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oder, da 7t — a -j- ßx ist:

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NEUEN INTEGRALRECHNUNG

AUF GRUND DER

POTENZIAL- LOGrAEITHMAL- UND NUMEEALEECHNUM

VON

Db. JULIUS BERGBOHM

DIE RATIONALEN ALGEBRAISCHEN UND DIE GONIOMETRISCHEN INTEGRALE

DRUCK VON R. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

1892.

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AUF GRUND DER

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DIE RATIONALEN ALGEBRAISCHEN UND DIE GONIOMETRISCHEN INTEGRALE

DRUCK VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

1892.

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Vorrede.

Ich habe in meinen „Neuen Rechnungsmethoden der höheren Mathematik“ (1891) eine Anzahl von neuen Rechnungsarten, nämlich die Potenzial-, Radikal-, Logarithmal- und Numeralrechnung dargestellt, welche der Analysis des Unendlichen weite, bisher unbekannte Gebiete erschliessen. Da die Wahrheit und der Wert des neuen Kalküls, ähnlich wie dies auch bei der Erfindung der Differentialrechnung der Fall war, im Anfang notwendig Zweifeln begegnen musste, so galt es vor allem, ihn durch die Anwendung auf ein grosses praktisches Beispiel in den Augen der Mathematiker zu bewähren. Ich wählte zu diesem Zweck die Integralrechnung, einesteils, weil mir dieses Gebiet der höheren Mathematik seit jeher als besonders reformbedürftig erschien und dann auch aus dem Grunde, weil es ausgedehnt genug ist, um die Richtigkeit und die Wichtigkeit der von mir erfundenen Rechnungsmethoden für jeden Unbefangenen auf eine zweifellose Weise zu erproben. Die Grundzüge der auf dem neuen Kalkül beruhenden Integralrechnung wurden von mir in den „Neuen Integrationsmethoden auf Grund der Potenzial-, Logarithmal- und Numeralrechnung“ (1892) entwickelt.

Ich übergebe nunmehr dem mathematischen Publikum den ersten Teil des „Entwurfs einer neuen Integralrechnung“, welcher die rationalen algebraischen und die goniometrischen Integrale, also den grösseren Teil der Lehre von den unbestimmten Integralen umfasst. Während sich meine „Neuen Integrationsmethoden“ ihrer Bestimmung gemäss vorherrschend mit den prinzipiellen Fragen beschäftigten, werden in der vorliegenden Schrift alle wichtigeren und schwierigeren Probleme eines ausgedehnten Gebiets der höheren Mathematik mit Hilfe der neuen Rechnungsmethoden gelöst. Ich hoffe deshalb, dass schon diese Abhandlung den Mathematikern die Entscheidung der Frage ermöglichen wird, ob der von mir erfundene Kalkül in den Kanon der mathematischen Erkenntnisse aufzunehmen ist. Eine Schrift über die irrationalen, exponentiellen und logarithmischen Integrale, für welche alle Vorbereitungen bereits getroffen sind, wird dann den vorläufigen Abschluss meiner Bestrebungen für die Erweiterung und Verbesserung der höheren Mathematik bilden.

a*

Teil hatte ursprünglich die Absicht, die neuen Integrationsmethoden in der Darstellung fortlaufend mit der heutigen Integralrechnung zu vergleichen. Da jedoch kaum eine einzige Entwicklung der neuen Integralrechnung mit den bisherigen Ableitungsweisen übereinstimmt, so hätte eine solche Vergleichung einen ungebührlich grossen Raum in Anspruch genommen und ich konnte darauf um so eher verzichten, als die Mathematiker ohnedies meine Schrift vom Standpunkt der heutigen Integrationsmethoden beurteilen werden. Tch will mich deshalb hier darauf beschränken, folgende Eigentümlichkeiten des neuen Integrationssystems im allgemeinen hervorzuheben. Alle Integrale werden in der neuen Integralrechnung mittelbar oder unmittelbar aus den betreffenden Differentialen selbst durch elementare Operationen mit Zuhilfenahme der Potenzial-, Logarithmal- und Numeralrechnung abgeleitet. Diese streng wissenschaftliche Ableitungsweise macht es dann leicht, die auf den ersten Blick oft so willkürlich erscheinende Struktur der Integrale in ihrer Notwendigkeit zu begreifen und wird wohl im weiteren Lauf der Entwicklung zu einer allgemeinen Theorie der Integrabilität der Differentiale führen. Die meist so lästige und weitläufige Zerlegung der Differentialfunktionen in Partialbrüche entfällt vollständig. Endlich tritt an die Stelle der vielen Reduktionsformeln eine geringe Anzahl von Integrationsformeln, die jedoch gleichfalls aus den allgemeinen Differentialen durch elementare Operationen nach gewissen immer wiederkehrenden Methoden gewonnen werden und die deshalb Jedermann, der sich mit den neuen Rechnungsarten vertraut gemacht hat, ohne Schwierigkeit selbst ableiten kann. Sollte ich daher den Unterschied zwischen der alten und der neuen Integralrechnung in ein Wort zusammenfassen, so möchte ich sagen, dass die Integrale nach jener gefunden, nach dieser berechnet werden.

Indem ich so den neuen Kalkül zunächst auf die Integralrechnung anwende, soll dessen Wirksamkeit keineswegs auf diese Disziplin oder auch nur auf die Mathematik überhaupt eingeschränkt werden. So wie ich vielmehr bei der Erfindung der neuen Rechnungsmethoden von einer bestimmten naturwissenschaftlichen Grundansicht ausgegangen bin, so hoffe ich auch, dass sie später innerhalb der Naturwissenschaft ihr vornehmstes Anwendungsgebiet finden werden.

Wien, im August 1892.

Der Verfasser.

Yorrede

Inhalt

Seite

III

Erste Abteilung.

Allgemeine Bemerkungen.

§. 1. Wesen der neuen Integralrechnung..................

§. 2. Spezielle Methoden der neuen Integralrechnung: 1) Die Einführung von

Konstanten...........................

§.3.    2) Die Einführung von Variabein und Konstanten...........

§. 4.    3) Die Einführung von Hilfsdifferentialen...............

§. 5. Die Differentialsumme........................

Zweite Abteilung.

Die rationalen algebraischen Integrale.

§. 6. Integration von

dx

a-\- bx²

§. 7. Integration von —

clx

a -\-bx²

(Fortsetzung)

§. 8. Integration von

clx

a + bx²

§. 9. Integration von -    unc*

(Fortsetzung)

dx

— a + bx²

11

§. 10. Integration von

dx

12

§.11. Integration von

dx

+ a + bx + cx²

(F ortsetzung)

16

§. 12. Integration von

dx

(Fortsetzung)

18

§. 13. Integration von

dx

+ a + bx² + cx*

22

§. 14. Integration von

dx

26

§. 15. Integration von

dx

+ a + bx⁴

28

dx

§. 16. Integration von —

31

§.17. Integration von

dx

(a + bxn)p

34

§. 18. Integration von

dx

Seite

§.19. Integration von

(a + bx -f- cx²)p xq dx

37

cop

39

§. 20. Integration von

xqdx

§.21. Integration von

a. «

(Fortsetzung)

44

xmoyP

46

Dritte Abteilung.

Die goniometrischen Integrale.

§. 22. Integration der einfachsten goniometrischen Differentiale §.23. Integration von sinn xdx und cosn xdx........

§. 24. Integration von

dx

sin” x

und

dx

cos” x

§.25. Integration von sin™ x cos” x dx sin™ xdx

§. 26. Integration von

cos™ x dx

dx

cos” x

sin” x

sin™ x cos” x

§.27. Integration von tgnxdx

§. 28. Integration von xm sin x dx und xm cos x dx sin xdx

§. 29. Integration von

xn

- und

cos x dx

xn

05    05    05 Oi o< O« Ol

os to o    05 te* go

§. 30. Integration von

x dx

sin” x

und

x dx

cos” X

Erste Abteilung.

Allgemeine Bemerkungen.

§. 1.

Wesen der neuen Integralrechnung.

Bekanntlich wird jedes Differential aus einer Fundamentalgleichung von der Form:

1)

f(x -j- dx) — f(x) — df(x)

gewonnen.

Weise aus dem Ausdruck f(x-\-dx)—f(x) das Differential df(x) ent

So wie uns nun die Differentialrechnung lehrt, in welcher

wickelt wird, so besteht das Wesen der neuen Integralrechnung darin, dass man aus dem gegebenen Differential df(x) den Ausdruck

f(x -j- dx) — f(x)

zu ermitteln sucht. Die neue Integrationsmethode ist folglich, dem umgekehrten Charakter der Integralrechnung entsprechend, nichts als eine rückwärtsschreitende Differentiation (Neue Integrationsmethoden S. 2, 17ff., 55 ff.). Man kann deshalb die neuen Integrationsmethoden mit gutem Grunde als die natürlichen bezeichnen, im Gegensatz zu der bisherigen Integralrechnung, welche in ihren Methoden von der Differentialrechnung vollständig abweicht. Denn in der heutigen Integralrechnung ist von einer genetischen Ableitung der Integrale aus den Differentialen keine Rede, vielmehr werden die einfachsten Integrale durch die „Umkehrung“ der entsprechenden Differentialformeln gewonnen und auch die ver-wickelteren Integrale werden zum grossen Teile auf eine ganz unwissenschaftliche Weise ermittelt, indem man zunächst das gesuchte Integral errät, dieses oder einen verwandten Ausdruck sodann differenziert und schliesslich aus dem Differential und dem Integral eine sogenannte Re-ductionsformel bildet. Freilich stehen diese Ableitungsweisen durch eine tausendfältige Wiederholung so fest, dass die Mathematiker die ihnen zu Grunde liegende fehlerhafte Methode kaum mehr bemerken ; aber es ist zu hoffen, dass die alte Integralrechnung jetzt, wo durch die von mir erfundenen Rechnungsmethoden die Möglichkeit einer einfachen und streng wissenschaftlichen Ableitung der Integrale geboten ist, allmälig richtigeren Methoden weichen wird.

Bergbohm, Integralrechnung.

§• 2.

Specielle Methoden der neuen Integralrechnung.

1) Die Einführung von Konstanten.

Der völlig abweichende Charakter der neuen Integralrechnung muss notwendig bewirken, dass auch die speziellen Methoden des neuen Integrationssystems sich von der bisher üblichen erheblich unterscheiden. Ich will von diesen speziellen Methoden wegen ihrer grossen praktischen Wichtigkeit namentlich drei hervorheben.

Die erste dieser speziellen Methoden ist die Einführung von Konstanten in die Fundamentalgleichung (Neue Int.-Meth. S. 22). Das Wesen dieser Methode besteht darin, dass man die Fundamentalgleichung nach Bedarf mit Konstanten auf beiden Seiten multipliziert, dividiert oder potenziert. So wird sich unten im §. 17, Gl. 2 (S. 35) ergeben, dass aus der Fundamentalgleichung:

dx

1)

= dy

(a + bxn)p

die Integralgleichung und die Differentialsumme (N. Int.-Meth. S. 17 ff.) nur dann gefunden werden können, wenn man die Gl. 1 mit der Konstante n(p—1) multipliziert, so dass dieselbe folgende Gestalt annimmt:

2)

— n(p — 1) dy.

n (p — 1) dx

(a + b^y

Ebenso ist in einzelnen Fällen die Division und die Potenzierung der Fundamentalgleichung mit Konstanten zum Zweck der Ermittlung der Integralgleichung und der Diflferentialsumme erforderlich.

<7/3

. 3.

2) Die Einführung von Variabein und Konstanten.

Die meisten verwickelteren Integrale können nur in der Weise gefunden werden, dass man die linke Seite der Fundamentalgleichung mit variablen Ausdrücken, die rechte dagegen mit Konstanten multipliziert, dividiert oder potenziert (Methode der Einführung von Variablen und Konstanten). So lässt sich z. B., wie sich unten im §. 21, Gl. 6—8 (S. 46) ergeben wird, die Fundamentalgleichung:

1)

= äy

dx

x (a -f- bx)

sehr leicht auf die Differentialsumme zurückführen, indem man a-j^bx — o und a — co — bx setzt, und dann die linke Seite der obigen Fundamental-

gleichung mit co — bx, die rechte mit a multipliziert, so dass dieselbe folgende Gestalt annimmt:

dx bdx    ₇

—— — ady.

2)

(ra — bx) dx

X(0

In dem vorstehenden Beispiel wurde die Gleichung zwischen den Variabein und Konstanten (co — bx — a) aus der zu integrierenden Differentialfunktion selbst gebildet. Sehr häufig kann aber die Integration am einfachsten in der Weise bewirkt werden, dass man die endlichen Bestandteile des gegebenen Differentials zunächst in Faktoren zerlegt und erst aus diesen die Gleichung zwischen den Variabein und Konstanten bildet. Ist z. B. (vgl. unten §. 9, Gl. 1—8) die Fundamentalgleichung:

dx

a — bx*

= dy

3)

zu integrieren und bezeichnet man die Faktoren von a — bx² mit % und q, so ist:

it = Y a -f- Ybx, p = Y a — Ybx, it -f- q = 2]/a , tcq — a — bx².

4)

5)

6)

7)

an-

Die Methode der Einführung von Variablen und Konstanten wird folglich in diesem Falle darin bestehen, dass man die Gl. 3 links mit 7t q, rechts mit 2 ]/a multipliziert, so dass sie folgende Gestalt nimmt:

= 2 y a dy.

8)

(n -f- q) dx _ dx . dx

71 Q    7t '

Der weitere Verlauf dieser Darstellung wird zeigen, dass der grösste Teil der Differentiale durch diesen einfachen Handgriff leicht integriert werden kann.

§• 4.

3) Die Einführung von Hilfsdifferentialen.

Die Methode der Einführung von Hilfsdifferentialen besteht darin, dass zu dem für sich nicht integrierbaren Differential ein Hilfsdifferential, welches erst die Zurückführung der Fundamentalgleichung auf die Differentialsumme ermöglicht, zugezählt und abgezogen wird oder umgekehrt. So kann z. B. (s. unten §. 27, Gl. 7ff.) die Fundamentalgleichung:

tg²# dx — dy

in dieser Gestalt auf die Integralgleichung oder die Differentialsumme nicht zurückgeführt werden, wohl aber dann, wenn ihr folgende Gestalt gegeben wird:

2)

tg²# dx -f- dx — dx — dy.

In dieser Gleichung ist, wie sich später (§. 27) ergeben wird, die Differentialsumme von tg²# dx -f- dx und jene von — dx leicht zu finden.

Ein Teil der Methode der Hilfsdifferentiale ist unter dem Namen der teilweisen Integration längst bekannt, doch wird die folgende Darstellung (vgl. z. B. unten §. 28, Gl. 3) zeigen, dass die Methode der Hilfsdifferentiale auch für jene Fälle, in welchen schon bisher die teilweise Integration benutzt wurde, den Gang der Rechnung viel klarer und anschaulicher gestaltet. Aber die Methode der Hilfsdifferentiale geht überdies in ihrer Anwendung weit über das Gebiet der teilweisen Integration hinaus. Denn diese kann nur dann benutzt werden, wenn ein einzelner Bestandteil des Differentials eines Produkts integriert werden soll, während die Methode der Hilfsdifferentiale überall anwendbar ist, wo ein unvollständiges Differential durch Hinzufügung eines anderen integrierbar wird und überdies das Hilfsdifferential selbst die Integration gestattet, ohne Rücksicht, ob das gegebene Differential aus einem Produkt, einem Quotienten oder einer Potenz entstanden ist. Die Wichtigkeit dieses Unterschiedes wird sich erst dann vollständig zeigen, wenn ich in einer späteren Schrift die Integration der irrationalen, exponentiellen und logarithmischen Differentiale auf Grund der neuen Rechnungsmethoden darstellen werde. An dieser Stelle kann ich mich damit begnügen, auf den Abschnitt meiner „Neuen Integrationsmethoden“ über die irrationalen Integrale zu verweisen. Dort (Gl. 283 — 290) kommt ein Fall vor, wo ein irrationales Differential durch Hinzufügung eines Hilfsdifferentials integrierbar wird, ohne dass die regelmässigen Voraussetzungen der teilweisen Integration vorhanden sind. Insbesondere soll in diesem Falle nicht, was bei der teilweisen Integration immer notwendig ist, das unvollständige Differential eines Produkts der Integration unterzogen werden.

Ich glaube, dass durch die Anwendung der drei soeben (§§. 2—4) dargestellten Methoden in Verbindung mit der Potenzial-, Logarithmal- und Numeralrechnung zahlreiche Differentiale, welche bisher der Integration Widerstand geleistet haben, integriert werden können, wie denn auch die nachfolgende Darstellung manche bisher unbekannte Integrale aufweisen wird.

Die Differentiaisumme.

Wie ich in meinen „Neuen Integrationsmethoden“ (S. 18, 35) gezeigt habe, genügt zur Integration eines gegebenen Differentials, wenn man die richtigen Methoden anwendet, schon die Auffindung der Differential-summe, ohne dass die Entwicklung der vollständigen Integralgleichung, welche sich namentlich bei verwickelten Integralen viel zu weitläufig gestaltet, notwendig ist. Das von mir gewählte Zeichen für die Differential-summe ist Ds, welches, ähnlich wie das analoge Integrationszeichen, vor das zu integrierende Differential zu setzen ist. Es gilt folglich z. B. die Gleichung

Ds mxm~¹ dx = (x -f- dx)m.

