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Biblioteka Poltiechn

Cin voll und (Bei|

lu$ Natur s Landes.

KNuG VII. 12

Die Sammlung

„Bus Natur und Geisteswelt"

verdankt ihr Entstehen dem Wunsche, an der Erfüllung einer bedeutsamen sozialen Hufgabe mitzuwirken. Sie soll an ihrem Teil der unserer Kultur aus der Scheidung in Kasten drohenden Gefahr begegnen helfen, soll dem Gelehrten es ermöglichen, sich an weitere Kreise zu wenden, und dem materiell arbeitenden Menschen Gelegenheit bieten, mit den geistigen Errungenschaften in Fühlung zu bleiben. Der Gefahr, der Halbbildung zu dienen, begegnet sie, indem sie nicht in der Vorführung einer Fülle von Lehrstoff und Lehrsätzen oder etwa gar unerwiesenen Hypothesen ihre Hufgabe sucht, sondern darin, dem Leser Verständnis dafür zu vermitteln, wie die moderne wissen-' schaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von allgemeinstem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem selbständigen Urteil über den Grad der Zuverlässigkeit jener Hntworten zu befähigen.

(Es ist gewiß durchaus unmöglich und unnötig, daß alle Welt sich mit geschichtlichen, naturwissenschaftlichen und philosophischen Studien befasse. (Es kommt nur darauf an, daß jeder an einem Punkte die Freiheit und Selbständigkeit des geistigen Lebens gewinnt. In diesem Sinne bieten die einzelnen, in sich abgeschlossenen Schriften eine Einführung in die einzelnen Gebiete in voller Hn-schaulichkeit'ünd lebendiger Frische.

In den Dienst dieser mit der Sammlung verfolgten Hufgaben haben sich denn auch in dankenswertester weise von Hitfang an die besten Namen gestellt. Hndererseits hat dem der Erfolg entsprochen, so daß viele der Bändchen bereits in neuen Huflagen vorliegen. Damit sie stets auf die höhe der Forschung gebracht werden können, sind die Bändchen nicht wie die anderer Sammlungen stereotypiert, sondern werden — was freilich die Hufwendungen sehr wesentlich erhöht — bei jeder Huflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt.

So sind denn die schmucken, gehaltvollen Bände durchaus geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch den billigen preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig Begüterten, sich eine kleine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn wertvollste „Hus Natur und Geisteswelt" vereinigt.

Die meist reich illustrierten Bändchen sind

in sich abgeschlossen, und einzeln käuflich.

Leipzig.

B. G. Teubner.

*

Sammlung wissenschaftlich - gemeinverständlicher Darstellungen

Rus Natur und Geisteswelt

' - ^ ^ 7........ 197. Bändchen —:------:—t:" ¹    __—

Einführung in die

Infinitesimalrechnung

§ 9. Die Hauptsätze der Grenzwertrrchmmg.

§ 20. Differentiation einer Summe, einer Differenz, eines Produktes und eines Guotienten von zwei Funktionen.

§ 26. Differentiation der inversen Funktionen.

§ 32. Potenzrerhen.

Integralrechnung.

Newton.'

Systematische christliche Religion.

§-96

Tierbau und Tierleben

Infinitesimalrechnung

mit einer historischen Übersicht von

Dr. Gerhard Uowalewski o. ö. Professor der Mathematik an der k. k. deutschen Universität zu Prag

Zweite, völlig umgearbeitete Ruflage Mit 22 Figuren im Text

Druck und Verlag von B. <B. Teubner in Leipzig 1913

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Copyright 1912 by B. G. Teubner in Leipzig.

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Rlle Hechte, einschließlich bes Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Äks. Nr.'

Herrn Dr. Rarl Tarda

o. ö. Professor der Mathematik an der k. k. deutschen technischen Hochschule zu Prag

meinem verehrten Kollegen in herzlicher Dankbarkeit gewidmet

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Wei

Nr. ,

Vorwort zur zweiten Auflage.

Das Büchlein erscheint hier in stark veränderter Gestalt. Ich habe es so eingerichtet, daß der Leser rascher als bei der ersten Auflage zur Differentialrechnung gelangt. Auch sind jetzt die Betrachtungen über Häufungswerte und Grenzwerte, wie ich glaube, leichter zu lesen als früher. Ganz ersparen kann man sie dem Leser nicht, sonst bekommt er ein falsches Bild von dem Wesen der Infinitesimalrechnung.

Ich habe auch die Bedürfnisse der Studierenden nicht aus dem Auge gelassen. Deshalb ist manches aufgenommen, was sonst ohne Schaden hätte fehlen können. Ich nenne vor allem den § 38.

Schon die erste Auflage ist viel von Studierenden benutzt worden, z. B. bei den Anfängerübungen im mathematischen Seminar der Universität Innsbruck. Auch hat, wie ich höre, Herr Privaldozent Scha-tunovskij in Odessa für die russischen Studierenden eine Übersetzung meines Büchleins herausgegeben.

Möchte diese zweite Auflage eine so günstige Aufnahme finden wie die erste!

Prag. Oktober 1912.

Gerhard Kowalewski.

Inhaltsübersicht.

Erstes Kapitel. Häufungswerte und Grenzwerte....

Seite

1—23

Zweites Kapitel.

Differentialrechnung

24—86

Drittes Kapitel.

Integralrechnung

87—99

Historische Übersicht

99—106

Erstes Kapitel.

Häufungswrrte und GrenMrrkr.

§ i. Die Zahlen und ihre geometrische Verstnnlichung.

Wir wollen den Leser daran erinnern, was er von den Zahlen weiß. Er kennt die ganzen Zahlen und die Brüche, die man zusammen als rationale Zahlen bezeichnet. Solche Zahlen sind z. B.

15

17

7, 0, g,

Dem Leser ist ferner bekannt, daß man mit den rationalen Zahlen nicht auskommt. Schon die ölten Griechen wußten, daß z. B. die Quadratwurzel aus 2 keine rationale, sondern eine irrationale Zahl ist. Da die Diagonale eines Quadrats von der Seite 1 die Länge ]/2 i)at, so kann man auch sagen, daß die Seite und die Diagonale eines Quadrats inkommensurabel sind, d. h. daß es keine Maßstrecke gibt, die in beiden aufgeht. Wäre nämlich eine gewisse Strecke 2-mal in der Seite und F-mal in der Diagonale des Quadrats enthalten^), so mü6te ]/2=p:g, also rational sein. In Satz 117 des zehnten Buches seiner „Elemente" hat Euklid (etwa 300 v. Chr.) gezeigt, daß dies unmöglich ist. Er nimmt an, daß der Bruch p: q gekürzt ist, also p und q teilerfremd sind. Dann stützt er sich auf die Bemerkung, daß eine gerade Zahl ein gerades Quadrat, eine ungerade Zahl ein ungerades Quadrat hat, was man sofort aus den Gleichungen

(2n)² = 4w²,    (2 n—l)² = 4 n²— 4^ + 1

ersieht. Wäre nun ]/2 =p:q, so hätte man p² = 2q², also müßte p eine gerade Zahl sein, weil p² gerade ist. Setzt man aber p --- 2p, so ergibt sich 4p'² ----- 2q², d. h. q² = 2p². Es müßte also auch q eine gerade Zahl sein. Dies steht aber im Widerspruch mit der Annahme,

1) p und q sind ganze Zahlen.

daß p und q teilerfremd sind. Sie dürfen dann nämlich nicht beide durch 2 teilbar fein.

Multipliziert man ]/2 mit einer von Null verschiedenen Rationalzahl r, so ist auch rY2 irrational. Dasselbe gilt von s + r]/2, wenn s eine zweite Rationalzahl ist. So ergeben sich bereits unendlich viele Irrationalzahlen, womit diese aber nicht im entferntesten erschöpft sind.

Descartes, der berühmte französische Philosoph (1596—1650), hat in seiner „Geometrie" (1637) gelehrt, wie man die (rationalen und irrationalen) Zahlen durch die Punkte einer Geraden in einfacher Weise versinnlichen kann. Er wurde dadurch der Begründer der analytischen Geometrie.

O A B P JPj

Fig- 1.

Wenn wir eine Gerade betrachten (Fig. 1), so können wir uns in zwei verschiedenen Richtungen auf ihr bewegen. Die eine dieser beiden Richtungen ist in der Figur durch einen Pfeil markiert. Sie soll die positive heißen, die andere die negative. Eine Bewegung auf unserer Geraden in positiver Richtung wollen wir eine Vorwärtsbewegung, eine Bewegung in negativer Richtung eine Rückwärtsbewegung nennen. Nun sei A ein erster, B ein zweiter Punkt auf der Geraden; d sei die Entfernung beider, gemessen mit einer zu Grunde gelegten Längeneinheit. Bewegen wir uns auf der Geraden von A nach B, so beschreiben wir die Strecke AB. Haben wir dabei eine Vorwärtsbewegung ausgeführt, so wollen wir sagen: Die Strecke AB hat die Maßzahl d. Haben wir eine Rückwärtsbewegung ausgeführt, so wollen wir sagen: Die Strecke AB hat die Maßzahl —d.

Die Maßzahl einer Strecke AB ist also die mit einem gewissen Vorzeichen versehene Entfernung der beiden Punkte A, B. Dieses Vorzeichen ist das Zeichen +, wenn man von A nach B durch eine Vorwärtsbewegung gelangt, das Zeichen —, wenn man von A nach B durch eine Rückwärtsbewegung gelangt.

Die Maßzahl der Strecke AB wollen wir mit AB bezeichnen. Dann ist offenbar

(i)

AB=-BA-₎

führt uns z. B. eine Vorwärtsbewegung von A nach B, so gelangen wir von B nach A, indem wir um dasselbe Stück rückwärts gehen.

Eine wichtige Relation besteht zwischen den durch drei Punkte A, B, C bestimmten Strecken. Es ist immer

(2)

ÄB + BC + ~CA=> 0 oder ÄB^'CB-CA.

Diese Formel kann man aus der Fig. 2 ablesen, welche die verschiedenen Arten, wie die Punkte A, B, C liegen können, veranschaulicht. Man muß dabei auf die Relation (l) Rücksicht nehmen.

JL C B

B C Jl

C B Jl

JL4-

Nach diesen Vorbereitungen können wir die Versinnlichung der Zahlen durch die Punkte einer Geraden, die wir die Zahlenlinie nennen, in folgender Weise bewerkstelligen. Wir wählen auf —+-der Geraden (vgl. Fig. 1) einen b a c festenAnfangspunktO.Jedem ~Tf Punkt ^ordnen wir dann dieZahl —*-

(3)

Fig. 2.

x ----- O P

zu und nennen sie seine Abszisse. Zwei verschiedene Punkte P und Px haben dann immer verschiedene Abszissen; denn aus OP = OP1 folgt auf Grund der Formel (2) PPt ----- 0. Ferner läßt sich, wenn eine Zahl x gegeben ist, stets P so wählen, daß hP=x wird. Ist x = 0, so fällt P mit 0 zusammen; ist x positiv, so gelangt man von 0 nach P durch eine Vorwärtsbewegung um x; ist x negativ, so gelangt man von 0 nach P durch eine Rückwärtsbewegung um —x. Durch Formel (3) ist also zwischen den Zahlen x und den Punkten P der Geraden eine Zuordnung getroffen, welche folgende Eigenschaften hat: Jedem Punkt P entspricht eine Zahl x, seine Abszisse; verschiedene Punkte haben verschiedene Abszissen; jede Zahl x kommt als Abszisse eines Punktes vor.

Eine solche Zuordnung wollen wir eine Abbildung nennen. Es ist uns also gelungen, die Zahlen auf die Punkte einer Geraden abzubilden.

(4)

Sind x und xt die Abszissen der Punkte ^bzw. Plr so folgt aus (2): PPt ----- xx - x.

Der Leser möge unter Benutzung dieser Formel die Abszisse des Mittelpunkts der Strecke PP± berechnen. Er möge ferner verifizieren, daß vier Punkte A, B, 0, D auf der Zahlenlinie stets die sogenannte Eulersche Relation erfüllen:

AB - CD + AC • DB + AD • BC----- 0.

Hierbei wird es zweckmäßig sein, den Punkt A als Anfangspunkt zu benutzen, so daß A die Abszisse Null hat. Die Abszissen von B, C, D wird man am besten mit b, c, d bezeichnen. Der Beweis der Euler-schen Relation ergibt sich dann leicht mit Hilfe von (4).

Descartes hat auch gezeigt, wie man die Zahlenpaare x, y auf die Punkte einer Ebene abbilden kann. Man zieht in dieser Ebene durch einen Punkt 0 (den Anfangspunkt) zwei verschiedene Geraden (Koordinatenachsen). Auf jeder von ihnen wird eine positive Richtung festgesetzt (vgl. Fig. 3). Die eine Gerade möge die n-Achse, die andere die ^/-Achse heißen. Ist nun P ein beliebiger Punkt der Ebene, so zieht man durch ihn die beiden Parallelen zu den Achsen. Dadurch entsteht auf der n-Achse der Schnittpunkt X, auf der ^/-Achse der Schnittpunkt Y. Jetzt setzt man¹)

Y/

JT

Fig- 3.

(5) x = ÖX = YP y — OY — XP

und nennt x die ai-Koordinate, y die ^-Koordinate von P. Man sagt auch. x sei die Abszisse, y die Ordinate von P. Jedem Punkt P der Ebene entspricht auf diese Weise ein Zahlenpaar x, y\ die erste Zahl ist die Abszisse, die zweite die Ordinate v n P. Zwei verschiedenen Punkten entsprechen offenbar verschiedene Zahlenpaare. Zu jedem Zahlenpaar x, y läßt sich ein Punkt finden, dessen Abszissen und dessen Ordinateist. Es ist uns also gelungen, die Zahlenpaare x, y auf die Punkte der Ebene abzubilden. Diese Abbildung ist durch die Formeln (5) bestimmt. Gewöhnlich wählt man die Achsen so, daß sie einen rechten Winkel bilden.

Um eine Abbildung der Zahlentripel x, y, z auf die Punkte des Raumes zu gewinnen, zieht man durch einen Punkt 0 drei Geraden, n-Achse, ^/-Achse und §-Achse genannt, die nicht in einer Ebene liegen. Sie bestimmen paarweise drei Ebenen, die Koordinatenebenen. Ist P ein beliebiger Punkt des Raumes, so legt man durch ihn drei Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen. Dadurch entsteht auf der n-Achse ein Schnittpunkt X, auf der ^9lcf)fe Y, auf der s-Achse Z. Jetzt setzt man

(6)

x = OX, y= OY, z = OZ.

Diese Formeln liefern eine Abbildung der Zahlentripel auf die Punkte des Raumes. Man wählt die Achsen gewöhnlich so, daß sie paarweise rechte Winkel bilden.

§ 2. Zahlenfolgen und ihre Hü'ufnngswrrtr.

Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... bieten das einfachste Beispiel einer Zahlenfolge?) Jede andere Zahlenfolge entsteht hieraus, indem mau die Glieder irgendwie abändert, also 1 durch eine Zahl it^, 2 durch eine Zahl u₂, 3 durch eine Zahl w₃ und überhaupt jedes n durch eine Zahl un ersetzt. Eine Zahlenfolge hat also folgendes Aussehen

U\ i U2 i    t * * * *

Die Punkte deuten an, daß die Folge ins Unendliche weitergeht. Es gibt in ihr kein letztes Glied, gerade so, wie es unter den natürlichen Zahlen keine größte gibt.

Man kann natürlich niemals alle Glieder einer Zahlenfolge aufschreiben. Sie ist immer nur durch ein Gesetz bestimmt, das vorschreibt, welche Zahl un an der n-ten Stelle stehen soll. Bei der Zahlenfolge

1,

i i i

3 '    4 ' ' ' ' lautet dieses Gesetz: An der n-ten Stelle soll die Zahl 1/n stehen, bei der Zahlenfolge

! CO

An der n-ten Stelle \oU±]/n stehen, und zwar + ]/n, wenn n ungerade, —]/n, wenn n gerade ist.

a, a + d, a-\- 2d, a-\- 3d, . . .;

das -r-te Glied oder, wie man auch sagt, das allgemeine Glied lautet a + (n— 1 )d. Eine geometrische Folge sieht so aus:

glt a-q, a-q², a-q³

Wenn die Differenzen u₂ — ulr u₃ — u₂, u± — u3f . . . alle gleich sind, so heißt uit u2l u₃, . . . eine arithmetische Folge. Von einer geometrischen Folge spricht man, wenn die Quotienten t(d/n₂, uju3l . . . alle gleich sind. Eine arithmetische Folge sieht hiernach so aus:

das allgemeine Glied lautet a - qn~x.

Die arithmetische und die geometrische Folge werden schon in der Elementarmathematik betrachtet. Man lernt dort, was wir hier nebenbei besprechen wollen, einen Abschnitt einer solchen Folge summieren, und der Leser wird sich des folgenden Satzes erinnern: ²

Ist uXf u2t itBt ... eine arithmetische Folge, so haben ihre n ersten Glieder die Summe

\-n(u^+un).

Man erkennt dies sofort, wenn man ux + u₂-\-----\-un einmal in

der Form

ux -f” (wx “h d) t (^i    2 cf) -j- • • • -j- (ux ^ — 1    ,

ein zweites Mal in der Form

un + (X — d) -\r (un — 2d) -\-----{-(un — n — 1 d)

schreibt. Dann ergibt sich nämlich durch Addition für die doppelte Summe der Ausdruck

{Ui + un) + (U1 + Un) + (U1 + un) + •** + (% + ^n) =    + Ifj,

₌ n(ut + u„)

so daß

U1 + u2 H-----h u n

03

ist, d. h. gleich dem -r-fachen arithmetischen Mittel aus dem ersten Gliede ux und dem letzten Gliede un.

Wie die entsprechende Aufgabe bei einer geometrischen Folge behandelt wird, ist dem Leser gewiß auch bekannt. Aus

$ = a + ß*tf + ß'#²+----h 6t • 3⁷⁴ ”¹

a-q + a-q² -\-----1- a • g”⁻¹ + a • qn,

folgt

qS =

und durch Subtraktion ergibt sich weiter

(q—l)S=a-qn — a, s== a-qn — a

q — 1

Im Falle a= 1 lautet diese Formel

1 + (Z + 3² + --- + 3ä”¹

In § 1 haben wir gesehen, daß man jede Zahl durch einen Punkt auf einer Geraden, der Zahlenlinie, versinnlichen kann. Liegt nun eine Zahlenfolge uit u2t u₃, . .. vor, so entspricht jedem un ein Punkt Pn auf der Zahlenlinie, und der Zahlenfolge entspricht also eine Punktfolge auf der Zahlenlinie. Umgekehrt gehört zu jeder solchen Punktfolge Px, P₂, P₈, . . . eine Zahlenfolge. Um sie zu erhalten, muß man jeden Punkt P durch seine Abszisse u ersetzen. Dabei verwan-

also

(*)

qn— 1

2-1

bett sich die Punktfolge Plt P₂, P#, . . .in die Zahlenfolge ut, u₂, Es ist hiernach ein und dasselbe, ob man sich mit den Zahlenfolgen beschäftigt oder mit den Punktfolgen auf der Zahlenlinie.

Wir kommen jetzt zu einem wichtigen Begriff, den wir geometrisch, d. h. bei den Punktsolgen, erklären wollen, damit er dem Leser möglichst klar wird.

Q' Q Q"

Fig. 4.

Plf P₂, P₃, . . . fei eine Punktfolge und Q ein Punkt auf der Zahlenlinie. Dann heißt Q eine Hiiufungsstelle der Punktfolge Plt P₂, P₃, . . ., wenn in jeder Umgebung von Q unendlichviele Glieder dieser Folge enthalten sind. Das hat folgenden Sinn: Konstruieren wir (Fig. 4) um Q als Mittelpunkt ein Intervall Qf Q" und unterdrücken wir in der Punktfolge alle Punkte, die nicht in das Intervall Q' Q” fallen, so bleibt noch eine Punktfolge übrig (nicht etwa nur eine endliche Anzahl von Punkten); dies gilt immer, wie klein auch das Intervall Q' Q" gewählt sein mag.

Es ist von großer Wichtigkeit, daß der Leser sich den Begriff Häufungsstelle völlig klar macht, weil dieser Begriff für das Folgende grundlegend ist. Wir wollen deshalb noch etwas bei diesem Begriff verweilen und uns überlegen, was wir von dem Punkte Q sagen kön-* nen, wenn er keine Häufungsstelle der Punktfolge Plr P2l P₃, .. . ist. Dann wird es also nicht in jeder Umgebung unendlichviele Punkte der Folge geben, vielmehr wird sich das Intervall Q' Q" in Fig. 4 so wählen lassen, daß darin nur endlichviele Punkte der Folge enthalten sind, also z. B. 112 oder 10 oder wieviele es sonst sein mögen.

Es ist wichtig zu bemerken, daß die obige Definition einer Häufungsstelle nichts darüber sagt, ob diese selbst der betrachteten Punktfolge angehört oder nicht. Das bleibt völlig dahingestellt. Es gibt Häufungsstellen, die ihrer Punktfolge angehören und solche, die es nicht tun. Wir werden das sogleich an Beispielen sehen.

Als erstes Beispiel diene die Folge

3    14

3 ' 3 '    ' 4 ' 5 ' T' “ *

Das (2n — l)-te Glied lautet hier l:(n + 2), das 2-r-te Glied + 2). Diese Folge hat die Häufungsstellen 0 und 1. Der Leser wird das sofort erkennen, wenn er auf der Zahlenlinie die Punkte

i JL JL JL

3 ' 3 ' 4 ' 4 ' T '

, • • • sowie die Punkte 0 und 1 markiert *)

l) Der Punkt x ist der Punkt mit der Abszisse x.

(vgl. Fig. 5). In jeder Umgebung der Stelle 0 liegen unendlichviele von den Punkten y,    *,•••, in jeder Umgebung der Stelle 1

unendlichviele von den Punkten

y' T' T'' " - aIf° unendlichviele Glieder der Folge. Die beiden Häufungsstellen 0 und l sind hier nicht in der Folge enthalten.

Die Folge

TT

~z T f T

Fig- 5.

0 ¹ 1 ' 3 ' 3 '

die aus der soeben betrachteten durch Vorsetzen der 0 entsteht, hat ebenfalls die beiden Häufungsstellen 0 und 1. Die 0 gehört hier der Folge an, die 1 aber nicht.

Die Folge

OS

o,i, l,

enthält ihre beiden Häufungsstellen 0 und 1.

Wenn man ausdrücklich von Zahlenfolgen spricht, sagt man statt „Häufungsstelle" gewöhnlich „Häufungswert". 0 und 1 sind also Häufungswerte der obigen Zahlenfolgen.

§ 3. Satz von Weierstraß.

Es gibt Zahlenfolgen, die keinen Häufungswert besitzen. Eine solche ist z. B. die Folge 1, 2, 3, .... Auf der Zahlenlinie ist keine Stelle vorhanden, von der man sagen kann, daß in jeder Umgebung von ihr unendlichviele Punkte der Folge 1, 2, 3, . . . enthalten sind; denn in jedes Intervall fallen offenbar nur endlichviele von diesen Punkten oder überhaupt keiner.

Wir werden jetzt eine Klasse von Zahlenfolgen kennen lernen, bei denen man sicher sein kann, daß es wenigstens einen Häufungswert gibt. Es sind das die beschränkten Zahlenfolgen. Eine Zahlenfolge ulf u₂, u3f . . . heißt beschränkt, wenn sich auf der Zahlenlinie eine Strecke abgrenzen läßt, die die sämtlichen Punkte ulf u2f u₃, . . . enthält. Wollen wir uns nicht geometrisch ausdrücken, so können wir sagen: ulf u2r u3r... ist eine beschränkte Zahlenfolge, wenn es zwei Zahlen a und b gibt, zwischen denen alle Glieder der Folge enthalten sind, so daß also für n = 1, 2, 3, ... die Ungleichungen a<un<l stattfinden. Man nennt den Inbegriff aller Zahlen, die zwischen a und

13    14

b liegen, das Intervall (a, b).¹) Eine beschränkte Zahlenfolge läßt sich also ganz in ein Intervall (a, b) einschließen.

Eine beschränkte Zahlenfolge ist z. B. y, ~

4' 5' 5'

... Sie ist ganz in dem Intervall (0, 1) enthalten. Dagegen ist die Zahlenfolge 1, 2, 3, ... nicht beschränkt, weil es kein Intervall {a, b) gibt, das alle ihre Glieder umfaßt.

Über die beschränkten Zahlenfolgen gilt nun der folgende Satz von Weierstraß: Eine beschränkte Zahlenfolge hat wenigstens einen Häufungswert.

Der Leser stelle sich die zugehörige Punktfolge auf der Zahlenlinie vor. Da es sich um eine beschränkte Zahlenfolge handelt, so läßt sich auf der Zahlenlinie eine Strecke abgrenzen, die die sämtlichen Punkte jener Punktfolge enthält. Diese unendlich vielen Punkte müssen hier auf einem endlichen Raume Platz finden. Da ist es klar, daß irgendwo an einer Stelle Q ein schreckliches Gedränge herrschen muß, so schrecklich, daß in jeder Umgebung von Q unendlichviele Punkte der Folge vorhanden sind. Damit ist die Existenz einer Häufungsstelle wenn nicht bewiesen, so doch wenigstens plausibel gemacht. Das möge hier genügen, da der exakte Beweis nur auf Grund einer genauen Erörterung des Zahlbegriffs möglich und daher für den Anfänger zu schwer ist²).

§ 4. Konvergente Zahlenfolgen.

Aus dem Weierstraßschen Satze wissen wir, daß eine beschränkte Zahlenfolge wenigstens einen Häufungswert besitzt. Wir wollen jetzt diejenigen beschränkten Zahlenfolgen betrachten, bei denen es so wenig Häufungswerte gibt wie möglich, also einen einzigen. ult u₂, uSf sei eine beschränkte Folge von dieser Art und u ihr einziger Häufungswert. Wir wollen um u als Mitte irgend ein Intervall I konstruieren. In diesem liegen, weil u ein Häufungswert ist, unendlichviele Glieder der Folge. Die Glieder, die das nicht tun, mögen die Ausnahmeglieder heißen. Nun läßt sich hier zeigen, daß es nur eine endliche Anzahl solcher Ausnahmeglieder gibt. Angenommen, dies wäre nicht der Fall, es gäbe also unendlichviele Ausnahmeglieder. Sie bilden dann eine Folge ux'f u₂'f u₃'t ..., die aus ulr u2r uSl ...

1)    a und b, die Grenzen des Intervalls, rechnet man manchmal mit

dazu.

2)    Den exakten Beweis findet man z. B. in meinem Buche „Grundzüge der Differential- und Integralrechnung" (Leipzig, Teubner, 1909).

durch Streichung aller in I enthaltenen Glieder entsteht. Eine solche Folge, die cm£ ult u₂, udr ... durch gewisse Streichungen entsteht, nennt man eine Teilfolge von ult u₂, u3t .... Jede Teilfolge einer beschränkten Folge ist offenbar ebenfalls beschränkt; denn wenn die ganze Folge in ein Intervall (at b) eingeschlossen ist, so sind auch alle ihre Teilfolgen in (a, b) enthalten. Wir können also auf u2f u₃, ... bett Weierstraßschen Satz anwenden und daraus schließen, daß diese Folge einen Häufungswert tt' besitzt, tt' ist sicher von u verschieden; denn u ist kein Häufungswert von ut\ u2t u3f..., weil z. B. in I überhaupt kein Glied dieser Folge enthalten ist. Ferner läßt sich leicht erkennen, daß tt' auch ein Häufungswert der Folge ult u₂, m₃,

. .. sein muß. Da nämlich in jeder Umgebung von tt' unendlichviele Glieder der Teilfolge , u₂'t u3t ... enthalten sind, ist damit zugleich gesagt, daß es dort unendlichviele Glieder der Folge ult u2t u₃, ... gibt. Die Folge ult u2f uz,... hätte demnach zwei verschiedene Häufungswerte tt und tt', gegen die Voraussetzung.

Bei einer beschränkten Zahlenfolge mit nur einem Häufungswert u hat dieser, wie wir festgestellt haben, folgende Eigenschaft: In jeder Umgebung von tt liegen alle Glieder der Folge mit einer endlichen Anzahl von Ausnahmen oder, wie wir kurz sagen wollen, fast alle Glieder der gotge¹).

Steht eine Zahlenfolge ulr u2t u3l ... zu einer Zahl u in einer solchen Beziehung, daß in jeder Umgebung von u fast alle Glieder der Folge enthalten sind, so sagt man: Die Folge ult u₂, uBt ... hat den Grenzwert u. Eine solche Folge nennt man konvergent.

Wir haben also oben bewiesen, daß eine beschränkte Zahlenfolge, die nur einen einzigen Häufungswert tt besitzt, konvergent ist und den Grenzwert u hat. Jetzt wollen wir noch zeigen, das auch das Umgekehrte richtig ist, daß also eine konvergente Zahlenfolge mit dem Grenzwert u beschränkt ist und nur den einen Häufungswert u hat. Konstruieren wir um u eine Umgebung I, so liegen darin fast alle Glieder der konvergenten Zahlenfolge. Nur eine endliche Anzahl von Ausnahmegliedern gibt es, die nicht in I enthalten sind. Es ist nun klar, daß wir ein Intervall (a, b) so wählen können, daß I und alle Ausnahmeglieder davon umschlossen werden. Ist I unterhalb durch tt —s, oberhalb durch tt + s begrenzt, so genügt es, a kleiner zu wählen als tt —£ und zugleich kleiner als alle Ausnahmeglieder, b dagegen größer aU u + £ und zugleich größer als alle Ausnahmeglieder. Gerade weil

l) „Fast alle" ----- „alle mit einer endlichen Anzahl von Ausnahmen." es nur eine endliche Anzahl von Ausnahmegliedern gibt, können wir das machen. Dann ist aber die ganze Folge in (a, S) enthalten. Daraus sehen wir, daß es sich um eine beschränkte Folge handelt. Offenbar ist u ein Häufungswert von ihr. In jeder Umgebung von u liegen nämlich fast alle Glieder der Folge. Fast alle sind aber unendlich viele. Hätte die Folge noch einen andern HäufungswerL u, so könnten wir um u und u' Umgebungen konstruieren, die ganz auseinander liegen (vgl. Fig. 6). Da in der um u konstruierten Umgebung fast alle Glieder der Folge enthalten sind, so kann es in der um u' konstruierten Umgebung nur eine endliche Anzahl von Gliedern dieser Folge geben, während doch ein Häufungswert für jede solche Umgebung unendlich viele Glieder verlangt. Damit ist bewiesen, daß es außer u keinen andern Häufungswert gibt. Der Grenzwert ist ein Monarch, der keinen andern Häufungswert neben sich duldet.

u'

Fig. 6.

Wir wissen jetzt, daß konvergente Zahlenfolgen und beschränkte Zahlenfolgen mit einem einzigen Häufungswert ein und dasselbe sind.

Zum Schluß wollen wir über die konvergenten Zahlenfolgen noch einige Bemerkungen machen, von deren Richtigkeit sich der Leser selbst überzeugen möge. Wir geben jedesmal eine Andeutung, wie der Beweis geführt wird.

1.    Hat eine Folge den Grenzwert u, so hat auch jede Teilfolge von ihr den Grenzwert u.

Was von fast allen Gliedern der Folge gilt, gilt nämlich auch von fast allen Gliedern der Teilfolge.

2.    Hat die Folge ulf u2l u₂,... den Grenzwert u, so gilt dasselbe von der Folge alf %,..., ap, ulf u2f u₃, .... Man darf also beliebige Glieder in endlicher Anzahl hinzusetzen; die Folge hat nach wie vor den Grenzwert u.

Fast alle Glieder der alten Folge sind auch fast alle Glieder der neuen Folge.

3.    Hat die Folge ult u₂,u^, ... den Grenzwert u, so gilt dasselbe von der Folge

^i, M₂, U₂ , . . ., U₂,    , . . .,    , ....

p^mal

p₂ - mal

^1-mal

Sie entsteht aus , «z, «g, ... dadurch, daß jedes Glied dieser Folge eine endliche Anzahl von Malen aufgeschrieben wird.

ANuG 197: Kowalewski, Infinitesimalrechnung. 2. Anst.

Wenn wir um u irgendeine Umgebung konstruieren, so gibt es in der alten Folge nur eine endliche Anzahl von Ausnahmegliedern, die nicht in dieser Umgebung liegen. Jedes von ihnen tritt in der neuen Folge eine endliche Anzahl von Malen auf. Die Anzahl der Ausnahmeglieder bleibt also endlich.

4.    Eine konvergente Folge bleibt konvergent und behält denselben Grenzwert, wenn man aus ihr durch Umrangieren der Glieder eine neue Folge bildet.

Die Aussage „In jeder Umgebung von u liegen fast alle Glieder der Folge" ist offenbar ganz unabhängig von der Anordnung der Glieder.

5.    Haben die Folgen ult u₂, u₃, ... und vlt v2f v₃, ... beide denselben Grenzwert g, so hat auch die ausihnenzusammen-gesetzte Folge ult vlt u2t v₂, u₃, v3t ... den Grenzwert g.

In jeder Umgebung von g liegen fast alle un und fast alle vn, d. h. fast alle Glieder der zusammengesetzten Folge.

6.    Haben die Folgen ult u₂, u3t ... und vlr v2t v3l ... beide denselben Grenzwert g und liegt wn immer zwischen un und vnf so hat auch die Folge wlf tv2f w₃, ... den Grenzwert g.

Wenn nämlich in jeder Umgebung von g säst alle un und fast alle vn liegen, so sind darin auch fast alle wn enthalten.

§ 5. Monotone Zahlenfolgen.

Eine Folge ulf u₂, u₃,... heißt aufsteigend, wenn

^1 ^ ^2 ^    • • • t

wenn also kein Glied größer ist als das folgende. Sie heißt absteigend, wenn wenn also kein Glied kleiner ist als das folgende. Beide Arten von Folgen bezeichnet man als monotone Folgen.

Es genügt, wenn wir uns mit den aufsteigenden Folgen beschäftigen. Bei den absteigenden Folgen geht es genau entsprechend. ulfu₂,u3f... sei also eine aufsteigende Folge. Offenbar sind dann zwei Fälle möglich:

1.    Es gibt eine Zahl U, die von keinem Gliede der Folge über-troffen wird.

2.    Es gibt keine solche Zahl.

Im ersten Falle ist die Folge beschränkt, weil alle ihre Glieder dem Intervall (m1z Ts) angehören. Nach dem Weierstraßschen Satze (vgl.

§ 3) gibt es also einen Häufungswert u. Wäre nun irgend ein Glied der Folge, z. B. uv, größer als u, so ließe sich um u eine Umgebung I konstruieren, die uv und infolgedessen auch uv + 1, uv+2, ... nicht enthält (vgl. Fig. 7). In I gäbe es also nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge. Das widerspricht aber dem Wesen eines Häufungswertes. Wir können demnach schließen, daß u von keinem Gliede der Folge übertroffen wird. Gäbe es noch eine kleinereZahli? die dieselbe Eigenschaft hat, so könnten wir I derart wählen, daß u nicht darin enthalten ist. Dann läge aber in I überhaupt kein einziges unf weil kein un größer als n sein soll. Das geht also nicht, und wir ersehen hieraus, daß u die kleinste Zahl ist, die von keinem Gliede der Folge übertroffen wird. Eine solche Zahl kann nur in einem Exemplar existieren. Es kann daher außer u keinen andern Häufungswert geben, und wir haben es also mit einer beschränkten Folge zu tun, die nur einen Häufungswert besitzt. Das ist aber eine konvergente Folge, und u ist ihr Grenzwert.

iV

% Vi

Fig. 7.

Hiermit ist folgender Satz gewonnen: Eine aufsteigende (absteigende) Zahlenfolge ist konvergent, wenn es eine Zahl gibt, die von keinem Gliede der Folge übertroffen (untertroffen) wird. Der Grenzwert ist die kleinste (größte) Zahl mit dieser Eigenschaft?)

Wir müssen jetzt noch den zweiten Fall besprechen. Da gibt es keine solche Zahl U wie im ersten Falle. Es wird vielmehr jede Zahl von irgendeinem uv und um so mehr von ur+lf uv+2, ur+Br... übertroffen. Jede Zahl wird also von fast allen Gliedern der Folge übertroffen. In diesem Falle ist überhaupt kein Häufungswert vorhanden, weil in jedem Intervall {a, b) nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge enthalten ist; fast alle Glieder sind größer als b.

Wenn eine Folge so beschaffen ist, daß jede Zahl — man mag sie so groß wählen, als man will — von fast allen Gliedern der Folge übertroffen wird, so sagt man, die Folge habe den uneigentlichen Grenzwert + oo (plus Unendlich). Das gilt z. 83. von jeder aufsteigenden Zahlenfolge, die nicht beschränkt ist.

Ist eine Folge so beschaffen, daß jede Zahl von fast allen Gliedern der Folge untertroffen wirdH, so sagt man, die Folge habe den uneigentlichen Grenzwert — oo (minus Unendlich). Das gilt z. B. von jeder absteigenden Zahlenfolge, die nicht beschränkt ist.

1) Eine Zahl untertreffen heißt kleiner fein als sie.

Von einer monotonen Zahlenfolge können wir also folgendes sagen: Wenn sie beschränkt ist, hat sie einen eigentlichen Grenzwert; wenn sie unbeschränkt und aufsteigend ist, den uneigentlichen Grenzwert + oo; wenn sie unbeschränkt und absteigend ist, den uneigentlichen Grenzwert — oo.

§ 6. Eine besondere %xi von Intervallfolgen.

Wir wollen hier eine wichtige Anwendung von den Ergebnissen des § 5 machen, und zwar betrachten wir eine Folge von Intervallen

($1, b^, (a₂, Z>₂), (a₃, b₃), ...,

wo jedes Intervall das folgende enthält, so daß also

an£an + 1<bn + 1£bn

Fig. 8.

r ist (vgl. Fig. 8). Eine solche Folge möge ein Satz vonJntervallen heißen.

Offenbar bilden die a eine aufsteigende, die b eine absteigende Folge. Beide Folgen sind beschränkt, da sie in , b±) liegen. Nach § 5 sind sie also konvergent. Bezeichnet man ihre Grenzwerte mit A bzw. B, so ist Af wie wir aus § 5 wissen, die kleinste Zahl, die von keinem a übertroffen wird. Also wird A sicher von keinem b untertroffen. B ist aber nach § 5 die größte Zahl, die von keinem b untertroffen wird. Daher ist A<^B.

Das Intervall (A, B), welches das Grenzintervall des Satzes heißen möge, ist in allen Intervallen (an, bn) enthalten. Hat ein anderes Intervall (A', B') dieselbe Eigenschaft^, so wird Ä von keinem a übertroffen und B' von keinem b untertroffen. A ist aber die kleinste Zahl der ersten, B die größte Zahl der zweiten Art. Daher muß A A' und B' <zB sein, es muß also (A', B') in (A, B) liegen. (A, B) ist demnach das größte Intervall, das von allen Intervallen des Satzes umschlossen wird.

Es kann sein, daß das Grenzintervall auf einen Punkt zusammenschrumpft, daß also A = J5 ist. Dann ist dieser Punkt der einzige, der allen Intervallen des Satzes angehört.

§ 7. Znrückführnng konvergenter Zahlenfolgen auf monotone.

Wenn eine Zahlenfolge ult u2f u₃,... den Grenzwert u hat, so kann man ihre Glieder in drei Klassen einteilen:

1) Es darf auch Ä ---- B' sein.

1.    solche, die kleiner als u,

2.    solche, die größer als u,

3.    solche, die gleich u sind.

