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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej .... ______ CC

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Walter de Gruyter & Co.

Sammlung Göschen

Analytische Geometrie der Ebene

Von

Dr. Robert Haußner o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena

Zweite, verbesserte Auflage

Mit 60 Figuren im Text

fl

vormals G.J.Göschen’sche Verlagshandlung . J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer . Karl J. Trübner . Veit & Comp.

Berlin 1 9 3 4 Leipzig

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung vorbe

ahalten. ^

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Archiv-Nr. 110065.

BIBLIOTEKA

I- Ъолз<а8

Druck von C. G. Röder A.-G., Leipzig.

Inhalt.

1. Abschnitt. Geometrie in der Geraden.

1.    Strecken und Winkel..................

2.    Koordinaten......................

3.    Teilverhältnis einer Strecke...............

4.    Doppelverhältnis....................

5.    Harmonische Punkte und Strahlen...........

Seite

^ ÎO 00 СЛ

2. Abschnitt. Koordinatensysteme der Ebene und Grundformeln.

6.    Parallelkoordinaten.......................

7.    Polarkoordinaten........................

8.    Hilfssatz über Projektionen...................

9.    Transformation von Parallel- in Polarkoordinaten und umgekehrt

10.    Transformation zwischen Parallelkoordinaten...........

11.    Länge und Richtung einer Strecke; Teilverhältnis.........

12—14. Flächeninhalt von Dreiecken und Vielecken.........

15. Aufgabe der analytischen Geometrie...............

15

18

19

20

23

26

27

31

3. Abschnitt. Die gerade Linie.

16.    Die Gerade mit gegebener Richtung durch einen gegebenen Punkt .

17.    Die Gerade durch zwei Punkte.................

18.    Normalgleichung........................

19.    Allgemeine Gleichung.....................

20.    Senkrechter Abstand eines Punktes von einer Geraden......

21.    Winkel zweier Geraden.....................

22.    Schnittpunkt zweier Geraden..................

Strahlenbü^chel * .

24.    Dreieckssätze........

25.    Sätze von Ceva und Menelaos

26.    Das vollständige Viereck . . .

23.

4. Abschnitt. Kurven zweiter Ordnung.

32

33

34

36

38

39

41

42

44

47

49

27.    Geometrische Örter...............

28.    Allgemeine Gleichung zweiten Grades......

29.    Mittelpunkt im Endlichen und Durchmesser . . .

30.    Achsen. Bedingungen, daß die Kurve ein Kreis ist

31.    Mittelpunkt im Unendlichen. Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung 63

32.    Tangente und Polare........

33.    Asymptoten. Konjugierte Durchmesser

52

55

57

59

66

69

5. Abschnitt. Gestalt der Kurven zweiter Ordnung.

34.    Ellipse ..........................

35.    Hyperbel..........................

36.    Parabel ...........................

71

76

6. Abschnitt. Tangenten und Polaren.

37.    Konstruktion für alle drei Kegelschnittarten......

38.    Kreis, Ellipse und Hyperbel.............

39.    Asymptotensätze der Hyperbel............

40.    Parabel.......................

Seite

82

83

85

88

7. Abschnitt. Konjugierte Durchmesser.

41.    Allgemeine Konstruktion konjugierter Durchmesser ....

42.    Ellipse und Hyperbel..................

43.    Sätze über konjugierte Durchmesser und Asymptoten . . .

44.    Parabel........................

89

90

96

101

8. Abschnitt. Brennpunkte und Leitlinien.

45.. Ellipse und Hyperbel....................

46.    Sätze...........................

47.    Parabel..........................

48.    Sätze für Ellipse, Hyperbel und Parabel...........

49.    Die Kurven zweiter Ordnung als Kegelschnitte........

9. Abschnitt. Die Potenz eines Kegelschnittes.

50.    Definition der Potenz....................

51.    Satz von Pascal.....................

52.    Satz von Brianchon....................

53.    Konstruktion eines Kegelschnittes aus fünf Punkten oder Jünf Tangenten ........................¹ ... .

54.    Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis. Potenzlinie zweier

und Potenzpunkt dreier Kreise.................

55.    Kreisbüschel und Kreisnetze..................

103

106

109

111

112

117

119

. 120

122

124

128

10. Abschnitt. Der Punkt.

56.    Linienkoordinaten..............

57.    Gleichung eines Punktes............

58.    Zwei Gerade, gegeben durch ihre Linienkoordinaten

59.    Zwei durch ihre Gleichungen gegebene Punkte . .

60.    Punktreihe................

61.    Transformation von Linienkoordinaten......

132

133

135

137

138

141

11. Abschnitt. Kurven zweiter Klasse.

62.    Allgemeine Gleichung einer Kurve zweiter Klasse........

63.    Berührungspunkt einer Tangente ...............

64.    Die Kegelschnitte als Hüllkurven ...............

65.    Überführung der Linien- in Punktkoordinaten für eine spezielle

Kegels chnittgleichung.....................

66.    Zerfallende Kurven zweiter Klasse ...............

57. Identität der nicht zerfallenden Kurven zweiter Ordnung und zweiter

Klasse......... . . ................

143

144

116

147

149

151

12. Abschnitt. Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsachsen von Kreisen.

68.    Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise . .

69.    Ähnlichkeitsachsen dreier Kreise . .

70.    Das Apollonische Berührungsproblem

Sachregister...........

154

157

161

1. Abschnitt.

Geometrie in der Geraden.

1. Strecken und Winkel.

I. Die Strecke P±P₂ einer Geraden g heißt eine gerich-

—

tete Strecke und wird mit PXP₂ bezeichnet, wenn nicht nur ihre absolute Länge P₁P₂, sondern auch ihre Richtung in Betracht gezogen wird. Der erste Buchstabe einer gerichteten Strecke soll stets den Anfangs-, der zweite den Endpunkt bezeichnen. Demnach kann die gerichtete

Strecke P₂PX nicht mit PtP₂ identisch sein; sie hat zwar die gleiche absolute Länge, aber die entgegengesetzte Rich-

tung. Trägt man an den Endpunkt P₂ von PXP₂ die ge-

—

richtete Strecke P₂ Рг an, so fällt der Endpunkt der letzteren mit dem Anfangspunkte der ersteren zusammen. Man erhält also

P₁P₂+P₂P₁=0 oder P₁Ą--^—P₂Ąi

während ohne Berücksichtigung der Richtung Px P₂ + P₂ Px *= 2 Pj P₂ = 2 P₂ Px ist. Bezeichnet man die eine Richtung der Geraden g, z. B. die von Рг nach P₂, als die positive Richtung, so wird man im Sinne der vorstehenden Gleichung die entgegengesetzte als die negative benennen. Die positive Richtung einer Geraden soll in den Figuren durch eine Pfeilspitze angedeutet werden.

Durch bloße Parallelverschiebung können nun zwei Strecken einer Geraden g von gleicher Länge und gleicher Richtung zur Deckung gebracht werden. Das gleiche gilt

auch noch für zwei gerichtete Strecken in parallelen und gleichgerichteten Geraden.

Aus der Definition der gerichteten Strecke folgt sofort weiter, daß für drei Punkte einer Geraden g, mögen sie zu einander liegen, wie sie wollen (Fig. 1), stets die Gleichung gilt:

Pх P₂ + ^2^3 "b P3P1 — 0 oder P₁P₂ + P2P3 — PiPz-Diese Beziehung läßt sich auf beliebig viele Punkte ausdehnen; es muß nur der Endpunkt jeder Strecke der Anfangspunkt der nächstfolgenden, der Endpunkt der letzten Strecke der Anfangspunkt der ersten sein:

P\P% “P P2P3 "P P3P&    * * * -j— Pn—1 Pn + PnP\ ~~~ b •

II. Um den von zwei sich schneidenden Geraden (Strahlen) gx und g₂ gebildeten Winkel unzweideutig bestimmen zu

P,

Pi

Pj^p,

-o-—o—

9t

P* _Л

Pz

Fi g. 1.

//

//

\\

9z 9,

$2 9t

Fig. 2.

ffz 9

können, setzt man zunächst für jede Gerade die positive Richtung und ferner für die Ebene (дг g₂) den positiven Drehsinn’willkürlich fest. Dann soll ^g±g₂ oder <£ (gvg₂) den Winkel bezeichnen, um den man den Strahl дг in positivem Sinne um den Schnittpunkt 8 von g± und g₂ drehen muß, bis er mit dem Strahle g₂ so zusammenfällt, daß sich auch die positiven Richtungen decken. Die Figur 2 veranschaulicht die verschiedenen Möglichkeiten; die den Kreisbögen angefügte Pfeilspitze gibt den positiven Drehsinn und zugleich an- Für jede mögliche Annahme aber gilt stets¹)

<9i9i + <9i9i= 2тг

und mithin

sin0i 92 = —sin g₂ дг, cos^ g₂ = + cos^дл.

г?

«»

92

9Ï

Ь Fig. 3.

9t

<9i9i + <9г9г + <9a9i = k ‘ ² я 9i9i + ^929з + ’ ’ ‘ + “ÿ 9n-i9n + ■=£9»9i = к' 2я, wo к eine positive ganze Zahl bezeichnet, die nach der

Die Beziehungen zwischen drei und mehr in gleichem Drehsinne gemessenen Winkeln (Fig. 3), die den obigen Beziehungen zwischen drei und mehr gerichteten Strecken entsprechen, sind:

*) Erklärung von Bogenmaß: Da der Winkel sich zur Ebene verhält wie jeder Bogen zwischen seinen Schenkeln, dessen Zentrum im Scheitel des Winkels liegt, zum Vollkreise, so hat man, wenn l der Bogen des Winkels auf dem Einheitskreise (Kreis mit der Längeneinheit als Radius), ip die Zahl der Grade desselben

Winkels und л die Ludolphsche Zahl bedeuten: <p : 360 = 1:2 л, also I = л •

180 *

Man nennt l das Bogenmaß des Winkels, das man aus dem Gradmaß durch

Größe der Winkel verschiedene Werte hat. Welches aber auch der Wert von к sein mag, stets ist

sin    = —sin (g₃gi), cos (g₁g₂+gig₃) = cosOafc).

Als positiver Drehsinn soll weiterhin stets der dem Drehsinn des Uhrzeigers entgegengesetzte gewählt werden.

2. Koordinaten.

Um die Lage eines Punktes P auf der Geraden g bestimmen zu können, wählt man auf g einen festen Punkt О als Null- oder Anfangspunkt und einen zweiten festen

Punkt E als Einheitspunkt; die gerichtete Strecke OE gibt dann die Maß- oder Längeneinheit und soll zugleich die gositive Kichtung von g liefern. Natürlich ist es gleich-dültig, auf welcher Seite von О der Einheitspunkt E angenommen wird. Liegt g horizontal, so soll dem jetzt üblichen Gebrauche folgend, der Punkt E rechts von О gelegen und mithin die rechte Hälfte von g als die positive

bezeichnet sein. Für einen um x Längeneinheiten von О ■—>-    —>-

entfernten Punkt P ist OP = x- OE, wo x eine positive oder negative Zahl ist, je nachdem P auf der positiven oder negativen Hälfte von g liegt. Die so einem Punkte P zugeordnete Zahl von x Längeneinheiten heißt seine Koor-

Multiplikation mit erhält. Hierbei ist für jede Minute des Gradmaßes — Grad zu setzen, also z.B. für einen Winkel

180

Grad und für jede Sekunde — *

72667

-•MOT* Die fols™4e

von 20° 11' 7" die Gradzahl cp = 20 +

Tafel gibt für einige ausgezeichnete Winkel das Bogenmaß:

Gradmaß: 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 180° 270° 360° 720°.

„    n    Л Л Л Л Ъл Л 2 7Г 3 Л    Зл

Bogenmaß: 0    — - - — — T —    *

di n ate, die durch seine Lage eindeutig bestimmt ist. Umgekehrt aber bestimmt eine positive oder negative Zahl x als Koordinate einen und nur einen Punkt P auf g.

Soll der Nullpunkt in einen anderen Punkt O' auf g, dem die Koordinate ж₀ zukommt, verlegt und von ihm aus die

Koordinate x' eines Punktes P gemessen werden, so folgt aus OP = 00’+ (УР:

(1)

*=*o+z', x'=x — x₀.

Die gleiche Überlegung liefert auch die Länge einer —>-

Strecke PXP₂, ausgedrückt durch die Koordinaten xx und

—>~    —>-    ■—>-

x₂ ihrer Begrenzungspunkte: OPx+ PjP₂ = ОP₂, also

—

(2)

Px P₂— %₂    % •

3. Teilverhältnis einer Strecke.

Das Verhältnis zweier gerichteter Strecken auf g ist eine positive oder negative Zahl, je nachdem beide Strecken gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind. Insbesondere

ist das Teilverhältnis

= x eines Punktes P der

gp

pK

Strecke PXP₂ eine positive Zahl, wenn P ein innerer, d. h. zwischen Рг und P₂ gelegener Punkt ist, dagegen eine negative Zahl, wenn P ein außerhalb der Strecke PXP2 gelegener (äußerer) Punkt der Geraden g ist.

Läßt man P die ganze (unendlich lange) Gerade g durchlaufen, so nimmt x alle Zahlenwerte von —oo bis + oc an. • Fällt nämlich P mit Px zusammen, so ist x gleich Null; wandert dann P von Px nach P₂, so wächst PXP, während PP₂ abnimmt, und folglich durchläuft x stetig alle positiven Zahlen bis +⁰⁰* Für den Halbierungspunkt Я ist

x = 1. Ist P ein äußerer Punkt, so ist Py P > bzw. < P P₂, je nachdem P über P₂ oder über Px hinaus liegt. In dem ersteren Falle hat x Werte < —1, die mit der Annäherung von P an P₂ gegen — oo streben, während in dem zweiten Falle die Werte von x zwischen 0 und —1 liegen. Wenn P unendlich fern liegt, sei es auf der Seite von P1 oder auf der von P₂, so ist

-l,

P,P 1\p₂ + KP ... KK t_„

PPi

PP₂ Tp₂

da PXP₂ endlich, PP₂ aber unendlich groß, P±P₂• PP2 daher = 0 ist.

Bedient man sich der Ausdrucksweise, daß jede Gerade nur einen unendlich fernen Punkt besitzt — welche Ausdrucksweise sich stets als sehr zweckmäßig erweisen wird —,soentspricht jedem Punkte P der durch

die Punkte Px undP₂gehenden Geraden g ein be-

—

stimmter Zahlenwert des Teilverhältnisses РгР:

PP₂, — wenn noch die beiden Grenzwerte + oo und — oo, die dem Falle P = P₂ zugehören, für das Teilverhältnis als gleichbedeutend angesehen werden — undumgekehrt entspricht jedem Werte von x ein bestimmter Punkt P. Der unendlich ferne Punkt einer Geraden wird auch als uneigentlicher Punkt und das TeilungsVerhältnis ioo als uneigentliche Zahl bezeichnet.

Mit Benutzung der sich nach (2) für PXP und PP₂ er-

X erhält man aus

—

gebenden Ausdrücke x — x₁ und x₂ —

■—

x — P±P : PP₂ als Wert der Koordinate x von P:

X — xy

x₂ — X

4. Doppelverhältnis.

Sehr häufig ist es vorteilhafter, drei feste Punkte einer Geraden g zu benutzen, um einen vierten Punkt zu bestimmen. Dies gilt besonders für die Bestimmung eines vierten Strahles durch einen Punkt S in bezug auf drei feste Strahlen.

Man versteht unter dem Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden Pl5 P₂, P₃, P₄ den Quotienten der beiden Teilverhältnisse

РзКрА

und bezeichnet es durch (P₁P₂PSP₄), wo die Reihenfolge der Punkte für den Wert des Doppel Verhältnisses wesentlich ist¹).

Unter dem Doppelverhältnis von vier durch einen Punkt# gehenden Strahlen gl9 g₂, g3i g± eines Strahlenbüschels versteht man entsprechend den Quotienten

: x₂ = V

sin&fo'sin&ßj

Sind drei

fest,

und bezeichnet es mit (дгд₂д₃</₄). Die Winkel werden in der früher angegebenen Weise bestimmt, wobei es aber jetzt, wie man sich leicht überzeugt, gleichgültig ist, welche Richtung eines jeden Strahles man als die positive wählt. Punkte Pj, P₂, P₃ auf einer Geraden g Strahlen g₁, g₂, gz durch einen Punkt 8

*) Für die Definition des Doppelverhältnisses (1 2 3 4) von vier Punkten

— <~

oder Geraden merke man sich das Schema 1 2 3 4 .

-4—-

f Punkte P₄ ] \ Strahle g₄ |

ein be-

so gehört jedem beliebigen vierten

stimmter Wert v des Doppelverhältnisses zu, und umgekehrt entspricht jedem Werte von v ein und nur ein Punkt P₄ auf g [

Strahl g₄ durch $(*

Gerade g, bzw. dreht sich der Strahl g₄ um S, so nimmt x2 und folglich auch — aber in anderer Ordnung — der Quotient xx: x₂ = v, da xx eine bestimmte endliche Zahl ist, alle Werte von —oo bis + oo an. Ist aber umgekehrt v gegeben, so kann man den zugehörigen Punkt P₄ oder Strahl g₄ eindeutig bestimmen auf Grund der Gleichung

PiK

*2= =>T

Aus der Definition von (P1P2P3P4) folgt (P1P2P3P4) ~ (P3P4 ^1 ^2) •

Denn durchläuft der Punkt P₄ die

rH i

йГ Mar

bzw.

ginft0₄ = 1_ ńng₁g3 sing₄g₂ v sinдъд₂

Es ordnen sich also die vier Elemente eines Doppelverhältnisses zu zwei gleichberechtigten Paaren an, die miteinander vertauscht werden können. Die Elemente eines jeden

Paares heißen kon-j ugiert.

Schneidet man (Fig. 4) vier Strahlen ft, 0₂, ft,, (/₄ mit einer beliebigen Geraden 0 in den Punkten Pj, P₂, P₃, P₄, so kann der zweifache Flächen-

SPl

/Из

Jk"

9"

Pz

P3 /Г

■9

inhalt der Dreicke PXP₃S und P₃P₂S in doppelter Weise dargestellt werden:

PiPoS = P₁P₃-Ji = P-.S • P₃S • sin дгд₃ ,

P₃P₂S = P₃P₂-h=P₃S• P₂S • äng₃g₂, wo h die gemeinsame Höhe beider Dreiecke ist. Dann ist auch dem Vorzeichen nach richtig die Gleichung:

(a)

PiP₃₌pis .skiffs P₃P₂ pis sin9s92

PiK ₌ PjS . sin gxg4 p^p₂ ^2<s' sin?4?₂ ’

wo für Рг8, P₂S die absoluten Längen dieser Strecken zu nehmen sind.

Analog

Daher ist

(^1 ^2    ^4) — G/iffe ^3^4) •

Da <7 beliebig gezogen war, so gilt für eine andere Gerade g' und ihre Schnittpunkte P*Q mit gQ (ç> = l,2,3,4)

(p;p'p.;p;) = (M2?3?4)

und für vier andere_Strahlen durch die Punkte P und einen beliebigen Punkt 3:

(P1P2P3P4) = (gihMt),

also auch

(P1P.P.P1) = (P[ pi P’₃ Pi) - (<k9M) = (SiâthSÙ ■

D. h.: Das Doppelverhältnis von vier Strahlen ist gleich dem ihrer Schnittpunkte mit einer beliebigen Geraden. Das Doppelverhältnis vonvier Punkten einer Geraden g ist gleich dem ihrer Zentral-Projektionen von einem Punkte 8 aus auf eine andere Gerade g'. Schneiden sich vier von einem Punkte 8 ausgehende Strahlen mit vier von einem anderen Punkte 8 ausgehenden in

Punkten einer Geraden, so sind die Doppelverhältnisse der ersten und der zweiten vier Strahlen gleich.

Unter der Zentral-Projektion eines Punktes P einer Geraden g von einem Punkte (Zentrum) S auf eine Gerade g' versteht man den Schnittpunkt P’ von SP mit g.

5. Harmonische Punkte und Strahlen.

Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall x₂ = —x1? also v= —1, in welchem Falle man von vier harmonischen Punkten, bzw. Strahlen, spricht. Da dann die Teilverhältnisse der Elemente 3, 4 (also entweder P₃, P₄ oder g₃, g₄) entgegengesetzt gleich sind, so trennen von vier harmonischen Elementen die Elemente des einen Paares die des anderen.

Sind vier Punkte Pn durch ihre Koordinaten

xQ 1,2, 3,4) gegeben, so ergibt sich aus (3) für ihr Doppelverhältnis

(p₁p₂p₃p₁) =

X₃    ' #4 Æj

#2 #з #2    *^4

woraus man für vier harmonische Punkte die Bedingung erhält:

2 (x₁ x₂ + x₃x₄) — (x₁ + x₂) (x₃ + ж₄) = 0. Für x^ = oo ergibt diese Bedingungsgleichung x₃

хг+х2 2 ’

und umgekehrt kann sie für diesen Wert von x₃ nur durch æ₄=oo erfüllt werden. Daher: zum Halbierungspunkte P₃ einer Strecke РгР₂ gehört als konjugierter harmonischer Punkt der unendlich ferne Punkt der Geraden. Ferner:

Halbiert von vier harmonischen Strahlen g₃ den von gx und g2 gebildeten Winkel, so steht sein kon-möglich ist für <ft0₄ =| + <$0403, <Ï020₄ = J—< 0₃ 9*•

Aus diesen letzteren Werten aber folgt wieder <0!03 ⁼ <9з 02*

2. Abschnitt.

Koordinatensysteme der Ebene und Grundformeln.

6. Parallelkoordinaten.

Um die Punkte einer Ebene zu bestimmen, legt man in ihr zwei sich schneidende Gerade als Achsen zugrunde, wählt ihren Schnittpunkt 0 als Nullpunkt und bestimmt auf jeder Achse die Punkte in der im vorigen Abschnitte behandelten Weise bei gemeinsamer Längeneinheit¹). Zum Unterschiede bezeichnet man die Koordinaten auf der zweiten Achse mit у und nennt dementsprechend die erste Achse X- oder Abszissenachse, die zweite У-oder Ordinatenachse. Die Æ-Koordinaten heißen auch Abszissen, die y- Koordinaten Or di n at en. Beide Achsen bilden das Koordinatensystem. Ziehtman dann durch einen Punkt P zu den Achsen die Parallelen P A und P В,

—>■

jugierter Strahl</₄auf ihm senkrecht und umgekehrt.

Denn aus

sin 9i9&

*M9i9z sin g₃g₂

sin0₂0₄, was, da 0₄ nicht mit g₃ zusammenfallen kann, nur

sin 0402

= — 1 folgt sin ft 04 =

so ist BP = О А = X, AP — OB = y, und man nennt diese Strecken die Koordinaten des Punktes P, О А

x) Zur zeichnerischen Darstellung nimmt man unter Umständen für die beiden Achsen verschiedene Längeneinheiten an; so wählt man z. B., wenn die Ordi-naten einzelner Punkte gegenüber ihren Abszissen sehr groß sind, die Längeneinheit auf der y-Achse nur gleich einem geeigneten Bruchteile der Längeneinheit auf der X-Achse.

—>-

oder В P seine Abszisse, О В oder A P seine Ordinate. Sind die Koordinaten x, y gegeben, so erhält man den zugehörigen Punkt P, indem man auf der X-Achse OA = x auf der Y-Achse OB = y konstruiert und durch A und В

die Parallelen zu den Achsen zieht oder z. B. nur O A = x

konstruiert, durch A die Parallele zur Y-Achse zieht und —>-

auf ihr AP = y abträgt. Den Punkt P bezeichnet man, wenn man auch seine Koordinaten angeben will: P(x,y) oder auch kurz nur (x, y).

Der Null- oder Anfangspunkt hat die Koordinaten 0,0; jeder andere Punkt der Abszissenachse die Ordinate 0, während die Abszisse x =f= 0 ist¹), und jeder andere Punkt der Ordinatenachse eine von Null verschiedene Ordinate, aber die Abszisse 0. Der Winkel w= <£(+X, + Y) soll auch stets in positivem Drehsinn gemessen werden und heißt der Koordinatenwinkel; für w kann jeder Wert zwischen 0 und 2n, mit Ausnahme von n, genommen werden. Die beiden Koordinatenachsen teilen die ganze Ebene in vier Felder, die in positivem Drehsinne mit 1,2, 3, 4 bezeich-

71

net werden mögen. Ist w — — , so heißen die vier Felder

и

Quadranten. Die Vorzeichen der Koordinaten eines Punktes sind nach seiner Lage in den vier Feldern in der folgenden Tafel für w < Tt zusammengestellt:

Feld

Für die Punkte eines jeden Feldes ist also eine bestimmte

*) Das Zeichen =|= bedeutet „nicht gleich“.

Vorzeichenkombination ihrer Koordinaten charakteristisch, wie dies auch die Fig. 5a veranschaulicht, in der die Koordinaten der vier Punkte P, P', P", P'" gleiche Zahlenwerte

y=y'

-------

V-

x^x”- -X

x=x'”

__-Л

P"

Fig. 5a.

haben und sich nur durch die Vorzeichen unterscheiden. Für w > 7Г gilt dieselbe Tafel, wenn die Feldnummern in der Reihenfolge 4, 3, 2,1 auf einanderfolgen.

Die hier zur Ortsbestimmung verwandten Koordinaten heißen wegen der charakteristischen Figur О AB P Parallelkoordinaten, die man noch als schiefwinklige oder

тс

rechtwinklige unterscheidet, je nachdem w 4= — oder w =

^ ist. Den Wert von w wählt man so, daß das Koordi-

u

natensystem sich für die jeweilige Aufgabe besonders eig-

H a u ß n e r, Analytische Geometrie der Ebene.

net; in vielen Fällen wird dies für w = ~ der Fall sein,

schon deshalb, weil dann die meisten Grundformeln eine besonders einfache Gestalt annehmen.

Das Koordinatenprinzip findet sich in klarer bestimmter Weise zuerst in Descartes’ Géométrie¹), die 1637 in Leiden in französischer Sprache erschien, ausgesprochen. Deshalb heißen die Parallelkoordinaten auch Cartesische Koordinaten (Descartes, latinisiert Cartesius). Sein Buch stellt aber keine theoretische Behandlung der analytischen Geometrie oder gar ein Lehrbuch derselben in jetzigem Sinne dar²).

7. Polarkoordinaten.

Die Punkte einer Ebene lassen sich noch in anderer Weise bestimmen. Durch einen Punkt 0, den Nullpunkt oder Pol, zieht man einen Strahl s, der als Polarachse³) oder auch kurz Achse

->

Fig. 5b.

bezeichnet wird, und mißt die absolute Länge r des Abstandes irgendeines Punktes P

der Ebene von 0, sowie den Winkel#, um den die Polarachse

in positivem Sinne gedreht werden muß, bis sie mit OP auch der Richtung nach zusammenfällt (Fig. 5b). Läßt man,

wie häufig, zu, daß der sich drehende Strahl beliebig oft um 0 dreht, so ist der Winkel nur bis auf beliebige Vielfache von vier Rechten bestimmt. Der Strahl OP heißt Leitstrahl oder radius vector des Punktes P; der in Bogenmaß gemessene Winkel s,OP — & heißt Phase oder Amplitude des Punktes P. Radiusvektor r und Amplitude & eines Punktes heißen seine Polarkoordinaten (zuerst [nach Tropfke] von Jakob Bernoulli 1694 benutzt).

8. Hilfssatz über Projektionen.

Um den Zusammenhang zwischen Parallel- und Polarkoordinaten abzuleiten, dient die folgende Hilfsbetrachtung.

Unter der Projektion einer Strecke PXP₂ auf eine gerichtete Gerade g' versteht man die Strecke zwischen den Fußpunkten P\, P'₂ der von Px und P₂ auf g gefällten Lote :

Р[П= РгРг-ыъф,

wo PXP₂ die absolute Länge der Strecke und ф =    g', g

den Winkel bedeutet, um den die Gerade gf in positivem

Sinne gedreht werden muß, bis ihre positive Richtung mit

—

h^9

-pT?

Р/

Pr

der Richtung РХР₂ zusammenfällt. Es ist ф gleich dem spitzen Winkel %, den die Geraden gf und g einschließen, wenn die positiven Richtungen beider Geraden nach derselben Seite zeigen, und gleich n + %

im anderen Falle ; je nach--—>-

dem ergibt sich P[ P[₂ positiv oder negativ (Fig. 6).

Dadurch, daß nicht in jedem Falle der spitze Winkel % in der obigen Formel benutzt wird, ist die Projektionsformel inhaltsreicher, insofern sie auch über die Richtung der Projektion Aufschluß gibt.

Für solche gerichteten Projektionen gilt der wichtige Satz:

Die Projektion eines geschlossenen Linienzuges P₁P₂... PnPl5 der in ein und derselben Richtung durchlaufen wird, auf eine beliebige Gerade gf ist Null.

Beweis: Die Projektionen der Punkte Pl5 P₂, ..., Pw seien F , P', ..., P'n. Dann ist, wenn die Winkel, die g'

—>- —V    —>-

mit den Geraden Рг P₂, P₂ P₃,..., PnP± im obigen Sinne einschließt, mit фг, ф₂, .. ., фп bezeichnet werden:

Pi P2 * COS </>! + P₂P₃* COS^₂H-----h Pn-1 Pn * COS <pn-1

+ PnPie COS <pn

=Ęp;+    • • •+p'n~iK+ кН=о, w. z. b. w.

—>_    —>-

Da PnPj und PjPw entgegengesetzt gerichtet sind, so

—>-

unterscheiden sich die Winkel фп =    PnP\ und

фп = PiPn um ж, folglich ist cosфп = cos(^n dz л) = —cos фп, und folglich kann auch geschrieben werden:

PjPn* COS фп — P±P₂ - СО*ф₁ + P₂P₃* C0S^2

d~ ’ * ’ d~ Pn—i Pn * cos фп—1.

9. Transformation von Parallel- in Polarkoordinaten und umgekehrt.

Das Parallelkoordinaten- und das Polarkoordinatensystem, die zueinander in Beziehung gebracht werden sollen, mögen so liegen, daß der Nullpunkt und die positive

Z-Halbachse des ersteren Systems Pol und Polarachse des letzteren sind. Durch einen beliebigen Punkt P(x,y) werde die Parallele zur Y-Achse (Fig. 7) gezogen, die in A die Z-Achse schneide, und das Dreieck О AP О auf die Z-Achse und eine zu ihr Senkrechte s, deren y) positive Richtung nach —-L derselben    Seite    der    ^

Z-Achse zeige, wie die + Y-Achse, projiziert.

Dann ist nach dem Satze des vorigen Paragraphen :

P*

x';

ly

iS

Fig. 7.

OP - cos(+Z,OP) = OA - cos(+Z,OA)

+ AP - cos(+Z, AP),

OP - cos(+ s , OP) = O A - cos(+ s , OA)

+ АP - cos(+ s , AP).

Liegt der Punkt A auf der positiven Z-Halbachse, so

ist seine Abszisse x= O A positiv, also der absolute Be-

—

trag von OA—x und cos(+Z, OA) = cos(+Z, + Z) = cos 0 = 1 ; liegt aber A auf der negativen Z-Halbachse⁴),

so ist seine Abszisse x negativ, also der absolute Betrag

—

OA=—x und cos(+Z, OA) = cos(+Z,—Z)=cos;r

= —1. In jedem Falle ist daher OA - cos(+ Z, O A) = x. Ebenso ist AP = y oder = —y, je nachdem der Punkt P auf der Seite der + Г- oder —F-Halbachse liegt; daher

cos(+X, AP)=cos(+X, + 7)=cosw oder cos(+X, AP) = cos (+X, —Y) = — cos w. Aber stets ist

AP • cos (+ X , AP) = y • cos w. Da $JLćM=X,so ist cos(+s, OA)= 0. Nun gilt für jede Richtung OP:

<3c(+$, OP) = <£(+$, + X) + <ÿ(-f-X, OP) — к⁹ 2tt , wo к = 0 oder 1 ist, also

cos(+s,OP) = cos [(s, X) + (X, OP)]

= — sin(+ s, + X) • sin(+ X, OP)

== — sin(+5, + X) sin# ,

ebenso

cos(+s, AP)= —sin(-f-s, +X) • sin(+X, AP)

= — sin(+s,+X)- sin(+X,±y)

= — sin(+ s, + X) • {± sin w} .

Das obere oder untere Zeichen gilt, wie zuvor, je nachdem

AP = AzV ist; daher stets ^4P • cos(+$, AP) =—у • sin(+s, +X) • sinw. Setzt man alle gefundenen Werte in die obigen Gleichungen ein, so erhält man¹): r • COS# = X + у • COS W у • sin w ’

r • sin (w — #)

(4)

r • sin # =

sin w

r • sin #

r — ]Дс² + У² + 2 а; 2/ cos w , y =

T • COS # — X,

т • sin # = y,

Zur Bestimmung von # sind die beiden ersten Formeln zu benutzen, da bei Verwendung von einer der beiden For-

(4')

jt

w= —

sin w

*) Die mit einem Akzent versehenen Formelnummern, wie hier (4') beziehen sich stets auf rechtwinklige Koordinaten.

mein allein sich zwei Werte für # ergeben, von denen nur der eine auch der anderen Formel für # genügt.

10. Transformation zwischen Parallelkoordinaten.

22. Schnittpunkt zweier Geraden.

+ 2///(®0,yo)Y+/(^,y0)=P.

35. Hyperbel.

Üy'

P.Ą- PlA . P-Л' P-X . Р3Л-РзЛ

61. Transformation von Linienkoordinaten.

70. Das Apollonische Berührungsproblem.

Vektor- und Dyadenrechnung

Grundlagen und Ergebnisse der

¹

) Deutsche Übersetzung von L. Schlesinger, 2. Aufl., Leipzig 1923.

²

*) Vgl. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, Bd. VI, S. 101 fl., Berlin 1924.

³

s) Die Polarachse erstreckt sich also von 0 aus nur nach der einen Seite ins Unendliche; diese Richtung wird stets als ihre positive Richtung genommen.

⁴

) In Fig. 7 veranschaulicht О AP О den Fall ж>-0, y>- 0 und OA'P'O den Fall x ■< 0, у -< 0. Für Punkte in den Feldern 1 und 3 haben x und у entgegengesetzte Vorzeichen.

10. Transformation zwischen Parallelkoordinaten.

Oft ist es nützlich, statt eines ParaUelkoordinatensystems X, Y ein anderes X', Yr zu benutzen.

I. Beide SystemeX, Y;

X', Y' haben parallele und gleichgerichtete Achsen, aber verschiedene Anfangspunkte О und O' (Fig. 8).

Der Anfangspunkt des

neuen Systems habe die

—

Koordinaten OC = x0l

OD= y₀ in bezug auf das alte System. Sind BP = x, .—

AP = у die alten und Bf P = x',A'P = y' die neuen Ko-ordinaten eines Punktes P, so folgt nach (1) sofort

Г'

/в Гв’

Di

Qi

Fig. 8.

(X = z₀ + x\ [x'= X — Xq ,

(5) oder

*/'= У — Уо-

Eine Parallelverschiebung des Achsenkreuzes ändert also Abszisse und Ordinate eines jeden Punktes nur um die konstante Abszisse,bzw. Ordinate des neuen Anfangspunktes in bezug auf das alte System.

Aus (5) ist ersichtlich, daß die neuen Koordinaten des Anfangspunktes des alten Systems —x₀, — y₀ sind.

II. Beide Systeme haben denselben Anfangspunkt, aber die Achsen des neuen Systems

sind gegen die des alten gedreht. Es sei (Fig. 9)

(+ A, + X') = oc, <3C (+ ^ j + F') = /9.

Um die entsprechenden Formeln zu erhalten, sollen die Formeln (4) benutzt werden, indem zwei Polarsysteme zu

Hilfe genommen werden, deren , Achsen mit der positiven X-bzw. X'-Halbachse zusammenfallen, während der Nullpunkt >X О für beide der Pol ist. Für einen Punkt P ist daher OP Radiusvektor in beiden Polarsystemen, während <£(+X,

ÖP) = #,<£(£',ОР) = У sei. Der Koordinatenwinkel des neuen Systems ist ß — * oder 2n — (oc — ß), je nachdem ß>oc oder ß < OC ist, und die Amplitude & ist gleich 27Г+    —oc) oder gleich ^—oc, je nachdem OP innerhalb

des Winkels л liegt oder außerhalb¹). Daher gelten für die alten und neuen Koordinaten von P stets die Beziehungen: r- cos = x + у cos w , r •    r • cos ($ — oc)

= x'+ y'- cos (ß — x)f

T • sin 'Э' = у • sin w , f • sin &'= r • sin — oc)

= 2/'- sin (/9 — л).

Durch Elimination von r • cos # und r • sin# erhält man zwei Gleichungen zwischen x, у; ж', ?/', aus denen sich leicht die Transformations-Formeln ergeben:

—    ос) = я • sin/9    —у sin(w—ß) ,

—    л) =—ж-shm    +?/*sin(w—ос) ;

=    ж'- sin (w —&) + yf• sin (w—/9),

=    ж'* sin л:    + «/'• sin/9.

II.

«r

-t-

Fig. 9.

\x • sin w; y • sinw

x) Man zeichne sich für die verschiedenen Fälle entsprechende Figuren, aus denen sich die vorstehenden Beziehungen leicht ergeben.

III. Die allgemeinste Transformation eines Parallelkoordinatensystems, mit dem Anfangspunkte О in ein anderes mit dem Anfangspunkte O', dessen Achsen gegen die alten Achsen geneigt sind, ergibt sich aus den vorstehenden Formeln, wenn in ihnen nach dem Satze unter (I) x durch X — x₀ und у durch у — yQ ersetzt wird.

