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BIBLIOTEKA GtÖWNA

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Mathematik

II. Teil: Geometrisches Zeichnen projektionslehre - Flächenmessung Körpermessung

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Die Samml ng

Aus Natur und Geisteswclt'

nunmehr über iOO Bände umfassend, bietet wirkliche .Einführungen" in Oie Hauptwisensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht des Laien nach Om heutige metbodifchen Anforderungen, fett (bietn Entstehen (1898) den Gedanken dienend, aus denen die heute so mächtig entwickelte Volks h och scluibewegung bemht. Sie will jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schicen, stch ohne besondereVorkennmissean stcherste, Quelle, wie sie die Döiftdl ng durch bemsene Vertreter derWistenschast bietet, übet jedes Gebiet herWismjchaft. Kunst und Technik zu unterrichten. Sie will ihn dabei zugleich «nmtlubm im Beruf sSrd ein, den Gesichtskreis erweiternd, -ieEinlicht i die Bedingungen der Berufs rbehoectlefenO. Diesem Bedürfnis können Skizzen im Charakter von .Auszügen' am großen Lehrbüchern nie entsprechenden« solche seyen eineVemautdeii mildem Stoffe schon voraus.

Die Sammmg bietet aber auch dem F-rchmanh eine rasche zuverlässige Übekicht Über die sich heute von Tag zu Tag weitenden Gebiete des geistigen lrbens in weitestem Umfang und vermag so vor allem auch dem immer jW werdenden Bedürfnis des Forschers zu dienen, stch auf den Va bargebietc« auf dem laufenden zu erhalten,

9n den Dieft dieser Ausgabe haben sich darum auch in dankenswerter Weise von Äfrmg an die besten Vamen gefteM, gern Oie Gelegenheit benutzend, stchm weiteste Kreise zu wenden.

So konnte er Sammlung such der Erfolg nicht fehlen. Mehr als die Hälfte btt Ende liegen, bei jeder Auflage durchaus neu bearbeitet, bereits in 2. b 9. Auflage vor, insgesamt hat die Sammlung bis jetzt eine Verbreitung m fast 5 Millionen Exemplaren gefunden.

Alles in alb stnd die schmucken, gehaltvollen Bände besonders geeignet hie Zreuds umbuche zu wecken ynO daran zu gewöhnert, einen Betrag, den man für Erfümg körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch fm die Befriedigrg geistiger anzuwenden.

Wenn cln«3erteuenmö der Sammlung Infolge der durch die wirtschaftliche Lage beugten außerordentliche« Steigerung der Herstellungskosten auch unoetmebai gewesen Ist, so Ist der preis doch entfernt nicht In dem gleichen Verhnls gestiegen, und auch jetzt ist ein Band .Aus Vatur und    '-io~a po|itechnlki Krakowskie, und ia-besond...

Leimig.

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Teubner

Witt vvlytän0tge»ltch 2vtsten»grvtetea geordnete» Verretchvi» versendet mf Wunsch der Vertag. Lelprrg, poststr. 3/5

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Jur Mathematik und Astronomie

sind bisher erschienen:

Einführung in die Mathematik.

Einführung in die Mathematte. Von Studienrat W. Mendel »söhn. Mit 42 Aiguren im Text. (öb. 503.)

Arithmetik, Algebra und Analysis.

Arithmetik und Algebra »um Selbstunterricht. Von Geh. Studlenrat p. Crantz. 2 Bande. !. Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen Meilen Grades. 7. Aufl. Mit 9 Ligurer; im Irrt. (Bd. »20.) 11. Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinses,ins- und Renten-rechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsah. 5. Ausl Mit 21 Texifiguren. (*)b. 205.) Lehrbuch der Rechenvorteile. Schnellrechnen und Rechenkunst. Mit zahlreichen Übung»» beispielen. Von 3ng. Dr. phil. 0. öojfo. (Bd. 739,)

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von Prof. Dr. G. Ko w a lew »kl. 3* verbesserte Ausl. Mit »6 Htguren. (Bd. »97.)

Differentialrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Verspielen und Aufgaben versehen. Von Studienra» Dr. M. Ltndow. 4. Ausl. Mit 50 Liguren und 161 Aufgaben. (Bd. 387.)

Integralrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Ausgaben versehen. Von Studienrat Dr. M.Ltndow. 3. Aufl. Mit 43 Stenten im Text und 200 Aufgaben. (Bd. 673 )

Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. Mit 38 Ligurer» im Text und 160 Ausgaben. (Bd. 586.)

^Einführung in die Vektorrechnung. Von prof^ Dr. L. I u n g. (Bd. 666.)

Die Ausgleichungsrech ung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von Geh.Reg.-Rat piof. C. Hegemann. Mit 11 Lig. i. Text. (Bd. 609.)

Kaufmännisches Rechnen zum Selbstunterricht. VonStudienrat K.D roll. (Bd.724.)

Geometrie.

Planimetrie zum Selbftunterricht. Von Geh. Studlenrat Prof.p. Cranh. 3. Aust.

Hm 94 Liguren Im Text. (Bd. 340.)

Ebene Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studlenrat Prof. p.Crantz. 9. Ziust. Hin 50 Liguren »m Text. (Bd. 431.)

Sphärische Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Pros, p. Crantz. Mit 27 Siguten im Text. (Bd. 605.)

Analytische Geometrie der Ebene zum SeUstun.erricht. Von Geh. Studlenrat Pros. p. Crantz. 3. Ausl. Mit 55 Figuren im Text. (Bd. 504.)

Einführung in die darstellende Geomerrie. Von Prof. p. B. Lisch er. Mit 59 Ltg. im Text. (Bd. 541.)

Angewandte Mathematik.

praktische Mathematik. Von Pros. Dr. R. Veuendorss. 2 Bde. I. Teil: Graphische Darstellungen. Venürztev Rechnen. Das Rechnen mit Tabellen. Mechanische Rechenhilte-mittel. Kamm. Rechnen im tagt. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2., verbesserte Auflage. Mit 29 Liguren und 1 Tafel. (Bd. 341.) !i. Teil: Geometrisches Zeichnen, prvjektions-lehre, Llächenmeflung, Körpermessung. Mii 133 Liguren. (Bd. 526.)

Die Rechenmaschinen und das Mafchtnenrechnea. Von Regierungorat Dipl.-Zng. K. Lenz. Mit 43 Abbildungen. (Bd. 460.)

Geometrisches Zeichnen. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudelskh. Mit 172 Äbb. im Texi und auf 12 Tafeln. (Bd. 568.)

projektionslehre. Die rechtwinklige Parallelprojektion und ihre Anwendung ans die Darstellung technischer Gebilde nebst einem Anhang über die schiefwinklige Parallelproiektion in kurzer leichkfastlicher Darstellung für Selbstunterricht und Schulgcdrauch. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudeistn. Mit 208 Abbildungen im Text. (Bd. 564.)

Die Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. Von Pros. Dr. K. Doehle-mann. 2. Aufl. Mit 9» Ateuren und II Abbildungen. (Bd. 5»0.)

AVuG 14 r Machemattk » Astronomie. I, 93,

Angewandte Mathematik.

Graphisches Rechnen. Von Prof.O.prölj). Mit 164 Zig. im Text. (bb. 706.)

Die graphische Darstellung. Line allgemeinverständliche, durch lahlreiche Beispiele aus allen Gebieten der Wissenschaft und Praxis erläuterte Einführung in den Sinn und Gebrauch der Methode. Von Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach. 2. Ruft. Mit 139 Zig. im Text. (bd. 437.) Masse und Messen. Von Dr. W. Block. Mit 34 Abbildungen, (bb. 385.) Nautik. Von Direktor Dr. I. Möller. 2. Aufl. Mit 64 Figuren im Text und ) Seekarte. (bb. 255.)

Die Landmessung.* Von Geh. Finanzrat Z. Suckow. Mit o- Zeichnungen im Text. (bd. 606.)

Photogrammetrie (Einfache Stereo» und Luftpbotogrammetrie). Von Dipl.» 3ng. Hermann Löscher. Mit 76 Figuren im Text und au) 2 Tafeln. (bb. 012.) Kartenkunde. Von Finanzrat Dr. 3ng. A. Egerer. I. Einführung in da» Kartenver» ftändnis. Mit 4- Abbildungen im Text. (bb. 610.)

Mathematische Spiele.

Mathematische Spiele. Von Dr. W. Ähren». 4., verbesserte Aus!. Mit) Titelbild und 76 Figuren, (bd. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lange. Mir den bildn. E. Laster» u.p. Morphy», 1 Schachdrettajet u. 43 Diagrammen. 3. Aust. (bd. 261.)

Geschichte.

Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin im tlaffischra Altertum. Vo« Pros. Dr. Ioh.L. Helberg. 2. Ausl. Mit 2 Figuren, (bb. 370.)

Astronomie und Astrologie.

Der Bau des Weltalls. Von Prof. Dr.Z.Scheiner. s. Aufl. bearbeitet von Pros. Dr. p. Guthnick. Mit 28 Figuren im Text. (bb. 24.)

Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Von Geh. Ae-gterungsrat Pros. Dr. M. b. w e i n st e i n. 3. Aufl. (bd. 223.)

Weltuntergang in Sage und Wissenschaft. Von Pros. Dr. K. Ziegler. und Prof. Dr. S. Oppenheim, (bb. 720.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Pros. Dr. S. Oppenheim.

I.    Teil: Vom Altertum bis zur Neuzeit. 3. Auslage. Mit 18 Abbildungen, (bd. 444.)

II.    Teil. Moderne Astronomie. 2. Auflage. Mit-Figuren im Text und I Tafel. (bb. 445.) Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von Professor Dr. A.Marcuse. 2. Ausl. Mit 26 Abbildungen, (bb. 376.)

Die Planeten. Von Prof. Dr. b. Peter. Mit 16 Figuren. 2. Aufl. von Obsew. Dr. H. Vauinann. (bb. 240.)

Der Kalender. Von Prof. Dr. W. F. Wi»licenus. 2. Aufl. (bd. 69.) Sternglaude und Srernöeutung. Dre Geschichte und da» Wefen der Astrolog». Unter Mitwirkung von Geh. Aar Prof. Dr. L. bezold dargeftellt von Geh. Honar Pros. Dr. Franz Voll. 2. Aufl. Mil 1 Sternkarte und 20 Abbildungen. (bd. 936.-

Meteorologie.

Einführung t« die Wetterkunde. Von Prof. Dr. L. Weber. 3. Aufl. Mii 2« Abbildungen im Text und 3 Tafeln, (bb. 55.)

Unser Wetter. Einführung in di« Klimatologie Deutschland» an der Hand von Wetterkarten. Von Dr.A. Henuig. 2. Aufl. Mit 46 Adb. im Text. (bd. 34-.)

Die mit * bezeichneten u. weitere Bände befinden sich in Vorb.

Nus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

526. Bändchen

praktische Mathematik

II. Teil

Geometrisches Zeichnen • projektionslehre Flächenmessung • Körpermessung

Von

Prof. Dr. R. Neuendorff

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Mit 133 Figuren

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Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin J 918

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Schuhsorme! für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1918 by B.G.Teubner in Leipzig.

Alle Rechte, einschließlich des Nbersehungsrechts, vorbebalten.

Druck von B. G. Teubner, Dresden

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Vorwort.

Der zweite Teil ist der Geometrie gewidmet. Die übergroße Fülle des Stoffes zwang zu kürzester Darstellungsform, die aber hoffentlich genügt, um von den behandelten Gegenständen eine klare Vorstellung zu geben. Die Abschnitte über Flächen- und Körperberechnung sind aus dem ersten Teil der ersten Auflage herübergenommen, um alles Geometrische in einem Bande zu vereinigen.

Jeder Abschnitt ist wieder für sich abgeschlossen. Mathematische Vorkenntnisse sind nicht erforderlich.

Der geringe Umfang des Bändchens gestattete nur, wenige Anwendungsbeispiele zu geben. Auch dieses Bändchen soll natürlich kein Lehrbuch sein. Einige Literaturnachweise sind hinzugefügt für solche Leser, die irgendeinen Abschnitt eingehender durcharbeiten wollen.

Herrn Vizefeldwebel cand. math. Freund, der die Korrektur mitlas, danke ich auch an dieser Stelle.

R. Neuendorfs.

Inhaltsverzeichnis.

I. Abschnitt. Geometrisches Zeichnen.

1.    Das Zeichenmaterial . .

2.    Die Grundkonstruktionen .

a)    Strecken und Winkel. .

b)    Lote und parallelen. .

c)    Konstruktionen in begrenzter Ebene . . . .

3.    Die regelmäßigen Vielecke .

a)    Das regelmäßige Dreieck .

b)    Das regelmäßige Viereck

c)    Das regelmäßige Fünfeck

d)    Das regelmäßige Sechseck .

e)    Das regelmäßige Siebeneck ..........

f)    Das regelmäßige Achteck .

g)    Andere regelmäßige Vielecke ........

4.    Die Kegelschnitte.....

a)    Die Parabel.....

b)    Die Ellipse......

c)    Die Hyperbel.....

5.    Konstruktionen int Gelände .

6.    Tangentenkonstruktionen .

7.    Graphische Interpolation .

8.    Die Nomographie . . . .

9.    Ähnlichkeit, ähnliche Ver

größerung und Verkleinerung ..........

Seite

MtOtOOO

Seite

6.    Die perspektivische Affinität 56

7.    Die 3entralproje!tion .

8.    Die Sentralfollmeation 67

9.    Die Photogrammetrie . .    68

III. Abschnitt.

57

10

11

11

11

11

12

12

13

13

14

14

17

19

20

21

Flächenmessung.

1.    Über Längen- und Flächenmaße .........

2.    Der Begriff der Flächenmessung .........

3.    Die geradlinig begrenzten

Flächen........

4.    Der Kreis.......

5.    Über projizieren und die Ausmessung der Ellipse . 84

6.    Die Methoden der Wägung und der Abzählung ... 85

7.    Die Crapezregel .... 86

8.    Die Simpsonsche Regel .    88

9.    Das Polarplanimeter . . 90 10. Das

Stangenplanimeter

22

25

29

75

77

78

82

von prytz

93

II. Abschnitt, projektionslehre.

1.    Einleitung.......

2.    Allgemeine Begriffe. . . -

3.    Die schiefeparaltelprojektion

4.    Die kotierte Projektion . .

5.    Das Grund- und Aufrißverfahren .........

34

36

38

41

50

IV. Abschnitt.

Körpermessung.

1. Die Körpermaße ....    94

2 Der Begriff der Körpermessung ........

3. Huader, Prisma, Umdrehungskörper . . .

4 Die Simpsonsche Regel . 99

5.    Pyramide, Kegel, Kugel . 100

6.    Das Volumen beliebig geformter Körper

Sachverzeichnis.....103

95

. . 95

101

1. Abschnitt.

Geometrisches Zeichnen.)

Das Zeichenmaterial. (Es dürfte nützlich fein, als Einleitung zu dem Gegenstände dieses Abschnitts einige Bemerkungen über das Zeichenmateriat vorauszuschicken. Es ist zu bekannt, daß viele Mißerfolge bei Verwendung graphischer Methoden auf mangelhafte Hilfsmittel oder ungeschickte Auswahl derselben zurückzuführen sind.

Gezeichnet wird, sobald man konstruiert, auf besonderem, nicht zu glattem und nicht zu rauhem Zeichenpapier, auf Millimeterpapier²) oder auf Pauspapier bezw. pausleinen. Das letzte nimmt man gewöhnlich nur, wenn die Zeichnungen mt Hilfe des Lichtpausverfahrens vervielfältigt werden sollen.

Die Linien werden mit hartem Blei (3 H oder Nr. 4) gezogen,- wobei man sich wohl zu hüten hat, in das Papier einzukratzen. Man muß immer noch jede Linie gut wegradieren können. Meist wird es sich empfehlen, alle wichtigen Ergebnisse mit Tusche nachzuziehen. Uber nicht etwa mit gewöhnlicher Statischer und Einte. Man nimmt vielmehr dazu eine besondere Ziehfeder, wie sie z. B. jeder Zirkelkasten enthält, und gute schwarze Uusziehtusche. Zur Unterscheidung ist es oft gut, neben der schwarzen farbige Uusziehtuschen zu gebrauchen. Uber auch darin soll man maßhalten: zu große Buntheit verwirrt leicht und kann den Gesamteindruck des Bildes stören.

Für gerade Strecken soll man als Lineale nur die Reißschiene und die Zeichendreiecke benutzen.

Für krumme Linien hat man zunächst den Zirkel mit hartem Bleieinsatz oder mit Ziehfeder. Er wird auch gern bei beliebigen Kurven, besonders wenn sie stark gekrümmt sind, benutzt, indem man durch Ausprobieren einen Kreis sucht, der wenigstens mit einem Stück der Kurve zusammenfällt. So setzt man die Kurve teilweise oder ganz aus Kreisbögen zusammen. Um häufigsten wird man indessen bei

1)    vgl. Schudeisky, Geometrisches Zeichnen (UtluG Bd.568).

2)    Für besondere Zwecke wird Papier hergestellt, das mit Mnkelteilung, logarithmischer Teilung, Teilung nach polarkoordinaien usw. bedruckt ist.

beliebigen Kuroen zu den Kurvenlinealen greifen. Bei einiger Übung läßt sich mit ihnen ebensogut zeichnen wie mit dem gewöhnlichen Lineal. In erster Linie ist der

Satz ($ig. 1) zu empfe len. Das sind drei Lineale, von

denen eins aus Ellipsenbögen, eins aus Parabelbögen und eins aus hpperbelbögen zusammengesetzt ist. Buch mit diesen Linealen muß man eine Kurve stückweise zeichnen, indem man durch Busprobieren ein Stücf der Kurve sucht, das mit einem Teil des Lineals zusammenfällt. Dabei muß man wohl daraus achten, daß der neue Teil immer glatt und ohne (Edlen in den schon fertig gezeichneten übergeht,- d. h. also, daß an der Übergangsstelle beide Stüde sicher dieselbe Tangente und nahezu gleiche Krümmung haben.

Noch würde man in Verlegenheit kommen, wenn man langgestreckte Kurven, wie sie gerade bei praktischen Bufgaben so häufig auftreten, zeichnen müßte. Dazu nimmt man die sogenannten Latten zu Hilfe Das sind dünne, biegsame Lineale, die man an die zu zeichnende Kurve entlang legt, indem man die schmale Kante mit besonderen Gewichten, welche mit einer vorspringenden Nase versehen sind, beschwert ($ig. 2). Bus diese weise kann man eine lange und beliebig gekrümmte Kurve ihrer ganzen Länge nach auf einmal durch das Lineal darstellen. Das ergibt noch einen großen Vorteil: man kann prüfen, ob auch der verlaus der Kurve so glatt und gleichmäßig ist, wie es die jeweilige Busgabe verlangt. Kleinere und größere Unebenheiten lernt man bald sicher erkennen und ausgleichen. Die Elastizität der Latte Hilst dabei gut mit.

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von den Zirkeln seien noch als notwendig der Stechzirkel und als nützlich der Nullenzirkel genannt; jener dient zum Bbmessen und Bbtragen von Strecken, dieser zum Zeichnen sehr kleiner Kreise, hierbei mag daraus hingewiesen werden, daß man bei sorgfältigen Zeichnungen, die einige Genauigkeit erfordern, Dum: e dadurch festlegt, daß man mit einer innen Zirkelspitze ins Papier leicht r D;D;; sticht. Durch solchen Punkt soll weder mit Bleistift noch mit Tu che De. nachgezogen werden.Deshalb- miiD man ihn, indem man um ihn herum einen

5ig 2.

Kreis mit sehr kleinem Radius zieht. Die Linien, die durch den Punkt hindurchlaufen sollen, zieht man nur bis an den Umfang jenes kleinen Kreises, Uullkreis genannt, heran.

Endlich sorge man noch für einen guten Maßstab mit Millimeter-teilung, vielleicht auch noch für einen Winkelmesser, den man allerdings häufig wird entbehren können.

Ohne natürlich erschöpfend zu sein, dürften hiermit doch die wichtigsten Zeichenhilfsmittel genannt sein.

2. Die Grundkonstruktionen, a) Streckenund Winkel. Bei den folgenden Betrachtungen ist es nötig, wohl auseinanderzuhalten: eine geometrische Konstruktion, deren Richtigkeit sich nach den Lehrsätzen der Planimetrie beweisen läßt, und die praktische Rusführung irgendeiner geometrischen Rufgabe. Das zweite soll hier besprochen werden,-dabei wird wohl die Rufgabe mathematisch, dagegen werden die Lösungen ein gut Teil nur Regeln für das Zeichnen sein.

Eine strecke, also das begrenzte Stück einer geraden Linie, z. B. 7,38 cm soll auf dem Zeichenblatt an irgendeiner Stelle abgetragen werden. Man zieht an jener Stelle eine beliebig lange gerade Linie. Dann nimmt man den Stechzirkel, setzt die eine Spitze auf einem Maßstab am Rnfangspunkte ein und spreizt ihn so weit auseinander, bis die andere Spitze auf 7,38 zeigt. Den achten Teil des Millimeters schätzt man bei einiger Übung noch sicher ab. Jetzt markiert man mit dem Stechzirkel auf der Bleistiftgeraden die Endpunkte der gesuchten Strecke durch zwei feine Löcher, indem man die Zirkelspitzen leicht in das Papier hineindrückt.

Ist geringere Genauigkeit erforderlich, so kann man einfach den Maßstab an die Gerade anlegen und die gesuchte Strecke durch Bleistiftstriche abtragen Dann bekommt man freilich , mm nicht mehr genau.

CD

5tg 3.

Punkte D. hätte man nach Rugenmaß die Mitte richtig gefunden, so müßte ja C mit D zusammenfallen. Im allgemeinen bleibt eine kurze Strecke CD, deren Mitte iVl aber ohne Mühe so genau abgeschätzt wer-

AB in $ig. 3 sei etwa die eben abgetragene Strecke. Sie soll noch halbiert werden. Dazu setzt man den Stechzirkel am einen Ende A ein, schätzt nach Rugenmaß die Mitte der Strecke ab und öffnet den Zirkel, bis seine zweite Spitze auf diese abgeschätzte Mitte C zeigt. Den Punkt C mar- f kiert man mit dem Zirkel. Dieselbe Strecke AC trägt man von B aus ab bis zum

den kann, wie sie sich zeichnerisch überhaupt ermitteln läßt. Zur probe kann man mit dem Stechzirkel nachprüfen, ob wirklich AM = BM geworden ist. (3n der $igur sind die Punkte durch kurze Striche angedeutet; in der Zeichnung sind sie natürlich kleine Löcher.)

Ganz ähnlich verfährt man, wenn die Streck AB in drei oder vier gleiche Stücke geteilt werden soll. Man probiert mit dem Stechzirkel aus, bis die Zirkelöffnung gerade so groß ist, daß man die Strecke, die sie faßt, drei- bzw. viermal hintereinander abtragen kann.

5t g. 4.

Soll dagegen eine Strecke in eine größere Anzahl, z. B. 9 gleiche Stücke zerlegt werden, so nimmt man besser eine bekannte geometrische Uonstruk-tion zu Hilfe (s. $tg. 4). Man zieht von einem Endpunkt etwa B aus unter einem Winkel nahe 90° einen beliebigen Strahl BL. Huf ihm trägt man eine beliebige, kurze Strecke von B aus neunmal hintereinander ab. Den letzten Teil-punkt x verbindet man mit A und zieht durch den vorletzten y die parallele yZ zu Ax. Dann ist AZ der neunte Teil von AB.¹) Diesen neunten Teil AZ trägt man mit dem Stechzirkels auf AB neunmal ab. wenn der letzte Eeilpunkt nicht genau auf B fällt, verbessert man AZ nach Rugenmaß, indem man den Fehler zwischen dem letzten Eeilpunkt und B in neun gleiche Teile zerlegt.

Das Bbtragen und Teilen von winkeln kommt zwar nicht so oft vor, bietet dafür leicht größere Schwierigkeiten, weil mit dem gewöhnlichen kleinen Winkelmesser, der meist allein zur Verfügung steht, eine hinreichende Genauigkeit nicht zu erreichen ist.

Man bekommt im Handel freilich größere recht gute Winkelmesser; nur schreckt der nicht unbeträchtliche preis von der Anschaffung leicht zurück, solange es sich eben um eine gelegentliche, nicht dauernd wiederkehrende Rufgabe handelt. Überdies bleibt die Genauigkeit der Zeichnung immer mäßig, zumal wenn der Schenkel des abgetragenen Winkels wesentlich länger als der Radius des Winkelmessers werden soll. ~~~    AZ xy .

1)    Rach bekannten Sätzen der Proportionslehre ist nämlich    = g- wen

X V 7    A 7    1    J

aber so gezeichnetwurde, &afj ^ ist, so iftaud) ^    ; d.h. AZ = —AB.

2)    Zum fortlaufenden Rblragen derselben kurzen Strecke hat man einen besonderen Teilzirkel, dessen Zirkelöffnung durch eine Schraube sehr genau eingestellt werden kann und zugleich durch sie festgehalten wird.

Abtragung von winkeln

ist

(Es ist daher am besten, einige Kenntnis der (Trigonometrie zu benutzen. Mas dazu nötig ist, werde zunächst erklärt.

In 5tg. 5 fei der Winkel a gegeben. Ruf feinem einen Schenkel mögen beliebig viele Punkte Bt, B₂, B₃ usw. liegen. Don diesen Punkten fälle man auf den anderen Schenkel von a die Lote C,, B₂ C₂, B₃ C₃ usw. wer aus der Geometrie noch nicht die Proportionssätze kennt, der mag sich wenigstens durch Nachmessen der Strecken B^, B₂C₂,... und A ,

Mi

.. davon überzeugen, daß immer = ^ 0-... ist. Dieser Bruch gehört

also gewissermaßen unveränderlich zum Winkel ct. Umgekehrt kann man auch nur einen ganz bestimmten Winkel a zeichnen, derzujenem Bruch aZjl gehört?) Das heißt doch aber, wiein einem früheren Rbschnitt erklärt wurde: der Bruch ist eine Funktion des Winkels a. Diese häufig vorkommende Funktion hat den Namen (Tangens von a, kurz iga geschrieben, erhalten. (Es ist also der (Tangens eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck gleich dem Quotienten aus der gegenüberliegenden Kathete dieses Winkels zur anliegenden?) Die Zahlenwerte dieser Funktion findet man in (Tabellen.

(Es fei jetzt 3. B. iga = 1,5. wie zeichnet man den zugehörigen Winkel a> vergleicht man mitFig. 5, so muß also Ct: AQ = 1,5 sein, praktisch einfach verfährt man daher so (s. Fig. 7): Ruf der gegebenen wagerechten Geraden trägt man von A aus die Strecke AC = 10 cm ab,

A C₂, .

__ b₂ C₂

ac₂

AC,

5tg-5.

Cj C<> C₃

1)    wäre 3. B. der Bruch -§-, so hätte man eine Strecke AC = 3 cm zu zeichnen, in C bas Lot B C = 2 cm zu errichten und A mit B zu verbinden. Dann wäre <£ BAC der gesuchte. Statt 3 cm und 2 cm könnte man ebensogut 6 mV> 4 oder 9 und 6 usw abtragen, da ja -§- = y = -§- ist.

2)    Rußer dem (Tangens werden entsprechend wie oben noch die folgenden Winkelfunktionen eingeführt: Kotangens (ctg), Sinus (sin), Kosinus (cos), Sekans (sec), Kosekans (cosec). (Es wird genügen, die Formeln für diese— s. Fig. 6 — anzugeben:

o , cs

tga=b

; ctga = ~; since = —; cosecce = a    c

"b*

COS a — — ; sec a —

C

Fig. 6.

Sekans und Kosekans werden in neuerer Zeit wieder viel zur Vermeidung der Division bei der Kechen-maschine verwendet. Tabellen derselben smd z. B. enthalten in: (D Lohse, Tafeln für numerisches Rechnen mit Maschinen. Leipzig 1909.

errichtet in C das Zot und trägt auf ihm CB = 15 cm ab. verbindet man B mit A, so ist B A C = <t cc, denn es ist ja wirklich tga = B C : A C = 15:10 = 1,5.

nr

Iß

15 cm

UIOQJ

46f6 cm

Aß-

10 cm 5ifl. 7.

5ig. 8.

50 cm

$ig.9.

Soll ein bestimmter Winkel z. B. von 37° angetragen werden, so sieht man nach, wie groß tg 37° ist. 3n der Tabelle findet man tg 37° = 0,7536. 5llso trägt man entsprechend wie oben 10 cm und 7,54 cm ab.

Bei einem großen Vinkel kann mit der günstigen Wahl von AC = 10 cm der Punkt B leicht so hoch liegen, daß er über die Zeichen-fläche hinausfällt. Dann beachte man. daß in Fig. 8 tg/3 = AC • BC unb ß = 90° - cc ist. Ulan kann mit Hilfe von ß zeichnen genau wie vorher mit cc. 3st 3. B. cc = 73°, so wird ß = 90" — 73°== 17° und tg 17° = 0,3057. Daher muß AC = 3,06 cm und BC = 10 cm gemacht werden, damit tg/3 = tg 17° = 3,06 : 10 = 0,306 und folglich a = 73" wird.

(Es mag noch erwähnt werden, daß oft besser bei kleinen Zeichnungen mit 5 cm und anderseits bei großen mit 50 cm auf der horizontalen

fpr    t&CC

gezeichnet wird. Dann hat man auf der vertikalen 10 - ₂ bzw. 100 *-y-aufzutragen,- denn es ist z. B.

tg 43° -= 0,9325 = *—

-1-10 0,9325

10-

0,9325

100-

0,9325

|10

4,7

46,6

50

50

3n der $ig. 9 sind beide Fälle (verkleinert) angedeutet.

Diese Verfahren wendet man immer dann an, wenn um einen Punkt

herum die Winkel von 5° 3U 5° oder von 1" zu I" usw. zu zeichnen sind. Aber auch sonst sind sie zu empfehlen. In einer Tabelle seien noch die Werte von tga und V₂tga zusammengestellt.

Ci

Grade

a /* *g a (groöc

0,0175    0,0087    31    0,6009    0,3001    !    61    1,8040    0,9020

0,0349    0,0175    32    0,6249    0,3124    (2    1,8807    0,9404

0,0524    0,0262    33    0,6494    0,3247    63    1,9626    0,9813

0,0699    0,0350    34    0,6745    0,5373    64    2,0503    1,0252

0,0875    0,0437    35    0,7002    0,3501    65    2,1445    1,0723

0,1051    0,0525    36    0,7265    0,3633    66    2,2460    1,1230

0,1228    0,0614    37    0,7536    0,3768    67    2,3559    1,1779

0,1405    0,0703    38    0,7813    0,3906    68    2,4751    1,2375

0,1584    0,0792    39    0,8098    0,4049    69    2,6051    1,3025

0,1763    0,0882    40    0,8391    0,4196    70    2,7475    1,3737

11    0,1944    0,0972    41    0,8693    0,4346    71    2,9042    1,4521

12    0,2126    0,1063    42    0,9004    0,4502    72    3,0777    1,5388

13    0,2309    0,1154    43    0,9325    0,4663    73    3,2709    1.6354

14    0,2493    0,1247    44    0,9657    0,4828    74    3,4874    1,7437

15    0,2679    0,1340    45    1,0000    0,5000    75    3,7321    1,8660

16    0,2867    0,1434    46    1,0555    0,5178    76    4,0108    2,0054

17    0,3057    0,1529    47    1,0724    0,5362    77    4,3315    2,1657

18    0,3249    0,1625    48    1,1106    0,5553    78    4,70^6    2,3523

19    0,5443    0,1722    49    1,1504    0,5752    79    5,1446    2,5723

20    0,3640    0,1820    50    1,1918    0,5959    8 )    5,6713    2,8356

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0,3839 0,1919 0,4040 0,2020 0,4245 0,2122 0,4152 0,2226 0,4663 0,2332 0,4877 0,2439 0,5095 0,2518 0,5317 0.2659 0,5543 0,2772 0,5774 0.2887

gcgcnuioiCBcncjioicr¹

1,2349

1,2799

1,3270

1,3764

1,4281

1,4826

1,5599

1,6003

1,6643

1,7321

•-''tvOOOM^iOOtOtO 'O »O O O N t"-* QO OO 00

o” d o d d o" d d d o'

6,3138 3,1569 7,1154 3,5577 8,1443 4,0722 9,5144 4,7572 11,430    5,715

14,301    7,150

19,081    9,541

28.636 14,318 57,290 28,645

(X)

oo

In der Regel wird man nur die Werte bis 45° gebrauchen. Der Vollständigkeit wegen sind sie bis 90° angegeben.

Die Teilung eines Winkels in zwei, drei usw. gleiche Teile wird ganz ähnlich wie bet einer Strecke durch Ausprobieren ausgeführt. Man beschreibt um den Scheitelpunkt von a (s. §ig. 10) einen Kreis und verfährt auf dem Bogen P Q genau wie früher auf der Strecke. In der §igur ist die Halbierung des Winkels angedeutet. Man vergleiche dazuFig.3.

Soll der Winkel in eine größere Unzahl gleicher Teile zerlegt werden, so wird man nicht so leicht die richtige Zirkelöffnung finden. (Es empfiehlt sich zuerst eine ein wenig zu kleine und daraus eine ein wenig zu große oder umgekehrt zu wählen. Zwischen beiden schätzt man die wahre ab. wenn nicht anders wird man durch mehrfaches probieren immer weiter den Unterschied zwischen einer zu großen und einer zu kleinen Zirkelöffnung einengen und so sicher zum Ziele kommen.

P.

5ig l0. Q

Die Teilung eines beliebigen Winkels in drei gleiche Teile mit Zirkel und Lineal allein ist streng mathematisch nicht möglich, wie seit langem bewiesen ist?) Trotzdem gehört auch diese Uufgabe zu jenen, welche unverständige Leute immer wieder zu lösen versuchen, natürlich ohne jeglichen Erfolg. Falsche Lösungen — und andere sind ja, wie gesagt, gänzlich unmöglich — gibt es nachgerade genug. Der ,,Uuhm", noch eine falsche dazugefunden zu haben, sollte eigentlich niemand mehr verlockend sein.

b) Lote und parallelen. 3n der Geometrie lernt man, wie nach bestimmten Lehrsätzen Lote zu errichten und parallelen zu ziehen sind. Diese Konstruktionen hätte man unbedingt anzuwenden, wenn sich ideal genau zeichnen ließe, praktisch sieht die Sache anders aus. Da kann dieselbe, zuweilen größere Genauigkeit auf einfachere weise erreicht werden. Zwei Beispiele zeigen, wie zu verfahren ist.

