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p. Crantz

Ebene Trigonometrie

zum Selbstunterricht

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Verlag von B. G. Teubner in Leipzig

Die Sammlung

„Aus Natur und Geisteswelt"

verdankt ihr Entstehen dem Wunsche, an der Erfüllung einer bedeutsamen sozialen Aufgabe mitzuwirken. Sie soll an ihrem Teil der unserer Kultur aus der Scheidung in Kasten drohenden Gefahr begegnen helfen, soll dem Gelehrten es ermöglichen, sich an weitere Kreise zu wenden, und dem materiell arbeitenden Menschen Gelegenheit bieten, mit den geistigen Errungenschaften in Fühlung zu bleiben. Der Gefahr, der Halbbildung zu dienen, begegnet sie, indem sie nicht in der Vorführung einer Fülle von Lehrstoff und Lehrsätzen oder etwa gar unerwiesenen Hypothesen ihre Aufgabe sucht, sondern darin, dem Leser Verständnis dafür zu vermitteln, wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von allgemeinstem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem selbständigen Urteil über den Grad der Zuverlässigkeit jener Antworten zu befähigen.

Es ist gewiß durchaus unmöglich und unnötig, daß alle Welt sich mit geschichtlichen, naturwissenschaftlichen und philosophischen Studien befasse. Es kommt nur darauf an, daß jeder an einem Punkte die Freiheit und Selbständigkeit des geistigen Lebens gewinnt. In diesem Sinne bieten die einzelnen, in sich abgeschlossenen Schriften eine Einführung in die einzelnen Gebiete in voller Anschaulichkeit und lebendiger Frische.

In den Dienst dieser mit der Sammlung verfolgten Aufgaben haben sich denn auch in dankenswertester weise von Anfang an die besten Namen gestellt. Andererseits hat dem der Erfolg entsprochen, so daß viele der Bändchen bereits in neuen Auflagen vorliegen. Damit sie stets auf die höhe der Forschung gebracht werden können, sind die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert, sondern werden — was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht — bei jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt.

So sind denn die schmucken, gehaltvollen Bände durchaus geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürf-. niste nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch den billigen preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig Begüterten, sich eine kleine Bibliothekzu schaffen, die das für ihn wertvollste „Aus Natur und Geisteswelt" vereinigt.

Die

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

lden M. 1.25

Jedes Bändcher

Jedes Bändchen geheftet M.I.—, in Leinw. gebunden ITC. 1.25

Mathematik. Astronomie.

Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Rltertum.

von Prof. Dr. Ioh. L. heiberg. (Bd. 370.)

Arithmetik und Rlgebra zum Selbstunterricht, von Prof. Dr. P.Lrantz. 2 Bde. Mitzahlr.Zig. (Bö. 120, 205, auch in 1 Bö. geb.)

I.    Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. 2. Rufi.

mit 9 Zig. (Bö. 120.)

II.    Teil: Gleichungen. Rrithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 3. Ruft. Mit 23 Fig. (Bö. 205.)

Planimetrie zum Selbstunterricht, von Prof. Dr. p. Crantz. Mit 99 Zig. (Bö. 340.)

Trigonometrie zum Selbstunterricht, von Prof. Dr. p. Crantz. Mit Zig. (Bö. 431.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung mit einer historischen Übersicht, von Prof. Dr. G. Kowalervski. 2. Rufi. Mit 18 Fig. (BÖ. 197.)

Differential- u. Integralrechnung, von Dr. M. Lindow. (Bö. 387.) Matze und Messen, von Dr. W.Block. Mit 34 Rbb. (Bö.385.)

Praktische Mathematik, von Dr. R. Reuendorff. I. Teil: Graphisches u. numerisches Rechnen. Mit 62 Zig. u. 1 Tafel. (Bö. 341.) Mathematische Spiele, von Dr. £D. Rhrens. 2. Rufi. Mit 70 Zig. (Bö. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien, von Dr.

M. Lange. Mit Öen Bildnissen GE. Lasters und p. Morphps, 1 Schachbreitafel u. 43 Darft. von Übungsbeispielen. (Bö. 281.)

Der Bau des Weltalls, von Prof. Dr. J. Scheiner. 4. Rufi. Mit 26 Zig. (Bö. 24.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit, von Prof.

Dr. 5. Oppenheim. 2. Rufi. Mit 24 Rbb. (Bö. 110.) Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. von Prof. Dr. B. Weinstein. 2. Rufi. (Bö. 223.) Probleme der modernen Rstronomie. von Prof. Dr. 5. Oppenheim. (Bö. 355.)

Die Sonne, von Dr. R. Krause. Mit zahlr. Rbb. (Bö. 357.) Der Mond, von Prof. Dr. J. Franz. Mit 31 Rbb. (Bö. 90.) Die Planeten, von Prof. Dr. B. Peter. Mit 18 Zig. (Bö. 240.) Rstronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben, von Prof. Dr. R. Marcuse. Mit 26 Rbb. (Bö. 378.) anu(5 10: Mathematik. 6.13.

Philosophie.

Einführung in die Philosophie, von Prof. Dr. R. Richter.

3. Rufi, von Dr. ITT. Brahm. (Bb. 155.)

Die Philosophie. Einführung in die Wissenschaft, ihr Wesen und ihre Probleme, von Realschuldir. H. Richert. 2.Rufi. (Bb. 186.)

Führende Denker. Geschichtliche Einleitung in die Philosophie.

von Prof. Dr. 3. Lohn. 2. Rufi. Mit 6 Bildn. (Bd. 176.) Griechische Weltanschauung, von privatdoz. Dr. ITT. wundt. (Bd. 329.)

Entstehung der Welt und der Lrde. von Prof. Dr. B. Weinstein. 2. Rufl. (Bd. 223.)

Die Weltanschauungen der großen Philosophen der Neuzeit, von weil. Prof. Dr. L. Busse. 5. Rufl., herausgeg. von Prof. Dr. K. Falckenberg. (Bd. 56.)

Rousseau, von Prof. Dr.p.hensel. 2. Rufl. MitlBildn. (Bb.180.) Immanuel Kernt. Darstellung und Würdigung, von Prof.

Dr. 0). Külpe. 3. Rufl. Mit 1 Bildn. (Bd. 146.) Schopenhauer. Seine Persönlichkeit, seine Lehre, seine Bedeutung.

von Realschuldirektor H. Kichert. 2. Rufl. Mit 1 Bildn. (Bb.81.) Herbarts Lehren und Leben, von Pastor <D. Flügel. Mit 1 Bildn. (Bb. 164.)

Herbert Spencer, von Dr.K. Schwarze. Mit 1 Bildn. (Bd. 245.)

Die Philosophie der Gegenwart in Deutschland. Eine Lha-rakteristik ihrer Hauptrichtungen. von Prof. Dr. ©. Külpe. 5. Rufl. (Bd. 41.)

Aesthetik, von Dr. R. Hamann. (Bb. 345.)

Prinzipien der Lthik. von E. wentscher. (Bd. 397.)

Aufgaben und Ziele der Menschenlebens, von Dr. I. Unold.

3. Rufl. (Bd. 12.)

Sittliche Lebensanschauungen der Gegenwart, von weil. Prof. Dr. (D. Kirn. 2. Rufl. (Bb. 177.)

Das Problem der Willensfreiheit, von Prof. Dr. G. F. Lipps. (Bd. 383.)

Die Seele des Menschen, von Prof. Dr. I. Rehmke. 4.-Rufl. (Bd. 36.)

Die Mechanik des Geisteslebens, von Prof. Dr.M.verworn.

2. Ruff. Mit 18 Fig. (Bd. 200.)

Psychologie des Kindes, von Prof. Dr. R. Gaupp. 3. Ruft. Mit 18 Rbb. (Bd. 213.)

Hypnotismus und Suggestion, von Dr. E. Erömner. (Bb. 199.)

Sammlung wissenschaftlich - gemeinverständlicher Darstellungen

Rus Natur und Geisteswelt

431. Bändchen

Ebene Trigonometrie

zum Selbstunterricht von

Paul Lrantz

Professor am Kskanischen Gymnasium zu Berlin

Mit 50 Figuren im Text

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Druck und Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin 1914

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Copyright 1913 by B. G. Teubner in Leipzig.

Rite Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Vorwort.

Die freundliche Aufnahme, welche meine für den Selbstunterricht bestimmten Bändchen über einzelne Gebiete der Elementarmathematik gefunden haben, hat mich veranlaßt, auch die Trigonometrie für denselben Zweck zu bearbeiten. Ich habe wieder versucht, ben Stoff möglichst einfach und leicht verständlich zu behandeln und durch zahlreiche Beispiele, die vielfach den Anwendungen der Trigonometrie angehören, zu erläutern.

Berlin-Friedenau, im Mai 1915.

P. Crantz.

26

. 33

35

42

50

Inhalt.

Seite

62

72

89

Seite

Erster Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen und die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke.

§ 1. Einleitung § 2. Vas Messen. Ulaßzahl und

Verhältnis.....2

§ 3. Beziehungen zwischen den Leiten und winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks . 4 § 4. Der Linus eines Winkels 5 § 5. Der Tangens eineswinkels 15 § 6. Der Kosinus und der Kotangens eines Winkels . 21 § 7. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen .......

§ 8. DieBestimmung eineswinkels aus einer Gleichung zwischen seinen Funktionen 28 § 9. Verwandlung der Funktionen eineswinkels in Funktionen des halben Winkels 30 §10. Berechnung geradliniger Figuren, die sich in kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegen lassen. .

Zweiter Abschnitt.

Die Funktionen stumpfer Winkel und die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.

§ 11. Vorbemerkungen ... 35 §12. Die Funktionen stumpfer

Winkel.......

§13. Der Linussatz .... 37 § 14. Die Mollweideschen Gleichungen und der Tangen-

tialsatz.......

§15. Inkreis, Ankreise und Inhalt des Dreiecks ... 45 §16. Die Berechnung der Winkel des Dreiecks durch die

Leiten.......

§ 17. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz und der Kosinussatz ...

§ 18. Berechnung eines Dreiecks mit Benutzung von Hilfsdreiecken .... 58 § 19. Aufgaben, die durch die Beziehungen zwischen den Dreiecksstücken auf einfachere zurückgeführt werden können.....60

Dritter Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkelund die graphische Darstellung der Funktionen.

§ 20. Winkel von beliebiger

Größe......

§ 21. Das rechtwinklige Koordinatensystem .... 63 § 22. Erklärung der trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel ... 65 § 23. Die Werte der Funktionen beliebiger Winkel 67 § 24. DieBestimmung derWin-kel durch Bogenmaß. Graphische Darstellung der Funktionen.....

vierter Abschnitt.

Die Additionstheoreme und ihre Anwendung.

§ 25. Formeln f. d Funktionen einer Summe oder Differenz von winkeln . . 75 § 26. Formeln für die Lumme

zweier Funktionen . . 78 § 27. Anwendungen der Additionstheoreme .... 80 § 28. Die trigonometrische Landesaufnahme .... 84 § 29. DieBestimmung dervrei-ecksstücke durch die Winkel und den Radius des

Umkreises.....

§ 30. Die Lösung trigonometrischer Aufgaben durch r und die Winkel ... 92

Erster Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen und die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke.

§ 1. Einleitung.

Eine wichtige praktische Anwendung findet die Mathematik bei der Bestimmung nicht unmittelbar meßbarer Entfernungen und höhen. Die erste berühmte Anwendung dieserArt machteEh ales(um 560 v.Ehr.), als er mit Hilfe der Tatsache, daß im gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel einander gleich sind, und ihrer Umkehrung die höhe einer ägyptischen Pyramide aus ihrem Schatten bestimmte (vgl.planimetrie*) §16,4). Auch dieRongruenzsätze gestatten die Ermittlung unzugänglicher Entfernungen auf der Erde. hierbei sind aber stets von den Dreiecken, in denen die zu bestimmende Entfernung eine Seite ist, einige Stücke zu messen, und dann ist ein Dreieck, das dem, in welchem die zu ermittelnde Strecke sich befindet, kongruent ist, abzustecken (vgl. Planimetrie §17,11). Aus diesem Dreieck wird dann die gewünschte Sänge durch Messung bestimmt. Diese Art der Entfernungsbestimmung setzt aber voraus, daß ein ebenes Gelände zur Absteckung des zweiten Dreiecks vorhanden ist.

Der pythagoreische Lehrsatz gab zuerst die Möglichkeit, ohne Zeichnung nur nach der Bestimmung der Sänge zweier Strecken durch Messung eine gesuchte Entfernung durch Rechnung zu ermitteln (vgl. Planimetrie § 32, 7). Die Anwendung des pythagoreischen Sehrsatzes war nicht mehr möglich, wenn es sich um die Bestimmung einer höhe handelte, da in diesem Falle stets nur eine Rathete des rechwinkligen Dreiecks, in dem die höhe die zweite Rathete war, gemessen werden konnte.

C§ bedeutete daher einen großen Fortschritt, als man die Abhängigkeit der Seiten eines Dreiecks von den winkeln, wie sie in der Ahn -lichkeitslehre behandelt wird, gefunden hatte. Nun war es möglich, höhen von Türmen, Felswänden usw., selbst solcher, an deren Fuß man

1) vgl. Crantz, Planimetrie zum Selbstunterricht (ANuG Bö. 340).

nicht gelangen konnte, zu bestimmen, auch Entfernungen zu ermitteln, ohne große und umständliche Konstruktionen auszuführen, wie sie die Kongruenzsätze verlangt hatten (vgl. Planimetrie § 41). Aber immer noch war ein dem gegebenen Dreieck ähnliches Dreieck in verkleinertem Maßstabe herzustellen, und in diesem waren Längenmessungen vorzunehmen. hierin liegt ein großer Nachteil dieser Methode. Kleine Fehler der Messung und Zeichnung, die nicht zu vermeiden sind, wachsen bei dem Grad der Verkleinerung, der angewendet werden muß, zu bedeutenden Fehlern an.

In der Astronomie stellte sich vor allem die Notwendigkeit heraus, nach anderen Methoden zu suchen, wir verdanken daher neue Mittel und N)ege, die bei der Berechnung der Dreiecke angewendet werden können, dem großen Astronomen des Altertums Claudius ptolemaeus (etwa 150 n. Chr.). Er entwickelt in der zweiten Hälfte des ersten Buches seines Alma gest die zur Astronomie nötigen Elemente der Dreiecksberechnung. Bemerkt fei nur noch, daß man die Lehre von der Berechnung der Dreiecke nach einem der griechischen Sprache entlehnten Worte Trigonometrie nennt. Dieses Wort ist zusammengesetzt aus dem Substantiv rQiynvov (trigonon), das Dreieck, und dem Verbum iietQeiv (metrein), welches „messen" bedeutet. Die zur Berechnung der Dreiecke eingeführten Großen nennt man die trigonometrischen Funktionen.

§ 2. Das Messen. JMaßzabl und Verhältnis.

1.Da§ Messen. Eine gegebene Streckemeffen heißt, einezweite Strecke von festgesetzter Länge (die Maßeinheit) auf ihr von dem einen Endpunkte bis zu dem anderen so oft abtragen, wie es geht, und dann angeben, wie oft das Abtragen möglich war.

Die Zahl, welche angibt, wie oft das Abtragen möglich war, heißt die Mahzahl derStrecke für die gewählteLängen-einheit.

Ist AB = a (Fig. 1) die zu messende Strecke und CD ----- e die Maßeinheit, so ist, wie man aus der Figur erkennen kann, die Maßzahl gleich 4. Es ist also a = 4 • e.

Allgemein ist, wenn a die zu messende Strecke, e die Maßeinheit 5 und n die Maßzahl ist, a = n • e.

$iQ. 1.

Aus dieser Gleichung folgt n = -

Man kann also die Maßzahl durch einen Bruch darstellen, dessen Zähler die Strecke ist, die gemessen werden soll, und dessen Nenner die Maßeinheit ist, mit der man die Messung ausführt.

2.    Abhängigkeit der Matzzahl einer Strecke von der Matzeinheit.

wenn man dieselbe Strecke mit verschiedenen Maßeinheiten mißt, so findet man auch verschiedene Maßzahlen. Ist z. B. eine Maßeinheit doppelt so groß wie eine zweite, so findet man für die erste Maßeinheit eine Maßzahl, die nur halb so groß ist wie die Maßzahl für die zweite Maßeinheit.

Die Maßzahl einer Strecke ist abhängig von der gewählten Maßeinheit und zwar ist sie um so kleiner, je großer die Maßeinheit ist.

will man durch die Maßzahlen von Strecken ein Mittel haben, die Längen der Strecken miteinander zu vergleichen, so muß man entweder überall dieselbe Maßeinheit beim Messen benutzen, oder man mutz die Beziehungen kennen, welche zwischen den zur Ausmessung benutzten Maßeinheiten bestehen.

3.    Ba$ Verhältnis, wenn man zwei beliebige Strecken a und b mit irgendeiner Maßeinheit, die durch e bezeichnet werden möge, mißt und die gefundenen Maßzahlen mit n bzw. m bezeichnet, so bestehen die Gleichungen a = n • e und b = m*e. Durch Division findet man hieraus die Gleichung

b m'

Den auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden Bruch ^, der eine

unbenannte Zahl ist, nennt man das Verhältnis der beiden Strecken a und b. Man hat also die

Erklärung: Unter dem Verhältnis zweier Strecken versteht man den (Quotienten ihrer Maßzahlen.

hätte man die Strecken a und b mit einer anderen Maßeinheit, etwa gemessen, die mit der zuerst genommenen Maßeinheit durch die Gleichung e = q • et verknüpft ist, so hätte man a = n • q - e± und b = m- q-e₁ gefunden, hieraus hatte man durch Division wieder

die Gleichung ^    - erhalten. Man erkennt hieraus:

Das Verhältnis zweier Strecken ist unabhängig von der zur Ermittlung ihrer Maßzahlen gewählten Maßeinheit, also eine unveränderliche Größe.

Selbstverständlich ist, daß zur Bestimmung des Verhältnisses zweier Strecken durch Division ihrer Maßzahlen beide Strecken stets mit derselben Maßeinheit gemessen sein müssen.