IY. Wichtige besondere Fälle.

ß = oc +    : Übergang von einem schiefwinkligen zu

и

einem rechtwinkligen System mit anderem Anfangspunkte.

(7) I- {

= (x — x₀) cos oc + (y — y₀) cos (w — oc),

= —(x — x₀) sin oc + (y — y₀) sin (w — oc) ;

II.

+ у'• COS& .

x • sinw = x₀ + x'• sin(w — oc) — y'* cos(w—oc), у • sin w = y₀ + x'• sin oc

7Г    7Г

w = — und ß = a + —: Beide Systeme sind recht-Ł    Ł

winklige.

I lx = (x ~ ж°) cos Ä + (У “ Уо) sin * ’

U A’ ⁼ ~(x~ z₀)sina + (y — y₀)cosoc ;

II.

(x = x₀ + * cos oc — y' • sin oc, 12/ = Уо + x'* sina + у'- cos oc.

«) = |und« = 0: Übergang von einem rechtwinkligen

и

zu einem schiefwinkligen Systeme, deren X- und X'-Achsen parallel sind.

(9)1

У’=    (У—Уо) sin^; \У= y₀+y'ainß.

11. Länge und Richtung einer Strecke; Teilverhältnis.

Die zwei Punkte P± und P₂ seien gegeben durch ihre Koordinaten ж1? уг\ x₂, y₂ in bezug auf ein Parallelkoordinatensystem. Es soll die Länge l der Strecke P₁P₂

R\_. Pp

% Bk\

und der Winkel oc bestimmt werden, um den der durch Рг zur + X-Achse gezogene Parallelstrahlin positivem Sinne

>/}

gedreht werden muß, bis —>-

Fig. 10a.

er mit PXP₂ zusammenfällt. Denkt man sich das Koordinatensystem pa-Л% А Л/ X rahel verschoben, bis der Anfangspunkt in den Punkt Pj fällt, so sind nach § 10, I die neuen Koordinaten von P₂ : x\ = x₂ — xt, y'₂= y₂ — yx und daher nach den Formeln S. 22 (4):

(10)

I = ~У(х₂—х₁У+(у₂—у₁у+ 2 (x₂—Xj) (y₂—yjcos w I' cos«= x₂—x₁-\-(y₂—г/j)сот, I • smoc=(y₂—yjsinw.

(10')

l = У (x₂ — Xlf + (y₂ — yj

l cos oc — x₂ — x₁ , l sin oc = y₂ — yx.

Teilt der Punkt Р(ж, у) die Strecke P₂P₂ im Verhältnis PXP: PP₂ = x, so teilen die Schnittpunkte der Parallelen zu den Achsen durch die drei Punkte die Achsen im gleichen Verhältnis (vgl. hierzu Fig. 10 a):

Vl + X У 2

1+ X

(11)

A₁A : A A₂ — B₁B : В B₂ = x : 1, folglich erhält man nach S. 10 (3): хг+к x2 1+x ’

12—14. Flächeninhalt von Dreiecken und Vielecken.

Um ferner den Flächeninhalt J des Dreiecks ОРгР durch die Koordinaten der Punkte Рг und P₂ auszudrücken, beachte man, daß derselbe gleich dem halben Produkte zweier Seiten in den Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist und sich daher mittels der Polarkoordinaten von P1? P₂ schreiben läßt:

also nach S. 22 (4):

1    X1 Vi

2    t/₂

(12) J=s

2 rl • r2 • sin(^2 — Л) .

\{*1Уг — хгУ\) sinw¹).

sin w —

1    xi!h

2    x₂y₂

üt

(12') w = —: J—

Die Formeln (12) und (12') liefern den Flächeninhalt nur dann positiv, wenn &₂ > ^ ist, im anderen Falle negativ, und es müßten in den Formeln die Indizes 1 und 2 mit-

x) Das Symbol J

Xi Vi Xi у i

ist durch xx уi — Xi yx definiert und heißt eine

Determinante zweiten Grades. Bezeichnet man die Diagonale von links oben nach rechts unten als Haupt-, die andere als Nebendiagonale, хъуъхг,уг als ihre Elemente, so ist also der Wert einer Determinante zweiten Grades gleich dem Produkte der in der Hauptdiagonale stehenden Elemente, vermindert um das Produkt der in der Nebendiagonale stehenden. Die Determinantenschreibweise zu benutzen, empfiehlt sieh durch die größere Übersichtlichkeit und das bequeme Rechnen mit Determinanten, was beides schon bei den Determinanten dritten Grades deutlich hervortritt.

einander vertauscht werden, wenn der Flächeninhalt sich mit positivem Vorzeichen ergeben soll. Im ersten Falle (Fig. 10 a) folgen die Punkte 0, Plt P₂ in positivem, im zweiten Falle (Fig. 10 b) in negativem Drehsinne aufeinander. Um nicht die beiden Fälle unterscheiden zu müssen, soll der Flächeninhalt des Dreiecks ОРгР₂ — die Reihenfolge der Ecken ist wesentlich, was durch den Pfeil angedeutet wird — stets durch die Formel (12) gegeben sein. Dann liefert die rechte Seite von (12) durch ihren absoluten Betrag den nu-merischen Wert des Flächeninhalts von OP±P₂, durch ihr Vorzeichen + oder — aber läßt sie erkennen, ob die drei Ecken in positivem oder negativem Drehsinne aufeinanderfolgen. Durch die Zulassung von negativen Flächeninhalten ist somit die Formel (12) inhaltsreicher geworden.

lö

Fig. 10 b.

Offenbar ändert sich der Drehsinn nicht, in dem die Ecken

des Dreiecks aufeinanderfolgen, wenn man statt OPxP2 ->- ->-

schreibt Рг P₂0 oder P₂OP₁. Eine solche Vertauschung der Ecken nennt man eine zyklische Vertauschung.

Fig. 11.

Ordnet man nämlich (Fig. 11) die Zahlen 0,1,2 auf der Peripherie eines Kreises \ in gleichen Abständen an, so geht die An-J Ordnung 012 durch eine Drehung um /z 120° in positivem Sinne in 2 01 und durch eine weitere gleiche Drehung in 1 2 0 über. Ebenso gehen die drei Anordnungen 0 21,

AU BiTCXTl' лг XX Д в»

/w л

10 2, 210 zyklisch ineinander über durch Drehungen in negativem Sinne.

13. Den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks

PiP₂P₃ (Fig. 12) erhält man unmittelbar aus (12) durch Parallelverschiebung des Koordinatensystems, so daß der Anfangspunkt, wie in §11. in den Punkt Px fällt:

1 I #2

kO

'/7

Fi g. 12.

(13) РгР₂Р₃ =

*1 2/2 —

2\x₃ — x₁y₃ —

sin w

-HI

ч2/1

Ч У 2

X2 У2

хз Уз

sin w.

хз Уз Х1 2/1

11

sin w

(13') p₁p₂p₃ =

J* J»

2/1 ¹

У21 ł).

Уз 1

x) Das hier benutzte Symbol wird als Determinante dritten Grades bezeichnet. Auch hier heißt die Diagonale von links oben nach rechts unten die Hauptdiagonale, die von rechts oben nach links unten die Nebendiagonale. Der Wert läßt sich mit Hilfe der folgenden Gedächtnisregel leicht hinschreiben. Nach ihr denke man sich die beiden ersten Spalten nochmals rechts neben die Determinante geschrieben, bilde die Produkte der in der Hauptdiagonale und der in den beiden Parallelen zu ihr stehenden Elemente und subtrahiere von ihrer Summe die Produkte der in der Nebendiagonale und der in den beiden Parallelen zu ihr stehenden Elemente:

Al В 2 Cg -f- A3 Bl Cg 4" A3 Bg Ci-A3 B g Ci-Al Bg C g-A3 В\ С.

= (Al Ба—A3 Bl) Cg 4* (A3 Вд-Ад Вд) СХ + {Ад Бг~АХ Вд) Сдд

Hinsichtlich des Vorzeichens der rechten Seite gilt das für das Dreieck ОРгР₂ Gesagte. Der mittlere Ausdruck für

РгР₂Р₃ in (13) läßt sich auf Grund von (12) schreiben:

РгР₂Р₃= ОРгР₂+ OP₂P₃ + OP₃PX, welche Beziehung nur richtig ist, wenn, wie geschehen, dem Flächeninhalt eines Dreiecks auch ein bestimmtes Vorzeichen zukommt. So tritt z. B. für Fig. 12 der Flächeninhalt des Dreiecks О P₃ P± in der letzten Gleichung doppelt auf; in den beiden ersten Dreiecken hat er positives Vorzeichen nach S. 27 (12), in dem letzten negatives. Es bleibt also,

->- ->- ->-

da ОРг P₂,OP₂P₃ positiven, О P₃ Рг negativen Flächeninhalt haben, nur der Flächeninhalt von P₁P₂P₃, und zwar mit positivem Vorzeichen, übrig.

14. Aus der geometrischen Interpretation der Formel (13)

erhält man sofort die Verallgemeinerung für ein b eH e big e s ->-

n-Eck РгР₂ ... Pn — auch ein solches mit einspringenden Ecken — als Summe von w-Dreiecken :

0PxP₂+ 0P₂P₃ + --- + 0 Pn—i Pn + G Pn Рг und daher für seinen Flächeninhalt den Wert:

-И1

Vl X2 У2

хпУп

X1 У1

wo jede Determinante aus der vorhergehenden durch zyklische Vertauschung der Zeilenindizes entsteht und der Zeilenindex der zweiten Zeile in der letzten Determinante

z₂ y₂

х*Уз

I)

• sin w

xn—1 Уп—1 хп Уп

Weiteres über Determinanten und das Rechnen mit ihnen siehe P. B. Fi sch er. Determinanten (Sammlung Göschen Bd. 402.) übereinstimmt mit dem der ersten Zeile in der ersten Determinante. Das Vorzeichen der rechten Seite ist positiv oder negativ, je nachdem die Ecken Рг, P₂,..., Pnim entgegengesetzten Drehsinne des Uhrzeigers oder im gleichen durchlaufen werden.

15. Aufgabe der analytischen Geometrie.

Die Aufgabe der analytischen Geometrie ist es, geometrische Probleme in algebraische Form einzukleiden und sie dadurch der rechnerischen Behandlung zugänglich zu machen. Dies geschieht mit Hilfe der Koordinaten. Daher ist der Begriff des geometrischen Ortes, d. h. des Ortes aller Punkte, die gegebenen Bedingungen genügen, grundlegend für die analytische Geometrie. Es handelt sich darum, für solche geometrischen Örter Gleichungen zwischen den Koordinaten ihrer Punkte aufzustellen, so daß aus diesen Gleichungen umgekehrt wieder die geometrischen Eigenschaften herausgelesen werden können. Diese Gleichungen werden kombiniert und transformiert, um schließlich durch Deutung der Endgleichungen neue geometrische Sätze ablesen zu lassen. Die geometrischen Betrachtungen werden somit durch Rechnung ersetzt; die Schwierigkeit aber liegt darin, für die analytische Behandlung eines jeden Problems möglichst einfache Ausgangspunkte zu schaffen und das Maß der notwendigen Rechnungen auf ein möglichst geringes zu beschränken.

In der analytischen Geometrie der Ebene sind die geometrischen Örter, um die es sich handelt, Kurven, d. h. die Gesamtheit aller Punkte, die nur einer Bedingung genügen. Diese Bedingung ist zu ersetzen durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten der Punkte; dann sind die Gestalt und die Eigenschaften der Kurve aus der Gleichung zu ermitteln.

Aber auch jede gerade Linie der Ebene kann man durch zwei Bestimmungsstücke in bezug auf ein Koordinatensystem festlegen, die deshalb als Linienkoordinaten bezeichnet werden. Die Gesamtheit aller Geraden, die einer Bedingung genügen, bestimmen auch eine Kurve, die event, auch ein Punkt sein kann (vgl. den Schluß von § 17). Eine Kurve kann also durch eine Gleichung zwischen Punktkoordinaten oder eine solche zwischen Linienkoordinaten analytisch dargestellt sein.

Beispiele für die Aufstellung solcher geometrischer Örter bieten in diesem Bändchen die gerade Linie (§§ 16—18) und die Kegelschnitte (§27): Ellipse (speziell Kreis), Parabel und Hyperbel.

3. Abschnitt.

Die gerade Linie.

16. Die Gerade mit gegebener Richtung durch einen gegebenen Punkt.

Es soll die Gleichung der geraden Linie aufgestellt werden, die durch einen gegebenen Punkt Рг hindurchgeht und mit der ж-Achse einen bestimmten Winkel oc bildet.

Die Antwort wird durch die Formeln S. 26 (10) gegeben. Betrachtet man in ihnen den Punkt P₂ (x₂, y₂) als veränderlichen Punkt P (x, y) der gesuchten Geraden, so ist auch l veränderlich. Aus den Gleichungen (10) für / • cos oc und b sina folgt leicht durch Elimination von l:

(15)

{х — хг)\

sin oc

ж    sin (w — ос)

(15')    У — Уг = Щос-{х—хх)

als Gleichung der gesuchten Geraden. Der Quotient auf der rechten Seite bleibt ungeändert, wenn man oc durch Tr + oc ersetzt, was der Tatsache entspricht, daß die Gerade,

17. Die Gerade durch zwei Punkte.

Die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte Px und P₂ erhält man aus den Formeln S. 27 (11) oder aus S. 29 (13).

Eliminiert man aus den ersteren Formeln A, so erhält man

(17) х(у₁ — у₂) — У K — Ч) +    2/2 — ЧУ\ = ⁰ »

oder als Determinante geschrieben:

У 1

= 0.

die durch Рг geht und den Winkel ж + oc mit der æ-Achse einschließt, mit der Geraden unter dem Winkel oc identisch ist. Der Koeffizient vonxin (15) heißt der Richtungs-koeffizient der Geraden.

Man kann aber auch, was in vielen Fällen von Vorteil ist, in den beiden Formeln (10) die Länge l beibehalten und sie umformen in

sin (w — oc)

ж    sinw

(16') w——\ x= xx + l- cos#,

Z

Die Vertauschung von oc mit ж + oc kommt hier darauf hinaus, daß + ^ durch —l ersetzt wird. Läßt man in den vorstehenden Formeln l von — oo bis + oo laufen, so erhält man für einen jeden Wert von l die Koordinaten eines bestimmten Punktes der Geraden. Man bezeichnet l als Parameter und nennt die letzten Gleichungen die Parametergleichungen der gesuchten Geraden.

(16)

, У=Ух+1-

sin oc

sin w У = У\ + ¹ •sin « •

(17)

У2 1

Zu dem gleichen Ergebnis führt die Überlegung, daß ein Dreieck den Flächeninhalt Null nur haben kann, wenn seine drei Ecken in einer Geraden liegen. Ist P₃ irgendein Punkt

Haußner, Analytische Geometrie der Ebene.    3

P der Geraden РХР₂, so folgt, daß die Determinante auf der rechten Seite der Gleichung (13) verschwinden muß. In (17) hat der Richtungskoeffizient der Geraden den Vi    У2

Wert

Die Formeln (11) selbst liefern für diesen Fall die Parametergleichungen der Geraden, wo x = —oo • • • + oo.

Aus (17) ergeben sich noch zwei wichtige Formen der Gleichung der Geraden g, wenn man als Px und P₂ die Schnittpunkte von g mit der X- und mit der 7-Achse wählt. Es seien хг = m, ул = 0; x₂ = 0, y₂ = n die Koordinaten dieser Schnittpunkte, also m und n die Achsenabschnitte, die g auf den Koordinatenachsen abschneidet, dann läßt sich die Gleichung von g schreiben:

(18)

X y

—1_--1 = 0.

m n

— , so erhält man

Setzt man noch m — — — . n — —

(19)

X’ u-\- y • V + 1— 0, wom.v, also die negativ und reziprok genommenen Achsenabschnitte, als die Linienkoordinaten der Geraden g bezeichnet werden.

Hält man in (19) x, y fest und läßt u, v sich verändern, so liefern alle diese Gleichung erfüllenden Wertepaare w, v die sämtlichen Geraden, die durch den Punkt (r, y) hindurchgehen. Dann ist die Gleichung (19) die Gleichung dieses Punktes in den Koordinaten aller durch ihn gehenden Geraden.

18. JNormalgleichung.

In § 16 war eine gerade Linie g geometrisch bestimmt worden, entweder durch einen Punkt und ihre Richtung

Normalgieichung.

35

Р/

oder durch zwei Punkte; sie ist aber auch geometrisch festgelegt durch die Länge p des vom Nullpunkte auf sie gefällten Lotes und den Winkel/, um den die positive X-Halb-achse in positivem Sinne gedreht werden muß, bis sie mit der Richtung des Lotes vom Nullpunkte nach der Geraden hin zusammenfällt (Fig. 13). Um die entsprechende Gleichung für g zu erhalten, transformiert man das Koordinatensystem auf ein neues rechtwinkliges, dessen Abszissenachse mit der positiven _

Fig. 13.

Lotrichtung OF und dessen Or- г . dinatenachse so mit g zusam- ^ menfällt, daß <£(+X', + Y')

= ist. Dann ist die Gleichung von g: x' = 0 und folglich aus der ersten Formel § 10 (7¹) für oc— y:

0 = (x — x₀) cos/ -f (y — y₀) cos(w — /).

Da der Nullpunkt des alten Systems die alten Koordinaten x=0,y=0 und die neuen x'=—p, y'= 0 hat, so liefert dieselbe Formel (7):

V =    * cos у + y₀ • cos (w — y),

und folglich erhält man als Gleichung von g:

(20)

x • cos / + у • cos (w — y) — p = 0 ,

(20') w = ^r: x • cos у + у • sin у — p = 0.

Die Gleichungen (20) bezeichnet man als die Hess es che Normalform oder auch kurz als die Normalform der Gleichung einer geraden Linie.

3*

19. Allgemeine Gleichung.

Die bisher für eine Gerade aufgestellten Gleichungen (15), (17), (18), (19), (20) haben gemeinsam, daß sie lineare Gleichungen, d. h. Gleichungen ersten Grades in den laufenden Koordinaten x, y sind. Es drängt sich daher die Frage auf:

Stellt jede lineare Gleichung

(21)

Ax+ By -\- C = 0, wenn ihre Veränderlichen x,y als parallele Punktkoordinaten aufgefaßt werden, für irgendein reelles Wertesystem A, В, C eine gerade Linie dar ?

Jedes Wertepaar x, у, das die Gleichung (21) befriedigt, genügt auch der Gleichung

y,(Ax -f- B Y -f- G) — 0 ,

wo x irgendeinen Faktor bezeichnet. Die Beantwortung der aufgeworfenen Frage kommt also darauf hinaus, zu zeigen, daß durch geeignete Wahl von x die linke Seite der vorstehenden Gleichung sich in völlige Übereinstimmung mit der linken Seite der Gleichung (20) bringen läßt. Ist dies aber der Fall, so bestehen die Gleichungen xA=cosy, xB=cos(w—y), xC =—p. Berechnet man aus der mittleren Gleichung mit Hilfe der ersten noch siny und addiert die Werte von cos² у und sin² у zueinander, so ergibt sich

sin² w

(22)

А² + B² — 2 А В cos w⁹

cos y = x A, sin y = x

В — A cos w sin w

wobei der Wurzel in x das entgegengesetzte Vorzeichen von C zu geben ist, damit die Gleichung xC = —p, wo p > 0

Allgemeine Gleichung.

37

ist, auch dem Vorzeichen nach richtig ist. x und y sind stets reell, da

A² + B² — 2AB cosw = (B — A cosw)² + A² • sin²w > 0

ist und die rechten Seiten von cos y und sin y dem absoluten Betrage nach <1 sind.

(22') x=

yi²+B²'

cos у

]/A²+B²’

sin y =

]/A²+B²‘

Durch Multiplikation mit dem gefundenen Werte von x läßt sich somit jede lineare Gleichung (21) in die Normalform überführen, und dadurch ist die gestellte Frage in bejahendem Sinne beantwortet. Die Gleichung (21) wird als die allgemeine Form der Gleichung der geraden Linie bezeichnet.

^ mit у = fix+(y₁—(ixj, S*n a der Geraden g

sin (w — (X)

bezeichnet, so findet man /u= — — als Richtungskoeffi-

B

zienten der allgemeinen Form.

Die spezielle letzte Form у = /их + n wird oft mit Vorteil verwendet; in ihr bedeutet dann n den Achsenabschnitt der Geraden auf der Y-Achse. Für В = 0 ist ц = oo, die Gerade parallel zur y-Achse; die vorstehende Form der Gleichung der Geraden versagt, und man muß dann

Identifiziert man die allgemeine Form (21) mit der Form § 16 (15), also y=—-x — wo [л den Richtungskoeffizienten

Q

— benutzen, welche Abszisse den Schnittpunkt

der Geraden mit der Z-Achse bestimmt.

20. Senkrecht er Abstand einesPunktes von einerGeraden.

Der senkrechte Abstand p₀ eines Punktes P₀(x₀, y₀) von der Geraden g soll bestimmt werden.

Die Gerade g sei in der Normalform § 18 (20) gegeben. Man verschiebe das Koordinatensystem parallel in den Punkt P₀. Bezeichnet y den Winkel, den die neue Abszissenachse X'

mit dem Lote P₀P₀ einschließt, so hat g in bezug auf das X' 7'-System die Gleichung

x' • ćos/+ yr • cos(w —y) — Pq ⁼⁼ 0.

Je nachdem nun P₀ und 0 auf derselben Seite oder auf verschiedenen Seiten von g liegen (Fig. 14: P₀ bzw. P₀), ist y = y oder y — y + 7Г. Wenn man noch x' = x — x₀, y'=y — y₀ einsetzt und berücksichtigt, daß für jeden Punkt (x, y) der Geraden g die Gleichung (20) erfüllt ist, so erhält man:

Po = T {*o’ cosy+ y₀-cos(w— y) — v).

(23)

Statt aber den beiden Fällen entsprechend die rechte Seite mit dem negativen oder positiven Vorzeichen zu nehmen, soll, ähnlich wie in § 10 der Dreiecksinhalt, hier der senkrechte Abstand des Punktes P₀ von g durch die Formel (23) Po = — »4 COS y + y₀cos(w—y) — p},

(23') w=j: p₀=—{x₀cosy+y₀smy — p}

gegeben sein. Ist dann die rechte Seite positiv, so liegen P₀ und 0 auf derselben Seite von g\ dagegen liegen beide Punkte auf verschiedenen Seiten, wenn die rechte Seite von (23) sich negativ ergibt¹).

!) In vielen Lehrbüchern ist die entgegengesetzte Festsetzung: p₀ = x₀ cosy + t/o cos(u) —■ y) ■— p getroffen. Demgegenüber hat die Festsetzung durch die Formel (23) den Vorteil, daß sie für x₀ = y₀ — 0 den senkrechten Abstand p₀ = p gibt; die positive Richtung des von P₀ auf g gefällten Lotes ist also dieselbe, wie die des Lotes vom Nullpunkte.

Man erhält also den gesuchten Abstand p₀ durch den Wert, den die mit negativem Zeichen genommene linke Seite der Gleichung (20) annimmt, wenn an Stelle der laufenden Koordinaten x, y die Koordinaten x₀, y₀ des Punktes P₀ gesetzt werden.

Durch diese Bemerkung hat man aber sofort auch die Lösung, wenn die Gleichung von g nicht in der Normalform gegeben ist. Man bringt dann die Gleichung Ax-\- By-\~ C= 0 durch Multiplikation mit x S. 36 (22) auf die Normalform und verfährt dann wie angegeben :

f'

&-L

-»-.f

F°/\

Л »

y\ о

Fig. 14.

*x’

(23)

Vo —    ^ ~Ь B i/o ~h G) •

21. Winkel zweier Geraden.

Es seien zwei Gerade gv : Avx-\- Bvy-\- Cv= 0 (y= 1,2) gegeben. Dann entsteht die Frage, unter welchem Winkel sich g₁ und g₂ schneiden. Schließt gx den größeren Winkel осг mit der + Z-Achse (Fig. 15) ein, so ist ф = осг — oc₂, und man erhält aus ctg ф = ctg {(xx — oc₂): ctg осг - ctg oc₂+ 1 ctg 0C₂ — ctg OCi

y/~

\S

\W

9t 1°

9i

Fig. 15.

Setzt man nun die aus

Ay

sin (xv

sin(w — ocv)

sich ergebenden Werte

ctg OCy =

Ay • cos w — By

Ay • sinw

[lv cos w + 1 \iy • sinw

ein, so wird schließlich

(24) tg^ =

(A₁B₂ — A₂ Вг) sin w

АгA₂ + BXB₂ — (A₁B₂ + A₂Вг) cosw

(^2 — Hi) sin^

H1H2 + 1 + (/и, + (л₂) cosw

und für t# =

Ai B₂ A₂ Bi

A₂ + Вг B₂    HiH2+I

Ist aber a₂ > <Xi, so ist ф = <х₁ — <xL und tg ф gleich dem vorstehenden Werte mit negativem Vorzeichen. Daher liefern die Formeln (24) einen der beiden Winkel, die gL und g₂ miteinander einschließen.

Die beiden Geraden sind einander parallel, wenn ф = 0,

Ai. A₂ ■— Bi. B₂ oder ^i₂ —

ist; sie fallen zusammen, wenn ihre Gleichungen sich nur um einen Faktor unterscheiden:

(24')

also

(25)

(26)

ЧФ =

H2 — H\

A₁: A₂ = B₁: B₂= C,: C₂.

Aus (24) folgt ferner als Bedingung, daß beide Geraden senkrecht auf einanderstehen:

A^ A₂ “1“ B± В2 ⁼⁼ (^1 ^2 ""ł⁻ ^2 ^l)    ^

(27) {oder

Mi |W₂ + 1 + ([ii + M2) cos ^ = 0;

(27')

22. Schnittpunkt zweier Geraden.

Die Koordinaten x₈, ys des Schnittpunktes 8 von g1 und g₂ erhält man durch Auflösung der beiden Gleichungen Avx + Bv у + Cv = 0 (v= 1,2) nach x und y:

(28) ®.= -

Ci B₁. А в, c₂ B₂ ■ a₂ B₂

, ys= —

А А.

a₂ C₂-

tw

Der Schnittpunkt 8 rückt in das Unendliche, g₂ ist parallel дг, wenn der Nenner verschwindet [S. 40 (25)], ohne daß weder der Zähler von x₈, noch der von ys Null ist. Ist aber auch noch ein Zähler gleich Null, also A±: A₂= B±: B₂ = Сг : C₂, so verschwindet auch der andere Zähler, der Schnittpunkt von gL und g₂ wird unbestimmt; das ist nur möglich, wenn beide Geraden zusammenfallen [S. 40 (26)].

Damit noch die dritte Gerade A₃ x + B₃ у + C₃ = 0 sich mit den beiden ersten in demselben Punkte schneidet, müssen die obigen Werte für xs und ys diese dritte Gleichung befriedigen, was die Bedingung liefert:

А в l c\

A₂ B₂ C₂ = 0 •

A₃ B₃ C₃

23. Strahlenbüschcl.

Bezeichnet man die ganze linke Seite der Gleichung Ayx-\- Bry Cv= 0 mit nv, wo nv also zunächst nicht die Normalform zu sein braucht, so kann die Gleichung der Geraden gv kurz nv — 0 geschrieben werden. Dann ist, da A^ + A₂n₂ linear in x und y ist,

(30)

Ai^i + l₂n₂ = 0 die Gleichung einer Geraden, die durch den SchnittpunktS von дг und g₂ hindurchgeht, da für x = xs, у = ys sowohl

L

пг als n₂ Null ist. Nimmt nun alle Werte von — oobis

Ai

+ oo an, so liefert (30) alle Geraden durch den Punkt, deren Gesamtheit als ein Strahlenbüschel mit dem Mittelpunkte S bezeichnet wird. Geht eine dritte Gerade g₃ mit der Gleichung n₃ = 0 ebenfalls durch S, so muß sie ein Strahl des Büschels (30) sein; d. h. für ein be-A

stimmtes Wertverhältnis y^-muß sich eine Zahl (—A₃) so

Ai

Ai %i “I⁻ A₂ : ~ A3 Wg

bestimmen lassen, daß (—A₃n₃) Glied für Glied übereinstimmt mit Ai%+ A₂w₂, oder wie man sagt, daß beide Ausdrücke identisch gleich sind, was so geschrieben werden soll: oder

(31)

+ h₂n₂ + A₃n₃ = 0

und bedeutet, daß die Koeffizienten von x, y und das kon stante Glied links einzeln für jedes Wertepaar x, y verschwinden. Die Identität (31) schließt also die drei gewöhnlichen Gleichungen

Ai Ax + A₂ ä₂ + A₃ A₃ = 0 , Ai Bx + A₂ B₂ + A₃ B₃ = 0 , Ai Gi + A₂ C₂ + A₃ C₃ = 0    ^

ein. Berechnet man aus zwei der drei Gleichungen ^ ,

*3

und setzt ihre Werte in die dritte ein, so erhält man wieder die Bedingung (29).

Umgekehrt kann man schließen, daß, wenn zwischen den Gleichungen dreier Geraden eine Identität von der Gestalt (31) besteht, die Geraden durch einen Punkt gehen, denn für jedes Wertepaar x,y, das n₃= 0 werden läßt, wird dann auch die mit —Я₃п₃=0 identische Gleichung Kni + hn2 ⁼ 0, d. h. aber die Gerade n₃ = Oist ein Strahl des Büschels (30). Die Identität (31) ist also die notwendige und hinreichende Bedingung, daß die drei Geraden gv mit den Gleichungen nv — 0 (v = 1,2,3) demselben Strahlenbüschel angehören.

Я

Die Bedeutung des Parameters y- in (30) soll nun unter

M.

der Annahme ermittelt werden, daß die Gleichungen nv = 0 in der Normalform x • cos yv + у • cos (w — yv) — pv= 0 gegeben sind. Fällt man von irgendeinem Punkte P₀(x₀, y₀) des Strahles Я^ -f- l₂n₂ = 0 die Lote рг, p₂ auf n₁ = 0 und n₂ = 0, dann ist, weil x₀, y₀ die Gleichung des Strahles befriedigen müssen, nach § 20:

Я₂

Pi

P*'

Ях

cos ft • a?₀ + cos (w — уг) • y₀ — yx cos y₂ • x₀ + ços(t0 — y₂) • y₀ — V2

d. h.^ ist gleich dem negativ genommenen Abstandsver-

Ях

hältnisse eines beliebigen Punktes des Strahles + Я₂^₂ — 0 von den Strahlen пг = 0, n₂ = 0. Denn wenn man von einem beliebigen anderen Punkte Q des Strahles durch P₀ die Lote , q₂ gefällt hätte, so ist leicht zu erkennen, daß Pi : p2 = q₁ : q₂ ist.

Die beiden Strahlen дг, g₂ teilen die Ebene in vier Felder 1,1' und 2, 2', von denen die beiden Felder eines jeden Paares Scheitelfelder sind. Liegt nun der Koordinatenanfangspunkt im Felde (1), so erkennt man leicht, daß px und p₂ gleiche Vorzeichen haben, wenn der Strahl Xi%+A₂w₂= 0 durch die Felder 1,1' geht, jedoch entgegengesetzt, wenn er durch die Felder 2,2' geht. Im ersten Falle haben und Я₂ entgegengesetzte, im zweiten gleiche Vorzeichen. Z. B. sind die Gleichungen der beiden Winkelhalbierenden nx — n₂ = 0 für 1 und 1', пг + n₂ = 0 für 2 und 2'.

24. Dreieckssätze.

Mittels der Betrachtungen des vorigen Paragraphen lassen sich leicht und elegant viele Dreieckssätze beweisen.

J4

•stl

A si

t\

Ms

I/

\\* *

--hi

-<

/ Ma

Ьз >1

N РЗ

Fig. 16.

Es seien = О (г = 1,2, 3) die Normalgleichungen der drei Seiten gv eines Dreiecks E₁E₂EB (Fig. 16), für die daher nicht eine Identität von der Form S. 42 (31) bestehen kann. Durch die Ecken Ег, E₂, E₃ zieht man die sechs Geraden mit den Gleichungen:

A₃ • Aj wj    A₂ w₂⁼⁼⁼ ^    ’    A3. ^1 ^1 "E A₂ w₂:== ^

К : A₂w₂    — A₃w₃ = 0    ,    h\ : A₂w₂ + A₃w₃ = О

^2 • Ag Wg    Aj W j O    ,    A g • Ag Wg "j” Aj Wj - O    j

wo Aj, Ag, Ag beliebige Werte sind. Addiert man die Gleichungen der drei Geraden Al5 A₂, A₃, so verschwindet die Summe identisch; Entsprechendes gilt für die Geraden Aj, Ag , A'₃ ; A't , h₂, Af:i und ln\ , A'^ , A₃ (z. B. Aj + ä' — K — O)-Es schneiden sich also die drei Geraden A in einem Punkte

Geraden A die Quotienten

sich ergeben. Bezeich-

P und je zwei Gerade A' und die dritte Gerade A in einem Punkte (Pj, P₂, P₃) nach (31). Die drei Geraden A z. B. kann man also durch einen beliebigen Punkt P ziehen ; dann sind aber die Geraden A' bestimmt, da aus den Gleichungen der A₂ A₃ Aj

nen weiter Mv, М/ die Schnittpunkte von hv, А/ durch Er mit der Gegenseite des Dreiecks gv, so liegen die drei Punkte M\ , M2 , M3 auf einer Geraden vund je zwei Punkte M und der dritte M' auf einer Geraden, z. B. M\ , M₂, M₃ auf vx. Denn die Gleichung AjWj + A₂w₂+ A₃w₃ = 0 ist befriedigt für den Schnittpunkt von дг und A' , für dessen Koordinaten Wj = О und A₂w₂ + AgW₃ = 0 ist, ebenso für den Schnittpunkt von g₂ mit h₂ (w₂ = 0 und AjWj + A₃w₃ = 0) und für den von g₃ mit A3 (w₃ = 0 und AjWj + A₂w₂ = 0). Es ist also AjWj+ A₂w₂+ AgWg = 0, die eine lineare Gleichung in ж, у ist, die Gleichung der Geraden v. Ebenso sieht man, daß — AjWj-f- A₂ W₂ I Ag Wg —— 0 die Gleichung der Geraden ist und AjWj—A₂w₂ + AgWg=0, AjWj+A₂w₂— A₃w₃=0 die Gleichungen von v₂ und v₃ sind.

Wählt man den Nullpunkt des Koordinatensystems und den Punkt P im Innern des Dreiecks, so sind , Я₂, Я₃ positiv. Für = Я₂ = Я₃ = 1 erhält man die bekannten Sätze, daß sich die drei inneren Winkelhalbierenden in einem Punkte und j e zwei äußere und die dritte innere Winkelhalbierende in je einem Punkte schneiden. Der Schnittpunkt P ist der Mittelpunkt des dem Dreieck einbeschriebenen Kreises; Pl5 P₂, P₃ sind die Mittelpunkte der drei dem Dreiecke anbeschriebenen Kreise.

Um die analogen Sätze für die drei Höhen eines Dreiecks zu beweisen, hat man in , ln₂, h₃ die Werte Ях, Я₂, Я₃ so zu wählen, daß jede Gerade h auf der Gegenseite senkrecht steht. Für ein rechtwinkliges Koordinatensystem hat gx die Gleichung

X • cos yA + у • sin yx — рг = 0.

Я₂ ^2    ^3 Щ ⁼

X (Я₂ • cos у₂— Я₃* cos Уз) + у (Я₂• sin у₂ Я₃• sin у₃)

Damit

(Я₂ Рв)—^

oder

auf дг senkrecht steht, muß das Produkt der Richtungskoeffizienten von und дг nach S.41 (27') gleich —1 sein: cos y^ Я₂ cos y₂ — Я₃ cos y3 sin уг Я₂ sin y₂ — Я₃ sin y₃

^з : ^2 — cos (.Yz Yi) : cos (Ys    Yi) •

Die drei Höhen    des Dreiecks    haben daher die Gleichungen:

К :    cos(y₈    — уг)    •    n₂    — cos(y₂    — y₁)-n₃=Oi

h₂ :    cos (y^    y₂)    •    щ    cos (y₃    y₂) * % ⁼ 0 ,

h₃ :    cos (y₂    y₃)    •    пг    cos (уг    y₃) • n₂ — 0 .

Da die Summe der linken Seiten identisch verschwindet, so ist hiermit der Satz bewiesen: Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte.

Auf diese Weise lassen sich viele Dreieckssätze aus dem allgemeinen Satze ableiten.

25. Sätze von Ceva und M e n e 1 a о s.

In welchem Verhältnis teilt der Punkt M₃ in Fig. 16 die Seite E₂E±?

ЛЛ

SH'

fei

Fig. 17.

Fällt man (Fig. IT) von M₃ die Lote auf g₁ und g₂, so verhält sich

M₃G± : M₃G₂ = sinдг h₃ : sin h₃ g₂.

Nach § 23 folgt aber aus der Gleichung für h₃:

Wj    "k₂ vi₂ — 0.

l₂:lx= M₃G± : M₃G₂ = sin^ h₃ : sin h₃ g₂. Wendet man nun die Formel S. 13 (a) hier auf die Dreiecke E₂M₃E₃, М₃ЕгЕ₃ (statt auf PXP₃S, P₃P₂S) an, so erhält man

E₂ Л/g E₂ E₃ sin g^ h₃ E₂ E₃ X2 M₃EX E'E* sin92 EiE6

(b)

Für die anderen Dreiecksseiten erhält man ebenso: E3E1 A3    ExE₂ /■!