Zur Geraden xy soll durch den Punkt P, der irgendwo außerhalb xy liegt, die parallele gezogen werden?)

Zur Lösung gebraucht man ein Zeichendreieck und ein Lineal. ITT cm legt das Zeichendreieck mit seiner längsten Kernte ab (s. Fig. 11) an xy; dann schiebt man das Lineal genau an die Kante bc (oder ac) heran (1. Lage). Das Lineal wird von jetzt an festgehalten. Das Dreieck wird dagegen mit der Kante be am Lineal entlanggeschoben, bis die

1)    Wer den Beweis für diese Unmöglichkeit kennen lernen will, mag ihn etwa nachlesen bei $. Klein, Vorträge über ausgewählte fragen der Lle-mentargeometrie. Leipzig 1895 Sehr gute Näherungslösungen gibt es in sehr großer Menge; ebenso iit eine größere Unzahl von Instrumenten bekannt, die die Dreiteilung des Winkels leisten. Uber vielleicht außer dem Erfinder benutzt sie sicherlich kein Mensch. Uuch in diesen Beziehungen kann nur nachdrücklichst von einer Beschäftigung mit dem Problem abgeraten werden.

2)    (Es heißt die parallele, weil es nur eine durch den Punkt P gibt.

Honte ab durch P hindurchgeht (2. sage). 3n dieser neuen sage zieht man durch P an ab entlang eine Gerade. Das ist die gesuchte parallele.

b,

(3m Grunde genommen hat man nichts anderes getan, als auch die theoretische söfung verlangt. Han hat eben durch P eine Gerade gezogen, die mit der sinealfante denselben Winkel bildet wie x y, nämlich den Dreieckswinkel bei b.)

/><

2.Lage

^7/

2 Lage

•y

.y

1. Lage

5tg. 12.

1. Lage\7/

$tg. n.

Huf die Gerade xy soll vom Punkte P aus das sot gefällt werden ($ig. 12).

man

Han lege das Zeichendreieck diesmal mit einer der kleinen Kanten, z.V.bc, an xy an. Die Dreieckskante aciftzubc senkrecht, verschiebt daher das Dreieck so, daß bc stets parallel zu xy ist, so wird ac stets senkrecht zu xy bleiben, da ein sot auf einer Geraden auch auf allen parallelen zu dieser Geraden senkrecht steht. Han schiebt deshalb das sineat an ab heran (1.sage), wieder wird das sinealfestgehal-ten und das Dreieck verschoben, bis die Kante ac durch P hindurchgeht (2. sage). (Eine Gerade entlang ac durch P gezogen ist das gesuchte sot.

Die Genauigkeit der Konstruktionen hängt natürlich ganz von der Güte des Dreiecks und des sineals ab. wenn man nicht ein zuverlässig richtiges Stahllineal zur Verfügung hat. an das man die Reißschiene zur Prüfung nur anzulegen braucht, so hilft man sich, indem man möglichst sorgfältig an der zu prüfenden Kante entlang eine Gerade zieht. Jetzt dreht man die Reißschiene um, so daß die andere Fläche auf dem Papier aufliegt, und legt dieselbe Kante wie vorher an der Bleistift« linte entlang. Fällt auch jetzt die Kante mit jener zusammen, so kann man sie als geradlinig betrachten.

Den rechten Vinkel bes Dreiecks erprobt man, indem man eine Gerade zieht, die Kante ac an die Gerade anlegt und längs b c eine Linie zieht. Jetzt schlägt man das Dreieck um bc herum, so daß wieder ac auf die Gerade fallt, aber in symmetrischer Lage wie vorher. Ist der Winkel bei c wirklich ein rechter, so muß wieder de in der neuen Lage mit der gezogenen Linie zusammenfallen.

Die im Handel erhältlichen Dreiecke und Reißschienen sind keineswegs immer brauchbar,- sie sollten deshalb stets beim Einkauf geprüft werden.

c) Konstruktionen in begrenzter Ebene. Da es vielfach vorkommt, daß zu /    einer Konstruktion wichtige

/•

'6

Fig. 13-

• Teile über bas vorhandene Zeichenblatt hinausfallen, so ist es nötig, Methoden auszubilden, die in solchen Fällen anzuwenden sind. Kn einem Beispiel soll gezeigt werden, wie man verfährt. *) Es feien zwei sich schneidende Geraden, deren Schnitrpunkt aber nicht mehr zugänglich ist, gegeben. Ein beliebiger Punkt P soll mit diesem Schnittpunkt verbunden werden. In Fig. 13 sind a und b die gegebenen Geraden. Durch P lege man zwei beliebige Strahlen, die a und b in den Punkten 1 bis 4 schneiden. Dann zieht man 1; 2 und 3; 4 und verlängert sie bis zu ihrem Schnittpunkts. Durch S legt man einen neuen Straf)!, der a und b in den Punkten 5 und 6 trifft, weiter zieht man 3; 5 und 4; 6 und verbindet endlich den Schnittpunkt Q dieser Geraden mit P. Das ist die gesuchte Gerade, die P mit dem Schnittpunkt von a und b verbindet. Eine andere weniger schöne, aber leichter verständliche Lösung ist ebenfalls in Fig. 13 gestrichelt eingezeichnet. Da sich die drei höhen eines Dreiecks in einem Punkte schneiden müssen, so fällt man von P aus die Lote auf a und b und macht P zum Höhenschnittpunkt eines Dreiecks, indem man die beiden Punkte A und B, die nicht Lotfußpunkte find, miteinander verbindet. Das Lot von P auf AB muß dann die dritte höhe sein, also durch die Dreiecksspitze, d. h. den Schnittpunkt von a und b gehen.

1) vgl. im übrigen: Zühlke, Konstruktionen in begrenzter Ebene (Machern. Bibliothek Bö. 11). Leipzig 1913.

3. Sie regelmäßigen Vielecke. Teilt man den Umfang eines Kreises yt 3, 4, 5 usw. gleiche Teile und verbindet jedesmal die sämtlichen Teilpunkte in regelmäßiger Aufeinanderfolge durch Zehnen, so daß eine geschlossene Figur entsteht, so erhält man ein regelmäßiges Vieleck.

u) Das regelmäßige Dreieck. Fig. 14.    /

Ulan zieht einen beliebigen Durchmesser Ax. /

Mx halbiert man im Punkte y und errichtet 1 aus Ax in y bas Lot, welches den Kreis in B \ und C schneidet, verbindet man noch A mit B B und C, so ist ABC ein regelmäßiges Dreieck.

5ig 14.

(Die Beweise für die Nichtigkeit dieser und der folgenden Konstruktionen mag man selbst zu finden suchen oder in irgendeinem Lehrbuch der Planimetrie nachlesen.)

b) Das regelmäßige Viereck. Fig. 15.

\3

Ulan zieht zwei auseinander senkrechte Durchmesser und verbindet deren Endpunkte 1 bis 4 durch Zehnen. Ulan kann zuerst in regelmäßiger 1 Folge 1—2 — 3 -4 verbinden. Dann könnte man versuchen, immer je eine Ecke zu überschlagen, dabei entstände aber keine geschlossene Figur durch sämtliche Ecken. Endlich wäre möglich, abwechselnd diepunkte aufeinanderfolgend    5t9*¹⁵'

IC

und einen überschlagend zu wählen; also 1 — 2 >4—1 : 3 4->2 -3 . 1. wirklich entsteht eine geschlossene Figur (das Ciuadrat mit den Diagonalen) durch sämtliche Punkte. Diese abwechselnden punktfolgen, bei denen durch jede Ecke mindestens drei Zeiten des Vielecks gehen, sollen im solgendennicht weiter berücksichtigt werden. Zur Übung mag sie jedoch ein jeder selbst hinzufügen.

₅ c) Das regelmäßige Fünfeck. Fig. 16. \ Nach ptolemäus kann man so zeichnen. Rnf jB einem beliebigen Durchmess er AB errichtet man ¹ öasUtittellotMC. AN halbiert man im Punkte D und beschreibt um D mit D C einen Kreisbogen, der BM in E schneidet. Dann ist die Ztrecke CE gleich der gesuchten Fünfecksseite.

Ulan trägt sie fünfmal in Öen Kreis ein unö erhält öie Geilpunkte 1 bis 5. verbindet man sie in ununterbrochener Reihenfolge, so erhält man das regelmäßige Fünfeck der Fig. 16. 3n Hig. 17 ist immer je eine Ecke überschlagen. Dabei entsteht eine sternförmige Figur, öie als 5 Pentagramm, Drudenfuß usw. bekannt ist und | in verschiedenen Teufelssagen eine wichtige I Rolle spielt. Überschlägt man immer zwei ober drei Ecken, so erhält man nur dieselben Gebilde wieder.

2,

Sig 17.

d) Das regelmäßige 5echseck. Fig. 18. man trägt den Halbmesser des Kreises sechsmal hintereinander in den Kreisumfang als

Zehne ein. Die Teilpunkte verbindet man in ZX'    ₃ ununterbrochener Folge. Durch gleichmäßiges

Überschlagen von ein, zwei, drei usw. Teilpunkten entstehen keine weiteren regelmäßigen Zechsecke.

e) Das regelmäßige Siebeneck.Fig.19. wie man beweisen kann. ist es unm glich, das

IQ o:

Fig. 18.

tat*

Zirkel und Lineal zu konstruieren. Rber es gibt zahlreiche gute Näherungslösungen. Eine davon, die genau so für das Neuneck, Elfeck usw. verwendet werden kann, ist die folgende vom Herzog Karl Bernhard vonZachsen-wei-mar gefundene. Einen beliebigen Durchmesser AB teilt man in sieben gleiche Ztücke. 3m mittelpunkt von AB errichtet man einen senkrechten Halbmesser und verlängert ihn um l/₇ A B bis C. Ebenso .verlängert man AB um ¹/₁ AB über A hinaus bis D. C verbindet man mit D. Diese Gerade schneidet den Kreis in zwei Punkten.

fF

Denjenigen, der A am nächsten liegt, also B, 7)^ verbindet man immer mit dem von A aus gerechnet dritten Teilpunkt, hier? auf AB.

Dann ist E F die gesuchte Zehne, die sich annähernd richtig siebenmal hintereinander in den Kreis eintragen läßt. Je nachdem

man die Teilpunkte in ununterbrochener Zolge ($ig. 19) verbindet oder je einen ($ig.20) oder je zwei (5tg.21) überschlägt, erhält man drei verschiedene regelmäßige Liebenecke.

1\

f)    Das regel- ^ mäßige Achteck.

15

v4

Sxq.21.

5ig.20.

Zig. 22. Man zeich- j net zwei zueinander | senkrechte Vurchmes- 2 ser und halbiert die rechten Winkel mit Hilfe des 450-Dreiecks. Man erhältzwei verschiedene regel-mäßigeAchtecke durch verbinden der aufeinanderfolgenden

v>

Teilpunkte (Zig. 22) ^ und durch Überschlagen von je zweien (Zig. 23).

Sig.23.

5tg.22.

g)    Andere regelmäßige Vielecke. Noch eine ganze Reihe von regelmäßigen Vielecken kann mathematisch genau mit Zirkel und Lineal gefunden werden, selbstverständlich ist, daß man durch fortgesetztes halbieren der Winkel oder Bögen die Vielecksreihen: 3,6,12, 24,...; 4,8,16,32, ...; 5, 10, 20, 40,..^ zeichnen kann; aber auch 3. B. das 15 - Eck und das 17-Eck sind zu nennen. Die Lehne zur regelmäßigen Zehnteilung ist übrigens in Zig. 16 mitgefunden, da sie gleich ME ist.

E/

(D

$\Q. 24.

ktNuG 526: Neuendorff, prakt Mathematik u

Anmerkung. Die Lehne des regelmäßigen Zehnecks wird gewöhnlich mit Hilfe des „Goldenen Lchniltes" gefunden; über'diefen mögen ein paar IDorre folgen Eine Strecke A B, Zig 24, soll nach dem Goldenen Lchnill oder stetig geteilt werden, d. h. so, daß sich der kleinere Abschnitt zum größeren nerhälr, wie der größere zurgan-" - „ zen Strecke (Man sagt auch: der größere Ab-B schnitt ist mittlere Proportionale zwischen dem kleineren und der ganzen Strecke.) Also soll sein

AC:BC - BC:AB. Man findet den Teilpunkt C, indem man in A auf AB das £ot errichtet und auf ihm AB abträgt, so daß also AH = AB ist. Über AH als Durchmesser zeichnet man einen Kreis, dessen Mittelpunkt M man mit B verbindet. Ist D der Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Kreise, so hat man noch BD von B aus auf AB abzutragen, um den gesuchten Teilpunkt C zu finden tz

Die Sehne des regelmäßigen Zehnecks ist gleich dem größeren abschnitt

____    ___ des stetig geteilten Kreishaibmessers

$tg.25

5tg-26.

angeblich führt die stetige Teilung zu besonders harmonischen Gebilden. Bis zu einem gewissen Grade ist das gewiß richtig,' aber es ist entschieden zu verwerfen, wenn übereifrige Leute nun überall in der Natur und auf guten Gemälden stetige Teilungen finden, wenn man nur an der richtigen Stelle zu messen anfängt, muß das schließlich recht häufig gelingen?) Ein Rechteck, dessen Seilen Teile einer stetig geteilten Strecke sind. Fig. 25, hat man ein Rechteck schönster Form genannt andere geben einem Rechteck, dessen größere Seile gleich der Diagonale im (yuadrat aus der kleineren Seite ist, Fig. 26, diesen Namen.

4. Die Kegelschnitte. Don den krummen Linien hat ja die größte Wichtigkeit der Kreis, allein schon deshalb, weil man ein so einfaches Instrument wie den Zirkel besitzt, um ihn zu zeichnen. Nach ihm sind besonders die Kegelschnitte zu nennen. Sie entstehen, wie ihr Name sagt, als Schnittfiguren, wenn man durch einen Kreiskegel irgendeinen ebenen Schnitt legt. Es gibt (von besonderen Fällen abgesehen, in denen auch gerade Linien als Kegelschnitte aufzufassen sind) drei Nrten von Kegelschnitten: Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln.

a) Die Parabel. Die Punkte einer Parabel haben von einer festen Geraden L, der Leitlinie, und einem festen Punkt B, dem Brennpunkt, gleichen Nbstand (Fig. 27). Daraus ergibt sich die in derselben Figur angegebene mechanische Konstruktion. 5ln die Leitlinie entlang legt man ein Lineal, weiter braucht man ein rechtwinklig gebogenes Lineal, an dessen einem Ende A man einen Faden von der genauen Länge AC befestigt. Über das andere Ende knotet man an einem im Brennpunkt B

1)    Nach einem bekannten Satz aus der Kreiskehre ist:

B D : B A = B A: B E, unb folgltd) rotrb (B A — B D): B D = (B E — B A): B A, ö.t). AC : BD = BD : BA oder AC:BC = BC:BA, wenn man noch BD durch BC ersetzt.

2)    Um nur ein Beispiel zu nennen: Nugenabstand und Nasenlänge des normalen Menschen sollen eine stetig geteilte Strecke ergeben. Man versuche selbst, das festzustellen.

eingeschlagenen Nägelchen fest. 3n P setzt man einen Bleistift ein, den man dauernd an bas Winkellineal andrückt, indem man zugleich den Faden fest spannt, verschiebt man nun das Winkellineal an entlang, so beschreibt P eine Parabel, da in der Tat immer PB=PC ist. Für den unteren Teil der Parabel mutz man das Winkellineal herumschlagen.

Fällt man von B das £ot auf L, so erhält man als Schnittpunkt den Scheitelpunkt S der Kurve. BS ist eine Symmetrielinie, die man die Rchse der Parabel nennt. Rnt wenigsten gut wird die Zeichnung immer in der Nähe von S ausfallen. Rber da kann man sich helfen, wie es in jedem Punkte einer Kurve eine geradeLinie, die Tangente, gibt, die sich besonders gut anschmiegt, so gibt es auch stets einen ganz bestimmten Kreis für jeden Punkt, den Krümmungskreis, von dem ein Bogenstückchen am besten mit der Kurve zusammenfällt?) Der Symmetrie wegen schmiegt sich der Krümmungskreis im Scheitel ganz besonders gut der Kurve an, so datz man dort ein erhebliches Stück der Parabel durch einen Kreisbogen ersetzen kann. hier hat der Krüm-mungskreis den Halbmesser 2 - BS. Sein Wittelpunkt M liegt auf der Rchse. In die Figur ist er eingezeichnet,- man sieht, wieweit er mit der Parabel zusammenfällt.

Ls ist noch die Bedeutung des Namens Brennpunkt zu erklären. Befindet sich in B eine Lichtquelle, und denkt man sich den Parabelbogen spiegelnd —Fig. 28 zurückgeworfen. Bei Scheinwerfern benutzt man Spiegel, deren Fläche durch Umdrehung einer Parabel um ihre Rchse entstanden zu denken

ist. Die Lichtquelle wird im Brennpunkt angebracht, so daß ein eng umgrenztes, also sehr Helles Bündel paralleler Lichtstrahlen entsteht. Fängt man umgekehrt die parallelen Sonnenstrahlen mit einem

//

77

3a

S\ B M

S tg.27.

so werden alle Lichtstrahlen parallel zur Rchse

//

XX

XXx

XX \X

1) Die Tangente gibt die Richtung an, in der die Kurve an der betreffenden Stelle weiterläuft, während der Krümmungstreis angibt, wie stark sie an jener Stelle gekrümmt ist.

parabolischen Spiegel so auf, daß die Strahlen zur Achse parallel sind, so werden sie im Brennpunkt gesammelt und können dort eine Entzündung leicht brennbarer Stoffe hervorrufen.

Zwei häufiger benutzte Konstruktionen der parabelmögen noch folgert, wenn die Achse mit dem Scheitelpunkt S, Fig.29, und irgendein Parabelpunkt P gegeben sind, so zieht man durch P die parallele zur Achse und errichtet in S das £ot auf der Achse. Q möge der Schnittpunkt sein. QP und QS teilt man in gleich viele unter sich gleiche Stücke und zieht von S aus nach den Teilpunkten von PQ Strahlen, während man durch die Teilpunkte von Q S parallelen zur Achse legt. Durch gleiche Zahlen zugeordnete Geraden schneiden sich in den Kurvenpunkten. Trägt man die Teilabschnitte über Q und P hinaus ab und konstruiert weiter wie vorher, so erhält man die Verlängerung der Parabel beliebig weit über P hinaus.

Sind — $tg. 30 — zwei Tangenten mit ihren Berührungspunkten A und B gegeben, so teilt man AC und BC (C ist der Schnittpunkt der Tangenten) in gleich viele unter sich gleiche Stücke und beziffert, wie in der Figur angegeben. Entsprechende Punkte verbindet man. Diese verbindungsgeraden umhüllen eine Parabel. Aber auch die Berührungspunkte sind leicht anzugeben. Sie liegen jedesmal im Mittelpunkt des

Q ______1    2_3_X

2,

c<

$ig.30.

5ig 29.

zugehörigen Tangentenstückchens, also z. B. Z, der Mittelpunkt von X Y, ist der Berührungspunkt dieser Tangente, wieder erhält man die Verlängerung der Parabel über A und B hinaus, wenn man die Teilabschnitte über A, B und C hinaus abträgt und weiter zeichnet wie vorher.

b) Die Ellipse. Die (Ellipse, Zig. 31. ist im Gegensatz zur Parabel eine geschlossene Figur. Sie besitzt zwei Brennpunkte B* und B₂. Befände sich in Bj eine Lichtquelle, so würden die von der spiegelnd gedachten Ellipse zurückgeworfenen Strahlen alle durch Belaufen. Bei Flüster-gewolben hat man es z. B. mit Teilen von Flächen zu tun, die durch Umdrehung einerEllipseum Bi Bz entstanden gedacht A werden können. Ein nahe B, geführtes leises Gespräch wird in B₂ und in der Nähe von B₂ gut und deutlich zu ver- VA stehen sein. Die Gerade durch BiB₂ ist \/ eine Symmetrielinie der Kurve; sie heißt x die große Nchse. Uber auch zumMttel-lot auf BjB. liegt die Ellipse symmetrisch. Diese Gerade heißt die kleine Uchse.

5ig. 31.

$tg. 32.

Bei der Ellipse ist die Summe der Übstände jedes beliebigen Kurvenpunktes von den Brennpunkten, also PBt4 PB2 gleich der Länge der großen Uchse. Diese Eigenschaft führt zur Fadenkonstruktion der Ellipse. Fig.32. 3n den Brennpunkten steckt man zwei Nadeln fest; um sie herum schlingt man einen zusammengeknoteten Faden. Mit einem Bleistift den Faden stets straff gespannt haltend, umfährt man die Brennpunkte. Die Fadenlänge ist offenbar gleich der großen Uchse, vermehrt um den Ubstand der Brennpunkte.

häufiger ist die Aufgabe, eine El-lipse zu zeichnen, deren beide Achsen §4-2 gegeben finfc. Man zieht durch die /)SA Endpunkte der Achsen zu ihnen die ³ A parallelen, Fig. 33. Dann teilt man AM mb AB in gleich viele unter sich gleiche Strecken. Die Endpunkte der kleinen Achse verbindet man mit den Teilpunkten. Die Schnittpunkte gleich-zahliger Strahlen sind Ellipsenpunkte. Auch hier lassen sich die Krümmungskreise in den Scheiteln, nämlich den Endpunkten der Üchsen, leicht finden.

Cp

lc₂

BTan zieht die Diagonale DE und fällt auf sie von F bas Lot. Die Schnittpunkte mit den Kchsen Ct und C₂ sind die gesuchten Krümmungs*

Mittelpunkte, um welche die Krümmungskreise zuschlagen sind.

a)

XSy

?/

5ig. 34.

Mancheiner wird indessen die folgende Papi er -streifenkonstruktion vorziehen. Km Rande eines U—Papierstreifens trägt man A ^ die Längen OA = a und OB = b ab, entweder in gleicher Richtung (also als Summe), Zig. 34a, oder in entgegengesetzter (also als Differenz), Zig. 34b. Der letzte Punkt P, den man jedesmal auf dem Zeichenpapier anmerkt, beschreibt die Ellipse, wenn die beiden anderen Punkte auf den beiden Rchsen entlang geführt werden. Ruf mechanischem Wege führt direkt die hier beschriebene Ronstruktion der Ellipsenzirkel aus, der in Zig. 35 abgebildet ist.

Kommt es nur daraus an, eine Kurve zu zeichnen, die annähernd

eine elliptische $orm hat, ohne also genau eine Ellipse zu fein, so kann man, rote folgt, zeichnen. Die Krümmungsfreife in Fig.32 gehen natürlich nicht ineinander Über, vergrößert man aber Cj D ein wenig und verkürzt dafür C₂E ein Stückchen, so wird man leicht zwei Kreise finden können, die ineinander laufen. Man erhält solche A neuen Mittelpunkte, Fig. 36, wenn man wieder die Diagonale AB zieht, bann aber die Winkel DAß und DBA halbiert und vom Schnittpunkt der Halbierungslinien das Lot auf AB fällt.

Ct

Fig. 36.

Dieses Lot schneidet die Bchsen in den gesuchten Mittelpunkten Ei und C₂. Ist die Figur nicht zu langgestreckt, so werden die Kreise meist tatsächlich ineinander übergehen. wenn nicht, so genügt eine geringe Verschiebung von C₂.

o)DieHyperbel. weniger wichtig is t im allgemeinen die Hyperbel. Sie besteht, $ig. 37, aus zwei getrennten Zweigen und besitzt ebenfalls zwei Brennpunkte B, und B₂. Buch hier gilt der Satz, daß Lichtstrahlen, die vom einen Brennpunkt Bj ausgehen, so zurückgeworfen werden, daß sich ihre Verlängerungen im anderen Brennpunkt Beschneiden. Die Lichtstrahlen werden also tatsächlich in einem breiten

Lichtkegel auseinandergeworfen. Spiegel mit hyperbolischem (Querschnitt gebraucht man deshalb z. B. an den Lokomotiven der Eisenbahn. Da die Differenz der Strahlen von einem beliebigen Kurvenpunkte P nach den Brennpunkten, also PB* — PB, (bzw. PB₂ — PBj) gleich der großenBchse, nämlich dem Bbstande der Scheitelpunkte, ist, so ergibt sich die folgende Faden-konstruktion, Fig. 38. Lift ein um B2 drehbares Lineal; in B, und Q ist ein Faden befestigt von der Länge B^ —2 a, wenn 2 a die Länge der großen Bchse ist. In P drückt man einen Bleistift fest an das Lineal an, indem man zugleich den Faden straff spannt. Dreht man das

^ Lineal um Bv so beschreibt P den einen q Hyperbelteil.')

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5ig.38.

p1    2    3    4    5 ß

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Bei jeder Hyperbel gibt e§ zwei vom Mittelpunkt ausgehende gerade Linien, die die Hyperbel, wie man sagt, im Unendlichen berühren; d.h. die Kurve nähert sich beständig diesen Geraden, ohne sie je ganz zu erreichen (s. Fig. 37). Solche Geraden nennt man Ks y m pt o ten einer Kurve. Die weitaus wichtigste aller Hyperbeln ist die g l e i ch -seitige, bei der die Asymptoten aufeinander senkrecht stehen, von dieser sei eine Konstruktion angegeben, und zwar, wenn die beiden zueinander senkrechten Asymptoten und irgendein Punkt P derKurve gegeben sind, Fig.39. Durch P legt man parallelen zu den Asymptoten und zieht von 0 aus beliebige Strahlen, die die parallelen mH 1; H, 2 usw. schneiden. Durch diese Schnittpunkte I, I; II, 2 usw zieht man

1*V1\

—    ebenfalls parallelen zu den Usympto-

5tg.39.

—    len; dann sind ihre Schnittpunkte die gesuchten Kurvenpunkte. Die Punkte des

anderen Hyperbelzweiges liegen symmetrisch zu 0.

5. Konstruktionen im Gelände. Ohne auf die Meßmethoden oder Instrumente der Geodäsie einzugehen^), seien nur ein paar einfachste Aufgaben erwähnt, die ohne besondere Hilfsmittel gelost werden. Um zwischen zwei Punkten eine gerade Linie abzustecken, schlägt man an den Endpunkten zwei Stangen in die Erde und visiert an der Kante der einen vorbei zur Kante der anderen hinüber. Längs dieser Visierlinie spannt man nun eine Schnur aus oder schlägt pflöcke in die Erde.

1)    (Es ist nämlich

PB₁-PB₂=QBl-QP-PB₂=QB₁-(QP + PB₂)

= QBl-(QBl-2a) = QBl-QB₁ + 2a = 2a.

2)    Darüber siehe vermessungs- und Karten futtbe (KNuG Bd. 606 bis Bb. 612). 1. Schnauder, Geographische Ortsbestimmung. 2. (Egg ert, Erdmessung. 3. Suckow, Landmessung. 4. Hegemann, Kusgleichungz-rechnung. 5. Lüscher, Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie. 6. i u.2 Egerer, Kartenkunde.

man

weiter soll im Endpunkt dieser Geraden eine dazu senkrechte Gerade abgesteckt werden. Dazu benutzt man den pythagoreischen Lehr-satz, der z. B. aussagt, daß in einem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite 5 m lang ist, wenn die Schenkel des rechten Winkels 3 m und

4    m betragen. Denn es ist 3² + 4² = 5², nämlich 9 4- 16 = 25. Man nimmt daher drei Latten von 3 m, 4 m und

5    m Länge (statt m könnte man ebensogut Fuß oder

überhaupt irgendeine beliebigeLängeneinheitwählen).

Die 3 rn- Latte legt man, Fig. 40, auf die schon abgesteckte Strecke von A aus bis D. Die 4 rn-Latte legt in A und die 5 rn-Latte in D an und dreht sie

5ig 40.

so lange herum, bis sie zusammenstoßen. Dann steht nach dem erwähnten Lehrsatz die 4 rn-Latte auf AD senkrecht, wenn man will, kann man statt der Latten z. B. auch ein Seil benutzen, auf dem die Strecken durch Knoten abgegrenzt sind. Übrigens haben nach dieser Methode schon die Ägypter beim Bau der Pyramiden rechte Winkel abgesteckt.

Line Ellipse zeichnet man nach der oben beschriebenen Fadenkonstruktion, indem man zwei pflöcke in die Erde schlägt, ein Seil herumlegt, verknotet und mit einem Stabe die Ellipse in die Erde zeichnet, hat man nur einen pflock statt der zwei, so entsteht selbstverständlich ein Kreis, der also nichts anderes ist als eine Ellipse, bei der die Brennpunkte zusammengefallen sind.

6. Tangentenkonstruktionen. Ls würde zu weit führen, wenn hier noch die Tangentenkonstruktionen an bestimmte Kurven, z. B. Parabel, Ellipse, Hyperbel angegeben werden sollten. Schließlich kommen solche Aufgaben auch seltener vor. Dagegen mag es lohnen, diese Konstruktionen für ganz beliebige Kurven, welche nur gezeichnet vorliegen, anzugeben.

a) Zig. 41. 3m Punkte P einer ganz beliebigen Kurve ist die Tangente zu zeichnen?) Man zieht von P aus eine Reihe Sehnen, welche

\ft

die Kurve in A, B, C usw. schneiden. Auf den verlängerten Sehnen trägt man von A, B, C usw. aus immer nach derselben Seite eine beliebige konstante Strecke a ab

1) Nach H. Mehmke, Leiifaden z. graphischen Rechnen. Leipzig 1917.

Zig. 42.

und verbindet die Endpunkte durch eine hilfskurve k. Dann beschreibt man um P einen Kreisbogen mit dem Halbmesser a, welcher k in Q schneidet. Die verbindungsgerade P tz ist die gesuchte Tangente, b) $tg. 42. XTIan kann sich zur Lösung

der Aufgabe eines Spiegellmeals!) bedienen, wie die Figur zeigt, setzt man den Spiegel, der von einer blank polierten Metallfläche gebildet wird, in a an. Das Spiegelbild der Kurve bildet im allgemeinen einen deutlichen Knick mit der Kurve selbst in a. Man dreht es so lange, bis in a das Spiegelbild stetig in die Kurve übergeht. Die Spiegelkante steht dann auf der gesuchten Tangentenrichtung senkrecht. Dieses Lot, Normale genannt, zeichnet man und findet daraus unmittelbar die Tangente.

c) Zig. 43. 5ln eine beliebige Kurve ist eine Tangente gezogen.

-V

(Es ist der Berührungspunkt zu ermitteln. In beliebigen Punkten A,

Zig. 43.

B, C usw. zu beiden Seiten der ge- X gebenenTangente ziehe man weitere /

Tangenten. Auf ihnen trage man von A, B, C usw. aus eine beliebige, aber konstante Strecke a ab, deren Endpunkte man durch eine Hilfskurve k verbindet, k schneide die gegebene Tangente in Q; dann beschreibt man mit a um Q einen Kreisbogen, der die Kurve im gesuchten Berührungspunkt P schneidet.

7. Graphische Interpolation. Im ersten Teile wurde gezeigt, wie man Funktionen graphisch aufzeichnet und aus dem so gezeichneten Diagramm beliebig viele werte der Funktion ablesen kann. In dieser und der nächsten Nummer sollen Kurvenscharen, die Bilder von Funktionen sind, behandelt werden. Dabei wird es sich nur um Funktionen handeln, diegesetzmäßigvoneinander abhängen, so daß auch die Kurvenscharen eine gesetzmäßige Anordnung erhalten. Zuerst sei der Fall betrachtet, daß durch versuch oder Einzelberechnung (also ohne eine gemeinsame mathematische Formel) eine gewisse Anzahl von Punkt-ten einer jeden Kurve gefunden ist. Zur Erläuterung des Folgenden diene Fig. 44. Cs sei aber ausdrücklich bemerkt, daß gerade dies Beispiel gewählt wurde, weil es einfach, übersichtlich und leicht nachzu-

1) Spiegellineal von Keusch.

zeichnen ist. Dagegen soll die Herkunft und Bedeutung der Zahlen außer Betracht teoooo bleiben.

Nachdem die bekannten Punkte ^ jeder Kurve ein- ^ gezeichnet sind (in | der Figur wegge- Z lassen), verbindet» man sie nach dem Augenmaß möglichst gut durch stetige Kurven.

Sirtb nämlich die werte durch Der- 10000 suche oder unabhängige Linzelberechnungen gewonnen, so werden sie natürlich nie genau auf glatt verlaufenden Kurven liegen.Jetzt möge man wissen, daß im Beispiel die Ab-stufungen zwischen denKurven I und II, II und III, III und IVimmer gleich, dagegen zwischen IV und V doppelt so groß wie bei jenen sind. Daher müssen die Abstünde zwischen den Kurven stetig verlaufen, h Das benutzt man, um graphisch eine Kurven aus gleich ung durchzuführen. Man legt eineÄeihe von horizontalen Zchnitten; in der Figur ist ein solcher in der höhe 30000 eingezeichnet. In jedem Zchnittpunkt mit denKurven errichtet man das £ot und trägt auf jedem in beliebiger Längeneinheit strecken ab, die der Abstufung entsprechen. Also hier in I 1 cm,

200000 190 C00

180 fOC

170000

150 010

noorc

130000 ‘20 0001 110(00-10000s

9003:

80000

70000

60000

50 03C

40000

30 00:

20 000

ES;

7v{4l

/T

Js

-X

II

IJttlV'IWV

1    2    3    4 5    6    7 8    9    10 ,1 12 13 14 1b 16 17 18 19

$tg.44. Gebühren in Hundertsteln der Baufumme.

1) Um noch deutlicher zu zeigen, was unter gleichmäßiger Abstufung 3U verstehen ist, fei noch ein anderes Beispiel gewählt. Um die Abnahme des Luftgewichts über dem Erdboden zu bestimmen, werde dasselbe im Laufe eines Tages von Llunde zu Stunöe gemessen, und zwar an mehreren Punkten, die je 10 m Höhenunterschied besitzen. Zeichnet man für jeden Beobachlungsort die Luftgewichtskurve abhängig von der Zeit auf, so erhält man eine Kurvenschar, bei der ebenfalls die Abstufung von Kurve zu Kurve gleich groß ist. Man überlege, wie das Folgende abzuändern wäre, wenn die Beobachtungsorte beliebige, aber natürlich bekannte Abstände hätten.

in II 2 cm, in III 3 cm, in IV 4 cm, aber in V 6 cm. Die durch ZTulI= kreise angedeuteten Endpunkte verbindet man durch eine stetige Kuroe, die im Beispiel besonders einfach eine gerade Linie ist. Natürlich werden die Endpunkte zunächst nicht genau auf einer stetigen Kurve liegen. Man benutzt vielmehr gerade umgekehrt die jetzige Kurve, um die Kurvenschar zu verbessern, in dem man die neu gefundenen Schnittpunkte herunterlotet. verbessert man die Kurvenschar durch eine Reihe solcher Schnitte, so wird dadurch die Gesetzmäßigkeit von Kurve zu Kurve gesichert.

