pi

&

pi

ïi::

;■«

'

III«

mm

tai

iqOZ. Ci. 6/3,

THEORIE

DES

HARMONISCHEN ANALYSATORS,

VON

DR. LUCI AN GRABOWSKI.

AUS DEN SITZUNGSBERICHTEN DER KAISERL. AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN IN WIEN MĄTHEM.-NATUR W. CLASSE; BD. CX. ABTH. II. A.

rULI i₉ot

(MIT 2 TAFELN UND l5 TKXTF1GÜREN. )

WIEN

AUS DER KAISERLICH-KÖNIGLICHEN HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

1901.

-JtŻ

.    .v.-:

m

\

#

• ^

'

j

\

■ ;

*

T

ç

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297572

Theorie des Harmonischen Analysators.

.

.

J

biblioteka # * 6ŁÓWHA ,

k°

V

r

y

'r

ifie

y y

>

NO

sN^

&

*

\

i

N

U

L. Grabowski: Theorie des harmonischen Analysators.

...

liir

Hä

■S=L,n;............

BRR

n

ssg§H|

Der Verf.

Anmerkung. Diese beiden Abbildungen sind der Broschüre des Herrn Coradi »Der Harmonische Analysator« (Zürich 1894) entnommen. Der Leser möge beachten, dass das in der oberen Abbildung dargestelljte Instrument in einigen unwesentlichen Einzelheiten (Vorrathsrolle und Anzahl der Leitrollen, S. 15 und 16) von dem von mir benutzten abweicht. Die Bezejchnungsbuchstaben haben keinen Bezug auf meine Abhandlung.

Sitzungsberichte d. kais. Akad. d. Wiss., mathem.-naturw. Classe, Bd. CX. Abth. II.a. 1901.

THEORIE

DES

HARMONISCHEN Â’üLYSATORS,

VON

DR LUCI AN GRABOWSKI.

AUS DEN SITZUNGSBERICHTEN DER KAlSERLi AKADEMIE DER WISSEN-SCHÄFTEN IN WIEN MATHEM.-NATURW. CLASSE; BD. CX. ABTH. TI. a.

JULI 1901.

(MIT 2 TAFELN UND l5 TEXTFIGUREN.)

WIEN

AUS DER KAISERLICH-KÖNIGLICHEN HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

1901.

U/c^Uf&

L Grabowski: Theor de.s harmonise su Ai alysators.

te

Sw

A : mer kun I se -.den/. uugen sind de i Ą r;    s \ dass .i..- . dér obé -, \bbildung dare Û

> n dem v mii benutzte weicht. Die !

Sitz i ig s be ri ch    .. Ak

IT

THEORIE

DES

HARMONISCHEN ANALYSATORS,

VON

DR. LUCI AN GRABOWSKI.

AUS DEN SITZUNGSBERICHTEN DER KAISERL. AKADEMIE DER WISSEN-SCHÄFTEN IN WIEN MATHEM.-NATURW. CLASSE; BD. CX. ABTH. IL A.

JULI 1901.

(MIT 2 TAFELN UND ID TEXTFIGUREN.)

WIEN

AUS DER KAISERLICH-KÖNIGLICHEN HOF- UND STAATSDRUCKEREI.

1901.

D/<^u+

biÿ.5:<Sa?/,/4£

l< O

rf§'

BIBLIOTEKA PüUnSHf.;SZS*

KRAKÓW

UlUH

Akc. Nr. ~1%_/H

Vorwort.

Der Harmonische Analysator, ein vor wenigen Jahren von Prof. O. Henri ci (London) angegebenes und vom Mechaniker G. Cor a di (Zürich) construiertes Instrument, dient zur mechanischen Entwickelung einer graphisch gegebenen Function einer reellen Variablen in eine trigonometrische Reihe. Ich versuche in der vorliegenden Abhandlung, eine vollständigere und strengere Theorie dieses Instrumentes aufzustellen, als sie in der bisher vorhandenen Literatur dieses Gegenstandes enthalten ist. Es handelte sich dabei namentlich um die Berücksichtigung der verschiedenen hier in Betracht kommenden Fehlerquellen, da die allermeisten derselben bis jetzt nicht behandelt und nicht erwähnt worden waren.

Das Instrument, welches mir zur Verfügung stand, ist Eigenthum der königl. Sternwarte in München.

Es sei mir an dieser Stelle gestattet, mit dem Ausdrucke einer tiefgefühlten Dankbarkeit der zahlreichen Rathschläge und Anregungen, sowie des jederzeit bereitwilligen und liebenswürdigen Entgegenkommens zu gedenken, welche ich im Laufe meiner Arbeit von Herrn Prof. Dr. H. Seeliger zu erfahren die Ehre hatte.

Herrn G. Cor a di bin ich für bereitwillige Auskunft über gewisse constructive Details des Instrumentes sowie für die Freundlichkeit, mir die Clichés zu den beiden Abbildungen des Analysators zur Verfügung gestellt zu haben, zu Dank verpflichtet.

.

-

.

.

. . ■ .:

.

*

Inhalts-Übersicht.

Seite

Einleitung. 1. 2.............

Theorie des correcten Analysators. 3.—6. .

Die Fehler des Instrumentes. 7.—40.....

Wirkungen der einzelnen Fehlerquellen. 8.—23.

Zusammenfassende Formeln. 24.—26.....

Corrigierung der Coefficienten der Fourier’schen Reihe wegen der Instrumentalfehler. 27.—30........

.    .    19

21

85

90

Methoden zur Bestimmung der Fehlerconstanten; Beispiele.

. 106

31.-40.

148

Die Fehler des Millimeterpapieres und der Aufstellung.— Complété Formeln zur Corrigierung der Coefficienten. 41.-48.................

Beispiel der Réduction einer Harmonischen Analyse.49. —50. 166

Einleitung.

1. Der »Harmonische Analysator« ist ein Instrument, welches dazu dient, eine für ein bestimmtes Intervall graphisch gegebene Function einer reellen Variablen in die Fourier’sche ¹ Reihe mechanisch zu entwickeln, d. h. die Coefficienten mehrerer Anfangsglieder dieser Entwickelung mechanisch zu finden, anstatt dieselben zu berechnen. Er ist vor wenigen Jahren von Prof. O. Henri ci in London im Princip erfunden und vom Mechaniker G. Coradi in Zürich construiert worden.

Der Harmonische Analysator von Henrici-Coradi hat seine Vorgänger gehabt. Es ist nicht meine Absicht, hier auf die Geschichte jener früher erdachten oder construierten Instrumente, welche die gleiche oder eine ähnliche Aufgabe zu lösen bezweckten, näher einzugehen. Ich erinnere nur an die William Thomson’sche sogenannte Flutberechnungsmaschine als das bekannteste jener Instrumente. Der Harmonische Analysator von Henrici-Coradi stellt indessen in Bezug auf Genauigkeit, Handlichkeit, verhältnismäßig einfache Handhabung und — nicht zum mindesten —seine sehr sinnreiche Construction wohl das Vollkommenste dar, was zur Zeit in diesem Gebiete existiert.

Die Entwickelung der gegebenen Function in die Fourier-sche Reihe, oder — wie ich kurz sagen will— die harmonische Analyse derselben, geschieht mit diesem Instrumente in der Weise, dass die gezeichnete Curve, welche diese Function in einem Diagramm xy darstellt, mit dem Fahrstift des Instrumentes befahren wird und sodann an entsprechenden Theilungen des Instrumentes Ablesungen gemacht werden, welche die Werte der gesuchten Coefficienten liefern.

2, Bevor ich auf die Theorie dieses Instrumentes eingehe, erscheint es mir zweckmäßig, zunächst die bekannten Haupt-

Diese Entwickelung ist es, die man als die Fourier’sche Entwickelung dieser Function bezeichnet.

XJ

C/

Fi g. 1.

2) Folgende Eigenschaften der Function fix) sind hinreichende Bedingungen ihrer Entwickelbarkeit in der angegebenen Form: Sie bleibt in dem Intervall Ofghrrgc endlich, ist in demselben im allgemeinen stetig, kann aber eine endliche Anzahl von Unstetigkeitspunkten haben, der Art, dass dort 0 eine plötzliche Änderung ihres Wertes eintritt, sie hat — schließlich — nur eine endliche Anzahl Maxima und Minima in dem betrachteten Intervalle. Die Function darf aber auch in einem Punkte * = x₀ des Intervalles, oder in mehreren solchen Punkten, unendlich werden, vorausgesetzt, dass dies in der Weise geschieht, dass sie, bei genügend kleinem s, von x₀—s bis x₀ und von x₀ bis x₀-hs ein constantes Vorzeichen

behält und dass das Integral

Sätze der Theorie der Fourier’schen Reihen in exacter Fassung anzuführen.

1) Ist eine beliebige Function f(x) für das Intervall O^x^c definiert, so kann sie bekanntlich, wenn sie innerhalb dieses Intervalles gewissen sogleich zu präcisierenden Bedingungen genügt, für dieses Intervall dargestellt werden durch eine in diesem Intervall convergente, und zwar (natürlich mit Ausnahme etwaiger Unstetigkeitspunkte der Function) gleichmäßig convergente Reihe von folgender Form:

v    2 TZX

f(x) —    + cos——

2 tzx    +. ....    w

+ b± sin -^- + b₂ sin —^~+bs. sin.+ bn sin

2utzx

6 TZX

+ a₂ cos ——h a₃ cos —

6 TZX

4 TZX

4: TZX

+ Cln COS

2nizx

2mzx

11= oo

n = oo

— a₀ +

a1t cos

bn sin

2 mzx

(1)

f(x)dx einem Grenzwerte

l*

zustrebt, wenn seine obere Grenze x sich dem Werte xQ nähert, unabhängig davon, von welcher Seite sie sich nähert. — Die so formulierten Bedingungen werden öfters kurz die Dirichlet-schen Bedingungen genannt. Es sind hinreichende, keine noth-wendigen Bedingungen; im Gegentheile haben die neueren Untersuchungen den Kreis dieser Bedingungen immer weiter gezogen, so dass er ein immer größeres Gebiet von Functionen umfasste. Doch wäre es nicht am Platze, hier darauf näher einzugehen, da schon diese sogenannten Dirichlet’schen Bedingungen ein sehr weites Gebiet von Functionen und jedenfalls wohl alle in der Natur vorkommenden Functionen umfassen.

3)    Wie gesagt, lehrt also die Theorie der Fourier’schen Reihen, dass eine Function fix), welche für jeden Punkt eines Intervalles 0 ^ x ^ c definiert ist und innerhalb dieses Intervalles den Dirichlet’schen Bedingungen genügt, für dieses Intervall dargestellt werden kann durch eine Reihe von der Form (1). Dieses Dargestelltwerden ist dabei so verstanden: Für jedes innerhalb des Intervalles liegende x ist die Summe der Reihe gleich dem Werte der Function fix), mit Ausnahme derjenigen x, für welche die vorgelegte Function einen Sprung hat, und derjenigen, bei welchen sie ein derjy-Axe parallel verlaufendes Stück hat, schließlich mit Ausnahme des Anfangs- und des Endpunktes des Intervalles. Bei diesen Ausnahmswerten von x ist die Summe der Reihe im allgemeinen verschieden von der Function fix).

4)    Ferner lehrt jene Theorie, dass die Aufgabe, eine für das Intervall 0 x rg c gegebene Function, welche innerhalb dieses Intervalles den Dirichlet’schen Bedingungen genügt, in eine Reihe von der Form (1) zu entwickeln, welche innerhalb dieses Intervalles gleichmäßig convergent sein und die Function f{x) in dem soeben ausgesprochenen Sinne darstellen soll, eine vollständig bestimmte ist, d. h. dass es nur eine solche Reihe gibt. Diese einzige Lösung der Aufgabe ist gegeben durch die folgenden Ausdrücke der Coefficienten a, b:

fix)dx

2 rc

ä,=—/

Jo

.. 2mcx

f ix) cos-

c

2mzx

dx

2 rc

bn — — I /(*) Sin Jo

dx.

LO *

Theorie des eorreeten Analysators.

3. Auf diese Ergebnisse der Theorie der Fourierschen Reihen, also auf das System der Formeln (1) und (2), stützt sich nun die Theorie des Coradi’schen Analysators.

Diese setzt damit ein. jene Ausdrücke etwas umzuformen.

Ich bezeichne die ganze vorgelegte Curve mit S, und ich schneide aus derselben solche Abschnitte heraus, dass die Grenzpunkte eines jeden Abschnittes zwei aufeinanderfolgenden Ausnahmswerten von x entsprechen. Innerhalb eines jeden dieser Abschnitte bleibt also die Function ausnahmslos stetig und besitzt kein parallel der jy-Axe verlaufendes endliches Stück. Die Gesammtheit dieser Abschnitte der Curve bezeichne ich mit (S). Dann kann man offenbar die Ausdrücke (2) für an, bn so schreiben, indem man für jeden der Abschnitte (S) die in an und bn enthaltenen bestimmten Integrale durch partielle Integration bildet:

an = -

mz

/    .    2 flTlX \

(/s,n—

(S) mi

sin

(S)

2 mix ₇

-dy

c

bn —

2 mzx \

mi \

y cos

c J(S) mi

cos

tS)

2 mix _ —dy;

bezeichnet

(5)

darin ist die »Substitution über (S)«, welche mit dem Symbol ( ) bezeichnet wurde, so verstanden, dass man für jeden der Abschnitte (5) den Betrag bildet, um welchen der vom Symbol eingeschlossene Ausdruck vom Anfangs- bis zum Endpunkte des Abschnittes zunimmt, und die für die einzelnen Abschnitte geltenden Zunahmen summiert; analog ist der Sinn der »Integration über (5)«, welche mit dem Symbol wurde.

Die Construction des Analysators ist eine derartige, dass eine Verschiebung der Fahrstiftspitze nach oben oder unten (d. h. senkrecht zur Ebene der Zeichnung) keine übrigen Theile des Instrumentes in Bewegung versetzt; nicht die Bewegung der Fahrstiftspitze also, sondern die Bewegung ihrer Projection auf die Ebene der Zeichnung ist maßgebend für die Angaben des Analysators. Aus dieser einfachen Bemerkung ergibt sich eine wichtige Folgerung. Denn da dieser Projectionspunkt natürlich nicht in einem Punkte der Ebene der Zeichnung verschwinden und darauf in einem anderen wiedererscheinen kann, so folgt, dass nur ununterbrochene Curven mit dem Analysator »befahren« werden. Infolge dessen haben wir hier nicht, wie bisher, von Curven mit Unstetigkeitspunkten und parallel der _y-Axe verlaufenden Stücken, sondern nur (höchstens) von Curven mit parallel derjy-Axe verlaufenden Stücken zu sprechen. [Nebenbei sei bemerkt, dass die Fourier’sche Reihe für die oben abgebildete Curve, wie leicht einzusehen, genau dieselbe ist, wie für die Curve, welche aus jener dadurch entsteht, dass die Lücken durch parallel derjp-Axe verlaufende Stücke ausgefüllt werden.]

Für eine solche Curve nun ist identisch

U7Z

(    .    2 mzx\

VS,n c J

(S) HK

J(S)

2 Î17ZX _

sin-dy ~

c

mz

(    . 2mzx)    1 r

^s,n - js——

sin -

2 mzx _

-dy

c

mz

(    2 mzx \

Vcos —]

iS) flTZ

cos

(S)

2 mzx _

-dy —

c

mz \

y cos

2 mzx

cos

2 mzx _

~T~dy’

wo rechts die Integration und die Substitution auf die ganze vorgelegte Curve 5 (welche in einem Punkte der_y-Axe anfängt und in einem Punkte der Ordinatenlinie x — c endet) erstreckt sind; — denn für einen parallel der_y-Axe verlaufenden Abschnitt [S] der letzteren Curve ist identisch

mz

/    .    2 mzx \

y sin-

r    c m

mz

sin

2 mzx

dy = 0

[5]

2 mzx

mz \

y cos

[5] mz

cos

[S]

2 mzx _

-dy =

c

0.

Wir erhalten daher, wenn wir mit ya die Ordinate des Anfangspunktes der ganzen Curve 5, mit yc die Ordinate ihres Endpunktes bezeichnen,

an —

.    2 mzx _

sin--dy

c

bn —

mz

(ye—ya) +

2 MZX

(3)

MZ

COS

-dy.

c

Hier führt nun die Theorie des Analysators die Voraussetzung ein, dass ye ~ya ist. Ist dies nicht der Fall, so muss man bei der Befahrung, nachdem man den Endpunkt der vorgelegten Curve erreicht hat, ein Stück ergänzen, indem man längs der Ordinate so weit hinunter- oder hinaufsteigt, bis die Ordinate gleich ya wird. Wie wir bereits bemerkt haben, gilt dann die Reihe, welche man für die so ergänzte Curve erhält, auch für die ursprünglich vorgelegte Curve.

Wir erhalten also schließlich die Formeln

11 — oo

fix) — a₀ + V an cos

2 MIX

11 = OO

V bn sin

2 U7ZX

11 = 1

11 = 1

<c

f(x)dx

Ctn —

ro

Ml

sin

2 MZX ₇

-dy

c

(4)

bu — H--

11 ~

i

Js

cos

2 imx _

--dy.

c

Die Aufgabe des Analysators ist, die Integrale an und bn\ für alle n von n = 1 bis zu einem Maximalwerte (bei unserem Instrumente dem Werte n ~ 6), mechanisch zu liefern. Der * erste Coefficient, aQ, wird durch den Analysator nicht geliefert. Er kann entweder mit einem gewöhnlichen Planimeter oder auch dadurch bestimmt werden, dass man die Reihe der weiteren Glieder, welche man mit Hilfe des Analysators erhalten hat, für irgendeinen Wert von x mit der Ordinate der Zeichnung vergleicht.

4. Die Curve, welche man zu analysieren hat, wird eine Relation zwischen zwei veränderlichen Größen (z. B. der Zeit

und der Temperatur) ausdrücken, von denen die eine als Abscisse, die andere als Ordinate aufgetragen wird. Bei dem Aufträgen der Curve kann die Beziehung zwischen der Einheit der letzteren Größe und der Längeneinheit willkürlich gewählt werden. Die Beziehung aber zwischen der Einheit der ersteren, als Argument auftretenden Größe und der Längeneinheit ist für den Gebrauch des Analysators eine vorgeschriebene: sie muss so gewählt werden, dass das Intervall der Argument-Größe, für welches die periodische Entwickelung gesucht wird, durch ein Intervall der %-Axe dargestellt wird, dessen Länge c gleich ist 360 Millimetern² der an einer Schiene des Instrumentes angebrachten Millimetertheilung. Handelt es sich z. B. um den Verlauf der Temperatur im Laufe eines Jahres, so muss, für das

Aufträgen der Abscissen, 1 Tag = werden.

Millimetern gesetzt

360

365

Ich halte in dem gegenwärtigen Abschnitte die Annahme fest, dass sowohl das Instrument, als auch das Coordinaten-netz des zum Aufträgen der Curve verwendeten Millimeter-papieres, vollkommen correct seien. Von dem Papiere wird hier also vorausgesetzt, dass die Linien der jp-Richtung genau rechtwinklig zu denjenigen der ^-Richtung stehen, ferner dass die Millimetermaße sowohl der einen wie der anderen Richtung genau richtig sind (und infolge dessen auch mit der Millimetertheilung der erwähnten Schiene übereinstimmen).

Die Einrichtung und die Wirkungsweise des correcten Analysators sind die folgenden. (Siehe Tafel.)

Das Gerüst des Instrumentes besteht aus einem rechtwinkligen länglichen unteren Rahmen, und einem gleichen oberen Rahmen, der mit jenem durch vier Säulen verbunden ist. Längs der vorderen Schiene des unteren Rahmens läuft ein Wagen, der den Fahrstift trägt; er ist- mit einem Index versehen, welcher längs der vorderen Schiene des oberen Rahmens gleitet, und zwar von dem Striche »0« bis zum Striche »360« der an dieser Schiene angebrachten Millimetertheilung. Das Gerüst selbst ruht auf dem Papier vermittelst zweier an den

Seiten angebrachter, an einer gemeinsamen drehbaren Axe festsitzender Laufräder und einer vorn angebrachten kleinen Laufwalze; die Axen der Laufräder und der Walze sind der Schiene, an welcher der Wagen rollt, parallel. Das Instrument muss nun so aufgestellt werden, dass diese Schiene der .r-Axe der Zeichnung parallel ist, und dass ferner in der äußersten Stellung des Wagens nach links, also wenn der Index an der Schienentheilung 0 zeigt, die Fahrstiftspitze sich auf derjp-Axe der Zeichnung befindet. Dann kann jeder beliebige Punkt der Zeichnungsebene, für welchen 0 ^ x ^ c ist, mit dem Fahrstift erreicht werden, indem die *-Componente der Verschiebung des Fahrstiftes durch Rollen des Wagens an der Schiene bewerkstelligt wird, die jy-Componente dagegen durch Rollen der Laufräder — also Bewegung des ganzen Instrumentes — auf der Zeichnungsebene.

Außer diesem Gerüst besteht das Instrument aus einer Anzahl N von Integrierapparaten; der nte (n = 1, 2,..., N) Integrierapparat liefert sowohl den Coefficient an, als auch, gleichzeitig, den Coefficient bn. Die Anordnung dieses Integrierapparates ist folgende. Eine mattgeschliffene Glaskugel ist von einem quadratförmigen Rahmen umgeben, in welchem, auf drehbaren Axen, drei Rollen befestigt sind, die die Kugel in Punkten ihres horizontalen größten Kreises (ihres Äquators) berühren; die Axen dieser Rollen liegen selbst in der Ebene dieses größten Kreises, und zwar senkrecht zu den Radien-vectoren der betreffenden Berührungspunkte. Zwei dieser Rollen sind »Messrollen« und ihre Berührungspunkte auf dem Äquator der Kugel liegen in einem Abstande von 90° voneinander; die dritte, diesen beiden gegenüber angebrachte Rolle dient nur als Stützrolle, indem sie, vermöge der federnden Wirkung einer hebelartigen Vorrichtung, an welcher ihre Axe gelagert ist, die Kugel beständig an die beiden Messrollen leise andrückt. Der Mittelpunkt der Kugel befindet sich vertical über der Rotations-axe der beiden Laufräder, und die Kugel stützt sich unten auf die Mantelfläche eines kurzen und breiten Cylinders, der an dieser Axe befestigt ist und dessen geometrische Axe mit derselben zusammenfällt.

Wird der Fahrstift in der Richtung der #-Axe verschoben, so wird dadurch der quadratförmige Rahmen des Integrierapparates in Umdrehung versetzt um die durch den Mittelpunkt der Kugel gehende Verticale, wobei er die Kugel mitnimmt. Von dem Wagen geht nämlich, am Anfänge parallel der Schiene verlaufend, ein feiner Silberdraht aus, der, über Wellen (Leitrollen) gespannt, an den Integrierapparat herankommt und eine oben an dem Apparat befindliche Horizontalscheibe umwickelt, deren Spindel durch die hintere Leiste des oberen Gerüstrahmens hindurchgeht und mit dem Rahmen des Integrierapparates fest verbunden ist; der Draht ist in seinem weiteren Verlaufe so über andere Leitrollen geführt, dass er mit seinem Endstücke, hier wieder parallel der Schiene verlaufend, wieder zur Befestigung an dem Wagen gelangt. — Keinerlei relative Bewegung der Kugel gegen die Rollen des Apparates kommt bei dieser Verschiebung zustande, und die Rollen drehen sich um ihre Axen nicht.

Wird dagegen der Fahrstift in der Richtung der y-Axe verschoben, was nur durch Fortrollen des ganzen Instrumentes geschehen kann, so dreht sich der an der Axe der Laufräder sitzende Cylinder unter der Kugel um die zur x-Axe parallele Gerade, und theilt seine Bewegung der Kugel mit, die sich somit um eine der x-Axe parallele Gerade dreht. Diese Rotation überträgt sich auf jede einzelne der drei Rollen: voll, gar nicht, oder zum Theil, — je nach dem Winkelabstande, in welchem auf dem Kugeläquator der Berührungspunkt der Rolle sich von dem zur x-Axe parallelen Durchmesser der Kugel befindet.

Niemals kommt also eine Rotation der Kugel um eine andere horizontale Axe zustande, als um die zur x-Axe parallele. Es ist für die klare Vorstellung der Wirkungsweise des Analysators von principieller Wichtigkeit, sich zu vergegenwärtigen, dass die Rotation der Kugel immer so erfolgt, dass die verticale Componente dieser Rotation gleich ist der Rotation des Rahmens des Integrierapparates und dass ihre horizontale Componente in den zur x-Axe parallelen Radiusvector fällt. Die relative Bewegung der Kugel gegen den Rahmen wird daher immer genau dargestellt durch denjenigen Theil ihrer absoluten Drehung, welcher eine Rotation um den zur x-Axe parallelen Radiusvector ist. Sie ist daher auch immer nur der Componente dy der Verschiebung des Stiftes proportional und hängt von dx durchaus nicht ab.

*«,1

Zf

MJ13

Fig. 2.

5. Ich lege nun durch den Mittelpunkt O der Kugel drei Strahlen OX, OY, OZ; den ersteren parallel zur Axe ox der Zeichnung, den zweiten um +90° davon abgelenkt, somit parallel zur Axe oy der Zeichnung, den dritten senkrecht auf die beiden und nach oben gerichtet. Der Winkel, um welchen der nach dem Mittelpunkte einer Rolle gehende Radiusvector abgelenkt ist von der AT-Axe, diese Ablenkung natürlich von X nach Y gezählt, möge — in Consequenz des Ausdruckes »Äquator« — kurz die »geographische Länge« dieser Rolle genannt werden (einen besseren Ausdruck habe ich nicht finden können). Ich bezeichne die beiden Messrollen mit Mnl und Mn2, die Stützrolle mit Mn3, und zwar so, dass bei Herumgehen um die Kugel im Sinne der wachsenden zweiten Indices die geographi-schenLängenwachsen. Es möge gleich erwähnt werden, dass die Rolle Mnl mit der Inschrift »Cosinus«, Mn2 mit der Inschrift »Sinus« versehen sind, und demnach die erstere auch als die Cosinusrolle, die letztere als die Sinusrolle bezeichnet wird. Dieselben Buchstaben Mnl, Mn2, Mm sollen außerdem auch die Mittelpunkte der drei Rollen, sowie ihre Halbmesser bezeichnen. Ich bezeichne die geographische Länge der Rolle Mni (i = 1, 2, 3) mit \ni. Von den beiden entgegengesetzt gerichteten Strahlen, welche in ihrer Axe liegen, fasse ich als Rotationsaxe diesen auf, welcher nach wachsenden X geht; damit ist der Sinn der »positiven« Rotation der Rolle Mn{ um ihre Axe definiert. Schließlich bezeichne ich eine unendlich kleine Drehung um die so definierte Rotationsaxe mit d\ini, so dass [ijii die »Drehungsphase« der Rolle Mni, von einer beliebigen Anfangsphase aus gezählt, darstellt.

Wie dreht sich nun die Rolle Mni um ihre Axe, wenn der Fahrstift längs der vorgelegten Curve 5 um ds (mit den Com-ponenten dx, dy) verschoben wird? — Der Cylinder wird um

den zur x-Axe parallelen Strahl offenbar um den Winkel

—dy

gedreht, wo L der Halbmesser der Laufräder ist; indem sich diese Bewegung auf die Kugel überträgt, wird dadurch eine

Drehung der Kugel um die X-Axe um den Winkel + —- •

L Kn

erzeugt, wo Cn der Halbmesser des Cylinders und Kn derjenige

cos \ni beträgt, überträgt sich auf die Rolle Mni gar nicht; die andere dagegen, die

der Kugel ist. Diese Rotation ist nur der eine Theil der gesammten Drehung der Kugel; dieser stellt aber, nach 4., zugleich die ganze relative Bewegung der Kugel gegen das System der drei Punkte MnV Mn2, MnS dar. Diese Rotation ist nun äquivalent zwei gleichzeitigen Rotationen um zwei ebenfalls in der Äquatorebene liegende Axen, von denen ich die eine vom Mittelpunkte der Kugel nach dem Punkte Angehend annehme, die andere senkrecht darauf, also nach dem Punkte a = Xm-+90° gerichtet. Die erstere Componente, die dy. Cn

L Kn

dy

Cn

L Kn

cos (X7U--f- 90°) —

dy

Cn

beträgt, überträgt sich auf die Rolle Mni mit ihrem vollen linearen Betrage, da ihre Axe parallel ist der der Rolle Mni. Wir erhalten daher

dy Cn .

d\y>ni — 4---——— sin X7U-.

L Kn

Kn

Mni

Cn

CM ni

sin \Uidy.

Das \ni ist nun eine Function der Abscisse ^ des Punktes, zu welchem das betrachtete Element der Curve gehört. Bezeichnet man nämlich den Wert, welchen die geographische Länge der Rolle Mni dann hat wenn der Fahrstift sich auf der y-Axe befindet, mit Ani, so ist das dem Werte x der Abscisse entsprechende \ni

't'ui —

Hn ’

wo Hn den Halbmesser der Horizontalscheibe des /Aen Integrierapparates bezeichnet; denn es muss ein Drahtstück von der Länge x sich von der Scheibe abgewickelt haben, damit der Fahrstift von x = 0 zu x — x übergegangen sei, und der Sinn der Umwickelung des Drahtes an der Scheibe ist so getroffen, dass sich die Scheibe um die Z-Axe negativ dreht, wenn x wächst. Es ergibt sich also

d[±ni — +

Ctt

LMni

sin

( __ + Ktij dy.

Et fi    '

Die Abmessungen sind nun, bei einem correcten Ana-

(eine Größe von der Dimen-

lysator, so getroffen, dass sion: Länge⁻¹)

Cn

LMni

Cn

LMni

5 mm

und

Hn-

2n%

ist; man hat dann also

d\Lni — +

5 mm

sin

( —2n'izx

"+• Anij dy.

Ferner ist, bei correctem Zustande des Instrumentes, der Anfangswert der geographischen Länge der Cosinusrolle 180°, der Sinusrolle 270°. Es ist somit schließlich

5 mm

sin

2mzx _

-dy

c

5 mm

COS

2mzx _

--dy.

c

Nachdem man die ganze Curve S befahren hat, beträgt die gesammte Drehung der Messrollen

. 2utlX ₇

⁵ mmJs

sin-dy

c

12

5mmJs

cos

2 niix ₇

-dy.

c

An den Axen der Messrollen sitzen nun mit Theilungen versehene Trommeln, welche sich an festen Indices vorbeidrehen. Jede Trommel ist in 100 Theile getheilt, und die Ziffern wachsen, wenn man längs der Peripherie in dem Sinne fortschreitet, in welchem der Winkel gezählt wird; die Ablesung nimmt also bei einer positiven Drehung der Rolle ab. An dieser Trommel kann man die Zehntel und Hundertstel einer Revolution ablesen und die Tausendstel noch schätzen. Neben der Messrolle befindet sich außerdem ein Zählrad, welches in 50 Theile getheilt ist und sich um einen Theilstrich dreht während die Messrolle eine ganze Revolution vollzieht; endlich gibt ein zweites, kleines Zählrad, welches an den vier Theil-punkten seiner Peripherie die Ziffern 0, 50, 100, 150 trägt, an, wievielmal 50 Revolutionen ausgeführt worden sind. Diese beiden Zählräder geben also zusammen die Anzahl ganzer Revolutionen. Ich notiere stets die Ablesung so — hierin dem Vorgänge des Herrn Bervy³ folgend —, dass das Komma nach der Anzahl ganzer Revolutionen gesetzt wird.

Man liest nun die Theilungen der Messrolle Mni vor und nach der Befahrung ab und bildet die Differenz: Endablesung —Anfangsablesung. Ich nenne immer diese Differenz kurz die »Ablesung über die befahrene Curve«. Beträgt dieselbe ani, so ist offenbar

2 7T

also

a*i =

lcm 7C

sin

CO c

2 mzx ₇

-dy

c

a«2. = +

1 cm

⁷¹ Js

COS

2 UTiX _

-äy.

c

Vergleicht man diese Werte mit den Formeln (4), so sieht man, dass

«s «

cm

(5)

ist. Somit ist die Aufgabe des Analysators gelöst.

6. Als Anhang an die obige Theorie des correcten Analysators mögen hier in Bezug auf die Einrichtung des Instrumentes einige nähere Angaben Platz finden, welche für das Spätere von Nutzen sein werden, welche aber oben, wo von der Einrichtung nur das Principielle in Frage kam, übergangen worden sind.

Die einzelnen Integrierapparate des Analysators unterscheiden sich von einander nur durch die Durchmesser ihrer Scheiben ; dieser Durchmesser ist dem n umgekehrt proportional. Herr Coradi ordnet nun oberhalb jeder Scheibe coaxial eine zweite Scheibe an, mit entsprechend kleinerem Durchmesser, so dass, wenn der Draht von den unteren Scheiben weggenommen und auf die oberen verlegt wird, gleichsam neue Integrierapparate in Thätigkeit gesetzt werden: der erste Integrierapparat fungiert nunmehr als der (£-bl)te, der zweite als der (Æ + 2)te,..., der k-te als der (2&)te, wenn k die Anzahl der vorhandenen Kugeln bedeutet. Auf diese Weise besteht also z. B. bei unserem Instrumente, das 3 Kugeln besitzt, der erste Integrierapparat aus der zugehörigen Glaskugel, dem Cylinder, den Messrollen und der unteren Horizontalscheibe; der vierte aber aus derselben Kugel, Cylinder, Messrollen und der oberen Horizontalscheibe. Es besitzt daher jeder nach diesem Typus gebaute Analysator eigentlich N — 2k Integrierapparate, wovon allerdings nur die Hälfte gleichzeitig functioniert, so dass die Bestimmung höherer Glieder eine nochmalige Umfahrung der Curve erfordert. —

Über der hinteren Längsleiste des oberen Gerüstrahmens liegen die drei Doppelscheiben; an jedem der beiden seitlichen Querstäbe desselben sind in ähnlicher Weise je zwei Leitrollen angebracht, die hintereinander liegen und sich um verticale

Axen drehen. Der obere Theil des Wagens trägt, etwa in der Höhe der Leitrollen und Scheiben, ebenfalls zwei Rollen auf verticalen Axen, die sich aber bei der regelmäßigen Benutzung des Instrumentes nicht drehen. Die eine davon ist die »Vorrathsrolle«; auf dieselbe wird das nach dem Anlegen des Drahtes übrigbleibende Stück aufgewickelt, sein Ende durch eine in dem Rande der oberen Rollenbacke befindliche Öffnung hindurchgelassen und an dieser Backe festgeschraubt. Vermöge der Verzahnung des Randes der unteren Backe und eines ebenfalls an dem Wagen angebrachten federnden Daumens, der zwischen die Zähne einspringt, bleibt die Vorrathsrolle dauernd gehemmt; sie kann aber nach Zurückziehung des Daumens um einen oder mehrere Zähne gedreht werden und dient auf diese Weise also auch zum Spannen des Drahtes. Die zweite der Wagenrollen liegt hinter der Vorrathsrolle und ist eine Leitrolle.

Verfolgt man nun den Verlauf des Drahtes von der Vorrathsrolle ausgehend, während das Instrument auf die Bestimmung der drei unteren Glieder eingerichtet ist, so ist er der folgende. Der Draht bildet die linksliegende äußere gemeinsame Tangente der beiden Wagenrollen; umwickelt die Wagen-Leitrolle (in dem negativen Sinne), längs etwa ³/₄ ihrer Peripherie; bildet die vornliegende äußere gemeinsame Tangente der Wagen-Leitrolle und der vorderen linken (Gerüst-) Leitrolle, wobei er genau parallel zur Führungsrichtung des Wagens liegt. Dann verläuft er über die beiden linken Leitrollen, über die drei von links nach rechts aufeinanderfolgenden Scheiben des 3*en? 2ten und lten Integrierapparates, und über die vordere rechte Leitrolle; er bildet dabei zwischen den beiden linken Leitrollen ihre linksliegende äußere gemeinsame Tangente, zwischen der hinteren linken Leitrolle und der nächsten Scheibe, sowie zwischen der äußersten Scheibe rechts und der vorderen rechten Leitrolle die innere, zwischen je zwei Scheiben aber die vornliegende äußere gemeinsame Tangente, und berührt die linken Rollen längs je etwa ¹/₄, die rechte längs etwa y₂, die Scheiben dagegen (an denen er im positiven Sinne verläuft) längs je etwa einer vollen Peripherie. Von der rechten Leitrolle aus bis zu seinem anderen Befestigungspunkte an dem Wagen liegt er wieder parallel zur Führungsschiene. Die

Befestigung ist hier in der Weise ausgeführt, dass an diesem Ende des Drahtes eine Öse gedreht und diese Öse auf den Hals eines in den oberen Theil des Wagens eingeschraubten kleinen Bolzens aufgesteckt ist.

Ist das Instrument dagegen auf die Bestimmung der höheren Glieder eingerichtet, so treten in dem obigen Verlaufe an Stelle der unteren die oberen Scheiben auf; außerdem aber wird dann zwischen die äußerste Scheibe rechts und die vordere rechte Leitrolle, um eine möglichst geradlinige Führung des Drahtes zu erzielen, noch die hintere rechte Leitrolle eingeschaltet. Der Draht bildet dabei zwischen der erwähnten Scheibe und der hinteren rechten Leitrolle ihre innere, zwischen dieser und der vorderen rechten Leitrolle ihre rechtsliegende äußere gemeinsame Tangente und berührt diese beiden Leitrollen längs etwa je Yi ihrer Peripherien. Da ferner in diesem Falle der Draht auch an sämmtlichen Leitrollen etwas höher zu liegen kommt als in dem früheren, so besitzt die Wagen-Leitrolle um ihre Mantelfläche eine untere und eine obere Nuth für den Draht; ebenso muss in dem letzteren Falle der Schraubenbolzen, welcher das andere Drahtende festhält, in die obere Mutter eingeschraubt sein. —

An seinem unteren Theil trägt der Wagen vorne eine dicke, längliche, horizontale Metallplatte; durch eine Längsspalte in dieser Platte ist die verticale Röhre hindurchgelassen, in welcher der Fahrstift eingebettet ist. Die Röhre kann in der Spalte nach links und rechts (und nur in dieser Richtung) verrückt und dann in der gewählten Stellung an der Platte festgeklemmt werden. Ist also das Zusammentreffen der Stellung des Wagenindex auf dem Theilstriche 0 der oberen Schiene mit der Stellung der Fahrstiftspitze auf derjy-Axe der Zeichnung nicht durch die Aufstellung des Instrumentes ‘ bereits genau erreicht, so kann es vermöge dieser Einrichtung herbeigeführt werden, ohne dass es nöthig wäre, die Aufstellung des Instrumentes zu ändern. Der Fahrstift selbst ragt aus der Röhre oben und unten heraus, ist oben knopfförmig erweitert, unten zugespitzt, und kann in der Röhre frei gedreht sowie gehoben und gesenkt werden. Die Spitze soll nicht direct das Papier berühren, sondern etwas darüber schweben. Um nun das

Herabfallen des Fahrstiftes auf das Papier zu verhindern und ihn höher oder niedriger über dem Papier stellen zu können, ist folgende Einrichtung getroffen. An den Fahrstift wird, etwas oberhalb der Spitze, eine kurze, bloß durch Reibung daran festsitzende Hülse aufgesteckt, welche mit einem seitlichen, unten abgerundeten Fuß versehen ist. Mit diesem Fuße stützt sie, vermöge des Gewichtes des Fahrstiftes, sich auf das Papier. —

Der in der Theorie erwähnte quadratförmige Rahmen des Integrierapparates besteht aus einem unteren und einem oberen Rahmen, welche durch Säulen mit einander verbunden sind. An passender Stelle des unteren Rahmens befindet sich der Drehungspunkt eines rechtwinkligen Winkelhebels, des »Stützrollen-Hebels«. Der eine, nach oben gehende Arm dieses Hebels hat etwa die Form einer kurzen (geschlossenen) Gabel, in welcher quer die Axe der Stützrolle eingesetzt ist. Der andere Arm ist in einen Celluloidring ausgebildet, der den unteren Theil der Kugel umgibt ohne sie zu berühren, und hat als seine Verlängerung über den Drehungspunkt hinaus einen Flügel; über dem letzteren befindet sich ein in einem Vorsprung des Rahmens eingebettetes Schräubchen, durch welches man den Flügel niederdrücken oder freilassen, also den ganzen Stützrollen-Hebel drehen kann. Der obere Rahmen des Integrierapparates hat als innere Begrenzung wieder einen Celluloidring.

