Falle die untere Grenze cp(a) und die obere <p(b). Bei der Ausrechnung ist aber noch besondere Vorsicht erforderlich, wenn die Gleichung (1.) in bezug auf a? haehrdeutig ist. Ein einfaches Beispiel möge zeigen, wie bei solchen mehrdeutigen Substitutionen leicht Fehler entstehen.

Es ist

(2.)    J(x²

1

— 6a? + 13 )dx = [|a?³ — 3a:² -f- 13^:]^== 48.

(3.)

6a? -f- 13

Wendet man die Substitution 2y - - a?²

an, so wird y = 4 für x — 1 und y = 10 für x = 7. Da nun

(4.)

x = 3 + Yty — 4, also dx — +

dy

Vty — 4

ist, so wird man geneigt sein, entweder

(5.)

— 6a? -f- 13)^a? =

10

^fyZy — 4

tydy

oder

10

fV 2y — 4

Tatsächlich sind aber die Gleichungen (5.) und (6.) beide unrichtig, wie man schon daraus erkennt, daß

(6.)

zu setzen.

— 6a? -f 13)dx

2 ydy

io

~fv%y — 4

ist, während das gesuchte Integral nach Gleichung (2.) den Wert 48 hat.

Zur Lösung des Widerspruches beachte man, daß nach Gleichung (4.) zu jedem Werte von y zwei Werte von a? gehören, von denen der eine, nämlich

x = 3 + YZy — 4, immer größer als 3 ist, während der andere, nämlich

(7-)

(8.)

2 ydy

= +i[(22/ + 8)]/2y-4]^⁰=±^

a? = 3 — Y 2 y — 4, immer Meiner als 3 ist. Diesen beiden verschiedenen Werten von a?, welche zu demselben Werte von y gehören, entsprechen die beiden verschiedenen Werte von dx, und zwar erkennt man aus den Gleichungen (4.), daß den Werten von x, welche größer als 3 sind,

(9.)

(10.)

dx — -f

dy

Vty — 4

zugeordnet werden muß, während den Werten von a?, welche Meiner als 3 sind, der Wert

(11.)

dx —

dy

V'iy-i

entspricht. Dieses Verhalten muß bei der Umformung des gesuchten Integrals berücksichtigt werden, weil der Wert x = 3 zwischen den Grenzen 1 und 7 liegt, und deshalb bei der Berechnung des gesuchten Integrals sowohl Werte von x Vorkommen, welche Meiner als 3 sind, als auch solche, welche größer als 3 sind, so daß man nicht durchweg denselben Wert von dx benutzen darf. Man muß vielmehr das gesuchte Integral in zwei andere Integrale zerlegen, indem man

7    3    7

(12.) f{x²—6a?-}-13)dx — f(x²—6a?-f-13)dx -f-J{x²—6a?-f-13)dx

1    1    3

setzt. Bei dem ersten Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung ist a? ^ 3, folglich muß man bei diesem

dx —

dy

VZy — i

setzen. Bei dem zweiten Integrale ist a? ^ 3, folglich muß man dabei

dx = -}-

dy

setzen.

V$y — i

Da nun noch y — 2 wird für a? == 3, so erhält man

3

(13.) J(x² — 6a? + 13)dx — —J

'' tydy _ f JV2y — 4 JVty — 4

2 ydy

(14.)

j(x²

3

(15.)

10

' 2ydy

Durch. Addition .dieser beiden Gleichungen ergibt sich

— 6a? -f- Y3)dx

io

— 6x + 13 )dx = f fyd'L, + f-___

JVty— 4 JV2y— 4

Nun ist nach den Ausführungen in § 53

7

J(x²

1

2 ydy

4

i«.,/,

2 ydy

— lim /

a=oJ

tydy

Vty — 4

JV2y—4:    a=

10

10

, ,    _____= lim / - _________

JV%y—4    «=oJ y2y—4

(17.)

(18.)

' 2ydy

2 ydy

7

J(x²

1

Um die vorstehende Untersuchung auf graphischem ^ ege zu veranschaulichen, sei in Figur 120 die Kurve gezeichnet, welche der Substitutions - Gleichung (19.)    2 y — x² — 6a? + 13

entspricht. Für alle Werte von x, welche kleiner als 3 sind,

fällt die Kurve, folglich ist

(IX

für diese Werte von x negativ. Für alle Werte von x dagegen, welche größer als 3 sind, steigt

die Kurve, folglich ist

Fig. 120.

dy

o/

Dj Ol A,

t, ą ąx

dy

dx

für

diese Werte von x positiv. Deshalb darf man nicht in dem ganzen Intervalle von x — 1 bis x = 7 die Größe

dy

dx

= + y "ly — 4

mit demselben Vorzeichen nehmen; es gilt vielmehr für alle Werte von x = 1 bis x = 3 das untere Zeichen und für alle Werte von x = 3 bis x — 7 das obere Zeichen.

Aus Figur 120 erkennt man auch leicht, weshalb die Gleichungen (5.) und (6.) fehlerhaft sind.

Das gesuchte Integral gibt nämlich den doppelten Flächeninhalt der Figur A\B\BA, denn es ist

7    7

6a? -f- 13 )dx

(20.)

IA^BiBA = 2 fydx =J(ae²

i    i

während

10

(2L )/

* tydy ₌

J y ly — 4    "

4    *    5

2jydx —j(x²

5    5

— 6a? -f- 13)«b? = 1C\B\BC

und

io

(22.) -

JV2y — i r

+i

= —J(x² — 6a? + 13)«2a? = — 2DiAiAD

sein würde. Die doppelte Fläche Ai_Z?iIL4 erhält man also nur dadurch, daß man ?/ von AiA = 4 bis

aus

lydy

V2y —4

T\T = 2 abnehmen und dann von T\T — 2 bis == 10

zunehmen läßt.

Um den allgemeinen Fall zu behandeln, nehme man

b

an

daß in dem Integral Jf\(p(x)\dx statt der Integrations-

Veränderlichen x durch die Gleichung (23.) die neue Intégrations-Veränderliche y substituiert werde.

Ist dann die Kurve, welche der Gleichung (23.) entspricht, durch die Eigur 121 dargestellt, so hat y zwischen den Grenzen a und b für

(24.) x = g = 06ri, x = h — OHi, x = k = OKi

Maxima bezw. Minima. Es werden also zwischen den Grenzen x = g und x = h diejenigen Werte von y, welche zwischen den Grenzen x — a — 0A\ und x = g Vorkommen,

~g₇-^-h,;—jr—k, j, b,~x wenigstens teilweise

wiederkehren. Ebenso werden zwischen den Grenzen x — h und x = Je diejenigen Werte, welche zwischen den Grenzen x = g und x — k Vorkommen, wenigstens teilweise wiederkehren. Usw. Es haben z. B. die 4 Punkte D, E, F und J, welche in den 4 voneinander unterschiedenen Intervallen liegen, gleiche Ordinaten y, obgleich die zugehörigen Abszissen x voneinander verschieden sind; d. h. die Gleichung (23.) hat, wenn man sie nach x auflöst, für den betrachteten Wert von y mehrere Wurzeln. In Figur 121 ist z. B. die Zahl dieser Wurzeln gleich 4. Bezeichnet man diese Wurzeln mit wi(y), w₂(y), wä(y), w4y\ ist also

(25.) x — w\(y) zwischen den Grenzen x = a und x — <7, (26.) x = w-ly)

(27.) x = wd(y)

(28.) x = Wi(y)

so muß man dem entsprechend das gesuchte Integral in 4 Integrale zerlegen, indem man

Fig. 121.

D.

J

A D,

r>

11

(29.) Jf\<p(x)\dx =Jjf\<p(x)\dx +/f[q>(x)]dx

setzt. Dadurch erhält man nach Einführung der Intégrations - Veränderlichen y

neuen

ff

(piff)

(pW

[nach Gl. (25.)]

(pW

(31.) ff\(p{x)]dx =/f(y) .w₂'{y)dy,

ff

(piff)

[nach Gl. (26.)]

<pW

(32.) ff[<p(x)\dx =J‘f(y). w₃'{y)dy,

[nach Gl. (27.)]

(pik)

(pik)

(33.) J‘f\cp(x)]dx =Jf{y). wĄy)dy ;

(pik)

[nach Gl. (28.)]

das gesuchte Integral wird daher

(piff)

(pW

(34.) ff\<p{x)]dx =J’f(y). wx\y)dy -f ff\y). w₂'(y)dy

(pW

(pik)

(piff)

(pW

+ ffiy) ■ ™-Ay)dy +/f(y) • W(y)dy.

(pW

(pik)

(35.)

Beispiel. Macht man bei der Rektifikation der Astroide x — acos³t: y — asin³£

(vergl. Fig. 84 bei Aufgabe 6 in § 27) den Punkt A mit den Koordinaten x = a, y — 0 zum Anfangspunkte des Bogens, so wächst der Bogen gleichzeitig mit t, so daß ds und dt ständig gleiches Zeichen haben. Aus den Gleichungen

(36.)

(37.)

dx = — 3acos²£ sin£<7£, dy — 3«sin²£ oostdt ds² = 9<z²sin²£ cos²tdt²

folgt daher

(38.)

ds = + 3asint costdt = + 3<zsin^(sinf)

ds

wobei das Zeichen so zu wählen ist, daß -- positiv wird.

Den ganzen Umfang der Astroide erhält man, wenn t alle Werte von 0 bis 2jt durchläuft. Man muß deshalb das Intervall von 0 bis 2jt in vier gleiche Teile zerlegen und muß in jedem dieser Teile abwechselnd das positive und das negative Vorzeichen nehmen, da sint und cost im ersten und dritten Quadranten gleiches, im zweiten und vierten Quadranten dagegen ungleiches Vorzeichen haben. Dadurch erhält man für den ganzen Umfang

71

2    71

(39.)

U = -f- 3aJsintcostdt — 3afsmtcostdt o    n

in

-f- 3aJsintcostdt — 3aJsint costdt

n    in

~2

oder

(40.) U =• ÿ    |    + ³| [swf

= f(l-0)-f(0-l)+¥(l-0)-^(0-l) = 6«.

3a

71

3 7t

2 [sinV]

3a

3a

§ 69.

Messungsmethoden zur Berechnung bestimmter Integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 204 und 2Q5.)

Soll der Flächeninhalt F — A\B\BA einer ebenen Figur berechnet werden, welche oben durch den Kurvenbogen AB (Fig. 122) mit der G-leichung

(1.)

y = fix)

Fig. 122.

F.

nF

A/

unten von der X-Achse, links und rechts von den Ordinaten x = a und x — b begrenzt wird, so kann man

b

(2.) F=AiBiBA=Jf(x)dx

öl

a, ct D, E, Ff at

V B, x näherungsweise

durch lineare Messungen

auch

finden. Man braucht dann die Funktion

gar nicht zu bestimmen, ja es braucht nicht einmal die Funktion y — f(x) analytisch bekannt zu sein, sondern die Kurve kann irgendwie graphisch gegeben sein.

Teilt man nämlich die Strecke AyBy in n gleiche Teile h und legt durch die Teilpunkte Parallele zur K-Achse, so wird die Figur in n schmale Streifen zerlegt. Diese Streifen kann man näherungsweise als Paralleltrapeze betrachten, indem man die einzelnen Kurvenbogen durch gerade Linien ersetzt. Dies gibt, wenn man

(4.)

f(a) = yo, f(a + ty = y ij f(a + 2h) = y₂,... f(a + rih) = f(b) = yn

setzt,

—1 + yn)i

(5.) Ai Ci CA = 2 (yo + 2/i)> CxDiDC = -{yx-\- 2/2), DyEyED —    {y-2 T* y%)i • • ■ NxByBN —

also

b    h

(6.) A\ByBA — Jf[x)dx = ^ (yo + 2yi -f- %2 H-----b tyn-1 + yn)

a

= I [M + 2f(a + h) + 2 fla + 2 Ä) H-----h 2A»—*)+A*)] •

Je größer die Anzahl n der Streifen wird, um so genauer wird das Resultat; wächst n ins Unendliche, so wird der gefundene Ausdruck dem gesuchten Integral bezw. dem gesuchten Flächeninhalt sogar genau gleich, da das Integral als Grenzwert einer solchen Summe für limn = oo erklärt ist.

Es ist

Beispiel.

(7.)

dx

1 + x²

1    31

= [arctga;]o = arctgl = —

Für n = 8, h —

CO h-¹

wird in diesem Falle

oder, da f(x)

1 + X²

ist

Nun ist

1:4    -    0,25

32 : 65 = 0,492 307 69 8:17 = 0,470 588 24 32 : 73 = 0,438 356 16 2:5    =0,4

32 : 89 = 0,359 550 56 8 : 25 = 0,32 32 : 113 = 0,283 185 84 1:8    =0,125;

folglich erhält man naherungsweise

7t = 3,138 988 49.

Der gefundene Wert ist also um 0,002 604 16 Meiner als der wahre Wert der Zahl

je = 3,141 592 65.

Fig. 123.

DC

tH IrH | H"l

h-*-

051 OJ i Ü< I LC    “T"

IC

LC

CO

IC

00

CO

tH

io

CT.

00

rH

«<]

-<JI 03 C5

ocl to oo

-I

oc

00

00

rH

oo reo

CM liO

CO

LC

00

00

iO

(M

r—I

CO

Bei dem angegebenen Verfahren ist an die Stelle des Kurvenbogens AB ein der Kurve einbeschriebenes Polygon getreten. Man kann mit gleichem Rechte auch ein der Kurve umschriebenes Polygon in Betracht ziehen, indem man in den Punkten C, E, G,... (Fig. 122) an die Kurve Tangenten legt und z. B. die beiden Streifen AxCiCA und C\D\DC durch das Paralleltrapez AiDiD'A' (Fig. 123) ersetzt. Dabei wird (8.) AU' + DVD' = 2Ci<7 = 2f(a + h), also

öl

ä, ą

(10.)

AiDiD'A' = 2h . f(a + h). Ebenso findet man für die beiden xÇ—x folgenden Streifen den Näherungswert

2h . f{a + 3h),

(9.)

usw.

Unter der Voraussetzung, daß die Anzahl der Streifen eine gerade ist — sie heiße jetzt 2n —, findet man daher für den Flächeninhalt der ganzen Figur den Näherungswert

(11.) F = 2h[f(a + ä) + A« + 3Ä) + • • • + fQ> - *)]

—    + 2/3 + Vb + • • • + V2n—l),

wo wieder

f(a + h) = yi, f(a + 3h) = y₃, fia + 5h) = ys, ■.. f[a + (2 n — 1 )h] = f(b — h) = y^n-i

gesetzt ist.

Zu bemerken ist dabei, daß die Tangenten in den

Punkten C und E (Fig. 122) die Ordinate DiD im allgemeinen nicht genau in demselben Punkte D/ treffen werden, so daß die Figur, deren Flächeninhalt durch Gleichung (11.) berechnet worden ist, von dem umschriebenen Polygon sich um eine kleine Größe unterscheidet.

Beispiel.

von

Es möge auch diese letzte Formel auf die Berechnung der Zahl x angewendet werden, wenn man wieder Gleichung (7.) ausgeht. In diesem Falle sei die Anzahl der Streifen

dann wird

i

-h

o

2 n — 16

also h =

16’

i+^ ⁼ k l/'(m) + fQè + • ■ ■ + O] ’

128 128 128 128 128 128 128 . 128 257 265 ' 28l ' 305 337 377 ' 425 ¹ 481

dx

Nun ist

128 : 257 = 0,498 054 47 128 : 265 = 0,483 018 87 128 : 281 = 0,455 516 01 128 : 305 = 0,419 672 13 128 : 337 = 0,379 821 96 128 : 377 = 0,339 522 55 128 : 425 = 0,301 176 47 128 : 481 = 0,266 112 27;

folglich erhält man näherungsweise

x = 3,142 894 73.

Der gefundene'Wert ist also um 0,001302 08 größer als der wahre Wert der Zahl

x = 3,141 592 65.

Der Fehler ist in diesem Falle etwa halb so groß wie bei der vorhergehenden Methode.

Diese zweite Methode wird auch bei anderen Anwendungen in der Regel genauere Resultate liefern als die erste, ohne daß man mehr einzelne Glieder zu berechnen braucht, weil sich einer Kurve die Tangenten im allgemeinen enger anschmiegen als die Sehnen. Von diesem Umstande wird in dem folgenden Paragraphen Vorteil gezogen werden.

§ 70.

Sijnpsonsche Regel.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 206 und 207.)

Es möge wieder eine Figur begrenzt sein oben durch den Kurvenbogen AB mit der Gleichung

G-)

V = f(x),

unten durch die X-Achse, links und rechts durch die Ordi-naten x = a und x — b (vergl. Figur 122); die Strecke A\B\ sei in 2n gleiche Teile von der Länge A, und die Figur selbst sei durch die Ordinaten y₂, y₃,... y2n_i in Streifen zerlegt. Vereinigt man zunächst je 2 benachbarte Streifen, so daß man tatsächlich nur noch n Doppelstreifen hat, und ersetzt die begrenzenden Kurvenbogen durch die zugehörigen Sehnen, so findet man aus Formel Nr. 204 der Tabelle für den gesuchten Flächeninhalt, indem man h mit 2h vertauscht, den angenäherten Wert

(2.) F, =h[f(ä)+2f(a+2h)-\-2f(a+4h)+ ... + 2f(b-2h)+f(b)].

Ersetzt man dagegen bei den Doppelstreifen die Kurvenbogen bezw. durch die Tangenten, welche in den Endpunkten der Ordinaten y1} y₃, yb,... y2n—\ an die Kurve

gelegt sind, so erhält man nach Formel Nr. 205 der Tabelle den angenäherten Wert (3.) F₂ — 2h [ f(a -\-h)-\- f{a ~\~ 3h) -}-f{a-{- 5h) -f- • —f(b — li)\.

Ist der begrenzende Kurvenbogen AB zwischen A und B nach oben konvex, so ist F\ kleiner als der gesuchte Flächeninhalt

(4.)

F = Jf{x)dx,

und F2 ist größer als F; es ist also F\ < F < F₂.

Ist dagegen der begrenzende Kurvenbogen AB zwischen A und B nach oben konkav, so wird Fx > F > F₂.

In beiden Fällen ist F ein Mittelwert zwischen Fx und F₂, so daß die Größe v, welche durch die Gleichung

F — Fx F₂ — F

erklärt wird, immer positiv ist, und zwar wird v für hinreichend große Werte von n in der Regel größer als 1 sein, weil sich die Tangenten enger an die Kurve anschmiegen als die Sehnen. Aus Gleichung (7.) ergibt sich sodann

Fi + vF2 1 4- v

Bei der angenäherten Berechnung der Zahl ji im vorhergehenden Paragraphen war z. B. F — Fx etwa doppelt so groß wie F₂ — F. Setzt man daher in den Gleichungen (7.) und (8.) v — 2, so erhält man durch die Formel

(5.)

(6.)

(7.)

== v

o°

(9.)

Fx + vF₂ Fx + 2 F₂

1 -j- v

eine noch stärkere Annäherung an den wirklichen Wert des bestimmten Integrals. Dies gibt, wenn man die Werte von Fi und F₂ in Gleichung (9.) einsetzt,

(10.) F— \f(a)4/"(u-fA) A 2/'(a-b2/?,) -J- I/"(u-f-3Ä) -f- '2f(a-\-^b i + • • • + W - 2A) + 4/(6 - h) + /(&)],

oder

(y₀+4^/1 +2^/2+4?/3+2?/4 + • • • + 2î/2«—2+4^/2w—1+2/2«)-

Für die Zahl jc erhält man daher unter Benutzung der im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate

jc = \ (3,138 988 49 + 6,285 789 46) = 3,141 592 65. 3

Der gefundene Wert stimmt also bis auf 8 Dezimalstellen genau mit dem wahren Werte von jc überein.

Die in den Gleichungen (10.) und (11.) enthaltene Formel, welche unter dem Namen „Simpsonsehe Regel“ bekannt ist, gibt nicht nur für die Berechnung der Zahl jc sehr genaue Werte, sondern auch für die Berechnung von anderen bestimmten Integralen, wenn man nur die Zahl n groß genug macht. Bei dem ersten, in § 69 angewendeten Näherungs verfahren wurde die begrenzende Kurve durch gerade Linien mit der Gleichung

y = ax -j- b

ersetzt, wobei die Konstanten a und b so bestimmt werden können, daß jede dieser Geraden durch zwei benachbarte Punkte der Kurve hindurchgeht. Auf die Simpson sehe Regel dagegen wird man geführt, indem man bei der Berechnung der Doppelstreifen die einzelnen Kurvenbogen durch passend gewählte Parabelbogen ersetzt, welche sich der Kurve sehr eng anschließen. Dies geschieht in folgender Weise.

Die Gleichung

(12.)

y = ax² -f-bx -\- c

Fig. 124.

D, X

Öl

stellt, was auch die konstanten Koeffizienten a, b, c sein mögen, eine Parabel dar, deren Achse zur Y-Achse parallel ist. Über die Koeffizienten a, b, c kann man nun so verfügen, daß die Parabel durch die drei Punkte A, C, D (Fig. 124) mit den Koordinaten (—h, yQ), (0, ?/i), (+^,2/2) hindurchgeht, indem man die Gleichungen

y₀ = ah² — bh -f- c, yi = +

(13.)

y-2 = ah² -j- ÔA -f- c befriedigt. Daraus ergibt sich

(14.) a = 2^2 (2/o    ²2/i + 2/2)? ô = 2^(— 2/o + 2/2)7 c = 2/i?

so daß Gleichung (12.) übergeht in

(15.)    2/ =

[(2/o — ²2/i + 2/2)z² + H— 2/o + 2/2)® + 2/2²2/i].

Der Flächeninhalt der Figur A1D1DA wird daher

+//

(16.) A1D1DA

ah³    57z²    / ah³ . bh² \ Zah³ ₇

= ^ +    T + T “    ⁼ “3-+2cA

Ti    Tt

= g (2/° — ²2/i 4-2/2 4- 62/1) = g (2/o 4- ^2/i 4- 2/2) •

Da bei einer beliebigen Parallelverschiebung der Y-Achse sich weder die Länge der Ordinaten y₀, yi, y₂, ... y2n noch die Größe h ändert, so kann man in ähnlicher Weise den Flächeninhalt der sämtlichen Doppelstreifen (in Figur 122) berechnen und findet dafür bezw.

iCO

4-

4-

g.

oc;

ro

ŁC

4-

to

rH

4"

««S

to

dabei hat man die einzelnen Kurvenbogen durch Parabelbogen ersetzt, welche durch je 3 aufeinander folgende Punkte der begrenzenden Kurve AB hindurchgehen. Für den Flächeninhalt der ganzen Figur erhält man dann den angenäherten Wert

h

(17.) F— g {y{,+4y 1+2y₂+4^/3+2?/,H-----r 2z/9»—2+4?/2»—1+2/2») ein Ausdruck, welcher mit Gleichung (11.), d. h. mit der Simpson sehen Regel genau übereinstimmt.

Um sich darüber Rechenschaft zu geben, wie genau die durch Anwendung der Simpson sehen Regel gefundenen Resultate sind, diene die folgende Betrachtung. Entwickelt man (18.) g G₀ + 4z/i + y-i) — g [/G) + 4/G + h) + f(a -f- 27?)]

nach steigenden Potenzen von 7?, so erhält man durch Anwendung der Taylor sehen Reihe

(19-) |(2/o +42/i + tó = 27»./■(«) +2As./»4

O

- /■'» +

47?³

CO

H«) +

jvv/*⁽⁴⁾G) H— •

wenn

Andererseits ist nach der Taylor sehen Reihe man die Funktion F(x) durch die Gleichung

F\x) = fix)

erklärt.

(Z 4- 2 h

(20.) J'f[x)dx = F(a -f- Th) — F(a)

27?

4 7?²

8h³

167?⁴

na)+~f'Xa) + -jrf'"{a)

32/?⁶

folglich wird

a+2h

(21.)

Go + ⁴2/i + 2/2) —Jf{x)dx =

90

Man erkennt daraus, daß der Unterschied zwischen dem Näherungswert, den die Simpson sehe Regel liefert, und dem wahren Werte des Integrals mit h zugleich unendlich klein wird von der fünften Ordnung.

Für n Doppelstreifen ist daher der Unterschied unter Vernachlässigung der Glieder von der sechsten und von höherer Ordnung

7?⁵

90

[/•⁽⁴⁾(a) + f&(a + 2h) + f^fa + 47?) H-----f^(b — 27?)]

oder, wenn man den Mittelwert M durch die Gleichung

(22.) M = \[r,Ka)+fW(a+2h)+fW(a+ih)+---+fmib~2h)]

erklärt und beachtet, daß 2nh = b — a ist, so wird der gesamte Fehler gleich

nh6 90 ^

(6 — a)hé

180

M.

Es war bei Herleitung der Näherungs formel in diesem und dem vorhergehenden Paragraphen bisher die Voraussetzung gemacht worden, daß der begrenzende Kurvenbogen AB über der X-Achse liegt; es gelten aber noch dieselben Schlüsse auch dann, wenn der Bogen AB unter der X-Achse liegt, es wird dann aber der Wert des bestimmten Integrals negativ. Die Formeln bleiben sogar noch richtig, wenn die Kurve teilweise über, teilweise unter der X-Achse liegt, wie schon aus der Zerlegung des bestimmten Integrals hervorgeht. Man kann aber den Beweis auch dadurch führen, daß man die X-Achse um die Strecke c nach unten verschiebt, indem man

y — y' c

setzt und c so groß macht, daß die Kurve ganz oberhalb der neuen X-Achse liegt. Man findet dann für die Fläche F', die unten durch die neue X-Achse begrenzt wird, den Näherungswert

!co

F' =

Ay/2n—2 + ty'ïn—1 d~ 2n)

h

= ö (2/o + 4?/i + %₂ + 4^/3 + 2^4 d----

⁰    h

+ 2?/2«-2 + 4?/2«—1 d“ V2n) + W 6nc•

Da aber

F/ — F — %nhc

ist, so folgt hieraus wieder

OGI

(Vo + -%! + 2y₃ + dy₃ + 22/4 d----

d~ ^y-2n— 2 -f- 4:2/2«—! -j- 2/2«) •

27

Kiepert, Integral-Rechnung.

Ebenso ist es nicht notwendig, daß der Bogen AB in seiner ganzen Ausdehnung nach oben konvex oder nach oben konkav ist. Es wird aber zweckmäßig sein, durch die Ordinaten der Wendepunkte, welche zwischen A und B möglicherweise vorhanden sind, die Figur (bezw. das bestimmte Integral) zu zerlegen.

Das Verfahren, durch welches die Simpson sehe Regel zuletzt hergeleitet worden ist, läßt sich noch verallgemeinern, indem man die Figur in 4n Streifen von gleicher Breite h zerlegt und bei der Parabel vierten Grades

(23.)

y = ax⁴ -f- «ix³ -J- a2X² -f- a₈x -f- a4

die ge-

wenn man

die 5 konstanten Koeffizienten a, c&i, a₂, &3, «4 so bestimmt, daß diese Kurve mit dem Kurvenbogen AB (Fig. 122) 5 aufeinander folgende Punkte, z. B. die 5 Punkte A, C, D, E, F, gemeinschaftlich hat. Auf diese Weise erhält man eine Kurve, welche aus Stücken von Parabeln vierter Ordnung besteht und sich der gegebenen Kurve längs des Bogens ACDEF im allgemeinen noch enger anschließt. Deshalb findet man dann auch bei der Berechnung des Inhaltes der Fläche A\F±FA noch genauere Resultate als durch die bisherigen Methoden gebene Kurve durch die der Gleichung (23.) entsprechenden Kurvenstücke ersetzt.

Ähnlich wie bei der Simpson sehen Regel findet man dann für den Näherungswert den Ausdruck

(24.) F =

bO

« aa

[(7 Vo +    + 12 y₂ + 32^/3 + 7 y,)

+ (7^4 + 32y₅ + 12^/6 + 322/₇ + 7y₈)

~b (D/4»—4 + 322/4

n—3

-f- 122/4^—2 + 324W_i -f- 72/4»)].

Auch hier kann man sich über die Genauigkeit der gefundenen Resultate durch die Entwickelung nach der Taylorschen Reihe Rechenschaft geben, denn es ist

(25.) F\ — ^ (^Vo ~b 32yi -{- 12?/2 + 32?/₃ -(- 7^)

27?T

45

7f(a) + 32 f(a + h) + 12 f[a + 2 h)

+ 32 f(a + Sh) + 7f(a + 4 h)

32/t⁴

= ihf(a) + 8h»f'(a) + -g- f"(a) +    f“\a)

128Ä⁶

88h⁷

05^7,6

15    /'⁽⁴⁾(«) + ^-/‘⁽⁵⁾(«) + ^/'⁽⁶⁾(«) + ---.

Anderseits ist

a+4A

(26.)

jf(x)dx —jF/(x)dx = F(a -|- 4/?,) — F(tt)

32/t³

32/t⁴

= 4hf(a) + 8/t²/» + -g- H«) + =W"'(«)

128/t⁵

256h⁶

45

1024/t⁷

315

folglich wird

a+4/i

(27.)

iA —

-Jf(x)dx

8h⁷

945

Der Unterschied zwischen dem Näherungswerte und dem wahren Werte des Integrals wird also für je 4 Streifen von der Breite h mit h zugleich unendlich Mein von der siebenten Ordnung.

Für alle 4n Streifen wird demnach der Unterschied etwa n-mal so groß. Der gesamte Fehler wird also, da

4 nli = b — a

ist, gleich einem Mittelwerte f^[a -|- 0(6— et)], multipliziert mit

2(6 — a)h⁶

945

In dieser Weise kann man fortfahren und die einzelnen Teile des Kurvenbogens AB durch Kurvenbogen mit der Gleichung

?7.

(28.) y = ax2m -f- atf?™—¹ -f- a₂x2m~² -{-••• + a2m-ix + «2*«

ersetzen, welche durch je 2m -f- 1 aufeinander folgende Punkte der gegebenen Kurve hindurchgehen.

Es ist dabei noch zu bemerken, daß die Genauigkeit im allgemeinen keine wesentlich größere wird, wenn man die Gleichung (28.) mit der Gleichung

(29.) y = ax2m+1 + ayx2m -fi a₂x2m~¹ -)-----f a2mx + a2m+1

vertauscht und die 2m-\-2 Koeffizienten «, ay, a₂,... a2m+y so bestimmt, daß die entsprechende Kurve durch 2m + 2 aufeinander folgende Punkte der gegebenen Kurve hindurchgeht. Der Grund dafür liegt darin, daß bei dem Integral

(30.)

jydx= |a

rßLm-\-2

2m-j- 2

f ai

Jç2m+1

fi⁻ %

fêm—X

X²

-    • • • -f- a2m— \-a2m+\x

-    _p ... _1_ a2m+ik^

2 m 4-1

der Koeffizient a von x2m+x in dem Endresultat überhaupt nicht mehr vorkommt.

Wenn man z. B. die Figur in 3n Streifen von gleicher Breite h zerlegt und in

(31.)

y = ax³ 4- aix2 4- Oj₂x 4- «3 die vier konstanten Koeffizienten a, ay, a₂, «3 so bestimmt, daß die neue Kurve mit dem Kurvenbogen AB in Figur 122 die vier aufeinander folgenden Punkte A, C, _D, E gemeinschaftlich hat, so wird

a = 6^3 (— yo 4- ³2/i — %2 4- 2/3),

«i = 4P&o — 2/1 - 2/2 4- 2/3),

&₂ =

24k (2/o ~ 272/1 + 272/2 ~2/3)5

«3 = ^    2/0 4-    4- 92/2 — 2/0)»

wobei angenommen ist, daß die Y-Achse in der Mitte

zwischen den Ordinaten C\ C und D\D liegt. Dadurch erhält man für F den Näherungswert

~2~

(32.) Fx

=ßax³+a₁x²-\-a₂x-\-a₃)dx^    +aß- -j-    +a?,x

3 h

-(

81 a/i⁴    27aji³ , 9a₂h²

64 ⁺

24

oshX

2/

81 a/i⁴    27ai/i³    9a₂/i²

24    ‘

( 64

a:-»/i\

2 7

3/i

—    ^ h 3a₃h — -g- (yo + 3?/i -f- 3y₂ -f- y₂).

Man erkennt, daß dieser Ausdruck unabhängig ist von a und a₂. Dabei ist auch die Genauigkeit nur von derselben Stufe wie bei der Simpson sehen Regel. Setzt man nämlich wieder f(x) gleich F\x), so ergibt sich aus der Entwickelung nach der Taylor sehen Reihe

a+3/i

(33.)

ßf(x)dx = F(a -j- 3/i) — F(a)

fifl)

1!

3/i9/i² d

f"(a)

5!

243/i⁶ + ..•

und

F,=

3/i

(Vo + 3^/i -(- 3ya + y-d)

— TV ifia) + 3f(a -f- h) -f- 3f(a -f- 2/i) -j- f\a -f- 3/i)]

3/i r

(1+3-j-3-f-l)/’(a)-]-(3-|-6-f-3)

/»

1!

/i + (3 + 12+ 9)

n*)h 2

/w

₊ (3 + 24 + 27)C^ Aä +(3 + 48+ 81)

/'»

Ä⁴ + -"

h«)

1!

4!

81/i⁴

f^(a) 495/i5 5!    2

folglich wird

Der Unterschied wird also auch hier, genau wie bei der Simpson sehen Regel, mit h verschwindend klein von der fünften Ordnung.

§ 71.

Ubungs- Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll mit Anwendung der Simpson sehen

Regel

(34.)

3h

a+3A

(Vo + %1 + ³^2 + y?) —jf{x)dx =

3 h⁵

80

(1.)

ln 2

_ fdx

J x

berechnen.

dann wird

Auflösung. Es sei 2w=12, also h = ~

(2.) ln 2 _ ÿm>+4/(^) + 2/(l|) + • • • + 4/(|) + /(2)]

⁴⁸ 4.²⁴ > ⁴⁸ . ²⁴ . ⁴⁸ , ²⁴ , ⁴³ , 24 13⁻¹"" 14' 15 ' 16 ^ 17 ^ 18    19 ^ 20

48    24    48    12

⁺ 21 ⁺ 22 ⁺ 23 ⁺ 24

= L(1 +

Run ist

1    : 36 = 0,027 777 78 4 : 39 = 0,102 564 10

2    : 42 = 0,047 619 05 4 : 45 = 0,088 888 89 2 : 48 = 0,041 666 67 4 : 51 = 0,078 431 37 2 : 54 = 0,037 037 04 4 : 57 = 0,070 175 44 2 : 60 = 0,033 333 33 4 : 63 = 0,063 492 06 2 : 66 = 0,030 303 03 4 : 69 = 0,057 971 01 1 : 72 = 0,013 888 89;

folglich findet man für ln 2 den Näherungswert 0,693 148 66, der sich von dem wahren Werte, nämlich von ln 2 = 0,693 147 18 nur um 0,000 001 48 unterscheidet.

'dx

Berechnet man ln 2 = J-- nach der zweiten Methode,

i

also nach Formel Nr. 207 der Tabelle, indem man wieder 12 Intervalle annimmt, so wird

An — 12, h

(3.)

12

also

45

(4.) F = —{1 y₀ + 32yy + 12y₂ + 32?/₃ -f- 14-f 32y₅

4" 12^6 H⁻ 32^7 4" 14^8 4" 32?/₉ -f- 12yio + 32yu -J-⁼ 27d(7_f

tO! «q

Nun ist

7=7

384 : 13 = 29,538 461538 5

144 : 14 = 10,285 714 285 7

384 : 15 = 25,6

168 : 16 = 10,5

384 : 17 = 22,588 235 294 1

144:18= 8

384 : 19 = 20,210 526 315 8 168 : 20 = 8,4 384 : 21 = 18,285 714 285 7 144:22 = 6,5454545455 384 : 23 = 16,695 652 173 9 7:2= 3,5;

(5.)

folglich erhält man für ln2 den Näherungswert F = 187,149 758 439 2 : 270 =    0,693 147 253 5,

der sich von

ln 2 = 0,693 147 180 6

nur um

(6.)

F— ln 2 = 0,000 000 072 9

unterscheidet.

Aufgabe 2. Man soll die Zahl x durch Anwendung der Simpson sehen Regel aus der Gleichung

(7.)

0,5

Jy~i—x~

0

dx

= Tare sin a:l⁰’o= L    Jo

H KO

berechnen.

~ erhält man

Auflösung. Für 2w = 8, also h = -

(8.) x

- f [/(0) +    + ■ • • + 4 f(h) + /(^)]

⁼ ł(¹ +

64

32

64

32

64

V 255 Ÿ 252    y247 y240 y231

32

64

16

oder

y 220 y 207 Y192

(9.) x —

1 V16320 y28 , y15808 yi5 8 ' 255 ' 21 ^ 247 ⁺ 15

y14784    y220    yi472 , V3

⁺ 55 ⁺

231

69    12

Nun ist

1:8 = 0,125

K16 320 : 255 = 0,500 979 43 y28: 21 = 0,251 976 31 yî58Ô8 : 247 = 0,509 027 81 y15 : 15 = 0,258 198 89 K14784 : 231 = 0,526 361 35 y 22Ô : 55 = 0,269 679 95 y1472 : 69 = 0,556 038 44 y3 : 12 = 0,144 337 57;

— ya²—x² —

folglich erhält man für die Zahl jc den Näherungswert 3,141 599 75, der sich von dem wahren Werte, nämlich von jt = 3,141 592 65,

nur um die Größe 0,000 007 10 unterscheidet.

Aufgabe 3. Von einer Ellipse b²x² -J- a²y² = a²b² mit den Halbachsen a = 6, 6 = 4 soll man das Flächenstück Q1Q2P2P1 berechnen (Fig. 125), wenn OQi = — 1 und OQ2 — + 5 ist.

Auflösung. Aus der Gleichung der Ellipse folgt

y'36 — a;²,

Pig. 125.

Pi?

OT I CO

(10.)

a

so daß man für den gesuchten Flächeninhalt

+ 5

— x²

(11.) P=lJdxVSG

Q,

—1

erhält. Nach der Simpson-schen Regel wird daher für 2n =12, h = I

(12.) F = I • i (]/35 + 4V35/75 + 2^36 + 4^35,75

3 b

+ 21/35 + 41/33,75 + 2 ]/32 + 41/29+3 + 2 ]/27 + 4 1/23/75 + 2 Ÿ2D + 4 V15/75 + VU).

Nun ist

21/36 = 2.6    =    12,000 000 0

8 j/35/75 - 1/2288 = 47,833 043 0 3>/35 = l/3Ï5 = 17,748 239 3 4V33/75 = ]/540 = 23,237 9001 21/32 = 1/128 = 11,3137085 41/29/75 = V476 = 21,817 424 2 21/27 = V108 = 10,392 304 8 41/23/75 = V38Ö = 19,493 588 7 2/20 = 1/80    =    8,944 2719

41/Ï5/75 = 1/252 = 14,874 507 9 VÏ1 = 3,316 624 8;

man erhält daher für F den Näherungswert 191,971 613 2 : 9 = 21,330 179 24. Den wahren Wert von F findet man ans

(13.)

(14.) F

= ^JdxVdG

—x² — ~ |]/36—x² -j- 18arcsin

= ^ (5|/ÎI + "l^35) + 12 arc sin Dabei ist (vergl. Aufgabe 4 in § 19) Yll = 5,527 708

io ICO rH Sco

—12 arcsin

(-&

V36 = 1,972 027

also

12arcsin^j^ = 12arcsin^^ =

11,821 327

2,009 377

(15.)

F = 21,330 439.

Der durch die Anwendung der Simpson sehen Regel gefundene Näherungswert ist also um 0,000 260 zu klein.

Fig. 126.

Aufgabe 4. In einer Ellipse (Fig. 126) mit der Gleichung

(16.) b²x² -f- a²y² — a²b2 seien die beiden Halbachsen

\A (17.) a — 10 und 0 = 6; man soll die Länge des Bogens BP bestimmen, wenn OQ gleich 8 ist.

Auflösung, Aus Gleichung (16.) folgt

(18.)

dy

b²x

dx a²y ’

/dsF a⁴y² -f- b⁴x2 \dx)~

a⁴y²

a⁴ — e²x²

a²[a² — x²)

In dem vorliegenden Falle ist e gleich 8, also

(19.)

s = BP = Idx

10 000 — 64z²

100(100 — z²)

Deshalb erhält man durch Anwendung der Simpson-schen Regel für 2w = 8, h — 1

(20.) s —

(¹+⁴RÜ+²)/Ü+⁴/

llïôô + ⁴1/Hö + 2)H + ⁴ F

T—I ICO

9424

9100

6864

5100

i/5904\ I 3600/

Run ist

1 = 1,000 000 00 : 55 = 4,007 266 12 10 = 2,014 944 17

70 = 2,067 434 57 5 = 4,233 202 10 10 = 2,193 171 22 85 = 4,640 486 78 5 = 1,280 624 85; man für die Bogenlänge BP den Näherungs-

4 V9936 : V9900 = ]/48576 2]/W44 : 9600 = YÄÖß 4y9424 : V9100 = y3430336 : 455 = 4,070 586 00 2 y8976 : y8400 = y2Ö 944 4y84ÖÖ : y7500 = y448 2y7696 : y6400 = y48l 4y6864 : yÖlOO = yi55584 y59Ö4 : y36ÖÖ = VH

folglich findet wert

(21.)

5 = 25,507 715 81:3 = 8,502 571 94.

Soll der Quadrant der Ellipse, nämlich

(22.)

io

q = jdx j/

o

10000 — 64z²

100(100 — X²)

berechnet werden, so würde die Rechnung auf Schwierigkeiten stoßen, weil

m=]/

10000 — 64z²

100(100 — z²)

für z = 10 unendlich groß wird. Um auch in diesem Falle

10

die angenäherte Berechnung von ff(x)dx auszuführen, mache

8

man y zur Intégrations-Veränderlichen, indem man 2/= — Y100 — x², oder æ = ^]/86 — y2 setzt. Dies gibt (Fig. 126)

5ydy

3 V 36^/2

(23.)

(24.)

dx — —

ds = —

dy\j

1296 + 64y²

36(36 — y²)

io

(25.) PA

=Jf{%)dx

8

o

= — fdv ]/

3,6

324 -f- 16y²

9(36^j

3,6

= +jdy |/

0

324 + 16y2 9 (36 — y²)

Wendet man auf die Berechnung dieses Integrals die Simpson sehe Regel an, indem man 2n = 4, also h — 0,9 setzt, so ergibt sich

(26.) PA = 0,8(1 + 4]/g + ij™ + i}^

Nun ist

0,3 = 0,300 000 00

1,2 . V4Î6 : y 391 =    y234 224,64    :    391    =    1,237    768 80

0,6 . VÏÏ6 : y§ï -    y3800^6    : 91    =    0,677    422 39

1,2 . y544 : yM9 -    V249 891,84    :    319    =    1,567    059 02

:    4= 0,480 234 32;

0,3. yiï : yi6 =    ypö

(27.)

folglich erhält man für PA den Näherungswert PA = 4,262 484 53, so daß man mit Rücksicht auf Gleichung (21.) für den ganzen Ellipsenquadranten

(28.)

BP A = q = 12,765 056 47 erhält. Durch wirkliche Berechnung des elliptischen Integrals hatte man auf Seite 350 in § 60 für denselben Ellipsenquadranten

(29.)

q = 12,763 499 4

gefunden, so daß das durch. Anwendung der Simpson sehen Regel berechnete Resultat um 0,0015571, d. h. um 0,00012200 der Bogenlänge zu groß ist.

Wenn man für die Zahl n noch größere Werte wählt, so werden die Resultate natürlich genauer.

§ 72.

Gaußsche Quadratur.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 208 und 209.)

Rach der Simpson sehen Regel (Formel Nr. 206 der Tabelle) ist näherungsweise

(1.) F

—M — 3    d“ d~ A® d~ 2A)

4~ f(a d⁻ 27?) + 4:f(a -j- 3h) -f- f(ß + 47?)

d~ fQ> — 2/0 + 4/‘(i — h) + /*(&)]

7?

= 3 (y₀ + %1 4- ²2/2 4- %3 + 2i/4 d-----h ty2n-2 4- %2«-l 4- 2/2«).

Auch bei dem in Formel Nr. 207 angegebenen Näherungswerte hatte F die Form

(2.)

F = h(c₀y₀ + dyx + c₂y₂ d-----b c₄«2/4«),

wobei c₀, Ci, c₂,...c±n passend gewählte Zahlkoeffizienten und ?/₀, ?/i, y₂,...yXn Ordinaten der Kurve

y = f(x)

(3.)

sind, welche gleichen Abstand voneinander haben. Eine noch stärkere Annäherung bei gleicher oder sogar noch kleinerer Anzahl von Ordinaten erhält man, wenn man den Ordinaten nicht die Beschränkung auferlegt, daß sie gleichen Abstand voneinander haben, sondern wenn man dieselben passend

auswählt.

Handelt es sich z. B. um den Doppelstreifen

c-\r h

Jf(x)dx ==^F\x)dx = F (c -j- h) — F{c — h) r Ti

[T\f{c) + hnc)+hmc)+'''y

Jetzt sind nur noch die beiden Größen d und a so zu bestimmen, daß

(12.)

so mögen in dem Ausdruck

F\ — h [dfic - ah) + afic + ßh)]

die 4 Größen d, c₂, a, so bestimmt werden, daß in der Entwickelung von F\ nach steigenden Potenzen von h, also in

(5.)

h²

(6.) Fl = (c + c₂)hf(c) + (— a a + c₂ß) ~f'(c)

h³

+ (da² 4- c₂ß²)f"(c) + (— da³ + c₂ß³)—f'"(c)

+ (d«⁴ + d/9⁴)ïy/'^(c) + ---

möglichst viele Glieder mit der in Gleichung (4.) gegebenen Entwickelung überein.stimmen. Zunächst folgt aus den Gleichungen

(7.)

— d«-f~c2/? = 0, oder d« — c₂ß

und

(8.)

— da³ + °2ßs — 0, oder da³ = c₂ß³

daß

(9.)

ß² = a²

oder • ß — + a.

Wäre /? = — a, so würden die beiden Ordinaten f(c—ah) und f(c~\~ßh) zusammenfallen; damit man zwei verschiedene Ordinaten erhält, muß man also in Gleichung (9.) das obere Vorzeichen wählen. Daraus folgt dann auch

= C2,

so daß die Gleichungen (5.) und (6.) übergehen in (11.) Fi = cßi [f(c — ah) -j- fic -f- ah)]

(10.)

h³

hb

= 2 cßific) + cia²—f"(c) + Ciß⁴7Tf⁽⁴⁾(c) H-----

4!

d = 1, 3da² = 1, also a —

wird. Dies gibt

L3    L5

9.4!

(13.)

-² [vw + jTäi-rw+

Es ist daher

(14.)

jf(x)dx

135

C—Ä

Indem man in Gleichung (13.) für c die Werte c = a -f- Ä, a + 3^,...è — h einsetzt und die daraus sich

ergebenden Ausdrücke addiert, findet man den Näherungswert

b

für Jf(pc)dx

Z+Ph)

(15.) F=h \f(a + ^-JA) + f(a + + f(a + ⁹ ~₃]/iife) + /■(« +

+ /(« + Wjb't') + f(a +

“Ÿ²*)

+ /■(*

’-=P‘)]•

In dieser Formel braucht man 2w Ordinaten und er

hält eine etwas stärkere Annäherung als bei der Simpson-scheu Regel unter Benutzung von %n -f- 1 Ordinaten. Da nämlich 2nh gleich b — a ist, so wird der Fehler bei dieser Formel nach Gleichung (14.) gleich einem Mittelwert von

(b —- a)hß _

er verhält sich also zum

270

f^\x) multipliziert mit Fehler bei der Simpson sehen Regel etwa wie 2 zu 3.

Durch die Einführung der Irrationalität Y3 wird die Rechnung im allgemeinen nicht erschwert. Wenn z. B. f(x) eine rationale Funktion von x ist, so wird die Summe

f(e ~yù + f(c+vù

rational. Die Rechnung wird dann sogar noch einfacher als bei Anwendung der Simpson sehen Regel, wie das folgende Beispiel zeigen möge.

Aufgabe. Es soll wieder

ln 2 =

j'dx

J x

i

berechnet werden unter Anwendung von 12 Ordinaten. Auflösung. In diesem Falle ist h = 1 : 12 und

++*PäP>+rÇPP)

+ P-pp) +    + '<rr>

+ >Pm + 'PiP)^PiP)}

oder da f(x) = ist

) ⁺ (lö—]/ 3 ⁺ 45 + ]/ 3)

<16.) F= 317-¹    ,

L\39 — ]/ 3    39 + 1/3

+(

L-Jt + f- ¹ _ + ¹ \

51 — 1/3    51+ j/8/    \57—1/3    57 + I/3/

+(

L_\₊/ ¹ _ ₊ _1 _\]

63 — 1/3    63 + 1/3/    \69 —1/3    69 + V3/J

3^ 4Ô 51    57    63    69

253 ^ 337 ⁺ 433 ⁺ 541 ⁺ 661 ⁺ 793 '

Nun ist

also

39 : 253 = 0,154 150 197 6 45 : 337 = 0,133 531 157 3 51: 433 = 0,117 782 909 9 57 : 541 = 0,105 360 443 6 63 : 661 - 0,095 310 136 2 69:793 = 0,087 011 349 3,

F = 0,693 146 193 9 = ln 2 — 0,000 000 986 7.

(17.)

Der Fehler ist also kleiner als bei Anwendung der Simpson selten Regel mit 13 Ordinaten. (Yergl. Aufgabe 1 auf Seite 422 und 424.)

Auch dieses Verfahren läßt sich verallgemeinern, in

dem man

(18.) F₂ = hc{[f(c — ah) + f(c + ah)] -f hc₂[f(c — ßh)

+ f(c + ßh)]

h³

2!

= 2 (d + c₂)hf(c) -f- (d«² + c₂/9²G- /v/(c)

hb

h'

+ (d«⁴ + c₂/?⁴) ₄ J /r(4)(c) + (da⁶ -f- ca/3⁶)

6!

h⁹

+ (d«⁸ + ca/?⁸) 8! /^(c) H----

setzt und die 4 Größen Ci, c₂, «, /? so bestimmt, daß möglichst viele Glieder dieser Entwickelung mit den entsprechenden Gliedern in der Entwickelung von

c+2//

(19.) jf(x)dx —j~F\x)äx — F(c + 2h) — F(c — 2h)

c—2h    c—2 h

= 2[ïf +    +

c+2/i

32 h⁵

5!

f(±ßc) -f

12 Sh¹

7!

übereinstimmen. Dies gibt die Gleichungen

ci 4 c2 ⁼ 2,

Cl«² + C₂ß² = | 5

32

cia⁴ + c₂ßi = — »

(20.)

(21.)

(22.)

(23.)

, , 128

ci«b + c₂ßh = ~y~ ■

Eliminiert man aus den Gleichungen (20.) und (21.), (21.) und (22.), (22.) und (23.) die Größe Ci, so erhält man

Kiepert, Integral - Rechnung.

(24.)

(25.)

(26.)

c₂(«² - ß²) = 2(a² — 3),

<^(«² - ß²) - 32(|² - *-) = 8^(|² -1)

c₂/?²(a² - /?²)

also

(27.) ,*²

Dies gibt

/ >    4\/a²    4\    /a²    4\²

r~ 3X5-7) = G“b>

oder

(28.)

(29.)

a² —

35a⁴ — 120a² + 48 = 0,

60 + ]/Ï920 _ 12 + 1,67/30

35

Da die Gleichungen (20.) bis (23.) sich nicht ändern, wenn man C\ mit c₂ und a mit ß vertauscht, so genügt ß derselben Gleichung (28.) wie a; es sei deshalb

a² =

(30.)

⁴ (3-0,41/30), <S² =    (3 + 0,41/30).

Dann folgt aus Gleichung (24.)

2(3a²:=:4) _ 8(9 — 1,2/30 — 7) __ 3 (a² — ß²)    — 3.3,2/30

,R9 ( „ _ 2(3^² — 4) __    1

¹    3{ß² — a²) “ 1 + 18^³⁰*

(31.) c₂ =

^/30,

18

Es ist daher

(33.) F2

⁼(i+i4y⁸⁰)*Kc

2V 3 — 0,4/30

2V3 —0,4]/3Ö

+(i-iF³°)AKc

+ /(* +

2/3 + 0,4730

7/7

*)]

*)

+ f(c +

2V3 + 0,4/30

V7

*)]

2(<-i«s + cs/3⁶) = 2 •    [(l + t V30)(3 - 0,4 V3o)J

Ä⁹

Der Koeffizient von in der Fntwickelung von F>

o !

wird dabei

+ (l - 1130)(3 + 0,41/3Ö)¹] 1024.5,16

49

(34.)

Deshalb wird

c+

jf[x)dx

-(..

1024/?.⁹    1024.5,16/?,⁹

8! 49

y»Kc)+--

c—2/ż

20,48/?⁹

138 915

Bezeichnet man

/[a + (4m — 2 — «)7?.] mit    ym> i,

/■[a + (4m — 2 + a)A] mit    ym> 2,

/T> + (4m — 2 — ß)h] mit ym>s, f[a + (4m — 2 + ß)h] mit ymA,

b

so erhält man für das gesuchte Integral Jf(x)dx den Nähe-

a

rungswert

(35.) F = hcxyKylt i -b yi, ₂)+(y2,1 + y2,2) H-----b (//«, 1+y», 2)]

+    hc2[(yx, 3 + y\,4) + (y2,3 -b V2,4) ~\-----b (Vn, s ~b Vn, 4)] •

Da hierbei 4nh — 6— a ist, so wird, wenn    man    mit

& eine Größe zwischen 0 und 1 bezeichnet, der Fehler

5,12(6 — a)hs

b

f{V[a + 6(b — a)];

(36.)

138 915

Jf(x)dx

a

er wird also mit h zugleich unendlich klein von der achten

Ordnung.

Die folgende Aufgabe möge zeigen, wie bei den Anwendungen häufig die in a, ß, c1} c₂ enthaltenen Irratio-

28*

nalitäten vermieden werden können, weil in dem Endresultat nur die symmetrischen Funktionen von a² und ß² auftreten. Nach Gleichung (28.) wird aber

120

(37.)

ß2 + ',2= 35

48

a²ß² = — •

35

rclx

Aufgabe. Man soll wieder ln2 = / — unter Benutzung

von 12 Ordinaten berechnen.

Auflösung. Hier ist

also, wenn man der Kürze wegen 12c mit k bezeichnet,

24 k

12 c -f- a h² — ec2 24 Zr

12c + /?    ²

f(c —- ah) -f- f(c + och) —

f(c — ßh) + f(c + ßh) =

und (32.)

12

12

12 c —

12

12

12c — ß

Deshalb wird mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

(38.)    Ci \ f (c — ah) + f(c + ah)] + c₂[f(c — ßh) -f f\c + ßh)]

3ß² —

48k    /

~ 3(<x²— ß²) V

16/c[— 3(a⁴ —    (3k² + 4) (a²_— ß²)]

(a² — ß²) [k⁴ — (a² -f- ß²)k² + a²ß²J

k² — a²

3 a² —

k² —

*)

_ 1 Gk[— 3 (a² + ß²) + 3 k² + 4]    16Ä;(105Z;² — 220)

— k* — (a² + ß²)k² + a²ß² ~

Wenn man in diesem Ausdruck für k — 12c die drei

35Z;⁴ — 120 Z;² + 48

Werte

12(1 + 2 h) = 14,    12(1 + 6h) = 18,    12(1 + 107?) = 22

einsetzt, so erhält man bezw.

cßyi.i + y 1,2) + 02(7/1,3 + 7/1,4) =

ci(7/2,1 + 7/2,2) + £2(7/2,3 -f- 2/2,4) =

ci (?/3,1 + 7/3,2) + 02(7/3,3 + 7/3,4) =

35 630 10 321 ’ 25 350 9 467 ’ 139 150 63 601

Indem man diese Werte in Gleichung (35.) einsetzt, findet man

(40.)

1 /35 630    25 350    139150

” 12 \10321 ⁺ 9467 ⁺ 63 601

Nun ist

35 630 : 10 321 = 3,452 184 865 808 25 350: 9 467 = 2,677 722 615 401 139 150 : 63 601 = 2,187 858 681 467.

folglich wird

(41.)

F = 8,317 766 162 676 : 12 = 0,693 147 180 223 = ln 2 — 0,000 000 000 337.

Man erhält also durch dieses Verfahren eine außerordentlich starke Annäherung.

Noch stärker wird die Annäherung, wenn man in den Gleichungen

e+SA

e-\-3h

(42.)

Jf(x)dx = jF/(x)dx = F (c + 3h) — F(c — 3h)

c—3/t

und

(43.) Fs = hc{ [f(c — ah) f{c + ah)) hc₂ [f(c — ßh)

+ f(c -f ßh)) -f hcs\f{c — yh) -j- f{c -f yh)\

die rechten Seiten nach steigenden Potenzen von h entwickelt und die 6 Größen c1? c₂, c₃, a, ß, y so bestimmt, daß in beiden Entwickelungen die Koeffizienten von h, 7z³, h°, h¹, A⁹, hn miteinander übereinstimmen. Der Fehler wird dann mit h zugleich unendlich klein von der 13ten Ordnung.

In dieser Weise kann man das Verfahren noch be

liebig weiter fortsetzen.

§ 73.

Amslers Polarplanimeter.

Man kann den Flächeninhalt einer allseitig umschlossenen ebenen Figur auch durch rein mechanische Hilfsmittel bestimmen und auf diese Weise die rechnerische Ausführung der Integration vermeiden. Die meiste Anwendung auf diesem Gebiete hat wohl das Araber sehe Polarplanimeter gefunden, das es möglich macht, die Größe des Flächeninhaltes der Figur auf einer in gleiche Teile eingeteilten Rolle, „der Integrierrotte“, abzulesen, nachdem man die Umgrenzung der Figur mit dem sogenannten Fahrstifte umfahren hat.

Diese sinnreiche Vorrichtung beruht auf der folgenden Überlegung.

Die Gerade AB von der Länge l bewege sich in einer Ebene so, daß der eine Endpunkt A auf dem Kreise mit dem Mittelpunkte M und dem Halbmesser r bleibt (Fig. 127),

Fig. 127. '

B'

Pi

während der andere Endpunkt B die geschlossene Kurve A, deren Flächen-Ï inhalt F bestimmt werden soll, durchläuft. Man könnte 4 statt des Kreises auch eine andere geschlossene Kurve nehmen; der Kreis hat jedoch schon deshalb den Vorzug, weil man die zwang-läufige Bewegung des Punktes A auf dem Kreise dadurch erreichen kann, daß man zum Halbmesser MA des Kreises eine Schiene macht, die in M eine feine Spitze und in A eine zur Ebene der Figur senkrecht stehende Achse hat, um die sich eine zweite, der Geraden AB entsprechende Schiene drehen kann. Sticht man die Spitze M in einem passend gewählten Punkte der Ebene, welcher der

Pol genannt wird, ein und bewegt den in B befestigten Fahrstift auf der Kurve K, so tritt die oben beschriebene Bewegung ein. Man betrachte dann ein unendlich kleines Flächenelement dF gleich AA'B'B, das die Gerade AB bei eintretender Bewegung überstreicht, und bezeichne den Winkel, unter dem sich die Geraden AB und A'B' im Punkte C schneiden, mit dtp. (Vergl. Fig. 128.) Bezeichnet man die Mitte von AB mit G und beschreibt um C die Kreisbogen AD, GH und BE, so unterscheiden sich die Kreissektoren ACD und BCE von den Kurvensektoren ACA/ und BGB' bezw. nur um die Dreiecke ADA' und BEB', die, wie bei der Berechnung des Flächeninhalts unter Anwendung von Polarkoordinaten gezeigt wurde, unendlich klein werden von der zweiten Ordnung und deshalb neben den unendlich kleinen Größen erster Ordnung vernachlässigt werden dürfen. L/wv Dadurch findet man für den Flächeninhalt / /

Fig. 128.

Gl

B,

’H

Ja’

<D

der Figur AA'B'B

(1.) dF = BCB' —ACA' = BCE— ACD = l(CB²—Cl²)dg>

= ~{CB + CA)(CB — CA)dtp.

A

Nun ist aber CB + CA = 2 CG und CB — CA = AB = l, folglich wird

B’

•E

dF = CG.I. dtp.

Dabei ist CG. dtp gleich dem Kreisbogen GH, so daß man erhält

(*)

(3.)

wenn man

dF = l. GH = l. da, den Kreisbogen GH mit da bezeichnet.

daß der

Bisher wurde stillschweigend angenommen Punkt C, in dem sich die Geraden AB und A'B' schneiden,

auf der Verlängerung von AB über A hinaus liegt. Die vorstehenden Schlüsse bleiben aber auch dann noch richtig, wenn das nicht der Fall ist, wenn z. B. C zwischen A und

B liegt, wie in Fig. 129. yB' Nur muß man auf das Vor-E Zeichen von dF und do achten. Man kann z. B. festsetzen, daß alle Flächenstücke, die ein von A nach B sehender Beobachter zur Rechten hat, positiv zu nehmen sind, und daß die zu seiner Linken mit negativem Vorzeichen zu berücksichtigen sind. Entsprechendes gilt auch für do. Dann wird das in Figur 129 von AB überstrichene Flächenstück

dF == BCB‘ — ACA' = BCE—ACD

Fig. 129.

g//h

A’s

'L

c.

B,

= l (CB²— CA~)äcp = hcB + CA) {CB — CA)dcp

= l. CG . d<p = 1 .do,

wobei der Kreisbogen GH wieder mit do bezeichnet worden ist.

Ist nun im Punkte G eine kleine Rolle befestigt, deren Achse in der Geraden AB liegt, so wird der Umfang der Rolle, wenn die Gerade AB das Flächenstück AA'B'B überstreicht, um den Kreisbogen do fortrollen, denn man kann die eintretende Bewegung zerlegen in eine Drehung um den Punkt C, so daß die Gerade AB in die Lage DE kommt, und in eine Verschiebung der Geraden in ihrer eigenen Richtung von DE nach A‘B'. Bei dem ersten Teile dieser Bewegung dreht sich die Rolle um den Bogen GH gleich do, bei der zweiten aber kann sich die Rolle nicht drehen, wTeil die Verschiebungsrichtung mit ihrer Achse zusammenfällt. Dabei wird das Vorzeichen von do mit dem von dF übereinstimmen.

Wenn jetzt der F ahrstift B die ganze geschlossene Kurve K durchläuft, möge zunächst der in Figur 127 dargestellte Fall eintreten, daß der Pol M, d. h. der Mittelpunkt des Kreises, außerhalb der geschlossenen Kurve K liegt und infolgedessen der Punkt A nur einen Teil PQ des Kreisumfanges durchläuft. Er wird dann im allgemeinen jeden Punkt des Kreisbogens PQ zweimal passieren, und zwar das eine Mal in der einen, das andere Mal in der entgegengesetzten Richtung. Dann wird die Gferade AB die von der Kurve K eingeschlossene Fläche F nur einmal überstreichen, während die zwischen K und dem Kreisbogen liegende Fläche zweimal überstrichen wird, und zwar das eine Mal im positiven und das andere Mal im negativen Sinne. Summiert man also alle die kleinen Flächenteile dF — l. da, welche von AB überstrichen werden, so erhält man, da der zweimal überstrichene Flächenraum herausfällt, für die gesuchte, von der Kurve K umschlossene Fläche

(4.)

F = J l. do = l J do,

wobei Jdo dem Bogen gleich ist, der auf der Rolle in G abgerollt ist. Man braucht also nur an der Rolle mit Hilfe eines Honius den Stand am Anfänge und am Schlüsse der Bewegung abzulesen. Dabei kann durch eine Schraube ohne Ende an der Achse der Rolle noch eine Vorrichtung angebracht werden, welche die ganzen Umdrehungen der Rolle zählt.

Das in Gleichung (4.) ausgesprochene Gesetz bleibt auch noch richtig, wenn die Gerade AB Teile der Fläche F mehr als einmal und Teile der Fläche PQRS mehr als zweimal überstreicht; denn die Flächenteile von F werden stets nur einmal oder 3, 5, 7, . .. mal überstrichen, und zwar einmal mehr im positiven Sinne als im negativen Sinne, und die Teile außerhalb der Fläche F werden entweder gar nicht oder 2, 4, 6, ...mal überstrichen, und zwar ebenso oft im positiven wie im negativen Sinne, so daß Gleichung (4.) auch dann noch richtig bleibt. Dies gibt :

Satz 1. Liegt der Pol M außerhalb der geschlossenen Kurve K, so ist der Flächeninhalt der Figur F proportional

zu dem auf dem Umfange der Rolle abgerollten Bogen, dessen Länge man durch die oben angedeuteten Vorrichtungen sehr genau ablesen kann.

Etwas anders verhält sich die Sache, wenn der Punkt A bei eintretender Bewegung der Geraden AB den ganzen Kreis einmal durchläuft, ehe die Gerade AB in ihre Anfangslage zurückkehrt. Das wird geschehen, wenn der Pol M im Innern der geschlossenen Kurve liegt (vergl. Fig. 130 und 131).

Fig. 130.

Fig. 131.

A.

[A

Bi

rA

Bei Fig. 130 überstreicht die Gerade AB bis Rückkehr in ihre Anfangslage nur die Fläche, welche zwischen der Kurve K und dem Kreise mit dem Halbmesser MA gleich a liegt, so daß der Flächeninhalt der ganzen Figur

zur

F = l Jdo -j- a²jt

wird. Diese Formel bleibt aber auch noch für Figur 131 richtig, bei welcher ein Teil der Kurve K innerhalb des Kreises liegt, denn die im Innern des Kreises liegenden

(5.)

Flächenteile, welche von der Geraden AB (einmal, oder 3, 5, 7 ...mal) durchstrichen werden, ohne daß sie dem Flächeninhalt F angehören, kommen mit negativem Vorzeichen in Rechnung. Dies gibt

dem auf dem Umfange der Bolle ah-

zu

Satz 2. Liegt der Pol M im Innern der geschlossenen Kurve K, so ist der Flächeninhalt der Figur F gleich der Summe von einer konstanten Größe (a?ji) und von einer Größe lJ do, welche gerollten Bogen proportional ist.

Schließlich ist noch hervorzuheben, daß die beiden gefundenen Sätze noch richtig bleiben, auch wenn die Rolle nicht genau in der Mitte G der Geraden AB, sondern in irgendeinem anderen Punkte L der Geraden AB angebracht ist. Der Punkt L darf, wie es bei der üblichen Ausführung des Instrumentes der Fall ist, sogar auf der Verlängerung von AB, z. B. über A hinaus liegen. (Vergl. Fig. 128 und 129.) Die Rolle wird dann allerdings bei eintretender Bewegung nicht mehr den Bogen

GH = do,

LN = dz

sondern den Bogen

abwickeln. Dabei ist aber (6.) LN = dz = CL .drp,

(7.) GH= do = CG .dtp = CL .dtp + LG. dtp

= dz -f- LG. dtp,

und zwar gilt das für Figur 128 und 129, wenn man auf die Richtung der Strecken Rücksicht nimmt, d. h. wenn man beachtet, daß

CL = — LC

ist. Kehrt die Gerade AB in ihre ursprüngliche Lage zurück, so findet man durch Integration aus Gleichung (7.)

(8.)

/do = Jdz -f- LG .Jdtp.

In dem durch Figur 127 dargestellten Falle, wo der Pol M außerhalb der Kurve K liegt, ist Jdtp gleich Null, so daß

fdo —Jdz

wird, und Satz 1 ohne weiteres in Kraft bleibt. In dem zweiten Falle aber, wo der Pol M innerhalb der Kurve K liegt, macht die Gerade AB eine ganze Umdrehung, ehe sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt. Es wird also

fd(p = 2.t

und Gleichung (8.) geht über in

(9.)

fdC) =Jdr + LG . 2jt.

Also auch Satz 2 bleibt in Kraft; nur die konstante Größe a?31 ist durch die konstante Größe a?Ji -f- l ■ LG . 2x zu ersetzen. Den Proportionalitätsfaktor l und die konstanten Größen d²x bezw. d²x -j- l. LG . 2jt ermittelt man für jedes einzelne Instrument dadurch, daß man mit dem Polarplanimeter zunächst Figuren ausmißt, deren Flächeninhalt bereits bekannt ist, am besten Kreise mit gegebenem Halbmesser.

XIII. Abschnitt.

Kubatur der Körper und Komplanation der krummen Oberflächen. Mehrfache Integrale.

§ 74.

Kubatur der Körper durch Anwendung einfacher Integrale.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 210.)

Es war bereits in Abschnitt VI gezeigt worden, wie man das Volumen eines Rotationskörpers berechnen kann. Es wurde damals der Körper durch Schnitte, senkrecht zur Rotations-Achse in unendlich viele, unendlich dünne Schichten zerlegt, die man unter Vernachlässigung unendlich kleiner Größen höherer Ordnung als Kreiszylinder betrachten darf. Ist z. B. die den Körper begrenzende Fläche durch Rotation der Kurve

(io

y = f(%)

um die X-Achse entstanden, so ist die Grundfläche eines solchen Zylinders ein Kreis mit dem Halbmesser y und dem Flächeninhalte y²ji. Da der Zylinder die Höhe dx hat, so wird das Volumen einer solchen unendlich dünnen Schicht

(2.)

dV — y²jidx,

also das Volumen des ganzen Rotationskörpers

X2

(3.)

jijy²dx,

. Xi

wie bereits in Formel Nr. 136 der Tabelle angegeben ist.

Man teilt dieselben durch. Schnitte, welche zur X-Achse senkrecht stehen, in unendlich viele, unendlich dünne Schichten und summiert die Volumina dieser einzelnen Schichten.

Zur Berechnung des Volumens der einzelnen Schichten muß zunächst der Flächeninhalt der einzelnen Schnitte als stetige Funktion von x bekannt sein, wobei x — OQ der Abstand des betreffenden Schnittes von der FX-Ebene ist

(Fig. 132). Es sei also Fix) dę^ Flächeninhalt solchen Schnittes, welcher in F(x-\-Ax) übergeht, wenn x x um Ax — QQi wächst, d. h. wenn derSchnitt durch den Punkt Qi der X-Achse gelegt wird.

Legt man durch die Umgrenzungen der beiden Schnitte F(x) und F{x -f- Ax) Parallele zur X-Achse, so werden die beiden Umgrenzungskurven der Schnitte in die FX-Ebene projiziert. In Figur 133 sei z. B. die Kurve ABCJEFGK die Projektion von F(x), und die Kurve ALCDEMGH die Projektion von F(x -f- Ax). Die beiden Figuren haben das Stück ALCJFMGK gemeinschaftlich; dieses Stück muß man um

Fig. 132.

Fig. 133.

eines

TL

Q 0,1

My

J)

ai -- AL CB und a₂ = GFFM vermehren, damit man F(x) erhält, während man A = AHGK und ß₂ = CJED hinzufügen muß, damit man F[x + Ax) erhält.

(4.)

(4 a.)

So wird man im allgemeinen bei jedem Körper schließen können. Die Projektionen der beiden Schnitte werden ein Flächenstück

(5.)

F(x) und Fix -f- Jx) ergänzen. In

F(x) — a = F(x -f- Jx) — ß gemeinschaftlich haben, wenn man mit a und ß die Summe der kleinen Flächenstücke bezeichnet, welche das gemeinsame Stück bezw. zu Figur 133 ist z. B.

« = «l + «2 und ß = & + ß₂.

Dabei sind a und ß kleine Größen, welche mit Jx zugleich, verschwindend klein werden, wenn F(x) als eine stetige Funktion von x vorausgesetzt worden ist.

Bezeichnet man das Volumen der dünnen Schicht mit J F, so wird J V im allgemeinen größer sein als ein Zylinder, welcher Fix) — a = F{x -f- Jx) — ß zur Grundfläche und Jx zur Höhe hat. Dagegen wird JV im allgemeinen kleiner sein als ein Zylinder, welcher F(x) -|- ß — F{x -j- Jx) + a zur Grundfläche und Jx zur Höhe hat, d. h. es wird im allgemeinen

(6.)

[F(x) — a]Jx ^ JV ^ [F{x) + ß)Jx

sein. Dies gibt

(7.)

JV

F(x) — a ^    F(x) + ß

Jx

oder, wenn man Jx verschwindend klein werden läßt,

(8.)

dV

F{x) ~îlx™ F(x)

also

(9.)

dV

dx

= F(x), V

•2*2

=jF(x)dx

x\

Wie bereits hervorgehoben wurde, gelten die Schlüsse nur im allgemeinen. Die krumme Fläche, welche die betrachtete Schicht begrenzt, kann möglicherweise zwischen den beiden Schnitten F(x) und F{x -f- Jx) solche Einbiegungen oder Ausbiegungen haben, daß der Zylinder mit der Grundfläche F{x) — a und der Höhe Jx nicht ganz innerhalb der Schicht JV liegt, oder daß der Zylinder mit

der Grundfläche F(x) -ß und der Höhe Jx die Schicht JV nicht vollständig einschließt. In diesem Falle lege man durch eine Gerade g, welche zur X-Achse parallel ist und die Schicht durchbohrt, eine beliebige Ebene QQ1P1P (Fig. 184). Diese Ebene sei auf der einen Seite durch die Gerade g begrenzt und schneide die Figuren F(x) und F(x -f- Jx) bezw. in den Geraden QP und Q\P\. Die begrenzende Fläche schneide sie in dem Kurvenbogen PPi, welcher in den Punkten Pk und Pg bezw. den kleinsten und den größten Abstand von der Geraden g haben möge. Dreht sich nun die Ebene QQxPiP _ um die Gerade g, so möge vorausgesetzt werden, daß die ausgeschnittene Kurve PPkPgPi sich zwar ändert, aber niemals die Gerade g schneidet. Dann beschreiben die Punkte Pk und Pg auf der begrenzenden krummen Fläche zwei Kurven, deren Projektionen in die YZ-Ebene jetzt mit F(x) — a und F{x) -f- ß bezeichnet werden mögen. Dabei wird wieder

Fig. 134.

P9

\P

Q Qk

Q,

[F(x) — a]Jx śilĄ [F(A) -f ß]Jx, F (x) — a

JY

Jx

F(x) -f- ß,

also, weil für verschwindend kleine Werte von Jx die Punkte P K und Pg mit P zusammenfallen, so daß a und ß verschwindend klein werden,

F(x) sg*

dx = F(X)'

dies gibt wieder

dV

dx

= F(x), V

X'2.

—jF{x)dx.

In dieser strengeren Herleitung ist der zuerst behandelte, am häufigsten vorkommende Fall eingeschlossen.

Die Berechnung des Volumens der Körper nennt man „Kubatur der Körper

§ 75.

Übungs-Aufgaben.

Aufgabe 1. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher von dem elliptischen Paraboloid mit der Gleichung

(!•)

y² -f- a²z² — 2px

Fig. 135.

■X

und von der Ebene mit der Gleichung x = c eingeschlossen ist (Eig. 135).

■i

Auflösung. Jeder Schnitt senkrecht zur X-Achse schneidet aus der Fläche eine Ellipse mit der Gleichung

2px

und mit den Halbachsen

(2.)

a²z²

ai = y⁽2px, bi =—y2px

- ?

aus. Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist bekanntlich 1" r

(3.)

F{x) = aibijc —

2 px

dt

folglich findet man für das Volumen des Körpers

(4.) V

=jF(x)dx — ^1JCjxdx = 0 0

a L Jo a

Ellipsoids

Aufgabe 2. Man soll das Volumen des dreiachsigen

(5.)

2²

berechnen.

Auflösung. Auch hier ist jeder Schnitt senkrecht zur

X-Achse, eine Ellipse mit der Gleichung

a? — x²

- ,

(6.)

c²

a²

oder

a²y²

a²z²

b\a²—x²) ' c\a²—x²)

und mit den Halbachsen

bx — ⁽ \ à² — x², a

Y a? — x²

(7.)

folglich ist der Flächeninhalt dieser Ellipse

(8.)

bc

Fix) = axb\Ji = g {d² — x²)x. a

Das Volumen des Ellipsoids wird daher

-Fa

(9.)

jF(x)dx

bcjr

d²

x²)dx

bcx

a²

T o    xF\+a bcjt /2u³ , 2u::\ \abcx

L"J'    d    ! s-)⁻ s

(10.)

Aufgabe 3. Man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher von der Fläche 4ten Grades a²y² -)- x²z² = b²x²

und den beiden Ebenen

(11.)

x — 0 und x --= a eingeschlossen wird. Die durch Gleichung (10.) dargestellte Fläche heißt: „Conocuneus von Wallis“.

Auflösung. Die Schnitte, senkrecht zur X-Achse, sind wieder Ellipsen mit der Gleichung

(12.)

tź ₊ *-l

b²x² ^ b²

und mit den Halbachsen

(13.)

bx

Ul — — ?

6i = 6

folglich wird der Flächeninhalt eines solchen Schnittes

b²xx

(14.)

daher

Fix) = axb\x =

Das Volumen des oben beschriebenen Körpers wird

(/

(15.)

V = Jf(x)cIx =    jxdx =

0 0

b²x [x²la

ab²ji

Jo

Gleichzeitig gewinnt man aus dieser Untersuchung-Auskunft über die Gestalt der Fläche.

Aus Gleichung (10.) ergibt sich zunächst, daß die Koordinaten-Ebenen Symmetrie-Ebenen der Fläche sind, und aus Gleichung (12.) erkennt man, daß die Schnitte, senkrecht zur X-Achse, Ellipsen sind, welche alle dieselbe Halbachse G = b haben, während die andere Halbachse boc

— mit x proportional zunimmt. Die XF-Ebene (mit

der Gleichung z = 0) schneidet die Fläche in zwei geraden Linien mit den Gleichungen

(16.)

ay = + bx,

und die XX-Ebene (mit der Gleichung y = 0) schneidet die Fläche in der Doppel-Geraden

(17.)

welche mit der X-Achse zusammenfällt, und in den beiden Geraden

(18.)

z = -f 6, z — — b.

§ 76.

Einführung mehrfacher Integrale.

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 211.)

In den soeben behandelten Aufgaben war

(1.)

V — J'F(x)dx,

wobei der Flächeninhalt der ebenen Figur F{x) nach den Ausführungen in Abschnitt V selbst wieder durch Integration zu ermitteln ist. In allen drei Aufgaben war F(x) der Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen a\ und 6i, also mit der Gleichung

= + bl VaX- yZ. , «1

(2.)

bx²y² -J- a^z¹ — ai²bi², oder z

Kach Formel Kr. 133 der Tabelle findet man F(x) aus der Gleichung

Daraus erkennt man auch, daß in der Gleichung (3.) die Integrationsgrenzen — «i und -j- a.\ Funktionen von x sind.

In ähnlicher Weise wTird auch die Aufgabe, das Volumen eines Körpers zu berechnen, ganz allgemein zu be- . handeln sein. Den Schnitt, welcher senkrecht auf der X-Achse steht, und dessen Flächeninhalt mit F(x) bezeichnet worden ist, erhält man, indem man in den Gleichungen der den Körper oben und unten begrenzenden Flächen

(5.)

z' = g(x, y) und z" — h{x, y) die Größe x als Konstante betrachtet. Setzt man

(6.)

(4.)

2ii ["y    g— 9 i ßr

- srtsyai-y + 2

arcsin

<Zi6i.Tr.

Dabei war in den Aufgaben 1, 2 und 3 bezw.

V'Zpx:

a

bi = C Va² — x²; a

h\ = b.

«i =

&i =

«1 -

z")dy —

(3.) F(x) =jp

—«1

jd y V n r — f

—ax

& —z" = g(xi y) —    y) =    y),

so ist der Flächeninhalt dieses Schnittes

er 2

r-

(7.)

F{x) =J(z' — z")dy =Jf{x, y)dy

Ui    Ui

wobei im allgemeinen, je nach den Bedingungen der Aufgabe,

(8.)

yi = ¥x), y2 = nix) bekannte Funktionen von x sein werden. Da nun nach Formel Nr. 210 der Tabelle das Volumen des Körpers

V — jF(x)dx

(9.)

ist, so erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

•i'i y(-r)

V =JdxJ\z' — z")dy = JdxJf(x, y)dy.

*1    <p(x)

Den Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung(10. nennt man ,,ein Doppelintegral“. Besondere Aufmerksamkeit ist bei Doppelintegralen auf die richtige Bestimmung der Grenzen y\ = <p(x) und y₂ — *p(x) zu verwenden.

(10.)

Xx

X'i

(/1

Am besten wird man das angedeutete Verfahren durch die Behandlung einiger Aufgaben verstehen.

Aufgabe 1. Die Gleichung

(11.)

p(z — z₀) = Xy

stellt ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher oben von dieser Fläche, unten von der XY-Ebene, vorn und rückwärts von den Ebenen y — c und y — d, links und rechts von den Ebenen x — a und x — b begrenzt wird. Dabei möge zq so groß gewählt sein, daß das durch die angegebenen Grenzen eingeschlossene Stück der Fläche oberhalb der XF-Ebene liegt.

Auflösung. In diesem Falle ist

(12.)

xy

so A

P

z“ = 0;

die Grenzen der Intégrations-Veränderlichen y sind konstant, denn es ist

(13.)

yi = g

y-2 = ä.

Man erhält daher

(14.)

z")dy

= -jdxßpzo + xy)dy

= ” jdĄpz^y + X\

b

— c) + (d² — c²)x\

Jdx[2pzo(d

also

(15.)

c r    x^~\^

- 2pzox + (d + c) —

*-    -*a

a) id — c)

ąp    \Ąpzo + (« + d)(c 4- dT)].

Aufgabe 2. Die Gleichung 2p(z — zq) = î/²

stellt ein hyperbolisches Paraboloid dar; man soll das Volumen des Körpers berechnen, welcher oben durch diese Fläche, unten durch die XF-Ebene und seitlich durch den Zylinder

(16.)

m²x²

x² -f- y² = a²

begrenzt wird. Dabei sei z₀ wieder so groß gewählt, daß das von dem Zylinder eingeschlossene Stück des Paraboloids oberhalb der XF-Ebene liegt.

Auflösung. Eine Ebene, welche man durch den Punkt

Q der X-Achse parallel zur FX-Ebene legt, schneidet aus dem Körper eine Figur Fix) aus, welche oben durch die Parabel

(17.)

Fig. 1S6.

(18.) z' = —- {2pZq -\-y² — m²x²).

2p

— ■— Y

wz unten durch die Gerade z" = 0

und seitlich durch zwei Gerade W\P\ und W2P2 begrenzt

(19.)

wird, in denen der Zylinder von dieser Ebene geschnitten wird (Eig. 136). Dies gibt

(20.) F

^2 v-i    x-i vy

- jdxj'zdy = jdxj(2pz₀ + y²

XX ?/i    xx yx

X₂

⁻è.M2w+3

— m²x²)dy

— m²x²y •

/a

YX-

Fig. 137.

In diesem Falle sind aber y± und y₂ Funktionen von x, denn der Schnitt, welchen man durch den Punkt Q der X-Achse parallel zur Ebene legt, schneidet den begrenzenden Zylinder in zwei Geraden, welche auf der XY-Ebene in den Punkten TFi und W₂ senkrecht stehen J (Fig. 137). Deshalb wird

(21.)

2/2 = + Va² — F²,

y i = — y a² — F²

und

(22.) F

^2

= J jsdxYa² — a?²[2p^o

■n

6pą₍ + u² / '

— ?n²;r² -f- | (a² — a;²)]

3p

'J dxV a² —x² — 3w₃^~ ¹ jx²dx Va²

— Y².

ari

Nun ist nach den Formeln Nr. 122, 120 und 123 der

Tabelle

jx²dx y a² — x² — y

(23.)

a² / x^dx

⁺ ijyW- x²

= g x(2x² — a²) l'a² — x² + a⁴ arc si n (*)j.

(24.)

jdx y d² —-

Y² =

arcsin

Dabei muß der Punkt Q den ganzen Kreisdurchmesser BA durchlaufen, d. h. Xy ist gleich — a und x2 gleich -f- a. Dies gibt

Ar CI

(28 a.)

jx²dx Y cA — x

. . a⁴jc arc sin 1 =    ?

o

A~(i

(24 a.)

JdxYa²

— x² =

„    . . o?x

a² arc sin 1 — —-3 Ł

also

(25.)

(6pz 0 + ci²)a²x    (3 m² -f- 1 )aAx

6p

24p

d²x

8p

[8p^₀ + (1 — m²)or].

Aufgabe 3. Die Gleichung

(26.)

2p 0 — y² — m²x2 stellt wieder ein hyperbolisches Paraboloid dar, welches die XY-Ebene in den beiden Geraden AC und BD mit den Gleichungen

(27.)

y = -f- mx und y — mx schneidet (Fig. 138); man soll das Volumen des Körpers

berechnen, der oben von der Fläche, unten von der Z7-Ebene und seitlich von dem Zylinder

Fig. 138.

Tij

(28.)

x² a~ y² — ß3

begrenzt wird.

yD

Auflösung. Wenn die Konstante p positiv ist, so liegt nur derjenige Teil der Fläche über der XF-Ebene, für welchen y²>m²x² ist; das Körperstück, welches berechnet werden soll, liegt also ausschließlich über dem schraffierten Teile der Figur. Da die XZ- Ebene und die YZ-Ebene Symmetrie-Ebenen sind, so genügt es, das Volumen des

Körpers zu berechnen, welcher über dem Kreissektor COE liegt, wenn man das gefundene Resultat noch mit 4 multipliziert. Es wird also

t/i

(29.)

4Jdxjzdy

X, !/\

!h

= I ldxßy²

m²x²)dy,

wobei

(30.)

X\

V\

y 1 = QPi = mx

V2-- QP2 = y«²—x²

(31.)

«2 = OF = ft cos« =

]/l -j- m²

ist, wenn man den Winkel XOC mit « bezeichnet. Es ist nämlich x₂ die Abszisse des Punktes C, für den die beiden Gleichungen

y = Y a² — x² und y — rnx

gemeinschaftlich gelten, für den also

ft² — x¹ — m²x², oder x²(l -f ni²) = ft2 wird. Deshalb findet man aus Gleichung (29.)

(32.) V

X*

= M

Xi

— m²x²y

- y a¹—xl

mx

X'i

jdx[Y a²

Xi

— x²(a² — x² — 3m²x²) -f- 2m:!a;³]

Xq

=    a²Jdx V ft²

X2

² — (1 -f- 3m²)Jx²dx Ya² — x

.2

Xi

Xi

fl

-f- 2 mpJxPdx .

Xi

Nun ist nach Gleichung (24.) und (31.)

(33.)

x₂

JdxYa²

— X² =

a²

,a cos a

Xi

y a² — x² -f- 2

o

= a [sin« cos« + arc sin (cos«)] L

_2

arcsin

,T

_ dr f m

⁼ 2 U + w² ' 2

nach Gleichung (23.) ist ferner

w³

2(1 4~ m²)²

oder

a cos

(35.)

x'dx =

“a⁴

X\

Jo

— - cos⁴«

4

a⁴

4(1 + m²)² ’

folglich wird nach Gleichung (32.)

ä+f-“)

__2a⁴rl /

“ 3p [2 V

1 -(- 3m²/m(l— m²) 8    \(L -j- ni²)²

8 L(1 4~ m2)²

(34.) Jx²dxY a²—X

Xi

/OC \~l

x{2x²— a²)V a²—x²-\- <z⁴arc sin^~yj

«cos«

a⁴

= - [sin a cos « (2 cos²« — 1 ) + arc sin (cos «)]

und endlich ist

(36.)

[2m    (1

Mg. 139.

R,

m²) (.Ti — 2«)].

Aufgabe 4. Aus einer Kugel mit der Gleichung (37.) x²-\-y² + z²—ä² = 0 bohren die beiden Kreiszylinder mit den Gleichungen

(38.) x² + y² — ax — 0 und

■X

x² 4- y²    ax = 0

7T

Öffnungen heraus; wie groß ist das YTolumen des übrig gebliebenen Teiles der Kugel (Fig. 139 und 140)?

Auflösung. Die ZF-Ebene schneidet die Kugel in einem Kreise mit dem Halbmesser a und die beiden Kreiszylinder in Kreisen mit den Halbmessern ^ (Fig. 139 und

140). Legt man durch den Punkt Q der X-Achse einen Schnitt senkrecht zur X-Achse, so schneidet derselbe aus der Kugel einen Kreis mit dem Halbmesser

(39.)

QBi = Y a² — x2 und aus dem einen Zylinder die beiden Geraden P\P\ und P2P2 (Fig. 141), deren Abstand

Fig. 140.

Ui

Q Wi =Vax — x2 vom Mittelpunkt Q des Kreises sich aus der Gleichung

\x

(40.) x² -f- y² — ax = 0, oder

(40 a.) y = Y ax — x²

ergibt. Der Durchschnitt des Zylinders über 0 WiA mit der Kugelfläche ist in Figur 139 durch die Kurve CP\A dar gestellt. Da der Kreis um Q auf der Kugelfläche liegt, so genügen die Koordinaten der Punkte P\ und Pi die Form

w.

OQ = x, QRi^VaZ—x-,

QWX = Vax—x² .

der Gleichung (37.), die man auf

(41.)

j z' = + Yd² — x² — y²,

z“ = — yo² — x² — y²

bringen kann. Man erhält daher für den Flächeninhalt des Schnittes F(x)₁ welcher aus den beiden Kreissegmenten P2R2P2 und P\PiPi besteht,

Fig. 141.

p.

!/2

(42.) F(x) = 2j{z' — m

= 4j‘dyya²

m

z")dy

■—- x²

-2

<•-

_.//

Wl ■

wobei

(43.) yi =. Q Wi = Vax — a;², y₂ = QRi = V«² — x² = c ist. Nun wird nach Formel Nr. 123 der Tabelle

(44.)

Jdy V c² — y² =

c-

Y c² — y² -f- — arcsin Ł

Ci

folglich ist, wenn man c² = a² — x² setzt,

-- a²—x²

rH—g

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (43.) F(x) — 2 (a² — a;²) ^arcsin 1 — arcsin — 2 Y ax — x² Yd² —

(45.) F(x) = 4: Ęya²—a:²

arcsinf-J^f,

\ya²-x²ĄA

~t/ax — a;²\ ! a² — x² )

also

ax:

(46.) F{x) = 'ż{a²—'x2){^

arcsin

%—%—^ — 2[a — x)y ax . f a -\-x/

Setzt man, um jetzt F(x)dx zu integrieren, in Formel Nr. 98 der Tabelle, nämlich in

fudv =

uv

—Jvdu,

(47.)

u = ^ — arc sm

also

l/—'

fffi+a:

dv — (a² — x²)dx,

(48.)

du =

adx

so wird

(49.) ß(a² — a:²)^ — arcsin o

-—p=» v

2 (a -f- x)Y ax

1t-^Adx

1 a -\-x/

— a?x

05

=    — arcsin

u-x

a?x—

r³Yl 1 fa(3a²x—xf)

8 ){ ⁺ 6 J

o

{a -f- a;)]/ ax

dx

/X

⁼ \2

— arcsin

fi)

2a³    1 /13a² — x²)yax

3

o

a 4- x

dx.

Setzt man noch

(50.) x = at², also dx = 2atdt, Vax = at so wird

(51.)

'(3 dr—x²)Y ax

dx

a d-a:

_ /V(3 — t⁴)at J a{ 1 -f t²)

• 2atdt — 2ay 0

_(6₊₃(2

~w+rdt

— 2a³ t⁴ + t² + 2    dt

also, da arcsin

|/^ gleich

ist

(52.) j(a² — x²)^~

— arcsin

i/-")

f a + xj

dx

32a³

03 Öco

2a³    /32    ji\

⁼ T"    ⁺    \15    2/    45

Außerdem ist mit Rücksicht auf die Gleichungen (50.)

(53.) J(a — X) Y

o

ax. dx

-*/¹

0

2 apßt²

o

— 2a³

ICO

5 Jo

= 2a³

4a³

fl — i') =

\3    5/    15

Deshalb wird

a

(54.) V =

2,jF(x)dx o

il

= 4 j(a² — cc²) ^ — arcsm o

]Ytùdx-Ya

o

x)Y axdx

128a⁸    16a³    16a³

15

45

Man hätte auch das Volumen Th der beiden Zylinder berechnen können, soweit sie in der Kugel liegen. Zieht man dann das gefundene Resultat von dem A olumen der

4’.cfijt

ganzen Kugel, nämlich von — i ab, so ist die Aufgabe

o

gelöst. Nach Figur 139, 140 und 141 wird bei dieser Behandlung

(55.)

wobei wieder

F\{x) = 4 jdy Vor — x² — y², o

(56.)

2/i = Q Wi — Vax — x2 ist. Dies gibt nach Formel Nr. 123 der Tabelle

y \T

Y a² — F²/Jo

(57.) F\(x) — 2 yYa²—x²—y²-f-(a² — x²)arcsin^

= 2(a — x)Yax -j- 2{a² — a;²) arcsin

folglich findet man

1f-x

i a -x

(58.) Fi =

#    a

2jF\{x)dx — ^j(a

o    o

— x)Y ax . dx

a

+ 4j(a?

0

— a:³) arc sin

V—

I a + X

dx.

Nach Gleichung (53.) ist

(59.)

j(a — x)Y

ax .dx =

►4-

15

Setzt man zur Berechnung des anderen Integrals

u = arcsin

dv = (a² — x²)dx,

also

du =

adx

-77=’ v

2 {a -f- x)Y ax

— a²x —

so ergibt sich durch partielle Integration

(60.)

j(a²—x²) arc sin j/—~

o

dx

= ia2x~tDarcsinfel

dx.

1 /*(3«² — x²) Y ax

a -f- x

6/

o

Nun ist nach Gleichung (51.)

./

0

'(3a² — x²) Vax .

dx

a -f x

folglich wird

(61.)

j(a² — Æ²) arcsin"!/—~

o

dx =

2 a³

/32

\15

a?ji

32a³

45

also

16a⁸

4a⁸jr

128a³

4a³jr 16a;i

45

(63.)

Deshalb findet man wieder

4a⁸jc

~v₁ =

16a³

Fig. 142.

Mit demselben Rechte, mit welchem man bisher die Schnitte senkrecht zur X-Achse legte, darf man natürlich auch zunächst Schnitte senkrecht zur X-Achse oder senkrecht zur X-Achse legen. Wenn man z. B. in der letzten Aufgabe den Körper, dessen Volumen berechnet werden soll, durch Schnitte, senkrecht zur X-Achse, in Schichten zerlegt, so stellt Figur 142 einen solchen Schnitt dar, wobei OS = z der Abstand dieses Schnittes von der XX-Ebene ist. Die Kugel wird in einem Kreise mit dem Halbmesser

0,

>■

(64.) SL = Vdr—z²,

und die beiden Zylinder werden in Kreisen mit

dem Halbmesser ^ ge-

u

P*

M P'

schnitten. Da die Achsen SL und S3I die Figur in vier symmetrische Teile zerlegen, so ist der Flächeninhalt dieses Schnittes

fl

F (z) — ŁSPiM = 4J(y' — y")dx, o

wobei P/ ein Punkt der Kugel und P" ein Punkt des Zylinders ist, so daß

y' = V ff² — £²

wird, folglich erhält man

(65.)

(66.)

x², y" — Vax—x²

(67.)

fi

F(z) = 4J (Va² — z² — x² — Vax — x²)dx. o

Im Punkte Pi werden y' und y“ einander gleich; man findet daher den Wert von Xi, indem man

y' = y", oder a² — z² — x² = ax — x²

(68.)

setzt; dies gibt

(69.)

Xi —

a² — z²

Nun wird nach Formel Nr. 123 der Tabelle

fi

(70.) fVa?

0

— z² — x². dx

arc sin

oder, wenn man

(71.)

z — acos(p

also

(72.)

a² — z² — a² sin²çp,

a² — z²

Xi =

---— «sin²«)

a

setzt,

fl

(73.) JVa² — z

o

² — x²dx —

'x

.2

Y a² sin²<p

x²

<z²sin²<p

arc sm

(asiny))!,

« s in y

sin²çp(sinçpcos9) 4- <P)-

Ferner ist, wenn man

(74.)

x — asm²t

also

(75.) a — x — a cos²/, Y ax—x² = asin£cos£, dx = 2as'mtcostdt setzt,

fi

cp    cp

x² = 2a?JsmH cos H dt = 2a²J(cos²t—cos H)dt 0 0

1    . in⁹’

cos³£sin£ cosi(sinif ~f" u t o    o Jo

= ~ [sin (p cos gp( 1 — 2 cos²<jp) -f- <p] ■

4:

Aus den Gleichungen (67.), (73.) und (76.) folgt daher

__

(77.) F{z) = 4fdxVa? — z² — o

= 2d? sin²<jp(sin<jp cosçd+çp) — a? [sing> cosge( 1 — 2 cos²<jd)+<p\ = a²[sin<jpcos<jD -J- çp(2sin²çp — 1)].

Dies gibt nach Gleichung (71.)

a    0

(78.) V =2!JF\z)dz — 2a?J{—sin²(p cos <jp—2<jpsin³(p-j-gpsinçp)ô(ç>

(76.) jdx y

o

= 2a² —

a?

x? —

fi

4JdxY ax

o

— x?

71

71

71

= 2a³ /sin²<jDcos<jp^ç> —Jcpisuup— 2sw?<p)d(p . -0 0

Dabei ist

71

7T

y—i iCO

|CO

J s'm²(p cos (pd(p = [sin³gp]₀ =    ;

o

sodann findet man durch partielle Integration

y<jp(sin<jp — 2sin³go)Æçp — J<p(2cos²(p — l)s'm(ßd(p

cos(p — g cos:V^r/r/

(79.)

= r/j fcos tp —

— cp ^cos cp —

|cosv)~y(

|cosd<p) — f(jï + 3 sin²çe)cosr/>#

= (fi (cos (ß —

~ cos àcp^ — ^ singe —

|sin³9>,

also

Kiepert, Integral-Rechnung.

30

71

(80.)

Jrp(sm(p

0

— 2 sm³<p)dcß — —

Cßi cri

Deshalb wird nach den Gleichungen (78.) und (79.)

wieder

(81.)

V=2a³

\3 ^ 9/    9

§ 77.

Theorie der mehrfachen Integrale.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 212.)

Wie aus dem vorhergehenden Paragraphen zu ersehen ist, wird man durch die Kubatur der Körper auf Doppelintegrale geführt, und zwar in folgender Weise. Es war

%p{x)

(1-)

F(x) =Jf(x, y)dy

wobei

<p(x)

(2.)

f{x, y) = zf — z" = g(x, y) — h(x, y)

und

* — g{x, y), z" = h(x, y) die Gleichungen der beiden, den Körper oben und unten begrenzenden Flächen sind. Bei dem in Gleichung (1.) aufgestellten Integrale ist y die Intégrations-Veränderliche, während x bei Ausführung der Integration als Konstante betrachtet werden muß. Deshalb dürfen auch die Grenzen yi = <p(x)i y₂ = yix) dieses Integrals noch Funktionen von x sein, wobei die Gleichungen (4.) auf der XX-Ebene senkrecht stehende Zylinder darstellen, welche den Körper vorn und rückwärts begrenzen. Das Volumen des Körpers wird dann

b    b ip{x)

V=/F{x)dx =/dx/f(x, y)dy.

a    a tf(x)

Dabei kann der Pall eintret en, daß der Körper, dessen Volumen berechnet werden soll, allseitig von krummen

(3.)

(4.)

(5.)

Flächen begrenzt wird, die weder Zylinderflächen noch Ebenen sind. Man denke z. B. an das Volumen des dreiachsigen Ellipsoids. Die vorstehende Untersuchung bleibt aber auch dann noch richtig; es schrumpfen aber die Flächenstücke der Zylinder-Mäntel

Vi = <tfx) und y₂ = rfix)

zu Kurven, in denen diese Zylinder den Körper berühren, und die begrenzenden ebenen Figuren in den Ebenen x = a und x — b

zu Punkten, in denen diese Ebenen den Körper berühren, zusammen.

Aus dem Vorstehenden folgt gleichzeitig, daß auch umgekehrt ein solches Doppelintegral stets als das Volumen eines Körpers betrachtet werden kann, der oben von der Fläche

(6.)

2 =    y),

Fig. 143.

unten von der XX-Ebene, vorn und rückwärts durch die Zylinder

(7.) yx = (p{x), y ₂ = yix), links und rechts von den Ebenen

■X

(8.) x₁ = et, x₂ = b begrenzt wird. Die Richtigkeit dieser Behauptung folgt aus Figur 143; dabei entspricht der Gleichung (6.) die Fläche CDFE, den Gleichungen (7.) entsprechen y die Zylinder CC\E\E und DDiFiF, und den Gleichungen (8.) entsprechen die Ebenen CCXDJ) und EE^F. Dabei wird häufig der Fall eintreten, daß die Figur DiFiE\C\ in eine geschlossene Kurve übergeht, die „der Integrationsbereich ALL des Doppelintegrals genannt wird.

Für einen konstanten Wert von x, z. B. für x — OÄ, erhält man eine Ebene, senkrecht zur X-Achse, welche aus dem Körper die ebene Figur

GGpELyR = F(x) = y/(x, y)dy

(9.)

<p(x)

ausschneidet.

Aus dieser geometrischen Deutung des Doppelintegrals folgt auch, daß es als eine Summe von zweifach unendlich vielen, unendlich kleinen Größen aufgefaßt werden kann.

Fig. 144.

P,

Der betrachtete Körper wird nämlich durch die Schnitte, senkrecht zur X-Achse, in unendlich viele, unendlich dünne Schichten zerlegt, und jede solche Schicht wird wieder durch Schnitte,

a R,_v senkrecht zur X-Achse, in

@2 /Vj

unendlich viele, unendlich dünne Säulchen (Fig. 144) zerlegt, deren Höhe (10.) QP = z — f{x,y), und deren Grundfläche ein unendlich kleines Rechteck

QQ1Q3Q2 mit den Seiten dx, dy und dem Flächeninhalte dxdy ist.

Da bei der Integration in bezug auf y die Größen X und dx konstant bleiben, so kann man natürlich die Gleichung (5.) auch in der Form

b yj(cc)

(11.)

V — J Jf(x, y)dxdy

schreiben, wobei

a (p{x)

(12.)

fix, y)dxdy = zdxdy das Volumen eines solchen unendlich dünnen Säulchens

QQ1Q3Q2PP1P3P2 ist. Das Doppelintegral ist die Summe der Säulchen, welche über dem Integrationsbereich A stehen.

Daraus ergibt sich, daß man auch die Reihenfolge der Integrationen ändern darf, denn man kann auch zuerst die unendlich dünnen Säulchen, welche zu demselben Werte von y gehören, durch Summation zu einer unendlich dünnen

Schicht vereinigen, welche zur XiT-Ebene parallel ist, und dann durch Summation aller dieser Schichten den ganzen Körper erhalten. Zu beachten ist aber, daß hierbei im allgemeinen auch eine Änderung der Integrationsgrenzen stattfindet.

(13.)

Kur in dem Falle, wo die Integrationsgrenzen g)(x) und <p(x) von x unabhängig sind, werden die Zylinder y — tp{x) und y = ip(x)

in Ebenen

(14.)

Fig. 145.

y = c und y = d übergehen (Fig. 145). Der Integrationsbereich A wird somit ein Rechteck DiFxExCi. Dann folgt aus der geometrischen Deutung des Doppelintegrals ohne weiteres b a

(15.) JdxJfix, y)dy =

t>

fdyjf{x, y)dx

denn in diesem Falle ist der Körper begrenzt von der krummen

Fläche

R.