Anmerkung 1. In anderen Beispielen wird man besser statt der horizontalen vertikale Schnitte oder auch schräge in irgendeiner passenden Richtung legen.

Anmerkung 2. In der Figur folgt aus der Geradlinigkeil der hilfs-kurven natürlich, daß die horizontalen Abschnitte von Kurve zu Kurve einandergleich sind. Trotzdem soll wie im allgemeinsten Fall weitergearbeitet werden. Als Übungsaufgabe empfiehlt sich das Beispiel gerade deshalb, weil jene Gleichheit der Abstände gestattet, die Genauigkeit der Zeichnung nachzuprüfen.

Die hilsskurven können weiter als Interpolationskurven verwendetwerden. Man soll zwischen IV und V eine neue Kurve IVa diesmal in gleicher Abstufung wie alleübrigen einschalten. Dieser KurvelVa entspricht Cafyer der Schnittpunkt der Interpolationskurve im Abstand 5 cm, d.h. also in der hohe 80000. Diesen Punkt lotet man auf die Schnittgerade in höhe 30 000 herunter und findet damit einen Punkt der Kurve IVa. Statt so in mehreren Schnitthöhen fortzufahren, sei noch eine andere Methode angegeben.

In der Nebenfigur rechts ist jede Kurve der Schar in gewisser weise auf je einer vertikalen dargestellt. Diese Geraden sind in Abständen von je 1 cm, bzw. zwischen IV und V von 2 cm angenommen, den Abstufungen entsprechend. Nun lotet man Kurvenpunkte, die nach irgendeinem Gesetz ausgewählt sind, auf die vertikalen herüber,- hier sind die Schnittpunkte mit den von 5 cm zu 5 cm eingezeichneten lotrechten Geraden genommen. Zusammengehörige Punkte verbindet man durch stetige Hilfskurven, indem man mit den Schnitten in höhe 200000 beginnend diejenigen einander zuordnet, die von dort je 5 cm, je 10 cm usw. entfernt schneiden.

Jetzt legt man in die Mitte zwischen IV und V die neue vertikale IVa, deren Schnittpunkt mit den Interpolationskurven durch Nullkreise bezeichnet sind. Die neue Kurve IVa findet man durch herüberloten dieser Punkte auf die entsprechenden lotrechten Geraden im Abstande von 5 cm

zu 5 cm. Dazu muß allerdings irgendein Anfangspunkt bekannt fein, hier der Mittelpunkt zwischen IV und V in der höhe 200000. wäre solch ein Anfangspunkt nicht gegeben, so könnte man den nach dem ersten verfahren in der höhe 30000 gefundenen Punkt zum Ausgangspunkt nehmen, indem man von rechts feine beiden benachbarten Punkte zuerst herüberlotet und daran anschließend von 5 cm zu 5 cm fortschreitet. Erwähnt sei noch, daß man die neuen 3nterpolationskurven ebensogut wie die früheren zur Verbesserung der ursprünglichen Rurven benutzen kann.

Man kann wohl sagen, daß es im allgemeinen zuverlässiger gelingt, eine Schar gesetzmäßig verbundener Kurven graphisch darzustellen, als durch empirisch gefundene Punkte, die immer mehr oder minder zerstreut liegen, eine einzelne Kurve zu legen.

8. Die Nomographie. 3n neuester Zeit haben sich graphische Methoden ein neues wichtiges Gebiet erobert. Namentlich von dem französischen Mathematiker M.d'Geagne') ausgehend, verbreitet sich immer mehr ein neuer Zweig angewandter mathematischer Wissenschaft: die Nomographie, die sich damit beschäftigt, möglichst einfache und leicht verwendbare graphische Rechentafeln herzustellen, die den Namen No-mogramme erhalten haben.

+ 10

CM tO Lst O D" 00

+ 10

usw.

Die Sache wird sogleich an folgendem Beispiele verständlich werden. Man soll die Gleichung x²—8x4-10 = 0 lösen, d. h. Zahlen suchen, die, in die link Seite eingesetzt, den Ausdruck zu Null machen. Man könnte versuchen, durch Ausprobieren zum Ziel zu kommen, indem man zunächst beliebige werte für x einsetzt und für diese den Ausdruck der linken Seite berechnet. Man betrachtet also x²— 8x+ 10 als eine Funktion von x, die etwa zur Abkürzung mit y bezeichnet werde. Es kommt dann alles darauf an, denjenigen wert der Variablen x zu finden, für den y Null wird. 3n der Tabelle sind einige zusammengehörige werte berechnet, und in Fig. 45 ist in bekannter weise das Diagramm der Funktion gezeichnet. Die Rurve schneidet die x-Achse in zwei Punkten x, = 1,6 und x₂ = 6,4. 3n diesen Punkten ist ja aber y = 0; also sind damit

1) m. d' (Dcagne, Calcul graphique et nomographie, Paris 1908; siehe auch Luckey, Einführung in die Nomographie I.Teil. Die Funktionsleiter. II Teil. Die Zeichnung als Rechenmaschine (Mathematische Bibliothek).

zugleich zwei Losungen der Gleichung gefunden. Da jede Gleichung zweiten Grades auch nur zwei Lösungen besitzen kann, so ist die Aufgabe vollständig erledigt. Offenbar kann jede beliebige Gleichung ebenso behandelt werden. Kber man beachte wohl, daß für jede einzelne Gleichung eine neue Tabelle berechnet und ein - neues Diagramm gezeichnet werden muß.

-4

io-

TT

5ig 45.

x' + ax + b = 0,

Nun konnte man aber fragen, ob es nicht möglich ist, eine graphische Tabelle zu zeichnen, aus der man die Lösungen aller quadratischen Gleichungen ohne jedesmal neue Rechnung fertig ablesen kann Lolch eine Tabelle nennt man eben ein Romogramm. In der Tat kann man sehr leicht diese Rufgabe erfüllen. Die Gleichung heißt also in ganz allgemeiner Form

worin für a und b jede beliebige positive und negative Zahl gesetzt werden kann. Da a und b variable Größen sind, so benutzt man ein Achsenkreuz mit den a-werten auf der horizontalen und den b-werten auf der vertikalen Achse. Und man zeichnet darin einfach die Kurven, die sich ergeben, wenn man der Reihe nach für x die werte 1, 2, 3 ...,

6*

„Oj5j

z\

-9\-8\-7^6V5\

-3\-2\llKY-1J2 /3 /4 /5 16 \7 /8 \9

—    1, — 2, — 3... einsetzt; also die Kurven 1 + a + b = 0, 4 4- 2a + b = 0, 9 + 3a + b = 0 usw. Das sind aber gerade Linien, weil immer a und b nur in der ersten Potenz vorkommen. So ergibt sich $ig~ 46. Jede Gerade erhält als Kote, wie man sagt, den wert von x, zu dem sie gehört, angeschrieben, hätte man jetzt z. B. ein Wertepaar a und b dessen zugehöriger Punkt auf die Gerade mit der Kote 3 fällt, so würde das doch heißen: x = 3 ist eine Lösung dieser quadratischen Gleichung. Oder um sogleich ein Beispiel zu nehmen : in der Gleichung x²- 1,1 x

4M

—    3 = 0 ist a = — 1,1 und b = - 3. Der Punkt P (- 1,1;

-6

7⁷

—    3) liegt zwischen den Gera- ]d*Jcp den + 2 und + 3 einerseits und — 1 und — 2 anderseits. 'LLL

Durch Kb- 8 schätzen findet man xL 7 = 2,4,x2 = -1,3.')

Nach an- 5 deren weniger ein- 4 fachen Verfahren las- ³ : sen sich frei- ₂ ] lich wesentlich bessere ₁

Homo*

gramme o 4-konstruie- i rett. Blatt ⁻¹ i kann statt j der zuein- j ander senk * rechtenzwei zueinander -4 4 parallele Achsen für a "⁵ = und b wäh- j len. In Fig. '⁶ j 47 links a, 1 rechts b.

Dann ge- -8 u_Q

lingt es so umzurechnen, daß man statt der vielen Geraden mit ihren Noten Punkte auf einer Nurve erhält. Allerdings findet man dann umgekehrt die Lösungen statt meinem Punkte auf einer Geraden. Doch ein Beispiel wird besser die Benutzung der Nomogramms erklären. In der Figur ist die Lösung der Gleichung x? 3,5x +1,5 =0 angedeutet. Auf der Geraden links sucht man den Punkt a = — 3,5 urtb rechts den Punkt

111 11 11II1 11 i 1111111 1III 11 m 11 III l 11 I \\ 11111 \\ 1 \ \ j

limlinihnil

11,111111111 ii 111i11) 111ii 1111111n 111m 1111111 in 111111

-⁷ i

5ig 47.

1) Nicht berücksichtigt sind die imaginären Lösungen, für welche ein anderes Homogramm gezeichnet werden müßte. $o können z B im Punkte Q, welcher zur Gleichung x² + 2x + 3 = 0 gehört, keine Lösungen abgelesen werden.

b = 1,5. Beide verbindet man durch die gestrichelt gezeichnete Gerade, welche die Kurve in den gesuchten Punkten xx = 3, x₂ = 0,5 schneidet?)

Die Konstruktion brauchbarer Nomogramme ist zuweilen nicht einfach. Darauf kommt es gar nicht cm; entscheidend ist allein die bequeme Verwendbarkeit. Die Berechnung und Konstruktion wird man irrt allgemeinen dem Mathematiker überlassen, wenn man nur weiß,

z wie die Tafel zu benutzen ist. In der / Tat sind

Die Aufgabe der Photogrammetrie besteht darin, aus

Ji ÄÄÄ*

51

z wie die Tafel zu benutzen ist. In der / Tat sind Nomogramme heute in den verschiedensten Formen vielfach mit mechanischer Einstellvorrichtung weit verbreitet.

Fig. 48.

Eine kurze Besprechung sei noch einem der wichtigsten Hilfsmittel der Nomographie, der Funktionsskala, gewidmet. In Fig. 48 ist eine Tabelle der wurzeln aller Zahlen oder auch, was ja auf dasselbe herauskommt, der Quadrate aller Zahlen gezeichnet. Dabei sind auf der horizontalen Achse gleiche Streckn abgetragen und mit 1, 2, 3,. . . bezeichnet. Auf der vertikalen Achse sind zwar auch gleiche Strecken abgetragen, aber sogleich mit den Quadraten der abgetragenen Strecken bezeichnet, also mit V, 2², 3², .. . oder 1, 4, 9, . . . Damit liegen die Punkte zusammengehöriger werte der Kurve y = x² nicht wie sonst auf einer Parabel, sondern einfacher auf einer unter 45 o geneigten geraden Linie. Zum Ablesen konnte man Lote errichten, oder man benutzt besser, wie es in der Figur angedeutet ist, eine Zelluloidplatte, auf welcher zwei senkrechte Geraden und eine durch den Schnittpunkt gehende unter 450 geneigte Gerade eingeritzt find. Die von der Platte verdeckten Teile der Tabelle sind, um dies anzudeuten, gestrichelt gezeichnet. Die Platten legt man so aufeinander, daß die geneigten Geraden der Platte und der Tabelle zusammenfallen, während die senkrechten Geraden durch die gesuchten Teilpunkte gehen. In der Figur liest man ab j/61 = 7,8 oder auch 7,8² = 61.

1) Für die negativen werte könnte man eine zweite Kurve zeichnen (tatsächlich sind es die beiden Zweige einer Hyperbel). Man kann sich aber auch so helfen, daß man für x den wert — x setzt, also x² — a x + b = 0 löst und damit für — x positive werte, somit für x selbst die negativen werte findet.

Wichtig am Beispiel ist der Gedanke, der aus der vertikalen Achse verwirklicht ist, wo die Zahlen nicht die abgetragenen Längen bedeuten; vielmehr steht z. B. statt 8 die Zahl 64, deren Wurzel also 8 ist. Mt anderen Worten: es sind Funktionswerte abgetragen, aber die Werte dervariabeln angeschrieben, hier ist 8 = "j/64 ober allgemein y = Yb; y ist abgetragen, aber b ist angeschrieben. (Aus der Kurvengleichung b = x² wird daher y = ± x, b. I). die Gleichung von Geraden.) Solch eine Teilung heißt eine Funktionsskala.

Der Nutzen ist der, daß man einfachere Kurven als Bilder der Funktionen erhält — im Beispiel eine gerade Linie statt einer Parabel. Der Nachteil besteht in der wesentlich schwierigeren Ablesung der Zwischenwerte, die ja nicht proportional eingeschaltet werden dürfen. Besonders häufig wird die logarithmische Teilung, die auch der Rechenschieber trägt, verwendet. Lines der bekanntesten Beispiele einer Funktionsskala hat die alte Nkerkatorkarte. Der Seemann fährt am besten (wenn auch nicht am schnellsten) von einem ®rt zum anderen, wenn er immer denselben Kurs beibehalten kann, d. h. immer in derselben Neigung zu den Längengraden. Solch eine Kurve, die er dann zurücklegt, heißt eine Loxodrome. Auf einer gewöhnlichen Karte wäre das eine krumme Linie, wenn man aber die Breitenkreise nicht in gleichen Abständen zeichnet, sondern die Abstände nach einer bestimmten logarithmischen Teilung wachsend, so kann man erreichen, daß die Loxodromen gerade Linien werden. Und das ist es, was der Seemann gebrauchen kann. (Allerdings werden dann die Bilder der Länder stark verzerrt.) will er auf der Karte seinen Kurs vom einen Hafen zum anderen ablesen, so hat er sie einfach durch eine gerade Linie zu verbinden.

Auf Nomogrammen wird man sehr häufig Funktionsskalen finden. Das erschwert bei einiger Übung die Ablesungen nur wenig. Jedenfalls ist die weiteste Verbreitung solcher Tafeln, die für die verschiedensten Zwecke des täglichen Lebens recht brauchbar sind, sehr zu empfehlen. Der Kaufmann, der Baumeister, der Ingenieur und viele andere sollten sich für ihre besonderen Zwecke zahlreiche Nomogramme zeichnen lassen.

9. Ähnlichkeit, ähnliche Vergrößerung und Verkleinerung. Sollen natürliche Gegenstände in irgendeiner Form nachgebildet werden, so ist man selten in der Lage, die wahre Größe beizubehalten. Man wird meist vergrößern oder verkleinern müssen. Natürlich, wird man sagen, muß die Größenänderung so vorgenommen werden, daß Gegenstand

attu© 526: ITeuenborf f, prakt.Mathematik II

und Rbbilb sich „ähnlich" bleiben. XOas ist nun eigentlich unter Ähnlichkeit zu verstehen?

So soll z. B. von einem Denkmal eine verkleinerte Nachbildung hergestellt werden. Dann muß eben alles, wird man fordern, im selben Verhältnis verkleinert werden, etwa im Maßstab 1:10. Ist das Denkmal 8 m hoch, so muß folglich die Nachbildung 80 cm hoch werden usw. wie aber weiter? Braucht man auch den zehnten Teil an Bronze? Oder wenn ein Teil am Denkmal vergoldet ist, wird man jetzt auch den zehnten Teil vom Gold nehmen müssen? Mit anderen Worten: werden auch Inhalt und Oberfläche im Verhältnis 1:10 verkleinert? Das ist nun keineswegs der Fall.

Eines ist sicher: alle Längenmaße sollen im Verhältnis 1:10 verkleinert sein. wenn aber z. B. bei einem Rechteck, dessen Inhalt Länge x Breite ist. Länge und Breite im Verhältnis 1:10 verkleinert werden, dann wird ja der neue Inhalt ^ Länge x ^ Breite, also vom alten Inhalt. Und das gilt von jeder Fläche überhaupt, (wie später gezeigt wird, kann man sich schließlich jede Fläche beliebig genau aus lauter kleinen Rechtecken oder Quadraten zusammengesetzt denken.) Bei einem Körper kommt noch als drittes Maß die hohe hinzu, die auch noch um '    ~ verkleinert wird. Der Körperinhalt nimmt also sogar um ^ ^ ~^

ab. Das Ergebnis für das Beispiel und zugleich in allgemeiner Form ausgesprochen ist also: bei einer Verkleinerung im Maßstab 1:10 bzw. 1: n ist die Längenänderung 1:10 oder 1: n, die Flächenänderung 1:100 oder 1: n², die Körperänderung 1:1000 oder 1 :n³.

Also braucht man bei der Nachbildung des Denkmals, wenn man nur ^ hohe, Breite usw. nimmt, für die Vergoldung (die ebenso stark wie beim Denkmal selbst sein soll) 1:100 an Gold und an Bronze gar nur 1 :1000 von der für das Denkmal selbst verwendeten Menge.

Es ist bekannt, daß Inhalte größerer Gefäße meist zu klein geschätzt werden. Rn ein bekanntes Maß im Gedächtnis anknüpfend, schätzt man ab, wieviel großer die Längenmaße geworden sind, und vergißt leicht ganz, daß das Körpermaß in viel größerem Verhältnis gewachsen ist. Set z. B. ein Litermaß gegeben, welchen Inhalt faßt ein Gefäß, das doppelt so hoch und doppelt so breit ist? Nun 81. nämlich 2^ mal so viel. In Fig. 49 erkennt man wohl, daß in einen Würfel mit doppelt so großer Kantenlänge 8 von der einfachen Länge hineingehen. Ebenso wird eine Kegelkugel achtmal so schwer, wenn man den Durchmesser verdoppelt.

Nimmt man dagegen ein doppelt so breites, aber nur ebenso hohes Gesäß wie jenes Liter -maß, so ist nur die Bodenfläche ähnlich vergrößert,-also faßt das neue Gefäß 4 1, nämlich 2² mal mehr als zuvor.

/4

4-m-

X¹

r-t

i j—

N--

-H- -

TH

5tg. 49.

A,

Er

Br

Das wesentliche der Ähnlichkeit besteht also darin, daß alle Längen in demselben Verhältnis geändert werden, während die Lage der Stüde zueinander, d.h. alle Winkel dieselben bleiben. Hm einfachsten und wichtigsten ist die ähnliche Verwandlung in der Ebene. In Zig. 50 sei das beliebige Vieleck ABCDE gegeben. Es soll im Verhältnis 3:1 vergrößert werden. Man zieht von einem beliebigen Punkte Z aus, dem Äh nli chkeitsz entrum, Strahlen durch A, B, C,D und E. Dann trägt man von Z aus die Strecke ZA dreimal ab bis Av Durch A₁ zieht man die parallelen zu AB und AE bis an die verlängerten Strahlen ZB und ZE. Durch die neuen Punkte Bx und Ei zieht man die parallelen zu BO und E D usw., bis man das neue Vieleck At    Cx

fr

D₁E₁ erhält. Die Vielecke sind ähnlich, wofür man schreibt ABCDE^ A₁B₁C₁D₁E₁. z wie nämlich aus der Geometrie bekannt ist, folgt aus der Konstruktion Z = 3 • Z B,

'i

5ig.50.

bleiben gleich, weil ja sämtliche Seiten einander parallel laufen.

Es gilt aber auch für jeden beliebigen Zwischenstrahl ZX, bafj ZXx = 3 • ZX ist. Deshalb kann man in genau derselben weise jede krummlinig begrenzteZigurvergrößern,indemman beliebig viele solcher Strah-len ZXi = 3 • ZX zeichnet und alle Endpunkte durch eine Kurve verbindet. Je mehr Punkte der neuen Kurve konstruiert werden, um so genauer wird die Ähnlichkeit wirklich erreicht werden.

Besser ist es in diesem Falle, wenn man das bekannte Instrument den Storchschnabel oder Pantographen verwendet, der schon im Jahre 1631 von dem Jesuitenpater Scheiner konstruiert worden ist. Man denke sich — Zig. 51 — ein Parallelogramm, dessen vier Ecken durch Scharniere drehbar verbunden sind. AB ist ein fünfter Stab, der auf den Seilen PC und DF verschoben werden kann. In Z befindet sich auf AB verschiebbar ein Zeichenstift, der so eingestellt werden

ZEjl = 3 ZE usw. aber auch Ax Bi =

3 • AB, Bt Q = 3 • B C ufto. Die Winkel

muß, daß er auf der Geraden PF liegt. Mag man nun das Parallelogramm verschieben und drehen, wie man will, \A immer bleibt dann Z auf der Geraden PF, und zwar so, daß auch das Verhältnis PZ: PF unverändert bleibt, denn es ist offenbar gleich PB: PC. Macht ^ man deshalb P zumAhnlichkeitszentrum F und umfährt mit F eine Figur, die verkleinert werden soll, so zeichnet Z diese Verkleinerung im Verhältnis PZ: PF = PB : PC auf. 3n Fig. 52 ist der fertige Apparat abgebildet. Die Anordnung ist dieselbe wie in Fig. 51, nur ist die überflüssige Leite CF fortgefallen. Auf PB, AF und AB sind Teilungen angebracht, die so eingerichtet sind, daß man einerseits das Verkleinerungsverhältnis abliest, und daß anderseits Z stets auf PF liegt, wenn A, B und Z auf gleiche Zahlen eingestellt sind. Vergrößerungen führt man aus, indem man die gegebene Figur mit Z umfährt und mit F zeichnet?)

-4kB-

5i9-5I.

..

H.FISCHER K-\ P'

//

5ig.52.

1) 3m Handel erhältlich sind noch einfachere Ausführungen desselben Apparates, die aber immer nach demselben Grundgedanken konstruiert sind. Erwähnt sei, daß es auch Apparate zum vergrößern und verkleinern körperlicher Gegenstände gibt, die z. B. der Bildhauer benutzt.

3m praktischen Leben werden ähnliche Verwandlungen sehr häufig angewendet, viele Apparate beruhen darauf, hier mag noch auf eine Art des Schützens von Entfernungen hingewiesen werden, die bei einiger Übung ziemlich zuverlässige Ergebnisse liefert. ITTcm strecke den Arm aus und halte die Hand den Daumen nach oben gestreckt so, daß der Daumen mitten zwischen beiden Augen sich befindet. 3n Zig. 53 seien von oben gesehen Ai und A₂ die beiden Augen und D A der Daumen. Jetztvisiert man ^ einmal mit Alf dann mit A₂ A* über den Daumen hinweg nach zwei gleichweit entfernten Punkten P und Q, deren Abstand bekannt oder doch mit einiger Zuverlässigkeit abgeschätzt werden kann. Nun weiß man aber, daß d= 10 • a ist, folglich ist auch x = 10 • PQ. Also kann man aus der Länge PQ sogleich den Abstand von PQ ermitteln?)

---X---

5ig. 53.

Zum Schluß noch einiges über die Verkleinerungen geographischer Karten. Am bekanntesten sind wohl die sogenannten Meßtischblätter (Original-Meßtischaufnahmen des Generalstabes) irrt Maßstab 1 : 25 000 und die Generalstabskarte des DeutschenNeiches im Maßstab 1:100000. Die erste Frage wird immer fein: Welche Erdentfernung ist gleich 1 cm oder 1 mm Kartenentfernung und umgekehrt, welche Kartenentsernung stellt 1 km Erdentfernung dar?

a) Maßstab 1:25 000.

1 mm -

1 km auf der Erde wird 100 000 cm: 25 000 = 4 cm -

1 cm der Karte wird 25 000 1 cm — 250 m auf der Erde, 25 000 • 1 mm = 25 m    -    ⁵    -

- Karte.

1) (Es kommt wesentlich darauf an, den Daumen richtig zu halten, damit wirklich d = 10a wird. Um das zu erreichen, wird man die richtige Stellung des Daumens vorher bei gut ausgemessenen Entfernungen durch mehrfache versuche ermitteln müssen. Nahe Entfernungen, oder wenn rückwärtige Entfernungen bekannt sind, schätzt man in sehr einfacher Meise so. Man visiert mit einem Auge den Punkt an, dessen Entfernung gesucht wird, entweder wieder über den ausgestreckten Daumen hinweg oder auch, indem man den Kopf neigt, am Hutrand entlang. Jetzt dreht man sich, ohne die Haltung zu ändern, nach der Seite um, wohin die Entfernungen bekannt sind oder abgeschritten werden können (120 Schritte ---100 m). Die Entfernung des jetzt anvisierten Punktes ist offenbar genau gleich der gesuchten Entfernung.

b) Maßstab 1 :100000.

1 cm der Karte wird 100 000 • 1 cm = 1 km 100000 • 1 mm ----- 100 m 100000cm: 100000= 1 cm -

auf der Erde,

1 mm -    -

1 km auf der Erde -In derselben Meise rechnet matt jeden anderen Maßstab um.

Man zeichnet in der Kegel auf die Karten Maßstäbe auf, die diesen Verhältnissen entsprechen. Es sind im früheren Sinne Funktionsskalen

einfachster Art, indem man z.B. im $alle a) 4 cm abträgt, aber 1 km oder 1000 m anschreibt, wie in Fig.54 angedeutet. Solche Maßstäbe für alle möglichen Verkleinerungsverhältnisse sind übrigens im Handel käuflich. Genauere Ablesungen erhält ^^g^man mit einem Maßstab, wie ihnFig. 55 zeigt. Man betrachte darin das Dreieck ABC. Die höhe ^6 ist in zehn gleiche Abschnitte geteilt. Da BC = 100 m ist, so ist jeder der parallelen Teilstriche um i₀-100 = 10 m kürzer als der vorhergehende. Die Maße von unten nach oben sind daher 100 m, 90 m, 80 m usw., 10 m. Sollen 3.B. 730 m abgemessen werden, so geht man auf der 700-Linie nach oben bis zum dritten Teilstrich. Htfo ist XY ----- 730 m.

- Karte.

500

$iq. 54.

1000 m

0    100 200 300 400 500 600 700 800

5ig.55.

II. Abschnitt.

projektionslehre.

\. Einleitung. 3m vilde festzuhalten, was das Auge sieht, hat der Mensch sich seit den urältesten Zeiten bemüht. Aber es ist ein weiter weg von den Höhlenzeichnungen unserer wilden Vorfahren bis zu den Zeichnungen, Gemälden, Kadierungen usw. heutiger Künstler oder bis zu den Photographien unserer Tage.

Die Erforschung der mathematischen Zeichengesetze hat wesentliche Fortschritte bei dieser Entwicklung gebracht. Kein Geringerer als der größte deutsche Maler des Mittelalters Albrecht Dürer hat eins der besten alten Dücher darüber geschrieben?)

1) H. Dürer, Underweysung der Messung mit dem Zirckel und richtscherst in Linien, Ebnen und gantzen Eorporen. Nürnberg 1525.

Die mathematischen Regeln, die bei der Abbildung natürlicher Gegenstände auf die Leinwand des Malers oder den Papierbogen des Zeichners zu beachten sind, gehören zur Lehre von den Projektionen, von dieser soll hier die Rede sein.

Line Abbildung auf ein ebenes Blatt kann niemals einen körperlichen Gegenstand völlig ersetzen. (Es ist vielmehr notwendig, seine Anforderungen einzuschränken. In erster Linie hat man unter zwei Gesichtspunkten zu wählen. Man kann verlangen:

a)    daß das Bild auf unser Auge möglichst denselben Eindruck hervorruft wie beim natürlichen Lehen der Gegenstand selbst;

b)    daß das Bild in mathematischer Gestalt und in den Maßen so beschaffen ist, daß daraus Gestalt und Maße des Gegenstandes mathematisch genau und möglichst einfach entnommen werden können, ©bet daß umgekehrt das Bild nach den bekannten Maßen möglichst einfach gezeichnet werden kann.

Die erste Aufgabe löst in vollkommenster Meise, soweit überhaupt möglich, der Maler. Aber er muß nicht nur zu der mathematischen Gestalt des dargestellten Gegenstandes Farbe, Schatten usw. hinzufügen, sondern ihn zwingt auch die Rücksichtnahme auf die besondere Art, wie unser menschliches Auge die Gegenstände ansieht, manches Mal bewußt von den mathematisch richtigen Zeichenregeln abzuweichen?)

Eine gute Photographie erfüllt die erste Forderung in ihrer Art recht gut. Sie löst aber auch die zweite Aufgabe, wenn auch nicht in einfachster Meise. Bei der Besprechung der Photogrammetrie wird darauf zurückzukommen sein.

Die zweite Aufgabe selbst ist rein mathematischer Art. Sie wird im folgenden behandelt. Die gebräuchlichsten Lösungen: schiefe Parallelprojektion, kotierte Projektion, Grund- und Aufrißverfahren und Zentralprojektion sollen der Reihe nach besprochen werden.

Dem Ziele dieses Buches entsprechend soll also im wesentlichen nur gelehrt werden, wie die Raumgebilde abzubilden sind. Die sogenannte darstellende Geometrie zeigt weitergehend außerdem die zeichnerische Lösung von Aufgaben auf Grund jener Abbildungen. Über diesen

1) weiteres darüber S. 57. Ausführlicher z B. in dem oben genannten Bändchen von voehlemann und bei G Hauck, Lehrbuch der malerischen Perspektive mit Einschluß der Schattenkonstruktionen. Bearbeitet von h. kjauck. Berlin 1910.

Gegenstand gibt es eine sehr große Zahl ausgezeichneter Lehrbücher, hier mögen wenigstens ein paar genannt werden. Kürzere Darstellungen geben:

Sd)ubeisfr), projektionslehre (RKu(5 Bö. 564).

Fisch er, Darstellende Geometrie (Rtlu® Bö. 541).

U. Voehlemann, Grundzüge der Perspektive und Rnwendungen (RKuG

Bb 510). Leipzig 1916.

von den größeren Merken zeichnet sich durch Besprechung zahlreicher praktischer Anwendungen aus das vortreffliche Merk:

Emil Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie für technische Hochschulen. 2 Bde. Leipzig 1908 bis 1916.

Endlich mag noch aus eins der bekanntesten Merke hingewiesen werden: Nohn und Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3 Böe.

Leipzig 1906.

2. Allgemeine Begriffe. Zuerst ist zu erklären, was man unter projizieren zu verstehen hat.

Fig. 56 zeigt einen Kasten, der aus ein Zeichenbrett seinen Schatten wirft. So hat z. B. die Kante AB die Schattengrenze Af B' ergeben. Diese Linie A'B' heißt eine Projektion der Kante AB.

Die Projektion entsteht also dadurch, daß gerade Linien (hier Sonnenstrahlen), die in einer bestimmten Richtung verlaufen (hier von der Sonne kommen), durch Punkte eines Gegenstandes gehen und aus eine beliebig gewählte Zeichenebene auftreffen. Die Strahlen heißen Projektionsstrahlen oder Sehstrahlen, die Zeichenebene heißt die B i l d e b e n e und die Punkte aus der Bildebene heißen die p r o j e k t i o n e n der Kaumpunkte.

Die Sonnenstrahlen kommen aus so weiter Ferne, daß sie untereinander parallel auf den Kasten auftreffen. Mt künstlichem Licht könnte man durch Verwendung eines Parabelspiegels (f. S. 15) parallele Lichtstrahlen erzeugen. Anderseits kann man die Lichtstrahlen einerBogenlampe durch diekleine Öffnung einer Blende hindurch-treten lassen, so daß sie von einem Punkte ausgehend den Körper treffen.

Danach unterfcheidetmanzwei projektionsverfahren: die p ar -allelprojektion, bei der die Projektionsstrahlen untereinan-

der parallel verlaufen, und die Zentralprojektion, bei der die Projektionsstrahlen von einem festen Punkte ausgehen.

Bet der Parallelprojektion unterscheidet man noch die schiefe und die s e n kr e ch t e. Bei jener steht die Bildebene schräg zu den Projektionsstrahlen, wie in $ig. 56, bei dieser zu ihnen senkrecht.

Nun muß man sich aber von der Vorstellung des Lichtstrahls und des Schattens freimachen. (Es kommt ja in der projektionslehre im GegensatzzurForderunga) zunächst garnicht darauf an, wie der Gegenstand „gesehen" wird (wenn man auch bestrebt sein wird, möglichst „anschaulich" zu bleiben und daraus Nutzen zu ziehen). NIan versteht daher ganz allgemein unter der Projektion eines Punktes den Schnitt-punkt des projektionsstrahles durch diesen Punkt mit der Bildebene. Dabei kann der Punkt auf jenem Haften irgendwo liegen, gleichgültig ob auf der Vorderseite oder Rückseite. Und die Projektionsstrahlen sind einfach gerade Linien, die durch den Haften hindurch beliebig weit verlängert gedacht werden (also nicht wie Lichtstrahlen durch denHasten absorbiert werden können).

Linien projiziert man, indem man alle ihre Punkte projiziert. Die Projektion einer geraden Linie ist wieder eine gerade Linie, sofern die gerade Linie nicht mit einem Projektionsstrahl zusammenfällt. In diesem Falle schrumpft ihr Bild zu einem Punkte zusammen.

Hörper werden projiziert, indem man alle ihre Honten und Ecken und insbesondere (3. B. bei der Hügel) ihre Umritzlinien projiziert.

(Esmar schon einmal darauf hingewiesen worden, daß man in keinem Falle darauf verzichtet, die Gegenstände möglichst anschaulich darzustellen, soweit es nur innerhalb der gewählten Varstellungsmethode möglich ist. Während man einerseits daher in der darstellenden Geometrie geradezu ein hervorragend geeignetes IHittel sieht, die Raumanschauung zu fördern, benutzt man anderseits jedes Mittel, das Bild des Gegenstandes möglichst gut dem auf das Rüge hervorgerufenen Eindruck anzunähern.

So kann man zwar den Zielen und Zwecken der Abbildung entsprechend meist nicht darauf verzichten, auch die Hauten zu zeichnen, die man beim Anblicken des Gegenstandes nicht sehen würde. Aber man zeichnet sie dünner und in ber Regel gestrichelt. (Honstruktions-linien find noch wesentlich feiner so zu ziehen, daß ihnen gegenüber die Hörperkanten, auch die „unsichtbaren", deutlich hervortreten.) Aber es muß noch klarer gesagt werden, was als unsichtbar gelten soll.