Zu jeder Klasse können endlichviele oder unendlichviele Glieder gehören. Wenn zur dritten Klasse unendlichviele Glieder gehören, so bilden sie die Folge u, u, u,.... Wenn zur zweiten Klasse unendlichviele Glieder gehören, so kann man sie so anordnen, daß sie eine absteigende Folge bilden. In jeder Umgebung von u liegen fast alle un. Daher gibt es nur endlichviele un, die größer als u + 1, endlichviele,

die zwar nicht größer als u +1, aber doch größer als u-j- l , end-

i    ^

lichviele, die zwar nicht größer als u + ■, aber doch größer als

i    *

u + ₃ sind, usw. In jeder von diesen Gruppen kann man die Glieder

nach absteigender Größe ordnen, weil die Gruppe nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthält. Auf diese Weise entsteht eine absteigende Folge, die aus den Gliedern der zweiten Klasse gebildet ist. Ebenso überzeugt man sich, daß die Glieder der ersten Klasse, falls es deren unendlichviele gibt, zu einer aufsteigenden Folge geordnet werden können. Es ergeben sich hiernach 7 Typen von konvergenten Zahlenfolgen.

1.    Jede Klasse enthält unendlichviele Glieder.

Dann sieht die Folge nach geeigneter Anordnung ihrer Glieder so aus:

u, blf u, ct₂, b g, u, ct₃, Z>g, ....

Hierbei ist (wie auch im folgenden) alf a₂, ct₃, ... eine aufsteigende und blf b₂, bBr... eine absteigende Folge mit dem Grenzwert u.

2.    Die erste und die dritte oder die zweite und die dritte Klasse enthalten unendlichviele Glieder. Die Folge sieht dann nach eventueller Streichung einer endlichen Anzahl von Gliedern und nach geeigneter Anordnung der übrigen so aus:

u, alt u, a2t u, ctg, ... bzw. u, blf u, b₂, u, ....

3. Die erste und die zweite Klasse enthalten unendlichviele Glieder. Die Folge läßt sich durch dieselben Hilfsmittel wie bei 2 auf die Form

alf b₁, a₂, b2f ct₃, b₃,

bringen.

4 Die erste oder die zweite Klasse enthält unendlichviele Glieder. Die Folge läßt sich auf die Form

bringen.

av ct?, ct₃, ... bzw bv b%, bv

5. Die dritte Klasse enthält unendlichviele Glieder. Die Folge läßt sich auf die Form

u, u, u, .. .

bringen.

Aus den drei Grundtypen

h i a2' a3r * * *

lt, u, u, ...

ergeben sich die vier andern durch Zusammensetzung. Jede konvergente Zahlenfolge läßt sich also (nach einer endlichen Anzahl von Streichungen) in drei oder zwei monotone Folgen mit demselben Grenzwert zerlegen oder selbst zu einer monotonen Folge ordnen. Man ersieht hieraus die Wichtigkeit der monotonen Zahlenfolgen.

§ 8. Die Limesoperatian.

Wenn die Folger^,u₂,uZf ... bett Grenzwertu hat, so ist es zweckmäßig sich eine veränderliche Größe u zu denken, die die Folge durchläuft, d. h. zuerst gleich ut wird, dann den Wert^ annimmt, hierauf den Wert us usw. Bon einer solchen Veränderlichen sagt man, daß sie nach u konvergiert, nach dem Grenzwert u konvergiert, dem Grenzwert u zustrebt, und man schreibt:

lim u — VL (lim es u gleich u)

Times ist das lateinische Wort für Grenze oder Grenzwert. Die obige Formel drückt also aus, daß u sukzessiv die Werte ult u₂, us, ... annimmt, die eine Folge mit dem Grenzwert u bilden.

In jeder Umgebung (u — e, u + s) von u sind, wie wir wissen (vgl. § 4), fast alle un enthalten, u kann also zuerst, wenn es noch jung ist, alle möglichen Sprünge auf der Zahlenlinie vollführen. Mit zunehmendem Alter wird es schließlich so zahm, daß es nicht mehr aus dem Intervall (u — e, u + s) herausgeht. Hierbei ist e eine beliebig gewählte positive Zahl, und gerade darin liegt das Wesen der Limesbeziehung, daß ^ jeden verlangten Grad von Zahmheit schließlich erreicht und behält.

Wir wollen uns einen Beobachter vorstellen, der imstande ist, zwei Punkte der Zahlenlinie, die um mehr als s voneinander entfernt sind, zu unterscheiden, während zwei Punkte, die eine kleinere Entfernung als e haben, für ihn nicht mehr unterscheidbar sein sollen. 'Je kleiner der „Schwellenwert^ s ist, desto genauer oder feiner arbeitet der Beybachter. Wenn ein solcher Beobachter den Punkte betxachtet, während dieser die Folge «lf m₂, Mg, ... durchlaufend nach u konvergiert, so wird schließlich u nicht mehr von u unterscheidbar sein, d. h. der Beobachter wird sagen: „u fällt jetzt mit u zusammen und geht nicht mehr von der Stelle u fort". Wie sein auch der Beobachter arbeitet, d. h. wie klein der Schwellenwert s bei ihm auch sein mag, immer wird er schließlich jene Aussage machen müssen.

Wenn u nach u konvergiert, indem es die Folge wlf w₂, w₈, ... durchläuft, so können wir sagen: ux ist der erste, u₂ der zweite, «₃ der dritte Wert, den u annimmt, usw. Der Grenzwert u ist dann gewissermaßen der unendlichste Wert von u. Dieser Ausdruck ist aber nicht üblich, ebensowenig der Ausdruck „letzter Wert von u“, der bei Newton und den Bernvullis vorkommt.

Man spricht von einem Grenzübergang (Übergang zur Grenze, d h. Übergang zum Grenzwert), wenn man eine Veränderliche u nach einem Grenzwert u konvergieren läßt, wenn also u eine Folge %, u₂, us, ... mit dem Grenzwert u durchläuft. Der Grenzübergang kann als eine Operation betrachtet werden, die auf u angewandt u liefert. Man nennt diese Operation die Limesopcration. Sie wird durch das Symbol lim ausgedrückt.

¹

Ist auf einer Geraden die positive Richtung festgesetzt, so pflegt man sie, wenn die Gerade eine Parallelverschiebung erfährt, ungeändert zu lassen. Nach Festsetzung der positiven Richtung auf den Koordinatenachsen ist also auch auf den zu ihnen parallelen Geraden die positive Richtung festgelegt.

²

Statt „Zahlenfolge^ benutzen wir oft den kürzeren Ausdruck „Folge".

§ 9. Die Hauptsätze der Grenzwertrrchmmg.

1. Satz 1. Aus

folgt

lim u — 0, lim v — 0

lim (« -f v) = 0, d. h. wenn wv m₂, Mg,... und vlt «₂, v3l ... Nullfolgen^) sind, so ist auch ux + Mj, «z + v₂, Mg +1>₃,... eine Nullfolge.

Es kommt darauf an zu zeigen, daß in jeder Umgebung (— e, s) der Null fast alle un + vn enthalten sind. Nun liegen aber fast alle

wn zwischen — | und ebenso fast alle vn. Also gelten fast immer²)

<Un<Y'

die Ungleichungen

woraus durch Addition folgt:

_ -£<Mä + M„<£-

1)    Eine Nullfolge ist eine Folge mit dem Grenzwert Null.

2)    b, h. für fast alle Werte des Jnde^ n.

2. Satz 2. Aus lim w = 0 folgt, wenn c eine Konstante*) ist, lim (cw) ----- 0, d. h. wenn wlt w2f w₃, ... eine Nullfolge ist, so ist auch cwlr cw₂, cw3t ... eine solche.

Im Falle c = 0 trifft dies zu, weil die Folge dann überhaupt aus lauter Nullen besteht. Ist c von Null verschieden, so muß man folgendermaßen schließen. Fast alle wn liegen zwischen — s und , also fast alle cwn zwischen — s und e.

Verallgemeinerung. Wenn \, l₂, fc₃,... eine beschränkte Zahlenfolge, also ganz in einem Intervall (a, b) enthalten ist, so liegt knwn zwischen awn und bwn. Ist nun wlf w2f w3t ... eine Nullfolge, so sind nach dem obigen Satze auch awlt aw₂, aw3l ... und bwlt bw₂, bw3r ... Nullfolgen. Wir können hier nun die Bemerkung 6 aus § 4 anwenden und schließen, daß auch lc₁w₁, lc₂tv₂, 1c₃ws,... eine Nullfolge ist. Damit haben wir folgende Verallgemeinerung des Satzes 2 gewonnen:

Satz 2*. Wenn lim w = 0 ist und 7c zwischen endlichen Grenzen bleibt²), so ist auch lim (kw) = 0.

3. Bemerkung. Die Aussagen lim rc---- u und iim (n — u) ----- 0 sind gleichbedeutend, d. h. wenn die Folge ult u2t u3f... den Grenzwert u hat, so hat die Folge — u, u₂ — u, u₃ — u, ... den Grenzwert Null und umgekehrt.

Aus

folgt nämlich

n — 5 < un < u + £

— e<un—u<£

und umgekehrt. Man kann auch sagen lim u = u und lim (u — n) ------- 0

sind gleichbedeutend.

4. Grenzwert einer Summe. Aus lim u = u, lim r? --- v folgt lim (u + v) = u +t>. Es ist mit andern Worten

lim (u + v) — lim u + lim v,

d. h. derGrenzwert der Summe gleich der Summe der Grenzwerte.

ist. Aus

GO

Nach der Bemerkung in Nr. 3 genügt es zu zeigen, daß lim (u-\- v — VL — ti) = 0 lim (^ — u) ----- 0, lim (r? — v) ----- 0

1)    Eine Konstante behält immer denselben Wert.

2)    D. h. eine beschränkte Zahlenfolge durchläuft.

folgt aber nach Satz 1

lim (u — U + v — v) — lim (u-\-v — U — v) — 0.

5. Grenzwert eines Produktes. Aus limu = u, lim y = b folgt lim (uv) = ub. Es ist mit andern Worten

lim (u - v) ----- lim u • lim v,

d. h. der Grenzwert des Produktes gleich dem Produkt der Grenzwerte.

Es genügt zu zeigen, daß

lim (uv — uv) — 0

ist. Nun kann man aber schreiben

uv — uv = u(v — b) + b (u — u).

Aus lim (u — u) = 0 und lim (v — b) = 0 folgt dann lim {u (v — b) } = 0, lim { b(w — u) } = 0.

Im zweiten Falle stützt man sich auf Satz 2, im ersten auf Satz 2* wobei man benutzen muß, daß u zwischen endlichen Grenzen bleibt, weil es eine konvergente Zahlenfolge durchläuft und eine solche stets beschränkt ist.

Aus den beiden letzten Relationen ergibt sich weiter mit Hilfe des Satzes 1

lim [u(v — b) + il(u — u)} = lim (uv — ub) = 0.

Wenn man v gleich einer Konstanten c setzt, so geht der obige Satz in folgenden über: Aus lim u = u folgt, wenn e eine Konstante ist, lim (cu) = cu.

Insbesondere ist also lim (—u) = — u. Vereinigt man dieses Ergebnis mit Satz 1, so findet man, daß aus lim u = u, lim v = b folgt lim (v — w) — b — u, daß also der Grenzwert der Differenz gleich der Differenz der Grenzwerte ist. Man hat in der Tat

lim (v — u) = lim v -J- lim (— u) = b — U.

6. Grenzwert eines Quotienten. Aus lim u = n folgt, wenn u nicht gleich Null ist, lim (l: u) = 1 :u.

1    1 /    X

= — (u — u).

u    UVL V

In der Tat ist

und man kann daher nach Satz 2* aus lim (u — n) ----- 0 folgern

lim

Nur muß man sich noch vergewissern, daß der Faktor 1 :uvl zwischen endlichen Grenzen bleibt. Nehmen wir an, daß u beim Grenzübergang die Folgen, u2t %, ... durchläuft *). Dann wäre zu zeigen, daß

iii UxVi' u₂ u' u₃ur

eine beschränkte Zahlenfolge ist. Nun liegen in jeder Umgebung von u fast alle unt also z. B. auch in dem Intervall

/ i 3    \

\TU' 2 /

dessen Mitte u ist. Fast alle Quotienten 1: un\\ werden daher in dem Intervall enthalten sein. Nur eine endliche Anzahl solcher Quotienten wird dies nicht tun. Daraus erkennt man, daß sie sich alle in ein Intervall (a, b) einschließen lassen.

Aus limu = n, limv — folgt, wenn u nicht gleich Null ist, lim (v: u) = ö: u. Es ist mit anderen Worten

lim

lim v lim u '

d. h. der Grenzwert des Quotienten gleich dem Quotienten der Grenzwerte, vorausgesetzt, daß der Grenzwert im Nenner von Null verschieden ist. Man hat in der Tat

lim v = V, lim ^ ^ -----    -,

tH Ti

folglich nach Nr. 5

lim

K)-

lim

\u J u

7. Grenzwert eines absoluten Betrages. Aus limw = u folgt¹ 2) lim | u | « | it p Es ist mit andern Worten

lim | u | = | lim u |,

d. h. der Grenzwert des absoluten Betrages gleich dem absoluten Betrage des Grenzwerts.

Häufungswerte als Grenzwerte von Teilfolgen u durchlaufe bei dem Grenzübergang die Folge ult u2f u3f.... Ist

it> 0, so sind fast alle u positiv, weil sie fast alle zwischen * u und

3    ^

₂ u liegen, und man hat daher fast immer \un\ = un. Nach einer endlichen Anzahl von Streichungen sind also die Folgen ¹ ut |, \u₂\u₃\, und ult u₂, u₃, ... identisch. Mithin haben (vgl. § 4) beide den Grenzwert u = | it L Im Falle u < 0 sind die Folgen | ux\t | v₂ [, | u₃1,... und —ux, — u₂, — u₃, ... nach einer endlichen Anzahl von Streichungen identisch. Mithin haben beide den Grenzwert — u ----- | u |. Es bleibt nur noch der Fall u = 0 übrig. In diesem Falle haben ulf u2f u3r. . und — ut, — u₂, — u₃,... beide den Grenzwert Null. Dasselbe gilt daher von der Folge ut, — %, u₂, — u₂, u₃, — u₃, ... (vgl. § 4). Hiervon ist |    |, > u₂1, \u₃ , ... eine Teilfolge. Jede Teilfolge einer

konvergenten Folge hat aber denselben Grenzwert wie diese (vgl. § 4).

8. Grenzübergang bei Ungleichungen. Ist lim u = vt, limv = b und gilt immer die Ungleichung u v, so kann man schließen, daß u^v ist, d. h. aus u<^v folgt lim u lim v. $ct v — u^>0 ist, so kann der Grenzwert von v — u unmöglich negativ sein. Um eine negative Zahl lassen sich nämlich Umgebungen konstruieren, die nur negative Zahlen enthalten. Es ist also

lim (v — rr) ----- v — U 0.

lim u ----- U, lim n ----- V, lim w ----- w lim (u + v +    — lim {u + (v + w) }

— lim u + lim (v + w) ------ lim u + lim v + lim w

Zum Schluß sei noch bemerkt, daß die Sätze in Nr. 4 und 5 für jede endliche Anzahl von Summanden bzw. Faktoren gelten. Ist z. B.

so hat man

und

Insbesondere ist

lim (uvw)-= lim {u • (vw)} = lim u • lim (vw) ------ lim u • lim v • lim w.

lim (m³) ----- (lim u)s, lim (w⁴) ----- (lim m)⁴ usw.

8 io. Häufungswerte als Grenzwerte von Teilfolgen.

Wir wollen jetzt noch einmal zu dem Begriff Häufungswert zurückkehren, der den Ausgangspunkt unserer ganzen Betrachtungen bildete, h ist ein Häufungswert der Zahlenfolge ult u2t u₃, ..., wenn in jeder Umgebung von h nnendlichviele Glieder dieser Folge enthalten sirch,

Erstes Kapitel: Häufungswerte und Grenzwerte Es sei jetzt u/ das erste Glied der Folge, das in dem Intervall (h—- 1, t) + 1), das zweite Glied, das in (h —    , h y),

22

das dritte Glied, das in (h — y, h-s- ^ und allgemein u₇' das -r-te Glied, das in (h — ^ , h ff- ^ ^ enthalten ist. Es gibt ein-r-tes Glied dieser Art, weil unendlichviele Glieder der Folge in (h — * ,

h ff- ^ liegen. Wenn der Leser die Sache genau überlegt, wird er

bemerken, daß uXf u2t usr... eine Teilfolge von ux, u₂, u₃, ... ist, d. h. daß u₂ in ult u₂, u₃, ... später als ux kommt, ebenso u₃ später als u₂' usw. Durchläuft nun n die Folge 1, 2, 3, ..., so wird

lim (1: n) — 0,

weil offenbar in jeder Umgebung von Null fast alle Glieder der Folge

, ... enthalten sind. h — * und h + * konvergieren somit

1 — -1 ' 2 ' 3

beide nach h, und dasselbe gilt von un\ welches zwischen ihnen liegt, h ist also der Grenzwert der Folge u₂, u₃, ..., d. h. jeder Häufungswert läßt sich als Grenzwert einer Teilfolge betrachten. Ist umgekehrt uxt n₂, u₃, . .. irgendeine konvergente Teilfolge von ulr u₂,    so ist ihr Grenzwert ein Häufungswert von ulf

u₂, w₃,...; denn in jeder Umgebung von ihm liegen fast alle un'f also jedenfalls unendlichviele un.

§11. Größter und kleinster Häufungsmert einer keschrnnkten Zahlenfolge.

Wir wollen jetzt noch eine kleine Betrachtung über beschränkte Zahlenfolgen anstellen. Sie soll zugleich dazu dienen, den Leser in der Handhabung der erworbenen Begriffe zu üben. ulf u2f u₃, ... sei eine beschränkte Zahlenfolge, d. h. es sei stets a<un<b.

Wenn die Zahl a von unendlichvielen un übertroffen wird, die Zahl ß dagegen nicht, so wollen wir (a, ß) ein ausgezeichnetes Intervall nennen. Ist y die Mitte von (or, ß)f so gibt es zwei Möglichkeiten:

y wird von unendlichvielen un übertroffen. Dann ist offenbar (tt, y) kein ausgezeichnetes Intervall, wohl aber (y, ß).

y wird nicht von unendlichvielen un übertroffen. Dann ist offenbar (cc, y) ein ausgezeichnetes Intervall, [y, ß) aber nicht.

Man sieht, daß ein ausgezeichnetes Intervall eine und nur eine ausgezeichnete Hälfte hat-

Offenbar ist nun (av bt) ein ausgezeichnetes Intervall, a wird in der Tat von unendlichvielen un übertroffen (nämlich von allen) und b nicht (nämlich überhaupt von keinem un). Es gibt daher in (a, b) eine ausgezeichnete Hälfte (^, Ebenso gibt es aber in (a₁,b₁) eine ausgezeichnete Hälfte (a2f b₂), in (a₂, b₂) eine ausgezeichnete Hälfte («₃, b₃) uff. Wir erhalten also eine Folge von ausgezeichneten Intervallen:

(«1, bl), («2- bz), (st₃, 6S), ....

Sie hat die Eigentümlichkeit, daß immer («M+1, 6M+1) eine Hälfte von (an, bn) ist. Wir haben es hier also mit einem Satz von Intervallen zu tun (vgl. § 6), und zwar reduziert sich das Grenzintervall (A, B) dieses Satzes auf einen Punkt. Es ist nämlich

und daher offenbar

lioa (6„-«J = 0.

Andererseits hat man (nach § 9, Nr. 5)

lim (bn — an) = lim bn — lim an=~- B ~ A.

Es ist also A = B.

Konstruiert man nun um A eine Umgebung (A—£, A + f), so ist bei genügend großem n das Intervall (an, bn) ganz in ihr enthalten. Da an von unendlichvielen un übertroffen wird, bn aber nicht, so liegen in (A —£, A + f) unendlichviele un. Daraus sehen wir, daß A ein Häufungswert von ulf u₂, uz,... ist. Sa A + s, ebenso wie bn, nur von endlichvielen un übertroffen wird, so kann es keinen Häufungswert A' geben, der größer als A ist. Um das zu erkennen, braucht man nur e so zu verkleinern, daß die Intervalle (A — e, A + e) und (A' — £, A' + f) ganz auseinanderliegen. Dann gibt es in dem zweiten Intervall nur endlichviele un, weil A + £ nur von endlichvielen un übertroffen wird. Es kann daher A' kein Häufungswert sein. A ist somit der größte Häufungswert der Folge ult u2l uz, .... Ganz ähnlich überzeugt man sich von der Existenz eines kleinsten Häufungswertes. Unter den Häufungswerten einer beschränkten Zahlenfolge gibt es also einen größten und einen kleinsten.

Wenn diese beiden äußersten Häufungswerte zusammenfallen, so liegt eine beschränkte Zahlenfolge mit einem einzigen Häufungswerte vor. Das ist aber, wie wir wissen (vgl. § 4), eine konvergente Zahlenfolge, und der Häufungswert ist ihr Grenzwert.

Zweites Kapitel.

Differentialrechnung.

§ 12. Veränderliche und Konstanten.

Eine Veränderliche (Variable) ist eine Größe, die verschiedene Werte annimmt, eine Konstante dagegen eine Größe, die ihren Wert nicht ändert. So sind z. B. Größe und Gewicht eines heranwachsenden Menschen Veränderliche, Meter und Kilogramm, mit denen wir jene messen, Konstanten. Auch die seit einem bestimmten Zeitpunkt verflossene Zeit ist eine Veränderliche, während die Sekunde, mit der wir sie messen, eine Konstante ist.

§ 13. Funktionen einer Veränderlichen.

y heißt eine Funktion der Veränderlichen x, wenn zu jedem Wert von x ein Wert von y gehört. Bezeichnen wir z. B. mit x das genaue Lebensalter eines Menschen, mit y die Größe (oder das Gewicht) dieses Menschen im Alter x, so gehört offenbar zu jedem Wert von x ein Wert von y. Größe und Gewicht eines Menschen sind also Funktionen seines Alters.

Andere Beispiele für Funktionen sind folgende:

Oberfläche und Inhalt einer Kugel sind Funktionen ihres Radius.

Die Endgeschwindigkeit eines fallenden Körpers ist eine Funktion der Fallhöhe.

Das Volumen einer Gasmenge ist (bei gegebener Temperatur) eine Funktion des Druckes.

Wir empfehlen dem Leser, weitere Beispiele für Funktionen aus Geometrie, Physik und Chemie selbst herauszusuchen, um sich dadurch den Funktionsbegriff möglichst klar zu machen., Dieser ist nämlich der wichtigste Begriff der höheren Mathematik.

Wenn.-?/ eine Funktion von x ist, so nennt man 56 die unabhängige, y die abhängige Veränderliche.

Um auszudrücken, daß y eine Funktion von x ist, schreibt man

V = f(x) (d- h> „y gleich f von x“.)

Hat man gleichzeitig verschiedene Funktionen zu betrachten, so wendet man die Bezeichnungen f(x), g(x), h{x),... oder cp(x), %(x), rp(x),... an. Es werden alle Buchstaben (große und kleine) zur Bezeichnung von Funktionen benutzt.

§ 14. Funktionen von mehreren Veränderlichen.

z heißt eine Funktion der beiden Veränderlichen x und y, wenn zu jedem Wertsystem x, y ein Wert von z gehört. Man nennt x und y die unabhängigen Veränderlichen, z die abhängige Veränderliche und schreibt

Sind neben fix, y) noch andere Funktionen von x und y zu betrachten, so nimmt man bei ihnen statt f andere Buchstaben.

Der Inhalt eines Rechtecks ist eine Funktion der beiden Seiten. Das Volumen einer Gasmenge ist eine Funktion von Druck und Temperatur. Der Leser möge selbst weitere Beispiele bilden.

In durchaus entsprechender Weise definiert man Funktionen von drei, vier, fünf, .,. Veränderlichen.

§ 15. Geometrische Darstellung der Funktionen.

Wenn man eine Funktion y = f(x) geometrisch darstellen will, so kann man die Abbildung der Zahlenpaare auf die Punkte der Ebene benutzen. Man sucht für jeden Wert*) der unabhängigen Veränderlichen x den Punkt auf, dessen Abszisse gleich x und dessen Ordinate gleich fix) ist. Diese Punkte bilden eine Linie oder Kurve. Sie heißt die Bildknrve der Funktion fix) und y = fix) die Gleichung dieser Kurve. Man kann, wenn die Bildkurve gezeichnet ist, an ihr ablesen, welcher Wert der abhängigen Veränderlichen jedem Wert der unabhängigen entspricht.

Will man eine Funktion z=*f(x, y) geometrisch darstellen, so kann man die Abbildung der Zahlentripel auf die Punkte des Raumes benutzen. Zu jedem Wertsystem x, y sucht man den Punkt, dessen Koordinaten der Reihe nach gleich x, y, fix, y) sind. Diese Punkte bilden eine Fläche, die Bild fläche der Funktion f{x,y), und z = f(x,y) ist die Gleichung dieser Fläche.

Erwähnt sei noch die geometrische Darstellung eines Paares von Funktionen einer Veränderlichen, y = fix), z = gix). Man erhält sie dadurch, daß man für jeden Wert von x den Punkt aufsucht, dessen Koordinaten der Reihe nach gleich x, fix), gix) sind. Diese Punkte

l) In der Praxis muß man sich begnügen, dies für eine Anzahl von

Werten auszuführen. Man erhält so eine angenäherte Darstellung der Bildkurve. Ähnliches gilt für die Bildfläche von f(x, y).

bilden eine Kurve im Raum. Sie ist die Bildkurve des Funktionenpaares f(x), g{x).

Solche geometrischen Darstellungen spielen auch in den Naturwissenschaften und in der Technik eine wichtige Rolle. Gewöhnlich legt man die Koordinatenachsen so, daß sie zueinander rechtwinklig sind.

§ 16. Die elementaren Funktionen einer Veränderlichen.

Die M-te Potenz von x (m eine positive ganze Zahl) ist offenbar eine Funktion von x\ denn zu jedem Wert x gehört ein ganz bestimmter Wert von xm. Wenn a0r alt ... am Konstanten vorstellen, so ist

«0*” + aix'n -1H-----f«m

auch

-i

er.

X + am

eine Funktion von x. Eine solche Funktion heißt, wenn a₀ nicht null ist, eine ganze rationale Funktion m-ten Grades. Eine ganze rationale Funktion 0-ten Grades ist eine Konstante, ihre Bildkurve eine Parallele zur 5?-Achse. Die Bildkurve *) einer ganzen rationalen Funktion ersten Grades ist eine gerade Linie. Die Bildkurve einer ganzen rationalen Funktion zweiten Grades ist eine Parabel, eine Kurve, die der Leser von der Schule her kennen wird. Sie besteht aus allen Punkten, die von einer festen Geraden (der Leitlinie) und einem festen Punkt (dem Brennpunkt) gleich weit entfernt sind.

Ein Quotient aus zwei ganzen rationalen Funktionen, also ein Ausdruck von der Form

aaxm + at xn 1 H-----h am_₁xJr am

b₀xn + \ xn ~¹ + • • • + bn_₁xJr bv

wird als rationale Funktion bezeichnet. Einen Spezialfall davon bilden die ganzen rationalen Funktionen.

Zu den elementaren Funktionen rechnet man auch die Exponentialfunktion ax, wobei a eine positive Konstante bedeutet, ferner die Funktion Logarithmus. Zu jedem positiven x gehört ein y derart, daß ay = x ist 2). y heißt der Logarithmus von x zur Basis a und wird alogx geschrieben. Die gebräuchlichen Logarithmentafeln beziehen sich auf die Basis 10. Der Leser möge versuchen die Bildkurven von ax und a\ogx für den Fall a = 10 zu zeichnen.

1)    Wir legen immer ein rechtwinkliges Achsensystem zu Grunde. Der Leser zeichne z. B. die Bildkurven von y = 3x-j~ 4, y = x*. indem er Millimeterpapier benutzt.

2)    a ist positiv, darf aber nicht gleich 1 sein.

Hiermit sind die elementaren Funktionen noch nicht erschöpft. Bevor wir weitergehen, müssen wir einiges über die Bogenmessungen sagen.

Betrachten wir ein rechtwinkliges Achsensystem. Wenn wir die #-Achse um einen rechten Winkel drehen, so wird sie mit der ?/-Achse zusammenfallen, und wenn wir in geeignetem Sinn gedreht haben, werden auch die positiven Richtungen der Achsen zusammenfallen. Dieser Drehungssinn, der in Fig. 9 durch einen Pfeil angedeutet ist, soll der positive heißen, der andere der negative. Wir wollen jetzt um den Anfangspunkt einen Kreis beschreiben, dessen Radius die Längeneinheit ist. Man nennt ihn den Einheitskreis. Er    4

->

schneidet auf der positiven #-Achse einen Punkt A aus. Der Punkt A kann sich auf dem Einheitskreis in zwei verschiedenen Weisen bewegen. Wenn der Radius OA sich in positivem Sinn dreht, so sagen wir, daß A sich auf dem Kreise in positivem Sinne bewegt, andernfalls in negativem Sinne.

Fig. 9.

Beschreibt der Punkt A, während er sich in positivem Sinne bewegt, ein Bogenstück von der Länge a, so sagen wir. daß er den Bogen a zurückgelegt hat; beschreibt A, während er sich in negativem Sinne bewegt, ein Bogenstück von der Länge a, so sagen wir, daß er den Bogen — a zurückgelegt hat.

Nach diesen Vorbereitungen ist es leicht, die beiden Funktionen Kosinus und Sinus, die der Leser aus der Trigonometrie kennt, zu definieren. Ist # gegeben, so lassen wir den Punkt A, den wir oben eingeführt haben, sich so bewegen, daß er den Bogen x zurücklegt. Er gelange dadurch nach P. Die Abszisse von P nennen wir cos x (Kosinus x)t die Ordinate sin x (Sinus x). Es ist also

ÖX = cos#,

Aus der Figur entnimmt man sofort die Relation cos²# + sin²# = 1.

Von großer Wichtigkeit sind die beiden folgenden Formeln: cos (# + #') ----- cos# cos#' — sin# sin#', sin (# + #') ----- sin# cos#' + cos# sin#',

die in der Elementarmathematik bewiesen werden.

cos# und sin# gehören zu den trigonometrischen Funktionen. Außer diesen beiden erwähnen wir noch die trigonometrischen Funk-

ANuG 197: Kowalewski, Infinitesimalrechnung. 2. Aufl.

OY= sin#.

Wir empfehlen dem Leser die Bildkurven von cos#, sin#, tg#, cot# zu zeichnen.

Es fehlen in der Aufzählung der elementaren Funktionen noch die sogenannten zyklometrischen Funktionen. Wenn # gegeben ist, so gibt es. falls x zwischen den Grenzen — 1 und + 1 liegt, immer zwischen 0 und % einen Bogen, dessen Kosinus gleich # ist. Ihn bezeichnet man mit arc cos # (Arkuskosinus #, d. h. Bogen mit dem Kosinus #). Ebenso gibt es zwischen — ^ und ~ einen Bogen, dessen

Sinus gleich x ist. Ihn nennt man arc sin# (Arkussinus#, d. h. Bogen mit dem Sinus#). In ähnlicher Weise wird arc tg# (Arkustangens#)

definiert als der Bogen zwischen — ~ und dessen Tangens gleich

x ist) und arc cot# (Arkuskotangens#) als der Bogen zwischen 0 und 7t, dessen Kotangens gleich # ist). Bei arc tg# und arc cot# darf # alle Werte annehmen, während bei arc cos# und arc sin# das # auf die Werte zwischen — 1 und + 1 (diese eingeschlossen) beschränkt war.

Auch diejenigen Funktionen, die sich aus einer endlichen Anzahl elementarer Funktionen zusammensetzen lassen, wie z. B. cos (a# + &), log (sin²#) und dgl., nennt man elementare Funktionen.

timten tgx (Tangens w) und cot# (Kotangens#), welche in folgender Weise definiert sind:

tgx =

sin#

cos#

cot # =

cos#

sin#

§ 17. Der Differenzenquotient von f{x).

y sei eine Funktion von #, also y = /*(#). Erteilen wir dem # einen positiven oder negativen Zuwachs Ax = h, so verwandelt sich /*(#) in f(x-\- li) und y erfährt also den Zuwachs

Ay = f{x + h) — f{x).

Den Quotienten aus dem Zuwachs von y und dem Zuwachs von #, also den Bruch bezeichnet man als den Differenzenquotienten von /*(#). Um ihn zu bilden, muß man also durch den Zuwachs A# der unabhängigen Veränderlichen den entsprechenden Zuwachs Ay der abhängigen Veränderlichen dividieren.

Der Differenzenquotient hat eine einfache geometrische Bedeutung. In Fig. 10 ist die Bildkurve von f(x) gezeichnet. P und Q sind die Kurvenpunkte, die den Werten x und x + h entsprechen. Die Sekante PQ bildet mit der positiven n-Achse einen Winkel, der in der Figur mit cp bezeichnet ist. PB ist nämlich parallel zur xMcfyfe gezogen. Betrachtet man nun das rechtwinklige Dreieck PBQ, so sieht man, /

daß

>;>

= t gcp

ist. tg<p pflegt man die Richtungskonstante der Geraden PQ zu nennen. Es ist also der Differenzenquotient gleich der Richtungskonstanten der Sekante PQ.

Man kann den Differenzenquotienten noch auf eine andere Weise deuten. Wir wollen x 0 als die von einem bestimmten Anfang gerechnete Zeit betrachten und uns dann einen Punkt denken, der sich so auf der Zahlenlinie bewegt, daß er zur Zeit x immer mit dem Bildpunkt der Zahl f(x), oder, kurz gesagt, dem Punkt f{x) zusammenfallt. Während des Zeitintervalls (x, x + h) ist er von f(x) nach f(x + h) gelangt. Hätte er sich während dieser Zeit gleichförmig bewegt, so wäre dazu die Geschwindigkeit (Weg durch Zeit)

f(x + h)-f(x)

E.

dx

Fig. 10.

<L

Jy

x±h

nötig gewesen. Diese Geschwindigkeit nennt man die mittlere Geschwindigkeit des Punktes während des Zeitintervalls (x, x+h). Sie ist, wie man sieht, gleich dem Differenzenquotienten.

§ 18. Die Ableitung von f(x).

Wir wollen jetzt h nach Null konvergieren lassen, h soll also irgend eine Folge hv k2r hSl ... mit dem Grenzwert Null durchlaufen^). Es kann sein, daß dabei der Differenzenquotient immer einem und demselben Grenzwert g zustrebt, daß man also immer

f(x + h)-f(x)

lim

hat, wenn limÄ = 0 ist. In diesem Falle sagt man, daß f{x) an der Stelle x eine Ableitung besitzt und diese Ableitung gleich g ist.

1) Alle hn müssen von Null verschieden sein. Es genügt übrigens monotone Folgen zu betrachten (vgl. § 7).

3*

Man bezeichnet die Ableitung, um ihre Beziehung zu y = f(x) hervortreten zu lassen, mit y oder f (x). Es ist also

(lim h = 0)

f (x) — lim

d. h. die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für nach Null konvergierendes Ist.

Wenn die Ableitung f'(x) existiert, konvergiert A y gleichzeitig mit Ax nach Null?) Es ist nämlich

f(x + h)-f(x)

Ay= ~l-Ax

Wenn nun Ax nach Null konvergiert, so wird (vgl. § 9, Nr. 5)

lim Ay = lim ^ • lim Ax — f (x) 0 — 0.

Ax und Ay konvergieren also beide nach Null und dabei strebt ihr Quotient Ay: Ax dem Grenzwert A(n) zu. Daher nennt Newton f (x) die „ultima ratio incrementorum evanescentium“ (das letzte Verhältnis der verschwindenden Inkremente). Um Newton richtig zu verstehen, stelle sich der Leser vor, daß in Fig. 10 der Punkt Q auf der Kurve nach P hinrückt. Gerade in dem Augenblick, wo er mit P zusammenfällt, wird das Verhältnis Ay:Ax gebildet und das ist dann die Ableitung f\x). Die Ableitung ist also das Verhältnis der Größen Aund Ax gerade in dem Augenblick, wo sie aufhören zusein. Newton hat noch eine andere Erklärung der Ableitung. Wenn der Punkt P auf der Kurve fortzurücken beginnt und man bildet gerade in dem Augenblick, wo er die Stelle P verläßt, das Verhältnis Ay: Ax, so ist es die Ableitung f{x\ Sie erscheint hier als das erste Verhältnis der eben entstehenden Inkremente (prima ratio incrementorum modo nascentium). Hier werden also die Inkremente in dem Augenblick betrachtet, wo sie anfangen zu sein. Newton fühlte selbst, daß in diesen Begriffen „prima ratio“ und „ultima ratio“ eine Schwierigkeit steckt. Für uns kommt nur der zweite Begriff in Frage, und wir können ihm eine moderne Fassung geben, indem wir statt „ultima ratio incrementorum evanescentium“ sagen „Grenzverhältnis der nach Null konvergierenden Inkremente."

Ebenso wie der Differenzenquotient hat auch die Ableitung eine einfache geometrische Bedeutung. Läßt man h nach Null konvergieren,

1) Diese Eigenschaft, daß aus lim A a: = 0 folgt lim Ay = 0, nennt man die Stetigkeit.

so konvergiert der Punkt Q nach der Lage P (nämlich jede der Koordinaten von Q nach der entsprechenden von P). Die Gerade PQ dreht sich um den festen Punkt P so, daß ihre Richtungskonstante dem Grenzwert f'(x) zustrebt. Man sagt, daß ihre Grenzlage diejenige Gerade PT ist, deren Richtungskonstante den Wert f\x) hat. (vgl. Fig 10). Diese Gerade nennt man die Tangente der Kurve im Punkte P Wie der Differenzenquotient gleich der Richtungskonstanten einer Sekante war, so ist die Ableitung gleich der Richtungskonstanten der Tangente?)

Wenn wir x als die Zeit betrachteten und f{x) als die Abszisse eines auf der Zahlenlinie sich bewegenden Punktes, so war der Differenzenquotient gleich der mittleren Geschwindigkeit während des Zeitintervalls (x, x + h).

Wenn fcieje bei nach Null konvergierendem h einem Grenzwert zustrebt, so pflegt man ihn als die Geschwindigkeit des Punktes zur Zeit x zu bezeichnen. Die Ableitung f'(x) erscheint hier also als eine Geschwindigkeit.

§ 19. Das Differential vm f(x).

Als Differential von f(x) bezeichnet Leibniz das Produkt aus der Ableitung f {x) und der Größe h (dem Zuwachs von x). Er schreibt dafür df(x). Es ist also

df(x) — f'(x)h.

Wenn man die Bildkurve von f(x) durch ihre Tangente im Punkte P ersetzt, so ist der Zuwachs, den die Funktion beim Übergange von x §u x + h erfährt, nicht mehr fix + /&) — f(x) oder 4f(x), sondern jf'(x)h oder df(x). In Fig. 10 ist df{x) = BT, f(x-\-h)—f(x)=BQ.

Benutzen wir die andere Deutung (x die Zeit und f(x) die Abszisse eines auf der Zahlenlinie sich bewegenden Punktes), so ist folgendes zu sagen: Wenn der Punkt die Geschwindigkeit f'(x), die er zur Zeit x hat, immer hätte, so würde er in dem Zeitintervall (x, x+h) die Strecke s(x)h beschreiben, nicht die Strecke f(x + h) — f(x).

Dem Begriff des Differentials, der von Leibniz herrührt, liegt, wie wir sehen, der Gedanke zugrunde, eine Kurve in der Umgebung eines Punktes durch eine Gerade oder eine beliebige Bewegung in der Umgebung eines Zeitpunktes durch eine gleichförmige zu ersetzen.

l) Wegen dieses Zusammenhanges nannten Leibniz und seine Zeitgenossen die Differentialrechnung, die die Berechnung der Ableitungen lehrt, eine „nova methodus tangentmm“ (eine neue Tangentenmethode).

{X + }£    --1 ist. Infolgedessen gilt für das Diffe-

Die Ableitung der Funktion x ist gleich 1, weil schon der Differenzenquotient rentiert von x die Formel

dx = h.

Das Differential von x ist also h selbst. Wir können daher in der Formel df(x) = f'(x)h für h auch dx einsetzen und erhalten dann

Hieraus ergibt sich

df(x) — f'(x)dx.

