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F. KLEIN,

VORTRÄGE ÜBER AUSGEWÄHLTE FRAGEN

DER

ELEMENTARGEOMETRIE.

AUSGEARBEITET

VON

F. TÄGEET.

EINE FESTSCHRIFT

ZU DER

PFINGSTEN 1895 IN GÖTTINGEN STATTFINDENDEN

DRITTEN VERSAMMLUNG

DES

VEREINS ZUR FÖRDERUNG DES MATHEMATISCHEN UND NATURWISSENSCHAFTLICHEN UNTERRICHTS.

MIT 10 IX DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN

UND 2 LITHOGRAPHIERTEN TAFELN.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1895

ко 513.4HJ: 5 13.4 П: Ш511

ALLE ВЕСИТЕ,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBEKSETZUNGSKECHTS, УОКВЕНALTEN.

BIBLiC'I

гшесйшм

KRAKOW

Biblioteka Polilechniki «. akowskie.

Akc. Nr.

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V or wort.

Die schärferen Begriffsbestimmungen und Beweismethoden, welche die moderne Mathematik entwickelt hat, gelten in den Kreisen der Gymnasiallehrer vielfach als abstrus und übertrieben abstract und werden dementsprechend gern so angesehen, als seien sie nur für den engeren Kreis der Specialisten von Bedeutung. Demgegenüber hat es mir Vergnügen gemacht, im vergangenen Sommer vor einer grösseren Zahl von Zuhörern in einer zweistündigen Vorlesung darzulegen, was die neuere

Wissenschaft über die Möglichkeit der elementargeometrischen Constructionen zu

Schon vorher, als ich den

sagen weiss.

Teilnehmern des in den Osterferien in Göttingen stattfindenden Feriencurses eine Skizze dieser Vorträge vorlegte, schienen dieselben besonderes Interesse zu finden, und dieser Eindruck hat sich mir im Laufe der Sommervorlesung nur befestigt. Ich wage also, ein kurze Ausarbeitung meiner Vorlesung zu der demnächst in Göttingen stattfindenden Versammlung des Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts als Festschrift zu überreichen. Diese Ausarbeitung ist von Herrn Oberlehrer Tägert in Ems fertig gestellt worden, der an dem vorgenannten Feriencurs Teil genommen hatte und dem ich ein Collegheft zur Verfügung stellen konnte, das von mehreren Zuhörern meiner Sommervorlesung unter meiner Aufsicht geführt worden war. Möge die kleine Schrift in ihrer anspruchslosen'Form im Sinne der Bestrebungen des Vereins Gutes wirken!

Göttingen, Ostern 1895.

F. Klein.

Inhaltsverzeichnis.

Seite.

Einleitung.

Praktische und theoretische Constructionen Problemstellung in algebraischer Form . .

Erster Abschnitt.

Die Möglichkeit der Construction algebraischer Ansdrücke.

I. Kapitel: Ueber diejenigen algebraischen Gleichungen, welche sieh durch Quadratwurzeln lösen lassen.

С О О t- 00 öi

1—4. Aufbau der zu construierenden Grösse x.........

5. 6. Normalform von x...................

7. 8. Die conjugierten Grössen................

9. Die zugehörige Gleichung F(x) = 0...........

10. Andere rationale Gleichungen f(x) — 0..........

11. 12. Die irreducible Gleichung cp(x) = 0...........

13.14. Der Grad der Gleichung cp ix) — 0 eine Potenz von 2 . . .

11. K a p i t e 1 : Das Delische Problem und die Drittteilung des

Winkels.

1.    Die Unmöglichkeit, das Delische Problem mit Zirkel und Lineal

zu lösen .......................

2.    Die allgemeine Gleichung xz — 1.............

3.    Die Unmöglichkeit, einen Winkel mit Zirkel und Lineal zu

dritteln.......................

10

10

11

III. Kapitel: Die Kreisteilung.

1. Historischer Excurs ...........

2—4. Die Gauss’schen Primzahlen........

5.    Die Kreisteilungsgleichung.........

6.    Das Gauss’sche Lemma..........

7. 8. Die Irreducibilität der Kreisteilungsgleichung

13

13

15

16

17

IY. Kapitel: Die Construction des regulären 17-Ecks.

19

1. Algebraische Formulierung des Problems.......

. 21

2—4. Die aus den Wurzeln gebildeten Perioden......

5. 6. Die quadratischen Gleichungen, denen die Perioden genügen 23 7. Geschichtliches über Constructionen mit Lineal und Zirkel .    26

8. 9. Construction des 17-Ecks nach v. Staudt

Seite.

V. Kapitel: Allgemeines über algebraische Construetionen.

1.    Das Falten von Papier . . .

2.    Die Kegelschnitte......

3.    Die Cissoide des Diokles. . .

4.    Die Conchoide des Nikomedes

5.    Mechanische Apparate. . . .

32

33

34

. 35

36

Zweiter Abschnitt.

Die transcendenten Zahlen nnd die Quadratur des Kreises.

I. Kapitel: Der Cantor’sehe Beweis von der Existenz transcendenter Zahlen.

38

1.    Definition algebraischer und transcendenter Zahlen ....

2.    Anordnung der algebraischen Zahlen nach ihrer Höhe ...    39

41

3.    Beweis der Existenz transcendenter Zahlen

II. Kapitel: Geschichtlicher Ueberbliek über die Versuche zur Berechnung und Construction von n.

1.    Das empirische Stadium.......

2.    Die griechischen Mathematiker. . . .

3.    Die moderne Analysis von 1670—1770

4.    Die wieder erwachende Kritik von 1770 bis zur Neuzeit . .

43

44

. 45

46

III. Kapitel: Die Transcendenz der Zahl e.

1.    Uebersicht über den Gang des Beweises ....

2.    Das Symbol hr und die Function cp......

3.    Der Hermite’sche Satz..............

IY. Kapitel: Die Transcendenz der Zahl n.

1.    Vorbereitung des Beweises............

2.    Die modificierte Function cp...........

3.    Der Lindemann’sche Satz............

4.    Das Lindemann’sche Corollar...........

5. 6. 7. Einfachste Anwendungen............

53

55

59

60

. 63

Anhang.

Der Inte graph von Abdank- Abakanowicz

' s

Einleitung.

Diese Vorlesung verdankt dem Wunsche ihre Entstehung, das Studium der Mathematik an der Universität mit den Interessen der Schulmathematik mehr als sonst üblich in Fühlung zu bringen. Sie ist trotzdem keine Anfangsvorlesung, da sie ihre Themata nicht in der Weise der Schule, sondern von einem höheren Gesichtspunkte aus behandelt. Dagegen sind die vorauszusetzenden Kenntnisse gering. Es wird nur von den Elementen der Analysis Gebrauch gemacht, wie beispielsweise von der Reihenentwicklung der Ex-ponentialfunction.

Es sollen im Folgenden die geometrischen Constructionen behandelt werden, und zwar soll weniger nach der Auflösung im einzelnen Fall, als vielmehr nach der Möglichkeit resp. Unmöglichkeit, eine Lösung zu finden, gefragt werden.

Drei Probleme, die bereits im Altertume untersucht wurden, werden dabei im Vordergründe des Interesses stehen. Es sind

1)    das Problem der Verdoppelung des Würfels (auch das Uelische Problem genannt),

2)    die Drittteilung eines beliebigen Winkels,

3)    die Quadratur des Kreises d. h. die Construction von %.

Bei allen diesen x^ufgaben haben die Alten vergebens eine

Lösung mit Zirkel und Lineal gesucht, und eben darin lag die Berühmtheit derselben, dass zu ihrer Bewältigung höhere Hülfs-mittel nötig schienen. Wir werden in der That beweisen, dass eine Auflösung durch Zirkel und Lineal unmöglich ist.

Was den Nachweis ad 3) angeht, so handelt es sich dabei bekanntlich um einen ganz modernen Fortschritt. Die Entwickelungen ad l) und 2) sind implicite in den allgemeineren Betrachtungen der Galois’sehen Theorie enthalten, wie man sie heutzutage in den Lehrbüchern der höheren Algebra findet. Dagegen fehlt auch bei diesen Problemen eine explicite Darstellung in elementarer Form, wenn ich von den Lehrbüchern von Petersen absehe, die auch in anderer Hinsicht sehr bemerkenswert scheinen.

Zunächst wollen wir den Unterschied zwischen praktischer und theoretischer Construction betonen. Soll beispielsweise ein Teilkreis

Klein, Festschrift.

für ein Messinstrument verfertigt werden, so erfolgt dessen Herstellung einfach durch Probieren. Theoretisch möglich (d. h. durch Zirkel und Lineal theoretisch herstellbar) war früher nur eine Teilung des Kreises in 2A, 3 und 5 Teile und Combinationen hieraus. Hierzu hat Gauss noch andere Fälle hinzugefügt, indem er die Möglichkeit der Teilung in p Teile, wo p eine Primzahl von der Form p = 22,<< -j- 1 ist, und die Unmöglichkeit für alle andern Zahlen bewies. Die Praxis gewinnt hieraus nichts. Die Bedeutung der Gaussischen Entwickelungen ist eine rein theoretische. Dies gilt von den sämtlichen Betrachtungen der gegenwärtigen Vorlesung.

Bei der Fragestellung unseres Hauptproblems: Welche Aufgaben sind (in theoretischem Sinne) construierbar, welche nicht? müssen wir, um den Ausdruck „construierbar“ schärfer zu fassen, die Hülfsmittel nennen, deren wir uns gegebenenfalls bedienen wollen. Wir unterscheiden

1.    Zirkel und Lineal,

2.    Zirkel allein,

3.    Lineal allein,

4.    weitere Apparate, die wir zu Zirkel und Lineal hinzu

nehmen.

Das Eigentümliche ist, dass die Elementargeometrie nicht zu einer Beantwortung der Frage ausreicht. Wir müssen Anlehnung nehmen an Algebra und Analysis und fragen zunächst: Wie drückt sich in der Sprache dieser Wissenschaften die Verwendung von Lineal und Zirkel zur Construction aus? Die Notwendigkeit dieser Gedankenwendung liegt darin, dass die Elementargeometrie keine allgemeine Methode, keinen „Algorithmus“ besitzt, wie die letztgenannten beiden Disciplinen.

Wir haben in der Analysis erstens rationale Operationen. Dahin rechnen wir die Addition und die Subtraction, sowie die Multiplication und die Division. Diese Operationen sind direct geometrisch bei zwei gegebenen Strecken durch Proportionen zu lösen, wenn man im Falle der Multiplication und Division noch eine .Einheitsstrecke hinzunimmt. Weiterhin giebt es aber irrationale Operationen, und diese teilen wir ein in algebraische und trans-cendente.

Die einfachsten algebraischen Operationen sind das Ausziehen der Quadrat- und ferner der höheren Wurzeln, sowie die Auflösung von algebraischen Gleichungen, die sich mit Zuhülfenahme von Wurzeln nicht auflösen lassen, wie die fünften und höheren

Grades. Hiervon ist nun У ab bekanntlich construierbar, und somit können die rationalen Operationen überhaupt, und die irrationalen, soweit es sich um Quadratwurzeln handelt, construiert werden. Andrerseits ist jede einzelne geometrische Construction, die auf den Schnitt zweier gerader Linien, einer geraden Linie und eines Kreises oder zweier Kreise zurückkommt, mit einer rationalen Operation oder der Ausziehung einer Quadratwurzel gleichbedeutend. Bei den höheren irrationalen Operationen ist also die Construction unmöglich, es sei denn, dass man eine Methode finden sollte, bei ihnen mit Quadratwurzeln durchzukommen. Selbstverständlich darf es sich bei allen auszuführenden Constructionen nur um eine endliche Anzahl von Operationen handeln, und somit haben wir den Hauptsatz: Ein analytischer Ausdruck ist dann und nur dann mit Zirkel und Lineal construierbar, wenn er aus den bekannten Grössen durch eine endliche Anzahl rationaler Operationen und Quadratwurzeln abzuleiten ist.

Wollen wir also später zeigen, dass eine Grösse durch Lineal und Zirkel nicht construierbar ist, so haben wir zu beweisen, dass die Gleichung, in deren Form das Problem gekleidet ist (z. B. xd — 2, Kreisteilung, Winkeidrittteilung), nicht durch Quadratwurzeln in endlicher Zahl gelöst werden kann.

A fortiori ist die Lösung unmöglich, wenn überhaupt keine algebraische Gleichung vorliegt. Ein Ausdruck der keiner solchen genügt, heisst eine transcendente Zahl. Dieser Fall trifft unter andern, wie wir zeigen werden, bei der Zahl jt ein.

l*

Erster Abschnitt.

Die Möglichkeit der Construction algebraischer Ausdrücke.

I. Kapitel.

Ueber diejenigen algebraischen Gleichungen, welche sich durch Quadratwurzeln lösen lassen.

Die folgenden Sätze aus der Theorie der algebraischen Gleichungen werden zwar allgemeiner bekannt sein, doch sollen sie der grösseren Uebersichtlichkeit halber hier noch einmal kurz abgeleitet werden.

Liegt zur Construction irgend eine Grösse x vor, welche nur durch rationale Ausdrücke und Quadratwurzeln bestimmt ist, so kann dieselbe jedenfalls erhalten werden als Wurzel einer irredu-ciblen Gleichung f{x) = 0, und es handelt sich zunächst darum, den Grad dieser Gleichung zu untersuchen. Es wird sich heraus-stellen, dass derselbe immer eine Potenz von 2 sein muss.

1. Es sei, um eine klare Auffassung von dem Bau der Grösse X zu gewinnen,

z. B. x =

Va + Yc + ef + Yd + Vb    p + V<1

Vr ’

j/u -j— ~f/b

wobei а, Ъ, c, d, e, f, p, ą, r rationale Ausdrücke sein sollen. Wir erhalten dann folgenden Einteilungsgrund.

2.    Wir sehen zu, wie viel Quadratwurzeln in einem Bestandteile des x über einander stehen, und nennen die Zahl derselben die Ordnung dieses Bestandteils ; so haben wir in unserm Beispiele Ausdrücke von der Oten, lten und 2ten Ordnung.

3.    Bezeichnen wir mit g die Maximalordnung, die in unserm Ausdruck x vorkommt, so dürfen also in demselben nirgendwo mehr als g Wurzeln über einander stehen.

zu-

4.    Bei dem Beispiele iC = ]/2-j-]/3-(-V^ haben wir nächst drei Ausdrücke erster Ordnung. Wir können für x aber auch setzen

x = ]/2 + |/з + j/2 . ]/3,

wo die Zahl der Ausdrücke erster Ordnung auf zwei reduciert erscheint. Eine solche Reduction denken wir uns allgemein bei jedem vorgelegten Ausdruck x hinsichtlich der Terme von der Maximalordnung gemacht. Wir setzen also fortan voraus, dass von den n Gliedern der и ten Ordnung keines durch die übrigen Glieder g ter und die sonst etwa in x auftretenden Glieder niederer Ordnung rational ausdrücJcbar sei.

Entsprechend machen wir die gleiche Annahme bei den Gliedern (ju.— l)-ter und niederer Ordnung, mögen dieselben explicite oder implicite Vorkommen. Diese Hypothese ist, wie man sieht, sehr natürlich zu machen und für den späteren Beweis sehr wichtig.

5. Wir wollen jetzt x in eine Normalform setzen, x kann aus einer Reihe von Summanden mit verschiedenen Nennern bestehen, diese bringen wir auf gleiche Nenner und erhalten so x als Quotienten zweier ganzen Functionen.

Ist nun yę einer der in x auftretenden Bestandteile jitter Ordnung, so kann ]/Ç in ж nur explicite enthalten sein, da g ja die Maximalordnung ist. Da ferner höhere Potenzen von YQ auf YQ und Q, was ein Glied niederer Ordnung ist, zurückkommen, können wir setzen

a + bŸQ c+dYQ’

wo a, b, c, d nur noch (n—1) Glieder von jitter und sonst nur Glieder niederer Ordnung enthalten. Multiplicieren wir Zähler und Nenner mit c — d Y Qi so wird

(ac — bd Q) -f- (bc — ad)YQ

c² — dî Q

YQ verschwindet also im Nenner, und wir können schreiben x =

wo in a und ß ausser Gliedern niederer Ordnung nur noch (n—l) Glieder jitter Ordnung Vorkommen. Für einen zweiten Bestandteil jitter Ordnung erhalten wir in gleicher Weise x = a₁-f-    Y Qi u- s- £

Das x lässt sich also so umrechnen, dass es jeden überhaupt vorhommenden Ausdruck g ter Ordnung nur in seinem Zähler mid dort nur linear enthält.

Hierbei ist aber zu bemerken, dass Producte verschiedener Glieder jitter Ordnung Vorkommen können; denn setzen wir z. B., da ja a und ß noch von (n — l) Ausdrücken jitter Ordnung abhängen,

a = (all + a12 VQÙ > ß = (ßll + ßl2 VQl) ’

so wird

X («il H“ a12 Y Ql)    (ßll “b ßl2 VQl) VQ ■

6.    In analoger Weise machen wir für die verschiedenen Terme (/л — l)-ter Ordnung, welche explicite und in den Ausdrücken Q, Qn • . . Vorkommen, die analoge Umformung, so dass wir in jedem Gliede immer nur eine ganze lineare Function des einzelnen Ausdrucks (/i — l)-ter Ordnung vor uns haben. Dann schreiten wir zu den Bestandteilen niederer Ordnung fort, die wir entsprechend behandeln, und erhalten schliesslich x bez. seine Bestandteile in Beziehung auf die explicite vorkommenden einzelnen Wurzelgrössen als eine ganze rationale Function des ersten Grades. Damit haben wir x in die Normal form gesetzt, wie wir uns ausdrücken wollen.

7.    Die Gesamtzahl der in dieser Normalform vorkommenden, nach unsrer Annahme (siehe 4.) von einander unabhängigen Quadratwurzeln sei m. Aendern wir nun in beliebiger Weise das Vorzeichen einer jeden dieser Wurzeln, so erhalten wir ein System

von 2m Ausdrücken Grössen bezeichnen wollen.

по    лг»    rg

Л-G)’ * * * ,/y2

die wir als conjugierte

Es wird sich jetzt darum handeln, die Gleichungen zu untersuchen, denen diese conjugierten Grössen als Wurzeln genügen.

8. Zunächst ist es nicht notwendig, dass alle conjugierten Grössen von einander verschieden sind. Wäre z. B.

x — Va -f- Yb -f-Va — Yb,

so ändert es sich nicht, wenn ]/& in — ]/b übergeht.

9. Ist nun x eine beliebige Grösse und bilden wir

F(x) = (x — x^ (x — x₂J . . . (x—x2my

so ist F(of) = 0 zweifellos eine Gleichung, welche unsere conjugierten Grössen zu Wurzeln hat. Sie ist vom Grade 2m, kann aber nach 8. mehrfache Wurzeln enthalten. Wir werden zeigen, dass beim Ausmultiplicieren alle Wurzelzeichen verschwinden und dass F(x) nur rationale Coefficienten hat. Aendert sich nämlich das Vorzeichen einer der in F(x) enthaltenen Quadratwurzeln, so ändert sich damit eine der Wurzeln x-g. damit ändert sich aber gleichzeitig entsprechend die Wurzel so dass die eine in die andere übergeht, denn F(x) muss auf jeden Fall alle durch Vertauschung der Vorzeichen hervorkommenden Ausdrücke x enthalten. Da nun aber Xi und x'i nur in der multiplicativen Verbindung (x — X/_) (x — xf) Vorkommen, so besteht die ganze Aenderung darin, dass die Reihenfolge der Factoren von F(x) eine andere wird. Man sieht also, dass F(x) in der Weise von den Quadratwurzeln abhängig ist, dass es einerlei bleibt, ob diese positiv oder negativ genommen werden, d. h. in F(x) können nur deren Quadrate Vorkommen. F(x) hat demnach rationale Coefficienten.

10. Wir leiten nun folgenden Satz ab: Genügt eine unserer conjugierten Grössen einer gegebenen Gleichung mit rationalen Coef-ficienlen f(x) = 0, so sind auch die übrigen conjugierten Grössen Wurzeln dieser Gleichung.

fix) braucht hier nicht gleich F(x') zu sein und kann ausser den Xi noch andere Wurzeln haben.

Es sei eine der Grössen x

x₁=a-{- ßVQ’

wo

УQ einer der in xt enthaltenen Bestandteile fiter Ordnung ist und a und ß nur noch von den übrigen Gliedern g ter und niederer Ordnung abhängen. Dann muss es eine conjugierte Grösse

xx —

bringen wir

geben. Setzen wir nun xx in die Gleichung f{x^) — 0 ein und ir f(xß) in Bezug auf Yq in die Normalform, also

ffo) = A + BŸQ,

so kann dieser Ausdruck nur Null werden, wenn A und В für sich verschwinden. Denn wäre dies nicht der Fall, so erhielten wir

Yq — — d. h. Yq Hesse sich durch die in A und В enthaltenen Ausdrücke fiter und niederer Ordnung rational ausdrücken, was mit der von uns gemachten Annahme (siehe 4.), die Quadratwurzeln sollten unabhängig von einander sein, im Widerspruche ist.

Setzen wir jetzt xf in die Gleichung fix), so erhalten wir f(%Y) — А — B Y Qi und dies ist sicher gleich 0, da ja A und В einzeln verschwinden. Ist also xx eine Wurzel von fix) — 0, so ist es auch xf. So fahren wir fort und erhalten das Resultat:

Ist f(xx) = 0, so wird fix) jedenfalls auch für alle diejenigen mit xx conjugierten Grössen verschwinden, die sich aus xx dadurch ergeben, dass man die Wurzeln gier Ordnung im Vorzeichen ändert.