ЖД E*El Яг ' Ж~Д, ЕзЕ* л?

Folglich ist

(C)

Е₂М₃ Е₃МХ ЕхМ₂

М₃Ег МХЕ₂ М₂Е₃

das ist der Satz von Ceva (1678): Drei beliebige Eck-transversalen, die sich in einem Punkte schneiden, teilen die Seiten des Dreiecks so, daß das Produkt der (wie vorstehend geschriebenen) Teilverhält-nisse den Wert 1 hat.

Die Beziehung (b) gilt für jeden Punkt auf EXE₂. Da die Gerade h'₃ :    l₂n₂= 0 die Seite EXE₂ in

schneidet, so ergibt sich nach (a):

E₂ M ' _ E₂EZ ' sinfo /t ' EiE3 sinh'₃g₂

Ег E3 _ ^2

EiEs V

(b')

Daher

— 1.

(d)

Егм\Е₉м₁Е₁мг

щХ ще₂ mX

Satz von Menelaos (100 n. Chr.): Eine jede Gerade teilt die drei Seiten eines Dreiecks so, daß das Produkt (d) der Teilverhältnisse gleich —1 ist Es gelten aber auch die Umkehrungen beider Sätze. Gilt die Belation (c), aber es gehe E₃M₃ nicht durch den Schnittpunkt von E₁M₁ und E₂M₂\ vielmehr schneide die Verbindungslinie dieses Punktes mit E₃ die Seite EXE₂ in

dem Punkte N₃. Dann ist nach dem Satz von Ce va

ад .ад .ад = 1; divWiert man d.e linke geite

was nur möglich

NsEi МгЕ₂ M₂E₃ E₉No ËJ\L durch die von (c), so folgt - y= -² >³ ,

N₃Ei ВД

ist, wenn N₃ mit M₃ zusammenfällt. — Genau so kann man die Umkehrung des Satzes von Menelaos beweisen, indem man von der Annahme ausgeht, daß die Verbindungsgerade МгМ₂ die Seite ЕгЕ₂ nicht in M'₃ , sondern in A' schneide. Dann ist nach dem Satze von Menelaos selbst

—1, woraus auf Grund der Voraus-

MiK Л/Д,

Setzung (d) folgt: A' fällt mit M₃ zusammen.

26. Vollständiges Viereck.

Als ein vollständiges Viereck bezeichnet man vier Punkte, von denen keine drei in einer Geraden liegen, und ihre sechs Verbindungsgeraden; die ersteren heißen Ecken, die letzteren Seiten. Die drei Schnittpunkte der sechs Seiten, die nicht Eckpunkte sind, heißen D i a g o n а 1 p u n к t e undsind die Ecken des Diagonaldreiecks. So bilden z. B. in Fig. 16 die Punkte E₁,E₂,M₁, M₂ die vier Ecken, дг, g₂, g₃, v₃,h₁, h₂ die Seiten eines vollständigen Vierecks, für das P,E₃,M'₃ die Diagonalpunkte sind. Nun ist nach (b) und (b ):    ₌ _1( also (nach § ₄₎

aber auch

(9i92hK)=-¹’

(M₁M₂N₃M'₃)=(g₁g₂h₃h'₃)=-l.

Die Fig. 16 ist aber völlig bestimmt, sobald man vier Punkte, von denen nicht drei in einer Geraden liegen,

H a u ß n e r, Analytische Geometrie der Ebene.

Fig. 18.

E₂E₁M₁M₂ ist also ganz allgemeiner Art; alle für die Fig. 16 abgeleiteten Eigenschaften gelten allgemein, und es können daher aus dieser Figur sofort die folgenden wichtigen Sätze¹) abgelesen werden (Fig. 18):

Je zwei Ecken eines vollständigen Vierecks ABCD werden harmonisch getrennt durch die Schnittpunkte ihrer Verbindungsseite mit den Seiten des Diagonaldreiecks EFG [z. B. (ABG±G)

= -4-

z. В. Ег,Е₂,Е₃, Р beliebig gewählt hat. Е₃Р₂ schneidet die Gerade ЕгЕ₂ in M₃, während der zu M₃ konjugierte punkt M3 nach § 24 aus derselben Geraden ausgeschnitten

wird, durch die Verbindungslinie der Punkte Mx und M₂, in denen E±P die Gerade Z?₂Æ₃ und E₂P die Gerade Е₃Ег trifft. Das vollständige Viereck

\\

Ci

Ci

i Cz

>,*/

Je zwei Ecken des Diagonaldreiecks werden harmonisch getrennt durch die Schnittpunkte ihrer Verbindungsseite mit den Seiten des vollständigen Vierecks [z. B. (EGF₁F₂)= —1].

Die in jeder Ecke des Diagonaldreiecks zusammentreffenden vier Strahlen sind vier harmonische Strahlen [z. B. (acge)=—1].

Diese harmonischen Eigenschaften des vollständigen Vierecks benutzt man, um zu einem Punkte einer Strecke den konjugierten vierten harmonischen Punkt zu konstruieren. Ist z. B. die Strecke AB gegeben und wird der zu Gx konjugierte Punkt gesucht, so zieht man durch A und В zwei beliebige Gerade, deren Schnittpunkt F sei; wählt man dann auf GXF den Punkt E willkürlich, dessen Verbindungslinien mit A und В die Punkte C auf BF und D auf AF ausschneiden, so schneidet die Verbindungslinie CD die Gerade AB in dem gesuchten vierten harmonischen PunkteG.

Die Konstruktion erfährt, wenn statt eines inneren Punktes von AB ein äußerer, z. B. G, gegeben ist, eine leicht erkennbare Abänderung. Jedesmal handelt es sich nur darum, die Figur eines vollständigen Vierecks aus den drei gegebenen Punkten so zu zeichnen, daß die Begrenzungspunkte der gegebenen Strecke zwei Ecken des Vierecks und der eine gegebene Teilpunkt Schnittpunkt der Strecke mit einer Seite des Diagonaldreiecks werden.

Diese Konstruktion ist ebenfalls anwendbar, wenn es sich darum handelt, zu drei gegebenen Strahlen eines Büschels den vierten harmonischen Strahl zu finden. Auch bei dieser Aufgabe ist mit Hilfe der drei gegebenen Strahlen ein vollständiges Viereck zu bilden. Sind z. B. a,c,e des Büschels F gegeben und soll der zu e konjugierte Strahl konstruiert werden, so zieht man durch einen beliebigen Punkt G auf e zwei beliebige Strahlen h, d und verbindet deren Schnittpunkte mit a und c kreuzweise, nämlich A mit C, B mit D. Dann ist die Verbindungslinie von F mit dem Schnittpunkte E von AC mit BD der gesuchte vierte harmonische Strahl.

Besonders bemerkenswert ist es, daß bei dieser Konstruktion des vierten harmonischen Elementes zu drei gegebenen allein das Lineal, nicht auch wie bei anderen Konstruktionen der Zirkel, nötig ist.

4. Abschnitt.

Kurven zweiter Ordnung.

27. Geometrische Örter.

Zunächst sollen einige geometrische Örter behandelt werden, die auf Kurven zweiter Ordnung in Parallelkoordinaten X,y führen.

I. Aus der ersten Gleichung §11 (10) folgt, daß der Kreis, als geometrischer Ort aller Punkte P(x, y), die von einem festen Punkte P₀(£₀> 2/o)? dem Mittelpunkte, den gleichen Abstand l = r (= Kadius) haben, die Gleichung besitzt:

(32) (x—x₀)² + (у—уо)² + 2 (ж—x₀) (у—у o) cos w = г².

Für w ——:

2

(32')

О—ж₀)²+(г/—«/o)² = »-²-II. Es soll der geometrische Ort aller Punkte bestimmt werden, die von zwei festen Punkten Fx, F₂ eine konstante Abstandssumme oder Abstandsdifferenz (= 2d) haben. Die der erster en Forderung entsprechende Kurve heißt El lips e, die der zweiten entsprechende Hyperbel.

Das Koordinatensystem wählt man stets so, daß es der Aufgabe und den in ihr gegebenen geometrischen Elementen am besten angepaßt ist. Das ist hier das rechtwinklige System, dessen Z-Achse mit der Geraden Р1?Р2 und dessen Nullpunkt 0 mit dem Halbierungspunkte der

Die Punkte Fv F2 haben dann die Koordinaten ± e, 0 (vgl. Fig. 20).

Strecke FXF₂ — 2e zusammenfällt.

Nach § 11 (10') ist

h =У(ж—e)²+2/². »* = У(х+ e)² + у

und aus

folgt

rx + r₂ = 2a , bzw. r₁ — r₂ = ±2а r\ — r\ — 4a² = =F4 ar₂

und durch Einsetzen der Werte von rx, r₂ und nochmaliges Quadrieren :

(xe + a²)² = a²(x + e)² + a²y²

oder

x²(a² — e²) + a²y²= a²(a² — e²).

Für die Summe der Abstände muß a > e, für die Differenz a < e sein. Im ersten Falle setzt man a² — e² = b², im zweiten e² — a²—b² und erhält die Gleichungen :

<M I <M    I <м

Рч

cc

т—I

Рн

CD

►-i

er

CD

Die Punkte Fl5F₂ heißen Brennpunkte von Ellipse und Hyperbel; e die lineare Exzentrizität.

HT. Es soll der geometrische Ort aller Punkte P bestimmt werden, deren Я-facher senkrechter Abstand von einer festen Geraden l — der Leitlinie oder Direktrix — gleich ihrer Entfernung von einem festen Punkte F — dem Brennpunkt — ist. Я ist eine beliebige positive Zahl. Die dieser Bedingung genügenden Kurven heißen Kegelschnitte (vgl. §49) und umfassen Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Man legt zweckmäßig die Y-Achse in die Gerade l und die X-Achse senkrecht zu ihr durch den Punkt F. Hat F

den Abstand s von 0, so sind seine Koordinaten s, О, und es ist

F P² = (X — s)² + y², und der senkrechte Abstand des Punktes P von der Geraden l ist gleich seiner Abszisse x. Dann folgt aus lx=FP:

(35)

y² = (A² — 1) x² -J- 2s x — s², welche Gleichung durch die für А =< 1 stets mögliche Verschiebung des Nullpunktes längs der X-Achse

die Form annimmt:

₉ У = У'

îï+t-i.

l² —

Т-H <M

b²

s² Я²

s² A2 1—A²

(nach Abschnitt II) eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdemA<loderA> 1 ist. 2s A = 2p heißt der Parameter; die Ordinaten im Brennpunkte sind gleich ±_p. Die Kurve (35) schneidet die X-Achse in den Punkten

wo a² =

(1 — A²)²

, b² =

ist. Die Kurve ist also

g

--- , die Scheitel-

I — л

und

Ал, An mit den Abszissen —

1    2    l + A

punkte heißen. Die Abszissen der vier Punkte O, F, Аг und A₂ erfüllen die in § 5 für vier harmonische Punkte aufgestellte Bedingung, folglich trennen die Scheitelpunkte einer Ellipse oder Hyperbel den Brennpunkt und den Schnittpunkt der Leitlinie mit der Achse harmonisch. Nimmt man die Verschiebung des Nullpunktes längs der

vor:

X-Achse um die Strecke

// s

X= x"A- r—

я+1 ’ y

= У" »

was für jeden Wert von l möglich ist, so erhält man die wichtige sog. Scheitelgleichung der Kurven zweiter Ordnung:

(36)

y"² = 2px” + (Я² —1) ж"².

Für 1=1. p = s heißt die Kurve Parabel.

Für у" — 0 liefert die Gleichung (36) die Abszissen der Scheitel

x" — 0 und x"

Я² — 1 ‘

Für die Ellipse und Hyperbel liegen beide Scheitel im Endlichen, während für die Parabel der zweite im Unendlichen liegt. Bei der Parabel wird der senkrechte Abstand des Brennpunktes von der Leitlinie durch den Scheitel halbiert.

Dieses Beispiel eignet sich auch für die Benutzung von Polarkoordinaten. Nimmt man F als Pol und FO als Polar

achse, so ist (36 a)

r=_

1 + l COS #

Diese Formel liefert für l > 1 nur denjenigen Hyperbelzweig, innerhalb dessen der Brennpunkt F liegt.

F ist der eine Brennpunkt bei der Ellipse und Hyperbel, und l heißt die zugehörige Leitlinie oder Direktrix. Die Parabel hat nur einen Brennpunkt und eine Leitlinie. Л heißt die numerische Exzentrizität der Kurven zweiter Ordnung.

28. Allgemeine Gleichung zweiten Grades.

Wie in § 19 die Frage erhoben wurde, ob jede Gleichung ersten Grades in x und y eine gerade Linie darstellt, so liegt hier die Untersuchung der allgemeinen Gleichung zweiten Grades in x, y und die Beantwortung der Frage nahe, ob es noch andere Kurven zweiter Ordnung als Ellipse (Kreis), Hyperbel und Parabel, die man gemeinsam Kegelschnitte nennt, gibt.

Die allgemeinste algebraische Gleichung zweiten Grades¹) mit zwei Veränderlichen kann geschrieben werden:

(37)

/(ж, у) = аия²+ 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2я₁₃ж + 2 я₂з ?/ + %з = 0 .

Da in dieser Gleichung die Größen a₂₁, a₃₁, a₃₂ nicht Vorkommen, so kann über sie frei verfügt werden, was in der Weise geschehen soll, daß

a₂₁ — a₁₂, a₃₁ — a₁₃, a₃₂ — a23 ist. Zur Abkürzung soll noch

(38)

f (x,y)= aux + a₁₂y + a13 /" (x,y)= a₂₁x + a₂₂y + a23 /"'О, у) =a₃₁x+ a₃₂ у + a₃₃

gesetzt werden. Dann ist (37a) f(x, y) = f'(x, y)-x + /"(ж, y)-y + f"(x, y).

Wenn kein Mißverständnis möglich ist, sollen die Argumente x,y in den Funktionsbezeichnungen fortgelassen und nur /, /', /", /"' benutzt werden.

Unter einer algebraischen kurve nter Ordnung versteht man eine Kurve, deren Gleichung eine algebraische Funktion nten Grades in x,y, d. h. die eine Summe von Gliedern der Form x^yv multipliziert in Konstante ist, wo Wendet man auf eine solche Gleichung die allgemeinste Transformation eines Parallelkoordinatensystems in ein anderes an (S. 25, III):

x • sin w — x₀ + x' • sin (w — ос) + sin(f0 — ß), у • sinw = y₀ -f- x'• sin ос + у'• sinß ,

L) Statt die Buchstaben а,Ъ, C, . . . für die Koeffizienten der Potenzen von ж und у zu benutzen, ist es hier vorteilhafter, die Schreibweise durch einen einzigen Buchstaben mit doppelten Indizes zu verwenden. Zwei Koeffizienten, a/utv und Clę,о-, bei denen einer oder beide Indizes^, î^vonp,# verschieden, sind im allgemeinen als unabhängig voneinander anzusehen.

die in den Koordinaten vom ersten Grade sind, so kann dadurch der Grad der Gleichung und also der der Kurve nicht geändert werden. Eine Kurve zweiter Ordnung bleibt bei jeder Koordinatentransformation eine solche zweiter Ordnung. Man wird daher, um die allgemeine Gleichung zweiten Grades zu untersuchen, sie durch geeignete Transformationen auf einfachere Gestalten zurückführen.

Fragt man, in wievielen Punkten eine Kurve nter Ordnung

Xl + *X2    Vl+ К У2    ,

—j—:--, У = -7—------geschnitten

wird, so erhält man durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Kurvengleichung nter Ordnung eine algebraische Gleichung ntm Grades für x. Da eine Gleichung nten Grades n Wurzeln besitzt, so kann man sagen, daß eine Kurve nter Ordnung von einer beliebigen Geraden in n Punkten geschnitten wird, wobei aber die Schnittpunkte nicht alle reell und voneinander verschieden zu sein brauchen. Dem

von der Geraden x

nach schneidet eine beliebige Gerade eine Kurve zweiter Ordnung in zwei Punkten. Die Anzahl der reellen und voneinander verschiedenen Schnittpunkte stimmt überein mit der Anzahl der reellen, voneinander verschiedene Wurzeln der Gleichung nten Grades für x.

Das zwischen diesen beiden Punkten, wenn sie reell und verschieden sind, gelegene Stück der Schnittgeraden heißt Sehne.

29. Mittelpunkt im Endlichen und Durchmesser.

Gibt es einen Punkt, der alle durch ihn hindurchgehenden Sehnen halbiert, so nennt man ihn Mittelpunkt der Kurve zweiter Ordnung und die durch ihn gehenden Sehnen Durchmesser.

Wann hat eine Kurve zweiter Ordnung einen im Endlichen gelegenen Mittelpunkt x₀,y₀?

Um diese Frage zu beantworten, werde eine Parallelver-schiebung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt X— #'+ x₀, y=y'-\-'j₀ vorgenommen, wodurch die Kurvengleichung f(x, y) übergeht in

«Ц X ²    2 «12 % У ~f" «22 У ² “Ь 2/ (So ? 2/o) * ^

¹

) Man ersetze in Fig. 16 die Buchstaben Elf Ея, Mi, M₂, P, E₃, M₃; 9г> 9s, 9u v», h₈ der Reihe nach durch А, В, C, D, E, F, G\ a, b c, d, g,

+ 2///(®₀,yo)Y+/(^,y₀)=P.

Da jetzt der Nullpunkt des x'y'-Systems Mittelpunkt sein soll, so müssen, wenn x\ yf die Koordinaten eines Punktes der Kurve sind, auch —x\—y' der Kurvengleichung genügen. Das ist aber nur möglich, wenn in der vorstehenden Gleichung Glieder ersten Grades in x' und у nicht Vorkommen. Für die Koordinaten des Mittelpunktes erhält man daher die Gleichungen:

(39)

also

ff (s₀, Уо) = «иs₀ + a₁₂y₀ + «₁₃ = 0 IrOo, Уо) = «aiS₀ + a₂₂y₀ + «₂₃ = 0 ,

all «12 «21 Л22

Die Kurve hatmithin einen im Endlichen gelegenen Mittelpunkt, wenn

(39 a) x₀ —

«13 «12 «11 «12 «23 «22 «21 «22

Уо

«11 «13 «21 a23

«11 «12 «21 «22

ist. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich, nach Einsetzen der Werte (39a) für x₀,y₀:

f(*o, Уо) = /'О», Уо) • хп + f"(x0, Уо) • Уо + Г(zо, Уо)

= Г(хо, у о)

wo

(40)

(41)

A heißt die Diskriminante von f(x, y). Die Gleichung der Kurve wird daher

anx>2 + %aizx'y'a22У'² + ”5

= 0.

30. Achsen.

Diese Kurvengleichung soll nun auf ein rechtwinkliges X" ^''-Koordinatensystem transformiert werden, was mittels der Formeln S. 25 (7 II) geschieht, die jetzt lauten:

x'* sinw = x"- sin(w —oc) — yn cos(w —oc) yr • sinw = X"• sin oc

+ y" cos#.

Es fragt sich nun, ob der in diesen Formeln auftretende Winkel oc= <£(Х',Х") so gewählt werden kann, daß in der transformierten Kurvengleichung das Glied mit x" y" fehlt. Setzt man die Werte für x', y' aus den vorstehenden Gleichungen in (41) ein, so ergibt sich, daß der Koeffizient 2 x''y'\ sin² w *

—an sin (w — oc) • cos (w — oc)

+ a₁₂ [sin (w — oc) • cos oc — cos (w — oc) sin oc]

+ a₂₂ sin oc • cos oc = 0

von

oder

(42)

tg2a =

an sin2w — 2 a₁₂ sin^

an cos 2 w — 2 a₁₂ cos w + a22 sein muß. Ist das ursprüngliche Koordinatensystem schon ein rechtwinkliges, so lautet der Wert einfacher

2 $₁₂

(42')

tg2 # =

$H $₂₂

Die beiden Werte, die sich für 2# im allgemeinen aus den Gleichungen (42) ergeben, unterscheiden sich um тс, die

7Г

beiden Werte von oc um — ; sie liefern also das einzige

и

rechtwinklige Koordinatensystem, das der oben gestellten Bedingung genügt. Die in der X"- und 7"-Achse gelegenen Durchmesser der Kurve stehen aufeinander senkrecht und heißen Achsen.

Die Koeffizienten von x"² und y"² sind

a'²

=    jansin²(w—a) + 2%2sin(w—&)sina: + «₂2^п2л|

I an cos² (w—oc)—2a₁₂ cos (w—ос) cos oc+ a₂₂ cos² oc J

b'² sin²w

wo für oc einer der beiden aus (42) sich ergebenden Werte zu setzen ist.

Um nachzuweisen, daß das Produkt a'²b'² positiv oder negativ ist, je nachdem ô > oder < 0 ist, werde gesetzt:

au sm(w—oc) + cf'u    =■A, + a₁₂ sm(w—oc) + a₂₂ sina = В,

ancos(w—oc)—a₁₂cosa= C,    —a₁₂cos(w—oc)-\- a₂₂cosa= D.

Dann kann die der Gleichung (42) voranstehende in doppelter Weise geschrieben werden:

Acos(w— ос) = В cos oc oder Osin(w — oc) =D sin oc, und es ist weiter:

A sin (w—oc)+ В sin oc,

sin²w

a'²

sin²w

b'²

=Ccos(w—oc) + Dcosoc.

sin⁴w

a'4'z

Folglich ist

= |(A*sin(w—oc)-\-B- sinaj |(7*cos(w —    - cos (w — oc)—B - cosaj |C • sin {w—oc)— D• sinaj₅

—x) + D • cos а

da die Faktoren des zweiten Gliedes rechts gleich Null sind. Daraus folgt

sin ⁴гс

= (AD + BC) • Anw .

a'4'²

Berechnet man nun noch ADĄ- BC, so findet man dafür leicht ô • sinw, so daß sin²w

a'4'²

ist; hiermit ist bewiesen, daß für ô > 0 die Größen a'² und V² gleiches (positives oder negatives) Vorzeichen,

für d < 0 aber entgegengesetztes Vorzeichen haben.

Die aus der Gleichung

(43)

x"²

У"²

a'²

Ь'²

für A a² =

a'² A

(43 a)

x"²

Л²=-

y"²

+ 4r

b²

b'² A

folgende Gleichung

stimmt mit den Gleichungen S.53 (33) und (34) überein; die Gleichung S. 56 (37) stellt daher eine Ellipse oder Hyperbel dar, je nachdem d > 0 oder <0 ist.

Im ersteren Falle ist

und

folglich

= A— |^2 ₊ p sin2a J> 0 ail=iE%{C2+d2cos2Ä}>0’

a² und b² > 0 oder <0 ,

an

a'²

b'²

je nachdem апЛ < 0 oder >0 ist. Für апЛ > 0 ist die Kurvengleichung für kein reelles Wertepaar x, у erfüllt, weshalb man dann von einer imaginären Ellipse spricht. Da für ö > 0 auch an und $₂₂ gleiches Vorzeichen haben müssen, so ist das Vorzeichen von а₂₂Л mit dem von a1±/J übereinstimmend. Die im Falle ô < 0 sich ergebende Hyperbel ist stets reell.

der Nenner $₂₂ = —$и cos 2w + 2$₁₂ cosw

Die Gleichung (42) liefert nur dann keinen bestimmten Wert für den Winkel oc, wenn der Zähler und der Nenner gleichzeitig Null sind. Der Zähler liefert dann: an cos го — $i2 ?

= —$n(cos2w — 2cos²w)=$n. Mit Hilfe dieser Be Ziehungen zwischen au, a₁₂ und $₂₂ findet man nach leichter trigonometrischer Umformung ¹ _ i

für jeden Winkel oc und jeden Winkel w, d. h. die Kurve ist ein Kreis um den Nullpunkt. Für ö ergibt sich der Wert $21 sin²w, und die Gleichung (41) wird

= 0.

$22 sin²w

Vergleicht man diese Gleichung mit S. 52 (32), so sieht man,

я'²+ 2x'y' COSMJ+ y'² +    ^

be-

$22 sin²w?

daß der Radius des Kreises durch r² = stimmt ist.

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades S.56 (37) stellt also stets einen Kreis dar, wenn$n= $₂₂,

$12

jt

= $n cosw (für w = — , also $22 == 0) ist; der Kreis

ist reell oder nicht, je nachdem Jau negativ oder positiv ist.

Ist aber z/= 0, so liefert die Gleichung (43) eine sogenannte zerfallende Kurve zweiter Ordnung, d. h. zwei imaginäre oder reelle Geraden, je nachdem d>0 oder d < 0 ist. Die für d > 0 sich ergebenden imaginären Geraden haben den Nullpunkt, der ihr Schnittpunkt ist,

V²

als einzigen reellen Punkt. Für d < 0 ist-тт = —c², woc

a ²

reell ist, und die beiden Geraden der Gleichung (43) sind У"= ±cx".

31. Mittelpunkt im Unendlichen.

Wenn d = 0 ist, so hat die Kurve (37) einen im Unendlichen gelegenen Mittelpunkt, und eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt läßt sich daher nicht mehr ausführen. Ist einer der Koeffizienten an und a₂₂ gleich Null, so muß auch a₁₂ = 0 sein. Werden diese drei Koeffizienten zunächst sämtlich als von Null verschieden angenommen, so kann die Kurvengleichung (37) geschrieben werden :

cos (w — oc)

= <h>

(44) (an X + a₁₂ y)² + 2 an a₁₃ x + 2 ana₂₃ y + au a₃₃ = 0 . Setzt man in den Formeln S. 25 (7 II) zur Abkürzung sin (w — oc)

si ww

sin w

sin oc

sin w

*1»

cos л; sin w

= Г2

und x₀ = 0, уц = 0, so geht durch diese Transformation die Gleichung (44), wenn noch oc so gewählt wird, daß anqi + a₁₂rx — 0 ist, über in («HÎ2 + «i2»s)V® + ²«ii(«i3?i + a^rx) x'

+ ²«u(« 13 Ï2 + Vl) y'+ «11 «33 = ⁰

die Bedeutung der vier Konstanten ohne weiteres aus der vorhergehenden Gleichung zu entnehmen ist. Führt man noch die Parallelverschiebung

wo

ky'+ T=ky'\ lx' +

k²n — m²

2k²

Ix"

aus, was 1=|=0 voraussetzt, so erhält man schließlich

k²

y"² + 2 — x” = 0 .

Nach (S. 53, III) ist daher die Kurve eine Parabel.

Die Discriminante A hat, wenn man beachtet, daß ö — 0 ist, den Wert

A= —

an[

}*—Ц

J    a₂₂ {

^22 ^13    al2 a23

Aus der obigen Bestimmungsgleichung für oc folgt:

0i

ai2

a₂₂

an

ai2

als о

l—ßj3<7i+ß23ri— ¹ (%й23    а12 %з)—    (й22а13 й12Л2з)‘

«П    «22

Ist aber l =(= 0 , so kann А 4=0 sein.

Für «n = 0 muß «₁₂ = 0 sein, aber «₂₂ 4= 0, wenn die Gleichung S. 56 (37) noch vom zweiten Grade sein soll; sie kann dann geschrieben werden:

(^22 У “b ^2з)² 4~ 2 «22 ^13 ^ 4~ ^22^33    ^23 ⁼ ^

und ist wieder eine Parabel, wenn a₂₂a₁₃ + 0 ist. Dann aber ist auch А = —a*₃a₂₂=j= 0.

Für A — 0 muß, wenn keine der Größen «n, «₁₂, «22 gleich Null ist, ^\'a\2— aiz:a2z= ai2:a22 sein> w*e

П 7,0 ~ «11 «33    «13

m²

aus den beiden obigen Werten von A ergibt; hieraus folgt:

«11 «33    «13 ~ («22 «33 «D

«12

«22 «12

Dann wird nach leichter Umformung:

ail

(«12 «33    «13 «2з) *

und

k²y"² + aua₃₃ — a²₁₃= 0.

Das sind aber zwei reelle oder imaginäre parallele Gerade, je nachdem ana₃₃ — al₃ oder «22«зз ~ «L < 0 oder >0 ist. Für ana₃₃ — a\₃ = a₂₂azz — a\₃ = 0 erhält man eine Doppelgerade.

Für alx = 0, a₁₂ = 0, a₂₂ =(= 0 ergibt sich aus А — 0, daß auch alz = 0 sein muß. Dann liefert der Wert von «22«33    «23 der glichen Weise wie zuvor die Unter

scheidung der drei Fälle.

Setzt man noch ana₃₃ — aj₃= und a₂₂aSB — «₂₃ = d₂, so lassen sich jetzt die in diesem und dem vorigen Paragraphen gefundenen Kriterien in folgender Weise übersichtlich anordnen:

Ellipse

Оц J oder a2i J

<0

reell

>0

Hyperbel

Parabel

imaginär

Imaginäres Geradenpaar

Reelles Geradenpaar

oder d,

<0

>:°

Reelles Imaginäres

Schnittpunkt reell undimEndlichen Parallelenpaar H a u ß n e r , Analytische Geometrie der Ebene.

di = d, = 0

Doppel

gerade

32. Tangente und Polare.

Die Schnittpunkte /S', S” einer Geraden x

y _Ly ту    1 + x ’

у = Y_p mit der Kurve S. 56 (37) erhält man durch Berechnen der beiden W erte von x, für die / l-]^rXX2, -LŻ

\ 1 + x 1 + x

== 0 ist. Diese Forderung ergibt die quadratische Gleichung

(45)

>t²* /(#2 » 2/a) 4~ ^ ^    (^i ? Vi) '    ~\~ f i ? 2/i) 2/2

+ /'"K,2/i)} + /K,2/i)=0,

wo zunächst P₁ (хг, 2/x) und P₂(x₂, ?/₂) zwei beliebige Punkte der Geraden sind. Sind x' und x" die beiden Wurzeln der Gleichung (45), so hat man nur diese Werte in die Parametergleichungen der Geraden einzusetzen, um die Koordinaten von S* und S" zu erhalten.

Liegt der Punkt P± im besonderen auf der Kurve, so muß f(x₁, уг) = 0 sein, und der eine Wurzelwert x' von x ist Null. Der zu x' gehörige Schnittpunkt Sf fällt also mit Рг zusammen. Dreht man nun die Gerade um Р1? so wandert ihr zweiter Schnittpunkt S" auf der Kurve und fällt schließlich mit dem ersten S' zusammen; dann nennt man die Gerade eine Tangente an die Kurve und den Punkt Px ihren Berührungspunkt. Damit die Gleichung (45) aber auch x"= 0 ergibt, muß der Koeffizient von 2 x verschwinden.

Da diese Bedingung vom ersten Grade in ж₂, ?/₂ ist, so ist der geometrische Ort aller Punkte P₂, die mit Px verbunden die Tangente in Рг ergeben, die gerade Linie

(46) f(x₁, yj-x+ f"(xu y₁)-y + /'" (ai, уг) = 0 ,

womit die Gleichung der Tangente¹) im Punkte Рг der Kurve (37) gefunden ist. In (46) bezeichnet man die

Koordinaten x, y eines beliebigen Punktes der Tangente als die laufenden Koordinaten.

Läßt man die Bedingung, daß Px ein Punkt der Kurve sei, wieder fallen und nimmt ihn beliebig an, fragt aber nach der Bedingung, wann die Punkte Px, P₂ und die Schnittpunkte S\ S" ihrer Verbindungsgeraden mit der Kurve zwei Paare konjugierter harmonischer Punkte darstellen, so muß к = —x" sein, was nur der Fall ist, wenn wieder in (45) der Koeffizient von 2 x verschwindet. Hält man wiederum Px fest und läßt P₂ so wandern, daß stets diese beiden Punkte mit den Schnittpunkten vier harmonische Punkte liefern, so erhält man, da die gleiche Bemerkung wie oben gilt, als geometrischen Ort des Punktes P₂ die Gerade

f(x₁, уг) ■ X + /" {%1, ?/i) у + Г(х1, y₁)= 0 .

Diese Gerade heißt die Polare¹) des Punktes Px, der umgekehrt als Pol der Geraden bezeichnet wird. Die Gleichung der Polare ist formal dieselbe wie die Gleichung der Tangente; während aber in letzterer der Punkt Px ihr Berührungspunkt mit der Kurve ist, und auf dieser liegt, ist der Pol der Polare f(x₁,y₁)-x+ /"(x₁,y₁)-y + /"'(xvy₁) = 0 im allgemeinen kein Punkt der Kurve. Wird jedoch der Pol zu einem Punkte der Kurve, so wird seine Polare zur Tangente in ihm; nur in diesem Falle können Pol und Polare vereinigt liegen.

*) Gedächtnisregel für die Bildung der Tangenten- bzw. Polarengleichung des Punktes (xxyx): Man schreibe die Kurvengleichung (37) in der Gestalt:

«n« + an[xy -f ух) + a₂₃yy + a₁₃(x + ж) + a₂₃{y + у) + a₃₃ = 0 und ersetze in jedem Produkte und in jeder Klammer überall die erste (oder, was auf dasselbe hinauskommt, die zweite Koordinate) durch die entsprechende des Berührungspunktes bzw. des Poles Рг, wodurch die Gleichung anXi,x + а₁₂{хгу + Vix) + a₃₂yxy + а₁₈(ж₁ + x) + a₃₃{yx + y) + aa =0 entsteht, die mit (46) übereinstimmt.

Zwei Punkte P± und P₂, deren Koordinaten die Bedingung (47) f'(x!, 24) • x₂ + 1" (x₁, г/j) • 24 + /"' (%, 2/i) = 0 oder anders geordnet die Bedingung (47 a) /' (x₂, y₂) • »i + i" (x₂,2/₂) • 2/1 + /"' (æ₂,2/₂) = 0 erfüllen, heißen harmonische (oder reziproke) Pole; jeder der Pole liegt auf der Polaren des anderen.

Bezeichnen (£,rj) die Koordinaten eines der beiden Kurvenschnittpunkte der Polaren des Punktes Pl5 so ist ihre Gleichung erfüllt für x = §, y = rj:

/'(*1. Vi) • §+ /"(*u 24) “4 + /"'(%. 24) = 0 . Wegen dieser Gleichung ist aber die Gleichung der Tangente in (£, ry):

/'g, n) -X + /"(§, Ч)- У + /'"Ы=0

für ж = y = 2/j erfüllt. Da nun zu jedem Punkte Px nur eine Polare gehört, so folgt: Von einem Punkte P2 sind an eine Kurve zweiter Ordnung nur zwei Tangenten möglich, die sie in ihren Schnittpunkten mit der Polaren von P₂ berühren. Die Tangenten sind nur reell, wenn die Polare von Px die Kurve in zwei reellen Punkten schneidet.

Sind aber (§, rj) die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Polaren des Punktes P1? so folgt in gleicher Weise, daß die Gleichung der Polaren von (§,rj) erfüllt ist für für x — x₁, у — yx; d. h.: Bewegt sich ein Punkt auf einer Geraden pl9 so dreht sich seine Polare um den Pol dieser Geraden.

Diese Gerade p± und die Polare irgendeines ihrer Punkte haben also die Eigenschaft, daß jede durch den Pol der anderen hindurchgeht. Zwei solche Gerade heißen harmonische (oder reziproke) Polaren, und ihre Pole sind demnach harmonische Pole.

Asymptoten. Konjugierte Durchmesser.

69

33. Asymptoten. Konjugierte Durchmesser.

Г(*.у) ₀

Die Gleichung der Polaren des Punktes Pa mit den Koordinaten ox₁, оуг, wo о ein beliebiger Faktor ist, kann geschrieben werden:

Läßt man nun a unendlich werden, so wird Pa zum unendlich fernen Punkte der Richtung O Px = g, und seine Polare ist dann

(48)

f(x, y)- X₁ + f(x,y)- y1=0, welche Gleichung von den Koordinaten x₀, i/₀ des Mittelpunktes der Kurve — wenn ein solcher im Endlichen existiert, also (5 =(= 0 ist — erfüllt wird. Die Polaren der unendlich fernen Punkte sind also Durchmesser der Kurve.

Umgekehrt ist die Polare des Mittelpunktes die unendlich ferne Gerade. Denn setzt man in der Gleichung (46) anstatt xx, yx die Koordinaten æ₀, y₀ des Mittelpunktes und führt für X und y Polarkoordinaten nach S. 22 (4) ein, so erhält man aus (46) für die Polare des Mittelpunktes:

• sin W — 0 .

/' (»0, Уо) sin (го — -Э) + /" (x₀, y„) ■ sin & , Г(х₀,Уо)

Da nun f(x₀, y₀) = 0, f"(x₀, y₀) = 0, für nicht zerfallende Kurven aber A =j= 0, also — nach § 29 — /'" (æ₀, y₀) =)= 0 ist, so kann die Gleichung nur für r = сю befriedigt sein. Zieht man vom Mittelpunkte aus die Tangenten an die Kurve, so müssen sie dieselbe in den Schnittpunkten mit der unendlich fernen Geraden berühren. Diese besonderen Tangenten heißen Asymptoten.

Um zu erkennen, wann diese reell sind, führt man in der allgemeinen Gleichung zweiten Grades Polarkoordinaten

ein und dividiert durch r². Läßt man dann r = oc wer-

freie Glied übrig, und man

den, so bleibt nur das von

erhält für die Asymptotenrichtungen die Gleichung

(48) au sin²(w—9) + 2 a₁₂ sin(w?—#)sin#+ a₂₂ sin² 9= 0, oder

(an cos w — a₁₂) sinw ±|/— d • sinw

an cos²w — 2 a₁₂ cos w + a₂₂

(48')

— ^12 i T— d

tg^ =

Mithin hat nur die Hyperbel zwei reelle Asymptoten.