Ist nun das Instrument in gebrauchsfertigem Zustande, so ist das Schräubchen hinaufgeschraubt, der ringförmige untere Hebelarm ist gesenkt und lässt die Kugel frei, die dann den Cylinder berührt, und drückt durch sein Gewicht die im anderen Hebelarme eingesetzte Stützrolle an die Kugel an. Nach Gebrauch des Instrumentes hebt man vermittels des Schräubchens den unteren Ring empor, wobei gleichzeitig die Stützrolle sich von der Kugel entfernt; der Ring nimmt die Kugel auf, welche, indem sie sich auf ihn legt, von den Messrollen wegrückt; dann hebt er die Kugel solange empor, vom Cylinder weg, bis sie den Celluloidring des oberen Rahmens erreicht und so zwischen den beiden Ringen festgehalten bleibt.

Die Fehler des Instrumentes.

h — d C0 -+- wT( ( C2 Co) flo)

TIlvVfT

Mittels der genannten Bezeichnungen hat man die be

Berechnung. Aus den Beobachtungen bei »Schiene 22*

[(Ax„);;-2(Axł„);;] - pAx^r^AX^r]-

tf + 2, ... .

¹

Euler war der erste, welcher die Ausdrücke der Coefficienten einer solchen Reihe angegeben hat; dies geschah in einer Abhandlung vom Jahre 1777, welche in den Acta nova Acad. Scient. Petrop., XI. Bd., 1798, veröffentlicht wurde. Trotzdem behalte ich die Bezeichnung »Fourier’sche Reihe« bei, in Anbetracht der Thatsache, dass Fourier der erste war, welcher die ausserordentliche Bedeutung und Anwendbarkeit dieser Reihen erkannt hat, und mit Rücksicht darauf, dass diese Bezeichnung üblich ist.

²

Bei einigen anderen Exemplaren des Analysators beträgt diese Zahl 400.

³

Sur un analyseur harmonique. Annales de l’Observatoire Astronomique de Moscou, 1896.

Die Fehler des Instrumentes.

7. Der Gegenstand meiner bisherigen Ausführungen (1. bis 5.) war die Theorie des correcten Analysators, und diese Ausführungen enthalten im wesentlichen nichts neues gegenüber der bereits vorhandenen Literatur des Analysators. Diese Literatur ist übrigens bis heute sehr spärlich, was sich wohl einfach dadurch erklärt, dass das Instrument immer noch eine ziemlich recente Erfindung ist und bis jetzt nur in wenigen Händen sich befindet. Sie besteht in der Hauptsache aus zwei Publicationen. Erstens wurde vom Constructeur Coradi eine kleine Begleitschrift zu dem Instrumente herausgegeben unter dem Titel: »Der Harmonische Analysator« (Zürich 1894); sie enthält in ihrer ersten Hallte die Theorie des Analysators, verfasst von Prof. 0. Henri ci, in der zweiten einige auf die praktische Verwendung des Instrumentes bezügliche Bemerkungen von Herrn Coradi. Zweitens ist ein Aufsatz von Herrn Bervy zu erwähnen, unter dem Titel: »Sur un analyseur harmonique«, im Jahre 1896 in den »Annales de l’Observatoire Astronomique de Moscou« erschienen.

Die Frage nach den Instrumentalfehlern des Analysators und den Methoden ihrer Berücksichtigung ist bis jetzt noch sehr fragmentarisch bearbeitet. Eine eingehendere Behandlung haben nur zwei Fehlerquellen erfahren. Schon in der oben erwähnten Coradi’schen Schrift wurde auf die »Excentricität der Kugel« hingewiesen, d. h. den Umstand, dass die Um-drehungsaxe des Rahmens des Integrierapparates (welche hierbei durch den Mittelpunkt des Cylinders gehend vorausgesetzt wird) nicht genau durch das Centrum der Kugel geht. Zugleich wurde auch schon in dieser Schrift angegeben, dass und wie der Einfluss dieses Fehlers auf das Resultat der Analyse durch eine einfache Maßnahme aufgehoben werden kann. Ich komme an der geeigneten Stelle eingehend darauf zurück.

Ferner hat Herr Bervy in seiner Abhandlung eine andere Fehlerquelle behandelt: die Ausziehung des Drahtes durch die Kraft der führenden Hand. Das Stück des Drahtes, welches hinter dem Fahrstift liegt und einerseits durch denselben, andererseits durch die Scheibe Hn begrenzt ist, ist infolge

dieses Umstandes ausgezogen; wäre der Draht unausziehbar, so würde sich für dieselbe Stellung x des Fahrstiftes schon ein längeres Stück von der Peripherie der Scheibe abgewickelt haben müssen. Da diese Verlängerung eine lineare Function des x- ist, so macht Herr Bervy dafür den Ansatz — in unserer Bezeichnungsweise —

Ki = (* + 1)-2

--h An -bBn x

(i = 1, 2),

wo An,Bn Instrumentalconstanten sind. Auf die weitere Behandlung des Einflusses dieser Fehlerquelle kommen wir wieder später zurück. —

Ich habe mich nun mit diesen Fragen eingehend beschäftigt und versucht, eine möglichst vollständige Theorie des fehlerhaften Analysators zu construieren.

Ich habe dabei zunächst eine Liste der in Betracht kommenden Fehlerquellen aufgestellt, welche, wie ich glaube, als vollständig angesehen werden kann. Diese einzelnen Fehlerquellen sollen hier jetzt der Reihe nach untersucht werden. Alle Fehler werden dabei als klein von der ersten Ordnung angenommen, und Größen zweiter Ordnung werden vernachlässigt. Demgemäß werden auch immer, bei Betrachtung einer Fehlerquelle, die übrigen außeracht gelassen.

In den folgenden Betrachtungen werden behandelt zuerst die verschiedenen »Orientierungs- und Positionsfehler«, d. h. solche, die die gegenseitige Lage der einzelnen Organe des Instrumentes betreffen; darauf die »metrischen« Fehler, die sich auf Dimensionen beziehen; zuletzt die »Fehler des Anfangszustandes«. Ferner kommen außer den genannten Fehlerarten,, die man als »geometrische« bezeichnen könnte, noch gewisse physikalische Fehlerquellen in Betracht (wie Einflüsse der Temperatur, Ausziehung des Drahtes), die in einem Schlussparagraph besprochen werden sollen.

D*as Coordinatensystem oxyz wird, in dem ganzen Abschnitte »Die Fehler des Instrumentes«, in folgender Weise definiert.

Nachdem das Instrument aufgestellt worden ist, gilt die Unterlage des Instrumentes als die Ebene xy. Die ^-Richtung ist die, in welcher der Fahrstift sich verschiebt, wenn er bei nichtrollendem Instrumente längs der Schiene im Sinne wachsender Schienenablesungen bewegt wird; die ^/-Richtung ist die, in welcher das Instrument sich beim Rollen bewegt. Die £-Axe ist die nach oben gehende Normale der Ebene xy. Es wird in diesem Abschnitt noch angenommen, dass die Schiene parallel der Umdrehungsaxe der Laufräder ist; das System xy ist daher ein rechtwinkeliges, und es soll die ^-Richtung von der ^-Richtung um -t-90° abgelenkt sein. Der Anfangspunkt o wird in einem beliebigen Punkte derjenigen Geraden angenommen, welche der Fahrstift beschreibt, wenn der Index auf dem Theil-strich 0 der Schienentheilung steht und das Instrument rollt. —

Wirkungen der einzelnen Fehlerquellen.

8. Wir nehmen wieder, für jeden einzelnen (den ^ten) Integrierapparat, ein zum Gerüste des Instrumentes festes Coordinatensystem OXYZ an; dieses System verschiebt sich also nur beim Rollen des Instrumentes. Als Anfangspunkt 0 nehmen wir den Schnittpunkt der Umdrehungsaxe des tAen Rahmens mit derjenigen horizontalen, d. h. zur Unterlage parallelen, Ebene, welche (in der Anfangsstellung des Instrumentes) den Mittelpunkt der Kugel enthält. Die Axen OX, OY, OZ führen wir parallel den Axen ox, oy, oz.

Wir bezeichnen als die »geographische Länge«, Xm-, des Berührungspunktes der Rolle Mnt mit der Kugel, die Ablenkung in der XY- Ebene des von 0 nach dem Berührungspunkte gerichteten Strahles von der Axe OX. Mit (xni bezeichnen wir die Drehungsphase der Rolle Mni um ihre Umdrehungsaxe, die wir als im Sinne der wachsenden geographischen Längen gehend betrachten, womit der Sinn, in welchem die Drehungsphase gezählt wird, schon definiert ist; die Anfangs-Phase, von welcher aus sie gezählt wird, brauchen wir nicht festzusetzen.

9. Nehmen wir zuerst an, die Rolle Mni sitze zwar senkrecht auf ihrer Axe, diese Axe aber besitze einen kleinen Azimutalfehler, a; d. h., sie sei von dem Radiusvector des Berührungspunktes um den Winkel +90° + a anstatt um q-90° abgelenkt. Bei einer Verschiebung des Fahrstiftes parallel zur x~Axe wird dieser Umstand offenbar keinen Einfluss haben: der Rahmen wird sich um die Z-Axe genau so drehen, wie bei correctem Analysator, und es wird auch keine Drehung der

Rolle um ihre Axe hervorgerufen werden. Bei einer Verschiebung des Fahrstiftes parallel der y-Axe dreht der Antrieb, welchen der momentan in Be-

Fig- 3.

rührung mit der Rolle befindliche Punkt der Kugel durch seine (verticale) Verschiebung ausübt auf dieMessrolle, dieseletztere genau so, wie er eine Rolle (in der Figur punktiert gezeichnet) drehen würde, welche, die Kugel in demselben Punkte berührend und ihre Umdrehungsaxe gleichfalls senkrecht zu ihrer Ebene habend, frei vom Azimutalfehler der Axe

wäre; die Messrolle dreht sich also um einen Winkel d[xni, der gegeben ist durch die Relation

Mni. d^ni = Ku sin lni. (-A. dŁ übereinstimmend mit dem Falle des correcten Analysators.

d\n — —n

10. Betrachten wir ferner den Fall, dass die Umdrehungsaxe, auf welcher die Messrolle rechtwinklig aufgesetzt ist, eine kleine Elevation, ß, besitzt; d. h., sie ist in der zum Radiusvector des Berührungspunktes senkrechten Ebene um den Winkel ß von der Tangente des Äquators abgelenkt. (Siehe Fig. 4.) Der Fahrstift werde parallel zur Axe ox um dx verschoben. Die Mittelpunkte der Rollen MnV Mn2, MnS erhalten dadurch eine gemeinschaftliche Drehung um die Z-Axe um den Winkel 2 tu dx

—-—, und erfährt der Mittelpunkt der Rolle Mni die

lineare Verschiebung, in der mit einem Pfeilchen angedeuteten

. Es ist nun nicht ausgeschlossen,

o- 1    /rr Ti/r \ 2mzdx

Richtung, (Kn + Mni)—-— dass dabei die Rolle Mni gleichzeitig um ihre Axe rotiert, indem sie, anstatt die Kugel in die Umdrehung um die Z-Axe vollständig mitzunehmen, auf der Kugeloberfläche theilweise rollt. Indessen wird der Betrag dieser rollenden Bewegung offenbar lediglich von der Verschiebung dx abbängen, dagegen unabhängig sein von dem dabei festgehaltenen Werte desy; eine gleiche und entgegengesetzte Verschiebung dx wird eine gleiche und entgegengesetzte Drehung der Rolle um ihre Axe hervorrufen, auch dann, wenn inzwischen dieser Wert von y sich verändert haben sollte. Daraus folgt, dass der in Rede stehende Einfluss der Elevation auf die Rollenablesung sich im Resultate aufheben wird, wenn bei der Umfahrung der Fahrstift zuletzt in einem Punkte anlangt, welcher das gleiche x wie der Ausgangspunkt besitzt. Wie wir später genau sehen werden, macht die Constatierung dieser Eigenschaft die quantitative Untersuchung der betreffenden Fehlerwirkung überflüssig.

\Y Y

Fig. 4.

Wird aber der Fahrstift parallel der Axe oy um dy verschoben, so wirkt der (verticale) Antrieb, welchen der momentan in Berührung befindliche Kugelpunkt dadurch erhält und

beträgt, nicht wie bei correctem

welcher Kn sin Xni.

Analysator in der zur Axe und zum Radius der Rolle senkrechten Richtung allein, sondern hat noch eine Componente parallel zur Rollenaxe.

Die tangentiale Componente bringt ungehindert die relative

Bewegung des berührenden Rollenpunktes um die Rollenaxe Cji sin Xni

hervor, und da sie Rolle die Drehung

dy.cos ß beträgt, ertheilt sie der

Cn sin Xni cos ß

LM^i

wo der Coefficient von dy bis auf Größen zweiter Ordnung der Elevation gleich ist demjenigen bei correctem Analysator.

d[Xni —

dy,

Die in der Richtung der Umdrehungsaxe wirkende Com-ponente dagegen kann keine Drehung der Rolle um die Axe verursachen, sondern wirkt auf die Axe selbst. Man kann sie sich wieder zerlegt denken in eine horizontale und eine verticale Componente. Die erstere würde dahin wirken, den Rahmen um. die Z-Axe zu drehen; sie kann aber nicht zustande kommen, denn diese Bewegung würde, da die Stellung des Fahrstiftes durch die führende beziehungsweise haltende Hand fest bestimmt ist, die Überwindung des Ausziehungswiderstandes des Drahtes erfordern, welcher Widerstand viel größer ist, als die im Falle der Unterdrückung dieser Bewegung entstehende Rotationsreibung¹ der Kugel an dem Cylinder. Die verticale Componente, die übrigens von Haus aus klein von der zweiten Ordnung ist, sucht die Axe beziehungsweise den Rahmen in die Höhe zu heben und wird durch die Bauart des Integrierapparates vernichtet.

11. Nehmen wir jetzt an, die Umdrehungsaxe der Rolle liege richtig, die Rolle selbst aber sei schräg auf ihr befestigt; nämlich, die Normale der Rolle bilde einen kleinen Winkel y mit der Axe. In diesem Falle wirkt der Antrieb, welchen bei der Verschiebung dy des Fahrstiftes der momentan in Berührung befindliche Kugelpunkt auf den berührten Punkt der Rollenperipherie ausübt, stets in der zur Umdrehungsaxe (und zum Berührungsradius) der Rolle senkrechten Richtung, wie die momentane Drehungsphase der Rolle auch sein mag. Diese Bewegung bringt also nur eine Drehung der Rolle um ihre Axe

Cn sin \nidy

hervor, und zwar die, welcher die lineare Verschiebung des Berührungspunktes um

entspricht, wie bei correctem Analysator. Hierin ist \ni die geographische Länge des Berührungspunktes. Diese ist nun

¹ Man kann neben die beiden üblichen Begriffe der »Gleit-« und »Rollreibung« noch einen dritten, der »Rotationsreibung« stellen. Ich verstehe darunter die Reibung, welche zustande kommt, wenn von zwei sich in einem Punkte berührenden Körpern der eine eine relative Rotation gegen den anderen ausführt, deren Axe auf der Tangentialebene im Berührungspunkte senkrecht steht.

offenbar in unserem Falle, entgegen dem des correcten Analysators, von der Drehungsphase der Rolle abhängig. In einem gegebenen Augenblicke bilde die Ebene, welche die Um-drehungsaxe und deren Projection auf die Ebene der Rolle enthält, den Winkel mit der Ebene, welche die Umdrehungs-axe enthält und der Z-Axe parallel ist. Dann ist \ni eine Function von und kann daher nur für bestimmte Werte von à den 2 mzx

richtigen Wert Ani graphische Länge des Mittelpunktes der Rolle mit

haben. Bezeichnen wir die geo-

2 UTZX

wo g eine Constante ist, so ist die geographische Länge des Berührungspunktes

2 mzx

4- G 4- AX,W-,

wo A\ni eine Function von ist. Das constante Fehlerglied, o, wird sich, wie man sieht, vereinigen mit einem »Fehler des Anfangszustandes«, nämlich der Verschiedenheit des Anfangs-

TT

wertes Ani der geographischen Länge der Rolle von (z’4-1) —,

einer Fehlerquelle, die späterjafürsich berücksichtigt werden soll; der Einfachheit halber lasse ich also dieses Glied schon hier fort.

Will man nun den der obigen linearen Verschiebung entsprechenden Drehungswinkel finden, so muss man berücksichtigen, dass der Arm dieser Verschiebung, d. h der Abstand ihres Angriffspunktes von der Umdrehungsaxe, in unserem Falle nicht gleich Mni ist: mit ändert er sich. Man sieht indessen durch Betrachtung seiner extremen Werte sofort, dass diese Variationen nur von zweiter Ordnung, also zu vernachlässigen sind. Man erhält also für die Drehung der Rolle, wenn man noch den Ausdruck für \ni einsetzt,

Cn

LMni

sin | A,„-

2 mzx

-----1- A\ni j" dy

Cn

AAfjii

sin ( Ani

2mzx\ ,

Cn

LMni

cos ! A

2 mzx

-.....-) dy.Mni.

genau so, wie bei correctem Analysator. Ich bemerke übrigens, dass durch eine Maßnahme beim Analysieren, welche zur Elimination einer anderen Fehlerquelle dient und von welcher später (24.) die Rede sein wird, auch das soeben betrachtete Fehlerglied mit eliminiert wird.

Wird dagegen der Fahrstift verschoben parallel zur x-Axe um dx, so wird der Rahmen um die Z-Axe gedreht. Jede Rolle erhält dadurch einen Antrieb parallel zu ihrer Umdrehungsaxe, und es ist klar, dass dabei ihre schräge Befestigung auf dieser Axe weder ihre Lage in der ATY-Ebene irgendwie alterieren, noch eine Drehung um diese Axe verursachen kann.

12. Betrachten wir jetzt den Fall (siehe Fig. 5), dass der Cylinder Cn ¹ schräg auf seiner Axe (auf seiner Walze) befestigt ist, so dass seine geometrische, d. h. zu den Erzeugenden parallele Axe mit seiner Umdrehungsaxe einen kleinen Winkel s bildet. Da bei correctem Analysator der Mittelpunkt des Durchschnittes des Cylinders durch die YZ-Ebene — diesen Punkt nenne ich den Mittelpunkt des Cylinders — auf der Umdrehungsaxe des Cylinders liegt und infolge dessen durch die Z-Axe getroffen wird, so hat man auch hier anzunehmen, dies

In der Figur ist der Cylinder der Deutlichkeit halber übertrieben lang

gezeichnet.

Das zweite Glied rechts ist das Fehlerglied. Der erste Factor (bis zum Punkte) in demselben ist, ebenso wie das vorhergehende Glied, von der 0ten Ordnung. Der zweite Factor, A\ni, erreicht seinen größten Wert, wenn = 90° ist; er beträgt Mn$

Kn

scheint hier noch mit dem kleinen Factor

aber dann nur

. Die kleine Größe erster Ordnung ß er-Mni

Kn

multipliciert.

Man kann sich infolge dessen erlauben, die Größe A\ni, obwohl sie nicht im strengen Sinne des Wortes als eine Größe zweiter Ordnung bezeichnet werden kann, zu vernachlässigen. Dann hat man

d^m —

c„

LMni

sin

— 2 nnx

+ A„ijdy,

sei der Fall. Man lege nun durch den Mittelpunkt des Cylinders ein rechtwinkliges Coordinatensystem CniyjC, parallel dem Coordinatensystem OXYZ\ dann ist X = £, Y — yj, Z — Ç—h, wo h die Höhe des Kugelmittelpunktes über dem Cylinder-mittelpunkte bezeichnet. Bei der Fahrt parallel der Axe oy wird die geometrische Axe des Cylinders um die £-Axe einen Kegel beschreiben. Nennen wir diejenige Lage der Cylinderaxe, in welcher sie in der SC-Ebene liegt und von links oben nach rechts unten geht, ihre Anfangslage; den Winkel, um welchen der Cylinder von dieser Anfangslage aus gedreht werden müsste

Fig. 5.

im Sinne von der Ç- gegen die yj-Axe, um die im gegebenen Augenblicke (siehe Fig. 5) stattfindende Lage einzunehmen, bezeichnen wir mit cp. Die Richtung der Cylinderaxe ist also vollständig definiert durch die Winkel s (constant) und cp (veränderlich).

Für einen bestimmten Wert von cp, sind die Coordinaten £₀y]₀C₀ des Berührungspunktes des Cylinders mit der Kugel, die Höhe k des Kugelmitttelpunktes, sowie die Verrückung dl, welche der momentan in Berührung befindliche materielle Punkt des Cylinders erfährt bei weiterer Drehung des Cylinders um dcp, bestimmt; die Drehung der Kugel, welche erfolgen wird, ist die, welche ihr ertheilt wird durch die in die Tangentialebene der Kugel fallende Componente der Verrückung dl des Cylinder-

punktes; die zur Kugel senkrechte Componente dieser Verrückung hat auf die Drehung der Kugel keinen Einfluss.¹ Nehmen wir vorläufig an, die £₀, tj₀, £₀, ^ seien für das gegebene cp bereits berechnet; man kann schon im Voraus bemerken, dass es jedenfalls sein wird £₀ = [s-¹], Y]₀ = [e-¹], C₀ = C₇,+ [£=*], ä—C₀ = Kn-bfe-¹], wo jedesmal unter [sv] Glieder von vter Ordnung des s verstanden werden. Die Verrückung dl ist ein Vector, dessen Componenten längs der Axen £y]£, wie leicht einzusehen, folgende sein werden:

Wi= A (dl)₂ = ^d*=^-dy, (dl) ₃ =

wir haben zu bilden die Projection dieses Vectors auf die gemeinsame Tangentialebene im Punkte £₀y]₀C₀ zum Cylinder F(£YjCcp) = 0 und zur Kugel    = 0, also auf die Ebene,

deren Normale, wenn man statt der Symbole der partiellen Differentiationen die Coordinaten als Indices schreibt, die Richtungscosinusse

V/?+/?+/? ’ V/fVfi+A²+fi

hat, wobei man sich in den obigen Ausdrücken nach der Differentiation die Werte £ = £₀, tj = 7)₀, C = £₀ eingesetzt zu denken hat. Wie aus den elementarsten Sätzen der Vectorenrechnung leicht zu folgern, besteht, wenn ein Vector p = P\i+V₂j~irP?fc die Projection eines Vectors a = a₂j+ask auf eine zu dem Einheitsvector v = v₁/-hv₂y+v₃^ senkrechte Ebene ist, zwischen den Einheitsvectoren 7r und ä der beiden Vectoren j? und ä die Relation²

. iz Väv,

wo a den Einheitsvector des Vectors 5 = Vva bezeichnet; also die Componenten des Vectors ir sind

*1 = ³2V3— V₂ =

_(V3ai—Via3)V3— (V1 a2—'^«l) V2 _ _

V(V3Ä1 V1 a3)²    (V1 *2 V2ai)² + (V2a3-V3a2)²

(V3^1    V1^3)V8    (V1^2    V2^l)V2

V (V3ai ~ Vias)² + (Vl«2-V2^l)² + (V2ß3-V3«2)²

_ (V3gl~Vlgä) V3— (V1^2-V2^i)V₂

Sät

7t₂ =

(Via2-V2^i)Vl—(V2Æ3 —V3^)V3

S<37U

*3 =

(V2a3—V3aä)V2 (V3ai Vias)Vl .

SaTc

die Projection p selbst aber ist dann gegeben durch p — ii.Särc oder durch die Componenten

Pl = (V3«l—V1Ö3)V3—(Vlß2—V2öl)V2>

- (V1^2 V2“7l)Vl (^2^3

^3 = (V2ß3—V3a₂)V2—(V3ai—Vlß₃)Vr

Die Tangentialverrückung des betrachteten Cylinderpunktes ist demnach ein Vector mit den Componenten auf den Axen xyz:

dy

dy

P2 — ~Ar~ Kfl+AA₀+frfc%l .

)L

dy

wo der Kürze halber f anstatt    geschrieben wurde.

Sich dem anstoßenden Kugelpunkte, dessen Coordinaten X₀ — £₀, Y₀ — Yj₀, Z₀ = C₀—Ä sind, mittheilend, würde diese Verrückung eine Drehung ÿ der Kugel um ihren Mittelpunkt hervorbringen,

'0

Kl

ein Zustandekommen der componenten Rotation um die Z-Axe, '/z, kommt hier nicht in Betracht, da der Wert von x festgehalten wird; dagegen übertragen sich auf die Rollen die beiden übrigen componenten Drehungen, um die X- und um die Y-Axe, welche sind

Kl

J hoPs~ (Co“Ä)^2( =

dy

" ua f

2T {^o[(^a+-/?)⁷lo⁺A/iCo] ⁺ (^~^o)[(/4²"f‘/s²)^o+/^/s⁷lo]| >

Xr =

2 I (Co h)Pl    ^0 Ps I —

4 | (*-Co)[/ł/,Co-/t/cTJo] + ^o[(y?+/l)lo+/r,/ïCo]|

AI

Infolge dieser Drehungen dreht sich die Rolle Mni um ihre Axe um den Winkel

Kr

d\y>ni —

M~ C0S    cos ^«*1*

Die Werte £₀.7)₀, C₀, ä hat man selbstverständlich zu finden als die gemeinsame Lösung der vier Gleichungen

A(^7]Çcp) zz 0

/(^r;CÄ) = 0

CO CO.

co co

co

co

<TV

^ *UJ> CO co

s=*

CO CO

CO co

mit anderen Worten, der vier Gleichungen

*W<p) = o

(6)

/(SijCÄ) = 0-    f

a² (yi² +/,² +/|) = y? (A|++ad b a| cfl +/? +y?) = y? ( ai+a,;+ad )

Nun ist aber

i'XêïjC'p) = £² sin²©-H7J²[1 — sin²cp sin²s]4-C²[l—cos²cp sin²s] — 2vjC sin cp cos cp sin²s4-2C£ cos cp sins coss-f-4-2 £*/] sin cp sins coss — C²,

JWh) - £²+Y]² + Ca—2ÄC+Äa-iTn⁸,

i<4 = 26 sin³s + 2C coscp sins coss + 2ï] sincp sins coss,

Â = 2i,

Fr — 27] ( 1 —sin²cp sin²s)—2£ sin cp coscp sin²s + 2£ sin cp sin s coss,

fT{ — 2vj,

Fç = 2C( 1— cos²cp sin²s)—2y] sin cp coscp sin²s + 2£ coscp sins coss, A = —2(h — C),

und daher

F² = 4Ç² cos²cp sin²s-h8v]C sin cp coscp sin²s + [s=⁴],

F² = 4ïj² — 8y]C sin cp coscp sin²s + 8£ï] sin cp sins+[s=⁴],

F² = 4C²(1 — 2 cos² cp sin²s) — 8rjC sin cp coscp sin²s +

+ 8££ coscp sins + [s=⁴];

die dritte und die vierte der Gleichungen (6) werden daher (unter Berücksichtigung der zweiten): die dritte zu

16(C² cos²cp sin²s-h27jC sin cp coscp sin²s)F| = 16£²£² + [s=⁴]

oder

C².Kn cos²cp sin²s = C².^²4-[s=⁴],

woraus man sieht, dass £ von der ersten Ordnung ist [so dass in den Ausdrücken für F², Fr², F² jetzt das Zeichen ^ im Exponent fortgelassen werden kann], und die vierte zu

16(y]²—2ïjC sin cp coscp sin² s + 2 $7j sin cp sins) F² = 1 6yj²£² + [s-⁴] oder (da wir jetzt aus der ersten Gleichung (6) sehen, dass C² = C² + [s²] ist)

7]². (Kn — C²) — 2 Tj [Cn K'n siii cp cos cp. sin² s — F| sin cp. £ sin s] — [s⁴],

woraus man sieht, dass yj von der zweiten Ordnung ist. Wir sehen jetzt, wenn wir noch die aus der zweiten Gleichung (6) sich jetzt ergebende Folgerung /z —£ = Kn + \s²] berücksichtigen, dass die Ausdrücke in den geschwungenen Klammern der Formeln für yx und yY gleich sind beziehungsweise

+ 4C„F|+[s²] und [s³].;

das f im Nenner ist == 4/v₇f; wir erhalten somit schließlich

sin Kidy,

Cn

LMni

wobei in dem Coefficient von dy nur Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt sind.

Außerdem findet bei dem zur Axe oy parallelen Verschieben des Instrumentes noch eine andere Erscheinung statt: die, dass die Kugel als Ganzes abwechselnd steigt und sinkt. Dies bewirkt in jedem Augenblicke eine Drehung der Rollen um ihre Axen; da wir aber hier nicht mit einer Drehung der Kugel, sondern mit ihrem Fortschreiten als Ganzes, zu thun haben, ist klar, dass der Einfluss auf die Rollen unabhängig ist von deren geographischen Längen, also davon, bei welchem Werte von * dieses zur Axe oy parallele Verschieben ausgeführt wird. Aus dieser Bemerkung folgt, dass dieser Fehler sich im Resultate aufheben wird, wenn bei der Umfahrung man zuletzt in einem Punkte anlangt, welcher das gleiche y wie der Ausgangspunkt hat.

Es bleibt noch übrig, den Einfluss der schrägen Anbringung des Cylinders während eines Verschiebens des Fahrstiftes parallel der Axe ox zu untersuchen. Infolge der schiefen Stellung des Cylinders befindet sich der Stützpunkt der Kugel auf dem Cylinder etwas abseits von der durch den Mittelpunkt der Kugel gehenden Verticalen; wird also der Rahmen um einen 2 Ti dx

Winkel to = —n----gedreht, so wird der Kugel durch die

Rollen der Antrieb zur Rotation in einer Ebene mitgetheilt, welche nicht senkrecht sondern geneigt steht zur Verbindungslinie ihres Mittelpunktes mit ihrem Stützpunkte auf dem Cylinder. Ich zerlege diese Rotation w um die Z-Axe auf zwei Rotations-axen, deren eine, b, vom Mittelpunkte nach dem dem Stützpunkte gegenüberstehenden Punkte der Kugel gerichtet ist, die andere, ay aber nach demjenigen Punkte der Kugel, welcher vom Pole der Axe b, im Sinne von demselben nach dem Pole der Z-Axe, um 90° entfernt ist. Da die Axe b durch den Stützpunkt geht, kann sich die Kugel um diese Axe frei drehen; die Componente oo& der Z-Rotation kommt also ungehindert

zustande; für die componente Rotation toa dagegen ist es, da eine solche Rotation in einer durch den Stützpunkt gehenden Ebene erfolgen und daher einem Gleiten der Kugel auf dem Cylinder entsprechen würde, möglich, dass diese Bewegung, ganz oder zu einem Theile voy₇, durch die Reibung vernichtet wird. Man kann dann die effective Bewegung der Kugel dadurch

darstellen, dass die Kugel erstens vollständig durch die Umdrehung des Rahmens um die Z-Axe mitgenommen wird, zweitens aber noch eine Zusatzbewegung besitzt, die in einer / —2 mzdx

Rotation —=

Vv

sin oj um die Axe a besteht;

dabei bedeutet a den (absolut genommenen) kleinen Winkel zwischen dem Radiusvector des Berührungspunktes Kugel-Cylinder und der abwärts gerichteten Verticalen, und ist Ofgvrgl. — Diese Zusatzbewegung kann die Rollen in Drehung um ihre Axen versetzen, und eben darin besteht der in dem hier betrachteten Falle entstehende Fehler. Nun fällt aber die Z-Componente dieser Zusatzrotation offenbar außer Betracht, schon aus dem Grunde, weil sie zweiter Ordnung ist; ihre andere Componente dagegen ist von der ersten Ordnung und wird, als eine Rotation um eine in der ATY-Ebene liegende Axe, die Rollen in Drehung um ihre eigenen Axen versetzen. Diese Componente hat den Wert

2 rnzdx

sin a cos a,

und sie ist den beiden simultanen Rotationen der Kugel:

2 mzdx

sin a cos a •

\/x\Xy\

um die AT-Axe und

-hv

2 mzdx

sin a cos a •

um die Y-Axe (das Wurzelzeichen bedeutet beide Male den absoluten Wert der Quadratwurzel) äquivalent. Die Drehung der Rolle Mni um ihre Axe, welche infolge davon entsteht, beträgt demnach

(L. Grabowski.)

und wenn man noch berücksichtigt, dass sin a =

Kn

Kn

2 mzdx

sin a cos a-

Xq cos(X;u'-f*90 ) -4- V₀ cosX;z/-

dass cos a — 1 und Y₀ Größen zweiter Ordnung sind, schließlich, dass X₀ — —Kn cos cp sin s + [s³] ist (wie aus X²₀ — Ę — — Kft cos² cp sin² s + [s⁴] hervorgeht), so erhält man für diese Zusatzdrehung der Rolle

Kn 2 n%

Mni

-— cos cp sin s sin \nidx ~ Kn 2 mz

^7/7

v sin s. cos

( - + r«J sin \nidx,

wo rw der Wert von cp für jy = 0 ist. Was den »Reibungs-coefficient« (in gewissem Sinne des Wortes) v anbelangt, so kann zwar nicht behauptet werden, dass derselbe während der Umfahrung constant bleibt; es ist jedoch zum mindesten eine sehr wahrscheinliche Annahme, dass die Schwankungen des v innerhalb enger Grenzen bleiben, so dass sie bei dem kleinen Factor sin s außeracht gelassen werden dürfen.³ Unter dieser Voraussetzung können wir schreiben:

( y    \

(— + r») sin \nidx, \L    !

nl³L

Mni

wo y» und F„ unbekannte Instrumentalconstanten des n Integrierapparates bedeuten und y» von der ersten Ordnung klein ist.

cos

(7)

13. Ich gehe jetzt über zur Betrachtung der Excentricität der Rollen. Die nachstehende Figur ist der Durchschnitt des Apparates mit der durch die Rotationsaxen der Rollen gelegten Ebene. Die Umdrehungsaxe des Rahmens (die Z-Axe), die zugleich auch das Centrum des Cylinders enthält, trifft diese Ebene in einem Punkte, der in der Figur mit 0 bezeichnet ist; diesen Punkt nenne ich das Umdrehungscentrum des Rahmens. Ich nenne für jede Rolle denjenigen ihrer materiellen Punkte, welcher (dauernd) den Schnittpunkt der durch ihre Peripherie gelegten Ebene mit ihrer Rotationsaxe bildet, das Umdrehungscentrum dieser Rolle (in der Figur Uv U₂, t/₃), im Gegensätze

\u<.

./y

‘ lr3

Fig. 6.

zu ihrem Mittelpunkte (dem Mittelpunkte ihrer Figur), der sich in unserem Falle, obwohl ebenfalls in der letzteren Ebene, jedoch außerhalb der Rotationsaxe befindet. Die Umdrehungs-centra der beiden Messrollen und das Umdrehungscentrum des Rahmens sind drei fest miteinander und mit dem Rahmen

verbundene Punkte. Dagegen wird der Mittelpunkt der Kugel K, nicht

wenigstens nicht dauernd^— auf der Umdrehungsaxe des Rahmens bleiben können, sondern eine mit den Drehungsphasen der beiden Messrollen veränderliche Lage außerhalb der Z-Axe einnehmen, weil die Kugel, vermöge der Wirkung der Stützrolle, mit den excentrisch sich drehenden

Messrollen stets in Berührung bleibt.

In den folgenden Betrachtungen der Vorgänge bei einer Verschiebung des Fahrstiftes gebrauche ich außer dem Coordi-natensystem OXYZ noch ein anderes ebenfalls zum Gerüst des Analysators festes Coordinatensystem; außerdem stellenweise ein bewegliches System. Die Ebenen sämmtlicher Rollen sind nämlich fest mit dem Rahmen verbundene Ebenen, die immer durch die Axe OZ gehen und die von der ZAT-Ebene um die veränderlichen Winkel \nV Xn2, Xn3 abgelenkt sind. Nun nehme ich bei Betrachtung einer Verschiebung des Fahrstiftes die Ebenen der Messrollen Mnl1 Mn2 als ZS-, beziehungsweise ZH-Ebene eines sich drehenden Coordinatensystems, gleichzeitig aber die in Bezug auf das Gerüst festgehaltenen Lagen, welche diese Ebenen zu Beginn der betrachteten Verschiebung einnahmen, als C£-, beziehungsweise C^-Ebenę eines festen Coordinatensystems. Der Anfangspunkt ist für alle drei Systeme derselbe, 0; die Axen OZ, OZ, OC fallen zusammen.

Die linearen Excentricitäten der beiden Messrollen seien Aw₁,Aw2. Es werde der Begriff der Drehungsphase [*,„■ dahin präciser gefasst, dass sie den Winkel bedeutet, um welchen sich die Rolle um ihre Umdrehungsaxe (in positivem Sinne) seit dem Zeitpunkte der Anfangsstellung des Instrumentes gedreht hat. Es bezeichne ferner M,„- den Winkel, um welchen in der Anfangsstellung des Instrumentes der umdrehungscentrische Radius vector des Mittelpunktes der Rolle abgelenkt war (in positivem Sinne) von dem zur Z-Axe parallelen umdrehungscentri-schen Radiusvector. Schließlich seien DnV Dn2 die constanten Abstände, in welchen die Um-drehungscentra der Messrollen MnV Mn2 von der Umdrehungsaxe des Rahmens angebracht sind, und hn die constante Höhe der Ebene dieser Umdrehungscentra der Rollen über der Axe des Cylinders.