Die Veränderung, welche mit dem Differential durch seine Verwandlung in die Differentialsumme vor sich geht, besteht also darin, dass jedes x des Differentials, gleichviel ob es als Summand, Faktor, Divisor oder Exponent erscheint, in den Ausdruck x -f- dx verwandelt wird (vgl. N. Int.-Meth. S. 17—18, 24—25). Da jedoch der überaus häufig wiederkehrende Ausdruck x -j- dx die Differentialsummen, namentlich bei verwickelten Integralen, sehr weitläufig und schleppend gestaltet, so wähle ich statt desselben das Symbol x, so dass also die Gl. 1 folgende Gestalt annimmt:

2)

O*

irf

Ds mxm~x dx — xm.

Ebenso ist ferner

log % = log

7t -f- dn

Q + dg

Durch diese Bezeichnungsweise werden die Differentialsummen nicht nur viel kürzer und übersichtlicher gemacht, sondern dieses Symbol hat auch den Vorteil, dass die Differentialsumme sich sofort in das entsprechende Integral verwandelt, wenn man sich von den Variablen den Strich beseitigt denkt.

= Ds dy.

3)

Zweite Abteilung.

Die rationalen algebraischen Integrale.

§. 6.

Integration von

dx

a -f-

Die Integration der einfachsten Differentiale mittelst der Potenzial-, Logarithmal- und Numeralrechnung ist schon in meinen „Neuen Integrationsmethoden“ S. 21 ff. dargestellt worden. In der vorliegenden Schrift sind nunmehr die neuen Rechnungsmethoden auch auf die verwickelteren rationalen algebraischen und auf die goniometrisehen Integrale anzuwenden.

I. Die Fundamentalgleichung für die obige Integration ist, wenn man a -f- bx² — co setzt:

dx

— = dy.

O)    *

i)

Diese Gleichung kann, wenn man sich mit einem imaginären Integral begnügen will, sehr leicht durch die Einführung von Variablen und Konstanten (oben §. 3) auf die Differentialsumme zurückgeführt und dadurch integriert werden. Zerlegt man nämlich a-\-bx² in Faktoren und setzt man

% = y a -f- V— bx,

Q = y a — y— bx,

71 + Q = 2]/a ,

TtQ — a -(- bx² = co,

2)

3)

4)

5)

so nimmt die Gl. 1, wenn man (Gl. 4) die linke Seite mit 7t -f- p, die rechte mit 2]/a multipliziert, folgende Gestalt an:

{n q) dx

oder

7t Q

= 2 y a dy

6)

doc « dx q i /

~ + - = ‘2-\/ady.

Von der vorstehenden Gleichung kann aber die Differentialsumme und damit das Integral leicht gefunden werden. Ich habe nämlich in meinen „Neuen Integrationsmethoden“ S. 39, Gl. 213, S. 52, Gl. 297 — 299 vermittelst der neuen Rechnungsarten folgende Integrale berechnet:

I log (a + bx),

l)s

dx

a -f- bx

8)

dx

Setzt man nun in der Gleichung 8 und 9 statt a die entsprechende Konstante von n und p, nämlich ]/a , statt b den Ausdruck Y—b, so erhält man:

dx

Ds — = Ds

dx

Va + v—hx - v=b l°s(Va + y~b*) - 7=ilogär-¹⁰⁾

dx

Ds — = Ds

dx

Lrlog (Ya—Y—bx) = — ^=logQ. 11)

y-b

Nimmt man nun von der Gl. 7 die Differentialsumme und substituiert man für Ds — und Ds — die Werte aus den GL 10 und 11, so ist:

71    Q    ¹

ÿ= log Q = Ds 2 Ya dy

^i=log I = Ds 2 Ya dy.

Befreit man endlich dy von den Konstanten, so ist:

l . Va + V— bx -n ₇ t\    dx

— --- log _ r .i--— = Ds dy = Ds

2 y— ab    y a — V— b x

oder

y-b

12)

13)

a -f- bx*

14)

oder

y a 4- y~— b x

y a — y— b x

Das gefundene Integral ist imaginär, wenn a und b, wie hier überall vorausgesetzt wird, positive Grössen sind.

II. Das in der Überschrift bezeichnete Differential kann unter der Voraussetzung, dass a und b positive Grössen sind, noch durch einen zweiten imaginären Ausdruck integriert werden. Setzt man nämlich

n — Yb x -j- Y—    7

q =Ybx — Y ~ a > n — q = 2 Y —

7tQ — a -f- bx² = co,

so ist, wenn man genau so wie in den Gl. 6 und 7 verfährt:

^ == 2 Y— ady.

Nimmt man nun von dieser Gleichung die Differentialsumme und setzt man in den Gl. 8 und 9 statt a die entsprechende Konstante von n. und p, nämlich Y— ai statt b den Ausdruck )/&, so ist

dx

dx

2 V— ab

log

15)

16)

17)

18)

19)

20)

log p---= log 7t = Ds 2 ]/— a dy

yb

y- log I = Ds 2 V— a dy, und wenn man dy von den Konstanten befreit:

oder

yb

21)

22)

log

ail'd!

yb x — y— a 2 y— ab    yïx + Y—a

log

— Ds dy — Ds -

dx

a + bx²

23)

oder

dx

a+bx²    2]/— ab

log

yb x — y— a

24)

Integration von ^~r^x2 (Fortsetzung).

In dem vorstehenden Paragraphen (§.6, Gl. 8—11) wurde die Ab-

•    •    dx dx

leitung der Differentialsumme von — und — benutzt, welche ich in meinen

„Neuen Integrationsmethoden^ (S. 39, 52) gegeben habe. Es versteht sich aber von selbst, dass die gesuchten Differentialsummen vermittelst der Potenzial-, Logarithmal- und Numeralrechnung auch unmittelbar aus den

und — ermittelt werden können. So lautet die Gl. 7

Differentialen

dx

71

im §. 6:

dx

dx

y a -f- y — bx

— 2 ]/a dy.

1)

y a — y— bx

Multipliziert man diese Gleichung, weil die Nenner der beiden Ausdrücke auf der linken Seite das Differential ]/—b dx liefern, mit ]/—b und numeralisiert man sodann die Gleichung, so ergiebt sich:

y— b dx Idß

y a ~yy— bx

clß

y— bdx Idß ya + y- bx

Nun ist aber, wenn n und q dieselbe Bedeutung behalten, wie im §. 6, Gl. 2 und 3:

I    y— b dxldß

1-f

y— b dxldß

— v 2 Y— abdy.

2)

7t

, y~bdx . y~bdx\ldß V¹ + —TT“ +    9    /

14

y— b dx

Idji

7t

y — b dx

7t —(— y—bdx Q — y—bdx ldß_ 7i-yy — bdx n ldß

-o — y — bdx 9-

• 3)

Die in der vorstehenden Gleichung enthaltenen Operationen sind jenen in den „Neuen Integrationsmethoden“ Gl. 311 (S. 54) vollständig analog und dort auch näher erläutert.

Substituiert man nun den letzten Ausdruck der Gl. 3 in die Gl. 2,

so ist:

4)

\’-±Vß^;’TLahy-äMy.

-Q — y— b dx 9-

Logarithmalisiert man diese Gleichung, um den ursprünglichen Wert von dy herzustellen, so ist:

— log — = 2 Y— ab dy,

log

Tt + y— b dx

q — Y— b dx

und wenn man dy von den Konstanten befreit:

n -f- Y— b dx q — y— b dx

Begnügt man sich mit der Differentialsumme, so ist:

2 V— ab

log

2 y— ab

log

'O I a

= dy.

6)

2 y — ab

log j — Ds dy = Ds

dx

a +bx*’

welche Gleichung mit §. 6, Gl. 14 übereinstimmt. Auf ähnliche Weise kann auch die Differentialsumme im §. 6, Gl. 23 ohne Schwierigkeit aus

abgeleitet werden.

dem Differential

dx

a 4- bx²

§• 8.

Integration von

dx

« -f- bx²

(Fortsetzung).

Obgleich sich manche imaginäre Differentialsummen auf reelle endliche Ausdrücke zurückführen lassen, so ist dies doch nicht bei den im §. 6 und 7 entwickelten Integralen möglich. Eine Integration des Differentials

dx

a +bx*

in endlicher reeller Form ist vielmehr nur durch Tan-

genten-Kreisbögen zu bewirken, wobei die später (§. 22, Gl. 63) zu entwickelnde Gleichung:

== arctan f(%)

1)

j,    df(x)

i + [A*)]²

zu benutzen ist.

I. Die Fundamentalgleichung ist in diesem Fall:

dx

2)

= dy.

dx

i + ^i

a

Multipliziert man nun die beiden letzten Glieder der vorstehenden

Multipliziert man, um die Operationen in den Gl. 9—11 zu ermöglichen, diese Gleichung mit —)/a&, so ist

= — ]/a& dy.

8)

Gleichung, um die Operationen in den Gl. 4—6 zu ermöglichen, mit Yab, so ist

dx yb

— Y ab dy.

3)

Nun ist aber

dx yb , x yb

4)

folglich, wenn man beiderseits von der Gl. 3 die Differentialsumme nimmt:

x yb

Ds

5)

~xybV - y a -

oder mit Rücksicht auf die Gl. 1, wenn man zugleich dy von den Konstanten befreit:

ÿmarctan

xyi>

— = Ds dy = Ds

dx

a -f- bx*

6)

II. Eine zweite Ableitung des Integrals von Man setzt an Stelle der Gl. 2 die Relation:

dx

a -f- bx*

ist folgende.

dx

dx

bx²

a -f- bx²

(ti-)

\ybx'

= dy.

dxya yb x²

(HY

\]/& X'

Nun ist aber (Neue Int.-Metli. Gl. 180, S. 34):

folglich

dx y a j y a

z    — — Cl ~

yb x²

yb x ’

9)

Ds

Vb

(H)

= Ds — Yab dy,

10)

11 —

oder mit Rücksicht auf die Gl. 1, wenn man zugleich dy von den Konstanten befreit:

io

--arctan Xß- — Ds dy.

Yab    Vbx

Die Richtigkeit des vorstehenden Integrals ergiebt sich, wenn man

•    •    1    7t

zu demselben aus der willkürlichen Konstante —= • — addiert. Es ist dann

y ab 2

1 / n    ,    y a

/= I Tr — arctan

ybx ~yäb    ybx

i . yix

— —=z arctan —— ,

y a

was mit der Gl. 6 vollkommen übereinstimmt.

III. Schliesslich mag noch bemerkt werden, dass

—= arctan y ab

) = —arccot

/ y ab

ybx

y ab

12)

Ds

dx

— a — bx¹

= — Ds

dx

a -f- bx²

13)

ist und dass in den letzteren Ausdruck alle im §.6—8 gefundenen Integrale die dann veränderte Zeichen erhalten, substituiert werden

von

dx

o -f bx*

können.

§• 9.

Integration von —

dx

dx

und

— a -f- bx²

Eine besondere Entwicklung der vorstehenden Integrale ist deshalb erforderlich, weil ich überall voraussetze (vgl. §. 6), dass die Konstanten a, b, c u. s. f. positive Grössen sind.

I. Zur Auffindung des Integrals von — dx

— bx²

— bx*

setze man:

4)

7i ~y q — 2 y a ,

5)

7tQ — co = a — bx².

Es ergiebt sich nun, wenn man genau so verfährt wie in §. 6, Gl. 6—7 :

= 2 y a dy.

6)

dx dx

71    ‘

Nimmt man nach Anleitung von §. 6, Gl. 8 —12 in vorstehender Gleichung beiderseits die Differentialsumme, so ist:

Dieses Resultat kann übrigens auch mittelbar aus dem Integral in der Gl. 8 abgeleitet werden, wenn man mit Rücksicht auf die Relation:

14)

7_ log it---= log q — Ds 2 Ya dy,

Vb

Vb

7)

und wenn man dy von den Konstanten befreit:,

- \_log

2 Y a b

II. Zur Auffindung von Ds

Y a — Yb x

— Ds dy = Ds

dx

a — hx*

8)

dx

—    a -fi bx²

—    a -fi bx²,

7t — y a -fi- yy x,

Q — — y a -fi yy x,

7t — q — 2 y a ,

7tQ = co = — a -fi bx²

co —

setze man:

9)

10)

U)

12)

und es ergiebt sich, wenn man die zur Genüge bekannten Methoden anwendet,

~= log ~ = -¹J= log

2 Y ab    n    2 Y ab

— Y a -fi Yb x

Ya + Ybx

= Ds dy = Ds

dx

— a -fi bx*

• 13)

d log (a — bx) = d log (bx — a)

folgende Gleichung bildet:

Ds

dx

— a -fi bx*

= - Ds

dx

a — bx²

y a — Yb x

Y a -fi Yb x

—-— lo«⁻ _    _

2 y ab ° y a — fi& x

— —¹= log _    _    _

2 Y ab    fia-fi fife 5    2 fia &

— fia -fi Yb x Y a -fi fi& x

• 15)

¹

— a — bx²,

§• io.

Integration von

dx

+ a Hh bx + ex²

Ich setze voraus, dass in dem vorstehenden Integral, ebenso wie in allen früheren und späteren Fällen, die Konstanten a, b, c immer positive Grössen sind. Diese Voraussetzung ist unerlässlich, damit später die erforderlichen Substitutionen der Faktoren-Differentiale mit Sicherheit vorgenommen werden können. Daraus erwächst aber dann auch die Notwendigkeit, für alle Zeichenkombinationen des Nenners die entsprechenden Integrale zu ermitteln.

Ich setze der Kürze wegen die in den nachfolgenden Integrationen häufig vorkommenden Ausdrücke

b² - 4ac = d,

4ae — b² = A = — d, b² -f- 4ac == a.

1)

2)

3)

I. Zur Auffindung des Integrals von

wendet man wieder

dx

a -f- bx -f- car*

die Methode der Zerlegung in Faktoren und der Einführung von Variablen und Konstanten an und setzt demgemäss:

os = ci -j— bx —J- cx²,

% — b -j- 2cx + Yd , q = b + 2cx — Yd ,

7t - {3 — 2 Yd ,

71Q — 4c03; 03 = —•

Substituiert man nun in die Fundamentalgleichung:

4)

5)

6)

8)

dx

dx

a bx    cx²

den Wert aus der Gl. 8, so ist:

— == dy

co    J

9)

4 cdx

71 Q

= dy.

10)

Führt man nunmehr mit Rücksicht auf die Gl. 7 Variable und Konstanten ein, so ist:

oder

4c (tt — p) dx

71 Q

= 2 Yd dy

11)

dx

71

I Ol

dy.

12)

Nimmt man nun beiderseits die Differentialsumme, so ist, wenn in §.6, Gl. 8 statt a der entsprechende Wert in q, nämlich b—]/o , statt b der Ausdruck 2c gesetzt wird:

dx

Ds — = I)s

dx

Ebenso ist:

b — Yd + 2cx

= ^i°gp-

13)

Ds- — = — Ds

14)

dx

b -f- y8 -)- 2cx

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 13 und 14 in die Gl. 12, so nimmt diese folgende Gestalt an:

log -= — Ds ]/d cty.

16)

oder

^ log e - ~ log » - Da dy

15)

Befreit man nun dy von der Konstante, so ist:

log

-4 iog i ya ° «

y&²— 4ac

— Ds dy — Ds

17)

dx

a -f- bx -f- ex*

Das vorstehende Integral wird (ebenso wie die übrigen in diesem Paragraph entwickelten) imaginär, wenn b² < 4ac ist. In diesem Falle können die betreffenden Differentiale nur durch Kreisbögen integriert werden (vgl. unten §. 12).

18)

II. Ist dagegen b² — 4ac, folglich b² — 4ac — ô = 0, so ist (Gl. 5, 6): 7t = q == b -j- 2cx,

und es nimmt demgemäss die Gl. 10 folgende Gestalt an:

4 cdx 4:cdx

= dy.

Nun ist aber (Neue Int.-Meth. S. 36, Gl. 186):

71*

c*²

19)

Ds

dx

b [a b x) ’

20)

(a -|- bx)*

folglich, wenn man in der vorstehenden Formel statt a den entsprechenden AVert in 7t oder q (Gl. 18), nämlich b, statt b den Ausdruck 2c substituiert:

-r. Acdx

Ds-^r

= Ds

Lcdx

dx

= 4CDs -ir =

TT²

b -f 2cx

21)

III. Zur Integration von —

dx

— bx 4- cx*

setze man:

to    to to INO    co

05    CJI    03    CO

___' '

co = a — bx -f- ex²,

7i = b — 2cx -}- Và , q — b — 2cx — yÖ ,

7i — q — 2 y<$,

A    ⁷¹9

7tQ = 4cœ-, œ = 4 c ■

AVendet man nun auf die Fundamentalgleichung:

1)

% = Y a - Yb x,

q = y a — yb x y

2)

3)

dx

dx

— -■= dy

CO    J

27)

a — bx y cx%

mit Rücksicht auf die Gl. 23 — 26 die Methode der Einführung von Variablen und Konstanten an (vgl. oben Gl. 10—12), so ergiebt sich folgende Gleichung:

dx dx

71

28)

Nimmt man sodann, ähnlich wie oben in den Gl. 13—17 beiderseits die Differentialsummen und befreit man zugleich dy von den Konstanten, so ergiebt sich das Integral:

1 , n

—₌ log —

yd q

lßg-

b — 2cx -j- Yb* — 4ac — 2 cx — yv- — 4ac

= Ds

dx

a — bx y cx²

• 29)

y b*— 4 ac

Auch dieses Integral wird, wenn 6²<4ac ist, imaginär und kann dann in reeller endlicher Form nur durch Kreisbögen integriert werden (vgl. unten §. 12). Ist dagegen 6² = 4ac, so ergiebt sich nach ähnlichen Operationen wie in der Gl. 18—21

dx

T)s_=__

a — bx -f- cx²    b — 2cx

30)

IV. Zur Integration von

dx

— a y bx — cx¹

setze man:

co = — a -f- bx — cx², it — b — 2cx + Yö , q = — b —(— 2 c x —{- Y d 5 n + q = 2 Y à ,

— 4 Cß); co =    ,

31)

32)

33)

34)

35)

und es wird sich nach Anwendung der zur Genüge bekannten Methoden das Integral ergeben:

— by2cxyys b — 2cx -j- ]/^

Dieses Integral kann übrigens (vgl. §. 9, Gl. 14, 15) auch mittelbar aus dem Integral in der Gl. 29 durch folgende Gleichung ermittelt werden:

6 —2cä+ yd _

— 2cx — ]/<?