Man fetzt fest: Jede Linie ist als „unsichtbar" zu betrachten, die von den Projektionsstrahlen erst erreicht wird, nachdem sie den Körper auf dem Wege zur Bildebene hin durchsetzt haben. Steht die Bildebene hinter dem Körper, so trennt die Umrißlinie — im ersten Beispiele also die Schattengrenze — die sichtbaren vorn liegenden von den unsichtbaren hinten liegenden Kanten. .

Kagt man sich zum Schluß noch einmal, was man zur Herstellung einer Projektion notig hat, so sind drei Dinge zu nennen.

1.    Die Bildebene, also das Zeichenblatt.

2.    Die Schar der Projektionsstrahlen; also entweder die Lage des Zentrums, von dem sie ausgehen, zur Bildebene, oder, wenn sie parallel sind, die Richtung, in der sie auf die Bildebene auftreffen.

3.    Der Gegenstand mit allen seinen Ausmessungen; und außerdem genaue Angabe, in welchem Abstand und in welcher Stellung er sich zur Zeichenebene befindet.

3. Die schiefe Parallelprojektion. Dies Verfahren verbindet am meisten Einfachheit mit Anschaulichkeit und soll deshalb zuerst erklärt werden.

Unter sich parallele Projektionsstrahlen sollen schräg auf die Bildebene auftrefsen. Das war ja aber in Kg. 56 der ^all. Der Schatten des Kastens ist also durch schiefe Parallelprojektion entstanden. Bei dieser heißt das Bild ein Schräg riß des Körpers. Einige wichtige Beziehungen zwischen dem Körper selbst und seinem Schrägriß lassen sich sofort erkennen.

Die Kanten a und die Kanten b, s. Kg. 57, verlaufen parallel zur Bildebene. Ihre Abbildungen a, und sind daher zu a und b parallel und außerdem gleich lang?) Man schreibt dies a#at und b # bj (d. h. b gleich und parallel bj. Mathematisch folgt es einfach daraus, daß die Projektionsstrahlen durch die Endpunkte von a zusammen mit a und at ein Parallelogramm bilden, in dem ja die Gegenseiten gleich lang sind.

isr- j

PA

1) 3um vergleich stelle man sich selbst einen Kasten, wie in der Kgur, aufund messe die Streckennach. Durch diephotographische Wiedergabewerden entferntere Strecken (also die Schattengrenzen) kürzer als in Wahrheit gleichlange, aber nähere Strecken (hier die Kanten des Kastens).

a steht aus b senkrecht ^ aber auch ax steht auf b, senkrecht (kurz geschrieben a_L b und a,-Lb,), denn es ist ja a^ // a und zugleich b i // b. kllso ist der Schrägriß eines rechten Winkels, dessen beide Schenkel zur Bildebene parallel find, ebenfalls ein rechter Winkel.

Ein ganz anderes Verhalten zeigen die dritten Kanten c. Buch sie stehen im Raume auf a und b senkrecht. Dagegen liegt ct schräg zu a, und b!• Buch die Länge c, ist eine andere als die der Raumkante c, wenn wir sie wirklich im Raume nachmessen würden. Nun mache man einmaleinen Versuch. MannehmeeinVlattpapierundeinen Bleistift (oder besser eine Stricknadel oder dergl.) und halte den Bleistift stets senkrecht zum Blatt in den Sonnenschein. Und nun drehe man Bleistift und Blatt — den Bleistift immer senkrecht zum Blatt gelassen — im Sonnenschein herum. Man wird sehen, daß der Schatten des Bleistifts auf dem Papier die verschiedensten Richtungen und die verschiedensten Längen erhält. Der Schatten kann zu einem „Punkt" zusammenschrumpfen und auch beliebig lang werden. Die Kante c war aber zur Bildebene senkrecht, gerade wie jener Bleistift. Deshalb wird ihr Schrägriß je nach der Lage der Projektionsstrahlen beliebige Richtung und beliebige Länge haben können.

Statt irgend etwas über die Lage der Projektionsstrahlen auszumachen, kann man jetzt auch unmittelbar festsetzen, in welcher Richtung Ci auf der Bildebene verlaufen soll, und in welchem Maße gegen die wahre Länge c verlängert oder verkürzt werden soll. Gewöhnlich wählt man so aus:

Ist b die Lotrichtung im Raum und c eine senkrechte Strecke sowohl aus b wie aus der Bildebene, so soll -$C (b„ ct) = 45° ober <£;(b,, cj= 60° und ct:c = \ oder c^c = -J- oder c, = c sein. Das sind die gebräuchlichsten verfahren, ohne daß andere Bus-wahlen damit etwa ausgeschlossen sind. Bm einfachsten für die Messungen ist es, Li ^ c zu machen. Man nennt die Bbbildung in diesem Falle

Kavalierperspektive oder Vogelperspektive?) Ihr Nachteil ist, daß die Bilder dem Buge meist stark verzerrt erscheinen.

J---

Fig. 58 zeigt die Darstellung eines Ziegelsteines für (blr cx) = 45⁰ und ct: c = 1:2 oder ct = c.

_Y

1) Bet der Kavalierperspektive treffen

(Eine Bemerkung sei hier sogleich eingeschaltet. Die natürlichen Gegen-stände sind meist viel zu groß, als daß sie in ihren wirklichen Maßen gezeichnet werden könnten. (Es ist folglich von vornherein eine Verkleinerung aller Maße vorzunehmen, angegeben wird stets der „lineare" Verkleinerungsmaßstab, d. h. das Verhältnis der Längenmaße des ursprünglichen Körpers zu den Längenmaßen des verkleinert gedachten Körpers. Man stellt sich die Sache stets so vor, als hätte man zuerst die Verkleinerung des Körpers vorgenommen und darauf diesen verkleinerten Gegenstand in seiner nunmehr wahren Größe gezeichnet. Huf dem Zeichenblatt ist anzugeben, in welchem Verhältnis die Längen verkürzt worden sind. In Fig. 58 steht z. B. „ Maßstab 1:2"; das soll heißen, auf dem ursprünglichen Zeichenblatt war der Stein so gezeichnet, als hätten seine Kanten die Längen a=12,5cm,b = 6cm, c=3,25 cm besessen, während ein wirklicher Mauerstein doppelt so lange Kanten hat. hier wie bei allen folgenden Figuren ist zu beachten, daß sich die Hngaben auf die ursprüngliche Zeichnung, nicht aber aus deren verkleinerte lviedergabe im Buch beziehen.

XJ

V\

Man übersieht jetzt das ganze Verfahren. Man stellt solche Körper dar, bei denen drei zueinander senkrechte Kanten vorhanden sind oder doch leicht angegeben werden können. Das ist gerade bei Gebrauchsgegenständen des täglichen Lebens so häufig der Fall. Zwei der senkrechten Richtungen sollen zur Bildebene parallel verlaufen. Man stellt sie in „wahrer Größe" dar (nachdem man also, wenn nötig, die Maße des Gegenstandes sämtlich nach bestimmtem Verhältnis verkleinert hat). Die dritte Kante stellt man so, daß sie zur Bildebene senkrechtverläuft. Hber man zeichnet sie unter einem Winkel von 45°

1:20

die Projektionsstrahlen den Gegenstand von vorn, bei der Vogelperspektive vonoben; oder auch die Bildebene ist senkrecht oder horizontal gedacht.

Beide Verfahren fanden hauptsächlich für militärische Zwecke Verwendung.

„Kavaliere" hießen die Hufbauten auf Festungsmauern; daraus ist der obige Namen abgeleitet worden.

ober 60° gegen die vertikale, indem man sie gewöhnlich auf V₂ ober V3 verkürzt ober selten auch in wahrer Länge abträgt. $0 ist in Zig. 59 ein Waschtisch dargestellt mit einem Winkel von 45 0 und einer Verkürzung V₃.

/X

häufig ist ein Kreis abzubilden, bei dem zwei zueinander senkrechte Durchmesser als senkrechte Richtungen zu wählen sind. Das Bild des Kreises wird eine Ellipse, in der die Bilder der zueinander senkrechten Kreisdurchmesser konjugierte Durchmesser sind. Man \\ \ x kann sie zeichnen, indem man eine

5tg.60.

Reihe paralleler Lehnen des Kreises zu Hilfe nimmt, wie Zig. 60 zeigt. So ist auch die Tischplatte des runden Tisches der Zig. 61, ber hier als letztes Beispiel gewählt sein mag, gezeichnet worden.

Rnmerfung 1. Die schiefe Parallelprojektion ist oben so dargestellt worden, wie sie am häufigsten gebraucht wird.

Sie gestaltet natürlich vielfache Erweiterungen, so daß 3. B. die Gegenstände ebensogut in Übereckstellung gezeichnet werden können usw.

5tg. 61.

Rnmerfung 2. Schrägrisse wirken auf das Rüge nur bis zu einem gewissen Grade natürlich. In der Tat müßte es sich ja so weit entfernt vom Gegenstand befinden, daß die Sehstrahlen parallel laufen — also eigentlich unendlich fern —, wenn der Gegenstand dem Rüge so erscheinen sollte wie sein Schrägriß.

Rnmerfung 3. Dem Schrägriß können Maße der Kanten, die in einer der drei senkrechten Richtungen verlaufen, unmittelbar entnommen werden. Rach dem Pythagoras lassen sich einzelne Längen noch einfach berechnen In sehr vielen Zällen genügt das schon, werden mehr Maße gebraucht, so geht man besser zu anderen Rbbildungsverfahren über, wie denn der Schräg-riß meist nur verwendet wird, Gegenstände einfach, schnell und doch anschaulich darzustellen.

4j. Die kotierte Projektion. Rm natürlichsten wäre es jetzt, die Zentralprojektion anzuschließen, die sich von der obigen Parallelprojektion nur dadurch unterscheidet, daß die Projektionsstrahlen von einem Punkte ausgehen, statt parallel zu laufen. Die Konstruktionen sind indessen

wesentlich schwieriger, so daß es praktischer ist, zugleich als notwendige Vorbereitung auf die Zentralprojektion andere wichtige Verfahren vorher zu behandeln. Dabei ttrirb immer mehr auf Anschaulichkeit verzichtet und dafür auf bequeme Meßbarkeit um so größerer wert gelegt. Die kotierte Projektion bildet in gewisser Beziehung einen Übergang, insofern sie im wesentlichen nur zur Darstellung von Teilen der Erdoberfläche angewendet wird, wo sie denn allerdings immer recht anschaulich bleibt. Es handelt sich also um die Aufgabe, ein Stücf der Erdoberfläche abzubilden. Das wäre schwierig, wenn ein großes Stück genommen werden sollte: etwa auf einem Blatt eine Karte von Deutschland; denn man weiß ja, daß die Erde kugelförmig ist, also müßte eine krumme Fläche auf dem ebenen Zeichenblatt abgebildet werden, hier soll eine wesentliche Vereinfachung vorgenommen werden, indem man nur so kleine Stücke betrachtet, daß man ohne Fehler die ganze Erdkrümmung weglassen kann. Z. B. in Fig. 62 ist aus der Umgegend eines Dorfes in flachem Gelände Acker und Wiesenland usw. dargestellt. Da ist zunächst wieder eine Verkleinerung des Maßstabes vorzunehmen. Die Karte ist im Maßstab 1:25 000 gezeichnet, d. h. also 1 mm bedeutet immer 25 m. 3m übrigen zeichnet man so, als wäre die Landschaft genau in einer

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Interessanter wird eine Karte im bergigen Gelände sein. Die Bildebene denkt man stets in einer ganz bestimmten höhe zum Meeresspiegel liegend.

Für Preußen liegt der „Nor-

malnullpunkt" (N. N. abgekürzt) 37 m unter dem sogenannten „Normal-Höhenpunkte", der bis vor kurzem durch eine Höhenmarke an einem Pfeiler der Berliner Sternmarte bezeichnet wurde, aber nach deren Verlegung nach Babelsberg noch nicht wieder an anderer Stelle erneuert worden ist. Huf diese Bildebene, die also in der höhe 0 in der Regel unter der Landschaft liegen wird, projiziert man senkrecht herunter. Die entstehende Projektion heißt ein Grundriß. Soll im Grundriß angegeben werden, wie hoch ein Punkt über der Projektionsebene liegt, so schreibt man seine höhe in Metern gemessen als Zahl an feine Projektion heran. Diese Zahl heißt die Kote des Punktes.

XX

Zig. 63.

Käme es darauf an, geometrische Körper darzustellen, so wäre es leicht, an / ( / /X genügend Punkte die höhenzahlen anzu- inj s C schreiben, um hinterher Gestalt und Maße \\\v ^ de§ Körpers genau zu erkennen. Hnders in der wirklichen Natur. Um einen Berg darzustellen, denkt man ihn durch Ebenen parallel zur Bildebene geschnitten. Solche Ebenen legt man gewöhnlich in Hbständen von 5 zu 5 Metern. Die Oberfläche des Berges wird auf diese weis e in Kurven geschnitten, die man Schichten-,höhen- -oder Niveaulinien nennt. Und diese Schichtenlinien projiziert man herunter. In Fig. 63 ist schematisch der Schrägriß eines Berges mit seinen Schichtenlinien und darunter die kotierte Projektion desselben gezeichnet. Da nach ihrer Entstehung sämtliche Punkte einer Schichtenlinie in derselben höhe über der Bildebene, also auch über dem Normalnullpunkt liegen, so erhält die Projektion einer solchen nur eine Kote (gewöhnlich werden die Schichtenlinien in 5,15,25,... m höhe gestrichelt, die anderen durchlaufend gezeichnet). Muß man auch das Entwerfen der Karten mit den Projektionen der Schichtenlinien anderen überlassen, so bleibt doch für jeden die Hufgabe bestehen, die Karten richtig zu lesen. Bei einiger Übung gelangt man leicht dazu, aus dem Verlauf der Schichtenlinien int Grundriß eine gute körperliche Hnfchauung der Berge zu gewinnen. Gewiß interessiert zuerst die Frage nach der Steilheit des Berghanges. In Fig. 64 seien gv g₂,... Grundrisse von wegen zwischen Schichtenkurven. Um allgemein zu bleiben, sei h der höhen-

unterschied zwischen den Schichten. Dann steigt z. B. gj unter einem Winkel an, den man nach der Gleichung ,    h

V25000

60

lg«,-;;

5ig- 64.

berechnet. Denn der räumliche Punkt A₀ der Schichtenlinie 60, dessen (bxunb* A₀ riß A ist, liegt hm senkrecht über A. verbindet man A0 mit B, so ist in dem rechtwinkligen Dreieck A₀AB der h gesuchte Winkel at bei B enthalten, wie vergrößert in -4 §ig. 64 angedeutet, weiter findet man tg^ = h: g₂. Ist gi > g₂, so wird umgekehrt tgax < tg^₂ und folglich ccy < a₂. HIfo ist der Anstieg um so steiler, je enger die Schichtenlinien im Grundriß aneinander liegen. Bisher waren die kürzesten Abstände gx und g₂ betrachtet worden. Saufen die Wege wie g3 und gi schräg gegen die Schichtenlinien, so steigen sie flacher an, denn auch für sie gilt ja tg cc₃ = h: g₃ und tg a₄ = h: g₄. Die Strecken glf g₂,... mißt man auf der Karte nach, während man h aus den Koten der Schichtenlinien unmittelbar entnimmt. Statt den Steigungswinkel

-1

60 m $\Q. 65.

anzugeben, pflegt m man häufiger so zu verfahren, daß man tg cc selbst angibt, aber als Bruch mit

der 1 im Zähler. Der weg in Kg. 65 hat danach die Steigung 5 : 60 oder I : 12; wie man auch sagen kann: man muß in horizontaler Richtung 12 m fortschreiten, um 1 m hoher zu kommen. So findet man längs der Eisenbahnstrecken die Steigung stets an wegweiserartigen Tafeln angegeben.

Das Beispiel der Fig. 64 ergibt die folgenden Zahlenwerte. gx = 6 mm, g₂= 4 mm, g₃= 9mm, g₄ = 13 mm. Da aber der Maßstab 1:25 000 ist, so sind die wahren Sängen:

Also ist

ui cn cn cn

hierunter werden in einer Tabelle die Sängen der Strecken g, also der

Kotierte Projektion

4^

UI

Wegegrundrisse für verschiedene Steigungswinkel angegeben. Die Stei-gung ist dabei nichts anderes als 1 : ctg «, während die Wegegrundrisse 5 ctg « bzw. 10 ctg a sind, je nachdem zwischen Schichtenlinien von 5 rn zu 5 rn oder von 10 rn zu 10 m gemessen wird. (Ein weg bis 15° Steigungswinkel ist fahrbar, bis 30° gangbar.

Stei

gungs

winkel

Steigung

Länge

des Wegegrundrisses

bei 5 m bei 10 m Schichthöhe Schichthöhe

Stei

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des Wegegrundrisses

bei 5 m bei 10 m Schichthöhe Schichthöhe

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Bei der Benutzung der Tabelle beachte man wohl den verkleinerungs-maßstab der gerade vorliegenden Karte. Sittb z. B. die im Maßstab 1:25 000 entworfenen Meßtischaufnahmen gewählt worden, so bedeutet also 1 mm der Karte 25 m (nämlich 1 x25 000 mm — 25 m). Zwischen 2 Schichtenlinien mit einem Höhenunterschied von 5 m liege eine Wegstrecke von 3,6 mm. Da 1 mm der wahren Länge 25 m entspricht, so hat der Wegegrundriß die wahre Länge 25 x 3,6 = 90 m folglich liegt der Steigungswinkel nach der Tabelle zwischen 3 und 4 , aber näher 3°, die Steigung wird ziemlich genau 1:18 sein. Zur den häufigen Gebrauch einer bestimmten Karte empfiehlt es sich, die obige Tabelle sogleich auf deren Maßstab umzurechnen.

Mit Hilfe der Schichtenlinien wird in der Ingenieurpraxis wie für militärische Zwecke eine große Menge von Aufgaben gelöst. Wegeaufschüttungen, sei es für Fahrstraßen. sei es für Eisenbahnen, Feststellung des Schußbereichs einer Batterie, Ermittelung von Tälern, die gegen Einsichtnahme durch den Feind gesichert sind, usw. kommen dabet

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Kotierte Projektion

in Frage?) Um in bereit Behandlungsweise wenigstens einzuführen, seien ein paar Beispiele herausgegriffen, die einfach genug sinb tmb doch auch allgemeineres Interesse besitzen bürsten.

1.    Hufgabe (Zig. 66). 3m Punkte A befindet sich 8 m über bem (Erdboden ein Beobachter. (Es soll festgestellt werden, welchen Teil BC des nächsten Tales er nicht einzusehen vermag, wenn er in der Richtung AB blickt. Zuerst paust man den fraglichen Gelänbeteil von ber Horte mit ben

Schichtenlinien durch. Dann zeichnet man auf dieser pause, wie in der Fig. 66, parallele Geraden zu AB in Hbständen von 5 m 31t 5 m, wobei man hierfür einen beliebigen, möglichst bequemen Maßstab, 3.B. 1 mm = lm wählt. Diese parallelen erhalten die höhenzahlen der in der Harte vorkommendenSchichtenlinien. Die Gerade AB schneidet dieSchich-tenlinien. Jeden Schnittpunkt lotet man auf diejenige parallele herunter, die die gleiche Hote wie die Schichtenlinie trägt, verbindet man die heruntergeloteten Punkte durch eine Hurve, so erhält man das Profil des senkrechten Schnittes durch AB, allerdings, da der höhenmaßstab beliebig war, meist nach der höhe gegen den Maßstab der Horte verzerrt. wenn man in diesem profilbild von A aus die Tangente an die erste Bergkuppe legt, so erkennt man sofort die Grenzen der Gelände-teile, die der Beobachter zu sehen vermag.

Soll festgestellt werden, welcher Teil des Tales überhaupt nicht von A eingesehen werden kann, so legt man genau so wie oben eine Reihe von Schnitten durch A und bestimmt immer die Grenzpunkte des Sichtbaren. Die Verbindungskurve dieser Grenzpunkte umschließt den nicht sichtbaren Teil des Tales.

2.    Hufgabe. (Es ist das von irgendeinem Punkte P aus sichtbare Profil einer bergigen Landschaft zu zeichnen (wie immer in diesem Hbschnitt wird von Erdkrümmung und Strahlenbrechung abgesehen).

Man könnte wie in der vorigen Hufgabe durch den Punkt P eine große Zahl von Schnittebenen legen und das Profil in jeder dieser Schnittebenen zeichnen, von P at^s hätte man an jede vorgelagerte Bergkuppe die Tangente zu legen. Ist z. B. in Fig. 67 ein solches Profil gezeichnet, so wäre also vom Berg 1 der Teil über PA, vom Berg 2 nichts, vom Berg 3 der Teil über PB und der vierte Berg ganz zu sehen. 3ft PQ die Richtung auf der Harte, in der das Huge blickt, so denkt man irgendwo

t) Zu weiterem Studium sei verwiesen aus: R.Rothe, Darstellende Geometrie des Geländes, Leipzig 1914. wo leicht verständlich der Gegenstand wesentlich vom mathematischen Gesichtspunkt aus behandelt wird. praktisch militärische Ziele verfolgt z.B. das Buch: Jablonsky, Leitfaden für den Unterricht im planzeichnen und Mokieren an der Oberfeuerwerkerschule. Berlin 1907.

senkrecht 311PQ die Zeichenebene gestellt und in den Grundriß heruntergeklappt. Ist PR der Schnitt der Fig.67, so errichtet man in R bas Lot

und trägt auf diesem die Punkte A, B und C mit den hohen ein, die man auf dem Schnitt erhalten hat. Die Verbindungskurven all solcher Punkte A, B und C ergeben das gesuchte Profil.

In vielen Fällen genügt ein ein-fachesNäherungsverfahren, das um so genauer ist, je weiter P von denBergen, deren Profil zu zeichnen ist, entfernt liegt, wieder sei die Bildebene senkrecht zur Blickrichtung angenommen und herumgeklappt. In dieser Bildebene

So

Fig. 67.

zeichnet man, s. Fig. 68,ein Netz vonp arallelen Geraden im Kbstande von 5 m zu 5 m. Nun aber begnügt man sich, die Sehstrahlen alle parallel anzunehmen. Man zeichnet daher einfach in Richtung dieser parallelen sämtliche Tangenten an die Schichtenlinien. In den Endpunkten der Tangenten errichtet man die Lote in der Bildebene und trägt auf diesen Loten die höhen entsprechend den Roten der Schichtenlinien ab. Die

1 : 25öoom

167

190,

180

170

LZ

160

gefundenen Endpunkte verbindet man durch Kursen, die nahezu das gesuchte Profil darstellen. Liegen mehrere Anhohen hintereinander, so läßt man die durch vordere Berge verdeckten Teile der entfernteren Berge beim Busziehen weg.

167

I. Aufgabe (Zig.69).

Profil und Länge

eines Weges find zu

$ig.69.

zeichnen.

Zig 70.

Denkt man durch sämtliche Punkte des Weges diesenkrechten Projektionsstrahlen gelegt, so bilden sie einen Zylindermantel, dessen Grundlinie das Bild des Weges auf der Karte ist. Die Aufgabe ist also die, diesen Zylindermantel flach aus der Zeichenebene ausgebreitet darzustellen. Bei der Ausbreitung wird die Grundlinie des Zylinders eine gerade Linie, deren Länge zuerst zu bestimmen ist. Zu dem Zwecke betrachtet man auf der Karte die krummen Stücke von Schichtenlinie zu Schichtenlinie als geradlinige Strecken und trägt sie hintereinander, s. Fig. 70, auf einer Geraden ab. Ist einmal der Vogen zwischen zwei Schichtenlinien zu groß, so schaltet man in kurzer Entfernung Zwischenpunkte ein, zwischen denen die Kurve hinreichend genau durch eine gerade Linie ersetzt werden kann. hat man also in Wahrheit die Sehnen der einzelnen Bogenstücke mithilfe des Zirkels auf der Grundlinie aufgetragen, so errichtet man in sämtlichen Teilpunkten die Lote und trägt auf ihnen die hohen der Wegepunkte, die ja durch die Koten der Schichtenkurven unmittelbar gegeben sind, ab. Die Endpunkte der Lote verbindet man in der Kegel durch gerade Linien, deren Steigung zugleich die Steigung des Weges an der betreffenden Stelle angibt.

Um die Länge des Weges zu ermitteln, kann man in erster Annäherung die Summe aller geradlinigen Strecken abtragen und nachmessen. Oder aber man verbindet erst einmal die Endpunkte aller Lote durch eine Kurve. Dann trägt man mittels des Stechzirkels eine kurze Sehne hintereinander auf der Kurve ab. Man zählt nach, wie oft das mög* lich ist. Darauf vergleicht man mit einem Maßstab, auf dem man ebensooft jene Zirkelösfnung abträgt. Dabei darf man nicht vergessen, den Verkleinerungsmaßstab zu berücksichtigen. Endlich kann man auch ein kleines Instrument benutzen, ein Kurvimeter. Das ist weiter nichts als eine kleine volle, mit der man an der Kurve entlang fährt. Rn einem Zählwerk wird die Anzahl der Umdrehungen der volle gemessen. Ungeschrieben wird aber gleich die Länge des überfahrenen Weges, der ja einfach gleich dem Produkt aus jener Unzahl mal dem bekannten Umfang der volle ist.

Anmerkung 1. Beim Nachmessen einer Kurve mit Hilfe von Sehnen kann man scheinbar so genau, wie man nur will, messen, wenn man die Zirkelössnung — also die Sehnenlänge — beliebig klein wählt. Dem ist aber tatsächlich sehr bald eine Grenze gesetzt, da der Fehler, der durch das wiederholte Abtragen begangen wird, natürlich um so großer wird, je öfter man abträgt, also je kleiner die Sehne ist.

Anmerkung 2 Man versäume nicht, sich ein plastisches Bild des Geländes herzustellen. Dazu paust man dieSchichtenlinien eine nach der anderen mit Eintragung der Wege, Wälder usw. durch, klebt sie auf dicke Pappe aus und klebt dann die Pappstücke aufeinander. Für das richtige Aufeinanderkleben der Pappscheiben ist es natürlich nötig, jedesmal zwei aufeinanderfolgende Schichtenlinien durchzupausen Um eine bessere plastische Wirkung zu erzielen, wird meist der höhenmaßstab wesentlich größer als der Kartenmaßstab genommen. Arbeitet man mit den Meßtischblättern, so wird sich's empfehlen, die Schichtenlinien mit Hilfe des Storchschnabels vergrößert aufzutragen, also das Modell von vornherein im vergrößerten Maßstabe auszubauen.

5. 9a$ Grund- und Uufntzversahren. In der letzten Nummer war gezeigt worden, wie ein Grundriß entsteht; also ein Bild, wie man nahezu einen Körper sieht, wenn man aus großer Entfernung senkrecht auf ihn herabblickt. Die höhenmaße wurden durch Koten angegeben. Die Anwendbarkeit dieses Verfahrens hört aber auf, wenn Gebrauchsgegenstände des täglichen Lebens, Maschinen usw. abgebildet werden sollen, bei denen auf einer Senkrechten häufig eine ganze veihe von Punkten liegt, deren Koten alle an demselben Grundrißpunkt angeschrieben werden müßten. Natürlich wäre es nicht möglich, sich in solch einer Figur zurechtzufinden. Uber dem Übelstande ist leicht abgeholfen. Genau wie man einen Grundriß herstellt, indem man senkrecht auf eine beliebige Bodenfläche projiziert, so denkt man eine senkrechte wand dazu und projiziert ebenfalls senkrecht auf diese. Fig. 71 zeigt die Unordnung. Die neue Projektion heißt ein Aufriß des Körpers. Grundriß und Aufriß zusammen bestimmen vollkommen einen Körper, nur

bei einigen seltenen besonders ungünstigen Stellungen wird es nötig, noch einen „Seitenriß" hinzuzunehmen aus irgendeine dritte Ebene, die man gewöhnlich ebenfalls senkrecht auf der Grundebene wählt.

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'b I

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(Einige wichtige Sätze kann man sofort herleiten. 3n der $ig. 71 ist b = b' ----- b" und c = c", a = a'; d.h. verläuft eine Strecke parallel zu einer Projektionsebene, so ist die Projektion auf diese ebenso lang wie die Strecke selbst. (Eine beliebige nicht parallele Strecke besitzt stets eine verkürzte Projektion. 3ft p die Strecke, die unter einem Winkel « gegen die Projektionsebene geneigt ist, und ist p' die Projektion, so wird p'=p- cos«. (Dgl. hierzu S. 85.)

Die Hunten a und c stehen auf b senkrecht. Über auch jede andere von derselben Ecke ausgehende Gerade in der Ebene des Rechtecks (a, c) würde auf b senkrecht stehen. Elle diese Geraden haben dieselbe Projektion c", die auf b" senkrecht steht. Daraus folgt: Die Projektion eines rechten Winkels ist wieder ein rechter Winkel, wenn ein Schenkel des rechten Winkels parallel zur Projektionsebene verläuft. 3m allgemeinen kann die Projektion eines Winkels sowohl großer als auch kleiner sein als der Winkel selbst.

Man erkennt aus diesen Sätzen, daß es bei den meisten Körpern, bei denen aufeinander senkrechte Kanten vorkommen, praktisch sein wird, sie so zu den Bildebenen zu stellen, daß jene Kanten parallel zu den Bildebenen laufen. Denn dadurch werden sie sich am leichtesten zeichnen lassen, aber man wird auch aus Grund- und Aufriß die Hauptmaße Länge, Breite und hohe unmittelbar ablesen können.

wie man nachher sehen wird, ist das Verfahren lange nicht so anschaulich wie die Parallelprojektion. Maße lassen sich aber noch einfacher ermitteln und einzeichnen. Deswegen werden die Konstruktionszeichnungen im Handwerk und in der3ndustrie fast ausnahmslos im Grund- und Eufriß entworfen. Für schnelle Freihandskizzen dagegen empfiehlt sich häufig die Parallelprojektion. Das Grund- und Eufrißverfahren ist geradezu die Schrift des Technikers geworden, in der er feine Gedanken ausarbeitet und niederlegt. (Es ist eine gewiß wichtige Aufgabe, diese Zeichnungen richtig lesen zu lernen.

Eber man projiziert ja auf zwei (Ebenen, während man doch mit einem Zeichenblatt wird auskommen wollen! Man hilft sich, indem man die Grundrißebene als Zeichenebene wählt und die Aufrißebene, wie es der Pfeil andeutet, in

_diese Zeichenebene hineinklappt. DenKörper, der gezeichnet

5ig. 72.

190

Ts

1L

werden soll, denkt man stets so aufgestellt wie in$ig. 71: also vor der Kufriß- und über oder gerade auf der Grund-rißebene, wie früher schon festgesetzt, werden unsichtbar gezeichnet im Grundriß die Kernten, die man beim Daraufblicken von oben (die Sehstrahlen parallel gedacht!), im Kufriß die Kanten, die man im Daraufblicken von vorn nicht sehen kann. Dieselbe Kante kann also sehr wohl im Grundriß sichtbar, dagegen im Kufriß un- ; sichtbar sein und umgekehrt. $ig.

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Schnitt a-b

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Waschtisch

M. 1:10

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5ig 73.

72 zeigt die Darstellung des Körpers der $t9.71, | wie er nach ° derUmklap-pung in den Projektionen erscheint. Die gchse, um die herumgeklappt wurde, wird gewöhnlich noch mit gezeichnet. Da 3, c, 3, c bei der Um-klappung immer in

derselben Ebene bleiben, die zur Achse senkrecht steht, so liegen auch nach der Umklappung a' und c" auf einem Lot zur Achse. Es gilt all-aemein: Grund- und Aufriß eines Punktes liegen stets auf einem Lot zur Achse. Derselbe Waschtisch, der in Fig. 59 im Schrägriß dargestellt wurde, ist in Fig. 73 noch einmal in Grund- und Aufriß gezeichnet. wie praktisch üblich sind alle notwendigen Maße mit em-gezeichnet. Natürlich wird in einem verkleinerten Maßstabe gezeichnet,

während die wirklichen Längen angegeben werden.

Kber der Handwerker muß auch wissen, wie der Tisch im Innern aussehen soll. Auch das alles als „unsichtbar" in die obige Zeichnung mit hineinzunehmen, ist nicht empfehlenswert, da alle Übersichtlichkeit verloren gehen würde. Man denkt vielmehr je nach Bedarf einen oder mehrere ebene Schnitte hindurchgelegt und gesondert gezeichnet. Die Schnitte sind so zu wählen, daß man aus ihrer Zeichnung alles Gewünschte erkennen kann. hier ist ein Schnitt senkrecht zum Grund-und Aufriß gelegt, wie gebräuchlich sind die dabei durchschnittenen holzteile schraffiert. 3m Grundriß ist das Seitenbrett am Aufsatz weggelassen, um möglichst wenig zu verdecken.

häufig ist es nötig, einen ebenen Schnitt wie soeben, aber beliebig schräg durch einen Körper zu legen. Das mag als letzteAufgabe an einem einfachen Beispiel gezeigt werden. Der Schnitt Fig. 74 sei durch die beiden Geraden P'Q'=a' und Q'R'-b' im Aufriß bestimmt. Durch zwei sich schneidende Geraden läßt sich ja eine und nur eine Ebene legen.

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5ig.74. A //J

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Im Aufriß kann die Schnittfigur sogleich vervollständigt werden. Da nämlich der Körper ein schiefes Par-allelprisma ist, so wird er von jeder beliebigen Ebene in einem Parallelogramm geschnitten. Folglich erhält man die vollständige Schnittfigur im Aufriß, indem man durch R' die Parallele R'S' zu a! und durch P' die parallele P'S' zu b' zieht. Als Probe hat man: der gemeinsame Schnittpunkts' muß auf einer prismenkante / x    liegen. Den Grundriß der Schnitt-

||gUr man ebenfalls unmittel« bar, indem man die Eckpunkte P', Q',

R', S' auf die zugehörigen Seitenfanten herunterlotet, verbindet man die so gefundenen Punkte P", Q”, R", S", so hat man als Probe, daß P"Q" || R"S" und P"S" | Q"R" fein muß. Das wichtigste bleibt jetzt, die wahre Größe und Gestalt der Schnittfigur, von der bis jetzt nur ihre Projektionen bekannt find, zu finden. Das macht man so, daß man die schräge Schnittebene in die Zeichenebene hineinklappt. Dazu braucht man zuerst eine Rchse, um die man die Schnittebene

$\Q.75.