Dann sind für den Zeitpunkt bestimmter Drehungsphasen \xnV g/;2 der beiden Messrollen die Gleichungen der Rollenperipherien im Coordinatensystem EIIZ:

für die Rolle Mnl :

I (S—Z>„1—sin »«)* + (Z-Ab1 cos u,ny = Mfn 1 H = 0

und für die Rolle Mn2\

f (H—Dni—A„ä sin u„₂)² + (Z—A„ä cos un2)² = M,% ( S = 0,

wenn man, zur Abkürzung, uni anstatt    schreibt; w;„-ist

demnach, sozusagen, die umdrehungscentrische Zenithdistanz des Mittelpunktes. Dadurch, dass die Kugel stets diese beiden Kreise und die Cylinderfläche berühren muss, sind für gegebene Drehungsphasen der beiden Messrollen die Lage E₀H₀Z₀ des Mittelpunktes der Kugel, der Punkt E₁H₁Z₁ in welchem die Berührung zwischen der Kugel und der Rolle Mnl stattfindet, der Punkt E₂H₂Z₂ der Berührung zwischen Kugel und Rolle Mn2, und der Punkt Ej^HryZpr der Berührung zwischen der Kugel und dem Cylinder vollständig bestimmt. Es können also die zwölf Coordinaten in Function der Argumente unl un2 berechnet werden; ebenso können, für die Änderungen dunldun2 dieser Argumente, die Änderungen dE₀ dH₀ dZ₀ der Coordinaten des Mittelpunktes, welche dieselben im beweglichen Coordinaten-system erfahren, berechnet werden. Führt man diese Rechnungen aus, und bezeichnet zuletzt die kleine Constante Dnl—(Kn-\-Mn\) (die bei correctem Analysator 0 ist) mit dni, die kleine Constante Dn2 — (Kn-hMn2) mit dn2, und die kleine Constante hn—(Kn + Cn) mit kn, so findet man die folgenden Ausdrücke:

(8)

—o — du i ~P ^ /; i sin unl + II j

II₀ - dn2 ^ii2 ^112 dl

Z₀ = —kn+II

3,-30 = Kn+II

H, H₀ —-    dn2 A)j3 sin un2 + II

Z-Z₀ =

Kn

Kn -4- Mnl

kn -f-

Kn

Kn + M

— \n cos uia+II ^

7/1    J

> (9)

ü2 üo — dni Ä/;1 sin unl -f- II H₈—H₀ = Kn + II

Z₂-Z₀ =

Kn

Kn+Mn2

kn +

Kn

(10)

Kn+M1l2

A„a cos un2+II

worin II Glieder andeutet, welche constante Coefficienten enthalten, die von zweiter oder höheren Ordnungen klein sind; ferner ist, wie auch unmittelbar aus der Anschauung klar,

Zw—Z₀ —

Xw-X₀ = 0, Yw—Y₀ — —

Kn

Kn + Cn

-y,,

Kn

K„ -+■ C'u

(hn+Z₀),

und daher

Su/—3₀ —

Kn

Kn + Cn

llw-E₀ =

Kn

Kn + Cn

[Ki+A«i sin u,n) sinXB1 +

+ (^,2 + A«2 sin un2) cosXnl] sin \n+ll

[Ki + A«isinw»i)sinXHi +

+ (^«2 + A,«2 sin um) cosX«i] cos \n+II

> (11)

rLw-\ = -K+ 11;

für die Änderungen aber der Coordinaten des Mittelpunktes findet man

(12)

ä^₀- Anl cos uiadunl + II j äIIo = AU2 cos un2 du1l2 + II > dl₀ —11.—    '

a) Betrachten wir zunächst den Fall einer Fahrt des Stiftes parallel zur y-Axe allein. Als das (zum Analysator) feste Coordi-natensystem wollen wir hier das System £y)£ verwenden. Da in dem hier betrachteten speciellen Falle das System SHZ mit dem System £yj£ nicht bloß zusammenfällt, sondern gegen das letztere auch keine Bewegung besitzt, gelten nicht bloß die Gleichungen

(13)

?o =    sin uM+II i

''Io = ^«2+A«2 sin «„,+// '

C₀ = -K+n '    '

Î!-|₀ = Kn+ 11

t]i 7]₀ = —dn2—A„₂ sin Un2+Il

Cl-Co =

Kn

KnĄ-Mnl

kU +

Kn-h Mnl

A,,, COS

u ni-*-a \

y (H)

Zw— C₀ = —Kn -h II, sondern auch die Gleichungen

(17)

Theorie des harmonischen Analysators. »2    ^0 — dnl ^«1 uni

\—flo = Ki + H

Kn

C₂-C« =

kn -T

Kn

(15)

Ki -t- Mii2

K,2 COS U„₂ + II

iw—£₀ =

Kn

Kn + Cn

Kn

Kn + Cn

[(^l+A»lsinw»l)sinX;,l +

+ (4 + i»2 sin «»2)cosX«l]sin X»t+//

[Ki + A«i sin«„₁) sinX,!l +

+ V„₂ -f As sin un2) cos XHl]cos X,tl + 11

>(16)

dio = knl cos unldunlwII | dr\o = \i2 cos un2du1l2 + ll . dZ₀ = II    '

Die infinitesimale Bewegung der Kugel in dem System $7]C, welche erfolgen wird, kann dargestellt werden durch eine infinitesimale Translation m des Mittelpunktes der Kugel, verbunden mit einer infinitesimalen Drehung der Kugel um denselben, w. Hatte zu Beginn dieser infinitesimalen Bewegung der Mittelpunkt die Coordinaten £₀y)₀C₀ und irgendein anderer Punkt der Kugel die Coordinaten C^Cp so erleidet der letztere materielle Punkt der Kugel dadurch eine Verrückung s, deren Componenten (Projectionen)    auf den festen Axen £y]C

Zusammenhängen mit den Componenten m-t = d£₀,    = dr\Q,

— dZ₀ des Vectors m und mit den Componenten toą co-,, oo; des Vectors cö durch die Gleichungen

auf den rechten Seiten dieser Gleichungen können die Werte (17), (14) eingesetzt werden. Derjenige Punkt der Kugel, welcher zu Beginn ihrer infinitesimalen Bewegung die Coordinaten £₂y]₂C₂ hatte, erleidet eine Verrückung t mit den Componenten

¹

   Sie findet ihre volle Berücksichtigung darin, dass wir später die That-sache des abwechselnden Steigens und Fallens der Kugel, oder der Oscillationen des h, in Betracht ziehen werden.

²

   V und S sind Operationssymbole für Vectorialproduct und Scalar-

product.

³

Die Erfahrung bestätigt das, wie sich später zeigen wird.

Die ganz strenge Behandlung dieses Gegenstandes stößt auf große Schwierigkeiten, die theils in den Unvollkommenheiten der Reibungstheorie (z. B. in der mangelnden Kenntnis der Abhängigkeit des kinetischen Reibungs-coefficienten von den Geschwindigkeiten, sowie auch in den verschiedenen Unbestimmtheiten, wie sie in analytischer Behandlung von Reibungsfragen nicht selten auftreten) ihre Quelle haben, anderentheils damit Zusammenhängen, dass es dem mit dem Analysator Arbeitenden kaum möglich sein wird, die physikalischen Eigenschaften der sich berührenden Substanzen und Flächen zu kennen.

h — d C₀ -+- wT( ( C₂ Co)    flo)

tr. — d*f]₀ + ,(C₂ £₀)    ( C₂ C₀)

i't = ^Co-i-W₄(Y]₂-Y]₀)— <0^(Ś₂— £₀).

Derjenige Punkt der Kugel, welcher die Coordinaten w Civ hatte, erleidet eine Verrückung w mit den Componenten

( Wi — d C₀ -b (*)T, ( C yy    Co) \y TQo)

Co)

ir

< w-n =    +

— ^ C₀ d- Wą(y]^    '/j₀)    $o)‘

Es möge nebenbei bemerkt werden, dass man über die Drehung der Kugel von vornherein weiß, dass

o)₄ =

Cndy

LKn

cos Xwl+7, (oTi =

Cfi dy

LKn

sinXÄl4^ = 7

sein wird, wo I Glieder, andeutet, welche mindestens von der ersten Ordnung klein sind; denn bei correctem Analysator ist in dem hier betrachteten Falle

ü)₄ =

Cndy

LKn

cos \nv

0)r —

C'n dy

sin X

LKn

nV

(O; = 0.

Gleichzeitig damit dreht sich der Rollenkreis Mnl in seiner Ebene (tj = 0) um sein Umdrehungscentrum um den Winkel dunv der Kreis Mn2 in seiner Ebene (£ = 0) um den Winkel

—dy

dun2, und der Cylinder um seine Axe um den Winkel -------- •

L

Vermöge der Drehung dunl der Rolle Mnl verrückt sich derjenige ihrer Punkte, welcher zu Beginn dieser Bewegung die Coordinaten €₁vj₁C₁ hatte, um eine Verrückung s' mit den Componenten

S₄ — C idto-nl 4 = 0

( s{ = (Dn—ijdu,,v

Derjenige Punkt der Rolle Mn2, welcher die Coordinaten £₂7)₂£2 hatte, verrückt sich um P mit den Componenten

Ą = 0 P — C₂ ^U n '2 P = (Dn2-^2)dun2•

Derjenige Punkt des Cylinders, welcher die Coordinaten iiv^{iv'C\v hatte, verrückt sich, vermöge der Drehung des Cylinders, um w' mit den Componenten

dy

M = (hn4-Cif)-— sin \nl

— (hn-ł-'Qw)

dy

cos \nl

dy

dy

M    cos X;n—iw—— sinXBl.

Es möge hiebei bemerkt werden, dass man im voraus weiß, dass

dun1 =

Cn

LMn i

sin Xnldy + I, dun2 —

Cu

cos \nldy-\-I (b)

sein wird, weil der Unterschied zwischen duni und dem ausgeschriebenen Gliede der rechten Seite mit den Fehlern des Instrumentes verschwindet.

Da die Drehung der Rolle Mnl in ihrer Ebene nur dadurch erzeugt wird, dass der anstoßende Kugelpunkt sie in eine solche Drehung versetzt, so müssen die erfolgenden Verrückungen des Rollenpunktes, in den beiden zu ihrer Um-drehungsaxe senkrechten Richtungen, gleich sein den entsprechenden componenten Verrückungen des anstoßenden Kugelpunktes; es muss also sein s{ — 54, s{ — s4. Es sind dies, sozusagen, die Gleichungen des Rollens der Messrolle MnX an der Kugel. Ebenso hat man die Relationen p — tTi, t-[ — p, als die Gleichungen des Rollens der Messrolle Mn2 an der Kugel. Schließlich, da die Kugel an dem Cylinder nicht gleitet,

liefern die Relationen

(Pnl

die Relationen w4 =    —    — w{> — die Gleichungen

des Rollens der Kugel an dem Cylinder.

Dies sind zwischen fünf Unbekannten 0)4 ooTj 004 dunl dun2 sieben Bedingungen, die jedoch, wenigstens in erster Ordnung genau, miteinander compatibel sind, weil einige unter ihnen die Form von Identitäten annehmen und daher für die Bestimmung der Unbekannten ohne Bedeutung sind. Die Gleichungen j H — s₄

{s l —

— d^Q + to^^    C₀)    wr;(^i 'fo)

$i) dUnl — ^C₀-F ^4(7)1    7j₀)    So)>

! Cn

LMin

oder, wenn man die Ausdrücke (17) und (14) einsetzt, und für die Größen 0)400^(04 dunldun2i soweit sie mit kleinen Coeffi-cienten multipliciert auftreten, die Ausdrücke (a) und (b) einsetzt, die Relationen

K±

Kn+Mnl

Ki cosuinsm\nldy

Kn

Kn+M,

— A,n cos unl ) sin \uldy + II

Il    J

Cn

Cn

LMnl

(Kn-Ki sin unl)dunl + 11 =

L(Kn + Mno

(k„ + Ain cosuul) s\n'knldy+II

Cn

LKn

(,dn2 + K2 sin «,,₂) cos \ady—Kn<ûr +II>

von denen die zweite allein Bedeutung hat. Die Gleichungen

liefern die Relationen

( Ą = k

\ k - k

/ Cn !

LMni

Ku+M1i2

ku +

Kn

Kt+Mn 2

Kz cos »„2) cos \ady+II

Cn

A„₂ cosuu2cos\indy

Cn

LMU ₂

(K2—K2 sin un2)dun2+II =

L(Kn + MJ

(kn-+ ä,i2cos un2) cos X1tldy+II

— K, ,coi —

C,

LK,

T Ki + ^m sin »hx) sin \,ndy + II,

von denen wieder die erstere wegfällt. Die Gleichungen w' = wTi liefern die Relationen

(    = W;

LM,n

Q

-TT- 4,2 COS «„2 C0S \ndy + Kn<*>t + U ^^112

7/4-,xwwjÿr—uis soo x?/

-sin \nldy + II —

'0

— cos \ndy+II —

— 4/⁷ [l"vsoo (b"m uis •+- zup)+ T!,'( uis (¹”m uis 4- l"p)] —,

"0 + "7 7 '7 I

—11 +6p [t"ysoo (z"n uis    + zup) +• l"x uis Q"n uis T"y + xup)\

7/ + ^ [l“x so° (z"n uls 8"v + ZUP) + v\ uis (lwn uis v\ + lnp)\

C,

— dn2 cos \nldy+II

LKn

u0

Cn

L(K'n ■+■ C«)

von denen die letzte wegtällt. Aus den vier Relationen, welche nicht ausfallen, hat man (Mm —Ki sin un1) dunl =

= ~ sin \nldy—

(Mn2 Aw2 sin un^) dun2 “

Cn , ,

= — cos —

M,

(Cp ll\ soo uis -

Kn

lw

LKn

(Cp lu\ uis lun uis g]

Kn

-f- T//v uis ¹¹¹ n soo

C„

l T”//l/7

-4- T//x soo soo 8//y

Cn

1 '"'717

Kti cos uHi sin >,„/ + — ' \nj sjn Unj sjn XJ jy ₊jj

Kn

was man kurz, für die /to Rolle (f = 1, 2), so schreiben kann: {K[ni Ani sin ttni) dît ni —

= — sin \nidy —

C„

LMni

<Cpiu\ soo -rup f( t —) —

LKn

so ergibt

wenn mit dem Index j die andere (die »nicht zte«) Messrolle bezeichnet wird. Dividiert man schließlich mit dem Coefficient des duni, setzt für unV un2 die damit bezeichneten Ausdrücke wieder ein, bezeichnet zuletzt

A A

die procentuellen Excentricitäten ——, —— mit S/It, §/z2,

Kdn2

sich als Drehung der Rolle bei einer zur y-Axe parallelen Verschiebung des Fahrstiftes, unter Vernachlässigung von Gliedern zweiter Ordnung im Coefficient von dy,

~ sin \lidy +

LMm

aber m>t 6„v en2>

P-

die Constanten

Kn’ Kn

c,

soo    —-

LMni

__ iur\p

(18)

Kp uis -f- -^rl) uis

Mnj

C,

LMni

wo in der letzten Zeile die Drehungsphasen    ersetzt* werden dürfen durch diejenigen,    welche ein

correcter Analysator in demselben Punkte derselben Befahrung aufweisen würde, und Analoges von \ni\ij gilt._

¹ Die Striche sind hier selbstverständlich keine Vectorzeichen.

Kn

—• u!s ! ('n/W ■+• sod —    + ?wt1) uis —

b) Betrachten wir jetzt den Fall einer Verschiebung des Stiftes parallel zur x-Axe allein.

d(E, £) seinen Wert

, und für 3₀, H₀, dE₀, JH₀ ihre Ausdrücke (8), (12) einsetzt; man findet auf diese Weise

9 fijr

< = cos u,ndnin + {dn2 + \,₂ sin un2)

Die Gleichungen (8) bis (12) gelten auch in diesem Falle. Die Coordinaten, im festen System, des Mittelpunktes der Kugel und der drei Punkte, in welchen ihre Berührung mit den Messrollen und dem Cylinder stattfindet, sind ausgedrückt durch die Gleichungen (13) bis (16); die Änderungen dagegen, welche die Coordinaten des Mittelpunktes im festen System erleiden, durch die Gleichungen, welche man findet, wenn man die Transformationsformeln £₀ = E₀ cos (3, £)—H₀ sin (3, £),... vollständig differentiirt und darauf für (3, £) seinen Wert 0, für —2 mzdx

dx+II

> (19)

2n%

dx+II \

drl0 = Ks C0S tln2dun2-(dm+Kl sin Uvl)

dC₀ — II.

duni bedeutet, gemäß der Definition des uni, die Drehung der Rolle um ihre in Bewegung begriffene Axe; also die Drehung, welche die im beweglichen System SHZ betrachteten Verrückungen ihrer einzelnen Theilchen gegen ihr Umdrehungscentrum — ausmachen. Infolge dessen sind, wenn wir dasjenige Theilchen der Rolle MnV welches zu Beginn der Verschiebung sich im Berührungspunkte der Kugel mit der Rolle befand, das Theilchen 1' nennen, die Änderungen, welche die Coordinaten dieses Theilchens im beweglichen System, 3(1'), H(l'), Z(l'), erleiden, mit dunl verbunden durch die Relationen: JZ(l') = Z(1 ')dunv rfH(l') = 0, dl{\') = [Din—E(\')]duin\ oder, was dasselbe ist, dE(V) = £\dunV d\\(\') =: 0, JZ(P) =

(Pnl ^ l )    •

Nennt man dagegen dasjenige Theilchen der Kugel, welches zu Beginn der Verschiebung sich in jenem Berührungspunkte befand, das Theilchen 1, so erleiden seine festen Coordinaten £(1), Yj(l), £(1) durch die Bewegung der Kugel die Änderungen <#£(1) = ^₀+o),(C₁— C₀)—    — *]<>)>•• •> wo

wie früher, die Rotationen der Kugel um die festen Axen bezeichnen. Die Änderung, welche die Coordinate 3(1) dieses Theilchens erleidet, findet man daraus mittels der Formel

2 flTZ

d!3(l) =    7)(1) ——d%, welche durch vollständige Diffe

rentiation der Transformationsformel 3(1) = £(1) cos (3, £) + +Y)(1) sin (3, $) erhalten wird. Es ist somit d3 (1) = dç₀ -f-

dx.

+    (Ci — C₀) — 0); 0], — Tj₀) —7]! ~

Man hat also

0 7 7 77

2niz

dx

<7I](1) — iirj₀ + w>(^i —1₀) — w?(C₁—C₀)+^i

l ^Z(b = ^Co + W^Y],— Y]₀) — ü)^ —£„),

^S(l') = C xdun JH(l') = 0 <72(1') = (D,n-^)dunv

Ebenso findet man für die Änderungen der Coordinaten 3(2), H(2), Z(2) des Kugeltheilchens 2, welches zu Beginn der Verschiebung sich im Berührungspunkte der Kugel mit der Rolle Mn2 befand, und anderseits für die Änderungen der Coordinaten 3(2'), H(2'), Z(2') des Rollentheilchens 2', welches zu gleicher Zeit sich in jenem Berührungspunkte befand, die Ausdrücke

2 flTZ

d -i(2) — d^Q-^0)'    rio) ^2    ~ dx

c

2 ÎÎ7Z

dl\(2) = ^y]₀ + (oc(|₂ — £„) — <«>4(C₂ — C₀)-f- Sg ——dx

dh(2) — dCo + onOfe—'ïlo) —— 5o),

t7S(2') = 0 JH(2;) = i^du1t2 dl(2') — (DM—na)du„a.

Nennt man endlich das Kugeltheilchen, welches zu Beginn der Verschiebung sich im Berührungspunkte der Kugel mit dem Cylinder befand, das Theilchen W und betrachtet die Änderungen seiner festen Coordinaten S(W'), i\(W), Z(W); nennt anderseits das Cylindertheilchen, welches zu gleicher Zeit sich in jenem Punkte befand, das Theilchen W' und betrachtet die Änderungen seiner Coordinaten £(Wf), y C(bK/): — so hat man für diese Änderungen die Ausdrücke

di(W) — d£Q-\-<ùrt(Zw — C₀) —    TQo)

dr\(W) = dri₀ + (û-'(£iv — £₀)——C₀) ^C(ff ) — d^Q-\-(*)q, (y\iv q₀) ^tj(^w ^o)> di(W') - 0 dt\(W') — 0 dt(W') - 0.

Man hat ferner, analog wie in dem vorher betrachteten

Falle, sieben Gleichungen des Rollens. Im voraus kann man hier sagen, dass

0)₄ = I,

0)r = I,

0)Ç =

2 mz dx

(c)

und dass

dunx = I,

(d)

dun2 — I jrfE(l') — dS(i)

IdZ(l') = dZ(l) die Ausdrücke (19), (13) bis (16) einsetzt und für co^o\(^%dunV soweit sie mit kleinen Coefficienten multipliciert auftreten, die Werte (c), (d) einsetzt, die Relationen

sein wird. Die Gleichungen <

liefern, wenn man

2 ¹-^ (^«2 +sin «,.a) + ¹¹

( II — (dn2+A„a sin m„₂) dx—

( Mnldunl + II — —Kn o)Tj -f- //, von denen nur die letztere Bedeutung hat. Die Gleichungen I ćż/OO —    ''e^ern 'n ähnlicher Weise die Relationen

( II — -(<*„, + Anl sin «nl)^dx+~--^{dllX + A„, sin uin) + II ( Äf//2 ^6/2 ~^~H — k-n 4 ”t~ II)

| rffi(W) = J£(W')

denen die erstere wieder wegfällt. Die Gleichungen <#k]<W) ₌ d-q(W') liefern die Relationen

( d^(W) — d'Q(W')

von

[<V,«i + A„i sinw^sinX^ + ^ + A^ sin »(ö) cosX(I1] cosX ,+//= 0

AX

—f-

0 = // + A„" y + i"y uis ['"y soo («“» Ujs s,‘v+    + X"x uis (T"« ins *"v + i“p)]

S«* J    TT

......... dx -ł- II.

c

XpiLU g

(x"w u’s ™v+TV)-

,J-w %y—

{ZU1l uis z,\ + zup)

2LU%    V

Kn

man

+ sin unl) sin X;l| +(dn2 + All2 sin un2) cos X,n] cos X){1 —— dx+II

dx —

Kn +C-    + sin um) s'n ^îu + (^«2 + \₂ sin un2) cos X„J sin Xttl

Kn + Cn II = 0,

denen wieder die letzte wegfällt. Aus den vier Relationen, welche nicht ausfallen, hat Mm dum = — (dn2 + A„g sin «n2) — 6f.r+

Kn + G,

(4i + A«i sin#Bl)y

K,

von

4-

CG

dx 4~ II

2 ni:

(M

2 nz

D H- UX

*<

CM

man kurz, für die /te Rolle (i — 1, 2), so schreiben kann:

Kn 4- Cn

■llpr(l —)+ }u\ SOD -lt\ UIS

sin nni sin \ni cos X,„-4-(—1)⁷Anj sin unj

Kn+Cn

Mni dîtni

Kn 4- Cu

-1

was

i>7/2, so ergibt sich als

Drehung der Rolle bei einer zur ^-Axe parallelen Verschiebung des Fahrstiftes, unter Vernachlässigung von Gliedern zweiter Ordnung der Instrumentalfehler,

mit è

Dividiert man endlich mit MUi und bezeichnet die Constanten

(20)

2niz

dx,

fu

sin² X

(L. Grabowski.)

c) Bei einer beliebigen Befahrung, während der Fahrstift ein Element ds der Befahrungsbahn, dessen Componenten dx, dy sind, beschreibt, ist die Drehung der Rolle

als gleich der Einheit, weggelassen wurde und jjluj, X,„-, \nj auf der

\Rn 4- Cn

' Kn

dx 4~

jr sin Xni cos \„{ + ( — 1 )J&„j (

sin ((!.„/ + M,„) sin Xni cos X,„- + ( — 1 )J8„, sin (ja,y + M,y) (

2niz

— fu

sin² X

Kn

Kn + Cn

Kj

Kn

d]Xn i - &ni

"Kn +Cn

4- 8

M-1lL

Mni ’

rechten Seite durch (!,„•, \xnj, X,„-, X;t,- ersetzt werden dürfen.

wo bei d'nj und 8wy der Factor

4-

50

d\xni =

L. Grabowski, dx+

[766]

dx

dy

dy;

die Ausdrücke für    ^X,7/

dx ’ dy

sind gegeben durch die Formeln

⁵,<2

uv

(20), (18). Wenn eine bestimmte Befahrungsbahn vorliegt, kann man den laufenden Punkt derselben dadurch unzweideutig definieren, dass man die Bogenlänge 5 angibt, welche der Fahrstift seit dem Ausgangspunkte (x = 0, y — 0) bis zu dem betrachteten Punkte zurückgelegt hat. Die Veränderlichen ihn, ih*2 s*nd nun ganz bestimmte Functionen des laufenden Punktes der Befahrungsbahn, die mit Eigenschaften des Instrumentes in keinerlei Beziehung stehen. 01lV dn2, f>7/1, f>₇₇₂, o sind Instrumentalconstanten; Mwl, M₇₇₂ Constanten, die außerdem von der Anfangsaufstellung des Instrumentes abhängen. Man kann also den Ausdruck der Drehung der Rolle für den allgemeinen Fall so schreiben:

d\s.ni —

Cu

LMni

sin \nidy+

C,

LMni

— 6»; cos \nidy+

+ d’n!

Ku

Kn + Cn

sinX,„- cosX,„ + (—

Kn

Kn + Cu

2 n~

-dx +

+ §««•    s)ds+ZnJ.gnj{M,y, s'jds;

(21)

die Functionen    s), gnj(M„j, s) des laufenden Punktes

und der Parameter M,y sind folgende:

2M71

T Klt+Cn

{sin (jÄ„/4-M„..) — cos (jÄ^ + M,,,)} sin X,„- sin (s, x)

fuiÇ^-ni > s) —

Kn

sin ({!„,• + M,„) sin X,„- cos \ni cos (s, x) +

Ctt

LMni

2 mz

gnjWnj, — (    1) sin (|X,y +M,y)

Kn

Cn

MnJ :

LMni Kn

ßn + Cn sin ((i,y + M,y) sin X,y- sin (s, x).

sin²X,y — 1 cos (s, x)

Das erste Glied der rechten Seite in (21) ist dasjenige, welches dem Falle des correcten Analysators entspricht. Die Glieder der zweiten und dritten Zeile entspringen dem angenommenen Umstande, dass die Umdrehungscentra der Messrollen in Abständen von der Umdrehungsaxe des Rahmens angebracht sind, welche nicht genau gleich sind der Summe des Kugelhalbmessers (Kn) und des Rollenhalbmessers (MnV beziehungsweise Mn2); dieser Umstand bewirkt, dass der Mittelpunkt der Kugel sich dauernd abseits von der Umdrehungsaxe befindet. Die genannten Glieder drücken daher die Wirkung einer constanten Excentricität der Kugel aus. Indem ich diese letztere Fehlerquelle in einem weiteren Artikel (14.) gesondert besprechen will, lasse ich diese Glieder hier weg. Als Wirkung der Rollenexcentricitäten allein, bleibt

(23)

d[Xni — ii •fni(M;j/, ś) ds + onj. gnj(Mnj, ś) ds.

Es möge noch die Eigenschaft der Functionen /m-(M„;, s), gnj(Mnj, s) hervorgehoben werden, dass sie bei um 180° veränderten Werten der Parameter Mwl, Mw2, für alle s die entgegengesetzten Werte annehmen. Wir werden später diese Eigenschaft verwerten. —

14. Die Excentricität der Kugel besteht darin, dass die Umdrehungsaxe des Rahmens des Integrierapparates nicht durch den Mittelpunkt der Kugel geht, so dass, abgesehen von anderen Fehlern des Apparates, der Mittelpunkt der Kugel sich in einem constanten Abstande von jener Umdrehungsaxe befindet und seine geographische Länge mit den geographischen Längen der Rollen gleich wächst. Diese Fehlerquelle wurde bereits in der bis jetzt vorhandenen Literatur des Analysators kurz berührt. Vollständig ausgedrückt ist ihr Einfluss durch die beiden Glieder der zweiten und dritten Zeile der Formel (21).

Die eine Wirkung dieser Configuration besteht darin, dass, während der Fahrstift parallel der y-Axe verschoben wird und dadurch die Kugel sich um eine durch ihren Mittelpunkt parallel der A'-Axe gehende Axe dreht, die Rolle Mni die Kugel in einem Punkte berührt, dessen Winkelabstand von der Drehungsaxe nicht = \Ui ist. Der Unterschied ist von unabhängig. Das

erstere der genannten Glieder entspricht diesem Umstande. Die Wirkung dieses Umstandes ist offenbar dieselbe, wie diejenige eines constanten Fehlers der geographischen Länge der Rolle Mni; eines Fehlers, der später noch (als ein »Fehler des Anfangszustandes«) Aufnahme finden soll, Mit Rücksicht darauf können wir hier dieses Glied weglassen.

Die andere Wirkung der excentrischen Lagerung der Kugel ist die, dass bei einer zur .r-Axe parallelen Verschiebung des Fahrstiftes die Kugel auf dem Cylinder herumrollt und infolge dessen nicht allein um die verticale Axe, sondern auch in jedem Augenblick um eine horizontale Axe sich dreht, welche letztere Drehung von den Rollen registriert wird. Diesem Umstande trägt das zweite der genannten Glieder Rechnung. In diesem Gliede ist der Factor bei dx eine Function der T-Coordinate allein. Daraus folgt, dass der Einfluss diesesUmstandes in der Ablesung der Rolle sich aufhebt, wenn die Befahrung in einem Punkte endet, dessen Abscisse gleich der des Ausgangspunktes ist.¹

Fig. 7.

15. Betrachten wir jetzt die Ex-centricität des Cylinders Cn; seine Umdrehungsaxe, die der *-Axe parallel ist (und hier noch immer als in der Ebene ZX gelegen angenommen werden soll), wird von der Umdrehungsaxe Zdes Rahmens in einem Punkte Q getroffen, den ich für den Anfangspunkt eines neuen y Coordinatensystems, ß£vj£, nehme, dessen Axen den Axen XYZ parallel gelegt werden. Es wird dann unter

¹ Es .möge nebenbei bemerkt werden, dass die Curve, welche der Berührungspunkt der Kugel auf dem Cylinder bei einer zur x-Axe parallelen Verschiebung des Stiftes beschreibt, nahezu eine ebene, und zwar eine Ellipse, ist. Die Behauptung, welche sich sowohl bei Prof. Henrici, als bei Herrn Bervy findet, diese Curve sei nahezu ein Kreis, beruht offenbar auf einem Versehen. Denn die Schwankungen des Radiusvectors in dieser Curve sind von derselben Größenordnung wie der Radiusvector. Es ist nicht zulässig, der Betrachtung des Vorganges die Vereinfachung zugrunde zu legen, dass man an Stelle der Cylinderfläche ihre Tangentialebene setzt.

dem Mittelpunkte des Cylinders die Projection des Punktes £3 auf die geometrische Axe des Cylinders verstanden. Bei der Fahrt parallel der Axe oy wird die geometrische Axe des Cylinders um die £-Axe eine cylindrische Fläche beschreiben. Man bezeichne mit dn den kleinen constanten Abstand zwischen dem Mittelpunkte Cn des Cylinders und seiner Umdrehungsaxe, und mit die Ablenkung der Richtung ÜCn von der Ç-Axe, im Sinne von der Ç- gegen die vj-Axe gezählt.

Für einen bestimmten Wert von <[>, sind die Coordinaten S₀Y]₀C₀ des Berührungspunktes des Cylinders mit der Kugel, die Höhe h des Kugelmittelpunktes über dem festen Punkte ß, sowie die Verrückung dl, welche das momentan in Berührung befindliche Theilchen des Cylinders erleidet bei weiterer Drehung des Cylinders um d§, bestimmt; die Drehung der Kugel, welche erfolgen wird, ist bestimmt durch die Projection dieser Verrückung auf die gemeinsame Tangentialebene im Punkte £₀Yj₀£0 zu der Cylinderfläche

F(€TjC^) = Tfj⁸ + C⁸-2Tfjrf;i sin<!>-2Cdn cos <I> + d⁸-C⁸ = 0 und der Kugelfläche

/(SkiCä) = e⁸+T]⁸+c»--2CÄ+Ä⁸-Ä;? = o.

Es wird, ähnlich wie auf der Seite 30, die entstehende Drehung der Kugel um die X-Axe

/.x —

dy

lkd

Ho [(fi+fi) -'îo +AA Co]+(* - Co) [(fi +fi) Co+Â/-M (²⁴)

sein, wobei f der Kürze halber für    steht, und in den

fi, fTi, fç man ^yjC nach der Differentiation durch ^₀7]₀C₀ ersetzt sich denken soll; die Drehungen der Kugel um die Y-Axe und um die Z Axe dagegen werden in diesem Falle, wie unmittelbar einleuchtend, beide Null sein. Infolge dieser Drehung der Kugel wird sich die Rolle Mni um ihre Axe um den Winkel

K,

d[^ni —

drehen. Die Werte £₀, tj₀, C0j ä hat man als Lösung des Systems der vier Gleichungen

Fßn C<|») = 0 /(«i] CA) = O /ft    = F, :FTl :Ą

mit anderen Worten, des Systems der vier Gleichungen

(25)

/Wł) =

AhW =

f^Ff+F^rą | =

frWW^Ę^n\ =

a Wfł+ft+fi

■FtWffïÏÏ+f?\

(wir nehmen die Vorzeichen verschieden, weil es sich für uns um den Fall äußerer Berührung allein handelt) zu bestimmen; ç₀ ist übrigens, wie unmittelbar einleuchtend, gleich Null. Da

Ft = 2 C₀ — 2 dn cos (J), A = 2(C₀-Ä),

Ft = 0,

A = 2S

Fr, — 2t]₀ —2 d„ sin <J),

fn — ²^o>

so hat man aus der dritten Gleichung des Systems (25)

Io =

Kn

dn sin

7]₀ ist also klein von der ersten Ordnung des aus der ersten Gleichung (25) erhält man jetzt

ą-2^dn costy = C;? + K]

und daraus

C₀ — ^ COS (Ji =b

wo von den beiden Vorzeichen für uns natürlich nur das obere Geltung hat. Setzt man in die Formel (24) für    ê₀> ^cp

die erhaltenen Werte und für h — £₀ den Ausdruck

*-C₀ == Kn + \d*\,

der aus der zweiten Gleichung (25) jetzt folgt, ein, so ergibt sich

dy

LKn

\ cu+dn cos'Kt^]!;

und damit schließlich

d\lni —

Cn

LMni

sin \nidy -f-

dn cos

LMni

sin Kidy,

wenn man im Coefficient von dy die Glieder zweiter Ordnung weglässt. Es ergibt sich also hier, außer dem bei correctem Analysator stattfindenden Werte, noch ein Zusatzglied der Drehung der Rolle Mni, von der Form

Mm

cos

(zT+ K")sin ^nidy’

(26)

wo %n, l\7/ unbekannte Instrumentalconstanten des ?*ten Integrierapparates bedeuten und v.n von der ersten Ordnung klein ist.

Die Fehler, welche durch die auf- und absteigende Bewegung der Kugel hervorgerufen werden, eliminieren sich aus dem Resultate, wenn bei der Umfahrung man zuletzt in einem Punkte anlangt, welcher das gleiche y wie der Ausgangspunkt hat.

Es bleibt übrig, den Einfluss der Excentricität des Cylinders während eines Verschiebens des Fahrstiftes parallel der Axe ox zu untersuchen. Durch analoge Überlegungen wie auf den Seiten 32 und 33 ersieht man, dass in diesem Falle die effective Bewegung der Kugel, durch Reibung zwischen ihr und dem Cylinder afficiert, dadurch dargestellt werden kann, dass die Kugel, außer der ihr mit dem Rahmen gemeinsamen Rotation, noch eine Zusatzrotation besitzt: wird der kleine absolute Winkel, welchen am Mittelpunkte der Kugel der Radiusvector des Berührungspunktes bildet mit der (—Z)-Axe, mit a be-

2mzdx

zeichnet, so beträgt diese Zusatzrotation -f-v—-— sin a

(0^ v ^ 1), und ihre Axe, a, geht vom Mittelpunkte der Kugel nach demjenigen Punkte der Kugel, welcher um 90° entfernt ist von dem dem Berührungspunkte entgegengesetzten Punkte der Kugel, im Sinne von diesem letzteren nach dem Pol der Z-Axe gezählt. Die Z-Componente dieser Zusatzrotation ist zweiter Ordnung; die in die ATY-Ebene fallende Componente fällt in dem hier betrachteten Falle offenbar stets in die Gerade

X — 0 und ihr Betrag um die Y-Axe ist v

2 mzdx

sin a cos a.

Durch dieselbe wird also der Rolle Mni eine Drehung um ihre Axe mitgetheilt im Betrage von

Kn

2 mzdx

Mni

sin a cos v. cos X₇„-.

Y₀ __ sin ^

~Kn -

für diese fälschliche Drehung der Rolle, bei Weglassung der Glieder zweiter Ordnung im Coefficient von dx,

2mz

Mni(Kn+Cn)

Da sin a =

dp™ == —

Kn

, cos a = 1-t-[dn] ist, so ergibt sich

dn sin -b Kn J cos Xnt- dx,

oder

d\xni —

- sin

\L J

COS \nidXj

(27)

Mni

wo x(n eine unbekannte Instrumentalconstante des ^ten Integrierapparates und von der ersten Ordnung klein ist.

16. Es hätte offenbar keinen Sinn, die Eventualität in Erwägung zu ziehen, dass der Cylinder auf seiner Axe ein wenig nach rechts oder links verlegt wäre; denn solange der unterste Punkt der Kugel die Mantelfläche des Cylinders überhaupt berührt, ist es gleichgiltig, wie weit sich diese Mantelfläche nach rechts oder links erstreckt. Anders verhält es sich mit einer kleinen Verlegung des Cylinders sammt seiner Um-drehungsaxe nach vorn oder hinten; denn im Falle einer solchen Anordnung geht die Umdrehungsaxe des Rahmens nicht mehr durch den Berührungspunkt der Kugel mit dem Cylinder, es müsste dann also bei einer Verschiebung des Fahrstiftes parallel der Axe ox eine gleitende Reibung zwischen der Kugel und dem Cylinder entstehen, sollte die Kugel sich dabei genau um die Umdrehungsaxe des Rahmens (Z-Axe) drehen.

Während bei einem Vorrücken des Stiftes in der Richtung dery-Axe ein solches Instrument genau so functionieren wird, wie wenn die Axe des Cylinders sich genau in der YZ-Ebene befände, wird bei dem Vorrücken des Stiftes in der Richtung der tf-Axe, im Gegensätze zur Functionierung des correcten

Analysators, eine kleine Rotation der Rollen um ihre Axen zustande kommen. Es ist aber klar, dass diese letztere Erscheinung unabhängig davon ist, was für ein Wert y der Ordinate es ist, der bei dieser Operation eingehalten wird. Daraus folgt, dass der aus dieser fehlerhaften Anordnung herrührende Fehler in dem Drehungswinkel der Rolle Mni um ihre Axe sich im Resultate eliminiert, wenn bei der Befahrung zuletzt an einem Punkte angelangt wird, welcher das gleiche x wie der Ausgangspunkt hat.

17. Nachdem in den vorigen Paragraphen die Fehler der unteren Organe des Apparates behandelt worden sind, gehe ich jetzt über zu seinem oberen Theile: der Horizontalscheibe Hn. Verfolgt man den Draht von der Wagen-Leitrolle ausgehend, so trifft man nacheinander auf eine Anzahl Leitrollen und Integratorenscheiben, die ich zusammen allgemein Horizontalräder nennen und in der soeben angedeuteten Reihenfolge mit den Nummern 0, 1, 2, ..., N belegen will, wobei die Wagen-Leitrolle das Ote Rad und die Scheibe des letzten Integrierapparates rechts das We Rad ist. Es wird demnach, bei einer positiven Verschiebung des Stiftes parallel der Axe ox, jedes Rad von dem mit unmittelbar kleinerer Nummer angetrieben und treibt das mit unmittelbar größerer Nummer an. Jedes Rad nenne ich ein von dem Drahte positiv oder negativ umwickeltes, je nachdem man, bei dem oben angedeuteten Fortschreiten längs des Drahtes, die Peripherie dieses Rades in dem positiven oder dem negativen Sinne umkreisen würde.

Es soll nun angenommen werden, dass diese Räder auf ihren Umdrehungsaxen excentrisch angebracht seien.

Ich stelle mir zunächst das folgende, etwas allgemeinere, kinematische Problem vor, dessen Anwendung dann im nächsten Paragraph sofort die gesuchten Ausdrücke der Wirkung der Räderexcentricitäten liefert. —

Es liege in einer Ebene xy ein System geschlossener Figuren S₀ St S₂ ... vor. Dieses System ändere sich con-tinuierlich in der Weise, dass alle Curven, durch welche die einzelne Figur Sm (m ~ 1, 2,..., N) successive ersetzt wird, die Eigenschaft haben, ineinander übergeführt werden zu können durch Drehung um einen festen Punkt Rm(x = Am,y = Bm) der xy-Ebene, und dass alle Curven, durch welche die Figur S0 successive ersetzt wird, die Eigenschaft haben, ineinander übergeführt werden zu können durch bloße Verschiebung parallel der ,r-Axe. Von der durch die einzelne Curve Sm erzeugten Curvenfamilie wird (bei m = 1,2,..., N) nur angenommen, dass ihre sämmtlichen Glieder übereinstimmen bis auf kleine Abweichungen erster Ordnung (sowohl hinsichtlich der Punkte, als hinsichtlich der Tangenten und Krümmung) mit einem und demselben um Rm gezeichneten unveränderlichen Kreise, dessen Radius ebenfalls Rm heißen mag; von der durch die Curve S0 erzeugten Curvenfamilie wird angenommen, dass ihre sämmtlichen Glieder bis auf kleine Abweichungen erster Ordnung mit Kreisen übereinstimmen, welche aus einem zur erzeugenden Figur festen Kreise von dem unveränderlichen Radius R₀ entstehen; der Mittelpunkt dieses Kreises habe die (veränderliche) Abscisse A₀ und, vermöge passender Wahl des Coordinaten-systems, die Ordinate B₀ = 0. Der momentane Zustand des Curvensystems S₀S₁ ... Sn ist dann vollständig definiert durch die Abscisse A₀ des Mittelpunktes des Kreises der Curve S₀ und durch die Drehungsphasen am jeder Curve Sm (m = 1,2,..., N); ich verstehe dabei unter der Drehungsphase den Winkel, um welchen sich derjenige mit der erzeugenden Curve fest verbundene aus dem Umdrehungscentrum Rm gezogene Strahl, welcher in dem Anfangszustande des Systems der x-Axe parallel war, von dieser abgelenkt hat seit jenem Anfangszustande bis zu dem momentanen Zustande. Vorausgesetzt wird, dass die -f-1 Contouren stets außerhalb einander bleiben.