~ log    log

yd ⁶ n yd

= J)s

dx

— aÿbx — cx*

36)

dx

dx

¹ i ⁶

yd og b

1 . b— 2cx — yd o₇\ yd og b — 2cxy yd Die beiden Integrale in der Gl. 36 und 37 sind mit Rücksicht auf die Relation in §. 9, Gl. 14 identisch.

Ds

— a y bx — cx*

= — Ds

a — bxycx*

dx

Y. Zur Auffindung des Integrals von -■ co = — a — bx — cx¹,

7t = b —f- 2cx -j- "j/d , g — — b — 2cx -f- ]/d ,

7t —j— p = 2 |/d ,

jr p = 4 c ca ; ö =

und es ergiebt sich nach einigen leichten Operationen das Integral:

b + 2 cx + yd

— b — 2cx+Vd'

TiIog T = (flog

— bx — cx²

setze man:

38)

39)

40)

'S

4^    4^

= Ds

dx

— a — bx — cx²

43)

Man kann aber auch (vgl. Gl. 37) mittelbar aus der Gl. 17 folgendes Integral entwickeln, welches mit Rücksicht auf §.9, Gl. 14 und 15 identisch ist:

— 17 iog

Ds

dx

— a — bx — cx²

= - Ds

dx

a -j- bx -f- cx²

0,1

09II

b + 2 cx — Yd b -\-2cx-\- Yd

b-Y 2cx + Yd b-Y2cx — yd

•    44)

§• 11.

Integration von

dx

(Fortsetzung).

+ a + bx + cx²

Während die im §. 10 entwickelten Integrale in dem Falle, dass d²<4ac ist, imaginär werden, enthalten die nachfolgenden Integrale den Ausdruck ]/b² -f- 4ac =="|/<J, welcher bei positivem a, b, c immer reell ist.

dx

I. Zur Auffindung des Integrals von

co — — a -f- bx -f- cx²,

7t — b -f- 2 cx -f- ]/6 , p = b -f- 2cx — Y a ,

7t — p = 2 y a ,

jrp = 4ćC3; 03 — ^,

so ergiebt sich nach Anwendung der bekannten Methoden:

b -f 2cx— Y a b 2cx -Y Y g

-L log ⁼—— log

Y G Ö ⁷¹    Y G

— a -Y bx ~Y cx

setze man:

1)

2)

3)

4)

⁵)

= Ds

dx

— a ~Y bx ~Y cx²

6)

II. Zur Auffindung des Integrals von

dx

a + bx — cx²

setze man:

oj = ci -{- bx — cx²,

7C = b — 2 cx -f- V° -,

— b + 2cx -f- V<3 ,

7)

8)

9 =

7t -(- Q = 2 j/ (3 ,

a    nQ

7tq = 4ca ; 03 =

4c ⁷

9)

10)

11)

und es ergiebt sich das Integral:

4= log Ł

yo ° n

= Iog

— b + 2 ca? -f- Y⁶

ö — 2ca? + Y°

= I)s

dx

a +    — ca:²

12)

dx

III. Zur Auffindung des Integrals ——

o = — a — bx -j- ca?²,

7t = b — 2cx + y a , q = b — 2 cx — y<3 ,

7t — q — 2 y 6,

no — 4ca> ;

und es ergiebt sich nach den bekannten Operationen das Integral:

— bx -f- cx²

setze man:

15)

16)

71Q

03 — —

4c

17)

Y<f

log₆

b — 2ca? -f- l/ff

— 2 ca? — Ya

(Za?

— a — bx -f- ca:²

18)

Dieses Integral kann auch mittelbar aus jenem der Gl. 12 durch folgende Gleichung gewonnen werden:

Ds

dx

— a — bx -f- ca?*

= - Bs

dx

— ZT- log

— b + 2ca? Ya b — 2 cx ~y Ya

a-\-bx — ca;²

— 2 cx + y<?

— b -f- 2cæ -j- Y⁶

Die beiden Integrale in den Gl. 18 und 19 sind mit Rücksicht auf die Relation in §. 9, Gl. 14 identisch.

IV. Endlich zur Integration des Differentials

l . b = -7= log —7

Yo

Yo

dx

a — bx — ca?²

03 — a — bx — cx²,

7t = b -j- 2cx -f- y6 ,

Q — — b — 2cx + y<3 , 7t -f- q — 2 y a ,

7tQ = 4 CC3 ; C3 = n Q

4C ⁷

19)

setze man:

20)

to to

to to

Bergbohm, Integralrechnung.

und es ergiebt sich das Integral:

= =7= log

4 log

b -(- 2cx -f- VG

dx

'Ol!

= I)s

25)

« — bx — cx²

Dieses Integral kann übrigens auch mittelbar aus jenem in der Gl. 6 abgeleitet werden, indem man folgende Gleichung bildet:

Va

}a

— b — 2cx -f- yö

dx

dx

b -f- 2cx — Y g

b -\- 2cx ~y y g

b -f- 2cx -f- y a b -\-2cx — y a

Beide Integrale (Gl. 25 und 26) sind aus dem unter III. angeführten Grunde identisch.

a — bx — cx²

= — Ds

— a-\-bx-f- cx²

— TP log

V*

7= log

y°

= ■ 26)

§• 12.

Integration von

dx

(Fortsetzung).

+ a + bx + cx*

Die im §. 10 entwickelten Integrale enthalten insgesamt den Ausdruck ]/&²—4ac — j/ö und werden deshalb für b² < 4ac imaginär, in welchem Falle nur die Integration durch Kreisbögen möglich ist. Diese Integrale sind jetzt noch aus den Differentialen abzuleiten.

I. Bei Ermittlung des Integrals von gleichung:

dx

a -j- bx-f- cx²

ist die Fundamental-

dx

dx

a -f- bx -f- cx²    ta ^

und diese ist auf die cyclometrische Relation (§. 8, GL 1 ff.) _    df(x)

i + LA*)]²

= arctan f(x)

zurückzuführen. Nun ist aber, wenn man 4ac — b² — A setzt:

dx

Acdx

icdx

1)

2)

a -f- bx -f- cx²    4ac -f- 4bcx -f- 4c²«;² + b² — b²

4 cdx

i ..

*v ••

b + 2cæ\²

3)

Substituiert man den letzten Ausdruck in die Gl. 1, so ist:

4 cdx

f'i :

U.

b -f- 2cx\²

= dy.

4)

yj

Multipliziert man, um die Operationen in den Gl. 6 — 8 zu ermöglichen, beiderseits mit , so ist

2c dx

= hrdy.

5)

Nun ist aber:

yj

₁ b 4- 2cx

= d —~=—,

yj

folglich, wenn man diesen letzteren Ausdruck in die Gl. 5 substituiert und beiderseits die Differentialsumme nimmt:

2 cdx

yj

6)

b 4- 2cx

d-7=—

Bs

= (Gl. 2) arctan

b -\-2cx

= Bs

2~dy

7)

yA

und wenn man dy von den Konstanten befreit:

~ arctan ^ + 2c^ == I)s dy = Bs

dx

8)

a + bx -j- cx²

Da auch (— b — 2cxf — b² -j- 4bcx -f- 4c²x² ist, so kann man in der Gleichung 3 den Ausdruck b -(- 2cx durch — b — 2cx ersetzen. Da jedoch d(— b — 2cx) — — 2cdx ist, so muss in diesem Falle die Gl. 4

Va

mit — multipliziert werden und es ergiebt sich dann das Integral:

u

--— arctan

— b — 2cæ

= (§. 8, Gl. 12) — arctan

— b — 2cx

Bs dy, 9)

welche Gleichung übrigens auch mittelbar aus der Gl. 8 mit Hilfe von bekannten cyclometrischen und goniometrischen Relationen gefunden werden kann.

ableiten:

II. Auf ganz analoge Weise kann man noch folgende Gleichungen

Ds

dx

2    — b-\-2cx

— arctan ———

%=. arctan -

— 2 cx

(§.8,Gl. 12)

Bs

dx

— a -f- bx — cx²

— arctan r

yA &

^ — Bs

— 2cx

10)

dx

a — bx -f- cx²

Bs

dx

— 2cæ

(Gl. 10) arctan -(Gl. 8) ~ arctan

• H)

dx

• 12)

= — Bs

b + 2cx

a -j- bx -f- cx²

III. Schliesslich sind noch einige Faktoren-Differentiale zu erwähnen, welche die Eigentümlichkeit haben, dass mit Rücksicht auf die

— a — bx — cx²

yA

besonderen Werte von a, b, c der Ausdruck j/b²— 4ac immer imaginär ist. Ich werde bei diesen Integralen, welche für die späteren Integrationen (§. 13 ff.) von entscheidender Bedeutung sind, zuerst die reellen cyclo-metrischen und dann die imaginären algebraischen Ausdrücke geben.

Man setze in den Gleichungen §. 12, Gl. 8 (s. auch Gl. 9), ferner in §. 10, Gl. 17 für a, b, c die Ausdrücke a², aß und ß², so ergiebt sich:

Ds

dx

a² aßx ß²x²

==Ds

dx

7t

Y3 aß

arctan

/2p , 1 \ . Ui/3 y3)

13)

y~ 3 aß

log

« (i — y—3) ~y 2ßx

a(l + V—3)+ 2ßx

• 14)

dx

a² — aßx-\-ß²x²

= Ds —= (Gl. 10)-^.-

Q K J 1/3

arctan

y3 aß

” =(§.10,01.29)^

/2ßx__1_\

Vl/3a 1/3/

log

a(l—y—3)—2ßx

15)

•16)

zu

Um die Summe und die Differenz dieser beiden Differentialsummen finden, benutze man die bekannte cyclometrische Relation:

x ±y

1 -)- xy

arctan x + arctan y = arctan

17)

und es ergiebt sich nach einigen Reductionen:

dx

Ds—+Ds-

7t    Q

y3 aß

arctan

y3 aßx

a² — ß²x²

(Gl. 10) —=—arctan

V    y3 aß

ß²x²— a²

V3 aß

• 18)

-r. dx    dx 2    ,

Ds--Ds — = —— arctan

y3 aß

TC

y 3 a²

a² + 2ß²x²

19)

IY. Setzt man in den vorerwähnten Gleichungen a—a², b = ]/2 aß, c = ß², so ergiebt sich:

Ds

dx

a²~yy2 aßx-\-ß²x2 n

dx 1/2

= —z arctan

Ds

dx

dx

a² — y2 aßx-j- ß²x²

■ Ÿ.*rflog

= £ arctan

y — 2 aß

Ds ~ Ds^y — (Gl. 17)

(£!lf + 1).

a (y2 — y=2) + 2ßx a (y'2 + V—2) -f 2ßx

(v*ßä> _

a (y 2 4- y—2) —2ßx a (Y2 — y—”2) — 2ßx

20)

21)

22)

log

23)

arctan

y2aßx __

a² — ß²x²

ß²x² — a² y2 aßx

Ds — — Ds — — (Gl. 17) ^ arctan

n    q K    'aß

= (§.8, GL 6,11)-

a²

ß²xJ

V. Setzt man

hM :oa.

arctan

ß²x²

CC²

25)

x = 2 ]/ac -j- & •

X = 2 ]/ac — &,

?f/l = 4ac — b² == zJ,

26)

to to

GO

und vertauscht man in den obenerwähnten Gleichungen a und c durch die Wurzeln ]/a und ]/c, b durch ]/x, so ist

2    ,    y « + 2 yë s

= — arctan ----

Ds

dx

dx

= Ds -

TT

yï

yx

29)

Ds

dx

dx

y a — ]/x x -f- y~c x²

yx + 2cæ— y— A yjî + 2cs+ y=r

2    .    — y y. 4- 2cx

—= arctan —-—4--

y— *

30)

= Ds — =

y'i

y*

31)

-- lüg

y— x ⁰

y* — 2 ex + y— *

yx — 2cx — y— %

32)

i    -y-,    2

ils ---h ils — = —= arctan

⁷¹ q yx

y a—yc x²

-t^ dx -r\ dx 2    ,

ils---ils — = — arctan

y^

2    ,    y ex²—y a

= — arctan-=——

y* s

2cæ²

y*

• 33)

7T

yx

=-=j-T = -Ł- arctan -—

2 ex¹—b yx

34)

endlich:

YI. Wendet man die nämlichen Abkürzungen wie sub Y an, so ist

Ds

dx

dx

y a -y yx x -j-yc x²

— Ds — =

2 yx + 2 yc x

-- arctan ¹-L—rr¹-

7T

y'x

35)

Ds —

dx

y a—yx x + y c x²

y x 4- 2 yc æ — y~ yx + 2 y c x + y=7Y

t~. dæ 2    , -yX-\-2Ÿcx

= Ds — = — arctan —-——--

y— x

= • 36)

yx

yx

37)

yx—2 y ex + y—x yx-2yêx-

Ds

x . 7-, dx    2

--h ils — = — arctan

⁷¹    9    y*.

y*x

y a — yc x²

• 38)

- 4 arctan    39)

y x x

T, dx -r, dx 2    ,

ils--ils — = —^ arctan

y^

7T

yx

-j- 2cæ²

40)

§• 13.

Integration von

dx

+ a + bic² + cæ⁴

Die vorstehenden Integrale können durch die in den §. 10—12 dargelegten Methoden ohne Zerlegung in Partialbrüche sehr leicht gefunden werden. Auch hier ist bei denjenigen Integralen, welche den Ausdruck Yb²— 4ac = yd enthalten, zu unterscheiden, ob &² 4ac ist, während dies bei den Integralen mit dem Ausdruck j/&² —(— 4ac = j/tf gl eich giltig ist, weil auch hier überall vorausgesetzt wird, dass a, b, c positive Grössen sind.

I. Zur Integration von

dx

(b² > 4ac) setze man:

a -f- bx² -f- ca:4 co = a -j- bx² -J- cxi,

TC = b -J- 2cx² -\~yd, q = b -f- 2 cx² — j/d,

TC — Q — 2 j/d,

itQ = 4co; co = ~}

und es ergiebt sich ganz analog wie in §. 10, Gl. 9—12:

1)

2)

3)

4)

5)

dx

oder

^ ₌ Yldy

71    2 C

I)s

dx

b — yd -f- 2ca;²

- - Ate

dx

V*

b +yd -|-2ca;²

= DsY-cd^’

7)

Nimmt man nach Anleitung der §§. 6—8 von den Differentialen links die Differentialsummen und befreit man dann dy von den Konstanten, so ist das Integral ermittelt.

II. Setzt man zur Integration von —

dx

— bx² -4- cx⁴

(b² > 4ac)

co = a — bx² -f- ex:, it — b — 2 ex² -{- j/d, Q = b — 2 ex² — j/d, 7ï — (j = 2 j/d

7tQ = 4 era; o =    ,

so erhält man nach einigen leichten Operationen:

2c T,

----7z Ate

ô_y'ÿ_2cæ² |/d    & + 1/Ö —2co;s

2c

yd

Ate

dx

= Ate

H . ».

t-e

Cb

rH

05 W K O CO

Die Differentiale links können nach Anleitung des §. 9, Gl. 1—8 leicht integriert werden.

Auch die Integration von

ist entweder durch Zeichenwechsel bei den Integralen in den Gl. 14 und 7 oder unmittelbar nach der Anleitung von §. 10, Abs. IV und Y leicht durchzuführen.

dx

— a 4 bx² — cxi

und von —

dx

— a — bx² — cx*

III. Ist b² — 4ac, folglich b² — 4ac = ó = 0, so ist (Gl. 2, 3) 7t = Q = b 4 2cx²,

15)

also analog wie in §. 10, Gl. 19

Ds

dx

a -fbx² -j- ca:⁴

-j-\ icdx

= JDs

= Ds -

4=cdx

16)

Nun ist aber zufolge §. 16, Gl. 20

4 cDs

dx

(b -f- 2ca:²)²

= 4cDs ^    ~ (|- + Ds

[ib² = 4ac].

dx

= Ds

Ebenso ist (Gl. 9—13) zufolge §. 17, Gl. 8

17)

4c Ds

dx

(b —2 ca;²)

-4cD.$-V(| + *%)-

[ib² = 4ac] .

= Ds

dx

a — öa:² 4 cxi

IV. Ist endlich &²<4ac, so setze man zur Integration von

18)

dx

a-^bx^ -\-cx* ’

19)

ca = a 4 bx² 4“ cx^, je = 2yac 4 b, l = 2]/ac — b,

% = Y a 4 Y~Â.x 4 Vex²,

g = y a — yïx-\- y cx²,

% g — œ,

und es ergiebt sich aus der Fundamentalgleichung, wenn man mit Rücksicht auf die Gl. 24 Variable und Konstanten einführt:

20)

21)

to to

24)

25)

(n — q) dx

oder

XIIQ

= 2 y A ćly

^ = 2yx dy.