AZ

herumdreht. Die Schnittebene wird aber, wenn man sie genügend weit verlängert, s. $ig. 75, die Grundrißebene in einer Geraden 8 schneiden, und diese Gerade muß gesucht werden. Man nennt diese Gerade dieSpurg erade oder kurz die Spur der Schnittebene. Natürlich genügt es, zwei Punkte der Spur zu kennen, denn man braucht ja nachher nur diese Punkte zu verbinden. Rls solche Punkte mögen die Schnittpunkte der Geraden a und c mit der Grundrißebene gewählt werden, die die Spurpunkte der Geraden a und c heißen. (Man erkennt nebenbei den Satz: Eine Gerade liegt in einer Ebene, wenn ihre beiden Spurpunkte im Grund- und stufnjg auf den beiden Spuren der Ebene liegen.) weiter wird in Kg. 74 gezeichnet,- man behalte aber immer zum besseren Verständnis den Schrägriß im Rüge. Um die Spurpunkte von a und c zu finden, muß man a" und c" verlängern. Es fragt sich, wie der Rusriß zu benutzen ist. Ruch dort verlängert man af und c', und zwar bis zur Rchse. Rlles, was in der Grundebene liegt, fällt beim senkrechten projizieren ja einfach auf die Rchse, also sind dort auch die Projektionen der Spurpunkte zu suchen. Sie mögen A₂' und6/heißen.') Da senkrecht projiziert wird, hat man nur noch in A₂' und C₂' auf der Rchse die Lote zu errichten und zu verlängern, bis sie die Verlängerungen von a" und c" in den gesuchten Spurpunkten A₂ und C₂ schneiden. Die Gerade A₂ C₂=s2 ist die Spurgerade der Schnittebene im Grundriß. Zur Kontrolle wird man noch die Spurpunkte der Geraden b und d konstruieren; auch diese müssen auf s₂ liegen, häufig werden solche Punkte unzugänglich sein, wenn sie außerhalb des Zeichenblattes liegen. Dann muß

1) A!₂ und sind natürlich nicht etwa die Spurpunkte der Geraden a und c im Rufriß. Wie diese Spurpunkte A₁ und ganz entsprechend wie oben gefunden werden, kann jeder leicht selbst überlegen.

man geeignete PIfsgeraden benutzen,- hier z. B. die Diagonalen PR und QS.

Jetzt also ist das Parallelogramm um s₂ in die Grundebene hineinzuklappen. Dabei beschreibt jeder Eckpunkt P, Q,... einen Kreisbogen, dessen Ebene senkrecht zur Drehungsachse s₂ liegt. Die Projektion ist deshalb ein Lot von P", Q",... auf s₂. stuf diesen Loten wird jeder der heruntergeklappten Punkte P₀, Q₀, • • • liegen müssen. AIs zweites benutzt man die selbstverständliche Tatsache, daß die Punkte A₂, C₂,.. • aus der Drehungsachse selbst beim Umklappen liegen bleiben. Nun mag etwa — wie, wird nachher gezeigt — P₀ gefunden sein. Dann zeichnet man leicht das ganze Parallelogramm, denn man weiß einmal, daß Qo, R₀, S₀ auf den Loten zu s₂ durch Q", R", 8" liegen müssen, zweitens aber der Reihe nach auf den Geraden P₀A₂, Q₀L₂, 8g C₂ und zur Kontrolle P₀ M₂. (Eine weitere Kontrolle folgt z. B. aus

PoQo i Ro So unb Po Sq I Q₀R₀-

Q'l

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Zig. 76.

As,

So bleibt als letztes die Frage zu beantworten, wie der Punkt P0 gefunden wurde. Dazu dient die Nebenfigur 76. Klan denke dabei an folgendes: das heruntergeklappte Parallelogramm war scheinbar ausschließlich, wie oben beschrieben, mit Hilfe vom Grundriß gefunden worden. Vas ist natürlich nicht möglich, weil es nicht allein seiner Größe p' und Gestalt nach durch eine Projektion bestimmt ist. Deshalb wird man ohne weiteres für die Konstruktion von P₀ den Aufriß gebrauchen. (Es ist gut, immer darauf zu achten, daß man die notwendigen Hilfsmittel auch immer an der richtigen Stelle sucht. Klan stelle sich also die räumliche Gerade PQA₂ vor, deren Projektionen P'Q' und P"Q" sind. P" erhielt man durch das Lot PP" auf die Grundebene. Aber man weiß ja, wie lang dieses --Ljp" Lot ist, nämlich gleich der Länge des Lotes h im Aufriß von P' auf die Achse. Deshalb kann man das rechtwinklige Dreieck PP"A., sofort umlegen, indem man auf A₂P" in P" das Lot errichtet und gleich h macht. Der gefundene Punkt P ist mit A3 zu verbinden. In gleicher Weise kann man Q finden, wobei zur Kontrolle QQ" dem Aufriß entnommen wird. PQ = a ist die wahre Länge einer Parallelogrammseite. In dieser Weise ist P in $ig. 74

gefunden worden. Endlich schneidet ein Kreisbogen um A₂ mit A₂ P das Lot von P" auf s₂ im gesuchten Punkt P₀. Natürlich wird man Q ebenfalls einzeichnen und zu mancherlei Kontrollen benutzen.

6. Die perspektivische Affinität. Um ein wenig tiefer in die mathematischen Gesetze der projektionslehre einzudringen, mögen einige Andeutungen darüber folgen, die späterhin in Nr. 8 vervollständigt werden. In der Grundrißebene war aus der Projektion des ebenen Schnittes durch ein schiefes Prisma die Umklappung abgeleitet worden.

$\Q.77.

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Die Vierecke P1f' Q"RluSl" unö P₀ Q₀ R₀ S₀, die also zu derselben räumlichen Figur PQRS gehören, haben offenbar eine nach mathematischen Gesetzen bestimmte Lage zueinander. ItTan sagt, zwischen ihnen besteht eine geometrische Verwandtschaft. Sie hat den Namen perspektivische Affinität erhalten. Geometrische Verwandtschaften sind durchaus nichts Neues, denn Kongruenz und Ähnlichkeit find allbekannte einfache Beispiele solcher. Bei der Vergrößerung einer Figur erhält man die sogenannte Ähnlichkeit bei perspektivischer Lage, siehe Fig. 77, die in eigenartigem Gegensatz zur perspektivischen Affinität steht. Für beide gelten, wie man sofort erkennt, die folgenden Lätze:

Perspektivische Affinität.

Entsprechende Punkte liegen auf parallelen Geraden.

Entsprechende Geraden schneiden sich auf einer festen Geraden, der Affinitätsachse.

Ähnlichkeit bei perspektivischer Lage.

Entsprechende Geraden sind parallel.

Entsprechende Punkte liegen auf Strahlen, die. durch einen festen Punkt, das Ahnlichkeitszentrum, gehen.

wichtig ist nun, daß die perspektiv - affine Verwandtschaft auch zwischen Grund- und Aufriß jeder ebenen Figur (aber man beachte wohl nur jeder ebenen Figur) besteht. Davon kann man oft mit großem Vorteil Gebrauch machen. 3n Fig. 78 ist ein ebenes Viereck im Grund- und Aufriß gezeichnet. Bestimmt man die Schnittpunkte (a', a") = A₀ und (br, b") = B₀, so ist A₀B₀ = p die Affinitätsachfe, die natürlich nichts mit der Projektionsachfe zu tun hat. wenn wirklich das räumliche Viereck ein ebenes ist (und vier Geraden brauchen im Raume keineswegs in einer (Ebene zu liegen), so müssen auch die Schnittpunkte (c', c") und (d', d") auf p liegen, was wirklich der Fall

ist. Umgekehrt hat man damit ein Mittel gefunden, ebene Vielecke zu zeichnen. In Fig. 60 ist, wie man erkennt, eine Ellipse als affine Figur eines Kreises gezeichnet.

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7. Die Zentralprojektion?)

5ig.78.

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Die Zentralprojektion oder kurzweg die Perspektive liefert diejenige Abbildung, welche der Wirklichkeit am meisten entspricht. Dafür ist es bei ihr sowohl am schwierigsten, in den richtigen Maßen zu zeichnen, als auch umgekehrt aus dem Bilde Maße zu entnehmen.

Bei der Perspektive gehen die Projektionsstrahlen von einem festen Punkte aus, also nahezu wie beim natürlichen Sehen mit dem Buge. wenn der Baumeister zeigen will, wie das von ihm entworfene Haus aussehen wird, so zeichnet er sein perspektivisches Bild. Ebenso wird der Maler bei größeren Gemälden mit architektonischen Gegenständen oder Innenräumen nach den strengen Regeln der Perspektive zuerst einmal konstruieren, hinterher muß er allerdings oft bewußt davon abweichen, um die eigentümliche Art des menschlichen Sehens zu berücksichtigen?) Sehr wichtig ist ferner, daß die Photographie eine Zentralprojektion ist. Daher wird es eine Aufgabe der projektionslehre aus vorhandenen photographischen Aufnahmen Lage, Größe usw. eines Gegenstandes zu finden. Davon wird in einer besonderen Nummer, über Photogrammetrie, zu sprechen sein.

In Fig. 79 ist in einer beliebigen Ebene E irgendeine Kurve K„

1)    Eingehender, als hier möglich, und mit zahlreichen praktischen Anwendungen ist der Gegenstand behandelt in v o eh lem ann, Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen (ARuG Bd. 510). Leipzig 1916. Insbesondere für Maler ist das auf S. 35 genannte Werk von hauck bestimmt.

2)    (Es sei nur auf eines hingewiesen Die Zentralprojektion entwirft ein Bild auf einer festen Zeichenebene. Dem würde das Bild entsprechen, das ein ruhendes, in einer festen Richtung blickendes Auge empfangt, hierbei nimmt das Auge alle seitlich befindlichen Dinge nur verschwommen wahr. Sollen auch sie angesehen werden, so wird das Auge gedreht; das Bild fällt also auf eine neue Bildebene. Deshalb müssen seitlich liegende Gegenstände (oder oben oder unten befindliche) bei einer genauen perspektivischen Konstruktion verzerrt erscheinen gegenüber dem, was das Auge tatsächlich sieht. Darauf hat der Maler wohl zu achten.

gezeichnet, deren Bild entworfen werden soll. Zu dem Zwecke wählt man eine Zeichenebene Z senkrecht auf E aus. Man kann sich etwa eine mattierte Glasscheibe denken, auf der sich zeichnen läßt, die aber trotzdem noch durchsichtig genug bleibt, von einem festen Punkte A0 betrachtet man die Kurve K₀; dann werden die Sehstrahlen die Glasplatte Z an bestimmten Punkten durchdringen, so daß

aus

5ig.79.

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K,

man das Bild K von Kq auf Z aufzeichnen kann. Das ist aber das Verfahren der Zentralprojektion. K heißt deshalbderZen-tralriß von K₀, und A₀ wird der Augenpunkt genannt. E ist die Grundebene und die Schnittgerade g von Z und E die Grundlinie. Auf der Grundebene E sollen alle Körper aufgestellt sein, deren Zentralrisse man zeichnen will. Zu beachten ist, daß im Gegensatz zu den bisherigen Projektionsverfahren die Zeichenebene zwischen dem Gegenstand und dem Beschauer aufgestellt wird.

Drei Aufgaben werden nacheinander, mannigfach ineinandergreifend, zu besprechen sein:

a)    Herstellung eines Zentralrisses nach gegebenen Maßen von Gegenständen bekannter Gestalt,-

b)    Herstellung eines Zentralrisses, wenn der Gegenstand in Grund-und Anfriß gegeben ist;

c)    Herstellung von Grund- und Aufriß eines Gegenstandes, dessen Zentralriß bekannt ist.

Diese dritte Aufgabe wird in der Photogrammetrie behandelt.

a) Beschränkt man sich zunächst einmal aus ebene Figuren, die in der Grundebene gezeichnet sind, so wird man am praktischsten die Grundebene mit einem (Huadratnetz bedeckt denken, in das man leicht und bequem jede Figur einzeichnen kann, hat man darauf den Zentralriß des (tzuadratnetzes gezeichnet, so kann man ebenso leicht in dieses das Bild jeder beliebigen Figur eintragen. So sieht man in Fig. 83, die man gleich einmal anblicken mag, links das (Huadratnetz der Grundebene mit irgendeiner Kurve darin und rechts daneben den Zentralriß. Genaueres kommt später.

Zunächst wird es am bequemsten sein, wenn die Seiten des (Huadrat-

Netzes parallel bezw. senkrecht zu g laufen, wie werden die Bilder solcher Geraden aussehen? Nun, in Fig. 80 liegen a₀ und b₀ parallel zu g. Aber auch ihre Bilder a und b sind zu g parallel?) Offenbar ist es gleichgültig, in welcher Ebene die Gerade au liegt, wenn sie nur zu g parallel ist. Immer gilt: der Zentralriß einer zu g parallelen Geraden verläuft zur Geraden und also zu g parallel.

Fig. 80.

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$iQ. 81.

HJ

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an.

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Ganz anders verhalten sich die zu g senkrechten Geraden. ITIcm betrachte einmal bei einem Bahnübergang die schienen der Eisenbahn. Verfolgt man sie mit den Blicken vorn beginnend, so muß man langsam den Kopf heben. Immer weiter und weiter wandert der Blick, aber denkt man auch die schienen bis in die unendliche Ferne verlängert (jetzt an mathematische Vorstellung anknüpfend, also die Schienen auf einer Ebene und nicht auf der Erdkugel gedacht), der Sehstrahl wird schließlich parallel zu den Schienen liegen. Fig. 81 deutet den Vorgang A₍₎H ist der parallele Sehstrahl, und die Bilder der Schienen scheinen in diesem Punkte H zusammenzulaufen. ITTcm mag dabei nicht gessen, daß der Blick niemals völlig parallel zu s₀ imb ^werden kann; wie denn auch diese Geraden sich niemals in einem Punkte schneiden können, dessen Bild'ja« sein müßte. Aber je weiter man blickt, um so näher kommt das Bild an H heran; wenn man nur weit genug sehen könnte, so würde man Bilder so nahe H, wie man will, erhalten, ohne jemals H ganz zu erreichen. Solch ein Punkt H, in dem sich also die verlängerten Zentralrisse paralleler Geraden schneiden, heißt der Fluchtpunkt der parallelen Geraden. Osfenbar ist H nicht nur der Fluchtpunkt von s₀ und So, sondern auch von jeder andern zu diesen beiden

1) Denkt man nämlich die Ebene A<> aa<, gelegt, so ist ja g zu dieser Ebene parallel, weil g zu einer Geraden der (Ebene parallel ist. Da g also die Ebene überhaupt nicht schneiden kann, so kann sie auch nicht die Gerade a schneiden, die ja ganz in der Ebene liegt. Folglich ist g II a. Ebenso folgt g II b.

parallelen Geraden, gleichgültig ob sie in der Grundebene oder sonstwo im Raum, ob sie oberhalb oder unterhalb A₀H liegt.

8o^und So stehen senkrecht auf g, deshalb ist auch A₀H senkrecht zur Bildebene. In diesem Falle heißt der Fluchtpunkt H derhauptpunkt.

$ig.82.

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h/

Der Hauptpunkt, d. h. der Fuß-punktdesLotes vornRugenpunkt auf die Bildebene, ist also der a /' Fluchtpunkt aller zur Bildebene .z senkrechten Geraden, wenn nun aber die Schienen schräg zur Grund--—7 linie g laufen, so hat matt eben in dieser Z schrägen Richtung zu blicken, wieder ergibt sich, sieheFig. 82, ein Fluchtpunkt F, in dem die Bilber dieser Parallelenschar zusammenlaufen. F erhält man, wenn man durch A₀ eine parallele zu jener Geradenschar legt. Jede Gerade in der Grundebene besitzt also ihren Fluchtpunkt, und alle parallelen, die man durch A₀ legen muß, um diese Fluchtpunkte zu finden, liegen selbst wieder in einer Ebene durch A₀ parallel zur Grundebene. In ihrer Schnittgeraden h liegen all die gesuchten Fluchtpunkte. Wan nennt h die Horizontlinie oder kurz den Horizont. Wan beachte aber wohl, daß es sich nur um die Fluchtpunkte von Geraden handelt, die in der Grundebene selbst liegen, oder doch zur Grundebene parallel laufen.

Besonders einfach findet man den Fluchtpunkt der Diagonalen jener (puadrateinteilung in Zig. 83. Diese bilden mit den Seiten und daher auch mit g Winkel von 45°. In Fig. 82 wäre in diesem Sonderfalle ^ HFA₀= 45°. Da aber A FH A₀ rechtwinklig ist, so mutzte auch 4^ FA₀H = 45° sein; d. h. das Dreieck wäre gleichschenklig und also A₀H = HF. Der ctbftanb A₀H = d des Rugenpunktes von der Bildebene heißt die Distanz. Trägt man von H aus nach rechts und links d ab, so erhält man die beiden Distanzpunkte Dj mtb D₂, das sind die Fluchtpunkte der beiden Richtungen, die gegen die Bildebene unter 45° geneigt find.

Jetzt kann zur Fig. 83 übergegangen werden. Links ist die (Huadrat-teilung gezeichnet, deren Bild entworfen werden soll. Zuerst braucht man die parallelen Geraden g und h — Grundlinie und Horizont. Ihr Rbstand gibt an, wie hoch sich das Rüge des Beschauers über der Grundebene befindet. Danach ist er zu wählen und im waßstab der

ganzen Figur verkleinert abzutragen. H bezieht sich auf die Lage des Ruges vor der Bildebene, kann also frei gewählt werden. Drittens muß der Rugenabstand d bekannt sein (wie man ihn praktisch zu wählen hat, wird später besprochen). Trägt man ihn im rechten Maßstab verkleinert ab,

h.

so daß l-lvi ---d wird, so ist zugleich ein Distanzpunkt gefunden. 3n der Figur ist z.V.Rb-

\\\\

1:100

$ig. 83.

stand (h, g) = 4 cm; HD, = 5 cm, d. h. das Rüge des Beschauers befindet sich 4 m über der Grundebene und 5 m vor der Bildebene, da die Zeichnung im Maßstab 1:100 entworfen wurde.

Die Tjuadratseite derTeilun g ist ‘/₂ m Icmg. Diese Länge trägt man also aus g (in der Verkürzung von 5 mm) hintereinander ab, denn aus g, das ja sowohl in der Grundebene als auch in der Bildebene liegt, bleiben alle Längen unverändert. Die Teilpunkte verbindet man mit H. Dadurch sind die zur Bildebene senkrechten Duadratseiten gefunden. Die anderen (yuadratseiten liegen parallel zu g. Um diese parallelen an der richtigen Stelle zu ziehen, braucht man nur das Bild einer Diagonalen zu zeichnen, indem man einen Teilpunkt mit verbindet. Durch die Lchnittpunkte mit den vertikalen Cjuadratseiten zieht man die parallelen zu g. Damit ist das Tuadratnetz gefunden.

In dieses Tjuadratnetz ist eine beliebige Figur eingezeichnet. Man , kann sie entweder nach Rugenmaß übertragen oder, wenn notig, durch Hilfslinien, die parallel zu den Tuadratfeiten verlaufen, weitere Punkte bestimmen.

Endlich bleibt noch die Frage zu beantworten, wie man die Lenkrechten zur Grundebene zu zeichnen hat. Diese bleiben zwar auch im Zentralriß zu g senkrechte Geraden. Rber wie lang werden sie? Rlso mögen, Fig. 84, auf a₀ in beliebigen Punkten Lote h₀ errichtet sein, die gleich lang sind. SF ist das Bild von a₀. verbindet man die Endpunkte der Lote, so erhält man eine parallele zu a₀ mit dem Lpur-punkt Slr wie auch hier der Lchnittpunkt der Geraden mit der Bildebene genannt wird. Das Bild dieser parallelen ist 3* F, denn die par-

allelen Geraden haben denselben Fluchtpunkt F. Zwischen S F und Sx F liegen die Bilder aller Lote. Kennt man also den Lotfußpunkt, so errichtet man im Zentralriß in ihm das Lot auf g. Der Geil des Lotes zwischen den Geraden SF und S,F ist das Bild der Senkrechten. Htfo bleibt als Kegel: um das Bild des Lotes bg zu zeichnen, legt man durch

5ig.84.

den Fußpunkt eine Gerade a₀ mit dem Spurpunkt S und dem Fluchtpunkt F. In S errichtet man das Lot SS^ h0 auf g und verbindet S und St mit F. Zwischen diesen beiden Geraden liegt der Zentralriß des Lotes, den man senkrecht zu g sofort zeichnen kann, wenn man noch das Bild des Lotfußpunktes, z. V. mit Hilfe des Bildes einer zweiten Geraden b₀ durch den Lotfußpunkt von h₀, kennt.

un-

Die eben gefundenen Ergebnisse mögen verwendet werden, um eine senkrechte Wand, wieder in Fig. 83, mit einem Ouadratnetz zu bedecken. Dazu braucht man nur im entsprechenden Endpunkt auf g das Lot zu errichten, auf diesem wie oben je 5 mm abzutragen und die Eeilpunkte mit H zu verbinden. Dann hat man die Geraden, zwischen denen die Bilder der gleichlangen Lote liegen. Klan errichtet sie in den schon vorhandenen Endpunkten der Grundteilung. Bis Beispiel ist ein Körper gezeichnet, den man sich etwa als rohe Skizze eines Ofens denken mag. Links ist ein Ouadratmit 1 m Seitenlange schraffiert worden, auf dem der Ofen sich erheben soll. Kechts sucht man das entsprechende Ouadrat auf und errichtet in dessen Eckpunkten Lote. Der Ofen sei 2 m hoch; bann kannman an derlVandfläche die höhe sogleich ablesen. Die übrigen Kanten wird ein jeder selbst einzeichnen können, denn ein selbständiges Nachzeichnen der wichtigsten Figuren ist zum vollen Verständnis bedingt erforderlich.

man

Klan mache sich einmal deutlich klar, wie gleichlange Strecken um so kleiner im Bilde sind, je weiter sie vom Beschauer entfernt liegen. Das gilt sowohl für horizontale als auch für vertikale, also auch für beliebig schräge Strecken. Bekannt genug ist ja diese Erscheinung: denke nur daran, wie ein heranbrausender Eisenbahnzug größer und größer zu werden scheint. Beim Einzeichnen von Gegenständen in eine Landschaft hat man z. B. wohl auf die Größenverhältnisse zu achten. Da mögen sich in einem ebenen Gelände zwei Menschen gleicher Größe

vO

bO

in verschiedenen (Entfernungen auf betn Bilde befinden. Verbindet man deren Füße und Scheitel durch je eine Gerade miteinander, so müssen sich diese beiden Geraden im Horizont schneiden.

Noch eine Erweiterung soll hinzugefügt werden: die Seiten des Vua-dratnetzes lagen zu g parallel und senkrecht; jetzt sollen sie eine beliebige schiefe Lage haben wie in Zig. 86. Die Bilder von a₀ und b₀ sind halb gefunden. Ulan klappt den Augenpunkt A₀ in die Bildebene herunter nach A und zieht durch A parallelen zu a₀ und b₀, die h in den Fluchtpunkten Ft und F₂ von a₀ und b₀ schneiden. Ist /

nun P das Bild des Punktes P₀,    -

so hat man nur noch PFX und PF₂ zu ziehen. Jetzt aber kommt es darauf an, die (tzuadratteilung in richtiger weise zu übertragen. Dazu bedarf es einer Zwischenbemerkung über den sogenannten Eeilungs-punkt einer Geraden.

Daist in Fig. 85 eine Gerade 1₀ gezeichnet mit ihrem Bilde 1. Ruf lgwerde die Strecke a = P₀ Qo abgetragen. Das Bild von a wird gesucht. Dazu mache man P₀R₀ = a — man trägt also die Strecke a auf g ab, wo sie ja auch im Bilde ihre wahre Länge behält — und zeichnet das Bild Q₀R₀, indem man A₀T//Q₀RÜ zieht und R₀ mit T verbindet. Jetzt beachte man, daß A P₀Q₀R₀ gleichschenklig ist. Folglich ist ebenso A A₀FT gleichschenklig und AUF = FT. Der so gefundene Punkt T heißt der Eeilungspunkt von 1.

Zurück zu Fig. 86. Es gilt jetzt, die Eeilungspunkte der Geraden PF* und PF₂ einzutragen, d. h. man macht F₂T₂ = F₂A und F1 =F₁ A, dann sind Tt und T₂ die gesuchten Eeilungspunkte. weiter trägt man von P aus auf g nach beiden Seiten die wahre Länge der (Quadrat-seite (also hier 5 mm beim Maßstab 1:100) ab. Die Eeilpunkte verbindet man mit Tx bzw. T₉; dadurch wird die Teilung auf a und b perspektivisch übertragen. Zum Schluß müssen noch die Eeilpunkte von a und b mit den Fluchtpunkten F^ und F₂ verbunden werden, um das (Huadratnetz zu erhalten. Um auch die Übertragung in der hohe zu zeigen, ist eine sieben Meter hohe Säule eingezeichnet. Zuerst errichtet in P auf g das Lot, auf dem die Meterteilung in wahrer Größe (mit Berücksichtigung des Maßstabes 1:100) abgetragen wird. Diese

$tg.85.

Fy

Z ta

H/f

^A₀

i/a

von

man

Teilung überträgt man z. B. zunächst auf die Lote in den einzelnen Punkten von a und von da aus auf die Säulenkanten. Oie Einzelheiten wird man beim Nachzeichnen leicht selbst finden oder aus der Fig. 86 erkennen kön-

1:100

X⁷

Fa

//

X.

nen.

a₀

b) Das zweite Verfahren benutzt Grund-

X7⁷

A

$x g.86.

und Kufriß des Gegenstandes, ohne daß Maße bekannt zu sein brauchen.

In Fig. 87 ist eine Gerade an in der Grundebene gezeichnet. A₀ ist der Augenpunkt und A₀F//a₀ liefert den Fluchtpunkt F der Geraden.

Po

-g

9-

-9

aß

Zig.88.

Zig. 87.

Oie Grundlinie g möge von a₀ in S, dem Spurpunkt der Geraden, geschnitten werden, dann ist a = SF der Zentralriß der Geraden a₀. H ist noch der Hauptpunkt und h // g der Horizont. Oie Grundebene benutzt man von jetzt ab als Grundrißebene. Um alles in einer Ebene zeichnen zu können, klappt man, wie die Pfeile andeuten, die Grundebene und den Augenpunkt in die vertikale Ebene hinein und zeichnet in dieser vertikalen Ebene. Fig.88 zeigt das Bild, das dabei entstehen würde. Zuerst sind Zeichenebene, Grundebene und Augenpunkt durch g,

h und A gegeben. Die zu zeichnende Gerade ist ebenfalls eindeutig durch den herumgeklappten Grundriß a₀ bestimmt. Also zieht man nur A F//a₀, den Fluchtpunkt zu erhalten, und verbindet F mit dem Schnittpunkt S von a₀ und g. Man erkennt aber, Di wie störend es ist, daß der Grundriß Ä_X< in den Zentralriß hineinfällt. Nun braucht man vom Grundriß ja nur die Richtung der Geraden und den Spurpunkt 8. Beides behält man bei, wenn man den Grundriß einfach ein beliebiges Stück parallel nach unten verschiebt, wie in Fig. 8 8 rechts, heißt dann die verschobene Grundlinie g', so kommt nur hinzu, daß man den Schnittpunkt S von a₀ und g' auf g heraufloten muß. um S zu erhalten. Sonst bleibt alles ungeändert. Zur ersten Einübung sehr nützliche Aufgaben sind die Zeichnungen von Fußböden mit Parkett- oder Steinfliesen. 3n Fig. 89 ist ein solcher dargestellt. Wesentlich Neues kommt nicht hinzu, so daß sich ein jeder unter den gezeichneten Hilfslinien zurechtfinden wird.

weiter ist in Fig. 90 schematisch der Zentralriß eines Hauses gezeichnet. Um ein einfaches leicht zu übersehendes Beispiel zu haben, sind alle Einzelheiten fortgelassen. Diesmal sind alle höhen durch den

um

<7:

s-

7!

-X

V'"

/mix:.

wm

5ig-89.

Vz

BB

— V.

Ap.- —

!/'

;\

Zig 90.

Aufriß gegeben. Ls ist angedeutet, wie diese höhen nach rechts übertragen werden, um dann genau wie oben weiterzeichnen zu können. Bemerkt sei, daß nur einige Hilfslinien mit eingezeichnet sind.

wollte man jetzt das Bild eines wirklichen Hauses aufzeichnen, so bliebe immer noch die Frage nach dem Maßstab zu beantworten. AIs Abschluß für diese Nummer soll nun noch dieser praktisch wichtige Punkt

'S*.

'S

Ft

-b-L

9r

8/ n

Z^MZ;

vK

zV« ! >„Z Z* X Z *A'

-9l

Zc

o,

25 m

'S o, %

>'i

Zig. 91.

erledigt werden. In Fig. 91 sind in einer Skizze die wirklichen Maße eines kleinen Häuschens eingezeichnet. Man betrachtet es ß.B. von einem Punkte, der 25 m entfernt und 4 m über dem Grundriß des Hauses liegt. Für das menschliche Auge ist die günstigste Entfernung zur Betrachtung eines kleinen Zeichenblattes 25 cm.¹) stlfo hat man zur Zeichnung die Entfernung von 25 m auf 25 cm zu verkleinern, d. h. man zeichnet im Maßstab 1:100. In Klammern sind danach die Maße der Zeichnung beigefügt.

Aber noch eine weitere Schwierigkeit kann entstehen, häufig wird das Zeichenblatt zu klein sein, als daß der Augenpunkt und alle nötigen Fluchtpunkte wirklich noch auf ihm liegen. Das Bild soll trotzdem entsprechend der oben gefundenen verkleinerten Große gezeichnet werden. Man hilft sich, wie in der Fig. 91 angedeutet. Man wählt einen neuen Augenpunkt A\ so daß z. B. A'H ----- yd wird. Ebenso legt man eine neue Grundlinie g' im Abstande \ (g, h). In derselben weise ist alles auf die Hälfte zu verkürzen. Also zunächst wird ein neuer Grundriß gezeichnet in halber Größe, aber auch um die Hälfte an A'H herangerückt. Ebenso wird g/ als neue Hilfsgrundlinie in die Mitte zwischen gi und g gelegt. So findet man die Spurpunkte S₀\ R₀\ Po\ die man auf g' herauflotet. Mit Hilfe von S', R', Pf konstruiert man einen verkleinerten Zentralriß vom Grundriß des Hauses. Die Fluchtpunkte?/, F₂' zu diesem liegen offenbar im halben Abstand zu H verglichen mit den wahren Fluchtpunkten Ft und F₂ der hauskanten.

1) Bet größeren Bildern gilt dis Kegel, daß man die Distanz 1V₂ bis 2 mal so groß wählt, als die größere Seite des rechtwinkligen Bildes ist.

weiter geht man von den wirklichen Spurpunkten S₀, R₀, P₀ aus, die man auf g herauflotet. Durch S, P, R zieht man parallelen zu S'F/, Pf F/f ?' F/ und R'F₂'. Dadurch erhält man den wirklichen Zentralriß vom Grundriß des Hauses. F₁ ist zur Kontrolle mitgezeichnet,-es muh f₁H = 2F/H sein. (Man kann auch benutzen, daß z. B. H S' S, HP'P usw. gerade Linien sind )

Aber auch die vertikale hauskante in P₀ erhält man in ähnlicher Weife. Man trägt wie früher in Pf die halbe höhe des Hauses PV, die man dem Aufriß entnimmt, ab, hier 2,5 m, x' wird mit F₂' verbunden und durch x, wo Px = 5 m ist, die parallele zu F₂'x' gezogen (H x' x ist ebenfalls eine Gerade). Die Bildkonstruktion wird ziemlich umständlich, dafür der Zentralriß um so naturgetreuer. Doch man muß selbst zeichnen und selbst üben, um einen klaren Einblick in alles Besprochene zu bekommen.

Erwähnt sei noch, daß es verschiedene Apparate zum perspektivischen Zeichnen gibt. Der beste ist wohl der Perspektograph von hauck, der aus Grund- und Aufriß den Zentralriß zeichnet. Seme Theorie erfordert tiefere mathematische Kenntnisse.

8. Die Zentral-tlollineation. Die Ausführungen der Nr. 6 sollen hier noch eine kurze Ergänzung erhalten, wenn man — anders als vorher — die Grundebene und den Augenpunkt herumklappt, wie in der Nebenskizze angedeutet, so erhält man Fig.92. Darin erkennt man

kA

El

L_i

unmittelbar die folgenden Sätze, die zwischen dem herumgeklappten Grundriß und dem Zentralriß eine geometrische Verwandtschaft herstellen.

(P

/    (s, >).

Einer geraden Linie (s₀,l₀) entspricht ebenfalls eine gerade Linie

/.

lo

Fig 92.

«A /

Dem Schnittpunkt (P₀) zw eierGeraden(8.i,1o) entspricht der Schnittpunkt (?) der beiden zugeordneten Geraden (s,l).

Entsprechende Gera-

den(8 unbs₀, lundlg)schneiden sich auf einer festen geraden Linie (g), welche die Achse der KoIIineation genannt wird.

Entsprechende Punkte (P, P₀) liegen auf geraden Linien, die durch einen festenpunkt (A) gehen, welcher das Zentrum der KoIIineation genannt wird.

man

Diese Verwandtschaft heißt eine Zentral-Kollineation?) Kennt eine Reihe von Lehrsätzen über die Verwandtschaft, so kann man direkt danach konstruierend zahlreiche Aufgaben lösen, ohne die Anschauung weiter zu Hilfe zu nehmen. Nicht nur besonders schwierige Aufgaben werden dadurch lösbar, auch beileichten erzielt man oft wesentliche Vereinfachungen. Soll z. B. der Punkt x₀ auf s„ abgebildet werden, so braucht man nurxg mit A zu verbinden. Der Schnittpunkt von A xg mit 8 ist der gesuchte Punkt x. Natürlich handelt es sich hier nur um kurze Andeutungen. Um Nutzen daraus zu ziehen, ist ein weiteres Studium der projektiven Geometrie (auch synthetische Geometrie genannt) nötig, in der die erwähnten Lehrsätze abgeleitet werden?)