§ 3. Beziehungen zwischen den Seiten und MinKeln eines rechtwinkligen Dreiecks.

töte aus der ähnlichkeitslehre bekannt ist, nennt man zwei Dreiecke einander ähnlich, wenn

erstens: die Winkel beider Dreiecke einander gleich sind,

zweitens: die Verhältnisse entsprechender Seiten d. h. solcher Seiten, die gleichen winkeln gegenüberliegen, einander gleich sind.

3n den vier ähnlichkeitssätzen sind die Eigenschaften zweier Dreiecke angegeben, aus denen man den Schluß ziehen kann, daß die beiden Dreiecke einander ähnlich sind.

Besonders einfach sind die Bedingungen, aus denen man die Ähnlichkeit zweier rechtwinkligen Dreiecke folgern kann, da diese Dreiecke stets in dem einen rechten Winkel übereinstimmen müssen. Mt Benutzung des zweiten Ahnlichkeitssatzes findet man den

Lehrsatz: alle rechtwinkligen Dreiecke, die in einem spitzen Winkel übereinstimmen, sind einander ähnlich.

Da in ähnlichen Dreiecken die Verhältnisse entsprechender Seiten einander gleich sind, so folgt hieraus:

Durch die Größe eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck sind die Verhältnisse der Seiten der Dreiecks eindeutig bestimmt.

Ruf Grund des ersten und des vierten ahnlichkeitssatzes findet man ferner den

Lehrsatz: alle rechtwinkligen Dreiecke, die im Verhältnis zweier Seiten übereinstimmen, sind einander ähnlich.

Die Ähnlichkeit der Dreiecke folgt nach dem ersten Ahnlichkeitssatz, wenn das Verhältnis der Katheten in beiden Dreiecken dasselbe ist, sie folgt nach dem vierten Ähnlichkeitssatz, wenn das Verhältnis der Hypotenuse und einer Rathete in beiden Dreiecken denselbenwert besitzt.

Da in ähnlichen Dreiecken die entsprechenden Winkel einander gleich sind, so ergibt sich hieraus:

Durch die Größe des verhältniffes zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die Winkel des Dreiecks eindeutig bestimmt.

Der soeben ausgesprochene Satz gibt die Möglichkeit, die Größe eines jeden spitzen Winkels, aber nur eines solchen, dadurch zu

bestimmen, daß man ihn als den einen spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet und nun angibt

5tg. 2.

CL

erstens: die Größe des Verhältnisses zweier Seiten dieses rechtwinkligen Dreiecks,

OC

zweitens: die Lage des Winkels zu den beiden gewählten Seiten.

D Cr

Bezeichnet man in einem rechtwinkligenDrei-id ABC (Zig. 2) die Seiten und Winkel wie es in der Zigur angegeben ist, so kann man zur Bestimmung des Winkels cc jedes der sechs Verhältnisse

c' ' c' ' b'

benutzen. 3n welcher weise dies geschehen ist, soll nun im folgenden auseinandergesetzt werden.

§ 4. Der Sinus eines MinKels.

Erklärung 6es Sinus. Zunächst benutzen wir zur Bestimmung des spitzen Winkels a von den sechs Verhältnissen, die am Ende des vorigenparagraphengenanntsind, nur das Verhältnis a:c, d.h.das Verhältnis der dem Winkel gegenüberliegenden Rathete zur Hypotenuse. Ittan nennt dieses Verhältnis ans Gründen, die später (§ 22,1) angegeben werden, denSinus d eswinkels cc und hat daher die folgende Erklärung: Unter dem Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligenDreieck versteht man das Verhältnis der dem Winkel gegenüberliegenden Rathete zur Hypotenuse.

Man schreibt:

MB

sin a -    -

5ig. 3.

Gesprochen wird dies: „Sinns cc gleich a durch c".

OL

Cf c

2. Eigenschaften des Sinus. Da in jedem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse stets größer ist als die Rathete, so folgt als erste Eigenschaft des Sinus:

Der Sinns eines Winkels ist stets ^ kleiner als eins.

Beschreibt man mit der Hypotenuse c des rechtwinkligen Dreiecks ABC (Zig. 3) um A den Kreis, läßt nun den Winkel cc sich ändern und konstruiert für jeden neuen Winkel das rechtwinklige Dreieck, indem man vom Schnittpunkt B₁ seines Schenkels mit dem Kreise die Senkrechte auf AC fällt, so erkennt man, daß der Sinus eines Winkels sich ändert, wenn der Winkel sich ändert. Es bleibtnämlich in dem Bruche, der den wert des Sinus angibt, der Nenner ungeändert, während der

Zähler stets andere werte annimmt. 3n Fig. 3 ist sin a = ~ und

sin <*! = — • Man nennt nun eine Größe, die mit einer zweiten Größe

so verknüpft ist, daß sie sich ändert, wenn die zweite Größe anderewerte annimmt, eine Funktion dieser zweiten Größe, hiernach erkennt man: Der Sinus eines Winkels a ist eine Funktion von a.

Da man den Sinus zur Berechnung von Dreiecken benutzt, hat man die Sinusfunktion eine trigonometrische Funktion genannt.

Man erkennt aus der oben angestellten Betrachtung auch leicht die Rrt, wie der Sinus eines Winkels sich ändert, wenn der Winkel andere werte annimmt. (Es gilt für diese Änderung der folgende Satz:

Der Sinus eines Winkels wächst, wenn der Winkel wächst, und nimmt ab, wenn der Winkel abnimmt.

a:c

3. Konstruktion eines Winkels mit Hilfe des Sinus. Es ist leicht, wenn das Verhältnis ober sin a in Zahlen gegeben ist, mit Hilfe des

gegebenen Zahlenwertes den Winkel a geome-C    5

- irisch zu konstruieren.Ist z. B. sin «— so zeichnet man eine Gerade (Fig. 4) und errichtet auf ihr in einem beliebigen Punkte C die Senkrechte. 5ig*⁴*    Ruf dieser Senkrechten trägt man dann eine be

liebige Strecke n von C aus rtacfy oben dreimal hintereinander ab bis B und nach unten zweimal (5 —3--2) hintereinander ab bis D. hierauf beschreibt man mit BD unt B den Kreis, der die Gerade in A treffen möge, verbindet man nun A mit B, dann ist Winkel BAC der Winkel a. Cs ist nämlich

BC __ BC _    _ 3

AB ” BD “ 5n ~ 5 '

Nach der soeben ausgeführten Konstruktion ist auch die Konstruktion für jeden anderen Zahlenwert des Sinus klar. Ist der Sinus als Dezimalbruch gegeben, so hat man vor der Konstruktion den Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch zu verwandeln.

4. Bestimmung der Matzzahl eines Winkels mit Hilfe des Sinus.

Man könnte, nachdem die Konstruktion eines Winkels mit Hilfe des Sinus ausgeführt ist, nun die Größe des Winkels durch Messung in

sin a -----

der konstruierten Figur ermitteln. Diese Bestimmung würde aber umständlich sein und durch Ungenauigkeiten bei der Konstruktion und bei der Messung fehlerhaft werden. (Es muß daher nach einem Mittel gesucht werden, wie man aus dem gegebenen Wert für den Sinus von a die Große von a in anderer Weise finden kann. Man ist hierzu den folgenden weg gegangen. Zuerst hat man für Winkel von bekannter Maßzahl cc den Wert ihres Linus ermittelt, dann hat man diese Linuswerte in einer Tabelle, wie etwa die folgende, zusammengestellt.

3?o    Sinus    |    57°    Sinus

0'    0,6018    |    20'    0,6065

10'    0,6041    I    30'    0,6088

(Eine solche Tabelle, die sich in jeder Logarithmentafel findet, benutzt man dann nicht nur, um die Linus gegebener Winkel daraus abzulesen, sondern auch umgekehrt zu der Aufgabe, aus dem gegebenen Wert eines Linus den zugehörigen Winkel zu ermitteln. Ist z. B. sin a ----- 0,6065 gegeben, so findet man aus obiger Tabelle « = 37°20'.

(Es kommt also zunächst darauf an, für die einzelnen Winkel die werte ihrer Linus zu bestimmen.

von

aVS

Die eben genannte Aufgabe ist nur einfach ausführbar für Winkel 45°, 30° und 60°. Zur Bestimmung von sin 45° benutzt man ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck (Fig. 5). Bezeichnet man in diesem Dreieck die Katheten durch a, dann ist die Hypotenuse a.y2,    und

man findet nach der Erklärung des Linus

60⁰

45

sin 45°= a

a J/2

5ig. 6.

Fig. 5.

=~k~

Um sin 30° und sin 60° zu bestimmen, benutzt man ein gleichseitiges Dreieck (Zig.6), in welchem man die höhe fällt. Ist die Seite des Dreiecks gleich a, dann find die Abschnitte, in welche die höhe die Seite,

aus die sie gefällt ist. teilt, gleich f, und die höhe selbst ist f s/z.

■V—iv*-

Man findet daher a

M.

und sin 60» =

sin 30»= | =

Es lassen sich in dieser Weise mithilfe des Bestimmungsdreiecks des regelmäßigen Zehnecks, dessen Schenkel gleich r, und dessen Basis gleich

^(]/5 — l) ist, auch noch die werte von sin 18° und sin 72° angeben. Damit ist dann aber die Reihe der Winkel erschöpft, deren Sinus man auf so einfache Art bestimmen kann. Die höhere Riathematik besitzt in unendlichen Reihen Hilfsmittel, durch die man in verhältnismäßig kurzer Zeit die werte der Sinus aller Winkel auf eine größere Anzahl von Dezimalstellen ermitteln kann. 3tt dieser weise sind die in den Logarithmentafeln stehenden Tabellen berechnet worden, hier kann auf diese Berechnung nicht eingegangen werden.

5. Graphische Bestimmung der Werte des Sinus. Durch eine Zeichnung ist man imstande, die werte der Sinus annähernd zu bestimmen. R7an beschreibt um den Scheitel 0 eines rechten Winkels

(5ig. 7), den man am besten aus Mllimeterpapier zeichnet, mit dem Radius/----10 ern ==100 mm den Kreis.*) Die Schnittpunkte dieses Kreises mit den Schenkeln des Winkels seien A und B. hierauf teilt man den Kreisquadranten AB nach Art eines Transporteurs in 90 gleiche Teile. Nummeriert man diese Teile von A an, so bezeichnet die Nummer jedes Teilpunktes die Anzahl der Grade des Winkels, den die Linie von 0 nach dem betreffenden Punkt mit OA bildet, wie es vom Transporteur

:'0:

::::::::::

kskkES

iSisi-iii-

QSSSSSH

5ig. 7.

*) In Fig. 7 und Fig. 14 sind wegen des Formats des Buches 2 mm durch 1 mm dargestellt.

bekannt ist. Fällt man nun von den Teilpunkten die Senkrechten auf OA, so erhält man den Sinus des durch die Gerade nach dem Teilpunkt bestimmten Winkels, wenn man die Länge der Senkrechten in Millimetern bestimmt und die gefundene Maßzahl durch 100 dividiert. Der Grund hierfür ist an dem folgenden Beispiel leicht einzusehen. Das von dem Punkte C, bei dem 70° steht, auf die Gerade OA gefällte Lot CCX ist, wie man durch Messung findet oder auf dem Millimeterpapier ablesen kann, 94 mm lang. Nach der Erklärung des Sinus ist nun in dem rechtwinkligen Dreieck OCClf in welchem nach der Figur Winkel C0Ct ----- 70° ist,

94

iOÖ * 0.94.

sin70°=CCl

oc

6. Die Logarithmen der Sinus. Gewöhnlich werden die Dreiecksberechnungen mit Hilfe der Logarithmen ausgeführt. Man findet daher in allen Logarithmentafeln ausführlich nicht die werte des Sinus, wie sie in der obigen Tabelle stehen, angegeben, sondern die Logarithmen dieser werte. Tin Bruchstück einer solchen Tafel findet sich Seite 10.

Zu der Einrichtung dieser Tafel sei das Folgende bemerkt. Über der Tafel stehen die Grade des Winkels, in der ersten mit Min. über-fchriebenen Vertikalreihe die zu dem Winkel gehörenden Minuten. Man findet dann in der neben den Minuten stehenden, mit Sinus über-fchriebenen Spalte in gleicher höhe mit der Minutenzahl den Logarithmus des Sinus des Winkels. Für das richtige Ablesen dieses Logarithmus ist aber noch eine Erklärung zu geben. Da die werte aller Sinus stets kleiner als eins find (vgl. 1), so erscheinen sie, wenn sie durch einen Dezimalbruch angegeben werden, stets in der Form 0,.... Die Logarithmen solcher Dezimalbrüche besitzen nun aber stets die Kennziffer 0,.... — n. Man hat daher, um nicht stets den negativen Teil des Logarithmus mit angeben zu müssen, die Tafeln so eingerichtet, daß man stets 10 von der in den Tafeln stehenden Zahl subtrahieren muß, um den richtigen Logarithmus zu erhalten. Findet man z. B. in der Tabelle bei 37°2' die Zahl 9,77980, so ist logsin37°2'= 9,77980 - 10.

In dieser Form läßt man dann auch den Logarithmus bei den Berechnungen stehen.

Die Logarithmentafeln sind weiter so eingerichtet, daß die Anzahl der Grade nur von 0° bis 44° oberhalb der Tabelle steht, von 45° an steht die Gradzahl unter der Tabelle. Die zu diesen Winkeln gehörenden Minuten stehen dann in der Tabelle auf der rechten Seite

und werden von unten nach oben gezählt, während die Logarithmen der Linus sich in der Spalte befinden, unter der Sinus steht. (Es ist also logsin 52° 11'--- 9,89761 — 10.

37 Grad

Min.

sin

Vitt. I tng

C.D.

cot

Vitt. I

cos

>->

o <o oo <1 iüi>f>w wmo

9,77946

9,77963

9,77980

9,77997

9,78013

9,78030

9,78047

9,78063

9,78080

9,78097

9,78113

9,78130

9,78147

9,78163

9,78180

17    9,87711

₁₇    9,87738

9,87764 '    9,87790

7    9,87817

17    9,87845

9,87869 ;!    9,87895

t' 9,87922 ],    9,87948

17    9,87974

₁₇    9,88000

]]    9,88027

₇    9,88053

¹¹    9,88079

10,12289

10,12262

10,12236

10,12210

10,12183

10,12157

10,12131

10,12105

10,12078

10,12052

10,12026

10,12000

10,11973

10,11947

10,11921

O vO © © © © ©

io

io

9,78707

9,78723

9,78739

9,78756

9,78772

9,88916 }:    9,88942

₇    9,88968

‘    9,88994

9,89020

10,11084

10,11058

10,11032

10,11006

10,10980

SSS III SvoS

9,90235

9,90225

9,90216

9,90206

9,90197

9,90187

9,90178

9,90168

9,90159

9,90149

9,90159

9,90130

9,90120

9,90111

9,90101

10

51    9,78788    ₁₇    9,89046

52    9,78805    '    9,89073

53    9,78821    9,89099

54    9,78837    9,89125

55    9,78855    ™    9,89151

56    9,78869    ₁₇    9,89177

57    9,78886    ‘    9,89203

58    9,78902    !®    9,89229

59    9,78918    9,89255

60    9,78934    9,89281

10,10954

10,10927

10,10901

10,10875

10,10849

10,10823

10,10797

10,10771

10,10745

10,10719

io

io

io

io

10

10

10

10

9,89791

9,89781

9,89771

9,89761

9,89752

9.89742

9,89732

9,89722

9,89712

9.89702

9,89693

9,89683

9,89673

9,89663

9,89653

Om w    CJl On •<! 00 vO

cos

Vitt.

cot

C.D.

tng

Vitt.

sin

Min.

52 Grad

Man schlage in der Logarithmentafel auf log sin 24°15'= 9,61354

-    10, log sin 58°43'= 9,93177 - 10, logsin 3°54' = 8,83261

-    10 usw.

Bemerkung. Sind Bruchteile der Minute gegeben, so interpoliert man ähnlich wie bei dem Aufschlägen der Logarithmen gewöhnlicher Zahlen. Soll z. B. logsin37°9,4/ aufgeschlagen werden, so macht man folgende Überlegung: (Es ist log sin 37°9'= 9,78097 — 10, ferner ist logsin37° 10'= 9,78113 - 10. wächst also der Winkel um eine Minute, so wachsen die letzten Ziffern des Logarithmus des Sinus um 16 (diese Differenz der aufeinanderfolgenden Logarithmen steht in der Tafel in der Spalte hinter Sinus, die mit Diff. überschrieben ist). Nun schließt man weiter: wächst der Winkel, wie in unserem Falle, um 0,4', so wachsen die letzten Ziffern des Logarithmus um 0,4-16 = 6,4 oder 6. Der genauere wert für logsin 3709,4' ist also 9,78103

-    10.

Beispiele: logsin 42°37,5'= 9,83072 - 10; log sin 71°58,6' = 9,97815 - 10; log sin 22°24,7'= 9,58122 - 10.

Mit Hilfe der Tabelle für die Logarithmen der Sinus kann man nun auch zu jedem gegebenen wert für den Logarithmus eines Sinus den zugehörigen Winkel finden. Man sucht den gegebenen Logarithmus in der Tafel in der Spalte auf, über der oder unter der Sinus steht. Steht die Zahl in der Tafel in der Spalte, über der Sinus steht, so stehen die Grade des Winkels oben und die Minuten links in derselben Neihe mit der gegebenen Zahl. Ist log sin cc = 9,78063 — 10, so findet man « = 37°7'. Steht die Zahl in der Tafel in der Spalte, unter der Sinus steht, so stehen die Grade des Winkels unten und die Minuten rechts. Rus log sinct = 9,89712 — 10 findet man « = 52° 6'.

Man bestimme mit Hilfe der Tafel a aus den folgenden Gleichungen, log sin « = 9,40490 — 10 (k=I4°43'), log sin k = 9,86116 — 10 (cc = 46°35'), log sin <* = 8,88654 — 10 (cc = 4°25').

Bemerkung. Steht die gegebene Zahl nicht in der Tafel, wie 3. V., wenn gegeben ist log sin cc = 9,78088 — 10, so sucht man in der Tafel die nächst kleinere Zahl auf, in unserem Falle also 9,78080 — 10. Für diese Zahl findet man «=-=37° 8'. Nun interpoliert man in folgender weise: wachsen die letzten Ziffern des in der Tafel stehenden Logarithmus (9,78080 — 10) um 17 (Differenz mit der nächsthöheren Zahl), so wächst der Winkel um eine Minute; wachsen die letzten Ziffern

um eins, so wächst der Winkel um ^ Minute, wachsen die letzten

Ziffern um 8 (Differenz mit der gegebenen Zahl), so wächst also der Winkel um ----- 0,47 oder 0,5 Minuten. Der genauere wert für u ist demnach « ----- 37° 8,5'.

Beispiele: log sin a == 9,68270 - 10 (<* = 28°47,4'); log sin <* = 9,90352 — 10 (cc = 53° 12,3'); log sin a = 9,54084 - 10 (of ----- 20° 19,7').

7. Berechnung rechtwinkliger Dreiecke. Sind von einem rechtwinkligen Dreieck zwei voneinander unabhängige Stücke gegeben, so kann man mit Hilfe des Sinus alle übrigen Stücke berechnen. Man hat nur die beiden gegebenen Stücke mit einem der gefuchten Stücke durch eine Gleichung zu verknüpfen, die man auf Grund der Erklärung des Sinus aufstellen kann. Nur in zwei Fällen gelingt dies nicht unmittelbar, nämlich erstens, wenn ein winkel und die dem Winkel anliegende Kathete gegeben find, und zweitens, wenn die beiden Katheten bekannt sind. 3m ersten Falle hilft man sich dadurch, daß man zunächst den zweiten spitzen Winkel des Dreiecks bestimmt, im zweiten Falle berechnet man zuerst mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes die Hypotenuse, wie man, um diese Rechnungen zu vermeiden, neue trigonometrische Funktionen eingeführt hat, wird an späterer Stelle (§ 6,1 und § 5,9) auseinandergesetzt werden. Zunächst sei die Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks an zwei Aufgaben klargemacht.

Aufgabe 1: 3n einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine spitze Winkel cc ----- 36°24' und die Hypotenuse c ----- 68,54 cm. wie groß sind ß, a und b?

a

sin cc ----- -; a = c sin cc log a = log c + log sin cc

II.

Losung: I. 90° — cc 90°= 89°60'

(X ----- 36°24'

ß = 53°36'

log c — 1,83594 log sin cc = 9,77336 - 10

loga ----- 11,60930 — 10 a ----- 40,673 cm.

III. Zur Berechnung von b bietet sich ein doppelter weg dar.

a) Berechnung von b durch Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes.

b² = c² — Q² = (c + a) • (c — a).

2 log b = log (c + a) + log (c — a).

log (c + a) « 2,03827 log(c — a) --- 1,44509 2 log b = 3,48336 logb -- 1,74168 b --- 55,168 cm.

c = 68,54 a = 40,673

c + a = 109,213 c — a — 27,867

b) Berechnung von b durch Benutzung des Sinus des Winkels ß.

sin ß — ^; b — c • sin ß.

log b = log c + log sin ß. log c — 1,83 594 log sin ß — 9,90 574 — 10

logb = 11,74168 - 10; b = 55,168 cm.

Ausgabe 2: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Rathete a = 587,6 cm und die Hypotenuse c = 988,4 cm. wie groß sind die Winkel und die andere Rathete?

I. sin a — log sin a = log a — log c.

loga = 12,76 908 - 10 loge = 2,99 495

log sin « = 9,77 415 — 10^ a = 36°28,9',

II.    ß = 90°-cc; ß = 53°31,1

III.    sin ß = b = c • sin ß.

log b = log c + log sin ß. log c= 2,99 493 log sin ß = 9,90 528 - 10

logb = 12,90 021 - 10; b = 794,72 cm.

Aufgabe 3: Die eine Rathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist a=36,74 cm und der ihr gegenüberliegende Vinkel a — 25°50'. Wie groß sind die Hypotenuse und die zweite Rathete? (c = 84,314 cm, b — 75,888 cm).

8. Praktische Anwendungen. Aufgabe I: Auf den Gipfel eines Berges führt in gerader Linie eine Drahtseilbahn von 856 m Länge, die unter dem Winkel a = 23° 15' ansteigt. Wie hoch ist der Berg? (337,90 m).

Aufgabe 2: Zwei Grte A und B, die in Luftlinie a = 12,5 km voneinander entfernt sind, sollen durch eine Eisenbahn miteinander verbunden werden. Man ist durch Vodenschwierigkeiten gezwungen,

ctttu© 431: Crantz, Trigonometrie.

dem Schienenstrang die Gestalt eines Kreisbogens zu geben, dessen Radius r = 8 km beträgt, wie lang wird die ^ Eisenbahn, welche beide Grte mitein« ander verbindet?

He

/r

5ig. 8.

Lösung. (Zig. 8.) Man berechnet zunächst aus dem rechtwinkligen Dreieck AMC den Winkel AMC = « mit Hilfe des Sinus. Durch diesen Zentriwinkel cc kann man nun den Bogen AD bestimmen. Es besteht nämlich, wenn b die Länge des Bogens bezeichnet, die Gleichung

b : 2nr = cc : 360,

aus der b berechnet werden kann. Zu merken ist hierbei nur, daß cc nur in Graden angegeben sein darf, wäre z. B. cc = 37° 25,8', so müßte man cc = 37,43° setzen. — Man findet die Länge der Bahn gleich 14,347 km.

Rufgabe 3: Um ein Rad von 2 r = 1,8 m Durchmesser ist ein Treibriemen gelegt, der um eine e = 2,4 m vom Mittelpunkt des Rades entfernte Rchfe läuft, wie lang ist der Treibriemen?

5ig. 9.

Losung. (Zig. 9). Die Teile des Treibriemens, die nicht auf dem Rade liegen, sind Tangenten an den r Radkreis. Dreieck AMB ist also bei B rechtwinklig. Man kann daher Winkel BAM = cc durch die

Gleichung sin ce = -^

berechnen. Durch cc ist auch Winkel AMB bestimmt, und die Gleichung für den Sinus dieses Winkels AMB dient zur Berechnung von AB. Mit Hilfe des Winkels AMB findet man dann den Zentriwinkel BMC und kann nun, wie bei Rufgabe 2 angegeben, den Bogen BC berechnen. — Die Länge des ganzen Treibriemens ist 7,9692 m.

§ 5. Der X3angcns eines Winkels.

\. yöhenmesiung. Bei Höhenmessungen benutzt man ein um eine horizontale Achse (A, $ig. 10) drehbares Fernrohr. Das Fernrohr wird zunächst horizontal in die Richtung AB eingestellt, will man nun einen hoher gelegenen Punkt C betrachten, so muß man das Fernrohr nach oben um einen Winkel CAB = s drehen, den man den Elevations-winkel oder Lrhebungswinkel nennt. Soll dagegen ein tiefer gelegener Punkt D beobachtet werden, so mutz man das Fernrohr__

nach unten um den Winkel OAB § drehen. j Diesenwinkel nennt man denvepressionrwinkel oder Senkungswinkel.

hat man von einem Punkt der Ebene aus, der von dem Fußpunkt eines Turmes (einer senkrecht aufsteigenden Felswand) um die durch Messung bestimmte Strecke e entfernt ist, den Elevationswinkel s für die Spitze des Turmes (den höchsten Punkt der Felswand) bestimmt, so ist es leicht, mit Hilfe von e und s die hohe des Turmes (der Felswand) zu berechnen. Cs ist dies eine häufig vorkommende Aufgabe, wie sie mit Benutzung der Sinusfunktion gelöst werden kann, soll im folgenden an einem Beispiel gezeigt werden.

2. Aufgabe: Die Spitze B eines Turmes CB erscheint von einem Punkt A bet (Ebene, auf welcher derTurm steht, unter dem Erhebungswinkel CAB = b = 18°45'. Der Punkt A ist um die Strecke A (7--e---230 m vom Futzpunkt A des Turmes entfernt, wie hoch ist der Turm?

Lösung: (Fig. 11). Da die gegebenen Größen e und e nicht durch eine Gleichung nach der Erklärung des Sinus miteinander verknüpft werden können, bestimmt man zunächst den Winkel ABC = ß. Es ist ß = 90° — b = 71⁰15\

Nun kann man mit Hilfe von ß und e zunächst die Hypotenuse AB ----- e berechnen. (Es ist

5ig. 10.

:v<r-

i)

Fig. 11.

''s

sin ß = ec; c = loge = 2,36173 log sin ß=_ 9,97652 — 10 loge = 2,38541.

sin ß

2*

Nach der Bestimmung von log c findet man die gesuchte höhe des Turmes BC = h durch die Gleichung

sin s = h = c • sin s.

log c = 2,38541 log sin 9,50710 — 10

logh --- 11,89251 - 10; h --- 78,075.

Der Turm ist also 78,075 m hoch.

Bemerkung: Man erkennt leicht, daß man bei der Lösung der eben behandelten Aufgabe die Ermittlung des Winkels ß und des log c nicht nötig gehabt hätte, wenn man unter den sechs Verhältnissen, die nach § 3 zur Bestimmung eines spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck benutzt werden können, das Verhältnis der beiden Ratheten gewählt hätte. Cs ist daher — gerade wegen des häufigen Vorkommens ähnlicher Aufgaben — auch das Verhältnis der Ratheten zur Bestimmung des Winkels eingeführt worden.

Z. Der Tangens eines Winkels.

Zweiter Abschnitt.

V—T=rs—'

or der Tangens des Winkels

§ 28. Die trigonometrische Landesaufnahme»

Hus JNatur und Geistes wett

■siasns««;

Z. Der Tangens eines Winkels.

Erklärung: Unter dem Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck versteht man das Verhältnis der dem Winkel gegenüberliegenden Rathete zur anliegenden Rathete.

tng« =

Man schreibt

Gesprochen wird dies: Tangens « gleich a durch b.

4- Eigenschaften des Tangens. Da in einem rechtwinkligen Dreieck jede der beiden Ratheten jeden beliebigen wert annehmen kann, so braucht der Tangens eines Winkels nicht wie der Sinus stets kleiner als eins zu fein. Man erkennt vielmehr:

DerTang ens eineswinkels kann jeden beliebigen wert annehmen.

$\Q. 12.

<z

Ot

verlängert man die Rathete CB = a eines rechtwinkligen Dreiecks ABC($tg. 12) über B hinaus, und läßt nun den Winkel a sich ändern, , indem man seinen Schenkel AB um A dreht, ¹ so wird der Schenkel AB die Linie CB in einem Punkte Bl schneiden. Man erkennt aus dem neu entstehenden DreiecksCBlt daß der Tangens eines Winkels sich ändert, wenn der

Winkel sich ändert. (Es bleibt nämlich in dem Bruche, der den wert des Tangens angibt, der Nenner ungeändert, während der Zähler stets

andere werte annimmt, denn es ist tng a = ~ und tng cc± ----- —• (Es

folgt hieraus:

Der Tangens eines Winkels « ist eine Funktion von cc. Der Tangens ist nach dem Sinus die zweite trigonometrische Funktion.

weiter erkennt man über die Rrt der Änderung:

DerTangens eineswinkels wächst, wennderwinkel wächst. Diese letzte Eigenschaft hat also der Tangens mit dem Sinus gemein.

5.    Konstruktion einer Winkels mit Hilfe der Tangens. Ist für

einen Winkel a der Zahlenwert seines Tangens gegeben, so kann man

7

den Winkel durch einfache Konstruktion finden. Ist z. B. tng = -,

so zeichnet man eine Gerade (Fig. 13) und errichtet aus ihr in einem beliebigen Punkte C die Senkrechte.

Fig. 13.

'oc

Ruf dieser Senkrechten trägt man dann von C aus eine beliebige Strecke p siebenmal hintereinander ab bis B und hieraus auf der Geraden von C aus viermal hintereinander dieselbe Strecke bis A. verbindet man nun A mit B, so ist L B Ä C = &. (Es ist nämlich .    BC    7 p

tng“ ⁼ IC⁼4p⁼ •

6.    Ermittlung der werte 6es Tangens für gegebene Winkel. $ür

diejenigen Winkel, für welche die Bestimmung des Sinus leicht möglich war (vgl. § 4, 4), läßt sich auch der wert des Tangens leicht angeben. So ist für das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck (Zig. 5)

tng 45°= f = I.

Da der Tangens mit wachsendem Winkel wächst, so erkennt man hieraus, daß der Tangens aller Winkel, die kleiner als 45° sind, kleiner als eins ist, und daß der Tangens aller Winkel, die größer als 45° sind, größer als eins sein muß.

Rus dem gleichseitigen Dreieck (Fig. 6) findet man

tng 30°

to| -»

a]/3

tng 60°

-V3-

Für die Bestimmung des Tangens der übrigen Winkel ist eine umständlichere Rechnung nötig. Sie ist aber nicht so schwierig wie die Rechnung, die zur Bestimmung des Sinus vorgenommen werden mußte. Man kann nämlich die werte von tng a mit Benutzung der für sin c? ermittelten werte berechnen, wie später (§ 7, 5) gezeigt werden wird.

7. Graphische Bestimmung des Tangens. Ruch für den Tangens eines Winkels kann man ähnlich wie für den Sinus (§4,5) den Zahlenwert angenähert durch eine Zeichnung bestimmen. Man stellt sich wieder einen nach Rrt eines Transporteurs geteilten (vuadranten in einem Kreise mit dem Radius r = 10 cm = 100 mm her (Kg. 14). Dann errichtet man in Ä cmf OA die Senkrechte und verlängert den Schenkel des Winkels, dessen Tangens man ermitteln will, bis zu dem Schnittpunkt

mit dieser Senkrechten. Bestimmt man nun die Sänge der Strecke von diesem Schnittpunkt bis zu dem Punktes in Millimetern, so erhält man den Tangens des Winkels, wenn man die gefundene Maßzahl durch 100 dividiert. Dies läßt sich in folgender weise an einem Beispiel erklären. (Es soll z. V. tng 50° bestimmt werden. Ru§ dem Dreieck COA, in dem, wie aus der Figur ersicht-

Lig. 14.

■c\

-t?

iilii

::::

----

iiii

lich ist, Winkel COA gleich 50° ist, folgt nach der Erklärung des Tangens

tng 50° =

= 1,19.

AC ₌ 119

ÖÄ “ 100

Bemerkung. Die Senkrechte, welche man auf dem Radius eines Kreises in seinem Endpunkte errichtet, ist Tangente des Kreises. (Es ist daher die Gerade AC, auf der man die Werte des Tangens abliest, Tangente des Kreises um 0. Man erkennt hieraus schon den Grund, weshalb man dieser Funktion den Namen „Tangens" gegeben hat.

8.    Die Logarithmen des Tangens. 3rt jeder Logarithmentafel findet sich neben der Spalte, in welcher die Logarithmen der Sinus der Winkel stehen, auch eine Spalte, die die Logarithmen für den Tangens der Winkel enthält. Sie ist mit Tangens überschrieben oder unterschrieben. Man vergleiche die Tabelle Seite 10. Ruch bei den Logarithmen der Tangensfunktion ist, wie bei dem Sinus, von der in den Tafeln stehenden Zahl stets 10 zu subtrahieren. Da der Tangens auch Werte annehmen kann, die großer als eins sind, die also positive Logarithmen haben, so findet man in den Tafeln vor dem Komma bei den Logarithmen auch die Zahlen 10,11,12,.... Diese Logarithmen sind nach Subtraktion der 10 noch positiv.

tng 42°17,4'(9,95885 - 10),

Über das Aufschlagen der Logarithmen des Tangens und über das dabei etwa nötig werdende Interpolieren gilt genau dasselbe, was über das Aufschlägen und Interpolieren beim Sinus § 4, 6 gesagt worden ist. Man schlage in der Tafel auf: tng 36°40' (9,87185 — 10), tag 72°25' (10,49908 — 10)

tng 54°50,7'(10,15228 —10). Ferner bestimme man mit Hilfe der Tafeln cc aus den folgenden Gleichungen: logtng<* = 9,73023 — 10 («= 28° 15'), log tng «= 10,58839— 10 (a = 75°32'), log tng a ----- 9,58730 — 10 (cc = 21°8,3'), log tng a — 10,13576 — 10 (cc = 53048,8').

9.    vereinfachte Lösung trigonometrischer Ausgaben mithilfe der Tangens. Nach Einführung unserer zweiten trigonometrischen Funktion kann man nun die im Anfange dieses Paragraphen behandelte Aufgabe (2) weit einfacher lösen. Man setzt

: sr*

tng e -----    , h = e • tng e.

loge = 2,36173 log tng s = 9,53078 — 10

logh --- 11,89251 -10? h = 78,075,

Auch bei der Ausgabe, aus den Ratheten eines rechtwinkligen Dreiecks die Winkel des Dreiecks zu bestimmen, von der § 4, 7 gesprochen wurde, gestaltet sich die Lösung mit Benutzung des Tangens weit einfacher als mit Benutzung des Sinus. Dies soll an der folgenden Aufgabe, die auf beide Arten gelöst werden soll, klargemacht werden.

Aufgabe: von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man diebeidenRatheten a=47,56cmundb=38,72cm. Diewinkel des Dreiecks sind zu berechnen.

Lösung mit Benutzung des Sinus.

I. c² = a² + b²

log b = 1,58794 2 logi> = 3,17588 b² — 1499,3

loga = 1,67724 2 loga = 3,35448 a² = 2261,9 Hieraus folgt: c² = a² + b² = 3761,2 2 log c — 3,57532.

II. sin a = “; log sin cc = log a — log c.

loga = 11,67724 - 10 log c = 1,78766

logsin a = 9,88958 — 10; a — 50° 51,0'.

III. /3 = 90° — «; ß = 39°9,0'.

Lösung mit Benutzung des Tangens. I. tngaf = ~

b'

log tng u = log a — log b.

loga = 11,67724 - 10

log b — 1,58794___

log tng a = 10,08930 — 10; « = 50°51,0'.

II. ß=90°- cc-, ß = 39°9,0'.

10. Praktische Anwendungen.

Aufgabe 1. wie weit ist man vom Fuße einer h = 947 m hohen, steil aufsteigenden Felswand entfernt, wenn man ihren höchsten Punkt unter dem Erhebungswinkel $ = 30°37' erblickt? (1600,2 m).