Nun ist aber zufolge §. 21, Gl. 24, 20 (unten S. 47, 48):

dx

XQ

27)

^ log *' -f

2 y« e

-^=logE +

2 ya 0 n '

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 28 und 29 in die Gl. 27, so ist:

Ds — = Ds

Bs — — = — Ds

dx

x (y« — y^ £c -y ycx²)

dx

xtya-\-yix-\-yc x²)

y*

(Ds ~ + Ds d*) = Z>s2]//l dy.

80)

2 y«

Substituiert man endlich für die Differentialsummen Ds — und Ds —

7T

aus §. 12, Gl. 35 und 37 die entsprechenden Werte, so erscheint das Integral in der Form, welche manche Darstellungen der Integralrechnung aufweisen. Am einfachsten gestaltet sich aber dasselbe, wenn man aus

§. 12, Gl. 39 die Gesamt-Differentialsumme von — und — substituiert. Es ist dann:

—- log    r arctan

2 Y a    Q y ax

und wenn man dy von den Konstanten befreit

yc x²—y a

yxx

= Ds 2 ]/â dy ,

31)

ycx² —y

^W[J2<4“]- ³²>

V. Zur Integration von a_ &(b²<C 4ac) setze man (s. Gl. 20,21)

-7= log ~ -]---= arctan

2y«K

4 y al

= Ds

— a — bx² -j-cx⁴,

7t — y a -j- y K x ~y y c %², q = y a — y y. x + ycx²,

03

33)

⁹ = 2 j/*,

X    '    ’

36)

71Q — Cô ,

37)

und es ergiebt sich nach ganz ähnlichen Operationen wie in Abs. IV, wenn man für Ds ^ -f- Ds~ den Wert aus §. 12, Gl. 33 substituiert, das Integral:

—4= log —■ -]--4= arctan

4yax 9    2 yal

In allen Integralen, bei welchen für Ds ~ und Ds ~ sub IY und V

die reellen Kreisbogenintegrale benutzt wurden, kann auch der entsprechende imaginäre algebraische Ausdruck (§. 12, Gl. 30, 32, 36, 38) substituiert werden.

ycx²—y a

y ix

= Ds

dx

a — bx²-\-cxi

[b² < 4<zc]. 38)

und

Schliesslich ist noch zu bemerken, dass die Integrale von

dx

dx

— a-\-bx²—ca:4 entweder mittelbar aus den Integralen in den Gl. 7,

— a — bx* — cxl

14, 17, 18, 32, 38 durch Zeichenwechsel oder unmittelbar aus den Differentialen durch ähnliche Rechnungen wie oben (I—Y) gefunden werden können.

VI. Zur Integration von §. 11, Gl. 1—5 (ô = b² + 4ac):

dx

— a -f- bx² -ff ca:⁴

setze man, ähnlich wie in

— a -j- bx² -ff cxi, u = b -j- 2cx² -ff Y6, q — b -(- 2cx² — Y a,

TC — p = 2 y 6 ,

7CQ = 4CG) ;    03 —

und man gelangt nach den bekannten Operationen zu der Gleichung

dx dx

03 =

4c ?

39)

40)

41)

42)

43)

oder

7t

₌ }/ff du

2 C

44)

ta

dx

: ta

_Ds

dx

dx

•    45)

= I)s

— a -f- bcc²-f- cx⁴

b — V<7-\- 2cx²

Diese Gleichung kann nach Anleitung der §§. 6 — 8 leicht integriert werden.

b -ff Y6 -f- 2ca;²

VII. Zur Integration von Gl. 7 —11:

dx

a -j- bx'²— cx⁴

os = a -ff bx² — cx⁴,

Ti — b — 2 cx² -ff y6,

Q = —&-ff 2cx² -\~y 6,

7i -ff q = 2 y o,

A    ⁷¹ 9

71 Q = 4 C 03 ;    03 =

setze man, ähnlich wie in §. 11,

4^    4^

4c ⁷

50)

und es ergiebt sich (vgl. §. 9, Gl. 8 und §. 6—8):

i 2c T)

-ff -7-Ds

IM

-Bs

dx

dx

yG

dx

= Ds

• 51)

a -ff fca:² — ca:⁴

— b -ff y ff -ff 2 ca:2 und

b -ff y a — 2ca;²

Die Integrale für ——

den Integralen in den Gl. 51 und 45 durch Zeichenwechsel oder auch unmittelbar durch Rechnung gefunden werden.

dx

dx

— bx² -ff cx⁴

a — bx'² — ca:⁴

können entweder aus

§. 14.

Integration von

dx

+ a + bx³

I. Setzt man zur Erleichterung der Rechnung

a³ — a,

1)

ß³ = b,

2)

so ist die Fundamentalgleichung:

dx

dx

dx

a + bx³ cc³ + ß³x³

—- == dy.

a    *

3)

Zerlegt man nun, wie in den früheren Fällen, den Nenner des Differentials in Faktoren, so ist:

n = a -f- ßx,

7t² = a² 2aßx ß²x², q = a² — aßx -f- ß²x², %'=^ = Saß,

TCQ = a³ -j- ß³X — 03 .

4)

05 Ol

8)

Führt man nun mit Rücksicht auf die Gl. 7 Variable und Konstanten ein, so ist:

(tt² — q) dx

X7C Q

— 3aßdy,

9)

oder, da 7t — a -j- ßx ist:

ccdx .

“T

XQ

ß dx dx

Xn

= 3aß dy .

10)

Nun ist aber zufolge §. 21, Gl. 24, 10:

Ds

cc dx

XQ

a Ds

= a Ds

dx

x(a² — aßx -j- ß²x²)

- log 4 + |z>s —■ 111

CC ° ]/p    ¹    2    Q

dx

Ds = ß Ds — ■

12)

dx

Ds--= — Ds

dx

xn

x (a -j- ßx)

13)

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 11—13 in die Gl. 10, so ergiebt sich nach einigen leichten Reductionen:

14)

±be% + %n.±-D.*aßi y

und wenn man dy von den Konstanten befreit

log *U + ~Ds — = Ds dy

oc²ß ° Yq ' 2a q    J

welcher Gleichung man auch folgende Gestalt geben kann:

3 ccsß

den Wert aus §. 12,

dx

das in §. 12, Gl. 15

In algebraischer imaginärer Form kann diese Gleichung leicht integriert werden, wenn man in derselben für Ds clx Gl. 16 substituiert. In reeller endlicher Form ist dagegen, weil — zu den im §. 12, Abs. III—Y behandelten Differentialen gehört, die Integration nur in der Weise möglich, dass man für Ds enthaltene Kreisbogenintegral substituiert. Es ist dann:

[l°g i + V3 arctan Qf£

Ft)]

= Ds

dx

K³ -j- ß³X³

17)

3a²ß

Setzt man, wie üblich, ~ — k und ersetzt man überall mittelst der geeigneten Operationen a und ß durch h, so erlangt das vorstehende Integral die Form, in welcher es häufig vorkommt, nämlich:

è[‘°s

k -j- x

yks — kx 4* x*

-f- ]/3 arctan

2x — k~

yuk

= Ds

dx

• 18)

dx

— a -f- bxA

II. Zur Integration von Abkürzung in Gl. 1 und 2:

setze man unter Festhaltung der

— a³ -f- ß³X³,

7t — a² -f- aßx -j- ß²x²,

Q = - a ßx ,

Q² = a² — 2 aßx -(- ß²x²,

03 ==

19)

20)

21)

22)

23)

24)

7r—^ = 3 aß, x    r

7t Q — 03

und es ergiebt sich durch Einführung von Variablen und Konstanten (Gl. 23):

^ = 3 aßdy. Nun ist aber zufolge §. 21, Gl. 10, 20 (unten S. 47):

dx

XQ

a dx

xn

25)

Ds

« O/

— Ds

dx

X (— u    ßx)

Ds

adx

X 7t

= a Ds

dx

æ(a²-(- aßx + ßsx²)

= — ß Bs~-

1 . x --log —•

26)

Ds —

ßdx

dx

7t

28)

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 26—28 in die Gl. 25, ferner den Wert von Ds — aus §. 12, Gl. 13 und befreit man endlich

71    ⁷

dy von den Konstanten, so ergeben sich folgende zwei Gleichungen: log

«’p[log y?

, 1 \ \V3a ' Y 3/

]/3 arctan fOßß. -|—^ \V3cc V3/J

arctan

= Ds

= Ds

dx

— cc³ -j- ß³x³

•    29)

dx

30)

III. Setzt man zur Integration von -Abkürzung in den Gl. 1 und 2:

dx

— bx³

— cc¹ -f- ß³X⁸

unter Festhaltung der

co =* as — ß³x³,

7i = cd -(- aßx -f- ß²x², q == a — ßx, q² = cc² — 2aßx -j- ß²x²,

CO CO CO CO

71Q = 03 — a³ — ß³x³,

so ergiebt sich nach ganz ähnlichen Rechnungen wie sub II folgende Gleichung:

35)

36)

3c^l0g V ⁺ i/3«*ß

hß [l0* T + V3

arctan

arctan

/2p . J_V

\V3« T V³/-

, _L\

\V3o:    ]/3/

= Ds

cc³ — ß³#³

37) •

Es ist leicht ersichtlich, dass diese Gleichung mit Rücksicht auf die Relation:

Ds

dx

dy

— a³-f- ß³x³

38)

a³ — ß³x³

auch durch Zeichenwechsel aus den Gl. 29 und 30 gewonnen werden kann, wobei zu bemerken ist, dass d log (— a -f- ßx) = d log (cc — ßx) ist.

§. 15.

Integration von

dx

+ a + bx⁴

I. Setzt man zur Erleichterung der Rechnung

4 _

a — ]/a ; a — a⁴, ß=^b- b = ß\

1)

2)

so ist die Fundamentalgleichung:

dx

dx

a -{-bx*

K* -f- ß*x⁴

'S

— dy.

CO    v

3)

Zerlegt man den Nenner des Differentials in Faktoren, so ist: 7i — a² -{- ]/2 aßx -f- ß²x², q — a² — y2 aßx -f- ß²x²,

4)

5)

”^ = 21/2 aß,

6)

7i q — co = a⁴ -j- ßix⁴‘.

Führt man (Gl. 6) Variable und Konstanten ein, so nimmt die Gl. 3 folgende Gestalt an:

dx dx

X71

— 2 y2 aß dy.

8)

Nun ist aber zufolge §. 21, Gl. 24, 20: Ds~ = Ds

dx

X (a² — ]/2 aßx -f- ß!x‘J)

dx

1 , X² , ß T. dx

~ 2 a ² °o Ç Ÿ2cc ^ S \

¹ 1 «* ,

2a² °g n

X (a² -|- Y2 a ßx -f- ß²xs)

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 9 und 10 in die Gl. 8, so ist:

xn

~ + Ds^ — Ds 2 y 2 aß dy.

Setzt man endlich an die Stelle von Ds — 4- Ds — den in §. 12, Gl. 24

7t    Q    °    ⁷

angegebenen Wert, so ist:

i i 7t . l , y

2a2 ł°g J + ^2 arctan ^ und wenn man dy von den Konstanten befreit:

—~--Tlog ~ -j- 2 arctan

4 ]/2 a³ß L ° Q '

y 2a

Ds

H)

y2aßcc

— ß²x*

= 2 y 2 a ß Ds dy,

y2 aßx ~

a²— ß'JX²_

= Ds

dx

a⁴ -f- ßixi

12)

13)

Setzt man ~ = Je und ersetzt man überall mittelst der geeigneten Operationen a und ß durch Je, so erhält das vorstehende Integral seine in den Integraltafeln übliche Form.

II. Setzt man zur Integration von

dx

dx

— a + bx*

Festhaltung der Abkürzungen in Gl. 1 und 2:

— a⁴ -j- ßixi

unter

co = — et⁴ -j- ß^x⁴,

% — d¹ -j- ß²x²,

Q = — a² -f- ß²x²,

7t — q — 2 a²,

TtQ = co — — a⁴ -j- ß^x⁴,

14)

15)

16)

17)

so ergiebt sich nach Einführung von Variablen und Konstanten (Gl. 17):

dx dx

— = 2 er dy.

Nun ist aber zufolge §. 9, Gl. 13 und §. 8, Gl. 6 (vgl. Gl. 11):

log

19)

dx

Us — = Ds

dx

— a -j- ßx

— a²-f- ß²x* 2 aß

a -j- ß x

20)

Ds —

= — Ds

dx

a- + ß‘x~

--^ arctan — •

aß

21)

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 20 und 21 in die Gl. 19 und befreit man sodann dy von den Konstanten, so ist:

— 2 arctan —

4^['°8

cl oc

III. Setzt man zur Integration von —-

— a -f ßx

a ßx

= Ds

bx*

dx

— a⁴ ß⁴x⁴

22)

dx

a⁴ — ß⁴x⁴ ‘

23)

co = a* — ß^x*, n = a² -f- ß²x², q = a² — ß²xi) n -j- q — 2 a²,

7t Q — C3 — CC⁴ - ßiXi,

so ergiebt sich nach Einführung von Variablen und Konstanten (Gl. 26)

d x a d x    rt « -i

— + — = 2a dy .

to to to to

o ÎO t-

28)

Nun ist aber zufolge §. 8, Gl. 6 und §. 9, Gl. 8

= -K arctan — •

Ds — = Ds

dx

7t

29)

dx

1    , a 4- ßx

2~öcß l0® «

Ds — = Ds ,

Q    ai— ß²x¹

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 29 und 30 in die Gl. 28 und befreit man dy von den Konstanten, so ist:

— ßx

30)

a -f- ßx

— ßx

-f- 2 arctan

= Ds

dx

a⁴ — ß⁴x⁴

31)

4a³ß _

Es ist leicht ersichtlich, dass dieses Integral jenem in der Gl. 22 nach erfolgtem Zeichenwechsel entspricht. Auch können die beiden Gleichungen

22 und 31 dadurch, dass man ~ — Ti setzt, auf ihre übliche Form ge-

bracht werden.

IV. Schliesslich mag noch bemerkt werden, dass auch alle übrigen

sich durch Zerlegung in Faktoren

Differentiale von der Form

dx

a -f- bxn

und durch Einführung von Variablen und Konstanten integrieren lassen. So ist z. B., wenn das Integral von

£0 = C£⁵ -j— ßhXb,

7i = a -f- ßx,

7t² = a² + 2aßx -f- ß²x²,

q = a² — 2aßx cos j -j- ß²x²,

dx

a⁵ -f ß*xö

zu ermitteln ist:

CO CO CO

:o

36)

x = a² — 2aßx cos ^ + ß²x²,

T = 2aß (2 +

cos

n . 3tt\

5+cos -t)’

37)

38)

7t QX = CO = a⁵ -f- ß⁶X⁵,

und durch diese Gleichungen kann das obige Integral mittelst mehrmaliger Einführung von Variablen und Konstanten leicht gefunden werden. Doch würde die Darstellung dieser ziemlich verwickelten Rechnung hier zu weit führen.

§• 16.

dx

Integration von--

cop

I. Iu der vorstehenden Formel — bedeutet p eine ganze positive

Zahl, «jedes Binom, Trinom oder Polynom von der Form a-\-bx-{- cx²-\----

wenn dieses in integrable Faktoren, welche die Anwendung der Methode der Einführung von Variablen und Konstanten gestatten, zerlegt werden kann, ohne Rücksicht, ob die Faktoren reell oder imaginär sind. Ich beschränke mich hier auf jene Fälle, wo der Nenner des Differentials blos in zwei Faktoren zerfällt; übrigens ist leicht ersichtlich, dass die hier entwickelten Integrationsmethoden mit geringen Abweichungen auch auf jene Differentiale angewendet werden können, welche (s. z. B. §. 15, Gl. 32—38) in drei oder mehrere Faktoren zerfallen.

Bezeichnen wir diese beiden Faktoren wie bisher mit n und q, so ist:

71 Q

1)

7t Q = A GJ ,

2)

Tt + 9 = p,

npgp

71PQP = kpC3v] COP =

i ( ■'■ ■■    ;    :    ■.    )

Man kann nun mit Rücksicht auf die Gl. 3 an die Stelle der Fundamentalgleichung:

dx

cop

die entsprechende Gleichung:

Xp dx

setzen.

npQp

= dy

6)

Führt man nun mit Rücksicht auf die Gl. 4 Variable und Konstanten ein, so ergiebt sich:

Xp (n + q)p dx

oder

7tPQP

1)

( Y Ds■—= Ds dy.

Häufig hat die Gleichung zwischen den Variablen und Konstanten einen komplizierteren Charakter als in der Gl. 2 vorausgesetzt wird. So haben

wir z. B. oben §. 14, Gl. 7 (S. 26) gesehen, dass - = 3 ccß Um die Gl. 8 allgemein brauchbar zu machen folgende Gestalt geben:

8)

= y ist. muss man ihr deshalb

WDs

[/•(», Q)]pdx

dx

npQp

9)

II. Durch diese einfache Formel können alle oben (S. 31) bezeich-

neten Differentiale von der Form — integriert werden. Ist z. B. die

cop

Gleichung

dx

= dy

(a -f- bx*)'*

zu integrieren, so setzt man (§. 6, Gl. 2—5):

co — a -f- bx², je == Y a —j— y— bx, o = y a — y— b x ,

» + Q = V = 2}/a ,

(tc -f- p)² = y² — 4 a,

7iQ — co ; X — 1,

10)

H)

12)

13)

14)

15)

16)

und es ist folglich mit Rücksicht auf Gl. 8

— Ds

dx . 2dx . dx

_<?²

71 Q

= Ds

dx

(a -f- bx'*)'*

11)

Nun ist aber

dx

dx

Ds —, d— Ds =

n*    q*

2x

Y—btya+Y-bx)

Y—b(ya—Y-bx)    a+bx²⁷

Ds

2 dx

dx

19)

= 2 Ds —,

CO ⁷

folglich, wenn man die Differentialsummen aus den Gl. 18 und 19 in die Gl. 17 substituiert.

