WYDZIAEY POLITECHNICZNE KRAKOW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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öffentlichen Arbeite*

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Die graphischen Verfahren

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zur Ermittelung der Querschnittsflächen, der Qrunderwerbs- und Böschungsbreiten von Bahn- und Straßenkörpern.

Dissertation

zur Erlangung der Würde eines

®oftor=^njenieitr§.

Der Königlichen Technischen Hochschule zu Berlin

vorgelegt am 18. September 1912 von $ipi.=3ttg. Felix v. Glaßer aus Limbach i."57

Genehmigt am 21. Mai 1913.

öffentlichen Arbeiten

Verlagsbuchhandlung von Julius Springer in Berlin.

Vi£.

Referent: Geh. Regierungsrat Professor 2)r. = ^ng. Dolezalek. Korreferent: Stadtbaurat a. D. Professor Brix.

81BLI0IEKA PGLIIECHNIBZUA

KRAKÖW

1 2553

Akc. Nr.

15ÜJ49

.....

Herrn Geheimen Hofrat Professor

G. Lucas

ist diese Abhandlung verehrungsvoll zugeeignet.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

<1 Cu ft-*

Einleitung

I. Ermittelung der Geländeneigungen..........

1.    Allgemeiner Böschungsmaßstab .............

2.    Böschungsmaßstäbe nach v. Glaßer...........

3.    Verfahren mittels parallel laufender Längenschnitte nach

Schönhöfer......................

II. Ermittelung der Querschnittsflächen für Einschnitt und Damm bei wagerechtem und geneigtem Gelände 13

A.    Verfahren für Querschnitte im Gelände mit Querneigung, die

auf solche ohne Querneigung zurückgeführt werden ....    13

1.    Verfahren nach Coulmas .............

2.    Verfahren nach Puller...............

3.    Verfahren nach Allitsch..............

B.    Verfahren für Querschnitte im Gelände mit Querneigung bei Be

nutzung von Strahlenbüscheln für die verschiedenen Querneigungen .......................

1.    Verfahren nach Göring...............

2.    Verfahren nach Schönhöfer............

3.    Verfahren nach Dolezalek und Erweiterung dieses Verfahrens nach v. Glaßer...............

13

18

21

24

24

33

41

h N iö    QO O cO

IC    t> 00 GO

O CO CO © ft*- H-¹

C.    Verfahren unter Umgehung der Strahlenbüschel für die verschiedenen Querneigungen................

1.    Verfahren nach Allitsch..............

2.    Verfahren nach v. Glaßer..............

D.    Verfahren für Anschnittsquerschnitte...........

1.    Verfahren nach Coulmas..............

2.    Verfahren nach Schönhöfer............

3.    Verfahren nach Allitsch..............

4.    Verfahren nach Dolezalek.............

Erweiterung dieses Verfahrens nach v. Glaßer . . . .

E. Verfahren für Einschnittsquerschnitte im Fels und darüber lagerndem Erdreich ..................

1.    Verfahren nach Allitsch..............

2.    Verfahren nach v. Glaßer..............

109

110

116

123

Literaturnachweis

Einleitung.

Der Bau einer Bahn oder Straße wird in der Regel am billigsten, wenn die Erdmassen im Abtrag und Auftrag sich ausgleichen. Es ist deshalb bei dem Entwürfe der Anlage einer Bahn oder Straße wünschenswert, daß ein möglichst guter Massenausgleich hergestellt wird. Dadurch kann eine Verlegung der Achse in horizontalem und vertikalem Sinne erforderlich werden, so daß die bezüglichen Erdinhaltsberechnungen wiederholt werden müssen. Je einfacher sich demnach die Erdmassen ermitteln lassen, desto rascher wird man verschiedene Linienführungen vergleichen können. Da sich die Massen aus den Querschnittsflächen und ihren Längenabständen ergeben, ist für eine schnelle Massenermittlung eine zweckmäßige Bestimmung der Querschnitts -flächen erforderlich.

Sobald im Schichtenplane der Linienzug der Bahn oder Straße eingezeichnet ist, entwickelt man daraus den zugehörigen Längenschnitt und bestimmt die Querschnittsflächen, die zwischen Bahn- oder Straßenplanum und Gelände liegen. Dabei hat man zu berücksichtigen, welchem Zwecke die Querschnittsflächenbestimmung dienen soll. Entweder ist sie zur Herstellung von Einzelentwürfen erforderlich, oder sie bildet die Grundlage für allgemeine Entwürfe.

Für die Einzelentwürfe ist die Aufnahme von Querschnitten nötig, da diese die sicherste Berechnung der Erdmassen gewährleisten. Die Querschnittsflächen können dann in rechnerischer Weise, z. B. durch Zerlegung in Teilflächen oder mit Hilfe des Polarplanimeters ermittelt werden.

Für die allgemeinen Entwürfe ist diese Art der Berechnung zu zeitraubend, besonders wenn durch Umzeichnen der Linie eine neue Bestimmung der Auf- und Abtragsmassen notwendig werden sollte. Man vermeidet deshalb das Auf nehmen und Aufzeichnen der Querschnitte und ermittelt die Querschnitts-

v. Glaßer, Verfahren.

flächen aus den Höhen des Längenschnittes und aus den Querneigungen des Geländes auf graphischem Wege mit Hilfe von besonderen Flächenmaßstäben.

Es ist bei den allgemeinen Entwürfen in Anbetracht der vielen möglichen Fehlerquellen nicht gerechtfertigt, den größten Wert auf eine recht genaue Querschnittsflächenbestimmung zu legen. Schon beim Auf zeichnen der Schichtenlinien im Lageplan sind Ungenauigkeiten unvermeidlich. Andere Fehlerquellen ergeben sich im Längenschnitte durch die geradlinige Verbindung der Höhenpunkte. Eine sehr große Unsicherheit besteht in der Feststellung des Auflockerungsverhältnisses bei Abträgen und des SackungsVerhältnisses bei Aufträgen. In den Einschnitten finden sich oft unvorhergesehene wertvolle Baumaterialien oder auch altes Mauerwerk, die nicht zur Bildung von Dämmen verwendet werden. Schwer zu überschätzen ist der Verlust bei der Förderung und beim Schütten der Erdmassen. Unvermeidliche Ungenauigkeiten entstehen ferner beim Auf zeichnen der Flächen -und Massenpläne u. a. m. Aus alledem läßt sich erkennen, daß die Querschnittsflächenbestimmung mit Hilfe von Flächenmaß -Stäben reichlich genau ist.

Vorliegende Arbeit enthält nun die Verfahren, die zu einer zweckmäßigen und raschen Bestimmung der Querschnittsflächen mittels Flächenmaßstäben geeignet sind. Eine Anzahl der Verfahren enthalten Flächenmaßstäbe, die für Anschnittsquerschnitte oder gemischte Querschnitte die Flächenbestimmung ermöglichen. Auch für Einschnitt im Fels und darüber lagerndem Erdreich bei wechselnder Böschungsneigung innerhalb eines Querschnitts sind die Flächenbestimmungen mittels Flächenmaßstäben schnell und genau genug auszuführen.

Nur wenige der bisherigen Veröffentlichungen enthalten Angaben über die Bestimmung der Geländeneigungen, die für die Querschnittsberechnung mittels Flächenmaßstabes erforderlich sind. Wie außerordentlich einfach und schnell diese Neigungsbestimmung möglich ist, zeigen die im ersten Kapitel beschriebenen Verfahren 2a und 2b. Es handelt sich hier um die Geländeneigungen in den jeweiligen Teilpunkten winkelrecht zur gewählten Linienführung. Dabei ist die Annahme gemacht, daß innerhalb eines Querschnittes entweder eine einheitliche mittlere Querneigung oder je eine mittlere links und rechts der Bahn- oder Straßenachse in die Rechnung einbezogen ist, was mit Rücksicht auf die Unebenheiten der Bodengestaltung, die sich zum großen Teil ausgleichen werden, gerechtfertigt ist. Die Neigung kann unmittelbar als Strecke erhalten und, ohne sie erst in Zahlen umzusetzen, zur weiteren Querschnittsbestimmung benutzt werden.

Im zweiten Kapitel sind die Flächenbestimmungen mittels Flächenmaßstäben behandelt. Die Vorteile der einzelnen Verfahren werden dabei hervorgehoben. Eine Anzahl der Verfahren gestaltet sich ergiebig, es lassen sich mit ihnen die Querschnitts-flächenbestimmungen sowohl für eine einheitlich durchgehende Querneigungslinie als auch für eine in der Bahnachse gebrochene Geländelinie durchführen. Ferner ergeben sich ohne große Mühe die für die Gesamtkostenberechnung wichtigen Grunderwerbs-breiten und Böschungsbreiten. Auch für Anschnittsquerschnitte sowohl mit gerader als gebrochener Geländelinie sind sie bequem zu verwenden. Ein einfaches Verfahren, das sich besonders für die Anschnittsflächen mit gleichzeitiger Ermittlung der Böschungsund Grunderwerbsbreiten eignet, gibt Herr Geheimrat Prof. Dr.-Ing. Dolezalek in seinen Vorträgen über Erdbau an der Technischen Hochschule Berlin bekannt.

Der vom Verfasser angeführte Flächenmaßstab gewährt ohne Anwendung von Strahlenbüscheln für die verschiedenen Querneigungen des Geländes vor allen anderen Maßstäben den Vorteil, für jede Geländeneigung, also ohne Interpolation, die Flächen, Grunderwerbsbreiten und Böschungsbreiten mit einer für die verschiedenen Querneigungen gleichen Genauigkeit ablesen zu können.

Die Arbeiten von Professor Göring, Ingenieur Coulmas, Ingenieur Puller, Professor Allitsch und Professor Schön-höfer sind hier mit einzelnen Erweiterungen aufgenommen; auf die Vorteile ihrer Verfahren ist in den bezüglichen Abschnitten hingewiesen.

Die mit Hilfe der Flächenmaßstäbe gefundenen Querschnitts-flächen werden als Ordinaten in dem Flächenplane eingetragen, dessen Flächen dann den Rauminhalt der zu bewegenden Erdmassen darstellen. Der Flächenplan bildet weiterhin die Grundlage zu dem Massen- oder Verteilungsplan.

I. Ermittelung der Geländeneigimgen.

Die Querschnittsfläche eines Bahn- oder Straßenkörpers wird umschlossen von der Geländeneigungslinie, den Böschungslinien und der Planumslinie (Abb. 1). Böschungslinien und Planumslinie sind

Planutpslinie

Abb. 1.

6-

k- c'>—H

Ar

Lageplan.

Abb. 2.

Querschnitt I—I.

in ihrer Richtung und Lage gegeben, die veränderliche Gelände-neigungslinie jedoch nicht. Da diese zur Flächenbestimmung des Querschnittes erforderlich ist, wird man zunächst an die Feststellung der Geländeneigungen in den jeweiligen Teilpunkten winkelrecht zur Bahn- oder Straßenachse gehen.

Vorgelegt sei ein Lage plan mit den Höhenschichtenlinien oder Isohypsen Jx, J₂.. . (Abb. 2).

Bedeutet

a den horizontalen Abstand zweier Schichtenlinien oder Isohypsen

s die Schichtenhöhe, ß den Neigungswinkel,

so gilt für die Neigung des Geländes im Querschnitt I — I:

n = tgß = A.

di

Den Tangens des Winkels, kurz Neigung genannt, entnimmt man aus dem Lageplan, ohne erst die Querschnitte aufzuzeichnen, entweder mit Hilfe der unter 1. und 2. (S. 5 bis 11) beschriebenen Böschungsmaßstäbe oder mit Hilfe von Längsschnitten, wie dies unter 3. (S. 12) angegeben ist.

1. Allgemeiner Böschungsmaßstab.

Man zeichnet für verschiedene Querneigungen n das Strahlenbüschel und zieht im Abstande der Sohichtenhöhe s eine Parallele

oi

2,01,0    05 0,1 0,3

n\0,2

n-0,1

/t

Ja

JA

J₇

i jL

Jy

Obi

I¹

$1

Abb. 3—5.

zur X-Achse (Abb. 3). Lotet man die Schnittpunkte der Neigungsstrahlen mit der Parallelen auf die X-Achse herab und benennt man die Teilpunkte mit dem Tangens des betreffenden Neigungs-

winkeis oder schreibt die Neigung in Prozenten an, so kann man bei gegebener Schichtenhöhe s aus dem Abstand der Schichtenlinien die Neigung auf der X-Achse entnehmen.

Stellt die Geländeneigungslinie eine gebrochene Linie dar, d. h. wechselt die Querneigung innerhalb des Kunstkörperquer-schnitts, so ist für mehrere Schichtenlinienabstände al9 a₂ usw.

die Neigung zu ermitteln.

Bei der Berechnung von Querschnittsflächen mittels der Flächenmaßstäbe, die, wie bereits in der Einleitung gesagt ist, für die allgemeinen Entwürfe in Frage kommen, wird man entweder eine einheitliche mittlere Querneigung oder je eine mittlere Querneigung links und rechts der Bahn- oder Straßen-

ll

f

/y

Abb. 6.

achse innerhalb des Kunstkörperquerschnitts zugrunde legen

(Abb. 6).

Diese mittlere Querneigung ergibt sich alsdann als das arithmetische Mittel aus den für die verschiedenen Abstände a gefundenen Neigungen n.

Da auf den Lageplänen nicht immer der gleiche Höhen-abstand für alle zu zeichnenden Schichtenlinien wegen der ver-

nöhenobstand der Schichfen-/inien C,,

im

0,05

0,01

'S

CA

Co

■e

5m

-'S

10m

0,50,1 0,3

0,2

0,1

Abb. 7. Böschungsmaßstäbe für Lagepläne 1:2000.

schiedenen Größenverhältnisse der Lagepläne zur Natur und wegen der Vielgestaltigkeit der Erdoberfläche eingetragen ist, so schlägt Wagner (s. Literatur) vor, vier verschiedene Maßstäbe entsprechend den Höhenabständen 1 zu 1 m, 2 zu 2 m, 5 zu 5 m und 10 zu 10 m im betreffenden Maßstabe des Lageplanes aufzuzeichnen (Abb. 7). Damit Verwechslungen vermieden werden, sind die Maßstäbe deutlich zu kennzeichnen. Die Arbeit des Übertragens der Geländeneigung aus dem Lageplane in den Längenschnitt soll von 2 Personen ausgeführt werden, eine liest im Lageplane die Neigungen in Prozenten oder als Tangenswerte ab, die andere schreibt die Zahlen in den Längenschnitt ein.

Die Benutzung der verschiedenen Maßstäbe wird jedoch trotz ihrer deutlichen Unterscheidung häufig zu Versehen Anlaß geben. Da auch die vorgenannten Böschungsmaßstäbe nur für einen bestimmten Höhenplanmaßstab benutzbar sind und die Herstellung der großen Anzahl Maßstäbe viel Mühe verursacht, wird man nach einfacheren Lösungen der Neigungsermittlungen suchen.

2. Böschungsmaßstäbe nach v. Glaßer.

a) Eine einfachere Lösung zur Bestimmung der Quer-neigungen aus dem Höhen- oder Schichtenplan stellt der nachfolgend beschriebene Böschungsmaßstab dar.

•k

- -U:

- -n

•4

~r~_

;ar^/

Querschnitt

Jij

Jz/

Ja,

Ju

—a₁

dz

cl₃ »

-Bc

Lageplan

Abb. 8 u. 9.

Er hat den Vorteil einer leichten und raschen Anwendung, schließt Irrtümer fast aus, da nur ein einziger Maßstab für verschiedene Größenverhältnisse der Schichtenpläne zu benutzen ist, ferner gestaltet sich die Ablesung einfach und daher sicher, und schließlich kann die Neigung im Lageplane ohne Mühe als Strecke fest gelegt werden, so daß ein Nachprüfen jederzeit leicht möglich ist.

Bc ist die für eine bestimmte Bahn- oder Straßenstrecke erforderliche größte Breite des Kunstkörpers, s die Schichtenhöhe,

als a₂, a₃ .... der wagerechte Abstand der Schichtenlinien oder Isohypsen Jt J₂, J₂ J₃, J₃ J₄ (Abb. 8 und 9), so folgt für eine einheitliche mittlere Querneigung innerhalb des Kunstkörperquerschnitts

_ ai ni 4~ a2 n2 ~f~ a3 n3 • • • • aq nq

ai + a2 ^ a3 "t" • ' " aq

Für die Schichtenlinien mit der Schichtenhöhe s bestehen die Beziehungen

tH    <M    CO

Ö    Ö    Ö    .    .

iH    <M    CO

c3    o3    cö    *    *

ui ui ui

aq ’ nq

al nl + a2 n2 + a3 n3 + * • • = q • s,

mithin die mittlere Querneigung

q • s

ai + a2 + a3 + • • • • + aq    Bc

hierin bedeutet q die Anzahl der wagerechten Abstände der Schichtenlinien innerhalb der Breite Be.

Um die mittlere Querneigung n zu erhalten, braucht man nur die Anzahl der wagerechten Abstände der Schichtenlinien innerhalb der Breite Bc festzustellen und mit dem Quotient

Bc

-=r- zu multiplizieren.

Die Konstruktion des Maßstabes.

Man zeichnet auf Pauspapier die beiden Parallelen bb rechtwinklig zu einer Achse X in einer Entfernung voneinander gleich der Breite Bc, und zwar ist diese Breite B₀ im Maßstab des Lageplanes aufzutragen. Dann schneidet man die Tangenswerte auf der X-Achse, am besten von der Mitte der Breite Bc aus, in einem ganz beliebigen Maßstab ab (Abb. 10 und 11) und benennt die Teilpunkte so, daß die Anzahl q der wagerechten Schichten-

*—Bc-*

n=B,

q=*

n=Bc

q=3

q=Z

n=Br.

q-1

n=0\

Abb. 10.

■+BcftOrri -»

K Z=±>

V Q£ = 'u

<?

Lageplan

Abb. 11.

Anzahl der Schichtenlinienabstände innerhalb Bc: q = 3,

3    3

daher Neigung: n = n₃ = -r-— = —- .

13 c    40

linienabstände unmittelbar ablesbar ist. Legt man nun den Maß-stab so auf den Lageplan, daß der Nullpunkt der Teilung in die Bahn- oder Streckenachse fällt und die X - Achse die Querschnittslinie deckt, so läßt sich nach Abzählen der Schichtenlinienabstände und ihrer Bruchteile in-

Linhs abfallend

qest reckte Bahn-

achse

Hechts abfallend

Neigungsplan

nerhalb der Breite Bc die zugehörige Nei-durch einen

Abb. 12.

gung

Zirkelstich im Schichtenplane festlegen oder unter dem Längenschnitte in einem besonderen Neigungsplane eintragen (Abb. 12).

Die auf die vorstehende Weise gefundenen Tangenswerte n können nur zum Aufsuchen des zugehörigen Neigungsstrahles oder der Teilgeraden im Querschnittsflächenmaßstabe dienen, zur Flächenbestimmung lassen sie sich nicht unmittelbar verwenden.

b) Der X-Maßstab.

Es ist erst dann möglich, wenn die n-Werte an eine den Ordinaten einer Hyperbel entsprechenden Teilung geschrieben werden.

Diese Bestimmung der Querneigung mit Hilfe des mit X - Maßstab bezeichnetenNeigungsmaßstabes ist hier angeführt, weil sie zu einem besonderen auf S. 71 angegebenen Verfahren der Querschnittsflächenbestimmung führt.

'cc

Abb. 13.

Die hyperbolische Teilung ergibt sich aus der Gleichung A = f (n)

•V

m² — n²

Hierin bedeutet (Abb. 13): n = tg ß die Neigung des Geländes, m = tga die Böschungsneigung,

mx = tg aj <C m eine beliebige, aber konstante Böschungsneigung,

hx die Höhe des zum Dreieck ergänzten Querschnittes des Kunst-köipers.

Die Ableitung der Gleichung und die Konstruktion der X sind auf S. 56 und 62 angegeben.

Trägt man unter Benutzung von Pauspapier die X im Maßstab der Höhen des Längenschnittes auf einer Geraden ab (Abb. 14), und benennt man die Teilpunkte so, daß die Anzahl q der wagerechten Schichtenlinienabstände unmittelbar ablesbar ist, so hat man nur zur Ermittlung der Querneigung des Geländes für irgend einen Querschnitt senkrecht zur Bahn- oder Straßenachse die Anzahl der wagerechten Schichtenlinienabstände innerhalb der Breite Bc abzulesen und das zugehörige X durch einen Zirkelstich im Lage plane festzulegen oder abzugreifen und in den Längenschnitt einzutragen. Die Breite Bc ist im jeweiligen Maßstab des Lage planes einzuzeichnen.

^ Bc = wm

(■7-2 000)

SL

q=10

OL

21

Abb. 14.

Die X sind also unabhängig von dem Maßstabe des Lageplanes. Es kann daher derselbe A-Maßstab für jeden beliebigen La ge plan benutzt werden, falls nur die Breite Bc im Maßstab des Lageplanes auf getragen wird.