Da nun der zum Halbierungspunkte einer Strecke konjugierte vierte harmonische Punkt (§ 5) der unendlich ferne Punkt dieser Geraden und die Polare dieses unendlich fernen Punktes ein Durchmesser ist, so folgt, daß die Halbierungspunkte paralleler Sehnen auf einem Durchmesser liegen, der als der zu der Richtung g der parallelen Sehnen konjugierte Durchmesser d! bezeichnet wird. Die Polare des unendlich fernen Punktes dieses Durchmessers d' ist aber der zu der parallelen Sehnenschar gehörige Durchmesser, der mit d bezeichnet werde. Dementsprechend heißen d und d! konjugierte Durchmesser ; für sie gelten also die Gleichungen

a2‘l

У у — У о

d':    f(x,y)-x₁ + f"(x,y)- уг=0.

Die Achsen sind das einzige Paar zu einander konjugierter und zu einander senkrechter Durchmesser.

(49)

d:

У — Уо = -

(x — x₀)

Zu den einer Richtung g parallelen Sehnen gehören auch die Tangenten. Folglich sind die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers parallel zu seinem konjugierten Durchmesser.

5. Abschnitt.

Gestalt der Kurven zweiter Ordnung.

34. Ellipse.

Zur Untersuchung der Gestalt von Ellipse und Hyperbel benutzt man am bequemsten die auf die Achsen der Kurve als Koordinatenachsen bezogenen Gleichungen S. 53,11(33) und (34).

Bei der Ellipse

Achse, auf der die Brennpunkte liegen, die große oder Hauptachse, die zu ihr senkrechte die kleine oder Nebenachse; die Bezeichnung als große und kleine Hauptachse entspricht der Erzeugung nach S. 52, II. Die Brennpunkte haben den Abstand e = ]/a² — Ъ² vom Mittelpunkte. Die Endpunkte dieser Achsen x= ± а, y= 0 und x— 0, y= ±5 heißen die Scheitel. Da in der Gleichung (33) x mit—x und у mit—у vertauscht werden kann, ohne daß die linke Seite der Gleichung ihren Wert ändert, so folgt, daß die Ellipse in bezug auf ihre beiden Achsen symmetrisch ist.

Durch Einführung von Polarkoordinaten x — r • cos #, у — r • sin # erhält man aus der Ellipsengleichung cos²# sin²#

X²

a²

у²

+ T-»

b²

= 1, а > b nennt man die

ьэ| *“L

Ъ²

e²

a²    а²Ь²

1 e²

sin² #

Ь² а²Ъ²

cos² # .

Da a² — b² > 0 ist für a^>b, so folgt aus dem vorletzten Ausdruck von ~, daß r seinen größten Wert a r²

für #=0und7T, und aus dem letzten Ausdrucke, daß r seinen kleinsten Wert b f ür ^    ^ und --- annimmt. Alle Werte

и    и

von r liegen also, da sich r mit # stetig ändert, zwischen a und b\ die Ellipse ist mithin eine geschlossene Kurve, die ganz innerhalb des durch die vier Geraden x ±= und у — ±b gebildeten Rechtecks СгС₂СвС₄ (vgl. Fig. 20) liegt. Die Seiten dieses Rechtecks sind die Ellipsentangenten in den vier Scheiteln, wie aus der nach § 32 gebildeten Gleichung der Tangente im Punkte Px der Ellipse

xxx

a²

+4=l

für x±= ±a, уг = 0 und хг = 0, уг = ±b unmittelbar zu erkennen ist.

Q’

Wf

Fig. 19.

Für die genaue Zeichnung einer Ellipse ist die Kenntnis der Krümmungskreise in ihren vier Scheiteln von wesentlichem Vorteil. Legt man (Fig. 19) durch den Scheitel Аг der Hauptachse einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Hauptachse liegt, \a₇ so schneidet er die Ellipse, wenn sein Radius kleiner als a ist, noch in zwei symmetrisch zur Z-Achse gelegenen Punkten Q', Q", deren Abszisse OR —а — s sei ; als ihre Ordinaten ergeben sich dann aus

der Ellipsengleichung dieWerte d= — 1/

a \

2a e—s² . Je kleiner man e werden läßt, um so mehr nähern sich die Schnitt-

punkte Q', Q" dem Scheitel Ax, bis sie für e = 0 mit ihm zusammenfallen. Der sich dann für diese Grenzlage ergebende Kreis heißt der Krümmungskreis im Scheitel der Hauptachse; sein Radius sei rA. Wie aus seiner Entstehung hervorgeht, schmiegt er sich der Ellipse in dem Scheitel Ax von allen möglichen Kreisen am engsten an. T)&MA₁= MQ' gleich dem Radius r des Kreises Q' A$', also MR — М{МАг— RA₁)= ^ (r — s), so folgt aus dem rechtwinkligen Dreiecke M R Q' : MQ'² = r² = (r — s)2 b²

+ -r (2 as — £²), woraus sich nach Division durch s ergibt:

CL*

•ККЮ-

0 , und schließlich îixie — 0:

rA = —

(50 a)

In der gleichen Weise erhält man für die Scheitel der Nebenachse Krümmungskreise, deren Mittelpunkte auf der Г-Achse liegen und deren Radius

rB= T-

(50 b)

ist. Die Mittelpunkte dieser Kreise, die sogenannten Krümmungsmittelpunkte, lassen sich leicht konstruieren; man hat (Fig. 20) nur die Sehne A± Bx zwischen den Scheiteln Al und Bx zu ziehen und auf sie von der Ecke Сг des von den Scheiteltangenten gebildeten Rechtecks C₃C₄ das Lot zu fällen, das dieZ- und Y-Achse in den Mittelpunkten Мг und Nx der zu Ax und Bx gehörenden Krümmungskreise schneidet. (Denn aus den ähnlichen Dreiecken M₁A₁C₁, AiCiBi, C₁B₁N₁ folgt M₁A₁:A₁C₁ = A₁C₁:C₁B₁ = C₁B₁:N₁B₁ oder rA:b — b:a = a:rB in Übereinstimmung mit den Werten 50a und 50b.)

Zur Konstruktion einzelner Punkte der Ellipse aus ihren beiden Achsen 2a und 2 Ъ bedient man sich am besten des folgenden Verfahrens. Man konstruiert die Kreise mit den Radien a und Ъ um den Anfangspunkt О, zieht unter dem

-•<4

*A»

Cy /

er

Fig. 20.

beliebigen Winkel t gegen die X-Achse den Radius, der die beiden Kreise in den Punkten D und E schneidet; der Schnittpunkt P der von D auf die X-Achse und von E auf die 7-Achse gefällten Lote ist ein Punkt der Ellipse. Denn aus

H P = GE = y = Ъ • sin t

(51) OH = X — a • cos t folgt sofort - -j- — = 1. Die Gleichungen (51) sind also

Parametergleichungen der Ellipse; t heißt die exzentrische Anomalie des betreffenden Ellipsenpunktes. Aus ihnen folgt, daß die zu der gleichen Abszisse gehörenden Ordinaten eines Ellipsenpunktes und des Kreises x² + y2 = a² zueinander das Verhältnis b:a haben. Man nennt diese Zuordnung von Ellipse und Kreis affine Verwandtschaft mit der X-Achse als Affinitätsachse.

Für die mechanische Erzeugung von Ellipse, Hyperbel und Parabel sind zahlreiche Apparate ersonnen, die teils nur eine der drei Kurvenarten, teils alle drei zu erzeugen vermögen und als Kegelschnittzirkel bezeichnet werden. Für den praktischen Gebrauch haben sie im allgemeinen wenig Bedeutung. Es sollen deshalb nur zwei mechanische Erzeugungsweisen der Ellipse erwähnt werden.

Aus ihrer Eigenschaft als Ortskurve aller Punkte, die von zwei festen Punkten (Brennpunkten) eine konstante Abstandssumme besitzen (S. 52, II), folgt eine einfache Fadenkonstruktion, die wegen ihrer handwerklichen Verwendung als Gärtnerkonstruktion bezeichnet wird. Um zwei in den Brennpunkten F±, F₂ befestigte Nadeln wird ein Faden von der Länge 2 (a+e) herumgelegt und mit Hilfe des Zeichenstiftes zu einem Dreieck F₁F₂P gespannt, dessen Basis gleich 2e und dessen Summe der beiden anderen Seiten gleich 2a ist; bei der Bewegung des Zeichenstiftes erzeugt die Spitze P eine Ellipse.

B,

Potfl

Ya

Fig. 21.

Bewegen sich die Endpunkte Q, R einer Strecke von der gegebenen Länge s auf zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden, so beschreibt ein beliebiger Punkt P der Verbindungsgeraden Q R eine Ellipse. Nimmt man die beiden Geraden als

Wird P zwischen Q und R genommen, so ist t negativ in Rechnung zu stellen. Die auf diesem Satze beruhenden Apparate sind so eingerichtet, daß die gegenseitige Entfernung der Punkte P,Q, R verändert werden kann¹).

35. Hyperbel.

Die Gleichung der Hyperbel ~= 1 geht für Polarkoordinaten x = r • cos#, y = r • sin# über in

a² b²

b² cos² # — a² sin² # ’

woraus für #= 0 oder n der kleinste Wert r— a folgt. Es mögen ß die speziellen Werte von # bezeichnen, für die r= oo ist. Aus dem Verschwinden des Nenners von

r² folgt für sie : tg g> = ± - . Die Geraden

(52)

lt

Koordinatenachsen (Fig. 21), gleitet der Punkt Q auf der X- und der Punkt R auf der 7-Achse und hat der erzeugende Punkt P den Abstand t von Q, so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke QOR und QSP für den Winkel g>, den QR mit der Z-Achse bildet,

OQ X — OQ

sin cp = ~

cos Cß =

also

s + t'

X²

r2

(s+ty

1.

a b У = ±-x

x) Eine vorzügliche Ausführung eines solchen Apparates ist die von K. Rohn im Verlage von Martin Schilling in Leipzig.

sind die Asymptoten der Hyperbel (vgl. S. 70 [48']). 2 cp heißt der Asymptotenwinkel.

Die Werte von r sind nur reell, wie aus der Gleichung für r² folgt, wenn zwischen 0 und cp, тг — cp und tl-\- cp, — cp und 0 liegt. Die Hyperbel besteht also aus zwei getrennten Kuryenzweigen (Fig. 22). Der eine liegt rechts von der Parallelen zur Y-Achse durch den Punkt (+a, 0), der andere links von der Parallelen zur Y-Achse durch den

4Y

X'

Fig. 22

Punkt (— a, 0) ; beide Zweige werden ferner von den Asymptoten eingeschlossen. Die Z-Achse schneidet also die Hyperbel in den zwei reellen Scheitelpunkten x—±a und trägt die Brennpunkte, die, wie aus

S. 52, II folgt, die Abszissen x= i |/а² + Ъ² = ±e haben. Die Y-Achse liegt ganz außerhalb der Kurve, so daß bei der Hyperbel nur zwei (reelle) Scheitelpunkte vorhanden sind. Deshalb nennt man auch die die Brennpunkte tragende Hauptachse die reelle, die andere die imaginäre Achse. Nur Gerade, die in die von den Asymptoten begrenzten und von der Z-Achse halbierten Felder hineinragen, schneiden die Hyperbel in reellen Punkten. Die Kurve ist in bezug auf die beiden Achsen symmetrisch.

Für alle Punkte des rechten Hyperbelzweiges ist r₂ — r2 = 2 a, für alle des linken rx —r₂= 2 a.

Für die Zeichnung der Hyperbel in der Nähe der Scheitel ist wieder die Konstruktion der Krümmungskreise derselben von Vorteil. In gleicher Weise wie für die Scheitel der Hauptachse der Ellipse findet man für ihren Radius

(53)

rA = —‘

d

Den zu Аг gehörigen Krümmungsmittelpunkt Мг findet man, indem man in dem Schnittpunkte der Scheiteltangente G± mit der einen Asymptote zu dieser das Lot errichtet; der Schnittpunkt des letzteren mit der X-Achse ist der gesuchte Punkt M±.

Für die Hyperbel gelten, wie leicht zu sehen, die Parametergleichungen

(Ö4X)

y=b-tgt.

COS t ’

Auf sie stützt sich die folgende einfache Konstruktion einzelner Hyperbelpunkte (Fig. 23). Man konstruiert um den

X = —

Cr

лУ

3i

Q'

:>:c

Fig. 23.

Nullpunkt einen Kreis vom Radius a und zieht zur Y-Achse die Parallele x = b. Zieht man dann unter einem beliebigen Winkel t einen Radius OR, der auf der gezogenen Parallelen das Stück DE abschneidet, so ist dieses ebenso groß wie die Ordinate QP desjenigen Hyperbelpunktes, dessen Abszisse von der Tangente an den Kreis in R auf der Z-Achse abgeschnitten wird, denn QP — DE=b'tgt,OQ = —.

cos t

= —1.

Der gegebenen Hyperbel kann man eine zweite zu ordnen: x²    y²

~ä²~¥

Sie hat dieselben Asymptoten wie die erste und die gleiche lineare Exzentrizität e— ]/a*~+ b², wird aber von der Y-Achse in reellen Scheitelpunkten geschnitten; auf der Y-Achse liegen auch die Brennpunkte im Abstande e vom Mittelpunkte. Für diese zweite Hyperbel ist die konstante Differenz der Abstände eines Punktes von den beiden Brennpunkten gleich 2 b. Ihre Parametergleichungen sind

(54₂)

b

x = a • cot t, y— .

a²

smć

Beide

Der Krümmungsradius ihrer Scheitel ist gleich —.

Hyperbeln bezeichnet man als konjugierte Hyperbeln. Für Ъ — a werden beide Hyperbeln kongruent; die eine

71

geht aus der anderen durch eine Drehung um —hervor.

и

Diese Hyperbel mit gleichen Halbachsen heißt gleichseitige oder rechtwinklige Hyperbel, weil ihre Asymptoten aufeinander senkrecht stehen : tgçp = il. Die

gleichseitige Hyperbel

X²

y²

^ = 1 steht zu der Hyperbel

Kreis vom Radius a zu der Ellipse mit der halben Hauptachse a: Die Ordinaten der zu derselben Abszisse gehörenden Punkte beider Kurven verhalten sich wie а : Ъ.

36. Parabel.

Nach § 27, III ist die einfachste Gleichungsform der Parabel die sogenannte Scheitelgleichung:

y² = 2p x .

Bei dieser Form der Gleichung liegt der Brennpunkte der Parabel auf der Z-Achse. Die Kurve hat, da in ihrer Gleichung?/ ohne weiteres mit—y vertauscht werden kann, dieZ-Achse als Symmetrielinie und liegt ganz auf der Seite der Y-Achse, nach welcher die positive Z-Achse zeigt, wenn der Parameter 2p positiv ist; umgekehrt liegt die Parabel auf der entgegengesetzten Seite der Y-Achse, wenn 2p negativ ist. Der Nullpunkt heißt der Scheitel der Parabel und die positive bzw. negative Z-Achse ist ihre Achse. Die Abszisse

p

des Brennpunktes ist nach § 27 gleich —, die des Schnitt-

Li

punktes der Leitlinie mit der Z-Achse gleich —    .

Die Gleichung der Parabeltangente im Punkte Px (я₁₅ уx) lautet nach S. 67

У1У=Т(Ч+ *) und fällt daher für ihren Scheitel (xx = yx — 0) mit der Y-Achse zusammen.

Durch Einführung von Polarkoordinaten x= r • cos#,

2p

у — r • sin # läßt die Kurvengleichung tg² # =

X²    y²

a² b²

— = 1 in derselben affinen Verwandtschaft wie der

r • cos#

erkennen, daß r= oo nur möglich ist für # = 0. Die

Parabel besitzt also nur einen unendlich fernen Punkt, wie sie auch nur einen Scheitel und nur einen Brennpunkt hat ; sie kann als Grenzfall einer Ellipse, deren große Achse unendlich groß geworden ist, angesehen werden. Alle Durchmesser der Parabel sind ihrer Achse parallel.

Für die Zeichnung einer Parabel ist wieder die Kenntnis des Krümmungskreises in ihrem Scheitelpunkte von Vorteil. Ein beliebiger Kreis durch den Scheitel der Parabel, dessen Mittelpunkt auf der Parabelachse liegt und dessen Radius r > p ist, schneidet die Kurve noch in zwei Punkten mit der Abszisse e. Für einen solchen Kreis gilt die Gleichung (X — r)² + y² — r², woraus für seine Schnittpunkte X = e mit der Parabel die Gleichung s² — 2(r — p) e = 0 folgt, die nach Division mit e für e = 0 den Radius r₀ des Krümmungskreises

r₀=V

hat. Der Mittelpunkt des Scheitelkrümmungskreises der Parabel liegt also doppelt so weit als der Brennpunkt vom Scheitel entfernt.

Einzelne Punkte der Parabel kann man (Fig. 24) in der Weise konstruieren,daß man Kreise кг, к den Brennpunkt F beschreibt und jeden mit der Parallelen zur Leitlinie schneidet, die von der letzteren einen senkrechten Abstand gleich dem

H a u ß n e r, Analytische Geometrie der Ebene.

. um

P,

hp P

ЩрЖх

Pi

Pz

Fig. 24.

Radius des betreffenden Kreises hat und auf der gleichen Seite wie der Brennpunkt liegt. Will man mehrere Parabelpunkte konstruieren, so ist es vorteilhaft,

3

>. grP’ ²P> • •

. zu wählen, da

als Radien der Kreise p

dann die Parallelen zur Leitlinie durch die Punkte mit

p,... hindurchgehen.

den Abszissen ,

и

6. Abschnitt.

Tangenten und Polaren.

37. Konstruktion für alle drei Kegelschnittarten.

Um für einen gezeichnet vorliegenden Kegelschnitt Polaren und Tangenten zu konstruieren, kann man die harmonischen Eigenschaften des vollständigen Vierecks benutzen (Fig. 25).

Soll die Polare des Punktes P gezeichnet werden, so zieht man durch P zwei beliebige Sekanten, die den Kegelschnitt

Pb

Fig. 25.

in den Punkten Рг, P₂ und P₃, P4 schneiden, und verbindet dann Px mit P₃, P₂ mit P₄ und Pj mit P₄, P₂ mit P₃. Ist Q der Schnittpunkt des ersten, R der des zweiten Linienpaares, so ist QR die Polare p des Punktes P, da, wenn A und В die Schnittpunkte von QR

mit P₄P₂ und P₃P₄ bezeichnen, (P₁P₂AP) = (P₃P₄PP) = —1 ist (nach § 26). Sind C und D die Schnittpunkte von p mit dem Kegelschnitte, so ergeben die Verbindungslinien dieser Punkte mit P die Tangenten in ihnen.

Die Fig. 25 läßt ohne weiteres erkennen, daß die Konstruktion auch für einen Punkt R, von dem keine (reellen) Tangenten an die Kurve möglich sind, ihre Gültigkeit behält; QP = r ist die zu R gehörige Polare.

Soll zu einer gegebenen Geraden, z. B. p, der zugehörige Pol ermittelt werden, so beachte man, daß sich in ihm nach dem Satze des vorletzten Absatzes von § 32 die Polaren aller Punkte von p schneiden. Man hat also nur zu zwei beliebigen Punkten von p die zugehörigen Polaren zu konstruieren und erhält in ihrem Schnittpunkte den Pol von p.

Die Tangente in einem Punkte, z. В. C, eines Kegelschnittes kann man finden, indem man durch G eine beliebige Gerade zieht und ihren Pol bestimmt, dessen Verbindungslinie mit C die Tangente in diesem Punkte ist.

38. Kreis, Ellipse und Hyperbel.

Die Tangente im Punkte Px (xx, 24) des Kreises x² + y2 = a² ist

(55)

xix + УгУ= «²-

xy

, der des Radius nach

Da ihr Richtungskoeffizient — у

dem Punkte P gleich — ist, so folgt, daß beim Kreise jede

xi

Tangente auf dem Radius ihres Berührungspunktes senkrecht steht.

Liegt der Punkt Px nicht auf dem Kreise, so bestimmt (55) seine Polare pl5 die auf der Verbindungslinie des Kreismittelpunktes О mit P± senkrecht steht. Um zu konstruieren, schlägt man über OP± einen Halbkreis, wenn Рг außerhalb des gegebenen Kreises liegt, und verbindet die Schnittpunkte beider Kreise. Liegt aber Рг innerhalb des Kreises, so errichtet man in Рг die Senkrechte s zu О Рг und konstruiert in ihren Schnittpunkten mit dem Kreise die Tangenten; die Parallele zu s durch den Schnittpunkt beider Tangenten ist die gesuchte Polare. —

Die Tangente im Punkte P₁(x₁, y±) an die Ellipse (33) bezogen auf die Hauptachsen als Koordinatensystem, ha die Gleichung

xxx

У1У

1,

(55«)

i^r , oj (vgl. S. 74,

k'-h')

P’

schneidet also die Z-Achse im Punkte T Fig. 20). In dem zur gleichen Abszisse gehörenden Punkte des Kreises x²-Ą-y² = a² ist die Tangente:

+ jyiv= «²;

sie schneidet die Z-Achse in demselben Punkte T. Da aber die Kreistangente senkrecht auf dem Radius nach dem Berührungspunkte steht und daher leicht zu zeichnen ist, so braucht man nur ihren Schnittpunkt T mit der Hauptachse der Ellipse zu ermitteln und ihn mit dem zugehörigen Punkte P der Ellipse zu verbinden, um die Ellipsentangente in P zu erhalten.

Die gleiche Konstruktion führt zu der Konstruktion der Hyperbeltangente, wenn statt des Kreises die zu der Hyperbel affine gleichseitige Hyperbel benutzt wird. Die Tangenten an die beiden Hyperbeln in den zu der Abszisse x± gehörenden Hyperbelpunkten Pl5 Р/ schneiden die reelle

. Dieser Punkt läßt

Achse in demselben Punkte T

sich, ohne daß die Zeichnung der gleichseitigen Hyperbel nötig ist, leicht konstruieren. Am zweckmäßigsten ist es, diese Konstruktion mit der des Hyperbelpunktes nach § 35 zu verbinden.

Dann hat man nur (Fig. 26) von dem Punkte R, in dem der unter dem Winkel t gezogene Radius den Kreis vom Radius a um О als Mittelpunkt schneidet, das Lot RT auf die X-Achse zu fällen, um den Punkt T zu erhalten, in dem die Tangente in dem t zugehörigen Hyperbelpunkte P die Z-Achse schneidet. Denn aus den ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken О TR und ORQ

folgt OT:OR = OR:OQ oder OT= —.

pue

/л*

TU,Q

Fi ff. 26.

39. Asymptotensätze der Hyperbel.

Die Gleichung der Hyperbel nimmt in bezug auf ihre beiden Asymptoten als Koordinatenachsen eine

oft sehr vorteilhafte Gestalt an. Ist tg cp = —, so hat

(X

man zu der nötigen Drehung des Koordinatensystems die Formeln zu benutzen:

X = (æ'+ y') cos cp , y— (—x'    y') sin 50

und erhält die Hyperbelgleichung

(56)

= c².

*y= “² + ⁶²

[P

yi

4g a

7/

DSÏ

a a'nA,

c\ \

л"

Fig. 27.

Aus dieser Gleichung liest man unmittelbar den Satz ab: Zieht man durch einen beliebigen Hyperbelpunktp!

X Parallelen zu den Asymptoten, so besitzt (Fig. 27) das so entstehende Parallelogramm OX\P₁Y[ den konstanten

ab

Flächeninhalt (x[ y[ • sin 2 cp =)    .

и

(57)

Die Tangente imPunkte Рг(х[, y[) hat nun die Gleichung y[x'+ x[y'= 2c²

/2 c² \

und schneidet die Asymptoten in den Punkten С I—r , 0) /    2 c²\    .    \Уг I

und D , —j-J . Berechnet man die Strecken GP± und

D Pj aus den Koordinaten ihrer Endpunkte, so erkennt man mit Hilfe von (56) leicht, daß das zwischen den Asymptoten gelegene Stück jeder Hyperbeltangente von dem Berührungspunkte halbiert wird*

Andererseits folgt ausOC • OD =

4c⁴

= 4 c² der weitere

<y'i

Satz:

Jede Hyperbeltangente schneidet auf den Asymptoten Strecken ab, deren Produkt konstant ist.    x

Schneidet eine beliebige Gerade —|— = 1 die Hy-

m n

perbel (56) in den Punkten P,Q und ihre Asymptoten in P, S₉ so findet man, wenn W — ]/m²n² — 4mnc² ist, für die Koordinaten von P und Q:

c²

//

. m W X = 2±2^’

wo die oberen Zeichen in beiden Gleichungen für die Koordinaten von P, die unteren für die von Q zu nehmen sind. Die Koordinaten von R und S sind (m, 0) und (0 ,ri). Berechnet man nun nach S.26 (10) die Strecken P R und QS, so findet man, daß auf jeder beliebigen Geraden ihre Schnittpunkte mit den Asymptoten einer Hyperbel gleichweit von ihren Hyperbelschnittpunkten entfernt liegen.

Dieser Satz kann vorteilhaft zur Konstruktion von Hyperbelpunkten benutzt werden, wenn die Halbachsen a und b gegeben sind. Man trägt zunächst die Länge a auf einer Geraden (reelle Achse) von einem Punkte 0 aus ab bis Ax, A₂ (Scheitel) und errichtet in ihnen die Lote von der Länge b, deren Endpunkte G, H mit 0 verbunden die Asymptoten ergeben. Zieht man dann durch einen der Scheitel, z. B. durch A±, eine beliebige Gerade, welche die Asymptoten in den Punkten U und V schneidet, so hat man nur die Länge A V von U aus rückwärts abzutragen, um in В einen zweiten Hyperbelpunkt В zu finden.

40. Parabel.

Als Normale eines Punktes P einer beliebigen Kurve wird die Senkrechte in P zur Tangente dieses Punktes bezeichnet und als Subnormale das gerichtete Stück der

Z-Achse von dem Fußpunkte H der Ordinate des Kurvenpunktes P an bis zum Schnittpunkte mit der Normalen N. Unter der Subtangente versteht man das gerichtete Stück der Z-Achsevon ihrem Schnittpunkte T mit der Tangente an bis zum Ordi-natenfußpunkte H hin. Für die Parabel gestalten sich diese Werte besonders einfach, wenn man ihre Scheitelgleichung y² = 2 p x zugrunde legt. Die Tangente im Punkte P₁ (xx, yx) ist dann

У1У=р(х+ Xj),

ihr Richtungskoeffizient also

s*

У/

Pr

т\

(58)

_£-*/ i

Hi P

Fig. 28.

Vi

, und mithin lautet die

Gleichung der Normale in Рг:

p(y — Vi) = — yi(x — Xj .

Die Punkte N und T (Fig. 28) haben die Abszissen: x = x₁-\- p und x = —X] ,

(59)

und mithin ist

HN=s„=+p,    TH—S/=—2x₁.

Der Kreis mit dem Radius жх + ~ um den Brennpunkt F

(GO)

schneidet die Z-Achse in den Punkten N und T. Diese Konstruktion verbindet man zweckmäßig mit der auf S.81 und 82 angegebenen.

7. Abschnitt.

Konjugierte Durchmesser.

41. Allgemeine Konstruktion konjugierter Durchmesser.

Die in § 37 benutzten harmonischen Eigenschaften des vollständigen Vierecks dienen auch, um zu einer gegebenen Sehnenrichtung g den konjugierten Durchmesser zu kon-

14

51

Pr

P lP2

Fig. 29.

struieren. Man zieht irgend zwei Sehnen РгР₃, P₂P4 parallel zu der gegebenen Richtung g (Fig. 29) und ergänzt die Figur zum vollständigen Viereck. Der Diagonalpunkt Q (vgl. S. 82, Fig. 25) fällt hier in das Unendliche, und daher ist seine Polare der zu den parallelen Sehnen, also zur Richtung g konjugierte Durchmesser d\ Folglich gelten für Ellipse, Hyperbel und Parabel die Sätze:

Die Verbindungsgeraden der Endpunkte paralleler Sehnen schneiden sich auf dem zu ihnen konjugierten Durchmesser.

Die Tangenten in den Endpunkten einer Sehne schneiden sich auf dem konjugierten Durchmesser (z. B. die Tangenten in Px und P₃ in dem Punkte T auf d').

42. Ellipse und Hyperbel.

Will man bei der Ellipse und Hyperbel den Mittelpunkt nicht durch Halbieren eines Durchmessers bestimmen, so konstruiert man zu einer zweiten Dichtung den konjugierten Durchmesser und erhält dann in dem Schnittpunkte beider Durchmesser den Mittelpunkt der Kurve. Wählt man zwei gleich weit vom Mittelpunkte entfernte parallele Sehnen РгР₂, P₃P₄, so bilden sie mit den Verbindungslinien PXP₄, P₂ P3 ihrer Endpunkte ein Sehnenparallelogramm, dessen Seiten ihren konjugierten

k\ /

Durchmessern parallel sind; tjQz auf den letzteren müssen sich die Tangenten in Рг, P₂, P₃, Pi schneiden. Damit ist der Satz gewonnen:

'V'

Sehnenparallelogramms sind konjugierten Durchmessern parallel; die Diagonalen eines Tangentenparallelogramms sind konjugierte Durchmesser (Fig. 30a und b).

Auf diesem Satze beruht die Methode der sogenannten Supplementarsehnen für die Konstruktion konjugierter Durchmesser. Man zieht einen beliebigen Durchmesser

Die Seiten eines einem Mittelpunktkegelschnitte einbeschriebenen

л <b

0/,

Fig. 30 a.

QOP und verbindet seine Endpunkte P, Q mit irgendeinem Punkte der Kurve; diese Sehnen heißen Suppleme ntar sehnen und sind einem Paar konjugierter Durchmesser parallel. Sollen im besonderen die Hauptachsen einer gezeichnet vorliegenden

punktskurve gefunden werden, so beschreibt man über dem beliebigen Durchmesser QOP einen Halbkreis und zieht von seinem Schnittpunkt mit der Kurve die Sehnen nach P und Q, die den Hauptachsen parallel sind.

Nimmt man als beliebigen Durchmesser bei der Ellipse

x‘2

— + p- = 1 die große Achse und verbindet ihre Scheitel

Ax, A₂ mit dem beliebigen Punkte P₁(x₁₁ yx) der Ellipse, so sind die АгРг und А₂Рг parallelen Durchmesser konjugiert und haben die Gleichungen:

Mittel-

r.

Q.

V/

³\k

Fig. 30 b.

Vl

-x=tgS₁-x, y

У1

X == tg ^2 * X ,

Д?1 -f- Cl

wo Sly S2 die von ihnen mit der positiven Z-Achse gebildeten Winkel sind. Dann folgt, mit Berücksichtigung des Umstandes, daß xx, yx der Ellipsengleichung genügen müssen, die wichtige Beziehung

(61a)

der je zwei konjugierte Durchmesser einer Ellipse genügen müssen¹).

Aus der Ellipsengleichung folgt die der Hyperbel, wenn Ъ² mit —b² vertauscht wird; folglich gilt für die Hyperbel

(61b)

b²

tg^l • tg^2 = + -T .

Da die Tangente eines Winkels im ersten oder dritten Quadranten positiv, die eines solchen im zweiten oder vierten Quadranten negativ ist, so lassen die vorstehenden Formeln erkennen, daß zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse in verschiedenen Quadranten, zwei solche der Hyperbel in demselben Quadranten liegen müssen. Wächst der Winkel so nimmt zu bei der Ellipse, dagegen ab bei der Hyperbel. Zwei konjugierte Durchmesser einer Hyperbel werden durch eine der Asymptoten getrennt.

7,tg£s=tg(jr —#0 Ъ    . a

= —— bemerkenswert. Die zugehörigen konjugierten

Bei der Ellipse ist der Fall tg^ =

Durchmesser sind die Diagonalen des von den Scheiteltangenten gebildeten Bechtecks und schließen, wie sich leicht nachweisen läßt, den größten Winkel miteinander ein, den zwei konjugierte Durchmesser bilden können.

Nur bei der Hyperbel kann ^ sein, nämlich für

; jede Asymptote fällt also mit dem zu

*) Die Gleichung des zu у = ——

Xi —

- • X konjugierten Durchmessers kann а

natürlich auch ohne Benutzung des vorstehenden Satzes aus den Gleichungen (49) erhalten werden. Dort ist x₀ = y₀ = 0, /'(я, у) —    , f"[x, y) = ~ zu setzen

und Xi durch xx — a zu ersetzen. Dann erhält man die Gleichung von d' in der

Gestalt : у =

Ъ² ях — а

~ а² уг

X = tg&a * z* aus der dann unmittelbar (61) folgt.

ihr konjugierten Durchmesser zusammen. In Verbindung mit § 41 schließt man hieraus, daß die Polare eines beliebigen Punktes einer Asymptote zu derselben parallel ist und mit ihr zusammenfällt, wenn jener Punkt der unendlich ferne Punkt der Asymptote ist.

Transformiert man die Hauptachsengleichung der Ellipse auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem, dessen Achsen mit zwei konjugierten Durchmessern zusammenfallen, in-

7Г

demmanaufS.24in(6,II)w= — ,«=    setzt, so

и

erhält man mit Berücksichtigung von (61a):

ж'²

у'²

(62a)

wo а!, V die Längen der konjugierten Halbmesser sind.

Die Koordinaten der Endpunkte А', B' dieser konjugierten Halbmesser a\ V haben in bezug auf das Hauptachsensystem Koordinaten, die sich, wenn Zl5 L die zu den konjugierten Durchmessern gehörigen Parameterwerte (§34) sind, in doppelter Weise darsteilen lassen:

(Г) o! • cos^ = а • cosźj ,

(1Г) V • cos #2 = а • cosZ₂ ,

Daraus folgt durch Division der in jeder Zeile stehenden Gleichungen und nachherige Multiplikation der Quotienten

b²

tg#i • tg#₂ = ₉ tg tx • tg t₂ ,

a'²

b'²

(I") a! * sin^j = b * sin^; (II") b'- sin^ = b • sin/₂.

a²

und mit Rücksicht auf (61a)

tg 4 • tg t₂ = — 1 oder cos (t₂ — у = 0 , d. h. die exzentrischen Anomalien der Endpunkte zweier konjugierter Ellipsenhalbmesser besitzen

die konstante Differenz

Quadriert und addiert man die Gleichungen (I) und dann (II), so ergibt sich

(63a)

woraus folgt (64a)

ja'² = a² cos²^ + b² sin²^ \b'² = a² cos²L₂ + b² sin²ź

a'² + V² = a²+b².

Multipliziert man die Gleichungen (I) und (II) kreuzweise, so erhält man

a!b' sin(^ — #i) ■= ab .

(64'a)

Durch die gleiche Transformation, mit Berücksichtigung der Gleichung (61b), gehen die Hauptachsengleichungen

= i 1 über in

X² y²

der beiden konjugierten Hyperbeln — — —

(62 b)

x'² y'2 o'² V²

wo a', V die Längen der beiden konjugierten Halbmesser sind, und zwar ist a' der Abstand der Schnittpunkte der Z'-Achse mit der Hyperbel, für die rechts das obere Vorzeichen gilt, b' der Schnittpunkte der Г'-Achse mit der zur ersten konjugierten Hyperbel. Um hier die den Formeln (I) und (II) entsprechenden Formeln zu erhalten, sind auf die erste Hyperbel die Formeln (54x), auf die zweite die Formeln (54₂) anzuwenden, während tx, t₂ ihre vorige Bedeutung behalten:

(I") a' sin#! = b • tg^;

an f

COS t± ’

(1Г) V cos = a • cotż

(Г) a' cos

In gleicher Weise wie bei der Ellipse ergibt sich zunächst

tg^i * tg^₂ =

b² sin/j а² cos/₂ ’

und mit Kücksicht auf (61b)    ^

sin^ = cos/₂ , d. h. /₂ = — — tx

и

oder die zu zwei konjugierten Hyperbelhalbmessern ge-

7Г

hörenden Parameterwerte ergänzen sich zu—.

и

Hieraus folgt weiter:

a'²

(63 b)

а² + Ъ² sin²/! cos²/!

V² =

a²cos²/₂+&²    a²sin²/!+b²

sin ²/₂

COS²/!

(a'² — V ² = \af У sin (t9-₂

= a² — b2 —    = ab .

und folglich (64 b)

Somit sind die Sätze gewonnen:

Bei der Ellipse ist die Summe, bei der Hyperbel die Differenz der Quadrate zweier konjugierten Halbmesser konstant; bei beiden Kurven bilden je zwei konjugierte Halbmesser mit der Verbindungslinie ihrer Endpunkte ein Dreieck konstanten Flächeninhaltes.

Alle Durchmesser, die einen Winkel #1 kleiner als der Asymptotenwinkel у mit der Hauptachse der Hyperbel X² y²

a²

Ъ²

— = 1 einschließen, schneiden dieselbe in reellen

— — 1 in reellen Punkten schneiden.

Punkten, während die zu ihnen konjugierten Halbmesser diese Hyperbel nicht, wohl aber die konjugierte Hyperbel X² y²

b²

Aus den Gleichungen (62a und b) ergeben sich für die Polare bzw. Tangente eines Punktes (£, rj) die Gleichungen:

lat i ,?y'_ i

a'* ± V²

, d. h. in

Liegt der Punkt auf der Z'-Achse, so ist xr —

Übereinstimmung mit § 41 :

Die Polaren aller Punkte eines Ellipsen- oder Hyperbeldurchmessers sind zu dem konjugierten Durchmesser parallel.

43. Sätze über konjugierte Durchmesser und Asymptoten.

Bei vielen Sätzen aus der Theorie der Kegelschnitte vereinfacht die Benutzung eines geeigneten schiefwinkligen Koordinatensystems den Beweis sehr, wie z. B. bei den folgenden drei Sätzen.

b/\si

p.

1. Das Produkt der von den Berührungspunkten ausge messenen Streck en, dieeine bewegliche Tangente auf zwei festen parallelen Tangenten einer Ellipse oderHy-perbel abschneidet, ist konstant, und zwar gleich dem Quadrate desdenfestenTangen-X' ten parallelen Halbmessers.

Zum Beweise wähle man das Koordinatensystem (Fig. 31) so, daß die Г-Achse der den festen Tan-

genten R₁S₁, R₂S₂ parallele, die Z-Achse der ihre Berührungspunkte verbindende Durchmesser ist. Sind a', bf die zugehörigen Halbmesser, so lautet die Kurvengleichung für dieses von zwei konjugierten Durchmessern gebildete System:

X'²

= 1,

~⁷2 a ²

x[ X

y[y'

wobei für b'² der Hyperbel entsprechend negative Werte zuzulassen sind. Die bewegliche Tangente hat, wenn хг, уг die Koordinaten ihres Berührungspunktes Px sind, die Gleichung

a'²

woraus sich für x' = die Tangentenabschnitte RXSX

ЫГ ■

und R₂S₂ gleich

—T ergeben.

y[

Ihr Produkt ist dann

b’²' y[²

2/i²

= 6'².

->-

Für die Ellipse sind die beiden Abschnitte R₁S₁ und

•—

R₂S₂ gleichgerichtet, für die Hyperbel entgegengesetzt; für die erstere ist b'² positiv, für die letztere negativ. Daher ist in jedem Falle

RXSX* R₂S₂= b'².

2. Das Produkt der Abschnitte einer Ellipsenoder Hyperbel-Tangente zwischen ihrem Be rührungspunkte und den Schnittpunkten mit zwei beliebigen konjugierten Durchmessern ist konstant, und zwar gleich dem Quadrate des der beweglichen Tangente parallelen Halbmessers.

H a u ß n e r, Analytische Geometrie der Ebene.

Der Durchmesser (Fig. 32) nach dem Berührungspunkte P der beweglichen Tangente und

b’

P der konjugierte werden als t >X X'- und Y'-Achse gewählt,

so daß die Gleichung der Kurve wieder die obige ist. Zu dem Durchmesser OPx = d mit der Gleichung y' =

y\

Fig. 32.

x' gehört x’

nach (49) als konjugierter d', dessen Gleichung: -L x' +

= 0 ist ; sie schneiden auf der Tangente x' = a! die —>-

b²

Üy'

y[

—>-

У 2 x'

Strecken PS₁ = a' und PS₂=--T -J- ab, deren Pro-

—>-->- xi    ®

dukt PSX* PS₂= —6'²ist. Beachtet man, daß bei der Ellipse

—>-

PS± und PS₂ entgegengesetzt, bei der Hyperbel gleichgerichtet sind, daß bei der ersteren Ъ'² positiv, bei der letzteren V² negativ ist, so erkennt man, daß der Satz auch dem Vorzeichen nach richtig ist. —

Dieser Satz kann benutzt werden, um aus einem Paare konjugierter Halbachsen, das nebst dem von ihnen eingeschlossenen Winkel w gegeben ist, die Länge und Lage der Hauptachsen zu konstruieren, ohne daß die Kurve selbst gezeichnet vorliegen muß. Ist OP und OQ das gegebene Paar, so gestaltet sich die Konstruktion f ür die E11 i p -se (Fig. 33 a) folgendermaßen. Wird die Tangente t in P von der Hauptachse in A, von der Nebenachse in В getroffen,

so ist PA* PB= —V² negativ; Pliegt zwischen A und B. Man errichtet in P das Lot auf t, trägt auf beiden Seiten

von P aus die Länge V bis C und D ab und konstruiert dann über der Tangente als Durchmesser den durch die Punkte O, C und D gehenden Kreis ;dessen Schnittpunkte mit der Tangente t die gesuchten Punkte A und В liefern; ihre Verbindungslinien mit 0 sind die Hauptachsen. — Für die Hyperbel (Fig. 33b) ist

lPA-~PB= — Ъ/2=Ь[² positiv; es muß also P außerhalb der Strecke А В liegen.

Man konstruiert jetzt über OP als Durchmesser den Halbkreis, in den man von P die Länge b[ als Sehne bis E ein trägt; das von E auf О P gefällte Lot teilt О P

in C so, daß PC- PO = Ъ[2 ist. Der Kreis durch 0 und C mit dem Mittelpukten M auf der Tangente t in P schneidet die Schnittpunkte A und В der beiden Hyperbelachsen aus.

:b

jf

Р/

0\\

Fig. 33 a.

C Pj

//

't

;A\

Eb

Fig. 33 b.

3. Je zwei konjugierte Durchmesser einer Hyperbel bilden mit den Asymptoten vier harmonische Strahlen.

Zum Beweise bezieht man die Hyperbel auf zwei beliebige konjugierte Durchmesser als Achsen (Fig. 34):

ж'² а'²

Bezeichnet w den von beiden gebildeten Winkel, so erhält

man aus (48) auf S. 69, indem man dort an =

a22 ⁼

X-Achse:

j₂ » ai2⁼

1 a — setzt, für die Winkel der Asymptoten gegen die

Ъ'²

sin²#

ar* •

sin²(w — #)

, V , y = ±T/®-

Nach S. 32 (15) sind also die Gleichungen der beiden Asymptoten:

7'

Eine beliebige Parallele zur 7'-Achse durch den Punkt Qi (£,0) wird von den Koordinatenachsen und den Asymptoten in vier Punkten Qx, Q₂ (= oo), Qs, Q± geschnitten, deren Ordinaten sind:

0, oo

V_

V ’ ö⁷ ■

ll

•X' Nach dem ersten Satze des §5 sind die vier Punkte vier harmonische Punkte und daher ihre Verbindungslinien mit dem Nullpunkte vier harmonische Strahlen, womit die ausgesprochene Behauptung bewiesen ist.

44. Parabel.

Da bei der Parabel der Mittelpunkt der unendlich ferne Punkt der Parabelachse ist, so sind alle Durchmesser zu ihr parallel. Bei der Parabel kann es also nicht zwei zueinander konjugierte Durchmesser geben; jedem Durchmesser ist nur eine bestimmte Schar paralleler Sehnen und die Tangente im Endpunkte des Durchmessers konjugiert.

Geht man von der Scheitelgleichung y² = 2p x der Parabel aus, so ist (S. 67) die Polare des Punktes mit den Koordinaten охг, оуг:

УгУ=Р-+Тх1,

woraus für а = oo als zur Richtung tg ß = konjugierter Durchmesser die Parallele zur Z-Achse:

у = V • ctg ß

folgt; sie schneidet die Parabel in dem Punkte P₀ mit den Koordinaten

x₀ =

Zieht man durch die Endpunkte der beiden konjugierten Halbmesser die Tangenten an die konjugierten Hyperbeln

= ±1, so bilden sie ein Parallelogramm, dessen

x'²

y'²

а"² V²

Ecken auf den Asymptoten liegen. Die beiden Hyperbeln liegen ganz außerhalb dieses Parallelogramms.

I ctg² ß,y₀=p ctg ß.

Nimmt man eine Koordinatentransformation so vor, daß der Anfangspunkt in den Punkt P₀ zu liegen kommt, die

X'-Achse der X-Achse parallel ist, die Г'-Achse aber den Winkel ß mit der X'-Achse einschließt [S. 25 (9, II)]

X = x₀ + x' + y' cos ß ,

У = Уо + У' sin ß ,

so nimmt die Parabelgleichung die Gestalt an:

(64)

y'² sin²/? = 2px\

und die Gleichung der Tangente im Punkte P'(x[,y[): y[ y,sm²ß = p(x[+x').

Aus letzterer ist unmittelbar zu erkennen, daß die Tangente im Nullpunkte mit der Г'-Achse zusammenfällt. Ferner zeigt die Gleichung (64), daß jeder Durchmesser die Parabel nur in einem, im Endlichen gelegenen Punkte schneidet und alle zur Tangente in diesem Schnittpunkte parallelen Sehnen halbiert.

Ferner gelten die Sätze (Fig. 35):

1. Der Endpunkt jedes Durchmessers halbiert die Strecke, welche von einer konjugierten Sehne

YH

und den Tangenten in ihren Endpunkten auf ihm abgeschnitten wird.

i/i M

\(J F,

Der Schnittpunkt 8 der Tangenten in den Endpunk-X’ ten PL, P₂ einer Sehne ist der Pol der Sehne und liegt auf dem zur Sehnenrichtung konjugierten Durchmesser (§ 41), der die Parabel in P₀ und die Sehne PXP₂ in M schneidet, während der andere Schnittpunkt eines jeden Durchmessers der unendlich ferne

Punkt U der Achse ist. Da nun (SM P₀ TJ)= — 1 ist, so muß nach §5 der PunktP₀ die Strecke SM halbieren. — Der Beweis dieses Satzes ergibt sich auch aus §40, wenn man beachtet, daß SM die Subtangente der beiden Tangenten in Px und P₂ ist, und daß sich, wenn man für die Parabel die auf das Koordinatensystem X', Y' bezogene Gleichung (64) zugrunde legt, für st — SM der Wert 2x[ ergibt.

2.    Die Strecke jeder Parabeltangente zwischen dem Berührungspunkte und dem Schnittpunkte mit einem beliebigen Durchmesser wird von der Tangente in seinem Endpunkte halbiert.

Der Beweis folgt aus dem vorigen Satze auf Grund der Kongruenz der Dreiecke HP₀S und HQP₁

3.    Der geometrische Ort aller Punkte, von denen sich zwei zueinander senkrechte Tangenten an eine Parabel ziehen lassen, ist die Leitlinie.

ygy=p(x+xg) (q = 1, 2).

Beide stehen aufeinander senkrecht, wenn [nach S. 41 (27')]

Geht man von der Scheitelgleichung y² = 2px der Parabel aus, so sind die Tangenten in den Punkten Px und P2 der Parabel:

P²

У1У2

I rt

—— = — 1 ist. Die Abszisse £ ihres Schnittpunktes S У1У2 ist dann

2p das ist aber die Gleichung der Leitlinie.

8. Abschnitt.

Brennpunkte und Leitlinien.

45. Ellipse und Hyperbel.

In § 27, II waren Ellipse und Hyperbel definiert als Ortskurven der Punkte, deren Abstandssumme bzw. Ab-

Standsdifferenz von zwei festen Punkten, den Brennpunkten Fa (e, 0) und F₂(— e, 0), konstant == 2a ist. Für die Ellipse war so als Hauptachsengleichung

wo b² = a² — e²,

я² y^_ __ ₁

'a²⁺b²~    ’

und für die Hyperbel

X²

— 1 , wo b² = e² — a²,

gefunden worden.

Die Polare eines Punktes P₀(x₀, y₀) ist

x₀x

УоУ

b²

a²

und daher für den Brennpunkt Fx(x₀ — e, y₀ = 0):

a²

für F₂(x₀= — e, y₀ = 0):

a²

x= —

Die Polaren der Brennpunkte stehen also auf der Hauptachse senkrecht und sind nach § 27, III die zugehörigen Leitlinien lx und l₂. Bei der Ellipse liegen die Brennpunkte zwischen den Scheiteln AX,A₂ der Hauptachse, bei der Hyperbel außerhalb der Strecke AV A₂. Bei der Ellipse schneiden die Leitlinien die X-Achse außerhalb der Strecke AVA₂, bei der Hyperbel innerhalb.

Für die Brennstrahlen, wie die Verbindungslinien eines Kurvenpunktes P₀(x₀, y₀) mit den Brennpunkten genannt

für den einen Zweig der Hyperbel, während für den anderen rx mit r₂ zu vertauschen ist. Als Abstände %, s₂ von den zu Ei,E₂ gehörenden Leitlinien findet man

a² — ex₀

> S2 —

werden, kann man die Wertey(æ₀ ^ e)²+ y\ mit Hilfe der Kurvengleichungen umgestalten in

a² + e x₀

a² — ex₀

» *2 =

= ]/a² — b²

für die Ellipse und ex₀ — a²

ri =

, *a=r

ex₀-{- a²

, e= ]/a² + b²

a² + e x₀

für die Ellipse, bzw.

»i =

ex₀ — a²

e xQ -f- я²

für den rechten Hyperbelzweig, dessen Betrachtung wegen der Symmetrie der Hyperbel genügt. Folglich ist

d. h. die numerische Exzentrizität Я ist gleich der linearen Exzentrizität dividiert durch die halbe große, bzw. reelle Achse. Die beiden in § 27 gegebenen Erzeugungsarten von Ellipse und Hyperbel sind also völlig gleichwertig, wie man auch erkennt, wenn man alle hier für a,b berechneten Strecken durch s und Я ausdrückt.

Wird die Ellipse insbesondere zum Kreise, so wird, da а = Ъ ist, e und Я zu Null ; die beiden Brennpunkte fallen in den Mittelpunkt zusammen, und die Leitlinie wird die

unendlich ferne Gerade, da ihr Abstand vom Kreismittel-

q2

punkte — unendlich wird.

46. Sätze.

Bringt man die Gleichung der Tangente t₀ des Punktes Рг auf die Normalform

( а²

x₀x

-ФУМ?--

für Ellipse, bzw. Hyperbel ist, so erhält man

-V ±-

УоУ

und beachtet man, daß Ile²xl — a⁴

Уо

]/a⁴ — e²x\

a4

, bzw.

аЧ

für die Länge der von den Brennpunkten auf die Tangente in P₀ gefällten Lote dt, d₂:

d₁=b

d₂ = b

а² — ex₀

a² + e x₀ ’

a² Ą- ex о

a² — e x₀ ’

bzw.

,, ~\/exa — «² j    1 /

⁶ Vd*-b у

exQ-\- a2 ex₀ — а²

(für den rechten Hyperbelzweig auch dem Vorzeichen nach richtig).

Hieraus folgt

-ft* und^-=-*-

d±d₂ = Ъ², bzw. d₁' d₂ =

d. h. die beiden Sätze:

1. Das Produkt der senkrechten Abstände der beiden Brennpunkte einer Ellipse oder Hyperbel von einer beliebigen Tangente ist konstant, und zwar gleich dem Quadrate der halben kleinen

Sätze.

107

Achse für die erstere und dem negativen Quadrate der halben Nebenachse für die letztere. (Bei der ersteren liegen beide Brennpunkte auf derselben, bei der letzteren auf verschiedenen Seiten der Tangenten.)

2. Die Tangente bildet gegen die beiden Brennstrahlen gleiche Winkel. Denn —und— sind die

h

Sinus der Winkel, die гг und r₂ mit der Tangente einschließen.

Da die Normale auf der Tangente senkrecht steht, so kann man den letzten Satz auch so aussprechen:

2.    Bei der Ellipse halbiert die Normale den von den Brennstrahlen eingeschlossenen Winkel, während bei der Hyperbel dies für die Tangente gilt.

Auf diesem Satze beruhen die optischen Eigenschaften beider Kurven. Ein von einem Brennpunkte ausgehender Lichtstrahl wird von der Ellipse nach dem anderen Brennpunkte reflektiert, während er bei der Hyperbel so reflektiert wird, als ob er seinen Ursprung im anderen Brennpunkt habe. Dasselbe gilt auch in akustischer Hinsicht.

Auf Grund des zweiten Satzes auf S. 14 über vier harmonische Strahlen folgt sofort weiter aus dem vorstehenden Satze 2:

3.    Die Schnittpunkte von Tangente und Normale eines beliebigen Punktes mit der Hauptachse teilen die Strecke zwischen den beiden Brennpunkten harmonisch.

Verlängert man die auf die Tangente t₀ von den Brennpunkten gefällten Lote über ihre Fußpunkte G±, G₂ hinaus (Fig. 36a und b) um ihre eigenen Längen, so erhält man die sogenannten Gegenpunkte der Brennpunkte Hl, Я₂ . Verbindet man letztere noch mit dem Kurvenmittelpunkte M und mit P, so sind die Dreicke PjP^^ und E₁P{iGl

1Щ-T'v...    '■

To

s₄

JSj

-4,

V--

Fig. 36 a.

Fig. 36 b.

kongruent, ebenso F₂P₀G₂ und II₂ P₀G₂. Hieraus und aus Satz 2 folgt aber weiter, daß

= <H₂PbG₂ = ^Poą= <£F₂P₀G₂;

die Linien Fj_ Р₀Я₂ und P₂ PfĄ sind also gerade Linien von der Länge 2a.

Weil nun G±, G₂, M die Strecken F₁H₁, F₂H₂, FXF₂ halbieren, so ist

AMF₁G₁~aF₂F₁H₁, AMF₂G₂~ AFrF₂H

also MG₁:F₂H₁ — MG₂:F₁H₂ = \FXF₂: F±F₂, woraus MG₁= MG₂— a folgt. Daher:

4. Die Fußpunkte der von den beiden Brennpunkten einer Ellipse oder Hyperbel auf die Tangenten gefällten Lote liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt mit dem der Kurve zusammenfällt und dessen Radius gleich der halben Hauptachse ist.

5. Die Gegenpunkte eines Brennpunktes für alle Tangenten liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt im anderen Brennpunkte liegt und dessen Radius gleich der Hauptachse ist.

Für den Kreis werden diese Sätze bedeutungslos.

47. Parabel.

Bei der Parabel fallen der Mittelpunkt und der eine Brennpunkt in den unendlich fernen Punkt der Parabelachse. Infolgedessen gelten statt der Sätze des vorigen Paragraphen die unten folgenden. Geht man wieder von der Scheitelgleichung der Parabel

y² — 2 px

V

aus, so hat der Brennpunkt die Abszisse — und die Leit-

u

linie schneidet die Abszissenachse im Punkte — p.

Der Brennpunkt hat von der Tangente px — y₀y + px₀ — 0

des Parabelpunktes P₀ den senkrechten Abstand d = ' ]/ p²+ y\ .

Bezeichnet ß den spitzen Winkel der Tangente t gegen den Brennstrahl nach P₀, so ist

sin ß =

F P₀

(IH

b² + vl ’

tg/9 =

? i*«

Da der Richtungskoeffizient tg ß der Tangente t in P₀ den gleichen Wert hat, so folgt:

1. Die Tangente einer Parabel ist gegen den Brennstrahl nach ihrem Berührungspunkte und gegen die Achse gleich geneigt.

Nach § 44, Satz 2 wird jede Parabeltangente zwischen dem Berührungspunkte und ihrem Schnittpunkte mit der Achse von der Scheiteltangente in G halbiert. Folglich sind (Fig. 37) die beiden Dreiecke FGP₀ und F GS kongruent {FG = FG, P₀G= SG, <£FP₀G = *£FSG), weshalb die Dreieckswinkel bei G rechte Winkel sein müssen. Daher ist G auch der Fußpunkt des von F auf die Tangente t gefällten Lotes. Verlängert man F G um sich selbst bis ff, so ist auch das Dreieck HGP₀ den beiden vorigen kon-

PoAl

iàk

Fig. 37.

gruent, folglich P₀H =

P₀F= \+x₀.

2. Die Fußpunkte der von dem Brennpunkte auf die Tangenten einer Parabel gefällten Lote liegen auf ihrer Scheiteltangente, die Gegenpunkte auf der Leitlinie.

Man kann den ersten Teil dieses Satzes benutzen, um von einem gegebenen Punkte Q die beiden Tangenten an die Parabel zu konstruieren. Man konstruiert über FQ als Durchmesser einen Kreis, durch dessen Schnittpunkte J, L mit der Scheiteltangente die gesuchten Tangenten von Q aus gehen müssen; verlängert man noch FJ und FL bis zu den Schnittpunkten mit der Leitlinie, so schneiden die Parallelen zur Achse durch diese Punkte die Tangenten QJ und QL in den Berührungspunkten mit der Parabel¹).

Um für alle drei Kegelschnitte gültige Sätze abzuleiten, transformiere man die Gleichung (35) auf S. 54: y² = (A² — 1) X² + 2sX — s²,

48. Sätze für Ellipse, Hyperbel und Parabel.

tr f

R______

Fig. 38.

wo die Y-Achse mit der Leit- ^ linie zusammenfällt und die X-Achse die zu ihr Senkrechte durch den Brennpunkt F (s, о) ist, durch eine Parallel- S Verschiebung in den Brennpunkt F:

X = x' + s ,    y=y'.

Die Kurvengleichung lautet dann

y'² = U² — 1) x'² + 2 l²s- х' + A²S², für die die Tangentengleichung im Punkte P₀(x₀', y*₀) ist:

У’о У'= (Я² -1) < *'+ А²ф' + xf) + l²s\

Diese Tangente schneidet die Leitlinie (Fig. 38), die jetzt die Gleichung x' = —s hat, in dem Punkte K(§y rj):

мл

= -S ? V = ST1 •

Folglich haben die Geraden F P₀ und F К die Gleichungen:

y' = X und = —

X0    У 0

stehen also aufeinander senkrecht, daher

1. Die Strecke einer beliebigen Tangente einer Kurve 2. Ordnung zwischen ihrem Berührungspunkte und einer Leitlinie wird von dem zur letz-teren gehörenden Brennpunkte unter einem rechten Winkel gesehen.

Nun ist die Leitlinie l die Polare des Brennpunktes F, folglich liegt nach dem letzten Satze auf S. 68 der Pol einer jeden Geraden durch F auf l. Der Pol der Berührungssehne P₀F muß aber auch auf der Tangente in P₀ liegen, ist also ihr Schnittpunkt K mit l. Der Pol von KF liegt daher auch auf P₀F und ist folglich der Schnittpunkt iS von P₀F und l:

2. In den Brennpunkten der Kegelschnitte stehen je zwei harmonische Polaren aufeinander senkrecht.

Nach der Definition der Kegelschnitte in § 27, III ist FP₀=k-P₀R,

woraus mit Hilfe von Satz (1) jetzt folgt:

smFKP₀ = l-smRKP₀

oder

3. Ziehtmanvondem Schnittpunkte einer Kegelschnittstangente t mit einer Leitlinie l die Verbindungsgerade g nach dem zugehörigen Brennpunkte, so teilt die Tangente den von l und g gebildeten Winkel so, daß

sin g, t — Я • sin l, / ,

wo 1 = 1 ist, je nachdem der Kegelschnitt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist.

49. Die Kurven 2. Ordnung als Kegelschnitte.

Im Anschluß an die Untersuchungen über Brennpunkte und Leitlinien soll noch gezeigt werden, daß Ellipse, Parabel und Hyperbel durch Ebenen aus einem geraden Kreiskegel ausgeschnitten werden können, daher ihre zusammenfassende Benennung als Kegelschnitte mit Recht führen.

Ein gerader Kreiskegel entsteht, indem (Fig. 39) ein Winkel cp um einen seiner Schenkel a gedreht wird, bis der gedrehte Schenkel b in seine Anfangslage zurückkehrt. Der festgehaltene Schenkel a bildet die Kegelachse, während der bewegte Schenkel b die Mantellinien des Kegels mit 0 als Spitze erzeugt; irgendein Punkt Q auf b beschreibt dabei einen Kreis kl9 dessen Ebene ©г senkrecht auf a steht und a im Kreismittelpunkte Nx schneidet. Der Winkel 2 p heißt der Öffnungswinkel des Kegels. Beschreibt man noch den durch Q gehenden Halbkreis über а als Durchmesser, so erzeugt dieser Halbkreis bei der Umdrehung der ganzen Figur eine dem Kegel einbeschriebene Kugel, die von ihm längs des Kreises кг berührt wird und deren Mittelpunkt Мг der Mittelpunkt des Halbkreises ist. Hieraus folgt zugleich, daß alle von einem Punkte an eine Kugel gezogenen Tangenten gleiche Länge haben.

M,

k.

Fig. 39.

Nun bringt man (Fig 40) den Kegel zum Schnitt mit einer Ebene (S, die gegen die Kegelachse unter dem Winkel а geneigt ist und die Kugel in dem Punkte berührt; diese Ebene steht senkrecht auf dem Kugelradius M₁F₁. Die Schnittebene (5 werde von dem Kegel in einer Kurve к und von der Ebene ($x des Berührungskreises кг der Kugel mit dem Kegelmantel in der Geraden ^ geschnitten.

Man ziehe weiter eine beliebige Mantellinie des Kegels, die den Berührungskreis кг in dem Punkte Рг, die Schnittkurve к in dem Punkte P trifft, und fälle von P das Lot

H a u ß ц e r, Analytische Geometrie der Ebene,

auf die Ebene das diese Ebene in Gx trifft. PGX muß in der durch die Kegelachse und die Mantellinie OP±P gehenden Ebene liegen, die senkrecht zu 6^ ist und in

4,

Bl

⁴у__\ \\

\\

ff;

--V

\\

x\

(S

Fig. 40.

der Geraden N₁P₁G₁ schneidet; <£P₁PG₁ ist gleich cp. Durch die Kegelachse und die zu ihr parallele Gerade PGX lege man noch die Ebenen senkrecht zu lx, welche lx in Lx und Hly die Ebene in N₁L₁ und G₁H₁ und schließlich die Ebene (£ in L₁F₁ und PHX schneiden ; denn da die erstere Ebene durch die Kegelachse geht und senkrecht zu ® ist, so muß in ihr das vom Kugelmittelpunkt Mx auf die Ebene (5 gefällte Lot liegen. <£M₁KFl ist der Neigungswinkel о der Kegelachse gegen g, und ihm ist <£G₁PH₁ gleich, da die Schenkel beider Winkel parallel sind.

Aus den beiden bei Gx rechtwinkligen Dreiecken PG₁P1 und PG₁H₁ folgt aber, wenn man noch beachtet, daß PP\ — PF± ist, als Tangenten von P an die Kugel:

PGX = PP± • cos cp — PFX • cos cp ,

PGX = РНг • cos (7 ,

also

PF1 =    .

cosg)

cos (7

Der Quotient Я =

ist für alle Punkte P der Schnitt-

COS<30

kurve к des Kegels mit g konstant; sein Wert ändert sich für denselben Kegel nur mit a. Je nachdem a größer, gleich oder kleiner als cp ist, ergibt sich Я kleiner, gleich oder größer als 1. Beachtet man, daß das in der letzten Gleichung für die Punkte P der Kurve к aufgestellte Gesetz das gleiche ist wie das in §27, III zugrunde gelegte, so folgt :

Ein gerader Kreiskegel wird von einer beliebigen Ebene in einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel geschnitten, je nachdem ihr Neigungswinkel gegen die Kegelachse größer, gleich oder kleiner als der halbe Öffnungswinkel cp des Kegels ist.

Nun war für Ellipse und Hyperbel Я gleich der nume

achse b =

cosgp

rischen Exzentrizität —. Für die Ellipse mit den Halbachsen a und Ъ folgt aus e² — a² — Ъ² für die kleine Halb-ycos² cp — cos² о. Das Achsenverhältnis —

Brennpunkte und Leitlinien, kann jeden Wert zwischen 1 und 0 (ausschließlich) an-

116

7Г

nehmen, wenn о von — bis у ausschl. abnimmt, und nur

Ct

diese Werte von g kommen für eine Ellipse in Betracht. Die Hauptachse der Ellipse muß senkrecht zur Leitlinie lx sein, folglich schneidet die Ebene durch die Kegelachse senkrecht zu lx die Ebene 6 in der Hauptachse 2a, deren Länge dadurch verändert werden kann, daß man ß parallel zu sich verschiebt. ■— Für die Hyperbel gilt die letzte Bemerkung in gleicher Weise. Für sie ist e² — a² + b² und somit

—1/cos² g — cos² cp. Da g < cp ist, so kann das cos Cß

Achsen Verhältnis jeden Wert zwischen Null (ausschließlich) und tg cp annehmen, wenn g von cp (ausschließlich) bis zu Null abnimmt. Für g = 0 schneidet ß den Kegel in zwei

Mantellinien. Da aber — —- tgoc ist, wenn oc den Winkel

zwischen einer Asymptote und der Hauptachse bezeichnet, so können nur Hyperbeln aus dem Kegel ausgeschnitten

werden, deren Achsenverhältnis ^ < tg cp ist. — Bei der

Parabel (er = ф) ist der Abstand des Brennpunktes vom

Scheitel gleich ^ p; durch Parallelverschiebung von ß er-

u

hält man also Parabeln jeder Größe. Daher:

Aus jedem geraden Kreiskegel kann man alle möglichen Ellipsen und Parabeln'durch Ebenen ausschneiden, Hyperbeln jedoch nur so weit, als ihr Asymptotenwinkel 2oc nicht größer ist als der Öffnungswinkel 2 cp des Kegels.

9. Abschnitt.

Potenz eines Kegelschnittes.

50. Definition der Potenz.

Punkt

Schneidet man einen nicht zerfallenden Kegelschnitt durch eine Gerade, die durch einen

(cd

\CC

Strecken

Fig. 41.

P₀(*0, Уо) geht und mit der positiven Z-Achse den Winkel ol einschließt. so nennt man das Produkt der beiden gerichteten zwischen P₀ und

den beiden Schnittpunkten , S₂ mit dem Kegelschnitte die Potenz des Punktes P₀ in der Richtung ol, z. B.

ЗД-РД, (Fig. 41).

Unter Benutzung rechtwinkliger Koordinaten, die für diese Betrachtungen ausreichen und natürlich die einfachsten Ausdrücke liefern, ist die Gerade (nach 16'):

X = x₀ + h cos öl , у = y₀ + l • sin OL .

Das Koordinatensystem sei so gewählt, daß seine Z-Achse mit der Hauptachse und seine Г-Achse mit der Tangente in einem Scheitel derselben zusammenfällt; dann stellt

f(x, y) = y² — 2 px — qx² = 0

alle drei Arten von Kegelschnitten dar, wo q— Я² — 1^0 ist für Hyperbel, Parabel, Ellipse. Für die Strecken

-->-

1г = P₀SV, Z₂ = P₀S₂ ergibt sich daraus die in l quadratische Gleichung:

Z²(sin² oc — q cos² oc) + %l(y₀ sin oc — [p + qx₀] cos oc)

+ y% — 2px₀ — qxl=0.

Das Produkt der beiden Wurzeln dieser Gleichung ist die gesuchte Potenz:

/fou, Уо)_.

(65) p (P₀,oc)=l₁l₂

Уо —2pSo —ggp__ sin² л: — q cos² & sin²&—qcos²oc'

sie stellt sich also als ein Quotient dar, dessen Zähler nur von der Lage des Punktes P₀, dessen Nenner dagegen nur von der Richtung oc der Geraden abhängt. Die Potenz von P₀ ist für jede Richtung Null, wenn P₀ auf der Kurve liegt.

Nimmt man eine zweite Gerade durch P₀, die den Winkel oc mit der X-Achse einschließt, so ist

p(P0ioc)    sin²a'—q cos² oc

p(P₀,oc) sin² oc — q cos² oc *

daher: Das Verhältnis der Potenzen für zwei Richtungen hat für alle Punkte denselben Wert, solange nur keine der Richtungen geändert wird.

Dagegen ist für zwei verschiedene Punkte P₀ und Px, aber dieselbe Richtung:

P(Pi,<x) y\ — %V4 — <lxY

Das Verhältnis der Potenzen für zwei Punkte hat denselben Wert für jede beliebige Richtung der parallelen Geraden.

Die Formel (65) soll nun zum Beweise des wichtigen Pascalschen Satzes benutzt werden.

51. Satz von Pascal.

be-

\in

Sind sechs beliebige Punkte eines Kegelschnittes in einer bestimmten, aber willkürlichen Weise (Fig. 42) mit Al9 A A-3 ? A^, A₅ , А zeichnet, so bilden die Verbindungsgeraden je    /\ч

zweier aufeinanderfol-    /    \

genden ein Sehnen-    l    /

Aj

Fi g. 42.

Sechseck. Die Punkte, deren Index um 3 dif-feriert, heißen Gegenpunkte, und zwei Seiten des Sechsecks, deren Ecken paarweise Gegenpunkte sind, also A₄A₂ und A₄A₅, A₂A₃ und ^4₅^4₆, А₃Ад und А₆Аг, heißen Gegenseiten.

Man betrachte nun irgendein Dreieck, dessen Seiten drei nicht paarweise in einer Ecke des Sehnensechsecks zusammenstoßende Seiten desselben sind, z. B. AßAL, A₂A AaA₅, die das Dreieck РгР₂Р₃ bilden.

Für dieses Dreieck РгР₂Р₃ ist jede der drei übrigen Seiten des Sechsecks AlA₂, A₃A₄, A₅A₆ eine Transversale und folglich nach dem Satze von Menelaos (§25):

p^X-Kv • РзЛ=p~X-КХ-Ku

РгХ •P₂X-P₃W = Ï\W • PgĄ * РзЛ

рХ • J\X * РзХ=КХ’ W • ~кХ •

Multipliziert man die drei Gleichungen ineinander und beachtet man, daß, wenn oc, ß, у die Richtungen vonАг Aç,

¹

) In der Fig. 37 sind die Linien FJ und FL und die Parallelen zur Achse durch ihre Schnittpunkte mit l nicht gezeichnet, um die Figur nicht unübersichtlich zu machen.

P.Ą- PlA . P-Л' P-X . Р₃Л-РзЛ

A₂A₃,A₄A₅ messen, nach dem ersten Satze des vorigen Paragraphen

P₁ Аг • Px Aq P2 A₂ *^2^3 ^3 ^4 * Ps ^5 sin² oc — q • cos² & sin² ß — q- cos² ß sin² у — q cos² у sin²/? — q- cos²/? sin²/ — q -cos²/ sin² oc— q cos² oc

= 1

sich ergibt, so bleibt übrig:

P\V-P₂U-1\W = P^W-P.V-P^U,

was nach der Umkehrung des Satzes von Menelaos aussagt, daß U ,V ,W in einer Geraden liegen. Damit ist der Satz von Pascal (1640) bewiesen:

Die drei Schnittpunkte je zweier Gegenseiten eines einem Kegelschnitte eingeschriebenen Sechsecks liegen auf einer Geraden, der sogenannten Pascalschen Geraden.

52. Satz von Brianchon.

Diesem Satze von Pascal steht der Satz von Brianchon (1806) dual gegenüber. Das sogenannte Dualitäts-p rin zip¹) besagt, daß aus jedem Satze über gegenseitige Lagebeziehungen zwischen Punkten und Geraden in derL Ebene ein zweiter Satz durch Vertauschung von Geraden und Punkten abgeleitet werden kann. Demgemäß lautet der Satz von Brianchon:

In jedem einem Kegelschnitte umschriebenen Tangentensechsseit schneiden sich

die Verbindungslinien der drei Gegenecken in einem Punkte, dem sogenannten Brianchons ch en Punkte.

Bezeichnen %,..., aß (Fig 43) sechs Tangenten eines Kegelschnittes in beliebiger Reihenfolge, so sind die Schnitt-

Fi g. 43.

punkte je zweier aufeinanderfolgender die Ecken des Sechsseits; die Schnittpunkte¹) von axxa₂ — Bx und a±xa5 = B₄, a₂ X a₃ = B₂ und a₅ x aß = B₅, a₃xa^ = B₃ und aexa₁= B₆ heißen Gegenecken. Der Beweis des Satzes von Brianchon kann dual zu dem gegebenen Beweise des Satzes von Pascal geführt, aber auch auf den letzteren ^ Satz gestützt werden.

A₃,

2>

Sind At1..A₆ die Berührungspunkte der Tangenten ax,.. ., a₆, so ist A± A₂ A₃ A₄ A₅ Aß ein dem Kegelschnitte einbeschriebenes Sechseck, dessen Seiten A₁A A₃ A^ A^ Aq , AqAx der Reihe nach die Polaren der Ecken Ą, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ des Tangentensechsseits (§ 32) sind. Schneiden sich die Gegenseiten des Sehnensechsecks АгА₂

und AiA₅, A₂A₃ und A₅Aß, A₃A± und AßA₁ wieder in den Punkten U,V,W, so ist U der Pol von ВгВА, V der von B₂B₅ und W der von B₃B₆. Nach dem Satze von Pascal liegen U,V,W in gerader Linie, folglich müssen sich ihre Polaren in einem Punkte P, dem Pole der Geraden UVW, schneiden, w. z. b. w.

Die sechs Punkte bzw. Tangenten gestatten 6! = 720 verschiedene Anordnungen; da aber das Sechseck (bzw. Sechsseit) sich durch zyklische Vertauschung seiner Ecken (bzw. Seiten), d. h. eine solche, bei der jeder Punkt seine Nachbarn behält, sich nicht ändert, und ebensowenig, wenn man die ganze Folge umkehrt, d. h. das Sechseck (bzw. Sechsseit) rückwärts durchläuft, so ergeben die sechs Punkte sechzig Pascalsche Sechsecke und damit sechzig Pascalsche Geraden und die sechs Tangenten sechzig Brianchonsche Punkte.

53. Konstruktionen.

Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes (S. 56,37) enthält fünf wesentliche Konstante, da man durch eine der Konstanten, die nicht Null ist, dividieren kann, ohne damit die Kurve zu ändern. Ist z. B. a₃₃ =j= 0, so nimmt die Gleichung die Gestalt an:

«u²²+ ²<ä ХУ+ «мУа+ 2«;зя+ 2<4з«/+ 1=0.

Diese fünf Konstanten können aber durch Angabe von fünf Bestimmungsstücken, z. B. von fünf Punkten, durch die der Kegelschnitt geht, oder fünf Geraden, die Tangenten des Kegelschnittes sind, bestimmt werden¹).

Folglich gilt die Umkehrung der Sätze von Pascal und Brianchon:

Hat ein Sechseck die Eigenschaften des Pascal-schen oder Brianchons ch en Satzes, so liegen seine sechs Ecken auf einem Kegelschnitte, bzw. berühren seine Seiten einen solchen.

Daher können die beiden Sätze benutzt werden, um weitere Punkte eines durch fünf Punkte, bzw. weitere Tangenten eines durch fünf Tangenten gegebenen Kegelschnittes zu konstruieren.

Sind z. В. Аг, A₂, As, A±, Аъ (vgl. Fig. 42) gegeben, so bestimmt man U = A₁A₂xAŁA₆, dann muß die Pascalsche Gerade für jeden sechsten Punkt des Kegelschnittes durch U gehen. Um also einen weiteren Punkt A₆ desselben zu erhalten, zieht man eine beliebige Gerade g durch ZT, die A₂A₃ und A₃ Al in V und W schneidet; dann ist der Schnittpunkt von A₅V und AXW der gesuchte Punkt Aß. Dreht man g um ZT, so wandert A₆ auf dem Kegelschnitte. — Analog gestaltet sich die Konstruktion einer sechsten Tangente aus fünf gegebenen alf.. ,,a₅ (vgl. Fig. 43). Der Brianchonsche Punkt P muß für jede sechste Tangente auf BXB^ liegen. Man wählt also P willkürlich auf ВХВ₄, verbindet ihn mit B₂ und B₃ und erhält in der Verbindungsgeraden der Punkte B₂Pxa₅ und В₃Рхаг eine sechste Tangente BöB₃ = ab.

Man kann die Sätze auch benutzen, um in einem durch fünf Punkte bzw. Tangenten gegebenen Kegelschnitte die Tangente bzw. den Berührungspunkt zu konstruieren, da, wenn in dem Pascalschen Sechseck zwei Ecken, z. B. Аг und J^zusammenfallen, Аг A₂ zur Tangente in Аг=A₂ (== A) wird, und wenn in dem Brianchonschen Sechsseit zwei Tangenten аг und a₂ vereinigt liegen, ihr Schnittpunkt В der Berührungspunkt von ax— a₂(=a) ist. Im ersten Falle (Fig. 44) sind V= AA₃xA₅A₆ und W = 4₃ĄxĄ4 und damit g bestimmt; die Gerade von U = gxA₄A₅ ist

die Tangente t in A. Im zweiten Falle (Fig. 45) ist P = B₂B₅xB₃B₆ bestimmt, seine Verbindungsgerade mit j9₄ schneidet a in dem gesuchten Berührungspunkte B.

Da man so in fünf gegebenen Punkten eines Kegelschnittes die Tangenten und auf fünf gegebenen Tangenten ihre Berührungspunkte pF konstruieren kann, so ergibt sich auch hieraus die Gleich-wertigkei der Bestimmung eines Kegelschnittes durch fünf Punkte oder fünf Tangenten. Die letzten Konstruktionen lassen aber auch leicht erkennen, la5 daß und wie man aus 4 (bzw. 3, 2, 1) Punkten und 1 (bzw. 2, 3, 4) Tangenten einen Kegelschnitt konstruieren kann.

Fi j. 44.

Вз

a3.

iP

o\ '

N.

Fig. 45.

54. Potenz für den Kreis; Potenzlinie und -punkt.

Für q= —1 stellt die Gleichung y² = 2px -f- qx² einen Kreis dar. Nach (65) erhält man dann

hh — v\ — xl,

d. h. für den Kreis ist die Potenz eines Punktes von der Richtung der Geraden unabhängig; weshalb

man für den Kreis kurz von der Potenz p(P₀) des Punktes P₀ spricht. Legt man die allgemeinste Form der Gleichung eines Kreises in rechtwinkligen Koordinaten

/(ж, У)—{х — а)² + (У — b)² — r² = 0 ,

wo аЛ die Koordinaten des Kreismittelpunktes M und r den Kadius bezeichnen, zugrunde, so ist die Potenz eines Punktes :

P(P₀) = (®0 — a)² + (Уо — Ь)² — Г²,

= MPl — r².

Die Potenz (Fig. 46a und b) eines Punktes P₀ ist also positiv, Null oder negativ, je nachdem der Punkt außerhalb des Kreises, auf ihm oder innerhalb desselben liegt.

ist die Potenz des Punktes gleich dem Quadrate der Länge dieser Tangente von P₀ bis T.

P₀M* — M

schreibt man um P₀ mit P₀Tals Radius einen Kreis, so steht die Tangente dieses Kreises senkrecht auf dem Radius des gegebenen Kreises; man sagt dann, die Kreise schneiden sich senkrecht oder orthogonal.

Es seien nun zwei Kreise (Fig. 47)

fv(x, y)=(x-avf +(y- bvf - Ą = 0 (v = 1, 2)

gegeben. Wie früher bei der Geraden, werde hier analog

P₀T* = ist. Be-

;r

Ta

Je

Fig. 46 a u. b.

die linke Seite dieser Kreisgleichungen mit kv bezeichnet. Dann stellt

(66) Zuj ä*2 =    2 ($i    $2)    ^2) У ~b ^1    ^2:= ^ »

wo cv zur Abkürzung für al + £>? — r* gesetzt ist, eine gerade Linie p₁₂ dar. Diese Gerade muß durch die Schnitt-

W

\\s

/ei

Vi

//

MZ

k₂

Fig. 47.

punkte beider Kreise hindurchgehen, falls sich die Kreise schneiden, da für die Koordinaten der Schnittpunkte sowohl кг(х, у) = 0, als auch k₂(x, у) — 0 ist. Berühren sich beide Kreise, so ist die Tangente des Berührungspunktes die Potenzlinie. Schneiden sich die Kreise nicht in zwei reellen Punkten, so schneidet ihre Potenzlinie die Kreise nicht. Für jeden Punkt P₀(x₀,y₀) dieser Geraden ist, da aus (66)

(67)

Уо) — ^2(^0? Уо) folgt, seine Potenz in bezug auf beide Kreise gleich, weshalb

die Gerade p₁₂ als Potenzlinie der beiden Kreise bezeichnet wird. Folglich liegt ein einzelner Punkt der Potenzlinie entweder außerhalb beider Kreise, auf beiden oder innerhalb beider Kreise. Von den Punkten außerhalb beider Kreise lassen sich im allgemeinen an beide Kreise vier Tangenten legen, die gleiche Länge haben. Daher ist die Potenzlinie auch der geometrische Ort der Mittelpunkte

Mz

Gz

Y-Vu

7*V-S.

\/

..Si"

G,

Mt

i-да

V-

V;

Pu ;

*3    p23

Fig. 48.

aller Orthogonalkreise zu den beiden gegebenen, z. B. des Kreises k₀ mit dem Mittelpunkt P₀.

_ л X — а. Zentrale -------:

Die Potenzlinie zweier Kreise steht auf ihrer У —

----7 senkrecht, da das Produkt

% (%2

ihrer Kichtungskoeffizienten gleich —1 ist.

Nimmt man einen dritten Kreis k₃ == 0 hinzu, so ergeben sich für je zwei der drei Kreise eine Potenzlinie:

Pi2 •    ^2 ~ 0, ^23 * k₂ k₃ = 0, |)₃₁ : k₃ k₁= 0.

Die Summe dieser drei Gleichungen verschwindet identisch, mithin schneiden sich die Potenzlinien von drei Kreisen stets in einem Punkte, ihrem Potenzpunkte Er hat gleiche Potenz für alle drei Kreise, und daher haben die Tangenten von ihm an diese Kreise gleiche Länge; der Potenzpunkt ist somit der Mittelpunkt des Orthogonalkreises der drei Kreise.

Mittels des Potenzpunktes kann man leicht die Potenzlinie zweier sich nicht schneidenden Kreise konstruieren. Man wählt einen dritten Kreis k₃ willkürlich, nur so, daß er die gegebenen Kreise wirklich schneidet; von dem Schnittpunkte S der Potenzlinien p₁₃ und p₂₃ dieses Hilfskreises und der gegebenen Kreise fällt man das Lot auf ihre Zentrale, das die gesuchte Potenzlinie ist (Fig. 48).

55. Kreisbüsehel und Kreisnetze.

Bildet man die Gleichuiig

(68)

L+A

und teilt МгМ₂ im

die Koordinaten

wo A einen Parameter bezeichnet, der alle Werte zwischen: — oo und + oo durchlaufen kann, so nennt man die Gesamtheit aller dieser Kreise ein Kreisbüsehel. Die Mittelpunkte der Kreise desselben liegen auf der Zentrale der beiden Ausgangskreise0,&₂= 0;denn der zu dem Kreise mit dem Parameterwerte A gehörige Mittelpunkt iff я hat -f- A $₂ Ьj -f- A&2 ~T+ А ’ T+T~

Verhältnis A :1. Je zwei Kreise des Büschels besitzen dieselbe Potenzlinie wie die beiden Grundkreise; denn es ist für jeden Punkt P₀ der Potenzlinie der Ausgangskreise nach (67)

K(xo, Уо) + M₂(x0, Уо)

{xo ! Уо) ■

Ыхо, Уо) —

Je nachdem alle Kreise eines Büschels sich in zwei Punkten schneiden (vgl.

Fig. 49)¹) oder in einem Punkte berühren (vgl.

'X

Fig. 50) oder keinen Punkt gemeinsam haben, spricht man von einem Kreisbüschel erster, zweiteroder dritter Art oder auch von einem elliptischen, parabolischen oder hyperbolischen Kreis-büschel.

Fig. 49.

Die einfachste Gestalt, die man der Gleichung eines Kreisbüschels, das die Y-Achse zur Potenz-linie hat, geben kann, ist

(69)

(x — а)² + у² = a² i с²,

wo a als Parameter dient und die Mittelpunktsabszisse der Kreise, deren Zentrale die X-Achse ist, darstellt und c eine konstante Länge bezeichnet. Je nachdem rechts das positive oder negative Vorzeichen genommen wird, spricht man

*) In Fig. 49 veranschaulicht das Kreisbüschel, dessen Mittelpunkte auf der X-Achse liegen, das Büschel erster Art, und das andere, dessen Mittelpunkte auf der F-Achse liegen, das Büschel dritter Art.

H a u ß n e r Analytische Geometrie der Ebene.

von einem Kreisbüschel erster oder dritter Art, während der Grenzfall c — 0:(# — a)² + y² = a² das Kreisbüschel zweiter Art ergibt.

Alle Kreise eines Büschels erster Art (x — a)² + y2 = a² + c² schneiden die Y-Achse in den Punkten у = ±c — den Grundpunkten Сг,С₂ des Büschels —, so daß der Kreis mit dem Radius c um den Nullpunkt der kleinste Kreis des Büschels ist (vgl. Fig. 47).

Sämtliche Kreise (x — a)² + y² = a² eines Büschels zweiter Art berühren die Y-Achse auf ihrer der positiven oder der negativen Z-Achse zugewandten Seite. Der Nullpunkt ist der kleinste Kreis des Büschels, ein Null- oder Grenzkreis (vgl. Fig. 50).

Bei einem Büschel dritter Art (x — a)² -\~ y²= a² — c2 erhält man zwei Punkte der Z-Achse Gx, G₂ als Grenzkreise: a= so daß innerhalb der Strecke GtG₂ der Mittelpunkt irgendeines Kreises des Büschels nicht liegen kann. Um den Kreis des Büschels zu zeichnen, der die Mittelpunktsabszisse OM = a hat, zeichnet man den Kreis mit dem Radius c um den Nullpunkt und an ihn die Tangente M T von M aus ; ihre Länge MT = Уа² — с² liefert den zu M als Mittelpunkt gehörenden Kreis des Büschels (Fig. 48).

Die Mittelpunkte der Kreise eines Büschels, welche die eines zweiten Büschels rechtwinklig schneiden, liegen auf der Potenzlinie des ersten Büschels. Die Radien nach dem Schnittpunkte zweier zu einander orthogonalen Kreise bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse gleich der Zentrale beider Kreise ist. Zwei solche Büschel werden konjugiert genannt. Im vorliegenden Falle erhält man als Gleichung des konjugierten Büschels z² + (y — b)² =b²-F c², wo in (69) uiid (69 a) entweder die oberen oder die unteren Zeichen zu nehmen sind, so daß (Fig. 49) zu einem Kreisbüschel erster Art ein solches dritter Art konjugiert ist und umgekehrt; die Grundpunkte Cv C₂ des ersteren sind die Grenz-kreise Glt G₂ des letzteren.

*У

Zu einem Kreisbüschel

zweiter Art (c = 0) ist wieder ein solches zweiter Art konjugiert (Fig. 50). Die Polaren eines Punktes

*X

beliebigen

Fig. 50.

Piß, y) in bezug auf alle Kreise eines Büschels schneiden sich in einem Punkte Q (£, aO, dessen Verbindungslinie mit P von der Potenzlinie halbiert wird. Faßt man die drei Arten von Kreisbüscheln in der Gleichung (69) zusammen, indem man für c² positive und negative Werte, einschließlich Null, zuläßt, so kann die Gleichung der Polaren für zwei beliebige Kreise mit den Mittelpunktsabszissen av(v= 1,2) geschrieben werden:

(x — av) (x — а,,) + у у = а² + с²,

durch deren Subtraktion man für die Koordinaten von Q

<Jrr

-X,

х² + с²

7]==~т~

erhält.

In bezug auf ein Kreisbüschel dritter Art gehen die Polaren des einen Grenzkreises durch den anderen. —

Jeder Kreis dieses Netzes hat denselben Potenzpunkt P₀(xo, y₀) wie die drei Ausgangskreise. h(xo> Уо) = К 0*чм Уо) =    (я₀, Уо) folgt

(1 + Я +    (ж₀, t/₀)

Denn für

— ki (%₀ > Уо) •

fyu (я₀, Уо) =

Liegt der Punkt außerhalb zweier, folglich aller Kreise des Netzes, so ist er der Mittelpunkt des Kreises, der alle Kreise des Netzes unter rechten Winkeln schneidet. Auch die Kreisnetze werden in drei Arten eingeteilt, je nachdem ihr Potenzpunkt innerhalb der drei Grundkreise, auf ihnen oder außerhalb aller drei liegt; im ersten Falle hat der Potenzpunkt als Potenz einen negativen Wert, im zweiten Falle Null und im dritten Falle einen positiven Wert.

10. Abschnitt.

Der Punkt.

66. Linienkoordinaten.

Die am Schlüsse des § 17 als Linienkoordinaten be-zeichneten Koeffizienten u, v von x,y in der Gleichungsform (19) einer Geraden g:

X-U + y v+ 1 = 0

bestimmen die Lage von g, da sie ihre Schnittpunkte Рг, P2 •(Fig. 51) mit den Koordinatenachsen liefern:

-, opt=--

u * v

Drei Kreise k±, k₂ , k₃ » die nicht ein und demselben Büschel angehören, bestimmen ein Kreisnetz:

-f- hk₂ /и ks

(70) hi[X

0. (I, /и —

— oo •

und tragen daher mit Eecht die Bezeichnung als Koordinaten. Je nachdem и positiv oder negativ ist, schneidet die negative oder positive X-Achse; das gleiche gilt für V und die Y-Achse.

Im allgemeinen entspricht also jedem Wertepaare von u,v, bezogen auf das benutzte Parallelkoordinatensystem eine bestimmte Gerade. Im besonderen hat eine Parallele zur X-Achse die Linienkoordinaten u=0,

V 4= 0, weil Рг der unendlich ferne Punkt der X-Achse sein muß ; и =)= 0, v = 0 dagegen gehört zu einer Parallelen zur Г-Achse. u-~- 0, v = 0 sind die Linienkoordinaten der unendlich fernen Geraden. Die Achsen selbst haben die Linienkoordinaten и = 0, v == oo und и = oo, v = 0.

Ausnahmefälle ergeben sich, wenn beide Linienkoordinaten oo sind oder eine derselben oo ist, die andere aber einen von Null verschiedenen endlichen Wert hat. u= oo, v = oo sind die Linienkoordinaten einer jeden beliebigen Geraden durch den Nullpunkt. Ist и = oo, während v einen von Null verschiedenen endlichen Wert hat, so fällt Рг mit dem Nullpunkt zusammen, in den dann auch P2 fallen, also auch v = oo sein muß. Die zweite Annahme ist daher unmöglich.

-JL

-J-

Oj

Pl

⁷Pi

Fig. 51.

57. Gleichung eines Punktes.

Fragt mannach allen Geraden, die durch einen gegebenen Punkt PQ(xo, y₀) gehen, so müssen ihre Linienkoordinaten der Gleichung genügen:

aus der zu jedem endlichen Werte von и ein bestimmter Wert von V folgt. Wie eine Gerade als Träger aller der Punkte erscheint, deren Koordinaten der Gleichung der Geraden genügen, so stellt die Gleichung (71) den Punkt dar als Träger aller durch ihn gehenden Geraden.

Die Gleichung (71) des Punktes P₀ ist in bezug auf die Linienkoordinaten u, v vom ersten Grade. Die allgemeinere Gleichung ersten Grades

(72)

A u-\-Bv+C=0

, Уo ⁼ n    Parallelkoordi-

C

naten des Punktes P₀ sind. Für jeden Wert von C gibt

kann, wenn G -0 ist, stets auf die Gleichung (71) zurückgeführt werden, so daß x₀ =

v В

1,0 = — die Kichtung des Radiusvektors OP₀.

Ist C = 0, so ist Au + B v = 0 die Gleichung des unendlich fernen Punktes des Radiusvektors nach dem Punkte X = А, у — В, da sich zwar x₀ = oc, y₀ = oo nach dem vorigen ergeben, aber y₀:x₀= B:y1 ist.

Für die Gleichungen der Geraden und des Punktes ist es also charakteristisch, daß sie in bezug auf die Koordinaten ж, y, bzw. u-, v vom ersten Grade sind¹). Je nachdem die Veränderlichen

Linienkoordinaten bezeichnen, stellt die Gleichung А § + B rj + C — 0 dar die Gerade mit den Linien- den Punkt mit den Punkt-

A В G\ C'

Punktkoordinaten

koordinaten —

koordinaten —

x) Dies wäre nicht der Fall, wenn die Linienkoordinaten einer Geraden als die Achsenabschitte selbst definiert worden wären, wodurch sich dann auch das Dualitätsprinzip nicht in so einfacher Weise begründen ließe.

In dieser Möglichkeit der doppelten Deutung einer Gleichung ersten Grades zwischen zwei Veränderlichen aber ist das auf S. 120 ausgesprochene Dualitätsprinzip begründet.

58. Zwei Gerade, gegeben durch ihre Lmienkoordinaten.

Die leichte Möglichkeit, von der Gleichung einer Geraden zu ihren Linienkoordinaten und von der Gleichung eines Punktes zu seinen Punktkoordinaten und umgekehrt überzugehen, macht es gleichgültig, in welcher Weise bei Aufgaben die Ausgangsstücke gegeben sind, wie die folgenden Beispiele zeigen.

3K

0,

Fig. 52.

(uxv₂ — u2vi)

иxu₂ + vxv₂ — (uxv₂ + u₂v±) cosw ’

1. Der Winkel i/J, unter dem sich die beiden durch ihre Linienkoordinaten uv,vv gegebenen Geraden gv(v= 1,2) schneiden (Fig. 52), kann sofort nach S. 40(24) hingeschrieben werden:

wo das obere oder untere Vorzeichen gilt, je nachdem oc₂< oder und dementsprechend ip= осг — a₂ oder=&₂—ocx gesetzt ist.

2, Die Linienkoordinaten der Strahlen eines Strahlenbüschels, dessen Grundstrahlen gv die Linienkoordinaten uvyvv(y— 1,2) besitzen, folgen aus der Gleichung §23(30), die dann lautet:

hi(uxx + vty + 1) + A₂{u₂x -f- v₂y + 1) = 0 , und haben, wenn man noch ^ = x setzt, die Werte:

+ X v₂

(74)

1 + X

Nach § 23 ist x proportional dem Quotienten

(x = — GO-- - +00).

sin ($1, g*) : sin (gx, g₂).

Der Proportionalitätsfaktor ist für alle Strahlen des Büschels derselbe und ergibt sich leicht, wenn man zuerst die Gleichungen uvx+ vv у + 1 = 0 der Geraden gv auf die Normalform bringt, wie auf S. 43 vorausgesetzt ist.

3. Der Schnittpunkt 8 von gx und g₂ hat nach § 22 (28) die Koordinaten:

(75)

av =

v₂ — Vi

u₂ — Щ

ulv2 — U2V1

oder in Linienkoordinaten die Gleichung

uxv₂ — u₂vt

(75 a)

uv 1 Ul vx 1=0. u₂ v₂ 1

Diese Aufgabe ist dual zu der Bestimmung der durch zwei Punkte gehenden Geraden in § 17; aus der dort gefundenen Lösung erhält man ohne weiteres die Formeln (75), wenn man die Punktkoordinaten x, у durch die Linienkoordinaten и , V ersetzt.

Zwei durch ihre Gleichungen gegebenen Punkte. 137

59. Zwei durch ihre Gleichungen gegebenen Punkte.

1. Dual zu der in § 22 behandelten Aufgabe ist die Frage nach den Koordinaten ü,v der Verbindungsgeraden der beiden Punkte Pv:

Avu -J- Bvv -f* C.v = 0 (V — 1,2).

Die gesuchten Koordinaten ü, v müssen beiden Gleichungen genügen und haben daher die Werte

Ci B, Ą Bi

G2 $2 A₂ B₂

Verschwindet der Nenner, ist also Ai i A₂ = Bi : В2,

ohne daß einer der Zähler zu Null wird, so geht die Gerade Pi P₂ durch den Nullpunkt, da ü und v gleich oo sind. Die Kichtung der Geraden ergibt sich, wenn man beachtet, daß

у    *

die Gleichung des Leitstrahles О Pv lautet : y =—x=

*    Xv Jxv

Ist (xv der Winkel dieses Leitstrahles gegen die positive Z-Richtung, so ist sein Richtungskoeffizient iiv (nach S. 37) sin ocy

sin (w — ocv) Av

(76) ü= —

(77)

Uv =

v-.

A Ci . Л

a₂ c₂ • a₂

Bv

und wegen (77):

_    _Bi_B₂

аГ A₂

Ist aber noch eine der Zählerdeterminanten gleich Null, so hat auch die andere Zählerdeterminante den Wert Null; also beide Punkte fallen zusammen, wenn Ai : A₂ = Вг : B₂ — Сг : C₂

(78)

ist.

Damit noch ein dritter Punkt A₃u + B₃uC₃ = 0 auf der Verbindungsgeraden der beiden ersten liegt, müssen die

Werte (76) diese dritte Gleichung befriedigen, woraus

Ai Bi

(79) Ä₂ B₂C₂ = О

Aq b₃ C₃

als Bedingungsgleichung folgt.

2. Den Winkel xfj, den die Leitstrahlen

ОРг und О P₂ miteinander bilden (Fig. 53), erhält man

aus (24) auf S. 40, wenn man dort /t/v= ~ einführt:

Av

(Аг B₂ — A₂ Вг) sin w A± A₂ + Bx B₂ + (Аг B₂ + A₂ Bj) cos w ’ wo das obere oder untere Vorzeichen zu nehmen ist, je nachdem oc₂C oder    und dementsprechend ip = oc±—oc₂

oder = a₂ — oci gesetzt ist.

Beide Leitstrahlen stehen aufeinander senkrecht, wenn (81)    Аг A₂ +    B₂ + (Ai B₂ + A₂ Вг) cos w = 0

ist. Die Formeln (80) und (81) vereinfachen sich wieder für rechtwinklige Koordinatensysteme, da dann sinw ==. 1, cosw =?= 0 ist.

—>-

(80) tg^=±

'P,

a₂

p₂

Fig. 53.

Bv

60. Punktreihe.

Dem Strahlenbüschel, das ist der Gesamtheit aller Geraden durch einen Punkt S₉ steht dual gegenüber die Ge* samtheit aller Punkte auf einer Geraden g, welches Gebilde als Punktreihe bezeichnet wird

Bezeichnet man die ganze linke Seite der Gleichung eines Punktes Avu + Bvv + Cv ..= 0 mit Nv, so kann die Gleichung dieses Punktes Pv kurz Nv = 0 geschrieben werden. Bildet man für einen beliebigen Parameterwert x die Gleichung

(82)

-Vx -}- xN 2 — 0 , die in и und v linear und für die Koordinaten der Verbindungsgeraden von Px und P₂ erfüllt ist, so liefert (82) die Gleichung eines Punktes auf PXP₂.

Genau wie in § 23 für die Strahlen eines Büschels, so schließt man hier, daß drei Punkte Pr mit den Gleichungen Nv = 0 (y = 1, 2, 3) in einer Geraden liegen, wenn sich drei Zahlen Ях, Я₂Д₃ so angeben lassen, daß die Identität besteht:

(83)

^1^1 4“ ^2^2 4" A₃^3 ~ ^ *

Aus dieser Identität folgt aber ebenfalls die Bedingung(79), die also mit (83) gleichwertig ist.

Sind die Punktgleichungen in spezieller Form mit A ~xv, Bv = yv, Cv = 1 gegeben und bildet man

0,

Nt + kN₂

so sind die Koordinaten dieses Punktes Py:

y* =

Man erkennt durch Vergleich mit S. 27 (11), daß dann Px

der Punkt ist, der die Strecke PXP₂ im Verhältnis

->- -->-

P₁Py: P*P₂ = x:l teilt. Haben Av, Bv, Gv nicht die vorstehenden speziellen Werte, so ist x nicht gleich dem Teilungsverhältnis, sondern nur ihm proportional, und zwar

C₂    —-->-

ist dann ж — gleich dem TeilungsVerhältnis PXPX:P*P₂.

Ci

In ähnlicher Weise, wie mit Hilfe der Betrachtungen des § 23 über Strahlenbüschel, lassen sich auch mittels der vorstehenden Betrachtungen Dreiecksätze beweisen, was nur an zwei Beispielen gezeigt werden soll.

Sind Nv= x.vu+ yvv +1 = 0 (v= 1, 2, 3) die Gleichungen der Ecken Ev eines Dreiecks, für die also keine Identität von der Gestalt (83) bestehen kann, und teilt man (vgl. Fig. 16 auf S. 44) die Seiten EXE₂, E₂E₃, E₃EX durch die Punkte M3, Ml5 M₂ so, daß

M₃E₂ MxE₃ M₂Ex ist, so liegen Мз,Мг,М₂ in einer Geraden v₃ (Umkehrung des Satzes von M e n e 1 а 0 s). Denn setzt man

E₂M₁:M₁E₃= l₃:l₂,E₃M₂:M₂E₁=    : Я₃,

->- .---V

so muß ExM₃:M₃E₂ = — A₂ : kx sein wegen der Voraus-setzung. Deshalb können die Gleichungen dieser drei Punkte M geschrieben werden:

Mil "knNa -p k₃N₃ =■ 0 Moi Я₃N₃-\- k₁N₁ = 0 M'₃: l₁N₁ — l₂N₂ = 0.

Addiert man die linken Seiten der ersten und dritten Gleichung und subtrahiert dann die der zweiten Gleichung, so erhält man Null, woraus nach (83) die Kichtigkeit der Behauptung folgt.

Nimmt man zu EX,E₂, M' den Punkt M₃ hinzu, so daß (E₁E₂M₃M’S) = —1 ist, d. h. teilt man die Seiten des Dreiecks EXE₂E₃ so, daß

EyM₃ E₂MX E₃M₂ = 1 M₃E₂ MxE₂ M₂E₃

ist, so schneiden sich die Transversalen EXM E₂M₂, E₃M₃ineinemPunkteP (Umkehrung des Satzes von Ce va). Dieser Punkt hat die Gleichung

^1-^1 H“ ^2^2+ hN, == 0 ,

denn seine Gleichung ist erfüllt, wenn man u, v so wählt, daß gleichzeitig Nx = 0 und l₂N₂ + Я₃iV₃ = 0 ist, daß u, v also die Linienkoordinaten von E₁M₁ sind; analog erkennt man, daß auchP₂M₂ und E₃M₃ durch diesen Punkt P gehen.

Das zu dem vollständigen Viereck duale Gebilde ist das vollständige Vierseit, gebildet aus vier Geraden (Seiten), von denen keine drei durch denselben Punkt gehen, und aus ihren sechs Schnittpunkten (Ecken). Die drei Verbindungsgeraden der sechs Ecken, die .nicht Seiten sind, heißen Diagonalen des vollständigen Vierseits und bilden das zugehörige Diagonaldreiseit. In gleicher Weise wie in §26 ergeben sich Sätze über harmonische Eigenschaften des vollständigen Vierseits, die mit jenen Sätzen inhaltlich übereinstimmen; die Figur des vollständigen Vierseits ist dieselbe wie Fig. 18, abgesehen von der veränderten Benennung (a, b, c, d Seiten; А , В, С, D, F, G Ecken; AC, BD, F G Diagonalen).

¹

) Auf Grund von Poncelets Arbeiten ist das Dualitätsprin/ip von G ergo nne ausgesprochen und wird ihm oft zugeschrieben, was aber nicht voll berechtigt ist; analytisch hat es zuerst Plüçker begründet.

²

Wie aus den folgenden Konstruktionen ohne weiteres zu ersehen ist, dürfen von den fünf gegebenen Punkten nicht drei in einer Geraden liegen und von fünf Geraden nicht drei durch denselben Punkt gehen.

61. Transformation von Linienkoordinaten.

Die Transformation von Linienkoordinaten, bezogen auf ein Parallelkoordinatensystem X, Y, auf ein beliebiges anderes System X', Y', läßt sich mit Hilfe der im § 10 gegebenen Formeln leicht durchführen. Eine Gerade#(Fig. 54) habe in bezug auf die beiden Systeme die Gleichungen:

(a)

x-u + yv + 1 = 0,

(b)

X'• w'+ y'• t/ + 1 = 0,

die durch die allgemeinste Koordinatentransformation (S. 25, III) auseinander hervorgehen mögen. Setzt man die Werte für X und y aus den Transformationsgleichungen (x — x₀) sinw = x' • sin(w — #) + y' * sin(w — ß),

+ У' • sin ß

(y — y₀) sinw = x' • sin# in die Gleichung (a) ein, ordnet nach ж', у' und vergleicht

\Y

'Ta

P£

Ti

P1

Pt

Fig. 54.

nach Division mit dem von x\ y' freien Gliede das Ergebnis mit (b), so erhält man:

u' = {u • sin (w — (x)-\- V sin #} : W'9 v' = {u • sin(w — ß) + V • sin/?} : W\ W'= {u • xQ + v • y₀ + 1} sin w ist.

(84i)

wo

Transformiert man umgekehrt die Gleichung (b) in die Gleichung (a) und verfährt analog, so ergibt sich:

u'• sin/9    —v'• sin# }:W,

—v! • sin (w — ß) + v' • sin (w — #)} : jy *

wo

W = u'[—Xq • sin/? + y₀• sin(w — ß)]

ist.

+ v' [xQ • sin # — 2/₀ • sin (w — #)] + sin (ß — #)

Während die rechten Seiten der Transformationsgleichungen für Punktkoordinaten ganze Funktionen ersten Grades der Veränderlichen sind, treten in den Gleichungen (84) rechts gebrochene Funktionen ersten Grades auf; nur für den Fall, daß das neue System durch eine bloße Drehung, ohne Verlegung des Anfangspunktes, aus dem alten hervorgeht, treten auch in (84) ganze Funktionen rechts auf, da dann W* == sin w, W = sin (ß — oc) ist.

Aus den Formeln (84) ergeben sich wieder leicht die Formeln für die wichtigsten besonderen Fälle auf S. 25, IV.

Der Grad der Gleichung Au + Bv + C — 0 wird durch eine beliebige Transformation, wie sofort erkennbar, nicht geändert.

11. Abschnitt.

Kurven zweiter Klasse.

62. Allgemeine Gleichung einer Kurve zweiter Klasse.

Unter einer algebraischen Kurve nter Klasse soll pede Kurve mit Tangenten, deren Linienkoordinaten u,v jiner algebraischen Gleichung nten Grades genügen, verstan-een werden. Die Gleichung einer solchen Kurve enthält also nur Glieder von der Form A/ilvu^vv, wo die A^r Konstante bezeichnen und (л+ v<n ist; wenigstens für ein Glied muß fu + v = n sein. Die Kurve wird von ihren Tangenten eingehüllt und heißt deshalb Hüllkurve derselben.

Daß tatsächlich die Gesamtheit aller durch eine algebraische Gleichung in и, v bestimmten Geraden eine Kurve im gewöhnlichen Sinne liefert, wird in den folgenden Paragraphen (63—65) für die Kurven 2. Klasse gezeigt. Die Berührungspunkte der Tangentenschar (85) bilden die Kurve selbst. Für Kurven höherer Klasse muß der entsprechende Nachweis aus Kaummangel unterbleiben und kann es, da er über das Ziel dieses Bändchens hinausgeht.

Die allgemeinste Gleichung einer Kurve zweiter Klasse ist dann

(85) F(u, v) = Axxи? -f- 2 Aj2uv -\~ A₂₂2 A^₃и

+ 2Ą₃v + ^.33 = О

und ähnlich, wie auf S. 56, werde ^4₂₁ ⁼ А ^32 — А

12?

^31 —    13 »

23 ?

F' (u,v)= Anu + A₁₂v + Al3 F" (u,v)= A₂₁u + A₂₂v + A23 F'"(u, v) = A₃₁u + A₃₂v + A33 gesetzt, so daß sich auch schreiben läßt:

(86)

(85a) F(u, v) = F'(u, v) • и + F"(u,v) • v + F"'(u, v).

Durch eine Koordinatentransformation kann die Klassen zahl n einer Kurve nter Klasse sich nicht ändern, da die Gleichungen (84) vom ersten Grade sind.

Unter den Strahlen eines beliebigen Strahlenbüschels gibt es stets ^Tangenten an eine Kurve wter Klasse. Nach S. 136 (74) hat das Strahlenbüschel S=g±xg₂ die Gleichungen щ -f- xm₂ __ vx + xv₂'

1 + X ,V 1 + X

durch Einsetzen dieser Werte von u,v in (85) erhält man eine Gleichung wten Grades in x, deren nWurzelwerte in die Gleichungen für u,v eingesetzt die ^Tangenten liefern, die sich von S aus an die Kurve nter Klasse ziehen lassen. Über die Reellität der Wurzeln gilt das auf S. 57 (4. Abschnitt) Gesagte.

63. Berührungspunkt einer Tangente.

An eine Kurve zweiter Klasse lassen sich daher von jedem Punkte S = gxxg₂ aus zwei Tangenten tt" legen, für die sich die Parameterwerte x', x" als Wurzeln der Gleichung

(87) y.²F(u₂,v₂)+2x{F'(u₁,v₁yu₂+F"(u₁,v₁)-vi+F'"(u₁,v₁)} + F(u₁,v₁)=0

ergeben.

Ist die eine Gerade дг selbst Tangente an die Kurve, so muß F(%, vj = 0 sein und der eine Wurzelwert x' von x ist Null. Die zu x' gehörige Tangente t' fällt also mit дг zusammen. Läßt man nun den Punkt S auf дг wandern, wobei die andere Gerade g₂ beliebig, nur nicht selbst Tangente an die Kurve, also F(u₂, v₂) =)= 0, ist, so dreht sich die andere Tangente t" des Büschels S um die Kurve herum und muß bei einer bestimmten Lage von S mit f = gx zusammenfallen. Für diese Lage von S muß auch x" = 0 sein, was nur möglich ist, wenn der Koeffizient von 2x in der Gleichung (87) verschwindet; dies stellt eine Bedingung ersten Grades in u₂, v₂ dar. Es müssen also alle Geradenu,v, welche die Tangente gx so schneiden, daß die zweite Tangente des Büschels mit дг zusammenfällt, durch den Punkt (88) F\ux, Vj) • и + Е"(%, г^) • V + F'"^, v^) — 0

gehen. Dieser Punkt kann auch aufgefaßt werden als Grenzlage des Schnittpunktes zweier Tangenten, wenn sich die eine längs der Kurve fortbewegt, bis sie schließlich mit der anderen, unverändert festgehaltenen,дг zusammenfällt; dieser Schnittpunkt ist dann der Berührungspunkt¹) der Tangente дг.

In (88) heißen u, v die laufenden Koordinaten; sie sind die Koordinaten einer beliebigen durch den Berührungspunkt gehenden Geraden.

x) Die Gleichung (88) lautet ausführlich geschrieben:

Ацщи + Alz{uiV + ViU) + Ai2viV + An{ut + u) + A2a(vt + v) + A₃₃ = 0. Es gilt daher für die Gleichung des Berührungspunktes einer Tangente der Kurve (85) die analoge Gedächtnisregel, wie sie auf S. 67 für die Tangente einer Kurve zweiter Ordnung angegeben ist.

10

Haußner, Anatytisehe Geometrie der Ebene.

64. Die Kegelschnitte als Hüllkuryen.

Es sei eine Gerade l und ein Punkt F, dessen senkrechter

rP

Fig. 55.

Abstand von l die Länge s habe, gegeben Die Hüllkurve aller Geraden t(u,v) soll ermittelt werden, für die der Я-fache Sinus des von t und l gebildeten Winkels gleich dem Sinus des von t und von dem Strahle gezogen von txl = S nach F eingeschlossenen Winkels ist.