TtQ

x ,1 r\ d x v d x n 5-— + -a-- Ds — = Ds — = Ds

2 aco ¹    2 a    co    co*

dx

(a + bx²)²

20)

III. Ist die Gleichung

dx

21)

= dy

zufolge §. 10, Gl. 1-10 (S. 13): co = a -f- bx + c#²,

71 = &-(-]/Ó    2c%,

q = b — ]/ó -f- 2cx,

% — q = 2 y d ,

71Q — 4cco : co —    ,

(a -f bx -f- cx²)²

zu integrieren, so setze man

22)

tO l\D KD

O I'D

26)

folglich ist dann:

Z² = 16 c² ; ft² = (jt — p)² = 4 <5. Substituiert man diese Werte in die Gl. 8, so ist:

27)

Ds

dx

4 c²

[a -\- bx -f- cx²)² d Nun ist aber

- Ds

(« — ç)²dx

7C²Q^

-¥ds    +    28)

d    Lç² ttç» ¹ 7T-J    J

Ds

dx

dx

+ Ds -Y = -Ds — — = (Gl. 26) — ~Ds —

TtQ '    ' 2C CO

9²

2ce 2cjt

b -f- 2 cx 4 c²œ

29)

30)

folglich, wenn man die beiden Differentialsummen aus den Gl. 29 und 30 in den letzten Ausdruck der Gl. 28 substituiert: b -\-2cx 2c T, dx

- Hb“ “7 Ds- = Ds

IV. Ist die Gleichung:

co

(a -j- bx -f- cx²)²

31)x)

dx

(a -f- bx -j- cx²)³

zu integrieren, so ist (Gl. 25, 26)

= dy

32)

Z³ = 64c³; /a³ = 8dyd ,

33)

1) Setzt man, wie in den meisten Integraltafeln, an die Stelle von d = b²—4ac den Ausdruck ^ = 4ac — b² (§. 10, Gl. 1 und 2), so -werden die Zeichen in dem obigen Integral positiv. Eine gleiche Umwandlung des Zeichens tritt auch hei dem Integral in der Gl. 41 in betreff jener Glieder ein, welche d in erster Potenz enthalten, während die Glieder mit ä² dasselbe Zeichen behalten, weil d² = J² ist.

Bergbohm, Integralrechnung.

folglich mit Rücksicht auf Gl. 8

DS (« + bx + ex²)³ = $j/ÿ ~^S Nun ist aber zunächst:

dx

8 c³

dx    3dx , 3dx dx~

•" ~7t\    ~~

<?³

71 Q

7t³

34)

Ds

dx

y 5 (b + 2 cx)

dx

4CQ² ~ 4cw²

- Ds

35)

Tt³

Dagegen lassen sich die Differentiale —

holte Einführung von Variablen und Konstanten integrieren. Setzt man zu diesem Zweck zuvörderst:

<?³

3 dx

7CQ²

3dx

7l²Q

16c³«²

nur ; durch wieder-

3 dx ,

--r = dz,

71 Q

so ergehen sich mit Rücksicht auf die Gl. 25 und 26 folgende Relationen: 3 (it — q) dx

71 Q*

3dx . 3dx ' icco

3    d x .    3

—pz Ds —y —pz

2 ys    q 8Cys

Ebenso ergiebt sich nach ganz analogen Rechnungen:

36)

<?²

= 2 ]/d dz. = 2 Yô dz .

37)

38)

Ds— = Ds dz — Ds —

dx

OJ

7CQ-

39)

3 j) dic ,    3

2V5 S «* ' 8cy^

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 35, 39, 40 in die Gl. 34, so ergiebt sich, wenn man für Ds ^ Ds-y den Wert aus der Gl. 29 nimmt:

dx

Ds— = Ds

3 dx

7l² Q

40)

Ds

dx

b + 2cæ _j_ 3c(b -J- 2cx) 6 c² jjgdx

(a 4- bx + cx²)³

Einige leichte Reductionen geben dieses Integral in seiner gewöhnlichen Gestalt (s. S. 33, Note).

§• 17.

Integration von

dx

(a + bxn)P

I. Die im §. 16 entwickelte Formel für Ds —

of

dort angegebenen Voraussetzungen allgemein anwendbar, ihre Benutzung ist aber wegen der Weitläufigkeit der Rechnungen dann weniger bequem, wenn die Gleichung zwischen den Variablen und Konstanten (§. 16, Gl. 2, 4) zu verwickelteren Ausdrücken führt (z. B. §. 14, Gl. 7).

ist zwar unter den

In diesem Falle können mit Vorteil einige spezielle Formeln gebraucht werden, die sich der Natur der einzelnen Differentiale näher anschliessen und von welchen daher die wichtigsten noch zu erwähnen sind.

Es sei zuvörderst die Gleichung:

dx

(a + bxn^P

= dy

1)

zu integrieren.

Zu diesem Zweck sind vor allem beiderseits Konstanten einzuführen

(s. oben §. 2), indem man die Gl. 1 mit n(p— 1) multipliziert, also: n(p — 1) dx

cop

= n (p — 1) cly.

2)

Sodann führt man mit Rücksicht auf die Gleichung:

o + bxn = a

3)

Variable und Konstanten ein, so dass die Gl. 2 folgende Gestalt annimmt: n (p — 1) (oo + bxn') dx

cop

- = n (p — 1) a dy

4)

oder

n (p — 1) dx n (p— 1) bxn dx ,    ..    ,

——----¹--—----= n(p — 1) a dy.

cop~l

cop

'    5)

Nun teile man das erste Differential in zwei Ausdrücke, so dass ist:

dx

(np — n — 1) dx

n (p — 1) dx

coP-¹

mP-¹

6)

cop~

Substituiert man den Wert aus der Gl. 6 in die Gl. 5 und nimmt man beiderseits die Differentialsumme, so kann die Gl. 5 auch so geschrieben werden:

Ds

dx n(p — 1) bxn dx

(np — n — 1) dx

Lcop~¹

wp

CO P-¹

— JDsn^p—1 )ady. 7)

Zieht man endlich aus der ersten Differentialsumme links - heraus und befreit man dy von den Konstanten, so ergiebt sich folgende Formel:

1    -r. X

an(p — 1) nS mP-1

— n(p—1 )bxn dx

np — n —

CO

an(p — 1)

¹ Ds

dx

a»P ¹

= Ds

dx

8)

{a±bxn)p

Nach dieser Formel kann das vorstehende Integral, wenn n und p ganze positive Zahlen sind, leicht integriert werden.

II. Soll z. B. die Gleichung

dx

(a -f- bx³)-

= dy

CO

Substituiert man den letzten Wert der vorstehenden Gleichung in die Gl. 12 und befreit man sodann dy von den Konstanten, so ist:

dx

14)

X ,    2 -r. dx

(a -f bxy

integriert werden, so ist mit Rücksicht auf die Gl. 2—4 zunächst links mit 3 (co — bx³), rechts mit 3a zu multiplizieren, also:

3 (co — bx³) dx 3dx    3bx³dx

co²

co

co²

= 3 a dy.

10)

3 ct oc •    •

Teilt man nunmehr das Differential - im zweiten Ausdruck zufolge der

dx

2 dx

Gl. 6 in — und ——, so nimmt die vorstehende Gleichung folgende Gestalt an:

Bs \— —

L co

3bx³dxl . T, 2dx ^ 0    7

—J    Bs-= Bs da dy.

H)

Zieht man nun aus dem ersten Differential mit Rücksicht auf die Gl. 8 — heraus, so ist:

CO

Bs \—

L x

Sbx^dcq ₊ 2 I)s ^ = Bs 3a dy.

Nun ist aber, wenn man ganz analoge Operationen vornimmt, wie jene, die in den „Neuen Integrationsmethoden“ S. 47—49 entwickelt sind:

i+^

x

3 bx²dx co-\-3bx²dx ä

Bs f— L x

3bx‘²dx~]

w J

x -f- dx

12)

13)

ö—=, 4- — Bs — = Bs

3 aco '3a co

III. Ich habe sub II die Integration in der Weise durchgeführt, dass ich die in den Gl. 1—8 angedeuteten Umgestaltungen mit dem zu integrierenden Differential wirklich vornahm. Die Integration kann aber auch so erfolgen, dass man in der Formel der Gl. 8 unmittelbar die erforderlichen Substitutionen vollzieht. Zu diesem Zwecke werde ich die erste und zweite Differentialsumme der Gl. 8 abgekürzt mit B's und B's u. s. f. bezeichnen. Dieselbe Abkürzung soll auch in den späteren Fällen benutzt werden.

Ist also z. B. die Gleichung:

dx

dx

= dy

(a-f-fta:³)³    <a³

zu integrieren, so ist mit Rücksicht auf die Gl. 8 und 13:

15)

dx

an(p — 1)

B's = ~Bs

x dx

L x

6bx²dxl_ 1 x ¹ x

co J 6a co² . . 2.3bx²dx

co

X -f- dx

æ -f- dx

x -f- dx

6a a² -j- 2 . 3b x* co dx 6a(eo -j- 3 bx²dx)² 6a(co -(- dco)

x .3 -r, dx    T.

dx

22)

(a bx*y

7"= + — Ds — = Ds

4 aco ¹ 4 a    co

Ich bemerke noch, dass die Richtigkeit der Integrationsformel in der Gl. 8 sich leicht dadurch ergiebt, dass man diese Formel durch einige

naheliegende Reduktionen auf das ursprüngliche Differential — zurück-

COP

führen kann. Dieselbe Reduktion kann man auch bei allen übrigen Integrationsformeln, die im Laufe dieser Abhandlung Vorkommen, ohne Schwierigkeit durchführen.

§. 18.

Integration von

np . n.....-,¹ D"s = Ds —a = (Gl. 14)

aw (p — 1)    6 a co" v    '

bx

18 a²rä

+ iî»Âv ¹⁷)

Substituiert man die Differentials ummen aus den Gl. 16 und 17 in die Gl. 8, so ist:

* .

6aä>² f

18 a² co

H-*Ds — = Ds

9a"    co

dx

(a -f bxs)³

18)

IV. Ist die Gleichung

dx

= dy

19)

(a -f- bx⁴)²

zu integrieren, so ergeben sich mit Rücksicht auf die Gl. 8 folgende Relationen :

an(p—1)

D's = -¹ - Ds [—

4 a    L x

ibx³dx~\ co J

1 x -f- dx 4 a co —|— d co

• 20)

4 am '

np — n

an (p — 1)

1 TV/    3    y-1 dx

- D s = — Ds —

21)

dx

(a -f- bx -f- cx²)p

I. An die im vorhergehenden Paragraphen gegebenen Entwicklungen schliesst sich enge die Integration der Gleichung:

an.

dx

dx

(a -\-bx Ą- cx²)p

Ich bezeichne in üblicher Weise:

— = (hJ

co*

1)

⁽~ — co' — b -f- 2cx

2)

d² co    „    ~

i^ = a =2e>

2coco" — co'² = 4ac — b² — D.

3)

4)

Um nun die Gl. 1 indem man beiderseits mit p — 1 multipliziert, also:

zu

integrieren, führe man zunächst Konstanten ein,

Sodann führt man mit Rücksicht auf die Gl. 4 Variable und Konstanten ein; wodurch die vorstehende Gleichung folgende Gestalt annimmt:

= zJ(p — 1 )dy

6)

(p — 1) dx

ap

= (p —l)dy.

5)

(p — 1) (2 co co" — co'²) dx

oder:

2 (p — 1) co" dx (p — l)a>'²dx

ap 1

cop

= A (p — 1) dy.

7)

Teilt man nun das erste Differential eben so wie im §. 17, Gl. 6—7 und nimmt man dann die Differentialsumme, so ist:

(p — 1) co'²dx~

Ds

co" dx

2c(2p — 3) dx

ü/-¹

mp

c/-¹

= Ds zl (p—1 ) dy. 8)

co'

Zieht man endlich aus der ersten Differentialsumme —:r heraus und be-

cop_1

freit man dann dy von den Konstanten (vgl. §. 17, Gl. 8), so ist:

~a"dx (p — 1) co' dx~\ , 2 c (2p—3) ^ dx

d(p-l)

Ds

CO'

V—1 or

co'

co

= Ds

dx

II. Ist z. B. die Gleichung:

(a -{- bx + cx²)p

9)

dx

= dy

dx

(a -f- bx + cx²)² co²

zu integrieren, so sind, da p — 1 in diesem Falle =1 ist, sofort mit Rücksicht auf die Gl. 4 und 6 Variable und Konstanten einzuführen, so dass sich folgende zwei Gleichungen ergeben:

(2 co 03" — co'²) dx

03 ²

= zJ dy.

H)

2a" dx    a² dx

co

— zl dy.

12)

Teilt man nun nach Anleitung der Gl. 8 das erste Differential, so ist:

I⁻a"dx    a²dx

L co

03 ²

] ₊ Ds^dx^    dy

13)

und wenn man mit Rücksicht auf Gl. 9 aus der ersten Differentialsumme

co'

extrahiert:

co

J)s ^[œ"dx co L co!

+ 2cDs^ = Dszl dy.

14)

Nun ist aber, wenn man so wie in den „Neuen Integrationsmethoden“ S. 47—49 und wie oben im §. 17, Gl. 13 und 18 verfährt:

§. 19.

xqdx

cop

:’>9

co' dx

JDs

'8 i S

co'¹ dx

CO

co’ dxl

co J

v3 3

14

co' -j- co" dx co' dx co co' dx

CO

13

,    15)

CO

und wenn man den letzteren Ausdruck in die Gl. 14 substituiert und dann dy von der Konstante befreit: b + 2cx .

Zö ‘ A

III. Ist die Gleichung:

2c

dx

Ds — = I)s

dx

CO

(a 4- bx 4- cæ²)²

16)

dx

dx

= dy

17)

(a 4^*4 Cic²)³    co³

zu integrieren, und will man das Integral, ähnlich wie in §. 17, Abs. Ill unmittelbar aus der Integrationsformel ermitteln, so ist (Gl. 9):

A (p — 1)

jy    1    y-, co' fco" dx 2co'dx~\ _ 1 co'

^    2 A ^ co² L co'    co J 2Acoi

14-

co" d x

co'

14

2 co’ dx

co

'co' Ą- co”dx

co' 4- üj” dx

2 A co² 4~ 2coco’dx 2 A (co 4" co’ dx)² 2 Am'J

18)

2 c (2p — 3) A(p — 1)

D"s =~Ds~ = (Gl. 16)

3 cco’

A*ä

4-

6 c²

A*

dx

19)

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 18 und 19 in die Gl. 9, so ist:

__L

2 Am* ^

3 cœ’

6c²

dx

dx

20)

4--dJs

(ci 4~ bx 4“ C£C²)³

Einige leichte Reduktionen geben diesem Integral seine gewöhnliche Gestalt.

A*m

co

Integration von

In der vorstehenden Formel bedeutet co ein Binom, Trinom oder Polynom von der Form a bx cx² 4“ • • • gxn, auf welches die im Eingang des §. 16 enthaltenen Voraussetzungen Anwendung finden; p und q bedeuten ganze positive Zahlen; gxn endlich jenes Glied von to, welches die Variable x in der höchsten Potenz enthält.

Hier ist zu unterscheiden, ob q^n oder q < n ist. Ist q gleich oder grösser als n, so können die betreffenden Integrale nach einer allgemeinen Formel gefunden werden, von welcher im folgenden Paragraphen die Rede sein wird. Gegenwärtig haben wir also nur den Fall ins Auge zu fassen, wo der Exponent von x im Zähler (= q) kleiner als der höchste Exponent von x im Nenner (= n) ist.

I. Ist q nur um eine Einheit kleiner als n, so kann xq jederzeit aus dem Differentialquotienten von 00 = 00' ermittelt und die Integration dadurch ermöglicht werden, dass man den gefundenen Wert von xq in

das Differential substituiert, ln einzelnen Fällen ^z. B. bei Ds ^ frjr^_ cx

wird der Zähler des Differentials durch diese Operation nicht vollständig von der Variablen x befreit, diese erscheint aber dann in niedrigerem Grade, welcher die Integration möglich macht.

So ist z. B. für co = a -{- bx²:

co' = 2bx: x =

co'

2 b’

1)

und wenn man diesen Wert von x in die Gleichung

xdx a -f- bx*

= dy

2)

substituiert und beiderseits die Differentialsummen nimmt, so ist (N. I., S. 37 ff):

xdx

= Ds

a äx

2 b co

= T~Ds

to dx

2b

Ebenso ist:

T) x‘*dx m aT+bD

co’ dx

= Ds~

3 bca

⁼ hl°za-

= sW“-

co

3)

4)

III. Ist die Gleichung

x dx

zu integrieren, so ist:

a -f- bx -f- ex*

= dy

5)

= b + 2cx-, x =    &

6)

folglich ergeben sich, wenn man den Wert von x in die Gl. 5 substituiert, folgende Gleichungen:

(co' — b) dx

= äy. -^Ds-=D.s dy.