Wie unter 2 a) ist auch diese Bestimmung der Querneigungen mittels des X-Maßstabes recht schnell möglich. Da sich die Zahl der wagerechten Abstände innerhalb der Breite Bc leicht und sicher ablesen läßt, erhält man auch sichere Werte für die X, die im Maßstab der Höhen des Längenschnittes (1 : 250 oder 1 : 200), also in einem verhältnismäßig großen Maßstabe abgreifbar sind und zur weiteren unmittelbaren Verwendung sich eignen.

Ist die Geländelinie stark gebrochen, so läßt sich auch mit Hilfe des gleichen A-Maßstabes die mittlere Neigung sowohl links als auch rechts der Bahnachse in der angeführten Weise bestimmen.

3. Yerfähren mittels parallel laufender Längenschnitte nach Schönhöfer (s. Literatur).

Man legt außer dem Längenschnitte durch die Hauptachse der Bahn oder Stiaße, dem Hauptlängenschnitt, noch zwei

Pionumskarite,_b_

Achse

^flanumshantz a.

,'*'S

Nebenlängenschnitt b Hauptlängenschnitt

Nebenlängenschnitt a,

Abb. 15 u. 16.

hb

Ah

ßi >i

rr„

r~x

Abb. 17.

durch die Planumskanten, die Nebenlängenschnitte (Abb. 15 und 16).

Außer der Höhe h erhält man noch die Nebenhöhen

ha und lib. Hierdurch wird in einem Querschnitte die Querneigungslinie nicht als gleichmäßig verlaufende Linie festgelegt,

sondern sie wird durch eine einmalig in der Mitte gebrochene Linie dargestellt.

Bezeichnet man die Höhendifferenz ha — h bzw. h ■— ha mit A h (Abb. 17), so ist A h die Größe, die die Queineigung bestimmt.

tgß = +^.

Diese Querneigungsbestimmung führt zu einem graphischen Verfahren der Flächenberechnung von Querschnitten, das auf S. 33 für reine Querschnitte und auf S. 86 für Anschnittsquer-schnitte beschrieben ist.

II. Ermittelung der Quersclm ittsfliiclien für Einschnitt und Damm bei wagerechtem und geneigtem Gelände.

A. Verfahren für Querschnitte im Gelände mit Querneigung, die auf solche ohne Querneigung zuriickgefiihrt werden.

1. Verfahren nach Coulmas (s. Literatur).

Es bezeichnet (Abb. 18):

B die Planumsbreite des Kunstkörpers,

Bx die bis zur Einschnittsböschung verlängerte Planumsbreite B,

h die Höhe des Ab- oder Auftrages in der Achse der Bahn oder Straße gemessen,

t₀ den Abstand des Schnittpunktes der verlängerten Einschnittsböschungen von dem Planum,

h₀ den Abstand des Schnittpunktes der verlängerten Dammböschungen von dem Planum,

G den Inhalt eines Grabenquerschnitts,

Fd und Fe den Flächeninhalt des Querschnittes für Damm bzw. für Einschnitt,

Fx den Flächeninhalt des zum Dreieck ergänzten Querschnittes,

F₀ die Fläche des Fehldreiecks, für Damm und Einschnitt verschieden,

= tg ß die Querneigung des Geländes,

— tg a die Böschungsneigung des Kunstkörpers. Es ist

Fd = p,— r,⁴ =

n²

(h + h₀)²

h 2 1A0

(vgl. S. 26)

m 1---

m²

und

1)

Fe=Fx — F* + 2G

n2T(h+to)²

+ 2G

m²

B>

A'

!--Br

'0

to \ h

TL

c\

Abb. 18.

Für wagerechtes Gelände wird, da n = 0 ist,

Fd =

Fe —

^-(h+h„⁾²

“(h + to⁾²

t₀²

2)

+ 2G

Für n ^ 0 werden Fd und Fe größer als bei wagerechtem Gelände. Infolgedessen läßt sich auch bei gegebener Querneigung n zu einer bestimmten Damm- oder Einschnittshöhe h stets jene Höhe H ermitteln, der bei wagerechtem Gelände dieselbe Querschnittsfläche entspricht.

Es bestehen die Gleichungen:

Fd =

n²

(h + h₀)²

h 2 ¹¹o

(H + h₀)²

h ²

uo

ml---

m²

und

ml--r

1 (h + to)2_ V

n² \v 0/ m

+ 2G

m²

(H + t₀)²

+ 2G

Hieraus folgt:

(H₀ + h₀) —

(H + t₀) —

(h + h₀) = — (h + h₀)

=- (h + t₀) = — (h + t₀) n2    c

n²

m²

m²

% <3

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^11 s

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M

///

H+h₀

fi

4__\Fq-zJ_

-h

W~*

Abb. 19.

Hie Gleichungen unter 3 stellen Gerade dar mit den Richtungskoeffizienten —. Hie Abszissen dieser Geraden (Umwandlungs-c

strahlen) bilden die Höhen h -f h₀ bzw. h + t₀, die Ordinaten die auf die wagerechte Achse umgezeichneten Höhen H + h0 bzw. H + t₀. Zeichnet man ferner nach der auf S. 27 angegebenen

Weise die Parabel ohne Querneigung (y = x²), so läßt sich der Inhalt des Querschnitts auf folgende Weise ermitteln:

Man trägt die dem Längenschnitt entnommene Höhe h von der im Abstande h₀ zur Y-Achse gezogenen Parallelen aus auf der X-Achse ab (Abb. 19), fährt mit dem Zirkel längs der Ordinate (H + h₀) bis zum Schnittpunkte mit dem der Querneigung entsprechenden Strahl n, hierauf wagerecht bis zur 45° geneigten Geraden (n = 0) und greift sodann die um F₀ verminderte Parabelordinate ab, welche die Größe der gesuchten Querschnitts-

d/

Qc

fläche F = Fx — F₀ darstellt. Man wird diesen und alle anderen Flächenmaßstäbe auf Netzpapier zeichnen, damit bei ihrem Gebrauche die Linienzüge mit der Zirkelspitze leicht ausgeführt werden können.

Abb. 20.

Bei der zeichnerischen Bestimmung der Festwerte c beschreibt man mit der Einheit des beliebig gewählten Maßstabes als Halbmesser einen Kreis, dessen Mittelpunktsgleichung

/l-^odercS + Q

= 1

für die veränderlichen c und

^ lautet (Abb. 20). Zur Bildung

cx

des Quotienten dient eine Gerade, deren Richtungskoeffizient — ist. Abb. 20 zeigt, wie die Strahlen nx mit dem Richtungskoeffizient — gefunden werden.

Da die vorstehenden Gleichungen zur Ermittlung der Querschnittsflächen nicht für Anschnittsquerschnitte (s. Abschn. II D, S. 78 u. f.) gültig sind, d. h. nicht für solche Querschnitte, bei denen die Oberfläche des natürlichen Bodens die Körperkrone durchschneidet, so ist es zweckmäßig, die Grenzen der Verwendbarkeit des Flächenmaßstabes festzulegen. Man ermittelt deshalb die Grenzhöhen hn (Tiefen tn), bei welchen die Begrenzungslinie des natürlichen Bodens eine Planumskante trifft, d. h. der vierseitige Querschnitt in ein Dreieck übergeht (Abb. 21).

. n B

Aus den Gleichungen

k = ~y

n B

*„ = —

bestimmt man hn und tn zeichnerisch (aus Abb. 93) oder rechnerisch für eine Anzahl Querneigungen, die Schnittpunkte der

rv.

•TL

TV

Abb. 21.

Strecken h₀ + hn und t₀ + tn mit dem zugehörigen Strahl geben den geometrischen Ort der Grenzen für die Verwendbarkeit des Flächenmaßstabes an. In Abb. 19 vergleiche die strichpunktierten Kurven, deren Gleichungen h₀ x

y /x(2h₀-x)

und y —

t₀x

lauten.

]/x(2t₀ —x)

Coulmas gibt dann noch einen zweiten Flächenmaßstab an, bei dem das Zeichnen der Parabel vermieden wird. Das Verfahren beruht auf dem Satze, daß in einem rechtwinkligen Dreiecke die Höhe zur Hypotenuse die mittlere Proportionale zwischen den beiden Abschnitten der Hypotenuse ist. Wählt man einen Abschnitt k • m (worin k ein von den verwendeten Maß-stäben abhängiger Festwert) und die Höhe zur Hypotenuse gleich der für wagerechten Boden umgezeichneten Querschnittshöhe H + h₀, so ergibt der andere Abschnitt auf der Hypotenuse die

Größe

—^— (H + h₀)², welche nach Abzug der Fläche des Fehl-

dreiecks

die Fläche F des Querschnittes darstellt.

v. frlaßer, Verfahren.

In Abb. 22 ist dieser Flächenmaßstab gezeichnet. Die aus einem rechten Winkel bestehende Schablone bewegt sich mit dem

t**

«SS

*1üZ

Abb. 22.

Scheitel B auf der Y-Achse, während der eine Schenkel durch den festen Punkt A gelegt wird. Bei der gegebenen Quemeigung n ergibt der zweite Schenkel auf der X-Achse das zu h bzw. H gehörige Flächenmaß F.

2. Verfahren nach Puller.

Bei dem hier beschriebenen Verfahren (s. Literatur), bei dem die Querschnitte im Gelände mit Querneigung auf solche ohne Querneigung zurückgeführt werden, ermittelt man wiederum nach S. 5 bis 11 aus dem Lageplane die Querneigung des Geländes im jeweiligen Querschnitte, alsdann bestimmt man zu den gegebenen Höhen h jene Höhen H (Tiefen T), denen bei wagerechtem Boden die gleiche Querschnittsfläche entspricht (Abb. 23).

oder

(H + T-m):(h + T"m)=!7

n²

m²

m²

das ist dieselbe Gleichung, die Coulmas auf S. 15 entwickelt hat.

hn

Abh. 23.

n=m.

h+hc

ca.

Abb. 24.

Die Werte H + h₀ weiden zeichnerisch wie folgt bestimmt (Abb. 24): Man zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck, dessen eine

Kathete den Wert —und dessen Hypotenuse den Wert — in einer m    n

beliebigen Maßstabseinheit darstellt, dann schneidet die zur Kathete im Abstand h + h₀ vom Pol 0 gezogene Parallele

auf der Hypotenuse — die gesuchte Höhe H + h₀ ab.

Aus Abb. 24 ist ohne weiteres abzulesen:

H + h₀

m²

H + h₀ =

n²

(h -j- h₀),

h + h₀

Mit Hilfe der gefundenen Werte H h₀ werden aus Abb. 25 die Flächeninhalte F abgelesen. Den Flächenmaßstab (Abb. 25) konstruiert man aus der Gleichung

H²

+ B-H

oder

H -J- h₀ == m

—+ J³!.

m 4

Damm

V,50

wo

350

300

250

200

150

100

50

nv=

ß=3n

Hth0 (l ■500)

Br 13 m,

50

100

150

200

250

300

350

WO

¥50

Einschnitt Abb. 25.

500qm

Da dieser Flächenmaßstab nach Puller viel rechnerische Arbeit erfordert, daneben Zwischenwerte von F durch Schätzung gefunden werden müssen, wird man zweckmäßig zur Flächen-bestimmung einen anderen einfacheren Flächenmaßstab der folgenden Abschnitte B und C benutzen.

Für Anschnittsquerschnitte verliert dieses Verfahren seine Gültigkeit. Die Grenzwerte der Höhen für reinen Damm und reinen Einschnitt sind (vgl. Abb. 21, S. 17)

h“ = -2

n • Bj

tn =

Trägt man diese Grenzwerte auf dem Umwandlungsstrahl n == 0 ab und bringt die auf ihm in den Schnittpunkten errichteten

-r

ii

li

'I

S|i

<b'i

ii

ft

«1!

Ii

i]

vV

'S

Abb. 26.

Winkelrechten zum Schnitt mit dem der jeweiligen Querneigung n entsprechenden Umwandlungsstrahl, so ergibt der geometrische Ort der Schnittpunkte die Grenzkurven (Abb. 26).

3. Verfahren nach Allitsch.

Ein drittes Verfahren der Zurückführung eines Querschnittes mit Querneigung auf einen wagerecht begrenzten von gleicher Fläche und daher größerer Höhe hat Allitsch (s. Literatur) veröffentlicht. Er findet die Umwandlung der Damm- und Einschnittshöhen auf eine einfachere Weise, als wie sie Coulmas und Puller angegeben haben.

Es bezeichnet (Abb. 27): n = tg ß die Querneigung des Geländes, m = tg oc die Böschungsneigung des Kunstkörpers,

B die Planumsbreite des Kunstkörpers,

h die Höhe des Auftrages in der Achse der Bahn oder Straße, h₀ den senkrechten Abstand des Schnittpunktes der verlängerten Dammböschungen von dem Planum,

Hx die Höhe des zum Dreieck ergänzten Querschnittes für wagerechtes Gelände,

P den Flächeninhalt des Querschnittes,

Fx den Flächeninhalt des zum Dreieck ergänzten Querschnittes, F₀ die Fläche des Fehldreieckes.

■h

H,

Ayl-

Abb. 27.

Die Gleichung für den Inhalt des Querschnittes lautet dann:

F = FX-F₀ =

m²

Soll nun der Querschnitt mit geneigter Geländelinie auf einen wagerecht begrenzten zurückgeführt werden, so bestimmt sich die Höhe Hx des Dreiecks A' D' C (Abb. 27) wie folgt:

A A D C = A A' D'C =

m²

^(h₀ + h)² =

--Hi²

m

oder

(hp + M²

n²

Hx²

Werden n und h₀ -f- h als rechtwinklige Koordinaten, m und Hx als Konstante angesehen, so stellt obige Gleichung die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse dar mit den Halbachsen m und Hx. Die Ellipse bildet den geometrischen Ort aller flächen gleichen Kunstkörperquerschnitte, die die Böschungsneigung m : 1 besitzen.

Trägt man auf einer Geraden die Halbachsen der Ellipse ab und läßt die Endpunkte auf den Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems entlang gleiten, so beschreibt jeder Punkt der Geraden eine Ellipse. In dem rechtwinkligen Koordinaten-

System X Y (Abb. 28) zieht man zur Y-Achse Parallele im Abstand der Tangenswerte n. Hie Maßeinheit für die Abstände n der einzelnen Neigungslinien ist willkürlich, aber einheitlich für die Werte n und m zu wählen. Zur X-Achse zieht man eine Parallele im Abstand h₀. In dem gezeichneten Koordinatensystem entspricht

ST

St

K- i

-TjÄ

nt

|\

O-'u

n-0,1

0.2

e'o

OM

0,5

0,6.

Tb-rn,

Abb. 28.

jedem Querschnitte ein Punkt mit den Koordinaten (li₀ -J- h) und n, der sich einfach durch Aufträgen der Höhe h auf der der Geländeneigung entsprechenedn n-Linie finden läßt. Trägt man auf einen Papierstreifen nen Wert m auf und legt man (Abb. 28) den Streifen in dem erhaltenen Punkt P derart an, daß der andere Endpunkt des konstanten Abschnittes m auf der Y-Achse liegt, so erscheint zwischen P und der X-Achse die gesuchte Höhe Hl5 und zwar in jenem Maßstabe, in dem h₀ und h abgemessen wurden.

Zur Bestimmung der Querschnittsflächen F benutzt man die Höhen Hx für irgendeinen Flächenmaßstab, bei dem die Geländeneigung nicht mehr zu berücksichtigen ist.

Bei Übergangspunkten zwischen Auf- und Abtrag hat das

n Bl

vorliegende Verfahren keine Gültigkeit. Hie Grenzhöhen hn =    ^

—r— lassen sich auf den Neigungsparallelen auftragen.

tn =

Der geometrische Ort aller dieser Punkte stellt je eine Gerade dar.

Das Verfahren gilt sowohl für Auftrags- als auch Abtragsquerschnitte.

Die vorstehend genannten Verfahren zeichnen sich durch die einfache Konstruktion der Umwandlungsstrahlen aus, eignen sich jedoch nicht zur Grunderwerbsbreiten- und Böschungsbreitenbestimmung, so daß sie nicht so ergiebig sind als die meisten Verfahren der Abschnitte II B und II C.

B. Verfahren für Querschnitte im Gelände mit Quer-neigung bei Benutzung von Strahlenbüscheln für die verschiedenen Querneigungen.

In Culmann’s graphischer Statik (s. Literatur) findet sich eine Parabeltafel, aus der die Querschnittsflächen als Ordinaten von verschiedenen Parabeln gefunden werden können, während die zugehörigen Abszissen die Höhen des Dammes oder Einschnitts darstellen. Winkler (s. Literatur) setzt an Stelle der Parabeln gerade Linien, indem er die senkrechte Achse quadratisch teilt. Das schwierige Abgreifen der Höhen auf der quadratischen Teilung hat Göring (s. Literatur) dadurch beseitigt, daß er nur eine einzige Parabel zeichnet und für die veränderlichen Boden-neigungen Strahlenbüschel benutzt. Diese haben dann auch bei anderen Verfahren der Querschnittsbestimmung Verwendung gefunden. Die Flächenmaßstäbe sind im folgenden zusammengestellt.

1. Verfahren nach Göring.

a) Verfahren ohne Rücksicht auf die Querneigung des Geländes. Der Flächeninhalt der Querschnitte (Abb. 29) wird ausgedrückt durch die Gleichungen:

h²

F = B • h -j--für Damm

h²

F = B₁-h-j-2G-f- — für Einschnitt, m

worin m : 1 das BöschungsVerhältnis, G den meist gleichbleibenden

Inhalt eines Einschnittsgrabens, B die Planumsbreite für Damm, Bx die bis zu den Einschnittsböschungen verlängerte Planumsbreite für Einschnitt und h die Höhe des Dammes bzw. Ein- ■

Schnittes bezeichnet.

Der Inhalt des Querschnittes wird dann graphisch aus dem Flächenmaßstabe (Abb. 30) entnommen, der aus den Geraden B • h für Damm

^    h*

bzw. B, • h + 2 G für Einschnitt und der Parabel — besteht.

m

Den Maßstab für die Höhen wählt man gleich demjenigen des Längenschnittes. Für verschiedene BöschungsVerhältnisse m

77t

A-

-M*-

-Ä

m,

-B-T

Abb. 29.

\A\^

1:250

Flächen: 1mm = 2qm

2Gy

Abb. 30.

hat man je eine besondere Parabel zu zeichnen. Ändert sich die Planumsbreite, dann ist nur das Zeichnen einer anderen Geraden erforderlich.

b) Verfahren mit Berücksichtigung der Querneigung.

a) Erstes Verfahren. Bezeichnet (Abb. 31):

n = tg ß die Querneigung des Geländes, m = tg a die Böschungsneigung des Kunstkörpers, h₀ und F₀ Höhe und Fläche des Fehldreiecks, h und F Höhe und Fläche des Querschnittes,

hj = h₀ + h und Fx Höhe und Fläche des zum Dreieck ergänzten Querschnittes,

B₂ die gesamte Breite des Kunstkörpers,

y'Fo

tjü'

<a.

rfe.

I“!

X2

Abb. 31.

so erhält man

xx (tg a + tg ß) = xx (m + n) = hx x₂ (tg a — tg ß) = x₂ (m — n) = hx,

demnach

xi =

Ul

X2 =

B2 = X1 + X2 =

n²

•V

m²

Da ferner

f =h

^ ¹ 2

so folgt

_h ²

n²\    ¹

m²

worin

n² \

Man zeichnet (Abb. 32) die Parabel y² = x. Der Maßstab der Ordinaten y ist etwa 5 bis 10 mal größer zu nehmen als für

Höhen des Längenschmites

hf

~s- h₀ -

7:250

A A

'O

\f

F,

Flächen •• 1mm = 2 qm

&

\o

CeP

Abb. 32.

die Werte x, damit nicht die Parabel zu flach wird und später beim Abgreifen der Flächen sich nicht zu ungenaue Schnitte ergeben.

Alsdann rechnet man sich für ein bestimmtes, aber möglichst großes hj die Werte Fi = k . hx² für die verschiedenen Quer-

und Fn = ^ ■ m für Damm, u 4

neigungen n aus und bestimmt so das Strahlenbüschel der Querneigungen.

Das Entnehmen der Quemeigung aus dem Lage plane geschieht mit Hilfe eines der auf S. 5 bis 11 angegebenen Böschungsmaßstäbe.

Der Abzug der Fläche des Fehldreiecks F₀ erfolgt in der Zeichnung durch eine Parallele zur wagerechten Achse im Abstande F₀. Die Höhe h₀ des Fehldreiecks und seine Fläche F0 sind für Damm und Einschnitt verschieden.

Die Größe von h₀ und F₀ findet sich aus der gegebenen Planumsbreite (Abb. 18):

. B • m h» = —

2 G für Einschnitt.

^L„ndF₀ = ^

Für jedes Böschungsverhältnis m ist ein neuer Flächenmaßstab anzufertigen, damit die Strahlenbüschel ein deutliches Ablesen zulassen.