Der Beweis für die übrigen conjugierten Grössen gestaltet sich in analoger Weise. Es hänge der Ausdruck xlx wie wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen können, nur von zwei Bestandteilen fiter Ordnung ]/Q und ]/Q' ab, so lässt sich /’(.r₁). bezüglich dieser in folgende Normalform bringen:

(a fixx) =p + qYQ + rYQ' + sYQ YQ' = 0.

mehl* als zwei Ausdrücken jitter Ordnung abhängig, so würde der Unterschied nur der sein, dass eine grössere Anzahl analog gebauter Glieder hinzugeschrieben werden müsste.)

(Wäre X von

Die obige Gleichung a) kann aber nur gültig sein, wenn

b)

p = 0, q = 0, r = 0, s = 0,

da ja andernfalls wieder ein rationaler Zusammenhang zwischen den Wurzeln bestehen würde, was gegen unsere Annahme ist.

Bezeichnen wir nun mit ]/Rl, ]/Rj... die Ausdrücke (ft—1 )-ter Ordnung, von denen xx abhängt, so lassen sich die Grössen p, q, r, s, in denen sie Vorkommen, rücksichtlich ihrer in die Normal -form setzen; und wenn wir der Einfachheit halber wieder nur zwei Grössen ]/jt! und ~\/Pl annehmen, erhalten wir die Gleichung:

c)

p = %x -|-    ]/R -j- gx УR'    vx УR У R' = 0

und drei ähnlich gebaute für q, r und s. Unsere schon mehrfach benutzte Annahme von der Unabhängigkeit der Wurzeln liefert uns dann die Gleichungen:

A)

'/ — О, À = 0, [i = 0, V = 0.

In Folge dessen werden die Gleichungen c) und damit f(oc) = 0

statt yïi und ]/R' die daraus durch

auch befriedigt, wenn Aendemng der Vorzeichen hervorgehenden Wurzeln eingeführt werden. Also auch diejenigen conjugierten Grössen, welche aus xx durch Aenderung der Wurzeln (ft — l)-ter Ordnung entstehen, genügen der Gleichung f(x) = 0.

In analoger Weise betrachten wir die Grössen (ft — 2)-ter, (ft — 3)-ter, . . . Ordnung und erbringen so den vollen Beweis unseres Satzes.

11. Wir haben bis jetzt zwei Gleichungen F(x) — 0 und f(x) = 0 in Betracht gezogen. Beide haben rationale Coefficienten und enthalten die Xi als Wurzeln. F(x) ist vom Grade 2"‘ und hat möglicherweise mehrfache Wurzeln, f(x) kann noch dui'ch von den Xi verschiedene Werte befriedigt werden. Hierzu nehmen wir eine dritte Gleichung <p(x) = 0, mit der Bedingung, sie sei die niedrigste rationale Gleichung, der xx, und somit auch alle Xi (siehe 10.), genügen.

Wir leiten über dieses cp(x) einige Sätze ab; und zwar finden wir: 12 a. (p(x) ist irreduzibel, d. h. es kann nicht in zwei andere

Diese

Polynome mit rationalen Coefficienten gespalten werden. Irredueibilität von cp liegt darin begründet, dass es die niedrigste rationale Gleichung sein soll, welcher die Xi genügen.

Denn Hesse sich cp(x) rational spalten, so dass

9>(®) = V(x) %(x)

ist, so gäbe <p(xx) = 0 entweder тр(хх) — 0 oder %(хх) — 0 oder beides. Nach 10. müssen dann diese Gleichungen aber alle con-jugierten Grössen zu Wurzeln haben. cp ix) würde somit nicht die niedrigste Gleichung für die Xi sein.

12 b. cp(x) hat Tceine mehrfachen Wurzeln; denn hätte es solche, so Hessen sich diese nach bekannten Methoden der Algebra rational abspalten, und cp(x) wäre nicht mehr irreducibel.

12c. ep(x) hat keine andern Wurzeln als die x-b; denn hätte es deren, so Hessen sich diese aus F(x) = 0 und cp(x) = 0 rational abspalten, und cp(x) wäre nicht irreducibel.

12 d. Wir wählen aus den conjugierten Grössen x-t sämtliche von einander verschiedenen aus, ihre Zahl sei Ж; dann ist, behaupte ich:

cp ix) = C(x — Xx) (X — x₂) ... (x — Хм) ■

Denn cp(x) — 0 enthält dann als Wurzeln sämtliche Xi und hat keine mehrfachen Wurzeln. Es ist cp(x) durch diese Angabe bis auf eine multiplicative Constante bestimmt, was aber für die Gleichung cp(x) = 0 keinen Unterschied macht.

12e. cp i x) = 0 ist die einzige irreducible Gleichung mit rationalen Coefficienten für die x-L. Denn, gäbe es eine andere irreducible rationale Gleichung f{x) = 0, welche für x = xx, und also für alle x^ verschwindet, so müsste f(x) durch cp(x) teilbar sein, also

f(x) = cp(x) f(x).

f(x) wäi'e demnach reducibel, was unsrer Annahme widerspricht.

Auf Grand der so bewiesenen fünf Eigenschaften von cp (x) = 0 können wir diese Gleichung schlechtweg als die irreducible Gleichung bezeichnen, welcher unsere %i genügen.

13. Wir vergleichen nun F(x) und cp(x) mit einander. Beide haben nur die x-, zu Wurzeln und cp ix) ausserdem unter diesen keine mehrfachen. Da hiernach F(x) durch cp(x) teilbar sein muss, sei

Fix) = Fxix) cp(x),

wo Fx(x) ebenso wie die beiden andern Gleichungen rationale Coefficienten hat, da es das Resultat einer aufgehenden Division ist. Wenn Fx(x) keine Constante darstellt, so enthält es Wurzeln, die auch in F(x) = 0 stecken, also einige und darum nach 10. alle Xi. Mithin ist auch Fx (x) durch cp ix) teilbar, und wir erhalten Fx{x) = F₂(x) cp{x).

Dasselbe gilt, wenn F₂(x) nicht constant ist, für F₃(x) u. s. w. Schliesslich gewinnen wir für ein geeignetes Fr— \{x) einen Ausdruck Fr-i(x) = ct cp(x)

und für F(x) selber

F(x) = c (pv{x).

In der That muss ja der immer kleiner werdende Grad der Fl (rr), Р₂(ж), . . . nach einer endlichen Anzahl von Schritten schliesslich auf 0 herabsinken.

Bas Polynom F(x) ist also, abgesehen von einer unbekannt bleibenden Constanten, eine Potenz des Minimalpolynoms cp(x).

14. Dies ermöglicht uns, den Grad M des letzteren näher zu bestimmen. F(oc) war vom Grade 2m, und da F(x) die vte Potenz von (p{x) ist, so ist

2m = V . 31.

Demnach ist M auch eine Potenz von 2, und wir erhalten den Satz:

Ber Grad der irreduciblen Gleichung, welcher ein aus Quadratwurzeln gebauter Ausdruck genügt, ist stets eine Potenz von 2.

Da aber unsere ж,-, wie wir in 12e. bemerkten, nur einer einzigen irreduciblen Gleichung genügen können, so ergiebt sich als Umkehrung der Satz:

15. Ist cine irreducible Gleichung nicht vom Grade 2h, so kann sie gewiss nicht durch Quadratwurzeln gelöst werden.

II. Kapitel.

Das Delische Problem und die Drittteilung des Winkels.

1.    Die allgemeinen Sätze des vorigen Abschnittes wenden wir zunächst auf das Belische Problem, d. h. auf das Problem der Verdoppelung des Würfels an. Die Gleichung hierfür ist

X³ = 2.

Dieselbe ist irreducibel, da andernfalls für У 2 ein rationaler Wert .existieren müsste. Denn eine Gleichung dritten Grades, welche reducibel ist, enthält notwendigerweise einen rationalen linearen Factor. Aber der Grad der Gleichung ist nicht von der Form 2Ä, also ist sie nicht durch Quadratwurzeln lösbar, und die geometrische Construction mit Zirkel und Lineal unausführbar.

2.    Wir betrachten jetzt die allgemeinere Gleichung x³ = Я, wo X einen Parameter bedeute, der auch complex sein kann. Die Gleichung wird uns die analytischen Ausdrücke für die geometrischen Probleme der Vervielfältigung des Würfels und der Drittteilung eines beliebigen Winkels liefern. Es fragt sich, ob die Gleichung reducibel ist, d. h. ob sich eine ihrer Wurzeln als eine rationale

Function von Я bestimmen lässt. Es ist hierbei darauf zu achten, dass die Irreducibilität eines Ausdrucks allgemein davon abhängt, welche Grössen man als bekannt anzusehen hat. In dem Falle xs=2

handelte es sich um numerische Grössen, um einen numerisch rationalen Wert haben kann. In der Gleichung ж³=Я

die Frage, ob У2

fragt es sich, ob eine rationale Function von Я eine Wurzel derselben darstellen kann. Im ersten Falle ist der sogenannte Rationalitätsbereich die Gesamtheit der rationalen Zahlen, im zweiten sind es die rationalen Functionen eines Parameters. Indem wir diesen als

unbeschränkt veränderlich ansehen, ist ohne weiteres ersichtlich, dass kein Ausdruck    w0 ф(Х) und ^(Я) Polynome sind,

unsererer Gleichung genügt; sie ist also für die hiermit bezeichnete Annahme irreducibel und eben darum nicht durch Quadratwurzeln zu lösen.

3. Wir werden jetzt aber die Veränderlichkeit von Я einschränken.

r.

Fig. 1.

Wir setzen (s. Fig. 1)

Я = r (cos cp -f- i sin cp),

so ist

ŸI — j/r f/cos cp -f- i sin cp.

Die Aufgabe zerlegt sich also in die Teilaufgaben, die dritte Wurzel aus einer reellen und aus einer complexen Zahl von der Form cos cp -j- i sin cp auszuziehen (die wir beide als frei veränderlich ansehen wollen). Diese Teilaufgaben werden wir jetzt getrennt behandeln.

a) Die Wurzeln der Gleichung xA — r sind j/r, £    r, c² ]/V,

wo

— 1 -F г Уз

und £² =

— 1 — i У‘3

die complexen dritten Wurzeln der Einheit bedeuten.

Betrachten wir die Gesamtheit der rationalen Functionen von r als den Rationalitätsbereich, so müsste sich, wenn

cibel wäre, eine der Wurzeln in der Gestalt x —

xb — r redu-

qp(r)

v(r)

abspalten

lassen. Aber dies ist, auch wenn wir die Veränderlichkeit von r auf das reelle Gebiet beschränken, nach den Gesetzen der Teilbarkeit der Polynome ersichtlich unmöglich. Die Gleichung ж³ = r ist also durch Quadratwurzeln nicht lösbar, und das Problem der Vervielfältigung des Würfels für frei veränderliches r mit Zirkel und Lineal nicht construierbar.

b) Die Wurzeln der Gleichung

x³ = cos cp -f- i sin cp sind nach dem Moivre’schen Satze

x}

-f- i sin

= cos

ф -f- 2 7Г

-f- i sin

= cos

Ф -f- 4тг

-f- i sin

ф -f- 47Г

Geometrisch bedeuten die Wurzeln die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks auf dem Einheitskreise um den Anfangspunkt, und die Gleichung x³ = cos cp -f- i sin cp ist die analytische Formulierung

ср+гл,

des Problems der Drittteilung des Winkels. Denn, wie die Figur zeigt, entspricht x₁ der

Winkel •

О

Hier werden wir unserer Betrachtung eine andere Wendung geben:

Wenn die Gleichung:

X³ = cos cp -f- i sin cp

Cp + 'tJT

Fig. 2.

reducibel wäre, so müsste sich eine ihrer Wurzeln als eine rationale Function von cos cp und sin cp darstellen lassen. Diese würde sich nicht ändern, wenn cp in cp -j- 2n überginge. Nehmen wir aber diese Aenderung bei den drei Wurzeln der Gleichung vor, indem wir cp durch stetige Abänderung in cp -f- 2% übergehen lassen, so sehen wir, dass xx in x₂, dieses in #₃, und dieses in x₁ übergeht. Die Wurzeln vertauschen sich also cyklisch. Also lässt sich keine Wurzel als rationale Function von cos cp und sin cp darstellen. Dann ist aber x³ = cos cp -f- i sin cp irreducibel und demnach nicht durch Quadratwurzeln in endlicher Zahl lösbar. Die Drittteilung des Winkels kann mit Zirkel und Lineal nicht ausgeführt werden.

Dieser Beweis und der ganze Satz gelten ersichtlich nur, insofern cp als ein frei veränderlicher Winkel angesehen werden soll; für besondere Werte von cp kann die Construction sehr wohl durchführbar sein.

III. Kapitel.

Die Kreisteilung.

1.    Die Aufgabe, einen gegebenen Kreis in n gleiche Teile zu teilen, rührt auch schon aus dem Altertume her, und man kannte schon lange die Möglichkeit der Auflösung derselben, wenn n — 2Ä, 3 und 5 oder eine Combination aus diesen Zahlen ist. Gauss erweiterte in seinen Disquisitiones arithmeticae diese Zahlenreihe, indem er zeigte, dass die Teilung für jede Primzahl von der Form p = 2~,u -j- 1 durchführbar, für alle andern Primzahlen und Primzahlpotenzen aber unmöglich ist. Wir wollen, um eine genauere Anschauung zu gewinnen, das Gauss’sche Resultat etwas specificieren. Setzen wir in p = 22/1 -(-1 p, = 0, so wird p = 3, für /л = 1 erhalten wir p = 5, d. h. die Fälle, welche schon dem Altertume bekannt waren. Ferner ergiebt fx = 2, p = 2"² —f— 1 = 17, für welche Zahl Gauss die Teilung ausführte.

Bei (л — 3 haben wir p — 2²” -j- 1 = 257, was ebenfalls eine Primzahl ist. Das 257-Eck ist also construierbar. Das gleiche gilt, da 2'ji -(- 1 = 65537 eine Primzahl ist, für das 65537-Eck. tu = 5, fł=6, /х = 7 geben keine Primzahlen. Für p, = 8 hat noch Niemand untersucht, ob eine Primzahl vorliegt oder nicht. Kostete doch allein der Nachweis, dass die bei /x = 5, 6, 7 entstehenden grossen Zahlen keine Primzahlen sind, schon einen grossen Aufwand von Anstrengung und Geschicklichkeit. Es ist also immer möglich, dass fx = 4 die letzte Zahl ist, welche eine Lösung zulässt.

lieber das 257-Eck hat Richelot eine umfangreiche Arbeit in Crelle’s Journ. IX, 1832, pp. 1—26, 146 — 161, 209—230, 337—356 veröffentlicht. Sie trägt den Titel: De resolutione alge-braica aequationis ж²⁵⁷ = 1 , sive de divisione circuli per bi-sectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata.

Auf das 65537-Eck hat Herr Prof. Hermes in Lingen 10 Jahre seines Lebens verwandt, um alle nach der Gauss’schen Behandlungsweise vorkommenden Wurzeln etc. genau zu untersuchen. Das äusserst lieissige Diarium wird in der Sammlung des mathematischen Seminars zu Göttingen aufbewahrt. Man vergleiche eine Mitteilung von Prof. Hermes in Nr. 3 der Göttinger Nachrichten vom Jahre 1894.

2.    Will man die Möglichkeit der Teilung eines Kreises in ii gleiche Teile untersuchen, so kann man sich auf die Fälle be-

schränken, dass n—p oder n — pat gleich einer Primzahl oder einer Primzahlpotenz ist. Denn ist n eine zusammengesetzte Zahl, so kann man die Aufgabe immer auf eine Teilung in die Primzahlteile, welche n zusammensetzen, zurückführen. Wird z. B. eine Teilung in 15 gleiche Teile verlangt, so genügt es, die Teilung in 3 und о Teile durchführen zu können, da sich aus der Gleichung | ergiebt.

-*7 die Teilung in 15 Teile hinterher von selbst

3. Wie sich heraussteilen wird, ist die Teilung in p gleiche Teile nur ausführbar, wenn p eine Primzahl von der Form p — 2h -}- 1 ist. Wir werden zunächst zeigen, dass, wenn eine Primzahl durch diese Form dargestellt werden soll, h = 2'“, d. h. selbst gleich einer Potenz von 2 sein muss. Hierzu sind einige ganz einfache zahlentheoretische Betrachtungen erforderlich, wobei wir von dem sog. Fermat’sehen Satze ausgehen. Dieser lautet:

Ist p eine Primzahl und die ganze Zahl a nicht durch p teilbar, so gilt die Congruenz:

-(- 1 (mod. p).

Diese (p — l)-te Potenz braucht indessen nicht die niedrigste zu sein, welche bei gegebenem a die Congruenz befriedigt. Ist s diese niedrigste Potenz von a, so, lässt sich beweisen, muss s ein Teiler von p — 1 sein. Ist speciell s — p — 1, so sagt man:. a ist eine Primitivwurzel von p, wobei wir bemerken, dass es für jede Primzahl solche Primitivwurzeln giebt. Von dem Begriff der Primitivwurzeln werden wir aber erst später Gebrauch machen.

Es sei nun s der niedrigste Exponent, welcher die Congruenz 2S :E-f-l (mod. p), wo p == 2Л —f— 1 ist, befriedigt. Man schliesst aus

p = 2A —(— 1,

aP~¹

dass

ist.

2Л = p — 1 <Cp

Andrerseits bedingt die Congruenz 2* = Ungleichung 2s>>p, so dass p liegt zwischen

2h <p < 2S, s > h.

Aus den beiden Congruenzen

2S = -f- 1 (mod. p)

2h = — 1 (mod. p)

-J- 1 (mod. p) die

demnach ist

und

folgt durch Division

2s h =z — 1 (mod. p).

Wenn nun s < 2/( wäre, so wäre auch s — h <C h; da aber, wegen 2h — p — 1, h die kleinste Potenz von 2 ist, welche die Con-gruenz 2h = — 1 (mod. p) erfüllen kann, so ist s unmöglich kleiner als 2h. Es muss also mindestens

s — 2 h

sein. Aus 2¹' — — 1 (mod. p) ergiebt sich aber wirklich 2U = -j- 1 (mod. p),

also ist in der That s = 2h. Nach der oben gemachten Bemerkung muss aber (p — 1) durch s teilbar sein. Da nun

p — 1 = 2h

eine Potenz von 2 ist, muss auch h eine solche repräsentieren. Die in der Form p = 2Л —{— 1 enthaltenen Primzahlen können also nur die Gestalt p = 2a“    1 haben.

4. Der Beweis, dass h eine Potenz von 2 ist, lässt sich noch in anderer Weise führen. Wäre nämlich h durch eine ungerade Zahl teilbar, etwa h — h'(2n —(— 1), so würde nach der Formel

----(-ж² — ж-f-1)

и—2

#2я+1 _|_ 1 = (x-\- l) (x2n X2n~¹ -f- X²

p — 2h (2я+Р -|- 1 durch 2h -|- 1 teilbar, also keine Primzahl sein.

5. Wir wollen nun zunächst beweisen, dass für alle andern Fälle, als die genannten, die Kreisteilung unausführbar ist. Dazu müssen wir vor allem das geometrische Problem in ein algebraisches verwandeln.

Zeichnen wir für z — x -f- iy in der z-Ebene einen Kreis vom Radius 1 und wollen wir diesen, vom Punkte z = 1 beginnend, in n gleiche Teile teilen, so verlangt diese Aufgabe die Lösung der Gleichung

sn — 1 = 0.

Dividieren wir hier durch z — 1, so spalten wir dadurch die Wurzel z = 1 ab, was, geometrisch gedeutet, heisst: Wir sehen von dem Anfangspunkte der Teilung des Kreises ab. Sonach erhalten wir die Gleichung:

0.

gw —

z —

Diese Gleichung bezeichnet man schlechtweg als Kreisteilwigsglei-chung. Wie oben bemerkt wurde, können wir uns auf die Fälle beschränken, dass n eine Primzahl oder eine Primzahlpotenz ist, und führen deshalb zuerst die Untersuchung für den Fall n — p.

Der wesentliche Punkt des Beweises ist, zu zeigen, dass obige Gleichung irréducibel ist. Denn da, wie wir früher einsahen, irreducible Gleichungen nur dann möglicherweise durch Quadratwurzeln gelöst werden können, wenn ihr Grad eine Potenz von 2 ist, so ist eine Teilung in p Teile jedenfalls unmöglich, wenn p — 1 nicht gleich einer Potenz von 2, also nicht

p = 2h + 1 = 2‘JM -f 1

ist. Man sieht hieraus, warum gerade die Gauss’schen Primzahlen eine Sonderstellung einnehmen.

6. Wir schalten hier ein Lemma ein, welches als das Gauss-sche Lemma bezeichnet wird. Ist

F(z) = zm + Az™-¹ -j- Bzm-% -j-----f- Lz -f M,

wo die M, B etc. ganze Zahlen sind, und lässt sich F{z) in zwei rationale Factoren f(z) und (p(z) zerlegen, so dass

F(z ) = f(z) ■ cp(z)

(Г

c0-Kl («“+ *+ ■ ■ • + /fi +c, (ЛмЧ-+>) +•■• genüge, wo die Coefficienten C reelle ganze Zahlen und die Exponenten x für sich, die Exponenten A für sich etc. zusammengehörige algebraische Zahlen bedeuten.