Aufgabe 2. An zwei einander gegenüberliegenden Punkten an den beiden Ufern eines Flusses sind die Pfähle A und B eingerammt. Man hat an dem einen Ufer von A aus eine Standlinie AC =a = 87,5 m senkrecht zur Verbindungslinie der beiden pfähle abgesteckt und durch

visieren gesunden, daß LACB    72°35' ist. (Es soll die Breite

des Flusses berechnet werden. (278,93 m).

Aufgabe 3. von der Plattform eines ft = 82,5 m hohen Turmes erblickt man einen Punkt der Ebene, aus der der Turm steht, unter dem Senkungswinkel 6 = 4° 12'. wie weit ist der Punkt vom Fuße des Turmes entfernt? (1123,4 m).

Aufgabe 4. Man erblickt einen Luftballon, der gerade senkrecht über einem ft = 79,5 m hohen Turme schwebt, unter dem Lrhebungs-Winkel £ = 63°17\ Nachher bestimmt man von dem Beobachtungsorte aus den Lrhebungswinkel für die Spitze des Turmes und findet t, ---- 20°45'. 3n welcher höhe befand sich der Ballon? (416,91 m).

Man benutze Zig. 12, bestimme zunächst log AC aus dem Dreieck ACB, dann aus Dreieck ACBt die höhe.

Aufgabe 5. von einem ft = 30,75 m hohen Turm erblickt man den höchsten Punkt einer senkrecht aus der Ebene aufsteigenden Felswand unter dem Erhebungswinkel £ == 10° 20' und ihren tiefsten Punkt unter dem Senkungswinkel d = 2° 30'. wie hoch ist die Felswand, und wie weit ist der Turm von ihr entfernt? (höhe 159,17 m, Entfernung 7 04,30 m).

Man benutze Zig. 10, bestimme aus Dreieck AED, in dem    ft und

von £

LEDA = $ ist, die Entfernung ED, dann aus Dreieck ABC mit Hilfe und AB — ED die Strecke BC. Es ist dann die höhe gleich ft + BC.

Aufgabe 6. wie hoch steht die Sonne über dem Horizont, wenn ein l = 2,50 m langer Stab, der lotrecht aufgestellt ist, einen Schatten von ii = 3,14 m Länge wirst? (3 8° 31,6').

Erklärung. Unterhöhe derSonneverstehtmanden Erhebungswinkel, unter dem der Mittelpunkt der Sonnenscheibe erscheint. Die Richtung des Fernrohrs nach dem Mittelpunkt der Sonnenscheibe gibt die Richtung der Sonnenstrahlen an. Die Richtung der Sonnenstrahlen wird auch bestimmt durch die Gerade, welche einen schattenwerfenden Punkt mit seinem Schatten auf der Erdoberfläche verbindet.

Hufgabe 7. Zu einer Seit, wo die Höhe der Sonne h = 42° 19 ist, wirft ein Turm einen Schatten von l — 73,5 m Länge, wie hoch ist der Turm? (66,919 m).

§ 6. Der Kolmus und der Kotangens eines Winkels.

1. Der Kosinus eines Winkels. 3n § 4,7 ist gesagt, daß man zur Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem ein spitzer Winkel und die dem Winkel anliegende Rathete gegeben sind, zunächst den zweiten spitzen Winkel des Dreiecks bestimmen müsse. Diese

Rechnung ist nicht nötig, wenn man zur Bestimmung eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck auch das Verhältnis der dem Winkel anliegenden Rathete zur Hypotenuse benutzt.

ErklärunglUnter demKosiNUS eines spitzenwinkels in einem rechtwinkligenDreieck versteht man dasverhältnisderdem Winkel anliegenden Rathete zur Hypotenuse.

»ft I v>

Man schreibt:

COS« =    .

Gesprochen wird dies: „Kosinus cc gleich b durch e."

Der Kosinus des Winkels « ist nach der gegebenen Erklärung, wenn

man bedenkt, daß sin ß = ~c ist, und daß ß der Komplementwinkel zu cc,

also gleich 90° — #, ist, nichts weiter als der Sinns des Komplementwinkels zu cc. Nun heißt „Sinus des Komplements" lateinisch complementi sinus oder, abgekürzt geschrieben, co. sin. hieraus ist der Name für das obengenannte Verhältnis entstanden.

2. Eigenschaften der Kosinus. Der Kosinus eines Winkels muß nach den zuletzt angestellten Betrachtungen die Eigenschaften eines Sinus besitzen. Man hat also die Sätze:

Der Kosinus eines Winkels ist stets kleiner als eins.

Der Kosinus eines Winkels cc ist eine Funktion von cc.

In einer Eigenschaft nur muß sich der Kosinus vom Sinus unterscheiden. Beachtet man, daß der Kosinus von cc gleich dem Sinus von 90° — ist, und bedenkt, daß mit wachsendem wert von cc der Komplementwinkel 90° — cc immer kleiner werden muß, so erkennt man sofort:

Der Kosinus eineswinkels nimmt ab,wennder Winkel wächst, und wächst, wenn der Winkel abnimmt.

Es läßt sich diese Eigenschaft des Kosinus auch leicht mit Hilfe der $ig. 3 erkennen, wächst der Winkel cc und geht in den Winkel cct über, so bleibt in dem Bruche, der den wert des Kosinus darstellt, der Nenner (AB = ABt = c) ungeändert, während der Zähler kleiner wird; aus AC wird die kleinere Strecke ACV

z. Der Kotangens eineswinkels. Nach Einführung des Kosinus liegt es nahe, zur Bestimmung eines spitzenwinkels im rechtwinkligenDreieck auch das Verhältnis der anliegenden Kathete zur gegenüberliegenden zu benutzen, und dadurch eine dem Tangens verwandte Funktion zu schaffen.

Erklärung: Unter dem Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck versteht man das verhält-

cot« -----    •

INS der dem Winkel anliegenden Rathete zur gegenüberliegenden Rathete.

Man schreibt:

Gesprochen wird dies: „Kotangens « gleich b durch a".

Der Kotangens eines Winkels cc ist der Tangens des Komplementwinkels von cct also der Tangens von 90° — «. Er hat daher seinen Kamen erhalten, denn „Tangens des Komplements" heißt lateinisch „complementi tangens oder in abgekürzter Schreibweise co. tng.

4.    Eigenschaften der Kotangens. Da cot «--- tng(90°-a) ist, so besitzt der Kotangens folgende Eigenschaften mit dem Tangens gemeinsam:

DerKotangens einesWinkels kannjedenbeliebigenWert annehmen.

Der Kotangens eines Winkels ist eine Funktion von cc. Ähnlich wie der Kosinus vom Sinus unterscheidet sich aber der Kotangens vom Tangens durch die Art, wie er bei Änderung des Winkels seinen wert ändert. (Es gilt nämlich für den Kotangens der Satz:

Der Kotangens eines Winkels nimmt ab, wenn der Winkel wächst, und wächst, wenn der Winkel abnimmt.

5ig. 15.

o?,

Ar

Es erklärt sich dies wieder dadurch, daß 90° — cc abnimmt, wenn cc wächst. Ruch an der Fig. 15 läßt es sich leicht erkennen. Bewegt man, während die Kathete BC ungeän-dert bleibt, die Ecke A nach C hin bis zu dem Punkte Alt so wird die dem Winkel bei A an- ^

liegende Kathete dadurch kleiner, der Winkel \__

bei BAtC aber ist großer als der Winkel BAC als Außenwinkel des Dreiecks AA±B.

5.    Die werte des Kosinus und des Kotangens für 45°, 30°, 60°. Aus dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck (Fig. 5) findet man

tH |©1

cot 45° = 1.

cos 45° ----    1/2

cot 30« = ^3 cot 60» = 1/3;

Mit Benutzung des gleichseitigen Dreiecks (Fig. 6) erhält man COS 30° = 1/3

cos 60° --- 4

6. Die Logarithmen der Kosinus und des Kotangens. In den

Logarithmentafeln finden sich neben den Logarithmen des Sinns und Tangens auch noch Spalten, in denen die Logarithmen des Kosinus und des Kotangens angegeben sind. Über die Einrichtung und Benutzung dieser Tafeln ist keine Erklärung mehr notig. Man schlage auf cos 33° 17'(9,92219 —10), cos54°48'(9,76075—10), cot40°36' (10,06697— 10), cot 73° 18 '(9,47714 — 10). Ferner bestimme man den Winkel a aus den folgenden Gleichungen: log cos <* = 9,96493 — 10 (22°43), log cos cc — 9,42599 — 10 (74°32'), log cot = 10,46180 - 10 (19°3 ), log cot cc — 9,82352 - 10 (56°20).

Nur dasJnterpolieren gestaltet sich bei den beiden neuen Funktionen anders als bisher. Es ist hierbei zu beachten, daß bei wachsendem Winkel sowohl der Kosinus wie der Kotangens abnehmen, und deshalb auch die Logarithmen dieser werte mit wachsendem Winkel kleiner werden. Lin Blick aus die beigedruckte Tafel (S. 10) zeigt dies. Ist z. V. log cos 37°1,8' aufzuschlagen, so stellt man folgende Überlegung an. Nach der Tafel ist log cos37°l' gleich 9,90225 — 10. wächst der Winkel um 1 Minute, so nehmen die letzten Ziffern des Logarithmus des Kosinus um 9 ab, wächst der Winkel um 0,8 Minuten, so müssen demnach die letzten Ziffern um 0,8 • 9 = 7,2 abnehmen. Subtrahiert man nun von den letzten Ziffern des log cos 37° 1' die Zahl 7, so erhält man als genaueren wert logcos 37° 1,8'== 9,90218 — 10. In ähnlicher weise verfährt man bei dem Kotangens.

Man bestimme logcos 27° 13,6'(9,94900 — 10), logcos 67°47,4' (9,57750-10), Iogcot36°49,7'(l0,12560-10), logcot55°l 1,3' (9,84219 - 10).

Soll zu dem gegebenen Logarithmus eines Kosinus der Winkel bestimmt werden, so sucht man nicht, wie bei den Logarithmen gewöhnlicher Zahlen und bei den Logarithmen des Sinus und Tangens die nächst niedrige Zahl, sondern die nächst höhere Zahl in den Tafeln auf und schreibt zunächst den bei dieser Zahl stehenden Winkel aus. Ist z. B. gegeben log cos <x= 9,78023 — 10, so nimmt man aus der Tabelle (S. 10) die Zahl 9,78030 — 10. Bei dieser Zahl steht 52°55'. Nun macht man folgende Schlüsse: Nimmt der Logarithmus in den letzten Ziffern um 17 (Tafeldifferenz) ab, so wächst der Winkel um 1 Minute, daher muß, wenn die letzten Ziffern um 1 kleiner werden, der Winkel um 1 : 17 Minuten wachsen. Nimmt nun der Logarithmus in den letzten Ziffern um 7 (Differenz mit der gegebenen Zahl) ab, so wächst der Winkel um 7 : 17 = 0,41 Mi-

nuten. Der genauere wert für cc ist also cc ----- 52°55,4'. Die Logarithmen des Kotangens werden in derselben weise behandelt.

Wan bestimme « aus den folgenden Gleichungen: log cos ct -----9,87615 - 10 (cc = 41°14,8 j, log cos a = 9,23366 — 10 (cc = 80° 8,3'), log cot (*=10,13567- 10 (cc = 36°11,6'), log cot = 9,45423 — 10 (cc = 74° 6,8').

7.    Anwendungen. Ausgabe 1. Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist a ------ 52,63 cm und die Halbierungslinie des ihr anliegenden Winkels u>p = 59,48 cm. Die Winkel des Dreiecks zu berechnen.

Aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a und ws findet man Wp und hieraus ~ = 27°46,V.

Aufgabe 2. Aus einem Schiffe wird ein Gewicht in das Wasser gelassen, das an einer / ----- 50 m langen Schnur befestigt ist. Das Gewicht schleift bei der Fahrt auf dem Boben des Sees, und die Schnur bildet mit der vertikalen durch ihren Befestigungspunkt den Winkel cc = 23° 14'. wie tief ist der See an der Stelle, wo sich das Schiff befindet? (45,945 m.)

Aufgabe 3. Der Crdradius ist r = 6370 km lang, wie groß ist der Radius des Parallelkreises durch Berlin, wenn die geographische Breite von Berlin <p ----- 52°30' beträgt?

jsr

<P

<P

5kg. 16.

Lösung. Der Kreis Fig. 16 stelle den Meridian von Berlin dar, WO den Durchmesser des Äquators, CB=q den gesuchten Halbmesser des Parallelkreises. Die geographische Breite eines (Drtes ist der Winkel,den derCrdradiusnachdiesem W Grt mit der Ebene des Äquators bildet. (Es ist also L BMO die geographische Breite von Berlin, ihm ist als Wechselwinkel an parallelen LCBM gleich. Man hat also zur Bestimmung von q die Gleichung q -----r cos (p und findet q ------ 3877,8 km.

8.    Die Funktionen der Winkel von 0° und 90°. wenn man in dem Dreieck ABC (Fig. 2) die Ecke B auf der Kathete BC immer näher an C heranrückt bis schließlich B mit C zusammenfällt, so wird Winkel cc gleich 0°, a = 0 und die Hypotenuse fällt mit der Kathete b zusammen. Cs wird also b=c. Bestimmt man für diesen Fall nach den gegebenen Erklärungen die werte der vier trigonometrischen Funktionen, so erhält man

sin 0° = 0, cos 0° = 1, tng 0° — 0, cot 0° = oo. verschiebt man die Rathete B C parallel zu ihrer ursprünglichen Lage so, daß C näher an A heranrückt, so wird « immer größer und schließlich, wenn C mit A zusammenfällt, gleich 90°. Gleichzeitig ist dann auch a = c. Nach den Erklärungen findet man dann für die Funktionen de§ Winkels von 90° die folgenden werte:

sin 90°= 1, cos 90° = 0, tng 90°= <x>, cot 90° = 0.

9. Bemerkung. Nach Einführung der vier trigonometrischen Funktionen Sinus, Tangens, Kosinus und Kotangens bleiben von den sechs Verhältnissen, von denen am Ende des § 3 gesagt wurde, daß sie zur Bestimmung der Winkel im rechtwinkligen Dreieck benutzt werden könnten, noch zwei Verhältnisse übrig. (Es sind dies die Verhältnisse c: a und c: b. Man nennt e: d den Sekans des Winkels a und c: a den Kosekans dieses Winkels. Beide Funktionen werden nur selten gebraucht. Ruch in den folgenden trigonometrischen Berechnungen werden sie nicht angewendet und sollen daher nur an dieser Stelle erwähnt werden.

§ 7. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen.

Die Funktionen von Komplementwinkeln. Hu$ der Hrt, wie in dem vorhergehenden Paragraphen der Kosinus und der Kotangens eingeführt wurden, ist sofort klar, daß der Sinus eines Winkels gleich dem Kosinus seines Komplementwinkels ist, und umgekehrt. Ebenso ist klar, daß der Tangens eines Winkels gleich dem Kotangens seines Komplementwinkels ist, und umgekehrt. Man erkennt dies auch aus der Fig. 2, wenn man die Gleichungen, welche die Funktionen des Winkels cc erklären, und die Gleichungen für die Funktionen des Winkels ß, der gleich 90°— ist, nebeneinander schreibt. Die soeben genannten Beziehungen kann man zusammenfassen in dem Lehrsatz: Ersetzt man in den trigonometrischen Funktionen den Winkel durch seinen Komplementwinkel, so muß man die Funktionsnamen ändern, und zwar Sinus mit Kosinus und Tangens mit Kotangens vertauschen.

sin a — cos (90° — «), tng a — cot (90° — a), cos a — sin (90° — «), cot a = tng (90° — «).

Nus der in dem obigenLehrsatz ausgesprochenen Eigenschaft dertrigo-nometrischen Funktionen beruht die Einrichtung der Tafeln für die

§ 7. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 27

Logarithmen dieser Funktionen. Die Tafeln brauchten nur bis zu 45° aufgestellt zu werden, dann konnte man dieselben auch für Winkel von 45° bis 90° benutzen, indem man die Zahl der Grade unter die Tabellen schrieb und unter die mit Sums, Tangens, Kotangens und Kosinus bezeichneten Spalten bzw. Kosinus, Kotangens, Tangens und Sinus setzte.

G²

2. Beziehung zwischen dem Sinus und Kosinus. Erhebt man die Gleichungen, durch welche Sinus und Kosinus erklärt werden, in das Vuadrat, so findet man

und COS² cc = ~ä

c⁵’

sin²«¹) -----

Addiert man die erhaltenen Gleichungen, so erhält man sin² cc + cos² cc ----- a + b .

Nun ist aber nach dem pythagoreischen Lehrsatz a²+b²=c², also ist sin²« + cos²« -----1.

Nus dieser Formel folgt

sin# =]/i — cos²of und cos cc = ]/i — sin²«.

5. Beziehung zwischen dem Tangens und Kotangens. Multipliziert man die beiden Gleichungen, welche den Tangens und den Kotangens erklären, so findet man

hieraus ergibt sich

tne“=coL

tng« • cot« sä 1.

und cot cc -----

tilget

4. Beziehungen zwischen den vier Funktionen. Aus den beiden Gleichungen sin «    ^ und cos cc = — erhält man durch Division

sin a

= h • Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber das Verhältnis,

COS cc

welches der Tangens des Winkels cc genannt wurde, es ist also sin a cos cc

Dividiert man cos cc durch sin cc, so findet man cos a sin a

1) Statt (sin a)², (cos a)², (tng et)² und (cot a)² schreibt man sin² cc, cos² cc, tng² cc und cot² cc und spricht dies „Sinus Quadrat„Kosinus Huadrat«" usw.

----- tng «.

----- cot«.

5, Berechnung der drei übrigen Funktionen eines Winkels, wenn eine Funktion gegeben ist. Mit Hilfe der soeben gefundenen Formeln kann man, wenn der Sinus eines Winkels gegeben ist, die drei anderen

Funktionen berechnen. Ist z.B. sin« = |, so ist cos« = ]/l — sin²« =

sin a cos oc

= I und cot« =

o

1    3

tng u 4

V¹ - Ü ⁼ ferncr ist tnS “ =

(Ebenso kann man, wenn der Kosinus eines Winkels bekannt ist, die

werte der übrigen Funktionen bestimmen. Hus cos« ----- 3? folgt

12 .    12    35

sin“ = 37, tng« = gg, cot«-₁₂-

Soll man aus dem gegebenen wert eines Tangens oder Kotangens die werte der übrigen Funktionen berechnen, so erkennt man, daß man wohl den Kotangens bzw. Tangens berechnen kann, daß aber die werte des Sinus und Kosinus mit Hilfe der oben gefundenen Formeln nicht bestimmbar find. (Es müssen daher für diesen Zweck geeignete Formeln ausgestellt werden. Diese erhält man in folgender weise: Dividiert man die Formel sin²« + cos²« ----- 1 durch cos²«, so findet man

cos² a

1 + tng² a ---

Dividiert man durch sin²«, so ergibt sich

Mit Hilfe dieser Formeln löst man nun die Aufgabe: (Es ist tng« = ”, wie groß sind die übrigen Funktionen des Winkels «?

60

3600

3721' cos“ ⁼ 61'

= tnga cos« = ^ - — Die zuletzt benutzte Gleichung folgt unmittelbar aus der ersten der in 4. gegebenen Formeln.

1 + tng² cc

Lösung: cot« = yy; cos²« =

sin «

§ 8. Die Bestimmung eines Minkels aus einer Gleichung zwischen feinen Funktionen.

1. Die Gleichung enthält nur eine Funktion. Ist zur Bestimmung eines Winkels eine Gleichung gegeben, in der nur eine Funktion des unbekannten Winkels vorkommt, so löst man die Gleichung genau so wie die Gleichungen mit einer Unbekannten x. Dann bestimmt man aus dem für die Funktion gefundenen wert mit Hilfe der Logarithmentafel den wert des gesuchten Winkels.

Aufgabe 1. Den spitzen Winkel « aus der Gleichung 8 sin²« — 10 sin a + 3 = 0 ju bestimmen.

Lösung. Aus der gegebenen Gleichung erhält man sin«! = ₄ und sin «2 = 2' Die spitzen Winkel, die der gegebenen Gleichung genügen,

sind «! = 48°35,4’ und «₃ = 30°.

2. Die Gleichung enthält verschiedene Funktionen. Die Bestimmung des Winkels aus einer Gleichung wird schwerer, wenn verschiedene Funktionen des Winkels in der Gleichung vorkommen. Ulan hat dann stets zunächst die verschiedenen Funktionen durch nur eine Funktion auszudrücken, hierzu benutzt man die in dem vorhergehenden Paragraphen gefundenen Formeln. Die folgenden Aufgaben, in denen stets der spitze Winkel bestimmt werden soll, der der Gleichung genügt, sollen einige Beispiele für diese Bestimmung liefern.

7 sin « = 3 cos «.

Aufgabe 1.

Dividiert man die Gleichung durch 7cos«, so erhält man tng«-f- (« = 23° 11,9').

Ausgabe 2.

Man setzt cos²« = 1 — sin²« und findet

sin« = 0,6.    (« = 36° 52,2').

5 cos²« + 30 sin²« = 14.

Ausgabe 3.

39 sin²« + 10 cos a = 15.

Ersetzt man sin²« durch 1 — cos²«, so findet man für cos« eine quadratische Gleichung. Die einzige für den spitzen Winkel brauchbare

Wurzel dieser Gleichung ist cos a = j|* (« = 22°37,2').

3tng« = 2 cos«.

Aufgabe 4.

Multipliziert man die Gleichung mit cos«, so erhält man 3 sin « = 2 cos²«.

Nun ist cos²« = 1 — sin²« zu setzen, und man findet eine quadratische Gleichung für sin«. Die brauchbare Wurzel dieser Gleichung

19tng“ + ^== 12'

ist sin « = 2 • (« = 30°).

Aufgabe 5.

ctttu© 431: Trantz, Trigonometrie.

COS²Of

= 1 + tng²<x und erhält eine quadratische Glei-

ITTcttt setzt

chung für Inga. Hus dieser Gleichung findet man als einzig brauchbaren Mert Ing a ------ 0,5. (cc = 26°33,9').

2 sin cc + cos cc = 2.

Rufgabe 6.

Ersetzt man den Kosinus durch den Sinns, so findet man

2 sin « + ]/l — sin²of --- 2.

Wird diese Gleichung, nachdem man die Wurzel isoliert hat, in das Quadrat erhoben, so entsteht eine quadratische Gleichung. Die wurzeln dieser Gleichung sind sin ----- l und sin a₂ = |, sie liefern die

werte ^ ----- 90° und ^ = 36°52,2/.

Bemerkung. Die eben auseinandergesetzte Lösung der Rufgabe 6 kann zu recht unbequemen Rechnungen führen, wenn große Zahlen als Koeffizienten von sin cc und cos cc auftreten. Es gibt für die Lösung dieser Rufgabe noch einen anderen, stets bequemen weg, der aber erst an späterer Stelle (§ 27, A Rufgabe 7) gezeigt werden kann.

§ 9. Verwandlung der funhtionen eines Minkeis in funhtionen des halben Minlrels.

Kommt in einer Gleichung, aus der der wert eines Winkels berechnet werden soll, außer der Funktion des Winkels auch noch eine Funktion des halben Winkels vor, so ist die Gleichung nur mit Hilfe

der bisher gefundenen Formeln nicht lösbar. Ruf jeden Fall ist es zur Lösung der Rufgabe erforderlich, die gegebene Gleichung so umzuformen, daß in ihr entweder nur Funktionen des ganzen Winkels oder nur Funktionen des halben Winkels vorhanden find. Klan hat daher Formeln aufzustellen, die diese Umformungen ermöglichen, und dies soll im folgenden geschehen.

\    2. Der Sinus eines Winkels ersetzt

\ durch Funktionen des halben Winkels.

Fig. 17.

\ ITT an zeichneem gleichschenkliges Dreieck C ABC (Fig. 17), das an der Spitze Ä einen spitzen Winkel cc besitzt, und be-

§ 9. Verwandlung der Funktionen in Funktionen halber Winkel 31 zeichne die Basis B C dieses Dreiecks durch 2a, den Schenkel durch b. Fällt man in diesem Dreieck die höhe AD ----- h auf die Basis und von der Ecke B der Grundlinie die höhe BE = ht auf den Schenkel, so kann man

den Inhalt des Dreiecks doppelt ausdrücken, erstens durch ₂ 2a -h und zweitens durch ₂-b- ht. Durch Gleichsetzung beider Ausdrücke erhält man die Gleichung

b-h₁ = 2ah.

Nun ist in dem rechtwinkligen Dreieck BEA ht ----- bsincc. Ferner findet man aus dem rechtwinkligen Dreieck A BD, in welchem BD = a

und L BAD ----- - ist, da die Basishöhe im gleichschenkligen Dreieck die Basis und den Winkel an der Spitze halbiert, a = b sin ₂ und

h = b cos 2 * Setzt man diese werte in die obige Gleichung ein, so erhält man nach Division durch b²

sin a — 2 sin 2" cos •

Mt Hilfe dieser Formel ist es möglich, den Sinus eines Winkels durch Funktionen des halben Winkels auszudrücken.

3. Der Kosinus eines Winkels ersetzt durch Funktionen des halben Winkels. Nach dem allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz ist in jedem Dreieck das (Quadrat der Seite, die einem spitzen Winkel gegenüberliegt, gleich der Summe der (Quadrate der beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus der einen dieser beiden Seiten und der Projektion der anderen auf sie. Diesen Satz wendet man auf das Dreieck ABC (Fig. 17) an, in welchem nach der Festsetzung in 2. LA = cc ein spitzer Winkel ist. NIan findet dann, wenn man die Projektion von AB aus AC mit p bezeichnet (p = EA), die Gleichung

4 a² = b² + b² — 2bp oder 2 a² = b²-bp.

Nun ist in dem rechtwinkligen Dreieck ADB wie vorher a = b sin ₂ r

und in dem rechtwinkligen Dreieck AEB ist p = bcosa. Setzt man diese werte in die vorher gefundene Gleichung ein, so erhält man nach Division durch b²

2 sin² 2 Ä 1 ~ cos cc

32 I. Die trtgon. Funktionen u. die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke ober

2"e

cos a

Diese Gleichung ermöglicht es, den Kosinus eines Winkels durch eine Funktion des halben Winkels zu ersetzen. Es lassen sich aber aus ihr noch zwei andere Formeln herleiten, die denselben Zweck erfüllen. Ersetzt man in der gefundenen Formel sin² ^ durch I — cos² j (§7,2), so findet man

cos a = 2 cos² y — 1.

Addiert man die beiden für cos a gefundenen Formeln, so erhält man, wenn man das Ergebnis durch zwei dividiert,

₉ a    .    9 tt

cos a = cos²1 — sin²1 •

Man hat also für den Kosinus drei Formeln, die den Übergang zum halben Vinkel gestatten.

4. Der Tangens eines Winkels ersetzt durch Funktionen der halben Winkels. Aus der in 2. gefundenen Formel für sin a und der dritten in 3. für cos a ermittelten Formel findet man durch Division

sin cc cos cc

= tng a =

a cc 2 sin - cos -

cos* f-sin*!

Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches auf der rechten Seite dieser Gleichung durch cos² ^, so erhält man die Formel

2 tng

tng« =

1 — tng⁸ !’

Die in diesem Paragraphen gefundenen Formeln werden noch an späterer Stelle (§ 26, 2) in anderer Weise abgeleitet werden.

5. Anwendungen. Die Formeln für den Übergang zum halben Winkel gebraucht man, wie schon in 1. erwähnt, zur Auflösung von Gleichungen, in denen trigonometrische Funktionen eines unbekannten Winkels mit Funktionen des halben Winkels gemeinsam vorkommen.

= 41° 24,6' und «₂ = 82° 49,2'.

Ersetzt man sin a durch die Funktionen des halben Winkels, so erhält man

4 sin “ cos ~ — 3 sin | = 0 oder sin ~ (4 cos j — 3) = 0. hieraus folgt: sin “ = 0, also “ = 0° und «1 = 0°. Weiter folgt = 4, also Beispiel 2.

tOi R

cos

4 sin — + 6 cos « = 5.

Setzt man cos a = 1 — 2 sin² , so erhält man eine quadratische Gleichung. Die einzige brauchbare Wurzel dieser Gleichung ist

. «    1

S,n2 ⁼ 2'

aus ihr findet man = 30° und « = 60°.

Die gefundenen Formeln spielen ^mch eine wichtige Rolle bei der Vereinfachung von Ausdrücken, in denen trigonometrische Funktionen vorkommen. Besonders häufig gebraucht man hierbei die beiden folgenden Formeln, die sich aus den beiden ersten für cos « in 3. gefundenen Formeln ohne weiteres ergeben:

1 + cos a = 2 cos² ,

— cos«

2 sin² “

<x

(X

Beispiel 1.

sin a

2 sin — cos --2 2

Ci

COS —

cos

N>| R |

= 2 sin

Ö |(N

2 «in² 2

1 — COS d

Beispiel 2.

sin a

₂.« « = tngr

2 sin - cos -

§10. Berechnung geradliniger figuren, die steh in kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegen lassen.

t. Bemerkung. Ebenso wie sich die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke mithilfe der trigonometrischen Funktionen ausführen läßt, können auch alle diejenigen geradlinig begrenzten Figuren berechnet werden, die in kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können. Die

Berechnung eines der entstehenden rechtwinkligen Dreiecke genügt für die Bestimmung aller Btücke der ganzen Figur. Figuren dieser Hrt sind das Rechteck, das durch die Diagonale in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird, und das gleichschenklige Dreieck, in dem durch die höhe auf der Basis die Teilung ausgeführt wird. Ferner gelingt auch die Berechnung regelmäßiger Vielecke. Diese Vielecke sind durch ihr gleichschenkliges Bestimmungsdreieck vollständig bestimmt. Man hat nur zu beachten, daß bei einem regelmäßigen m Eck der Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreiecks gefunden wird, wenn man 360° durch n dividiert. Auch der Rhombus kann berechnet werden, denn seine Diagonalen, die aufeinander senkrecht stehen, teilen denselben in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke.

2. Beispiele. Aufgabe 1. Die eine Beite eines Rechtecks ist a = 52,7 cm und der ihr gegenüberliegende Winkel, unter dem die Diagonalen sich schneiden, 6 = 64°28'. wie groß sind die Diagonale und die zweite Beite? (d ----- 98,805 cm, b ----- 83,578 cm.)

Der Winkel ck ist als Außenwinkel an der Bpitze eines gleichschenkligen Dreiecks doppelt so groß wie der Winkel, der im rechtwinkligen Dreieck der Beite a gegenüberliegt.

Aufgaben DieBasis eines gleichschenkligen Dreiecks ist b=48,76 cm und der Bchenkel s ----- 32,84 cm. wie groß sind die Winkel des Dreiecks? (Winkel an der Bpitze gleich 95°52,2', Basiswinkel gleich 42°3,9'.)

Aufgabe 3. 3tt einem gleichschenkligen Dreieck ist die hohe auf der Basis h ----- 15,87 cm und der Winkel an der Bpitze y = 78°42'. wie groß sind die Beiten des Dreiecks? (Basis 26,026 cm, Bchenkel 20,523 cm.)

Aufgabe 4. Einem Kreise, dessen Radius /----- 3,47 cm lang ist, ist ein regelmäßiges 15-Eck eingeschrieben. Der Umfang und der Inhalt des 15-Ccks sollen berechnet werden, (iz = 21,644 cm, f= 36,731 qcm.)

Aufgabe 5. Der eine Winkel eines Rhombus ist cc ----- 128°34' und die durch ihn hindurchgehende Diagonale d = 22,76 cm. wie groß sind die Beiten und die zweite Diagonale? (s ----- 26,226 cm, dt ----- 47,257 cm.)

Zweiter Abschnitt.

Die Funktionen stumpfer Winkel und die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.

§ ll. Vorbemerkungen*

Die sechs Veftimmungsstücke eines Dreiecks find die drei Seiten und die drei Winkel. In der Planimetrie ist durch die vier Kongruenzsätze gezeigt, daß in vier Fällen ein Dreieck durch drei Stücke, die aus feinen sechs Stücken ausgewählt sind, eindeutig bestimmt ist. (Es war daher möglich, mit Hilfe der in jedem Kongruenzsatze genannten drei Stücke die Größe der übrigen Stücke durch Konstruktion zu ermitteln. Eine Berechnung der Stücke aus den Maßzahlen der gegebenen Stücke war aber unmöglich, solange man zwischen den Maßzahlen der Winkel und denen der Strecken keine Beziehungen kannte. Der pythagoreische Lehrsatz allein gestattete aus zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte zu bestimmen. Ferner konnte man für den Fall, daß die drei Seiten des Dreiecks gegeben waren, einzelne Berechnungen ausführen, von den hierbei in Betracht kommenden Formeln verdienen besonders genannt zu werden die Formeln für die Radien der vier berührenden Kreise und für den Inhalt des Dreiecks. Die Trigonometrie erst lehrt, wie man mit Hilfe der in jedem Kongruenzsatze genannten drei Stücke die Größe der übrigen Stücke durch Rechnung bestimmen kann. Den vier Kongruenzsätzen entsprechend gibt es also vier trigonometrische Grundaufgaben für die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.

Da in den schiefwinkligen Dreiecken auch stumpfe Winkel auftreten können, wird es nötig, um allgemein gültige Formeln aufstellen zu können, die nur für spitze Winkel erklärten trigonometrischen Funktionen auch auf stumpfe Winkel anzuwenden.

§ 12. Die Funktionen stumpfer Minkel.

V Der Sinus eines stumpfen Winkels. Die in §9,2 abgeleitete Formel sin a = 2 sin — cos führt uns, wenn 2 den wert von 45°

überschreitet, auf den Sinus eines stumpfen Winkels. Da die rechte Seite der Gleichung dann noch eine stets berechenbare Größe ist, so sind damit die Werte der Sinus stumpfer Winkel bestimmt. (Es handelt sich nur darum, zu ermitteln, in welcher Beziehung diese Werte zu den werten der Funktionen spitzer Winkel stehen. Man findet diese Beziehung durch folgende Überlegung. Ist cc ein stumpfer Vinkel und sein Sinus erklärt durch die Gleichung

^ . cc cc

sin er = 2 sin ^ cos ^ ,

so besteht für den spitzen Supplementwinkel des Winkels cc die Gleichung

sin (l 80° —    2 sin ^90° —    • cos ^90° —

----- 2 cos sin | • (§ 7, l).

sin a — sin (180°—- a)

hieraus erkennt man, da die rechten Seiten beider Gleichungen übereinstimmen, daß

sein muß.

Der Sinus eines stumpfen Winkels ist gleich dem Sinus feines spitzen Supplementwinkels.

Diese (Eigenschaft des Sinus muß bei der Berechnung schiefwinkliger Dreiecke wohl beachtet werden, hat man nämlich den Logarithmus für den Sinus eines unbekannten Winkels gefunden, so kann der Winkel sowohl gleich dem spitzen Winkel sein, den man in den Tafeln findet, als auch der stumpfe Supplementwinkel dieses Winkels. (vb beide Winkel oder nur einer von ihnen brauchbar find, das ergibt sich aus der Natur der Aufgabe.

2. Der Kosinus eines stumpfen Winkels. Für cos war §9,3 die Formel gefunden cos ct = 1 — 2 sin² j • Auch diese Formel führt,

wenn cc größer als 45° wird, auf den Kosinus eines stumpfen Winkels und kann, da die rechte Seite der Formel stets berechenbar ist, zur Erklärung der Kosinus stumpfer Winkel benutzt werden. Die Beziehung dieser Kosinus zu den Funktionen spitzer Winkel findet man durch eine ähnliche Überlegung wie oben. Ist cf ein stumpfer Winkel und sein Kosinus erklärt durch die Gleichung

COS a — I — 2 sin² -' cos (180° - cc) = l — 2 sin² (90° - “)

so besteht für den spitzen Supplementwinkel des Winkels u die Gleichung

= 1-2 cos²! ' (8    I)-

Durch Abbition beiber Gleichungen finbet man

cos cc + cos (180° — cc) = 2 — 2 (sin² j + cos²

Nun ist aber ber in ber Klammer stehenbe Ausbruck nach § 7, 2 gleich eins. Man erhält also bie Gleichung

ober

cos a + cos (180° — cc) = 0

cos a sss — cos (180°    a).

Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist gleich bemKosinus seines spitzenSupplementwinkels mit ne gativemvorz eichen.

Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist also stets negativ.

5- Erklärt man ben Tangens unb ben Kotangens nach § 7,4 als ben (Quotienten von Sinus unb Kosinus, so finbet man aus ben beiben obigen Formeln

tng« = — tng(180° — «), cot cc = — cot (180° — «).

Die gefunbenen Ergebnisse lassen sich zusammenfassen in ben Satz: Die werte ber Funktionen stumpfer Winkel sinb gleich ben absoluten werten ber entsprechenben Funktionen ihrer spitzenSupplementwinkel, aber negativ mit Ausnahm eb es Sinus, berauch für stumpfe Winkel positiv bleibt.

§ 13. Der ötmissatz*

Der Sinussatz. Fällt man in einem Dreieck ABC (Fig. 18 I unb II) bie höhe CD = hc, so ist nach ber Erklärung be§ Sinus in betn rechwinkligen Dreieck ADC bie höhe hc = b sin u. In betn rechtwinkligen Dreieck BDC ist, wenn ß ein spitzer Winkel ist (Fig. I), hc = a sin ß, wenn aber ß ein stumpfer Winkel ist (Fig. II), hc = a sin (180° — ß). Nun ist aber nach § 12 sin (180° — ß) = sin ß. Man finbet also auf jeben Fall, mag ß ein spitzer ober ein stumpfer Winkel sein, /*c = a sin ß. Setzt man bie beiben für hc gefunbenen Ausbrücke einanber gleich, so erhält man bie Gleichung a sin ß = b sin a,

bA

“Ci

5ig. 18.

Dividiert man diese Gleichung durch b sin ß, so nimmt sie die Form an

a _ sin a

~b sin ß

D Diese Formel heißt der

Zinussatz. Der Inhalt dieses Satzes läßt sich in Worten folgendermaßen aussprechen:

3n jedem Dreieck verhalten sich die Zeiten wie die Zinns der ihnen gegenüberliegenden Winkel.

Vemerkung.DerZinussatz gibtzuerstdieVeziehung,welchezwischen den Seiten eines Dreiecks und den ihnen gegenüberliegenden Winkeln besteht, durch eine Gleichung an. Seitdem Thales die Gleichheit der Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck ausgesprochen, hatte in der Planimetrie nur soviel ermittelt, daß in jedem Dreieck der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüberliegen müsse, ohne jedoch über die gegenseitige Beziehung etwas Näheres angeben zu können.

2. Anwendung des Zinussatzes bei der Berechnung schiefwinkliger Dreiecke. Der Sinussatz wird angewendet zur Berechnung Dreiecken, von denen eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und der der einen von diesen beiden Seiten gegenüberliegende Winkel gegeben sind. Bitt Hilfe des Sinussatzes löst also diejenigen trigonometrischen Grundausgaben, welche dem zweiten und vierten Uongruenzsatz entsprechen.

Bei der Lösung der Aufgabe, die dem vierten Uongruenzsatz entspricht, findet man zunächst eine Formel, durch die der der zweiten Seite gegenüberliegende Winkel berechnet werden kann, hier ist zu beachten, was § 12, 1 gesagt wurde, daß in diesem Falle sowohl der in der Tafel stehende spitze Winkel wie auch sein stumpfer Supplementwinkel genommen werden kann. Ist der in der Aufgabe gegebene Winkel stumpf, so kommt selbstverständlich nur der spitze Winkel in Betracht. Ist der gegebene Winkel spitz, und die ihm gegenüberliegende Seite größer als die andere, so kann man auch nur den spitzen Winkel gebrauchen, da der kleineren von zwei Dreieckseiten kein stumpfer Winkel gegenüberliegen kann. Wan erhält also nur ein Drei-

J) B A

man

von

man

nun

eck, wie es auch sein muß, da in diesem Salle die Bedingungen des vierten Rongruenzsatzes erfüllt find. Nur für den Fall, daß die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Sette kleiner ist als die andere, muß man sowohl den spitzen wie den stumpfen Winkel nehmen und erhält zwei Dreiecke, deren Stücfe zu berechnen sind.

Ausgabe 1. 3tt entern Dreietf ABC ist c= 537,4 cm, «=37° 15,7' und ß = 79°42,4/. wie groß sind die beiden anderen Seiten?

Lösung. I. y = 180°-(or + ß); y = 63°1,9'.

_ sin ß ~ sin y '

u_ c ■ sin ß

b~ sin r ‘

log c = 2,73030 log sin ß =_ 9,99295 - 10 log Z = 12,72325 — 10 log sin y ----- 9,95000 — 10 log b ----- 2,77325 b = 593,27 cm.

a _ sin a IL 7 ⁼ sin y ' c • sin a

sin y

III.

>Q U

loge ----- 2,73030 log sin c^= 9,78208 — 10 logZ¹) ----- 12,51238 - 10 log sin y = 9,95000 — 10 loga = 2,56238 a = 365,08 cm.

Aufgabe 2. von einem Dretecf ABC kennt man a = 25,76 cm, c -----18,45 cm und cc ------ 36° 15'. (Es sollen die beiden anderen Winkel

und die dritte Seite berechnet werden.

sin 7 c sin<x ™

Lösung.

c • sin cc sin y — Q

loge = 1,26600 log sin cc == 9,77181 — 10 log Z = 11,03781 — 10 log a = 1,41095

log sin y - 9,62686 - 10; y = 25°3,4'.

hier darf der stumpfe Winkel für y nicht genommen werden, da a größer als c ist.

II. ß= 180 °-(a + y); ß= 118°41,6 '.

1) Z ist Abkürzung für Zähler.

_ sin ß ~ sin a

a sin ß

b “ ~sirTcT '

III.

lo gsl- 1,41095 log sin ß ----- 9,94510 — 10

logZ = 11,35405 - 10 log sin(x= 9,77181-10

logb = 1,58224; b = 38,215 cm.

Huf gäbe 3. In einem Dreiei ABC ist a=27,66 cm, 6 = 36,79 cm und ß = 43°57'. wie groß sind die beiden anderen Winkel und die dritte Seite? (« = 31°27,2', y = 104°35,8', c = 51,298 cm.)

3. praktische Anwendungen. Aufgabe I: Zwei Punkte P und Pi sind durch unzugängliches Gelände voneinander getrennt. Um ihre Entfernung voneinander zu bestimmen, hat man von P aus eine Stand-linie PQ = a — 136 m abgesteckt und durch visieren gefunden, daß /.P₁Pg = « = 42°15'unb LPQPi = /?=73°30' ist. Die gesuchte Entfernung soll hieraus berechnet werden. (144,78 m).

Aufgabe 2. Die Spitze eines Berges erscheint von einem Punkt der Ebene unter dem Erhebungswinkel a = 36° 17'. Nähert man sich dem Berge um c = 236 m, so erblickt man die Spitze unter dem Erhebungswinkel ß = 38°23'. töte hoch ist der Berg? (2366,5 m.)

• Aus dem rechtwinkligen Dreieck AO <7

die Gleichung AC=-ergibt sich dann

Lösung. Der erste Beobachtungspunkt sei A, der zweite B, die Spitze des Berges C und der Fußpunkt des von C auf die Ebene gefällten Lotes D. Dann ist L ACB = ß — a nach dem Satz vom Außenwinkel, und nach dem Sinussatz findet man aus dem Dreieck ABC c • sin (3 sin ((3 — a)

CD = A C • sin a =

c • sin a sin ß sin (ß — a)

Aufgabe 3. von einem Luftballon aus erblickt man den §ußpunkt eines h = 31,5 m hohen Turmes unter dem Senkungswinkel 8 = 82°45' und die Spitze des Turmes unter dem Senkungswinkel <5j = 82° 10'. töte hoch schwebt der Ballon über der Ebene, auf welcher der Turm steht? (418,31 in.)

Lösung. In 5ig. 19 ist AB der Turm, C der Ballon. Aus dem Dreieck ABC findet man BC:h = sin(90° + <U:sin(3-ch). Da nun sin (90° + <$,) = sin (90° — dj, weil 90° — der Supplementwinkel zu 90° + <$! ist, und sin (90° — ch) = cos <$t nach § 7, 1, so ist

BC =

h cos

sTn (tf — ».) ‘

Nun ist in dem rechtwinkligen Dreieck BDC die Seite CD=x=BCsind, man kann also nach Einsetzung des für BC gefundenen wertes x berechnen.

$iq. 19.

I)

Hufgabe 4. Huf einem Schiffe, das in der Richtung N 15°20' 0 fährt, peilt man das Feuer eines Leuchtturms in N 22° 17' 0. Rach einer Fahrt von 8,4 Leemeilen peilt -man das Feuer in S 30° 15'0. wie weit war man zu der Zeit der Peilungen von dem Leuchtturm entfernt?

(7,5593 km und 1,2806 km.)

Erklärungen. N 15°20' 0 bedeutet 15°20 von der Nordrich-tung nach Osten abweichend. — peilen heißt in der Leemannssprache, die Richtung, in der man einen Gegenstand erblickt, durch den Rompaß bestimmen. — Eine Leemeile ist 1852 m.

Losung. Ist A (Fig. 20) der Ort der ersten Peilung, AB die Richtung, in der bas Lchifs fährt, unb AN bk Richtung nach Norden, dann ist nach der Hufgabe LN AB = 15°20' und, wenn L der Leuchtturm ist, LNA L = 22° 17'. Durch die zweite Peilung, die in B vorgenommen wird, wird L SBL = 30° 15' bestimmt. Dadurch ist in dem Dreieck ABLbtx Winkel ABL bekannt, weil /„ ABS-Z.BAJV als Wechselwinkel an parallelen. Man kann nun mit Hilfe des Linussatzes die gesuchten Ltrecken berechnen.

Hufgabe. 5. Huf einen Punkt wirkt eine Rraft von 97,56 kg. Diese Kraft wird in zwei Komponenten zerlegt, N\ die mit ihr die Winkel a = 75° 15' und ß= >

38°29' bilden. Die Große der beiden Rompo- | nenten soll berechnet werden. (103,06 kg und 66,32 kg.)    I

Erklärung. Kräfte werden ihrer Große , und Richtung nach durch Ltrecken dargestellt. , y Zwei einen Punkt angreifende Kräfte können i / stets durch eine dritte Kraft, die man ifyre Jl/'

Resultierende oder Resultante nennt, ersetzt f werden. Über diese Resultierende gibt Huf- j schluß derSatz vom Parallelogramm der ,

Fig. 20.

Kräfte: die Resultierende zweier aus einen

Punkt wirkenden Kräfte ist in Größe und Richtung bestimmt durch die Diagonale des Parallelogramms, dessen Zeiten die beiden Kräfte darstellen. Nach diesem Satz kann man auch eine Kraft in zwei andere (die Komponenten) zerlegen, die mit der ersten Kraft gegebene Winkel bilden sollen. Man trägt an die Strecke, die die gegebene Kraft darstellt, in dem einen Endpunkt die gegebenen Winkel nach beiden Seiten an. hierauf zieht man durch den anderen Endpunkt die parallelen zu den freien Schenkeln der angetragenen Winkel. Die durch diese parallelen auf den Schenkeln abgeschnittenen Strecken stellen die gesuchten Komponenten dar.

§ 14. Die IMollwctdescbcn Gleichungen und der 'Cangentialsatz.

\. Die Mollweideschen Gleichungen. Beschreibt man um die Ecke C eines Dreiecks ABC (5ig. 21) mit a den Kreis, so schneidet dieser die Verlängerungen von AC in zwei Punkten, D und £. Diese Punkte verbinde man mit der Ecke B. Es ist dann in d ein Dr eie ck^L/) Seite AB ----- ct Leite AD = a + b und

L ADB = 2 , da der Basiswinkel eines

gleichschenkligenDreiecks (ACBD) halb so groß ist wie der Außenwinkel an der Spitze.

Ferner ist LABD =    +

-9o»- ;-# +

= 90°— — y— •

wendet man auf das Dreieck ABD ben Sinussatz an, so findet man

sin ^90° — ~~2 ^)

abj

[D

a\

ct

"Bö

5lg. 21.    Mn

Ersetzt man in dieser Gleichung nach § 7,1 sin ^90° —durch cosa r. so erhält man die erste Mollweidesche Gleichung:

z    a—ß

a + b __

COS

sin T,

3n dem Dreieck AEB ist Seite AB = c, Seite A£ = a — b, ferner, da der Winkel EBD als Peripheriewinkel im Halbkreis gleich

einem Rechten ist, LAEB = 90°—j als Komplementwinkel ßu LADB,

und LABE = “ 2 - als Komplementwinkel ßu LABD. Man erhält daher, wenn man den Sinussatz auf das Dreieck AEB anwendet,

. Ci — ß Sm 2

sin (90° — |)

und hieraus mit Benutzung von § 7,1 die Zweite Mollweidesche Gleichung:

cc — ß sin—^ "

cos

ß — cc

Bemerkung. (Es sei hier bemerkt, daß die gefundenen Formeln, ebenso wie alle übrigen für die Dreiecksberechnung aufgestellten Formeln, durch die in ihnen vorkommenden für das allgemeine Dreieck stereotypen Bezeichnungen uns nur über die gegenseitige Lage der Stücke, die sie zueinander in Beziehung setzen, Auskunft geben. Man muß nach ihnen auch für jede andere Bezeichnung der Dreiecksstücke die entsprechenden Formeln aufstellen können, vielfach bietet es dem Anfänger Schwierigkeit nach diesen Formeln zu rechnen, wenn einmal bei derselben Bezeichnung der Stücke b größer als a gegeben ist. (Er kommt auf negative Differenzen, mit denen er nichts anzufangen weiß. (Es muß dann bedacht werden, daß in der zur Ableitung der Formeln benutzten Figur a größer als b war. Ist einmal b größer als a, so muß bei derselben Bezeichnung den beiden Formeln die Form gegeben werden

ß — a

COS ------

b — a und —

Sin 2

cos

Sin2

2.Anwendungen. Aufgabe 1: Die unbekannten Seiten und Winkel des Dreiecks zu berechnen, in dem a + b = 7,52 cm, c ----- 4,46 cm undcc-ß=U°l6'i\L (a = 59°27,6z, ß=48°ll,6',    72°20,8

a = 4,0311 cm, b = 3,4888 cm.)

Man bestimmt zuerst die Winkel mit Hilfe der ersten Mollweideschen Gleichung, dann mit dem Sinussatz die Seilen.

Aufgabe 2. Der Umfang eines Dreiecks ist 2s ----- 2034 cm, die eine Seite ist a ----- 904 cm, und der dieser Seite gegenüberliegende Winkel cc=\ 05°46'. Die unbekannten Winkel und Seiten zu berechnen.

(ß = 41°44,0', y = 32°30,0', 6 = 625,30 cm, c = 504,72 cm.)

Aufgabe 3. Die Richtungen zweier Kräfte, von denen die eine 26,57 kg größer ist als die andere, bilden miteinander den Winkel a= 125°22'. Die Resultierende der beiden Kräfte ist r = 63,15 kg. Wie groß sind die beiden Kräfte, und welche Vinkel bilden ihre Richtungen mit der Richtung der Resultierenden? (a = 77,100 kg, b = 50,531 kg, « = 84°38,1', ß --- 40°43,9'.)

Klan vergleiche die Bemerkung zu § 13,3 Aufgabe 5.

5.5er Tangentialsatz. Aus den beiden Nkollweideschen Gleichungen erhält man durch Division

STl-tngV^tngf •

vertauscht man die beiden Seiten dieser Gleichung und schafft dann tng 2 aus die rechte Seite, so erhält man mit Benutzung von § 7,3

tng^ = J-~cotf

Diese Gleichung heißt 6er Tangentialsatz.

H. Anwendungen. Der Tangentialsatz wird angewendet zur Berechnung von Dreiecken, von denen zwei Seiten und der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel gegeben sind. Klan löst also mit Hilfe des Tangentialsatzes die trigonometrische Grundausgabe, welche dem ersten Kongruenzsatze entspricht.

Sind von einem Dreieck die Seiten a und 6 und der Vinkel y ge-

= 90° — |, dann berechnet

a + ß . a — ß .

und ₂ findet man

CC -4- ß

geben, so bestimmt man zunächst —₂

cc — p

man mit dem Tangentialsatz - ₂ . Aus

durch Addition « und durch Subtraktion ß. Sind die Vinkel bekannt, so kann c durch den Sinussatz berechnet werden.

Bei der Anwendung des Tangentialsatzes beachte man auch das, was bei den Klollweideschen Gleichungen in 1. Bemerkung gesagt ist.

Aufgabe 1. In einem Dreieck ABC ist a=517,6 cm, 6=302,8cm und y = 38°40'. Wie groß sind die beiden anderen Winkel und die dritte Seite?

Lösung. I. 90°= 89°60'

|= 19°20'

II.

a = 517,6

b = 302,8

70°40\

a — 6 = 214,8 a + 6= 820,4

III.

-ß

tng^

log (a — b)= 2,33203

• Ci

IV.

log cot

= 10,45488- 10

_ fr siny C~ sin ß ' log fr = 2,48116 log sin y = 9,79573 — 10

log Z= 12,27689- 10 log sin ß = 9,74685-10 log c = 2,53006 c = 338,89 cm.

logZ = 12,78691 - 10 log (q + d) = 2,91405

log tng~- — 9,87288- 10

^ = 70° 40,0'

-“^= 36° 43,9'

«=107°23,9'

ß = 33056,1'.

Hufgabe 2. In einem Dreieck ABCifta = 72,79cm, fr = 93,56cm und y=42°42'. Die beiden anderen Winkel und die dritte Seite sollen berechnet werden. (« = 50°56,l', ß = 86°2I,9', c = 63,577 cm.)

Hufgabe 3. In einem Dreieck ABC ist fr = 841 cm, c= 725 cm und « = 9°31,6'. Wie groß sind die beiden anderen Winkel und die dritte Seite? (ß = 126°52,4', 7 = 43°36,0', a = 174,00 cm.)

Hufgabe 4. In einem Dreieck ist a = 47,56 cm, fr = 25,38 cm und y= 58° 36'. wie lang ist die Linie, welche den Winkel «halbiert? (22,252 cm.)

Zuerst berechne man aus dem gegebenen Dreieck cc, bann aus dem Teildreieck mit dem Sinussatz die gesuchte Linie.

Hufgabe 5. Huf einen Punkt wirken zwei Kräfte Kt = 53,84 kg und K₂ = 48,26 kg, deren Richtungen den Winkel «= 112°45/ miteinander bilden. Die Resultierende der beiden Kräfte soll berechnet werden. (56,730 kg.)

§ 15. Inkreis, Hnkreise und Inhalt des Dreiecks.

Der Umfang 6e$ Dreiecks. Unter dem Umfang eines Dreiecks versteht man die Summe seiner drei Seiten. Den Umfang pflegt man durch 2§ zu bezeichnen, so daß man die Gleichung hat

a + fr + c=a2s.

Subtrahiert man von beiden Seiten dieser Gleichung 2 cr, soerhältman — ß-f-fr-j- c = 2 s — 2 ß = 2 (s '    d).

ctttu© 431: Crantz, Trigonometrie.

Ähnlich findet man a — b + c = 2(s — b), a + b — c = 2 (s — c).

2. Der Inkreis. Unter dem i Inkreis eines Dreiecks ABC (Zig. 22) versteht man den inner-halb des Dreiecks liegenden Ureis, der die drei Seiten des Dreiecks be-A rührt. Der Mittelpunkt des Jn-Ci ¥ B {reifes ist der Schnittpunkt O der drei Linien, welche die Winkel des Dreiecks halbieren. Der Radius des Inkreises wird durch q bezeichnet. Man findet ihn, wenn man von 0 die Senkrechten auf die Seiten fällt. (Es ist 0At = 0Bl — 0Cl = q.

Die abschnitte, in welche die Seiten durch die Berührungspunkte des Inkreises geteilt werden, lassen sich in einfacher weise durch die Seiten des Dreiecks ausdrücken. Bezeichnet man die Strecken von den Ecken bis zu den Berührungspunkten des Inkreises, die als Tangenten einem Punkt an einen Ureis einander gleich fein müssen, wie es in der Figur geschehen, bzw. mit x, y und z, dann ist

2x + 2y + 2z = 2s oder x + y + z — s.

Ersetzt man in dieser Gleichung y + z durch a, dann findet x = s — a.

z/ • \z

Lig.22.

von

vc

man

Ersetzt man in derselben Gleichung x + z durch b und dann x + y durch c, so erhält man

y = s — b uud z — s — c.

5. Der yalbwinkelsatz. Nach dem soeben gefundenen Ergebnis ist in dem rechtwinkligen Dreieck AOCt die Seite ACt gleich s a, ferner

ist 0Ct = q und nach der Uonftruktion L OACt = (Es besteht

also die Gleichung

a q 2 s — a

Diese Gleichung heißt der yalbwinkelsatz.

Für die übrigen Winkel des Dreiecks hat man entsprechend

tag 2 =F^hunb tns| ⁼ s

4. Die Ankreise. Unter entern Ankreise eines Dreiecks ABC ($tg. 23) versteht man einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks zwischen den Ecken und die beiden anderen

-B

5t g. 23.

M"

Seiten in ihren Verlängerungen berührt. In der Figur A ist der Ankreis an die Seite < a gezeichnet. Der Mittelpunkt Ot dieses Ankreises ist der Punkt, in welchem sich die Halbierungslinie des Winkels bei A und die Halbierungslinien der Außenwinkel bei B und C schneiden. Man nennt den Radius dieses Ankreises Qa. Es ist OxAt = O1B1 = OiCi ----- Qa. Die Radien der Ankreise, welche die Seiten b und c zwischen den Ecken berühren, heißen Qb und qc.

Bezeichnet man die Strecken von den Ecken bis zu den Berührungspunkten des Ankreises, wie es in der Figur geschehen ist, mit x, y und z, bann ist

BJTCf

cc

AB₁ = x — b + z ACX = x = c + y.

Durch Addition dieser beiden Gleichungen folgt 2x^b + c + z + y. Run ist aber, wie aus der Figur ersichtlich ist, y + z = a, also ist 2x = a + b + c = 2s und

X = s.

5. Die trigonometrische Formel für den Radius eines Ankreises.

Nach dem soeben gefundenen Ergebnis ist in dem rechtwinkligen Dreieck A0₁C₁ die Seite AC± gleich s, ferner ist O& = Qa und

L OtACt = | • (Es besteht daher die Gleichung

a Qa .    l a

tng 2 = T oder Qa = stng^--Die Formeln für die Radien der beiden anderen Ankreise sind

C₆= S tng| und ?c= S tng|-

6. Sormeltt für den Inhalt des Dreiecks, a) In der Planimetrie ist der Satz gefunden: Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus feiner Grundlinie und hohe. Da man jede Seite des Dreiecks als die Grundlinie ansehen kann, so hat man hiernach drei Formeln

b) In der Formel f=^a ha kann man ha = b sin y setzen, es

mag y ein spitzer oder ein stumpfer Winkel sein (vgl. §13,1). hierdurch erhält man für den Inhalt des Dreiecks die Formel

/ --- j a b sin y.

Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus ßroet Seiten und dem Linus des von den beiden Leiten eingeschlossenen Vinkels.

a sin ß _ sin« ' betzt man

c) Nach dem Linussatz ist    , also b ---

diesen Wert für b in die soeben für den Inhalt gefundene Formel ein, so findet man

für den Inhalt des Dreiecks:

/— \a ha, f=

b hb, f =

c-hc.

g*sin ß sin y ’    2 sin a

Die dieser Formel entsprechenden Formeln für die Seiten b und c lassen sich leicht bilden.

d)    verbindet man den Mittelpunkt 0 des Inkreises des Dreiecks AßC(5tg.22) mit den Ecken des Dreiecks, so teilen diese Verbindungslinien das Dreieck in drei Teildreiecke mit der höhe q und den Grundlinien a, b und c. (Es ist daher

/■ = A ABC = A OBC + A OCA + A OAB = \ a ■ q + b • q + j c • q

= ^ Q (ö + b + c) — 2'9'25 — QS.

Der Inhalt eines Dreiecks ist also auch bestimmt durch die Formel f= QS.

e)    verbindet man den Mittelpunkt 0₁ des Ankreises des Dreiecks ABC (Fig. 23) mit den Ecken des Dreiecks, so entstehen drei Dreiecke mit der höhe Qa, deren Grundlinien a, b und c sind. Der Inhalt des Dreiecks ABC läßt sich als algebraische Summe der Inhalte dieser Dreiecke darstellen, wie man aus der Figur leicht erkennt, ist

§ 15. Der Inhalt bes Dreiecks

vO

/*= A ABC= A Oi AB + A O^AC-A O^BC

2sl‘?a

1 , 1 .

^ 2 c ‘ Qa “t" ^ O ' Qa —

= 2 Qa (c b — a) — ~2 Qa ’ 2 (s d) — Qa (s o).

f=Q« (s - a).

Man kann daher den Inhalt eines Dreiecks auch berechnen nach der Formel

Dieser Formel entsprechen die beiden anderen f = Qb (s — b) und f= Qc (s — c).

7. Die heronischeFormel, hero vonBlexandrien, der um 110 v.Lhr. lebte und ein Lehrbuch für Feldmesser versaßt hat, hat eine Formel ausgestellt, durch welche es möglich ist, den Inhalt eines Dreiecks unmittelbar aus den Maßzahlen der Zeiten zu berechnen. Man kann diese Formel in folgender weise herleiten.

Multipliziert man die in 6. d) und e) gefundenen Formeln f=QS und f — Qa {s — ä), so erhält man

f = Q • Qa s (s — a).

Nun ist in Fig. 24, in welcher für das Dreieck ABC btr Inkreis und der Bnkreis an die beite a gleichzeitig gezeichnet sind, in den Dreiecken ODB und 0₁D₁B

LODB = LO^B als Rechte,    /f

LOBD = L B0₁D₁,

5ig. 24.

Ei /

weil beide Winkel Komplementwin-kel des Winkels 0₁BD₁ sind. Der Winkel OBD ist ^ der Komplement5 A winke! zu Winkel 0₁BDlf da die Halbierungslinien zweier Nebenwinkel (B 0 und B Oj) aufeinander senkrecht stehen. Die beiden Dreiecke ODB und 0₁D₁B sind daher einander ähnlich. Bus der Ähnlichkeit folgt

Q : (s — c) = (s — b) : Qa

oder, da in jeder Proportion das Produkt der äußeren Glieder gleich dem Produkt der inneren ist,

QQa = (s — b)(s — c).

Setzt man diesen Wert für in die Formel für f² ein, so findet man

f=Ys (s — a)(s — b) (s — c).

Die letzte Gleichung heißt die heronische Formel.

Bemerkung. €s gibt Dreiecke, deren Inhalt sich mit tjilfc der Matzzahlen der Seiten durch eine ganze Zahl ausdrücken läßt. (Ein solches Dreieck war schon dem Hera bekannt. (Es ist das Dreieck, dessen Seiten a = 13 cm, b — 14 cm, c = 15 cm sind. Der Inhalt dieses Dreiecks beträgt 84 qcm. Weitere Dreiecke sind: a = 4 cm, 6= 13 cm, c — 15 cm, f— 24qcm; a = 5 cm, 6 = 29 cm, c=30cm,/'=72qcm; a — 13 cm, b = 30 cm, c = 37 cm, f= 180 qcm.

8. Die Berechnung -er Radien des Inkreises und der Ankreise durch die Seiten. Die vier in 6. gefundenen Formeln f= qs, f= Qa (s — a),f= Qb (s — b),f= QC (s — c) machen es mit Hilfe der hero» Nischen Formel möglich, auch die Radien der die Seiten des Dreiecks berührenden Kreise durch die Maßzahlen der Seiten zu berechnen. Aus der Formel f = qs findet man

s (s — a) (s— b) (s — c)

s⁸

= / ₌ l/s (^— a) (s — b) (s — e) n /

s    s    V

und hieraus

_ l/(£ —a)(s — b) (s — c)

In ähnlicher Weise findet man aus den drei anderen Formeln

Qa

-\/s(s — b) (s — c)

V—T=rs—'

Qb

Qc

_-|/s(s —a)(s —c)

~V s — b '

₌ 1 /s [S -- a) (s - b) _ V s — c

§ 16. Die Berechnung der MnKel des Dreiecks durch die Seiten.

I. Der Gang der Lösung. Die Berechnung der Winkel des Dreiecks durch die Seiten kann mit Hilfe von zwei Formeln ausgeführt werden, die in dem vorhergehenden Paragraphen gefunden sind. Durch die gegebenen Maßzahlen der Seiten bestimmt man zunächst 2s und hieraus s, dann berechnet man s — a, s — b und s — c und nun log(> mit Benutzung der Formel § 15, 8.

Ist log q gefunden, dann kann man die Winkel des Dreiecks durch > den Halbwinkelsatz berechnen.

V. tng ₂=-_zc-

loge = 10,91241 - 10 log (s —c)= 1,09795

log tng 2

III.

IV. tng ~

Bemerkung. Es empfiehlt sich, stets alle drei Winkel durch den Halb-winkelsatz zu berechnen und nicht nach Ermittlung von zwei Winkeln, etwa cc und ß, den dritten Winkel durch die Gleichung y = 180° — (cc + ß) zu bestimmen. Wan hat dann, wenn jeder Winkel für sich berechnet ist, die Möglichkeit, die Rechnung durch Addition der drei für die Winkel gefundenen werte zu prüfen. Sollte hierbei die Summe der Winkel nicht genau 180° betragen, sondern ein wenig mehr oder weniger, so braucht die Rechnung nicht falsch zu sein. Derartige kleine Abweichungen sind bei der Rechnung mit Logarithmen möglich.

2. Anwendungen. Aufgabe 1. Die Seiten eines Dreiecks find a ----- 26,78 cm, b = 28,54 cm und c = 30,26 cm. wie groß sind die Winkel des Dreiecks?

Lösung: I. a = 26,78 b --- 28,54 c — 30,26

n. c-yt-t

— a) (s — b) (s — cj

2 s = 85,58 s = 42,79 s — a= 16,01 s — b ~ 14,25 s — c = 12,53

log (s — a) = 1,20439 log (s b) = 1,15381 log (s - c) = 1,09795

logZ= 3,45615 logs = 1,63134

2 log q = 1,82481 log? = 0,91241

a q

tng 2“i=a

loge = 10,91241 — 10 log (§ — a) ---- 1,20459    _

log tng 9,70802 — 10

| = 27°2,7'

-r = 54°5,4'

s — b

loge = 10,91241 — 10 log (s — b) = 1,15581

log tng 2 = 9,75860 — 10

~==29°50,3' ß — 59⁰ 40,6/

9,81446 — 10

| = 33° 7,0' r- 66° 14,0'.

Aufgabe 2. Die Seiten eines Dreiecks sind a = 37,56 cm, b = 34,68 cm und c = 31,42 cm. Die Winkel des Dreiecks sollen berechnet werden, (a = 69°3,0', ß = 59°34,4', y = 51°22,4 .)

Aufgabe 3. (Eine Schnur von 34,5 m Länge ist an den Enden zusammengeknüpft. Sie wird durch drei Pfähle straff gespannt, die so aufgestellt sind, daß die zwischen ihnen liegenden Teile der Schnur sich wie 3 : 5 : 7 verhalten, wie groß sind die Winkel, welche von der Schnur an den einzelnen pfählen gebildet werden? (« = 21°47,2', ß = 38° 12,8', y = 120°.)

Um die Länge der Teile der Schnur zu bestimmen, dividiert man 34,5 durch 3 + 5 + 7 = 15 und multipliziert dann den Quotienten der Reihe nach mit 3, 5 und 7.

3.    Zusammenfassung der Ergebnisse für die vreiecksberechuung.

Mt der eben behandelten Aufgabe find die vier Grundaufgaben der Trigonometrie (vgl. § 11) gelöst. Die Wege der Lösung sind, um sie noch einmal kurz zusammenzustellen, folgende:

Sind von einem Dreieck eine Seite UNd Zwei Winkel gegeben (zweiter Kongruenzsatz) oder zwei Seiten und der der einen Seite gegenüberliegende Winkel (vierter Kongruenzsatz), so rechnet man mit dem Sinussatz.

Sind von einem Dreieck zwei Seiten und -er von ihnen ein-geschloffene Winkel gegeben (erster Kongruenzsatz), so bestimmt man zunächst die unbekannten Winkel mit Hilfe des Tangentialfatzes und dann die dritte Seite durch den Sinussatz.

Sind von einem Dreieck die drei Seiten gegeben (dritter Uongruenzsatz), so bestimmt man zunächst s, s — a, s — b, s — c, dann logg und hierauf die Seiten mit dem tzalb-winkelsatz.

nur

er-

4.    Bemerkung. Auch ohne die in 3. genannten Wege einzuschlagen, kann man lediglich mit Benutzung der Gleichungen, welche die trigonometrischen Funktionen erklären, und mit Hilfe der Berechnung rechtwinkliger Dreiecke, wie sie im ersten Abschnitt gelehrt wurde, die vier trigonometrischen Grundaufgaben lösen. Alan hat hierzu nötig, die schiefwinkligen Dreiecke durch eine geeignete höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen und dann zunächst durch die gegebenen Stücke die höhe zu berechnen. 3ft die höhe gefunden, so kennt man aus der Figur leicht, wie die Berechnung der einzelnen Dreiecksstücke nun ausgeführt werden kann, wenn von einem Dreieck a, a, ß gegeben ist, so zieht man die höhe hc. Kennt man a, b, y, so ist entweder ha oder hb zu ziehen, ist a, b, « gegeben, so wird die

Höhe h„ gezogen. Lind die drei Seiten des Dreiecks a, b und c gegeben, so zieht man am besten die Höhe, welche auf der größten Seite senkrecht steht. Nun aber stößt man zunächst auf Schwierigkeiten, da keins der entstehenden rechtwinkligen Dreiecke die Berechnung der Höhe gestattet. 3n diesem Falle gelingt die Berechnung der Höhe mit Hilfe der heronischen Formel. Nach dieser Formel ist

f = |/7(s — a)(s — b) (s — c).

Nun ist aber, wenn a die größte Seite ist, also ha berechnet werden soll, auch f = \aha. Setzt man diese beiden Werte für f einander

gleich, so erhält man eine Gleichung, aus der ha berechnet werden kann.

§ 17. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz und der Kosinussatz,

1. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz. 3n der Planimetrie besitzt der allgemeine pythagoreische Lehrsatz zwei verschiedene Formen. Man muß unterscheiden, ob die Seite, die man berechnen soll, einem spitzen oder einem stumpfen Winkel gegenüberliegt. Für den ersten Fall (Fig. 25) lautet der Satz:

b_JP_JA

3n jedem Dreieck ist das chuadrat der Seite, die einem spitzen Winkel gegenüberliegt, gleich der Summe der (Quadrate der beiden a > anderen Seiten vermindert um das dop- yr pelte Rechteck aus der einen dieser beiden Seiten und der Projektion der anderen auf sie.    c

Die Formel hierfür ist

Zig. 25.

a² = b² + c² — 2 bp.

3st der der gesuchten Seite gegenüberliegende Winkel stumpf (Fig. 26), so nimmt der Satz die Form an:

3n jedem Dreieck ist das chuadrat der Seite, die einem stumpfen Winkel gegenüberliegt, gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten vermehrt um das doppelte Rechteck aus der einen dieser beiden Seiten und der pro-jekion der anderen auf sie.

Die Formel hierfür ist

a² =    + c² + 2 bp.

Mit Benutzung der trigonometrischen Funktionen kann man die Projektion p in den beiden genannten Formeln durch die Seite c und den Vinkel cc ausdrücken, wie man leicht aus der Fig. 25 erkennt, ist im ersten Falle p = c cos a. 3m zweiten Falle (Fig. 26) ist

Fig. 26.

p ----- c cos (180° — ci)

oder, da cos (180° — a) = — cos a ist (§ 12, 2), p = — c cos a. Setzt man diese werte für p in die obigen Gleichungen ein, so erhält man in beiden Fällen

a² = ö² + c² — 2 bc cos a.

Dies ist der pythagoreische Lehrsatz in trigonometrischer Form. Cr ist für den spitzen und stumpfen Winkel gleichlautend. Ist cc ein stumpfer Winkel, so wird wegen des negativen wertes des Kosinus das Minuszeichen in ein Pluszeichen verwandelt.