2c co    ²⁷

= Ds

2 Cto

1    T, co dx

— Ds —

2    c    co

1 !    — b -r. dx

2^ log a-~Ds~

xdx

o, -j- bx -f- cxz

Durch ganz analoge Rechnungen ergiebt sich: 1 ,    — , b dx

Je !°g ® + 27 Vs

= Ds

x dx

8)

9)

10)

a — bx + cx²

Es wird sich übrigens weiter unten (Gl. 16—22) zeigen, dass die beiden vorstehenden Integrale (Gl. 9 und 10) in wesentlich abweichender Form auch dadurch gewonnen werden können, dass man x nicht aus dem Differentialquotienten von 00, sondern aus den Faktoren dieses Ausdrucks ermittelt.

IV. Ist die Gleichung:

xdx

== dy

(a -f- bx -Ç cx²)²

zu integrieren, so ist ähnlich wie in den Gl. 7 und 8:

11)

co dx

b dx - 2 c DS

Nun ist aber zufolge N. Int.-Meth. S. 38, 34 und oben §. 16, Gl. 31, wenn man an die Stelle von d = b² — 4ac den Ausdruck A —4ac — b² setzt und infolge dessen die Zeichen wechselt:

~Ds

2c

CD*

CO ²

— Ds dy.

12)

1    -r, ca' dx

« Ds

2c œ

— Ds

2c

dx

CD²

2cco

13)

bco'

2 cz/ co

b T, dx

- Ds--

J    CO

14)

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 13 und 14 in die Gl. 12, so ist:

bco'

2czl co

b -r, dx

-j Ds —

ZJ    CO

= Ds

xdx

(a + bx + cx²)

15)

2 cco

Eine leichte Reduktion zwischen den beiden ersten Gliedern auf der linken Seite giebt das Integral in seiner gewöhnlichen Gestalt.

V. Ist der Exponent q um mehr als eine Einheit kleiner als n (s. oben), so muss xq entweder unmittelbar aus den Faktoren von co, nämlich aus it und q oder auch aus den Differentialquotienten n, q' ermittelt werden, wobei jene Methode zu wählen ist, welche die bequemste ist. Häufig können auch diese Methoden ebensogut wie die in den Abs. I—III entwickelten angewendet werden, ähnlich wie ja auch in der Algebra sehr oft mehrere Wege zu demselben Ziele führen.

So kann z. B. die Gleichung

xdx

xdx

16)

a + bx -f- cx²

für welche das Integral schon oben (Gl. 9) ermittelt wurde, auch in der Weise integriert werden, dass man ebenso wie im §. 10, Gl. 4—8 gleichsetzt:

CO

7t = b -j- Yd -f- 2cx] x =

7t — b — y ô

2c

17)

q == b — j/ó ~V 2cxj x =

e — b 4- Vs

18)

7tQ = AlCco ;

7t Q

co = -—

19)

Substituiert man den Wert für x aus der Gl. 17 in die Gl. 16, so ist:

2 (b -f- >Ä) dx

71 Q

oder wenn man beiderseits die Differentialsummen nimmt:

b -(- Ÿ8 ^ àx

= Ds

xdx

a -f- bx -f- cx²

Substituiert man andererseits den Wert von x aus der Gl. 18 in die

Gl. 16, so ist:

b — ys

xdx

7l0«”- 2c

Diese beiden Integrale kommen meines Wissens nirgends vor, sind aber ebenso richtig und einfacher als das gewöhnliche Integral (Gl. 9).

Y. Das Integral der Gleichung:

x dx

a -f- bie³    oc³ ß³x³

kann nur dadurch gewonnen werden, dass man x aus den Faktoren von co ermittelt. Man setze wie im §. 14, Gl. 4—8:

- Ds — = Ds

CO

a bx 4- cx²

22)

xdx

x dx

— = cly

CO    J

23)

i a    n — a

7t = CC + ßX) X = —ß—,

q = a² — aßx -f- ß²x‘l,

7t q — co — a³ -{- ß³xA,

so ist, wenn man den Wert von x aus der Gl. 24 in die Gl. 23 substituiert:

adx

ßnQ

24)

25)

26)

te

= cly.

27)

Nun ist aber zufolge §. 12, Gl. 15 und §. 14, Gl. 17 :

1 T, dx -x Ds — =

Y3 aß²

arctan

'2ßx

y Sa    y 3

28)

a dx

~ö Ds - ⁼

ß    7t Q

dx

è>²⁹⁾

2 ßx y 3 a

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 28 und 29 in die Gl. 27, so ist nach einigen naheliegenden Operationen:

Ds

co

1    ,    7t

3aß*

Vc    Y3 aß*

arctan

xdx

1_ log Xy -f- 1/3 arctan

3 aß* l n    \|/3a

Ersetzt man überall a und ß durch — = h, so erlangt das vorstehende Integral seine gewöhnliche Gestalt.

YI. Ist die Gleichung

x dx a -y bx⁴

zu integrieren, so setze man ebenso wie in §. 15, Gl. 1—7

= Ds

30)

xdx

xdx

a⁴ -f- ßixi

— = dy

co    J

n = a² + Y2 ußx + ß²x²,

Q — U² - |/2 ußx 4" ß²x²,

71 - Q

X 2 ]/2 aß ’

7t Q = CO — ß⁴ -f“ ß⁴#⁴,

und es ergiebt sich, wenn man den Wert von x aus der Gl. 34 in die Gl. 31 substituiert:

32)

33)

34)

35)

dx

^ = 2]/2 aß dy.

36)

Nun ist aber zufolge §. 12, Gl. 25:

dx

dx

Ds--Ds — =

71

\j)s~ — Ds —1

L 71    Q J

arctan

ß²x2 a² »

37)

und wenn man diese Differentialsumme in die Gl. 36 substituiert und dy von den Konstanten befreit:

2 cc²ß²

arctan

ß²x²

= Ds

xdx

cc⁴ 4 ß⁴x⁴

38)

Setzt man u² = j/a, ß² = ]/& (§. 15, Gl. 1, 2), so erlangt dieses Integral seine gewöhnliche Form.

Ist endlich die Gleichung:

x ²dx a 4- ix*

x²dx

x²dx

a⁴ 4 ß⁴x⁴

----=äy

39)

zu integrieren, so ergiebt sich aus der GL 32 und 33:

7t 4 Q — 2o(s

40)

7t 4- Q — 2 a² 4 2ß²%² ; ec² —

und wenn man diesen Wert von x² in die GL 39 substituiert:

x . dx 2u²dx n ?

—----= 2ß² dy.

7t ' Q    00    '    J

Nimmt man nun die Differentialsumme von — 4" — aus §. 12, GL 24,

Tt ¹ Q    7    7

2 ß²

41)

von ^ aus §. 15, GL 12 und 13 und befreit man dann dy von den Konstanten, so ergiebt sich nach einigen Reduktionen:

V2aßx 1 ß²x²J

log 4 2 arctan

CĆ² -

= Ds

x²dx

a⁴ 4 ß⁴x⁴

42)

4 J/'2 aß³ L

Durch Substitution von ^ = h wird dieses Integral leicht auf seine übliche Form gebracht.

VII. Ist die Gleichung

x dx

x dx

— = dy

CO    J

a 4 bx² 4 cx⁴

zu integrieren, so setze man (für b² > 4ac) wie in §. 13, GL 1 — 5:

7t = b -j- Y'ô -{- 2cx², Q — b — Yd -J- 2 cx², 9 = 2 Yd,

CS /o

47)

7tQ — 4cco ; a —    ,

und führe in die Gl. 43 mit Rücksicht auf die Gl. 46 Variable und Konstanten ein, so ergiebt sich

xdx

48)

xdx — VAdy.

7t    2 c

Nimmt man nun nach Anleitung der Operationen in den Gl. 1—3 von den Differentialen links die Differentialsummen, so ergeben sich, da

q — 4cx, % — 4cx, also x —    ist, folgende zwei Gleichungen:

q'dx n dx 4ce 4cn

Vs

⁼ j-cdy

49)

x dx

a + bx* + cx*

Wird in der Gl. 43 statt x der Ausdruck x² gesetzt, so kann x² leicht aus den Gl. 44 oder 45 ermittelt und dann die Integration vorgenommen werden. Ist xq = x³, so sind die sub I dargelegten Methoden anwendbar. Auch für &² <4ae können die Integrale nach der obigen Darstellung (vgl. auch §. 13, Gl. 19 ff.) ohne Schwierigkeit ermittelt werden.

§• 20.

Integration von

xq dx

cop

(Fortsetzung).

I. Während die Integration der im §. 19 behandelten Differentiale ein gewisses Eingehen in die Individualität der einzelnen Fälle erheischt, kann das obige Differential für q > n (vgl. oben S. 39) nach einer allgemeinen Formel integriert werden.

Bezeichnet man (s. oben S. 39) mit gxn das Glied von co mit der höchsten Potenz von x, ferner den Rest, welcher von œ nach Abzug dieses Gliedes verbleibt, mit R, so ist:

1)

„ 00 xn — —

2)

co — R -f- gxn — B

Ist nun xn — xq, so braucht man nur den vorstehenden Wert in die Fundamentalgleichung:

xq dx

:u zu substituieren, welche dann folgende Gestalt annimmt:

(co — B) dx ₇

—p— = dy

CJ(ÙP

1 T. Bdx r, ,

— — Ds —— — Ds dy .

"    cop

oder

dx

5)

cop~l

Ist dagegen g>w, so muss die Gl. 2 mit xq~n multipliziert werden, worauf sie folgende Gestalt annimmt:

xq —

x‘^n co - Bxq~n

6)

und wenn man diesen letzteren Ausdruck in die Gl. 3 substituiert, so ist:

-Ds

Bxq~n dx

xq~n dx 00 P-¹

Mit den beiden Formeln in den Gl. 5 und 7 kann jedes Differential von - ^ für q > n leicht integriert werden.

cop

II. Es sei z. B. die Gleichung

x'²dx

a -{- ix + cx²

:u zu integrieren, so ist zufolge Gl. 2:

9    CO

xL = -

c ’

folglich, wenn man diesen Wert in die Gl. 10 substituiert:

Ds---Ds

der Form

— — Ds

cop

x²dx

CO

— a — bx

— Ds dy.

= dy

10)

11)

- — — Ds xdx — Ds du

ca c    co

Nimmt man von den Differentialen links die Differentialsummen (vgl. namentlich §. 19, Gl. 9), so ist nach einigen leichten Operationen:

-iSrloBS + (wr-f)l>.£—B.

III. Ist die Gleichung

x² dx

a -f- bx ff- cx²

12)

13)

x³dx

u -j- bx -j- cx² —

su zu integrieren, so ist zufolge Gl. 6

x³dx

— = dy

co    J

14)

xm — ax — bx²

15)

X³ =

und wenn man diesen Ausdruck in die Gl. 14 substituiert, so ist:

--Ds

C    C    co    c    co    co

Zur Integration dieser Gleichung ist blos erforderlich, dass man für die

Ds

xdx

a xdx

--Ds —

x²dx

— Ds

x³dx

16)

links angedeuteten Differentialsummen aus §. 19, Gl. 9 und aus der obigen Gl. 13 die entsprechenden Werte substituiert und dann die erforderlichen Reduktionen vornimmt.

§. 21.

Integration von

xmał

I. In dieser Formel bedeutet co ein Binom, Trinom oder Polynom von

der Form a -f- bx + cx² -f-----\-gxn{yg\. §. 19), m, n, p bedeuten ganze

positive Zahlen, endlich bezeichne ich mit r den Rest, welcher von co nach Abzug der Konstante a verbleibt.

Ist nun die Gleichung

dx

zu

integrieren, so setze man

xmaf

= äy

1)

co = a -f- r, a = co — r,

3)

und führe dann in die obige Gl. 1 mit Rücksicht auf die Gl. 3 Variable und Konstanten ein, so dass sich also folgende zwei Gleichungen ergeben:

3)

= a dy,

(co — r) dx

dx

rdx

4)

= a dy.

co*-¹

Nimmt man nun die Differentialsummen und befreit man sodann dy von der Konstante, so ist:

cop

Ds

dx

co?-¹

- Ds

rdx

cop

dx

r dx

1 dx

= — Ds--

co?-¹

Nach dieser einfachen Formel können alle Differentiale von der Form

— - Ds

xmco}>

5)

dx

xma>r

integriert werden.

II. Ist z. B. die Gleichung:

dx

dx

xco

= dy

6)

zu integrieren und multipliziert man (Gl. 3) links mit ca — bx, rechts mit a, so ist:

= a dy

(co — bx) dx

XCO

oder

dx bdx    ,

-— = a dy .

co    J

Nimmt man nun beiderseits die Differentialsummen, so ist (Neue Int.-Meth. Gl. 201, 213):

Ix — Ico = log -^r = Ds a dy

9)

und wenn man dy von den Konstanten befreit:

l , x - log — a co

= JJs

dx

x (a -j- b x)

10)

III. Ist die Gleichung

dx

= dy

x² (a -f- bx)

zu integrieren, so verfährt man so wie in Gl. 7 und es ergiebt sich

H)

dx

Ds — ₂ — b Ds x²

dx

x<a

= Ds a dy.

12)

Substituiert man links den Wert der Differentialsummen mit Rücksicht auf Neue Int.-Meth., Gl. 180 und auf die obige Gl. 10 und befreit man dann dy von der Konstante, so ist:

4 log Ł = Ds

a- ° u>

dx

ax

x² (a + bx)

13)

IV. Ist die Gleichung

dx

dx

— == dy

X(ß

x (a + bx²)

zu integrieren, so ist mit Rücksicht auf die Relation œ — bx² = a:

14)

-T, dx i -y--, x dx    -j

Ds--b Ds-— Ds a dy.

x    a    J

Nimmt man nun mit Rücksicht auf die obige Gl. 8 und auf §. 19, Gl. 3

die Differentialsummen und befreit man sodann dy von der Konstante,

so ist

15) .

dx

x (a + bx²)

16)

V. Ist die Gleichung:

dx

dx

x{a bx cx²)

— = dy

XCO    J

17)

zu integrieren, so ist:

(co — bx — cx²) dx

oder

XCO

— a dy

18)

r\ dx ₇ dx    xdx T\ ₇

Ds--b Ds ---c Ds -— = Ds a dy.

X    CO    CO    "

Substituiert man nun den Wert der Differentialsummen (s. oben §. 19, Gl. 9) in die vorstehende Gleichung, so ist nach einigen leichten Reduktionen:

19)

1 !    X² b -r, dx t\

— log — — — Ds — = Ds

2 a ° w 2 a co

dx

VI. Ist die Gleichung

21)

= dy

dx

x* (a -f- bx + cx²) x²co

zu integrieren, so ist (s. Gl. 18 und 19)

Ds

dx

— IDs

dx

XCO

— c Ds — = Ds a dy.

CÙ    *

22)

Substituiert man in die vorstehende Gleichung die Werte der Differentialsummen (s. für das zweite Glied oben Gl. 20), so ist nach einigen Reduktionen, wenn man dy von der Konstante befreit:

— 2 ac

b , x* , b²

2cd °° co

dx

dx

• 23)

= Ds

Ds

2 a²

x² (a + bx -j- cx²)

Auf ganz analoge Weise wie oben (Gl. 17—20) erhält man noch das schon in früheren Abschnitten mehrfach benützte Integral:

ax

CO

Ds

dx

x (a — bx -(- cx²)

¹ 1    . b 7-.

2 a l0S 5 + 2 a Ds

dx

tu

24)

Dritte Abteilung.

Die goniometrischen Integrale.

§• 22.

Integration der einfachsten goniometrischen Differentiale.

Die neuen Rechnungsmethoden gewähren die Möglichkeit, die goniometrischen Differentiale direkt zu integrieren, während diese nach den heute üblichen Methoden zum grossen Teile entweder durch die beliebten „Umkehrungen“ oder auf einem indirekten Wege gewonnen werden, indem man die goniometrischen Funktionen und Differentiale in algebraische Ausdrücke verwandelt (z. B. durch die Gleichungen sin x — n oder tg ^ = u). Auch hier treten durch die neuen Rechnungsmethoden an die Stelle eines überaus komplizierten Formelwerks einige wenige elementare Handgriffe, die für den Kenner der neuen Rechnungsarten kaum einer näheren Erläuterung bedürfen.

I. Ist die Gleichung:

1)

cos x dx — dy

zu integrieren und numeralisiert man dieselbe, so ist:

dfi

1 -f- cos x dx Idß — v dy.

2)

Multipliziert und dividiert man das Differential links mit sin x, um das

linksseitige Numeral auf die Form 1 -\——

Meth. S. 41, Gl. 221, 222; S. 44, Gl. 245, 246 ff.), so entsteht folgender

zu bringen (s. Neue Int-

Ausdruck :

sin x cos x dx Idß dß ₇

--------- r=v dy,

sin x

3)

und wenn man sin x in die Potenz versetzt und sodann die Numeral-gleichung bildet, so ist:

dßtinx

cos x dx

sin x

Idß'j

sin x

dß

d ß sin x

= v dy.

4)

Logarithmalisiert man diese Gleichung, um den ursprünglichen Wert von dy herzustellen, so nimmt sie folgende Gestalt an:

5)

sin x -f- cos x dx — sin x — dy.

Nun ist aber:

folglich:

sin dx — dx cos dx = 1,

6)

sin x -f- cos x dx — sin x cos dx cos x sin dx — sin (x -f- dx), 8)

und wenn man den letzteren Ausdruck in die Gl. 5 substituiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

sin {x -f- dx) — sin x = dy = cos x dx,    )

sin x — Ds dy — Ds cos x dx.    1 )

II. In ganz ähnlicher Weise wird die Gleichung:

11)

sin x dx = dy

integriert, nur dass Multiplikation und Division mit cos x stattfindet (s. oben Gl. 3). Es ergiebt sich dann (vgl. Gl. 5):

12)

cos x -f- sin x dx — cos x = dx.