Über sicht der im zweiten Halbjahr 1894 von

F(z ) = f(z) ■ cp(z)

= (zm + a^™-¹ + a₂zm~² H----) (z™ + ß^™-¹ + ß₂Zm'-² -j----) ist, so müssen die a und ß auch ganze Zahlen sein. Mit andern Worten:

Lässt sich ein ganzzahliger Ausdruck rational zerlegen, so lässt er sich ganzzahlig zerlegen.

Wären nämlich die a und ß Brüche, so bringen wir sie in jedem Polynom auf den kleinsten gemeinsamen Nenner. Diese seien a₀ und b₀. Multiplicieren wir dann die Gleichung mit «₀fr₀, so erhalten wir:

a₀b₀F(z) = /jO) cpt(z)

= (a₀zm-f- a₁z™—¹ -f- a₂zm~²-j----) (b₀zm -)-\z™—¹ -f-b₂z™—~ -(----),

wo die a und b jetzt ganze und zwar, da a₀ und b₀ die kleinsten gemeinsamen Nenner waren, teilerfremde Zahlen sind. Wenn nun a₀ und b₀ von 1 verschieden sind, so liegt in dieser Gleichung schon ein Widerspruch. Ist nämlich a₀ b₀ ^ 1, so müssen sich sämtliche Glieder links durch jede in a₀ b₀ enthaltene Primzahl ą teilen lassen. Dann müssen aber auch sämtliche Coefficienten wenigstens des einen Polynoms rechts durch q teilbar sein. Wäre nämlich der erste Coefficient in fx(z) und bk der erste in cpv(y), welcher nicht durch q teilbar ist, so betrachte man im ausmultipli-cierten Producte rechts das Glied mit gm+nt'—к, Dasselbe hat den Coefficienten

(«/bk -j- tti—i bkĄ-1 -f-    2 bk-f 2 H-----h a'i+1 bk—i “h    2 bk— 2 -|----).

Da nun nach unserer Annahme die a;_i, a-,—2, . . . und die h/t—2, • ■ • durch /7 teilbar sind, so muss auch at bk den Factor q enthalten. Also müssen entweder die sämtlichen Glieder von f[(z) oder von cp^iz) oder beide durch q teilbar sein, was den thatsäch-lichen Verhältnissen widerspricht, da die a und b unter sich teilerfremd sind. Die Gleichung

aob₀F(z) = /1О) 4>M

kann demnach nur bestehen, wenn a₀b₀ = 1 ist, d. h. die Zerlegung war von Anfang an ganzzahlig.

7. Um zu beweisen, dass die Kreisteilungsgleichung irreducibel ist, genügt es nach dem Gauss’sehen Lemma zu zeigen, dass sie nicht ganzzahlig zerlegt werden kann. Zu diesem Zwecke werden wir uns der einfachen Eisenstein’schen Methode (Grelle Journ. 39, p. 167) bedienen, welche auf der Substitution 3 — x -f- 1 beruht. Wir erhalten

rt*) =

zv— 1

(* +1Y

z—1

_|-----(_

— = Х1> л -f pxГ-* -f P(f ,₎¹⁾ xP~5 P(P— U

x -f- p — 0.

1 . 2

Rechts besitzen alle Coefficienten den Factor p bis auf das erste Glied, während das letzte p> selber ist, p immer als Primzahl vorausgesetzt. Ein solcher Ausdruck ist aber ganz allgemein irreducibel.

Wäre dies nämlich nicht der Fall, so hätte man

f'(x-)- l) = (xm -(- axx"' ¹ -(-••• -\-am—\x -|- am)

X (x'": -f bx xm' ¹ -1-----1- h„/_ 1X -f - bm ),

wo die a und b ganze Zahlen bedeuten.

Da nun das Glied militer Ordnung links gleich p ist, so ist a in bm' — P, und weil p eine Primzahl ist, muss einer der Factoren der Einheit gleich sein. Es sei am = + p und bm' — -f- 1. Auch der Coefficient des linearen Gliedes muss, wie die Formel für f(z) zeigt, durch p teilbar sein. Dieser lautet

dm—l bm 4“ am    1 •

Hieraus folgt, dass am—i durch p teilbar sein muss.

Das gleiche finden wir für ₂ aus dem Coefficienten des quadratischen Gliedes

Clm—2 bm -f-    1 bm'—1 -)- Om bm'—2,

( denn die beiden letzten Ausdmcke lassen sich durch p teilen und

Klein, Festschrift.

in dem ersten ist Ът' = + l). Ebenso finden wir, dass auch alle

übrigen Coefficienten des Factors (xm-j-a₁xm~¹-j-----f- am—\ x -(- am)

durch p teilbar sein müssen. Dies trifft aber für den Coefficienten von xm nicht zu, der gleich 1 ist. Dieser bei gegenteiliger Annahme eintretende Widerspruch beweist, dass die Kreisteilungsgleichung irreducibel ist, wenn die Zahl der Teile p eine Primzahl ist.

8. Wir untersuchen jetzt den Fall einer Primzahlpotenz (wobei im Grunde nur die Gauss’schen Primzahlen Interesse haben). Wir werden zeigen, dass für p > 2 eine Teilung des Kreises in p2 Teile unmöglich ist. Hiermit ist die Sache für p > 2 überhaupt erledigt, da Teilungen nach höheren Primzahlpotenzen stets die p²- Teilung enthalten müssen.

Hier lautet die allgemeine Gleichung:

0^—1 = 0,

aus welcher wir zunächst durch die Division mit z —- 1 die Wurzel 1 abspalten :

0.

ZP — 1

Aber auch dieser Ausdruck hat noch fremde Wurzeln, indem er ja auch alle diejenigen enthält, welche sich auf die p-Teilung beziehen, d. h. alle Wurzeln der Gleichung

0.

zp— 1

Beseitigen wir analog durch Division auch diese Wurzeln, so erhalten wir endgültig:

= o.

zp'- 1 zp - 1

(Auch geometrisch ist diese Gemeinsamkeit der Wurzeln klar, indem ja z. B. bei der Neunteilung auch die Drittteile mit auf-treten.)

Führen wir jetzt die Division aus, so erhalten wir die^j Glieder: zp(p-D _j_ ep(p-2) _j_    ep -f 1,

und durch die Substitution

Z = X -f- 1

folgt:

(Æ-j-l)^-¹! _J_ (;r-|-l)p(p-*) -j-----(- (x-\-l)p + 1.

Da wir hier p Glieder haben, so lautet nach der Entwicklung das constante Glied jedenfalls: p, und die ganze Summe hat augenscheinlich die Form:

Xp(p-D + p • х(ж),

wo ^(ж) ein Polynom mit ganzen Coefficienten darstellt, dessen Glied militer Ordnung gleich 1 ist. Wie wir aber in 7. zeigten, ist ein solcher Ausdruck ganz allgemein irreducibel. Also ist auch die neue Kreisteilungsgleichung f(a) — 0 wiederum irreducibel.

Nun ist der Grad dieser Gleichung p(j)— l). Da aber eine irreducible Gleichung nur dann (möglicherweise) durch Quadratwurzeln gelöst werden kann, wenn ihr Grad eine Potenz von 2 ist, so beschränkt sich die Möglichkeit der Kreisteilung in Primzahlquadratteile auf den Kall p = 2, also p~ = 4.

Mit der Unmöglichkeit der Teilung in p² Teile ist aber, wie wir bemerkten, die Unmöglichkeit der Teilung in pa Teile, wo и > 2, von selbst gegeben.

IY. Kapitel.

Die Construction des regulären 17-Ecks.

1. Nachdem wir somit eingesehen haben, dass nur für die oben angegebenen Gauss’schen Primzahlen die Kreisteilung durch Zirkel und Lineal möglich sein kann, wird es von Interesse sein, zu erfahren, dass sich und wie sich im Einzelnen die Construction wirklich ausführen lässt. So soll es denn Aufgabe dieses Kapitels sein, in elementarer Weise die Methode auseinanderzulegen, nach der sich speciell das reguläre Siebzehneck in den Kreis einzeichnen lässt.

Da wohl bislang aus rein geometrischen Erwägungen noch keine Constructionsmethode gefunden ist, so werden wir zu diesem Zwecke denselben Weg einschlagen müssen, auf dem sich unsere allgemeinen Betrachtungen bewegten. Danach haben wir zunächst die algebraische Seite der Aufgabe ins Auge zu fassen, d. h. die Wurzeln der in Betracht kommenden Gleichung 16ten Grades:

x¹⁶ + ж¹⁵ H-----(—    -J— x —|— 1 = 0

zu untersuchen und dann den aus ihr resultierenden Quadratwurzelausdruck geometrisch zu construieren.

Nun ist bekanntlich die transcendente Form der Wurzeln:

2 кп

Ey = COS —

-f i sin (x = 1, 2,

und wenn wir

= COS

2тг

CM ;

+ « sin ₁₇

setzen, so ist

Sy

г*

Geometrisch stellen sich diese Wurzeln in der complexen Ebene als die von 1 verschiedenen Ecken des regulären 17-Ecks

ce

Fig. 3.

dar, welches in den Einheitskreis, wie nebenstehend, eingezeichnet ist. Dabei ist es an sich willkürlich, dass wir die Wurzel £x bevorzugt haben; aber wenn wir uns die Aufgabe stellen, die verschiedenen e zu construieren, ist es zur Präcisierung der Frage 4) notwendig, genau zu sagen, mit welchem e wir beginnen wollen, also ein £, z. B. £x auszuzeichnen. Haben wir erst speciell gefunden, so ergeben sich die zu den andern ex gehörigen Winkel einfach als das и-fache des zu £x gehörigen, wodurch auch die ex selbst bestimmt sind.

Der Grundgedanke der Lösung geht davon aus, dass man die 16 Wurzeln in bestimmter Weise in einen Cyklus ordnen kann, und zwar dadurch, dass man eine Primitivwurzel für den Zahlenmodul 17 heranzieht.

Wie wir bereits früher erwähnten, heisst eine Zahl a Primitivwurzel zum Modul 17, wenn die Congruenz as = -j- 1 (mod. 17)

als kleinste Lösung s = 17 — 1 = 16 hat. Die Zahl 3 hat nun in Bezug auf mod.    17    diese Eigenschaft.    Denn es ist:

3XEE 3

3²    = 9    3⁶ EEl5 3¹⁰= 8

3³    = 10    3⁷ = 11

3⁴    = 13    3⁸ = 16

mod. 17.

Ordnen wir jetzt die Wurzeln sk so, dass ihre Exponenten dieselbe Reihenfolge wie die obigen Reste bilden, so erhalten wir:

3 9 10 13 5 15 11 16 14 8 7 4 12 2 6 1 C?C?C 1° } C } C } C ? C ? C ^ C *

Darin ist jede Wurzel die dritte Potenz der ihr vorangehenden.

Dies lässt sich leicht verifizieren : z. B. ist

£¹⁶ = (fll)³ = £³³ = f!7 • £¹⁶ = £¹⁶.

Die Gauss’sche Methode besteht nun darin, den angegebenen Cyklus in 8-, 4-, 2- und eingliedrige „Perioden“ zu zerlegen, entsprechend den Factoren, in welche sich die Zahl 16 zerlegen lässt. Wir werden das sogleich noch genauer ausführen. Des Näheren versteht Gauss unter „Periode“ die Summe der in einer solchen Unterabteilung stehenden Wurzeln. Die so verstandenen Perioden lassen sich dann der Reihe nach durch quadratische Gleichungen berechnen.

Das hiermit geschilderte Verfahren bei der Teilung in 17 Teile ist übrigens nur ein specieller Fall davon, wie man im Allgemeinen hei der ^-Teilung vorgeht. Auch hier werden die p — 1 Wurzeln vermittelst einer Primitivwurzel des Moduls p cyklisch geordnet, und aus ihnen dann Perioden gebildet, welche sich durch Hülfsgleichungen bestimmen. Der Grad der letzteren hängt dabei von den Primfactoren der Zahl p— 1 ab, man braucht also nicht grade wie oben Gleichungen 2ten Grades zu erhalten.

Der Fall eines allgemeinen p ist ausführlich, ausser natürlich von Gauss selbst in den Disquisitiones, beispielsweise von Bachmann in seiner Schrift: „Die Lehre von der Kreisteilung“ (Leipzig, 1872), behandelt worden.

3. Um aus unsern 16 Wurzeln die ersten 8-gliedrigen Perioden zu bilden, beginnen wir hei dem Exponenten 9, gehen immer um zwei Schritte vorwärts und addieren die so erhaltenen Glieder. Lassen wir der Einfachheit halber überall die Basis e weg, so wird die erste 8-gliedrige Periode:

9 + 13 + 15 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = »jo.

Die zweite ist dann:

3 + 10 + 5 + 11 + 14 + 7 + 12 + 6'= ih.

Diese Perioden zerlegen wir nach demselben Princip und gewinnen aus rj₀ die viergliedrigen Perioden rj₀' und + und aus die entsprechenden (+) und (+), also:

13 +■ 1 b —|— 4 —j— 1 = ï]q ,

9 + 15 + 8 + 2 = +,

3 + 5 + 14 + 12 = (%),

und

10+11 + 7 + 6 — (+)•

Dasselbe Schema liefert uns die zwei- und eingliedrigen Perioden als:

16 + 1 =

13 + 4 = t+ u. s. f.

///

i,

rjl" =16 11. s. f.

Biese Perioden Ыгтеп mm successive durch Quadratwurzeln berechnet werden, wie wir sofort zeigen werden. Vorab eine kleine Htilfsbetrachtung.

4. Da, wie die Figur 3 zeigt, die Wurzeln 1 und 16, 2 und 15 etc. conjugiert imaginär sind, so dürfen wir setzen

16 -f- 1 = 2 cos

v-i

= C₂ u. s. f.,

wo die Cx reell sind. Die Perioden, welche wir sofort zu berechnen haben werden, nehmen dadurch folgende Gestalt an:

Щ = @i ~h -f- C\ -f- C₈,

Vi ⁼⁼ Ct + G₅ -(- G₆ + C-,

(.Vo) =    + @5i

(V) =    + C₄.

und

Vo =    + Ot

Vx = C₈ + C₂

Diese Perioden sind demnach alle reelle Zahlen.

5. Um nun auf eine bestimmte Einheitswurzel z. B. гх hinauszukommen, ist es nötig, einen vorläufigen Ueberblick über die gegen-seitigen Grössenverhältnisse Ay der Perioden zu gewinnen. \J Zu diesem Zwecke bedienen x i* wir uns des folgenden Kunst-griffes. Wir teilen die Hälfte H, des Einheitskreises in 17 gleiche Teile und bezeichnen der Reihe nach die Entfernungen der Teilpunkte vom Punkte О mit

welches letztere den Durchmesser des Einheitskreises bedeutet, also gleich 2 ist. Dann folgt daraus, dass

ci    c ■    2 X 7t

Ov = 2 sin —- •

c» = - $ ,

Zwischen den C und S bestehen aber folgende Relationen: Ct = aS₁₃,

= *5₉ ,

<?з = S₅ ,

^4 = #1 ,

C₆ = S₇ ,

Crj — Sn,

Cs = -Su.

Man überzeugt sich hiervon leicht, denn es ist beispielsweise

Gx = 2 cos — = 2 cos

( 84

17 7t 13«

34

2 sin

13«

34

^131

oder

10«

== 2 cos

/17« .    3«\

V 34    ‘    34 /

= — 2 sin

3«

34

Die Grössenverhältnisse der S können wir nun unmittelbar aus der Figur ablesen, wobei wir sehen, dass deren Grössen mit ihren Indices wachsen.

Bilden wir jetzt

^15    ^51

Vo — Vi — Su -f- S₉ -j- Sn -f- S₁ -f- Ss -|- /Sj — so ist sicher S₁₃ -j- Sg > S₁₅ und Sn > $₅, also ist

Vo > Vi>

Analog erhalten wir

(Vo) — (Vi) = £ц + £₇ -(- S₅ — S₃

was gewiss grösser als 0 ist, da schon $₅ > S₃\ daraus folgt

(%') > (Vi)-

In ähnlicher Weise ist wo Sl5 und S₁₃ grösser als Sÿ sind. Demnach ist

Vo > rh-

Endlich ist

Vo Vi —    ^ 4    *^13    ^1

so dass auch

Vo' > Vi

ist. Alle diese Periodendifferenzen sind demnach reelle positive Zahlen.

Uebrigens gilt auch die Beziehung:

(Vo' — Vi) ((Vo) — (V)) = ²(Vo~Vi)-

Führt man nämlich die Multiplication aus, so erhält man in vereinfachter Bezeichnung:

(13 + 16 + 4 + 1-9-15- 8— 2ДЗ+5+14+12—10—11—7 6) =    16 + 1 + 10 + 8 — 6—7 — 3 — 2

2    4    13 + 11-9-10-6-5

7    9    1 + 16 — 14 — 15 — 11 — 10

4    б    15 -j- 13 — 11 — 12 — 8 — 7

— 12 — 1 — в — 4    2    3    16 + 15

— 1 — 3 — 12 — 10

9    5 + 4

-11 — 13-5-3    1    2    15 + 14

-5-7-16 — 14    12 + 13 + 9 + 8

= 2(16 + 1 + 8 + 2 + 4 + 13 + 15 + 9

- 10 — 6 — 7 - 3 - 11 - 5 - 14 - 12)

= ²(Уо — vd-

Sind also zwei der obigen Periodendifferenzen positiv, so ist es auch die dritte, was mit unserer directen Angabe stimmt.

6. Um nun die quadratischen Gleichungen, denen die Perioden genügen, aufzustellen, berechnen wir die symmetrische Functionen der Perioden.

Da tj₀ + t/j gleich der Summe der 16 Wurzeln ist, ist olfenbar Vo + Vi = — ¹ •

Um щ . zu berechnen, bilden wir uns ganz dasselbe Multi-plicationsschema wie in 5., nur dass alle Wurzeln positiv zu nehmen sind. Dann sieht man, dass im ausmultiplicierten Producte jede Wurzel viermal vorkommt. Es ist demnach

Vo ■ Vi =

— 4.

Daraus erhalten wir die quadratische Gleichung

у- —J— jj -— 4 = 0

mit den Wurzeln.

Vo

1 + j/17

Vi

— 1 — ÿlT

Wir halben darin bereits über das Vorzeichen der Quadratwurzel entschieden, da nach unserer Zwischenbetrachtung r/₀ > i]L sein muss. Der zweite Schritt ist die Berechnung von + und +. Wir

haben

Vo + Vi' = Vo

und linden, wenn wir, wie oben,

Щ ■ Vi = (13 + 4 + 16 + 1) (8 + » + 15 + 2)

ausmultipliciren, dieses Product gleich der Summe aller Wurzeln, folglich

Vo ' Vi = — ¹ •

Das giebt die zweite quadratische Gleichung:

V² — VoV —1 = 0

mit den Lösungen

_ ' _ '»îo + VV+i n ' __ Vo — W+ ⁴

'10    S>    1    V1

und

Ganz analog ist

(Vo) + (%') = Vi

(%') • Ш = — ¹ •

Also haben wir als dritte Gleichung:

(v)² — Vi(v') —1 = 0,

woraus folgt:

und

*h + Vvi² + ⁴

Vi — Vvi² + ⁴

» M =

Zur Aufstellung der vierten Gleichung berechnen wir endlich

Vo" + Vi" = Vo

Ы) =

• 1h" = (le + 1) (13 + 4) = 12 + 3 + 14 + 5 = (%')• Die Gleichung lautet somit:

V"² — Vo ■ V + (Vo ) = ⁰

und hat die Wurzeln:

Vo + VVo ² — ⁴(W)

Vo — Vv<> ² — ЦУо')

Vo

Î 4i" =

Auf diese Weise haben wir ?/₀" — wirklich durch eine Reihenfolge von Quadratwurzeln berechnet.

Wollen wir darauf щ" in eine Normalform bringen, so ist zu berücksichtigen, dass von den vier aufgestellten Quadratwurzelausdrücken der eine durch die übrigen rational darstellbar ist. Benutzen wir nämlich die früher aufgestellte Gleichung

(Vo — Vi) ((%') — (%)) = (Vo — Vi),

so finden wir, dass

VW + 4 ■ W +4 = 2 I 17

sein muss. Vvi² 4 lässt sich also durch die beiden vorangegangenen Quadratwurzeln rational ausdrücken.

Setzen wir für die rj der Reihe nach die numerischen Werte ein, so erhalten wir daraufhin:

Vo

— 1 + У17

,    — 1 4-1/17 + 1/34 — 2 yT7

Vo = -

Ы' =

Vo" =

•j/17 + Уз4 -f_2j/l7

14-]/17+Уз4 —2~j/17

/ 68+12]/l7 —16]/34-f 2]/l7— 2(l — j/l 7)' 1/34—2^17

Damit sind wir mit der algebraischen Theorie vollkommen fertig, und da es, wie bereits früher bemerkt, wohl bis jetzt keine nur aus geometrischen Erwägungen hervorgegangene Construction des 17-Ecks giebt, so wird es sich jetzt nur mehr um die geometrische Uebersetzung der einzelnen algebraischen Schritte handeln.

7. Es sei gestattet, hier einen geschichtlichen Excurs über geometrische Constructionen mit Zirkel und Lineal einzuschalten.

In der Geometrie der Alten wird Zirlcel und Lineal immer nebeneinander gebraucht, und die Kunst besteht nur darin, die einzelnen Stücke der Figur so gegen einander zu legen, dass man nicht Unnötiges zu zeichnen braucht. Ob die einzelnen Schritte mit dem Zirkel oder mit dem Lineal gemacht werden, ist dabei nicht unterschieden.