Nun seien die Änderungen der einzelnen Theile des Systems durch das folgende Gesetz miteinander verbunden.

Es sei für den Anfangszustand des Systems ein Linienzug, den ich kurz den »Faden« nennen will, als die Bahn eines laufenden Punktes definiert, der sich von einem Punkte auf der Curve S₀ bis zu einem Punkte auf der Curve Sn ohne Sprünge und plötzliche Richtungsänderungen so bewegt, dass jedes Element der Bewegung entweder mit dem Element einer bestimmten von Sm nach Sm+\ gerichteten gemeinsamen Tangente eines Curvenpaares SmSm+1 (m = 0, 1,2,..., N) zusammenfällt, oder auf dem Elemente einer Curve des Systems liegt. Für jeden anderen Zustand des Systems ist der Faden derjenige Linienzug, welcher von einem Punkte der neuen Curve S₀ bis zu einem Punkte der neuen Curve Sn wieder in einer dieser Definition genügenden Weise verläuft und aus dem Faden des Anfangszustandes auf continuierliche Weise entsteht. Das erwähnte Gesetz ist dann das: Die Länge des Fadens zwischen irgend einem mit der erzeugenden Curve fest verbundenen Punkte der Curve S₀ und irgend einem mit der erzeugenden Curve fest verbundenen Punkte der Curve Sm soll unveränderlich bleiben; und zwar gilt dies für jede einzelne der N Curven Sv S₂,..., Sn.

Die Aufgabe ist, für ein beliebiges m die Drehungsphase am als Function von A₀ zu bestimmen. Wir werden bei Lösung derselben noch die specielle Voraussetzung über die Gestaltung des Contourensystems einführen, dass der Faden auf der Strecke von S₀ bis S₁ nahezu parallel der (—,r)-Axe verläuft. —

Der Weg zur Lösung dieses Problems ist direct durch die Fragestellung vorgezeichnet. Wendet man das obige Gesetz der Constanz der Fadenlänge an auf Figuren Sv ..., Sm_i, Sm, so erhält man m Differentialgleichungen zwischen av a₂, ..., am und A₀, aus denen es möglich sein wird den gesuchten Ausdruck zu finden.

Man lege für jede der m 4-1 Curven S₀ S₁ ... Sm, allgemein für die Curve Sv, ein eigenes Polarcoordinatensystem, rvcpv, mit dem Punkte A^B^ als Pol und dem zur x-Axe parallelen Strahl als Polaraxe (die Anomalie <pv ist gezählt in positivem Drehungssinne von der Polaraxe bis zum Radiusvector). Die Gleichungen dieser m-h 1 Curven sind dann

V= Fo(%)>

ri = Fl(aV ?l),

î'm —    rfin):

wo av als ein Parameter in der Gleichung zwischen den Variablen rv und <pv auftritt. Man bezeichne für die allgemeine Curve Sv mit PVjV_i(#v, v-i?>v, v—i) ihren Berührungspunkt mit der vom Faden gebildeten Tangente des Curvenpaares Sv_iSv, und mit Pv, v+i(#v, v-fi, JV v+i) ihren Berührungspunkt mit der vom Faden gebildeten Tangente des Curvenpaares SvSv+i- Der Wert der Anomalie <pv für den Punkt Pv,v—1 sei cpVjV_i, für den Punkt Pv, v+i sei <pV)V+i* Man führe schließlich den Factor tov = -Hl, —1 ein, der den Sinn bedeutet, in welchem die Contour Sv vom Faden umwickelt ist.

Ein Punkt der Curve Sv welcher durch den Wert av+C der Anomalie cpv definiert ist, entspricht nun, wenn C eine Constante bedeutet, vor und nach der Drehung einem und demselben Punkte der erzeugenden Curve. Ein Punkt der Curve *S₀, welcher durch den Wert K der Anomalie cp₀ definiert ist, entspricht, wenn K eine Constante bedeutet, vor und nach der Verschiebung einem und demselben Punkte der erzeugenden Curve. Die absolute Länge des Fadens zwischen dem Punkte cp₀ = K der Curve S₀ und ihrem Punkte P₀₁(cp₀ = <p₀₁) ist

d'-po-

Die absolute Länge des Fadens zwischen seinem Ankunftspunkte an der Curve Sv, d. h. ihrem Punkte <pv = cpv, v-i, und ihrem Punkte cpv = av-h C ist

TIlvVfT

Mit jeder der zwischen liegend en v — 1 Contouren, allgemein der Contour Si, hat der Faden ein Stück gemeinsam, dessen absolute Länge (bis auf eine gegebene Anzahl ganzer Umfänge)

j / •    / Er* \²

V ’ł+vsir) ‘,Ti

fHi+1

<*>/

JHir-1

ist. Die absolute Länge des zwischen je zwei Contouren S/ S/+i (i = 1, 2,... , v — 1) enthaltenen Fadenstückes ist

—1 COS T,->t*₊i-4-W/+l?7+M C0S T/+M‘⁺'

-Hw/(A/₊i — Ai) cos    Bi) sin

wo ri}i+1 den Radiusvector r/ für den Punkt cp/ = cpg/_|_i der Curve Si, t/₅/₊ i die in diesem Punkte geltende Ablenkung des

positiven (nach wachsenden Anomalien gehenden) Curvenelementes von dem Radiusvector, *87,1+1 die in dem- ^ selben geltende Ablenkung des positiven Curvenelementes von der x-Axe bedeutet, und ^/+i,o ^+1,0 'ô’î+i,* 1—1 die analoge Bedeutung für den Punkt cp*₊i —    der Curve S/+1 haben. Die absolute Länge des zwischen

den Contouren S₀ und S« enthaltenen Fadenstückes ist

•T0^uis Tg ⁰CO + I0£SOO (⁰F-iF)üC0 4-OT2SOO ⁰DTW-h-T()lSOO I(V(0 -

Die Bedingungsgleichung in Anwendung auf die Contour Sv ist daher

4“ °<L»

<M

<N O

-{-[xo$ uis Tg"°w-ł-¹⁰^ soo (°y— Ty)°co-h()Ti soo °bCco-*-TOi soo TfU°co —]

fi.i+1 !

fp‘

[ — co/r,- ,-.₊i cos zi)W +ü)/₊irf-₊it/ cos t/+i,/+ö>/(-4/+i — A) cos äv.f+i -ha);(Ą-₊₁—-5/) sin h}i+i] +

9-

~3

vT! 9-

CO ICO

av + C \

9-

CXI

^3

~=

-b co v

führt man die angezeigten Differentiationen nach A₀ aus, unter Berücksichtigung des Umstandes, dass die Function r* der beiden Argumente a*, cp* offenbar nur die Differenz derselben Ör*    rÖTi

enthält und    daher    ——ee-- —    ist,    vernachlässigt die Glieder

ca*    ccp*

T10> ^10’

II1'

zweiter Ordnung    und setzt    die Ausdrücke    für    r₀₁, 8

r*,*₊i, -87 t/₊i fy+i f ein, so geht diese Gleichung über in

[siehe Gleichung (28) auf der nebenstehenden Tafel],

wo das Resultat der Einsetzung von für cp* in die Functionen der beiden Argumente a*, cp*, der Kürze halber, mit

r* und

ör*

und

anstatt

n/+i

<3r*

Dp>* //,*+1

v8tpA,- ,.₊₁_

bezeichnet wurde, und Analoges von den Symbolen

färA

V dcp₀ /01

gilt.¹ Die einzelnen Zeilen der Gleichung (28) entstehen aus den entsprechenden Zeilen der vorhergehenden.

Bildet man nun die Gleichung (28) einzeln für v = 1, y-2,...,vr ą so erhält man ein System von nt Gleichungen, welches, indem man die Differenzen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Gleichungen des Systems nimmt und außerdem die erste Gleichung des Systems beibehält, durch das folgende ersetzt werden kann:

' [siehe auf der Tafel Gleichungen (29)].

¹ Die Voraussetzung,, dass der Faden von S₀ nach nahezu parallel der (—,r)-Axe verläuft, ist eingeführt worden in dem Gliede -j- 1 dieser Formel. Bei entgegengesetzter Annahme müsste dieses Glied —1, im allgemeinen Falle aber

heißen.

Cü₀ COS = —o>₀

dr₀

d^Q /oi

cos cp₀₁—r₀₁ sin <p₀₁

/ /^₀\ ²

Zu Seite 62.

wo

d'hi

+    W₀i?₀)

d9o-

dA₀

— w₀4

(o^-qyKo

d (drA dAą V Jcp₀/oi

-f- (Oj

tL4₀ V 8tpt /io

to, i?,

w,Ä«

<iZ₀

— ^ (o^n-z+i— *m-i)

Ja*

i = V—1

<*4>

(28)

dA₀

— to v/?v

<*Pv, v—1

i Wi!

/    W/+1 J?,-+i.....w,i?A d ( dr i \

y^4ö;U^yM+1

V    d fdri+1\

W< + ! ^0    f'fl+1- i + 1,1

Jav

dA₀

-“hRi

^PlO

dAo

■+* to ±R±

<*Po

to, i?,    ^

/ Jr₀

J^4₀ \ Jcp₀ /oi

+ (Oj

,Ł4₀

(_8M

\ 8cp₁ /io

+ loirio

Jaj

“₂^2

d'h

<*4>

+ w₂i?₂

d<?12

tM₀

M2R2__/

j??j J^4₀

0<Pj /12

— to i? —^

3 3 <M₀

+ C0₃i?₃

d^2Z

dAa

cl i 8 r₂

7?₂ ćM₀ V 8<p₂

⁰¹3 Y

23

d (W\

dA^ \ 8(p₂ / 2i

d ( 8r3 y

^0 v 8?» /³²

-hto₂r₂j

+ <Vm

Ja₂

J^4₀

Ja₃

dA₀

wiri2

⁽⁰2 r23

Jat

Jzl₀

Ja₂

(29)

dj.4q

OJ m Rm

dym,

m—i

Jz4₀

+ (0W

drf m — 1, w

(iZ₀

S^m-l \

#m-l J^4₀ V Öcpw_i/m-1, m

"+■ tów

V otpw /

m, m--4t

Jaw

^4₀

tom—i V'm—1, w

JOm-l

= o. I

(L. Grabowski.)

cHN/a^V

<

5?

O

-V

.*

Co

/rf?A^°/

CO

::

— fv 7

9-

"3

!-k

9-^

00

^3 I

9*r,

\ 0Cp? /v,v—1

ö²rv\

8cp? A, v + i

—I¹_P <n|_p col_p

«    « he y hC

^ 14 ^ 14 ^ |4

vf

'0 =

dcLm

°yp r

4-

CM

CO

£|rf

^ ha

,H|(SH . Niw N . CgoiCO

&l» &l~ £l~-

G;z, m —1

4-

Tco

co

CO

87-+ 8°1"+

^ !4 ^ 14

9 Vv

N >

9-

CO

^■Tv, V — 1

h?

du?, v+i

8²rv

CO

-win2

I — m ‘tu / ulèi 0 \~

Y^sB/. . °VP

"3

CM

co

CM

^3

v,v + l

9-

C 9-

d^Pv, v + 1 _

"3

co

lô

CO

9-

co

8²rv

8 cp? / v,v—i

co

9-

co

8² 7g

(N ■>

9-

CO

lï i - -a

^3

i*

Es ist aber (v = 1,2,...)

-*e e

9-

co

(N

VP I

> I O

•§|5

vr|9^-‘

co ico

vT

9-

co

co

co

-o

co

vT 9-

vT 9-

CO Ico

CO „o

I °

^3 H

|^3

^3

Die Gleichungen (29) können daher so geschrieben werden:

co

i?xV8? ,

s>\£

(NI    COI (N

^ I ^ |Q$

53

(N

CO

co

OJ

co

CO

(N

CO

co

CM

::

LO

ûT ûT ûf

T(0 -

<N

0)

.3°

eP^' 9- -rf ^j-of

^3 ^3 ^ ^ ^3 |^s

's r

P f i?

Ss0oL2 vT’LT +>’c2

(N 4c OJ ^ N ..p

4^ O co co CO |u°

öTlöf qTIoT ftTlo^

T-l    !N    CO

Dî Ce; Ci;

lf0 +- T

^8V„,

rt—w ‘w r

W 772 R-111    (

WTO-

d*m

°VP

w—1, m

m—1

Rm ^²rmA

Rm-1 V 8tp²„_! )m-\,m_

R-m /8²r

\~UI\J    -1

-— 7?/(0 +-

'"«o

Die Anomalien der Berührungspunkte der gemeinsamen Tangente sind, für jedes Contouren-

bestimmen aus dem Gleichungen

zu

paar S,S/+1 (v zu 1,2,..., m—1), in Funcflon der beiden Drehungsphasen

paar

^7 (Ov , 01; +1, CpVj V + 1? 'P V+ 1 , v) —

- 0;

-5,

i uis —1+^-+* 4+^4 uis4 ‘H-^

fv+i, v cos <pv+I, vh-t1v+i—rVj V+1 cos <pV; V+1—+

*ff—cixs    —uis'‘4+\*

rv+l, v COS <pv + l, V + ^V + Î — *v, v + 1 cos Ç>,v+1— Ah

8P

8t;

8r

8t;

⁸fy+i,v 8av+i da,+1

8(7

8<Pv + l,V    0!Pv,v + l

‘r-4 soo    uis

cos (pV)V+t— rv,v+i sin cpvv+i

'",0

ÖCpv /v, V+1

V(*,, atv + l, v + l, ?v+l,v)

* 4+*4 SOO K 4+a^_j_a ‘i+*4 U|S

cos <pv+ljV—rv++ v sin cpvj_i,v

A ‘ï+A/l+^ào

Nt

V+1, v

v+1    ⁰’f

/10

8a

8t7

v, v + 1

ihre Differentialquotienten nach + sind infolge dessen 8(7    8 F

8ety 0,Pv+i,

8t;    817

8av

V+1, V

8 cp

8Z7

,10

8<Pv+l,.v 0<Pv,v+l

⁸+vh-1    8<p,+l>v

^<Pv, v+ 1    _

bU

8F

da^+\ dA₀ ’

8tPv,v+l

8F

v+1

8tPv, V+1    ⁸“v+l

8F

8C7

Jav

¹⁺'- ‘+ +>_ _ +8. l+'-‘+ .48 ne aq m

SV dA₀

8F

8£7

#pv+l,v _

rVfV+1 v dcpv /v, v+i

wo 7V, V+1 die absolute Länge derselben gemeinsamen Tangente, wie sie vom Faden gebildet wird, für den idealen Fall (den Fall der Kreise Rv, 2?v+i) ist. In ähnlicher Weise haben die Anomalien der Berührungspunkte der gemeinsamen Tangente im Contourenpaare S₀SV als gemeinsame Lösungen der Gleichungen

~eL, v+1 ⁸?v+lvv 8cPv+l, V ⁸⁽Pv, v+1

»

C und wenn man die angedeuteten partiellen Differentiationen und Multiplicationen ausführt, unter Vernach-

⁸L,V+1    8cPv+1, V

dA₀

o

cs

^«v+i

Ö(pv + 1/V+1, v

ft>v+i f örv+i rv, v+1

wv+i /8rv+i

A, v+i V 8cpv+i / v+i, vj

‘0 =

1 /8Vy + A

\    / V+1, V

TOi uis ¹⁰a— Tff+0Ti uis °G

°]₇r—TOà soo T(U—ly-h0lii soo °G

I0A uis —lg'+oxi uis ⁰¹j

r₁₀ cos <p₁₀++-r₀₁ cos <p₀₁—A₀

0Tà soo °G-j-0Ti uts

0TA ujs ⁰¹a — 0TA soo

TOà uis ¹⁰a—l0i soo

l0A SOO ¹⁰A-t- IOà UIS

-f-

1 /8Vv

Z?v v ccpv A> TVj v+i V 8cfv -A, v+i J dA₀

da:v

da;v

lässigung der Glieder zweiter Ordnung, findet man

v+i _

0)v

dA₀

8rv

cov

<tyv+l, v _

io / \

V d<p₀ }oi

(⁰j^ <oi^ aofc ciyÿ

dr₁

0X( l(fcg

\ (otj, tp₀₁, (p₁₀, A₀)

ihre Differentialquotienten bis auf Glieder zweiter Ordnung gleich den Ausdrücken

Ko sin ⁺    — sin ?0ll +

d?oi _ _

dA₀ (Ag—A^'

~h

dAg    (Ag-AJ

rdr₁

da^

A₀—Ä₁ { Scrq Jio dA₀ ’

wi

Ko sin Tio + ⁵i—^01 sin 'Foi] +

1 /SVj

“ A’, \ djf/₁₀

__(K \

—A\ V 8cpj Ao-

dat

<i^4₀

Damit werden die Gleichungen (30) einfach

dax

dA₀

da

⁽⁰1 G 2

J2_i_

dAQ

C02 ^2 1

da₂

= 0,

W2 r23

da₉

~h ⁽⁰3 ^32

d OCrj

ćL4₀

= 0,

(31)

+ cow    m—J

da^yi

= 0.

aus-

Hierin sind: r₀₁; r₁₂, r₂₁; r₂₃, r₃₂;...; rm-hm, rnh m_x bekannte Functionen von : a₁ und cp₁₀; von a₁ und cp₁₂, von a₂ und <p₂₁;... ; von aw_i und <pw_i; m, von am und <pm# w_i. Die Gleichungen (31), zusammengenommen mit den Gleichungen, aus welchen die Anomalien der Berührungspunkte in jedem Contourenpaare in Function der beiden Drehungsphasen — beziehungsweise in Function der Drehungsphase ai und der Abscisse A0 gedrückt werden, enthalten die Lösung der Aufgabe.

18. Die Anwendung auf die excentrischen Horizontalräder des Analysators ist eine unmittelbare.

Schneidet man mit einer horizontalen Ebene jedes Rad in der Höhe durch, wo es Vom Draht umwickelt ist, so bilden die Figuren der Räder in dieser Ebene ein System geschlossener

Curven. Nimmt man in dieser Ebene ein rechtwinkliges, zum Gerüst des Instrumentes festes Coordinatensystem xy an, dessen Axen den gleichnamigen Axen des früheren Systems oxyz parallel und die x-Axe durch den Mittelpunkt der Wagen-Leitrolle (-— des Oten Rades) gelegt werden, so ist jenes Curvensystem im Falle der excentrischen Räder durch Gleichungen dargestellt, welche mit der Stellung des Fahrstiftes sich continuierlich ändern, und sind die Veränderungen des Curvensystems gerade von der Art, wie sie im vorigen Paragraph beschrieben wurde. Indem nämlich bei der Verschiebung dx des Fahrstiftes der Draht die Räder 1,2,    in Umdrehung versetzt, ist die

jedem Rad ertheilte Drehung eine solche, dass ein materieller Punkt des umwickelnden Drahtstückes (welcher nicht durch die Verschiebung die Peripherie des Fades verlässt) vor und nach der Verschiebung mit demselben materiellen Punkte des Rades zusammenfällt. Sie ist, mit anderen Worten, durch diese geometrische Bedingung definiert, dass die Entfernung zwischen einem materiellen Punkte der Peripherie der Wagen-Leitrolle und einem solchen der Peripherie des Rades, gemessen längs des Drahtes, durch die Verschiebung nicht geändert wird.

Die veränderlichen Contouren SQ, Sv S₂, ..., welche durch die excentrischen Horizontalräder des Analysators in der xy-Ebene gebildet werden, sind Kreise. Die Gleichungen der Contouren SVS₂₁... in den durch die Umdrehungscentra der Räder gelegten Polarcoordinaten-Systemen sind, wenn man mit §v die lineare Excentricität des vten Rades, mit seinen Halbmesser und mit Ev die in der Anfangsstellung des Instrumentes stattfindende Ablenkung der Richtung Umdrehungscentrum—Radmittelpunkt von der x-Axe bezeichnet,

cos    —jEj )-f-

r₂ =    cos (<p₂—a₂—2?₂) + [8*]

wo also 8V, Ev Instrumentalconstanten des vten Rades sind. Die Verschiebung dA₀ der Contour S₀ ist gleich der Verschiebung dx des Fahrstiftes.

Wir wollen nun untersuchen, wie sich die Horizontalscheibe des f/ten Integrierapparates bei einer positiven Verschiebung dx* des Fahrstiftes drehen wird; wie man später sehen wird, braucht der Fall der negativen Verschiebung hier nicht genauer untersucht zu werden. Die Horizontalscheibe des ^ten Integrierapparates sei das mie Rad.

Dann haben wir die Gleichungen (31) anzuwenden. Es ist aber, bis auf Glieder zweiter Ordnung der Excentricitäten,

Ho —    cos ($io ai

und

r% v —j— i — *v + 8v cos (3>v, v-f-i Ov    £v),

v — -^v-j-1    ^v-f-1 COS (^v + 1, v    av + 1    ^v_[_i),

(v = 1,2,..., w —1),

die Anomalien der betreffenden Be-

10 ’

$v,v + l,

rührungspunkte für den idealen Fall, somit bekannte Constanten des Instrumentes sind. Es fällt daher die Nothwendigkeit weg, bei der Anwendung der Gleichungen (31) erst die Anomalien der factischen Berührungspunkte in Function der Drehungsphasen auszudrücken. Setzt man die obigen Werte ein und summiert die Gleichungen (31), so erhält man

0)m

dv*m

8„

dx

Rm

R-m Rm

COS (⁽h;n, tu—1    V-m Eni)

Rm R\

H- [cos ($₁₀ ai ^i) cos ($₁₈—at— EJ] +

R,n R₂

1 8m-i

Rm Rm—1

^ [cos (<J>

(32)

21

—a₂—E₂) — cos (<f>₂₃ — a₂—JS₂)]+ ... -f-

[COS    m—2 &in—1 Em—\). COS    am-l Em_j)],

wo rechts nur Glieder zweiter Ordnung der Excentricitäten weggelassen sind.

Die weitere Anwendung der erhaltenen Formel muss auf ein bestimmtes Modell des Analysators Bezug nehmen. Hier soll sie für den Fall durchgeführt werden, welcher bei dem von mir benutzten Instrumente vorliegt. Für andere Anordnungen

wird sie sich nach demselben Muster unter leichter Modification durchführen lassen. Bei meinem Instrumente nun sind (sofern nicht zu besonderen Zwecken der Verlauf des Drahtes geändert wird) die Räder 1 und 2 Leitrollen, nämlich die vordere linke und die hintere linke Leitrolle, und darauf folgen als die Räder 3, 4 und 5 die Integratorenscheiben iVs, H₂, Hv oder H₆, Hb, iV₄; ferner sind die Leitrollen negativ, die Integratoren-Scheiben positiv vom Drahte umwickelt. Bezeichnet man also, allgemein für die Horizontalscheibe Hj, mit ej ihre lineare Excentricität, mit Hj den correcten Wert der Anomalie des Ankunftspunktes des Drahtes an dieser Scheibe vermindert um die Anfangsanomalie des Mittelpunktes der Scheibe, mit II'j den correcten Wert der Anomalie des Abgangspunktes des Drahtes von der Scheibe vermindert um die Anfangsanomalie des Mittelpunktes; — ferner mit H den Halbmesser der vorderen linken Leitrolle, mit e ihre lineare Excentricität, mit IT und W die Anomalien des Ankunfts- und des Abgangspunktes des Drahtes an dieser Rolle vermindert um die Anfangsanomalie des Mittelpunktes der Rolle; —■ schließlich mit J, f llr/ und die analogen Größen für die hintere linke Leitrolle: — so erhält man als die gesuchte Beziehung zwischen der Änderung der geographischen Längen der Messrollen des //ten Integrators und der Verschiebung dx des Fahrstiftes:

d\ü

dx

“ Hn ⁺ m

/ TT/ 2 UTZX cos ( IVn + -V    c

Hn H

cos

-f-

Hn J I

cos ^ *F⁷

Jr

Hn

cos

(nJ+ cos (n;'+ -=“)

^ hj L

/=«+l

wo k die höchste Integratornummer in der Gruppe, zu welcher der wte Integrator gehört, bezeichnet. Daraus ergibt sich, wenn Am- den Wert der geographischen Länge der Rolle Mni für die Stellung x — 0 des Fahrstiftes bezeichnet,

7 = « + l

wo also, z. B. für denyten Integrierapparat, ^ ITj II" unbekannte Constanten dieses Apparates sind, die Differenz Ilj—11" jedoch eine bekannte Constante des Analysators ist.

H'_IF

Die Winkel ^-i— sind bei meinem Analysator¹ sehr

gering. Den Coefficient vor der Klammer in dem Summationsglied der letzten Zeile kann man so schreiben:

./

^sni -A-m — '

—4 mu — sin

%    Q    &n

jj + 2 77 TC tln

II'—U"

i*

sin ( IĘ +

2UKX

I—sin II'

cos

2 J COs -

— 4 mu

* iS

sin -

ijjv_qr//

cos

— cos -

v ^    * . m—n/ r

-h \ 4me J sin    —-•

(7    2

cos

/ 2/Vr^

n]+ nf

— cos

rij+ny

TB—[F

j \HjJ

ei

die procentuelle Excentricität der Scheibe Hj dar-[!'—ü-'

stellt. Der Factor —A sin    beträgt in meinem Analysa-

J

tor bei n — 1 : -4-0*1 für j = 2 und +0*01 für j — 3; bei n — 2: -4-0*01. Ist aber der /Ae Integrierapparat einer der höheren Gruppe, so übersteigt der absolute Betrag keines der zugehörigen Factoren den Wert 001. Da man ohnehin nicht hoffen kann, die procentuelle Excentrität mit einer Sicherheit

wo. —

Hj

zu bestimmen, dass man noch

ihres Betrages verbürgen

könnte, so hat es keinen Zweck, diese Glieder noch mitzunehmen. Ferner kann in den Gliedern der zweiten und dritten Zeile, besonders in Rücksicht auf die kleinen Coefficienten dieser Glieder, J ~ H gesetzt werden; ich habe nämlich gefunden H — 15* 70 mm, J — 15*72 mm. Dann ziehen sich diese beiden Glieder in eines zusammen. Bezeichnet man noch 2iz

Cn

mit en, U'n mit E„, so kann man die Formel für geographische Längen endgiltig so schreiben:

(A ni

X \    /

' - + mn sin (

J L

2 nzx

+ E„J-«-sin E* + j

-h m sin    -f-E J

: (33)

wo sn Ew unbekannte Instrumentaleonstanten des Hten Integrierapparates, s E aber von n unabhängige Constanten des Analysators sind.² —

Wie aus der Ableitung ersichtlich, gilt dieser Wert nur, solange der Fahrstift in positiver Verschiebung begriffen ist, oder nach einer positiven Verschiebung auf constantem Ab-scissenwert gehalten wird. Für den Rückweg von der End-abscisse der analysierten Curve zu ihrer Anfangsabscisse müssen wir deshalb schreiben:

— (A ni

i) +U*X

wo (x) eine andere Function von # ist, welche Factoren von erster Ordnung der Excentricitäten enthält.

19. Im Anschluss an die obige Untersuchung über die Wirkung der Excentricitäten der Horizontalräder soll hier noch eine Relation abgeleitet werden, die für später wertvoll sein wird. Die Gleichungen (31) liefern die Relation zwischen den Drehungen zweier unmittelbar nacheinander eingeschalteter Räder, des als vtes und des als (v-l)tes eingeschalteten:

doLv

o)v-~i rv_i, v

d av_t

Wv ^ v, v—1

Ist also unmittelbar vor oder nach einer Integratorscheibe, Hq, eine andere Integratorscheibe, Hl geschaltet, dann besteht zwischen der Änderung der geographischen Längen der Messrollen in dem pten Integrierapparate und der gleichzeitigen Änderung der Rollenlängen in dem gten Integrrerappa-rate (wobei wir die Rollenindices weglassen können) die Relation

d\q _ Hp->rep cos (II*—a.p)

Hq + eq COS (Jlq — dq)

oder

in den Draht ein-

d X^    H'

~d\p ~ JĘ~H,

Hq

l[\p-Ap]) +

■ ü

Hq

wo die Constante Up die Anomalie des Berührungspunktes der gemeinsamen Tangente mit der Scheibe Hp vermindert um die Anfangsanomalie des Mittelpunktes der Scheibe Hp, die Constante IIq dagegen die Anomalie ihres Berührungspunktes mit der Scheibe Hq vermindert um die Anfangsanomalie des Mittelpunktes der Scheibe Hq ist. Durch Integration erhält man eine Formel, welcher man die beiden folgenden Gestalten geben kann :

^s^[sin(X^—A q—n^)-f-sin 11^] — —(kq—A^) -f-

-4—fj- (hp—A^-p^s^fsin (kp—Ap—II*)4-sin fl*],

Hq

pzp[sin (kp—Ap—Up) + sin II*] = — (kp—Ap) +

+    (kq—Aq) + psq [sin (X?—Ag—Df) + sin JĘ].

(34)

Hp

Die gleichen Formeln gelten bei leichter Modification der Bedeutung der Constanten II*, Upq auch für den Fall, dass der Draht zwischen den Scheiben HpHq noch Räder antrifft, jedes derselben aber mit einer geringen Differenz der Grenzanomalien umwickelt.

Dank der Eigenschaft (34) ist es für gewisse Integratorenscheiben möglich, ihre Excentricitäten unabhängig von anderen Instrumentalfehlern und ohne die Nothwendigkeit präciser Einstellungen des Wagenindex an der Schienen-theilung zu bestimmen (Art. 37.).

20. Ich betrachte jetzt den Fall einer schrägen Befestigung der Horizontalscheibe des wten Integrierapparates an ihrer Utn-drehungsaxe. Die Normale der Scheibe, d. h. die geometrische Axe ihrer Mantelfläche, bilde mit der Umdrehungsaxe einen kleinen Winkel z. Da die Scheibe sich nur um diese Umdrehungsaxe drehen kann, eine Verschiebung der Scheibe mit dieser Axe oder eine Drehung um eine dazu senkrechte Axe dagegen durch die Construction des Apparates verhindert ist, so kommt allein der Umstand in Betracht, dass die lineare Verschiebung eines die Scheibe berührenden Drahttheilchens unter Umständen, nämlich je nach seiner Lage gegen die Ebene der Normale und der Umdrehungsaxe, nicht mit ihrem vollen Betrage wirken kann im Sinne einer Rotation um die Umdrehungsaxe der Scheibe, sondern nur mit dem ihrer Projection auf die zur Umdrehungsaxe senkrechte Ebene; und ferner, dass der Arm der Verschiebung eines Drahttheilchens in Bezug auf die Umdrehungsaxe unter Umständen verschieden sein kann von dem Scheibenhalbmesser Hn, nämlich gleich der directenDistanzdesBerührungspunktes von derUmdrehungsaxe.

Jedoch ist klar, dass jene Projection der Verschiebung stets bis auf Größen zweiter Ordnung der Neigung z gleich bleibt der Verschiebung selbst; ebenso, dass die Distanz von der Umdrehungsaxe stets bis auf Größen zweiter Ordnung der Neigung gleich bleibt dem Scheibenhalbmesser Hn. Der daraus resultierende Fehler in der Drehungsphase des Rahmens des Integrierapparates ist daher zu vernachlässigen.

21. Die bisher behandelten Fehler des Analysators waren die »Orientierungs-« und »Positionsfehler«. Ich gehe über zur Betrachtung der »metrischen« Fehler, d. h. solcher, die in ungenauen Dimensionen der einzelnen Organe des Instrumentes bestehen.

In der ganzen Theorie des Analysators und der Constanten-bestimmung gebrauche ich immer als die Längeneinheit, auf welche alles reduciert wird, den »Analysator-Millimeter«, d. h. den 360ten Theil der zwischen dem Strich 0 und dem Strich 360 der Schienentheilung des Analysators enthaltenen Länge, c. Das Zeichen mm soll immer diesen Analysator-Millimeter bedeuten. Mit Rücksicht auf eventuelle Veränderlichkeit der Schienenlänge wird man genauer sagen, 1 mm bedeute den momentanen Analysator-Millimeter. Es ist also immer streng C “ 360 mm.

Bei dem correcten Analysator ist der Halbmesser der Scheibe Hn

2niz

Hn-

Bei dem fehlerhaften Analysator sei er

Hn =

2l^(1+Sn}’

wo sn von der ersten Ordnung klein sei. Die Wirkung dieser Fehlerquelle ist einleuchtend: es ist dann oder

(35)

2 MtX

wo also kn eine unbekannte Instrumentalconstante des ?Aen Integrierapparates (abstracte Zahl) ist.

Bei dem correcten Analysator sind die Halbmesser: der Laufräder L, der Messrolle Mni, und des Cylinders C„ so getroffen, dass

c„

LMni

5 mm

ist. Bei dem fehlerhaften sei dieses Verhältnis

Cn

LMni

5 mm

(1 4-mm),

wo mUi von der ersten Ordnung klein sei. Dann ist die unendlich kleine Drehung der Messrolle um ihre Axe

sin \ni dy +

Mni

sin \ni dy,

(36)

5 mm

wo die abstracten Zahlen mnV mn2 zwei unbekannte Instru-mentalconstanten des wten Integrierapparates und von der ersten Ordnung klein sind.

5 mm

22. Die »Fehler des Anfangszustandes« bestehen darin, dass die Anfangswerte der geographischen Längen der beiden Messrollen des /?ten Integrierapparates andere sind, als bei dem correcten Analysator. Bezeichnet man die speciellen Winkel, welche bei dem letzteren zutreffen (180° für die Rolle MnV 270° für die Rolle Mn2) mit A?„•, so. kann man setzen

A ni — A ni "b Th >

wo Tn von der ersten Ordnung klein sei. Dann ist

^ni —

(37)

2 fi%x    ₄₀ ,

------h hni)

c    I

inV 3n2 sind zwei unbekannte Instrumentalconstanten des «ten Integrierapparates.

23. Es bleibt übrig, zum Schluss einige Bemerkungen zu machen über die verschiedenen physikalischen Umstände, welche die Functionierung des Instrumentes beeinflussen.

Ein solcher Umstand ist die Ausziehung des Drahtes durch die Kraft der den Wagen führenden Hand. Das Stück des Drahtes, welches, in einer bestimmten Stellung x des Fahrstiftes, hinter dem Wagen liegt und bis zu der betrachteten Scheibe H„ sich erstreckt, ist infolge dieses Umstandes ver: längert und diese Verlängerung eine lineare Function seiner Länge, also auch des x. Wie bereits in der Einleitung dieses Abschnittes erwähnt hat schon Herr Bervy deswegen gesetzt

■b A ni j -b An-\-Bnx.

2 nnx

Für den Rückweg, d. h. denjenigen Theil der Umfahrung, wo die Abscissen abnehmen, wirkt die Zugkraft in entgegen-

gesetzter Richtung und ist für die Drehung der Scheibe das an der anderen Seite des Wagens liegende Drahtstück maßgebend; es wäre also mit Rücksicht darauf für den Rückweg zu setzen

x.

\ii —

2mzx

Die Fehlerglieder An-bBnx, A'n-+-B'nx werden als stets klein bleibend vorausgesetzt, so dass ihre Quadrate vernachlässigt werden dürfen.

Ein Glied von dieser Form haben wir indessen in unserer Theorie schon gehabt. Ein solches entsteht nämlich durch die Verbindung unseres »Anfangsfehlers« der Rolle Mni mit dem »metrischen Fehler« der Scheibe Hn. Die Berücksichtigung der Ausziehbarkeit des Drahtes wird für uns also lediglich darin bestehen, unseren Instrumentalconstanten a,M- und hn eine etwas veränderte physikalische Bedeutung beizulegen; außerdem aber, diese Constanten für den Rückweg durch andere, dni und hfnf zu ersetzen. —

Ferner gehört zu solchen Umständen auch das Gleiten des Drahtes an der Scheibe, wodurch die Drehung der letzteren verzögert wird. Die Möglichkeit einer solcher Erscheinung kann nicht ausgeschlossen werden, obwohl, wie mir scheint, ein Gleiten, praktisch genommen, gar nicht stattfindet, falls der Draht richtig gespannt und die Axe der Scheibe in ihrem Lager richtig eingeölt ist. Indessen ist, unter der Annahme, dass das Gleiten als gleichmäßig und somit der Betrag der Verzögerung als proportional der vollzogenen Drehung angesehen werden kann, die Wirkung dieses Fehlers offenbar wieder dieselbe, wie die eines metrischen Fehlers der Scheibe, h

Eine gehörige Spannung des Drahtes ist aber ohnehin aus anderen Gründen erforderlich. Ein nicht richtig gespannter Draht krümmt sich stellenweise mehr oder weniger, und ein gekrümmter Draht ist selbstverständlich zum Gebrauche absolut untauglich, weil die krummen Stellen sich leichter als die anderen verlängern. Ich habe die Spannung immer akustisch gemessen, eine Methode, die ebenso einfach wie empfindlich ist. Der Wagenindex wurde mit einer nach links gerichteten Bewegung des Wagens auf den Strich 0 der Schienentheilung gestellt, sodann das zwischen dem Wagen und der vorderen rechten Leitrolle liegende Drahtstück mit einem weichen Holzstäbchen leise angeschlagen und der hörbar werdende Ton mit dem einer Stimmgabel verglichen. Beim Anlegen eines Drahtes muss man darauf achten, dass derselbe keinen kurzen Bug (Knick) erhält, weil er dann an dieser Stelle leicht brechen würde. Ist ein Draht ohne einen solchen angelegt, so nenne ich die größte Spannung, welche er noch verträgt, d. h. bei welcher er noch nicht bricht, die höchste zulässige Spannung. Für die Functionierung des Instrumentes am günstigsten ist nun nach meinen Erfahrungen eine Spannung, welche nur wenig kleiner als die höchste zulässige Spannung ist. Für mein Instrument und für den Fall, dass der Draht an den unteren Scheiben liegt, ist es etwa die Spannung d! oder e³.

Nach einer Neuanlegung des Drahtes darf derselbe jedoch nicht gleich auf diesen Ton, sondern zunächst um mehrere Töne (etwa eine Quinte) tiefer gespannt werden. Sodann fährt man den Wagen gleichmäßig und sehr langsam mindestens zweimal bis an das rechte Ende der Schiene und zurück, damit die Spannungen sich ausgleichen, und spannt darauf nur um einen Zahn der Vorrathsrolle weiter. Dann fährt man wieder langsam mindestens zweimal hin und zurück, und wiederholt das Verfahren solange, bis jene günstigste Spannung nahezu (etwa bis auf einen Ton) erreicht ist. Lässt man gleich nach der Weiterspannung um einen Zahn der Vorrathsrolle den Draht wiedererschallen, so findet man den Ton in der Regel um etwa eine volle oder eine kleine Terz,³ nach der wiederholten Hin- und Rückfahrt nur noch um etwa eine volle oder eine kleine Secunde höher, als er vor der Spannung war. Das kleine Intervall, welches die schließlich erreichte Spannung noch von jener günstigsten Spannung trennt, pflege ich vorderhand (etwa bis zum nächsten Tage) bestehen zu lassen.

In den ersten Tagen nach einer Neulegung des Drahtes, besonders wenn unterdessen Umfahrungen ausgeführt werden, lässt die Spannung allmählich nach, so dass man noch zwei-oder dreimal veranlasst ist, den Draht wieder um einen halben Ton fester zu spannen, um den früheren Ton wiederherzustellen. Später sind die Zeitpunkte, wo eine solche Correctur nöthig wird, durch sehr viele Umfahrungen von einander getrennt. Eigenthümlich ist jedoch die Erfahrung, dass, wenn ein Draht schon mehrere Male eine Wiederherstellung des ursprünglichen Spannungszustandes erfahren hat, er dann dieselbe Spannung nicht mehr verträgt; man muss sich dann mit einer etwas geringeren (etwa c%) begnügen.