/» =

df{x) _ dx

Die Ableitung ist also ein Quotient zweier (zu demselben h gehöriger) Differentiale, ein Differentialquotient. Man sagt deshalb statt „Ableitung von f(x)“ auch „Differentialquotient von f(x)".

Die Berechnung des Differentials oder auch des Differentialquotienten einer Funktion nennt man Differentiation (Differenzieren).

¹

   Wir setzen voraus, daß alle un von Null verschieden sind.

²

   Mit | a | bezeichnet man nach Weierstraß den absoluten Betrag der Zahl a. Es ist also ! a\ a, wenn a > 0, und \a\^= — a, wenn a 0.

§ 20. Differentiation einer Summe, einer Differenz, eines Produktes und eines Guotienten von zwei Funktionen.

Wir nehmen an, daß die Funktionen f(x) und (x) an der Stelle x Ableitungen f (x), g'(x) besitzen.

1. Wenn F(x) = f(x) + 9 (x) ist, so hat man

F(x + h) - F(x) _ f{x + h) - fix) ,gix + fc) — gte)

Die rechte Seite strebt bei nach Null konvergierendem h dem Grenzwert f (x) + g'(x) zu, folglich existiert F'(x), und es ist

oder kurz

F'(x)=f\x)+g\x)

(/"+5,)'⁼⁼f' + 5,'•

Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen.

Der Satz gilt für eine beliebige endliche Anzahl von Summanden.

2. Genau ebenso beweist man, daß

ist-

(/ — ff)'⁼ f— 9

Die Ableitung einer Differenz ist gleich der Differenz der Ableitungen.

F(x)=f(x)-g(x).

3. Jetzt sei

Dann wird

F(x + h)— F(x) fix + h)g(x + h) — fjx)gjx)

g(x + h) — y(x)

■9(?)

■f(co + h)-\

■ f{%) +

A(-v-i-L) —s(-r) _ fjx + h) — fjx) _ h h    h

Im Falle lim ft = 0 konvergiert dieser Ausdruck nach

(/{%) - fix) + f (*) ■ g{x) + 9 (x) - f\x) • 0.

Also existiert F'(x), und man hat

F'(x) = fix)g\x) + g ix) f(x)

(/>)'= f 9 + ff-

Wenn g(x) eine Konstante o ist, so wird f(x) = 0. Die Ableitung einer Konstanten ist gleich Null, weil schon ihr Differenzenquotient gleich Null ist. Im Falle ^(as) = c lautet die obige Formel:

icfy-ef.

Dies kann man ebenso leicht direkt beweisen, indem man bemerkt, daß sich der Differenzenquotient von cf aus dem von f durch Multiplikation mit c ergibt.

Bei einem Produkt von drei Funktionen f, g, 1c hat man

(/>&)'=fgk+fißk )'=f 9* + fg'k+/W-

Um ein Produkt von m Faktoren zu differenzieren, multipliziert man die Ableitung jedes Faktors mit allen andern Faktoren und addiert diese m Produkte.

oder kurz

gjx + fy — gjx)

fix + h) — fix)

•K*)

f(oc)    t

4. Wenn Fix) = ff und <jr(V) an der Stelle M ungleich Null ist, so wird '    9{ >

F(x + h)-F(x) _ l_ (fjx + h) _ m h \gix + h) g{x), fjx -\-h)g{x) — gjx-\- h)fjx)

hg(x)gix + ty

fjx + h)- fjx)

■g(x)

g(x + h) — gjx)

■m

Im Falle lim/z = 0 konvergiert dieser Ausdruck nach

F(ch • g(?>) — g'(x) • f(x)

s(w) {</(*) +3 (*)-o}

Also existiert F' (x), und man hat

oder kurz

n*)

9*(x)

G-

9*

Vorausgesetzt ist hierbei g(x)^0.

Multipliziert man die obigen Formeln für

(f+ff)\ (f 9)', (fff)' und (j)'

mit dx, so nehmen sie folgende Gestalt an:

d(f+g) = df+dg,

d(f-g) = df-dg,

d(fg)-fdg + gdf, d(cf) = cdf,

gdf — fdg

1.

2.

3.

4.

<i)

9¹

Diese vier Differentiationsregeln findet man bereits in Leibniz erster Publikation über Differentialrechnung (1684).

§ 21. Differentiation der rationalen Funktionen.

Wir haben schon oben bemerkt, wie ein Produkt von m Faktoren differenziert wird. Man multipliziert die Ableitung jedes Faktors mit allen andern Faktoren und addiert diese m Produkte.

Sind alle m Faktoren gleich fix), so findet man die Formel

oder (mit dx multipliziert)

d(fm) = mfm~¹df. - Im Falle f=x lautet diese Formel

(m — 1, 2, 3, . . .)

d(xm) — mxm~¹dx.

Wir sind jetzt imstande eine ganze rationale Funktion

-1

X + am

Gr(x) = a₀xm + a₁xm~¹H-----\-am

zu differenzieren. Dazu brauchen wir uns nur zu erinnern, daß das Differential einer Summe mit irgend einer endlichen Anzahl von Summanden gleich der Summe der Differentiale dieser Summanden ist, ferner, daß das Differential einer Konstanten gleich Null ist. Dann finden wir

-2

dG(x) =    + (m — l) a₁ xm

oder, wenn wir die Ableitung haben wollen,

G'(x) = mä₀xm~x + im — 1)0^

H-----\-am

-1

)dx,

-2

n-1

Betrachten wir jetzt die rationale Funktion G-(x): H(x), wobei H(x) = b₀xH + b₁xn~¹ + • —|- 6

sein möge. Nach der Regel 4 des vorigen Paragraphen ist dann, wenn H(x)^0

oder

©■

HG'— GH'

HdG—GdH

G*

dG und dH wissen wir aber zu berechnen. Wir können somit jede rationale Funktion differenzieren.

Beispiele. 1. Die Ableitung von %~m == (m eine positive ganze

Zahl) lautet — mx-(m+1\ wenn ist.

2. Die Ableitung von y

ax-\-b

cx + d

wird:

oder

,_(<?# + d) (ax + b)' — (ax + b) (cx + d)' tJ~    (ca: + d)²

, (cx d)a— (ax + 6)c

oder endlich

(cx + d)⁸

ad — bc {cx + d)*

Vorausgesetzt ist dabei cx-\-d^O

§ 22. Differentiation der Crpsnentmtfunktron.

Wir wollen jetzt die Ableitung von ax berechnen, wobei a eine positive Konstante ist. Der Differenzenquotient lautet hier

ax + h-ax h

Es kommt also darauf an zu zeigen, daß

ah-1

= ax-

ah — 1

bei nach Null konvergierendem h einem Grenzwert zustrebt, und diesen Grenzwert zu bestimmen.

Wir wollen zuerst h in der Weise nach Null konvergieren lassen,

daß es die Folge 1, y, voraussetzen.

Für h =

vH CO

• • • durchläuft, und außerdem a> 1

TH §

wird

ah — 1

------ (aw — l).

Es handelt sich also um die Folge

(*)

-1,    s(a*-l), ...

Wenn wir zur Abkürzung setzen, so toirb¹)

n(«” — l) = n (ftM+1 -1) = n(6 — 1) (1 + ft H-----1- ft“),

dagegen

(n +1) (an +¹ - l) = (n + l) (ft" — l)

= (W+l)(6-l)(l + 6 + .-- + 6”"¹).

Hieraus ergibt sich durch Subtraktion:

n {an — l) — (n +1) (aw+1— l)

= (6 — 1) (nbn —1 — 6-----6W”¹).

1) Vgl. die Formel (*) auf Seite 6.

Offenbar ist nun 6> 1, weil a> 1 angenommen wurde. Daher sind die n Zahlen 1, &,..., l>!' ~¹ kleiner als 6" und ihre Summe kleiner als nbn, die obige Differenz also posiüv. Wir sehen hieraus, daß (*) eine absteigende Folge ist.

Schreiben wir

(a* — l) = n (a — l)    ^

n(a — 1)

n — 1

¹ + a » + a n -|----+ a n

und bemerken, daß die n Summanden im Nenner kleiner als a, also zusammen kleiner als na sind, so ergibt sich

n(an — l)

>^¹

a

Die absteigende Folge (*) ist also ganz in dem Intervall , a — lj enthalten.

Nach § 5 können wir schließen, daß sie einen Grenzwert hat. Wir wollen ihn mit <p(a) bezeichnen, so daß

cp (a) — lim

ist. Der Grenzwert muß offenbar demselben Intervalls angehören, in welchem die Folge liegt?) Wir können also sicher sein, d aß <p(a) > 0 ist.

Wir werden jetzt zeigen, daß (ak — 1) :h auch dann dem Grenzwert cp(a) zustrebt, wenn wir h irgendwie anders durch positive Werte nach Null konvergieren lassen.

Nach § 7 können wir uns aus den Fall beschränken, daß /»absteigend nach Null konvergiert?) p sei die größte ganze Zahl, die sich von 1: h fortnehmen läßt. Dann ist

also

p[pp + 1— l)

Wenn jetzt h absteigend nach Null konvergiert, so durchläuft p eine

1)    Die Grenzen des Intervalls rechnen wir mit dazu.

2)    Sonst ließe sich um ihn eine Umgebung konstruieren, die kein Glied der Folge enthält.

3)    Man erreicht dies durch eine Umrangierung der Werte, die h annimmt.

Teilfolge von 1, 2, 3, . sind?) D. h. es darf sich jeder Wert eine endliche Anzahl von Malen wiederholen. Machte das p bei einem bestimmten Werte p₀ eine unendliche Ruhepause, d. h. bliebe es überhaupt immer bei diesem Werte stehen, so würden fast alle Quotienten l:h kleiner als p₀ + 1 und fast alle h größer als 1: (p₀ + l) sein, was mit lim h = 0 unvereinbar ist.

wobei ihm endliche Ruhepausen gestattet

Was machen nun

und

(«P+¹ 2— i)

Sie durchlaufen Teilfolgen von

0(V— 1),    1 (aY— l), . . . bzw. 2 (a¹— l),    3 (aY — l),..

wobei auch wieder endliche Ruhepausen gestattet sind. Es ist aber

{ 0 - !) (®n - l) I = lim(« («" - l) • (l —    )

lim { (n l) (a n — l) } — lim | n (« ” — l) • ^1 +    |

iim(i_l)₌iim(i ₊ A) ₌ i.

Also können wir (auf Grund der Bemerkungen 1 und 3 in § 4) schließen, daß auch

lim

und

ist, weil

und

lim

{p (a^ ⁺¹— l)} =<p(a) {(p + 1) («^ — l)} = <p(a)

lim

ist. Dann folgt aber weiter (nach Bemerkung 6 m § 4)

ah-l

(t)

lim

= cp(a)

= <p(a)

Konvergiert h durch negative Werte nach Null, so konvergiert —h durch positive Werte nach Null. Schreibt man nun

H'

i'⁶).

also wieder die Relation (f).

Konvergiert h durch positive und negative Werte nach Null, so kann es sein, daß fast alle diese Werte gleiches Zeichen haben. Dann kommt man durch eine endliche Anzahl von Streichungen auf die beiden schon erledigten Fälle und kann auf Grund der Bemerkung 2 in § 4 schließen, daß nach wie vor die Relation (f) gilt. Es kann aber auch sein, daß es unendlichviele positive und unendlichviele negative h gibt. In diesem Falle muß man sich auf die Bemerkungen 4 und 5 in § 4 stützen, um wieder zu der Relation (f) zu gelangen.

cÄ-i

Wir wollen uns jetzt noch von der Annahme a > 1 befreien. Ist a positiv und kleiner als 1, so ist c=l:a größer als 1. Nun schreiben wir

1 -ch

hch

und erhalten dann sofort

qp(c)

lim

so findet man

Km

a j■— = 9>(«): {1 — 9>(«) ' 0} = g>(«)

ah — 1

1 + 9 (c)' 0

Hieraus ersehen wir, daß g>(a), der Grenzwert von (ah — l): h bei nach Null konvergierendem h, auch im Falle 0 < a < 1 existiert. Im Falle a = 1 ist {ah — 1) :/r beständig gleich Null, also auch der Grenzwert gleich Null. Daher ist g>(l) = 0 zu setzen.

Hiermit ist cp(a) für alle positiven Werte von a definiert, und wir wissen, daß <p(a) positiv oder negativ ist, je nachdem a> 1 oder a < 1, und daß es nur für a = l verschwindet.

Um nun cp(a) zu bestimmen, bemerken wir, daß im Falle 6^0

9(¹0d) = lim ^0 ).~1 = Um |¹⁰    - • 6J = g>(l0) • d

ist. wenn lim^ = 0. Auch im Falle ö = 0 gilt die Gleichung 9,(10^ = V(10).<?, weil sich dann beide Seiten auf Null reduzieren.

Wir wissen, daß jede positive Zahl a sich in der Form 10^ darstellen läßt und ö der Logarithmus von a ist, also ö = Log a. Setzen wir also 10^ — a, so verwandelt sich ( ^ ) in

(* *)

cp{a) = gp(lO) • Log a.

<p(a) unterscheidet sich also von Loga um den konstanten positiven Faktor cp( 10).

Wenn wir statt 10 die Basis

lo ga

a = e'oga = 10»(ll))

benutzen und mit log a den Logarithmus von a zur Basis e bezeichnen, so ist

also

Loga.

log a

qp(10) “

Die Formel (**) können wir jetzt in folgender Form schreiben:

cp(a) = loga.

(p(a) ist also der Logarithmus von a zur Basis e. Man nennt diese Logarithmen natürliche Logarithmen. Eine bequeme Methode zur Berechnung ihrer Basis e werden wir später kennen lernen.

Nun wollen wir zur Differentiation der Funktion ax zurückkehren. Der Differenzenquotient lautete

ax-

ah — 1 h *

Konvergiert h nach Null, so strebt er dem Grenzwert zu

ax cp(a) = a*log a.

ax hat also die Ableitung

und das Differential

(ax)'= axlog a

dax ----- ax log a • dx.

Setzen wir a = e, so wird log a = 1, weil nämlich e¹ = e ist. e? hat also die Ableitung

(exy = exf

d. h. die Ableitung ist hier gleich der Funktion.

§ 23. Differentiation der trigonometrischen Funktronen. Wir beginnen mit der Funktion sin x. Der Differenzenquotient lautet

sin h .    1 — cos Ji

cos x —y---sin x ₇

h    h

sin (x + h) — sin x

Hierbei haben wir benutzt, daß

ist-

sin (x h ) = sin x cos h + cos x sin h

Zunächst müssen wir zusehen, was ~— macht, wenn h nach Null konvergiert. Da

sin (— h)    — sin h sin h

— h

ist, so genügt es h durch positive Werte nach Null konvergieren zu lassen, und wir können überdies annehmen, daß /»absteigend nach

Null konvergiert. Wenn h hierbei die Folge y i y > f <''' durch-

8111 h beständig zunimmt und dem

läust, so läßt sich leicht zeigen, daß Grenzwert 1 zustrebt.

Der Leser wird leicht bestätigen, daß das einbeschriebene reguläre

-r-Eck des Einheitskreises die Seite 2 sin, also den Umfang 2 n sin ” hat.

Wenn n die Folge 1, 2, 3, ... durchläuft, konvergiert der Umfang des -r-Ecks zunehmend nach dem Umfang des Einheitskreises, d. h. nach 27t. Also konvergiert der durch 2« dividierte Umfang des ---Ecks, d. h.

sin

71

zunehmend nach 1.

Auf diesen Spezialfall läßt sich nun der allgemeine reduzieren, und zwar nach der m § 22 angewandten Methode, p sei die größte ganze Zahl, die sich von fortnehmen läßt. Dann ist

p<2<p+i,

1) Wir dürfen annehmen, daß p > 0 ist.

also*)

und

— sin

Ti

Wenn h jetzt absteigend nach Null konvergiert, so durchlaufen die einschließenden Größen Teilfolgen von

0    . 7t    1    . 7t

7t SmT' ~n Sm T '

t    2    . 7t

. . . bzw. — sm — .

° 7t    1 '

3    . 7t

— sin y , . .

eventuell mit endlichen Ruhepausen (vgl. S. 38). Da nun

lim (-    ¹ sin —) = lim

X 7t    n)

(--Ä

sin

und

lim (»1+3 sin = \ 7t    n J

. n sm —

lim

ist, so kann man nach § 4 schließen, daß auch

"t¹ sin —

P

beide dem Grenzwert 1 zustreben. Dasselbe gilt dann von der eingeschlossenen Größe nach Null konvergiert,

P . 7t

— sm-r—

7t p -f- 1

sin h

und

7t

. Es ist also, wenn hQ? 0) irgendwie

lim(sl7r) = 1-

In dem Differenzenquotienten von sin x kam noch ein anderer Ausdruck vor, dessen Verhalten bei nach Null konvergierendem h wir untersuchen müssen, nämlich

1 — cos h

Nun ist aber

li

cos h ----- cos² y — sin2 Daher können wir schreiben:

1 — cos h

, also 1 — cosÄ = 2sin²*

/ . h' hl 2

|<M

Da 4" gleichzeiüg mit h nach Null konvergiert, ist

. h sin—-

lim

Also können wir schließen:

lim (-

— cos h

)=0-l = 0.

Kehren wir zu dem Differenzenquotienten von sin x zurück, so ergibt sich sofort, daß er dem Grenzwert

cos # • lim

/sin h\ .    /I — cos h\

( h ) — 8m * 'llm (' l )

— COS X

zustrebt, sin# hat also die Ableitung

(sin x)' = cos x d sin# = cos xdx.

und das Differential

Bei der Funktion cos x kommt man in ganz ähnlicher Weise zum

cos (# + h) = cos x cos h — sin x sin h, cos (# -|-h) — cos x

Ziele. Es ist

also

sinic

sin Isi

1 — cos h

--------COS X -

Konvergiert h nach Null, so strebt dieser Differenzenquotient dem Grenzwert — sin# zu. Daher hat cos# die Ableitung (cos #)' = — sin #

und das Differential

d cos # = — sin # d x.

Die Differentiation von

tg# =

sin x cos x '

cot# -----

cos x sin#

erledigt sich mittelst der Regel 4 in § 20. Danach ist nämlich

cos x (sin #)' — sin # (cos x)'

/sin #y __ \cos #/

cos² x -f- sin² # cos²#

(cos #)²

1 + tg² #

cos² X

tg# hat also die Ableitung

und das Differential

d tg # = (l + tg² #) d x

dx

Ebenso ergibt sich aus

cos² #

/cos #y \ sin #/

sin # (cos #)' — cos # (sin #)'

sin² # -f- cos² #

(sin #)²

sin² #

1 — cot²# ----- —    ¹

sin² #

daß cot# die Ableitung

sin² x

sin² x

und das Differential

d cot x = — (1 -f cot² x) d x ==

§ 24. Umkehrung einer stetigen Funktion.

Wir wollen in dem Intervall (a, b) eine Funktion f(x) betrachten, die die Eigenschaft f{a) ^f(ö) hat. Die Funktionswerte an den Grenzen des Intervalles sollen also verschieden sein, und zwar möge f{a) <f(P) sein?)

Nehmen wir eine Zahl 0, die zwischen f(a) und f(b) liegt, so kann es sein, daß C kein Funktionswert ist, daß es also in (a, b) keine Stelle x gibt, wo f{x) = C ist. Nun wollen wir ein Intervall («, ß), welches die Eigenschaft besitzt, ein ausgezeichnetes Intervall nennen. Nimmt man die Mitte y eines solchen Intervalles, so hat man entweder f(y)>C oder /'(y) < C, weil eben f (y) = C ausgeschlossen ist. Im ersten Falle ist (a, y) ausgezeichnet und (y, ß) nicht, im zweiten Falle (y, ß) und (ce.),) nicht. Ein ausgezeichnetes Teilintervall enthält also eine und nur eine ausgezeichnete Hälfte.

<* v ß b

Fig. ll.

Wäre also f(x) an der Stelle x stetig, so müßte

lim/*K) und Hm f(bn) =f (i)

Da (a, b) selbst ein ausgezeichnetes Intervall ist, so gibt es darin eine ausgezeichnete Hälfte (%, b-ß), in (av b,) wieder eine ausgezeich-^ nete Hälfte (a₂, b₂) usw. Wir wissen von früher (vgl. S. 23), daß ein und nur ein Punkt x existiert, der in allen diesen — Intervallen («„, bj enthalten ist. An dieser Stelle x muß nun die Funktion f{x) unstetig sein. Die Stetigkeit besteht, wie wir wissen (vgl. S. 30), darin, daß f(jc + h) — /'($) gleichzeitig mit h nach Null konvergiert, d h.daßaus lim x = l so lg t lim / (x) = /'($).

sein, weil

lim an == x und lim bn = x

1) Sollte f («)>/(&) sein, so brauchen wir nur statt f(x) die Funktion — fix) zu betrachten.

Umkehrung einer stetigen Funktion

45

ist. Alle f(an) sind aber kleiner als C, folglich f($)<^G, aütf(bn) größer als G, folglich f(i) C. Es könnte also nur f(jc) = G sein. Das geht aber nicht, weil C laut Annahme kein Funktionswert sein soll.

Wir können unser Resultat so aussprechen: Wenn die Funktion fix) in dem Intervall (a, b) einen Zwischenwert ausläßt, so ist sie irgendwo unstetig.

Nimmt sie z. B. in (xlt x₂) einen Wert K nicht an, der zwischen den Werten f(xf) und f(x₂) liegt, so gibt es in dem Intervall {xx, x₂) eine Unstetigkeitsstelle. ^ Was wir nämlich für {a, b) bewiesen haben, können wir auf (xlt x₂) anwenden.

Der obige Satz läßt sich keineswegs umkehren. Eine Funktion, die keinen Zwischenwert ausläßt, kann trotzdem irgendwo unstetig sein. Man kann das durch Beispiele beweisen, worauf wir aber hier nicht eingehen. Wir wollen nur noch eine andere Fassung des obigen Satzes angeben:

Wenn die Funktion fix) in dem Intervall {a, b) überall stetig ist, auch an den Grenzen a und b, so nimmt sie jeden Zwischenwert an.

Jetzt können wir die Frage nach der Umkehrung einer stetigen Funktion behandeln.

y — fix) sei in dem Intervall (a, b), einschließlich der Grenzen a und b, stetig. Wir wollen versuchen diese Funktion umzukehren, d. h. x als Funktion von y zu betrachten. Soll dies möglich sein, so darf die Funktion keinen Wert mehr als einmal annehmen; sonst würden nämlich zu manchem Wert von y mehrere Werte von x gehören, was unserem Funktionsbegriff widerspräche (wonach jedem Wert der unabhängigen nur ein Wert der abhängigen Veränderlichen zugeordnet sein soll).

Wenn also c und cx zwei verschiedeneWerte aus (a,b) sind, so ist immer f(c) ^ f(c±). Wir wollen jetzt irgend drei Werte xlf x2f x₃ aus (a, b) herausgreifen, die in der Beziehung x±<x₂ <x₃ stehen, so daß x₂ zwischen xt und x₃ liegt. Es läßt sich zeigen, daß dann auch f(x₂) $tvi^d)en f(xt) unb f(x₃) liegt. Würde nämlich der Wertf(^) außerhalb des Intervalls (/*(#i), f(%₃)) liegen, so gäbe es einen Wert G, der sowohl zwischen f(x₁) und f{x₂) als auch zwischen f{x₂) und f(x₃) liegt. Da die Funktion f(x) stetig ist, so müßte sie diesen Wert G an einer Stelle c zwischen xt und x₂ und auch an einer Stelle cx zwischen x₂ und x₃ annehmen. Es wäre also f(c) = f(cf) und c < cv

l) Diese kann auch mit xx oder zusammenfallen.

Aus dem Obigen geht hervor, daß f(x), wenn x von a bis b zunimmt, entweder beständig wächst oder beständig abnimmt?)

Um einen bestimmten Fall zu haben, wollen wir uns denken, daß f(x) bei zunehmendem x beständig wächst^). Wir können uns leicht überzeugen, daß eine solche Funktion sich umkehren läßt. A = f(a) ist der kleinste und B = f(b) der größte Wert von f(x) und jede Zahl <7 zwischen A und B ist ebenfalls ein Funktionswert. Die Werte von f(x) füllen also das ganze Intervall (A, B) aus. Da jeder Wert von der Funktion nur einmal angenommen wird, so entspricht jedem y in (A, B) ein und nur ein x in {a, b) derart, daß y = f(x) ist. x ist also in dem Intervall (A, B) eine Funktion von y:

x = (p(y).

Diese Funktion nennt man die Umkehrung (die inverse Funktion) von y = f(x)³). Bei zunehmendem y wächst offenbar cp (y) beständig.

y(y) ist ferner in dem Intervall (A, B) stetig.

Offenbar hat cp(y) die Eigenschaft, alle Zwischenwerte anzunehmen. Diese Eigenschaft ist aber bei einer monotonen Funktion mit der Stetigkeit gleichbedeutend, d. h. eine monotone Funktion, die keinen Zwischenwert ausläßt, ist stetig. Es genügt, wenn wir das bei <p(y) zeigen.

Lassen wir z. B. y aufsteigend nach y konvergieren, so durchläuft y(y) eine aufsteigende Folge, deren Glieder kleiner als <p(t)) sind. Wäre nun \imy(y) kleiner als <p(t)), so könnte die Funktion einen Wert c, der zwischen beiden liegt, nicht annehmen. Es ist also sicher lim<p(?/) = g)(t)), und dies gilt auch, wenn y absteigend nach y konvergiert. Aus § 7 läßt sich entnehmen, daß dieselbe Relation besteht, wenn wir y irgendwie nach y konvergieren lassen.

Wir können unser Resultat so formulieren: Eine stets wachsende^) oder stets abnehmende stetige Funktion, läßt sich umkehren, und die Umkehrung ist von derselben Beschaffenheit.

Fig. 12 soll dazu dienen, die Beziehung zwischen den beiden Funktionen y = f(x) und x=cp(y) zu veranschaulichen. Es ist OX = x

1)    Man nennt solche Funktionen monoton, gebraucht aber diese Bezeichnung manchmal auch, wenn man nur sagen kann, daß f(x) bei wachsendem M nie abnimmt oder nie zunimmt.

2)    Wenn fix) mit zunehmendem x abnimmt, so betrachten wir — f(x).

3)    Ebenso ist y = f(x) die Umkehrung von x = cp {y).

4)    D. h. wachsend beim Zunehmen der unabhängigen Veränderlichen.

und OY=y. Wenn der Punkt X sich auf der «--Achse in positiver Richtung von X₀ nach Xx bewegt (OX₀ = a, OX₁ = b)l so bewegt sich der Punkt Y auf der A-Achse in positiver y Richtung von F₀ nach Yt (OY^A, ÖY[=b) und umgekehrt. Geometrisch kommt die Umkehrung einer Funktion auf eine Ver tauschung der beiden Koordinatenachsen i hinaus.

§ 25. Beispiele.

1.    y = ec hat die Umkehrung x = log#.

2.    y = sin# ist stetig und nimmt beständig

Fig. 12.

zu (von — 1 bis 1), wenn x von — ^ bis ^

wächst, y = sin x läßt sich also in dem Intervall (—j, Ä umkehren. Offenbar lautet die Umkehrung x = arc sin y.

In demselben Intervall hat y = tgx die Umkehrung x = arc tg y. Die inverse Funktion zu y = cos# (0 <^#<Ltt) ist x = arccos?/. y = cot# (0 <C_# <7t) hat die inverse Funktion #= arc coty.

Die zyklometrischen Funktionen sind also die inversen der trigonometrischen.

3.    y = xm läßt sich, wenn m eine der Zahlen 1, 3, 5, ... in jedem Intervall (a, b) umkehren. Die Umkehrung lautet Yy.

Ist m eine der Zahlen 2, 4, 6, . . . , so läßt sich y = xm nicht in jedem Intervall umkehren, wohl aber in jedem Intervall, welches die Null nicht umschließt. Die Umkehrung lautet # = + ?/m oder

x = — ym, je nachdem es sich um ein positives oder negatives Intervall handelt.

¹

Nur endlichviele /r-Wette sind größer als 1. Streichen wir sie, so ist

²

immer p>0.

§ 26. Differentiation der inversen Funktionen.

ai₌₁.

A x

x = (p(y) und ?/ = /*(#) seien im Sinne des § 24 zueinander invers?) Wir wollen ferner annehmen, daß cp (y) existiert und nicht verschwindet. Erteilen wir x das Inkrement A#, so erfährt y das Inkrement A y, und es ist

l) Die Funktionen sind also stetig und stets zunehmend oder stets abnehmend.

Hierbei ist wieder #² < 1 vorauszusetzen, und die Wurzel ist positiv, weil nach der Definition (vgl. § 16) y zwischen 0 und n liegt, also einen positiven Sinus hat.

y = arc tg# ist die Umkehrung von x == tgy. Also ist (vgl. § 23) (arctg*)'-^^,

d. h. arctgx fyat die Ableitung

(arctga;)'- —

und das Differential

d arc tg# -----

dx

1 +#²⁻

y = arc cot# ist die Umkehrung von x ----- coty. Also ist (vgl. § 23)

(arc cot#)' -----

d. h. arc cot# hat die Ableitung

(arc cot#)' ----- —

— 1 — cot ²y'

und das Differential

1 +#²

d arc cot# — —

dx

1+#²*

§27. Differentiation der rnsammengesehten Funktionen.

F(u) sei eine Funktion von u, die für a ^ u<^ ß definiert ist; fix) eine Funktion von x, die für a^x^b definiert ist; außerdem sei fix) so beschaffen, daß in dem Intervall (a, b)

a f(x) ^ ß

ist. Setzen wir dann

y = F(u),

so gehört zu jedem Wert # in (a, i) ein Wert von u in (a,ß) und zu diesem ein Wert von y. Es entspricht also durch Vermittelung von u jedem Wert von # ein Wert von y, so daß y eine Funktion von x ist. Wie y von # abhängt, drückt die Formel aus. Man nennt F(f(x)) eine zusammengesetzte Funktion.

Wir wollen nun annehmen, daß die Ableitungen /*'(#) und F'(u) existieren und zusehen, ob dann auch F(f(x)) eine Ableitung hat.

Erteilen wir dem # das Inkrement A#, so erfährt u ein Inkrement Au und y ein Inkrement Ay.

Es handelt sich für uns um den Differenzenquotienten Ay:Ax bzw. um sein Verhalten bei nach Null konvergierendem Ax.

Ax durchlaufe die Nullfolge hlf 7?₂, hdf ... mit lauter nicht verschwindenden Gliedern. Dann wird Au ebenfalls eine Nullfolge klf k2f kg, ... durchlaufen (vgl. S. 30). Es ist aber nicht gesagt, daß auch alle kn von Null verschieden sind.

Wenn fast alle kn von Null verschieden sind, so können wir durch eine endliche Anzahl von Streichungen den Fall A n ^0 herbeiführen. Dann dürfen wir aber schreiben

und es ergibt sich

Aj/ ₌ & y m Am Am A x '

lim

Sind fast alle kn gleich Null, so können wir durch eine endliche Anzahl von Streichungen den Fall Am = 0 herstellen. Dann ist aber auch Ay = AF(u) = 0. Man hat also

M„o Ay-o

x ' A x

< <3

und daher

iim /■'(»=°-

so daß auch jetzt die Gleichung (*) gilt. Sind unendlich viele kn von Null verschieden und unendlich viele kn gleich Null, so können wir uns auf die Bemerkungen 4 und 5 in § 4 stützen und erhalten wieder die Gleichung (*). Sie sagt uns, daß die Ableitung von

y = F(f(x))

lim x'- = 0, A x '

existiert und folgenden Wert hat:

Das Differential entsteht aus der Ableitung durch Multtplikation mit dx. Es ist also

dy — F'(u)f'(x)dx du — s(x)dx dy — F'{u)du.

DasDifferential von y = F{u) würde genau so aussehen, wenn u selbst die unabhängige Veränderliche wäre. Das ist

oder, da

ist,

einer der Vorteile, den das Differential im Vergleich zur Ableitung bietet.

Wir wollen dieses Resultat anwenden, um die Differentiationsregel der inversen Funktionen noch einmal abzuleiten (vgl. § 26). y ----- f(x) sei zu x== cp(y) invers. Existiert die Ableitung y(y) und ist sie von Null verschieden, so existiert, wie wir gesehen haben, auch s (x). Weiß man dies einmal, so kann man bei der Berechnung von f'(x) so verfahren. Das Differential von x = y(y) lautet

dx = y\y)dy,

ob nun y oder x die unabhängige Variable ist. Betrachten wir x als die unabhängige Variable, so ergibt sich

W)'

1. y =

§ 28. Geispiele.

dy = e^df(x) = cMf(x)dx.

2. xu (a; > 0 und y eine beliebige Zahl) läßt sich so schreiben:

Nach Nr. 1 ist also

oder

3. y = log fix).

d(x") = ej‘ logxd(y log x) = sie¹'Xogx ~ d(xfl') — fix" ~ ldx.

dy =

Z. B. ist')

dfix) f{x) f(x) f(x)

dx.

d log sin x = Q,otx dx, d log cos x = — tgx dx,

d log tg x -----

dx

2 dx

sin x cos x sin 2 x’

d log cot x — —

2 dx

sin x cos x

sin 2 x

4. y = log(a: + yi +a;²).

dy =

d{x |/l —(- rc²) dx -f- d\/1 -f x-rc y¹ + x* x +    1 x¹

1) Man muß f(x) > 0 voraussetzen.

*o

Nach Nr. 2 ist

d yr+x² = d (1 +    = y (1 + x²yi d(l + x²)

xdx

Man findet schließlich

j/l + «s

dy =

dx

§ 29. Der Mittelwertsatz.

straß.)

Wir beweisen zuerst einen Hilfssatz, der folgendermaßen lautet: Wenn s(w)indem Intervalls«, 6), einschließlich der Grenzen, stetig ist, so gibt es in («, b) einen Funktionswert /"(§), der von keinem andern übertroffen, ebenso einen Funktionswert f(g), der von keinem andern untertroffen wird. sWeier-

Der Anfänger sagt gewöhnlich, daß dies selbstverständlich ist. Es muß eben unter den Werten, die f(x) in dem Intervall (a, b) an* nimmt, einen größten und einen kleinsten geben. Er möge aber bedenken, daß es sich hier um den größten und kleinsten Wert unter unendlich vielen handelt. Da ist die Existenz eines größten und kleinsten Wertes keineswegs so selbstverständlich. Z. B. gibt es unter den Werten

CO |xt

weder einen größten noch einen kleinsten. Der obige Satz bedarf also tatsächlich des Beweises. Es genügt aber die Existenz von f(i=) festzustellen. — /*(§)'ist nämlich für — f(x) ein größter Wert.

a in (a, c) und (c, b)

zerlegt, so ist wenigstens eins der beiden Teilintervalle ein ausgezeichnetes. Sonst ließen sich nämlich in (a, b) xt und x₂ so wählen, daß

Ein in (a, b) enthaltenes Intervall (a, ß) wollen wir ein ausgezeichnetes Teilintervall von (a, b) nennen, wenn es in (a, b) keinen Funktionswert gibt, der die sämtlichen Funktionswerte in (a, ß) übertrifft.

Wenn man (a, b) mittelst des Wertes c

f{x)<f{xl), fix) < fix,)

für a^x^c für c^x^b

wäre. Einer der beiden Werte /'(«,), fix,) wäre alsdann größer als alle Funktionswerte in («, b), was offenbar ein Widerspruch ist. Es gibt also in (a, b) sicher eine ausgezeichnete Hälfte (alf ebenso in (alf bt) eine ausgezeichnete Hälfte (a₂, b₂) usw. Ist £ der gemeinsame Grenzwert von an und bnt so läßt sich zeigen, daß /*(£) von keinem Funktionswert in {a, b) übertroffen wird. Wäre z. B. f(So)>ftiX so gäbe es

in (au \) eine Stelle |₁₍ so daß in (a2/ bz) eine Stelle £₂, so daß f(£₂)    f(£i).

in (a₃, bz) eine Stelle §₃, so daß f('Q > /■(£,) ist, usw. Ta lim £„ = § ist, so hat man wegen der Stetigkeit

lim

Andererseits ist aber lim /*(SM)    f(%₀) > /*(£).

Jetzt kommen wir zu einem grundlegenden Satze, den man als das Theorem von Rolle bezeichnet.

/'(#) sei weder bei a noch bei b unstetig und habe zwischen a und b überall eine Ableitung. Ist dann f(a) = f(b) = 0, so gibt es zwischen a und b eine Stelle, wo die Ableitung verschwindet.

Zwischen den beiden Nullstellen der Funktion liegt also sicher eine Nullstelle der Ableitung.

Da aus der Existenz der Ableitung die Stetigkeit folgt (vgl. S. 30), so ist s(x) auch zwischen a und b überall stetig und erfüllt also die Voraussetzung unseres Hilfssatzes. Es gibt daher einen größten Wert /*(§) und einen kleinsten Wert /*(§).

Sind § und £ mit a oder b identisch, so bedeutet dies, daß sowohl der größte als auch der kleinste Funktionswert gleich Null ist. Dann ist aber die Funktion f(x) in dem ganzen Intervall (a, b) gleich Null und hat an jeder Stelle x zwischen a und b die Ableitung Null.

Liegt dieser triviale Fall nicht vor, so befindet sich wenigstens eine der beiden Stellen £, £ zwischen a und b. Ist nun z. B. a < £ < b, so ist von den beiden Differenzenquotienten

m-h) -f®

0>o)

/X£ + 70-AS) r h ' ⁰

der erste nicht positiv, der zweite nicht negativ. Da nämlich /*(£) von keinem Funktionswert übertroffen wird, so hat man

/xwwcd^o,    o,

und der Nenner ist bei u positiv, bei v negativ.

Lassen wir nun Ax nach Null konvergieren, so konvergiert auch A y nach Null und dabei wird

lim

also

< !<

1 = 1 Win)-

Hieraus ersieht man, daß /*'(#) existiert und den Wert 1 :<?'(#)

lim

# = log# ist¹) die Umkehrung vor x = ey. Also ist (vgl. § 22)

(log*)' = *7'

ey

d. h. logx hat die Ableitung

und das Differential

(log*) = -

dx

dlogx= —.

y ----- arc sin# ist die Umkehrung tiott x = siny. Also ist (vgl. § 23)

(arc sin x)' = — x    y cosy

d. h. arc sin# hat die Ableitung (arc sin#)' =

und das Differential

y l — x*

d arc sin# ------

dx

]/!-#* '

Hierbei darf # nicht gleich 1 oder — 1 sein, und die Wurzel ist positiv zu nehmen, weil nach der Definition (vgl. § 16) y zwischen

— ~ und ^ liegt, also einen positiven Kosinus hat.

y ----- arc cos# ist die Umkehrung von # ----- cos#. Also ist (vgl. § 23)

(arc cos#)' =—-. , x    y — sin y

d. h. arccos# hat die Ableitung (arc cos #)' ----- —

und das Differential

y i — #²

d arc cos #

dx

y l—x

Zweites Kapitel: Differentialrechnung Läßt man nun h durch positive Werte nach Null konvergieren, so

wird

lim u — /"'(£) und lim v — /*'(§).

Wegen u<LO muß dann f'(£)<L 0 und wegen v^>0 muß s(£)^> 0 sein. Also folgt /*'(£) = 0.

Ebenso zeigt man im Falle a<e,<bt daß /*'(£) = 0 sein muß. Immer gibt es also zwischen a und b eine Stelle, wo f(x) verschwindet.

Anwendung. Die kubische Gleichung

f(x) = a₀x$ + axx² + a₂x + as = 0

kann nur dann drei verschiedene reelle Wurzeln haben, wenn die quadratische Gleichung

fix) = 3 a₀x² + 2 ax x + a₂ = 0

zwei verschiedene reelle Wurzeln hat. Sind nämlich xlf x₂, x₃ die drei Nullstellen von f(x) und ist x₁ <^₂ <x₃, so gibt es nach dem Theorem von Rolle zwischen xt und x₂ eine Nullstelle xt' und zwischen x₂ und x₃ eine Nullstelle x₂ von f'(x). Nun weiß man, daß xt', x₂ reell sind, wenn

a² — 3 a₀ a₂ > 0

ist. Nur unter dieser Bedingung kann also die kubische Gleichung drei verschiedene reelle Wurzeln haben.