Multipliziert man, um die Operation in der Gl. 14 zu ermöglichen, dx und dy mit — 1 (Neue Int.-Meth. S. 35, 53), so ist :

13)

cos x — sin x dx — cos x — — dy.

Nun ist aber mit Rücksicht auf die Gl. 6 und 7:

15)

cos x — sin x dx = cos x cos dx — sin x sin dx = cos ix -j- dx), 14) folglich, wenn man den letzteren Ausdruck in die Gl. 13 substituiert: cos ix + dx) — cos x — — dy.

Befreit man endlich dy von dem Minuszeichen, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

Bergbohm Integralrechnung.

—    [cos (x -j- dx) — cos x] = dy,

—    cos x — Ds dy — Ds sin x dx.

CI

III. Ist die Gleichung:

dx

= dy

18)

cos² as

zu integrieren, so ergeben sich folgende Umwandlungen, die nach dem bisher Gesagten keiner weiteren Erläuterung bedürfen:

dx Idß

dp

COS² X

—'v dy.

19)

^    . sin x dx Idß    -,

1 H--;-= v dy.

¹ sm x cos² x    J

20)

sin x

COS X

(* +

dx Idß

sin x cos x

dß

sin x cos x

sin x

COS X

dp

— v dy.

21)

Da hier

sin x

in die Potenz versetzt werden musste, so ist es notwendig,

COS X

das links erscheinende Differentialbinomium in ein Trinom zu verwandeln, weil nur ein solches (s. unten Gl. 24) die Dilferentialsumme eines Bruches ergiebt. Die Umwandlung in ein Trinom erfolgt hier wie in anderen Fällen dadurch, dass man mit Rücksicht auf die Relation sin²Æ-f- cos²#=l Variable und Konstanten in die G1.21 einführt, folglich dx mit sin²#-]- cos²x> dagegen dy mit 1 multipliziert. Die Gleichung erlangt dann folgende Ge

stalt:

sin x

sin x

dß

cos X

(‘+

cosxdxldß , sin x dx

1

sin x

cos x

Idß^

cos X

dp

sin x

dß™*

= v dy.

22)

Logarithmalisiert man diese Numeralgleichung, so ist:

sin x

sin x cos x

0+

cos x dx

sin x dx

sin x

cos x

cos x

= dy.

23)

Nun ist aber (s. Neue Int.-Meth. S. 47—49 und oben §. 17, Gl. 13 und 16, §. 18, Gl. 15 und 18):

0 +

cos x dx

sin x

cos x dx

sin x dx

sin x

sin x

sin x -|- cos x dx

cos x

sin x

cos x

cos x

sin x dx

cos x — sin x dx

COS X

_ sin (x + dx) cos(x -f- dx) ’

und es ergeben sich, wenn man diesen letzteren Ausdruck in die Gl. 23 substituiert, folgende Relationen:

24)

Ebenso ist:

sin (x -f- dx) cos {x + dx)

sin x cos x

sin x

cos x

= dy.

24)

= tg x = Ds dy = Ds

dx

cos² x

25)

cos x

sin x

— — cot x = Ds

dx

sin² x }

26)

wobei nur zu bemerken ist, dass bei Ableitung dieses Integrals mit cos x

cos x sin x

endlich dx und dy mit — 1 zu multiplizieren ist (s. oben Gl. 13).

IV. Ist die Gleichung

zu multiplizieren (s. Gl. 20),

in die Potenz zu versetzen (Gl. 21),

sin x dx cos² x

zu integrieren, so ist die Numeralgleichung:

= dy

27)

COS X

/ sin x dx ldß\ \    cos x /

COS X

— v dy

28)

dß

COS X

und wenn man diese numeralisiert:

sin x dx

COS X

COS X

— == dy.

COS X    J

29)

Nun ist aber (Neue Int.-Meth. Gl. 10 und oben Gl. 14):

-L- (i +

COS X \    ¹

sin x dx

cos x

cos x

sin x dx

cos (x + dx)

30)

COS X    '

COS X

Substituiert man diesen letzten Wert in die Gl. 29, so ergeben sich die Relationen :

— = dy,

cos X J ’

COS X

—¹~ = sec x = Ds dy — Ds cos x    J

Durch ähnliche, jedoch in einzelnen Punkten (vgl. zu Operationen erhält man die Gleichung:

= — cosec x — Ds

sin x dx

COS² X

31)

32)

Gl. 26) abweichende

cos x dx

sin x

sin² x

33)

Y. Ist die Gleichung:

tg x dx =

sin x dx

COS X

= dy

34)

zu integrieren, so ist nach vollzogener Numeralisierung:

sin x dx Idß

dy

COS X

= v dy.

35)

Multipliziert man in dieser Gleichung dx und dy mit — 1, so liegt offenbar ein logarithmisches Integral vor (Neue Int.-Meth. S. 37 — 40). Es ist nämlich: sin x dx Idß

COS X

— sin x dx~\ldß

COS X

COS X

reo .e + ^)W    ₈₆₎

L cos x J    v j

Logarithmalisiert man diese Gleichung und befreit man sodann dy von dem Minuszeichen, so ergeben sich folgende Relationen:

-— [log cos (x -j- dx) — log x] = dy,

— log cos x = Ds dy = Ds tg x dx.

37)

38)

Ebenso ist:

Ds cot x dx = Ds

cos x dx

sin x

= log sin x}

39)

wobei nur zu bemerken ist, dass bei Ableitung dieses Integrals mit Rücksicht auf Gl. 8 die Multiplikation mit — 1 nicht notwendig ist.

YI. Ist die Gleichung:

sec x dx =

dx

COS X

= dy

40)

die Einführung von Variablen

zu integrieren, so multipliziere man, und Konstanten zu ermöglichen, Zähler und Nenner des Differentials mit cos x und es ist dann:

um

cos x dx

1 — sin* x

= dy.

41)

Setzt man nun:

und führt man mit Rücksicht auf die Gleichung 45 Variable und Konstanten ein, so ist:

Oi O’ ^    05 to

cos x dx

cos x dx

47)

= 2 dy.

Verfährt man nun mit dieser Gleichung genau so wie in den Neuen Int.-Meth. S. 54, Gl. 307 ff. angegeben ist, so ergiebt sich:

rTT —)— COS X dx ' « 1

Lp — cos x dx' q J

Idß

dp

48)

Da 7t -f- cos x dx = 7t, q — cos x dx = Q ist, so ergeben sich, wenn man die vorstehende Gleichung logarithmalisiert und dy von der Konstante befreit, folgende zwei Relationen:

D“gf -*r.

1 . n

-log-

losf=ï'°g

VII. Ist die Gleichung

49)

1 -j- sin x

1 — sin x

cosec x dx —

dx

= dy

dx

cos x

■ 50)

51)

sin x

zu integrieren, so ist wie sub VI vorzugehen. Man multipliziert Zähler und Nenner des Differentials mit sin x und setzt dann:

und erhält, wenn man mit Rücksicht auf die Gl. 55 Variable and Konstanten einführt,

Ui Ui

sin x dx

sin xdx

= 2 dy.

57)

Multipliziert man nun diese Gleichung mit — 1 und verfährt so wie in den Gl. 47—49 angegeben ist, so erhält man, wenn man schliesslich dy von dem Minuszeichen befreit:

i »    1 T /l — cos X

- IogT-log|/1 + eo||-

VIII. Von den cyclometrischen Integralen kommen hier nur die Kreisbogen-Integrale der Tangente in Betracht, weil diese in dem Verlaufe dieser Darstellung bei der Integration von zahlreichen algebraischen Funktionen benutzt wurden.

Man setze statt der Gleichung:

d tang x —

I M-

x

= log tang — = Ds dy = Ds

dx

sin x

• 58)

dx

COS² X

mit Rücksicht auf die bekannte goniometrische Relation —

°    cos*x

59)

1 +tg²^,

d tang x

1 -f- tg² x

= d arc x.

60)

Nimmt man beiderseits die Differentialsumme, so ergiebt sich:

-r. d tang x    .    —

Ds - - -    = arctan x.

1 -f- tang² x

Da die Funktion tang x auf der Strecke von 0° bis 360° alle numerischen Werte von -f- oo bis — oo durchschreitet, so kann man im Allgemeinen tang x — x setzen, so dass sich dann ergiebt:

61)

Ds

dx

oder allgemeiner:

l -f- x~

= arctan #

62)

j.    df (x)

1 + IfWY

= arctan f(x).

Auf ähnliche Weise können auch alle übrigen einfachen cy clometrischen Differentialsummen abgeleitet werden.

63)

§• 23.

Integration von sinn x dx und cos” x dx.

I. Die Integration von sinnxdx und cosnxdx ist den oben in §. 17 und 18 dargestellten Integrationen sehr analog¹). Ist nämlich die Gleichung:

sin" x dx — dy

zu integrieren, so multipliziert man zunächst beiderseits mit n, also:

n sin”# dx — n dy.

1)

2)

Nun teilt man das linksseitige Differential, so dass die Gleichung folgende Gestalt annimmt:

3)

sin” x dx -J- {n — 1) sin” x dx = n dy.

Setzt man ferner in dem zweiten Differential an die Stelle von sin”# den Ausdruck sin”⁻²#(1— cos²#), so ist:

sin” x dx — (n — 1) sin”⁻² # cos² xdx -f- (n — 1) sin”⁻² xdx = ndy.    4)

Nimmt man nun von vorstehender Gleichung die Differentialsumme, indem man zugleich zur Erleichterung der Operationen bei den zwei ersten Differentialen die Zeichen wechselt, dann sin”⁻¹ # cos # aus denselben extrahiert und schliesslich dy von der Konstante befreit, so ergiebt sich folgende Integrationsformel:

— — Ds sin”⁻¹

X cos #

— 1) cos x dx

sin x

sin x dx cos x

1    Vl—- J)s sin"⁻² # dx

J ¹ n

5)

= Ds sin” # dx.

Auf ganz ähnliche Weise erlangt man, ohne dass jedoch ein Zeichenwechsel wie in der Gl. 5 erforderlich ist:

(n — 1) sin x dx

— Ds cos"⁻¹ # sin # n    L

cos x dx

cos x

sin x

1 -4- -—- Ds cos”⁻² xdx — J ¹ n

= Ds cos" # dx.

II. Ist z. B. die Gleichung:

6)

sin² xdx — dy

7)

1) Die Exponenten wi und n sind ebenso wie in allen folgenden Integrationen (§. 24-30) ganze, positive Zahlen.

zu integrieren, so multipliziert man beiderseits mit n = 2 (Gl. 2) und teilt sodann (Gl. 3) das Differential, also:

sin² x dx + sin² x dx = 2 dy.

8)

Man ersetzt in dem zweiten Differential nunmehr (Gl. 4) sin² x durch 1 — cos²#, also:

sin² xdx — cos² xdx + dx — 2 dy.

Wechselt man nun bei den zwei ersten Differentialen die Zeichen und extrahiert man sin”⁻¹# cos x, so ist zufolge N. Int-Meth. Gl. 70, 2, 270 ff.:

sin x dxj

Ds sin x cos x ["

cos xdx

sin x

cos x

9)

= — sin x (l -f-

cos xdx

sin x

• COS X

(>-

sin x dx\ =

cos x

Ferner ist

— — sin (x -f- dx) cos (x -f- dx) = — sin x cos x.

10)

Ds dx — x.

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 10 und 11 in die Gl. 9 und befreit man dann dy von der Konstante, so ist:

sin x cos x

n)

^ = Ds sin² x dx.

12)

III. Ist die Gleichung:

sin³ x dx = dy

zu integrieren, so ist, wenn man die im §. 17, Abs. III benutzten Abkürzungen anwendet, mit Rücksicht auf die Gl. 5:

13)

2 cos x dx sin x dx

D s — — \ Ds sin² x cos x ^

~ sin²

j (sin² x + 2 sin x cos x dx) (cos x — sin x dx) =

(sin x + cos x dx)² (cos x — sin x dx) = sin² x cos x.

D"s = I Ds sin xdx = (§. 22, Gl. 17) — | cos x.

Substituiert man die beiden vorstehenden Differentialsummen in die Gl. 5, so ergiebt sich:

2 cos x dx'

sin x

sin x

cos x

• COS X

sin x dx

cos x

14)

15)

§• 24.

Integration von

dx

sin” x

und

dx

C08” X

I. Ganz analog der iin §. 23 gegebenen Entwicklung ist die Integration der Gleichung:

dx

sin” x

= dy.

i)

Man multipliziert beiderseits mit n — 1 und führt sodann mit Rücksicht auf die Relation sin² x -f- cos²# = 1 Variable und Konstanten ein, also:

(n — 1) cos² x dx

(n — 1) dx

sin”~² x

sin” x

= (w — l)dy.

2)

Man teilt nunmehr das erste Differential in der bekannten Weise und

, so dass also ist:

extrahiert aus den beiden ersten Gliedern

COS X

sin” ¹ x

cos x rsin x dx sin”⁻¹ x [_

Nimmt man nun die Differentialsumme, indem man zugleich, um deren Bildung zu ermöglichen (s. z. B. unten Gl. 7) bei dem ersten Ausdruck die Zeichen wechselt und befreit man zum Schluss dy von den Konstanten, so ist:

--— Ds

n — 1

COS X

COS X

sin” ¹ x

(n — 1) cos x dx~

(n — 2) dx

sin x

sin””² æ

==(«—!) dy.

3)

sin x dx

cos x

(n — 1) cos x dx~

sin x

= I)S

dx

sin”#

dx.

sin” ² x

4)

Ebenso ergiebt sich, ohne dass jedoch bei dieser Formel ein Zeichenwechsel notwendig ist:

sina? [~cos xdx , (n—1 )sinxdx' sin x

—Ds

n — 1

dx

cos” ¹ X

COS X

cos” ² X

— Ds

dx

II. Ist z. B. die Gleichung.

cos”æ

5)

dx

= dy

6)

sin³ x

zu integrieren (s. oben §. 22, Gl. 58, 26) und benützt man wieder die im §. 17, Abs. III enthaltenen Abkürzungen, so ist (s. oben §. 22, GL 24):

sin x dx

T,,    1 COS X

— D S= - — * — T-

n — 1    2 sm² x

H-L

cos x

14

2 cos x dx

cos x — sin x dx 2 (sin² x + 2 sin x cos xdx)

sin x

cos (x -j- dx)

cos x

Bl D"s = i¹⁾⁸ Ł=(§•²²>Gl-⁵⁸) 1 lo§ tan§ I •

8)

Substituiert man die beiden Differentialsummen aus den Gl. 7 und 8 in die Formel der Gl. 4, so ist:

COS X

2 sin² x

+ \ log tang | = Ds

dx

sin³ x '

9)

IIT. Ist die Gleichung:

dx

sin⁴ x

= dy

10)

zu integrieren, so ist: --— D's = -

n— 1

sin x dx

cos x

cos x

cos x — sin x dx

3 sin³ x

14

3 cos x dx

3 (sin³ x -f- 3 sin² x cos x dx)

sin x

cos x

3 sin³ x

U)

—, D"s = \Ds

n — 1    3

dx

sin² x

also:

cos x 3 sin³ x

= (§. 22, Gl. 26) — I cot», — cot x = Ds

ô

12)

dx

sin⁴ x

13)

§. 25.

Integration von sin”⁴# cosnx dx.

Bei der vorstehenden Integration ist zu unterscheiden, ob sowohl m als auch n oder doch wenigstens einer dieser Exponenten ungerade oder ob beide gerade sind.

I. Sind beide Exponenten oder doch wenigstens einer derselben ungerade, ist z. B. die Gleichung:

sin³ x cos² x dx = dy zu integrieren, so verwandle man das Bogendifferential in ein Cosinusdifferential, ferner die Sinusfunktion in eine Cosinusfunktion, also:

2)

sin² x cos² x d cos x = — dy.

(1 — cos² x) cos² x d cos x — — dy. cos²# d cos # — cos⁴# d cos # = — dy.

Nimmt man nun von der letzten Gleichung beiderseits die Differentialsumme und befreit sodann dy von dem Minuszeichen, so ist :

COS³#    * q    9    7

—-— = Ds smd # cos“² # dx.

O

Ist nur einer der beiden Exponenten m und n ungerade, der andere gerade (wie z. B. in dem obigen Falle), so ist jedenfalls das Bogendifferential

COS⁶ X

3)

4)

Ö)

in das Differential jener Funktion zu verwandeln, welche den geraden Exponenten besitzt (im obigen Beispiel cos² x). Ist sowohl m als auch n ungerade und beide gleich gross, so kann man diese Operation nach Belieben rücksichtlich der einen oder der anderen Funktion vornehmen. Sind die beiden ungeraden Exponenten nicht gleich gross, so muss man der Einfachheit wegen das Bogendifferential in das Differential jener Funktion verwandeln, welche den höheren Exponenten besitzt.

Ist z. B. die Gleichung:

6)

sin⁷ x cos^ xdx = dy

zu integrieren, so ergeben sich folgende Gleichungen, die nach dem Gesagten keiner weiteren Erläuterung bedürfen:

sin⁷«; cos⁴«: d sin x — dy.

sin⁷ x (1 — sin² x)² d sin x = dy .

sin⁷ x d sin x — 2 sin⁹ x d sin x -j- sin¹¹ x d sin x = dy. sin¹² x

8)

9)

sin⁸ x

— Ds sin⁷ x cos⁵ x dx.