ß) Zweites Verfahren. Dieses Verfahren ist namentlich dann zweckmäßig zu verwenden, wenn nur an wenigen Stellen das Gelände Querneigung besitzt, so daß zunächst durchgängig die Querneigung unberücksichtig bleibt und erst nachträglich die Korrektur für Querneigung angebracht wird.

Für den zum Dreieck ergänzten Querschnitt ohne Querneigung also für n = 0 folgt

hx*

für denjenigen mit Querneigung

n²

•h 2>

ui >

m²

mithin wächst der Querschnitt um

Fj — Fx = A =

n²

n²

• F, = kx • F

wobei

ki =

n²

m² (1

n² \ '

m²

hx²

Man zeichnet die Parabel —, ferner die Gerade z (Abb. 33),

deren Neigung gegen die wagerechte Achse durch den Winkel <p bestimmt ist. Die Tangente des Winkels ist gleich kx.

o,¹*

für.

M5°

Abb. 33.

n^OJL-

_n=0,1

-n-0 „x

Die Ordinaten der Strahlen z stellen den Zusatz A dar, eine zweite unter 45° geneigte Gerade ermöglicht das Abgreifen des berichtigten F = F -f- A. Bei Neigungen unter ¹/₉, also n = tg ß <C V₉ wird der Zusatz sehr gering und kann deshalb vernach-

lässigt werden. Bei größeren Neigungen als —undeinemm = —

O    1,0

werden in der Regel Futter- oder Stützmauern zur Anwendung kommen müssen.

Die Göringschen Maßstäbe haben den Vorzug, daß sie sehr einfach und übersichtlich sind, andrerseits sind auch Nachteile nicht zu verkennen, die darin bestehen, daß bei stark geneigten Geraden der Strahlenbüschel oder bei vorgeschriebenen Höhen- und Flächenmaßstäben sich steil aufsteigende Parabel-

äste ergeben und daher sehr flache und ungenaue Schnitte erhalten werden. Hat man ferner die k- bzw. krWerte nicht zur

Hand, so hat dem Zeichnen eine zeitrau-

TT

h

Ch+ ho)z

bende Rechnung vorauszugehen.

Nach

Görings Tode sind einige Ab-_ handlungen erschienen, in denen die k-Werte rein zeichnerisch bestimmt werden (s. Literatur).

WK + hJ-F,

-J

Das hier beschriebene Verfahren von Dippel (s. Literatur) zeichnet sich durch große Einfachheit aus, es dürfte daher als eine zweckmäßige Ergänzung des Gör in g sehen Flächenmaßstabes zu betrachten sein.

Uber der Strecke AB = m = tg a (Abb. 34) schlägt man einen Halbkreis und trägt die Größe der Geländeneigung tg ß = n im Maßstab der Strecke A B vom Endpunkt B aus als Sehne ab, die Projektion der Sehne auf den Durchmesser A B schneidet

die Strecke S A von der Größe m

für n\0,6    nA,0,5

JL_/f

Abb. 34.

n²

n²

Hl²

ab.

Macht man den Polabstand AP = 1 und verbindet man den Pol mit den für die verschiedenen n gefundenen Fußpunkten, so erhält man das Göringsche Strahlenbüschel der Quer-

und — ab. Auf der im Endpunkt A des Durchmessers errichteten m

n²

Senkrechten trägt man von A aus die Werte BS = AP ab. Verbindet man S mit P, so erhält man Strahlen mit dem Richtungskoeffizienten

n²

m²

ki =

m²

Zieht man durch 0 (Abb. 36) zu den gefundenen Strahlen Parallele, so ergibt sich das Göringsche Strahlenbüschel der kx-Werte.

Die Grunderwerbsbreiten. Um für die Anlage einer Bahn oder Straße den Erwerb von teuren Grundflächen, wie z. B. von wertvollen Gärten, bebauten Grundstücken usw., zu vermeiden, wird man versuchen, die Bahn oder Straße unter voller Berücksichtigung der Zweckmäßigkeit so zu legen, daß die Kosten möglichst gering werden.

Die Grunderwerbsfläche bestimmt sich aus dem Produkt der Grunderwerbsbreiten und den Längen. Die Grunderwerbsbreite setzt sich zusammen aus der gesamten Breite B₂ des Kunst -körpers, bei Bahnen aus den Stell wannen, die zu beiden Seiten des Kunstkörpers in einer Breite von etwa 1 m vorgesehen werden müssen, ferner aus Schutzstreifen in Heideland von 8 bis 10 m Breite, in Laubholzbeständen von 15 bis 20 m und in Nadelholz -beständen 20 bis 25 m vom nächsten Gleise an gemessen.

Im weiteren soll nur als Grunderwerbsbreite die gesamte Breite B₂ (Abb. 37) des Kunstkörperquerschnitts verstanden werden, die seitlichen Schutzstreifen sollen in die Rechnung nicht mit einbezogen sein.

Nach S. 26 war

B₂ =

n²

•h

m²

ferner war

n²

- = k,

und — ab. Auf der im Endpunkt A des Durchmessers errichteten m

n²

Senkrechten trägt man von A aus die Werte BS = AP ab. Verbindet man S mit P, so erhält man Strahlen mit dem Richtungskoeffizienten

n²

m²

ki =

m²

Zieht man durch 0 (Abb. 36) zu den gefundenen Strahlen Parallele, so ergibt sich das Göringsche Strahlenbüschel der kx-Werte.

Die Grunderwerbsbreiten. Um für die Anlage einer Bahn oder Straße den Erwerb von teuren Grundflächen, wie z. B. von wertvollen Gärten, bebauten Grundstücken usw., zu vermeiden, wird man versuchen, die Bahn oder Straße unter voller Berücksichtigung der Zweckmäßigkeit so zu legen, daß die Kosten möglichst gering werden.

Die Grunderwerbsfläche bestimmt sich aus dem Produkt der Grunderwerbsbreiten und den Längen. Die Grunderwerbsbreite setzt sich zusammen aus der gesamten Breite B₂ des Kunst -körpers, bei Bahnen aus den Stell wannen, die zu beiden Seiten des Kunstkörpers in einer Breite von etwa 1 m vorgesehen werden müssen, ferner aus Schutzstreifen in Heideland von 8 bis 10 m Breite, in Laubholzbeständen von 15 bis 20 m und in Nadelholz -beständen 20 bis 25 m vom nächsten Gleise an gemessen.

Im weiteren soll nur als Grunderwerbsbreite die gesamte Breite B₂ (Abb. 37) des Kunstkörperquerschnitts verstanden werden, die seitlichen Schutzstreifen sollen in die Rechnung nicht mit einbezogen sein.

Nach S. 26 war

B₂ =

n²

•h

m²

ferner war

n²

- = k,

B₂ = 2 k • h₁.

Die graphische Darstellung gestaltet sich sehr einfach, wenn man mit Hilfe des Strahles sx den Wert 2 hx bildet und alsdann im Göringschen Strahlenbüschel die Multiplikation mit dem Faktor k ausführt (Abb. 38).

ß₂=:2kh,i

somit

Die Böschungsbreiten. Die Böschungsbreiten ermittelt man nach S. 78. Die Multiplikation mit den Bahn- oder Straßenlängen ergibt die Böschungsflächen, die ebenso wie die Grunderwerbsflächen bei der Kostenberechnung der Bahn

/'s,

-H

-H

2h,

NA

Abb. 38.

Abb. 37.

in Rücksicht gezogen werden müssen, da für sie eine Bepflanzung vorzusehen ist.

2. Verfahren nach Schönhöf er (s. Literatur).

■UVv

4. Verfähren nach Dolezalck.

2. Verfahren nach Schönhöf er (s. Literatur).

Treten bei stark gebrochener Erdlinie Anschnittsquerschnitte auf, wie das bei der Anlage von Kleinbahnen häufig vorkommt, die sich dem Gelände nach Möglichkeit anschließen sollen, so sind die oben beschriebenen Querschnittsbestimmungen nicht zu verwenden. Neben den weiter unten auf S. 94 und 105 beschriebenen Verfahren gestattet das von Schönhöf er 1903 veröffentlichte Verfahren die Flächenbestimmung auch bei gebrochener Geländelinie sowohl für reine Querschnitte als auch für Anschnittsquerschnitte. Für reinen Damm und reinen Einschnitt ist sie hier beschrieben, die Anwendung auf die Anschnittsquerschnitte folgt auf S. 86.

Die Querneigung längs der Bahn oder Straße wird bei diesem Verfahren mit Hilfe von 3 Längenschnitten, dem Hauptlängen-

v. Glaßer, Verfahren.

schnitt durch die Hauptachse und den beiden Nebenlängenschnitten durch die Planumskanten bestimmt, wie das bereits unter Abschnitt 3, S. 12, angegeben ist. Außer der Haupthöhe h benutzt man noch die Nebenhöhen ha und hb, (Abb. 39 und 40).

Achse

Planumskante a.

Tr

Abb. 39.

(Fall 3

ha.

Ir*

.L 'h

\ Ah \ Ah\ ___1

Fall 1

ßarwmshoiP-

Fall 2

X Ah

| / NebentängenschnM a. HaupHängenschniH

FallP

[ NebenjdngenschnHt b

Abb. 40.

Die Geländelinie ist infolgedessen nicht als durchgehende Gerade festgelegt, sondern als eine in der Mitte der Hauptachse gebrochene Linie. Dadurch vermeidet man besonders bei sehr großen Querschnitten für zwei- und mehrgleisige Eisenbahnen, für Straßen und für Schiffahrtskanäle mit stark wechselndem Quergefälle innerhalb der Querschnitte große Ungenauigkeiten in der Flächenbestimmung.

Die zu beiden Seiten der Hauptachse liegenden Querschnittsteile werden im vorliegenden Verfahren getrennt behandelt, die Ermittlung der Flächen und der Grunderwerbsbreiten wird für jeden der beiden Nebenlängenschnitte gesondert durchgeführt.

Bezeichnet:

A h die Höhendifferenz hb — h bzw. h — hb

h — ha bzw. ha — h,

Ah' „

55

dann lassen sich alle vorkommenden Fälle auf vier Hauptfälle zurückführen, es gelten für einen Halbquerschnitt folgende Regeln:

1.    Reiner Damm. Die Höhendifferenz A h liegt außerhalb oder innerhalb der Dammfläche (Abb. 41).

2.    Reiner Einschnitt.

Die Höhendifferenz A h liegt außerhalb oder innerhalb der Einschnittsfläche (Abb. 42).

3. Übergangsdamm. Die Höhendifferenz Ah übergreift die Einschnittsfläche (Abb. 43).

xf

Abb. 43.

■3Cr

Abb. 44.

-h[

br

Abb. 41.

-xr

15

Abb. 42.

X.

\o

- XV--

r—t—H

ki

ki

re-

U=-

*r

4. Übergangseinschnitt. Die Höhendifferenz Ah iiber-greift die Dammflächo (Abb. 44).

Die vier Fälle lassen sieh bei Betrachtung der Abb. 40 unterscheiden hinsichtlich der Lage des Haupt- und des Nebenlängenschnitts gegenüber der Planumslinie. Beim Fall 1 und 2 liegt der Hauptlängenschnitt in bezug auf die Planumslinie auf derselben Seite, beim Fall 3 und 4 befinden sich Hauptlängenschnitt und Nebenlängenschnitt zu beiden Seiten der Planumslinie.

Fall 1. Reiner Damm. (Abb. 41.)

Die Höhendifferenz liegt zunächst außerhalb der Damm

fläche,

Bezeichnet:

— = Fläche des Dreiecks A B J,

2

PF? B N>| Wo-

= Höhe des Dreiecks A B J,

= halbe Planumsbreite,

= tg a. Böschungsneigung,

= Breite des Grunderwerbsstreifens,

= Höhe des zum Dreieck ergänzten Querschnitts,

= Fläche des zum Dreieck ergänzten Querschnitts auf einer Seite der Bahnachse,

so ist

h« = ir-

m,

1 B k

⁼ T”2”h° ⁼

B²

B² • m

die Grunderwerbsstreifenbreite

somit

xx=CE =

hj+DE

DE = Xltg|_ECD= xj-

er

Ah

setzt man

xi —

hx

Ah ’

m~2"

Ah

m-2~

so folgt für die Grunderwerbsstreifenbreite

xx = k • hr

Man erhält die Gleichung einer Schar von Geraden, die durch den Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems geht. Für jedes A h ergibt sich ein bestimmtes k und damit ein bestimmter Strahl der Geradenschar (Abb. 45).

Für die Fläche Fx folgt:

Fi = yxrh

nach oben war xx = k hl9 somit

Im folgenden Flächenmaßstab (Abb. 46) lassen sich aus den Werten ht die Werte hx² mit Hilfe einer Parabel y² = x finden, die Multiplikation mit dem Faktor ¹/₂ k geschieht mittels Strahlen mit dem Richtungskoeffizient

±k = l

2 k 2

Die Größe k ist durch den jeweiligen Wert A h bestimmt. Im allgemeinen wird es hinreichen, die A h auf Zehntelmeter abzuschätzen, so daß die Konstante k von y₂ Meter zu l/₂ Meter zu berechnen oder zu konstruieren ist. Sind recht große Querschnitte

und Grunderwerbsbreiten zu bestimmen, so lassen sich in die strahlenförmig auslaufenden Geraden noch Zwischengerade einschalten, welche Werten von A h für kleinere Zwischenräume entsprechen.

Liegt nun die Höhendifferenz A h innerhalb der Damm -fläche, so ergibt sich — DE

xi =

Ah ’

m ~2~

Es ändert sich also gegenüber dem vorerwähnten Falle in der Gleichung für k nur das Zeichen des zweiten Gliedes im Nenner. Es kommt dies einer Zeichenänderung des Wertes A h gleich, wie sich ohne weiteres aus Abb. 41 erkennen läßt.

Fall 2. Reiner Einschnitt. (Abb. 42.)

Die Höhendifferenz Ah liegt außerhalb und innerhalb der Einschnittsfläche.

Es ergeben sich hier dieselben Ausdrücke wie für Fall 1, nur bedeutet hier

G,

B^-m

worin G die Fläche eines Grabenquerschnittes darstellt.

Es kommen hier dieselben Kurven zur Anwendung wie bei Fall 1, es brauchen nur die entsprechenden h₀ und F₀ aufgetragen zu werden (in Abb 46 mit b₀e und y₂ F₀e bezeichnet).

Der Lage der Höhendifferenz A h außerhalb und innerhalb der Einschnittsfläche entspricht auch hier im Nenner des Wertes k ein — und ein -{--Zeichen, wie bei Fall 1.

Es wird sich jederzeit empfehlen für Damm und für Einschnitt je einen Flächenmaßstab anzulegen, damit Irrtümern möglichst vorgebeugt wird.

Die zur Grunderwerbsbreitenbestimmung erforderlichen Werte k bestimmen sich graphisch sehr einfach wie folgt:

ß'

n.

S'

Ah innerhalb

A_'_

nh außerhalb

#/

\0

h„,

0_

Abb. 45.

Vom Ursprung 0 des rechtwinkligen Koordinatensystems X Y (Abb. 45) trägt man in einem beliebigen Maßstabe die Größe m = tg a als Ordinate, die Größe 1 als zugehörige Abszisse ab, -    - Ah

macht S A = S B = nx = tg ß = -=r-, errichtet in A, S und in B

Winkelrechte, die die Parallele zur Ordinatenachse im Abstand 1 in den Punkten A' bzw. S', B' schneiden. Dann besitzt der Strahl A' 0 die Richtung

Ah

m~2

und der Strahl B' 0 die Richtung

Ah

Die zur Flächenbestimmung erforderlichen Rieht ungs-

strahlen — finden sich in der gleichen Weise, nur ist an Stelle der L

Abszisse = 1 die Ordinate = — zu benutzen (Abb. 46).

Li

II

Mto

1-200

■<$*v

NT*

i*

VqrA

— UJIUI

■cp

•v

'es

Abb. 46.

Zur Konstruktion und zum Gebrauche des Flächenmaßstabes ist noch folgendes zu sagen.

F

-^-vom Ursprung aus auf der Ordinaten-

Li

Man trägt im entsprechenden Maßstabe der Höhen und Flächen das h₀ und das achse ab und zieht durch die Schnittpunkte die Parallelen zur

Abszissenachse. Die Parallelen stellen die Nullinien dar, von welchen aus die Höhen h des Längenschnittes aufzutragen und die Werte F zu rechnen sind. Sind die Querschnitte im Höhenplane festgelegt, so wird man mit der jeweiligen Haupthöhe h an die Parabel gehen und nun auf Grund des zugleich abgelesenen A h die Grunderwerbsbreiten x₁ und die Flächen F abgreifen. Zu beachten ist, ob A h außerhalb oder innerhalb des Querschnitts liegt, da die entsprechenden k-Strahlen jeweils zu benutzen sind. Übergreift das A h die Damm- oder Einschnittsfläche, so treten Anschnittsquerschnitte auf, deren Flächenbestimmung dann entsprechend nach den Fällen 3 oder 4 zu erfolgen hat, wie sie unter Kapitel II D, Anschnittsquerschnitte, S. 78, beschrieben sind.

Der möglichen Höhendifferenz A h ist eine Grenze gesetzt für den Fall, daß die Geländelinie der Böschungslinie parallel

läuft, daß also

Ah • ,,

= m wird.

Vorstehendes Verfahren besitzt neben dem eingangs erwähnten Hauptvorteil der Verwendbarkeit für Anschnittsquerschnitte bei gebrochener Erdlinie noch die Vorzüge, daß die beiden Nebenlängenschnitte beim Einzeichnen der Planumslinie in den Hauptlängenschnitt dazu dienen können, die Planumslinie in bezug auf den Massenausgleich recht günstig zu legen, ferner gestattet die Größe A h unmittelbar auf die Neigung des Geländes zu schließen, so daß sich im voraus jene Stellen angeben lassen, bei denen mit Rücksicht auf Grunderwerbsersparnis Futteroder Stützmauern anzuordnen sein werden.

3. Verfahren nach Dolezalek und Erweiterung dieses Verfahrens nach v. Glaßer

für reine Damm- und Einschnittsquerschnitte siehe bei Verfahren für Anschnittsquerschnitte S. 94 und 100.

C. Verfahren unter Umgehung der Strahlenbüschel für die verschiedenen Querneigungen.

Im folgenden sind die Verfahren zusammengestellt, die die Verwendung eines Strahlenbüschels oder einer Kurve in Verbindung mit einem Strahlenbüschel für die verschiedenen Querneigungen vermeiden. Der Vorteil liegt gegenüber den eben beschriebenen Verfahren von Göring und Schönhöf er in der weniger zeitraubenden Herstellung der Maßstäbe. Von den hier erläuterten vier Verfahren enthalten die ersten drei eine den veränderlichen Neigungen n entsprechende Teilung, und die Arbeiten für die Anfertigung des Flächenmaßstabes sind fast nur auf das Anlegen dieser Teilung beschränkt. Es ist natürlich nicht möglich, für beliebig viele Werte von n die Teilung anzulegen, da dann die einzelnen Teilpunkte zu eng aneinander zu liegen kommen. Für die Werte von n, die keinen Teilpunkt oder keine Teilgerade besitzen, ist man auf Schätzung oder Interpolation angewiesen.

Bei dem vierten hier mitgeteilten Verfahren ist die Teilung im Flächenmaßstabe nicht vorhanden. Die dadurch ersparte Arbeit wird auf die Herstellung des Neigungsplanes verwendet. Es ist bei diesem Verfahren erreicht, aus dem Flächenmaßstabe für jede aus dem Schichtenplane entnommene Neigung n die Querschnittsfläche ohne irgendwelche Schätzung oder Interpolation zu finden.

1. Die Verfahren nach Allitscli (s. Literatur). Verfahren a.

Grundlegend für dieses Verfahren ist die Eigenschaft des Kreises, daß für jede durch einen Punkt 0 gezogene Sekante das Produkt aus dem äußeren Abschnitte der Sekante und ihrer

ht

ganzen Länge konstant ist. Bezeichnet (Abb. 47):

0 P = hj Ob =

k

so ist

Abb. 47.

O P² = 0 a • 0 b

oder

Fj = k • tq².

Bezeichnet ferner (Abb. 48):

= tg ß die Querneigung des Geländes,

= tg a die Böschungsneigung des Kunstkörperquerschnitts,

Fx die Fläche des zum Dreieck ergänzten Querschnitts,

F die Fläche des Auf- bzw. Abtragquerschnitts,

F₀ die Fläche des Fehldreiecks,

h die Höhe des Auf- bzw. Abtrags in der Achse des Querschnitts, h₀ bzw. t₀ die Höhe des Fehldreiecks, hx die Höhe des gesamten Dreiecks,

''n

n²

m²

f j/"    \

hhi

Abb. 48.

so folgt aus der obenstehenden Gleichung

Fx =

n²

•h 2 11 i ⁵

m²

das ist die Fläche des zum Dreieck ergänzten Querschnittes.

Man findet diese Fläche graphisch in der folgenden Weise:

Durch den Schnittpunkt der beiden winkel-recht aufeinander (Abb.

Abb. 49.