Wir wollen jetzt die Voraussetzung f{a) --- f(b) = 0 fallen lassen, die übrigen Voraussetzungen des Rolleschen Theorems aber festhalten.

In Fig. 13 ist die Bildkurve von f(x) zu sehen. Die Gerade AB m Fig. 13 ist die Bildkurve der Funktion

Ai

7/

Fig. 13.

Die Bildkurve muß eine Gerade sein, weil <p(x) offenbar die Form mx-j-p fyat¹) (m und p Konstanten). Daß die Gerade durch die Punkte A und B hindurchgeht, erkennt man sofort, wenn man x = a bzw. x = b setzt. Dann ergibt sich nämlich

v (a) = f(a\ rpQ>) = /(⁶)-

1) Vgl. Seite 26.

Mittelwertsatz

Betrachten wir nun die Funktion *)

F{x) = f{x) — cp(x) so erfüllt sie alle Bedingungen des Rolleschen Satzes.

Die Differenz von zwei stetigen Funktionen ist, wie unmittelbar aus der Definition der Stetigkeit hervorgeht, stetig² 3). Ferner i)atF(x) zwischen a und b überall eine Ableitung, weil f{x) und y(x) eine solche haben. Endlich ist F{a) ----- F(b) = 0.

Nach dem Rolleschen Satze gibt es zwischen a und b eine Stelle §, wo die Ableitung von F(x) verschwindet, wo also

ist-

?'(£)=roD

Berechnet man nun    so findet man

m-m

b — a

Es gilt also folgender Satz (der sogenannte Mittelwertsatz):

Wenn f{x) weder bei a noch bei b unstetig ist und zwischen a und b überall eine Ableitung hat, so gibt es zwischen a und b eine Stelle £ derart, daß

m-m

ist.

=n§)

In Fig, 13 hat die Sehne AB die Richtungskonstante

m-m.

b — a

Andererseits ist /*'(!) die Richtungskonstante der Kurventangente im Punkte P mit der Abszisse g. Der Mittelwertsatz besagt, daß diese Tangente parallel zur Sehne ist.

Setzt man a = x und b = x-\-h oder b = x und a = x-\-hf so wird sich §, da es zwischen x und x-\-h liegt, in der Form £ = x + &h schreiben lassen, wobei 0<^< 1 ist. Die Formel des Mittelwertsatzes lautet dann

(0 < ^ < l).

Falls man a = x und b = x + h gesetzt hat, ist h positiv; falls man b = x und a = x + h gesetzt hat, ist h negativ. Die Formel gilt, sobald f{x) bei x und bei x-\-h stetig ist und zwischen x und

s (* + **).

f(x + h)-f(x)

x + h überall eine Ableitung hat. Sie lehrt, daß der Differenzenquotient

Isi

zu den Werten gehört, die die

Ableitung f\x) zwischen x und x + h annimmt.

Aus dem Mittelwertsatz ergibt sich, daß eine Funktion, die in einem Intervall überall die Ableitung Null hat, daselbst eine Konstante ist.

Sind nämlich x und x + h irgend zwei Werte in jenem Intervall, so hat man nach jenem Satze:

f{x + h) — f(x) = hf'(x + &h) --- 0, also f{x + h) = f(x). Dieses Resultat ist für die Integralrechnung von Wichtigkeit.

Zum Schluß wollen wir noch eine andere Schreibweise des Mittelwertsatzes angeben. Bezeichnet man f(x + h) — f(x) und hs (x) in der üblichen Weise mit Ay bzw. dy, so besagt der Mittelwertsatz, daß

Ay = (dy)x + #h

ist. Dabei hat man rechts, nach Bildung des Differentials, x durch x + &h zu ersetzen.

§ 30. Steigen und Fallen einer Funktion. f{x) erfülle in (a, b) alle Voraussetzungen des Mittelwertsatzes. Weiß man überdies, daß die Ableitung für a<x<b stets positiv ist, so kann man schließen, daß f{x) bei wachsendem x zunimmt oder steigt. Weiß man, daß die Ableitung \ixxa<x<ib stets negativ ist, so kann man schließen, daß fix) bei wachsendem x abnimmt oder fällt. Ist nämlich a<^i<#₂<^, so hat man nach dem Mittelwertsatz

fOä) - /"OO = Os - xi)f (0-

hat also das Zeichen von /'(§).

Der gewöhnliche Fall ist der, daß fix) nicht nur zwischen a und b, sondern auch an den Grenzen von a und b eine Ableitung hat*), und daß die Ableitung zwischen a und b ein bestimmtes Vorzeichen bewahrt. Der Sachverhalt ist dann also folgender:

Für a<^x<^b existiert fix), positiv negativ.

<X < 5 o₂)

„ a<x<b

ist fix) }

steigt

| f{x) bei zunehmendem x.

Für

1)    Daraus folgt die Stetigkeit an den Grenzen von (a, b). Vgl. S. 30.

2)    Dielen Zusatz „bei zunehmendem x“ läßt man gewöhnlich fort.

fällt

Wir wollen jetzt einige Aufgaben behandeln, wo es sich um das Steigen oder Fallen von Funktionen handelt.

1. Wir betrachten alle Rechtecke mit dem Umfang 4 a und fragen, welches unter ihnen den größten Inhalt hat.

Nennen wir die eine Rechteckfeite x, so muß die andere 2a — x sein, damit der Umfang gleich 4a wird. Der Inhalt des Rechtecks ist

x(2a— x) = 2ax — x² = f(x).

2a— x

Nun finden wir durch Differentiation

s(x) = 2a — 2x    _

Fig. 14.

und können folgendes konstatieren:

x<a, f (x) > 0 j f(x) steigt für x<La, x > a, s(x) < 0 f(x) fällt für x a.

Daraus geht hervor, daß f(a) der größte Wert von f(x) ist. Im Falle x = a ist aber das Rechteck ein Quadrat. Das Quadrat hat also unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang den größten Inhalt.

Fig. 15.

2. Von einem quadratischen Blech mit der Seite a werden an den Ecken vier gleiche Quadrate fortgeschnitten. Die überragenden Rechtecke werden heraufgebogen, so daß eine Schachtel entsteht. Wie muß man es einrichten, damit die Schachtel einen möglichst großen Inhalt bekommt?

Die Basis der Schachtel (das innere Quadrat in Fig. 15) ist (a — 2x)², die Höhe der Schachtel offenbar x, also

der Inhalt

Differenziert man so ergibt sich

(a — 2 x)² x = f(x).

f(x) ----- a²x — 4ax² + 4#³, f (x) = a²— 8 ax-\-12 x².

Es ist also

f'{x)_ ₂    2 ax a²

12 X 3    •" 12

/ a \² a² / a a\( a , a\

— \*— »7 — 36 — rTI“ t)!*⁻T"*"T/

=4-DU)-

Wir können nun folgendes konstatieren:

#<y,    f(x) steigt für x<> “

<x<    , f\x) < 0 f(x) fällt für |^#<[y-

Da x nach der Natur der Aufgabe auf das Intervall (o, yj beschränkt ist, genügt dies schon. Wir sehen, daß der größte Wert

von f{x) ist. Die an den Ecken herausgeschnittenen Quadrate müssen also den sechsten Teil der Seite des ganzen Quadrates als Seite haben.

2 a =    • Die Schachtel

Die Basis der Schachtel hat dann die Seite a ist also viermal so breit als hoch.

3. Wir betrachten alle Kegel mit der Seitenlinie a. Welcher von ihnen hat den größten Inhalt?

Lassen wir Fig 16 um die Achse DC rotieren, so entsteht ein Kegel, wie wir ihn betrachten. Nennen wir den Winkel, den die Erzeugenden mit der Kegelachse bilden, x, so ist der Grundradius a sin x, die Höhe des Kegels a cos x, also der Inhalt

n a* . ₉    Tr d⁸ -z x

2 snr# cosx = --f(x).

Nun finden wir (vgl. § 20 und 23) f (#) — 2 sin x cos x • cos x — sin²# • sin x = sin x cos² x (2 — tg² x)

B und können daher, wenn wir arctg]/2 = a

Fig. 16.

setzen, folgendes konstatieren:

0 < x < a, /*'(#) >0 | f(x) steigt für 0 < x a,

a<x<y, f\x) <0 ! f(x) fällt für a<^x<: | .

Da x

auf das Intervall (o, ^) beschränkt ist, genügt dies. Wir

sehen, daß f(a) der größte Wert von f(x) ist. Der Kegel hat also den größten Inhalt, wenn die Erzeugenden mit der Achse den Winkel a einschließen, dessen Tangens gleich ]/2 ist. Der Winkel cc ist ungefähr *) 54° 44' 8". Die Öffnung des Maximalkegels beträgt somit etwa 109° 28' 16".

>x

4. Eine berühmte Aufgabe ist die von der Bienenzelle. Der Leser schneide die Figur 15 aus Papier aus. Sie wird längs der stark gezeichneten Linien geknickt und daraus ein sechsseitiges Gesüßt) zurechtgebogen, dessen Basis ein reguläres Sechseck ist. Die Ecken dieses Sechsecks sind die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (7 fällt mit 1 zusammen). An der A Basis wollen wir das Gefäß offen lassen. Am anderen Ende wol- b len wir es aber

schließen. Dies läßt sich durch L_— drei gleiche 1 a 2 Rhomben bewir-

IQ;

Fig. 17.    .

ken, wie der Leser an seinem Papiermodell sofort bemerken wird. Sind diese drei Rhomben angebracht ^), so hat man eine Bienenzelle vor sich. Bei einiger Überlegung wird der Leser erkennen, daß das Volumen der Bienenzelle nur von a und b abhängt, nicht aber von x (vgl. Fig. 17). Hält man also a und b fest und ändert x ab, so entstehen lauter Bienenzellen von gleichem Volumen. Wir fragen nun, welche unter ihnen die kleinste Oberfläche hat. Diese Frage ist für den Bau der Bienenzelle deshalb von Wichtigkeit, weil man um so weniger Material braucht, je kleiner die Oberfläche ist.

Die Oberfläche der Bienenzelle setzt sich zusammen aus sechs Trapezen und drei Rhomben. Der Inhalt jedes Trapezes ist

a(2b — x)

Um den Inhalt eines Rhombus zu finden bemerke man, daß aus A, C, E, Gr beim Zurechtbiegen der Figur ein ebensolches Dreieck wird wie aus den Punkten 1, 3, 5, 7. Dann findet man sofort, daß die

1)    Man findet das mit Hilfe einer logarihmisch-trigonometrischen Tafel, wie sie auf der Schule benutzt wird.

2)    Es ist vorläufig an beiden Seiten offen.

3)    Man schneidet sie aus Papier aus und klebt sie fest.

ANuG 197: Kowalewski, Infinitesimalrechnung. 2. Ausl.

eine Diagonale des Rhombus a |/3 ist. Die Seite des Rhombus ist afcer ]/a² + x². Also gelten für den Winkel cp (Fig. 18) die Gleichungen

g]/3

2]/a²-j- x²'

Der Inhalt des Rhombus ist somit

2 (a²    x²) cos cp sin cp =    ]/3 a* + 12 x².

Als Oberfläche der Bienenzelle ergibt sich aus dem Obigen

^(46-2*) + ^y3^+l2^ = ^ /■(*).

sin <p —

COS y)

|/a!+4x*

2 y«y+»ä

«ÜS⁻

Fig. 18.

Berechnen wir nun die Ableitung von

f{x) = n — 2x +y3a²i-12x²r

so finden wir

f'{x)--2-fc-

12a;

(ßa;—)/3a⁸ + 12a:²)

Yäa‘+12xs |/3a*+12a;s

und können folgendes konstatieren:

Solange 6a:<s/3a⁸-i-12 a:⁸ d. h. 36a:²< 3a⁸ + 12a:⁸, also

, a

x< — ,

y%

ist f {x) < 0. Sobald aber

. a

x > - ----

|/8

ist f{x) > 0. Daher fällt /'(-r), solange x<^-a.- , und es steigt, sobald

]/8

ist.    ist somit der kleinste Wert^) von f(x).

Nach unseren Formeln ist

^ a X>~:

~~V 8

CO

j/(t² + 4a;²

Im Falle x = ~= wird also

ys

tg 9>=y2.

1) lv ist auf das Intervall (0, b) beschränkt. Wir müssen, damit a: ys in dieses Intervall fällt, annehmen, daß d > ist.

1/8

2cp hat bann, wie wir wissen (vgl. S. 59) nngefähr den Wert 109° 28'. Dnrch Messungen an Bienenzellen hat Maraldi (1712) gefnn-den, daß die Bienen tatsächlich ihre Zellen nngefähr mit diesem Winkel banen. Sie bauen also mit möglichst großer Materialersparnis.

§ 31. Allgemeines über unendliche Reihen.

Wir muffen hier einige Bemerkungen über unendliche Reihen einschalten.

Dnrch die Gleichung

(*)

s = ux -f* Wjj +■ u₃ 4----

pflegt man auszudrücken, daß die Folge

ulf

U1 + u2 r

den Grenzwert^) s hat. Man nennt in diesem Falle ut + u₂-\- u₃-\— eine konvergente unendliche Reihe und s ihre Summe. Andernfalls, d. h. wenn der Grenzwert s nicht existiert, die Reihe divergent. Die Gleichung (*) ist also nur eine andere Schreibweise der Limesrelation

(V)

lim {ii₁ -f - u₂ + • • • + un) = s.

(n — 1, 2, 3,...)

Sie besagt, daß ux + u₂-\-----hunt die -r-te Partialsnmme der

Reihe u± + u₂ + w₃ H----, dem Grenzwert s zustrebt.

Jeder Grenzwert läßt sich als Summe einer unendlichen Reihe darstellen. Hat z. B. die Folge slr s2l s₃, ... den Grenzwert s und setzt man ux = slt u₂ = s₂ — slf u₃ = s₃ — s₂...., so wird

sn = ui + u2 "I-----1-un und daher s = u± + u₂ + u₃ + • • •

Es ist also die Theorie der konvergenten unendlichen Reihen im Grunde dasselbe wie die Theorie der Grenzwerte.

Der Leser wird ans Grund dieses Zusammenhanges leicht die Richtigkeit folgender Regeln erkennen:

Ans s = ux + u₂-\-u₃-\----kann man schließen:

c s = c -)^ u₂ ‘ t cs = cux + cu₂ + • • •,

s = (Mi 4-----b «„J + («Bl+i 4-----b u„j 4—

1) Es handelt sich um einen eigentlichen Grenzwert.

Um z. B die Richtigkeit der letzten Gleichung festzustellen, wird der Leser bemerken, daß die Partialsummen der hier auftretenden Reihe offenbar § ,    . lauten. Sie bilden eine Teilfolge der kon

vergenten Folge sus₂,s₃,... Es gilt hier also die Bemerkung 1 in § 4. Aus der ersten und dritten Regel ergibt sich, daß die Reihen

-f“    -f- Mg H---- und Mg ~{~ Mg -j- M₄ -{-•••

gleichen Charakter haben, d. h. beide konvergent oder beide divergent sind. Aus a = n₂ + Mg + • • • folgt nämlich nach der ersten Regel

Mi + <7 = % + M₂ + Mg -j----

und aus 5 = u± + m₂ H----nach der ersten und dritten Regel

S — Mi ----- (— M] +    + M₂) + Mg -f • • • = U₂ + Mg H----

Da auch m₂ + u₃ H----und m₃ + m₄ H----den gleichen Charakter haben, so gilt dasselbe von u ₁ + u₂-\----und m₃ + m₄H---- Überhaupt haben m₁ + m₂H----und uv + uv+1-\----(der r^-te Rest

von Ml +u₂ H----) den gleichen Charakter.

Ferner ist leicht zu erkennen, daß aus

folgt

S —    -f- Mg ■ UNd t ==¹ V]    Vg -f- • • •

s +1 — Mj + v₁ + m₂ + v₂ + • • • (Addition der Reihen.) Setzt man nämlich

= Mi + m₂ H-----1- Mn,

4 = + ^2 4-----

so ist die (2n)4t Partialsumme obiger Reihe offenbar sn + tnl die (2-r — 1)-te aber sn + tn_t. Beide haben also den Grenzwert s + t. Im übrigen ist hier die Bemerkung 5 aus § 4 anzuwenden.

Statt Ml + (— vt) + m₂ + (— v₂) H----schreibt man kürzer

ui ~vi~\~u2 — V2 + ‘ ‘ *

Wenn s = ux-\-u₂-\----, t = v₁Jrv%-\----ist, so kann man zunächst

schließen — t = (~vt) + (— v₂) -\----und erhält dann durch Addition:

s — r-l — v± + m₂ — v₂ -f---- (Subtraktion der Reihen.)

Reihen mit positiven Gliedern. Wenn alle un positiv^ sind, so bilden die Partialsummen der Reihe mx + m₂ + m₃ ^----eine auf

steigende Zahlenfolge. In der Tat ist

=    +    weil w„₊₁^0.

1) Sie dürfen auch gleich Null sein.

Bei einer solchen Reihe braucht man nur zuzusehen, ob sn unterhalb einer endlichen Grenze bleibt oder ob es bei zunehmendem n über alle Grenzen wächst. Im ersten Falle ist die Reihe konvergent, im zweiten Falle divergent. Das geht aus § 5 hervor.

Eine Reihe mit positiven Gliedern ist dann und nur dann konvergent, wenn ihre Partialsummen unterhalb einer endlichen Grenze liegen.

Z. B. ist die Reihe

divergent, todt⁴ 5)

1/2

s„>

1,1,    ,i    n

y'n \/n    ' j/n ]/n

und f/n bei zunehmendem n über alle Grenzen wächst. Dagegen ist die Reihe

¹ + — 1-2 ‘ 2 • 3 ~ 3 • 4

konvergent. In der Tat ist hier

Sn

n+ 1

n-j- 1

Alle Partialsummen sind kleiner als 1. Die Summe der Reihe läßt sich hier sosort bestimmen. Es ist nämlich lims„ = 1, also

¹ -f — + —- -|----

l-2'2-3~3-4^

Alternierende Reihen vom Leibnizschen Typus. Wenn

t ^2 i UZ l * * ‘

eine absteigende Folge positiver Zahlen ist, nennt man

ui — u2 + uz —    + • • •

eine alternierendes Reihe vom Leibnizschen Typus. Wenn man die Partialsummen einer solchen Reihe auf der Zahlenlinie markiert, so entsteht ein Bild, wie Fig. 19 es zeigt. Um nämlich von der Stelle 0 ~0

zur ersten Partialsumme zu gelangen, muß man sich um ut nach rechts bewegen. Eine Bewegung um u₂ nach links führt dann zur zweiten Partialsumme, eine Bewegung um us nach rechts zur dritten usw. Man pendelt also auf der Zahlenlinie hin und her. Die Schwingungen

werden aber immer kleiner und kleiner. Daher liegen die Punkte

S1 / S2t ⁸ 3 r ‘ *

⁸J

Fig. 19.

so, wie Fig. 19 es andeutet. Man sieht, daß

(S2f S1)/ (S4f S3)r (S6t Sb)t * * *

ein Satz von Intervallen ist (vgl. § 6). (A, B) sei das Grenzintervall. Es habe also die aufsteigende Folge s2t s₄, s₆. ... den Grenzwert A, die absteigende Folge slf s3f shf... den Grenzwert B. Die Reihe ut — u₂-\-u₃ — u±-\----wird dann und nur dann kon

vergent sein, wenn A = 2? ist. Da nun

B — Ä = lim un

ist, so ergibt sich folgender Satz:

Eine alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus ist dann und nur dann konvergent, wenn das allgemeine Glied den Grenzwert Null hat. Die Summe s der Reihe ist in jedem der Intervalle (s₂, sx), (s₄, s₃), ... enthalten.

Absolut konvergente Reihen. Die Reihe ut + u₂ + uB-\----heißt

absolut konvergent, wenn \u±\ + \u₂\ + \u₃\ -4----konvergent ist.

Um diese Benennung zu rechtfertigen, müssen wir uns zuerst überzeugen, daß die Konvergenz der zweiten Reihe die der ersten nach sich zieht. Dabei benutzen wir folgende Bemerkung:

Wenn immer 0<,an<Lbn ist, so folgt aus der Konvergenz

von bt + b₂ + b₃-\----die Kon ergenz von a₁ + a₂ + a₃-\----

Wenn nämlich alle Partialsummen ₁ + b₂-\-----(- bn unterhalb einer

endlichen Grenze liegen, so gilt dies um so mehr von den Partialsummen a₁ + a₂-\-----\-an, weil

+ «2 H-----1" an ^ \ + ^2 H-----h bn

ist-

Nun hat man

0<

Un\+Un

Ist aber un < 0, so wird

I % 1 +

Kl-

0 und

Aus der Konvergenz der Reihe | ^ | + j w₂ j + | w₃1 H----folgt also

nach der obigen Bemerkung die Konvergenz der Reihen

[u,! +ut 1    ^    ,    1 ^3 1 + Us "

2 ' 2 ' 2 ' '

und

I “s i — Ms

tC

Ist nämlich un^>0, so wird*)

I«» I + un

I! UNd

I «» 1 — M»

0.

ux | —

Da aus ihnen durch Subtraktion die Reihe % +    + w-₃ 4----

entsteht, so ist sie ebenfalls konvergent.

Man sieht, daß eine absolut konvergente Reihe sich stets als Differenz von zwei konvergenten Reihen mit nicht negativen Gliedern darstellen läßt.

Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergent sind. Nehmen wir z. B. die Reihe so ist sie als alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus konvergent; denn das allgemeine Glied strebt dem Grenzwert Null zu. Aber diese Reihe ist nicht absolut konvergent, weil die Reihe

i -j-JL_j.JL_i_JL._i—

divergent ist (vgl. S. 63).

Eine notwendige Konvergenzbedingung. Die Reihe

+ % “t" W3 H----

sei konvergent und habe die Summe s. Dann ist s der Grenzwert der Folge slf s₂, s₃, ..die aus bett Partialsummen der Reihe besteht. Auch die Folge 0, sx, s2r... hat den Grenzwert §. Daher hat die Folge

^1, §₃    §2, • • • oder    ...

1) Man erinnere sich an die Bedeutung des Symbols \un\. Vgl. S. 20.

den Grenzwert Null. limun = 0 ist also eine notwendige Konvergenzbedingung. Handelt es sich um eine alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus, so ist diese Bedingung auch hinreichend (vgl. S. 64). Aber im allgemeinen ist das nicht der Fall. wie wir an der Reihe

¹⁺^ ⁺ j/3

= + •"

sehen.

Liegt z. B. die geometrische Reihe

1 -j- x 4- x¹ H----

vor, so können wir sofort sagen, daß sie im Falle | x j ^ 1 divergent ist. In diesem Falle sind nämlich alle Glieder der Reihe ihrem Betrage nach größer oder gleich 1. Es ist also die Bedingung lim un = 0 nicht erfüllt.

Wenn |*|<1 ist, so konvergiert die geometrische Reihe

absolut, d. h. die Reihe 1 + | x | + | x |²-f----ist konvergent. Um

dies zu erkennen bilden wir die -r-te Partialsumme x)

und bemerken, daß sie kleiner als

i-i«r

1 — \x\

1 — x

ist. Die Partialsummen der Reihe 1 + | x | + j x |² -f----liegen also

unterhalb einer endlichen Grenze. Das genügt, wie wir wissen, für die Konvergenz dieser Reihe. Damit ist die absolute Konvergenz der

Reihe 1 x + x² -j----sichergestellt. Da bei einer konvergenten Reihe

lim xn — 0

das allgemeine Glied dem Grenzwert Null zustrebt, so ist im Falle

\x\<l

und daher

lim (1 + .*H-----h xa~l) = lim i—

Wir können also schreiben

(*)

(I*I<1)

Nachdem man sich von der Konvergenz der geometrischen Reihe im

1) Vgl. Formel (*) auf Seite 6.

Falle \x < 1 überzeugt hat, kann man ihre Summe s auch in folgender Weise bestimmen. Aus

folgt

s = 1 -\-x + x² -\----

xs = 0 x x² -\----,

und aus beiden Gleichungen ergibt sich durch Subtraktion s(l —x) = 1 + 0 + 0 + ••• = 1.

Zum Schluß wollen wir noch die Reihe l+2x+3x² + ---

betrachten, die man aus 1 + x + x²-\----erhält, indem man jedes

Glied durch seine Ableitung ersetzt.

Im Falle |a?|^ 1 ist bei der Reihe 1 + 2x + 3x²-\----nicht

einmal die notwendige Konvergenzbedingung lim un = 0 erfüllt. Wenn x j < 1 ist, so konvergiert die Reihe absolut. Wir können nämlich

1 + 2 s +•••+» a-!"

(t)

in die n Summanden

1+ * +•••+ -r "-¹,

* +•••+ *

zerlegen. Da

x |r -j-----f-! x ⁷¹

ist (vgl. S. 6), so wird die Summe (f) kleiner als

sein und erst recht kleiner als

i—i*i

Damit ist die Konvergenz der Reihe 1 + 2|#| + 3|#|²H----bewiesen. und wir wissen jetzt, daß die Reihe 1 + 2# + 3x² ----im

Falle \x\<l absolut konvergiert. Um ihre Summe s' zu bestimmen, bemerken wir, daß aus

folgt

und aus beiden Gleichungen

/ (l—x) = l+x + x²-\----= x

Es ist daher

(M<1)

(**)

= l + 2x + 3x² + --

Die linke Seile dieser Gleichung ist die Ableitung von ₁ ^ Wir

sehen also, daß man die Ableitung von 1 + x + x² + • • • erhält, indem man gliedweise differenziert, d. h. jedes Glied der Reihe durch seine Ableitung ersetzt. Dabei wird natürlich | x | < 1 angenommen.

¹

Es wird x > 0 vorausgesetzt.

²

   Offenbar ist F{x) die Maßzahl von QP.

³

   (p(x) ist überall stetig, weil es überall eine Ableitung hat.

⁴

   Wir ersetzen alle Glieder der Partialsumme sn durch das kleinste.

⁵

   Alternierend heißt die Reihe, weil ihre Glieder ulf — w₂, u₃, — uA,... abwechselnd positiv und negativ sind.

§ 32. Potenzrerhen.

Als Potenzreihe bezeichnet man jede Reihe von der Form

Uq -J- CL^ X -j- CtnX*    '

Eine Potenzreihe ist z. B. die geometrische Reihe 1 +x + x²-\----

Sind fast alle Koeffizienten, d. h. fast alle an, gleich Null, so ist die Potenzreihe nichts anderes als eine ganze rationale Funktion.

Die erste Frage, die hier erledigt werden muß, ist die nach der Konvergenz der Potenzreihen.

Jede Potenzreihe konvergiert für x = 0, und es gibt Potenzreihen, die nur für x = 0 konvergieren Eine solche ist z. B. die Reihe

x "I" (2 x)² -f- (3 x^ -f- • • •

Solange hier x^O ist, erfüllt die Reihe nicht einmal die Bedingung

lim un ----- 0.

Auf der anderen Seite gibt es Potenzreihen, die für alle Werte von x konvergieren (beständig konvergente Potenzreihen). Eine solche ist z. B. die Reihe

Die Glieder der Reihe

x * i X V ‘    | V -j- 1

sind nämlich kleiner als die entsprechenden Glieder der Reihe

~\----f

I V X |r+1 I    X v+2

' V I    '    V

die konvergiert, sobald \x\<v ist.

Zu einer dritten Gattung von Potenzreihen gehört die geometrische

Reihe +    ----Sie konvergiert, wie wir wissen, wenn \%\<1

ist, aber auch nur dann. Sie konvergiert also innerhalb des Intervalles (— 1, 1) und sonst nirgends.

Die Reihe a₀ + a±x + a₂x* H----sei nicht nur sür x = 0, sondern

auch für x = x₀ konvergent (x₀ ^ 0). Da die Glieder einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden, so liegen in jeder Umgebung der Null, also auch in dem Intervall (—1, 1) fast alle anx₀n. Es wird also fast immer¹) die Ungleichung

i

Kl

I <Vo" I<1, d. h. | a„ | ” <

stattfinden. Daraus entnehmen wir, daß die Folge

(*)

K Ir I a2 I “ > I aS l , ' '

beschränkt ist.

Umgekehrt läßt sich zeigen, daß, so oft die Folge (*) beschränkt ist, die Reihe a₀ + a^xA a₂x²-\----nicht bloß für # = 0 konvergiert.

Wenn die Folge (*) beschränkt ist, gibt es unter ihren Häufungswerten einen größten (vgl § 11). Dieser heiße A. Wir wollen zunächst annehmen, daß A nicht gleich Null ist. Konstruieren wir um A eine Umgebung ^) (A — s, A + s), so liegen darin unendlich viele Glieder von (*). Wir können aber sicher sein, daß fast alle Glieder von (*) kleiner afö A + s sind (vgl. S. 23). Die Ungleichung

kl>0-=)”

wird daher unendlich oft, die Ungleichung

k I < k + -)"

fast immer stattfinden. Es wird also unendlich oft

und fast immer

kkXk-OM}”

\anx"\<{(A + e)\x\}n

sein. Hat man nun (A — e) | x | > 1, so kann die Reihe «O + ai x + a₂ x² + • • •

nicht konvergieren, weil unendlich viele Glieder ihrem Betrage nach

1)    d. h. für fast alle Werte des Index n.

2)    s denken wir uns kleiner als A.

größer als 1 sind, so daß nicht einmal die Bedingung lim un = 0 erfüllt ist. Hat man (A + s) | x | < 1, so sind bei passend gewähltem v

die Glieder der Reihe | avxr | + j «,,₊₁ *v + 1 jH----kleiner als die

entsprechenden Glieder der konvergenten Reihe

{(A + £)M}v+{(A + e)H

Dle Reihe aQ + axx + a₂#²H----ist daher absolut konvergent.

Wir wissen jetzt also, daß die Reihe a₀ -f axx + a₂x² -|----nicht

konvergiert, wenn

und absolut konvergiert, wenn

ist-

Da 8 beliebig verkleinert werden darf, so können wir auch folgendes sagen:

Die Reihe a₀ + axx + a₂x² H----konvergiert nicht, wenn

\x\>i'

und konvergiert absolut, wenn

ist-

Wenn A = 0 ist, so ist 0 offenbar der einzige Häufungswert von (*), denn negative Häufungswerte kann diese Folge nicht haben, weil sie kein negatives Glied enthält. Im Falle A = 0 ist also (vgl. § 4)

lim \an\n = 0.

Fast immer findet die Ungleichung

statt. Sobald daher

m<;

ist, konvergiert die Reihe «₀ + atx + a^x¹ -s----absolut. Da s be

liebig verkleinert werden darf, können wir schließen, daß die Reihe für alle Werte von x absolut konvergent ist.

Man kann die obigen Resultate in folgendem Theorem zusammen

fassen:

Potenzreihen

A sei der größte Häufungswert der Folge

Kl- Kl\ Kl*» -••

Dann ist die Potenzreihe a₀ + axx-\- a%x*-\----absolut kon

M<j»

l*^!'

vergent im Falle

divergent im Falle

Das Intervall \ nennt man das Konvergenzintervall der Potenzreihe. Innerhalb des Konvergenzintervalles ist also die Potenzreihe absolut konvergent, außerhalb des Konvergenzintervalles ist sie divergent. Wie sie sich an den

Grenzen — und ~ verhält, darüber läßt sich nichts Allgemeingültiges sagen.

Damit der obige Satz alle drei Gattungen von Potenzreihen umfaßt, müssen wir noch einige Vereinbarungen treffen. Wenn die Folge (*) nicht beschränkt ist, wollen wir sagen, daß oo der größte

Häufungswert ist, und A durch oo ersetzen. ~ soll dann soviel bedeuten wie 0. Das Konvergenzintervall reduziert sich in diesem Falle auf den Punkt 0. Endlich wollen wir, wenn A = 0 ist, unter soviel wie oo verstehen. Das Konvergenzintervall ist dann (— oo, oo), und alle Zahlen liegen innerhalb desselben.

Zum Schluß wollen wir einen Satz beweisen, der in vielen Fällen die Bestimmung des Konvergenzintervalles erleichtert:

Es ist immer

lim | an |w = lim

wenn der zweite Grenzwert existiert?) Setzen wir lim

an +1

| an+ 1

I \

zwischen

---- g, so werden fast alle : g — k und g + £ liegen?) Nur eine endliche Anzahl von Ausnahmen

1)    Wir nehmen natürlich an, daß kein an gleich Null ist.

2)    Im Falle g ----- 0 ist g — s durch 0 zu ersetzen. Im Falle g > 0, muß man £<g annehmen.

wird es geben. Ist n = v — l der größte Ausnahmeindex, so werden die Quotienten alle zwischen g — s und g + e enthalten sein. Nun können wir, falls n>v ist, schreiben

an = av-

Daraus ergibt sich *) und

{KI (9 - *) ”}*(g-«0<KI” < {KI(g + 0 ”}”(g + t)-

Man sieht hieraus sofort, daß die Folge (*) beschränkt ist. Denn die einschließenden Größen durchlaufen bei zunehmendem n Folgen mit den Grenzwerten g — s bzw. g + £, also jedenfalls beschränkte Folgen. Ist nun h irgend ein Häufungswert der Folge (*), so wird

i

| an\n dem Grenzwert h zustreben, wenn n eine passende Teilfolge von v + 1, v + 2,... durchläuft. Aus den obigen Ungleichungen folgt dann (vgl. § 9, Nr. 8)

g-c^h^g-i-k.

Da nun e beliebig klein gewählt werden darf, kann h nicht von g verschieden sein. g ist also der einzige Häufungswert der beschränkten Folge (*) und somit ihr Grenzwert (vgl. § 4).

Der Satz gilt übrigens auch, wenn g der uneigentliche Grenzwert

oo ist. Dann wird jede Zahl K von fast allen und aus

übertroffen,

jVfij ! ^ ’ I

folgt

av

>K,

av + 2

>K,..

>K

also

kl” Xkl

1) Im Falle g = 0 steht in den folgenden Ungleichungen auf der linken Seite 0.

Die rechte Seite strebt bei zunehmendem n dem Grenzwert K zu. Daher wird fast immer

\an\n>

sein. Da K beliebig groß gewählt werden kann, sieht man hieraus, daß jede Zahl von fast allen Gliedern der Folge (*) übertroffen wird, daß diese also den uneigentlichen Grenzwert oo hat. (Vgl. § 5.) Wir können nun folgenden Satz aufstellen:

Hat die Folge

(**)

<h

es

“i

eie"

den (eigentlichen oder uneigentlichen) Grenzwert g, so ist

das Konvergenzintervall der Potenzreihe % "t“ aix “l“ a2+ ’ * *

In der Tat hat die Folge (*) dann ebenfalls den Grenzwert g, der zugleich der einzige, also auch der größte Häufungswert von (*) ist, so daß A mit g zusammenfällt.

§ 33. Differentiation -er Potenzreihen.

In § 31 sahen wir, daß man die Ableitung der geometrischen

Reihe 1 + x + x² -)----innerhalb ihres Konvergenzintervalles (— 1,1)

erhält, indem man gliedweise differenziert. Wir werden jetzt zeigen, daß diese Eigenschaft bei allen Potenzreihen besteht, deren Konvergenzintervall sich nicht auf Null reduziert.

% + axx +    -\----sei eine Potenzreihe, deren Konvergenz

intervall (-Q, q) von Null verschieden ist. Innerhalb des Konvergenzintervalles hat sie an jeder Stelle x eine Summe f{x). Wir werden sehen, daß aus

folgt

fix) = a₀ + axx + a₂x² -j----

f{x) =    + 2 a₂x + 3 a^x² -I----.

Zunächst wollen wir uns überzeugen, daß die Reihe ctj -f- 2 a₂x -f- 3 gl§x² -f- • • •

dasselbe Konvergenzintervall hat wie a₀ + axx -+ a₂x² -j----. Offen

bar hat die Reihe ax + 2a₂x + 3a₃x² H----denselben Charakter wie

axx + 2a₂x² + 3a₃#³H----, d. h. beide Reihen sind gleichzeitig kon

vergent bzw. divergent. Es kommt also darauf an nachzuweisen, daß die Folgen

(*)

(**)

Kl Kl , kl*,.. Kl, 2 Kl*, 8*k|*f...

denselben größten Häufungswert besitzen. Man kann zeigen, daß sie überhaupt dieselben Häufungswerte haben, daß also jeder Häufungswert der ersten Folge zugleich ein Häufungswert der zweiten ist und umgekehrt

Wir wissen aus § 22, daß im Falle #> 1

x > log x > 0

ist; denn wir stellten dort logx als Grenzwert einer Folge dar, die in dem Intervall ——, #— 1 j lag. Auch auf anderem Wege kann

man die Richtigkeit der obigen Ungleichungen leicht bestätigen. Die beiden Funktionen # — log # und log# reduzieren sich nämlich für

x=l auf 1 bzw. 0 und ihre Ableitungen 1— * und sind für

#> 1 positiv, die Funktionen also für 1 zunehmend und daher für x > 1 positiv.

logn 2 log]/n }/n    ]/n '

Schreibt man nun

so ergibt sich sofort, daß

lim

ist. Denn der zweite Faktor,

log

j/n

, bleibt in dem Intervall (0, 1),

während der erste, ²-, nach Null konvergiert, yn

Da

1 log n

ist, s° folgt')

(t)

«* = e "

lim nn = e° = 1.

1) Daß aus lim h= 0 folgt lim eh = e° = 1, ersieht man aus § 22.

Ist nun h ein Häufungswert von (*), so wird

lim|aJ»=f)

sein, wenn man n eine passende Teilfolge von 1, 2, 3,... durchlaufen läßt. Wegen (f) wird dann aber zugleich

lim

sein. Jeder Häufungswert von (*) ist also auch ein Häufungswert von (**).    i_ JL

Ist h ein Häufungswert von (**), so wird nn |ajn dem Grenzwert h zustreben, wenn man n auf eine passende Teilfolge von 1, 2, 3,... beschränkt. Dasselbe wird dann aber von

Kl

n |a„\

JL

gelten, weil der Zähler den Grenzwert h, der Nenner den Grenzwert 1 hat. Jeder Häufungswert der Folge (**j ist also zugleich ein Häufungswert von (*).

Das Obige gilt auch, wenn h der uneigentliche Häufungswert oo ist. Die Reihe^ -s- 2 K₂ n 3 a₃ -j—, die aus a₀ +    —,

durch gliedweise Differentiation entsteht, hat also dasselbe Konvergenzintervall (— q, q) wie diese. Setzen wir für \x\ <q

a₁ + 2ti₂£ + 3ti₃#M----=#(»,

so kommt es jetzt darauf an, zu zeigen, daß fix) = g{x) ist.

Wenn x und x + h beide im Innern des Konvergenzintervalles (- Q, q) liegen, ist

(x + Kf — x*

(x + h)s — xs

f{x + k)- f{x)

also

f(x + h)-f(x)

g(x) = a₂1

(x + hy — x*

Die (n — l)-te Partialsumme dieser Reihe lautet

9niX)<

&(« + »)■-/;(*)

fg(x + K) —

Dabei liegt hn zwischen 0 und h, xn aber zwischen x und x + hn, also auch zwischen x und x + h.

Die erwähnte Partialsumme läßt sich jetzt, da

gn\x) = 2a₂Ji-----t-n(n — l)anx⁷¹-²

ist, so schreiben:

/tj2a₂ + 3-2 a₃xn -j-----l-w(w-l) anxnn~²}.

Sie ist daher ihrem Betrage nach kleiner als

|7*!{2|fl₂| + 3- 2|a₃|r-t-----bn(n — l)\an\rn~²)

und um so mehr kleiner als

|/*|{2|a₂| +- 3 • 21a₃1rH----}.

Unter r verstehen wir hierbei eine feste Zahl zwischen \x\ und q. Wenn Ji genügend klein ist, wird r auch zwischen \x + h\ und q liegen

~o ~oc Fig- 20.