10)

sin¹⁰ x ,    *ü

5    '    12

Es ist leicht ersichtlich, wie ungleich einfacher dieses Integral (welches noch reduziert werden kann) ist als die Integrale, welche die Integral-tafeln (z. B. jene von Meier Hirsch S. 271) aufweisen.

II. Sind die beiden Exponenten m und n gerade, so ist diese Methode nicht anwendbar. In diesem Falle gelten die nachstehenden beiden Formeln:

a)    Ds sin⁷⁷⁷ x cos” xdx = Ds (1 — cos² x) sin777 -2 x cos” x dx =

= Ds sin⁷”⁻² x cos” xdx — Ds sin⁷⁷⁷⁻² x cos”+² x dx. 11)

b)    Ds sin'”x cos” xdx — Ds (1 — sin²x) sin™x cos”⁻² x dx —

— Ds sin⁷” x cos”⁻²xdx — Ds sinTO+² x cos”⁻² x dx. 12)

Ist z. B. die Gleichung:

13)

sin²«; cos²xdx = dy

zu integrieren, so ergiebt sich mit Rücksicht auf die Integralformel in Gl. 12 folgender Ausdruck:

14)

Ds sin²xdx — Ds sin⁴xdx = Ds sin²x cos² xdx.

Die Differentialsummen links sind aus den im §. 23 entwickelten Formeln leicht zu ermitteln.

Ist die Gleichung:

zu integrieren, so wird gleichfalls die Integrationsformel in Gl. 12 mit Vorteil gewählt und es ist dann:

Ds sin⁴ xdx — Ds sin⁶ xdx = Ds dy, welcher Ausdruck nach §. 23 leicht integriert werden kann. Die Anwendung der Integrationsformel 11 würde auf die Gleichung führen:

16)

Ds sin²# cos²xdx — Ds sin²# cos*xdx = Ds dy

welcher Ausdruck nur dann vorzuziehen ist, wenn die links erscheinenden Differentialsummen bereits bekannt sind.

17)

§. 26.

Integration von

sin⁷” xdx cosm xdx

dx

cos” x

sin” x

sin™ x cos” x

I. Die Integrale von der Form Ds

sin⁷”# dx

und

cos⁷” xdx

sin” x

sind ent-

cos” x

weder Ur-Integrale, sofern der Zähler die Funktion nur in der ersten sin#d# cos xdx sin³ x

Potenz enthält (z. B.

wenn der Zähler sin²#, cos²# oder eine noch höhere Potenz dieser Funktionen aufweist.

Von den Differentialen der ersten Art kann die Differentialsumme durch Numeralisierung und Logarithmalisierung leicht gefunden werden, wenn man das Bogendifferential des Zählers in das Differential der; Nennerfunktion verwandelt. So ist z. B. (vgl. auch oben §. 22, Gl. 34 38, 39, 32, 33):

COS X

u. s. f.) oder abgeleitete Integrale,

Ds

sin x dx

cos³ x

= — Ds

d cos x

cos³ x

= (N. I. Gl. 195) -- ----- •

v    ' 2 cos² x

1)

Enthält dagegen der Zähler die Funktion mindestens in zweiter Potenz, so gelten folgende Formeln:

(1 — cos²#) sin⁷”⁻² xdx

Ds

sin⁷”# dx

cos” #

= Ds

cos”#

Ds

sin⁷” ² xdx

cos” #

Ds

sin

# dx

cos” ² #

■ 2)

Ds

(1 — sin²#)cos77i ²xdx sin” #

Ist z. B. die Gleichung:

cos mxdx

sin” #

= Ds

cos⁷” ²xdx

sin” #

-Ds

cos⁷” ²xdx

sin” ² #

■ 3)

sin²# dx

cos #

= dy

4)

zu

sin² #:

integrieren, so erhält man durch die Substitution von 1 — cos² # für

dx

cos #

welche Gleichung durch Substitution der oben (§.22, Gl. 50, 10) abgeleiteten Dffferentialsummen leicht integriert werden kann.

Durch eine analoge Substitution verwandelt sich die Gleichung:

cos³ x dx

sin² x

= äy

6)

in die Relation

Bs

cos x dx

sin² x

— Bs cosxdx = Bs dy,

welche aus §. 22, Gl. 33, 10 integriert werden kann.

II. Das dritte in der Überschrift angegebene Integral kann durch folgende Formel integriert werden:

Bs

dx

sin™ x cos” x

= Bs

(sin² x -j- cos² x) dx

sin™ x cos” x

= Bs

dx

dx

sin™ ² x cos” x

So verwandelt sich die Gleichung:

sin™ x cos” ² x

8)

dx

= dy

9)

sin x cos x

durch die in der Gl. 8 angegebene Substitution in den Ausdruck:

sin x dx cos x

oder mit Rücksicht auf §. 22, Gl. 38, 39:

— log cos x -f- log sin x = log = log tang x = Bs

In ähnlicher Weise können alle in der Überschrift bezeichneten Integrale successive ohne Schwierigkeit ermittelt werden.

cos x dx

sin x

= dy

10)

dx

sin x cos x

•11)

§• 27.

Integration von tg” x dx.

I. Das Integral Bs tg x dx ist ein Ur-Integral, welches schon oben (§. 22, Gl. 34—38) entwickelt worden ist. Die Ableitung aller übrigen Integrale von der Form tgnxdx erfolgt, obgleich sie wie alle abgeleiteten Integrale auch direkt durch Numeralisierung und Logarithmalisierung gewonnen werden können, am einfachsten durch die Methode der Hilfsdifferentiale (oben §. 4).

Wenn die Gleichung:

1)

tg nxdx = dy

zu integrieren ist, so ist tgn~² x dx zuzuzählen und abzuziehen, also:

Man setze nun, um die Differentialsumme der beiden ersten Differentiale zu ermitteln,

3)

tgn~² x dx + tg” x dx — dz.

Aus dieser Gleichung können durch Operationen, deren Bedeutung schon aus früheren Fällen bekannt ist, folgende Relationen gewonnen werden:

(n — 1) tg”⁻² x dx (n — 1) tg” x dx — (n — 1) dz,

-f- (n — 1) tg x dx] = Ds dz.

4)

^TT I)s tgn_1 « [—

— 1) dx

tgx

Substituiert man diese letztere Differentialsumme in die Gl. 2, so ist:

5)

n Ds tg”⁻¹ x [—

— 1) dx

tgx

II. Ist z. B.

+ (w — 1) tg x dx] — Ds tg”⁻² x dx — == Ds tg” x dx.

6)

tg² x dx — dy

zu integrieren, so ist tg”“²« =1, n — 1 = 1, ferner tg dx = dx (vgl. §. 22, Gl. 6) und es ergiebt sich daher (s. oben §. 22, GL 24):

n~D's = Ds tg « -f tg « dx] = tg « . r

tg dx

14

dx

tgx

— tg x dx

14

tgx

tg x -f tg d x

— tg x tg d x

— D"s = — Ds dx —

l — tg x tg d x

= tg(x + dx) = tg«, 8)

— «,

9)

also, wenn man die Differentialsummen aus den Gl. 8 und 9 in die Formel 6 substituiert:

tg « — « = Ds tg² « dx.

10)

III. Ist die Gleichung:

tg⁸ « dx = dy

H)

zu

integrieren, so ist (Gl. 6):

4- 2 tg « dx] = ~ tg² « . -

_ 1 tg² x -F 2 tg x tg dx _ 1 (tg x -(- tg dx)²

2 (1 — tg « tg dxŸ

~ D's = 4 Ds tg² « r

n — 1    2    ° L

2 dx

tg«

14

2 tg dx

tg x

— 2 tg « tg dx

\ tg² « .

— D"s — — Ds tg x dx — (§. 22, Gl. 38) log cos «.

2    1 — 2 tg « tg dx

12)

13)

Substituiert man die beiden Differentialsummen aus den Gl. 12 und 13 in die Formel der Gl. 6, so ist:

§. 28.

Integration von xm sin x dx und xm cos x dx.

I. Auch die Gleichung:

1)

xm sin x dx = dy

kann nur durch Hilfsdifferentiale integriert werden. Bei Anwendung dieser Methode ergeben sich folgende Relationen, die keiner weiteren Erläuterung bedürfen:

xm d cos x = — dy,

xm d cos x -f- cos x dxm — cos x dxrn = — dy.

Ds xm cos x

T cos x i dxm~\ L cosx *" _J

— m Ds xm~l cos x dx = — Ds dy.    4)

Nun ist aber (vgl. §. 23, Gl. 10):

Ds xm cos x

d cos x

dxm

COS X

X¹" -

-(■+¥)

• COS X

/ d cos x\

“I“ COS X J

— (;xm -f- dxm) (cos x -f- d cos x) — xm cos x,    5)

folglich, wenn man diesen letzteren Wert in die Gl. 4 substituiert:

6)

— xm cos x -f- m Ds xm~¹ cos x dx — Ds dy — Ds xm sin x dx.

Ebenso ist:

xm sin x — m Ds xm~¹ sin xdx = Ds xm cos x dx.

II. Ist z. B. die Gleichung:

zu integrieren, so ist:

x sin xdx = dy

8)

Substituiert man die beiden Differentialsummen aus den Gl. 10 und 11 in die Gl. 9 und befreit man sodann dy von dem Minuszeichen, so ist:

sin x — x cos x — Ds dy — Ds x sin x dx.

12)

13)

II. Ist die Gleichung:

x cos xdx = dy zu integrieren, so ergiebt sich zufolge Gl. 7 :

D's — x sin x.

— m D"s — — Ds sin x dx — cos x

folglich

I. Wenn die Gleichung:

sin x dx

xn

= dy

zu integrieren ist, so multipliziert man dieselbe mit n — 1 und fügt dann

— hinzu, also:

das Hilfsdifferential

cos x dx

xn~

(n — 1) sin x dx

cos x dx

cos x dx

xn“¹

= (n — 1) dy.

2)

Bxtrahiert man nun aus den beiden ersten Differentialen in der bekannten sin x

indem man zugleich bei Bildung der ersten Differentialsumme die Zeichen wechselt und schliesslich dy von den Konstanten befreit, so ist:

Weise

xn

1    -r. sin x

—r DS --

n — 1    xn~~¹

sin x

H--^—7 Ds

' n — 1

cos x dx

xn~l

= Ds

sin x dx

xn

3)

Ebenso ist:

--~Ds

n — 1

cos x r

^=r L“

sin x dx

(n — 1 ) dx~

COS X

'—Ds

n — 1

sin x dx

xn~l

= Ds

cos x dx

xn

4)

Integration von

und

zu

IV. Ist die Gleichung:

x² sin xdx = dy

17)

integrieren, so ist (Gl. 6):

— D's = — x² cos x.

18)

m D 's — 2 Ds x cos x dx — (Gl. 16) 2 x sin x -f- 2 cos x.

Substituiert man die beiden Differentialsummen aus den Gl. 18 und 19 in die Formel der Gl. 6, so ist:

— d? cos x -f- 2 x sin x -}- 2 cos x — Ds x² sin x dx.

19)

20)

§. 29.

sin x dx

xn

cos x dx

II. Ist z. B. (wenn man von dem in geschlossener Form nicht integrierbaren Ausdruck s^n ^ -- absieht) die Gleichung:

sin x dx    ,    E

—— = dy    5

zu integrieren, so ist zufolge Gl. 3 (vgl. oben §. 22, Gl. 24):

9)

Ds [x d cos x -j- cos x dx] — x cos x, Ds — cos xdx — — sin x .

10)

H)

1 tv    t> sinœ fcos æ da:

-— D S = — Ds-

n — 1    x L

sin x

dx I x J

sin x

i-f

cos x dx

sin x

sin x

dx

ir’⁶>

L_ I)"s = Ds

cos x dx

7)

n —

folglich, wenn man die Differentialsummen aus den Gl. 6 und 7 in die Gl. 3 subsituiert:

sin x . Tk

--=—\- Ds

x

III. Ist die Gleichung:

cos x dx

= Ds

sin x dx x²

8)

sin x dx

zu integrieren, so ist: --- D's = — Ds

n— 1

Xs

= dy

9)

TH |(N

sin x j“cos x dx

a:²

sin x

dx 1 _ x J

1 sin x

14-

cos x dx

sin x

i-r D"s = ±Ds

n — 1    2

1    sin x -f- cos x dx

2    a;² -h 2æ dx

cos x dx

sin x

’

X*

= (Gl- 4)-

cos x

2x

.2 dx

' x

sin x dx

10)

u)

folglich:

sin x

2W

cos x

sin x dx

sin x dx

= Ds

12)

Ich bemerke, dass der Wert für D' s in der Gl. 11 sich aus der Formel in der Gl. 4 leicht berechnen lässt.

2x

x³

§. 30.

Integration von

x dx

sinreæ

und

x dx

COSnX

I. Ist die Gleichung

x dx sin” x

zu integrieren, so multipliziert man beiderseits mit n — 1 und führt sodann mit Rücksicht auf die Relation sin²# + cos²# = 1 Variable und Konstanten ein, so dass die Gl. 1 folgende Gestalt annimmt:

= äy

i)

(n — 1) x dx

(n — 1) x cos² xdx

Bin” ² x

sin” x

= (n — 1) dy.

2)

Man teilt nunmehr das erste Differential wie in zahlreichen früheren Fällen und multipliziert die ganze Gleichung mit —1, um die Bildung der ersten Differentialsumme in der Gl. 5 zu ermöglichen, also:

x dx sin”⁻² x

(n — 1) x cos² x dx

sin” x

(•n — 2) x dx sin”⁻² x

= — (w — 1) dy.

3)

Um aus den beiden ersten Differentialen die Differentialsumme

X COS X

sin” ¹ x

bilden zu können, ist, wie sich sofort ergeben wird, die Hinzufügung des

Hilfsdifferentials

cos x dx

cos xdx no^wen(jjg> g0 jasg ajg0 (jjg (J]. 3 lautet:

x

(n —2) x dx

sin”-x dx

(■n — 1) x cos²x dx

cos x dx

sin”

sin” ² x

sin” x

sin” ² x

sin” ¹ x

— — (n — 1) dy.

Nimmt man nun beiderseits die Differentialsumme, indem man gleichzeitig dy von — (n — 1) befreit, so ist:

--Ds

n — 1

x cos x rdx    sin x dx

(n — 1) cos x dx

4)

sin”“¹ x

COS X

sin x

1+-

J n

x dx

“f- --r Ds

¹ n — 1

cos x dx

sin” ¹ x

= Ds

sin”"² x x dx

sin”x

5)

Ebenso findet man in analoger Weise: ^Ds

n — 1

xsinx [dx cos xdx cos”⁻¹ x x

sin x

i n — ² n

+ ~—ï Ds

¹ n — 1

x dx

cos” ² X

in — 1) sin x dx~

cos x

—x Ds

n — 1

sin xdx

cos” ¹ X

= Ds

x dx

cos” X

6)

II. 1st z. B., wenn man von dem in geschlossener Form nicht integrierbaren Differential absieht, die Gleichung:

x dx

sin² x

zu integrieren, so ist zufolge GL 5 (vgl. oben §. 22, Gl. 10, 24):

sin x dx

= dy

7)

—aD's= — Ds

n — 1

x cos x

COS X dx

sin x

cos x

sin x

*(¹⁺?)-C081¹

sin x dx

cos x

sin x

(' +

cos x dx

x cos x sin x

= — X cot#. 8)

sinx

1 TV"

—- D s =

n — 1

Ds

cos x dx

sin x

—! D"s = 0.

n— 1

= Ds cot xdx = (§. 22, Gl. 39) log sin x. 10)

9)

Substituiert man die Ditferentialsummen aus den Gl. 8 —10 in die Gl. 5, so ist:

— x cot x -f- log sin x = Ds

x dx

sin² x

U)

III. Ist die Gleichung:

x dx sin³ x

= dy

12)

zu integrieren, so ist (Gl. 5):

Bergbohm, Integralrechnung.

h-

~ B's = - 4 w— 1    2

x cos xTdx sin² x L x

sin x dx 2 cos x dx

cos a:

sin x

• COS X ^1

sin x dx

cos a;

sin² x ^1 -f

2 cos a; da:

sin x

1    (x dx) (cos x — sin x dx)

2    sin² x -j- 2 sin x cos x dx

x cos x 2 sin²#

n — 2 tv, 1 Ti a? da:

— J)1= 2-Ds,!^-

14)

±-D"'s = ±Ds

w — 1    2

cos a: da:

sin² a:

= (§.22,61.33)--^.

15)

Substituiert man die Differentialsummen aus den Gl. 13—15 in die Gl. 5, so ist:

x cos x -f- sin x

xdx

x dx sin x

Mit dieser Ableitung mag die vorliegende Abhandlung geschlossen werden. Wer meiner Darstellung in dieser und den zwei vorhergehenden Schriften aufmerksam gefolgt ist, wird jene Integrationsformeln, welche ich hier nicht entwickelt habe, ohne Schwierigkeit auffinden können.

2 sin² x

Jr\Ds

sin³ x

16)

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vf

in w.

Kdn. 524. 13. IX. 54

Yon Dr. Julius Bergbolim sind ferner erschienen und von dem Verfasser, (Wien, Hauptpost poste restante) zu beziehen:

Neue Rechnungsmethoden Neue Integrationsmethoden

Numeralrechnung. 1892. GO Pf.

der höheren Mathematik. 1891. 40 Pf.

auf Grund der Poten-zial-Logaritlnnal- und

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¹

d cos x + cos xdx — cos xd x = — dy.

Nun ist aber zufolge Gl. 3—5: