’DZIALY POLITECRNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GfcÖWNA

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R. Schröders

Gewerbebuchhandlung

Breslau I, Altbüsserstr. 32. 1. Schles. Altbücherei.

Die Sammlung

Flus Natur und Geisteswelf

nunmehr über 700 Bändchen umfassend, dient seit ihrem Entstehen (1898) den Gedanken, aus denen die heute sich so mächtig entwickelnde V olks h och-schulbewegu ng beruht. Sie will jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schaffen, sich ohne besondere Vorkenntniffe an sicherster Quelle, wie sie die Darstellung durch berufene Vertreter der Wissenschaft bietet, über jedes Gebiet der Wissenschaft, Kunst und Technik )\i unterrichten. Sie will ihn dabei zugleich unmittelbar imBeruf fördern, den Gesich tskreis erweiternd, dieLin-stcht in die Bedingungen der Berufsarbeit vertiefend.

Sie bietet wirkliche .Einführungen" in die hauptwissensgeblete für den Unterricht oder Selbstunterricht des Laien nach den heutigen methodischen Anforderungen. Diesem Bedürfnis können Skizzen im Eharatter von.Auszügen" aus großen Lehrbüchem nie entsprechen, denn solche sehen eine Vertrautheit mit dem Stoffe schon voraus.

Sie bietet aber auch dem Zachmann eine rasche zuverlässige Übersicht über die sich heute von Tag zu Tag weitenden Gebiete des geistigen Lebens in weitestem Umfang und vermag so vor allem auch dem immer stärker werdenden Bedürfnis des Forschers zu dienen, sich auf den Vachbargebteten auf dem laufenden zu erhalten.

9n den Dienst dieser Aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter Weise von Anfang an die tieften Vamen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden, an ihrem Teil bestrebt, an der .Sozialisierung" unserer Kultur mitzuarbeiten.

So tonnte der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Mehr als die Hälfte der Bändchen liegen, bei jeder Auslage durchaus neu bearbeitet, bereits in 2. bis 7. Auslage vor, insgesamt hat die Sammlung bis jetzt eine Verbreitung von fast S Millionen Exemplaren gesunden.

steswelt" vereinigt.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Alles in allem sind die schmucken, gehaltvollen Bänd« besonders geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen kleinen Bettag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch den billigen preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig Begüterten, sich eine Bücherei zu schaffen, di

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Bisher sind erschienen

zur Technik und mechanischen Industrie:

Geschichte und Grundlagen der Technik.

Am sausenden Webstuhl der Zeit« Übersicht über die Wirkungen der Naturwissenschaft und Technik auf das gesamte Kulturleben. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. W. La un har dt. 3. Null. Mit 3 Abbildungen. (Bd. 23.)

Schöpfungen der Angenieurtechnik der Neuheit. Von Geh. Reg.-Rat M. Gelte!. Mit 32 Abbildungen. (Bd. 26.)

Einführung in die Technik. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. H. Lorenz. Mit77Abb. im Text. (Bd. 729.)

Mechanik.

Mechanik. Von Prof. Dr. G. Hamel. I. Grundbegriffe der Mechanik. Mit 36 Figuren. *II.Mechairlk der festen Körper. *Ill.Mechanik der flüssigen u. luftförmigen Körper, (ÖD.084/60.) Ausgaben aus der technischen Mechanik. Für den Schul- und Selbstunterricht. Von Prof. V. Schmitt. I. Bewegungslehre. Statik. 2. Au fl. Mit Aufgaben, Lösungen und zahlreichen Figuren im Text. II. Dynamik. ,40 Aufgaben u. Lösungen mit zahlreichen Figuren im Text. *111. Festigkeitslehre. (Bd. 557/550.)

Statik. Von Baugewerkschuldirektor Reg.-Baumeister A. Schau. 2. Auflage. Mit ,,2 Figuren. (Bd. 626.)

Festigkeitslehre. Von Baugewerkschuldirektor Reg.-Baumeister A. Schau. 2. Auflage. Mit HO Figuren. (Bd. 620.)

Einführung in die technische Wärmelehre (Thermodynamik). Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2. erweiterte Auflage bearbeitet von Privatdozent Dr. F. S ch m i d t. Mit 40 Abbildungen im Text. (Bd. 5,0.)

praktische Thermodynamik. Aufgaben und Beispiele zur technischen Wärmelehre. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. Mit 40 Abb. im Text u. 3 Tafeln. (Bd. 500.)

Das Perpetuum mobile. Von Dr. Fr. Jchak. Mit 38 Abb. (Bd. 402.)

Bergbau, Hüttenwesen und mechanische Technologie.

Unsere Kohlen. Von Bergasieffor p. Kukuk. 2. verb. Aufl. Mit 40 Abbildungen tm Text und , Tafel. (Bd. 300.)

^Metallurgie. Von Dr.-3ng.V u g e l. I.Leicht- u.Edelmetalle. II.Schwermetalle. (Bd.440/47.) ^Metallbearbeitung. Von 3ng. Dir. O. Stolzenberg. Bd. I: Rohstoffe des Maschinen-baus. Bd. II: Arbeiten des Maschinenbauers. (Bd. 071/72.)

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Das Etsenhüttenwesen. Von Geh. Bergrat Prof. Dr. H. Wedding. 0. Aufl. Bergassessor F.W. Wedding. Mit 22 Abb. (Bd. 20.)

Maschinenelemente. Von Geh. Bergrat Prof. R.V a t e r. 3. Aufl. Mit, 75 Abb. (Bd. 30,.) Hebezeuge. Hilfsmittel zum Heben fester, flüssiger und gasförmiger Körper. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2. Aufl. Mit 07 Abb. im Text. (Bd. ,00.) ^Fördereinrichtungen. Von Oberingenieur O. Sechste in. (Bd. 720.)

Das Holz, seine Bearbeitung u. seine Verwendung. Von Z. Grosimann» 3nspektor der Lehrwerkstätten für Holzbearbeitung in München. Mit 30 Originalabb. im Text. (Bd. 473.) Die Spinnerei. Von Direktor Prof. M. Lehmann. Mit 35 Abbildungen. (Bd.338.) Die Kälte, ihr Wesen, ihre Erzeugung und Verwertung. Von Dr. H. Alt. Mit 45 Abbildungen. (Bd. 3,,.)

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Landwirtschaftliche Maschinenkunde. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. G. Fischer. Mit 04 Abbildungen. 2. Auflage. (Bd. 3,0.)

AVuG 11: Technik u. 3ndustrte. l. 21.

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Mektrotechnik.

Grundlagen der Elektrotechnik. Von Oberkng.A.R ot th. 3. Aufl. Mit7oAbb.(Vd.39i.) Die elektrische Kraftübertragung. Von 3ng.P.KSHn. 2.Aufl. Mt 139Abb. (Bd.424.) Drähte und Kabel, ihre Anfertigung und Anwendung in der Elektrotechnik. Von Ober-postinfp. tz. Blick. 2. Aufl. Mt 43 Abb. (Bd. 265.)    ,

Die Telegraphen- und Fernsprechtechnik in ihrer Entwicklung. Von Oberpost-3nsp. H. v kick. 2. Aull. Mit 65 Abb. (Bd. 235.)

Das Telegraphen- und Zernfprechwefen. 2. Aufl. Von Oberpostrat Otto S i e b l i st. (Bd. 163.)

DieZunkentelegraphie. VonTelegr.-Dir. H. Thurn. 5.Aufl. Mt51 Abb. 03b. 167.)

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Der Lifenbetonbau. Von Dipl.-3ng. E. yaimovict. 2. Aufl. Mt 82 Abbildungen im Text sowie 6 Rechnungsbeispielen. (Bd. 275.)

Veleuchtungswesen. Von 9ng. vr. H. Lux. M. 54 Abb. (Bd. 439.)

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Die Handfeuerwaffen. Ihre Entwicklung und Technik. Von Major R. weiss. Mit 69 Abbildungen. (Bd. 364.)

Unsere Kriegsschiffe. Ihre Entstehung und Verwendung. Von Geh. Marinebaurat a. D. E. Krieger. 2.Aufl. von Marinedaurat Zriebr.Schürer. Mit 62 Abb. (Bd. 369.)

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Wie ein Buch entsteht. Von Professor A. w. Unger. 5. Aufl. Mit Tafeln und Abbildungen im Text. (Bd. 175.)

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Zeichnen.

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Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. V. Prof. vr. K. Dochlemann. 2. verb. Aull. Mt 91 Zig. u. 11 Abb. (Bd. 510.)

Geometrisches Zeichnen. Von akad. Zeichenlehrer A. S chudeiskh. Mit 172 Abb. im Text und auf 12 Tafeln. (Bd. 568.)

^Technisches Zeichnen. Von Reg.- u. Gewerbeschulrat Prof. R. Horftmann. (Bd. 546.) projektionslehre. Die rechtwinkl. Parallelprojektion und ihre Anwendung auf die Darstellung techn. Gebilde nebst Anhang über die schiefwinkl. Parallelprojektion in kurzer leichtfasslicher varstell, f. Selbstunterr. u. Schulgebr. V on akad.Ieichenl. A. Schudeisky. M. 164 Zig. i. Text, (vd.564.) Maße und Messen. Von Dr. w. Block. Mit 34 Abb. (Bd. 365.)

Die mit * bezeichneten und weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.

Nus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

828. Band

Statik

Von '

Regierungsbaumeister N. Schau

Gewerbeschulrat und Direktor der staatl. Baugewerkschule in Essen

Zweite Auflage

Mit J12 Ziguren im Text

Verlag und Druck von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1-21

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Schuhformel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1921 by B. G.Teubner in Leipzig

'Me Aechte, einschließlich des Uberfehungsrechts, vorbehalten

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

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A.    Einleitung.....

I.    Allgemeines......

II.    Die wichtigsten physikalischen Grundgesetze .... 8

a) Dos Gesetz der Trägheit . 8

b)    Das Gesetz der Gegenwirkung 8

III.    Rechnerisches und zeichne

risches Verfahren bei Untersuchung von Baukonstruktionen ........

B.    Zusammensetzung, Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften. . .

I.    Allgemeines......

a)    Die Bestimmungsteile einer Kraft. Einzelkräfte... 9

b)    Mittelkraft und Seitenkräfte

c)    Gleichgewicht der Kräfte . 11

II.    Kräfte, welche in derselben Geraden wirken . .

III.    Kräfte verschiedener Richtung mit gemeinsamem Angriffspunkt ....

a)    Zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt . . 14

b)    Beliebig viele Kräfte mit gemeinsam. Angriffspunkt 18

IV.    Kräfte verschiedener Richtung mit verschiedenen Angriffspunkten ....

a)    Die Kraftrichtungen schneiden sich . . .

b)    Die Kraftrichtungen schnei

den sich nicht (parallele Kräfte).......

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25

V.    Anwendung auf einfache Stabkonftruktionen .... 29

a)    Allgemeines. Knotenpunkte 29

b)    Konsolträger

c)    Vas einfache Hängewerk . 32

d)    Der doppelt armierte Träger ........33

VI.    Das statische Moment der Kräfte. Momentensatz . . 34

a)    Der Begriff des statischen Momentes . .

b)    Bestimmung d. Lage d. Mittelkraft einer Kräftegruppe auf rechnerischem Wege. Anwendung d.Momentensatzes 36

c)    Besondere Fälle .... 39 6) Standsicherheit .... 40

VII.    Die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen .... 42

a)    Rechnerische Bedingungen. 42

b)    Zeichnerische Bedingungen 43 6. Die Anwendung der statischen Gesetze aus die Baukonstruktionen . . 43

I.    Allgemeines über Träger und deren Auflagerung .... 43

II.    Die Bestimmung der Auf

lagerdrücke, des Biegungsmo-mentes und der Vuerkräfte eines Trägers auf zwei Stützen mit einer oder mehreren ClN-zellaften.......

III.    Träger auf zwei Stützen mit gleichmäßiger Belastung . . 57

IV.    Träger auf zwei Stützen mit

Sireckenlasten......

30

. . 34

46

61

Seite

Seite

V.    Träger auf zwei Stützen mit gemischter Belastung ... 61

VI.    Berechnung einfacher Balkenträger unter dem Einflüsse beweglicher Lasten .... 65

1.    Cinflußlinien für unmittelbare Belastung .... 66

a)    (Es wirken Einzellasten . 66

b)    (Es wirkt eine gleichmäßig verteilte Belastung . . 67

2.    Einflußlinien für mittelbare

Belastungen .    .

3.    Die Einflußlinien für die äußeren Rraftwirkungen . 70

a)    Die Einflußlinie des Stüt-zenwiderstandes ... 70

b)    Die Einflußlinie für die

(buerkraft.....

c)    Die Einflußlinie für das

Moment......

4.    Anwendungen.....

VII.    Durchgehende (kontinuierliche) Träger ......

VIII.    Anwendungen auf einfache

Maschinen.......

IX.    Untersuchung von Gewölben und Widerlagern .... 82 1. Allgemeines

. . 69

70

72

74

79

80

82

2.    Unbelastete Gewölbe . . 83

3.    Gewölbe mit Überschüttung . .

4.    Gewölbe mit Überschüttung und Belastung . . 88

5.    Unsymmetrisch belastete

Gewölbe......

6.    Untersuchung von Gewölbepfeilern ......

7.    Untersuchung der Widerlager .......

X.    Die Berechnung größerer

Dachkonslruktionen ... 95

1.    Allgemeines.....

2.    Ermittelung der Spannkräfte und Querschnitte . 96

XI.    Der Erddruck .... 101

1.    Allgemeines.....

2.    Die Ermittelung der Größe des Erddrucks . . . . 102

XII.    Der Wasserdruck ... 105

1.    Wasserdruck bei lotrechter

Rückwand......

2.    Wasserdruck bei geneigter

Rückwand......

3.    Wasserdruck bei gebrochener Rückwand .... 106

4.    Beispiel

. . 87

90

92

94

95

101

105

106

107

A. (Einleitung.

I. Allgemeines.

Überall in der Natur, im täglichen Leben, vor allem aber in sämtlichen Zweigen der Technik begegnen wir Erscheinungen, deren Ursachen unserem Ruge häufig verborgen sind.

So bieten uns 3. B. die Bewegungen der Erde um ihre Rchse, bzw. um die Sonne, wie überhaupt die Bewegungen der Gestirne geheimnisvolle Vorgänge, welche 3. T. überhaupt nicht unmittelbar wahrgenommen werden können, deren Vorhandensein aber aus anderen Erscheinungen geschlossen werden muß. Oft werden Änderungen in der Form oder in der Bewegung eines Gegenstandes beobachtet, ohne daß man bemerkt, welche Ursache dafür vorhanden ist. Die Ursache irgendeiner solchen Änderung oder irgendeiner Erscheinung nennen wir Kraft.

Schon an unseren: eigenen Körper können wir entsprechende Beobachtungen machen. Gehen wir z. B. mit einer Last einen Berg hinan, so beugen wir uns nach vorn, bergab dagegen nach hinten, wir können hieraus Schlüsse ziehen auf die Wirkung der Schwere unseres Körpers und die Notwendigkeit einer anderen Unterstützung seines Schwerpunktes als der, die beim Gehen auf ebener Erde vorhanden ist. heben wir einen schweren Gegenstand, so tun wir dies nicht mit gestrecktem Rrm, sondern wir ziehen den Ärm an. Bei gestrecktem Rune würde ihn die Last leichter herabziehen, d. h. er würde sich um unser Schultergelenk drehen, und zwar um so leichter, je größer die Last ist. Die Ursache dieser Erscheinung ist ein wichtiges statisches Gesetz, welches wir immer wieder anzuwenden haben, nämlich das Gesetz vom statischen Moment, d. h. dem Produkte aus Kraft und Hebelarm, wir erkennen dabei, daß ein Drehbestreben eintritt, welches um so größer ist, je größer die angreifende Kraft und je größer der Hebelarm ist.

Soll — um ein weiteres Beispiel unmittelbar aus der Technik anzuführen — zwischen den beiden Ufern eines Wasserlaufes eine Verbindung hergestellt werden, so genügt im einfachsten Falle hierfür ein Brett. Gehen wir über dieses, so bemerken wir, datz es sich durchbiegt, und zwar am stärksten, wenn wir uns in der Mitte befinden, wir können hieran den Einfluß einer beweglichen Last (in diesem Falle unseres Gewichtes) auf einen Träger auf zwei Endstützen verfolgen, und erkennen weiter, daß bei Einwirkung einer Einzellast unter dieser das Brett am leichtesten brechen würde, daß also hier der gefährdetste (Querschnitt liegt. Bei größerer Breite des Wasserlaufes würde das Brett allein nicht mehr genügen, es müßte daher durch Pfosten (Pfeiler) unterstützt werden, oder, falls dies nicht angängig wäre, durch Anwendung schräger, in den Ufern unterstützter Streben gesichert werden. Im letzteren Falle gelangen wir zur Anwendung einer Sprengwerkskonstruktion. Bei weiterer Verfolgung dieses Gedankens würden wir zu größeren Brückenkonstruktionen kommen.

Bei allen derartigen Bauwerken erkennen wir als Kräfte, welche das Bauwerk beanspruchen und bei ungenügender Konstruktion seine Zerstörung herbeiführen, neben dem Eigengewicht des Bauwerkes die verkehrslast, also das Gewicht von Menschen, Tieren, Fahrzeugen aller Art und dgl., welche sich über die Brücke bewegen.

Doch gibt es auch noch andere Kräfte, wir sehen, wie sich der Baum unter dem winde biegt; wir beobachten, daß er beim Brechen stets in der Nähe der Wurzel knickt, hier liegt also offenbar die gefährlichste Stelle, weshalb auch die Natur den Baum hier am stärksten gestaltet hat. wir können hieraus die Nutzanwendung auf den an einer Seite eingespannten Freiträger ziehen und gleichzeitig darauf schließen, welchen Einfluß die Kraft des Windes auf hochragende Bauwerke, besonders auf Schornsteine, sowie auf steile Dächer, freistehende Mauern und dgl. hat.

Nimmt es da Wunder, wenn der Mensch bei der Beobachtung der Wirkungen der Kräfte in der Natur angespornt wurde, diese Kräfte näher zu studieren und seinen Diensten nutzbar zu machen, oder da, wo sie nachteilige Wirkungen ausüben, sie unschädlich zu machen oder wenigstens ihre üblen Folgen zu beseitigen?

Aus dem bisherigen erhellt die ganz besondere Wichtigkeit des Studiums der Kräfte für die Technik. In deren sämtlichen Zweigen spielen sie eine hervorragende Nolle. Jede technische Konstruktion muß so beschaffen sein, daß sie imstande ist. die Wirkungen der Kräfte, welche sie beanspruchen, sicher aufzunehmen, so daß jede Änderung oder gar eine Zerstörung der Konstruktion ausgeschlossen ist.

Die oberste Bebingimg für die Sicherheit einer technischen Konstruktion ist das Vorhandensein des Gleichgewichtes aller auf die Konstruktion einwirkenden Kräfte, wir nennen die Lehre vom Gleichgewicht der Kt äste Statik. (Eine weitere Lehre bildet die Dynamik, d. h. die Lehre von der Bewegung, auf welche in nachstehendem jedoch nicht eingegangen wird. Statik und Dynamik führen zusammen den Hamen Mechanik.

Der Zweck der Statik ist daher die Untersuchung technischer Konstruktionen, bzw. einzelner ihrer (Teite auf ihre Standsicherheit hin, welche dann gewährleistet ist. wenn Änderungen der Lage, der Gestalt und des Zusammenhanges der ganzen Konstruktion oder ihrer einzelnen Teile ausgeschlossen sind, von ganz besonderer Wichtigkeit ist die Statik für die Konstruktionen des hoch- und (Tiefbaues; für das Gebiet des Maschinenbaus kommen für die ruhenden Teile die gleichen statischen Gesetze in Frage.

Die wichtigsten für die letztgenannten Konstruktionen in Betracht kommenden Kräfte sind die Anziehungskraft der Erde (Schwerkraft), der Druck von Belastungen, welche ein Bauwerk erfährt oder selbst ausübt, der Druck von Erde. Wasser, wind und Schnee. Die Schwerkraft verursacht die Bewegung aller ihrer Unterstützung beraubten Körper nach dem Mittelpunkte der Erde hin. Sie wirkt ständig; aber auch von den anderen genannten Kräften wirken in der Regel mehrere gleichzeitig von außen auf ein Bauwerk ein. Man bezeichnet alle diese Kräfte als äußere oder angreifende Kräfte.

heben sich die äußeren Kräfte in ihren Wirkungen gegenseitig auf, so befindet sich das Bauwerk, auf welches sie einwirken, im Zustande der Ruhe oder des Gleichgewichtes, womit nach obigem seine Standsicherheit gewährleistet ist. Doch ist damit sein dauernder Bestand noch nicht gesichert. Die äußeren Kräfte suchen nämlich eine Verschiebung der einzelnen Massenteilchen des Baukorpers herbeizuführen, welcher die Zusammenhangskraft (Kohäsion) desselben einen gewissen widerstand entgegensetzt. Dadurch werden im Innern des Körpers Kraftwirkungen erzeugt, welche man innere (widerstehende) Kräfte oder Spannungen nennt. Sie dürfen eine gewisse Große nicht überschreiten, wenn der Zusammenhang des Baukörpers und damit seine Dauer gewahrt bleiben soll. Die Ermittelung der inneren Kräfte und die Bestimmung der hiervon abhängigen Größenabmessungen eines Bauwerkes bilden einen besonderen Zweig der

Statik, welcher in einem zweiten, sich diesem anschließenden Bändchen, der Festigkeitslehre, behandelt wird.

II. Die wichtigsten physikalischen Grundgesetze.

a)    Das Gesetz der Trägheit. Sitzt man in einem Eisenbahnzuge, so erhält man bei dessen Anfahren einen Stotz nach rückwärts, beim Anhalten eines fahrenden Zuges dagegen einen Stotz nach vorwärts. Beim Abspringen von einem Straßenbahnwagen muß man, wenn man einen Fall vermeiden will, in der Richtung des fahrenden Wagens abspringen. Man sucht also in jedem Falle diejenige Lage beizubehalten, die man einmal hatte, und zwar im ersten Falle im Zustande der Ruhe, in den beiden anderen Fällen dagegen in dem Zustande der Bewegung zu verharren und wird erst durch die Einwirkung einer äußeren Kraft aus diesen Zuständen in die der Bewegung, bzw. der Ruhe übergeführt. Aus diesen Beispielen läßt sich das wichtige Gesetz der Trägheit oder des Beharrungsvermögens erkennen, welches lautet:

Jeder Körper sucht in dem Zustande der Ruhe oder Bewegung zu verharren, in welchem er sich gerade befindet, solange nicht äußere Kräfte eine Änderung dieses Zustandes herbeiführen.

Eine Kugel müßte z.B. auf ebener Unterlage, einmal in Bewegung versetzt, immer weiter in der eingeschlagenen Richtung rollen, wenn nicht die Reibung auf dieser Unterlage und der Luftwiderstand als äußere Kräfte ihre Bewegung verlangsamen und sie schließlich zum Stillstände bringen würden. — Auch die Bewegungen der Gestirne beruhen auf dem Gesetze der Trägheit.

b)    Das Gesetz der Gegenwirkung. Schlägt man mit einer Hand auf die andere, so spürt man, daß nicht nur die geschlagene Hand einen Druck erhält, sondern auch die schlagende einen gleich großen. Ziehe man eine Last vorwärts, so wird man gleichzeitig mit gleicher Kraft zu der Last hingezogen. Aus diesen Beispielen erkennt man ein weiteres. wichtiges Naturgesetz, das Gesetz der Gegenwirkung. Es lautet:

Die Kräfte treten in der Natur nie einzeln auf, sondern jede Kraft ruft eine Gegenkraft hervor, welche in derselben Geraden wirkt und gleiche Größe, aber entgegengesetzten Wirkungssinn hat.

III. Rechnerisches und zeichnerisches Verfahren bei Untersuchung von vaukonstruktionen.

Die Untersuchung eines Bauwerkes kann auf rechnerischem ober zeichnerischem (graphischem) Wege erfolgen. Das rechnerische Verfahren ist genauer, aber meist umständlicher und daher zeitraubender, das zeichnerische in der Regel einfacher und übersichtlicher, aber etwas weniger genau, ein Nachteil, der jedoch häufig nicht ins Gewicht fällt. Derjenige Zweig der Statik, welcher die zeichnerische Losung von Rufgaben umfaßt, heißt Graphostatik oder graphische Statik.

K. Zusammensetzung, Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften.

I. Allgemeiner.

a) Die Beftimmungsteile einer Kraft. Einzelkräfte. Die Kräfte unterscheidet man in bewegende (angreifende) Kräfte, wenn sie eine Bewegung oder eine Bewegungsänderung eines Körpers hervorrufen, und widerstehende Kräfte (widerstände), wenn sie eine Bewegung verhindern, verringern oder aufheben. Bewegende Kräfte sind demnach u.a. die Schwerkraft, die Spannkraft des Dampfes, der Gase, die elektrische Kraft, die Muskelkraft von Menschen und Tieren, widerstände dagegen die Reibung, der Luftwiderstand, die Festigkeit der Baustoffe, widerstände wirken in der Regel nur solange, als die Bewegung oder die äußere Kraftwirkung, durch die sie hervorgerufen werden, andauert.

Um die Wirkung einer Kraft genau festlegen zu können, müssen folgende vier Bestimmungsteile bekannt sein:

1.    Die Richtung der Kraft, d. h. diejenige Gerade (Wirkungslinie), in welcher die Kraft wirkt und in der der Körper durch sie fortbewegt würde.

2.    Der Rngriffspunkt der Kraft, d. h. derjenige Punkt der Wirkungslinie, in welchem die Kraft von außen her auf den Körper trifft (Kenntlichmachung durch kleinen Kreis). In ihm kann man die Kraft wirkend annehmen. Der Angriffspunkt kann in der Richtung der Kraft beliebig verschoben werden, ohne daß die Wirkung der

Kraft geändert würde. So ist z. B. die Dampfkraft einer Lokomotive am Zuge dieselbe, gleichviel ob sie den Zug zieht oder schiebt.

3.    Oer Sinn der Kraft, d. h. die Angabe, ob die Kraft in dem gleichen Abschnitt der Wirkungzlinie von dem Angriffspunkt weg oder auf ihn zu gerichtet ist. Beim zeichnerischen Verfahren erfolgt diese Angabe durch einen Pfeil auf der Wirkungslinie, beim rechnerischen durch das Vorzeichen + oder —.

4.    Die Größe der Kraft. Die Wirkung jeder Kraft kann durch ein Gewicht dargestellt werden. Als Krafteinheit zur Bestimmung der Größe einer Kraft dient dementsprechend auch die Gewichtseinheit, also das Kilogramm (kg). Bei sehr großen Kräften, wie sie namentlich im Gebiete des Tiefbaues vorkommen, wählt man als Krafteinheit die Tonne (t — 1000 kg.)

Zeichnerisch wird eine Kraft durch eine Strecke dargestellt, hat man mehrere Kräfte darzustellen, so sind die sie darstellenden Strecken der Größe der Kräfte proportional. Zur Messung dient ein Kräftemaß-stab z. B. 1 cm = 100 kg, 1 cm ----- 5 t.

Tine Strecke von 5 cm würde darnach bei Wahl eines Kräftemaßstabes von 1 cm ----- 1000 kg eine Kraft von 5000 kg darstellen.

welchen Maßstab man wählt, ist an sich gleichgültig, doch empfiehlt es sich, bei kleinen Kräften eine große Längeneinheit, bei großen Kräften eine kleine Längeneinheit für die Kräfte zugrunde zu legen.

Voraussetzung für alle in folgendem vorkommenden Untersuchungen ist, daß die auftretenden Kräfte nicht im Raume, sondern in einer Ebene wirken, welche mit der Zeichenebene zusammenfällt.

b) Mittelkraft und Seitenkräfte. Ein wagen kann durch zwei Pferde fortbewegt werden, gegebenfalls genügt aber auch ein Pferd, welches natürlich eine ebenso große Kraft aufwenden müßte, wie die beiden Pferde zusammen, was für die hier auftretenden Zugkräfte der Pferde gilt, hat auch für alle anderen Kräfte Geltung.

wirken also auf einen Körper mehrere Kräfte ein, so können diese durch eine einzige Kraft von gleicher Wirkung ersetzt werden. Man nennt diese Ersatzkrast die Mittelkraft, Resultierende oder Resultante; die Einzelkräfte, welche durch die Mittelkraft ersetzt werden, nennt man Seitenkräfte oder Komponenten. Die Mittelkraft hat also die gleiche statische Wirkung wie die Gruppe der Einzelkräfte. Die Bestimmung der Mittelkraft mit Hilfe der Einzelkräfte nennt man die Zusammensetzung von Kräften. Umgekehrt wird aber auch oft die Rufgabe gestellt, aus einer gegebenen Kraft als Mittelkraft die Zeitenkräfte zu bestimmen, welche dieselbe Wirkung wie die Mittelkraft hervorrufen. Die Lösung einer solchen Aufgabe nennt man Zerlegung der Kräfte.

c) Gleichgewicht der Kräfte, heben sich alle auf einen Körper wirkenden Kräften in ihren Wirkungen gegenseitig auf, so befindet sich der Körper im Zustande des Gleichgewichtes. Die Mittelkraft hat dann natürlich den wert Null, da bei jedem anderen werte eine Bewegung des Körpers eintreten müßte.

11. Kräfte, welche in derselben Geraden wirken.

TtX

____J?___j

d Jr 1cm

Zig. 1.

wirken zwei Kräfte gleichen Sinnes in derselben Geraden, so ist ihre Mittelkraft gleich ihrer Summe. Bet der zeichnerischen Darstellung reiht man die beiden Kraftftrecken in ihrem Sinne aneinander an, so daß der Endpunkt der einen Kraft der Anfangspunkt der zweiten wird. Die Neihenfolge ist da- — bei beliebig. Die Mittelkraft R ist dann durch    i—

die Strecke vom Anfangspunkts der ersten bis zum J—

Endpunkt E der zweiten Kraft gegeben ($ig. i).

Beispiel. $ür die gegebenen Kräfte P₁ = 30 kg und P₂ ----- 20 kg, welche gleiche Richtung und gleichen Sinn haben, wird die Mittelkraft R = Px + P₂ = 30 + 20 = 50 kg. Im Kräftemaßstab 1 cm = 20 kg, ist Px = 1,5 cm und in ihrem Endpunkte P₂ = t,0cm aufzutragen. Dann wird die Strecke ^ P = 2.5 cm = 2,5 • 20=*50kg=P ($ig. 1).

Anwendung. Bei einer Zweifachexpansionsmaschine (Tandemmaschine) wirkte auf den Kolben des Hochdruckzylinders H eine Kraft P, = 4600 kg, auf den Niederdruckkolben N eine Kraft P₂ = 2500 kg (Zig. 2). Die gesamte Antriebskraft (Mittelkraft) ist R—P₁ + P₂ = 4600 + 2500=7100 kg.

wirkt nun eine beliebige Anzahl von Kräften gleichen Sinnes in derselben Geraden, so kann man zunächst zwei derselben in der eben geschilderten weise zu ihrer Mittelkraft R zusammensetzen, diese Mittelkraft mit der nächsten Einzelkraft zu einer neuen Mittelkraft R₂ und

T'-

X.

Zig. 2.

so fort, bis man schließlich als Mittelkraft sämtlicher Einzelkräfte die Summe aller Einzelkräfte erhält. Die zeichnerische Lösung erhält man, indem man jedesmal den Endpunkt einer Kraft zum Anfangspunkt der nächsten macht. Kls Mittelkraft ergibt sich dann die Gesamtstrecke vom Anfangspunkt A der ersten bis zum Endpunkt E der letzten Kraft.

,, ,,    . Beispiel. (Begehen die Kräfte P. =20kg,

■JT+pi 0 T o V^=10kg, Ps = 15kg, P₄ = 25kg. (Es

A......\S i. ? !-L—¹ wird R = P, + Pä + Ps + P₄ = 20 + 10

_____________|    + 15 + 25 = 70 kg. Fig.3 zeigt die zeichne-

rische Lösung für den Kräftemajjftab I cm 5(g. z,    — 20 kg Die Strecke AE, welche sich aus den

Linzelstrecken Pt = l.O cm, P„ — 0,5 cm, P₃ — 0,75cm, P3----1,25cm zusammensetzt, mißt 5,5 cm, also ist R — 3,5• 20 = 70 kg.

Aus diesen Beispielen folgtderLehrsatz:DieMittelkraftbeliebig vieler Kräfte, welche in derselben Geraden wirken und gleichen Sinn haben, ist gleich der Summe der Kräfte.

Wirkt an einem Körper eine Zugkraft Pt = + 50 kg und im Angriffspunkt derselben noch eine zweite Zugkraft P₂ = — 20 kg, welche also zwar in derselben Geraden wirkt, aber entgegengesetzten Sinn hat, so leuchtet ohne weiteres ein, daß eine Bewegung des Körpers wohl in der Richtung der größeren Kraft erfolgt, aber nur so, als ob eine Kraft von 30 kg wirken würde, da offenbar ein Teil in höhe von 20 kg durch die kleinere Zugkraft aufgehoben wird. Die Mittelkraft R ergibt sich also als Unterschied der beiden Kräfte P, und P2 und es wird R = + Px — P₂ == + 50 — 20 = + 30 kg. Das Vorzeichen + gibt hier an, daß die Kraftrichtung der Mittelkraft mit

^derjenigen der größeren Kraft 1 zusammenfällt.

u/f/d Jdr

Sig.«.

1 Bei der zeichnerischen Lösung (Fig. 4) trägt man die beiden Kräfte wieder so auf, daß der Anfangspunkt der einen mit dem Endpunkt der andernzusammen-fällt, doch hat man den Sinn der beiden Kräfte genau zu beachten. Für den Kräftematzstab 1 an — 10 kg mißt man dann R — 3,0 cm ----- 3,0 - 10 ----- 30 kg.

Lehrsatz. Die Mittelkraft zweier, in derselben Geraden wirkender Kräfte entgegengesetzten Sinnes ist gleich der Differenz der beiden Kräfte.

Ist Pj = P₂, so ist ihre IHittelfraft offenbar gleich Null und es herrscht Gleichgewicht.

13

r-w

5PTT

jM. cs. JPr

$iQ. 5.

wirken beliebig viele Kräfte entgegengesetzten Sinnes in derselben Geraden, so heben sich ihre Wirkungen teilweise oder ganz auf. Ihre Mittelkraft ist gleich der algebraischen Summe aller dieser Kräfte, wobei man ± alle nad) der einen J( T Seite wirkenden Kräfte mit +, die nach der anderen Seite wirkenden mit — bezeichnet.

Beispiel. Gegeben Pt = + 20 kg, P₂ = + 30 kg, P₃ = + 10 kg, Pt = —15 kg, P₅ = — 20 kg. (Es wird R = + P₁ + P₂ + P₃

-    P₄ - P₅ = + 20 + 30 + 10 - 15 - 20 = + 25 kg. Die zeichnerische Losung zeigt Kg. 5. Sie braucht nach den bisherigen Erläuterungen wohl nicht näher erklärt zu werden.

Anwendung. Huf der Deckelseite eines Dampfkolbens wurde durch den Dampfdruck eine Kraft Px — 3400 kg, auf der Kurbelseite eine Kraft P₂

—    900 kg erzeugt (Zig. 6). Die den Kolben treibende INittelkraft R = P₁ — P₂= 3400 — 900 = 2500 kg.

Zerlegung. Soll eine Kraft in zwei Seitenkräfte zerlegt werden, welche in derselben wirkungsgeraden liegen, so find offenbar unendlich viele Lösungen möglich. Eine bestimmte Lösung ist nur dann vorhanden, wenn die eine der beiden Seitenkräfte gegeben ist. — Soll eine Kraft in n Seitenkräfte zerlegt werden, so müssen n — 1 Seitenkräfte nach Größe und Sinn gegeben fein.

•f

's

\x

Tl

Sig.6

Gleichge- ^ wicht. Rus dem vorhergehenden A_ ergibt sich für den Zustand des Ir Gleichgewichtes:

Zwei auf einen

Körper wirkende Kräfte befinden sich im Gleichgewicht, wenn sie in derselben Geraden wirken, gleiche Größe und entgegengesetzten Sinn haben.

Beliebig viele auf einen Körper in einer Geraden wirkende Kräfte verschiedenen Sinnes sind im Gleichgewicht, wenn ihre algebraische Summe (und damit ihre INittelkraft) gleich Null ist.

III. Kräfte verschiedener Richtung mit gemeinsamem Angriffspunkt.

a) Zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt, i. Zusam-mensetzung. Hubert man von einem Punkte bes Ufers quer über

-• einen Fluß, so gelangt man nicht an ' einem rechtwinklig gegenüberliegen5 ben Punkte an bas anbere Ufer, son-bern weiter flußabwärts, weil man burch bie Kraft ber Strömung aus ber bireften Richtung abgetrieben wirb. - will man aber in letzterer an bas anbere Ufer gelangen, so muß man

J&USS

5ig. 7.

mit entfprechenber größerer Kraft gegen bie Strömung, also flußauf rubern. In beiben Fällen wirb bas Boot eine Richtung einschlagen, welche mit ber Diagonale bes aus ben beiben Bewegungsrichtungen konstruierten Parallelogrammes zusammenfällt (Fig. 7). hieraus kann man unmittelbar bie Nutzanwenbung auf bie (Ermittelung ber Mittelkraft zweier Kräfte verschobener Richtung mit gemeinsamem Angriffspunkt ziehen. (Es ist nämlich:

Die Mittelkraft zweier burch einen Punkt gehenber Kr äste nach Richtung, Große unb Sinn gleich ber vom Angriffspunkt ausgehenben Diagonale besjenigen Parallelogrammes, welches man aus ben gegeb nen Kräften als Seiten

jf

c

5ig. 8.

Sig. 9.

bilden kann. Der gegebene Punkt ist der Angriffspunkt der Itlittelfraft, das Parallelogramm heißt Parallelogramm der Kräfte (Fig. 8).

Ist der Sinn der Kräfte nicht von vornherein vom Angriffspunkt weggerichtet, so muß man vor Zeichnung des Parallelogramms bie eine der Kräfte so lange in ihrer Richtung verschieben, bis das der Fall ist (Fig. 9).

Daß man dies ohneweiters tun kann, geht z. B. daraus hervor, daß eine Lokomotive, gleichviel ob sie am Anfange oder am Ende des Zuges steht, also gleichviel ob sie zieht oder schiebt, dieselbe Wirkung hervorruft.

Da die Diagonale eines Parallelogrammes dieses in zwei kongruente Dreiecke ABE und ACE (Zig. 8) zerlegt, und in jedem dieser Dreiecke die gegebenen Zeitenkräfte und die Mittelkraft vorkommen, so genügt zur Bestimmung der letzteren die Zeichnung eines dieser Dreiecke. /

Man nennt es Kräftedreieck.

Das Kräftedreieck wird meist in einer besonderen Figur neben dem Körper gezeichner (Fig 10). Man wählt wieder einen Kräftemaßstab und trägt von einem beliebig angenommenen Punkte A die Kraft Px gleichlaufend zur gegebenen Richtung auf. Durch den Endpunkt B wird sodann eine Gleichlaufende zu P₂ gezogen und auf ihr P₂ von B aus derart abgetragen, daß die Pfeilrichtungen der Kräfte sich folgen. Die Verbindungslinie AE (Schlußlinie) gibt alsdann die gesuchte Mittelkraft/? nach Richtung und Große. Ihren Zinn erhält man durch Anbringung eines Pfeiles, welcher gegen die Pfeilrichtungen der gegebenen Kräfte läuft. Durch parallele Verschiebung von R nach dem Angriffspunkt erhält man auch ihre richtige Lage zum untersuchten Körper (Hauptfigur).

Man kann, wie das Kräftedreieck II zeigt (Fig. 10), auch mit P₂ beginnen und an sie Pz antragen, wieder wird R=AE. Die gebrochenen Linien ALL und ACE nennt man den Kräftezug und die bei Aneinanderreihung von Kräften durch die erste ausgetragene Kraft bestimmte vom Angriffspunkt weggerichtete Pfeilrichtung den Unv fahrungssinn. Die Seitenträfte im Kräftedreieck haben mithin stets den gleichen Umfahrungssinn, die Mittelkraft entgegen gesetzten Umfahrungssinn.

Da das Kräftedreieck einfacher ist, so wird es häufiger angewendet als das Kräfteparallelogramm.

Rechnerischer Verfahren. Durch Zeichnung gelangt man in vorliegendem Falle in der Regel schneller und einfacher zum Ziele, so daß dieses Verfahren am häufigsten angewandt wird. Das rechnerische Verfahren soll daher nur für die folgenden beiden Sonderfälle gegeben werden.

A. Die Kräfte schließen einen rechten Winkel ein. Das Kräftedreieck wirkt rechtwinkelig (Fig. 11), mithin:

yf

f$tg. io.

' U'

,•

5tg.il.

fl? = pi + Pi und p=yp? + pi

₌5l

ober: tg a — ^

ß = 90°— a

-^- = sina, P, = P • sin a

O    P1

sina

ober entsprechend zu finden: P =

cos a

Beispiel. Gegeben Px ----- 30 kg, P₂ ---- 40 kg. Gesucht P.

P =l/30²+4ü- =1/2500 = 50 kg 30

oder: tg a = ~ = 0,7500, woraus: a = 36°52' mithin: P =

30

30

sin 35° 52'    0,6000

50 kg

oder: P =

40

40

50 kg.

cos 36° 52'    0,8000

B. Die KräftePx und P₂ sind einander gleich. Das Kräftedreieck wird gleichschenkelig (Fig. 12) und P₁=P₂ = P. Zieht man CD JL AE,

so wird AD — ~. Der Kraftwinkel a wird durch AE halbiert, mithin ist: -T^ = cos-, also: i4D = i4C-cos ^

oöer: ~ = P- cos imb P= 2P- cos ~ •

Beispiel. Gegeben P= 1000 kg, a ----- 400.

(Es wird:

AD

AC

x/t

toi s

Ä-

fr

40

P = 2 • 1000 • cos ~ = 2000 - cos 20°

P = 2000 - 0,9397 = 1879 kg.

$ig. 12.

Wird a = 90°, so wird das Kräftedreieck gleichschenkelig-rechtwinkelig, mithin:    P² = Pf + Pf und da P^ ----- P₂ ------ P

P* = 2P², also: P=l/2P² oder: P---P./2.