TT

-P~r

wenn wir

nnd

setzen.

«ft + x H-----h anxn==fn(x)

«i + 2aäaH-----

Nach dem Mittelwertsatz (vgl. § 29) ist nun

(vgl. Fig. 20). Das nehmen wir an. Wegen der Konvergenz der Reihe 2| a₂ | + 3 • 21 «₃1 r + • • • brauchen wir uns keine Sorge zu machen. Wir wissen nämlich, daß die Potenzreihe 2a₂ + 3- 2azx-\— dasselbe Konvergenzintervall (—9, q) hat toic a₁-\-<2a₂x-{-Zazx²-\—, und daß eine Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzintervalles absolut konvergent ist.

Lassen wir nun in der Ungleichung

/»(a + ft) — fnfr)

das n unbegrenzt zunehmen, so ergibt sich

\f(x+h)-f(x)

-9

0*0 | <[ |ä| { 2 | a₂1 4- 3 • 2 ! a₃1 r + • •

Konvergiert h nach Null, so folgt hieraus

lim

fix + h) — f(x)

b. h. f'(x) existiert und ist gleich g{x).

§ 34. Anwendungen.

1. Die Funktion fix) — log (1 + x) hat die Ableitung

1 -j- x

Ist nun x\ < 1, so können wir schreiben (vgl. S. 66)

A*)-

= 1 — x + x²----.

l+x

Diese Potenzreihe ist aber die Ableitung von

X²

<p(x) = X- 2 +

H.

Aus f(x) = cp'(x) oder (f— cp)' = 0 folgt (vgl. S. 56), daß fix)'— cp(x) = C ist (C eine Konstante). Da f(0) = cp(0) = 0 ist, muß auch (7 = 0 sein, und man hat also f(x) = cp(x), d. h-

log (1 +x) = x — y+ ----,

wenn |x|<l ist.

Für x = l reduziert sich die Reihe auf

+ j —

Das ist eine alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus. Da ihre Glieder eine Nullfolge bilden, ist sie konvergent (vgl. § 31). Bezeichnen wir ihre Summe mit s, so können wir schreiben

s — log (1 + x) = (1 — x) — y (1 — x²) + 3- (1 — x)³----.

Im Falle 0 < x < 1 ist dies wieder eine alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus. Um zu erkennen, daß wirklich

n (!-<>

(1 — x" + *) > 0

-xn~¹+xn

ist, bemerke man, daß diese Funktion zwischen 0 und 1 die negative Ableitung

Zweites Kapitel: Differentialrechnung

GC

hat, also in dem Intervall (0, l) abnehmend ist. Für x = 1 reduziert sich die Funktion auf 0. Also ist sie zwischen 0 und 1 stets positiv. Da nun bei einer alternierenden Reihe vom Leibnizschen Typus die Summe zwischen je zwei aufeinander folgenden Partialsummen enthalten ist, können wir die Ungleichungen

J (1 — x) — ~ (1 — *²) < s — log (1 + x) < 1 — X

aufstellen. Lassen wir jetzt x nach 1 konvergieren, so streben die einschließenden Größen dem Grenzwert Null zu. Dasselbe tut dann s —logas, b. h. es ist s — log 2 = 0. Die Gleichung (*) gilt also auch für x = l.

Für x — — 1 gilt sie dagegen nicht, weil die Reihe

¹+¥ + T + '"

divergent ist und auch log (1 -f x) keinen Sinn hat. Wäre jene Reihe konvergent und a ihre Summe, so hätte man für — 1 <w <0

— log (1 + x) = — X +

Wenn man nun x = ^ — 1 setzt (n = 1, 2, 3,...), so ergibt sich log n< <s, d. h. n<i ea.

Sobald n > e"" ist, haben wir einen Widerspruch. Die Reihe

1+1 + T + ---ist also divergent.

Wir sehen, daß die Reihe x— y + y----überall, wo sie

konvergiert, die Summe log (1 + x) hat.

Wir wollen jetzt wieder \x\< 1 annehmen. Ersetzt man in (*) x durch — x, so ergibt sich

xl

— x—r-

log (!—») =

Subtrahiert man (**) von (*), so findet man

2 (x+ +y + ---)    (Md)

1 -{- X

ober, wenn man setzt,

Diese Gleichung gilt für jedes positive z. Der Bedingung \x\< 1 entspricht nämlich die Bedingung s>0.

Setzt man in (*,*) z = (n + 1):n, wobei w>0 sein möge, so entsteht die Formel

+lfcVr)V-j-

(***) log 0 +1) — logM = 2 { — ^^

Wir wollen zeigen, wie man mit ihrer Hilfe die Logarithmen der drei ersten Primzahlen 2, 3, 5 findet.

Sind n und w + 1 zwei ganze Zahlen, die keine andern Primfaktoren als 2, 3, 5 enthalten, so ist (***) eine lineare Gleichung mit den drei Unbekannten log 2, log 3, log 5. Tie rechte Seite läßt sich um so bequemer berechnen, je größer n ist.

Benutzt man z. B. die Zahlenpaare

15 = 3-5,    16 = 2⁴,

24 = 2⁸ • 3, 25 = 5²,

80 = 2⁴ • 5, 81 = 3⁴,

so erhält man die folgenden Gleichungen zur Bestimmung von log 2, log 3, log 5:

4 log 2 — log 3 - log 5 = 2 {~ + - —i, + •••) = 2 A,

2 log 5 — 3 log 2 — log 3 = 2 | — + ;i 4gS -4----} = 2 5,

4 log 3 — 4 log 2 - log 5 = 2 {+ --+ •••}= 2 G.

Löst man diese Gleichungen auf, so findet man log 2 = 14++ 105+ 6 <7, log 3 = 22+ +165 +106', log 5 = 32+ + 245 + 14(7,

Beschränkt man sich bei der Reihe Ä auf die beiden ersten Glieder, so ist der Fehler

5 si⁵ 7 • 31’    '

kleiner als

rip(1 + 3ii + "')

5.31³.30.32

5 - 31³ (31² — 1)

Bei 32 A wird der Fehler also jedenfalls kleiner sein als 1: (5 • 30⁴). Noch kleiner wird der Fehler bei 24jS und 14 0, wenn man auch dort nur die beiden ersten Reihenglieder berücksichtigt. Bei log 2, log 3, log 5 entstehen also Fehler, die kleiner sind als

3 : (5 - 30⁴) = 1: (135 • 10⁴),

mithin sicher kleiner als 1: IO⁶, d. h. kleiner als eine Einheit in der sechsten Dezimale.

Wir überlassen es dem Leser log 2, log 3, log 5 nach dieser Methode zu berechnen, ebenso log 10 = log 2 + log 5. Dividiert er log 2, log 3, log 5 durch log 10, so müssen die gemeinen Logarithmen von 2, 3, 5 herauskommen, wie sie in einer fünfstelligen Logarithmentafel zu finden sind.

2. Die Funktion f(x) = arctg x hat die Ableitung (vgl. § 26)

1 -j- x²

Ist nun x² <1, so können wir schreiben

rlx* = i~x2+xi -

Diese Potenzreihe ist aber die Ableitung von

rpO    syt o

cp(x) = x— ₈ + ₅-----.

Aus s(x) = cp'(x) folgt f(x) — cp(x)= G, und da /'(0) = (p(0) = 0 ist, muß 0=0 sein. Es gilt somit für x²< 1 die Gleichung

(t)

arct gx = x—j + ^------*

Sie gilt, wie wir jetzt zeigen wollen, auch für x² = 1. Es genügt offenbar den Fall x = 1 jn erledigen, weil arctg (—- x) = — arctg x ist. Solange 0 <x< 1 ist, können wir aus (f) entnehmen*)

■Tfzrr < arctg x<x~%    ⁺

x±p +1 +1 *

1) Ähnlich hätten wir (S. 77) bei log (1 -}- oc) vorgehen können.

Anwendungen

Denn es handelt sich um eine alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus. Lassen wir x nach 1 konvergieren, so er ergibt sich

1 — y H ip — 1 = arct^ ¹ = 1 _ 's" ^    ^ ip + 1 '

• • •. Also ist auch arctg 1 oder ”

Wenn jetzt p über alle Grenzen wächst, konvergieren die einschließenden Größen nach 1 — * + * gleich dieser Reihe. Wir erhalten auf diese Weise die Leibnizsche Formel

¹ —-----

die übrigens zur numerischen Berechnung von n höchst ungeeignet ist. Eine für diesen Zweck sehr geeignete Formel erhält man, wenn man

von dem Bogen a ausgeht, dessen Tangens gleich ~ ist. Man hat dann

tg 2a =

-> tg «

1 — tgs« 12'

tg4a = r

also

2 tg 2 a _ 120 — tg² 2 a — 119 '

Aus

und

tg (4 a

4 er —

tg 4 a tg

1 + tg 4 cc tg

7t    1

1 =arctg₂₃

239

folgt aber

d. .

== 4 arctg —■ — arctg

239 '

f-41

-__i—y

239    3 - 239³ ~    )

Es gibt ein französisches Gedichtchen, mit dessen Hilfe man sich die 31 ersten Ziffern von % merken kann. Es lautet:

Que y aime a faire apprendre un nombre utile aux sages! Immortel Archimede, artiste ingenieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur!

Pour moi ton probleme eut de pareils avantages!

Ersetzt man hier jedes Wort durch die Anzahl seiner Buchstaben, so entstehen die 31 ersten Ziffern von %. Hinter die erste muß das Komma gesetzt werden.

3. Wir wollen versuchen eine Potenzreihe zu finden, die für alle Werte von x die Summe ex hat. Wir benutzen dabei eine berühmte von Leibniz herrührende Methode, die Methode der unbestimmten Koeffizienten. D. h. wir setzen die Potenzreihe mit unbestimmten Koeffizienten an. Es sei also für alle Werte von x

- ÖIq , 2 $2 =s=*    , 3 öfg - $2 , • « • •

Da e°=l ist, muß auch a₀ = 1 sein, mithin

sein. Wir haben hier eine Potenzreihe vor uns, die innerhalb ihres Konvergenzintervalles überall die Summe Null hat. Es sind dann, wie wir gleich zeigen werden, alle Koeffizienten gleich Null. Im vorliegenden Falle müssen also die Gleichungen stattfinden:

__ 1 _ 1__1

al — ² r a2 — ! . 2' a3 — 1.2 73'

Die Potenzreihe, die wir suchen, lautet also

l+f-H 3,8

12 3

Da hier

lim a-n + 1 i — 0

«n I

ist, konvergiert sie für alle Werte von x (vgl. den Schluß von § 32). Nennen wir die Summe der Reihe (p(x), so wissen wir von cp(x), daß

<p(p) — 1 und op\x) = Qp(x)

ist. Der Quotient g> (#): e? hat die Ableitung

0.

ex cp' (x) — ex cp (x)

e2x

Anwendungen

Daher ist y (x): ex ----- C, und diese Konstante muß gleich 1 sein, weil <p(0): e° = 1 ist. Damit haben wir die Gleichung

e*=l+Y +

in aller Strenge bewiesen. Setzen wir x — 1, so ergibt sich ₁ ,1 , i , i C 1 + s. 2    1 • 2.3

eine für die angenäherte Berechnung von e sehr zweckmäßige Formel. Beschränkt man sich auf die n +1 ersten Glieder, so ist der Fehler kleiner als

X²

12-3

¹ -I—¹________u

(w + l)!liTw+lT

so daß e zwischen

¹ + iT+ I + - + SI

¹ + 1! + 21 + " ‘ i + n!

und

(n + 1)

n'

dL>

enthalten ist.

Hinsichtlich des oben benutzten Hilfssatzes bemerken wir folgendes:

+ cx x + c₂ x² + • • • = 0

Aus

(M<p)

folgt nach § 33

2 Cg x -{- 3 Cg x* -f- • • • = 0, 2 c₂ + 3 • 2 c₃ # + • • • = 0,

3 • 2 r₃ + 4 • 3 • 2 c±x 4--------- 0,

Setzt man in allen diesen Gleichungen x = 0, so findet man

^ — c₂ — ''' — O.

4. Zum Schluß wollen wir eine Potenzreihe suchen, die innerhalb ihres Konvergenzintervalles die Summe f(x) ----- (1 -4- xY -----    +*>

hat 1). Aus

(14-    =^o+aix+a2x2 h—

Hi f 1 4“ &Y ~ *⁼⁼ % 4~ ^ ^2x 4~ 3 ct₃ x^ 4~ * * * •

1) Wir nehmen an, daß von 0, 1, 2, 3, . . . verschieden ist. Damit log(1 4-x) einen Sinn hat, müssen wir #> — 1 voraussetzen.

folgt

4    Zweites Kapitel: Differentialrechnung

Multipliziert man mit 1 + x, so ergibt sich

^(l + xyi =a₁-\r (a₁ + 2a₂)x + (2 a₂ + 3a₃)x² + • • •. Es finden also folgende Gleichungen statt:

- fA CI'q , CI-^    2 Cln - jll , 2 (lg ""j⁻ 3 flg ■— |Lt dg , • • • •

Da IM -----1 ist, muß a₀ = 1 sein. Die Potenzreihe lautet daher

1 +

ec

Hier ist

mithin

?s±i ₌f* ' " «+1 '

»«

lim —— — — 1 und lim — 1 = 1.

I «» I

Die Potenzreihe hat also das Konvergenzintervall (— 1, 1). Innerhalb dieses Intervalles ist, wie wir jetzt zeigen werden, ihre Summe (1 +*}“• Bezeichnen wir nämlich diese Summe mit cp(x), so ist

(ln

also

(l + x)cp'(x) = fup(x),

cp\x)

und

ll<p(x) __ ft(l + xf lq>(x) __ s(x)fp(x) l + X

(1 + L!)»

/•(*)

f(xi)q>’(x) — s(x) cp (x)

Hieraus folgt

f\x)

/'(*)

C,

und da <p(0) = /'(0) = 1 ist, muß auch 6=1 sein. Damit ist folgende Formel bewiesen-)

(Me¹)

Man nennt sie die Newtonsche Binomialformel.

Wenn p eine positive ganze Zahl ist, brauchen wir die Bedingung | x\ < 1 nicht mehr. Dann gestaltet sich auch der Beweis der Formel noch einfacher. Man weiß von vornherein, daß (1 + xY eine ganze rationale Funktion ^-ten Grades mit dem Anfangsgliede 1 ist, also

(1 + %Y = 1 + axx² + a₂x² H-----h a^x“.

1) Es bliebe noch übrig die Gültigkeit dieser Formel an den Grenzen des Intervalles zu untersuchen. Darauf gehen wir aber hier nicht ein.

Durch Differentiation findet man

[i( 1 + xyi~¹ = ax + 2a₂x H-----f- fia/Llxf~¹.

Es ist also

K¹ +    = % + K + 2 a₂)x H-----b

= ft(l + ff---- ff- aiuX,U)-

Hieraus ergeben sich wie oben die Werte der a.

§ 35. Höhere Ableitungen und Differentiale.

Die Ableitung von f'(x) nennt man die zweite Ableitung von f(x) und bezeichnet sie mit f"(x). Die Ableitung von f (x) heißt die dritte Ableitung von f(x) und man schreibt dafür f"\x). Die -r-te Ableitung von f{x) wird mit f^(x) bezeichnet und ist definiert als die Ableitung von f^-^ix).

Bei f(x) = ex ist f(x) = ex, f" (x) = ex usw. Alle Ableitungen sind hier gleich ex.

cos X

cos x und sin x haben die Ableitungen — sin x = cos (x -f n j bzw. = sin (x -f • Es ist also

(cosx)'= cos (x ff- y) t

(sin x)'= sin (x ff- •

Hieraus folgt weiter

(cos x)"= cos ^ ff- 2 - yJ ,    (sin x)" = sin (x + 2 •

uff. Allgemein ist

(cos x)W ----- cos (x + n •    ,    (sin x)^ = sin ^x + n • —'j *

Wenn die Reihe *)

c₀ + ct(x — a) + c₂(x — a)² -|----

das Konvergenzintervall (a—a + hat, so folgt für \x—

nach § 33

f(x) = c₀ + ct (x — a) + c₂(x — a)²-1----

fr(x) = c₁Jr 2c₂(x — d) + 3c₃(x — a)² -|---- und hieraus weiter

f\x) = 2 c₂ -f- 3 • 2 c₃(x — d) + 4 • 3c₄(x — d)² ^----

1) Das ist eine gewöhnliche Potenzreihe. Nur ist x durch x — a ersetzt.

(I * a | < p)

Auf diese Formel kommen wir an einer späteren Stelle zurück. (§ 40.)

Wir wollen jetzt noch die höheren Differentiale erklären. Ist y = <p(x), so haben wir dy = cp'(x)dx als Differential von y bezeichnet. Das Differential von dy, also ddy, nennt man das zweite Differential von y und schreibt dafür kürzer d²y. Das Differential von d²y wird mit ddy bezeichnet und heißt das dritte Differential von y uff. Das n-te Differential von y, wofür man dny schreibt, ist definiert als das Differential von dn~xy. Hierbei wird dx, das Differential der unabhängigen Veränderlichen x, als konstant betrachtet. Es ist bei dieser Annahme

d²y = dcp'(x) • dx = cp" (x)dx², dsy ----- dcp"{pc) • dx² ----- (p"'(x)dx*

uff., allgemein also³)

uff. Setzt man überall x = a, so ergibt sich

f O)

cn = /'s«),

Man kann also schreiben:

ci = -

c -r(a)

C2 - 1.2 ' • ' •

dny ----- cpW (x)dxn und q>^(x) =    •

Ist y = F(u) und u eine Funktion von x, so hat man nach § 27

dy ---- F'(u)du.

Nun ergibt sich aber weiter

d²y = dF' (u) • du + F'(u) * d²u = F"(u)du² + F'(u)d²u.

Während das erste Differential von y genau so aussieht, als ob u die unabhängige Variable wäre, ist dies bei dem zweiten Differential nicht mehr der Fall, ebenso bei dem dritten, vierten uff.

Ist u = ax + b (a und b konstant), so wird du ----- adx, d²u ----- 0, d³u = 0,... In diesem Falle reduzieren sich die höheren Differentiale d²y, d*y, ... auf F"(u)du², F'"(u)du³, ..., sehen also genau so aus, als ob u die unabhängige Veränderliche wäre.

Stammfunktionen

GO

Drittes Kapitel.

¹

= arctg &

²

ex ist nie gleich Null. Daher dürfen wir durch ex dividieren.

³

dxn kann nicht mit d(xn) verwechselt werden. Daher ist es unnötig dafür (dx)n zu schreiben.

Integralrechnung.

§ 36. Stammfunktionen.

F(x)-sf(x)dx.

Wenn F(x) die Ableitung f(x) hat, so nennt man F(x) eine Stammfunktion von fix) oder ein Integral von f(x)dx, und man schreibt:

(*)

Die rechte Seite wird gelesen: „Integral f(x)dx“. Die Formel (*) ist völlig gleichbedeutend mit

dF(x) = f(x)dx.

Ist Ft(x) ebenfalls eine Stammfunktion von f(x), so hat man

also

dF^x) = f(x)äx,

ä(F₁-F) = 0,

d. h. F₁ — F=C oder Ft = F+C. Hieraus ersieht man, daß es genügt eine einzige Stammfunktion von f(x) zu kennen. Jede andere ergibt sich aus ihr durch Addition einer Konstanten. Ferner bemerke man, daß F-\- C stets wie F eine Stammfunktion von f(x) ist, wie man auch die additive Konstante C wählen mag. Man hat in der Tat

d(F+C) = dF = f(x)dx.

Den Übergang von f(x) zu einer Stammfunktion F(x) nennt man Integration. Sie ist die. Umkehrung der Differentiation, die in dem Übergange von F(x) zu f(x) besteht.

Wir stellen hier einige Formeln zusammen, die zum Handwerkszeug der Integralrechnung^) gehören.

(w+l>0)

xndx =

n -f- 1'

3.

axdx =

ax

log«

l) Die Integralrechnung lehrt Integrationen ausführen so wie die Differentialrechnung Differentiationen.

4. J cos xdx = sin x,

5.

J sin xdx = — cos x,

7.

/.in*;--“¹*'

9.    r ^

Jl

10.

J

— arctg ^

]/l — ;c²

arcsin

log (x + ]/l + *²) .

)/l -f #²

F(x) = j f(x)dx F{op{u)s) —J f{cp(uj)cp' (u)du.

Wir wissen, daß das Differential von F(x) auch dann F'(x)dx lautet, wenn x eine Funktion y)(A) einer unabhängigen Veränderlichen u ist. Aus

folgt also

Aus jeder der obigen zehn Jntegralformeln lassen sich auf diese Weise unendlich viele andere gewinnen.

Von Wichtigkeit sind noch folgende Jntegrationsregeln:

(c konstant)

J [t\x) + g(x))dx=ff(x)dx+Jg(x)dx, j cf(x)dx = cj f{x)dx, jf(x)g(x)dx = f(x)g(x) —j‘f'(x)g(x)dx.

Differenziert man die rechten Seiten dieser Formeln, so findet man f{x)dx + g(x)dxt cf(x)dx, f{x)g\x)dx.

Die rechten Seiten sind also wirklich Stammfunktionen von f(x)+g(x), cf(x), f(x)g'(x).

Weiter wollen aber diese Formeln nichts sagen.

CD

Die letzte Regel nennt man die partielle Integration. Man kann die zugehörige Formel noch einfacher so schreiben:

j *fdg = fg—sgdf.

Jlogxdx = logte • x —Jxd logte

= log x • x —J dx = x (log x — l).

J*xexdx = f*xdex = xex — fexdx = ex{x — 1).

§ 37. Eristenzbervers für die StmnmfunKtisnen einer stetigen

Funktion.

f(x) fei in dem Intervall (a, b) einschließlich der Grenzen stetig. Wir wollen zeigen, daß es dann Stammfunktionen zu f(x) gibt.

Zunächst nehmen wir an, daß f(x) in (a, b) durchweg positiv ist.¹) Wir zeichnen die Bildkurve y = f{x) und betrachten das Flächenstück axXA in Fig. 21. Dieses wird oben durch die Kurve, unten durch die n-Achse, rechts und links durch die Ordinaten der / Punkte A und X begrenzt. Der Inhalt des genannten Flächenstückes, der offenbar eine Funk- A tion von x ist, werde mit F(x) bezeichnet. Diese Funktion F(x) ist, wie wir sehen werden, eine Stammfunktion von f{x).

F(x + h)—F(x) ist ein über (x,x+h) stehender Flächenstreifen, welcher zwischen den beiden Rechtecken Jif{^y), hf(£₂) enthal- a ten ist, wobei /'(g₁) der kleinste

und /*(§₂) der größte Wert von f(x) in dem Intervall (tr, x + h) sein sott²). Ebenso ist F(x) — F(x — h) ein über (x — Ji, x) stehender Flächenstreifen, der zwischen den beiden Rechtecken ///(£₃),    ent

halten ist, wobei ffa) der kleinste und f('Q der größte Wert von f{x)

1)    Dieser Fall läßt sich durch Addition einer Konstanten h herbeiführen. Man muß nachher von der Stammfunktion hx subtrahieren, um eine Stammfunktion der alten Funktion f(x) zu erhalten. Bgl. Fußnote 2, S. 90.

2)    h nehmen wir hier positiv an.

Z. B. ist

rOX

x-h

x+h

Fig. 21.

in dem Intervall (x — h, x) sein sott¹). Es bestehen also folgende Ungleichungen

fCk)<

F(x + h) — F(x)

fCQ<

F(x— h) — F{x)

</■&)•

Konvergiert nun h nach Null, so konvergieren |u |₂, |g, $₄ nach x. Wegen der Stetigkeit von /'(«) konvergieren dann /'(|₁),    /'(|₃)₍

/■(£*) nach f(a-). Dasselbe gilt daher von

F(x-h)-F(x)

und

Daraus ersehen wir, daß F' (x) existiert und den Wert f(x) hat. F(x) ist also eine Stammfunktion von s{x). Unter allen Stammfunktionen von f(x) ist F(x) durch die Eigenschaft F(a) = 0 ausgezeichnet. Ist <I>(x) irgend eine Stammfunktion von f(x), also

G>(x) —sf(x)äx,

so unterscheidet sich, wie wir wissen, F(x) davon um eine additive Konstante C, d. h. man hat F(x) = <X>(x) + C. Da nun F(a) — 0 ist, so muß <P(a) + (7 = 0 sein, also

F(x) = <D(x) — <&(a).

(sf{x)dxf j‘f(x)dx.

Statt <P(x) — 0(a) schreibt man gewöhnlich (#)*. Die letzte Gleichung lautet dann:

Endlich benutzt man für allgemein das kürzere Symbol

Gelesen wird es: „Integral a bis x von f{x)dxn.²)

1)    An der Stelle x=a braucht man nur den ersten, an der Stelle x = 5 nur den zweiten Flächenstreifen zu betrachten.

2)    Ist fix) nicht überall positiv, so kann man eine Konstante k so wählen, daß f{x) -j- & diese Eigenschast hat. Dann ist

F(x) = j {f{x) -f-Je] dx — kix — a)

eine Stammfunktion von fix), die an der Stelle x = a verschwindet.

Der Inhalt des Flächenstückes abBA (Fig. 2l), oben begrenzt durch die Bildlurve von f{x), ist offenbar gleich F{b), d. h. gleich

b

Jf(x)dx.

Man nennt die Berechnung eines solchen Flächenstückes eine Quadratur. Eine Quadratur läßt sich nach dem Obigen stets ausführen, sobald man eine Stammfunktion der betreffenden Funktion kennt.

Um eine Anwendung dieser Quadraturmethode zu zeigen, wollen

X²

wir das Flächenstück berechnen, welches durch die Parabel y =

und durch die Abszisse und Ordinate eines Parabelpunktes x, y begrenzt wird. Man findet

X²

*k*X

\6fc/o

x³ xy

6 Je 8

Die Parabel trennt also von dem Rechteck xy den dritten Teil ab.

8 38. Nein analytische Fassung des Eristenzberveises.

f(x) sei wieder in dem Intervall (a, b) einschließlich der Grenzen stetig, (a, b) werde xnp Teilintervalle (<*, ß) zerlegt. M(a, ß) sei der größte Wert, den f(x) in (u, ß) annimmt. Wir wollen nun die Produkte

(ß — a)M{a, ß)

bilden und die Summe 8 der p Produkte betrachten, die zu den einzelnen Teilintervallen (a, ß) gehören. Es sei also

8=2(ß — cc)M(a, ß).

Wir nennen ein solches 8 eine äußere Summe von fix).¹)

Wenn man eins der Teilintervalle (a, ß) in zwei Teile (a, y) und (y, ß) zerlegt, so tritt an die Stelle von 8 eine neue äußere Summe 8. Offenbar unterscheidet sich 8 von 8 nur dadurch, daß ein Glied (ß — cc)M{cc, ß) durch ein Binom ersetzt ist. Da nun M(a, y) und M(j, ß) nicht größer als M(«, ß) sind, so ist das obige Binom nicht größer als

(y -    ß) + (ß- y)M(*t ß) = (ß~ a)M(af ß).

S ist daher nicht größer als 8.

Durch wiederholte Ausführung solcher Zweiteilungen erkennt man, daß 8 sich nicht vergrößert, wenn man durch Weiterteilung zu einer neuen Zerlegung übergeht.

Jetzt sei Slf S₂, Ssr... eine Folge von äußeren Summen, und zwar von der Art, daß Sn+1 aus 8n durch Weiterteilung des Intervalles (a, b) entsteht. Außerdem sollen die Teilintervalle, die zu 8lt S2f S3r... gehören, eine Nullfolge bilden?) Wenn diese beiden Eigenschaften vorhanden sind, soll Slt S2lS₃, ... eine ausgezeichnete Folge von äußeren Summen heißen. Jede solche Folge ist absteigend. Außerdem ist sie beschränkt. Bezeichnen wir nämlich mit m(a,b) den kleinsten Wert von f(x) in (a, b), so ist

M(a, 6)^üf(a, ß)^m(ar b),

(b — a)M(a, b)^>S^>(b — a)m(a, b)

Jede ausgezeichnete Folge von äußeren Summen hat also einen Grenzwert. Sie haben sogar, wie wir jetzt zeigen werden, alle denselben Grenzwert.

Wir betrachten zwei äußere Summen S und S'. Jede von ihnen werden wir nachher eine ausgezeichnete Folge durchlaufen lassen. Wir können die Glieder von S in zwei Klassen teilen.

mithin

(ß-a)M(a, ß)

wird zur ersten Klasse gerechnet, wenn (a, ß) in einem Teilintervall von 8' enthalten ist, andernfalls zur zweiten Klasse. Entsprechend nennen wir (a, ß) ein Teilintervall erster bzw. zweiter Klasse. Es gibt, wie der Leser sich leicht klar machen wird, höchstens^— 1 Teilintervalle zweiter Klasse, p ist die Anzahl der Teilintervalle, die in 8' auftreten.

Wenn wir in allen Gliedern zweiter Klasse die Faktoren M{ccf ß) durch m(a, b) ersetzen, so wird 8 kleiner 8'. 8 fyai sich aber bei dieser Modifikation um weniger als

(p — l)<?{Jf(a, b) — m(af b)) = K

1) Man denke sich alle Teilintervalle ß± — ccx von St aufgeschrieben, dann alle Teilintervalle ß₂ — a₂ von S₂ uff. Auf diese Weife soll eine Nullsolge herauskommen.

Rein analytische Fassung des Existenzbeweises

verkleinert, wobei wir mit ö das größte Teilintervall zweiter Klasse bezeichnen. Wenn wir also S um K verringern, so erhalten wir erst recht etwas Kleineres als S', d. h. es ist

S-K£S'.

Lassen wir jetzt S eine ausgezeichnete Folge durchlaufen, so wird

lim 5 = 0,

lim (S — Ji) = lim S ^ S'.

also auch lim üs = 0, und wir können aus der obigen Ungleichung schließen

Lassen wir auch S' eine ausgezeichnete Folge durchlaufen, so erkennen wir, daß

lim S < lim S'

ist. Vertauschen wir in der obigen Betrachtung S mit so erhalten

wir

Es muß daher

lim S' <C lim S. lim S ----- lim S'

sein, und wir sehen hieraus, daß alle ausgezeichneten Folgen äußererSummen einem und demselben Grenzwert zustreben. Diesen Grenzwert wollen wir mit S (a, b) bezeichnen. Da jede äußere Summe zwischen

(b — a) m (a, b) und (b — a) M (a, b)

liegt, so gilt dies auch von S(cr, b) und @(a, b):(b — a) ist zwischen m(a, b) und M(a, b) enthalten, kommt also unter den Werten der stetigen Funktion f(x) vor (vgl. § 24), so daß wir schreiben können

(*)

S(«, b) = (b — a) /•(!).

Wenn a < c < b ist, so gilt die Gleichung

(**)

S (a, o) -st S (c, b) = © (a, b).

Ist nämlich S' eine äußere Summe, die zu dem Intervall (a, c) gehört, und S” eine äußere Summe, die zu dem Intervall (c, d) gehört, so ist S' -st S" eine zu (a, b) gehörige äußere Summe. Lassen wir S’ und S" ausgezeichnete Folgen durchlaufen, so durchläuft auch S' -st S" eine ausgezeichnete Folge. Formel (**) besagt nur, daß

ist-

lim(jS' -st S") — lim S' -st lim S"

Drittes Kapitel: Integralrechnung Wenn wir S(b, a) durch die Gleichung

S (st, b) + © (ö, st) = 0

definieren und festsetzen, daß

S (st, st) ----- 0

sein soll, so treten an die Stelle von (*) und (**) die allgemeineren Formeln

(f)

S(^, x₂) = (x₂ - x±) /*(£),

(tt)

S (xv x₂) + S (x2t x₃) --- S (xv x₃).

xv x₂, x₃ sind beliebige Werte aus (st, b). § gehört dem Intervall (xv x₂) an.

Jetzt können wir uns leicht überzeugen, daß S (st, x) eine Stammfunktion von f{x) ist. In der Tat ist nach (ff)

und nach (f) mithin

S (st, # + &) = © (st, #) + ©(#,# + li)

<3(xfx + Ji) = hf(£)t

<5(a,x -\-h) — S (a, x) h

Konvergiert h nach Null, so konvergiert £ nach x, also wegen der Stetigkeit /*(£) nach f(x), so daß

lim

0 (a, x + h) — S (st, x)

=fO)-

toirb. ©(«, x) hat also die Ableitung f(x). Da S(a, «) = 0 ist, so können wir schreiben    z

S («, x) —J f(x) dx.

Insbesondere ist also

a »

S (st, 6)=f /■(«) da;.

Wenn wir die obigen Überlegungen auf die Funktion — f(x) anwenden, so tritt an die Stelle von 8

(« ß) ist nämlich der größte Wert von — f(x) in dem Intervall (ß, ß). Beim Durchlaufen einer ausgezeichneten Folge strebt — s einem

Rektifikation einer ebenen Kurve

95

Grenzwert zu, den wir mit — £ (ar b) bezeichnen. —s (a, x) hat dann die Ableitung — f{x), also s (a, x) die Ableitung f(x). Das(a, a) = 0 ist, so können wir schreiben:    ^

s (a, x) f(x) dx.

Insbesondere ist also

b

dx.

(«r b) =J fix)

— s konvergiert, wenn es eine ausgezeichnete Folge durchläuft, absteigend nach — s(cr, b). Daher konvergiert § selbst aufsteigend nach s(a, b). Wir wollen s eine innere Summe von f(x) nennen. Jede ausgezeichnete Folge von äußeren Summen konvergiert somit absteigend, jede ausgezeichnete Folge von innerenSum-men aufsteigend nach

//(*)

dx.

(V)

Verstehen wir unter f(a, ß) irgend einen Wert von f(x) in (a, ß), so ist offenbar die Summe

zwischen S und s enthalten. Daher wird auch jede ausgezeichnete Folge solcher Summen a nach dem Integral (***) konvergieren. Es wird also sein    ,

lim

2iß-«) fO, ß)=sf(x)dx.

§ 39. Rektifikation einer ebenen Kurve.

y = f(x) habe in dem Intervall (a, b) einschließlich der Grenzen eine stetige Ableitung.

Wir wollen (a, b) in p Teilintervalle zerlegen. Einer solchen Zerlegung entspricht eine bestimmte Einteilung des Kurvenbogens AB.

Wenn wir jeden Teilbogen PQ durch seine Sehne PQ ersetzen, so tritt an die Stelle des Bogens AB ein Sehnenzug.

Wir wollen zuerst die Länge dieses Sehnenzuges berechnen. Offenbar

ist

PQ - VTß-«) ²+ ! fiß) -?(«) s³.

Drittes Kapitel: Integralrechnung Nach dem Mittelwertsatz hat man

f(ß) — f(a) = (ß - «) /XD-

Der Sehnenzug hat also die Länge

>'o?-«)y'i -i-ris).

Das ist offenbar eine Summe a für die Funktion

<p(z)=V¹+/‘'²0).

A.

Eine ausgezeichnete Folge solcher Summen konvergiert, wie wir aus § 38 wissen, nach

/yi+f».

gi0. 22.

Dieses Integral betrachten wir ^ als die Länge des Bogens Die Berechnung einer Bogenlänge nennt man Rektifikation. Es fehlt noch der Nachweis, daß <p(x) eine stetige Funktion ist. Wir müssen zeigen, daß aus limx = x₀ folgt limcp(x) = g)(x₀).

so erkennt man, daß y>(-r) — <p (*₀) dem Betrage nach kleiner als /’⁻²(x) — f'²{xo) ist. f'\x) — s²(x'o) konvergiert im Falle limx --- nach Null, weil lim f'²(x) = f'²(x₀) ist, wegen der Stetigkeit von f(x). Daher konvergiert auch cp(x) — <p (x₀) nach Null.

Der Bogen A X hat die Länge

Schreibt man

i i+/•'-(.,)-yi +r\x₀)

• dx.

>'=/y i +h*o

s ist eine Funktion von x mit dem Differential ds = y 1 + f'²(x) ■ dx.

Ersetzen wir f (x) durch ^ , so erhalten wir ds = y dx² + dy².

ds nennt man das Bogendifferential der betrachteten Kurve.

x²

Bei der Parabel y ----- ist

also die Länge des Bogens OP

ds² ----- dx² + dy² ----- dx² + —^r~,

• dx.

Wir führen die neue Veränderliche

ein. Dann ist

~1    { x²    eu +    e~a x    eu — e

V    ¹ + F ⁼    2    '¥“    2    ' *

Es ist jetzt leicht ein Integral dieses Differentials anzugeben. Offenbar ist

ein solches. Daher ist

also

I« 13.

• da;

(e2u — e~2u + 4 m)

dx

du,

/,:²

ein Integral von

und es wird also

yi+

s= y¹+f⁺1 io8 (f+v¹+p)-

• dx,

§ 40. Der Taylorsche Lehrsatz. f (x) habe in dem Intervalls (a, b) stetige Ableitungen bis zur n-ten Ordnung.

Da f(x) eine Stammfunktion von f {%) ist, können wir schreiben (vgl. S. 90)

(*)

f(b)-f(a)=sf(x)dx.

1) Die Grenzen sind eingeschlossen.

Auf dieses Integral wenden wir die partielle Integration an (S- 89). Danach ist

<£T

b    b

J s (x)dx — —J*f (x) d(b—x)

b

x)}l+s(b-x)df'(x)'

b    b

ss (x) dx = (b — a) f (a) +J f' (x) (6

— x) dx.

Setzen wir dies in (*) ein, so ergibt sich

b

f(b) = f(a) + (b-a)f\a)+slf”(x)(b

— x) dx.

Auf das hier auftretende Integral wenden wir wieder die partielle Integration an. Danach ist

b    b

sf"0*0 (P — %) dx = — j f (x) d (b — x)²

b

—+ \s'(p-xydf"(x)

b

= b ₂" f («) +1 j fix) (b — x)² dx.

Setzen wir dies in (**) ein, so erhalten wir

(V) f(J>)=/■(«)+(&—

b

a)tf"(a)+isr(x) (b-xydv

und können jetzt wieder die Partielle Integration anwenden u. f. f. Auf diese Weise gelangen wir zu der Formel

f (p) = f («) u-------y - f («) +

r(«)+•••

^><*> (x) (b — x)n~¹ dx,

(d - st)⁸

(5 —g)”-1 (w — i)_!

die als Taylorsche Formel (Taylorscher Lehrsatz) bezeichnet wird

Wenn f(x) in (a, b) Ableitungen von beliebig hoher Ordnung besitzt, so kann es sein, daß bei unendlich zunehmendem n

(t)

lim

{(n-iy.s‘f(n) (^)Q>-XY idx) ⁼⁰

wird. Dann können wir schreiben

f(h) = f(a) + hiaf(a)-{

{b — ay

12

r («)+•••

Das ist die Taylorsche Reihe.

Ersetzt man a durch 0 und b durch #, so entsteht die sogenannte Mac-Laurinsche Reihe

r(o)+---,

die aber gegenüber der Taylorschen Reihe nichts Neues ist. Beispiele zur Mac-Laurinschen Reihe stehen m § 34. Nur sind wir dort auf anderem Wege dazu gelangt. Der Leser behandle noch cos# und sin#. So oft man die Taylorsche oder Mac-Laurinsche Reihe anwendet, muß man sich überzeugen, daß die Bedingung (f) erfüllt ist.

Historische Übersicht?)

Die Vorläufer von Leidich und Newton.

Die ersten Anfänge der Infinitesimalrechnung finden sich schon in den klassischen Arbeiten der großen griechischen Geometer. Insbesondere gilt das von der Integralrechnung. Archimedes (287—212) war im Besitze einer Methode/die im wesentlichen eine Integralrechnung ist. Das zeigen besonders die kürzlich von Heiberg neu aufgefundenen archimedischen Schriften. Archimedes benutzte seine Methode zur Berechnung von Flächen- und Rauminhalten sowie zur Bestimmung von Schwerpunkten. Berühmt ist seine Quadratur eines Parabelsegments sowie seine Kreis- und Kugelberechnung.