ÏÏ

7T

r3

R,

1/

/y« /

J/Z7

z = f(x, y), von der XY- / \/_

Ebene und den 4 Ebenen a‘

(hCDTh, ExEFFx, C\CEE\, DXDFFX mit den Gleichungen

Fi

\K

(16.)

x — a, x = b, y — c

y = d.

Dies gibt den Satz:

Sind die Grenzen eines Doppelintegrals in bezug auf x und y konstante Größen, so wird der Wert des Doppelinte-

grals nicht geändert, wenn man grationen in bezug auf die beiden Veränderlichen x und y umkehrt und die Integrationsgrenzen unverändert läßt.

die Reihenfolge der Inte

Jetzt ergibt sich von selbst, was man unter einem dreifachen Integrale

t> y(x) g{x,y) fdxfdy ff(x, y. z)dz

a (f(v) h{x. y)

zu verstehen hat. In ähnlicher Weise kann man auch ein n-fâches Integral erklären und als den Grenzwert einer Summe von w-fach unendlich vielen, unendlich kleinen Größen deuten.

Es ist möglich, das Volumen eines Körpers auch als ein dreifaches Integral darzustellen, denn man kann schreiben

g(x, y)

z' — z" — fdz — fdz,

h{x, y)

z'

also

b ifĄx) g(x, y)

b ifj(x) g{x, y)

V = fdxfdy fdz = /' f fdxdydz.

a (p{x) hix, y)

Hierbei ist dxdydz ein unendlich klfeines rechtwinkliges Parallelepipedon (Eig. 146), welches das Volumenelement genannt wird. Die angegebenen Integrationsgrenzen deuten darauf hin, daß man zuerst in bezug auf £, dann in bezug auf y und zuletzt in bezug auf x integrieren soll. Man darf aber auch die Reihenfolge der Integrationen ändern, nur muß man dabei beachten, daß dann auch die Integrationsgrenzen durch Betrachtung des räumlichen Integrationsgebietes anders zu bestimmen sind. Wenn man z. B. zuerst in bezug auf x integriert, so sind die Grenzen Xi und X2 im allgemeinen noch Funktionen von y und z, welche durch die Gleichungen der begrenzenden Flächen erklärt sind.

(17.)

Fig. 146.

Æ-/

23/

a cp(x) h{x, y)

§ 78.

Einführung von neuen Integrations-Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 213 und 214.)

Wie man bei den einfachen Integralen durch Substitution eine neue Intégrations-Veränderliche zur leichtern Ermittelung des gesuchten Integrals einführte, so kann man auch bei den n- fachen Integralen durch Substitution n neue Veränderliche einführen und dadurch möglicherweise

die Berechnung des mehrfachen Integrals wesentlich erleichtern. Bei einem Doppelintegrale

b ip(x)

(1.)

v-J Jf(x> y)äxdy

a <p(x)

setze man z. B.

(2.)

« = AK v), y = UK v) und mache u und v zu Intégrations-Veränderlichen. Während aber bei der Darstellung von V durch Gleichung (1.) konstante Werte von x Schnitte, senkrecht zur X-Achse, lieferten, erhält man für u — c aus den Gleichungen (2.) die Gleichungen

(3.)

a = A(c, v), y = ft(c, v), welche für jeden konstanten Wert von c einer Kurve in der XX-Ebene, also einer Zylinderfläche im Raume entsprechen. Ebenso erhält man für konstante Werte von v aus den Gleichungen (2.) wieder Zylinderflächen, welche auf der XX-Ebene senkrecht stehen. Setzt man z. B.

(4.)

x = rcos<jp, y — rsinç?

Fig. 147,

indem man die beiden neuen Intégrations-Veränderlichen mit r und cp bezeichnet, so erhält man für konstante Werte von r konzentrische Kreise (Fig. 147), bezw. koaxiale Kreiszylinder, und für konstante Werte von <p gerade Linien durch den Nullpunkt, bezw. Ebenen durch die Z-Achse.

So lange x und y die Intégrations - Veränderlichen waren, mußte man sich den Körper in zweifach unendlich viele, unendlich dünne Säul-chen zerlegt denken, deren Höhe z = f(x, y), und deren Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten dx, dy und dem Flächeninhalte dxdy ist. Jetzt wird der Körper auch in zweifach unendlich viele, unendlich dünne Säulchen mit der Höhe

(5.)

Z ~ y) = f[fM v),    v)] = F(u, v)

Fig. 148.

zerlegt, aber die Grundflächen PPyP₃P₂ (Fig. 148) sind nicht mehr Rechtecke mit dem Flächeninhalte dxdy, sondern kleine Vierecke mit den Ecken P, Py, P₃, P₂. Die Koordinaten dieser Punkte entsprechen nach den vorhergehenden Ausführungen bezw. den Werten (u,    r>),

(u -f- du, v), (u -f- du, v -f- dv), (u, v fl- dv), d. h. es wird

(6.)

dx

Xy — X -f-    — du

(7.)

Qj Qj

yi = y +

dy

du

du

•, x

x₂ = x -f- dv

(8.)

1 Qj Qj

y-2 = y +

dy

dv

dv,

du

du -j-

Qj! Qj

dv,

2/3 = 2/ +

n du fl- dv. du dv

dy

da

Nun ist der Flächeninhalt des Vierecks PPyPàP₂, man die Seiten als gerade Linien betrachten darf,

oder

(9.) G = \ \x(yy — y₂) + Xy(y₃—y) + xH(y₂ — y{) + x₂(y—yäj\ = i [(*»—x) {y₂ — yy) — (x₂ — Xy) (y₃—y)],

(9 a.)

Xs — X

bis (8.)

X₂- Xy

y-2 — yi

Dies gibt mit Rücksicht auf die Gleichungen (6.)

öx

du

du -f-

dx

dv

dv,

dv

dv —

dx

du

du

dy

du

du —j—

dy

dv

dv,

dy

dv

, dy dv — du

du

oder, wenn man die Elemente der zweiten Kolonne von denen der ersten Kolonne subtrahiert,

: dx dx

(10.) 2G = 2du

Qj Qi

Qj Qi

dv —

dx

du

du

dx dx

also

du dv

a dy J dv — ~du

= 2 dudv

Qj Qj '«S    §

Qj Qj «S «

du

du dv

Vertauscht man in dieser Gleichung u mit v, so ändert sich das Vorzeichen von G. Da nun bei dieser Darstellung die Veränderlichen u und v gleichberechtigt sind, so ist

/dx dy    dx dy\

— \du dv    dv du)

dudv

(10b.)

und zwar ist das Vorzeichen immer so zu wählen, daß G positiv wird. Bei Einführung der neuen Veränderlichen u und v müssen die Funktionen

dx dy dx dy du dv dv du

fi(u, v) und f₂{u, v)

so

(10a.)

dx dy ôx dy du dv dv du

^ du dv¹).

gewählt werden, daß der Ausdruck

innerhalb des Integrationsbereichs das Vorzeichen nicht wechselt.

(11.)

Deshalb ist das Volumen eines solchen Säulchens dx dy    dx dy

du dv    dv du

± F(u, v) • (

dudv

und das Volumen des ganzen Körpers

ß h{ii)

(12.)

±j jF(u,

x dy    dx dy

du dv    dv du

dudv

a ff(u)

wobei man noch die Integrationsgrenzen des Integrationsbereichs richtig bestimmen muß. Den Ausdruck

aus der Gestalt

dx dx

(13.)

dx dy    dx dy _

du dv    dv du

du ' dv dy dy

du

nennt man ,,die Funktionaldeterminante“.

Aus den Gleichungen (1.) und (12.) folgt ganz allgemein für die Doppelintegrale die Formel

b 1 !<(x)    ß Mu)

(14.) j jf(x, y)dxdy — ±j Jf(u,v)-(

a w(x)    « ffift)

Qj

dy

du dv

dx dy

dv du

^dudv.

Für den Fall, daß man durch die Gleichungen

(15.)

x = rcos<jp

y — rsing?

ebene Polarkoordinaten einführt, wird z. B.

(16.)

Cb

dr

= cosç),

■ö

dcp

= — r sm<jp

(17.)

öy

dr

— singe

'C

dcp

= + rcosgo;

die Funktionaldeterminante ist daher

(18.)

Cb

öy

■o

dy

dr dcp dcp dr

— r cos²çd -J- rsin²çp = r,

folglich geht, da r immer positiv ist, Gleichung (14.) über in

ß A(tp)

b \p(x)

(19.) J y)dxdy = J j'fir cos cp, rsincp). rdcpdr.

a ip(x)

a ff(cp)

Hier ist vorausgesetzt, daß man zuerst in bezug auf r und dann in bezug auf <p integriert; man kann aber auch zuerst in bezug auf çp und dann in bezug auf r integrieren, nur muß man dann die Grenzen anders bestimmen.

Das in Gleichung (19.) enthaltene Resultat findet man noch leichter, wenn man nicht die Funktionaldeterminante berechnet, sondern beachtet, daß die Grundflächen PP1P3P2 in diesem Falle kleine Rechtecke mit den Seiten rdcp und dr sind (Fig. 147).

Wie nützlich die Einführung von neuen Integrationsveränderlichen mitunter bei der Ermittelung von Doppelintegralen ist, kann man z. B. aus den in § 76 behandelten Aufgaben ersehen. So war in Aufgabe 2

?/'l

= A/ j(2p+ y² — m²x²)dxdy.

(20.)

?/l

Führt man in diesem Falle für die rechtwinkligen Koordinaten x und y ebene Polarkoordinaten durch die Gleichungen (15.) ein, so erhält man nach Gleichung (19.)

auch sehr leicht ohne Anwendung der

§ 78. Einführung von neuen Intégrations-Veränderlichen. 4i5

2 71

~ jd(p I [2pZo -f- r²(sin-fjp — m²cos²<p)]rdr

0 0 2 71

j- (sin²<jp — m~ cos-95)

= ^ jd<p [4pz₀ + a²(sin²çp — m²cos²<p)],

o

= 2p jdv[pzor² +

o

2 TT

und dies gibt nach. Formel Nr. 99 und 100 der Tabelle in Übereinstimmung mit dem früher gefundenen Resultate

(22.) V =

«² -8p _

a²:t

Ąpz{)<p —

^ a²sin<pcos<jp -f- ^ m a²<p 2 £

2 7t

g [8p*o + (1 — *»⁸)a²].

In Aufgabe 3 (vergl. Fig. 138) sollte

(23.)

Z-I Ui

-Hk

— mix²)dxdy

X\ Vi

berechnet werden, wobei

m — tg«, yi = mx,    2/2 = Ü®² — ^    #1 = 0,    ^2 = «cosu

Durch Einführung von Polarkoordinaten wird nach Gleichung (19.)

war.

(24.)

»4 *1^! a

o, '•Q

in ²<p — m²cos²(p}rdr

Qj^ C

— /(sin²öp — m²cosuq>)d<p 2p J

also nach Formel Nr. 99 und 100 der Tabelle

2

(25.) V =

[—(1 -f- m²)sincp cos<jp -f- (1 — w*²)9>]₀

(1 — m²)- -|- (1 -+- m²) sin «cos a — (1 — m²)a

2

[2ra + (1 — m²)(jz — 2a)].

(26.)

oder, da 1 -f- m² = 1 -f- tg²a =

cos²a

ist,

Bei Aufgabe 4 war nach den Gleichungen (42.), (43.) und (54.) in § 76

a V a-—x²

(27.)

7=8

J Jya? — x²

y². dxdy.

° Vax-a*

Durch Einführung von Polarkoordinaten wird nach Gleichung (19.)

71

_ ty 2

(28.)

<jd(pjrdrY a²

0 a cos ip

also nach Formel Nr. 124 der Tabelle

71

(29.)

= 8 jd(p o

tH ICO

(ia² — r²)Y aß — r²

Jacosff

7t

7t

cos²(p)d(cos(p).

Dies gibt wieder

(30.)

7= —

8a³ T

1    ₃ I 16«

COS (p — .. cos³^ =    ,

o    9

§ 79.

Das Gaußsche Fehlerintegral.

(Yergl. die Formel - Tabelle Nr. 215.)

Mitunter wird man sogar einfache Integrale dadurch ermitteln, daß man sie auf Doppelintegrale zurückführt, die man durch Einführung von neuen Intégrations-Veränderlichen leicht berechnen kann. Es sei z. B.

co

(1.)

= Je-*²dx

zu berechnen; dann ist auch,

wenn

OO

man x mit y vertauscht,

(2.)

=jc~y2dy. o

Indem man die Gleichungen (1.) und (2.) miteinander multipliziert, erhält

man

OO

OO

OO OO

=je~x~dx je-v'dy = j le~^+^dxdy.

0 0 0 0

Dieses Integral stellt das Volumen eines Körpers dar, welcher oben durch die Rotationsfläche

z = e~ ⁽-x2+di)

(3.)

J²

(4.)

unten durch die J7-Ebene und seitlich durch die XZ- Ebene und durch die YZ-Ebene begrenzt wird (Eig. 149).

Durch Einführung von Polarkoordinaten findet man daher nach Gleichung (19.) in § 78

Fig. 149.

•X

71

2 oo

(5.) J²

=j'je~,2rd(pdr.

Dies gibt, indem man

r² = — t, also 2 rdr = — dt setzt und die in § 52 gegebene Grenzbetrachtung beachtet,

(6.)

71

7t

71

—oo

(7.) J² =

to; t-*

dtp le/dt = —

c.N>l

Id<p (V]o ⁰⁰ = ^jd(p=    ,

o

folglich wird

OO

(8.)

e~x'dx — x.

Dieses Integral spielt eine wichtige Rolle in der höheren Vermessungskunde, und zwar auch dann, wenn die obere Grenze nicht den Wert oo, sondern einen endlichen positiven Wert x hat. Gewöhnlich setzt man dann

(9.)

J = fr~x<idx = \V üi <P(x) o

und nennt die Funktion <P(x) das „ Gaußsche Fehlerintegral“. Da

(10.)

d<P(x)

dx

e*Vx

für alle Werte von x positiv ist, so ergibt sich aus Gleichung (8.), daß <P(x) von 0 bis 1 beständig wächst, wenn x alle Werte von 0 bis oo durchläuft. Zur Berechnung der Funktion ś>(x) beachte man, daß nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 93 der Tabelle

x² x⁴ __

ÏT ⁺ 2Ï ~~ 3l ^ eine Reihe ist, die für alle Werte von x gleichmäßig konvergiert. Man erhält daher durch gliedweise Integration

(11.)

e~x~ = 1 —

x⁶

(12.) J

~ß

o

e~*²dx = ~

x³

X⁵

X¹

1! 3

2! 5    3! 7

Wegen der vielfachen Anwendungen des Fehlerintegrals in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in der Vermessungskunde hat man ausführliche Tabellen dafür aufgestellt*). Hier möge es genügen, die folgenden Werte anzuführen :

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

4>(x) :|0,0000 0,1125 0,2227 0,3286 0,4284 0,5205 0,6039 0,6778 0,7421 0,7969

*) Vergl. die Funktionentafel von Jahnke und Emde, Seite 31

bis 42.

0(æ) ! jo.9953 0,9970 0,998110,998910,y9t>3 j0,999610,9998i0,9999!0,9999

Man erkennt hieraus schon, daß die Annäherung der Funktion <P(x) an den Grenzwert 1 für lima: = oo außerordentlich schnell erfolgt. Da dieser Umstand für die Anwendung von Bedeutung ist, möge hier noch das Verhalten von (p(x) für größere Werte von x besonders untersucht werden.

»>

1,0 ; 1,1 j 1,2

1,3    1,4    1,5    1,6    1.7    1,8

1,9

<I>(x) !|0,84‘27Ï),8802ü,9103 0,9340j0,952310,9661 0,9763j0,9838j0,989l|0,9928

2,0    2,1    2,2 I 2,3 j 2,4

2,5

2,6 ! 2,7 j 2,8

Durch Zerlegung des Integrals J erhält man

OO

oo

OO

(13.) J = fer-^dx = Je~x~dx —Je~x'dx = { Y jc —Je~^dx.

0    0    X    x

Setzt man jetzt in die Formel für die partielle Inte

gration

u~ 2^’

dv — e~~x~. 2xdx

also

du =

(2w + 1 )dx

------- 77 =

2x2n+²

- e~x\

so wird

OO

(14.)

Ce~x2dx

J x2n

OO

2« + 1 Ce~x~dx

O    / rvQn-

Dies gibt für n — 0, 1, 2,... n

00

OO

Ie

e~~x~dx =

e~x~

2a?

r-H CO

re~x2dx

I 9.

J x*

00

OO

'e~x~dx

x²

e~x'²    3 re~^dx

2a:⁸    2 J x⁴

OO

OO

x⁴

e-x~dx e~x~    5 j'e~x2dx

~ 2a:⁶    2 / a:⁶

00

OO

'e~x~dx

2 n -f- 1 fe~**dx

9    / ‘r~n+2

also

oo

(15.) je-^dx = ^ 1

1.3

1.3.5

2a?²

(2a?²)²    (2 x²f

1.3.5 ... (2 n

{2x²)n

1)1

wobei

OO

(16.)

1.3.5... (2n + 1) ße~x2dx ~ I x2n+2

2 n+l

mit wachsendem x abnimmt, so ist der größte Wert, den sie zwischen den Inte-*

1

grationsgrenzen annimmt, Deshalb wird nach Formel Nr. 171 der Tabelle

Da die Funktion e~~x'¹ —

e/-

OO

(17.)

fe~x2d,

J x2n+‘

< erx

OO

, r dx

Jx

2n+2

= e~x-

OO

(2n -f- l)x2n+l\r

e~x~

folglich ist

(2n -j- l)x2n+1

(18.)

e~ 1.3.5... (2n —

<" 2a?    (2x²jn

: h-*-

d. h. das Restglied R ist, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner als das letzte Glied, das man bei der Entwickelung in Gleichung (15.) benutzt hat. Dabei wird man für n keine besonders großen Werte nehmen, denn durch Vertauschung von n mit n -f-1 würde man in der eckigen Klammer noch

ein weiteres Glied erhalten, das sich von dem vorhergehen-

2 n -|- 1

unterscheidet und.

den nur durch den Faktor — vom Vorzeichen abgesehen, nur dann kleiner wäre als das vorhergehende Glied, wenn Setzt man daher n — 1, so wird

2x²

2 n -j- 1 2a?²

ein echter Bruch ist.

(19.)

OO

je~x~dx —

Q—X² /    \ \

^V~%xV+ B

wobei

A<

4xäex2

ist. Aus den Gleichungen (9.), (13.) und (19.) erhält

man

oo

1--7= fe~x2dx — - — fe~x2dx

]/jt r    VjiJ

Dies gibt für 1 — <I>(x) den Näherungswert “

e*²

(20.) 1 — (P(x) —

(N

La.

2x² — 1

=n ?

. 2xsYx

durch dessen Berechnung man die folgende Tabelle findet:

Berechneter Wert von 1 — ®{x)

Dabei ist der

Fehler

kleiner als

Wirklicher Wert von 1 — <l>(x)

Unterschied zwischen dem wirklichen und dem berechneten Wert

1 I 0,103 8

0,103 8

0.157 3

0,053 5

2 | 0,004 52

0,000 65

0,004 68

0,000 16

3 | 0,000 021 9

0,000 001 3

0,000 022 1

0,000 000 2

4 ! 0,000 000 015 4    0,000 000 000 5

0,000 000 015 4 | 0,000 000 000 0

Diese Tabelle zeigt erstens, daß die Annäherung von <l>(x) an den Grenzwert 1 schon für x ^ 3, und noch mehr für x

4 eine außerordentlich starke ist, und zweitens, daß man bei einer Genauigkeit von 5 Dezimalstellen die Gleichung (20.) sehr wohl für die Berechnung von <l>(x) benutzen kann. Für x ^ 4 gibt die Gleichung (20.) die Werte von <P(x) sogar bis auf 9 Dezimalstellen genau.

Dabei möge aber hervorgehoben werden, daß bei der Berechnung von <P(x) im allgemeinen 4 Dezimalstellen genügen werden.

§ 80.

¹

Die Rechnung ist Determinanten auszuführen, indem man in Gleichung (9ö die Werte von x₃ — x, yo — 2/x, x.₂ —    , y₃ — y einsetzt.

Komplanation der Flächen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 216.)

zusammen-

Wie man sich den Bogen einer Kurve gesetzt denken kann aus unendlich vielen, unendlich kleinen Sehnen ds, d. h. wie man die unendlich kleinen Teile des

31

Kiepert, Integral - Recfa aung.

Bogens einer Kurve als gerade Linien betrachten kann, so kann man die unendlich kleinen Teile einer gekrümmten Fläche

(1.)

F{x, y, z) = 0, oder 0 = f{x, y) als eben betrachten; man kann sich also die gekrümmte Fläche als die Summe von zweifach unendlich vielen, unendlich kleinen ebenen Stücken vorstellen.

Verbindet man nämlich einen beliebigen Punkt P der Fläche mit allen unendlich nahen Punkten durch gerade Linien, so sind diese geraden Linien Tangenten der Fläche im Punkte P und liegen im allgemeinen sämtlich in einer Ebene, welche die Tangentialebene der Fläche im Punkte P genannt wird und die Gleichung

(2.)

Fxiocf — x) + F₂{y' — y) + F₃(z' — z) = 0,

oder

(2 a.)

dz

dx

(;x' — x) +

dz

dy

(y' — y)

hat. (Vergl. D.-R., 12. Auflage, Formel Kr. 254 der Tabelle.)

Fig. 150.

P,

Legt man also wieder unendlich viele Schnitte, senkrecht zur X-Achse und senkrecht zur T-Achse, so zerteilen diese die Fläche in unendlich viele, unendlich kleine Vierecke PP1P3P2, deren Eckpunkte sämtlich in der Tangentialebene des Punktes P liegen (Fig. 150). Man kann also das Viereck PP1P3P2 als eben betrachten und findet den Flächeninhalt dO desselben aus der Gleichung (3.) PP1P3P2 . cos/ = dO . cos/

= QQ1Q3Q2 = dxdy,

Qs

wobei QQ1Q3Q2 die Projektion von PP1P3P2 auf die XY-Ebene und / der Winkel ist, welchen die Tangentialebene des Punktes P mit der XY-Ebene bildet*).

*) Der hierbei angewendete Satz ergibt sieb unmittelbar aus

Figur 151.

Wird nämlich das beliebige Viereck PI\    in der Ebene f auf

die Ebene projiziert, so liegen die Lote QP, Q₁P₁, Q₃P;3, Q.₂P₂,

1?

SPPßj^. cos 7.

Ebenso findet man

^1^3 = WV^-cosy, S₃Q₃Qß% = S₃P₃P₂S₂ . cos y, S₂Q₂QS = S₂P₂PS .cosy.

(6.)

(7.)

(8.)

Dies gibt

(9.) QQiQ₃Q₂ — S₁QlQiSa + S₃Q₃Q₂S₂ S₂Q₂QS— SQQXSX

= (Sß\Pß₃ + S₃P₃P₂S₂ - S₂P₂PS— SPPßi) cos y = PPXP₃P₂ . cosy.

In ähnlicher Weise kann man zeigen, daß die Projektion Fx eines beliebigen Polygons F in der Ebene s auf eine andere Ebene Sj gleich F. cos y wird, wenn y der Neigungswinkel zwischen den beiden Ebenen ist. Da man eine krummlinig begrenzte Figur als ein Polygon mit unendlich vielen Seiten betrachten kann, so gilt die Formel

(10.)

Dabei ist nach Gleichung (2.) und (2 a.) in diesem Falle

(11.) cos 7 =

Fs

VW + w +w

folglich wird

welche man bezw. von den Punkten P, Pj, P₃, P₃ auf die Ebene £, fällt, in den Ebenen PSQ, P₁SlQl, P₃S₃Q₃, P₂S₂Q₂1 welche durch die Eckpunkte des Vierecks PPXPSP₂ hindurchgehen und auf der Schnittlinie AB der Ebenen s und sx senkrecht stehen. Die Winkel PSQ, PßiQi, P₃S₃Q₃, P₂S₂Q₂ sind alle dem Neigungswinkel y gleich, so daß SQ = SP. cos y S₁Qx = S₁P₁.cosy,

83Q3 — ^3-^3 * cos7>

S2Q2 ⁼ S%P2 . COS^

Da nun das Pa-

ist.

ralleltrapez

SQQßx =

und das Paralleltrapez

SPPßx =

4 (SP + ĄPX). SĄ

so folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.),

daß

4?

Fig. 151.

Fx — F. cos y

auch für jede beliebige ebene Figur F und deren Projektion F₁.

dO

(12 a.)

Die Integration dieses Ausdruckes in bezug auf y bedeutet, daß man alle diese unendlich kleinen Vierecke summiert, welche zu demselben Werte von x gehören. Die erste Integration gibt al&> einen unendlich dünnen Elächen-streifen.

Integriert man dann noch in bezug auf so erhält man die ganze Oberfläche

b yj(x)    b \Ąx) ---------—

a (fix)

(13.) 0=fdxj^VW+W+Fi =jdxjdy^ 1 +    + (~y

a (f{x)

Die Berechnung des Inhalts krummer Oberflächen nennt man: „Komplanation der Flächen¹¹.

§ 81.

Übungs-Beispiele.

(io

Aufgabe 1. -Die Gleichung pz = xy

(2.)

(12.)

dO

oder

_ dxdy _ dxdy -y _|_ jyy _j_ p\;> cos/ Fs

stellt ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll den Inhalt der Oberfläche zwischen den Ebenen x — 0 und x — a, y = 0 und y — b

berechnen.

Auflösung. Das hyperbolische Paraboloid wird von den begrenzenden Ebenen in geraden Linien geschnitten, so daß die gesuchte Fläche die Seiten eines räumlichen Vierecks miteinander verbindet. Aus Gleichung (1.) folgt dabei

(3.)

dz

dz

öx

öy

deshalb wird

(5.)

a b

0 = ^jdxjdy Yp² -f- x² 4- y².

o o

Dies gibt nach Formel Nr. 129 der Tabelle

(6.) 0

a

— -- Jdx yyP²+x²+y²+(p²+x²)ln ^

o

a

--~ jdx\byp²-\-b²-\-x²-\-(p²-\-x²)\n^ o

y+V]f)²+x²+y²

Ÿp²-\-x²

b -j- Vp²-\-b²-{-

Setzt man

(7.)

u = ln^

b + Vp² -f- b² -f- X²

yp²-\-x²

so wird

(8.)

V — p²x -j“

ocj %

dv = {p² Ą-x²)dx = | (3p² + x²),

(9.) du =

xdx

(b -f- yp² + b² + x²) yp² + b² + x²

xdx

p²-\-x²

( yP2, + ö² -\-x² — b)xdx

xdx

(p² -f- x²) yp² -f- b² + x²

p²-\-x²

bxdx

(p² -f- x²)Vp² -f- b² -f- x2 folglich erhält man nach der Formel

Judv = uv —

fvdu

durch partielle Integration

b -f- Vp² -f- b² + x2 Ÿp² + x²

l(p²-\-x²) ln^

= |(3p²+^²)ln^

(10.)

b-\~yp²+b²-\-x²^^ I'

yP²-'rx²...../⁺ J(

[3p²x²-\-xi)dx

(p²Ą-x²)yp²~y-b²-\-x²

Nun ist nach. Formel Nr. 127 und 35 der Tabelle

(11.)

(x⁴ + 3p²x²)dx

(x² + p²)Yp² + b² + x

(x² -}- 2p²)dx

Jvp² + b² +

dx

= ²^Yp² -\-b²Ą-x²Ą

(p² 4- x²)Yp² 4- b² -f- x²

3p² — b² /

2—ln(

x 4- Yp² 4- b² 4- x Yp² + b²

i*,

2p⁴/

J(

dx

(p² 4- x²)Yp² 4- b² 4- x²

Setzt man noch

(12.)

Yp² 4- b² — c und x — c. tgf,

so wird

(13.) dx

c.dt

cos²£

Yp² + b² 4- x² = —

cos t Yp²+b² + x²

= sinf

also

/___ dx    __/* c.dt.cost C cost.dt

J(p²-{-x²)Yp²-\-b²-fx² J(p²cos²t-\-c²sm²t).c Jp²-\-b²sin²t

Wenn man ferner

bsint = pw, also bcost. dt = pdw einführt, so findet man aus Gleichung (14.)

1 f dw _ 1    /6sin£\

(p²4-x²)Yp²+b²+x² pbjl-\-w² pbaiC g\ p )

(15.)

imf-

dx

= Sarots(

bx

pYp² 4- b² 4-

x²^

folglich geht Gleichung (11.) über in (x⁴ 4- 3p²x²)dx (p² 4- x²) Yp²-\- b² 4- x²

= |-Vp²+ö²4-x² 4

(17.)

x 4- Yp² 4* b² 4- x2 Yp² 4- b²

3p² — b² /

2 ln(

2ps . /    bx    \

b *I0tg\pVp^mrp>

und Gleichung (10.) ergibt

(18.) J(p² + a;²)ln^

= | (3p² + a?2)ln^

b -f- Yp² -f~ b² -f x\ j

ax

Vp² + x²

b -j- Vp² -f- b² -j- x²

Yp² 4- x²

(3p²—b²)b | ^ (x-\~Yp²-\-b²-\-x²

' Yp² + b²

Da nun noch nach Formel Nr. 129 der Tabelle

(19.) jbdxYp² -r b² -f- x² = ^ Yp² + b² -f- x²

, (p² -{- b²)b | n ^ + Yp² + + x2 Yp² 4“ b²

\    ² 3 f /

) — yrarctg^

bx

pYp²-\-b²-\-x²

ist, so folgt aus Gleichung (6.)

(20.) 0 =^-^Yp²+b²+x²-\

(3p²-\-x²)x /b 4- Yp² 4* b'²-j-x2 3    \    Yp² 4- x²

(3p²-\-b²)b /x 4- Yp²+b²+x²

V    Yp² 4- b²

bx

also

3p

pYp²+b²+x²

(3p²4- a²)a/b4- Yp² 4- a²4- b²\

Yp² 4“'

6p

ln

\    Yp² 4*    /    3    \

pYp²+d²+b²

Da bei dieser Aufgabe die Integrationsgrenzen konstant sind, so hätte man auch die Reihenfolge der Integrationen umkehren können, ohne die Grenzen zu ändern.

Aufgabe 2. Die Gleichung

(22.)

2pz = x² — y²

stellt wieder ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll den Inhalt der Oberfläche innerhalb des Zylinders

(23.)

x² 4- y² — ß²

berechnen.

Sv SS

Auflösung. Aus Gleichung (22.) folgt dz    x    dz

dx    p    dy

- Yp² 4 x² -j- y² ;

(25.)

deshalb wird

(26.)

O — jdyYp²

o o

-\- x² -\- y².

Durch Einführung von ebenen Polarkoordinaten erhält man nach Formel Nr. 214 der Tabelle

(27.)

0 = ~Jd<pjrdrYp²

o o

r2

und daraus nach Formel Nr. 130 der Tabelle

(28.)

(p² -f- r²)Yp² -(- r²

Pä]jd<P

0

2 31

---- .. [(p² + a²)Vp² + <z² — p³].

Auch hier hätte

man die Reihenfolge bei den Integrationen ändern und die Gleichung (27.) auf die Form

(29.) 0 =

a    2    a

—JrdrYp² -f- r²Jd<p =    jrdrVp² -f- r²

o    0    0

= |~[(Pa + r2)Yp² + r²\ =

2jt~

3p .

(p² -f- o?)Yp² 4-a? —pH

bringen können.

Aufgabe 3. Man soll denjenigen Teil der Kugeloberfläche mit der Gleichung

(30.) x² + y² 4- z² — a² — 0 berechnen, der von den beiden Zylindern

oder s = Y a² — x² — y²

(31.)

x² -j- y² = ax und x² -j- y² = herausgebohrt wird*). (Vergl. die Figuren 139 bis 142.) Auflösung. Aus den Gleichungen (30.) folgt Fi = 2«, F₂ = 2 y, F₃ = 2 s,

(33.) -Ipf?+W+W = ¹    . "

X 3    0    £

(32.)

—- ax

z    y a² — x²—y²

Da die gesuchte Oberfläche durch die Koordinaten-Ebenen in 8 symmetrische Teile zerlegt wird, so braucht man nur einen solchen Teil zu berechnen und mit 8 multiplizieren. Dadurch erhält man nach den Formeln Nr. 216 und 34 der Tabelle

a    ax—x¹

ZU

(34.)

= Saldx I

J h

0 0

dy

Ya² — x² — y²

also

= 8<z Idxl arcsin ( , ^ i ?

J L \Va²—x²Ą

o

V ax—x*

(35.)

Setzt man

a

— 8aJd

o

Sa \dx . arc sin

y__x i a -J- x

(36.)

u = arcsin

also

izi

! a -f- x

dv = dx,

(37.)

du -

adx

----7=1 V = x

2(a    x)\ ax

so findet man durch partielle Integration

(38.) jdx

. arcsin

i a-j- x

x. arcsin

l/A

I a-j~ x

1 ff/ax.dx o

a-j-x

oder, wenn man wieder

*) Diese Aufgabe ist schon von Viviani (Acta Eruditorum 1692) etwa in folgender Einkleidung gestellt worden: „Ein halbkugelförmiges Tempelgewölbe hat zwei gleiche Fenster von der Beschaffenheit, daß der Rest des Gewölbes eine quadrierbare Oberfläche hat. Welches ist die Gestalt der Fenster ?“ (Vergl. Joh. Bernoulli, Opera, t. III, p. 212.)

490

(39.)

§ 81. Komplanation der Flächen; Übungs-Beispiele. x — at²₁ also Y ax = at

dx — 2 atdt

setzt,

(40.) jdx. arcsin o

] a-\-x    4

CLJl

r t²dt

V i+i*

o

dJt

af(l ~

0

dJt    ..    dJC

= ₄ — ®[< — arctg<]o - — folglich wird nach Gleichung (35.)

<'-d-

dJt

— a;

(4L)

0 = 8a Idx . arc sinl/ —X-

J    \ a + x

o

= 4a²# — 8a².

(42.)

Da die ganze Kugel die Oberfläche K=4a²jt

hat, so bleibt für den außerhalb der beiden Zylinder liegenden Teil der Kugeloberfläche

(43.)

Oi = 8a²

übrig.

Die Lösung der Aufgabe wird bedeutend einfacher, wenn man ebene Polarkoordinaten einführt; dadurch geht nach Formel Nr. 214 der Tabelle Gleichung (34.) über in

7t

2 a cos <p

(44.) 0 = 8a

rdr

Y o? — r²

— Sajdcp

— Y or—r²

-.«cos </)

Jo

10 y

co, y

= 8a jdq)[a — asingp] — 8a²[<p -f- cosçp]

folglich erhält man wieder

(45.)

0 = 4 a²üi — 8a².

Aufgabe 4. Man soll die Oberfläche der beiden Kreis

zylinder

Da z₁, der Grenzwert von z, zu einem Punkte gehört, welcher auf der Kugel und auf dem Kreiszylinder liegt, so wird

Zi = Ya² — x² — y², wobei aber noch nach Gleichung (46a.)

(46.)

x² -j- y² — ax = 0 und x² y² -\- ax — 0 berechnen, soweit dieselbe innerhalb der Kugel x² y² -\- z² — a² — 0 liegt. (Vergl. die Figuren 139 bis 142.)

Auflösung. Die gesuchte Oberfläche wird durch die Koordinaten-Ebenen in 8 symmetrische Teile zerlegt : man braucht daher wieder nur einen dieser Teile zu berechnen und das gefundene Resultat mit 8 zu multiplizieren. Die Gleichung der Fläche ist (46 a.)

(47.)

F(x, y, z) — x² + y² — ax = 0 und enthält die Veränderliche z gar nicht. Damit die gegebene Methode anwendbar wird, muß man die Koordinaten in Formel Nr. 216 der Tabelle miteinander vertauschen. Indem man z. B. y als Funktion von x und z ansieht, geht diese Formel für die Berechnung der krummen Oberfläche über in

(48.)

b ip(x)

o = 8fdxIV yFl2 qp Jys ₊ jy.

cp(x)

Aus Gleichung (46a.) findet {    )    Ft = 2x — a, F₂ = 2 y, F₃ = 0,

(    ) Fy³ -f F₂² + F₃² = 4x² — 4ax + a² -f 4y²,

oder mit Rücksicht auf Gleichung (46 a.)

(51.) Fi² + Fł + Fs² = a², VFx² + F₂² + F? = a, folglich wird

man

ai o

(52.)

a Si

O — 8 ajdx    — 4 a

Ç dx J Y ax — x²

;

Jd

0

dz.

x² fl- y² — ax

ist, folglich erhält man

(53.)

Z\ — \ a² — ax.

Dies gibt

a /

(54.)    0 — ialdx V

o

a² — ax

ax — x²

also

a

= 4a Yaf-^L = 8aVa[Vx\

j y x

0

0 = 8a².

Die Fläche der beiden Kreiszylinder, soweit sie von der Kugel eingeschlossen wird, ist also gerade so groß wie derjenige Teil der Kugeloberfläche, welcher außerhalb der beiden Zylinder liegt.

Aufgabe 5. Aus der Schraubenfläche

oder

(55.)

(56.) F(x, y,z) = y — a;tg0^ = 0

tgC)=

schneiden die beiden koaxialen Kreiszylinder x² y² — a², x² -f- y² = b²

(57.)

und die beiden Ebenen

(58.)

CJC

CJt

+ 2

einen Teil der Oberfläche heraus; man soll den Flächeninhalt dieses Teiles berechnen.

Auflösung. Aus Gleichung (56.) folgt (59.) Ft-- tg(A =

x² -f- y²

cx

(60

₇;. i / ,- - w+ F? = +1/

(61.)

c² -f- x² -f- y²

x² fl- y²

also, da hier nur das obere Zeichen in Betracht kommt,

(62.)

0=fdXfdyf-+*+/

Die Bestimmung der Integrationsgrenzen ist unterblieben, weil durch die Gleichungen

y = rsin^D

(63.)

x = r cosçd

neue Intégrations-Veränderliche eingeführt werden sollen. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 214 der Tabelle

(64.) O = I dfpjrdrj⁰^/ =

--jdryc²-\-r²jd<p = jt jdr]/ c²-\-r²

Jt    Jt'

Die Grenzen <p — —₀ und <p = + - bestimmen sich

2i    Z

daraus, daß nach Gleichung (56.)

(65.)

z — ccp

wird. Nach Formel Nr. 129 der Tabelle erhält man daher

(66.) O — JtIdryc²-\-r² — ~ ryc²-\-r²-\-c²\n(^

a

= | byW+c² — aVa^-fc² + c²ln(-

r-\- Y c²-\-r²

b+yb²-\-c*

4~y a²-\-c²

)I

§ 82.

Einführung zweier variablen Parameter.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 217.)

Ist die Gleichung einer Fläche in der Form

z =    y)

gegeben, so kann man, wie es auch bereits in § 78 bei der Einführung von schehen war, x und y als Funktionen von zwei neuen, voneinander unabhängigen Veränderlichen u und v darstellen, indem man

(1.)

neuen

Intégrations - Veränderlichen ge-

X = fi(u, v), y = fiu, V)

setzt, wo /!(m, v) und f₂(u, v) für den jedesmaligen Zweck passend gewählte Funktionen sind. Trägt man diese Werte und y in die Gleichung (1.) ein, so erhält man

(2.)

von x

(3.)

z = f\fl(u, V),    f₂(U, v)] = /b(w, v).

Man kann also eine Fläche durch die drei Gleichungen x = /i(M, v), y = f₂(u, v), z = f₃(u, v) darstellen; und umgekehrt: Sind die drei Gleichungen (4.) beliebig gegeben, so stellen sie im allgemeinen*) eine Fläche dar, deren Gleichung man durch Elimination von u und v aus den Gleichungen (4.) erhält.

Aus den Gleichungen (1.) und (2.) folgt sodann dz    dz dx    dz dy

u    dx du    dy

^    0 __ dz dx , dz

dv dx dv

(4.)

Cb Cb!

also

dy dv

(6.)

(7.)

dx dy    dx    dy \dz

0 dy dz dy du dv dv du dx dz dx dz du dv dv du

<o

Setzt man also

(8.)

dx dy dx dy du dv dv du

dy dz dy dz du dv dv du

dz dx dz dx du dv dv du

= C,

so wird

(9.)

dz

dz

dx

dy

Ci bo

(10.)

~ VA² + B² + C².

Deshalb erhält man nach Formel Nr. 213 der Tabelle, da die Funktional-Determinante gleich + C ist,

(11.) 0=ßdxdy^l+(^j+(^j= ±JJdudvVA²+B²+C², wobei nur das obere Vorzeichen einen Sinn hat.

*) Eine Ausnahme findet nur statt, wenn die drei Eunktional-determinanten A, B, C, welche durch die Gleichungen (8.) erklärt werden, gleichzeitig verschwinden, wie in der Flächentkeorie gezeigt wird. Hier werde daher die Voraussetzung gemacht, daß wenigstens eine von diesen drei Größen nicht verschwindet.

. deshalb wird

A = — 18m(w² + v² + 1),

(15.)

• B = 9 [u² + v² + 1 )(u² -f- v² — 1), C = 18v(u² + v² -j- 1),

(16.)

Wie diese Formel verwendet werden kann, möge das folgende Beispiel zeigen.

Aufgabe. Durch die Gleichungen (12.) x = u³ — 3uv² — 3u, y — 3u² — 3v², z = v³ — 3u²v — Sv wird eine Fläche dargestellt, welche die „Unnepersehe Minimalfläche“ genannt wird, und auf welcher man für konstante Werte von u und v zwei Scharen von ebenen Kurven dritten Grades erhält, die einander rechtwinklig schneiden¹). Man soll auf der Fläche den Inhalt eines Vierecks berechnen, welches durch die Kurven u — a, u = ö, v = c, v — d

(13.)

begrenzt wird.

Auflösung. Aus den Gleichungen (12.) folgt

öx

(14.)

du

— 3 [u²—v²—1),

-ö

= Gu,

dz

du

= —6uv,

dx

dv

= —Quv

Qj

dv

= — Gv,

dz

dv

— 3(v²—u² — 1),

A² + B² + C² = 81 (u² + v² + l)⁴. Dies gibt nach Gleichung (11.) b a

(17.) 0 = 9jduJ(u² -j- v² + 1 )²dv

b d

= 9jdujW⁴ + 2 u²v² -f- v⁴ + 2^² + 2v² + 1 )dv

a c b

==■ 9j'du[{ui-\-<2u²-\-l)(d—c)+f(w²-j-l)(#—(A)-\-\{db—c⁵)]

also

(18.) 0 = 9[|(6⁵—ab){d—c)-\-\(db—cb)(b— «)+f (Ô⁸—a°)(d³—e³) -f- f (Ô³ — d³){d — c) -j- f (d³ — c³)(b — a) -f- (b — a)(d — c)].

man

(!•)

§ 83.

Einführung räumlicher Polarkoordinaten.

(Vergl. die Eormel-Tabelle Nr. 218.)

Führt man räumliche Polarkoordinaten ein, indem

x — r coslcosgp, y — rcoslsinip, z — rsin/

setzt, so ist (Fig. 152) OP gleich r der Radius vektor, X der Neigungswinkel QOP von OP gegen die XX-Ebene, und çp der Winkel XOQ, welchen die Projektion OQ des Radius vectors OP auf die XY- Ebene mit der positiven Richtung der X-Achse bildet. Wenn man bei der Darstellung einer Fläche X und cp als die beiden unabhängigen Veränderlichen betrachtet, so wird r eine Funktion von X und g>, also

r = F(X, cp).

Setzt man diesen Wert in die Gleichungen (1.) ein, erhält man durch Differentiation dx dr di. dX

ß't = -qj cos X sin cp — rsin X sin 9?, dz dr .

dX⁼dXslnX + rcosX’ dx dr

~öcp ⁼    cos^ cos cp — rcos2sin<p,

dy dr

öcp ö(p ^    cos À cos cp.

(2.)

Fig. 152.

-X-

<p

so

coslcosg) — rsin^cosçp

dz dr

-K— = — sin/: dcp ocp

folglich wird, wenn man u mit X und v mit cp vertauscht,

ôr

dr

(3.) {

A — — r ^ sinX cos X cos <p — r ^ ~ sin (p — r²cos²X cos 9

cos çd—r² c os²/, sin 9

B = —r.,

sin 2 cos/sin 9) + r

ôr

ô<p

ôr

c= + rm

cos²2 — r² sin?. cos/

/oV\²    /ôr \

(4.) A² + B² + C² = r²^jJ cos²X -f r² + ri cos²/

¹

Diese Linien sind die Krümmungslinien der Ennepersehen Minimaifläche. Davon soll aber bei dieser Aufgabe kein Gebrauch gemacht werden, weil in diesem Lehrbuche wegen der Beschränkung des Stoffes eine Erklärung der Krümmungslinien nicht gegeben werden konnte.

⁼’'²[r2+(l)1c0^⁺''²O’

also, da auch, hier nur das positive Zeichen bei der Wurzel-ausziehung in Betracht kommt,

(5.)

0 =JJVA²+ B² + C²dudv

un-

Konstanten Werten von <p entsprechen Ebenen durch die Z-Achse, und konstanten Werten von X Kegelflächen, welche die i^-Achse zur Rotations-Achse haben. Durch diese Ebenen und Kegel wird die Fläche in zweifach unendlich viele, unendlich kleine Vierecke zerlegt. Indem man in bezug auf 9) integriert, erhält man die Summe von diesen \ ier-ecken auf einem ringförmigen, unendlich schmalen Streifen zwischen zwei benachbarten Kegelflächen. Alle diese endlich schmalen Streifen werden sodann durch Integration in bezug auf X summiert. Daraus ergibt sich für jeden einzelnen Fall die Bestimmung der Grenzen.

Wie dies geschieht, möge die folgende Aufgabe zeigen.

(6.)

Aufgabe. Die gegebene Fläche habe die Gleichung (x² + y² + z²)² = a\x² — y²),

oder bei Einführung räumlicher Polarkoordinaten durch die Gleichungen (1.)

(7.)

man

r² = a²cos²^cos(29>); soll die gesamte Oberfläche berechnen.

Kiepert, Integral - Rechnung.

32

Auflösung. Um sich eine Vorstellung von der Fläche zu machen, beachte man, daß r ^ a sein muß, daß die Fläche also ganz innerhalb einer Kugel mit dem Halbmesser a liegt. Die XF-Ebene, in der 1 gleich 0 ist, schneidet die Fläche in einer Lemniskate mit der Gleichung

(8.)

(x² -f- y²)² — a²(x²— y²), oder r² = a²cos(2<jp).

Gibt man cp einen konstanten Wert und setzt

(9.)

(10.)

Cil cos 1

aVcos(2<p) — «i, so erhält man den Durchschnitt der Fläche mit einer Ebene, welche durch die Z-Achse hindurchgeht. Die Schnittkurve zerfällt in zwei Kreise mit den Gleichungen r = -\- «iCos4 und r =

oder

(10 a.)

x² ~h y² = + aix    x² -\- y² = — apx.

Die Fläche entsteht also aus der Lemniskate in der XF- Ebene (Fig. 153), indem man sämtliche Radii vektores OP zu Durchmessern von Kreisen macht, deren Ebenen auf der XY-Ebene senkrecht

Fig. 163.

JP

stenen.

Da die Koordinaten-Ebenen die Fläche in 8 symmetrische Teile zerlegen, so braucht man nur die Oberfläche eines solchen Teiles zu berechnen und das gefundene Resultat mit 8 zu multiplizieren. Die Grenzen von cp sind

Jl    jç

dabei 0 und . > die von 1 sind 0 und —•

(HO

Aus Gleichung (7.) folgt dann ö

r ~ — — a²cos4sin/lcos(29>),

(12.)

— = — a²cos²2sin(2<p);

deshalb wird

/    /öt\²

(13.) r    tt4cos2^sin2^.cos²(2çp) = a²r²sin²4cos(2(jp)

sin²(2 <p) cos(2g>)

/Qr \2

(14.) r2\Q^) ~ a4cos⁴^sin²(20>) =

(15.) |r² + (|^)] cos²2 + (|^) = ß²cos(2<jp) cos²A

a²r²cos²X •

+ a²cos²2

sin²(2<jp)

cos(2<p)

a²cos²^,

r2

cos(2<jp) cos²(2<p)

Dies gibt nach Gleichung (5.)

71

71

71

71

(16.) 0 = 8

Th

0 0

r²dcp

cos (2 <p)

71

‘ 2"

= 2a²jrjcos²XdX = a²jt o

= 8a²jcos²XdXßl<p

0 0

sin^cos>l + x\ = ^ Jo z

71

."2

Hi

32*

i>

V,

Kubikdezimeter Wasser die Masse ~

den Faktor

XIV. Abschnitt.

Berechnung der Masse, der statischen Momente, der Trägheits - Momente und der Schwerpunkts-Koordinaten.

§ 84.

Erklärung und Berechnung der Masse.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 219 bis 22B.)

Die drei fundamentalen Größen für das sogenannte „wissenschaftliche“ Maßsystem, das in der Physik allgemein benutzt wird, sind

1. ) die Länge,

2. ) die Zeit und

3. ) die Masse.

Als Massen-Einheit möge hier die Masse eines Kubikdezimeters Wasser (bei 4° Celsius) betrachtet werden*). Der

*) lu der technischen Mechanik wird als dritte Fundamentalgröße nicht die Masse, sondern die Kraft zugrunde gelegt. Die Einheit der Kraft ist auch hier das Kilogramm, d. h. die Kraft, die von einem Kubikdezimeter Wasser infolge der Erdbeschleunigung g (Schwere) ausgeübt wird. Dabei hat die Konstante g unter 45° geographischer Breite den Wert 9,806 Meter. Die Masse ist dann eine abgeleitete Größe; ihre Einheit ist die Masse, die von der Einheit der Kraft, d. h. von einem Kilogramm, die Beschleunigung von einem Meter in der Sekunde erhält. Danach hat bei dieser Festsetzung das

Die liier folgenden Ausführungen behalten auch für diese Erklärung ihre Geltung, wenn man bei den Angaben über die Masse

hinzufügt.

Vergleich der Massen geschieht mit Hilfe der Wage, d. h. man vergleicht die Gewichte, also die Kräfte miteinander, die von den Massen infolge der Erdbeschleunigung g (Schwere) ausgeübt werden können. Diese Kräfte sind den Massen proportional, da an einem festen Orte der Erdoberfläche die Beschleunigung durch die Schwere für alle Körper den gleichen Wert hat. Man braucht daher praktisch zwischen Masse und Geivicht nicht so streng zu unterscheiden; d. h. die Doppeldeutigkeit der Bezeichnung „Kilogramm“ als Massen - Einheit und als Gewichts - Einheit ist ohne Nachteil.

Hat ein Körper, in Kubikmetern ausgedrückt, das Volumen V, und in Kilogrammen ausgedrückt, die Masse . M, so nennt man

(1.)

7 =

die „mittlere Dichte" (oder „Dichtigkeit“) des Körpers. Behält dieses Verhältnis auch für jeden beliebigen Teil des Körpers denselben Wert /, so nennt man den Körper >,homogen“ und sagt, der Körper hat die Dichte

Ist der Körper nicht homogen, so grenzt man um jeden seiner Punkte P ein kleines Volumenstück JY ab

wird

und bestimmt seine Masse JM. Das Verhältnis

JM

JV

sich einem bestimmten Grenzwerte / nähern, wenn alle Dimensionen von JV verschwindend klein werden. Diesen Grenzwert nennt man die „Dichte des Körpers im Punkte P“. Da man in dieser Weise jedem Punkte P des Körpers eine Dichte zuordnen kann, so wird unter Zugrundelegung eines rechtwinkligen Koordinatensystems die Dichte y eine Funktion w (x, y y z) der Koordinaten des Punktes P sein. Das Volumen-Element

(2.)

dV — dxdydz,

das als ein unendlich kleines rechtwinkliges Parallelepipedon betrachtet werden kann, hat dann die Masse dM — <p(x, y y z)dx dy dz.

Daraus erhält man die Masse des ganzen Körpers ansgedrückt durch das dreifache Integral

xt m Z‘i

(4.)

M =fdxfdyfy(x, y, z)dz

X\

wobei die Integrationsgrenzen

fl

(5.) zi = gix, y), Z'2 = gix, y), yi = fi{x), y₂ = fifa) durch die Gleichungen der den Körper begrenzenden Flächen gegeben sind.

Ist die den Körper einschließende Fläche durch Rotation einer Kurve mit der Gleichung

y = fix)

um die X-Achse entstanden, und ist die Dichtigkeit 7 eine Funktion (p{x) der einzigen Veränderlichen x, so daß die einzelnen Schichten des Rotationskörpers homogen sind, so hat das Volumen-Element

die Masse

d V — y'zütdx

(6.)

dM — <p(x). y²jzdx, und der ganze Körper hat die Masse

(7.)

M— Jij(p{x)y²dx.

Xi

* Schrumpft der Körper so zusammen, daß eine seiner Dimensionen im Verhältnis zu den beiden anderen sehr klein wird, so kann man annehmen, daß alle seine Punkte in der nächsten Umgebung einer (ebenen oder) gekrümmten Fläche mit der Gleichung

(8.)

F(x, y, z) = 0, oder 0 = f(x, y) liegen, so daß die Abstände aller Punkte von der Fläche kleiner sind als die beliebig kleine Größe s. Wenn sich jetzt e dem Grenzwerte Null nähert, so verliert der Körper, streng genommen, seine Masse, bezw. sein Gewicht. Für die Anwendungen in der Physik und Technik ist dabei aber die folgende Auffassung häufig von großem Nutzen.

Die Dichte sei bei diesem dünnen Körper in allen Punkten, die auf einer und derselben Parallelen zur X-Achse

liegen, die gleiche, so daß 7 eine Funktion von x und y allein wird. Läßt man jetzt wieder s sich der Grenze Null nähern, aber 7 gleichzeitig in dem Maße wachsen, daß sich

2 ys

einem endlichen Grenzwerte nähert, so sagt man, die Fläche sei mit Masse helegt, d. h. man stellt sich die Fläche als schwer vor. Der Grenzwert, dem sich das Produkt 2yt nähert, heißt dann die ,Flächendichte“ g>(x, y) im Flächenpunkte P.

Das Obertlächen-Element

(9.) dO

- dxdy 1 +(—} + (|* j -

dxdy

VW+Fł+F£

hat dann die Masse q)(x, y)dO, so daß man für die Masse des in Frage kommenden Flächenstücks

(10.) M

~fd*fa    +(ô*j⁺(ôp²

■*1 m

= fdx jy^y^y ypp + p₂ ² + P?

erhält

wo wieder die Integrationsgrenzen yi — y₂ = /^(a?) die Gleichungen der Zylinder sind, welche den Rand des Flächenstückes auf die XP-Ebene projizieren. Ist die Fläche durch Rotation einer Kurve mit der

V = f(x)

Gleichung

um die X-Achse entstanden, und ist die Dichtigkeit 7 eine Funktion (p{x) der einzigen Veränderlichen x, so hat das Oberflächen-Element

(11.)

dO = Zyjids

die Masse rp(x)dO, so daß man für die Masse der ganzen Oberfläche

(12.)

erhält.

M = 2 Jt Jcp(x)yds

Insbesondere kann die mit Masse belegte Oberfläche in eine ebene Figur übergehen, welche oben und unten von Kurven mit den Gleichungen

(13.)

y2 = fix), yi = fix) begrenzt ist. Dann wird die Masse der ebenen Figur

./*2

(14.)

M =JdxJ<p(x, y)dy,

X\ .t/l

wo wieder <p(x, y) die Dichtigkeit im Punkte P ist.

Schrumpft die ebene Figur zu einer mit Masse belegten Kurve mit der Gleichung

y = fa)

zusammen, wobei man die „Kurv en dichte“ in ähnlicherWeise wie vorher die Flächendichte erklären kann, so findet man in entsprechender Weise für die Masse des Kurvenbogens

JC\2    Xo

(15.)

M =J'<p(x)ds = J<p{xjVdx² + dy².

Xi    X\

Ebenso erhält man für die Masse des Bogens bei einer Raumkurve

(16.)

Xo

M = J(p{x)ds = Jcp(x)Ydx² -f- dy² -j- dz².

*\    xL

§ 85.

Erklärung und Berechnung der statischen Momente.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 226 bis 230.)

Unter dem „statischen Moment“ df$)l eines Massenelementes, oder wie man gewöhnlich sagt, eines Massenpunktes P in bezug auf eine Ebene e verstellt man das Produkt pdM aus seiner Masse dM und dem Abstande p von der Ebene e. Die Gleichung der Ebene kann man auf die Form

xcos a -f- ycosß -f- zcos/—p₀ = 0 bringen, welche unter dem Namen „Hessesehe Normalform u bekannt ist. Dabei sind

« = {YZ, 6), ß = (ZX,e)

(1-)

(2.)

7 = (17, s)

die Winkel, welche die Ebene è mit den drei Koordinaten-Ebenen bildet, und p₀ ist der Abstand des Nullpunktes von der Ebene. Dann hat der Punkt P mit den Koordinaten x, y, z von der Ebene s den Abstand

(3.)

p = xcosa -(- ycosß -j- zcosy gesetzt werden, so daß p positive und negative Werte haben kann. Daraus ergibt sich für das statische Moment des Massenpunktes P mit der Masse dM der Wert

dÿ)l = (xcosa -j- ycosß -f- 3cos7 —po)dM,

Po

p — i (xcosa + ycosß + zcosy—pQ), wobei das Vorzeichen so zu wählen ist. daß p positiv wird. Hier möge aber immer (Ba.)

(4.) wobei wieder

dM — <p(x. y. z)dxdydz

zu setzen ist. Man sagt dann, das statische Moment habe einen positiven oder negativen Drehungssinn, je nachdem p einen positiven oder negativen Wert hat. Das statische Moment des ganzen Körpers ist daher unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungen

f2 fl -2

(5.)    9J? ==JdxJdyf(xcosa -f- ycosß + zcosy— p₀) <p(x, y, z)dz.

zi

(6.)

Bei einer Oberfläche mit der Gleichung z*=f(x,y), oder F(x, y, z) = 0 wird dementsprechend das statische Moment

(7.)

fi. y2    .

Jdxj(xGOsa-\-ycosß-\-zcosy—poMx, y)dy |/¹    5

*1 V\

(8.)

und bei einer Raumkurve mit den Gleichungen V = K*), * = g(x)

wird das statische Moment

......... x-l    ___________

(9.)    = j(xcosa-{-ycosß-{-zcosy—po)(p(x)Ydxz-\-dy²-\-dz².

Xl

Ist die Dichte konstant, so kann man in den vorstehenden Formeln die Faktoren <p(x} y, z), <p(x, y), <p(x).

weil sie einen konstanten Wert haben, vor das Integralzeichen setzen. Man nennt dann die Ausdrücke

f2 y-i z'i

(5 a.) 9k =JdxJdy'/(x cos a -j- y cos ß -f 0 cos 7 — p₀)dz x\ y\

(7 a.)

■^2 y2

0COS7 —

J dxjixcosa -f- ycosß -f-

Ov ?/l und

^2 ______

(9 a ) 9k = J\x cos a -(- y cos /2 + 0 cos 7 ■— p^Ydx2, + dy² + dz², bei denen die konstante Dichte gleich 1 gesetzt ist, die „statischen Momente der rein geometrischen Gebilde“.

An die Stelle der Ebene s kann auch eine Gerade (Achse) g oder ein Punkt A treten. Dann muß man in den Formeln den Abstand p von dieser Geraden, bezw. von diesem Punkte A an Stelle des Abstandes von der Ebene e æcosct -f- ycosß 0COS7 ~po

setzen. Solche statische Momente wird man namentlich dann zu 'betrachten haben, wenn es sich um eine beliebig begrenzte Figur oder um eine Kurve in einer Ebene handelt.

Man versteht dann unter dem statischen Moment eines Massenpunktes P mit der Masse

(10.)

dM — (pdxdy

(11.)

in bezug auf eine Gerade g mit der Gleichung xcoscc + y sina —p₀ — 0

das Produkt

(12.)

aus

düDl — p . dM = (rrcosa -j- ysina —pd)<pdxdy der Masse 'dM und dem Abstande

(13.)

* p = æcosa -f- i/sin«—^0 des Punktes P von der Geraden g. Dabei kann auch hier p positive und negative Werte haben. Das statische Moment der ganzen Figur, deren Begrenzung in § 84 beschrieben ist, wird daher

y-i

9k = Jdxjlx cos a -j- ysina—pd)<pdy.

•o y\    _____

In ähnlicher Weise findet man für das statische Moment eines Kurvenbogens in bezug auf die Gerade g

*2

9J? =yörcosa -f- ysin«

pd)<pV dx² -f- dy².

Hat die Dichtigkeit den konstanten Wert 1, so gehen die Gleichungen (14.) und (15.) über in

f2 m

9J( — Jdx J\x cos a -f- y sin « — Po)dy, x\ y\

-j-y sin a —pdjŸdx² -f dy².

(15.)

(14 a.)

rl

(15 a.)

X-2

m = f(x

Xi

cos a

§ 86.

Erklärung und Berechnung der Trägheits-Momente.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 231 bis 233.)

Unter dem „ Trägheits- Moment“ dJ eines Massenelementes, oder wie man gewöhnlich sagt, eines Massenpunktes P in bezug auf eine Ebene s versteht man das Produkt p²dM aus seiner Masse dM und dem Quadrate des Abstandes p von der Ebene s. Dadurch erhält man für das Trägheitsmoment eines rein geometrischen Körpers

f2 !/l f2

J = jdxjayjp ² dz,

—- -o yi j?i.

(1.)'

einer krummen Oberfläche

■.fäx^Ayf1+ (*£+

Xi '(/i

(2.)

und eines Kurvenbogens

(3.)

wobei

X-i____

J = fp*Vdx* -f- dy- -f- dz²

Xi

(4.)

p — xcos a -f- y cos/9 -f- z cos/ —p₀

ist. Handelt es sich um das Trägheits - Moment in bezug auf eine Achse oder einen Punkt, so bezeichnet p den Abstand von dieser Achse, bezw. von diesem Punkte.

§ 87.

Erklärung des Schwerpunktes und Berechnung seiner Koordinaten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr.234 bis 240.)

Bezeichnet man der Kürze wegen die Dichtigkeit eines Körpers im Punkte P mit cp statt mit y(x, y, z), so wird seine Masse (vergl. Formel Kr. 219 der Tabelle)

■*2 m f2

(!•)

M = J'dxfdyjędz. •o m

Setzt man sodann

(2.)

(8.)

(4.)    -

VC    fdxjdyJxcpdz,

so ist das statische Moment des ganzen Körpers in bezug auf die Ebene e mit der Gleichung

(5.)

xcosa -f- ycosß + 2cos/ —po = 0 nach Gleichung (5.) in § 85

fi ih Z«

(6.) iO? = JdxJdyJlx cos a -f- ycosß -f- z cos / — pd)(pdz

x\ ih ?\

— J/(gcos« -f- ycosß -f- gcos/ —p₀).

Aus dieser Gleichung erkennt man erstens, daß die Größen g, y, g von der Lage der Ebene e unabhängig sind, und zweitens, daß der Punkt 8 mit den Koordinaten g, y, g, wenn man ihm die Masse M des ganzen Körpers beilegt, in bezug auf jede beliebige Ebene e dasselbe statische Moment hat wie der Körper selbst.

Man nennt deshalb diesen Punkt 8 den „Schwerpunkt,“ oder den „Massenmittelpunkt“ des Körpers.

Die Größen Jfg, My, MC, sind dabei die statischen Momente des Körpers in bezug auf die drei Koordinaten-Ebenen.

Ist die Dichtigkeit <p eine Konstante, so hebt sich dieser Faktor cp im Zähler und Nenner der Ausdrücke für

§, y, £ fort-

Ähnliche Untersuchungen gelten auch bei einer Fläche und bei einer Kurve im Raume.

Bei einer krummen Oberfläche war

•»

-H**y l/i+(£)+(|)²

Setzt man dann

(8.)

(9.)

(10.)

■*’2 ?/2 __________

ê=lifcie¹ + (£)+©’

n=wfdxiwdyi¹⁺(£)'⁺&

xi V\

¹MfdxfZ<pdy^l + (^)²+(|)>

yi

so wird das statische Moment der Fläche

(11.)

x'l V‘2.    ______ ______

jdxßx cos a + ycosß -f zcos/ — po)çp%j/ 1 +

= ,M(gcosa + ycosß + £cos 7—p₀)-

Auch hier sind also die Größen g, £ unabhängig von der Lage der Ebene e; sie sind die Koordinaten des Schwerpunktes 8, der die Eigenschaft hat, daß er in bezug auf jede beliebige Ebene s dasselbe statische Moment hat wie die Fläche selbst, wenn man dein Punkte 8 die Masse M der Fläche beilegt.

Ebenso findet man für eine Kurve im Raume 3*2

(12.)

M = fyds,

Xi

(13.) g

Î²

= Jj-jxyds, r,

Xi

= Jißfda

Xl

cr>i

x₂

= yzvds

Xl

wobei der Punkt 8 mit den Koordinaten g, y, g für die Kurve dieselben Eigenschaften hat wie vorher bei dem Körper, bezw. bei der krummen Oberfläche.

Es sei insbesondere die den Körper umgrenzende Fläche durch Rotation einer Kurve mit der Gleichung

y = fi?)

um

die X-Achse entstanden, dann ist die Masse des Körpers

(14.)

— jiJcp(x)y²dx,

Xl

y = r cosip, z = rsintp*)

Polarkoordinaten ein, so findet man nach Formel Nr. 214

wobei die Dichtigkeit <p(x) nur eine Funktion der einzigen Veränderlichen x sein möge. Der Schwerpunkt liegt dann auf der Rotations-Achse. Denn führt man durch die Gleichungen

der Tabelle in diesem Falle

.% Zt    V'Z. fz

JdyJyty(x)dz = <p{x)fdyfydz

!/\    z\    yi zi

4-n r

= g>(x)jdipjr cos y rdr

—71    0

= <P(x) -s- [sinip] =0

o    —

y-z Zo    y-z z₂

JdyJz(f{x)dz = <p{x)Jdyfzdz

yi zi    ?/i zi

+ 7i r

— (fix)fd rpfr sin xp rdr

—71    0

Y&    Ą.-JI

= <p(x)    cosy] =0

O    -7t

*) Hier ist der Winkel mit \p statt mit cp bezeichnet worden, damit eine Verwechslung mit der Dichtigkeit cp vermieden wird.

folglich wird

.15.)

ST-

Pj

Dagegen ist

f/2 f2    ?/2    #2

J'dyJx(p{x)dz = x<p[x)J'dyfdz

*/i    z>\    y\ z\

xrp<fz.fp

+7i r

— xcp(x)jdipjrdr =

— 71    0

xcp(x)r²

[ip\ ’⁷¹ — r²jzx(p{x),

—71

also, da liier

zu setzen ist.

(16.)

r = y = f(x)

M Jxy²<p(x)dx.

Ebenso findet man bei einer Fläche, die durch Rotation der Kurve

V = K*)

um die X-Achse entstanden ist.

v — o, 5 = 0,

wenn die Dichtigkeit cp eine Funktion <p(x) der einzigen Veränderlichen x ist. Dagegen findet man g, indem man die Fläche durch Schnitte, senkrecht zur Rotationsachse in unendlich viele, unendlich schmale ringförmige Zonen zerlegt, die man als Mäntel von Kegelstumpfen betrachten kann. Die Masse einer solchen Zone ist

dM — 2jc<p(x)yds und ihr statisches Moment in bezug auf die FX-Ebene ist dffi = 2jcxq)(x)yds,

folglich wird

(17.)

?²

M — 2jcJ(p(x)yds,

Xi

Zur Bestimmung des Schwerpunktes einer ebenen Figur, welche oben, bezw. unten von den Kurven y2 = fix) und yy ~ fix) begrenzt wird, beachte man, daß nach Formel Nr. 223 der Tabelle die Masse

(19.)

(20.)

x-i m

M = fdxj<p(x, y)dy

Xl V\

war.

Setzt man jetzt

xv ■//■>    x-± y«

(21.) g

= lj fdxjxą(x, y)dy, y = ^Jdx jy<p{x, y)dy

Xi yi    Xi iji

so wird nach Gleichung (14.) in § 85 das statische Moment in bezug auf die Gerade y

X-J !h

(22.)

4k = JdxJ (x cos a -j- y sin« —pj cp{x, y)dy

Xi Vi

= Mfêcosa 4- y sina —pi).

Die Größen ç, und y sind also die Koordinaten eines Punktes 8, dessen Lage unabhängig ist von der Lage der Geraden g. und der, wenn man ihm die Masse M beilegt, in bezug auf jede beliebige Gerade dasselbe statische Moment hat ivie die ebene Figur selbst. Deshalb heißt S der ..Schwerpunkt“ der ebenen Figur.

Bei dem Bogen der ebenen Kurve

y = f(x)

war die Masse nach Formel Nr. 224 der Tabelle

(23.) setzt man jetzt

(24.)

•2*2    dC2

M — f<p(x)ds —J<p{x)Ydx² + dy²:

= Jj-Jy <p(x)ds,

Xi

X-.

lx<p(x)ds, y

Xi

Xi

so wird das statische Moment in bezug auf die Gerade g nach Gleichung (15.) in § 85

X'2

(25    4k —J{x cos a -f- y sin a — pi) <p(x)d$

Xi

= Mfëcosa -j- ^sin a — p₀).

Also hat auch hier der Punkt 8 mit den Koordinaten $ und y die oben aufgeführten Eigenschaften des Schwerpunktes.

§ 88.

Guldinsche Regeln.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 241 und 242.)

Der Einfachheit wegen möge vorausgesetzt werden, daß die Dichtigkeit q eine Konstante sei, deren Wert man gleich 1 setzen darf, weil sich bei der Berechnung der Schwerpunkts-Koordinaten g, y, Ç der Faktor </) im Zähler und Kenner forthebt; d. h. es soll hier nur der Schwerpunkt der rein geometrischen Gebilde aufgesucht werden. Man erhält dann aus den Gleichungen (20.) und (21.) in § 87 für die Masse und für die Koordinaten des Schwerpunktes einer ebenen Figur, welche durch die Kurven

2/2 = h{x) und yv = ft{x) oben und unten begrenzt ist, die Werte

F,

X'i    x-<    t

(1.) M = J'dx(y₂ — yx) =J[f₂(x) — f\{x)]dx =

X!    Xi

(2-).

£ __

X₂

\ßfy-2

Xi

/    p

— y\)dx -- [fix)

>i

— fi{x)\xdx.

X\

(3.)

fdxfydy

Xi

?/i

X-i

= 2Fj [yr — yi]dx

Xi

î- »

Xi

X-i

ilFp*»

— f\(xf\dx.

Das Volumen des Körpers, der durch Rotation der ebenen Figur um die X-Achse entsteht, ist nach Formel Nr. 136 der Tabelle

X₂    X₂    */*₂

(4.) V= VFi = nj'ypdx — Jtjy^dx = n[y£ — yF)dx,

Xi    Xi    Xi

folglich wird

Diese Formel gibt den

Satz 1. Rotiert eine ebene Figur F um eine beliebige Achse, so ist das Volumen des von ihr beschriebenen Rotationskörpers gleich dem Flächeninhalt F der ebenen Figur, multipliziert mit dem Umfange Srjjc des von ihrem Schwerpunkt beschriebenen Kreises. (Erste Guldin sehe Regel.)

Ferner erhält man aus den Gleichungen (23.) und (24.) in § 87 für die Masse und die Koordinaten des Schwerpunktes eines Kurvenbogens in der Ebene

i-

Xi

(6.)

T-

•o

xds

X₂

V = l fvds-•

xx

Der Flächeninhalt der Oberfläche, die durch Rotation des Kurvenbogens um die X-Achse entsteht, war nach Formel Kr. 141 der Tabelle

X₂

(7.)

folglich wird

0 — ⁽2ji Jgds •n

0 = 2gjc. s.

(8.)

Diese Formel gibt

Satz 2. Rotiert ein Kurvenbogen s um eine beliebige Achse, so ist der Flächeninhalt der von ihm beschriebenen Rotationsfläche gleich der Bogenlänge s, multipliziert mit dem Umfange 2//„t des von seinem Schwerpunkte beschriebenen " Kreises. (Zweite Guldin sehe Regel.)

Mit Hilfe dieser beiden Sätze kann man auch um-

gekehrt zur Berechnung der Koordinaten des Schwerpunktes bei Figuren und Kurvenbögen in der Ebene dieselben Rechnungen verwenden, welche schon bei der Kubatur der Rotationskörper und bei der Komplanation der Rotationsflächen ausgeführt worden sind.

§ 89.

Übungs- Beispiele.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 243.)

Aufgabe 1. Die Gleichung einer Parabel (Fig. 154) ist g² = 2px, oder g = Ytyx]

man soll die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen:

a)    für das Flächenstück OÇP,

b)    für den bei der Rotation r um die X-Achse von OQP R _ beschriebenen Rotationskörper,

c)    für den Bogen OP,

d)    für die von dem Bogen-OP beschriebene Rotations- ~q fläche.

Auflösung. Hier ist (vergl. Aufgabe 2 in § 19) x² dx — Y2p . x² =

Fig. 154.

Tx

(2.) F

X    X

=? jydx = Y 2pj'x²

0 0

CQ ICO

2 xy

und pach Formel Kr. 239 der Tabelle

(3.)

(4.) y

S = j Jxydx = j'x²dx = 0 0

= wjyHx = iïfi

o    o

2y2p __ 2x²y

5P

xdx

%gx2 ₌ xy² ?

4F

4P

folglich ist

(5.)

rF\

3«

Daraus ergibt sich für das Volumen des Rotationskörpers (vergl. Aufgabe 4 in § 25)

(6.)

V — 2yjt • F

3yjt 2xy    xy²jt

⁼ 4    3 ⁼

Für den Schwerpunkt dieses Rotationskörpers erhält man nach Formel Nr. 237 der Tabelle

also

S = yJxy²dx = 2p^ ja 0 0

x²dx = y

2p3i xs x²y²3t ' 3 ⁼ 37

(7.)

in § 27)

2x²y²jt x ?>xy²jt 3

Die Länge des Bogens OP war (vergl. Aufgabe 1

cm

IO

(8.)

x    y

S = fds = ^jdy Vp²+ y² =    + V² + ^ ©tn(0;

o    o

ferner ist nach Formel Nr. 240 der Tabelle

= jxds =

cm

t-H ! «0

2p² s

ß/²dyVp² + y²

o

also nach Formel Nr. 128 und 127 der Tabelle

1    : ''J'l/K • ?

'y<hf + pl)yVp- + y²

(9.)

<N° T—I

16^%

p* Ir    ,

x    y

n = | ßds = ps jydyVp²

0 0

+ y²,

also nach Formel Nr. 130 der Tabelle

(io.)

v =    [(p² + y²)Vp² + y² —p³]-

Der Flächeninhalt der von dem Bogen OP beschriebenen Rotationsfläche ist daher (vergl. Aufgabe 2 in § 31)

'N

2 ji

3p KP² + y²)Vp² + y² —p³]-

Für diese Rotationsfläche wird nach Formel Nr. 238 der Tabelle

(11.)

0 — 2tjjt . s =

cm

oder, wenn man

x    y

= % Jxvds = -Q-zjy^yVp²

0 0

;,2

setzt

Vp² + y² — y² — t²—p², ydy = tdt

¹ >r

— p²)t²dt =

also

-.(y)

ji r^⁵

öpAh

³ -1(0)

15^2^y²k-p²)Vy²+p²'(ßy²—^p²)] =    f(3?/ 4- J>v — 2p⁴) "Kp² + y² + 2p⁵],

to)

(12.)

•in

(3t/⁴ -f- p²y² — 2p⁴)Vp² -f- y² + 2p⁵

iov[(p² 4- y²iVp² + y²—p³]

Aufgabe 2. Ein Kreis (Fig. 155) sei gegeben durch die Gleichungen (13.)

x = acost, y — asint;

Fig. 155.

J¹

man soll die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen:

a)    für die Flächenstücke OQPB ¹    /

und QAP,    .    /

b)    für die bei der Rotation um /

die X-Achse von OQPB L......

beschriebene Kugelschicht \ und für den von QAP be- \ schriebenen Kugelabschnitt, \

c)    für die Bögen BP und PA,

d)    für die bei der Rotation um die X-Achse von BP beschriebene Kugelzone und für die von PA beschriebene Kugelhaube.

Auflösung. Hier ist für die Fläche OQPB

OQPB

= jydx = o

t

— a²Jsin.²tdt — — a² —

1 f

sin^cosif + 2 ^

71

2~

= ^^sinżcos# -f- ^    ^

also, wenn man die Fläche OQPB mit F\ bezeichnet,

(14.)

1 d2 2^+2 arcsm

und nach Formel Nr. 239 der Tabelle

(15.) §! — --Jxydx =

cd

Fi

. Jsudtcostdt

dd

cd

3Xi

3 F₁

(1 — sin³#)

_ ad — yd ~    3 Fi ’

ni =

h-¹

to

CO

a³

sin Hdt

“la

IC

tH

J=-<5

wi

bO

rH CO

also

(16.)

m =*=

6Fi

(3 a²x — a?³).

hetzt man t — 0, also x = a, y — 0, so fällt der Punkt P mit dem Punkte A zusammen; man erhält daher für den Quadranten des Kreises

(17.)

arcsin 1 =

a².ii

(18.) g =

4a³    4«

3a%    3.7t ’

4 (3a³ — a³) 4a

6a²^r

3jt

man

F iir die Fläche F₂ gleich QAP erhält

also

r 1    -i°

F2 = —a²— 2 sin^costft —

r-H locj

-y

CO

(# — sin # cos #)

(19.)' F₂ =

■*> %

arc cos

xy

(20.) §2 = —

a³

3 F₂

[sin³#]⁰ =

a³sin³#

3P₂    3.F2

(21.) =

a?

cos # —

a³

2P2L

=    (2 a³ — 3 a²x -f- x]).

(2 — 3 cos# + cos³#)

Setzt man hier # =

also x — 0, y — a. so erhält man auch hier für den Quadranten des Kreises wieder

'lu

a²ji

Daraus ergibt sich, für das Volumen der bei der Do

tation von OQPB beschriebenen Kugelschicht (vergl. Aufgabe 3 in § 25)

(23.)

Th = 2/^jt .    =

(3 o²x — x⁶)x

und für das Volumen des von QAP beschriebenen Kugelabschnittes

(24.)

V₂ = 2//₂.x. F₂ =

(2a³ — 3a-x -f- x')ji

Für den Schwerpunkt von V\ erhält man nach Formel Kr. 237 der Tabelle

êi

— y jxy²dx =

a⁴jc

cos t sih Hdt

CO; a

cAjT

4 Th

[sin< =

a⁴Jt

*    4Th

2

(1 — sinV) =

3.7r(a⁴ — y⁴)

4.tt(3 a²x — X')

also

(25.)

oder

3(2a²x² — x⁴)    3(2 a? — x²)x

4(3 a²x — x³)    4(3 a² — x²)

Für den Schwerpunkt von V₂ erhält man a⁴jt 4 V₂

[sin⁴tf]° =

3 y⁴

aVrsinV

4 V₂    4(2 a³ — 3a²x -f- x³)

(26.)

3 (a² — x²)²

___3 (a + x?

4(2a³ — 3a²x -f- x⁸)    4(2a -f- x)

(27.)

Für t — 0, x = a, y — 0 gehen Th und über in

2«%

3a

3 ⁷ ^

JT

und für t =x = 0, y = a gehen V₂ und §₂ ebenfalls

Li

in dieselben Werte F und § über. Dieser Wert von g gibt also die Lage des Schwerpunktes der Halbkugel Für den Bogen PP erhält man

an.

(28.)

8l

X

— ß/dx² -f- dy² =

und nach Formel Nr. 240 der Tabelle

>h =

also

X

= \ jxYdx² -j- dy² =

X

JyYdx² -|- dy² = — ^ js

o

£ i I—

(29.) gl =

(1 — sinQ —

costdt -    —

[sintf]*

M| SI

sin tdt —

CU

Ö : Co

[cos 4]^

’ Vi =

d² cos t

n— 2t

Für t — 0 wird x — a, y — 0 und P fällt mit A zusammen, dann gehen «s’i, gi und y\ über in

-?i

(30)

aut

s = ~ö- > â = — ’ V = —

a    Jt    Jt

Für den Bogen PA erhält man

0

aj'dt ~ at

t

(31.) s₂ = J-y/ dx² -f- dy² =

also

Ś2

— IxYdx² + dy² — S2 J

a² r

/c

PJ

t

cos tdt = —

a² . o -[sm^,

jyYdx² -f- dy² = — a js

X    t

sin tdt =

CU CU

[cos^

(32.) §2 =

S-2

«²sin t ay

d²{ 1—cos£)    a(a—x) a—x

S₂

S2

S2

CO H

Für t =

wird x — 0, y = a und P fällt mit B zusammen, dann erhält man wieder wie in Gleichung (30.) für den Quadranten des Kreises

an

Aus Gleichung (29.) folgt für die Oberfläche der vom Bogen BP beschriebenen Kugelzone (vergl. Aufgabe 1 in § 31)

Die Abszisse des Schwerpunktes der Zone wird nach Formel Nr. 238 der Tabelle

7t

= ^Jxtjds =

o

Jcostsmtdt

also

2a⁶jt 20jl

[sin²£]^ =

Oi

(1 — sin²£) =

Ol

cos²£,

a:ix²    aux²

2ajtx

Für t = 0 wird x = a, y = 0 und die Kugelzone geht über in die Halbkugel. Für diese findet man daher

(84.)

Oi

LC &

Aus Gleichung (32.) folgt für die Oberfläche der Bogen PA beschriebenen Kugelhaube 0-2 = 2^₂Jr .    = Rallia — x),

(35.)

(36.)

vom

= %fxyds =

(lP¹ fcostsintdt

O2 J

t

ààjt

also

O2

[sin²*]° =

ddJi

0₂

sin²£

(37.)

S2 =

ajiy² ajt(a² — x²) a -j- x O2 2ajt(a — x) 2

Für t — 5 wird x = 0, y = a. Die Kugelhaube geht dadurch über in die Halbkugel, für die man wieder erhält

0 = 2a²jt, s = |-Aufgabe 3. Durch die Gleichung

(38.)

oder Yy² — a² = a<&in ^ ^

ist die Kettenlinie (vergl. Fig. 156) gegeben; man soll die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen:

a)    für das Flächenstück OQPA,

Fig. 156.

b)    für das Volumen des von OQPA bei der Rotation um die X-Achse beschriebenenRotations-körpers,

c)    für den Bogen AP₁

d)    für die vom Bogen AP bei der Rotation um die X-Achse beschriebene Rotationsfläche.

Auflösung. Hier ist (vergl. Aufgabe 9 in § 19)

also

OQPA = F

x    x

=jydx = ajko\(^jdx = o    d

a²(S>tn

(39.)

F — a,y y² — a²

und nach Formel Nr. 239 der Tabelle

= ßeydx = yjx& of0) 0 0

l“¹

dx.

Dabei findet man, wenn man x = at setzt und partielle Integration anwendet,

t

a²f&int dt

= a²t&mt —

X    .    t

(40.) jx&o^-^dx — a²jt^o\tdt

0 0

= xVy²— a² — a²[<&Q\t][

= x\y² — a² — a{y — a).

Al.) y

-2

tH

=£p(yVy²~°² + (ix)

folglich ist

V = 2yjr .F = °^- (yyy2, — a? -f- ax).

(42.)

(40 a.) g =

Y y² — a?

(41a.) y =

[a?]/?/² — a² —a (y—a)] = x—æ

(:yVy² — «² + a%) = \{y •+

ax

4|/y² — a²

Ans Gleichung (41.) folgt für das Volumen des Körpers, der von OQPA bei der Rotation um die X-Achse beschrieben wird (vergl. Aufgabe 9 in § 25),

y y¹—a²

Für d,en Schwerpunkt dieses Körpers erhält man nach Formel Kr. 237 der Tabelle

— ~jxy²dx

.0

x    x 2x

-vf^<ddx=t-ff<e"+2+e

0 0

2x

a ^dx.

Setzt man

2#

'S CM

a i*

2At

so wird, wenn man partielle Integration anwendet,

. 2x

ixea dx

also x =

dx —

= j jte'dt—et) =    (y-¹)⁶“ ■

'^1 v

Ebenso ist

2x r

(?+'PI

= i r₂œx (e- — <f “) - a^e“ + e » ) + 4®-’ + 2«²j - 16 [8«*eof(?-) ©inQ — 4a=@in²(^) + 4s~>]

c² -j- æ² — y² +

also

also

(44.)

s == Yy² — a².

Ferner wird nach Formel Nr. 240 der Tabelle und mit Rücksicht auf Gleichung (40.)

dx

in § 27)

a<&in

(131

4F

\2xyY y² — a² -f- a(x² — y² -f- a²)]

2 xyYy² — a² -j- «(F² — i/² -f- a²) 2{yYy² — a² -\- ax)

Für den Bogen AP erhält man (vergl. Aufgabe 4

s ■■ jydx² -f- dy² = j(ïô) (~^dx = o    o

(45.)    |

= ^ \xYy² — a?— a(y

a)] = x —

«l/*

! y + a

und mit Rücksicht auf Gleichung (41.)

(46.)    >/

Go h-¹-

- h :><)

dx

d² -f-

ax

Yy² — o?

Aus Gleichung (46.) erhält man für die Oberfläche der vom Bogen AP bei der Rotation um die X-Achse beschriebenen Rotationsfläche (vergl. Aufgabe 7 in § 31)

0 = 2yjis = ji(y Yy² — a² + ax).

Dabei ist nach Formel Nr. 238 der Tabelle

= ^ftyds

o

"7;w©

dx.

(48.)

§89. Schwerpunkts-Koordinaten. Übungs-Beispiele. 525 Dies gibt nach Gleichung (43.)

=    [2xyVy² — a? X a{x² — y² X «²)j

cm

2xyYy² — dr X a(x² — y² X ß²)

%(yVy²

dr X ° X)

Aufgabe 4. Durch die Gleichungen

x = a{t — sin#), y — ß(l -— cos#) ist die gewöhnliche Zykloide gegeben (vergl. Fig. 157); man soll die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen:

Fig. 157.

(49.)

a)    für das Flächenstück OQP,

b)    für das Volumen des von OQP bei der Rotation um die X-Achse beschriebenen Rotationskörpers,

c)    für den Bogen OP.

d)    für die Oberfläche der vom Bogen OP bei der Rotation um die X-Achse beschriebenen Rotationsfläche. Auflösung. Hier ist (vörgl. Aufgabe 10 in § 19)

also

X    t

OQP = F= Jydx = a?j(l — cos tfdt 0 0

(50.)

4snR X cos £ sin#).

2(3<

Ferner ist nach Formel Nr. 239 der Tabelle

'ht

Sh: h-

X    r f

= Jxydx = ~ ßt o    o

— sin#)(l — cos tfdt

-ib

— 2cos£ X cos²t)dt —

t

/■

— costfsmtdt.

§ 89. Schwerpunkts-Koordinaten. Übungs-Beispiele. Dabei findet man durch partielle Integration

526

ßa

o

— 2 cos# -f- cos ²t)dt =

fcO

(St — 4 sin# -f- cos#sint)

— 4sin# -f- cos#sin#)Æ#

t    1 /3#²

= 2“(St—4 sin #-f cos# sin#)— ^-(“cT+^cos#-!-

3#2    j-    p

= ^ —2#sin#-j--cos#sin#-f-2—2cos#—-sin²#.

sin²#—

⁴)

Setzt man sodann

1 — cos# = z, also sin#ć## = dz,

so wird

/■

0

— cos#)² sin tdt

Z

=Jz²dz =

o

% CO

Dies gibt

a³ "3#²    #

F T"

-f- 2sin#(—4 + cos#) + 2(1— cos#)

M-

also

(51 ) §— 4⁹*²+6*sinj(-4-f-cos#)-f-(l—cos#)(17-fi5cos#—4cos²#)] 6(3 # — 4 sin # -f- cos # sin t)

Schließlich ist

¹¹ - wly2dx = Ä/¹

o    ü

— costfdt

^3 r    0    0    -j

⁼ 2Fi —+ 2sin#cos#-|-2#—sin#4~ g sin³#

also

a?

(15# — 24sin# -f- 9sin#cos# -j- 2sin³#)

= a(15# — 24sin# -f 9sin#cos# + 2sin³#) 6(3# — 4sin# -f cos#sin#)

12 F

Kür * — 2Jt, d. h. für die von dem ganzen Zykloiden-bogen begrenzte Fläche gehen die Gleichungen (50.), (51.) und (52.) über in

F = 3a²jt, § —

36ajc²

36jt

30ajt    5 a

3(5.t ⁼ 6 '

Kür * = jt, d. h. für die Hälfte OBPLPO dieser Fläche erhält man

(53.)

= OLJl

(9 Jt² + 16)a

3a²jt

(54.) F = “2“

Aus Gleichung (52.) folgt für das Volumen des von OQP beschriebenen Rotationskörpers (vergl. Aufgabe 10 in § 25)

1 8jt

’ V-6

nöjr

(55.) 7=2rjjt.F = ^-(15* — 24sin* + 9sin*cos* + 2sin³*) und nach Formel Nr. 237 der Tabelle

= ~jxy²dx 0

ClAJt

— sin*)(l — cos tfdt

3 cos *-f 3 cos²* — cos³*)ć**

a⁴jr

— cos*)³sin*ć**.

Durch partielle Integration findet man

ß¹

0

— 3cos*+3 cos²*— cos⁸*)6** = g(15* — 24 sin *-j-9 sin* cos*

-j-2sin³*)

ih

0

24 sin * -f- 9 sin * cos * -f- 2 sin³*)ć**

1 rl5*²

—f-24(cos*—1) Ł

= 7AI5*—24sin*+9sin*cos*4-2sin³*)—w b    b L

+ ^sin²* + ~ — 2 cos * + ^ cos³*

= 4|~15*² + *sin* (— 48 + 18 cos* + 4 sin²*)

Lu

(1 — cos*) ^

und durch die Substitution 0=1 — cos* erhält man

001 o

^cos*-f-^cos²*^J

j*

0

— costfs'mtdt

= fz³dz - |4 o

⁼ i⁽¹

cos tf

folglich wird

a⁴x 367

(56.) g =

[45-f- 3£sin£( — 44 + 18cost — 4cos²£)

-f- (1 — cos#)(100 -f- 4cosif — 23cos²£ -f- 9cos³£)].

Für t = :r, d. h. für den Rotationskörper, der durch Rotation der ebenen Figur OBHPO um die X-Achse entsteht, wird

(57.) 7=^ L

a^jc

367

§ 27)

Für den Bogen OP erhält man

(‘a+128)=a(i⁺IŁ}

(vergl. Aufgabe 5 in

also

(58.)

X    t

s =j Vdx² 4- dy² — SajsmfJ^dt — o    o

(1)] = ⁸æsKï)

s = ia 1 — cos

Ferner ist nach Formel Nr. 240 der Tabelle

■ h-

0

~~jh sin£)sin(t) 0

dt.

man, wenn man

Durch partielle Integration findet t = 2z, also dt = 2dz setzt,

t    z

jtsm^^dt = 4zjzsinzdz = 4(

0 0

t    z

Jsint sin dt = 4^s 0 0

— 0COS2 -f- sinz)

sin%cos2tte =

~ sin% d

folglich wird

2^cos(|) + 4sm(|)-3sin3(|)] a — 3£cos^|^ -f 6 sin — 2sin⁸^^jj

(59.)    Ä

®]

3 1- cos

Schließlich ist

n = 7 Jvds =

¥/■

0

cos t) sin

Qdt = ⁸-ffsinfab 0

(f)

cos²z)d(cosz) —

8a² T

COS0 —

1    ^ y

cos% ;

3

(0;

dies gibt

00

(6°.) n = 3s

8a²

(2 — 3cos£-t-cos%) = r-~-(1— cos z)² (2+cos 2)

öS

1 — COS

®]Ta + “>®]

Aus Gleichung (60.) folgt für die Oberfläche der vom Bogen OP bei der Rotation um die X-Achse beschriebenen Rotationsfläche (vergl. Aufgabe 8 in § 31)

(61.)

0 = 2 ijjt. s —

16a²sc '

3    ¹

— cos

(£)][2 + c°s(£)].

Für diese Fläche wird nach Formel Nr. 238 der

Tabelle

= 44 jxyds = ₀

o    o

jt(±—cos t) sin

'/l.

⁷¹l(t — sin£)(l — cos£)sin^^

4 a³Jt

- jsintÇL—cos t) sin

dt.

Wenn man wieder t = 2z setzt, so findet man durch partielle Integration

34

Kiepert, Integral - Rechnung.

ßa

O

z

Qdt=⁸fi

. o

COS0— ~ cosàz)

zsmàzdz — —80^

Z

ßßcosz — cos ³z)dz

g    o

= — £ coss(3 — cos%) -f- 8sin0 — -- ^sin0 — — sin³A

= — ~ cos0(3 — cos³0) -f- >f sin0 -f- sin³0, o    o    9

— cos t) sin

00 CO

t    Z

J sint (1 — cos#) sin    = sjśin^zeoszdz =

o    o

=- sin⁵0, 5

folglich wird 4a³jr f

CO

— /cos0(3—cos²0)+^sin0+~sin³0— ^sin⁵0l, o    3    9    5

also

a —#cos

3—cos²

©l+²“©{²⁺5“tÓ

(62.) §

CO ,iO

sin⁴

©i

1 — cos

(|)J[2 + c°s(|)l

Für t = Jtj d. h. für den Schwerpunkt der durch Rotation des halben Zykloidenbogens OS beschriebenen Oberfläche ergibt sich

(63.)

32a²jr —3~’

26a

Mg. 158. B

15

chungen

Aufgabe 5. Durch die Glei

vP

(64.) a; = acos³#, y = asin³#

ist die Astroide gegeben (vergl. \a Fig. 158); man soll die Koordinaten des Schwerpunktes berechnen :

a)    für die Fläche QAP,

b)    für das Volumen des von

QAP bei der Rotation um die X-Achse beschriebenen Rotationskörpers,

c)    für den Bogen PA

d)    für die Oberfläche der vom Bogen PA bei der Rotation um die X-Achse beschriebenen Rotationsfläche.

Auflösung. Hier ist (vergl. Aufgabe 11 in § 19)

o

3a²JsinH cos ²tdt,

t

a

QAP = F = Jydx —

also

a²

(65.)

lg [sinźcos£(8sin⁴£ — 2sin²£ — 3) + 3ż] und nach Formel Nr. 239 der Tabelle

a    t

jxydx = ^ JsinH cos⁵t dt

V    0

— 2sin²£ -f- sin⁴0^(sin0

also

a?

3a³

CT» l—¹

sin⁶if —

sin⁷£ -f- ^ sin⁹^

105X

(63sin⁵£ — 90sin⁷£    35sin⁹£)

sin⁷£ cos ²tdt

,l = wpdx=wß

x    0

3«³

W

, jcos²t(l (0)

— 3cos²£ -f 3cos⁴£ — cosGt)d(cost)

3a³ ri ~~2F13

also

COS³t — ^ COS⁶£ + Y cos?^ — ^ COS⁹^

(67.) rj =

a    (16 —105 cos³£-f-189 cosö£—135 eos^-j-35 cos⁹£).

210 F

Für t —

, d. h. für den Quadranten der Astroide,

wird

3a%

16a³ _ 256a 210F “ 315.T

8a³

256a

105X _ 315jt

Aus Gleichung (67.) folgt für das Volumen des bei der Rotation um die X-Achse von der Fläche QAP beschriebenen Rotationskörpers (vergl. Aufgabe 11 in § 25) (69.) 7=2 yjt.F

apjt

⁼ 1Ö5

Für den Schwerpunkt dieses Körpers wird nach Formel Nr. 237 der Tabelle

(68.) ₃₂

(16 — 105cos³/ + 189cos⁵/ — 135cos⁷/ -J- 35cos⁹/).

h.

'xy²dx — —

3 a%

sin⁷/cos⁵/ć2/

3a%

t

r

/sin⁷/(l -

— 2 sin²/ -f- sin⁴t)d(sint)

also

(70.) g =

(71.)

T (s    ~~ ä s*n10^ + sin¹²^)

(15 sin⁸/ — 24 sin¹⁰/ -f- lOsin¹²/). ~ wird

u

aŁji

407

Für / =

16a% 105 ’

a% 21a S = 40 7 ⁼ 128

in § 27)

Für den Bogen PA erhält man (vergl. Aufgabe 6

(72.)

s = jydx² -f dy² = 3aJs

x    ■    -    o

sin / cos tdt —

3a

₀ sin²/.

U

Der Schwerpunkt des Bogens hat nach Formel Nr. 240 der Tabelle die Koordinaten

(73.)    §.

a

— jxds =

t

a2 r

IcosHsmtdt — —

s J

o

3a²

5, [c°S^

o’

— ~ jyds =    IsinHcos/dt =

X    0

3a²

—— sin⁵/ 5s

folglich, wird

3a²

. (73 a.) g = ~(l-oos^) =

2o(l—cos⁵#)

5(1—cos ²t)

2a(l -f- cos# -f- cos²# -j- cos³# -j- cos⁴#)

3 o?

5(1 -f- cos #)

(74a.) r, = 5s Für # =

sin⁵# =

— sin³#.

5

2» d. h. für den Quadranten der Astroide,

wird

(75.)

3a

2a

2a

r‘ = T-

Aus Gleichung (74.) folgt für die Oberfläche der bei der Rotation um die X-Achse vom Bogen JPA beschriebenen Rotationsfläche (vergl. Aufgabe 9 in § 31)

Qa?3i . Kl ... sin⁰#.

5

Für den Schwerpunkt dieser Fläche erhält man nach Formel Nr. 238 der Tabelle

(76.)

0 — 2?/jr . s =

= ^ jxyds — jsmH cos⁴# dt

x    o

t

==■ —q~ /(cos⁴# — 2 cos⁶# -f cos⁸t)dt, 0

also nach Formel Nr. 102 der Tabelle 6a%

(⁷⁷0ś = ₀

sin#

(s-

cos⁷# —

il⁰⁰^ + èoos3i+ÂcosO

3#

128

5a

sin⁵#

sin4

cos⁷# —

OOS⁵« + gj COS³? + x|₈ cos«)

3#

128

]•

Jt

d. h. für die von dem Quadranten der

Astroide beschriebene Rotationsfläche erhält man daher „ _ 6a%

⁼ 5

Für # =

löajr

Handelt es sich, um den Sektor AOB gleich S einer Kurve, deren Gleichung in Polarkoordinaten gegeben ist (vergl. Fig. 159), so wird nach Formel Kr. 134 der Tabelle

(79.)

S = \JrHy.

Der Flächeninhalt des unendlich kleinen Vierecks PP2P3P1 (vergl. Fig. 160) ist gleich rdy. dr, wobei der Punkt P die Koordinaten

x~r cos<p, y = rsmcp

Fig. 159.

Fig. 160.

Q,

\P,

■X

hat. Da die Koordinaten des Schwerpunktes dieses unendlich kleinen Vierecks von x und y nur unendlich wenig verschieden sind, so sind seine statischen Momente in bezug auf die beiden Koordinaten-Achsen

xrdydr — r² cos y dydr

(80.)

und

(81.)

yrdydr — r² siny dydr, folglich hat der Schwerpunkt des ganzen Sektors die Koordinaten

= jcos y dyjr²dr = ^ jr³ cos cp dy,

«    0    a

ß    r

V — ig jsinydyjr²dr =

~ ir^smydy.

Aufgabe 6. Durch, die Gleichung r² = a?cos(2<p)

(83.)

Fig. 161.

ist die Lemniskate gegeben (vergleiche Fig. 161); man soll die Koordinaten des Schwerpunktes für den Quadranten OAPO berechnen.

Auflösung. Hier ist (vergl. Aufgabe 6 in § 22)

71

Hx a

7t

(84.) S

= ~ jr²d<p = a~ßios(2<p)d<p = o    o

71

T

C    aP C

=    #r³cos (p äip = -gß /cos(2r/i)]/cos(2<p) cos rp d(p

Ô    0

\ [sin(2g5)]o² = i

rH

Setzt man jetzt

y sin/.

cos t dt,

Jt

so nimmt t alle Werte von 0 bis ^ an, wenn <p die Werte

Jt    ^

von 0 bis , durchläuft, denn sin® durchläuft dann die

⁴ . 1 Werte von*0 bis —

(85.)

sin <p —

also cos cp d(p —

V2

und sin/ die Werte von 0 bis 1.

7t

Aus Gleichung (85.) folgt dann

cos(2çd) =1 — 2sin²<p = 1 — sin²/ = cos²/.

Dies gibt

3 8V-J

0

cos⁴/ dt =

rl

3Äj/2 U

3

cos³/ sin / -f~ ₀ cos / sin ^ 4“

CO oo

also

(86.)

'in

a³ 3jt

38]/2 ' 16 ~ 4]/2

ajt

7t

7t

.1

— 1)^ sin cp dtp.

C    c

V = 3^ Irhmcpdç) = ^ /(2cos²çp 0    o

Hier setze man

(87.)

Y2 . cos <p==

1

sini

also sin/ =

(88.) 2 cos²^ — 1 =

sin²/

cos²/ sin²/ ’

y 2 . COSÇD sin cpdcp —

cos t dt

]/ 2. sin²/

dann nimmt t alle Werte von "f bis

4

Werte von 0 bis

alle Werte von 1 bis :—

bis 1. Dies gibt

to y

wenn cp die durchläuft, denn cos cp durchläuft dann also sin/ alle Werte von

an

tH

R (M

a³ /

,] " 3SŸ2 J

'cos H dt    dà

sinbt ~ 88]/2

__;² - J_\

sini . sini sin t)

dt.

Deshalb wird nach den Formeln Nr. 106 und 47 der

Tabelle

cd

v 38y2

cos / 4 sin⁴/

5cos/ 8 sin²/

mi a

⁺ Ilntg(DL

GO, OC

cd

38 K2 ly2

also

(89.) i] =

<3 CO

1—1 Ol

cd

38]/2

4]/2

CO 00

ln

(-l + k2)]

ln

L2 y 2

Aufgabe 7. Durch die Gleichung

(90.)

*² ₊ ^ + - = i a2 l J2 i c2 X

ist ein dreiachsiges Ellipsoid gegeben ; man soll die Koordinaten des Schwerpunktes von einem Oktanten des Ellipsoids berechnen.

Auflösung. Zerlegt man den Körper durch Schnitte, senkrecht zur X-Achse, in unendlich viele, unendlich dünne Schichten, so ist ein solcher Schnitt eine Ellipse mit der Gleichung

(91-) p + ? =

und die Fläche des Ellipsen - Quadranten mit den Halbachsen

s²

a² — x²

a²

i oder

a²z²

a²y²__,    ₌ 1

b\a² — x²) ' c²(a² — x²)

(92.)

ai =

y a ² — x², h = C Va² — a;²

a

ist

(93.)

aibiüt    bc(a² — x²)jt

4a²

folglich ist (vergl. Aufgabe 2 in § 75)

— x²)dx —    o?x —g

(94.) V

a

bCJt „

u-r

0

x³la

abcji

Das statische Moment einer solchen Schicht in bezug auf die YX-Ebene ist

bcx(a² — x²)jtdx ■

4a²

folglich wird

'Irs

bcjt ⁼ 4a² V

also

a

J(a²x

o

— F)dx -

bcjt ra²x²    xF]a

4a² V [ 2    4

Jo

(95.)

7ir

a²bc:r    3a

T6V ⁼ 8'

Ebenso findet man

(96.)

3b

3c

Aufgabe 8. Durch die Gleichung 2p(z — zo) = y² — m²x2 ist ein hyperbolisches Paraboloid gegeben; man soll die Koordinaten des Schwerpunktes für den Körper berechnen, der oben durch diese Fläche, unten durch die X5-Ebene, seitlich durch den Zylinder mit der Gleichung

(97.)

(98.)

x² + y² = ß2

und durch die XZ-Ebene, bezw. YZ-Ebene begrenzt ist. Dabei sei Zq so groß gewählt, daß die von dem Kreiszylinder eingeschlossene Fläche oberhalb der XF-Ebene liegt.

Auflösung. Hier ist

^2 ^2 *2 ?/2

—Jdxjzdy = jdxßzpzo -f y²

?/i    V\

— m²x²)dy,

oder, wenn man ebene Polarkoordinaten einführt, nach Formel Kr. 214 der Tabelle

2 #

F = jdcpj(2pzQ -f- r²sin²<p o o

rH !

— m²r² cos²q>y dr

71

₉ -J- ^ (sin²çp —m²cos²<p)

-*0

co a

= 8p 'fi⁴#*⁰ + a\sin²(p

o

— m² cos² cp)]dg)

71

also

o? [    a²    a?    1²

=    ^4p0o9> + 2-(—1—w²)sin9>cosg> -j- — (1—m²)<p

(99.)

a²Jt à'ip

Ferner ist nach Formel Kr. 234 der Tabelle

[8p«o + (1 — m*)a²].

Zfp.

2]pyjxdx/(2,*0 + y²

«1    ?/l

— m²x²)dy,

oder nach Formel Kr. 214 der Tabelle

cm

-^yjd<pj(2pzor²cos(p -f- r⁴sin²<p cos (p 0 0

m²r⁴cosdcp)dr

évM

0

2pztf& cos (p

yO

«³

2p F^

a:i

2p F

a³

30p F

-f- (sin²p — m‘²cos²(jp)cos(jp 5    J₀

5 (s*n2<jp —m2    w2sin2^) cos <pdcp

a sin (p + f- (1 + m²)sin³p 5 /    15    Jq

[!Op0O -f «²(1 — 2m²],

i<M

also

(100.)

16« [łOp^u -j- (1 — 2m²)«²] _ 15jt |8p0o + (1 — m²)«²] ?

X'>

V = ,Ęy fdxj{2pZoy + f

x\ yi

— m²x²y)dy

oder nach Formel Nr. 214 der Tabelle

7t

2 a

V = 2jd<pj(2pz₀r2 o o

n

1 j\ -, [2pz(}ró , r⁵

2pVJs‘n^[-3

0

J[10pz₀ + 3«²(1 0

sinqp -j- r⁴ sin³g) — m²r⁴ cos²cp sin (p)dr

-f . (sin²<jp — m² cos²p)

-*o

«³

30p F

— cos²(jp — m²Q,os²(p)]s\n(pd<p

«³

71

30p F

[— lOp^ocosçp — 3«²cos<jo + «²(1 + m^cos^p]²

«³

[10p So + (2 — m²)«²]

also

(101.)

16a [lOjp0o 4 (2 — m²)«²]

^    15.7T [8^00 4 (1 — m2) ®²]

Schließlich ist

x-i t/i

C /V2

Xi t/l

₂dy

■fl t/l

= -8p2fJdxJ(²p^ + y²

Xi V1

— m²x²)²dy.

also hei Einführung von ebenen Polarkoordinaten

TT

m²cos²9))]²r dr

= 8/>lr jd(pj\2jm + r²(sm²rp

o o Æ

2 «

= y jdçpj[4:p²zo²r 4 4p0Or⁸(sin²<p — m²cos²cp)

0 0

+ r⁵(sin²(p — m²cos²tp)²]dr

= g ₂y--    2p²zo²a² 4 jô0Oa⁴(sin²ço — m²cos²<p)

o

a"

4 ₆ (sin²9) — m²cos²(p)² .

Dabei ist

71

7t

j(sm-(p — m²cos²cp)d<p — j[ 1 o    o

— (14 m²)cos²<p]dcp

1 4 «²/

= <P—    5 (cosçpsmç? 4 <p)

“    Jo

(1 — m²):x

71

7t

j(sm²<p

o

— m² cos²q))² dtp

— (1 4 w?²)cos²g)]²dcp

(N

— j[ 1 — 2(1 4 m²)cos²g) 4 (1 4 m²)²cos⁴(p]d<p

o

== (p — (1 + m²)(cosrpsinr/; -j- cp) -f- (1 + m2)²^ cosbp sin cp

3 \1²

+ cosysiny +

—    — m² + 5- (1 -|-    (3 — 2m² -|- 3m⁴)

8    J lb

folglich, wird

Jt oo9l 1—m¹

8»whW+ 4

¹ -)- f.{3—2m²-j-3m⁴)a6 yb

also

(102.) £ =

96p>²0o² + 24(1 — m²)pZ(}a² 4* (3 — 2m² -f- ‘6m⁴)a4 24p> [8p0O + (1 — w*²)®²]

Aufgabe 9. Die Gleichung

2p,e = x² — y²

(103.)

stellt ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid dar; man soll die Koordinaten des Schwerpunktes für denjenigen Teil der Oberfläche berechnen, der von der XZ-Ebene, der EX-Ebene und dem Zylinder

(104.)

x² -p y² — a? begrenzt wird. (Vergl. Aufgabe 2 in § 81.)

Auflösung. Hier ist, wie schon in § 81 gezeigt wurde.

xp y-i

0 == ^ jdxjdyVp² 4- x² -f- y¹

X\ ->h

oder, wenn man ebene Polarkoordinaten einführt,

2    «    2

(105.) 0 = * jd<p frdrVp²-f->*² = ^ [(p²-\-a²)Yp²-\-a² — f)]fdy

0 > 0

=    [(i>² + a²)Vp² + a² — p>³].

Ferner ist nach Formel Nr. 235 der Tabelle

xp. y>

Opjxdxjdy Vp2jr

x²-\-y²

= ~ jcos(pd<p jr² Vp² + r² d

)•.

Xl

Vi

§ 89. Schwerpunkts-Koordinaten. Übungs-Beispiele. Nun ist nach Formel Nr. 128 und 127 der Tabelle

542

C_

jr²Yp² -\-r²dr =    Yp² -f-r² + j

o    o

r²dr

J Yp² + r2 Yp² + r<2 —2 Sir ©in

= (2a-²+p²) Yp² + a² — ^ Sir ©in •

Da

to! 'S

Jcospdp = [sin go]² == 1 o    ⁰

ist, so erhält man (106.) S = gh[a(2«a+i)2)V5q^ä

3 a(‘2a³ -f p²)J/p³ + u² — j»⁴?lr@in[^)j

4x[{p² -j- a²)Yp² + a²—p³]

p⁴«r@inQ)]

Ferner ist

l P P    ²    «

^ ~ Öp JdxJydyYp2jrx²-{-y² = ~ fsinpdcp lr²Yp²

Q    ^

+ r²ćZr.

Da auch

firny dtp = [— cosqp]² = 1 0 0

ist, so wird (107.)

Schließlich ist

^2 ^2

s = 2^5 Jdxßx* - y

*1 ^1

71 ~2

1 • ? f= 20^2 J(c°s²⁽jP — sin² cp) dpJrsYp2 0    o

Da

taj S

(?)

j(C0S²ffi

0

— sin²gp)^<p

= | ßos(2cp)d{2<p) = ~

(Ô)

ksin(2^)]₀²= 0

ist, so wird (108.)

5 = 0.

Aufgabe 10. Man soll die Koordinaten des Schwerpunktes für denjenigen Teil der Kugeloberfläche x² y² z² — a² = 0

berechnen, der durch die ŹTZ-Ebene und den Zylinder x² — ax -f- y² = 0 begrenzt wird und auf der positiven Seite der XY-Ebene liegt. (Yergl. Aufgabe 3 in § 81.)

Auflösung. Hier ist

(109.)

(110.)

a    V ax—x¹

O = aldxl

J J1

o o

dy

y a? — x² — y²

oder bei

Einführung ebener Polarkoordinaten

2 a cos ip

° = aHwh = afd*

Oo    o

nÄCOS (p

— Ya² — r²

also

= a²jd<p{ 1 o

— singe) = a²[cp + cosgp]o

u²

Ferner wird nach Formel Kr. 235 der Tabelle

7h

a    y ax—x¹

xdy

ya² — xP — y²

= ^ Icosfpdcpj 0    o

acos(p

r-dr

y a² — r²

544

§89. Schwerpunkts-Koordinaten. Übungs-Beispiele.

Nun ist nach Formel Nr. 120 der Tabelle

(112.)

acos(p

r²dr

J Y a² — r2 o

LC S

a²

y a- — r- + ₂

arc sin

I a cos(p

’o

a?

— ₀ [— cosgosingo -f- arcsin (cosgo)]

U

LC

— <p — cos (f smgo

folglich ist

71

cm

20

CL⁶

20

cos²gp sin cp^dcp smgr — <ps'm<p — coscp -f- ~cos³gp

⁶ Jo

h CM

COS cp - CpCOSCp-

a³

71

-Y

also

(113.)

■f. i

2 a³

3a²(ji — 2)    3 (,t — 2)

a    V ax—x²

7t

ydy

]/ a² — x² — ?/²

= g Isin cpdppj

a cos cp

r r²dr

J y a² — r2 0

also nach Gleichung (112.)

TT

20

^2 s^n9⁾ — <Psingo — sin²cp cos cp^dcp

71

a³

20

i i²“

cos cp -j- cp cos cp — sin go — - sin³<p :

3

jo

dies gibt

a³

a³

a (3 jr — 8)

6(jt — 2)

also

§ 89. Schwerpunkts- Koordinaten. Übungs - Beispiele.    54t)

Schließlich ist

=    Idxl-

J J1

0 0

a y ax—x²

zdy

a    y ax-x-

Yo? — x² — y²

= °q jdxjdy o o

7t

2 a cos (f

= “öHrdr “ 20

0 0

71

Jcos²cp dcp

TT

a³ fl .    9)]²

(115.) £=20 2 sin^ cos^ “f“ 2    ⁼

*- -*0

Cl'Jt

80 4(jt — 2)

XV. Abschnitt.

Theorie der Euler sehen Integrale¹).

§ 90.

Erklärung der J^Zerschen Integrale erster und zweiter Gattung.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 244 bis 247.)

Die „Betafunktion“, auch „Eulersch.es Integral erster Gattung“ genannt, wird erklärt durch die Gleichung

(1.)

1

Bip, q) = Jxp~\l — xy~xdx ; o

die „Gammafunktion“, auch „Eulersch.es Integral zweiter Gattung“ genannt, wird erklärt durch die Gleichung

oo

(2.)

E(p) = Je~-Xxp~ldx²). o

Da die Funktionen xp~¹(1—x¹ und e~xxp~\ die in den Gleichungen (1.) und (2.) unter dem Integralzeichen stehen, für alle Werte von x zwischen den Integrationsgrenzen positiv sind, so müssen auch B[p₁ q) und r{p) stets positiv sein. Als Veränderliche der Funktion B p, q) treten die Parameter p und q auf, bei der Funktion E(p) ist der Parameter p die Veränderliche. Dabei möge vorausgesetzt werden, daß p und q größer als Null sind; dann soll bewiesen werden, daß die beiden Integrale stets einen endlichen Wert besitzen, daß also beide Funktionen für positive Werte ihrer Veränderlichen endlich und stetig sind.

Das ist ohne weiteres einzusehen, sobald p und q gleich 1 oder größer als 1 sind, da in diesem Falle die Funktionen unter dem Integralzeichen endlich und stetig bleiben. Liegt aber p zwischen 0 und 1, so wird der Faktor

xp~x =

an der unteren Grenze der Integrale, d. h. für x — 0 unendlich. Liegt auch q zwischen 0 und 1, so wird der Faktor

(i — xy-x =

(1 — xf~y

an der oberen Grenze des Integrals, d. h. für x — 1, unendlich. Trotzdem behält B{p, q) einen endlichen Wert, wie sogleich bewiesen werden soll. Zerlegt man nämlich das durch Gleichung (1.) erklärte Integral in die Summe

(3.) B(p, q) — Jxp~\l — x)g~xdx +Jxp~x{ 1 — x)g~xdx, o    «

wo a irgendeine Zahl zwischen 0 und 1 sein möge, so kann man zunächst zeigen, daß das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung endlich bleibt. Zu diesem Zwecke entwickele man (1 — x)g~x nach dem binomischen Lehrsätze. Dadurch erhält man, solange x<l ist, d. h. für das ganze Integrationsgebiet des ersten Integrals

Ł 2³)^⁺¹--¹----

xp~\l — xy~x — xp~x —

• also

Da nach Voraussetzung p positiv ist, so verschwindet dieser Ausdruck für x = 0.

X = 1 — z auszuführen, dann wird

Zum Beweise der Endlichkeit des zweiten Integrals braucht man unter dem Integralzeichen nur die Substitution also 1 — x = z, dx = — dz,

1—a

Die Endlichkeit dieses Integrals folgt aber sogleich durch Wiederholung der vorhin ausgeführten Schlüsse nach Vertauschung von x mit 0 und von p mit q.

Die Funktion B(p, q) erhält also für alle positiven Werte von p und q einen endlichen positiven Wert.

Dasselbe gilt für die Funktion r(p). Liegt p zwischen 0 und 1, so wird die Funktion e~Xxp~¹ unter dem Integralzeichen zwar an der unteren Grenze, d. h. für x — 0, unendlich, aber das Integral behält trotzdem einen endlichen Wert. Entwickelt man nämlich e~x nach steigenden Potenzen von x, so erhält man

e~xxp~¹ = xp~¹ — .j-y + 2 i

xp+1 x#+²

3!

+----

eine Entwicklung, die für alle endlichen Werte von x giltig ist. Daraus folgt

e~x xp~xdx —

Xp

xp+1

p 1 ! {p + 1)    2 ! (p + 2)

Da p nach Voraussetzung positiv ist, so verschwindet dieser Ausdruck für x = 0.

Hier könnte sich eine Schwierigkeit daraus ergeben, daß das Integrationsintervall sich ins Unendliche erstreckt.

Aber man sieht leicht, daß das Integral auch dabei seinen Sinn behält, denn es ist bekanntlich (vergl. D.-R, 12. Auflage, § 69)

xp+1

ex

lim

x=oo

folglich kann man eine Zahl a so bestimmen, daß ex>xp+l wird für x ^ a. Dies gibt

e~x =

ex K xp+1

= x~p~l

also

e~x. xp~x < x~².

Zerlegt man jetzt das Integral in eine Summe zwei Integralen, von denen das eine über das Intervall

von von

0 bis a und das andere über das Intervall von a bis 00 erstreckt wird, setzt man also

OO

X3

fe~a'xp-~xdx = fe~xxp~¹dx + Je~xxp~xdx 0 0«

so bleibt das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung sicher endlich, und für das zweite erhält man

OO

Ie

OO

e~xxp~ldx < fx~²dx =

folglich hat I\p) einen endlichen, positiven Wert, solange p > 0 ist.

Durch geeignete Substitution kann man dem Integral, das die Funktion B(p, q) erklärt, eine Gestalt geben, die zeigt, daß die Betafunktion in bezug auf die beiden Veränderlichen p und q symmetrisch ist. Zu diesem Zwecke

setzt man

(4.) x —

1+*’

also 1 —

dx =

dt

L\2

(1 + *)

dann wird

OO

-k

o

tp~xdt

(1 + t)P + ?

OO

* tp-Ht

(1 4- t)P+9

⁺J<

' tp-'älk

(1 + t)P+«

Setzt man noch

tH ! §

also

dt — —

du

u?

so wird

OO

tp~xdt

(1 4. t)p+9

-H

1

' u9~ldu

(1 -h u¥>+?

-JS

0

(1 Ą-t)P+9 '

9) = /

folglich wird

(6.)

1

\tp~¹ -f t«~l)dt (1 + t)p+v —

Da sich das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung nicht ändert, wenn man p mit q vertauscht, so erhält man

Die durch Gleichung (7.) gegebene Beziehung könnte dazu benutzen, die Untersuchung der Eigenschaften der Betafunktion zu vereinfachen. Es gelingt aber, diese Untersuchung ganz zu vermeiden, denn die folgende Überlegung zeigt, daß sich die Betafunktion in sehr einfacher Weise durch Gammafunktionen ausdrücken läßt. Setzt man nämlich

man

(8.)

x — az, also dx = adz, wobei a > 1 sein möge, so erhält man aus Gleichung (2.)

oo

(9.)

F{p) = aP J'e~azzP-xdz o

oder

a» /'•/> J

o

oo

Q-ciz ZP—ydz.

Vertauscht man in dieser Gleichung a mit 1 -J- x und p mit p + q, so erhält man

OO

(1 +x)P+9 l\p + q)je o

und wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit xP~~ldx multipliziert und dann beide Seiten der Gleichung in bezug auf £C zwischen den Grenzen 0 und X\ integriert,

Xi    X\ oo

xp- ¹ e-^+^zP+v-¹ dz.

h + ^ " r.>, : ./M-

0 0 0

Da die Grenzen des Doppelintegrals auf der rechten Seite dieser Gleichung konstant sind, so darf man die Reihenfolge der Integration umkehren, ohne .daß man die Integrationsgrenzen zu ändern hat. Dadurch erhält man

OO

(11.)

xP~Adx    1 r

(1 + x)p+9 ~ r(p + q)Je

r¹

e—zzp+q-1 dzjxp~x e~~xzdx. o

§ ^1. Darstellung der Gammafunktion durch, unendliche Produkte. 551 Nun ist aber nach Gleichung (5.)

lim /

Xi=00 J I 0

vl

xp~xdx

(1 + X)P+9

OO

=/

0

x?~xdx

(1 + x)p+*

= B(p, q)

und nach Gleichung (9.)

OO

lim fxp~xe~xzdx

Xx—ooJ

o

e—xzXp—\ dx

OO

zp

Je~^xz\xz)p 0

~xd(xz) =

r\p)

zp

folglich geht Gleichung (11.) über in

OO

(12.)

b.(p, q) =

r(p)

V{p + q)

e-zzv-'dz =

r(P)m

f\p + q)

Die ßetefunktion läßt sich also durch Gammaîixnk-tionen darstellen, so daß man sich auf die Untersuchung der Gammafunktion beschränken darf.

§ 91.

Darstellung der Gammafunktion durch unendliche Produkte.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 248.)

Man kann die Gammafunktion, wie Gauß gezeigt hat, auch als unendlicheą Produkt darstellen. Setzt man nämlich

-0- )

oder, wenn man m mit — vertauscht,

so wird

u = ß/1 — nx.

1 nu -

ln(l — nx)

--?

ln(l — nx)

0    ..    — x

jr = lim------

0    w=0 1 — nx

folglich ist, da lim (lnw) = ln (lim u) wird,

lim (lnw) = lim

m—oo

n—0

(1.)

lim u —

m=oo

lim (l — XT= e~x.

m—oo\    1ÏI/

Bildet man daher

/(-£&

0

px~xdx, so muß der Grenz

wert, dem sich dieser Ausdruck für limm = oo nähert,

OO

falls er endlich ist,

gleich Je o

e~xxp~xdx sein, d. h. es wird

oo

(2.)

Js/O-ś)

o

xp~~xdx

-/

0

e~xxp~xdx

und dies ist nach der Erklärung die Funktion F(p).

Nun ist nach Formel Nr. 195 der Tabelle (vergl. Aufgabe 4 in § 64) unter der Voraussetzung, daß m eine positive ganze Zahl ist,

(3.)

m

/(‘-3

0

xp~xdx =

m ! mp

p{p + l){p+ %)...(p+ m)

folglich ist

(4.)

m ! mp

1 },S> ' m^Lp(p + 1) (p + 2)... (p -f- m) ’

oder, wenn man Zähler und Nenner durch m ! dividiert,

(5.) F{p) = lim

mp

eine Darstellung für r(p), vorausgesetzt, daß dieser Ausdruck für jedes positive p bei limm = oo sich einem bestimmten endlichen Werte nähert.

Der Beweis, daß dieses Produkt auch für unendlich große Werte von m einen endlichen Wert besitzt, wird erst in § 93 erbracht werden.

Man kann Gleichung (4.) noch auf eine andere Form bringen, wenn man beachtet, daß

mp

/2 y-V3 y-¹/ m y-~\l) \2A "\m—1/ ’

und

p(P “f l)(i? + 2) • • • (P + m)

= (1 4-p —1)(2 +p —1)(3 + p — 1)... (m +1 +i>—1)

<" + «! 0+-T¹)(¹+-T¹)(¹+^:i)- ' (¹+«+l)

wird: denn dadurch erhält man m ! mp

(6.)

p(p + 1 ){p + 2).. .(p + m)

im. + ¹)(¹+^4p)(

p—¹

Da nun

.......

(i + X’¹

(«+1) (i+p, ')('+X^-) - (¹+^+i)

n=m—1

n—1

n—M—1

ist, wo das Produktzeichen II bedeutet, daß die Faktoren

o+r¹

n= 1

1 bis n — m — 1 zu

— für alle Werte von n =

i+t

n

bilden und miteinander zu multiplizieren sind, so folgt aus den Gleichungen (4.) und (6.)

r<P) = lim--,——p_iN

»•=“ (m+i)(i +1 )(i+L)

. lim

m=oo

n=m—1

Z7

n—1

i+t¹

n

oder, da

lim -

r— = 1

«=oo

ist

§ 92.

Eigenschaften der Gammafunktion.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 249 bis 253.)

Aus der Erklärung der Grammafunktion durch das bestimmte Integral gelingt es, eine Reihe wichtiger Eigenschaften herzuleiten, die insbesondere für eine tabellenmäßige Berechnung der zu den einzelnen Werten der Veränderlichen p gehörigen Funktionswerte wesentliche Vereinfachungen herbeiführen.

Setzt man

erx₁

(7.)

r(p)= n

//    ly»—¹)

\l+n)-

n= 1

i+p

immer unter der Voraussetzung, daß dieses unendliche Produkt einen bestimmten, endlichen Wert hat.

u — xp~l, dv = e~xdx, also du = (p —1 )xp~²dx₁ v = so erhält man durch partielle Integration

OO

fe~xxp~ldx = [— o

oo

e~xxp~x

]°° + (p — 1 )ferxxp~²dx. ⁰    o

Dies gibt, wenn p > 1, also p — 1 > 0 ist,

OO

OO

(1-)

oder

Je~xxp—Xdx = (p — l)Je~xxp~²dx 0 0

(la.)

r(p) = (p

l)F(p-l).

Durch wiederholte Anwendung dieser Formel erhält man unter der Voraussetzung, daß n eine positive ganze Zahl ist, die kleiner bleibt als p,

r(p) = {p — 1 )(p — 2)... (p — n) r{p — n).

(2.)

Da

OO

(3.)

r(l) =Je~xdx = [— e~x]°° = 1 o

ist, so folgt für den Fall, wo p eine positive ganze Zahl ist, daß

(6.)

ra-p)

sin (px)l\p)

Kennt man also die Werte von F(p) für alle Werte von p, die zwischen 0 und 4 hegen, so kennt man sie auch für die Werte von p, die zwischen ^ und 1 liegen.

Nach Gleichung (1 a.) ist, wenn man p mit 1 Ą- P vertauscht, r{l+p) = pF\p), folglich geht Gleichung (6.) über in

r(i-\-p)r(i—p) =

px

sin(p^)

Für p = folgt aus Gleichung (5.)

(7.)

(4.)

l\p) = (p — l)(p — 2)... 3.2.1 = (p — 1) ! ist. Die Gammafunktion darf deshalb als eine Verallgemeinerung der Fakultät in dem Sinne betrachtet werden, daß de auch noch für positive Werte der Veränderlichen p erklärt ist, die von einer ganzen Zahl verschieden sind.

Für die Berechnung von F(p) folgt ans Gleichung (2.), daß es genügt, r(p) nur für diejenigen Werte von p zu ermitteln, welche zwischen 0 und 1 liegen, denn hat man die Werte von r(p) für diese Werte von p gefunden, so ergeben sich aus Gleichung (2.) ohne weiteres auch alle übrigen Werte.

Aber dieses Intervall 0 < p ^ 1 reduziert sich sofort noch weiter; denn liegt p zwischen 0 und 1, so folgt aus der Gleichung

B(p, q) =

F(p) I\q)

oo

Fp + q)

-J

o

xp—ydx

(1 -j- x)p+?

wenn man q = 1 —p setzt und die Formel Nr. 196 der Tabelle beachtet,

OO

(5.) B(p, 1 —p) = I\p)Ąl-p)=J

0

xp~ydx

1 -j- X

JC

sin(^jr)

also

F(-|)/ (|) = jt, also F(-|) == f/x, und zwar ist die Wurzel mit positivem Zeichen zu nehmen, weil r(p), wie früher gezeigt wurde, nur positive Werte besitzt, solange p > 0 ist.

§ 92. Eigenschaften der Gammafunktion. Setzt man in der Gleichung

556

OO

die Veränderliche

r(i) =.fr*-

0

dx

= y 7t

x = t², also yx — t, dx = 2tdt,

so erhält man

OO

eine Gleichung, die mit Formel Nr. 215 der Tabelle übereinstimmt.

Aus der Gleichung

B(p, q) =

r(p)T(q)

r{p + q)

— xp~~xdx

folgt, wenn man p = q setzt,

(B.)

B(p, p) =

r(p)rp)

r(2p)

=ßx

o

— Xr)P—xdx

1

- 22/Lß — (1 — 2xf]p~xdx.

0

Auf dieses Integral wende man die Substitution

1 — 2 x — + y z, also — 2 dx = d——

~2 yz

an, wobei offenbar das obere Zeichen gewählt werden muß, wenn x zwischen 0 und ^ liegt, das untere dagegen, wenn x zwischen und 1 liegt. Daraus folgt

(9.) B{p, p)

~(l — 2x)²]p~¹

+ 22p-2'ß —^ — 2x'f]p xdx

(1—z)p—xdz 1

’(1—zy—xdz

Uf

0

²(1—z)p~xdz —

i\p)Hp) i r(\)r(p) f(2p)    22p~l I\p + {)

oder

(10.)

also mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

(ii.)

r{p)r{p +1)

yji

2 2p~¹

n 2p).

§ 93.

¹

Der Anfänger darf diesen Abschnitt übergehen.

²

Gauß bezeichnet die Funktion -T(l -f- x) mit TI{x).

³

0 A fxP-\\—xy-xdx=—J'(\—zy-x zg~xdz = )zg-\ 1—z)p~xdz.

Berechnung von Inrtp).

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 254 bis 256.)

Zur Berechnung von r(p) für 0 < p < 1 verwende man den Grenzwert des Ausdrucks der Formel Nr. 248 der Tabelle, nämlich die Formel

mp

(1.)

r(p) = lim

m—

Um diesen Ausdruck auf eine Form zu bringen, die für die Berechnung bequem ist, betrachte man das Produkt

(2.)

F{p) =

mp

worin m eine bestimmte, endliche Zahl ist. Bildet man

(3.) ln.F(p) — p lnm — Inj» — ln A. -f-    — ln ^1 +

so kann man ln

(i+n

\ m/

(y+p)

\ m/

----ln

••ln

mit

Hilfe der Formel

ln(l -f- x) =

« tH

x-

+----

(vergl. D.- R., 12. Auflage, Formel Nr. 102 der Tabelle) in Reihen entwickeln, die unbedingt konvergent sind, da 0 < p < 1 ist. Dies gibt

p² p³ jö⁴

(4.) ln.F(_p)

1    ~ ~3 + _4

p²

jr

p⁴

2.2²    3.2³    4.2⁴

p²

pS

JO⁴

2.3²    3.3³

4 3⁴

JO²

3 .m³

jö⁴

4 .m⁴

Setzt

hierbei

&(*> =

(5.)

s₂{m) — p + 02 + M2 4-----h

SM¹')

S h-*-

ec

so geht Gleichung (4.) über in

2 8

(6.) \nF(p)=p\nm—lnp — pSSm) -f- ^SS'^—^.SS”» -]---

2    3

und zwar ist diese Reihe für endliche Werte von m konvergent als Summe von m unbedingt konvergenten Reihen. Wächst jetzt m ins Unbegrenzte, so werden die Koeffizienten SS”» auf der rechten Seite von Gleichung (6.) selbst unendliche Reihen. Von diesen sind nun bekanntlich die Reihen

S₂ = lim SM» =

m—oo

l²

+ ^ + 32+--

(7.)

Ss — lim SJ”¹) =

m=oo

tH |§j

/S4 = lim S4M) —

m~ 00

-1- -f- ¹ -J----.

I⁴ “ 2⁴ ~ 3⁴ ~

konvergent, d. h. die Grenzwerte $2, £3, $4',... der Koeffizienten S^m\ SJ-™), SSm\... auf der rechten Seite von Gleichung (6.) sind bestimmte, endliche Größen. Die Werte

Über die Abnahme der Summen 82, 83, 84,... mit wachsendem Index gibt die folgende Überlegung Aufschluß. Es ist

2«+i

also

Sn+i — 1 < 2.2«    273* ‘ 2.4W

Dies gibt

(9.)

«+i

und man erkennt, wie sich auch schon aus der in den Gleichungen (8.) aufgeführten Tabelle eigibt, daß die Koeffizienten Sn mit wachsendem n abnehmen und sich schnell dem Grenzwerte 1 nähern.

Eine Schwierigkeit bringt der Koeffizient    beim

Grenzübergange mit sich, denn die harmonische Reihe

H ! tH

LO h-¹

der Summen 82, 83,... 835 hat Legendre auf 16 Dezimalstellen ausgerechnet, und zwar ist

= 1,202 057,

= 1,017 343,

89 = 1,002 008,

812 = 1,000 246,

(8.)

84 = 1,082 323, 87 = 1,008 349, Sl0 = 1,000 995, Sia = 1,000 123,

S₂ = 1,644 934,

85 = 1,036 928,

Ss = 1,004 077,

Sn = 1,000 494,

Sh = 1,000 06125, Sl5 = 1,00003059, 8₁₆ = 1,00001528.

8i = lim &&»> =

m—00

ist bekanntlich divergent; man kann aber nachweisen, daß 81^) — lnm einen endlichen Wert behält, wenn m ins Unbegrenzte wächst, so daß man durch Zusammenfassen des ersten und dritten Gliedes auf der rechten Seite von Gleichung (K) zu p{\nm — 8fi*h) an der Grenze einen -endlichen Wert erhält. Zum Beweise beachte man, daß nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 105 der Tabelle

ln(a +1) — Ina —

3a³    4a4 +

ist; dies gibt, wenn man m — 1, m setzt,

2a²

der Reihe nach a = 1, 2, 3,...

S₄{m) H-----

ln (m + 1) -    — I S₂(m) + l s₃W

Ł    o

folglich wird

(10.) ln(m+l) = i-^

u

oder

rH CO

ln3 — ln 2 =

CO

rH CO

ln4 — ln3 =

lnm — ln(w— 1) =----

In(m-f-l)—lnm = -- -

2.2²

m—1    2 (m—l)² 3 (m—l)s 4(m—l)⁴

i-----7

L _j_ _

2 m² °

+----.

3 nt?    4w?⁴

Durch Addition dieser Gleichungen findet man für endliche Werte von m

rH i—l

ln 2 =

- 4. i

2^3

S₃(m) + * S₄(m> —

(10a.) &<">—ln m = Inf—— ^ -h~S₂(m>-—~S^ \_____

\ m /    2    3    4

Nun ist aber

lim In(~ür ")= lim ln(¹⁺è)=0,

$2 ß -f- ^ 84 -t—-

so daß man erhält

(11.) lim    — ln ni\ =

m— 00

i-l CM

Diese alternierende Reihe ist konvergent, weil der absolute Betrag der Glieder immer kleiner und schließlich

Sn

nähert sich der Zähler n

mit wachsendem n sehr schnell dem Werte 1, während der Nenner über alle Grenzen wächst. Deshalb hat die Summe

unendlich klein wird, denn in

einen bestimmten, endlichen Wert, den man mit 7 bezeichnet und die Euler sehe Konstante nennt.

Die Berechnung von

rH CO

(11a.)

S₃ + jS₄

kann man noch vereinfachen, wenn man beachtet, daß ist. Dadurch geht Gleichung (11a.) über in

(11 b.) r = 1—ln 2 + 2 (& — 1) - g (Si -1) ■+1 (Sr-1)—+ • ■ ■ ;

diese Reihe ist sogar unbedingt konvergent, weil der absolute Betrag eines jeden Gliedes kleiner ist als die Hälfte vom absoluten Betrage des vorhergehenden Gliedes. Daraus ergibt sich dann

(12.)

to

to l-¹

/ = 0,577 215 664 9.

Nach Einführung dieser Euler sehen Konstanten y findet man aus Gleichung (6.)

(13.) lim InF(p) = ln r(p)

m—oo

f.

= —pr—lnp 4- 2 #2

Dies ist eine alternierende Reihe, die für 0 < p < 1 konvergiert, weil der absolute Betrag der einzelnen Glieder immer kleiner und schließlich unendlich klein wird. Der Quotient zweier aufeinander folgenden Glieder ist nämlich, vom Vorzeichen abgesehen,

np $nĄ-\

n —(— 1

p <C -j- 1.

np

n -fl

Kennt man die AVerte von ln/^(p), so findet man daraus auch die Werte von F(p), und zwar zunächst für 0 <J9 < 1, dann aber auch mit Hilfe der Eormel

R(i +p)= pr{p)

für alle positiven Werte von p. Dies gibt z. B.

r(i,o) =    1,0000,    r(i,i)    =    0,9514,    r(i,2)    =    0,9182,

7X1,3) =    0,8975,    7X1,4)    -    0,8873,    7X1,5)    =    0,8862,

r(l,6) =    0,8935,    7X1,7)    =    0,9086,    7X1,8)    =    0,9314,

B(l,9) =    0,9618,    7X2,0)    =    1,000¹).

36

Auch die Reihenentwickelung in Gleichung (13.) kann man durch eine noch stärker konvergierende ersetzen. Bekanntlich ist für — 1 < p < + 1

ln(l +p) =

p² pä jö⁴

2 ⁺ 3 ~ 4 folglich wird

(14.) lnT(p) — — ln(l + _p) + p(l — /).— lnp +P^{S₂— 1)

1)--J----.

Aus der Gleichung

r(l Ą-p) — pT(p), oder lnjT(l -f- p) = lnp -f- ln.T(p) folgt dann

(15.) lnffl -\-p)=p(l — y) — ln(l+p)+^-(S₂ — 1)

- '(S₈-1)+^(S₄-1)-

Da die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung unbedingt konvergent ist, so bleibt sie auch noch konvergent, wenn man p mit —p vertauscht, d. h. wenn man annimmt, daß

— 1 < p < 0, oder 0 < 1 -j- p < 1 ist. Es läßt sich zeigen, daß Gleichung (15.) auch in diesem Falle noch richtig bleibt. Doch soll der strenge Beweis übergangen werden. Durch diese Vertauschung erhält man

(16.) lnr(l -p) = -p( 1 - y) - ln (1 - p) +? (S₂ - 1)

+ |A-1)+^V₄-und wenn man die Gleichung (16.) von der Gleichung (15.) abzieht,

(17.) lnr(l + p) - ln r(l-p) = 2p(1 - 7) - ln (t±|)

(8t—1)---

-²fA-l)-

Außerdem ist nach Formel Nr. 251a der Tabelle

08.)

r(i+p)r(i-p)= p*

sin(njr)

also

.    (190

lnr(l+J,) + lnAl-i>) = ln(s^)

folglich erhält man, indem man die Gleichungen (17.) und (19.) addiert und die Summe durch 2 dividiert,

m)

(20.) lnr(l+₁,)=^(l-r)-M)n(₃^)

-j*(S3 — 1) — t?(Sb-1)---

wobei nach Ungleichung (9.) jedes Glied der unendlichen Reihe dem absoluten Betrage nach mindestens 4mal kleiner ist als das vorhergehende Glied.

§ 94.

Einige besondere Werte der Gammafunktion und ihre Anwendung auf die Berechnung von bestimmten Integralen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 257 bis 264.)

Nach den Formeln Nr. 249 und 252 der Tabelle ist F(1 + P)=Pr(P) und m = V*

folglich wird

dO /’(!)= ys, r('§)= Vi

t-h

CO

3.5

V*,'—

lich aus

Ferner folgt aus Formel Nr. 251a der Tabelle, näm

r*(i + iOCi —p) = p*

sin {px)

(2.)

r(i + i)r(i - i) = 4-^-

4sin

oder nach Formel Nr. 249 der Tabelle

mm) = *V2.

(2 a.)

3= 7

564

(3.)

§ 94. Einige besondere Werte der Gaminafunktion. Für p = | erhält man

Ai + i)Ai-i) =

jt

2jt

3 sin

3]/3

oder

(3 a.)

2 jt

Vs

Setzt man

x = sin²£, also 1 — x — cosH. dx — ^sxntcostdt

so wird

(4.)

B(p, q) = fxp—\ 1 — x'f~~ldx o

£ CM

r(p)r(q)

F(p + g)

Tabelle

Dies gibt für p = q — ^ nach Formel Nr. 252 der

B(i-, 4) = «(*, i) =

oder

zjsmtYsintdt = 2ßiostY costdt =

0 0

mi) ’

oder mit Rücksicht auf Gleichung (2a.)

(6.)

jsint Ysintdt =JcostY costdt — 0 0

ni?V*

6Ał)Oi) 61>2*

r T( >-)².

Für p = q — also 2p — 1 = 2g — 1 = — i wird mit Rücksicht auf Gleichung (3 a.)

NI «

(7.)

f dt _ rw ₌ _

J Y sin £ cos t    2 A§ )

o

Setzt man

21 — g>, also 2sinifcos£ = sin(2£) = sing)

2 Ał) At)    4.7T

Ai)³-

so wird

(8.)

71

fy/sing    2jry/2

Setzt man g = Jt — g, so wird

dg

Vä

= f d(f) +[

J y/sing J y

o

dg

to, a

dg

Jy/ sin g

7Ï

0

/' dg    Ç dg

J y/sing    J ■i

LO, St

J y sin g

o

folglich ist

2~

(9.)

Si,

ys

J-£/sing    4jrj//2

o

jw.

Jetzt sei

sin²<p = 2³, also cos²<jp = 1 — zs, sin 9: = z*,

3 V zdz

2 yj — z³ 5

ysing = ]/z, oosgdg = zdz, dg = dann wird

* Lo a

dg

J Y sin g

0

-*/

0

dz

yi

deshalb findet man für das elliptische Integral

R <m

(10.)

₌ 2 LĄt= - ~

V y sin<jp    2jt y2 }/3

Für p — !, q = I geht Gleichung (4.) über in

I dz

h

0

AI)³.

sintcostdt =*=

F(f)² _ 3r(|)²_ 3 F(f):!

nt) ' nt)    nt) nt)

oder mit Rücksicht auf Gleichung (3 a.)

(ll.)

T

/y :sin£ cosif^ —

co

4-

AI)³-

Setzt man wieder 2it = çp und sin²(p = z³, so erhält man in ähnlicher Weise wie vorhin

71

J^/sinpdcp = 2 ftsin cp dcp

0 0

oc

m?

=³/

0

zdz

V1 — S³

also

(12.)

JVl — z³

0

= |ft sin cp dcp = o

Vb

Jty/4:

nt?.

Für p — h q — \ wird 2p — 1 = — 2q — 1 = 0 und Gleichung (4.) geht mit Rücksicht auf Gleichung (2 a.) über in

71

'^fvL-fvZ,

0 0

Jetzt sei cos£ = z²,

IW* rjjfVxr __ äT(i)' Wi)IW -n :>T

Ui)².

also sin²! = 1 — s⁴, sin! — i⁷! — s4 2z dz

— sinitdt = 2zdz, dt = —

dies gibt

]/l — s⁴

TT

r dt

JÏ

Ycost

0

folglich wird

2/-JU = + J *

/Kl-*⁴    h

l    0

Vl-z*¹

(14.)

Ci-

£ !<M

]/l—z⁴

⁻Ti

dt ,

__m\2 _

|/cos# 4]/2jt    4/

XVI. Abschnitt.

Integration der Differentiale der Funktionen von mehreren Veränderlichen.

§ 95.

Vollständige Differentiale der Funktionen von zwei Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabel le Nr. 265.)

Ist

(1.)

U = f(x, y)

eine Funktion von zwei voneinander unabhängigen Veränderlichen, die nebst ihren ersten partiellen Ableitungen nach x und y für die betrachteten Werte von x und y stetig ist, so wird nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 229 der Tabelle das vollständige oder totale Differential von u

(2.)

du —

du

dx

dx -j“

du

dy

dy

wobei nach Voraussetzung

(3.)

du

öx - F(X’ V)

du

dy

noch stetige Funktionen von x und y sind, so daß Gleichung (2.) übergeht in

(2 a.)

du = F(x, y)dx + G(x, y)dy.

Während in dem Vorstehenden die Gleichung (2 a.) aus Gleichung (1.) abgeleitet ist, so könnte man sich umgekehrt auch die Aufgabe stellen: „Man soll u als Funktion der beiden Veränderlichen x und y bestimmen, wenn du durch die Gleichung (2a.) gegeben ist, oder, was auf dasselbe

du

durch die Gleichungen (8.)

und

hinauskommt, wenn

gegeben sind.“

Dabei erkennt man aber sogleich, daß die Funktionen F(x, y) und G(x, y) nicht willkürlich gegeben sein dürfen; es müssen vielmehr F und G einer gewissen Bedingung genügen, damit sie die partiellen. Ableitungen ein und derselben Funktion u — f(x, y) sind. Wenn für u = f(x, y) die bereits aufgestellten Voraussetzungen gelten, und wenn

dx

dy

'S)

/du\ \dy)

für die betrachteten

und

außerdem auch

Werte von x und y stetig sind, so ergibt sich diese Bedingung aus der Überlegung, daß nach D.-R (12. Auflage), Formel Nr. 235 der Tabelle

dy

dx

(4.)    .

dy

dx

wird, daß also mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.) dF(x, y) dG(x,y)

dy

dx

sein muß. Diese Bedingung ist notwendig, wenn du = F(x} y)dx -f- G(x, y)dy

ein vollständiges Differential sein soll ; sie ist aber auch, wie sogleich gezeigt werden soll, hinreichend dafür, daß es eine Funktion

(5.)

(6.)

u = f{x, y)

gibt, deren vollständiges Differential mit Fdx -f- Gdy überein stimmt.

Beweis. Wie die Gleichung

= Fix, y)

aus Gleichung (6.) hervorgeht, indem man y als eine Konstante betrachtet und die Funktion u nach x differentiiert, so wird man es versuchen, aus Gleichung (7.) dadurch Gleichung (6.) herzuleiten, daß man y wieder als konstant ansieht und die Funktion F(x, y) in bezug auf x integriert. Deshalb bilde man zunächst die Funktion

(7.)

du

dx

X

(8.)

P(%, y) =/F(x, y)dx,

wobei die untere Grenze a eine ganz beliebige, von dem Parameter y unabhängige Konstante ist. Aus Gleichung (8.) folgt dann nach Formel Nr. 187 und 188 der Tabelle mit Rücksicht auf Gleichung (4a.)

(9.)

dP(x, y) dx

(10.)

dP{x, y)

~dF(x, y)

öy

dy

dx

dG{x, y)

dx

dx

= y)T = G(x, y) — G(a, y)

a

folglich ist

(11.)    dP[x, y) = F(x, y)dx + [G{x, y) — G(a, y)]dy.

Setzt man jetzt

(12.)

fGia, y)dy = Q(a, y)

b

wobei die untere Grenze b noch beliebig ist, so wird

(13.)

dQ{a, y)

dy = G(a, y)dy.

dQ(a, y) =

Deshalb wird

d[P{x, y) + Q(a, y)\ = F(x, y)dx + G(x, y)dy, d. h. die gesuchte Funktion ist

(14.)

dy

x    y

(15.)

u = P(x, y) + Q(a, y) =/F{x, y)dx+J'G(a, y)dy,

a    b

und zwar ist die gewählte Funktion u so bestimmt, daß sie in dem willkürlich gewählten Punkte x = a, y = b verschwindet. Man erhält aber sogleich die allgemeinste Lösung der Aufgabe, wenn man noch eine willkürliche Konstante C hinzufügt, denn es gilt der

Satz. Jede andere Funktion U, für welche ebenfalls die Gleichung

dU = F(x, y)dx + G(x, y)dy

besteht, kann sich von u nur durch eine Konstante unterscheiden.

Beweis. Nach Voraussetzung ist = F(x, y) und

du

dx - F{X’ v)

570 §96. Integration vollständiger Differentiale. Übungs-Beispiele.

folglich können sich U und u nach Satz 2 auf Seite 3 nur durch einen Ausdruck voneinander unterscheiden, der von x unabhängig ist. Das könnte in diesem Falle noch eine Funktion (p(y) von y allein sein. Danach wäre also Z7 = u + v(y).

Nun ist aber nach Voraussetzung dU du

dy dy

+ V\y) = G{x, y) und

du

dy

folglich muß <p'(y) gleich Null und <p(y) selbst eine Konstante sein. Die allgemeinste Lösung hat daher die Form . (15 a.)

u = P(x, y) + Q{a, y) + C.

Daraus ergibt sich auch, daß sich das Endresultat nur um eine Konstante ändern kann, wenn man in Gleichung (15.) die willkürlich gewählten Integrationsgrenzen a und b durch andere, a\. und &i, ersetzt, oder mit anderen Worten, daß in dem Endresultat die Ausdrücke, welche noch a und b enthalten, mit der Intégrations - Konstanten C vereinigt werden können. Man kann deshalb die konstanten Glieder,

v

welche man aus jG(a, y)dy durch Einsetzen der unteren

b

Grenze erhält, fortlassen, weil sie in der Integrations-Kon- , stanten enthalten sind. Die Glieder, welche noch a enthalten, lassen sich so zusammenfassen, daß sie ebenfalls mit der Integrations-Konstanten vereinigt werden können.

In ähnlicher Weise, wie die Gleichungen (15.) und (15a.) hergeleitet worden sind, findet man auch die Lösung

(16.)

y    f

u =J'G(x, y)dy +jF(x, l)dx + C,

b    a

welche sich nach dem eben bewiesenen Satze von der in Gleichung (15.) gegebenen Lösung nur durch den Wert der Konstanten C unterscheiden kann.

§ 96.

Übungs - Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll u als Funktion von x und y bestimmen, wenn

(1.)

du = (3x² -}- 8xy)dx + (4a:² + %y²)dy

Auflösung. Um zunächst zu untersuchen, ob die rechte Seite von Gleichung (1.) ein vollständiges Differential ist, .bilde man

(2.)

dF(x, y)    d{3x² -f- 8xy)

dy

dy

= 8x

(3.)

dG(x, y) d(4x² -j- 3y²)

öx

dx

= 8a;.

(4.)

Aus den Gleichungen (2.) und (3.) folgt, daß dF{x, y) _ dGfx, y)

dy

dx

ist, daß also in diesem Falle Fdx -{- Gdy ein vollständiges Differential ist. Man darf deshalb ohne weiteres das in § 95 angegebene Intégrations-Verfahren anwenden und erhält

X    X

(5.)

jF(x, y)dx =J'(3x² + 8xy)dx — [F -f- 4x²y\

= x³ -f- 4x²y — ad — 4a²y,

(6.) J'G(a, y)dy =7(4a² + 3y²)dy = 4a²y + ÿ‘

b    b

— 4 a²b — l/\

also

(7.) u = x⁶ 4x²y — cd — 4a²y -f- 4a²y + 7* — 4a²ö — 6³, wo sich in der Tat alle, die unteren Grenzen a und b enthaltenden Glieder — cd — 4a²b — b³ mit der Integrations-Konstanten C vereinigen lassen. Die allgemeine Lösung lautet daher:

x⁶ -f- 4x²y -f- y³ + C.

Aufgabe 2. Man soll u als Funktion von x und y bestimmen, wenn

(9.) du = (20a;³ — 21 x²y + 2 y)dx + (— 7a;³ + 2a; + 3 )dy gegeben ist.

Auflösung. Man kann zunächst durch Bildung von

(8.)

dF

dy

und

dG

zeigen, daß dF dG

= — 21a;² + ‘2

wird, und daß deshalb die rechte Seite in Gleichung (9.) ein vollständiges Differential ist. Dann erhält man

(10.)

• dy dx

(11.) J'F(x, y)dx — JfZtOx?—21 xly-{-2y)dx=\bx⁴—7x:⁶y-{-2xy\

= 5x⁴ — 7 x’y -j- 2 xy—5a⁴ -f- 7 dày —~2ay,    <

y    y

(12.) jG(a, y)dy = /(-—7«³-j-2a+3)%= —7aAy-f 2a;y-f- 3«/ -{- C,

wobei die von der unteren Grenze b herrührenden konstanten Glieder mit der Integrations-Konstanten C vereinigt sind. Deshalb wird zunächst

(13.)

u = 5a;⁴ — 7xAy -f- 2xy — 5a⁴ -j- 3y 4- C,

oder, wenn man

(14.)

setzt.

5 a⁴+ C = Ci

u = 5a;⁴ — 7x’y -f- 2xy + Sy -f- C\.

Aufgabe 3. Man soll u als Funktion von x und y bestimmen, wenn

(16.) du = (2Ax -j- By + C)dx 4- (Bx -f- 2Dy 4- E)dy gegeben ist.

Auflösung. Hier ist = B

(15.)

ÖF

ÖF dG

Cb

— B, also

folglich ist die rechte Seite von Gleichung (16.) ein vollständiges Differential; man erhält daher

0L7.)

dy

dx

dy

dx

(18.) JF[x, y)dx = JßAx -\-By 4- C)dx — \Ax² -\-Bxy -\-Cx]

• (19.)

= Ax² -\-Bxy-\- Cx—Aa²—Bay—Ca, jG(a, y)dy =J'{Ba + 2Dy -f- E)dy

b    b

— Fay 4- Dy- + Fy 4- Ci.

Dies gibt

(20.) u = Ax² 4~ Bxy 4- Cx — Aa² -f- Dy² 4- Ey 4- Ci

(21.)

oder, wenn man —Aa² 4- Ci mit Cg bezeichnet, u — Ax² Bxy 4- Dy² -f Cx 4- Ey 4- C₂.

Aufgabe 4. Man soll u als Funktion von x und y bestimmen, wenn

xdy — ydx x² 4- y²

(22.)

du =

Auflösung. Die Gleichung (22.) kann man auch in

der Form

xdy

x² -f- y²    x² + y²

schreiben, aus der man leichter erkennt, daß

(22 a.)

du —

ydx

(23.)

F= —

,2

ist. Daraus folgt dF(x, y) _

(24.)

y² — x²

dG{x, y)

y- — x²

öy

(x² + y²):

dx

(x² + y²f

Da diese beiden Ausdrücke einander gleich sind, so ist die rechte Seite von Gleichung (22 a.) ein vollständiges Differential ; man erhält daher nach Formel Nr. 28 der Tabelle

(25.) JF(x, y)dx = — yj-, ■— -,

- - htg(i)i

= - arctgQ + arctgQ. _

dx

(26.)

/#(«, y)dy = al

b    b

dy

à² + y

= arc tg    + C.

. Dies gibt

(27.) u

= — arctgÇ) + arctg Q) + arctê'(“) +

Die Summe der beiden mittleren Glieder ist aber konstant, denn setzt man

so wird

arctg(~) = a

also

= tg«,

Sn «

tg« = ct«ß = tg( _K)

(28.)

ar°tg(|)=|-« =

arct«C)

oder

574 §96. Integration vollständiger Differentiale; Übungs-Beispiele.

(29.)

Bezeichnet man also ~ -f- C mit Ci, so erhält man u = Ci — arc

*©•

Aufgabe 5. Man soll u als Funktion von x und y bestimmen, wenn

(30.)

du

-c-

«.*>+(—

{x — yf

gegeben ist.

Auflösung. Hier ist

dF{x, y)    dG(x, y)

öy

(31.)

dx

2 xy

(x — yf

folglich ist die rechte Seite von Gleichung (30.) ein vollständiges Differential; man erhält daher

(y—y)

(32.) jF(x, y)dx =

dx — 1 n x —{--——

V    x — n

& -‘a

Ina —

y²

•Y    y

(33.) J G (a, y)dy = f(~L

à    b

(a — yf

-)% = —— y/ a —

Dies gibt (34.) u = ln x -f-

y²

,+ a

⁼‘'n(f) ⁺ ff^~^a + «' + y+ot

--Ina +

oder, wenn.man — Ina + „ 4. C mit <7, bezeichnet und

- + ÿ = _*y

einsetzt

x — y    x

(35.)

w = ln (-) + _ \y/ x

xy

"y+C,

Aufgabe 6. Man soll u als Funktion von x und bestimmen, wenn

gegeben ist.

Auflösung. Hier ist

(37.)

§96. Integration vollständiger Differentiale; Übungs-Beispiele. 575

+y—°)dx +(

(36.) du = ^

2 y³

2 xy²

- + x—2y-i^dy

dF(x, y) dG(x, y) Gx⁴y² + 2y6 öy    dx    (x⁴ — y⁴f

folglich, ist die rechte Seite der Gleichung (36.) ein vollständiges Differential; man erhält daher

(38.) jF(x, y)dx =j(

2r

-yi+y-b)

dx

¹

Eine ausführlichere Tabelle findet man in den schon mehrfach erwähnten Funktionen tafeln von Jahnke und Emde.

Kiepert, Integral - Rech rinnt;.

-/té

(39.)

y    y

jWfr y)dv -/(■

6    b

y

Jw

b

+ ■f^ppy+n-t-'v+o

- linG^)+mctK0+ay-^7y+G-

Beachtet man, daß nach Gleichung (28a.)

arctg(D+arctgQ⁼s

ist, und bezeichnet man die Summe der konstanten Glieder mit Ci, so erhält man

(40.) u —

Mï+f)~arctgC)+x2/

— 5x

l ln(ï+f) + arCtg(y) ~ ay + 5®

+î ln G+f )+arotgö) + * ■- #* ■-⁷v + ⁰

§ 97.

Vollständige Differentiale der Funktionen von drei Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 266.)

Ist

(1.)

u = /*(*> y, *)

eine Funktion von drei voneinander unabhängigen Veränderlichen, die für die betrachteten Werte von x, y, z nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig ist, so wird nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 231 der Tabelle

(2.)

du =

du

dx

dx -J-

du

du

dy

dy + dz dz

wobei nach Voraussetzung

(3.)

du

dx = y'

du

du

= G{x,y,z),    = H(x, y, z)

stetige Funktionen von x, y, 0 sind. Dadurch geht Grlei-chung (2.) über in

dy

(2 a.)

du = Fdx -f- Gdy -f- Hdz,

wenn man der Kürze wegen F, G, H statt F(x, y, 0), G(x, y, 0), H{x, y, 0) schreibt.

Während in dem Vorstehenden die Gleichung (2a.) aus Gleichung (1.) abgeleitet ist, so könnte man sich umgekehrt auch die Aufgabe stellen: „Man soll u als Funktion der drei Veränderlichen x, ?/, 0 bestimmen, wenn du durch die Gleichung (2a.) gegeben ist, oder, was auf dasselbe hinaus-du du du dx' dy¹ dz

kommt, wenn

geben sind.“

Dabei erkennt man

durch die Gleichungen (3.) ge-

aber wieder sogleich, daß die drei lunktionen F, G, H nicht willkürlich gegeben sein dürfen; sie müssen vielmehr gewissen Bedingungen genügen, damit sie die partiellen Ableitungen ein und derselben Funktion u = f{x, y, 0) sind. Wenn F, G, H selbst, und wenn außer-

ÖF dF dG dG dH dH dy ’ dz ’ dx '    ’

dem auch die Funktionen

dz dx dy

für die betrachteten Werte der Veränderlichen stetig sind, so ergeben sich diese Bedingungen aus der Überlegung, daß nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 235 der Tabelle

(4.)

■>(£) <) <i) <£) <!) <3

dy

wird, daß also mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.)

dy

dx

dz

dx

(4 a.)

dF _ dGr dF _ dH da dH

dy dx ’dz dx ’ dz

dy

sein muß. Diese Bedingungen sind notwendig, damit die rechte Seite von Gleichung (2 a.) ein vollständiges Differential ist; sie sind aber auch, wie sogleich gezeigt werden soll, hinreichend dafür, daß es eine Funktion

(5.)

w = /fo V, z)

gibt, deren vollständiges Differential mit Fdx -f- Gdy -f- Hdz

übereinstimmt.

Beweis. Wie die Gleichung

(6.)

du

dx

= F{x, y, z)

aus Gleichung (5.) hervorgeht, indem man y und z als Konstante betrachtet und die Funktion u nach x diffe-rentiiert, so wird man es versuchen, aus Gleichung (6.) Gleichung (5.) dadurch herzuleiten, daß man y und z wieder als konstant ansieht und die Funktion F(x, y, z) in bezug auf x integriert. Deshalb bilde man zunächst die Funktion

(7.)

P(x, y, z) =J‘F(x, y, z)dx,

wobei die untere Grenze a eine ganz beliebige, von den Parametern y und z unabhängige Konstante ist. Aus Gleichung (7.) folgt dann nach den Formeln Nr. 187 und 188 der Tabelle und mit Rücksicht auf die Gleichungen (4 a.)

(8.)

= nx, y, 4

37

Kiepert, Integral - Rechnung

= [H(a, y, z)fö = #(a, ?/, 0) — #(a, ö, 0).

Dies gibt

(15.) dQ(a, y, z) = G(a, y, z)dy + [H{a, y, z) — H(a, b, z)]dz. Schließlich sei

(16.)

(9.)

dP{x, y, z)

'dF(x, y, z)

öy

dy

dx

'dG(x, y, z)

J dx

dx

dPfa y, z)

(la> —Si

= [Qfr, y, z)Ta = G(xi y, z) — &{a, y, *),

'mx’ *dx

'dF(x, y, z) dx

J dx

folglich ist

= [H(x, y, zfa = H(x, y, z) — H(a, y, z)

(11.) dP{x, y, z) = F(x, y, z)dx + [G{x, y, z) — G(a, y,

+ y₁ z) — #(«, y, z)]dz.

Setzt man jetzt

(1%)

Q(«, 2/» *) =jG(a, y, z)dy,

b

wobei die untere Grenze 6 eine ganz beliebige, von dem Parameter 2 unabhängige Konstante ist, so wird nach den Formeln Nr. 187 und 188 der Tabelle dQ(a, y, z)

(13.)

dy

dQ{a, y, 0)

⁽¹⁴⁾ —SÏ

'd G(a, y, z)

dz

= fdE(a,y,J)

dy

dy

B(a, 5, 0) =JH(a, 6, 0)^0,

£

wobei die untere Grenze c eine beliebige Konstante ist, dann wird

(17.)

dP(a, 6, 0) = _ZZ(a, b, z)dz.

Dies gibt

(18.) d[P(x, y, z) + Q(a, y, z) + P(a, b, 0)]

= F(x, y, z)dx + G(x, y, z)dy -f- F(x, y, z)dz,

d. h. die gesuchte Funktion ist

(19.) u = P(x, y, z) + Q(a, y, z) + R{a, b, z)

x    y    f

=/F(x, y, z)dx +/G(a, y, z)dy +J'H{a, b, z)dz,

a    b    c

und zwar ist die Funktion u so bestimmt, daß sie in dem willkürlich gewählten Punkte x=a, y=b, z = c verschwindet. Man erhält aber sogleich die allgemeinste Lösung der Aufgabe, wenn man noch eine willkürliche Konstante C hinzufügt, denn es gilt der

Satz. Jede andere Funktion TI, für welche ebenfalls die Gleichung

dU = Fdx -f- Gdy -f- Hdz

besteht, kann sich von u nur durch eine Integrationskonstante unterscheiden.

(20.)

Beweis. Nach Voraussetzung ist = F(x, y, z) und auch

dU

du

dx

dx

= y, z),

folglich können sich U und u nach Satz 2 auf Seite 3 nur durch einen Ausdruck voneinander unterscheiden, der von x unabhängig ist. Das könnte in diesem Falle noch eine Funktion (p(y, z) von y und z sein. Danach wäre also Z7 = m + <p(y, z).

Nun ist aber nach Voraussetzung

dU du , dcp{y, z) dy ~ dy

(21.)

(22.)

dy

= G(x, y, z) und auch

du

dy

Deshalb muß

d<p{y, z)

dy

gleich Null sein, d. h. <p(y,

kann nur eine Funktion der einzigen Veränderlichen 2 sein. Von 0 ist sie aber auch nicht abhängig, denn man kann

- gleich Null wird;

in derselben Weise zeigen, daß

d. h. (p{y, z) ist eine Konstante. Die allgemeinste Lösung hat daher die Form

x    y    *

(19a.) u = fF{x, y, z)dx -\-jG(a, y, z)dy -, b, z)dz -f- C.

a    f>    c

Daraus ergibt sich auch, daß sich das Endresultat nur um eine Konstante ändern kann, wenn man in Gfleichung (19.) die Integrationsgrenzen a, b, c durch andere «i, öi, <?i ersetzt, oder mit anderen Worten, daß die Ausdrücke, welche in dem Endresultat noch a, b und c enthalten, mit der Integrationskonstanten C vereinigt werden können. Man kann deshalb die konstanten Glieder, welche man aus * %

jH(a, b, z)dz durch Einsetzen der unteren Grenze erhält, fort

lassen, weil sie in der Integrationskonstanten enthalten sind. Man kann auch u auf die Form

y    z    x

(23.) u

=J'G{x, y, z)dy -f-jH(x₎ b, z)dz -j-J‘F(x, b, c)dz -f- C

b    c    a bringen, d. h. es steht noch frei, zuerst in bezug auf y, dann in bezug auf z und zuletzt in bezug auf x zu integrieren. Auch jede andere Reihenfolge ist zulässig.

Man erkennt auch, wie sich die angegebene Methode auf Funktionen von n Veränderlichen übertragen läßt. Dabei kann die rechte Seite von

(24.)

du = Fidxi + F₂dx₂ -j-----j- Fndxn

(25.)

nur dann ein vollständiges Differential einer Funktion U = f{x i, X2,... X„)

n(n — 1)

sein, wenn die

Bedingungen

öFa = ÖF dxp öxa

befriedigt sind. Es wird dann

a

to ß

1:0 CO

co co'

X\

(26.) u=fFi(xi, X2

f-

«1

... xn)dx i -f JF-M

a₂

x₂₎.. . xn)dx 2

■f³

a₃

■fn

Ą-JFn(ai, a₂,... a*_i, xn)dxn + C.

§ 98.

Übungs -Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll u als Funktion von x, y, z bestimmen, wenn

(!•)

du —

Adx Ax -f- Bz

Bdz

dy -1—

u y

gegeben ist.

Auflösung, ln diesem Falle ist

(2.)

Ax -f- Bz

2/²

also

dF _dG _ dy öx

Die rechte Seite von Gleichung (1.) ist daher ein vollständiges Differential, und man erhält

(3.)

dF_dH    ÖG _ÖH

’    ~ ~ ~

dz

'S

— ~~ “2 '

(4.)

(5.)

(6.)

Jf(x, y, z)dz = ^ jdx =

dy = (.Aa F Bz) Q — Bz

(z — c) =

jE(a, b, z)dz =fBy-

folglich wird (7.) M =

Aa Bz Bz n

b ~ b +T+C’

4a

oder, wenn man —    - 4- C mit Ci bezeichnet,

b

Ax -J- Bz u =-⁵-

(8.)

+ Cu

Aufgabe 2. Man soll u als Funktion von x, y, z bestimmen, wenn (9.) du — (y³ -f- yz²)dx -f- (3xy- -f- xz² -f- 3y²z)dy

-f- (4 z³ -f- 2 xyz -f- y^dz

gegeben ist.

5S2    §98. Integration vollständiger Differentiale; Übungs-Beispiele.

Auflösung. Hier ist

(10.) F — yS-f-yz², G = Sxy²-\-xz²-\-Sy²z, H = 4z³-{-2:ryz-f-y?,7 also

(11.)

öy

Qj!

= Sy² + z²,

dF dH

dz

Oj\ Zb

dH

= 2 xz + Sy²:

die rechte Seite von G-leichung (9.) ist daher ein vollständiges Differential, und man erhält

dy

ay³ — ayz²,

(13.) J Giß, y, z)dy =J{Say²+az²+Sy²z)dy = [ay³+ayz²+ifzf

b    b    Jb

= ay³-\-ayz²+y*z~a¥J—abz²—bsz

(!■!•) Jiï{ai b, z)dz —^/(4z³-f- 2abz-f- ¥)dz — z⁴-f- abz²-f- b³z -f- C.

c    C

Dies gibt, wenn man — ab³ + C mit Cx bezeichnet, (15.) u = y³x -f- yz²x -f y³z — ab³ + z⁴ -\- C = xy³ + xyz² + fz + z⁴ + Ci.

von x, y und z

Aufgabe 3. Man soll u als Funktion bestimmen, wenn

(16.) du —

-nz + r) ₍/-2.    *

^ JC —

d— ez dx

— siny dy

xy

zÿz² — x²y-

X --    1

ez — cosz dz

gegeben ist, wobei

(17.)

r = Vx² i- >

sein soll.

Auflösung. Hier ist

y    i i

-—---- -|---6

Y z² — x²y2 2

(18.)

r(z -j- r)

Q =_y__________ *

r(z -J- r)    y z 2 — x2y2

— sin?/

xy

z²

(19.)

dr

dx

H : V.

ez — COS0;

ist,

(20)

dF

z²

Cb

xy(z + 2 r) dy ~ r³(z -f- r)²    [z²

x

= -5 +

x²y²)yz² — x²y² ^x¹

dF

<2L> dz

yz

dH

r⁸

(z² — x²y²) yz² — x²y²

dx

_ ₌ dH

[z² — x²y²) y z² — x²y²    dy

Die rechte Seite von Gleichung (16.) ist daher ein vollständiges Differential, und man erhält, wenn man der Kürze wegen

(22.)

dO

dz

xz

(23.)

1/a2jry2Ą.z2 = ri und y a² + b² + z² = r₂

setzt.

*^dx

= ln (z -f- r) —

arcsin^^^+ e

= ln (z + r) — ln(z + n) — arcsin^^

-f- arcsin^-^ 4~ e*

— ez

C    C

V.

= |^ln(# -|- ri) — arcsin

I

= ln(# -f r{) — ln(# -f- r₂) — arcsin^^

+ arcsin^-™^ -f- cos y

2

(26.)    b, z)dz_ =JQ + oi

(25.)

sin y^dy

(ï)+°H₅

— COSÔ,

zVz² — a²b²

nZ

z2&

— cos z^ dz

Dies gibt

(27.) m = ln(# -J- r) —

= ln(^ + r₂) — arcsin^y^ -f- e* — sin# -f (7.

arc sin

/ \ X

y~J + e* + cos?/ — sin# -f Oi.

XVII. Abschnitt.

Kurven - Integ rale ¹).

§ 99.

Begriff des Kurven-Integrals.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 267.)

Ist der Ausdruck

(1.)

F{x, y)dx + G(x, y)dy kein vollständiges Differential, so gibt es keine Funktion u der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y, deren Differential der in (1.) gegebene Ausdruck ist. Anders gestaltet sich aber die Sache, wenn man diese Unabhängigkeit auf hebt, indem man durch die Gleichungen

(2.)

® = T(0> V = ¥.t) eine Beziehung zwischen x und y herstellt. Unter der Voraussetzung, daß die Funktionen

¥ß), #),    <P'(ß), ę'{t)

in dem Intervalle von t = to bis t = t' eindeutig und stetig sind, und daß auch die Funktionen F(x, y) und G(x, y) für die zugehörigen Werte von x und y eindeutig und stetig sind, wird der Ausdruck

(3.) Fix, y)dx + G(x, y)dy = {F[<p(t), ¥¹)]¥(¹) + &[¥¹), ¥¹)]¥(¹)}dt

das Differential einer Funktion der einzigen Veränderlichen t. Diese Funktion kann man durch Integration finden. Dabei entspricht den Gleichungen (2.) eine stetig verlaufende Kurve h (Fig. 162), die sich vom Punkte Po mit den Koordinaten

Xq = 0<fo), yo = ^o)

Fig. 162.

p'

‘x

bis zum Punkte P' mit den Koordinaten

= v(t'), y' = v>(*')

erstreckt. Setzt man bei Integration des Ausdruckes in Gleichung (3.) die Grenzen t₀ und V ein, so nennt man

(4.) J [F{x, y)dx + G(x, y)dy\

fo

c

=J\ FW) > V#)] 0>'(*) + G W) » W)\ V'ty dt

to

„das längs der Kurve k vom Punkte Po bis zum Punkte P' erstreckte Kurven-lntegraF. Dabei ist der Wert des Integrals' nicht nur von dem Werte der Grenzen abhängig, sondern auch von dem Verlaufe der Kurve k.

Auch hier kann man das bestimmte Integral als den Grenzwert einer Summe erklären. Zu diesem Zwecke teile man das Intervall von t₀ bis V durch die Werte ti, t₂, • ■ ■ tn_i in n Teile, die nicht gleich zu sein brauchen, aber so beschaffen sind, daß sie sämtlich verschwindend klein werden, wenn n ins Unbegrenzte wächst. Dem Werte ta sei auf der Kurve k der Punkt Pa mit den Koordinaten xl(, ya zugeordnet (vergl. Fig. 162), und der Kürze wegen werde F(xa, ya) mit Fa und G(xa, ya) mit Ga bezeichnet. Dann bilde man die Summe

(5.) S = [(xi—x₀)Fo + (2/1 — yo)Go] + [x₂—xx)Fl + (y₂ — yi)Gi] H-----h [(«'—    + {y'—yn—i)Gn-i].

Die einzelnen Glieder dieser Summe sind nach den gemachten Voraussetzungen bestimmte, endliche Größen. Wenn man wie früher mit 0 und 0\ noch unbestimmte Größen zwischen 0 und -j- 1 bezeichnet, so ergibt sich aus dem Mittelwertsatz der Differential-Rechnung

Xa Xa—l’ — 9$ö) — oder, wenn man der Kürze wegen ta— i mit Jt bezeichnet,

(6.)

xa — xa..i = <p'{tu-i + 6 .Jt).Jt,

und in ähnlicher Weise

(7.)

ya — ya-1 = y/(ta-! + & i. Jt). Jt.

Deshalb kann man Gleichung (5.) auf die Form

(8.) S = 1V«-1 •    • 4t)+Qar-1 • rpVa-1+01. Jt)]Jt

«=i

bringen.

Da nach Voraussetzung die Funktionen <p'(t) und in dem betrachteten Intervalle stetig sind, so kann man Jt so klein machen, daß

(9.)    <p'(t -f- Jt) — g/(t) < £ und y/(t + Jt) — ip'(t) | < £

werden, wobei e eine positive, beliebig kleine Größe ist. Dann wird aber erst recht

(10.) cp\t -f O . Jt)—<p'(t) \ < s und ip\t +    • Jt)— VAt) i < f-

Setzt man jetzt noch

(11.)

S' = “if[*V-1 • vVa-1) + 0«-i . rp'(ta^)]Jt,

«=1

so wird

a—n

(12.) D = S-S' = 2    1 + e.M)~ ?>'(<„-■)]

«=1 ¹

-f- Ga—i[ip'(ta—i -f- Oy. Jt) — ip\ta—i)]| Jt.

Für den Wert von D findet man mit Rücksicht auf die Ungleichung (10.) für hinreichend kleine Werte von Jt

(13.)

£ 2 ( Fa-1 -f- Ga—i )Jt.

«=i

Bezeichnet man noch den größten Wert, den

F[<p(t), W)\ ! + &W), W)\

annimmt, wenn t das Intervall von to bis t' durchläuft, mit M, so wird

a—ti

D\<£M^Jt = £ M(f — to).

cc=l

Da man £ beliebig klein machen kann, wenn man nur n hinreichend groß macht, so wird (15.) lim# = lim 2 [^«-i • <p\ta-1) + G«-i • tyVa-i)\4t

w—oo

n=oo u=1

=J\FW),    + Q[¥t\ WÏWtydt.

4

Der Wert dieses Integrals ändert sich nicht, wenn man durch die Gleichung

«(16.)    £ = f(x), die mit der Gleichung (16 a.) x = ^(£)

(17.)

gleichbedeutend sein möge, für die Darstellung der Kurve Je statt des Parameters t einen anderen Parameter x einführt. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Funktionen f(x) und f\x) für die betrachteten Werte von r stetig sind, und daß g{U) = T₀, g(t') = x4 wird. Die Gleichungen (2.) gehen dadurch über in (18.) x = (p{t) = <p[ f(x)\ = <[>{x), y = ip(t) = ip[f(x)\ = yl\x).

Dies gibt dann

=    = '/-'in

folglich findet man aus Gleichung (15.)

r'

588

(14.)

§ 99. Begriff des Kurven-Integrals. lim D — 0, oder lim S = lim$',

n—oo

n—oo

n=oo

also

(19.) lim .8 =7]F[>//(r), <F(r)] <p'(ź) + G[<P{x), P(x)] (//(<)}A^)^

«=°° T₀

X⁴

=f\F\<I>(x\ W{x)}(p⁴{x) + G[4>(x), T(x)yP'(x))dx, To

d. h. der Wert des Integrals ist nur abhängig von dem Verlaufe der Kurve Je, nicht aber von der zufälligen Art der Parameterdarstellung.

Die Kurve Je heißt dabei der „Integrationsweg“.

Um die Unabhängigkeit der Darstellung des Integrationsweges von der Wahl des Parameters hervorzuheben,, schreibt man das Kurven-Integral in der Form

f\F(x, y)dx + G(x, y)dy], u

d. h. man läßt die Integrationsgrenzen to und t' fort und schreibt k unter das Integralzeichen, um anzudeuten, daß sich das Kurven-Integral über die Kurve k erstreckt.

Führt man als Parameter die Bogenlänge s des Integrationsweges ein und errichtet in jedem Punkte des Integrationsweges eine Senkrechte auf der XY-Ebene, so entsteht ein Zylinder, der den Intégrations weg zur Leitkurve hat. Auf dem Mantel dieses Zylinders wird eine bestimmte Kurve auf gezeichnet, wenn man auf jeder Senkrechten den

dy

+ G ~ abträgt. Bei Ab-

cloc

zugehörigen Wert von F

(X'S

Wickelung des Zylinders in eine Ebene entspricht dem Intégrationswege eine Gerade, die man als X-Achse betrachten kann, und der Kurve auf dem Zylinder eine ebene Kurve. Das von dieser Kurve, der A-Achse und den beiden zu so und s' gehörigen Ordinaten begrenzte Flächenstück ist dann der Wert des Kurven-Integrals

ds.

/(*•?+» 2)

Fig. 163.

Aus der Darstellung des Kurven-Integrals als Grenzwert einer Summe folgt unmittelbar, daß sein Wert das entgegengesetzte Zeichen annimmt, wenn man den Integrationsweg in entgegengesetzter Richtung durchläuft, denn dabei erhalten sämtliche Glieder der Summe das entgegengesetzte Zeichen.

P

* m-t

Man kann den Begriff des Kur-ven-Integrals noch verallgemeinern.

P3

P,

Der Integrationsweg k darf nämlich auch aus mehreren verschiedenartigen Kurven &i, k₂,... km zusammengesetzt sein. Gelten für diese m Kurven, die sich bezw. vom Punkte Po bis zum Punkte Pi, vom Punkte Pi bis zum Punkte P₂,... vom Punkte Fm—i bis zum Punkte P' erstrecken (vergl.

J’ P

Fig. 163), in den gemeinsamen Punkten ⁰

Pi, P₂, ... Pm-i aber nicht dieselben Tangenten haben,

alle die Voraussetzungen, die vorhin über die Kurve k gemacht worden sind, so kann man die Kurven-Integrale

JlFdx + Gdy), J{Fdx -f Gdy),... f(Fdx + Gdy)

kx    k‘i    km

bilden und nennt ihre Summe

“SJWz + Gdy) = l[F(x, y)d

ku    k

X + G{x, y)dy]

„das über die Kurve k erstreckte Kurven-Integralwobei man unter k den ganzen Kurvenzug P0P1P2P3... F' versteht.

§ 100.

Darstellung eines Doppelintegrals durch ein Kurven-Integral.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 268.)

Der Integrationsweg sei jetzt eine geschlossene Linie, die auch aus verschiedenen Teilkurven Ah, k₂, ... km bestehen darf, aber sich nicht selbst schneiden möge. Außerdem soll vorausgesetzt werden, daß die zur Y-Achse parallel gezogenen Geraden den Integrationsweg höchstens in zwei Punkten Pi und P2 schneiden ; und dasselbe gelte für die Geraden, die zur -Y-Achse parallel gezogen sind. (Vergl. Pig. 164.) Die Berührungspunkte der Tangenten, die sind und den Integrationsweg ganz einscliließen, seien P₀

Fig. 164.

p0-

p'

Q'

zur

F-Achse parallel

und P' mit den Koordinaten xo, yo bezw. x\ y'. Der Integrationsweg k werde im positiven Sinne durchlaufen, d. h. so, daß die eingeschlossene Fläche F auf der linken Seite liegt. Dabei ist es für den Wert des Kurven-Integrals über die geschlossene Kurve gleichgültig, an welche Stelle man den Anfang des Integrationsweges legt.

Die Funktionen F(x, y) und G{pc, y) seien für alle Punkte des Intégrationsweges und für alle Punkte in seinem Innern eindeutig und stetig; dann ist nach den Ausführungen in § 99

Fig. 166.

Fig. 165.

n'

/>'

e.

VX

*ß

Pi

p'

p,

Ko

Qo

</

■X

(1.) J[F(x, y)dx + G(x, y)dy\

k

lim [2 F[pca, yX)xtx -f- 2 G(xa, ya)^/yj.

k    k

ö-ehören hierbei zu xa = 0QU die beiden Werte y = yi und y = y₂ (vergl. Fig. 165), so finden sich in der Summe auf der rechten Seite von Gleichung (1.) die beiden Glieder + F(xa, y\)4x und —F(x,y₂)Jx, und zwar steht bei F(xa, yi)xfx das positive, bei F(xu, y₂)Jx aber das negative Zeichen, weil Jx beim Punkte Pi im positiven, beim Punkte P₂ aber im negativen Sinne durchlaufen wird. Deshalb ist

xa=x‘

¹

Der Anfänger darf diesen Abschnitt überschlagen.

2 F(xa, yu)Jx = 2 [F(xa, yi) — F(xa, y₂)]Jx

k    xa—xü

(2.)

und

592 g 100. Doppelintegrale, dargestellt durch Kurven-Integrale.

x¹

(2 a.)

lim 2 F{xa, ya)Jx =f[F{x, yx) — F(x, y₂)]dx.

k    s₀

Gehören in ähnlicher Weise zu yp = ORp (vergl. Fig. 166) die beiden Werte x = x₁ und x = x₂, und sind yo und y' die äußersten Werte von y, so finden sich in der Summe auf der rechten Seite von Gleichung (1.) die beiden Glieder G(xx, yp)Gy und -f- G{x₂, yp)4y, und zwar steht bei G(xx, y?)Jy das negative und bei G(x₂, yp)Ry das positive Zeichen, wei] Jy beim Punkte Px im negativen, beim Punkte P₂ aber im positiven Sinne durchlaufen wird. Dies gibt

(3.)

vf=y‘

2 G(xa, ya)Gy — 2 \G(x₂, y p)— G{xi, yF/ty

und

k ■    Vp=Vo

(3a.) lim 2 G(xa, yc)Gy =J[G{x₂, y) — G{xx, y)\dy. k 2/0

Deshalb ist das Kurven-Integral

'(4.)

J[F(x, y)dx + G(x, y)dy\ =

%    y•

/[Fix, yi)    Fix, y₂)]dx -\-J[G{x₂, y) — G(xx, y)]dy.

⁰    m

das Doppelintegral dF{x, y)

Damit vergleiche

man

K-tX-

dy

wobei das Zeichen (k) unter den beiden

andeutet, daß das Doppelintegral über die ganze von der

vurye k umschlossene Fläche erstreckt werden soll' Dann erhält

Integralzeichen

man, weiteres ersieht,

wie man aus den Figuren 165 und 166 ohne

(5.)

//

y) ~ G(pci, y)]dy

=J\g(x₂

und

Va

(6.)

I

(*)

TöFfa y)

ôy

dxdy

X V-Î

-H %

Xo V\

'oF(x, y) ,

x‘

=J [Ffa yi)

Xç,

— F fa yi)\dx.

Dies gibt mit Rücksicht auf Gleichung (4.)

(!)

da fa y)

ff( 8x

(*)

lFg' ⁹⁾)dxdy

x‘

=J[Ffa yù — Ffa y₂)]dx + j'[Gfa, y)

x₀    1/0

— Gfa, y)]dy

=j [Ffa y)dx + Gfa ij)dy]

k

(8.)

Beispiel. Es sei

ÔG 1 ÖF

bO h-¹

also Ffa y) = — | » Gfa y) =

2 ’ öy

und die Fläche, über die sich das Doppelintegral erstrecken soll, sei eine Ellipse mit der Gleichung

«ix«² + 2ai₂xy -f «222/² + «33 == 0 (vergl. Fig. 38 auf Seite 135), wobei

(9.)

dx

(10.)

c = "J/«n«22 — «12² und

1    «22 «33

a = \--

reelle Größen sein müssen, damit der Gleichung (9.) wirklich eine Ellipse entspricht. Das Doppelintegral

öGfa y) öFfa y)

(11.) ■ J

~M dx

(k)

dy

^dxdy =ßdxdy

gibt dann den Flächeninhalt der Ellipse. Setzt diesem Falle x =

man m

a₂₂y = a(ccost -f- a^sin/),

wird die Ellipse in positivem Sinne durchlaufen t alle Werte von 0 bis 2jt durchläuft. Nun ist

Kiepert, Integral - Rechnung.

(12.)

so

— <zsin£,

wenn

38

(13.) dx — — acostdt, % = —(— csinż -j- «₁₂cosfy#,

&22

also

(14.) X(;z, ?/)cfo + G(x, y)dy = ^ (xdy — ydx)

— a (csin²£ -f- ccos²t)dt —

a?c

folglich wird

2«22

dt,

2 TT

(15.)    «/ =

jjdxdy = a^ jdt —

(A)    o

bs

2a?cji    a?c²jt

--f*=-

2«22    «22e

£*22

«22e

«33 JC

y«ll«22 — ß!2²

Jetzt kann man die Voraussetzung, daß die Geraden, die zur Y-Achse parallel sind, und die Geraden, die zur X-Achse parallel sind, den Intégrations weg k höchstens zweimal schneiden, noch aufheben. Es gilt nämlich der Satz, daß Gleichung (7.) auch dann noch richtig bleibt, wenn der Integrationsweg k der vorstehenden Voraussetzung zwar nicht genügt, wenn man aber die von ihm eingeschlossene Fläche durch eine Hilfslinie l so in zwei Teile zerlegen kann, daß für die Umgrenzungen kx -j- l und k₂—l

der beiden Teile die Voraussetzung zutrifft. (Vergl. Fig. 167.)

Beweis. Da die Voraussetzungen für jeden der beiden Inte-grationswege kx -j- l und k₂ — l gelten, so findet man aus Gleichung (7.) 7dG(x,y)    dF(x,y)

Fig. 167.

fc«

(16.)

und

(17.)    ÖF^ V)

(M-D

dy

^dxdy

-j F(xi v)dx + y)dv

Ą~ l

^dxdy =j F(x,y)dx+G(x,y)dy •

dy

Addiert man diese beiden Grleichungen, so tritt links das Doppelintegral, erstreckt über den ganzen von der Kurve k umschlossenen Bereich auf; bei der Summe der beiden Kurven-Integrale wird der hinzugefügte Teil l des Integrationsweges das eine Mal in der Richtung von A nach B und das andere Mal in der Richtung von B nach A durchlaufen. Diejenigen Teile der Kurven-Integrale, die über den Weg l erstreckt sind, heben sich deshalb fort, so daß man

/{Fdx -j- Gdy) -J- f{Fdx fl- Gdy) — f(Fdx -f- Gdy)

k₂—i    /(

erhält; folglich wird auch in diesem Falle

{is)jjÇjG^x'y) ÖF{X'y)

/cx+i

dx

{k)

dy

^dxdy —J

k

F(x, y)dx -f G(x, y)dy •

man die von dem Integrationswege

wenn

Daraus ergibt sich, daß diese Gleichung sogar noch richtig bleibt,

eingeschlossene Fläche durch eine endliche Anzahl von hinzugefügten Linien    so in Teilflächen zerlegen

kann, daß die Umgrenzung jeder einzelnen Teilfläche den für k ursprünglich gestellten Voraussetzungen genügt.

Beispiel. Es sei wieder ÖG_1 ÖF dx 2 ' dy

und die Fläche, über die sich das- Doppelintegral erstrecken

soll, sei die Kardioide mit den Gleichungen

(20.) x = a[2cos£ — cos(2£)J, y — a[2sin£ — sin(2£)],

(19.)

\ ’ y) =

LO, a

(vergl. Fig. 41 auf Seite 140), dann gibt das Doppel-integral

jj( dx

öG(x: y) öF(x, y)

^dxdy = Ijdxdy

(21.) J

den Flächeninhalt der Kardioide. Hier ist

(22.) dx — 2a[— sin£ -f-sin(2£)]^£, dy = 2<z[cosf — cos(2f)]rf£,

also

(23.) F(x, y)dx-\-G{x\ y)dy — \ {xdy — ydx) = 3a²(l — cos t)dt.

(4

dy

(4

38*

Da nun die Kurve im positiven Sinne durchlaufen wird, wenn t alle Werte von 0 bis 2jt durchläuft, so erhält man für den Flächeninhalt der Kardioide

(24.) J

2 7t

= j'jdxdy = 3a² f(l M    o

—cos t)dt = 3a² \t    sin^]— 6a²ji.

Fig. 168.

Die Gleichung (18.) bleibt sogar noch richtig, wenn die Umgrenzung k aus zwei oder mehr getrennten Stücken besteht (vergl. Fig. 168), nur müssen die verschiedenen Teile so durchlaufen werden, daß die begrenzte Fläche auf der linken Seite der Kurve liegt.

§ 101.

Kurven-Integrale von vollständigen Differentialen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 269 und 270.)

Besteht zwischen den beiden Funktionen F(x, y) und G{x, y) die Beziehung dF(x| y)    dG(x, y)

dy

(1.)

dx

oder

y) _ oF(x, y) dx    dy    ’

so folgt aus Formel aus der Gleichung

ist also F(pc, y)dx -j- G(x, y)dy ein vollständiges Differential, und gelten für den Intégrations weg k die Voraussetzungen des vorhergehenden Paragraphen Nr. 268 der Tabelle, nämlich

(2.) I F(x,y)dx+G(x,y)dy =    dÆ^lÉ^jâxdy

k    (A)

daß in diesem Falle

(3.)

![F(x, y)dx + G(x, y)dy] - 0

ist. Diesem Ergebnis kann man noch eine andere Fassung

§ 101. Kurven-Integrale von vollständigen Differentialen. 59 i

geben. Verbindet man nämlich den Punkt P₀ mit dem Punkte P' durch zwei verschiedene Kurven ki und k₂,

die sich nicht schneiden mögen (vergl. Fig. 169), so schließen sie ein Flächenstück ein, dessen Umgrenzung k aus den beiden Stücken ki und — &₂ besteht.

Fig. 169.

p'

Wenn nun die Funktionen

F{x, y), G(x. y) und

öF(x, y) _ dG(x, y )

öy

dx

innerhalb dieses Flächenstückes und auf seiner Umgrenzung eindeutig und stetig sind, so ist nach Gleichung (3.)

J(Fdx -f- Gdy) =J{Fdx -f- Gdy) —f(Fdx-\- Gdy) — 0,

k    ky    kn

folglich wird

vf

(4.)

ft1

J[Fdx -j- Gdy) = J(Fdx-\- Gdy).

ft2

Diese Formel bleibt auch noch richtig, wenn sich die Integrationswege k± und k₂ in einer endlichen Anzahl von

Punkten Pi, P₂,... Pm schnei-p den. Ist z. B. m — 2 (vergl.

I    Fig. 170), so sind die beiden

Kurven-Integrale einander gleich von P₀ bis Pi, von Pi bis P2 und von P₂ bis P', folglich sind auch die Summen einander gleich, wenn nur die Funktionen P, G

und

Fig. 170.

kl

!i

p,

dF dG dy dx

in den eingeschlossenen Flächenstücken und auf den Intégrations wegen Zfi und Ä;₂ selbst eindeutig und stetig sind. Dies gibt den

Satz. Verbindet man die Punkte P(J und P' miteinander durch zwei verschiedene Kurven ki und Zc₂, und liegen diese Kurven mit den von ihnen eingeschlossenen Flächen- i stücken ganz innerhalb eines Bereiches A. in welchem die

Po

Funktionen F{x, y), G(x, y) tig und stetig sind, und ist

dF{x, y)

C5j

und

öG(x, y)

dx

— eindeu-

dF(x, y) ₌ dG{x, y) dy    dx

so haben die beiden über k\ und ko erstreckten Kurven-Integrale denselben Wert.

Von diesem Satze gilt auch, die

dF(x, y)

Umkehrung. Sind die Funktionen F(x, y), G(x, y),

dy

und

öG(x, y)

■q innerhalb eines Bereiches A eindeutig

und stetig, und erhält man für das Kurven-Integral von einem beliebigen Punkte Po des Bereiches bis zu irgendeinem anderen Punkte P/ des Bereiches denselben Wert, gleichviel welchen Integrationsweg man innerhalb des Bereiches wählt, so ist F(x, y)dx -f- G(x, y)dy ein vollständiges Differential, d. h. es ist

dF(x, y) _ dG{x, y)

dy

dx

Beweis. Liegt das Rechteck PoUP'S, dessen Seiten den Koordinaten-Achsen parallel sind, und dessen Umgrenzung mit k bezeichnet werden möge, innerhalb des Bereiches A (vergl. Fig. 171), so hat nach Voraussetzung das Kurven-Integral /(Fdx -j- Gdy) denselben Wert, gleichviel ob man die gebrochene Linie PoTJP' oder die gebrochene Linie PqSP' zum Integrationsweg macht. Deshalb ist

^dxdy = 0,

Fig. 171.

kt

J_y

Q’ A

ä-

fFdx + Qdy) = ft(fG{x'y) mx’y)

dx

dy

oder

(5.)

jf //

Idx l'C

dG dF

dx

dy

)dy = 0

Das Integral auf der linken Seite dieser Gleichung ist eine Funktion der Grenzen xo und xDabei kann man x₀ als eine Konstante und x' als eine Veränderliche betrachten, wobei sich freilich x' nur innerhalb solcher Grenzen ändern darf, daß das zugehörige Rechteck PqUP'S innerhalb des Bereiches A bleibt. Nach Voraussetzung hat diese Funktion für alle Werte von x' den konstanten Wert Null, folglich muß auch ihre Ableitung nach x' gleich Null sein, d. h. es wird auch für x = x‘

(6.)

./(

Cb

Cb

öx dy

^dy = 0.

ist auch ihre Ableitung nach y/ gleich Null,

so

Das Integral auf der linken Seite dieser Gleichung ist eine Funktion der Grenzen yQ und y', wobei man wieder y' als die Veränderliche betrachten kann, die sich ebenfalls nur innerhalb solcher Grenzen ändern darf, daß das zugehörige Rechteck PoUP'S innerhalb des Bereiches A bleibt. Da diese Funktion von y' den konstanten Wert Null hat

d. h. es ist für y = y'

(7.)

Cb

dF

= 0;

öx dy

und zwar gilt diese Gleichung schließlich für alle Punkte des Bereiches A, da das Rechteck Po UP'8 beliebig klein sein darf.

Verbindet man zu diesem Zwecke den

Da sonach für ein vollständiges Differential der Wert des daraus gebildeten Kurven - Integrals vom Integrationswege unabhängig ist, so ordnet dieses Kurven-Integral jedem Punkte P der Ebene mit den Koordinaten x und y einen ganz bestimmten Wert u(x, y) zu. Durch ein vollständiges Differential ist deshalb eine Funktion u von x und y bestimmt, ein Ergebnis, das die Untersuchungen des vorigen Abschnittes bestätigt. Zur wirklichen Aufsuchung dieser Funktion u kann man nämlich den Integrationsweg so wählen, daß die Berechnung des Kurven-Integrals möglichst einfach wir Anfangspunkt A des Integrationsweges, dessen Koordinaten

a und 6 heißen mögen, mit dem Endpunkte P durch zwei aufeinander senkrecht stehende Gerade, indem man durch A eine Parallele kx zur Y-Achse und durch P eine Parallele k₂ zur X-Achse legt, so ist auf der ersten Geraden kx dx gleich Null, so daß man

/{Fdx + Gdy) =J'G{a, y)dy

Ai    b

erhält. Auf dem zweiten Stück k₂ ist dy gleich Null, so daß man y bei der Integration als einen konstanten Para-• met er anzusehen hat und deshalb

X

f{Fdx -j- Gdy) = JF(x, y)dx

/c-2    a

erhält; folglich wird in Übereinstimmung mit Formel Nr. 265 der Tabelle

x    y

u = /{Fdx -f- Gdy) —J‘F(x, y)dx + J'G(a, y)dy.

k    ab

Wäre der Integrationsweg so gewählt worden, daß man durch den Anfangspunkt A eine Parallele zur X-Achse und durch den Punkt P eine Parallele zur F-Achse gezogen hätte, so würde das Kurven-Integral zu dem Ausdruck

V    X

u — J'Q-{x, y)dy + JF(x, b)dx

b    a

geführt haben, der ebenfalls mit Formel Nr. 265 der Tabelle übereinstimmt.

I 102.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 271.)

In § 108 der Differential-Rechnung (12. Auflage) war gezeigt worden, wie man auch rationale Funktionen der komplexen Veränderlichen

(1.) bilden kann, und wie man jede solche Funktion f(z), auch wenn die darin auftretenden Konstanter komplexe Größen sind, auf die Form

f(z) — f(x -f- yi) — u(x, y) -f- iv(x, y) — u -j- vi bringen kann, wobei u = u(x, y) und v — v(x, y) reelle rationale Funktionen der reellen Veränderlichen x und y sind.

(2.)

Auch irrationale Funktionen von z — x -j- yi kann man bilden, da es stets möglich ist, die n Werte der wten Wurzel aus einer komplexen Größe r(cos<p -f- isinçp) anzugeben. Es war nämlich

(3.)

f^eos^iny) - yr[coS(g±^)+»in(i<>+^fa)]

wobei man die n verschiedenen Werte der Wurzel erhält, wenn h die n Werte 0, 1, 2,... n — 1 annimmt.

Durch Einführung konvergenter Reihen konnte man sogar transzendente Funktionen erklären.

Es war damals auch gezeigt worden, daß man solche Funktionen der komplexen Veränderlichen z nach denselben Regeln differenzieren kann, wie die Funktionen von reellen Veränderlichen. Setzt man nämlich

si = ah + yih

so möge die Ableitung der Funktion f(z) durch die Gleichung

(4.)

df(z)

dz

m )-m

= lim

Zp=Z

erklärt werden, wobei limzi f= z, oder lim(a?i -f- y\i) = x-\-yi bedeutet, daß

Z\ — z

(5.)

lim#! — x und lim^/i = y

wird. Hier sollen nur solche Funktionen f[z) einer komplexen Veränderlichen z betrachtet werden, für welche der f\z) definierende Grenzwert für alle Arten des Grenzüberganges zu demselben Ausdruck führt. Insbesondere soll der Wert von f'(z) unabhängig sein von der Richtung der Geraden, auf der sich der Punkt Pi dem Punkte P nähert. Unter der Voraussetzung, daß man die betrachtete Funktion auf die Form

(6.)

f(z) = f{x + yi) = u + vi = u(x, y) + iv{x, y) bringen kann, und daß sich die Ableitung von 0 wirklich bilden läßt, erhält man

§ 10B. Kurven-Integrale komplexer Funktionen.

602

= m,

df(z) df(z) dz dx dz dx

df{z) _ df(z) dz öy dz öy

folglich ist

ern 8f{z)

dx ⁺

dy

= m-m = o,

oder mit Rücksicht auf Gleichung (6.)

. du dv

(7.)

du

Cb Qj

- -f- i

dy °-

Ist aber eine komplexe Größe gleich Null, so muß der reelle Teil und der Faktor des imaginären Teils, jeder für sich, gleich Null sein. Deshalb folgt aus Gleichung (7.) du dv dx dy

Man nennt diese Gleichungen, denen der reelle Teil und der Faktor des imaginären Teiles genügen, die „ Cauchy -Riemannschen Gleichungen“ und die Funktion f(z) heißt dann eine „monogene Funktion“ der komplexen Veränderlichen z — x -f- yi für alle Werte von x und ?/,

für welche die Funktionen u, v, eindeutig und stetig sind.

(8.)

dx

dy

und

du

dy

dv

dx

du du dv

dx dy dx

und

dv

dy

§ 103.

Kurven-Integrale komplexer Funktionen.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 272 bis 274.)

Es sei zunächst

(!•)

f(t) = u(t) + iv{t)

eine komplexe Funktion der reellen Veränderlichen t, dann hat das Integral

r    r    r

(2.)

Jf(t)dt = Ju(t)dt -f- iJv{t)dt

to    io    io eine ganz bestimmte Bedeutung, wenn u(t) und vit) in dem Intervalle von £o bis t' eindeutig und stetig sind. Jetzt sei aber

(3.)

f{z) = fix + yi) = u + vi = u(x, y) + *v(;z, y) eine komplexe Funktion der komplexen Veränderlichen 0, die innerhalb eines bestimmten Bereiches A monogen sein möge. Setzt man dann

(4.)

x = <p(i), y = #), so durchläuft der dem Werte 0 entsprechende Punkt P eine Kurve k vom Punkte Po bis zum Punkte P', wenn t alle Werte von to bis V durchläuft. (Vergl. Fig. 162 auf Seite 586.) Dabei möge vorausgesetzt werden, daß die Funktionen <p(t),    <p'(t), ip'(t) innerhalb dieses Intervalles

eindeutig und stetig sind, und daß

00 = x₀ + yoi = <p(to) + iytfo), z' = x‘ -j- yfi — (p(t') -f- iif)(t') sei. Ferner möge vorausgesetzt werden, daß die Kurve k vom Punkte Po bis zum Punkte P' in dem Bereiche A liegt. Dann versteht man unter dem bestimmten Integrale

(5.)

6.)

Jf(z)dz, erstreckt über die Kurve k, den Ausdruck

(7.)

oder

J M®, y) + iv(x, y)]{dx + idy)

=J [u{x, y)dx — v(x, y)dy\ + ij [u(x, y)dy + v(x, y)dx],

k    k

z‘    t‘

(8-) ff{z)dz —J‘\u[cp(t), ip(t)] <p'(t) — v [y(t), ę(t)\ f'tydt

Zf)    fo

f

+ «/{«[#), t4)]¥(t') + v[ęp(t), ę(t)]cp'{ty dt.

to

Man kann auch hier diese Erklärung auf den Fall übertragen, wo die Kurve k aus mehreren Stücken k\, k₂, ... km zusammengesetzt ist. (Vergl. Fig. 163 auf Seite 589.)

Das so definierte „ komplexe Integral“ ist von der Wahl der Kurve k unabhängig, denn die Ausdrücke u(x, y)dx — v(Xj y)dy und u(x, y)dy -f- v(x, y)dx sind dabei vollständige Differentiale, denn es ist nach Voraussetzung

Oj! Qj

dv

dx

und

öv du

dy

dx

Deshalb findet der in § 101 bewiesene Satz für jedes der beiden Integrale Anwendung. Das Ergebnis kann man zusammenfassen in den

du du dv dv dx oy    dx oy

haben die über k\ und ko erstreckten Kurven-Integrale denselben Wert, d. h.' es ist

leitungen

Satz. Verbindet man die Punkte Po und P' miteinander durch zwei verschiedene Kurven ki und ko, und liegen diese Kurven mit den von ihnen eingeschlossenen Flächenstücken ganz innerhalb eines Bereiches A, in welchem die Funktion f(z) = u(x, y) -j- iv(x, y) mit den ‘partiellen Abeindeutig und stetig ist, so

(9.)

Jf(z)dz —Jf(z)dz.

/’■>

Besteht der Intégrations weg aus einer geschlossenen Kurve k, so kann man die Kurve durch zwei beliebige Punkte Po und P/ auf k in zwei Teile ki und —k₂ zerlegen und erhält aus Bleichung (9.) die Gleichung

(10.)

ff{z)dz = Jf(z)dz —J‘f(z)dz = 0.

fot

Das gibt den

Satz. Liegt die geschlossene Kurve k> mit allen von ihr eingeschlossenen Flächenstücken in dem Bereiche A, so ist das über die Kurve k erstreckte Integral von f(z)dz gleich Null.

Anders verhält sich die Sache, wenn die Kurve k Punkte einschließt, für welche die Funktion f(z) mehrdeutig oder unstetig wird. Es sei z. B.

(11.)

X + yi"

dann wird f(z) unendlich für x = 0, y = 0. Nimmt man in diesem Falle für die Kurve k einen Kreis, der mit dem Halbmesser a um den Nullpunkt beschrieben wird, so setze man

(12.)

x = acost

y — askG,

dann durchläuft der Punkt P den Kreis, wenn t alle Werte von 0 bis 2Jt durchläuft. Dies gibt

Fig. 172.

Denselben Wert des Integrals erhält man, wenn man den Kreis mit irgendeiner anderen Kurve k vertauscht, welche den Nullpunkt in demselben Sinne einmal umschließt.

\D

Die Funktion f{z) ist nämlich eindeutig und stetig in einem Kreisringe A, der von zwei Kreisen mit den Halbmessern a und b und dem gemeinsamen Mittelpunkte 0 begrenzt wird.

(Vergl. Fig. 172.) Dabei kann man a so klein und b so groß machen, daß die geschlossene Kurve k ganz innerhalb des Kreisringes A liegt. Jetzt zerschneide man den Kreisring durch die Gerade BC, die z. B. mit der positiven Richtung der X-Achse zusammenfallen und die Kurve k im Punkte D treffen möge. Dadurch ist der Bereich A in einen einfach zusammenhängenden Bereich verwandelt. Betrachtet man dann den kleinen Kreis als den einen Integrationsweg k\ und als zweiten Integrationsweg k-2 einen Kurvenzug, der aus der Geraden BD, der Kurve k und der Geraden DB besteht, so liegt zwischen den beiden Integrationswegen kein Punkt, für welchen die

unstetig wird. Sie liefern deshalb beide den-

0

2n

(i3.) laz)dz=j'd^=fcl

k    k    o

2 n    2n

— j(— sin# + icos#)(cos# — isint)dt — ijdt — 0 0

a(— sin# -f- «cos f)dt

a(cost -f- «sin#)

2jri.

Funktion

selben Wert des Integrals. Bei dem Integrationswege ko, wird die Strecke BD das eine Mal im ‘positiven und das andere Mal im negativen Sinne durchlaufen. Die zugehörigen Teile des Kurven-Integrals heben sich deshalb auf, so daß von dem Integrationswege k₂ nur die Kurve k übrig bleibt. Dies gibt also

= %Jli

(15.)