2. Zerlegung. Die Aufgabe, eine Kraft in zwei Seitenkräfte zu zerlegen, läßt unendlich viele Lösungen zu. Sie wird erst dann bestimmt, wenn entweder die Richtung jeder Seitenkraft oder eine der beiden Seitenkräfte nach Größe, Richtung und Sinn gegeben ist.

a)    Gegeben R und die beiden Rraftrichtungen m und n der Seiten-kräste Px und P₂. Die Lösung erfolgt am einfachsten mit Hilfe des Kräftedreiecks (Fig. 13). Man trägt in einer Nebenfigur R nach Größe, Richtung und Zinn auf und zieht durch A eine Gleichlaufende zu der einen Rraftrichtung, durch E eine Gleichlaufende zur anderen Rraftrichtung (daher zwei Lösungen möglich). Die so gefundenen Dreiecksseiten geben nach Größe und Richtung die gesuchten Seitenkräfte Px und P2f deren Umsahrungssinn dem von R entgegengesetzt ist.

5ig. 13.

b)    Gegeben ist R und eine der Seitenkräfte nach Größe, Richtung und Sinn. Man trägt in der Nebenfigur nach den gegebenen Richtungen von R und der Seitenkraft AE — R\xx\bAB = P₁ auf, und verbindet B mit E, so ist RL nach Größe und Richtung die gesuchte Seitenkraft P₂. P₂ hat denselben Umfahrungssinn miePlf aber entgegengesetzten wieP. Die Lage von P₂ wird durch Parallelverschiebung nach dem eigentlichen Angriffspunkt 0 gefunden.

er

Rechnerische Lösung. Ruch hier soll nur ein Sonderfall behandelt weroen, da die zeichnerische Lösung in allen anderen Fallen rascher zum diele führt. Sehr häufig tritt der Fall ein, daß eine Kraft in zwei zueinander senkrechle Seitenkräfte zerlegt werden soll, wobei die Seitenkräfte in der Regel senkrecht und wagerecht gerichtet sind. Bezeichnet man, wie üblich, die senkrechle (vertikale) Seilenkraft mit V, die wagerechte ^horizontale) Seitenkrafr mit H, so wird nach Fig. 14

^ = cos a, also: H—R- cos a und V

5ig. 14.

-ß=sina, also: V = R- sin a.

Rnwendungsbeispiel. Huf einen Dampskolben wirke eine Kraft P = 4500 kg. Diese Kraft wird aus den Kreuzkopf (Fig. 15) übertragen und von da durch die Schubstange aus die Kurbel. (Es findet daher eine Zer-

/ (*

\ M.D.K. lern = 2000 kg.

nl

Big. 15 b.

Fig. 15 a.

5iNuG 828: Schau, Statik. 2. Rufi.

Beliebig viele Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

18

legung in eine Kraft S in Richtung der Schubstange statt und in eine Kraft AT, die winkelrecht zur Führung gerichtet ist. Für die in Fig. 15 gegebene Lage der Schubstange ergibt sich bei a = 60°: S = 4680 kg und As = 1150 kg.

Da der Winkel a an der Kurbel die werte a=0 bis a=360° durchläuft, so wird bte Kraft S für jedeKurbellage einen anderen werterhalten, ebenso N.

3. Gleichgewicht. Zwei Kräfte, welche an einem Punkte in verschiedener Richtung angreifen, können sich, wie ohne weiteres einleuchtet, nie bas Gleichgewicht halten.

-S>

yfZ

Jl

lg

I?

Sig. 16.

Fig. 17.

b) Beliebig Diele Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt, i. Zusammensetzung. Die Zujammensetzung beliebig vieler Kräfte erfolgt mit Hilfe wiederholter Anwendung des Kräfteparallelogramms oder einfacher des Krästedreiecks. Am besten wird das letztere Verfahren an einem Beispiel gezeigt (Fig. 16).

zu-

4?

Beispiel. Gegeben seien die Kräfte Pi =50 kg, P₂ = 100 kg, P₈ = 150kg, P₄= 70 kg in den dargestellten Richtungen. Man setzt in der Nebenfigur zunächst P₁ und P₂ zur Mittelkraft R sammen, sodann diese mit P₃ zu Rl _s und endlich letztere mit P₄ zu P^₄. wodurch man R\ —₄ ⁼⁼ R erhält. Dieses Verfahren kann für A beliebig viele Kräfte fortgesetzt werden.

5tg.l8.

Aus Fig. 17 erkennt man ohne weiteres, dah man zum gleichen Ziele gekommen wäre, wenn man unter Fortlassung der Zwischenmittelkräfte /?₁₋₂ und ₃ die Einzelkräfte so aneinander gereiht hätte, daß der Endpunkt der ersten Kraft zugleich Anfangspunkt der zweiten, der Endpunkt der zweiten Anfangspunkt der dritten wird uff. Aus Fig. 18 erkennt man ferner, daß auch die Reihenfolge der Kräfte gleichgültig ist. Nur muß der Umfahrungssinn der aneinandergereihten Kräfte stets der gleiche sein, die erste Kraft muß vom Anfangspunkt weggerichtet fein. Die Mittelkraft erhält man, wenn man den Anfangsund Endpunkt der aneinandergereihten Einzelkräfte (des Kräftezuges) miteinander verbindet. Der Sinn der Mittelkraft ist dem Sinne

der Einzelkräfte entgegengesetzt. Die den Kräftezug schließende und die Mittelkraft darstellende Linie heißt Schlußlinie, das ent» standene Vieleck A, B, Eu £₂, E nennt man Kräftevieleck, Kraft-eck oder Kräftepolqgon. Man erhält zur Bestimmung der Mittelkraft also den

Lehrsatz: Die Mittelkraft beliebig vieler in einem Punkte angreifender Kräfte ist nach Richtung, Größe und Sinn gleich der vorn Anfang- nach dem Endpunkte gezogenen Schlußlinie desjenigen Kräftezuges, dessen Seiten gleich und gleichlaufend den gegebenen Seitenkräften sind.

Durch Paralleloerschiebung nach dem gemeinsamen Angriffspunkt O der Hauptfigur erhält man auch hier wieder die Lage der Mittelkraft.

Die rechnerische Lösung ist bedeutend umständlicher und daher auch zeit-raubender, weshalb von ihr abgesehen werden soll. Man findet sie bei Schau, Statik. Teil I, S. 15. (Leipzig, B. G. Teubner.)

2.    Zerlegung. Die Zerlegung einer Kraft in mehr als zwei Seiten-fräste soll nicht behandelt werden, weil sie zu selten vorkommt.

3.    Gleichgewicht. Die Bewegung eines Punktes in fortschreitender Richtung kann offenbar unter dem Einfluß mehrerer Kräfte nur dann stattfinden, wenn diese Kräfte sich durch eine Mittelkraft ersetzen lassen. Ist dies nicht der Fall, ist also die Mittelkraft R = 0, so ist

$ ig. 19.

Lig. 20.

eine fortschreitende Bewegung ausgeschlossen, die Kräfte sind im Gleichgewicht. Dies tritt offenbar dann ein, wenn der Anfangspunkt und der Endpunkt des aus den Einzelkräften gezeichneten Kräftezuges zusammenfallen, denn dann wird die Mittelkraft R = 0. Man nennt in diesem Falle den Kräftezug geschlossen; die Kräfte haben alle gleichen Umfahrungssinn.

Bei drei im Gleichgewicht befindlichen Kräften ergibt sich demnach als Krafteck ein geschlossenes Kräftedreieck (Fig. 19), bei mehr als drei im Gleichgewicht befindlichen Kräften ein geschlossenes Vieleck (Fig. 20).

Man erhält also folgenden

Lehrsatz: Drei an einem Punkte angreifende Kräfte be finden sich im Gleichgewicht, wenn der aus ihnen gebildete Kräftezug ein geschlossenes Kräftedreieck mit ftetigemUm fahrungssinn er gibt,- mehrere an einem Punkte an greifende Kräfte find im Gleichgewicht, wenn der aus ihnen gebildete Kräftezug ein geschlossenes Vieleck mit stetigem Umsah rungssinn ergibt.

Die Reihenfolge der Uneinanderreihung kann beliebig sein.

Kann man aus zwei oder mehr Kräften eine Mittelkraft bilden, so müßte man, wenn Gleichgewicht herrschen sollte, deren Wirkung durch Hinzufügung einer Kraft aufheben, welche ebenso groß, gleich gerichtet, aber von entgegengesetztem Sinne ist wie die Mittelkraft Man nennt eine solche Kraft dann Gleichgewichtskraft.

RechnerischeLosung. Man zerlegt jede der angreifenden Kräfte in ihre wagerechte und senkrechte Seitenkraft. Für den Fall des Gleichgewichtes muß dann die Mittelkraft aller wagerechten Seitenkräfte, also deren Summe (£H), wie auch die Mittelkraft aller senkrechten Seitenkräfte, also deren Summe (2JV) gleich Null sein. Mithin erhält man folgenden

Lehrsatz: Ein Körper befindet sich unter der Einwirkung mehrerer an einem Punkt angreifender Kräfte im Gleichgewicht, wenn

1. Die Summe aller wagerechten Seitenkräfte gleich Hui¹

ist.

2h = o¹)

2.    Die Summe aller senkrechten Seitenkräfte gleich Null

2v = o.

VII. Die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen.

IV. Träger aus zwei Stützen mit Streckenlasten.

2,10

II. Pädagogik und Bildungswesen.

s ».*■*<", WH» - gf l.ZÄ.”iÄ:r£.TL?,S

ist.

2v = o.

IV. Kräfte verschiedener Richtung mit verschiedenen Angrissspuntten.

a) Die Rrastrichtungen schneiden sich. i. Zusammensetzung Wirken zwei Kräfte Pl und P₂ an verschiedenen Angriffspunkten A und B, wie es z. B. bei Holzkonstruktionen häufig vorkommt ($tg.21), so verschiebt man die beiden Kräfte in ihrer Richtung bis zu ihrem

1) 2 (griechisches Sigma = S) bedeutet als Abkürzung: Summe. 2,7/ — Summe aller H.

Schnittpunkt, welcher jetzt gemeinschaftlicher Angriffspunkt wird, und setzt die Kräfte in bekannter Weise mit Hilfe des Kräftedreiecks zusammen.

In Fig. 21 ergibt sich als Mittelkraft aus der auf den Pfosten wirkenden Kraft P= 6000 kg und der auf den Pfosten von der Strebe übertragenen Kraft S ----- 3000 kg für einen Kräfte» maßstab 1 cm = 2000 kg A£ = R = 4,55 cm ----- 4,35 - 2000 = 8700 kg.

-L

1*

Wirken mehr als zwei Kräfte auf den Körper, so wiederholt man das eben beschriebene Verfahren in sinngemäßer Weise mehrfach, indem man zunächst zwei Kräfte zur Mittelkraft im Kräftedreieck zusammensetzt, aus dieser mit der nächsten Einzelkraft wieder eine

neue Mittelkraft bildet und so fortfährt, bis man die Gesamtmittelkraft erhält. VieReihen- /' folge der Zusammensetzung der gegebenen ’

9>

5ig. 21.

Kräfte ist beliebig. Die Angriffspunkte findet j man in der Hauptfigur durch Festlegung der y Schnittpunkte der entsprechenden gegebenen Kräfte mit den Zwischenmittelkräften. Den Linienzug der aufeinanderfolgenden Mittelkräfte nennt man Mittelkraftvieleck (Refultantenp olt) gort).

Die Schnittpunkte der Kraftrichtungen liegen außerhalb der Zeichenebene.

JL

LJz'7

'l

z    —=S-

i *r-r

hierfür kommt nur das zeichnerische Verfahren in Betracht, a) Es wirken nur zwei Kräfte. Man zerlegt nach Fig. 22 zunächst Pt in zwei beliebig angenommene Seitenkräfte Sn und Sx und ebenso in P₂ zwei Seitenkräfte S[ und S2t aber so, daß S[ = wird, jedoch entgegengesetzten wirkungssinn tokSj erhält. Da-X^ durch wird ^2 nach Große, Richtung ? und Sinn be- / stimmt.

5‘9.22    £

DieRichtungen der Seitenkräfte

der Kraft Px werden nun nach einem auf Pt beliebig angenommenen Punkt I (Zig. 22 a) übertragen, der Sinn der Kräfte gleichfalls angegeben und sodann der SchnittpunktII derKraft^i mit Pi bestimmt, worauf man die Richtung und den Sinn der Seitenkräfte von P₂ nach dem Schnittpunkt II überträgt. DaSiUnbS,' gleiche Richtung und Größe, aber entgegengesetzten Sinn haben, so heben sie sich gegenseitig auf, und an Stelle der durch S₀ und S£ bzw. S[ und S₂ ersetzten Kräfte PA und P₂ verbleiben mithin nur noch als allein wirkende Kräfte die Seitenkräfte S₀ und S₂. Schiebt man nun nach Zig. 22 c die beiden Kräftedreiecke aus Zig. 22 b zusammen, daß und S[ zusammenfallen, und fetzt Px und P₂ zur Mittelkraft R zusammen, so erkennt man sofort, daß R auch die Mittelkraft der Kräfte S₀ und S₂ ist. Klan erhält daher die Lage von R in der Hauptfigur, indem man daselbst S₀ und S₂ zum Schnitt bringt und durch den Schnittpunkt III eine Gleichlaufende zu R zieht. Die Zeichnung der Zig. 22 b ist offenbar nicht nötig, man kann vielmehr gleich, wie folgt verfahren:

Man setzt im Krästedreieck Pt und P₂ zu R zusammen (Zig. 23 b), nimmt einen beliebigen Punkt 0, welcher pol genannt wird, an, verbindet 0 mit sämtlichen Endpunkten der gegebenen Kräfte und erhält so Me Polftraf)len AO = S₀, CO = S₁ unb EO = S₂. Die ganze Zigur heißt Polfigur. Durch einen auf Px beliebig angenommenen Punkt I zieht man nun s₀||S₀ und sx\\Sx bis zum Schnittpunkt II mit P₂, und sodann durch II s₂||S₂, bringt die beiden äußeren Strahlen s₀ und s2 zum Schnitt III und zieht durch IIIR gleichlaufend zu R in der Polfigur.

dfe

f$

9t .

Der Linienzug s₀sts₂ in der Hauptfigur heißt Seileck, Seilvieleck, Seilpolygon, Seilzug oderSeillinie, da ein in den Punkten H und J befestigt gedachtes Seil, an welchem die Lasten Px und P2 in der angegebenen Weife in den Knotenpunkten I und II wirken (ein versuch läßt sich mit einer Schnur in einfacher Weise anstellen), die Zorm dieses Seilzuges annehmen würde. Die Seiten s₀sxs₂ heißen Seil-strahlen, Sq und s₂ find die äußeren Seilstrahlen, da sie im Krafteck die Mittelkraft einschließen.

; $\Q. 23.

Da S₀ beliebig angenommen war, so folgt, daß man den

pol 0 auch beliebig wählen kann.

d\

Das Teileck wird zwar bei anderer Wahl des Poles auch ein Anderes, doch erhält man, wie Zig. 24 zeigt, dieselbe Lage der

Fig. 24.

bestimmt.

b) (Es wirken beliebig viele Kräfte. Das unter a) geschilderte Verfahren wird wiederholt angewandt :

Man trägt nach Zig. 25 die gegebenen Kräfte zu einem Vieleck in beliebiger Reihenfolge aneinander und bestimmt die Mittelkraft A E = R nach Größe, Richtung und Sinn. Sodann wählt man einen pol, zieht die u

21 3'

Ur

p?

rfNZ F

j >

<f

Fig. 25.

Polstrahlen S₀, Slf S₂, S₃, S₄, (uff.) und gleichlaufend zu ihnen den Seilzug s₀, su s₂, s₃, s₄, von einem beliebigen Punkt! auf pi ausgehend, in der Hauptfigur. Die Lage von R daselbst erhält man, indem man durch den Schnittpunkt V    fc?)„

es

³i

Stg. 26.

Der pol wird am besten so ge- / ^ wählt, daß Me beiden äußern pol-strahlen etwa einen rechten Winkel /

bilden. Zuweilen verlegt man auch den pol in den Anfangspunkt der ersten Kraft (Zig. 26). Dies Verfahren findet beim Einzeichnen von Drucklinien in Gewölbe, bei Untersuchung von Stützmauern Anwendung (s. S. 85f. u. 108).

2. Zerlegung. Ist eine gegebene Kraft in zwei Seitenkräfte zu zerlegen, so ist die Aufgabe nur dann lösbar, wenn die Richtungen der gesuchten Kräfte mit der Richtung der gegebenen bei entsprechender Verlängerung der Richtungslinien sich in einem Punkte schneiden.

Die Lösung erfolgt dann ebenso, wie unter III, a, 2 angegeben wurde.

<?«

I    S/ Soll eine bekannte Kraft R

S    m \ fe in drei Seitenkräfte Plf P₂, P₃

S    / •    /    zerlegt werden, welche nach

Lage und Richtung gegeben sind, so ist das nur dann möglich, wenn die gegebenen Richtungen 1, 2, 3 der nad) Größe und Sinn unbekannten Seitenkräfte sich nicht in einem Punkte schneiden, und wenn keiner ihrer Schnittpunkte auf/? liegt.

Klan bringt in diesem Falle zwei der gegebenen Richtungen, etwa 1 und 2, zum Schnitt ($tg. 27) im Punkte I und ebenso Richtung 3 zum

Schnitt mit R im Punkte II. Run verbindet man I und II und zerlegt R in Ps und in eine in Verbindungslinie III wirkende Kraft i?lf2, welche mithin die Klittel-kraft von Px und darstellen muß und noch

SV

5.

5ig. 27.

Alt,

ä |>-

x 2sHC /

n! r ^

Lig. 28.

?5

s.

nach den Richtungen 1 und 2 in Pt und P-, zu zerlegen ist.

Die Aufgabe, eine Kraft in mehr als drei Seitenkräfte zu zerlegen, ist nicht eindeutig lösbar. Klan sagt in solchem Falle, die Aufgabe ist statisch unbestimmt.

3. Gleichgewicht. Line Kraftgruppe ist im Gleichgewicht, wenn die Gesamtwirkung der vorhandenen Kräfte gleich Null ist. tzat man

zu drei gegebenen Kräften Plf P₂ und P₈ mit Hilfe des Seilecks die Mittelkraft Pi_z bestimmt (Zig. 28 b), so kann der Gleichgewichtszustand offenbar nur dann eintreten, wenn man die Wirkung non Pi_3 durch Hinzufügung einer Kraft P₄ aufhebt, welche die gleiche Größe, Richtung und Lage, aber entgegengesetzten Sinn miePi_₃ haben muß (Zig. 28 a). P₄ bildet bann mit Plf P₂ mb P₃ ein geschlossenes Kräftevieleck (Zig. 28 c), die .

ZP

67

■? f U b

jM.dJtr Sott,

5tg.29.

i    4

I    ",

Gesamtmittel- V kraft ist also gleich Null. Die Polstrahlen S0 und S₄ decken sich, haben also gleiche Große, aber entgegengesetzten Sinn,

und im Seileck fallen die beiden äußeren Seilstrahlen in dieselbe Gerade, das Seileck bildet also auch eine geschlossene Zigur.

Beliebig viele in einer (Ebene zerstreut liegende Kräfte find also im Gleichgewicht, wenn sowohl das zugehörige Krafteck, wie auch das entsprechende Seileck sich schließen.

b) Die ttrastrichtungen schneiden sich nicht (parallele Kräfte).

1.3 usammensetzung. DieLöiung erfolgt wieder mit Hilfe des Kraft5 und Seilecks, da man parallele Kräfte als solche Kräfte auffassen kann, deren Schnittpunkt in unendlicher (Entfernung liegt. Das Krafteck geht in eine Gerade über, die Mittelkraft fällt als Schlußlinie mit ihr zusammen und ist daher gleichlaufend zu den Seitenkräften.

Zig. 29 zeigt die Lösung für 4 (Einzelkräfte gleichen Zinnes Pt = 120 kg, P₂ -----150 kg, P₈ — 200 kg, P₄ = 130 kg (Kräftema&ftab 1 cm = 200kg). (Es wird ^ _ ₄ = P₄ + P₂ + P₈ + P₄ = 120 +150 + 200 +130 = 600 kg. Ihre Lage wird durch den Schnittpunkt der beiden äußeren Seilstrahlen §o und s₄ bestimmt. (Eine weitere Erklärung dürfte sich erübrigen.

parallele Kräfte mit verschiedenern Sinn. 3unächst soll der Zall für zwei gegebene Kräfte P₁ und P₂ untersucht werden, von denen Pt > P₂ sei. Man setzt die Kräfte zur Mittelkraft R = Pt — P₂ zusammen (Zig. 30), wählt einen beliebigen pol, zieht die Polstrahlen und zeichnet dasSeileck in besonnter IDeife, wobei man nur auf die genaue

26'

Zusammensetzung paralleler Kräfte. Kräftepaar

Reihenfolge der Seilstrahlen zu achten hat. Die Mittelkraft geht wieder durch den Schnittpunkt III der beiden äußeren Seilstrah-len s₀ und s₂. Sie liegt mithinaußerhalbder beiden Rräfte auf Seite der größeren Kraft (was stets der Fall ist) und hat den Sinn der letzteren.

Rräftepaar. Ist Px = P₂, so wird R = 0. Die beiden äußeren Polstrahlen S₀ und S₂ fallen zusammen (Zig. 31), mithin werden die

Seilstrahlen s₀ und s₂ gleichlaufend, ihr Schnittpunkt und damit ^ der Angriffspunkt von R liegt im Unendlichen. Zwei gleich große, gleichlaufende Kräfte mit entgegengesetztem Sinn lassen sich dahernichtzusammensetzen.Man nennt eine solche Kräftegruppe ein Kräftepaar. Da R = 0 ist, kann eine fortschreitende Bewegung nicht eintreten. Trotzdem heben sich die beiden Kräfte Pt undP₂ nicht auf, sondern rufen eine drehende Bewegung hervor, vgl. unter 3.

Sind mehrere parallele Kräfte zu ihrer Mittelkraft R zusammenzusetzen, so trägt man sie in beliebiger Reihenfolge aneinander an und erhält ihre Größe als algebraischeSumme der Einzelkräfte (Zig. 32). Die

Lage der Mittelkraft erhält man wieder mit Hilfe des Seilecks, wo-& bei man nur auf * die genaue Reihenfolge der Seilstrahlen zu achten

5lg. 30.

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5ig. 31.

$tg. 32.

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hat.

2. Zerlegung. Die Zer-

legung einer Kraft in zwei 5er Lage nach gegebene Zeitenkräfte kommt in 5er Praxis bei belasteten Trägern auf zwei Stützen vor un5 ist daher von größter Wichtigkeit. Die Belastung R 5es Trägers wirb offenbar auf 5te Ruflager an bethen Trägerenben übertragen, unb 5te hier hervorgerufenen Ruflagerbrücke finb 5te gefuchten Seitenkräfte Pt unb P₂ der belasteten Kraft R. Die Losung der Rufgabe ist nichts andres als die Umkehrung der weiter oben behandelten Rufgabe, zwei gleichlaufende Kräfte zur Mittelkraft zusammenzusetzen.

v?

Man tragt R in einer Nebenfigur ($ig. 33) nach einem gewählten Rräfte-maßstab auf, wäblt den pol 0 beliebig, zieht die Polstrahlen S₀ und S₂, zerlegt also öamit/?₄ in zwei Seitenfräfte S₀ und S₂. Durch einen beliebigen Punkt III auf R zieht man sodann s₀ || S₀ und s₈ ||S₂, welche Px in I und P₂ in II schneiden. Durch Verbindung von 1 und II erhalt man den Seil* strahls,, zu welchem man in der Polfigur eine Gleichlaufende durch 0 zieht. Diese zerlegt R in die gesuchten Seitenkräfte x Px und P₂. DieMch- jTx~ tigkeit des versah-    >

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$tg. 33.

rens ist ohne weiteres einzusehen, wenn man umgekehrt wieder Px und P₂ zu R zusammensetzt.

Die Gerade I—II nennt man die Schlußlinie des Seilecks. Sie soll künftig nur mit s bezeichnet werden.

Die Rufgabe, eine Kraft in mehr als zwei gleichlaufende Seitenkräfte zu zerlegen, ist statisch unbestimmt.

3. Gleichgewicht. Zwei parallele Kräfte gleichen Sinnes lassen sich stets durch eine Mittelkraft ersetzen, können sich also nicht im Gleichgewicht halten. Zwei parallele Kräfte entgegengesetzten Sinnes von verschiedener Größe können gleichfalls durch eine Mittelkraft ersetzt werden, find mithin auch nie im Gleichgewicht, und endlich zwei parallele Kräfte entgegengesetzten Sinnes, aber gleicher Größe bilden ein Kräftepaar und befinden sich daher auch nicht im Gleichgewicht.

Drei parallele Kräfte find offenbar bann im Gleichgewicht, wenn je zwei von ihnen eine Mittelkraft haben, die mit der dritten nach Lage und Größe übereinstimmt, aber entgegengesetzten Sinn hat. 3n $tg. 33 wirken die 3 Kräfte R, Px und P₂, letztere als Seitenkräfte von R. Fügt man an Stelle von Pt und P₂ zwei gleichgroße Kräfte A = P₁ unb B = P₂ hinzu, welche aber entgegengesetzten Sinn haben, so heben diese die Wirkung von Pt und P₂, also auch von R auf und es herrscht Gleichgewicht (Zig. 34). A und B sind dann Gleich-gewichtskräste. Man findet sie offenbar sofort, wenn man inZig.33 an Stelle der Pfeile üoit Px und P₂ Pfeile von entgegengesetzter Richtung anbringt, wie das in Zig. 34 geschehen ist. A und B werden

wl

IP    cf

also auf gleicheweise unter sinngemäßer \s Anwendung des eben x. ^ Gesagten gefunden, wie weiter oben Pt und P₂.

5ig. 34.

Dieser Zall findet namentlich Anwendung bei Trägern auf zwei Stützen. Die auf Seite 27 bereits erwähnten Stützendrücke oder Auflagerdrücke Pt und P₂ (Zig. 33) rufen in den Auslagerpunkten nach dem Gesetz der Gegenwirkung gleichgroße, aber entgegengesetzt wirkende Stützenwiderstände oder Auflager-widerstände hervor (Zig. 34). Die Kräftegruppe R, A und B befindet sich dann im Gleichgewicht, es herrscht also Ruhezustand und Krafteck wie auch Seileck sind geschlossen (Zig. 34).

wird der Träger durch mehr als eine Kraft belastet, so ändert sich an der Losung der Ausgabe nichts, da man alle diese Kräfte durch ihre Mittelkraft R ersetzen kann, wodurch der Zall auf den eben behandelten zurückgeführt wird. Zig. 35 zeigt die Lösung der Aufgabe für einen von vier Kräften belasteten Träger: eine weitere Erklärung ist wohl überflüssig.

Zu beachten ist: Befinden sich an einem Körper die äußeren Kräfte

Sj.

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$ig. 35.

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im Gleichgewicht, so mutz sich ein geschlossener Kraftei und ein geschlossener Seileck ergeben.

v. Anwendung aus einfache Stützkonstruktionen.

Lig. 36.

a) Allgemeiner. Knotenpunkte. Die bisher behandelten Gesetze über die Zerlegung von Kräften und dar Gleich- vwt?, gewicht der Kräfte finden häufig Anwendung bei wA der Untersuchung einfacher Baukonstruktionen. Da- W bei sind in der Regel die inneren Kräfte zu er-^M mittein, welche den äuheren Kräften dar Gleich-1|§ gewicht halten, von ihnen ist die Wahl der Ab- Ep rnessung der einzelnen Bauteile abhängig. Gleich-gewicht muß aber in jedem Punkte einer Bauteiles ^ herrschen, weshalb diejenigen Punkte von besonderer Wichtigkeit sind, in denen die äußeren Kräfte angreifen. Für den Ruhezustand ist es erforderlich, daß die einzelnen Punkte einer Bauteiles miteinander in starre Verbindung gebracht werden, wodurch sich dann häufig stab-formige Konstruktionen ergeben, wie in Fig. 36 an einem einfachen Beispiel dargestellt ist. Zur Sicherung der punktest sind zwei, an der unverschieblichen Mauer befestigte Stäbe AB und AC angebracht. Auf diese Weise entsteht ein Dreieck ABC, welches bekanntlich unverschieblich ist. Der Punkt A, in dem die Stäbe zusammentreffen, heißt Knotenpunkt,- eine Kraftübertragung kann, wie ohne weiteres einzusehen, nur in den Richtungen AC und AB stattfinden. Auch die Punkte B und C sind als Knotenpunkte zu betrachten.

Wirkt nun impunkte A eineKraft/^inderangedeutetenWeise, sowird diese in der Richtung A C auf den Punkt C übertragen und ruft dort nach dem Gesetze der Gegenwirkung eine gleichgroße, aber mit entgegengesetztem Sinn wirkende Kraft P (Fig. 36) hervor. Man sieht ohne weiteres, daß diese beiden Kräfte P dar Bestreben haben, die Punkte A und C einander zu nähern, den sie verbindenden Stab ACalfo zu drücken. Mithin entsteht in ihm eineDruckbeanspruchung. härte die Kraft P im Punkte A entgegengesetzten Sinn, so müßte die Pfeilrichtung von ^ entsprechend auch im Punkte C von C weggerichtet fein; die Punkte A und Cwürden voneinander entfernt; im Stabe entsteht eine Zugbeanspruchung.

Da die Kraft P sich im Innern des Stabes bis C, wo sie durch die Festigkeit der Mauerkorperr eine sie aushaltende Gegenkraft her-

vorruft, fortpflanzt, so muh sie in jedem Stabquerschnitte eine ihr gleiche innere Kraft P erzeugen, welche Spannkraft genannt wird und nach obigem entweder eine Druckkraft oder eine Zugkraft ist. Die Ermittelung der Große der Spannkräfte und die Entscheidung der Frage,

ob in den einzelnen Teilen einer Kon-struktion Zug oder Druck herrscht, P \ wird am besten an Beispielen ge-zeigt.

VI

b) Konsolträger. Der in Fig. 37 a gegebene Konsolträger eines Baifons werde im Punkte A durch eine senkrecht wirkende Last P= 1400 kg (Be-Jtc? Jfr /cm    lastung durch Balkondecke und -brü-

stung) belastet. Die in H und S auftretenden Stabkräfte, sowie die Bean-spruchun-

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gen

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Mauer-Werks sind zu ermitteln. Kräf-tematzstab

1 cm = 1000 kg.

Die Kraft P ruft in den Stäben AC und AB die Spannkräfte H und S her-fe vor; eine Übertragung nach anderer Richtung ist nicht .. möglich. Man zerlegt daher im Kräftedreieck (Fig. 37 d)

⁴ P nach diesen beiden Richtungen in die Seitenkräfte %v PH und Ps. Nun mutz im Punkte A Gleichgewicht herrschen, mithin müssen die im Innern der Stäbe AC und A B auftretenden Spannkräfte H und S die Wirkung der Seitenkräfte PH und Ps, und damit auch die Wirkung ihrer Mittelkraft P aufheben; man zeichnet daher am besten den Punkt A durch einen kreisförmig geführten Schnitt besonders heraus ($ig. 37 b), das Kräftedreieck, in dem die Zerlegung von P in PH und Ps vorgenommen wird, wird zweckmäßig darunter gezeichnet. Durch den geführten Schnitt.wird der Zusammenhang der Stäbe bei D und E zerstört, so daß eine Übertragung von PH im Punkte D nach dem festen

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$ig. 37.

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Punkt C nicht mehr erfolgen kann. Soll dennoch der Gleichgewichtszustand wiederhergestellt werden, so muß in der Richtung des Stabes AC eine der Kraft PH gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft// angebracht werden. Ebenso ist im Punkte L die Anbringung einer Kraft S erforderlich, welche ebenso groß, aber entgegengesetzt gerichtet ist wie Ps. Denkt man sich nun den Punkt A festgehalten, so erkennt man, daß H am Stabstumpf AD ziehend und S an dem Stabftumpf AE drückend wirkt. S und H geben nun die Wirkungen an, welche bei nicht gelöstem Zusammenhang ausgeübt werden, stellen also die in den Stäben wirkenden Spannkräfte an. Klan erkennt hieraus aber auch die wichtige Hegel:

3ft der Sinn einer inneren Kraft dem Knotenpunkt zugewendet, so ist die Spannkraft eine Druckkraft, ist sie vom Knotenpunkte weggewendet, so ist sie eine Zugkraft.

Zug und Druck sollen fernerhin durch das Vorzeichen unterschieden werden, und zwar Zug durch +, Druck durch — bezeichnet werden.

Die KräfteP, H und S müssen sich im Punktes das Gleichgewicht halten. Klan kann daher aus dem Krästedreieck unmittelbar ihre Größe und ihren Sinn, wie folgt, bestimmen: Ulan lost den Knoten durch einen kreisförmigen Schnitt von dem übrigen Haukörper in besonderer Zeichnung heraus, bringt die äußeren Kräfte innerhalb des Schnittkreises an. bestimmt, wie oben angegeben, diejenigen Kräfte H und S, welche der Kraft P das Gleichgewicht halten und überträgt den aus der Gleichgewichtsfigur, welches ein geschlossenes Dreieck ergeben muß (Fig. 37 b), gewonnenen Sinn von H und S außerhalb des Schnittkreises an die Stabstumpfe. hierauf stellt man an der Hand obiger Hegel fest, ob Zug oder Druck in den Stäben herrscht. 3n unserem Falle ergibt sich, daß H eine Zugkraft und S eine Druckkraft ist. Klan mißt H— 2,45 cm und S ----- 2.83 cm, mithin wird // = 2,45* 1000 ---- 2450 kg und S = 2,83 • 1000 ----- 2830 kg.

Schneidet man den Punkt C heraus, so ist die gefundene Stabkraft H als Zugkraft am Stabstumps anzubringen (der Pfeil muß also vom Knotenpunkt wegzeigen.) Der KraftH muß durch eine Gegenkraft das Gleichgewicht gehalten werden. Klan ordnet daher bei C eine entsprechend große Ankerplatte an (in Zig. 37 c durch einen kleinen senkrechten Strich angedeutet), welche auf das lllauerwerk drückt und einen Gegendruck Hl = H hervorruft.

Am Stumpfe im Punktes wirkt die Druckkraft 5 (Pfeil also gegen den Stumpf gerichtet'. Sie ist in eine lotrechte und wagerechte Seitenkraft Sv und Sh (Zig. 37c!) zu zerlegen, welche beide durch gleichgroße, aber entgegengesetzt wirkende Auflagerkräste Bv und Bh im Gleichgewicht erhalten werden, hier wird BV = P und Bh ----- H.

Tritt der Fall ein, daß im Punkte A mehrere äußere Kräfte wirken, so ersetzt man sie durch ihre Mittelkraft R und verfährt dann ebenso wie vorstehend beschrieben.

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5ig. 38.

Mehr als zwei Stäbe mit unbekannten Spannkräften dürfen selbstverständlich an einem Knoten nicht angreifen, da sonst die Aufgabe statisch unbestimmt wäre.

c) Dos einfache Hängewerk. In Zig. 38 ist die Untersuchung für ein einfaches, unsymmetrisches Hängewerk durchgeführt. An der Hängesäule wirkt eine äußere Kraft Q = 3000 kg. (Es ergibt sich, daß dadurch in der Hängesäule AB Zug, in den beiden Streben BC und BD Druck und in dem Balten CD 3ua auftritt. Die Konstruktion findet Anwendung, wenn die Stützlänge des Boltens CD eine gewisse Länge (6 m) überschreitet, um im Punkte A eine weitere Unterstützung zu schaffen, wird AC= AD,

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5ig. 39.

so entsteht ein symmetrisches Hängewerk und die Auflag erdrücke V in den Punkten C und D werden gleich groß. Die Große der Spannkräfte und Kuflagerdrücke ist leicht nachzumessen (Kräftemaßstab 1 cm ----- 2000 kg).

d) Der doppelt armierte Träger. (Er findet gleichfalls bei großer Ballen* lange CC' Anwendung und schafft die Unterstützungspunkte A und Af (Hob.39a). Die Untersuchung ist für die beiden in den Punktend und A' angreifenden Kräfte 1000 kg geführt In den Streben AB und A'B' ergibt sich Druck, im Balten CC ebenfalls Druck, in den Stang-n BC, BB' und B'C' Zug (daher Zugstangen genannt). Die Untersuchung ist mit Rücksicht auf die Symmetrie der Konstruktion nur für die Punkte A KNuG 828: Schau, Statik. 2. Ruft.

(5«g-39b) B (Sig.39c) und C (Stg.39d) durchgeführt, da für die Punkte A\ B' und C dieselben Ergebnisse gefunden werden würden (Kiäftemafoftab 1 cm = 1000 kg).

VI. Das ftatifche Moment der Kräfte. Momentensatz.

a) Der Begriff des statischen Momentes, wie wir sahen, führt eine Kraft, welche an einem Körper angreift, eine fortschreitende Bewegung desselben herbei, hält man jedoch einen Punkt des Körpers fest, so sucht die Kraft, ihn um diesen Punkt zu drehen (z. B. Wagenrad). Eine weitere Anwendung findet das Gesetz beim Hebel. Bus dem Hebelgesetz ist auch allgemein bekannt, daß das Drehbestreben um so größer ist, je größer einmal die Entfernung der angreifenden Kraft vom Drehpunkt (Hebelarm genannt), und je größer zum andern die angreifende Kraft ist. Soll ein Bauteil nun im Gleichgewicht sich befinden, so darf nicht nur keine fortschreitende Bewegung, sondern natürlich auch keine drehende Bewegung an ihm eintreten, hieraus erhellt die Wichtigkeit des Hebelgesetzes für die Statik. Wan nennt in der Statik das Drehbestreben statisches Moment oder abgekürzt Moment (M). Cs ist also

das statische Moment einer Kraft P in bezug auf einen beliebigen Drehpunkt 0 gleich dem Produkt aus der Kraft und dem zugehörigen Hebelarm/), also:

M = P • p.

Hebelarm ----- winkelrechte vom Drehpunkt auf die Kraftrichtung.

V'

Beispiel. Das statische Moment einer an einer Kurbel wirkenden

Gewöhnlich wird die Kraft in kg, der Hebelarm in cm ausgedrückt, so daß sich als Maßeinheit für das Moment „Kilo* grammzentimeter" (kgcm) ergibt; doch findet man bei großen Momenten Kilogrammeter (kgm) oder Tonnenmeter (tm) als Einheit.

5ig. 40.

$1 g. 41.

Kraft P (vgl. auch Zig. 15) ist nach Zig 40

M = P-p; p = l‘ cosa; daher M=P-h cos a.

Zur Zerlegung der Kraft P in eine Seitenkraft in Richtung der Kurbel und winkelrecht dazu, erhalt man nach Zig. 41, das gleiche Ergebnis. Die Seitenfraft P cos a hat das Drehbestreben M = P • cos a • /.

Anwendung. Für den in Zig. 15 angegebenen Fall ist M= S • r• sin (a + ß); r = 320 mm. Sür a = 60° und ß = 10° wird:

M— 4680 - 32 - sin (60 + 10) = 4680 • 32 - 0,94 = 140400 kgcm.

Wird der Hebelarm gleich Null, geht also die Kraft durch den Drehpunkt 0 hindurch, so wird naturgemäß auch bas Moment der Kraft gleich Null, eine Drehung kann nicht eintreten, es wird auf den Drehpunkt nur ein Druck ausgeübt.

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Da man zeichnerisch eine Kraft durch eine Linie darstellt, muß sich in der Zeichnung ein Moment als Fläche er- p + geben (Produkt zweier Linien).    * ^

^" & 2- - ■" M°e

5ig.42.

Das Drehbestreben kann nach zwei verschiedenen Seilen eintreten. Ruft eine Kraft eine Drehung im Uhrzeigersinne hervor, so nennt man das Moment rechtsdrehend (gewöhnlich mit + bezeichnet), erfolgt die Drehung dem Uhrzeiger entgegengesetzt, so heißt es linksdrehend (dann entsprechend mit — bezeichnet) Fig. 42. Nach dem Vorzeichen unterscheidet man daher auch positive und negative Momente.

Treten nur Momente mit gleichem Drehsinn auf, so summieren sich naturgemäß ihre Wirkungen, während bei gleichzeitigem Auftreten von Momenten mit verschiedenem Drehsinn sich die Momente teilweise oder ganz aufheben. Ist letzteres der Fall, also die algebraische Summe aller Momente bezogen auf denselben Drehpunkt gleich Null, so kann der Körper keine drehende Bewegung ausführen, er ist also im Gleichgewicht. Daraus folgt als weitere Gleichgewichtsbedingung :

Soll ein Körper im Gleichgewicht sein, so muß die alge-braischeSumme aller ftatifchenMomente, bezogen aufden-selben Drehpunkt, gleich Null sein. Oder kurz:

2m= o.

Da die Mittelkraft R einer Kräftegruppe dieselbe Wirkung hervorruft, wie die Tinzelkräste zusammen, so muß auch das Drehbestreben, welches R in bezug auf einen beliebigen Drehpunkt hervorruft, dasselbe fein, welches die Einzelkräfte in bezug auf denselben Drehpunkt ausüben, hieraus folgt der wichtige Momentensatz:

Das statische Moment der Mittelkraft einer Kräftegruppe in bezug auf einen beliebigen Drehpunkt ist gleich der algebraischen 5umm e der statischen Mo mente der Einzelkräfte bezogen auf denselben Drehpunkt.

von diesem Satz werden wir oft Gebrauch zu machen haben. Dabei ist streng auf den Drehsinn bei Momente zu achten. Ist r der Hebelarm der Mittelkraft R, und p der Hebelarm je einer Einzelkraft P, so läßt sich der Momentensatz, wie folgt, als Formel schreiben:

R • r =    - p.

b) Bestimmung der Lage der Mittelkraft einer Kräftegruppe aus rechnerischem Wege. Anwendung desMomentensatzes. Mithilfe des Momentenfatzes läßt sich dieLage der Mittelkraft einer Kräftegruppe bestimmen, nachdem man deren Größe, Richtung und Sinn ermittelt hat.

Man wählt hierzu einen beliebigen Drehpunkt, stellt in bezug auf ihn die Hebelarme der Einzelkräfte fest und bildet die algebraische Summe der Momente der Einzelkräfte. 3ft x der Hebelarm der Mittelkraft (also deren senkrechter Abstand vom Drehpunkt), so ist nach obiger Gleichung R • x = HP - p, woraus:

ZP-p

X = -FT^- •

Besonders einfach wird das Verfahren, wenn die Kräfte parallel sind. Beispiel. Gegeben seien nach §ig. 43 die Kräfte P, = + 8000 kg,

Ps = — 3000 kg, P„ = — 1000 kg in gegenseitigen Abstanden von 1,0 m. Gesucht R nach Lage, Größe, Richtung und Sinn.

Fig. 43.

Lösung. (Es ist R ----- 2P, also R = P — P₂ — P₈ = 8000—3000 — 1000 ------ + 4000 kg. wählt man als Drehpunkt den px ----- 3,0 m von Px entfernten Punkt D, so ergibt sich der Hebelarm von P₂ zu pt ----- 4,0 m und der Hebelarm von P₈ zu p₃ = 5,0 m, mithin:

R • X = Px • px    Pa * P > ““ Pg ' Ps

oder: 4000 • x = 8000 • 300 — 3000 • 400 — 1000 • 500

2 400 000 — 1200000 — 500 000    700 000

4000

4000

x = + 175 cm.

Mithin ist R von D 1,75m und von Px 1,25m entfernt. Da R sich positiv ergab, so hat es denselben Wirkungssinn wie Px, ist also nach oben gerichtet.

1) wählt man einen anderen Drehpunkt, so erhält man trotzdem für R denselben Abstand von Px (versuch!).

CJ:FG = 0B:AE oder: r:y = H:R R-r = H-y M^H-y.

Mit Hilfe des Momentenfatzes läßt sich auch dar statische Moment einer beliebigen Kräftegruppe mit Hilfe des Kraftecks und Seilecfs ermitteln.

Klan bestimmt nach $tg. 44 R mit Hilfe des Kraftecks und Seilecks. Sodann nimmt man einen beliebigen Drehpunkt D an ($tg. 44) und zieht durch ihn eine Gleichlaufende zu R, welche auf den äußersten Seilstrahlen s₀ und s₄ die Strecke FG ----- y abschneidet. von D zieht man CJ JL FG und erhält dadurch den Hebelarm?. Das statische Moment der Kräftegruppe ist in bezug auf D daher M=R-r.

* Sodann zieht man in der Polfigur OB ± AE. Man nennt diesen Abstand des Poles 0 von der Mittelkraft R Pol-

entfernung oder Polabstand und bezeichnet ihn allgemein mit H. Nun ist: A CFG~ A OAE, da die Seiten der Dreiecke einander bezüglich parallel sind. Daher ist:

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5tg. 44.

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hieraus folgt der Lehrsatz:

Das statische Moment einer Kräftegruppe in bezug auf einen beliebigen Drehpunkt ist gleichdemprodukteausdem polabstand //und der Strecke y, welche durch die äußersten, die Mittelkraft einschließenden Seilzugseiten auf einer durch den Drehpunkt parallel zur Mittelkraft gezogenen Geraden abgeschnitten wird.

Man pflegt H als Kraft im Kräftemaßstab und y als Länge im Längen-maßstab zu messen, doch erhält man dasselbe (Ergebnis, wenn man ti als Länge und y als Kraft mißt.

Der Momentenfatz wird auch häufig zur Bestimmung des Schwerpunktes von Flächen angewendet. 3m allgemeinen soll in diesem Buche die Ermittelung des Schwerpunktes von Linien, Flächen und Körpern als aus der Mathematik bekannt vorausgesetzt und daher nur der eben besprochene Fall erörtert werden.

Zur Ermittelung des Schwerpunktes einer Fläche zerlegt man diese in Linzelflächen, deren Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind (Red)V ecke, Dreiecke). Diese Einzelflächen faßt man als Gewichte, also als Kräfte auf, welche in den Schwerpunkten der Einzelflächen angreifen. Durch Rechnung oder mit Hilfe des Seilecks sucht man nun zu diesen Einzelkräften die Mittelkraft R, welche natürlich eine Schwerlinie der Gesamtfläche darstellt. 3n gleicher weise sucht man eine zweite Schwer-

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5lg. 45.

linie auf. Der Schnittpunkt beider Schwerlinien ist der gesuchte Schwerpunkt. Lin einfacher Beispiel zeige den Gang der Verfahrens.

Beispiel. Der Schwerpunkt der in ihren Abmessungen in Zig. 45 gegebenen Fläche (ungleichschenkliges lvinkeleifen) ist zu bestimmen.

Losung, a) Rechnerisch: Man zerlegt die Figur in die Flächen Ft ----- 8,0 • 1,0 ----- 8,0 qcm und F₂ = 11,0 • 1,0 = 11,0 qcm. Den Drehpunkt wählt man am besten in D, sodaß sich für lotrechte Richtung der Kräfte Fj und Fg die in Fig. 45 eingeschriebenenen Hebelarme ergeben. xt sei der Abstand der gesuchten Schwerlinie (Mittelkraft) F von D. Dann ist nach dem Momentensatz das Moment der ganzen Fläche gleich der Summe der Momente der Einzelflächen. Die letzteren drehen in Bezug auf D in gleichem Sinne, sind also positiv. Man erhält:

5,97 cm.

F • .Xj = Ft • 0,5 + F₂ • 6,5 (8.0 + 11,0)*, = 8.0 - 0,5 + 11,0 - 6,5 4,0 +71,5 _ 75,5 *’    19,0    19,0

Um die zweite Schwerlinie zu finden, denkt man sich die Richtung von F₁ und F₂, und damit auch die von F um 90° gedreht und erhält, wieder in bezug auf D als Drehpunkt

F.x₂=Fl -4,0 + F₂ -0,5

1,97 cm.

8.0-4,0 + 11,0-0,5 _ 32,0 + 5,5 _37.5_

190

19,0

19,0

Nunmehr kann der Schwerpunkt S festgesetzt werden, wie die Zigur zeigt.

b)    Zeichnerisch: Man wählt einen Kräftema&ftab (hier 1 cm = 8cm²) und zeichnet für die beiden zueinander senkrechten Zlächenrichtungen nach Zig. 45 Polfigur und Seileck Der Schnittpunkt S der hierbei gewonnenen Schwerlinien (Mittelkräfte F zu und F>) ist der gesuchte Schwerpunkt. Durch Messung findet man die Rbftänöe xt und x₂ in gleicher Größe wie durch Rechnung.

c)    Besondere Zölle. l.Das Kräftepaar. Unter einem Kräfte* paar verstanden wir zwei parallele, gleick große Kräfte von entgegengesetztem Wirkungssinn, deren Mittelkraft gleich Null ist, so daß von ihm keine fortschreitende, sondern nur eine drehende Bewegung hervorgerufen werden kann.

Das statische Moment soll nun für die in Zig. 46 dargestellten, allein möglichen Fälle der Loge des Drehpunktes zu dem Kräftepaar bestimmt werden.

Liegt der Drehpunkt D zwischen den beiden Kräften (Zig. 46a), so wird, da beide Kräfte in gleichem Sinn drehen:

M= P • m -\- P -n = P(m + n) = P • a.

Liegt D auf einer der beiden Kräfte, so wird das Moment dieser Kraft — 0 und man erhält M=P-a (Zig. 46b).

Pi

43

i+Y^¹

?v

5ig. 46.

Liegt O außerhalb der beiden Kräfte ($tg. 46 c), so drehen sie in verschiedenem Stirne, und es wird:

M= P• m — P- n = P(m — n) = P- a.

Das statische Moment eines Kräftepaares ist daher stets gleich dem Produkt aus einer der beiden Kräfte und ihrem senkrechten Abstande von der anderen Kraft.

Ein Kräftepaar kann nurdurcheinKräftepaar,aberniedurcheineEin-zelkraft ersetzt oder aufgehoben werden. Das ersetzende Kräftepaar muß denselben Drehsinn und ein gleich großes Drehmoment, das aufhebende ein gleich großes Drehmoment, aber entgegengesetztenDrehsinnbesitzen.

wirken auf einen Körper mehrere Kräftepaare, so ist Gleichgewicht vor-handen, wenn die algebraische Summe der Drehmomente gleich Null ist.

2. Einzelkraft und Kräftepaar, häufig kommt in der Statik der 5all vor, daß auf einen Körper eine Einzelkraft P und ein Kräftepaar mit dem Moment Q • a wirkt. Nach dem eben Gesagten kann letzteres durch ein anderes Kräftepaar mit dem Moment Pb=Q-a

ersetzt werden, woraus man erhält b -----    •

Dieses neue Moment P • b kann man nun so verschieben, daß der Hrrrt b senkrecht zur gegebenen Kraft P steht und mithin die eine Kraft P des Kräftepaares in die Richtung der gegebenen Kraft P fällt. Diese beiden Kräfte heben sich dann gegenseitig auf, und die Wirkung einer solchen Kräftegruppe ist dieselbe, als wenn nur eine Kraft P im Rbftande b vom Drehpunkt wirken würde. Daraus folgt:

wirkt auf einen Körper eine Einzelkraft und ein Kräftepaar, so lassen sich beide zu einer Einzelkraft vereinigen, welche ebenso groß ist wie die gegebene Kraft, aber parallel zu letzterer um ein gewisses Maß b verschoben wird.

Umgekehrt kann natürlich auch stets eine Einzelkraft in ein Kräftepaar und eine zweite Einzelkraft, welche zu der gegebenen Kraft parallel ist und dieselbe Größe besitzt, zerlegt werden (bei der exzentrischen Druckbeanspruchung wird hiervon Unwendung gemacht werden).

d) Standsicherheit. Aus der Naturlehre ist allgemein bekannt, daß ein Körper nur dann im Ruhezustand sein kann, wenn sein Schwerpunkt unterstützt ist. Man kann aber jeden Körper (etwa einen Stuhl) durch Drehung so weit aus seiner Lage bringen, daß der Schwerpunkt außerhalb des Unterstützungspunktes, der Unterstützungsgeraden oder der Unterstützungsfläche zu liegen kommt und damit der Körper umfällt. In folgendem soll nur der $all erörtert werden, bei welchem der Schwerpunkt des Körpers durch eine Fläche unterstützt wird, wie das bei Raukörpern der Fall ist.

Der Raukörper muß imstande sein, durch sein Eigengewicht dem Einfluß anderer Kräfte, z. R. winddruck, Lrddruck, Wasserdruck und dgl., die ihn umzustürzen oder fortzuschieben suchen, zu widerstehen.

(Ein Fortschieben des Körpers wird weist durch die auf der Unterlage auftretenden Ueibungswiderstände verhindert. Den widerstand, welchen der Körper dem Umkanten entgegensetzt, nennt man 5 t a u d -    ,

sicherheit(Stabilität), die Kante, um welche d das Kanten erfolgt, Kippkante.    <v\

uU

$ig. 47.

Betrachtet man den Körper inFig.47 (Mauer), \\ / so erkennt man sofort, daß die Kraft/) den Kör- \ V-* per um den Punkt A zu kanten sucht. Ihr Drehmoment ist links drehend und hat die Große D • d.

(Es heißt Kippmoment oder Umsturzmoment. Die lotrecht wirkenden Kräfte ((Eigengewicht und etwaige senkrechte Belastung) suchen den Körper ebenfalls um den Punkt A, aber rechts zu drehen, wobei der Körper fest gegen feine Unterlage gedrückt und damit ein Maß für die Standfähigkeit des Körpers gegeben wird. Man nennt dieses Moment von der Große G • b daher Standsicherheitsmoment (Stabilitätsmoment). (Es wird also um so großer, je großer die

(Entfernung der lotrechten Kraft von der Kipptante ist. und je grösser Eigengewicht und Belastung werden. Ist Gleichgewicht vorhanden, so mutz fein:

4-0,so-*

G ■ b = D ■ d.

Dies reicht aber zur Standsicherheit nicht aus. Soll § letztere vorhanden sein, so muß:

G • b > D • d

sein. Ist dagegen G • b < D • b, so tritt Kanten ein.

Für die Praxis wird verlangt, daß das Standsicherheitsmoment mindestens das l,5 fache des Umsturzmomentes beträgt, also:

wir werden später sehen, daß zur Standsicherheit eines solchen Körpers aber noch andere Bedingungen, als die eben besprochene, erfüllt sein müssen.    ^

Beispiel. Die in Fig 48 in ihren Abmessungen gegebene & Mauer ist auf ihre Standsicherheit zu untersuchen. Die Mauer werde vom Mnddruck, der in der Mitte der Höhe angreift, mit 125 kg/m² belastet. Sie ist in Abständen von 2,0 m von Mitte zu Mitte mit Strebepfeilern auf einer Seite versehen. Das Gewicht des Mauerwerkes betrage 2400kg/m³.

Fr

Li

-fOO

G-b> 1,5D-d.

Htr

Zig. 48.

Lösung. Die Größe des Winddruckes ist:

W= 2,0 • 2,0 • 125 = 500 kg.

wirkt der winddruck W in der in der Figur angegebenen weise, so sucht er die Mauer um die Kante des Strebepfeilers zu kanten, der Drehpunkt ist also im Punkte D, anzunehmen, würde der wind auch von der anderen Seite angreifen, so wäre D₂ als Drehpunkt zu wählen. In beiden Fällen ist der Hebelarm von kK= 1,0 m, mithin das Umsturzmoment:

Mu ----- 500 • 100 = 50000 kgem.

Das Standsicherheitsmoment wird für den Drehpunkt Dt :

Ms = ZP-p

= 2400 - 2,0 - [o,25 • 2,0 • (0,25 + —) + 0,25 • 0,25 •

----- 937,5 kgm ----- 93750 kgem.

Mithin ist mehr als 1 ^ fache Sicherheit vorhanden. Für D₂ als Drehpunkt erhält man:

Mg -- 2400 - 2,0 • [o,25 • 2,0 • °J|- + 0,25 • 0,25 • (o,25 +

----- 301,65 kgm ----- 30165 kgem.

Also erreicht Ms noch nicht einmal die Größe von Mu, mithin wurde die Mauer kanten, wenn sie auch nach dieser Seite den winddruck aufnehmen sollte. Sie müßte daher auch auf der anderen Seite mit Strebepfeilern versehen werden. Letztere dienen mithin dazu, die Kippkante weiter nach vorn zu schieben und dadurch den Hebelarm und also auch das StandficherheitsmsmenL zu vergrößern.

VII. Die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen.

Die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen, welche erfüllt sein müssen, damit ein Bauwerk im Zustande der Ruhe sich befinde, sind in den bisherigen Erläuterungen schon aufgestellt worden, sollen aber zur größeren Übersichtlichkeit hier nochmals zusammengestellt werden.

a) Rechnerische Bedingungen. Beliebig viele in einer Ebene auf einen Körper wirkende Kräfte find im Gleichgewicht, wenn

1.    die algebraische Summe ihrer sämtlichen wagerechten Seitenkräfte gleich Null (2JH = 0),

2.    die algebraische Summe ihrer sämtlichen senkrechten Seitenkräfte gleich Null (27= 0),

3.    die algebraische Summe der statischen Momente sämtlicher Kräfte, bezogen auf einen beliebigen Drehpunkt gleich Null ist (2JM= 0). Sind diese Bedingungen erfüllt, so kann weder eine fortschreitende (Bedingung 1 und 2), noch eine drehende Bewegung (Bedingung 3) eintreten.

d) ZeichnerischeVediNgUNgen. (Eine beliebige Anzahl in einer (Ebene liegender Kräfte befindet sich int Gleichgewicht, wenn sie sich zu einem geschlossenen Krafteck mit gleichem Umfahrungssinn zusammensetzen lassen und zwischen ihren Richtungen sich ein in sich schließendes Seileck zeichnen läßt.

x,s§

Rmoentomgsbetfpiel. Die Einwirkung der äußeren Kräfte auf eine offenstehende, in stngeln bewegliche Tür soll untersucht werden (Zig. 49). stuf die Tür wirkt in ihrem Schwerpunkt S das Eigengewicht G; in den beiden stngeln muß zusammen ein Ltützenwiderstand (7, entstehen, der gleich G ist, denn nach den Gleichgewichtsbedingungen 2V= 0 muß sein: G — Gx = 0; G — G₁.

5ig. 49.

G und Gx bilden ein Kräftepaar, dessen Dreh-bestreben M=G- g beträgt. Dieses Drehmoment sucht die Tür nach rechts zu drehen, was durch die Befestigung in den stngeln verhindert wird, stuf die stngeln wirken daher wagerechte Seitendrücke, oben ein nach rechts gerichteter, unten ein nach links gerichteter, hierdurch werden jeweilig gleichgroße, wagerechte Stützendrücke als Gegendrücke hervorgerufen, von denen somit der obere //, nach links, der untere H₂ nach rechts gerichtet ist. Nach der Gleichgewichtsbedingung    0 muß sein:    ■— //₂ = 0, also

wird    = U.

Diese beiden wagrechten gegensinnigen Gegendrücke bilden ebenfalls ein Kräftepaar = H-h, das linksherumdreht.

Nach der dritten Gleichgewichtsbedingung UM = 0 muß sein: G>g-~H-h = 0;

der Seitendruck in den stngeln läßt sich somit bestimmen; /f=

h

C. Die Anwendung der statischen Gesetze auf die Vaukonstruktionen.

I. Allgemeines über Träger und deren Auslagerung.

(Ein Träger ist ein Bauteil, bei dem die auftretende Belastung ausschließlich oder doch zum größten Teile rechtwinkelig zur Längsachse bzw. zur Verbindungslinie der Stützpunkte (stuflager) des Bauteiles wirkt. Die Belastungen sind in der Hegel lotrecht, daher liegt die Längsachse der Träger meist wagerecht oder weicht nur wenig von der wagerechten ab. Unter einem Träger versteht man in erster Linie einen Balkenträger (gerade Längsachse) aus holz ober (Eisen, doch zählen auch Dachbinder, Spreng- und Hängewerke (gebrochene Längsachse)' sowie Gewölbe und eiserne Vogenträger (gekrümmte Längsachse) zu ihnen. Valkenträger sind Träger, bei denen bei lotrechter Belastung nur lotrechte Auflagerdrücke entstehen, während bei Sprengwerken bei lotrechter Belastung schiefe Stützendrücke auftreten, die jedoch in lot-und wagerechte Seitendrücke zerlegt werden können.

Die Auflagerung der Träger kann auf zwei oder mehreren Stützen erfolgen. Ist ersteres der Fall, so nennt man den Träger einen einfachen Träg er, sonst einen fortlaufen den, durchgehenden (kontinuierlichen Träger). Der Träger liegt auf seinen Stützen entweder frei aus, oder er wird auf der Stütze auf eine größere Strecke festgehalten, in welchem Falle man ihn eingespannt nennt. (Ein eingespannter Träger ist auch der Freiträger, dessen eines Ende keine Unterstützung besitzt (Balkonträger). Zuweilen besitzt ein Träger auch ein über jede oder nur eine Stütze hinausragendes Ende, man heißt ihn dannRragträger mit zwei freien Enden, bzw.Rragträger mit einem freien Ende.

Rann man mit Hilfe der drei allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung die unbekannten Stützendrücke bestimmen, wie es beim Träger auf zwei Stützen der Fall ist, so nennt man den Träger statisch bestimmt, andernfalls statisch unbestimmt (durchgehender Träger).

Die Auflagerung erfolgt entweder fest oder beweglich.

Feste Auflager müssen jedoch lot- oder wagerechte Verschiebung des Punktes, in dem die Stützung stattfindet, verhindern. Der auftretende Stützen- oder Auflagerdruck kann daher eine beliebige Richtung in der Trägerebene besitzen und demnach sowohl eine lotrechte, wie eine wagerechte Seitenkraft ergeben (Fig. 50).

J,

--jdizz.. 3 öt:

*zl %

Sifl. 60.

$ig. 61.

Bewegliche Auflager finden Anwendung, um erheblichere Längenänderungen des Trägers infolge Temperaturausdehnung zu gestatten, und ermöglichen eine Verschiebung des zu stützenden Trägerpunktes auf vorgeschriebener Bahn. Bettn beweglichen Auflager nimmt man eine reibungslose Berührung der Oberfläche des Trägers und des Auflagers an (Rollenlager). Läßt die Stützung nur reibungslose wagerechte Bewegungen zu, so muß der auftretende Auflagerdruck lotrecht gericktet sein ($ig. 51).

Bei beliebiger Belastung, wie sie etwa bei einem Dachbinder durch den Winddruck W, der senkrecht zur geneigten Dachfläche angenommen werden kann, auftritt, erfahren die Unterstützungspunkte bestimmte Drücke (Zig. 52). Da das eine Huflager als Rollenlager ausgebildet wird, so mutz nach dem eben Gesagten der Huflagerdruck B lotrecht gerichtet sein. Soll Gleichgewichtherrschen, so müssen sich die Huslagerdrücke A unbß und der winddruck W in einem punktet) schneiden.

$iq. 52.

Man hat daher B und W in C zum Schnitt zu bringen.

Die Kraft A mutz natürlich auch durch den Stützpunkt A gehen, man findet also ihre Richtung, indem man den Schnittpunkt C mit A verbindet. Die Größe von A und B erhält man aus dem Kräftedreieck, A ist barm noch in seine lotrechte und wagerechte Seitenkraft am Huflager zu zerlegen.

hinsichtlich der Belastung der Träger unterscheidet man:

1.    Linzeilasten. Die Lasten greifen an einem oder mehreren Punkten an (z. B. Kappenträger auf einem Unterzug).

2.    Gleichmäßig verteilte Belastung. Die Belastung ist auf die ganze Länge des Balkens in gleicher Weise verteilt (z. B. die Belastung eines Zimmerbalkens durch die Nutzlast, oder eines Trägers durch eine über ihn ununterbrochen fortlaufende Mauer).

3.    Streckenbelastung. Nur einzelne Strecken des Balkens tragen eine gleichmäßige Belastung (z. B. die Belastung eines Trägers durch eine von einer Türöffnung unterbrochene Mauer).

4.    Gemischte Belastung. Mehrere oder alle der unter 1 bis 3 genannten Belastungen treten gleichzeitig auf.

Die Belastung kann auch bleibend und veränderlich oder beweglich sein (Eigengewicht der Träger, auf Trägern ruhende Mauern liefern bleibende, also stets vorhandene Lasten; Raddrücke von Fahrzeugen, Menschengedränge auf Brücken, Schnee- und Winddrucke sind veränderliche Lasten).

Belastungsseld. Zur besseren Verfolgung der Kraftwirkungen, teilt man den Träger in Belastungsfelder ein, d. h. in Strecken, auf welchen die Hrt und Größe der Belastung die gleiche ist. Eine Einzel-last stellt ein Belastungsfeld von unendlich kleiner Länge dar.

(Huerkraft und Biegungsmoment, wie mir bereits sahen, werden bei einem Träger durch lotrechte Belastung Stützendrücke hervorgerufen, darn.it Gleichgewicht herrscht. Die äußeren Kräfte aber suchen auch den Träger durchzubiegen, sowie in ihrer Wirkungslinie die einzelnen Trägerquerschnitte gegeneinander zu verschieben, mithin den Träger quer zu seiner Längsachse abzuscheren. Daher ergibt sich für jeden Trägerquerschnitt eine Kraft, die den linken Trägerteil gegen den rechten zu verschieben sucht. Diese Kraft heißt (Huerkraft. Ferner tritt aber auch für jeden Trägerquerschnitt ein statisches Moment auf, welches den linken Trägerteil gegen den rechten zu verbiegen sucht und Biegungsmoment heißt.

Durch diese Beanspruchung werden innere Kräfte hervorgerufen, die mit den äußeren Kräften sich im Gleichgewicht befinden müssen; die Trägerabmessungen müssen so gewählt werden, daß der Träger die Einwirkung dieser inneren Kräfte mit Sicherheit auf die Dauer ertragen tarn.

Die Biegungsmomente sind, wie aus einfacher Überlegung zu erkennen, nicht für jeden (Huerschnitt des Trägers gleich groß. Klan muß daher zur richtigen (Ermittlung der Abmessungen eines Trägers das größte Biegungsmoment (Maximalmoment----^max) bestimmen. 3n dem (Huerschnitt, in welchem es auftritt, ist der Bruch des Trägers am meisten zu befürchten; er heißt daher der gefährliche (Huerschnitt.

11. Die Bestimmung der Auslagerdrücke, der Biegungs-momentes und der Huerkräste eines Trägers ans zwei Stützen mit einer oder mehreren Linzellasten.

Die hier, wie auch in den folgenden Bbschnitten zu behandelnden Träger erfahren nur lotrechte Belastungen, so daß auch die Richtung der beiden Buflagerdrücke lotrecht ist. Da also nur diese beiden Drücke A und B zu ermitteln sind, hat man nur zwei Unbekannte festzulegen, wagerechte Kräfte kommen nicht vor, mithin genügt die (Erfüllung der beiden Gleichgewichtsbedingungen    0 und 2JV = 0.

Ermittelung der Buflagerdrücke. a) Rechnerisches Verfahren. Die Lösung der Bufgabe wird am besten sofort an einem Beispiele gezeigt. (Ein Träger fei nach Fig. 53 mit den EinzellastenPi ----- 2000 kg, P₂ ----- 3000 kg, P₃ ----- 1000 kg und P₄ ----- 2000 kg belastet.

s,s 4< 40 4-^4° s,o >

< 1,0 =><•

iS

spo

Querfcrq/fcf/crcJi e

SÄ

i____i

dfomenteny/dche

% f> Ä

5ig. 53.

Jt-dSt+SÖO

Af d Jsr. /cm=ZOOOfy

Da die beiden Auflagerdrücke und die entgegengesetzt wirkenden Kräfte P nach der Bedingung 2 7=0 im Gleichgewicht sein müssen, so mutz sein:

A + B-A-Ps-Pe-P^O also: A + B = P₁+P₂+P₃ + Pt oder allgemein: A-j-B — 2P

mithin: A + B = 2000 + 3000 + 1000 + 2000 = 8000 kg.

Zur Bestimmung von A und B benutzt man die 3. Gleichgewichtsbe-dingung (vgl. S. 43). Um aber eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten, verlegt man den Drehpunkt zur Bestimmung von A nach B und zur Bestimmung von B nach A, da dann jedesmal der Hebelarm der einen Unbekannten und damit auch deren Moment gleich Null wird. Bestimmt man nun zunächst den Buflageibrurf A, so sind die Hebelarme sämtlicher Kräfte auf den Punkt B als Drehpunkt zu beziehen. Der Hebelarm von Px mißt demnach 1,5+ 1,0 + 0,5 + 1,0 = 4,0 m, derjenige von P₂ entsprechend 2,5 m; der von P₃ beträgt 1,5 m und der von P₄ ergibt sich zu 1,0 m. Zur (Erfüllung der Bedingung ZM = 0 muß daher sein (unter Berücksichtigung. daß das Moment von B mit dem Hebelarm 0 nicht in Betracht kommt):

oder

A • 500 — Pj • 400 — P₂ - 250 — P₈ -150 — P₄ -100 = 0 A • 500 = Px • 400 + P₈ - 250 + P₈ • 150 + P₄ • 100 2000 - 400 + 3000 - 250 + 1000 • 150 + 2000 -100

500

A = 3800 kg.

In gleicher weise erhält man für A als Drehpunkt (Hebelarme = Bbstände der Kräfte von A!):

B • 500 — Px -100 — P₂ • 250 — P₈ - 350 — P₄.400 = 0 2000 -100 + 3000 - 250 + 1000 • 350 + 2000 - 400

500

B = 4200 kg.

Die Probe mit Hilfe der Beziehung A + B= J£P gibt:

3800 + 4200 ----- 2000 + 3000 + 1000 + 2000 8000 = 8000.

Die Buslagerdrücke sind also richtig ermittelt. Man erkennt aber, daß man B auch hätte finden können aus:

B = 2P—A = 8000 — 3800 -----4200 kg.

Doch empfiehlt es sich, namentlich für Ungeübtere, auch zur Ermittelung von B die Momentengleichung aufzustellen und mit der Beziehung A + B = 27P die Probe zu machen, ob man richtig gerechnet hat.

b) Zeichnerisches Verfahren. Die Lösung der Bufgabe ist bereits unter B, IV, b, 2 besprochen. Man zeichnet, wie in Fig. 53 angegeben, unter Bnnahme eines beliebigen Poles 0 die Polfigur und sodann das Seileck. (Eine parallele durch 0 zur Schlußlinie s des Seilerfes schneidet auf AE die Strecken AC—A und CE==B ab. Die Stützenwiderstände A und B halten den gegebenen Lasten P das Gleichgewicht, da Krafteck und Seileck geschloffen sind. Die Festlegung der Lage der Mittelkraft R ist nicht notwendig.

Bestimmung der viegungsmomentes und der Guerkrast. s) Rech -nerisches Verfahren. Zur (Ermittelung des an einer beliebigen Stelle des Trägers auftretenden Biegungsmomentes und der daselbst auf-

tretenden (Querfraft denkt man sich den Träger an der betreffenden Stelle D lotrecht durchschnitten und betrachtet zunächst dar linke Träger-i9-r ^as uran zweckmäßig nochmals be-f ⁷ sonders herauszeichnet (Zig. 54). Die äußeren Kräfte hielten sich vor der Trennung das Gleichgewicht, ebenso befanden sich an jeder Stelle des Trägers die auftretenden äußeren und inneren A Kräfte im Gleichgewicht. Durch Störung sT des Zusammenhanges I des Trägers an der Schnittstelle wird natürlich auch der vorhandene Gleichgewichtszustand gestört, will man ihn jedoch aufrecht erhalten, so muß man an der Schnittstelle solche Kräfte anbringen, welche die gleiche Wirkung hervorrufen wie zuvor die inneren Kräfte. Die Ermittelung dieser inneren Widerstandskräfte lehrt die Festigkeitslehre.

Um sich die Wirkung der äußeren Kräfte klar zu machen, ermittelt man die Mittelkraft Rt der am linken Trägerstück wirkenden Kräfte nach Große, Lage, Richtung und Sinn in gleicher weise, wie auf S. 36 gezeigt wurde. Die Große von Rt folgt aus:

Rt = A — P₁ = 3800 — 2000 --- 1800 kg.

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i|

■'sv A

*-400

Fig. 54.

*2>

Si^J_

Da das Moment der Mittelkraft gleich der algebraischen Summe der Momente der Einzelkräfte ist, so erhält man den Hebelarm r in bezug auf den Drehpunkt D aus der Gleichung:

r = A-200 —-100

3800 -200 —2000-100

3,11 in.

Man fügt nun in D zwei gleich große, aber einander entgegengesetzt gerichtete Kräfte = Rt hinzu, wodurch an der ursprünglichen Kraftwirkung nichts geändert wird, da sie sich ja gegenseitig aufheben. Die ursprünglich gefundene Mittelkraft Rt und die in D in entgegengesetztem Sinne wirkende Kraft Rt bilden nun ein Kräftepaar mit dem rechts drehenden Moment: Mt — R{ • r,

welches also den linken Trägerteil an der Schnittstelle gegen den rechten

stRu® 828: Schau, Statik. 2. stuft.

1800

zu verbiegen sucht und daher dar Biegungsmoment für den Punkt D ist. (Es ist gleich der algebraischen Summe der Momente aller am linken Trägerteil wirkenden (Einzelkräfte (A und Px).

Ferner wirkt im Punkte D noch die Hilfskraft Rt quer zur Längsachse des Trägers nach oben und sucht das abgeschnittene linke Träger-stück inihremWirkungssinne, alsonachoben, zuverschieben, vorFährung des Schnittes bei D den Träger also daselbst durchzuscheren. Man nennt diese Kleist darum auch Scherkraft, oder häufiger noch Buerkraft (Transversalkraft) und pflegt sie mit V zu bezeichnen.

hieraus geht zur Erklärung der Begriffe „Biegungsmoment" und „Buerkraft" folgendes hervor:

Das Biegungsmoment für einen bestimmten Trägerabschnitt ist dasjenige Kraftmomettt, welches den linken Trägerteil gegen den rechten an der Schnittstelle zu verbiegen sucht. Vas Biegungsmoment ist gleich der algebraischen Summe der Momente aller am abgeschnitten gedachten Trägerteil wirkender äußeren Kräfte in bezug auf denSchwer-punkt des Querschnitts der Schnittstelle als Drehpunkt.

Die Buerkraft für einen bestimmten Trägerabschnitt ist diejenige Kraft, welche den linken Trägerteil gegen den rechten in ihrem Wirkungssinne im betrachteten Buerschnitt zu verschieben sucht. Die Buerkraft ist gleich der Mittelkraft aller am abgeschnitten gedachten Trägerteil wirkenden äußeren Kräfte.

Betraget man das rechte Trägerstück ($ig.54), so erhält man für die Große der Mittelkraft der an ihn wirkenden Kräfte:

Rr~B-PM-P,-Pt

Rr ----- 4200 — 3000 — 1000 — 2000 ----- — 1800 kg.

Rr hat also dieselbe Größe wie R[t ist jedoch entgegengesetzt gerichtet. Für D als Drehpunkt erhält man:

Rr • r = B • 300 —    • 50 — Ps • 150 — P₄ • 200

3,11 m.

4200 - 300 — 3000 -50 — 1000-150 — 2000 • 200

—1800

Vas Vorzeichen gibt an. daß R auf der dem rechten Trägerstück abgekehrten Seite liegt; da außerdem r denselben wert hat, wie für das linke Trägerstück, so hat Rr dieselbe Lage, aber entgegengesetzten Sinn wie Rt. Da beide in dieselbe Gerade fallen, so heben sie sich auf, und

Bestimmung der Querkräfte es ist Gleichgewicht vorhanden. Da Rt ----- Rr und r konstant, so folgt:

Rr r — Rr • r oder Mt --- Mr.

Die Momente der Mittelkräfte sind für beide Trägerstücke in bezug auf einen beliebigen Drehpunkt also gleich, doch ist Mr ein links drehendes Moment. Die Momente haben mithin entgegengesetzten Drehsinn, aber gleiche Größe und halten sich daher im Gleichgewicht.

Die in D am rechten Trägerstück verbleibende, nach unten gerichtete Hilfskraft Rr ist die Querkraft für das rechte Trägerstück und sucht dieses nach unten zu verschieben. Sie ist eben so groß, aber entgegengesetzt gerichtet, wie die Querkraft Rt für das linke Trägerstück und befindet sich mit ihr im Gleichgewicht.

Zur Ermittelung des Biegungsmomentes und der Querkraft für einen beliebigen Querschnitt ist es daher gleichgültig, ob man das Trägerstück links von der Schnittstelle oder dasjenige rechts von ihr betrachtet. Zweckmäßig wählt man das einfachere Trägerstück, alsodas, an welchem die wenigsten Kräfte wirken.

Für den Fall in Fig. 53 erhält man als Biegungsmoment demnach: M = R • r = 1800 • 311 = 559 800 kgcm und als Quertraft: V = Rl = Rr = 1800kg.

würde man unmittelbar hinter A den lotrechten Schnitt führen, so müßte nach obiger Erklärung für die Querkraft werden:

Vx = A = + 3800 kg.

Diesen wert hat die Querkraft an jeder Stelle bis zum Angriffspunkt von Plt also über das ganze erste Belastungsfeld. Für sämtliche Belastungsfelder erhält man demnach für jede beliebige Schnittstelle des betreffenden Feldes:

1. Belaftungsfelö: Vl=A = -f- 3800 kg

2.

„    V₂    = A — P₁ = 3800 — 2000 ----- + 1800 kg

3.

„    V,    = A — P, — P₂=3800—2000—3000=—1200 kg

4.

„    V4c    = A — Pl —P₂ —P₃ = 3800—2000—3000—1000

----- — 2200 kg

5.

„    V, = A — P₁ — P₂ — P, — P₄ = 3800—2000 — 3000

— 1000 — 2000 = — 4200 kg = B.

Die Querkraft ist im 3.Belastungsfelde negativ, der Übergang muß also im Angriffspunkte E von P₂ stattfinden, wir werden gleich sehen, welche Bedeutung dies hat.

Denkt man sich einen lotrechten Schnitt zwischen Ä und Pt in einer (Entfernung — lern von A geführt, so würde für den Drehpunkt im Schwerpunkte des Huerschnittes an der Schnittstelle das Biegungsmoment des linken Trägerstückes:

M = A • 1,0 = 3800 • 1,0 = 3800 kgem,

für einen Schnitt in der Entfernung —2cm von A ober:

M = A • 2,0 = 3800 - 2,0 = 7600 kg

also doppelt so groß.

Man erkennt sofort, daß das Moment proportional mit der Entfernung wächst, um schließlich bei C einen gewissen Höchstwert zu erreichen. von da ab muß infolge des hinzutretens der Kraft Px natürlich eine neue Momentengleichung aufgestellt werden, doch wird, da bis E keine weitere Kraft angreift, das Moment bis E wieder proportional wachsen uff. (Es wird daher genügen, das Moment nur für diejenigen Punkte als Drehpunkte zu bestimmen, in denen die Einzel-lasten angreifen.

Man erhält dementsprechend:

$ür Drehpunkt A (Hebelarm — 0) (Zig. 55):

Ma = A- 0== 3800-0 = 0.

Zür Drehpunkt C (Bbb. 56):

Mx = A - 100 — P, • 0 = 3800 -100 — 2000 • 0 ---- 380000 kgem.

Zür Drehpunkt E (Bbb. 57):

== A • 250 — Px • 150 — P₂ • 0¹)

Mt ----- 3800 - 250 — 2000 • 150 ----- 650000 kgem.

Zür Drehpunkt F (Bbb. 58):

M₂ = A. 350 — P, • 250 — P₂ -100.

M, ----- 3800 • 350 — 2000 • 250 — 3000 100---- 530 000 kgem.

K<

400 —>

250

rT

+-—SOO-J

ES?

5tg. 58.

$ig. 57.

$iQ. 55. $iQ. 56.

Einfacher erhält man unter Benutzung des rechten Trägerstückes (Bbb. 59): Ma = B - 150 — P₄ • 50

----- 4200 -150 — 2000 • 50 ----- 530000 kgem.

1) Dieses Moment fällt aus der Rechnung heraus und soll daher in Zukunft nicht mehr geschrieben werden.

Für Drehpunkt G (flbb. 60):

Mi=A- 400 — Pt • 300 — Ps • 150 — P„ • 50

Mt --- 3800 • 400 — 2000 • 300 — 3000 • 150 —1000 • 50 = 420 000 kgcm.

300

SSi

Ä

— 400 -

«— /SO--»

L_

WS0W

<r

— Ooo

5tg. 59.

Sig.ei.

Big. 60.

Einfacher unter Benutzung bes rechten Trägerstückes (Hbb. 61):

Mi = B-100 = 4200 -100 ----- 420000 kgcm.

Für B wirb entsprechet wie bet Ä: Mß = B- 0 = 0.

Ittan erkennt hieraus, daß das größte Biegungsmoment bei £ auftritt, mithin an derselben Stelle, wo die (Quertraft V = 0 wird, also am kleinsten ist und aus dem positiven ins Negative übergeht. Umgekehrt sieht man, daß das Nloment am kleinsten am Auflager ist, wo die (Querfmft ihren Höchstwert hat. Aus diesen Betrachtungen läßt sich daher der Satz aufstellen:

Das größte Biegungsmoment tritt an der Stelle auf, wo die (Quertraft gleich Null ist oder den Wert Null durchläuft.

Wir sahen, daß die (Querkraft an jeder Stelle gleich der NUttelkrast aller auf das betrachtete Trägerstück wirkenden Kräfte ist. von diesen ist nur der Auflagerdruck nach oben gerichtet, während die belastenden Kräfte entgegengesetzt gerichtet sind. Daraus folgt, daß die (Quer-krast da gleich Null wird, wo die das eine Balkenstück belastenden Kräfte gleich dem zugehörigen Auflagerdruck werden. Daher gilt der Satz:

Der gefährliche (Querschnitt teilt den Balten so in zwei Teile, daß die auf jedem Teil ruhendeBelastung gleich dem zugehörigen Auflagerdruck ist.

Dieser Satz gilt für jede Belastung, also nicht nur für Einzellasten. Er liefert auch eine einfache Regel, um die Stelle des gefährlichen (Querschnittes durch Kopsrechnung zu ermitteln. Ittan muß nur von links nach rechts oder umgekehrt die belastenden Kräfte bis zu der Stelle zusammenzählen, an welcher sie die Größe des zugehörigen Auslagerdruckes erreichen oder überschreiten. Da bei Einzellasten dies nur an einer Stelle eintreten kann wo eine Einzelkraft wirkt, so folgt weiter:

Der gefährliche Querschnitt liegt bei Belastung durch Linzellasten stets unter einer Linzellaft.

~-4o.

-L

91

b) Zeichnerisches Verfahren. Man denkt sich auch hierbei den Träger an einer beliebigen Stelle D durchschnitten und ermittelt nun nach i# Fig. 62 zunächst für das linke Trägerstück mit 1 ⁷ Hilfe der Polfigur in $tg. 53 und des Seileckes j die Mittelkraft Rt. (Ebenso verfährt man für 10 das rechte Trägerstück und findet so Rr = Rt I nach Große, Lage und Richtung, aber entgegen» nv gesetzten Sinnes. Durch Messung vonr=3,ll m unb/?=A — =ß —• P₄ P,— P₂ = 1,80 cm = 1800 kg, ergibt \\ä\ M = R-r = 1800 • 311 = 559800 kg cm wie beim rechnerischen Verfahren. Bezüglich des Biegungsmomentes und ! der Huer kraft kann man nun dieselben allge-I meinen Betrachtungen anstellen, wie es beim rechnerischen Verfahren geschah, indem man in D wieder die gleich großen, aber entgegengesetzt gerichteten hilfr-~] fräste R anbringt.

§ig. 62.

JK Um die Größe des / Biegungsmomentes für yf einen beliebigen punktO ' zu bestimmen, zieht man nach dem bereits auf S.37 beschriebenen ver-fahren durch D eine parallele zur Mittelkraft (Fig. 53). Die zu den gegebenen Kräften gehörigen, die Mittelkraft einschließenden, äußeren Seileckseiten (hier und die Schlußlinie s) schneiden auf dieser parallelen die Strecke y ab. Nach dem auf S. 37 Gesagten ist daher das Biegungsmoment für D:

MD = H-y.

Da hier //= 1,45 cm, also //= 1,45 • 2000 = 2900 kg und y =193 cm, so ergibt sich das Moment MD==2\)00*193=559700 kgem, was mit dem früher gefundenen rechnerischen Ergebnis fast genau übereinstimmt.

H ist, einmal angenommen, eine unveränderliche Größe. M ändert sich daher nur mit y, so daß die lotrechten Abschnittey unmittelbar die Momente darstellen. Man nennt daher die von der Schlußlinie und den Seilecken begrenzte Fläche die Momenten fläche. Man erkennt aus ihrem verlause, wie oben schon durch die Rechnung, daß

die Momente zwischen je zwei Lastpunkten proportional zu- bzw. abnehmen und in den Lastpunkten jeweils einen gewissen Höchstwert erreichen, und daß daher auch das größte Biegungsmoment unter einem Lastpunkte liegen muß, nämlich da, wo y ant größten ist.

3n unserem Falle tritt Mmax, wie schon die Rechnung zeigte unter P2 auf, da y hier am größten ist. Man mißt im Punkte E die Länge = 1/max = 224 cm (Fig. 55), mithin wird:

Mmax = H - z/max = 2900 - 224 ----- 650 000 kg cm.

wie oben auch durch Rechnung gesunden wurde.

Z3

wir sahen bereits bei dem rechnerischen Verfahren, daß die (Huer-kraft innerhalb eines Belaftungsfelbes bei Belastung durch Einzelkräfte ihren wert beibehält und nur in den Lastpunkten sich sprungweise ändert. Man kann nun auch eine Fläche zeichnen, die sür jeden Trägerquerschnitt die Größe der (Huerkraft angibt und daher (Querfrafts8 fläche genannt wird. Man trägt zu diesem Zwecke von einer wagrechten, der Nullachse, deren Länge =AB ist, unter jedem (Querschnitt den zugehörigen wert der (Huerkraft lotrecht auf, und zwar die positiven werte nach oben, die negativen nach unten (Fig. 53). stm zweckmäßigsten benutzt man dazu die Polfigur, mit deren Hilfe man die (Huerkraste unmittelbar durch Zeichnung bestimmen kann. Man legt durch den Punkt, in welchem die Gleichlaufende S zur Schlußlinie s den Rräftezug trifft und dadurch R in die Auflagerdrücke A und B zerlegt, die wagerechte Nullachse und überträgt nun, wie Fig. 53 zeigt, die (Huerkräfte unmittelbar aus dem a Kräftezuge. Man subtrahiert also, von A ausgehend, gewissermaßen zeichnerisch die Cinzelkräfte, wie es $ oben durch Rechnung geschehen ist.

G>u*rXra/b-

//dche.

= H-y

max»

max

jf/cmen tenf/dcfie

5ig. 63.

Belastung durch Einzellast (Fig. 63). Dieser Fall ist ein Sonöerfall # des eben beschriebenen Er soll nur allgemein behandelt werden. Fig. 63 zeigt die zeichnerische, ohne weitere Erklärung verständliche Lösung. Der gefährliche (Huerschnitt und damit das größte Biegungsmoment liegen unter der Cinzellaft. M

%

(1)

Rechnerische Lösung. (Es ist:

A + B = P,

Die Momentengleichung in bezug auf den Punkt B ergibt: A-l-P-b = 0,

woraus:

in bezug auf den Punkt A findet man:

B-l-P-a = 0, also: ß = ~

(3)

Buerkräfte: 3m ersten Velastungsfelde wird:

Vt=A

und im zweiten Velastungsfelde bei Betrachtung des linken V, = A-P

oder einfacher bei Betrachtung des rechten Trägerstückes:

V₂ = — B, also auch: A — P = — B,

$ig. 64. Trägerstückes:

,1

was man auch aus Gleichung (1) erhielte, wenn man berücksichtigt, datz P>A sein muß.

Viegungsmoment: Zür C als Drehpunkt erhält man bei Betrachtung des

linken Trägerstückes ($tg. 64):

max

= A • a, und da: A -----P-a-b

P-b

ff

ff

so folgt: M

•    (4)

Gucrkraf'hf/ach

Js>

,S±

max

Bei Betrachtung des rechtenTrägerstückes erhält man gleich-

faI1S:^max=ß-f P-a-b

Momentenf/acA 6

•V

]jrnoe:

5tg. 65.

wirkt die Einzellast in der Trägermitte, ist also: a=&=* , so wird:

„ Z PI ~ä'2⁼22

y und: M

max

PZ

(5)

oder: As

Belastung durch zwei Einzellasten in gleichem Hbstand a vom Huflager. Die zeichnerische Losung zeigt Fig. 65.

Rechnerische Lösung. Huflagerdrücke: (Es ist:

A + B = P+P=2P.

max

Da die Lasten symmetrisch angeordnet sind, muß sein:

A = B = P,

r~

was man auch aus der Momentengleichung erhält, nämlich: A-l — P(l — a) — P. a = 0 A-l — P-l + P-a — P-a = 0 Al —PI A — P.

(ßuerfraste: Cs wird im 1. Belastungsfeld Vx -----A,

5tg. 66.

F₃=A-/>=A-A = 0,l DOn link- gerechnet Vs = — B, von rechts gerechnet.

2.

3.

Biegungsmomente: Unter der ersten Last wird für C als Drehpunkt: Mc—A>a, oder da: A — P ist, wird: Mc = P-a.

Für D als Drehpunkt wird (von rechts gerechnet):

MD = B-at also da: B — P ist, auch: MD = P-a.

Für eine beliebige Stelle im Kbstand x von A wird (Fig. 66):

Mx — A • x — P • (x — a), oder da: A — P,

Mx*= P • x — Px -f P • a,

Mx — P • a.

Das Moment hat also den Höchstwert Mmax = P- a und behält diesen auf dem ganzen mittleren Belastungsfeld bei; jeder Buerschnitt in diesem Felde ist also ein gefährlicher Buerschnitt.

III. Träger auf zwei Stützen mit gleichmatziger Belastung.

Aufgabe. Ein Träger von 6,0 m Stützweite fei mit 10 kg für 1 cm Länge gleichmäßig belastet. Die Auflagerdrücke, ttfuertmfte und größtes Biegungsmoment sind zu bestimmen (Zig. 67).

Q = ql.

a) Rechnerische Lösung. Kuflagerdruck. Zur eine Stützweite von l in und eine Belastung von q kg/qcm wird ganz allgemein die Gesamtbelastung :

Da die Belastung symmetrisch ist, muß sie sich zu gleichen Teilen aus die beiden Auflager verteilen. Es ist also:

(3= q l

nx

Q»

Qs

<k

a₃

(D

>3-

5,

C-V4

sr

S4

j" ¹

4-£/

ifliitjg.

QuerJrraftsytacäe,

U-?

iz

•AsOmen ien/{tzcJie

-Iz

y^naA'

4,

5ig.67.

Mdtf i-too

sk, d dk fom* £0OO&?

(Querträfte: Die (Querfraft nimmt infolge der gleichmäßigen Belastung nicht sprungweise, sondern gleichmäßig, und zwar für jede Längeneinheit um die Größe q (für noch kleinere Längen um noch kleinere Matze) ab. Für eine beliebige Schnittstelle im Abstaube x hat sie, da sie am Auflager natürlich wieder = A ist, demnach die Größe (Zig- 67):

V= A — q • x oder, da: A

₌ 9_1

(1)

Größtes Btegungsmoment

59

Gefährlicher Querschnitt: Der gefährliche Vuerschmtt hegt bet, wo V=0 ist. In Gleich.(2) wirb btes eintreten, wenn x = -^. Der gefährliche Querschnitt liegt bei einem gleichmäßig belasteten Träger also stets in ber Mitte bes Trägers.

Größtes Biegungsmoment: Da ber gefährliche Querschnitt in ber Trägermitte [ liegt, benkt man sich ben Träger in ber Mitte burchschnitten unb zeichnet bas linke Träger-stück wieber heraus (Zig. 68). Hrt Uräften

wirken ber Auflagerbruck A = ^~ unb bie auf bie Strecke gleichmäßig verteilte Belastung q Letztere kann man, wenn man sich q

für jebe Längeneinheit aufgetragen benkt, wie in Zig. 67 burch ein Rechteck barstellen, in besten Schwerpunkt sie angreift. Der zugehörige

Hebelarm in bezug auf bie Schnittstelle ist bemnach Man erhält

baher für bie Schnittstelle bas Moment:

n l ll ll A 2 q 2 ' * q 2 ' 2    ^ 8 5=6 g 4

ober, ba: ql = Q, auch: Mmax Zür eine beliebige Stelle im Rbstanbe x von A wirb nach Zig. 67:

Mx — A * x — qx * ~

Mx-q^x-qx-%

Mx = q~(l — x).

Mmax

M,

max

oel^

MM

Zig. 68.

«Öls.

Zür x = 0 wird daher auch Mx — 0, d. h. das Moment hat in den Auflagern den wert 0.

Zür unser Zahlenbeispiel wird:

g = q.Z=10-600 = 6000 kg Q 6000 __ 200() kg

A~B = —

<N Ot

. I 6000 - 600

max

-= 450000 kgem.

b) Zeichnerische Lösung. Man kann den Fall auf den Fall der Belastung mit Einzellasten zurückführen» indem man den Träger in gleich breite Streifen zerlegt und die auf jeden Streifen wirkende Belastung durch eine im Schwerpunkte des Streifens angreifende Einzellast ersetzt. Mit Hilfe des Seilecks bestimmt man dann nach Fig. 67 die (puerkräfte und erhält dieselben werte wie durch Rechnung. Es gelten also die oben gefundenen Formeln.

Bei der genannten Zerlegung des Trägers in gleich breite Streifen erhält die (yuerkraftsfläche die in Fig. 67 punktierte Gestalt. (Es ist klar, daß diese Fläche ungenau ist. Sie wird umso genauer werden, je schmaler man die Streifen wählt, und die abgetreppte Linie wird in eine Gerade übergehen, sobald die Streifen unendlich schmal werden. Man braucht also nur die verbindungsgerade CD zu ziehen» um die obere und untere Begrenzung und damit die genaue Gestalt der (Huerkraftsfläche zu erhallen. Da die beiden so entstehenden Dreiecke deckungsgleich sind, so schneidet CD die Nullinie in der Mitte. Der gefährliche (Querschnitt ergibt sich also auch hier in der Trägermitte.

Das Seileck liefert gleichfalls eine noch ungenaue Gestalt der Momenten-fläche. Die Genauigkeit wird auch hier umso größer, je schmaler die Streifen sind. Bei unendlich kleiner Breite geht das Seileck in eine Kuroe (Parabel) über (Fig. 67). Das größte Biegungsmoment liegt in der Mitte und hat

max

= H ■ »max- fln einer

beliebigen Stelle des Trägers hat man x/ zu messen und erhält hierfür M—H-y.

nimmt man den pol auf der im Halbierungspunkte von Q errichteten Winkelrechten an, so wird die Schlußlinie s des Seilecks wagerecht (Fig. 67). Die äußeren Seilstrahlen, welche die Berührungslinien in den Parabelpunkten Ax und    darstellen,

schneiden sich auf einer durch die Trägermitte gelegten Lotrechten. Der Scheitel der Parabel geht durch die Mitte des Abstandes E G, also wird EG = 2EF — 2y

wieder den wert M '

Jt jr * ji

EG

max »

oder ymax = —• Da

Träger mit Streifen lasten

61

eine Parabel durch drei Punkte (hier A, B und F) bestimmt ist, so braucht man die Zerlegung in Streifen nicht vorzunehmen, um die Momentenfläche zu zeichnen, sobald man die Konstruktion der Parabel kennt. Diese sei im folgenden für eine wagerechte und eine geneigte Schlußlinie § angegeben; sie ist für jedes Parabelstück anwendbar (Fig. 69 a und b).

Ulan zieht die äußeren Seilstrahlen der Parabel s₀ und sn im Punkte At und Blt bestimmt ihren Schnittpunkt G, zieht die Lotrechte EG und halbiert sie im Punkte F, welcher dann ein Parabelpunkt ist. EF ist die größte Parabelordinate. Sodann zieht man die Hilfslinien A{ F und B₁F. Zur Bestimmung irgend eines Parabelpunktes im Abstande x (senkrecht zur Kraftrichtung gemessen) bringt man die im Abstande x gezogene Lotrechte MN (bzw. parallele zur Kraftrichtung) mit AXF (bzw. für das rechte Parabelstück) 3um Schnitt in H, zieht durch H eine Gleichlaufende zur Schlußlinie ^und bestimmt deren Schnittpunkts mit A₁L, verbindet J mit F, so ist der Punkt K als Schnittpunkt von MN mit JF der gesuchte Parabelpunkt. — Auf diese weise bestimmt man noch andere Punkte, durch deren Verbindung sich die gesuchte Parabel ergibt. Die Grdi-naten der damit bestimmten Momentenfläche dienen zur genauen Ermittelung der Momente an beliebigen Stellen des Trägers.

In unserem Beispiel ist H — 1,5 cm, also //= 1,5 • 2000 = 3000 kg. Man findet, da ymax = 150 cm, mithin das Moment:

max

wie oben durch Rechnung.

max

= 3000 150--- 450000 kg/cm,

IV. Träger aus zwei Stützen mit Streckenlasten.

Man denkt sich die Streckenlast durch eine oder mehrere Einzellasten ersetzt, die im Schwerpunkte der betreffenden Strecken angreifen und verfährt im übrigen genau wie bisher.

V. Träger auf zwei Stützen mit gemischter Belastung.

Dieser Fall kommt eigentlich stets vor, da das Eigengewicht des Trägers eine über diesen gleichmäßig verteilte Belastung darstellt. Doch ist das Eigengewicht im vergleich zu den anderen Belastungen so gering und daher von so unbedeutendem Einfluß auf die Abmessungen des Trägers, daß man es in der Regel ohne wesentliche Fehler vernachlässigen kann.

Aufgabe. Der in Fig. 70 gegebene Träger sei mit q = 5 kg/cm gleichmäßig und ferner in den gegebenen Abständen mit den Einzellasten Pi ----- 2000 kg, P₂ ----- 3000 kg und P₃ ---- 2000 kg belastet. Auflagerdrücke, Huerkräfte und Biegungsmomente sind zu bestimmen.

«STY

^ jr\*~

\S₀

«£

4?

s.

6/

J9'

«y

ijrna,. V

XX

yoo

J/.<Z zfs.zoc

] v# </ J#- lotn=2000Äy

Ltg. 70.

a) Rechnerische Lösung. Huflagerbrücfe: Bei Bestimmung be$ Huf» lagerdruckes A erhält man für den Drehpunkt B:

A -1000 — Px - 800 — ^.700-/^.300-^/. 500 = 0 woraus sich unter Ein setzung der gegebenen werte P ergibt:

2000 - 800 + 5000 700 + 2000 - 300 + 5 • 1000 ■ 500

A = 6800 kg.

$ür den Drehpunkt A erhält man:

woraus: B

B -1000 — P₃ - 700 — P₂•300 — Pt • 200 + q - l • 500 ----- 0, 2000.700 + 3000 • 500 + 2000 • 200 + 5 • 1000 • 500

1000

B ---- 5200 kg.

Probe:

A + ß=g./ + P₁+P₂+P3 6800 + 5200 = 5,0 -1000 -j- 2000 + 3000 + 2000 12000 = 12000 kg, also richtig.

Gefährlicher (Querschnitt und Uuerkraft: Die Belastung wird nach Fig.70 wieder in einzelne Felder zerlegt, worauf dasjenige Belaftungsfelb gesucht wird, in dem die Huerkrast = 0 wird. Km Knfange des dritten Belastungsfeldes bei D wird:

V& = A — Px — P₂ — q • (200 + 100) = 6800 — 2000 — 3000 — 5-300 K₈ = + 300 kg,

und am Ende des dritten Velastungsfeldes bei E erhält man:

V₄ = A — Pl—Pi—q (200 4-100-s- 400)=6800 — 2000 — 3000 — 5-700 F₄ = — 1700 kg.

<? £ *— y<o0

Der gefährliche Querschnitt liegt also zwischen D und E. Da bei D noch 4-3(0 kg vorhanden waren, so muß bis zum gefährlichen Huerschnitt noch eine Last von gleicher Größe ruhen, J[, es ist also der gefährliche (Querschnitt von D noch:

— 60 cm, o

_    ., v- •    300    300

qr • x = 300, mithin: x = —

mithin vom linken Kuflager xt = 360 cm entfernt.

5^9* 71.

Viegungsmoment: Man zeichnet sich das linkeTräger-stück heraus (Fig. 71) und erhält:

max

oder, da:

= A - 360 — Q, - 260 — Pl - 160 — Q, ■ 110 — P₈ - 60 — g - x -|

0, = 5 • 200 = 1000 kg, 0₂ = 5 • 100 = 500 kg, q ■    = 5-60=300 kg

= 6800-360—1000 260—2000-160—500-110—3000• 60—300•⁶⁰

max

Mmax = 1624000 kgcm.

b) Zeichnerische Lösung. Man kann dabei zwei töege einschlagen. Erstes verfahren. Man zerlegt, wie in Fig.62, den Trägerin Belastungsfelder und schaltet die Linzellasten zwischen die durch öte Teilung entstehenden Strerfenlaften. hierauf zeichnet man Kraft« und Scilccf und bestimmt daraus die gesuchten Größen in bekannter weise. Die Strecken-

JP ?

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cf.    ? - SOO.

ol. /o?n~£000%cjr

<s;

Fig.72.

lasten ergeben in der Begrenzung der Momentenfläche Parabelstrecken, genügt zu ihrer Konstruktion, die Endpunkte der einzelnen parabelstre (z.V.O, Ej) zu verbinden, durch die Schnittpunkte der Zeilstrahlsn (Ot) S zu ziehen und die so gewonnenen Kbstände (FlG₁) zu halbieren. Halbierungspunkte find Parabelpunkte.

___Valkenträger unter dem Einflüsse beweglicher Lasten

65

Die Begrenzung der Q)uerfraftsfläd)e ändert sich auf die Länge der Ve-lafturtgsfelöer naturgemäß stetig, in den Lastpunkten der Einzellasten aber sprungweise.

Zweites verfahren. Streckenlasten und Einzellasten werden getrennt behandelt, und für jede der beiden Gruppen werden unter Benutzung desselben Kräftemaßslabes und desselben Polabstandes in der p< lfigur die Momenten- und Huerkraftsfläche gezeichnet (Fig. 72). Derselbe Polabstand für beide Gruppen ist erforderlich, damit man die Gesamtordinalen y unmittelbar abgreifen kann. Da jedoch der eine Teil der Momentenstäche oberhalb, der andere unterhalb der Schlußlinie zu liegen kommt, so sind auch die Pole auf beiden Seiten des Kraftetfs entsprechend anzunehmen. Auch wird es in der Regel erforderlich werden, die Lage des einen Poles so zu verändern, daß die Schlußlinien der Seilecke für beide Gruppen zusammenfallen (s. Fig. 72).

VI. Berechnung einfacher Balkenträger unter dem Einflüsse beweglicher Lasten.

während bei den Hochbauten in den meisten Fällen nur ruhende Belastungen in Rücksicht zu ziehen sind, kommen bei den Bauwerken der Tiefbaus und des Maschinenbaus vielfach bewegliche Lasten in Frage. So sind bei Berechnung von Brückenbauten bei Eisenbahn-brücken die Raddrücke der beweglichen, das Bauwerk befahrenden Eisenbahnzüge, bei Straßenbrücken Dampfwalzen, Fuhrwerke, Menschengedränge als bewegliche Lasten zu berücksichtigen. 3tn Maschinenbau spielen z. B. bei der Berechnung der Rranträger bewegliche Lasten eine Hauptrolle, hierbei handelt es sich jedoch nicht wie bei Brücken um eine große Reihe sich bewegender Einzellasten, sondern es sind meist nur eine geringe Zahl vorhanden, sie werden durch Raddrücke der auf der Rranbahn sich bewegenden Laufkatzen hervorgerufen.

Jeder Träger muß, wie jedes Bauwerk, derartige Abmessungen erhalten, daß er die durch die äußeren Kräfte bedingten inneren Kräfte leisten kann, da andernfalls die Zerstörung erfolgen würde. Bei den statisch bestimmten Trägern hängen die äußeren Kräfte von derTräger-stützweite und der Art der Lastübertragung in der Trägerfahrbahn ab, das Trägersystem spielt keine Rolle. Für Träger mit voller wand und solche mit aufgelöster (Fachwerkträger) gilt daher nachstehendes in gleicher weise.

Es ist nun die Aufgabe zu lösen, den Einfluß beweglicher, einander paralleler Lasten auf irgend eine Unbekannte Z, um deren Ermittlung es sich bei einer Trägerberechnung handelt, festzustellen. Z tarnt

KNuG 828: Schau, Statik. 2. ftufl.

also einen Stü^enmiöerftanö, ferner das Biegungsmoment, die (Quer5 kraft für einen bestimmten (Querschnitt usf. bedeuten. (Es muß hierbei immer die für die Abmeffungsbeftimmung ungünstigste Annahme gemacht, also die gefährlichste Laststellung aufgesucht werden.

Das wichtigste Verfahren zur Herbeiführung der gewünschten Ergebnisse ist das der Eins lußlinien. hierbei find zwei Fälle zu unterscheiden

1.    Die beweglichen Lasten wirken unmittelbar auf den Träger

2.    Die beweglichen Lasten wirken mittelbar auf den Träger.

1. Einflutzlinien für unmittelbare Belastung.

a) 6$ wirken Linzellasten. Man läßt eine Cinzellast P, die in der Regel gleich der Einheit (z.B. P— 1*) gewählt wird, über den Träger wandern, bestimmt für jede £aftftellung der Last P den Einfluß auf

Ix

Cl

MS

X's

i'

5ig. 73.

die Größe Z (die y | <Einflu6grö6e=n) ^ und trägt diese Cin-i flußgröße r\ von einer Rullinte A'B' aus in der Rich-tungslinie der Last und unter Berücksichtigung des Vorzeichens ab. Die Endpunkte aller der Einflutzgrö-ßen für Z liegen bei der Wanderung der Last P über den Träger auf einer Linie, die man die Einflußlinie für Z nennt. Die von der Rullinie, den Endordinaten und der Einflußlinie begrenzte Fläche heißt die Lin flußfläche. Sie fetzt sich im allgemeinen aus positiven und negativen Teilflächen zusammen (vgl Fig. 73).

wirkt statt der LastP----1 eine Last von derGrößeP, so wirdZ auch P

Vf«

$IQ. 74.

Js»

f-.i.

B mal so groß, also Z = P*n. 1 k Liegt die größte Drdi-Ä £ nate n der Cinflutzfläche —unter dem Punktes und be-^ findet sich die Last P über * M, so bezeichnet man diese ^ Stellung der wandernden Cinzellast als gefährlichste Lastlage.

Ist ein Lastenzug vorhanden, so ist der bei einer bestimmten Stellung des Zuges aus dem Träger entstehende Gesamtwert Z gleich der Summe der durch die einzelnen Lasten herrührenden Einzelwerte Z. Sind die auftretenden Lasten Pv P₂, P₃ uff., und die ihnen zugeordneten (Eilt5 flußgrötzen der Einflußfläche nu n₂, n₃ uff. (Zig. 74), so ist die Ge-samtgröße

Z --- P₁ri₁ + P₂rj₂ + P₃n₃ +

Diejenige Lage des tastenzuges ist die gefährlichste, für welche diese Summe ihren Grenzwert erreicht. Sind nur positive oder nur negative Einflußgrößen vorhanden (wie z. B. in Zig. 74), so ist nur ein Grenzwert möglich. Sind jedoch positive und negative Einflußgrößen gleichzeitig vorhanden, so sind zwei Grenzwerte und zwar der Größtwert und der Kleinstwert zu bestimmen (Zig. 73).

Lr

flTl

EP

$ig. 75.

b) (Es wirkt eine gleichmäßig verteiltevelastung. Eine gleich-./ mäßig verteilte Last kann man A auf unendlich nahe aneinander- j liegende Einzellasten zurückfüh- ^ ren. Die Einflußgrößen liegen daher ebenfalls dicht nebeneinander, sie erfüllen somit die Cin-flußfläche. Der Gesamtwert Z wird daherz.B. für den in Zig. 75 dargestellten Zall dadurch bestimmt, daß man die Einflußfläche F = C' D' D" C" mit q, der Belastung für die Längeneinheit, multipliziert ^ = q . p

Pi

Beispiel. (Es soll für die Mitte eines Trägers auf zwei Stützen bei gleichmäßig verteilter Be- j lastung das größte Moment    Pr

mittels der Einflußlinie bestimmt werden (Zig. 76).

5ig. 76.

A'

Lösung. Läßt man eine Ein- j* zellast P = 1 über den Träger wandern, so ist die gefährlichste Lastlage die über den Mittel-querschnitts. Die Einflußgröße n„, also das in ^entstehende Moment, ergibt sich zu:

ii

1 l l n" ⁼ 2 ' 2 ⁼ 4'

Man wählt nun für die Austragung einen Momentenmaßstab und trägt f|„ — N'N" auf. verbindet man N" mit A' und B', so ergibt sich die Einflußfläche. Der Größtwert Z — Mmax wirb = q • F; demnach:

l_ ₌ qP

JA

Mmax = 9 ¹ 2"/- 4

3m allgemeinen haben die Ordinate« n verschiedene Vorzeichen. Die Einflußfläche besteht somit aus positiven und negativen Teilflächen. Es gibt dann stets mindestens einen Punkt, in welchem die positive Teilfläche in die negative übergeht, also die Einflußlinie die Nullachse A' B' schneidet. Die Einflußfläche wechselt in diesem Punkte das Vorzeichen.

Ein Lastpunkt, für den die Linflußgröße zu Null wird, heißt eine Belastungsscheide oder ein Nullpunkt.

Die Lastscheide trennt demnach die Einflußfläche in einen positiven

und einen negativen Teil p (s. Zig. 77 c). Die gefährlichste ^ Lastlage für die Bestimmung U, der GrößeZ kann daher leicht :    angegeben werden.

Wirkt z.B.auf einen Träger !»!!!!>>IVM»!MWq außer der gleichmäßigen Be-

------------- —J ? lastung g noch eine bewegliche

W¹" Belastung p für bie£ängenem= c    heit, so erhält man Zmax durch

Belastung der positiven Ein-flußfläche mit p, Zmin durch Belastung der negativen Einflußflächen mitp (Fig.77) also

zmax = 9 ■ Fi~ 9 ■ F2 + pFi= FAg + p) - g Fü g + p = b Zmax⁼ 9 ■ Fl - 9 ■ Fs

zmin = g-Fl-q-F Zmax und Zmi sind die Grenzwerte von z.

$lQ. 77.

ebenso:

V"

*r

b'

2. (Einfluglinien für mittelbare Belastungen.

3n den meisten Fällen werden die Lasten durch Querträger mittelbar auf die Träger übertragen (Fig. 78). Wirkt auf den oberen Längsträger zwischen den beiden (Querträgern 1 und 2 im Punkte M eine Last P, so beträgt der nach 1 übertragene Auflagerdruck:

2,

K-P-V

der nach 2 übertragene wird:

v,

/«

Fig. 78.

Fig. 79.

Xjl

P-nm^Pi-rii + Ps-ns oder „    „    ^    „ a~ x

P-nm=P —-ni + P‘ —

sl = Zeldweite (Zig. 79). Für die Größe Z eines Querschnitts des mittelbar belasteten Hauptträgers mutz der Einfluß der beiden Seiten5 fräste Px und P₃ ebenso groß fein rote der Einfluß der Mittelkraft P. Sind die entsprechenden Grdinaten der Einflußlinie r|lf r|₃ und nm, so muß sein:

• n₂

• n₂

Hm“

da für jeden besonderen Lastfall , n₂ sowie a unveränderliche Größen darstellen und die veränderliche Größe x vom ersten Grade ist, so stellt die letzte Gleichung eine gerade Linie bar. (Es ergibt sich also der Satz:

Die Einflußlinie zwischen zwei Knotenpunkten ist stets eine Gerade.

3. Die Einflntzlinien für die Süßeren Kr afttoir Jungen.

als ^-Größen kommen beim Träger auf zwei Stützen in erster Linie der Stützenwiderstand, die (Querimft und das Moment in Frage.

a)    Die Einfluhlinie des Stützenwiderstandes, aus den Einfluß-linien der Stützenwiderstände werden alle übrigen Einflußlinien ab-

geleitet (F!g. 80).

Der Stützenwiderstand . P- b .    _ P-a

A ---- —j— und B — —j—

±j

(vgl. S. 56).

rr

i.

Für die aufzeichnung der Einflußlinien für A und für B muß P = 1 gesetzt werden; man erhält somit die Gleichung der Einflußlinie für A zu:

S,

n-.4

Fig. 80.

ebenso fürBzu:

n = l j-

Die Einflußlinie für A (A-Linie) ist demnach eine Gerade. Für b = 0 also im Punkte B, wird r> ---- 0; für b —k. also für A, wird die Ordinate >i — l. In Fig. 80b ist die A-Linie dargestellt.

Satz: Die Einflußfläche des Stützenwiderstandes ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen eine Kathete die Trägerstützweite l und dessen andere die Strecke P = I bildet.

Die B-Linie wird genau so hergeleitet, sie ist in Fig. 80 c dargestellt.

Für mittelbare Belastung gelten die gleichen Einslußlinien wie für unmittelbare, denn für die Lage der beweglichen Last im Punkte 1 und 2 (Fig. 80 a) ergeben sich für mittelbare und unmittelbare Übertragung die gleichen Einflußgrößen r>, also fällt ihre verbindungsgerade auch mit der für unmittelbare Belastung abgeleiteten Einflußlinie zusammen.

b)    Die Einflußlinie für die Ouerkraft. I. Unmittelbare Belastung liegt vor. Für den (Querschnitt (7 soll die Einflußlinie der (Querkraft gezeichnet werden (Zig. 81). Man läßt zunächst die Last auf der StreckeBC rollen. $ür jeden Punkt der Streckest) ist dann die (Querkraft V = + A, also nur abhängig von A.

Der Einfluß der Kirnst P für die (Querkrast ergibt sich daher aus der A Linie, so z. B. für die Lage der Last P im Punkte 2 zu q₂.

4r

Bewegt sich die Last aus der Strecke AC (Lage 1), so findet man die entsprechende (Querkraft für den Punkt C durch Betrachtung des rechten Trägerstückes BC 311 ^ B. (Gder bei Betrachtung des linken Trägerstückes zu V = A - P. Nun ist A + B = P; es ergibt sich x daher ebenfalls, da A-P=-Bift, V=-B)

Cs gilt demnach für die Strecke AC die B Linie, jedoch mitnegativemwerte.

Fig. 81»

Die in Figur 81 b schraffierte Fläche stellt somit die Cinflußfläche für die (Querkraft im (Querschnitt C 1 dar. Der Lage der Last im Punkte 1 entspricht Q,.

v = - Pxn i + P₃n₂.

| wirkt an der Stelle I eine Last Plt im Punkte 2 eine Last P₂, so ergibt sich die (Querkraft in C zu

Der Punkt C bildet die Lastscheide.

II. Mittelbare Belastung liege vor. Bewegt sich die Last P auf der Strecke B 2. so gilt die Cinflußlinie für A, im Punkte 2 ist die Einflußgroße = q₂ (Fig. 82). Rollt die Last auf der Strecke AI, so gilt die Einflußlinie für — B, im Punkte 1 ist die Emflußgröße---i^. Innerhalb des Feldes 1 2 muß die Einflußlinie stets eine Gerade sein, daher ist die Gerade V 2' 3U ziehen und die Gerade A' 1" 2" B' ist die gesuchte Cinflußlinie Die (Querkraftsdarstellung ist für jeden (Querschnitt innerhalb des Feldes 1 - 2 die gleiche; die Grenzwerte der (Quer-kraft haben daher für jeden (Querschnitt des Feldes jeweilig gleiche Größe. Die gezeichnete Einflußfläche gilt also für das ganze betreffende Trägerfeld. Man bezeichnet daher die gezeichnete Einflußfläche als die

Einflußfläche für die (Huer kraft eines Feldes. In §ig. 82 ist die (Huerkraft g^p* für den linken, abgeschnitten gedachten Trägerteil gezeichnet, bei Zeichnung für den , rechten Trägerteilergebensich die gleichen Linien aber ent* ■_[ gegengesetzte Vorzeichen für die Linflußteilflächen.

7 TTT

5ig. 82.

c) EinMlinie für das Moment. I. Unmittelbare Belastung liegtvor. Ulan läßt wiederum die Last zunächst auf der Strecke BC wirken ($tg. 83). Zur Bestimmung des durch diesen Lastzustand in C auftretenden Momentes betrachtet man das linke Trägerstück AC. ctn diesem tritt nur der Stützenwiderstand A auf, so daß das Moment für C sich ergibt ju M = A • x. Man erhält somit für sämtliche Lastlagen rechts von C als Tinflutzlinie eine Gerade A" B', die sich dadurch ergibt, daß man die Grdinaten der in $ig. 80b gezeichneten A-Linien mit x multipliziert. Man muß somit die A-Linie im x-fachen Maßstab zeichnen. Statt des Wertes 1 im Punkte A' ist betn«

s___

ll

|IM^

5ig. 83.

i nach der tOertl • x aufzutragen. BlsTinflußflächegiltfür die Strecke BC infolgedessen die Fläche C'C"B'. Ebenso erhält man für die Lastlagen r- auf der Strecke AC, sofern | man das rechte Trägerstück B<7 betrachtet, als Biegungsmoment für C den Wert y M = B ■ x'. Es gilt hier also die B-Linie, die im Maßstab x' zu zeichnen ist; es mutz danach im Punkte B' statt der Größe 1 die Strecke 1 x' = x' = B'B" auf*

getragen werden. Die Einflußlinie ist daher A'B"; als Einflußfläche kommt die SlädjeA'C'C" in Frage. Die beiden Geraden A'B" und A" B' schneiden sich im punkie C" senkrecht unser C. Die Linie A' C"B' ist die Einflußlinie für das Moment im Querschnitt C (M--£inte); das Dreieck A'<7"B' ist die Einflußfläche, die in allen ihren Teilen positiv ist (Zig. 83 b).

Wirkt im Punkte 1 eine Last P, und im Punkte 2 eine Last P₂, so wird das Moment für C gefunden zu:

M=P₁r\₁ + P₂n₂.

(7

II. Mittelbare Be-lastung liegt vor. Be-    12

X.

findet sich der zu untersuchende (Querschnitt zwi- j, schen zwei (Querträgern I und 2, so ist zunächst die Momentenfläche genau wie vorher bei unmittelbarer Belastung aufzuzeichnen.

X.

5ig. 84.

Für die Lastlage A bis 1 (Fig. 84) gilt die Einflußfläche ATI", für die Laststellung in 1 die Ordinate n,; für die Lastlagen von B bis 2 kommt die Einflußfläche B'2'2" in Frage, für die Laststellung in 2 die Ordinate n₂. Für das Feld I 2 muß die Einflußlinie aber nach S. 69 eine Gerade fein; man zieht daher 1" 2", so daß die Ecke C' abgestumpft wird. Die Fläche A'B'2" V ist somit die Einflußfläche des Momentes für C für mittelbare Belastung.

Beispiel. Es soll das größte Moment im Punktes infolge gleichmäßig verteilter Belastung für den in Fig. 83 gezeichneten Träger bestimmt werden.

Ist die gleichmäßige Belastung g=g+pfüv dieLängeneinheit, so wird das größteMoment an der Stelle <7 durch Vollbelastung erzielt. Man erhält seine Größe durch Multiplikation von q mit dem Inhalt der Einflußfläche A'C'B'. (Esist: Mcmax = q • A A' C"B'

r' r"

Mcmax — q • A' B'- ~Y~; A- '=/; C'CT=*-Me*™ = 9 •    = Q ■ —

Da

x' = l — x ist, so wird Mcfoax = q •

Diese Gleichung stellt eine Parabel dar.

Liegt der Querschnitt C in der Mitte, so wird

l — x = l —

x(l — x)

also

max

2 “ 2*

Z*

= <7 • -g-, wie auf S. 68 angegeben.

4. Rttro enbungen.

Bevor an ein flnrnenbungsbeifpiel herangegangen wird, sollen die entwickelten Gesetze noch kurz zur Erleichterung zusammengefaßt werden.

a)    Momente. Für jeden Querschnitt des Trägers ist eine besondere Einflußlinie und somit eine besondere Linflußfläche aufzustellen; dies gilt sowohl für unmittelbar als auch für mittelbar angreifende bewegliche Belastung. (Es können naturgemäß nicht sämtliche Träger-querschnitte untersucht werden, sondern man greift eine bestimmte Anzahl heraus und bestimmt für sie die größten Momente. Bei mittelbarer Belastung wählt man die unter den Belastungspunkten, d.h.die unter den betreffenden Querträgerauflagern liegenden Querschnitte.

Die Einflußgrößen eines Momentes haben auf der ganzen Strecke zwischen den beiden Stützpunkten das gleiche Vorzeichen (der Träger darf allerdings über die Stützpunkte nicht überstehen!). Das größte Moment erhält man somit durch Vollbelastung, wobei die größte Last nach Möglichkeit über der größten Ordinate der Linflutzlinie zu stehen kommen muß, also bei unmittelbarer Belastung unmittelbar über dem Querschnitt, bei mittelbarer über dem Belastungspunkte, der dem Querschnitte am nächsten liegt.

b)    Guerkraft. Bei unmittelbarer Belastung gehört zu jedem (Querschnitte eine besondere Einflußlinie für die (Quertraft. Bei mittelbarer Belastung haben alle (Querschnitte desselben Feldes die gleiche (Querkraftsgröße; in diesem Falle gibt es also nur eine Einflußfläche für die Quertraft eines Feldes.

Die Einflutzlinie für die (Querkraft eines (Querschnittes ist in ihrem einen Teile, z. B. dem rechten, positiv, in ihrem anderen, z. B. dem linken, negativ. Die Trennung erfolgt durch die Lastscheide. Es entstehen zwei Größtwerte für die Querkraft und zwar durch Teilbe-laftung. Die größte positive (ßuerfraft erhält man z. B. durch Belastung der Strecke rechts vom Querschnitt, die größte negative z. B. durch Belastung links vom Querschnitt. Bei unmittelbarer Belastung müssen die Lasten meist bis unmittelbar an den Querschnitt vorrücken, bei mittelbaren in der Regel nur bis zu dem benachbarten Belastungspunkte, da dort die größte Ordinate vorliegt. (Nur wenn eine kleine Einzellast an der Spitze des Lastzuges sich befindet, kann der Fall eintreten, daß durch weiteres verschieben in das Feld eine größere Summe der Cinflutzgrößen durch Heranziehung größerer Lasten und Grdinaten sich ergibt.)

Für die zeichnerische Behandlung beachte man, daß der Träger und der Lastenzug in dem gleichen Längenmaßstab (in m oder cm) aufgetragen werden muß, daß für die Grdinaten der Einflußlinien bei der Bestimmung der Ouerkraft ein Kräftematzstab (in t oder kg) und daß für die Grdinaten der Einflutzlinien für die Momente ein Mo-rnentenrnaßstab (kg cm oder mt) eingeführt werden muß Den einmal für eine Rufgabe gewählten Maßstab behält man während der ganzen Bearbeitung bei.

Einfache Fälle von Belastungen von Trägern durch bewegliche Lasten kommen im Maschinenbau bei Kranträgern vor. 3m folgenden werde an einem Beispiel die Verwendung der Einflußlinien gezeigt.

Beispiel. Ein Kranträger von 10,0m Stützweite werde durch eine taufstütze mit je 5,0 t Raddruck bei 1,50 m Radstand belastet (Es sollen die größten Momente und Querfräfte mittels Einstußlinien bestimmt werden (vgl. $ig. 85 u. 86). Bis Maßstab der Längen wurde 1:150 gewählt.

I. Bestimmung der Momente. Man teilte den Träger in 8 gleiche Rbschnitte ein und führe die Untersuchung für die so gefundenen Teilpunkte der einen Hälfte durch (Fig 85 a—e). Es soll unmittelbare tastübertragung vorliegen.

3m Punkte 0 ist das Moment gleich Hüll, die Einflußlinie fällt mit der Geraden AB' zusammen.

Bestimmung der Einflußlinie für das Moments im Punktei. Man hat nach S. 72 für jeden Lastpunkt die Grdinaten der As£mte mit Xi zu multiplizieren. Man trägt daher im p unkte A' die Strecke A' A'=xx *11 auf. Da hier xt = 1,25 m ist, so wird A A" = 1,25 «1,0 m • t = 1,25 mt.

1 25

1.5

wählt man als Momentenmaßstab 1 cm=l,5 mt, f 0 ist A'A"=-f—=0,835 cm

— rund - 0,84 cm anzutragen und A' B' zu ziehen. Die größte Ordinate der Momentenlinie liegt senkrecht unter 1; hierdurch ist der Punkt l" bestimmt. Der linke Teil der Einflußlinie wird durch die Gerade l"A festgelegt.

Jt

L-&

(-

4’

0-0 i

o*

o£&

-5

Jtf . 5,0 (1t10*0,90) - 10,0mt

E>

0-

1,50 mt-

4X . 5,0 dp * 1,So)' 16, Sk mt

Q.

3*

1,50

nrx

U»

jj . 5,0 (1,31 * 1,5 o) * 10,6 mt

0-0

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——-~JtUCO%---------

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4¥ * 5,0 fl,5k 11,1k) *11 ,kmt

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4 d X. 1*150

4 4Acmento ISOmt

Fig. 85.

co

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JL.4L £.4:150

■4 d X*. 1un,~ 4 4

£'

V₀‘+5,o (1,oo+0,8?.)- 9,10*

yz * +5,0 (0,^0+0,75) *+S,Z54

=■-5,0 0,11

--0,60 1

h - +5,0 (0,75*0,60 - * 6,75 4 - -5,0 (0,15+0,00) * -1,701

Yj^z——-

^ - f 5,0 (0,60+0,04) -/ 5, L5 l > -5,0(0,36+0,10) * - 1,60 4

s,5o; ^----------

Tb

y* . * 5,0    • V- 4; 154

• -5,0 (0,50 + 0,35) • — b-,154

$iq. 86.

1,01

1,0 i

Jetzt muß die Laufkatze nun so verschoben werden, daß für den (Querschnitt C die größte Momentensumme sich ergibt, also müssen die Rad-lasten möglichst über die größten Ordinalen gestellt werden. Die zu wählende Lage ist aus Zig. 85b ersichtlich. Ein Rad steht über 1' 1", das andere 1,50m rechts davon. Die zugehörigen Ordinalen ergeben sich zu rii = 1,10 mt und \)₂ = 0,90 mt. Demnach ist:

Mt = Plr\l-\- P₂r\₂ = 5,0 • 1,10 + 5,0 • 0,90 ---- 5,0(1,10 + 0,90) --- 10 mt. Bestimmung der Einslußlinie für den Punkt 2. Das Verfahren ist sinngemäß das gleiche. ITtan mad)t A'A" = x₂- l,0t=2*l,25*l,0=2,50mt, im obigen Rräftemaßstab also = 1,67 cm. ITtan zieht A" B', bestimmt 2", zieht A'2", verschiebt den Lastenzug so, daß ein Rad über 2' 2’' zu stehen kommt, das andere 1,50 m nach rechts entfernt (vgl. Zig. 85 c). (Es wird M₂ = 5,0 - 1,87 + 5,0 1,50-- 16,84 mt.

Ebenso wird für Querschnitt 3 und 4 die Untersuchung vorgenommen. Die betreffenden Ergebnissesind bei den Figuren beigeschrieben. (Zig. 85 d u. e.)

wenn man sämtliche so gefundenen Größtwerte der INomente unter den fraglichen Ouerschnitten senkrecht an einer Rullinie A"B" aufträgt und ihre Endpunkte verbindet, so erhält man die Rurve der Maximalmomente.

II. Bestimmung der Ouerkräfte (vgl. Zig. 86). Zür den Huer-schnitt 0 wird die Q}uerfraft=A (vgl. Zig. 86b) Die Einslußlinie fällt mit der A-Linie zusammen. Die größte, hier positive Ouerkraft ist:

max

---- Px ru + P*0₂ = 5,0 -1,0 + 5,0 - 0,82 = 5,0(1,0 + 0,82) -- 9,101.

Der Maßstab der Kräfte ist gewählt zu 1 cm = 11.

Bestimmung der Einflußlinie für die Ouerkraft im Ouer-schnitt 1. Man trägt nach 5. 71 in A' und jeweilig die werte 1,0 t auf in dem gewählten Kräftemaßstabe und zwar in A' nach unten ----- A'A'; und B' nach oben — B'B" (Zig. 86c). Man verbindet A' mit B" und A" mit B' und legt durch Übertragen des Punktes 1 die beiden Teileinfluß-flächen fest. Die Fläche A'C''D "B' ist die Einslußlinie für die Ouerkrast des (Querschnittes 1. Es muß jetzt der Größtwert und der Kleinstwert der Ouerkrast bestimmt werden.

wird der Lastenzug von rechts bis zur Schnittstelle 1 herangeführt, da dann die Summe der Einflüsse am größten wird

max

3ur Bestimmung von Vt

(Es ist dann:

V, max = Pt Ox + P, 0₂ ----- 5,0 - 0,90 + 5,0 - 0,75 --- 5,0 (0,90 + 0,75)=8,25 1. Um 1^1 min festzulegen, muß die Laufkatze von links her bis an den Schnitt 1 herangeschoben werden. Das zweite Rad fällt nicht mehr auf den Träger. Demnach ist: F,min = PnI; nl = l "C"; P₁₌PS=P.

min

V^min = — 5,0 • 0,12 ----- — 0,601.

vielfach kommt es gerade beim Kranträaer vor, daß die Laufkatze den Träger nicht verlassen sann; in diesem Falle wird überhaupt kein Vx entstehen können, kjier ist

Die (Huerkrast für den Schnitt 1 kann sich somit nur zwischen N, max = + ⁸-²⁵¹ und 5/imin = — 0,60 t bew-gen.

Bestimmung der Einslutzlinie für die (Huerkraft im (Huer-schnitt 2. Vas Aufzeichnen der Linslußiinie erfolgt genau wie oben für (Huerschnitt I hergeleitet. Die Trennung der beiden Teileinflußslächen erfolgt durch Übertragung des Punktes 2 (Zig. 86 d). Es ergibt sich hierbei: V2 max == + ^ni+ Pr], = 5,0 (0,75 + 0,60) --- 6,75 t'

V, min =-Pr\[-Pr] J = - P(r\l + ni) =--5,0 (0,25+ 0,09)=-1,70 t

In entsprechender weife erhält man die Größt- und Kleinstwerte der (Huerkraftssummen für die übrigen Teilpunkte 3 und 4 (Zig. 86 e u. f.).

Trägt man die größten (Huerkraste, also die positiven Werte, und die kleinsten (Huerkräfte, also die negativen, von einer Geraden A"B" in den den Teilpunkten entsprechenden Punkten senkrecht ab, so erhält man die Kuroe der größten und die Kuroe der kleinsten (Huerkräfte.

handelt es sich um Feststellung des Einflusses größerer Lastgruppen wie z. B. bei Eisenbahnbrücken, wo eine Anzahl Lokomotiven und wagenraddrücke für die Belastung in Frage kommen, oder bei Straßenbrücken, wo Dampfwalzen, wagenlast und Menschengedränge zu beachten ist, so wird die Feststellung der ungünstigen Lastlage etwas schwieriger. 3u beachten ist jedoch, daß bei der gefährlichsten Lastlage stets eine der Lasten des Lastenzuges an einer ausspringenden Ecke der Einflußlinien liegen mutz. Man kann durch probieren zum Ziele gelangen dadurch, daß man zunächst eine beliebige Lastlage annimmt unter Beachtung obiger Voraussetzung, dann den Zug nach rechts verschiebt und feststellt, ob sich für Z ein größerer oder kleinerer Wert ergibt. Ergibt sich ein größerer wert, so muß man die Verschiebung im gleichen Sinn fortsetzen, ergibt sich ein kleinerer wert, so muß eine Verschiebung nach links angenommen werden. Nimmt sowohl bei Verschiebung nach rechts oder links der wert für Z ab, so war die ursprüngliche Lage die richtige.

von einem weiteren Eingehen auf die Berechnung muß wegen Platzmangels Abstand genommen werden. Näheres vgl. Müller-Breslau Statik der Baukonstruktionen und Mehrtens Statik II.

VII. Durchgehende (kontinuierliche) Träger.

Der Begriff des durchgehenden Trägers ist bereits festgelegt (S.44). Denkt man sich bei dem einfachsten Fall (Träger auf drei Stützen) zur Bestimmung der Auflagerdrücke in irgend einem Stützpunkt den Drehpunkt. so erkennt man sofort, daß wohl das Moment dieses unbe-

kannten Stützendruckes gleich Null wird, aber immer noch die Momente der beiden anderen unbekannten Stützendrucke in der Gleichung verbleiben. Die Aufgabe ist daher statisch unbestimmt und mit den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen nicht zu lösen.

Da für Hochbaukonstruktionen Träger auf mehreren Stützen im allgemeinen nicht zu empfehlen sind, so werden sie in der Regel auf den Stützen gestoßen und als Träger auf zwei Stützen für jedes Feld berechnet.

VIII. Anwendung auf einfache Maschinen.

Die statischen Gesetze vom Gleichgewicht der Kräfte und vom statischen Moment finden auch Anwendung bei einfachen Maschinen, vor allem beim Hebel (bei der wage), ferner beim Wellrad, der Rolle, den verschiedenen Flaschenzügen usw. An zwei kleineren Beispielen soll die Anwendung gezeigt werden.

Beispiel 1. An einem Wellrade wirke eine Last Q — 600 kg. Der Halbmesser des Rades sei R = 80 cm, der der Welle r = 20 cm. welche Kraft P ist erforderlich, um der Last das Gleichgewicht zu halten?

Lösung. Die Summe der statischen Momente mutz für den Fall des Gleichgewichtes gleich Null sein. Nach Fig. 87 ist demnach:

■ R = Q ■ r

P ■ R — Q ■ R = 0 oder

. Ot

-i

mithin: P — i

oder unter Einsetzung der Zahlenwerte:

P = -g₀— = 150 kg.

Um die Last aufzuziehen, müßte also eine Kraft von mehr als 150 kg angewandt werden. Beispiel 2. Die Last soll ermittelt werden, welche mit Hilfe eines Differentialflaschenzuges gehoben werden kann, wenn das Verhältnis r 9

der Halbmesser ^ und die aufgewendete Kraft P = 45 kg ist.

Lösung. Der Differentialflaschenzug besteht bekanntlich aus miteinander verbundenen festen Rollen von verschiedenem Durchmesser mit gemeinschaftlicher Achse und einer losen Rolle, an deren haken die Last angebracht wird. Beim Aufziehen der Last wickelt sich eine endlose

Sig. 87. I

V,)

Kette an der einen Seite von der kleinen Rolle ab und gleichzeitig an der anderen Seite der großen Rolle auf (Zig. 8 8). Da die Kette durch die Last Q gespannt wird, so entfällt auf jeden Kettenteil mithin der

mzmm,

Rnteil Da man nun ABCD als doppelarmigen

4\

Hebel mit dem Drehpunkte C betrachten kann, so besteht mithin die Gleichgewichtsgleichung:

ober:

woraus:

P-AC + *-BC-%-CD = 0 P-R + Q-r-

Q.r_

2 K

ober: P =

• =0,

P ■ R =

___Q    £_

2    2    R

OtjCN

___„X

Diese Gleichung gilt für jeden Differentialflaschenzug. Z' ^ ITIit Einsetzung der gegebenen Zahlenwerte erhält man nunmehr, da die Gleichung für Q aufzulösen ist:

(2

2 • 45 _ 90 R    10    10

Q = 900 kg.

5ig. 88.

A*

Beispiel 3. Ein Sicherheitsventil an einem Dampfkessel soll sich bei einem Dampfüberdruck von 3 atm öffnen, hierzu wird es vermittels eines einarmigen Hebels, an dem ein Laufgewicht G von 14 kg wirkt, nach $ig. 89 belastet. Vas Ventil habe einen Durchmesser von 65 mm und ein Gewicht Gl = \,0 kg, die Hebelstangen wiegen G₂ = 1,8 kg, das Matz a betrage 8 cm, der Schwerpunkt der Hebelstange liege im Abstande b = 30 cm vom Hebeldrehpunkt. Inwel-cher Entfernung mutz das Laufgewicht angebracht werden?

Der Überdruck des Dampfes auf die Ventilunterfläche beträgt:

=33,18-3,0=99,54 kg.

Die Gleichgewichtsbe-

KNuG 828: Schau. Statik. 2. flufl.

$1 • 1,0 fuj

yv

Fig. 89.

öingung 22 M = 0 lautet in Anwendung für den vorliegenden Fall: G-x + G₂-b + G₁-a — P-a = 0; * == x _ (99,54— 1,0)-8— 1,8-50

----- 52,5 cm.

14,0

IX.Untersuchung von Gewölben und Widerlagern.

1. allgemeines.

(Ein Gewölbe kann aufgefaßt werden als ein Träger auf zwei Stützen mit gekrümmter Längsachse. Die Belastung ist lotrecht, jedoch werden auf die Auslager, die hier Widerlager oder Kämpfer genannt werden, schiefe Drucke ausgeübt. Daher entstehen hier wagerechte Seitenkräfte. Das Eigengewicht spielt eine große Rolle und ist deshalb neben der verkehrslast stets zu berücksichtigen. Das Eigengewicht setzt sich aus dem Gewicht des Gewölbes und der Überschüttung zusammen, welch letztere jedoch bei unbelasteten Gewölben fehlt.

Die auf das Gewölbe wirkenden Kräfte sind:

1.    das bekannte Eigengewicht mit der darauf ruhenden Belastung;

2.    die beiden unbekannten Kämpferdrücke Kt und Kr (Fig. 90). Diese drei Kräfte müssen sich das Gleichgewicht halten. Die Aufgabe

V:

bleibt, wie Fig. 90 zeigt, statisch unbestimmt, da sich, wie sofort zu erkennen ist, unzählige Kämpferdrücke mit dem Gewicht G im Gleichgewicht befinden. Man muß daher die Angriffspunkte der Kämpferdrücke annehmen und außerdem festsetzen, daß die Drucklinie, worüberspäternoch gesprochen wird, durch irgend einen Punkt des Gewölbes gehen soll.

\/

$ig. 90.

gende drei Bedingungen erfüllt sein:

1.    es darf kein Gleiten in einer Fuge stattfinden;

2.    es darf kein Kippen um eine Fugenkante eintreten;

3.    das Material darf nicht zermalmt werden.

Soll ein Gewölbe standsicher sein, so müssen sol-

Die erste Bedingung, daß kein Gleiten stattfinden darf, wird erfüllt, wenn der Druck auf die Fuge mit der in seinem Ungriffspunkt aus der Fuge errichteten Senkrechten einen Winkel einschließt, welcher kleiner oder höchstens ebenso groß ist, als der Reibungswinkel des wölb-materials. Unter dem Reibungswinkel versteht man denjenigen Neigungswinkel einer schiefen Ebene, bei welchem ein Körper von selbst infolge seiner Schwere abwärts zu gleiten beginnt. Die Tangente des Reibungswinkels nennt man den Reibungskoeffizienten. Die Größe des Reibungswinkels und Reibungskoeffizienten findet man in jedem Tabellenwerke.

Lin Kippen tritt nicht ein, wenn die Mittelkraft an keiner Stelle aus dem mittleren Drittel, dem Kern des Gewölbes heraustritt.

Ein Zermalmen des Materials ist ausgeschlossen, wenn die nach der Formel für exzentrischen Druck zu ermittelnden Kantenpressungen innerhalb der zulässigen Grenzen bleiben, vgl. Festigkeitslehre S. 98 ff.

2, Unbelastete Gewölbe.

Die beiden Hälften eines Gewölbes stützen sich im Scheitel gegenseitig. Daher übt jede Gewölbehälste daselbst aus die andere einen wagerechten Druck aus, welcher Seitenschub oder Horizontalschub genannt wird.

Denkt man sich bei der statischen Untersuchung die eine Hälfte des Gewölbes fortgenommen, so muß man demnach im Scheitel eine wagerechte Kraft H anbringen, welche ebenso groß ist wie der Seitenschub.

Bus Fig. 91 erkennt man, daß j es unzählige Sei- |

A tenschübe gibt. |

Da jedoch nur die | im Kerne des Ge- | wölbes wirken- i ' den Kräfte in Be- , tracht kommen,

und von diesen ¹----

wieder diejenigen, welche die ungünstigsten Bedingungen ergeben, so genügt die Berücksichtigung der durch die Kerngrenzen, also durch das obere und untere Drittel des Scheitels gehenden Seitenschübe. Bus Fig. 91 ist ferner unschwer zu erkennen, daß der kleinste Seitenschub

//

//

Os.

■V

5ig. 91.

sich ergibt, wenn H durch das obere Drittel des Scheitels und der Kämpferdruck K durch das untere Drittel des Kämpfers geht. Der größte Seitenschub ergibt sich dagegen, wenn H durch das untere Drittel des Scheitels und K durch das obere Drittel des Kämpfers geht. Um dies zu erkennen, braucht man sich nur in der Hauptfigur einen anderen

Angriffspunkt des Kämpferdruckes zu je? denken und zu der dadurch bestimm* ten Richtung der Kraft K in der Kräftefigur eine Parallele zu ziehen. — Je tiefer also der Seitenschub angreift, um so größer wird er.

Durch Unordnung eines Gelenkes kann man dem Kämpferdruck einen bestimmten Angriffspunkt geben unb damit die statische Unbestimmtheit des Gewölbes beseitigen (Zig. 92).

Die Größe des Seitenfchubes findet man nach Zig. 92 aus:

H • x = G • y, woraus:

//

L___J

5tg. 92.

□ 6-,

H= —

(32)

Bei der statischen Untersuchung betrachtet man am besten einen Streifen von 1 m Tiefe. Auch genügt es, da die Belastung durch das Eigengewicht, die bei unbelasteten Gewölben allein wirkt, symmetrisch ist, nur eine Gewölbehälfte zu untersuchen. Ulan zerlegt diese Gewölbehälfte in einzelne kleine Abschnitte, bestimmt deren Gewichte und setzt zunächst das erste Gewicht Gx mit dem Seitenschub H zur Mittelkraft Rt zusammen, diese Mittelkraft mit dem zweiten Gewicht G₂ zu einer zweiten Mittelkraft R₂ uff. bis man am Kämpfer anlangt. Den sich so ergebenden Linienzug H, RXf R₂, Rs... nennt man die Drucklinie des Gewölbes.

Man unterscheidet entsprechend dem größten Seitenschub eine Maximaldrucklinie, welche nach dem früher Gesagten demnach durch das untere Drittel des Scheitels und das obere Drittel des Kämpfers gehen muß, und entsprechend dem kleinsten Seitenschub eineMinim aldruck-Hnie, welche durch das obere Drittel des Scheitels und das untere Drittel des Kämpfers gehen mutz, häufig wird auch eine mittlere Drucklinie, durch die Mitte des Scheitels und des Kämpfers gehend, gezeichnet. (Ein Beispiel möge die Untersuchung zeigen.

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Zig. 93.

Beispiel. Für bas in Zig. 93 gegebene Gewölbe soll die mittlere Druck-linie gezeichnet werden.

Lösung. Das Gewölbe wird in fünf Abschnitte von 0,93 m mittlerer Länge zerlegt, welche genügend genau als Rechtecke berechnet werden können. Das Gewicht eines Streifens ist dann, wenn 1 cbm Gewölbemauerwerk 2000 kg wiegt:

6;---62----6z0,93.0,50 -1,0 • 2000 ■= 930 kg und das Gesamtgewicht (die Mittelkraft der Einzelgewichte):

(5 = 5 • 930 = 4650 kg.

Die Lage der Mittelkraft G wird mit Hilfe des Kraft- und Zeilecks in bekannter

4650-1,80

weise ermittelt. Ihr Abstand vom Btigriffspunft D des Kämpfers, welcher bei der Bestimmung des Zeitenschubes H als Drehpunkt anzunehmen ist, ergibt sich nach der Zeichnung zu y = 1,80 m, der Abstand des Zeitenschubes von D zu x = 2,10 m. Demnach wird:

3986 kg.

2,10

Durch Zeichnung findet man H, indem man in der Hauptfigur den Schnittpunkt S von H und G mit D verbindet. Da sich die drei Kräfte H, G und K, falls Gleichgewicht herrschen soll. in einem Punkt schneiden müssen, so erhält man durch die Gerade SD die Lage des Kämpferdruckes K. Zieht man nun im Krafteck durch A und E Gleichlaufende zu H und K, so erhält man diese beiden Kräfte auch nach Große und Zinn (das Krafteck muß geschloffen sein). Ulan mißt und findet:

H = 4,0 cm = 4,0 -1000 = 4000 kg,

was mit dem durch Rechnung gefundenen Ergebnis fast genau übereinstimmt.

Nunmehr wird H mit Gx zu Rlt sodann Rx mit G₂ zu R₂, R₂ mit Gs zu Rs, Rs mit G₄ zu R„ /?₄ mit Gß zu R₅ zusammengesetzt und die Drucklinie gezeichnet, wie die Figur darstellt.

Man sieht sofort, daß die Drucklinie in den Fugen Mt Nx und M₂N₂ aus dem Kern des Gewölbes heraustritt. Das Gewölbe ist duher nicht standsicher und müßte verstärkt werden, was durch gleichmäßige Vergrößerung der Gewölbestärkeck oder durch zunehmendevergrößerung nach dem Kämpfer hin erfolgen kann.

Ein Gleiten in einer Fuge wird nicht eintreten, da man aus der Abbildung erkennen kann, daß die auf die einzelnen Fugen wirkenden Mittelkräfte von der Lotrechten auf die Fugen nur unter einem sehr kleinen Winkel abweichen.

Die Kantenpressungen werden mit Hilfe der bekannten Formeln über exzentrische Druckbeanspruchung ermittelt. Für die Fuge Mx Nx ist z. B. nach Zeichnung e----9,5cm, R&=4870kg. Streng genommen müßte die senkrechte Zeitenkraft oon Rz für die (Ermittelung der Kantenpressung benutzt werden. Da aber i?₈ großer ist als diese, so kann man auch Rs in die Formel einsetzen, was der Sicherheit nur zu gute kommt. Dann erhält man mit Hilfe der Gleichung (f. Festigkeitslehre 5. 99):

• (l + ⁶-g^)= 0,974-(1± 1,14)

4870 50 -100

und hieraus:

*max = 2.18 kg/qcm *min = —°'14 k&/qcm.

Mithin wird mit kmax die zulässige Spannung nicht überschritten. Da jedoch &min negativ wird, so treten Zugspannungen auf. Sollen diese ausgeschlossen sein, so muß man Fugenentlastung annehmen und nach Gleichung (47) (s. Festigkeitslehre S. 103) rechnen. Dabei erhält man:

k=2*i

2 - 4870

3-(f-9,5). 50 also eine zulässige Spannung c — — — 6.

3 c-b

4,2 kg/qcm,

Zur öas Widerlager wird 6 — 0, mithin ist hier zenir'sche Belastung vorhanden. Die angreifende Kraft ist Rb welche den gleich arohen. in derselben Geraden aber entgegengesetzt wirkenden Kämpferdruck K hervorruft. Nach Zeichnung ist Rö — 6120 kg, so daß:

. Rb 6120    ■    , .

fe=F= 50^100 =1(22 kff/qCm

wird, was zulässig ist.

3. Gewölbe mit Überschüttung.

Ist ein Gewölbe mit Erde überschüttet, so teilt man es in der Regel ohne Rücksicht auf die Anordnung der Zugen, aber einschließlich der Überschüttung in schmale, senkrechte Streifen von gleicher Breite ein. Macht man die Streifen nicht zu breit, so kann man der größeren Einfachheit wegen ihre Mittellinien als Schwerlinien betrachten. In diesen wirken dann die Gewichte der einzelnen Streifen.

IDiegt die Überschüttungserde ebenso viel wie das Mauerwerk, dann entsprechen bei gleicher Breite der Streifen deren Mittellinien dem Gewichte der Streifen. Sind die Streifen z. B. 0,50 m breit, und untersucht man wieder einen Gewölbeabschnitt von 1,0 m Tiefe, so bedeutet

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Verkleinerung V».

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I m höhe der Mittellinien der Streifen einen Rauminhalt von 0,5 • 1,0 • 1,0 == 0,5 cbm, und bei einen? Crd- und Mauergewichte von 1800 kg/cbm demnach ein Gewicht von 0,5 • 1800 = 900 kg.

Man kann daher nach einem gewählten Kräftemaßstabe die Mittellinien der Streifen gleich als Gewichte im Krafteck auftragen, will man die Kräfte nicht in zu großem Maßstabe erhalten, so benutzt man zur Austragung, wie dies in Zig. 94 geschehen ist, einen Verkleinerungsmaßstab. Die Verkleinerung ist hier = V₄ gewählt. Der Gebrauch des Maßstabes ergibt sich aus den Bezeichnungen der Zig. 94 von selbst.

Die Zeichnung der Drucklinie und die weitere Untersuchung erfolgt genau wie zuvor. In Zig. 94 ist wieder die mittlere Drucklinie gezeichnet.

4. Gewölbe mit Überschüttung unb Belastung.

häufig besitzt die Überschüttung ein anderes Gewicht als das des Mauerwerkes, auch tritt in der Regel noch eine Ruflast (verkehrslast)

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6, V.

_Gewölbe mit Überschüttung und Belastung

89

hinzu. Dann werden die Gewichte der Überschüttung und der Auflast in Mauerwerksgewicht umgerechnet. Das Verfahren wird am besten durch ein Beispiel an Hand von Fig. 95 gezeigt.

Das Gewölbe fei wieder symmetrisch belastet, so daß die Kämpferdrücke an beiden Widerlagern gleich werden, und mithin nur eine Gewölbehälfte untersucht werden muß. Die Auflast betrage 400 kg/qm, das Gewicht der Crde 1600 kg/cbm, das Gewicht des Mauerwerkes 2000 kg/cbm.

Zunächst ist festzustellen, welche höhe ein dem Gewichte der Auflast entsprechender Erdkörper erhalten muß. Diese höhe ergibt sich aus:

400

hl=l6Ö0⁼⁼⁰’25 m-

Um dieses Maß ist. wie die Figur zeigt, die Überschüttung zu vergrößern. Die Überschüttung ist sodann in Mauerwerk umzurechnen. Da das Gewicht des Mauerwerkes größer ist als das der Erde, so muß ein Erdkörper vom Gewichte des Mauerwerkes naturgemäß einen geringeren Rauminhalt einnehmen als., ein bichlerer Körper von dem gegebenen Erdgewicht. Die höhen der Überschüttung einschließlich Auflast sind daher zu verringern. Diese Verkleinerung muß betragen:

1600₌ 4_ 2000 *” 5 '

Das Gewölbe wird wieder in einzelne senkrechte Streifen zerlegt. Dabei soll der links vom Widerlager liegende Teil des Gewölbes samt Überschüttung zum Widerlager gerechnet werden. Der hierdurch entstehende Fehler ist belanglos; dafür erhält man ein rundes Teilungsmaß (hier 1 m). Nunmehr trägt man mit Hilfe des verkleinerungsmaßstabes ⁴/ß in den durch die Teilpunkte, gezogenen Senkrechten die auf Mauergewicht zurückgeführten höhen der Überschüttung einschließlich Auflast von der äußeren Leibung des Gewölbes nach oben auf. 3. B wird AB m den verkleinerungs-maßstab übertragen, daselbst AB' = ^AB abgegriffen und in der haupt-stgur von A aus nach oben aufgetragen. Der so gewonnene Punkt B' ist ein Punkt der dem Gewichte des Mauerwerkes entsprechenden neuen Be» laftungslinie. deren andere Punkte in gleicher weise gewonnen werden.

Die Mittellinien der Streifen können wieder als Gewichte der Streifen aufgefaßt werden. Da 1 cbm Mauerwerk 2000 kg wiegt, so entspricht bei einer Breite der Streifen von 1,0 m demnach 1 cm höhe der Streifen einem Gewichte von 2000 kg, wenn die Tiefe des Gewölbes, wie üblich, wieder = 1,0 m angenommen wird.

Rechnerisch ergeben sich diese Gewichte wie folgt:

G, = 1,0-1,0-1,72 • 2000 = 3440 kg G₂ = 1,0 -1,0 • 1,92 • 2000 = 3840 kg 6g = 1,0-1,0- 2,34 • 2000 = 4680 kg G₄ = 1,0-1,0- 3,15- 2000= 6300 kg ^6 = 6 = 18260 kg.

18260-2,20

Da die Streifen als Trapeze aufgefaßt werden können, so greifen in ihren Schwerpunkten die Gewichte an (bei schmalen Streifen wieder genügend genau in den Mitten der Trapeze).

Um das Kraftetf nicht zu groß werden zu lassen, sind die Gewichte mit t)ilfe des verkleinerungsmaßstabes V₂ um die Hälfte verkleinert aufgetragen worden, so daß im Kraftetf daher 1 cm Länge ein Gewicht von 4000 kg darstellt.

Der Seitenschub ergibt sich aus:

16300 kg,

2,46

was mit der Zeichnung übereinstimmt, da hier H= 4,07cm=4,07• 4000 = 16280 kg ist. Der Kämpferdrutf wird in gleicher weise wie oben gefunden. Rechnerisch erhält man ihn aus:

K =l//f² -f Gs =y16 300* + 18 260* = 2 4477 kg.

In der Zeichnung findet man K = 6.125 cm = 6,125 -4000 = 24500 kg. Gezeichnet wurde entsprechend dem größten Seitenschube die Maximaldrutf-linie. welche also durch das untere Drittel des Scheitels uno das obere Drittel des Kämpfers geht. Die Konstruktion erfolgt im übrigen in gleicher weise, wie sonst. Die Drutflinie tritt an keiner Stelle aus dem Kerne des Gewölbes heraus. Die Untersuchung gegen Gleiten und Zermalmen weicht von der bereits beschriebenen nicht ab.

5. Unsymmetrisch belastete Gewölbe.

Bei Gewölben, welche noch eine Verkehrslast aufzunehmen haben, tritt die ungünstigste Beanspruchung im allgemeinen dann ein, wenn die eine Gewölbehälfte mit der verkehrslast, die andere dagegen nur mit dem Eigengewicht und der Überschüttung belastet ist. Da die Belastung hier unsymmetrisch ist. wird auch die Drucklinie unsymmetrisch, so daß die Untersuchung für beide Gewölbehälften durchgeführt werden mutz. Man rechnet auch hier (wovon jedoch in Fig. 96 zur größeren Deutlichkeit der Darstellung Abstand genommen wurde) wieder Überschüttung und Auflast in Mauergewicht um und zeichnet dafür die Belastungslinie. Die Einteilung des Gewölbes in Streifen und die Bestimmung der Gewichte der Streifen erfolgt wie früher. Die Lage der Mittelkräfte G, _₄ und G₅_₈ für beide Gewölbehälften findet man mit Hilfe des Seileckes. Nunmehr betrachtet man zunächst jede Gewölbehälfte für sich. Aus die belastete linke Gewölbehälste wirkt das Gewicht Gj _₄ und der Kämpferdruck K[. Denkt man sich die rechte Gewölbehälfte vorhanden, aber gewichtslos, so muß sie, falls Gleichgewicht herrschen soll, auf die linke Gewölbehälste gleichfalls eine Kraft

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ausüben, welche einerseits natürlich durch den für die Drucklinie im rechten Kämpfer gewählten Punkt, andererseits aber mit Rücksicht auf das Gleichgewicht auch durch den Schnittpunkt von G,_₄ und K'i gehen mutz. Damit erhält man die Richtung des Kämpferdruckes K’r und mit Hilfe des Kräftedreiecks nunmehr auch K[ nnd Kr nach Größe und

Sinn. 3n gleicher Weise ermittelt man für die rechte, unbelastete Gewölbehälfte die Kämpferbrüde Kt' und Kr. Nun wirkt aber nicht, wie angenommen, nur die Belastung einer Gewölbehälfte, sondern die Belastungen beider Hälften gleichzeitig, so daß auch im linken Widerlager die Kämpferdrücke Kl und Kr" und im rechten die Kämpferdrücke Kl und Kl' gleichzeitig auftreten. Diese sind daher im Krafteck zu ihren Mittelkräften Kt und Kr zusammengesetzt. Nunmehr kann, von einem Widerlager beginnend, die vrucklinie in bekannter Weise gezeichnet werden. Fig. 96 gibt die Maximaldrucklinie wieder, hat man richtig gearbeitet, so mutz die Mittelkraft sämtlicher Gewichte durch den Schnittpunkt S' der Kämpferdrücke Kt und Kr hindurchgehen, weil diese drei Kräfte, wenn man das ganze Gewölbe betrachtet, im Gleichgewichte sein und sich daher in einem Punkte schneiden müssen.

Zum Nachweis der Standfestigkeit eines Gewölbes zeichnet man in der Regel für volle Belastung des ganzen Gewölbes die mittlere vrucklinie und die Minimalstützlinie, und außerdem für einseitige Belastung durch die verkehrslast eine weitere Stützlinie.

6. Untersuchung von Gewölbepfeilern.

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Unter der Voraussetzung gleicher Spannweite der Gewölbe und beiderseits voller Belastung wird ein Mittelpfeiler symmetrisch belastet (Zig. 97). Die Kämpferdrücke, welche auf den Pfeiler übertragen werden, sind alsdann gleich groß und werden mit dem Gewichte des Pfeilers zur Gesamt-Mittelkraft R in bekannter Weise zusammengesetzt. R geht in diesem Falle durch die Mitte der untersten Fuge, steht senkrecht auf ihr und ruftdaherzentrischeBelastung des Bodens hervor.

Rm ungünstigsten wird ein I

Zig. 97.

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Mittelpfeiler beansprucht, wenn *-----'

das eine anstoßende Gewölbe voll,

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5ig.98.

das andere nur mitEigengewichtundÜberfchüttungbelastetist(Fig.98). Denn in diesem Falle sind die aufzunehmenden Kämpferdrücke verschieden groß,- das Gewölbe ist daher einseitigem Schube ausgesetzt, die Mittelkraft muß aus der Mitte der untersten Fuge heraustreten.

3n Fig. 98 ist das linke Gewölbe vollbelastet, so daß die Mittelkraft R den Pfeiler nach rechts zu drücken sucht. Wenn dies tatsächlich eintritt, so muß sich im Gewölbe die Scheitelfuge unten und die Kämpferfuge oben öffnen (Fig. 99), wie es der Minimaldrucklinie entspricht. Gleichzeitig sucht das rechte Gewölbe nach oben auszuweichen, so daß sich die Scheitelfuge nach oben und die Kämpferfuge nach unten öffnet (Fig. 99), entsprechend der Maximaldrucklinie.

Bei einem unsymmetrisch belasteten Pfeiler hat man daher für das be- IsalllÄg lastete Gewölbe die Mini-maldrucklinie und für das unbelastete Gewölbe die Maximaldrucklinie zu zeichnen. Die hieraus sich in bekannter Weise ergebenden Kämpfer»

drücke sind mit den Gewichten des Pfeilers zur Mittelkraft R zusammenzusetzen, R greift die unterste Fuge exzentrisch an. Die weitere Untersuchung, ob Sicherheit gegen Kernten, Gleiten und Zermalmen vorhanden ist, erfolgt ebenso wie bei der Untersuchung des Gewölbes selbst beschrieben wurde. Die dort gestellten Bedingungen sind also auch hierzu erfüllen.

7. Untersuchung der Widerlager.

Die auf das Widerlager wirkenden Kräfte sind außer dem Gewichte des Widerlagers, das in der Kegel aus mehreren Einzelgewichten zusammengesetzt zu denken ist, der Kämpferdruck und der Erddruck. Diese Kräfte sind in bekannter weise nach Fig. 100 zur Mittelkraft zusammenzusetzen. Entsprechend dem Kngriffspunkte von K sind hiernach die Vodenpressungen wie sonst zu ermitteln. (Es fragt sich nur, für welchen Kämpferdruck die Verhältnisse sich am ungünstigsten gestalten.

Das Widerlager sucht dem vom Kämpferdruck ausgeübten Schube am ehesten nachzugeben, wenn das Gewölbe—aber nicht das Widerlager

selbst — vollbelastet ist, weil es in diesem Falle den größten Schub ausübt. Gibt das Widerlager nach, was durch Kuswei-chen nach links erfolgt (Fig. 100), so öffnet sich dieScheitelfuge unten und die Kämpferfuge oben, entsprechend der Minimaldrucklinie. Daher ist bei der Untersuchung derbei Vollbelastung des Gewölbes aus der Minimaldrucklinie sich ergebendeKämp-ferdruck zugrunde zu legen.

Der Erddruck wird häufig ganz vernachlässigt, weil er die Kichtunaz

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der Mittelkraft, wie aus der Abbildung sofort erkannt wird, nur günstig beeinflußt.

Für die Standsicherheit des Widerlagers gegen Kanten, Gleiten und Zermalmen gelten dieselben Bedingungen, wie bisher.

X. Die Berechnung größerer vachkonstrnktionen.

1. Allgemeines.

Größere Vachkonstruktionen, zu denen namentlich solche aus Eisen zählen, sind Fachwerkträger auf zwei Stützen oder Freiträger. Da bekanntlich das Dreieck eine starre Verbindung bildet, sind solche Konstruktionen aus einzelnen Stäben zu Dreiecken zusammengesetzt, so daß sich eine unverschiebliche Figur ergibt, wir sahen bereits, daß man die Punkte, in denen die Stabenden zusammenstoßen, Knotenpunkte nennt, wenn möglich, läßt man die äußeren Kräfte, die Lasten, in den Knotenpunkten angreifen, weil sie in diesem Falle in den einzelnen Stäben nur Zug- oder Druckspannungen hervorrufen (vgl. S. 29). Doch werden einzelne Stäbe mitunter auch zwischen den Knotenpunkten durch pfetten belastet. Solche Stäbe sind dann aus zusammengesetzten Festigkeit zu berechnen.

Derartige Dachkonstruktionen eignen sich besonders für große Stützweiten und werden daher namentlich bei Hallen ausgeführt.

Die Belastung setzt sich zusammen aus

1.    dem Eigengewicht,

2.    dem Schn^edruck,

3.    dem Winddruck.

Das Eigengewicht ist wesentlich abhängig von der Art der Dacheindeckung, der Schneedruck dagegen von der Dachneigung. Je steiler das Dach ist, desto leichter rutscht der Schnee ab, so daß man bei Dächern, welche einen größeren Neigungswinkel als 50° besitzen, den Schneedruck bei der Rechnung ganz vernachlässigen kann.

Der wind beansprucht das Dach in der Regel nur von einer Seite her. Bet genaueren Untersuchungen ist der rechnerische Nachweis daher für linksseitigen, wie für rechtsseitigen Winddruck zu führen. Für die Bestimmung der Auflagerdrücke greift alsdann das auf S. 45 Gesagte Platz, da hierbei die Anordnung des Auflagers, ob beweglich oder fest, von ausschlaggebender Bedeutung ist. Bei flachen Dächern ist der Einfluß des Windes jedoch nicht so groß, wie bei steilen Dächern, so daß man hier in der Regel die Belastung durch den wind, ebenso wie diejenige durch Eigengewicht und Schnee, als gleichmäßig über beide Dachflächen verteilt und daher lotrecht wirkend annimmt. Ruf diese weise ergibt sich nur lotrechte Belastung, mithin entstehen auch nur lotrechte Ruflagerdrücke.

Die Größe der Belastung durch Eigengewicht, Schnee und wind kann aus Tabellen entnommen werden. Daher sollen hier keine Rngaben darüber gemacht werden. Ruch soll nur das abgekürzte Verfahren, bei welchem der winddruck in die lotrechte Belastung eingerechnet wird, berücksichtigt werden.

2. (Ermittelung der Spannkräfte und (Querschnitte.

$ür die Ermittelung der Spannungen hat man zwei Verfahren. Ruf die rechnerische Ermittelung nach dem Ritterschen Schnittverfahren soll jedoch nicht eingegangen, vielmehr nur das zeichnerische Verfahren betrachtet werden.

3n Fig. 101 ist ein sog. französischer Dachstuhl (polonceaubinder) von 12,00 m Stützweite gegeben. Die Ermittelung der inneren Spannkräfte erfolgt hier in derselben weise, wie sie auf 5.29 bis 32 besprochen wurde. Ruch hier sind die Knotenpunkte besonders herausgezeichnet, der Einfachheit halber aber nur die Gleichgewichtsfiguren gezeichnet.

p

3m Knotenpunkte I wirken der Ruflagerdruck A und die Belastung —

für das anstoßende halbe Feld. Unter Rnnahme einer Binderentfernung

— 4,0 m und einer Feldbreite = ~ = 3,00 m, sowie einer Belastung durch

Eigengewicht, Schnee und wind von q = 250 kg/qcm Grundrißfläche wird die Belastung eines ganzen Feldes:

P= 3,0-4,0-250 = 3000 kg.

Ein Teil der Ruflagerwiderstände A und B wird durch die in den Ruf*

p

lagern wirkenden Lasten — aufgehoben. Für die Größe des Ruflagerdruckes,

soweit er von Einfluß auf die Spannkräfte in den benachbarten Stäben ist, kommen daher nur die Belastungen in den Zwischenknotenpunkten in Betracht. Da Vachkonstruktion und Belastung symmetrisch sind, so ist:

A = B = —=1,5P=1,5-3000 = 4500 kg.

p

Der Einfluß von — auf A ist damit berücksichtigt. Das ermittelte A ruft in den anstoßenden Stäben Ox (Gbergurt) und Ul (Untergurt) Spann-

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Bltu® 828: Schau. Statik. 2. Ruft

fräste hervor, welche mit A im Gleichgewicht sein müssen. (Es muß sich aus diesen drei Kräften also ein geschlossenes Krafteck zeichnen lassen. Bringt man die aus dem Krafteck sich ergebenden Pfeilrichtungen an den Schnittstellen des Knotenpunktes I an, so zeigt 0₁ auf den Knotenpunkt zu, in 0₁ herrscht also Druck; Ul zeigt vom Knotenpunkte weg, in U1 herrscht demnach Zug. Zugspannungen sind mit +, Druckspannungen mit — bezeichnet.

würde man jetzt zu Knotenpunkt III gehen, so hätte man nur eine bekannte Kraft, Uu dagegen die unbekannten t/₂, V₁ und Dv Die Ausgabe ist daher nicht zu losen; man mutz mithin vorher Punkt II betrachten, hier sind bekannt P und 0lt unbekannt V₁ und 0₂; die Ausgabe ist also lösbar. Man reiht und P so aneinander, daß ihre Pfeilrichtungen sich folgen und zieht durch die freien Enden Gleichlaufende zu Vt und 0₂. Die vier Kräfte müssen tut Gleichgewicht fein, die Pfeilrichtungen der Kräfte V₁ und 0₂ ergeben sich daher aus der Bedingung, daß sich ein geschlossenes Krafteck zeichnen läßt. Durch Übertragung der Pfeilrichtungen an die Schnittstellen des Knotenpunktes II ergibt sich, daß in V₁ und in Os Druck herrscht. Nunmehr kann man, da V₁ bekannt ist, zu Punkt III übergehen. Für ihn, wie für Punkt IV verfahrt man in derselben weise, was durch die Figur wohl genügend genau veranschaulicht wird.

Man findet, daß sämtliche Stäbe des Obergurtes gedrückt und sämtliche Stäbe des Untergurtes gezogen werden, was bei allen Dächern auf zwei Stützen der Fall ist. Die vertikalen V erleiden Druck-, die Diagonalen D Zugspannungen. Die Spannungen werden nach dem gewählten Kräftematzstabe gemessen und am besten in einer Tabelle zusammengestellt. Für vorliegenden Fall erhält man:

Stab

Zug

Druck

kg

kg

; stob 3u9

kg

Druck

kg

Ox

— 15270

0,

15270

. o₂

— 13920

0₄

— 13920

Ut

+13800

+ 13800

+ 7590

Vi

2670

V,

2670

+ 6750

+ 6750

Infolge der symmetrischen Unordnung entstehen, wie die Tabelle zeigt, natürlich in der rechten Bindehälfte dieselben Spannungen, wie in der linken.

Schiebt man die Kraftetfe der Fig. 101 sämtliche so zusammen, daß z. B. 0i im Krafteck I mit Ox im Krafteck II, 17, im Krafteck III mit Ut

>im Kmfted I, 0₂ im Kraft* eck IV mit 0₂ im Krafteck II zusammenfällt, und zeichnet V auch die Spannkräfte für die rechte Vinderhälfte, so entsteht eine in sich geschlossene $igur, welche Lremona-plan genannt wird und infolge der Symmetrie der ganzen Anordnung gleichfalls symmetrisch wird ($ig. 102). Man benutzt bei der Zeichnung eines solchen Planes also die eben gefundenen Spannkräfte, ohne erstere nochmals zu zeichnen, wie dies in Fig. 101 ge- T schehenwar. In h    ⁹

Fig. 102 sind dieDruckspann-

-r

+u,

6'

$i g. 102.

*~r

fräste durch

stärkere Linien A 'D_

von den Zugspannkräften unterschieden.

Einer weiteren Erklärung be- N darf die Figur x wohl nicht, wegen ihrer Einfachheit und Übersichtlichkeit sind die Cremo-naplänesehrbe-liebt und wer-

Ui

Aß

ZL

Uz

den an Stelle x des Verfahrens / nach Fig. 101 ^ allgemein angewendet.

5ig. 103.

Zig. 105 zeigt die Untersuchung eines englischen Dachbinders mit Hilfe eines Lremonaplanes. Der Obergurt wird wieder auf Druck, der Untergurt auf 3ug beansprucht, in den vertikalen V treten Druck-, in den Diagonalen D Zugspannungen auf. Bei der Uneinanderreihung der äußeren

p

Kräfte sind die in den Ruflagern angreifenden Kräfte -- mit aufgetragen.

Titan erkennt ihren Einfluß auf die Ruflagerwiderstände A und B, welche sie zum Teil aufheben, so daß auch hier für die Bestimmung der Ruf lag er» widerstände nur die in den Zwischenknotenpunkten angreifenden Kräfte in Betracht kommen. (Es wird mithin:

a = b = 4p.

Sig.104 gibt die Untersuchung eines als Zreiträger ausgebildeten Daches wieder, wie es bei Bahnsteigbedachungen häufig ausgeführt wird, wie bei jedem Freiträger die obere Zone gezogen, die untere gedrückt wird, so treten auch hier — im Gegensatze zu den Trägern auf zwei Stützen — im Obergurt Zug-, im Untergurt Druckspannungen auf. In V herrschen Zug-, in den Diagonalen D Druckspannungen wollte man noch eine vertikale II—III (in der Zig. punktiert) anordnen, so würde diese, wie sich aus dem Kräfteplan leicht erkennen läßt, spannungslos bleiben. Sie ist also überflüssig.

Einer besonderen Erläuterung bedarf für diesen Zall die Ermittelung der in den Befestigungspunkten A und B auftretenden Kräfte. Ruf Punkt B wirkt die Mittelkraft aus Dz und LT₂ (int Lremonaplan punktiert). Sie ruft die gleich große, entgegengesetzt wirkende Kraft R hervor. Ruf den Punkt A wirkt die Spannkraft Os, welche die gleich große, in derselben Geraden wirkende, aber entgegengesetzte Kraft Z hervorruft.

Die Ermittelung der Stabquerschnitte, welche die nach dem eben beschriebenen Verfahren ermittelten Spannkräfte aufzunehmen ver-

I-

z\

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2zr

$iQ. 104.

'Mn

mögen, erfolgt mit Hilfe der bekannten Formeln für 3ug- bzw. Druckfestigkeit, wie in der Festigkeitslehre ausführlich dargelegt ist. Doch hat man zu beachten, daß alle auf Druck beanspruchten Stäbe auch auf Zerknicken zu berechnen sind, weil ihr Querschnitt im vergleich )VL ihrer Sänge sehr gering ist. Die Sänge der Stäbe kann aus der Zeichnung entnommen werden. Man wählt für sämtliche Gbergurt-stäbe denselben Querschnitt, welcher dann natürlich nach der größten Druckkraft zu berechnen ist. Ebenso nimmt man für sämtliche aufsteigenden Untergurtstäbe gleichen Querschnitt, und ebenso für sämtliche vertikalen, wie auch für sämtliche Diagonalen. Gehobene Untergurtstäbe (Fig. 101 und 103) werden besonders berechnet.^

XI. Der Lrddruck.

\1. allgemeines.

Werden lockere Erdmassen auf einer ebenen Fläche ausgeschüttet, so bilden ihre Seitenflächen, sobald sie zur Ruhe gelangt sind, mit der ebenen Fläche einen Winkel, welchen man den natürlichen Böschungswinkel nennt. Dieser ist natürlich für die verschiedenen Lrdmassen auch verschieden groß und kann aus den Tabellen entnommen werden. Rach dem, was auf S. 83 über die Reibung kurz gesagt wurde, ist ohne weiteres einzusehen, daß der natürliche Böschungswinkel gleich dem Reibungswinkel ist.

yr

Sollen die aufgeschütteten (Erbmassen eine steilere Neigung erhalten, so müssen sie durch eine wand gestützt werden, welche alsdann durch die Erde einen Druck erleidet, der Crddruck genannt wird und für die Stärke der wand mitbestimmend ist. Ohne weiteres erkennt man, daß der Crddruck mit der Tiefe zunimmt.

Lig. 105.

17

r.

Denkt man sich die r j Mauer von der Rn-schüttung etwas abgerückt, (Fig. 105), so wird 1 nicht der ganze oberhalb k der natürlichen Vö-schungslinie^^liegende Crdkörper ABC zum abgleiten gelangen, fon- ¹

betn nur ein Teil desselben, ABK, während der übrige Teil infolge der Reibung festgehalten wird. Die durch die Linie AK bestimmte Fläche heißt Gleitfläche. Ruch wirkt der Erddruck nicht senkrecht zur Wand, sondern er schließt mit der in seinem Angriff spunit errichteten Senkrechten einen Winkel ein, welcher gleich dem Reibungswinkel zwischen Erde und Rlauerwerk ist. Da die Rückwand der Rlauer gewöhnlich rauh ist, macht man häufig — wie es auch hier weiterhin geschehen soll — die vereinfachende Annahme, daß der Reibungswinkel zwischen Erde und Rlauerwerk gleich dem natürlichen Böschungswinkel ist (Fig.105).

2. Die Ermittelung der Größe des Erddrucks.

Am einfachsten wird die Größe des Erddruckes auf zeichnerischem Wege nach dem Rebhannschen Verfahren ermittelt, welches in Fig.106 u. f. dargestellt ist.

1. Das Gelände steige unter einemWinkel ß von der Oberkante der Rlauer an. Rlan bringt die natürliche Böschungslinie A C zum Schnitt mit der Geländelinie B C, trägt an die Rückwand der Rlauer den <2cp (bzw. die Summe aus natürlichem Böschungswinkel und Reibungswinkel zwischen Erde und Rlauerwerk, wenn diese beiden Winkel verschieden angenommen werden) an und erhält so den Punkt D aus der natürlichen Böschungslinie. Run schlägt man über A C einen Halbkreis, errichtet in D ein Lot, welches den Halbkreis im Punkte F schneidet, und überträgt F von A aus durch Zirkelschlag nach J auf der natürlichen Böschungslinie, hierauf zieht man JK\\ BD, schlägt den Bogen KL und verbindet K mit L. Das Dreieck JKL gibt die Größe des Erddruckprismas für 1 m Tiefe. Um die Verteilung des Erddruckes auf die Rückwand der Rlauer und seinen Angriffspunkt zu bestimmen, trägt man &J₁K₁Li 3 JKL auf, zieht KtK[ \\Ji L1 und verwandelt so zunächst das A JiK₁L₁ in das inhaltsgleiche A J₁K'₁L₁. hierauf zieht man JtN, ferner K[0||A' und verbindet N mit 0. Dann ist nach einer einfachen Verwandlungsaufgabe aus der Planimetrie das A LtON= A J₁KlL₁ und stellt somit gleichfalls die Größe des Erddruckes für 1 m Tiefe dar. Den Schwerpunkt dieses Dreiecks, welcher V₃ h über der Bodenfläche liegt, überträgt man nach der Rückwand der Rlauer, errichtet in dem so gefundenen Punkte ein Lot und trägt an dieses unter dem *$. <p die Richtungslinie des Erddruckes an, welcher somit vollständig bestimmt ist. Da in Fig. 106

X'

die höhe der Mauer 4,20 m ist, und in dem Erddruckdreieck ^ON die Grundlinie Lt 0 = 1,20 m mißt, so ist bei einem Erdgewichte von 1600 kg/cbm der Crddruck für 1 m Tiefe:

• 1600 = 4032 kg.

*90i 'v;5

X ,'l

IX

x#

iX

1,20-4,20

Wird < ß = 0, so ist bas Gelände wagerecht. Die Konstruktion bleibt dieselbe.

2. Das Gelände steige unter dem natürlichen Voschungswinkelcp oberhalb der Mauer an. AC und BC können nicht zum Schnitt gebracht werden, weil sie gleichlaufend sind. Man zieht von einem auf der natürlichen Voschungslinie beliebig angenommenen Punkte J eine Gleichlaufende zu der unter dem ^ 2 cp an die Rückwand der Mauer angetragenen Geraden BD und überträgt den Punkt K nach L, so bafc JL = JK. A JKL ist das die Große des Crddruckes für 1 m Tiefe darstellende Dreieck (Fig. 107), welches nunmehr in gleicher Weise in ein Dreieck von der hohe der wand verwandelt wird, wie zuvor.

Z.Die Geländelinie ist gebrochen. Manverwandeltdas A ABC,

z<f

fl

5tg. io?.

As

5ig. los.

wie in Fig. 108 angegeben, mein gleichgroßes & AB' C so, daß L <7 die geradever-längerung von CD bildet. AB' wird nun als hinterwand der Mauer betrachtet

und hierfür das Erddruckdreieck JKL in bekannter Weife konstruiert. Die Verwandlung in ein Dreieck von der hohe der neugebildeten Rückwand ist dieselbe wie zuvor.

4. Die obere Begrenzung der Mauer hat eine Ruslast. Die Ruflast oder verkehrslast von q kg/qcm wird genau, wie wir schon bei den Gewölben sahen, in das Gewicht eines Erdkörpers umgewandelt und die hohe dieses Erdkörpers, der ebenso viel wiegt, wie die Ruflast, bestimmt. 3ft'Te das Gewicht von 1 cbm Erde in kg, so ist die

gesuchte höhe:

h — q

Te

Die weitere Untersuchung erfolgt für eine höhe h + hlt worin h die höhe der Mauer bedeutet. Das Beispiel am Schlüsse des nächsten Rbschnittes zeigt eine derartige Rusgabe.

XII. Der Wasserdruck.

1. Wasserdruck bei lotrechter Rückwand.

Ru§ der Naturlehre ist allgemein bekannt, daß der Druck auf die Zeitenflächen eines Behälters gleich ist dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule, welche die gedrückte Fläche zur Grundfläche und den Rbstand ihres Schwerpunktes vom Flüssigkeitsspiegel zur höhe hat. Die Richtung des Wasserdruckes ist stets senkrecht zur gedrückten Fläche.

Ist x₀ der Rbstand des Schwerpunktes der gedrückten Fläche (etwa der Rückwand einer wassermauer), F deren Inhalt und Yn> die Gewichtseinheit des Wassers, so ist daher der Wasserdruck (Fig. 109):

Sig. 109.

Legt man eine Tiefe von 1,0 m der Untersuchung zu Grunde und ist die Rückwand der Mauer von der höhe h senkrecht, so wird:

F = 1,0 • h = h

*₀ = y folglich: W = -fy-

/i’

y- stellt den Inhalt eines gleichschenkelig-rechtwinkeligen Dreiecks von der Grundlinie h und höhe h dar, so daß sich also der Wasserdruck

W = Tn, • F • x₀.

(33)

V-

-5r

-r- durch ein solches Dreieck darstellen läßt. Der Wasserdruck geht natürlich durch den 5chwerpunkt dieses Dreiecks, greift also die Rückwand der Mauer in % ihrer Höhe ^ über dem Boden an (Kg. 109).

2. Wasserdruck bei geneigter Rückwand.

5tg. im.

Da hier für 1 m Tiefe:

Nach dem oben Gesagten wird (Kg. 110):

W='{w- F ■ x₀.

unb:

/l./z

T - —---

'w 2

Bud) hier läßt sich also der Wasserdruck durch ein rechtwinkliges A vom Inhalte darstellen, wie dies Kg. 110 zeigt. W greift wieder in über dem Boden an, ist aber senkrecht zur Rückwand gerichtet. Bezeichnet cc den Neigungswinkel der Rückwand zur Magerechten, i =sina, also: h, = ^

Dann erhält man an Stelle von Gleichung (34):

so folgt:

so ist:

x₀ =

(54)

T • hs ¹ w

2 sin a

•    (35)

3. Wasserdruck bei gebrochener Rückwand.

Die Bestimmung d es Wasserdruckes erfolgt hier für einen * etwa vorhandenen geraden Teil (5ig. 111) nach dem un-ter 1. beschriebenen Verfahren.

den geneigten Teil (häu-sig hat man auch eine mehr-

iE

5ig.m.

fach gebrochene Rückwand)

wird der Wasserdruck nach dem unter II. Gesagten bestimmt, in dem man die Neigung der Rückwand bis zum Schnittpunkt mit der Wasser-fpiegellinie verlängert, von dem gewonnenen Dreieck ADE ist der obere Teil BDE in Rbzug zu bringen. Das verbleibende Trapez AB FE gibt die Größe des Wasserdruckes W₂ für I m Tiefe auf den geneigten Teil A B der Rückwand an. Der Wasserdruck IV₂ geht durch den Schwerpunkt des Trapezes und ist senkrecht zur geneigten Zläche AB gerichtet.

4. Beispiel.

Die in Zig. 112 gegebene Wassermauer ist auf ihre Standsicherheit hin zu untersuchen. Die Mauer hat eine Ruflast von 800 kg/qm aufzunehmen, 1 cbm Mauerwerk wiege 2000 kg, 1 cbm Erde 1600 kg.

Zur Bestimmung des Erddruckes wird die Mauer in zwei Abschnitte AB und AA' zerlegt. Das Gewicht der Ruflast wird in Erdgewicht umgerechnet. Die Höhe, welche ein Lrdkörper vom gleichen Gewichte wie die Ruflast haben müßte, folgt aus:

800

fe Teöö = 0,50 m‘

Diese Höhe wird oberhalb der Mauer aufgetragen und die Linie CD als Geländelinie betrachtet. Sodann ermittelt man für den lotrechten Teil der Rückwand, und zwar von der Höhe AC (also nicht von der Höhe AB) den Erd druck in bekannter weife. Dabei ergibt sich das Druckdreieck JKL . Nunmehr ist der Erddruck fürdenun1erenunterfchnittenenTeilderMauer^44' zu bestimmen. Man verlängert zu diesem Zwecke AA' bis zum Schnittpunkt (7' mit CD und betrachtet^(7 als Rückwand, für welche basDrudbretetf J'K'L' in gleicherweise wie sonst gefunden wird. Die beidenErddruckdreiecke werden nun in Dreiecke von der Höhe des senkrechten Teiles A C, bzw der geneigten wand A'C' verwandelt, wie die Figur zeigt. Um den Druck auf den unterschnittenen Teil der wand zu erhalten, hat man den Druck auf den oberen senkrechten Teil der wand von dem ganzen, durch das größere Dreieck veranschaulichten Druck abzuziehen. Demnach stellt das Trapez J' MN J den Erddruck auf den unterschnittenen Teil A'A dar. Der Schwerpunkt des Trapezes wird nach A'A gelotet, in den so erhaltenen Rngriffspunkt eine Senkrechte ans A'A errichtet und an diese die Richtung des Erddruckes E2 unter dem Reibungswinkel (hier —350) angetragen.

Da vor der Ruflast keine Mauer vorhanden ist, so ist das kleine A OPQ von dem den oberen Erddruck Ex darstellenden Dreieck JK'Q in Rbzug zu bringen, so daß Et durch das Trapez JK' PO veranschaulicht wird. Die Bestimmung des Rngriffspunktes mit Hilfe des Schwerpunktes dieses Trapezes und die Festlegung der Richtung des Erddruckes erfolgen in gleicher weife wie eben beschrieben.

Der Mauerkörper selbst wird in zwei, durch den Punkt A bestimmte Teile zerlegt, so daß man die in den Schwerpunkten der beiden sich ergebenden Trapeze wirkenden Gewichte Gt und G₂ erhält.

Vf

<4.

"W

5igN2.

n-

/k

osv

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"^F

- ^,-^4

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IKPTT

4—t—t—t—t—r**

zpr

X lTßfr~y

v<*.

LX,^

fQ

Der Wasserdruck W wird in der unter II. beschriebenen weise ermittelt.

Mit t)ilfe der gegebenen» bzw. durch Zeichnung gefundenen Matze erhält man sodann:

g _ 1.60 + 2,50

•4,80-2000 = 19 680 kg

6,--

2,71+5,20

•2,46-2000 = 14540 kg

1,51+0,15

4,80-1600 = 5610 kg

E, =

1,47 + 0,91

•5,15-1600 = 6000 kg

py,_5,50 • 5,56

• 1000 = 6250 kg

Nachdem nunmehr die äußeren Kräfte ermittelt sind, kann zu deren Zusammensetzung geschritten werden. Diese ist hier derart vorgenommen, daß Et und Gx zu Rlt Rx und G₂ zu Rit R^ und E, zu Rs und R und W zu K₄ vereinigt wurde.

Die Mittelkraft sämtlicher Kräfte, Rit greift im Nbstande e = 55 cm vom Mittelpunkt der 2,46 m langen Vodenfuge A'F an. Da:

^ = 0,41 m,

so liegt die Mittelkraft noch im Kerne der Zuge; die Mauer ist also gegen Kanten gesichert. Die senkrechte Seitenkraft von /?₄, welche man durch Zeichnung findet:

V₄ = 41200 kg,

schließt mit R₄ einen <^5°40' ein, welcher auch unterhalb der zulässigen Grenze liegt, so daß ein Gleiten der Mauer ausgeschlossen ist.

Die Vodenpressungen ergeben sich nach der in der Festigkeitslehre hergeleiteten Zormel:

•Kt).

Da ein Mauerstreifen von 1,0 m Tiefe untersucht wurde, so wird:

• (l ± ^) = 1.67-(1± 0,85) also:    fcmax = 1,67 1,85 = 3,1 kg/qcm

kmm = L67 • 0,15 = 0,25 kg/qcm.

41200

/? =

246 • 100

Läßt man eine Bodenpressung von 3 bis 4 kg qcm zu, so überschreitet fcmax zulässige Grenze nicht. VeigeringererzulässigerVodenbeanspruchung müßte jedoch die Zuge verbreitert werden.

Die Mauer muß aber auch dann standsicher sein, wenn der Wasserdruck nicht wirkt (z.V.bei Abdämmung infolge Ausbesserungsarbeiten). In diesem Falle kommt für die Untersuchung der untersten Zuge die Mittelkraft Rs und ihre Leitenkraft Vs in Betracht. Endlich muß die Mauer auch ohne Wasserdruck und Lrddruck standsicher sein (vor der Hinterfüllung). Dann hat man für die Untersuchung der Zuge A'F die Mittelkraft Gx__₂ aus G1 unb G₂ und deren lotrechte Leitenkraft V zu benutzen. Die Untersuchung erfolgt in gleicher weise, wie eben beschrieben.

S. Schröders MthdteiM

1. Schlesische flüböshcrel

i

i

Aitbusserst: TiSe 32

1* Ritterpiatz,

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Berechnungen besonders konstruierte Turbine ffliche Dienste, setzt aber in der Handhabur ihn bleibt der Wert des Buches bestehen.

•ste unverändert, da es dem Verfasser durc önnt gewesen ist, auf den Inhalt Einfluß z

i wünschenswerten Verbesserungen zu benutze!

iis [gekürzt]:

pezielle Berechnungen bei Wasserkraftprojek-erung — Bemerkungen zur Wasserkraftpro-ktierung — Verwendung des Turbinenrechen-hiebers zur Projektierung von Zentrifugal-mpen — Bestimmung von Wellenstärken mitr s des Turbinenrechenschiebers — Beispiel-nmlung

Ferner erschien von Reg.-ßaumeister A. Schau, Gewerbeschulrat und Direktor der staatlichen Baugewerkschule in Essen:

Leitfaden der Statik

Grundgesetze der Statik mit ihren Anwendungen auf Trägeran-allem auf Träger auf zwei Stützen, Berechnung einfacher Selbst-

Teil I: Grundgesetze. Anwend. d. stat. Gesetze a. Trägerordn. Eint. Stabkonstruktionen u.ebeneFachwerkträger. 2.Aufl.Mit82Fig. Steif geh.M.4.— Umfaßt die Ordnungen, vor konstruktionen und einfacher ebener Fachwerke.

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ImTeil lila für Hochbau werden die Ergänzungen desTeilesII überFestigkeitslehre vorgenommen, wobei vor allem die Biegungslehre und die zusammengesetzte Festigkeit in allen ihren Unterabteilungen in Frage kommen. Zahlreiche Anwendungsbei-IP spiele machen das Buch besonders wertvoll für den Praktiker und den Lernenden.

Teil IVa: Die Statik der Eisenbetonbauten. Mit 113 Abb. im Text. Llr Kart. M. 8.80

lm Teil IVa wird die Eisenbetonstatik in ihren Anwendungen für den Hochbau eingehend behandelt, zahlreiche Beispiele zeigen den Gebrauch für die Praxis; die amtlichen Bestimmungen, sowie die dazu gegebenen Musterbeispiele werden eingehend besprochen und ihre Benutzung für Entwurf und Prüfung gezeigt.

Teil III b und IVb für Tiefbauabteilungen sind in Vorbereitung.

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2.    Teil, Abteilung 1 (3. Teilband) 1907/8 geh. M. 17.60, in Halbfranz geb. M. 26.60. —

Abteilung 2 (4. Teilband) 1907/14 geh. M. 26.60, in Halbfranz geb.....M. 35.60

Vorlesungen über technische Mechanik. Von Geh. Hofrat Dr. A. Föppl, Professor an der Technischen Hochschule München.

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II.    Bd.: Graphische Statik. 5. Auflage. Mit 209 Abb. [XII u. 404 S.] 1920. Geh.

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III.    Bd.: Festigkeitslehre. 8. Auflage. Mit 114 Abb. [XVIII u. 446 S.] 1920. Geh.

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IV.    Bd.: Dynamik. 5. Ausl. Mit 86 Fig. [Xu.438S.] 1919. Geh. M. 16.-, geb. M. 18.—

V.    Bd.: Die wichtigsten Lehren der höheren Elastizitätstheorie. 3. unver. Auflage.

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im Text. [XII u. 484 S.] 1920. Geh. M. 22.—, geb

VI.    Bd.: Die wichtigsten Lehren der höheren Dynamik. 3. unv. Abdr. Mit 30 Abb.

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S8SÄW8

Verzeichnis der bisher erschienenen Lande innerhalb derWissenschasten alphabetisch geordnet

I. Religion, Philosophie und Psychologie.

Anthroposophie s. Theosophie Ästhetik. Von Prof. Dr. R. Hamann. 2. Aufl.    (Bd. 345.)

Astrologie siehe Sternglaube.

Ausgaben u. Ziele d. Menschenlebens. Bon Prof. Dr. I. Unold- 5. Verb. A. (Bd. 12.) Bergpredigt. Die. Von Geh. Kirchenrat Prof. D. Dr. H. Weinet. (Bd 710.) vergsorr. Henri, der Philosoph moderner Relig. Von Pfarrer Dr. E. O tt. (Bd.480.) Berkeley liehe Locke. Berkelev, Hume. Buddha. Leben u. Lehre d. B. V. Prof. Dr. R- P i s ch e l. 3. A.. durchges. v. Prof. Dr. H. Luders. Mit 1 Titelb. und 1 Taf.    (Bd. 109.)

Christentum. Das. im Kampf u. Ausgleich m. d. griech.-röm. Welt. Studien u. Charakterist. a. s Werdezeit. V- Pros Dr. I. Geffcken 3. umg. Afl. (Bd. 54.)

•— Christentum und Weltgeschichte seit der Reformation. Von Prof. D. Dr. K. Sell. 2 Bde.    iBd. 297. 298.)

—    siehe Jesus, Kirche. Mystik im Christent. Ethik. Grundzüge d. E. M. bes. Berücksicht.

b. päb. Probl. 2.Ausl. B. E. Went. scher.    (58b. 397.)

—    s. a. Aufg. u. Ziele, Serualethik, Sittl. Lebensanschauungen, Willensfreiheit.

Freimaurerei. Die. Eine Einführung in ihre Auschanuugswelt u. ihre Geschichte. Von Geh. Rat Dr. L. Keller. 2. Aufl. von Geh. Archivrat Dr. G. Schuster. (463 ) Glauben und Wissen. Von Privatdoz.

Studienrat Lic. W. Brühn. (Bd. 730.) Griechische Religion siehe Religion. Handschriftenbeurteilung. Die. Eine Einführung in die Psychol. d. Handschrift. Von Prof. Dr. G. Schneidemühl. 2., durchges. u. erw. Ansl. Mit 51 Hcmd-ichriftennachb. i. T. u. 1 Taf. (Bd. 514.) Heidentum siehe Mystik.

Herbart. Johann Friedrich H.'s Leben und Lehre mit bes. Berücksichtigung seiner Erziehungs- und Äildungslehre. Von Bezirksschulinspektor Dr. T h. Fritzsch.    (Bd. 164.)

Hume siehe Locke, Berkeley. Hume.

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Kartoniert und gebunden erhältlich

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Hypnotismus und Suggestion. Bon Dr.

E Trömner. 3. Auil. (Bd. 199») Jesuiten, Die. Eine histor. Skizze. V. Pro?.

Dr. H Boehme r. 4. ncub. A. (Bd- 49.) Jesus. Wahrheit und Dichtung ttn Leben Jesu. Voll Kirchen rat Pfarrer D. Dr. P Mehlhorn. 3. umg. Ausl. (Bd.137.) — Die Gleichnisse Jesu. Zugleich Anleitung z. quellenmätz. Verständnis b. Evangelien. Von Geh. Kirchenrat Prof. D. Dr. H. Weinet. 4. Aufl. (Bd. 46.)

—    s. auch Bergpredigt.

Israelitische Religion siehe Religion. Juden, Geschichte der. I. s. Abt. IV.

Kant, Immanuel. Darstellung und Würdigung. Von Prof. Dr. O- Külpe. 5. Aufl. hrlsg. v. Prof. Dr. A. Messer. Mit 1 Bildnis    Kants.    (Bd. 14SJ

Kirche. Geschichte der christlichen Kirche, Von Prof. Dr. H Frhr. v. Soden:

1.    Die Entstehung der christlichen Kirche.

(Bd. 690.) II. Vom    Urchristentum zum

Katholizismus.    (Bd.    691.)

—    siehe auch Staat und Kirche. Krimiualpsychologie s. Psychologie d. Verbrechers, Handschriftenbeurteilung.

Leben. Das L. nach dem Tode l. Glauben der Menschheit. Von Prof. D. Dr. C. Clernen.    (Bd.    544.)

Lebensanschauungen siehe Sittliche L.

Leib und Seele in ihrem Verhältnis zueinander. Von Dr. phil. et med. G. Sommer.    (Bd. 702.)

Lotte. Berkelev. Hume. Die großen eng!. Philos. Von Studienrat Dr. B- Thor-mene r.    ^ m (Bd. 481.)

Logik. Grundritz d. L. Von Dr. K I.

Grau. 2. durchg. u. veränd. A- (637.) Luther. Martin 8. u. d. deutsche Retor-m ui Ion. Von Prof. Dr. W K ö b l er.

2. Aufl. Mit 1 Bildnis Luthers. (Bd 515.)

—    s. auch Von L. zu Bismarck 9lbt. IVv Mechanik d. Geisteslebens. Die. V Geh.

Medizinalrat Direktor Prof. Dr M. Verworn. 4.A M. 19 Abb. (Bd. 200.) Mission. Die evangelische. Bon Pastor S. Baudert.    (3b.406,)

«iiisüsa»

WWSSVSMMWN

Sittl. Lebensanfchauungen d. Gegenwart. B. Geh. Kirchenr. Pros. D. O. Kir n. 3. A. V. Pros. D. Dr. O. Stephan. (1774 — s a. Ethik, Serualethik.

Spiritismus siehe Okkultismus.

Staat und Kirche in ihrem gegenseitige« Verhältnis seit der Reformation. Bo« Psarr. Dr. A. P f a n n k u ch e. (Bd. 485.) Sternalaube und Slerndeutung. Die Geschichte u. d. Wes. d. Astrolog. Unt. Mirw. v. Geh. Rat Prof. Dr. K Be-old dar-

Reformation siehe Luther.

Religion. Einführung i. d. bergt. R.-Ge» schichte. Von Prof. D. Dr. K Beth.

(Bd. 658.)

—    Die nlchtchristlichen Kulturrcligiones .

in ihrem gegenw. Zustand. Von Prof. O. Dr. T. Clemen. 2 Bde. I. Die japanischen und chinesischen Nationalreligionen. Der Jainismus und Buddhismus. II. Der Hinduismus, Parsismus und Islam.    (Bd. 533/34.)

—    Die Religion der Griechen. Don Prof. Dr. E. Samter. Mit Bilder^anlnm^.

—    Die Grundzüge der israelitischen Reli* gionsgesch.V.Prof.D.Fr. Giesebrecht.

з.    Ausl. V. Geh. Konsistorialrat Prof.

D. A- Bertholet.    (Bd. 5t)

—    Religion u. Naturwissensch. in Kampf

и.    Fried. E. geschichtl. Nückbl. BMarr. Dr. A. Pfannkuche. 2. A. (Bd. 1414

—    s. auch Bergson, Buddha, Airisten-tum. Leben nach dem Tode, Lulher.

—    Religionsphilosophie. Einführung in die

91. Von Konsistorialr. Lic. Dr. P. Kal-toeit. 2. Ausl.    (Bd. 225.)

Religiöse Erziehung siehe Abt. II.

Rousseau. Von Prof. Dr. P. £> e n fe L 3. Stuft Mit 1 Bildnis. (Bd. 180.) Schopenhauer. Seine Persönlich?., t Lehre, s. Bedeutung. V. Realgymnasialdir. H. Richert 4. Stuft. Mit dem Bildn. Schopenhauers.    (Bd. 81.)

Berts des Menschen. Die. Von Geh Rat Prof. Dr. I. R e h m ke. 6. Ausl. (Bd. 36.) Serualethik. Von Prof. Dr. H. E. Time r d i n g.    (Bd. 592.)

Sinne d. Menschen, D. Sinnesorgane und Sinnesempfind. B Hofr. Prof. Dr. I. K. Kreibig. 3 . vrb.A. M. 30Abb. (27.)

a2e.i'tuflSl.’'l%7«nfu°20Sl"i)b⁵(ab⁸638ji

Suggestion s. Hypnotismus.

Testament. Das Alte. Seine Gesch. u. Be» dentg. V. Pros. Dr. P. T b o m s e n. (6694 — Neues. Der Text d. N. T. nach f. ge* schichtl. Entwickl. Bon Prof. Liz. A. Pott. 2. Ausl. Mit 8 Taf. (Bd, 134.) Theologie. Einführung in die Theolog!«.

Von Pastor M. C o r n i l s. (Bd. 347.) Theosophie u. Anthroposophie. B. Privat-doz. Studienr. Lic. W. Bruhn. (7754 Urchristentum siehe Christentum. Veranlage u. Vererbg., Geistige. B Dr^>dL.

et med. G. Sommer. 2. Ausl. (5124 Weltanschauung. Griechische. Bon Prof. Dr. M. Wunbt. 2. Ausl. (Bd.3294

a'lckenberg. ¹    (23J. 56.) Wttlensfreih^it^Das Pr/blem de?W. Von

Weltentstehung. Entsteh, d. W. u. D. Erde Prof. Dr. G. F. Lipp s 2.Afl. (Bd. 383 ) nach Sage n. Wissenschaft. Von Prof. Dr. — s. auch Ethik, Mechanik d. Geistes-MB-Wein stein. 3. Ausl. (Bd.223.) lebens, Psychologie

II. Pädagogik und Bildungswesen.

Pestalozzi. Leben u. Ideen. B. Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. P. Nator p. 3. Asl. (250 ) Religiöse Erziehung in Haus u. Schule.

V. Prof. Dr. F.Niebergall. (599.) Rousseau. Von Prof. Dr. P. Mensel.

з.    Ausl. Mit X Bildnis. (Vd. 180.) Schute siehe Fortbildungs-, Teain. Hoa)-,

Volksschule, Universität.

Schulhygiene. Von Reg.-Rat Prof. Dr.

L.    Burgerstein. 4. Ausl. Mit 24

Abb.    (Bd. 96.)

Schulkämpfe d. Gegenw. Von I. Tews.

2. Ausl.    (Bd. 111.)

Student, Der Leipziger, von 1409 diS 1909. Von Dr. W. B r u ch Müller. Mit 25 Abb.    (Bd.273.)

Vluoententum. Geschichte des deutschen et Von Dr. W. Bruch müller. (Bd. 477.) Techn. Hochschulen in Nordamerika. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. S. Müller.

M.    zahlr. Abb., Karte u. Lagevl. (190.) Universitäten, über U. u. Universitats-.

sind. V. Prof. Dr. Th. Ziegler. Mit 1 Bildn. Humboldts.

Unterrichtswesen. Das deutsche, der Gegenwart. Bon Geh. Studienrat Oberreal-schuldir. Dr. K. Knab e. (Bd. 299.) Volksbildungswesen. V. Stadtbbl. Proi.Dr.

G. F r id. 2. Ausl. M. 12 Abb. (Bd. 266.) Volks- und Mittelschule. Die preußische, Entwicklung und Ziele. Von G h Reg-

и.    Schulrat Dr. A. Sach s e. (Vd. 432.) Zeichenkunst. Der Weg z. Z. Ein Büchl. s.

theor. u. prkt. Selbstbd. V. Dir. Dr.E. W e-b e r. 3.A. M. 84 Abb. u-1 Färbt- (430.)

Berufswahl, Begabung n. Arbeitsleistung

i. ihren gegenseit. Beziehungen. B. W. I.

N u t t m a n n. 2. A. M. 7 Abb. (Bd. 522.)

Bitdungswesen, D. deutsche, i. s. geschichtl.

Entwicklung- V. Prof.Dr. F r. P a u l fe n.

4. Ausl. M. Bildn. P's. (Bd. 99/100.)

•— i auch Volksbildungswesen.

Erziehung. E. zur Arbeit. Von Prof. Dr.

Edv. Lehmann.    (Bd. 459 )

—    Deutsche E. in Haus u. Schule. Von

I. Lews. 3. Ausl.    (Bd. 159.)

—    f. a. Großstadterz., Relig. Erziehung.

Fortbildungsschulwesen, Das deutsche. Von

Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. F. Schilling.    (Bd. 256.)

Fröbel. Friedrich. Von Dr. I o h. Pr ü -f e r. 2. verb. Ausl. M. 2 Abb. (Bd. 82.)

Grotzstadterziehung. Die Großstadt als Jugenderziehnngs- und Jugendbildungsstätte. V I Tews. 2.Aufl-(3270 tzerbart. Johann Friedrich H.s Leben und Lehre mit besond. Berücksichtigung seiner Erziehungs- und Bildlurgslehre.

(Bd. 411.)

Von Bezirksschulinspektor Dr. T h.

Fritzsch.    (Bd. 164.)

Hochschulen s. Techn. Hochschulen u. Univ.

Jugendpflege. Von Fortbildungsschullehrer W. W i e m a n n.    (Bd. 434.)

Leibesübungen liehe Abt. V.

Mittelschule s. Volks- u. Mittelschule.

Pädagogik, Allgemeine. Von Prof. Dr.

Th. Ziegler. 4. Ausl. -Bd. 33.)

—    Experimentelle P. mit Bef. Rücksicht auf die Erzieh, durch die Tat. Von Dr W.

A. Lay. 3.,vrb. A. M.6Abb. (Bd.224.)

-— siehe Erziehung, Psychologie. Abt. I.

III. Sprache, Literatur, Bildende Kunst und Musik.

Altnordische Literaturgesch. s. Literatur. Bildende Kunst s. a. Bank., Griech. K-, Jm-Archttcktur siehe Baukunst und Renais- Pression., Kunst. Maler, Malerei, Stile, sancearchitektur.    Björnson siehe Ibsen.

⁸    ⁹⁵⁰¹¹ ^r0f' Dr‘ ^ S(<Bb. 3450 I Wie ein Buch entsteht siehe Abt. VI.

Baukunst. Deutsche B. Bon Geh. Reg.-    auc^ <Scörtft- u. Buchwesen Abt. IV.

Rat Prof. Dr. A. Matthaei. 4Bd. Dekorative Kunst d. Altertums. B Dr.

1.    Deutsche Baukunst im M ttelalter. B- Fr.Poulsen.M- 112 Abb. (Bd. 454.) d- Ans. b.r Ausgang dro^n. Bau- Denkmalpflege siehe Abt. IV.

Gotik u ÜeiSätso'lif". 4.Anil Mit 67    Dr»ma Das. Von vr B B u s s«. Mi Abb.

Abb. (Bd.!).) lil. Teutsche Baukunst in    3 Bde. I: B. d. Antike z iranz. Klassizis.

d. Renaissance u. d. Barockzeit b. z. Ansg. mus.LA. ncub. u. Studienr. Dr. I. K. d. 18. Jahrs,. 3. Asl. Mit 63 Abb. .i Text.    Ntedl ich - Pros. Dr. R. ,i me l m an II

(Bd. 326.) IV. Deutsche B. im 19. Jahrh.    »• Jrot. 1Dr. ® las er. SBi. 3 9166 II: Sott

u. i. d. Gegenw. 2. All. M- 40 Abb. (781.) ^l-airezu Seima^i An,,. Von Dir.

m: IÄU LW

Bildende Kunst. Bau und Leben der b. K. Drama- D. dtsche. D. d. 19. Jahrh. In f. Von Dir. Prof. Dr. Th. Volbehr. Entwickl.dgest.v.Prof. Dr.G. Witkows -

2.    Aufl. Mit 44 Abb.    (Bd. 68.) k i. 4. Aufl. M. Bildn. Hebbels. (Bd. 51)

Drama s.a. Goethe. Grillparzer, Haupt-mann, Hebbel. Ibsen, Lessing, Literatur, Schiller. Shakespeare, Theater. Dürer. Albrecht. V. Pros. Dr. R- Wust' 2. Afl., neubearb. u. ergänzt v. Geh. R g.-Rat Prof. Or. A. M a t t h a e t. Mit Titelb. u. 31 Abb. (Bd. 97.) Französischer Roman siehe Eomqn. Krauend ich tung. Gesch. b. dt. F. s. 1800.

V. Dr. H. Spiero. M. 3Bild. (390.) Fremdwortkunde. Von Dr. E. Richter. Gartenkunst siehe Abt. IV. [(93b.570.) Goethe. Von Prof. Dr. M. I. Wolfs.

(Bd. 497.)

Griech. Komödie, D. B. Geh.Hofr. Pros.

Dr. A. K ö r t e. M- Titelb. u. 2 Taf. (400.) Griechische Kunst. Die Blütezeit der ft. K im Spiegel der Reliefsarkophage. Eine 'Eins. 1 b. griech. Plastik. V Prof. Dr. H. Wach tler. 2 A. M-zahlr.Abb. (272.) -— siehe auch Dekorative Kunst. ^    ,

Griechische Lyrik. Von Geh. Hofrat Prof.

Dr. E. Bethe.    (Bd. 736)

Griech. Tragödie, Die. V- Prof. Dr. I Geffcken. M.5Abb.i.T u.a.1Taf. (566.) Grillparzer, Franz. Bon Pros. Dr.

91. Äle in 6er fl. M. Bildn- (93b. 513.) Harmonielehre. Bon Dr. H. Scholz.

(Bd. 703/04.)

Lyrik

V.

mann.

Harmonium f. Tasteninstrum.

Hauptmann, Gerhärt. B Prof.Dr. E.Sul-g er -Ge bing. M. 1 Bildn. 2. Aufl.

(Bb. 283.)

Haydn. Mozart, Beethoven. Vcn Prof. Dr. C. Krebs. 3.Aufl. Mit 4Bildn, auf Tafeln.    (Bd. 92.)

Hebbel. Friedrich, u. s. Dramen. V. Geh.

Ho fr Prof. Dr. O. W a l z e l. 2-Afl. (408.) Heimatpflege siehe Abt. IV.

Heldensage. Die germanische. Von Dr. I W ^ruinier.    (Bd 486.)

Homerische Dichtung, Die. Von Rektor Dr. G. Finster.    (Bd. 496.)

Ibsen u. Bsörnson. Von Prof. Dr. G.

Neckel.    (Bd. 635.)

Impressionismus. Die Maler des I. Von Prof. Dr. B. LLzär. 2. A. M. 32Abb. aus 16 Tafeln.    (Bd. 395.)

Klavier siebe Tasteninstrumente.

Komödie siehe Griech. Komödie.

Kunst. Das Wesen der deutschen bildenden K. Von Geh. Rat Prof. Dr. H Thode.    (Bd. 5854

—    s. a Bauk., Bild., Dekor.. Griech. K.: Pompeji, Stile: Gartenk. Abt. IV.

Lessing. Bon Prof. Dr. CH. Schrempf.

Mit einem Bildnis.    (Bd.    403.)

Literatur. Entwickl. der deutsch. L. feit Goethes Tod.B. Dr. W. Brecht. (595 )

—    Geschichte der niederdeutschen L. v. d.

ältest. Zeiten bis z. Gegenw. Von    Prof.

. Geschichte d. deutsch. L. s. Claudius. Dr H Spiero. 2. Ausl. (Bd.254.Zl

—    s. auch Frauendichtung, Griechische Lyrik. Literatur. Minnesang. Volkslied.

Maler. Dir altdeutschen, in Süddeutsch« land. Von H Nemitz. Mit 1 Abb. i Leit und Bilderanhang. (Bd. 4644

—    s. Dürer, Michelangelo. Impression. Rembrandt.

Malerei, D. deutsche l 19. Jahrh. V- Prof. Dr. R. H a m a n n. 2 Bde. (448—4494

—    Niedert. M. im 17. Jahrh. B- Prof. Dr. H. Jantzen. M. 37Abb. (3734

Märchen f Volksmärchen.

Michelangelo. Eine Einführung in bo8 Verständnis seiner Werke. B. Prof. Dr, E.Hildebrandt. mit 44Abb (3924 Minnesang. D Liebe i. Liede d. dtsch. Mittelalt V Dr.I. W Bruinier. (4044 Mozart siehe Haydn.

Musik. Die Grundlagen d. Tonkunst. Versuch einer entwicklungsgesch. Darstell, b. allg. Musiklehre Von Prof. Dr. Rietsch. 2. Aufl.    (Bd. 178.)

—    Musikalische Kompofitionsformen. B

S. G Kallenberg. Band I: Die elementar. Tonverbindungen als Grundlage b. Harmonielehre. Bd. II: Kontrapunktik u. Formenlehre. (93b. 412, 413.)

—    Geschichte der Musik. Bon Dr. A.

Einstein. 2.Aufl.    (Bd. 438.)

—    Beisyielsammlung zur älteren Musikgeschichte. V Dr. A Einstein. (4394

—    Musikltt. Romantik. Die Blütezeit d. m.

R. in Deutschland. Bon Dr. E. I ft e l.

2. Verb. Ausl.    (Bd. 2394

—    f. auch Harmonielehre, Haydn. Over. Orchester. Tasteninstrumente. Wagner.

Mntholoaie. Germanische. Bon Prof Dr. I. v. Ne ge lein. 3. Aufl. (Bd. 954

—    siehe auch Bolkssage. Deutsche. Nibelungenlied, Das. Von Pros Dr. I.

Körner.    (Bd. 591.)

Niederdeutsche Literatur s. Literatur. Niederländ- Malerei s.Malerei.Rembrandt. Novelle siehe Roman.

Over. Die moderne- Vom Tode Wagners bis zum Weltkrieg (1883—1914). Bov Dr. E. Iste l. Mit 3 Bildn. (Bd. 495.)

—    siehe auch Haydn, Wagner.

Orchester. DaS moderne Orchester. Bon

Prof. Dr. Fr. Volbach. I. Die Instrumentes. O. (93b.714.) II. Das mod. O- i. f, Entwickl- 2.Afl. M.Titelb.u. 2 Taf. (7154 Orgel siehe Tasteninstrumente. Personennamen. D. deutsch B. Geh. Stu-bienrat A Bähnisch. 3.91 (Bb.296.) Perspektive. Grundzüge d P. nebst Anwend. V Prof Dr. K Doehlemann. 2. vrb. Aufl- Mit 91 Fig. u. 11 Abb. (510.) Phonetik Einführ. i. d. PH. Wie wir. sprechen. V-Dr.E. Richter. M- 20 A. (354.) Photographie. D. künstler. Ihre Entwcklg., ihre Probl.. ihre Bedeutung. V. Studienrat Dr. W- Warsta t. 2. Verb. Aufl. Mit Bilderanhang.    (93b. 4104

—    f. auch Photographie Abt. VI.

(Bd. 460.)

(33b. 4930

17 Abb.

Tragödie s. Griech. Tragödie.

Urheberrecht siehe Abt. VI.

Volkslied. Das deutsche, über Wesen und Werden b. deutschen Volksgesanges. Von Dr. 3. 3B. 33 ruinier. 5. Aufl. (33b. 7.) Volksmärchen. Das deutsche V. Von Pfarrer K. Spieß.    (Bd. 587.)

Volkssage, Die deutsche, übersichtl. bärgest, v. Dr. O. Böckel. 2. Ausl. (Bb. 262.)

—    s.a.Helbens., Nibelungenl., Mythologie. Wagner. Das Kunstwerk Richard W.s. Von

Dr.E. Jstel. M. I Bildn. 2.Aufl. (330.)

—    siehe auch Musikal. Romantik u Oper. Zrichenkunst. Der Weg z. Z Ein Büchlein

für theoretische und praktische Selbstbil-bimg. Von Dir. Dr. E. Webe r. 3. Aufl. Mit 84 Abb. u. 1 Farbtafel. (33b. 4300 ■— s. auch Perspektive, Projektionslehre;

Geometr. Zeichn. Abt.V, Techn.Z. Abt. VI. Zeitungswesen. Von Dr. H. Diez. 2. durchgearb. Aufl.    (33b. 328.)

Vteili! f. ©riet!;. Kunst. Michelangelo.

Poetik. Bon Dr. Sä. Müller-F reien-s-ls. 2. Aufl.

Pompeji. Eine Hellenist. Stadt in Italien. Von Geh. Hofrat Prof. Dr. Fr. v. Duhn. 3. Aufl. M. 62 Abb. i. T. u. auf I Tas., sowie I Plan. (33b. 114.)

Brojektionslehre. In kurzer leichtfaßlicher Darstellung f. Selbstunterr. und Schulgebrauch. V. akad. Zeichen!. A. Schube L s k y. Mit 208 Abb. (33b. 564.)

Rembrandt. Von Prof. Dr P. Schubring. 2. Aufl. Mit 48 Abb. auf 28 Taf.

i. Anh.    (33b. 158.)

Renaissance siehe Abt. IV.

Kenaissancearchitektur in Italien. Von Prof. Dr. P. Frankl. I. Bd. M. 12 Taf. u. 27 Textabb. (83b. 381.)

Rhetorik. Von Prof. Dr. E. Geißler. 2 Bde. I. Richtlinien für bie Kunst des Sprechens. 3. verb. Aufl. II. Deutsche Redekunst. 2. Aufl. (83b. 455/456.)

Ssman. Der französische Roman und die Novelle. Ihre Geschichte v. d. Ans. b. 1. Gegenw. Von O. Flake. (Vd. 377.)

Romantik, Deutsche. V. Geh. Hofrat Prof. Dr. O. F. Walzel. 4. Aufl. I. Die Weltanschauung. II. Die Dichtung.

(Bd. 232/233.)

—    Die Blütezeit der tnttf. N. in Deutschland. B. Dr. E. Jstel. 2.Aufl. (239.)

Sage siehe Heldensage, Mythol., Volkssage.

Schauspieler, Der. Von Prof. Dr. Serbin a n b Gregori.    (Bd. 692.)

Schiller. Von Prof. Dr. Th. Ziegler. Mit 1 Bildn. 3. Ausl.    (33b. 74.)

Schillers Dramen. Von Direktor E. Heusermann.

Shakespeare. Sh. u. seine Zeit. Von Prof. Dr. N. Jmelmann. (Bd. 8160

—    Sh.'s Werke. Von Prof. Dr. R.

Jmelmann.    (Bd. 817.)

Sprache, Die Haupttypen des menschlich. Sprachbaus. Sott Prof. Dr. F. N. F i n ck.

2.    Aufl. v. Prof. Dr. E. Kiecker s. (268.) —- Die deutsche Sprache v. heute. V. Stu-

bienr. Dr. W. Fischer. 2. verb- A- (475.)

—    Fremdwortkunde. Von Privatdozentin

Dr. Elise Richter.    (33b. 5700

—    siehe auch Phonetik, Rhetorik: ebenso Sprache u. Stimme Abt. V.

Sprachstämme, Die, des Erdkreises. Von Prof. Dr.F.N.F in ck. 2. Afl. (33b.267.) Sprachwissenschaft. Von Prof. Dr. Kr.

Sandfeld-Jensen.    (335.472.)

Stile, Die Entwicklunasgesch. d. St. in der bild. Kunst. V. Dr. E. C o h n -- W i e n e r.

3.    Aufl. I.: V. Altertum b. z. Gotik. M. 69 Abb. II.: 33. b. Renaissance b- z. Gegenwart. Mit 42 Abb. (33b. 317/318.)

Tasteninstrumente. Klavier. Orgel. Harmonium. Das Wesen der Tasteninstrumente. V. Prof. Dr. O. Bie. (Bd. 325.) Theater, Das, v. Altert, bis zur Gegenw. Von Prof. Dr. Chr. Gaehde. 3. Aufl.

(Bd. 230.)

IV. Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie.

Alpen, Die. Von H. R e i s h a u e r. 2., neub. Aufl. von Prof. Dr. H. Slanar. Mit Abb. und Karten.    (Bd. 2760

Altertum. Das, im Leben der Gegenwart. V. Prov.-Schul- u. Geh. Neg.-Nat Prof. Dr. P. Sauer. 2. Aufl. (Bd. 356.)

—    D. Altertum, seine staatliche u. geistige Entwicklung und deren Nachwirkungen. V. ©tubienrat H. Preller. (33b. 642.)

Amerika. Gesch. d. Verein. Staaten v. A. V-(Bros. Dr. @.$aenett. 2. St. Ob. 147.)

—    Südamerika. V- Negier.- u. Okono-mier. Prof. Dr. E. W a g e m a n n. (718.)

Amerikaner. Die V N. M. Butler. Dtsch.

v.Prvf. Dr. W. P a s z k 0 w s k i. -<3190 Antike. Deutschtum u. A. in ihrer Verknüpfung. Ein Überblick von Oberstu-dienrat Konrektor Prof. Dr. E. Stemplinger und Konrektor Prof. Dr. H. Sanier. Mit 1 Taf. (Bd. 689.)

Antike. A. Wir!Ich<iftSge!chichte. Bon Dr.

O. Neurath. 2.Ausl. Ob. 258.) — Antikes Leben nach den ägyptischen Papyri. V. Geh. Postrat Prof. Dr. Fr. Preisigke. Mit 1 Tafel. (Sb.5650 Arbeiterbewegung s. Soziale Bewegungen. Australien und Neuseeland. Land, Leute und Wirtschaft. Von Prof. Dr. N. Schachner. Mit 23 Abb. (Bd. 366.) Baltische Provinzen. V. Dr. V- T o r n i u s.

3-Aufl. M. 8 Abb. u. 2 Kartensk. (Bd. 542.) Bauernhaus. Kulturgeschichte des deutschen B. Von Baudir. Dr.-Ing. Chr. R an ck.

3. Aufl. Mit 73 Abb.    (Bd. 121.)

Bauernstand. Gesch. d. dtsch. B. V. Prof. Dr. H. Gerdes. 2., verb. Aufl. Mit 22 Abb. i. Text    (Bd. 320.)

Belgien. Von Dr. V. Oßwal d. 3. Aufl. Mit 4 Karten i. T.    (Bd. 50U f. Zeit. Bon Archivrat Vrof. Familienforschnng. Von Dr. E. De-lentin. Mit Titelb. 4.Stuft. vrien t 2. Ausl. M. 6Abb. i. T. (350.)

Bismarck u. Dr. V- Va

(Bd. 500.)    Septimen,    Grosze. Bon Major    F. C.

—    Von Luther    zu Bi Zmarck. 12 Charakter-    Endres.    I. Vom Altertum b.    z. Tode

bilder aus deutscher Geschichte. Von    Gustav Adolfs. Mit 1 Titelb., 12 Karten

Pros. Dr. O- Webe r- 2. Ausl.    u. 1 Schema. II. V- Turenne b. Hinden-

(Vd. 123/124.) ^burg. M. 1 Titelb. u. 14 K. (687/688.) Böhmen. Zur Einführung in bie bitt)* Feste. Deutsche, u. Volksbräuche. V. Pros, mische Frage. Von Pros. Dr. R. F. Dr. E. Fehrle. 2. Ausl. M- 29 Abb. K a i n d l. Mit I Karte. (Bd. 701.)    (Bd. 518.)

Brandenburg.-preutz. Gesch. D. Archivar Finnland. Von Gesandtschaftsrat I. Oh-Dr. Fr. Israel. I. Von d. ersten An- q u i ft.    (Bd. 700.)

sängen b. z. Tode König Fr. Wilhelms I. Frauenbewegung. Die deutsche. Von Dr.

1740. II. V. d. Regierungsantritt Fried- Marie B e r n a y s.    (Bd. 761.)

richs. d. Gr.    b. z. Gegenw. (440/441)    Frauenlcben. Deutsch . i. Wandel    d. Jahr-

Vürqer 1. Mittelalt. s. Städte u. B- i. M.    Hunderte.    V. Geh. Scbnlrat Dir.    Dr. Ed.

Christentum u. Weltgeschichte seit der Re-    Otto. 3. Ausl. 12 Abb. i. T. (Bd. 45.)

fomation. Von Pros. D. Dr. K. Sell.    Friedrich d. Gr. 6Vortr. V. Pros. Dr. TÜ.

^2 Bde    . (Bd. 297/298.)    Bitterauf. 2.A. M. 2Bildn. (246

Denkmalpflege s. Hermatpflege.    Gartenkunst. Gesch. d. G. V- Baudir. Dr.-

Deutschtum im Ausland, Das. vor dem Ing. Cbr. Ranck. M. 41 Abb. (274) Weltkriege. Von Prof. Dr. R. Hoeni- Geographie der Vorwelt (Paläoaeoara-8er. 2 Stuft.    (Bd. 402.)    phie). Von Prof. Dr. Dacqu 6

—    u. Antike i. ihr. Verknüpfg. Ein über- Mit 18 Fig. i Text.    (Bd. 619

blick v. Oberstudienr. Konrekt. Prof. Dr. E- Geologie siehe Abt. V.

rekt

Stemplinger u. Oberstudienr. Kon- Nerman. Heldensage s. Heldensage

. Prof. Dr H.L am er. MIT. (689.) Germanische Kultur in der Urzeit. Von Dorf. Das deutsche. V. Pros. R. Mielke. Bibliotheksdir. Prof. Dr. 05 Stein”

3. Ausl. Mit 51 Abb.    (Bd. 192.) Hausen. 3.Aufl. Mit 13Abb. Ud 75 )

Eiszeit. Die. u. d. vorgeschichtl- Mensch. Geschichte. Deutsche G. Von Prot Dr. V. Geh. Bergrat Pros. Dr. G. Stein-    O. Weber.    (Bd 825.)

mann. 2. Stuft- M- 24 Abb. (302.) —Deutsche G. des Mittelalters. V-Studr. Englands Weltmacht in ihrer Entwickl. seit Dr- B o nwe tsch.    (Bd. 517.)

d. 17. Jahrh. b.a.u. Tage. V. Dir. Prof. —- Deutsche G. im 19. Jahrh. b. zur Dr.W.Langen deck. 3. Ausl. (835.174.) Neichsemheit. V. Prof. Dr. R. Schwe -Entdeckungen, Das Zeitalter der E. Bon    ^de. 1: Von 1800—1848

Gel,. Sakral Prof. Dr. @. Günther.    ™Itallo7¹\v“V“nn™    ah

1. Ausl. Mit 1 Weltkarte. <Bd. 26.)    „Js "sf? ¹⁸⁴*~¹⁸®-.²' n,S>,e

er», siehe Mensch u. E,    (Sb iOi ) II?- Ban 186^1871^'

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Morphologie. V. Prof. Dr. F. Machn t-    Kulturb rld er aus gr.

s ch e k. M. 33 Abb. (Bd. 627.)I¥^Wd*    .^^^n Pros. Dr. E Z r eb a r t h.

geographie d. Süßwassers. V/Pros. Dr- F. ³*    Mit 21 Abb. r. T- u.

Machatschek. M. 24 Abb. (Bd. 628.)    16 Taf    (83b. 131.)

V. Die Meere. Bon Prof. Dr. 31. Merz. vandel. Gerichte d. Welthandels. Von (Bd. 629.) VI. Die Verbreitung der Realgymnasial-Dir. Prof. Dr. M. G. Pflanzen. Bon Dr. Brockmann-Je- Schmrdt. 3. Slufl.    (83b. 118)

rosch. (Bd. 630.) VII. Die Verbreitg. d. — Gesch. d. dtsch. Handels s. d. Ausgang Tiere. V Dr. W. Knopfli. (Bd. 631.)    d. Mittelalters. V. Dir. Prof. Dr. W.

VIII. Die Verbreitg. d. Menschen auf d.    Langenbeck. 2.Afl. M. 16Tab. (237.)

Erdoberfläche (Anthropogeographie). V Handwerk. Das deutsche, in seiner kultnr-Prof. Dr. N- Krebs. M. 12 Abb. (632.) geschichtl. Entwickl. Von Geh. Schnlrat

—    siehe auch Geographie.    Dir. Dr. E. Otto. 5. Stuft. Mit 23

Europa. Vorgeschichte E.'s. Von Prof. Dr. Abb. a. 8 Taf.    (Bd- 14.)

ö. Schmidt.    (Bd. 571/572.) — siehe auch Dekorative Kunst Abt. III.

Europäische Geschichte im Zeitalter Heimatpflege. (Denkmalpflege u. Heimat-Karls V., Philipps II. u. d. Elisabeth.    schütz.) Ihre Ausgaben. Organisation

Von Vrof. Dr. G. Mentz. (Bd. 528.)    und Gesetzgebung. Von Dr. H. Bart-

---fm Zeitalter LudwigsXIV. und d.    mann.    (Bd. 756.)

Grotzeu Kurfürsten. Von Pros. Dr. W- Heldensage, Die germanische. Bon Dr. I. Platzhoff.    (Bd. 530.) W. Bruinier.    (Bd. 486.)

(Bd. 613.)

(m 53.)

Agpan. B. Prof. vr.K H a u s h o f e r. (822.) Jena. Von I. b. z. Wiener Kongreß. Von Prof. vr. G. Rolosf. (Bd. 465.) Jesuiten. Die. Eine 6ist. Skizze. Von Prof.

Dr. H. Boehmer. 4. Aufl. (Bd. 49.) Au-ien. Von Prof. Dr. Sten Konow.

000.614.)

ASland. d. Land u. d. Volk. V. Prof. Dr. P.

Herrmann. M. 9Abb. (Bd 461.) Anden. Geschichte d. I. seit d. Unterg. d jüd. Staates. Von Prof. Dr. I. El-Bogen.    (Bd. 748.)

Kartenkunde. Vermessungs- u. K. 6 Bde. Mit Abb. I. Geogr. Ortsbestimmung. Bon Prof. Schnauder. (Bd. 696.) IL Erdmessung Von Prof. Dr. O. Eggert. (Bd. 607.) III. Landmess. V. Geh. Finanzrat F. Suckow. Mit 69 Zeichn. (Bd. 608.) IV. Ausgleichungsrechnung n. d Methode d. kleinst. Quadrate. V. Geh. Keg.-Rat Prof. Dr. E. Hegemann. M. 11 Fig. i. Text. (Bd. 609.) V. Photogrammetrie, (Einfache Stereo- u Luftphotogrammetrie). B. Diplom-Jng. H. Lüsche r. Mit 78 Fig. i. Text u. a-2 Tafeln. (Bd. 612.) VI. Kartenkunde. B Finanzr. Dr.-Jng. A. E g e r e r i .Einführ. i d. Kartenverständnis. Mit 49 Abbildungen im Text. 2. Kartenherstellung (Landesaufn). (8b.610/611.) Kirche s Staat u. K.: Kirche Abt. I. Krieg. Kulturgeschichte d. Kr. Von Prof. Dr. K. Weule, Geh. Hofrat Prof. Dr.

E. Bethe, Prof. Dr. B. Schmeid -Jer, Prof. Dr. A. Doren, Prof. Dr. S. Sette.    (33b.561.)

— f. auch Feldherren Kriegsschiffe, Unsere. Ihre Entstehung u. Verwendung. V. Geh. Mar.-Baur. a. D. E. Krieger. 2. Aufl. v. Geh. Mar.-Baur. Fr. Schürer. M. 62Abb. (389.) Luther, Martin L. u. d. d^sche.Resormarion. Bon Prof. Dr. W. Köhler. 2., Verb. Aufl. M. IcBildn. Luthers. (Bd. 515.) Sen Luther zu Bismarck. 12 Charakterbilder aus deutscher Geschichte Von Pros. vr O. W e b e r. 2.Aufl. (123/124.) Mar?, Karl. Versuch einer Würdigung. V.

Prof. vr. R- W i l b r a n d t. 4. Ä. (621.) Meusch u. Erde. Skizzen v. ben Wechselbeziehungen zwischen beiden. Bon Geh. Rat Prof. Dr. A K i r ch b o f i. 4. Au t. ^J\ö;P¹§³e4t: Mensch Abt.V. l(Bd.3l.) Mittrlatter. Miitelalterl. Kulturideale. V ?r*    ^^bel. L: Heldenleben,

n: RirterromaAlk (Bd. 292, 293) —- s. auch Geschichte, Osten, Städte und Burger t. M-

Moltke. Von Major F. C. End res. Mit 1 Bildn.    (Bd. 415 )

Münze. Grundriß d. Münzkunde. 2. Aufl. L Die Münze nach Wesen, Gebrauch u. Be-f*utg. V. Hofrat Dr. A. Lu 5 chin v. Ebengreuth. M. 56 Abb. H. Die Münze tn rhrer geschichtl. Entwicklung v. Altertum b. z. Gegenw. Von Prof. Dr. H. Buchenau. (Bd. 91, 657.) Mtzthologre l Abt. I.

Napoleon!. Von Prof. Dr. Th. Bitter-

ÄöffÄ

Natur u. Mensch. B. Dir. Prof. Dr. M. G. Schmidt. M. 19 Abb. (Bd. 458.)

Die geistige Kultur der N. V Prof vr. K. TH.Preuß. M. 9 Abb. f a. Völkerkunde, allg. l(Bd 452.) Neugriechenland. Von Prof. Dr. A. Hei-sen berg.

Neuseeland s. Australien.

Orient s. Indien, Palästina, Türkei.

Osten. Der Zug nach dem O. Die solo* nisatorische Großtat d. deutsch. Volkes v Mittelalter. V- Geh. Hofrat Prof vr. K. Hampe-    (Bd. 731.)

Österreich. O.'s mitere Geschichte von 1848 b'.s 1895. V. R. Charmatz. 3.. veränd. Aufl. I. Die Vorherrschaft der Deutschen. II. Der Kampf der Nationen. (651/652.)

—    Geschichte der auswärtigen Politik Ö.'s

itn 19. Jahrhundert. B. R. CH arm atz.

2., veränd. Aufl. I. Bis zum Sturze Metternichs. II. 1848—1895.    (653/654.)

—    Österreichs innere u. äußere Politik von 1895-1914. V R. CH arm atz. (655.)

Ostmark f. Abt. VI.

Ostfeegebiet, Das. V. Prof. vr. G. B r a u n.

M. 21 Abb. u. Irnefm. Karte. (Bd. 367.)

—    f. auch Baltische Provinzen, Finnland. Palastina u. f. Geschichte. V- Prof. Dr. H.

Frh. v. Soden. 4. Aufl. M. 1 Plan v. Jerusalem u. 3 Ans. d. Heil-Landes. (6.)

—    P. u. s. Kultur i. 5 Jahrtausd. Nach d. n. Ausgrab. u. Forschg.' bärgest. v. Prof.

Polarforschung. Geschichte der Entdeckungsreisen zum Nord- u. Südpol v. d. ältest. Zeiten bis zur Gegenw. B. Prof. vr. K. H asser t. 3. Aufl. M. 6 Kart. (Bd. 38.) Polen. M. ein. geschichtl. Überblick üb. d. polnisch-ruthen. Frage. B. Prof. Dr. R. F. Kaindl. 2., Verb. Aufl. M. 6 Kart. (547.) Politik. Umrisse d. Weltpol. B- Prof. Dr.

1.    Hashagen. 3 Bde. 1:1871—1907.

2.    A. II: 1908—1914. 2. A. (Bd. 553/54.)

—    Politische Hauptströmungen in Europa

im 19. Jahrhundert. IBon Prof. Dr. K. Th. v. Heigel. 4. Aufl. von Dr. Fr. End res.    (Bd. 129.)

—    Politische Geographie. Bon Prof. Dr.

W. Vogel.    (Bd. 634.)

Pompeji, eine Hellenist. Stadt in Italien. V. Geh.Hofrat Prof. Dr. Fr. v.Duhn.

3.    «fl. M. 62 Abb. sowie IPlan. (114.) Preußische Geschichte f. Brandend.-pr. G. Reaktion und neue Ära s. Gesch., deutsche. Reformation s. Luther.

Reichsverfassuug. Die neue R. Von Priv.-

Doz. Dr. O. Bühler.    (Bd. 762.)

Renaissance. Die R. Von Privatdoz. Dr.

A.    von Martin.    (Bd. 730.)

Restauration u. Rev. s. Geschichte, dtsche. Revolution. Geschichte der Franzos. R.

B.    Prof. Dr. Th. Bitterauf. 2. Aufl.

Mit 8 Bildn.    (Bd. 346.)

—    1848. 6 Vorträge. Von Prof. Dr. O. Weber. 3. Aufl.

Rom..Das alte Rom. Bon Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. O. Richter. Mit Bilderanhang u. 4 Plänen.    (Bd. 386.)

— Geschichte der römischen Republik. Von Privatdoz. Dr. A- Rosenberg. (838.) —-Soziale Kämpfe i. alt. Nom. B. Prwat-dozent Dr. L. Bloch. 4.Aufl. (Bd. 22.) Rußland. Geschichte. Staat, Kultur. Bon Dr. A. Luther.    (Bd.563.)

Ärist- und Buchwesen in alter und neuer Zeit. Bon Geh. Studienr. Dr. O. Wei se. 4. Aufl. Mit 37 mb.    (Bd. 4.)

~~ s. a. Buch. Wie ein B- entsteht. Abt. VI. bAvkiz. Die. Land, Volk, Staat u Wirtschaft. Von Regierungsrat Dr. O. Wett-stein. Mit I Karte.    (Bd. 482.)

Seekrieg s. Kriegsschiff.

Slawen. DieS. Von Prof. Dr.P. Diels.

(Bd. 740.)

Soziale Bewegungen und Theorien bis zur modernen Arbeiterbewegun G. Maier. 8. Aufl.

*— f. a. Marx. Rom; Sozialism. Äbt. VI Staat. St " — - - -    -- -

Von

(Bd. 485.)

(Bd. 43.) a u. Verwaltung d. deutschen Dr. M. Schmid. (Bd. 466.)

ist. : (Bd. 2.)

St. u. Kirche in ihr. gegeus. Verhältnis seit d. Reformation. V. Pfarrer Dr.

Phil- A Pfannkuche.

—    siehe auch Verfassung, Volk.

Stadt. Dtsche. Städte u. Bürger i. Mittelalter. V- Geh. Reg.-Rat Oberschulrat Dr. B. Heil. 4. Aufl. (Bd. 430

—    Verfassun Städte. V.

Sternglaube und Sterndeutung. Die Geschichte u. d. Wesen d. Astrologie. Unt. Mitwirk. v. Geh. Rat Prof. Dr. C. Be-iotb bärgest, v. Geh.Hofr.Prof. Dr. Fr. B o l l. 2. A. M. 1 Sternk. u. 20Abb. (6380 Ktuvent. Der Leipziger, von 1409 bis 1909. Bon Dr. W. Bruchmüller. mt 25 Abb.    (Bd. 273.)

Ktudententum. Geschichte d. deutschen St.

Von Dr. SB. Bruchmüller. (Bd. 477.) Südamerika s. Amerika.

Türkei, Die. B. Reg.-Rat P.R. Kraule.

Mit 2 Karten. 2. Aufl. (Bd. 469.) Hrscit s. german. Kultur in der U. Verfassung. Die neue Reichsverfassung. Von Privatdoz. Dr. O. Bühler. (762.)

Verfassung. Deutsches Verfassungsrecht i. geschichtlicher Entwicklung. Von Prof. Dr. Ed. Hubrich. 2. Aufl- (Bd. 80.)

—    Deutsche Verfassungsgcschichte v. Anfange d. 19. Jahrh, bis zur Gegenw. Von Prof. Dr. M. Stimming. (6390

—    s. a. Steuern, d. neuen. Abt. VI. Vermessungs- u. Kartenkunde f Kartenk. Volk. Vom deutschen V. zum dt. Staat.

Eine Geich, d. dt. Nationalbewußtseins. Von Prof. Dr. P. Joachimse n. 2. Aufl.    (Bd. 511.)

Völkerkunde, Allgemeine. I: Feuer, Nahrungserwerb. Wohnung, Schmuck und Kleidung. Von Dr. A. Heil born. M. 64 8166. 036. 487.) II: Watten u. «Bert-zeuge, Industrie, Handel u. Geld, Verkehrsmittel. Von Dr. A. Heilborn. M. 51 Abb. (Bd. 488.) III: Die geistige Kultur der Naturvölker. Von Prof. Dr. K. Th. Vreuß. M. 9Abb (Bd. 452.) Lolkobräuche, deutsche, siede Feste. Volkskunde. Deutsche, im Grundriß. Von Prof. Dr. C. Reusche l. I. Allgemeines, Sprache, Volksdicht. M. 3 Fig. II. Glaube, Brauch, Kunst u. Recht. (Bd. 644/645.)

—    s. auch Bauernhaus, Feste, Sternglaub., Volkstracht., Volksstämme.

Volksstämme, Die deutschen, u. Landschaften. V. Geh. Studr. Dr. O. W e i s e. 5.Afl. Mit 30 Abb. t. T. u. aus 20 Taf. u. 1 Dialektkarte Deutschlands. (Bd. 16.) Volkstrachten, Deutsche. Von Pfarrer St.

Spieß. Mit 11 Abb. (Bd. 342.) Vorgeschichte Europas. Bon Prof. Dr. H.

Schmidt.    (Bd. 571/572.)

Wiener Kongreß. Von Jena b. z. W. K.

Von Prof. Dr. G. R o l o f f. (Bd. 4650 Wirtschaftsgeschichte, Antike. V Dr. O. Neurath. 2., umg. Aufl. (Bd. 258.)

—    Vom Ausgange d. Antike bis zum

Beginn d. 19. Jahrhunderts. (Mittlere Wirtschaftsgeschichte.) Von Prof. Dr. H. Sieveking.    (Bd. 5770

—    s a. Antikes Leben n. b. ägypt. Papyri. Wirtschaftsleben, Deutsches. Auf geogr.

Grundl. gesch. B- Prof. Dr. Chr. ©ruber. 4.Aufl. B. Dr.H.Reinlein. (42.)

—    s. auch Abt. VI.

V. Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin.

Anatomie d. Menschen, D. B- Hofrat Prof. Dr. K. v. B a r d e l e b e n. 6 Bde. Jeder Bd. nt. zahlr. Abb. (Bd. 418/423.) I. Zelle und Gewebe, Entwicklungsgeschichte. Der ganze Körper. 3. Aufl. II. Das Skelett. 3. Aufl. III. Muskel- u. Gefäßsystem. 3. umg. Aufl. IV. Die Eingeweide (Darm-, Almungs-, Harn- und Geschlechtsorgane, Haut). 3. Aufl. V. Nervensystem und Sinnesorgane. 2. Afl. VI. Mechanik (Statik u. Kinetik) d. menschl. Körpers (der Körper in Ruhe u. Bewegung.) 2. Aufl.

— siehe auch Wirbeltiere.

Astuarium, Das. Von E. W. Schmidt. Mit 15 Fig.    (Bd. 335.)

83»)

Sbcrnlaubc, Der. in der Medizin u. f. Ge» fahr f. Gesundh. u» Leben. V. Geh. Medizinalrat Prof. Dr. D- v. Hanse-m a n n. 2. Aufl.    (Bd.

Ex»

Tbstammungs- und Vererbungslehre, perimentelle. Bon Prof. Dr. E. Lehmann. 2. Aufl. Mit 26 Abb. (33b. 379.)

Abstammungslehre «.Darwinismus. V. Pr.

Dr. R. Hesse. 5. A. M. 40 Abb. (Bd. 39.)

Abwehrkräfte des Körpers, Die. Eine Einführung in die Jmmunitätslehre. Bon Prof. Dr. med. H. Kämmerer. 2. verb.

Aufl. Mit 52 Abbildungen. (Bd. 479.)

Algebra siehe Arithmetik.

Alkoholismus. Der A. B- Privatdoz. Dr. G.

B.Gruber. 2.Verb. A. M. 7 Abb. (1030

Ein-

Prof.

zeit. 3. Afl. M. 18 Abb. i. T. (Bd. 444.) II. Mod. 2lstronomie. 2. Aufl. Mit 9 Fig. i. T. u. I Taf.    (Bd. 445.)

(Bd. 372.)

e t n m n n n. (Bd. 302.)

Elektrochemie u. ihre Anwendungen. Von Prof. Dr. K. Arnd t. 2. Aufl. Mit 37 mb; i. %.    (Bd. 234.)

Elektrotechnik, Grundlagen der E. Von Oberingenieur A- Rotth. 3.Afl. (391.) Energie. D. Lehre v. d. E. B. Oberlehr.

A. Stein. 2.21. M. 13Fig. (Bd. 257.) Entwicklungsgeschichte d. Menschen. V. Dr. A. Heilborn. 2. Aufl. Mit 61 Abb.

(Bd. 388.)

Ernährung und Nahrungsmittel. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. N. Luntz. 3. Afl. Mit 6 Abb. i. T- u. 2 Taf. Erverimentalchemie s. Luft usw. Experimentalphysik s. Physik.

Arbeitsleistungen des Menschen. Die. führ, in d. Arbeitsphysiologie. V.

DrH Boruttau. M.14Fig. (Bd.539.)

—    Berufswahl, Begabung u. Arbeitsleistung in i. gegens. Bezieh. V. SB. I Rnttmann. 2. Aufl. M-7Abb. (522.)

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. B. Geh. Studr. P. Crantz. 2 Bde. I.: Die Rechnungsarten. Gleichungen 1. Grades mit einer u. mehreren Unbekannten. Gleichungen 2. Grades. 7.Aufl. M 9 Fig. i. Text. II.: Gleichungen, Arithmetik u. geometrische Reih. Zinseszins- u. Rentenrechn. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 6. Aufl. Mit 21 Textfig. (Bd. 120, 205.) Arzneimittel und Genutzmittel. Von Prof.

Dr. O. Schmiedeberg. (Bd. 363.) Astronomie. Die A. in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von Prof. Dr. A. Maren je. 2.21)1. M. 26 Abb. (378.)

—    Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. Oppenheim. I. Vom 2lltertum bis zur Neu-

—    siehe auch Mond, Planeten, Sonne, Weltall, Sternglaube. Abt. I.

Atome s. Materie.

Auge, Das, und die Brille. Von Prof. Dr. M, b. Rohr. 2. Stuft. Mit 84 Abb. u. 1 Lichtdrucktafel.

Ausgleichungsrechn. f. Kartenkde. Abt. IV. Bakterien. Die, im Haushalt und der Natur des Menschen. Von Prof. Dr. E. Gutzeit. 2. Aufl. Mit 13Abb. (242.) •— Die krankheiterregenden Bakterien. Grundtatsacheu d. Entsteh., Heilung u. Verhütung d. bakteriellen Infektionskrankheiten d. Menschen. V. Vrof'. Dr. M. Loehlein. 2.2111. M. 33 Abb. (Bd.307.)

—    s a. Abwehrkräfte. Desinfektion, Pilze, Schädlinge.

Bau u. Tätigkeit b. menschl. Körpers. Eins, in die Physiologie d. Menschen. V. Prof. Dr. H.Sachs. 4.21. M. 34 Abb. (Bd.32.) Befruchtung und Vererbung. Von Dr. E.

Teich mann. 3.Ausl. M. 3Abb. (70.) Bienen und Bienenzucht. Von Prof. Dr.

E. Zander. Mit 41 Abb. (Bd. 705.) Biochemie. Einführung in die B. in elementarer Darstellung. Von Prof. Dr. M. Löb. Mit 12 Fig. 2. Aufl. v. Prof. Dr. H. Friedenthal. (Bd. 352.) Biologie, Allgemeine. Einführ. i. d.Haupt-probleme d. organ. Natur. V. Prof. Dr. H.Miehe. 3-21- M. 44 Abb. (Bd. 130.) —, Experimentelle. Regeneration, Transplantat. u. verwandte Gebiete. V- Dr. C. Tbesing.M.lTaf. u. 69Textabb. (337.)

—    siehe a. Abstammungslehre, Bakterien, Befruchtung, Fortpflanzung, Lebewesen, Organismen, Schädlinge, Tiere, Urtiere.

Blumen. Unsere Bl. u. Pflanzen im Garten. Bon Prof. Dr. U. Damme r. Mit 69 Abb.    (Bd. 360.)

—    Uns.Bl. ».Pflanzen i.Zimmer. V. Prof. Dr.U.SDammer. M- 65Abb. (Bd. 359.)

Blut. Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Von Prof. Dr. «£>. Rostn. Mit 18 Abb.    (Bd. 312.)

Botanik. B. L.praktischen Lebens. V-Prof.

Dr. P. G i se v i u s. M.24 Abb. (Bd. 173.) -".siehe Blumen, Lebewesen, Pflanzen, Prlze, Schädlinge, Tabak, Wald; Kolonialbotanik, Abt. VI.

Brille s. Auge u. d. Brille.

Chemie. Einführung in die allg. Ch. B. Studienrat Dr. B. Bavink. 2. Au fl. Mit 24 Fig.    (Bd. 582.)

—    EiNjührg. i. d. organ. Chemie: Natürl. u. knstl. Pflanz.- u. Tierstoff. V Studien-tat Dr,$.® ab int. 2.A. 9 Abb. (187.)

—    Einfuhr, i. d. anorgan. Chemie. Bon Studr. Dr.B. Bavink. M.3lAbb. (598.)

—    Einführung i. d. analyt. Chemie. B. Dr.

F. Rusberg. I. Gang u. Theorie b. Analyse. Mit 15 Fig. II. D. Reak-tronen. Mit 4 Fig.    (524. 525.)

—    Dre künstliche Herstellung von Naturstoffen. B. Prof. Dr. E. Rü st. (93b. 674.)

—    CH. in Küche und Haus. Von Dr. I.

Klein. 4. Aufl.    (Bd. 76.)

—- siehe a. Biochenlie, Elektrochemie, Luft. Photoch., Radium: 2lgriku!tnrch., Farben, Sprengstoffe, Technik, Chem. Abt. VI. Chirurgie, Die, unserer Zeit. Von Prof.

Dr. I. Feßler. Mit 52 Abb. (Bd.339.) Darwinismus. Abstammungslehre und D. Von Prof. Dr. R.Hesse. 5.Aufl. Mit 40 Textabb.    (Bd. 39.)

Desinfektion, Sterilisation und Konfer-vierung. Von Reg.- u. Med.-Rat Dr. £>. Solbrig. M. 20 Abb. i. T. (Bd. 401.) Differentialrechnung unter Berücksichtig, d. prakt. Anwendung in der Technik mit zahlr. Beispielen u. Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. 2rndo w. ö. A. M. 45 Fig. i. Text u. 161 Aufg. (387.) Differentialgleichungen. Von Studienrat Dr. M. Lind ow.    (Bd. 589.)

Dynamik s. Mechanik, Thermodynamik. Eiszeit, Die, u. der vorgefch. Mensch. Bon Geh. Bergr. Pros. Dr. G. S t '

2. Aufl. Mit 24 Abb.

(19.)

Farben s. Licht u. F.; f.a. Farben Abt. VI. Graphisches Rechnen. Von Oberlehrer O-Festigkeitslehre. V. Gewerbeschulrat Bau- Prölß. Mit 164Fig. i. T. (Bd. 708.) gewerksschuldir. Reg.-Baum. A. Sch au. Haushalt siehe Bakterien. Cbemie, Des-2. Ausl. Mit 119 Figur. (Bd. 829.) iniettion, Naturwissenschaften. Physik.

—    siehe auch Mechanik. Statik.    Haustiere. Die Stammesgeschichte unserer

Flechten siehe Pilze.    Mit^29 Abb^'i D£ert*    252)

Fortpflanzung. F. und Geschlechtsunter.    rzT,$t'<r i«

schiede d. Menschen. Eine Einführung in

bie Sexual biolog ie. V Prof. Dr. H. Bo-    Blutgefäße und Blut und ihre Er-

ruttau. 2.Aull. M. 39Abb. (Sb. 540.) krankungen Bon Pros. Dr. v. R öl r n Garten. Der Kleing. Von Fachlehrer für    ¹⁰ ^b.    120

hott. Bon Dr. (Sb. 199.)

Gartenb. u. Kleintierz. Ioh. Schnei- $>Wtnt s. Schulhygiene. Stimme, der. 2. Ausl. Mit 80 Abb. (Bd. 498.) Hypnotismus und Suagett

—    s. a. Blumen. Pflanzen: Gartenkunst    r* r ¹-* K Ci,

Abt. IV. Gartenstadtbewegung Abt. VI. ^mmunrtatslehre s. Abweyrkrafte d. Korp.

Geisteskrankheiten. Von Geh. Med.-Rat ^nsinitesimalrechnung Emführungin die Dir. Dr.    G. Jlberg. 2. Stuft.    (151.)    3-S    Dr.    @. Kowatewsk,.

SenitfcmUtel siehe Arzneimittet    u.    Ge-    3. Stuit.    Mit 19 3tfl.    (So.    197.)

nuBinittet; Tabak Abt. VI.    Integralrechnung unter Berücksichtigung

»•«"»» <:«“•    Li    SÄ

SJlsttlj. G. s. Erd?. Abt. IV.    Vers. Von Studienrat i)r. M. Lindow.

Geologie. Allgemeine. D. Geh. Bergr.Prof. 2. Ausl. M. 43 Fig. u. 200Aufg 673) b A .0 Bde. (Bd. 207/211 Aalender. Der. Von Prof. Dr. SB. F. ^:^f[ane 7ä&r!ulTbT    lSft    Wislicenus. 2.    Aufl.    (Bd. 69.)

6«»Vrln* Kälte. Die. Wesen. Erzeug, u. Verwert. M M    TitelbUd u 57^bb    I I- Die    Von Dr.    H. Alt.    45 Abb.    (St,. 311.)

Arbeit^des fließenden Wassers. Z.Äufl. Kaufmännisches Rechnen s. Abt. VI.

M. 56 Abb. IV.: Die Bodenbildung. Mit- Kinematographie s. Abt. VI. telgebirgsformen u. Arbeit des Ozeans. Konservierung siehe Desinfektion.

3., wes. erw Aufl. Mit 1 Titelbild u. Korallen u. and.gesteinbild. Tiere. B. Prof. 68 Abb. V. Steinkohle, Wüsten u. Klima Dr. W. May. Mit 45 Abb. (Bd. 231.)

, der Borzeit. 3. Aufl. Von Dr. C. W. Kosmetik. Ein kurzer Abriß der ärztlichen Schmidt. M. 39 Abb. VI.    Verschönerungskunde. Von Dr.J. Sau

emst u. letzt. 3.Aufl. M. 46Abb. v%• bet Mit 10 Abb. im Text. (Bd. 489.)

—    s. a. Kohlen. Salzlagerstätt Abt. VI. Landmessung f. Kartenkunde Abt. IV. Geometrie. Analyt. G. d. Ebene z. Selbst- Lebewesen. Die Beziehungen der Tiere und

unterricht. B> Geh. Studr.    P. Crantz.    Pflanzen zueinander. Von Prof. Dr.

2.Ausl. Mit 55Fig.    (Bd.504.)    K. Kr ae Velin. 2. Ausl. I. Der T.ere

—    Einführung i. d. darstellende Geometr.    zueinander. M. 64 Abb. II. Der Pflan-

Bon Prof. P. B. Fischer.    (Bd. 541.)    M zueinander u. zu d. Tieren Mit

—    Geom. Zeichnen. Von akad. Zeichen!. ^8 Ubb    n™™;amh11f

A. Schudeisky. Mit 172 Abb. i. [a* Vw logte. Organismen. 6cbabhnge. Text u. a. 12 Taf.    (Bd. 5680 Leib und <5eele in ihrem Verhältnis zu-

—    s. auch Planimetrie, Trigonometrie. einander. Von Dr. phii. et med. ®.

Geomorphologie s. Erdkunde Abt. IV.    ,mb ibre^Nedeutuna

Geschlechtskrankheiten. Die. ihr Wesen, ihre Leibesübungen. Die. und ihre Pedeutung Verbreitg.. Bekämpfg. u. Verhütg. Für ^«re Gesundheit ^on ^ros^ ur.. M. Gebildete aller Stände bearb. v. Gene- ⁸ ? n b ^ <sLrt Lrnen    ■ ¹

m!taf ibbf'    $af ⁸(25n *«<■ *«•    Farben Einführung in

^Mit 4 Abb. u. 1 mehrfarb. Taf. (2510 die Optik. Von Prof Dr. L. Graetz.

Geschlechtsunterschiede s. Fortpflanzung. ₄ Ausl. Mit 100 Adb. (Bd. 17.)

SnnRUrS* «»st. Wasser. Licht und Wärme. Neun ne liro⁴"nSIn( T ,,^.⁰.nr°sn>r?R »nvh^iHh i t Vorträge ans b. Gebiete b. Erperimen-Dr. M. v. Gruber. M. 26Abb. (Sb.l.)    tatchemie.VGeh.Rcg.-RatDr.R.B t o cy-

•— G. Ntr «rauen. Bon Dir. Pros Dr    mann. 4. Ausl. M. 115 Abb. (Bb. 5.)

S. Satfd). 2.Ausl. M. 11 Abb. (»33.) Luftstickstoff D, u. s. Verwerth. V. Prof

—    Wie erhalte ich Körper und Geist ge- Dr.K.Kaiser. 2.3t. M. 13Abb. (313.) Bon Geh. Sanitätsrat Bros Dr. z,!aize und Messen. Bon Dr. W. Statt-

F. A. Schmtbt.    (Sb. 600.) Mit 34 Abb.    (Sb. 385.)

—    s. a. Abwehrkräfte.Bakterien, Leibesüb. Materie. Das Wesen d. M. B. Prof. Dr.

Grap». Darstellung. Die. B. Sofias Prof.    @. M ie. I. Moleküle unb Sttome. 4. St.

Dr. F. Auerbach. 2. Stuft. Mit 139    »Kit 2» Abb. II. Wettäther mib Mate-

Figuren.    tSb. 437.) rie. 4. Stuft. Mit Fig. (Sb. 58/59.)

Mathematik. Naturwissenschaften und Medizin

net» (93b. 7650

(Bd. 400

wendg.

2. Verb.

(Bd. 7660 Lebewesen,

Reg.-Rat. Prof. M. 90 Abb. (37L)

Mathematik. Einführung in die Mathe-marik. Von Smbimrat W. Mendelssohn. Mit 42 Orig.    (93b. 503.)

—    Math. Formelsammlung. Ein Wieberholungsbuch der Elementarmathematik. Von Pros. Dr. S- Jakobi. I. Arithmetik u. Algebra. II. Geometrie. (646/47.)

—    Naturwissenschaft, Mathem. u. Medizin i. ktass. Altertum. V. Prof. Dr.Ioh. L. Heiberg. 2.Aufl. M. 2Fig. (370.)

—    Praktische M. Von Prof. Dr. R. Neuendorff. I. Graphische Darstellungen. Verkürztes Rechnen. Das Rechnen mit Tabellen. Mechanische Rechenhilfs-mittel. Kaufmännisches Rechnen i. lägt. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2.. Verb. A. M. 29 Fig. i. T. u. 1 Taf. II.Geom. Zeichnen. Projektionsl. Flächenmessung. Körpermessung. M. 133 Fig. (341, 526.)

—    Mathemat. Spiele. B.Dr. W. A h r e n s. 4. Ausl. M. Titelb. u. 78 Fig. (93b. 170.)

—    s. a. Arithmetik, Differentialgleichung, Differentialrechnung, Vektorrechnung. Geometrie, Graphisches Rechnen, Infinitesimalrechnung, Integralrechnung, Perspektive, Planimetrie, Projektionslehre. Spiele, Trigonometrie.

Mechanik. B. Prof. Dr. G. H am el. 3 Bde.

1.    Grundbegriffe der M. Mit 38 Fig. II. M. b. festen Körper. III. M. d. flüsf. u. luftförm. Körper. (93b. 684/686.)

*— Aufgaben aus d. techn. Mechanik für den Schul- u. Selbstunterricht. B. Pros.

N. Schmitt. I. Statik u. Festigkeitsl.

2.    Aufl. Aufg. u. Lös. II. Dynamik u. Hydraulik. 140 Aufgab, u. Lösung, m. zahlr. Figur. i. Text. (93b. 558, 559.)

—    siehe auch Statik, Festigkeitslehre. Medizin i. klass. Altertum s. Mathematik. Meer. Das M., s. Erforsch, u. f. Leben. Von

Prf.Dr.O.J ans o n.3.A.M.40F. (Bd-30.) Mensch u. Erde. Skizzen v. b. Wechselbezieh, zwischen beiden. Von Geh. Rat Prof. Dr. A. Kirchhofs. 4. Aufl. (93b. 31.) •— Natur u. Mensch siehe Natur.

—    s. a. Eiszeit, Entwicklungsgefch., Urzeit.

ÄSnÄiSÄM

Dr. H. Sachs. 4. Aufl. M. 34 Abb. (32.) ~~ k auch Anatomie, Arbeitsleistungen, Auge, Blut, Fortpflanzg., Herz, Nervensystem, Sinne, Verbildungen. Mikroskop, Das. Seine wissenschaftlichen GruMagen und feine Anwendung. Von Dr. A. Ehringhaus. Mit 76 Abb.

Mikrotechnik, Einführung in die" M.^Von Dr. V> Franz und Dr. H. S ch b er.

Moleküle s. Materie.

Mond Der Von Prof. Dr. I. Franz.

2. Aufl. Mrt 34 Abb.    (93b. 900

Nahrungsmittel s. Ernährung u. N. Statur u. Mensch. V. Direkt. Prof. Dr. M.

G. Schmidt. Mit 19 Abb. (Bd. 4580

Naturlehre. Die Grundbegriffe der modernen N. Einführung in die Physik. Bon Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach. 4. Au,l. Mit 71 Fig.

Naturphilosophie. Von Prof. Dr. I. M.

Verweyen. 2. Aufl. (93b. 491.) Naturwissenschaft. Religion und N. in Kampf u. Frieden. 93- Pfarrer Dr. A. Pfannkuche. 2. Aufl. (935.141.)

—    N. und Technik. Am sausenden Web-stuhl d. Seit. Übersicht üb. b. Wirkungen b. Naturw. u. Technik a. b. gef. Kulturleben. V. Geh. Reg.-Rat Pros. Dr. 93. Launhardt. 3. Afl. M. 3Abb. (23.)

—    N., Math. u. Medizin i. klass. Alter

tum. B. Prof. Dr. I. L. Heibe r g. 2. Aufl. Mit 2 Fig.    (93b. 370.)

Nerven. Vom Nervensystem, sein. Bau u. sein. Bedeutung für Leib u. Seele im gesund. u. krank. Zustande. 93. Prof. Dr. R. Zander. 3. Aufl. M. 27 Abb. (93b. 48.)

—    siehe auch Anatomie.

Optik. Die opt. Instrumente. Lupe. Mikroskop. Fernrohr, photogr. Objektiv il ihnen verwandte Jnstr. B Prof. Dr. M. v. Rohr. 3.Aufl. M. 89 Abb. (88.)

—    siehe auch Auge, Kinemat., Licht u. Farbe. Mikrosk., Spektroskopie. Strahlen.

Organismen. D. Welt b. O. In Entwickl. u. Zusammenh. borgest. 93. Oberstudienr. Prof. Dr.K.L a m p e r t. M. 529166. (2360 Paläozoologie siehe Tiere der Vorwelt. Perspektive, Die, Grundzüge d. P. nebst An» 93.Prof. Dr. K. 3)oeMemann. Afl.. M. 91 Fig. u. 11 Abb. (510.) Pflanzen. Die fleischfress. Pfl. B.Prof.vr. A. Wagner. Mit 82 Abb. (93b. 344.)

—    Uns. Blumen u. Pfl. i. Garten. V.Pror. Dr. U. D a m m e r. M. 69 Abb. (93b. 360.)

—    Uns. Blumen u.Pfl. i. Zimmer. V.Prof. Dr. U. Kammer. M. 65Abb- (93b. 359.1)

—    Werdegang u. Züchtungsgrundlagen d. landw. Kulturpflanzen. B Prof. Dr. A. Zade. Mit Abb.

—    s. aucö Botanik, Garten.

Pilze. Schädlinge, Tabak; Kolonial-botanik. Abt. VI.

Pflanzenphysiologie. 93. Dir. Prof. Dr.

H. Molisch. Mit 63Fig. (93b. 5690 Photochemie. 93. Prof. Dr. G. Kümmell.

2. Afl. M. 23 Abb. i. T. u. a. 1 Taf. (227.) Photogrammetrie s. Kartenkunde Abt. IV. Photographie s. Abt. VI.

Physik. Werdegang d. mod. Ph. B.Studienr. Dr. H. Keller. M- 13 Fig. (3430

—    Erperimentalphysik, Glerchgewicht u. Bewegung. Bon Geh.

Dr. R. Börnstein.

Physik. PH. i. Küche u. Haus. 93. (Btubknt. H- Speitkamp. 2. Aufl. Mit 54 Abb.

(Bd. 478 )

—    Grobe Physiker. Bon Prof. Dr. F. A. Schulze. 2. Aufl. Mit 6 Bildn. (3240

—    s. a. Energie, Materie, Mechanik, Naturlehre, Optik, Relativitätstheorie, Wärme.

Pilze, Die. Von Dr. A. Eichin ge r. Mit 64 Abb.    (Sb. 334.)

Sprache s. a. Rhetorik, Sprache. Abt-III. Statik. V. Gewerbeschnlrat Baugewerks-schuldir. Reg.-Baum.

Mit 112 Figur.

—    siehe auch Festigkeitslehre, Mechanik. Sterilisation siehe Desinfektion.

Stickstoff f. Luftstickstoff.

Stimme. Die menscht. St. u. ihre Hygiene. B. Geh. Med.-Rat Prof. Dr. P. H. Gerber. 3. Aufl. M. 21 Abb. (136.) Strahlen. Sichtbare u. unsichtb. St. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. R. B ö r nste i n. 3. Aufl. v. Prof. Dr. E. Regener. Mit 71 Abb.    (Bd. 64.)

Suggestion. Hypnotismus und Suggestion. B.Dr.E.Trömner. 3.Aufl. (Bd. 199.)

Sützwasscr-Plankton, Das. B. Prof. Dr.

O.Zacharias. 2.A.57Abb. (Bd. 156) Tabak. Der. Von Jak. Wolf. 2. Aufl.

Mit 17 Abb. i. T.    (Bd. 416.)

Thermodynamik s. Abt. VI.

Tiere. T. der Vorwelt. Von Prof. Dr. O. Abel. Mit 31 Abb.    Wb. 399.)

—    Die Fortpflanzung der T. V- Prof. Dr. R. Goldschmrdt. Mit 77 Abb.

(Bd. 253.)

—    Lebensbedingungen und Verbreitung der Tiere. Von Prof. Dr. O. Maas. Mit 11 Karten und Abb. (Bd. 139.)

—    Zwiegestalt der Geschlechter in der Tierwelt (Dimorphismus). Von Dr. I r. Knauer. Mit 37 Fig. (Bd. 148.)

—    Aquarium, Bakterien, Bienen, Haustiere. Korallen, Lebewes., Schädlinge, Urtiere, Vogelleb., Vogelzug, Wirbeltiere.

Tierzucht siehe Abt. VI: Kleintierzucht, Tierzüchtung.

Trigonometrie. Ebene, z. Selbstunterr. V. Geh. Studienr.    P.    Crantz. 3.    Aufl.

Tuberkulose, Die, Wesen, Verbreitung, Ursache, Verhütung und Heilung. Von Generalarzt Prof. Dr. W. S ch u m b u r g. 3. Aufl. M. 1 Taf. u. 8 Fig. (Bd. 47.)

A. Schau. 2. A. (Bd. 828.)

— Pilze «rrd Flechten. Don Dr. W.

g.    (Sb. 675.)

■— s. auch Bakterien.

Planeten, Die. Von Prof. Dr. B- Peter.

udr.

2. Aufl. Bon Observator Dr. H. Naumann. Mit 16 Fig.    Wb. 240.)

Planimetrie z. Selbstunterr. B. Geh. St P. Crantz. 2. Aufl. M- 94 Fig. (340.)

Praktische Mathematik s. Mathematik.

ProjektionSlehre. In kurzer leichtfaßlicher Darstellung f.'Selbstunterr. u. Schulgebr.

Bon alab. Zeichen!. A. Schudeiskh.

Mit 208 Abb. i. Text- (Bd. 564.)

Psychopathologie siehe Seelenleben.

Radium, Das, u. b. Radioaktivität. Von Prof. Dr. M. Centnerszwer 2. Afl.

Mit 33 Abbildungen.    (Bd. 405.)

Rechenmaschinen, Die, und das Maschinenrechnen. Von Reg.-Rat Dipl.-Jng. K.

Lenz. Mit 43 Abb.    (Bd. 490.)

Rechenvorteile. Lehrbuch der R. Schnellrechnen und Rechenkunst. Bon Ing. Dr.

I. Bojko. M. zahlr. üöungsbeisp. (739 )

Relativitätstheorie. Einführ. in die. 2. vrb.

Ausl. M. 18 Fig. V. Dr. W.Bloch. (618,)

Rüntgenstrahlen. D. R. «.ihre Anwendg. V.

Dr. med. G. Buckh. M. 85 Abb. i. T. u. auf 4 Tafeln.    (Bd.556 )

Säuglingspflege.    Von Dr. E. Kobrak.

Mit 20 Abb.    (Bd. 154.)

Schachspiel, Das, und seine strategischen Prinzipien. B. Pr. M. Lang e. 3. Aufl.

Mit 2 Bildn., 1 Schachbretlafel u. 43 Diagrammen.    (Bd. 281.)

Schädlinge. Die, im Tier- u. Pflanzenreich li. i. Bekämpf. V. Geh. Reg.-Rat Prof. vr.K.E.ckst-in. 3.A. SN. 38 Fig. (18.)

Schnellrechnen f. Rechenvorteile.

Schulhygiene. Von Reg.-Rat Prof. Dr. L.

cm-(Bd. 96.)

Burgerstein. 4. Aufl. Mit 24 ' gedr. Abb.

Seelenleben. Die krankhaften Grfcheinun-" gen des S. Allg. Psychopathologie.

Bon Dr. phii. et med. E. Stern. (764.)

Sexualbiologie s. Fortpflanzung.

Serualettzik. D. Prof. Dr. H. E. Timer-bitiQ.    (Bd. 592.)

Turnen. Von Prof. F. Eckardt. Mit 1 Bildnis Jahns.    (Bd.583.)

— s. auch Leibesübungen.

Sinne d. Mensch., D. Sinnesorgane u. Sinnesempfindungen. B. Hofrat Prof. Dr.

1.    Kreibig. 3.Aufl. M. 30Abb. (27.)

Sonne, Die. Von Prof. Dr. A. Krause.

Mit 64 Abb.    (Bd. 357J

Urtiere. Die. B. Prof. Dr. R. Gold -schmidt. 2.81. m. 44Abb. (Bd. 160.)

Urzeit. Der Mensch d. U. Vier Vorlesung, aus der Entwicklungsgeschichte des Menschengeschlechts. Von Dr. A. Heil born. 3. Aufl. Mit <47 Abb.    (Bd. 62.)

Vektorrechnung. Eins. i. d. V. Von Prof.

Spektroskopie. Gon Prof. Dr. L. Grebe.

2.    A. M.63Fig. i. T. u. a. 2Dovpelt. (284.)

Spiele. Führer durch die Welt der Sp.

Von Dir. Pastor F. I a h n. (Bd. 758.)

— f. auch Mathem. Spiele, Schachspiel.

Sport. Von Generalsekr. C. Diem. Mit 1 Titelb. u. 4 Spielpl. i. T. (Bd.551.)

Sprache. Die menschliche Sprache. Ihre    ,.,.e ,

Entwicklung beim Kinde, ihre Gebrechen Dr- F. Jung.    068.,

und deren Heilung. Von Lehrer K. Verbildungen, Körper!., i.Kmdesalt. u.chre Nickel. Mit 4 Abb.    Wb. 586.) | Verh. V.Dr.M.D av id. M.26Abb. (321.)

Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin — Recht, Wirtschaft und Technik

TI. Recht, Wirtschaft und Technik.

Agrikulturchemie. Bon Dr. P. Arische.

2. Verb. Aufl. Mit 21 Abb. (Bd. 314)

Angestellte siehe Kaufmännische A.

Antike Wirtschaftsgeschichte. Von Dr. O.

N e u r a t h. 2. umgearb. Aufl. (2584 — siehe auch Llntikes Leben Abt. IV.

Arbeiterschutz und ArbeiterversicherunZ.

V. Geb Hofrat Pros. Dr. O. v. Ztvie-dineck-Südenhorst. 2.Aufl. (78)

r. L

6704

(Bd. 338.)

ner 3. All. M. 4

Vererbung. Erp. AbttammgS.» u. V-Lehre. Von Prof. Dr. E. Lehmann- % Ausl. Mit 27 Abbildungen.    (Bd. 379.)

—    Geistige Veranlagung u. V. B- Dr.vdL et med, G. Sommer. 2. Ausl. (512.)

—    siehe auch Befruchtung.

Bogelleben. Deutsches. Zugleich als E?»

kursiousbuch für Bogelsreunde. B Pros. Dr. A Voigt. 2. Ausl. (Bd. 221.) Vogelzug und Vogelschutz. Von Dr. W. R.

Eckardt. Mit 6 Abb.    (93b.2IS.)

Wald. Der dtsche. V. Prof. Dr. H.HauS-rath. 2. A M. Bilderanh. u. 2K. (153.)

W»,i R KVt SS

2. Aufl. v. Prof. Dr. 21. SB i g a n b. (1724

—    s. a. Luft: Wärmekraftmafch.. Wärmelehre. tcchn. Thermodynamik Abt. VL

fmln Mt« »Äß

Prof. Dr.P Guthnick.M. 28Fig.(24.) Weltäther f. Materie.

Arbeitsleistungen des Menschen. Die. Einfuhr. in d. Arbeitsphysiologie. V- Prof. Dr.H Boruttau.M.14Fig. (Bd.53S4

—    Berufswahl, Begabung u. A. in ihre» gegenseitigen Beziehungen. Von W. I. R u t t m a n n. 2. A. M- 7 Abb- (Bd. 522.)

Arzneimittel und Genutzmittel. Von Prof.

Dr. O. Schmiedeberg. (Bd. 363.) Gaukunde s. EiLenbetonbau.

Baukunst siehe Abt.Ill. Beleuchtungswesen. Von Ing. Dr. H. L u x.

Mit 54 Abb.    (Bd. 433.)

Berufswahl siehe Arbeitsleistungen. Bevölkerungswesen. Von Prof. D von Bortkiewicz-    (Bo.

Bierbrauerei. Bon Dr. A. Bau. Mit 47 Abb.

Bilanz s. Buchhaltung u. B.

Brauerei s. Bierbrauerei.

Buch. Wie ein B. entsteht. B. Prof. A. W. U n g e r. 5. Aufl. M. 9 Taf. u. 26 Abb. im Text.    (Bd. 1754

—    s a. Schrift- u. Buchwesen Abt. IV.

Weltbild. DaS astronomische W. im Wan« del bet Beit Von Prof.Dr. S. Oppenheim 1. B- Altertum bis z. Neuzeit.

3. Aufl. Mit 19 Adb. Ü. Moderne Astronomie. 2. Ausl. Mit 9Fig. i. Text u. 1 Taf.    (Bd. 444/45.1

—    siehe auch Astronomie.

Weltentstehung. Entstehung d. SB. tt. d. Erde

nach Sage u. Wissensch. B. Bros. Dr M. B. Weinstein. 3. Ausl. (Bd. 223.) Weltuntergang in Sage und Wissenschaft. Von Pros. Dr. S. Oppenheim u. Pros. Dr. K. Ziegler. (Bd. 720.) Wetter. Unser W. Einführ. i. d. filimotoL Deutsch!. B Dr. R. Hennig. 2.Ausl. Mit 48 Abb.    (Bd. 3494

—    Einführung in die Wetterkunde. Bon

Prof. Dr. L Weber. 3.Ausl. Mit 28 Abb. u. 3 Taf.    (Bd. 55.)

Wirbeltiere. Vergleichende Anatomie bet Sinnesorgane der W. Bon Prof. Dr, W. Lubosch. Mit 107 Adb. (Bd- 282.) Zelle», und GeWebelehrr siehe Anatomie des Menschen, Biologie.

Zoologie f. Abstammungsl^ Aauarium, Bienen, Biologie, Schädlinge, Tiere« Urtiere. Vogetteben. Vogelzug, Weid» werk, Wirbeltiere.

Buchhaltttttg tt. Bilanz. Kaufm., und ihrr Beziehungen z. duchhalter. Organisation-KontroUk tt. Statistik. B. Dr. P. Ger st-schemat. Barst. (507-1

—    Buchhalterische Organisation (Selbst-kostenkonrrolldttchführung). Von Dr, P. Gerstner. (In Vorö. 1921.]

Dampfkessel siehe Feuerungsanlagen. Dampfmaschine. Die. Von Geb. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bde. I: Wirkungsweise d. Dampfes i. Kessel u. i. d. Masch.

4. m. M. 37 Abb. (393.) II: Ihre Gestalt, u. Verwend. 3. Aufl. Von Privatdoz. Dr. F. Schmidt. M. 94 Abb. (394.) Desinfektion. Sterilisation und Konservierung. Bon Reg.- und Med.-Rat Dr, O Scibrig. Mir 20 Abb. C8b. 401.1 Drähte n. Kabel, ihre Ansertig. u. Anwend.

1.    b. Eleitrotech. V Ober-Post-Jnsp. H° B r i ck. 2. Aufl. M. 43 Abb. (Bd. 285.)

Dynamik s. Mechanik. Thermodynamik. Eisenbahnwesen. DaS. Von Eifenbahnbau-u. Betriebsinsp. a. D. Dr.«Ing E. Bieder m a n n. 3. verb.A. M. 62 Äbb. (144.) Eisenbetonbar^ Der. B. Divl.-Jng. E. H a l * movici. 2. Aufl mt 83 Abb. i. T. sowie 6 Rechnungsbeisp.    (Bd. 275.)

Eisenhüttenwesen, DaS. Bon Geh. Bergr. Prof. Dr. &. SB e b b i n q. 6 Slufl. v. Vergaff F. W Wedding. M- Abb. (20.) Elektrische Kraftübertragung. Die. B Ing. P.Kö hn. 2. Afl. M. 133Äbb. (Bd 424.)

—    Maschinen. Von Dipl.-Jng. M- Liw-

schi tz.    (Bd.' 774»)

Elektrochemie. Von Prof. Dr. K. A r n d^.

2.    Aufl. Mit 37 Abb. i. T. (Bd. 234 )

Elektrotechnik. Grundlagen d. G. B Ober- Kabel s. Drähte und K. ing.A.Rotth. 3.A.M. 70Abb. (391.) ÄÖUe. Die. ihr Wesen, i. Erzeug. u.Ver.

—    s. auch Drähte und Kabel, Maschinen. wertg. B Dr.H A l t. M. 45Abb. (311.)

Telegraphie.    Kaufmann. Das Recht des K. Ein Leitsa-

Erbrecht. Testamentserrichtuna und E. Bon den f. Kaufleute. Studier, u. Juristen.

Prof. Dr. F. Leonhard. (Bd. 429 ) V. Justizrat Dr. M. S t r a u ß. (Bd. 409.) Ernährung u. Nahrungsmittel f. Abt. V. Kaufmännische Angestellte. D. Recht d. k. Karben ».Farbstoffe. I. Erzeug, u. Ber-    Justizr. Dr. M. Strauß. (361.)

wend. BDr.A Zart. 31 Abb. (Bd. 483 ) Kaufmännisches Rechnen. Von Oberlehrer-

—    siehe auch Licht Abt. V.    K. Dröll.    (Bd. 724.)

—    Höhere kaufm. Arithmetik. Von Prof.

1.    Koburger.    (Bd. 725.)

—    Lehrbuch der Rechenvorteile. Schnellrechnen u. Rechenkunst. Von Ing. Dr. I. Boiko M. zahlr. ubungsbeisp. (7390

—    s. auch Rechenmaschine. Kinderfürsorge. B. Prof. Dr. Chr. I.

SM um f er.    (Bd. 620.)

Kinematographie. Bon Dr. H. Le hm ann.

2.    Aufl. V. Dr. W. Merts. Mit 68 zum Teil neuen Abb.

Fernsprechtechnik f. Telegraphie.

Keuerurigsanlagen.Jndustr..u.Dampfkesfel.

2. Aufl. in Vorbereit. 1921. (Bd. 348.)

Fördereinrichtungen. Bon Obering. O.

Bechstein.    (Bd. 726.)

Frauenbewegung siehe Abt. IV.

Funkentelegraphie siehe Telegraphie.

Fürsorge s. Kriegsbeschädigtenfürs., Kinderfürsorge.

(Bd. 358.)

Klein- n. Straßenbahnen. Die. V. Obering, a. D. Oberlehrer A. Liebmann. Mit 85 Abb.

Gartenstadtbewegung. Die. Bon Landeswohnungsinspektor Dr. H. Kampff-menet. 2. Aufl. M. 43Abb. (58b. 259.)

Gefängniswesen s. Verbrechen.

(Bd. 322.)

Kleintierzucht. Die. Von Fach!, f. Gartenbau uud Kleintierzucht Joh. Schneider. Mit 59 Fig. t. T. u. a. 6 Taf.

—    siehe auch Tierzüchtung.

Kohlen. Unsere. V Bergass. P.

2. verb. Aufl. Mit 49 mb. i 1 Taf.

Kolonialbotanik. Von Prof. Dr. F. To b-ler. Mit 21 Abb.    (Bd. 184.)

Kolonisation, Innere. Bon A. Breu-ning.    (Vd. 261.)

Konservierung siehe Desinfektion. Konsumgenossenschaft. Die. Von Prok. Dr. F. Staudinger. 2. Aufl. (Bd. 222)

—    s. auch Mittelstandsbewegung, Wirtschaftliche Organisationen.

Kraftanlagen siehe Dampfmaschine. Feuerungsanlagen und Dampfkessel, Wärmekraftmaschine, Wasserkraft. Kraftübertragung. Die elekt. V. Ing. P.

Kühn. 2. Afl. M. 133 Abb. (Bd. 424.) Krieg. Kulturgeschichte d. K. B- Prof. Dr. K. Weule. Geh. Hofrat Prof. Dr. E. Bethe. Prof. Dr. B. Schmeidler, Prof. Dr. A. Doren. Prof. D. B. Herre.

Kriegsbeschädigtenfürsorge. In Verbindung mit Med.-Rat, Oberstabsarzt u. Chefarzt Dr. Rebentisch. Gewerbe« schuldir. H. Back, Direktor des Stadt. Arbeitsamts Dr. P. Schlotter bersg. v. Prof. Dr. S. K r a u s , Lett. d. Städt. Fürsorgeamts für Kriegshinterblieb. in Frankfurt a. M. M. 2 Abbildgst. (523.) Kriegsschiffe. Unsere. V. Geh. Marinebaur. a. D. E. Krieger. 2. Afl. v. Marinebaur. Fr. Schürer. M. 62Abb. (389 )

Geldwesen. Zahlungsverkehr u. Vermögensverwalt. VonG. Maier. 2. Aufl. (398.)

—    siehe auch Münze Abt. IV.

Genußmittel s. Arzneimittel, Tabak.

[(58b. 604.)

Kukuk, i. Text u. (Bd. 396.)

Gewerblicher Rechtsschutz i.Deutschland. B.

Ing. Patentanw. B. Tolksdorf. (1380 •— siehe auch Urheberrecht.

Graphische Darstell.. Die. Eine allgemein-verst. Einfuhr, i. d. Sinn u. d. Gebrauch d. Methode. Von Hofrat Prof. Dr. F.

Auerbach. 2. Afl. M. 139 Abb. (437.)

Handel. Geschichte d. Welth. Von Real' ahmnasialdirektor Prof. Dr. M. G.

Schmidt. 3. Aufl.    (Bd. 118.)

—    Geschichte d. dtsch. Handels seit d. Ausgang d. Mittelalt. V- Dir. Prof. Dr. 23.

Langenbeck. 2. A. M. 16 Tab. (237.)

Handfeuerwaffen. Die. Entwickl. u. Techn.

V- Major R. W e i ß. 69 Abb. (Bd. 364.)

Handwerk. D. deutsche, in s. kulturgeschichtl.

Entwicklg. V. Geh. Schulr. Dir. Dr. E.

Otto. 5. A. M. 23Abb. a. 8.Taf. (14.)

Haushalt s. Desinfekt., Chemie, Physik:

Nahrungsm. Bakter. Abt. V.

Häuserbau siehe Beleuchtungswesen, Wohnungswesen.

(Bd. 561.)

Hebezeuge. Hilfsmitt. z. Heben fester, flüss. u. gasf. Körper. V. Geh. Bergrat Prof.

R. Vater. 2. Aufl. M. 67 Abb. (196.)

Holz. Das H., feine Bearbeitung u. seine Verwendg. V- Jnsp. I. Grostmann.

Mit 39 Originalabb. i. T. (Bd. 473.)

Hotclwesen, Das. Von P. Damm-Etienne. Mit 30 Abb. (Bd.331.)

Hüttenwesen siehe Eisenhüttenwefen.

Jngenienrtechnik. Schöpfungen d. I. der Neuzeit. Von Geh. Negierungsrat M.

Geitel. Mit 32 Abb.    (Bd.28.)

Instrumente siehe Optische I.

Recht, Wirtschaft und Technik

(Bd. 428.)

2.,

(Bd. 407.)

Kriminalistik, Moderne. Bon Amtsrichter Dr. A. Hellwig.M.18Abb. (Bd. 476)

—    s. a. Verbrechen. Verbrecher. Landwirtschaft, Die deutsche. B. Dr. W.

Claaßen. 2. Ausl. Mit 15 Abb. u. 1 Karte.    (Bd. 215.)

—    s. auch Agrikulturchemie, Kleintierzucht, Luststickstoff, Tierzüchtung: Haustiere. Pflanzen. Tierkunde. Abt. V.

Landwirtschaft!. Maschinenkunde. 93 Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. G. Fischer. 2. Afl. Mit 64 Abbildungen. ' (Bd. 316.) Luftfahrt. Die, ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre technische Entwick-lung. Von Dr. R. Nimführ. 3. Ausl, b. Dr. Fr. Huth. M. 60Abb. (Bd. 300.) Luftstickstoff. Der. u. s. Verw. B. Prof.

Dr.K. Kaiser. 2.A. M. 13Abb. (313.) Marr. Karl. Versuch e. Würdigung. V. Prof. Dr. R. W il brandt. 4.A. (621.)

—    s. auch Sozialismus.

Maschinen s. Dampfmaschine, Elektrische Maschinen. Hebezeuge. Landwirtsch. Maschinenkunde, Wärmekraftmaschinen, Wasserkraftausnutzung, Fördereinrichtg. 8RtV(fmtenelemeitft\ Von Geb.Berarat Prof.

R Vater. 3.A. M. 175Abb. (935.301.) Matze und Messen. Von Dr. W. Block.

Mit 34 Abb.    (Bd. 385.)

Mechanik. V. Prof. Dr.G.Hamel. 3Bde.

I.    Grundbegriffe b. M. Mit 38 Fig.

II.    M. der festen Körper. III. M-d. flüss. u. luftförm. Körper. (Bd. 684/686.)

—    Aufgaben aus der technischen M. f. b. Schul- u Selbstunterr. V- Prof. N- Schmitt. M. zahlr. Fig. I. Statiku. Festigkeitslehre. 2. Ausl. M- zahlr-Aufg.

u.    Lösungen. II. Dynamik u- Hydraulik. 140 Aufg. u. Lös. (Bd. 558/559.)

Metallurgie. Von Dr.-Jng. K. .Nugel. I. Leicht- u. Edelmetalle. II. Schwermetalle.    (Bd. 446/447.)

Miete. Die. nach d. BGB. Ein Händbück-lein f. Juristen, Mieter ».Vermiet. V. Justizrat Dr. M. Strauß. 2. A. (194.) Milch. Die, und ihre Produkte. Bon Dr.

A. Reib. Mit 16 Abb.    (Bd. 362 )

MittelstandSbcwegung. Die moderne. Von Dr. L. Müffelmann. Wd. 417.)

—    siehe Konsumgenoss.. Wirtschaftl. Org. Nahrungsmittel s. Abt. V.

Raturwissensch. u. Technik, «m saus. Web-

stuhl d. Zeit, übers, üb. d- Wirkgn. d. Entw. d. N. u. T. a. d. ges. Kulturleb. V. Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. W. Laun -Hardt. 3. Aufl. Mit 3 Abb. (Bd. 23.)

Optischen Instrumente, Die. Lupe. Mi-kroskov. Fernrohr, photogr. Objektiv u. ihnen verw. Jnstr. Von Prof. Dr. M.

v.    Rohr. 3. Aufl. M. 89 Abb. (93b. 88.)

DMnisationerr. Die wirtschaftlichen. Bon Prof. Dr. E. Lederer.

Ostmark. Die. Eine Einführ. t. d. Problem^

Patente u. Patentrecht f. Gewerbl.Rechtssch.

$es-58 Dr- LÄ

Photochemie. Bon Prof. Dr. G. Küm -mell. 2. Aufl. Mit 23 Abb. t. Text u. auf 1 Tafel.    (Bd.227.)

Photographie. Die. ihre wissensch. Grundl. u. t. Anmendg. V. Dipl.-Jng. Dir. Dr.

O.Prelinger. 2. A. M. 64 Abb. (414«> —- Die künstlerische PH. Ihre Entwicklung, ihre Probleme, ihre Bedeutung. Von Studienrat Dr. W. Warstat. verb. Aufl. Mit Bilderanh. (Bd. 410.) Postwesen. Das. Von Oberpostrat O.

Sieblift. 2. Sluft.    (58b. 182.)

Rechenmaschinen, Die, und das Maschinenrechnen. Von Reg.-Rat Dipl.-Jm, K Lenz. Mit 43 Abb.    (B.490)

Rechnen siehe kaufm. Rechnen.

Recht. Rechtsfragen des täglichen Lebens in FamlUe und Haushalt. Von Justiz-rat Dr. M. Strauß. (Bd. 219 )

—    Nechtsprobleme. Mod. V- Geh. Justizr. Prof.Dr.J.Ko h ler. 2. Aufl. (93b. 128.)

—    1. auch Erbrecht. Gewerbl. Recht: schütz. Kaufmann., Kaufm. Angest., Krimi-nallstlk. Miete. Urheberrecht. Verbrechen. Venasiungsrecht, Zivilprozeßrecht.

Reichsverfassung siehe Verfassung. Salzlagerstätten. Die deutschen. Ihr Vorkommen, ihre Entstehung und die Verwertung ihrer Produkte in Industrie und Landwirtschaft. Von Dr. C. Rie-rnann. Mit 27 Abb.

—    siehe auch Geologie Abt. V.

Die. «. d. Schmucksteinindustr. V. Dr. A. Ep vier. M 64Abb. (Vd-376.) Soziale Bewegungen u. Theorien b. z. mod. Arbeiterbew. V. G.M a i e r. 8. A. (Bd. 2.p

—    s. a. Arbeiterschus u. Arbeiterverficher. Sozialismus. Die gr. Sozialisten. Bon

Dr. Fr. Mückle. 4 Aufl. I. Owen. Fourier, Proudhon. II. Saint-Simvn. Pecqueur, Buchez, Blanc. Rodbertus. Weitling, Marx, Lassalle. (269. 270.)

—    f. auch Marx: Nom, Soz. Kämpfe i. alt. R. Abt. IV.

Spinnerei. Die. Bon Dir. Prof. M- Lehmann. Mit 35 Abb.    (Bd. 338.)

Sprengstoffe, Die. ihre Chemie u. Technologie. 93. Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. R. Biedermann. 2. Aufl. M. 12 Fig. (286.) Staat siehe Abt. IV.

Statik. 93. Gewerbeschulrat Reg.-Baum. Baugewerkschuldir. A. Schau. 2. Aufl. Mit 112 Fig. ^ext.    (Bd. 828.)

—    s. auch Festigkeitslehre. Mechanik.

Statistik. D. Prof. Dr. S. Schot t. 2. Aft. Verfassung. Verfasfsg. u. Verwalt, d. deutsch.

(Bd. 442.) Städte. Von Dr. M. Schmi b. (466.)

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ä?rR ri,b"mä ^ «Sn 11 i h®⁻    ® Pros. Dr. M. Stimming. (639.) "

cnr Dr meJ. LVol!>fe. lBb. 623.) Berkehrsrntwtcklnn, i. Deutsch!, sei« 1800 Stra!;knbahnkn. Die Klei«. «. S'ratzen^    fortnef. b. ». Gegen«. Von Geh. Hokr.

Bon Obern,a--nie,ir o. $. Ch?r,e(rtei    ^rof, Dr. W. Lod. 4., Verb. Afl. (15.) I

A.    Llebmann. M. 85 Abb. (Bd. 322.)    g,rsicher»ngS!oe!eu.    Grund,9,e btä B.

Tabak. Der. Anbau. Handel «. Berarüett.    (Privatversicher).    Bon Pros. Dr. A. ■

B.    Jac Wolf. 2.. Verb. n. ergänzte ManeS. 3.. veränd. Anfl. (Sb. 105.)

Stuft Mit 17 Abb.    (58b. 416.) Volkswirtschaftslehre. Grnndzügr der Z.

Technik. Einführung i« d. T. Von Geh.    Von Prof. Dr. G. Jahn. (Bd. 593.)

Reg.-Rat Prof. Dr. &. Lorenz. M. 77    Der deutsche. B. Vrof. Dr Haus-

Abb. im Text.    (Bd. 729.) rath. 2.A Bilderanh.u. 2Kart. (153.)

—    Die chemische T. Bon Dr. A Mül-    Wärmekraftmaschinen. Die neueren. Von

Cer. 2. Aufl. Mit Abb. (Bd. 191.)    Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bde.

Techn. Zeichnen $. Zeichnen.    I: Einführung in    die Theorie u d. Bau

<Ti»si‘<trnrthif ^T¹ Telraravti»u §iiernsbrechm.    d Gasmafch. 5.Anfl. 8R.41Abbi. (Bd. 21.)

«Ä« ®S(ÄS%y.ÄVI‘KÄ

H- Brrck. 2.A. MrtSvAbb. (Bd.235.)    2. Afl. von Dr. F. Schmidt. (516)

—    Die Funkentelegr. V. Telegr.-Dir. H. — s. auch Thermodynamik.

Thurn. 5.Aufl. M.51 Abb. (Bd. 167.) Wasser, Das. Von Geh. Rea.-Rat Dr. O.

—    siehe auch Drähte und Kabel.    Anselmino. Mit 44 Abb. (SBb. 291.1

_ u    A ~ {&rh**&* Wrt« —s. a. Luft, Wass.. Licht, Wärme Abt. V.

XrfTÄ“’nISS3 »ff«T>r!i-x^s

fCfietnio6Bn«mit, Praktischr. Aufgaben a Weidiverk. D. d che. B Forstme-st. G. Frhr. Beifprele zur techrmchen Wärmelehre. „ N-rdenflycht M. Titelb. (436.)

*s asf’Ätta ■ffl rrt .“rra.“?«Aft

—    siehe auch Wärmelehre.    Wirtschaftlichen Organisationen. Die. Bon

(Bd. 423.)

Tierzüchtung. Bon Tierzuchtdirektor Dr. Prof. Dr. E. Lederer.

G. Wilsdorf. 2. Aufl. M. 23 Abb. — s. Konsumgenoss., Mittelftandsbeweg. auf 12 Taf. u. 2. Fig. i. T. (Bd.369.) Wirtschaftsgeographie. Von Prof Dr. F.

—    siehe auch Kleintierzucht.    Weiderich.    (Bd. 633.)

Uhr. Die. Grundlagen u. Technik d. Zeit- dirtfch.'ft§a-!chich'e uom to««««.    ).

nmfal LtMitZÄb?!. 1° (2163 A'ndrrts. Mit». Wirlschostsgefchkchte.)

Urheberrecht. D. Recht «.Schrift» u. Knust». — s/a. Antike W.. Ostmark. ^

. V. Rechtsanw. Dr. R Mo thes. (435.) Wirtschaftsleben. Deutsch. Auf geograph

—    siehe auch gewerblich. Rechtsschutz. Grundl. gesch. v. Prof. Dr. Chr. G r u -Verbrechen. Strafe and V. Geschichte u.Or- ver. 4.A v. Dr. H. Rein lein. (42.)

ganisation d. Gefängniswesens. V.Straf- — Die Entwicklung des deutschen Wirt< anst.-Dir. Dr.msä.P. P o l l i tz. (Vd.323.) schaftslebens i. letzten Jahrh. B. Geh.

N.

—    Moderne Kriminalistik. 8. Amtsrichter Reg.-Rat Pros. Dr. L. B°hle. 4.A. (5 7.) Dr.A Sellwig.M.18Abb. (8b. 476.) Wohuungswesen. Von Prof. Dr. ...

Verbrecher. Die Psychologie des B. (Sri-    e r Ft~ Y' „ „ m „ V ,1°,

minalvivch.) B-Strafanstaltsdir. Dr. med Zeichnen. Techn. 8. Reg., u- Gewerbeschulr

P. Pollib. 2.A. M.ö Diagr. (8b. 248.) Prof. Dr. R. & erst mann. (8b- 548,! Verfassung. Die neue Reichsverfasfuna 8 Zeitnngswesen. 8. Dr. H D i e J. 2. Aufl. 8noalboj^Dr. O. Buhler. (8b. 762.)    Das deutsche. ^Von^ffu

—    siehe auch Steuern, bte neuen Rerchsst. fti^rat Dr. M. Strauß. (Bd. 315.)

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

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