Im Mittelalter sank die Mathematik von der Höhe, die die griechischen Geometer erreicht hatten, völlig herab, und als man im 15. Jahrhundert das Studium der griechischen Geometer begann, fehlte das Verständnis für die Strenge der Beweise, die wir bei jenen aus-

1) Nach Cantors Vorlesungen über Geschichte der Mathematik und Zeuthens Geschichteter Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert. Benutzt sind auch die beiden Schriften von Gerhardt „Die Entdeckung der Differentialrechnung durch Leibniz" und „Die Entdeckung der höheren Analysis." gezeichneten Denkern finden. Trotzdem wirkten besonders die Schriften des Archimedes anregend.

Der berühmte Astronom Johannes Kepler (1571—1630) erreichte eine große Virtuosität in der Handhabung infinitesimaler Methoden. Er kam vermöge seines feinen mathematischen Takts fast immer zu richtigen Ergebnissen, obwohl seine Methoden nichts weniger als exakt waren. In seiner „Stereometria doliorum yi-nariorum“ (Stereometrie der Weinfässer), die 1615 gedruckt ist, finden wir im ersten Abschnitt eine Rekapitulation der archimedischen Arbeit über Kugel und Zylinder. Hier können wir sehen, von welcher Art Keplers infinitesimale Betrachtungen sind und wie bei ihnen jede Spur eines wirklichen Beweises fehlt. Kepler erklärt z. B., die Kugel bestehe „gewissermaßen" aus unendlich vielen äußerst dünnen Kegeln, die ihre Spitze im Mittelpunkt und ihre Basis auf der Oberfläche der Kugel haben. So ist es dann leicht, den.Inhalt der Kugel zu finden, wenn man ihre Oberfläche schon kennt. In ähnlicher Weise berechnet Kepler die Volumina von anderen Körpern. So wenig dieses leichtfertige Umgehen mit dem Unendlichkleinen den Forderungen der mathematischen Strenge entspricht, so sehr hat es doch die Forschung gefördert. Man konnte sich leichter bewegen als in der schweren Rüstung einer strengen Methode.

Keplers Buch übte freilich keinen so großen Einfluß aus. Das gelang in höherem Maße der „Methodus indivisibilium“ des Mailänders Cavalieri (1591—1647), obwohl ihre Grundlagen unklar waren und viele Angriffe erfuhren. Wir wissen aus Briefen Cavalieris, daß der große Galilei (1564—1642) eine ähnliche Methode besaß. Cavalieris Hauptidee ist es, ein ebenes Flächenstück als den Inbegriff aller zu einer festen Geraden parallelen Sehnen zu betrachten und einen Körper als den Inbegriff aller zu einer festen Ebene parallelen ^ebenen Schnitte. Hierin steckt im Grunde der Begriff des bestimmten Integrals, aber doch in einer sehr unklaren Form. Cavalieris Methode wurde von Torricelli, einem Schüler Galileis benutzt, um den Flächeninhalt der Zykloide zu berechnen, und erfuhr auch sonst die mannigfachsten Anwendungen.

In Frankreich haben Fermat (1601—1665), Roberval(1602 bis 1672) und Pascal (1623—1662) Methoden zur Ausführung von Quadraturen entwickelt. Sie verließen z. T. die rein geometrische Darstellungsform, indem sie im Anschluß an Vieta (1540 bis 1603), der hierin als Vorgänger Descartes' zu betrachten ist, die geometrischen Gebilde ins Analytische übersetzten.

Eine äußerst fruchtbare Tätigkeit entfaltete in England Wallis (1616—1703), der sich vielleicht am weitesten von der Strenge der griechischen Geometer entfernt. In seiner „Arithmetica infinito-rum“ (1655) verwendet er mit großer Kühnheit Jnduktions- und Analogieschlüsse, die man sonst in ber mathematischen Wissenschaft nicht gewöhnt ist.

Wenn auch der Gegenstand, den Wallis behandelt, wie bei seinen Vorgängern die Bestimmung von Flächen- und Rauminhalten ist, so unterscheidet er sich doch von ihnen durch das ganz ausgesprochene Hervortreten der rechnerischen Seite. Er schreibt eine Arithmetica infinitorum.

Probleme, die, wie wir wissen, mit der Differentialrechnung zusammenhängen, sind das Tangentenproblem und das Problem der Maxima und Minima. Sie sind lange vor der Erfindung der Differentialrechnung in speziellen Fällen behandelt worden.

Es ist bekannt, daß schon die Griechen die Tangenten verschiedener Kurven konstruiert haben. Torricelli und Roberval lieferten eine nach ihrer Meinung allgemeine Tangentenmethode auf kinematischer Grundlage.^) In vollster Allgemeinheit konnte aber das Tangentenproblem erst nach der Erfindung der analytischen Geometrie durch Descartes (1596—1650) behandelt werden. Descartes selbst bezeichnet es in seiner Geometrie (1637) als das nützlichste und allgemeinste Problem der Geometrie. Freilich ist Des artes' eigene Lösung dieses Problems, bei der er sich eines die Kurve berührenden Kreises bedient, nicht sehr brauchbar.

Fermat entwickelte eine Methode der Maxima und Minima und eine Tangentenmethode, wobei er mit einem unendlich kleinen Inkrement der unabhängigen Veränderlichen operierte. Auf Grund dieser Tatsache haben sogar französische Mathematiker Fermat als den Erfinder der Differentialrechnung bezeichnet (z. B. Laplaee).

Der berühmte holländische Mathematiker und Physiker Huy-g ens (1629—1695) kannte die Arbeiten von Fermat und hat sich mit der Weiterführung und strengeren Begründung seiner Methode beschäftigt.

Auch Narrow (1630—1677), der Lehrer Newtons, hat Verdienste um das Tangentenproblem. Er knüpfte in vielen Punkten an Torricellis Arbeiten an.

1) Sie lösten mit Hilfe ihrer kinematischen Betrachtungsweise viele Aufgaben, z. B. gelang Roberval die Rektifikation der Zykloide.

Leitmiz.

Gottfried Wilhelm Leibniz wurde 1646 in Leipzig geboren. 15 Jahre alt wurde er 1661 in Leipzig als Student immatrikuliert. Er kam durch das Studium der Logik zur Mathematik, die aber damals an den deutschen Universitäten sehr wenig in Blüte stand. Es war nur die Elementarmathematik, die Leibniz in den Vorlesungen kennen lernte. Auch seine zeitweilige Übersiedelung nach Jena konnte seinen mathematischen Studien nicht besondere Förderung bringen.

Erst viel später, als er schon seine politische Laufbahn begonnen hatte, sollte er mit den neueren Fortschritten der Mathematik bekannt werden. Er kam im Jahre 1672 mit einer diplomatischen Mission nach Paris und lernte dort die berühmten Männer am Hofe Ludwigs XIV. kennen, unter ihnen Huygens. Dieser hatte gerade damals sein großes Werk „Horologium oscillatorium“ vollendet. Es handelt von der Pendeluhr und bietet im Anschluß daran eine Fülle mechanischer und geometrischer Untersuchungen. Als Leibniz dieses Buch las, erkannte er die Unzulänglichkeit seiner mathematischen Vorbildung, und er begann mit Eifer die Schriften der großen Mathematiker Descartes, Pascal usw. zu studieren. Es dauerte nicht lange, so machte er schon eigene Entdeckungen. Er fand einen Satz, mit dessen Hilfe sich viele schon bekannte Quadraturen in einfacher Weise ausführen ließen. Bei dieser Gelegenheit kam er auch auf die Formel

= 1-

- + —

Schon damals hat sich Leibniz mit der Konvergenz alternierender Reihen beschäftigt. Von ihm rührt auch der Satz her, den wir in §31, S. 63 angegeben haben, den er aber erst später (10. Jan. 1714) in einem Briefe an Johann Bernoulli streng beweist. Ein Brief Newtons, der ihm 1676 durch Oldenburg, den Sekretär der Londoner Gesellschaft der Wissenschaftenx) übermittelt wurde, zeigte Leibniz, wie große Fortschritte die englischen Mathe-? matiker auf dem von ihm betretenen Gebiet schon gemacht hatten. Der Newtonsche Brief enthält u.a. die Binomialreihe, sowie die

1) Leibniz hatte Oldenburg 1673 auf einer Reise nach London kennen gelernt,

Reihen für cos£ und sinx. Leibniz ließ sich aber nicht etwa entmutigen. Vielmehr steigerten die New torischen Mitteilungen seine Begeisterung für den Gegenstand. Schon 1673 beschäftigte er sich außer mit Quadraturen auch mit dem Tangentenproblem, und 1675 war er schon so weit, daß er die beiden jetzt in der ganzen Welt benutzten Operationszeichen d und s einführte. Das war ein Schritt von der allergrößten Bedeutung. Mit Recht sagt Leibniz später in einem Briefe an den Marquis de l’Höpital (1693), daß ein Teil des Geheimnisses der Analysis in der Bezeichnungsweise liegt, und er hat auch bei vielen anderen Gelegenheiten die Wichtigkeit einer zweckmäßigen Symbolik betont.² 3) Man kann mit einiger Sicherheit den Tag angeben, an welchem Leibniz zum ersten Male die beiden Symbole d und s nebeneinander benutzte. Es ist der 29. Oktober 1675. Leibniz ging sogleich daran, die einfachsten Regeln für das Rechnen mit diesen Symbolen aufzusuchen?) Er war sich bewußt eine neue Rechnungsart (novum genus calculi, wie er selbst sagt), gefunden zu haben und erkannte die große Tragweite derselben. Und gerade dies gibt uns das Recht, ihn für den wahren Erfinder der Infinitesimalrechnung zu halten. Man muß zugeben, daßLeib-niz sich an verschiedenen Stellen nicht klar darüber ausspricht, was seine Differentiale eigentlich bedeuten. Aber in seiner ersten Publikation über die Differentialrechnung, die 1684 in den Acta erudi-torum erfolgte, finden wir im Anfang die Differentiale genau so definiert, wie wir sie jetzt definieren. Es heißt dort wörtlich: „Gegeben sei eine Achse AX und mehrere Kurven YY, WW, YY, ZZ. Ihre zur Achse senkrechten Ordinaten YX, WX, YX, ZX, wollen wir mit v, w, y, z bezeichnen, den Abschnitt AX auf der Achse mit x. Die Tangenten seien YB, WC, YB, ZE. Sie mögen die Achse bezüglich in B, C, B, E treffen. Nunmehr wollen wir mit dx eine beliebig angenommene Strecke bezeichnen und die Strecke, welche sich zu dx verhält wie v (ober w oder y oder z) zu XB (oder XC oder XB oder XE), mit dv (oder dw oder dy oder dz) . .

dx = v'dx,

Da, wie wir wissen, v die Richtungskonstante der Tangente ist, so wird

xv

dv =

XB

also gerade das, was wir jetzt das Differential von v nennen.

Leibniz ging 1676 als Vorstand der herzoglichen Bibliothek nach Hannover. Dieses neue Amt und seine politische und philosophische Tätigkeit nahmen ihn stark in Anspruch. Er war aber doch immer mit dem Ausbau seines neuen Kalküls und mit Anwendungen desselben beschäftigt. Es finden sich in seinem Nachlaß verschiedene Entwürfe zu einer definitiven Publikation über den Gegenstand. Eine solche erfolgte aber, wie oben gesagt wurde, erst 1684. Inzwischen hatte sich Leibniz in einem Brief an Newton (1677) über seine Differentialrechnung ausgesprochen.

Kurfürst Friedrich III. berief Leibniz nach Berlin; hier gründete er die Akademie der Wissenschaften. Nach Hannover zurückgekehrt, war er 1713 damit beschäftigt dem Kurfürsten von Hannover die Thronfolge in England zu sichern, die ihm die Tories aberkennen wollten. Diese politische Tätigkeit trug wesentlich dazu bei, ihn mit Newton zu verfeinden, der ber Partei der Tories angehörte. 1714 kam der Kurfürst von Hannover auf den englischen Thron. Aber Leibniz fiel in Ungnade und war in den letzten Lebensjahren vereinsamt. Er starb, von heftigen körperlichen Leiden geplagt, 1716.

¹

(ß— a)M(a, ß) ist ein Rechteck, wobei aber alle Rechtecke, die unterhalb der w-Achse liegen, negativ gerechnet werden.

ANuGiS7: Kowalewski, Infinitesimalrechnung. 2. Aufl

²

   Am 26. März 1676 schreibt er: Illustribus exemplis quotidie disco, omnem solvendi pariter problemata et inveniendi theoremata artem, tune cum res ipsa imaginationi non subjacet aut nimis vasta est, eo redire, ut characteribus sive compendiis imaginationi subjiciatur, at-que quae pingi non possunt, qualia sunt intelligibilia, ea pingantur tarnen hieroglyphica quadam ratione, sed eadem et philosophica. Quod fit, 8i non ut pictores, mystae aut Sinenses similitudines quas-dam sectemur, sed rei ipsius ideam sequamur.

³

   Am 21 November 1675 fand er die Formel d(uv) = udv -f- vdu.

Newton.'

Isaak Newton wurde 1642 in Woolsthorpe bei Grantham in Lincolnshire geboren und kam 1661 als Student nach Cambridge. Hier studierte er Descartes' Geometrie und Wallis' Arith-metica infinitorum und hörte die Vorlesungen Barrows. Er hatte, wie man sieht, mehr Glück als Leibniz, der während seiner Studienzeit nichts von den neueren Fortschritten der Mathematik erfuhr. Newton dachte über alles, was er las, selbständig nach und „das stete Nachdenken" war, wie er selbst sagte, der Weg, auf dem er zu seinen großen Entdeckungen kam. In den Jahren 1665—67 fand er (durch das Studium von Wallis angeregt) die Binomial-formel für gebrochene positive und negative Exponenten (vgl. oben

S. 84) und verschiedene andere mit unendlichen Reihen zusammenhäm-gende Resultate.x) Auch legte er damals schon den Grund zu seiner

1) Z. B. die Reihenentwicklung algebraischer Funktionen.

Newton.

105

Fluxionsrechnung. Die direkte und die inverse Fluxionsrechnung sind dasselbe wie Differential und Integralrechnung. In jene Zeit fällt auch seine große Entdeckung der allgemeinen Gravitation. Die Grundidee der Fluxionsrechnung ist die, daß jede Veränderliche oder „Fluente" als Funktion der Zeit betrachtet wird. Die Zeit ist also die allgemeine unabhängige Veränderliche. Die Geschwindigkeit, mit der eine Fluente x sich ändert, nennt Newton die „Fluxion" von x und bezeichnet sie mit x. Ändert sich x gleichförmig, d. h. in gleichen Zeiten um den gleichen Betrag, so ifi;i konstant. Die New-t o n schen Fluxionen sind also dasselbe wie die Ableitungen oder Dif-ferentialquotienten, nur daß die Zeit die unabhängige Veränderliche ist.

Es muß überraschen, daß Newton, obwohl er schon so viele Anwendungen von seiner Fluxionsrechnung besaß, in seinem großen Werk „Philosophiae naturalis principia mathematicä“ (1686—87) keinen Gebrauch davon machte. Nach seiner eigenen Angabe hat er die meisten Resultate in diesem Buch mit Hilfe seiner Fluxionsrechnung gefunden und nach dem Erscheinen desselben zeigte auch L e i b -niz, wie leicht sich die meisten Resultate mittels der Infinitesimalrechnung ableiten lassen. Es kam aber Newton darauf an, so wichtige Untersuchungen, wie sie bte „Principia“ enthalten, m einer Form darzustellen, die den Leser nicht nötigt, erst eine neue Rechnungsart kennen zu lernen.

Publiziert hat Newton seine Fluxionsrechnung sehr spät, obwohl verschiedene Abhandlungen längst ausgearbeitet bei ihm lagen. Sein Hauptwerk über Infinitesimalrechnung „Methodus fluxionum et serierum infinitarum“ wurde erst nach seinem Tode (er starb 1727) gedruckt. Newton hatte immer eine große Abneigung, öffentlich aufzutreten. Es wird gesagt, daß ihn ein Gegenstand, den er bearbeitete, nicht mehr interessierte, sobald andere etwas darüber publiziert hatten. Das mag der Grund gewesen sein, daß seine Fluxionsrechnung so spät veröffentlicht wurde, zu spät, um sich neben dem schon verbreiteten Leib niz schen Kalkül Geltung zuverschaffen.

Der Prioritätsstreit Mischen Newton und Leitmiz.

Im Jahre 1699 ließ Nicolas Fatio de Duillier (einGen-fer, der Beziehungen zu Huygens hatte und Mitglied der Royal Society war) mit Genehmigung dieser Gesellschaft eine Schrift erscheinen, in der er Leibniz vorwarf, er habe seine Differentialrechnung nicht selbständig erfunden, sondern von Newton entlehnt.

Leibniz beschwerte sich wegen dieser Beschuldigung bei bet;Royal Society und ließ in den „Acta Eruditorum“ eine Antwort auf Fa-tios Angriffe erscheinen. Er führt Newtons eigenes Zeugnis an, der in den „Principia“ die Unabhängigkeit seiner und der L e i b n i z -schen Entdeckungen öffentlich anerkannt hatte (1687).

Im Jahre 1704 ließ Newton im Anhang eines optischen Werkes eine alte Abhandlung über die Quadratur der Kurven, die eine kurze Darstellung der Fluxionsrechnung enthält, drucken. Leibniz schrieb für die Acta Eruditorum eine Anzeige dieser Schrift, ohne aber seinen Namen zu nennen. In dieser Anzeige findet sich eine Bemerkung, die so aufgefaßt werden kann, als wolle sie Newton die Selbständigkeit der Erfindung absprechen und ihn von Leibniz abhängig machen. Newton scheint, damals durch politische Tätigkeit stark in Anspruch genommen, diesen Aufsatz nicht gelesen zu haben. Vielleicht hätte er sonst darauf geantwortet. Äeibniz benutzte auch den Tod Jacob Bernoullis (der zusammen mit seinem Bruder Johann viel für den Ausbau und die Anwendungen des Leibniz schen Kalküls getan hatte), um in einem Nekrolog die „Leibnizsche Jnfinitesimalanalysis" als eine große Erfindung hinstellen zu lassen, ohne daß dabei Newton erwähnt wurde.

Von der anderen Seite kam erst 1710 wieder ein Vorstoß. John Keill, ein Anhänger Newtons, schrieb eine Arbeit über Zentripetalkräfte und sagte darin geradezu, Leibniz habe die New-tonsche Fluxionsrechnung „unter Veränderung des Namens und der Bezeichnungsweise in den Acta Eruditorum veröffentlicht". Leibniz beschwerte sich wieder bei der Royal Society, deren Präsident damals Newton war. Es wurde dann schließlich eine Kommission eingesetzt, die den Tatbestand prüfen sollte. Sie sprach sich dahin aus, daß Newton der erste Erfinder der Infinitesimalrechnung sei. Die Schriftstücke, auf die sich das Urteil stützte, wurden gedruckt und überall verbreitet. Alle Bemühungen Leibnizens und unparteiischer Männer waren erfolglos. Während des ganzen 18. Jahrhunderts hat man die Entscheidung jener Kommission für maßgebend gehalten und erst das 19. Jahrhundert hat die Ehre unseres großen Landsmannes wiederhergestellt. Seine Unabhängigkeit von Newton ist mit ziemlicher Sicherheit nachgewiesen. Abhängig ist er nur — ebenso aber und vielleicht in noch höherem Maße Newton — von den Männern, die wir oben als die Vorläufer beider bezeichneten.

VERLAG VON B. G.TEUBNER IN LEIPZIG UND BERLIN

Dr. GERHARD KOWALEWSKI

ord. Professor an der k. k. deutschen Universität zu Prag

GRUNDZÜGE DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

Mit 31 Figuren

[VI u. 452 S.] gr. 8.    1909. In Leinwand gebunden JC. 12.—

DIE KOMPLEXEN VERÄNDERLICHEN UND IHRE FUNKTIONEN

Fortsetzung der Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, zugl. eine Einführung in die Funktionentheorie

Mit 124 Figuren

[IV u. 455 S.] gr. 8. 1911. Geh. JC 12.—, in Leinwand geb. JC 13.—

In einer in die Tiefe gehenden und umfassenden Darstellung werden in dem erstgenannten Werke die Grundzüge der Differential- und Integralrechnung behandelt. Der Kenner wird an vielen Stellen des Buches neue Formulierungen und Vereinfachungen bemerken, die das Studium der Infinitesimalrechnung erleichtern. Das zweite Werk des Verfassers „Die komplexen Veränderlichen und ihre Funktionen“ ist in erster Linie als eine Fortsetzung der „Grundzüge“, die sich nur auf das reelle Gebiet beschränkten, zu betrachten. In beiden Büchern wird eine möglichst große Exaktheit bei den Definitionen und Beweisen angestrebt. Man hat sich längst überzeugt, daß dabei die Einfachheit nicht zu leiden braucht.

Beide Bücher sind für solche Leser geeignet, die nach einer ersten Einführung in die Infinitesimalrechnung tiefer in den Gegenstand eindringen wollen, und auch für solche, die sich für eine den Anforderungen der mathematischen Strenge voll genügende Grundlegung dieser Disziplin interessieren.

Von Dr. W. Ahrens. 2., vermehrte und

Mathematische Unterhaltungen und Spiele.

verbesserte Auflage. In 2 Bänden, gr. 8.    1910. In Leinwand geb. I. Band. Mit

in Leinwand geb. Ji 1.25.

200 Figuren. Ji 7.50. II. Band. [In Vorbereitung.] Kleine Ausgabe: Mathematische Spiele. 170. Bändchen der Sammlung „Aus Natur und Geisteswelt.“ Mit einem Titelbild und 69 Figuren. 1907. Geh. Ji 1.

„Das mit großem Fleiße äußerst sorgfältig gearbeitete Werk ist als zuverlässiger Führer des Beifalls der Mathematiker sicher und wird sich gewiß auch bei allen Nichtmathematikern einbürgern, die einen Einblick in die geistvollen Gedanken nehmen, aus denen seit langer Zeit nach Art der Bätselfragen mannigfaltiger Stoff zu fröhlicher und befriedigender Unterhaltung entstanden ist. . . ."    (Deutsche Literaturzeitung.)

Scherz und Ernst in der Mathematik, 1904. In Leinwand geb. Ji 8.—

„Ein ,Büchmann⁴ für das Spezialgebiet der mathematischen Literatur. . . . Manch ein kurzes treffendes Wort verbreitet Licht über das Streben der in der mathematischen Wissenschaft führenden Geister. Hierdurch aber wird das sorgfältig bearbeitete Ahrenssche Werk eine zuverlässige Quelle nicht allein der Unterhaltung, sondern auch der Belehrung über Wesen, Zweck, Aufgabe und Geschichte der Mathematik.“

(J. Norrenberg in der Monatsschrift für höhere Schulen.)

Encyklopädie der Elementar-Mathematik.

Ein Handbuch für Lehrer und

Studierende von H. Weber und J. Weilstein, Professoren an der Universität Straßburg. In 3 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

I.    Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Weber. 3. Auflage. Mit 40 Figuren. 1909. Ji 10.—

II.    Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J. Well st ein und W. Jacob s-thal. 2. Auflage. Mit 251 Figuren. 1907. Ji 12.—

III.    Angewandte Elementar-Mathematik. 2. Auflage. I. Teil: Mathematische Physik. Mit einem Buch über Maxima und Minima von H. Weber und J. Wellstein. Bearbeitet von Bu dolph H. Weber, Professor in Rostock. Mit 254 Figuren. 1910. Ji 12.— II. Teil: Darstellende Geometrie, graphische Statik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, politische Arithmetik und Astronomie. Bearbeitet von

J.    Wellstein, H. Weber, H. Bleicher, J. Bauschinger. Mit 271 Figuren. 1912. M. 14.—

„Das Buch ist ein mathematisches Handbuch ersten Ranges und sowohl zur Neuerwerbung mathematischen Wissens als auch zur Wiederholung vortrefflich geeignet. Es kann daher jedem Freunde der Mathematik, jedem Seminarabiturienten, der auf diesem Gebiete weiterarbeiten will, jedem Studierenden der Mathematik — und noch manchem darüber hinaus auf das wärmste empfohlen werden.“

(Literarische Beilage zur Pädagogischen Zeitung.)

Elemente der Mathematik.

an der Technischen Hochschule in Karlsruhe. In 2 Bänden. In Leinwand geb.

I. Band: Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. 1908. Ji 8.60.

II. Band: Geometrie. Mit 403 Figuren. 1909. Ji 6.40.

Ergebnishefte zu den Aufgaben befinden sich in Vorbereitung.

. .Das Erscheinen dieses Buches ist ein Ereignis für den mathematischen Unterricht unserer höheren Schulen. Die Namen des französischen Verfassers und des deutschen Bearbeiters sind bereits von programmatischer Bedeutung. Einer der wichtigsten Programmpunkte in der Bewegung für die Umgestaltung und Erweiterung des Mathematikunterrichtes der höheren Schulen lautet: Pflege des auf zahlreichen Gebieten der Wissenschaft so wichtigen funktionalen Denkens schon auf der Schule. Emile Borei ist einer der hervorragendsten Funktionentheoretiker der Gegenwart und hat, so hoch die von ihm sonst bearbeiteten Teile der Analysis über den hier in Frage kommenden einfachsten Elementen auch stehen, es nicht für zu gering erachtet, Schulbücher zu verfassen und in diese die von der modernen Reformbewegung geforderten Elemente (Koordinatenbegriff und graphische Darstellung, Begriff der veränderlichen Größe und der Funktion) aufzunehmen. Seine Bücher sind für den Mathematikunterricht der französischen Schulen von größter Bedeutung geworden.“ (Frankfurter Zeitung.)

Von Professor J. Tannery. Mit einem geschichtlichen Anhang von P. Tannery. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. P. Klaeß. Mit einem Einführungswort von Felix Klein. Geh. Ji 7.—, in Leinwand geb. Ji 8.—

Elemente der Mathematik.

„Das Buch bietet schon stofflich sehr viel, da es neben der Elementarmathematik auch die zur Lektüre naturwissenschaftlicher Bücher heute unerläßlichen Grundbegriffe der höheren Mathematik vermittelt; aber sein Hauptreiz liegt in der Darstellungsform. Selten ist wohl ein mathematisches Lehrbuch geschrieben worden, das so frei ist von leerem Formelwesen, das so mutig allen unnötigen Ballast preisgibt, wie das vorliegende Werk.“    (Naturwissenschaftliche Rundschau.)

Mathematische Experimentiermappe.

Für den geometrischen Anfangsunterricht. Von Prof. Dr. G. Noodt, Oberlehrer an der Hecker-Kealschule zu Berlin. 9 Tafeln mit vorgezeichneten Figuren mathematischer Modelle, Werkzeug und Material zur Herstellung sowie erläuternder Leitfaden. Als Muster wird jeder Mappe ein fertiges Modell beigelegt. Preis in geschmackvollem Karton Ji 4.—

Das neue Unterhaltungs- und Bildungsmittel für Knaben im Alter von 12-16 Jahren bietet eine Anleitung zur selbsttätigen Herstellung von großenteils neuen mathematischen Modellen und das hierzu erforderliche Material und Werkzeug und will sich, gemäß den modernen Keformbestrebun gen auf dem Gebiete des mathematischen Unterrichts, in den Dienst einer intensiven Ausbildung des Anschauungsvermögens stellen. Denn gerade die Selbsttätigkeit der Schüler ist in hohem Grade geeignet, sie in frühester Jugend zum funktionalen Denken allmählich zu erziehen, indem man die Starrheit der geometrischen Gebilde aufgibt und die „Stücke“ durch Bewegung von Punkten, Drehen von Strecken usf. als voneinander abhängig erkennen läßt.

Lehrbuch der Physik.

Von Direktor E. Grimsehl. Zum Gebrauch beim Unterricht, bei akademischen Vorlesungen und zum Selbststudium. 2. Auflage. Mit 1296 Figuren, zwei farbigen Tafeln und Tabellen physikalischer Konstanten und Zahlentabellen. Geh. Ji 15.—, in Leinwand geb. Ji 16.—

(Der Tag.)

„...Das vorliegende Buch will denen, die eine höhere Schule besucht haben und das Bedürfnis fühlen, ihre erworbenen Kenntnisse lebendig zu erhalten und sie zu erweitern, ein zuverlässiger Führer und Berater sein. Auch die studierende Jugend wird vorteilhaft davon Gebrauch machen können. Beide auch deshalb, weil eine große Anzahl von Abbildungen den Text begleitet und erläutert. Im übrigen wird jeder Erwachsene dies umfangreiche Werk gern in seiner Bibliothek haben, da es an einem solchen Werke bisher fehlte, das ohne allzu große Gelehrsamkeit die in Betracht kommenden Kenntnisse übermittelt.“

Experimentelle Elektrizitätslehre.

Verbunden mit einer Einführung in die Maxwellsche und die Elektronentheorie der Elektrizität und des Lichtes. 2. Auflage. Mit 334 Abbildungen. In Leinw. geb. Ji12.—

zusammen

konnte auf so kleinem Raum so daß man es bei der Lektüre wirklich ,erlebt¹. Auch die prinzipiellen Seiten der technischen Anwendung sind sehr ausgiebig eingefügt, so daß das Buch gleichzeitig eine Einführung in die Elektrotechnik ist, wie es zurzeit keine bessere in Deutschland gibt.“

(H. Th. Simon in der Physikalischen Zeitschrift.)

„Ein Lehrbuch, wie das vorliegende, das von ganz modernem, theoretisch einheitlichem Standpunkte aus unsere Kenntnis auf dem Gebiete der Ätherphysik stellt, war längst ein Bedürfnis. Die Reichhaltigkeit des mitgeteilten, bis zu den neuesten Ergebnissen der Elektronentheorie reichenden Materials ist erstaunlich. Nur durch so echt wissenschaftliche Behandlung, also durch feste theoretische Fundierung, viel gebracht werden, und zwar so gebracht werden,

Populäre Astrophysik.

Von Dr. J. Scheinen. 2. Auflage. Mit 20 Tafeln und 210 Figuren. In Leinwand geb. Ji. 14.—

(Propyläen.)

„Soweit es überhaupt möglich ist, dem Laien einen Einblick in diese schwierige Materie zu erschließen, dürfte der Verfasser seine Aufgabe mit großer Geschicklichkeit gelöst haben. Der Vortrag Scheiners ist populärwissenschaftlich im besten Sinne: klar, eindringlich, frei von allen jetzt üblichen Mätzchen der naturwissenschaftlichen Popularschriftstellerei. Vortreffliche Abbildungen unterstützen das Verständnis des vortrefflichen Textes.“

Mathematische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Elementarmathematik für Schule und Leben

Unter Mitwirkung von Fachgenossen herausgegeben von

Dr. W. Lietzmann und Dr. A. Witting

Oberlehrer an der Oberrealschule zu Barmen

Prof, am Gymnasium zum Heiligen Kreuz zu Dresden

In Kleinoktavbändchen kart. je M. —.80.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an der Mathematik im weitesten Sinne des Wortes haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren und zu unterrichten. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung und eingehendere Bearbeitung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes mathematisches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser — ohne zu große Anforderungen an seine mathematischen Kenntnisse zu stellen — in neue Gebiete der Mathematik einführen.

Bisher sind erschienen:

1.    E. Löffler, Ziffern und Ziffernsysteme bei den Kulturvölkern in alter und neuer Zeit. 1912.

2.    H. Wieleitner, der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen Entwicklung. Mit 10 Figuren. 1911.

3.    W. Lietzmann, der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatsche Problem. Mit 44 Figuren. 1912.

4.    O. Meißner, Wahrscheinlichkeitsrechnung nebst Anwendungen. Mit 6 Figuren. 1912.

5.    H. E. Timerding, die Fallgesetze. Mit 20 Figuren. 1912.

6.    M. Zacharias, Einführung in die projektive Geometrie. Mit 18 Figuren. 1912.

7.    H.Wieleitner, die 7Rechnungsarten mit allgem.Zahlen. 1912.

8.    P. Meth, Theorie der Planetenbewegung. Mit 17 Figuren. 1912.

9.    A. Witting, Einführung in die Infinitesimalrechnung. Mit 40 Figuren. 1912.

E. Bentel, die Quadratur des Kreises. W. Lietzmann, der Eulersche Polyedersatz.

A. Schreiber, Ortsbestimmung auf dem Lande, zur See und in der Luft. H. Wieleitner, elemt. Mengenlehre.

In Vorbereitung befinden sich:

M. Winkelmann, der Kreisel.

A. Witting, abgekürztes Rechnen.

-graphische Darstellungen.

-und M. Gebhardt, Beispiele zur

Geschichte der Mathematik.

P. Zühlke, stereometr. Konstruktionen.

Bus JNatur und Gdfteewdt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen aus allen Gebieten des Wissens Jeder Land ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich

Jeder Bonb geh. M. t.—, In Leinwand geb. M. 1.25.

Übersicht nach Wissenschaften geordnet.

Allgemeines Bildungswrsen. Erziehung und Unterricht.

Das deutsche BildungSwesen in seiner ge- Das moderne Volksbildungswesen. Bücher-schichtlichen Entwicklung. Von weil. Prof, und Lesehallen. Volkshochschulen und ver-Dr. Friedrich Paulsen. 3 Ausl. Von wandte Bildungseinrichtungen in den wich-Prof. Dr. W. Münch. Mit einem Bildnis tigsten Kulturländern in ihrer Entwick-Paulsens.    (Bd. 100.) hing seit der Mitte des neunzehnten Jnhr-

Der Leipziger Student von 1409—1909. Hunderts. Von Stadtbibliothekar Dr. G. Von Dr. W. Bruchmüller. Mit 25 Abb. (Bd.273.) <5 r r tz. Mit 14 Abb.    (Bd. 266.)

Geschichte des deutschen Schulwesens. Von Die amerikanische Universität. Von PH. Oberrealschuldirektor Dr. K. Knabe. (Bd. 85.) D. E. D. Perry. Mit 22 Abb. (Bd. 206.) Das deutsche Nuterrichtswesen der Gegen- Technische wart. Von Oberrealschuldirektor Dr. K.    Von    Prof.

Knabe.    (Bd. 299.)    Karte    u.    Lageplatt.

Allgemeine Pädagogik. Von Prof. Dr. T h.

Ziegler. 3.    Ausl.    (Bd. 33.)

Experimentelle    Pädagogik    mit    besonderer

Rücksicht auf die Erziehung durch die Tat.

Bon Dr. W A Lay 2. Ausl. Mit 2 Abb (Bd.224.)

Psychologie des Kindes. Von Prof. Dr.

R. Gau pp. 3. Ausl. Mit 18 Abb. (Bd.213.)

Moderne Erziehung in Haus Von I. Tews. 2. Ausl.

Grobstadtpädagogik. Von I. Tews.

(Bd. 327.)

Schulkämpfe der Gegenwart. Von I. T e w s.

2. Ausl.    (93b. 111.)

Die höhere Mädchenschule in Deutschland.

Von Oberlehrerin M. Martin. (Bd. 65.)

Vom Hilfsschulwesen. Von Rektor Dr.

B. Maennel.    (58b. 73.)

Das deutsche Fortbildungsschulwe'en. Von Direktor Dr. F r. S ch i l l i n g. (Bd. 256.)

Knabenhandarbeit in der heutigen Erziehung. Bon Seminar-Dir. Dr. A. P a b st.

Mit 21 Abb. u. 1 Titelbild. (Bd. 140.)

Hochschulen S. Müller.

in Nordamerika. Mit zahlr. Abb.. (Bd. 190.)

Volksschule und Lehrerbildung der Vereinigten Staaten. Von Dir. Dr. F.Kuypers. Mit 48 Abb. u. 1 Titelbild. (Bd. 150.)

Deutsches Ringen nach Kraft und Schönheit. Aus den literarischen Zeugnissen eines Jahrhunderts gesammelt. Von Turninspektor K. Möller. 2 Bde. Band II:

(Bd. 188/189.) Schulhygiene. Von Prof. Dr. L. B ur-gerstein. 3. Aufl. Mit 33 Fig. (Bd. 96.)

Jugend-Fürsorge. Von Waisenhaus-Direktor Dr. I. Petersen. 2 Bde.

(Bd. 161. 162.) Pestalozzi. Sein Leben und seine Ideen. Von Prof. Dr. P. Natorp. 2. Anst. Mit 1 Bildnis u. 1 Brieffaksimile. (Bd. 250.) Herbarts Lehren und Leben. Von Pastor O. Flügel. Mit 1 Bildnisse Herbarts.

(Bd. 164.)

Friedrich Fröbel. Sein Leben und sein Wirken. Von A. von Portugals Mit 5 Tafeln.    (Bd.    82.)

Religionswissenschaft.

Leben und Lehre des Buddha. Bon weil. Mystik im Heidentum und Christentum. Prof. Dr. N. Pischel. 2. Aufl. von Prof. Von Dr. E. Lehmann.

Dr. H. Lüders. Mit 1 Tafel. (Bd. 109.) Palästina und seine Geschick»

Dr. H. Freiherr von Sod

Germanische Mythologie. Von Prof. Dr. Mit 2 Karten,

I. v. Negelein. 2. Aufl. (Bd. 95.)

und Schule. (Bd. 159.)

In Vorb.

Die

(Bd. 217.) te. Von Prof, e n. 3. Aufl. 1 Plan u. 6 Ansichten.

(Vd. 6.)

Geschicht-Pastor C. (Bd. 89.)

sein Werk. Von (Bd. 309.)

Der Apostel Paulus und Prof. Dr. E. Bischer.

Christentum und Weltgeschichte. Von Prof. Dr. K. Sell. 2 Bde. (Bd. 297. 298.)

(93b. 66.)

Palästina und seine Kultur in fünf Jahrtausenden. Von Gymnasialoberlehrer Dr. P. Thomsen. Mit 36 Abb. (Bd. 260.) Die Grundzüge der israelitischen Reli-gionsgeschichtk. Von Prof. Dr. Fr. Giese-brecht. 2. Ausl.    (Bd. 52)

Die Gleichnisse Jesu. Zugleich Anleitung zu einem quellenmäßigen Verständnis der Evangelien. Bon Lic. Prof. Dr. H. Weinet. 3. Aufl.    (Bd. 46.)

Wahrheit und Dichtung im Leben Jesu. Von Pfarrer D.P.Mehlh orn. 2.Aufl. (93b. 137.)

Jesus und seine Zeitgenossen, liches und Erbauliches. Bon B o n h o f f.

Der Text des Neuen Testamentes nach seiner geschichtlichen Entwicklung. Von Div.-Pfarrer A. Pot t. Mit 8 Tafeln.

(Bd. 134.)

Aus der Werdezeit des Christentums. Studien und Charakteristiken. Von Prof. Dr. I. Geffcken. 2. Aufl.    (Bd. 54.)

Luther im Lichte der neueren Forschung. Ein kritischer    Bericht.    Von    Prof. Dr.

H. Voehmer. 2. Aufl. Mit 2 Bildn. Luthers.    (Bd. 113.)

Johann Calvin. Von Pfarrer Dr. G. Sode ur. Mit 1    Bildnis.    (Bd. 247.)

Die Jesuiten. Eine historische Skiz^. Von Prof.Dr.H.Voehmer. 2. Ausl. (Bd. 49.)

Die religiösen    Strömungen    der    Gegenwart.

Von Superintendent v. A. H. B r a a s ch. 2. Auf. läge.

Die Stellung der Religion im Geistesleben. Von Lic. Dr. P. Kalweit. (Bd. 225.)

Religion und Naturwissenschaft in Kampf und Frieden. Ein geschichtlicher Rückblick. Von Dr. A. Pfannkuche. 2. Aufl. (93b. 141.)

Einführung in die Theologie: Pastor M. Cor-Nils.    (Bd. 347.)

Philosophie und Psychologie.

Von Prof.

(Bd. 155.)

(93b. 345.)

Griechische Weltanschauung, doz. Dr. M. Wundt.

Die Weltanschauungen her großen Philosophen der Neuzeit. Bon weil. Prof. Dr. L. Busse. 5. Aufl., herausgegeben von Prof. Dr. N. F a l ck e n -berg.

Die Philos phie der Gegenwart in Tentschland.

Eine Charakteristik ihrer Hauptrichtungen. Bon Prof. Dr O. Külpe. 5. Aufl.

Rousseau. Von Prof. Dr. P. Hensel. Mit 1 Bildn.    (Bd. 180.)

Einführung in die Philosophie.

Dr. R. Richter. 2. Aufl.

Die Philosophie. Einführung in die Wissenschaft, ihr Wesen und ihre Probleme. Von Realschuldirektor H. Richert. (Bd. 186.) Aesthetik. Dr.N. Hamann.

Führende Denker. Geschichtliche Einleitung tit die Philosophie. Von Prof. Dr. I. Cohn. 2. Aufl. Mit 6 Bildn.    (Bd. 176.)

Von Privat-(Bd. 329.)

(Bd. 56 ) (Bd. 41.)

Immanuel Kant. Darstellung und Würdigung. Bon Prof. Dr. O. Külpe. 2. Aufl. Mit 1 Bildn.    (Bd. 146.)

Schopenhauer. Seine Persönlichkeit, seine Lehre, seine Bedeutung. Von Realschuldirektor H. Mich er t. 2. Aufl. Mit 1 Bildnis.    (Bd. 81.)

Herbert Spencer. Von Dr. K. Schwarze. Mit 1 Bildn.    (Bd. 245.)

Aufgaben und Ziele des Menschenlebens. Von Dr. I. Uno 15. 3. Aufl. (Bd. 12.)

Sittliche Lebensanschauungen der Gegenwart. Von weil. Prof. Dr. O. Kirn. 2. Aufl.

(Bd. 177.)

Die Mechanik des Geisteslebens. Von Prof. Dr. M. Verworn. 2. Aufl. Mit 18Fig.

(Bd. 200.)

Die Seele des Menschen. Bon Prof. Dr. I. Mehmke. 3. Ausl.    (Sb.    36.)

Hypnotismus und Suggestion. Von Dr. E.Trömner.    (Bd.    199.)

Kunst des (Bd. 3io.)

Wie wir sprechen. Von Dr. E. Richter.

(Bd. 354.)

Literatur und Sprache.

Die Sprachstämme des Erdkreises. Von Rhetorik. Richtlinien für weil. Prof. Dr. F. R. Finck. (Bd. 267.) Sprechens. Bon Dr. E. Geis Die Haupttypen des menschlichen Sprachbaues. Von weil. Prof. Dr. F. N. Finck.

(Bd. 268.)

Von Di-(93b. 296.)

Das Theater. Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griech. Altertum bis auf die Gegenwart. Von Dr. Chr. Gaehde.

Mit 20 Abb.

Die deutschen Personennamen, rektor A. Bähnisch.

Das deutsche Volkslied, über Wesen und Werden des deutschen Volksgesanges. Von vr. I. W. Bruinier. 4. Aufl. (93b. 7.)

Die deutsche Volkssage. Von vr. O. B ö ck e l.

(93b. 262.)

(Bd. 230.)

Das Drama. Von Dr. B. Buss e. Mi't Abbildungen. 2 Bde. (Bd. 287/288.) 93b. I: Von der Antike zum französischen Klassizismus.    (Bd. 287.)

Bd. II: Von Versailles bis Weimar (Bd. 288.)

Geschichte der deutschen Lyrik feit Claudius. Von Dr. H. Spiero. (Bd. 254.)

Schiller. Von Prof. vr. Th. Siegler. mt Bildnis Schillers. 2. Aufl (Bd. 74) Das deutsche Drama des neunzehnten Jahrhunderts. In seiner Entwicklung dar- ' gestellt von Prof. Dr. G. Witkowski ? B. Aufl. Mit 1 Bildn. Hebbels. (Bd 51.) ! Deutsche Romantik. Von Prof. Dr. O. F. : Walzel. 2. Aufl    (Bd. 232.) ,

Friedrich Hebbel. Von vr. A. S ch a -pire-Neurath. Mit 1 Bildn. Hebbels.

(93b, 238.)

Gerhart Hauptmann. Bon Prof. Dr. E. Sulger-Gebing. Mit 1 Bildn. Gerhart Hauptmanns.    (Bd. 283.)

Henrik Ibsen. Björnstjerne Bsörnion und ihre Zeitgenossen. Bon weil. Prof. Dr. B Kahle. Mit 7 Bildn.    (Bd. 193.)

Shakespeare und seine Zeit. Von Prof. Dr. E. (Sieber. Mit 3 Taf. n. 3Tertb.

(Bd. 185.)

d. 8.)

Bildende Kunst und Musik.

Bau und Leben der bildenden Kunst. Von Dir. Prof. vr. T h. V o l b e h r. Mit 44 Abb.

(Vd. 68.)

Die Ästhetik. Don Dr. R. Hamann.

(Bd. 345.)

Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst. Von Dr. E. Cohn-Wiener. 2 Bde. Mit zahlr. Abb.

(Bd. 317/318.) Band I: Vom Altertum bis zur Gotik.

Mit 67 Abb.    (Bd. 317.)

Band II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abb. (Bd. 318.)

Die Blütezeit der griechischen Kunst im

Spiegel der Reliefsarkophage. Eine Einführung in die griechische Plastik. Von vr. H. Wachtler. Mit 8 Taf. u. 32Abb.

(Bd. 272.)

Deutsche Baukunst im Mittelalter. Von Prof. Dr. A. Matth aei. 3. Aufl. Mit 29 Abb.    (93

Deutsche Baukunst feit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18. Jahrhunderts. Von Prof. Dr. A. Matthaei. Mit 62 Abb. u. 3 Taf.    (Bd. 326.)

Die deutsche Illustration. Von Prof. Dr. R, Kautzsch. Mit 35 Abb. (Bd. 44.) Deutsche Kunst im täglichen Leben bis zum Schlüsse des 18. Jahrhunderts. Von Prof. Dr. B Saendck e. Mit 63 Abb. (Bd. 198.) Albrecht Dürer. Von Dr. R. Wustmann. Mit 33 Abb.    (Bd. 97.)

Rembrandt. Von Prof. Dr. P. Schub-ring. Mit 50 Abb.    (Vd. 158.)

Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert. Bon

Dr. H.Jantzen. Mit zahlr. Abbild. (Bd. 373.)

Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß aus Europa. Von Direktor Prof. Dr. R Graul. Mit 49 Abb.    (Bd. 87.1

Kunstpflege in Haus und Heimat. Von Superintendent Richard B ü r k n e r. 2. Aufl. Mit 29 Abb.    (Bd. 77.)

Geschichte der Gartenkunst. Von Reg.» Baum. Chr. Ranck. Mit 41 Abb.

(Bd. 274.)

Die Grundlagen der Tonkunst. Versuch einer genetischen Darstellung der allgemeinen Musiklehre. Bon Prof Dr. H. Rietsch.    (S8b. 178.)

Einführung in das Wesen der Musik. Von Prof. C. R. Hennig.    (Bd. 119.)

Klavier. Orgel. Harmonium. Das Wesen der Tasteninstrumente. Von Prof. Dr. O. 93ie.    (Bd. 325.)

Geschichte der Musik. Von vr. F r. S p i r o.

(Bd. 143.)

Haydn. Mozart, Beethoven. Von Prof. Dr. C. Krebs. Mit 4 Bildn. (Bd. 92.)

Die Blütezeit der musikalischen Romantik in Deutschland. Von Dr. E. Iste 1 Mit 1 Silhouette.    (Vd. 239.)

Das Kunstwerk Richard Wagners. Von Dr. E. 5fiel. Mit 1 Bildnis R. Wagners.

(Bd. 330.)

Das moderne Orchester in feiner Entwicklung. Von Prof. Dr. F r. Volbach. Mit Partiturbeisp. u. 2 Jnstrumententab. (Bd. 308.)

Geschichte und Kulturgeschichte.

Das Altertum im Leben der Gegenwart.

Von Prof. Dr. P. C a u e r.    (Bd. 356.)

Kulturbilder aus griechischen Städten.

Von Oberlehrer Dr. E. Ziebarth. 2. Aufl. Mit 23 Abb. u. 2 Tafeln.    (Bd. 181.)

Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien. Von Prof. Dr. F r. v. D u h n. 2. Aufl. Mit 62 Abb.    (Bd. 114.)

zialc Kämpfe im alten Rom. Von Pri-vatdoz. Dr. L. Bloch. 2. Aufl. (Bd. 22.) Roms Kampf um die Weltherrschaft. Von Prof. Dr. I. Kromayer.

Byzantinische Cherakterköpfe. Von Pri-vatdoz. Dr. K. Dieterich. Mit 2 Bildn.

(Bd. 244.)

Germanische Kultur in der Urzeit. Von Prof. Dr. G. Steinhaufen. 2. Aufl. Mit 13 Abb.    (Bd. 75.)

Mittelalterliche Kulturideale. Von Prof. Dr. 93. Ke bei. 2 Bde.

Bd. I: Heldenleben.

Bd.II: Nitterromantik.

Deutsches Frauenleben im Wandel der Jahrhunderte. Von Dir. Dr. E. Otto. 2. Aufl. Mit 27. Abb.    (Bd. 45.)

So

(Bd. 368.)

Das Buchgewerbe und die Kultur. Sechs Vorträge, gehalten im Auftrage des Deutschen Buchgewerbevereins. Mit 1 Abb.

(Bd. 182.)

Schrift- und Buchwesen in alter und neuer Seit. Bon Prof. Dr. O. Weise. 3. Aufl. Mit 37 Abb.    (Bd. 4.)

Das Zeitungswesen. BonDr. H. Diez (93b.328.)

Das Zeitalter der Entdeckungen. Von Prof. Dr. ©. Günther. 3 Aufl. Mit 1 Weltk.    (Bd. 26.)

Don Luther zu Bismarck. 12 Charakterbilder aus deutscher Geschichte. Von Prof. Dr. O. Weber.    (Bd. 123. 124.)

Friedrich der Grosze.

Von Prof. Dr. Th. B Bildn.

(Bd. 292.) (Bd. 293.)

Deutsche Städte und Bürger im Mittelalter. Von Prof. Dr. B. H e i l. 3. Aufl. Mit zahlr. Abb. u. 1 Doppeltafel. (Bd. 43.)

Vorträge. ' Mit 2 246.)

Geschichte der Französischen Revolution. Von Prof. Dr. T h. Sitter auf.

(Bd. 346.)

Napoleon I. Von Prof. Dr. T h. Bitter-auf. 2. Aufl. Mit 1 Bildn. (Bd. 195.)

Politische Hauptströmungen in Europa im 19. Jahrh. Von Prof. Dr. K. T h. v. Heigel. 2. Aufl.    (Bd. 129.)

(Bd.

olland und aum. a. D. (Bd. 117.)

Restauration und Revolution. Skizzen zur Entwicklungsgeschichte der deutschell Einheit. Von Prof. Dr. R. Schwe m e r. 2.

(Bd. 37.)

Historische Städtebilder aus H Niederdeutschland. Von Reg.-B A. Erbe. Mit 59 Abb.

Das deutsche Dorf. Von R. Mielke. Mit 51 Abb.    (Bd. 192.)

»SÄ. Mit «55 SiSÄSfÄ»

x«    »>«t*■"    « « “l;!¹'

Hauses. Von Reg.-Baum. Chr. Ranck. 1C/|Q

Mit 70 Abb.    (Bd. 121.) Z848. Sechs Vor rage. Bon Prof. Dr

Geschichte des deutschen Vauerustandes. ®    ²' ⁾‘i,.

Bon Prof. Dr. H. Gerdes. Mit 21 Abb. eitcrreichs innere Geschichte von 1848 bis (Bd. 320.) 1907. Von Richard CH arm atz. 2 deutsche Handwerk in seiner kultur- Bde. [I 2. Aufb.j Band I: Die Vorherrgeschichtlichen Entwicklung. Von Dir. Dr Aast der Deutschen. (Bd. 242). Band II: E. Otto. 3. Aufl. Mit 27 Abb. (Bd. 14.) Der Kampf der Nationen.

Deutsche Volksfeste und Volkssitten. Von Englands Weltmacht in ihrer Entwicklung H. S. Nehm. Mit 11 Abb. (Bd. 214.) vom 17. Jahrhundert bis auf unsere Tage.

D-«tsch^e Volkstracht-«. Von SB^rterJ. $ ®i?bn.f' ^    Wd. 174*)

Familien,orfchuug. Von Dr. E.D-»ri°nt. | ® d«    Staaten n.«

Die Münze als hist. Denkmal sowie ihre    ^ M ^ (Bd. 147.)

Bedeutung im Rechts- und Wirtschafts- Die Amerikaner. Bon N. M. Butler, leben. Von Prof. Dr. A. Luschin v. Deutsche Ausg. bes. von Prof. Dr. W. Ebengreuth. Mt 53 Abb. (Bd. Si.) Paszkows ki.    (Bd. 319.)

Aufl.

Die Reaktion und die neue Ära. Skizzen zur Entwicklungsgeschichte der Gegenwart. Bon Prof. Dr. R. Smwemer. (Bd. 101.)

Das

(Bd. 243.)

Vom Kriegswesen im 19. Jahrhundert. Von Major O. v. S o t h e n. Mit 9 über-sichtsk.    (Bd. 59.)

Der Krieg im Zeitalter des Verkehrs und der Technik. Von Hauptmann A. M e y e r. Mit 3 Abb.    (Bd. 271.)

Der Seekrieg. Eine geschichtliche Entwicklung vom Zeitalter der Entdeckungen bis

zur Gegenwart. Bon K. Freiherrn von Maltzahn, Vize-Admiral a. D. (Bd. 99.)

Die moderne A. H. Fried.

Die moderne Frauenbewegung. Ein geschichtlicher überblick. Von Dr. K. Schir -

(Bd. 67.)

Friedensbewegung

Bon

157.)

macher. 2. Ausl.

Rechts- und Staatswissenfchaft. Volkswirtschaft.

Deutlches Fürstentum und btfd). Berfas- Geschichte d. deutschen Handels, snngsw. Von Pros. Dr. Ed. Hnbrich. Dr. W. Langendeck.

(Bd. 80.)

Grundzüge der Verfassung des Deutschen Reiches. Von Prof. Dr. E. Loening.

3. Ausl.    (Bd. 34.)

Moderne Rechtsprobleme. Von Prof. Dr.

Der gewerbliche Rechtsschutz in Deutschland. Von Patentanw. B. Tolksdorf.

(Bd. 138.)

Die Miete nach dem B. G.-B. Ein Handbüchlein für Juristen, Mieter und Vermieter. Von Rechtsanw. Dr. M. S t r a u ß.

(Bd. 194.)

Das Wahlrecht. Von Reg.-Nat Dr. O.

Poensgen.    (Bd. 249.)

Die Jurisprudenz im häuslichen Leben.

Für Familie und Haushalt dargestellt. Von Rechtsanw. P. Bienengräber. 2 Bde.

(Bd. 219. 220.)

Finanzwissenschaft. Von Prof. Dr. S. P.

Alt mann.    (Bd. 306.)

Von Prof. (Bd. 237.)

Deutschlands Stellung in der Weltwirtschaft. Von Prof. Dr. P. Arndt.

(Bd. 179.)

Deutsches Wirtschaftsleben. Auf geographischer Grundlage geschildert. Von weil. Prof. Dr. Chr. ©ruber. 3. Ausl. Neu-bearb von Dr. H. 91 ein lein.    (Bd 42.)

Die Ostmark. Eine Einführung in die Probleme ibrer Wirtschaftsgeschichte. Von Prof. Dr. W. Mitscherlich.    (Bd.    351.)

Die Entwicklung des deutschen Wirtschafts, lebens im letzten Jahrh. Von Prof. Dr. L. Pohle. 2.    Aufl.    (Bd.    67.)

Das Hotelweseu. Von Paul Damm-(Stienne. Mit 30 Abb.    (Bd. 331.)

Die deutsche Landwirtschaft. Von Dr. W. Claaßen Mit 15 Abb. u. 1 Karte. (Bd. 215.)

Die Japaner in der Weltwirtschaft. Von Prof. Dr. K. Rathgen. 2. Ausl Die Garteustadtbewegung. Von General-sekr. H. Kampfs men er. Mit 43 Abb.

(Bd. 259.)

Das internationale Leben der Gegenwart. Von A. H. F r i e d. Mit 1 Tafel. (Bd. 226.) Bevölkerungslehre. Von Prof. Dr. M. Haushofer.

__    ,. Arbeiterschutz und

egnngen und Theorien bis zur Von Prof. Dr. O. v.

Arbeiterbewegung. Von G. d e n h o r st. 2. Aufl.

08b. 2.) Jas Recht der kausmännischen Angestellten. Von Geschichte der sozialistischen Ideen im 19. Rechtsanwalt Dr. M. Strauß.

Jahrh. Von Privatdoz. Dr. Kr. Mückle. Die Konsumgenossenschaft. Von Prof. Dr. 2 Bände. (Bd. 209. 270.) Band!: Der F. Staudinger.    (Bd. 222.)

rational- SoäisiItsmuä (8b 269 ) Sattbll: $(r Frauenarbeit. Ein Problen, des Ka. Uche^ozialismus ^wEungvgeschlcht- pitalirmuL Von Prost Dr. 8i. ^Ubrandt

Geschichte des Welthandels. Von Prof. Dr. Grundzüge des Versicherungswesens. Bon M. G. Schmidt. 2. Aufl.    (Bd. 118.) Prof. Dr. A. Manes. 2. Ausl. (Bd. 105.)

Soziale Bewe modernen Maier. 4. Aufl.

Dr. L.

115.)

(Bd. 72.)

(Bd. 50.)

Ardeiterversich Zwiedineck

eruug.

- S ü -(Bd. 78.)

(Bd. 361.)

den

(Bd. 122.) Von Dr. E. (58b. 353.)

Erdkunde.

Unsere Schutzgebiete nach ihren wirtschaftlichen Verhältnissen. Im Lichte der Erdkunde dargestellt. Von Dr. Chr. G.

(Bd. 290.)

VerkehrsenLwicklnng in Deutschland. 1800 — 1000 (fortgeführt bis zur Gegenwart). Vorträge über Deutschlands Eisenbahnen und Binnenwasserstraßen, ihre Entwicklung und Verwaltung sowie ihre Bedeutung für die heutige Volkswirtschaft. Von Prof. Dr. W. Lotz. 3. Aufl. (Bd. 15.)

Mensch und Erde. Skizzen von den Wechselbeziehungen zwischen beiden. Von weil. Prof. Dr. A. Kirchhofs. 3. Aufl.

(Bd. 31.)

Die Eiszeit und der vorgeschichtliche Mensch. Von Prof. Dr. G. S t e i n m a n n. Mit 24 Abb.    iBd. 302.)

Die Polarsorschung. Geschichte der Entdeckungsreisen zum Nord- und Südpol von ältesten Zeiten bis zur Gegenwart. Von Prof. Dr. K. koffert. 2. Aufl. Mit 6 Kartell.    (Bd. 38.)

Die Städte. Geographisch betrachtet. Von Prof. Dr. K. Hassert. Mit 21 Abb.

(Bd. 163.)

Wirtschaft!. Erdkunde. Von weil. Prof. Dr. Chr. Gruber. 2. Aufl. Bearbeitet von Prof. Dr. K. Dove.

Politische Geographie.

Schöne.

Die deutschen Volksstämme und Landschaften. Von Prof. Dr. O. Weise. 4. Ausl. Mit 29 Abb.    (Bd. 16.)

Das Postwesen, seine Entwicklung und Bedeutung. Von Postr. I. Bruns. (Bd. 165.) Die Telegraphie in ihrer Entwicklung und Bedeutung. Bon Postr. I. Bruns. Mit 4 Fig.    (Bd. 183.)

Deutsche Schiffahrt und Schiffahrtsvolitik der Gegenwart. Bon Prof. Dr. K. Thie fe. (Bd.iöS.)

Ostieegebiet. Von Privatdozent Dr. G. Braun.

(Bd. 367.)

Die Alpen. Von H. Reishauer. Mit 26 Abb. u. 2 Karten.    (Bd. 276.)

Die deutschen Kolonien. (Land und Leute.) Von Dr. A. Heilborn. 3. Aufl. Mit 26 Abb. u. 2 Karten.    (Bd. 98.)

Barth.

Australien und Neuseeland Land, Leute und Wirtschaft. Von Prof. Dr. R. S ch a ch n e r. (Bd.366.) Der Orient. Eine Länderkunde. Von E. Banse. 3 Bde. Mit zahlr. Abb. u. Karten.    (Bd. 277. 278. 279.)

Band I: Die Atlasländer. Marokko, Algerien, Tunesien. Mit 15 Aob., 10 Kartenskizzen. 3 Diagr. u. 1 Tafel. (Bd. 277.) Band II: Der arabische Orient. Mit 29 Abb. u. 7 Diagr. (Bd. 278.) Band III: Der arische Orient. Mit 34 Abb., 3 Kartenskizzen u. 2 Diagr. (Bd. 279.)

Anthropologie. Heilwiffenschast und Gesundhritslehrr.

Der Mensch der Urzeit. Vier Vorlesungen aus der Entwicklungsgeschichte des Menschengeschlechts. Von Dr. A. Heilborn.

2. Aufl. Mit zahlr. Abb. (Vd. 62.)

Die moderne Heilwisseuschaft. Wesen und Grenzen des ärztlichen Wissens. Von Dr. ß. 33 i ernst cf i. Deutsch von Dr. SEbel. (Bd.25.) i Der Arzt. Seine Stellung und Aufgaben c int Kulturleben der Gegenwart. Ein Leitfaden der sozialen Medizin. Von Dr. med.

M. Fürst.    (Bd. 265.)

Der Aberglaube in der Medizin und seine Gefahr für Gesundheit und Leben. Von Pros. Dr. D. v o n H a n s e m a n n. (Bd. 83.)

Arzneimittel und Genußmittel. Bon Prof. Dr.

O. Schmiedeberg.

Bau und Tätigkeit des menschlichen Körpers. Von Prof. Dr. H. Sachs. 3. Aufl. Mit

(Bd. 32 )

Die Anatomie des Menschen. Von Prof.

Dr. K. v. Bardeleben. 5 Bde. Mit zahlr. Abb. (Bd. 201. 202. 203. 204. 263.)

1. Teil: Allg. Anatomie und Entwicklungsgeschichte. Mit 69 Abb. (Bd. 201.) II. Teil:

Das Skelett. Mit 53 Abb. (Bd. 202.)

XII. Teil: Das Muskel- und Gefäßshstem.

(Bd. 363.)

37 Abb.

Mit 68 Abb. (Bd. 203.) IV. Teil: Die Eingeweide (Darm, Atmungs-, Harn- u. Geschlechtsorgane). Mit 38 Abb. (Bd. 204.) V. Teil: Statik und Mechanik des mensch-lichen Körpers. Mit 20 Abb. (Bd. 263.) Moderne Chirurgie. Von Prof. Dr. Feß -(er. Mit Abb.    (58b. 339.)

Acht Vorträge aus der Gesundhritslehre. Von weil. Prof. Dr. H. B u ch n e r. 3. Aufl., besorgt von Prof. Dr. M. v. Grube r. Mit 26 Abb.    (Bd. 1.)

ihre Er-Rosin. (Bd. 312.)

menschliche Gebitz, seine Erkrankung und Pflege. Von Zahnarzt Fr. Jäger. Mit 24 Abb.    (Bd. 229.)

Körperliche Verbildungen im Kindesalter und ihre Verhütung. Bon Dr. M. David. Mit 26 Abb.    (Vd. 321.)

Schulhygiene. Von Prof. Dr. L. B u r g e r st ei n. 3. Aufl. Mit 33 Fig.

Vom Nervensystem, seinem Bau und seiner Bedeutung für Leib und Seele in gesundem und krankem Zustande. Von Prof. Dr. 3i. 3 a n b e r. 3. Ausl. Mit 27 Fig. (58b.48.)

Herz. Blutgefäße und Blut und krankungen. Von Prof. Dr. H. Mit 18 Abb.

Das

(Bd 96.)

Die fünf^Siune des Menschen. Von Prof.

Abb. ' CCl ld' ²*    “ (30b!lt27.)

Das Auge des Menschen und seine Gesundheitspflege. Von Prof. Dr. msä. G. Abels-dorff. Mit 15 Abb.    (Bd. 149)

Die menschliche Stimme und ihre Hygiene. Von Prof. Dr. P. H. Gerber. 2. Aufl. Mit 20 Abb.    (Bd. 136.)

Die Geschlechtskrankheiten, ihr Wesen, ihre Verbreitung, Bekämpfung und Verhütung. Von Generalarzt Prof. Br. W. Schumburg. 2. Aufl. Mit 4 Abb. und l Tafel. (Bd. 251.) Die Tuberkulose, ihr Wesen, ihre Verbreitung, Ursache, Verhütung und Heilung. Bon Generalarzt Prof. Dr. W. Schumburg. 2. Aufl. Mit 1 Tafel und 8 Figuren. (Bd. 47.) Die krankheiterreaenden Bakterien. Von Privatdoz. Dr. M. Loehlein. Mit 33 Abb.    (Bd. 307.)

Geisteskrankheiten. Von Anstaltsoberarzt Dr. G. Ilberg.    (Bd. 151.)

Krankenpflege. Von Chefarzt Dr|3. £e^uf.

Gcsundheitslehre für Frauen. Von weil. Privatdoz. Dr. R. St ich er. Mit 13 Abb.

Ob. 171.)

Der Säugling, seine Ernährung und seine Pflege. Von Dr. W. Kaupe. Mit 17 Abb.

(Bd. 154.)

Der Alkoholismus. Von Dr. G. B. Gru -b e r. Mit 7 Abb.    08b. 103.)

Ernährung und Volksnahrungsmittel. Von weil. Prof. Dr. I. Frentzel. 2. Aufl. Neu bearb. von Geh. Nat Prof. Dr. N. Zuntz. Mit 7 Abb. u. 2 Tafeln. (Bd. 19.)

Die Leibesübungen und ihre Bedeutung für die Gesundheit. Von Prof. Dr. R. Zander. 3. Aufl. Mit 19 Abb. (Bd. 13.)

Naturwissenschaften. Mathematik.

Physiker und ihre Leistungen. Dr. F. A. Schulze. Mit (Bd. 324.)

Abb.

) man n. (Bd. 5.)

(Bd. 337.)

Einführung in die Biochemie. Von Prof. Dr. W. Löb.    (Vd. 352.)

Der Befruchtungsvorgang, sein Wesen und seine Bedeutung. Von Dr. E. Teich-m ann. Mit 7 Abb. u. 4 Doppeltaf. (Vd. 70.) Das Werden und Vergehen der Pflanzen. Bon Prof. Dr. P. Gisevius. Mit 21 Abb.    (Bd. 173.)

Naturwissenschaften u. Mathematik im klassischen Altertum. Von Prof. Dr. Ioh. L. Heiberg.

(Bd. 370.)

Die Grundbegriffe der modernen Naturlehre. Von Prof. Dr. F. Auerbach. 3. Aufl. Mit 79 Fig.    (Bd. 40.)

Die Lehre von der Energie. Von Dr. A. Stein. Mit 13 Fig.    (Bd. 257.)

Moleküle — Atome— Weltäther. Von Prof. Dr. G. M i e. 3. Aufl. Mit 27 Fig. (Bd. 58.)

Die großen Von Pros.

7 Abb.

Werdegang der modernen Physik. Von Dr. H. Keller.    Ob. 343.)

Einleitung in die Experimentalphysik. Von Pros. Dr.R. Vörnstein. Mit zahlr. Abb. (Bd. 371.)

Das Licht und die Farben. Von Prof. Dr. L.Graetz. 3.Ausl. Mit 117Abb. Ob. 17.)

Sichtbare und unsichtbare Strahlen. Von Prof. Dr. R. Börnstein u. Prof. Dr. W. Marckwald. 2. Aufl. Mit 85 Abb.

(Bd. 64.)

Die optischen Instrumente. Von Dr. M. v. Rohr. 2. Aufl. Mit 84 Abb. (Bd. 88.)

Die Brille. Bon Dr. AI. v o n R o hr. Mit zablr.

(Bd. 372.)

Spektroskopie. Bon Dr. L. Grebe. Wlit 62 Abb.    (Bd. 284.)

Das Mikroskop, seine Optik, Geschichte und Anwendung. Bon Dr. W. Schefser. Mit 66 Abb.    (Bd. 35.)

Das Stereoskop und seine Anwendungen. Von Prof. Th. Hartwig. Mit 40 Abb. u. 19 Taf.    (Bd. 135.)

Die Lehre von der Wärme. Von Pros. Dr. R. B ö r n st e i n. Mit 33 Abb. (Bd. 172.) Die Kälte, ihr Wesen, ihre Erzeugung und Verwertung. Von Dr. H. Alt. Mit 45 Abb.    (Bd.    311.)

Luft, Wasser, Licht und Wärme. Neun Vorträge aus dem Gebiete der Experimental-Chemie. Von Prof. Dr. R.

3. Aufl. Mit 115 Abb.

Die Erscheinungen des Lebens. Von Prof. Dr. H. Miehe. Mit 40 Fig.    (Bd. 130.)

Abstammungslehre und Darwinismus. Von Prof. Dr. R. Helfe. 3. Ausl. Mit 37 Fig.

Ob. 39 )

Experimentelle Biologie. Von Dr. C. Thejing. Mit Abb. 2 Bde. Band!: Experimentelle Zellforschung.    (Bd.    336.)

Band II: Regeneration, Transplantation und verwandte Gebiete.

(Bd. 560.)

(Bd. 142.)

ane

11 Karten u. Abb.

(Bd. 223.)

Der Mond. Von Prof. Dr. I. Franz. Mit 31 Abb.    (Bd. 90.)

Die Planeten. Bon Prof. Dr. B. Peter. Mit 18 Fig.    (Bd. 240.)

Vermehrung und Sexualität bei den Pflanzen. Von Prof. Dr. E. Küster. Mit 38 Abb.

(Bd. 112.)

Unsere wichtigsten Kulturpflanzen (die Getreidegräser). Von Prof. Dr. K. Giesen-hagen. 2. Aufl. Mit 38 Fig. (Bd. 10.) Die fleischfressenden Pflanzen. Von Dr. A. Wagner. Mit Abb.    (Bd.    344.)

Der deutsche Wald. Von Prof. Dr. H. Haus-rath. Mit io Abb. u. 3 Karten. (Bd. 153.) Die Pilze. Bon Dr. A. Eich in g er. Mit 54 Abb.    (Bd.    334.)

Unsere Blumen und Pflanzen im Zimmer. Bon Prot. Dr. u. Dämmer.    (Bd. 359.)

Unsere Blumen und Pflanzen im Garten. Bon Prof Dr. u. Dämmer.

Kolonialbotanik. Von Prof. Dr. F. Tobler. Mit 21 Abb.    (Bd. 184.)

Kaffee. Tee, Kakao und die übrigen nar-kotiichen Getränke. Von Prof. Dr. A. Mieter. Mit 24 Abb. u. 1 Karte. (Bd. 132.) Die Milch und ihre Proüukte. Bon Dr. A. Reitz.

(Bd. 326.)

Die Pflanzenwelt des Mikroskops. Von

Bürgerschullehrer E. Reu kauf. Mit 100 Abb.    (Bd. 181.)

Die Tierwelt des Mikroskops (die Urtiere). Von Prof. Dr. R. Goldschmidt. Mit 39 Abb.

(Bd. 160.)

Die Beziehungen der Tiere zueinander und zur Pflanzenwelt. Von Prof. Dr. K. Kraepelin.    (Bd. 79.)

Der Kampf zwischen Mensch und Tier. Von Prof. Dr. K. ©cf ft ein. 2. Aufl. Mit 51 Fig.    (Bd. 18.)

Tierkunde. Eine Einführung in die Zoologie. Von weil. Prioatdoz. Dr. K. Hennings. Mit 34 Abb.

Vergleichende Anatomie der Sinnesorg der Wirbeltiere. Von Prof. Dr. W. 5 u -b o t cf). Mit 107 Abb.    (Bd. 282.)

Die Srammesgefchichre unserer Haustiere. Von Prof. Dr. C. Keller. Mit 28 Fig.

(Bd. 252.)

Die Fortpflanzung der Tiere. Von Prof Dr. N. Goldfchmidt. Mit 77 Abb. (Bd. 253.) Tierzüchlnng. Von Dr. G. Wilsdorf. (Bd. 369.) Deutsches Vogelleben. Von Prof. Dr. A. Voigt.    (Bd. 221.)

Vogelzug und Vogelschutz. Von Dr. W. R. Eckardt. Mit 6 Abb.    (Bd. 218.)

Korallen und andere gesteinbildende Tiere. Bon Prof. Dr. W May. Mit 455 Abb. (Bd. 231.) Lebensdedingungen und Verbreitung der Tiere. Von Prof. Dr. O. M aas. Mit (Bd. 139.)

Die Bakterien. Von Prof. Dr. E. Gutzeit. Mit 13 Abb.    (Bd. 233.)

Die Wett der Organismen. In Entwicklung und Zusammenhang dargestellt. Von Prof. Dr. K. Lampert. Mit 52 Abb.

(Bd. 236.)

Zwiegestalt der Geschlechter in der Tierwelt Dimorphismus). Bon Dr. F r. Knauer. Mrt 37 Fig.    (Bd. 148.)

Die Ameisen. Bon Dr. F r. K n a u e r. Mit 61 Fig.    (93bv 94.)

Das Süßwasfer-Plankton. Bon Prof. Dr. O.Za. charias. 2. Aufl. Mit 49 Abb. (Bd. 156.)

Meeresforschung und Meeresleben. Bon Dr. O. Janson. 2. Aufl. Mit 41 Fig.

(Bd. 30.)

Das Aquarium. Von E. W. Schmidt. Mit 15 Fig.    (Bd. 335.)

Wind und Wetter. Von Prof. Dr. L. We -be r. 2. Aufl. Mit 28 Fig. u. 3 Tafeln.

(Bd. 55.)

Gut und schlecht Wetter. Von Dr. R. Hen -n ig.    (Bd. 349..)

Der Kalender. Von Prof. Dr. W. F. Wislicenus.    (Bd. 69.)

Der Vau des Weltalls. Von Prof. Dr. I. Sä) eilt er. 3. Aufl. Mit 26 Fig.

(Bd. 24.)

Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Von Prof. Dr. B- Wein-st ei n.

Aus der Vorzeit der Erde. Bon Prof. Dr. Fr. Frech. In 6 Bon. 2. Aufl. Mit zahlr. Abbildungen. (Bd. 207—211, 61.) Band I: Vulkane einst und jetzt. Mit 80 Abb. (Bd. 207.) Band II: Gebirgsbau und Erdbeben. Mit 57 Abb. (Bd. 208.) Band III: Die Arbeit des fließenden Wassers. Mit 51 Abb. (Bd. 209.) Band IV: Die Arbeit des Ozeans und die chemische Tätigkeit des Wassers im allgemeinen. Mit 1 Titelbild und 51 Abb. (33b. 210.) Band V: Kohlenbildung und Klima der Vorzeit. (Bd. 211.) Band VI: Gletscher einst und jetzt. 2. Aufl. (Bd. 61.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. O p p e n h e i m. Mit 24 Abb.    (Bd. 110.)

Probleme der modernen Astronomie. Von Prof. Dr. S. Oppenheim. (Bd. 355.)

Die Sonne. Von Dr. A Krause. Mit zahlreichen Abb.    (Bd. 357.)

Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Pros. Dr. P. Crantz. Mit 99 Fig.

(Sb. 340.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung

mit einer historischen Übersicht. Von Prof. Dr. G. Kowalewski. Mit 18 Fig.

(Bd. 197.)

Mathematische Spiele. Von Dr. W. Ah-rens. 2. Aufl. Mit 70 Fig. (Bd. 170.)

Das Schachspiel und feine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lange. Mit den Bildnissen E. Lasters und P. Morphys, 1 Schachbrettafel und 43 Darst. von Übungsspielen.    (Bd. 281.)

Arithmetik und Algebra um Selbstunterricht. Von Prof. Dr. . Crantz. In 2 Bdn. Mit zablr. Fig. (Bd. 120. 205.)

1.    Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades.

2.    Aufl. Mit 9 Fig. (Bd. 120.) II. Teil:

Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 2. Aust. Mit 21 Fig.    («?* ° R )

Praktische Mathematik. Von Dr. R. Neuendorsf. I. Teil: Graphisches u. numeri sches Rechnen. Mit 62 Figuren und l Tafel.

(Bd. 341.)

Angewandte Naturwissenschaft. Technik.

Das

Heizung I. E. M

und

ayer.

Am sausenden Webstuhl der Zeit. Von Prof. Dr. W. Launhardt. 3. Aufl.) Mit 16 Abb.    (93b. 23.)

Bilder aus der Jngenieurtechnik. Von Baurat K. Merckel. Mit 43 Abb. (Bd. 60. Schöpfungen der Jngenieurtechnik der Neuzeit. Von Baurat K. Merckel. 2 Aufl. Mit 55 Abb.    (Bd.    28.)

Die Handfencrwaffen. Ihre Entwicklung und Technik. Von Hauptmann R. Weiß. Mit69 Abb.

(93b. 364.)

Der Eisenbetonbau. Von Dipl.-Ing. E. Haimovici. Mit 81 Abb. (Bd. 275.)

Eisenhüttenwesen. Bon Geh. Bergrat Prof. Dr. £>. Wedding. 3. Aufl. Mit 15 Fig.    (Bd.    20.)

Die Metalle. Von Prof. Dr. K. Scheid. 2. Aufl. Mit 16 Abb.    (Bd.    29.)

Mechanik. Von Kais. Geh. Reg.-Rat A. v. I Hering. 3 Bde. (Bd. 303/305.) Bandl: Die Mechanik der festen Körper. Mit 61 Abb. (Bd. 303.) Band II: Die Mechanik der flüssigen Körper. Mit 34 Abb. (Bd. 304.) Band III: Die Mechanik der gasförmigen Körper. (In Vorb.) (Bd. 305.) Maschinenelemente. Von Prof. R. Vater. Mit    184 Abb.    (Bd.    301.)

Hebezenge. Das Heben fester, flüssiger und luftförmiger Körner. Bon Prof. R. Vater.    Mit 67 Abb.    (Bd.    196.)

Dampf und Dampfmaschine. Von Prof. R. Vater. 2. Aust. Mit 45 Abb- (Bd- 63.)

Einführung in die Theorie und den Bau der neueren Wärmekraftmaschinen (Gasmaschinen). Von Prof. R. Vater. 3. Aufl. Mit 33 Abb.    (Bd.    21.)

Neuere Fortschritte auf dem Gebiete der Wärmekraftmaschinen. Von Prof. R. Vater. 2. Aufl. Mit 48 Abb. (Bd. 86.) Die    Wasserkraftmaschineu und die    Aus

nützung der Wasserkräfte. Von Kais. Geh.

Reg.-Rat A. v. I Hering. Mit^^Fig.

Landwirtsch. Maschinenkunde. Von Prof. Dr. G. Fischer. Mit 62 Abb. (Bd. 316.) Die Spinnerei. Von Dir. Prof. M. Lehmann. Mit Abb.    (Bd.    338.)

Die technische Entwicklung der Eisenbahnen der Gegenwart. Von Eisenbahnbau- u. Betriebsinsp. E. Biedermann. Mit 50 Abb.    (Bd.    144.)

Die Klein- und Straßenbahnen. Von Oberingenieur a. D. A. Liebmann. Mit 85 Abb.    (Bd.    322.)

Das Automobil. Eine Einführung in Bau und Betrieb des modernen Kraftwagens. Von Ing. K. Blau. 2. Aufl. Mit 83 Abb.    (58b.    166.)

Grundlagen der Elektrotechnik. Von Dr. R. Blochmann. Mit 128 Abb. (Bd. 168.)

Die Telegraphen- und Fernsprechtechnik in ihrer Entwicklung. Von Telegraphenin-spektor H. Brick. Mit 58 Abb. (Bd. 235.)

Drähte und Kabel, ihre Anfertigung und Anwendung in der Elektrotechnik. Von Telegrapheninspektor H. Brick. Mit 43 Abb.    (Bd.    285.)

Die Funkeutelegraphie. Von Oberpostpraktikant H. Thurn. Mit 53 Jllustr.

(Bd. 167.)

Nautik. Von Dir. Dr. I. Möller. Mit 58 Fig.    (Bd.    255.)

Die Luftschiffahrt, ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre technische Entwicklung. Von Dr. R. Nim führ. 2. Aufl. Mit 42 Abb.    (Bd.    300.)

Die Beleuchtungsarten der Gegenwart. Von Dr. W. Brüsch. Mit 155 Abb.

(Bd. 108.) Lüftung. Von Ingenieur Mit 40 Abb. (Bd. 241.)

Feueruugsanlage^und^Dampf-tici. on Ingenieur I. e.^a^c.

Die Uhr. Von Reg.-Bauführer a. D. H-Bock. Mit 47 Abb.    (Bd. 216.)

Wie ein Buch entsteht. Bon Prof. A. W. U n g e.r. 3. Aufl. Mit 7 Taf. u. 26 Abb.

(Bd. 175.)

Entführung in die chemische Wissenschaft. Von Pros. Dr. W. Löb. Mit 16 >iq.

(Bd. 2640

Bilder aus der chemischen Technik. Von Dr. A. Müller. Mit 24 Abb. (Bd. 191.)

Der Luftstickstoff und seine Verwertung. Von Prof. Dr. K. Kaiser. Mit 13 Abb-(3)!) 313)

Agrikultnrchemie. Von Dr. P. Krische. Mit 21 Abb.    (Bd. 314.)

Die Bierbrauerei. Von Dr. A. Bau. Mit 47 Abb.    (Bd. 333.)

Chemie und Technologie der Sprengstoffe. Von Prof. Dr. R. Biedermann. Mit 15 Fig.    (Bd. 286.)

Photochemie. Von Prof. Dr. G. Äü turn eil. Mit 23 Abb.    (Bd. 227.)

Die Kinematographie. Von Dr. H. Lehmann-

(Bd. 358.)

Elektrochemie. Von Prof. Dr. K. Arndt. Mit 38 Abb.    (Bd. 234.)

Die Naturwissenschaften im Haushalt. Von Dr. I. Bongardt. 2 Bde. Mit zahlr. Abb.    (Bd. 125. 126.)

I. Teil: Wie sorgt die Hausfrau für die Gesundheit der Familie? Mit 31 Abb. (Bd. 125.) II. Teil: Wie sorgt die Haus-frau für gute Nahrung? Mit 17 Abb. (Bd. 126.)

Chemie in Küche und HauS. Bon weil. Prof. Dr. G. Abel. 2. Aufl. von Dr. I- Klein- Mit 1 Doppeltafel. (Bd. 76.,

Die Kultur der Gegenwart

ihre Entwicklung und ihre Ziele

Herausgegeben von Professor Paul Hinneberg

Von Teil I und II sind erschienen:

Die allgemeinen Grundlagen der Kultur der

-*—" Ge^e^wart ^arb. von: w. Dex^8^?e.^?aul8en^G. s^öppa, G.Kerschen-

J. Lessing. 0. N. Witt, P. Schlenther, 0. Göhler, K. Bücher, R.^Pietschmann, F. Mil kau’ H. Diels. 2. Aufl. (XIV u. 716 S.) Lex.-8. 1912. Geh. M. 18.-, in Leinwand geb. M. 20.-

,,Die berufensten Fachleute reden über ihr Spezialgebiet in künstlerisch so hochstehender, dabei dem Denkenden so leicht zugehender Sprache, zudem mit einer solchen Konzentration der Gedanken, daß Seite für Seite nicht nur hohen künstlerischen Genuß verschafft, sondern einen Einblick in die Einzelgebiete verstattet, der an Intensität kaum von einem anderen Werke übertroffen werden könnte.“    (Nationalzeitung, Basel.)

Teil I,

Die orientalischen Religionen. Jle^cbÄh.’

Oldenberg, J. Goldziher, A. Grünwedel, J. J. M. de Groot, K. Florenz, H. Haas. (VII u. 267 S.) Lex.-8. 1906. Geh. M. 7.-, in Leinwand geb. M. 9.-

,,Auch dieser Band des gelehrten Werkes ist zu inhaltvoll und zu vielseitig, um auf kurzem Raum gewürdigt werden zu können. Auch er kommt den Interessen des bildungsbedürftigen Publikums und der Gelehrtenwelt in gleichem Maße entgegen. . . . Die Zahl und der Klang der Namen aller beteiligten Autoren bürgen dafür, daß ein jeder nur vom Besten das Beste zu geben bemüht war.“    (Berliner Tageblatt.)

Geschichte der christlichen Religion. fsraLnus^h-jü-

dische Religion. Bearbeitet von J. Wellhausen, A. Jülicher, A. Harnack, N. Bonwetsch, K. Müller, A. Ehrhard, E. Troeltsch. 2., stark vermehrte und verbesserte Auflage. (X u. 792 S.) Lex.-8. 1909. Geb. M. 18.—, in Leinwand geb. M. 20.—

Abt. 3,1:

Teil 1, Abt. 4,1:

Die Kultur der Gegenwart

Teil I, Abt. 4, II:

Bearbeitet von: E. Troeltsch.J. Pohle,

J. Mausbach, C. Krieg, W. Herrmann, R. Seeberg, W. Faber, ?H. J. Holtzmann. 2., verb. Auflage. (VIII u. 279 S.) Lex.-8. 1909. Geh. M. 6.60, in Leinwand geb. M. 8.-,,. . . Die Arbeiten des ersten Teiles sind sämtlich, dafür bürgt schon der Name der Verfasser, ersten Ranges. Am meisten Aufsehen zu machen verspricht Troeltsch, Aufriß der Geschichte des Protestantismus und seiner Bedeutung für die moderne Kultur. . . . Alles in allem, der vorliegende Band legt Zeugnis ab dafür, welche bedeutende Rolle für die Kultur der Gegenwart Christentum und Religion spielen.“ (Zeitsohr. f. Kirchengeschichte.)

M-j?- Allgemeine Geschichte der Philosophie. w. wundt,

----K. Oldenberg, J. Goldziher, W. Grube, T. Jnouye, H. v. Arnim, CI. Baeumker.

W. Windelband. (VIII u. 572 S.) Lex.-8> 1909. Geh. M. 12.—, in Leinw. geb. M. 14.— ,,.. . Man wird nicht leicht ein Buch finden, das, wie die , Allgemeine Geschichte der Philosophie' von einem gleich hohen überblickenden und umfassenden Standpunkt aus, mit gleicher Klarheit und Tiefe und dabei in fesselnder Darstellung eine Geschichte der Philosophie von ihren Anfängen bei den primitiven Völkern bis in die Gegenwart und damit eine Geschichte des geistigen Lebens überhaupt gibt.“ (Zeitschrift f. lateinl. höh. Schulen.) Teil I,

Systematische christliche Religion.

Bearbeitet v.:

Abt. 6:

Systematische Philosophie. ?ÄU.wmdi,w.oB:

er die

H. Ebbinghaus, R. Bücken, Fr. Paulsen, W. Münch, Th. Lipps. 2. Ausl. (X U.435S.) Lex.-8. 1908. Geh. M. 10.—, in Leinwand geb. M. 12.—

,,Hinter dem Rücken jedes der philosophischen Forscher steht Kant, wie Welt in ihrer Totalität dachte und erlebte; der .neukantische', rationalisierte Kant scheint in den Hintergrund treten zu wollen, und in manchen Köpfen geht bereits das Licht des gesamten Weltlebens auf.“    (Archiv für systematische Philosophie.)

,,Um es gleich vorweg zu sagen: Von philosophischen Büchern, die sich einem außerhalb der engen Fachkreise stehenden Publikum anbieten, wüßte ich nichts Besseres zu nennen als diese Systematische Philosophie.“    (Pädagogische Zeitung.)

Xi^Die orientalischen Literaturen. Ae“'c⁰Bezo.dSHhoun:

------- kel, Th. Nöldeke, M. J. de Goeje, R. Pischel, K. Geldner, P. Horn, F. N. Finck,

W. Grube, K. Florenz. (IX u. 419 S.) Lex.-8. 1906. Geh. M..10.—, in Leinw. geb. M. 12.—

. So bildet dieser Band durch die Klarheit und Übersichtlichkeit der Anlage, Knappheit der Darstellung, Schönheit der Sprache ein in hohem Grade geeignetes Hilfsmittel zur Einführung in das Schrifttum der östlichen Völker, die gerade in den letzten Jahrzehnten unser Interesse auf sich gelenkt haben.“    (Leipziger Zeitung.)

xxrir Die griechische und lateinische Literatur und

--—- Cnroa Bearbeitet von: U. v. Wilamowitz-Moellendorff, K. Krumbacher,

Opi clvllU. j Wackernagel, Fr. Leo, E. Norden, F. Skutsch. 3. Auflage. (VIII u. 582 S.) Lcx.-8. 1912. Geh. M. 12.—. in Leinwand geb. M. 14.—

,,Das sei allen sechs Beiträgen nachgerühmt, daß sie sich dem Zwecke des Gesamtwerkes in geradezu bewundernswerter Weise angepaßt haben: immer wieder wird des Lesers Blick auf die großen Zusammenhänge hingelenkt, die zwischen der klassischen Literatur und Sprache und unserer Kultur bestehen.“    (Byzantinische Zeitschrift.)

Mi Die osteuropäischen Literaturen g*&.*§Ä.

-:—- von: V. v. Jagiö, A. Wesselovsky, A. Brückner. J. Mächal, M. Murko, A. Thumb,

Fr. Riedl, E. Setälä, G. Suits, A. Bezzenberger, E. Wolter. (VIII u. 396 S.) Lex.-8. 1908. Geh. M. 10.—, in Leinwand geb. M. 12.—

„...Eingeleitet wird der Band mit einer ausgezeichneten Arbeit Jagies über ,Die slawischen Sprachen'. Für den keiner slawischen Sprache kundigen Leser ist diese Einführung sehr wichtig. Ihr folgt eine Monographie der russischen Literatur aus der Feder des geistvollen Wesselovsky. Die südslawischen Literaturen von Murko sind hier in deutscher Sprache wohl erstmals zusammenfassend behandelt worden. Mit Wolters Abschnitt der lettischen Literatur schließt der verdienstvolle Band, der jedem unentbehrlich sein wird, der sich mit dem einschlägigen Schrifttum bekannt machen will.“    (Berliner Lokal-Anzeiger.)

Die Kultur der Gegenwart

Teil I, Abt.ll, I:

Die romanischen Literaturen und Sprachen

mit Einschluß des Keltischen. Bearbeitet von: H. Zimmer, K. Meyer, L. Chr. Stern, H.Morf, W.Meyer-Lübke. (VIII u.499 S.) Lex.-8. 1909. Geh.M. 12.—, in Leinw. geb.M. 14.-,,Auch ein kühler Beurteiler wird diese Arbeit als ein Ereignis bezeichnen.... Darstellung ist derart durchgearbeitet, daß sie in vielen Fällen auch der wissenschaftlichen Forschung als Grundlage dienen kann.“ (Jahrbuch für Zeit- u. Kulturgeschichte.) TeilH,

Abt. 2,1:

Die

Allgem.Verfassungs-u.Verwaltungsgeschichte.

I. Hälfte. Bearb. v.: A.Vierkandt, L.Wenger, M. Hartmann, 0. Franke, K. Rathgen, A. Luschin v. Ebengreuth. (VII u.373 S.) Lex.-8.1911. Geh.M. 10.-, in Leinw.geb. M. 12.— Dieser Band behandelt, dem Charakter des Gesamtwerkes entsprechend, in großzügiger Darstellung aus der Feder der berufensten Fachleute die allgemein historisch und kulturgeschichtlich wichtigen Tatsachen der Verfassung^- und Verwaltungsgeschichte und führt einerseits von den Anfängen bei den primitiven Völkern und den Völkern des orientalischen Altertums über die islamischen Staaten bis zu den modernen Verhältnissen in China und Japan, andererseits vom europäischen Altertum und den Germanen bis zum Untergang des römischen Reiches deutscher Nation.

Staat und Gesellschaft des Orients.

pero, M. Hartmann, 0. Franke, K. Rathgen. [Unter der Presse.)

Teil II

Bearbeitet von: A. Vierkandt, G. Mas-

Staat und Gesellschaft der Griechen u. Römer.

• Bearbeitet von: U. v. Wilamowitz-Moellendorff, B.Niese. (VI u. 280 S.) Lex.-8. 1910. Geh. M. 8.—, in Leinwand geb. M. 10.—

,,Ich habe noch keine Schrift von Wilamowitz gelesen, die im prinzipiellen den Leser so selten zum Widerspruch herausforderte wie diese. Dabei eine grandiose Arbeitsleistung und des Neuen und Geistreichen sehr vieles.... Neben dem glänzenden Stil von Wilamowitz hat die schlichte Darstellung der Römerwelt durch B. Niese einen schweren Stand, den sie aber ehrenvoll behauptet....“    (Südwestdeutsche Schulblätter.)

Staat und Gesellschaft der neueren Zeit ,⁽^s„zözsui.r

Abt. 5, I:

sehen Revolution). Bearbeitet von: F. v. Bezold, E. Gothein, R. Koser. (VI u. 349 S.) Lex.-8. 1908. Geheftet M. 9.—, in Leinwand geb. M. 11.-

,,Wenn drei Historiker von solchem Range wie Bezold, Gothein und Koser sich dergestalt, daß jeder sein eigenstes Spezialgebiet bearbeitet, in die Behandlung eines Themas teilen, dürfen wir sicher sein, daß das Ergebnis vortrefflich ist. Dieser Band rechtfertigt solche Erwartung.“    (Literarisches Zentralblatt.)

■reu ii. Systematische Rechtswissenschaft, summier! R°sohm;

-K. Gareis, V. Ehrenberg, L. v. Bar, L. Seuffert, F. v. Liszt, W. Kahl, P. Laband,

G. Anschütz, E. Bernatzik, F. v. Martitz. (X, LX u. 526 S.) Lex.-8.    1906. Geheftet

M. 14.—, in Leinwand geb. M. 16.—

.....Es ist jedem Gebildeten, welcher das Bedürfnis empfindet, sich zusammenfassend

über den gegenwärtigen Stand unsererRechtswissenschaftimVerhältniszurgesamtenKultur zu orientieren, dieAnschaffung desWerkes warm zu empfehlen.“(Blätt.f.Genossenschaftsw.)

Von W. Lexis. (VI u. 259 S.)

Abt. 8:

Allgemeine Volkswirtschaftslehre.

Lex.-8. 1910. Geh. M. 7.—, in Leinwand geb. M. 9.—

. .Ausgezeichnet durch Klarheit und Kürze der Definitionen, wird die .Allgemeine Volkswirtschaftslehre* von Lexis sicher zu einem der beliebtesten Einführungsbücher in die Volkswirtschaftslehre werden. Eine zum selbständigen Studium der Volkswirtschaftstheorie völlig ausreichende, den Leser zum starken Nachdenken anregende Schrift. ...Das Werk können wir allen volkswirtschaftlich-theoretisch interessierten Lesern warm empfehlen.“    (Zeitschrift des Vereins der Deutschen Zucker-Industrie.)

Teil II,

Abt. 10,1:

Probeheft und Sonderprospekte umsonst und postfrei vom Verlag B. G. Teubner in Leipzig.

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Elementar-Mathematik für Schule und Leben. Herausgegeben von Dr. W. Lietzmann und Dr. A. Witting. In Kleinoktavbändchen Kartoniert je JI —,f0.

Mathematische Bibliothek.

Zunächst sind erschienen:

1 E. Löffler, Ziffern und Ziffernsysteme der Kulturvölker in alter und neuer Zeit.

2. H. Wieleitner, der Begriff der Zahl in seiner logischen u. histor. Entwicklung. Mit 10 Figuren

3    W. Lietzmann, der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatsche Problem,

Mit 44 Figuren.

4    0. Meißner, Wahrscheinlichkeitsrechnung nebst Anwendungen. Mit 6 Figuren.

Encyklopädie der Elementar-Mathematik.

Ein Handbuch für Lehrern. Studierende

von H. Weber und J. Wellstein, Professoren an der Universität Straßburg. In 3 Bänden, gr. 8 In Leinwand geb

I.    Elementare Algebra und Analysis. Bearb.vonH.Weber. 3. Ausl. Mit 40 Fig. 1909. M 10.—

II.    Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und W. Jacobs-thal. 2. Auflage. Mit 251 Figuren. 1907 Ji 12.—

III. Angewandte Elementar-Mathematik. 2. Auflage. I. Teil: Mathematische Physik. Mit einem Buch über Maxima und Minima von II. Weber und J. Wellstein. Bearbeitet von Rudolph H. Weber, Professor in Rostock. Mit 254 Figuren. 1910. Ji 12.— IL Teil: Praktische Mathematik und Astronomie. [Unter der Presse]

Grundlehren der Mathematik.

In 2 Teilen. Mit vielen Figuren, gr. 8. In Leinwand geb.

I Teil: Die Grundlehren der Arithmetik und Algebra. Bearbeitet von E. Netto und C. Färber. 2 Bände.

I. Band: Arithmetik. Von Prof. Dr. C. Färber in Berlin. Mit 9 Figuren. 1911. M 9.— II. Band: Algebra. Von Prof E. Netto in Gießen. [In Vorbereitung.]

II. Teil: Die Grundlehren der Geometrie. Bearb von W Frz. Meyer u. H. T hie me. 2 Bände.

I. Band: Die Elemente der Geometrie. Bearbeitet von Prof. Dr. H. Thieme, Direktor des Realgymnasiums zu Bromberg. Mit 323 Figuren. 1909. Ji 9.—

II. Band. [In Vorbereitung.]

Elemente der Mathematik.

schule in Karlsruhe. In 2 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

Von Prof. Dr. E. Borei. Deutsche Ausgabe von Dr. P. Stäckel, Professor an der Techn. Hoch-

I. Band: Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. 1908. Ji 8.60. II. Band: Geometrie. Mit 403 Figuren. 1909 Ji 6.40.

Elemente der Mathematik.

Von J. Tannery, Professor an der Universität Paris Deutsche Ausgabe von Dr. P. Kiaeß in Echternach Mit einem Einführungswort von F. Klein. gr. 8. 1909. Geh. Ji 7.-in Leinwand geb. Ji 8.—

Taschenbuch für Mathematiker und Physiker.

Unter Mitwirk, zahlreich. Fachgelehrter herausgegeben von F. Auerbach und R. Rothe. II. Jahrgang 1910/11. Mit einem Bildnis H. Minkowskis. 8. 1912. In Leinwand geb. Ji 7.—

Die Elemente der analytischen Geometrie.

Von Dr. H. Ganter, Prof, an der Kanton-

schule zu Aarau, und Dr. F. Rudio, Professor am Polytechnikum zu Zürich. Mit zahlreichen Übungsbeispielen, gr. 8. In 2 Teilen In Leinwand geb. je Ji 3.—

I.    Die analytische Geometrie der Ebene. 7., verbesserte Auflage. Mit 53 Figuren. 1910.

II.    Die analytische Geometrie des Raumes. 4., verbesserte Auflage. Mit 20 Figuren. 1908.

Verlag von ß. 6. Ceubner in Leipzig und Berlin

Zur Biologie • Botanik • Zoologie

Oie Fundamente der Entstehung der Arten. Zwei in den Jahren 1842 und 1844 verfaßte Essays, von Charles Darwin. Hrsg, von seinem. Lohn Francis Darwin. Dtsch. Übersetzung v. Maria Semon. Geh. TU. 4.—, in Leinw. geb. 11T. 5.—

Man findet in diesen Fundamenten die Keime zur Entstehung der Arten, zu fast allen späteren Werken Darwins deutlich vorgebildet.

Experimentelle Zoologie, von

Th. Hunt Morgan, Deutsche autorisierte und verb. Ausgabe von h. Rhuinbler. Mit zahlr. Abb. Geh. ITT. 11.— , in Leinw. geb. ITT. 12.—

Das Verhalten der niederen Organismen unter natürlichen unb experiment. Bedingungen.

von H.L.Iennings. Deutsch von vr. CE. Mangold. Mit 144 Fig. Geh. M. 9.—, in Leinwand geb. M. 10.—

„...Der klare und durchsichtige Aufbau der Gedankengänge, die sorgfältigen Zusammenfassungen in den einzelnen Abschnitten und die ansprechende Darstellung sind geeignet, das Verständnis für eine Reihe komplizierter Fragen auch in weitere, naturwissenschaftlich denkende Kreise zu tragen...." (Rotanische Jeitung.)

Lebensweise unb Organisation. von Prof. vr. p. Deegener, privatdoz. an der Universität Berlin. Eine Einführung in die Biologie der wirbellosen Tiere. Mit 154 Abb. gr.8. In Leinw. geb. M. 6.—

Das vorliegende Buch ist von einem bestimmten theoretischen Standpunkt aus geschrieben, ohne doch in einer Theorie zu gipfeln. (Es will dem selbstdenkenden Leser Materialien an die Hand geben, ein eigenes, begründetes Urieil zu gewinnen, und enthält sich daher tunlichst breiter theoretischer Darlegungen.

Blumen und Insekten, ihre Anpassung aneinander und ihre gegenseitige Abhängigkeit, von Prof. Dr. O.v.Hirchner. Mit2Taf.u. 159$ig. Geh. ITT. 6.60, in Leinw. geb. ITT. 7.50.

Instinkt und Gewohnheit, von E. Lloyd Morgan, F.N.S. Autoris. deutsche Übersetzung von ITT. Semon. Geh. M. 5.—, in Leinw. geb. ITT. 6.—

„Dieses sehr beachtenswerte Werk ist so flott übersetzt worden, daß seine Lektüre ein wahrer Genuß ist. Auch der naturwissenschaftlich interessierte Laie wird unbedingt auf seine Kosten kommen." (Münchener Neueste Wachr.)

Einführung in die Biologie.

von Dr.K.Kraepelin. 2.Aust. Mit 303 Abb., 5 farbigen Taf. u. 2 Hatten. In Leinw. geb. ITT. 4.—

.2eber, der naturwissenschaftlicher Betrachtungsweise nicht völlig abgeneigt ist und der die elementaren vorkenntnisse dazu mitbringt, wird in diesem Ruche mit hohem Genuß und Nutzen lesen...(Atsch. Lrteraturztg.)

Blütengeheimnisse. Eine Blütenbiologie in Einzelbildern, üon Prof, vr. Georg worgitzky. Mit47 Abb., u. 1 färb. Tafel von p.Flanderky. 2., verm. Aufl. In Leinw. geb. ITT. 3.—

„(Ein vortreffliches und reizend illustriertes kleines Buch, das allen Freunden der Pflanzenwelt willkommen fein wird...(Gaea.)

Naturgeschichte für die Großstadt. von U). Pfalz. 2 Teile in Leinwand geb. je ITT. 3.—

!. Teil: Tiere u. pflanzen der Straßen, Plätze, Anlagen, Gärten und Wohnungen. Mit 50 Federzeichnungen. II. Teil: Aquarium und Terrarium, pflanzen der Gärten, Wohnungen, Anlagen und des Palmenhauses. Mit 54 Federzeichnungen.

Botanisch-Geologische Spazier-gängei. d.Umgebung ».Berlin.

von Vr. w. Gothan. Mit 23 Figur. Geh. ITT. 1.80, in Leinw. geb. ITT. 2.40.

Unsere pflanzen. Ihre Hamens* erklärung und ihre Stellung in der Mythologie und im Volksaberglauben, von Dr. Franz Söhns. 4. Auflage. Mit Buchschmuck von 3- v. Eissarz. In Leinwand geb. ITT. 3.—

14

8-96

Verlag von ß. 6. Ceubner in Leipzig und Berlin

Geb

TTTittcImeerbflber. DonGeh.Beg.-Bat Prof. Dr. Theobald Fischer. Gesammelte Abhandlungen zur Kunde der Mittelmeerländer. Geb. ITT. 7.— Neue Folge. Mit 8 Karten. Geb.

M. 7.—

w... Lin Meister länderkundlicher Darstellung spricht hier zu uns, aber in einer Sprache, die sich bei allem wissenschaftlichen Ernst doch immer in den Grenzen allgemeiner Verständlichkeit und allgemeinen Interesses hält."

(Deutsche Literatnrzeilung.)

Das titittelmccrgebiet. Don Dr.

A. Philippson. Seine geographische und kulturelle Eigenart. 2. Rufi. Mit 9 Fig.im Text, 13 Ansichten u.10 Karten auf 15 Tafeln. Geb.....ITT. 7.—

„Don dem höchsten Standpunkte aus, auf den die heutige Wissenschaft den Forscher zu stellen vermag, läßt der Verfasser seinen Leser die unendliche, von nicht auszugenießenden Reizen verklärte Mannigfaltigkeit der Naturerscheinungen am Mtttelmeer überschauen."

(Worddeutsche Allgemeine Zeitung.)

Ostasienfahrt. Don Professor Dr. Franz Doflein. Erlebnisse und Beobachtungen eines Naturforschers in China, Japan und Ceylon. Mt zahlr. Abbild. und Karten. Geb. IU. 13.— „ ... Dofleins Ostasienfahrt gehört zu den allerersten Reiseschilderungen. die Ref. über* h mpt kennt. Es liegt eine solche Fülle feinster Natur- und Menschenbeobachtung in dem Werk, über das Ganze ist ein solcher Sauber künstlerischer Auffassung gegossen, daß das Ganze nicht wie eine Reisebeschreibung wirkt, sondern wie ein Kunstwerk."    (Pie Wmschau.)

Die polarwett und ihre Nachbarländer. Don Professor Dr.Otto Nordenskjöld. Mit77Abbildungen.

ITT. 8.—

weltreisebilder. Don Julius Meurer. Mit 116 Abb. sowie einer Weltkarte. Geb.......M. 9.—

„...Ich möchte behaupten, daß der,Meurer' unter Umständen bessere Dienste tun kann als der ,Baedeker'."    (Die Zeit.)

Lehrbuch der Physik. Don E. Gr imsehl. Große Ausgabe. 2. Auflage. Mit 1296 Fig.,2 färb. Tafeln u. einem Anhange, enthaltend Tabellen physikalischer Konstanten und Zahlentabellen, gr.8.1912. Geh. M. 15.—, in Leimv. geb. M. 16.—

„Auch der gebildete Laie, der das Bedürfnis hat, auf Grund einer guten naturwissenschaftlichen Allgemeinausbildung seine physikalischen Kenntnisse zu vertiefen, wird das Buch mit

Nutzen verwenden können.....Mit einem Worte, das Buch verdient in wissenschaftlicher,

methodischer und didaktischer Einsicht volle Anerkennung."    (Watur und Erziehung.)

Populäre Astrophysik. Don Dr. J. Sc!)einer. 2., ergänzte Auflage. Mit 30 Tafeln und 210 Figuren, gr. 8. 1912. 3n Leimv. geb. ITT. 14.—

„... Unb soweit es überhaupt möglich ist, dem Laien einen Einblick in diese schwierige Materie zu erschließen, dürfte der Verfasser seine Aufgabe mit großer Geschicklichkeit gelöst haben. Der Vortrag Scheiners ist populärwissenschaftlich im besten Sinne: Har, eindringlich, frei von allen jetzt üblichen Mätzchen der naturwissenschaftlichen Popularschriftstellerei. vortreffliche Abbildungen unterstützen das Verständnis des vortrefflichen Textes." (Propyläen.)

„Das Buch ist zum mindesten für den Laien zu einem Kompendium der Astrophysik geworden. Sehr unterstützt wird der Text durch ein passend gewähltes und vorzüglich ausgeführtes Illustrationsmaterlal."    (Deutsche Meraturzeitung.)

Experimentelle Elettrizitätslehre, verbunden mit einer Einführung in die Maxwellsche und die Elektronentheorie der Elektrizität und des Lichts. 2. Auflage. Mit 334 Abbildungen, gr. 8. 1910. In Leinwand geb. ITT. 12.—

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cs bei der Lektüre wirklich ,erlebt'. Auch die prinzipiellen Seiten der technischen Anwendung sehr ausgiebig eingefügt, so daß das Buch gleichzeitig eine Einführung in die Elektrotechnik ist, rote es zurzeit kaum eine bessere in Deutschland gibt. Die Ausstattung Ist dem Gehalte entsprechend."    (K. Simon in der physikalischen Keilschrist.)

sind

Verlag von B.G.Ceubner in Leipzig und Berlin

Wertvolle 3ugendfcbriften

Deutsches Märchenbuch, von Prof. Dr. Gskar Dähnhardt. Mt vielen Zeichnungen und farbigen Originallithographien von <3E. Kuithan und K. INühlmeister. 2 Bände. [I. Banb. 2. ansteige.] Geb. je M 2.20.

Naturgeschichtliche Volksmärchen, von Prof.Dr.OskarDähnHardt.

2 Bände. 3.Ruft. Mit Zeichnungen vonO.Schwindrazheim. Geb. je M. 2.40.

Schwänke aus aller Welt. Herausg. von Prof. Dr. Oskar Dähnhardt. Mit 52 Original-Abbildungen von R. Kolb. Geb. ITT. 3.—

Nnsere Jungs, von 5- Gansberg und t}. Cildermann. Geschichten ] für Stadtkinder. 2. Rufi. Geb. ITT. 1.50.

Deutsche Heldensagen, von K. h. Ke cf. 2. Ruflage von Dr. B. Busse. Mt Künstler - Steinzeichnungen von K. Engels. 2 Bände. Geb. je IN. 3.— 1

Die Sagen des klassischen Altertums, von H. w. Stoll. 6. Ruflage. Neu bearbeitet von Dr. H. Sanier. 2 Bände mit 79 Abbildungen. Geb. je 1 TN. 3.60, in einem Bande IN. 6.—

Die Götter des klassischen Altertums. von h. w. Stoll. 8. Auflage, ß Neu bearbeitet von Dr. l) Sanier Geb. ITT. 4.50.

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Itr> Raufe (4. Rufi. (Beb. DI. 3.20), in dald und seid (3. Auflage. (Beb. RT. 3.60); in der! Sommerfrische (Retfeplaubereten. 2. Ruflage. (Beb. RI. 3.60); in fernen Zonen (Plaudereien | in der Dämmerstunde. (Beb. M. 3.60). Volksausgabe (vom Hamburger Jugendschriften-Aus-schuß ausgewählt). 2. Auflage. (Beb. M. 1.—

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Natur-Paradoxe, von Dr. E. Schäffer. 2. Auflage. Mt 3Tafeln und 79 Abbildungen. Geb. IN. 3.—

Der kleine Geometer, von G. E. und ID. f). l)oung. Deutsch von SU und F. Bernstein. Mt 127 Abbildungen. Geb. IN. 3.—

Naturwissenschaftliche Schülerb Lbliothek. von Dr.Bastian Schmid. 3rt dauerhaften Oktavbänden mit vielen Abbildungen, preis eines jedein Bandes, wenn nicht anders angegeben, in Leinwand geb. IN. 3.—

1—2. physikalisches expertmentierbuch, von H. Rebenstorfs. 2 Teile. 3. Hn der See.; von Dr. p. Vahms. 4. 6ro6e Physiker. Von Dr. H. Referstein. 5.Rimmelsbeobachtung^ mit bloßem Buge. von Lr. Rusch. RT. 3.50.    6—7. Geologisches ttlanderbucb. Dom

R. G. v 0 lk. 2 Teile. l. Teil M. 4.—. 8. Küsten Wanderungen, von l)r. V.Lranz. 9. Hn-l lettung zu photographischen Naturaufnahmen, von G. C. 5. Schulz. 10. Dte Luftschiffahrt. von Dr. R. Nimführ. 11. Vom Ginbaum zum Linienschiff, von R. Radunz.! 12. Vegetationsschilderungen, von Dr. p. Graebner. 13. Hn der Werkbank, von^ (E. (B $ d) e t M e n. 14—15. Chemisches Gxperimentierbucb. von Dr. R. Scheid. 2 Teile. I. Teil.

3. Auflage. II. Teil. Oberstufe in Dorbereitung. — weitere Bände befinden sich in Vorbereitung ß

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§-96

Schaffen unb Scßauen

Zweite 7iuf(äge\ £j[J    l'tlS Ü20S11 1 Zweite Aussage

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Dos Tüenscßen Sein unb Werben

_7. 'Band:-

Von beutscßer 7lrt unb Arbeit

Unter Mitwirkung von

H. Vürkner • I. Cohn - £). Vade• R. Deutsch • H. Dominicus • K. Dove • L. Fuchs p. Klopfer - (E.Koerber • O.Lpon • C. Maier • Gustav Maier-L.v. Maltzahn t st. d. Reinhardt - S- 6. Schmidt - (D. Schnabel • G. Schwamborn G. Steinhaufen - C. Teichmann - R. Thimm - E. wentscher - H. witting G. Wolfs • Th. Zielinski Mit 8 allegorischen Zeichnungen von Rlois Kolb

Jeder Banb in Leinwand gebunden M. 5.—

von Männern des öffentlichen Lebens und der Schule» von

Nach übereinstimmendem Urteile

Seitungen und Zeitschriften der verschiedensten Richtungen löst »Schaffen und Schauen-tn erfolgreichster Weise die Aufgabe, die deutsche Jugend in die Wirklichkeit des Lebens einzuführen und sie doch in idealem Lichte sehen zu lehren.

hat sich »Schaffen und Schauen- als ein weitblickender Berater bewährt, der einen

Bei der Wahl des Berufes

Überblick gewinnen läßt über all die Kräfte, die das Leben unseres Volkes und des Einzelnen in Staat, Wirtschaft und Technik, in Wissenschaft, Welt» anschauung und Kunst bestimmen.

Zu tüchtigen Bürgern

unsere gebildete deutsche fugend werden zu lassen, kann „Schaffen und Schauen- helfen, weil es nicht Kenntnis der formen, sondern Einblick in das Wesen und Einsicht in die inneren Zusammenhänge unseres nationalen Lebens gibt und zeigt, wie mit ihm dar Leben des Einzelnen aufs engste verflochten ist.

3m ersten Bande

werden das deutsche Land als Boden deutscher Kultur, das deutsche Volk in seiner Eigenart, das Deutsche Reich tn seinem Werden, die deutsche Volkswirtschaft nach ihren Grundlagen und in ihren wichtigsten Zweigen, der Staat und seine Aufgaben, für wehr und Recht, für Bildung wie für Förderung und Ordnung des sozialen Lebens zu sorgen, die bedeutsamsten wirtschaftspolitischen fragen und die wesentlichsten staatsbürgerlichen Bestrebungen, endlich die wichtigsten Berufsarten behandelt.

werden erörtert die Stellung des Menschen in der Natur, die Grundbedingungen und Äußerungen seines leiblichen nnd seines geistigen Daseins, das werden unserer geistigen Kultur, Wesen und Aufgaben der wissenschaftlichen Forschung im allgemeinen wie der Geistes, und Naturwissenschaften im besonderen, die Bedeutung der Philosophie, Religion und Kunst als Erfüllung tiefwurzelnder menschlicher Lebensbedürfnisse und endlich zusammenfassend die Gestaltung der Lebensführung auf den in dem Werke dargestellten Grundlagen.

3m zweiten Bande

Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin

und

Dr. $. Voflein

Dr. H. liesse

Professor an der Landwirtschaftlichen Hochschule in Berlin

Professor der Zoologie an der Universität Freiburg i. Br. .

Tierbau und Tierleben

in ihrem Zusammenhang betrachtet

2 Bände. Lex.-8.

Mit Abbildungen und Tafeln in Schwarz-, Bunt» und Lichtdruck.

In Original-Ganzleinen geb. je M. 20.—, in (Vriginal-Halbfranz je M. 22.—.

I. Band: Der Tierkorper als selbständiger Organismus, von R. Hesse. Mit 480 Abbild, u. 15 Tafeln. [XVII u. 789 5.] 1910.

H.Band: Das Tier als Glied des Naturganzen, von Z.Dof-lein. [Erscheint im Winter 1912.]

■■■■■    ¹ Bus den Besprechungen: ■■.■■■■■■.    ,

.Man wird dieses groß angelegte, prächtig ausgestattete Werk, das einem wirk. lichen Bedürfnis entspricht, mit einem Gefühl hoher Befriedigung durchgehen. (Es ist wieder einmal eine tüchtige und originelle Leistung.... Line Zierde unserer naturwissenschaftlichen Literatur.... (Es wird rasch seinen weg machen, wir können es seiner Originalität und seiner Vorzüge wegen dem gebildeten Publikum nur warm empfehlen. Ganz besonders aber begrüßen wir sein Erscheinen im Interesse des natur-geschichtlichen Unterrichts." (Rrof. g. Kelter in der „Weiten Zürcher Zeitung".)

....Der erste Band von K. Hesse liegt vor, in prächtiger Ausstattung und mit so gediegenem Inhalt, daß wir dem Verfasser für die Bewältigung seiner schwierigen Aufgabe aufrichtig dankbar sind. Ieder Zoologe und jeder Freund der Tierwelt wird dieses Werk mit Vergnügen studieren, denn die moderne zoologische Literatur weist kein Werk auf, welches in dieser großzügigen weise alle Seiten des tierischen Organismus fs eingehend behandelt. Hesses Werk wird sich bald einen Ehrenplatz in jeder biologischen Bibliothek erobern." (<£. Wkate im Archiv f. Raffen- u. Hesellsch.-Miologie.)

.Hin in jeder Kinstchl ausgezeichnetes Werk. (Es vereinigt sachliche, streng wissenschaftliche Behandlung des Gegenstandes mit klarer, jedem, der in rechter Mit-arbeit an das werk herantritt, verständlicher Darstellung. Jeder wird das Buch mit großem Gewinn und trotzdem großem Genuß lesen und Einblick in den Ernst der Wissenschaft gewinnen. Das schöne Werk darf als Muster volkstümlicher Rehandlung wissenschaftlicher Wroölerne bezeichnet werden."

(M. Jahresbericht des pürervundes.)

(Kölnische Zeitung.)

»...Vas Hessesche Werk faßt nicht alles Wissenswerte aus weiten Forschungsgebieten kurz zusammen, sondern behandelt diese in umfangreicher, erschöpfender und ä nach Form und Inhalt mustergültiger Darstellung. Das Buch ist als grundlegend . ^zusehen und von bleibendem wert. Ieder Fachmann wie Laie muß und wird es größtem Interesse und größter Freude lesen. Das Buch wendet sich an einen g;-. en Leserkreis, an alle, die die Tiere als Ganzes kennen lernen wollen, die natur-wV nschaftliche Anregung suchen und die eine gute, allgemeine Bildung besitzen, und wird ?n seinem Teil die Liebe zur Natur und die Freude am Beobachten fördern helfen."

Busführl. Prospekt vom Verlag V.G.Teubner in Leipzig.

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von den Vilderunternehmungen der letzten Jahre, die der neuen 'ästhetischen Bewegung' entsprungen sind, begrüßen wir eins mit' ganz ungetrübter Freude: den 'künstlerischen Wandschmuck für Schule und Haus', den die Zinna V.G. Teubner in Leipzig herausgibt.... wir haben hier wirklich einmal ein aus warmer Liebe zur guten Sache mit rechtem Verständnis in ehrlichem Bemühen geschaffenes Unternehmen vor uns — fördern wir es, ihm und uns zu Nutz, nach

(Kimftwart.)

„stlt und jung war begeistert, geradezu glücklich über die Kraft malerischer Wirkungen, die hier für verhältnismäßig billigen preis dargeboten wird. Endlich einmal etwas, was dem öden Hldruckbilde gewöhnlicher Rrt mit (Erfolg gegenübertreten kann."    (Die FHlfe.)

Kräften!"

Vollständiger Katalog

der Künstler-Steinzetdwungen mit farbiger Wiedergabe von ca. 200 Blättern gegen Einsendung von 40 Pfennig (Ausland 50 Pfennig) vom Verlag B. 6. Ceubner, JLetpzfg, poststraße 3

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