49) stehenden Geraden g und gx legt man einen beliebigen Kreis. Vom Berührungspunkt P trägt man die Höhe hj = h + h₀ bzw. h -f~ t0 ab. Das Quadrieren der Werte hx geschieht hier durch einen Kreis, dessen Radius auf den festgesetzten Höhen- und Flächenmaßstab ohne allen Einfluß ist und so gewählt werden kann, daß der Schnittpunkt b mit der Geraden 0 b ein möglichst

günstiger wird. Die Länge der Sekante O b entspricht dem Werte —

k

für ein konstantes m und ein variables n, der Abschnitt O a stellt die Fläche des Dreiecks Fx dar, von welcher noch das Fehldreieck F₀ abzuziehen ist, um die in den Flächenplan zu übertragende Fläche F zu erhalten.

Bei Benutzung eines Papierstreifens, auf dem man die Teilstriche entsprechend den Bodenneigungen aufträgt, kann man die Größe der Querschnittsfläche nicht allein als Strecke, sondern auch gleichzeitig den Zahlenwert der Fläche durch einen aufzutragenden Flächenmaßstab erhalten. Das Subtrahieren des Fehldreiecks F₀ kann dadurch geschehen, daß auf dem Papierstreifen vom Nullpunkt der Teilung aus die Größe F₀ aufgetragen wird. Die Fläche F läßt sich dann unmittelbar als Strecke N a (Abb. 49) abgreifen. Wenn die Neigung des natürlichen Bodens nur um weniges geringer ist als die der Kunstkörperböschung, so wird, wie man aus der nachfolgenden Tabelle entnehmen kann,

der Wert von ^ sehr klein, mithin die betreffende Querschnitts-

fläche sehr groß. Für solche Werte der Bodenneigung ist es natürlich überflüssig, die Teilstriche auf dem Maßstabe aufzutragen, da man hier in der Regel Futter- oder Stützmauern anordnen wird und daher einen anderen Weg der Flächenermittlung ein-schlagen muß.

Tabelle der k- und -r- -Werte.

k

= tg«, n = tgß

1,5

TT

TT

H¹-¹

p?

PT

t© t-< ppppppOppp O 'coooMjos'bsoi'^.'w'toi-i

05

MJ

ffi M M j—> J—i mm

0 cs'hP». 05 oo'os'bi'bi O 05 t© 00 ^ 05 O Co Hi». hm CO Cr, O

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- JhzPA__

Abb. 50.

Die Grenze der Gültigkeit der allgemeinen Gleichung für reinen Damm und reinen Einschnitt tritt ein für

B • n

und tn = -j- ,

hn =

\\

V/#

's

xs

----⁻

■nrß^r —

% 9**X

'MSjP£°Jt--

uh

V\

Einschnitt

"*—v\vV~foi— *-to"hr-}b

6» 'oa"¹

/5

Maßstab der Höhen des Längenschnitts 25m

A    's'S

JO»

iffl

g-.

Damm

&enzkreis_ nyOJE-

Bj -n

falls B die gesamte Planumsbreite im Auftrag, Bx die gesamte Planumsbreite im Abtrage einschließlich der Einschnittsgräben bedeutet.

Für eine kleinere Dammhöhe als hn oder Einschnittstiefe als tn darf vorstehendes Verfahren nicht mehr angewendet werden, es ist deshalb für jede Querneigung n eine Grenzkurve anzugeben, die die Grenze der Gültigkeit darstellt. Trägt man vom Punkte M (Abb. 50), auf der Geraden g die Dammhöhe

Bx*n

ab und legt man in diesem Punkt O den Nullpunkt des Maßstabes an, so ist der geometrische Ort aller Lagen des der betreffenden

Bodenneigung n zugehörigen Teilstriches ein Kreis vom Radius

und mit dem Mittelpunkt in 0. Dieser Kreis ist bereits die Grenz -kurve der Gültigkeit des Verfahrens bei der Querneigung n, für

welche hn und -i- gewonnen wurden, k

Es entspricht jeder Geländeneigung ein eigener Grenzkreis, weil sich sowohl der Radius als auch die Lage des Mittelpunktes mit wechselndem n ändert.

Es ist nicht erforderlich die — -Werte aus einer Tabelle zu

k

entnehmen, es ist vielmehr zweckmäßig, sich diese Werte nach der auf S. 30 angegebenen einfachen Weise zu konstruieren. Der

zeichnerische Weg liefert die — -Werte sehr genau.

Man beschreibt (Abb. 51) über der Strecke Ob = m in einem beliebigen Maßstabe (z. B. wählt man die Einheit = 200mm lang) den Halbkreis und schneidet von b aus die Tangenswerte n als Sehnen ab. Lotet man die Schnittpunkte auf die Gerade O b, so ergeben die Teil punkte die gesuchten —-Werte.

Die Teilung für die Flächen Fx findet sich sehr einfach wie

folgt:

Ist der Maßstab der Höhen im Längenschnitt 1 : 250 angenommen, wird ferner der Böschungswert m in 200facher Vergrößerung auf getragen, wobei die Einheit = 1 mm sei, so wird

So

S"

d!

oq

bß

e:

s:

4-

-I

ja

600qm 500 WO V00    200

«5

ca'

0,667

II

Abb. 51.

Co

t?

\s?

\?

<5?

’e?|\    ^

Fj als Länge in Millimeter wie folgt ausgedrückt:

•V =

n²

n²

• ha² •

1000\² 1

250

200

mm

m²

m²

hierbei ist Iq in m einzusetzen. Beispiel:

2

= 0, m = —

Iq = 10 m, n

F. — — • h² = 150 qm m

oder

Fx =--fq² •

m

1000\² 1

250

— 12 mm.

200

Es stellt somit die Strecke von 12 mm die Fläche von 150 qm dar, im Flächenmaßstab ist also 1 mm = 12,5 qm.

Es wird nicht immer erforderlich sein, die Flächenteilung auf dem Maßstab aufzutragen, da es zumeist genügt, die Größe der Querschnittsfläche als Strecke zu erhalten.

Einige Nachteile schließt dieses Verfahren in sich, indem sich die Querschnittsflächen bei den üblichen Höhenmaßstäben 1 : 200 und 1 : 250 in einem sehr kleinen Maßstab ergeben. Ferner lassen sich nicht die Grunderwerbs breiten und Böschungs-breiten aus dem Flächenmaßstabe entnehmen.

Verfahren b.

Legt man (Abb. 52) auf gl5 einer von zwei zueinander senkrechten Geraden g und g1? vom Schnittpunkt O aus die Teilung der

an und trägt man auf der anderen

Geraden g die für eine bestimmte Kronenbreite und Böschungs-neigung konstante Fehldreieckshöhe h₀ ein für allemal auf, schlägt man ferner zu h₀ die jeweilig aus dem Längenschnitt abgegriffene Höhe h, so erhält man Punkt M. Der Kreisbogen um O mit O M liefert Punkt Q. Geht man von Q winkelrecht zu gx bis zur Geraden M N, wobei Punkt N den jeweiligen Wert der herrschenden Geländeneigung auf gx markiert, so erhält man Punkt Qx, schlägt man Q Qt zu O Q hinzu, so erhält man die Strecke 0 P, die die

i- - Werte üL = m (l

n²

m²

Fläche

•h s

darstellt.

'S >3 Ic3

; li J / II ii

§ u

1^*-

-^l-*

f 0    \

—h,

Abb. 52.

Die gleichbleibende Fläche des Fehldreiecks

T71    U

⁰    m

für Damm und

F₀ = —

m

für Einschnitt ist noch von Fx abzuziehen, um F<] und Fe zu erhalten.

Der Wert

n²

•V

m²

kann, ausgedrückt durch eine Strecke, als Höhe eines dem Quadrate

hx² flächengleichen Rechtecks von der Grundlinie m ^1

ermittelt werden.

In Abb. 53 verhält sich

n²

m²

OM:ON = Q Q,:N Q, da AOMN

A Q Qj N

ferner

v. G-laßer, Verfahren.

OM: 0 N = (OM + QQX): (ON + NQ) = (ÖQ +"QP): Ö~Q = ÖP:ÖM

'/p-

oder

OP = =-. 0 M²

ON

F₀\-

Wird OM = hx und ON

1    / n²

_ = m 1---

Abb. 53.

m²

gesetzt, so

liefert 0 P das Maß der Fläche Fx. Wird 0 M <C O N, so daß Punkt Q unterhalb von N fällt,

so liegt die Strecke Q Qx rechts von gx bzw. auf derselben Seite wie

T~

<M|o,

-0,3

~0f

~~K~

ß5

r<

F₁ für n=0,5 tvflOm

F-j für n=L ' hf 1L m

1:250

hi

Maßstab der F^ •' 1mm=5qm

I.

Abb. 54. .

n²

OM und ist dann von 0 Q abzuziehen, um zum Punkt P zu gelangen (Abb. 54). Die Maßstabseinheit, in welcher die Werte m I l

p = 5 • 16 = 80.

oder

Es werden somit die Werte m und n in 80facher Vergrößerung aufzutragen sein, um zu dem gewünschten Flächenmaßstab (1 mm = 5 qm) zu gelangen.

Das Verfahren verliert seine Gültigkeit, wenn Anschnitts-querschnitte auftreten. Die bezüglichen Grenzwerte für Auf- und Abtrag sind wieder

n-B

für ein gegebenes m und veränderliches n von 0 aus abzuschneiden sind, richtet sich wiederum nach dem gegebenen Höhenmaßstab und dem gewünschten Flächenmaßstab für den Flächenplan. Bezeichnet p die Vergrößerung der in Millimeter ausgedrückten

ist der Höhenmaßstab des Längenschnittes

Werte m 1

n²

m 2/’

1 : 250 vorgeschrieben und soll im Flächenmaßstab 1 mm = 5 qm darstellen, so folgt:

5 qm

1000\²

250

= 1 mm

hn = n • — und tn =

Man kann diese Grenzwerte zweckmäßig für die verschiedenen Geländeneigungen im Flächenmaßstabe kenntlich machen.

2k

B,

If

if *

Bz

Abb. 55.

Bedeutet B₂ die Grunderwerbsbreite (Abb. 55), so lautet die Gleichung für die Größe von B₂ nach S. 26:

Der Maßstab eignet sich auch zur Bestimmung der Grunderwerbsbreiten und Böschungsbreiten, a) Grunderwerbsbreiten.

B₂ =

n²

• hj = 2 k • hj.

Trägt man außer den -Werten noch die Konstante 2 in gleichem Maßstabe auf gx ab (Abb. 56), so folgt OM : ON = LL~ : LN

oder

LLj =

OM-LN

‘■M

ON

9i

v-

.9

3H

Abb. 56.

Abb. 57.

oder

somit

LLj = 2 k hj — hl5 LLj = z = B₂ — hj, B₂ = z + hj.

Der Zuschlag z ist positiv und erscheint stets links von gj (Abb. 56).

ß) Die Böschungsbreiten. Bezeichnet (Abb. 55): lx + l₂ die Summe der Böschungsbreiten des zum Dreieck ergänzten Querschnittes,

2 l₀ die Summe der Böschungsbreiten des Fehldreiecks, l die Summe der Böschungsbreiten des Querschnittes, so ist

l = lx l₂ — 2 l₀,

andrerseits ist lx + l₂ =

cos a

somit folgt für die Summe

2 l₀.

der Böschungsbreiten l =

cos a

Durch Ziehen des Strahles s in der aus Abb. 57 ersichtlichen Neigung ergibt sich die gesuchte Böschungsbreite l.

Verfahren c.

F,

Dieses Verfahren reiht sich unmittelbar an die beiden vorangegangenen. Es ist dadurch noch wertvoller zu nennen, als es sich zur Bestimmung der Flächen von Anschnittsquerschnitten brauchbar erweist (vgl. S. 91).

h,

K

i

\P

Da in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse gleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusen -abschnitten ist, so folgt aus Abb. 58:

Abb. 58.

, ^ 1

h‘-F‘T

Stellt hx = h + h₀ die Größe der Höhe des zum Dreieck ergänzten Querschnitts dar und kommt die veränderliche Quer-

n²

1 /

zum

m²

neigung des Geländes durch den Wert = m ( 1

Ausdruck, so ergibt Ej die Fläche des zum Dreieck ergänzten Querschnitts des Kunstkörpers.

Die Konstruktion des Flächenmaßstabes besteht somit kurz in folgendem.

Man zeichnet zwei aufeinander senkrecht stehende Gerade g und gx und wählt auf g (Abb. 59) den Punkt 0 als Scheitel sämtlicher zur Verwendung kommenden rechten Winkel. Die -j— - Werte

trägt man auf gx vom Schnittpunkt nach unten ab, indem man die auf S. 44 angeführte Tabelle benutzt oder indem man mit Hilfe der auf S. 30 angegebenen Konstruktion die Teilstriche graphisch findet. Durch die Teilstriche zieht man zu g Parallele, so daß man einSystem von Geraden erhält, die bei einer bestimmten Böschungsneigung den veränderlichen Querneigungen entsprechen.

Die aus dem Längenschnitt entnommenen Damm- oder Einschnittshöhen trägt man von g, aus auf der der jeweiligen Neigung entsprechenden Parallelen ab, in dem so erhaltenen Punkt P legt man den einen Schenkel des vom Scheitel 0 gelegten rechten Winkels an, der zweite Winkelschenkel schneidet dann auf der Winkelrechten von P zu g die Fläche F: des zum Dreieck ergänzten Querschnittes ab. Um F = N Q zu erhalten, ist noch

die konstante Fläche F₀ des Fehldreiecks abzuziehen, was wiederum durch eine Parallele im Abstand F₀ geschieht (Abb. 59). h ²

Fn = —— für Damm, u m

F° ⁼ vr

— 2 Graben für Einschnitt.

9i

nX

TT

n=0.6 lz=Q,5 n=O,¥

n=0,3

■hL

n=0,2

rt=0.1

hi im Maßsfob der Höhen des Längenschnilts

TL=0

^hrh+ha~^

Bz

3z_

■1

Abb. 59.

Die Grenzwerte für reinen Damm und reinen Einschnitt sind

Bi

hn = n und tn = n —.

Für die verschiedenen Geländeneigungen kann man sie im Flächenmaßstab kenntlich machen.

Die Grunderwerbs breiten. Die Grunderwerbsbreite B2 (Abb. 55, S. 51) wird ausgedrückt durch die Gleichung

to

zieht man im Maßstab (Abb. 59) außer den Parallelen im Abstand -—noch eine Parallele g₂ im Abstand 2, so folgt L — z — B 2 h j

oder

B₂ = hx + z.

Die Verlängerung des Schenkels 0 P schneidet auf g₂ den Wert z ab. Addiert man hierzu den Wert der Höhe hl5 so ergibt sich auf schnellem Wege die Grunderwerbsbreite B₂.

Die Böschungsbreiten. Die Böschungsbreiten bestimmt man in der gleichen Weise wie auf S. 52.

Auch für Anschnittsquerschnitte (S. 91) ist das vorgenannte Verfahren brauchbar. Es dürfte damit neben den auf S. 94 u. f. angegebenen Verfahren zu einem der ergiebigsten gehören.

Nicht unerwähnt möge bleiben, daß ein Nachteil auf Kosten der Genauigkeit in der unmittelbaren Abhängigkeit der Maßstabseinheiten der Flächen von den Maßstabseinheiten der -p- -Werte

k

besteht.

2. Verfahren nach v. Glaßer.

Während bei den beschriebenen Verfahren die Genauigkeit mit wachsender Neigung des Geländes abnimmt, behält das nachfolgende Verfahren immer die gleiche Genauigkeit. Auch ist hier der Nachteil einer unmittelbaren Abhängigkeit der Maßstabseinheiten voneinander nicht vorhanden.

Die bei sämtlichen bestehenden Verfahren notwendigen Schätzungen oder Interpolationen für Werte der Neigung n, die keinen Teilstrich oder keinen Neigungsstrahl im Flächenmaßstab besitzen, fallen hier fort, es ist möglich, für jede aus dem Lageplane entnommene Neigung n die Querschnittsfiäche rasch und sicher abgreifen zu können.

Der Flächenmaßstab selbst besteht nur aus einem Achsenkreuz, drei Strahlen und einem Kreise.

Es folgt hier zunächst die Ableitung der hyperbolischen Teilung des X-Maßstabes, der zur Entnahme der Neigungen aus dem Schichtenplane erforderlich ist; alsdann wird auf die Beziehungen der X zu den Grunderwerbsbreiten und schließlich auf die Beziehungen der X zu den Flächeninhalten der Querschnitte eingegangen.

Bestimmung der Ordinaten X des Neigungsplanes. Es bezeichnet (Abb. 18, S. 14): n = tg ß die Querneigung des Geländes, m = tg a, die Böschungsneigung des Kunstkörpers, mx = tg oq < tg a eine beliebige, aber konstante Böschungsneigung,

B die Planumsbreite des Kunstkörpers,

Bj die bis zur Einschnittsböschung verlängerte Planumsbreite B, B₂ die ganze Breite eines Kunstkörperquerschnittes, h die Höhe des Ab- bzw. Auftrages in der Achse des Kunstkörpers, h₀ den senkrechten Abstand des Schnittpunktes der verlängerten Dammböschungen von dem Planum, t₀ den senkrechten Abstand des Schnittpunktes der verlängerten Einschnittsböschungen von dem Planum, lq = h + h₀ bzw. h + t₀ die Höhe des gesamten Dreiecks.

-ih

V:

VA

;\i\

tv

Al\ }<—•

Abb. 60.

Vorgelegt ist der Querschnitt A B C D, Abb. 60. Man legt durch die Schnittpunkte der Geländelinie und der Böschungs-linien, C und D, je eine Gerade g₂ und gl5 die unter dem gleichen konstanten Winkel cq gegen die Wagerechte gelegen sind, wobei oq <C a, aber sonst beliebig ist. Der Schnittpunkt der Geraden gt und g₂ ist P.

Ändert sich die Querneigung n bei konstanter Abtragshöhe h, so bewegen sich die Punkte C und D auf der Geraden g₃ bzw. g₄, dabei beschreibt Punkt P die Kurve 7) = f (£).

Für ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen X-Achse mit der Planumslinie und dessen Y-Achse mit der Bahnachse zusammenfällt, folgt die Gleichung der Geraden g₃ (Abb. 60):

1)

2)

3)

die Gleichung der Geraden g₅:

y = n x + h

wobei h den Abschnitt auf der Y-Achse darstellt. Die Gleichung der Geraden g₄:

y b₄

Aus den Gleichungen 1), 2) und 3) folgen für den Schnittpunkt (x₂, y₂) der Geraden g₃ und g₅:

und

X2

Br

4)

y*(¹-^r) = h + nx

5)

für den Schnittpunkt (xv y₄) der Geraden g₄ und g₅:

B₄ h

4⁺^)⁼

6)

und

y‘(¹⁺^) = h

B.

7)

n 2

Durch die Schnittpunkte (x₂, y₂) und (x₄, y₄) führt man die Geraden g₂ und gl5 die mit der Horizontalen den Winkel a₄ bzw. 180° — a₄ einschließen, deren Richtungskoeffizienten also + m4 und — inx sind.

Für die Gleichung der Geraden g₂ folgt, falls E, und 7] die laufenden Koordinaten bedeuten,

n — y₂ = nir (£ — x₂),

für die Gleichung der Geraden g₄:

v) — yi = — mi (£ — xi)-

8)

9)

9) folgt:

Durch Subtraktion und Addition der Gleichungen 8) und

y₂ — yi = — 2 mi S + mi (x₂ + xx)

und

2 7) = y₂ + yi — mi (x₂ — xx)

oder

2 mx £ = yx — y₂ + mx (x₂ + xx)

10)

und

2 7] = yi + y₂ — mi (x₂ — xx). Aus den Gleichungen 4) bis 7) ergibt sich:

11)

--b Hi

m

X2 ~ X1 =

n²

m²

x₂ + xx =

h    B,    B,    h

— 4--1-    —i 4--

m    2    2    m

n /2h

--b Bj

m

1--

i+-

n²

1---

m²

für Gleichung 10) erhält man:

Hi

2m^ =

n_2

Bi

ll + nX

1+-S

--b mx

n

— (bx + —\

m \    m )

n²

1---

m²

2h

n²

+ mx

n²

m²

1---

m²

oder

2h

2m^ =

n²

m²

Andrerseits folgt für Gleichung 11):

n² Bj

2h +

2h

--b Hx

m

n²

n²

m²

1---

m²

oder

2h +

n² Bx

mx

2 Y) = —

--b Bx

m

n²

13)

m²

Aus den Gleichungen 12) und 13):

Bx + ——

m

mi

und

2y] (¹_ä“) ⁼

2h +

n² Bx

2h

--b Bx

m    ¹

ergibt sich:

m² — n²

14)

2 n — 2 h + mx

2h

ii² =

--b

m

Bi

15)

— 4--±-

m² m

Die Gleichungen 14) und 15) stellen die Parametergleichungen der Kurve y) = f (£) dar, die Parametergröße ist n.