Dem gegenüber hat im Jahre 1797 der Italiener Mascheroni den erfolgreichen Versuch gemacht, in seiner „geometria del compasso“ (Geometrie des Zirkels) alle Constructionen nur mit diesem Instrumente allein auszuführen, wobei er behauptet, die Constructionen mit, dem Zirkel seien praktisch genauer, als die mit dem Lineal ausgeführten. Er schreibt, wie er ausdrücklich betont, für den Mechaniker, also mit einem durchaus praktischen Zweck vor Augen. Das Originalwerk Mascheroni’s ist schwer zu lesen, und es ist dankenswert, dass es einen kleinen deutschen Auszug giebt von Hutt, die Mascheroni’schen Constructionen. (1880, Halle.)

Bald darauf haben die Franzosen, besonders die Schüler Carnot’s, des Verfassers der „géométrie de position“, umgekehrt ihr Augenmerk darauf gerichtet, möglichst viel durch gerade Linien zu construieren. (Vergl. auch Lambert, Freie Perspective, 1774.)

Man wird hier die Frage anfwerfen und sie sehr rasch algebraisch beantworten: Wann lässt sich ein algebraisches Problem mit dem Lineal allein ohne Hülfe des Zirkels construieren? Die Antwort wird von jenen Autoren vielleicht nicht so explicite gegeben. Wir werden sagen:

Mit dem IAneal allein körmen wir alle algebraischen Ausdrücke construieren, deren algebraische Form rational ist.

In ähnlichem Sinne veröffentlichte Brianchon im Jahre 1818 ein Schriftchen: „Les applications de la théorie des transversales“, worin er zeigt, wie man sich in vielen Fällen mit dem Lineal allein behelfen kann. Auch er legt Nachdruck auf die praktische Verwertung seiner Methoden, die hauptsächlich für die Vermessungsarbeiten im Felde berechnet sind.

Poncelet war es, der in seinem „traité des propriétés projectives“ zuerst den Gedanken ausgesprochen hat (Bd.I, Nr. 351—357), dass man nur einen emsigen festen Kreis zu den geraden Linien, der Ebene hinzunehmen muss, um alle Quadratwurzelausdrücke zu construieren. Der Mittelpunkt des festen Kreises muss übrigens hierbei mit gegeben sein.

Dieser Gedanke ist von Steiner 1833 in einem berühmten Schriftchen ausgeführt, das den Titel trägt: „Die geometrischen Constructionen, ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand für höhere Unterrichtsanstalten und zum Selbstunterricht“.

8. Was nun die geometrische Construction des 17-Ecks angeht, so nehmen wir Anschluss an eine Arbeit von v. Staudt in Crelle 24 (1842), die später von Schröter in Crelle 75 (1872) noch etwas umgesetzt ist. Die Construction des 17-Ecks ist hierin nach den Vorschriften von Poncelet und Steiner ausgeführt, indem neben dem Lineal nur ein fester Kreis benutzt wird*).

Zunächst soll gezeigt werden, wie man mit Hülfe eines festen Kreises und des Lineals jede quadratische G-leichung lösen kann.

Wir ziehen (s. Fig. I der beigegebenen Tafel) an den Endpunkten des Durchmessers des festen Einheitskreises zwei Tangenten und wählen die untere zur x-Axe und den senkrecht darauf stehenden Durchmesser zur y-Axe. Dann ist die Gleichung des Kreises

ж² + y(y — %) = 0.

Es sei nun irgend eine quadratische Gleichung mit reellen Wurzeln xl und ж₂ gegeben. Sie laute:

*) Eine Construction des 17-Ecks nach Mascheroni nur mit dem Zirkel ist noch nicht versucht, obgleich sie jedenfalls möglich ist.

ж² — px -f- q = 0.

Die Aufgabe sei die, die beiden Wurzeln xx und x₂ auf der x-Axe

zu construieren. Dazu verfährt man folgendermassen :

Man trägt auf der oberen Tangente von A aus nach rechts

4    cj

das Stück - und auf der x-Axe von 0 aus das Stück - ab. Verbindet man dann die Endpunkte dieser beiden Strecken durch die Gerade 3 und projiciert man die Durchschnittspunkte dieser Geraden mit dem Kreise von A aus durch die Strahlen 1 und 2 auf die x-Axe, so schneiden diese beiden auf der letzteren die gesuchten Stücke xx und x₂ ab.

Beweis: Wir wollen die Abschnitte auf der x-Axe bereits xx und x₂ nennen, dann lautet die Gleichung

der Linie 1: 2x -f- Xx(y—2) = 0

und die

der Linie 2: 2x -f- x₂(y—2) = 0.

Multiplicieren wir die linken Seiten der beiden Gleichungen mit einander, so folgt

*(y-2) + ^    = ü

als Gleichung des von 1 und 2 gebildeten Linienpaares. Zieht man hiervon die Kreisgleichung ab, so ergiebt sich:

X-+ Xi x(y— 2) -f- ^ (y—2f — y(y 2) = 0.

Das ist jedenfalls die Gleichung eines Kegelschnitts, der durch die vier Schnittpunkte der Linien 1 und 2 mit dem Kreise hindurchgeht. Von dieser Gleichung können wir aber die Tangente

У— 2 = 0

abtrennen, so dass nur übrig bleibt:

= 0.

Das ist also die Gleichung der geraden Linie 3. Setzen wir jetzt xx x₂ = p und xx x₂ = q, so erhalten wir:

f ж + f (У — 2) — У = 0,

und die Transversale 3 schneidet demnach von der Linie у — 2

4    Q

das Stück - und, von der Linie у — 0 das Stück - ab. Damit ist

p    *    P

die Richtigkeit der Construction erwiesen.

2 7C

Diese werden uns

r]₀" — 2 cos —■ liefern, woraus die Seite

des 17-Ecks leicht zu finden ist. Uebrigens sehen wir aus den Gleichungen, dass wir, um y₀" zu bekommen, nur folgende Wurzeln brauchen :

9. Nach der in 8. gegebenen Vorschrift wollen wir jetzt das Siebzehneck zu construieren suchen. Wir haben zu diesem Zweck folgende vier quadratische Gleichungen zu lösen:

y -f- 4 =0, mit den Wurzeln щ und rj1: wo % i> %,

v'² — VoV — ¹ =⁰' и и

(v')²—Vi(v) — ¹ =9, „ „

Vo v"-h(Vo)=⁰: » n

v"²

V²

Vo » Vii n Vo > Vi\

n (Vo) n (%')i и (Vo)>(Vi\

Vo v Vi i ii Vo ^ Vi ■

Vn Vo i (%')•

Zur Construction sind ersichtlich auf der oberen Tangente у — 2 und auf der x-Axe der Reihe nach als Abschnitte abzutragen :

oben:

unten: -f- 4,

I fr TH I S?

+A

’    ‘ Vo ’

i (Vo ) ’    *    r)₀'

Punkte

Diese ganze Angelegenheit lässt sich folgendermassen erledigen: Die Gerade, welche den Punkt -j- 4 auf der x-Axe mit dem 4 auf der Tangente у = 2 verbindet, schneidet den Kreis in zwei Punkten, deren Projection vom Punkte x = 0, у — 2 aus, dem oberen Scheitel des Kreises, die beiden Wurzeln und ->/₁

rlo

ч-X

lïg. 5.

der ersten quadratischen Gleichung als Abschnitte auf der ж-Ахе giebt.

4

lösen, müssen wir oben -|—-

Um die zweite Gleichung zu und unten —

Um den ersteren Punkt zu finden, verbinden wir auf der x-Axe mit dem oberen Scheitel und ziehen vom unteren Scheitel durch den Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Kreise eine weitere

— ab tragen. Vo    ё

Vo

4

ab. Es lässt

Gerade. Diese schneidet auf der oberen Tangente — sich dies leicht analytisch beweisen.

Die Gleichung der Geraden 1 (s. Fig. 5)

2 x + ЪУ — ² Ъ

und die des Kreises

^ + y{y — ²) = 0

geben als die Coordinaten ihres Durchschnittspunktes:

V + 4’

Xx =

Ух =

V + 4’

Dann wird die Gleichung der Geraden 2:

Ro x

2

Ihr Durchschnittspunkt mit у = 2 ist folglich

x₉ = —

Vo

Noch einfacher gelangen wir mit einigen elementar-projectiven Betrachtungen zu demselben Ziel. Durch unsere Construction haben wir offenbar jedem Punkte x der unteren Punktreihe einen und nur einen Punkt x der oberen zugeordnet, so zwar, dass dem Punkte X = 00 der Punkt x — 0 entspricht und umgekehrt.

Da bei einer solchen Zuordnung ein linearer Zusammenhang bestehen muss, so wird die Abscisse x des oberen Punktes die Gleichung erfüllen:

const.

Setzen wir x — 2, so muss auch, wie aus der Figur hervorgeht, X — 2 sein; es ist also const. = 4.

auf der x-Axe verbinden wir

Zur Bestimmung von —

Vo

den Punkt — 4 auf der oberen mit dem Punkte -j- 1 auf der unteren Tangente. Den hierdurch auf dem verticalen Durchmesser

oben. Diese

4

bestimmten Punkt verbinden wir mit dem Punkte

Vo

ab. Denn die

Gerade schneidet auf der ж-Ахе das Stück — Gerade 1

by -f 2x = 2

und der verticale Durchmesser schneiden sich im Punkte xx = 0, 2

Ух =

7; folglich ist die Gleichung der Geraden 2

by — 2yox = ²>

und ihr Schnittpunkt mit der unteren Tangente hat die Abscisse —- — •

По

Die Projection der Schnittpunkte der Geraden 2 mit dem Kreise vom oberen Scheitel aus giebt auf der x-Axe die beiden Wurzeln der zweiten quadratischen Gleichung, von denen wir aber,

'2

_ r_

У- /

Fig. 6.

wie wir sahen, nur die grössere rj₀' gebrauchen. Diese entspricht, wie die Figur 6 zeigt, der Projection des oberen Schnittpunktes unserer Transversalen mit dem Kreise.

Ganz analog erhalten wir die Wurzeln der dritten Gleichung zweiten Grades. Wir projicieren vom unteren Scheitel aus den Durchschnittspunkt des Kreises mit der Geraden, welche auf der x-Axe die Wurzel -j- % gab, auf die obere Tangente. Das giebt 4

sogleich das Stück -f-    , vermöge der soeben dargelegten Zuord-

Hi

4.

nung. Verbinden wir alsdann diesen Punkt mit dem Durchschnittspunkt der durch — 4 oben und -j- 1 unten gelegten Ge- -'/ raden mit dem verticalen

Durchmesser, so schneiden wir damit auf der x-Axe. wie ver-

— ab.

[Щ,

langt, das Stück

Fig. 7.

Projicieren wir noch denjenigen Durchschnittspunkt dieser Transversalen mit dem Kreise, welcher im positiven Quadranten liegt, vom oberen Scheitel aus auf die x-Axe, so haben wir bereits die für uns wichtige Wurzel (щ) der dritten quadratischen Gleichung construiert.

und unten

Wir haben schliesslich noch die Wurzel щ" der vierten quadratischen Gleichung zu suchen und hierzu oben

(7? * )

abzutragen. Die erste Aufgabe erledigen wir in der bekannten По

Weise, indem wir den Schnittpunkt des Kreises mit der geraden

Linie, welche den oberen Scheitel mit -f- щ unten verbindet, vom unteren Scheitel aus auf die obere Tangente projicieren, wodurch 4

wir dort —erhalten. Um das andere Stück abzutragen, verbinden

wir den Punkt -j- 4 oben mit (ij₀ ) unten und danach den so auf dem

4

verlängerten verticalen Durchmesser bestimmten Punkt mit

Vo

JL

,, Diese Linie schneidet auf der

У--Е

ж-Ахе gerade das gewünschte

<2

Stück ab. Denn die Linie 1 Vo

(s. Fig.) hat die Gleichung

Cù

(fù)

((%') —±)y+'2oc=2 (i?₀').

Fig. 8.

ticalen Durchmesser

demnach

2(0 (V) — ⁴

Sie schneidet auf dem ver-ab. Die Gleichung der Linie 2 ist

²Vo'x + ((%') — 4) у = 2(0

und ihr Durchschnittspunkt mit der ж-Axe hat die Abscisse •

Projicieren wir noch den oberen Durchschnittspunkt der Geraden 2 mit dem Kreise auf die ж-Ахе vom oberen Scheitel aus,

-г я

• Will man den einfachen Cosinus

so erhalten wir rj₀" — 2 cos

selber haben, so zeichnet man zweckmässig einen horizontalen Durchmesser, auf dem dann unser letzter Projectionsstrahl direct

*2 7t

cos — abschneidet. Eine in diesem Punkte errichtete Senkrechte

giebt sofort die erste und sechzehnte Ecke des regulären 17-Ecks.

Die Periode war willkührlich gewählt, man könnte statt ihrer jede andere zweigliedrige Periode bestimmen und würde dann der Reihe nach die übrigen 7 in Frage kommenden Cosinus finden. Eine ausgeführte Construction des 17-Ecks bietet Fig. II der beigefügten Tafel.

V. Kapitel.

Allgemeines über algebraische Constructionen.

1. Indem wir die Constructionen mit Zirkel und Lineal nunmehr verlassen, wollen wir noch der Merkwürdigkeit halber erwähnen, dass neuerdings eine andere einfache Art zu construieren in Vorschlag gebracht worden ist, nämlich das Falten ron Papier.

Hermann Wiener hat angegeben¹), wie man sich, durch Papierfalten die Netze der regulären Körper verschaffen kann. Eigentümlicher Weise hat zu derselben Zeit ein indischer Mathematiker, Sundara Row, in Madras, ein kleines Buch: „On paper folding“, erscheinen lassen, in welchem derselbe Gedanke noch weitergehend verfolgt wird, indem beispielsweise gezeigt wird, wie man durch Papierfalten beliebig viele Punkte krummer Linien (z. B. Ellipse, Cissoide) construieren kann (London, Macmillan, 1893).

2. Wir wenden uns jetzt zu der Frage: „Mit welchen Hülfs-mitteln ist es möglich, und insbesondere, wie haben es die Alten erreicht, Probleme, welche sich algebraisch in Form von kubischen Gleichungen und solchen höherer Grade darstellen, geometrisch zu lösen?“ In erster Linie bieten sich hierzu die Kegelschnitte dar, und wurden auch in reichem Maasse von den Alten benutzt. Beispielsweise fanden sie, dass die Probleme der Würfelverdoppelung und der Drittteilung des Winkels sich in der That mit Zuhülfe-nahme der Kegelschnitte lösen lassen. Wir wollen hier nur im Allgemeinen das Verfahren skizzieren, wobei wir uns der leichteren Uebersicht wegen der Sprache der modernen Mathematik bedienen.

Handelt es sich z. B. um die Auflösung einer kubischen

Gleichung

oder einer biquadratischen

X⁴ -f- ax³ -j- Ъх² -f- cx -f- cl — 0,

so setze man

X² = y.

Man hat dann für die kubische Gleichung

ж² = у

und

xy -j- ny -f- hx -f- с = 0

und für die biquadratische

ж² = у

und

y² -f- axy -j- by -j— cx -j— d = 0

neben einander zu betrachten. Man findet also in beiden Fällen die Wurzeln als die Abscissen der Durchschnittspunkte, welche zwei Kegelschnitte mit einander gemeinsam haben.

Die Gleichung

X² 3 — y

stellt eine Parabel dar mit vertical stehender Axe. Die zweite Gleichung

xy аУ H⁻ Ъх -f- c — 0 bezeichnet eine Hyperbel, deren Asymptoten den Coordinatenaxen parallel laufen. Die Figur (s. Fig. III der Tafel) zeigt, dass von den vier Schnittpunkten nur drei im Endlichen liegen, der vierte ist der unendlich ferne Punkt der y-Axe.

Für den Fall der biquadratischen Gleichung bleibt die Parabel dieselbe. Die Hyperbel hat dagegen nur die horizontale Asymptote beibehalten, während die im vorigen Falle vertical stehende Asymptote hier geneigt ist. Jetzt haben die Curven (s. Fig. IV) vier Schnittpunkte im Endlichen.

Ausführlich werden die Verfahrensweisen der Alten behandelt u. a. in dem umfangreichen Werke von M. Cantor, Geschichte der Mathematik (Leipzig 1894, 2te Aufl.). Besonders interessant ist: Zeuthen, die Kegelschnitte im Altertum (Kopenhagen 1886, in deutscher Bearbeitung). Ich nenne noch als allgemeines Compendium: В alt zer, Analytische Geometrie (Leipzig 1882).

3. Ausser den Kegelschnitten benutzten die Alten zur Lösung der oben erwähnten Probleme auch höhere Curven, welche grade zu diesem Zwecke construiert wurden. Wir nennen hier nur die Cissoide und die Conchoide.

Die Cissoide des Diokles (ca. 150 v. Chr.) lässt sich auf folgende Weise zeichnen (s. Fig. V der Tafel). Man zieht an einen Kreis eine Tangente (in der Figur die verticale Tangente rechter Handj und den zu ihr senkrechten Durchmesser. Den so fixierten Scheitel 0 der Curve verbindet man durch Strahlen mit der Tangente und trägt auf jedem Strahle von 0 aus das zwischen seinem Durchschnittspunkte mit der Tangente und dem Kreise liegende Stück ab. Der geometrische Ort aller dieser so erhaltenen Punkte ist die Cissoide.

Um ihre Gleichung aufzustellen, sei r der Radiusvector und ff der von ihm mit der ж-Axe gebildete Winkel. Verlängern wir r bis zur Tangente rechts, so ist, wenn der Durchmesser des

Kreises gleich 1 gesetzt wird, die Gesamtstrecke gleich ^

auf ihr vom Kreise abgeschnittene Stück ist dagegen cos ff. Die Differenz beider Strecken ist r, also ist:

• Das

sin- ff cos ff

Durch Einführung rechtwinkliger Coordinaten erhält die Curvengleichung die Form:

(ж² -j- y²j x ■— y¹ = 0.

Wie sich hieraus ergiebt, ist die Curve von der dritten Ordnung, sie hat im Anfangspunkt eine Spitze und liegt symmetrisch zur ж-Axe. Die verticale Kreistangente, mit der wir die Construction begonnen, ist eine Asymptote der Cissoide. Uebrigens wird die unendlich ferne Gerade von der Cissoide in den Kreispunkten geschnitten.

Um zu zeigen, wie man mit dieser Linie das Delische Problem lösen kann, schreiben wir ihre Gleichung in folgender Form:

¹

Vergl. den von Dyck herausgegebenen Katalog der Münchener mathematischen Ausstellung von 1893, Nachtrag pag. 52.

Klein, Festschrift.

²

- — cos ff =

³

cos ff

(Г

Construieren wir nun die Gerade so schneidet diese auf der Tangente x = 1 das Stück Я ab und die Cissoide in einem Punkte, für welchen gelten muss:

= ;A

1 —x

Das ist die Gleichung einer geraden Linie, welche durch den Punkt ?/ = 0, x=l geht, also die Verbindungslinie dieses Punktes mit dem Cissoidenpunkte.

Diese Gerade schneidet aber auf' der y-Axe das Stück À³ ab (s. Fig. VI der Tafel).

Nun sehen wir, wie sich j/2 construieren lässt. Wir tragen auf der y-Axe das Stück 2 ab, verbinden diesen Punkt mit dem Punkte x = 1, у — 0 und ziehen durch den Schnittpunkt mit der Cissoide vom Anfangspunkt eine Gerade bis zur Tangente x — 1. Die Ordinate des Schnittpunktes auf dieser Tangente ist gleich j/2.

4. Die Conchoide des Nïkomedes (ca. 150 v. Chr.) wird auf folgende Weise erhalten. Der feste Punkt 0 habe von einer Geraden den Abstand a. Legen wir dann durch 0 ein Strahlenbüschel und schneiden wir auf jedem Strahle von seinem Durchschnittspunkte mit der Geraden aus nach rechts und links die Strecke 6 ab, so ist der geometrische Ort der so bestimmten Punkte die Conchoide. Dieselbe ist (s. Fig. VII und VIII) eine „gestreckte“ oder eine „verschlungene“, je nachdem b A; a ist. Für b = a erhält man in 0 eine Spitze.

Die Gleichung der Linie ergiebt sich daraus, dass r : X = Ъ : (ж —а),

woraus durch Einführung von у folgt:

(x²-\-у²) (ж —a)² = b²x².

Die Curve ist von 4. Ordnung, hat in О einen Doppelpunkt und besteht aus zwei getrennten Zweigen, deren gemeinsame Asymptote die Linie x = a ist. Der Factor (ж² -f⁻ У²) zeigt, dass die Curve das unendlich Weite ausserdem in den Kreispunkten schneidet, was sofort wichtig wird.

Vermittelst dieser Linie kann man die Dreiteilung eines Winkels folgendermassen ausführen. Um den Winkel cp = MO У (s. Fig. IX) in drei gleiche Teile zu teilen, ist auf seinem schrägen Schenkel die beliebige Strecke b bis zum Punkte M abgetragen. Um diesen wird darauf mit b ein Kreis beschrieben, und durch M senkrecht zur ж-Ахе, deren Anfangspunkt in 0 ist, eine Verticale gelegt, welche die Asymptote der von О aus zu zeichnenden Conchoide darstellt. Wir construieren jetzt die Con-choide. Wird der Schnittpunkt A der Conchoide mit dem Kreise mit О verbunden, so ist <)C AO Y der dritte Teil des Winkels cp. wie sich leicht aus der Figur ergiebt.