Liegt der Draht an den oberen Scheiben, dann ist die für den früheren Fall günstigste Spannung nicht mehr zulässig; er verträgt sie dann kaum, wohl wegen der stärkeren Krümmung, ln diesem Falle ist am günstigsten etwa die Spannung h oder c'. —

Ein weiterer Umstand von Einfluss ist das Gleiten der Messrollen an der Kugel (oder genauer gesagt, der Kugel an den Rollen) längs der Tangenten ihrer Peripherien. Ist die Freiheit der Rollenaxe, sich in ihren Lagern zu drehen, infolge irgend einer der sofort anzuführenden Ursachen vermindert, dann kann dieses Gleiten sogar ein derartiges sein, dass die Rolle bei einer Fahrt des Instrumentes längs der y-Axe sich überhaupt, wenigstens bei gewissen geographischen Längen, nicht dreht. Dasselbe tritt natürlich ein, wenn die Kugel nicht dauernd durch die Stützrolle angedrückt wird gegen die Messrollen. Sind jedoch die nöthigen Vorsichtsmaßnahmen getroffen worden, dann ist dieses Gleiten nur gering und kann als gleichmäßig angesehen werden. Diese Fehlerquelle vereinigt sich offenbar mit dem »metrischen Fehler« der Messrolle, mni. Eine sehr eigenthümliche Beobachtung des Herrn Bervy,⁴ wonach der Betrag der entstandenen Verzögerung der Rolle fast unabhängig sein soll von der durchlaufenen Ordinatenlänge (was als ein Grund dafür angeführt wird, bei den zu analysierenden Zeichnungen die Ordinaten-Scala möglichst groß zu wählen),.

habe ich nicht bestätigt gefunden. Denn in diesem Falle müssten meine ohne Berücksichtigung eines solchen Verhaltens ausgeführten Bestimmungen der Constante mni verschiedene Werte ergeben haben, je nach der Länge der zu diesem Zwecke befahrenen Ordinaten; thatsächlich -aber stimmen diese Werte befriedigend überein. —

Ein Vorgang von großem Einflüsse auf das Verhalten des Analysators ist die fortschreitende Verunreinigung des Instrumentes durch Staub und eventuell auch Rost. Sie findet ihren Ausdruck darin, dass verschiedene in der obigen Theorie aufgestellte Constanten — mit dieser Bezeichnung war zunächst nichts weiter gemeint, als Größen, die während einer Umfahrung als constant angesehen werden dürfen — ihre Werte allmählich ändern; ja, mit zunehmender Verunreinigung der einzelnen Organe wird die Wirkungsweise der letzteren überhaupt eine ungesetzmäßige, oder — mit anderen Worten — die bezüglichen Factoren verlieren ihre Constanz; man merkt dies auch daran, dass dann kurz nacheinander ausgeführte Bestimmungen einer Constante keine befriedigend übereinstimmenden Werte mehr geben.

Der auf das ganze Instrument fortwährend niederfallende Staub wird nämlich an denjenigen Stellen der Cylinder, welche bei den Umfahrungen in Berührung mit der Kugel kommen, zusammengequetscht und bleibt dort haften. Nach einiger Zeit wird auf der Mantelfläche jedes Cylinders längs des mittleren Parallelkreises dieser Fläche eine dunkle Linie sichtbar, die allmählich immer dunkler wird. Es ist eine Schmutzschichte. Gleichzeitig constatiert man die gleiche Erscheinung auch auf den Kanten der Rollen. Wird der Apparat dann noch nicht gereinigt, so erscheinen bald auch auf der Oberfläche der Kugel zerstreute Schmutzflecke. Ferner können sich Staubtheilchen zwischen der Theilungstrommel der Messrollenaxe und dem daneben befindlichen Indexbogen, oder in den Lagern der Rollenaxe, oder schließlich in den Lagern der die Cylinder tragenden Walze allmählich anhäufen. Alles dies beeinflusst selbstverständlich die auf die Drehung d[xni bezüglichen Constanten. Solange jedoch die Verunreinigung nur wenig fortgeschritten ist — es gelingt aber durch entsprechende Maßnahmen und allgemeine vorsichtige Behandlung, diesen Zustand selbst bei täglich mehrstündigem Gebrauche des Instrumentes viele Monate hindurch zu erhalten —, kann die obige Theorie angewandt, und die bezüglichen Factoren als Constanten in dem Sinne dieser Theorie angesehen werden, die nur allmählich fortschreitende kleine Änderungen erfahren.

Um dies zu erreichen, muss man das Instrument selbstverständlich sowohl außerhalb des Gebrauches vor dem Staube schützen, als auch — soweit dies möglich — während des Gebrauches eine Bestäubung desselben vermeiden. Außerdem aber bürste ich jedesmal vor und nach dem Gebrauche die Laufräder und die Cylinder, manchmal auch die Kugeln und die Celluloidringe, mit einem weichen Pinsel, der dem Instrumente beigegeben wird, ab. Den auf den oberen Balken des Gerüstes und den oberen Flächen der Horizontalscheiben liegenden Staub muss man entweder ruhig liegen lassen, oder ihn nur dann abstreifen, nachdem man Vorsichtsmaßregeln getroffen hat, welche sein Herunterfallen auf die Organe der Integrierapparate verhindern.

Ist endlich die Verunreinigung des Apparates zu weit fortgeschritten, dann muss man eine gründliche Reinigung seiner Organe vornehmen, — eine Operation, die freilich die Noth-wendigkeit der .Neubestimmung seiner meisten Constanten zur Folge hat. Ich umwickle zu diesem Zwecke den kleinen Finger mit einem ziemlich weichen Lappen, dessen Oberfläche glatt (ohne Härchen) ist, benetze den letzteren mit Petroleum und wasche damit, während die Kugel vom Cylinder abgehoben bleibt, die Oberfläche des Cylinders rein. Dann wird die Kugel auf den Cylinder heruntergelassen und, unter zweckmäßigen Bewegungen des Instrumentes, die Oberfläche der Kugel und die Kanten sämmtlicher drei Rollen ebenso gewaschen; nur ist bei der Waschung der Rollenkanten der Lappen auf einem schmalen Holzstäbchen aufgewickelt. Ferner reinige ich auch, mit Petroleum und einem zugespitzten Hölzchen, die Spitzen aller Axen. Um etwaigen zwischen der Theilungstrommel und dem Indexbogen befindlichen Staub zu entfernen, schneide ich ein Stückchen Papier mit scharfen Kanten aus, halte dasselbe in den Zwischenraum hinein und drehe die Rollenaxe mit der

z sin E = —4 Tz

sin -

ir-ir ir+ir

cos--

4 Ti - • sin

W'-W"

cos

irvF"

t’

z cos E = —4 k — sin

if- ii" ir+n" /

----sin —------4 ii — sin

vpcJIf'

sin

Ijr'+lp"

Trommel mehreremale um.¹ Zuletzt werden sämmtliche Axen (auch die Spindel der Horizontalscheibe) in ihren Lagern eingeölt. Die freie Drehbarkeit der Messrolle wird geprüft, indem ihr .an der Trommel-Mantelfläche ein leichter Antrieb ertheilt wird, der jedoch wegen Schonung der Axenspitzen möglichst ausschließlich in der Richtung erfolgen soll, welche sowohl zum Radius als auch zur Axe senkrecht ist. Die Rolle soll sich dann lebhaft spielend drehen und langsam auslaufen. An der Lagerung der Rollenaxe findet man eine Vorrichtung, welche es ermöglicht, die gegenseitige Entfernung der beiden Lagerbolzen ein wenig zu ändern oder auch das ganze Bolzenpaar ein wenig in der Richtung der Axe zu verschieben. Die letztere Verschiebung kann dazu benutzt werden, einen hinreichend breiten Zwischenraum zwischen der Trommel und dem indextragenden Segment herzustellen; dieser Zwischenraum soll eher zu breit als zu eng gehalten werden. —

Die Instrumentalconstanten weisen zweierlei Art ihres Verhaltens auf.

Die einen unter ihnen erfahren, wenn das Instrument rein gehalten und umsichtig behandelt wird, nur allmählich fortschreitende kleine Änderungen und bleiben in langen Zeiträumen mit hinreichender Genauigkeit constant. Dies sind die Constanten aller Orientierungs- und Positionsfehler, — abgesehen natürlich, soweit diese Constanten Winkel sind, von der in ihnen enthaltenen Anfangs-Drehungsphase des bezüglichen Organs des Instrumentes. Bei dem Cylinder wird die Anfangs-Drehungsphase (d. h. die der Stellung y — 0 des Stiftes entsprechende) im allgemeinen bei jeder neuen Aufstellung des Instrumentes eine andere sein, und die einmal bestimmten Werte der Constanten Yn, müssen daher, bevor sie für ein anderes Mal angewendet werden, um den Unterschied der alten und der neuen Anfangs-Drehungsphase vergrößert beziehungsweise verkleinert werden; zu diesem Zwecke muss also dieser Unterschied ablesbar sein. Ich habe deswegen an der ebenen Fläche des einen Laufrades eine ganz rohe Winkeltheilung und neben dem Laufrad, mit der hinteren Gestellschiene fest verbunden,

¹ Diese Maßregel habe ich einer Broschüre des Herrn Coradi über seine Planimeter entnommen. (Die Planimeter Coradi. Zürich, 1895.)

(L. Grabowski.)

einen Index angebracht, der das Laufrad nicht berührt. Die Theilung geht von 10° zu 10°, lässt also noch einzelne Grade schätzen; eine auf 5° genaue Ablesung genügt indessen sicher für den vorliegenden Zweck. Die Constanten Ew, E enthalten wieder die Anfangs-Drehungsphasen (d. h. die der Stellung x = 0 entsprechenden) der Horizontalräder des Instrumentes; diese können sich in einem hier zu berücksichtigenden Betrage nur bei Gelegenheit einer Neulegung des Drahtes ändern. Dies wird am einfachsten dadurch berücksichtigt, dass man bei einer solchen Operation darauf achtet, dass die in Betracht kommenden Räder nach der Operation ungefähr dieselbe Lage haben wie vorher; hiezu genügt die Anbringung einer Marke an der oberen Fläche jedes Rades und Beobachtung ihrer Coincidenz mit einer entsprechend gewählten oder absichtlich hergestellten Marke an dem zugehörigen Theile des Gerüstes.

Im Gegensatz dazu zeigen die Constanten hn und aMi ein zufälliges Verhalten und müssen für jede Analyse besonders bestimmt werden. o„2 führe ich nicht an, weil die Differenz o«2—3/ti wieder von der ersteren Art ist. Die Veränderlichkeit der Constanten hn, gu1 erklärt sich wohl durch kleine (und die größeren, künstlichen) Variationen der Spannung und sonstige Vorgänge im Draht; zum Th eil vielleicht auch durch die ungleiche Temperaturausdehnung der Längeneinheit (Stahl), des Drahtes (Silber) und der Scheibe (Messing). Die Fehler awl und a„2 kann man vor jeder Analyse, beide gleichzeitig um denselben Betrag, verringern: eine eigene Justiervorrichtung nämlich erlaubt es, nach Lockerung einer Schraube den ganzen Integratorrahmen bei stillstehender Scheibenspindel um diese beliebig zu drehen und dann wieder an ihr festzuschrauben; ein kleiner Fehler wird aber natürlich immer bleiben. —

Als den letzten physikalischen Umstand von Einfluss auf die Functionierung des Analysators erwähne ich die Temperatur. Um diese stets unter Contrôle halten zu können, habe ich an geeigneter Stelle des Gerüstes ein Thermometer angebunden, das also immer mit dem Analysator mitfährt. Nach dem Herausnehmen des Instrumentes aus dem Kasten stieg gewöhnlich die Temperatur, einige Zeit lang, im ganzen um 1 ° oder l¹/₂° C., bis sie stationär wurde.

Durch Temperaturwechsel ändert sich der Gang der Messrolle infolge ungleicher Ausdehnung des Materials des Rahmens, in welchem sie gelagert ist (Messing?), und der Rollenaxe (Stahl). War das Instrument an kühlem Orte aufbewahrt, so wird die Rollenaxe im Anfänge zu wenig Spielraum und dadurch die Rolle einen trägen, schweren Gang haben, was die Constante mni beeinflussen würde. Um dem vorzubeugen, erwärme ich den Rahmen der Rollenaxe mit der Hand etwas, ehe das Instrument in Gebrauch genommen wird¹; ich halte ihn zu diesem Zwecke etwa V/₂ Minuten zwischen den Fingern.

Ob die übrigen durch Temperaturwechsel hervorgerufenen Änderungen in den Dimensionen des Instrumentes einen merklichen Einfluss auf diese oder auf andere Constanten haben können, vermag ich auf Grund meiner Erfahrungen nicht zu entscheiden. Meine Beobachtungen zeigen einen deutlich ausgesprochenen Einfluss dieser Art nicht. Sie bewegen sich aber auch innerhalb ziemlich enger Temperaturgrenzen; denn es war das gerade angestrebt, in nicht zu verschiedenen Temperaturen zu arbeiten. Die niedrigste in meinem Beobachtungsjournal notierte Temperatur ist +18° C., die höchste -4-27° C.; innerhalb dieser Grenzen also ist eine solche Abhängigkeit nicht zu constatieren.

Immerhin dürfte es keine übertriebene Vorsicht gewesen sein, wenn darauf geachtet wurde, dass während einer Befahrung die Temperatur ungefähr constant bleibe. Sicher aber ist es von großer Wichtigkeit, dafür zu sorgen, dass das Instrument dabei möglichst gleichmäßig erwärmt sei. Bei den feinen Constantenbestimmungen, wo mitten innerhalb einer Operation mehrere Male genaue Ablesungen, sei es an dem Wagenindex, sei es an den Trommeln der Integrierapparate, gemacht werden müssen, könnte es leicht Vorkommen, dass die nahe daran befindlichen Organe des Instrumentes durch die Ausstrahlung des Kopfes des Beobachters in schädlichem Grade plötzlich erwärmt werden; in solchen Fällen scheint es nach meinen Erfahrungen von gutem Erfolge zu sein, nach der Ablesung, durch Anfächeln der betroffenen Theile von ver-

Diese Maßregel ist ebenfalls der erwähnten Broschüre entnommen.

schiedenen Seiten mit der Hand, in der Umgebung derselben eine Luftcirculation zu erzeugen und dann einige Zeit (z. B. 2 Minuten) zu warten, ehe die Befahrung fortgesetzt wird. Aus derselben Rücksicht auf Constanz und namentlich Gleichmäßigkeit der Temperatur soll man auch nie bei künstlicher Beleuchtung oder in directer Sonnenstrahlung, sondern nur bei diffusem Tageslichte mit dem Analysator arbeiten.

Dass die Fenster, namentlich bei kühler Witterung, geschlossen zu halten sind, braucht kaum besonders hervorgehoben zu werden, da dies auch sonst, um Staub fernzuhalten, erforderlich ist. —

Endlich muss während der Befahrungen jeder, auch der leiseste Anstoß, sei es an das Instrument selbst oder an den Arbeitstisch, sowohl wie jede stärkere Erschütterung, streng vermieden werden, weil unter Umständen dadurch die Ablesungen, oder auch gewisse Constanten, sich ändern können. Zur Vermeidung von Erschütterungen ist besondere Aufmerksamkeit nothwendig beim Einlegen des Instrumentes in den Kasten. Beim Schließen des Kastens endlich ist darauf zu sehen, ob die an dem Deckel angebrachten Holzeinlagen, die das Instrument festzuhalten bestimmt sind, keinen Druck auf ihre Anlehnungspunkte am Instrument ausüben. Ein solcher Druck auf den oberen Zapfen der Horizontalscheibe z. B., mag er auch für die schließende Hand nur einen geringen Widerstand bieten, genügt schon, die Ebene der Rollenaxen hinunterzudrücken, so dass nachher die Rollen bei Gebrauch des Instrumentes die Kugel nicht mehr in Punkten eines größten Kreises berühren, und infolge dessen unter Umständen sogar die Drehung der Rollen unterbleiben kann.

Zu einer Bemerkung gibt noch Anlass die Einrichtung der Bremse. Bei meinen Bestimmungen namentlich der auf die Cylinder bezüglichen Constanten konnte ich so lange zu keinen irgend befriedigend übereinstimmenden Resultaten kommen, bis es mir einfiel, auf das Bremsen ganz zu verzichten. Dieses geschieht bei meinem Instrument durch eine Schraube, deren Mutter in dem rechten Querbalken des unteren Gerüstrahmens sich befindet und deren Spitze beim Bremsen gegen die äußere ebene Fläche des rechten Laufrades drückt. Diese Bremse hebt also das Rollen des Instrumentes auf die Weise auf, dass die linke Spitze der Axe der Cylinder in ihr Lager eingepresst wird. [Genauer gesagt, bleibt vielmehr die Walze der Cylinder durch die Laufräder auf dem Tische ruhen, dagegen wird das ganze Gerüst zusammen mit allen Integrierapparaten nach rechts verschoben, so lange, bis das linksseitige Lager an die Spitze der Walze fest angepresst ist.] Es ist klar, dass dieser Vorgang an sich schon Fehler in den Anzeigen der Rollen bewirken kann. Ferner aber kann man nicht erwarten, dass nach Losbremsung der ursprüngliche Zustand des Instrumentes vollständig wiederhergestellt ist, vielmehr wird nach wiederholter Bremsung das Gerüst dauernd gegen die Laufräder und das Papier mehr oder weniger verschoben bleiben, und anderseits kann (was wohl noch wichtiger ist), infolge des ganz unsymmetrischen Eingriffes der Bremsschraube in Bezug auf die Axe der Laufräder, eine Ausbiegung der Endstücke der Axe entstehen,-beziehungsweise verändert werden.

Zusammenfassende Formeln.

24. In den vorangegangenen Discussionen sind die Glieder gefunden worden, welche durch die einzelnen Fehlerquellen zu dem Ausdrucke für d\xni oder zu dem für \ni geliefert werden. Fasst man diese einzelnen Ergebnisse zusammen, so erhält man folgende Formeln, in denen xy die Coordinaten des Fahrstiftes, 5 die von ihm durchlaufene Bogenlänge ist:

d\y>ni —

5 mm

sin \ùdy-f-

/ y    \

j j T* 1 u J sin \n[dx-f-

-f- n cos Mni

-+-    S)ds-h%njgnj(Mnj, s)ds +

5.

nini

5 mm

■/

sin Xnidy-h

in

ST

ui

+ [cyclische Glieder]

(38)

und

^ni —

— 2 Mtx

\mn sin

2 UTZX

+ \^n ) —sin E;z

A- ne

sin

(J+e)—sinE

)k S

A-

¹ dm

(39)

wo zwei Ausdrücke in einer geschweiften Klammer übereinander stehen, gelten die oberen für die Hinfahrt, die unteren für die Rückfahrt; die Klammer: [cyclische Glieder] vertritt Glieder, deren Integral == 0 ist, wenn die Integration längs einer geschlossenen Contour ausgeführt wird.

Y

In den Coefficienten , —f—, ist es offenbar erlaubt, lv±ni Mni Aini

Mn\ — MU2 zu setzen, wodurch diese Coefficienten von dem Index i unabhängige Constanten werden; wir führen dann 7/t • 5 mm *n . 5 mm 7« • 5 mm

’ Mni ’ Mni Constanten ein, die wir, um die Bezeichnungen nicht zu vermehren, wieder mit den Buchstaben 7«,    *)n bezeichnen

wollen. Diese Buchstaben in ihrer früheren Bedeutung werden von nun an nicht mehr Vorkommen. Ferner führen wir, da die Functionen /m(Mn/-,s), gnJ(Mnj,s) von der Dimension (Länge)

F ni (^nij $) Gnj(^-nßF)

5 mm

ein, so dass die Ausdrücke Fni(Mni,s), Gnj(Mnj, s) abstracte sind: Fni(Mni, S) =

die abstracten Zahlen

als neue

-1

sind, statt derselben die Bezeichnungen

5 mm

mt

Kn

sin (|I„, -4- M,„) sin \ni cos X„, cos (5, x) +

36 Kn -f- On

+ [sin    — cos (ji,+ sin X,„- sin (5, x)

GnjQA-nj, S) —

— (    ¹ ) “ sin OV/ H-M/y)

ob

/ A»

U, + C„

sin² Xyy- — 1 cos (s, #)—

sin    sin X,y- sin (.s, #).    (22')

¹

Meines Wissens richtet Herr Coradi dies auch bei anderer Anzahl der Integrierapparate regelmäßig so ein.

²

Es ist dann:

³

Zuweilen, allerdings selten, kommt es vor, dass die Erhöhung viel größer (z. B. = eine kleine Quinte) gefunden wird, die Spannung also einen plötzlichen Sprung ausgeführt hat. ln solchem Falle muss man sofort wieder um einen Zahn zurückschrauben, sonst bricht der Draht im nächsten Augenblicke, jedenfalls aber sicher bei der nächsten Bewegung des Wagens, — und erst mehrere Hin- und Zurückfahrten ausführen.

⁴

c., S. 117, Zeile 7 von unten bis 5 von unten.

Mittels der genannten Bezeichnungen hat man die beiden

Formeln

d[Xni —

5 mm

sin \nidy-F

T«

5 mm

^ —FI «.J sin \ni dx-F

5 mm

cos

y +kA sin xnidy+

Ï»

5 mm

u sin l^j- +K7Zj cos \nidx-h

5 mm

sin \tidyĄ-

4- [cyclische Glieder]

(38')

und

(39).

Die Größen.    D^^«2?    Yw» E/j, Ew,

hn und h'n\ ortl, ow2 und a{,₂ sind unbekannte Instrumental-constanten des ^ten Integrierapparates, s, E von # unabhängige unbekannte Instrumentalconstanten des Analysators. Sie alle sind abstracte Zahlen und, mit Ausnahme der mit griechischen Majuskeln bezeichneten Winkel, von der ersten Ordnung klein; die Function (%) besteht ebenfalls aus Gliedern mit constanten Factoren erster Ordnung. L, H, c sind bekannte Constanten: L — 23 * 625mm, H zu 15'71 mm, C — 360mm.

25. Beschreibt nun der Fahrstift eine Curve S von einem Punkte A {x — 0, y — ya) bis zu einem Punkte B (x — c, y — ye — yaj vgl. S. 7) und kehrt dann vom Punkte B geradlinig zurück zum Ausgangspunkte, so erhält man die Gesammtdrehung der Rolle Mni (/ml, 2), wenn man den Ausdruck d\ini über die ganze vom Fahrstift beschriebene Contour, £, integriert. Man setze nun (39) in (38') ein, wobei man sich wieder auf Glieder erster Ordnung beschränkt. Man bedenke ferner, dass für den geradlinigen Theil BA des Integrationsweges das Integral aller Glieder, welche mit dy multipliciert sind, Null ist; auch in dem

/\

Fig. 8.

Integral des Gliedes

T»

5 mm

w cos

( +r„)sin(

—2 mzx

4- A₇°; dx

ersetzt werden, da y

kann das Integrationssymbol

r*x = 0    /

auf dem Rückwege constant und / in f

Jx = e    K

—2 mzx

’ in

4- dx — 0

ist. Außerdem tritt in den von der Excentricität des Cylinders herrührenden Gliedern eine Vereinfachung ein. Setzt man nämlich für den Augenblick

C7 (#_y) = —

2nnL

sin

4- K„ cos

—2 mzx

+ A ?n-    ,

F(#y) = cos

(r+K”)sin(

—2 mzx

+ A-ni ) ?

so kann man das Integral der beiden erwähnten Glieder längs der Contour £ so schreiben:

5 mm

V (xy) dy —

5 mm 27zL ^

[U(xy) dx 4- V(xy) dy].

Das zweite dieser Integrale fällt aber weg, nach dem bekannten Satze der Theorie der Curvenintegrale, dass für jede geschlossene Contour E das Integral

U (xy) dx 4- V (xy) dy = 0

fv

ist, wenn innerhalb der Contour die Functionen U und V sowie ihre ersten Ableitungen stetig sind und dortselbst die Relation

dU _ d V dy dx

erfüllt wird.

Man erhält also für die Gesammtdrehung der Messrolle bei der Umfahrung den Ausdruck

! d\yni = ' 2

5 mm

sin

-2mzx A0 v ----h A IA dy

+ Th '

5 mm

n cos

+ F,, ) sin

—2mzx

+ j dx -f-

2t:L ‘7 5 mmj^

cos

4- Kn

) sin (yU^ X- + A?„) dy

'4-

“F £« *

5 mm

sin

'2nizx

fEw )—sinEw

COS

f—2n%x

4- Iln-

F A^/j <iy4-

4-A ni)dy+

f—2imx

■Js”[sin(l'+E)

C    (—2mzx

/ cos —

Js    V c

f sin    + \ùdy+

JS ^ C

jf cos    + A?„]

* 5 mm

¹ 5 mm

+ %*

+ Gni'

— sinE cos

-F A    dy 4-

5 mm

5 mm

W’5mm I

s) ds 4-8,y •

5 mm

Gnj (M;^, S) ds.

(40)

Wurde die Umfahrung wiederholt mit um 180° veränderten Anfangs-DrehungsphasenM„i,MW2derMessrollen,undbezeichnet

d[xUi das arithmetische Mittel der beiden Gesammtdrehungen

der Messrolle Mni, so fällt in der Formel (40) die letzte Zeile weg.

26. Zwei Fragen sind jetzt auf Grund der erhaltenen Formeln zu beantworten. Erstens: wie man die Instrumental-constanten experimentell bestimmen kann. Zweitens: wie man bei der harmonischen Analyse der vom Fahrstift beschriebenen Curve aus den Ablesungen eines Analysators, dessen Instru-mentalconstanten bestimmt sind, die Coefficienten der gesuchten Entwickelung zu berechnen hat.

Ich will zuerst die letztere Frage erörtern.

Corrigierung der Coefficienten der Fourier’schen Reihe wegen der Instrumentalfehler.

27. Beschreibt der Fahrstift einen beliebigen Weg, so ist die Ablesung über den befahrenen Weg

IC

; \d[Lni,

wo das Integral über den befahrenen Weg zu erstrecken ist.

Ich nehme nun an, der Fahrstift habe eine Curve S, y = fix), vom Punkte x — O, y = ya bis zu dem Punkte x — c, y —ye —ya beschrieben, sei darauf von dem letzteren geradlinig zum Ausgangspunkte zurückgekehrt, man habe dann, ohne die Aufstellung des Instrumentes zu ändern, die Messrollen um 180° gedreht und die Umfahrung wiederholt; man habe beide Male die Ablesung über die gesammte Umfahrungsbahn S gebildet, und aus diesen beiden Ablesungen das Mittel

genommen, ani.

Dividiert man anh an2 durch n und multipliciert den Quotient mit 1cm, so erhält man einen genäherten Wert a'n, brn der Coefficienten der Fourier’schen Entwickelung der Function y — fix)• Die genauen Werte dieser Coefficienten aber sind

C . [—2mzx sin -

Js V ‘

-1

uz

U-,

! mcL V c

-f-Aä?) dy. Es sind

also, nach der Gleichung (40), die Correctionen Aa'n, Ab'n, welche man zu den Coefficienten a'n, b’n hinzufügen muss, um die correcten zu erhalten, folgende:

-2n%x An \ , -—-+Xlijdx+

— 2 n%%

⁺(**⁺ 2ir !,‘}àfcos(t+K")sln (

Vs L

sin

'2nr,x

+E„ —sin E„

cos

+A«i)

/-2mcx    ,

sin ( ^ -hEj —sin E cos    4- j dy-f-

+ hn - I--COS

Js

^»1 *

f—2mzx

+K)dy-

(41)

cos — -+- r„ sin

Vs

sin

i'2mzx

fy

-ł-E,J — sinE„

f +K,)sm( ~^+A".,)rfv +

(=^+au)4v+

cos

₊,if

sin

w +E)

—sinE

COS

+a»₂)

f —2nizx

+ *»• I -cos

mii2'bn-t-+ a«2-a«-

Es bleibt nur übrig, die in den je fünf ersten Zeilen enthaltenen Integrale auszuwerten.

Zu diesem Zwecke theile ich die Bahn y ~ f(x) in solche Abschnitte, dass jeder Abschnitt entweder kein der jr-Axe paralleles Stück enthält, oder ganz ein solches Stück ist. Ich bezeichne die erstere Kategorie mit (5), die letztere mit [S].

Das Operationssymbol

bedeutet die Summe sämmtlicher

(S)

bestimmten Integrale einer Function, welche gebildet sind über die einzelnen Abschnitte (S); das Operationssymbol [ ]{s) die Summe sämmtlicher Substitutionen, welche gebildet sind über die einzelnen Abschnitte (S); das Operationssymbol [ ][S] die Summe sämmtlicher Substitutionen, welche gebildet sind über die einzelnen Abschnitte [S].

Es ist nun offenbar

-f* dx —

fcos(f +r.) sin (=!»**

= cos r„ •

cos - - sin

'— 2 n'izx

-f- An,- j dx—

\S)

—sin Vn ■

sin — sin

\S)

(=lm±₊as,)*.

\ c    1

(42)

Die Functionen cos — , sin ~~ von x genügen offenbar in dem

jL/    jL/

Intervall O^x^c allen Dirichlet’schen Bedingungen, bleiben ferner in demselben endlich, haben keine Unstetigkeitspunkte, haben der y-Axe parallele endliche Stücke nur dort, wo die Function y solche hat, und haben ihre Endwerte gleich den Anfangswerten. Die Fourier’schen Entwicklungen derselben,

cos —

V = oo

cos

2 V7TX

V = oo

2 vxr

V B sin

c

v = oo

.sin -y- ~ A'-1- V A[

1j    / i

cos

2 YIZX

v = oo

2 V7ÜX

V B' sin

/ .    c

sind infolge dessen Reihen, welche innerhalb jeden Abschnittes der Kategorie (S) gleichmäßig convergieren und in jedem Punkte eines solchen genau diese Functionen darstellen. Man kann also diese Reihen in (42) einsetzen und die angedeuteten Integrationen gliedweise ausführen; man erhält

jHt

+ r„ ) sin (‘ + A?„- ) dx

/    \ c    1

= cos Tn• < ^4

o ( sin(

J(S) v

'—2mzx

v =oo

V a,

cos

2vtut

sin

'—2mcx

TS)

-ł- A?„-j dx+

v — oo

V / Sin

J(S)

2vtcx

sin

—2mrx

+ A^/ ) dx \ —

—sin , A'₀

sin

f—2mzx

\S)

+ A nt) dx -f-

v = oo

cos

2vttx

sin

'—2nrix

\S)

4~ A^/'j d?# -f-

v = oo

v ä r

v^l As)

sin

2vt:t

sin

(—2n%x

4- AJ,) d* ' .

Es ist klar, dass nichts geändert wird, wenn man rechts die

Symbole

r durch r

J(S)    J x = 0

ersetzt. Man findet auf diese Weise

J cos (A- -t- r„) sin (

2n~x

+ A«i ) dx —

— cos Tn

IO |

Bn — sin IV- B'n

J cos {—■ + r„j sin (

f—2mzx

+A^2 j dx

= —cos rn •

CM

c

An + sin Tn — An.

Das Integral^cos -bK„j sin ^ ~U“X A?u-^ dy, welches

in den zweiten Zeilen der Formeln. (41) steht, ist gleich

2mzL C .( y \ f—2mzx

—Jjm[T + k-)cos[—

indem man dieses letztere so behandelt, wie das Integral der ersten Zeilen, findet man

cos + Kw| sin ^

'—2mzx

j IM

+ lv„ ) sin

■+* A«i )    —

= —cos    .LmzAfn—sin K„ .LmzAn

^₊₄f,)(jr =

= —cos Kn.LuzB'n—sin Kn.LmzB,

Ferner hat man

’s

(—sin E„) cos

—2mzx

-----b AJi J dy —

sin En.mzbn

(—sin En) cos

[MSSL +A$}₂j dy = —sin E„.n~an.

Ebenso

sin E. mzbn

| J (—sin E) cos    -4-A^ij dy =

|    —sin E) cos (-    ₊ A?*₂) dy = —sinE.mr#„.

Ferner

’s

sin

2 «TU*

+ E„

= —cos Ert

sin

Js

i'sin(

dy —

cos

r>

4-

cos

4 mzx

dy

2 mzx „ \    .    2 mzx

----\-En sin------

c    1    c

= —cosE„

cos

4 UTiX

’s

) dy— sin E„j4

sin

4 mzx _

------oy

c

oder

sin

! 2 îiTzx

+E„

cos

f—2mcx

+ AJ,i ) dy —

's

— cos En.mco2n—sin En.mcb2n

's

sin

( 2 WKX

+E„)

cos

f—2m:x

+ Kz)dy —

— COS E/t. 7Z7C&2^4-Sin Ew .W7CÄ2w.

Die noch übrig bleibenden je zwei Integrale in den Formeln (41) berechne ich durch Anwendung der Transformation

J ? (*) ■ dy — [cp (x). y]s~J

dy(x)

dx

dx.

(43)

Man hat hienach

dy —

C . ( %    2mzx

jss,"(ïï+E)c°s—

- —sin [S +E ) • ya +

-h cos E

cos — cos

2ilTlX

2m: . x . -sin — sin

2 nr.x

dx —f-

\S)

4-sin E

\S)

HSinH

cos

2mzx 2m:

cos -

X

~ sin

2m: x

dx,

oder

2^7C*    2/271 FC- *    . 2ftKX ,

a° H

rc x

cos-

Jo

cos

2W7TAT

— sin

(b+e)^-⁺

cos-dx---— sm — sin-dx

Jo

-f- sin E.

H»P

. x sin —

2n~x    2nri (

— cos-dx--

H    c    c !

Jo

X .    2HKX

cos — sm-dx

wo das Symbol ^ e^ne au^ die Werte v = 1, 2. 3,... erstreckte

V    C

Summation bedeutet; oder, indem man die Constantes = ttTt

2tltz

einführt,

jfsin (è+E)

2UKX    v

cos-dy = cos E

sin —;(a₀—ya)

cos

-J sin ^    -+- E^j sin

ebenso kann man das Integral — behandeln. Führt man die Bezeichnungen ein:

2mzx _

-ay

c

Ph, n

(n-hv)n—k2

(n—w)n—k²

(«—v) ²—^2

ferner

= sin

VÄ

2#’[ o-hO²—

v£

(»—v)8 —*2 j

a.

ri rc 2vkx

— I cos-cos

2 flKX

cos-dx

. 2vkx x 2mzx sin-cos —- cos-dx

-1

rc 2\>kx

cos-

Jo

x 2mzx , sin — cos-dx

mz rc

T c

Jo

2vîur

cos- sin

mz rc

dos

. 2vtzx sin- sin

—- sin-a.r -b

H c

x.

. 2mzx

— sin-dx

H c

\mz rc 2vtzx — cos- cos

c Jo

. 2mzx

— sin-dx -b

H c

b,

ï?/sin

-1

2vtut

# 2mzx , sin — cos-J*

mz rc

r s

Jo

. 2vra; sin-cos

. 2 mzx

—r sin-Æ#

H £

cos

"‘■“"ir.E'b

)-Żb[

(w-bv) ^—k²

O-bv)²— k²

(fl-v) 2 —£2

H~x

{n-bv)² — k²

{n—v)² — k²

+ (cos-J-¹).

a.

(n-f-v) n—k²

(fl-fi—Ji2

(fi-—-v)² —k²

■]

-b sin -Z.

O-bv)² — k²

(fl—y)² — k²

r_VÄ

L (^-bv)²

— U²

vk “1

(#f—■v)² — *2 J’

= sin2ir[

(n-\-v)n—k²

(n—v) n—k²

(w-bv)²— k²

(n—v)²— k² J’

(L. Grabowski.)

— Zahlen, welche man, für das gegebene Instrument, mit den Argumenten n und v ein- für allemal tabulieren kann —, so hat man einfach

sin (jL + Ej cos (

—cos ( E +

Wendet man die Transformation (43) endlich an auf die Integrale, welche in den fünften Zeilen von (41) stehen, so findet man

-cos

mzc

'—2mzx

+ A l^jdy —

— ~T

bn +

mz

(«o—y a + T <*n) —

; V¹ — n

v y=- n

mzc

cos

f—2mzx

+ kl2jdy —

— y an +

Amz

bn

TZ

v =£n

v¹—n¹

b, y

¹ In der ersteren Gleichung könnte man den Coefficient bei cos [E + —-

\    2 H )

noch etwas einfacher schreiben, wenn man berücksichtigt, dass ya — £av ist; er wird dann: Hp[ n> wobei

—(n-j-v)v

(n—v) v

[815]

n — 1, n +1, w + 2, ... zu

wo 2 auf die Werte v = 1, 2, .. erstrecken ist.

Setzt man die obigen Ausdrücke der Integrale in (41) ein und gebraucht anstatt der bisherigen neue Instriynentalconstanten :

x,H

Y» cos r„ = ■(•«, ~ /i j cos K, s„ cos E„ =    ,

s cos (E + 277)

= e',

t» sin r„ = t »,

= X«,

s„ sin E„ = e",

= 3",

(*“⁺ 2ieA“) S'n K“

s sin (e+ 2^f)

awl—tts sin E = a^1? an2—ns sin E = ań₂,

so erhält man die Formeln zur Corrigierung der Coefhcienten

a'n, Vn\

Aci^ —

T”‘ 2-k Bn

-il

-B'n

2 TU

*LAn + ^

—    . LA ;;

+ S»'.« (bn — hn)

+«'•

tz(ao —ya) sin^H

TT

Htz

4--Lv, «

Tw “

A») - _A

V²

CL\)

—w7I1. 0;;1 . bU

(44)

C'

—yJj[. LBn —s n.n(an—a2n)

Abfn — ^fU’ 2iż A

—yjn. LB'n

+ £ n • W bzn

£ •    b'j Sv> ;; 4“ &    ^ ^ ^    «

+ K- )Ban+ — bn-

TT ^ V²-TT²

—mn2. b„

+ S«2• Q

11 •

) berechnete Tafel der Factoren

mn = 6

—0 * 12 —0* 81 4-0*68 4-0*40 4-0*37 4-0*42

4-0*06

4-0*73

—0*77

—0*49

—0*47

—0*52

.—0*64 — 1*32 4-0* 14 —0*19 —0*31 —0*41

0*43

4-0*43

4-0*27

4-0*28

4-0*33

4-0*45

—0 92 —0 * 06 —0 25 0*33 0*41 —0*53

4-0*18

4-0*93

—0*48

4-0*30

4-0*16

4-0*34

—0*54

—0-40

—0*40

—0*45

—0*56

4-0*50 —0-29 —0*05 4-0*06 4-0 16 4-0*31

Im folgenden gebe ich eine für mein Instrument (H — 15 * 71

?v, n •

TT

4-0 15 +0*13 4-0*17 4-0*23 4-0*34 4-0*60

1    1    ii

^ P*,nj    und eine ebensolche der Factoren ——r^n.

Tafel der Factoren

—0*25 —0*30 -0*33 —0*39 —0*50 —0*74

—0*27

—0*09

4-0*10

4-0*22

4-0*46

4-1*36

—0*09

—0-28

—    0*34 —0*44 —0*65

—    1*53

4-0*33 — 0*61 —0*01 40*26 4-1*06 —2-43

—    0*75 4-0 28 —0*27 —0*51

—    1*28 4-2*23

4-0*19 4-0*65 — 0*82 4-0*61 —2*15 —0*71

—0*63

— 1 -01

4-0*51

—0*88

4-1*92

4-0*50

<r= i

Sv, » y    n •

21

Factoren

Tafel der

—0*33 —0*32 —0*34 —0*39 —0 50 —0*74

—0*08 4-0 * 03 4-0*10 4-0 18 4-0*31 4-0*56

—0*50 —0*35 —0*37 —0*45 —0*66 — 1*54

4-0*36

4-0*20

4-0*23

4-0*32

4-0*53

4-1*42

+0-16 —0-93 —0*52 —0-63 — 1*35 4-2-19

—0-22 4-0-84 4-0-43 + 0*55 4-1*27 —2-26

4-0*03

4-0*31

—    1*49

—    1*32 4-1*70 4-0*36

—0*06 —0*35 4-1*45 4-1*28 — 1*73 —0*40

CNJ CO Tf IO CO

Dass die in (44) vorkommenden Reihen convergieren, lässt sich sehr leicht in allgemeiner Weise zeigen. Bekanntlich existiert immer, wenn <zv, Z?v (v = 1, 2, 3,...) Coefficienten in der Entwicklung einer Function sind, welche den Dirichlet’schen Bedingungen genügt und endlich bleibt, eine endliche Zahl $ von der Art, dass für alle v die Ungleichheiten bestehen

Es ist nun [das n in den Formeln (44) ist natürlich eine endliche Zahl]

V — oo

V = oo

zC (y — n)²—k²

v = n-\- 4

v|ayj

_ (y-n)*-k*

v = n+4

{l = oo

Q V _,

°    ([i.+4)²-k² ’

fL=0

also, da k < 4 isf,

V = oo

vav

}!. = OO

/' i {y-nf-iz²

v = «-f4

4²—k²

(x²-+-8[x

<-3

4²-k²

+3

<s>l

Die Reihen

v =oo

^ a‘ ~(y-nf~k²

V — oo

und (umsomehr) V «v (v+ä)B_j8

(45)

sind daher absolut convergent. Umsomehr convergieren die Reihen

v = oo

^ av(v—tt)²—£²

und

v =oo

;    (46)

aus der Convergenz der Reihen (46) und der Reihen (45) folgt aber diejenige der Reihen

oo

(n—v)n

v = oo

“'(y-n) *-k*

und

av

(v + w)²—k²

4-

Infolge der Convergenz von (45) convergieren die Reihen infolge der Convergenz von (47) die Reihen

Pv, n J    w •

Ähnlich ersieht man die Convergenz der Reihen, welche in den Coefficienten bei hn stehen. Es ist

v = oo

v²—n²

v — n-1-1

I!

oo

fl. = OO

^vj <

j.    V = W+1

7U²

2n[i -b [X

<3-

womit die Convergenz der Reihe ^ Umsomehr convergiert die Reihe ^

v²—n²

&v bewiesen ist

v²—«²

<2V .

28. In der praktischen Anwendung der Formeln (44) können diese Summen nicht genau berechnet werden, weil die Coefficienten ay, &v für v N im allgemeinen unbekannt sein werden. Die Anwendung des Analysators mit N Integrierapparaten setzt schon voraus, 'dass bei der zu analysierenden Curve die Summen

V = oo

av cos

2 vtca;

und

V = oo

V sin

2V7C#

v =JV+1

vernachlässigt werden dürfen. In dieser Voraussetzung ist, streng genommen, die Eigenschaft nicht enthalten, dass

oo

V = oo

V = oo

-L \

TU

TU    Z—•

v=iV+l

/ , v²—H²

v=A⁷+l

CLy

und

v = oo

¹    V

Ti    / ,    ’

TT

V — oo

v = oo

v — A⁷-t-l

v =iV+1

/ i v²—n2 v =iV+l

Größen seien, welche, mit kleinen Factoren erster Ordnung multipliciert, vernachlässigt werden dürfen. Diese letztere Eigenschaft muss also hier als eine weitere Voraussetzung eingeführt werden. Dann können die Summationen in (44) auf die Indices v == 1, 2,..., N beschränkt werden. Die.Noth-wendigkeit dieser Voraussetzung liegt an der Natur des Instrumentes, welches nur eine beschränkte Anzahl Coefficienten liefert und über die übrigen nichts aussagt.

Die Symbole 2 *n ^en Formeln (44) sollen fortan im

v    n

Sinne dieser Beschränkung verstanden werden.

29. Die Coefficienten An Bn der Fourier’schen Entwickelung

y

der Function cos ~~, und A!n B'n der Entwickelung der Function

jL/

y

sin-y-, von x könnte man in folgender Weise berechnen. Der sin oder cos des Ausdruckes

A —fo L~ L

i

— T cos

2 mix

V b 'n •

N sin

Z-j L

2 mix

11

11

in welchem man die Summen auf wenige Glieder beschränkt, stellt sich dar als ein Aggregat von Producten, deren einzelne Factoren sämmtlich die Formen haben:

sin

2v7IX

. cos V L

-zr- COS

sin b, . 2yrx I — sin

cos \ L

wobei v in den verschiedenen Factoren verschieden ist. Entwickelt man nun jeden solchen Factor mit Hilfe der Bessel’schen

2 V7TT

und multi-

Functionen in eine Reihe nach Vielfachen von

pliciert diese Reihen, so kann man auf diesem Wege zu der gesuchten Entwicklung von der Gestalt

2v7C#

V sin

2 VTZX

beziehungsweise

sin — — -4q -F

A'v cos

2vtut

2 vtu#

gelangen.

Ich habe die entsprechenden Formeln abgeleitet; dieselben sind jedoch außerordentlich compliciert. Ich theile sie daher nicht mit. Gewöhnlich wird sich zur Bestimmung der Coeffi-cienten Av, 1Bv, Ai, Bi das folgende Verfahren mehr empfehlen. Man zeichnet, außer der zur Analyse vorgelegten Curve S, noch (roh) zwei Hilfscurven, deren Ordinaten proportional sind

dem cos — , beziehungsweise sin

, wo y die Ordinate der

Curve S ist; man analysiert diese beiden Curven mit dem Instrument, wobei natürlich von Instrumentalfehlern abgesehen werden darf.

In den meisten Fällen aber wird man es vorziehen, diese Entwicklungen überhaupt nicht zu bestimmen, sondern die entsprechenden Fehlerglieder durch eine Maßnahme bei der Analyse der Curve 5 aus der Ablesung zu eliminieren. Dies wird in der That erreicht, wenn man vor der Wiederholung der Umfahrung, welche behufs Verminderung der zufälligen Fehler oder Elimination der Rollenexcentricitäten vorgenommen wird, das Instrument von der Unterlage abhebt und es in der Weise neu aufstellt, dass die neue Anfangsablesung an der Laufrad-theilung von der früheren um 180° verschieden ist. Dieses Verfahren hat freilich einen Nachtheil. Die gegenseitige Lage und Orientierung der beiden Coordinatensysteme: desjenigen des Instrumentes (xy) und desjenigen, in welchem die Zeichnung entworfen worden ist, wird dadurch geändert und muss deshalb von neuem festgestellt werden.

Hat man das Eliminationsverfahren angewandt und bezeichnet a!n, b'n wieder das arithmetische Mittel der Werte aus beiden Umfahrungen, dann sind die Formeln für die Correction der Werte a!n b'n einfach

+ £'•

2(ao—y a) sin ^

7T

+ s"-—2 Mv,#

~2

bn+ ~ [d₀-ya +

7U

iM

V²—w²

a^>

mnl. un —"Aa • K

(48)

A% =

s« • nb2u

— s',i.n(an — a₂n)

+s"-ly

TC “

^ V, 11

4 W TC

bn

1    V

TC Zj V²—:

W12 2 • ^77 4-T>222 • #77 •

30. Entschließt man sich, bei allen Analysen immer das letztere Verfahren anzuwenden, so braucht man also nicht, die Instrumentalconstanten yn, Tn, %w-, y», Kn bestimmt zu haben. Da es aber wünschenswert erschien, die Richtigkeit der Theorie durch Beobachten des Verhaltens der Constanten, sowie durch ihre Anwendung auf Analysen bekannter Curven zu prüfen (namentlich auch in der Erwägung, dass die Einführung der Constanten y», in der Theorie auf der nicht ganz bewiesenen Annahme beruht, dass die so bezeichneten Größen während einer Analyse als constant angesehen werden dürfen), — so musste eine Reihe von Bestimmungen der Constanten

T» cos Yn, sin Yn, %wcosKn, z^sinK,*, t»cos.KÄ, ŸnsinK„, sÄcosEw, s^sinE, scosE, ssinE, mni, mn2, awl, a„₂

ausgeführt werden, die auch in der That ergab, dass alle diese Constanten bei richtiger Behandlung des Instrumentes sogar im Laufe längerer Zeiträume mit hinreichender Genauigkeit constant bleiben. Nur im Hinblick auf solche Bestimmungen geschieht es, wenn im nächsten Unterabschnitte, der von den

Bestimmungsmethoden der verschiedenen Instrumentalcon-stanten handelt, auch diejenigen für die (konstanten y,* cos Yn und y„ sin Tn, %n cos Kn und sin K„, yn cos und yw sin beschrieben werden. —

Methoden zur Bestimmung der Constanten.

31. In den zunächst folgenden Paragraphen beschäftige ich mich mit den Bestimmungsmethoden derjenigen Constanten, welche ein für viele Mal bestimmt werden können. Ich nenne fortan diese Constanten kurz die regulären.

Um diese Constanten mit der wünschenswerten Genauigkeit bestimmen zu können, sind nur solche Verfahren zweckmäßig, welche präcise Einstellungen oder Ablesungen des Wagenindex an der Schienentheilung nicht voraussetzen; genauer gesagt, nur so beschaffene Bestimmungsmethoden, dass die von einem kleinen Einstellungs-, beziehungsweise Ablesungsfehler herrührende Ungenauigkeit der geographischen Längen der Messrollen sich im Resultate der Bestimmung eliminiert. Der Nonius am Wagenindex ist nur auf Ablesung der Zehntelmillimeter eingerichtet. Zwar gelingt es bei einiger Übung die Genauigkeit der Schätzung so weit zu treiben, dass der Ablesungsfehler selten größer als 0*02 mm ist. Jedoch, einerseits, genügt hier diese Genauigkeit manchmal nicht; anderseits sind so scharfe Ablesungen sehr zeitraubend und auch ermüdend, wodurch nach mehreren Ablesungen die Bestimmtheit des Urtheiles immer geringer wird.

Deshalb sind die unten beschriebenen Verfahren von solcher Art, dass diese Nothwendigkeit; soweit möglich, vermieden wird.

Man wird bei den unten beschriebenen Verfahren öfters bemerken können, dass die untersuchte Constante sich auch auf eine andere Weise würde bestimmen lassen. Ich beschreibe jedesmal nur dasjenige Bestimmungsverfahren, welches nach meinen Versuchen und Überlegungen sich als das genaueste (oder als das einzige befriedigend genaue) erwiesen hat, und unterdrücke ferner auch die ausdrückliche Angabe von mög-liehen Modificationen des beschriebenen Verfahrens, welche unwesentlich und unmittelbar einleuchtend sind.

Die bisherige Definition (Art. 7) des Coordinatensystems xy wird auch in diesen Darstellungen festgehalten. Es möge daran erinnert werden, dass dieses Coordinatensystem auf etwaigen auf der Unterlage des Instrumentes vorhandenen Aufdruck oder Zeichnung keinen Bezug nimmt.

32. Um die Constante ^n2 — ^ni zu bestimmen, bemerke man, dass, wenn \nV \n2 zwei gleichzeitige Werte der geographischen Längen der beiden Messrollen sind, ihre Differenz nach (39)

K2 — K1 — 90° H- (aM2-awl)

ist, also andere Instrumentalconstanten nicht enthält.

Ich bringe nun durch Einstellungen des Index an der Schienentheilung den Fahrstift nacheinander in die vier Lagen

00

00 CO

10 00

wo £', i", $7//, £IV Einstellungsfehler bedeuten. Folgende Figuren veranschaulichen die dadurch erzeugten Stellungen des Rollenpaares:

^TVl

712.

-X

VI

Fig. 9.

In jeder dieser Lagen gehe ich von einer und derselben Geraden y Const. aus und lasse, durch Fortrollen des Instrumentes, den Fahrstift von hier aus eine jedesmal möglichst gleich lange Strecke

i",

7/// » >

/IV

in der Richtung der y-Axe durchlaufen. Die Verhältnisse zwischen diesen vier Strecken unterscheiden sich also von.der

Einheit nur um kleine Größen erster Ordnung; ebenso sollen auch die durch Einstellungsfehler bedingten Fehler der geographischen Längen als klein von der ersten Ordnung angesehen werden können. Auf jeder Strecke vollziehen die Messrollen angenähert eine ganze Anzahl Revolutionen.

l"

Fi g. 10.

Die beiden »Ablesungen über V« : a'nl und aln2, und die über die weiteren Strecken:    und a"₂, a'" und a"₂, a)vn und a™

erlauben nun den constanten Längenunterschied Xw2 — Xnl zu berechnen, wenn die Streckenlängen lnlw, llv in Analysator-Millimetern bekannt sind.

In der That ist infolge von (38'), wenn cm den Analysator-Centimeter bedeutet,

«»i =

TT cm

hßn(Mul,s)äs

^jG„₂(M,l2,s)dS

7C cm

sin 135

°j(cos + K„] dy

mnl V

7C cm

sin 135° —

Vziî\i>

2%Mni ’

ail2 -

7U cm

sin Vn2-

TT cm

sin 225

°jfcos (jr + K„j dy

TT cm

sin 225° —

wo zn die veränderliche (in Artt. 12. und 15. mit h bezeichnete) Höhe des Kugelmittelpunktes über dem Umdrehungscentrum des Cylinders, und das Operationssymbol [ ]/f wie gewöhnlich die »Substitution über V« bezeichnet; denn die Schwankungen jener Höhe infolge Schrägheit und Excentricität des Cylinders

sind die einzigen Fehlerquellen von cyclischer Wirkung, welche bei der zurjy-Axe parallelen Fahrt einen Einfluss haben. Nach der für kleine ß gütigen Formel

arc sin (sin X-f-ß) = X + ß sec X,

welche, wenn der Winkel X nicht nahe = 90° oder nahe = 270° ist, bis auf Glieder zweiter Ordnung des ß richtig ist, kann man

-<i

nun bilden arc sin

V!

TU cm '

und arc sin

M»2

*'/

TU cm

; man über-

zeugt sich, dass

arc sin

— ar A

un2 i

*7

TU cm /

j —arc sin ^

TU cm

— ^111

_V_ )

s)ds—jGnl(M(ll, s)ds J

sec 45° 4-

-jFn2(Mn2, s)ds+jjan2(Mn2,s)dsl sec45° +

Kn

+ 2 —7-

jH

4-K7îJ(iy -b -t~mn2

\zn]r (

2V

Mnl/om

Mn2/cm

sec45°.

Wie aus der Definition (22') der Functionen FUi, Gnj ersichtlich, sind aber die Integrale dieser Functionen über eine zur y-Axe parallele Strecke von der ersten Ordnung klein, wenn über die Integrationsstrecke die Veränderlichen jIm-, um nahezu ein ganzes Vielfaches von 2 tu variieren; anderseits ist bei dem kleinen Factor erster Ordnung \zn]r Mnl = Mn2 zu setzen; man hat also, bis auf Glieder zweiter Ordnung richtig,

arc sin

' —«^2

i'i

TU cm

—arc sin

—<1

V!

TU cm'

Kn

Ebenso findet man

arc sin

— °"i2

i"!

7ü cm

—arc sin

■ i"!

„1! \ anl ]

TU cm '

Kn

ZT

jf cos + K„ ) dy

2/"

MnJcm

M,Jcm 1

sec 45°,

arc sin

a« 2

i'"h

—arc sin

cm '

7t cm

% 11

— 'Kn2—^„i + 2 ^77"

V"

COS

7'"

+ K„j dy -4- m

ni + mn2 >

arc sin

r    IV

(    '    a7?2

r/*

cm '

—arc sin

IV

a...

Ht

cm '

— ^»2

^»1.

²tH„,cos(

+ Kn)dy —mnl—mn2 +

21"’

Mn i/cm

Mn2/cm

sec 45°.

Summiert man diese vier Gleichungen, so hat man offenbar bis auf kleine Größen zweiter Ordnung richtig

r = 4 _

⁴(x«2—x«i)=y arc sin

—aff) 112

/ff)/

X crri'

—arc sin

/ff)/

TT cm

(r)

• (49)

Von den verschiedenen Werten des arcsin

&ni

ist,

7T cm

wie aus, der Ableitung ersichtlich, derjenige Wert zu nehmen, — 2m:

welcher sich von

-ł-A„i nur wenig unterscheidet.

Bei der Befahrung werden die beiden Endpunkte der einzelnen Strecken /', /", //;/, Vv durch Eindrücken des Stiftes in die Unterlage markiert, und nach der Operation ihre Entfernungen von einander in Analysator-Millimetern ausgemessen. —

Um ein Beispiel zu geben, möge hier von meinen wiederholt ausgeführten derartigen Bestimmungen wiedergegeben werden, unter Hinzufügung einiger Texterläuterungen, das

Beobachtungs-Protokoll von 1899 Juni 22.¹

Bestimmung der Constante a₂₂—a₂₁.

Das Instrument wird auf dem Millimeterpapiere aufgestellt, so, dass die x-Axe der Instrumentalcoordinaten nahezu parallel der der Papiercoordinaten ist, was geprüft wird durch Beobachten, ob die Fahrstiftspitze während der Verschiebung des Stiftes bei nichtrollendem Instrument eine der T-Linien des

Papieres nicht verlässt.

Die Cylinder werden mit dem Pinsel abgewischt.

Die Rahmen der Axen der Rollen M2V M₂₂ werden angewärmt.

Die Kugel 2 wird auf den Cylinder heruntergelassen. — Die Zwischenräume bei den Trommeln sind frei.²

¹    Die Ablesung der Rolle ist eine Zahl von 3 Decimalstellen, da die Zehntel einer Pars der Trommeltheilung Tausendstel-Revolutionen sind. Fand ich bei der Schätzung, dass die Ablesung »6 Zehntelpartes« zu wenig, »7 Zehntelpartes« aber zu viel wäre, konnte ich aber nicht entscheiden, was der Wahrheit näher sei, dann notierte ich als letzte Stelle der Ablesung 6+ oder 7_ (je nachdem ich glaubte, dass ich mir vielleicht doch leichter die Richtigkeit von 6, als von 7 einreden könnte, oder umgekehrt). Fand ich 6 zu wenig und 7 zu viel, war ich aber sicher, dass mir 6 richtiger vorkommt, als 7, dann notierte ich 6₍₊₎, im umgekehrten Falle 7₍_₎. War ich unsicher, ob 6₍₊₎ oder 6 zu lesen sei, dann notierte ich 6[+J ; war ich unsicher, ob 7₍_) oder 7, dann notierte ich 7H.

Bei der Berechnung wurde dann sowohl 6₊ wie 7_ mit 6’5 Zehntelpartes übersetzt; ein Unterschied zwischen diesen beiden Notierungen wurde nur dann gemacht, wenn die Rechnungsoperationen (etwa eine Mittelbildung oder Division) es nöthig machten, die Zahl 6*5 durch eine mit gerader Anzahl Zehntel zu ersetzen, also sich zwischen 6/4 und 6*6 zu entschließen. Die Notierung 6₍₊₎ wurde mit 6*3 (eventuell, im Falle eines rechnerischen Bedürfnisses, mit 6*2),-die Notierung 7₍_} mit 6-7 (eventuell 6‘8) Zehntelpartes übersetzt. Die Notierung 6l+] wurde übersetzt mit 6*2, die Notierung 7t_j mit 6'8 Zehntelpartes.

Das Kleine Zählrad, welches die Vielfachen von 50 Revolutionen zu geben bestimmt ist, wurde nie mit abgelesen; erstens, weil bei solchen Befahrungen ein bleibender Irrthum um 50 Revolutionen ausgeschlossen ist, — zweitens, weil die Angaben dieser Zählräder sehr oft falsch sind.

²    Dies pflegte ich vor jeder Operation nachzusehen. Vergl. S. 79, ZZ. 8 v. unt. bis 6 v. unt., und S. 81, ZZ. 15 bis 16.

Schiene 22-5:

«21

«22

Anfangsablesung (oder »Papier 0«). . 2*728 Vorgerollt: Papier 312 : Papier 445 Zurück zu »Papier 312«

„ »Papier 0«..

45-696h 42-700 45* 696_

2-726

1 *077 8-048 11-017+ 8-045+ 1-074

3h 45m, Temperatur 15*4° R.

Schiene 67*5:

«21

«22

Papier 0 312

445

312

1-060(4'

44 * 035₍₊₎

41-038 44 * 035(_j 1 • 063₍+)

4h 5ra, Temperatur 15-5° R.

2•736_ 45*740 42 • 756₍_) 45-739 2-737

Schiene 112'5;

«21

a₃₂

Papier 0 312

)}

445

312

Schiene 157*5:

Papier 0 312

y>

445

312

1 -065 44-098 41 • 124₍_) 44-097 1•064+

2 " 759₍₊₎

9-797₍₊₎

12-801 9-798₍+)

2-758

4h 28m, Temperatur 15-5° R.

«21

[-]

«22

1-080 8-116 11*115 8-116 1 • 083₍₊₎ '

4¹¹ 53m, Temperatur 15*5° R.

2*766 9 • 754[_] 12*731 9 * 754h 2*765

(-)

(-)

(-)

Die Kugel 2 wird hinaufgehoben.

Das Instrument wird in die zu den jy-Linien des Papieres parallele Lage verstellt, behufs Ausmessung der Entfernung

¹ Angabe, laut des Papiernetzes, der Ordinate in Millimetern, gezählt von derjenigen ,r-Linie des Papieres ab, auf welcher der Fahrstift bei der Anfangsablesung stand.

zwischen den bei »Papier 0« und den bei »Papier 312« vorhin gemachten Marken. Es finden sich folgende g P Schienenablesungen:

Also die Entfernung der bei »Papier 312« von der bei »Papier 0« gemachten Marke

Fahrstiftspitze eingestellt auf die Marke »Papier 312« I Marke »Papier 0«

Theorie des harmonischen Analysators.

311"49 mm 311-47 mm 31 1 " 53 mm 31 1 " 50 mm.

und 359 * 02 359-05 359-08 359-08.

CC

47-53

47-58

47-55

47-58

auf der vorhin bei »Schiene 22*5« befahrenen Ordinatenlinie

Schiene 67 -o

Schiene 112*5

Schiene 157 *5

St

St

ît

St St St

Das Instrument wird übertragen in eine geeignete Lage zur Ausmessung der Entfernungen zwischen den bei »Papier 312« und den bei »Papier 445« gemachten Marken; die entsprechenden Schienenablesungen sind:

Also die Entfernungen :

(Marke »Papier 445«) (Marke »Papier 312«)

132*90 mm 132 * 95 mm 132'90 mm 132*84 mm.

194-23 194-23 194-12 194-12.

und

CC

Ci

CC

61*33

61-28

61-22

61-28

00

6h, Temperatur 15-6° R., Spannung d

Die Cylinder und Laufräder werden mit dem Pinsel abgewischt und das Instrument in den Kasten _ hineingelegt.

CO

¹

ist.

Berechnung. Aus den Beobachtungen bei »Schiene 22*5 ergibt sich:

a«2 (Mittel) —6*9712 —9*941₈

«4. (Mittel) — 7*0313 —10*027₀

Ablesung über V — 311 *49 mm ist „    „ V = 444*39 mm „

also

arc sin

—«Hl

VI

arc sin

rAvi

Differenz

tc cm

aus V = 311 *49 mm : „ V = 444*39 mm:

134° 50!1

51*5

224° 40!6 39*3

Mittel 134    50*8

224 40*0

89° 49! 2

Ebenso ergeben die bei weiteren Stiftstellungen gemachten Beobachtungen die Werte für die weiteren arcsin:

/" == 311 *47 mm: l" = 444*42 mm :

44° 53!2

52*4

134° 52!2 52*9

Mittel 44    52-8

134    52-6    } 89° 59!8

311*53 mm :

444 * 43 mm :

314° 46!6

46*4

44° 38!3 38*8

Mittel 314    46*5

44    38*6    } 89° 52! 1

224° 48!8 48*0 314° 48!6 49*0

314    48*8

Mittel 224    48*4

X₂₂—^21 = ¹ U Summe = 89° 55¹4

Es ergibt sich somit: a₂₂—s₂₁ = —4*6 = —0*0013.

(Eine Wiederholung dieser Bestimmung am nächsten Tage behufs Contrôle ergab: a₂₂ —a₂₁ ^ —4/’8.)

33. Um die Constanten mnV mn2 zu bestimmen, stelle ich den Fahrstift successive in die vier Lagen

(r+K")

wegen der ąahezu ganzen Anzahl von Cylinder-Revolutionen

klein von der zweiten Ordnung ist, und dasselbe auch von

x=z±-—+?»t 2 n

II

ein, wobei £', S", £7//, £IV Einstellungsfehler bedeuten, sodass die Stellungen des Rollenpaares nahezu die durch die folgenden Figuren veranschaulichten sind. In jeder dieser Lagen lasse ich

Maz

4 r

r.........*—

Fi g. 11.

durch Rollen des Instrumentes den Fahrstift in der Richtung der jy-Axe eine Strecke durchlaufen, welche annähernd gleich einem Vielfachen von 2Lz ist, was durch Beobachten der am Laufrade angebrachten Theilung im Anfangs- und Endpunkte der Strecke constatiert wird.

Die Operation wird sodann mit um 180° veränderten Anfangs-Drehungsphasen der Messrollen wiederholt.

Sind die thatsächlich durchlaufenen vier Strecken /", lm, Vv in Analysator-Millimetern bekannt, so liefert die Ablesung cf!n2 sowohl als auch a/" die Constante mn2, die Ablesung a^ aber, sowohl als a)vn, die Constante mnl.

In der That, die Formel (38') gibt

sin L dy-h

s o mm

jdfi,

¹²    5 mm

"!>f

[Fn2(Mn2,s)ds+

5 mm

5 mm

sin(x+K„)

[g»> .

sich auf der Strecke V nur um eine Größe

da aber sin X zweiter Ordnung von —1 unterscheidet, ferner

112

[%n\v

gilt, so hat man, indem man noch beiderseits mit pliciert,

2 TT

multi-

a»2 — +

TT cm

(1 + mn2) —

^ß,(M „,,s)äs

rär

Auf dieselbe Weise findet man

V"

7T cm

(1 + «*»*)

⁵»2

TU cm

Dabei ist, infolge von (22'),

jT[Sin(5W+M^)-C0S(

—y

5 mm

+-M«a) dy>

0,

jf GniQHnVs)ds —

f ig₂₂ (Mw2, s)ds

Jï”

'/ [Sin(

5 mm

b -^-«2

)-C0S(5lL+M^)]^

= 0.

/ (Mnl, 5) Js

Jl"'

Man sieht also, dass diese Glieder sich nicht aufheben,. wenn auch V nahezu = l,n wäre. Bedeutet indessen { } bei den Ablesungen das Mittel aus der Ablesung bei der ersten und der bei der zweiten Operation, so erhält man, da die Constante ~Mn2 ihren Wert inzwischen um 180° verändert hat,

1°4î} — +

TT cm

(!+*»«*)»

V"

TU cm

(1 4- inna).

oder kurz

- M _ JKII

l'/% cm V"!

TU cm

(50)

Ebenso findet man

1 + mnl — -pjj

(Kill _ jKiü

7C cm

~ 1'V/k cm '

(50)

Ein Beispiel dieser Bestimmung zu geben, dürfte überflüssig sein.

Die Forderung, das Verfahren nach Verdrehung der Rollen zu wiederholen, wäre umgangen, wenn auf der Strecke /

Rolle sich ebenfalls um eine nahezu ganze Anzahl Revolutionen drehen würde. Dies mit einer nahezu ganzen Anzahl Revolutionen der Laufräder zu vereinigen, ist mit einiger Annäherung möglich, wenn man die Länge /^ so wählt, dass die Rolle 14, oder so, dass sie 19 Revolutionen macht.

34. Um die Constanten yn cos Tn, *;n sin Yn zu bestimmen, stelle ich das Instrument auf in derjenigen Drehungsphase der Laufräder, auf welche die zu erhaltende Constante Tn sich beziehen soll, und stelle den Fahrstift mittels Schienenablesung

1 c

auf die Abscisse (siehe Fig. 12) — — + £' ein, wo der (unbekannte) Einstellungsfehler ist.

il

JL

V"

Fig. 12.

Dann rolle ich das Instrument um angenähert ein ungerades Vielfaches von L% vor, lese in dem erreichten Punkte die Rolle Mn2 ab, verschiebe den Fahrstift längs der zur #-Axe

-j- — + und 4 n

möglichst parallelen Bahn V bis zur Abscisse

lese die Rolle Mn2 wieder ab; die Ablesung über V heiße ctln2. Da indessen dabei infolge Nichtverwendung der Bremse kleine Rollbewegungen des Instrumentes, die von der Rolle Mn2 registriert werden, unausbleiblich sind, verwende ich zu deren

Contrôle einen der übrigen Integrierapparate, den £ten₅ welcher zu diesem Zwecke (längere Zeit vor der Operation) aus dem Draht ausgeschaltet worden ist und angenähert in seiner Anfangslage d. h. so steht, dass seine Cosinusrolle sich beim Rollen des Instrumentes nicht dreht. Die Contrôle geschieht, indem ich in genügend vielen (z. B. 9) Stationen innerhalb der Strecke V die Rolle Mk2 ablese.

Darauf rolle ich das Instrument zurück bis angenähert zu der Grundstellung und befahre sodann mit dem Fahrstift, wieder unter Ablesungen der Sinusrolle des Control-Apparates in Zwischenpunkten, eine zur (—#)-Axe möglichst parallele

Strecke ln bis zur Abscisse — -    die Ablesung der

Rolle Mn2 über V⁷ heiße a"₂. Dann rolle ich das Instrument weiter rückwärts um angenähert ein ungerades Vielfaches von Ltü, und befahre, unter Ablesungen am Control-Apparate, eine zur

CO Kr

Q

*-Axe möglichst parallele Strecke l,n bis zur Abscisse------ł- £IV,

n

wobei die Ablesung über V" a"₂ sei. Nach Vorwärtsrollen des Instrumentes bis angenähert zu der Grundstellung, befahre mit dem Fahrstift, unter Ablesungen am Control-Apparate, eine zur

--h£v, wobei die Ablesung über liy a)vl2 sei. Das bisher

(—x)-Axe möglichst parallele Strecke llv bis zur Abscisse 1 c

4 n

Geschilderte nenne ich die I. Befahrungshälfte.

Sodann wird das Instrument um angenähert ~ -Umdrehung des Laufrades vorgerollt und, von dieser neuen Stellung als Grundstellung aus, das gleiche Verfahren vorgenommen. Dies ist die II. Befahrungshälfte.

Die ganze Operation wird mit um 180° veränderter Anfangs-Drehungsphase der Rolle Mnl wiederholt.

Die vier Ablesungen a!n2, a"₂, a/", a)J₂ der ersten Hälfte jeder Befahrung liefern dann die Constante cos Yn, die vier Ablesungen ct!n2, a"₂, a'₂, a^₂ der zweiten Befahrungshälfte die Constante y« sin Yn; in diesen beiden Constanten ist Tn bezogen auf diejenige Anfangs-Drehungsphase der Laufräder, welche bei der Grundstellung der ersten Befahrungshälfte stattfand. Die Kenntnis der genauen Längen der einzelnen Befahrungsstücke ist dabei nicht nöthig.

nahezu constant und gleich

In der That, da auf der Strecke der ersten oder der zweiten Befahrungshälfte

y<r)

Jb

ist, wo yr) etwa die mittlere Ordinate dieser Strecke bezeichnet, so erhält man nach (38⁷)

I d\in2 Jl<r)

5 mm

V (j*sin \l2dy)

L-iim

5 mm

cos

(MI

cos

2 nzx

dx -f⁻

— f F«2

i mm /

Jlcn

5 mm

sin

(T + k-)£;

sin

Jim

-^—dx + [cycl. Gl.];

2nzx

die Integration Jsin\1l2dy ist über das zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Stationen enthaltene Intervall auszuführen,

erstreckt sich auf alle Stationen-Intervalle der

und die

Z-j/cn

Strecke In (38⁷), daher auch in dieser Formel, ist Tn auf diejenige Anfangs-Drehungsphase der Laufräder bezogen, von welcher aus die y gezählt werden; wir wollen hier als solche die wählen, welche der Grundstellung der ersten Befahrungshälfte entspricht.

Das letzte ausgeschriebene Glied rechts in der obigen Formel ist von zweiter Ordnung. Das Integral Jsin \l2dy ist gleich dem Ordinatenunterschiede Ay der Endpunkte des Intervalles, multipliciert mit einem Mittelwerte von sinXw2; dieser letztere Factor aber ist, bei nicht zu großer Ausdehnung des

2 mzx

——, wo x die mittlere Ab-c

Intervalles, nahezu gleich —cos scisse in dem Intervalle ist; wird also dieser Factor bei den

immer sehr klein bleibenden Schwankungen 2 'HTCX

— cos —----ersetzt, so begeht man damit bloß Fehler zweiter

c

Ordnung. Ferner ist, infolge von (22⁷),

5 mm

durch

fFn2iMn2,s)ds = 0, f

Ji<r>    J y

Gnl (Mb1, s) ds —

nu

36

sin(|x<«+M„₁).r (-

J/(n '

Kn

Kn +■ Cn

sin²

2 n%%

1 j ds,

wo das obere Vorzeichen für den Fall der Strecke V oder lm, das untere für l" oder liy gilt.

Man hat also die vier bis auf kleine Größen zweiter Ordnung genauen Formeln:

! Ay

\ 5 mm

cos

Ajy

5 mm

cos

[t +r”)

htjr G«i (M»i>⁵)ds + tcrcL Gl-J>

+r„V -

2 74707

5 mm

cos

Tn

5 mm

cos

ht I G”i(M«¹’⁺ ^cycL Gl^’

Ji"

Xi

Ay

5 mm

COS

Tn

5 mm

COS

iyf"

+rj.

htjn G»i (M«i’⁵)    ⁺ [cycL G1J-

xi-

Ay

5 mm

COS

2mzx

Tn

5 mm

cos

8»i

5 mm

7,v

G»i (M«i>+[cycl. Gl.].

Einsetzung des Wertes

2tt

Die hier vorkommenden cyclischen Glieder sind selbstverständlich Wirkungen nur derjenigen cyclischen Fehlerquellen, welche bei einer zur y-Axe senkrechten Fahrt einen Einfluss haben. Summiert man .diese Gleichungen, so heben sich diese Glieder, bis auf kleine Größen zweiter Ordnung, zwischen je zwei einander entgegengerichteten Strecken /F) auf. Die mit 8W1 multiplicierten Glieder der obigen Gleichungen eliminieren sich aber nicht. Es ergibt sich daher, nach Multiplication der Summe mit

TZ cm

wo a^₂ die Ablesungen am Control-Apparate sind, und Be-

y" .

L - T” + It’

rücksichtigung der angenäherten Relationen

yv Al-

y"

y;

(Aafâ-

+ a«2 2;" (Aa*2 ‘ < “2,,„(*««• “"2 _2/lv(Aai

COS

cos

cos

2mzx\

c /.

2w7cy

2nzx

cos

2ukx

(51)

TZ TZ cm

-— *(n C0SF„ COS

y"

y"

TT TT crn

Tn sin sin

^ jf ^"1 ^nvs)^s"f“

■B r^«îÂîi’ ⁵)^⁵⁺ ( Gnl@ILnV s)ds •

J/'"    J/1V

— 0, auf der Strecke l"

Es ist aber, gemäß der Festsetzung der #-Axe, auf der Strecke ln der ersten Befahrungshälfte

y    Tz

der    zweiten    Befahrungshälfte aber — —    =    — ; Werte, deren

T    Z

Ungenauigkeiten klein von erster Ordnung sind.

Man sieht also, dass aus der ersten Befahrungshälfte die Constante Tn cos Tn, aus der zweiten die Constante —t» sin Tn erhalten wird — beides indessen noch mit dem Einflüsse der Rollenexcentricität behaftet — wenn man den in (51) links-

4 c

stehenden Ausdruck    durch------dividiert.

TZ TZ cm

Dadurch, dass die ganze Befahrung nach Umdrehung der Rolle Mnl wiederholt und für jede Constante das Mittel aus

beiden Bestimmungen genommen wird, wird das letzte Glied

0

ihres aus (51) folgenden Ausdruckes eliminiert.

Bei Betrachtung des unten mitgetheilten Beispieles könnte vielleicht der Zweifel aufkommen, ob bei diesen subtilen Bestimmungen, wo es sich, wie man sehen wird, um sehr kleine Größen handelt und noch eine ungefähre Kenntnis der vierten Décimale der Rollenrevolution vorausgesetzt wird, das gefundene Resultat nicht, infolge der unvermeidlichen Ablesungsund anderen zufälligen Fehler, ein illusorisches ist. Es soll nun allerdings nicht geleugnet werden, dass diese die peinlichste Aufmerksamkeit erfordernden Beobachtungen jedenfalls wohl schon nahe an der Grenze der erreichbaren reellen Genauigkeit liegen. Indessen zeigten die Resultate der von mir wiederholt ausgeführten Bestimmungen eine nicht unbefriedigende Übereinstimmung, und nach derselben scheint es ziemlich sicher, dass sie doch in der Hauptsache der Ausdruck einer thatsächlichen Eigenschaft des Instrumentes sind. Wenn die Discordanzen der einzelnen Werte vielleicht noch nicht den erwünschten Grad der Kleinheit hatten gegenüber den Werten selbst, so ist auch zu bedenken, dass die in Rede stehenden Constanten bei meinem Exemplar des Analysators eben sehr klein sind; hat man aber ein Exemplar, bei welchem dieser Instrumentalfehler etwas stärker ist, so werden jene zufälligen Bestimmungsfehler deshalb doch nicht größer sein, und dann wird also sicher die Bestimmung und Berücksichtigung dieser Constanten volle Berechtigung haben.

Das Folgende ist eine etwas abgekürzte Wiedergabe meines

Beobachtungs-Protokolles von 1899 Juni 9.²

Y₂ sin F₂; aus-

Bestimmung der Constanten y₂ cos T geschaltet ist der dritte Integrierapparat.

Der Control-Apparat wird in seine Anfangslage gedreht und diese geprüft.

8h 20m, Temperatur 13*4° R., Spannung d'. Anfangsstellung: Laufradablesung 250°.

CP

Der Wagenindex wird an der Schiene auf 45*0 eingestellt und das Instrument bis zur Laufradablesung g 430° vorgerollt.

Theorie des harmonischen Anawsators.

8h50m,Temp. 13-6° R.

9h15m,Ternp. 13‘6° R. ^

Schieneneinstellung

55    65    75    85    95    105    115    125    135*0

+ NI CO t>-

00

(45*0)

::

a₃₂ = 37*871+    2    2₊    3₊ 4H 4H 4_    3₊

a22 — ^ * S62[₊]

Laufrad 430:

Zurückgerollt zur Anfangsstellung;

(135*0)    125 115    105    95    85    75    65    55    45*0

•857.

er-

co

CO

55    65    75    85    95    105    115    125 135*0

6(-)

•872...

0[_]    5    5[_] 5[_]    5    5(₊)    5.

co O co lO 00

lO (NI

(45*0)

co co lO co

CO CM

::

:c

a32 —

Laufrad 250:

22 -

Weiter rückwärts gerollt;

_ ^ — ««»

Laufrad 70:

Zurückgerollt zur Anfangsstellung;

(135*0)    125    115    105    95    85    75    65    55    45*0

’ 873h .

2 HZ ~Z

(+)T (+)

-»—• oo

lO 00

1-0 CM

co

a32 -

a22 —

Laufrad 250:

Das Instrument wird vorgerollt über Laufrad 340 (Grundstellung der II. Befahrungshälfte) bis Laufrad 520.

(45-0)    55 65    75    85    95

0(-) 9(+) 9 9₍_) 8₍₊₎

105    115    125    135-0

•878₍₊₎.

•859,

9h45m,Temp. 13-6° R.

Mg Mg

105    95    85    75    65    55

-g (+)g    (+)g Hz (+)

105    115    125 135-0

•872_.

A.

45-0

•866

0Z8 -Z — zz*> 190-68 =

Laufrad 520:

Zurückgerollt zur Grundstellung;

(135-0)    125    115

55    65    75    85    95

Q    1—]q    (“)q (—)q    +0 g 0

uo

lO

UO

co

LO

LO

00

10 20m,Temp. 13*7° R., Spannung d!.

O CM CO 00 CD CM

(45-0)

+ +

00 LO CO CD CO 00

CM

CO

co

—

=S8»

Laufrad 340:

Weiter rückwärts gerollt;

j a32 —

l a22 ==:

Laufrad 160:

Zurückgerollt zur Grundstellung;

(135-0)    125    115    105    95

0 ⁽⁺⁾6 ⁽->6 H

O)

05

00

CD 00

CD CM

CO

a32 —

Laufrad 340:

OJ

Die Operation wurde dann mit um 0*5 veränderter Anfangsablesung der Rolle M₂₁ wiederholt.

Berechnung. Aus der ersten Befahrungshälfte hat man: a22 ⁼ +0*009₆,

Schienenintervalle

^a32

2nKX

— cos-

.    2mtx

Aa 32 cos-

45—55, 125—135 55—65, 115—125 65—75, 105—115 75—85,    95—105

85—95

+o-ooo₅,

+0-000₅,

+0 * 00 1q,

—HO * OOO3, —0 * 000g

+0-000 09 +0-000 25 +0-000 77

<₂ = -0-008-,

+0-174 +0-500 + 0-766 +0-940 + 1-000

Correction zum a'₂₂... . +0*001 11

a'₂ corrigiert = +0*0107;

Schienenintervalle

^a32

.    2mzx

Aa₃₂ cos-

0,

+0-000 05 +0-000 10 —0-000 15

95—85

+0-0003 +-0 - 0002 —0 * 0002 —-0 * 000₂, -f“0 * 000₂

ebenso findet man

Correction

Correction...    0 * 000 0()

a₂₂ corrigiert = —0*0087;

+ 0*001 14, +0*000 53,

+ 0*0057

0*22 — + 0 * OO9₀, a₂₂ = —0-006₉,

Es ergibt sich daher

Yg COS I 9 —

a⁷⁷⁷ corrigiert = +0*0101; a₂₂ corrigiert = —0*0064.

= +0*000 39.

Auf dieselbe Weise liefert die zweite Befahrungshälfte Correction

a₂₂ corr. = +0*0069 a₂₂ corr. = —0*0111 a⁷⁷⁷ corr. = +0*0070 -a₂₂ corr. = —0*0096

a22 - +0*0083,

a22 — —0* 012?, a⁷⁷⁷ = +0*006₀, a22 —¹    0*011₅,

—0*00141,

+ 0 * 001 5g,

+ 0 * 001 0Q,

+ 0 * 001 91,

Die Wiederholung mit umgedrehter Rolle ergab y₂ cos F₂ = = +0*00033, —Y2 sm ^2 = —0*00049. Es ist somit, frei vom Einflüsse der Rollenexcentricität,

Y₂ cos P₂ = +0-000 36, (oder:

y₂ sin T₂ — +0*00048 Y₂ = 0-0006, P₂ = +53°)

für den Fall: Laufradablesung in der Anfangsstellung = 250°.

35. Um die beiden Constanten %sinKw, y*n cos Kn zu bestimmen, stelle ich den Fahrstift successive auf die beiden Abscissen

+5"',

wo 5', £7// Einstellungsfehler bedeuten, ein. In der ersteren Lage lasse ich durch Rollen des Instrumentes den Fahrstift eine

i\

*,ri

Fig. 13.

und daraus

—Y₂ sin T₂ =

—0*0068

4 36

— —0-000 47.

71

71

Strecke V in der Richtung der y-Axe und darauf, von demselben Punkte ~1 aus, eine Strecke l" in der Richtung der (—y)-Axe durchlaufen. In der zweiten Lage gehe ich wieder von einem Punkte annähernd derselben Geraden y = Const. aus und lasse den Fahrstift von hier aus eine Strecke l,n in der Richtung derjy-Axe und eine Strecke /IV in der Richtung der. (—jv)-Axe durchlaufen. Die vierStrecken sind einander annähernd gleich und beträgt jede annähernd ein ungerades Vielfaches von L%.

Dann rolle ich das Instrument vorwärts um annähernd j -Umdrehung der Laufräder, und befahre von dieser neuen Grundstellung aus wieder vier ebensolche Strecken.

Die vier Ablesungen alnv ct!jlV ct!"v über die vier Strecken der ersten Hälfte der Befahrung liefern die Constante %n sin K„, die vier Ablesungen a!nV c/!JlV a!"v der zweiten Befahrungshälfte liefern die Constante kwcosK„; Kn in beiden bezogen auf diejenige Anfangs-Drehungsphase der Laufräder, welche bei der Grundstellung der ersten Befahrungshälfte stattfand.

In der That ist, sowohl für die vier Strecken der ersten als für die vier Strecken der zweiten Befahrungshälfte, sin \nl auf den Strecken V und ln von +1, auf l,n und liy von —1 nur um Kleines zweiter Ordnung verschieden, und ist ferner

]i{r)

fr«!

Jl(n

f Gn2(Mn2,s)dsz=0, Jlcn

wo das obere Vorzeichen für den Fall der Strecke V oder lly das untere für ln oder l,n gilt. Die Formel (38') gibt infolge dieser Umstände, für die vier Strecken einer Befahrungshälfte,

JJa

5 mm

5mmJSin

+ Ki)~cos    +    +

5 mm

sin

mn¹'

!>«]/'

5 mm

jJa

i"

5 mm

%nL

5 mm

sin

+ K„

5 mm

[zn]i"

Xi

V"

Ki

5 mm

5 mm

J{ sin (i^! + Mwl) cos (jv + MÄl)} ds

5 mm

sin    —b Knj

mj!"

/"'

5 mm

Mm

ziv

nl 5 mm

Ki

5 mm

n (tV+^»i)—cos (Ki+M„i)} ds—

5 mm

£2.

5 mm

\pn\l>v

M,n

Die fünften Glieder der rechten Seiten dieser Gleichungen sind von zweiter Ordnung. Zieht man von der Summe der beiden

ersten Gleichungen die der beiden letzten ab, so heben sich außerdem, wegen der angenäherten Gleichheit der vier Strecken, die vierten Glieder bis auf Größen zweiter Ordnung auf; in Bezug auf die zweiten Glieder ist zu bemerken, dass bis auf kleine Größen erster Ordnung richtig

V"

{sin ([*.„! + cos ({L„! + M„,)} ds,

’l"

h iv

— cos (jlÄl + Mnl)}ds.

Man erhält also durch die genannte Combination der vier Gleichungen, bis auf Glieder zweiter Ordnung genau,

TU cm

%n cos K„ . sin

TT cm

(52)

'I l '

TT cm

%wsinKw. cos^r-

Es ist aber, gemäß der Festsetzung der %-Axe, für die Strecke V der ersten Befahrungshälfte

L - v

2, dagegen für die Strecke V der zweiten Bern —2 und cos ~    =0; — Werte,

L_i>    L i>

deren Ungenauigkeiten klein von erster (beziehungsweise zweiter) Ordnung sind.

Man sieht also, dass aus den vier Ablesungen und vier Strecken der ersten Befahrungshälfte die Constante %n sin Kn, aus den vier Ablesungen und vier Strecken der zweiten Befahrungshälfte die Constante %n cos K/; erhalten wird, wenn

man die in (52) links stehende Summe durch

sin *

— 0 und

cos

L v

fahrungshälfte sin

SL

TU cm

dividiert.

Das Folgende ist eine etwas abgekürzte Wiedergabe meines

Beobachtungs-Protokolles von 1899 Mai 28.

Bestimmung der Constanten x₃ sin K₃, x₃ cos K₃.

9h 55m a. m., Temperatur 14*6° R., Spannung c'%. 10h 15m, Temp. 15-3° R.

Schiene 30*0:

«31

Vorwärts,, bis zu Zurück zu Rückwärts, bis zu Zurück zu

Laufradablesung 250° 430 250

70

250

12-385

10-022

12*385

14*743+

12-385

10h 30m, Temp. 15*4° R.

Schiene 90*0:

«31

Laufrad 250 430

250

70

250

, 12*391 . 14-754 . 12-391 . 10-035 . 12*392

10h 45m, Temp. 15*5° R.

■H

(+)

Instrument vorgerollt um -Umdrehung -des Laufrades. Fahrstift zurück bis Schienenablesung 30*0.

Schiene 30-0:

«31

Laufrad

o o o o o Tb cm Tb co Tb oo io co

:o

11*196

8*823

11*197

13*544

11*196₊

llh, Temp. 15-6° R.

Schiene 90*0:

«31

Laufrad

o o o o o Tb cm Tb co Tb

CO iO CO

10

. 11 * 205_

13 * 580₍₊₎

11-205+

8-863 11 • 205₍_)

llh15m, Temp. 15*7° R.

(L. Grabowski.)

Instrument wird aufgestellt längs der Linie der bei »Schiene 30*0« gemachten Marken. Es finden sich folgende Schienenablesungen :

an der bei

»Laufrad 520« »Laufrad 430« »Laufrad 340« »Laufrad 250« »Laufrad 160« »Laufrad 70«

gemachten Marke

172*12

209*65

246 * 84+

283*98

320*54+

358*17

11¹¹ 50m, Temp. 15-9° R.

Instrument vorgerollt bis zu der Linie der bei »Schiene 90*0 gemachten Marken. Es finden sich die Schienenablesungen:

an der bei

»Laufrad 520« 1 »Laufrad 430« j »Laufrad 340« »Laufrad 250« »Laufrad 160« »Laufrad 70«

gemachten Marke

172-38 209*85 247*03 284*13+ 320*68 358 33

12h20m, Temperatur 15*8° R., Spannung c'ïf.

Berechnung. Die erste Hälfte der Befahrung gibt folgende Ablesungen (Mittelwerte):

a3i ⁼    2 ⁻ 362₈,

asi + <i—a8i~a3i = —0-011₀

4’

a" = + 2 • 358₆, a"' = +2-363 a£ = —2-356

wobei die Strecken waren

V — 74 * 33 mm,

l"= 74-19 mm, lm = 74 * 28₅ mm, /Iv r=- 74 * 19₅ min.

Tl cm

/'—/// + /,//—/iv = +0*23₀mm; (/'—///+/,//—/IV) = +0*0073.

Theorie des harmonischen Analysators.

Die zweite Befahrungshälfte gibt

<1 = -2-373,,

a₃i~ba₃i a₃₁    a₃₁ —    0*059₄,

;> '

<x" = +2-347 ot"' -+2-375 a‘; = —2 ■ 342

über die Strecken

V — 74 * 72₅ mm, l" = 73-70 mm, l"'= 74-65 /Iv = 73-65 mm.

mm

TT cm

Z,,4-/,/,-/IV = 4-2-02₅ mm;

■(/,-/,/4-/,/'-/IV) = 4-0*0645.

Es ergibt sich also

x₃ sin K₃ =

—0*0037

8 LJ*

= —0-00062,

cm

z₃ cos K₃ =

4-0-0051

= 4-0-00085,    .

cm

(oder:

z₃ = 0-0011,

K₃ = - 37°).

36. Zur Bestimmung der Constanten sin K„, Yn cos dient dasselbe Verfahren, wie es in Art. 34 beschrieben wurde, nur wird anstatt der Rolle Mn2 die Rolle Mni abgelesen und ist die Wiederholung mit umgedrehter Rolle nicht erforderlich.

Die vier Ablesungen ct!nl, a"nV a'", der ersten Hälfte der Befahrung liefern dann die Constante :{n sin K„, die in der zweiten Befahrungshälfte gemachten Ablesungen a!nV o"lV anv ani die Constante ^w.cosK„; K„ in beiden bezogen auf diejenige Anfangs-Drehungsphase der Laufräder, welche bei der Grundstellung der ersten Befahrungshälfte stattfand. Die Kenntnis der genauen Längen der einzelnen Befahrungsstücke ist dabei nicht erforderlich.

In der That findet man durch Anwendung der Formel (38') auf die Strecke l(r) der ersten oder der zweiten Befahrungshälfte, analog wie in 34., wo das obere Vorzeichen für den Fall der Strecke V oder Vny das untere für l" oder /1V gilt, und (ln2 offenbar innerhalb der ganzen Befahrungshälfte constant bleibt. Wenn man die vorhergehende Formel für / d[inl auf die vier Strecken l", l,nllv

anwendet und die vier Gleichungen summiert, so heben sich daher die der Rollenexcentricität entsprechenden Glieder derselben bis auf kleine Größen zweiter Ordnung auf; ebenso heben sich die cyclischen Glieder auf zwischen je zwei einander entgegengerichteten Strecken. Man erhält

.sin

2 mzx

2n~x

2 mzx

132

L. Ci rab o wski,

[848]

'lir)

tynl —

5 mm / ,

5 mm

V (Jsin \indy) +

—!/(n

cosW₊Gf sin

2 mzx

dx H—

7<r>

J/««

Gm₂(M„₂, 5) Js—

UTn

'j/W

2»rc* t , ^₁_ cos —-— dx + [cycl. Gl.J;

das zweite Glied rechts ist von zweiter Ordnung; ferner ist hier

5 mm

sin (

I G,i2 (M1l2 , s)ds -

Jl(n

mz

36

'l(r)

Fni (Mnvs)ds = 0,

smfrn2 + Mn2)£^Kn^Cn

cos²

2 mzx

1 )ds,

*"i +2r,(Aaw-sin

+ <n ⁺2;-"(Aa^-sin

®»i +2,v(A«»

. sin

2 mzx

y"

y"

4 c    .

--!„ cos K„ sin

7Z 7Z cm    L

-—— T„ sin K„ cos

I lern

Man sieht, dass aus der ersten Befahrungshälfte \n sin K„, aus der zweiten cos Kn dadurch erhalten wird, dass man den Wert des in (53) links stehenden Ausdruckes durch

71 TU cm

dividiert.

Selbstverständlich kann das Verfahren auf eine Befahrungshälfte beschränkt werden, wenn K;? bereits bekannt und bloß gesucht wird. Man bestimmt dann z. B. nur die Constante cos Kn, während man dabei das Instrument in derjenigen Anfangs-Drehungsphase der Laufräder aufgestellt hat, auf welche bezogen K7/ = 0° ist.

37. Zur Bestimmung der konstanten en sin E„, en cos sind für verschiedene Integrierapparate verschiedene Methoden zweckmäßig.

a) Ist der Integrierapparat einer, welchen man unmittelbar neben (d. h. vor oder hinter) den Integrierapparat von zweimal so hoher Nummer einschalten kann, dann ist es möglich, seine Excentricitätsconstanten nach einer Methode zu bestimmen, welche weder präcise Schieneneinstellungen, noch die Kenntnis anderer Constanten des Instrumentes voraussetzt. Jener neben dem zu untersuchenden eingeschaltete Integrierapparat dient dann nämlich zur Contrôle der Drehungen, welche der zu untersuchende Integrierapparat zwischen den verschiedenen Schieneneinstellungen hätte bei Abwesenheit seines Excentricitätsfehlers erleiden sollen.

Ist allgemein n die Nummer des zu untersuchenden, k die des Control-Apparates, so hat man nach den Relationen (34) (z. B. der zweiten):

nzu sin ^

— 2 mix

n*) + Sin II* = — (X„—A„) + - (kk—Ak)—

hn \ nx

(34bis)

to

O)

Für k — 211 hat man

IlBn

sin

—2 mzx

-Bf) + sin IC

= —(k„—À„)+ y (X2Î -A₂„) - (|ç

(54)

+ ws2M sin

-n”, + sin lV‘n .

Man nehme nun an, man hätte den Fahrstift successive in die

1    c

2    n

gebracht, wobei S7//, £v unbekannte Einstellungsfehler sind und die Einstellungen selbst immer mit nach rechts gerichteter Bewegung bewirkt wurden, — und es seien die Drehungen, welche die beiden Integrierapparate zwischen je zwei Lagen des Fahrstiftes thatsächlich vollzogen haben, auf irgendeine Weise (worauf ich sofort zurückkomme) genau festgestellt worden. Wendet man die Formel (54) auf diese drei Lagen an, so hat man

Lagen # = xf —    x — x'" =

—    0*11 —An) *+■ ^ Q^2n A2n)

—    (Ki —Am)4- — (Kn —A2n)--2~

—    ftn —Aw)-f-— (Kn —A 2n) —

oder, wenn man von der mittleren Gleichung einmal die erste, das andere Mal die letzte abzieht, und beide Differenzen summiert,

4nen sin U²’¹ —

2neu sin U2ltl

llon

.2 n

(AKv)!“ + (AK)n,— y(AX2 w)n,

;    (55)

die Abkürzung (AXW), steht anstatt Kn—Kn = Kl2—K12, stellt also die Drehung des Integrierapparates zwischen der Einstellung x* und xw dar, und Analoges gilt von den übrigen Symbolen rechts. Ähnlich hat man, für die beiden Abscissen-

werte x = xn == S- — -f-£/7, x — xlv = ~ C— -b£,v, die Gleichung 4 n    4 n

2nsn cos Hf =

(AXX-

<1

1    l^2n    ^n ^

2    \2 n    n j

oder

2wsw cos II z=

= - (AXX-

(A X₂7t)n + 9

(ax,o;-

(AX2n)r • (55')

Die Formeln (55) und (55') lassen, wenn die Veränderungen der geographischen Längen bestimmt sind, die Con-stanten sn, U^¹ berechnen; Ew erhält man, indem man zu der Constante H²*¹ die mit genügender Genauigkeit bekannte Differenz O,/—0;“/? addiert, wo 0₇/, wie in 18., die Anomalie desjenigen Punktes bezeichnet, welcher unter normalen Umständen der Ankunftspunkt des Drahtes an der Scheibe Hn ist, 0f” aber die Anomalie des Punktes, in welchem bei der Operation das zwischen den Scheiben Hn, H2n liegende Drahtstück die untersuchte Scheibe berührte.

Die Bestimmung dieser Veränderungen der geographischen Längen ist im vorliegenden Falle dadurch vereinfacht, dass die Lagen des Integrierapparates, welche die festzustellende Drehung desselben begrenzen, solche sind, in welchen eine -— und zwar in beiden dieselbe — Messrolle nahezu auf der AT-Axe liegt. Wenn nämlich in einer Lage, in welcher die Messrolle Mvi eines Integrierapparates nahezu auf der X-Axe steht, eine zur y-Axe parallele, von der Anfangsstellung des Instrumentes ausgehende Strecke l befahren wird, deren Länge annähernd gleich einem Vielfachen von 2Lz ist, dann ist, nach den Formeln (38') und (22'), bis auf Glieder zweiter Ordnung genau,

sin Xvt- =

cm

Sy My

⁺ i ~k7

sin X

sin

ly sin Xvj

5 mm

+ Myjdy;

daher, je nachdem die Rolle M,ti nahezu auf der (-+-AQ-Axe oder der (—AT)-Axe steht,

—(Ov/)j

entweder: Xw- =

My

Vz

cm

mm

a;

oder:

X;/ =

—(a v/)/

ht

Vz

cm

mm

a;

[COS ([Xy +Mvy)j

[cos (;ly +MV,-)]

— beide Werte richtig bis auf kleine .Größen zweiter Ordnung (und Vielfache von 2rc). Auf diese Weise kann Xv; unabhängig von der Kenntnis von Instrumentalconstanten gemessen werden, wenn die Länge l annähernd genau bekannt ist. Der Coefficient von Sy- kann durch die Wahl einer genügend großen, oder einer solchen Länge/, dass auf derselben die Rolle My nicht viel mehr und nicht viel weniger als eine ganze Anzahl Revolutionen vollzieht, so klein gemacht werden, dass das Glied

i/ó

Syjr

mm

'JJ⁻' [cos .(jL,y+ Mvj)]

praktisch von zweiter Ordnung ist.

Dieses vortheilhafteste Verfahren zur Bestimmung der Excentricitätsconstanten en, Ew ist bei meinem Instrument leider nur auf einen Integrierapparat, nämlich den ersten, anwendbar; denn für keinen anderen lässt sich die unmittelbare Anschaltung an den 2«ten Integrierapparat durchführen. — Das Folgende ist mein

Beobachtungsprotokoll von 1899 August 2.

9h35m a. m., Temperatur 12*9° R., Spannung c³%.

10h5m, Temp. 13*6° R.

Schiene 0:

«21

Laufrad 70

2* 227_

70 + 2x360

70

* 209[_]

•231

70 + 2x360

70

70 + 2x360

70

*211

* 232₍_) •212 •232

14-367h 380 366₍₊₎

378₍₊₎

365+

378_

365(+)

10h40m, Temp. 13*7° R.

(-)

Schiene 90:

Laufrad 70

70 + 2X360

70

70 + 2x360

70

70 + 2x360

70

to    to    to    to    to    to    to

co    oo    co    oo    co    oo    co    s

^    00    a    CO    v|    ÜI    N    iS

r-j—i i—j—i    i—|—i    r—p r—j—i

«12

31*063+ *083h ' 064+ 082₍_}

•    064+

•    082_

• 065(_)

11h 15m, Temp. 13 7° R.

Schiene 180:

«21

«n

Laufrad 70

*244

14*382

70 + 2x360

70

*    209₍_)

*    246_

•376

[+]

* 384_

70 + 2x360

*211

(-)

70

70 + 2x360

70

•246[+]

•210+

•247

*    37 9„

•    384h

•382

• 389[+]

llh45m,Temp. 13*9° R.

Schiene 270:

«21

Laufrad 70

265_

co

70 + 2X360

70

»    70

70 + 2X360

305(_)

268+

304+

268+

70 + 2x360

303_

70

267

^CO^COhł^CO^ Î3 CO ^ 00 M 00- QI ¹⁰

^—v /•-—N /-—N f——I    r—> i 1

+ + + +    + +

N---/ N--✓ N_✓ I-1    I-1 I-1

o o o o o:o o

12h20m, Temp. 13-9 R.

Schiene 360:

Laufrad 70

704-2x360

70

70 + 2X360

70

70 + 2X360

70

co to to to to to to

*<l CO CO + ^1

co 4^ Q oo a- o oo Ï2 J T X ± ⁺

«11

14 • 403[_] • 393₍₊₎

•403

*    393[₊]

*    401 +

•391

(+)

lh0m, Temp. 13-8° R., Spannung c .

Berechnung. Aus den Ablesungen bei »Schiene 0« hat man im Mittel a₂₁ = 2‘210₈—2*230₃ = —0*0200 und a!n — = 14*378₆ —14*366₀ = +0*0126, daher

-0*0200

l !tz cm

x'n — X +

4-0-0126

l !tz cm

in analoger Weise findet man:

A21 —

+ 0-0477

+ 0*0177

7/tt cm

cm

X'" = - TT +

-0*0357

-0*0058

L/tz

cm

X^-2*-

+ 0*0367

1/tz

cm

A12 —

l ! TZ cm -0*0116

l Itz cm

X₂₁ — —3 Tz +

0-0392

-0-0090

l Itz cm

l ! TZ cm

Man hat also

TZ—

0-0068

7C cm

(AXX =

TZ-

0*0148

(AX₂);!i = -2:r--

0*0157

(AXX =

7Î

(AX₂)^ = —2t:— 0 * 0061

Vtc cm

0*0035

7T cm

Vtt

cm

CO

0*0110

l ! TZ cm

Daraus ergibt sich nach den Bestimmungsformeln (55)

und (55')

si sin DJ = —

Tf 2    _

Si cos 1J, = -

1 —00141

^/tu cm

0*00037,

1 +0-0056

— +0*00030.

cm

Da der Verlauf des Drahtes der normale war, so ist die Größe U* zugleich die Instrumentalconstante E₁ selbst; die

Excentricitätsconstanten des ersten Integrierapparates sind also endgiltig

sin Ej = —0*0004,

cos E₁ — -b0’ 0003.

b) Ebenfalls keine präcisen Schieneneinstellungen, wohl aber die Kenntnis einer Instrumentalconstante ist erforderlich bei dem nachstehend geschilderten Verfahren, welches zur Bestimmung der Excentricitätsconstanten ertsinE/t, sn cos En eines Integrierapparates dient, der sich an einen mit halb so hoher Nummer versehenen anschalten lässt.

In diesem Falle ist k = -~n, und die Relation (34bls) gibt

i¹¹

-b sin II„

n s„ sin

—2 mix

(X„—A„) + 2(Xx;[—AxJ— (

'2Afn~hn

nx

**b fl SjL/f sin 2 U

—UTZX

ITi

in

+ sin U?

(56)

Wendet man diese Formel an auf die Abscissen x — x' =.

+    X = A'V =

Q

— 2--b £!X, und summiert die so er-

—+r, *=*v,,=

n

= o+e, x = xf"=

__ ^__c___. &v»

2 n :

haltenen fünf Gleichungen, nachdem man sie der Reihe nach mit —1, 2, —2, 2, —1 multipliciert hat, so findet man

x CO

8«8„ sin nt” = —[(AX„)!"—2 (AXx„)!"] +

(57)

+ [(AX„);; -2 (AXi.„)r„] - [(AX„)I"-2 (AX^)™] + + [(AX„)‘*—2 (AXx,

Wendet man die Formel (56) an auf die Abscissen x = xn —

- +e", * =

7 c

x = xvnl = —---b£'ni, und summiert die so erhaltenen vier

4 n

Gleichungen, nachdem man sie der Reihe nach mit —1,1, —1,1 multipliciert hat, so findet man

xIV —

3_

4 n

+ £1V, x - xvl =

— + r,

n

oder

4ns„ cos Il|" =

¹

11 • 50 mm : 444*34 mm :

²

Es möge bemerkt werden, dass an diesem Tage die unwillkürlichen Rollbewegungen etwas größer waren, als gewöhnlich. Die Correction einer Ablesung aJf₂} war sonst nur selten größer als 0*0010.

³

Bei den unten wiedergegebenen Beobachtungen von 1899 August 2 war die Vorsorge vergessen worden, den Coefficient von klein zu machen; die Drehung der Rollen M\j war in der That nicht viel verschieden von einer ungeraden Artzahl Halbrevolutionen. Indessen kann dadurch das Resultat nicht wesentlich beeinflusst worden sein; denn selbst unter Annahme des großen Wertes —— für und des ungünstigsten Wertes (0) für My/ würde der Fehler der gemessenen geographischen Länge nur 0*00007 (circa 15") betragen.

[(Ax„);;-2(Axł„);;] - pAx^r^AX^r]-

~j [(AX„);x-2(AXłjr].    (570

Die in (57) und (57/) auftretenden Drehungen des wten Integrierapparates sind durch je zwei derartige Lagen begrenzt, dass in jeder der beiden Lagen eine,. und zwar in beiden dieselbe, Messrolle dieses Apparates nahezu auf der X-Axe liegt; sie können daher, so, wie im vorigen Falle, durch Befahrungen

zury-Axe paralleler Strecken ohne Kenntnis von Jnstrumental-constanten bestimmt werden. Die damit gleichzeitigen Drehungen n ten

Integrierapparates dagegen sind derartige, dass in

dëS y

jeder der beiden die Drehung begrenzenden Lagen eine, aber nicht in beiden dieselbe, Messrolfe dieses Apparates nahezu auf der X-Axe liegt. Hat man daher in jeder der beiden Lagen des Control-Apparates die geographische Länge der nahezu auf der AT-Axe liegenden Messrolle ermittelt, so muss man, um aus der Differenz der beiden Werte die Drehung des Apparates abzuleiten, den constanten Längenunterschied 90° +^,₂~Gi±, i seiner Messrollen kennen.

c) Auch für einen Integrierapparat Hn, welcher sich weder

n ten

unmittelbar (oder vermittelt

An s„ cos Il|" —

il

an den 2^tcn₅ noch an den —

LJ

durch Scheiben, die unter einer geringen Differenz der beiden Grenzanomalien des Drahtes umwickelt sind) anschließen lässt, kann man noch zur Bestimmung der Excentricitätsconstanten einen Control-Apparat Hk verwenden; in diesem allgemeinsten Falle jedoch erfordert die Bestimmung die Kenntnis dreier Constanten des Control-Apparates.

= 0 + e,x = x" =

Man gibt dem Fahrstift successive die Abscissen x — x’ — + ÿ',x = xw =

2 n

.. ; wendet man die Gleichung (34bis) an auf

die genügend weit fortgesetzte Abscissenfolge x\ x,n, xv, . .. einerseits, x", xlv, ... anderseits, so erhält man wieder zwei Gleichungensysteme, aus denen sich zwei Bestimmungsformeln von ähnlicher Form wie (57) und (57') ergeben. Die darin vorkommenden Drehungen des Control-Apparates werden jedoch im allgemeinen durch Lagen begrenzt sein, in welchen keine seiner Messrollen nahezu auf der X-Axe liegt. Um hier bei jeder Abscisseneinstellung xir) die Lage des Rollenpaares des Control-Apparates kennen zu lernen, liest man am besten, bei den Befahrungen der Strecken /(r), seine beiden Rollen ab und ermittelt daraus \k\ mittels der nachstehend abgeleiteten Formel.

Es ist allgemein, wenn ein Winkel X durch die beiden Gleichungen

7] von der ersten Ordnung klein,

j sin X = a-

l COS X = £ + 7],

definiert ist, dieser Winkel bis auf Glieder zweiter Ordnung genau ausgedrückt durch

X = arc tg

— -f- £ cos X—7] sin X. b

Schreibt man die Gleichung (38⁷) für den &ten Apparat, integriert sie über Z(n, welches annähernd gleich einem Vielfachen von 2Lt: sein soll, setzt darin successive i — 1, i — 2, setzt schließlich für X*2 seinen Wert XÄ1 + 90°4-(^₂ — Ski) ein, so erhält man zwei Gleichungen für sin \kl, cos X^, welche die Form der oben angeschriebenen haben; die Glieder a, b sind in diesem 5 mm

Falle

l(r)

• / d\i.ki,

Jl,r>

5 mm

Ca

/

Ji<r>

. Wendet man darauf die Formel

(*) an, so findet man

hi = arc tg

&kl

„(V)

&k2

8«

2kzx,r>

l<n/ô

cos

mm

[cos (jxA i + Ma)+sin (jl«+Mw]

yn

8ai

ïr>/₅

- sin

mm

8*2

/-/₅

mm

2kxx(r) Mkx

Mk 2

------cos

Kk

[cos ([J. ki+M*i)]^(r)+

2k-xx,r\    -,

—-[cOS(|J./;2+ 'U-₂)J t,r, —

Kk

ïr)k

sin

2kr,x{r)

mm

,    , . o2kzx(r)

—(°k2—Vki) sin---

[cos (jx£2 + Mtt) + sin (£4₂ + M^₂)J

,    . . 2k%xir)    2faixir)

-+-\niki—mn\ sin —-

cos

i(r)

Wenn die Coefficienten von iïkll ök2 durch geeignete Wahl der Länge /(r) hinreichend klein gemacht worden sind, dann bleibt einfach

hi = arc tg

„(n

Ufa

„(r)

V'k2

.    . ₂2kxxtr)

(o*8—o*i) sin²—-—

,    . 2ktu #(r)    2kn x(r)

-\-\niki—sin —-— cos —-—

d) Eine immer anwendbare Methode, welche indessen nur dann sich empfehlen dürfte, wenn kein anderes Verfahren ausführbar ist, ist die directe Methode, welche nicht die Beobachtung der Drehungen eines Control-Apparates zwischen je zwei Schieneneinstellungen, sondern die Ablesungen dieser Einstellungen selbst benutzt.

Man gibt dem, Fahrstift der Reihe nach die Abscissen x = x' = 0+i\ * = *'• = A—+É", x-x'"---—

4 n    2 n

wo    £;/,... die abgelesenen Einstellungsfehler sind, und

misst in jeder Lage die geographische Länge der nahezu auf der AT-Axe befindlichen Rolle des zu untersuchenden n Apparates; dann sind, unter der Annahme, dass die abgelesenen Einstellungsfehler gleich den wirklichen seien, in der Gleichung (39) Xm- und # bekannt, und man erhält ein System

von Gleichungen (39), welches erlaubt die Constanten en sin E sncosErt zu berechnen. Die übrigen Constanten des wten Integrierapparates, welche in (39) Vorkommen, können durch Differenzen der Gleichungen eliminiert werden, die beiden Constanten s sinE, s cosE jedoch im allgemeinen nicht. Die Kenntnis der letzteren wird also erfordert.

Man hat in der That aus den drei für i — 1 und für x — xr, x — xm, x — gebildeten Gleichungen (39) die beiden Differenzgleichungen

2nn

— 2iien sin En — (AXnl), —f— 7ü +

—ne sin

(ÄF+E) ⁺ ’'!sinE-fe

■+■2nen sin hn — (AXnl)^. + z + —ne sin (

¹ L

KU H

2llTi

(r-r)-

+ E j + ne sin (

2» 3 +E)

hn

woraus sich ergibt

4m„ sin En = (AX„,)'U

ne

sin

(äx„₁);,i-{-^(r-2ew+i0-

2m // +E) +sin E ' (⁵⁸)

(lT7i +E)~² sin(

Auf dieselbe Weise ergibt sich aus den drei für i — 2 und x == — x", x'\ xVI gebildeten Gleichungen (39)

4nen cosE„ — (AX;22)1V

ne sin (

'5_± An H

+E)

— 2 sin

^ /jp

(Ax„₂);r+^(r'-2rv4-ro-

U»s+E)+sin(

AnCH+E)-^

Man kann in dem conereten Falle, durch Hinzunahme weiterer oder Wahl anderer Abscisseneinstellungen aus den obigen beiden Folgen, diese Methode so einzurichten trachten, dass in den endgiltigen Bestimmungsformein die Factoren bei s sin E, £ cos E möglichst klein werden, damit die Ungenauigkeit der Kenntnis dieser Constanten bloß mit einem kleinen

Bruchtheile des eigenen Betrages in die zu bestimmenden (konstanten hineinkommt. Bestimmte Vorschriften lassen sich hie-für nicht geben, da dies von der speciellen Configuration des verwendeten Analysators abhängt.

Einigermaßen genaue Werte kann man bei diesem Bestimmungsverfahren nur dadurch zu erhalten hoffen, dass man die Bestimmung mehrere Male wiederholt, um den Einfluss von Ablesungsfehlern abzuschwächen. —

38. Als letzte der regulären Instrumentalconstanten bleiben noch s sin E, s cos E übrig. Diese Constanten der Formel für die geographischen Längen im n Integrierapparat sind für sämmtliche Apparate einer Gruppe (S. 15) gemeinsam. Die für die untere Gruppe geltenden hängen, von den Eigenschaften der beiden linken Leitrollen, die für die obere Gruppe geltenden von den Eigenschaften der vorderen linken Leitrolle allein ab.

Ich spreche in dem Folgenden der Kürze halber immer nur von »der Leitrolle«; die Worte »beziehungsweise Leitrollenpaar« sind zu ergänzen.

Die für einen Integrierapparat angewendete Methode, # seine Excentricitätsconstanten dadurch zu bestimmen, dass man die miteinander gleichzeitigen Drehungen misst, welche der untersuchte und der als Control-Apparat an ihn angeschaltete Apparat vollzogen haben, lässt sich nicht auf die Bestimmung der Excentricitätsconstanten der Leitrolle übertragen, weil man kein Mittel hat, die Drehungen der Leitrolle unabhängig zu messen (da sie keine Messrollen trägt), dieselben vielmehr nur aus ihren Wirkungen auf die Drehung des daran angeschlossenen Integrierapparates erkannt werden müssen. Die Nothwendigkeit präciser Schienenablesungen lässt sich hier also nicht umgehen.

In den obigen Bemerkungen ist das Principieile der Bestimmungsmethode bereits ausgesprochen. Man benutzt einen unmittelbar (oder unter geringer Differenz der Grenzanomalien des Drahtes an jeder Zwischenscheibe) nach der Leitrolle eingeschalteten Integrierapparat gleichsam als Reagens, indem seine Drehungsphasen die Wirkungen der Excentricitätsconstanten der Leitrolle sollen erkennen lassen. Man gibt durch

Schieneneinstellungen, welche möglichst genau abgelesen werden müssen, dem Fahrstift der Reihe nach geeignete Ab-scissen von diesen, bei welchen seine Cosinusrolle, oder von diesen, bei welchen seine Sinusrolle nahezu auf der AT-Axe liegt (eventuell von beiden Abscissenfolgen), damit man die zwischen je zwei Lagen einer Folge vollzogene Drehung unabhängig von der Kenntnis seiner Constanten messen kann. Durch Einsetzung der abgelesenen Abscissenwerte und der gemessenen Werte der geographischen Längen in die entsprechenden aus (39) gebildeten Differenzgleichungen erhält man ein Gleichungensystem, in welchem die sonstigen noch vorkommenden Con-• stanten sich durch bloße Summationen und Subtractionen eliminieren lassen. Man erhält zwei Bestimmungsformeln, welche nur die beiden Unbekannten s sin E, s coś E, jedoch jede die beiden, enthalten.

Welcher Apparat als Reagens-Apparat benutzt werden solle, und wie die verschiedenen Abscissen am zweckmäßigsten gewählt und combiniert werden sollen, um in den Schlussformeln günstige Verhältnisse der Coefficienten zu erhalten, das hängt von der speciellen Configuration des verwendeten Analysators ab. Nur als Beispiel soll hier das Verfahren genauer beschrieben werden, welches ich für mein Instrument angewendet habe.

Ich benutzte, um die Constanten s sin E, s cos E des Leitrollenpaares zu bestimmen, als Reagens den 3ten Integrierapparat, und gab dem Fahrstift die sechs Abscissenwerte, welche

c    c

folgenden Ablesungen entsprechen:    x"—2— + £",

x"> =3 f *,v = 4|-+r, *v = 5y + r, X" = 6 C- + r, WO 6    6    o    o

..., £V1 abgelesene Einstellungsfehler sind. In diesen Lagen steht die Cosinusrolle des Apparates nahezu auf der X-Axe. Die Gleichung (39) gibt

= 7z—riz—6tu

-F 3s₃ [sin (r7T-t-E₃)—sin Egj-ł-r c

Vr)

-D+

—r -f- 3s sin E. cos

+ 3 s cosE. sin

— Ä₃ + a₃₁.

Bildet man aus dieser Gleichung die Ausdrücke für (AX₃₁)!n, (AX₃₁)^n, (AXgj)!'', (AX₃₁)ivJ, setzt dann in diesen Ausdrücken den

W ert

CT.

— 218°51/ ein, so findet man, durch Additionen

jT7

und Subtractionen der vier Gleichungen,

7 • 06 s cos E—0 ’ 64 s sin E =

0 • 87 s cos Ë—7 • 10 £ sin E =

39. Nach den oben erörterten Methoden zur Bestimmung der regulären Instrumentalconstanten wurden diese für mein Instrument wiederholt bestimmt.

Die in der nachstehenden Tafel angegebenen Werte können als geltend für den Sommer 1899 angesehen werden.

Die Constanten Tn, K„ sind auf den Fall reduciert, wenn bei der Anfangsstellung des Instrumentes die Laufradtheilung 0° zeigt; die Werte der Constanten Ew, E beziehen sich selbstverständlich auf den Fall der Coincidenz der an den betreffenden Horizontalrädern angebrachten Marken mit den zugehörigen Marken am Gerüst des Instrumentes.

Constanten, deren Werte durch einen Strich ersetzt sindr wurden nicht oder nicht genau bestimmt.

Gii2~öm

mn2

+0-0018 -00014 +0*0012

-0*0002 +0*0002 -0*0015 -0*0012 -00011 -0*0007

— 0J2~0₁₃

= mn = w₁₂

0*0013    0*0006

0*0005

rw

278°

162°

307°

— g22“°21

= *»21 = m₂₂

= ft

0*0017

K„

105°

0*0016

21°

t»

s»cosE„ sin E/;

-0*0005

+0*0002

-0*0005

-0*0003

+0*0003

+0*0001

0*0012

77°

-0*0003

= k\

= ti

= *2

= k₂

— Ï2

— 0₃₂-°3i

= *»31 = m₃₂

= k₃

= Ï3

s cos E s sin E

+0*0001

-0*0000

In dem in den Correctionsformeln eingeführten Constanten-system sind die Werte der regulären Constanten demnach folgende:

I /i

+0*0002 -0*0006 +0*0003 -0*0013; +0*0002' -0*0004

-0*0002| +0*0007 +0*0006; +0-0003¹ +0*0003

+0*0001

= Y 2

⁼ Y 2    !    — Y3

= y*2

+00002; +0*0003 -0*0005 +0*0001

c'

c"

+0*0001

-0*0001

-0*0002

-0*0012

+0*0002 -0*0011

+0*0015

-0*0007

= m21 = m22

+0*0018

-0*0014 +0*0012

40. Die Constanten hn, o',t müssen bei jeder Analyse besonders bestimmt werden.

Es empfiehlt sich, dieselben vor und nach der Analyse zu bestimmen, und bei der Anwendung der Formel (44) Mittelwerte aus beiden Bestimmungen zu verwenden.

Die Bestimmung selbst geschieht in folgender Weise.

Man stellt den Wagenindex auf 0,. wobei man möglichst genau den Einstellungsfehler ç' abliest, befährt eine der_y-Axe parallele Strecke V von geeigneter [siehe 37. o)] Länge ein-oder mehreremale abwechselnd hin und zurück und bildet die Ablesungen sämmtlicher Cosinusrollen über die Strecke V. Dann stellt man den Wagenindex auf 360, wobei man möglichst genau den Einstellungsfehler i" abliest, und befährt wieder eine der _y-Axe parallele Strecke /" von geeigneter Länge, in derselben Weise wie früher und wieder unter Ablesungen der Cosinusrollen. Die Einstellungen sind immer mit nach rechts gerichteter Bewegung zu bewirken.

Aus den Ablesungen der Cosinusrollen über die Strecke V erhält man in der That, wenn die Länge /' roh bekannt ist, nach der Formel

a«i

(59)

V!% cm

die geographischen Längen sämmtlicher Cosinusrollen für die Abscisse £' des Fahrstiftes. Ebenso aus den Ablesungen über l", nach der Formel

Mit — (1‘—2w)7c +

„//

«Hl

cm

(60)

die geographischen Längen der Cosinusrollen für die Abscisse c-des Fahrstiftes.

Wendet man nun die Gleichung (39) auf die Strecke V an, wobei man für \n\ den Wert (59) einsetzt, so ergibt sich

2 mr£'

a(ti

(61)

cm

ÖBl “ %

erhält man aus a„i, wenn man die bekannte reguläre Constante ws sin E abzieht.

Wendet man aber die Gleichung (39) an auf die beiden Strecken und zieht die beiden entsprechenden Gleichungen voneinander ab, so findet man

hn =

„//

a/il

• ws',

(62)

! TZ

wo s' die bekannte reguläre Constante des Analysators ist.

ln der Ausführung der Bestimmung empfiehlt es sich, zur Verminderung des Einflusses der ungenauen Kenntnis der Einstellungsfehler, die beiden Einstellungen einige Male zu wiederholen, indem man immer die Einstellung auf 0 und die auf 360 abwechseln lässt.

cm

cm

Die Fehler des Millimeterpapieres und der Aufstellung.

41. In der obigen Theorie der Instrumentalfehler ist noch ein Umstand unberücksichtigt geblieben, der zwar noch zu den Fehlern des Instrumentes gehört, den es aber zweckmäßiger erschien in Verbindung mit den Papier- und Aufstellungsfehlern zu berücksichtigen.

Ist nämlich die Richtung, in welcher bei stillstehendem Instrument der Fahrstift sich verschiebt, nicht genau senkrecht zu der Rollrichtung des Instrumentes, dann würden offenbar die Gleichungen (38') und (39) [und damit auch alle daraus nachher gezogenen Folgerungen] giltig bleiben, wenn man darin unter xy die Coordinaten, unter dxdy die Verrückungs-componenten, des Fahrstiftes in einem schiefwinkligen Coordi-natensystem verstehen würde, dessen ^-Linien die Richtung haben, in welcher der Fahrstift ohne Rollen des Instrumentes bewegt werden kann, dessen jy-Linien aber die Richtung haben,, in welcher das Gerüst beim Rollen bewegt wird. Als die Ordi-natenaxe selbst gilt dann selbstverständlich wieder diejenige Gerade der letzteren Familie, auf welcher die Fahrstiftspitze sich befindet, während der Wagenindex auf dem Schienenstrich 0 steht; die Abscissenaxe aber brauchte- bisher nicht festgelegt zu werden.

Wir wollen nun hier ein solches schiefwinkliges Coordi-natensystem einführen, und bezeichnen es mit xryr. Es gelten also die Gleichungen, welche aus (38') und (39) mittels Ersetzung von xy durch x'y¹ entstehen, c und mm haben dabei genau dieselben Bedeutungen wie früher, desgleichen bedeuten \ni — 180°, A?i2 = 270°.

Da es ferner wegen der späteren Betrachtungen zweckmäßig ist, die Abscissenaxe festzulegen, definieren wir sie folgendermaßen. Nachdem das Instrument auf dem Papier aufgestellt worden, gibt es unter den verschiedenen Stellungen,, welche es durch Rollen successive annimmt, nur eine von der Art, dass in derselben der Fahrstift ohne Rollen des Instrumentes mit dem Ausgangspunkte der gezeichneten Curve C in Coincidenz gebracht werden kann. Diese Stellung bezeichne ich künftig als die Anfangsstellung des Instrumentes, und den Strahl, welchen der Fahrstift in dieser Stellung (nach wachsenden Schienenablesungen) beschreibt, als die Abscissenaxe des Systems x'yr.

42. Die zur Analyse vorliegende Curve ist gezeichnet nach Maßgabe des auf dem Millimeterpapier vorgedruckten Netzes. Ihr Anfangs- und Endpunkt liegen also auf einer und derselben Linie der Familie der Abscissenlinien des Papieres, und der Abstand dieser Punkte voneinander beträgt 360 Papier-Millimeter der Abscissenrichtung.

Es wird fortan stets angenommen, dass man bei Umfahrungen zu analysierender Curven nach der folgenden Regel vorgeht:

1) von dem Ausgangspunkte der gezeichneten Curve befährt man diese bis zu ihrem Endpunkte am anderen Ende des zu untersuchenden Intervalls der Zeichnung (unbekümmert darum, dass dadurch der Wagenindex möglicherweise über den Strich 360 der Schiene etwas hinausgleitet oder ihn nicht erreicht); 2) von hier aus rollt man das Instrument, wenn nöthig, vor- oder rückwärts, bis es in seine Anfangsstellung kommt; 3) dann verschiebt man den Fahrstift bei stillstehendem Instrument bis zur Coincidenz mit dem Ausgangspunkte der gezeichneten Curve.

Die durch 1) vom Fahrstift beschriebene Bahn deckt sich vollständig mit der Curve C; die durch 1) und 2) vom Fahrstift beschriebene Bahn bezeichne ich mit S; die gesammte Bahn des Fahrstiftes mit S.

Die Gesammtdrehung der Rolle Mnj bei dieser Umfahrung ist offenbar gegeben durch die Formel

Jd\xn

5 mm

+ Tn

5 mm

'--2 mix'

+" ^n i ) dy ’ +

Jn cos    4- Fn j sin (

2 mix'

2tlL inJ

5 mm

cos

4-K.J sin f

4-'A ?u- j 4-'—2MZX¹

+■ A.«/ i dy' 4-

S¹

■+*£/r

2mix'

5 mm

sin Ew

f~2rnix'

•AS

4-e.

5 mm

sin (J^4-F ) —sin E

(- 2mix'

dyr 4-    (63)

4- hn-

5 mm

r x'

I c

ï—2mzxf

• i ) dy!Ą-

+ «*»<•

f—2mzxf

5 mm

+ A %}j'dy'+

+ '³«/ •

5 mm

4-5

ni 5 mm

y- 2rnix'

4- A?„*j dy* +

CFni (Mn/-, Ś) ds 4- 5;;/ * - ~ ~m / GnjÇS\-nj, s) ds.

V

cos

Wurde die Umfahrung wiederholt nach Umkehrung der

d\ini d

Messrollen und bezeichnet dann

as arithmetische Mittel

der beiden Gesammtdrehungen der Rolle Mni, so fällt in der Formel (63) die letzte Zeile weg.

43. Von dem zum Aufträgen der Curve verwendeten Millimeterpapier setze ich nur voraus, dass seine Linien gerade und seine kleinsten Felder congruente Parallelogramme sind. Man muss vor dem Aufträgen der Curve sich von diesen Eigenschaften überzeugen.

Ich setze dagegen nicht voraus, dass die Linien der einen Familie senkrecht zu den der anderen stehen; nicht, dass die einen oder dass die anderen richtig getheilt seien, d. h. dass ihre Millimeter mit den wahren oder mit den Analysator-Millimetern übereinstimmen; auch nicht, dass die Partes der Ordi-natenrichtung jenen der Abscissenrichtung gleich seien. Diese letzteren Eigenschaften treffen nach meinen Erfahrungen in der Regel alle nicht zu. Dagegen wird vorausgesetzt (was ja immer zutrifft), dass die x4bweichungen davon klein seien.

Fi g. 14.

Wir nehmen nun die durch den Ausgangspunkt der Curve hindurchgehende Gerade der Familie der Abscissenlinien des Papiernetzes als die £-Axe, die durch jenen Punkt hindurchgehende Ordinatenlinie des Papiernetzes als die vj-Axe eines schiefwinkligen Coordinatensystems £*/]. Die Entfernung des.

Endpunktes der Curve C von ihrem Ausgangspunkte nenne ich y.

Wenn nun die Coordinate rj des laufenden Punktes P der Curve in Function seiner Coordinate £ dargestellt ist in der Form

n = oo

7] _ a₀ +

an cos

2 mci

11=00

V bn sin

2 mci

4-

so ist es die Anzahl der in der Länge an beziehungsweise bn enthaltenen Papier-Centimeter der Ordinatenrichtung, welche gesucht wird. Denn diese Centimeter sind es, gemäß der Entstehungsweise der Zeichnung, welche bestimmte Einheiten der abhängigen Variablen des behandelten Variablenpaares vertreten. Bezeichnen wir einen Papiercentimeter der Ordinaten-riehtung kurz mit 1 Cm (im Gegensatz zum Analysatorcenti-meter cm), so werden also gesucht die abstracten.Zahlen

an

bn

1 Cm

Die Längen an, bni Coefficienten der Entwicklung (64)r

haben, entsprechend den Formeln (3), da y\e = r}a ist, die Ausdrücke

ü.n —

U 7C

sin

2mc £

d%

bn =

mc

COS ------------<27}. (6o)

Es handelt sich also nur noch darum, diese Ausdrücke zurückzuführen auf die Ablesungen des Analysators über die Bahn oder auf die unmittelbar aus diesen Ablesungen in früher’ angegebener Weise gebildeten rohen Coefficienten a\ub'n.

44. Dies wird sofort erreicht durch Transformation von Coordinaten.

Das Coordinatensystem des Instrumentes, %}y\ ist schon definiert worden. Seine x'-Axe geht darnach durch den Ausgangspunkt der Curve C. In der nachstehenden Figur ist das Coordinatensystem £t] durch volle, das Coordinatensystem x'yr durch unterbrochene Linien, die gesammte Bahn E des Fahrstiftes durch die starke Contour dargestellt. Die Ablenkung der x'-Axe von der £-Axe sei o>, die devy'-Axe von derïj-Axe sei

die Entfernung des Anfangspunktes des Systems x’y' von dem des Systems £y], also die Entfernung, in welcher sich der Strich 0 der Schiene von dem Wagenindex befindet, während die Fahrstiftspitze mit dem Ausgangspunkte der Curve coin-cidiert, sei pc.    sollen von der ersten Ordnung klein sein.

_______ I

j.

Fig. 15.

Man kann, zunächst, die Ausdrücke (65) so schreiben, indem man den kurzen, vom Endpunkte der Curve C zum Ankunftspunkte an der ^'-Axe sich erstreckenden Theil der Bahn S mit T bezeichnet:

CLn —

fsin    dr\,

n7CJs V 7

&» = —

fsm(—’S

Js V 7

jf

Lässt man in den Transformationsformeln von çy] auf x'yf rechts Glieder zweiter Ordnung der Fehler weg, so findet man

£ = pc-Kr'—tyy* tox'+y'. c

Setzt man also — = 1 -f-/, so dass / ein kleiner Bruch erster T

Ordnung ist, so hat man

sin

4~ A ni j —

= sin f

—2mzx'

2n%xr

cos

!—2m: x'

*+■ A ni )

— p . 2mt cos

— 2 mzx'

4- A^j +

, 2^7T0//

+ 0*    ------- cos

c

(—2mzx/

+ Ai, ,

dv) = todx'-hdy',

— MC,

wo rechts nur Glieder zweiter Ordnung der-Fehler weggelassen worden sind. Setzt man diese Werte in die Ausdrücke von an, bn ein, so ergibt sich, bis auf Glieder zweiter Ordnung genau,

a» = —

n%

f in (—^n%x'

Jssm[ 7

x'

+ 2/• / — cos

+A?tl )dy’-h —2 U7TX/

+ 2p . f Js

cos

/ 2mzx'

4-Aj dy' + +A?a ) dy¹ —

bn = -

mz

sin

—2nrix'

’s

4- A®2)    4-

; (66)

f—2m:xl

+2lT

+ 2 p .

— 2f

Wenn man in der Gleichung (63) unter    das Mittel

aus zwei durch Umdrehung der Rollen unterschiedenen Umfahrungen versteht (demgemäß die letzte Zeile weglässt) und

cos

-4-A %₂)dy' +

r    f--2 utlX¹

cos( -Js    v c

+ A® 2 ) dy' —

lsC

— cos

/ -2niix'    . ₀ \    . w

+ A®₂ dy'--c.

c    1    rni

beide Seiten mit

2 MC

cm

multipliciert, dann steht links a'n

beziehungsweise b'n; rechts aber, als erstes Glied

!—2htcx’

sin

■F A«t- ) dy'.

nnJs

Subtrahiert man daher die so erhaltene Gleichung, gebildet für i = 1, / = 2, von der ersten, beziehungsweise zweiten der Gleichungen (66), so erhält man die beiden Formeln:

an—a’n — +?»• — f¹ cos (j- + r„j sin (

S

—2mcx'

f AJi ) dx' +

27üL

—2 MZX¹

-fK.w j sin f + EÄ.J—sinE„ cos

cos

'S

1 r . (2 mcx' + £n-— sin -

Vs • V *

1—2 mcx¹

F A Sil j dy'

-Fs. —

sin

Vs -

GH

-sin E

cos

!—2 mcx'

+ (hn+2n%l)- I — cos

Js n~c

/-w    \

v n    /

—(<*ni + 2nicp).b'n—

-e-

— cos

6'

f-2imx'

FAäii^y,

(67)

bn—K = +T»• ^jf<COS (j-+ r„J sin (

—2mcx'

+ (x»4

-Ir»)- — /cosf

K 1 n7CJs

+K„

f- A/^2 j ⁷ -F /—2mcx'

«2

dy’ +

'2mcx'

— f sin (

4-s.i f

Vs

-h(kn-h2mcl)-

—mn2-K +

Ą-{yn2-\-2mcp) .a!n—

sin

\S

'/i

sin Ew

cos

2mzx'

FA?i2

dy'-y

+ E j —sin E

—2//7T^/

£'

fAJ₂|

—2f

2nicx’

— cos

6'

FÄSa)^

6'

— 0) .—

7? 71

in welchen man, übrigens, offenbar y\ c, wegen der kleinen Coefficienten, überall durch £, yj, y ersetzen darf.

Diese Formeln sind, abgesehen von ihrer je letzten Zeile, den Formeln (41) vollständig analog. Die completen Formeln für Corrigierung der rohen Coefficienten werden sich somit von den beiden Formeln (44) [oder (48)], nach welchen die Correction hinsichtlich der Instrumentalfehler allein erfolgt, nur dadurch unterscheiden, dass zu den rechten Seiten der letzteren noch die Glieder:

-v>

-2f f

.Js

(-S

cos

[—'~'^7r.s -b dr\ in der ersten,

cos

2m: S

's

Ilu

in der zweiten

hinzutreten, und dass ferner einige der Constanten durch gewisse andere ersetzt werden. In den hinzutretenden Gliedern kann man

+ A°/) dr\

Symbol I durch I ds de

r **]

— cos dT c

ersetzen, da

klein [sogar von mindestens zweiter Ordnung] ist.

das

45. Es bleibt also, um die completen Correctionsformeln in der endgiltigen Form hinschreiben zu können, nur übrig, das Integral

Jc

S=“i ^

4- dr\

auszuwerten. Bezeichnet man wieder mit

eine Integration,

erstreckt auf alle nach Ausschluss etwa vorhandener der Tj-Axe paralleler Abschnitte zurückbleibenden Abschnitte der Curve C, und wendet die (43) analoge Transformation

(C)

f<p(è).d(7i*)=[?(è).i,']c-f

Jr    J{C)

di

an, so erhält man

Theorie des harmonischen Analysators. —2mzi

— 21 — cos -

2 mz r

Ie

\C)

T|². sin

—2 mrę

+ A®,) dl,

oder

— COS

— 2 mzi

+ An) d-fj =

2ktü

91

sin

2^7C s

di +

2mr

7*

q Jo

COS

sin

2mc£

di~\~

2q~l

sin

2mc l

dl,

7j

— 21—cos

Je *

— 2mr£

2îî7Z

7*

«0

cos

2#ir ç

di

2nz

'o

7<?

272 TU

7<?

2^71 $

yu<

V»₄rTsin^

t ¹

cos

cos

cos

2mc£

di

2mc£

wo ?I₀, 91^, 93^ (# = 1, 2, 3, ...) die Coefficienten der Entwickelung

Tf = 2i₀+y %q

cos

²Ef ₊ Vąsi„S*i t 2—1    r

(68),

bezeichnen. Diese Coefficienten werden bestimmte Functionen der Coefficienten a₀, av a₂, ... , bv b₂,... sein; ich schreibe sie daher oder kurz (symbolisch):

Man hat also

' ~2łI

l-S

COS

(—2mr $

( ^|7“(

' — 2mzi

+ A Ijd-rt = 4-A'/;2 ) d-f\ =

uz

<j> — ©«(«,*)

nit

Der Nachweis, dass die auf der rechten Seite von (68) stehende Reihe, gebildet mit den Coefficienten

Vfl« ₊ iVj.

2 Zj v 2 Z_ v ’

2a₀aq+ —

i“ IM

aya\y_q\ -4- ■—

CL^CL^+q > +

33 q — 2 Æq bq

2

V

byb^qi + — ^ &v h+q

V ^v^jv-gi +Z «***+«>

(69)

v¥=q

convergiert und die Function tj² darstellt, wird im Folgenden wenigstens für die (für die Praxis ja hauptsächlich in Betracht kommenden) Fälle geliefert, wo die zur Analyse vorgelegte Curve C keine der Yj-Axe parallele Stücke hat, der Differentialquotient der abhängigen Variablen nach der Argumentvariablen also endlich bleibt. In den Ausdrücken (69) sind die Summenzeichen so verstanden, dass ^ sich au^ die Werte v = 1,2, 3,... erstreckt, ^ aber bloß auf die Werte v = 1,2,..., q — 1, q-f-1,

tf + 2, ... .

Wenn nämlich die Curve C die genannte Eigenschaft besitzt, dann werden, infolge eines bekannten Satzes, die Coefficienten am, bm (m = 1,2,...) der Fourier’schen Entwicklung

2mTzi

Yj = a₀+ V cos

_    .    2 mni

> bm sin ——

—    7

(70)

wo 3 eine von m unabhängige endliche Zahl ist; a₀ ist bekanntlich gleich dem Mittelwerte r\ sämmtlicher 7] des Intervalles.

Bezeichnet man zur Abkürzung Doppelreihen

so beschaffen sein, dass

mit cp, so sind in den

infolge der Eigenschaft (70) sowohl die Zeilen (die Reihen q = const.), als auch die Columnen (die Reihen v = const.) absolut und somit unbedingt convergente Reihen; es kann in ihnen daher die Reihenfolge der Summationen umgekehrt werden, wodurch sie übergehen in die ebenfalls unbedingt con-vergenten Reihen

toj

tM

r.

*6

Yi

~2 a'>

a^+q cos qy .

Es ist daher auch

V1 1    l    )

>    > y a,a,+q j cos #cp =

V

| [^(cos (v + l)cp4-C0S (v — l)cp) +

H-^2(cos (v + 2)cp-hcos (v —2)cp)+ . . . 4-+ av-i(cos (2v — 1)cp-4-cos cp)—p + av cos 2vcp-t-

l cos (2v-f- l)cp4-+    2 COS (2v+2)cp+ . . .] +

oder

2tp+ • • •] }>

— V av cos vcp | cos cp + a₂ cos 2 cp 4-. .

co| ►—

-M

₂ a,av+q \ cos #cp =

y i vi

/ , ) / , 2

üvCL\y—q\ +

ebenso erhält man

jM

M|v-*| + y y bJ>H+ą I COS #Cp =

y &v sin vcp | bx sin cp + &₂ sin 2cp+ . . .

v—q

2 |v—

y«.

In ähnlicher Weise findet man

a^b\v—q\ -b

y _VWrI

Z Zi'v^i

a^bv+q l sin #cp =

av cos vcp | bx sin cp + b₂ sin 2 cp + . . . J = 2 N sin vcp J ^ cos cp + a₂ cos 2cp+ . . . [ •

Die hier auf den rechten Seiten stehenden vier Doppelreihen sind ebenfalls nach Zeilen und Columnen unbedingt convergente.

Es folgt also, dass die Reihe

2l₀-Z (8t? cos qy + $bq sin gcp),

mit den Coefficientenwerten (69), (unbedingt) convergent und dass ihr Wert gleich ist

(Ą 4- 2a₀V (aq cos qy + bq sin #cp) +

£[    («V

cos

vcp + £v sin vcp) y ap cos pcp +

p

+ (&v sin vcp + av cos vcp) ^ b₉ sin pcp]

oder

a₀ 4- y av cos vcp + ^v sin vcp)

| • I a₀ + y (^p COS pcp + £p sin pcp) |

Jede der beiden unbedingt convergenten Reihen a₀+2(avcosv<f-b H-Z\sinv<p),    cos pcp+Z7p sin pcp) stellt aber in der That

p

die Function y] dar. Somit ist der Satz (69) bewiesen.

Man hat also schließlich

—2 ty f±cos

—2nizĘ,

+ A°nl ) dr\ -

-e-

fliz

[2a₀bn+Dn(a, V)\

CO

o?⁻

S=*| 'o

j (Ttp

s-

itiz

[2 a₀a„ + Cn(a,b)],

wo

<3v ^v+w ”f~

Cn — -ÿf y ci^a v_w -h X

Dn

_v

v—

+ «•

In der praktischen Anwendung ist man genöthigt, die Summen in CM, Dn auf die Glieder zu beschränken, bei welchen kein Index größer als N ist. Die Summensymbole 2

*T“

sollen künftig mit dieser Beschränkung verstanden werden. Für den Fall meines Instrumentes (N = 6) z. B., ist

Cj = (Uj Cl-2 “+" a2 a?> ""f“ ^3    F ^4 ^5~f" ^5    H~ (^1 b2 ~F b₂b₃~\~b₃ ^4“F^4 ^5 —h⁻^5 &ß)

^2 =    --— b^    ^4+^3 bb~\~b₄

(*1 ^4 + ¥ó+^y (&1 b₅-\-b₂ bG)

(bi be)

(# j <2ą + ^2 h #3 <2g)    — ^4 ^2 “F

{a₁ a § -T- a<2 a^j    - b± b₃ —

C3 = Æ4 —f"

-₂b2 +

(«i«e)    -i>ii’4-¥5+

- Ms

c₄ =    «3 -f- 2#2³4-

c₅ = Æ j ć?4 —J— ^2 ^3 H~ c₆ = «₅ -f- ^2 «4 -+- — und

D₁ = («4 Z?2 a₂ H- (#2 bo~ a3 ^2) “F ¥3 G a4 ^3) “F (a4 *0    ^5    ^4)    ~F    (aöbG    aGbö)

D₂ — alb₁ -f- ¥1 bs—a₃ bt) + {a₂ b±— a₄ b₂) + {a₃ bb ab b₃) + {a₄bG aGb₄)

Ds — (a₄ b₂-\-a₂ &₃) -h    ¥1 G Ft^i) -F ¥2 ^5 A> b2) “F (aśb6 ^6^3)

D₄ = {a₄ b₃-\~a₃b₄)a₂b₂    -f-    (al bb—abbt) + (ö₂&₆- aßb₂)

Db = (a₄ b₄-i-a₄b₁)-h(a₂b₃-j-a₃b₂)-h    \a₄bG afa)

Dg = (al bb-\-abb₄) + (a₂b₄-\-a₄b₂) + a₃b₃.

11

(L. Grabowski.)

46. Die completen Formeln zur Corrigierung der rohen Coefficienten arn, b'n sind also [vergl. (44)]:

an—

a’„ = in - 7^. Bn

't-n - BA.n + ii-na'2n    —$ n.n(b[in—b'n)

__y"    fi'

h‘- 2* "

k ii • LA.n

+ 8'.

—p (J^n "4“ 2mzl) • / — mnl.a'n

9 brn +

mz

(i'nl + 2mcp

2n~a{)

J-K

1I7Ï

-f-f-[> • —— Dn (a*, br)

(71)

bn—K = —in- ^A„

i-LB'n

+*-kA'-

—. LB„

+ s 'i.n(a'w—a'n)

+ it-nb'2n

—- “2 b'‘ 5v> " + s" • y    a''r’v- »

+ (A„ + 2h*/) . j f «'» + b'n- 4 g    |

-mn-2-b'n

+ ( ajl2 + 2 nitp

2n~a

o.

■e-

•«»

11Tl

-ł- -—Cn(a',b')

- OJ .

7Z7C

Es ist aber, wenn man mit aw, ßw die durch dividierten Ablesungen der Rollen über die Contour S (arithmetischen Mittel aus zwei durch Umdrehung der Rollen unterschiedenen Umfahrungen) bezeichnet,

^n cmj

anderseits, es wurde gesetzt an — Cm,

b\i — ß«

cm ;

bn = b„ Cm.

Setzt man also diese Werte in die Formeln (71) ein, dividiert beiderseits mit 1 Cm und setzt in dem Resultate

1 cm

1 Cm

= 1 +m,

so dass m ein kleiner Bruch erster Ordnung ist, so erhält man schließlich die Formeln für aM,b,t:

1    / c \

<*n

TT cm

= «„ +T »•—    —5«

2    Vît cm/

-x'jWW

\ 1 cm J

— *"•

A„

+ S„ . « Ot₂₎₎

.'•/sin⁶:

1 cm

— S».«(ß 2„—ß»)

--²-'ao+— 2a^»j

(hn + 2nitl') • i— g ß»

—    a„

—(<i + 2»«p—2^^

H-

c

+ e\

H--

mz

T—«- av vŁ—nŁ

7ü cm

At(«, ß)

O-

03-

(72)

i(—)^.

2 \7C cm/    2 Vîüem/

'(1 cm)

-4- (-7^) 5„

\ 1 cm /

+ sn-n(a-2i—¹*»)

«v /î

+£".-2

TC

+ (hn + 2uitl ) • ' -g"    +

4t/tc

IO

.--2

TC 4-1

"Cö

V^=7î

v²-**2 v

—(wB2—w).ß„

+ (<2 + ² nizp—2n ot₀ <j). oc„

K cm „ ,

— O, (a, ß)

— CO .

U TC cm

il*

TÎ    Ti

TZ cm

wo mit a₀ das Verhältnis oder bezeichnet wurde. Hierbei ist, für mein Instrument, —■-— = — = 11'73, --= 2*36.

TT    1 cm

Hat man aber, wie man dies wohl immer vorziehen wird, die Fehler y", %'n, schon während der Umfahrungen eliminiert (nach Art. 29.), so bleibt einfach

ßj

a„ = a„(l — mnl+m)    +s ’„.na..2n — e".n(ßa„

+ sU

a₀+    2 ,    p,, n

TZ    TZ

+ e".

-2>

q,, u

■4* (hn -f- TT/) .

V*-«* Äv j

0'tl + 2«7t/7-2m —

IO

TT cm

— A*(a> ß)

b„ = ß„(l— mn2 + m) + <.*&,„    +e".n(a2n—a.it)

(73)

s". — Y a,r-v,„

7t

r    1    V

v^»2 v

+ (hn “F 2fiTzl). I -g- aw +

+ h'n2 + 2n7CP — 2n^

TZ cm

— <b . 72-

<;

In diesem Falle werden die Constanten /?, co und <];, welche von der Beziehung zwischen Instrument und Papier abhängen^ während der zweiten Umfahrung andere Werte haben, als während der ersten; die Formeln (73) beziehen sich offenbar auf die arithmetischen Mittel der beiden Werte.

C»(a, ß)

• a»

— 0) .

V^7Z

74 TU cm

47. Die Constanten m, /,    <j>, co bestimmt man in der

folgenden Weise.

Man stellt das Instrument, vor der Analyse, den 7)-Linien parallel auf, stellt den Wagenindex einmal auf den Strich 0, dann auf den Strich 360 der Schienentheilung ein, wobei man

jedesmal eine Marke in das Papier drückt, und beobachtet dann auf dem Papier, wie viel Partes mehr als 360 zwischen den Marken enthalten seien. Dieser Überschuss, dividiert durch 360, ist die Constante m.

Man verstellt darauf das Instrument in die den ^-Linien parallele Lage und vergleicht in derselben Weise die 360 mm der Schienentheilung mit der Anzahl Partes der £-Linie. Der Überschuss der letzteren, dividiert durch 360, ist die Constante /.

Man drückt, bei zu den ^-Linien paralleler Aufstellung des Instrumentes, eine Marke in das Papier, rollt das Instrument über eine längere Strecke vorwärts und macht wieder eine Marke. Die beobachtete Abnahme der £-Coordinate von der ersteren zu der zweiten Marke, dividiert durch die Länge der zurückgelegten Strecke, ist die Constante ty. Von dieser Operation einschließlich ab, darf die Aufstellung des Instrumentes selbstverständlich vor der Analyse nicht mehr geändert werden.

Man rollt das Instrument bis der Fahrstift auf der #'-Axe steht, stellt den Wagenindex auf den Strich 0, oder einen der benachbarten, der Schienentheilung ein und drückt eine Marke in das Papier; man beobachtet dann, um welchen Bruchtheil einer Pars die Marke entfernt ist nach rechts von dem zugehörigen Strich der ç-Axe. Dieser Bruch,, dividiert durch 360, ist die Constante p.

Die gleichen vier Operationen wiederholt man in umgekehrter Reihenfolge nach Schluss der Analyse.

Selbstverständlich kann man alle obigen Operationen auch so ausführen, dass man, anstatt den Index auf die Striche der Schienentheilung, die Fahrstiftspitze auf die Striche der Papier-theilung einstellt, die Nichtcoincidenzen dagegen an der Schiene beobachtet. Diese sind dann negativ zu nehmen.

Auch kann man offenbar, anstatt die Constanten hn, owl (nach 40.) getrennt von den Constanten /, p zu bestimmen, gleich die Verbindungen hn + 2n%l, 3nl-t-2mzp ermitteln; man modißciert zu diesem Zwecke das in 40. angegebene Verfahren insofern, dass man, anstatt den Index auf die Striche 0 und 360 der Schiene einzustellen, die Fahrstiftspitze auf die Striche 0 und 360 der Theilung der £-Axe einstellt.

Die Constante co kann, wohl am bequemsten, während der Analyse selbst bestimmt werden. Man braucht zu diesem Zwecke nur, irgend eine der Sinusrollen über die Theilstrecke T (S. 153) der Umfahrungscontour abzulesen. Die Ablesung ist

gleich —co.—-— •

TU cm

48. Man sieht ein, dass (in erster Ordnung) nichts geändert wird, wenn man bei den Umfahrungen die Rückkehr vom Endpunkte zum Ausgangspunkte der Curve C, anstatt — wie früher angegeben — über die Strecke T und die x'-Axer über die beiden anderen Seiten des auf diesen aufgebauten Parallelogramms ausführt.

Beispiel.

49. 1899 Juni 11. Probe-Analyse einer Sinusoidę; untere

Scheiben.

Es war die Curve 7] = lOCmXsin

gezeichnet worden.. Die correcten Werte der Zahlen aw, bn sind hier also

a» = 0,

b₃ = 10, b₂ — b₃ = 0.

Es wurden vier Umfahrungen gemacht, die beiden letzten nach Veränderung der Anfangsablesungen der Rollen um 0*5 gegen die beiden ersten. Die Fehler y^, y'[, %rn, z" habe ich diesmal nicht bei den Umfahrungen eliminiert. Zur Réduction sind daher die Formeln (72) anzuwenden. —

Der Analysator wurde behufs Bestimmung der Constante m parallel den ^-Linien gestellt; es wurde, im Mittel aus Messungen in der Nähe der Yj-Axe und in der Nähe der Geraden £ = y, die Beziehung gefunden:

360 mm = 359 * 29 Mm.

Das Instrument wurde in die zur Ausführung der Umfahrung geeignete Aufstellung gebracht. Es wurde, im Mittel aus directen Messungen in der Nähe der Geraden tj = —10 Cm und solchen in der Nähe der Geraden tj = +10 Cm, der Wert gefunden:

• O) —

TZ cm

— —0*0025.

Befahrungen von jp'-Linien in der Nähe der yf-Axe und solche in der Nähe der Geraden xr ~ c lieferten, durch Beobachtungen des Verhaltens der Fahrstiftspitze relativ zu den ^-Linien des Papieres, im Mittel

-e-

0-04

300

= -0*00013.

Die Kugeln wurden auf die Cylinder heruntergelassen. Befahrungen der jZ-Linie, welche der Einstellung der Fahrstiftspitze auf den Strich 0 der ç-Axe entsprach, und Mittel aus Befahrungen der beiden y¹-Linien, welche den Einstellungen der Spitze auf die Striche -—1 und + 1 entsprachen, ergaben durch Beobachtungen der Cosinusrollen folgende Mittelwerte:

?n + 2izp — +0*00100, a₂₁ + 2.2:ip — +0*00053, a₃₁ + 3.2 izp — —0 * 00420.

Die Verbindung derselben Beobachtungen mit den Beobachtungen, welche gemacht wurden bei unter analogen Einstellungen am anderen Ende des Zeichnungs-Interval les ausgeführten Befahrungen, ergab:

0*0094,

^₁+27ü/ —

/z₂ + 2.2rä = —0 0174, hs + 3;t2rJ = —0*0279.

Bei den Umfahrungen selbst wurden folgende Ablesungen gefunden:

Umfahrung

II

nach Umdrehung der Rollen: Umfahrung

III

IV

cP oF rP cP » *

:+++++ i

7i cm

o    o    o    o    o    o    o

o    o    o    o    o    o    o

O    Ol    o    ^    O    M    W

tO    +    ¹—*■    co    *si    oo    t?o

‘0 ö* +. te 02 CO

O ⁰³

- 0*021 + 10-017₂

+ *0 * 0032 + 0 * 0434 — 0-0103 + 0-055'

— 0-0032

— 0-0369 + 10-020, - 0-006 + 0 * 0402 - 0 • 0167 + 0 * 043ß

- 0*0023

::

-    0•0319 + 10-019 - 0-000 + 0 • 036₇

-    0-011 + 0-040

Mittel

— 0-0010 I —0-0021

Nach Schluss der Analyse wurden die Constantenmes-sungen wiederholt und gefunden:

-e-

-0-08

300

= —0-00026;

h₁ + 2rd zzz —0*0101,

7^ + 2.2tu/ n= —0-0184, A₃ + 3.2 7u / = —0-0297;

c5₁₁ + 27tj^ zu +0*00155, ^₂i + 2.2izp zu +0*0082, o₃₁+3.2tc p — —0-00505;

— 0)

0-0014, 360 mm zz: 359 "31 Mm.

Der Index an der Laufradtheilung zeigte, während der Fahrstift auf der x'-Axe stand, 15°.

50. Diese Analyse soll jetzt reduciert werden. Die Zahlen olh , ßw (n — 1, 2, 3) sind hier

«j =    —    0*0282

a₂ = +0-0004

+ 10-0210 j ß, = +0-0212

a₃ zzz —0-0031 ß₃ == +0-0162.

Bei der Berechnung der Correctionsglieder in (72) dürfen selbstverständlich anstatt a₀, aB, ß7/ die correcten Werte: a₀ zzz 0, an = 0, ßj = +10, ß₂ = ß₃ = 0 eingesetzt werden.

Die Coeffieienten An, Bn, A'n, B'n der Entwickelungen der

7]    7]

Functionen cos ~~, sin von £ sind hier leicht zu berechnen: es ist, wenn mit den Symbolen J die Bessel’schen Functionen bezeichnet werden,

Bn = 0

‘09-0+ = (—-) zfZ — zv ‘0 = V=V

und

) = —0.-32, fft = 0, Ą = 2J₈(₁Hz) =+0-87.

B' — 2 J ( -.....

"l — ^-'l \ 2-363

‘0 = ",v

Bildet man von den vor und nach den Umfahrungen gemessenen Constanten die für das Mittel der Umfahrungen geltenden Werte (für —w—--— wurde das Mittel aus den drei Werten —0*0025, —0*0021,

\    TT cm

—0*0014 genommen] und entnimmt die Werte der nicht gemessenen der Tabelle in 39., wobei jedoch die

Constanten y« T« An her Tabelle vorher auf die Anfangsablesung 15° des Laufrades [mittels der Formeln 7;i(15°) = t«(0°)-cos 15° — 7*(0°).sin 15°, T"(15⁰) = T"(0o),cos 15°(0°).sin 15°] zu reducieren sind, -so erhält man folgende Zusammenstellung der Werte der vorkommenden Constanten:

‘0200-0— =

— (0

7t cm

<]> = -0-00020,

s"= -0-0001,

‘1000-0+ = /3

0000-0+ = /* 8000-0- = /V-

ä₃ + 3.2kI = —0-0288.

Y' = -0-0007 Ą = +0-0003

6ZI0-0- = Z'Z + \

y" = —0-0012 %\ = —0-0003 s" = —0-0005 hx + 2nl =' — 0-0098 m₁₂—m = +0-00074

^, + 2zp 2 " tcm a₀ <j) = +0- 00128

CM

+ 0-0015

+ 0-0003

+ 0-0018;

Die Correctionen zu a*, ß„ sind daher, für das Mittel der Umfahrungen, folgende:

—0-0004

— 0-0003

—0-0007

»= 1

—0-0022

-0-0050

—0-0002

+0-0490

-0-0128

+0-0288

TC cm.

\A. -Ul __ Hçj

/1 " V

- <■ {L)a~

«g

2 H    1 v<    ''i    „ lri

s    a°+    av Pv’ " I+ s • ^2 ß* ^ «

V    /    V

(    , 3    \ w

nj*0 + -i«n)--

Y ß« +

Summe

2sin~

+ s'.

+ (hn + 2mcl).

•P»

K cm

cm

CM

TC cm

— A, («, ß)

* (ji —j—

n= 1

+0-0022

4«

TC cm,

T-Ï¹ + >5*

oooo-o—

—0-0002

+0-0002

—0-0114

—0-0006

—0-0122.

0610-0—

—0-0027

—0-0193

-0-0002

0000-0+

—0-0078

-0-0074

-0-0020

— 0-0174

Summe

CO-

K|f

^ 0CVTV ;j

7T 4-J

+ e".

P,i“

«j

6'

•(4k

—ßvV»

_v'

-s'.

+ (*»+2mci). Ua„ +

Tc cm , \

—®oł)-a»

+ ^n2-\-2mcp—2n

Tl TC cm

• CO

. TC cm

— ł*«—— (a, ß)

a₃ — —0*0013 b₃ ~ + 0*0040.

6100-0+ = ⁸q 8000-0— =

9800-01+ = Tq 9000-0 + = lT3

Es ergibt sich also

man die folgende vergleichende

b3

a3

+ 0-017 + 0-004.

—0-003

-o-ooi

jetzt in den Resultaten die letzte Stelle fort, so hat

b2

a2

bl

al

+ 0-021 + 0-002

+ 0-000 —0-000

+ 10-000

+ 10-021 + 10-004

—0-029 + 0-001

Lässt man Zusammenstellung:

[ÖLISTEKA POUTECSS!

KRAKÓW

c: 3 r-4

Correcte Werte

Rohe Werte (a.„, ßj Reducierte Werte .

DtTBlxïIT

i Bib. Jag;

Isl

s

■Hf

POLITECHNIKA KRAKOWSKA BIBLIOTEKA GŁÓWNA

i

i. in w.

2824

;.V 13. IX. 54

"•■HH

! ii

JBgËl

y

■

fiHH

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297572

A3

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-2824

Krakowskiej

iblioteka Politechi

100000297572

¹

Die Fehler tu, cl (die der Beobachter im allgemeinen nicht durch die Aufstellung beliebig klein machen kann, da ihre Differenz durch das Papier bestimmt ist) sind nicht selten mehrere Male so groß, wie hier.