Aus Gleichung 10) und 11) folgt durch Subtraktion: mi ^ — yj = mx x₂ — y₂,

Substituiert man die Werte für x₂, y₂ der Gleichungen 4) und 5), so folgt:

16)

Bi

— fl = nii

⁺ ~2~

Bt

h + nT

i-A

.    17)

Aus den Gleichungen 10) und 11) ergibt sich durch Addition:

Bi

Bx h

¹¹ 2

+ mi m

Die Gleichungen 17) und 18) lassen sich auch schreiben:

mi £+?) =

(m^—Y])^l —~j = mx |

Bx

Bi

(m^ + 7^1 +^;) = (h

Bi

-(h + n-

Bx h

19)

-n—j + m,

multipliziert man diese beiden Gleichungen miteinander, so erhält man:

n²

Bi

n-2“

~(h + nll)(

Bi

— mx h + n —

Bx h

B, h

oder

(mx² £² — Y]²) 1

n²

— h²

m2 n² Bx²

= mx

Bi

Bi

h — n-^ + h + n —

— mx²

oder

— (h² —

n²

m²

n² Bx²

— mx²

£+¥f

20)

Läßt man in der Gleichung 15) n = 0 werden, so liefert diese Gleichung den Abschnitt auf der Y-Achse. Aus Gleichung 15) ergibt sich für n = 0

2t)₀ —2h + mil—+ Bi

= 0,

oder

7]₀ = h

Dem Werte n = 0 und

2h

mx

7]₀ = h

--b Bi

m

muß die Gleichung 20) genügen, sie geht über m

(m/ £² — 7]²) = 2 h (h — vjo) — (h — 7]₀)² — h²

oder

22)

?7² — m₁² §² — ^₀² = 0

Man erhält die Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel mit den Achsen:

a = 7]₀

b = Ja.

m, ■

Während somit die Punkte C und D (Abb. 60) auf den Geraden g₃ und g₄ sich bewegen, durchläuft Punkt P eine Hyperbelbahn.

Da y)₀ sich mit der Einschnittstiefe oder Dammhöhe h ändert, so ergeben sich auch bei konstantem Bls m und m₄ für verschiedene h auch verschiedene aber bestimmte Hyperbeln.

Folgerung: Bei konstantem B₄ oder B, m und m₄ gehört zu jeder Einschnittstiefe oder Dammhöhe eine bestimmte Hyperbel. Zu jedem Punkt der Hyperbel gehört eine bestimmte Querneigungslinie.

Bahnachse

z=0

7k

Abb. 61.

Abb. 62.

Durch die Lage der Querneigungslinie und die Größe der Einschnittstiefe oder Dammhöhe ist die Gestalt und Größe der Querschnittes bestimmt.

Während Punkt P (Abb. 61) innerhalb des Querschnitts auf der Hyperbel H sich bewegt, nimmt die Querneigung n alle Werte zwischen + m und —m an. Bezeichnet man den Abstand des Punktes P von der -yj-Achse mit A, so folgt, da E, = A,

m²

jG (B +—)

2 (m² — n²) \ ¹ m J

ist,

•K

23)

oder, da

Bi H--

m

2 h 2 h,

mi

m² — n²

Trägt man im Lageplan die X für verschiedene Querschnitte senkrecht zur Bahn- oder Straßenachse ab (Abb. 62), oder im Längenschnitt an Lotrechten im jeweiligen Querschnitt von einer gemeinschaftlichen Geraden aus, so erhält man den Neigungs-plan (Abb. 62 und Abb. 12, S. 9), der ein anschauliches Bild der Querneigungen des Geländes längs der Linienführung gibt.

Die Konstruktion des X-Maßstabes für ein konstantes hx. m und ml5 aber für ein variables n gestaltet sich wie folgt:

Konstruktion des X-MaßStabes. In einem gegebenen Einschnittsquerschnitte (oder auch Dammquerschnitte), Abb. 63, Tafel I, trägt man von dem Schnittpunkt der Böschungslinien auf der Querschnittsachse die beliebige aber konstante Höhe h^ = h₀ + h ab; durch den erhaltenen Schnittpunkt legt man

g

die Geländelinie n = tg ß = -=— . s bedeutet die Schichtenhöhe,

Bc die für eine bestimmte Bahn- oder Straßenstrecke erforderliche größte Breite (s. S. 8).

Durch die Schnittpunkte der Geländelinie mit den Böschungs-linien C und D, Abb. 63, führt man die Geraden von der Richtung + mx und — nij und bringt sie zum Schnitt, der Schnittpunkt heißt P. Der Abstand des Punktes P von der Achse ist für einen Wert von n die gesuchte Ordinate X des Neigungsplanes.

Konstruiert man die X für eine Anzahl Neigungen von n = + m bis n = — m und trägt man die X auf einer Geraden ab, zieht man ferner im Abstande Bc symmetrisch zur Achse und parallel zu dieser die zwei Geraden b b, so ergibt sich der auf

S. 10 in seiner Anwendung beschriebene X-Maßstab.

Die Breite Bc ist im jeweiligen Maßstab des Lageplanes aufzutragen, die X sind also unabhängig von dem Maßstabe des Lageplanes. Wie bereits auf S. 11 erwähnt wurde, kann derselbe

Tafel I.

h'x = 25 m

, 2

m = tg a = -5

= tg«! = 4

1JL

nZJP

GelP

"3

<—Bc — Wm—-•

(Maßstab 1-2000)

DK

ml

10

ß_

n=o

¥0

Achse

h-, — 25m.

P,

rniTnijm

n ",

cr~'5_

(n=%)

<7=10

SIS

qr=5.

. io

Maßstab der 1:250 (== Maßstab der Höhen im Längenschnitt).

Maßstab der Breite Bc: 1:2000 (= Maßstab des Lageplanes), q = Anzahl der wagerechten Schichtenlinienabstände innerhalb der Breite Bg

v. Glaßer, Verfahren.

Abb. 63.

Verlag von Julius Springer in Berlin.

G9

6»

Lu

5^;

Ha-

»

<

C3

r-

4

5*

O-z

e*j

ET3

er®

*

aca

/

X-Maßstab für joden beliebigen Lageplan benutzt werden, falls nur die Breite Bc im Maßstab des vorhandenen Lageplanes aufgetragen wird.

Tabelle zur Konstruktion der Teilung des LMaßstabes (Abb. 14, S. 11 und Abb. 63, Tafel I).

¹

Die schrägstehenden Ziffern in der dritten Dezimalstelle bedeuten die Abrundung nach oben.

m² — n²

■UVv

Anzahl der wagerechten

neigung Abstände q der Schichten- m — 3 ’ mi — 2 m linien für Bc ==

40 m 20 m 10 m

lq' = 25

= 1, m, = d

h/ = 25

= 2, m, =—

h.' = 25 m

1:40

CT¹

2:40

3:40

4:40

5:40

6:40

7:40

8:40

9:40

COOO-JCSÜT^COlsSI-'

10:40

11:40

12:40

13:40

14:40

15:40

16:40

17:40

18:40

19:40

20:40

OHWffOTjUOCOt^OOOJO

i-H r-H r—( H H r-H rH r-H r—I r—I C'J

10

0,469 0,943¹) 1,424 1,918 2,429 2,962 3,52 4 4,121 4,761 5,454 6,213 7,053 7,993 9,059 10,285 11,718 • 13,424 15,499 18,089 21,423

‘ >—» h-¹ I—¹ h-¹ h-¹

⁰⁵ ? ^ ^ P CO 0 00 jd C5 Ü1 Ül ^ P 5° P ^ ^ sP os'co'J-i'co'co'co'coo'toii^oscohooiboH-'Oibo'issos owooooMoo^ojotcoHw-JMOooita ^Oi-^^aoico^itr,?so^a^(i?,oooJ05o,o<05

CO 1.1

05

co

O to » CO <1 M ® 05 ca Ol    W W K) bi M ^ O O

©tP'.Gocooo'ba'^hs'^-Jto'^-Jlo'^wbowboVco'k.

^HOO-JdOiaOS'lOOOMOlOOOW

t-ao CO CO o

Die X sind, sofern sie im Lage plan vermerkt werden sollen, stets auf der Seite der tiefliegenden Schichtenlinien festzulegen, die Gefällverhältnisse werden dadurch deutlich zur Anschauung gebracht.

Im Längenschnitt erscheint es ratsam, zur weiteren vereinfachten Anwendung des Flächenmaßstabes die X so einzutragen, daß sie bei Einschnitt von einer Parallelen zur Planumslinie im Abstand t₀ (Tiefe des Fehldreiecks bei Einschnitt) und bei Damm von der Parallelen zur Planumslinie im Abstand h₀ (Höhe des Fehldreiecks bei Damm) aus auf den Lotrechten im jeweiligen Querschnitt erscheinen (Abb. 65, S. 65).

Die mit Hilfe des

Grunderwerbs breitenmaß st ab.

X-Maßstabes gefundenen Ordinaten des Neigungsplanes sind für eine konstante Einschnitts- oder Dammhöhe bestimmt, zur Grunderwerbsbreiten- und Flächenbestimmung müssen sie im

Verhältnis der Höhen ~ verkleinert oder vergrößert werden.

Bleibt n, m und mx konstant, ändert sich aber hx, so ändert sich mit hx die Ordinate X.

In Abb. 64 ist:

+ mx „ D C || D' C' nach Voraussetzung.

DE || D' E': Richtung —mx nach Konstruktion, CE || GE⁷:

n_

C/

\jk.

£’

\i

iP¹-

Abb. 64.

Cj

Das Dreieck D C E ist somit perspektivisch ähnlich dem Dreieck D' C' E', die Ecken liegen infolgedessen auf Strahlen eines Büschels, dessen Scheitel S genannt ist.

Da in perspektivisch ähnlichen Figuren 1. die Schnittpunkte entsprechender Geraden mit einem Ähnlichkeitsstrahl entsprechende Gebilde darstellen, so ist auch M M' ein ent-

sprechendes Punktepaar; da ferner

2. die Verbindungsgeraden zweier Punkte der einen Figur und der entsprechenden Punkte der anderen Figur entsprechende Gebilde darstellen, wobei die Verbindungsgeraden parallel sind, so folgt:

EM || E' M'.

Da ferner X || X' nach Konstruktion, so sind auch L L' ein entsprechendes Punkte paar. Es verhält sich daher:

S E' : S E = S M' : S M =? h', : h

oder

SE,:SE = U:X₁

daher auch

V : "k = h/ : hx.

Die Größen X sind somit proportional den Höhen des zum Dreieck ergänzten Querschnittes.

Daraus folgt, daß für jeden Querschnitt das für eine beliebige, aber konstante Höhe h/ gefundene V im Verhältnis der Höhen

zu reduzieren ist. Erst die reduzierten X-Ordinaten desNeigungs-

hi

planes bestimmen mit dem entsprechenden hx eindeutig die Größe der Grunderwerbs breiten und der Querschnittsflächen.

Trägt man die ermittelten X' unter der im Höhenabstand t₀ zur Planumslinie gezogenen Parallelen px im Längenschnitt ab (Abb. 65) und zieht man zur Planumslinie die Parallele p₂, die von px den Höhenabstand der konstanten Einschnittshöhe h/ hat, für welche der X-Maß-stab konstruiert war, so lassen sich die Ordinaten des Neigungsplanes den hj entsprechend wie folgt bestimmen.

Man legt durch die Endpunkte von h/ und V einen beliebigen Winkel derart, daß sein Scheitel auf der Geraden px liegt. Bewegt man nun den Winkel so, daß sein Scheitel auf px hingleitet, während die Schenkel parallel bleiben, so ergibt sich das zu hj zugehörige reduzierte X.

a) Die ganzen Breiten. Nach Gleichung 23) S. 62 war

/I \

/x, i

fft,

'M

t₀

A,

mi

m² — n²

Plorü

■linie.

V-

Abb. 65.

•hi

v. G-laßer, Verfahren.

oder

n hi ¹

m² — n²

Setzt man

m² — n²

= k, also n

-1

m² —

so folgt

X-nÜLfl

m²

oder

|k² m² — km =

mi

quadriert man diese Gleichung, so folgt k² m² — km =

X² • m²

m \²

24)

mx

ganze so ist

Bezeichnet B₂ die ganze Bahn- oder Straßenbreite oder die Grunderwerbsbreite ausschließlich der Schutzstreifen,

b₂ =

—--h, nach S. 26

n²

m²

oder

b₂ =

m² — n²

• h. = 2 k h

oder

b₂

2 hx

Setzt man den Wert für k in die Gleichung 24) ein, so ergibt sich

mi

Falls hx als konstant angesehen wird, stellt diese Gleichung B₂ = f (X) die Scheitelgleichung einer Hyperbel dar von der Form

y² • a2 b² ’

x (x — 2 a) =

die Halbachsen sind

hi

hx

oder

B₂² m

b₂

2 h,

m \²

mi

B₂²

b₂

X²

4 h,²    2 h, m

man erhält die Gleichung zur Ermittlung der Grunderwerbsbreiten

b₂

b₂

2 h,

25)

rfrl¹

Die graphische Ermittlung der Werte B₂ gestaltet sich wie folgt:

Vom Ursprung O eines rechtwinkligen Koordinatensystems zieht man die Strahlen sx mit dem Richtungskoeffizienten , s₂

unter 45° und s₃ mit dem Richtungskoeffizienten

Für ein gegebenes li, und ein zugehöriges X erhält man mit Hilfe der 3 Strahlen die Punkte P und M (Abb. 66). Die gebrochene Linie P M O stellt die gesuchte Grunderwerbs breite B₂ dar; denn beschreibt man um M mit M O als Radius einen Kreis (Abb. 67), so folgt:

PO² = PN’PN' als Potenz des Kreises,

PN' = PN — (MN + M N') nach Konstruktion.

Ferner ist OM = MN = MN' = — nach Konstruktion

ebenso

PO = l

nach Konstruktion,

mi

folglich

4 V²

mi

2 hi \

= PN PN

Xu.hi im Maßstab der Höhen des Längenschniltes

1:250

da weiterhin

pn=pm+mo

Maßstab der ß₂; 1mm = 1m,

>/

¥5°/

\mL

fh

1-250

4t

Abb. 67.

Abb. 66.

nach Konstruktion, so ist

(P M + MO) PM + MO

21^

4^2

1--5L

nii

Vergleicht man hiermit die Gleichung 25), so folgt die gesuchte Breite

PM + MO = B,.

b) Die Breiten rechts und links von der Achse. Im vorangehenden war die Summe der beiden Abstände der Kunstkörpergrenze von der Achse gefunden worden. Bei horizontalem Terrain sind die Abstände gleich, bei geneigtem jedoch verschieden. Bei Damm liegt der große Abstand auf der abfallenden Seite, der kleine auf der ansteigenden Seite des Geländes, bei Einschnitten umgekehrt.

Die Breiten der Grunderwerbsstreifen rechts und links der Achse ergeben sich wie folgt:

(0,

9s,

. /g₃

m.

NachS. 57 Gleichung4) ist die Abszisse des Schnittpunktes (x₂, y₂) der Geraden g₃ und g₅

X2 =

Bi

--1---

m ^ 2

-X,

o.

+x

^2

Abb. 68.

ebenso folgt aus Gleichung 6) für die Abszisse des Schnittpunktes (xv yx) der Geraden g₄ und g₅

Bi    h

xi =

, n

1 4- —

Man erhält

,xx • x₂ =

n²

26)

m²

Nach Abb. 68 ist

aus Gleichung 26) folgt:

xi* X2 =

x₂ — Xi = B₂,

27)

m² — n²

(t+4-r

•k • m,

m²

worin k =

m² — n²

bedeutet.

Nach S. 66 ist

b₂

2 ht ’

ferner ist

somit

St/

h, \²

b₂

B₂hx

28)

folgt:

Aus den Gleichungen 27) und 28)

x₂(x₂ — Ba) =

A-K

oder

Abb. 69.

x₂a — B₂ x₂ +

B₂-hi

oder

B2 , ¹

^="2-±2

B₂ B»

2hj

29)

ebenso

Xi =

x±t/b*(

B₂

2 hr

30)

Nach Gleichung 25) S. 67 ist

B* B>

2 h!

m \²

b₂

IUj

also folgt für die Abstände der Grenzen von der Achse

(+ für Einschnitt) m    (— „ Damm

mi

31)

xi =

(+ für Einschnitt) m    (— ,, Damm )

32)

m,

Graphisch ergeben sich die Werte der Abstände aus dem Grunderwerbsbreitenmaßstab S. 70 und zwar aus der halben Summe der Seiten des Dreiecks 0 M P (Abb. 69).

X2 =

OM + MP + PO

xi =

OM+MP-PO

Die Querschnittsflächen. Die Fläche F₄ des zum Dreieck ergänzten Querschnitts ermittelt sich aus dem Produkt der Grund-erwerbsstreifenbreiten rechts und links der Achse und dem Richtungskoeffizient der Böschungslinien

Fj = m • x₁ • x₂.

Aus den Gleichungen 31) und 32) S. 70 und der vorstehenden Gleichung folgt für die Querschnittsfläche

33)

4x²

Die Klammergröße läßt sich geometrisch aus einem rechtwinkligen Dreieck finden, dessen Hypotenuse B₂ und eine Kathete 2 X

-— ist (Abb. 70). B₂ entnimmt man dem Grunderwerbs-

mi

breitenmaßstab (Abb. 69).

Multipliziert man die gefundene zweite Kathete mit y₂ |m unter Benutzung des Richtungsstrahles s₄ und quadriert dann das Produkt mit Hilfe der Parabel y = x², so liefert die Parabel die gesuchte Fläche F₄ als Ordinate.

Der Beweis hierzu ist folgender: Bei der Ermittlung der Grunderwerbsbreiten aus gegebenem X und h₄ erhält man (Abb. 69 u. Abb. 70)

OP

mx

PM' = B₂ nach Konstruktion; aus dem rechtwinkligen Dreieck OPM' folgt dann

OM' =

b₂²~

4X2

m \²

mi

+x

Maßstab deq B2 1mm = hn |

+r

M’

k?

052 :L

■c-

Abb. 70.

ur

f,

LU bi] ~ LUUJl,

:J Jdp qoisgü[/j

fo ft

durch den Strahl s₄ von der Vo /in • 0 M'. Da ferner M' R

tß 'S

| 8 . 5 -2 .2 g S

p 3)

M' R =

= y ist,

so ergibt sich für die zugehörige Ordinate

R'R" = (M'R)² 3 =

ym-OM'

Z

4 X³

mx

Vergleicht man hiermit Gleichung 33), so folgt R' R" = Fx, das ist der gesuchte Flächeninhalt des zum Dreieck ergänzten Querschnittes.

's-,

<S>

<?

u.

1-250

Wb Q A = UJLUY

12

Abb. 71.

Will man sich das Zeichnen der Parabel ersparen, so kann man das auf S. 100 u. f. beschriebene Kreisverfahren zur Flächenbestimmung recht gut benutzen.

Man zeichnet einen Kreis vom Radius r = 2 c, der durch O geht und dessen Mittelpunkt auf der Y-Achse liegt (Abb. 71).

Der Faktor c stellt die Vergrößerung des Radius r oder die sich daraus ergebende Verkleinerung der Querschnittsflächenwerte dar. Einen zweiten Kreis schlägt man mit dem aus dem Grunderwerbsbreitenmaßstab ermittelten B₂, der Kreis geht ebenfalls durch 0, sein Mittelpunkt liegt wiederum auf der Y-Achse. Dieser zweite Kreis schneidet die Parallele zur X-Achse im Abstande der Höhe hx im Punkte L. Um 0 beschreibt man mit O L als Radius einen dritten Kreis, der den ersten Kreis in Lx schneidet. Das Lot Lx L₂ von Lx nach der X-Achse stellt den Flächeninhalt des zum Dreieck ergänzten Querschnittes dar. Der zweite und der dritte Kreis brauchen nicht gezeichnet zu werden, es genügen Abstiche mit dem Zirkel.

Fx = -— R² (vgl. S. 104) ² = r • B₂ • hx

daher

F — B2 ‘ hi_

¹ “ 2 '

Der Abzug der Fläche des Fehldreiecks F₀ ergibt die trapezoi-dische Querschnittsfläche F.

für Damm,

p ₌ B2-m

»    4

Bx² • m

2 G für Einschnitt.

G bedeutet den Inhalt eines Einschnittsgrabenquerschnitts.

Zusammenfassung des Arbeitsvorganges. Um die Flächen und Grunderwerbsbreiten der Damm- oder Einschnittsquerschnitte zu erhalten, ermittelt man mit dem auf S. 10 beschriebenen X-Maßstab aus dem Lageplan für eine konstante Höhe h/ die Querneigungen V in den verschiedenen Teilpunkten der Bahn- oder Straßenachse, trägt die V im Längenschnitt für Damm von der im Abstand h₀ zur Planumslinie gezogenen Parallelen nach oben (s. Abb. 65) und für Einschnitt von der im Abstand t₀ zur Planumslinie gezogenen Parallelen nach unten aus ab. Hierauf verkleinert oder vergrößert man die V im Verhältnis Die reduzierten X und die zugehörigen hx kommen übereinander auf eine Lotrechte zu liegen. Zeichnet man nun den Flächenmaßstab Abb. 70 (verbunden mit Abb. 69) oder Abb. 71 auf Pauspapier mit Millimeterteilung, so wird man durch einfaches sachgemäßes Auflegen des Flächenmaßstabes auf den Längenschnitt in den verschiedenen Teilpunkten der Linienführung durch ein paar Züge mit der Zirkelspitze, von den Endpunkten der hj und X ausgehend, die Grunderwerbs breiten und

aus diesen die Querschnittsflächen erhalten.