Unsere früheren Untersuchungen haben nun gezeigt, dass die

Winkeidrittteilung ein cubisches Problem vorstellt, zu dem somit drei Wurzeln gehören:    ^    2?g- ^.

Eine jede algebraische

Construction, welche mit Hülfe höherer Curven dieses Problem löst, muss offenbar immer zugleich sämtliche Lösungen liefern. Denn andernfalls wäre die Winkeidrittteilungsgleichung reducibel, was wir widerlegt haben. Die verschiedenen Lösungen ergeben sich auch aus unsrer Figur. An und für sich haben Kreis und Conchoide acht Schnittpunkte gemeinsam. Allein es fallen von diesen zwei in den Anfangspunkt, wodurch für unser Problem nichts gewonnen ist, und zwei andere in die imaginären Kreispunkte. Demnach bleiben noch vier Schnittpunkte im Reellen. Wir hätten sonach anscheinend eine Lösung zu viel. Allein es scheidet auch noch der auf der Verlängerung des Schenkels OM liegende Schnittpunkt В aus, den wir von vorneherein rational construieren können. So bleiben in der That drei Schnittpunkte übrig, welche uns die sämtlichen drei Wurzeln liefern müssen, was die nähere Discussion bestätigt.

5. Bei all diesen Constructionen mittels höherer algebraischer Curven bleibt noch die Frage nach der praktischen Ausführung

offen. Um eine solche zu bewerkstelligen, braucht man Apparate, welche die Linie in einem Zuge liefern; denn eine punktweise Construction ist nur eine Näherungsmethode. Solche Apparate sind vielfach verfertigt worden und waren zum Teil schon den Alten bekannt. Nikomedes erfand eine einfache Vorrichtung — es ist die älteste derartige neben Lineal und Zirkel —, mit welcher sich eine Conchoide zeichnen lässt (s. M. Cantor, Bd. I, S. 302).

Ein Verzeichnis neuerdings construierter hierher gehöriger Instrumente findet sich im Dyck’schen Katalog pag. 227—230 und 340 des Hauptteils und pag. 42—43 des Nachtrages.

Zweiter Abschnitt.

Die transceii deuten Zahlen und die Quadratur des Kreises.

I. Kapitel.

Der Cantor’sche Beweis von der Existenz transcendenter

Zahlen.

1. Trägt man, wie üblich, die Zahlen als Punkte auf der Abscissenaxe auf, und beschränkt man sich dabei auf die rationalen Zahlen, so wird die Abscissenaxe durch die erhaltene Punktreihe „überall dicht“ erfüllt, d. h. in jedem noch so kleinen Zwischenräume liegen unendlich viele solche Punkte. Doch wird, wie schon die Alten erkannten, hierdurch das Continuum nicht erschöpft; zwischen die rationalen schieben sich vielmehr die irrationalen Zahlen ein; die Frage müsste sein, ob sich innerhalb der irrationalen Zahlen auch noch Unterscheidungen machen lassen.

Wir definieren zunächst die sogenannten algebraischen Zahlen, indem wir sagen: Ist

-j- ««_ifo -f- an — 0

eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten, so soll jede Wurzel dieser Gleichung (wobei für uns selbstverständlich nur die reellen Wurzeln in Betracht kommen) eine algebraische Zahl heissen. Die rationalen Zahlen ergeben sich hier als Specialfall aus der Gleichung

a,₀ <on -{- al oy

f<0 со —J— a ^ = 0.

Wir fragen nun insbesondere: Ist durch die Gesamtheit der reellen algebraischen Grössen ein Continuum hergestellt, oder haben wir in ihnen noch eine discrete Punktreihe, in deren Lücken sich andere Zahlen einreihen lassen? Diese neuen, die sogenannten transcendent en Zahlen, müssten also dadurch charakterisiert sein, dass sie nicht als Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten erhalten werden können.

Die berührte Frage ist zuerst von Liouville (Comptes rendus

1844, und Liouville’s Journ. 16. 1851) beantwortet, und durch ihn in der That die Existenz transcendenter Zahlen nachgewiesen worden. Aber seine Betrachtungen, welche sich auf die Theorie der Kettenbrüche stützen, sind ziemlich compliciert. Wesentlich einfacher gestaltet sich die Untersuchung auf Grund der Entwicklungen, die Georg Cantor in einer Arbeit von fundamentaler Bedeutung: „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes reeller algebraischer Zahlen“ (Grelle Journ. 77. 1873), gegeben hat. Sein Beweis soll in Folgendem dargelegt werden, indem wir einen vereinfachenden Gedanken benutzen, welchen Cantor in einer allerdings etwas anderen Fassung auf der Naturforscherversammlung in Halle 1891 vorgetragen hat.

2. Der Beweis beruht darauf, dass die algebraischen Zahlen eine abzahlbare Menge bilden, die transcendenten nicht. Cantor versteht darunter, dass erstere sich in einer gewissen Reihenfolge anordnen lassen, in welcher jede von ihnen einen bestimmten, gewissermassen numerierten Platz hat. Dieser Satz lässt sich auch so formulieren:

Die Mannigfaltigkeit der reellen algebraischen Zahlen und die Mannigfaltigkeit der positiven ganzen Zahlen können ein-eindeutig auf einander bezogen werden.

Wir kommen hier auf einen scheinbaren Widerspruch. Die positiven ganzen Zahlen bilden nur einen Teil der algebraischen; dadurch aber, dass jeder von den ersteren eine und nur eine von den letzteren zugeordnet wird, müsste der Teil gleich dem Ganzen sein. Dieser Einwand beruht auf einem falschen Analogieschluss. Der Satz, dass der Teil immer kleiner als das Ganze ist, verliert seine Gültigkeit für unendliche Mengen. So können wir z. B. den Inbegriff der ganzen positiven und den der geraden positiven Zahlen ein-eindeutig auf einander beziehen:

О 2 4 6 ... 2n . . ..

Bei unendlich grossen Mengen sind daher die Worte „gross“ und „klein“ nicht recht am Platze. Zum Ersatz hat Cantor den Namen „Mächtigkeit“ eingeführt und sagt: Zwei unendliche Mengen haben dieselbe Mächtigkeit, wenn sie sich ein-eindeutig auf einander beziehen lassen. Der von uns zu beweisende Satz nimmt danach die Form an: Der Inbegriff der reellen algebraischen Zahlen hat dieselbe Mächtigkeit wie der Inbegriff der ganzen positiven Zahlen.

Wir erhalten die Gesamtheit der reellen, algebraischen Zahlen, indem wir alle reellen Wurzeln sämtlicher algebraischer Gleichungen von der Form

-)- • • • -f- an—i со —|- an = 0

а₀озп -j- axco

aufsuchen, wobei wir die sehr natürliche Hypothese machen, dass alle a teilerfremd, a₀ positiv und die Gleichung irreducibel ist. Um nun diese gewonnenen Zahlen in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen, führen wir den Begriff ihrer Höhe N ein, indem wir unter N den Ausdruck verstehen:

N — n — i -f- ! % I “b ai ' ‘ '    ! an \ ,

wo mit a₀ etc. in üblicher Weise die absoluten Werte gemeint sind. Zu einem bestimmten N gehört dann eine endliche Anzahl von algebraischen Gleichungen.

Denn erstens hat (bei gegebenem N) der Grad n eine obere Grenze, da rechts zu n — 1 nur Positives hinzukommt, und ferner wird die Differenz N — (n — 1) gleichgesetzt einer Summe von lauter ganzzahligen, teilerfremden Grössen av, deren Anzahl offenbar auch eine endliche ist. Unter diesen Gleichungen sind noch die reduciblen zu entfernen, was im Princip keine Schwierigkeiten hat. Da demnach die zu einem gegebenen N gehörige Anzahl von Gleichungen beschränkt ist, gehört zu einem bestimmten N nur eine endliche Menge algebraischer Zahlen. Dieselbe bezeichnen wir mit cp{N\ und in folgender Tabelle sind <p(l), <p(2), <p(3), <p(4) und die zugehörigen algebraischen Zahlen со berechnet.

N n |a₀| I«J \a₂\ \ab\ |a₄j

Gleichung <p(N)

(O

тН

- i; +1.

-2;

12 0 1 1

2 10 0

13    0

+ i?

+ 2.

тЧ

СО

<М г-1 СО <М (М тЧ

тЧ

тН

т-Ч

с?

Gleichung    cp(N)

Зж + 1 = О

X -4~ 3 = о

2 ж² —1=0

CO

12

со

М- М-    М- ю Ь-Ł

О О тН о о о

О м- С О C

x²-j-x— 1 =0 ж² — ж -}-1 = О 2 = 0

ж²

-3;

—    1,61803;

—    1,41421;

—    0,70711;

—    0,61803;

—    0,3333 .; -(- 0,3333 .; + 0,61803; + 0,70711; + 1,41421; + 1,61803; + 3.

Wir ordnen nu/n die algebraischen Zahlen nach ihrer Höhe N und die zu einem einzelnen N gehörigen Zahlen nach ihrer Grösse; dadurch erhalten wir sie sämtlich und jede an einer bestimmten Stelle. Es ist dies in der letzten Columne der vorstehenden Tabelle bereits geschehen. Damit ist die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen evident.

3. Wir behaupten nun allgemein: Nimmt man ein noch so Meines Stück der Abscissenaxe, so giebt es darin allemal unendlich viele Punkte, welche irgend einer vorgegebenen abzahlbaren Zahlenmenge nicht angehören. Oder mit anderen Worten:

Bas Continuum der Zahlenwerte, welches durch ein beliebig kleines Stück der Abscissenaxe dar gestellt wird, hat eine grössere Mächtigkeit als eine abzahlbare Menge.

Damit wird, wie man sieht, die Existenz transcendenter Zahlen behauptet; man hat als abzahlbare Menge nur den Inbegriff der algebraischen Zahlen zu Grunde zu legen.

Zum Beweise des Satzes denken wir uns die Zahlen der abzahlbaren Menge in der verabredeten Reihenfolge tabellarisch als

Decimalbrüche aufgeschrieben, also, wenn wir an dem Beispiel der algebraischen Zahlen festhalten wollen:

to M- fej

fe; «

0,0000 — 1,0000 + 1,0000

— 2,0000 — 0,5000 + 0,5000 + 2,0000

etc.

Hierbei müssen wir einen eigentümlichen Mangel der Decimal-brüche bemerken, dass nämlich jeder abbrechende unter ihnen sich auch so schreiben lässt, dass er in eine unendliche Reihe von 9 ausläuft. Z. B. ist

1 = 0,99 ... 9 ....

Um der dadurch bewirkten Unbestimmtheit zu entgehen, setzen wir ein für alle Mal fest, dass wir ^unendliche Neuner-Reihen vermeiden wollen.

Können wir jetzt einen Decimalbruch construieren, welcher in unserer Tabelle nicht vorkommt und nicht in eine Neuner-Periode ausläuft, so haben wir in ihm eine transcendente Zahl gewonnen. Mittels einer überaus einfachen Vorschrift, die Georg Cantor gegeben hat, gelingt es nun in der That, nicht nur eine, sondern unendlich viele transcendente Zahlen zu finden, selbst wenn der Bereich, in dem die Zahl liegen soll, sehr klein ist. Der Bereich sei etwa dadurch fixiert, dass die ersten fünf Decimal -stellen der Zahl vorgegeben werden. Die Cantor’sche Vorschrift sagt dann : Man nehme an Stelle der sechsten Decimalen eine von 9 und der sechsten Décimale der ersten algebraischen Zahl verschiedene Zahl, an Stelle der siebenten Décimale eine von 9 und der siebenten Decimalen der zweiten algebraischen Zahl verschiedene Zahl, u. s. f. Auf diese Weise erhalten wir einen Decimalbruch, der in keine Neuner-Periode ausläuft und unmöglich in unserer Tabelle der algebraischen Zahlen enthalten sein kann, w. z. b. w.

Zugleich sieht man, dass es (wenn dieser Ausdruck gestattet ist) sehr viel mehr transcendente als algebraische Zahlen giebt. Denn da man bei Vermeidung der 9 zur Bestimmung der nicht vorgegebenen Decimalen jedesmal die Auswahl zwischen acht verschiedenen Zahlen hat, so kann inan sozusagen oo⁸ transcendente Zahlen bilden, auch wenn der Bereich, in dem sie liegen sollen, ein beliebig kleiner ist,

II. Kapitel.

Geschichtlicher Ueberblick über die Versuche zur Berechnung und Construction von n.

Es soll im Folgenden der Beweis geführt werden, dass die Zahl n zu den transcendenten Zahlen gehört, deren Existenz im vorigen Kapitel nachgewiesen wurde. Dieser Beweis ist zuerst Linde-mann im Jahre 1882 geglückt, und damit ist ein Problem endgültig bewältigt worden, welches, soweit unsere Nachrichten reichen, fast vier Jahrtausende die Mathematiker beschäftigt hat, nämlich das der Quadratur des Kreises.

In der That, wenn die Zahl n nicht algebraisch ist, so ist sie sicher nicht durch Zirkel and Lineal zu construieren ; die Quadratur des Kreises also, in dem Sinne, wie die Alten się verstanden, ist unmöglich, Es ist höchst interessant, die Schicksale des Problems in den einzelnen Epochen der Wissenschaft zu verfolgen, wie immer neue Versuche, eine Lösung mit Zirkel und Lineal zu finden, gemacht werden und wie diese notwendig erfolglosen Anstrengungen doch befruchtend auf die mannigfachsten Gebiete der Mathematik wirken.

Die nachfolgende kurze geschichtliche Uebersicht stützt sich auf ein sehr zu empfehlendes Werk von Rudio: „Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Leipzig 1892.“ In diesem Buche werden Arbeiten der genannten Forscher in deutscher Uebersetzung gegeben. Wenn die Darstellung auch den hier zu besprechenden neueren Ideen fern steht, so bietet sie doch viele interessante Einzelheiten, welche gerade im Schulunterricht in mancher Hinsicht praktisch verwertbar sind.

1. Bei den Versuchen, das Verhältnis des Kreisdurchmessers zum Umfange zu bestimmen, können wir zuerst das empirische Stadium unterscheiden, in dem man durch Messung oder Abschätzung zum gewünschten Ziele zu kommen sucht. Schon die älteste bekannte mathematische Urkunde, der Papyrus Ehind (ca. 2000 V. Chr.) enthält das Problem in der wohlbekannten Form, einen Kreis in ein gleichgrosses Quadrat zu verwandeln. Der Schreiber des Papyrus, Ahmes, giebt hierzu folgende Vorschrift: Man trage von dem Endpunkte eines Durchmessers

desselben ab und errichte über dem übrig bleibenden Stück ein Quadrat, so ist dieses dem Kreise inhaltsgleich. Der erhaltene

/1 g\2

= 3,16 . . ., nicht sehr ungenau. Weit

Wert von 7t ist, da

weniger richtig ist der Wert n — 3, den man in der Bibel an-trifft (l. Buch der Könige 7, 23 und 2. Buch der Chronika 4, 2).

2. Ueber diesen empirischen Standpunkt erhoben sich die Griechen und namentlich Archimedes, der in seinem Buche kvkXov uitQrjöig den Inhalt des Kreises mit Hülfe ein- und umbeschriebener Vielecke berechnete, wie es noch heute im Schulunterrichte geschieht. Seine Methode blieb bis zur Erfindung der Differentialrechnung im Gebrauch und wurde besonders von Huygens (*j* 1654) in seinem Werke „de circuli magnitudine inventa“ ausgebaut und für die Praxis verwendbarer gemacht.

Aehnlich wie die Verdoppelung und die Drittteilung des Winkels suchten dann die griechischen Mathematiker auch die Quadratur des Kreises mit Hülfe höherer Curven auszuführen.

Denken wir uns z. B. die Curve y — arc sin r, die sich als vertical gestellte Sinuslinie darstellt. Geometrisch erscheint n als specielle Ordinate dieser Curve, functionentheoretisch als specieller Wert unserer transcendenten Function. Apparate, die uns trans-cendente Curven liefern, wollen wir in Zukunft transcendente Apparate nennen. Ein transcendenter Apparat, welcher die Sinuslinie zeichnet, giebt uns eine wirkliche Construction von 7t.

Die Curve у = arc sin x werden wir heute als eine Integral-curve bezeichnen, indem wir sie durch das Integral einer algebraischen Function definieren können:

y =/h

dx

— x²

Die Alten nannten eine solche Curve Quadratrix oder rexQaytovt^ovea. Am bekanntesten ist die Quadratrix des Dinostratus (ca. 350 V. Chr.), die aber schon früher von Hippias aus Elis (ca. 420 v. Chr.) des Winkels construiert worden ist.

Geometrisch wird dieselbe folgenderdefiniert: Auf der Linie (s. Fig.) OB und dem Bogen AB bewegen sich zwei Punkte Ж und L mit gleichförmiger Geschwindigkeit. Sie beginnen ihre Bewegung zu gleicher Zeit in 0, resp. A und kommen zu gleicher Zeit in В an. Zieht man dann OL und durch M die Parallele zu OA, welche OL in P schneidet, so ist P ein Punkt der Quadratrix.

Aus dieser Definition geht hervor, dass у mit ff proportional

ist. Da ferner für у — 1 ff = ^ wird, so haben wir

и

zur

Drittteilung

X\

Fig. 9.

massen

und aus fl = arc tg - ergiebt sich die Curvengleichung als

, *

= 4^y-

Der Punkt, in welchem die Linie die ж-Ахе schneidet, wird gefunden aus

У_

tg

Da für kleine Werte die

wenn man у in 0 übergehen lässt.

Tangente gleich ihrem Argumente ist, so folgt

7Г

Danach ist der Radius des Kreises die mittlere Proportionale zwischen dem Kreisquadranten und der Abscisse des Schnittpunktes der Quadratrix mit der ж-Ахе. Die Quadratrix kann demnach zur Rectification und somit in zweiter Linie zur Quadratur des Kreises benutzt werden. Im Grunde aber ist sie nur eine geometrische Formulirung des Rectificationsproblems, so lange nämlich kein Apparat angegeben wird, durch den sie in continuier-lichem Zuge beschrieben werden kann.

Eine Anschauung von der Gestalt der Curve giebt Fig. X der Tafel, worin sich die weiteren Aeste ergeben, wenn man über я;, resp. — n hinaus wachsen lässt. Offenbar ist die Quadratrix des Dinostratus nicht so bequem wie die Curve y = arc sin ж, doch scheint es nicht, dass letztere im Alterthum benutzt wurde.

3. In die Zeit von 1670—1770, charakterisiert durch die Namen Leibniz, Newton, Euler, fällt die Entstehung der modernen Analysis. Bei der Fülle der sich drängenden grossen Entdeckungen ist es natürlich, dass die strenge Kritik etwas zurücktritt. Für uns kommt vornehmlich die Entwićkelu/ng der Beihenlehre in Betracht. Besonders für n wurde eine grosse Zahl von Approximationen aufgestellt; wir nennen nur die sogenannte Leibniz/sehe Reihe (welche aber schon vor Leibniz bekannt war):

тН I

5^»

г-*

Ferner bringt jene Periode die Entdeckung des Zusammenhanges zwischen e und %. Die Zahl e und die natürlichen Logarithmen und damit die Exponentialfunktion finden sich im Principe zuerst bei dem Engländer Napier (1614). Diese Zahl schien am Anfänge zu den Kreisfunctionen und der Zahl л gar keine Beziehungen zu haben, bis Euler den Mut hatte, die Betrachtung auf imaginäre Exponenten auszudehnen; auf diese Weise kam er zu der berühmten Formel

eix = cos X -f- i sin X

welche für x — % in

e,n =

übergeht. Diese Formel ist ohne Zweifel eine der merkwürdigsten, welche es überhaupt in der Mathematik giebt. An sie knüpfen die modernen Beweise der Transcendenz von л an, indem dieselben zuerst die Transcendenz von e darthun.

4.    Nach 1770 kam die Kritik wieder mehr zu ihrem Recht. 1770 erschien das Buch von Lambert: „Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur des Cirkuls suchen“. Es handelt sich dort u. a. um die Irrationalität von л.

1794 zeigte Legendre in seinen „Éléments de géométrie“ endgültig, dass л und я² irrationale Zahlen sind.

5.    Aber erst 100 Jahre später setzen die modernen Untersuchungen ein.

Den Ausgangspunkt hierfür bildet die Arbeit von Her mite: „Sur la fonction exponentielle“ (Compt. rend. 1873, als eigene Schrift 1874). Hierin wird die Transcendenz von e bewiesen.

Den gleichen Beweis für л führte im engen Anschluss an Hermite, Lindemann in einer Abhandlung: „Ueber die Zahl ли (Math. Ann. 20. 1882. Siehe auch Sitzungsberichte der Berliner und der Pariser Akademie). Damit war die Sache zum ersten Mal erledigt, doch sind die Betrachtungen von Hermite und Lindemann noch sehr compliciert.

Die erste Vereinfachung gab dann Weierstrass in den Berliner Berichten 1885. Die hiermit genannten Arbeiten fasste Bachmann zusammen in einem Lehrbuche: „Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen. 1892“.

Aber das Frühjahr 1893 brachte neue, sehr bedeutende Vereinfachungen.

In erster Linie sind hier die Entwickelungen von Hilbert in den Göttinger Nachrichten zu nennen. Der Hilbert’sche Beweis ist noch nicht ganz elementar; er enthält noch einen Restbestandteil des Hermite’schen Gedankenganges in dem Integral:

GO gQe—s dz = o!.

Aber Hurwitz und Gordan haben bald darauf gezeigt, dass sich auch dieser transcendente Bestandteil noch abstreifen lässt (Göttinger Nachrichten, bez. Comptes rendus; alle drei Abhandlungen sind in den Math. Annalen Bd. 43 abgedruckt, bez. etwas erweitert). Dadurch ist nun der Gegenstand so elementar geworden, dass er allgemein zugänglich scheint. Wir werden uns in der Hauptsache an die Darstellung von Gordan anschliessen.

III. Kapitel.

Die Transcendenz der Zahl e.

1. An die Spitze unserer Untersuchung stellen wir die bekannte Reihe

ж²

11)0(1

nung von e

convergiert dieselbe aber doch; denn, wie man sieht, wächst vom lOOOsten Glied an die Pacultät im Nenner rascher als die Potenz

welche für alle endlichen Werte von x convergiert. Wir betonen hier aber den Unterschied zwischen praktischer und theoretischer Convergenz. Wäre z. B. x = 1000, so ist offenbar eine Berech-auf Grund dieser Reihe nicht ausführbar. Theoretisch

af

im Zähler. Gerade der Umstand, dass — l^i beliebigem endlichen x

für lim s = ос gleich 0 wird, wird für unsern späteren Beweis von wesentlicher Bedeutung sein.

Unsere Behauptung ist nun folgende:

e ist keine algebraische Zähl, d. h. eine Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten :

F(e) = Cq -J- C₁ e -j- C₂ e² -f- • • • -f- Cn en = 0

ist unmöglich. Die Coefficienten können hierbei als teilerfremd gelten.

Wir bedienen uns der indirecten Beweismethode, indem wir zeigen, dass wir bei Annahme obiger Gleichung auf einen Widerspruch stossen. Und zwar wird sich der Widerspruch in folgender Weise herausstellen. Wir multiplicieren die Gleichung F(e) — 0 mit* einer gewissen ganzen Zahl Ж, so dass

MF(e) = MC₀ -f MCxe -f MC₂e² ----MCnen = 0.

Es wird uns nun gelingen, dieses M so zu wählen, dass

a) jedes der Producte Же, Же², . . . sich leicht in eine ganze Zahl My_ und einen echten Bruch spalten lässt. Dadurch wird und unsere Gleichung

Же¹¹ — Mn -(- cn

Ж F (с) = ЖС₀ -f М₁С₁ + Ж₂С₂ Н-----f- Жп Сп

-(- Сх -f- С₂£₂ -j- • • • -(- Сп £п

b)    dass der ganzzahlige Bestandteil

жс₀ + жхсх-\-----\-жпсп

nicht gleich Null wird. Wir werden dies beweisen, indem wir uns auf die Evidenz stützen: Eine ganze Zahl verschwindet gewiss nicht, wenn sie, durch eine Primzahl dividiert, einen von Null verschiedenen Best lässt.

c)    dass der Ausdruck

Cx£x G₂£₂    Cn£n

ein beliebig kleiner Bruch ist.

Dann kann aber die vorgegebene Gleichung unmöglich bestehen, da eine Summe aus einer von Null verschiedenen ganzen Zahl und einem ächten Bruche gewiss ^ 0 ist.

Der springende Punkt des Beweises lässt sich auch, obgleich nicht ganz genau, so fdrmulieren :

Wir können die succcssiven Potenzen e, (?,... en mit ausserordentlicher Annäherung ganzen Zahlen proportional setzen, welche die angenommene Gleichung sicher nicht befriedigen.

2. Zur Durchführung dieses Beweises führen wir ein Symbol hr und ein gewisses Polynom cp (x) ein. Unter ersterem verstehen wir einfach r !. So schreibt sich z. B. die Reihe für ex unter Benutzung dieses Symbols:

<’-¹ + f + £ + —

Eine tiefere Bedeutung hat das Symbol nicht, es dient nur dazu, Formeln, in welchen Potenzen und Facultäten neben einander Vorkommen, in knapper Form zu schreiben.

Wenn nun irgend ein ausgerechnetes Polynom

cp(x) = crxr

gegeben ist, so verstehen wir unter cp(h) einfach

cp(h) =^j crhr — crr ! = cx. 1 ! —f- c₂.2 ! -f— • • ■ -j- cn . n\.

Wenn dagegen ein nicht ausgerechnetes Polynom cp (x) vorliegt und wir wollen h für x eintragen, so bedeutet cp(h), dass das Polynom zuerst nach Potenzen von h zu ordnen und dann statt hr r ! einzutragen ist. So ist z. B.

Crhr — Cr r !,

срЫ + h) = cr(% -f- h)r

wo die c von % abhängen.

Diese Regeln wenden wir auf folgendes merkwürdige Polynom an :

Cp (V) = Xp~

₄ [(1 — x) (2 — x)... (n — x)\v

worin n den Grad der für e angenommenen algebraischen Gleichung und p eine Primzahl bedeutet, p nehmen wir grösser als n und werden es später über alle Grenzen wachsen lassen. Insbesondere sei auch p > J C₀ , eine beiläufige Festsetzung, von welcher wir später Gebrauch machen werden.

Um eine geometrische Anschauung von cp(x) zu gewinnen, construieren wir die Curve

У = ф(ж)-

Sie schmiegt sich in den Punkten 1,2, . . . n eng an die x-Axe an und durchsetzt dieselbe hierbei, während im Punkte О ein Anschmiegen ohne Durchsetzung stattfindet. Für Werthe von x zwischen 0 und n liegt die Curve überall in nächster Nähe der x-Axe. Für grössere Werthe von x entfernt sie sich von der x-Axe beliebig.

Von der Function cp (:/;) wollen wir jetzt drei für unsern Beweis wichtige Eigenschaften feststellen.

a) Ordnen wir <p(V) nach Potenzen von ж, so dass

r—np-\-p-1

cp(x) — CrXr

CXP 1

c'xp

xnp+p—1

r—p-1

(P — 1)!    (JP—О-'

— iP~ !)! ’

so verschwindet bei gegebenem endlichen x und wachsendem p schliesslich nicht nur cp (ж), sondern auch die Summe der absoluten

\crxr .

W erte

Für cp(x) ist dies sofort klar, wenn wir auf die unentwickelte Form zurückgehen und berücksichtigen, dass mit wachsendem p schliesslich die Potenz des Zählers gegen die Facultät des Nenners verschwindet. Für die Summe der absoluten Werte aber folgt das gleiche, wenn wir bemerken, dass wir dieselbe bekommen, Klein, Festschrift.

wenn wir in die unentwickelte Form des cp(x) für (— x) überall (X) eintragen.

b) Für x setzen wir nun im ausgerechneten Polynome h und darauf statt hr seinen Wert r !. Die so entstandene Grösse cp (bi) ist dann eine ganze, nicht durch p teilbare und deshalb von Null verschiedene Zahl.

Die Reihenentwickelung von cp(h) hat nämlich als niedrigsten Exponenten offenbar p — 1, während der höchste np -f- p — 1 ist, so dass wir also haben:

r—np-\-p— 1

Cp Qi) = Crlf.

r—p— l

Die cr sind, abgesehen von dem überall auftretenden Nenner (p— l)!, ganze Zahlen. Dieser Nenner hebt sich aber überall fort, sobald wir hr als rl deuten. Die niedrigste Facultät ist ja gerade (p — l) !. Alle Reihenglieder sind ferner durch p teilbare ganze Zahlen bis auf das erste, welches lautet:

= (n\y.

(1.2.3... n)p\p — 1)!

Dieses ist gewiss nicht durch p teilbar, denn es war ja p > n angenommen. Es ist also

cp (li)    (n l)p (mod. p),

demnach gewiss von Null verschieden.

Dieses cp(h) ist übrigens jedenfalls eine sehr grosse Zahl. Einigermassen erhalten wir einen Massstab für seine Grösse, wenn wir das letzte Glied betrachten:

= p(p-j-l) . . . (np-j-p— 1).

(np Ą- p — 1) !

(P 1) !

c) Wir untersuchen weiterhin qp (//-j-x), wo x eine der Zahlen 1, 2,...n bedeute. Es ist

cp (h+x) = cr Qt + y)r — Cr hr ■

Die Einführung von r ! an Stelle von hr darf unserer Verabredung gemäss erst nach der Anordnung nach Potenzen von h erfolgen. Nach den Regeln des formalen Rechnens haben wir ferner:

cp Qi -j- x) = Qi -{- %)p 1

[(1 — x — ft)(2 — x—h)... (n—n—h)Y

Einer der in der Klammer stehenden Factoren wird gleich — h.

also hat in unserer Reihenentwickelung h als niedrigsten Exponenten p, und es ist demnach

r—np-\-p— 1

cp Qi -\-x)    Cr'llr

r=p

Die Coefficienten с/ sind wieder rationale Brüche mit dem Nenner (p— 1) !. Dieser hebt sich indess, wie früher, überall fort, sowie wir r ! für lir einsetzen.

Diesmal sind aber sämtliche Reihenglieder durch p teilbar, denn schon das erste lautet:

(— 1) yQ[ и*"¹ [Ы—1)Qn—x) l]pp !

(P— 1)1

= (—1 )* V-i [Qi— 1) t (п—к) \]Pp .

cp (h + x) ist also eine ganze durch p teilbare Zahl.

3. Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns zu dem Beweise, dass die Gleichung

F(e) = C₀ -J- CQe -f- C₂e² -j- • • • -j- Cnen = О

unmöglich ist.

Als diejenige ganze Zahl Ж, mit der wir (s. oben) diese Gleichung multiplicieren wollen, wählen wir eben cpQi), so dass

cp Qi) F(e) — C₀cp (//■) -f- C\ cp Qi) e    6'₂ cp Qi) e² -j-----(- Cn cp Qi) en.

Es kommt dann darauf an, die Producte cpQi)e, cpQi)e², . . . jedes für sich in eine ganze Zahl und einen Bruch zu spalten. Dies gelingt mit Hülfe der Reihe für ex sehr schön. Betrachten wir ein beliebiges Product cf cp (h) und entwickeln wir cp Qi), so wird

ef cp Qi) = cf crhr.

Ein beliebiges Glied dieser Summe hat dann, abgesehen von einer Constanten, die Form:

e'-hr = hr-\-

VV+¹

(r+l)!

Wenn wir an die Bedeutung hr = r\ denken, so können wir diese Reihe so umformen:

. rhvf ¹

f *r

rt<w,. + ++ r±-Mzf

Y    ,    Y~

(7+1) + (F+i)(r + 2)

Hier steht in der ersten Zeile einfach das Binom Qi -f- к)г. Was die zweite Zeile angeht, so vergleichen wir Glied für Glied der in der Klammer stehenden Reihe

⁰ + (r+ïj +

h +

(r+ l)(r + 2)

mit

1.2

und sehen, dass jedes Glied der ersten Reihe kleiner als das entsprechende der zweiten ist. Der in der Klammer stehende Ausdruck ist folglich (da alle in Betracht kommenden Gliedeipositiv sind) kleiner als e*, und wir können setzen

c*hr = Qi -f %y -f qr,xvTer,

wo unter qr>x ein echter Bruch verstanden wird. Dieselbe Spaltung

Bilden

denken wir uns mit jedem Gliede in ex crTir vollzogen, wir dann die Summe, so wird

?? сЛг = cr(h + x)r + ex qr,xcr %r.

Der erste Bestandteil rechts ist cpQi■-f-x), also nach 2 c. eine ganze durch p teilbare Zahl. Da ferner cp (%) —    ' cr vT nach 2 a. ein

Bruch ist, welcher mit wachsendem p beliebig klein gemacht werden kann, so gilt dies in noch höherem Masse für qr,x crW

und auch, da ex eine endliche Grösse hat, für ex qr>x crvT. Mit dieser Spaltung

ex cp Qi) = cp Qi + ») + e* flr,y. Cr vT

haben wir genau das erreicht, was wir wollten. Setzen wir

ex

4.r,y. Cr vJ

i

so wird die für e angenommene Gleichung:

CQ cp Qi) -f- Cx cp Qi -j- 1) -f- C₂ cp Qi —f— 2) —j— - - - —J— Cn cp Qi -f- n)

H-----h Cn en

+ C₂ e₂

= 0.

In dieser Gleichung liegt ein Widerspruch. In der That: Da die Coefficienten C endlich und in endlicher Zahl vorhanden sind, ist

auch 'y*) Cx sx ein Bruch, welcher, wenn nur p gross genug gewählt wird, beliebig klein gemacht werden kann. Die erste Reihe aber ist eine Summe von lauter ganzen Zahlen, welche alle bis auf die erste C₀<pQi) durch p teilbar sind. Denn nach 2 b. ist cp(h) nicht durch p teilbar, und C₀ ist, wie früher festgesetzt wurde, kleiner als p. Fassen wir die Reihe in eine ganze Zahl G zusammen, so ist

G =. C₀ cp (ti) ^ 0 (mod. p).

Eine ganze Zahl aber, welche durch eine Primzahl dividiert einen Rest lässt, kann unmöglich verschwinden, wie wir schon oben bemerkten.

Andrerseits kann G aber auch nicht durch den echten Bruch Cx £y_ aufgehoben werden. Es ist also 4>Q,)F(e)^0.

Demnach kann, da cp(lî) endlich ist,

F{e) — C₀ -f~ C₁e -j- C₂e² -f- • • • -f- Cn en

nicht gleich Null sein. Damit ist die Transcendenz von e oder, wie wir sagen wollen, .der Hermitesche Satz bewiesen.

IV. Kapitel.

Die Transcendenz der Zahl я.

1. Der Beweis, welchen Linde mann für die Transcendenz der Zahl я gegeben hat, stellt sich als eine Erweiterung des Hermite’schen Gedankenganges dar. Während Hermite zeigt, dass eine ganzzahlige Gleichung

C₀ + <V + <V 4-----f Cnen = 0

nicht bestehen kann, verallgemeinert Lindemann dieselbe dadurch, dass er für die Potenzen e¹, e², . . . jedesmal eine Summe einführt:

Cb

Cb

Cb

Cb

wo die

und die

x₁, x₂, . . .    (für sich genommen)

Я₂, . . . Xjf’ (für sich genommen)

zusammengehörige algebraische Zahlen sind, d. h. solche, welche einer ganzzahligen algebraischen Gleichung genügen. Unter diesen я, A, .. . können sich nach Belieben auch imaginäre Grössen befinden. Der allgemeine Lindemann’sehe Satz lautet also folgender-massen :

Es ist unmöglich, dass die Zahl c einer Gleich ung von der Form

c₀-Kl («“+ ¹+ ■ ■ • + /fi +c, (ЛмЧ-+>) +•■• genüge, wo die Coefficienten C reelle ganze Zahlen und die Exponenten x für sich, die Exponenten A für sich etc. zusammengehörige algebraische Zahlen bedeuten.

In Worten könnte man diesen Satz auch so aussprechen:

Die Zahl e ist nicht nur keine algebraische Zahl und also eine transcendente Zahl schlechtweg, sondern sie ist auch keine interscen dente Zahl (nach Leibniz’ Ausdruck)¹) und also eine transcendente Zahl höherer Ordnung.

Die Grössen x1: x₂, . . . x# seien die Wurzeln der Gleichung

akN -f- aA kN~l -(-•••-)- t/iV = 0 , die Grössen An A₂, . . . A y die Wurzeln der Gleichung

blN' bxlN'-x -I-----f- bjr = 0

u. s. w.

Diese Gleichungen müssen nicht notwendig irreducibel sein, auch braucht der Coefficient des höchsten Gliedes nicht gleich 1, die symmetrischen Functionen der Wurzeln (diese allein werden in unsern späteren Entwickelungen auftreten) brauchen also nicht ganze Zahlen zu sein.

Da wir aber zuletzt doch ganze rationale Ausdrücke bedürfen werden, betrachten wir speciell symmetrische Functionen der Grössen

J¹

. . axN. . . bXjy’,

welche wir als Wurzeln der Gleichungen N— 1

-f- a₂a(ak)

-j-----f- aN aN~l = 0,

(a k)y -j- ax (ak)

(btf + \(l)iy-x + b.₂b(biy-² -I-----h bjr bN'—x = 0,

iV— 1

erhalten. Diese Grössen sind ganze zusammengehörige algebraische Zahlen und ihre rationalen symmetrischen Functionen demnach reelle ganze Zahlen.

In unseren weiteren Untersuchungen werden wir nun Schritt für Schritt denselben Weg innehalten, welchem wir beim Beweise des Hermite’schen Satzes folgten:

Wir multiplicieren die Gleichung, deren Unmöglichkeit nachgewiesen werden soll, mit einer ganzen Zahl M und werden versuchen, die Producte

м(е'+е4-----h <?*),

M (/' + /’+... + Л'),

jedes für sich in einen ganzzahligen Bestandteil und einen Bruch zu spalten, so dass

M (e l + e* H-----f- e N) =Ж₁ + £₁,

M(e -f- e ■ ■ • -j- e л ) = M₂ -f- e₂,

Wir bekommen so die Gleichung

c₀M+ c₁m₁ + сгм₂ h----

+ Ci и + C₂ £₂ + ' * *

und hier werden wir es wieder so einrichten können, dass der ganzzahlige Bestandteil

с₀м + CXMX + C₂M₂-\----

gewiss nicht gleich Null, der andere Teil aber

C\h + @2е2 + ' ' '

ein beliebig Meiner Bruch ist, womit wir denselben Widerspruch wie früher haben.

2. Wir benutzen wieder das früher eingeführte Symbol hr = r ! und wählen als Multiplicator die Grösse M—cpQi), wo cp (hi) in Verallgemeinerung des früheren Ausdrucks folgendermassen gebildet ist: indem wir unter p eine Primzahl verstehen, welche wir

> ; C₀1, > a , > b , ... > aN\, > j bN' J, . . .

machen und später sogar unbegrenzt wachsen lassen.

Die Potenzen aNp, bN p,... sind hinzugefügt worden, damit wir bei der Entwickelung nach Potenzen von li symmetrische Functionen der Grössen

axj, ax₂, . . . axiv, bXi, bX₂₁ . . . bXN',

also reelle rationale ganze Zahlen erhalten. Weiter unten werden wir noch die Ausdrücke

cp (xv -(- Л),    cp (Я„ -|- Л) . . .

entwickeln; und damit auch hier die Coefficienten (abgesehen von dem Nenner (p—1)!) reelle rationale ganze Zahlen sind, ist die Hinzunahme der Potenzen aN p, aN p ... bNp, by p... erforderlich.

Es handelt sich zuerst darum, einzusehen, dass cp(li) eine von Null verschiedene ganze Zahl ist. Nach Potenzen von h geordnet, wird

r =Np-{-N'p-1-----f-p—1

ф(А) =

hp-

Cl»—1)1

{(x, — h) (X₃ — Л) . . . (x.v — h) ) P . aNp aN p aN"p ...

{(*i — A) (h — A) • • • (V — A)} • bNp bN'p 1N"P ...

Cp Ol) — ^ crhr.

r=p — 1

Alle Coefficienten sind hierin, abgesehen von dem überall auftretenden Nenner (j) — l) !, ganze Zahlen.

Der Factor des ersten Gliedes lip~~l beispielsweise ist:

.(bX₁ . bX₂ . . . bXN')pbNpbN"p. . .

(pZriyfC—:1У^*р+"Х*яа^¹Уа#*аГ'Р...(Ъ]гЪГ-¹уъ*РЪяГ'Р....

Führen wir hier den wahren Wert hv'~x = (p — l) ! ein, so hebt sich der Nenner fort, und wir erhalten nach dem, was wir über die Grösse von p festsetzten, eine durch p nicht teilbare ganze Zahl. Doch schon das zweite Reihenglied cp hp ist ersichtlich durch p teilbar, — dass es eine ganze Zahl ist, brauchen wir kaum zu betonen — und dasselbe gilt für alle folgenden Glieder.

a) Barum ist cp(li) selbst eine ganze durch p nicht teilbare Zahl und harm als solche unmöglich gleich Null werden.

Indem wir ganz ähnlich wie beim Hermite’schen Satze weiter gehen, betrachten wir jetzt das Polynom cp als Function von ж,

cp (x) = S' crxr.

Es wird dann

ф(ж) =

xp~l (p —1)1

aNaN

... bNbN (xj — x) (x₂ — Xs) ... (xjv — x)

■ (*1 — x) (X₂ — x)... (Xy — x) .. .}P.

Der eingeklammerte Ausdruck spielt bei gegebenem x die Rolle einer Constanten, nennen wir ihn Ül, so wird

cp(x) =

xp-ikp

(P — 1) !

Lassen wir nun p unbegrenzt wachsen, so wächst schliesslich bei gegebenem endlichen x die Facultät im Nenner in beliebig hohem

cr xr kann also

Maasse über die Potenz im Zähler hinaus, durch ein hinreichend grosses p beliebig klein gemacht werden. Der Schluss bleibt aber ersichtlich auch richtig, wenn wir in der Entwickelung von cp(x) überall die absoluten Werte nehmen, und wir erhalten das Resultat:

wird

b) Bei gegebenem endlichen x und unbegrenzt wachsendem p cp (x) —    cr xr und sogar Sj cr xr beliebig Mein.

Unter Festhaltung der Analogie mit dem Beweise des Hermiteschen Satzes beschäftigen wir uns jetzt mit den Summen

r=iV

v = N'

S <p(*r+h)i 2 у(Xv+л) * • • •

und werden sehen, dass jede derselben eine ganze durch p teilbare Zahl ist.

Wir haben

<pUv + h)

(P — 1) !

. ajN~ï'>p [(хг — xv—h)(k₂ — и,. — !%)...(— h)...— зс,. — lij\p . aN p bN p[Ях — 3tv—h)(Xg — st,,—Л)...(AjY—xv—h)]p

. bNp bN"p . . .

Der vte Factor des Ausdrucks

(xt — 3t,, — /#) (x₂ — 3tv — Л) . . . (3tу — 3t, — h)

ist (— Л), also ist, wenn wir nach Potenzen von h ordnen, die niedrigste Potenz hp. Wir gewinnen demnach für cp (xv -f- h) einen Ausdruck von der Form

r—Np-\-N'p-\-----f-p—1

cp (x„ -f- h) = ^ c; V

r=p

und analog ist

r = Np-\-N' p-}-----\-p—1

^ (p Ыг + h) = ^ Cr 1V.

V=1

r=p

Die Coefficienten Cj sind hier ganze und ganzzahlige symmetrische Functionen sowohl der Grössen

als auch der Grössen

. . Ъ\у -,

also reelle ganze Zahlen, dividiert durch (jj— l)!.

Setzen wir dann wieder r ! statt Jir ein, so hebt sich der Nenner in jedem GUede fort, jeder Summand behält dabei den Factor p und v=N

c) cp (x„ -f- ti) ist somit eine ganze durch p teilbare Zahl.

v=i

Das gleiche ergiebt sich in derselben Weise für

^ <p(Xr + ll)

etc.

V=1

Wir haben so drei Eigenschaften des œ, welche ganz den

früher beim Hermite’schen Satz entwickelten Eigenschaften von cp entsprechen.

3. Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns zu dem Beweise, dass die angenommene Gleichung

Co 4" Gx (e 4" e H------b e iV) 4" C₂ (e -j-----b e iV ) H---- nicht richtig sein kann. Zu diesem Zweck multiplicieren wir sie mit cp(h):

Co 4> (h) + Gi (e*¹ <P Ql) +    9> (h) ■ ' • e df cp Qi)) -j---- und versuchen, jede der auftretenden Summen

c'¹ cp Qi) -j- e"¹ cp Qi) -f- • • • -f- c* n cp Qi) etc.

in eine ganze Zahl und einen Bruch zu spalten. Dies wird um eine Kleinigkeit umständlicher als früher, x kann nämlich complex sein, gleich к -f- i % ; wir müssen dann den absoluten Betrag x = -f- У к ² -f- k"‘ż heranziehen.

Ein Glied der obigen Summe ist

e* cp Qi) = e* cr hr = cr hr e*.

Sehen wir von der Constanten cr ab, so ist der einzelne Bestandteil dieses Ausdruckes exk/ .₎ und dieser lässt sich, wie früher gezeigt wurde, folgendermassen schreiben:

(r + l)(r +2)

c* hr = Qi -b y)r + [(Vqpij +

Ersichtlich ist jedes Glied der Reihe

⁰ + 7TT +

X²

(r + l)(r-f 2)

dem absoluten Betrage nach kleiner als der absolute Betrag des entsprechenden Gliedes in der Reihe

Also ist

X²

(r 4-1) (r 4- 2)

4----<SM.\

oder

—— 4-

r 4-1 '

X²

(r-fl)(r +2)

4----- fr,*«¹*¹,

ЗУ,*

wo qr,y, eine complexe Grosse bedeutet, deren absoluter Betrag Meiner als 1 ist. Somit ist

und

(fhr = (h -f- %)'■ + qr,x %rè* ,

cycpQi) — cr lf ey- — crQi -f- %)r -j-= cp Qi -j- к) -{-    crqr, y Y,‘ e] y' .

crqr,yX e *

Machen wir dieselbe Spaltung mit jedem Gliede der Summe e' cpQi) -f- e"¹ cp Qi) + • • • + e' cpQi),

so wird

c¹ cp Qi) -j- e"¹ cpQi)    c’v cp Qi)

t—N

r=l

Ebenso verfahren wir mit allen andern in der vorgelegten Gleichung auftretenden Summen, und diese nimmt dadurch folgende Gestalt an:

V=N

v=N’

Ф Q¹) + Oj ^    -f- C₂ cp Qi -f- Av) -{-•••

r=l    r=l

+ Ci    e *v Cr*Ząr,Kv + 0.22 e Xy cr \rv qrpv + —

= 0.

Nach 2 b. kann man nun durch ein hinreichend grosses p crvJ' beliebig klein machen, um so mehr gilt dies, da I < 1 ist, für cr %rqr,у. und auch für cy ^J'crxrqrjX und

für    e y'v cr y.v qr,y.r etc. Da ferner die Coefficienten C endlich

und in endlicher Zahl vorhanden sind, wird die ganze zweite Reihe der Gleichung mit unbegrenzt wachsendem p beliebig Mein.

Die erste Reihe ist eine Summe von lauter ganzen Zahlen. Unter diesen ist nach 2 a. und nach unserer Voraussetzung, dass p > ; C₀ , die erste durch p nicht teilbar, während alle übrigen nach 2 c. durch p teilbar sind. Die ganze erste Reihe ist also eine durch p nicht teilbare und deshalb von Null verschiedene Zahl. Damit haben wir den in Aussicht genommenen Widerspruch. —

4. Wir schreiten weiter zu einem ebenfalls von Lindemann aufgestellten Satze, welcher der Form nach viel allgemeiner ist als der jetzt bewiesene, dessen Beweis wir aber sofort auf den bisherigen Satz zurückführen und den wir deshalb als das Linde-mann’sche Corollar bezeichnen. Wir sagen zunächst:

Eine Gleichung

0 — C₀ -j- Ct e*' + C₂ eh -j- • •

гео die Coefficienten С' дате Zahlen dm-stellen, ist unmöglich, auch wenn die Exponenten x₁₅ А,, . . . unverhnüpfte algebraische Zahlen bedeuten.

Um diese Behauptung zu beweisen, stellen wir neben obigen Ausdruck alle diejenigen, welche sich ergeben, wenn wir auf alle Weisen statt v.x der Reihe nach die zugehörigen algebraischen Zahlen und statt Ax die entsprechenden

A₂, A₃, . . . A^v' etc.

setzen.

Multipliciereil wir dann die so gebildeten Ausdrücke mit einander, so erhalten wir ein Product

Г11 co “f"

io ts

. . lY

. . N'

= C₀ + C₁(e5fl + ^ + .-- + ^) -f- C₂ (e*»+** -f e**+*> + • ■ •) -{- C₃ (ezi+;4 -j-    -J- • • •)

Die Exponenten von e in den einzelnen Klammern sind symmetrisch aus den Grössen x, А . . . zusammengesetzt, sie bilden also jedesmal die Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten und sind demnach zusammengehörige algebraische Zahlen. Unser Product fällt somit unter den Lindemann-sehen Satz und kann daher nicht verschwinden. Es kann also auch keiner seiner Factoren gleich Null sein. Damit ist unsere Behauptung bewiesen.

Jetzt leiten wir eine noch allgemeinere Behauptung ab, indem wir voraussetzen, dass in dem Polynom

C₀W + Cil) e* + C'₂⁽¹⁾ e -j----

nicht nur die %, X, sondern auch die Coefficienten C unverkniipfte algebraische Zahlen sein dürfen. Wir sagen, dass auch ein solcher Ausdruck nicht verschwinden kann.

Der Beweis verläuft genau so, wie soeben. Wir stellen neben unseren Ausdruck alle diejenigen, welche sich ergeben, wTenn für Ci^ der Reihe nach die ihm zugehörigen algebraischen Zahlen

c}²\ c?\... #)

gesetzt werden. Multiplicieren wir die so gebildeten Polynome mit einander, so erhalten wir ein Product

fj {<7₀(a) + CP e* + C₂ir) e ----}

to to to

cc = 1 ,

ß== 1,

= С₀+Сжс* +cie*4-.-.-

-f CXfXe*+* + CXtZe*+* H----

wo die Coefficienten C ganze symmetrische Functionen der Grössen

P) ft (2)    fi (Ab)

b0 ! 4    • u0 ?

fl (•) fl (2)    /"Y №)

1 {'l    7 • • •    1

und daher rationale Zahlen sind.

Ein solcher Ausdruck kann aber nach unserer eben bewiesenen Behauptung nicht verschwinden, und wir haben damit das Linde-mann’schc Corotlar in seiner allgemeinsten und reinsten Form

gewonnen :

Es ist unmöglich, dass die Zahl e einer Gleichung von der Form

Cq -f- Cy e* -j- C%2 ć -j- • • • — 0

genüge, гео sowohl die Ехропсгг1еп и, А, als auch die Coefficien-ten C₍₎, C₁, C₂, ... algebraische Zahlen sind.

Wir können auch sagen: ifmw eine Gleichung von der Form

<?o + Cx e* -f- C₂ ея -)-■••== О

vorliegt, können die Exponenten und Coefföcienten dieser Gleichung nicht sämtlich algebraische Zahlen sein,

5. Aus dem Lindemann’schen Corollar lässt sich eine Reihe interessanter Folgerungen ziehen. Zunächst ergiebt sich aus ihm die Transcendenz von n ganz von selbst. Wir knüpfen dabei an die merkwürdige Formel

1 -f é⁷¹ = О

an.

Die Coefficienten dieser Gfleichung sind algebraisch, also ist der Exponent in nicht algebraisch, d. h. n ist eine transcend ente Zahl. 6. Weiterhin betrachten wir die Function y = eZ.

Hier scheint der Fall

1 = e°

im Widerspruch mit unsern Sätzen über die Transcendenz der Zahl e zu stehen. Wir müssen dazu bemerken, dass der Fall des Exponenten 0 von uns von vorne herein stillschweigend ausgeschlossen war. Das von uns früher benutzte Polynom cp würde für den Exponenten 0 seine wesentlichen Eigenschaften verlieren, und damit werden natürlich unsere Sätze ungültig.

Abgesehen von diesem einen Falle x — О, у — 1, ist nach dem Lindemann’schen Corollar die Exponentialfunction у — cx, x — log nat у so beschaffen, dass у und x, d. h. Numerus und Logarithmus des natürlichen Systems, nicht gleichzeitig algebraisch sein können, Einem algebraischen Werte von x entspricht ein transcendentni’ Wert von x und umgekehrt. Jedenfalls ein sehr merkwürdiger Satz.

Construieren wir die Curve у = ex (s. Fig. XI der Tafel) und markieren wir sämtliche algebraische Punkte der Ebene, so windet sich die Curve zwischen diesen Punkten hindurch, ohne je mit einem derselben (ausser in x = 0, у — l) zusammenzutreffen. Der Satz bleibt bestehen, auch wenn man für x und у beliebige complexe Werte nimmt. .Die Exponentialcurve ist demnach in viel höherem Sinne transcendent, als man gewöhnlich meint.

7. Eine weitere Folgerung des Lindemann’schen Corollars ist die in demselben Sinne zu verstehende Transcendenz der Curve oder Function y — arc sin x und ähnlicher Functionen.

Die Function y = arc sin x ist definiert durch die Gleichung

2 ix — eiy — e~iy.

Wir sehen also, dass auch hier x und y nicht gleichzeitig algebraisch sein können. Ausgenommen ist der Punkt x = О, y — 0. Oder, wenn wir es geometrisch aussprechen sollen:

Die Curve

y = arc sin x

geht (s. Fig. XI) wie die Exponential curve durch keinen algebraischen Punkt der Ebene (abgesehen von x — 0, y = 0).

Anhang.

Der Lindemann’sche Satz beweist die Transcendenz der Zahl n. und damit ist das alte Problem der Quadratur des Kreises in negativem Sinne beantwortet, jedoch in viel allgemeinerer Weise, als es ursprünglich gestellt war. Nicht nur ist es unmöglich, % mit Zirkel und Lineal zu construieren, sondern es giebt auch keine durch eine ganzzahlige algebraische Gleichung definierte höhere Curve, von welcher n die einem rationalen Werte der Abscisse entsprechende Ordinate ist. Eine wirkliche Construction von ж kann also nur mit Hülfe einer transcendenten Curve ausgeführt werden, und wir müssen (sofern es sich um wirkliche Construction handeln soll) zu Zirkel und Lineal einen „transcendenten“ Apparat adjungieren, welcher diese Curve in einem Zuge liefert. Ein solcher Apparat ist der Integraph, welcher neuerdings von einem russischen Ingenieur Abdank-Abakanowicz ersonnen und beschrieben und von Coradi in Zürich hergestellt worden ist.

Mit Hülfe dieses Instrumentes kann man zu einer gegebenen Curve у — /'(ж), der „Differentialcurve“, die zugehörige „Integral -curve“ Y — F(x), wo

F (x) ==J f(x) dx,

construieren. Zu diesem Zwecke führt man den Integraphen so, dass ein mit ihm verbundener Stift, der „Fahrstift“, die Differentialcurve durchläuft, dann zeichnet ein zweiter Stift, der „Zeichenstift“, die Integralcurve. Was die nähere Beschreibung des sinnreichen Werkzeuges betrifft, so müssen wir auf die Originalabhandlung (deutsch bei Teubner 1889) verweisen.

Wir können hier nur das Princip angeben. Für jeden einzelnen Punkt der Differentialcurve y — f (x) construiere man sich das Hülfsdreieck, welches die Punkte (ж, y\ (ж, 0), (ж— 1, 0) zu Ecken hat. Die Hypotenuse dieses rechtwinkeligen Dreiecks bildet mit der Abscissenaxe einen Winkel, dessen trigonometrische Tangente = у ist. Daher ist diese Hypotenuse der im zugehörigen Punkte X, Y der Integralcurve berührenden Tangente parallel. Die Aufgabe des Apparates wird hiernach sein, den Zeichenstift parallel mit der wechselnden Richtung der genannten Hypotenuse fortrücken zu lassen, während der Fahrstift die Differentialcurve überstreicht. Dies wird einfach dadurch erreicht, dass der Zeichenstift mit einer vertical gestellten scharfrandigen Rolle verbunden ist, deren Ebene sich allemal parallel mit der genannten Hypotenuse einstellt. Diese Rolle wird nämlich durch ein Gewicht an das Zeichenpapier stark angepresst, und dadurch vermag ihr Berührungspunkt nicht anders als in der Richtung der Rollenebene fortzuschreiten.

Der Integraph wird vielfach in der Praxis benutzt, um bestimmte Integrale zu berechnen; für uns ist seine Anwendung zur Construction von n von besonderem Interesse.

Die Differentialcurve sei ein Kreis

X* -f- y² = rf

so ist die Integralcurve:

Jyr

ÏT

—    2 7    r2

—    гм=- arc

и

Die Curve besteht aus einer Reihe eongruenter Curvenzweige.

г зл

It

ГгЛ_

r\rr

er

-A

-Ггл

r'j.r

Pig. 10.

y* Tl

Die Abschnitte auf der mittleren Linie sind 0, + y • • -, auf

den Seitenlinien r² ~, r²    Setzen wir also r= 1, so liefern

4 ⁷    4

Klein, Pestschrift.

uns die Ordinaten der Spitzen oder die der Schnittpunkte der Curve mit der Mittellinie die Zahl я, resp. deren Vielfache.

Das Bemerkenswerte ist dabei, dass diese Curve von unserem Apparate nicht etwa mühsam und ungenau, sondern mit grosser Leichtigkeit und Schärfe gezeichnet wird, besonders wenn man statt des Zeichenstiftes eine Reissfeder einsetzt.

Da haben wir also eine wirkliche constructive Quadratur des Kreises und dabei genau auf dem von den griechischen Geometern gesuchten .Wege: denn es ist klar, dass unsere „Integralcurve“ nur eine Modification der früher betrachteten Quadratrix ist.

eism

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¹

Leibniz bezeichnet eine Function xf, wo A eine algebraische Irrationalität, als interscendent.

Über sicht der im zweiten Halbjahr 1894 von

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Virorum clarorum saeculi XVI et XVII epistolae selectae. E codicibus manuscriptis Gottingensibus edidit et adnotationibus instruxit Ernestus Weber. [XI u. 195 S.] 8. geh. n. M. 2.40.

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 4, S. 76.

B. G. Teubners Schiilerausgaben griechischer und lateinischer Klassiker.

Caesar, des C. Julius, gallischer Krieg. Herausgegeben von Dr. Kranz Ecgner, Oberlehrer am Kgl. Domgymnasium zu Verden. Text. [234 S. mit 3 Karten.] gr. 8. geb. n. Ж. 2.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 1, S. 9.

Homers Gedichte. Bearbeitet von Prof. Dr. Oskar Henkr;, Direktor des Gymnasiums in Bremen. In zwei Teilen. Erster Teil: Die Odyssee. Text. In zwei Bänden.

I. Band: Buch 1 — 12. Mit 2 Karten. [VI u. 219 S.] gr. 8. geh. n. Jt. 1.60.

Buch 13—21. Mit 1 Karte. [246 S.] gr. 8. geh. n. Jt 1.60.

Voranzeige s. Mitteilungen 1893 Kr. 5/6, S. 132.

in Auswahl bearbeitet und ver-von Dr. Franz Fcgner. Hilfs-

Nepos, Cornelius, Lebensbeschreibungen mehrt durch eine Vita Alexandri Magni heft. [IV u. 88 S.] gr. 8. geh. n. Jt 1.—

Ovids Metamorphosen (in Auswahl), nebst einigen Abschnitten aus seinen elegischen Dichtungen. Herausgegeben von Dr. Мавтш Fiokelsoherer, Oberlehrer am Kgl. Gymnasium zu Chemnitz. Text. [IV u. 124 S.] gr. 8. geb. n. Jt. 1.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Kr. 5/6, S. 106.

B. Gr. Teubners Schulausgaben griechischer und lateinischer Klassiker mit deutschen Anmerkungen.

Tafel :

Plinius’, des Jüngeren, ausgewählte Briefe. Für den Schulgebrauch erklärt von Dr. Anton Kreuzer, Oberlehrer am Gymnasium zu Prüm. Mit einer Grundrifs einer römischen Villa. [IV u. 143 S.] gr. 8. geh. Jt 1.50. Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Kr. 2/3, S. 44.

B. Fortsetzungen.

Euripides, ansgewählte Tragödien. Für den Schulgebrauch erklärt von K. Wecklein. Fünftes Bändchen. Phönissen. Mit einer Tafel : Abbildung eines antiken Sarkophagreliefs. [III u. 181 S.] gr. 8. geh. n. Jt. 1.80. Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Kr. 4, S. 78.

Studien

Holder, Alfred, alt-celtischer Sprachschatz. In ungefähr 18 viermonatlichen Lieferungen zu je 8 Bogen. VI. Lieferung. (Diastu-llus — G ä 1 “ -1a.) [Sp. 1281—1536.] Lex.-8. Preis jeder Lieferung geh. n. Jt. 8.— Jahrbücher für dassisehe Philologie. Herausgegeben von Dr. Alfred Fleckeisen, Professor in Dresden. Einundzwanzigster Supplementband. Erstes Heft. [352 S.] gr. 8. geh. n. Jt 9.—

Inhalt: Supplementum apparatus Gelliani. Edidit M. Hertz.— über Claudius Ptolemäus. Ein Beitrag zur Geschichte der griechischen Philosophie und Astrologie. Von Dr. phil. Franz Boll. — Untersuchungen zur Überlieferung der Äsopischen Fabeln. Von Dr. phil. August Hausrath. — Carminum Saliarium reliquiae. Edidit B. Maurenbrecher.

___ Zweites (Schlufs-) Heft. Mit einer Karte. [HI u. S. 353—616.] gr. 8.

geh. n. Jt. 7.—

Inhalt: Lucubrationes Syro-Graecae. Scripsit Antonius Baumstark.

_ Der letzte Feldzug des Hannibalischen Krieges. Von Konrad Lehmann.

Jahrbücher, neue, für Philologie und Pädagogik. Herausgegeben von Prof. Dr. Alfred Fleckeisen in Dresden und Hektor Prof. Dr. Kiohard Dichter in Leipzig. 64. Jahrgang. 149. und 150. Band. 1894. 7.    12. Heft.

Jährlich 12 Monatshefte, gr. 8. n. Jt 30,—

Die Keuen Jahrbücher für Philologie und Pädagogik bestehen aus zwei selbständig geleiteten, jedoch nur ungetrennt ausgegebenen und einzeln nicht verkäuflichen Abteilungen.

Verein mit vielen zahlreichen Abbildungen.

[Sp. 1921—2144] Lex.-8. Jede Lieferung zu Zeitschrift, Byzantinische. Unter Mitwirkung von Bibliothekar C. De BooR-Breslau, Prof. J. B. BuRV-Dublin, Prof. Ch. DiEHL-Kancy, Abbé L. DucHESNE-Paris, Membre de FInstitut, Hofrat Prof.^H. GELZER-Jena, Prof. G. K. Hatzidakis-Athen, Hofrat Prof. V. jAGic-Wien, Prof. K. KoNDAKOV-Petersburg, Prof. Sp. LAMBROS-Athen, Prof. E. LEGRAND-Paris,

Lexikon, ausführliches, der griechischen und römischen Mythologie. Im Gelehrten herausgegeben von W. И. Koscher. Mit 29. Lieferung. (Learchos — Loxias.)

je 6—7 Bogen geh. n. Jt. 2.—

Prof. J. MübbEB-Turin, Prof. Petros N. PAPAGEORGiu-Saloniki, Prof. J. PsiCHARi-Paris, K. N. Sathas-Venedig, korr. Mitgl. d. k. bayer. Akad. d. Wiss., Gr. ScHLTJMBERGER-Paris, Membre de l’Institut, Prof. J. Strzygowski-Graz, Eev. H. F. Tozer - Oxford, Gymnasialdir. M. TitEU-Breslau, Prof. Th. UsPENSKiJ-Odessa, Prof. A. VESELOVSKIJ-Petersburg berausgegeben yon Karl Krxjmbacher. III. Band. 1894. 3. u. 4. Heft. Jährlich 4 Hefte, gr. 8. n. Jt. 20.—

C. Neue Auflagen.

fiefe: uitB ÜBuitgöbncBcr, lateinifific, für ©eirtn big ©crtia (im Stnfdjtuß ait bie tateinifdjen ©dfutgrammatiïen bon ©t eg mann Bej. ©djmatj). SBcn $t). ®außmann, ißrofeffor am ©pmnaftum ju SRannljetm, Dr. fßfaff unb ©. ©djmibt, ifśrofefforen am ©pmnaftum ju jgeibetBerg. ©rfter Steil : 3ür @e£ta. gioeite Auflage. [VI u. 170 ©.] gr. 8. $n Seintoanb geB. n. Ж 1.60. ßffermanii, ©priftian, lateinifdieë iibungêtnuf). Sieue StuêgaBe (im engften Stnfdftufj an bie feuert Setjrptäne) Beforgt bon Sßrofeffor Dr. £>. $. SJlüIIer, Sireïtor be§ Suif eit ftäbtif dE) eit ©tmtnafiuntg jn S3ertin. $n bier ©etten. ©rfter Seil: ©egta. ©ritte Stuftage. [XIV n. 219 ©.] gr. 8. $n Seintoanb geB. n. M. 1.60.

-----gmeiter ©eit: Quinta. Stoeite Stuflage. [VIII u. 307 ©.] gr. 8. Sn

Seintoanb geB. n. M. 2.20.

Soranjeige über alte 4 ©eite f. SKitteitnngen 1894 Str. 5/6, ©. 109.

------©rittet ©eit: Quarta. SJcit jtoei harten, gleite Stuf tage. [Vni u.

276 ©.] gr. 8. $n Seintoanb geB. n. M. 2.—

------ tateinifdjeg SłofaButarium fac^licfi unb grammatitatifd) georbnet, in SSer=

Binbititg mit einem ÜBungSBudje jum ÜBerfeJen au§ bem ©entfielt tn§ Sa= teinifdfe. .©ritte SIßteilung. fyür Quarta. ©ieBjetmte Stuflage bon ißrofeffor Dr. $. W it I t e г, ©ireïtor be§ Suifenftäbtiicfjen ©tjmnaftinnë ju tSertin. [68 ©.] gr. 8. fart. M. —.45.

Vergili Maronis, P., opera apparatu critico in artius contracto iterum recensuit Отто Bibbeck. 3 voll. Vol. I. Bucolica et Géorgica. [X u. 208 S.] gr. 8. geh. n. M 5.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1892 Nr. 4, S. 97. äSßefcner, Dr. griedtifißeS ©lementarBurt) junâdjft nadj beu ©rammatüen bon ©nrtiu8«§artet, ®odj unb granïe = 58am6erg BearBeitét. 3teueStu§ = gaBe uact) ben SSeftimmungen ber pteufnfdjen Se|rptüne bom Satire 1891. 2 ©eite. gr. 8. (fit Seintoanb geB. n. M. 3.—

©iitjelit :

II.

I. ©eit. ®a§ Stomen unb ba§ regelmäßige SBerBum auf to. 3. ©oppeb Stuft. [VIII u. 134 ©.] n. Ж 1.40.

SerBa auf /lu unb unregelmäßige SSerBa. 2. ©oppebStuft. [IV U. 157 ©.] n. Ж 1.60.

Bibliotheca scriptorum Graecorum et Bomanorum Teubneriana

Textausgaben.

Anthologia latilia sive poesis latinae supplementum ediderunt Franciscus Bueoheler et Alexander Biese. Pars prior: Oarmina in codicibus scripta recensuit Alexander Biese. 2 fasce. Fasciculus I: Libri Sal-masiani aliorumque carmina. Editio altera denuo recognita. [XDVII u. 372 S.] 8. geh. n. M. 4.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 5/6, S. 104.

Aristoteüs politica. Tertium edidit Franciscos Susemihl." Nova inipressio correctior. [XLIII u. 368 S.]    8. geh. n. M. 2.40.

Hyperidis orationes sex cum ceterarum fragmentis edidit Fridericvs Blass. Editio tertia insigniter aucta. [LVI u. 176 S.] 8. geh. M. 2.10.

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 5/6, S. 105.

B. G. Teubners Schulausgaben griechischer und lateinischer Klassiker mit deutschen Anmerkungen.

Anthologie ans den Elegikern der Körner. Von Karl Jacoby. In vier Heften. Catull, Tibull, Properz, Ovid. Zweites Heft: Tibllll. Zweite, verbesserte Auflage. [III u. 65 S.] gr. 8. geh. Jt. —.60.

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 4, S. 77.

H. Pädagogik. Deutsche Schulbücher.

Horatius Flaecus, Q,., Satiren und Episteln. Für den Schulgehrauch erklärt von Dr. Gr. T. A. Krüger , weil. Oberschulrat und Direktor des Gymnasiums zu Braunschweig. In zwei Bändchen. Zweites Bändchen: Episteln. Dreizehnte, umgearbeitete Auflage besorgt von Dr. Gustav Krüger, Herzogi. Anhalt. Oberschulrat und Direktor des Herzogi. Friedrichs-Gymnasiums zu Dessau. [X u. 217 S.] gr. 8. geh. M. 1.80. Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 5/6, S. 108.

Lucian, ausgewählte Schriften. Für den Schulgebrauch erklärt von Karl Jacobitz. In drei Bändchen. Erstes Bändchen: Traum. Timon. Prometheus. Charon. Dritte, vollständig um gearbeitete Auflage besorgt von Karu Bürger. [У1П u. 103 S.] gr. 8. geh. M. 1.20.

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 5/6, S. 109.

Neuere Sprachen.

ЗЗоегпег, Dr. Otto, Oberlehrer am ©tjmitafium pm heiligen Äreuj p SreSbett, ftilfgbttrt) für beit franpfijdjen Unterricht in ©tftttle tum »nnS. 3tueite, tut« beränberte SluSgabe. [V tt. 155 ©.] gr. 8. /fit Seintoanb geh. n. M. 1.80.

SSorattjeige f. [Mitteilungen 1894 Ш. 2/3, @. 46.

Marban, Padre Pedro, arte de la lengua Moxa, con su vocabulario y cathecismo. Publicado de nuevo por Junio Pu atz mahn. Edicion facsi-milar. [888 S.] 8. geh. M. 30.—

II.

Pädagogik. Deutsche Schulbücher.

(Mathematische Lehrbücher siehe III.)

A. Nene Bücher.

n. M. 1.20.

fißecf, ©uftao, toatcrlanbtfdje ©rtitifteu ttnb ®id|tuttgcit. tSrfter Seil. [flatriü= tiftbe Stbulreben. [IV u. 82 ©.] gr. 8. geh-SSorattjeige f. [Mitteilungen 1894 [kr. 4, 6. 78.

B. Fortsetzungen.

ÆenbnerS Sammlung bentfdter 2>i(fit» ttnb Sdjriftttierfe für hofiere Sädtterfifmlcn

unter 9Kitmirtüng ber Herren Dr. iö aunt a ntt, Sefirer an ber SSiïtoriafcbute, [prof. Dr. Hamann, ®ireftor ber Sorotbeenfdfule, [prof, fîofmeifter, Ober« lebrer an ber Gbari°rten№ule, Dr. ©taebler, Oberlehrer an bet [Margareten« fchule, unb SBebel, Oberlehrer an ber £uifenfcE)uIe, famtliib in [Berlin, her« auSgegeben non Dr. S3 о r n f) a t, [profeffor au ber Äbniglidfen ©lifabetbfcbule p [Berlin. 26. Sanbchett: UuItuS fônfar. Srauerfptel in fünf Sitten bon SEBilliam ©haîefpeare. Üherfeht boit Sluguft SBilbelm bon ©djlegel, herausgegeben bon Sllhert |>amattn. [XX u. 85 ©.] 8. geh. n. M. —.60. Sforanjeige f. [Mitteilungen 1894 Sir. 4, ©. 78.

Seitfchrift für metbltcfte 95tlbung in ©cfoule itn& ^auS. ßentralorgan für baS beutfdje SMbdjenfdjultbefen. fBegrünbet boit fkidjarb ©cbornftein, gegentbârtig berauSgegeben bon Sirettor a. $. Dr. SB i ï h e Int Si u ch n e r itt ©ifenacE). 22. Jahrgang. 1894.    16.—24. £eft. Qährlicf) 24 ,§efte. gr. 8.

.fjalbjabrlid) n. M. 6,—

Dr. ®arl

Seitfdtrift für lateinlofe höhere ©chtilett. Organ beS Sereins pr gôrberung bel lateinlofen höheren ©cbultoefens, fotoie beS [BereinS füdfftfcber Mealfcbuh lehrer. S3egrünbet bon Dr. @ e о r g SSSeibner. Unter Skittoirïung pbfreicber ©djulmümter herattSgegehen bon Dr. ©. §ol& mil lier, Sireïtor an ber @e« toerbefd)uIe (fkealfcfjule mit gacf/Haffeu) in fjagen i SB., unb Sîôhler, Oberlehrer ebenba. 6. Jahrgang. 1894. 1,—4. §eft. gr. 8. [preis für ben Jahrgang non 12 [Monatsheften p je 2 S3 о g en n. Jl 8.—

SSoranpige f. [Mitteilungen 1894 Mr. 5/6, ©. 113.

3eitfdmft für beit beutfchen Unterricht. Unter 9Jcittmr!uug bon 3îuboIf ^ilbefiranb beratógegeben bon DttoStjon. 8. ftalfrgang. 1894. 8.—12. |>eft. gr. 8. $rei§ für ben galjrgang bon 12 ®tonatSljeften äu 4—5 ©rncf* bogen, n. M. 12.—

C. Neue Auflagen.

fitjon, Dr. €>tto, fmuMiud) ber bcutftfjen ©prodic für dotiere ©rtmlcn. 3n 5inei Seilen. II. Seil: ©tilifii!, fßoetit unb ßitteraturgefi^icbte. gür obere Staffen. 3n 2 Sfitégaben. Siuêgabe A in 1 SBattbe. SSierte, berme^rte unb berbefferte Auflage. [VIII n. 313 6.] gr. 8. $n Seinloanb geb. n. M. 2.80.

0dj)übe, Dr. Sr. 2B., tneil. fï. ©. Dberfdjulrat, ©eminarbirettor к., ©nttoütfe ttnb Äatedjefen über Dr. ЭД1. üutljcrg Deinen ÄatedjibntuS. gür ebangetiftfje aSotföfcbuIte^rer. gugletdj eine praïttfdfe SMeitmtg junt Äatecffifieren für ©d)uÜe£)rer=©emmare. 3n brei ШпЬеп. gtneiter 33cmb. Streite Slbteilimg. Streite? §aufitftüd. Streiter Strtifel. SSierte, berntefrte Stuftage. ißcttf) bent Sobe be? Serfaffer? beforgt bon beffen ©oljtte ©djulrat ©. Sf). © d) ü tj e, ft'imigl. S3e^ir!ś]d)utinfbe!tor. [IV u. 309 ©.] gr. 8. geÇ. M. 2.25.

Sorattjeige f. SOtitteilungen 1894 9îr. 5,6, ©. 114.

III.

Mathematik, technische und Naturwissenschaften,

A. Neue Bücher.

Bocher, Maxime, über die Reihenentwiekelungcn der Potfentialtheorie. Mit einem Vorwort von Felix Klein. [VIII u. 258 S.] gr. 8. geh. n. M. 8.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 5/6, S. 115.

Föppl, Dr. A., Professor an der Universität Leipzig, Einführung Maxwell’sclte Theorie der Eick tri citât. Mit einem einleitenden Ab:

in die

.. schnitte

über das Rechnen mit Vectorgrössen in der Physik. [XVI u. 413 S.] gr. 8. geh. n. M. 10.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 2/3, S. 48.

Grassmann’s, Hermann, gesammelte mathematische und physikalische Werke. Auf Veranlassung der mathematisch-physischen Klasse der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften und unter Mitwirkung der Herren Jakob Lüboth, Eduaed Study, Justus Gbassmann, Hebmann Gbassmann d. J., Geobg Scheeeees herausgegeben von Fbiedbich Exgel. In drei Bänden. Ersten Bandes erster Theil: Die Ausdehnungslehre von 1844 und die geometrische Analyse. Mit einem Bilde Grassmanns in Holzschnitt und 35 Figuren im Text. [XV u. 435 S.] gr. 8. geh. n. M. 12.— Voranzeige s. Mitteilungen 1893 Nr. 5/6, S. 107.

Veronese, Guiseppe, Professor an der Königl. Universität zu Padua, Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt. Mit Genehmigung des Verfassers nach einer neuen Bearbeitung des Originals übersetzt von Adolf Schepp, Premierlieutenant a. D. zu Wiesbaden. (Mit zahlreichen Figuren im Text.) [XLVII u. 710 8.] gr. 8. geh. n. M. 20.— Voranzeige s. Mitteilungen 1893 Nr. 5/6, S. 108.

B. Fortsetzungen.

Bachmann, Paul, Zahlentheorie. Versuch einer Gesammtdarstellung dieser Wissenschaft in ihren Haupttheilen. In sechs Theilen. Zweiter Theil. Die analytische Zahlentheorie. [XVIII u. 494 S.] gr. 8. geh. n. M. 12.— Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 1, S. 15.

il

Herz, Dr. Norbert, Geschichte der Bahnbestimmung von Planeten und Kometen. In 3 Theilen. II. Theil: die empirischen Methoden. [VIII u. 264 S. mit 2 Tafeln.] gr. 8. geh. n. M. 10.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 4, S. 80.

■^oljmüUvr, Dr. (Sîuftao, Streiter ber ©emerbefcĘmle (fRealfdjute mit ^acpiaffen) ju £>agen i. SB., SOÎitglieb ber ®atf. ßeop. tôarol. Stlabemie ber -Katurforfcijer, irictt)oot|cijcs üelifüurt) ber Glenientar=lUiatl)cimuit. gn jtuei Seilen. Streiter Seil, für bie brei Oberïïaffen ber Pieren Sepanftalten beftimmt. • 9Jtit 210 giguren im Segt. [VII u. 273 ©.] gr. 8. Qn i'eintoanb geb. n. M. 3.— SSoranjeige f. iüiitteiluugett 1894 Ш. 4, ©. 81.

Ser I. Seil erfdjien im Soit«“* 1894. ©rganjungSpft, toelcfieg ben befonberen iöebürfniffen ber Stealgbmnafien unb Dber=9tealf(|ulen bienen foK, trirb im gebruar 1895 nad)fo!gen unb ba§ ßef)tbitdj befdjließen.

Annalen, mathematische. Begründet 1868 durch Alfred Clbbsch und Carl Neumann. Unter Mitwirkung der Herren Paul Gordan, Carl Neumann, Max Noether, Karl VonderMühll, Heinrich Weber gegenwärtig herausgegeben von Delix Klein in Göttingen, Walther Dyck in München und Adolf Mayer in Deipzig. 45. Bd, 2.—4. Heft, gr. 8. Preis für den Band von 4 Heften n. Ж 20.—

Revue semestrielle des Publications mathématiques, rédigée sous les auspices de la Société mathématique d’Amsterdam par P. H. Schoute (Groningen), D. J. Korteweg (Amsterdam), J. C. Kluyver (Deyden), W. Kapteyn (Utrecht), P. Zeeman (Delft), gr. 8. II. Jahrgang. 1894. Preis für den Jahrgang von 2 Heften zu je etwa 9 Bogen n. Ж 7.—

Zeitschrift für Mathematik und Physik. Herausgegeben unter der verantwortlichen Redaktion von Dr. О. Schlömilchu. Dr. М. Cantor. 39. Jahrg. 1894. 5.—6. Heft. gr. 8. Preis für den Jahrgang von 6 Heften n. Ж. 18.— Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Ein Organ für Methodik, Bildungsgehalt und Organisation der exakten Unterrichtsfächer an Gymnasien, Realschulen, Lehrerseminarien und gehobenen Bürgerschulen. (Zugleich Organ der Sektionen für math, und naturw. Unterricht in den Versammlungen der Philologen, Naturforscher, Seminar- und Volksschullehrer, sowie auch des Vereins zur Förderung des Unterrichts in der Mathematik und in den Naturwissenschaften.) Herausgegeben von J. С. V. Hoppmann. 25. Jahrgang. 1894. 6.—8. Heft, gr. 8. Preis für den Jahrgang von 8 Heften n. Ж 12.—

C. Neue Auflagen.

Bardey, Dr. Ernst, zur Formation quadratischer Gleichungen. Zweite, eränderte Ausgabe. [VIII u. 390 S.] gr. 8. geh. n. Ж. 3.—-Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 4, S. 83.

Breuer, Peter Joseph, Direktor des Progymnasiums zu Wipperfürth, die gemeinen Logarithmen. Zweite Auflage. [31 S.] qu. gr. 8. geh. n. Ж—.60. Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 4, S. 88.

Port, O., und O. Schlömilch, Lehrbuch der analytischen Geometrie. In zwei Teilen. Erster Teil. Analytische Geometrie der Ebene, von O. Eort, weil. Professor am Königl. Sachs. Polytechnikum zu Dresden. Sechste Auflage besorgt von R. Heger in Dresden. Mit in den Text gedruckten Holzschnitten. [VIII u. 264 S.] gr. 8. geh. n. M. 4.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 4, S. 82.

G-auter, Dr. H., Professor an der Kantonsschule in Aarau, und Dr. E. Rudio, Professor am Polytechnikum in Zürich, die Elemente der analytischen Geometrie der Ebene. Zum Gebrauch an höheren Lehranstalten sowie zum Selbststudium dargestellt und mit zahlreichen Übungsbeispielen versehen. Mit 54 Figuren im Text. Zweite, verbesserte Auflage. [VI u. 168 S.] gr. 8. geh. n. M. 2.40.

Henke, Prof. Dr. Richard, Oberlehrer am Annen-Realgymnasium zu Dresden, über die Methode der kleinsten Quadrate. Zweite, unveränderte Auflage. Nebst Zusätzen. [V u. 77 S.] gr. 8. geh. n. M. 2.—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 5/6, S. 116.

Hochheim, Dr. Adolf, Professor, Aufgaben aus (1er analytischen Geometrie der Ebene. In drei Heften. Heft I. Die gerade Linie, der Punkt, der Kreis. Zweite, verbesserte Auflage. In zwei Teilen, gr. 8. geh. Jeder Teil n. M. 1.60. A. Aufgaben. [IV u. 86 SJ B. Auflösungen. [106 S.] Wüllner, Adolph, Lehrbuch der Experimentalphysik. In vier Bänden. Erster Band. Allgemeine Physik und Akustik. Fünfte, vielfach gearbeitete und verbesserte Auflage. Mit 321 in den Text gedruckten Abbildungen und Figuren. [X u. 1000 S.] gr. 8. geh. n. M. 12.— Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 5/6, S. 115.

IV.

Geschichte.

Untersuchungen, historische. Ernst Förstemann zum fünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet von der historischen Gesellschaft zu Dresden. [VII u. 143 S.] gr. 8. geh. n. M. 4,—

Voranzeige s. Mitteilungen 1894 Nr. 4, S. 84.

V.

Heilkunde.

Jahrbuch für Kinderheilkunde und physische Erziehung. Neue Folge. Herausgegeben von O. Heubner, A. Steffen und H. v. Widebhofer. 38. Band. 2.—4. Heft. gr. 8. Preis für den Band von 4 Heftenn. M. 10.40. -- -39. Band. 1. Heft. gr. 8. Preis für denBand von4Heften n.M. 10.40.

VI.

Vermischtes.

Jahrbuch, statistisches, der höheren Schulen und der heilpädagogischen Anstalten Deutschlands, Luxemburgs und der Schweiz. Neue Folge von Mushackes Sehulkalender II. Teil. Nach amtlichen Quellen bearbeitet. 15. Jahrgang. Zwei Abteilungen. 16. geh. n. M. 3.60; biegsam in 2 Abteilungen oder in 1 Band geb. n. M. 4.40.

I. Abt. Das Königreich Preufsen enthaltend. Anhang: Verzeichnis der Mittelschulen. [VI u. 223 S.]

Die deutschen Staaten (aufser Preufsen), Luxemburg, die Schweiz und statist. Übersicht über die höheren Schulen Deutschlands enthaltend. [III u. 360 S.]

Die Abteilungen sind nicht einzeln verkäuflich.

Mushackes deutscher Schulkalender für das Schuljahr 1895/96. 44. Jahrgang. Mit Benutzung amtlicher Quellen herausgegeben. Oster-Ausgabe 1895. (Vom 1. Januar 1895 bis 30. April 1896.) [OXV u. 155 S.] 16. geh. n. М.1. — ; in biegsamen Leinwandband geb. n. M. 1.20.

Inhalt: Kirchl. und astronom. Kalender, Genealogie, Posttarif und Telegramm-Gebühren, Notizbuch für die Zeit vom 1. Januar 1895 bis 30. April 1896, Lektionspläne für Direktoren und Lehrer, Ordinariatslisten, Censurlisten, Notizen für Konferenzen, verliehene, geliehene und Adressen, 2 Bogen weifses, 1 Bogen gewürfeltes Papier

Jährlich 2 Ausgaben : 1) Michaelis-Ausgabe : vom 1. September bis Ende des nächstfolgenden Jahres reichend, und 2) Oster-Ausgabe : vom 1. Januar bis zum 30. April des nächstfolgenden Jahres reichend.

П.

u. s. w.

neue Bücher,

£-96

Klein, Festschrift.

Tafel Г.

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