(14.)

rdz

JT~

k

2 Jti.

Ebenso findet man

wenn der Integrationsweg k eine einfach geschlossene Kurve ist, die den Punkt

00 = Xo + yoi

einmal umwindet. Zum Beweise braucht man nur x—xo = acosż, y—yo = asint, also 0—00 = a(cost -f isint) zu setzen; dann erhält man wieder

2 71

2 71

i' dz I

Jz — zo~J

k    0

a(— sin£ + i cos t)dt a(cost -f- *smi)

— ijdt —

0

2jt i.

§ 104.

Der Satz von Cauchy.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 275.)

in diesem Bereiche noch

2 — zo

eindeutig und stetig. Liegt dann die geschlossene Kurve k, die den Punkt P₀ einmal umwindet, in diesem Bereiche

Die Punktion f(z) sei in einem Bereiche A eindeutig und stetig, und 00 sei irgendein Punkt in diesem Bereiche. Beschreibt man um diesen Punkt 00 einen kleinen Kreis mit dem Halbmesser a und bezeichnet mit A' den Bereich, der von A übrig bleibt, wenn man diesen kleinen Kreis ausschließt, so ist die Punktion

A', so kann man genau so wie im vorhergehenden Paragraphen zeigen, daß

'f(z)dz

a.)

'f(z)dz

ki

ist. Jetzt kann man den Halbmesser a des Kreises ki so klein machen, daß wegen der Stetigkeit der Funktion f(z) der absolute Betrag von f(z) — f{z o) = ê + m

(2.)

kleiner bleibt als die beliebig kleine positive Größe s, wenn der Punkt z mit den Koordinaten x, y den Kreis durchläuft. Dies gibt

(3.)

I f(z) — feo) I = Vi² + V² < ff,

also

(4.)

ki

j'f{z)dz ₌ j'f(zo) + s + m dz J z — z 0 J Z—Zo

ki    ki

Jz—zq J z—zo

ki

Dabei ist nach Formel Nr. 274 der Tabelle

(5.)

/* dz

Jz — z₀

— 2^ri.

ki

Ferner wird, wenn man wieder

(6.)

z — zq -f- a(cos£ -f- isiiD) = zo -f- aeä]

also

(7.)

dz — aieudt

dz

setzt.

Z — Zo

= idt

271

2 71

(8.)

.Für

ki    0    0

— y)dt.

wenn man

Da der absolute Betrag einer Summe kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge, was auch für das Integral als Grenzwert einer Summe gütig bleibt den Ausdruck (ig — y) unter dem Integralzeichen durch seinen absoluten Betrag ]/g² -f- y² ersetzt, so wird

\ jXs + '/i)dz IJ    Z — Zo

k

₌ |■/!§+# | IJ    Z — Zo

ki

JV§² + V²dt < 2«r.

Dabei nähert sich s mit a zugleich dem Grenzwerte Null. Nun ist aber

(10.)

J(s + yi)dz

k

— 20

₌ ff(z)dz J Z—Zo

k

f(zo). 2 Jti

von a unabhängig, folglich muß

(11.)

sein, oder

ff(z)dz

J z—z₀

k

f(zo). 2xi = 0

(12.)

f(zo) =

1 ff{z)dz \jii J z — zo

k

Dies gibt den

Satz. Liegt der Punkt Po mit den Koordinaten xo, yo in dem Bereiche A, in dem die Funktion f(z) eindeutig und stetig ist, und ist k eine geschlossene Kurve innerhalb des Bereiches A, die den Punkt P₀ einmal im positiven Sinne umwindet, so ist

§ 105.

Verallgemeinerung des Cauchy sehen Satzes.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 276.)

Jetzt sei wieder die Funktion f{z) in dem Bereiche A, in dem auch die voneinander verschiedenen Punkte Zi, z₂, .. . zn liegen, eindeutig und stetig, und es sei F(z) = (2 — zx) (z — z₂)...(z — zn), dann wird nach den Pegeln der Partialbruchzerlegung

An

Z —Zn'

(1.)

(2.)

Â!

a₂

wobei

F(z)

Z—Z\

(3.)

A -    ¹

¹ F\e i)

+^+-+ Ä2 = A.

F\z₂y

ist, folglich wird

f(z)    Aifjz)    A₂f(z)

F{z)    z—z\    z—z₂~^    '

(4.)

AnM

2 — Zn

Ist nun k eine geschlossene Kurve, welche im Bereiche A liegt und die Punkte z1: z₂,...zn einmal im positiven Sinne umwindet, so wird nach dem Cauchy sehen Satze (vergl. Formel Nr. 275 der Tabelle)

(5.)

'f(z)dz

F(z)

= 2jri

.F'(zi) ^ F\z₂)

+ *••4

f(z») '

F\zn)\

Man nennt dabei z1: z₂,... zn die „singulären Punkte“ der Funktion

F(z)

§ 106.

Übungs-Beispiele.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 277 bis 279.)

+ oo

Aufgabe 1. /J₊t ₊ x°?

—oo

Auflösung. Setzt man x -f- ^ = t, so wird nach Formel Nr. 28 der Tabelle

«jr*

also

dt

(2.)

je+> ł|arctg©=y₃!irotg(-W¹)

2 r /2aj+l\l⁺⁰° 2 /jt jc\ 2Jt

*+x+i yi Larct<-prl= yf(2+2)=

+ OO

r dx

J*

—00

Vs

Dasselbe Ergebnis kann man auch in folgender Weise

verschwindet der

linden. Bei der Funktion Nenner nur für die Werte

\ ⁺

h V8-

Besteht also der Integrationsweg k aus dem Durch- a messer AB eines Kreises, der mit dem Halbmesser a um den Nullpunkt beschrieben ist, und dem Halbkreise über AB auf der positiven Seite der X-Achse

(vergl. Fig. 173), so schließt k den singulären Punkt zx ein, a> 1 ist. Nach Formel Nr. 276 der Tabelle wird dann

(3.) Z = 0! = —

und z = 0₃ = —

wenn

Kiepert, Integral-Rechnung.

Fig. 173.

P₂

39

(4.)

f dz    2:ti    2id    2 m    2 ji

Jz² + z + 1 ~ F'(żi) ~    + 1 ~ i\3 " V3

Setzt man jetzt

z — aełi

(5.)

also dz = aieHdt, so kann man das Kurven-Integral in die Summe zweier Integrale zerlegen, von denen das eine über den Kreis-durchmesser auf der reellen Achse, das andere über den Halbkreis erstreckt ist, und erhält aus Gleichung (4.)

-Ya

(6.)

L d* . f dx i/’ Jz²-\-z-\-1    Jx²-\-x-\-l-J'6

k    —a    o

aietldt

2ji

a² e2(i -j- a eu -j- 1

ys

Nun ist

| aietl | — a} | aetl — Zi | > a — 1,    | aeu — z₂ | > a — 1

also

aieu

(7.)

a i eu

2+¹

a

Da der absolute Betrag einer Summe kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge, so wird

(8.)

LA

0

71

aieudt

a² e2ti -f- aeu -j- 1

a — 2 -f-

Jdt =

ji

a — 2 -f-

Wächst jetzt a ins Unbegrenzte, so wird lim

a-2-Y

gleich Null, folglich geht Gleichung (6.) über in

lim /VA²-: - _ /

«=00/- -f- Z -j- 1 J:

k

Dieser AVert stimmt mit dem in Gleichung (2.) gefundenen überein.

(9.)

-f OO

+ oo

dx

2jc

—co

x² -f x -j-1 y 3

Aufgabe 2.

j x²dx

Jx⁴ + 1

(10.)

Auflösung. Die Funktion 0⁴ -f- 1 verschwindet für

— 1+*

0 — Zi =

V2

V2

z = z-₆ =

! <s>.

V2

Wendet man denselben Integrationsweg k an wie bei der vorhergehenden Aufgabe, so umschließt k für a > 1 die singulären Punkte Z\ und 02. Deshalb erhält man nach Formel Nr. 276 der Tabelle ' z² dz + 1

(11.)

— 2jli

Z l²

*2² 1

*i²

= 2ni{^

4 0X3 1 ±z₂à jii(zi -f- z₂)    —ni.2i

2 y 2    ~

Setzt man jetzt wieder z = aeH, also dz = aie?*dt, so kann man das Kurven-Integral wieder in die Summe zweier Integrale zerlegen. Dadurch geht Gleichung (11.) über in

' a³ieSÜ dt

F\zx) ' F'(z₂)_

ni /1    1 \

2 \0i    0₂/

20i0₂

V2

-\-a

(12.)

r z¹ dz f x²dx i

; 1 ⁼M+ 1 J

k    —a    0

a⁴ (F‘ -j- 1

V2

Nun ist

(13.)

j diiF,ü | = <z³,    | a⁴e4H +1 | > a⁴ — 1

also

(14.)

a⁴e4u -f- 1

a⁴ — 1

a —

Da der absolute Betrag einer Summe kleiner ist als die Summe der absoluten Beträge, so wird

" Obàiéiüdt I a⁴ e4łi -f- 1

(15.)

.1

0

r dt

Ja

0

rH

d⁶

a — 1

Jt

Wächst a ins Unbegrenzte, so wird lim _

Cl—CO d    -*■

folglich geht Gleichung (12.) über in

+ °o

= 6,

—oo

x²dx

x* + 1    y 2

-T

2 71

Aufgabe 3.

dx

1 -f- cosa cosa;

Auflösung. Setzt man

(17.) efci — z, also e~xi =

2cosx =

s² + 1

dx —

dz

ZI

so durchläuft 0 = cosa; + isina? einen Kreis k, der mit dem Halbmesser 1 um den Punkt 0 beschrieben ist, im positiven Sinne, wenn x die Werte von 0 bis 2jt durchläuft und es wird

2 n

(18.)    _j_ 2cosa cosa;

0

2 dx

2dz

cos a

₌ 2 r___?

i J z²cosa -j- 2s -j- cos a

k

dz

wobei der Integrationsweg k der oben beschriebene Kreis ist. Der Kenner s²cosa -f- 2s -f- cosa verschwindet für

— 1 -f- sina

(19.) s = si =

cosa

und s = s₂ =

— 1 — sina

cosa

Da unter der Voraussetzung, daß a zwischen 0 und 1 -f- sina

l Hegt

halb außerhalb des Integrationsweges. Dagegen liegt

cos a

> 1 ist, so ist s₂ < — 1 und liegt des-

1 — sina

cosa

1 -f- sina

zwischen 0 und —1, also innerhalb des Kreises k; deshalb wird nach Formel Kr. 276 der Tabelle

(20.)

Si =

cosa

2n

(2L) fl

dx

1 -|- cosa cosa;

= ² / dz i Jz²cosa -j- 2s -f-

k

cosa

2jt

2si cos a -j- 2 sin a

§ 107.

Beweis des Hauptsatzes der Algebra.

Es sei f(z) für alle endlichen Werte von z eindeutig und stetig, und k sei ein Kreis, der mit dem beliebig großen Halbmesser a um den Nullpunkt beschrieben ist; dann wird nach dem Cauchy sehen Satze (vergl. Formel Nr. 275 der Tabelle)

(i.)

7N =

1 rf{z)dz 2m J z

k

-» 7(0) =

Zo

i cm

2m J z

k

— ■>

wobei zo ein beliebiger Punkt im Innern von k ist. Dies gibt

(2.) •

f(z₀)-m =

L /

2m J z(z

k

' z₀f(z)dz

Zo)

Nun sei G der größte Wert, den \f(z)\ annimmt, wenn z den Kreis k durchläuft; dann ist

\f(z)\^G,    \z\ = a, | z — z₀1 ^ a — j £₀

also

(3.)

I zpf(z) : ^ \zq\G \z — z₀\ ~ a — | 0O |

Führt man in dem Integral den Kreisbogen t als Intégrations veränderliche ein, d. h. setzt man

also

z — aetl

so wird deshalb

2 71

(4.)

^⁰ jdt=

0

zoG

a — \z₀\

(5.)

Macht man jetzt die Voraussetzung, daß der absolute Betrag von f{z) nie größer wird als die endliche Größe G, wie groß man auch den Halbmesser a wmrden läßt, so wird hm | f(z₀) — 7(0) | = 0, oder f(z₀) = 7(0),

a=oo

d. h. die Funktion f(z) ist eine Konstante. Dies gibt den

Satz 1. Ist die Funktion f(z) eindeutig und stetig für alle endlichen Werte von z, und übersteigt ihr absoluter Betrag niemals eine endliche Größe G, wie groß man auch den absoluten Betrag von z machen mag, so ist f(z) eine Konstante.

Daraus folgt ein Beweis für den Hauptsatz der Algebra, daß es stets Werte von z gibt, für welche die ganze rationale Funktion wten Grades

(6.)

F{z) = azn -f- a\zn—¹ -f- a-₂zn—2 -)-----\- an—\z -f- an

verschwindet. Damit der Grad wirklich gleich n ist, werde vorausgesetzt, daß a von Null verschieden ist. Aus Gleichung (6.) folgt dann

F{z)

an—i

~zn-\

Wächst der absolute Betrag von 0 ins Unbegrenzte, so wird also

(7.)

— a -J⁻

s²

i ein “T •

(8.)

F(z)

lim

|*| = oo s"

— a. oder lim

— lim I z 1=00 azn

I^l = oo F(z)

Gäbe es keinen Wert von z im Endlichen, für den F(z) verschwindet, so würde die Funktion

für alle endlichen Werte von z eindeutig und endlich sein, und sie würde nach Gleichung (8.) auch endlich bleiben, wenn der absolute Betrag von 0 ins Unbegrenzte wächst. Dann

nach Satz 1 eine Konstante sein. Da

dies ausgeschlossen ist, muß die Annahme falsch sein Deshalb gilt der

Satz 2. Es gibt stets einen Wert von z im Endlichen für den die ganze rationale Funktion nfen Grades F{z) verschwindet.

müßte aber

F(z)

F{z)

Dritter Teil.

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen.

XVIII. Abschnitt.

Theorie der gewöhnlichen Differential-Gleichungen erster Ordnung und ersten Grades.

§ 108.

Begriff und Einteilung der Differential-Gleichungen.

Jede Gleichung, in der zwei oder mehrere Veränderliche und außerdem noch Differentiale oder Differential-Quotienten beliebig hoher Ordnung enthalten sind, heißt eine „Differential - Gleichung“.

Wenn von den Veränderlichen, die in der Differential-Gleichung Vorkommen, nur die eine (z. B. x) als eine unabhängige Veränderliche betrachtet wird, während die übrigen Veränderlichen Funktionen dieser einen Veränderlichen x sind, wenn also nur gewöhnliche (mit geradem d geschriebene) Differential-Quotienten nach x Vorkommen, so nennt man die Gleichung eine „gewöhnliche Differential-Gleichung“.

Wenn dagegen von den Veränderlichen, die in der Differential-Gleichung Vorkommen, zwei oder mehrere als unabhängige Veränderliche betrachtet werden, von denen die übrigen abhängig sind, wenn also dementsprechend partielle Ableitungen auftreten, so nennt man die Gleichung eine „partielle Differential-Gleichung“.

6 16    § 108. Begriff und Einteilung der Differential-Gleichungen.

Hier soll nur von gewöhnlichen Differential-Gleichungen die Rede sein, und zwaT möge zunächst der Fall betrachtet werden, wo in der Gleichung nur zwei Veränderliche x und y Vorkommen. Solche Differential - Gleichungen teilt man nach der Ordnung des höchsten darin enthaltenen Differentials bezw. Differential-Quotienten in verschiedene Ordnungen ein. Es gibt also Differential - Gleichungen erster Ordnung, zweiter Ordnung usw., allgemein nter Ordnung.

(1.)

Auf derartige Diff erential - Gleichungen wird man in folgender Weise geführt. Gegeben sei eine Gleichung F{x,y, C) = 0

zwischen x, y und einer Konstanten C. Für jeden Wert von C stellt die Gleichung (1.) eine Kurve dar, so daß man eine ganze Schar von Kurven erhält, wenn man für C unendlich viele Werte einsetzt. Durch Differentiation der Gleichung (1.) nach x folgt

(2.)

dF(x, y, C)    dF{x, y, C) dy

dx    dy dx

Eliminiert man aus den Gleichungen (1.) und (2.) die Konstante (7, so findet man die Differential-Gleichung erster Ordnung

(3.)

G(x’ y> I) - °-

Sollte die Gleichung (2.) die Konstante C bereits nicht mehr enthalten, so braucht man die Elimination nicht auszuführen, denn die Gleichung (2.) ersetzt in diesem Falle die Gleichung (3.).

Das, was nun die Differential-Gleichung (3.) über den dv

Wert von aussagt, gilt für alle beliebigen Werte von C,

d. h. für alle Kurven der durch Gleichung (1.) gegebenen Kurvenschar. Dabei nennt man die Gleichung (1.) die „zu der Differential-Gleichung gehörige Stamm-Gleichung“ oder ihr „Integral“.

Ist eine Gleichung

Fix, y, Ci, C₂) = 0 zwischen x, y und zwei Konstanten Cf und Co gegeben, so

kann man nach den Regeln der Differential-Rechnung diese Gleichung zweimal hintereinander nach x differenzieren und erhält die Gleichungen

dF(x, y, Gi, C₂) , dF{x, y, Qi, C₂) dy = Q

(5.)

öx

dy

dx

und

ö²F

d²F dy dxdy dx

Indem man aus den drei Gleichungen (4.), (5.) und (6.) die Konstanten Gi und C₂ eliminiert, ergibt sich eine Differential-Gleichung zweiter Ordnung

(6.)

dx²

ö²F /dy'f ÔF d²y

dy²

GW, ay ₌

\dx) dy dx²

(7.)

d²y

dx²

dy und

Das, was diese Differential-Gleichung über aussagt, gilt für alle Werte von Gi und C2l d. h. für

dx

alle zweifach unendlich vielen Kurven der durch Gleichung

(4.) gegebenen Kurvenschar.

Dabei heißt die Gleichung (4.) wieder die „zur Differential-Gleichung (7.) gehörige Stamm-Gleichung oder ihr

Integral

So kann man fortfahren und auch Differential - Glei

chungen höherer Ordnung herleiten.

so er-

Man wird aber auch auf Differential-Gleichungen geführt, indem man Kurven aufsucht, die bestimmte Eigenschaften besitzen. Soll man z. B. alle Kurven ermitteln, bei denen die Tangente die konstante Länge a hat, hält man die Differential-Gleichung erster Ordnung

(8.)

y% = a’ oder y)/¹+($=“■

Andere Beispiele für Differential - Gleichungen erster Ordnung geben die Gleichungen

(9.)

(3 y² + 7 x²)dy + (12 xy — 8x²)dx = 0,

oder

(10.)

y² — ax

(li.)

(12.)

ydx = (x -f- Yx² -f y²)dy

+ y • f{x) = 9>(*0-

dy

dx

Soll man alle Kurven ermitteln, bei denen der Krüm-

mungshalbmesser q = +

/ds'J

\dx)

d²y

dx²

n-mal so groß ist wie die

Normale N =

y i so erhält man die Differential-Gleichung

Cl/jC

/dsSi

\dx/

ds

- d²y

= nydx’

dx²

oder

(13.)

d²y

dx²

Dies ist eine Differential-Gleichung zweiter Ordnung, weil die zweite Ableitung von t/ nach æ darin vorkommt. Andere Beispiele für Differential-Gleichungen zweiter Ordnung liefern die Gleichungen

(14.)

d²y

dx²

x

—    +    9

- ß-

(15.)

d²y 1 /dyS2 dx² y\dx)

(16.)

dx²

— G {x

v)

Die Gleichung dny dxn

dn~ly dxn~

ist eine Differential-Gleichung nfer Ordnung, und zwar heißt sie ..eine Differential- Gleichung wter Ordnung und ersten Grades“, oder „eine lineare Differential-Gleichung nier Ordnung“, weil sie in bezug auf die Größen

(17.) Ffa)

+ Fix)

dy

xd-----b Fn-X{x)jx+Fn{x)y==dKx)

dy d²y dny dx¹ dx¹ ’ dxn vom ersten Grade ist. Foix), d\(x), ... Fn—\{x), Fn{x) und <P(x) sind dabei beliebige Funktionen von x.

§ 109.

Auflösbarkeit der Differential-Gleichungen erster Ordnung zwischen zwei Veränderlichen. Intégrations - Konstante.

Die einfachste Form einer gewöhnlichen Differential-Gleichung zwischen zwei Veränderlichen x und y tritt bei Ermittelung eines jeden Integrals auf, wo die Differential-Gleichung

dy

(1.)

dx

= f\x)

gegeben, und ihr Integral

(2.)

V = f(x) + C

so zu bestimmen ist, daß Gleichung (1.) daraus durch Differentiation abgeleitet werden kann. Man nennt dann

(2 a.)

V —Jf\x)dx = f{x) 4- C

das „allgemeine Integral“ der vorgelegten Differential-Gleichung, weil dabei noch eine beliebige Intégrations-Konstante C auftritt. Diese kann man so bestimmen, daß y den Wert y₀ annimmt, wenn x gleich Xo wird. Setzt man nämlich so wird

(2 b.)

y = 2/o + f{x) — fixo) = F{x, x₀,2/o).

Man kann also der durch Gleichung (2.) dargestellten Kurve vorschreiben, daß sie durch den beliebig gegebenen Punkt P₀ hindurchgeht, und erhält auf diese Weise eine ganze Schar von Kurven.

Will man das angegebene Verfahren auf eine beliebige Differential-Glek 1 un g (3.)

(4.)

übertragen, so heißt auch dabei die gesuchte Funktion y = F(x, x₀, yd),

welche für x gleich xo den Wert y₀ annimmt, das ..allgemeine Integral“ der vorgelegten Differential-Gleichung, wenn Gleichung (3.) durch Einsetzen dieses Wertes von y befriedigt wird, wenn also

(5.)

G[x, Fix, xo, yo), F\x, x₀, y₀)\ = 0

wird, was auch die Veränderliche x und die Konstanten xo, yo sein mögen.

Man kann sich zunächst durch ein graphisches Verfahren davon überzeugen, daß ein solches allgemeines Integral immer existiert, bei dem man für x = xo den Anfangswert yo von y noch beliebig annehmen darf.

Der Einfachheit wegen möge die Annahme gemacht werden, daß man die vorgelegte Differential-Gleichung (3.) auf die Form

dy

(6.)

dx ~ y)

bringen kann, und daß für die betrachteten Werte von x und y die Funktion tp(x, y) eindeutig und stetig ist. Die Gleichung (6.) gibt dann für jeden Punkt P mit den Ko-

an. Beachtet man noch

ordinaten x, y den Wert von

die geometrische Deutung des Differential-Quotienten (vergl. D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 17 der Tabelle), beachtet man nämlich, daß

(7;)

= tg«

ist, wo mit a der Winkel bezeichnet wird, den die Tangente im Kurvenpunkte P mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, so ist zu zeigen, daß es eine Kurve

(8.)

y = F(x, x₀, y₀)

gibt, welche durch den beliebig gewählten Anfangspunkt P₀ hindurchgeht und in jedem Punkte P die durch die

Gleichung (6.) vorgeschriebene Richtung hat. Man nennt eine solche Kurve eine „Integral-Kurve“ und die Gleichung zwischen x und y, der eine solche Integral-Kurve entspricht, ein „Integral“ der vorgelegten Differential-Gleichung.

Näherungs weise geschieht nun die graphische Konstruktion solcher Kurven auf folgendem Wege: Ist z. B. Po mit den Koordinaten xo, yo y der willkürlich gewählte Anfangspunkt (vergleiche Fig. 174), so kann man die Tangente im Punkte Po konstruieren , weil man aus der Gleichung

Fig. 174.

fr

P₃

Pi

pn

Po

Qo Qi Q* Qi Qi

<4-i Q

tg«o = <p{zo, yo)

ihre Richtung berechnen kann. Dabei wird die Gleichung dieser Tangente nach D.-R. (12. Auflage) Formel Nr. 144 der Tabelle

(9.)

y — yo = <p(xo, yo) (x — x₀).

Macht man jetzt X\ — Xq hinreichend klein, so erhält auf dieser Tangente einen zweiten Punkt Pi mit den Koordinaten

(10.)

man

(11    xi und y y = yo + (pixo₎ yo){x\ — xq),

der dem Punkte Po so nahe liegt, wie man will.

In derselben Weise wie für Po erhält man für den Punkt Pi die Richtung der zugehörigen Tangente aus der Gleichung

tgßi = <p(x 1, 2/1);

die Gleichung der Tangente im Punkte Pi wird daher

y — 2/1 — vfru yi)(x — xà-

Macht man jetzt x₂ — xx hinreichend klein, so erhält auf dieser Tangente einen Punkt P2 mit den Koordi-

(12.)

(13.)

man

naten

x-2 und y₂ = 3/1 + 0>(«i, 2/i) (^2 — a?i), der dem Punkte Pi so nahe liegt, wie man will.

(14.)

(15.)

Jetzt kann man aus der Gleichung tg«2 = <0{X2, V2) die Richtung und die Gleichung

(16.)

y —y2 = v(x2, yi)(x — x₂) der Tangente im Punkte P₂ bestimmen. Macht man dann x₃— x₂ hinreichend klein, so erhält man auf dieser Tangente einen Punkt P₃ mit den Koordinaten

(17.)

x₃ und y₃ = y₂ +    2, ya)(a& — «2),

der dem Punkte P₂ so nahe liegt, wie man will.

Indem man so weiter fortfährt, findet man ein Ariel-eck P₀PiP₂P₃ .. - Pn-iPn, das, wie sogleich gezeigt werden soll, als eine Annäherung an die gesuchte Integral-Kurve betrachtet werden kann. Diese Annäherung ist um so genauer, je kleiner man die Seiten des Vielecks macht. Werden schließlich die Seiten verschwindend klein, so geht das Vieleck in eine Kurve über, deren Tangenten in jedem Kurvenpunkte die durch die Differential-Gleichung vorgeschriebene Richtung haben.

Dabei muß zunächst gezeigt werden, daß dieses Verfahren zu einer ganz bestimmten Grenzkurve y = f(x) führt, wenn n dadurch ins Unbegrenzte wächst, das die einzelnen Seiten des Vielecks P₀PiP₂ ... Pn nach einer bestimmten Vorschrift verschwindend klein werden. Sodann ist nachzuweisen, daß die Grenzkurve dieselbe bleibt, auch wenn man diese Vorschrift durch eine beliebige andere ersetzt, und schließlich muß gezeigt werden, daß die gefundene Grenzkurve der vorgelegten Differential - Gleichung (6.) genügt.

Um diesen Beweis*) durchzuführen, werde vorausgesetzt, * daß die Funktion <p(x, y) eindeutig und stetig sei für alle Werte von x und y, für welche

(18.)

x — xo I < a und | y — y» | < b

*) Der Anfänger darf diesen Beweis (Seite 622 bis Seite 629, Zeile 4 von oben) übergeben.

ist, wobei a und b irgendwelche gegebene Zahlen sind. Beschränkt man die Untersuchung auf diese Werte von x und y, so kann man wegen der Stetigkeit der Funktion çp(rr, y) die positive Zahl ó so klein machen, daß für | /tx | < ô und | 4y | < 6

(19.)

| cp(x + Jx> y -f- zly) — ç(x, y) | < e

(20.)

<k

wird, wo e eine gegebene, beliebig kleine positive Zahl ist. Ferner möge die Voraussetzung gemacht werden, daß für zwei beliebige Werte yx und y₂ von y innerhalb der durch die Ungleichungen (18.) angegebenen Intervalle cp{x, y2) — q{x, yi)

2/2 — 2/1

= <P2(x, y)

ist, wobei k einen endlichen Wert hat. Diese Voraussetzung wird ohne weiteres erfüllt, wenn man weiß, daß d<p(x, y)

öy

für die betrachteten Werte von x und y stets einen endlichen Wert hat. Denn nach dem Mittelwertsatz der Differential-Rechnung ist

(21.) q)(x, y₂) — y(x, yx) = (y₂ — yi)cp₂[x, yi + 0{y₂ — 2/1)] -

Um also die Ungleichung (20.) zu erfüllen, braucht man nur die Zahl k größer zu machen als den absoluten Betrag aller Werte von (p₂(x, y) innerhalb des betrachteten Gebietes.

Es sei jetzt x ein beliebiger Wert, welcher der Un

gleichung

(22.)

0 ~ x — x₀ < a genügen möge*). Dann teile man das Intervall von Xq bis x nach irgendeinem Gesetze in n Teile, bezeichne die Teilwerte mit Xi, x₂,... xn—1 und x selber mit xn. Die zugehörigen Werte von y bestimme man nach den Formeln, die oben in den Gleichungen (11.), (14.) und (17.) angegeben sind; man setze also

*) Der Fall, wo

— a < x — x0 ist, kann in ähnlicher Weise behandelt weiden.

2/1 = yo 4- \xi — yo),

(28.)

2/2 = y\ + (»2 — tfi)9>(æi, 2/1)5 2/3 = 2/2 H- (»3 — x2)y{X->, 2/2),

. 2/w 2/m—1    (^M    —l)ęp(^M—1) 2/m—l)'

Damit 12/1 — 2/o 1,    12/2 — 2/o |,    12/3 —2/o |, • • • | 2/m — 2/o

(p (x, y) I innerhalb des betrachteten Ge-

sicher kleiner bleiben als b, bezeichne man mit G den größten Wert von

bietes, dann folgt ans den Gleichungen (23.)

(24.)

12/1 — 2/01 < (*1 — Xo)G.

7 so wird also

Macht man a?i — Xo<C~g;

12/1 — 2/01 < b.

,    b

Ist jetzt auch x% — Xo < -^1 so wird

2/2 — 2/0 = (®i — x0)vix<h 2/0) + (pcz — xi)<P(xi, 2/1)5

also

(25.) 12/2 — 2/01 < (®i — ^o)G + (»2 — xi)0 = (x2 — xo)G- < 6.

|Cb

dann wird

Ferner sei auch X3 — x₀ <

y% Î/0 = (xl Xo)<p(Xo, 2/o)+(^2 £l)<pGi, 2/1)+ (^3 X2)<P{X2, 2/2)5

also

(26.)    12/3—2/01 < (*1 — zo)G + («2 — ^i)£ + (»3 — z₂)G

= (£3 — a?o)G < 6.

So kann man fortfahren und zeigen, daß auch

I 2/m — 2/01 < &

bleibt, solange xn — x₀ ^

-- ist. Sollte dabei

G •

= a' < a

sein, so muß man x — Xo auf das Intervall von 0 bis a' beschränken.

Es soll nun bewiesen werden, daß sich yn einer bestimmten, endlichen Grenze nähert, wenn man die Anzahl n

der Intervalle zwischen xq und x irgendwie so ins Unbegrenzte wachsen läßt, daß jedes Intervall verschwindend klein wird.

Bei der Teilung der Strecke von xq bis x in Teilintervalle, welche für x — xn den Wert yn liefert, seien die einzelnen Intervalle bereits so klein, daß Xa-\-i xa Ô

ist, und daß auch

\ya+i—ya\ = (xa+x—xa)\ cp(xa, ya)\<{xa+l—xa)G <6 wird. Dadurch erreicht man, daß nach Ungleichung (19.)

(27.)

| <p{xa+u ya+1) — g>(xai ya) \<e

wird. Diese besondere Teilung möge festgehalten werden; man schiebe aber in den einzelnen Teilintervallen nach irgendeiner Vorschrift neue Teilpunkte ein; dann kann man zeigen, daß der Unterschied zwischen dem Wert y'n, den man bei dieser neuen Einteilung erhält, und dem ursprünglichen Werte yn beliebig klein wird. Man schiebe z. B. zwischen xa und xa+i die Werte

Xa, 1 7 Xa> 2 7 • • • Xa> V—1

Xa, I7

ein, so daß xa>o mit xa und xUjV mit xa+i übereinstimmt. Bei dieser neuen Einteilung mögen den Werten xa,

■ • • Xa,v—i? xa+1 nach der Gleichung

(28.)

y a,ß+1 y a,ß ~ (pGa,(3+l    Xa> ß) V (•*'«, ß ) V u,ß)

die Werte

y «7 y a, I7 y • • • y a,v—\) y a+1 zugeordnet sein, wobei möglicherweise schon y⁷« von ya verschieden ist, weil in den vorhergehenden Intervallen Einschiebungen stattgefunden haben.

Aus der Ungleichung

(29.) Iy'a>ß — y'a\< (x«,ß — xa)G^ (xa+1 — xa)G < ô folgt aber, daß auch

(30.)

I <p(xa,ß, y'a,ß) — <p{xa) y'a) I < «

wird für jedes ß, insbesondere für ß = v. Bezeichnet man also mit Q eine passend gewählte Zahl zwischen — 1 und -f- 1, so wird

40

Kiepert, Integral - Rechnung.

(31.)

und

<p(Xa,ß, y'a,ß) = <f{Xa, y'a) + &£

(32.) y a,v y a,0 — y ct+1 y a {Xa+l '^a)\_^p{^ai y cc) "f* Ok\ . Zieht man von dieser Gleichung die Gleichung y a-\-1    y a ' ' (*®a+1    ^■'a)^P(*Grj ya)

(33.)

ab, so erhält man

(34.) y'a+i—ya+1=^y'a—:ya+(xa+1—xa)[<p(xa, y'a)—cp{xai yu)+Os\. Nun ist nach Ungleichung (20.)

[ y a) yfaai y a) |    ^ | y a    y a \

und | Se | < £, folglich wird

(35.) \y'a+i — ya+i\<\y'a — ya\ + {xa+x — xa)(k\y'a—ya \ +e).

Der Kürze wegen setze man (36.)    | y a ya | Da und | y a-)-i    ya+11    -Da-i-i,

dann geht Ungleichung (35.) über in

Dß [1 H⁻ k(xaĄ.\ *®a)] ~f“ ^(p^a+1    ^u)j

8

oder, wenn man auf beiden Seiten dieser Ungleichung % * addiert, in

(37.)

(38.)

Da+\ “f- <C a —J⁻ ^ [1 ~1~ Jc{xaĄ-1    3J«)]*

Da nach Voraussetzung xa+1 — xa positiv ist, so wird

e^cc+l — *a) k{X(x+1    *®a) i /i    Xa)“

1!

2!

-|—> 1 -f- k(pca+1 —xu).

folglich wird

-D“+l+l<(-D“ + l)

Dies gibt, wenn man der Reihe nach a — 1, 2, 3 ... setzt und beachtet, daß Z>o = | y'o — yo | gleich Null ist,

£

— pk{x\— xq)

k

(39.)

ek(xa+l — xa).

(40.)

A+|<

* + i<

Z>₃+ -k

D«+i +    <(d« +

folglich wird

(41.)

Da+\

< ? [e*&ä+i-*ü — i],

rC

Bezeichnet man also den Wert von y, der nach der ursprünglichen Einteilung zu x gehört, mit yn, und den Wert, der nach der neuen Einteilung zu x gehört, mit y'n, so ist

I y'n

(42.)

y»\<y    1].

Da man nun e beliebig klein machen kann, wenn man nur die Zahl n hinreichend groß macht, so wird der Unterschied zwischen y'n und yn beliebig klein.

Damit ist, wie sogleich gezeigt werden soll, auch bewiesen, daß sich yn demselben Grenzwerte y nähert, wenn man das Intervall von xq bis x nach irgendeinem anderen Gesetze in Teilintervalle zerlegt. Bezeichnet man in diesem Falle die neuen Teilwerte, welche das Intervall von xq bis x in m Teilintervalle zerlegen, mit x\, x/2,...x'm—i und x selber mit x'm, so sei diesem Werte x'm nach dem durch die Gleichungen (23.) vorgeschriebenen Naherungs verfahren der Wert y"m zugeordnet.

Um zu zeigen, daß limy",* = limyn wird, führt man jetzt eine dritte Einteilung des Intervalles von xq bis x dadurch aus, daß man sämtliche Teilwerte Xi, x₂,... xn-\ der ersten und sämtliche Teilwerte x/i, x'₂₎... x'm-i der zweiten Einteilung vereinigt. Hierbei möge dem Wert x nach dieser dritten Einteilung der Wert y'" zugeordnet sein. Dann ergibt sich aus dem vorstehenden Beweise, daß man den Unterschied zwischen y'" und y„, und ebenso den Unterschied zwischen y“' und y“m beliebig klein machen kann, wenn man nur die Zahlen m und n hinreichend groß macht. Folglich kann auch der Unterschied zwischen yam und yn beliebig klein gemacht werden, so daß sich y"m und yn derselben Grenze nähern, d. h. yn nähert sich mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen Grenze, nach welchem Gesetze die Einteilung des Intervalles von x₀ bis x in Teilintervalle auch erfolgt sein mag, oder mit anderen Worten: Unter den über rp(x, y) auf gestellten Voraus-

40*

für u = z — y die Differential-Gleichung

(44.) dx = (fix, z) — (p{x, y) — (z y)<p₂[x, y + ß(z — y)\,

wobei ß < 1 ist. Da y und 0 Funktionen von x sind, so kann man çp₂ [^7, y + @(z— y)] als eine Funktion von x allein betrachten, die mit F{x) bezeichnet werden möge. Dadurch geht Gleichung (44.) über in

du

(45.)

Setzungen wird bei Anwendung des angegebenen Näherungsverfahrens durch die, Gleichung

(6.)

dy

y als eine bestimmte Funktion von x erklärt, die für x = x0 den vorgeschriebenen Wert y₀ annimmt.

Diese Funktion, die mit F(x, x₀, yo), oder der Kürze wegen auch mit f{x) bezeichnet werden möge, genügt auch der vorgelegten Differential-Gleichung (6.), denn nach den Gleichungen (23.) ist

y a+1    y a⁼⁼ (*£«+i    y J), oder

ya+i ya

= <P(xa, ya)

wobei xa+i — xu mit unbegrenzt wachsendem n verschwindend klein wird; folglich ist für alle Werte von x in dem betrachteten Intervalle

dy

|    y)-

JO

~ = lim dx x\=x

Die gefundene Lösung ist auch die einzige Lösung der vorgelegten Differential-Gleichung. Denn gäbe es noch eine zweite Lösung z — g(x), die ebenfalls gleich yo wäre für x — Xo, so fände man aus

(43.)

dz

dx

= <P(X, z)

fj/fj

= uF(x), oder = F{x)dx. ctx    w

Dies gibt durch Integration

(46.)

oder

\nu = J'F{x)dx + ln G

Xo

(47.)

J F (x)dx

u — CeXa

Nach Voraussetzung wird aber u gleich Null für x — Xo, folglich muß C gleich Null sein. Dies gibt u = z — y = 0, oder z = y.

(48.)

Da man den Wert y — y₀, welcher dem Werte x — xo zugeordnet ist, noch beliebig wählen kann, so entspricht der Differential-Gleichung (6.) nicht eine Lösung, sondern es entsprechen ihr unendlich viele Lösungen, weil in der Gleichung

(49.) y = F(x,xo, y₀) die Konstante yo unendlich viele Werte haben darf. Den unendlich vielen Integralen entsprechen auch unendlich viele Integral-Kurven, wie aus Figur 175 zu ersehen ist.

Man nennt dabei den willkürlichen Wert yo „die Intégrations - Konstante “ und bezeichnet sie gewöhnlich mit C oder c. Die Gleichung (49 a.)

Fig. 176.

îf

y = F(x, x₀, y₀) = Fix, x₀, C) nennt man „die allgemeine Lösung“ der Differential - Gleichung, aus der die partikulären Lösungen hervorgehen, indem man für die Integrations-Konstante C einen besonderer! (partikulären) Wert annimmt.

§ no.

Auflösung der Differential-Gleichung erster Ordnung mit Hilfe der Taylorschen Reihe.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 280.)

Es sei wieder die Differential-Gleichung erster Ordnung

= 9>fo y)

(1.)

dy

dx

gegeben, wobei die Funktion (p{x, y) für \x — xoj < «, | y — yo | < b eindeutig und stetig sein möge. Außerdem bleibe

(2.)

dç(x, y)

dy

= <P2(x, y)

für die betrachteten Werte von x und y endlich ; dann gibt es, wie in dem vorhergehenden Paragraphen gezeigt worden ist, eine Funktion

(3.)

y = F{x, x₀, yd), die innerhalb gewisser Grenzen für x und y der Differential-Gleichung (1.) genügt und für x — xo den Wert y₀ annimmt. Näherungs weise kann man auch die Werte von y aus den Gleichungen

(4.)

y\ = yo + {X\ — xd) fp(x₍), yo) y* = yi+ (X2 — XX) <p(XX, yd)

ermitteln. Ein zweiter Weg zur Lösung ergibt sich aus der Anwendung der Taylor sehen Reihe.

Der Kürze wegen bezeichne man die gesuchte Funktion Fix, x₀, yd) mit fix), dann wird nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 90 der Tabelle

(5*) y = tir) = f{x₀) +

f\xd)

f"(xd)

1!

(x — Xo) +    2!

(x — x₀)² H----

f{n\xd)

(x — xdf¹ + R.

Dabei ist

(6.)

f(x() = y₀,

weil y gleich yo werden soll für x = xo. Ferner muß, wenn die Lösung der Gleichung (1.) genügen soll,

(la.)

dy

dx

= f\x) = cp(x, y)

sein, folglich wird

(7.)

f'ixo) = cp(xo, yd)

wird. Differenziert man beide Seiten der Gleichung (la.) nach x, so erhält man nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 136 der Tabelle

(8.)

dry

dx¹

= f"(x) =

dy(x, y) _ d<p(x, y)    d<p(x, y) dy

öx

= <Pi(x, y) + n{x, y)

dx

dy

dx

dy dx

wobei nach Gleichung (1.)

dy

dx

gleich (p(x, y) ist. Der Kürze

wegen setze man jetzt d<p(x, y)

dy

dx

= Hx, y) + Hx, y) g = Hx, y)