9. Die Photogrammetrie. Es wurde schon oben erwähnt, daß die photographischen Bilder Zentralrisse der Gegenstände sind. 3n der Tat ist der Mittelpunkt der Linse das Zentrum der Perspektive bzw. der Augenpunkt und die photographische Platte die Bildebene. Allerdings liegt zunächst die Bildebene nicht wie früher zwischen Augenpunkt und Gegenstand. Aber natürlich kann man die fertige Platte immer genau so weit vor dem Auge denken, wie sie vorher hinter dem Linsenmittelpunkt stand, und in genau symmetrischer Lage zum Mittelpunkt. Dann aber ist das Bild wie oben der Zentralriß des photographierten Gegenstandes. Diese Lage soll im folgenden stets angenommen werden.

Die Aufgabe der Photogrammetrie besteht darin, aus einer photographischen Aufnahme oder mehreren (oder auch aus sonstigen perspektivischen Bildern, also Gemälden und dgl.) Grund- und Aufriß eines Gegenstandes zu ermitteln oder eine kotierte Projektion herzustellen. Zuerst sei nur ein Zentralriß gegeben. Soll aus ihm der ur-

1)    Die perspektivische Affinität ist hiervon ein Spezialfall, bei welchem öas Zentrum im Unendlichen liegt, so dah entsprechende Punkte auf parallelen Geraden liegen. Anderseits liegt bei der Ähnlichkeit bei perspektwtlcher Lage die Achse im Unendlichen, und folglich werden entsprechende Geraden parallel.

2)    Verwiesen sei 3.B. auf das kleine Bild): ITT Zacharias, Einführung in die projektive Geomeirie (Teubners mathematische Bibliothek Bd. 6), Leipzig 1916. Die Anwendungen der Lehrsätze findet man in den Büchern über die darstellende Geometrie.

sprüngliche Gegenstand wiederhergestellt werden, so müssen gewisse Beziehungen im Bilde bekannt sein, also etwa die wahre geometrische Gestalt von Figuren oder die wahren Abstände einiger Punkte usw. In einigen Beispielen soll die Hufgabe gelöst werden, ohne aber damit alle Lösungsmöglichkeiten darstellen zu wollen.

MM

a) Man denke etwa an eine photographische Hufnahme eines Ge-bäudes, die von einem Reisenden ausgenommen wurde und nun in der Heimat verarbeitet werden soll. Die Aufgabe zerfällt in zwei Teile: zuerst müssen Augenpunkt, Hauptpunkt und Horizont gesundenwerden; / dann erst folgen Grund- und Aufriß. /

Dieser zweite Teil wird erst zum pJ Schluß besprochen werden.    \ :

$ig. 93.

Leicht kommt man zum Ziel, wenn im Bilde irgendein (Quabmt dargestellt ist, z. V. ein Turm mit quadratischem (Querschnitt. In Fig. 93 sei PQRS das Bild eines Quadrates.

Do die Gegenseiten eines (Quadrates parallele Geraden sind, so schneiden sich im Bilde PQ mit RS unb PS mit QR in zwei Fluchtpunkten Ft und F₂, die aus dem Horizont h liegen. Also ist h gefunden, wenn man Ft mit F₂ verbindet. Im wahren (ßuaörat P₀Q₀R₀S„ ist z.B. der Winkel bei P₀ ein Rechter; das ist jetzt zu benutzen, wie früher gezeigt, erhält man im Raum die Fluchtpunkte, wenn man durch den räumlichen Augenpunkt Ao parallelen zu den wahren Geraden zieht. Also hat man durch den noch unbekannten Punkt A„ die Geraden AoFj und A₀F₂ zu ziehen. Da diese aber parallel zu Tsuadratseiten sind, so müssen sie einen rechten Winkel bei A₀ einschließen. Dasselbe gilt nach der Umklappung vom Winkel F, AF». Rach einem bekannten Satze der Geometrie liegen aber die Scheitelpunkte aller rechten Winkel, deren Schenkel durch Ft und F. gehen, auf einem Kreise, dessen Durchmesser F₁F₂ ist. Zeichnet man diesen Kreis, so muß aus ihm A liegen. Aber an welcher Stelle? Run, noch ist ja nicht benutzt, daß PQRS ein Cjuadrat darstellt. Im Quabrat stehen die Diagonalen auseinander senkrecht. Folglich ist auch der von PR und SQ eingeschlossene Winkel das Bild eines Rechten. Daher muß, genau wie vorher, A auf einem Kreise liegen mit dem Durchmesser G, G₂, wenn diese Punkte die Fluchtpunkte von PR und QS sind. Die Kreise schnei-

den sich in zwei Punkten, die aber symmetrisch zu h liegen. Je nachdem man nach oben oder unten herumklappt, wählt man einen davon als Augenpunkt A. Der Hauptpunkt H ist der Lotfußpunkt der Senkrechten von A aus h.

Anmerkung. Oie Konstruktion kann einfacher, wie folgt, durchgeführt werden. Das ist wichtig, weil selten alle Fluchtpunkte zugänglich sein werden.

Ei

\Fi_

fii

R,

XA

S'

5ig. 94.

5tg. 95.

In Fig. 94 sei A bereits gefunden; AFX und AF₂ sind also die Richtungen der (yuadratseiten. Nun halbieren die Diagonalen im (yuadrat die Viereckswinkel. Zieht man daher AG, wie oben, so ist <£ F, AGt = <£ F₂ AG,, verlängert man A G, bis M, so werden M A F₁ und M A F₂ zwei gleiche Umfangswinkel, und folglich find nach bekannten geometrischen Sätzen die Bögen M F, und MF₂ einander gleich Danach findet man in Fig 95 den Punkt A jetzt so. daß man wie früher über F₂ als Durchmesser den Kreis beschreibt, die Gerade PRG, zieht, dann aber öh mit dem Mittelpunkt Al des Halbkreises verbindet, verlängert man MG₁, so schneidet diese Gerade den Kreis zum zweiten Mal im gesuchten Punkt A.

tu

$tg 96.

b) Jetzt sei zwar kein Cjuadrat abgebildet, wohl aber ein Rechteck. Das würde allein nicht genügen; deshalb habe der Photograph die Zeiten des Rechtecks abgeschritten und das Längenverhältnis 1:5 festgestellt. Also sei in Fig. 96 das Verhältnis der wahren Längen S₀P₀:PoQ =1:5, wenn eben PQRS das Bild jenes Rechtecks ist. DieLösung der Rufgabe sucht man Fj so, daß man sich ein (Huadrat her-stellt, indem man PuQ₍₎in 5 gleiche Stücke geteilt denkt. Diese Teilung kann sofort an PQ selbst vorgenommen werden. Man teilt ge-

nau wie in Zig. 4: nur hat man zu bedenken, daß die parallelen durch eine Schar von Geraden mit gemeinsamem Fluchtpunkt zu ersetzen sind. Nachdem also h mit Hilfe von F, und F₂ gefunden ist, zieht man irgendeine parallele g' zu h. stuf dem Btibe dieser Geraden bleiben gleiche Strecken einander gleich, wo sie auch sonst liegen mögen. Man nimmt deshalb das Bild g irgendwo parallel zu h an (am bequemsten, aber weniger übersichtlich durch P hindurchgehend). Man wählt einen Anfangspunkt x, verbindet ihn mit P und findet dadurch den Fluchtpunkt J. J verbindet man weiter mit Q und verlängert bis z. Die Strecke xz teilt man in fünf gleiche Stücke s. Zieht man endlich noch jy, so ist u₀P„=S₀Po, also SPuv das Bild eines Quadrates, mit dem man weiter konstruiert wie oben.

c)    Bei photographischen Aufnahmen wird in den meisten Fällen die Länge der Strecke AH, also die Distanz bekannt sein, da sie gleich der sogenannten Brennweite des Apparates ist, wenn die Aufnahme wie fast immer aus größerer Entfernung hergestellt ist. In diesem Falle braucht man nur den Halbkreis über Fx F₂ zu kennen, also das Bild eines Rechtecks. In diesem Halbkreis hat man einen Punkt einzuzeichnen, der den gegebenen Abstand AH=d von h hat. (Es gibt zwar zweisolcherpunkte; man wird aber leicht feststellen können, von welchem dieser Punkte aus das Bild allein ausgenommen sein kann.

d)    Nun bleibt noch die Aufgabe: Grund- und Aufriß zu konstruieren. Aber da genügen wenige Morte. Die Konstruktion, die z. B. zur Fig 90 geführt hatte, braucht man nur rückwärts durchzuführen, um zum Zentralriß umgekehrt Grund- und Aufriß zu finden. Und ebenso in jedem andern Falle. Die Grundlinie g kann man dabei zunächst beliebig annehmen. Allerdings weiß man so noch nichts über die wahre Größe des Hauses. Kennt man aber nur die wahre Länge irgendeiner Strecke (man photographiert eine Uleßlatte mit, bestimmt eine Länge durch Abmessen oder photographiert wenigstens eine Person mit. deren Größe bekannt ist), so kann man daraus denverkleinerungsmaßstabberechnen, indemGrundmndAufrißgezeichnetsind. (Übrigens kann man leicht, die Zentralkollineation benutzend, eine Länge im Grundriß in vorgeschriebenem Ulaße zeichnen und daraus die Lage von g ermitteln).

e)    wesentlich schwieriger liegen die Verhältnisse, wenn es sich um Flieger- oder Ballonaufnahmen und bergt, handelt. Einige Andeutungen über die Auswertungen solcher mögen genügen, vom Apparat weiß man, welche Brennweite er besitzt, und welche Neigungen er bei der Aufnahme zur Erdoberfläche hatte. Die Winkelmessungen sind durch geeignete Vorrichtungen ermöglicht. Eine Aufnahme von einem völlig unbekannten Gelände läßt sich allein nicht weiter verwerten. (Es muß von mindestens drei Punkten der Platte bekannt sein, zu welchen Punkten der geographischen Karte sie gehören. Dann aber ist es in der Tat möglich, konstruktiv zu ermitteln von jedem beliebigen Punkt des photographischen Bildes, zu welchem Punkte der Karte er gehört. Entdeckt man also z. B. auf der Platte eine feindliche Batterie, so kann man durch Zeichnung auch ihre Lage auf der Karte und damit im Raume finden.

Gewöhnlich zieht man es vor, eine neue Photographie im Maß-stabe der vorliegenden Karte herzustellen. Das macht man im wesentlichen so, daß man die Platte zu der neuen Bildfläche in genau dieselbe Lage bringt, die sie bei der Aufnahme zur Erdoberfläche hatte. Es gelingt mit Hilfe der oben erwähnten bekannten Winkel und der drei bekannten Punktepaare. In dieser Stellung wirft man ein Bild der Platte auf die wand, photographiert es und tarn nun unmittelbar die Karte mit dem neuen Bilde vergleichen, vereinfacht wird die Rufgabe, wenn die höhe de; Rpparats über der Erdoberfläche bei der Rufnahme bekannt ist. hierfür genügt in den meisten Fällen eine barometrische Höhenmessung. Dann kann man direkt mit Hilfe geeigneter Projektionsapparate ein Bild des Geländes in vorgeschriebener Kartenverkleinerung Herstellen.

f) Mathematisch viel einfacher ist es, statt nur eine zwei photographische Rufnahmen, die an verschiedenen Stellen aufgenommen sind, zu benutzen. Es muß auch hier genügen, den einfachsten Fall zu besprechen?) Irgendeine horizontale Strecke, die Standlinie a wird genau ausgemessen. Rn den Endpunkten dieser Strecke werden zwei gleichartige photographische Apparate aufgestellt und so ausgerichtet, daß ihre Platten in einer Ebene liegen, die noch senkrecht zum Erdboden stehen möge, von einem beliebigen Punkte P erhält man auf diese weise zwei Bildpunkte Pt und P₂. Diesmal kennt man, nicht nur die Brennweite der Apparate; es find im Apparat Marken angebracht, die mitabgebildet werden, deren Verbindungslinien sofort Horizont und Hauptpunkt liefern. In Fig. 97 ist schematisch angedeutet,

1) Eingehendere Behandlung z.V. bei Lüscher, Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie (RNuG Vd. 610).

$ig.97.

wie eine solche Platte aussieht. Die Verbindungslinien der Marken benutzt man als Achsen und mißt die Lage der Punkte Px und ?2 aus, indem man die Koordinaten x,, und xz, y₂ ermittelt, wie schon früher angedeutet, denkt man wieder die Platten vor die Linse symmetrisch zum Linsenmittelpunkt gestellt; dann gibt Fig. 98 die gesamte Versuchsanordnung von oben gesehen. Gegeben sind jetzt: Standlinie a, Brennweite k, Koordinaten von P, und Pä. Gesucht ist die Entfernung e, außerdem x' oder x". Aus der Figur liest man sofort ab:

, wenn man beachtet, daß ja x₂ nach

ex₂

(1) x' = ^, x" =

links liegt, also negativ ist. ,    .

(2)

x' + x"=a = e^Vi)-af ¹

Xi-x₂

4-

uS-

i?

e -----

Zuerst ist (2), bann (1) zu berechnen.

Die höhe y über dem Boden ist offenbar

(3)    y = yiT = y₂T*

Angenommen ist, daß die Apparate gleich hoch -j?j- ^ stehen, daß also y,=y₂ ist. Sonst müßte man noch    a

den Höhenunterschied berücksichtigen.    5i9‘98e

r    g) Besonders geeignet ist die Ausmessung der Platten

i    auf stereoskopischem Wege mit Hilfe des Stereokom

parators. Einige Bemerkungen müssen hier eingeschaltet werden. In Fig. 99 seien ?₁ und P₂ zwei Platten, die in einem Stereoskop mit den Augen und A₂ betrachtet werden. Links mag genau in der Mitte ein Punkts liegen. Das linke Auge wird diesen Punkt immer in Richtung Ax Li sehen. Rechts möge sich ein genau gleichartiger Punkt x₂ befinden. Läge er auch genau in der ^ \ I Mitte, so würde das rechte Auge den Punkt immer in Richtung a₂ L₂ erblicken. Der Punkt erscheint aber im ¹ i ²^lOcm Rciunte dort, wo sich beide Strahlen Ax L± und A₂ L2 f j \    schneiden. Also würde hier das Bild des Punktes ja erst

Aj6f4A:    im Unendlichen liegen. Nun läßt sich die rechte Marke x₂

5tg. 99. mit einer Schraubenvorrichtung nach links verschieben. L₂'

3.B. schneidet^, folglich würde jetzt das Auge das Bild der Marke in R sehen. Ieweiterman x₂nad) links verschiebt, um so näher scheint R heranzurücken. Die Entfernung e, die R besitzt, kann man leicht berechnen, wenn man weiß, wie weit x₂ nach links verschoben wurde. Diese Entfernung a kann man an der Schraube ablesen. Der eingestellte Augen-abstand fei Al A₂ = 64 mm und der Plattenabstand vom Auge 10 cm. Dann ist e:6,4=10:a, also e=64 a.

Eine solche Einrichtung besitzt der Stereokomparator zur Ausmessung der zwei photographischen Ausnahmen. Man legt die Platten wie bei einem Stereoskop ein, indem man sie zunächst genau ausrichtet, so daß die Hauptpunkte einander entsprechen. Dazu bringt man eine Marke obiger Art mit den Hauptpunkten zum Zusammenfallen. Weiter mißt man indem man die Marke links verschiebt, bis sie mit zusammenfällt und dann die Verschiebung abliest. Jetzt erst betrachtet man den Punkt P stereoskopisch mit beiden Augen. Er scheint im Raunte zu schweben. Links war die Marke auf Px fest eingestellt. Rechts könnte man sie so lange verschieben, bis ihr stereoskopisches Bild mit dem Bilde des Punktes P zusammenfällt. Dann aber weiß man, daß P genau denselben Abstand besitzt, wie die Marke, deren Abstand ja aber abgelesen werden kann. Tatsächlich macht man es umgekehrt, indem man die Marke fest im Unendlichen stehen läßt, aber die rechte Platte verschiebt, bis das Bild des auszumessenden Punktes mit der Marke zusammenfällt. Auch so mißt man xt — x₂ und berechnet die gesuchte Entfernung e nach (2).

man

Anmerkung Die Messungen würden für die meisten Zwecke nicht genau genug, wenn man wirklich nur mit dem gewöhnlichen Augenaostand die Platten betrachtete. Durch Einschaltung von Prismen vergrößert man künstlich diesen Abstand. Es sei noch erwähnt, daß der stereoskopische Entfernungsmesser genau nach dem obigen Prinzip gebaut wird. Er enthält in wachsender Entfernung eine Reihe von Marken angebracht, an die zur Bequemlichkeit sogleich tue Entfernungen angeschrieben sind. Da die Landschaft selbst betrachtet, also jeden Punkt an beliebiger Stelle des Entfernungsmessers erscheinen lassen kann, so können die Marken fest sein. Die neueren Entfernungsmesser sind nach einem ganz anderen Prinzip konstruiert.

Der Vorteil der stereoskopischen Ablesung beruht vor allem darauf, daß man beim körperlichen Sehen tatsächlich genau denselben räumlichen Punkt auf beiden Platten betrachtet und ausmißt, wenn man jede Platte einzeln nachmißt, ist es häufig recht schwierig festzustellen, welche Punkte zusammengehören.

Den neuesten Fortschritt hat man mit dem Stereoautographen erzielt. Durch ihn werden in geeigneter Übertragung die Bewegungen der rechten Platte aufgezeichnet, so daß z. B. die Schichtenlinien von einer Gebirgsaufnahme unmittelbar gezeichnet werden, wenn man in gleicher höhe bleibend den Gebirgsrand mit der Marke umfährt.

Die photographischen Verfahren besitzen für die Vermessungskunde die größten Vorzüge, wenn es sich um gebirgige Gegenden oder sehr weite Länderstrecken handelt, so daß sie weitverbreitete Verwendung finden. Rubere Gebiete, die sich der Photogrammetrie bedienen, sind z. B. die Wetterkunde zur Messung von Wolkenhöhen, die Ballistik zur Bestimmung der Lage von Sprengpunkten usw. Die Bedeutung und Verbreitung der Photogrammetrie nimmt noch ständig zu.

III. Rbschnitt.

Flächenmessung.

Geometrie heißt Erdmessung, wobei im Zinne der Riten zunächst nur an die Oberfläche der Erde gedacht ist. wirklich hat der rein praktische Zweck der Erdmessung die erste Veranlassung zur Rusbildung der Geometrie gegeben.

Die jährlich wiederkehrenden Überschwemmungen des Niltales im alten Rgypten vernichteten häufig die Grenzzeichen, durch welche die Besitzungen voneinander geschieden wurden. Um in jedem neuen Jahre eines jeden Eigentum wieder abstecken zu können, mußte man geometrische Methoden der Feldmessung ersinnen. Die Methoden, deren sich heute die Feldmeßkunst bedient, sind andere geworden; aber das Problem der Flächenmessung hat seine alte Bedeutung nicht verloren. Nur ist heute eine gewaltige Fülle von Rufgaben, die alle Methoden zur Flächenmessung verlangen, hinzugekommen, Rufgaben, die gerade im praktischen Leben auftreten.

\. Über Längen- und zlächenmatze. Zum Nachmessen bedarf man vor allem eines festen Maßstabes. Zuerst verstand man wohl die Zeit zu bestimmen, so daß Tage, Monate und Jahre die ältesten Maße sein dürften Die Rusbildung der weiteren Maßsysteme knüpft an die Zahl 60 an. Dabei hat vielleicht die praktische Frage nach der Festlegung einer bestimmten Richtung eine Nolle gespielt. Es scheint, als sei man vom gleichseitigen Dreieck, das sich ja jederzeit aus drei gleich langen Stöben bequem herstellen läßt, ausgegangen. Die Winkel dieses Dreiecks lassen sich gerade sechsmal um einen Punkt herum zusammenlegen.

Die so auftretende Sechsteilung hätte mit der sicher bereits vorhandenen Zehnerteilung (man denke nur an das beim Zählen bequemste Hilfsmittel: an unsere zehn Finger) zusammen zu einer Bevorzugung der sechzig geführt, so daß die weitere Unterteilung, um zu kleineren 5tücken zu gelangen, in 60 Teile ausgeführt wurde. Die 60 Minuten einer $tuitbe und die 60 Sekunden einer Minute find noch Zeugen jener alten babylonischen Vergangenheit. Gewiß war 60 ehr geschickt gewählt. Man bedenke nur, welche Zahlen alle in 60 teilbar sind!

Auch die ältesten Meßinstrumente dürften zur Zeitbestimmung gedient haben. Man kannte Sonnen-, Wasser- und Sanduhren. Anschließend daran hätte man die bei Gefäßen bestimmter Form verwendete Sandmenge als Gewichts- und die Kernte des Gefäßes als Längeneinheit gewählt. Dieses erste grundlegende Längenmaß war wohl die Elle der Babylonier.

Das Ende des 16. Jahrhunderts brachte einen wichtigen Wechsel: es wurden die Dezimalzahlen erfunden. Mit diesen trat die 10 in ihre uralten Kechte wieder ein an die Stelle der 60. wenn auch sofort darauf hingewiesen wurde, daß gleichwie im Zahlensystem auch im Maßsystem die Teilung in sechs und drei Unterteile, die sich allmählich eingebürgert hatte, durch die Teilung in Zehntel ersetzt werden müsse, so sollten doch noch zwei Jahrhunderte vergehen, ehe jene immer wiederholte Forderung verwirklicht wurde. Erst die so vieles Ulte vernichtende französische Revolution beseitigte am Ende des 18. Jahrhunderts das alte Maßsystem und setzte an seine Stelle als Grundmaß das Meter, damals bestimmt als der zehnmillionste Teil eines Erdquadranten. Nach abermals fast 100 Jahren folgten die meisten übrigen Länder Europas nach, so Deutschland im Jahre 1872. Nur England, die englisch sprechenden Länder und Nußland haben sich bis heute ausgeschlossen ; in jenen ist die Verwendung des Metermaßes wenigstens gesetzlich erlaubt.

Doch die alte Messung des Meters hatte sich nicht als genau richtig erwiesen. Ja, Neumessungen, die vermutlich immer besser würden, müßten jedesmal zu einer neuen Festlegung des Meters führen. Um dem zu entgehen, hat man sich entschlossen, das in Paris aus dem sehr kostbaren und haltbaren Metall Platin hergestellte ursprüngliche Metermaß ein für allemal als maßgebend anzuerkennen. Nach diesem ist für jedes Land ein Normalmaßstab angefertigt worden, der aus einer noch dauerhafteren Legierung von Platin mit Iridium besteht. So lautet denn heute die Rntmort auf die Frage: was ist ein Meter? in Deutschland einfach so:

Ein Meter ist die Länge des von der Normal-Eichungskommission in Berlin aufbewahrten Rormal-Meterstabes.

Wie schon erwähnt, haben sich Beste der alten Teilungen noch in unsere Zeit hinübergerettet.

! i 3 4* b 6 Z 6 9 10 5tg 100.

Mathematisch am fühlbarsten ist die Teilung des Kreises in 360 Grade und die weitere Unterteilung in Minuten und Sekunden?) Es wäre sehr zu wünschen, daß bald diese und auch einige andere Reste verschwinden, vor allem ist aber der Russchlutz der obengenannten Länder bedauerlich.

heute also gilt für uns das Meter, abgekürzt m, mit seinen 10 dm (Dezimetern), 100 cm (Zentimetern) und 1000 mm (Millimetern). Die übrigen Matze werden aus ihm abgeleitet. Zunächst die Flächenmaße. Zu dem Zwecke zeichnet man ein (Quadrat, dessen Seiten je ein Meter lang sind. Diese Fläche heißt ein (yuadratmeter, abgekürzt 1 qm. Teilt man jede Seite des (Quadratmeters in zehn gleiche Rbschnitte und zieht, wie in Fig. 100, parallelen zu den Seiten, so wird das ganze Vuadrat, wovon man sich durch Rbzählen unmittelbar überzeugen kann, in 100 gleiche Teile zerlegt. Die neuen kleinen (Quadrate haben als Seite ein Dezimeter und heißen deshalb (Huadratdezimeter (qdm). RIfo hat ein (Quadratmeter 100 (Huadratdezimeter. Ebenso läßt sich ein (tzuadrat-dezimeter in 100 (Huadratzentimeter (100 qcm) und ein Tuadrat-zentimeter in 100 (tzuadratmillimeter (100 qmm) zerteilen.

Ganz allgemein kann man sagen: zerlegt man jede Vuadratseite in drei Teile und zieht parallelen zu den Seiten, so erhält man 3x3, also 9 neue (Quadrate; zerlegt man in 7 Teile, so erhält man 7x7, also 49 neue (Quadrate usw.

2. Der Begriff der Flächenmessung. Den Inhalt einer beliebigen Fläche ausmessen, heißt angeben, wie viele (Quadrate von der gewählten Einheit in die Fläche hineingelegt werden können.

In Zig. 101 ist irgendeine Fläche auf quadratisch geteiltes Papier

1) Die Zeichen für Grade °, Minuten' und Sekunden " fmd nichts anderes als 0, l und II; sie bedeuten bas O.te, das I.te und das II.te Sechzigstel Man schritt eben immer um den sechzigsten Teil fort, die Zahlen einfach nebeneinander schreibend, genau wie heule bei den Dezimalzahlen die folgende Zahl die Zehntel der vorhergehenden bedeutet.

flllu® 526: Neuendorff, prakt. Mathematik II

Vv

gezeichnet. Zählt man nach, wie viele Quadrate in der Fläche liegen, und nimmt dabei die zum größeren Teile bedeckten Vuadrate ganz, die zum kleineren Teile bedeckten dagegen gar nicht mit, so wird man in guter Annäherung den Inhalt der Fläche erhalten. Die schraffierten (Quadrate ergeben zusammen 77 qcm, wenn in der nicht verkleinerten Zeichnung die Vuadratseite I cm lang war.

Zig 101.

mer nur

aus-

vollständig ließ sich aber die Fläche nicht mit (Quadraten bedecken; ja, bas gelingt genau nur in wenigen Fällen. Bet manchen geometrischen Figuren läßt sich wenigstens noch mit Zirkel und Lineal die Verwandlung ausführen in solche, die genau mit (Quadraten bedeckt werden können. In allen diesen Fällen sagt man: die Quadratur, d. h. also das Bedecken mit Quadraten der Figur selbst oder einer genau gleich großen, aber wirklich gezeichneten, ist ausführbar. Meist muß man sich mit Annäherungen begnügen. Cs sei aber ausdrücklich schon hier bemerkt, daß die ganze Frage praktisch ohne Bedeutung ist. Denn einerseits ist eine wirkliche Ausmessung im-mit gewisser Annäherung ausführbar; anderseits gibt es für jede irgendwie begrenzte Figur immer Mittel und Wege, um ihre Fläche, so genau es die Praxis verlangt, zu ermitteln.

xjf£

r“-

7 mm parallelen zieht, wie oben gezeigt wurde, ist dann das Flächenmaß ^ x 7 qmm. Da man sich

5. Die geradlinig begrenzten Flächen, wenn die Quadratur führbar ist, so pflegt die rechnerische Ermittlung des Flächeninhalts verhältnismäßig recht einfach zu sein. In Fig. 102 ist ein Rechteck gezeichnet. Hat man auf der einen Seite 9 cm, auf der anderen 12 cm gemessen, so kann man genau, wie oben beim Quadrat, das Rechteck in 9 x 12 = 108 Tuadratzentimeter zerlegen. Also ist der Inhalt des Rechtecks 108 qcm. Meist wird freilich die Messung der Seiten nicht so einfache Ergebnisse liefern, wie oben. Auf der genauesten Zeichnung kann man mit bloßem Auge noch ^ mm ablesen. Ist das Rechteck der Fig. 103 so genau gezeichnet gewesen, so wird man ablesen können 9,76 cm und 12,59 cm. Jetzt bedeckt man die Fläche mit Quadraten, indem man nach jedem

Zig. 102.

976 x 1259 (Quadrate gezeichnet denkt, so ist der Flächeninhalt

69'?,I

976 x 1259 x^x ~ qmm oder 97,6 x 125,9 qmm oder auch 9,76 x 12,59 qcm.

9,76

9,75 x 12,58 qcm 9,77 x 12,60 qcm

Rechnet man nach dem gewöhnlichen Multiplikationsverfahren den Flächeninhalt genau aus, so gibt man viel zu genaue Ergebnisse an. Nach der Messung weiß man doch nur, daß die Grundseite z. B. sicher größer als 9,75 cm und kleiner als 9,77 cm ist. Entsprechend ist die andere Seite sicher größer als 12,58 cm und kleiner als 12,60 cm. Danach läßt sich über den ganzen Inhalt nur sagen, daß er sicher größer als und kleiner als

ist. D. h. es kann ein schmaler Streifen, wie in Fig. 103 angedeutet, sowohl hinzukommen als auch zuviel gemessen sein. Im 2.Kbschnitt des 1. Bandes ist gezeigt worden, wie sachgemäß zu rechnen ist.

Zusammenfassend ergibt sich: den Inhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Maßzahlen der Seiten miteinander multipliziert. Die Benennung ist gleich der Csuadrateinheit, die der gewählten Längeneinheit entspricht.

In allgemeinen algebraischen Formeln hat man zu schreiben J = a • b,

wenn a und b die Maßzahlen der Seiten, beide in derselben Längeneinheit gemessen, bedeuten.

$ig.i04.

Unmittelbar wie das Rechteck läßt sich das Parallelogramm, ein Viereck mit parallelen Gegenseiten, berechnen. Fig. 104 zeigt, wie man aus dem Parallelogramm ein Rechteck macht, indem man das Dreieck 1 Unis abschneidet und dafür rechts als Dreieck 2 wieder anlegt. Die Grundlinien des Rechtecks und des Parallelogramms sind gleich lang; dagegen führt die zweite Rechtecksseite im Parallelogramm den Namen k)öhe. Danach erhält man den Inhalt des Parallelogramms, wenn man die Maßzahlen von Grundlinie und

höhe miteinander multipliziert. HIfo ist J -----g - h, wenn g die Maßzahl der Grundlinie und h die der höhe bedeuten.

Zig 105.

IFv

welche Seite aber soll man denn Grundlinie nennen? hält man das Buch senkrecht vor sich, so ist nach dem gewöhnlichen Sprach-gebrauch in Fig. 105 die Seite gl = 8,6 cm die Grundseite, denn sie befindet sich eben unten. Dreht man dagegen das Buch seitlich herum, so kann man erreichen, daß sich jetzt g₂ = 15,2 cm unten befindet, also als Grundlinie zu bezeichnen ist. Mit anderen Worten kann man jede Seite als Grundlinie wählen, muß dann aber, um den Inhalt zu erhalten, mit der Maßzahl der zugehörigen höhe multiplizieren. In der Fig. 105 ist deshalb der Inhalt des Parallelogramms

J = 8,6 x 14,0 --- 15,2 x 7,9 = 120 qcm. In Formeln ausgedrückt:

J = gi • h! = g₂ • h₂.

Wieder ist angenommen, daß ein Zentimeter die Maßeinheit der ursprünglichen Figur war. In einem anderen Falle könnte auch ein Dezimeter oder ein Meter usw. gewählt sein. Nur, und das ist sehr wichtig, alle Längen müssen mit demselben Einheitsmaße gemessen werden. Sonst würde man ja bei der Zerlegung auch gar nicht (yuadrate bekommen. Man darf also niemals eine Seite gemessen in Dezimetern und die andere gemessen in Millimetern miteinander multiplizieren, wie sollte da wohl auch die Benennung lauten?

Die Berechnung von Rechteck, Parallelogramm usw. kann noch in ganz anderer weise betrachtet werden. Ein Rechteck denkt man so entstanden, daß die Grundlinie in Fig. 102 von 9 cm parallel mit sich um 12 cm senkrecht nach oben geschoben wird. Die überstrichene Fläche ist dann offenbar gleich der Länge der erzeugenden Geraden multipliziert mit dem zurückgelegten weg. Denn bei jeder Verschiebung um I cm entsteht eine Schicht von 9 qcm. Man muß aber senkrecht nach oben verschieben, damit wirklich Quadrate entstehen!

Das Parallelogramm in Fig. 106 denke man entstanden, indem man die Grundlinie g parallel mit sich schräg aufwärts schiebt. Damit die Inhaltsberechnung nach der vorigen Betrachtung möglich ist, muß die Verschiebung stufenweise ausgeführt werden, indem man zunächst senk-

#g.l07.

#g. 106.

-7

recht nach oben und dann seitlich verschiebt. Zur Fläche kommt immer nur etwas hinzu bei der Verschiebung senkrecht aufwärts. Deshalb ist auch hier der Inhalt gleich dem Produkt aus der erzeugenden Geraden und dem in senkrechter Richtung zurückgelegten weg. Ja. diese Beziehung gilt überhaupt, wenn man eine gerade Linie parallel mit sich in irgendwelcher Richtung verschiebt. In Fig. 107 ist auch dafür noch ein Beispiel-angedeutet. Natürlich braucht die Messung der erzeugenden Geraden nicht ganze Zentimeter zu ergeben, da ebensogut z. B. immer um 1 Millimeter aufwärts verschoben werden v— kann, wenn die Länge in Millimetern gemes- \ sen war. Die Schichten bestehen dann eben \ aus (Huadratmillimetern usw.

Ein Dreieck ist immer die Hälfte eines Parallelogramms. 3a, die Ergänzung zum Parallelogramm istfogar in dreifacherweise möglich, da das Dreieck, nach dem oben Gesagten, drei Grundlinien und drei höhen hat. In Fig.

108 sind alle drei Ergänzungen mitgezeichnet. #9.108.

Den Inhalt berechnet man genau wie beim Parallelogramm, nur muß noch durch 2 dividiert werden, um die Hälfte zu erhalten. In Formeln heißt dies, es ist J = \ g • h.

Zig. 104.

Das oben gezeichnete Dreieck besitzt den Inhalt J ---- y 7,0 x 8,8 ----- 31 qcm.

>6,9

^=17,6

wie das Parallelogramm hat auch das Trapez ein paar paralleler Zeiten, doch haben die beiden anderen Zeiten ^ eine beliebige Neigung gegen die par-- allelen. In Fig. 109 ist ein Trapez ge-

zeichnet und auch gleich in zwei Dreiecke zerlegt. Der Inhalt ist einfach

gleich ber Summe dieser beiden Dreiecke.