A',

r;

h}’.

T\r

Xi

Abb. 73.

Abb. 72.

zeichnet man zweck-

Zur Reduktion der X' im Verhältnis -r—

hi

mäßig auf ein Stück Pauspapier die in nebenstehender Abb. 72 ausgezogenen Linien und ordnet den unteren Schenkel des Hilfswinkels auf dem Pauspapier beweglich an. Alsdann stellt man den beweglichen Schenkel so ein, daß er durch den Endpunkt des zur Höhe h/ gehörenden X' geht (Abb. 65). Verschiebt man nun die gesamte Schablone längs der Parallelen pj (s. Abb. 65) bis der feste Schenkel des Hilfswinkels durch den Endpunkt hx geht, so schneidet defr zweite Schenkel auf derselben Lotrechten das gesuchte X ab.

Anwendung des Verfahrens bei stark gebrochener Geländelinie. Bei stark gebrochener Geländelinie ermittelt man mit Hilfe des X-Maßstabes die mittlere Querneigung einmal rechts, das anderemal links der Kunstkörperachse. Mit den beiden gefundenen X ergeben sich bei gleichen hx aus dem Grunderwerbsbreitenmaßstab nach S. 70 die Grunderwerbsstreifenbreiten xt und x₂.

X2 =

Xi =

b₂±op

B₂' + OP'

Da bei Damm die breitere Grunderwerbsstreifenbreite auf der von der Achse aus abfallenden Seite des Geländes liegt, befindet sich auch der größere Teil der Querschnittsfläche auf dieser Seite (Abb. 73), bei Einschnitt ist es umgekehrt.

Die Querschnittsfläche Fx des zum Dreieck ergänzten Querschnittes setzt sich zusammen aus den Flächen F/ und F/'.

Fj = F / + F

t, ,    xi' hi

~ 2

x2>h:

Aus dem Maßstabe (Abb. 71) lassen sich die Flächenwerte F/ und Fx" leicht finden, von ihrer Summe ist die Fläche des Fehldreiecks F₀ abzuziehen, um die Querschnittsfläche F zu erhalten.

Berücksichtigung der Übergangspunkte zwischen Damm und Einschnitt. Die Grenzhöhen für reinen Einschnitt und reinen Damm ergeben sich wie folgt:

Nach S. 70 war der kleine Abstand des Schnittpunktes der Böschungslinie mit der Geländelinie von der Achse

b₂

mi

Bi

IM

Bi

Abb. 74.

Bei Übergang des reinen Querschnitts in den Anschnittsquerschnitt geht die Geländelinie durch die Planumskante, es wird also (Abb. 74)

X2 =

es folgt

bei Damm,

2

B

x₂ — bei Einschnitt,

Ja

B₂d

und

nq

Bezeichnen (Abb. 74) B₂d und B₂e die ganzen Kunstkörperbreiten, die der Dammhöhe hn und Einschnittstiefe tn entsprechen, so folgt

IS

Bd — B

2 — J-*!

4/s°

mx

Bl = B +

nq

0,K' o;

Nimmt man den Maßstab zur Ermittlung der Grunderwerbsbreiten zu Hilfe, so trägt die X-Achse die Werte

•?>

IUj

Abb. 75.

Addiert man zu diesen Werten noch die Planumbreite Bx bei Damm und B bei Einschnitt, so stellt die Strecke P 0 0' den Wert B₂(l bzw. B₂e dar (Abb. 75). Sobald nun hi und X einen Wert B2 liefern, der gleich der Länge P 0' ist, so sind lq = t₀ + tn °der hx = h₀ + hn die gesuchten Höhen, die die Übergangslänge der Anschnittsquerschnitte begrenzen.

Bei Anschnittsquerschnitten verliert das Verfahren für die Flächenbestimmung seine Gültigkeit, man wird auf ein unter Abschnitt II D angegebenes Verfahren zurückgreifen.

l\

1:1000

1-2

1-250

Die Böschungsbreiten. Sind die Grunderwerbs breiten B₂ nach S. 68 aus h^ und X gefunden, so lassen sich die Böschungs-breiten ermitteln.

-Bz

,W'

to

Abb. 76.

Bezeichnet 1 = 1 x -(- 1₂ (Abb. 76) die Summe der Böschungsbreiten des zum Dreieck ergänzten Querschnittes und

2 1₀ die Summe der Böschungsbreiten im Fehldreieck, so ist

cos a

21₀

oder

Bz

1 = B₂ yl + m² — 21₀. Andrerseits ist

lp =

yi + m2

sina

somit folgt für die    Gesamt -

Abb. 77.

böschungsbreite

1 ⁼ y 1 + m² — 21₀

gültig für einen Einschnittsquerschnitt; bei einem Dammquerschnitt tritt an Stelle t₀ der Wert h₀.

Graphisch bestimmt man die Werte für 1 bei gegebenem Ba aus nebenstehendem Maßstabe (Abb. 77).

I). Verfahren für Anschnittsquerschnitte.

Beim Übergang vom Damm zum Einschnitt erscheinen in den Querschnitten sowohl Einschnitts- als auch Dammflächen, es wird also die Planumsfläche durch die Geländeoberfläche geschnitten (Abb. 78). Man nennt diese Querschnitte Anschnitts -querschnitte oder gemischte Querschnitte.

Oft wird man Bahnen und Straßen auf längere Strecken in den Anschnitt verlegen, um sie möglichst dem Gelände anzuschließen.

Eine Anzahl der vorgenannten Verfahren zur Bestimmung der Flächeninhalte der Querschnitte verliert innerhalb der Übergangslängen mit teilweisem Auf- und Abtrag ihre Gültigkeit, man legt deshalb die Grenzen für reinen Damm und reinen Einschnitt fest und bestimmt die Anschnittsflächen innerhalb der Übergangslängen mit Hilfe der Verfahren, die für Anschnittsquerschnitte geeignet sind.

h\

Abb. 78.

Die ersten graphischen Bestimmungen für Anschnittsquerschnitte hat v. Lichtenfels 1895 (s. Literatur) veröffentlicht, sie sind jedoch durch die neueren Verfahren an Einfachheit übertroffen worden. Ebenso dürften die von Wagner (s. Literatur) 1900 veröffentlichten Flächentafeln nur noch geringe Verwendung finden. Ausgehend von dem Göringschen Flächenmaßstabe für reinen Damm und reinen Einschnitt hat Coulmas (s. Literatur) im Jahre 1903 einen Flächenmaßstab für Anschnittsquerschnitte veröffentlicht, der zwar in der Herstellung durch das Auf zeichnen von 3 Strahlenbüscheln und 2 Parabeln etwas Mühe erfordert, jedoch in der Anwendung übersichtlich und einfach ist.

Die Verfahren von Schönhöfer (s. Literatur) und Allitsch (s. Literatur) schließen unmittelbar an ihre auf S. 33 und 53 angegebenen Flächenbestimmungen für reinen Damm und reinen Einschnitt an, sind infolgedessen dann nur zweckmäßigzu benutzen, wenn die Flächenbestimmungen nach den entsprechenden Verfahren für reine Querschnitte erfolgt sind.

Bei einem anderen von Geheimrat Prof. Dolezalekin seinen Vorlesungen über Erdbau an der Technischen Hochschule zu Berlin mitgeteilten Verfahren und bei der Erweiterung nach v. Glaßer werden die bisher für Anschnittsflächen durchgängig angewendeten Parabeln vermieden. Es bieten daher diese Verfahren die größten Vorteile in der einfachen Herstellung, zu der sich außerdem noch eine leichte Anwendbarkeit gesellt. Grunderwerbsbreiten und Böschungsbreiten werden den gleichen Maß-stäben entnommen.

1. Verfahren nach Coulmas (s. Literatur).

Es bezeichnet, Abb. 79:

— die halbe Planumsbreite des Bahn- oder Straßenkörpers,

die bis zur Einschnittsböschung verlängerte halbe Planumsbreite B,

h und t die Dammhöhe bzw. Einschnittstiefe in der Bahn- oder Straßenachse gemessen, n = tg ß die Querneigung des Geländes,

m — tg oc die Böschungsneigung des Bahn- oder Straßenkörpers, G einen Grabenquerschnitt von konstanter Größe,

des Querschnitts, wenn in der Achse

Damm vorhanden, des Querschnitts, wenn in der Achse Einschnitt vorhanden.

F(l die Dammfläche, fe die Einschnittsfläche Fe die Einschnittsfläche, fd die Dammfläche

Für die Fläche des Dreiecks A B G folgt

*w,

oder

oder

a er

ca

l—*

bö td

a a*

bsj cd

tc td

P i tr

fl*

Abh. 79.

Für eine gegebene Querneigung n und für veränderliche Werte von h und Fd stellt diese Gleichung eine Parabel dar, ebenso erhält man für das Dreieck BEF eine Flächengleichung von der Form

fe =

2 (1--—-

die gleichfalls eine Parabel ergibt. In dem nachfolgenden Flächenmaßstabe lassen sich die Klammerausdrücke der beiden Gleichungen mit Hilfe von Strahlenbüscheln für die verschiedenen Querneigungen finden, das Quadrieren der Größen

(t + 4H (4-t)

geschieht mittels Parabeln von der Gleichung y = x².

Zunächst dienen die Strahlen mit C als Ausgangspunkt

und sind demzufolge

(Abb. 80) zur Bestimmung der Werte —

unter einem Winkel, dessen Tangente n ist, gegen die X-Achse geneigt. Die Scheitel der Parabeln y = x² liegen von C aus um

Bi

—- auf der Abszissenachse entfernt, die Parabeln ergeben 2

demnach

Fd =

- - bzw.

v. G-laßer, Verfahren.

Bi

die Bildung der Werte    -f- — j

ausgehenden Strahlen, deren Neigungswinkel mit den Ordinaten-

¹¹-— entspricht, gestatten die

achsen dem Verhältnis

und

h\²

n,

. Die von 0 und 0'

2 1--

zeichnerische Multiplikation des Klammerausdrucks mit dem

n^O,2

iy =0,1

Tn

ü____&

Flächen 1mm —I.Oqm.

PA

<Ni

TUJ

izF-

Damrr

Lo:

Bi

Fläch

1mm =1,0qm

Einschnitt

'0,625m?

^ Grabe)? G Ofjm tief

Y'

,n.z

h und B im Maßstab 7 ■• 200

Abb. 80.

Bruche. Diese Flächenstrahlen lassen sich ohne jede Rechnung zeichnen. Man ermittelt die Hilfsgerade Iv L, indem man vom Ursprung auf der X-Achse den Wert m, auf der Y-Achse den Wert 2 abschneidet und die beiden Schnittpunkte verbindet. Trägt man dann auf der Abszissenachse den Wert n₃ in dem für m gewählten Maßstabe auf, sucht man ferner den zugehörigen Punkt M der Hilfsgeraden K L und verbindet diesen mit dem Ursprung 0 durch eine Gerade, so stellt diese den gewünschten Flächenstrahl dar.

Die Ableitung der Flächengleichungen für Fe und fd ist die gleiche wie sie für Fd und fe im vorangehenden gezeigt worden ist.

fd =

B t \²

2(1— —

Sämtliche Flächen Fd und fe, Fe und fd lassen sich aus dem Flächenmaßstabe (Abb. 80) entnehmen.

ü-

Fe

Abb. 81.

Die Teile der Parabel und der Flächenstrahlen für Damm zwischen der X-Achse und der Wagerechten durch den Parabel-

B

punkt P, dessen Abszisse — ist, kommen bei der Bestimmung

der fd-Flächen in Betracht, darüber hinaus bis zur Wagerechten

B

durch den Punkt Q mit der Abszisse 2 • — = B kommen Parabel

Li

und Flächenstrahlen für die Fd-Flächen in Frage. Ebenso ergeben sich die fe-Flächen zwischen X-Achse und der Wagerechten

Bi

durch den Parabelpunkt R im Abstand -x- von der Scheitelachse

L

der Parabel und die Fe-Flächen darüber hinaus bis zur Wagerechten

2 • B,

durch den Punkt S mit dem Abstande —-— = Bx von der Scheitel-

L

achse der Abtragsparabel.

Das eben Gesagte ergibt sich aus den vier Flächengleichungen.

Bx

Indem die Werte — sich zwischen0 und —r, die Werte —zwischen n    2    11

0 und — bewegen, nimmt h die Werte von 0 bis hn und t die Werte

Li

von 0 bis tn an. Es stellen dabei hn und tn die Grenzhöhen bzw. Grenztiefen dar, bei denen die Anschnittsquerschnitte in die reinen Querschnitte übergehen.

Die Richtigkeit der Konstruktion der von 0 und entsprechend von 0₄ ausgehenden Flächenstrahlen findet in folgendem ihre Bestätigung.

Die Gleichung der Geraden K L lautet:

y = P • x + q,

worin p = — —, q r    m

Somit

= 2 nach Konstruktion ist.

7-2(1—5-

Für ein gegebenes n₃ folgt y = 2 ^1 — ~j

Der Flächenstrahl n₃ besitzt alsdann die geforderte Neigung

n3 2(1 — —

gegen die Y-Achse.

Die Anwendung des Flächenmaßstabes (Abb. 80) geschieht nun folgendermaßen:

Die Dammhöhe h ist dem Längenschnitt, die Querneigung n₄ = tg ß dem Neigungsplan entnommen. Man ermittelt zunächst die Punkte des durch C gehenden Neigungsstrahles n₄, deren Ordinaten gleich dem gegebenen h sind, die Verlängerung der Ordinaten liefert die Schnittpunkte mit den Parabeln. Von diesen Schnittpunkten geht man dann in wagerechter Richtung zu den der Querneigung n₄ entsprechenden Flächenstrahlen, die wagerechten Abstände der so gefundenen Punkte von der Y-Achse bzw. Y'-Achse geben die gesuchten Flächen Fd und fe. Bei den Flächen der Einschnittsquerschnitte ist noch die Fläche eines Grabenquerschnitts zu addieren. Eine Parallele zur Y'-Achse im Abstande gleich der Fläche G gestattet in einfacher Weise die Addition.

Zusatz über die Ermittlung der Grunderwerbsbreiten nach v. Glaßer. Es ist hier noch die Bestimmung der Grunderwerbsbreiten angefügt, da bei Anschnittsquerschnitten die zumeist flachen Dammschüttungen und flachen Einschnitte häufig einen recht ausgedehnten Grunderwerb erfordern. Selbstverständlich muß man die Kosten des Grunderwerbes mit denjenigen Kosten vergleichen, die die Errichtung einer Stützmauer verursachen würde. Beim Vergleich der Kosten wird man sich leicht zu dem einen oder dem anderen entschließen können, falls nicht die Zweckmäßigkeit der Anordnung allein maßgebend ist.

Es wird hier die Bestimmung der ganzen Grunderwerbsbreite gezeigt, da es selten erforderlich ist, die Unterscheidung der Ländereien nach verschiedenen Kulturwerten rechts und links der Bahn- oder Straßenachse zu treffen.

Der Maßstab zur Bestimmung der ganzen Grunderwerbs breiten gestaltet sich für Anschnittsquerschnitte einfacher als für reine Querschnitte, weil die Grunderwerbs breiten dort nicht abhängig von den Einschnittstiefen oder Dammhöhen sind.

Nach Abb. 82 ist

-Xg

X,

Bz

Abb. 82.

hx = h + —• m = x₂ • m — x₂ • n,

h -j- — >m

rji-

-»i

X2

ferner

xx • m — xt • n

die Rechnung einzubeziehen.

* .h.

Ah

Für die Fläche F⁸ folgt:

oder

Fe =

±h«.-*-2 Ah

Fe =

• h².

4 Ah

Die Flächen Fe bestimmen sich genau wie die Flächen Fx (vgl. S. 40) mit Hilfe einer Parabel und mit Hilfe von Geraden

von der Richtung

nur als positiv in Betracht kommt. Die Größen r, die zur Absteckung in der Natur gebraucht werden, lassen sich aus dem gleichen Maßstabe nebenbei ermitteln, zur Flächenbestimmung sind sie nicht erforderlich.

Die Auftragsfläche fd läßt sich nicht unmittelbar bestimmen, jedoch ist man in der Lage, die Differenz der Flächen Fe — fd aus dem schon erwähnten Flächenmaßstab zu entnehmen, es ist diese Differenz

4 Ah

(Abb. 87). Zu bemerken ist, daß A h hier

Af = F³ —fd = F,

F

xo

fd = F³ q= Af.

sich aus

Die Fläche Ft (Fläche des Dreiecks D C J, Abb. 86) errechnet

F‘ = 2

— kV,

wobei

Ah

m ~2~

Anschließend an das Verfahren S. 33 u. f. für reine Querschnitte werden hier die Fälle 3 und 4 behandelt, bei denen die Höhendifferenz zwischen den Haupt- und Nebenlängenschnitten die Damm- oder Einschnittsfläche übergreift.

breite Querschnitte und stark gebrochene Geländelinien vorliegen.

Fall 3

'Uh

fgll 'n Lörrqenschnitt b

Abb. 85.

LangeaschnUt cl

'HauptlängenschnUt

Fall 3. Übergangsdamm.

Die Höhendifferenz A h übergreift die lEinschnittsfläche (Abb. 86).

~h

a) Grunderwerb. Die Grunderwerbsbreiten bestimmen sich ebenso wie für Fall 1 und 2, S. 36 und 38,

xi =

Ah

hx = k • hx.

Abb. 86.

Das Zeichen im Nenner ist stets negativ.

des Querschnitts, wenn in der Achse Einschnitt vorhanden, des Querschnitts, wenn in der Achse Damm vorhanden.

b) Querschnittsflächen. Es bezeichnet Fe die Einschnittsfläche fd die Dammfläche Fd die Dammfläche fe die Einschnittsfläche

Somit

AADK = Fe

AB CK = fd.

Zur Bestimmung von Fe ist es erforderlich, die Hilfsgröße r in

die Rechnung einzubeziehen.

* .h.

Ah

Für die Fläche F⁸ folgt:

oder

Fe =

±h«.-*-2 Ah

Fe =

• h².

4 Ah

Die Flächen Fe bestimmen sich genau wie die Flächen Fx (vgl. S. 40) mit Hilfe einer Parabel und mit Hilfe von Geraden

von der Richtung

nur als positiv in Betracht kommt. Die Größen r, die zur Absteckung in der Natur gebraucht werden, lassen sich aus dem gleichen Maßstabe nebenbei ermitteln, zur Flächenbestimmung sind sie nicht erforderlich.

Die Auftragsfläche fd läßt sich nicht unmittelbar bestimmen, jedoch ist man in der Lage, die Differenz der Flächen Fe — fd aus dem schon erwähnten Flächenmaßstab zu entnehmen, es ist diese Differenz

4 Ah

(Abb. 87). Zu bemerken ist, daß A h hier

Af = F³ —fd = F,

F

xo

fd = F³ q= Af.

sich aus

Die Fläche Ft (Fläche des Dreiecks D C J, Abb. 86) errechnet

F‘ = 2

— kV,

wobei

Ah

m ~2~

3m

^2*

■M

■e

\\^

vdh

ft

Abb. 87.

5S _

002■ L

fl

«VJ

ti

■'

bK

Abi). 88.

erwerbsbreiten und der Differenzflächen A f der Flächenmaßstab auf S. 40 oder 89 für reine Querschnitte benutzt werden. Zu beachten ist, daß die Höhe h von der Nullinie nach unten aufzutragen, also als negativ anzusehen ist. Das Zeichen des zweiten Gliedes im N enner von k ist hier negativ, also Ah als außerhalb der Dammfläche liegend zu betrachten.

Erscheint A f oberhalb der Nullinie, so ist es als negativ zu rechnen, im entgegengesetzten Falle ist es als positiv in Rechnung zu setzen (Abb. 88).

Fall 4. Übergangseinschnitt.

Die Höhendifferenz Ah übergreift die Dammfläche (Abb.89). Die Ermittlung des Grunderwerbs ist die gleiche wie bei Fall 1 und 2, die Ermittlung der Flächen läßt sich vollkommen

auf Fall 3 zurückführen. ' Der Auftrag Fd (AADK.) bestimmt sich wie der Abtrag Fe des Falles 3, ebenso die Abtragsfläche fe (ABCK.) wie der Auftrag des Falles 3. Es . sind somit die gleichen Flächenmaßstäbe für den Fall 3 zu verwenden mit der Beachtung, daß die Parallelen im Abstand h0 der Abszissenachse für Normal ein schnitt benutzt

Bi

HL

wie

Abb. 89.

und —— von

werden.