(9.)

~~~dx ^ = 9l'(x’ y) + cp2'(x’ ^ dcp"(x, y)

dy

dx

= H(x, y)

dx

= H'(x, y) -i- H'(x, y)dfx = H'(x, y),

dann wird

(10.) f'\x) = <p'(x, y), f"'(x) = H(x, y), ... fW(x) = H~l\x, y\

also, da y — yo wird für x = xo,

f"(xö) = (p'{xo, yd), f"\xd) = (p"{x0, yd),

•.. H\xo) = H^Kxo, yd) ; d. h. man kann die sämtlichen Koeffizienten auf der rechten Seite von Gleichung (5.) genau berechnen.

Die Bedingungen dafür, daß das in Gleichung (5.) auftretende Restglied R für hinreichend große Werte von n beliebig klein wird, sollen erst in dem folgenden Paragraphen auf gesucht werden. Damit die vorliegende Darstellung nicht unterbrochen wird, möge hier vorausgesetzt dR

werden, daß -=— für hinreichend große Werte von n be-

liebig klein wird, wenn \x — xq | < a ist. Dann gilt, wie in § 48 der D.-R. (12. Auflage) gezeigt worden ist, dasselbe auch für R, so daß die durch Gleichung (5.) gefundene Reihe

(11.)

, f"(xo)

(x xd) -f- 2 i

für die betrachteten Werte von x — x₀ konvergent ist. Unter dieser Voraussetzung kann man beweisen, daß Gleichung (12.) das allgemeine Integral der vorgelegten Diffe-

(12.) y = fix) = f(pco) -f

f'ixd)

1!

(x — x₀f Ą----

632    § HO. Auflösung der Differential-Gleichung erster Ordnung.

rential-Gleichung ist, wobei nach Gleichung (6.) y gleich 2/o wird für x — x₀.

Differenziert man nämlich beide Seiten der Gleichung (5.) nach x, so erhält man

f'\xo)

dy

(13.)

1!

.    , . f'"{xo)    ₂

(x — x(l) +    2!    (a; — Xq)² +

f{n\x o)

oder, wenn man die Gleichungen (11.) beachtet,

(n — 1) !

(13 a.) dy

(x — Xof

<p\x o, yo)

1!

cp"(x₀, yo)

dx

(n — 1) !

(x — a?₀)

Da nach Voraussetzung    für hinreichend große

CMC

Werte von n beliebig klein wird, so stellt die rechte Seite der Gleichung (13a.) die Entwickelung von <p{x, y) nach steigenden Potenzen von x — Xq dar, nachdem man für y den Wert aus Gleichung (5.) eingesetzt hat. Aus Gleichung (13 a.) folgt also, daß der gefundene Wert von y die Differential-Gleichung

befriedigt.

dy

dx

= y)

Das angegebene Verfahren darf in allen Fällen, wo <p{x, y) eine eindeutige, stetige Punktion ist, angewendet werden, wenn man den Nachweis führen kann, daß das Pestglied R für hinreichend große Werte von n beliebig klein wird. In vielen Fällen wird es aber auch möglich sein, das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung in geschlossener Form, d. h. ohne Reihen -Entwickelung durch eine Gleichung

(14.)

&(x, y, C) = o

darzustellen. Aus dieser Gleichung kann man im allgemeinen die Integrations-Konstante C so bestimmen, daß für x = xq die abhängige Veränderliche y gleich y{) wird, braucht ja nur die Gleichung

Man

(15.)

&(xo, yoi C) = 0 nach C aufzulösen. Setzt man einen der gefundenen Werte von C in die Gleichung (14.) ein und entwickelt wieder y nach steigenden Potenzen von x — Xq, so muß man genau dasselbe Resultat wie vorher erhalten, weil in beiden Entwickelungen das erste Glied gleich yo wird, und weil sich die Koeffizienten der folgenden Glieder schon aus der vorgelegten Differential-Gleichung

(16.)

dy

dx - y)

ergeben, die aus der Gleichung (14.) durch Differentiation hervorgehen muß. Löst man nämlich Gleichung (14.) nach

y auf, berechnet sodann

dy

dx

und setzt diese Größen in Glei-

chung (14.) ein, so muß die Gleichung identisch befriedigt werden, d. h. sie muß für alle Werte von x und C gelten. Deshalb kann man auch die Diffrential-Gleichung (16.) aus den Gleichungen

(17.)

<P(x, y, C) — 0 und

d<P d<P dy _ dx ^ dy dx

durch Elimination von C herleiten.

Wie man also auch das Integral aufgefunden hat, man erhält in allen Fällen dasselbe allgemeine Integral, so lange </D(a?, y) für die betrachteten Werte von x und y eine eindeutige, stetige Funktion ist.

§ Hl.

Untersuchung der Konvergenz-Bedingungen").

Es sei wieder die Differential-Gleichung

(1.)

I = y)

gegeben. Dabei sei g>(x, y) für die betrachteten Werte von

*) Der Anfänger darf diesen Paragraphen überschlagen.

x und y eine eindeutige und stetige Funktion, die sich, mit Hilfe der Taylor sehen Reihe nach steigenden Potenzen von

x — XQ = h und y — yo — k

(5.)

entwickeln läßt, so lange

\h\^r und \k\^s

bleibt. Nach dieser Voraussetzung wird also

(3.)    <p(x, y) = <p(x₀, y₀) +

~d<pjx₀, i/o) h    dcpjxo, y₀);-

dx₀

dyo

1 rdcp(x₀, yo)

⁺ 2 ! L öx₀

1 rdtpjxo, yo)

3 ! . dxo

h-f

dcpjxo, yo)₇1g)

dyo

dyo

eine konvergente Reihe, in der alle Glieder gleicher Dimension zu einer Gruppe vereinigt sind. Es wird z. B.

öp<p

dxop~ldyo

h-f

h»4-(p\

dyo ) p'.ldxor    ⁺ V1/

hp-xk

bO

dp<p

dx₀p~²dy₀²

oder

(5.)

JL ( ⁸^_h , <b A'l JL %P(P\

p\\dxo ^ dyo ) p\èXn)

Setzt man

dp(p

dxop~ndyo

hp~nkn.

(6.)

p — m -f- n, also p — n — m

und beachtet, daß

*) Hierbei soll der Wert von

om<p(æ, y)

dxm

Kürze wegen mit

S"<pjxoi y₀)

dVon

dm+n<p(x₀, y₀)

6x₀™ 6y₀n

y= y₀ mit

em<p(xo, y₀)

dxtfn

der Wert von

und der Wert von

bezeichnet werden.

für x = x₀, y = y₀ der

ön,f(x, y) dyn

em+n(f(x, y)

für x — x₀,

öx?n dyn

für x — xQ, y = y₀

(7.)

(p)=

p ! \nj

p(p — î)...

1 p{p

ml nl

1).. .(m -f- l)m(m—l).--3.    .

IO

T—I ’

pl

ml ni

1 p !

pl ml ni

ml ni

ist, so erkennt man, daß ein beliebiges Glied der Reihe die Form

hat.

1    dm+n<p(xo, yo)

ml nl dxomdyon

hmkn

Die Anzahl der Glieder in der durch Gleichung (3.) gegebenen Entwickelung von p{x, y) nach steigenden Potenzen von h und Zf, bei denen m + n < q ist, wird

(8.)

1 + 2 + 3 +----b Î —

q(q + 1)

q(q + 1)

Run sei unter den

Gliedern

__1    I öm+np{xo, yo)

ml nl | dxomdyon

bei denen m + n < q ist, das größeste gleich G. Da wegen der Konvergenz der Reihe die Glieder schließlich verschwindend klein werden müssen, kann G nicht mehr zunehmen, wenn q eine gewisse Zahl überschritten hat. Folglich behält G einen endlichen Wert, wie groß die Zahl q auch werden mag. Dies gibt für alle Werte von m und n

1 j    yo) ! r,„ „» g

oder

mini j dxomdyon |    '    ’

ml ni G

fy*tn £fl

(9.)

ö,n+nq>(xo, y₀) ' ^ dxQmdyon | Œ

Daraus folgt

Satz 1. Ist <p(x, y) für die betrachteten Werte von x und y eine eindeutige und stetige Funktion, die sich in eine konvergente, nach steigenden Potenzen von

x — xo = h und y — yo — k

§ 111. Untersuchung der Konvergenz-Bedingungen. fortschreitende Reihe entwickeln läßt, so lange \ h\^kr und \k\^ s bleibt, ist ferner unter den

636

Gliedern

! d<p(x₀, y₀) | „ j d<p{xo, y₀) n

(ftn gn

1 j öm+ncp(xo, y₀) | m ! n !    dyon

für m + n < q das groß este gleich G, so ist, wenn man q hinreichend groß macht, für alle Werte von m und n dm+n<p(xo, y₀) öx₀mdyon

Diesem Satze kann man noch eine andere Fassung gehen. Es sei

(10.)

<P{x, y) =

y~z_yj\

dann wird

(11.)

dM+nP(x, y)

{m -f- 1)! n ! G

dxmdyn

-rr₀ jt+2^₁ _ y — yo^j

n+1 r

also für x = xq, y — yo

öm+n(P(xo, y₀) (m -f- 1)! n\ G

-- j

y*m ßU

folglich geht Ungleichung (9.) über in

öq)m+n(xo, y₀) |    1 dm+n P(x₀, yQ) ^ dm+n<P(x₀, y₀)

dxomdyon i ~ m-f-1    dxomdyon

(12.)

(13.)

dxom dyon

dxom dyon

Nun läßt sich die Differential-Gleichung

(14.)

dy

dx - y) =

sehr leicht integrieren, wenn man sie auf die Form

(15.)

Gdx

X — Xq\²

bringt und beide Seiten dieser Gleichung integriert. Beachtet man dabei noch, daß y — yo sein soll für x = so findet man

G{x — x₀)

(16.)

(y — yof

y -y₀ - / .

2s

oder

(17.)

(y — yo)² — 2% — yo) +

2 sG{x — xp) _ X — Xo

Dies gibt

(18.)

y — y₀= s ± s²

2 sG(x— xo)

X — Xo

Aus dieser Gleichung erhält man für x — x0 y—yo =.s±s,

folglich muß man in Gleichung (18.) das untere Zeichen nehmen, damit y = y₀ wird für x — Xq. Es ist also

x —

(19.) y = yoĄ-s—(l

s¹

Hx-xo> r

= yo+s—

Setzt man jetzt

(20.) - + — =

/ s

so erkennt man, daß g < r wird. Gleichung (19.) geht dadurch über in

2 Gr²

— ? also q = —:—₀ ~ — r — —;— g    * s + 2 Gr    s + 2 Gr

(21.) y = yo + 5 —■

Die Ausdrücke

/ x — «0V/1 x — Xo\

■v—r)v——) '

(■

x — x₀^ ?

und

kann man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von x — Xo entwickeln, und zwar bleiben die Reihen, da g < r ist, unbedingt konvergent, wenn

| x — x₀1 < g

ist. Deshalb kann man auch nach D.-R, 12. Auflage,

Formel Nr. 119 der Tabelle das Produkt dieser beiden Reihen bilden und erhält

(22.) y = yo Ax{x — x₀) + Ä₂(x — x₀f + A₃(x — x₀f-{----.

Auch diese Reihe ist dann unbedingt konvergent, wenn \x ■— Xq I < g ist.

Damit ist gezeigt, daß sich das Integral der Gleichung (14.) durch eine konvergente Potenzreihe darstellen läßt. Sobald man dies weiß, kann man die Koeffizienten Ai, A₂, A3,... dieser konvergenten Reihe auch nach den Angaben in § 110 finden, indem man

(23.)

y = F{x)₁ also y₀ = F{x₀)

setzt und nach dem Taylor sehen Lehrsätze entwickelt. Dies gibt

(24.) y = y₀ +

F\x0)

11

(X—Xo) +

F'\x0)

,    ^ , F'"(xo)

2 j (x—xoY+~ 37........{x-xoT+-

wobei

(25.)

F\x0) = T(x₀ ,yo)=G, ~d<P    d<P dy'

_dx    dy dx_

’d²<P dx²

F"(x ₀) =

x=x₀, y=y₀

F"'(xo) =

+2

d²⁽I> dy d²F /dy\r öx dy dx ' dy² \dx/ d<f> d²yl dy dx²J

x=x₀, y=X(i

ist. Die Bildung dieser Ausdrücke wird noch dadurch erleichtert, daß nach Gleichung (12.)

dm+n<P(x₀, yQ) (m -f- 1)! n \ G dxo,n dyon

ist. Gleichzeitig erkennt man daraus, daß die partiellen Ableitungen von <P(x, y) für x = 'x0j y = yQ sämtlich positiv sind. Deshalb sind auch die Größen F"(pcd)

1} 21

/y*Wl

(26.)

F\x0)

1!

2?

F"\x 0)

3!

= A3,...

sämtlich positiv.

Vergleicht man

mit der soeben gelösten Differential-Gleichung erster Ordnung die ursprünglich vorgelegte

(27.)

dy

dx

= y)

bei welcher für gfx, y) die in Satz 1 angegebenen Voraussetzungen gelten, so findet man nach Gleichung (12.) in §110 für die Lösung folgende Reihenentwickelung

f"(pßo)

(28.) y = y₀Ą

f'ipco)

11

[x—x{)Ą

₂ j (x—xoY-{

₂ J"'(X0)

₃, (x—xof+~

wobei nach den Gleichungen (6.), (7.) und (11.) in § 110

f(x₀) = y₀, f\x₀) = cp(x₀, y₀),

f"(xo) — <pXxq , y₀) =

(29.)

f"'(xo) = (p"(xo,yo) =

~ö(p d(p dy~ _dx dy dx_

g#⁺²

~d²(p

x=x₀, ?/=%

ö²g> dy ö²cp / dy \2 dx dy dx ' dy² \dx/ d(.p d²y~ dy dx?_

x=xo, y=-yü

wird. Diese Reihenentwickelung ist aber für \x — x₀ \ < g unbedingt konvergent und stellt somit die Lösung wirklich dar. Denn es ergibt sich unmittelbar aus der Ungleichung (13.), nämlich

aus

dm+n<p(x₀, y₀) ; dm+n&(xo, y₀) dx₀mdyon    dx₀mdyon

daß

(30.) \f\x₀)\<F\x₀), \f"(xo)\<F"(x₀), j f"'(x₀)\<F"\xo),.. d. h. die in Gleichung (28.) dargestellte Reihe konvergiert unbedingt für alle Werte von x—xq, für welche die in Gleichung (24.) dargestellte Reihe konvergiert. Dies gibt Satz 2. Ist <p(x, y) für die betrachteten Werte von x und y eine eindeutige und stetige Funktion, die sich in eine konvergente, nach steigenden Potenzen von x — x₀ = h und y — yo = k fortschreitende Reihe entivickeln läßt, so lange \h\ <r und |/c | < .s bleibt, ist ferner für einen endlichen, aber hinreichend großen Wert von q und für m -j- n < q

1 [ dm+n<p{xo, y₀)

mini    dxpm dyon

größeste gleich G, so konvergiert die Reihe

unter den

g(g + 1)

Gliedern

rmsn das

y = yo 4

1! (x — X₀) +    (x — x₀y

f"\xo)

f'(xo)

(x — Xof H----

bleibt, und stellt

unbedingt, so lange \x — xQ | < g = s das allgemeine Integral der Differential-Gleichung

dar.

dy

dx

= <p(p, y)

§ 112.

Zusammenhang zwischen den verschiedenen Lösungen einer Differential-Gleichung erster Ordnung.

Satz 1. Sind

(1.)

u = f(x, y) und z = g{x, y)

Funktionen der beiden voneinander unabhängigen Veränderlichen x und y, und besteht zwischen u und z die identische¹) Gleichung

F{u, z) = 0

so gilt die identische Gleichung du dz dx dy

Beweis. Da Gleichung (2.) für alle Werte von x und y gilt, so wird auch

dF(u, z) dF

(2.)

(3.)

du dz _ dy dx

(4.)

dx

Qj

Oj

dz

du dx

dz dx

und

(5.)

dF(u, z) _ dF du dF dz dy du dy ^ dz dy

und Glei-

Multipliziert man Gleichung (4.) mit

Ö Z

chung (5.) mit —    > so erhält man durch Addition

(6.)

ÔF /du dz du dz du \dx dy dy dx

)=°

dF

oder, da man voraussetzen darf, daß von Null verschie-

du

den ist,

du dz \ dx dx du dz dy dy

Man nennt den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung die „Funktionaldeterminante“.

Von diesem Satze gilt’auch die Umkehrung, nämlich

(7.)

du dz du dz dx dy dy dx

= 0.

Satz 2. Sind wieder

u = f(x, y) und z = g(x, y)

Funktionen der beiden voneinander unabhängigen Veränderlichen x und y, und gilt die identische Gleichung du dz    du dz

dx dy    dy dx    ¹

so besteht zwischen u und z eine identische Gleichung

F(u, z) — 0.

(8.)

(9.)

(10.)

Beweis. Löst man die Grleichung u = f(x, y) nach y auf, so erhält man eine Grleichung von der Form

y = h(x, u)

und findet durch Einsetzen dieses Wertes in die Gleichung

V)

(11.)

(12.)

z = g[x, h(x, w)] = H(x, u). <•

Daraus folgt

(13.)

ck_dH dx dx

(14.)

dz

dy

dH du du dx dH du du dy

Ti— 1

du

und Glei-

Multipliziert man Gleichung (13.) mit ózc

chung (14.) mit > so ergibt sich durch Addition der bei-

O X

den Gleichungen mit Rücksicht auf Gleichung (9.)

Kiepert, Integral-Rechnung.

dy

41

§112. Zusammenhang zwischen verschiedenen Lösungen.

642

(15.)

du dz du dz dx dy

dH du _ 0 dx    dx dy

Wäre

du

gleich Null, so wäre u eine Funktion der

einzigen Veränderlichen x, und das widerspricht der Voraussetzung. Es muß also .

dy

(15 a.)

dH

dx

also 0 ist

sein, d. h. z — H{x, u) ist unabhängig von x eine Funktion der einzigen Veränderlichen u, was zu beweisen war.

Bringt man die Lösung einer Differential - Gleichung erster Ordnung

(16.)

dy

dx

= <p(%i y)

auf die Form

u = fix, y) = C,

so kann man diese Lösung auch auf die Form

(17.)

(18.)

H(u) = H(C)

bringen, wobei H(u) eine beliebige Funktion von u sein darf, und wobei H{C) wieder eine Konstante ist, die man mit C\ bezeichnen kann. Es gibt also unendlich viele verschiedene Formen für die Lösung, die man aber als dieselbe Lösung betrachten muß.

Damit sind auch alle Lösungen der vorgelegten Differential-Gleichung erster Ordnung erschöpft, denn es gilt der

Satz 3. Ist (fix, y) eine eindeutige Funktion von x und y, und sind

u — f(x, y) = C und z = g{x, y) = C\ zwei verschiedene Lösungen der Differential-Gleichung

(19.)

(20.)

dy

dx = ^ y)' so ist z eine Funktion von u.

Beweis. Durch Differentiation folgt aus den Gleichungen (19.)

du

dy

Cb' Cb

dz dz dy _ dx dy dx ~

oder, weil u — C und z = Ci beide Lösungen der Differential-Gleichung (20.) sind,

(21.)

dx ⁺

dx

= 0 und

(22.)

(23.)

du du dx + dz

dy

dz

y{x, y) = 0

dx

dy

<p{x, y) = 0.

Multipliziert man Gleichung (22.) mit drang (23.) mit —

dz

du

dy

und Glei-

dy

so findet man durch Addition

du dz

du dz _ dy dx ’

und daraus ergibt sich nach Satz 2, daß z eine Funktion von u sein muß.

(24.)

dx dy

Nach diesen Vorbereitungen mögen jetzt die Fälle erörtert werden, in denen die Lösung der Differential-Glei-chung erster Ordnung in geschlossener Form gegeben werden kann.

do

§ 113.

Trennung der Variabein.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 281.)

Ist die Differential-Gleichung erster Ordnung

°{x' * D - °

gegeben, so löse man sie in bezug auf ^ bringe sie auf die Form

dy

(2.)

dx

0>(æ, y) = —

M{x, y)

auf, d. h. man

oder

N{x, y)

M(x, y)dx -f- N(x, y)dy = 0.

Ist nun hierbei M(x, y) eine Funktion X der einzigen Veränderlichen x und N{x, y) eine Funktion Y der einzigen Veränderlichen y, ist also

(2 a.)

M(x, y) = X, N{x, y) = Y, so kann man sofort das allgemeine Integral /Xdx -f- jYdy — C

(3.)

(F)

bilden. Hat die Differential - Gleichung diese Form noch nicht, so wird man sie auf diese Form zu bringen suchen. Das Verfahren, welches man dabei ausführt, nennt man „Integration durch Trennung der Variabein“. Ist z. B. die Differential - Gleichung

(5.)

XiYidx + X₂Y₂dy = 0

gegeben, wo Xi und X₂ Funktionen der einzigen Veränderlichen x, Y\ und Y₂ Funktionen der einzigen Veränderlichen y sind, so dividiert man die linke Seite von Gleichung (5.) durch X₂Y\ und erhält

(6.)

X₂

y₂

also

Fi

dy = 0,

(7.)

Jidx+J

dx = C.

Da ein Integral von der Form JXdx als der Flächeninhalt einer ebenen Figur betrachtet werden kann (deren Begrenzung in Formel Nr. 4 der Tabelle angegeben ist), so nennt man hier, wo von der Integration der Differential-Gleichungen die Rede ist, die Ermittelung eines solchen Integrals eine „Quadratur

In den Abschnitten I, II, III, IV, X und XI sind die Fälle, in denen eine solche Quadratur ausgeführt werden kann, umfassend behandelt worden. Deshalb möge hier bei der Integration der Differential-Gleichungen die Aufgabe als gelöst betrachtet werden, wenn sie auf derartige Quadraturen zurückgeführt ist.

Beispiele.

(8.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung ydx — xdy == 0

integrieren.

integrieren.

dx

(15.)

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (14.) durch x\y — a) dividiert, erhält man • dy

y —

f-^- + f^ = hx<S — a) — - = \aC, Jy—a J X² y    X

ln (y — a)

= lnG -f- - = lnC -f ln(Üe), x

(16.)

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (8.) durch — xy dividiert, erhält man dy dx

(9.)

\nx — ln C,

y = Cx.

Die Intégrations-Konstante ist in diesem Falle mit ln C bezeichnet worden, damit der Übergang von den Logarithmen zu den Numeri erleichtert wird.

(10.)

(11.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

(x² — a²)dy — ydx — 0

integrieren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (ll.) durch (x² — a²)y dividiert, erhält man

(12.)

dy

dx

y'    x² — a²

also nach Formel Nr. 29 a der Tabelle

S/a-2 af

J y Jx

dx

² — a²

(13.)

(14.)

= 2«lnÿ-ln(ïT-“) =

n    /-y 0C    Oj

y2a = G- ,    •

x -j- a

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung x²dy -f- {y — a)dx = 0

ln C,

y — a — C . j/ e.

(17.)

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung {a + x)(b + y)dy = 0

xydx

integrieren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (17.) durch y(a + x) dividiert, erhält man xdx a + x

(18.)

(b -f y)dy    /

y    \

aa+^dx-(1+fy)d,J = °' -^^äx—j(l -f-    dy— x—a\n{a-\-x)— y—blny — C,

oder

(19.)

x — y = C -f- ln[(« -f- x)a • yb] •

(20.)

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung xPydx -f- ydx -f- xy²dy — xdy = 0

integrieren.

Auflösung. Man kann die vorgelegte Differential-Gleichung zunächst auf die Form

(x³ + l)ydx x(y² — 1 )dy = 0 bringen und dann durch xy dividieren. Dadurch erhält man

(21.)

(xd -f- 1 )dx

(y² — 1 )dy = 0

C.

oder

(22.)

»I⁵!.

(23.)

Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung (1 -f x²)dy — Y1 — y²dx = 0

integrieren.

Auflösung. Indem man die linke Seite von Gleichung (23.) durch (1 -f x²)Y 1 — y² dividiert, erhält man

(24.)

dy

also

m Iwh-J

dx

1    a?²

— arcsin y — arc tg a? = C.

(26.)

Aufgabe 7. Man soll die Differential -Gleichung • xdy — ydx = dyY 1 -j- x² + dxYl -f- y²

integrieren.

Auflösung. Man bringt die Differential -Grleicliung zunächst auf die Form

(27.)

(x — Y1 -{- x²)dy — (y -f- ]/l -j- y²)dx = 0

und dividiert die linke Seite dieser Gleichung durch (a? — ]/1 -J- x²) und durch (y -j- yi + y²) ; dies gibt

(28.)

dy

dx

oder

y + yi + y²

x — y i -f- x²

= 0,

(29.)

(Vl + y² — y)dy + (Yl'+x² + x)dx = 0, folghch findet man nach Formel Nr. 129 der Tabelle

to

Vl + y² + | ln(y + yi + 2/²) — |-

+ |yr+P + g-ln(* + Vl + x²) + j = IC, oder

(30.) x² — y² -f- a?yi + x² -j- ^yi + y²

+ ln[(a? + yi + X²){y +yr+ y²)] = C.

(31.)

Aufgabe 8. Man soll die Differential-Gleichung sin x sin ydy = cos a? cos ydx

integrieren.

Auflösung. Indem man Gleichung (31.) durch — sin x cos y dividiert, erhält man

(32.)

cos xdx

sina?

sin ydy = cos y

also durch Integration

ln (sina?) -j- ln (cos?/) = ln C,

oder

Aufgabe 9. Man soll alle Kurven bestimmen, bei denen die Subtangente die konstante Länge a hat.

dx

Auflösung. La die Subtangente einer Kurve St = y ist, so erhält man der Reihe nach die Gleichungen

dx

ady

(34.)

(35.)

(36.)

x — xo — a\ny\

oder

x—x₀

(37.)

y — e a .

Das ist die Gleichung der logarithmischen Linie. Aufgabe 10. Man soll alle Kurven bestimmen, bei denen die Subtangente w-mal so groß ist wie die zugehörige Abszisse.

Auflösung. Kür die gesuchten Kurven wird

(38.)

dx

V dy

= nx,

(39.)

dx ndy

(40.)

lnx -f- ln(2p) = n\ny, wobei man die Integrations-Konstante mit ln(2p) bezeichnet hat. Dies gibt

(41.)

yn — 2p

also die Gleichung der verallgemeinerten Parabel.

Für n = 2 stellt die Gleichung die gewöhnliche Parabel dar, für welche die Subtangente doppelt so groß ist wie die Abszisse.

Aufgabe 11. Man soll alle Kurven bestimmen, welche mit der X-Achse, vom Nullpunkt an gerechnet, und mit der Ordinate QP ein Flächenstück OQP begrenzen, dessen Inhalt der nte Teil des Rechtecks xy ist.

Auflösung. Da das von der Kurve begrenzte Flächenstück den Inhalt

X

(42.)

F —Jydx o

hat, so erhält man für die gesuchten Kurven die Gleichung

(43.)

xy

= n Jydx

o

oder xdy -f- ydx = nydx, xdy = {n — 1 )ydx,

(44.)

dy

dx

(45.)

— = (» 1) — »

y    x

ln y — (n — l)lna: -f- ln(7 — \n{Cxn~¹) y — Cxn~l.

Die gesuchten Kurven sind wieder verallgemeinerte

Parabeln.

Aufgabe 12. Man soll eine Kurve bestimmen, deren Tangente die konstante Länge a hat.

Auflösung. Die Tangente einer Kurve ist T — y ^ ? folglich erhält man

ds

(4a) Vdy

= a, oder y\d%² -j- dy²) = a²dy²,

+ ydx = Va² — y². dy,

y²dx² — (a² — y²)dy²

(47.) ±dx =

Va² —

a²dy

ydy

Va² — y²

y Va² — y²

Indem man beide Seiten dieser Gleichung integriert, findet man nach den Formeln 37 und 31 der Tabelle

a -f- Va² — y²

(48.)    + (x — xo) = Va² — y² — aln^

Die Kurve, welche dieser Gleichung entspricht, wird „Traktrix von Huygens“ genannt.

Aufgabe 13. Man soll alle Kurven bestimmen, bei denen die Polar-Subnormale die konstante Länge a hat.

Auflösung. Die Polar-Subnormale ist Sn = lieh wird für die gesuchten Kurven

oder dr = a . d<p,

(49.)

dr

dr

dy “S'

650

§ 113. Trennung der Variabein. r =* a[cp — cpo).

Die gesuchten Kurven sind also Archimedische Spiralen.

Aufgabe 14. Man soll die Kurven bestimmen, bei denen die Polar-Subtangente die konstante Länge a hat.

T^dCD

Auflösung. Die Polar - Subtangente ist St — —^ folglich wird für die gesuchten Kurven

( 1.) = a’ oc^er ^ ⁼

— ^ oder r(<p — cpQ) = r

Die gesuchten Kurven sind also hyperbolische Spiralen.

Aufgabe 15. Man soll alle Kurven bestimmen, bei denen der Flächeninhalt eines jeden Sektors zu der Differenz der Quadrate der den Sektor begrenzenden Leitstrahlen proportional ist.

Auflösung. Nennt man die begrenzenden Leitstrahlen und r und die zugehörigen Argumente <pi und cp, so wird nach Formel Nr. 134 der Tabelle der Flächeninhalt des Sektors

(50.)

adr

ty 2

(52.) •

(P — (PQ = —

(53.)

S = \jrHcp

<pi

so daß für die gesuchten Kurven die Gleichung

(54.)

n(r² — r{²)

= lß²dcp

(pi

gilt. Betrachtet man dabei r und cp als veränderlich, während ri und cpi konstant sind, so folgt aus Gleichung (54.) durch Differentiation

(55.)

4 nrdr — r²dcp

(56.)

dr

4 n— = dcp, r

Anlnr — cp — cp₀,

(57.)

yAn __ ß<p—<po

r = e '4n .

oder, wenn man

§ 114. Integration der Gleichungen von der Form

(58.)

r— = a

4w

e-a'p₀ _ Q

setzt

(59.)

oder r=C.ea(P.

Dies ist die Gleichung der logarithmischen Spirale.

§ 114.

Integration der Differential-Gleichungen von der Form

dy

dx

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 282.)

In den meisten Fällen wird die. Trennung der Variabein bei der Differential-Gleichung

M(x, y)dx -f- N(x, y)dy = 0 durch einfache Multiplikation oder Division nicht möglich sein. Mitunter wird aber die Differential-Gleichung durch passende Substitution so umgeformt werden können, daß dann die Trennung der Variabein durchführbar ist.

Sind z. B. M(x, y) und N{x, y) beide homogene Funktionen mten Grades, wird also

(2.) M(tx, ty) = tm . M(x, y), N(tx: ty) = tm . N(x, y), so kann man die Trennung der Variabein in folgender Weise ermöglichen.

(10

(3.)

Aus den Gleichungen (2.) findet man für t — ^

N(x, y) .

K¹’ l)=

M{x, y)

xm

xm

Dividiert man also Gleichung (1.) durch xm und be-

zeichnet

K¹- f)

v(l

mit f |

so erhält man

(4)

oder

(5.)

dy

dx

Setzt man jetzt

(6-)

also y = xz

so wird

(7.)

dy — zdx -f- xdz, und Gleichung (5.) geht über in

(8.)

dz

z + xTx = m'

dies gibt

(9.)

dz

dx

m—z

die Trennung der Variabein ist also durchgeführt.

Man hätte natürlich auch mit demselben Rechte x — yz setzen können und dadurch eine Differential - Gleichung zwischen y und z erhalten, bei der sich ebenfalls die Trennung der Variabein ohne weiteres ausführen läßt.

Beispiele.

In den folgenden Aufgaben ist das angegebene Verfahren anwendbar, weil M(x, y) und N(x, y) jedesmal homogene Funktionen gleich hohen Grades sind.

(10.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung (x -f- y)dx -f- xdy = 0

integrieren.

Auflösung. Indem man y — xz setzt, findet man (x -f- xz)dx -j- x(zdx -)- xdz) — 0, oder, wenn man durch x dividiert und ordnet,

(11.)

(1 -f- 2z)dx + xdz = 0.

Jetzt ergibt sich durch Trennung der Variabein

dx

(12.)

§ 114. Integration der Gleichungen von der Form

21na; -f- ln(l + 2^) = ln (7,

also

(13.)

(14.)

x²(l -j- 2z) = (7, oder a;(a; -j- 2«/) = (7. Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung {x + y)dx + (y — x)dy = 0

integrieren.

Auflösung. Indem man y — xz setzt, findet man (x -f- xz)dx -f- (xz — x) (zdx -f- xdz) = 0, oder, wenn man durch, x dividiert und ordnet,

(1 -f- zl)dx -f- (z — 1 )xdz — 0.

Jetzt ergibt sich durch Trennung der Variabeln dx (z — 1 )dz _

X +- l +₀2- “ ⁰

(15.)

(16.)

und durch Integration

Ina; -f- |4n(l -f- z²) — arctg£ — lnC

oder

(17.)

ln/lV + y-

)=arctg(x)

(18.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung (2a;³ — 135 ys)dx -f- 81 xy²dy = 0

integrieren.

Auflösung. Indem man y — xz setzt, findet man (2a;³ — 135a£e³)ćfa; -f- 81 x³z²(xdz -f- zdx) — 0, oder, wenn man durch a;³ dividiert,

(2 — 135 z³)dx -f- 81 z\xäz + zdx) = 0,

(2 — 54 z³)dx -f- 81 z²xdz — 0.

Durch Trennung der Variabein erhält man daher 2 dx    81 z²dz

27 0³ —1

(19.)

(20.)

und durch Integration

ln(a;'²) = ln(27z³ — 1) — ln (7,

also

(21.)

Cx² = 27^³ — 1, oder Cxb = 27 y⁶ — x³.

Aufgabe 4. Man soll die Diff erential - Gleichung (8y -f 10x)dx -f- (5y + 7x)dy = 0

(22.)

integrieren.

Auflösung. Indem man y = xz setzt, erhält man (8xz -j- 10 x)dx -f- (5 xz -f- 7x)(xdz -J- zdx) = 0, oder, wenn man .durch x dividiert und ordnet,

(23.) (bz² -f- lbz + 10)dx + (bz -f- 7)xdz — 0.

Jetzt ergibt sich durch Trennung der Yariabeln

2dz    3dz

z²-\- 3z -{- 2 z Ą- 1 z 2

(24.)

bdx

(bz -f- 7 )dz

und durch Integration

b\nx = ln (7 — 2ln(z +1) — 31n(2 + 2),

also (25.) x\z + 1 f(z -f- 2)³ = (7, oder (x -f- y)²(2x -f- y)³ = C.

(26.)

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung (aVx² Ą- y² — cx)dx -f- (bYx² -f- y² — cy)dy = 0

integrieren.

Auflösung. Indem man y = xz setzt, erhält man (aY x² -f- x²z² — cx)dx-\-(b V x² -f- x²z²— cxz)(xdz -f- zdx) — 0 oder, wenn man durch x dividiert und ordnet,

(27.)    [(a -f- bz)Y 1 -f z²—c(l-\-z²)]dx-{-x(bY 1 -f- z²— cz)dz = 0.

Jetzt ergibt sich durch Trennung der Variabein (bYl + z²— cz)dz Yï + z²(a -j- bz — c Y1 + *²)

Cl, -)dz

Y i + z²/

(28.)

oder

(28 a.)

dx

dx

(‘

x    a-\-bz—cYl + z²

0.

Da in dem zweiten Gliede der Zähler gerade das Differential des Nenners ist, so erhält man durch Integration

\nx Ą- \n(a -\- bz — cY 1 + z²) — ln (7,

also

x(a + bz — c]/l -f- z²) = C\

oder

(29.)

ax -\-by — cYx² -j- y² = C.

Weit leichter wird die Lösung dieser Aufgabe durch die Substitution

(30.)

x² -f- y² — r², xdx -f- ydy = rdr, denn dadurch geht Gleichung (26.) über in ardx -f- brdy — crdr — 0,

oder

(31.)

adx -j- bdy — cdr = 0

woraus man wieder in Übereinstimmung mit Gleichung (29.) ax -\-by — er = C

findet. v

Aufgabe 6. Man soll alle Kurven bestimmen, bei denen die Summe der Abszisse x und des Radiusvektor r gleich der Subtangente ist.

Auflösung. Die Subtangente einer Kurve ist bekannt-cLoc

lich y — i folglich gilt für die gesuchten Kurven die Differential - Gleichung

¹

Die Gleichung heißt „identischwenn sie für alle Werte von x und y gilt.

dx

y7y

oder

(32.)

ydx = (x -f- Yx² -Y y²)dy.

Hier wird man zweckmäßigerweise x — yz setzen, wodurch Gleichung (32.) übergeht in

(33.)

y{ydz + zdy) = {yz -f fü/V² + y²)dy, oder, wenn man durch y dividiert und ordnet, ydz = ]/1 -j- z²dy.

. (34.)

Jetzt ergibt sich durch Trennung der Yariabeln dz _dy

Yl -f _ y

ln(0 -f- Y1    z²) = ln y — Ina,

wobei die Intégrations-Konstante mit Ina bezeichnet ist. Daraus folgt

(36.)

(35.) a(z -f- Y1 + z²) = y, oder a[x -f- yp² -J- y²) — y², a y x² -j- y² = y² — ax, a²x² -f a²y² = y⁴ — 2axy² -f- a?x². y² — 2 ax -f- Ci².

Dié gesuchten Kurven sind also Parabeln, deren Brennpunkt zum Anfangspunkt der Koordinaten gewählt ist. * Dabei wird

(37.)

St = x-\-r — 2x-\-a.

§ 115.

Einige weitere Fälle, in denen man die Trennung der Variabein ausführen kann.

Mitunter kann man die Funktionen M(x, y) und Nix, y) in der Differential -Gleichung

(1.)

(2.)

M(x, y)dx -f- N(x, y)dy = 0, auch wenn sie nicht homogen sind, durch eine Parallelverschiebung der Koordinaten, also indem man x = x' + Ç, y = y' +y setzt und die Konstanten g und y passend wählt, homogen machen. Wie dies geschieht, mögen die folgenden Aufgaben zeigen.

(3.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung (— 2x -f- 3y — 7)dx -f- (4x — by 4 13)dy — 0

integrieren.

Auflösung. Indem man die Werte von x und y aus den Gleichungen (2.) in die Gleichung (3.) einsetzt, erhält man (4.)    (— 2a:/ + 3 y' — 2g + 3// — 7)dx'

+ (4x' — by' 4- 4g — by + 13%' = 0.

Damit die Faktoren von dxf und dy/ in dieser Glei- * chung homogene Funktionen ersten Grades von x' und y‘ werden, muß man g und y so bestimmen, daß

— 2g + 3?/ — 7 = 0 und 4g — by + 13 = 0 wird. Dies gibt

(5.)

(6.)

£ = -2

also

(7.)

x = x/ — 2

y = y' +1.

Dadurch geht Gleichung (4.) über in

(— 2x/ -j- 3y')dx' -f- (4x' — by')dy' — 0. Indem man y/ — x'z setzt, erhält man (— 2x' + 3x/z)dx/ + (4x' — bxfz) (xfdz + zdxr) = 0, oder, wenn man durch x' dividiert und ordnet,

(— 2 + 7 z — bz²)dx/ + (4 — bz)x/dz = 0. Jetzt ergibt sich durch Trennung der Variabein

• bz — 4 (bz — 2 )(z — T)

oder wenn man Partialbruchzerlegung anwendet,

_ 1 / 10 3 \5s —

Deshalb erhält man durch Integration

lnx' = — fin (bz — 2) — f ln(z — 1) + ln 0,

(8.)

(9.)

(10.)

(10 a.)

oder

oder

dxJ — (bz — 4 )dz xf ⁼ bz² — 7 z + 2

dx'

x/

dz,

3 lnx' + 2 ln (bz — 2) + ln(z — 1) = ln <7,

x/3(bz — 2 f(z — 1) = (7, (bx'z — 2x')²(x'z — x') = (7, also, wenn man für x'z wieder y* einführt,

(by' — 2x/)²(y/ — x/) — C.

Daraus folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (7.), indem man x' = x + 2, y' = y — 1 einsetzt,

(by — 2x — 9 )²(y — x — 3 ) — C.

(11.)

(12.)

In ähnlicher Weise kann man ganz allgemein die Differential - Gleichung

(ax + by + c)dx + («ix + b^y + c/)dy = 0 integrieren. Setzt man nämlich wieder

Kiepert, Integral -Rechnung.

(13.)

x = x' -f I, y==y' + y so geht Gleichung (13.) über in

(14.)

(15.) (ax'+ by'+ ag + by + c)dx'+(axx'+ bxy'+ ax§+bxy +cx)dy' = 0. Jetzt kann man die Konstanten g und rj so bestimmen,

daß

(16.)

aê 4" % + c — 0 und ax§ -f- bxrj -f- cx — 0

wird, indem man

cax — cxa

(17.)

bcx — bxc

abx — axb ’    ^ abx — axb

setzt. Dadurch werden in Gleichung (15.) die Faktoren von dx/ und dy\ nämlich

(18.)    M(x', y') = ax' -f- by' und N(xf, y') — axx' -f- bxy'

homogene Funktionen, und die Differential - Gleichung erhält die Gestalt

(19.)

(ax' -f- by')dx‘ -f- (axx' -f- bxy')dy' = 0, so daß man sofort das im vorhergehenden Paragraphen angegebene Verfahren an wenden kann.

Bei dieser Umformung ist allerdings stillschweigend die Voraussetzung gemacht worden, daß die Determinante abx — axb von Null verschieden ist. Wenn

(20.)

abx — axb — 0, also a : ax — b : bx — m

ist, so wird

(21.)

ax -j- by — m(axx -j- b\y).

Das weist darauf hin, daß man hier

(22.)

axx -f- biy = z, also axdx -f- bxdy — dz setzt; dann geht die gegebene Differential-Gleichung (13.) über in    '

{mz + c)dx + (z + cx)dy = 0, oder, da bxdy = dz — axdx wird,

dx — —

(bxm

bx(mz + c)dx + (z + cx)(dz — axdx) = 0, [{bxm — ax)z + (bxc — axcx)]dx -f (z -f- cx)dz = 0, (z -j- cx)dz d{)Z -|~ (bxc — CLXCX)

Beispiel.

(24.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (x — 2y Ą- 9)dx — (3x — 6y + 13)dy = 0

integrieren.

Auflösung. In diesem Falle ist

z ——3x -}-6y, m — — J, bxm— ax = 1, bxc— axcx — — 3 folglich wird nach Gleichung (23.)

(25.)

dx —

(z — 19 )dz

dz

= — dz -f- 16    ?

2 — 3

also

x = — z 16ln(z — 3) -|- 2(7,

oder

(26.)

x — 3y -\- 81n(6?/ — 3x — 3) -f- (7=0.

Unter der Voraussetzung, daß ab\ — axb von Null verschieden ist, kann man die Diff erential - Gleichung

(ax -\-by -f- c)dx -f- (a^x + bxy + cx)dy = 0 auch dadurch integrieren, daß man

(27.) M(x, y) = ax -\-by-\-c — u, N(x,y) = axx -f bxy -\-cx — v

setzt und die Größen u und v zu Intégrations-Veränderlichen macht; dann wird

du = adx -f- bdy, dv — axdx + bxdy,

(28.)

also

(29.)

über in

j (abi — axb)dx — bxdu — bdv,

\ (abx — axb)dy — — axdu -f- adv.

Deshalb geht die vorgelegte Differential-Gleichung

u(bxdu — bdv) -j- v(— axdu + adv) = 0,

oder

(bxu — axv)du -f- (— bu -f- av)dv = 0.

In dieser Gleichung sind die Faktoren von du und dv homogene Funktionen ersten Grades von u und v.

42*

(30.)

Beispiel.

(31.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung (4a: — 5y Ą- 11 )dx + (— 3a; + 4y — l)dy = 0

integrieren.

Auflösung. Hier setze man

(32.)

4a; — by + 11 = u, — 3a; + 4y — 7 = v

dann wird

(33.)

4 dx — bdy = du, — 3 dx + 4 dy = dv dx = 4du -f- bdv, dy = 3du -}- 4dv, folglich geht Gleichung (31.) über in

u(4tdu + bdv) + v(3du -f- Mv) — 0,

oder

(34.)

(4u + 3v)du + (bu + 4v)dv = 0.

Für v = uz erhält man hieraus

(4u -{- 3uz)du -f- {bu -f- 4duz){udz -f- zdu) = 0, oder, wenn man diese Gleichung durch u dividiert und ordnet,

(35.)

(36.)

(4 -j- 8« -f- 4z²)du + (5 -f- 4z)udz = 0 4du    (4z -f- b)dz _

u + P + 20 +1 ⁼

oder

4 du

4 dz

dz

0 + 1 ^ (0 + l)²

= 0,

(37.)

41n u + 41n(0 + 1)

oder

41n+0 + u)

= C.

Dies gibt

(38.)

4 ln (u + v) —

oder

(39.)

41n(a; — y + 4)

4a: — by + 11

= C.

§ 116.

Lineare Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 283.)

Die Differential - Gleichungen erster Ordnung kann man weiter einteilen nach dem Grade, den sie in bezug

dy

auf

, und y haben. Demnach versteht man unter einer dx *

(1.)

+ V • fipc) = y{x)

Differential-Gleichung erster Ordnung und ersten Grades eine Gleichung von der Form dy

dx wobei f{x) und cp(x) noch beliebige stetige Funktionen von x sind. Gewöhnlich nennt man eine solche Gleichung „eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung“ und kann zu ihrer Integration die folgenden Methoden anwenden.

1. Methode von Bernoulli. Man setze

(2.)

y = uz,

also

dy

dz

du

dx

-wTx + zäi’

dann geht Gleichung (1.) über in

(3.)

dz

'du

Udx + Z\äx + U-f{x)

Von den beiden Funktionen u und z kann man die eine noch ganz beliebig annehmen; deshalb werde u so bestimmt, daß in Gleichung (3.) der Faktor von z verschwindet, daß also

(4.)

du

dx

+ u . f{x) = 0

wird. Dies gibt

(5.)

du

— = — f(x)dx, u

also durch Integration

(6.)

In« = — Jf(x)dx,

Durch diese Wahl von u reduziert sich Gleichung (3.)

auf

(7.)

dz

U dx folglich wird

(8.)

z = j<p(x). e

Jfix) dx

. dx -f- G,

also

(9.)

y = UZ =

[ fp(x) ■ e

J/{x)dx

Da es bei der Bestimmung von u nur darauf ankommt, daß in Gleichung (3.) der Faktor von z verschwindet, so braucht man in Gleichung (6.) keine Integrations-Konstante hinzuzufügen.

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(10.)

= {x -f- l)³

dy____2 y

dx x -j- 1 integrieren.

Auflösung. Indem man y — uz setzt, findet man aus Gleichung (10.)

(11.)

dz /

uTx ⁺ \

du    2 u

) = (x + lf-

dx x -f- 1

Damit der Faktor von z in dieser Gleichung verschwindet, bestimmt man u so, daß

= 0, oder

(12.)

du

du

x -f-1

wird. Dies gibt

(13.)

km = 21n(x -f- 1), oder u = (x + l)²-Für diesen Wert von u reduziert sich Gleichung (11.) auf

(14.)

dz

io cd

u — (x + l)³, oder dz = (x + 1 )dx.

Hier findet man durch Integration 2 z = (x + l)² + 0,

2y = 2uz = (x + l)⁴ + C(x -f l)².

§ 116. Lineare Differential-Gleichungen erster Ordnung. 663 Aufgabe 2. Man soll die Differential - Gleichung

(17.)

_ a* ay — x

lA/tAs

integrieren.

Auflösung. Indem man y = uz setzt, findet man aus Gleichung (17.)

(18.)

dz /

uTx ⁺ \

du

dx

— au

)“

as⁴.

Damit der Faktor von z in dieser Gleichung verschwindet, bestimmt man u so, daß

— au = 0, oder

(19.)

du

du

dx

— adx

wird. Dies gibt

(20.)

lnw = ax, oder u — eax.

Für diesen Wert von u reduziert sich Gleichung (18.) auf

(21.)

dz

oder dz — e~ax. x⁴dx.

(22.) 0 =

u -=— — as⁴, dx

Hieraus erhält man durch partielle Integration —\ • e~ax(a⁴x⁴ -f- 4a³x³ -f-12a²x² -f- 24ax -f- 24) -f- C

Oj

folglich wird

(23.) a\Ceax — y) — «⁴as⁴ -j- 4d⁶x? -f- 12a²x² -f- 24ax -f- 24. Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

dy

(24.)

x y 1 + x²

-—* Oj    ---------------'

Vl — X²

integrieren.

Auflösung. Indem man y — uz setzt, erhält man der Reihe nach die folgenden Gleichungen

(25.)

du

dz /

UJX + z\

du    u _^

dx    y i _|_ 3j² “

du

x -f- y 1 -f- x²

— a:²

dx

u y i + x²

(26.)    ln u = ln (as -f- Vl + as²), u = x -f Vl -f- as².

also

(27.)

(28.)

Deshalb geht Gleichung (25.) über in dz x + yi -f- x²

-- CL    j

Vl-X°-

Udx

dz =

adx

oder

dz

z = a . arcsina? -f- @>

y i—x²

y — uz = (x -j- J^l + x²)(a . arcsinrc -f- C).

2. Methode von Lagrange (Variation der Konstanten).

Man ersetze zunächst die Differential-Gleichung

dy + y • fix) = <p(%)

(29.)

dx

durch die Gleichung

(30.)

dy

dx

+ y ■ f(x) = o,

du

welche in bezug auf y und homogen ist, und bei der

(XX

ohne weiteres die Trennung der Yariabeln ausgeführt werden kann. Dadurch erhält man

(31.)

dy

= — f(x)dx

y

und durch Integration

(32.)

ln 2/ = — Jf(x)dx -{- lnc,

oder

—Jf{x)dx

Die Methode, die man als „ Variation der Konstanten“ bezeichnet, besteht nun darin, daß man versucht, aus dieser Lösung der Gleichung (30.) auch die Lösung der ursprünglichen Gleichung (29.) eine Konstante, sondern als eine Funktion von x betrachtet. Aus Gleichung (33.) oder (32.) findet man unter dieser Annahme durch Differentiation

(33.)

zu

gewinnen, indem man c nicht als

1 dy

oder

y dx

+ fix) =

1 de c dx

(34.)

dy -f* y. fige) — —    f/{x)dx . de

c dx

dx

folglich wird die Gleichung (33.) auch eine Lösung von Gleichung (29.) darstellen, wenn c so bestimmt wird, daß

e~f/(x)dxdc _

dx

<p(x)

(35.)

de

dx

= <f(x). e

J/{_x)dx

oder

(36.)

c = -Ux). eJ/ix)dx .dx+C]

also ergibt sich in Übereinstimmung mit Gleichung (9.) als Lösung von Gleichung (29.)

g—f/{x)dx

(37.)

[Jm• ef^x)dx.dx Ą- C •

(38.)

Beispiele.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

ay = b .emx

dy

dx

integrieren.

Auflösung. Integriert man zunächst die lineare, homogene Differential - Gleichung    „

(39.)

dy

dx

+ ay = 0,

so findet man durch Trennung der Variabein

— ax + ln c

dy

(4 )    — = — adx, also ln y =

(4 )    y — c. erax.

Wenn man hierbei c als eine Funktion von x betrachtet, so erhält man durch Differentiation

1 de c dx

oder mit Rücksicht auf Gleichung (41.)

y d- =e

c dx

(42.)

dy

1 dy

y dx

— — a -j-

also

de

äK+ay =

Dies gibt mit Rücksicht auf die Gleichung (38.)

—ax .

dx

de

UJ

— = b . emx

dx

(43.)

(44.)

c — b j'e(a+m)x

. dx —

~- \e{a+m)x I C]

a-\-m

(45.)

ÿ=^b(e”“+C7e“"⁾-

(46.)

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gileicłmng

dy_j_y

dx x

integrieren.

Auflösung. Durch Integration der linearen, homogenen Differential - Gleichung

(47.)

dy

dx

« i«S

oder

dy

dx

erhält man

ln?/=lnc— lnx, oder xy — c.

Betrachtet man jetzt c als veränderlich, so erhält man aus dieser Gleichung durch Differentiation 1 dy _ 1 de y dx c dx

Deshalb geht Gleichung (46.) über in also de = axdx,

folglich wird mit Rücksicht auf Gleichung (48.)

2c = ax² -f- C, also 2xy — ax² -f- C.

Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung

(48.)

(49.)

(50.)

1 de

x dx

(51.)

(52.)

oder

dy

dx

«Sl¹ «

dc 1 de dx x dx

(I-*²)

dy

dx

integrieren.

Auflösung. Durch Integration der linearen, homogenen Differential - Gleichung

(53.)    (1 — x²) dy

dx + xy = 0- oder 2 7

2 xdx 1 — x²

erhält man

(54.) ln(?/²) = ln(l — x²) + lnc, oder y² = c(l — x²).

Betrachtet man jetzt c als veränderlich, so erhält man aus dieser Gleichung durch Differentiation dy — 2x dx 1 —

de

dx'

oder

(55.)

(56.)

Deshalb geht Gleichung (52.) über in

(1

ZC CL»Xs

dies gibt mit Rücksicht auf Gleichung (54.)

(57.)

(1—x²)Y 1—x² de ₁ _i    3

’ dx~a' oc*er c ^dc = (l—x²) ? ,2adx.

2 ]/c

also für x = sin/, Y1 — x² — cosi/, dx — costdt — x²j~?dx

2 Y c = 2aj{ 1

(58.)

+ G.

cos²/

= 2atg/ -j- 2(7,

(59.)

Y i — #²

Deshalb findet man aus Gleichung (Ô4.)

y — ax + (7]/l — x².

(60.)

3. Methode des integrierenden Faktors.

Man multipliziere die Differential-Gleichung

dx + y • fix) = <Yx)

dy

mit dem Faktor yix)dx, man bilde also

xp(x)dy -f- ip(x)[y . fix) — <p(x)]dx — 0

(61.)

und bestimme die Funktion xffx) so, daß die linke Seite von Gleichung (61.) ein vollständiges Differential wird, d. h. so, daß die Bedingung

dF{x, y) _ dGfjXj y)

dy .

erfüllt wird, wobei in dem vorliegenden Falle

(62.)

dx

(63.)

F(x, y) = ip(x) [y . f{x) — qfx)\, G{x, y) = xp(x)

ist. Diese Bedingung liefert zur Bestimmung von ip(x) die Gleichung

Beispiele.

dy

Aufgabe 7. Man soll die Differential-Gleichung y arc tg#

integrieren.

(64.) xp(x) .f(x) = ip'(x)

dx — f[pc)dx

oder

(65.) ln [rp(x)] = Jf(x)dx, oder ip(x) = e^/lx)dx.

Durch Einführung dieses Ausdrucks für xp{x) geht Gleichung (61.) über in das vollständige Differential

(66.) du — ef/('x)dx , \qj . f(x) — <p(x)\dx -f- ef/U)dx . dy — 0, folglich wird nach dem in § 95 und 96 angegebenen Verfahren (vergl. Formel Kr. 265 der Tabelle), wenn man die Integrations-Konstante zunächst mit Ci bezeichnet,

ip(x)

(67.)

u = jG{pc, y)dy -f- fF{x, b)dx + Ci

oder, da nach den Gleichungen (65.) und (64.)

ist,

ip(x) =    und ip(x) f(x) — ip\x)

(68.) u={y — b)ip(x) + bJip'{x)dx —Jty(x)<p{x)dx -}- Cx

a    a

—b\p(a)—/ç{x)e^/('x)dxdx-\j- Cx.

— ye

Vereinigt man noch die konstanten Glieder miteinander und ersetzt dementsprechend das bestimmte Integral zwischen den Grenzen a und x durch das unbestimmte Integral, so findet man in Übereinstimmung mit den Gleichungen (9.) und (37.)

f™**-Ux). J™“’.dx — C,

(69.)

oder

(70.)

p—f/(x)dx _

Jf(x)dx

. dx -f- C .

dx 1 Ip xl 1 -f- x²

Auflösung. Durch Multiplikation mit ty(x)dx geht Gleichung (71.) über in

^dx + ip(%)dy = 0.

(72.)

ifrtfdh-rx⁸?

\1 xL 1 -f- xl

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential wird, muß

(73.)

yix)

= ip\x), oder

ip'{x)

dx

dx =

1 -f x%

sein. Daraus folgt, wenn man arctga? mit t bezeichnet, \n[jp(x)] = arctgx = t, oder ip(x) — e*. Gleichung (72.) geht daher über in

(74.)

(75.)

du —

dx

ip(x)

oder

(75 a.)

du — e⁽(y — t)dt -f- efdy = 0. Dies gibt durch Integration

= ye* — he* -|- be* — bea — [e*{t — 1)] -f- Ci

a

bea — e*(t — 1) -f- ea{a — 1) -f- Ci,

= ye*

oder, wenn man die konstanten Glieder miteinander vereinigt,

(77.)

u = ye* — e*(t — 1) = C,

also

(78.) y — t — 1 + C. e~* = arctgx — 1 + Ce-arots*.

Die Lösung der Aufgabe wird erleichtert, wenn man von Anfang an

arctgx = L also

dx

= dt

1 + x¹

einführt. Gleichung (71.) geht dann über in

dy + y = t.

dt

Hieraus erhält man durch Multiplikation mit ip(t)dt ip(t)(y — t)dt + ip(Jt)dy = 0.

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential wird, muß man

ip(t) — ipl(f), also

W)

setzen. Dies gibt dann in Übereinstimmung mit Gleichung (75 a.)

du — (y — t) ełdt -f- e⁽dy — 0.

Aufgabe 8. Man soll die Differential-Gleichung

(79.)

dy

xy

sin«

dx

integrieren.

Auflösung. Indem man Gleichung (79.) mit ip(x)dx multipliziert, erhält man

(80.)

*/#)(

xy

sma

= )dx -{- ip(x)dy = 0.

X²'

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein* vollständiges Differential ist, muß

xip{x)

1 -f- X

sein. Daraus folgt

(82.) ln[tp(«)] = ^ln(l -f- «²), oder ip(x) .== \l -f- x². Gleichung (80.) geht daher über in

(81.)

.2

= ?//(«), oder

ip\x)dx xdx xp{x) 1 -f- X²

(83.) du =

xy

y i + «²

— smx

y dx -f- y 1 -f- x² . dy ==. 0.

Dies gibt durch Integration

(84.) u

=ß/l + x*dy+J( hx

b    a

sinx^dx -f- C\

Vl + x²

— y\\ + x²—bVl -f- x² -f- [ôy 1 -f- x² -f- cos«] -{-Ci

oder, wenn man die konstanten Glieder miteinander vereinigt,

Auflösung. Indem man Gleichung (87.) mit ip(x)dx multipliziert, erhält man

(88.)

also

' (86.)

(87.)

C — cos x lJ ~ j/l + z* ’

Aufgabe 9. Man soll die Diff erential - Gleichung — ytgx = 2 cos²x

integrieren.

dx

ip(x) (—ytgx — 2 cos~x)dx -j- ty(x)äy — 0.

Damit die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges Differential ist, muß

(89.)    —yj(x)tgx = ip'{x), oder

ip\x)dx

— sin xdx

sein. Daraus folgt

cosx

(90.)

ln [ip(x)] = ln(cosa;), oder xp(x) = eosa:. Gleichung (88.) geht daher über in (91.) du = — (ysina: + 2 cossx)dx -f- cosa:. dy = 0. Dies gibt durch Integration

V    x

(92.) u —Jcosx. dy —-J‘(b sin x -f- 2 cos³x)dx -f- Ci

b    a

— y cosx—6 cosa:-}- [öcosa:—2sina:-{-fsin³a:)f-f- Ci

oder, wenn man die konstanten Glieder miteinander vereinigt,

(93.)

u — y cosx — 2 sina: -j- f-sin³a: =

also

(94.)

3y = 2tgx(3 — sin²a:) -f-

cosa:

§ 117.

Gleichung von Bernoulli.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 284.)

In manchen Fällen läßt sich eine Differential-Gleichung erster Ordnung, welche nicht linear ist, durch eine

passend gewählte Substitution zu einer linearen machen. Es sei z. B. die sogenannte Bernoulli sehe Differential-Gleichung

(i.)

yajx + ya+1- A*) = y? • <p(x)

zu integrieren, wobei a und ß beliebige positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahlen sind. Setzt man dann ß a — n, so kann man die Gleichung auf die Form

+ y.f(x) = y”.<p(x), oder ~ ^ + 'y

bringen. Ist hierbei n = 0, so geht Gleichung (2.) in

(2.)

dy

dx

fix)

= Vix)

(2 a.)

dy

dx

+ V • fix) = <p(x)

über; dies ist eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung, wie sie in dem vorhergehenden Paragraphen behandelt worden ist.

Wird n = 1, so kann man Gleichung (2.) auf die Form (2b.) *

dy

dx

= tyix) — f{x)]y, oder J = [<p(x) — f{x)]dx

y

bringen, d. h. man kann die Trennung der Yariabeln ausführen.

stitution

Für alle übrigen Fälle findet man durch die Sub

(3.)

n — 1 dy

yn

yn

dx

die lineare Differential - Gleichung erster Ordnung

-(ft — 1 )z . fix) = (ft — 1 )(p{x).

(4.)

Man kann auch die Differential-Gleichung (2.) unmittelbar integrieren, indem man wieder

y — uz

(5.)

setzt. Daraus ergibt sich dz Udx

Wenn man die Funktion u so bestimmt, daß der Faktor von z verschwindet, erhält man

(6.)

du

dx

-f- u.

fix)') — UnZn . (p[pc).

(7.)

du

dx + u.f(x) = 0

oder

du

(8.)

— = — f(x)dx, u

ln u — —J'f{x)dx, oder u =

Dadurch geht Gleichung (6.) über in

dz

(a) Udx

= unzn . (p(x), oder

dz

dx

— zn. e

.<p{x)

(10.)

dz

Zn

Da nach Voraussetzung n < 1 ist, so folgt aus Glei

chung (10.)

(12.) yl

= (1-

n))je^n-¹⁾f/{x)a\qix)dx + <7(1 — »),

. <p{x)dx gJ •

—[n—1 )J/(x)dx

(13.)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung dy + | _ ayHnx

dx

integrieren.

Auflösung. Indem man y = uz setzt, erhält man aus Gleichung (13.)

(14.)

dz , /du , u\ uTx+ \Tx + x) =

au²z² ln x.

Damit in dieser Gleichung der Faktor von z ver-- schwindet, bestimmt man die Funktion u so, daß

(15.)

du

dx

i oder

du

dx

wird. Dies gibt durch Integration ln u =

(16.)

— Ina:, oder u — -

X

Hierdurch geht Gleichung (14.) über in

a    dz

= -5 z²lnx. also x²

1 dz x dx

folglich wird durch Integration

Kiepert, Integral-Rechnung.

(17.)

z²

dx

= a Ina: • —

43

. (18.) - l = |(lnxf + O

oder

also

(ln#)² + C

(19.)

(20.)

xy[a(\.na:)² + 2(7] + 2 = 0.

Aufgabe 2. Man soll die Differential -Gleichung dv

y + 2ytgx = ay² ctg#

dx

integrieren.

Auflösung. Indem man y — uz setzt, erhält man aus Gleichung (20.)

(21.)

dz

+    + 2wtg#^ = au²z²etgx.

Udx

Damit in dieser Gleichung der Faktor von 0 verschwindet, bestimmt man die Funktion u so, daß

^ sin xdx cos#

(22.)

du

du

+ 2utgx = 0, oder =

u

wird. Dies gibt durch Integration

ln u — 2 ln (cos#), oder u — cos²#. Hierdurch geht Gleichung (21.) über in

(23.)

oder

dx

cos²# •

dz

dx

= «COS⁴# . 0²ctg#

dz aco&xdx sin#

folglich wird durch Integration

(24.)

= «(7

\sm#

(25.)

^d(sinx)

= a [ln(sin#) — ^sin²#] + (7 = —

sm#

oder

(26.)

a?/[21n(sin#) — sin²#] + 2 Cy + 2cos²# = 0.

§ 118.

Erklärung des integrierenden Faktors.

Es war bisher vorausgesetzt worden, daß die Differential-Gleichung erster Ordnung sich auf die Form

M{x, y)dx + N(x, y)dy = 0 bringen läßt. Sie besitzt dann ein allgemeines Integral

* (2.)

F(x, y, C) = 0.

Löst man diese Gleichung (2.) nach der Konstanten C auf, so erhält man

(3.)

0 = fix, y),

wobei f(x, y) eine Funktion von x und y ist, die mit u bezeichnet werden möge. Dann folgt aus Gleichung (3.)

(4.)

du

du

du — W¹ dx 4- w- dy = 0. dx dy J

Aus dieser Gleichung findet man

df(x, y)

du

(5.)

dy

dx

dx

dx

du

df{x, y)

dy

dy

während sich aus Gleichung (1.)

(6.)

dy

M{x, y)

dx

N(x, y)

dy

ergibt. Da diese beiden Werte von J einstimmen müssen, so wird

dx

miteinander über-

du

(70

dx M(Xj y) du N{x, y)

dy

Bestimmt man daher eine Funktion v von x und y durch die Gleichung

du

(8.)

dx

V M(x, y)'

so ergibt sich aus Gleichung (7.) und (8.)

du

(9.)

du

(10.)

dx -v • M(xi y)

Es wird deshalb mit Rücksicht auf Gleichung (4.) du — v . M(x, y)dx -j- v . N(x, y)dy.

dy

= v . N(x₁ y).

43*

Damit ist bewiesen:

Satz 1. Es gibt stets eine Funktion v von x und y, welche die Eigenschaft hat, daß

v[M(x, y)dx + Nix, y)dy\

ein vollständiges Differential du wird. Die Auflösung der Differential - Gleichung

ist dann

(11.)

M(x, y)dx -f- Nix, y)dy = 0

u — C.

Hierbei beißt die Funktion v „ein integrierender

Faktor

<p(u) = Gi

Bezeichnet man mit çp{u) eine beliebige Funktion von u, so kann man das Integral (11.) auch auf die Form (11a.)

bringen, wobei die Intégrations-Konstante Ci gleich qfC) ist.

Da man aus jeder solchen Gleichung wieder einen integrierenden Faktor erhält, so besitzt die vorgelegte Differential-Gleichung unendlich viele integrierende Faktoren. Das ergibt sich auch aus der folgenden Überlegung : Multipliziert man Gleichung (10.) mit der beliebigen Funktion f{u) von u, so erhält man

(12.) f(u)du = djf(u)du — v . f(u)M(x, y)dx -(- v . f{u)N(x, y)dy.

Die rechte Seite dieser Gleichung ist ebenfalls ein vollständiges Differential, nämlich das vollständig^ Differential von Jf(u)du. Dies gibt

Satz 2. Ist v ein integrierender Faktor der Differential - Gleichung

M(x, y)dx -f- N{x, y)dy = 0,

welcher das Integral u = C liefert, so ist auch V gleich v . f(u) ein integrierender Faktor, wobei f{u) eine beliebige Funktion von u ist.

Damit sind aber alle integrierenden Faktoren erschöpft, denn es gilt auch der folgende

M(x, y)dx + Nfr, y)dy = 0, von denen v das allgemeine Integral u — C liefert, und ist der Quotient von V und v keine Konstante, so setze man die durch diesen Quotienten dargestellte Funktion von x und y gleich einer Konstanten Cx, also

Satz 3. Sind V und v zwei integrierende Faktoren der Differential- Gleichung

(13.)

(14.)

= cx.

Diese Gleichung stellt ebenfalls das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung dar. Dabei ist dieser Quotient eine Funktion f(u) der einzigen Veränderlichen u.

Beweis. Da nach Voraussetzung (15.) du = vfMdx    Ndy) und dJJ — V(Mdx -f- Ndy)

vollständige Differentiale sind, so muß nach Formel Nr. 265 der Tabelle

d{vM) d(vN)

dy

dx

und

d{VM) _ d{VN)

dy

dx

sein. Es ist also

(16.)

öv

ÔM

öv

ÖN

dy

dx

dx

(17.)

m V- + y

dy

dM

ÖV

ÖN

dy

dx ! dx

Multipliziert man Gleichung (16.) mit —V und Gleichung (17.) mit + v, so erhält man durch Addition dieser Gleichungen

(18.)

m(v

ÖV

dv

dy

dy

) = n(v

ÖV

dx

öv

dx

und wenn man beide Seiten dieser Gleichung durch v2 dividiert,

(19.)

dy

dx

Setzt man der Kürze wegen

(20.)

= g fr, y)

so geht Gleichung (19.) über in .

Multipliziert man jetzt die gegebene Differential-Glei-dz

chung (13.) mit

dy'

(19 a.)

dz

dz

dy

dx

so findet man nach Gleichung (19 a.)

(21.) M(x, y)

dz

dz

dy

dx + N{x, y) dy = y)

'dz

dx

dx -f-

dz

dy

dy — 0.

Da aber N(x, y) von Null verschieden ist, so folgt hieraus, daß für die Integral-Kurven der Differential-Gleichung (13.)

(22.)

dz

„ dx 4-dx

dz

dy

dy — dz = 0.

Deshalb ist

(23.)

0 = — = g(x, y) = Gi

ebenfalls eine Lösung der vorgelegten Differential-Gleichung.

Dann ist aber nach Satz 3 in § 112 z eine Funktion der Veränderlichen w, welche mit f(u) bezeichnet werden möge. Dies gibt

(24.)

V=vf(u),

folglich erhält man aus den Gleichungen (15.)

(25.) dU = V(Mdx + Ndy) — f(u)v(Mdx Ndy) — f(u)du; es ist also

(26.)

JJ — Jf(u)du

ebenfalls eine Funktion der einzigen Veränderlichen u.

Bisweilen gelingt es, wie in § 120 ausgeführt werden wird, zwei integrierende Faktoren der verlangten Art wirklich zu bestimmen. Dann braucht man nicht erst noch mit ihrer Hilfe je ein Integral durch Quadratur auszurechnen, sondern hat in ihrem Quotienten unmittelbar ein allgemeines Integral der vorgelegten Differential-Gleichung.

§ 119.

Beispiele zur Erläuterung.

Zunächst möge an einigen Differential - Gleichungen erster Ordnung, die man nach den früheren Methoden integrieren kann, gezeigt werden, wie sich aus dem Endresultat der integrierende Faktor v ergibt.

(1.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung xdy — ydx = 0

integrieren.

0, ln y — lnx = ln(7,

Auflösung. Durch Trennung der Variabein findet man aus dieser Gleichung ohne weiteres dy dx

oder

(2.)

Bezeichnet man also

(3.)

du —

y=c.

^ mit u, so wird x

xdy — ydx

x-

Damit Gleichung (1.) diese Form erhält, muß man sie mit dem integrierenden Faktor

(4.)

V = —sr

multiplizieren.

(5.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential - Gleichung ydx — (x -f- y)dy — 0

integrieren.

Auflösung. Da die Koeffizienten in der vorgelegten Differential-Gleichung homogene Funktionen gleichen Grades sind, so setze man y — xz\ dann ergibt sich zdx — (1 + z)(xdz + zdx) = 0, oder

dx

z²dx + (1 -f- z)xdz = 0

—b 0⁻¹ + z~²)dz = 0, x

(6.)

Ina; 4- ln0--— C.

z

In diesem Falle ist also

= C.

(7.)

(8.)

du — —

u — \ny — — = (7,

y

dx (x + y)dy Q

y

yt

Damit Gleichung (1.) diese Form erhält, muß man sie

mit —

~ multiplizieren. Der integrierende Faktor ist da

her in diesem Beispiele

(9.)

T—ł

(10.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung [y{x — y)² — xyA\dx -f- [afiy — x(x — y)²\dy — 0

integrieren.

Auflösung. Auf die vorgelegte Differential-Gleichung finden die bisher angegebenen Methoden keine unmittelbare Anwendung. Multipliziert man sie aber mit dem Faktor

(11.)

so geht sie über in

v xy(x — yf

(12.)

y²

11

x {x — yf

dy — 0.

_[x — yf y_

Die linke Seite dieser Gleichung ist ein vollständiges Differential,, und zwar das der Funktion

(13.)

u = h\(X) + -\y/ x

xy

y + G'

wie bereits in § 96, Aufgabe 5 ermittelt worden ist.

Weitere Beispiele für die Bestimmung des integrierenden Faktors wurden bereits bei der Integration der linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung in § 116 (Aufgabe 7, 8 und 9) ausgeführt.

/ § 120.

Bestimmung des integrierenden Faktors.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 285 bis 290.)

Die Bedingung, daß v(Mdx -f- Ndy) ein vollständiges Differential wird, ist nach. Formel Nr. 265 der Tabelle d(vM) d(vN).

dies gibt

dy

dx

ÖM

dv

dv

dN .

dy V dx    dx

dN_dM

dx dy

Diese Bedingung ist notwendig, aber auch hinreichend dafür, daß v ein integrierender Faktor ist, und zwar ist Gleichung (1.) eine partielle Differential - Gleichung für v,

Ö'V

denn sie enthält die partiellen Ableitungen ^.....

KJJü

Müßte man von dieser partiellen Differential - Gleichung die allgemeine Lösung aufsuchen, so würde die neue Aufgabe schwieriger erscheinen als die Integration der ursprünglich gegebenen Differential - Gleichung Mdx -f- Ndy = 0.

Da es aber genügt, irgendeine ganz spezielle Lösung von Gleichung (1.) anzugeben, um ęinen integrierenden Faktor zu finden, so kann man durch Hinzufügung einer Bedingung die Gleichung (1.) oft so vereinfachen, daß ihre Integration leicht ausführbar ist. Natürlich darf diese Bedingung nur so gewählt werden, daß sie der Gleichung (1.) nicht widerspricht.

Einige Beispiele für eine derartige Bedingung sollen hier durchgegangen werden.

I. Fall. Man suche vorzuschreiben, daß der integrierende Faktor v eine Funktion von x allein sei, wodurch

oder

V öy

Ą-M

(1.)

dv

MN-— N

dv

dy

dx

= v{

und

dv

dy

dv

dv

dy    dx

wird. Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

dv

dx

= v(

oder

dN dM dx dy

(3.)

1 dv v dx

1 (dN ÖM N\dx

dy

Die linke Seite dieser Gleichung ist nach Voraus

setzung eine Funktion der einzigen Veränderlichen æ, folglich muß es auch die rechte Seite sein, wenn die

Ist also der Ausdruck

Bedingung zulässig sein soll.

1_ /dN dM'

N \dx

integrierenden Faktor v aus Gleichung (3.); es wird nämlich

dy

^ von y unabhängig, so findet man einen

(4.)

lnv

-A

dN

dx

dM\ dx ~dy)~N' V

r/ejv öm\ dx

= e~J \öx~W) ^.

Dies Verfahren ist bei jeder linearen Differential-Gleichung erster Ordnung

dy + y • fix) = (p ix)

dx

oder [y . f{x) — <p(x)] dx -J- dy — 0

anwendbar, wie schon in § 116 gezeigt worden ist; denn in diesem Falle wird

M = y . fix) — y{x).

N= 1

1 (dN dM' N\dx dy

) = fix)

also

v = efAx)dx.

(Vergl. Formel Nr. 283 der Tabelle.)

(5.)

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung [xly -f- y + 1 )dx    x³)dy = 0

integrieren.

Auflösung. Hier ist 1 (dN dM N \dx

folglich wird nach Gleichung (3.)

(6.)

dy

(1 + 3a;²) — (x² + 1)

1 -j- x²

dv

2 xdx    1/119,

lnt; =—ln(l + aj²), v =

1 -\- x²

Indem man Gleichung (5.) mit diesem integrierenden Faktor v multipliziert, erhält man

(8.)

also

(9.)

oder

= (v + i ^ X2)dx + xdy = 0

Y^x)dx

= x(y — b) + bx + arctgæ = C

du

V    *

u = jxdy +

b    a

u — xy -f- arctga? == C.

II- Fall. Man suche vorzuschreiben, daß der integrierende Faktor v eine Funktion von y allein sei, wodurch

dv dv dx ~    ’ dy ~ dy

wird. Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

(10.)

dv

dN

oder

dM\

dy)'

(11.)

1 dv

v dy

= — (

M \dx

dN dM

dy

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Funktion der

einzigen Veränderlichen y, -folglich muß es auch die rechte sein, wenn die Bedingung zulässig sein soll. Ist

dN dM

also der Ausdruck

¹ (

M \dx dy

^ von x unabhängig, so

findet man einen integrierenden Faktor v aus Gleichung (11); es wird nämlich

(12.)

lnv

f/dN

J n dx

M £)£

dy / M

Beispiel.

(13.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung (xy² — y³)dx -f- (1 — x,y²)dy = 0

§ 120. Bestimmung des integrierenden Faktors.

684

Auflösung. Hier ist 1 /ÖN ÖM M \öx

folglich wird nach Gleichung (12.)

lnv — — 21ny, v —

(14.)

öy

— y'² — 2 xy + 3 y²

y\x — y)

'«S I fcO

(15.)

&**

Indem man Gleichung (13.) mit diesem integrierenden Faktor v multipliziert, erhält man

(16.)

also

(17.) u

du —

(x — y)dx -f- ^ ^ — x^dy — 0

x    y

= /(* — y)dx +[Qi — a)dV

L    -*a L

— xy —

— ay

\V

\ + aV — ^ — aV + \ + “b

oder, wenn man die konstanten Glieder mit der Integrations-Konstanten vereinigt,

(18.)

x²

folglich wird

x²y — 2 xy² — 2 Cy — 2 = 0.

III. Fall. Man versuche vorzuschreiben, daß der'■integrierende Faktor eine Funktion der einzigen Veränderlichen z = xy sei; wodurch

(19.)

öv

dv dv öx~V dz öy ~ X dz

wird. Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

dv

dv

(xM-yN)ü

= v(

ÖN_ öM

öx öy

oder

(20.)

1 dv

v dz xM — yN \öx

dN öM

öy

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Funktion der einzigen Veränderlichen 0, folglich muß es auch die rechte Seite sein

also

wenn die Bedingung zulässig sein soll. Ist

dN dM\ ....    .

j nur abhängig

xM — yN (dx

von xy — 0, so

findet man einen integrierenden Faktor v aus Gleichung (20.) ; es wird nämlich

dy

(21.)

Inv

f/dN dM\ dz_

J\dx dy ) xM — yN ’

(22.)

rr&N 01/ \__äf

V — qJ \6x    d?/ ) xM— i

(23.)

Beispiel.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung {y -f- xy-)dx -f- [x — x²y)dy = 0

integrieren.

Auflösung. Hier ist dN_dM dx öy

xM — yN = (xy -f- x²y²) — (xy

(24.)

(25.)

= (1 — 2æy) — (1 + 2 xy) = — 4 xy, x²y²) = 2 x²y²

folglich wird

(26.)

dN ÖM

dy

)—*

xM — yN \dx eine Funktion von z — xy allein, so daß man aus den Gleichungen (21.) und (22.)

(27.) \nv = —el^~ =

findet. Multipliziert grierenden Faktor, so ergibt sich

21nz

oder v =

z² x²y²

man Gleichung (23.) mit diesem inte-

(28.)

(29.) u

~Qy ⁺ ï)dX + G?

⁼/Gy ⁺ i)dx +M* ~

Jf-i.+in*T+r—¹ -

L xy \a L a

du

ly)ä-y = ⁰

l)dy

T

ln?/

=--— -f- Ina; -|--— Ina---ln y -j- \ -f- Ini

xy

ay

ay

ab

oder, wenn man die konstanten Glieder mit der Integrations-Konstanten vereinigt,

(30.)

u — ln (X\--—

\y/ %y

= <7,

oder

(31.)

xy

[-©

— (7=1.

IV. Fall. Man versuche vorzuschreiben, daß der integrierende Faktor eine Funktion der einzigen Veränderlichen

— sei; es sei also x

(32.)

dv

dv öv _ 1 dv dz ’ dy ~ x dz

Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

xM -f- yN dv

öx

x²

dz

= v(

dN ÖM

dx dy

oder

(33.)

1 dv    x² /

v dz xM-\-yN\dx

dN dM

dy

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Funktion der einzigen Veränderlichen 0, folglich muß es auch die rechte sein, wenn die Bedingung zulässig sein soll. Ist

also

x²

dN dM

^ nur abhängig von — = z

so

xM -j- yN \dx

findet man einen integrierenden Faktor v aus Gleichung

dy

(33.); es wird nämlich

(34.)

lnv

=j'(dN dM

x²dz

dx

dy / xM -f yN

(35.)

v = e-7

x-dz

xM + t/N.

Beispiel.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

% + ²y)dx+(~ +\ + ³y)dv-= ⁰

y

— mit z bezeichnet,

x

â?)~(<l“à + 2)

= — 8z² — 6z — 2 = — 2(4s² + 3 z + 1), xM + y N = (zy² — | + 2a;?/) + ^ + | + 3?/²) ,

Auflösung. Hier ist, wenn man

dN ÖM

⁽³⁷-} Qx~-Qy

(38.)

also

■ (39.)

Sy²

X¹

**f+^-^+^ + f-w + ₆H + a,

= 2z(4s² + 3^+1),

x²

2y

folglich wird

(40.)

x²

öN öM

xitf + yJST \ öx

öy

)-

1 dv v dz

rH

(41.)

also

(42.)

lnv = — ln0

=inC)’ v-\

«as ! »

Multipliziert renden F aktor, so erhält man

man

Gleichung (36.) mit diesem integrie-

(43.) du

(sy + 2 a) dx + ^8y + — + 3 a) dy = 0,

also

(44.) u

=J(*y — “ + 2x)dx +/(%+* + 3 ajdy

a    b

= [Sxy — ln* + x²]*a + W + ln y + 3ay]

= 3 xy + a;² + 4 y² + ln0) — 3ay + Ina — a2 + 3 ay — 46² — lni — 3 ab,

oder, wenn man die konstanten Glieder mit der Intégrations - Konstanten vereinigt,

(45.)

u == x² + 3 xy + 4 y² + ln^) = G.

V. Fall. Man versuche vorzuschreiben, daß der integrierende Faktor eine Funktion der einzigen Veränderlichen z — x² -\-y² sei, wodurch

(46.)

dv

-w- - = 2x

dv

dv

dx

’ dy

dz

wird. Unter dieser Voraussetzung geht Gleichung (1.) über in

dv

2{yM— xN)-dz

= v{

oder

dN_dM dx dy

(47.)

1 dv v dz

2(yM — xN) (dx

dN dM

dy

)•

Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Funktion der einzigen Veränderlichen 0, folglich muß es auch die rechte sein, wenn die Bedingung zulässig sein soll. Ist also

^ nur abhängig von x² 4- y² = 0, so

Gleichung

dN dM'

dy

yM — xN \dx findet man einen integrierenden Faktor v aus (47.); es wird nämlich

(48.)

lnv

_J'(dN dM

dx

dz

dy / 2 (yM — xN)

(49.)

r/öN 6M\ dz v —    vy) 2(yM— xN) .

(50.)

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung (a Vx² + y² — cx)dx -f- (b Vx² -f- y² — cy)dy = 0

integrieren.

Auflösung. Bezeichnet man x² -f- y² mit 0, so ist in diesem Falle

(51.) yM—xN=(ayV z—cxy)—(bxY0—cxy) — (ay—bx)Y0,

ay -— bx

(52.)

dN dM bx

ay

dx dy

Vz Vz

folglich ist

dN_ ÖM\ 1 dx dy ) yM — xN

tH I ''3

eine Funktion der einzigen Veränderlichen z. Deshalb findet man aus den Gleichungen (48.) und (49.)

(54.)

lnv — —

2ln*

Y z    y x² -f- y-

Multipliziert man Gleichung (50.) mit diesem integrierenden Faktor v, so ergibt sich

cy

V**+y

)d’J =⁰

also, wenn man in der allgemeinen Formel für die Integration eines vollständigen Differentials a mit a und b mit ß vertauscht,

(56.) u

⁼Aa-yfip)dx+f(b

u    ß

cy

)dv

Ya²-\-y²

= [ax — cVx' + yrf -)- \by — cYa²Ą-y²Y '

«    ⁴ ß

cYx²Ą-y²— aacYa²y² ,

-\-by — cYa²-\-y²—bß -j- cY<fi-\-ß²i

oder, wenn man die konstanten Glieder mit der Intégrations - Konstanten vereinigt,

= ax

(57.)

u — ax -j- by — cYx² -}- y~ — C.

In ähnlicher Weise kann man noch eine ganze Reihe von besonderen Fällen behandeln, bei denen der integrierende Faktor eine Funktion einer einzigen Veränderlichen 0 ist, die selbst wieder eine passend gewählte Funktion von x und y sein darf. Beschränkt man sich hier auf die fünf hervorgehobenen Fälle, so kann für die Behandlung der vorgelegten Differential-Gleichung Mdx -f- Ndÿ = 0

die folgende Regel aufgestellt werden. Es ist zuerst der Ausdruck

dN _ÖM dx öy

zu bilden. Ist dieser Ausdruck gleich. Null, so ist schon

Mdx + Ndy

selbst ein vollständiges Differential, ist er aber von Null verschieden, so kann man der Reihe nach versuchen, ob 1 /dN    ÔM

N\dx

1 /dN öM

öy

eine Funktion von x allein.

oder ob

][£

dy

r>

dM

”    ” xM—yN\dx

dy

)»

» XV

dN dM

77    77 xM + yN \ dx

dy

)■

dN dM

77    77 yM — xn{öx

ist. Trifft einer dieser fünf Fälle ein, so kann man nach

dy

).

n x2+y²»

den angegebenen Regeln den integrierenden Faktor leicht bestimmen.

Erwähnt möge noch werden, daß der häufig vorkom-mende Ausdruck xdy — ydx die integrierenden Faktoren 1 1

x² ' y²' x² + y²

besitzt. Es folgt dabei aus den Gleichungen xdy—ydx

(58.) du\

du2

xdy—ydx

du₂

xdy—ydx

x²-£y²

(59.)

Faktor

- arotg(!)

Der Ausdruck xdx -f- ydy hat den integrierenden und zwar folgt aus

Ul =

u₂ = —

x² + y² '

(60.)

du =

xdx + ydy

(61.)

LO| I-¹

ln(:r² + 2/²)-

XIX. Abschnitt.

Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades.

§ 121.

Zurückführung auf Differential-Gleichungen ersten Grades.

Eine Differential-Gleichung erster Ordnung und wten Grades hat die Form

(L) (fl)⁺fi{x’ KfO+fix’ KiD+•• ■+y) dx

+ fn{x, y) = 0.

Hier bedeuten die Koeffizienten fix, y), f₂{x, y),... fn—i(x, y), fn(x, y) beliebige Funktionen von x und y, die in besonderen Fällen auch zum Teil oder sämtlich konstante Größen sein können.

Denkt man sich nun Gleichung (1.) in bezug auf

ax

aufgelöst, so erhält man n verschiedene Differential - Gleichungen erster Ordnung und ersten Grades, nämlich

%-****-wobei Fi(x, y), F₂(x, y), ... Fn(x, y) Funktionen von x und y oder konstante Größen sind. Die Gleichung (1.) kann dann auch in der Form

(2.)

% - y)>

dy

dx

= FJpc, y)

dy

dy

(la.)

'dy

dx

— Fix, y) •

~dy

dx

Fix, y) •••

'dy

dx

— Fn{x, y) = 0

geschrieben werden. Durch Integration der Gleichungen (2.) erhält man dann

(3.) (pix, y, ci) = 0, (pfx, y,c₂) = 0, ... <pn(x, y, cn) = 0v

Jede dieser Gleichungen ist ein Integral der Differential-Gleichung (1.), da sie ja einen Faktor auf der linken Seite von Gleichung (la.) und somit auch die linke Seite von Gleichung (1.) zum Verschwinden bringt. Man kann alle diese Lösungen zusammen fassen, indem man die Gleichungen (3.) miteinander multipliziert. Dies gibt cpi{x, y, ex). <p₂(x, y, c₂).. . çn(x, y, cn) = 0.

(4.)

Da dieses Produkt gleich 0 wird, wenn man einen der Faktoren gleich 0 setzt, so wird die Allgemeinheit der Lösung nicht beschränkt, indem man die Integrations-Konstanten Ci, c₂, ... cn alle einander gleich setzt. Dadurch geht Gleichung (4.) über in

(4 a.)

y, c). (p₂(x, y, c)... cpn(x, y, c) = 0.

In dieser Form zeigt die Lösung, daß durch jeden Punkt der Ebene n Integral-Kurven hindurchgehen, entsprechend dem Grade der vorgelegten Differential-Gleichung.

Sind z. B. in Gleichung (1.) die Koeffizienten f\(x, y), f₂{x, y), ... fn-i(x, y), fn(x, y) konstante Größen, die man deshalb mit /i, /*2, .. ■ fn—i, fn bezeichnen möge, so gehen die Gleichungen (1.) und (2.) über in

‘“■»Q'+KLT+'-fS

n—2

dy

dy

(5.)

Daraus folgen die n Differential-Gleichungen

„ dy -n

dx u 1 ~a2’ ‘

dx

..dy = a

dx ~ a'n

wobei «i, dz, ... an ebenfalls konstante Größen sind. Deshalb wird in diesem Falle

(6.) cpi = y — dix -f- c = 0

oder

<P-2 = y — a₂x -J- c = 0,... 9n = y — anX -f c = 0,

(6a.) y±A-ai = 0, y + C—a,

X    X

= 0, •••

y + c

---a

» = o.

d. h. in eine Gleichung, welche aus Gleichung (lb.) hervor-

dy

geht, indem man mit

CLX

man auch schreiben:

Gleichung (4 a.) geht daher in diesem Falle über in

« <*i’

«X’4'

«)-C4

an

)-»

^ Jr—C vertauscht, folglich darf x

f fn = 0.

In diesem Falle ist also, da in die Lösung nur die Koeffizienten der vorgelegten Differential - Gleichung (1.)

du

eingehen, ihre Auflösung nach - ? welche mitunter bedeu-

CLX

tende algebraische Schwierigkeiten verursachen würde, nicht einmal erforderlich.

(8.)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

integrieren.

Auflösung. Aus Gleichung (8.) folgt zunächst

(9.)

dy

■j = 4- a und dx

dy

dx

und daraus durch Integration

y -f- c = ax und y -j- c = — ax,

oder

(10.) {y -f- c — ax) {y + c -j- ax) = (y -1- c)² — a²x² — 0. Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

©-£ + •-0

(HO

integrieren.

Auflösung. Gleichung (11.) läßt sich auf die Form

(11a.)

(I-■)(!-»XI+*>-«

bringen, folglich erhält man für das allgemeine Integral

694    8 121. Zurückführung auf Diff.-Gleichungen ersten Grades.

(12.)

{y + c — x) {y + c — 2x)(y + c + 3x) = 0

oder (12 a.)

(y + c)³ — lx²{y + c) -f-    = 0.

Aufgabe 3. Man soll die Differential -Gleichung

(13.)

/%\²₌

\dx/

ax

integrieren.

Auflösung. Ans Gleichung (13.) folgt

dy = + Y axdx und dy = —Yaxdx und durch Integration

(15.) y c — ^Yax = 0 und y-j-c-j-Ę^Yax = 0.

O    o

Jede dieser beiden Gleichungen kann als Integral der vorgelegten Differential-Gleichung angesehen werden. Indem man die beiden Gleichungen (15.) miteinander multipliziert, vereinigt man beide Lösungen und erhält

[3(y + c) — 2xYax] [3(y -f- c) -f 2xYax\ — 0,

(14.)

oder

(16.)

(17.)

9 (y + cf — 4:ax³ = 0.

Aufgabe 4. Man soll die Differential - Gleichung

— 1 = 0

integrieren.

m, ₂-

\dx/ y

Auflösung. Durch Auflösung von Gleichung (17.) nach ^ findet man die beiden Werte

dx

dy —x -\~Yx² + y²

und

dy —x—Yx² + y-

dx

oder

(19.)

xdx 4- ydy

Yz² + y²

= + dx und

xdx + ydy

Yx² -f- y²

— — dx

also durch Integration

(20.) Yx² 4- y² = x -f- c und Yx² + y² — oder, wenn man beide Lösungen vereinigt,

(21.) (Yx²-\-y²—x—c)(Yx²-\-y² -j-x-\- c) — y²—2cx—c² = 0. Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

integrieren.

Auflösung. Durch Auflösung der Gleichung (22.) nach ~ erhält man die drei Differential-Gleichungen

(23.)

dy

dy

dy

— — bx

Y a²—x² dx und findet daraus durch Integration

dx

dx

Y a²—x²

(24.) H-c =

’ y-\~c — arcsin^0) y-\-c=—arcsin^

Indem man diese drei Lösungen vereinigt, ergibt sich die Gleichung

(y + c-|-~)^ + c

arcsinl

\ïj -j- c -f- arcsinl

oder (25.) {y + cf 4-b£-(y + cf — [arcsin(y -f c)

?[arcsinQ]=°

§ 122.

Integration durch Differentiation.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 291 bis 294 a.)

dy

häufig

auf große algebraische Schwierigkeiten stößt. Es sollen deshalb hier noch einige Fälle untersucht werden, bei denen man die Integration durch andere Mittel ausführen kann. Der Kürze wegen möge hierbei

dx

Es war schon in dem vorhergehenden Paragraphen erwähnt worden, daß die Auflösung der Differential-Gleichungen erster Ordnung höheren Grades nacli

(1.)

dy

= also dy = pdx, dx = —

gesetzt werden. Man kann dann jede der drei Größen p, dx, dy durch die beiden anderen ausdrücken. Kommt in der Differential-Gleichung y nicht mehr vor, so setzt man dy = pdx ein, kommt x nicht mehr vor, so setzt man

dy

dx—~ ein. Auch wenn die Differential-Gleichung nach P

x oder nach y auflösbar ist, kann man diese Substitutionen mit Erfolg anwenden, nachdem man vorher beide Seiten der Gleichung differentiiert hat.

1. Fall. Die Differential-Gleichung enthalte y gar nicht und sei auflösbar nach x\ die Gleichung habe also die Form

æ = $>(p);

¹ dann findet man durch Differentiation

dx = (p\p)dp,

oder mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

pdx = dy = <p'(p) .pdp,

y =J<pXp) -pdp + c.

Sieht man in den Gleichungen (2.) und (5.) p als unabhängige Veränderliche an, so geben diese. Gleichungen die Integral-Kurven in der Parameter-Darstellung. Indem man aus den Gleichungen (2.) und (5.) die Größe p eliminiert, erhält man die Gleichung der Integral-Kurven in den rechtwinkligen Koordinaten x und y.

(2.)

(3.)

(4.)

(5.)

Beispiele.

(6.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung x = 4p³ — 6p² -f- 12p — 15

integrieren.

Auflösung. Indem man Gleichung (6.) differentiiert, erhält man die Gleichungen

(7.)

(8.)

dx — (12p² — 12p + 12 )dp, dy — (12p³ — 12p² -j- 12p)dp

also

Durch Elimination der Größe p aus den Gleichungen (6.) und (9.) findet man dann die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

(10.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung x = arcsinp — Yl —p²

integrieren.

Auflösung. Indem man Gleichung (10.) differentiiert, • erhält man die Gleichungen

= ( 1 \]/l -

*-(yr=?⁺yé^)dp'

also mit Rücksicht auf die Formeln Nr. 31 und 120 der Tabelle

(13.) y = — Yl— p2 oder

(11.)

(12.)

dx

vé^)dp

Y1 —p² + o arcsinp -f- C.

u

(14.)

2 y — x — 2(7 — (1    p)Yl — p².

II. Fall. Die Differential-Gleichung enthalte x gar nicht und sei auflösbar nach y\ die Gleichung habe also die Form

(15.)

y = Kp);

dann findet man durch Differentiation mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

(16.)

(17.)

dy = pdx = <p\p)dp dx V'(p)dp

also

(18.)

x = jV(p)dP

J p

Auch hier geben die Gleichungen (15.) und (18.) die Integral-Kurven in der Parameter-Darstellung, wobei p die unabhängige Veränderliche ist. Indem man aus diesen Gleichungen die Größe p eliminiert, findet man die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

(19.)

Beispiele.

Aufgabe 3. Man soll die Differential -Gleichung

2 a

ÿ==r+y

integrieren.

Auflösung. Durch. Differentiation findet man aus Gleichung (19.)

(20.)

dy — pdx =

4 apdp

(1 +P²)²

(21.)

dx =

±adp

(1 + p²f

Setzt man hierbei nach Formel Nr. 150 der Tabelle

p — tgz, also z — arctgp, dz —    ^

1 +_p²’

= cos%

~ tg^cos% = sin 0 cos z

T+P*

so gehen die Gleichungen (19.) und (21.) über in y = 2acos% == a[l -f- cos(2;z)],

(19 a.) (2 La.)

dx = —A.acosPzdz.

Dies gibt nach Formel Nr. 99 der Tabelle (22.) x — — 2a(sin0cos^ -f- z) -j- C = — a\2z -f- sin(2e)] -j- 0.

Setzt man noch

2z = 71 - #

C — a:x — ccq,

so erhält man aus den Gleichungen (22.) und (19 a.) x — xq — d(t •— sin#),

(22 a.) (19 b.)

y - a(l

cos#).

Das allgemeine Integral stellt also eine Schar von Zykloiden dar.

(23.)

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung 1/ a— n²

y = —er-

integrieren.

a-p

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Gleh

chung (23.)

(24.)

dy — pdx = —    ^

p*y a? —p²

(25.)

dx —

dp

p³Va²—p²

also nach Formel Nr. 125 und 37 der Tabelle

(26.) x — x₀ =

y a² —p²

2a²p²

¹ f dp_

2®V pya² —p²

y a² —p²

2a²p²

è^(c±ïj=É>

- Da noch aus Gleichung (23.) folgt, daß

(27.)

ya²—p² =

a³y

P — ——■    ■    - ;

+ 1

ist, so findet man aus Gleichung (26.)

(28.) 2a?(x — xq) = a²yycdy² + 1 + ln(a²y -f- Vcdy² -j- 1).

yaïy² -f 1

III. Fall, Die Differential- Gleichung enthalte alle drei Größen x, y und p, sei aber nach x auflösbar; die Gleichung habe also die Form

(29.)

* = f(y, p)-

Indem man diese Gleichung differentiiert und Gleichung (1.) beachtet, erhält

man

dx =

oder

dy _ df p dy

dy +

df

dp

dp

df

(-

\p

df

)dy

Dies ist eine Differential-Gleichung erster Ordnung

zwischen y und p, die in bezug auf

Grade ist, also, vom systematischen Standpunkte aus betrachtet, einfacher ist als die vorgelegte Differential-Gleichung (29.) und sich auch in vielen Fällen leichter integrieren läßt. Hat man das Integral

<P(y, Pi C) = 0

gefunden, so folgt durch Elimination von p aus den Glei-

(30.)

(31.)

dy

dp

dp = 0.

dy

dp

nur vom ersten

chungen (29.) und (31.) die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

(32.)

Beispiel.

Aufgabe 5; Man soll die Differential-Gleichung

integrieren.

y( 1 4- V²)

yp² — 2sep + y = 0, oder x = —-

Auflösung. Durch Differentiation folgt aus Glei

chung (32.)

dx —

dy p{ 1 + p²)dy — y{ 1 — p²)dp

2\p²

oder

(33.) p( 1 —p²)dy + 2/(1 —p²)dp = (1 —p²)(pdy + y dp) = 0. Diese Gleichung wird befriedigt, indem man entweder

dv

1—p* = 0, also p =

(34.)

dx

= +1

oder

(B5.)

pdy -\-ydp = 0 setzt. Aus Gleichung (34.) folgt ohne Integration, wenn man den gefundenen Wert p — + 1 in die Gleichung (32.) einsetzt,

(36.)

y = + x.

Aus Gleichung (35.) findet man dagegen durch Trennung der Variabein

^ + ^ = 0, y p

(38.) ln 2/ + lnp = hiC, oder py — C,

(37.).

also p — —

y

Trägt man diesen Wert von p in Gleichung (32.) ein, so findet man

(39.)

2/² — %Cx -f- C² — 0.

Diese Gleichung. ist das allgemeine Integral der vorgelegten Diff erential - Gleichung und stellt eine Schar von Parabeln dar, welche, wie später gezeigt werden soll, sämtlich die beiden durch Gleichung (36.) dargestellten geraden Linien in den Punkten mit den Koordinaten x — Cr y — + C

berühren.

IV. Fall. Die Differential-Gleichung enthalte alle drei Größen x, y und p, sei aber auflösbar nach y\ die Gleichung habe also die Form

(40.)

y = ffa p)-

Indem man diese Gleichung differentiiert und Gleichung (1.) beachtet, erhält man

oder

öf

dy = pdx = ß dx Ar

df

öpdp

df dp dp dx

Dies ist eine Differential-Gleichung erster Ordnung

du

■zwischen x und p, die in bezug auf ¹

<4=1.)

+(

df

dx

p)= °-

dx

nur vom ersten

Grade ist, also, vom systematischen Standpunkte aus betrachtet, einfacher ist als die vorgelegte Differential-Gleichung (40.) 'und sich auch in vielen Fällen leichter integrieren läßt. Hat man das Integral <p{x,p, O) = 0

(42.)

gefunden, so folgt durch Elimination von p aus den Gleichungen (40.) und (42.) die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Hat die Differential-Gleichung z. B. die Form

y = x-f(p) + <p(p),

so wird mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

dy = P = f(P) + |> • f\P) + <P\P)] dx

(43.)

(44.)

dp

dx

oder

(45.)

[P — f(p)]

dx

dp

— x.f'{p) = <p'(p).

Dies ist aber eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung, die man nach den Angaben in § 116 integrieren kann. (Yergl. auch Formel Nr. 283 der Tabelle.)

.Von besonderem Interesse ist der Fall, wo in der vorhergehenden Entwickelung f(p) gleich p ist, wo also die Differential-Gleichung die Form

<46.)

y = pX -f q>(p)

hat. Dann nennt man die Gleichung eine ,, Clair aut sehe Gleichung“ und erhält durch Differentiation dy = pdx = pdx -f- xdp -f- cp'(p)dp, oder

(47.)

(48.)

[x + <p\p)\dp — 0.

Diese Gleichung wird befriedigt, indem man entweder dp = 0,

oder

x + ty'ip) = 0 setzt. Aus Gleichung (48.) folgt durch Integration

P = iy

p dx

(49.)

(50.)

- C.

Setzt man diesen Wert von p in die Gleichung (46.) ein, so ergibt sich die Lösung

(51.)

y = Cx + 9>(C).

Da hierbei die Intégrations-Konstante C unendlich viele Werte hat, so ist Gleichung (51.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung.

Ganz verschieden davon ist die Lösung, welche man findet, indem man aus den Gleichungen (46.) und (49.) die Größe p eliminiert. Daß man auf diese Weise wirklich eine Lösung erhält, kann man in folgender Weise zeigen. Denkt man sich aus Gleichung (49.) p als Funktion von x ausgerechnet und in Gleichung (46.) eingesetzt, so findet man die Identität

y = p . a? + <p(p),

und wenn man diese Gleichung nach x differentiiert,

dy

dp

dx=p + \.* + vmTx’

also, da die Funktion p durch Gleichung (49.) bestimmt ist,

dx p

(52.)

Beispiel.

Aufgabe 6. Man soll eine Kurve bestimmen, bei welcher der Abschnitt der Tangente zwischen den beiden Koordinaten-Achsen die konstante Länge c hat.

Auflösung. Bezeichnet man den Winkel OAB zwischen der Tangente und der negativen Richtung der X-Achse mit t (Fig. 176), so sind die Abschnitte OA = a und OB = b, welche die Gerade AB auf den Koordinaten-Achsen abschneidet,

(53.) a = ccos£, b — csin£, folglich wird die Gleichung der Geraden A_B, wenn man die laufenden Koordinaten mit x' und y' bezeichnet, x' y' a'b oder

(54.) y' = — x'tgt csin£.

Dabei ist

(55.) tgt = — tga = —    — —p, also sin£ =

= 1, oder

x'

ccos£ rcsinif

folglich wird die Gleichung der Tangente y' = px'

(56.)

cp

Fig. 176.

y i+p²

V1 4* P²

Da andererseits die Tangente im Kurvenpunkte P mit den Koordinaten x und y die Gleichung y' — V = p{x' — x)

hat, so findet man durch Subtraktion für die gesuchte Kurve die Clair aut sehe Differential-Gleichung

(57.)

y = px —

cp

Vl + P²

Hieraus folgt durch Differentiation

= p = P + (x

yp

)

oder

(58.)

(1 + p²)Yi + pzjäx ’

(x -    - Yl = 0

V (1 +i9²)]/l +pS/äx

(59.)

Diese Gleichung wird zunächst befriedigt, indem man ^ = 0, also p =

dy

dx

dx~ C

setzt.

Trägt man diesen Wert p = C in Gleichung (57.) ein, so ergibt sich

(60.)

y = Cx

Cc

Vi +C‘

Diese Gleichung enthält die willkürliche Konstante C und ist daher das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung. Jede Kurve der gefundenen Kurvenschar ist eine gerade Linie, welche mit ihrer Tangente zusammenfällt und auf den Koordinaten-Achsen die Abschnitte

(61.)

a —- -{-

c    h

.    i o —

yi+o²

cC

Vi+o²

bestimmt. Da hieraus

a² -f- b² — c²

folgt, so wird der Forderung der Aufgabe genügt. Gleichung (58.) wird aber auch befriedigt

wenn man

{62.) x

0, oder x =

(1 +;t-) |/l + ^²

setzt. Dabei wird nach Gleichung (55.)

(i d-^yi+y²

(63.) p = —tgt

= cos t

= — sinG

y i -f~ p¹

dadurch gehen die Gleichungen (62.) und (57.) über in

(64.)

x — c cos³G y = csin³G

Durch Elimination von t findet man aus diesen Glei

chungen

(65.)

xA 4- y* = c³.

Die gesuchte Kurve ist also eine Astroide. Für einen beliebigen Punkt der Astroide wird

P = — tgG

so daß man für die zugehörige Tangente die Gleichung y' — y =p{x' — x),

(66.)

oder

y* — csin³£ = — tgt(x' — c cosH), y' — — tg£ . x' -f- csin t findet. Deshalb sind die Abschnitte, welche diese Tangente auf den Koordinaten-Achsen abschneidet,

b = csinf, also a² -f- b² = c².

(67.)

(6Ö.)

a = ccost

Bestimmt man auf der Astroide einen Punkt P, indem man für den zugehörigen Wert des Parameters t die Bedingung

— tgt = C

aufstellt, so geht die Gleichung der Tangente in diesem Punkte der Astroide in die Gleichung (60.) über, welche das allgemeine Integral der Differential - Gleichung darstellte; d. h. die Astroide, welche man als eine besondere Lösung der Diff erential - Gleichung gefunden hat, berührt alle geraden Linien, die der allgemeinen Lösung entsprechen.

§ 123.

Die singulären Auflösungen der Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 295.)

Bei den Aufgaben 5 und 6 des vorhergehenden Paragraphen und allgemein bei der Clair aut sehen Differential-Gleichung

(1.)

y = pX + 0>(®)

fand man zwei Lösungen, von denen die eine noch eine

//

willkürliche Integrations-Konstante enthält, die zweite aber nicht. Auch erkennt man bei diesen Aufgaben sofort, daß diese zweite Lösung, welche ohne Ausführung einer Integration gefunden werden konnte, kein 'partikuläres Integral ist, d. h. die zweite Lösung geht nicht aus der ersten hervor, indem man der Intégrations - Konstanten einen besonderen Wert gibt.

Man nennt daher eine solche besondere Lösung „eine singuläre Lösung der vorgelegten Differential - Gleichung“ ¹).

Der Zusammenhang zwischen der allgemeinen und einer solchen singidären Lösung ergibt sich aus folgender Betrachtung.

Es sei

(2.)

Gr

(x’s’d)⁼⁰

45

oder

(2 a.)

M(x, y)dx -f N{x, y)dy = 0 die gegebene Differential-Gleichung, wobei jetzt aber

G(x'y-1

Mx, y)

N{x, y)

dy

^ in bezug auf eine n-deutige Funktion wird; es sei ferner

dx

vom wten Grade ist, so daß

(3.)

Fix, y, C) = 0

das allgemeine Integral. Die Gleichung (3.) stellt eine ganze Schar von Kurven dar, weil die Intégrations - Konstante C unendlich viele Werte annehmen darf. C ist also in Gleichung (3.) ein variabler Parameter. Für die Koordinaten der Schnittpunkte zweier benachbarten Kurven der Schar, welche den variablen Parametern C und C -f- JC entsprechen, gelten die Gleichungen

(4.)

F{x, y, C) = 0 und F(x, y, C + z/C) = 0 gemeinschaftlich; deshalb gelten für die Koordinaten der Schnittpunkte auch die beiden Gleichungen

(5.)    Fix, y, C) = 0 und

F{x, y, C +JC) — F(x, y, (7) A JG

Wird JC verschwindend klein, so gehen diese Gleichungen über in

(6.)

Fix, y, C) = 0 und

dFjx, y, G) ₌

dC

Wenn man aus diesen beiden Gleichungen den variabeln Parameter C eliminiert, so erhält man im allgemeinen den geometrischen Ort aller dieser Schnittpunkte, d. h. die Umhüllungskurve der gegebenen Kurvenschar. (Yergl. D.-R., 12. Auflage, § 157 und Formel Kr. 264 der Tabelle.) Es I gilt dabei der Satz:

Besitzt die Kurvenschar (3.)    Fix, y, C) = 0,

welche dem allgemeinen Integral der Differential-Gleichung (2.) entspricht, eine Umhüllungskurve mit der Gleichung

(E)

Six, y) = 0,

so ist diese Gleichung eine singuläre Lösung der gegebenen Differ ential- Gleichung.

Es galt nämlich der Satz : „Die Umhüllungskurve (Enveloppe) hat in den Punkten, welche sie mit einer der Kurven der gegebenen Kurvenschar

Fix, y,C) = 0

gemein hat, auch die Tangente mit dieser Kurve gemein (D.-R., 12. Auflage, § 157.) Im Punkte P mit den Koordinaten x und y hat daher

dy

tg“ “ dx

denselben Wert, gleichviel ob man annimmt, daß der Punkt P ein Punkt auf einer Kurve der durch Gleichung (3.) dargestellten Kurvenschar ist, oder ob man den Punkt P als einen Punkt der Umhüllungskurve mit der Gleichung (7.) ansieht, d. h. die Differential-Gleichung (2.) wird immer befriedigt, wenn man für x und y die Koordinaten eines Punktes

\\

und für den Richtungsfaktor der Tangente der Umhüllungskurve einsetzt.

Es ist aber noch hervorzuheben, daß die Elimination von C aus den Gleichungen (6.) nicht immer die Umhüllungskurve allein liefert, sondern möglicherweise auch noch andere Kurven. Wenn z. B. die Kurve

(8.)

F(x, y, C) = 0

für einen bestimmten Wert von C einen Doppelpunkt besitzt, so gelten nach D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 265 der Tabelle für die Koordinaten x, y des Doppelpunktes die drei Gleichungen

(9.) F(x, y, C) = 0

dF(x, y, O

dx

= 0 und

ôF(x, y, O ₌

dy

gleichzeitig. Im allgemeinen ergibt sich hieraus durch Elimination von x und y eine Gleichung für (7, welche diejenigen Kurven der Schar bestimmt, welche Doppelpunkte besitzen. Es kann aber auch Vorkommen, daß die Gleichungen (9.) für unendlich viele, stetig aufeinander folgende Werte von C erfüllt sind; dann besitzen alle diese Kurven einen Doppelpunkt, dessen Lage auf jeder, durch den Parameter C charakterisierten Kurve der Schar eine ganz be-

stimmte ist und sich mit dem Parameter C stetig ändert. Die Koordinaten des Doppelpunktes sind daher in diesem Falle Funktionen von C, die mit

x — x[C) und y = y[G)

bezeichnet werden mögen. Setzt man sie in Gleichung (8.) ein, so erhält man die Identität

(8 a.)

F[x{C), y(C), C] = 0;

daraus ergibt sich durch Differentiation nach C ÖF dx ÖF dy ÖF dC + Tty dC+dC^"1 oder weil die Gleichungen (9.) gelten, ôF(x, y, C) ₌

(10.)

(10 a.)

ÖC

(11.)

Die beiden Gleichungen (8.) und (10a.), nämlich

dF(x, y, C)

F(x, y, C) — 0 und

dC

sind daher auf der Kurve der Doppelpunkte gleichzeitig /erfüllt.

Die linke Seite der Gleichung D{x, y) = 0,

(12.)

welche man durch Elimination von C aus den Gleichungen

II (11.) erhält, nennt man „die Discriminante der Gleichung Dabei zerfällt nach dem Vorstehenden

| (Möglicherweise in zwei Faktoren H(x: y) und S(x, y)₎ so daß die Gleichung

Dix, y) mög-

S(x, y) = 0

alsjGleichung der Umhüllungskurve eine singuläre Lösung der vorgelegten Differential-Gleichung gibt, während der Gleichung

(13.)

(14.)

H(x, y) = 0

der geometrische Ort der Doppelpunkte entspricht.

Daß die Gleichung (12.) auch den geometrischen Ort der Doppelpunkte enthalten muß, erkennt man auch durch die folgende Überlegung:

Da die vorgelegte Differential - Gleichung in bezug auf

dx

^ vom wten Grade ist, so werden im allgemeinen jedem

Punkte P dör Ebene n verschiedene, den Werten von du

~ = tga entsprechende Richtungen zugeordnet, d. h. es

C13C

werden im allgemeinen durch jeden Punkt P n verschiedene Integral-Kurven hindurchgehen. Deshalb wird auch die Gleichung

F(x, y, C) = 0,

in der die Koordinaten x, y festgehaltene Werte haben mögen, im allgemeinen in bezug auf C vom wten Grade sein, dem Umstande entsprechend, daß im allgemeinen jeder der n verschiedenen Integral-Kurven ein anderer Wert von C entspricht. Hat aber eine Integral-Kurve in P einen Doppelpunkt, so geht sie zweimal durch diesen Punkt hindurch, d. h. es werden von den n Wurzeln C dieser Gleichung zwei einander gleich. Für einen solchen Wert von C gelten aber nach den Ausführungen von § 113 der D.-R. (12. Auflage, Seite 544) die Gleichungen

F(x, y, C) — 0 und

öF{x, y, C) ₌

ÔC

gemeinschaftlich.

Was von den Doppelpunkten der gefundenen Kurvenschar gesagt ist, gilt natürlich auch in gleicher Weise für die Spitzen und mehrfachen Punkte.

Man muß sich daher, wenn man aus den Gleichungen (6.) durch Elimination von C die Diskriminante D(x, y) gefunden hat, in jedem einzelnen Falle erst darüber Rechenschaft geben, ob die Gleichung D(x, y) = 0 schon selbst der Umhüllungskurve der Integral-Kurven entspricht, oder ob sie in die Gleichungen (13.) und (14.) zerfällt.

Der geometrische Ort der Doppelpunkte, bezw. der Spitzen und mehrfachen Punkte darf natürlich nicht als eine singuläre Lösung der vorgelegten Differential-Gleichung betrachtet werden.

Dagegen ist ein Punkt, durch den sämtliche Integral-Kurven hindurchgehen, als ein Teil der Umhüllungskurve

(18.)    F{x, y, C) == x\x — a) + (x -f- a) {y + C)² = 0.

Diese Gleichung stellt für jeden Wert von C eine Kurve dritten Grades dar, welche für x = 0, y = — C einen Doppelpunkt hat. (Yergl. Fig. 177.)

(19.)

= 2(æ + a)(y + (7) = 0, oder C = — y²)

Aus Gleichung (18.) folgt à F{x, y, C)

ÖC folglich findet man durch Elimination von C aus den Gleichungen (18.) und (19.)

(20.)

x²(x — a) = 0.

(21.)

anzusehen; denn er ist ja auch, der Schnittpunkt je zweier unendlich nahen Kurven der vorliegenden Kurvenschar. Für seine Koordinaten gelten die beiden Gleichungen F(x, y, C) = 0 und F(x, y, C -f- dC) — 0, also auch die beiden Gleichungen

(5.) F(x., y, C) = 0 und

und deshalb auch die beiden Gleichungen

F(x, y, C) — 0 und

F(x,y, C + dC)-F(x,y, C) ₌

dC

(6-)

dF(x, y, C) ₌

dC

(15.)

Beispiel. Man soll die Differential-Gleichung

ax — a²)² == 0

(a + xf(x — a) -F (x² +

integrieren.

Auflösung. Die Gleichung (15.) kann man auf die Form a² — ax — x²

(16.) +

dy

a²

(a -{- x) ]/a² — x²    Y a² — x² (a -f- x) ]/a² — x²

bringen. Daraus folgt durch Integration

dx

(17.)    +(i/ + U) = l4a-z² — a]la-d =

I a + x

xya — x

oder

y a -f- x

'S

Dabei entspricht der Gleichung x² — 0

der geometrische Ort der Doppelpunkte, nämlich die Y-Achse; und

(22.)

X — a = O

ist die Gleichung der Geraden CE, welche die Umhüllungskurve der sämtlichen Integral-Kurven ist und eine singuläre Lösung der Differential-Gleichung gibt.

Fig. 177.

Umgekehrt läßt sich auch zeigen, daß zwischen der allgemeinen Lösung (23.) Fix, y, (7) = 0 und der singulären Lösung 8(x, y) = 0 einer Differential - Gleichung erster Ordnung immer der Zusammenhang besteht, daß S(x, y) — 0 die Gleichung der Umhüllungskurve für die von der Gleichung (23.) dargestellte Kurvenschar ist.

(24.)

ff

■m

Ist nämlich S(x, y) = 0 eine singuläre Lösung und P irgendein Punkt auf der ihr entsprechenden Kurve, so kann man durch P auch n Integral-Kurven legen; man braucht nur aus der Gleichung

Fix, y, C) = 0

die zugehörigen n Werte von C zu ermitteln, unter denen gleiche Werte Vorkommen können.. Die Winkel, welche die Tangenten an diese n Kurven im Punkte P mit der positiven Richtung der X-Achse bilden, seien a1? a₂, ... an, dann sind

dy

dy

dy

dx -

= tgß₂,

dx - tgßl

die n Wurzeln der vorgelegten Differential-Gleichung

dx

G(x<y' I)=⁰

wenn man für x und y die Koordinaten des Punktes P einsetzt.

Andererseits findet man ans der singulären Lösung den Wert

dy__Si(x, y)

dx

S₂(x, y) ’

der nach. Voraussetzung ebenfalls der vorgelegten Differential-Gleichung genügt; er muß also mit einem der Werte tg«i, tga₂, • ..tgan übereinstimmen, d. h. die der Gleichung S(x, y) = 0 entsprechende Kurve hat mit mindestens einer der n durch den Punkt P hindurchgehenden Integral-Kurven in diesem Punkte eine gemeinsame Tangente.

Die allgemeine Lösung stellt daher immer eine Schar von Kurven dar, welche die der singulären Lösung

S(x, y) = 0

entsprechende Kurve zur Umhüllungskurve haben.

§ 124.

¹

Es kann allerdings ausnahmsweise auch Vorkommen, daß die singuläre Lösung mit einer partikulären Lösung zusammenfällt.

Kiepert, Integral-Rechnung.

²

Über die Bedeutung der Gleichung x -f- a = 0 gibt Aufgabe 3 auf Seite 717 Aufschluß.

Ableitung der singulären Lösung aus der Differential-Gleichung selbst.

Die singuläre Lösung der Differential - Gleichung ergibt sich im allgemeinen ohne Integration, man findet sie z. B. auch durch die folgende Überlegung.

dy

wieder mit p,

wegen dx

so hat die vorgelegte Differential-Gleichung die Form

Bezeichnet man der Kürze

(1.)

&{x, y,p) = 0.

Soll P ein Punkt der Umhüllungskurve sein, so kann er als Schnittpunkt zweier unendlich nahen Integral-Kurven betrachtet werden, d. h. durch den Punkt P gehen zwei unendlich nahe Integral-Kurven hindurch und haben in diesem Punkte dieselbe Tangente, so daß die zugehörigen Werte von

dy

p = Tx

(7.)

(2.)

einander gleich sind. Das gibt wieder nach § 113 der D.-R (12. Auflage, Seite 544) die Bedingung, daß neben der Gleichung (1.) noch die Gleichung

dG{x, y, p) = 0

dp

befriedigt wird. Eliminiert man also aus den Gleichungen (1.) und (2.) die Größe p, so erhält man eine Gleichung

E(x, y) = 0,

welche entweder mit der singulären Lösung

S(x, y)= 0

übereinstimmt, oder bei der doch wenigstens S(x, y) ein Faktor der Diskriminante E(x, y) ist.

Der Gleichung (3.) genügen nämlich nach den vorstehenden Ausführungen nicht nur die Koordinaten der auf der Umhüllungskurve liegenden Punkte, sondern auch die Koordinaten der auf den Integral-Kurven liegenden Spitzen und außerdem auch die Koordinaten derjenigen Punkte, in denen sich je zwei (nicht zu unendlich nahe liegenden Werten des Parameters C gehörige) Integral - Kurven berühren, in denen also diese beiden Kurven dieselbe Tangente haben.

(3.)

(4.)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung G(z, y, p) = {y — typ² — 4 = 0

-'Uc

integrieren.

><

(5.)

also

Auflösung. Aus Gleichung (4.) folgt 1 dx 1    ---

3(x + C) = ± (y — b)Vy — b,

'2>

oder

F(x, y, C) = 9(æ + Cf — (y - bf = 0.

x = — C, y — b

(8.)

eine Spitze hat. (Yergl. Fig. 178.)

Durch Elimination von C aus Gleichung (7.) und aus der Gleichung

(9.)

öF(x, y, C)

findet man

ÖC

= 18{x + C) = 0

(10.)

— (y—bf = 0.

Dies ist aber nicht die Gleichung der Umhüllungskurve, sondern die Gleichung der Geraden, auf der alle Spitzen liegen.

Fig. 178.

Um jetzt die singuläre Lösung der Differential-Gleichung (4.) nach der in diesem Paragraphen angegebenen Methode aufzusuchen, beachte man, daß die vorgelegte Differential-Gleichung vom zweiten Grade ist und deshalb die Form

(11.)

L(x, y)p* + 2M(x, y)p + N(x, y) = 0

hat.

Doppelwurzel, wenn

Diese quadratische Gleichung hat in bezug auf p eine

if² — LN = 0

ist. Dies gibt also in diesem Falle

F(x, y) = M² — LN.

Für die vorgelegte Differential - Gleichung ist L = y — b, ilf = 0, N — — 4, folglich erhält man auf diesem Wege (11a.)

d. h. dieselbe Gerade wie vorher.

• 4(t/ — 6) = 0,

Aufgabe 2. Durch die Gleichung (12.) F(x, y C) — (x — b cos(7)² + (y — 6sin(7)² — a² = 0 ist eine Schar von Kreisen mit dem Halbmesser a gegeben, deren Mittelpunkte einen Kreis mit dem Halbmesser b um den Nullpunkt beschreiben (Uig. 179); man soll die Umhüllungskurve bestimmen und die Differential - Gleichung aufsuchen, der die sämtlichen Kreise der Schar genügen.

Fig. 179.

Auflösung. Um die

Umhüllungskurve zu bestimmen, eliminiere man aus- Gleichung (12.) und aus der Gleichung öF(x, y, C)

(13.)

ÖC

= 2(aî—5cos(7)ösin(7—2 {y—ôsin(7)ôcos(7=0,

oder

æsinC — t/cos(7=0, y — xtgC

(13 a.)

die Größe (7. Dies gibt

oder

(x — 6cos(7)²(l + tg²(7) = a²,

(14.)

(15.)

x = (b + a)cos(7, y — (b + <z)sin(7;

folglich wird

(16.)

x² + y² = (b + a)²,

d. h. die Umhüllungskurve besteht aus zwei Kreisen, von denen der eine mit dem Halbmesser b -j- a, und der andere mit dem Halbmesser b — a um den Nullpunkt beschrieben ist. Aus Gleichung (12.) folgt ferner dF(x, y, C)

(17.)

also

dx

= 2(x — bcosC) + 2 (y — 5sin(7)p = 0

Setzt man diesen Wert in Gleichung (12.) ein, so er

hält man

also

(;y — ôsin C)²(p² + 1 ) — a²

(19.) y—6sinC=d

V i -\-p

oder 6 sin H⁻

Vl ~hp²

(20.) x—&cosO=-j-

ap

oder 5cos(7 = rcd

ap

~V1+J»²

Erhebt man die Gleichungen rechts ins Quadrat, so findet man durch Addition

(21.)

b² — x² -f- y² -f- o? +

— 2 a(y—px)

VT+p»

oder, wenn man der Kürze wegen

x² + y² + «² — b² = A

(22.)

setzt,

+ 2 a (y—px) = äY 1 -\-p².

Dies gibt

(23.)

A²(l + p²) — 4 a²(y —px)² — 0,

oder (23 a.) wobei

G(aî, y, p) — Lp² -j- 2Mp + N — 0

(24.) L = A² — 4 a²x², M = 4 a²xy, N = A² — 4a²?/².

Die Gleichung (12.) ist die allgemeine und die Gleichung (16.) die singuläre Lösung dieser Differential - Gleichung. Um die singuläre Lösung nach der Methode dieses Paragraphen zu bestimmen, hat man p aus den Gleichungen

dG(x, y, p) ₌

G(x, y,p) = 0 und zu eliminieren. Dies gibt

(25.) M² — LY— 16a⁴x²y²—A⁴-f- 4a²(a;² -f-y²)A? — 16a/4x²y2 = — A²[A²—4 a²{x²-\-y²)\ = 0.

dp

Dabei ist

A² — 4a V + y²) = (x² + y²f—2 (Ô² + a²)(x² + y²) + (b²—a²)2 = [z² + y²—(b + a)²] [z² + y²^- (b — a)²]

Deshalb geht Gleichung (25.) über in (25a.)    — (x² + y² -j- a² — ö²)². [x² -f- y² — (b -f- a)²]

. [x² + y² — (b — af] = 0.

Setzt man hierbei den zweiten oder dritten Faktor gleich Null, so erhält man die beiden durch Gleichung (16.) bereits gegebenen Teile der Umhüllungskurve; setzt man dagegen den ersten Faktor gleich Null, so erhält man die Gleichung

(26.)

x² -j- y² = b² —*• <z², d. h. die Gleichung eines Kreises, der mit dem Halbmesser Yb²—a² um den Nullpunkt beschrieben ist und alle Punkte enthält, in denen sich je zwei, nicht zu unendlich nahen Werten von C gehörige Kreise der gegebenen Kreisschar berühren. (Vergl. Fig. 179.)

Aufgabe 3. Es ist die Differential-Gleichung

(a + xf(x — «)(||) +    +

(27.)

ax — a²)² = 0

gegeben; man soll den geometrischen Ort der Punkte bestimmen, in denen sich die Integral-Kurven gegenseitig berühren.

Auflösung. Die Gleichung (27.) hat die Form G(x, y, p) — Lp² + 2Mp -}- N = 0,

(27 a.) wobei

(28.) L = (a-\-xf(x — a), If = 0,    N={x²-\-ax — a²)².

Eliminiert man aus den Gleichungen

cG<x, y, p) = ₀

dp

G(x, y,p) = 0 und die Größe p, so erhält man (29.) M² — LN = — (a -f- xf{x — a)(x² -f ax — a²)² = 0.

In dem in § 123 ausgeführten Beispiel wurde bereits die allgemeine und die singuläre Lösung der Differential-Gleichung bestimmt; das allgemeine Integral war

(30.) F(x, y, C) = x²(x — a) + (s + a)(y + C)² = 0.

(Vergl. Fig. 177.)

Ihre Umhüllungskurve, das singuläre Integral, war ‘ x — a = 0,

das man aus Gleichung (29.) erhält, wenn man den zweiten Faktor gleich Null setzt.

Setzt man den ersten Faktor gleich Null, so erhält man die Gleichung

(32.)

x == — a

d. h. die Gleichung der allen Integral-Kurven gemeinsamen Asymptote, also des ihnen gemeinsamen unendlich fernen Punktes und der zugehörigen Tangente.

Schließlich gibt das »Nullsetzen des letzten Faktors die

Gleichung

% + %Vb

Li    L

die Gerade DF, in deren Punkten sich je zwei von den Integral-Kurven einander berühren.

Die Lösung

(33.)

x² -f- ax — a² = 0, oder x ~ —

e I<m

Vö

ist eine

Gerade, auf der reelle Punkte der Integral-Kurven überhaupt nicht mehr liegen.

§ 125.

Singuläre Lösungen. Übungs - Beispiele.

Schon in § 122 sind zwei Differential-Gleichungen integriert worden, die eine singuläre Lösung zulassen. In Aufgabe 5 hatte man für die Differential-Gleichung yp² — 2xp -f y = 0

(1.)

das allgemeine Integral

(2.)

F(x, y, C) = y² — 2 Cx + C² = 0

gefunden. Die Umhüllungskurve (Enveloppe) erhält durch Elimination von C Gleichung

aus

man

Gleichung (2.) und aus der

(3.)

öF(x, y, C)

ÖC

--2æ-J-2(7 = 0, oder C = x.

Dies gibt

Die Gleichung der Umhüllungskurve stimmt also überein mit der singulären Lösung der Differential - Gleichung. In Aufgabe 6 hatte man für die Differential-Glei

chung

(5.)

y — px

cp

das allgemeine Integral

F{x, C) — y Cx -f-

(6.)

cC

Vi + c²

gefunden. Die Gleichung der Kurve, welche von diesen geraden Linien eingehüllt wird, erhält man, indem man C aus der Gleichung (6.) und aus der Gleichung dF(x, y, C)

(7.)

ÖC

= —x +

-__= ⁰

(1 + (7²)]/l + <7²

eliminiert. Setzt man dabei wieder

(8.) C=-tgt

= cos£

Vl + C*

so folgt aus den Gleichungen (6.) und (7.)

x = ccosH, y = csin³£,

Vi + c²

— — sin t

(9.)

oder

(10.)

x³ -f- y³ — c³ .

Die Gleichung der Umhüllungskurve, welche in diesem Falle eine Astroide ist, gibt also die singuläre Lösung der Differential - Gleichung.

(11.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung y² — 2xyp -f (1 -f- x²)p² = 1

integrieren.

Auflösung. Indem man Gleichung (11.) nach y auflöst, erhält man die Clair aut sehe Gleichung

(12.)

y ~ xp + y 1 — p² ; daraus folgt durch Differentiation

(13.)

p = p -j- x

dp _ p dp

dx

oder

yi — p² dx

(13 a.)

{x+

V_\ 4P ₌ o

]/l —pV dx

(14.)

Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man entweder

dy ₌

dp

, =0, also p dx

dx

C,

oder

— $    = 0 also + yi—_p² =

yi —

Gleichung (14.) gibt das allgemeine Integral; indem nämlich den gefundenen Wert vonp in Gleichung (11.) einsetzt, erhält man

(16.)    F(x, y, C) — y² — 2Cxy + C\ 1 + x²) - 1 = 0,

oder

(15.)

setzt.

man

y= Cx± Vl — G²,

(16a.)

also eine Schar von geraden Linien.

Aus Gleichung (15.) dagegen ergibt sich die singuläre Lösung, und zwar erhält man mit Rücksicht auf Gleichung (12.)

(17.)

y = Xp+l=l(l+X²), p =

xy

I tH

2 x²y² x²y2 1 Ą- x² 1 + x²

oder, wenn man diesen Wert von p in Gleichung (11.) einsetzt,

y²

oder

(18.)

y² — x² — 1.

von

Dieselbe Gleichung findet man aber auch, wie man ohne weiteres erkennt, wenn man die Umhüllungskurve der durch die allgemeine Lösung in Gleichung (16.) dargestellten Kurvenschar bestimmt. Dies geschieht durch Elimination C aus Gleichung (16.) und aus

(19.)

dF{x, y, C)

xy

2a;î/+ 2(7(1 + æ²) = 0, oder C=

1 + x²

Dieses Beispiel führte Taylor auf die Entdeckung der singulären Lösungen.

ÖC

§ 125. Singuläre Lösungen; Übungs - Beispiele.

(20.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung ydx — xdy + a Ydx² -f- dy² = 0

integrieren.

Auflösung. Die gegebene Diff erentiäl - Gleichung ist wieder eine Clair aut sehe Gleichung, denn man kann sie auf die Form

(21.)

y — px    a Y1 -j-p²

bringen, aus der durch Differentiation

dp

dp _

|/l p2 dx?

(X+-Æ=y^=o

\ Yl+pzJdx

P=V + xdx+a

oder

(22.)

folgt. Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man

also p =

(23.)

dl = 0

dx ’

dx

setzt. Trägt man diesen Wert von p in die Gleichung (21.) ein, so erhält man

y = Cx aY 1+ (7²,

oder

(24.) jF(x, y, C) — y² — 2Cxy -f- C²x² — a²(l -f- C²) — 0.

man

Dies ist die allgemeine Lösung der gegebenen Differential-Gleichung. Die singuläre Lösung findet man aus Gleichung (22.), indem

= 0, oder +    -\-p² =

setzt. Dies gibt in Verbindung mit Gleichung (21.)

xy

* .

z² — «,²

(25.)

ap

Y i +p

a P __ P(x2 — a2oder p — xx

Bringt man Gleichung (21.) noch auf die Form y² — 2 xyp -f- x²p² = a²( 1 -f- p²),

(26.) y = px —

oder

y² — l2xyp -f- (x² — a²)p² — a² — 0 und setzt den eben gefundenen Wert von p ein hält man

(27.)

so er-

Kiepert, Integral - Rechnung.

46

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung (xp — y) (x — yp) = 2p

(30.)

Dieselbe Gleichung findet man aber auch, wie man ohne weiteres erkennt, wenn man die Umhüllungskurve der durch die allgemeine Lösung in Gleichung (24.) dargestellten Schar gerader Linien bestimmt. Dies geschieht durch Elimination von C aus Gleichung (24.) und aus dF(x, y, C)

(29.)

ÖC

2xy -\-2C{x²—a²) — 0, oder C==

xy

x²—a²

integrieren.

Auflösung. Setzt man

(31.) x² = z-\-t, y² = z—t, also 2z = x²-\-y², 2t = x² — y², so wird

J dz = xdx -j- ydy — (x -f- yp)dx,

[ dt = xdx — ydy — (x — yp)dx, dz

also, wenn man der Kürze wegen —

CLL

x ±M, p =

x — yp F

_ pjx² — y²) — (x² -{- y²) _ 2pit — 2z

y(Pi + l)    y(pi -f- 1)

(32.)

(33.)

dz

mit p₁ bezeichnet,

x(px — 1)

y(p i +1)

Dies gibt

xp —

(34.)

x — yp =

2 xy

y{pi + i)

Trägt man diese Werte in Gleichung (30.) ein,

so er

hält man

4 xyjpj — z) ₌ o x{pi—_l) y\P\ + I)² y(pi + 1)

Z(Plt — z) =Pi²— 1,

1 — Pi²

oder

also

(35.)

z — pd -(-    2 —

man

Indem man diese Gleichung, die wieder eine Clai-raut sehe ist, nach t differentiiert, findet

Pl = Pl + td-Si-pdf

dt

(36.)'

oder

Hieraus folgt das allgemeine Integral, indem man = 0, also pi = C

CLL

setzt und in die Gleichung (35.) einträgt. Dies gibt 2z — 2Ct = 1 — (7², also mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

(39.) F(x, y, C) = x² + y² — C(x² — y²) — 1 -f- C² = 0, oder

(37.)

(38.)

(40.)

dpi

, y²

i+cTi—c

= 1.

Dieser Gleichung entspricht eine Schar konzentrischer Ellipsen und Hyperbeln.

Die singuläre Lösung findet man, wenn man in Gleichung (36.) den Faktor

(41.)

t — pi = 0, also pi — t

(42.)

setzt und in Gleichung (35.) einträgt. Dies gibt t² — 2t² -f- 2z — 1 — 0,

oder

(43.)

t² — 2z + 1 = 0, also mit Rücksicht auf die Gleichungen (31.)

(44.)

x⁴ — 2x²y² + y⁴ — 4x² — 4y² -[-4 = 0

oder (44a.) (x + y4-V2)(x + y—V2)(x—y + y2)(x—y— ]/2) = 0.

Dieselbe Gleichung findet man, wenn man die Umhüllungskurve der durch Gleichung (39.) dargestellten Kurvenschar bestimmt, indem man aus dieser Gleichung und aus

(45.)

öF(x, y, C)

ÖC

2 2

= —(x² — y²) + 2(7 = 0, oder C = ——'^

den variablen Parameter C eliminiert.

Der Gleichung (44.) oder (44 a.) entspricht ein System vier geraden Linien (Fig. 180), die sämtliche Kurven

von

Fig. 180.

der durch Gleichung (40.) gegebenen Kurvenschar berühren. Gleichzeitig stellt

jede dieser geraden Linien eine singuläre Lösung der Differential-

vorgelegten Gleichung dar. Setzt man z. B.

(46.) x — y -f V2 = 0,

oder also

(47.)

P = 1,

und trägt diese Werte in die Gleichung (30.) ein, so erhält man

(x — x — V 2) (sc — x — y 2) = (— y 2)² = 2 und erkennt, daß Gleichung (30.) durch diesen Wert von y befriedigt wird.

§ 126.

Isogonale Trajektorien.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 296 und 297.)

(1.)

Wenn eine Schar von Kurven durch die Gleichung F(x, y,u) = 0

mit dem variablen Parameter u gegeben ist, und wenn die sämtlichen Kurven dieser Kurvenschar von einer anderen Kurve nach einem bestimmten Gesetze geschnitten werden, so nennt man diese schneidende Kurve „eine Trajektorie“ der gegebenen Kurvenschar.

Unter den Trajektorien sind besonders bemerkenswert die isogonalen Trajektorien, welche die sämtlichen Kurven einer Kurvenschar unter einem gegebenen Winkel & schneiden. Ist dieser Winkel >9- ein rechter Winkel, so nennt man die schneidende Kurve „eine orthogonale oder rechtwinklige Trajektoriew. '

Fig. 181.

Um die Differential - Gleichung zu finden, welcher die isogonalen Trajektorien genügen müssen, gebe man dem variablen Parameter u in Gleichung (1.) zunächst einen bestimmten Wert, d. h. man greife aus der gegebenen Schar eine bestimmte Kurve heraus.

Der Winkel, welchen die Tan-

gente dieser Kurve (Fig. 181) im Punkte P mit der

p)

positiven Richtung der X-Achse bildet, sei a, dann ist nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 17 und 137 der Tabelle

jr. V«

dy

(2.)

Fi(x, y, u).    c

F₂(x, y, u) ’

wobei die partiellen Ableitungen von F(x, y, u) nach x und y bezw. mit F\{x, y, u) und Fix, y, u) bezeichnet worden sind. Nennt man nun die laufenden Koordinaten der isogonalen Trajektorie x', y' und den Winkel, welchen die Tangente dieser Trajektorie im Punkte P' mit der positiven Richtung der X-Achse bildet, a', so ist

(3.)

tg«' =

dy'

dx'

Damit nun diese beiden Tangenten den Winkel miteinander bilden, muß

(40

a' — a -f- &

sein. Dies gibt

(5.)

tga' = tg(« + #) = j

tg« + tg&

;— tgatg#

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (2.) und (3.)

Fi(x, y, u)

(6.)

dy'

Fix, y, u)

+ tg#

dx?

Fjx, y, u)

Fix, y, u)

SP

Fztgfr — Pi F2 -f- Pitg#

wobei der Kürze wegen F\ und F2 statt Fi(x, y, u) und F₂(x, y, u) gesetzt ist. Multipliziert man auf der rechten Seite dieser Gleichung noch Zähler und Kenner mit cos#, so erhält man

dÿ

(7.)

F2 sin# — Picos# dx' ~ F2cos# + Pisin#

Jetzt wird aber verlangt, daß die Tangenten an die beiden Kurven in einem Schnittpunkt derselben gelegt sind, d. h. die Punkte P und P' müssen zusammenfallen, wie es in Figur 181 bereits angenommen worden ist; es wird also x' = x, yf = y,

so daß Gleichung (7.) übergeht in die Gleichung

(8.) (Fi cos# — F₂smd')dx + (Pisin# -f- P₂cos#)<P/ = 0.

Diese Gleichung schreibt in allen Punkten P der zum festgewählten Parameter u gehörigen Kurve der gegebenen Kurvenschar (1.) die Richtung der Tangente für die gesuchte isogonale Trajektorie vor. Soll die isogonale Trajektorie nicht nur diese eine Kurve der Schar unter dem gegebenen "Winkel # schneiden, sondern alle Kurven der Schar, so muß die Gleichung (8.) für die Koordinaten x, y eines jeden Punktes P bestehen, wenn man für u den richtigen Parameterwert einsetzt, welcher zu der durch den Punkt, P hindurchgehenden Kurve der gegebenen Kurvenschar gehört. Diesen Wert von u findet man aber dadurch, daß man die Gleichung (1.) nach u auflöst, sie also auf die Form

(la.)

u — u(x, y)

bringt. Setzt man diesen Wert von u in die Gleichung (8.) ein, oder, was auf dasselbe hinaus!kommt, eliminiert man aus den Gleichungen (1.) und (8.) den Parameter u, so erhält man eine Gleichung

(9.)

°(x’v' D -⁰

welche jedem Punkte P der Ebene die vorgeschriebene Richtung der Tangente zuordnet, d. h. man erhält die Differential-Gleichung der gesuchten isogonalen Trajektorie.

Bei der Integration dieser Differential - Gleichung erster Ordnung tritt eine Intégrations-Konstante C auf, die man noch willkürlich bestimmen kann. Deshalb gibt es zu der Kurvenschar

F{x, y,u) = 0

eine ganze Schar isogonaler Trajektorien.

Bei den orthogonalen Trajektorien ist # ein rechter Winkel, dann wird also

(10.)

sin# — 1, cos# = 0, so daß Gleichung (8.) übergeht in

(11.)

— F₂dx -}- Fidy = 0.

Die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajektorien findet man also, indem man aus den Gleichungen (1.) und (11.) den variablen Parameter u eliminiert.

§ 127.

Übungs-Aufgaben.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 298 bis 302.)

Aufgabe 1. Durch die Gleichung

(1-)

Fig. 182.

(p

F(x, y,u)= y — ux = 0 ist eine Schar von geraden Linien gegeben, welche sämtlich durch den Nullpunkt hindurchgehen; man soll die Gleichung der Trajektorien auf suchen, welche alle diese Geraden unter dem Winkel # schneiden.

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt durch partielle Diffe-rentiatioiT

(2.)

Fx = — u, F2 = 1, deshalb findet man aus Formel Nr. 296 der Tabelle für die isogonalen Trajektorien die Differential-Gleichung

(3.)    (— ucos# — sind)dx -f- (— wsin# -f- cos&)dy — 0

wobei aber noch nach Gleichung (1.)

(4.) zu setzen ist. Dies gibt

(5.)    (— y cos# — xsin &)dx -f- (— y sin# -j- xcosd)dy = 0,

oder, wenn man durch — sin# dividiert,

(5 a.)

{xdx -f- ydy) + ctg d'iydx — xdy) = 0.

Die linke Seite dieser Gleichung wird ein vollständiges Differential, wie aus den Bemerkungen in § 120, Seite 690 hervorgeht, wenn man mit dem integrierenden Faktor

_|_ y2 multipliziert, und zwar erhält man aus

xdx

(6.)

+ V*y I Dt„o, ydx — xdy __

⁺    x‘+y*

nach den damals angegebenen Regeln

(7.)

ln(Vx² -f- y²) — ctg # . arctg^^ = ln C.

Diese Gleichung wird noch wesentlich einfacher durch Einführung von Polarkoordinaten, indem man

= rsinqp, also Yx²-f y² — r, arctg^—^ =

setzt und den konstanten Faktor ctg# mit a bezeichnet. Dadurch geht Gleichung (7.) über in

lnr = ln(7+ acp = ln((7. e®?),

X = rcosçp, y

(8.)

<P

oder

(9.)

r — C. earP.

Dies ist die Gleichung der logarithmischen Spirale, welche für die verschiedenen Werte der Intégrations-Konstanten C verschiedene Lagen einnimmt.

In dem Falle, wo # gleich 90° ist, wird ctg# = 0, so daß dann Gleichung (7.) übergeht in

(10.)

ln(]/x² -j- y²) — InC, oder x² -{- y² = C².

Dies ist die Gleichung einer Schar konzentrischer

Kreise.

Aufgabe 2. Durch die Gleichung

(11.)

F(x, y, u) — x² — 2u(y — xY3) = 0 ist eine Schar von Parabeln gegeben; man soll diejenigen Kurven aufsuchen, welche alle diese Parabeln unter einem Winkel von + 60° schneiden.

Auflösung. Hier ist

(12.)    # — + 60°, also sin# = + \Y3, cos# —

(13.) Fi — 2x + 2m ]/3, F2 = — 2u,

folglich findet man nach Formel Kr. 296 der Tabelle für die isogonalen Trajektorien die Differential-Gleichung

(14.) (x-\-uY3 + uY3)dx-\- [+ (x-j-uY3) Y3 — u]dy = 0.

(15.)

Für das obere Zeichen erhält man daher {x -f- 2uY 3)dx + (xY3 -f- 2u)dy — 0, wobei aber nach Gleichung (11.)

(16.)

y—xY 3

einzusetzen ist. Dies gibt

x²Y3

(æ +

x²

)dy = 0

\dx + (xY3 -|—

/    \    y

— xY 3 qj_3

oder, wenn man diese Grleichungen mit — -------multipliziert,

oc

ydx + {yY 3 — 2 x)dy — 0.

Da in dieser Gleichung die Koeffizienten von dx und dy homogene Funktionen gleichen Grades sind, so setze man x — yz, also dx — ydz + zdy.

Dadurch erhält man aus Gleichung (17.), wenn man noch durch y dividiert,

(17.)

(18.)

oder

(19.)

(20.)

y — xY 3

ydz + zdy + (]/ 3 — 2 z)dy — 0

ydz (Y3 — z)dy — 0

dy

dz

also

(21.)

oder

y² — C(x — yV 3).

Diese Gleichung stellt ebenfalls eine Schar von Parabeln dar, und zwar geht Gleichung (11.) in Gleichung (22.) über, wenn man x mit y und 2u mit C vertauscht.

(22.)

Wenn man dagegen in Gleichung (14.) das untere Zeichen berücksichtigt, so erhält man

xdx — (xY 3 -f- ^u)dy = 0, oder durch Einsetzen des Wertes von 2u aus Gleichung (16.)

xdx —

(23.)

(xn + ySm)dy “ °’

rn_3

also, wenn man diese Gleichung mit --

ly — xY 3 )dx — (yY 3 — x)dy = 0. Bringt man diese Gleichung auf die Form 2(xdy -f ydx) — (2xdx -f- 2ydy)Y3 = 0,

(24.)

multipliziert,

(24 a.)

so findet man unmittelbar durch Integration der beiden Glieder

(25.)

2 xy — (x² + y²)Y % = C.

Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichung mit — 1 und dreht die Koordinaten-Achsen um einen Winkel von 45°, indem man

(26.)

x‘ — y‘

y _ à +j_

setzt, so erhält man die Gleichung

^(V3 - 1) + y«(V3 + 1) = — C, oder, wenn man die Intégrations - Konstante C mit —2a2 vertauscht und beide Seiten der Gleichung durch

a²(YS — 1)(K3+ 1) = 2 a²

(27.)

dividiert

(28.)

x/2

y'²

Dies ist die Gleichung einer Schar von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen mit den Halbachsen

ax = a j/ Y 3 + 1 und bx — a|/ V 3

deren Achsen die Winkel zwischen den ursprünglichen Koordinaten - Achsen halbieren.

Aufgabe 3. Durch die Gleichung

F(x, y, u) = y² — ux — 0 ist eine Schar von Parabeln mit gleichem Scheitel und gleicher Achse gegeben (Fig. 183) ; man soll die rechtwinkligen (orthogonalen) Trajektorien ermitteln.

Auflösung. Hier ist (30.) Fi — — u, F₂ = 2y, folglich findet man nach Formel Nr. 297 der Tabelle (31.) 2ydx-Ą-udy = 0, wobei aber nach Gleichung (29.)

y²

u = —

-1,

(29.)

Fig. 183.

■X

(32.)

zu setzen ist. Dies gibt

(33.)

2ydx — dy — 0, oder 2xdx -f- ydy — 0.

'Jj

Daraus folgt durch Integration 2a:² -f- y² = a².

Dies ist die Gleichung einer Schar von ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen.

Aufgabe 4. Durch die Gleichung Fix, y, u) =

(34.)

(35.)

x²

a² + u

ist eine Schar konfokaler Ellipsen gegeben, sofern der variable Parameter u alle Werte von — b² bis -f- oo durchläuft. Wenn dagegen u alle Werte von —a² bis —b² durchläuft, so stellt Gleichung (35.) eine Schar konfokaler Hyperbeln

§ 127. Isogonale Trajektorien ; Übungs-Aufgaben.

782

dar. Man soll für beide Fälle die rechtwinkligen {orthogonalen) Trajektorien bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(36.)    «

Fi =

b² -f- u

a² + u

nach Formel Nr. 297 der Tabelle für

folglich findet man die orthogonalen Trajektoriefi -die Differential-Gleichung

(37.)

ydx

xdy

b² Ą- u

wobei man noch den variablen Parameter u aus den Gleichungen (35.) und (37.) zu eliminieren hat, was etwa in folgender Weise geschehen kann. Aus Gleichung (37.) findet

a² + u

man

(38.)

xyp

b² -f- u a² -f- u ’ setzt man diesen Wert in Gleichung (35.) ein und bezeichnet man a² — b² mit e², so erhält man

(39.) a?-\-u = x{x-iry'p), b²u = a²u—e² = x(x -f- yp)—e², und wenn man diese Werte in Gleichung (35.) einsetzt,

x -j- yp x{x + yp) — e²

oder

(40.)

{x + yp) (y — xp) = — e²p.

Diese Differential-Gleichung für die orthogonalen Trajektorien läßt sich ähnlich behandeln wie die in § 125, Aufgabe 3. Man setze nämlich

(41.) x² — zĄ-t, y² = z— /, also 2z = x²-\-y², 2t — x²—y², dann wird

(42.)

dz = {x -Ą- yp)dx, dt = (x — yp)dx

dz

also, wenn man ~ mit pi bezeichnet, x + yp

(43.)

dz

tt =Pi = -dt    x

— yp • .

(44.)

« + yp =

2xpi

^4 + 1

, y xp =

x(pi — 1) y {pi +.1)’ 2{z — tpi) y{pi +1)

Deshalb geht Gleichung (40.) über in ^xpi (0 — tpi) _ e²x(pi — 1) y(px + l)²    y(pi + 1)

oder

(45.)

4:pi(z — tpi) = — e²(^i² — 1).

Diese Gleichung ist wieder eine Clair aut sehe Gleichung; denn man kann sie auf die Form

(46.)

0 = tpi

e²(pi² — 1)

4p i

bringen und erhält daraus durch Differentiation nach t

e²(pi² + l)⁻) dpi

4pi²

Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man

(47.)

dt

= 0.

(48.)

dpi

= 0, also pi = C

CLC

setzt.

Indem man diesen Wert von pi in Gleichung (45.) einträgt, erhält man

4(7(0 — tC) = e²(l — (7²), oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (41.)

2Gr²(l — C\ + 2Cy²(l + C) = e²(l — (7²),

oder

(49.)

__    2Cy²

e²(l -f C) ^ e²(l — C)

Wx²

Führt man jetzt statt der Intégrations-Konstanten C einen variablen Parameter x ein, indem man

(50.)

e²

also

e²(l + C)

^ a² -f- ö² + 2x ’

e²(l — C)

2(7

2 G =i2 + x

setzt, so geht Gleichung (49.) über in

(51.)

_________ .7    _ i

a² -f- x b² -j- x

Diese Gleichung stellt wieder eine Schar konfokaler Ellipsen und Hyperbeln dar, welche mit der gegebenen

Kurvenschar identisch, ist. Dabei schneiden, wie bereits bekannt ist, in der Tat die sämtlichen Hyperbeln die sämtlichen Ellipsen rechtwinklig.

Hätte man in Gleichung (47.), um die singuläre Lösung zu erhalten, den Faktor e²(pi² + 1)

4p!²

gesetzt, so würde man mit Rücksicht darauf, daß nach Gleichung (46.)

(52.)

= 0, oder pi²(4£ — e²) = e²

(53.)

4pi£ = pi²(4ć — e²) + e²

ist, die Gleichungen

4piz = 2e², oder 4pi²;z² = e⁴

also 4z² — e²(4 i — e²) gefunden haben. Dies gibt, wenn man die Werte von 0 und t aus den Gleichungen (41.) einsetzt,

oder

(x² -f y²)² = e²(2x² — 2y² — e²)

also

(x² + y²)²—2e²(x² + y²) + e⁴ = (x² -\-y²— e²)² = — 4e²y²

x² Ą- y² — e² = + 2eyi, oder x² — e² + 2eyi — y². Dies gibt

(54.)

x = + (e + yi)-

Geraden

Die singuläre Lösung besteht also aus vier imaginären

) x — yi — e = 0, x + yi — e = 0,

\ x — yi-\-e = 0, x 4- yi + e = 0, von denen sich die beiden oberen in dem einen Brennpunkte mit den Koordinaten x = 4- e, y = 0, und die beiden unteren in dem anderen Brennpunkte mit den Koordinaten x — — e, y = 0 schneiden.

(54 a.)

Im allgemeinen wird die Integration der für die orthogonalen Trajektorien gefundenen Differential-Gleichungen in geschlossener Form nicht ausführbar sein; deshalb ist es von Interesse, einige Fälle hervorzuheben, wo die Integration durch Trennung der Variabein unmittelbar bewirkt werden kann. Die gegebene Kurvenschar habe die Gleichung

wobei f{x) eine Funktion der einzigen Veränderlichen x und g(y) eine Funktion der einzigen Veränderlichen y sein möge; dann wird

(56.)

Fi = f\x), F₂ = £%), so daß die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajektorien, nämlich

— F₂dx -{- Fgäy = 0, (vergl. Formel Nr. 297 der Tabelle) in — g\y)dx + f\x)dy = 0

oder

(57.)

dx

dy

f\F)    g\y)

übergeht. Danach kann man ohne weiteres die folgenden Aufgaben behandeln.

Aufgabe 5. Man soll die orthogonalen Trajektorien der Kurven mit der Gleichung

(58.)

bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(59.)

also

(60.)

folglich findet man nach Gleichung (57.) für die orthogonalen Trajektorien die Differential-Gleichung aa dx a xa~l

Die Fälle, wo a = 2 oder ß = 2 ist, muß man besonders untersuchen. Ist z. B. a — 2 ß = 2, so geht Gleichung (61.) über in

(61.)

Ji* dy

ß y?-¹

(62.)

a? •

dx

dy

a;

folglich wird

(63.)

b²h\y = a?\nx -f- InG, oder ybb = Cx?a.

Dagegen findet man unter der Voraussetzung, daß a,^2, ß^2i, aus Gleichung (61.) durch Integration aaß(ß — 2)a:2—ß = bPa(a — 2 )y²~P + C.

Ist z. B.

CM CO

CM CO

und vertauscht man u mit u über in

so geht Gleichung (58.)

= uz,

d. h. die gegebene Kurvenschar ist eine Schar ähnlicher und ähnlich liegender Astroiden.

Für die orthogonalen Trajektorien findet man dann Gleichung (64.), wenn man die Intégrations-Konstante

9    4    v

— prC mit + v³ bezeichnet,

(65.)

aus

(66.)

x³ — y³ = + v³.

Man kann das angegebene Verfahren auch dann noch an wenden, wenn die Gleichung der angegebenen Kurvenschar die Form (67.)

hat, weil man sie durch die Gleichung

F{x, y, u) = ln[f(xj\ + ln [g{y)] — lnw = 0 ersetzen kann. Dann wird

(68.)

(69.)

fix)>giy)— u = 0

Fi =

fix)

fix)¹

F2 ⁼⁼

g\y)

g(y)

so daß man aus Formel Nr. 297 der Tabelle für die orthogonalen Trajektorien die Differential-Gleichung

g\y)

oder

aiy)

dx —|—

fix)

dy = 0

(70.)

fix)

erhält.

fix)

dx =

giy)

g\y)

dy

Aufgabe 6. Man soll die orthogonalen Trajektorien für die verallgemeinerten gleichseitigen Hyperbeln mit der Gleichung

(71.)

xmyn — u

bestimmen.

47

Auflösung. Hier ist

(72.) f(x) = xm, g(y) = yn, f\x) = mxm~l, g\y) = ny folglich ergibt sich aus Gleichung (70.) für die orthogonalen Trajektorien die Differential-Grleichung 2 mydy — 2nxdx; die orthogonalen Trajektorien selbst haben daher die Grleichung

(73.)

(74.)

my² = nx² -f- C.

Ist die Gleichung der gegebenen Kurvenschar in Polarkoordinaten ausgedrückt, geht man also von der Gleichung F(r, g>, u) = 0

aus, so ist der Winkel y, welchen die Tangente im Kurvenpunkte P mit dem zugehörigen Radiusvector bildet, durch die Gleichung (vergl. D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 159 der Tabelle)

(75.)

(76.)

rdcp

gegeben. Bezeichnet man vorläufig die Koordinaten einer orthogonalen Trajektorie mit r\

<p' und den Winkel, welchen die Tangente dieser Kurve mit dem zugehörigen Radiusvector bildet, mit y', so ist

Kg. 184.

V,

(77.)

,    .    r'dov'

w ⁼ -dP~-

Nun soll (Fig. 184) y'—g — 90° sein, deshalb wird

(78.)

t g(ß' — y) =

tgy' — tgy

oder

1 + tgy tgy'

— CO

(79.)

1 + tgy tgy' = 1 + ^

rd<p r'd<p'

dr'

= 0.

(80.)

Setzt man hierbei der Kürze wegen

dF(r, <p, u)

öF(r, <p, u)

dr

i?

d<p

= F₂,

so folgt aus Gleichung (75.)

Kiepert, Integral - Rechnung.

Pi

dcp

Fi(r, y, u) ₌__j

F2 (r,, ff, u)    F₂ ’

folglich, geht Gleichung (79.) über in

rFi F dcp'

(81.)

dr

(82.)

dr'

= 0;

da aber die Berührungspunkte P und P/ zusammenfallen müssen, so wird F gleich r, cp' gleich p, also

F₂ — F₁.r*d^ = 0.

(83.)

dr

Im allgemeinen werden hierbei F\ und P₂ noch den Parameter u enthalten ; indem man u aus den Gleichungen (75.) und (83.) eliminiert, erhält man die Differential-Gleichung der orthogonalen Trajektorien.

Aufgabe 7. Die Gleichung

F(r, 9>, u) — r² cos (2<p -f- 2u) — «² cos (2m) — 0

stellt eine Schar von gleichseitigen Hyperbeln dar, welche den Nullpunkt zum gemeinsamen Mittelpunkt haben und sämtlich durch den Punkt A mit den Koordinaten r = a, cp = 0 hindurchgehen; man soll die orthogonalen Trajektorien bestimmen.

Auflösung. In diesem Falle ist (85.) F\ = 2rcos(2cp + 2m), F₂ = — 2r²sin(29> + 2m), folglich geht Gleichung (83.) über in

(84.)

dcp

— 2r²sin(2cp -f- 2m) — 2r³cos(29> -f 2m)

= 0;

daraus findet man

(86.)

tgßcp + 2m) = —

dcp

r —r~ •

dr

Nun kann man Gleichung (84.) auf die Form r² cos (2cp) cos (2m) — r²sin(29>)sin(2M) — a² cos (2m) = 0,

oder

tg(2M) =

r²cos(29>) — a²

r²sin(2gp)

bringen, folglich wird

(90.)

(89.)

r² — a²cos(2<p)

rd<p

<z² sin(2<jp)

dr

oder, wenn man

(88.) tg(2çD + 2m) =

tg(2y) + tg(2M)

1 _ tg(2çD)tg(2M)

r²sin(2<p)tg(2<jp) -f- ?"²cos(2(p) — a2 r²sin(2<jD) — tg(2(jp)[r²cos(2<p) — m²]

r² — <z²cos(2<jp)

a² sin(2çp)

Dies gibt mit Rücksicht auf Gleichung (86.)

m²cos(2çd) =4, also —2a²sin(2<p)d<jp = dt

setzt,

(91.)

dr

= 2r.

Weil dies eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung ist, setze man

also dt — vdz -f- zdv

(92.)

t — vz

wodurch man

(93.)

dz ,    /dv

dr

Vdr ⁺ *\

erhält. Indem man die Funktion v so bestimmt, daß in dieser Gleichung der Koeffizient von z verschwindet, erhält man

dv

2dr

also lnv = — ln(r²), oder v ==

(94.) — = v

deshalb geht Gleichung (93.) über in

/^*2

1 dz r² dr

Dies gibt, wenn man die Intégrations-Konstante mit -|-(a⁴ — b⁴) bezeichnet,

(96.) 2z = r⁴ -f- a⁴ — 6⁴, also 2vz = r²

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (90.)

r⁴ — 2<z²r²cos(2<jp) + a⁴ = ô⁴, wobei b der variable Parameter ist.

(95.)

(97.)

= 2r

oder dz = 2t³ dr.

a⁴ — b⁴

= 2t

ir

Diese Gleichung stellt eine Schar von Kurven dar, welche unter dem Famen „Cassinisehe Kurven“ bekannt sind und die Eigenschaft besitzen, daß das Produkt der Abstände eines jeden Kurvenpunktes von zwei festen Punkten mit den Koordinaten x = + ai V — 0 den konstanten Wert

Fig. 185. p

b² besitzt. Sind nämlich F\ und F₂ die beiden festen Punkte, die „Brennpunkte“ genannt werden, und Qi, Q2 die nach einem be-

J_x liebigen Kurvenpunkte P ge-

Ff zogenen „Brennstrahlen“, so wird

nach dem Kosinussatze (vergl. Eig. 185)

(98.) (>i² = r² -f- a² — 2racosg>, q₂² — r² -f- a² -f- 2mçosçr> also

(99.)

(?i²(>2² = {r² -j- (Ff — 4aV²cos²<jp — è⁴,

woraus sich ohne weiteres Gleichung (97.) ergibt.

r² = 2a²cos(2^) und stellt eine Lemniskate dar.

Für b — a reduziert sich die Gleichung der Cassini-schen Kurve auf (100.)

Auch bei Anwendung von Polarkoordinaten kann man Fälle hervorheben, in denen die Integration durch Trennung der Variabein ohne weiteres ausführbar ist. Hat nämlich die Gleichung der gegebenen Kurvenschar die Form

(101.)

F(r, çd, u) = f(r) + g{(p) — u = 0,

wobei f(r) eine Funktion der einzigen Veränderlichen r und g(cp) eine Funktion der einzigen Veränderlichen <p sein möge, so wird

Fi = f'(r), F₂ = g'(<p), so daß Gleichung (83.), nämlich

Fa — Fvr²— = 0,

(102.)

dr

übergeht in

(104.)

f(r) ■ g{<P) = u

oder, wenn man lnw mit Ux bezeichnet,

(104 a.) so wird

(103.) oder (103 a.)

dr

dcp

Form

r². f\r) g'{cp)

Hat die Gleichung der gegebenen Kurvenschar die

F(r, cp, ux) = ln[/(r)] + ln [g{cp)} — ux = 0

Fx =

f\r)

f{r)

F₂ =

g(<p)

folglich geht Gleichung (83.) über in

(105.)

g\F) _ fY). r²d<p ₌ _ g{<p)    f(r)    dr

daraus ergibt sich

(105 a.)

f{r)dr _g{cp)dcp

r². f\r)

Beispiele.

(106.)

Aufgabe 8. Durch die Gleichung rncos{mcp) — u — 0 ist eine Kurvenschar gegeben; man soll die orthogonalen Trajektorien bestimmen.

Auflösung. Hier ist

(107.)

also

f(r) = rn, g{cp) = cos {mcp)

f\r) = nrn~¹

g\cp) = — msm.{mcp) folglich geht Gleichung (105 a.) über in

nr

— mn

daraus ergibt sich

(108.)

also

dr    cos {mcp)dcp

ms\n{mcp) ’

cos {m<p)dcp

sin {mcp)

w?²lnr = — wln[sin(wî<p)] + ln (7, rmmsmn(m(p) — C.

(109.)

Für m = n wird die Gleichung der gegebenen Kurven-

schar

(110.)

rm cos (mcp) = u,

und die der orthogonalen Trajektorien, wenn man C gleich vm setzt,

(111.)

Man erkennt unmittelbar die Gleichartigkeit der beiden Kurvenscharen.

Kurvenschar, wenn man

Für n = — m wird die Gleichung der gegebenen — mit u' bezeichnet,

(112.)

(113.)

rm = u' cos(wtg)), und die der orthogonalen Trajektorien rm = vsin (mę).

Für m = 1 geht z. B. die Gleichung (112.) über in

Fig. 186.

(114.) r = u' cos 9) und stellt eine Schar von Kreisen dar, welche sämtlich durch den Kulipunkt hindurchgehen und ihren Mittelpunkt in der I    X-Achse haben, während

\    der Durchmesser u* vër-

schiedeneWerte annimmt (Fig. 186). Die orthogonalen Trajektorien haben dann die Gleichung (115.) r = vsin cp und sind Kreise mit dem veränderlichen Durchmesser v, die gleichfalls durch den Nullpunkt hindurchgehen, ihren Mittelpunkt aber in der Y- Achse haben.

§ 128.

Evolventen.

(Yergl. die Formel-Tabelle Nr. 303.)

In § 97 der Differential-Rechnung war auf Seite 471 der Satz bewiesen worden, daß eine jede Kurve durch Abwickelung (oder Aufwickelung) aus ihrer Krümmungsmittel-punktskurve entsteht, und daß ihre Normalen Tangenten der Krümmungsmittelpunktskurve sind. Man nennt daher die ursprüngliche Kurve „Evolvente“ und die Krümmungsmittelpunktskurve „Evolute“. Dabei gehören zu jeder Evolute unendlich viele Evolventen, da man die Länge des abgewickelten Fadens noch beliebig annehmen kann. Damals war eine der Evolventen gegeben, und die zugehörige Evolute gesucht. Jetzt sei die Evolute durch die Gleichung

(1.)

y = fix)

gegeben, und die Schar der Evolventen gesucht. Diese Aufgabe kann man leicht lösen, denn die Tangenten an die gegebene Kurve haben die Gleichung (2.) y/ — y = “ (#' — x), oder y' — fix) — f\x) {x/ — x) = 0 und sind zugleich Normalen der gesuchten Kurvenschar, d. h. die Aufgabe der Aufsuchung der Evolventen fällt mit der folgenden Aufgabe zusammen: Durch Gleichung (2.) ist eine Schar von geraden Linien gegeben, man soll die rechtwinkligen Trajektorien dieser Schar von geraden Linien aufsuchen.

Damit bei der gestellten Aufgabe die Bezeichnungen mit den in § 126 benutzten übereinstimmen, vertausche man in Gleichung (2.)

also

(2 a.)

x mit u, x' mit x, y' mit y,

f{x) mit f{u) und f\x) mit f\u). Dadurch geht Gleichung (2.) über in

F(x, y, u) = y fiu) — f\u) ix — u) = 0

und es wird

§ 129.

Übungs- Aufgaben.

(1.)

Aufgabe 1. Man soll die Evolventen der Parabel y² = 2 ax

ermitteln.

Auflösung. Ans Gleichung (1.) folgt

(2.)

f(u) = y 2 au, f'(u) = ~    ,

deshalb wird

folglich findet man nach Formel Nr. 297 der Tabelle die Differential - Gleichung der rechtwinkligen Trajektorien, indem man den Parameter u aus Gleichung (2 a.) und der Gleichung

(4.)

dy

dx

eliminiert.

f\u)

F2<m

(3.)

(4.)

F(x, y, u) = y —]/2<m y 2 au

dy

dx=V ⁼

a(x — u)

-—= ü

Y2 au

also Y 2 au =

ap²

— aP, u = 2

Durch Elimination von u aus diesen beiden Gleichungen findet man

2x — ap²

2p

y F ap F

oder

(5.)

dx —

2py -f 2x -f- ap² = 0.

Hieraus ergibt sich durch Differentiation & setzt.

wenn man

2p dy + 2 ydp +

oder

y + 2 apdp = 0,

(6.)

(1 -f- v²)dy + iyp -j- ap²)dp = 0.

Diese Differential-Gleichung zwischen y und p hat einen integrierenden Faktor, der eine Funktion der einzigen Veränderlichen p ist; hier wird nämlich

(7.)

(8.)

ÖM

M(y, j>) = l+ P², N{y, p) = yv + af

1 /öN    ÖM

M\dy

öN

also

= 2p

öy

folglich wird nach Formel Nr. 287 der Tabelle

dp

dp

1 -f- p²

(9.)

lnv

— pdp

i+p²

H |OJ

ln(l -f- P²)

Dies gibt nach den früheren Regeln, wenn man das vollständige Differential mit dTJ bezeichnet,

yp -j- ap²

y i + p²

(10.)

dTJ = y\ p² .dy -\-

dp — 0

(11.)

(bp -f- ap²)dp

yi p²

= (7.

Dabei wird

(12.)

/]/l + p²dy = {y — ô)]/ï + _p²,

und nach den Formeln Nr. 31 und 127 der Tabelle

(13.)

p

'{bp + ap²)dp

y 1 + P²

^ y i j-p²+1 (p y 14- p²

9lr<3tnp) •

Dies gibt, wenn man die konstanten Glieder mit der Intégrations-Konstanten C vereinigt,

11.)

U = yyi + p² + |(2,yT+ p² — 2Ir ©ini?)

G,

also

(15.)

• 2y = — a;? 4

2G

y i 4- y² yi+i>²

daß

Deshalb folgt aus der Gleichung 2x — — 2py — ap².

(16.)

2x =

ap 2lr@tnp

2 Cp

y 14-p²    y 14- v²

wird. Somit hat man x und y als Funktionen von p dargestellt.

Aufgabe 2. Man soll die Evolventen der Kurve 21 ay² = 8(x — af

(17.)

ermitteln.

Auflösung. Aus Gleichung (17.) folgt

(18.) f{u) = deshalb wird

(19.) F(x, y, u) = y — f(u) — {x — u)f'(u)

2 (u — a)V2(u — a)

3 y 8a

/» =

Y2(u — a)

Y 8a

Y2(u — a)

(3.x — u — 2a) — 0

(20.)

dy

Tx = p =

y 3a

oder

y2(u — a)

(21.) Y2{u — a) = —

Y 3a

3a -f- 2ap²

2p²

— a -f-

3a

2p²

Durch Elimination von u aus den Gleichungen (19.) und (20.) findet man daher

— 3a

3a

2p

LH

oder

(22.)

vy x —

setzt

Hieraus erhält man durch Differentiation, indem man wieder dx = —

(23.)

oder

(p + l)d,J + (v + jg)dP = ⁰

(24.)

(1 + p²)dy + (py + p)# = 0

Auch diese Differential-Gleichung hat den integrieren-mit dem man Gleichung (24.) multi-

den Faktor

yi p²

plizieren muß, damit die linke Seite ein vollständiges Diffe

rential

§ 129. Evolventen; Übungs-Aufgaben.

(25.) dU — Yl p². dy + ^

= d{yyi + p²) +

yp

]/i +p²    p²yi-\~p²

adp

p²y i

wird. Dies gibt nach Formel Nr. 40 der Tabelle

(26.)

u = yy\ + P²

a y 1 + p²

= c.

also

(27.)

2Q>

-2M + 2a+|=|-

Für C = 0 erhält man

2x = ^ V ~ also 2/2 =

Dies ist die Gleichung einer Parabel, deren Evolute die durch Gleichung (17.) gegebene Kurve ist.

(28.)

(29.)

2x —

2ax.

XX. Abschnitt.

Gewöhnliche Differential - Gleichungen höherer Ordnung.

§ 130.

Auflösbarkeit simultaner Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 804 und 305.)

Die Integration der gewöhnlichen Differential-Gleichungen mter Ordnung läßt sich, wie in § 131 gezeigt werden soll, zurückführen auf die Integration von m gleichzeitig geltenden¹) Differential - Gleichungen erster Ordnung zwischen einer unabhängigen Veränderlichen x und m -von x abhängigen Veränderlichen yi, y%,    Deshalb möge

zunächst die Auflösbarkeit von solchen simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung untersucht werden.

Durch eine Gleichung zwischen x, y, z wird die veränderliche Größe 0 als Funktion der leiden Veränderlichen x und y dargestellt. Will man die beiden Veränderlichen y und 0 als Funktionen der einzigen Veränderlichen x erklären, so braucht man dazu zwei Gleichungen zwischen x, y, 0. (Vergl. D.-R., 12. Auflage, § 145.)

nicht ausreichen, um zwei veränderliche

x, y, 0,

Größen y und 0 als Funktionen der unabhängigen Veränderlichen x zu erklären. Es müssen also mindestens zwei

In gleicher Weise würde eine Gleichung zwischen dy dz dx dx

solche Gleichungen gegeben sein, die man „ein System simultaner Differential-Gleichung enu nennt, weil sie gleichzeitig gelten. Der Einfachheit wegen kann man sich diese Gleichungen auf die Form

(10

dy

dx

= <p(xi y> *), 3

gebracht denken.

Auch hier ergibt sich ohne weiteres die geometrische Deutung und damit die Auflösbarkeit dieser Differential-Gleichungen. Wenn es nämlich eine Lösung des Systems der Differential-Gleichungen (1.) gibt, so muß diese eine Daumkurve

y = f(x), z = g{x)

darstellen, welche auch allgemeiner durch zwei Gleichungen F{x, y, z) ~ 0 und G(x, y₁ z) = 0 zwischen x, y, z bestimmt werden kann. Beachtet man ferner, daß nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 241 der Tabelle die Tangente an die Raumkurve im Punkte P die Gleichungen

(20

y' —

dz

x), z‘ — z — -f- ix' — x). dx

hat, so erkennt man, daß die Gleichungen (1.) die Richtung der Tangente angeben. Jedem Punkte P mit den Koordinaten x, y, z wird also durch das System der Differential-Gleichungen (1.) eine gerade Linie zugeordnet, die durch die Gleichungen (2.) dargestellt wird, wenn man darin die

Ableitungen

ersetzt. Geht man von einem beliebig gewählten Punkte Po mit den Koordinaten x₀, y₀, z₀ aus, so findet man aus den Gleichungen (2.) die Gleichungen

(3.) yi—yo = (xi—xo)v(xo, 2/o, so), *i—z₀ = (oc₁-^-xo)ip(xo, yQ, zQ), welche die Koordinaten xx, yx, zx eines benachbarten Punktes Pi auf dieser Geraden bestimmen. Da man xx — xç> beliebig klein machen kann, so kann man es erreichen, daß der Punkt Pi dem Punkte P₀ so nahe liegt, wie man will. Ebenso findet man aus den Gleichungen

dy

dx

dz

und — bezw. durch <p(x, y, z) und xp(x, y, z)

die Koordinaten eines Punktes P₂, der auf der Geraden durch den Punkt Pi liegt, und kann in dieser Weise beliebig fortfahren.

Dadurch erhält man ein räumliches Vieleck P₀PiP2 ... Pn—iPw, das als eine Annäherung an die gesuchte räumliche Integral - Kurve betrachtet werden kann. Diese Annäherung ist um so genauer, je kleiner man die Seiten des Vielecks macht. Werden schließlich die Seiten verschwindend klein, so geht das Vieleck in eine Kurve über, deren Tangenten in jedem Kurvenpunkte die durch die Differential-Gleichungen (1.) vorgeschriebene Richtung haben.

Dabei muß aber noch gezeigt werden, daß dieses Verfahren zu einer ganz bestimmten Grenzkurve mit den Gleichungen

(5.)

y = f(x), z = g(pc)

führt

wenn n dadurch ins Unbegrenzte wächst, daß die einzelnen Seiten des Vielecks P₀PiP₂ ... Pn nach einer be

stimmten Vorschrift verschwindend klein werden. Sodann

ist nachzuweisen, daß die Grenzkurve dieselbe bleibt, auch wenn man diese Vorschrift durch eine beliebige andere ersetzt, und schließlich muß gezeigt werden, daß die Grenzkurve den vorgelegten Differential-Gleichungen (1.) genügt.

werden, wie er in § 109 für die Auflösbarkeit der Differential-

Dieser Beweis kann in ähnlicher Weise geführt

Gleichung

dy

dx

geführt worden ist, möge hier aber der Kürze wegen übergangen werden.

Auch die in § 110 behandelte Auflösung der Differential-Gleichung erster Ordnung mit Hilfe der Taylor sehen Reihe läßt sich auf den vorliegenden Fall übertragen. Sobald man weiß, daß es eine Integral-Kurve mit den Gleichungen

y = fix), z = g(x)

gibt, welche durch den beliebig gewählten Anfangspunkt Po mit den rechtwinkligen Koordinaten x₀, y₀, z₀ hindurch-

geht, kann man die Funktionen f(x) und g(x) mit Hilfe der Taylor sehen Reihe nach steigenden Potenzen von x — xq entwickeln und erhält

(6.) y = f{x o) +

f\xo)

1!

(x — xq) +    (x — xo? +

f{n\x o)

n\

(x — Xç,)n -f- Hi,

(?•)    Z = g{xo) + (x — a;₀) + ⁹~~^ (x ~ xo)² +

(iC — Xo)n -j- -Z?2 •

9{n\xo)

Dabei dürfen die Anfangs werte

(8.)

Vo = A^o) und z₀ == g{x o) noch beliebig gewählt werden. Sodann folgt aus den Grlei-chungen (1.)

2/0, a₀),

#^0, 2/0, a₀).

⁽⁹->

Ferner wird, wenn man mit <jp'(a;, y, z) und tp'(x, y, 0) die vollständigen Ableitungen von cp(x, y, 2) und ip(x, y, 0) nach æ bezeichnet,

d²y

wobei nach den Gleichungen (1.)

(10.)

ć£r²

dx²

= f"(x) =

= <P\X, 2/, a),

= y, z)

dy

dz

gx ⁼ y(xi 2/> ⁰) und ^ = Ip(x, y, z)

einzusetzen sind. Dies gibt

f"(xo) = <P'(X0,2/0, a₀), g"{x0) = vA®b, 2/0, «b). In derselben Weise    setze    man

/•////    x    ₌ d<P'(x, y, z) ₌    dep'    dr// dy    <V dz

dx    dx    dy dx    dz dx

dip'(x, y, z)    dtp'    t    dip'dy    dtp' dz

dx~r dz dz

(HO

(12.)

27'"(*) = und findet daraus

/■"'fco) = 9>"(aso, 2/0, a₀), ^"'(aso) = ^"fco, 2/o, z).

dx

dx

= v>"(x, y, z)

und findet daraus

(14.) fW(xo) = (ß^Xxo, «/o, ^o), g{n\xo) = ip(n 1^(^r₀j 2/o, So)-

Wenn cp(x, y, z), f(x, y, z) und die partiellen Ableitungen dieser Funktionen, soweit sie bei der Bildung von gc/, çp//, ... çdH, ip', t^//, ... ipw erforderlich werden, für die betrachteten Werte von æ, ?/, 0 eindeutig und sżeżfi/ sind, kann man also die sämtlichen Koeffizienten auf der rechten Seite der Gleichungen (6.) und (7.) berechnen.

Die Bedingungen, unter denen die Restglieder R\ und j?2 für hinreichend große Werte von n beliebig klein werden, können in ähnlicher Weise untersucht werden, wie das in § 111 für das Restglied R bei der Differential-Glei-

dy

Fährt man nach denselben Regeln mit der Bildung der höheren Ableitungen fort, so erhält man d<p(n—²\x, y, z)

(13.)

dx

=    y, z)

gW(x)

dy>(n~ ²\x, y, z)

dx

_ ^(»—ł)(a;, y, z)

chung — cp{x, y) geschehen ist; doch möge die Unter

suchung hier der Kürze wegen übergangen werden, da sie im allgemeinen zweckmäßiger für die einzelnen Anwendungen besonders durchgeführt werden kann. Auch die Berechnung f\x0) f"(x0)

1! ’ 2!

der Koeffizienten

g{n\x0)

n\

f[n\x0)    g\x0) g'Xx0)

2! ’

wird sich, wie später gezeigt werden soll, durch

n\

1!

Anwendung der Methode der unbestimmten Koeffizienten wesentlich einfacher gestalten.

Unter der Voraussetzung, daß die Größen

dRi

und

^ und deshalb auch die Restglieder Ri und R2 für hinreichend große Werte von n beliebig klein werden, stellen die Gleichungen (6.) und (7.) auch wirklich das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichungen (1.) dar. Setzt man nämlich die gefundenen Werte von y und z in <p(x, y, z) und ip(x, y, z) ein und entwickelt diese Funktionen nach steigenden Potenzen von x — æ₀, so wird

dR<2

dx

(15.) cp(pc, y, z) = <p(x₀, 2/o, *o) +

<P\Xo, 2/o, Zo)

1!

(x — Xq)

9>"(#0, 2/0, So)

2!

(a? — x₀f H----

y0j

(22—1)!

G» — ^o)^¹ + Pa,

(16.) xp(x, y, z) = 2/>(xo, 2/0, zo) +

^'(#0, 2/0, ^o)

1!

(x — rr₀)

V^O, 2/0, So)

2!

(x — X₀)² 4----

2/0, Z₀)

(n — 1) !

(x — xo)n~l 4- i?₄-

Andererseits findet man aber aus den Gleichungen (6.) und (7.) durch Differentiation

f"fro)

dx

(x — xq) +    2!

(x — x₀f H----

fin\xo)

dB

(22—1)!

{x-Xo)n~x -f

dz

(¹⁸-) JE = g\xo) 4

g'\xo)

g"\xo)

1!

{x — Xo) 4- 2 !

(a: — rr₀)² 4----

g(n\xo)

(22—1)!

{x x₀)n~l -f

dB^

Aus den Gleichungen (9.) bis (14.) erkennt man, daß die rechten Seiten von den Gleichungen (15.) und (16.) Glied für Glied mit den Gleichungen (17.) und (18.) übereinstimmen, wobei

Bs —

dB

dBo

und Bi —

wird. Deshalb sind dann auch die linken Seiten einander gleich, d. h. es wird

% “*<**■» und %

Besonders zu beachten ist dabei der Umstand, daß man über zwei willkürliche Intégrations-Konstante 2/₀ und zo verfügt, und daß es dementsprechend zweifach unendlich viele Integral - Kurven gibt. Durchläuft der Punkt P₀ eine

dx

= >P(X, 2/, Z).

Kiepert, Integral - Rechnung.

48

solche Integral-Kurve, so ändert sich der Wert von x0 (und natürlich auch von yo und zo). Daraus erkennt man, daß der beliebig gewählte Wert xq von x nicht als willkürliche Intégrations-Konstante anzusehen ist.

Man kann dieses Verfahren ohne weiteres auf ein System von m simultanen Differential-Gleichungen erster Ordnung mit m Funktionen yi, y₂, .. .ym der einzigen Veränderlichen x übertragen.

Denkt man sich nämlich die Gleichungen auf die Form

dyi

dx ⁼ Vl(x 1 2/l ? 2/2 ? • • • ym),

(19.)

dy-2

dx = <PÄX’, Vh 2/2, • . • ym)

dym

dx

7 2/l j 2/2 y • • • ytn)

gebracht, wobei die Funktionen <jp1} <jp₂, ... <pm für die betrachteten Veränderlichen x, y1? y₂, .. .ym als eindeutig und stetig vorausgesetzt werden mögen, so kann man die dem Anfangs werte x₀ zu geordneten Anfangs werte y^>\ y₂⁽⁰⁾,

• • • Vm

kürlich annehmen. Nimmt man den Raum von m -f- 1 Dimensionen zu Hilfe, so kann man auch hier für die Auflösbarkeit der Differential-Gleichungen (19.) die geometrische Deutung geben wie bei den Differential-Gleichungen (1.). Ebenso kann man auch die Entwickelung nach steigenden Potenzen von x wird für a — 1, 2, ..„ m

(0)

von yi = /i(a;), y₂ = f₂{x), ...ym = fm(x) noch will-

xq ausführen, und zwar

fa'(X o)

(.x-xo) + t^(x-xo,?+■■■

(20.) ya = fu(x) = fu(x₀) + wobei

(21.)    fixo) - y fl, fflxo) = vlxo ; y fl, y fl, ... y„fl),

(22.)

allgemein

(23.)    =

X=Xq

= ⁽Pa{n~1]{xQ] yi⁽⁰⁾, 2/2⁽⁰\ • •. 2A*⁽⁰⁾);

und zwar findet man nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 231 der Tabelle chung

dcpu

dx

= <pĄx] yi, y 2, • •. Vm) aus der Glei-

(24.)

d<pa _ drp^ dy„ dyi_ , d<Pa ty* dx    dx dyi dx dy₂ dx

ö(pa dym dym dx

dym

einsetzen muß. Ebenso findet man aus

wobei man noch aus den Gleichungen (19.) die Werte von dyi dy₂

dx' dx ’ dx Gleichung (24.)

(25.)

d²(pa d<p'a

dx²

dx

= <p"(x; yi, V2, ...ym)

indem man (pa mit <p'a vertauscht, und in gleicher Weise auch die höheren Ableitungen.

Aus dieser Lösung ergibt sich, daß man bei der Integration noch über m willkürliche Intégrations-Konstanten 2/i⁽⁰⁾) 2/2⁽⁰⁾, • • • yj⁰⁾ verfügt.

m Intégrations-Konstanten gerade die Anfangswerte y₂^, ... ymW von 2/i, 2/2; • • • 2Im sind. Die Lösung kann auch durch das Glei-chungs - System

Gelingt es, das System simultaner Differential-Gleichungen in geschlossener Form zu integrieren, so ist es natürlich nicht immer nötig, daß die

(26.)

F^x\ yh y2, ... ym\ c1} c₂, ... cm) = 0 d^2l(*E) 2/l ) 2/2) • • • 2Im ) Ć-Lj C2j • • • Cm) z= 9

. d m{x, y\, y₂, ... ym, C\, c₂, ... cm) — 0 gegeben sein. Ob diese Gleichungen wirklich ein System von Integralen der vorgelegten Differential-Gleichungen (19.) darstellen, kann man ermitteln, indem man aus den m Gleichungen (26.) und aus den Gleichungen

^ = 0

dx

die m Größen Ci, c₂, ... cm eliminiert und dann untersucht,

(27.)

dFx

dFm

dx

dx

ob das sich daraus ergebende System von m Gleichungen mit den Gleichungen (19.) gleichbedeutend ist. Sollen die Gleichungen (26.) das System der allgemeinen (oder vollständigen) Integrale darstellen, so muß es möglich sein, die Konstanten cl5 c-2, ... cm so zu bestimmen, daß yx, y₂, ... ym für x = xo die beliebig vorgeschriebenen Anfangswerte y^°\ ?/2⁽⁰⁾, • • • yJ⁰⁾ annehmen.

:    § i3i.

Auflösbarkeit der gewöhnlichen Differential-Gleichungen höherer Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 306.)

Auf den soeben erläuterten Fall läßt sich auch die Integration der gewöhnlichen Differential - Gleichungen höherer Ordnung zurückführen. Ist z. B. die Gleichung dy d²y dmy\

F\x' y’ dx’ dä?' "'dx”>)~0,

/ dy d²y = ⁹(x’y'dx’d^

(1.)

oder

dmy dxm

gegeben, so setze man dy _    d²y _ dyi

dx    dx² dx

(2.)

(3.)

= 2/2, * * *

dm~ly'

dxm~x,

dm~xy _ dym_₂

dxm~l

dx

= Vm-1-

Dadurch kann man die gegebene Differential - Gleichung auf die Form

dym—i

•(4.) ai*

dx

= ?>(«; y, yi, 2/2, • ..ym-1)

bringen, d. h. man hat die Differential-Gleichung mter Ordnung durch ein System von m Differential - Gleichungen erster Ordnung für die m Funktionen y, yx, y2l.. .ym-x ersetzt, welche durch die Gleichungen (3.) und (4.) gegeben sind.

Bei der Lösung kann man dem Anfangswerte x = x0 die willkürlichen Anfangswerte yt°\ y^\ y₂⁽°\ ... ym—1⁽⁰⁾ von 2/, 2/1, 2/2, • • • Vm—i zuordnen.

Für die gesuchte Lösung der Differential-Gleichung (1.) bedeutet dies, daß für den Wert xo außer dem Funktionswert yo noch die m — 1 ersten Ableitungen willkürlich vorgeschrieben werden können. Dadurch ergibt sich für die Lösung der Differential - Gleichungen (1.) die Reihenentwickelung

f"(x₀)

(x—x₀)² + ---f

(5.) y = fix) = f(xö) +    (x — x₀) d 2!

wobei

(6.) fixo) =    f\xo) = yi⁽⁰⁾, /'//(x₀) = y₂⁽⁰⁾, • • • f^m-l\xo) = 2/^-i⁽⁰>

ganz willkürliche Größen sind. Die höheren Ableitungen findet man aus den Gleichungen

¹

Solche Gleichungen, die gleichzeitig gelten, nennt man „simultane Gleichungen“.

f{mKx₀) = y(x₀, y®\ 2/i⁽⁰⁾, y₂{0\ ■ ../U),

(7.)

§ 132. Integration der Differential -Gleichung

dmy

dx*n

= <p(x)-

• f{m+1\x₀) = cp'(x₀, yM, yf°f y₂⁽⁰\ ...y^m-1),

Die hier angedeutete Methode hat den Nachteil, daß sie das Integral nicht in endlicher, geschlossener Form liefert, aber sie gibt den Nachweis , daß bei der Integration einer Differential-Gleichung mter Ordnung m willkürliche Intégrations - Konstante auftreten.

Die Anzahl der Fälle, wo man das allgemeine Integral in endlicher, geschlossener Form auffinden kann, ist verhältnismäßig klein; in den meisten Fällen führt die Integration der Differential-Gleichungen auf bisher unbekannte, transzendente Funktionen.

Zunächst sollen nur einige Fälle untersucht werden, wo es gelingt, die Integration von Differential-Gleichungen höherer Ordnung auf Quadraturen zurückzuführen.

§ 132.

Integration der Differential-Gleichung

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 307.)

Ist die mte Ableitung von y als Funktion von x gegeben, gilt also die Gleichung

dmy _ dxm —

(1-)

<P(x)

dmy

dxm

758

§ 132. Integration der Differential - Gleichung

d*ny

dx>n

— ?(x)-

wobei (p{x) eine bekannte Funktion der einzigen Veränderlichen x sein möge, so kann man das allgemeine Integral sofort bestimmen. Setzt man nämlich

<p\{x) = J<p(x)dx, cp₂(x) = Jtp^xjäx, ... (pm{x) = J(ßm-i(x)dx,

Xq    Xq    Xq

so wird

dm~l

(²-)    =fa)äx + Ci =

X₀

X

=ßpi(x)dx -j- C\x + (72 = x₀

<Pi{x) + Ci

(3.)

dm~²y

dxnl~²

9++ + (7liC + Cb

(4.)

X

-f<pix)dx +

Cix² C₂x

“2T⁺'"ir ⁺ °³

x₀

(5.)

Gm—lX

1!

+ Gm.

Die w Intégrations-Konstanten Ci, (72, .. . Cm kann man, wie man ohne weiteres erkennt, noch so bestimmen, daß die m Größen

dm~ly dm~²y dy dxm~x ’ dxm~² ’ dx ’ ^

für x — xo die beliebig vorgeschriebenen Werte

Vm-1⁽⁰⁾, Vm—2⁽⁰⁾j

annehmen.

Dabei geht 9>w(a;) aus ++ durch m-malige Integration hervor und ist deshalb ein m-faches Integral

X

.. .Jcp{x)dx.

X₀

x    XX

<Ptn{%) = fym-i{x)dx =fdx fdx

*0    Xo X₀

dx>»

Diesen Ansdruck kann man aber noch vereinfachen. Nach Formel Nr. 189 der Tabelle ist nämlich

(7.)

& fi(x’t)dx ~ - na' ft + f(b't] ft +/

dt

dx.

Vertauscht man in dieser Formel a mit Xq, b mit x, x mit g, t mit æ, so erhält man, da

dx o

dx

== 0 und

dx

dx

ist.

X

Txfa X)d* “ f(x’ x) + 7    dx

dz.

x₀

Setzt man jetzt (9.) f(z: x) — (x—z)n~l(p{z)₎ also

x₀

= (n —1)(® - z)n~²⁽P(Ą

so wird, wenn n — 1 > 0 ist, f(x, x) = 0 und deshalb

(io-> L

x

J(x

X₀

— z)n—lcp(z)dz = (n —

l)ßx

XQ

— z)n~²cp(z)dz.

Daraus folgt, daß die Funktionen, die in den Gleichungen (2.) bis (5.) mit 9)1(2;), -g^x), 9)3(3;), ... <pm(x) bezeichnet worden sind, durch die Gleichung

(11.)

<Pn{x) =

(n

X

ßx ~ z)n~¹g)(z)dz

x₀

dargestellt werden können, denn nach Gleichung (10.) wird d(pn{x)

(12,) dx

(n — 2) !

X

fix

— z)n~²cp(z)dz = <pn_ i(x)

also

Xq

(13.) J(pn_i(x)dx = rpn{x)

X₀

X

wobei J<p(x)dx =

Xo

Hx)

ist. In der durch Gleichung (11.) erklärten Funktionenfolge entsteht sonach jede Funktion durch Integration der vorhergehenden, genau wie in der durch die Gleichungen (2.) bis (5.) erklärten Funktionenfolge. Beide Folgen stimmen daher miteinander überein. Man kann deshalb Gleichung (5.) auf die Form

760

(14.) y =

X

(m — l)\ßX

Xq

— z)m~l(p{z)dz -J- A\x

+ A₂xm~² -j-

• • • -f- Am—\X -j- Am

bringen, wobei der Einfachheit wegen zeichnet worden ist.

Ca

(m — «)!

mit Aa be-

§ 133.

Differential-Gleichungen von der Form

F /dmy dm~Hj

dxm

dxm~x

) = °-

Form

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 308 bis 311.)

Hat die gegebene Differential-Gleichung zunächst die

(1.)

d²y

dx²

dy

so bezeichne man wieder mit p, also

Cvw/

durch erhält Gleichung (1.) die Form ^ = f(p), oder dx

mit d? ■ Da-

dx²

dx

(2.)

dp

dx

folglich ist

f(p)

(3.)

x~fm+c'■

Ferner ist nach Grleichung (2.)

(4.)

dy = pdx =

pdp

f(p) ’

also

(5.)

y-J

'pdp

f(P)

+ c₂.

Durch die Gleichungen (3.) und (5.) sind x und y als Funktionen von p dargestellt. Durch Elimination von p findet man daraus die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(6.)

d²y

da?

-f+<£

integrieren.

Auflösung. Aus Gleichung (6.) folgt ^ = Yl -f- p², oder dx =    ——

*    Vi+P²

⁽⁷⁻⁾ dx

» dv =

pdp

(8.)

X=J

dp

VI + p²

V i +i>²

= ln(jp + ]/l+^} _j_ (7j = 9(r@in^_|_(7lj

(9-)    2/

pdp

yi

Dies gibt, wenn man die Intégrations-Konstanten Ci und C₂ bezw. mit xq und yo bezeichnet,

Y1 -\-p² = y — yo, 2Ir@inp = x — x₀,

(11.) p = ⁽&\n(x — x₀), 1+J9²== 1+ @in²(rr—a?₀) = CSof²(£c — x₀) folglich wird

(10.)

(12.)

y — V0 — 6of (X — Xq)

oder

2 (y — y₀) = ex~x° + er

Aufgabe 2. Man soll die Gleichung derjenigen Kurven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser die konstante Länge a hat.

Auflösung. Nach D.-R, (12. Auflage), Formel Nr. 155 der Tabelle ist

(13.)

/ds\?

\dxj

— d²y

dx²

deshalb müssen die gesuchten Kurven der Differential - Gleichung

(14.)

/ds \³    d ²y

— \dx) a dx²

oder + (V1 + p^f — a —

dx

762

(15.)

dx — 4-

adp

(i + p²) Vi + p²

(16.) p = tgt, also Yl -f- p² —

cos t

oder, wenn man

dp =

dt

cos ²t

setzt,

(17.)

dx = + acost. dt, dy = pdx = ^ asint. dt.

Dies gibt, wenn man die beiden Intégrations-Konstanten wieder mit Xq nnd yo bezeichnet,

x — xo = + asin£ = +

(18.)

ap

(19.)

y — yo = + acos t = +

Vi p²

Indem man die Gleichungen (18.) und (19.) ins Quadrat erhebt und addiert, erhält man

(20.)

{x — xo? + (y — yo? = a².

Die gesuchten Kurven sind demnach Kreise mit dem Halbmesser a; ihr Mittelpunkt hat die Koordinaten x₀, y₀, die als willkürliche Intégrations - Konstanten eingeführt worden sind. Dey Kreis ist daher die einzige Kurve, deren Krümmungshalbmesser eine konstante Länge hat.

Ist eine Gleichung zwischen

(21.)

dy

und

d²y    dp

dx² ^ dx

gegeben, welche nicht nach q, sondern nur nach p auflösbar ist, hat also die Differential-Gleichung die Form

V = ?>(?),

so findet man durch Differentiation nach x

q = g/(q) . dq

(22.)

(23.)

dx '

also

(24.)

dx =

(25.)

x = f<p'(q)dq

J q

», dy = pdx =

+ Ct

y=J

<p(q)<p'(q)dq

--,

q

'¥qW{q)dq

+ O2.

/ dmy d*n—ly\

§ 133. Diff.-Gleichungen von der Form ^\dxm ’ dxm~i) ⁼ °'

Indem man aus diesen beiden Gleichungen die Größe q eliminiert, ergibt sich die gesuchte Gleichung zwischen x und y.

Das angegebene Verfahren kann man auch auf die

Integration von Differential-Gleichungen höherer Ordnung

übertragen. Es sei

dm~ly

u — --

äxm~x

und die gegebene Differential - Gleichung habe die Form v = f{u), oder

(26.)

(27.)

dann wird

(28.)

dx =

dmy

1 V — -,    }

dxm

also

du

du

dx    V’

du

A«) ’

x ~j

du

-f- Gi.

Läßt sich diese Gleichung in bezug auf u auf lösen, so findet man

dm~xy

u — —-^

dxm~x

und kann das in § 132 angegebene Verfahren anwenden. Aufgabe. Man soll die Differential-Gleichung d^y d³y

(29.)

(30.)

dx⁴

dx⁶

integrieren.

Auflösung. Setzt man

d³y

dx³

= u, so wird

(31.)

du

dx

= au. also

du

= adx

(32.)

(33.)

ln u = ax -j- ln Ci, oder u = C\eax = d²y

d⁶y

dxs

(34.)

(35.)

=    -j- G2 = —

dy=0ea*+C2)dx =

y = J\a2 eax + ^2X + Cajdx

dx²

dx

wobei man

e** -f C₂,

eax -f C₂x + Cs

=    + Aox² 4- A3X 4- A4,

Cx

C₂

a³

= Ai, -y- = A₂, Cs — As

gesetzt hat.

Stößt die Auflösung der Gleichung (28.) nach u auf algebraische Schwierigkeiten, so wird man besser auch y als Funktion von u ermitteln. Aus den Gleichungen (26.) bis (28.), nämlich aus

du dm~ly f(u) ’ dxm~x folgen die Gleichungen dm~²y dxm~~²

dx —

d/är^y\

W-v

dx

(36.)

Ferner ist

(37.)

d»l—3y

-yi

(38.)

dm~⁴y

dxm-⁴

C Çudu

⁼rx=m~

C du Cudu

J m) f(u) ’

C du C du Cudu

J f(u)J f(u) J

’dm~²y

dxm~²

dx =

-yi

dm~³y

dxm~³

dx

In dieser Weise kann man fortfahren, bis man y

erhält.

Hat die gegebene Differential - Gleichung die Form u = <p{v),

so findet man durch Differentiation nach x

<p\v)dv

(39.)

(40.)

v = <p‘(v) •

dv

dx ’

oder dx — -

(41.)

(p'{v)dv

+ Cx.

an-

Läßt sich diese Gleichung in bezug auf v auflösen, so kann man wieder das in § 132 angegebene Verfahren wenden, nachdem man den gefundenen Wert von v in Gleichung (39.) eingesetzt hat.

Stößt die Auflösung der Gleichung (41.) nach v auf

algebraische Schwierigkeiten, so folgen aus den Gleichungen

(39.) und (40.), nämlich aus

dm~ xy

u = -₇--4

dxm~x

die Gleichungen

sd*ny d»’—²y    _ 765

§ 184. Diff.-Gleichungen von der Form F’ ^^=2    — °‘

^ = judx =j

'<dv)(p\v)dv

dxm~

(43.)

dm—³y _ p dxm~³ J t

(44.)

dm~^y

dxm~⁴

-y

d>n 2y

1-ir dx

dxm~²

'dm~3y dx dxm~⁸

j'<p'(v)dv jcp(v) (p\v)dv

ß<p'(v)dv j'cp'(v)dv ß

rp(v) (p\v)dv

In dieser Weise kann man fortfähren, bis man y

erhält.

§ 134.

Differential-Gleichungen von der Form

flrn-Zy

dx™—²

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 312 bis 815.)

Hat die gegebene Differential - Gleichung die Form

r(pL,

\dxm

)=°-

(1-)

d²y

dx²

so setze man wieder

(2.)

dy

dX=p

also

d²y _ dp dx² dx

und

dy=dx,

P

dann geht Gleichung (1.) über in

= f(y), oder dp = f{y)dx = ^~V

(3.)

folglich wird

(4.)

(5.)

2pdp = 2f(y)dy,

P² = %/f(y)dy + Ci.

Aus dieser Gleichung folgt dann

dy

<⁶->

= "j Ci+î/fiÿfiy,

oder dx —

dy

Vc, + 2/Av)dy

also

(7.)

x = f dy

J ]/ci + %ff(y)dv

H- C2 ■

(8.)

Beispiele.

Aufgabe 1. Man soll die Differential - Gleichung

d²y ₌ J/

dx² a²

integrieren.

Auflösung. Bringt man diese Gleichung auf die Form ydx _ ydy

(9.)

s*

a²p

oder 2 a²pdp = 2ydy

so erhält man durch Integration

a²p² = y2, + Ci

(10.)

oder

(H.)

also

ady = ±Vy²+Ci. dx.

Hat hierbei Ci einen negativen Wert, so setze man Ci = -c²,

(12.)

doc =

ady

Vy² — c²

dies gibt, wenn xo bezeichnet,

man die neue Intégrations-Konstante mit

(13.)

X~X₀

(14.)

x—x₀

°)

Setzt man noch

_fo

ce * = 24, so geht Gleichung (14.) über in

(15.)

ce* = 2£,

(16.)

y = Äea + Be *.

Hat dagegen Ci einen positiven Wert, Dadurch folgt

so setze man

Gi = + c².

aus

Gleichung (11.)

(17.)

dx    —{—

ady

Vy² + c²

___₇ d™-2y\ _ ₀ 767

dx»i ’ dx»i—~s

also nach Formel Nr. 35 der Tabelle, wenn man die neue Intégrations-Konstante wieder mit Xo bezeichnet,

§ 134. Diff.-Gleichungen von der Form F

= + a'Hr@in0Y

18 a.) y = +    = + |

(18.)

X — Xo

X—Xq

(r

x—x₀

Dies gibt, wenn man

__ Xo

I ^ a

±2e

Xo

+ le“ = £

setzt, in Übereinstimmung mit Gleichung (16.),

(19.)

y = A.ea + Be a.

Aufgabe 2. Man soll die Diff erential - Gleichung

d²y ₌__y

dx²    a²

integrieren.

Auflösung. Bringt man diese Gleichung auf die Form

dp

also aK^% = ~'²y

so erhält man durch Integration

a²p² = Ci — y².

Da hierbei (7i nur positive Werte haben kann, möge Ci mit c² vertauscht werden. Dadurch erhält man

(22.) ap = es — ?= -AYc²—y²₁ oder

folglich findet man durch Integration nach Formel Nr. 34 der Tabelle

(20.)

(21.)

(23.)

arcsin

Ci

dy

dx ’

Yc²—y²

— Xo

oder

(24.) y= + c sin

= + csin

Setzt man noch + c cos

so geht Gleichung (24.) über in

(25.)

©-

(a)OOS© + CC°S0Sin(a)-

+ CSin(a)⁼-B’

ÿ = 4sin(I) + jBcos0)'

(26.)

Dabei sind A und B wieder zwei beliebige Konstanten, welche die Intégrations-Konstanten ersetzen.

Ist allgemein die Gleichung dmy dm~²y dxm’ dxm~²

(27.)

F(

)=°

dm~ly du dxm~l dx

(28.)

gegeben, so setze man dm~²y

J-V, = u

dxm~²

dmy dv dx™ ⁼⁼dx = W

und bringe die gegebene Differential-Gleichung durch Auflösung nach w auf die Form

(29.)

w — f(u), oder

du

Indem man beide Seiten dieser Gleichung mit 2v = 2^

multipliziert, erhält man

(30.)

2v

dv

du

dx

- 2mdx

und durch Integration

(31.)

v² = 2j'f{u)du -j- C\.

Dies gibt

du

<³²'> V = dx

— + ”|/ Ci -{- 2\Jf(u)du,

oder dx =

du

|/' Cx+2/f(u)du

(33.)

du

+ C-2-

Gi+2ff(u)du

die Form

Läßt sich diese Gleichung nach m auflösen, so daß si

(34.)

dm~²y

U = d^2 = *<*>

erhält, so kann man zur Ausführung der weiteren Integration das in § 132 angegebene Verfahren an wenden.

d»>y d>»—'2y dicw dx»i—2

Läßt sieli aber u nicht explicite als Funktion von x darstellen, so folgt aus Gleichung (28.) und (32.)

udu

(35.)

udx

= d(d—Ą-

W'—v

also

|/ci + 2 jf(u)du

(36.)

dm~³y

udu

dxm~?j

Ci+ 2 jf(u)du

+ c₃.

Multipliziert man diese Gleichung mit

dx = A

du

j/ci + 2 ff(u)du

und integriert auf beiden Seiten, so erhält man

udu

(37.)

dm~*y

du

dxm~A

Ci ■+ 21f(u)du    f(u)du

+ C3 +CL

In dieser Weise kann man fortfahren und schließlich auch y als Funktion von u darstellen.

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung

(38.)

d³y ₌ dy dx³ dx

integrieren.

dy

(39.)

Auflösung. Hier ist u = w

dX

d²u u dx- a²

d³y d²u dx³ dx² ’

also

folglich wird nach Aufgabe 1

(40.)

dy

~ = u

dx

= Aea -f- Be

und daraus findet man durch Integration

(41.)

y = Aaea — Bae a -f- C.

49

Kiepert, Integral - Rechnung.

§ 135.

Fälle, in denen sich die Ordnung der Differential-Gleichung erniedrigen läßt.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 316 bis 322.)

(1.)

Ist n < m, und enthält die Differential-Gleichung mter Ordnung die Funktion y und die n — 1 ersten Ableitungen nicht, hat also die Differential-Gleichung die Form /    cFy dn+ly    d^y\ ₌

dm~nu

(2.)

dxm~n

einführt. Die vorgelegte Differential-Gleichung wird dadurch auf die Form

(3.)

u,

du d²u dx ’ dx² ’    dxm~n

dm~nu

)“°

gebracht.

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll diejenigen Kurven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser im umgekehrten Verhältnisse zu der zugehörigen Abszisse steht.

Auflösung. Bezeichnet man wieder

dy

mit p, so

müssen die gesuchten Kurven der Differential-Gleichung

dx

(4.)    (< = ±

a²

dp    2x ’

dx

genügen. Daraus folgt, wenn man

(5.)

p = tgt, dp =

dt

cosH ’

■ setzt,

V'i+7² = —,

COSt

(6.)

+ 2xdx —

a²dp

a+^i/i+j,²

= arcost. dt

also durch Integration

■(70

+ x² -(- C\ — a²sin# =

a²p

ÿi +p²

oder

(8.)

dy .

p=£=±

Cx±x²

” Va⁴ — (Ci ± x²)

daraus folgt

r (Cx + x²)dx

Jy„<

-{Cx±x²)²

-f- C₂.

: )

Die Kurve, welche dieser Grleichung entspricht, heißt „die elastische Linie“, weil ein elastischer Stab, der an dem einen Ende befestigt und an dem andern Ende belastet ist, diese Form annimmt.

Man kann dieses Verfahren sogleich auf die Lösung der allgemeineren Aufgabe, bei welcher der Krümmungshalbmesser p irgendeine Funktion + <p{x) von x gleich ist, anwenden. Dann wird also

(10.)

(1 + p²f

dp*)

dp

dx

oder, wenn man wieder

p = tg# und

(11.)

'dx

setzt,

<p(x)

= f(x)

(12.)

dx

dp

rH

(14.)

9>@)    (1 + p²)Vl -f p²

_P_₌ C dx

y i + p² J⁽

dx

= cos#. dt

sin t =

<p(x)

-f- Ci = f(x) -f- C\

fix) ~h Ci

-ri-[rt*)+Ci]²

(15.)

, /'    [f{x) + Ci]dx

+ C₂.

*) Dies ist die allgemeine Differential - Gleichung der elasti

schen Linie.

(16.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung i%y + f(x)dy

dx²

dx

+ ^⁾(0=o

integrieren.

du

Auflösung. Bezeichnet man wieder ^ mit p hält man die Bernoulli sehe Gleichung

— + f(x)p = — g(x)p²,

die man integrieren kann, indem man p — uz setzt; dann findet man der Reihe nach die Gleichungen

so er-

(17.)

dx

(18.)

dz

'du

(19.)

(20.)

Udx + Z dx + U = _ u2z2y^'

— = — f(x)dx, lnw = — lf(x)dx, w u    J

—f/{x)dx

e    g[x)dx,

—Jf(x)dx — e 1

dz

dz

(21.)

(22.)

UdxZ=Z~U%z2^X)

~ = Je f/{x)dxg (x)dx -f- C,

1 dx + f/(x)dx r f—f/(x)dx

p~ dy~~ ⁶ [J

g(x)dx -f- C

(23.)

^ ^j—jf{x)dx

— f/{x)dx

e    dx

g{x)dx -f- C

+ Gi.

Enthält die Differential-Gleichung mter Ordnung die unabhängige Veränderliche x nicht, hat also die Differential-Gleichung die Form

(24.)

r(y,

dy d²y dx ’ dx²

:p)-o,

dxm/    ’

so kann man die Ordnung wieder um eine Einheit herab-^ —p setzt und y als unabhängige

drücken, wenn man Veränderliche einführt. Man erhält dann

d ²y dp _ dp dy _ dp JJ> dx dy dx & J-

dy

(26.)

d³y

d²p~

dx³

dy² _T ’

über in

(27.)

Dadurch geht die vorgelegte Differential-Gleichung

&(y, p, dp

dm~lp dy dym~l

)-°-

Beispiele.

Aufgabe 3. Man soll diejenigen Kurven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser ebenso lang ist wie die zugehörige Normale.

Auflösung. Nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 149 und 155 der Tabelle sind die Ausdrücke für die Normale und für den Krümmungshalbmesser

(28.)

ds

ydx

und q = +

/ds\³

\dx)

— d²y

dx²

Gleichung

(29.)

Die gesuchten Kurven müssen daher der Differential-

(dsS\

\dx/ _ ds ~ d²y y dx

oder

/ds\²    d²y

— \dx)    y dx²

dx²

genügen. Indem man

dy

(3a) Tx=p'

also

dx²

dp = P £.

dy

setzt, erhält man

(31.) + (1 + p²) = yp • dp

2pdp

-V- j oder + dy    —

Daraus findet man durch Integration + [ln (y²) + ln Gi] = ln(l + p²).

Berücksichtigt man in Gleichung (32.) zuerst das obere Zeichen, so wird

(33.)    1 H- p² — C\y², oder p =    = +VC\y² — i.

1 +P²

(32.)

Da hierbei Ci nur positive Werte haben kann, so

setze man

(34.)

»J*-

C,= i

dann geht Gleichung (33.) über in

(35.)i- = | -±\V7=*

Dies gibt durch Integration

2/ -f- V«/²—«²

dx

dy

oder + — = ,_

a Vy²—a²

— a    \

wobei auf der linken Seite der Gleichung die Intégrations-Konstante -|--hinzugefügt ist. Daraus folgt

Oj

(36.)

(37.)

oder

X—Xp

X—Xq

(38.)

y= (e “

-f- e

“)

Dies ist die Gleichung der Kettenlinie, bei der, wie schon in D.-R. (12. Auflage), § 96, Aufgabe 4 gezeigt wurde, der Krümmungshalbmesser ebenso lang ist wie die zugehörige Normale; der Krümmungshalbmesser hat dabei aber die entgegengesetzte Richtung wie die Normale. Die willkürlichen Intégrations-Konstanten sind in Gleichung (38.) durch die beliebigen Größen a und xq vertreten.

Berücksichtigt man in Gleichung (32.) das untere Zeichen, so wird

(39.)

1 -fp² =

Ciy²

Hier möge wieder die Intégrations-Konstante Ci, da

*    i

sie nur positive Werte haben kann, mit den. Dadurch erhält man

vertauscht wer-

(40.)    1 + p² =

$'oder p=d£=±-yv<#-tf-

ydy

= + dx,

(41.)

y à²—y²

(42.)    + (x — &o) = — Va?—y²? oder {x— xdfy² = a².

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser a, dessen Mittelpunkt in der X-Achse liegt. Der Krümmungshalbmesser ist gleich a und hat dieselbe Länge und dieselbe Richtung wie die Normale. Auch hier vertreten die beliebigen Größen a und xç> die beiden Intégrations - Konstanten.

Die gestellte Aufgabe hat zwei verschiedene Lösungen, die man erhält, je nachdem der Krümmungshalbmesser dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung hat wie die Normale.

Aufgabe 4. Man soll diejenigen Kurven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser doppelt so lang ist wie die zugehörige Normale.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (28.) müssen die gesuchten Kurven der Differential-Gleichung

(43.)    +

(dsS\

w

ds

dx

oder

d*y

dx²

dx'¹

genügen. Indem man wieder (44.)    *»

dx

also (!)’=i+pä

setzt, findet man (45.) ± (1 -f- p²) = 2yp

dp

dy

d²y

d^=p-

oder +#=Ä.

~~ y i

r€f!r«

(46.)

(47.)

Daraus folgt durch Integration

+ ln y -f ln (7 = ln(l -}- p²).

Berücksichtigt man zunächst das obere Zeichen, so wird 1 + V² — Cy, oder J) = ^= ztVOy — 1

also 4-C(x—Xo) =

J VCy-1

C²[x — xd)² — 4:Cy — 4

dy

VCy-1

oder, wenn man die Intégrations-Konstante C mit tauscht,

ver-

(49.)

(x — xq)² = 2 ay — a².

Dies ist die Gleichung einer Parabel mit dem willkürlichen Parameter a, deren Leitlinie zur X-Achse gemacht ist. Die Y-Achse liegt noch ganz beliebig, weil x₀ die zweite willkürliche Intégrations-Konstante ist.

Hierbei hat der Krümmungshalbmesser die entgegengesetzte Richtung wie die Normale.

Berücksichtigt man in Gleichung (46.) das untere Zeichen, so wird

-1,

(50.) i+_p2₌£, oder p==dJt= + i

y    dx — r y

(51.)

+ dx

CJ

Da hierbei----1 >0, oder 0 <    < 1 sein muß,

wenn die Wurzelgröße reell sein soll, so setze man

(52.)

y = Csin²(;0 = j (! — cos t)

also

(53.)

(54.)

C—y= (7cos²^0 = ^ (1 + cos t) sin t .dt

dy=

toi O

= C sin cos (l^dt

folglich wird

(55.)

/t\ C

+ dx = (7sin²^-W# = 2"(1 — cos t)dt,

(56.)

X — Xq = dz 2“    — sin#).

Vertauscht man t mit — #, so ändert sich Gleichung (52.) nicht, während in Gleichung (56.) sich nur das Vorzeichen der rechten Seite umkehrt. Man erhält daher dieselbe Kurve, gleichviel, ob man in den Gleichungen (50.), (51.) und (56.) das obere oder das untere Vorzeichen nimmt;

setzt,

deshalb kann man das doppelte Vorzeichen fortlassen. Indem man schließlich noch C mit 2a vertauscht, gehen die Gleichungen (56.) und (52.) über in

x — xq = a(t — sin£), y — a{l — cost).

Dies sind die Gleichungen der Zykloide, für welche schon in D.-R. (12. Auflage), § 96, Aufgabe 5 gezeigt wurde, daß der Krümmungshalbmesser die doppelte Länge und dieselbe Richtung besitzt wie die Normale.

Auch diese Aufgabe hat zwei verschiedene Lösungen, die sich ergeben, je nachdem der Krümmungshalbmesser dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung hat wie die Normale.

(57.)

Aufgabe 5. Man soll diejenigen Kurven bestimmen, bei denen der Krümmungshalbmesser dem Quadrate der zugehörigen Ordinate proportional ist.

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (28.) und (30.) müssen die gesuchten Kurven der Differential-Gleichung

(58.) ±

Afo\³

\dx)

dp

d²y

— ay², oder + (]/1 -f- p²f — ay². p

dx²

genügen. Dies gibt

(59.)

apdp

äy= +

0 1 r- p'*f

= ±2

a c£(l + p²)

also durch Integration

(1 +i>²)⁴

(60.)

+ C, oder

Cy + l

y ⁺Vi+p²

dy

p = Tx = oder, wenn man der Kürze wegen

a? — C² = -f- A², also C² ± A² = a²

folglich wird

(61.)

(62.)

Vi+P²

V(a² — C²)y² — 2Gy — 1

Cy Ar 1

(Cy + 1 )dy

V± A²y² — 2Cy — 1

(64.)

Gilt in Gleichung (62.) das obere Zeichen, so setze man A-y = t -j- <7, also t = A²y — (7,

dann wird

(65.) Cy+1 = ^~, dy = ~, VĄŁ-2fy-l =

folglich geht Gleichung (63.) über in

(Ct -f- a²)dt

(66.)

AsVt² — a²

(67.)

Nun ist nach Formel Nr. 33 und 36 der Tabelle

ln(* + ^

tdt

yt² — a²

= yt²—a²

Yt²— a²

deshalb findet man aus Gleichung (66.) durch Integration (68.) + A%x — C₂) = ACyA²y² — Wy — 1

+ a²\n(A²y — C + A²y² — 2 Cy — 1), wobei die Intégrations-Konstante —a²lna auf der rechten Seite der Gleichung weggelassen ist, weil sie mit der Konstanten    A³C2 auf der linken Seite der Gleichung ver

einigt werden kann.

Eine besonders einfache Form erhält die Lösung, wenn man die Intégrations-Konstante

(7—0, also A = a setzt, dann geht Gleichung (63.) über in

_ d(ay)__

y a²y² — 1    a ]/a²y²— 1

Daraus findet man durch Integration + a{x — xd) = 21r(5of(a?/),

(69.)

(70.)

(71.)

oder

(72.)

+ <fa- dy

ay — 6of [a{x — x₀)]

also, wenn man a mit —

Das ist die Gleichung der Kettenlinie.

vertauscht,

x—xü

X—Xft

Wird die Intégrations-Konstante C so bestimmt, daß in Gleichung (62.) das untere Zeichen gilt, ist also

oder A = VC² — a²,

(74.)

a² — C² = — A²

so setze man

(75.)

A²y — t — (7, also t = A²y + C,

dann wird

.Cy + 1 =

Ct — a²

dt

(76.)

dy ^2 ’

Y—A²y² — 2 Cy — 1= \ y d- — f²,

A²

folglich geht Gleichung (63.) über in

{Ct — a?)dt

(77.)

+ dx —

A³y<z² — t²

Nun ist nach Formel Nr. 31 und 34 der Tabelle

tdt

y a² — t²

= —Vcf—t²

dt

= arcsin^—^

ya²—t²

deshalb findet man aus Gleichung (77.) durch Integration

(79.) + A%x — xo) =

— ACy— A²y² — 2Cy — 1 —-■ a² arcsin^^—t^ Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung

- m{|)²

(80.)

d²y

dx²

integrieren.

Auflösung. Setzt man wieder dy

dx=P

d²y _dp _ dp dx² dx ^ dy so erhält man aus Gleichung (80.)

Daraus folgt durch Integration

Inp =/f(y)dy + ln Gi,

dy n Jnv)dy P=dx=Cl-e

(81.)

(82.)

also

oder

” = f(y)dy.

Ir

(85.)

C\dx —

also

(86.)

(87.)

—f/W)dy j e •dy,

—f/(y)Uy

• dy 4“ Cb*

Aufgabe 7. Man soll die Differential-Gleichung

C\X

d²y

dx²

integrieren.

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei der vorhergehenden Aufgabe findet man hier

i>d?:. 4- p²f(y) + g(y) = o,

dy

oder

(88.)

dp +pf(y) =

g(y)

dy

Das ist eine Bernoulli sehe Gleichung zwischen p und y\ deshalb setzt man p gleich uz und findet der Reihe nach die folgenden Gleichungen Hz

(89.)    »Ty + «

g{y)

(90.)

(91.)

[fy + “H ”

= — f{y)dy, Inw = —ff{y)dy, u =

g{y) ₌ g(y)

dz

dy

u²z

2 zdz = — 2#(?/)e

uz

—ff(y)dy

(92.)

s² = —

%ß(y)e

2ff{y)dy 2

dy,

dy + C,

(93.)

-,

(94.)

dx

dy

]/c — 2jg(p)e

2ff{y)äy

dy

^JfW)dy

dy

J y C — 2jg(y)e

2ff{y)dy

dy

(96.)

§ 135. Erniedrigung der Ordnung. Beispiel. Man soll die Differential-Gleichung

d²y

dx²

+ 2ctgyÊ ⁺ SI⁻⁰

integrieren.

Auflösung. Hier ist

2 cos y sin y

(98.) e

f/{y)dy

ff Wy =

= sin²?/, C— %lg(y)e = C —

also

2 ln (sin y) — ln(sin²y),

dy

fsiny cos y dy —

C — sin²«/

folglich wird, wenn man siny = t setzt, sin ²ydy Y C — sin²«/

Dies ist ein elliptisches Integral zweiter Gattung. Aufgabe 8. Man soll die Differential-Gleichung

fiy)+(W=⁰

(99.) x — -f- j

+ <?i

=±fw

t²dt

— t²)(C—t²)

+ Ci-

d²y . dy dx² dx

(100.)

integrieren.

Auflösung. Durch dieselbe Substitution wie bei den vorhergehenden Aufgaben findet man hier

v + pf(y) + p²g(y) = o

dy

oder

(101.)

dp -f py(y) = — f(y)-

dy

Das ist eine lineare Differential-Gleichung zwischen p und y. Deshalb setzt man wieder p = uz und findet nach den früher angegebenen Regeln die Gleichungen

dz

(102.) U -r=— -}- Z

~du

(103.)

(104.)

(105.)

+ ug(y) J = — f(y),

— = — gty)dy, ln« = — lg(y)dy, u

u    J

u

• = -fe^fWy + C,

dy

dz

dy

ßy

(106.)

dy r e-f^Mc_fe/^f{y)dy dx    L J .    ■

(107.)

*-(-Je-

JMd’Uy

-f- C\.

Aufgabe 9. Man soll die Differential-Gleichung

d²y

dy

+ f{X)dx

(108.)

integrieren.

du

Auflösung. Auch hier führt die Substitution ~ = p,

2v    dp    dX

¹ zur Lösung, wenn man zunächst die Differential

er²

dx² dx Gleichung

(109.)

dp

dx + f(x)p = 0

oder

d^ = — f(x)dx

Ir

integriert und dann die Variation der Konstanten anwendet. Dies gibt

(110.) ln p = —jf{x)dx -f- lnc

oder p —

Wenn man c als eine Konstante betrachtet, so gibt Gleichung (110.) zunächst nur die Lösung von Gleichung (1Ö9.). Betrachtet man aber c als eine Funktion von x und differentiiert beide Seiten der Gleichung (110.), so erhält man

(111.)

1 dp

p dx

= -/■(*) +

1 de c dx⁵

oder ^ -f- f{x)p = — ^ c dx

dx

Nach Gleichung (108.) wird aber

dp

dx + f(x)p = — g(y)p²,

folglich muß man c so zu bestimmen suchen, daß p de c dx

(112.)

de

= —g(y)P², oder — = — g(y)pdx = — g{y)dy wird. Daraus erhält man durch Integration

(113.) lnc

= —fg(y)dy 4- in c,

oder c— Ce

frA/Mv

(114.)

Deshalb geht Gleichung (110.) über in

_dy_ —fg{y)dy —f/{x)äx

p = di =    e

woraus sich unmittelbar die Gleichungen

und

(115.)

</M“äy = Ce~fm,,’dx

—J/{x)äx

je^dy = Cj'e

dx -J⁻ Oi

ergeben.

Ist die vorgelegte Differential-Gleichung in bezug auf die Größen

.. d²y

dx y    dx"    y

homogen von der wten Ordnung, hat sie also die Form

y, y\ y"

y y' y

so führe man eine neue Funktion u durch die Gleichung

(116.)

y, y'

dy

(»0

_ dmy

dxm

(117.) F(x, y, y', y“,... y^m)) = ynF(x,

y'

(118.) ein, dann wird

(119.)

= yu, oder ln?/ = judx,    ?/

Fudx

= eJ

(120.)

du

dx=Ks+w2)

ÿ'"⁼K£⁺“²)+K

-f- 3w

y" = y'u +y

d²u

du

dx² ~U dx

= y(

d²u

du

dx²

dx

+ M³),

Setzt man diese Werte in Gleichung (117.) ein, so erhält man eine Differential-Gleichung von der Form

dm~xu

du

G(x’u’ dx’--die nur noch von der (m — l)ten Ordnung ist.

dxm~¹

)-°>

Beispiel.

Aufgabe 10. Man soll die Differential -Gleichung Ą , 1 dy _ y = Q dx²    x dx x²

(122.)

integrieren*).

Auflösung. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (118.) und (119.) kann man die vorgelegte Diff erential - Gleichung auf die Form

oder

/du A - yu

<,V + u) + T

X²

(x²u²    xu — 1 )dx -f- x²du — 0