17,6 + 14,0

J = y 17,6 x 6,9 + y 14,0 x 6,9

x 6,9= 109 qcm.

hier multipliziert man also die halbe Summe der parallelen Seiten mit ihrem Abstand, in Formeln

t _ a ++ U

J —    ₂ *h*

Man beachte wohl, daß die parallelen -Seiten zu nehmen firtb; das andere Seitenpaar würde eine ganz andere Hegel ergeben.

hat man ein ganz beliebiges nur geradlinig begrenztes Vieleck, wie in Fig. 110, so zerlegt man es in Dreiecke, berechnet den Inhalt eines jeden Dreiecks und addiert die Einzelergebnisse. Diese Summe ist dann der gesuchte Inhalt des ganzen Vielecks. Durch geschickte Zerlegung und Ausmessung läßt sich manche Vereinfachung erzielen. So kann man hier 3. B. wie folgt rechnen:

J = i7,5 x 9,5 + y 7,5 x 7,2 + 117,2 x 5,8 + | 17,2 x 4,7 5,8+4,7

\

iv/

'Hys'' \

9,5+ 7,2

SIL

5tg.no.

2 ><⁷'⁵ +

2    X¹⁷'²

= 153 qcm.

Im ganzen erkennt man, daß die Tuadratur, wie es oben genannt wurde, bei allen geradlinig begrenzten Flächen möglich ist.

Ganz kurz sei erwähnt, daß krummlinig begrenzte Flächen, deren (Quadratur möglich ist, verhältnis-^ mäßig nur selten sind. Am bekanntesten unter ihnen ist wohl die Parabel. Da ist jeder von einer Sehne \ begrenzte Abschnitt ²/s vom umschließenden Par-\ allelogramm oder Hechteck. So liefert die Figur 111 \ das Ergebnis:

J = -|9x6 = 36 qcm,

J = } a ■ b.

5ig.111.

oder in Formeln

4. Der Krct$. Jahrhunderte hindurch ist es ein Lieblingsproblem der Mathematiker gewesen, die (Quadratur des Kreises zu suchen, heute weiß man, daß alles Mühen vergeblich bleiben mußte, weil eben die

(ßuabmtur des Kreises unmöglich ist. TTTan kann den Kreis nicht, wie die oben genannten Figuren, mit Zirkel und Lineal in ein gleich großes (Quabrat verwandeln. Freilich ist der Beroeis dieser Unmöglichkeit für den Mathematiker schon schwierig, für den Laien gar nicht verständlich. Deshalb gibt es immer noch Laien, die nicht an ihn glauben wollen und munter weiter über die (Quadratur des Kreises sich den Kopf zerbrechen. Hb und zu findet auch immer wieder einer von ihnen eine — natürlich falsche — Lösung des Problems, die er dann für teures Geld auf eigene Kosten drucken läßt, um zum Zchluß ausgelacht zu werden. Cs sind häufig nicht die schlechtesten Köpfe, die sich an diese arbeit heranmachen, Ichade um die Zeit, die sie darauf verwenden. Würde ihre Hrbeitskraft auf vernünftige Fragen gelenkt, so könnte manch einer Tüchtiges leisten.

J = jrxl0xl0 = 314 qcm, J = % • r².

Ist der Radius eines Kreises z. B. 10 cm lang, so besitzt der Kreis den Inhalt in Formeln

Jener griechische Buchstabe tt (sprich pi) bedeutet nämlich eine eigenartige Zahl, die man auf beliebig viele Dezimalstellen genau 707 sind schon berechnet worden) angeben könnte, die aber deren unendlich viele

besitzt. Es ist tt = 3,1416 ober annähernd % = y-

/>

Um die ganze Fruchtlosigkeit der Bemühungen, die Quadratur des Kreises zu finden, noch besonders hervorzuheben, sei nur erwähnt, daß es naherungsweise sehr wohl gelingt, den Kreis in ein Rechteck und dann weiter in ein Tsuadrat zu verwandeln. Fig. 112 zeigt eine solche Lösung, die wohl nach der Figur selbst unmittelbar verständlich ist. Wie die Husrechnung zeigt, erhält man hier statt 3,1416 die Zahl 3,1415. Danach ist der Fehler so klein, daß er auch bei der genauesten Zeichnung keine Rolle mehr spielt, würde also die Quadratur selbst ausführbar sein (was, wie ausdrücklich nochmals betont fei, als unmöglich bewiesen ist), so könnte man doch nicht mehr erreichen, als mit jener Zeichnung schon jetzt ' erreicht ist. Vielleicht schreckt diese Erkenntnis manchen von weiteren Versuchen ab. Die Praxis

5tgii2.

hat nicht einmal an solchen Bäherungskonstruktionen erhebliches Interesse.

5. über Projizieren und die Ausmessung der Ellipse, mit Hilfe

man vor

der senkrechten Parallelprojektion kann man ein Verfahren ableiten, das in manchen Fällen Inhalte leicht zu berechnen gestattet, hierbei wird eine im Baume befindliche Figur auf das Zeichenblatt projiziert, indem man einfach die Figur Punkt für Punkt auf die ebene Zeichenfläche herunterlotet, praktisch wird man natürlich nur die Begrenzungslinien zeichnen. Vas tut z. B. die Sonne auf einer schrägen wand, die gerade senkrecht zu ihren Strahlen steht, hält man den Sonnenstrahlen ein Blatt Papier in den weg, so ist der Schatten, den das Blatt auf jene wand wirft, seine Projektion. Danach kann man sich sehr leicht die Projektion eines Gegenstandes zeichnen, gerade so wie der Erfindung der Photographie die Schattenrisse von Personen herstellte. wenn man insbesondere den Schatten von einem ebenen Blatt Papier betrachtet, so erkennt man, daß der Flächeninhalt der Projektion, also des Schattens, meist kleiner und höchstens, bei paralleler Lage, gleich der Größe des Papierblattes ist. Je mehr das Blatt aus der parallelen Lage herausgedreht wird, um so kleiner wird seine Projektion. Bei senkrechter Lage zur wand schrumpft der Schatten zu einer geraden Linie zusammen.

$/:

5,0

Jetzt nehme man ein rechteckiges Stück Papier und halte es, wie in Fig. 113, so, daß die eine Seite des Bechtecks ihrer Projektion parallel bleibt. Die andere 5,5 cm lange Seite wird verkürzt und schrumpft zur Länge 5,0 cm zusammen. Die Flächeninhalte F des ursprünglichen Bechtecks und J seines Schattens sind:

5tg.n 3.

Die geneigten Seiten sind im Verhältnis

nau so auch die Inhalte, denn es ist ja

J __ 6 x 5,0 ₌ ^0 _ 10 F“ 6x5,5    5,5 lT

Man beachte aber, daß zwei Rechtecksseiten parallel geblieben sind. Jedenfalls ist die Größe der Projektion

j = — f j n r.

F = 6 x 5,5 qcm und J = 6 x 5,0 qcm.

I” = 10 verkürzt, aber ge-5,5 II

in ¹

Mit Benutzung des Winkels «, unter dem das Rechteck gegen die

5,5 ist-

Zeichenebene geneigt ist, lautet die Beziehung, da cos cc =

J = F • cos «.

Line Anwendung dieses Verfahrens führt zurBerechnung des Flächeninhalts von der (Ellipse. Diesmal projiziert man wie in $ig.H4 einen Kreis, der auf Millimeterpapier gezeichnet wurde. Dabei hält man das Millimeterpapier so, daß die eine Schar der Teilungsgeraden zur Zeichenebene parallel bleibt. Die Projektion eines Kreises ist, wie sein Schatten sofort zeigen würde, eine Ellipse. Lin Kreisdurchmesser von der Länge 2 a bleibt auch der Ellipse als / große Achse erhalten. Es ist das der Durchmesser, der mit einer Teilungsgeraden jener Parallelenschar zusammenfällt. Der dazu senkrechte Durchmesser, der auch in der Projektion senkrecht bleibt, wird am stärksten verkürzt und wird so zur kleinen Achse 2b der Ellipse. Bei der hier gewählten Lage, die sich ja immer durch Drehen des Kreises erreichen läßt, wird jedes (Quadrat im gleichen Maße verkleinert. Danach aber erfährt auch die ganze Kreisfläche, die man beliebig genau mit kleinen Quadraten bedecken könnte (man könnte die (yuadratmillimeter des Papiers natürlich noch weiter teilen), dieselbe Verkleinerung. Also ist hier, ganz entsprechend dem oben gefundenen Ergebnis, g ₌ 2b g

wo E den Lllipseninhalt und K den Kreisinhalt bedeuten Dieser ist aber, wie ebenfalls oben gezeigt, K = n as, so daß man schließlich er-

^ n a² = n a b.

6. Die Methoden der Wägung und der Abzählung, wie soll

aber eine Fläche ausmessen, die irgendeineunregelmäßige Begrenzung besitzt? In solchem Falle können nur Methoden angegeben werden, die näherungsweise mehr oder minder gute Ergebnisse liefern.

Lin sehr einfaches und nicht schlechtes Verfahren besteht darin, daß die zu messende Fläche auf starken Pappkarton aufzeichnet, aus-fchneidet und dann abwägt. Bei der Wägung möge z. B. das Gewicht 45 g ermittelt werden. Darauf schneidet man aus demselben Pappkarton 1 qdm heraus und stellt sein Gewicht z. B. zu 18 g fest. Man

Sig.114.

hält

man

man

weiß jetzt, daß die gesuchte Fläche 45:18 = 2,5 mal so schwer ist als ein Huadratdezimeter. Da aber beide Flächen aus demselben Karton ausgeschnitten wurden, so muß die gesuchte Fläche auch 2,5 mal so groß sein als einCluadratdezimeter. Also ist der gesuchte Inhalt 2,5 qdm.

Ein brauchbares Ergebnis erhält man freilich nur, wenn die Fläche einigermaßen groß ist. Sonst würden die beim Ausschneiden und Abwägen unvermeidlichen Fehler zu großen Einfluß gewinnen.

hierher gehört auch die schon oben beschriebene Ausmessung einer Fläche, indem man sie auf Millimeterpapier auszeichnet und die in der Fläche liegenden Quadrate, sei es die C)uadratzentimeter oder die (yuadratmillimeter, abzählt. Die Resultate sind ebenfalls durchaus brauchbar, nur ist das Verfahren im allgemeinen recht mühsam.

t»er»

7. Sie Trapezregel. Schon oben war erwähnt worden, daß dieFlächen, deren (Quabratur ausführbar ist, in gewisser Beziehung bevorzugt sind: ihr Inhalt läßt sich rechnerisch einfach ermitteln. In erster Linie sind die geradlinig begrenzten Flächen hervorzuheben, in zweiter die Parabel. Das legt den Gedanken nahe, die Ausmessung der Flächen zu suchen, indem man sie möglichst gut durch geradlinig begrenzte ersetzt oder durch solche, deren Begrenzung von Parabelbögen gebildet wird. Danach erhält man wirklich zwei Regeln zur Inhaltsbestimmung beliebiger Flächenstücke: die Trapezregel und die Simpsonsche Regel.

hat die Fläche der Fig. 115 als eine Begrenzungslinie eine Kurve, d. h. irgendeine krumme Linie, so zerlegt man die ganze Fläche in beliebig viele überall gleich breite Streifen. In jedem Streifen für sich ersetzt man das Kurvenstückchen durch eine geradlinige Verbindung der Endpunkte, also durch eine Sehne. Dann betrachtet man jeden Streifen als ein geradlinig begrenztes Trapez. (Ein Blick auf die Zeichnung lehrt, daß der Fehler nicht sehr groß werden kann: nur wenige Sehnen ließen sich getrennt von der Kurve zeichnen.

Um die Ausrechnung durchzuführen, mißt man die sämtlichen Gr-dinaten, die parallelen Strecken, nach und ebenso die überall gleiche Breite der Streifen. Die Ergebnisse der Messung sind in , die Figur eingetragen. Jetzt berechnet man Streifen für Streifen, wie oben beim „

Sig. 115.

Trapez, d. h. man multipliziert die halbe Summe der parallelen Seiten mit ihrem Abstand. Dabei braucht mit dem Abstand,

Trapezregel

87

da er bei allen Trapezen der gleiche ist, nur einmal multipliziert zu werden. Das gibt:

,    , c /8,2 + 9,9    ,    9,9 + 10,8    ,    10,8 +    11,4

J =    1,5 I—₅---1--~--1--ö

U.2 ±115).

-+-" +

11,4 + 11,2

Jede Ordinate kommt zweimal vor, nur nicht die erste und die letzte. Faßt man deshalb die beiden halben Grdinaten jedesmal zu einer ganzen zusammen, so bleibt:

J ₌ 1,5 (8>2 + n'*>+ 9,9 + 10,8 +11,4 + ••• + 11,4 + 11,2).

Das ganze Verfahren ist zusammengefaßt dies:

Ulan addiert sämtliche Grdinaten außer der ersten und der letzten, zur Summe fügt man die Hälfte der ersten und die Hälfte der letzten Ordinate hinzu und multipliziert zum Schluß mit der Breite der Streifen. 3m Beispiel sieht die Berechnung dann so aus:

9,9

+ 10,8 + 11,4 + 11,7 + 11,9 + 11,8 + 11,6 + 11,4 + 11,2 + y 8,2 — + 4,1

+ y 11,6 — +    5,8

111,6

Bezeichnet man die Grdinaten der Reihe nach mit y₀, y₁₍ y, usw. und die Streifenbreite mit h, so lautet die allgemeine Formel:

J = h (M>— + Yi + y₂ + Ys + •¹ • + y₈ + Yg)-

Man könnte meinen, das Ergebnis würde immer genauer werden, je enger man nur die Streifen wählt. Bis zu einem gewissen Grade ist das auch sicherlich der Fall. Man kann daher dieselbe Rechnung mit doppelter Streisenzahl wiederholen. Soweit dann beide Ergebnisse übereinstimmen, wird man sie als richtig gelten lassen. Bedenkt man aber. daß die Grdinaten mit dem gewöhnlichen Maßstab abgemessen

111,6

x 1,5

1116

5580

167,40

Ergebnis: J = 167 qcm.

werden, und daß auch die Zeichnung selbst nicht absolut genau sein kann, so wird man einsehen, daß schon diese Ungenauigkeiten Fehler bedingen, die natürlich nicht beseitigt werden können, auch wenn man noch so viele Streifen zieht. Rus diesen Gründen begnügt man sich in der Regel mit zehn Streifen z. B. bei der Berechnung der Dampf* druckdiagramms. Nur bei großen Flächen geht man über diese Zahl hinaus.

£*id

Fig.116.

2,0 + 4x5,2 + 7,4 . 7,4 + 4x8,5 + 9,2

8. Die Zimpsonsche Regel. Noch günstiger als soeben werden meist die Ergebnisse, wenn man sich einer Regel bedient, die nach einem englischen Mathematiker Simpson, der sie zuerst angab, benannt worden ist. Die ganze Fläche teilt man gerade so wie vorher in Streifenein, aber man faßt je zwei Streifen, wie in der Fig. 116 durch Schraffierung angedeutet ist, zusammen. Jeder Doppelstreifen enthält drei Grdinatenendpunkte, durch die man sich je eine Parabel gelegt denkt, deren Rchse zu den Grdinaten parallel ist. Den Rurvenbogen ersetzt man durch den Parabelbogen. Rlso besteht dann jeder Doppelstreifen aus einem Trapez und einem Parabelabschnitt. Rddiert man beider Inhalt nach den früheren Formeln, so findet man die Rechenregel:

+ •• •

)■

1,9 (

12,1+4x12,0 + 11,7

Statt jeden Bruch in der Klammer durch 6 zu dividieren, dividiert man ihn in der Regel nur durch 2 und nimmt dafür 3 einmal vor die Klammer in den Nenner. Klan sieht, daß die erste und letzte Ordinate nur je einmal, die zweite, vierte, sechste usw. Ordinate auch nur je einmal, aber mit 4 multipliziert, und die dritte, fünfte, siebente usw. Ordinate je zweimal vorkommen. Deshalb kann man so zusammenfassen, wenn man noch den Nenner 2 nicht vergißt:

J --

2x1,9 Z2,0 + ll,7 3 V

Simpsonsche Hegel

00

ö\

₂    +7,4 + 9,2 + 11,5 + 12,1    2 [5,2 + 8,5

+ 10,7+12,0 + 12,0]).

Also lautet hier die Regel:

Man addiert die Hälften der ersten und letzten Grdinaten, dazu alle übrigen ungeradzahligen Grdinaten und dazu das Doppelle der geradzahligen Grdinaten. Diese Summe multipliziert man mit der doppelten Streifenbreite und dividiert zum Schluß durch drei.

Danach sieht in dem Beispiel die Ausrechnung so aus:

+ j 2,0 =

+ 4 11,7 = + 5,85 + 7,4 + 9,2 + 11,5 + 12,1

+ 2 x 5,2 = + 10,4 + 2 x 8,5 = + 17,0 + 2 x 10,7 = + 21,4 + 2 x 12,0 = + 24,0 + 2 x 12,0 = 4- 24,0 143,85

wählt man hier dieselben Buchstabenbezeichnungen wie oben, so lautet die allgemeine Formel der Simpsonschen Regel:

J = T [y"+y'" + y₂ + Y4 + y₆ + y₈ + 2 (y, + y₃ + y₆ + y₇ + y₉)].

Das Verfahren liefert im allgemeinen bessere Ergebnisse als die Trapezregel, weil die Parabeln sich meist der Kurve noch mehr anschmiegen als die Sehnen. Eine solche Parabel ist, damit sie deutlich sichtbar wird, an sehr ungünstiger Stelle in der Fig. 116 gezeichnet. Über die Anzahl der Streifen gilt genau das bei der Trapezregel Gesagte. Zu beachten ist nur, daß hier immer eine gerade Anzahl von Streifen gewählt werden muß.

1,0

143,85 x 3,8

43155

115080

546,630 : 3 ----- 182,21

Ergebnis: J = 182 qcm.

* 2:

krummlinig begrenzt ist, so kann ma dieselben Regeln benutzen. Man zieht zu dem Zwecke irgendeine Hilfsachse und zwei Grenzordinaten, wie Sig. 117 zeigt, und berechnet zuerst die von ihnen - und dem oberen Rurventeil eingeschlossene Fläche.

Davon zieht man die durch dieselben Grdinaten, durch die Rchse und durch den unteren Teil der Kurve begrenzte Fläche ab. RIs Rest erhält man wirklich den nur von der Kurve eingeschlossenen Teil. In der Figur sind die zu berechnenden Flächenteile durch verschiedene

/ Schraffierung angedeutet.

/    9. Bas Polarplanimeter.

J    Rach allen bisherigen Verfahren

JVy

Fig. 118.

j//A + kam man auf rechnerischem Wege yA//\i * kJ gUm Z^l. Einfacher und schneller I arbeitet man, wenn man einen I Rpparat benutzt, der rein me-I chanisch den Flächeninhalt er-J mittelt. Für diesen Zweck am lg gebräuchlichsten ist das soge-I nannte Polarplanimeter, das im I Jahre 1854 von einem Mechani-I ker Rmsler konstruiert wurde. Mit Hilfe von Fig. 118 soll die Theorie dieses Instrumentes erklärtwerden. Dort betrachteman zunächst den Flächenteil, der von einer Kurve rings umschlossen ist, und den Kreisbogen. Statt des Kreisbogens konnte irgendein beliebiges Kurvenstück gewählt fein; bei der praktischen Rusführung des Planimeters läßt sich jedoch ein Kreisbogen am einfachsten verwirklichen. Einen Punkt des Kreisbogens verbinde man mit einem beliebigen Punkt der Kurve durch einen festen Stab, den man in diesen Punkten abschneidet. Zu Rnfang möge etwa der Stab die Lage.des stärker gezeichneten Strahles haben, der den Körper R, über den später zu sprechen ist, trägt. Jetzt bewegt man diesen Stab so zunächst nach rechts, daß feine Endpunkte ständig auf ihren Kurven bleiben. Zum vollen Verständnis ist es nötig, daß man die Bewegung an der Figur wirklich einmal ausführt. Ist der untere Teil durchlaufen, so kommt nunmehr der obere an die Reihe. Jetzt aber bewegt man den Stab nach links hin, bis er zur Rnfangslage zurückkehrt. Dieser Stab, Fahrstrahl genannt, ist in der Figur in einer ganzen Reihe aufeinanderfolgender Lagen eingezeichnet.

Nunmehr sei die Verabredung getroffen: Bewegt sich der Fahrstrahl

nach rechts, so soll die überstrichene Fläche positiv, bewegt er sich dagegen nach links, so soll die Fläche negativ gerechnet werden?) Dieser Verabredung gemäß sind die Pfeilrichtungen in die Figur eingezeichnet. Man sieht, daß die von der Kutoe eingeschlossene Fläche nur positiv, derandereüberstricheneFlächenteil dagegen positiv und negativ überfahren wird,- er fällt daher ganz fort.

Es bleibt noch übrig, die Bewegung des Fahrstrahls genauer zu betrachten, wenn er z. B. aus der stärker gezeichneten Lage 1 in die ebenfalls hervorgehobene benachbarte Lage 2 übergeht. Das kann man so machen, wie es in der Nebenfigur gezeichnet ist. Danach ersetzt man die Bewegung durch eine Parallelverschiebung und eine Drehung. Man schiebt nämlich den Fahrstrahl I zunächst in der Pfeilrichtung ein wenig nach oben, dann ebenfalls in der Pfeilrichtung seitlich in die gestrichelte, parallele Lage hinein. Endlich dreht man ihn noch um einen kleinen Winkel, so daß er in die Lage 2 gelangt.

Sind die Fahrstrahlen 1 und 2 nahe genug beieinander gewählt, so wird man sagen können, daß der überstrichene Flächenteil ebenso groß ist wie das Rechteck zusammen mit dem durch die Drehung gebildeten Kreisausschnitt. Bei wirklich benachbarter Lage wird das oben hinzugekommene Flächenstückchen sich so wenig von dem unten weggefallenen unterscheiden, daß man sich um diesen kleinen Unterschied nicht zu kümmern braucht.

Die Kreisausschnitte aber müssen im ganzen auch wieder wegfallen. IhreGröße ist ja außer durch dieLänge des Fahrstrahls, dieimmer gleich bleibt, nur durch die Winkelgrößen bestimmt. Da aber der Fahrstrahl zum Schluß wieder in die Unfangslage zurückkehrt, so muß er doch genau so weit nach links zurückgedreht werden, wieer anfangs nach rechts herausgedreht wurde. In Übereinstimmung mit der oben festgelegten Verabredung ist aber Rechtsdrehung positiv, Linksdrehung negativ zu rechnen. RIfo heben sich die Drehungen tatsächlich gegenseitig auf.

Es bleiben nur die Rechtecke übrig. Ihre Größe ist gleich dem Produkt aus der Länge des Fahrstrahls multipliziert mit all den seitlichen Verschiebungen zusammengenommen, wieder ist eine Verschiebung nach rechts dabei positiv, eine nach links negativ zu rechnen.

Zusammengefaßt ist also das Ergebnis: wenn man nur imstande

1) Rechts und links ist natürlich nur in bezug auf diese Figur aufzufassen. hat die Figur irgendeine beliebige Lage, so muß man sagen: bei der Bewegung in einer Richtung positiv und in der entgegengesetzten negativ.

iM*

ICK

5ig.H9.

ist, die seitlichen Verschiebungen zu messen, dann kann man auch die gesuchte Flächengröße angeben.

Das leistet aber die am Fahrstrahl befestigte Rolle R. Ruf dieser ist einfach eine Teilung angebracht, auf der man abliest, welcher weg von ihr bei der ganzen Bewegung des Fahrstrahls zurückgelegt ist. wirklich wird auch bei der Verschiebung und Drehung nach links der weg negativ gerechnet, denn die Rolle wird ja notwendig im entgegengesetzten Zinne gedreht wie vorher, läuft also einfach das entsprechende Stück wieder zurück.

Fig. 119 ist ein Bild des Rmslerschen Polarplanimeters selbst. Links trägt der Fahrstrahl die Rolle, rechts einen Stift, den man auf der Rurve entlang führen muß. Damit das andere Ende des Fahr-strahls einen Kreisbogen beschreibt, ist es drehbar an einer Stange befestigt. Diese Stange trägt am Ende eine Spitze, die durch ein Gewicht beschwert ist und deshalb während der ganzen Messung festliegt. Der Rollenumfang ist in hundert gleiche Rbschnitte geteilt. Zur Berechnung des zurückgelegten Weges müßte man noch den Durchmesser der Rolle kennen. Bei gewöhnlichen Rpparaten, die nur eine bestimmte Stangenlänge besitzen, sind aberRollendurchmesser und Stangenlänge so gewählt, daß die auf der Rolle abgelesene Zahl unmittelbar den Flächeninhalt in (Huadratzentimetern angibt Bei besseren Rpparaten, wie z. B. bei dem hier abgebildeten, läßt sich die Stangenlänge verändern. Dann hat man Marken auf der Stange angegeben, bis

Planimeter

ZA

zu denen einzustellen ist ^ gleichzeitig steht daneben die Konstante, mit der die abgelesene Zahl zu multiplizieren ist, um den Flächeninhalt zu erhalten. Die ganzen Umdrehungen der Kolle werden an einem besonderen Zählwerk abgelesen.

5ig. 120.

Der Apparat findet vielfache Verwendung. In der Erdkunde bestimmt man mit ihm Ländergroßen, in der Technik die Inhalte von Dampfdruckdiagrammen und vieles andere usw. Leider ist der Apparat recht teuer. In einfachster Ausführung kostete er ungefähr 30 ITT., in besserer doch mindestens ungefähr 60 Kl Leinen Namen Polarplanimeter erhielt er von jenem Gewichtsteil, um den er sich dreht, und der pol des Planimeters genannt wird. Um seine Theorie und Handhabung recht zu verstehen, muß man ihn vor allem einmal selbst in die k)and nehmen und mit ihm arbeiten.

10. Vas Stangenplanimeter von prytz. wesentlich einfacher und billiger — es kostete ungefähr 12 Kl — ist ein Planimeter, das von h. Prptz in Kopenhagens erfunden wurde. Fig. 120 zeigt ein Bild des Apparates. Er besteht aus einer Stange, die am einen Ende eine Spitze, am anderen eine keilförmige Erweiterung trägt. Der Abstand von Mitte Keil bis zur Spitze ist 25 cm lang. Der größte Durchmesser der auszumessenden Figur darf in der Kegel nicht mehr als % der planimeterlänge sein,- auch bei geringerer Genauigkeit darf er jedenfalls niemals mehr als die halbe Länge betragen. Die Messung geschieht in folgender weise: man schätzt die Lage des Schwerpunktes ab und setzt die Spitze in ihm ein. Durch leichten Druck markiert man die Anfangslage des Keils. Dann umfährt man, wie in der Figur angedeutet ist, die Fläche, bis man wieder zum Ausgangspunkt zurück-

1) Zu beziehen von der Firma Cornelius Knudsen, Kopenhagen. (Es sind noch eine Keihe ähnlicher Konstruktionen von anderen Firmen in den Handel gebracht moröert; nach demselben Prinzip z. B ., aber wesentlich verbessert wird ein Planimeter von der Firma Richter in Chemnitz hergestellt.

In der Arbeit: Sachs. Ein kalibriertes Stangenplanimeter, Zeitschrift für praktischen Maschinenbau (American Machinist) 1910, S. 1152, findet sich ein hübsches Verfahren angegeben, aus einem gewöhnlichen Kadier-messer ein gut brauchbares Planimeter herzustellen. .

aUu(B 526: Neuendorff, prakt.Mathematik u kommt, und markiert wieder die Stellung des Keils, der beim Umfahren der Fläche sich vollständig selbst überlassen blieb. Das Produkt aus dem Abstand der Marken multipliziert mit der Länge des Planimeters ist der gesuchte Flächeninhalt.

Die Theorie dieses Stangenplanimeters ist wesentlich schwieriger als die des Polarplanimeters und mutz hier weggelassen werden. Die gefundenen werte sind überdies nur Näherungswerte, so datz die Ergebnisse höchstens auf ein Prozent genau werden. Das Ergebnis wird verbessert, indem man die Zeichenebene um 180" dreht und die Fläche in umgekehrter Richtung umfahrend das Verfahren wiederholt. Der Mittelwert aus beiden Messungen liefert ein genaueres Ergebnis. Der Vorzug dieses Planimeters besteht in seiner großen Billigkeit, dafürkann er aber auch nur gebraucht werden, wenn geringe Genauigkeit verlangt wird.

IV. Abschnitt.

Körpermessung.

Die Körpermessung findet zwar weniger zahlreiche Verwendung als die Flächenmessung, steht dieser aber an Wichtigkeit kaum nach. In den weitaus meisten Fällen handelt es sich darum, im voraus zu ermitteln, welches Gewicht ein Körper besitzen wird, den man herzustellen hat. Zu diesem Zwecke ist zunächst in Tabellen für jedes Material das sogenannte spezifische Gewicht angegeben, d. i. das Gewicht einer Volumeneinheit des betreffenden Materials. So besitzt z. B. Kupfer das spezifische Gewicht 8,9, das soll heißen

1 Kubikmeter Kupfer wiegt 8,9 Tonnen (t);

1 Kubikdezimeter wiegt 8,9 Kilogramm (kg);

1 Kubikzentimeter wiegt 8,9 Gramm (g).

Ermittelt man durch Rechnung, datz eine kupferne Platte 55 Kubikdezimeter Inhalt haben wird, so weiß man, daß ihr Gewicht 55 mal so groß sein wird als das Gewicht von einem Kubikdezimeter also 55 x 8,9 Kilogramm. In Formeln schreibt man

G = V • s,

wo

G das Gewicht, V den Körperinhalt oder das Volumen und s das spezifische Gewicht bedeuten.

f. Die Körpermaße. Die jetzt gebräuchlichen Namen der Körpermaße wurden bereits genannt. Ruch hier benutzte man ursprünglich

Maße, die dem Sexagesimalspstem angepaßt waren. Scheffel, Metze, Lot sind alte Beispiele solcher. Jetzt ist das Grundmaß ein Würfel, dessen Kantenlänge ein Meter ist, dies Maß heißt ein Kubikmeter, 1 cbm. Zerlegt man alle Seitenflächen in Vuadratdezi-meter und baut daraus Würfel auf mit der neuen Kantenlänge von einem Dezimeter, bis das Kubikmeter ganz erfüllt ist, so erhält man in jeder Schicht hundert, und da, wie Fig. 121 zeigt, zehn Schichten übereinander liegen, im ganzen tausend der neuen Körpermaße, die man Kubikdezimeter (cdm) oder Liter (I) nennt, (hundert Liter heißen auch ein Hektoliter (hl), so daß ein Kubikmeter zehn Hektoliter enthält.) Dies Maß läßt sich genau entsprechend in tausend Kubikzentimeter (ccm), und dieses wieder in tausend Kubikmillimeter (cmm) zerlegen. (Ein Stecknadelknops hat etwa die Große von einem Kubikmillimeter.

5ig.l2l.

2. Der Begriff der Körpermessung. Den Inhalt oder das Volumen eines beliebigen Körpers ausmessen, heißt angeben, wieviele Würfel von der gewählten Einheit in den Körper hineingelegt werden können.

Das wird praktisch selten genug möglich sein. (Es genügt, wenn man nur weiß, wie viele Einheitswürfel zusammen dasselbe Volumen ausmachen, wie es der beliebige Körper besitzt. Dabei mag man die Würfel aus demselben Material wie den Körper hergestellt denken, um durch Abwägen, so genau es eben die wage gestattet, festzustellen, wann das gleiche Volumen vorhanden ist.

Fig. 122

z.Guader, Prisma, llmdrehungskörper. wirklich ausmessen durch hineinpacken von Würfeln kann man den Tuader. Das ist ein auf einem Rechteck aufgebauter Körper, dessen Seiten sämtlich wieder Rechtecke sind. Ein Ziegelstein hat z. B. diese Gestalt. In Fig. 122 ergab die Messung der drei Seiten 4 cm, 3 cm und 7 cm. Daher kann jede horizontale Schicht mit 3x4 = 12 Würfeln bedeckt werden, und da sieben Schichten vorhanden sind, so enthält der ganze Körper 3 x 4x 7 = 84 ccm. DieMessung der Seiten wird /'s nur selten so einfach aufgehen. Im allgemeinen muß ^ man so genau wie möglich etwa bis auf l/1Q mm nachmessen und dementsprechend kleine Würfel wählen, hat

man auf btefeXDetfetneinem anöerenBeifpieIöie$ettenIängen4,282 dm, 5,793 dm und 7,945 dm erhalten, so ist eben der Inhalt V ----- 4,282 x 5,793 x 7,945 cdm. wieder ist zu beachten, daß nicht etwa alle berechneten Dezimalstellen wirklich brauchbar sind, vielmehr kann man auch hier nur sagen, daß der Inhalt sicher größer als 4,281 x5,792x7.944 cdm, aber auch sicher kleiner als 4,283 x 5,794 x 7,946 cdm sein wird. Im zweiten Abschnitt des ersten Bandes ist gezeigt worden, wie man deshalb praktisch zu rechnen hat.

Das Ergebnis wäre also dies: Man berechnet den Inhalt des (Huaders, indem man die Maßzahlen der drei Kanten, Länge, Breite und hohe, ermittelt und miteinander multipliziert. In Formeln: V = a • b • c. Alle drei Kanten müssen mit derselben Längeneinheit gemessen sein, durch welche die Benennung des Volumens gleichzeitig bestimmt ist.

Zu demselben Ergebnis kann man noch auf einem anderen Wege gelangen, der nachher nützlich fein wird. Man kann nämlich den (Quader der Fig. 122 auch so entstanden denken, daß man die rechteckige Grundfläche um 7 cm senkrecht nach oben verschiebt. Dann ist aber der Inhalt sofort gleich dem Produkt aus dem Inhalt der Grundfläche mal dem zurückgelegten weg. Denn wenn der weg von 1 cm zurückgelegt ist, bann ist eine Würfelschicht erzeugt, also nach 7 cm weg auch 7 Würfelschichten. Es ist dabei wichtig, daß senkrecht nach oben verschoben werden muß, damit Würfel auch wirklich entstehen.

Fig. 123.

Auf Grund dieser Überlegung findet man die Inhalte aller sogenannten geraden Prismen, d. h. von Körpern, die dadurch entstehen, daß man irgendeine Fläche senkrecht zu sich selbst verschiebt. Jedesmal ist der Inhalt gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt multipliziert mit dem zurückgelegten weg. Dieser zurückgelegte weg wird auch höhe des Körpers genannt. In Formeln schreibt man: V = G • h, mo G toe Grundfläche und h die höhe bedeuten.

In Fig. 123 ist ein gerader Kreiszylinder gezeichnet, der offenbarzu den genannten Körpern gehört.

Zjiz

Fig. 124.

Die Grundfläche ist ein Kreis, dessen Inhalt be-

kanntlich 7rist. Deshalb ist das Volumen des geraden Ureiszylinders'. V = nrh.

$ig. 125.

hier kann auch leicht der Mantel des Kör* pers berechnet werden, das ist die krumme 5eitenfläche, die die Ureislinie bei der Bewegung beschreibt. Schneidet man diesen Mantel senkrecht auf und breitet ihn wie in Fig. 124 in der Ebene aus, so bildet er ein Rechteck, dessen Grundlinie gleich dem Kreis* umfang, also 2 jcr» und dessen hohe zugleich die Zylinderhohe ist. Nach der Inhaltsformel des Rechtecks erhält man so M = 2 Ttrh.

wie aber, wenn die Grundfläche zwar auch noch parallel, aber schräg aufwärts verschoben wird? Dann hilft man sich, indem man stufenweise zunächst senkrecht aufwärts, dann aber jedesmal wieder seitlich in die richtige Lage hineinschiebt, wie es in Fig. 125 gezeigt ist. Zum Körperinhalt kommt immer nur etwas hinzu, wenn man senkrecht aufwärts bewegt, so daß auch jetzt der Uörperinhalt gleich dem Produkt aus dem Inhalt der Grundfläche mal der höhe/ d. h. also mal dem senkrechten Rbstand der Grund- und Deckfläche, wird. Freilich wird bei der stufenweisen Bewegung der Körper ja nicht genau erzeugt. Sind aber die Stufen niedrig genug gewählt, indem der Körper z. V. aus Papierblättern aufgeschichtet wird, dann wird der Fehler so klein, daß er nicht mehr in Betracht kommt.

Ruch hier braucht die Grundfläche nicht längs gerader Linien verschoben zu werden, vielmehr kann die Parallelverschiebung ganz entsprechend, wie es Fig. 107 des vorigen Rbschnitts zeigt, willkürlich in irgendwelcher wechselnden Richtung geschehen.

Ganz ähnlich, wie soeben, kann man sich die Methode klarmachen, nach der man Inhalte von Umdrehungskörpern berechnet. In Fig. 126 ist ein Schnitt durch einen solchen gezeichnet, der durch Umdrehung des l    schraffierten Rechtecks um die Mittel

achse entstanden ist. Die senkrechte Li-

Ji ÄÄÄ*

inneres. (Es ist klar, daß das äußere

5tg.l26.

Stück einen wesentlich größeren Geil des Körpers erzeugt als das innere.

Jetzt stelle man sich vor, daß bas Rechteck nur ein kleines Stückchen gedreht wirb. Dann entsteht ein keilförmiger Körper. Don dem, was außen mehr liegt, werbe durch einen Schnitt parallel zu einer Seitenfläche ein Stück abgeschnitten und innen zugelegt. Dann entsteht offenbar, falls nur die Drehung klein genug war, gerade ein Prisma, dessen Grundfläche das Rechteck, und dessen höhe das Wegstückchen ist, welches a b zurückgelegt hat. Fährtman so fort, so erhält man einmal ben aus lauter kleinsten Teilchen gebildeten ganzen Umdrehungskörper. Anderseits aber kann man aus den verwandelten kleinen Stückchen ein Prisma von genau gleicher Größe aufbauen. Dieses hat als Grundfläche das Rechteck und als ganze höhe den von a b zurückgelegten weg. Daher ist sein Inhalt ebenso wie der des Umdrehungskörpers gleich dem Produkt aus dem Inhalt des Rechtecks multipliziert mit dem weg des Mittelpunktes (offenbar braucht man das Rechteck nicht einmal ganz herumzudrehen, obige Betrachtung gilt auch, wenn nur ein Teil der Kreisbahn zurückgelegt ist). wählt man statt des Rechtecks eine beliebige andere Fläche, die einen Mittelpunkt besitzt, z. B. einen Kreis oder eine Ellipse, so ändert sich nichts an der Überlegung.

Ist die erzeugende Fläche von beliebiger Gestalt, so mag man sie auf Millimeterpapier gezeichnet denken. Dann beschreibt jedes der bedeckten Quadrate einen Körper, dessen Inhalt, wie oben gezeigt, berechnet werden kann. Uber die Mittelpunkte der außen liegenden Quadrate beschreiben größere, die der innen liegenden kleinere Wege. Statt einen Teil der Quadrate mit den größeren und einen Teil mit den kleineren wegen zu multiplizieren, kann man sie alle zusammen, also auch den ganzen Flächeninhalt, mit dem mittleren Wege multiplizieren. Der Punkt, der diesen mittleren weg beschreibt, ist der wohl von der Physik her bekannte Schwerpunkt der Fläche, wie er durch Rechnung gefunden werden kann, muß hier übergangen werden. Annähernd kann man ihn finden, wenn man die Fläche aus Pappe ausschneidet und versucht, sie auf einer Nadelspitze schwebend ins Gleichgewicht zu bekommen. Da, wo in dies m Falle die Nadelspitze die Fläche trägt, liegt der Schwerpunkt. Besitzt eine Fläche einen Mittelpunkt, so ist dieser gleichzeitig der Schwerpunkt.

Die geschilderte Methode zur Berechnung vom Volumen der Umdrehungskörper heißt die Guldinfche Regel. Sie läßt sich kurz so aussprechen:

Der Inhalt eines Umdrehungskörpers ist gleich dem Produkt aus

dem Inhalt der erzeugenden Fläche multipliziert mit dem weg, den der Schwerpunkt der Fläche bei der Umdrehung zurückgelegt hat.

Durch ganz entsprechende Betrachtungen erhält man unmittelbar die zweite Guldinsche Hegel für die Berechnung der Oberfläche des Umdrehungskörpers:

Die Oberfläche eines Umdrehungskörpers ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie multipliziert mit dem weg. den der Schwerpunkt der Linie bei der Umdrehung zurückgelegt hat')

Die Umdrehungskörper find in der Praxis von größter Wichtigkeit, so daß die Guldin scheu Hegeln außerordentlich oft verwendet werden.

Die Zimpsonsche Regel. Da es mehr darauf ankommt, allgemeine Hegeln zur Hörperberechnung kennen zu lernen, während die Herleitung jeder einzelnen Formel weit weniger interessiert, so sei an die Spitze der weiteren Betrachtungen eine solche Hegel gestellt, die nicht nur zur Berechnung der fünf einfachen Hörper: Prisma. Zylinder, Pyramide, Hegel und Hügel, hinreicht, sondern noch in sehr vielen anderen Fällen herangezogen werden darf. Es ist die Simpsonsche Hegel, die auf die Ebene schon im vorigen Abschnitt angewendet wurde. Im Raume heißt sie so: ein Hörper möge parallele Grund- und Deckfläche, G und D, besitzen, seine höhe sei h, und durch die Mitte dieser höhe werde ein zur Grund- und Decksläche paralleler Schnitt, der Mittelschnitt vom Flächeninhalt M gelegt, dann ist das Volumen: f

V = g (G + 4 M + D).    j

Jedoch gilt diese einfache Hegel nicht für alle Hör- l per. wichtige Beispiele sind zunächst die oben ge- p nannten fünf einfachen Hörper. Ferner gilt sie immer j J dann, wenn Grund- und Deckfläche irgendwelche (p Vielecke sind, während die Zeiten des Hörpers aus \

Dreiecken oder Vierecken gebildet sind. Ein solcher ^

Fig. 127.

Hörper wird wohl ein prismatoid genannt,- in Fig. 127 ist ein einfaches Beispiel gezeichnet. Diese wenigen Beispiele mögen genügen?)

1)    Die Schwerpunkte der erzeugenden Fläche bzw. Linie fallen im allgemeinen nicht zusammen. Bei den Flächen, die einen Mittelpunkt besitzen, ist es immer der Fall.

2)    Ob ein Körper nach der Simpsonschen Hegel berechnet wenden darf oder nicht, erkennt man so: Man drückt einen beliebigen parallel zur

IV. Körpermessung

©:

5. Pyramide, Kegel, Kugel. Jetzt soll gezeigt werden, wie diese Simpfonfcfye Regel anzuwenden ist. Zuerst einmal beim Prisma. Bet ihm sind Grundfläche, Rtittelschnitt und Decksläche nach der Rrt, wie es durch Verschiebung der Grundfläche erzeugt wurde, gleich groß. Bezeichnet man diese gleichen Flächen mit G, so liefert die obige Regel

V = g (G + 4 G + G) = I? 6 G = G h.

Das ist aber die schon oben gefundene Formel.

-\

verbindet man die Punkte des Umfangs von irgendeinem ebenen Vieleck mit einem außerhalb der Ebene liegenden Punkte, so entsteht eine Pyramide. In Fig. 128 ist eine solche gezeichnet. Die zur Grundfläche parallelen Querschnitte sind alle untereinander ähnlich. Ihre Inhalte nehmen regelmäßig mit der höhe ab.

Fig. 129.

Fig 128.

In halber höhe sind die Beitendes Querschnittes nur noch

Fig.lZO.

halb so lang wie die entsprechenden der Grundfläche, dann aber ist der Inhalt nur der vierte Teil der Grundfläche. Darauf wurde schon im vorigen Abschnitt hingewiesen. Fig. 129 mag es noch einmal erläutern. Das Rechteck mit halber Seitenlange kann offenbar viermal in das ganze Rechteck hineingelegt werden. Rennt man die Grundfläche der Pyramide wieder G, dann ist also der Rlittelschnitt | G. Die Decksläche ist zu einem Punkt zusammengeschrumpft, also 0. Deswegen liefert die Simpsonfche Regel:

V = ^|g -f 4 • G + oj = ^ Gh = y Gh.

Ist die Grundfläche, wie in Fig. 130, ein Kreis, so entsteht der Kreiskegel mit der Grundfläche 7t r² und dem Inhalt

V = ~ n r² h.

____________________ 0

Grundfläche gelegten (Querschnitt Q in der höhe y als Funktion von y aus. Dann muß der chuerschnittsinhalt die Form haben Q = a + by + cy²+dys,

wo a, b, c, d Konstanten sind und y nur mit positiven ganzen Exponenten bis 3 vorkommt.

Endlich soll noch die Kugel berechnet werden. Da sind, wie Zig. 131 zeigt, sowohl die Grund- als auch die Deckfläche zu einem Punkt zusammengeschrumpft, also 0. Der Mittelschnitt ist ein Kreis, dessen Radius zugleich der Kugelradius ist, und die höhe ist der Durchmesser der Kugel, ctlfo ist der Inhalt

5ig.i3i.

V = ™ (0 + 4 « r² + 0) = g « r⁸.

Zum Schlich sei noch erwähnt, daß die Oberfläche der Kugel genau so groß ist wie der Mantel des umbeschriebenen Zylinders, wie er in Fig. 132 gezeichnet ist; also nach dem schon oben Gesagten F = 2jtr-2r = 4jtr²,

5tg. 132.

da die höhe, des Zylinders 2 r ist. Ferner kann auch noch in einfacher Meise der Mantel des geraden Kreiskegels, also eines solchen, dessen Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt, berechnet werden. Schneidet man diesen Mantel auf und breitet ihn in einer Ebene aus, so erhält man den in Fig. 133 gezeichneten Kreisausschnitt. Dessen Inhalt

ist a6er M=-^ 2«rs = «rs.

Denn derSnhalt eines Kreisausschnitts wird wie der eines Dreiecks berechnet?)    z

Die Grundlinie ist der Kreisbogen, der    Sig.m.

hier gleich dem Umfang des Grundkreises von dem Kegel ist, und die höhe ist der Radius des Kreisbogens, also hier die Seitenlinie s des Kegels.

man

von

6. Vas Volumen beliebig geformter Körper. Soll das Volumen eines Körpers ganz beliebiger Gestalt bestimmt werden, so kann annähernd zum Ziele kommen, wenn man ihn möglichst genau aus Körpern der oben besprochenen Rrt zusammengesetzt denkt. Damit kommt man in vielen Fällen aus, wo es sich nur um überschlägliche Berechnung handelt. Liegt ein fertiger Körper vor, so bleibt jene alte Methode, die schon Rrchimedes verwendete, als er die Krone des hiero Syrakus untersuchen sollte. Man füllt ein Gefäß genau bis zum

1) man sann den Kreisausschnitt in lauter schmale Dreiecke von gleicher Höhe zerlegt denken, die man addiert.

Rande mit Wasser und taucht dann den Körper hinein. Der Körper verdrängt eine wassermenge, die genau gleich seinem eigenen Volumen ist. Die übergeflossene wassermenge wird deshalb abgemessen oder abgewogen, dann ist auch das gesuchte Volumen bekannt. Bestimmt man nämlich das Gewicht in Kilogramm, dann erhält man sofort das Volumen in Kubikdezimetern, denn 1 cdm Wasser wiegt ja 1 kg; hat in Gramm gewogen, so ist das Volumen in Kubikzentimetern bekannt, weil 1 ccm Wasser 1 g wiegt. So besitzt man auch für die Körperberechnung eine Methode, die auf jeden noch so komplizierten Körper anwendbar ist. Bei der Herstellung des Körpers muß freilich ein Material verwendet werden, das nicht im Wasser löslich ist. Anbernfalls bliebe immer noch die Möglichkeit, eine andere geeignete Flüssigkeit statt Wasser zu wählen, von der man dann wissen mutz, wievielmal schwerer oder leichter sie als Wasser ist.

man

Sachverzeichnis.

Seite

Abtragen von Strecken . . . Abtragen von winkeln . . . A flniiät, perspektivische . . .

Ahnlichkeitszentrum.....

Asymptoten der Hyperbel . .

Aufriß.........

Augenpunkt........

Brennpunkt der Par ibel . . Brennpunkte der Ellipse . . Brennpunkte der hyperb . . Burmesterscher Kurven tz .

Distanz..........

Distanzpunkte.......

Dreiteilung des Winkels . . .

Ellipsenzirkel...... .

Entfernungsmesser, stereoskopischer ..........

Entfernungsschätzen.....

Fadenkonstruktion der Ellipse. Fadenkonstruktion der Hyperbel Fadenkonstruktion der Parabel

Flächenmaße........

Fluchtpunkt . #.......

Funktionsskala.......

Gleichseitige Hyperbel. . . .

Goldener Schnitt......

Grundriß ........

Guldinsche Regeln.....

halbieren von Strecken . . .

Hauptpunkt........

Höhenlinien........

Horizont.........

Inhalt vom Dreieck.....

Inhalt vom Kreis.....

to

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Seite

Inhaltsbestimmung durch Abzählen .........

Inhaltsbestimmung durch Projektion .........

Inhaltsbestimmung durch Wägung ..........

Kurvenausgleichung, graphische 25 Kurvimeter . .

Längenmaße. .

Lote.....

Loxodromen . .

Me > tatorkarte Niveaulinien. .

Nomogramm. .

Nomographie .

Normalnullpunkt Pantogroph

Papier treisenkonstruktion der Eütpse.........

78

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26. 43

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29

. 43

25

25

. 42

31

18

Seite |

Seite

parallelen. . .

Parallelprojektion Perspektograph von Hauck. . 67 Photogrammetrie .    . . . 35. 68

Polarplanimeter Profil eines Gebirges .... 47 Profil eines Weges Projektion.... Projektionsstrahl .

Rechteck schönster Form ... 14 Schiefe parallelprojektion . . 38 Schichtenlinien Schrägriß . .

Sehstrahl . .

Simpsonsche Hegel. . 86. 88. 99 Spiegellineal. .

Spur einer Ebene Spurpunkte einer Geraden . .    54

36

90

49

36

36

43

38

36

22

54

Stangenplammeter . . StereoautograpI) . . . Stereokomparator. . . Storchschnabel .... Tangentenkonslruktionen Teilung einer Strecke . Teilung eines Winkels Teilungspunkt ....

Trapezregel.....

Umdrehungskörper . . Vielecke, regelmäßige -Vogelperspektive . . . Volumen der Kugel. . Volumen des Prismas Volumen der Pyramide Winkelfunktionen . . . Zentralprojektion . . . Zentralriß......

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11

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101

96

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37. 57

Geometrisches Zeichnen, von Zeichenlehrer fl. Schudeiskq. Mit Abbildungen. (flflu© Bö. 568.) Geh. M. 1.20, geb. M. 1.50

Da das geometrische Zeichnen die Grundlage alles weiteren Zeichnens bildet, so ist das Büchlein für Anfänger im Zeichnen mit Schiene, Dreieck und Zirkel bestimmt. Ls bietet zuverlässige Belehrung über die wichtigsten geometrischen Konstruktionen, deren Anwendung und die zeichnerische Darstellung flächenhafter Gebilde in verschiedenen Maßstäben.

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Zeichenschlüssel, von Oberlehrer Dr. v. h ortig. Mit 12 Tafeln als Anleitung zur Vorstellung von Zeichnungen der hoch- und Tiefbauer. (Leitfäden für Baugewerkschulen Bd. 44.) Steif geh. ITT. 1.20, geb. ITT. 1.60.

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Graphische Methoden. Von Geh. Reg. Rat Prof. Dr. C. Runge. Mit 94 Fig. i. Text. (Sammlg. math. phys. Lehrbücher 18.) Geh. Jt. 4.40, geb. ^ 5 —

Einführung in die Nomographie. Von

Oberlehrer P. Luckey. l.Teil: Die Funktionsleiter. Mit 24 Fig. i. Text u. 1 Taf. - Math.-phys. Bibi. Bd. 28.) Kart. Jt. 1.—. II. Teil: Die Zeichnung als Rechenmaschine. Kart Jt. 1.— Behandelt in anschaulicher Form die verschiedenen Funktionsleitern und Funktionsskalen,^mit deren Hilfe man an Stellen langwieriger rechnerischer Arbeiten die Lösungen mit der hinreichenden Genauigkeit aus graphischen Tafeln ablesen kann. Ein II. Teil soll die „Zeichnung als Rechenmaschine“ behandeln.

Über die Nomographie v.M.d’Ocagne. Von Geh. Reg. Rat Prof. Dr. Friedrich Schilling. Eine Einführung in dieses Gebiet. Mit 28 Abb. 2. Aufl. geh. M. 2.20

„Die Nomographie, welche ihrer klaren Darstellung wegen eine bequeme Einführung in dieses Gebiet bietet, und insbesondere im Schlußparagraphen, theoretisch interessante Ausblicke gewährt, verdient nicht nur die Beachtung des reinen Mathematikers wie der Vertreter der verschiedenen Gebiete angewandter Mathematik, sondern kann auch si her für den Unterricht, insbesondere den an techn. Mittel- und Hochschulen, fruktifiziert werden.“ (Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftl. Unterricht.)

Funktionentafeln mit Formeln und Kurven. Von Geh. Bergrat Prof. Dr. E. Jahnke u. Prof. F. Emde. Mit 43 Figuren. (Samml. math. phys. Lehrbücher 5.) Geb. JL 6.— „Mit der Herausgabe des vorliegenden Bandes... haben sich die Vers, ein großes Verdienst erworben. Diese Formelsammlung füllt eine weite Lücke in der Literatur aus, und zwar insofern, als das bisher in Büchern und Zeitschriften zerstreute umfangreiche Material hier zum ersten Male systematisch zusammengestellt worden ist. Der Stoff ist in übersichtlicher Weise verteilt.. . Das Buch wird ohne Zweifel den Studierenden der technischen Hochschule große Dienste leisten, und es sei deshalb ihrer Beachtung bestens empfohlen“...

(Mathe m. - Naturwissenschftl. Blätter.)

„Dar Buch wird allen von größtem Werte sein, denen die Mathematik nicht bloß dazu dient, Existenzfragen zu erledigen, sondern denen es auf ziffernmäßige Angabe der Ergebnisse ankommt und auf deren möglichst rasche und übersichtliche Herlcitung.“

(Archiv d. Mathematik u. Physik.)

Die graphische Darstellung. Von Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach. Mit 100 Abb. (ANuGe Bd. 437.) Geh. Jt. 1.20, geb. Jt. 1.50 „Das Buch verdient seiner ganzen Anlage nach wie auch nach seiner Durchführung bis 1 ins Einzelnste hinein unsere vollste Bewunderung. Die Darstellung ist so vortrefflich, daß der Laie nach der genußreichen Lektüre dieses kleinen Bändchens bereits alles Wesentliche der Methode versteht und ihm die im täglichen Leben wie auch in den mannigfachsten Wissenszweigen immer mehr Ausdehnung gewinnende graphische Darstellung von nun an sehr willkommen sein wird.“

(Die Lehrmittel der dtsch. Schule.)

Vierstellige Zahlen zum logarithm. Rechnen u. Zahlenrechnen für Schule U. Leben. In neuer Anordnung zusammengehe lt vo 1 Oberl. Dr. Ph. Lötzbeyer, Mit i Proportionstafel. Steif geh. Jt. 1.40 In neuartiger, ein Höchstmaß von Übersicht und Kürze erreichender Anordnung zusammengestellte Logarithmen- u. Zahlentafeln für die Schule und das praktische Leben mit Anweisung iür ihren praktischen Gebrauch wie zur Verwendung des Rechenschiebers.

Logarithmen- u. Kurventabellen für den Gebrauch an Tiefbauschulen. Von Prof. M. Girndt u. Oberl. Liebmann. Mit 4 Fig. Steif. geh. Jt. 1.20

Leitfaden zum graphischen Rechnen. Von Prof. Dr. Rudolf Mehmke. Mit 121 Fig. i.Text u. einer Additions- u. Subtraktionskurve als Beilage. (Sammlg. math. phys. Lehrbücher 19.) Geh. Jt. 4.80. geb. Jt. 5.40 „Alle diejenigen, die beim Ausüben ihres Berufes nicht dabei stehen bleiben können, Aufgaben der Algebra und Analysis allgemein in Buchstaben zu lösen, sondern die Lösung bis zum Erlangen von Ergebnissen in Ziffern fortführen müssen und sich dabei graphischer Methoden bedienen wollen, werden von der Durcharbeitung des Leitfadens reichen Nutzen haben.“ (Dinglers Polytechn. Journal.)

„Die vorliegenden Tabellen sind zwar für den Gebrauch an Tiefbauschulen bestimmt, eignen sich aber auch sehr gut für den Gebrauch an Maschinenbauschulcn.“

(Die Roehren-Industrie.)

Mathematische u. technische Tafeln. Von Prof. M.Girndt, Oberlehrer A. Lieb-mann und Oberlehrer Dr. Nitzsche. Mit 90 Abb. Geb. Jt. 2.40

(Beton u. Eisen.)

„Bestimmt für den Unterricht an Fachschulen stellt das Büchlein eine geeignete Zusammenstellung dar, welche die auf diesen Gebieten bestehenden Bedürfnisse berücksichtigt. Der Inhalt ist sorgfältig durchgearbeitet und dem neusten Stande des Bauwesens Rechnung getragen.“

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JKonstruktionen in begrenzter Ebene. Von Dir. Dr. P. Zühlke. Mit 65 Fig. (Math.-phys. Bibi. Bd. 11.) Kart. Ji. 1.—

„Selbst erfahrene Fachmänner auf diesem Gebiete werden gewiß Neues finden, so die Hinweise auf die ältesten, bei den Aufgaben in Frage kommenden Fachschriften und einige Konstruktionen, die überhaupt noch nicht veröffentlicht worden sind... Druck und Ausstattung sind tadellos. Es kann Interessenten wärmstens empfohlen werden.“

(Ö sterr. Zeit sehr. f. Vermessungswes.)

geben.“

Darstellende Geometrie. Von Prof. Dr. M. Groß mann. Mit 109 Fig. (Teubners techn. Leitfäden.) Ji 2.80

„Großmann hat sich in erster Linie bemüht, die darstellende Geometrie als Methode zu lehren und bringt zu diesem Zwecke eine knappe Anzahl typischer Überlegungen und , Konstruktionen, die er mit der für das Verständnis erforderlichen Ausführlichkeit behan-handelt. Das Werk wird dem zukünftigen Ingenieur zur Einführung in die Hochschul-Vorlesungen über darstellende Geometrie und ebenso bei den Prüfungen gute Dienste leisten/6 (Technische Mittelschule.)

Darstellende Geometrie. Von Prof. Dr.

J J. Hjelmslev. Mit 305 Fig. (Handbuch d. angew. Math. Bd.II.) Geh. Ji. 5.40, geb. Ji. 6.—

„Das vorliegende Werk ist von dem Gesichtspunkte aus entstanden, daß die darstellende Geometrie dazu berufen sein könnte, die naturgemäße Einleitung zum Studium der'höheren Geometrie zu bilden.

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Elementargeometr. Konstruktionen.

Ausführung bei ungünst. Lageverhältnissen. V.Dir. Dr.P.Zühlke. Mit 55 Fig. Kart.^.i.-

Elemente d. darstellenden Geometrie.

V. Prof. Dr. R.Stur m.M. 6iFig. u. 7 lithograph. Taf. 2., umgearb. und erw. Aufl. Geb. JI. 5.60 „Das Buch macht einen sehr guten Eindruck. Es nimmt keinen einseitigen Standpunkt ein und berücksichtigt neben der Theorie auch die praktische Durchführung; es zeichnet sich durch angemessene Kürze aus u. ist dabei doch klar u. verständlich.“

(Zeitschrift f. Realschulwesen.)

Elemente d. darstellenden Geometrie-

Von Prof. Dr. Marcel Großmann. Mit 134 Fig im Text. (Teubners technische Leitfäden.) Steif geh. Ji. 2.—

„Die Behandlung ist klar und recht ausführlich und wird durch vorzügliche Abbildungen unterstützt. Eine große Zahl von Aufgaben ermöglichen dem Leser, das Durchgearbeitete tatsächlich anzuwenden. Das Werk wird nicht nur dem Studierenden nützlich sein, sondern auch dem Lehrer manch wertvolle Anregungen (Technische Mittelschule.)

Lehrbuch d. darstellenden Geometrie

für technische Hochschulen. Von Hofrat Prof. Dr. E. Müller. 2 Bände. Mit vielen Textfiguren und Taf. I. Band. 2. Auflage. Geh.

geb. ca. M. 16.—. II. Bd. Geh.

Auch in 2 Heften: 1. Heft, geh. Ji. 4.40, 2. Heft, geh. Ji. 8.40 „Jedem, der sich gründlich mit dem Gegenstände vertraut machen will, kann das ausgezeichnete Werk aufs wärmste empfohlen werden.“ (Archiv d. Mathem. u. Physik.)

Vorlesungen über darstellende Geometrie. Von Prof. Dr. F.v.Dalwigk. 2 Bde. Mit zahlr. Fig. im Text u. auf Tafeln. I. Bd.: Die Methoden der Parallelprojektion. Geb. Ji. 13.— II. Bd.: Die Perspektive. Geheftet Ji. 10.—, gebunden ji. 11.—

„In ebenso klarer, verständlicher und ausführlicher Weise wie im I. Bande die Parallelprojektion behandelt wurde, wird im vorliegenden Schlußbande die Zentralperspektive vorgetragen und durch saubere und sorgfältig ausgeführte Zeichnungen erläutert.“

(Archiv d. Mathem. u. Physik.)

Darstellende Geometrie d. Geländes. Von Prof. Dr. R. Rothe. (Math.-phys. Bibi. Bd. 14.) Kart. Ji. 1.—

„Die vielseitigen Anwendungen machen die Lektüre des Bändchens auch für denjenigen reizvoll, der mit den Methoden der darstellenden Geometrie im allgemeinen vertraut ist.“ (Archiv d. Mathem. u. Physik.)

Lehrbuch der praktischen Geometrie,

bearb. f. d. Unterricht an Baugewerkschulen u. techn. Mittelschulen sowie f. d. Gebrauch in der Praxis. Von Dr. M. Doll u. Reg.-Bau-meister Prof. P. Nestle. 2. Aufl. Mit 145 Fig. Geh. Ji. 3.20, geb. Ji. 3.80 „Für Fachleute wird das Buch ein wertvoller Berater und Helfer sein und ihnen auch beim Selbstunterricht wertvolle Dienste leisten. Das. treffliche Buch sei angelegentlich empfohlen.“ (Dtsche Töpfer- u. Ziegler-Zeitg.)

Lehrbuch der elementaren praktischen Geometrie (Vermessungskunde). Bd. I (Feldmessen u. Nivellieren) des Lehrbuchs f. Vermessungskunde, besonders für Bauingenieure. Von Prof. Dr. E. Hammer. Mit 500 Figur.

„Der Verfasser will ein Buch liefern, daß den Anfänger gründlich unterrichtet und ihm in allen Fällen Rat und Hilfe leistet. Das ist ihm gelungen. Auf jeder Seite findet der Anfänger in klarer Darstellung etwas Neues, was ihm Freude macht, und an lehrreichen Beispielen fühlt er seine Kenntnisse wachsen/6 (Deutsche Literaturzeitung.)

sonderer Wert wird darauf gelegt, die Meßgeräte auf ihre Richtigkeit zu prüfen. Der Allgemeine Kartenkunde.

Feldmessen und Nivellieren. Von Grundzüge der Geodäsie mit Einschluß

Direktor Prof. G. Volquardts. (Leitfaden der Ausgleichungsrechnung. Von Prof. Dr-f. Baugewerkschulen Bd. 13.) 3. Ausl. Mit M. Näbauer. (Handbuch d. angew, Math-38 Figuren. Steif geh. M —.80    J3d. III.) Geh. M. 9.    . geb. M. 9.60

Der Verfasser hat sich auf die Besprechung „Die Darstellung ist klar und ubers,chtl.ch, rein feldmesserischer Arbeiten einfachster Art d,e Figuren sind vortrefflich und belehrend beschränkt, wie sie der Hochschulbautechniker    auch die Rechuungsbe,spiele durften sehr ■

in der Praxis öfters auszuführen hat. Ein be- willkommen .-“^^net^angeordnet. .

Ein Abriß I

Prüfung und Berichtigung der Meßgeräte ist ihrer Geschichte und ihrer Methoden. Von daher in dem vorliegenden Leitfaden aus- Dr.H. Zondervan. Mit 32 Eig. Geh.^.4.60, führlich gedacht.    geb. Jt. 5.20.

Das Feldmessen d. Tiefbautechnikers. „Das Buch ermöglicht so jedem, sich rasch Von Dipl.-Ing. Prof. H. Friedrichs. (Leits. ein tieferes Verständnis für die Karte, ihre 1 f. Baugewerkschulen Bd. 14 u. 22.) In zwei Entstehung, ihren Wert und ihre Benutzung | Teilen. Teil I: Reine Flächenaufnahmen. zu verschaffen. Es wird daher für den Ofh- I 2. Ausl. Mit 177 Figuren und 1 farbigen Plan. zier wie für den Lehrer der Geographie sowie 1 Steif geh. Jt 3.20. Teil II: Flächen- und für jeden, der die Karte oft verwendet, ein Höhenaufnahmen. Mit 92 Figuren und drei unentbehrliches Hilfsmittel sein Tafeln. Steif geh. M 2.80    (Bayr. Zeitschr. f. Realschulwesen.)

„Der Stoff ist mit Sorgfalt bearbeitet und Vcrmessungs- U. Kartenkunde. (ANuG gut eingeteilt. Da auch die Ausstattung gut 7 Bde.) Jeder Band mit Abb. Geh. je Jt. 1.20, und der Preis angemessen gestellt ist, können ^b. je Jt. i.ZO

wir die Schrift gern empfehlen.“    Geographische Ortsbestimmung. Von Prof.

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'Lehrbuch d. Vermessungskunde. Von Erdmessung. V.Prof.Dr. Osw. Eggert.(607.) j Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. B aule. Mit Landmessung. Von Steuerrat Sucko w. (boS.)

280 Fig. 2. Aul Geb. M 8.80    Ausgleichungsrechnung. Von Geh. Reg.-Rat

Das Buch soll dem Studierenden alles bieten, Eros. E. Hegemann. (    .    09.)    .

was in die niedere Vermessungskunde gehört, Photogrammetrie und Sjereophotogrammetrie. | und dem Lehrer die Möglichkeit geben, bei Von Dipl.-Ing. H. Lus eher ßd 610 ) Zugrundelegung eines Lehrbuches den Stoff zu Kartenkunde. Von Finanzrat DrMngenieur beWn und durch Beispiele zu eHäuteru. A. Euerer.

.Leitfaden der technisch wichtigen nahme). (Bd. 611/612.)

Kurven. Von Oberlehrer Dr. F. Ebner. Karte u. Kroki. Von Dozent Dr. H. Wolfs. Mit 93 Fig. Geb. Jt 4.    Mit 47 Fig. (Math.-phys. Bibi. Band 27.) Jt. 1.—

Das Buch ist außerordentlich klar ge- ^ ^ten Teil wird ein Überblick über schnoben undjedem Techniker warm zu emp- alle Arbeiten gegeben, die zur Herstellung fehlen, der sich mit den kinematischen Pro- ^rer Generalstabskarten nötig sind. Auch Diemen, ohne deren Kenntnis die Bewegungen ^ ßenut der Karten, das Kartenlesen der Maschinen unverständlich sind, emge- wird ei hend erklärt. Der zweite Teil be-

?Ze?tschHn?üTgewerbl. Unterricht.)    --Ankertigung von Skizzen

Geodäsie. Eine Anleitung zur geodät. Mess.

„ n    T TT TT ,    Das militärische Aufnehmen. Unter |

f. Anfänger. Von Prof Dr.-Ing.H. Hohenner. b^ond. Berücksichtigung d. Arbeiten d. Kgl. |

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„Der Autor nennt seine Geodäsie“ eine „ber photogrammetrie und über die topogr. 1 Anleitung für Anfänger; ich glaube sie darf als Arbeiten Deutschland benachbarter Staaten, f Nachschlagebuch warm empfohlen wer den...“ Nach den auf der Kgl. Kriegsakademie ge- | (Zt.d.Vereinsd.h.bayr.Verme ssungsb.) haltenen Vorträg, bearbeit von Generalmajor | Einführung in die Geodäsie. Von Prof. Bruno Schulze. Mit 129Abb. Geb.M.8.— 1 Dr. O. Eggert. Mit 237 Fig.i.T. Geb. Jt. 10.— „Das Buch wird nach meiner festen Über-„Das in prägnanter Kürze eine ungeahnte Zeugung auch in nichtmilitärischen Kreisen - J| Fülle des Wissenswerten zusammenfassende Verbreitung finden und bei allen, die sich mit -Buch wird ein vorzügliches Hilfsmittel in der Topographie und Kartographie beschäftigen, . Hand der Studierenden sein.“    das lebhafteste Interesse erwecken.

(Archiv der Mathematik und Physik.)    (Zeitschr. f Vermessungswesen.,

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