Die ermittelten A f addiert man zu Fe oder F'¹ bzw. zieht sie

ab entsprechend dem Fall 3 oder 4.

Die für beide Querschnittshälften gefundenen Auf- und Abtragsflächen werden von einer Achse aus aufgetragen und gleichzeitig addiert. Man erhält den Flächenplan, aus dem sich dann der Massenplan ergibt. Die Grunderwerbsbreiten werden ebenfalls von einer Achse aus nach beiden Seiten aufgetragen und bestimmen dann die Grunderwerbsflächen.

2. Verfahren nach Allitsch (s. Literatur).

Nachfolgende Flächenbestimmung für Anschnittsquerschnitte schließt sich an die auf S. 53 für reine Querschnitte mitgeteilte Die Damm- und die Einschnittsflächen werden gesondert bestimmt, die Geländelinie innerhalb des Querschnitts wird durch eine geradlinig verlaufende Linie dargestellt.

an.

C-

Ti>

■— tn

F*

A.

t₀

Abb. 90.

Die Grenzhöhen für reinen Einschnitt sind tn = n • —x~, für n B.

reinen Damm hn = —, für die dazwischen liegenden Werte

von h ergeben sich Anschnittsquerschnitte.

Bezeichnet Fd (Abb. 90) die Fläche des Dreiecks A D S,

so

folgt für

Fd = AADS = AABC — ACDE + ABES

oder

worin

= k-h,², h ²

F —

⁰ m •

Für fn folgt:

K h\²

²(— + —) \m n

Diese Gleichung leitet sich folgendermaßen ab:

a)    Fläche A B E S

b)    x1 = A,

.^o . E.A_ h« + h

2 m n 2

c) Xl =

h₀ + h — z h₀

ho

Aus b) und c):

xi

h₀ -b h

setzt man diesen Wert in Gleichung a) ein, so folgt

h²

h ^

f = —2_ -4-____

1,1    2 m '    2 n

(b„ + h)>

2 (m + n)

oder

ho

(n h₀ — m h)²

2 m n (m + n)

₂i

Es wird

B-n

fn = 0 für hk =

d. h. die Geländelinie schneidet die Planumskante, fn erreicht

B-n

seinen größten Wert für tn = ——— , d. h. bei dieser Einschnitts-

tiefe verschwindet der Damm überhaupt.

Die Gleichung

h\²

ho

stellt für die rechtwinkligen Koordinaten h und fn eine Parabelgleichung oder bei veränderlichem n die Gleichung einer ganzen Schar von Parabeln dar, deren Konstruktion sich einfach gestaltet, wenn folgendes berücksichtigt wird:

In dem auf S. 54 beschriebenen Flächenmaßstabe macht man die im Abstand F₀ zur Achse g gezogene Parallele zur Abszissen-

achse und g₂ zur Ordinatenach.se, g₂ liegt um die Fehldreieckshöhe h₀ von gx entfernt. Die Abszissenachse ist dann Scheiteltangente der Parabeln, die einzelnen Scheitel liegen um die Dammhöhe n-B

— von g₂ entfernt (Abb. 91). Das auf S. 54 angegebene Verfahren liefert für

9i

9z

-r

F„d

-9-

ÖLq

tn = n • — (Damm-

nullpunkt) einen Punkt L der Parabel (Abb.

91). Da ferner die Ver -bindungsgerade K. L durch den Punkt 0 gehen muß, weil für ein konstantes n der geometri- 3-> sehe Ort aller Fx = k • hx² eine Gerade ist, so lassen sich die Parabeln (Abb. 91 und 92). In Abb. 91 entspricht die Strecke 1/ L der Fläche des Dreiecks B'CD (Abbildung 90), 1/ L" dem Fehl- o dreieck CDE, LL" = L' L"

— 1/ L der Fläphe des Dreiecks B'DE.

leicht konstruieren

n=0,2    \

71 = 0,1 71= 0

w*4,6

n=0,5

n=0,3

Höhen 1-200

9b

91

h

-ff

Fo

= IL/lUF

2-

Die Ordinaten zwischen Anschnittsparabel und der Achse g drücken die um die Fläche des Dreiecks BES = fn verminderte Fehldreiecksfläche F₀ aus. Die Differenzfläche ist von der Fläche Fx des zum Dreieck ergänzten Querschnitts in Abzug zu bringen uud ergibt somit die gesuchte Anschnittsfläche. Das Abgreifen der Querschnittsflächen ist in

n-0

•i

\Einschnitt für t im

Höhen 1-200

Abb. 91 u. 92.

derselben Weise auszuführen, wie es auf S. 54 für reine Querschnitte gezeigt war, nur daß man für ein gegebenes h bzw. t des Anschnittsquerschnitts die Flächenordinaten bis zur jeweiligen Anschnittsparabel entnimmt.

Für Anschnittsflächen im Einschnitt liegen die Scheitel-

t ²

tangenten der Parabeln im Abstand F₀e = -AL von der Achse g

m

entfernt. Zu der gefundenen Einschnittsfläche ist noch die Fläche eines Grabens zu addieren.

Zur Bestimmung der Grunderwerbsbreiten eignet sich dieser Maßstab nicht, man benutze den einfachen auf S. 86 angegebenen Grunderwerbsbreitenmaßstab für Anschnittsquerschnitte.

¹

Die schrägstehenden Ziffern in der dritten Dezimalstelle bedeuten die Abrundung nach oben.

²

ab 7-1000

³

-X......,..1.

4. Verfähren nach Dolezalck.

In den Erdbauübungen an der Berliner Technischen Hochschule läßt Geheimrat Prof. Dolezalek für geneigtes Gelände sehr einfache Maßstäbe benutzen, die aus den dem Längen-schnitte entnommenen Höhen unmittelbar die Querschnittsflächen, Böschungsbreiten und Grunderwerbsbreiten ergeben.

Diese Maßstäbe, welche wie die anderen auf Millimeter-Papier zu zeichnen sind, eignen sich für die Ermittlung der genannten Größen im ebenen geneigten und in der Bahn- oder Straßen-achse geknickten Gelände, vor allem aber für Anschnitts- oder gemischte Querschnitte, da hierfür ein anderes einfacheres Verfahren nicht bekannt ist.

Diesen Maßstab zeigt Abb. 93. Vom Koordinatenursprung in 0 ausgehend, werden die m-Linien nach auf- und abwärts und ebenso die n-Linien in Zwischenräumen von etwa 0,1 aufgetragen.

Bezeichnen a und ß die Neigungswinkel der Böschung und des Geländes, so ist m = tg a und n = tg ß.

Parallel zur Ordinatenachse sind die Linien der halben

B    B

Planumsbreiten im Auf- und Abtrage — und —- zu zeichnen.

2    2

Empfehlenswert erscheint es, von O ausgehend auf den Koordinatenachsen in dem gewählten Maßstabe, der gleich dem Höhenmaßstabe des Längenschnittes oder ein Vielfaches davon sein kann, die Meterteilung einzuschreiben, um ein rasches schätzungsweises Ablesen der Flächenseiten und der Querschnittsflächen zu ermög-liehen. Die für gleiche Planumsbreiten und Böschungsneigungen konstanten Zahlenwerte

P>

h₀ = m • — , F₀ = h₀ • — für Auftrag, h₀' = m •    , F₀' = h₀' • für Abtrag

Oo

JP

n*= Linien

iCO

N)

t°o

3-

(0>

n- Linien

Abb. 93.

sind zweckmäßig neben den Maßstab zu schreiben, um sie für die jedesmalige Subtraktion zur Hand zu haben. Für geneigtes ebenes Gelände beträgt die Fläche des über oder unter dem Gelände liegenden Dreiecks nach Abb. 94 und 95 Fi = m • x, • x₂,

die in dem Flächenmaßstabe als Rechteck mit den Seitenlangen xx und m • x₂ erscheint, welche unmittelbar abgelesen werden können. Die Fläche des Auf- oder Abtrages ergibt sich dann mit

F = Fx — F₀.

x,

xz

xz

X,

Tb.

h₀

Ahb. 94 u. 95.

Die Grabenquerschnitte im Abtrage können entweder von F₀ abgezogen werden oder unberücksichtigt bleiben. Die Grunderwerbsbreiten bei nicht zu steilem Gelände sind xx und x₂, sie sind auf der X-Achse des Flächenmaßstabes abzulesen. Die Böschungsbreiten sind aus den m-Linien des Maßstabes zu entnehmen.

Beispiel. In Abb. 96 ist für einen Auftrag mit der Planumsbreite B, dem Böschungsverhältnisse m = 1 : 1,5 auf dem ebenen Gelände mit der Neigung n = 0,3 die aus dem Längenschnitte (Höhenmaßstab 1 : 200) entnommene Höhe h des Planums über dem Gelände in der Bahnachse. Die konstante Höhe h₀ ergibt sich aus dem Maßstabe in der—-Linie zwischen der Abszissenachse und der m-Linie. Faßt man mit dem Zirkel den dem Längenschnitte entnommenen h-Wert mit h₀ zusammen und trägt ht = h + h₀ anf dem Millimeter-Papiermaßstabe zuerst zwischen den oberen m- und n-Linien von A bis A' ein, so erhält man eine Seitenlänge m • x₂ des Flächenrechteckes Fx zwischen A und A", sodann die Grunderwerbsbreite x₂ von 0 bis A" und die Böschungs-

breite von A bis S einerseits der Bahnachse. Trägt man dann hx zwischen der unteren m- und der oberen n-Linie, also von C bis C' in dem Millimeter-Papiermaßstab auf, so erhält man xx von 0 bis C" als 2. Seitenlänge des Flächenrechteckes Fx, die Grunderwerbsbreite xx von 0 bis C" und die Böschungsbreite von C bis S' auf der entgegengesetzten Seite der Bahnachse. Die Fläche

lOrrv ~

7:200

/f

aP.

hi

moc₂

2 - F₀

tc”

A”

-ocr

-fc

TT

Ad

Abb. 96.

Auftrag: h₀ = m-^-, F₀ = h₀ . Abtrag: h₀' = m —■ , F₀' = h₀'    .

des Rechteckes Fx kann mit Berücksichtigung des für allgemeine Entwürfe erforderlichen kleinen Maßstabes durch Ablesung der beiden Seitenlangen mit Hilfe der in den Maßstab eingeschriebenen

v. G-laßer. Verfahren.

Längenzahlen in abgerundeten Maßen und Multiplikation ohne weitere Aufschreibung erhalten und nach Abzug der konstanten Fläche F₀ in dem Maßstabe des Flächenplanes, der zumeist mit 1 mm = 2,5 bis 10 qm angenommen wird, eingetragen werden. Das Rechteck Fx selbst und die Linien hx werden in den Maßstab nicht eingezeichnet, sondern nur die Punkte A A' A" und C C' C" mit Blei vermerkt. Diese Vermerke können nach dem Gebrauche wieder gelöscht werden. In Abb. 96 sind Fj und bq nur zur besseren Verdeutlichung eingezeichnet.

Für Anschnitts- oder gemischte Querschnitte ist der besprochene Maßstab zur Ermittlung der Flächen, der Böschungs- und Grunderwerbsbreiten besonders zweckmäßig.

C 1

\r

T i\r

V

Abb. 97.

Wie aus Abb. 97 hervorgeht, betragen die halben Planums-B B

breiten für Auf- und Abtrag — und Die n-Linie schneidet das

/B \ y    /B, _ \

(~2~ dt a 1 — und I — -f a 1 —, wobei das obere Zeichen für den

Planum im Abstande a rechts oder links der Bahnachse je nachdem im Längenschnitte, also in der Bahnachse, eine Auf- oder Abtragshöhe vorhanden ist. Es ergeben sich die Auf- und Abtragsflächen

yi

mit

Auftrag, das untere für den Abtrag gültig ist und y, jx die Dreieckshöhen für Auf- und Abtrag bezeichnen.

Der a-Wert wird durch Einträgen der dem Längen plane entnommenen Höhe h zwischen der Abszissenachse und der n-Linie des Maßstabes in der Abzsissenachse erhalten. Die dann

B    Bn _

abzugreifenden Längen -r- 4: a und ——f- a sind wagerecht

Y-mOqm

\-120

\-100

l-80

I- 60

Y-w

ozA

Maßstab des Ftächenpianes

Al

oo

16m,

$?

C'

Abb. 98.

co

=»•

~Z

/I

«0

l\

co

=*-

c\>

<5>

QQ|cv,

|-e—a.

\l

(Millimeterpapier) zwischen die m- und n-Linie einzutragen, wobei die Querschnittsflächen als Dreiecke, deren Seitenlangen in der X- und Y-Achse abzulesen sind, erhalten werden. Die

Dreiecke werden nicht gezeichnet, sondern deren Ecken nur mit kurzen Bleistrichen vermerkt. Die Böschungsbreiten sind sodann auf der m-Linie, die Grunderwerbs breiten auf der X-Achse abzulesen.

Ein Beispiel zeigt Abb. 98.

Die aus dem Längenschnitte entnommene Auftragshöhe h ist zwischen Q und R eingetragen, woraus sich der a-Wert zwischen O und Q ergibt. Die aus dem Maßstabe sodann unmittelbar zu

Bi

entnehmenden Größen —\- a und —

(Millimeterpapier) zwischen die m- und n-Linie eingetragen, wobei die mit kurzen Bleistrichen zu vermerkenden Punkte

a werden wagerecht

A A' A" für den Auftrag und C C' C" für den Abtrag erhalten werden. Die Dreiecke selbst werden nicht gezeichnet. Die Längen der Grundlinien und Höhen der beiden Dreiecke werden in den Teilungen der Koordinatenachsen abgerundet abgelesen und die Flächen mit Hilfe des nebenstehenden Maßstabes in den Flächenplan eingetragen.

Die Böschungsbreiten ergeben sich mit den Längen A 0 und C 0, die Grunderwerbsbreiten von der Bahn- oder Straßenachse aus gerechnet mit A" 0 — a und C" 0 + a; sie werden mit gleichen oder halben Längen in den Böschungsplan und in den Grunderwerbsplan eingetragen.

Erweiterung dieses Verfahrens nach v. Glaßer.

Im nachstehenden wird gezeigt, daß sich die bei dem vorgenannten zunächst für reine Querschnitte bestimmten Verfahren immerhin noch erforderlichen Rechnungen vermeiden lassen, indem die Querschnittsflächen, ohne sie erst in Zahlen umzusetzen, rein graphisch unmittelbar als Strecke zur Darstellung gebracht werden können.

1. Mit einem Radius r = c • — zeichnet man einen Kreis,

m

der durch den Ursprung 0 geht (Abb. 99) und dessen Mittelpunkt auf der X-Achse liegt. Der Wert c gibt die Vergrößerung des r-Wertes an; c ist beliebig anzunehmen, jedoch so groß, daß

größer als x/₂^ 2 xl x₂ wird (vgl. S. 104). xt und x₂ sind

die mit Hilfe des vorgenannten Verfahrens gefundenen Grunderwerbsstreifenbreiten rechts und links der Kunstkörperachse, m bedeutet die Böschungsneigung.

Qt

h/j

<23

02

\/

oi

8 10 12

16 18 20

■oc₂

Abb. 99.

in

I\ = x₂ m, r = c- = 12 • 1,5.

Mit x₂ als Radius schlägt man einen zweiten Kreis, dessen Mittelpunkt auf der X-Achse liegt und der durch 0 geht, er wird die Parallele zur Y-Achse im Abstande xx von 0 (Millimeterpapier) in L schneiden. Man schlägt um O mit O L als Radius einen

dritten Kreis, der den ersten vom Radius r = c • in M schneidet.

m

Nur der erste Kreis braucht gezeichnet zu werden, an Stelle des zweiten und dritten Kreises genügen Abstiche mit dem Zirkel. Die Strecke M N stellt den Flächeninhalt Fx =    • x₂ • m des

zum Dreieck ergänzten Querschnittes in c-facher Verkleinerung dar. Nach Abzug der Fläche F₀ des Fehldreiecks ergibt sich der Flächeninhalt F des trapezoidischen Querschnitts.

Da hier fast ausschließlich der Zirkel Verwendung findet und bei jeder Flächenbestimmung nur zwei Abstiche auszuführen sind, so dürfte diese Flächenbestimmung die Resultate rasch und sicher liefern.

Ehe zur Beweisführung des Verfahrens übergegangen wird, ist hier noch eine weitere kleine Vereinfachung des Verfahrens angegeben.

2. Man zeichnet den beliebigen Kreis r = c (Abb. 100), nimmt x₂ • m = y in den Zirkel und schlägt einen zweiten Kreis, der durch 0 geht und dessen Mittelpunkt auf der X-Achse liegt.

Auffrag

Abtrag

AS

uH

Qcs-

Abb. 100.

Fi = Ji x1? Ji = m A» r = c = 12.

Der Kreis schneidet die zur Y-Achse im Abstand xx liegende Parallele (Millimeterpapier) in L. Man schlägt mit 0 L als Radius um 0 einen dritten Kreis, der den ersten vom Radius r = c in M schneidet. Die Strecke M X stellt wieder den Flächeninhalt Fx = x₁ • x₂ • m des zum Dreieck ergänzten Querschnitts dar.

In der üblichen Weise erhält man nach Abzug des Fehldreiecks F₀ die Fläche F = Fx — F₀ des trapezoidischen Querschnitts des Kunstkörpers.

Anstelle des zweiten und dritten Kreises sind auch hier nur Abstiche mit dem Zirkel erforderlich.

/|\

ft

\ L

fr

-XI

V'-

Xr

Xg

Abb. 101.

Beweisführung. Es ist (Abb. 101) MN [| zur X-Achse,

Ö⁷F -J_ OM,

ÖM = OL = R

und

O' M = r = —

tga

dann folgt, da A 0 M N MN _ MAP'

ÖM ~ (YM

Da die Sehne 0 M durch das Lot vom Mittelpunkt 0' in P' halbiert wird, ist

O'MP' ist,

oder

MN MP'

MP' =

OM R

daher

MN R

und

R²

MN = —

m R²

Ist ferner LR [| zur X-Achse,

Ö⁷⁷!⁵" J_ OL,

0"L = 00" = x₂ und LK = x1? dann folgt, da AOLK-AO"LP" ist,

LK 2

oder

X2

R²

somit auch

//’

M N = m • —— = m • xx • x₂ — I\.

Dieses Produkt stellt die Flächengleichung des zum Dreieck ergänzten Bahn- oder Straßenquerschnitts dar. (Vgl. auch Literatur, Allitsch.)

Wird r = 1 gesetzt und mit y₂ == m x₂ ein Kreis geschlagen, der den Ursprung in 0 berührt, wobei das y₂ aus Abb. 100 leicht zu entnehmen ist, so folgt

MN

R2 R2

und

LK

oder

LK = Xj =

R²

daher

2y

> R² = 2y₂-x₁

MN = y₂*x₁ = Fr

Wird R > 2 r oder entstehen sehr flache Kreisschnitte so läßt sich die angegebene Konstruktion mit einem beliebigen Vielfachen von r durchführen, wie dies auch bei den Maßstäben Abb. 99 und 100 geschehen ist.

r = e • — (Abb. 99, c = 12) r = c (Abb. 100, c = 12).

oder

Es erscheint dann die Fläche Fx in c-facher Verkleinerung.

Bahnachse

rr,

n:0,85

Iw*

4*-xr

links abfallend

Abb. 102.

Abb. 104.

Neigungsplan.

+Y

jyy

vr

tjV' A

A47

np-nfOf

nfOf

_0

'i±X_

H'

ßc

Abb. 103.

Für Querschnitte, die eine stark gebrochene Geländelinie in der Bahn- oder Straßenachse haben, lassen sich die Querschnittsflächen wie folgt bestimmen.

Man ermittelt (Abb. 103) mit Hilfe ht die Breite x₂, schlägt mit x₂ einen Kreis, der durch G geht und die Parallele zur Y-Achse im Abstand der Höhe hx in L schneidet, schlägt um 0 den Kreisbogen L M, dann ist M N = 2 F/' = hx • x₂ die doppelte Fläche des Kunstkörperquerschnitts links der Achse; für die Querschnittsfläche rechts der Achse ist derselbe Vorgang zu wiederholen, nur daß hier ein anderer Neigungsstrahl n zu benutzen ist, man erhält

M' N' =2 F/ = bq • xx.

= Fx" + Fx\

Die Gesamtfläche des Querschnitts beträgt dann 2 Fx" + 2 F/

Um nicht die doppelten Flächen abgreifen und dann halbieren zu müssen, ist im Maßstab (Abb. 103) das r = 2 c gesetzt worden; c bedeutet das Vielfache der Vergrößerung von r. Man erhält dann:

MN = F" =

hi • X2

Vxi 2 ’

VX2 | VX1 2^2'

Es ist in Abb. 102 die Fläche des zum Dreieck ergänzten Gesamtquerschnitts

Vxi

h-i' x2

M' N' = F' =

Fx = Fx" + Fx' =

Wird xt <C so läßt sich der Kreisbogen mit xx als Radius

nicht zum Schnitt mit der Parallelen zur Y-Achse im Abstand hx bringen. Man verfährt dann einfach in der Weise, daß man eine Parallele zur Y-Achse im Abstand xx mit einem Kreisbogen vom Radius hx zum Schnitt bringt und dann die weitere Konstruktion wie oben an wendet.

Es bleibt auch hier bestehen

hr xi

hi • x₂

Von Fx ist noch die Fläche des Fehldreiecks abzuziehen, um die

'mau

16

e+cz

Ott

tt-

12

—°o

n\\Jk

—«O

Abb. 105.

—-----

-k-

\\

<3

10)

<H

e-\

<H

CL

gesuchte trapezoidische Querschnittsfläche zu erhalten. Durch

F

eine Parallele zur Y-Achse im Abstand wird die Subtraktion

Jj

leicht vollzogen.

Der Kreis mit dem Radi usr ist wiederum nur einmalzu zeichnen für alle übrigen Kreisbögen sind Abstiche mit dem Zirkel zu

nehmen. Durch das zu benutzende Millimeterpapier erspart man das Zeichnen irgendwelcher Linien.

Auch für Anschnitts- oder gemischte Querschnitte gestaltet sich das rein graphische Verfahren einfach.

Man bestimmt zum Beispiel mit Hilfe der aus dem Längen -schnitt entnommenen Auftragshöhe h den Wert a (Abb. 98 und

jg

105), nimmt -—- + a in den Zirkel und sucht die Wagerechte, 2

auf welcher der m- und n-Strahl die Strecke — 4- a einschließt.

2

Mit der gleichen Zirkelöffnung schlägt man durch 0 einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt auf der Y-Achse. Der Kreisbogen schneidet die gefundene Wagerechte; durch den Schnittpunkt schlägt man um O als Mittelpunkt einen zweiten Kreisbogen, der den Kreis r = const in dem Punkte schneidet, dessen Ordinate gleich der gesuchten Auftragsfläche F ist. Um die zum gleichen Querschnitt gehörige Abtragsfläche f zu erhalten, wiederholt

B

man den Vorgang mit der Strecke —- — a.

2

Erscheint die dem Längenschnitt entnommene Höhe im

— a dem Maßstabe

Abtrag, so sind die Größen —- -f- a und —

2 2

zu entnehmen und zur Flächenbestimmung zu benutzen.

Die Grunderwerbsbreiten und Böschungsbreiten sind aus dem gleichen Maßstabe abzugreifen (vgl. S. 100).

Nur der eine Kreis r = const ist zu zeichnen, für die anderen Kreise genügen Abstiche mit dem Zirkel.

Man erhält für eine Auftragshöhe h die Auftragsfläche

-j- a j ~ und die Abtragsfläche f =    —a) '

Bi

für eine Abtragshöhe h die Abtragsfläche F = l-^±- + a) 737

und die Auftragsfläche f =    — aj

y und y₁ bedeuten die Abstände der zwischen den m- und n-Strahlen gefundenen Wagerechten von der X-Achse.

E. Verfahren für Einschnittsqüerschnitte im Fels und darüber lagerndem Erdreich.

In der Regel werden tiefere Bahn- oder Straßeneinschnitte durch verschiedene Bodenschichten hindurchgehen. In gebirgigen Gegenden steht in gewissen Tiefen Fels an, über dem eine durch stete Verwitterung entstehende Humusschicht oder durch Gewässer gebildete Schicht von Sand, Ackererde, Torf, Kalktuff, Löß, Lehm usw. lagert.

Beim Einschnitt in Felsboden wird man einen anderen Querschnitt wählen als beim Einschnitt in Sand- oder Humusboden, da sich eine Böschungswand aus Fels als eine natürliche Mauer darstellt.

Die Trennung der beiden Schichten, Fels und loser Boden, muß man bei der Massenbestimmung vornehmen, einmal wegen der verschiedenen Auflockerung beim Abbau und der verschiedenen Abbau- und Transportkosten, anderenteils wegen der Verschiedenartigkeit der Querschnitte. Die Felsquerschnitte erhalten außer lotrechten seitlichen Begrenzungen in der Regel die Böschungsneigungen 1 : y₂ bis 1 : ¹/₆, die Erdquerschnitte 1 : 1,5 bis 1 : 1, so daß ein Gesamtquerschnitt mit wechselnder Böschungsneigung entsteht. Zum Schutze des oberen Böschungsfußes legt man meistens vor diesem eine 0,60 bis 1,0 m breite Benne an, die gleichzeitig ein Begehen der Böschung zuläßt.

Die Mächtigkeit der über dem Fels lagernden Erdschichten wird nicht immer die gleiche sein. Zur Vereinfachung der Massenberechnung jedoch gibt man der überlagernden Schicht auf einzelnen Teilstrecken der Bahn oder Straße eine mittlere unveränderliche Höhe.

Es sollen hier zwei Verfahren vorgeführt werden, von denen zurzeit nur das erste von Allitsch (s. Literatur) veröffentlicht ist. Der Grunderwerb, der bei den hier behandelten Querschnitten wegen ihrer verhältnismäßig großen Tiefe recht groß werden kann, läßt sich nach beiden Verfahren ermitteln.

Welches der beiden Verfahren zur Benutzung gewählt wird, hängt zum großen Teil davon ab, welches Verfahren bei der Querschnittsbestimmung in ein und derselben Bodenart zur Verwendung kam. Das Verfahren von Allitsch wird man dann gern an wenden, wenn die auf S. 53 und S. 91 genannten Querschnitts-

Bestimmungen vorausgegangen sind; das zweite Verfahren schließt sich an ein spezielles nicht an, es dürfte jedoch das einfachere sein, da die Hantierung mit der Winkelschablone, die beim ersten Verfahren zur Verwendung kommt, wegfällt und die Herstellung der notwendigen Maßstäbe ebenfalls nur geringe Mühe macht.

1. Verfahren nach Allitscli (s. Literatur).

In dem vorgelegten Querschnitt (Abb. 106) bedeutet:

! = tgocj die Böschungsneigung bei Einschnitt im Fels,

= tg a die Böschungsneigung bei Einschnitt im Erdreich,

z₀ = const die obere Einschnittstiefe des auf dem Fels lagernden Erdreichs, t₀ + t = ht die Einschnittshöhe des zum Dreieck ergänzten Felsquerschnitts,

B₂ die größte horizontale Gesamtbreite des Kunstkörpers im unteren Gestein, c die Horizontalbreite einer Berme, n = tg ß die Geländeneigung,

l~

ß₃

\K’

L%

-tx.

Bk

w

\ I tff/

\l/

\l/u

<r-

Abb. 106.

F die obere Einschnittsfläche A B Lj K,

F' die Fläche des Parallelogrammes A' B' L' K',

F" die Summe der beiden Parallelogrammflächen AA'K'K und B'BL L',

F'" die Dreiecksfläche B Lx L.

Es folgt für die Querschnittsfläche im Erdreich

Fe = F' + F" + F

fff

und für

F' = B₂ • z0 F" = 2 c • z₀

F'" =

n²

• z₀² (Vgl. s. 26),

m²

Ff

1mm=3,13qm

Ql

f’

Mz

Höhen 7 :250

M-

C: 7

Zo —

t/Q "t" t*—ht'j

K'

n=1,q

ZI

za

0,6

41+ trv

TZ

0,¥

V n =0.3

■M:

to

ß₂

Abb. 107.

für B₂ besteht:

b₂ =

mi(¹

n²

(t₀ -f- t) (vgl. ebenda).

m-^

Der Felseinschnitt A' B' D B (Abb. 106) wird im Flächenmaßstabe, Abb. 107, dargestellt durch die Flächenordinate

1) Ff — M Q — F₀ = k'(t₀ + t)²—F₀,

dabei entspricht die n-Liniengruppe der Felsböschungsneigung mx. Aus Abb. 107 folgt:

oder

Mi Qi =

Mi Qi

zo

k' (t₀ + t)²

k' (t₀ + t)²

(t₀ + U

(tp + U

• z₀ = k' (t₀ + t) z₀ .

Nach oben war

B₂ =

Gp + U — 2 k' (t₀ -j- t);

mi( 1

mx²

b₂

setzt man den Wert k' (t₀ -f- t) = ~ in die Gleichung für Mx Qx ein, so folgt

2)

b₂

F'

Mi Qi —    ^    ■ zp —    2 ’

Mi Qi stellt somit die halbe Fläche des Parallelogrammes A' B' L' K/ dar, und zwar im gleichen Maßstabe wie M Q, die Fläche des Dreiecks A' B' C,

3)

F" = 2c - Zq.

Der Flächenwert y₂ F" = c • z₀ läßt sich auf einfache Weise zu Mi Qi hinzuschlagen, indem man durch den Ursprung O den Strahl von der Richtung c : 1 zeichnet.

Es ist dann

M₂ Qj = y₂ (F' + F").

4) Die Fläche F'" = k • z₀² läßt sich ähnlich den Flächen F' bestimmen, nur muß ein anderes System von n-Linien benutzt werden, das der Böschungs-neigung m entspricht (Abb. 108). Es kommt hier also der auf S. 54 angegebene Maßstab unmittelbar zur Verwendung.

Es dürfte sich zur guten Übersicht empfehlen, das System dieser n-Linien nicht im selben Maßstabe einzuzeichnen, sondern

S-

~wr

rv=0,6

1—

ßS

z₀

(1-250)

rv=0,3

0,2

QJ.

Abb. 108.

zwei getrennte Maßstäbe anzulegen. Bei dem einen entspricht die n - Li nien-Gruppe der Böschungsneigung ml5 bei dem anderen der Böschungsneigung m (Abb. 107 u. 108).

Die Addition der Flächen im Flächenplane geschieht in der Weise, daß man unmittelbar über der Achse die Flächenordinaten des Felseinschnittes (Ff — F₀) aufträgt, alsdann zu diesen die Erdeinschnittsordinaten (Fe = F' + F" + F"') addiert.

auf den

Markiert man die Grenzwerte t₀ + tn — t₀ -+

n-Linien des Felsbodens, so erhält man die Grenzkurve für die reinen Querschnitte. Ist t₀ -j- t kleiner als der jeweilige Grenzwert

B-n

v. G-laßer, Verfahren.

t₀ + tn, so liegt der Felsquerschnitt im Anschnitt. Es setzt dann für die obere Bodenart mit der Böschung m die Querschnitts -bestimmung im normalen Einschnitt ein.

■g

Etwas Felsanschnitt ist noch bis zur Höhe t„ = n . — zu

¹¹ 2

bestimmen (Abb. 109) und von dem reinen Erdeinschnitt abzuziehen, falls es bei der Massenberechnung nicht genügen sollte,

■fit'

die Felsanschnittsfläche in die Erdquerschnittsfläche mit einzubeziehen .

Abb. 109.

Die Grund erwerbsbreiten und B ös chungs breiten. Da man bei den vorgenannten Doppelquerschnitten mit größeren Einschnittstiefen zu rechnen hat, so werden derartige Einschnitte einen verhältnismäßigen großen Grunderwerb erfordern.

Die Grunderwerbsbreite B₄ (Abb. 106) setzt sich zusammen aus der Grunderwerbs breite B₂ für Felseinschnitt, aus der Breite 2 c der beiden am Fuße der Erdböschungen liegenden Bermen und aus der Breite B₃.

B₄ = B₂ + 2 c + B₃.

Die Bermenbreiten c sind gegeben, für die Felseinschnitts-breite besteht

n²

b₂ =

mx 1

mx²

Es ergibt sich B₂ in Abb. 107 auf einer Parallelen g₂ im Abstand 2 von g. In der Abb. 107 fällt die Gerade g₂ mit der Querneigungsgeraden n = 0 zusammen.

Die Breite B₃ läßt sich ebenfalls leicht ermitteln, wenn man das Dreieck LBL₄ (Abb. 106) als einen zum Dreieck ergänzten Querschnitt mit der Böschungsneigung m und der Einschnitts-tiefe z₀ auf faßt. Man zieht (Abb. 110) wiederum im Abstand 2 von g eine Parallele g₂, der untere Winkelschenkel der Schablone

schneidet auf g₂ die Breite B₃ ab.

Bs =

n²

zo = 2k-Z₀.

m²

F"

■96°

n=0,6

0.5

OM

* — Zq —

0.3

02

9s

B₃

Abb. 110.

Die Addition B₂ + 2 c + B₃ ergibt die Gesamtgrunderwerbs-

breite B₄.

Für die Böschungsbreiten kommen nur die oberen in Betracht, da nur für die Erdböschungsflächen eine Befestigung oder eine Bepflanzung vorzusehen ist. j Die Böschungsbreiten sind in Abb. |

106 AK und BLr Bedeutet 1 ihre Summe, ist also 1 = A K + B Lx, so findet sich 1 aus

1 = B₃ il + m².

Abb. 111.

Graphisch erhält man die Summe der Breiten mit Hilfe der Geraden s von der Richtung y 1 + m² (Abb. 111).

2. Verfahren nach v. Glaßer.

Es bedeutet (Abb. 112):

= tg oq die Böschungsneigung bei Einschnitt im Fels, m = tg oc die Böschungsneigung bei Einschnitt im Erdreich, n = tg ß die Geländeneigung, c die horizontale Breite einer Berme,

z₀ = const. die obere Einschnittstiefe des auf dem Fels lagernden Erdreichs,

hj die Höhe des zum Dreieck ergänzten Felsquerschnittes,

=5H

Ba

K\

—3»|

Zo v\

Tb

*h'

OCz

Ff

’B

Abb. 112.

Ff die untere Einschnittsfläche (im Fels),

Fe die obere Einschnittsfläche (im Erdreich),

F' die Fläche des Dreiecks L B L1;

F" die Fläche des Parallelogrammes ABLK,

F₀ — 2 G die Fläche des Fehldreiecks, vermindert um 2 Graben-flächen,

B₂ die horizontale Gesamtbreite des Kunstkörpers im unteren Gestein,

B₃ die horizontale Breite des Dreiecks L B L1? hj die Einschnittshöhe des zum Dreieck ergänzten Felsquerschnitts.

Die Querschnittsfläche des Felseinschnitts beträgt B₂-hi

Ff =

F₀ + 2G,

desgleichen folgt für die Querschnittsfläche des Erdeinschnitts

CVJ -

- h,-,

1:250

<?>

s?

£>

Flächen \mm= 3,12\qm

F° coW

Ff

Ir;

•%'

V¹

nv^Z

1?\

!\

<b

I\

*1

ä\

*1

II

nJ

Abb. 113.

2--H (®2 + 2 c) z₀

B3 ' Z0

Fe = F' + F"

a) Maßstab für die Felseinschnittsfläche Ff. Nach S. 26 folgte für die Breite B₂

B₂ =

n¹

h^

ni!¹

B₂ findet man in der folgenden Weise: Trägt man 1% = tg a als Strecke auf (Abb. 113) und schlägt darüber einen Halbkreis, schneidet ferner von dem einen Endpunkt der Strecke mx aus als Sehne die Größe der Geländeneigung n = tg ß im Maßstab der Strecke mx ab (vgl. S. 30), lotet schließlich die Schnittpunkte auf die Strecke mx herab, so entstehen die Abschnitte von der Größe

mi( 1

n¹

und

n¹

mt¹

Macht man den Polabstand BP = 2 (Abb. 113) ebenfalls im Maßstab der Strecke m.i und verbindet P mit den für die verschiedenen n gefundenen Fußpunkten, so entsteht ein Strahlenbüschel mit den Strahlenrichtungen

mi

HM¹ —

n¹

mx¹

für die übrigen Kreisbogen genügen Abstiche mit dem Zirkel. Die zur Y-Achse senkrechte Strecke M N stellt die Fläche des

■Zo

7-250

1\

b₃

f1-250)

2_

All

\o

Ql CS\ CS\ o\ö

Abb. 114.

zum Dreieck ergänzten Felsquerschnitts dar. Nach Subtraktion der Fehldreiecksfläche ergibt sich die Felseinschnittsfläche

F,_—2“

= Fläche F\

-F»

1mm =3,125qm

c) Maßstab für die Parallelogrammf lache ABLK von der Größe (B2 + 2 c) z₀.

s\

Abb. 115.

Zu 2 c (= Breite zweier Bermen) addiert man auf einer Geraden die unter a) gefundene Breite B₂. Alsdann liefert ein in der Richtung z₀ : 1 gezogener Strahl s₂ die Fläche F" des Parallelogrammes (Abb. 115).

Durch Addition der Flächen F' und F" erhält man die Querschnittsfläche des über dem Fels lagernden Erdreichs

Fe = F' + F".

Die Parallelen zur Y-Achse im Abstand der Grenzwerte B • n

t'n —

b) Maßstab für die Fläche des Dreiecks LBLX

B3' zo 2 .

gleichen Weise wie den unter a) genannten her mit dem Unterschiede, daß hier nicht die

von der Größe

Man stellt diesen Maßstab in der

zc

Felsböschungsneigung m1? sondern die Erdböschungsneigung m als Strecke aufzutragen ist, Abb. 114.

Die

Bildung des Produkts —^—-

4

ßz

(1-250j

gestaltet sich für die verschiedenen Breiten B sonders einfach, da z₀ ein konstanter Wert ist.

Strahl sx von der Richtung

: 1 besorgt die Multipli-

4

kation.

be-

Der

MN —

B3'Z0

-— im Maßstab a) für Felsboden ergeben die in Abb. 113

4 punktierte Grenzkurve. Der Felsquerschnitt befindet sich im Anschnitt für alle h₄ kleiner als der markierte Grenzwert tn, der auf dem der Querneigung entsprechenden n-Strahl liegt. Vgl. hierzu S. 114.

Die Grunderwerbsbreiten. Nach Abb. 112 setzt sich die gesamte Grunderwerbsbreite B₄ zusammen aus

4“ 2 c + B₃.

Alle diese Einzelbreiten sind bereits bei der Flächenbestimmung zur Verwendung gelangt, ihre Addition ist im Grunderwerbsbreitenplan ohne Mühe zu bewerkstelligen.

Müssen die Ländereien rechts und links der Bahn- oder

Straßenachse verschieden bewertet werden, so läßt sich das Verfahren auf S. 96 zur Anwendung bringen. Man bestimmt nach diesem Verfahren zunächst für Felseinschnitt die Breiten x4 imd x₂, Abb. 112,

xi + X2 =

alsdann die Breiten x₃ und x₄,

X3 + X4 = B₃.

Es ergibt dann

X1 + x3 + C

die Grunderwerbsstreifenbreite links der Achse,

x₂ + x₄ + c

die Grunderwerbsstreifenbreite rechts der Achse; c bedeutet hierin die horizontale Breite einer Berme.

Die Böschungsbreiten bestimmen sich genau in derselben Weise wie im Verfahren 1 S. 115.

BIBLIBTEKA POLITEGHNIOZHA

KRAKOW

Literaturnachweis.

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v. Lichtenfels, Berechnung von Einschnitts- und Damminhalten aus dem Längenschnitte. Organ für Fortschritte des Eisenbahnwesens 1895, S. 75.

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Seile, Ein Erdmassenmaßstab. Zentralblatt der Bauverwaltung 1900. S. 202.

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Schönhöfer, Genaue zeichnerische Ermittlung des Flächenprofils und des Grunderwerbs. Zeitschrift des österr. Ing.- und Arch.-Vereins 1903, Heft 9.

Coulmas, Beitrag zur Bestimmung von Querschnittsinhalten von Bahnkörpern. Zentralblatt der Bauverwaltung 1903, S. 249.

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—    Zur Ermittlung von Flächenprofil, Grunderwerb und Böschungsausmaß. Zentralblatt der Bauverwaltung 1906, S. 118.

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Allitsch, Die Erdbewegung bei Ingenieurarbeiten unter besonderer Berücksichtigung der ausführlichen Vorarbeiten sowie der Abrechnung für Trassierung von Straßen, Eisenbahnen und anderen Verkehrswegen. Innsbruck 1908.

Dippel, Beitrag zur zeichnerischen Flächen- und Massenermittlung von Dammkörpern. Zentralblatt der Bauverwaltung 1909, S. 195.

Kolb, Zur zeichnerischen Ermittlung der Erdmassen. Zentralblatt der Bauverwaltung 1913, S. 416.

E3

Druck der Universitäts-Buchdruckerei von Gustav Schade (Otto Francke), Berlin und Bernau.

Das Strahlenbüschel gestattet bei einem gegebenen n, die zur Höhe hx gehörige Breite B₂ ablesen zu können.

B₂-hx

auf graphischem Wege

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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vl-

¹

ie Bildung des Produkts

geschieht alsdann in der Weise, daß man entsprechend der Flächen -Bestimmung S. 102 einen beliebigen Kreis r = const. zeichnet. Mit dem oben gefundenen B₂ schlägt man einen Kreisbogen, dessen Mittelpunkt gleich dem des Kreises r = const. auf der X-Achse liegt, der Kreisbogen schneidet die zu hx gehörige Ordinate im Punkte L. Durch L legt man einen zweiten Kreisbogen mit P als Mittelpunkt, der Kreis r = const. wird alsdann im Punkte M geschnitten. Nur der Kreis r = const. muß gezeichnet werden,