(123.)

bringen. Diese Differential-Gleichung ist nur noch von der ersten Ordnung und enthält u nur in der Verbindung xu ; deshalb setze man

(124.)

xu = z, oder u —

du =

xdz — zdx

x²

Dadurch geht Gleichung (123.) über in

oder

(z² Ą- z — 1 )dx -{- xdz — zdx = 0

(125.) iz² — 1 )dx -f- xdz — 0

dx dz x z² — Ï

folglich erhält man durch Integration

(126.)

ln(a?²) +    = ln <7,

(127.) x\z—1) = C(z + 1), oder x\xu — 1) = C(xu + 1). Dies gibt

(128.)

u = y-= dy = x² + C . y ydx x{x² — G)

Hieraus findet man durch Partialbruchzerlegung

(129.)

dy_ ₌ (_¹

y \x —

V c x + yc

^\dx

X/

und durch Integration

*) Diese Differential - Gleichung tritt in der Festigkeitslehre bei der Berechnung von dicken Böhren auf.

ln y = ln(a?² — (?) — Ina? + ln Ci

(130.)

(131.)

y = cx

x² — C

Setzt man hierbei noch

(132.)

Ci = A, — CCi = B

y — Ax + Bx~l.

so geht Gleichung (131.) über in (133.)

XXL Abschnitt.

Lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung.

(1.)

§ 136.

Allgemeine Bemerkungen.

Eine Differential-Gleichung von der Form dmy dxm

+ fl(x)

dm—ly

dxm~x

+ f&)

dm—2 y

dxm~²

dy

+ fm-x{x) dx + fjx). y = <p(x),

in welcher fi(x), f₂{x),.. .fm{x) und <p(x) gegebene Funktionen von x sind, heißt „eine lineare Differential-Gleichung mter Ordnung“. Dabei soll es auch zulässig sein, daß sich die Funktionen fi(x), f₂(x), ... fm(x) auf Konstante reduzieren, die dann mit f±, f₂, ...fm bezeichnet werden mögen. In diesem Falle erhält Gleichung (1.) die Form

d»i—2y

dxm~

(2.)

d,ny

f fl

dm~xy

dxm~

dy

Ż₂ H-----L fm—1    + f m'y — d(x).

dxm

Der Kürze wegen setze man von jetzt ab

= ,/ ^y = „"...

dx ^ ’ dz? ^ ’ so daß Gleichung (1.) übergeht in

(1 a.) y^H) + fi{x)y{-m~V) + fix)y^m~^ -j----

+ fm-ix)y/ + fjx)y = (p{x).

Wird die Funktion <p{x) identisch gleich Null, hat also die lineare Differential - Gleichung die Form

(4.) yM + fi{x)y(m~V H-----F fm-i(x)y' + fm{x)y = 0,

so heißt sie „homogen“. Es wird später gezeigt werden,

(3.)

dy

dmy

dxm

— y{m)

daß die Integration der nicht homogenen Differential-Gleichung (1.) immer zurückgeführt werden kann auf die Integration der homogenen linearen Differential-Gleichung (4.), welche aus Gleichung (1.) hervorgeht, indem man das Glied <p{x) auf der rechten Seite der Gleichung gleich Null setzt.

Es sollen deshalb zunächst die homogenen linearen Differential-Gleichungen mter Ordnung behandelt werden.

§ 137.

Homogene lineare Differential-Gleichungen m'er Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 323 bis 326.)

Satz 1. Hat die gegebene homogene lineare Differential-

Gleichung

(1.) ym 4. A(x)ÿ (—» + • ■. + /'„_₁(x)y/ + fjx)y = 0 n partikuläre Integrale yi, y₂, ... y„i so ist auch

(2.)

y = 0i2/i + C₂y₂ H-----b Cnyn

ein Integral dieser Gleichung, welche Werte die Konstanten Gi, C₂, . Cn auch annehmen mögen.

Beweis. Aus Gleichung (2.) folgt y' = Ciyi' + C₂y₂'    4

(3.)

y" = Ciy" +C₂y₂“ + ...+ Cnyn",

y{m) = Cxyfm) + C₂yi^ Ą-----b CnyImK

Addiert man die Gleichungen (2.) und (3.), nachdem man sie bezw. mit fm(x), fm-i{x), ... fix), ffx) und 1 multipliziert hat, so erhält man

(4.) yön)    fx(x)yön-1) + ... + fm_x{x)y‘ + fm(X)y

= Ci[yi(m) + my^-v + • • • + fm-x{x)yf + Ux)y i]

+ C₂[y₂W + ax)y₂^) + • • • + fm-lx)yf + fm{x)y₂]

+ Cn[y^ + ax)yn^-') + • • • + f,n-ix)yn' + fj&ton] = 0,

denn nach Voraussetzung werden die Ausdrücke in den eckigen Klammern einzeln gleich Null.

Satz 2. Kennt man m 'partikuläre Integrale yi, y2) ... ym und kann man in

(5.)

V — ClVl + C₂y₂ + • • • + Cmy„i

die Konstanten Ci, C₂,... Cm so bestimmen, daß

dV j, = dx¹    ^ dx²

(6.)

, •••y

m—i) ₌

dm~ly

dxm~x

für x = xq die beliebig vorgeschriebenen Anfangswerte y{), yd’, yd\ ... ydm ^ annehmen, so ist y das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung.

Daß y ein Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist, folgt schon aus Satz 1, und da man den m Konstanten Ci, C2, ... Cm nach Voraussetzung solche Werte geben kann, daß die Werte 2/o, yd, yf‘, • • .ylm~l), welche dem Werte x — xo entsprechen, beliebig vorgeschrieben sind, so ist y auch das allgemeine Integral.

Es ist nur noch zu erklären, weshalb diese Voraussetzung hinzugefügt werden muß, obwohl in Gleichung (5.) scheinbar bereits m willkürliche Konstanten C1} O2, ... Cm enthalten sind. Die Größen yi, y₂, ...ym sind möglicherweise nicht linear voneinander unabhängig, es kann z. B. zwischen yu y₂ und y₃ die lineare Gleichung

(7.)

2/3 = ky₁ + ly 2 bestehen. Dann ist aber Gleichung (5.), nämlich (8.) y — (Ci -f- kC₃)yi -J- (C2 + ^3)2/2 + C^y^ + • • • + Gmym kein allgemeines Integral, da in diesem Ausdrucke nur m — 1 willkürliche Konstanten C\ + kC₃ = Cd, C₂ -f- IC₃ — C₂, C4, . .. Cm enthalten sind. Umgekehrt kann man auch zeigen, cUß die Größen 7/1, y₂, ... ym durch eine lineare Gleichung verbunden sind, wenn jene Voraussetzung nicht erfüllt ist; der Beweis dieser Behauptung möge hier aber übergangen werden.

Ist

y — Ciyx + C₂y₂ + •—b Cmym

das allgemeine Integral der homogenen linearen Differential-Gleichung (1.), so nennt man y₁,y₂,...ym „ein Fundamentalsystem von partikulären Integralen“.

Nach Formel Nr. 322 der Tabelle kann man die Ordnung einer Differential - Gleichung, welche in bezug auf y7 y\ yf\ ... yt"¹') homogen ist, um eine Einheit erniedrigen, indem man

⁽⁹-) Ç

du

d²u

dx U ’ y dx²

du

4- 3u -f¹ -f- u³.... dx

setzt. Dies gibt

Satz 3. Die Ordnung einer homogenen linearen Differential-Gleichung kann stets um eine Einheit erniedrigt werden.

(10.)

|-----f-

Durch die angegebene Substitution erhält also Gleichung (1.) die Form dm~xu dxm~x

Diese Gleichung ist im allgemeinen nicht mehr homogen und im allgemeinen auch nicht mehr linear, aber sie kann doch zur Auffindung von partikulären Integralen führen. Setzt man z. B. die letzte Klammer gleich Null, so erhält man die Gleichung

(11.) E(u) = uM -f- fi(x)um~x -f f₂{x)um~² -j----

+ fm-x(x)u -F fjx) = 0.

Sind von den m Wurzeln dieser Gleichung für u n Wurzeln rl7 r₂, ...rn von x unabhängig, so werden u — r\

(12.)

u = r₂, ... u = rn partikuläre Integrale der Gleichung (10.) sein, denn alle Glieder der Gleichung (10.), außer dem letzten, enthalten eine Ableitung von u als Faktor und verschwinden daher, wenn u einen konstanten Wert hat. Dabei folgt aus

(13.)

= m, daß y

iuäx

= eJ

wird.

Die den Werten u = rx, u = r₂, ... u = rn entsprechenden Werte von y sind daher

(14.)

di = er'f y2 =    ...yn = ern*.

hängig sind. In diesem Falle ist n = m, d. h. die Gleichung

(15.) F(u) = um -f fxum~l + f₂um~² -j-----F fm-iu -f- fm = 0,

welche man „die charakteristische Gleichung“ nennt, hat dann lauter konstante Wurzeln Wurzeln zunächst sämtlich voneinander verschieden, so findet man aus den m partikulären Integralen (16.)

der vorgelegten Differential - Gleichung (1.) ohne weiteres das allgemeine Integral

y — C\. er* + C₂.er* -\-----(- Cm. er*?.

Der gefundene Ausdruck ist in der Tat das allgemeine Integral, denn mati kann beweisen, daß durch passende Wahl der Konstanten Ci, C₂, ... Cm die m Größen y, y\ •. y(m~x) für x = xo beliebig vorgeschriebene Anfangswerte ?/o, yd-, yd', • • • ydm~annehmen. Der Beweis möge zunächst für den Fall geführt werden, wo xo den Wert Null hat. Aus Gleichung (17.) folgen durch Differentiation die Gleichungen

y =

y' — Cin . er* + C₂r₂. er* -----F Gmrm .

y" = <Vi² • er* 4 C₂r₂² .er* -j-----F Cmrm² . ev,

(17.)

(18.)

ri, r₂,...rm.

Sind diese

yi = er*

y₂ = er*,... ym = ermx

c. er* 4 C₂. er* 4 ... 4 Cm . eTm*,

y{m-\) ₌ cxrrn~ 1. er*Ą- C₂r₂m~x. er*Ą-----F Cmrmm~x. erm*,

welche für x = 0 in

yo = Cx yd = Cxrx yd' = Cxrx²

4 C₂    -j-----F Cm ?

4 C₂r₂    4 • •    •    4 Cmrm,

4 C₂r2'    d-----F Cmrm²,

yQ(m-1) ₌    4 CW“⁻¹ 4 ■• • • 4 Cmrmm

übergehen sollen. Bildet man die Funktion

= (r — r₂){r — r₃)... (r — r,*) = F\(r),

(19.)

(20.)

-*V)

r—rx

so hat Fx{r) die Form

(20a.) Fx(r) = r»‘~x 4 kxrm~² 4 ... 4 km_₂r 4 km_ 1.

Multipliziert man nun die Gleichungen (19.) bezw. mit km-1, km—2, • • • &i, 1, so erhält man durch Addition (21.) k)n—iyo -j- km—₂yoJ 4“ hn-ÿ&o" + • • •

denn die Glieder

+ hyo{m~²⁾ + yo{M~l) = CiFiin)

C₂Fx(r₂), CsF&a), ... CmFi(rm)

werden sämtlich gleich Null. Dabei ist bekanntlich

F(r) — F(ri)

r — rx

Aus Gleichung (21.) findet man dann

_ km—iyo-f~km-2yo 4-kmsyo"H-----I-%o(w“J)+yém~l 1

F'(n)

(22.)

(23.) Ci

Fi{r{) — lim

r=rx

= F'(ri).

Cä,... Cm.

In ähnlicher Weise findet man auch die Werte C₂,

Um jetzt die Bestimmung der Konstanten auch in dem Falle durchzuführen, wo die Werte von y, y', y",... y{tn-i) nicht für x = 0, sondern für einen beliebigen Wert Xo von x vorgeschrieben sind, setzt man

x — Xo = x/,    also x = x' Ą- xo

dann wird

y = Cie'-iOr'+a-o) C^f+x») -f----f.    b>

oder, wenn man

Cieri* = Ci, C₂er**° =. C₂'

. . Cmermx» = Cm'

(24.) setzt,

(25.) y = tyer** + C₂Je^‘ Ą-----f- CJeTm*

= Ci'er&~*o) -f C₂'er-^-xo) -]-----f-    o).

Indem man jetzt die Konstanten Ci, C₂,... CJ ebenso bestimmt wie vorher die Konstanten Ci, C₂, ... Cm, erreicht man, daß y, y', y", .., y(m~V für x' = 0, also für x = xo die vorgeschriebenen Werte y₀, 2/o⁷, yo', ... yém~X) • annehmen. Deshalb ist Gleichung (17.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung.

Beispiel.

Aufgabe t. Man soll die Differential-Gleichung

*Uo

(26.)

d²y

dx²

integrieren.

Auflösung. Hier ist die charakteristische Gleichung (27.) F(u) = u² —~ = 0, also n = — j r₂ = — 5

d    (L

folglich wird in Übereinstimmung mit Aufgabe 1 in § 134

X    X

y = Cie® -f- C₂e a •

(28.)

a | (-¹

Hat die charakteristische Gleichung F(u) — 0 auch komplexe Wurzeln, so bleibt die gegebene Lösung noch richtig, sie nimmt aber eine komplexe Form an. Dem Endresultate kann man jedoch leicht wieder eine reelle Form geben, wenn man beachtet, daß die komplexen Wurzeln paarweise konjugiert auftreten. Ist z. B.

n = a + bi, r₂ = a — bi,

(29.)

so wird

C\ . e'iX + C₂. e'*x = Ci. eax+bix C₂. eax~bix

= eax[(Ci -f- C₂)cos(bx) -f- i(C] — (72)sin(0£c)]

oder, wenn man

(30.)

Ci -j- C₂ = A, i(C\ — C₂) — B

setzt,

(31.)

Ci. er>x -f- C₂. er*x = eax[Aco&(bx) -|- B sin(bxj\.

(32.)

Beispiele.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

d2y , y

dx² ' a²

integrieren *).

Auflösung. Hier ist die charakteristische Gleichung

u² Ą—9 — 0, also ri = — j r₂ — — i ar    a

*) Diese Aufgabe geht aus der Aufgabe 1 hervor, indem + o² mit — a² vertauscht.

(33.) F(ü) =

man

§ 137. Homogene lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung. 793 folglich wird in Übereinstimmung mit Aufgabe 2 in § 134

xi

(34.) y = Cx.e« + C2.e

a =( G+Ci) cos    -f i( C\—Ci) s in

= AcoSQ + Bsin(*}

(35.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential -Gleichung dx + Gy = ⁰

d³y

dx³

7 dy

integrieren.

Auflösung. Hier ist die charakteristische Gleichung (36.) F(u) — u³—7m -j- 6 = 0, also ri = 1, r₂ = 2,    = — 3,

folglich wird

(37.)

y — Ci. ex -j- G₂. e²^ + 63. e~3x.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(38.)

" «3+»2-»v-

dy

dx³

integrieren.

Auflösung. Hier ist die charakteristische Gleichung = u³ — Qu² -f- 13m — 10 = 0,

(39.)

also folglich wird

(40.)'

y = C\.e2x + C₂. e2x+tx + C₃. e²*~ix — e2x{Ci -f- Acosa? + .Bsina;).

so ver-

Bisher war vorausgesetzt worden, daß die Wurzeln D, r₂, ... rm der charakteristischen Gleichung F{u) = 0 alle voneinander verschieden sind. Hat aber F(u) = 0 auch gleiche Wurzeln, so erhält man durch Gleichung (17.) nicht mehr das allgemeine Integral. Ist z. B. = r2 einigen sich in Gleichung (17.) die Glieder

Ci. er* + C₂. e'*x = (Gi + G₂). e***

zu einem Gliede

so daß der Ausdruck für y nur noch m — 1 Intégrations-Konstanten enthält.

Es seien zunächst die beiden Wurzeln rx und r₂ der charakteristischen Gleichung verschieden, und zwar sei

(41.)

r-2 = n + /?,

also

(42.) y = Cx. er'x + C-2. eriX+Ax + G₃. e** H------h Gm . ermx

= (Ci + C₂. e**)^* +    H-----\- Cm . ev.

Nun ist aber

(43.) Ci + G₂. ehx = Gi + C₂ + C₂

hx

h?x²

1!

2! ⁺‘"-

Die Größen Gi, C₂,... sind ganz beliebige Konstante; deshalb kann man Cx und C₂ auch solche Werte geben, die von der konstanten Größe h abhängen. Setzt man z. B. •

(44.)

C'

C₂ = - , Gi = G — h

wobei G' und G neue von h unabhängige Konstante sind, so erhält der Faktor Gi -f- C₂.ehx von eriX die Form

h²x?

3! ⁺‘“'

(45.) Cx+C₂.e*x= C+C'x+C'~.~+ C' ■

u !

Faßt man jetzt die Größe h als veränderlich auf und läßt sie sich dem Werte Null nähern, so wird

limr2 — ri,

A=0

d. h. die beiden Wurzeln rx und r₂ fallen zusammen. Gleichzeitig werden die Konstanten Cx und G2 nach den Gleichungen (44.) in solcher Weise unendlich groß, daß man aus Gleichung (45.)

(46 a.)

(46.)

lim (Gi + C₂ehx) = C + C'x,

h= 0

erhält; folglich geht Gleichung (42.) in diesem Falle über in

(47.) y = (C + C'x). er*x + G₃ . H-----Cm . ermx.

In dieser Formel treten wieder m willkürliche Integrations-Konstanten auf, wenn rx, r%sämtlich voneinander verschieden sind.

Setzt man jetzt in Gleichung (47.)

(48.)

fs = n + ä,

also

(49.) y = ( C+ C'x). er& + C₃. <fi*+hx + Ci. er*x -j-----f- Cm. er»%x

= (C + C'x + C₃. ehx). er'* -f C₄ . er& H-----(- <7#,. ermx,

so wird

hx

(50.) (7+ (Tx-f- Cs • G/tx — C-f- C'x-j- C3—J— (73    -f- (73

1!

h²x²

2! ⁺“'-

Dies gibt, wenn man die willkürlichen Konstanten C, <7', C3 in solcher Weise wählt, daß

(51.)

(7+=    <7' + <7₃A = A₂, C₃ä² = 2A₃,

also

2A;j

<73 = ^

h²

C' =

2A₃

Ä2 h

C=AX

2 A3

wird.

h²

hx’

(52.) C -f- C'x -f- Cs. e,iX = A\ -f- A₂x -f- A₃x² -{- 2A3 „, ,    ,

wobei Ai, A₂, As wieder drei, von h unabhängige, willkürliche Konstanten sein mögen. Läßt man jetzt h sich, der Grenze Kuli nähern, so erhält man

(53.) limr₃ = n, lim((7+ C'x + Cs. ehx) = Ax + A₂x -f- A₃x², //=0    /<=0

folglich gellt Gleichung (49.) in diesem Falle, wo n = r₂ — rà ist, über in

(54.) y = (Ai-f- A₂x + AsX²). e'’iX + <7₄ . er*x -f-----f- Cm. ermx.

Dieser Ausdruck enthält wieder m willkürliche Konstanten, wenn r₄, r₄, ... rm voneinander verschieden sind.

ln gleicher Weise kann man alle Fälle erledigen, in denen die charakteristische Gleichung F(u) — 0 mehrfache Wurzeln hat.

Dieselben Resultate findet man auch auf einem anderen Wege. Nach D.-R. (12. Auflage), Formel Nr. 86 der Tabelle ist

(55.)

dn(uv)

dxn

V(n) +(l)

u'v(n~l)

-f-    u"Cn~²) -j----

-{-f- u^v.

Führt man also in die Gleichung j,(~) ₊    4.    +... +    + f„,y - 0

für y das Produkt uv ein, so erhält man

796 § 137. Homogene lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung. (56.) -f    4- f₂v{m~^ -1-----J- fm-iv' + fmv]u

+ \mvi'm~X) + (m — 1) fiv⁽'m~²î -|- (m — 2)f2V(m~~?,> -{-•••

4~ fm—\V\u'

+ y.. [m{m — 1)4"'—2) -j- (ni — 1 )(m — 2)fiv⁽~m~³'> -{-• • •

+ 2.1. fm_₂v\ u"

ml

—r m(m — 1 ){m — 2)... 3.2.1. v.    = 0

oder

(57.) Tu + D VlU‘ + D T₂u" + • • • + j, ?><»> = 0

wobei

v =    4- fiv(™-V + f₂v^-V 4-... 4- ffmv,

Vi = w⁽",_1) + (m — 1 )f₁v⁽-m~²'> -|-----f- fm_xv,

(58.)

V₂ — m{m — l)v(»*—²) 4- (m — l)(m — 2) /i4w~⁸⁾ H-----

+ 2.1

Von den beiden Funktionen w und v kann man die eine, z. B. v, noch willkürlich bestimmen. Setzt man daher

(59.)

v = erx,

also v* — r. erx, v“ = r² . erx,.. so gehen die Q-leichungen (58.) über in

V = erx(rm 4- f\rm~x 4- f₂rm~² + • •. +fm-lr+fm)=er*. F(r), Fi — erx[mrm~l Ą- (m — 1 )fxrm~² 4-{m — 2)f2rm~d 4-...

(60.)

+ fm-i\ = er*.F'(r),

V₂ = erx[m(m — 1 ym~² + (m — 1 )(m — 2)/V

+ 2.1./^_₂] = e^.FT"(r),

Deshalb erhält Gleichung (57.), wenn man den allen Gliedern gemeinsamen Faktor erx fortläßt, die Form

(61.) F(r).u + ^pu' +

F^m~l\r)

(m — 1) !

Jetzt sei rx eine einfache Wurzel der charakteristischen Gleichung F(r) — 0, dann wird Gleichung (61.) befriedigt, wenn man

(62.)

r = ri, u = Ci, also y = C\ . e?xX setzt. Ist dagegen eine a-fache Wurzel von F(r) — 0 so wird

F(r]) = 0, F\rx) = 0, F'\rx) = 0, . .. F^\rf) = 0, so daß Gleichung (61.) befriedigt wird, wenn man

(63.) r = rx, u — C\ + C₂x + C$c² -----\-Caxa

also

y = (G 4 C₂x + C₃x² -\-----b Caxa~l). er'x.

setzt. Da wegen des linearen Charakters der Differential-Gleichung nach Satz 1 jede Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist, so erhält man auch durch die Gleichung (64.) y = (Ci + C₂x -f- C-iX²-\-    • -f Caxa~l). er^xĄ-Cu+1. er«+ix

+ O* • zTmX-

eine Lösung. Auf diese Weise kann man immer einen Ausdruck finden, der m willkürliche Konstanten enthält und deshalb das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist.

Das gilt auch noch, wenn die mehrfachen Wurzeln komplexe Werte haben. Hat die charakteristische Gleichung z. B. die a-fache Wurzel

rx = a -j- hi,

so hat sie unter der Voraussetzung, daß die Koeffizienten fi, fi, • fm sämtlich reell sind, auch die a-fache Wurzel

'/*2 = a — bi.

Die diesen beiden Wurzeln entsprechenden Glieder in y haben dann die Form

(65.) (Gi + C₂x fi-----b Cax“-l)e<-a+w*

+ (Cf -b C/x H-----b C'aßfi-¹)**-“)*

= eax[(Ci + Cf) + (G₂ + Cf)x -f- • • • + (Ca + Ca')x*-i] cos (bx) +    +    G₂> + - • • +(Ca-Ca')x«-']ism(bx).

Setzt man noch

(66.) Gi 4 G/ = Ai, Co 4" Cf — A₂,... Ca 4* Cf — Aa,

(67.) (C! - CkO* = 5i, (Ca - CbO» = -Ba,... (<?« — C.O» = Btti so wird die Differential-Gleichung befriedigt, wenn man setzt

(68.) y —    -----(- AaX“-¹)eos(bx)

+ {B\ + B₂x -|-----h Baxa—l)sin(öx)] + C2a+ier2a+i* -|---- -f- Gmermx.

Beispiel.

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(69.)

^_4^ + 10^-12^ + 6v = 0 dF da? ^ dx² dx⁺ °y U

integrieren.

Auflösung. Hier ist die charakteristische Gleichung (70.) F(r) — r⁴ — 4/^ -f- 10r² — 12r -f- 5

= (r² — 2r -|- l)(r² — 2r -f 5) = 0,

also

(71.)

r\ = r₂ = 1

rg = 1 + 2i, r₄ = 1 — 2i,

folglich wird

(72.)

V = {Ci + C₂x)e* 4- e^[4cos(2x) -f- B sin (2a;)] = ex[Ci -f- C₂x 4* 4cos(2;r) 4- Bsin(2a?)].

§ 138.

Nicht homogene lineare Differential-Gleichungen mter Ordnung.

Für die Integration der nicht homogenen linearen Differential-Gleichung mter Ordnung

(10 y{m) + W*"¹¹ + ■ • • + fm-x(x)y‘ + fjx)y = <p(x)

leistet häufig der folgende Satz gute Dienste:

Satz. Kennt man ein Fundamentalsystem partikulärer Integrale y\, y₂,... ym der homogenen linearen Differential-Gleichung

y{m) +    + • • • 4- fn-x(x)y‘ 4- fjx)y = 0

(2.)

und ßin partikuläres Integral Y der nicht homogenen Gleichung (1.), so ist

V = Y + clyl + c-yy-2 H-----h cmym

(3.)

das allgemeine Integral der nicht homogenen Gleichung (1.).

Beweis. Aus Gleichung (3.) folgt

V‘ —    + Ciyd + C₂y₂J H----+ cmV»n i

y“ = Y“ + cxyi‘ -f- c₂y₂n H-----h cmy„i\

. (4.)

y{m i) _ y(^-i) c\yim~^ -{- c₂y2^m 1} -f-----\-cmym(my1]

y{m) ₌ Y(»>) + cxy^m) _}_ c₂y₂{m) _)-----cmyj>n\

Nun ist nach. Voraussetzung für a = 1, 2,... m

(5.)

I rw + fix).    1) + . . • 4- fm-ix) . Y‘ -f fm(x). Y = çfc),

i y«im) + fix).    + ■ ■ ■ + fm-ix). yj + fm{x). ya = 0.

Addiert man also die Gleichungen (3.) und (4.), nachdem man sie bezw. mit fm{x),fm_ix), ...fix) und 1 multipliziert hat, so findet man mit Rücksicht auf die Gleichungen (5.)

(6.) y(»') -j- fx(x). y*»*-¹) 4-----f fm~i{x). y‘ 4- fjx). y = <p{x),

d. h. y ist ein Integral der Gleichung (1.). Die Funktion y ist aber auch das allgemeine Integral der Gleichung (1.), weil es die m willkürlichen Konstanten cx, c₂,... cm enthält und zwischen den partikulären Integralen yh y₂,...ym der Gleichung (2.) nach Voraussetzung keine lineare Beziehung besteht.

§ 139.

Nicht homogene lineare Differential-Gleichungen młer Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 327 und 328.)

das allgemeine Integral der nicht

um

Von dem in § 138 bewiesenen Satze kann man Gebrauch machen

homogenen Differential-Gleichung

(1.)

y{m) + f\y{m~x) H-----f- fm-\y‘ + fmy = v(x)

zu finden, wenn die Funktionen fix), fix),... fm(x) sich auf die konstanten Werte fx, f₂, ... fm reduzieren, und die charakteristische Gleichung

F{r) = rm 4-    + • • • + frn—\r + fm = 0

lauter verschiedene Wurzeln ri, r₂, . . . rm hat.

Das allgemeine Integral der homogenen Differential-

Gleichung

(2.)

y{m) + fiy{m~V) H-----h fm-iy' + f»>y = o

läßt sich dann auf die Form

(3.)

y = Cxer^x-X<ù + C₂er- X^ H-----f- Cmerm(

bringen. Dabei kann man nach den Ausführungen in § 137 die Konstanten Ci, C2, ... Cm immer so bestimmen, daß die Größen y. y\ y",... y(m-^) für x =■ Xq die vorgeschriebenen Werte yQ, yd, yd', • • • ydm~r> annehmen. Für den vorliegenden Zweck setze man

(4.) î/o = 0, yd = 0, yd¹ = 0,... yd'"-²"> = 0, ydm~X) = <p(x₀),

dann gehen die Gleichungen (19.) in § 137 über in

= 0,

= 0,

= 0,

Cl + C2 H------b Cm

(5.)

Cin

Ciri¹

+ C₂r₂

C₂r₂² H-----b Gmr„r

-f- • • ■ -f- Cmxm

Cirxm~² + C₂r₂m-² d-----h Cmrmm~² = 0,

Cin"-’-¹ + C₂r₂m~x +----Cmrmm~x = Çp(^o) •

(6.)

Daraus folgt nach Gleichung (23.) in § 137

<p(xd)

F\r₂)

Ci =

<p(xd)

-F'(ri) ’

C₂ =

•*CW =

<p{xd)

F\rm)

(7.)

Die Funktion

y ~ F\n)

<p(x0)

F\r₂)

. Q>'.2.{x—Xo)    . . .

cp(xd)

• er»M~x0)

F‘(rm)

ist daher ein partikuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung (2.) und hat die Eigenschaft, daß sie mit ihren m — 2 ersten Ableitungen für x — x₀ verschwindet, und daß die (m — l)te Ableitung gleich rp(x₀) wird.

In Gleichung (7.) möge jetzt die Konstante x₀ als ein variabler Parameter aufgefaßt und dementsprechend mit t bezeichnet werden, dann geht Gleichung (7.) über in

(8.) y =

(fit)

F\r i)

. Q>'\i*—t)

<p{t)

F\r₂)

.    _J_ . . .

<p{t)

F\rm)

Wenn man sodann mit

(y)t=x, {y')t=x, (y“)t=z,... {y{M~r>)t=x diejenigen Werte bezeichnet, welche die Größen y, y\ y“, ... yb*—¹) für t= X annehmen, so folgt aus den Gleichungen (5.), daß

(9-) (y)t=x = 0, (yOt=x = 0, [y“)t=x = 0, ... (y['n-2])t=x = 0

ist, daß aber

(10.)

{y{m~%=x =

wird. Setzt man also

T-fydt,

0

so findet man aus Formel Nr. 189 der Tabelle, die Buchstaben x und t miteinander vertauscht, also der Formel

(11.)

wenn man

aus

b

<¹²-> äxfi{t’X)dt=j

b

\'x dt ~ x)dx + x) dx

da

db

die folgenden Gleichungen

dY

dx

= Y‘

d*Y dx²

dBY

(13.) dx³

_yv//

dm~xY

dxm~l

= y«-i)

ä™Y

dxm

= YW

=Jy'dt + {y)f=j: = jy'dt,

0 0

=jy[m)dt -f {yd”-l))(==J. = jyb'bdt -f- cp(x) 0 0

Kiepert, Integral - Keehnung.

51

Die durch. Gleichung (11.) bestimmte Funktion F ist nun ein partikuläres Integral der Differential-Gleichung (1.); denn führt man F, F', F", ...F(w) aus den Gleichungen (11.) und (13.) in die Gleichung (1.) für y, y\ y“ so erhält man, da sich <p(x) auf beiden Seiten der Gleichung forthebt,

• -y

OO o-i

em,

(1.40. f(y{m] + fi ■ y[m~X) 4-----h fm-i. y‘ 4- fm -y)dt = 0.

0

Diese Gleichung wird aber in der Tat befriedigt, denn nach Formel Nr. 323 der Tabelle ist y ein partikuläres Integral der homogenen Gleichung (2.); folglich ist F ein partikuläres Integral der nicht homogenen Gleichung (1.).

Aus dem partikulären Integral findet man nach dem Satze des vorhergehenden Paragraphen sofort das allgemeine Integral, indem man ( b.) ;..    y = F + v

setzt, wobei

(16.)

v = cx. er'x + c₂ . er*x H----+ cm . ermx

das allgemeine Integral der homogenen Gleichung (2.) ist. Dadurch erhält man

(17.)

-\J

o

<p{t). er^-⁽)ät

F\n)

fi- C\. er'x

+ c₂. er*

(p(t). er’i(-x~f)dt

F\r₂)

■*\j

o

'(p{t). er»i(x~~f>dt

F\rm)

-f- Cm . ertnx

oder, wTenn man

(18.) * . F'(ri) = Ci, c₂. F\r₂) = Ca, ... cm . F‘(rm) = Cm setzt,

F'-(ri).

Ci ~\~J{W)

o

. e~ritdt -f

ß?\X

F\r₂)

. e~r**dt

e? »ix

⁺ "’ ⁺ F‘(rm) L

c,

« + jy(t) • e~rmfd} .

o •

Dasselbe Resultat findet man auch durch Variation der Konstanten, eine Methode, die in einem späteren Paragraphen erläutert werden soll.

Bisher war vorausgesetzt worden, daß die Wurzeln n, r₂, ... rm der charakteristischen Gleichung sämtlich voneinander verschieden sind. Um auch den Fall zu behandeln, wo diese Voraussetzung nicht mehr zutrifft, mögen zur Vereinfachung der Schreibweise die voneinander verschiedenen Wurzeln mit a, b, c,...l bezeichnet werden; es sei also

(20.)

F{r) — (r — a)a (r — bf ...(r — 1)'-

wobei von den Exponenten a, /?,... 1 mindestens einer größer ist als 1. Es sei z. B. a > 1, dann wird nach den Regeln der Partialbruchzerlegung, wenn man F(r) gleich (r — a)aFa(r) setzt,

(2L'⁾ F\r} ⁼

(r — a)

A2

Äa

¥r)

{r — a)a

Fa{r) ’

wobei ip(r) eine ganze rationale Funktion (m — a — l)ten Grades ist. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung (21.) mit F(r), so erhält

<a>

man

oi

Ä₂ F(r)

(r — d)a~¹

I-----f 4- W){r — af.

Nun ist nach dem Taylor sehen Lehrsätze, wenn man beachtet, daß in dem vorliegenden Falle F(a), FJ(a), ... F^a~-l)(a) verschwinden,

F^a\d) a !

(23.) F(r) =

(r — a)a -f-

(« + !)!

(r — a)“+x -]----

F^-'Xa)

⁺ (2a — 1) !

wobei diese Entwickelung nur eine endliche Anzahl Gliedern enthält, weil F(r) eine ganze rationale Funktion wten Grades ist.

(r — a)²““¹ -|----,

von

Setzt man diesen Wert in die Gleichung (22.) ein, so

erhält man

(24.)    i=+

F^{a) , F^a+1\a)

«!

(ß+1)!

(r — a) H—

F^-'Xa)

(2ß — 1) !

+ A₂

’F^Xa)

a!

(r —a) +

F^a+1\a)

(ß+1)!

(r — af -1----

FV«-l\a)

(2a — 1)!

(r — a)a -j—•

r F^\a).

L a! r

Da diese Gleichung für alle Werte von r gilt, müssen die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiten einander gleich sein. Dies gibt

A₁F (“>(ß)

+ Ha

(ß + 1)!

₍ (r—a)“ + • • • +    — a)“.

ß!

Hi .F⁽"⁺¹⁾(a)

(25.) ■ (ß + 1) !

+lJP(a+²)(a)

(ß + 2)!

Hieraus findet man der Reihe nach die Werte von Hi, A₂,... Aa. Indem man die Partialbruchzerlegung weiter fortsetzt, erhält man

(26.) ,!

Au

Fir)

(r — a)

(r

Bi

(r — b)ß

- ■_______i ... i —«

— a)«⁻¹    ' r — a

j-----(_ Bf*

' r — b

B₂

(r — bf~¹

L₂

(r — l)¹

r + -4

L,

(r — l)¹

wobei sich für die Berechnung der Größen By, _ß₃,.., Bp, ... Ly, L>, ■.. L-a ähnliche Formeln ergeben wie für die Berechnung von Ay, A₂,. ■ ■ Aa.    -    ,}

Zwischen diesen Größen Ay, +₂, •. .4«, By, B2y... Bp, .. Ly bestehen noch weitere Beziehungen. Aus

. . . Ly, Lo, .

F(r) = rm -f- fxrm~l -f f₂r,n~² 4----+ fm-Xr -f fm

folgt nämlich

F(r)

in—1

+ (fi + a)rm~² + (f₂ + fia + a?ym-'à

F{r)

(r — af r

+ Cfs + ha + ha² + a³)rm~⁴ H----

4“ (fin—1 4~ fm—2Ü 4" ' • • 4~ f\(L>n~~- -f- CI

+ (h + 2fxa 4- 3a²ym~A

+ (/i + 2 ay + (h + 2f₂a 4- Bfid² -f- 4a³ym~⁶ -j----

F(r)

(r — af

4- [fm-2 4“ 2fm-sa H-----\-(m — 2)ha'n~ä

+ (m — 1 )am~²],

+ (h 4- 3ha 4- 6a²ym~ö

= rm~³ 4- (fi 4- 3a)r 4- (h 4- 3ha 4- 6fxa² 4- 10a:i)r—(i -f- • • •

fm—3 + (2)^

in—4

•+(■7 >

In ähnlicher Weise findet man die Werte von

F(r)

r — b'

F(r)

F(r)

FCr)

Wślp’TMuKPK-

ziert man beide Seiten der Gleichung (26.) mit F(r) und ordnet die rechte Seite nach fallenden Potenzen erhält man die Gleichung

(27.) 1 = r”*~i[Aa 4- Ą 4- ... 4- L}] + r™-\{h 4- a)Aa 4- Aa

+ (fi + fyBß 4- Bß—! 4-----f (fi 4- fLi 4- Lx_ j

+ r^Kh + fia 4- a²)Aa 4- (A 4- 2a)4„_i + A + (h + fib 4- bfBp 4~ (A 4" 26)5/?_i -j-    2 4~ • • •

+ (A + /]£ + l²)L)' 4- (A 4- 2/)X;._i 4- ^ż—2]

+ rm~⁴[(fs 4- ha -f fia? .4- afAa 4- (f₂ 4- 2/i« 4- 3a²) A^ 4~ (fi 4“ 3a)Aa__2 4- Aa—3 + (h + hb + hb² + F)Bp

4- (f₂ 4- 2/ift 4- 3b²)Bß^ 4- (A 4- 36)5,_₂ 4-Ą*_₃

von r, so

cr-T-

4- (h 4- H + fF 4~    4- (h -\- %f\l 4~ 3l²)L

4- (fi 4- 3/)£;._2 4- Ai—3] 4- • • • ;

1-1

dabei sind die Größen A, B,... L, deren Index kleiner als 1 ist, gleich Null zu setzen.

Da Gleichung (27.) eine identische ist, so folgt zunächst, daß der Koeffizient von rm~x gleich Null ist, daß also

(28.)

Aa -f- Bß -}- • • • -f- Lp — 0.

Ebenso muß der Koeffizient von rm~² verschwinden;

dies gibt

(fi 4~ d)Aa -f- Aa—i + (fi + b)Bß -j- Bß—i •+••••

+ (fi 4- l)Lp -f- L)—i — 0,

oder, wenn man Gleichung (28.) subtrahiert, nachdem man sie mit f\ multipliziert hat,

(29.) (Aud -j- Aa—i) -j- (Bßb -f- Bß—i) + • • • + (Bpi -f- Lp—i) = 0.

Setzt man den Koeffizienten von rm~~³ gleich Null, so erhält man

(/*2 4~ fia + (B)AU -f- (fi -j- 2a)Aa—i -f- Aa—₂

4~ (f₂ + fib + b²)Bß -f- (fi -f- 2b)Bß-i -f- Bß—2 + • • •

4~ (/*2 + fil + P)Lp -f- (fi + 2l)Lp—i -f- Lp—2 = 0, oder, wenn man die Gleichungen (28.) und (29.) subtrahiert, nachdem man sie bezw. mit f₂ und fi multipliziert hat, (30.) (.Aaa~ -f- 2Aa-ia -f- Au—2) -f- (Bßb² -f- 2Bß—Xb -f- Bß—2) + • • •

fi- (Lpl² + 2Lp—il -f- Lp—2) = 0.

Setzt man (unter der Voraussetzung, daß m > 4 ist) den Koeffizienten von rm~x gleich Null, so erhält man (fs + f₂d 4~ fio¹ + o?)Aa -f- (f₂ + 2f\a -f- 3a²)Au—i

+ (fi 4~ 3a)Aa—2 -f- Au—3 + (fs + ff> + ff² 4~ ^y>’)Bß fi⁻ (/*2 4~ 2/16 -f- ‘Sb²)Bß—i 4- (fi + 3b)Bß—2 4- Bß—,-,

4- (f 4- M 4- fil² 4- V)Lp 4- (f₂ 4- 2/i/ 4- %l²)Lp-i 4- (fi 4~ 3l)Lp—2 -j- Lp—3 — 0,

oder, wenn man die Gleichungen (28.), (29.) und (30.) subtrahiert, nachdem man sie bezw. mit /à, f₂ und fx multipliziert hat,

(31.) (Aad³ + ?>Aa-Xd² + 3Aa-₂a + Aa-₃)

-}- (Bßb³ -j- SBß—ib- -f- äBß—^b -f- Bps) -f- • • •

H⁻ (LjP -j- SLx—il² -f- SLx—2^ -f- Bi—3) = 0.

Indem man so weiter fortfährt, erhält man schließlich

(32.) àjr-i + C 7 X) Ä^a"~² +C 7 X)^«-2«

, /m — 1\ .

+ B^-¹ + (“ ~    + ('” “ ¹)5^₂6”'-⁸ + • • •

+0~>b

+ ("i7¹)i^"‘-³+

+G=i)

Nun hat das allgemeine Integral der homogenen Differential -G-leichung die Form

(33.) ij = [«i + a4x — x₀) Ą-----f- aßx — Xq)“-¹] ea<x-^

+ [&i + h{x — xq) -1-----[- bp(x — x^f-¹] e⁶(*-*o)\

+ Lil—¹

+C 7 ‘)

lm~²

LJ™-* = 1.

+ Pi + h(x — Xo) +----f- h-(x — Xq)*-¹] el{-x~x°\

wobei die m Größen ax, a₂,... aa, &i, 62* • • • bß, • • -4, h, • • • 4 noch willkürliche Konstante sind. Man erhält daher ein partikuläres Integral dieser Gleichung, wenn man den m Konstanten unter Heranziehung der bei der Partialbruchzerlegung in Gleichung (21.) gefundenen Koeffizienten die Werte

«i = Aa, «2 =

A,

Ai

1!

bi = Bß, b-2 —

Bp-i

1!

• • bp —

Bi

(ß — 1) !

h — Bi, h —

Li-i

Li

1!

G-l)!

gibt. Setzt man noch für die Konstante x$ den Parameter t ein, so lautet also dieses partikuläre Integral, nachdem man es noch mit dem Faktor <p(t) multipliziert hat,

J!> ■ •.

(34.) y =

Äa + Ą

1!

Ax

[Bß +

Bß—i

1!

(«—1)1 Bß—2

(x — t)a~¹    Oçp(t)

(ß — 1) !

(x

t)?—¹    (-p(t) .

Llr-

1!

Lx

(2-1)!

Für x = t wird demnach mit Rücksicht auf Glei

chung (28.) (35.)    *

V — (Aa + Bp + • • • + Lx)(p{t) = 0.

Differentiiert man Gleichung (34.) nach x, so erhält man

Aa—iß -f- Aa-. 2

(36.) y¹ — j^(^4aß + -4«—i) -f-

1!

(x~t)

Aa~₂a -f- Aa.

2!

A₂cl -f- Ax

(o—~2jT

A\a

(« — 1) !

wo durch die Punkte die noch folgenden Glieder angedeutet sind, die aus den auf ge führten entstehen, indem man A, a und a bezw. R, ß und b, ... L, 2 und l vertauscht. Für x = t wird daher mit Rücksicht auf Gleichung (29.)

(37.) y' = [(Aa    Af^xd) -f- (Bßb -f- R^—i) -j- • • •

+ (Bxl + Lx-i)]<jp{t) — 0.

Differentiiert man Gleichung (36.) noch einmal nach x, so erhält man

{x — ty—‘² -f-

(38.) y“ = [{Aaa² + 24c_ia -f 4a_₂) + yya² + 24„_₂a + Aa^{x — t) -f Jy (Aa-₂a²-\-2Aa-₃a+Aa-₄)(x—0²4----

(ß^2yi^²®²+²^iß)(a;—^)““²

4ia²

Für x = t wird daher mit Rücksicht auf Grlei-

chung (30.)

(39.) y“ = \[Atta² -f-2Aa—\a -\-Au—₂)-\-{B^b¹-\-⁽iB^ib-\-Bp^-₂}Ą—

4~ {LA¹ + 2Zv;—il 4~ R/—2)] <f(t) = 0.

Differentiiert man Gleichung (38.) noch einmal nach x, so erhält man

(40.) y‘“ = [(4„a³ + 34„_ia² + 3Aa-₂a + 4„_₃)

-j- yy (Aa—i«,J 4~ 34a_₂a² 4~ 34ß_₃ß -f- ^4«—4){& 0 4“ ' ’ ’

4- (" ^24 ^²®³ + 3Äia2)(x—O“⁻²

(X — f)“—ł] ga(x—i)    4- . . . .

4-

4i«³

C« —1)1

Für x = t wird daher mit Rücksicht auf Glei-

chung (31.)

41.) y“‘ = [(.Aaa³ 4- 34„_i«² 4- 34„_₂a 4- 4„_₃)

4* [Bßb’'' 4- 3Bp~ib² 4~ 3Bß—₂b 4- Bp—₃) 4~ • • •

4"    4~ 3Lx—il² 4- 3Z>;_—₂l 4- Lx—₃)] <p(t) — 0.

So kann man fortfahren und zeigen, daß auch y⁽⁴⁾, ... y(,n—²) für x — t verschwinden. Dagegen ist

(42.) y(m~x) = Aaam~x

+CT>-

+C-i)Äiam~a+MÄ-'am

(x~+-

4-(mi ¹ ^ 41 a"'~²j (x —1)“~² 4-

+(V>-

+C7¹).!..»-

•4-

A\am~x

(«-Di

(«-2)! (x — t)a

-₂a

f/i—3

4----

^Aoa"¹-¹

+CT

Dies gibt für x — t mit Rücksicht auf Gleichung (32.) (43.)    = Aaam~l

m—2

+ (”*2 ¹)A“--a

+("7>

+("7 ')«> -j’" : i +c:

+ W"-'+(m₁ ¹

_₂^-3 _]----

Setzt man also

(44.)

r =Jydt,

0

so gelten dieselben Schlüsse wie bei den Gleichungen (11.) und (13.), d. h. es wird

(45.)

aber

Y‘ =jÿdt, Y“ =jy“dt,.

0 0

X

. . 7(^-1) =fy^-l)dt 0

(46.)

7(w) = Jyt'n)dt -j- (p{x).

0

Führt man diese Werte für y, y\ yu, ... ÿW in die Gleichung (1.) ein, so erhält man, da sich <p(x) auf beiden Seiten der Gleichung forthebt,

X

(47.) /(y«”> + AÿK-*> +    + ■ • ■ + f,„-.,y‘+fmy)dt = 0

0

Diese Gleichung wird in der Tat befriedigt, da die durch Gleichung (34.) erklärte Funktion y ein partikuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung ist. Man erhält daher in diesem Falle aus den Gleichungen (33.), (34.) und (44.), wenn man der Einfachheit wegen xo gleich Null setzt, für das allgemeine Integral der nicht homogenen Diff erential - Gleichung (1.) den Ausdruck

(48.)

y = (ai + a₂x + •    4- aax«-x)e

+ (bi + hx -f------h bßxP~x)ebx

ax

~f- (h ~f~ hx + • • • -f- hx* v)elx

+/[

o

Au-\-

Au—i

(X-0 + -2T

Äl

(«-!)!

(X — t)

ce—1

X

+A

o

Bß + j, ' (x — t) -f-

(X-t) 2 ₊ ...

Bi

(ß—•!)!

₊j[u₊

0

Lx

~T~ (X — h ~\~

L>,

1!

Li

(x — tf~l    (p(t)dt.

⁺ (ï-l)!

Dabei sind ai, a₂,... a«, 6i, 6₂,... bß, .. .llf l₂,... lx die m willkiirliclien Intégrations-Konstanten, und Ax, A₂,... Aa, Bi, B₂,... Bß, ... Li, 1/2,... Lx sind die durch die Gleichungen (25.) bestimmten Zähler in der Partialbruch - Entwickelung von

(49.)

Ai

A₂

Aa

F(r)

(r — a)

(r — a)a~¹

Bi

(r — bf

B₂

(r — bf-¹

+-+j±i

B±

Bi

Bi

(r — iy

(r —    r

Bx

:T

§ 140.

Einige Fälle, in denen die erforderlichen Quadraturen ausführbar sind.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 329 bis 334.)

Es gibt offenbar eine ganze Reihe von Fällen, bei denen die in Gleichung (19.) und (48.) des vorhergehenden Paragraphen (vergl. Formel Nr. 327 und 328 der Tabelle) auftretenden Integrale leicht berechnet werden können.

Fall I. Ist z. B. <p{x) eine ganze rationale Funktion, so kommt man immer zum Ziele, denn durch partielle Integration findet man

(!■)

tne~rtdt = — e

St¹

—rt

ntn~x

n(n — 1 )tn~²

^•2

n ! ' ¹)

n+1

n(n — 1)... 4.3it²

ytl—1

n(n — 1)... 3.2t

yfl

Ist also

(2.)    (p{x) = axn -f axxn—x-f-a₂xn~² -|-----an-.₂x² -f a„—\X an,

so wird

ßp(t)e

~rtdt — — e

-„r¹

+    ¹ b an—\t "b an)

+ ~2 {natn~~x + (w — V)d\tn~² fi-----2an^₂t + an-i}

+ \ |n(n — 1 )atn~² -f- (n — 1 )(n — 2)aitn~à fi----

~b 2.1. an—₂j

+ {n(n l)-.-3.2a«4- (» — 1)!%} + — j

<PV) + y¹r(t)+^sV"(t) + -~ + L₉(«-¹)(i) +

oder

ri

_r

~rtdt = — e~rt

(3 a.) I<p(f)e

§ 140. Lineare Diff.-Gleicliungen mit konstanten Koeffizienten. 813

Aufgabe 1. Man soll die Dif f erential - Gleichung

(4.)

d*y

dy

₊ 2a-^ + by = cx»

integrieren.

(5.)

Auflösung. Hier hat die charakteristische Gleichung F(r) — r² + 2ar -j- b — 0

die Wurzeln

(6.)

r₂ =

— a — Y a² — b

wobei

(7.) rx + r₂ = — 2a, rxr₂ = b

rx — r₂ = 2|/a² — 6,

(8.) F'(rx) = 2ri + 2a = n — r₂, jF'(r₂) = 2r₂ -f 2a = r₂—n.

Setzt man diese Werte in die Formel Nr. 327 der Tabelle ein, so erhält man

(9-) y —

enx

F\ri) .

X

Ci-\-cjtne

o

’i'dt, -f

er.,x

F\r₂)

j~C₂+cjtne-

"**dt

= —¹—(CV^—0₂e^') +

n—r₂

C—\e^xlt

o

tne~r'⁽dt

.r

— er** ltn e-'*dt 1.

Dies gibt nach Gleichung (1.), wenn man mit Ai und

n\c

ri—ro

r₂n

^mit A >

bezeichnet,

(10.) ij = Axer^x + A₂er*x

xn nx „.2

+ —[*(-

rx—r₃ L\

n(n — l)xn~²

rx³

n(n — 1)...    . 3a:²

n(n — 1)... 3.2a:

rxn

rxn

+<

r₂

nxn~l

n(n — l)xn~²

r₂⁸

n(n — 1)... 4.3a:² n(n — 1)... 3.2a:

n!

r₂n~l

r₂n

r₂n+l

)]

oder, da rir₂ = b ist,

814    § 140. Lineare Diff.-Grleichüngen mit konstanten Koeffizienten.

(10 a.) y = Axer'x + A₂er*x + [bnxn -f- nbn~\rx + r₂)xn~l

-f- n{n — l)bn~²(ri* -j- r\r₂ + r₂²)xn~² -{-•••

+ n(n — 1)... 3.2b(rin~¹ -j- rxn~²r₂ +----1- r₂n~l)x

_j_ ^ j (irxn -f- rin^lr₂ + •■•• + T₂n)\i

Die symmetrischen Funktionen ^i + r₂, rx² -f- rxr₂ + r₂², rxä-\-rx²r₂-\-rirx²-\-r₂^,... der Wurzeln rx und r₂ lassen sich nach den Gleichungen (7.) noch durch a und b ausdrücken. Es sei z. B. n — 1, dann geht Gleichung (4.) über in

+ by = cx

(4 a.)

d²y

-f- 2 a

dx²

deren Lösung nach Gleichung (10 a.) die Form hat

dx

(10b.)

y = Axer i* + A₂er** + |₂ (bx — 2a). Zahlen-Beispiel. Man soll die Differential-Gleichung

(11.)

d²y

dy

dx²

^ ix -i-    =

integrieren.

Auflösung. Hier hat die charakteristische Gleichung F{r) — r² — 9r -f- 20 = 0

(12.)

die Wurzeln

(13.)

rx = 5, r₂ = 4; dabei ist ç =■ 4000, n — 2, folglich geht Gleichung (10a.) über in

(14.) y = Axehx + A₂eix

[b²x² -j- 26(ri -f r₂)a: + 2 . l(ri² -|- nr₂ -f- r₂²)]

. 4000

6³

=    + A₂éx + 200 x² + 180 x + 61.

Sind in Aufgabe 1 die Wurzeln rx und r₂ der charakteristischen Gleichung komplex, ist also

(15.)

rx = a -j- ßi, r₂ = a — ßi,

so wird

Axerix + JL₂er^ = eaar[Ai|cos(/i?ic) + i sin (/?£))

+ A₂1 cos (ßx) — i sin (/9a;)}]

oder, wenn man A\ -f A₂ mit B1, (A₂— Ao)i mit Bo bezeichnet,

(16.)

Aieri* -j- A₂er*x = eax[BiCos{ßx) + Bosin(/?x)].

(17.)

Zahlen-Beispiel. Man soll die Differential-Gleichung

— ^dx    ~ CX^

d²y

dx²

integrieren.

Auflösung. Hier hat die charakteristische Gleichung F(r) = r² — 6r + 13 = 0

(18.)

die beiden Wurzeln

(19.)

n = 3 + 2«, r₂ = 3 — 2 i, folglich findet man nach den Gleichungen (10a.) und (16.)

(20.) y == e3x[i?₁cos(2a;) + J5₂sin(2ic)] +    (13³#³

+ 18.13²rr² + 138.13 a; + 360). Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

(21.)

d±y

dx⁴

— a⁴y — cxs

integrieren.

Auflösung. Hier hat die charakteristische Gleichung

(22.)

F(r) — r⁴ — a⁴ = 0

die Wurzeln

(23.) n = + a, r₂ =

(24.)

rs = + ai, r\ = — ai. Dies gibt F\r) — 4r⁸ und deshalb F'(n) = 4a³,

F'(r₂) = — 4a³, F'(r$) = — 4a³i, F\r±) — -f- 4 aH. Die Formel Nr. 327 der Tabelle gibt daher

(25.) y

=£> (c'+cjt'Se~'‘,dt)

0

x

(Cfi-\-cJth-r**dt^ + 4aV^ ( ^+cßh-^dt ^

o    o

— 4a³i

— 4a³

(c₂+cjtse^ri‘dt')

o

also mit Rücksicht auf Gleichung (1.)

setzt (27.) y = Aie«* + A₂e-«* -f A₃e«« -fi A₄e-«**

Q

+ ^—7 \x\ — n³ -fi r₂³ — ir₃³ -j- fir₄³)

+ 3a:²(— n² -fi r₂² — ir₃² -fi *r₄²)

+ 6a(— n -fi r₂ — ir₃ -fi in) -fi (— 6 -fi 6 — 6i -fi 6i)]. Dabei ist, wenn man A₃ -fi A₄ mit Bi und (As — Ai)i mit B% bezeichnet,

A₃emx A\e~alx — A₃[cos(aa:)-fi i sin(aa?)] -fiA₄[cos(aa:) — isin(aa:)] = Bi cos(aa;) -f- Bz sin(aa:) ;

— n³ + r₂³ — in³ -fi in³ = — a³ — a³ — a³ — a³ = — 4a³, — ri² -fi r₂² — in2, -fi in² = — a² -fi a² -fi a²i — aH = 0 -n+ ^2 — «V₃ -fi ir₄ = — a — a -fi a -fi a = 0, folglich geht Gleichung (27.) über in

cx³

(28.) y = A\eax -fi Aze~ax -fi B\ cos(ax) -j- Bz sin(aa:) —

man

Die vorstehenden Aufgaben zeigen ohne weiteres, daß das Endresultat noch auf einfacherem Wege finden kann, wenn <p{x) eine ganze rationale Funktion nten Grades

ist. Aus Formel Nr. 327 der Tabelle und folgt nämlich, daß

(26.) y = (Cieri* — C₂er^ + iCaer* — iCief*)

> ° r (x‘,.8?!, ³-2a

‘ 4a³ L v*i n² n³

/a?³    3a:² . 3.2a;

\r*> "⁴~ r»²

3.2.1

Tl⁴

)+

eT**

r₂³

3.2.1\

r₂⁴ )

./x³ . 3a;²

*(-

\r,3

3.2a: r₃²    r₃³

3.2a:

ri²    ri³

3a;²

T er*x

3.2.1\ , \i

*~) rs*

£ co

3!i

oder, wenn man

s^+^O-ś*(G,+^) = A’

+V)-

^+so-

ïka+^)=^

er**

r₄⁴

A₂

aus Gleichung (3 a.)

(29.)

y = v -f T

zusammengesetzt ist aus dem allgemeinen Integral v — c\eriX -f- c₂er-x -f- • • • -f- cmermx, der homogenen Differential-Gleichung (31.) yW -f-    -f f>y(m~-) _j-----1-    + fmy = 0

und aus einem partikulären Integral Y der nicht homogenen Differential-Gleichung, und daß dabei Y, wenn man von den Gliedern absieht, die sich mit den Gliedern von v vereinigen lassen, die Form

(32.) Y = boxn + b\xn~l -f b₂xn~² -f----(- bn-Xx bn

hat, wobei öo, b\, b₂,. .. b Koeffizienten sind. Diese Koeffizienten kann man aber der Reihe nach leicht berechnen, wenn man aus Gleichung (32.) F/, Y",... Y^ bildet und die gefundenen Werte in die Differential - Gleichung

(33.) FW +/i F—« +f₂K—²> + • • • +/•*_!Y'+fmY = <p(x)

einsetzt. Dann müssen die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiten der sich daraus ergebenden Gleichung einander gleich sein. Das gibt n -j- 1 lineare Gleichungen mit n + 1 Unbekannten, die man mit leichter Mühe auflösen kann.

(30.)

bn zunächst noch unbestimmte

t'l

«1 *

Wie dies gemeint ist, möge die Behandlung der bereits gelösten Aufgaben zeigen.

Bei Aufgabe 1 handelte es sich um die Differential-

Gleichung

(34.)

d*y

dx²

%r + by = c.x».

Deshalb setzt man in diesem Falle

»—i

(35.) Y — boxM -\-bix

+ bixn~² Ą-----b bn-₂x² + bM-xx + bn,

(36.) Y/ = nboxn~l -f- (n — l)bixn~² -f- (n — Yjb2'Xn~³ -j----

-f- 'Ybn—2.x -f- bn_!,

(37.) Y" = n(n — l)boxn~² -j- (n — 1 )(n — Y)b\xn~^

+ (» — 2) (n — Z)b₂xn-^ -|-----b 2.1. &„_₂,

also

Kiepert, Integral - Rechnung.

52

(38.) Z" + 2aY' + bY= bUxn + (bh + 2nabo)x”~1 -f- [bb-2 + 2 (n — l)abi + n(n — l)6o]x -f- [èÔ3+2(n—2)ab₂-\-{n—1 )(n—2)ôi]x

H---• = CXH.

n—à

(39.) b₀ =

Daraus folgt in Übereinstimmung mit Gleichung (10 a.)

2nac

■ , „ ■ ?

bi = ~

b₂ =

n(n — l)c

Dies gibt für das Zahlenbeispiel in Gleichung (11.) bei dem n — 2, 2a — — 9, b = 20 und c = 4000 war, in Übereinstimmung mit Gleichung (14.)

⁴⁰⁰⁰ _ ono h 20 ■J°0, 61

2.1.4000

2.9.4000 *

400

= 180

6a =

8000

(81 —20) = 61.

Bei dem anderen Zahlenbeispiele war die Differential-Gleichung

dy

TS

— ^dx    ~ cxä

gegeben. Deshalb setzt man

1 = boXä -f- b\x“ -f- b2X -f- 63 j    Y/ — 3&oX“ 2bix -|- 62

Y" — Qbox -j- 2bi

und erhält

Y" _ 6 Y' + 13 Y = 13ôox³ + (13ôi — 18b₀)x²

+ (136₂ —126i + 6ô₀)x + (13ô₃ — 6è₂ + 2bi) = ex³.

(40.)

Daraus folgt in Übereinstimmung mit Gleichung (20.)

138c

13

CO! 00

b₂ =

T3 3 7 h==

360c

13⁴

Bei Aufgabe 2 war die Differential-Gleichung — a^y = ex³

d±y

doŸ

gegeben. Deshalb wird

(41.)

Y = ôox³ -j- hx² -f- b₂x -f 68j DO) = 0.

Setzt man diese Werte in die Gleichung (40.) ein, so

erhält man

(42.) 1    — ai Y — — (Yb ox³ — Ybix² — a%₂x — Ybs — cx³

§il40. Lineare Diff.-Gleicłmiigen mit konstanten Koeffizienten. 819 und daraus folgt in Übereinstimmung mit Gleichung (28.)

(43.)

Wenn von den Wurzeln r\\ n,.. .rm der charakteristischen Gleichung etliche einander gleich sind, so kommt Formel Nr. 328 der Tabelle in Betracht. Man kann aber auch in

b\ — 0,    &2 = 0, Ô3 = 0.

diesem Falle, wenn cp(x) eine ganze rationale Funktion nten Grades ist, die ziemlich umständliche Rechnung, welche die Anwendung dieser Formel erfordern würde, durch die vorhin angegebene Methode der unbestimmten Koeffizienten vermeiden. Hat man nämlich nach Gleichung (33.) des vorhergehenden Paragraphen das allgemeine Integral der homogenen Differential-Gleichung gefunden, so kommt es nach dem Hauptsatz in § 138 nur noch darauf an, ein partikuläres Integral der nicht homogenen Differential - Gleichung zu finden, und das kann man wieder in der Form

Y = boxn -f bixn~¹ -1-----b ln-\x + bn

ansetzen. Indem man die sich daraus ergebenden Werte von F, F/, ... Y^m~l),    in die nicht homogene Diffe

rential-Gleichung einsetzt und die gleichstelligen Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung miteinander vergleicht, findet man ohne Schwierigkeit die Werte von bo, bi, ... bn_i, bn der Reihe nach.

Wie einfach sich dabei die Rechnung gestaltet, möge die folgende Aufgabe zeigen.

Aufgabe 3. Man soll die Differential-Gleichung

<⁴⁴-> 0-⁸B+i8S-²⁷*'=³*²+⁶*+⁸ integrieren.

(45.)

Auflösung, Die charakteristische Gleichung F(r) = r⁴ — 8r³ -|- 18r² — 27 = 0

hat die Wurzeln

(46.)

n = r-2 = n = 3

folglich findet man für die homogene Differential-Gleichung das allgemeine Integral

(47.)

v = {ci + c-ix + czx²)e?x 4 c\e~x.

Ein partikuläres Integral Y der nicht homogenen Differential-Gleichung findet man, indem man (48.) Y = box² + hx + h, Y' = 2b₀x +• bi, Y" = 26₀, Y‘“ = 0,    F⁽⁴⁾ = 0

in die Differential-Gleichung

y(4) _ sr'" -f 18 Y" — 27 E = 3x² + 5z -f 8 einsetzt. Dadurch erhält man

— 27box² — 27bix -f- (366o — 27bi) = 3x² -f-    + 8.

Daraus findet man durch Gleichsetzen der gleichstelligen Koeffizienten

(49.)

6o = — Deshalb ist

¹ h    '

9’ Jl = “27

(50.)

ein partikuläres und

(51.) y — (ci -{-    + C‘iX-)êix + Cie~x —

Î7

x²    5#

27

das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung.

Fall II. Ist (p{x) eine Exponential-Funktion, ist also <p{x) — ce

so kann man ebenfalls ein partikuläres Integral Y der nicht homogenen Differential-Gleichung sehr leicht ermitteln. Unter der Voraussetzung, daß die Wurzeln n, r^y...rm der charakteristischen Gleichung voneinander und auch von a verschieden sind, wird nach Formel Kr. 327 der Tabelle

(52.)

za

X    X

* r er& C    er*x C

c lwör~rm⁺+

0    N    0

ermx

F\rm)

g(« rm>tdt

•I

enx

F'(n)(a — n)

(eta-rù*-1)

g r₂x

+ -• +

wobei man den Ausdruck

F'(ri)(a — r₂) ermx

F {rm)(a r.m)

(g(«*~r₂)x— 1)

(e^a~rm)x — 1)

erxx

Qr₂.r

H-----h

ermx

F\rm)(a — rm).

F'(n)(a— r\)    F\r->){a — r₂)

noch mit dem allgemeinen Integral

v = cier** + c₂er** -|-----cmermx

der homogenen Differential -Gleichung vereinigen und hier, wo es sich nur um ein partikuläres Integral der nicht homogenen Gleichung handelt, fortlassen kann. Dann bleibt für das hier gesuchte partikuläre Integral der Ausdruck

(53.)

Y = ceax

_F'(n)(a — n) F\r₂)(a — r₂)

F/(rm)(a — rm)

Für den konstanten Ausdruck in der eckigen Klammer findet man noch leicht den folgenden einfacheren Wert. Da Y die Form Aeax hat, so erhält man durch Einsetzen der Werte

Y = Aeax, Y⁴ = Aaeax, Y“ = Aa²eax, ... YW = Aame(lx in die Differential-Gleichung

Y(m) + h + • • • + fm-ü YJ + fm Y = cer*

die Gleichung

(54.)

AeaxF{a) = ceax. also A — —7—

F (a)

Dieser Wert von A stimmt in der Tat mit dem in Gleichung (53.) gefundenen überein, denn nach den Regeln der Partialbruch-Zerlegung (vergl. Formel Nr. 144 der Tabelle) wird

F'(n) x —

(55,) F(x) ⁼ F\n)

F'(rm) x — r,n

(53 a.)

Auch hier bleibt die Formel

TA    c

Y = e°x

F(a)

man

822 § 140. Lineare Diff.-Grleicliungen mit konstanten Koeffizienten.

aus den vorstehenden Ausführungen ersieht. Dagegen muß die Voraussetzung, daß a von n, . .. rm verschieden ist, aufrecht erhalten bleiben.

Wenn a eine Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, und zwar möge sogleich vorausgesetzt werden, daß a eine cc-fache Wurzel sei, so kann Gleichung (53a.) schon aus dem Grunde, weil F{a) gleich Null wird, nicht mehr gelten. In diesem Falle setze man

(56.)

Y = Aeax. x“, also Y‘ — Aeax(axa -f- <xxa~l),

Y“ — Aeax\a²xa -f- 2aaxa~¹ -f- «(« — l)xa~-\,

Yu/ = Aeax\a^xa -j- 3 aa?xa~l -f- 3a(a — 1 )axa~²

+ a(a — 1)(« — 2)a?“-³]

folglich wird

T(») ₊ ft Y(m-1) ₊ /ä rtw + . . . + Y> + f,n Y = A^'\x“F(a) + xa~¹F\a) -----h xF^\a) + F'“>(a)] = ce*‘.

Nun ist aber nach Voraussetzung a eine a- fache Wurzel der Gleichung F(r) = 0, folglich wird F(a) = 0, F\a) = 0, ,.. F^\a) =. 0,

so daß man erhält

(57.)

AeaxF^a\a) = ceax, also A — ~

F^Ha)

(58.)

Y=—^_

F^\a)

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(59.)

d²y

dy

integrieren.

(60.)

Auflösung. Hier hat die charakteristische Gleichung F{r) = r² -j- 4r + 5 = 0

die Wurzeln

n = — 2 + i und r₂ = — 2 — i,

folglich findet man für das allgemeine Integral der homogenen Gleichung

Ferner ist liier a = 2 und F (a) == 17, also Y =

c&x

Dies gibt für das allgemeine Integral der nicht homogenen Gleichung

(62.)

y — v -j- Y = e~2x(ci cos x + c-i sin x) + —- •

Aufgabe 5. Man soll die Differential-Gleichung

(63.)

dhy

dy

dxs

integrieren.

Auflösung. Die charakteristische Gleichung

(64.)

F(r) = r³ — 5r² + 3r + 9 = 0

hat die Wurzeln

(65.)

n = V2 — 3

r₃ = — 1

folglich wird das allgemeine Integral der homogenen Gleichung

(66.)

v = e?x(cx + c*x) + e~x.

Da a denselben Wert hat wie die beiden gleichen Wurzeln n und r2, so wird in diesem Falle das in Gleichung (58.) aufgeführte partikuläre Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung

(67.)

Y = Ax~. eax =

cx²

éix =

cx-

F"(a)

denn es ist F'\a) = 6a — 10 = 8. In der Tat, aus Gleichung (67.) folgt

Y‘ = 4 (3x2 + 2x)<?x, Y" = ö (9a;2 + 12x + 2)<+,

O    ö

00! «

Yw =    (27x² + 54x +

also

F'" — 5F" + 3F' + 9F

- 4 [(27—45 + 9 + 9)z² -f (54—60+6)2; + (18 - lOjje⁸* = ce³*.

Fall III. Ist

(68.)

<p{x) = eax(coxn + cixn~l -|----+ cn_xx + cn),

so setze man in die vorgelegte Differential - Gleichung ein, die dadurch nach Fortlassung des gemeinsamen Faktors eax übergeht in

(70.) zM + gi z(™~V + g%z^m~V -j-----gm-xz‘ 4~ gmz

= coxn 4- ax*¹-¹ H-----f- <?«_xx 4- c„,

wobei

(71.)    ,₂ = /₂₊(™-¹)Aœ+Qa3

^3 = /s 4- x ²)/2ö 4-₂    + (3 )«³, • • •

ist. Dadurch ist dieser Fall auf den Fall I zurückgeführt, d. h. ein partikuläres Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung hat die Form

(72.) Y = e?x{hx» 4- hx»-¹ 4-----J- hn_xX 4- bn\

wobei man die unbestimmten Koeffizienten 6₀, bx,...bn durch Einsetzen ohne Schwierigkeit bestimmen kann. Vorausgesetzt ist dabei, daß a von den Wurzeln der charakteristischen Gleichung verschieden ist.

(73.)

— 6 = e—x(%x² 4- 5a; 4- 8)

Aufgabe 6. Man soll die Differential-Gleichung dx³    dx²    dx

integrieren.

(74.)

(69.)

y — eaæ. z, also y‘ = e^(0' -j- az\ y" = e?*{z“ + 2 az‘ + a²z),

=    3æ0//    3æ2₀/ 4. ah),...

y(.>h) —— q(IX

«SS

z{m) _J_ ^^az^m~l) -(-----|-

am~¹zi Ą-amz

Auflösung. Die charakteristische Gleichung F(r) = r³ — 6r² 4- llr — 6 = 0

hat die Wurzeln

rx = 1,

die sämtlich von a = — 1 verschieden sind, folglich ist das allgemeine Integral der homogenen Differential - Gleichung

v = cxex 4~ c^e2x -f- cs$x,

(75.)

(76.)

r% = 2

n — 3,

und ein partikuläres Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung hat die Form

(77.)

Y = e~x(box² -f- fax + 62).

Dies gibt

Y> = 6 x [— box² -f- (2&o — b\)x (61 — 62)],

3    =    e~x    [ -j- box² -j- (— 4bo -j- b\)x -f- (25o — 26i -f- 62)] j

Y'" = er* [ — box² -f (+ 66₀ — h)x -f- (— 6ö₀ -f- 36i — 62)], also

Y'" — ßY" + 11Y' — 6Y

= e~* [_ 24b₀x² + (52öo — 24bi)x -f- (— I860 + 26öi — 24ö₂)] = e~x(2x² -f- 5x + 8) •

Hieraus findet man durch Gleichsetzung der gleichstelligen Koeffizienten ohne weiteres

(78.)

12’

18’

b‘2 = —

LO co

also

e~x(36x² + 168a; + 299).

Von der Richtigkeit kann man sich durch Einsetzen leicht überzeugen.

(79.)

Ist

(p{x) = eax{coxn -f c\xn~x H-----f- cn_iX -f cn)

und a eine «-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung Fir) — 0, so wird

(80.)

F(a) = 0, F'(a) = 0, ... F(*~x\a) = 0.

Deshalb kommt man in diesem Falle zum Ziele, ■wenn man

(81.) Y = eax(boxn+a + b\xn+a~l-\-----bn+a-ix -f bn+a)

setzt. Ja es genügt sogar,

(81a.) Y = eax(boxn+a -f- bixn+a-x -j-----[-    ix“⁺¹ -(- bnxa)

zu setzen, denn die Glieder bn+ixa~x ----{- bn+a_xx -f- bn+a

der ver-

geben, wie sogleich gezeigt werden soll, beim Einsetzen in die Differential-Gleichung einen Ausdruck schwindet. Setzt man nämlich

F = i)(m) + i)    -j-...

+ fm—2VU + fm—\V‘ + fmP,

Fi — mv("i_1) + im — 1 )fiv(m~²') + (m — 2)/+w~³'

(84.)

+ %fm—2V‘ + fm—lV,

Fa = m(m —    ²) + (m — 1 )(m —- 2)/it+*—3)

+ (m — 2 ){m — 3)/2V^~⁴) + ■ • •

~b 3 • 2 fm—aV‘ -{- 2 . l/+_<iv,

ist. Setzt man insbesondere

u — G(x) und v = e% also i?W = ax .

so wird

V = e?x[am + fia»¹-¹ + f₂am~² -|----

¹

Von der Richtigkeit dieser Formel kann man sich leicht überzeugen, indem man beide Seiten der Gleichung nach t differenziert.

+ fm—2<Z² + fm—ld + fm] ~    • F(a)i

Fi = e?x\mani-¹ + {m — l)fiam~² + (m — 2)f₂am~³ + • • + %fm—2® + fm—l] =    • F‘{a),

V₂ = eax\w{m— l)am~² -f- (m — l)(m — 2)/ia®*—'³

+ (w — 2)(m — 3) f2dm~⁴ -j----

+ 3.2fm-₂a + 2.1. fm_₂] = e«*. ^"(a),

Deshalb geht Gleichung (83.) über in

(85.) zw + fl Y*—V + h Y(™-y + •. • + fm-! Y‘ + fm Y

= e" [>(o) G(x) + ^ G\x) +    <?"(*) + ■■■

Q(m\x) .

so wird nach den Ausführungen in § 137 (vergl. Gleichung (55.) bis (61.))

(83.) r«) + fi Y«*-V + h r(m~²⁾ + • ■• ■• + fm-i Y' + fm Y = Vu + ~ Viu' + ~

1!

2 r Yzu" h-----1

(m — 1)!

wobei

F^m\a)

Ist a eine a-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung F(r) — 0, gelten also die Gleichungen (80.), so fallen in der eckigen Klammer die ersten a Glieder fort. Ist z. B. G[x) eine ganze rationale Funktion, deren Grad niedriger ist als a, so verschwindet der Ausdruck in der eckigen Klammer; und ist G{x) eine ganze rationale Funktion vom Grade n -f- «, so ist der Ausdruck in der eckigen Klammer eine ganze rationale Funktion nten Grades, in welche nur die Koeffizienten derjenigen Potenzen von x in G{x) eingehen, deren Exponent ^ a ist,

+ 16^ — 12y = elr(8x² + 15a: + 23)

(86.)

dx²

Aufgabe 7. Man soll die Differential-Gleichung d*y nd²y dx3    7 ’ "

integrieren.

(87.)

Auflösung. Die charakteristische Gleichung F(r) = rs — 7r² -f- 16r — 12 = 0

hat die Wurzeln

(88.)

n — 3;

die Größe a = 2 ist hier also eine zweifache Wurzel von

F(r) = 0. Deshalb muß man setzen

(89.)

Y = e2x(box^ -f- 6ia;³ -f- b%x²); dann wird nach Gleichung (85.)

(90.)

F'" — 7F" + 16F' — 12F

=    . G{x) + G\x) +    G‘\x) + *^G'"(x)]

oder, da

F{a) = 0, F\a) = 0, F“(a) = 6a — 14 = — 2, F"\a) = 6, G{x) = box⁴ -f- 6ia:³ -(- 6₂a:², ^'(a:) = 46oa:³ + 3&ia:² -}- 2b»x, G‘\x) = 126₀a;² + 66ia: + 26₂, G"'(a:) = 24 b₀x + 6bi ist,

(90 a.)

Y‘“ — 7 Y“ + 16F' — 12F == e2x[(— 12box² — 6bix — 2 6₂) + (24box + 66i)]

= e2x[— 12 b₀x² + (— 6Ô! + 24:bo)x + (— 2 b₂ + 660] = e2x(8x² + 15a: + 23).

Durch. Gleichsetzen der gleichstelligen Koeffizienten auf den rechten Seiten der Gleichungen (90 a.) und (86.) findet man

also

(91.)

6&i — 2b> = 23,

h = — -₆ i 02 =-27,

Y = e2x(— | Ż* — y 2C³ — 27a;²).

— 126o = 8, 24io — 66i = 15

6o = —

co

Fall IV. Ist go(fl?) = gpi(aj) + 9>2(a0, wobei

9>i(<r) = e?x{coxn + eia;”“¹ Ą-----\- cn~xx -f cn),

9>s(<a?) = eöx(doxp + d\xp~v -j-----\- dp—xx -f- dp)

ist, so bestimme man nach den vorstehenden Regeln, die partikulären Integrale Yi und F₂ der beiden nicht homogenen Differential-Gleichungen

(92.)

y{m) _|_ fiy(m-1) _j-----1_ fm_xy‘ -f fmy = <pX(X),

(93.)

y{m) + f\y(m~x) H-----h fm-iy‘ + fmy = '^(x)

und setze

(94.)

F = Yi+ r₂.

Von der Richtigkeit kann man sich unmittelbar dadurch überzeugen, daß man die Werte von Yi und Y> bezw. in die Gleichungen (92.) und (93.) einsetzt und dann die beiden Gleichungen addiert. Man erkennt auch ohne weiteres, wie man diese Überlegung auf den Fall übertragen kann, wo (p{x) die Summe von 3, oder 4, oder noch mehr solchen Ausdrücken (piix), <p₂{x), (pz(x),... ist. Es gilt also ganz allgemein der

T = Yi + F₂+ F3 -j----

Satz. Ist (fix) die Summe der Funktionen <p\(x). (p->(x\ <pz(x),..., und sind Fi, F2, F3,... partikuläre Integrale der Differential-Gleichungen, die aus der ursprünglichen entstehen, indem man (fix) bezw. durch (p\{x), <p₂(x), (p:>,(x),... ersetzt, so ist (94 a.)

ein partikuläres Integral der ursprünglichen Differential-Gleichung.

Fall V. Ist

(95.) rp{x) = (coxn -J- c\xn~x -|-----f- cn-ix -f cn)cos(ax)

so beachte man, daß

cos(ax) = \(eflxi + e~axi)

ist. Deshalb kann man den vorliegenden Fall auf den vorhergehenden zurückführen, wobei allerdings ax mit aix und bx mit — aix vertauscht worden ist. Sind ai und — ai von den Wurzeln n, r->T... rm der charakteristischen Gleichung verschieden, so hat F nach den Angaben in den Fällen III und IV die Form

Y = eaix(boxn -b h\xn~x -|-----1- px -}- bn)

+ e~aïx(bo‘xn + bi'x”-¹ H-----b K-ix + bH%

oder wegen der Gleichungen

eaix _ cos(ax) ~b «sin(ax), e~aix = cos(aa;) — isin(«ar)

(96.) Y = (Aoxn -f- A\xn~l +----b An—\x + An)cos(ax)

+ (Boxn + B\xn~l -|-----b Bn-ix + 2?„)sin(a:r).

Sind dagegen ai und —ai a-fache Wurzeln der charakteristischen Gleichung, so hat Y die Form

(97.) Y = (Aoxn+a+Aixn+a-r-\-----b^«-i^“⁺¹+^«æ“)cos(ax)

+ (Boxn+a-\-Bixn+a-¹ -|-----\-Bn-₁xa+1-\-Bnxa)sm(ax)

Die unbestimmten Koeffizienten Ao, Ai,...An, Bo, Bi,...Bn findet man, indem man Y¹, Y",... YW bildet, in die vorgelegte Differential - Gleichung einsetzt und dann die gleichstelligen Koeffizienten einander gleich macht.

d²y dx²

(98.)

Aufgabe 8. Man soll die Differential-Gleichung -b b²y = xcos(ax)

integrieren.

Auflösung. Unter der Voraussetzung, daß    ist, setze man also

Y‘ — \Bax 4- (A + i?ia)]cos(a:r)

-f [— Aax + (— Aia + i?)]sin(aæ)

Y“ = [— Aa²x -f- (— Aia² + 2jBa)]cos(ax)

-}- [— Ba²x + (— 2 Aa — B\a²)\ sin (ax),

folglich, ist

Y“ -f- b²Y — [A(b² — a²)x -f- Ai(b² — a²) -j- 2Ba\o,os(ax) -f- [B(b² — a²)x + B\(b² — a²) — 2 Aa] sin (ax) = xcos(ax).

B(b² — a²) = 0,

Durch Gleichsetzung der gleichstelligen Koeffizienten findet man daher A(b² — a²) — 1

Ai(b² — a²) + 2Ba = 0, Bi(b² — a²) — 2Aa = 0 ;

dies gibt

b² — a²

(100.)    . A= ¹

Bi =

2 Aa

2a

b² — a²

(b² — a²)²

also für das partikuläre Integral

(101.)

xc,os(ax) , 2asin(ax) b² — a² + (b²-a²) '

und das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung wird

* (102.)

y = Ci cos(6a?) + Cz sin(èæ) Ą

a? cos (ax) , 2a&in(ax)

h²^

b²

(b² — a²)²

Aufgabe 9. Man soll die Diff erential - Gleichung

-j- b²y — xcos (bx)

(103.)

integrieren.

Auflösung. Da hier -{- bi und — bi Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind, so folgt aus den früheren Ausführungen, daß man

(104.) Y = (Ax² + Aix)cos(bx) -j- (Bx² -f- Bix)sin(bx) setzen muß. Dies gibt

Y‘ — [Bbx² -f- (2A + Bxb)x -j- Ai] cos(J:z)

+ [— Abx² -f- (2B — A\b)x + i?i]sin(frr),

Y“ = [—Ab²x² + (4_B6 —Aib²)x -f- (2 A -f- 2_Z?iô)] cos(bx) + [— Bb²x² + (— 4 Ab —Bib^x -j- (2 B—2 A\b)] sin (bx),

folglich wird (105.) Y“ + b²Y= [±Bbx + (2A + 2Bib)] cos(bx)

-j- [—4AbxA~(2B—2J.iè)]sin(for) = xcos (bx). Durch Gleichsetzung der gleichstelligen Koeffizienten findet man daraus

4Bb = 1, — 4Ab = 0,2A + %Bxb = 0, 2B— 2Axb = 0, also

<¹⁰⁶-) B - U’ Ä - 0- Bl “ °- Äl = J = 445'

Das partikuläre Integral ist daher

(107.)

~ [x cos (bx) -j- &r²sin(öa?)].

Man erkennt ohne weiteres, daß man dieselben Schlüsse durchführen kann, wenn

(108.)    <p{x) — (coXn -j- c\xn~l -f----j- cn—ix -f- cw)sin(a£c)

<f{x) — G(x)cos(ax) -f- H(x)sm(ax) gegeben ist, wobei G(x) und H{x) ganze rationale Funktionen sein sollen. Ja, man kann die Methode auch noch anwen

ist, und daß man schließlich auch die Methode der unbestimmten Koeffizienten anwenden kann, wenn (109.)

den, wenn

(110.)

(p(x) = ćri(:r)cos(aix) -f- .ZZi(rr)sin(aix) + GAx)vos(a-ix) -f- Hz{x) sin(aox)

ist, wobei Gi(x), G-Ax),... ifi(x), if₂(^),... wieder ganze rationale Funktionen sind.

Aufgabe 10. Man soll die Differential-Gleichung

(111.)

d²y

dy

dx²

-\r    + by — c[l — cos(n;z)]

Auflösung. Unter der Voraussetzung, daß die Wurzeln n und r-2 der charakteristischen Gleichung

(112.)

(113.)

also

F(r) = r² -f- 2ar + b — 0 von -f- ni und — ni verschieden sind, wird man setzen Y — A -f- Bcos(nx) -f- Csin(nx),

YJ = — Bnsm(nx) + Cnc,os(nx), Yu — — Bn²cos(nx) — Cn²sin(nx),

folglich wird

(114.) Y“ + 2a Y' + b Y = Ab + [JB(— n² + 6) + 2 Can] cos(n^) + [C(—n²-\-b)—2Ban] sin(wx) = c[l—cos(nrr)].

Durch Gleichsetzung der gleichstelligen Koeffizienten

findet man

(115.) A =

(7 =

also

c(n² — b)

n⁴ -f 2(2a² — b)n² -f- b2 — 2 acn

n⁴ + 2(2o² — b)n² -f- b² ’

(116.) Y =

0-1 o

c[(n² — 6) cos(w:r) — 2ansm{nx)\

w⁴ -f- 2 (2a² — 6)w² -f- b²

v = Gier*-* -f- C->er*x,

Dabei ist das allgemeine Integral der homogenen Differential- Gleichung (117.)

oder, wenn

ist,

n — a -f- ßi, r2 = a — ßi

(118.)

v — eax[A\ cos(ßx) 4- A%sin(/ftc)].

y = v 4- Y.

Aufgabe 11. Man soll die Differential-Gleichung

Das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung ist dann (119.)

(120.)    4~ (fl² 4" ^²)    4“ a²b²y == cos (ax) — cos(frr)

Auflösung. Die charakteristische Gleichung (121.) F(r) = r⁴ -j- (a² -f- 6²)r² +    — (r² + «²)(^² -j- 6²) = 0

hat die Wurzeln

(122.) r\ = -f- aż, r₂ = — aż, r₃ = -f- 6Ż, r₄ = — 6Ż; deshalb muß man setzen

(123.) Y = Ax cos (ax) + Bx sin (ax) -f- Cx cos (bx) -j- Dx sin(6a;). Daraus folgt dann

Y‘ = (Bax -f- J)cos(a:r) -f- (— Aax -f- B)sm(ax)

-|- (Dbx + C)cos(bx) -|- (— Cbx -f- D)sin(6ic), ;

Y" = (— Aa²x -{- 2Ba)cos(ax) -|- (— Ba²x — 2 Ja) sin (aas)

-f- (— Cb²x -f- 2D6)cos(6a:) -f- (— Db²x — 2 Cb) sin (bx),

Y“‘ — (— Ba³x — 3Ja²)cos(a#) -f- (+ Aa³x — 3_Ba²)sin(a:r)

-f- (— Db³x — 2>Cb²)aos{bx) -f- (+ Cb³x — 3D6²)sin(6:r), Y® = (Aa⁴x— 4_Z?a³)cos(a:r) -j- (+ Ba⁴x -f- 4Ja³)sin(a:r)

-f- (Cb⁴x — 4Bb³)cos(bx) -f- (-f- JDb⁴x -f- 4 Cb³) sin (bx).

Dies gibt

y(4) + (a2 ₊ b²)Y" -ha²b² Y

= 2Ba(— a² fi- b²)cos(ax) -f- 2Aa(a² — 6²)sin(a:r) -f- 2Bb(— b² + a²)cos(6:r) -f- 2Cb(b² — a²)sin(6;r) = cos (ax) — cos(foe).

Durch Vergleichung der gleichstelligen Koeffizienten

findet man

2Ja(a² — è²)    0,

2C6(6² — a²) = 0

— 2 Ba(a² — 6²) = 1,

2 Db(— b² + a²) = — 1

also

(124.)

2a (a² — b²)

0=0, D =

26 (a² — b²) '

(125.)

x [6 sin (ax) -f- a sin (bx)\

2a6(a² — b²)

Das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist daher

Kiepert, Integral- Rechnung.

(126.) y — Ci cos(ax) + 62 sin(a:r) -f- C3 cos(bx) -f- C4sin(for)

x\bsm.{ax) -j- asin(for)]

2aö(a² — 6²)

Fall VI. Ist G(x) wieder eine ganze rationale Funk

tion und

cp{x) — G{x) cos¹nx, oder <p(x) = G(x)smnx,

(127.)

so kann man diesen Fall auf Fall Y zurückführen, weil nach den Moivresehen Formeln (vergl. D.-R., 12. Auflage, Formel Nr. 190 bis 193 der Tabelle) 22w(cosy)2w = 2cos(2n<p) -j- ^n^2cos(2w — 2)(p

"j-( <^2cos(2w — 4 )<p + • • •

+C!!i)2o«s^)+C)

2²^⁺i(COSgp)2w+i = 2cos(2w -j- l)y

+    + ^2cos(2n

+CT— ₁¹)2cos(39⁾)+(2w^ ¹)2c°s v

(— l)n 22w(sin <p)2w = 2cos(2wy)

—Ci)2cos{2n—^ ^    ^    ’ ‘ *

+ (-    ₁)2cos(2₉) + (- 1)”(²J),

(— l)w22w+¹(sinçD)2w+1 = 2sin(2n + 1 )<p

— (2n + ¹)2sin(2w — l)y -----

4" (— l)”⁻¹ (^— i")2 sin(3?))

+ (— 1)* (2n^~ ^2 siny

ist.

§ 141.

Zurückführung der linearen Differential-Gleichungen mter Ordnung auf lineare Differential-Gleichungen niedrigerer Ordnung, wenn partikuläre Integrale bekannt sind.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 335 und 336.)

Die in Formel Nr. 327 der Tabelle angegebene Lösung gilt nur, wenn die Koeffizienten f\, /g,... fm konstante Größen sind. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, so gelingt es doch, in vielen Fällen, die Differential-Gleichung

dmy dxm

(1.)

+ Hx)

dm~xy

dxm~l

dy

“t“ " ” “h ff'n—i(x) ^ d⁻ f. y — <p{x)

von der mten Ordnung auf eine niedrigere Ordnung zu reduzieren. Es geschieht dies nach Lagrange durch „ Variation der Konstanten“. Ist z. B. y = y\ ein partikuläres Integral der homogenen Differential - Gleichung dmy dxm

so setze man

(2.)

+ f\{x)

dxm~l

dy

H-----(“ fm—X+ fm(x) ■ y — 0,

y = Cyi.

Solange C einen konstanten Wert hat, ist Gleichung (3.) eine partikuläre Lösung der homogenen Differential-Gleichung (2.). Jetzt fasse man aber C als eine Funktion von x auf und versuche, diese Funktion so zu bestimmen, daß

V = Cyx

eine Lösung der nicht homogenen Differential-Gleichung (1.) wird. Dann erhält man

(3.)

dy

dC

dyi

dx^ C dx ’

d²y

d²C

(4.) dx²

dx²

dyi dC dx dx

, rd2yi

+cn.

•    ni

*    ^2 ^

dmC

yx dxm

+(T)

dyi dm~¹C dx dxm~l

dmyv

âxm

Setzt man diese Werte in Gleichung (1.) ein und beachtet, daß nach Voraussetzung der Faktor von 0 schwindet, so bleibt eine Gleichung von der Form

dmC hx™

Führt man also die Funktion u durch die Gleichungen

(5.) yi

+ 9lx)

d™~xC

dx™~

ver-

dC

(6.)

dC

dx

— u, oder C = Judx -f- A

ein, so erhält man aus Gleichung (5.)

d™~2U dx™~

(7.)    y 1

dm-yu

dx™-¹

+ 9i{x)

^ H-----h gm- iN • u = <p(x).

Aus dem allgemeinen Integral u dieser Differential-Gleichung, die nur noch von der (m — l)ten Ordnung ist, findet man das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung (1.) durch die Gleichung

oo

y = yxCfudx + A).

Ebenso kann man die Ordnung der Differential-Gleichung (1.) um zwei Einheiten erniedrigen, wenn man zwei partikuläre Integrale yi und y₂ der homogenen Differential-Gleichung (2.) kennt. Man setze dann

.<90

y = Ciyi + C₂y₂.

Solange man C± und C₂ als Konstante ansieht, ist y eine Lösung der homogenen Differential - Gleichung (2.). Jetzt betrachte man aber Ci und C₂ als Funktionen von x und versuche, diese Funktionen so zu bestimmen, daß Gleichung (9.) eine Lösung der nicht homogenen Differential-Gleichung (1.) wird. Da dies nur eine Bedingung für die beiden Funktionen Ci und C₂ vorstellt, darf man noch eine Bedingung für sie vorschreiben. Als solche wähle man die Gleichung

dC\ dC₂

⁽¹°0fi    +

oder

dC₂

dx

lh dCi y ₂ dx

Vi

Bezeichnet man dabei — —

mit (px(x), so folgt aus den

Gleichungen (9.) und (10.)

(11.)

dC₂

dx -    ■

dCx dx ’

dy = G dyx

dy2

dx

dx

d²y

fl 2.)    dx²

= C\

d²yx

dx2.

+ C₂

d%

dx²

+ <P2(x) •

dC\

dx

d³y

da?

= Ci

dsyi

d³y₂

d²Ci

dCi

dx?

dx²

⁺ ^x)-~dï’

wobei <p2(2;), (p-dx),... leicht zu ermittelnde Funktionen von x sind. Setzt man diese Werte in Gleichung (1.) ein, so verschwinden nach Voraussetzung die Faktoren von Ci und C₂, und es bleibt d™~'Cx dxm~

Wenn man jetzt noch dC₁

-=— = z

(13.) G₀(x)

dm~²Gi

dxm~²

dCi

f    dx

also

£•“«(*)•*■

Ci = Jzdx -f- Gi, C₂ = J'cpi(x). 0^« + A2 setzt, so geht Gleichung (13.) über in

(14.)

dx

(15.) G₀(x)

dm~²z

dxm~²

+ G±(x)

dm~h

dxm~ ³

H-----b Gm-ix).z = (p{x).

Aus dem allgemeinen Integral z dieser Gleichung, welche nur noch von der (m — 2)ten Ordnung ist, findet man nach den Gleichungen (9.) und (14.) das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung (1.) durch die Formel

(16.) y = yi( Jzdx + Al) + y₂ ( J<p i(x). zdx + A₂).

Dieses Verfahren kann man fortsetzen und den Satz

beweisen :

Kennt man n verschiedene partikuläre Integrale yl: y2 ... yn der homogenen Differential - Gleichung dmy dxm

so läßt sich die nicht homogene lineare Differential-Gleichung

(17.)

+ fl(P)

dm~xy

dxm~x

dy

(18.)

dmy

dm~xy

dy

dxm~x

H-----\~ fm—l(x) ₍ix + fmipd) • V — ⁽P{X)

dxm

auf eine andere nicht homogene lineare Differential-Gleichung von der Ordnung m — n reduzieren.

Beweis. Sind yil y2}... yn die bekannten partikulären Integrale von Gleichung (17.), so setze man

y = Cm “t" ^²2/2 + • • • + Cnyn

dC2 dCs    dCn

dx dx    dx

(19.)

und bestimme

als Funktionen von

dCi

dx

durch die n — 1 linearen Gleichungen

dCi . dC₂ ,    .

yi^ + y2~d^⁺'"+y’ dyi dC±    dy₂ dC₂

dx dx    dx dx

(20.) 1

- = 0 * dx

dy„ dCn ₌. 0 dx dx

(21.)

dn~~²y\ dC\ dxn~~² dx

Durch Auflösung dieser Gleichungen erhält man dC2    .

dxn~~² dx

H-----(■

dn~~²yn dC\ dxn~² dx

= 0.

dC\ dC3 dx dx

dCi

dx

dCn    Ci

W = V^l{X)' dx ’

wobei die Funktionen g>i(x), <p₂(x):... cpn_^fx) leicht zu ermitteln sind. Nach diesen Festsetzungen wird -dy = c dy i | c dy₂

(22.)

dx

dx

dx h"'+ C

(23.)

d²yi dx²

+ C₂

d²y₂

dx²

dyn

dx

d²yn

Hx²

(24.)

dn~xy

dxn~x

dn~lyi

dxn~

dn~ly<2 dxn~x

dn-hyn

dxn~x

(25.)

dny

dxn

dnyi

dxn

+ C2

dny>

dxn

+----1⁻ Gn

dnyn

dxn

dCy

(26.)

+ C2

dn+xy

dxn+x dn+1yi

dxn+x du+xy-2

dxn+x

+ Gn

dn+xy

dxn+x

r + VKX) •

d'-Ci

dCi

dx²

dx

Setzt man diese Werte in die Gleichung (18.) ein, so verschwinden nach Voraussetzung die Koeffizienten von Ci, C2, ... Cn, so daß sich die Gleichung auf

dm-n+xCx dxm n+l

reduziert. Indem man noch die Funktion v durch die Gleichung

(27.) Ldx)

\-Lix)

dm~nC1

dxm~

dCl

-+---+Lm^xy,x

= 9(x)

(28.)

dCi

dx

einführt, erhält man daher dm~ dxm~

Dabei ist nach den Gleichungen (19.), (21.) und (28.) (30.) Ci = fvdx -f- J.1, O2 = f<P\{x). vdx -f- A2,.. .

Gn =J<Pn-iX) • Vdx + An,

(29.) Ldx)

nv

-n + Li{x)

dm-n-lV

dxm~n—1

H-----b L>n-n(x). V = (fix).

(31.)

y — G\y\ -f- C22/2 + •• • + Gnyn.

Für n = m — 1 kann man durch das angegebene Verfahren die vorgelegte Differential-Gleichung auf eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung von der Form

dv

(32.)

U(x) ~ + L£x). v = <p(x)

zurückführen, deren Integration in § 116 behandelt worden ist. (Vergl. auch Formel Nr. 283 der Tabelle.)

Ein besonderer Fall liegt vor, wenn n — m ist, d. h. sobald ein vollständiges Fundamentalsystem partikulärer

Integrale y₂. ... ym der homogenen Gleichung (2.) bekannt ist. Durch sinngemäße Übertragung der obigen Untersuchung auf diesen Fall findet man den Satz, daß dann das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung (1.) durch m einfache Quadraturen aufgefunden werden kann. Dieser Satz möge auch direkt bewiesen werden.

Damit aus dem allgemeinen Integral der homogenen Differential - Gleichung (2.)

(33.)

y — ClVl -f- C₂y₂ + • • • + Gmym ein Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung (1.) hervorgeht, muß man Ci, C₂, ... Cm als passend gewählte Funktionen von x betrachten. Setzt man dabei der Kürze

wegen

(34.)

dCi

dCm

dx

= r,

dx ² ’ dx

= Cm',

so mögen die m Funktionen Ci', Cb',... Cm den m linearen Gleichungen ' Ci'yi CiV

+ c₂‘y 2

+ C₂‘y2

~b •••~b Cm‘ym -b • • • + Cm‘ym‘

(35.)

CiV**-²) + C₂'^-³⁾ + • •• + CJyJ™-V = 0,

Ci'2/1^-¹) + C₂‘y£m-V + • • • + Cm‘yJm-V = (p{x) genügen^ dann folgt aus Gleichung (33.)

y‘ — Ciyi' + C₂y₂' H— • + Cmym‘, y“ — C\y\“ + C₂y₂‘ +• • • + Cmym“,

(36.)

2^-i} =    + C^M -1-----h Cmyj™-¹\

y{m) =    H-----b CmymW + göfc).

Indem man die Gleichungen (33.) und (36.) bezw. mit fm(x), fm_i(x), fm_₂{x),... /i(£c) und 1 multipliziert und dann addiert, findet man

(37.) yM + fix). y^-V H-----b /i»-i(*) • y‘ + fjx) • y =

Ci[yćm) + fix). 2/i(m_1)H-----b fm-ix). yi + fjx). yx\

+ C₂[y₂w + fix). y₂{m~¹⁾-\-----b fm-ix). y₂‘ + fjx). y₂)

+ Cm[yJm)+fix). yjm-r> H-----b fm-\{x).ym‘ + fm(x).ym]

+ #»)•

§ 141. Erniedrigung der Ordnung bei linearen Eiff.-Gleichungen. 841

Da die Ausdrücke in den eckigen Klammern nach Voraussetzung sämtlich verschwinden, so ist

(33.)

V ⁼ CiVi + C₂y₂ + • • • -f- Cmym ein Integral der nicht homogenen Gleichung (1.). Dabei lassen sich die m Funktionen Ci', C₂', ... Cm‘ aus den m linearen Gleichungen (35.) mit Hilfe der Determinantentheorie leicht ausrechnen; und zwar erhalten sie die Form (38.) Ci' = hi(x). cpix), C₂' = h₂{x). (p{x), ... Cm‘ = hm(x). (p(x), denn die Determinante des linearen Gleichungssystems (35.)

y\    y 2

• • • y m

yi‘    y-2¹    ... y,n

(39.)

y\‘    y-i“    •.. ym“

yi(m-l)y₂(m-l)' . . ym{m-D

ist von Null verschieden. Die Funktionen hi(x), h₂(x), ...hm(x) sind Quotienten, deren Zähler die Unterdeterminanten der Elemente der letzten Zeile von D sind, und deren Nenner die Determinante D selbst ist. Sie sind also ganz bestimmte Funktionen von x.

Der Beweis für die Behauptung, daß D nicht verschwindet, geht davon aus, daß nach Voraussetzung yi, y₂, ... ym ein Fundamentalsystem partikulärer Integrale der homogenen Differential-Gleichung (2.) bilden, d. h. daß zwischen diesen Funktionen keine lineare Beziehung besteht.

Aus den Gleichungen (38.) findet man

Ci = fhi(x). <p(x)dx + Ci,

(40.)

C₂ = fh₂{x). <p(x)dx + c₂,

C//i — fh/xlpc). <p{x)dx cm.

Daraus folgt dann auch, daß der mit diesen Funktionen gebildete Ausdruck (33.) das allgemeine Integral der Gleichung (1.) darstellt, weil die m willkürlichen Konstanten Ci, c₂, .. .cm darin auftreten und zwischen den partikulären Integralen yi, y₂,...y/n keine lineare Beziehung besteht. Dies gibt den

Satz. Kennt man ein Fundamentalsystem partikulärer Integrale ?/i, «/2j • • • ym der homogenen Gleichung (2.), so findet man das allgemeine Integral der nicht homogenen Gleichung (1.), nämlich

V — Cxy, -f- C22/2 + • • • + Gmy durch die in den Gleichungen (40.) angedeuteten Quadraturen, wobei die Größen

Ci = hix). <p(x), Ci = hßx). <p(x), ... C„i = hm{x). (p(x) durch Auflösung der linearen Gleichungen (35.) als Funktionen der einzigen Veränderlichen x gefunden werden.

Mit Hilfe dieses Satzes findet man auch die Behandlung des besonderen Falles, in dem sich die Funktionen fix), fix), ... fm(x) auf die konstanten Werte /i, f₂, ...fm reduzieren, und zwar ergibt sich dasselbe Resultat wie in den Formeln Nr. 327 und 328 der Tabelle, doch stützt sich hierbei die Herleitung auf einige Sätze aus der Algebra und der Determinantentheorie, die hier wohl nicht als bekannt vorausgesetzt werden dürfen.

Am besten wird man das anzuwendende Verfahren aus einem Beispiel ersehen.

Aufgabe. Man soll die Differential-Gleichung

(41.)

+ c²y — 2 cos (bx)

unter der Voraussetzung integrieren, daß b < c ist.

Auflösung. Die homogene Differential-Gleichung

(42.)

d²y

dx²

-f- c²y = 0

mit c ver-

hat nach Aufgabe 2 in § 137, wenn man tauscht, das allgemeine Integral

(43.)

y — A cos (ca:) -f- _Bsin(ca:), wobei A und B beliebige Konstanten sind. Soll y auch ein Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung (41.) werden, so müssen A und B noch Funktionen von x sein; dann wird

-- = — Acs'm(cx) -f Bccos(cx) -f-    cos(cx) -f-

Setzt man jetzt noch (45.) ^cos(cx)+^sin(ca:) = 0, oder ^ so wird

dB

dB

dx sin(CT)-

dA

^ctg(^),

(46.)

dy

dx = — d.csin(c:r) -f- Bc cos (cx)

(47.)

d²y

dx²

= — Ac² cos (cx) — _Bc²sin(c:r)

dA

dB

dx csin(cx) + ~~ccos(cx),

oder mit Rücksicht auf Gleichung (43.) und (45.)

dA

= — c²y — c~₍fa [sin(c;:c) + ctg(cx)cos(c£c)]

₉ dA 1 C ^    C dx sin(cx)

(47 a.)

d²y

dx²

Setzt man diesen Wert von ein, so erhält man

d²y

dx²

in Gleichung (41.)

dA

(48.) — c — — <icos(bx)sm(cx) = sin [(c -f- b)x\ + sin \(c — b)x\,

folglich wird, wenn man die Intégrations-Konstante mit Cic bezeichnet,

(49.) Ac — — Jsin[(c -f- b)x]dx — Jsin [(c — b)x]dx cos [(c + b)x\ cos [(c — b)x\

c -j- b

-j- C\c.

Ferner folgt aus Gleichung (45.)

(50.)

dB

dA

c = — c-^— ctg(cx) = 2 cos(bx)cos(cx) dx    dx

= cos [(c -f- b)x\ cos [(c — b)x], folglich wird, wenn man die Intégrations - Konstante mit C2C bezeichnet,

(51.)

Bc =

sin [(c -f- b)x]

sin [(c — b)x\

c -j- b

O2C.

Setzt man die für. A und B gefundenen Werte in Gleichung (43.) ein, so erhält man

_ cos [(c    b)x] cos (ex) + sin [(c -f- b)x] sin(cx)

y    <c + 4)

cos [(c — b)x] cos (ex) -f- sin [(c — b)x] sin(cx) c[c — b)

-f- Cicos(cx) + (72sin(cx),

oder

(52.)

y = 2cos(6x) + Cicos(ex) -f- 02sin(cx).

Einfacher ergibt sich dieses Resultat durch Anwendung von Formel Nr. 327 der Tabelle, oder durch die in § 140 angegebene Methode der unbestimmten Koeffizienten.

§ 142.

Ein weiterer Fall, in dem sich die lineare Differential-Gleichung Ordnung integrieren läßt.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 337 bis 339.)

Es sei die homogene lineare Diff erential - Gleichung mtei Ordnung

dm~

dx?n~l

(1.) (ax+vr 0 +{ax+br~lfi

-f- (yx -f- b)fm—i

dy

dx

+ fmU = 0

(2.)

gegeben wobei die Koeffizienten /i, f₂, ...fm wieder Konstante sein mögen; dann setze man y = (ax + b)r,

also

dy

dx

= ar(ax -fi b)r

d²y

(3.)    { dx²

= a²r(r — l)(ax -f- b)

r—2

dmy _ dx”¹ ~

amr(r — 1 )(r — 2)... (r — m -f- l)(ax -f- b)

in die Gleichung (1.) ein. Dadurch erhält man nach Weglassung des allen Gliedern gemeinsamen Faktors (ax -f- bf die Gleichung (4.) amrir — l)(r — 2)... (r — m -j- 1)

_|_ am—ir(y. — !)(?• — 2)... (r — m -J- 2)/i -1-----b a²r(r — l)fm_₂ + arfm-1 -f fm = 0.

Dies ist eine Gleichung mten Grades für r, welche man wieder „die charakteristische Gleichung“ nennt. Hat sie die Wurzeln rx, r₂,...rmi so erhält man die m partikulären Integrale

(5.) yi = {ax + bfi, y₂ = (ax + bf*, ... ym = (ax + bfm.

Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung (1.) wird daher, wenn die Wurzeln ri, r₂, ... rm der charakteristischen Gleichung voneinander verschieden sind,

(6.) y = Ci(ax -j- bf¹ + Ciax + bf* -}-----\- Cm(ax -|- bfm,

wobei Ci, C₂, ... Cm noch beliebige Konstanten sind.

(7.)

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

+ 2a:²    — 4a; -f ty = 0

ax²    ax

ił

d³y

da?

Sind zwei Wurzeln der charakteristischen Gleichung konjugiert komplexe Größen, ist z. B.

(12.)

n = a + ßi, r₂ = a — ßi,

so wird

Ciyi -f C₂y₂ = Ci(ax -f- b)a+G -f- 0<£ax -f- b)a~^

= (ax -{- b)a[Ci&mTxiax+^ + C₂e-Piln{-ax+b)), oder, wenn man ln(aa; + b) mit t bezeichnet,

(13.) C\yx-\rC₂y₂ = (ax + b)a[(Ci + C₂)cos(ßt) + (Ci — C₂)isin(ßt)} = (ax + 6)“[4cos(^) -f- B sin(ßt)].

Dabei sind A = Ci + C₂ und B — (Ci — C₂)i zwei willkürliche Intégrations-Konstante.

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

₂ d2y

dx²

(14.) (x+1?

d⁶y

dx³

(x + 1)

dy

+ 6(* + l)^ —10y = 0

integrieren.

(15.)

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier r(r — l)(r — 2) — r(r — 1) -f- 6r — 10 = 0,

oder

(15 a.)

ihre Wurzeln sind also rx = 2

(r — 2) (r² — 2r -f- 5) = 0 ;

(16.)

r2 — 1 4~ 2i, r₃ = 1 — 2 i, folglich hat die Differential-Gleichung das allgemeine Integral

(17.) y = Ci(x + 1)2 -f C₂(x + l)i+2* + Cs(x + l)i-2*

= Ci(* + l)² + (x + 1 )[C₂(x + 1)2* + C₃(X + 1) »*] = cx(x -I- 1)2 -f (x + l)[G₂e²*ln^+i) + Cśe-²*'¹»(*+«],

oder (17 a.) wobei

y = Ci(x + l)² + (x + 1) [4 cos (20 -f- _5sin(20],

(18.)

ż = ln(æ 4- 1), Ä=C₂ + C₃, B = (C₂ — C₃)i

ist.

Bisher war vorausgesetzt worden, daß die Wurzeln ri, t 2, ... rm der charakteristischen Gleichung sämtlich voneinander verschieden sind. Hat die charakteristische Gleichung aber auch gleiche Wurzeln, so führt ein ähnliches Grenzverfahren wie in § 137 zum Ziele. Ist z. B. r₂ gleich ri, so kann man in Gleichung (6.) die Glieder

Ci(ax -j- b'p -f- C₂(ax -f- b)⁹'* in (Gi -j- C₂){ax -f b)ri zusammenfassen. Setzt man aber zunächst

(19.)

r₂ = n + h,

so wird (20.) Ci(ax + b)ri -f- C₂(ax -f- bf1+A = (ax -f- by* [ C\ + C₂(ax -j- b)Ä].

Bezeichnet man der Kürze wegen wieder ln (ax -f- b) mit t,

so wird

ht hH² hHB 1! ⁺ 2h ⁺ 3!

(21.) Cx + C₂{ax + by = Cx + C₂eht — Cx + G₂^l -f-

oder, wenn man wieder wie in § 137

(22.)

Cx + C₂=C und c₂h = C'

setzt,

(23.) Gi + C₂(ax + by =C+ C‘(t +• ff +    + ' )

Läßt man jetzt h sich der Grenze Kuli nähern und gleichzeitig die Konstanten Cx und C₂ in solcher Weise ins Unbegrenzte wachsen, daß C und C‘ endliche Konstanten bleiben, so erhält man

lim [Gi + C₂{ax b)h] = C + Oft

= G + C'\vx(gx -j- V).

Das allgemeine Integral der vor gelegten Differential-Gleichung wird dann also

(24.) lim r₂ = rx

h—0

Beispiel.

Aufgabe 3. Man soll die Differential - Gleichung

(26.)    (2z + 3)8 g - 8(2z + 3) ^ + 32ÿ = 0

integrieren.

(27.)

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier 8r(r — 1 )(r — 2) — 16r -f- 32 = 0,

oder (27 a.)

ihre Wurzeln sind also

ri = 2, r₂ = 2, r₃ — — 1, folglich hat die Differential - Gleichung das allgemeine Integral

(29.) y = (2x + 3)²[(7 + C'\n(2x + 3)[ 4

8(r —2)²(r + l) = 0;

(28.)

C₃

2x -j- 3

Hat die charakteristische Gleichung drei gleiche Wurzeln, ist z. B.

(30.)

r₁ = r₂ = r₃,

so findet man das allgemeine Integral, indem man zunächst (31.) r₃ = ri -|— h und ln(ax -\-b) = t, also ax -\-b = ë setzt; dadurch geht Gleichung (25.) über in (32.) (ax -f b)rĄC -f C‘\n(ax + 5)] + Cs(ax + b)^+/l

H-----h Cm(ax -f- b)' m

= (ax + b)^(C + C‘t + CseM) Ą-----b Cm(ax + bf

lit h²t² h³ts

r! ⁺ ^r ⁺

= (ax + by^C + C‘t + C₃(l +

•)]

3!

■j⁻ • • • “b Cm(ax ~b bfm.

Setzt man jetzt noch

(33.) C + Cs = Mi, C‘ -f Csh = Ä₂, Csh² = 2M₃,

so erhält man

(34.) C+C‘t+C₃e*‘ = At.+Arf+AzP+ZAdy

wobei Mi, A₂, As drei beliebige Konstanten sind. Läßt man jetzt h sich wieder der Grenze Null nähern und gleich-

ht³ .

4!

(8.)

oder (8 a.)

ihre Wurzeln sind also

n = 1,

folglich hat die Differential-Gleichung die partikulären Integrale

(r — l)(r — 2)(r + 2) = 0;

(9.)

r₂ = 2

rs = —2

yi = x, y₂ = x2 und das allgemeine Integral

(10.)

(11.)

c₃

y = Cyx + C₂x² +    •

zeitig die Konstanten (7, C‘ und (7₃ in solcher Weise ins Unbegrenzte wachsen, daß Ai, M₂, A3 endliche Konstante bleiben, so erhält man

(35.) limr-3 = ri, lim(C + C't + C&A*) = A\ -j- Mt + Mt²,

h=0

A=0

folglich ergibt sich dann aus Gleichung (25.) das allgemeine Integral in der Form

(36.) y = (ax 4- by^[A\ -f- M₂ln(aa: 4- b) -j- M₃{ln(a:r -f- ö)}²]

4~ C±{ax -f by* 4-----f- Cm{ax 4- by»,.

In ähnlicher Weise kann man alle Fälle behandeln, ' in denen die charakteristische Gleichung mehrfache Wurzeln hat.

Beispiel.

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

xtdà>-nx22* + i9x7x-8ly = ⁰

dy

(37.) integrieren.

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier (38.) r(r — l)(r — 2)(r — 3) — llr(r — 1) 4- 49r — 81 = 0, oder (38 a.)

sie hat also die Wurzeln n = 3

(r — 3)³(r 4- 3) = 0;

(39.)

r₂ = 3

U = — 3,

folglich hat die Differential-Gleichung das allgemeine Integral

r-à =

(40.)

y = x³[Ai 4- A₂ln x -f- M₃(ln:r)²] -f- ^ •

Das allgemeine Integral der Gleichung (1.) findet man auch, wenn man

(41.)

ax -f b = e'i oder t = ln (ax -f- b) setzt und t zur unabhängigen Veränderlichen macht. Daraus erhält man durch Differentiation

dy

dy ^dy (tt dx dt dx ax -f- b dt

oder

54

Kiepert, Integral - Rechnung.

(42.) (ax + b)f = a%

dt

oder

dy    d²y d²y dt

aTx + {aX + b)dxî-aW dx~

a² d*y ax -\-b dt² ’

(43.) (ax -f- b)²

d²y

dx²

= a²(

d²y _ dy dt² dt

2 a{ax -f b)

d²y

dx²

+ (ax + b)²

oder

d³y a? /d³y d²y\ dx³ ax-\-b\dtà dt²/

(44.)

(ax -f- è)³

d³y

dx³

= a:!(

dry

efó³

•3+40

Dadurch kann man also die Gleichung (1.) auf die

Form

(45.)

dmy dm~xy dm~²y    dy ,    _

dtm

+ ~dfm—T + 9^ ~dpd-~%    -----^ gm~l ~dt+gm -g = 0

bringen, wobei gi: g₂,...gm—i, gm wieder Konstante sind, und kann dann das in § 137 erläuterte Verfahren zur Integration verwenden. (Vergl. Formel Nr. 327 der Tabelle.)

um

Dieselbe Umformung kann man auch benutzen die nicht homogene lineare Diff erential - Gleichung mtev Ordnung

(46.) (ax -f- b)m

dmy

dxm

+ (ax + bfl-lfx

dm~ly

dxm~x

dy

zu integrieren.

XXII. Abschnitt.

Lineare Differential- Gleichungen zweiter Ordnung.

§ 143.

Integration der nicht homogenen linearen Differential-Gleichung zweiter Ordnung, wenn ein partikuläres Integral der homogenen Differential - Gleichung bekannt ist.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 340).

Da nächst den linearen Differential - G-leichungen erster Ordnung die der zweiten Ordnung von der Form

(1.)

d'ÎJ

dy

besonders häufig auftreten, so mögen hier noch einige Fälle untersucht werden, in denen die Integration durchgeführt werden kann, obgleich jetzt fi(x) und f₂(x) nicht mehr Konstante, sondern irgendwelche Funktionen von x sind.

Betrachtet man zunächst die homogene Differential-

Gleichung

(2.)

d²y

dy

ä-s + '2,fl(x)j-+ax)y = 0,

so ist es mitunter möglich, wenigstens ein partikuläres Integral zu finden; dann kann man, wie sogleich gezeigt werden soll, auch das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential - Gleichung (1.) ermitteln.

Ist nämlich z das bekannte partikuläre Integral, ist

also

nicht mit

*) Es empfiehlt sich, hier den Koeffizienten von fx{x), sondern mit 2/'₁(a;) zu bezeichnen.

z" + 2 fx{x)z‘ + f<ix)z = 0

(3.)

so setze man

(4.) y — vz, also y‘ — vz‘ 4~ Vz, y“ = vz“ 4- 2v‘z‘ 4- v“z in die Gleichung (1.) ein; dadurch, erhält man (5.) zv“ 4- 2[ar' 4- fi{x)z]v‘ 4- [zu 4- 2fx{x)z‘ 4- f₂(x)z]v = (p(x), oder mit Rücksicht auf Gleichung (3.)

(5 a.)

zv“ 4- 2[4' 4~ fi(x)z]v' = <p(x).

Dies ist eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung für vdie man aber noch vereinfachen kann, indem man

(6.)

Z²V‘ — w

also z²v" 4- 2zz‘v‘ = w‘ setzt. Dadurch geht Gleichung (5 a.) über in

(7.)

w‘ 4- 2fi{x)w = Z(p(x),

folglich wird nach Formel Nr. 283 der Tabelle

dv _    -2fA{x)dx~

(8.)

W — Z²

dx

also

Jz<p(x)e

2f/\{x)clx

dx 4- Oi

(9.)

~ /'dx —2f/i(x)ax

v=c]Ke

+ß{

2J'/l{x)dx

dx 4~ Oo-

Dies gibt den

Satz. Kennt man ein partikuläres Integral z der homogenen Differential-Grleichung (2.), so kann man auch das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung (1.) ermitteln.

Aufgabe 1. Man soll die Differential - Gleichung -te*

(10.)

(1 4- x²)

d²y

dx²

dx

+ 2 y = <p(x)

integrieren.

Auflösung. Setzt man

z = x² — 1, also z‘ — 2x, z“ = 2

(11.)

so wird

(1 4- x²)z“ — 2xzf 4- 2z = 2 4- 2x² — ix² 4- 2a;² — 2 — 0;

z ist also ein partikuläres Integral der homogenen Differential - Gleichung. Deshalb findet man, wenn man y = (x² — l)t>, y‘ — (x² — l)v‘ -j- 2xv, y“ — (;x² — Vjv¹¹ -j- 4:xvj -f- 2v in die Gleichung (10.) einsetzt,

(12.)

(#⁴ — l)vn -f- 2[2x(x² +1) — x(x² — l)]v' = çp(x),

oder

v‘

(13.) (x² — l)²v" + 2 ^2x(x² — 1) — X ⁽^rrr

x²

oder, wenn man

(14.) (x² — 1)V — w, also (x² — 1 )V' -f- 4x(x² — l)t>' — w‘

setzt,

(15.)

w‘

2x

___æ³ —

x² -f- Ï U x² -j- 1

Dies gibt nach Formel Nr. 283 der Tabelle

(16.)

(17.) v

W=*(l + x²)\^j

= cßx* + ^dx

J (x"

-1);

\x² — 1 )<p(x)dx

{x² + l)²

+ Ci ?

\x² -j- 1 )dx j\x² — l)fp{x)dx

(x²-!)² J

(x² + l)²

FC₂.

(18.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

d²y dy

dx²

integrieren.

Auflösung. Setzt man hier

^ = ex, also z‘ = ex, z" = e*,

(19.)

so wird

z“ — xz‘ + (x — l)z = ex — xex -f- (x — l)e^ = 0, d. h. z ist ein partikuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung. Deshalb findet man, wenn man (20.) y = e*v, y‘ = ex(v‘ -f- v), yn = ex(vn -f- 2v' -f- v) in die Gleichung (18.) einsetzt,

exv“ -f- ex(2 — x)v‘ — çp(x),

oder, wenn man beide Seiten der Gleichung mit ex multipliziert und dann

(22.)

e²V = w, also e2x(v" + 2v‘) = w‘

setzt,

(23.)

w‘ — xw = ex(p{x).

Daraus folgt nach Formel Kr. 283 der Tabelle

dx -j- Ci

dv

(24.) w = e2x

(IX

fjcrlx = CJ

|jex<p(x)e

—Jxdx

(p{x)dx -j- Ci

(25.) v —

/ x~—

6\ / û ²

dx +

/ x²—4x Çlx-

Je ² dxje ²

<p(pc)dx -f- 6Y

§ 144.

¹

ntegrieren.

Auflösung. Die charakteristische Gleichung ist hier r(r — l)(r — 2) -f- 2r(r — 1) — 4r -f- 4 = 0,

Zurückführung auf die Normalform. Äquivalenz.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 341 und 342.)

Kann man kein partikuläres Integral der homogenen Differential-Gleichung angeben, führt also der angegebene Weg nicht zum Ziele, so kann man durch das folgende Verfahren die Differential-Gleichung so umformen, daß sie eine besonders einfache Gestalt erhält. Man setze in die gegebene Differential-Gleichung

(1-)

d*y

dy

dx²

+ 2A(»)    4- Hx)y =

wieder

also y‘ = vz' + v'z, y“ == vz“ -f- 2v'z' -}- v"z

(2.) y = vz ein, dann erhält man wie damals

(3.) zv“ + 2[z‘ + f\(x)z]v‘ + [z“ -f 2fx{x)z‘ + fix)z]v = (fix).

Jetzt bestimme man aber die noch willkürliche Funktion z so, daß der Koeffizient von v/ verschwindet; man setze also

z‘ -f- f\{x)z = 0, oder -—■==-— fi(x)dx ;

dies gibt

lnz — —Jfx(x)dx, oder z = e ^ }

(5.)

wobei man die Integrations-Konstante fortlassen darf. Daraus folgt dann

z“ = — f₁(x)z/ — fi(x)z = [fx(xf — fi(x)]z, z“ + 2,f\(x)z‘ + f£x)z = [— fixf — fx(x) -f- fix)]z.

Setzt man also der Kürze wegen

(6.)

— A 0*0² — fi%x) + f₂(x) = K(x),

so geht die vorgelegte Differential-Gleichung mit Rücksicht auf Gleichung (5.) über in

(7.)

v“ -f- K(x)v =

(8.)

Statt der vorgelegten Differential - Gleichung braucht man nur diese vereinfachte Differential-Gleichung (7.) allgemein zu integrieren. Für die Durchführung der Integration wird wieder der Satz gute Dienste leisten, daß man das allgemeine Integral dieser nicht homogenen Differential-Gleichung finden kann, sobald man ein partikuläres Integral der homogenen Differential - Gleichung v“ -f- K(x')v = 0

ermittelt hat.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

(9.)

d*y

dx²

— 4x

dy

^ -f- 4x²y — (?x

integrieren.

Auflösung. Hier ist

(10.)

— ff\i.x)dx 2 fxdx

e J =eJ

= ex'

also

(11.)

y‘ = e^(y‘ -{- 2xv),

y = e*². v y" = e*¹ [v" -f- 4xv‘ -f- (4a;² -f- 2)r] ;

daraus folgt

(12.)

y“ — 4xy‘ + 4x¹y = e**(v“ -f- 2v) = e³*,

v“ -f- 2v = e~x'+ix.

oder (12 a.)

Die charakteristische Gleichung dieser Differential-Gleichung mit konstanten Koeffizienten ist F(r) = r² -f- 2 = 0

(13.)

und hat die Wurzeln -}- i]/2 und —iV%, folglich wird das allgemeine Integral der homogenen Differential - Gleichung v" + 2v — 0

(14.)

v — CiCOs(x]/2) -f- c₂ sin (x]/ 2).

Für das partikuläre Integral der nicht homogenen Differential - Gleichung findet man dann nach Formel Kr. 327 der Tabelle

enx

F\r i)

e—t²+3t _ ß—'itgt

F\r₂)

oder, da

F\r) — 2r, F\r{) = -f 2i ]/2, F'(r₂) — — 2i Y2

ist,

r-mlf'

0

Nun ist aber

2i    ² — ß—(•*■—2 ) _ sin [(x — t) Y2]

folglich wird

X

— t)Y 2]dt

(15.)    .

V = -~Je~*z+3*sin[(x o

Das allgemeine Integral der vorgelegten Differential-Gleichung (9.) ist daher

(16.) y = e?(v + F) = ea;2[c₁cos(a:|/2) -f- c₂sin(xy 2)] ¹

(17.)

Aufgabe 2. Man soll die Differential - Gleichung

d²y_Zx + 1 dy x² -f x — 8

x dx

dx²

z²

integrieren.

Auflösung. Hier ist

(18.) 2 =

-fKx)dX = J-'ÿdX = e/(1 + L)aX ₌

also

= ex)/x,

(19.)

y =    y' = e*Ÿ x(v' -j-

y“ = e^-j/ x^?;" -f-

2x + 1 ; , 4x- 4- 4x —

-v 4"

x

4x²

dies gibt

(20.) +

x²

y — e*y x(v“

35 v 4x²

)“°

folglich wird

(21.)

35

xV'--— v = 0.

4

(22.)

Das Integral dieser Differential-Gleichung findet man sofort nach Formel Nr. 337 der Tabelle, indem man v = xr, also vn — r(r — l)x'~2 in die Gleichung (21.) einsetzt. Dies gibt nach Fortlassung des Faktors xr die charakteristische Gleichung

(23.)

35

r(r — 1) — — = r² —

35

4=°

mit den Wurzeln

folglich wird

(24.)

und

(25.)

fcC| “O

, r₂ = —

tOj o»

V = Ci&yx Ą---x²y x

y = e*yxv = e*(CiX⁴ -f.^Y

Versteht man unter f(x) eine beliebige Funktion von x, und setzt man

(26.)

y = f(x)z, also y‘ = f(x)z‘ 4-

yn = /(x)*" 4- 2/v(x>z' 4- /■"(*)*

in die Differential-Gleichung

Für diese Differential -Gleichung (28.) kann man in der vorher beschriebenen Weise die vereinfachte Gestalt, in der das Glied mit z‘ fehlt, aufsuchen, dann findet man eine Gleichung von der Form

(30.)

v" + Lix)v = 0,

wobei jetzt, der Gleichung (6.) entsprechend,

(31.)

(27.)

y“ + 2 \fix]y‘ + f₂{x)y = 0

so führt man diese in eine andere homogene lineare Differential - Gleichung über, nämlich in

ein

f(x)zn+2 [f\x)^rf(x)f₁{x)]z‘ + [f‘ \x)+Zf'ixYtix) + f(x)f₂{x)]z = 0,

oder

(28.)

z“ + 2gix)z‘ + g₂{x)z = 0

wobei

(29.) gix) =

ist.

f{x)

+ fi(x), g₂(x) =

f"(x)    f‘{xj

fix)    fix)

fix) + fix)

L(x) = — gfxf — g fix) + gipc) ist. Setzt man hierbei für die Funktionen gix) und gix) ihre Werte aus Gleichung (29.) ein, so erhält man

<31a.)Z(*) = -(g)²-— fi(x) +

2 P ix) fix)

fix)

f‘\x)

fix)

■fix?

fix)f‘\x)—f\xf

f(xf

^f'ix) fix)

fix)

+ fix)

= - fix? - fx\x) + fix) = K{x).

v“ -f- K(x)v — 0

Die vereinfachte Gestalt der Differential-Gleichung bleibt also unverändert, gleichviel ob man von der Differential-Gleichung (27.) für ?/, oder von der Differential-Gleichung (28.) für 0 ausgeht. Man nennt deshalb die reduzierte Differential-Gleichung (32.)

„die Normalform“ und kann das gefundene Resultat zusammenfassen in den

Satz. Geht die Differential-Gleichung y“ -F 2fix)y' + ffx)y = 0

durch die Substitution y = f(x). z über in die Differential-Gleichung

z“ + 2glx)z‘ -f gix)z = 0,

• so haben beide Differential-Gleichungen dieselbe Normalform (32.), was auch die Funktion f(x) sein mag.

Von diesem Satze gilt auch die

Umkehrung. Haben zwei Differential-Gleichungen y“ + 2/i(a?y + f₂{x)y = 0 und z“ -f- 2gix)z‘ -f g₂{x)z = 0 dieselbe Normalform

vn -f- K(x)v = 0,

so kann man die eine Gleichung in die andere überführen durch die Substitution y — f(x). z.

Beweis. Die Differential-Gleichung y“ + 2 fiixjy' + f₂(x)y = 0

geht in die Normalform über durch die Substitution

(33.)

y =

und die Differential- Gleichung

z“ -h 2gifx)z‘ 4- g₂[x)z =. 0

— ffx(x)dx

e    . v,

geht nach Voraussetzung in dieselbe Normalform über durch die Substitution

— fffi{x)dx

e J . v

(34.)

folglich ist

f[ffi(x)—A(x)]dx

y = e    .z

die Substitution, durch welche die erste Differential-Gleichung in die zweite übergeht.

Zwei lineare homogene Differential-Gleichungen zweiter

(35.)

Ordnung

y“ 4- %fi{x)y‘ 4- fix)y = 0 und z“ -f 2gl(x)z/ 4- g₂(x)z = 0 heißen „äquivalent“, wenn sie zu derselben Normalform v“ 4- K(x)v = 0 gehören.

Aus diesen Sätzen erkennt man, daß zu jeder Normal-form eine Gruppe von unendlich vielen Differential - Glei-cłmngen gehört, deren Integration auf die Integration dieser einen Differential-Gleichung zurückgeführt werden kann.

§ 145.

Einführung einer neuen unabhängigen Veränderlichen.

(Vergl. die Eormel- Tabelle Nr. 343.)

Die vorstehenden Methoden beruhten darauf, daß man die abhängige Veränderliche y durch eine andere ersetzte. In gleicher Weise kann man Vereinfachungen dadurch herbeiführen, daß man die unabhängige Veränderliche x durch eine andere ersetzt. Macht man

(1.)

t = fix)

zur unabhängigen Veränderlichen, so wird

(2.)

dt dx² ’

dy _ dy dt    d²y _ d²y /dt \² dy d²t

dx dt dx ’    dx² dt² \dx)

folglich geht die Differential-Gleichung

+    +my = o

(3.)

d²y

dx²

über in

(4.)

dt'

d²y /dt \² dy r d²t \dx) dt dx2 Jetzt kann man t so wählen, daß der Koeffizient von

dt²

dx_

+ h{x)y = 0.

dy

~ verschwindet. Dies gibt az

(5.)

d²t

dt

dx²

(6.)

dt _ —2f/₁(x)dx

dx ⁶

oder ln

(I) - - ²/l(x)dx’

G    CL00 »

Dadurch geht Gleichung (4.) über in

(7.)

w(^)+f*c)y’⁼⁰

oder

d²y

4Jfy{x)dx

dt²

• fdx)y = 0,

wobei man noch x durch t ausdrücken muß.

Die Differential-Gleichung (7.) läßt sich ohne weiteres

⁴ff\(x)dx

integrieren, wenn e also

. f2(x) eine Konstante k wird, wenn

§ 145. Einführung einer neuen unabhängigen Veränderlichen. 861

oder

(8.)

4ffi(x)dx -f- 1 n/2(x) = lnfr,

fm _

⁴A(«) +

ist.

fix)

Aufgabe 1. Man soll die Differential - Gleichung

__, s dV__c*y ₌ 0

dx² x² — 1 dx    x²—1

(9.)

integrieren.

Auflösung. Hier ist die in Gleichung (8.) aufgestellte Bedingung erfüllt, denn es ist

2.r

/»'(*)

⁴AG0 =    und

Setzt man daher nach Gleichung (5.)

fix)    x² — 1

dH

dt

dx² x² — 1 da?’ so wird

also ln

/dt \ _    /’ xdx

\dx)~ Jx²

ln

(yy- i)

.(10.)

dt

£ = ln(x -f- )Ac² — 1).

dx yx2 __ x Dadurch geht Gleichung (9.) über in

(HO

d²y

dt²

— c²y = 0,

deren allgemeines Integral

(12.) y = Ae'* + Be~c( = A(x + Vx²~l)c + B(x — Vx²—l)c ist.

Ein anderer Fall, in dem sich die Differential-Gleichung (7.) integrieren läßt, ergibt sich, wenn

(13.)

ifA(x)d.r    k

ist, wobei k eine beliebige Konstante sein möge; denn dann geht Gleichung (7.) über in

(14.)

t'~d+ky = 0’

welche für y = tr die charakteristische Gleichung

r(r — 1) -f- k — r² — r k = 0 liefert. Sind ri und r₂ die beiden Wurzeln dieser Gleichung, so wird

(15.)

(16.)

y = AP'i + Btr* das allgemeine Integral der Differential - Gleichung (14.).

Dabei kann man die in Gleichung (13.) aufgestellte Bedingung noch auf eine einfachere Form bringen. Aus den Gleichungen (13.) und (6.) folgt

dt

(17.) t =

y' k — 2f/₁(x)dx

Vfi*)

Y k dt Vf₂{x) äx’

oder

dx

VUx)

Vk

folglich wird

(18.)

ln^ = |lnZc — ^ln f₂{x) — %Jfi(x)dx, oder, wenn man beide Seiten dieser Gleichung nach x differentiiert und Gleichung (17.) berücksichtigt,

dt

also

(19.)

(20.)

dx _ i fĄx) ² h{x)

m*)=

y fix)

yk

2A*) vm + [ftw + ifi(x)Ux)\ V-k = o. ą Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung Zx — 1 dy

d²y

dx²

integrieren.

x² dx

xx

Auflösung. Hier ist

Hx) =

a²

ZRx) VRx) =

(M

f₂\x) + 4fi(x)f₂(x) =

x% ’

4 a²    2<z²(2a? — 1)

2a²

xb

wenn man

Die Bedingung in Gleichung (19.) wird also befriedigt, yk = a macht. Dabei ist nach Gleichung (6.)

(21.)

dt

dx

also

x²fe

(22.)

sr' x =

V e

ln£

§ 146. Beziehung zwischen je zwei partikulären Integralen. 863 Gleichung (20.) geht daher über in

(23.)

d²y 1    , a?y = 0

dt²    rz⁴

(24.)

t*

dh)

Setzt man jetzt y = tr, so geht Gleichung (24.) nach Fortlassung des Faktors tr über in die charakteristische Gleichung

(25.)

r(r — 1) -f- a² = r² — r a² = 0

mit den Wurzeln

(26.)

i + iVl — ia*, rj = * - *Vl — 4a>,

folglich wird

(27.)

_r%

y = Atri + Btr* = Ae x + Be x

das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung.

§ 146.

Beziehung zwischen je zwei partikulären Integralen einer linearen homogenen Differential-Gleichung zweiter Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 344 und 345.)

Kennt man ein partikuläres Integral y± der homogenen Differential - Gleichung

y“ -f- 2\fi(x)y‘ + f₂(x)y = 0, so findet man sogleich noch ein zweites partikuläres Integral auf folgende Weise. Nach Voraussetzung ist

y\" + %fi{x)yi + ffa)y\ — o,

folglich erhält man durch Elimination von fyx) aus den Gleichungen (1.) und (2.)

y\y“ — yy“ 4-

(10

(2.)

yyi) = o,

oder

(3.)

yiy“ — yyi“

yvy‘ — yyi

= — 2 f^x).

oder

(5.)

(4.)

Hieraus folgt durch Integration

\n{yxy' — yyfl = — 2/fx{x)dx + InC,

yiy' — yyi = Ce

wobei C eine willkürliche Intégrations - Konstante ist. Daraus folgt

y\y‘ — yyv

yC

d(y) „    ,

\yi/_ C

dx

yC

und durch nochmalige Integration

(6.)

4-C,.

„fdx —3f/i(x)dx

-°Jn?e

Damit ist das allgemeine Integral gefunden, das man noch leicht auf die folgende übliche Form bringen kann. Setzt man nämlich

(7.)

y2

dx —2Jfi{at)dx

yr

und bezeichnet man die Integrations-Konstanten C\ und C bezw. mit A und B, so wird

(8.)

y = Ayi + By₂

das allgemeine Integral der vorgelegten Diff erential - Gleichung.

Das partikuläre Integral y₂ ergab sich aus dem allgemeinen, indem man C gleich 1 und C\ gleich Kuli setzte; deshalb geht Gleichung (5.) über in

(9.)

— 2ijfi(x)dx

y^‘ — ytyi =

Diese Gleichung kann man sogleich noch verallgemeinern. Gibt man nämlich den Integrations-Konstanten A und B das eine Mal die besonderen Werte A\ und Bi und das andere Mal die besonderen Werte A₂ und B>, so sind

2/i = A₁yl -f Biy₂ und y₂ = A₂yi + B₂y₂

irgend zwei partikuläre Integrale der Differential-Gleichung. Daraus findet man durch Differentiation

(10.)

§ 147.

Integration der nicht homogenen linearen Differential-Gleichung zweiter Ordnung durch Variation der Konstanten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 346.)

Kennt man zwei partikuläre Integrale yx und y> und deshalb auch das allgemeine Integral

(1.)

V = Ayx 4- By₂

(2.)

der homogenen linearen Differential-Gleichung y" + 2fx(x)ÿ + fix)y = 0, so kann man daraus durch Variation der Konstanten auch das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung

55

§ 147. Variation der Konstanten.

865

ma

dV2 _ A dyi 4- 7? dy'2 dx ² dx ^    ²

dx ’

also nach den Regeln der Determinanten-Theorie (oder auch durch Ausführung der Rechnung)

— (A1-B2 — A₂Bf) (yi

dyi\ dx dx )

Dies gibt, wenn man der Kürze wegen AXB₂ — A₂B mit C bezeichnet und Gleichung (9.) beachtet,

ç—tf/Mdz

⁽¹²->

— dy₂ —dyx Vi dx

dy₂

yi dx j2 dx

Dadurch erhält man (unter Fortlassung der Striche über y y und y₂) den

(13.)

Satz. Sind yx und y₂ irgend zwei partikuläre Integrale der Differential-Gleichung (1.), so besteht zwischen ihnen die Beziehung

dy2

yi-ff-

(13 a.)

dy‘ = Ce

— ’±Jf\{x)dz

dx yi dx

wobei der Wert der Konstanten C von der Wald der partikulären Integrale yx und y₂ abhängig ist.

Kiepert, Integral - Rechnung.

y" + 2AW 4- fix)y = <p(x)

(3.)

finden. Man versucht es nämlich, oh Gleichung (1.) auch das allgemeine Integral dieser Differential-Gleichung wird, wenn man A und B nicht mehr als Konstante, sondern als Funktionen von x betrachtet. Da man dabei über zwei Funktionen A und B verfügt, um Gleichung (3.) zu befriedigen, kann man noch zwischen beiden die willkürliche Beziehung

(4.)

dx

dA , dB y'dx+y*

aufstellen. Dadurch wird

(5.)

dy

dyi

dy₂

dx

und

(6.)

d²yi

dx²

dx²

d²y₂ dyx dA ' dy₂ dB dx² dx dx dx dx

Setzt man diese Werte in die Gleichung (3.) ein und beachtet man, daß yx und y₂ der Gleichung (1.) genügen, so erhält man

(7.)

dyx dA dy₂ dB dx dx ^ dx dx    <P{X)‘

Aus den Gleichungen (4.) und (7.) findet man daher

dA

dB

(8.)

dx

dx

— (p{x)

yi

dy₂

dx

2/2

dyx

dx

oder, wenn man Formel Nr. 345 der Tabelle beachtet und

dabei C mit —— vertauscht, c    ¹

²\f/\{x)dx

dA

(9.)    — = cy₂9(a:)e

folglich wird

dB

dx

= — cyx (p{pc) e

(10.)

A — cfy₂<p(x) ef^*)dxdx -f- AXl

B == — cjyx (f{x) e^l(x)dx dx -f- BXl wobei Ai und BX die neuen Intégrations-Konstanten sind.

(11.)

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

1 -f x²

⁼ T-X*

<l²y

4x dy dx² 1 — x² dx

integrieren.

Auflösung. Hier sind

(12.)

cosx 1 — x²

und

sinx

1 —X²

zwei partikuläre Integrale der homogenen Differential-Gleichung, folglich wird

(13.)

A cosx + i?sinx

i — X²

das allgemeine Integral der homogenen Differential - Gleichung, wenn man unter A und B Konstante versteht. Damit Gleichung (13.) das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung darstellt, muß man A und B als Funktionen von x betrachten, die den Gleichungen

(14.) und

dA cosx dB sinx dx 1 — x² ' dx 1 — x²

(15.)

dA —(1—x²) sin x + 2x cosx

dx

(1 —x²)²

dB (1—x²)cosx -f-2xsinx

dx

(1 —X²)²

1 — x²

genügt.

(16.)

Dies gibt die Gleichungen

dA . dB .    _

-v- cosx 4- -9— sinx = 0 dx    dx

dB

sin x -f- 3 cosx = x, Ci'OC    ax

oder

(17.)

dA

dx

— xsinx

dB

dx

= xcosx

also

(18.) A = xcosx — sinx -f- Ai, B = xsinx 4- cosx + Bx.

Setzt man diese Werte in die Gleichung (13.) ein, so findet man für das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung den Ausdruck

(19.)

(« 4- ALcos« -J- i?isin«).

^    1 — x²

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung

(20.)

d²y

dy

dx²

3ctg«^~ -f- (1 + 3ctg²x)y = a cos (3a;)

integrieren.

¹

x2fe~(2+3tsin \{x — t) Y Z] dt.

Auflösung. Setzt man

also

yx = sm«,

so wird

yx — cos« und yd' =—sin«,

(21.) yd' — 3ctgxyd + (1 + 3ctg²%i

= — sin« — 3ctg«cos« -J- sin« -f 3ctg²«sin« = 0, d. h. yx ist ein partikuläres Integral der homogenen Differential - Grleichung. Deshalb findet man nach Formel Nr. 344 der Tabelle ein zweites partikuläres Integral aus der Gleichung

(22.) y-i = yx I

J 2/i

dx •>/3tg xd./:

sin²«

dx . «    f. ,

smd« = sinxlsmxdx = — sin «cos«.

'dx    — 2ffx{x)d.r

e

— sin«

sin²«

— sin«

Deshalb ist

y — (A — _Bcos«)sin« das allgemeine Integral der homogenen Differential-Gleichung, wenn man unter A und B willkürliche Konstante versteht. Damit der Ausdruck auch das allgemeine Integral der nicht homogenen Differential-Gleichung darstellt, muß man A und B als Funktionen von « betrachten, die den Gleichungen

(23.)

(24.)

dA

dx

sin«

dB

dx

sin«cos« = 0

und

dA

dB

(cos²«— sin²«) = «cos (3«)

(Xdü

(25.)    ^ cos«

genügen. Dies gibt

<²⁶⁾ Jï”Kfi%_6+4sin2x)’ dx

folglich wird

dB

= «cos«

(sin²«

A — a(— 3x — ctgx — 2sina:cosa:) -f Ai,

(27.)    ^

4sinx^ -f- ^i*

Das allgemeine Integral der Differential-Gleichung (20.)

ist daher

(28.) y = (Ai — BiC,osx)&\nx -f- a[— 3# -j- sin(2x)]sina;, wobei Ai und Bi die beiden Intégrations-Konstanten sind.

XXIII. Abschnitt.

Simultane Differential-Gleichungen.

§ 148.

Zurückführung von simultanen Differential-Gleichungen zwischen einer unabhängigen und mehreren abhängigen Veränderlichen auf eine Differential-Gleichung höherer Ordnung zwischen zwei Veränderlichen.

Die unabhängige Veränderliche, von der die Veränderlichen x, y, z,... abhängig sind, heiße in dem folgenden t, dann mögen der Einfachheit wegen zunächst zwei simultane Differential-Gleichungen erster Ordnung zwischen t, x und y gegeben sein. Indem man aus diesen beiden Glei-dy    doc

chungen ^ > bezw. eliminiert, kann man sie leicht auf die Form

(1-)

dx

2/’ dt

(2.)

f;(

dy

)=°

*< x’ dt

bringen. Löst man jetzt noch die Gleichung (1.) nach y auf, so erhält man

(3.)

y = f(

dx

*■ dt

dx

wobei der Kürze wegen — mit x¹ bezeichnet worden ist.

dl

Hieraus folgt durch Differentiation dy ₌ df dt dt

(4.)

Cb: Cb

dx

dt

df d²x dx' dt²

Indem man diese Werte von y und ~ in die Glei-

dy

dt

chung (2.) einsetzt, ergibt sich eine Differential-Gleichung zweiter Ordnung zwischen t und x, auf deren Integration man die in den vorigen Abschnitten gegebenen Regeln anwenden kann. Hat man das allgemeine Integral dieser Differential - Gleichung gefunden, so erhält man den zugehörigen Wert von y unmittelbar aus Gleichung (3.).

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die beiden simultanen Differential - Gleichungen

dx

(5.)

(6.)

— 4x — y 4- 36£ = 0,

-j- 2x — y -f- 2e* = 0

integrieren.

Auflösung. Aus Gleichung (5.) folgt

(7.)

dx

(8.)

y^Tt~ix + m

dy d²x dx

Setzt man diese Werte in Gleichung (6.) ein

so er

hält man

(9.)

d²x

dx

<p-⁵^ + ⁶" = ³⁶⁽⁽-¹⁾-2e'-

Zur Integration dieser Differential - Gleichung kann man die in Formel Nr. 327 der Tabelle ausgesprochene Regel anwenden und erhält dadurch

(10.) x =

ent

F\rA L

. e~~ritdt

er-

⁺ F\rè L

t

a, + Ut)

0

. e~ritdt

wobei in dem vorliegenden Falle die charakteristische Gleichung

F(u) = u² — bu -f 6 = 0

(11.)

ist; ihre Wurzeln sind

(12.)

Ti — 2

r₂ = 8

folglich wird

(13.) F\u) = 2u — 5, F'(n) = — 1, F'(r₂) = + 1. Ferner ist

'Hi

4.)    <p(t) = 36(t — 1) — 2e*,

so

t. t    t

(15.) M) • e~ritdt — 3Qj{t — l)e~2tdt — 2Je~edt ooo

— 9e~²*(— 2£ + 1) + 2e⁻'' — 11

t    t    t

(16.) f<p{t). e~rm = 36ß — 1 )e-‘dfdt — 2 je~2tdt, 0 0 0

= 4e_3*(— 3^ + 2) + e~2t — 9.

Dies gibt

(17.) z = — e2t\C! 4- (— 18t + 9)e-²' + 2e~* — 11]

4- é*[C₂ -\-(—12t + 8)e~³* + e~²* — 9], oder, wenn man 11 — C\ mit A und C₂ — 9 mit B bezeichnet,

(18.)

x — 6t — 1 — e⁽ 4- Ae2t + Re³*.

Dabei sind A und B zwei beliebige Integrations-

Konstante. Daraus folgt dann mit Rücksicht auf Gleichung (7.)

y = 12* + 10 4- 3e* — 24e²* — Re³*.

(19.)

Dieses Verfahren kann man zunächst verallgemeinern auf zwei simultane Differential-Gleichungen höherer Ordnung zwischen x und y. Setzt man der Kürze wegen d²x

—— = x . • •

(20.)

dx

dt

= x'

dax

dt²

dta

(21.)

dy

₌ dßy

dt²    y ’ dt?

= yiß\ ■ ■

so seien die beiden Differential - Gleichungen

dt =y‘

F{t, x, x‘, x“,... x^m\ y, y', y“, ... y<*J) = 0,

(22.)

(23.)

G(t, x, x', x",... x(»\ y, y\ y", ... y^) = 0

gegeben. Indem man Gleichung (22.) ç-mal und Gleichung (23.) p-mal nach t differentiiert, erhält man die q Gleichungen

dF dF ÖF

⁽²⁴⁾ s.r + ^ + e^' + - +

dF

dyW y

(p+i) _ o

und die p Gleichungen

ÖG

da

SG

dyü)

y(9+ï) = 0

Im ganzen verfügt man also, wenn man die Gleichungen (22.) und (23.) hinzurechnet, über p -f- q -f- 2 Gleichungen, aus denen man die p -j- q + 1 Größen y, y', y'a ... y^p+9) eliminieren kann. Das Resultat der Elimination ist dann eine Differential-Gleichung (m -f- q)t6v oder (n -f-i>)ter Ordnung zwischen t und x, und zwar ist die Ordnung im allgemeinen der größeren von diesen beiden Zahlen m -j- q und n -|- p gleich. In besonderen Fällen kann natürlich eine Erniedrigung der Ordnung eintreten.

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die beiden simultanen Differential-Gleichungen

(26.)

ti²x

(27.)

⁴'+f+>²-»,

dt²

integrieren.

dx

dt ⁺ dt²    ’

dAx d²x d³y _

(28.)

Auflösung. Durch zweimalige Differentiation findet man aus Gleichung (26.) die beiden Gleichungen d³x

dt³

und durch einmalige Differentiation findet man aus Gleichung (27.)

<&y dy

dt³    dt    dt²

Aus den fünf Gleichungen (26.) bis (30.) kann man dy d²y d?y ctt ’ dt'¹ ’ dt‘d

man nämlich Gleichung (30.) von Gleichung (29.) ab, so bleibt

(30.)

d²x

= 0.

jetzt die vier Größen «/,

eliminieren. Zieht

dix

d²x

dy

⁺ dp ⁺ dt ’ und wenn man hiervon noch Gleichung (26.) abzieht, d*x

(31.)

dt⁴

(32.)

d²x

dt⁴

dt²

+ 4x = 12.

Indem man auf diese Differential-Gleichung die Bezeichnungen der Formel Nr. 327 der Tabelle anwendet, erhält man die charakteristische Gleichung F(u) = w⁴ -f- 5u² -{-4 = 0

(33.)

mit den Wurzeln

(34.) n = -f t, r₂ = — i, r₃ = + 2®, n = — 2«,

9$) = 12, F,/(m) = 4m³ -}- 10m,

F\ri) = + 6®, F^) = — 6®, F\ra) = — 12«, F'(n) = -f-12 i, folglich wird

t    t

h e*(Ci + 12c-«((7a + 12 f iHdt^

o    o

t

— ^2ti(ca -f- 12\je-™dt)

oder, wenn man Ci — 12® = CT, 0,+ 12* = C'/2, C₃ —6® = C'3j Ci + Qi = C\ setzt.

(35.) x =

12®

t

e~2t1(c± + 12/^4

o

(35a.) ar = i(— CTe*+CV-")+    C'₄e-2Ä) + 3.

Setzt man noch

«(— Gfi -|- CT) = 6A,

®(C'₃ — 04) = 12 C, so geht Gleichung (35 a.) über in

C\ + C'₂ = 6B,

— C'a — CU = 12D

(36.) x — 3 + Acos£ -f- Rsintf -f- (7cos(2f) -|- Dsin(2£), wobei A, _B, C und D die vier willkürlichen Integrations-Konstanten sind.

Den zugehörigen Wert von y findet man aus den Gleichungen (27.) und (28.). Eliminiert man nämlich aus

diesen beiden Gleichungen

d²y

dt²’

so erhält man

(fix

6^ + 7,

also mit Rücksicht auf Gleichung (36.)

(38.) y — 7 -j- 5Asin£— 5_Bcos£ -j- 4(7sin(2£)— 4Z)cos(2£).

(37.)

dfi

Sind drei simultane Differential-Gleichungen zwischen der unabhängigen Veränderlichen t und den Funktionen x, y, z gegeben, so kann man zunächst das oben angedeutete Verfahren benutzen, um z und die Ableitungen von z zu eliminieren. Dadurch erhält man zwei simultane Differential-Gleichungen, welche dieselbe Form haben wie die Gleichungen (22.) und (23.) und deshalb auch in derselben Weise behandelt werden können.

Dieses Verfahren läßt sich noch verallgemeinern auf n simultane Differential-Gleichungen zwischen einer unabhängigen Veränderlichen t und n Funktionen derselben.

Häufig wird man allerdings das entgegengesetzte Verfahren anwenden, indem man Differential-Gleichungen höherer Ordnung auf eine größere Anzahl von Differential-Gleichungen niedrigerer Ordnung zurückführt. Beispiele dafür bieten schon die Angaben in § 131.

§ 149.

Integration linearer simultaner Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 347.)

Zwei simultane Differential-Gleichungen erster Ordnung zwischen £, x und y, welche in bezug auf x, y gebracht werden, wobei fit), fit), gif), gif), hft), h₂{t) noch beliebige Funktionen von t sind.

Die Integration dieser Differential-Gleichungen kann nun nach einem Verfahren, das von d''Älembert angegeben und von Ampère verbessert ist, in folgender Weise ausgeführt werden. Man setze

(3.)

dx dy dt ' dt

nur vom ersten Grade sind, heißen „lineare Differential-Gleichungen erster Ordnung“ und können durch

dx

du

Elimination von ~ , bezw. von ~ auf die Form dt

dt

(1.)

dx

dt

+ fi(ß) • * + gif). y = hft)

(2.)

dy + fif) • X 4- gif). y = hit)

dt

w — x — vy,

also

(4.)

x = w -j- vy

dx dy dt V dt dt

dt

wo v eine noch passend zu wählende Funktion yon t sein möge. Indem man Gleichung (2.) mit v multipliziert und von Gleichung (1.) abzieht, erhält man

<⁵-> ät

dt + (fi — vfi)x -f {gi — vgiy = hx — vh₂

dx dy

— V4r wobei der Kürze wegen

fff) =    fi,    g ft) = gi,    hft) = Ai,

fit) =    fj,    gif) = g-2,    Jiif) — h₂

gesetzt ist. Dies gibt mit Rücksicht auf die Gleichungen (4.) dw    dv    ,

dt    ydt    V¹ ~    V‘²^w + vy) + (9i — v9'hy    = —    vh₂,

oder

dw

(6.) :~dj 4 (fi — vf₂)w 4

~dv

dt — f2v² 4 (fi — gi)v + gi y

= Ai — vh₂.

Da man über die Funktion v noch willkürlich verfügen darf, so kann man den Koeffizienten von y gleich Null machen, indem man

(7.)

dv

dt = fo² — (fi — g->)v — gi

setzt. Obwohl diese Differential-Gleichung zwischen t und v nur von der ersten Ordnung ist, so kann man doch ihr allgemeines Integral nicht immer finden, weil sie nicht linear ist. Zur vollständigen Lösung der Aufgabe genügt es aber, daß man zwei partikuläre Integrale V\ und v-> kennt, denn dann ergeben sich, wenn man die ihnen durch Gleichung (3.) zugeordneten Werte von w mit wi und w2 bezeichnet, aus Gleichung (6.) die beiden linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung

“ + (fi — vif₂)w₁ = hi — vih₂, dw₂

(8.)

(9.)

dt + (fi — v₂f₂)w₂ = h — v₂h₂, -

die man z. B. nach der Bernoulli sehen Methode integrieren kann. Da hierbei zwei Intégrations-Konstante (\ und C2 auftreten, so findet man aus den Gleichungen

und x — v₂y — w2 Werte der Funktionen x und y, welche die allgemeine Lösung darstellen.

(10.)

x — Vi y = wi

Beispiel.

Aufgabe 1. Man soll die beiden simultanen Differential-Gleichungen

(11.)

dx

---4x — y = — 361

dt

(12.)

dy

+ <lx-y = -W

integrieren.

Auflösung. Indem man Gleichung (12.) mit v multipliziert und von

dt

oder mit Bücksicht auf die Gleichungen (4.)

Gleichung (11.) abzieht, erhält — — v^ — (4 -f 2v)x — (1 — v)y — — 36# -f 2e''. v,

man

dt

dw

(4 -J- 2v)w -j-    — 2v² —

¹ )v

= — 36 £ -f- 2e*. v.

Über die willkürliche Eunktion v verfüge man jetzt so, daß in Gleichung (14.) der Koeffizient von y verschwindet. Dies gibt

<¹⁴-> dt

3v —

(15.)

dv

= 2v² + 3v -f- 1 = (2v -f- 1) (v -f- 1)

Ul

oder

(16.)

dt =

dv

2 dv

dv

(2t> -{- l)(v + 1) 2v -j- 1 v + 1

folglich wird

(17.)

t — ln(2v -f- 1) — ln(t> + 1) — ln(7,

oder

Ce* — 1

2v -f- 1

= Ce*, v =

In diesem Falle hat man sogar für v das allgemeine Integral gefunden ; da man aber nur zwei partikuläre Integrale braucht, so nehme man für C die Werte 0 und oo. Dadurch erhält man

(18.)

Ce* — 2

(19.)

Vi = -— J v₂ — — 1.

Werte, von denen man ohne weiteres erkennt, daß sie der Gleichung (15.) genügen. Aus Gleichung (14.) ergeben sich deshalb die beiden linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung

(20.)

(21.)

— Swi = — 36£ - e*,

dw₂

dt

2 w₂ = — 36 t — 2e*.

Setzt man jetzt

(22.)

W-2 — U₂Z2

W-! = U\Z\

so gehen die Gleichungen (20.) und (21.) über in

(23.)

dz\

dui

3u^ =

— 36 t — e*

(24.)

dS2

dU2

u»dt+ z\ a

— 36 if — 2e*

folglich wird man setzen dui

(25.)

also

Mi

— 3dt

du2

m₂

== 2 dt,

(26.)

Mi = e3i

(27.)

M2 = e2t.

Dadurch gehen die Gleichungen (23.) und (24.) über in = — 3 6ter~3t — e~²*,

(28.)

= — 36 te~2t — 2e~*

folglich wird

*i = 4(31 + l)*-* + t e-²< + Cu

z₂ = 9(21 -f l)e~2t + 2e~‘ + C₂.

Dies gibt mit Rücksicht auf Gleichung (3.)

(31.) w\ = Mi^i = \2t -f- 4 -f- ^-e* -f- Cié²* — x Ą- ^ y,

(32.) w₂ = u₂z₂ = 18£ -j- 9 -b 2e*¹ -f- C^e²* = x -j- y,

(29.)

(30.)

also

(33.)

(34.)

x = 6t — 1 — e* + 2C₁e³' — C₂e2t, y = 12t -{- 10 -f- 3e* — 2C^ + 2C₂e2t. Setzt man noch

— C₂ = A, 2 Ci = B,

so stimmen diese Gleichungen genau mit den Gleichungen (18.) und (19.) in § 148 überein, welche man bei der Lösung derselben Aufgabe fand.

Sind die Koeffizienten /i, f₂, gi, <72 konstant, so darf man für Vi und V2 immer, wie es in dem vorhergehenden Beispiele geschehen ist, die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung

/k² — (fi — gi)v —gi = 0

setzen, denn in diesem Falle werden v\ und v₂ Konstante,

deren Ableitung gleich Null ist; sie genügen deshalb der Differential - Gleichung (7.).

Das angegebene Verfahren kann man auch auf drei simultane Diff erential - Gleichungen von der Form

(35.)

dx

(36.)

df + fa + 9iy + h z = h, dy -|- fax -f g₂y -f h₂z = k₂,

dt

(37.)

dz

dt + -f g?y + hz = h

übertragen, wobei fa, ga, ha) ka (für a = l, 2, 3) noch Funktionen von t sein dürfen. Zieht man jetzt die Gleichungen (36.) und (37.), nachdem man sie bezw. mit den willkürlichen Funktionen v und w multipliziert hat, von Gleichung (35.) ab, so erhält man

dx dy

<3&> ät

dz

+ (/i—+ {gi—vg₂—wg₃)y

dt W dt

-f (hi — vh₂—wh₃)z = ki — vk₂—wk₃.

Indem man noch

(39.)

also x — u + vy -f- wz

x — vy — wz — u setzt, erhält man

dx dy dz du dv dw dt-vdt~wdi = dt+i/dt+zdt'

Durch Einsetzen dieser Werte geht Gleichung (38.)

(40.)

über in

du dv dw dt + ydt +

-j- (gi — vg₂ — wg-ijfy + (hx — vh₂ — wh₃)z — ki — vk> — wk₃.

Jetzt kann man über die willkürlichen Funktionen v und w so verfügen, daß in dieser Gleichung die Koeffizienten von y und z verschwinden, indem man

(41.)

+ {fi — vf₂ — wf₃)(u -f-vy + wz)

dv

(42.) d~ -f (fi — vft — wf₃)v + (gi — vg₂ — wg₃) = 0

df + (fi — vfi — wfs)u = ki — vk₂ — wks.

du

(44.

(Iw

+ ifi — VU — WU )w + (Ai — vho — ivh-i) = 0

dt

setzt. Dadurch, reduziert sich Gleichung (41.) auf

Die Gleichungen (42.) und (43.) stellen ein System von zwei simultanen Differential-Gleichungen für die Funktionen v und w vor. Die Integration, die nach der soeben angegebenen Methode durchzuführen wäre, wird, weil die Gleichungen in bezug auf v und w nicht linear sind, in den meisten Fällen auf Schwierigkeiten stoßen. Es genügt aber auch hier, von diesen beiden Differential-Gleichungen drei partikuläre Lösungen Vi und wi, v₂ und m>₂, und wä zu kennen, denn zu jedem solchen Wertepaare ergibt sich aus Gleichung (44.) eine lineare Diff erential - Gleichung erster Ordnung, deren Integrale ui, u₂, us jedesmal eine willkürliche Intégrations-Konstante enthalten. Dann findet man aber aus den Gleichungen

x — Vi y — wiz — ui,

X - V-iy — W₂z = U2,

x — v₃y — wa z = u6 die allgemeinen Integrale von x, y, z.

Sind die Koeffizienten /i, f₂, /s, gi, g-2, g-s, Ai, h₂, h6 konstant, so genügen den Gleichungen (42.) und (43.) konstante Werte von v und w, die sich aus den Gleichungen

{fi — vf₂ — wfs)v + {gi — vg₂ — wg-₆) = 0,

(fi — vf₂ — wfs)w -|- {hi — vh₂ — whs) = 0

Auflösung dieser Gleichungen fi — vf> — tofa = r, so ergeben sich die drei Gleichungen

{r — fi) + Uv + Uw = 0, gi + {r — g₂)v — g-iW = 0, hi — h₂v -f (r — hs)w — 0.

Durch Elimination von v und w findet man aus diesen Gleichungen für r die kubische Gleichung

Kiepert, Integral - Rechnung.

(45.)

(46.)

(47.)

ergeben. Setzt man zur

(48.)

(48 a.)

(49.)

(50.)

56

r — fi

(51.)

9i,r — g₂,    —g₃

— h₂, r — h₃

*1

oder

(51 a.) (r — ft)(r — g₂)(r — hä) — g₃h^r — f\) — hxf₃(r — g₂)

— Ugir — A₃) — f₂g₃h 1 — f\>,g\h₂ = 0.

Sind r1? r₂, ra die Wurzeln dieser kubischen Gleichung, so findet man aus den Gleichungen (48 a.) bis (50.) die zugehörigen Werte von v und w: und Gleichung (44.) nimmt die Form

(52.) p

an, deren allgemeines Integral nach Formel Nr. 287 der Tabelle durch die Gleichung

ua — e~rat

+ raua = kx — vak₂ — wak₃

(für a = 1, 2, 3)

(53.)

— vak₂ — wak₃)eratdt -f- Ca

dargestellt wird.

Beispiel.

Aufgabe 2. Man soll die drei simultanen Differential-Gleichungen

(54.)

(55.)

(56.)

H ! So    i So ^ j So

^ !ts Ts l¹^

— Ix — 34 y -f- 42 z = 2e⁴f

-f- x -f- 10y — 6z = beu

— 4x — 10?/ -f- 18# = 8e10if

integrieren.

Auflösung. Indem man die Gleichungen (55.) und (56.) bezw. mit den willkürlichen Funktionen v und w multipliziert und dann von Gleichung (54.) abzieht, erhält man

<⁶⁷-> at

dx dy dz

dt

W dt ^^ — v 4- 4w)x

+ (— 34 — 10v -f-10w)y -f- (42 -f- 6v — 18w)^ — 2 e⁴* — bvelt — 8 wei0t.

fft

elf t kJ,./

Diese Gleichung reduziert sich mit Rücksicht auf die    (■

Gleichungen (39.) und (40.) auf

fl + y% +    + ⁷ _ v + 4w^u + vy + wz)

+(—34—10v+10w%+(42+6v—18 w)z = 2e⁴'—5 velfSwem.

Setzt man jetzt noch

— 7 — v-j-4w = r, oder r + 7 + v —    = 0,

(59.) < — 34 -f- (r — 10)v + 10 w = 0,

42 + 6v + (r — 18)w = 0,

so werden in Gleichung (58.) die Koeffizienten von y und von z gleich Null, weil für konstante Werte von v und w

die Ableitungen ~ und verschwinden. Eliminiert man

aus den Gleichungen (59.) die Größen v und w, so erhält man (60.) r³ — 21 r² + 126r — 216 = (r — 3)(r — 6)(r — 12) = 0, also

(58.)

(61.)

n = 3, r₂ = 6, rä = 12.

Die zugehörigen Werte von v und w findet man dann aus den Gleichungen (59.), welche durch Einsetzen der besonderen Werte von r die Form

^i+4 wx = 10, — ^2+4^2 = 13, —V3+4m>₃ = 19, \ — 7^1+10^1=34, —4^2+10^2=34, +2v₃+10w₃= 34 annehmen. Daraus ergibt sich

V\ =    2, W\ — + 2 5 v₂ — — 1, w₂ = + 31

V3 — — 3, w₃ = + 4.

(62.)

(63.)

Deshalb erhält man aus Gleichung (58.) die drei linearen Differential-Gleichungen erster Ordnung dui

(64.)

(65.)

+ 3wi = 2e⁴' + 10e⁷' — 16e¹⁰'

du₂

+ 6^2 = 2 e⁴' + 5e⁷' — 24e¹⁰'

du

(66.)

du₃

+ 12^3 = 2e⁴' + 15e⁷' — 32e¹⁰';

folglich ist

56*

(67.) ux = e~%t [j(2eP + 10e7/ — 1 Qe¹⁰*)&dt + Ci

o

= Oi e—3if -f- — e4t -f- e"* — e

+ 5e7(f — 24e¹⁰Oeß'<W + 0₂

tH ! rH

OC; CO

10/

(68.) u₂ = er⁻⁶*

[b*

(69.) m₃ =

= 0₂e-C/ -f i e⁴' + ™ e

e_12{/"2e4' ⁺ löß⁷' — 32elo0 emdt + C₃

it_

CO <n

e¹⁰'",

16

i    i k

= 0₃e“¹²' + i- e⁴' + ^ e⁷' — g e¹⁰'.

Schließlicli findet man ans den Gleichungen (70.) x + 2t/ — 2z =    ^ — 30 = u₂, a; + 3y — 4z = m₃

die Werte der Funktionen x: y, 0 selbst, nämlich 3x — bui -f- 2m₂ — 4m₃,

(71.)

3t/= Ui — 2m₂ + m₃,

U3,

3 z — 2m 1 — m₂

oder

(72.) 3# =

QQ

50ie-^+ 2Cfcr«-4C₈ß-¹*+ — é* + _ e

(73.) 3t/=

7/

477

»W(

143    ’

Ci<r~3t — 20₂e_6if -f Ose⁻¹²'' +

252

280

247

eu Ą

45

143 ⁶

10/

(74.) 3z =

2Cie-»— 0₂e-w— C₃e-¹²' +

69

<1.

141

XXIV. Abschnitt.

Integration durch Reihen.

§ 150.

Integration durch Anwendung der Taylor sehen und der Mac-Laurin sehen Reihe.

In § 110 und 131 war bereits gezeigt worden, wie man die Taylor sehe Reihe benutzen kann zur Integration der Differential-Gleichungen. Hier mögen einige Beispiele dafür folgen.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

dhy

(1.)

dx²

+ cfixy = 0

integrieren.

Auflösung. Hat die Lösung der Differential - Gleichung (1.) die Form

y = f(x), ist also ^

dx

= f'W

d²y

dx²

so geht Gleichung (1.) über in die Identität fN{x) -f- asxf(x) = 0, und daraus folgt durch fortgesetzte Differentiation

= 0,

f^\x) + a?xf"{x) -f- 2 a?f'(x) = 0, mx) -f- a*xf'"(x) -f- 3a³f"(x) = 0,

(la.)

(2.)

-f- a⁶x f'{x)    + dàf(x)

f(n+z)(x) ddxf⁽‘n+l\x) + (n + 1 )aAf(n\x) = 0. Da man die Werte

noch beliebig annehmen darf, so findet man aus den Gleichungen (la.) und (2.)

f(*)(0) = — 2 Baà, /•(7)(0) = -f 2.5Ba«

f"(0) = 0, f'"(0) = — Aaià,

<*•)

/•C5)(0) = o, f^(0) = + 4Aa⁶

/•(⁸>(0) = 0, fW(0) = —4.7Aa⁹, /A°)(i0) = —2.5.8BdJ,

Durch Einsetzen in die Mac-Laurin sehe Reihe

3! # + -

m-m+™x+qto*₊rm

erhält man daher

(&•) y -

4.7.10 a¹²x¹²

dàx? 4a⁶a?⁶    4.7a⁹x⁹

B! ⁺ 6 !    9!

B /ax    2a*x⁴ . 2.5a⁷x⁷    2.5.8a¹⁰a5¹⁽

a \1!

Die Potenzreihen in den Klammern sind stark konvergent und genügen formal der vorgelegten Differential-Gleichung, folglich stellt Gleichung (5.) das allgemeine Integral mit den beiden Intégrations-Konstanten A und B dar.

12!

+■")

7!

10!

(6.)

-f- a⁶xy — 0

Aufgabe 2. Man soll die Differential-Gleichung d²y . 2 dy dx² x dx

integrieren.

Auflösung. Hier wird es sich empfehlen, die Gleichung (6.) zunächst auf die Normalform zu bringen, indem man nach Formel Nr. 341 der Tabelle

(7.)

—JA(x)dx

y — ve

= ve

rdx

J X _

ve-\ax —

setzt. Dies gibt

(9.)

(8.) xy = v, also xy⁴ -\- y = v\ xy° -f- 2y⁴ — v°. Deshalb geht Gleichung (6.) über in v" dxv = 0,

d. h. die vorliegende Aufgabe ist auf die vorige zurückgeführt. Man erhält daher

oder (14 a.)

(10.) y =

-6

X \

asx’

3!    +    6!

B / ax aaAl !

4a⁶a:⁶    4.7 aV    4.7.10Ä¹²

9!    ⁺

2a%⁴    2.5a⁷x⁷    2.5.8a¹⁰x¹⁰

~iY~ ⁺

12!

+ -)

7!

10!

(11.)

Aufgabe 3. Man soll die Differential -Gleichung n

{    ] dx² dx

integrieren.

Auflösung. Setzt man wieder y = f(x): so geht Gleichung (11.) über in (11a.)

(1 — x²)f"(x) — xf'(x) — 2 = 0.

Daraus erhält man durch fortgesetzte Differentiation die Gleichungen

(1 — X²)f"'(x) — 3xf"(x) — f\x)

(1 — x²)f^\x) — bxf"\x) — 4 f'\x) = 0 (1 — x²)f^{x) — 7 xfQ\x) — 9f'"(x) = 0

(12.)

(1 — x²)f(n+2\x) — (2n -f-1 )xf(n+xXx) — n²f(n\x) = 0. Bezeichnet man wieder f(0) mit A und f\0) mit 5, so erhält man aus den Gleichungen (11a.) und (12.)

f^X 0) = 2.4,

(13.)    fW(0) = 9B, f^(0) = 2.4.16, f«K0) = 9.255,

. fV\0) = 2.4.16.36, p\0) = 9.25.495,..

f"{0) = 2

f"X 0) = 5,

folglich wird

y — + +

+ ²(2!

a£ . 9a:⁵    9.25a:⁷

H 7!

3! ⁺ 5!

,c²    4^.4    4 _ ißa:⁶

+ 4 r ■

6!

4.16.36a:⁸

+ 8!

+ -)

oder

....    _ A .    1 a^ 1.3a:⁵

(14.) y + + ^(j +₂ ₃ +2.4 5

/a:²    2 a:⁴    2.4 a:⁶

⁺ VT ⁺3 2 ⁺ 3.5 3

ir +

1.3.

io ;

2.4.6 7

2.4.

y — J. + B arcsin a: -f- (arcsina:)².

Auch diese Gleichung enthält zwei willkürliche Konstante A und B und genügt der vorgelegten Differential-Gleichung, folglich stellt sie das allgemeine Integral dar. Bei dieser Aufgabe hätte man das allgemeine Integral

^ = p setzt; dann

auch dadurch finden können, daß man geht Gleichung (11.) über in

(15.)

dp

1 — x² ^    1 — x²

Das ist eine lineare Differential-Gleichung erster Ordnung. Deshalb setzt man p = uz und erhält

dx

(16.)

dz

xu

\_-=

/    1 — x²

Udx

Jetzt bestimmt man die Funktion u so, daß

xdx 1 — x²

wird, und findet durch Integration

lnw = — |ln(l — x²), oder u —

Deshalb geht Gleichung (16.) über in

1 — x²

(17.)

(18.)

folglich wird

du

dz

y Y_x2 dx l — x²

Vl — x²

* '²ivï=&

dy 2arcsinx

p = dx⁼yr^ß ' yr^

und daraus findet man in Übereinstimmung mit Gleichung (14a.) durch Integration

(19.)

(20.)

uz —

-f- B = 2 arc sin x -}- B

(21.)

y = A + B arc sin x + (arc sin x)².

Aufgabe 4. Man soll die Differential-Gleichung

(22.)

d²y

dxä + axy = ⁰

integrieren.

Auflösung. Setzt man wieder y — f(x), so findet man f"{x) -f a*x²f(x) = 0,

(22 a.)

und daraus erhält man durch fortgesetzte Differentiation die Gleichungen

(23.)

' f'"(x) -f- aAx²f\x) 4* 2aAxf{x) = 0, f^Xx) -f- aAx²f"(x) + 4aAxf\x) 4- 2aAf(x) = 0, f&\x) 4- a⁴x²f'"(x) 4- QaAxf"(x) 4- 6a⁴f'(x) = 0, f^\x) 4- aAx²f^\x) 4- 8aAxf'"(x) 4- 12aAf"(x) — 0,

f(n+4)(x) 4- aAx²f⁽-n+2\x) 4- 2(n 4- 2)aAxf⁽-n+1\x)

+ (» 4 l)(n + 2)a⁴/w(a:) = 0.

Bezeichnet man wieder f(0) mit 4 und f\0) mit i?, so folgt aus den Gleichungen (22 a.) und (23.)

t f"{0) = 0, f"'(0) = 0, /W(0) = — 1.24a⁴,

/•(5)(0) = — 2.3BaA, fW(0) = 0,    /+0) = 0,

(24.)    /'(^(O) -= + 1.2.5.64a⁸, /^(O) = +2.3.6.7J?a⁸,

+io)(0) =0, /•(n)(0) = 0, /’<¹²^(0) = —1.2.5.6.9.104a¹²,

. /-O3)(0) = — 2.3.6.7.10. lljBa¹²,....

Dies gibt

(25.) y =

1.2

a⁸x⁸

4! a'xiĄ

1.2.5.6

8!

1.2.5.6.9.10

12!

a¹²z¹²4-----)

+ Bx(l

2.3 ₄ ₄ , 2.3.6.7 Trax +—gl—

a⁸x⁸

2.3.6.7.10.11

13!

a^£pi2 4__

oder

(25 a.) y =

aAxA

a⁸x⁸

a¹²x¹²

3.4

3.4.7.8    3.4.7.8.11.12

+-•)

B fax

a⁵x⁵

a⁹x°

1.4.5

1.4.5.8.9

•>

a¹³x¹³

1.4.5.8.9.12.13

dann ergibt sich nach Formel Nr. 344 der Tabelle ein zweites partikuläres Integral in der Form

(32.) y₂

fdx — ‘if/₁{x)äx

‘'Ja:-''

fdx —af—

“ Vlbe 1

Cx~adx

Entwickelt man hierbei nach den bekannten Regeln (vergl. D.-R., 12. Auflage, § 56)    \₂ nach steigenden Po

tenzen von x², so erhält man eine Reihe von der Form

(33.)

K = 1 -f CXX² + c₂x⁴ -f c₃x⁶ H----

yi²

also

(34.) y'> = yx J{x~a + cxx²~a 4- c₂x⁴~a + c₃x / xl~a ,    ;

= Hr^« + Cl3

X?~a

-(- ■ • -)dx ¹    x®—a    otf—a    \

- + C₂~--f- C₃~-----1----)

a 5 — a 7 — a /

6—a

wobei vorausgesetzt wird, daß a keine ungerade positive ganze Zahl ist. Die Bestimmung der Werte von cx, c₂, <?3,... darf hier übergangen werden, weil sie im folgenden Paragraphen auf anderem Wege durchgeführt werden soll. Das allgemeine Integral ist dann xl~a

(35.) y = yx

⁴+Ki

~ + C1 Q Qj    o

X' ~ a

4,    ry 5—CI

+ °2 V H---

Qj    0 Qj

§ 151.

Methode der unbestimmten Koeffizienten.

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 348.)

In den meisten Fällen ist die Berechnung der höheren Ableitungen von y — f(x) sehr umständlich, namentlich, wenn die vorgelegte Differential-Gleichung nicht linear ist. Dann kommt man durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten schneller zum Ziele, d. h. man setzt

(1.) y = c₀(x — a)a -f- cx (x — a)a+1 + c₂(x — a)a+2 -f- • ■ •,

■ i indem man die rechte

bildet die Ableitungen

dy d²y dx ' dx² ’

• in die vorgelegte Differen-

die Werte von y,

Seite von Gleichung (1.) gliedweise differentiiert, und setzt dy dry cTxdx²'"

tial - Gleichung ein. Indem man die Glieder mit gleich hohen Potenzen von x — a zusammenfaßt und ihre Summe gleich Null setzt, findet man die zulässigen Werte von a und dann der Reihe nach die unbestimmten Koeffizienten ci, c₂, C3,.... Den Wert von co kann man dabei noch beliebig annehmen.

Ehe dieses Verfahren allgemein erläutert wird, möge ein Beispiel vorangeschickt werden, damit dann die allgemeinen Ausführungen leichter verständlich sind.

Aufgabe 1. Man soll die Differential-Gleichung

d²y

(2.)

dx²

a dy x dx

integrieren.

Auflösung. Die Aufgabe wurde bereits an letzter Stelle des vorhergehenden Paragraphen behandelt. Hier setze man

(3.)

y = Cox“ -f- Cixa+1 -f- c₂xa+2 -f- CbX“⁺³ -j----,

also

a—1

-f-(a-f-l)cia5° -j-(a-f-2)c₂a:“⁺¹-f-(«4-d)c3X“⁺²-f • • •,

y‘ = aC()X

y“ = a(a — l)coæ“—² -j- (a + l)aci:ra—¹ -f- (a -f-2)(a -f-l)c₂a;“ -j- • • •,

dann wird

(4.) xy“ + ay‘ -f- bxy = ac₀(a — 1 -f- d)xa~l -f- (a -f- l)(a -f- a)ciX + [(«+2)(a-|-l+a)c₂-f6co]x⁰⁺¹-f [(a-f3)(a+2-fa>73+öc₁]a:“+2 + [(« + 4)(a -f- 3 -f- a)c₄-f- bc₂]xtt+3 ----= 0.

Da diese Gleichung eine identische ist, müssen die einzelnen Glieder gleich Null werden. Deshalb gelten die Gleichungen

(5.)

(6.)

(7.)

(8.)

ac₀(a — 1 -j- a) — 0, (a -f l)(a + a)cx = 0, (a "h 2)(« + 1 -f- a)c2 -f- bco = 0, (a -f- 3)(« + 2 -f- d]c₂ -j- bei — 0,

(9.)    (0 + v -j- 2)(a -f- v +1 -f a)cv+2 + bcv = 0. (t> = 0,1,2,3,...)

Da Co eine willkürliche Konstante ist, die nicht verschwinden darf, so findet man aus Gleichung (5.) für a die beiden Werte

(10.)

«i = 0 und a₂ = 1 — a.

Betrachtet man zunächst den Wert « = 0, so findet man aus den Gleichungen (6.) bis (9.)

ci = 0, c₃ = 0, c₅ = 0, c₇ = 0,..

und wenn man in diesem Falle «o mit A bezeichnet,

Ab²

2.4(a -j- 1) [a 4 3)

(11.)

«0 = A, «2 =

Ab

(12.)

2(a -f- 1)

?    «4 = -f-

«6 =

Ab³

2.4.6(a 4 l)(a 4 3)(a -j- 5)

und erhält in Übereinstimmung mit Gleichung (30.) in § 150

b²x⁴

(13.) Vl = A 1-

bx²

2(ß 4 1)

2.4(« + l)(a + 3)

b³xG

2.4.6(a+ l)(a + 3)(fl + 5)

Diese Reihen-Entwickelung hat nur einen Sinn, wenn a von — 1, — 3, — 5, — 7,... verschieden ist.

Setzt man jetzt a — 1 — a und bezeichnet die Integrations-Konstante «o mit so erhält man aus den Gleichungen (6.) bis (9.)

(14.)

«1 = 0, Cs = 0,    «5 = 0,    «7 = 0,..

(15.)

«o ⁼⁼ B, «2 =

Bb

2(3 — a)

» cl = +

Bb²

2.4(3 — a)(5 — a)

«6 =

Bb³

2.4.6 (3 — a) (5 — a) (7 — a) ’ ‘ ‘ ’ *

Dies gibt

(16.) yo — Bxl~a 1 —

bx²

b²x⁴

2(3 — a) T 2.4(3^— a)(5 — a) b³xß

2.4.6 (3 — a) (5 — a)[7 — a) ¹

Unter der Voraussetzung, daß die Reihen-Entwickelungen in G-leichung (13.) und (16.) einen Sinn haben und voneinander verschieden sind, ist

(17.)

y = yi + V2

das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung.

Ein besonders merkwürdiger Fall tritt für a = 1 ein; dann gehen die Gleichungen (13.) und (16.) über in

(13 a.) yx = A(l und

6a;²

6²a;⁴

~w

(16a.)    =    l—^ +

bsx⁶

2².4² ~~ 2².4².6²

+ -•)

6²a;4 2².4²

6³a;⁶

2².4².6²

d. h. y\ und y₂ werden, abgesehen von den Integrations-Konstanten A und B einander gleich, so daß Gleichung (17.) nicht mehr das allgemeine Integral darstellt. Um auch in diesem Falle das allgemeine Integral zu ermitteln, setze man

6³a;⁶

(18.)

6a;² .    6²a;⁴

2².4²    2².4².6²

und

(19.)

y — z -\- uv, also y‘ = z‘ -f- u'v -f- uv',

yU _ ZU unv _|_ 2u‘v‘ -j- uv",

dann wird, weil v eine Lösung der vorgelegten Differential-Gleichung ist,

(20.) xy"-\-y‘-\-bxy — xz"-\-z‘-f- bxz v{xu"-\- u‘) -f- ’Zxu'v' = 0.

Dabei darf man noch von den beiden Funktionen u und z die eine willkürlich bestimmen. Man bestimme z. B. u so, daß

(21.)

xu" -f- u‘ = 0 oder

du¹

dx

u‘

wird. Dies gibt

(22.) ln u‘ = ln B — Ina; = ln^—^

u — A -f- Rlna;.

Durch diese Bestimmung von u geht Gleichung (20.)

(23.)

über in

also

du

dx

*-■)

(26.)

Aufgabe 5. Man soll die Differential -Gleichung

d*y

dx²

integrieren.

Auflösung. Setzt man wieder y = f(x), so findet man

(26 a.)

xf‘\x) + af‘{x) + hx fix) — 0, und daraus erhält man durch fortgesetzte Differentiation xf“\x) + (a + 1 )f“{x) -f bxf'(x) + bf(x) = 0, xf⁽%x) -f- (« + 2 )f"\x) 4- bxf"(x) 4- 2bf'(x) = 0, xfi%x) 4(«4    4- bxf/y/(x) 4- 3bf"(x) = 0,

(27.)

xf(n+2)(aj) 4-(a4_ n)fin+1\x) + bxfinXx)-\-nbf{-n~xXx) = 0.

In diesem Falle ergibt sich aber aus Gleichung (26 a.), wenn man wieder f(0) mit A und f'(0) mit B bezeichnet, daß B gleich Null wird. Dann folgt aber aus den Gleichungen (27.), daß auch

(28.)

f“\0),    f{7\0) = 0,....

Dagegen wird

(29.) HO) = -

Ab

1.3Ab²

a 4- 1

H(0) =

(30.) y = ^(l -

m o) = +

1.3.5 Abs

(® + !)(«"+8)(a + 6j,‘

b²x*

2.4(a + l)(a + 3)

(a + 1) (a 4- 3)

2(<z 4" 1)

Das ist aber nur ein 'partikuläres Integral, weil die Lösung nur eine willkürliche Intégrations-Konstante A enthält. Um das allgemeine Integral zu finden, setze man

1___=_₊_v*___

2(a 41)    2.4(a4 l)(a 4- 3)

(31.)

bx²

6³a;¹

2.4.6(a + l)(a 4- 3) (a 4 5)

§ 151. Methode der unbestimmten Koeffizienten. xz“ -f- z‘ + bxz -f- ZBv' = 0,

(24.)

folglich wird

(25.)

-2Rö(|- ₂^₄ +

xz“ -j- z' + bxz = — 2Bvl b²x°

2².4².6

Wx~‘

2².4².6².8

Setzt man jetzt

(26.)

also

2 = Ol, + Cix + C₂x² + C₃x³ 4- C\X^ 4----,

so wird

s' = <7i 4- 2C₂x + 3<7₃a:² 4- 40^ + •••, z“ = 2<7₂ + 3.2(7s^ + 4.3G₄x² 4- • • •,

(27.)

(28.)

xzn Ą- z‘ 4- bxz — Ci 4~ (2“(7₂4- bCo)x 4* (3²Cg 4* bCi)x“ -I⁻ (4^(74 4- bC₂)x? 4* • • • • Durch Vergleichung dieser Entwickelung mit der auf der rechten Seite von Gleichung (25.) findet man <74 = 0, C₃ = 0, (7Ö = 0,..

(29.) 2²<7₃+ö<7o-R6, also C₂= +

(30.) 4²<7₄4-&<7₂ =

Rö²

2².2

also (7₄

R6²

(7₀0²

2274,(1 + 4) + ^

(31.) WC%-\-bCi = 4

BW

2².4².3

R6³

also Cr,--h ₂2 42 02

(1+ł + ł)

(7₀6³

2².4².6²

Deshalb wird

(32.) * = <7₀(l — ~bx²

NO

bW

22742

bsx⁶

2²

2².4².6²

+ ł) + ₂8.4*. 6*⁽¹ + ^ ⁺ ^--*----]

oder mit Rücksicht auf Gleichung (18.)

~hoT^ /)2/v4

(32 a.) s = CqV + B ^    22 42 ^    4)

ö³#⁶

2².4².6²

(1 + t + i)--h •⁻ • •

Dies gibt, wenn man die Gleichungen (19.) und (23.) beachtet und Co -f- A mit A‘ bezeichnet,

¹

³a4

2.4.6(a 4 l)(a + 3)(a 4- 5)

(33.) y = (A* -f- _Blnx)y -f B

(1 + ł)

px² W

2².4²

5³x⁶

^ 2².4².6²

Diese Lösung, bei der nur stark konvergierende Reihen auftreten, genügt formal der vorgelegten Differential-Gleichung und enthält die beiden willkürlichen Konstanten A‘ und B\ sie stellt daher das allgemeine Integral dar.

Bei der allgemeinen Untersuchung möge die vorgelegte Diff erential - Gleichung die Form (34.) fo{x)y(m) + fi(x,y(m~l) -}-----h f*-i(x)ÿ + fjx)y = 0

haben, d. h. die Untersuchung soll auf lineare, homogene Differential-Gleichungen mter Ordnung beschränkt werden. Dabei soll es zulässig sein, daß die Funktionen /o(x), /i(x), ...    fm(x) für x — a unendlich groß werden, aber es

soll ausgeschlossen sein, daß sie unendlich groß werden von unendlich hoher Ordnung, oder daß sie unendlich groß werden wie ln(x— a); d. h. sie haben die Form

fa{x) =

g„lx)

{x — a)agjx)

(a = 0,1, 2,... m)

wobei die Funktionen ga(x) für x — a nicht mehr unendlich groß werden, sondern von Null verschiedene endliche Größen, und die Exponenten ha positive ganze Zahlen sind. Bezeichnet man jetzt die größeste unter den Zahlen ka-\- a mit /, so kann man die Gleichung (34.) durch Multiplikation mit (x — a)v auf die Form

(35.) {x — a)mF({x)y{-m) -j- (x — a)m~lFi(x)y⁽-m~¹) -{-•••

+ {% — a)Fm—\(x)y‘ + Fm(x)y = 0 bringen und es dabei erreichen, daß von den Funktionen Fdx), Fi(x),... Fm—i(x), Fm(x) keine für x — a unendlich groß wird, und daß wenigstens eine von ihnen für x = a von Null verschieden ist. Man nennt diese Form „die Fro-leniussche Normalform“.

(x — a'f«

(x— dfct+a

Es möge ferner vorausgesetzt werden, daß sich die Funktionen FJx) nach steigenden Potenzen von x — a entwickeln lassen, daß also

(86.)

oo

FJx) = 2 cX)i.{x — af.

2=0

(*. = 0, 1, 2*... m).

a)a [c₀ + ci(x — a) + c₂(x -af-\----]

Jetzt setze man (87.) y = (x

OO

= 2 cv{% — a)“+v,

y=0

wobei co von Null verschieden sein soll, und versuche, die Zahl a und die Koeffizienten c₀, Ci, c₂,... so zu bestimmen, daß die vorgelegte Differential-Gleichung befriedigt wird. Dabei folgt aus Gleichung (37.)

(38.)

= !l!CTV

y“ = S2!( t"'y.jx — «/-’■ = y‘" = i₀3!(“ t —

y‘

ay+v—i

man

folglich erhält

(x — a)mFo{x)y{m) = 2 co, x{x — df 2 m ! C 'r 1 \cv(x — a)a+v 2=0    y=c \ m /

oo oo / ^ I

= m ! (x — a)a 2 2 (    ) co,ic,(x — af+y

2=0 r=0 \ m /

(x — a'/n~¹Fi(x)y⁽',n~¹)

= (m — l)\(x — a)u £ 20^    — «);,+v,

OO OO y-ß !

(x — o)Fm^i{x)y‘ = 1 \(x — a)a 2 2(    -, JG*-i,?Mx — af-+' ,

>1=0 r=0 \    '

oo oo

= (x — a)a 2 2 G»,aG(* — a); +v.*

2=0 r=0

Deshalb geht Gleichung (35.) über in

(39.) {x d)a 2 2 2 (m x) • ( iG^Gfc

x=0 2=0 r=0    \"*-*/

57

Kiepert, Integral-Rechnung.

Da diese Gleichung eine identische ist, so muß der Koeffizient einer jeden Potenz von x — a für sich verschwinden. Hebt man zunächst die Glieder heraus, bei denen X -f- v = 0 ist, so daß nur die Werte 1 = 0 und v — 0 in Betracht kommen, so erhält man

(40.)

m    / a \

2 («* — *)!( K,oC₀ = 0

*=o    \m—yJ oder, da nach Voraussetzung cq von Null verschieden ist,

(40 a.)    m ! ^ ^ c₀, o -f- (m

+ 1!    1>° d~ o ⁼ 0.

Diese Gleichung ist vom mten Grade in bezug auf a, wenn co, ₀ von Null verschieden ist, und wird nach Fuchs „die determinierende Fundamental - Gleichung^ genannt. Ihre Wurzeln werden nur ausnahmsweise positive ganze Zahlen sein.

Hat man einen der Werte von a, welche der Gleichung (40a.) genügen, ausgewählt und hebt dann in Gleichung (39.) die Glieder heraus, bei denen X -j- v = 1 ist, so kommt nur X = 1, v = 0 und X — 0, v — 1 in Betracht, so daß man erhält

(41.)

[m !C)c°-¹+⁽“ - i)!C- i)ci’¹⁺■ ■ ■

d~    b 1 C'm’ 1 C°

⁺ [m!C m ¹)Co'° +    D’C-Î)^» + • "

d~    m—1,0 d~ Cm, 0 C\ = 0.

Aus dieser Gleichung findet eine willkürliche Konstante setzt, unmittelbar den zugehörigen Wert von c\.

Um die folgenden Gleichungen kürzer schreiben können, setze man

man

wenn man für Co

zu

(42.) »iQau + (m -    + - ■

+ 1 • ^2)°m-b1 C/n>2 = 9i(Q)i dann gehen die Gleichungen (40 a.) und (41.) über in (40b.) g^a) = 0 und (41a.) c₀<7i(ct) + ci#o(a + 1) = 0.

(43.)

Hebt man jetzt in Gleichung (39.) die Glieder heraus, bei denen 1 -j- v = 2 ist, so erhält man die Gleichung co^2(«) + c₁gi(a + 1) + c₂g₀(a + 2) = 0 und kann daraus den Wert von c₂ berechnen.

So kann man fortfahren und die Glieder herausheben, bei denen 1 -f- v — g ist. Dadurch erhält man die Rekursionsformel

(44.) cog^a) + c₁gfl-₁(g -f 1) + c₂g^₂{a + 2)fi----

+ ^g₀(a + ,«) = 0,

C2, Cs,...

aus der man der Reihe nach die Werte von cx ausrechnen kann, nachdem man den Wert von cç> willkürlich angenommen hat.

Für jeden Wert von « ergibt sich eine willkürliche Intégrations - Konstante cq. Hat also die determinierende Fundamental-Gleichung (40a.) m verschiedene Wurzeln, so findet man im allgemeinen¹) auch für diesen Fall m verschiedene partikuläre Integrale mit m willkürlichen Integrations-Konstanten c₀ und damit ein vollständiges Fundamental-System partikulärer Integrale, deren Summe dann das allgemeine Integral der vorgelegten Differential - Gleichung liefert.

Hat die determinierende Fundamental-Gleichung zwei gleiche Wurzeln, so fallen die zugehörigen partikulären Integrale zusammen. Wie man auch in diesem Falle das allgemeine Integral finden kann, war bereits in Aufgabe 1 gezeigt worden. Der gleiche Kunstgriff führt auch bei der folgenden Aufgabe zum Ziele.

Aufgabe 2. Man soll die Differential - Gleichung

(45.)

-3+S+»=»

integrieren.

(45 a.)

Auflösung. Indem man a gleich Null setzt und Gleichung (45.) mit x multipliziert, erhält man die Gleichung in der Frobenius sehen Normalform, nämlich x²y“ -f- xy/ -f- xy = 0.

Hier ist also

'FApc)    =    1,    und    deshalb    c₀,o =    1,    c0fi =    0,    co,2 = 0,..

(46.) Fx(x) = 1,

F₂(x) = x, „

Cl,0 =    1?    cl,l =    0,    Ci;2 == 0,..

c-2,o =    0,    c₂₎i =    1,    c2j2 — 0,....

wenn 2. Dadurch ver-

Da    die    Größen    cXti    sämtlich gleich Null    sind

(47.)

/ ^ 2 ist, so wird auch g^(ç) = 0 für X einfach! sich in diesem Falle die Rekursionsformel (44.) auf c^xgx(a -f g — 1) + erfoia + p) = 0.

Dabei ist

(48.)

ffo(Q) = Q{Q— 1) + C> = Q², ffi{Q) = 1 •

(49.)

Daher geht Gleichung (40 b.) über in g₀(ct) = a² = 0,

d. h. beide Werte von a sind gleich Null. Gleichung (41 a.) geht über in

(50.) c₀gx(a) + cxg₀{a + 1) = c₀ + l². cx = 0, also cx = — ^ •

Sodann findet man aus Gleichung (47.) der Reihe nach die Gleichungen

(51.) cxgx{a + l) + c₂#₀(a + 2) = ci-j-2².c₂ = 0, also c₂ = +^

co

(52.) c₂gx{a + 2) + C35,o(« + 3) = c₂ -f- 3². c₃ = 0,    „

folglich wird, wenn man c₀ mit A bezeichnet, (53.) y = Av, wobei « = 1 —+    —~

ein partikuläres Integral ist. Um das allgemeine Integral zu finden, setze man wieder

(54.)

y = z -J- uv, also y' — z' -j- u'v -f- uv', y" = z“ -{- u"v + 2u'v' -f- uv",

dann wird, da v ein partikuläres Integral der vorgelegten Differential-Gleichung ist,

(55.) xy"Ą- y'-\- y = xz"-f- z'~f- z -f- v(xu"-\- u') -f 2xu'v' — 0.

Jetzt kann man wieder wie in Aufgabe 1 die willkürliche Funktion u so bestimmen, daß in dieser Gleichung der Koeffizient von v verschwindet. Dies geschieht, indem man

(56.)

u = A -j- Blnx, also u' —

setzt. Gleichung (55.) geht dadurch über in

xz" -f- z' -f- z

2x 3x²    4X³

— W ⁺ 3Î²

(57.)

= — 2 Bv‘

= 2S(rp

4!²

•>

Setzt man jetzt

z — Cq -f- CiX -f C₂x² -f- Cqoc? -f C₄æ⁴ -|----,

also

s/ = Cx + 2 C₂x + 3G₃^² + 4<7₄a4 + • • z" = 2<7₂ + 3.2Csx + 4.3C±x² +

so wird

(58.)

xz" -j- z' -f- z =

(Co 4- Ci) + (Ci + 2 ²C₂)x + (C₂ + 3 ²Cs)x² + (C₃ + 4²<7₄>z³ + • • •.

Durch Vergleichung dieser Entwickelung mit der auf der rechten Seite von Gleichung (57.) erhält man

(59.)

Co + C,

Ci+2²G₃

2!²

C₂ + 3²G₃

3!²’

Ca + 4²G₄

4!²

folglich wird

Cr

Co

l!²    I!²

C₂ =

2!²

(1 + i) +

Co

2!²

(60.)

C‘3 = +

ico

pq I"

Co

3!²

C4 =

412 c¹ + i + ł + i) 4

x ₍ x²

~~ TT2 + 2Ï²    3 !²

r /y»    /y>2

+ 2s[ÎF-|fî⁽¹ + i) +

Dies gibt (61.) z = o/l

x³

Co

4!²

x⁴

4!²

3!²

(1 + ł + ł)

x⁴

4T2 ^ + ł + i + 4) 4-----’

und daraus folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (53.), (54.) und (56.), wenn man Cb -f- A mit A' bezeichnet,

x x2 ÏT2 +

(62.) y = {A‘ Rlnx)^l

x³

X⁴

2!²    3!² ' 4!²

X³

(1 4- Î 4-1)

44T (! + i + -3- + i) 4------

(1 + i) +

Diese Lösung stellt das allgemeine Integral dar, denn sie genügt formal der vorgelegten Differential - Gleichung, enthält die beiden willkürlichen Konstanten A‘ und B, und die darin auftretenden Potenzreihen sind stark konvergent.

Bei Anwendung des beschriebenen Verfahrens treten noch verschiedene Schwierigkeiten auf; es wird z. B. versagen, wenn Fo(x) für x = a verschwindet, wenn also 6-0,0 = 0 ist. Doch würde die Untersuchung dieser Bälle den Rahmen dieses Leitfadens überschreiten. Der Verfasser behält es sich vor, an anderer Stelle darauf zurückzukommen.

Hier sei nur noch darauf hingewiesen, daß diese Methoden Anwendung finden bei Behandlung der hyper-

geometrischen Reihe, die eine Lösung der Differential-Gleichung

(63.) x(x — 1)

d*y

dy

dx²

[r — (« + ß + !>»] ^ + *ßy = o

ist. Ferner gehören hierher die Legendre sehe Differential-Gleichung

(64.)

(1-x²)

d~y

dy

2xfx + n{n + 1)2/ = 0

und die Bessel sehe Differential-Gleichung

dx²

+ xd£ + (x² — n²)y = 0.

XXV. Abschnitt.

Näherungsmethoden zur Integration gewöhnlicher Differential - Gleichungen.

§ 152.

Verallgemeinerung der Simpson sehen Regel zur Auflösung von Differential-Gleichungen erster Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 349.)

In § 109 wurde ein von Euler herrührendes Verfahren erläutert, das näherungsweise die Integration der Differential - Gleichung

(1.)

dy

£ “ y)

dadurch herbeiführte, daß man in dem beliebig gewählten Anfangspunkte Po mit den Koordinaten

y = yo

X — Xo

aus

es wird

Gleichung (1.) die Richtung der Tangente findet, denn

(2.)

tg«o = <p(x₀, i/o),

wo cto der Winkel ist, den die Tangente im Punkte Po mit der positiven Richtung der X-Achse bildet. Nimmt man auf dieser Tangente einen benachbarten Punkt Pi mit den Koordinaten

x — xx

y = yu

so ist Xi noch beliebig, während man yx aus der Gleichung du

(3.)    2/i — i/o = ^{xi — xo), oder yx = y₀ + (xx — x₀). (f(x₍₎, y₀) berechnet. Die Richtung der Tangente im Punkte Px findet man dann aus der Gleichung

(4.)

tg«i = <P(xi, yù-

Auch auf dieser Tangente kann man einen zu Px benachbarten Punkt Po mit den Koordinaten

X = x₂, y = 2/2

(5.)

annehmen und den Wert von y₂ aus der Gleichung V2 = y\ + (x₂ — Xi). gp(x1} yx)

ausrechnen. Indem man dieses Verfahren fortsetzt, kann man ein Vieleck P0P1P2P3... auffinden, das man als eine Annäherung an die gesuchte Integral-Kurve betrachten darf, denn dieses Vieleck geht, wie früher gezeigt worden ist, in eine Integral-Kurve über, wenn man die Punkte Po, Pi, P2, P₃,... einander unendlich nahe rücken läßt.

In dieser Erkenntnis liegt der Wert des Euler sehen Verfahrens; will man aber die Integral - Kurve wirklich aufsuchen durch Berechnung der aufeinander folgenden Werte 2/1, y2, ya,... aus den Gleichungen (3.), (5.) usw., so wird man nur einen geringen Grad von Genauigkeit erzielen können, auch wenn man die Intervalle

Xi — Xo, x₂ — Xi, x₃ — x₂,... sehr klein nimmt. Der Fehler, welcher schon bei der Berechnung von yx auftritt, wird zwar mit xx — Xo verschwindend klein von der zweiten Ordnung, aber er vergrößert den bei der Berechnung von y₂ begangenen Fehler noch auf zweifache Weise. Erstens liegt der Punkt Px nicht genau auf der Integral-Kurve, und zweitens wird auch die Richtung der Tangente in Px dadurch fehlerhaft, daß in <jp(x 1, y\) der Wert von yx nicht genau richtig ist. Deshalb wird die Ungenauigkeit mit jedem weiteren Schritte größer, so daß das Verfahren von Euler für numerische Rechnungen wenig geeignet erscheint.

Man kann aber mit Hilfe der von Herrn Runge im Jahre 1894 gegebenen Verallgemeinerung der Simpson sehen Regel (Mathematische Annalen, Band 46, Seite 167—178) die Konstruktion des Vielecks P0P1P2P3... so abändern,

daß der berechnete Näherungswert von y nur einen Fehler auf weist, der mit Xi— xo verschwindend klein wird von der vierten Ordnung, und daß die Fehler auch noch hinreichend klein bleiben, wenn man eine größere Anzahl von Schritten vorwärts macht, d. h. wenn man ein ziemlich langes Bogenstück der Integral-Kurve durchläuft.

Um den Sinn der vorzunehmenden Abänderung zu erfassen, sind einige Vorbereitungen nötig. Zunächst setze man für die Gleichung der Integral-Kurve

f\x o)

(6-) y = fix) = f(xo) +

(x — Xo)²

(x — xo)+ 2!

f"M

1!

und mache

(7.)

f'"(x₀)

+ 3!

(x — x₀f H-----[

f{n\x o)

(x — x₀)n + B

x — xo — h

so klein, daß das Restglied B in der vorstehenden Entwickelung für hinreichend große Werte von n beliebig klein wird. Dabei ist, wenn man der Kürze wegen tp statt (p(x, y) schreibt (vergl. D.-R., 12. Auflage, Seite 733 und 734, Gleichung (14.) bis (16.)),

dx ⁼ f/{x) = vix, y) = <p,

dtp d<p dy dx dy dx

dtp¹ dg/ dy dx dy dx

(8.)

(9.)

d²y

dx²

= f"(x) =

dtp

d<p ri <P

⁺ dy

(10.)

d³y

= f'"(x) =

= <P

U ₌ (ä<p dtp dtff) dtp d?y \dx dy dx) dy dx²

/dtp dtp \(2j . dtp /dtp , dtp \*)

dy

⁼ {d^ + öyV +Sy(öx⁺^V⁾

*) Hierbei bat

d q>    d q> dy

dx    dy dx

mit dn<p vertauscht.

man

(dr + dfdjrt*

\dx dy dx

bekanntlich die Bedeutung, daß

wirklich in die «te Potenz erhebt, dann aber dcp‘

(11.)

d*y dx⁴

= f%x) =

dg" d(p" dy dx dy dx

= g‘"

_(dg> , d<p dy'f) / -\di ⁺ eydx)+àK d(p dg V³) n/

£+£v)+³(

-(

â²g J d²g dy\d²y dg dày dxdy dy² dx) dx² dy dx? dg dg dx dy

d²<p d²<p

dxdy dy

A)(

dg) r/dg> dg \⁽²⁾ , dg /dg dg dy Lw.r dy V dy \dx dy

<P

)}

Ferner erhält nach dem Taylor sehen Lehrsätze für Funktionen von zwei Veränderlichen die Entwickelung der Funktion g{x + h, y -f- k) die folgende Gestalt

'<£*+£*)

J (S*+g*)+A (Ü *+!*)*+■-

Ein erster Versuch für eine stärkere Annäherung bei der Konstruktion des Vielecks P0P1P2P3 ... ergibt sich aus folgender Überlegung. Nennt man den durch das PWersche Verfahren für y gefundenen Näherungswert y'*), so daß

y' = yo + g(x0, yo). h = y₀ + f\x₀). h

(12.) g(x + /?, y + k) = g(x, y) +

(13.)

1!

wird, und den zugehörigen Punkt P', so erhält man eine bessere Annäherung für «/, die mit Y bezeichnet werden möge, indem man der Vieleckseite durch den Punkt P₀ die Richtung gibt, welche die Differential - Gleichung für die Richtung der Tangente im Punkte mit den Koordinaten x₀ + x    h yo + y'

2~ = x»+2’ 2 ⁼

yo + <p(xo, yo) •

vorschreibt, d. h. für die Mitte der Strecke PP'. Dadurch findet man für Y den Ausdruck

xo + x yo + y\h

hl

yo 4- <p(x0, yo) g I h.

(14.)

= yo + g( = yo + <p [j

dy

Nun ist nach Gleichung (12.), wenn man

Th    ^

— statt k schreibt,

(15.) <p(x +y + Ą) - v + (§f + d,f

+s*r

statt h

und <p •

1    (dy

2    ! \<3a:

dy

<P

folglich wird, wenn man in den folgenden Formeln y(xo, yo)

mit d(t, d‘²⁽P(x0i yo) dy ’

mit çp

drp(xa, y₀)

mit

dy dy(x₀, y₀)

mit

dx₀

usw. bezeichnet,

dx ’

öy₀

dxo²

(16.)

= yo 4- <p [a*> + | » yo + yo) • |j

= yo + <fh +(|f +

(dy dy V

⁺(öx⁺%d

dy>

dy

)!+(

dy dy \⁽²⁾ A:i da:    dy

f\x o)

= y°+ x,

7 2 i /ö9> , dy V²) ft³

Der Wert von Y unterscheidet sich daher von der wirklichen Ordinate y der durch Gleichung (6.) erklärten Integral-Kurve nur um eine Größe, welche mit h verschwindend klein wird von der dritten Ordnung.

Man kann aber die Annäherung noch weiter treiben.

Um hierzu überzuleiten, ziehe man durch P₀ die erste Vieleckseite so, daß sie die Richtung besitzt, welche die Differential-Gleichung für die Tangente der Integral-Kurve in dem nach dem Euler sehen Verfahren gefundenen Punkte P/ vorschreibt. Diese Gerade liefert zur Abszisse x den N äherungs wert

(17.) y" = yo + y(x, y')h = y₀ + y[x₀ + /), y₀ + <P(xo, Vo)h]h*), den man aus der Gleichung (12.) findet, indem man k mit y(xo, yo)h vertauscht. Dies gibt

wobei der Unterschied zwischen y und y“ mit h verschwindend klein wird von der zweiten Ordnung.

Daraus bilde man weiter den Näherungswert

(19.)

y“‘ = yo + vfa y“)h*),

d. h. man ziehe die Yieleckseite durch Po so, daß sie parallel ist zu derjenigen Tangente der Integral-Kurve, welche zum Punkte P" mit den Koordinaten x, y" gehört. Für die Ermittelung der Genauigkeit dieses Näherungswertes y“‘ bestimme man <p(x, yn) aus Gleichung (12.), nämlich aus

(20.) gp(x₀ + h, yo + k)

¹

Eine Ausnahme tritt z. B. ein, wenn die Differenz zweier Wurzeln dieser Gleichung eine ganze Zahl ist. Doch soll auf diesen Fall hier nicht eingegangen werden.

⁺ 3!

(18.) y" = y₀ + <ph + (g| + yjh?

1 /d<p 2 ! \è

dy

'7

\(3)

) A⁴+~

¹ <g*+g*)"

indem man nach Gleichung (18.) (21.) k = y,/ — y₀

=’»+€+ÿ*)'i+è(S+g')"*>+-

setzt. Dies gibt

(22.)

a he

d(p d<p dx

dy

)/7²

1 d<p 2! dy

<Py

⁽²³-> (P +

\(2)

k) ⁼ dx

Ô²(p

Ö²(p

dx dy

hk -f-

dy²

d²<p

dx²

h² + 2

d\

(ph² + 2

d²<p

dy

-®+5WW«(

h»-

d<p d<p dx dy

)(

d²cp

(9# <9?/

ft³+ 3

d³p

d³<p

dx?

dx²dy

d³cp

d³p

<9ar

m + 3 hlê + J! ^

ÖiCO'l/²    c/y³

d³9>    ₃ d³<p \

dxdy2<P + dy8 9)h + "'

<P + 3

dx²dy dp \®.

<9(p

\w

W*³ H----,

folglich geht Gleichung (20.) über in (25.) p{x, y“) = p + (|| +    9>)&

Lwa? ćty V ' dy \dx

d<p dp dx dy

-(

Ö£C <9î/

9>

dy

dp

Cb Qj

d²p

+ ^(ćte

so daß man erhält

(26.) äT = »b + ü* + (|f + ^

~9>

)(

d²(p

dx dy dy²

<P

)h⁸+---

dy

<P

È[(Ê+g »)'+sg(g+g’)]"+■■

Der Unterschied zwischen y und diesem Näherungswert y'" ist eine Größe, welche mit h zugleich verschwindend klein wird von der zweiten Ordnung.

Jetzt kann man aber aus den drei Näherungswerten y', T, y"' einen vierten Näherungswert yx bilden, der sich

von y nur um eine mit h verschwindend kleine Größe vierter Ordnung unterscheidet. Setzt man nämlich

6yi = y' + 4T+ y'“,

(27.)

also

(28.) yi = y₀ + | pfo, yo) +    ^ ^) + Pfo O]

so erhält man nach den Gleichungen (16.) und (25.)

(29.) yi = y₀ + p(x₀, y₀)h +    ?>)^²

¹ Xp9 _! ^9 \⁽²⁾ i d<P/d<P i 3 ! Lw# dy V % w dy

p^ Ji³

1 ['/dp    \<³)    dp/dp    dp \<²^

ït Lfe ⁺ % 0 +    ⁺ v

c?²çd <9²go dx dy dy²

Fun ist nach den Gleichungen (8.) bis (11.)

(8a.) gfao, yo) = f'(xo),

<9a->

₊ 4(| + **

dy

<P

⁽fi

)1A4 + -

«<->(S+g-F+S(S

(lla'⁾(ii ⁺

dçp dg? dx dy

<5²çp

g*r+»(

+tns+g*)(2>+ ffi+g»)]-^

)(

>)

folglich geht Gleichung (29.) über in

x    1 f'WU , rWiü , Z⁷'«

(29a.) 2/1 = /(a?o) H—yy— n -j--gl h + g

Deshalb wird nach Gleichung (29.) und (11a.)

-‘[(t’+g'X

dp V²)    /<?

(30.) yi — y

$²<jp

<9²g>

P \

*9)

-f-

Qj Cb

dy

re

dx dy dy \²/<9cp . dp

)fe⁺^5P

)>+"

also eine Größe, welche mit h zugleich verschwindend klein wird von der vierten Ordnung.

Aus Gleichung (28.) erhält man als besonderen Fall die Simpson sehe Regel, wenn man annimmt, daß <p(x, y) von y unabhängig ist. Die vorgelegte Differential-Gleichung geht dann über in

dy

dx “

und Gleichung (28.) erhält die Form

*-*>+£ 9fa>) + ⁴^(x°^ »

die mit Formel Nr. 206 der Tabelle, nämlich mit

Ico

f{a) + 4:f(ą + h)+f{a + 2h)

=Jf(x)dx =

mit a + h und x mit a -f- 2h vertauscht.

übereinstimmt, wenn man h mit 2/i, (p mit /) mit <2, also ^o-f- a;

Bei Anwendung der in Gleichung (28.) gegebenen Näherungsformel ist es für die zu erzielende Genauigkeit im allgemeinen wesentlich, daß der Wert von

% = t §a== y)

nicht zu groß wird; namentlich sind die Stellen zu vermeiden, an denen diese Größe unendlich groß wird, damit die benutzte Reihen-Entwickelung konvergent bleibt. Dies wird man erreichen, wenn man x nur so lange als unabhängige Veränderliche beibehält, wie

| <p{x, y) |^ + 1

ist. Wird | <p(x, y) | > -j- 1, so wendet man das beschriebene Verfahren auf die Differential-Gleichung

dx

dy (p{x, y)

an, bei der man y als die unabhängige Veränderliche ansieht.

§ 153.

Übungs- Beispiel.

Aufgabe. Gegeben ist die Differential-Gleichung

dx

dy ₌ y—_ x. y + x ’

man soll diejenige Integral - Kurve auf suchen, welche den Punkt mit den Koordinaten x = 0, y = 1 zum Anfangspunkt hat.

Auflösung. Die Aufgabe ist so gewählt, daß man die Integration auch in geschlossener Form ausführen kann, damit man für die Genauigkeit des Verfahrens eine Kontrolle hat. Bringt man nämlich die Gleichung (1.) auf die Form

(2.)

(p — y)dx 4- 4 + y)dy = o

oder

(2 a.)

(xdx -f- ydy) + (xdy — ydx) = 0, so erkennt man, daß die Koeffizienten von dx und dy homogene Funktionen gleich hohen Grades sind, und daß deshalb die Substitution y führt.

= xz zur

Trennung der Variablen

Koch einfacher findet man die Integration durch Eip-führung von Polarkoordinaten. Setzt man

(3.)

x = rcos<p₁ y — r sinço,

also

G)

tgy -

r¹ = x² -f- y²

so wird

(5.)

xdy — ydx = r²d(p, xdx -J- ydy — rdr folglich geht Gleichung (2 a.) über in

(6.)

rdr -f- r²d(p — 0, oder

dr

-f- d<p — 0.

r

Dies gibt

lnr = C— (p

Dabei ist die Integrationskonstante C so zu bestimmen daß r gleich 1 wird für <p gleich — > folglich ist

■(7.)

oder r = e⁰—?.

58

Kiepert, Integral-Bedinung.

71

(8.)

o — V

r — e¹

die Gleichung der gesuchten Integral-Kurve, die demnach eine logarithmische Spirale ist.

Bei Prüfung, ob das angegebene Verfahren genaue Resultate liefert, genügt es natürlich nicht, zwei oder drei Schritte auszuführen; man muß vielmehr eine größere Anzahl von Punkten der Integralkurve durch die Näherungsmethode bestimmen, um den Verlauf eines längeren Bogenabschnittes zur Vergleichung heranzuziehen. Da liegt es bei dem vorliegenden Beispiele nahe, den Winkel <p zwischen

^oder — und in eine Anzahl gleicher

90° und 45°

Teile, z. B. in 12 gleiche Teile zu zerlegen. Zu diesen Winkeln mögen zunächst aus Gleichung (8.) die rechtwinkligen Koordinaten der zugehörigen Punkte der Integral-Kurve berechnet werden, damit später bei Durchführung des Näherungsverfahrens die Genauigkeit der gefundenen Werte geprüft werden kann. Dies gibt die folgende Tabelle : ¹)

<P

90°

86° 15' 82° 30' 78° 45'

75°

71° 15' 67° 30' 63° 45'

60°

56° 15' 52° 30' 48° 45'

45°

1,000 000 0 1,067 639 2 1,139853 3 1,216 952 2 1,299 265 9 1,387 147 1 1,480 972 6 1,581144 5 1,6880917 1,802 272 9 1,924177 3 2,054326 9 2,193280 2

0,000000 0 0,069826 9 0,148 780 7 0,237 415 6 0,336 2748 0,445 883 9 0,566 743 7 0,699 322 3 0,844 045 9 1,001289 3 1,171364 9 1,3545121 1,550883 2 1,0000000 1,065 353 2 1,130101 9 1,193 568 7 1,254 994 6 1,313 5313 1,3682402 1,418085 2 1,4619302 1,4985354 1,526 552 5 1,5445248 1,550883 2

Jetzt soll die Aufsuchung der Integral-Kurve von Gleichung (1.) nach dem im vorigen Paragraphen angegebenen Verfahren ausgeführt werden. Zu diesem Zwecke mögen die in der vorstehenden Tabelle angeführten "Werte von x als die bei dem Näherungs verfahren berücksichtigten Abszissen x gewählt werden, zu denen die zugehörigen Näherungswerte von y berechnet werden sollen. Man setze daher zuerst

yo = i

x — 0,069 826 9, also h = 0,069 826 9 ;

x₀ = 0,

dies gibt

<p(xp₁ yo) =

yo — xp yo + xo

y“

= 1, y' = y₀ -f- cp{xo, y₀).h= 1,0698269; = yo + <p(x, y‘). h = y₀ + yY -—h

y 4- x

= 1,061270 3;

0,069 826 9 1,1396538

yo + y' + xo + x

(Xo + x yo + y\

T\ 2 • 2 ;

_ yo + yf — x o — x

rP(x, y“) =

2,139 653 8 y“ — x _ 0,991 443 4 y" + x ~ 1,131 097 2

= 0,934 730 7;

= 0,876 532 5.

Setzt man diese Werte in die Gleichung

yi

= yo + lUo,yo) + ±y(^X V0 + yJ

2—) + 9fr, y")]

y y = yo + g (1 + 3,738 9228 + 0,876532 5).

= 1 + g • 5,615 455 3 = 1,065 3516.

ein, so erhält man

Der Fehler des so erhaltenen Näherungswertes beträgt, wie man aus der oben aufgestellten Tabelle ersieht also nur

- 0,000 001 6.

Rechnet man mit diesem fehlerhaften Werte von y weiter und entnimmt den nächsten Wert von x der oben aufgestellten Tabelle, so hat man zu setzen

x₀-0,069 826 9; y₀ = 1,065 351 6; x = 0,148 780 7,

also

h = 0,078 953 8

so erhält man

yo —

0,995 524 7

1,135178 5

- 0,876 976 4

yo +

y' — yo + v(^0, yo) •    = yo + 0,876 976 4.0,078 953 8

= y₀ 4- 0,069 240 6 - 1,134 592 2 ;

y" = yo 4- 0>(a, yO • ä — y₀ 4-

0,9858115

1,283 372 9

• 0,078 953 8

= y₀ -f 0,060 647 7 - 1,125 999 3;

1,981 336 2 2,418551 4 0,977 218 6 ~ 1.274 780 0

x₀-\-x yo + y'

»(-5

- 0,819 2244;

y“ — x y“ -f- x

Setzt man diese Werte in die Gleichung

y") =

- 0.766 578 2.

h    /

= yo 4- g 0>(a*>, yo) +    ₂

ein, so erhält man

yx = y₀ 4- | (0,876 976 4 4- 3,276 897 6 4- 0,766 578 2)

= 1,130 099 7.

Der Fehler beträgt also nur

— 0,000 002 2.

Indem man so weiter fortfährt, findet man die folgende Tabelle:

Wahrer Wert von y

N äherungs wert von y

Fehler

0,000 000 0    1,000 000 0    1,000 000 0

0,069 826 9    1,065 353 2    1,065 351    6

0,148 780 7    1,1301019    1,130 099    7

0,000 000 0 — 0,000 001 6 — 0,000 002 2

Wahrer Wert Näherungswert von y

von y

Fehler

1,193 5671 1,254 994 0 1,313 533 0 1,368244 7 1,418 093 3 1,461 942 7 1,498 552 8 1,526 576 3 1,544 556 2 1,550 923 3

1,193 568 7 1,254 994 6 1,313 531 3 1,368 240 2 1,418085 2 1,461 930 2 1,4985354 1,526 552 5 1,5445248 1,550883 2

0,237 415 6 0,336 2748 0,445 883 9 0,566 743 7 0,699 322 3 0,844 045 9 1,001 289 3 1,171364 9 1,354 5121 1,550 883 2

— 0,000 001 6 — 0,000 000 6 + 0,000 001 7 + 0,000 0045 + 0,000 0081 + 0,000 012 5 + 0,000 017 4 + 0,000 023 8 + 0,000 031 4 + 0,000 040 1

Die Genauigkeit ist also bis zum 12. Schritt noch eine durchaus befriedigende, obgleich der Zuwachs von x bei jedem Schritte größer geworden ist und zuletzt nahezu 0,2 beträgt. Macht man die Intervalle der aufeinander folgenden Werte von x noch kleiner, macht man sie z. B. sämtlich gleich 0,08, so kann man die Genauigkeit bedeutend weiter treiben, wie man aus der folgenden Tabelle ersieht. Dabei sind zur Kontrolle noch einige von den oben aus der Gleichung

■f

w—<P ez

r —

berechneten W+rtepaaren von x und y eingeschaltet.

0,000 000 0

0,08

0.16

0,24

0,32

0.336 2748

0.40

0,48

0,56

0,64

Wahrer Wert | Näherungswert von y

von y

Fehler

1,000 000 0

1,254 994 6

, 1,000 000 0 1,074192 6 1,138 630 4 1,195 289 7 1,245 4841 1,254 992 4 1,290 142 0 1,329 949 8 1,365 432 6 1.397 003 1

0,000 000 0

— 0.000 002 2

0.72

0,80

Wahrer Wert Näherungswert von y

von y

Fehler

0,844045 9    1,461930 2

0.88

0,96

1,04

1.12

1.20

1,28

1,36

1,44

1,52

1,550883 2    1,550 883 2

1,424 9928 1,449 672 7 1,461 931 0 1,471267 5 1,489 965 8 1,505 927 7 1,519 290 0 1,530 170 6 1,538 6716 1,544882 0 1,548 879 5 1,550 732 2 1,550 886 5

+ 0,000 0008

+ 0,000 003 3

Die Genauigkeit, welche auf diesem Wege erzielt wird, ist eine überraschend große; doch ist damit noch nicht gesagt, daß bei anderen Aufgaben das Endresultat iü gleichem Maße befriedigen wird. Man muß daher die angegebene Methode noch durch ein Verfahren ergänzen, das für die einzelnen aufeinander folgenden Schritte eine zuverlässige Fehlergrenze liefert, damit man sich bei jeder Stelle der Rechnung darüber Rechenschaft geben kann, wie groß die Genauigkeit ist. Ein derartiges Verfahren hat Herr Runge in den Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Sitzung vom 20. Mai 1905) mitgeteilt. Es würde aber die Auseinandersetzung dieses Verfahrens den Rahmen des vorliegenden Leitfadens überschreiten.

In ähnlicher Weise, wde die Simpson sehe Regel zur Erzielung von stärkerer Annäherung verallgemeinert worden ist, läßt sich auch die vorstehende Methode noch weiterführen; namentlich läßt sich auch die Q-auf?sche Quadratur auf die Integration der Differential-Gleichungen

übertragen. Die Genauigkeit wird dadurch zwar noch gesteigert, trotzdem mögen diese Verallgemeinerungen hier übergangen werden, weil es für die Erzielung größerer Genauigkeit im allgemeinen zweckmäßiger sein wird, unter Beibehaltung der vorstehenden Methode die Intervalle zwischen den aufeinander folgenden Werten von x zu verkleinern ; denn die Einführung der verallgemeinerten Methoden würde für jeden einzelnen Schritt erheblich umständlichere Rechnungen erfordern.

§ 154.

Integration von simultanen Differential-Gleichungen und Differential-Gleichungen höherer Ordnung.

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 350.)

Man kann das angegebene Verfahren ohne Schwierigkeit auch auf Differential-Gleichungen höherer Ordnung übertragen. Hier mögen der Kürze wegen nur Differential-Gleichungen zweiter Ordnung berücksichtigt werden, die man nach den Ausführungen in § 131 durch zwei simultane Differential-Gleichungen erster Ordnung von der Form

dy

dz

(1.)

dx = <p{x, y, s), ~ = ę(x, y, z)

ersetzen kann. Die Integrale lassen sich dann, wenn man x — Xq wieder mit h bezeichnet, in der Form

(2.) y = f(x) = f(xo) + ~jrh + ~2Th ~3\~h    ----’

Z = g(X) =

schreiben, wobei

(3.)

^) + mh+q?}v+ipv ₊ ...

r—I

(4.)

y o = fixo), Zo = £^o)

die willkürlichen Integrationskonstanten sind.

In § 130 war bereits angegeben, wie man die Größen f\x), f"(x),    ..., g\x\ g"{x), g"'(x),... ausrechnet. Es

ist nämlich

d?y

dx²

dcp dcp dy dcp dz dx dy dx dz dx dcp , dcp , ö©

y> +

dx

dy

dz

xp = cp',

(5.) d³y

dx?

f'"(x) =

dcp'

dcp'

dx

dy

⁽P 4~

dcp'

Qj Qj

Ss «

Ö<P

dcp

öy

(f> + Qz

dcp

V²)    cp /

V ⁺ dÿ(dx

Qj

dy

dcp /dxp dxp dz \dx dy

dcp

v)

dxp

* ⁺ a**

dz

dx =    = ^    ^ ⁼

öy> , ö© , ö©

= Q,„,x)= W ,

ÿ W_ <5x ⁺ öy * + 0« V

^ ■ ?v?m i    diP{drP

dy dz V dy \dx

d²z

dx²

(6-)    d©³

= g"(x) =

öy

Ö2

xp =

v>)

Qj, Qj

* -g

Qj Qj ^ 'S

'S

Qj Qj

<>

oder, wenn man der Kürze wegen

ö<p dcp

(7.)

dx ' dy

dcp dcp dcp

foc + dyV+dï

x(2)

v) =

Qj Qj

, dxp dxp    /ö

⁺düv‘ ⁺ di-v=Vl’ (e ⁺

« iS

dxp

dy

<P +

Qj Qj

« iS

\(2) tp) =

setzt,

dcp

dcp

(8.) f'(x) = <p, f"(x) = Ult f"\x) = U₂ +f¹U₁ + dz

n,..

ötp

öy>

(9.) y'(©) = y, y"(x) = Fl5 g"'(x) = V₂ + ÿZ7i+^

Ferner wird nach dem Taylor sehen Lehrsätze für Funktionen von drei Veränderlichen

(10.) <p(x -f- h, y -f-,/c, z -f- V) — <jP -f-

1!

dcp

(jdx

h-\-

dtp

öy

(H.) ip(x + h, y + k, z + l) = ip +

dtp

dip

rH

LO

Vertausclit man in den vorstellenden Gleichungen x mit xo, y mit y₀, z mit zo, bezeichnet man also <p(ocq, yo, zo) mit <p, xp(xo, yo., z₀) mit ip, so sind ähnlich wie in § 152

(!)    V' = yo+ (pix o, y₀, zo) .h = yo + <p .h,

(1 )    s' = s₀ + ip(xo, y₀, z₀) .h = z₀ + ip .h

Näherungswerte von y und 2, deren Unterschied von den wahren Werten mit h zugleich verschwindend klein wird von der zweiten Ordnung. Dagegen unterscheiden sich

r=ÿo + ÿ(îo+^,^,îo+^).A

= yo + <P    |, y₀ + <p •    » 0o + ip-~Yh

zLz₀+rp(^,yj^,^).h

= Zo + v (x₀ -f 11 yo + y> •    > z₀ + tp •    • h

von y und z nur um Größen, welche mit h zugleich verschwindend klein werden von der dritten Ordnung, denn es ist nach den Gleichungen (10.) und (11.)

CO

(14.)

und

(15.)

oder

to\ »

r-„ ₊ ,.»+(£ + % + £

dcp

Qj Co

')

ÖfjP

\(2)

V)

QO ^ bO ^ to

(16.)

h²

Y — yo + y ■ h -f- Ui •    + U-2 •

3» ico

f'(x o)

1! Â +

f"W)

— f(xo) H⁻

= z₀ + ę . h. + (f.. r +

dtp dtp

2!

11¹ + ü₂ •

h³

dy:    dtp

dy

<p +

+(

dx

oder

dy

(17.)    ^

s-

(18.)

\ h2 Ö» V 2 dt/; sS-^h³

—n>y -

dip

«’ + g;

S^ioo

= ^) + ^ + ^*⁸ + f₂.

1!

go! ^

oo

Setzt man jetzt noch.

y" = yo + <p{x, yf, z'). h

= yo + <p(x0 + h, y₀ + tp . ft, 0O + tp . h). h

z" = 2o + y\ z'). h

= 0O + f{xo + h, y₀ + tp . h, z₀ -f- tp. ä) . h so wird nach den Gleichungen (10.) und (11.)

y" = yo + <p • A + j[(Ö95 ' ^ i/<fy>

2 ! \da;

h³

= !to + 9>.Ä+ Ui.A» + ETa^-H----,

(19.)

(20.)

d<p

da:

dy

dqp

Cb

⁺ ^f ⁺ el

•7*²

\(2)

tp V Ji³ -J- • • •

(21.)

Cb Cb

Daraus

9pfo y":z") =

+ V’ • ^    ^ ■ +    9° +

+ —

^2!V<

h³

*o + V>.h+ 7!.*»+ 7a-! + ••••

folgt

9> +

1!

Oj Qj

dtp

dtp

⁺ ty’, + ö*

dtp

2!\&c ⁺dy

• h³

\(2)

‘+^T+--

** ÿ"’ ” * ⁺ fl (ff A + ff* + ff

\\dx ^ dy

wobei nach den Gleichungen (20.) und (21.)

(22.) k = cp . h + Ui. A² + • • •, Z = y) . h + 7i. A² + • • • zu setzen ist; folglich wird

(23.) ç(x} y‘\ z“) = g> +

v¥ + 2t(

= 5»+ ^i.A + ^(p₂ + 2F (24.)    y", *") - <P+(^ +

^ + *)»• + i(

- * + u. a +    + 2Ug|)w+....

+(

+c

Qj, Qj

tfi +

Qj Qj

CM

* ⁺ dï

^₇V²⁾

o+-

dœ , da , d<p ⁺ &u’p + dï 1 /Ó¹«/)

dx

d(p

¹ dy

dtp dtp

y^j-h

\(2)

3Ï*)*, + -

+2Fl|iy₊...,

•7?

<9<jP

dy

<P +

dip

9> + dz

1 /dtp dtp

dy

dx

dy

Qj Qj

\(2)

t/M • h² + • • •

Hieraus findet man, daß auch die Näherungswerte y"' =2/o-f- <fix, y", z"). 7?, z‘u = zq 4- y>{xi y"i z") • h sich von y und z nur um Größen unterscheiden, die mit h zugleich verschwindend klein werden, von der dritten Ordnung.

(25.)

(26.)

Setzt man schließlich

(27.)    (2/' + 4 Y 4- y'")

= Z/o + | (p{xo, 2/o, ab) + ⁴^(^~ x Vo + V zo + * + ?>(a;, y", z")J,

(28.) ai = |(z/ + 4Z+*/")

= «o + | [Vfao> 2/0, Zo) + 4^*°    » V-^yt- » g°-y-)

+ ip(x, y", zfoj,

+ *'\

2 /

so erhält man durch Entwickelung nach steigenden Potenzen von h

(29.) 2/i — y₀ + <p ■ h + Ui •

— f(x o) +

f'M

m>)

1!

2! Ä2 +

(30.) 01 = zo+y,. h + ri • \.+ ( 7a + Z7i Ę + Vt

dtp

dz

1!

Ä« H----;

d. h. die durch die Gleichungen (27.) und (28.) gegebenen Näherungswerte y\ und z₁ unterscheiden sich von y und z nur um Größen, die mit h zugleich verschwindend Mein werden von der vierten Ordnung.

Bei den praktischen Anwendungen wird man von den drei Größen x, y, z diejenige zur unabhängigen Veränderlichen machen, für welche die Reihenentwickelungen am stärksten konvergieren.

§ 155.

¹

Die Berechnung ist mit siebenstelligen Logarithmen ausgeführt; die beiden letzten Stellen sind daher nicht mehr unbedingt sicher.

Übungs- Beispiel.

Aufgabe. Die Oberfläche eines Tropfens oder einer Blase ist eine Fläche, die durch Rotation einer Kurve

V = f(x)

um die X-Achse entsteht. Für diese Kurve gilt, wie sich zeigen läßt, die Differential-Gleichung

da

(1-)

2y = «*(=“

wobei ds das Bogenelement und a der Winkel ist, den die Tangente im Kurvenpunkte P mit der positiven Richtung der X-Achse bildet. Man soll die Gestalt der Kurve ermitteln.

Auflösung. Die Differential-Gleichung (1.) ist von der zweiten Ordnung, denn es ist

also

cos²a dx dx² ’ dx

1 da d-y da d²y /dxSr da    da dx _ d²y /dx'x¹

dx²\ds) ds    dx ds dx²\dsJ

folglich geht Gleichung (1.) über in

(la.)

(2.)

dy

dx

tga==dx’ C0Sa = ds

Äl|

03 <SS

"1 dy d²y /dxS?'1 _x ds dx² vfo/J

Man kann aber diese Gleichung, wenn man der Kürze wegen sin« mit z bezeichnet, durch zwei simultane Differential-Gleichungen erster Ordnung zwischen x, y und z ersetzen. Aus den Gleichungen (2.) folgt nämlich

d(cos a)

tZ(sina)

da.

da

= — sine-

— cosa •

ds ⁵

deshalb läßt sich Gleichung (1.), wenn man a — 1 setzt, auf die Form

dx

dx

dy

dy

(3.)

dx

= tg« =

yi—z²

dZ = % — -f ■ — ę(x, y, z)

dx

= y,z)

bringen. Man wird auch von der Form

(4.)

= ctg a

dlcosa)    _ sin«

Ty ’ ‘    '²'" ¹ *

Gebrauch machen, wenn tgcc größer als 1 wird.

Da alle Tropfen und Blasen in der Rotationsachse eine horizontale Tangential-Ebene haben, so kann man sich auf den Fall beschränken, daß für x = 0 auch a = 0 wird. Zunächst kommen also die Differential-Gleichungen (3.) in Betracht. Der zugehörige Anfangswert von y sei 1.

z '

Form q

an.

In dem Anfangspunkte nimmt dann — die unbestimmte Zur Bestimmung des wahren Wertes differenziere man Zähler und Nenner einzeln. Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (3.)

dz

7 = lim(2j,-0 = 2Umy = lim 2/ = 1.

\X/    x=0

Man erhält daher, wenn man zunächst #o = 0, 2/o = l, = 0; a? = 0,1 ; also h = 0,1

lim

x=0

also

setzt,

also

= lim

— lim

x=0

lim

p(x₀, 2/0, zq) = 0, ip(x₀, 2/0, ^o) = 2    1 — 1

y/ = yo + <P(xo, 2/o, zo) • A = ,

^ = 00 4- <K«o, 2/0, Zo)-h = ,1-Dies gibt

2    0,05,

2/o + y*

/x₀ + x 2/0 4-2/' ^o 4- s'\ _ fjP\ 2 ’ 2 ’ 2 )

©■

tH

0,05

= 0,05;

1/0,9975    V399

19,974984

/xo4-« 2/o 4“    zo±y\ Q 1

4 2 ’ 2 ’ 2 ) --¹

Ferner wird

y" = 2/o 4-    y', 0O. ä = 1 4-

= 0,050 062 6 ;

= 1.

0,1

I/o,99

= 1 4- 1: 99,498 74 = 1,010 050 4;

■ 0,1 =

1 4-

I/9900

= 0o 4- y\ s'). h = (2 —    • 0,1 = 0,1 ;

,_____--4L = 0,1005038;

y 0,99    y99

ip'x, 2/", z") = 2,020100 8 — ’ = 1,020 100 8.

u,±

z"

(fix, y", z") =

0,1

Daraus folgt nach Formel Nr. 350 der Tabelle

2/r = 2/o 4- g (0 4- 0,200 250 4 4- 0,100 503 8)

= 1 4- 0,300 754 2 : 60 = 1,005 0126;

z₁₌=z o + ^(1 + 4 + 1,020 100 8)

- 6,020100 8:60 = 0,100 335 0.

Für den zweiten Schritt hat man daher zu setzen:

£r₀ = 0,1 ; y₀ = 1,005 012 6 ;    = 0,100 335 0 :

æ = 0,2; also h = 0,1.

Dies gibt

9+o, «/o, so) =    Z()

0,100 335 0    0,100 335 0

fl— z₀* ~ ]/0,989 9329 ~ 0,994 953 7 = 0,100843 9;

y(x₀, «/o, s₀) = 2,010 025 2 — 1,003 350 0 = 1,006 675 2;

2// = 2/o + 9<^o, 2/o, so). h = 2/o + 0,010 0844 = 1,015 097 0; s/ = s₀ + xp(xo, 2/o, so). h = ^o + 0,100 667 5 = 0,201 002 5;

. 2/o + 2/'

Xq 4- X

= o,i6;    ₂

#o + « 2/0 + 2/' s₀ + r

K-2

1,010 0548; -^-±- = 0,150 668 75;

_ 0,150 668 75    0,150 668 75

~~ y0,9772989 ’ 0,9885843 = 0,152 4086;

Xq + X

2/0 + 2/' s₀ + s\

-.    - ■ r=

2 2/

2,020 109 6

0,301 337 5

0,30

= 1,015 6513.

Ferner ist

0,201 002 5

2/" = 2/o +    2/', s') • h = 2/o -i

0,02010025 0,979 590 7’

= s₀ + ip(x,    «9.7^ = ^o + (2,030 194 0 — 1,005 012 5). 0,1

= z₀ + 0,102 518 2 = 0,202 853 2.

z“

+0,959 598 Ö

•0,1

= 2/o +

= y₀ + 0,020 519 0 = 1,025 531 6 ;

Daraus folgt V(x, y“, z") =

0,2028532 _ 0,202 8532 y0,958 850 6

0,979 209 2

= 0,207 160 2;

rp(x, y", z") = 2,051 063 2 —

0.202 853 2

0,2

= 1,036 797 2;

folglich findet man nach Formel Nr. 350 der Tabelle ⁼ 2/o + | (0,100 843 9 + 0,609 634 4 + 0,207 160 2)

= 1,005 012 6 + 0,917 638 5 : 60 = 1,020 306 6;

Zi

= *o + ! (1,006 675 2 + 4,062 605 2 + 1,036 797 2)

= 0,100 335 0 + 6,106 077 6:60 = 0,202 103 0.

Indem man so weiter fortfährt, findet man die in der folgenden Tabelle znsammengestellten Näherungswerte:

z = sina

1,005 012 6 1,020 306 6 1,046 631 6 1,085 470 0 1,139 538 9 1,214 153 1 1,294153 1 1,374 153 1 1,454 153 1 1,5341531 1,614153 1 1,657 137 4

0.1

0,2

,    0,3

0,4

0,5

0,6

0,678 009 4 0,735 151 0 0,775 915 5 0,802 565 0 0,816 0981 0,818 007 4

0,100 335 0 0,202103 0 0,306 993 6 ; 0,416 796 4 0,533 6481 0,660 3604 0,768 696 6 0,855 363 3 0,922 552 3 0,970 0910 0,996112 0 1,000 000 0

0,994 953 7 0,979 364 3 0,951 711 6 0,908 999 9 0,845 706 6 0,750 9488 0,639 613 6 |    0,518028 6

0,385 872 1 0,242 741 5 0,088 095 7 0,000 000 0

Dabei ist noch ein Wechsel in den unabhängigen Veränderlichen eingetreten. Sobald nämlich der Winkel a größer als 45° und deshalb tga größer als 1 wird, ist es ratsamer, y zur unabhängigen Veränderlichen zu machen. Zu diesem Zwecke lege man der Rechnung die Differential-Gleichungen (4.) zugrunde. Setzt man dabei der Kürze wegen

(5.)

cosa = Y1 — z² — u so nehmen diese Gleichungen die Form

an, wobei die Funktionszeichen <p(x, y, u) und ip(x, y, u) natürlich eine andere Bedeutung haben wie in den Gleichungen (3.). Zur Ausführung der Rechnung setze man dann zunächst, den Werten in Zeile 7 der Tabelle entsprechend,

xo = 0,6 ; y₀ = 1,214 1531; zQ = 0,660 360 4 ; u₀ = 0,750 948 8 y = 1,294153 1 ; also h = 0,08.

Der Zuwachs von y, nämhch h, ist dabei nur mit 0,08 angesetzt, damit die Intervalle von u nicht zu groß werden. Man findet dann

0,750 9488 z₀ 0,660 3604

= 1,137 1802;

dx

(6.)

dy

= ctg« —

du

Vl-u²

Vi^ü²

= <p(x, y» w):

= f(x, y, u)

<p(xo, y o, wo) = — =

ip{xo, y₀, wo) = — 2,428 306 2 -f

0,660360 4

0,6

= —1,327 705 5;

xf = Xo -j- <P(Xo, yoj w₀). h = 0,690 974 4 ; u' = m₀ -f- ^(#0, yo₇ wo). li = 0,644 732 4;

Xo -j- x'

₀    = 0,6454872;    ₌ 1,254153 1 ;

Ł    A

0,716 2531.

= 0,697840 6;

Dies gibt

/aîo -f xf yo + y Wo 4- w\ f/\ 2    ’ 2    ’    2 )

(Xo x Vo 4~ y Wo -j~ w \    ₀ r qo on/? oi 1® 253 1

V(~~2    ’    ~2    ’    2~7-    _ 2’°°8d°6 2 t 0,6454872

= —1,398 674 4.

0,697 840 6

0,716 253 1

= 0,974293 3;

Ferner wird

x" — xq -j- (fix', y, u') .h — xo -f

0,644 732 4 0,764 408 3 h

= 0,667 475 2;

59

Kiepert, integral - Kechnung.

u“ _= Mo + y, u‘) ■ h — uo +

(— 2,588 306 2 +

= uq — 1,482 030 3 . h = 0,632 386 4;

0,7644083

0.690 9744

z“ = j/l — u"² = 0,774 653 1 ;

<p(x", y, u") =

0,632 386 4

0,774 653 1

= 0,816 347 9 ;

0,7746531

= — 1,427 7341;

xp{x/\ y, u") = — 2,588 306 2 -f-

folglich findet man nach Formel Nr. 350 der Tabelle die Näherungswerte

xx = x₀ + I (1,137 180 2 -f 3,897 173 2 + 0,816 347 9)

= 0,678009 4;

0,667 475 2

Mi = u₀ — | (1,327 705 5 + 5,594 697 6 + 1,427 734 1)

= 0,639 613 6.

Bei dem letzten Schritt ist nochmals ein Wechsel der unabhängigen Veränderlichen vorgenommen, damit man die Koordinaten desjenigen Punktes findet, in welchem die Tangente zur P-Ache parallel wird, in welchem also a gleich 90°, z = .sina gleich 1 und u = cos« gleich 0 wird. Indem man zu diesem Zwecke u zur unabhängigen Veränderlichen macht, findet man aus den Gleichungen (6.)

dy

= yipc, y, u), also

(7.)

du    z — 2 xy

• v(xi y,u) = ⁽p(xi y,u), •

dx _ dx dy du dy du

wobei die Punktionszeichen g)(x,y,u) und ip(x,y, u) mit Rücksicht darauf, daß Formel Nr. 350 zur Verwendung kommen soll, gewählt sind, aber wiederum eine andere Bedeutung haben als in den Gleichungen (3.) und in den Gleichungen (6.). Zur Ausführung der Rechnung hat man dann, der Zeile 12 in der Tabelle entsprechend, zu setzen :

= 0,816 0981 ; y₀ = 1,614153 1; s₀ = 0,996 112 0; , = 0,0880957; 0 = 1, u = 0, also h = — 0,0880957. Daraus ergibt sich

0,816 098 1

= 0,088439 6;

0,996112 0

Vfah 2/o, w₀) ip(xo, 2/o, w₀) = — 0,498 075 6 ;

3,228 306 2 = — 2,007 727 4:

0,088 095 7

0,996112 0

(p(xoi 2/o, w₀) =

w₀

zo

• rp(xo, 2/o, w₀) = — 0,044 049 6;

oc? = xo + 9>(#ö, 2/o, wo). h — 0,819 978 7; y' = yo 4- V>(xo, 2/0, Wo). h = 1,6580314;

= 0,818 038 4; ^4“ ^ = 1,636 092 25;

<2

—⁼ 0,044 04785;

Vi-Onr9-

0,999 029 4;

0,999 0294

/xo-\-x' 2/0 + 2/

V 2    ’    2

⁴ Uq -j- W

-J

0,818038 4

3,272 184 5

x₀ + xf 2/0 + 2/' Wo + u

= — 2,050 9345; — 0,487 582 6;

+ x‘ 2/0 + 2/' w₀ + m 2 ’ 2

)-

0,04404785

0,999 029 4

• 0,487 582 6

= —0,0214978.

Ferner ist

3,316 062 8 = — 2,096 518 9 ;

0,819 978 7

ipix', 2/', w) = — 0,476 981 2;

x⁴⁴ = xq <p{x'i y', u) .h = 0,816 0981 ; yf‘ = 2/0 + #+ 2/'? w). ä = 1,656 173 1.

0,816 0981

3,312 346 2 = — 2,087 003 3 ;

¥&", y'\ w)

yix", 2/", w) = — 0,479 155 9; <jp(a+, y‘\ w) = 0;

'S#

folglich findet man nach Formel Nr. 350 der Tabelle die N ähernngs werte

| (0,044 049 6 + 0,085 991 2) - 0,818 007 4; | (0,498 075 6 + 1,950 330 4 + 0,479 155 9)

* X\ — Xq-

yi = yo —

= 1,657 137 4.

Obwohl die Rechnun genuin Jj 153 und § 155 mit Hilfe der Rechenmaschine ausgeführt sind, erfordern sie doch recht viel Zeit und Mühe, zumal da sie der Sicherheit wegen zu wiederholten Malen auszuführen sind. Wenn man aber nicht mit 7, sondern nur mit 3 oder 4 Dezimalstellen rechnet, so kann man den Rechenschieber benutzen und kommt dann sehr viel schneller zum Ziele.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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