Wie in § 27, III

werde die Gerade l als Y-Achse und das von F auf sie gefällte Lot als X-Achse gewählt (Fig. 55). Aus der Gleichung der Geraden t: u x-\- v y Ą- 1 = 0 erkennt man sofort (§ 10), daß

tg(X,o = —

folglich

tg(G l) = cot(X, t) = —

und

Die Punktkoordinaten dieses Punktes sind nach § 57: F'f Uj , vj

(89)

xi —

Vi= î

F”(ui, L’i)

Р"\Щ, V.) '

sin (t,l) =

ist. Der Schnittpunkt S der Geraden t und der Y-Achse hat die Koordinaten 0,— — und der Punkt F die Koordinaten

V

s,0; mithin lautet die Gleichung von SF nach §17:

y==h{x~s)'

also

tg (X,FS) = —.

VS

Nach § 21 (24') erhält man weiter:

tg (F8,t) folglich

tg(X,Q+tg(FS,-X) ₌ (1 + us)v 1— tg(X, t) • tg(FS,— X) и — v²s ⁹

sin (FS, t) =

(1 + US) V

]/(to² + V²) (1 + V²S²)

l² • V² =

Wegen der gestellten Forderung muß (1 + us)²v²

1 + V²S²

sein, so daß die Gleichung der gesuchten Hüllkurve sich schließlich schreiben läßt:

(90)

(l + us)² — l²(l + v²s²)=0, also eine Kurve zweiter Klasse ist.

65. Überführung der Linien- in Punktkoordinaten für diese spezielle Kegelschnittgleichung.

Bildet man nach (88) die Gleichung des Berührungspunktes P der Tangente u, v, so lautet sie nach den laufenden Koordinaten u, t) geordnet:

(1 + us)s • ц — l²vs² *0 + 1 — A².+ us = 0 ,

und die Koordinaten von P sind:

Pvs²

_    (1 + us)s

⁽⁹¹⁾    *⁼ iLi«+u»' У ~P+us’

Daraus folgt für PF² der Wert

PE² =

A²s²(l + su)2 (1 — Я² +ws)²’ d. h. der Я-fache senkrechte Abstand x des Punktes P von der Geraden l ist gleich seiner Entfernung von F. Die jetzt gefundenen Kurven zweiter Klasse sind demnach identisch mit den in § 27, III gefundenen Kurven und daher Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, je nachdem Я<, = oder > 1 ist. I ist wieder die Leitlinie und F der zu ihr gehörige Brennpunkt.

Da sin(F$, t) = Я* sin (GO» PP = Я* PÄ ist und PA ±_l steht, so muß auch F P _J_ SF stehen. Man findet daher den Berührungspunkt einer Tangente t eines Kegelschnittes, indem man ihren Schnittpunkt mit der Leitlinie mit dem zugehörigen Brennpunkte verbindet, und auf ihr in dem Brennpunkte ein Lot errichtet, das die Tangente in dem Berührungspunkte schneidet (vgl. Satz 1 auf S. 111).

Berechnet man aus den Formeln (91) die Linienkoordinaten u, V der Tangente:

(92)

s -f (Я² — 1) x

s (x — s) ’

die der Gleichung (90) der Kurve zweiter Klasse genügen, so erhält man die Gleichung der letzteren in Punktkoordinaten

U = -7-— , v =

S (X —s) у² = (Я² — 1) x² + 2 sx — s²

in Übereinstimmung mit S. 54 (35). Geht man den umgekehrten Weg, indem man von einem Punkte der letzten Kurve ausgeht, so kommt man zur Gleichung (90) zurück. Hiermit ist der Weg gezeigt, wie man allgemein eine (nicht

zerfallende) Gleichung zweiten Grades in Punktkoordinaten transformieren kann in Linienkoordinaten und umgekehrt.

Wendet man dieses Verfahren auf den Kreis bezogen auf rechtwinklige Koordinaten

(X — m)² + (y — n)² — r² = 0 an, so erhält man als Gleichung dieses Kreises in Linienkoordinaten:

(93)

r²(u² + V²) — (mu + nv + l)².

In diesem Falle kommt man einfacher zum Ziele, wenn man nach § 20 den senkrechten Abstand des Punktes x₀ — m, Уо = n von der Geraden mit den Linienkoordinaten и, V berechnet und gleich r² setzt.

66. Zerfallende Kurven zweiter Klasse.

Zerfällt F(u,v) in zwei Faktoren ersten Grades:

(94) F(u, v) = (К,и + Lxv + Mj) (Ku + Lv + M), so stellt die Gleichung F(u, v) = 0 zwei (reelle verschiedene, zusammenfallende oder imaginäre) Punkte dar, und man spricht von einer zerfallenden oder uneigentlichen Kurve zweiter Klasse.

Vergleicht man die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von и und v rechts mit denen der allgemeinen Gleichung (85), so erhält man

Ац = K,K, A22 = L,Ij, A33 =    ,

2An=KL₁+K₁L, 2AVf=KM₁+K₁M, 2A2a=LM₁+L₁Mr woraus

4 (AnAn-Ati=(KL₁-K₁L)>,

4(A₂₂ A33 Ag₃) = (FM₁ L±M)²,

4(A₁₂A2Z - A₂₂ A₁₃) = (KL, - K,L) (L,M - LM,) und somit für die Koeffizienten А^у die Bedingung folgt: (^21    ^11 ^22) (^23    ^22 ^33)    (^21 ^23 ^22 Аз)2 = 0,

die sich nach Division durch A₂₂ schreiben läßt:

^11    ^12    ^13

(95)

1) = A₂₁ A₂₂ A

^31    ^32    ^33

Ist A₂₂ = 0, aber Au 0, so löst man die ursprüngliche Gleichung nach и auf und kommt ebenfalls zur Bedingung D — 0. D heißt die Diskriminante von F(u, v) und ist genau so gebildet wie (S. 58 (40)) die Diskriminante von f(x, у).

A₂₂F(u,y)

⁼ {(^12    ^)w+^₂₂V+^23-^}{(^12+^)W+^22?;+^23+ 0*

Ist A₂₂—0, aber An 4= 0, so verfährt man genau so für AnF(u,v). Sind An und ^4₂₂ gleich Null, so muß A₁₂ 4= 0 sein, wenn F(u,v) vom zweiten Grade sein soll. Die Bedingung (95) gilt auch jetzt; umgekehrt folgt • aus ihr, daß

Umgekehrt aber zerfällt auch die Gleichung (85) in zwei lineare Faktoren, wenn die Bedingung (95) erfüllt ist. Denn setzt man An • A₂₂ — A\tг = p², ^4₂₂.4₃₃ — -4²₃ ⁼⁼ so folgt aus ihr (A₁₂A₂₃ — A₁₃A₂₂)² = p²q². Setzt man dann in A₂₂F(u,v) hieraus die Werte für A₂₂An, ^₂₂^1₃₃ und A₂₂A₁₃ ein? so wird

ist.

A±2F(u, v) — (^4₁₂w + A₂₃) (A₁₂v + ^4₁₃)

Das Verschwinden der Diskriminante D von F(u,v) ist mithin die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Kurve zweiter Klasse in zwei Punkte zerfällt.

In genau derselben Weise könnte für das Zerfallen der Kurven zweiter Ordnung in zwei gerade Linien die entsprechende Bedingung (S. 58 (40)) zJ = 0 abgeleitet werden, im Einklänge mit der auf S. 65 gegebenen Übersicht über die verschiedenen Kurven zweiten Grades¹).

67. Identität der nicht zerfallenden Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse^

Nach den Untersuchungen der §§ 29—31 gibt es keine anderen, nicht zerfallenden oder eigentlichen Kurven zweiter Ordnung, als Ellipse, Parabel und Hyperbel (vgl. die Tafel auf S. 65). Diese drei Kurven sind aber auch nach § 64 Kurven zweiter Klasse. Um zu zeigen, daß es auch keine anderen solchen Kurven gibt, ist es nur nötig zu beweisen, daß jeder nicht zerfallenden Kurve zweiter Klasse die wesentlichste Eigenschaft einer eigentlichen Kurve zweiter Ordnung zukommt.

Jede eigentliche Kurve zweiter Ordnung wird von einer beliebigen Geraden g₀ in zwei Punkten (S. 57) geschnitten.

Durch jeden Punkt P einer Kurve zweiter Klasse geht eine Tangente der Kurve, für die der Punkt P Berührungspunkt ist. Der verlangte Nachweis ist also erbracht, wenn sich zeigen läßt, daß durch die Schnittpunkte von g₀ mit der Kurve zwei ihrer Tangenten gehen. Sind uy,vx die Linienkoordinaten einer solchen Tangente, so gibt die Formel (88) auf S. 145 die Gleichung ihres Berührungspunktes

F'(ux, vx)-u + F"(ux, vy) ■ V + F'"(uy_, vx) = 0.

Soll nun dieser Punkt der Schnittpunkt von g₀ mit der Kurve sein, so muß die vorstehende Gleichung für u—u₀, V — v₀ erfüllt sein:

(96) F'(ux, vx) • w₀ + F"{ux, vx)v₀ + F"\ux, vx) = 0.

für die Koordinaten dieser Punkte liefern, könnte also nur von der Form f{x, y) = [ax + Ъ) {су -f d) = О

sein, welche Gleichung aber nur die Parallelen zu den Koordinatenachsen

— und у = — — liefert, da entweder у oder x völlig willkürlich bleibt. а    c

Ähnlich kann F[u,v)= 0 nicht zwei Gerade liefern. Daher kann eine Kurve zweiter Ordnung, bzw. zweiter Klasse, nicht in zwei Punkte, bzw. nicht in zwei Gerade zerfallen.

Jede Kurventangente muß aber auch der Gleichung der Kurve genügen, daher

(97) F\ux , vx) • ux + F"(Uy, Vy) • Vy + F"'(ux, vx) = 0.

Die Gleichung (96) ist in bezug auf ux,vx vom ersten Grade; sie liefert also in Verbindung mit (97) zwei Tangenten ux,vx(k= 1, 2), womit der Beweis erbracht ist, daß eine Kurve zweiter Klasse von einer beliebigen Geraden g0 in zwei Punkten geschnitten wird.

Daß umgekehrt sich von einem beliebigen Punkte aus zwei Tangenten ebenso wie an eine Kurve zweiter Klasse auch an eine solche zweiter Ordnung legen lassen, ist auf

S. 88 gezeigt.

Die eigentlichen Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse sind damit als identisch nach gewiesen²).

Aus den Gleichungen (94) und (95) ergibt sich aber leicht ein Kennzeichen der Art des durch die Gleichung S. 144 (85) gegebenen Kegelschnittes. Wählt man nämlich für g₀ die unendlich ferne Gerade u₀ = 0, v₀ = 0, so folgt:

F (iły, Vy) — 0 ) F (iiy, Vy) • и y -f- F (Uy, v^j Vy = 0,

und wenn man noch den Wert für ux aus der ersten Gleichung in die zweite einsetzt:

(An A\.d + А₂₂А\Ъ — 2A₁₂A₁₃A₂₃) vl + 2(AnA₂₃ A₁₂j4₁₃) A₃₃Vy -p (AnA₃₃ A^₃) A₃₃ = 0.

Bezeichnet man die Koeffizienten von vx, vx und das konstante Glied mit А, В, Г, so hängt die Reellität der Wurzeln Vy ab von dem Ausdrucke В³ — А Г, der sich durch ein-

fache Umrechnung auf die Gestalt — A*₃ A₃₃ D bringen läßt. Die Kurve hat mithin für eine eigentliche Kurve zweiter Klasse (Z) =f= 0) zwei oder keinen reellen unendlich fernen Punkt, je nachdem A₃₃Z)<0 oder > 0 ist ; sie hat nur einen, wenn A₃₃ = Oist. Im ersten Falle hat die Kurve zwei reelle Asymptoten (§ 33), im letzten Falle keine. Für A₃₃ = 0 folgt aus F"\uXi vx) = A₃₁ux + A₃₂vx für vx= 0 uch ux = 0 ; die unendlich ferne Gerade ist also Tangente er Kurve. Daher

A₃₃D> 0

A₃₃ D < 0

-A33 — 0

D4= 0

Ellipse

(reell od.imaginär)

Hyperbel

Parabel

•A.33 =j= 0

2 reelle verschiedene, zusammenfallende oder imaginäre Punkte in endlicher Entfernung

2 reelle Punkte, deren einer im Unendlichen liegt 2 Punkte (reell verschieden, zusammenfallend oder imaginär) in unendlicher Entfernung

Schärfere Kriterien ergeben sich durch Koordinatentransformationen mit Hilfe der Formeln (84), die in geeigneter Weise spezialisiert werden. Mit Hilfe von Koordinatentransformationen können die Untersuchungen der Abschnitte 4—8 in ähnlicher Weise durchgeführt werden für die Gleichung (85) der Kurve zweiter Klasse als Ausgangspunkt.⁴)

Um die Gleichung einer Kurve zweiter Ordnung f(x, y) = 0 in eine solche mit Linienkoordinaten überzuführen, berechnet man aus der Formel S. 66 (46) die Linienkoordinaten u₁, vx der Tangente in P± , уг) und hieraus x₁, y1 als Funktionen von и1гъ\; diese in die Gleichung /(æls yJ == 0 eingesetzt ergeben die gesuchte Gleichung. Umgekehrt kommt man von den Formeln S. 146 (89) aus zu w1; v₁ als Funktionen von хг, y±i die in F(uL, vx) = 0 eingesetzt die Gleichung der Kurve in Punktkoordinaten transformieren.

12. Abschnitt.

Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsachsen von Kreisen.

68. Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise.

Dual zu der Bestimmung der Potenzlinie zweier Kreise die man als die Trägerin ihrer Schnittpunkte aufzufassen hat, ist die Aufgabe der Bestimmung der Punkte, von denen sich gemeinsame Tangenten an beide Kreise legen lassen.

Wird mvu + nvv + 1 = Wv gesetzt, so kann man die Gleichungen der beiden Kreise kv mit den Mittelpunkten mv,nv und den Kadien rv(v = 1,2) nach (149) in rechtwinkligen Koordinaten schreiben:

(98)

rl{u?+ v*) = Wl

0.

Die Koordinaten der gemeinsamen Tangenten beider Kreise, deren es im allgemeinen vier gibt, müssen diesen beiden Gleichungen, also auch ihrer Differenz, genügen: W\ W\

r\

Diese Gleichung zerfällt in die beiden: W!    W₂

n    ₁ г W1    л

0 und J:    —--^=0;

h

(99) Ä: —

h

der durch die erstere Gleichung gegebene Punkt, A wird als der äußere (Fig. 56), der zweite, J als der innere

T₂

\zb

M fi

./

Fig. 56.

О-*

Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise bezeichnet. Die Punktkoordinaten dieser Punkte sind daher r₂ — m₂1\

r2 — ri

Щ r₂ + m₂r1 r₂+ r, ’ yj

A: xA =

. 2/a =

«lf2 — »Vl

( WO) ,

J: xj

h — 4 nxr₂ + n₂rx

Der Vergleich dieser Werte mit den Formeln S. 27 (11) läßt erkennen, daß die beiden Ähnlichkeitspunkte auf der Zentrale beider Kreise liegen und sie (A) äußerlich, bzw. (J) innerlich im Verhältnis r±:r₂ teilen. Die Ähnlichkeitspunkte existieren also auch dann, wenn beide keine reellen gemeinsamen Tangenten oder nicht vier, sondern nur zwei haben, wie es der Fall ist, wenn der eine Kreis ganz innerhalb des andern liegt oder ihn schneidet; liegt jeder der Kreise ausserhalb des andern, so sind alle vier gemeinsamen Tangenten reell. Die beiden Ähnlichkeitspunkte teilen die Zen trale Q±Q₂ der beiden Kreise harmonisch :(Q₁Q₂AJ)=—1. Die Radien nach den Berührungspunkten sind parallel: ЯгТгШ\, QhT[ IIQ₂T'₂.

Der äußere Ähnlichkeitspunkt A ist gemeinsamer Pol der beiden Sehnen aY, a₂, die durch die Berührungspunkte der von ihm ausgehenden Tangenten gehen; das gleiche gilt für den inneren Ähnlichkeitspunkt / und die zu ihm gehörenden Berührungssehnen , i₂.

ft

fz

Qi

so

Pi

Fig-. 57.

Zieht man (Fig. 57) zwei beliebige parallele Durchmesser, die die Kreise in PT, P[ und P₂, P' schneiden, ^— und verbindet die vier Punkte miteinander, gehen die Verbindungslinien der Endpunkte gleichgerichteter Radien, also Px P₂ und P'P', durch den äußeren, und die der Endpunkte entgegengesetzt gerichteter Radien PXP\ und P[P₂ durch den inneren Ähnlichkeitspunkt. Denn aus der Ähnlichkeit der

Dreiecke Q₁P₁A und Q₂P₂A folgt Q^AiAQ^r^—r^ folglich ist der Schnittpunkt von Px P₂ mit der Zentrale der

beiden Kreise der äußere Ähnlichkeitspunkt A. Ebenso folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke Qx Px I und Q₂ P\1, daß Рг P2 die Zentrale in dem inneren Ähnlichkeitspunkte J schneidet. Diese Konstruktion der Ähnlichkeitspunkte mittels paralleler Radien versagt nicht, wie auch die Kreise liegen mögen. Berühren sich die beiden Kreise innerlich, bzw. äußerlich, so ist der Berührungspunkt ihr äußerer, bzw. innerer Ähnlichkeitspunkt.

69. Ähnlichkeitsachsen dreier Kreise.

Die Gleichungen der dreiKreiseÄ;v(v= 1,2,3) seien wieder rl(u² + V²) = Wl, Wv = mvu + nvv + 1, und (Fig. 58) es seien Ax, Jx die beiden Ähnlichkeitspunkte

k2

b.3

Kl

Aï

lAz

bi

V\

Fig. 58.

von k₂ und k₃\ A₂, J₂ die von k₃ und кг\ A₃, J₃ die von k± und k₂. Dann sind die Gleichungen dieser sechs Ähnlichkeitspunkte :

0,    «7i:^+L=0,

J :    ₊

h 4

J.Z

*' h

Nun ist aber, wenn man nicht nur die Punkte, sondern auch die linken Seiten dieser sechs Gleichungen mit AVi bzw. Jv bezeichnet:

Ai-.

A'-

Л:

Wo W

W₃ w,

Wj w₂

4    »2

0,

0,

0,

w₂

Ax + -4₂ + A₃ = 0;

bi

A₁-{- J2 — Jz — 0,

— J г + Ä₂ + J₃ = 0,

b₃:

J₁ — J₂ + ä₃e^0.

Nach S. 139 (83) folgen daher die beiden Sätze:

Die drei äußeren Ähnlichkeitspunkte dreier Kreise liegen auf einer Geraden a.

Zwei der inneren Ähnlichkeitspunkte dreier Kreise und der dritte äußere Ähnlichkeitspunkt liegen ebenfalls auf einer Geraden: A±J₂J₃ = Ъг, J₁A₂J₃ = &₂, JXJ₂A₃ = b₃. Diese vier Geraden heißen die vier Ähnlichkeitsachsen dreier Kreise.

Wird ein Kreis k± von zwei anderen Kreisen k[ und k[ berührt, so ist die Verbindungslinie der Berührungspunkte eine Ähnlichkejtsachse der drei Kreise, geht also durch einen Ähnlichkeitspunkt der Kreise k[ und kf₂, und zwar ist dieser Ähnlichkeitspunkt der äußere, wenn der Kreis kx entweder von beiden Kreisen kf innen oder von beiden außen berührt wird. Berührt aber einer von diesen Kreisen kr den

Kreis fcj außen, der andere innen, so geht die Verbindungslinie der Berührungspunkte durch den inneren Ähnlichkeitspunkt der Kreise k[ und k₂. Vgl. z. B. Fig. 59, wo die

a;

Fig. 59.

Kreise \ und k₂ den Kreis k[ innen, den Kreis k₂ außen berühren.

Hieraus ergibt sich leicht der folgende Satz, der einen Ähnlichkeitspunkt eines Kreispaares mit der Potenzlinie eines zweiten Kreispaares verknüpft:

Werden (Fig. 59) zwei Kreise kl9k₂ von zwei andern Kreisen k[, k₂ berührt, so liegt ein Ähnlichkeitspunkt des einen Kreispaares auf der Potenzlinie des anderen.

S₁\ S₂ seien die Berührungspunkte von kx, k₂ mit k[ und Tx, T₂ die mit k'₂. Dann ist

ĄS₂ Ähnlichkeitsachse der Kreise kl9 k₂, k[,

,,    ,, kx, &₂, k₂,

TiT₂

v V

,,    ,    «/g,    ,

andererseits SiTi ^2 ^2

Folglich ist der Punkt S₁S₂xT₁T₂ = A ein Ähnlichkeitspunkt der Kreise кг und k₂ und der Punkt S± TxxS₂ T₂ = B' ein solcher von k[ und k₂. S±S₂ ist aber auch die Potenzlinie aller gleichzeitig durch S± und S₂ gehenden Kreise, zu denen auch k[ gehört; ebenso folgt, daß ТгТ₂ Potenzlinie aller durch Tx und T₂ gehenden Kreise, also auch von k₂ ist. Daher ist der Punkt S₁S₂xT₁T₂ = A Potenzpunkt aller Kreise beider Scharen und durch ihn muß die Potenzlinie der Kreise k[ und k₂ hindurchgehen. Dieser Punkt war aber als Ähnlichkeitspunkt von kx und k₂ nachgewiesen. In gleicher Weise erkennt man, daß der Ähnlichkeitspunkt Bf von k[ und k₂ auf der Potenzlinie von кг und k₂ liegt. Damit ist die obige Behauptung bewiesen.

¹

) Daß die Gleichung zweiten Grades in Punktkoordinaten f[x,y)= 0 zwei Punkte darstellt, ist unmöglich. Denn sie müßte dann zwei Konstantenpaare

²

) Der Satz gilt in dieser Form nur für Kurven zweiter Ordnung und zweiter Klasse. Die Gerade ist Kurve erster Ordnung, aber von 0ter Klasse und der Punkt Kurve erster Klasse, aber 0ter Ordnung, wie ohne weiteres aus den Defi

³

nitionen auf den S. 56 und 143 zu erkennen ist.

⁴

) Diese Kriterien können aus Mangel an Raum nicht abgeleitet, sollen aber wenigstens hier angegeben werden. Die Ellipse (D 4= 0, A₃₃D> 0) ist reell oder imaginär, je nachdem dx AnA₃₃— a\₃ oder d₂ = A₂₂A₃₃— Аг₃<0 oder > 0 sind; für D — 0, A₃₃ ={= 0 sind unter den gleichen Bedingungen die beiden Punkte reell oder nicht, während für dj — d₂ — 0 die beiden Punkte in einen (reellen Punkt) zusammenfallen. Für D— 0, A₃₃ = 0 liefert die Gleichung zweiter Klasse zwei reelle Punkte, deren einer im Unendlichen liegt, wenn A13 oder A₂₃ ф 0 ist; beide Punkte liegen im Unendlichen, wenn Ai₃ == A₂₃ = 0 ist, und sind reell verschieden, zusammenfallend oder imaginär, je nachdem d = An A₃₂ — A\₉ <, w oder > 0 ist.

70. Das Apollonische Berührungsproblem.

Der letzte Satz des vorigen Paragraphen findet seine schönste Anwendung bei der Lösung der nach Apollonios benannten Aufgabe, die Kreise zu konstruieren, die drei gegebene Kreise kx, k₂, k₃ berühren¹).

Die Aufgabe hat im allgemeinen acht Lösungen, die aber nicht sämtlich reelle Kreise zu ergeben brauchen; es ist sogar möglich, daß keine reelle Lösung vorhanden ist. Es sind folgende Fälle möglich. Die drei gegebenen Kreise berühren den gesuchten Kreis von innen oder alle drei von außen; es berühren zwei der gegebenen Kreise von innen, der dritte von außen, oder einer von innen und zwei von außen.

Es seien k[ und k₂ die gesuchten Kreise der beiden ersten Fälle (Fig. 60). S₁,S₂,S₃ mögen die Berührungspunkte von k[ mit den Kreisen kv k₂, k₃ bezeichnen und Тг, T₂, T₃ die von

x) Apollonios von Pergä hat zwischen 250 und 200 in Alexandria und Pergamon gelebt. Die obige Aufgabe war in seiner verlorengegangenen Schrift „Berührungen (ткр! Lnocfpüv)” behandelt.

mit diesen drei Kreisen. Nach dem vorigen Paragraphen schneiden sich dann die Geraden S±S₂ und ТгТ₂ in dem äußeren Ähnlichkeitspunkte A₃ der Kreise кг und fc₂, die

M,

\ '•'•-J M

/?

\/4 Щг ?

(W

Vj

9,

-O-

Fig. 60.

Geraden S₂S₃ und T₂ T₃ in dem Ähnlichkeitspunkte Ą und und TB Тг in Ä₂. Diese drei Ähnlichkeitspunkte¹) liegen auf der Ähnlichkeitsachse a, die nach dem letzten Satze des vorigen Paragraphen die Potenzlinie der Kreise k[ und ist. Daher liegen die Mittelpunkte M[ und Mr₂ dieser beiden Kreise auf einer Senkrechten s zu a.

i) In der Figur sind A\ und A₃ nicht sichtbar. H a u ß n e r, Analytische Geometrie der Ebene.

Andererseits aber müssen nach demselben Satze die Po-tenzlinien von k₁ und k₂ durch den Ähnlichkeitspunkt der Kreise k[ und k₂ gehen, ebenso die Potenzlinien von k₂ und k3 und von k₃ und k±\ dieser Ähnlichkeitspunkt ist folglich der Potenzpunkt sj3 der drei gegebenen Kreise. Durch ^3 müssen daher die Yerbindungsgeraden S₁T₁,S₂T₂ und S₃T₃ der Berührungspunkte von k[, bzw. k\, mit den drei gegebenen Kreisen gehen. M[M₂ ist also die Senkrechte s zu a durch ^3.

Die Tangente in S\ ist die Potenzlinie von k± und k[, die Tangente in Тг die Potenzlinie von k± und , folglich ist der Schnittpunkt Qi beider Tangenten der Potenzpunkt von k±, k[, k₂ und muß auf der Ähnlichkeitsachse a liegen, da diese Potenzlinie von k[ und k₂ ist. Q± ist aber auch in bezug auf den Kreis kx der Pol der Berührungssehne 8гТг. Mithin liegt der Pol Рг von a auf S₁ Тг (§ 32). In gleicher Weise findet man, daß die Pole von a in bezug auf die Kreise k₂ und k₃ auf S₂T₂ und S₃T₃ liegen müssen. Die Mittelpunkte M[ und M₂ der gesuchten Kreise liegen dann auf M₁S₁ und M₁T₁ und sind ihre Schnittpunkte mit s.

Für die anderen sechs Fälle ergeben sich gleiche Konstruktionen, in denen die Ähnlichkeitsachsen \, Ь2гЪ₃ in analoger Weise zu benutzen sind.

Konstruktion: Man konstruiert zu jeder Ähnlichkeitsachse den Pol Pj in bezug auf einen der gegebenen Kreise, z. B. kx, und verbindet ihn mit dem Potenzpunkte *J3 der drei gegebenen Kreise; Рх^3 schneidet den Kreis кг in den Berührungspunkten S±, der der benutzten Ähnlichkeitsachse zugehörigen Lösungskreise. Verbindet man noch den Mittelpunkt M₁ von кг mit Sx und T1? so schneiden diese Geraden das von *J3 auf die Ähnlichkeitsachse gefällte Lot s in den Mittelpunkten M[, M₂ der gesuchten Kreise.

Sachregister (Die Zahlen geben die betreffenden Seiten an.)

von einer

53.

von

71.

Abstand, senkrechter — eines Punktes Geraden 38. Abszissenachse 15. Achsenabschnitte der Geraden 34, 37.

Achsen der Kegelschnitte 59 ff.

—    der Ellipse 61, 71.

—    der Hyperbel 61, 77. Affine Verwandtschaft 75. Ähnlichkeitsachsen 157 ff. Ähnlichkeitspunkte,

innere, äußere — 154. Algebraische Kurve n-ter Ordnung 56.

—    n-ten Klasse 143. Allgemeine Gleichung einer

Geraden 36 f.

—    eines Punktes 134.

—    zweiter Ordnung 55 ff.

—    zweiter Klasse 144. Amplitude einesPunktesl9. Anfangspunkt des Koordinatensystems 8.

Anomalie, exzentr. 75, 93. Apollonios 160 (Anm.).

—    Berührungsproblem des 160.

Asymptoten eines Kegelschnitts 69, 92, 96.

—    der Hyberbel 77, 85. --richtung 70.

--winkel 77.

Aufgabe der analytischen Geometrie 31. Berührungspunkt der Tangente 66, 144 ff. Bogenmaß 7 (Anmerkung). Brennpunkte 53, 103 ff.

—    der Ellipse 53.

—    der Hyperbel 53, 77. Brennstrahl 104, 107. Brianchon 120.

—    Satz des 120.

—    Punkt des 121.

Büschel.

—    Strahlen 42 u. 136.

—    Kreis 128.

С e V a, Satz des 47.

—    Umkehrung des Satzes des 48 u. 141.

Descartes 18. Determinante 2. Grades 27 (Anmerkung).

— 3. Grades 29 (Anmerkung).

Diagonalpunkt 49.

--dreieck 49.

--dreiheit 141.

Direktrix oder Leitlinie

Diskriminante 59, 150.

Doppelverhältnis

4 Punkten oder 4 Strahlen 11.

Drehsinn, positiver 7.

Drehung des Koordinatensystems 23.

Drei Gerade durch einen Punkt 41.

Dreieckssätze 44 f. u. 140.

Dualitätsprinzip 120, 135.

Durchmesser der Ellipse 57 ff., 90.

—    der Parabel 63, 102.

—    konjugierte 90, 95.

Ecktransversale 48.

Einheitspunkt des Koordinatensystems 8.

Ellipse 52, 65, 71 ff., 148.

—    Brennpunkte 53, 104.

—    Durchmesser 57 ff., 90.

—    Hauptachsen 59, 98.

—    konjugierte Halbmesser 95.

—    Leitlinie 53.

—    Mittelpunkt 57.

—    Parameter 54.

—    Scheitelgleichung 55.

Exzentr. Anomalie 75, 93.

Exzentrizität, lineare 53,

100.

—    numerische 105,    115.

Flächeninhalt eines Dreiecks 27.

—    eines n-Ecks 30.

Gedächtnisregel 67 (Anmerkung), 145 (Anmerkung).

Gegenpunkte der Brennpunkte 107.

Geometrischer Ort 31, 52ff.

Gerade Linie 32 ff.

Gerade durch zwei Punkte 33, 137.

Gerichtete Strecke 5. Gleichseitige Hyperbel 79. Grundpunkte eines Kreisbüschels 130. Halbierungspunkt einer Strecke 14.

Harmonische Polaren 68,

112.

—    Pole 68.

—    Punkte 14, 51.

—    Strahlen 14, 51. Hauptachse der Ellipse 60,

—    der Hyperbel 60, 99. Hesse sehe Normalform

35, 43.

Höhen eines Dreiecks 46. Hüllkurve 143.

Hyperbel 52, 65, 76ff., 146.

—    Brennpunkte 53, 103 ff.

—    Hauptachsen 59, 99.

—    konjugierte Durchmesser £0.

—    Konstruktion 87.

—    Leitlinie 53.

—    Mittelpunkt 58.

—    Scheitelgleichung 55.

—    konjugierte 58. Kegelschnitt 53 f., 112.

—    Achsen 59.

—    Leitlinie 53.

—    Mittelpunkt 57, 63.

—    als Hüllkurve 146.

—    zerfallender oder uneigentlicher 63, 149.

Klasse einer Kurve 143. Konjugierte Durchmesser 70, 89 ff., 96.

—    Elemente eines Doppelverhältnisses 12.

—    Halbmesser 95.

—    harmonische Punkte 67.

—    Hyperbeln 79, 94.

—    Kreisbüschel 130. Konstruktion der Ellipse

74.

—■ der Hyperbel 87.

—    der Parabel 81.

—    eines allgemeinen Kegelschnittes 123.

Linienkoordinaten

72.

— an

--Hyperbel 84.

--* Kreis 83.

Tangentenparallelogramm

Konstruktion konjugierter Durchmesser 89.

— des Krümmungskreises

81.

—    des vierten harmonischen Punktes (Strahles) 51.

Koordinaten 8.

—    Parallel- 17.

—    Polar- 18.

--Winkel 16.

Kreis 62, 83 ff.

—    in

149.

Kreisbüschel 128.

—    Grundpunkte eines 130.

—    konjugierte 130. Kreiskegel 113.

Kreisnetz 132. Krümmungskreis 72.

—    im Scheitel einer Ellipse

--einer Hyperbel 78.

--einer Parabel 81.

Krümmungsmittelpunkt

73.

Kurve n-ter Ordnung 56.

—    n-ter Klasse 143.

—    II. Ordnung 55 ff.

—    II. Klasse 143 ff.

Länge einer Strecke 26.

Leitlinien eines Kegelschnittes 53, 55, 103 ff.

Leitstrahl eines Punktes 19.

Lineare Exzentrizität 53, 105.

Linienkoordinaten 32, 34, 132 ff.

—    Transformation der 141.

Menelaus, Satz des 48.

—    Umkehrung des Satzes des 48, 140.

Mittelpunkt 57 ff.

Nebenachse einer Ellipse71.

Normale 88, 107.

Normalform, Hessische 35, 43.

Normalgleichung 34.

Nullpunkt des Koordinatensystems 8.

Numerische Exzentrizität 105, 115.

Ordinatenachse 15.

Ort, geometrischer 31,52 ff.

Parabel 65, 80, 148.

—    normale, subnormale, subtangente 88.

Parabelbrennpunkt 53,109.

—    Durchmesser 63, 101,

102.

—    Leitlinie 55, 103, 109.

—    Tangente 109 f. Parallele Gerade 40. Parallelkoordinaten 15.

—    schiefwinklige, rechtwinklige 17.

Parallelverschiebung 23. Parameter 33.

--gleichung der Geraden

33.

--der Ellipse 54, 75.

--der Hyperbel 54, 78.

Pascal, Satz von 119.

—    sehe Gerade 120.

Phase eines Punktes 19. Pol einer Geraden 67, 83. Polarachse 18.

Polare eines Punktes 67, 82, 96, 131.

—    des Mittelpunktes 69. Polaren, harmonische oder

reziproke 68, 112. Polarkoordinaten 18.

Pole, harmonische oder reziproke 68.

Potenz eines Kegelschnittes 117 ff.

Potenzlinie 124. Potenzlinien und Ähnlichkeitspunkte dreier und mehr Kreise 159. Potenzpunkt 124. Projektion einer Strecke 19.

—    eines Linienzuges 20. Punkt, Gleichung eines 133. Punktreihe 138.

Quadrant 16.

Radiusvector 19. Rechtwinklige Hyperbel79. Richtung einer Strecke 26. Richtungskoeffizient einer

Geraden 33, 37. Scheitelgleichung der Kegelschnitte 55. Scheitelpunkte der Ellipse 71.

—    der Hyperbel 77.

—    der Parabel 80. Schiefwinkliges Koordinatensystem 17, 96.

Schnittpunkt zweier Geraden 41, 136.

Sehne einer Kurve 57. Sehnenparallelogramm 90.

Sehnensechseck eines Kegelschnittes 120.

Senkrechter Abstand eines Punktes von einer Geraden 38.

Senkrechte Gerade 41.

Strahlenbüschel 42.

Strecke, gerichtete 5.

Subnormale 88.

--tangente 88.

Supplementarsehne 91.

Tangente 66, 107.

—    an Kegelschnitte 111.

—    Berührungspunkt der 66, 144, 145 (Anmerkung), 147.

Elipsę 84.

90.

Tangentensechsseit 120.

Teilverhältnis einer Strecke 9, 26, 48, 139.

—    äußeres, inneres 9.

Transformation von Parallel- in Polarkoordinaten 20.

—    zwischen Parallelkoordinaten 23.

—    von Linienkoordinaten

141.

Uneigentliche Kurve zweiter Ordnung 63.

--zweiter Klasse 149.

Uneigentlicher Punkt einer Geraden 10.

Unendlich ferne Gerade 133.

—    ferner Punkt der Parabel 8L

Verbindungsgrade zweier Punkte 33, 137.

Vertauschung, zyklische28.

Verwandtschaft, affine 75.

Viereck,vollständiges 49 L, 82, 89.

Vierseit vollständiges 141.

Winkelhalbierende 44, 46.

Winkel zweier Geraden 6, 39, 133.

Zentrale zweier Kreise 127.

Zentralprojektion 13.

Zerfallende Kurve zweiter Ordnung 63.

—    zweiter Klasse 149.

Zyklische Vertauschung 28.

Mathematische und verwandte Literatur

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Geschichte der Mathematik. Von Prof. Dr. Heinrich Wleleltner. 2 Bände. I: Von den ältesten Zeiten bis zur Wende des 17. Jahrhunderts. 136 Seiten. Neudruck 1939. II: Von 1700 bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. 154 Selten. Neudruck 1939. (Samml. Göschen Nr. 226, 875)

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Analytische Geometrie der Ebene. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Zweite, verb. Auflage. Mit 60 Figuren. 164 Seiten.

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Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur Analytischen Geometrie der Ebene mit den vollständigen Lösungen. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Zweite, unveränd. Auflage. Mit 22 Figuren im Text. 139 Seiten. 1941. (Samml. Göschen Bd. 256).

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Analytische Geometrie des Raumes. Von Dr. Robert Haußner o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 36 Figuren im Text. 132 Seiten. 1935. (Samml. Göschen Bd. 89) . . .

Koordinatensysteme. Von Professor Paul B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 128 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 507) . . . Geb. RM. 1.62 Nichteuklidische Geometrie. Von Professor Dr. Richard Baldus. Mit 71 Fl-152 Seiten. 1927. (Samml. Göschen Bd. 970) . . Geb. RM. 1.62 Algebraische Kurven. Neue Bearbeitung von Prof. Dr. H. WIeleitner.

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Projektive Geometrie. Von Professor Dr. Karl Doehlemann. Neue einbändige Ausgabe von Dr. H. Timerding, Prof, an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit 37 Figuren. 131 Seiten. 1937c (Samml. Göschen Bd. 72)

Aufgabensammlung zur projektiven Geometrie. Von Dr. H. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit 65 Figuren. 140 Seiten. 1933. (Sammlung Göschen Bd. 1060). . . . Geb. RM. 1.62 Differentialgeometrie I: Raumkurven und Anfänge der Flächentheorie. Von Dr. Rudolf Rothe, o. Professor an der -Technischen Hochschule Berlin. Mit 32 Abbildungen. 132 Seiten. 1937. (Samml. Göschen

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Vektoranalysis. Von Dr. Siegfried Valentiner, Professor für Physik an der Bergakademie Clausthal. Mit 16 Figuren. Fünfte, erneut durchges. Auflage. 136 Seiten. 1938. (Samml. Göschen Bd. 354) . Geb. RM. 1.62 Darstellende Geometrie. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena.

Erster Teil: Elemente; Ebenflächige Gebilde. Fünfte, unveränderte Auflage. Mit 110 Figuren im Text. 207 Seiten. 1940. (Samml. Göschen Bd. 142)

Zweiter Teil: Perspektive ebener Gebilde; Kegelschnitte. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 88 Figuren im Text. 168 Selten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 143)

Dritter Teil: Zylinder, Kegel, Kugel, Rotations- und Schraubenflüchen, Schattenkonstruktionen, Axonometrie. Von Dr. Robert Haußner, o.ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. Wolfgang Haack, Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule Karlsruhe. Mit 65 Figuren im Text. 141 S. 1931. (Sammlung Göschen Bd. 144)

Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

guren.

. . Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Darstellende Geometrie. Vierter Teil: Freie und gebundene Perspektive, Photogrammetrie, Kotierte Projektion. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. Wolfgang Haack, Professor für Mathematik an der Techn. Hochschule Karls* ruhe. Mit 76 Figuren im Text. 144 Seiten. 1933. (Samml. Göschen

Bd. 1063)

Geb. EM. 1.62

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von

Professor Wilhelm Weitbrecht. Zweite, veränderte Auflage.

I.    Teil: Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln. Mit 8 Figuren. Neudruck. 127 Seiten. 1938. (Samml. Göschen Bd. 302) Geb. EM. 1.62

II.    Teil: Zahlenbeispiele. Mit 8 Figuren. Neudruck. 141 Seiten. 1920.

(Samml. Göschen Bd. 641).............Geb. EM. 1.62

Verslcherungsmathematik. Von Dr. Friedrich Böhm, Professor an der

Universität München.

I. Elemente der Versicherungsrechnung. 2., vermehrte u. verbesserte Auflage. 144 Seiten. 1937. (Sammlung Göschen Bd. 180) Geb EM. 1.62

П. Lebensversicherungsmathematik. Einführung ln die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 171 Seiten. 1926. (Samml. Göschen

Bd. 917)

Geb. EM. 1.62

Politische Arithmetik. (Zinseszinsen-, Eenten- und Anleiherechnung.) Von Dr. Emil Foerster, Honorardozent an der Technischen Hochschule in Wien. Mit 7 Figuren. 155 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 879)

Geb. EM. 1.62

Graphische Darstellung In Wissenschaft und Technik. Von Professor Dr. M.Pirani. Zweite, verbesserte Auflage, besorgt durch Dr. I.Eunge. Mit 71 Abbildungen. 149 Seit. 1931. (Samml. Göschen Bd. 728) Geb. EM. 1.62

Numerische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 2 Figuren.

116 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 864)

. . Geb. EM. 1.62

Praktisches Zahlenrechnen. Von Professor Dr.-Ing. P. Werkmeister. Mit 60 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 405)..................Geb. EM. 1.62

Mathematische Instrumente. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 68 Figuren. 144 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 922) . . Geb. EM. 1.62

Geodäsie (Landesvermessung u. Erdmessung). Von Prof. Dr.Gustav Förster. Mit 33 Figuren. 122 Seiten. 1927. (Samml.Göschen Bd.102) Geb. EM. 1.62

Vermessungskunde. Von Professor Dr.-Ing. P. Werkmeister.

I: Stückmessung und Nivellieren. Mit 145Figuren. Sechste Auflage.

1934. (Samml. Göschen Bd. 862)

162 Seiten. 1938. (Samml. Göschen Bd. 468) . . . Geb. EM. 1.62 П: Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten Im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 93 Figuren. Vierte Auflage. 147 Seiten. 1939. (Samml. Göschen Bd. 469) . . . Geb. EM. 1.62 III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrle und Topographie. Mit 63 Figuren. Dritte Auflage. 144 Seiten.

Geb. EM. 1.62

1940/41. (Samml. Göschen Bd. 603 u. 695)

Graphische Statik mit besonderer Berücksichtigung der Einflußlinien. Von Dipl.-Ing. Otto Henkel, Bauingenieur und Studienrat an der Baugewerkschule in Erfurt. 2 Telle. 2. Auflage. Unveränd. Neudruck.

Geb. je EM. 1.62

Statik. I. Tell: Die Grundlagen der Statik starrer Körper. Von Professor Dr.-Ing. Ferd. Schleicher in Berlin. Mit 47 Abbildungen. 143 Seiten.

1930. (Samml. Göschen Bd. 178)    . .

. . Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Dynamik. Von Prof. Dr. Wilhelm Müller. I: Dynamik des Einzelkörpers. Mit 70 Figuren. 160 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 902) Geb.RM. 1.62 II: Dynamik von Körpersystemen. Mit 51 Figuren. 137 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 903)

. . Geb. RM. 1.62

Hydraulik. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Neudruck. Mit 45 Figuren. 156 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 397) . .

Elastizitätslehre flir Ingenieure. Von Professor Dr.-Ing. Max Enßlln an der Höheren Maschinenbauschule Eßlingen. 2 Bde. (Samml. Göschen Bd. 519 und 957)................Geb. je RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

Einführung in die geometrische Optik. Von Dr. W. Hlnrlchs, Berlin-Wilmersdorf. Mit 56 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 143 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 532) . .

Technische Tabellen und Formeln. Von Reg.-Baurat a. D. Prof. Dr.-Ing. W. Müller. Mit 105 Figuren. Dritte, verbesserte und erweiterte Auflage. Unveränd. Neudruck. 151 Seiten. 1941. (Samml. Göschen Bd. 5791

Geb. RM. 1.62

b) WEITERE LITERATUR

Band 169RM.35.—,Band 170RM 35—,

Journal für die reine und angewandte Mathematik. Gegründet von A. L. Crelle 1826. Herausgegeben von Helmut Hasse. Band 1 —140 Preise auf Anfrage, Band 141—144 je RM. 16.—, Band 145—147 je RM. 12.—, Band 148—151 je RM. 10.—, Band 152 RM. 12.—. Band 153 RM. 17.50, Band 154 RM. 30.—, Band 155 u. 156 je RM. 36.— Band 157 u. 158 (Jubiläumsband I/II), Band 159—166 je RM. 36.— Band 167 RM. 56—, Band 168 RM. 36.

Band 171—183 je RM. 30.

Das von A.L. Cf eile gegründeteJournal für die reine und angewandte Mathematik“ darf aut eine über hundertjährige ruhmvolle Vergangenheit zurückblicken. Seit seiner Gründung im Jahre 1826 wurde es der Sammelplatz für die Arbeiten der großen Männer, welche seit dieser Zeit der Mathematik einen neuen Aufschwung gaben.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik. Herausgegeben ab Band 51 von der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Jeder der neueren Jahrgänge umfaßt etwa 10 Hefte à 10 Druckbogen. Preis jedes Heftes RM. 18.—. Die Preise der früheren Jahrgänge werden auf Wunsch mitgeteilt.

Das „Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik“ bringt eingehende Besprechungen sämtlicher periodischen und nichtperiodischen Neuerscheinungen auf dem Gebiete der Mathematik und ihrer wichtigsten Anwendungen. Auch die Geschichte und die Grundlagen der Mathematik finden sorgfältige Berücksichtigung

beschichte der Mathematik. I. Teil: Von den ältesten Zelten bis Carteslne. Von Professor Dr. S. Günther ln München. Mit 56 Figuren. VIII, 428 Seiten. Neudruck 1927. (Samml. Schubert Bd. 18) . Geb. RM. 17.40 II. Teil: Von Cartesius bis zur Wende des 18. Jahrhunderts. Von Prof. Dr. Heinrich Wieleitner. 1. Hälfte: Arithmetik, Algebra, Analysis. Mit 6 Figuren. VIII, 251 Seiten. 1911. (Samml. Schubert Bd. 68.) Geb. RM. 8.40. 2. Hälfte: Geometrie und Trigonometrie. Mit 13 Figuren. VI, 220 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd.64) .... Geb. RM. 3.50

beschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung. Von

Professor Dr. Johannes Tropfke, Oberstudiendirektor i. R., Berlin. Lexikon-Oktav.

Band 1 : Rechnen. VII, 222 Selten. 3. Aufl., 1930.

RM. 12.—, geb. RM. 13.20

Band 2: Allgemeine Arithmetik. IV, 266 Selten. 8. Aufl., 1933.

RM. 12.—, geb. RM. 13.20 Band 3: Proportionen, Gleichungen. IV, 239 Seiten. 3., verbesserte u.

vermehrte Aufl., 1937 ......RM. 10.—, geh RM. 11.—

Band 4: Ebene Geometrie. 3., verbesserte und vermehrteAuflage, besorgt von Dr. Kurt Vogel. IV, 316 Seiten. 1940.

RM. 12.— geb. RM. 13.— Band 5: I. Ebene Trigonometrie. II. Sphärlk und Bphärische Trigonometrie. IV, 185 Seiten. 2. Aufl., 1923. RM. 7.50, geb. RM. 8.50 Band 6: Analysis, Analytische Geometrie. IV, 169 Seiten. 2. Aufl., 1924.

RM. 7.—, geb. RM. 8.—

Band 7. Stereometrie. Verzeichnisse. V, 128 Seiten. 2. Aufl., 1924.

RM. 6.50, geb. RM. 7.50

. . RM. 0.80

Mathematische Forschung In den letzten 20 Jahren. Rede, gehalten am 31. Januar 1921 vor der Mathematischen Gesellschaft Benares von deren Vorsitzendem Ganesh Prasad. Aus dem Englischen übersetzt von Dr. Friedrich Lange. Groß-Oktav. 37 Selten. 1923 .... RM. 0.80 Dasselbein englischer Sprache. 1923 . . .

Nsus Rechentafeln. Für Multiplikation und Division mit allen ein- bis vierstelligen Zahlen. Herausgegeben von Professor Dr. J. Peters. Observator am Astronomischen Recheninstitut. Folio-Format. VI, 500 Seiten.

1909    ......................Geb. RM 20.—

Geb. je RM. 20.—

Diese Rechentafeln von Peters sind ebenfalls In französischer wie englischer Ausgabe zu haben

Geb. RM. 22 —

Dr. A. L. Crelles Rechentafeln, welche alles Multiplizieren und Dividieren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei größeren Zahlen aber die Rechnung erleichtern und sicherer machen. Neue Ausgabe. Besorgt von O. Seeliger. Mit Tafeln der Quadrat- und Kubikzahlen von 1—1000. VII, 501 Seiten. Folio. 1938.

Geb. je RM 22.—

Diese Rechentafeln von Crelle liegen auch in englischer und französischer Ausgabe vor.

Rechen-Resultate. Tabellen zum Ablesen der Resultate von Multiplikationen und Divisionen bis 100 x 1000 = 100 000 in Bruchteilen und ganzen Zahlen sowie für Rechnen mit Zahlen jeder Größe, Radizieren (Wurzel-suchen) nach vereinfachtem Verfahren. Von F. Triebei, Technischem Oberinspektor der Reichsdruckerei i. R. Sechste Auflage, 21.—25. Tausend. Mit Seitenregistern. 290 Seiten. (Verlag von M. Krayn, Berlin).

Geb. RM. 18.—

Fünfstellig« Logarithmentafeln der trigonometrischen Funktionen für jede Zeltsekunde des Quadranten. Herausgegeben von Prof. Dr. J. Peters, Observator am Astronomischen Recheninstitut. Lexikon-Oktav. IV, 82 Selten. 1912.................Geb. RM. 7.—

Vollständige logarlthmische und trigonometrische Tafeln. Von Professor Dr. E. F. August. Neunundvierzigste Auflage in der Bearbeitung von Professor Dr. F. August. Oktav. VII, 204 Seiten. 1931 Geb. B.M. 2.—

. . Geb. RM. 1.50

Vierstellige Logarithmentafeln. Von Professor Dr. Max Zacharias und Dr. Paul Meth. Groß-Oktav. 43 Selten. 1927 . .

Logarithmische Rechentafeln. Laboratoriums-Taschenbuch für Chemiker, Pharmazeuten, Mediziner und Physiker. Gegründet von Professor Dr. F. W. Küster f. Neubearbeitet von Dr. A. Thiel, о. ö. Professor der physikalischen Chemie, Direktor des Physik.-Chem. Instituts der Universität Marburg. Sechsundvierzigste bis fünfzigste Auflage. Oktav. 278 Seiten.

1940

Geb. RM. 7.80

Fünfstellige Tafeln der Kreis- und Hyperbelfunktionen sowie der Funktionen

«x und e—* mit den natürlichen Zahlen als Argument. Von Dr.-Ing. Keiichi Hayashl, Professor an der Kaiserlichen Kyushu-Universität Fukuoka-Hakosakl, Japan. Oktav. IV, 182 Seiten. Neudruck 1941.

RM. 9.—

Mathematische Mußestunden. Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur. Von Prof. Dr. Hermann Schubert, neubearbeitet von Professor Dr. F. Fitting, München-Gladbach. 8. u. 9. Auflage. Oktav. 260 Seiten. 1941.

Geb. RM. 4.80

. . Geb. RM. 15.—

Lehrbuch der Mathematik zum Selbstunterricht und für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik. Eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie. Von Professor Dr. Georg Scheffers. Mit 438 Fig. Neunte Aufl. Lex.-Okt. VIII, 743 Seiten. 1941 ... .

Lehrbuch der höheren Mathematik für Universitäten und Technische Hochschulen, bearbeitet nach den Vorlesungen von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Prof, an der Technischen Hochschule zu Dresden, o. Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 8 Bände. 1933.

Jeder Band ist einzeln käuflich.........Geb. je RM. 3.80

I. Vektorrechnung und analytische Geometrie.

II. Hauptpunkte der analytischen Geometrie des Raumes. — Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung.

III. Fortsetzung der Differential- und Integralrechnung. — Differentialgleichungen. Differentialgeometrie. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. — Probleme der Variationsrechnung.

Grundbegriffe und Hauptsätze der höheren Mathematik, insbesondere für Ingenieure und Naturforscher. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Professor an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 40 Figuren.

Groß-Oktav. 156 Seiten. 1938

Einführung In die Axiomatik der Algebra. Von Dr. H. Beck, o. Professor an der Universität Bonn. X, 197 Seiten. 1926. (Göschens Lehrbücherei Bd. 6)    . .

Algebra I : Die Grundlagen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 301 Seiten. 1932. (Göschens Lehrbücherei Bd. 8) Geb. RM. 11.50

Algebra II: Theorie der algebraischen Gleichungen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 5 Figuren. VIII, 261 S. 1933. (Göschens Lehrbücherei Bd. 9)

Geb RM. 9.50

Geb. RM. 5 —

. . RM. 9.— geb. RM. 10.50

Einführung In die Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Professor an der Technischen Hochschule in Dresden. Dritte, verbesserte Auflage. Groß-Oktav. IV, 304 Seiten. 1941......RM. 14.

geb. RM. 15.50

Grundlehren der neueren Zahlentheorie. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Dritte, neu durchgesehene Auflage. Herausgegeben von Dr. Robert Haußner, ord. Professor an der Universität Jena. Mit 10 Figuren. XVI, 252 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 3) RM. 9.50, geb. RM. 10.50

. . RM. 10.

geb. RM. 12.—

Synthetische Zahlentheorie. Von Dr. Rudolf Fueter, o. Professor an der Universität Zürich. Zweite, verbesserte Auflage. VIII, 276 Seiten. 1925. (Göschens Lehrbücherei Bd. 4) . . .

Das Fermatproblem In seiner bisherigen Entwicklung. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Oktav. VIII, 160 Seiten. 1919 .... RM. 2.50

. . . Geb. RM. 9.80

Irrationalzahlen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, durchges. Aufl. VIII, 199 Seiten. 1939. (Göschens Lehrbücherei Bd. 1) . . .

Komplex-Symbolik, eine Einführung In die analytische Geometrie mehrdimensionaler Räume. Von Prof. Dr. Roland Weitzenböck. (Sammlung Schubert Band LVII.) Gr. 8°. VI, 191 S. 1908. Geb. RM. 6.40

Allgemeine Formen- und Invariantentheorie. Von Prof. Dr. W. Franz Meyer. I. Band : Binäre Formen. (Sammlung Schubert Band XXXIII.) Gr. 8°.

VIII, 376 S. 1909 . .

. . Geb. RM. 11.70

. . Geb. RM. 9.50

Reihenentwicklungen In der mathematischen Physik. Von Dr. Josef Lense, o. ö. Professor der Technischen Hochschule München. Mit 30 Abbildungen. 178 Seiten. 1933. . .

Lehrbuch der Differentialgleichungen. Von Professor Dr. Heinrich Liebmann. Mit zahlreichen Figuren. VI, 226 Seiten. 1901 . . . RM. 6.—

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, em. o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Dritte Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 195 Seiten. 3937. (Göschens Lehrbücherei Bd. 10). Geb. RM. 10.50

Partielle Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, em. o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, umgearbeitete Auflage. Mit 8 Figuren. VIII, 228 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 14)

RM. 11.

geb. RM. 12.—

GrundzQge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten. Von Dr. H. Dölp. Neu bearbeitet von Dr. Eugen Netto. 19. Auflage. Oktav. 214 Seiten. 1940. (Verlag von Alfred Töpelmann, Berlin W 35.).......................RM. 1.95

Integralgleichungen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Professor an der Technischen Hochschule Dresden. Mit 11 Figuren. Groß-Oktav. 302 Selten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 18)    . . RM. 15.—, geb. RM. 16.50

Differential- und Integralrechnung. Unter besonderer Berücksichtigung neuerer Ergebnisse. Von Dr. Otto Haupt, Professor an der Universität Erlangen. Unter Mitarbeit von Dr. Georg Aumann, Professor an der Universität Frankfurt (Main). Groß-Oktav. 1938.

1. Band: Einführung in die reelle Analysis. Mit 2 Figuren. 196 Seiten.

2.    Band: Differentialrechnung. 168 Seiten . .

3.    Band: Integralrechnung. 183 Seiten . . . . ,

(Göschens Lehrbücherei Band 24, 25, 26.)

Geb. RM. 11.20 Geb. RM. 9.80

Geb. RM. 10.60

Funktionentheoretisch« Vorlesungen. Von Heinrich Burkhardt. Neu herausgegeben von Dr. Georg Faber, о. Professor an der Technischen Hochschule ln München.

. . RM. 6.—, geb. RM. 7.20

I. Band 1. Heft. Dritte, amgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. X, 182 Seiten. 1920 . .

. . . RM. 9.—, geb. RM. 10.50

I. Band 2. Heft. Fünfte, umgearbeitete Auflage. Groß-Oktay. X, 286 Seiten. 1921 . . .

II. Band. Dritte, vollständig umgearbeitete Auflage. Groß-Oktay. VI, 444 Seiten. 1920 ............RM. 14.—, geb. RM. 15.50

. . . RM. 13.—, geb. RM. 14.50

Elliptische Funktionen. Von Dr. R. König, o. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. M. Krafft, а. о. Professor an der Universität Marburg I. H. Mit 4 Figuren. 263 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 11)

Elliptische Funktionen. Von Dr. Karl Boehm, Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe.

I. Teil: Theorie der elliptischen Funktionen aus analytischen Ausdrücken entwickelt. Mit 11 Figuren. Oktav. XII, 356 Seiten, Neudruck 1930. (Samml. Schubert Bd. 30) . . Geb. RM. 20.—

II. Teil: Theorie der elliptischen Integrale. Umkehrproblem. Mit 28 Figuren. Oktav. VII, 180 Seiten. 1910. (Samml. Schubert Bd. 61)

Geb. RM. 7.80

. . RM. 3.50, geb. RM. 4.—

Einführung In die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen. Von Heinrich W. E. Jung, o. ö. Professor an der Universität Halle-Wittenberg. Mit 35 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VI, 246 Seiten. 1923 . .

Elemente der Stereometrie. Von Gustav Holzmüller. 4 Teile. Oktav.

. . RM. 6.

geb. RM. 6.60

1.    Teil. Die Lehrsätze und Konstruktionen. Mit 282 Fig. X, 383 Seiten. 1900 . .

2.    Teil. Die Berechnung einfach gestalteter Körper. Mit 156 Fig. und zahlr. Übungsbeispielen. XV, 477 S. 1900. RM. 10.—, geb. RM. 10.80

8. Teil. Die Untersuchung und Konstruktion schwieriger Raumgebilde. Guldinsche Drehungskörper und Drehungsflächen mit ihren Verallgemeinerungen. Schraubenflächen, Röhrenflächen und ihre Verallgemeinerungen nebst ihren Inversionsverwandten. Krümmungslinien und isothermische Kurvenscharen auf diesen Flächen. Konforme Abbild. Mit 126 Fig. XII, 333 Seiten. 1902    .... RM. 9.—. geb. RM. 9.80

4. Teil. Fortsetzung der schwierigeren Untersuchungen. Berechnung und stereometrische Darstellung von statischen, Trägheits- und Zentrifugal-Momenten homogener Raumgebilde. Simpsonsche Regel, verallgemeinerte Schichtenformel, gewisse Zuordnungen und konforme Abbildungen im Dienste solcher Bestimmungen. Nachtrag über das Katenoid, seine Krümmungsverhältnisse und sphärische Abbildung und über seinen Zusammenhang mit der Gaußchen Pseudosphäre und der Minimal-Schraubenregelfläche. Mit 89 Fig. XI, 311 S. 1902. RM. 9.—, geb. RM. 9.80

. . . RM. 6.50, geb. RM. 7.80

Grundlagen der Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Herausgegeben von Dr. W. Schwan. Mit 77 Figuren. 143 Seiten. 1930. (Göscheni Lehrbücherei Bd. 17) . .

Grundzflge der ebenen Geometrie. Von Professor Dr. F. Bohnert ln Hamburg. Mit 220 Figuren. VIII, 223 Seiten. 1915. (Samml. Schubert Bd. 2)

Geb. RM. 3.90

Einführung In die analytische Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard

Kowalewski. Mit 112 Figuren. Dritte, unveränderte Auflage. Lexikon-

Oktav. VIII, 360 Seiten. 1929

Geb. RM. 11.20

Elementargeometrie der Ebene und des Raumes. Von Professor Dr. Max Zacharias, Studienrat in Berlin. Mit 196 Figuren im Text. 252 Selten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 16) . . . RM. 13.—, geh. RM. 14.50

Analytische Geometrie auf der Kugel. Von Dr. Richard Heger, Professor an der Technischen Hochschule in Dresden. Mit 4 Figuren. (Sammlung Schubert Bd. LIV.) Gr.-Oktav. VII, 152 S. 1908 . . . Geb. RM. 5.20

Punkt- und Vektor-Rechnung. Von Dr. Alfred Lotze, Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule Stuttgart. Mit 7 Figuren. 192 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 13) . . . RM. 12.—, geb. RM. 13.—

Kreis und Kugel. Von Dr. Wilhelm Blaschke, o. Prof. a. d. Univ. Hamburg. Mit 27 Fig. im Text. Groß-Oktav. X, 169 S. 1916. RM. 4.40, geb. RM. 5.50

Nichteuklidische Geometrie. Von Professor Dr. Heinrich Liebmann. Dritte, neubearbeitete Auflage. Mit 40 Fig. 150 S. 1923. RM. 6,—, geb. RM. 7.—

Liniengeometrie mit Anwendungen. Von Professor Dr. Konrad Zindler In Innsbruck. I. Teil. Mit 87 Figuren. Neudruck. VIII, 380 Seiten. 1928.

(Samml. Schubert Bd. 34)

Geb. RM. 18.—

II. Teil. Mit 24 Figuren. VII, 252 Seiten. 1906. (Samml. Schubert Bd. 51)

Geb. RM. Э.50

. . Geb. RM. 9.—

Projektive Liniengeometrie. Von Dr. Robert Sauer, Prof, an der Technischen Hochschule Aachen. Mit 36 Abbild. Groß-Oktav. 194 Seiten. 1937. (Göschens Lehrbücherei Bd. 23) . . .

Geometrische Transformationen. Von Dr. Karl Doehlemann, weil. Professor an der Technischen Hochschule München. Zweite Auflage, herausgegeben von Dr. Wilhelm Olbrich, Professor an der Hochschule für Bodenkultur in Wien. Mit 89 Figuren im Text und 4 Abbildungen. 254 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 15) RM. 13.—, geb. RM. 14.50

. . Geb. RM. 10.—

Vorlesungen Ober allgemeine natürliche Geometrie und Llesche Transformationsgruppen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. ö. Professor an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 16 Figuren. Groß-Oktav 280 S. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 19) . . . RM. 15.50, geb. RM. 17.— Affine Differentialgeometrie. Von Dr. Erich Salkowski, o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin. Groß-Oktav. Mit 23 Figuren. 200 Seiten. 1934. (Göschens Lehrbücherei Bd. 22) ... .

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie. Von

Professor Dr. Georg Scheffers. I. Mit 107 Figuren. Dritte, verbesserte

Auflage. XII, 482 Seiten. 1923    ......RM. 13.—, geb. RM. 14.50

II. Mit 110 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. XI, 582 Seiten. 1922.

RM. 15.—, geb. RM. 16.50 Theorie der Raumkurven und krummen Flächen. Von Oberstudiendirektor Prof. Dr. V. Kommerell in Tübingen und Prof. Dr. К. Kommereil in Tübingen. I: Krümmung der Raumkurven und Flächen. Vierte Auflage. Mit 38 Figuren. 205 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 20)

Geb. RM. 10.—

II: Kurven auf Flächen. Spezielle Flächen. Theorie der Strahlensysteme. Vierte Auflage. Mit 22 Figuren. 194 Seiten. 1931. Geb. RM. 10.— Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von Dr. Karl Rohn, Geh. Rat, weiland Professor an der Universität Leipzig, und Dr. Erwin Papperitz, Geh. Rat, Professor an der Bergakademie in Freiberg i. Sa. Drei Bände. Groß-Oktav. I. Orthogonalprojektion. Vielflache, Perspektivität ebener Figuren, Kurven, Zylinder, Kugel, Kegel, Rotations- und Schrauben-flächen. Vierte, erweiterte Auflage. XX, 502 Selten. Mit 351 Figuren. Neudruck 1932..................Geb. RM 18.90

. . .Geb. RM. 12.—

Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von Dr. Karl Rohn, Geh. Rat, weiland Professor an der Universität Leipzig, und Dr. Erwin Papperitz, Geh. Rat, Professor an der Bergakademie in Freiberg i. Sa. Drei Bände. Groß-Oktav.

II.    Axonometrie, Perspektive, Beleuchtung. Vierte, umgearbeitete Auflage. VI. 194 Seiten. Mit 118 Figuren. Neudruck. 1932. Geb. RM. 8.56

III.    Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, Regel-, abwickelbare und andere Flächen. Flächenkrümmung. Vierte, unveränderte Auflage. X, 334 Seiten. Mit 157 Figuren. 1923 . .

Darstellende Geometrie. Von Theodor Schmid, о. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien. I. Teil: Eckige Körper, Kugel, Zylinder, Kegel, Plankurven und Raumkurven mit den zugehörigen Torsen Im Normalrißverfahren und in orthogonaler Axonometrie. Dritte Auflage. Mit 170 Figuren. 283 S. 1922. (Samml. Schubert Bd. 65) Geb. RM. 6.— II. Teil : Schiefe und zentrale Projektion. Dreh-, P*,ohr-, Schrauben- und Regelflächen. Geländedarstellung, Kartenprojektion, Nomographie. Zweite Auflage. Mit 163Fig. 340S. 1923.(Samml. Schubert Bd.66) Geb.RM. 7.50

Die Lehre von der Zentralprojektion im vierdimensionalen Raume. Von Dr. H. de Vries, Professor an der Universität zu Amsterdam. Mit 25 Figuren. Lex.-8e 178 S. 1905 .................RM. 3.—

Angewandte Potentialtheorie in elementarer Behandlung, i. Bd. Von Professor E. Grimsehl. Mit 74 Fig. [Sammlung Schubert Bd. XXXVIII.] Gr. 8* VII, 219 S. 1905 ...............Geb. RM 7.40

Methoden der praktischen Analysis. Von Professor Dr. Fr. A. Willers.

Mit 132 Figuren. 344 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 12)

geb. RM. 21.50

RM. 20.

Wahrscheinlichkeitsrechnung für Nichtmathematiker. Von Dr. Karl Dörge, o. Professor an der Universität Köln, unter Mitwirkung von Hans Klein.

Groß-Oktav. 113 Seiten. 1939 . .

. . . Geb. RM. 6.—

Flugtechnisches Handbuch. Unter Mitarbeit zahlreicher Fachleute herausgegeben von Roland Eisenlohr.

Jeder Band kart. RM. 7.50 Aerodynamik des Fluges. Eine Einführung in die mathematische Tragflächentheorie. Von Professor Dr. Harry Schmidt. Mit 81 Figuren. VII, 258 Seiten. 1929 . . .

4 Bände. I: Aerodynamik und Flugzeugbau. II: Flugzeugführung, Luftverkehr und Segelflug. III: Triebwerk und Sondergebiete des Flugwesens. IV: Flugwetterkunde, Ballone, Luftschiffe.

. . RM. 15.—, geb. RM. 16.50

Photogram metr ie. Von Dr. Richard Finsterwalder, Professor an der Technischen Hochschule Hannover. Mit 103 Abb. u. 17 Tab. 237 S. 1939.

Geb. RM. 14.—

ALLE WISSENSGEBIETE finden Sie vertreten in der Zeitschrift

GEISTIGE ARBEIT

Zeitung aus der wissenschaftlichen Welt

Die „Geistige Arbeit“ will nicht eine „Fachzeitschrift“ sein, sondern einen Querschnitt geben durch das wissenschaftliche und geistige Leben. Zu diesem Zweck bringt die Zeitschrift u. a. regelmäßige Berichte über Leistungen, Fortschritte und Probleme einzelner Gebiete der Wissenschaft, über die historische Entwicklung, den Stand und die Organisation in- und ausländischer Forschung, sie bringt biographische und historische Rückblicke und gibt eine Übersicht über die wichtigsten Neuerscheinungen durch zusammenhängende Besprechungen.

Die „Geistige Arbeit“ kostet jährlich HM. 6.—, vierteljährlich RM. 1.50, monatlich RM.—.50. Besser als alle Worte unterrichtet Sie eine Probenummer über Sinn und Ziele der Zeitschrift. Diese Probenummer stellen wir Ihnen auf Wunsch gern zur Verfügung.

Erwin Lohr

Vektor- und Dyadenrechnung

Für Physiker und Techniker

Oktav. XV, 411 Seiten. Mit 34 Figuren im Text. 1939. Gebunden RM. 18«—

Die Vektor- und Dyadenrechnung ist für den Physiker und Techniker von außerordentlicher Bedeutung. Für diese ist das Buch bestimmt. Es zeigt ihnen, daß und wie sie alle früheren Kenntnisse im Bereiche der Vektor- und Dyadenrechnung verwenden können und wie vorteilhaft das wirkliche Rechnen mit Vektoren, Dyaden und extensiven Gebilden noch höheren Ranges ist. Das Buch vermittelt zunächst eine ausreichende und tragfähige mathematische Grundlage des vorgetragenen Rechenverfahrens und bringt in einem besonderen Teil physikalische und technische Anwendungen aus allen Gebieten der theoretischen Physik. Damit nimmt das Buch in der neuen Sammlung „Arbeitsmethoden der modernen Naturwissenschaften“ einen besonderen Platz ein.

Photogrammetrie

Von Dr.-Ing. Richard Finster walder

a. o. Professor an der Technischen Hochschule Hannover

Mit 103 Abbildungen und 17 Tabellen Groß-Oktav. 237 Seiten. 193 9. Geb. RM. 14.—

Dieses Buch gibt in lehrbuchartiger Form eine Einführung in das Gesamtgebiet der Photogrammetrie: der Erd- und besonders der Luftbildmessung, einschließlich der Entzerrung. Da es namentlich für Studierende der Hoch- und Fachschulen sowie die in der Praxis tätigen Vermessungsingenieure bestimmt ist, stellt es die Arbeitsverfahren und Instrumente sowie ihre geodätischen und topographischen Anwendungen in möglichst einfacher und klarer Form dar. Um für das Verständnis und die praktische Anwendung der neuen photogrammetrischen Methoden eine sichere Grundlage zu geben, wurden die geometrischen und mathematischen Ableitungen mitbehandelt, wobei überall eine leicht faßliche, wenig Vorkenntnisse voraussetzende Form gewählt ist. Das Ziel des Buches ist, den Leser über das in den letzten Jahren rasch entwickelte, mit neuartigen Hilfsmitteln arbeitende Verfahren der Photogrammetrie so zu unterrichten, daß er es zweckmäßig anzuwenden und den kommenden Entwicklungen auf diesem Gebiet, das heute noch nicht als abgeschlossen gelten kann, zu folgen vermag.

Grundlagen und Ergebnisse der

Ultraschallforschung

Von

Dr. phil. Egon Hiedemann

a. o. Professor für Physik an der Universität Köln

Mit 232, z. T. noch unveröffentlichten Abbildungen und einer Farbtafel

IX, 287 Seiten. 1939. Preis RM. 24.—

Ein Buch, nach Inhalt und Anlage von gleicher

Bedeutung für Physiker, Chemiker, Biologen,

Mediziner und Techniker.

99 •

.. Es ist zu begrüßen, daß der Verfasser des vorliegenden Buches nunmehr den Versuch unternommen hat, über eine Berichterstattung hinausgehend eine systematische und kritische Darstellung der Ultraschallforschung sowie ihrer grundlegenden Gedanken vom Standpunkt des Physikers aus zu geben. Es kann wohl gesagt werden, daß dieser Versuch vollkommen gelungen ist. Der Verfasser gibt nicht nur eine kritische Darstellung der Verfahren und Ergebnisse der Ultraschallforschung, sondern führt den Leser auch an die noch offenen Probleme heran. Eine große Zahl guter Abbildungen erleichtert das Verständnis.⁴⁴

Deutsche Bergwerks-Zeitung / Techn. Blätter v. 26.11.1939.

Ein ausführlicher Prospekt steht kostenlos zur Verfügung.

Handbuch der neuzeitlichen Wehrwissenschaften

Herausgegeben im Aufträge der Deutschen Gesellschaft für Wehrpolitik und Wehrwissenschaften und unter Mitarbeit zahlreicher Sachverständiger von HERMANN FRANKE, Generalmajor z. V.

4 Bände. Lexikon-Oktav.

Bisher sind erschienen:

1. Band: Wehrpolitik und Kriegführung. Mit 81 farbigen und schwarzen Tafeln und 147 Skizzen im Text. XIII, 749 Seiten. 1936.

2. Band: Das Heer. XII, 804 Seiten. 1937.

Subskriptionspreis für Band 1 und 2 bei Bezug des Gesamtwerkes gebunden je RM. 32.—, bei Einzelbezug gebunden je RM. 36.—.

3.Band: 1. T e i 1 : Die Kriegsmarine. Mit 27 farbigen und schwarzen Tafeln und 113 Abbildungen bzw. Skizzen im Text. XII, 451 Seiten. 1938.

2. Teil: Die Luftwaffe. Mit 46 farbigen und schwarzen Tafeln und 105 Abbildungen bzw. Skizzen im Text. XII, 451 Seiten. 1938.

Subskriptionspreis für Band 3, 1. und 2. Teil bei Bezug des Gesamtwerkes geb. je RM. 27.—, bei Einzelbezug geb. je RM. 30—.

In Vorbereitung befindet sich:

Band 4 : Wehrwirtschaft und Wehrtechnik.

zu bezeich-

„.. Insgesamt kann man von diesem ausgezeichneten, mit ungewöhnlichem Fleiß und Verständnis aufgebauten Nachschlagewerk, das alle Fragen der Wehrpolitik und Kriegführung beantwortet, nur wünschen, daß es die allerweiteste Verbreitung finden möge. Dankenswerterweise hat der Verlag eine ratenweise Bezahlung zugebilligt, so daß auch der junge Offizier und jeder kriegswissenschaftlich interessierte Leser sich das Werk beschaffen kann. Es ist dabei zu bemerken, daß der Band bei der Fülle des Inhalts, insbesondere in Ansehung der vielen kostspieligen Skizzen, als preiswert nen ist, da das Werk die Beschaffung vieler Bücher erübrigt.“ General d. Inf. Wetzell im Militär-Wochenblatt Nr. 37, 1936.

Das Werk wird durch Ergänzungshefte vor dem Veralten geschützt.

WALTERDE GRUYTER & CO., BERLIN W 85

VI. 41.

Buchdruckerei Otto Regel GmbH., Leipzig

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Ip.

S-96

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