2. Anwendung der pythagoreischen Lehrsatzes, handelt es sich darum, aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite des Dreiecks zu berechnen, so muß man nach § 14, 4 zunächst mit dem Cangentialsatz die unbekannten Winkel berechnen und dann durch den Sinussatz die gesuchte Seite. Durch den allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz ist es möglich, die dritte Seite zu berechnen, ohne zunächst die unbekannten Winkel zu bestimmen. Im allgemeinen wird sich dies aber nur empfehlen, wenn einfache Zahlen gegeben sind, die eine Berechnung der (Quadrate der bekannten Seiten ohne Logarithmen gestatten. Müssen die (Quadrate mit Logarithmen berechnet werden, so wird man, auch wenn es sich nur um die Berechnung der dritten Seite handelt, besser tun, wenn man zunächst mit dem Cangentialsatz die Winkel bestimmt und dann den Sinussatz zur Berechnung der Seite benutzt.

5. Vereinfachung der logarithmischen Rechnung durch Einführung einer hilfrwinkelr. Die Logarithmen, welche bei der Berechnung eines Produkts, eines (Quotienten, einer Potenz und einer Wurzel große Rechenvorteile gewähren, werden unbequem, sobald es sich um die Berechnung einer Summe oder einer Differenz handelt. Man hat, wie bekannt, dann jedes Glied einzeln mit Logarithmen zu berechnen und hierauf die gefundenen Numeri zu addieren. Huf Grund der beiden Formeln

- sin²« = cos²« (§7, 2) und 1 + tng²« = ^4^ (§ 7, 5)

kann man aber die Rechnung einfacher gestalten.

I hat man eine Differenz a — b, in ber a > b ist, so setzt man den Mnuendus a vor die Klammer und erhält dann

Q ! CD*

Nun setzt man

a-b = a[ 1- )• j = sin² <p.

Dies ist stets möglich, b. h. es läßt sich stets ein Winkel cp finden, der die aufgestellte Gleichung erfüllt, da sin cp alle werte von 0 bis 1

annehmen kann, und der Bruch weil nach der Voraussetzung a>b

ist, stets einen wert besitzen muß, der kleiner als eins ist. Durch die Einführung von sin²?? erhält man nun die Gleichung a — b = a( I — sin² 9?) oder a — b = acos²(p.

Das auf der rechten Seite stehende Produkt, welches den wert der Differenz a — b darstellt, läßt sich nun leicht mit Logarithmen berechnen.

II. hat man eilte Summe a + b, so setzt man a vor die Wammer und erhält

a + Z? = a(l +”) •

Nun bestimmt man einen Winkel cp durch die Gleichung

b .    2

- = tngV

Dies ist immer möglich, da tng <x jeden wert von Null bis Unendlich annehmen kann. Klan erhält hierdurch

a + b = a(l + tng² g>) oder nach § 7, 5

° + 6 = dv

Die Berechnung der Summe ist damit auf die Berechnung eines Quotienten zurückgeführt.

Die eben auseinandergesetzte Rrt der Berechnung einer Differenz und einer Summe nennt man die Berechnung durch Einführung eines Hilfswinkels.

Mt Benutzung eines Hilfswinkels kann man die unmittelbare Berechnung der Seite c eines Dreiecks, von dem a, b und y gegeben sind,

einfach gestalten. In die rechte Sexte der Gleichung c² = a² + b² — 2 ab cos y

fügt man die Differenz 2ab — 2ab ein. hierdurch wird der wert der rechten Seite nicht geändert, da die eingefügte Größe gleich Null ist, und man erhält

c² = a² + b² + 2ab

2ab — 2ab cos y

= (a + b)² — 2ab(l + cos y)

= (a + b)² — 4 ab cos² ^ (§ 9, 5)

4 a 6 cos²™

= (a + b)² 1

(fl + &)² _

Setzt man nun den in der eckigen Klammer stehenden Subtrahendus gleich sin² cp, so erhält man c² = (a + £>)² cos² cp oder c = (a + b) cos 9?.

4. Der Kosinusfatz. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz kann auch benutzt werden, um die Winkel eines Dreiecks zu berechnen, dessen Seiten bekannt sind. Rus der Gleichung a² = b² + c² — 2bc cos a folgt durch einfache Rechnung

COS«

b% + c² — fl²

—    2~c

Diese Gleichung, der für die Winkel ß und y ähnliche Gleichungen entsprechen, heißt der Kosinussatz.

5. Verleitung neuer Formeln durch den Kosinussatz. Der Kosinussatz wird wegen der unbequemen Berechnung der rechten Seite selten zur Bestimmung der Winkel eines Dreiecks gebraucht. Cs lassen sich aber mit Hilfe des Kosinussatzes recht brauchbare Formeln für die Berechnung der Winkel herleiten.

Rddiert man die Gleichung, welche den Kosinussatz darstellt, zu der identischen Gleichung 1 = 1, so erhält man

1 + COS Cf = 1 +

fc² + c² — fl2 2 bc

(fr + c)²-fl²

2bc + b* + c²- fl²

2 bc

2 bc

oder, da die Differenz zweier Quadrate gleich dem Produkt aus Summe und Differenz der Grundzahlen ist,

(b + c + a) (b + c — fl)

2 bc

1 + cos « =

Die linke Leite dieser Gleichung ist gleich 2 cos² | (§ 9, 5), die in den

Klammern stehenden Ausdrücke auf der rechten Leite kann man ersetzen durch 2s und 2(s — a) (§ 15, l). Dadurch erhält man

a i /s (s — a)

cos 2-=

Subtrahiert man die Gleichung, welche den Kosinussatz darstellt, von der identischen Gleichung 1 = 1, so findet man

b*+c² — a²

2 bc

2 bc

2bc — b² — c² + a² _ a* — (b - c)2 2 bc

(a — b + c) (a + b — c)

2 bc

Hun ist 1 — cos a = 2 sin² “ (§ 9, 5), und die in den Klammern

auf der rechten Leite stehenden Ausdrücke kann man durch 2(s — b) und 2 (s — c) ersetzen, hierdurch findet man aus der zuletzt erhaltenen Gleichung

sin

-i

(* - b) \s - c)

bc

tngf = ]/■

(s — b^s — c)

Durch Division der beiden für sin ^ und cos ^ gefundenen werte erhält man schließlich    __

s(s — a)

Die Formel für den Kotangens erhält man, wenn man bedenkt, daß der Kotangens der reziproke wert des Tangens ist.

6. Anwendungen. Jede der drei soeben gefundenen Formeln ist dazu geeignet, die Winkel des Dreiecks aus den Leiten zu berechnen. Die Berechnung ist aber, wenn alle drei Winkel bestimmt werden sollen, nicht ganz so einfach, wie die nach der m § 16, I angegebenen Methode. Ist es aber nur notig einen Winkel des Dreiecks zu berechnen, so wendet man am besten eine dieser Formeln an.

Aufgabe. Drei Punkte A, B und C liegen in einer Ebene so, daß die Entfernung von A bis B 7,5 km, von A bis C 9,4 km und von B bis C 5,8 km beträgt. Ruf der geradlinigen Verlängerung von AB über B hinaus liegt der Punkt D so, daß von ihm aus die Entfernung von B bis C unter dem Gesichtswinkel ä -----12°45' erscheint. (Es sollen die Entfernungen des Punktes D von A, B und C berechnet werden.

Lösung. (Zig. 27). Cs handelt sich darum, aus dem Dreieck (7 die Leiten BD = x und CD ----- r/ zu berechnen. Ist x bestimmt, so ist damit auch AD = c + x gefunden. In dem Dreieck BDC find nun aber nur a und S bekannt, man kann aber L CBD berechnen, so

5ig. 27. '

wie man aus dem Dreieck ABC, dessen Leiten gegeben sind, den Winkel ß berechnet hat. Da es sich in dem Dreieck ABC also nur um die Bestimmung eines Winkels handelt, rechnet man nach der Formel

\    _ ß ~i/s(s — b)

₅\    '    008 2 y ac

x D ^ft ß gefunden, so kann man die gesuchten Strecken x und y aus dem Dreieck BDC nach dem Linusfatz berechnen. Man findet O(7 ----- 26,276 km, DB =25,527 km und DA = 33,027 km.

7. Ableitung der heronischen Formel durch die gefundenen Formeln. Ersetzt man in der Gleichung

f= 2 b° sin os (§ 15, 6 b)

den Sinus des Winkels u nach § 9, 2 durch die Funktionen des halben Winkels, so erhält man

f=bc cos - sin * *

wenn man in dieser Gleichung für sin “ und cos — die in 5. gefundenen werte einsetzt, so erhält man, da b c sich heben läßt, die heronische Formel (§ 15, 7).

§ 18. Berechnung eines Dreiecks mit Benutzung von fiilfsdreiecken»

3ur Berechnung eines Dreiecks sind häufig nicht nur Seiten und Winkel gegeben, sondern auch hohen, Mittellinien, Winkelhalbierende usw. Man verfährt dann ähnlich wie bei der Konstruktion von Dreiecken aus solchen Stücken. Man zeichnet ein Dreieck und in diesem Dreieck die Stücke, welche zur Berechnung des Dreiecks gegeben find. Nun sucht man unter den dadurch entstehenden Teil- oder Hilfsdreiecken dasjenige aus, welches man durch die gegebenen Stücke nach den in den vorhergehenden Paragraphen gegebenen Regeln berechnen kann. Durch dieses hilfsdreieck gelingt es dann, Stücke des zu berechnenden

§18. Berechnung des Dreiecks durch hilfsdreiecke

cn

VO

Dreiecks zu ermitteln, so daß schließlich die Berechnung desselben mit Hilfe bekannter Seiten und Winkel ausgeführt werden kann. Das soeben Gesagte wird am besten durch die folgenden Aufgaben klar werden.

2. Aufgaben. Bet den folgenden Aufgaben zeichne man sich stets nach den Angaben der Aufgabe die Figur und verfolge dann an dieser Figur die für die Losung der Aufgabe gemachten Andeutungen.

Aufgabe 1. von einem Dreieck ABC kennt man die Seite a ----- 86,44 cm, den ihr gegenüberliegenden Winkel cc ----- 57°23/ und die von C auf AB gefällte hohe CD = hc = 65,78 cm. Die unbekannten Seiten und Winkel zu berechnen.

Lösung. Aus dem rechtwinkligen Dreieck ADC findet man durch die Gleichung, welche sin a erklärt, 6. Nun wendet man auf das Dreieck AB6 den Sinussatz an. (6 = 78,096cm, c=98,175cm, ß=49⁰33,l', y ----- 73°3,9'.)

Aufgabe 2. 3n einem Dreieck ABCist a=42°15' und ß=63°25'. Die Halbierungslinie des dritten Winkels ist CF=wy = 25,67 cm. wie lang find die Seiten des Dreiecks?

Losung. Man bestimmt zunächst ~, dann berechnet man aus dem

Dreieck AFC durch den Sinussatz die Seite 6. Nun wendet man auf das Dreieck ABC wieder den Sinussatz an. (a ----- 28,216 cm, b -----37,529 cm, c ----- 40,406 cm.)

Aufgabe3. Die eine Seite eines Dreiecks ABC ist 6 = 68,56 cm, hohe und Mittellinie von der Ecke C sind CD = /zc = 45,23 cm und CE ----- 77Zc=57,88 cm. Die beiden unbekannten Seiten und die Winkel des Dreiecks zu berechnen.

Lösung. Aus dem rechtwinkligen Dreieck ADC findet man durch b und hc den Winkel a. Nun kann man aus dem Dreieck AEC durch

den Sinussatz zunächst LAEC und bann AE= 2 berechnen. Die noch

fehlenden Stücke des Dreiecks findet man jetzt, wenn man auf das Dreieck AB(7 den Tangentialsatz anwendet. (a = 49,745 cm, c = 30,818 cm, « = 41°16,7', ß = 114036,0', y ----- 24°7,3'.)

Aufgabe 4. Man kennt von einem Dreieck ABC die Seite AC = 6 = 841 cm, die Mittellinie <7£ = mc = 586,5 cm und LCEB --- ö ----- 81°28'. wie groß sind die Winkel des Dreiecks?

Lösung. Aus bemVxexed AEC, in melc^em LAEC= 180° — ö

ist, bestimmt man durch den Sinussatz «und A£ = ^- hierauf findet

man aus dem Dreieck ABC mit Hilfe des Tangentialsatzes die beiden anderen Winkel, (a = 43°36,2', ß --- 53°8,0', y = 83° 15,8'.) Rufgabe 5. von einem Dreieck ABC kennt man b = 16,9 cm, = 67°22' und CE = mc = 17,2 cm. wie groß find die beiden anderen Säten und die Winkel?

Lösung. Durch den Sinussatz findet man aus dem Dreieck AEC den Winkel AEC und AE = ^ , nun wendet man auf das Dreieck

ABC den Tangentialsatz an. (a ----- 26,158 cm, c = 27,502 cm, ß = 36°36,4', y = 76° 1,6'.)

§ 19. Aufgaben, die durch die Beziehungen zwischen den Dreiecks stücken auf einfachere zurückgeführt werden können*

Bemerkung. 3n den Rufgabensarnrnlungen werden vielfach Aufgaben gegeben, in denen die Berechnung der Seiten und Winkel des Dreiecks gefordert wird durch Stücke, die wohl in den praktischen Anwendungen der Trigonometrie niemals zur Ermittlung der Dreiecksstücke gegeben sind. Solche Rusgaben sind aber ein wertvolles Hilfsmittel, die trigonometrischen Formeln einzuüben und zu befestigen und die Erfindungsgabe des Lernenden zu bilden. Es sollen daher im Folgenden auch einige Aufgaben dieser Rrt besprochen werden. Wan versuche zunächst, die Rusgabe zu lösen, ohne die angegebene Lösung, die nicht immer die einzige zu sein braucht, zu benutzen.

2. Beispiele. Rufgabe 1. Die eine Seite eines Dreiecks ist c=34,88 cm, die Summe der beiden anderen Seiten a+fc=87,96 cm, undderRadiusdesdererstenSeiteangeschriebenenRreises^^25,42cm. Cs sollen die beiden unbekannten Seiten und die Winkel berechnet werden, (a = 48,974 cm, b = 38,987 cm, « = 82°51,5'f ß = 52° 10,5', y ---- 44058,0 ).

Lösung. Rus a + b und c bestimmt man 2s, bann y nach der Formel qc = s tng^e Nun kann eine der Mollweideschen Formeln angewendet werden.

Rufgabe 2. 3n einem Dreieck ist der Winkel cc ----- 48°30', der Radius des Rnkreises der dem gegebenen Winkel gegenüberliegenden Seite Qa = 112,5 cm, und der Rbftand des Scheitels des gegebenen Winkels von den Punkten, wo der 3nkreis seine Schenkel berührt, s — a ----- 95,6 cm. Die beiden anderen Winkel und die Seiten des

§19. Hufgaben über Beziehungen zwischen den Dreieckzstücken 61

Dreiecks zu berechnen, (ß ----- 88°47,8', y = 42°42,2', a ----- 154,14 cm, b ----- 205,75 cm, c ----- 139,59 cm.)

Lösung, mit Hilfe der Formel Qa = s tng j findet man s, dann

durch s und s — a die Leite a und b + c. Nun kann die mollwei-desche Formel angewendet werden.

Huf gäbe 3. Der Umfang eines Dreiecks ist 2s= 129,8 cm, und fein Inhalt beträgt /*== 782,7 qcm. wie groß find die Leiten und die unbekannten Winkel des Dreiecks, wenn Winkel /----- 72°44' ist? (a ----- 44,138 cm, b ----- 37,142 cm, c ----- 48,522 cm, a = 60°18,0', ß ---- 46°58,0\)

Losung, man bestimmt q durch die Formel f=Qsl dann s — c aus der Gleichung q = (s — c) tng^- Nun kann durch s mb s — c

die Leite c und a + b ermittelt werden. Die übrigen Ltücke werden dann durch die mollweidesche Formel gefunden.

Hufgabe 4. (Ein Dreieck besitzt den Winkel y = 41°30', und die Nadien der beiden Kreise, welche die diesem Winkel gegenüberliegende Leite berühren, find q = 20,44 cm und qc ----- 43,86 cm. wie groß sind die beiden unbekannten Winkel und die Leiten? (a== 82°40,7', ß =~ 55049,3 , a = 92,536 cm, b ----- 77,185 cm, c = 61,82 cm).

Lösung. Durch die Formeln 9 = (s — c) tng | und qc = s tng j

berechnet man s — c mb s, dann kann man c mb a + b bestimmen und nun die mollweidesche Formel anwenden.

Huf gäbe 5. von einem Dreieck kennt man einen Winkel y=73°30', die Lumme der ihn einschließenden Leiten a + b = 153,4 cm und den Radius des Inkreises q ---- 20,6 cm. wie groß sind die beiden unbekannten Winkel und die Leiten? (cc = 74°14,0', j3 = 32°26,0Z, a ----- 98,505 cm, b ----- 54,896 cm, c ----- 98,058 cm.)

Lösung, man berechnet zunächst s — c durch die Formel s — c

= q cot^, dann bestimmt man c und wendet darauf die mollweidesche Formel an.

Hufgabe 6. Cs sollen die unbekannten Leiten und die Winkel des Dreiecks berechnet werden, von dem der Inhalt f= 1657 qcm, die eine Leite a = 52,74 cm und der Radius des Hnkreises dieser Leite Qa = 37,85 cm gegeben sind, (b ----- 76,895 cm, c ----- 63,400 cm, « = 42°49,6', ß ----- 82°22,2', y ----- 54°48,2'.)

Lösung. Durch die Formel f=Qa (s— a) (§ 15, 6) findet man s — a, dann mit Hilfe von a ben TDtxt von s mb b + c. Nun kann

MluG 43l: L r a n tz, Trigonometrie.

man « berechnen durch die Formel <>a = s tng und hieraus die Mollweidesche Formel benutzen.

stuf gäbe?. DieSumtneßroeierSeiten eines Dreie<fsifta+6=64 cm, der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel y = 30°, und der Inhalt beträgt f --- 247 qcm. (Es sollen die unbekannten Winkel und die Seiten berechnet werden, (a = 109°59,0', /3 = 40°1,0', a = 38 cm, b — 26 cm, c = 20,223 cm.)

Lösung. Aus der Formel f—\ ab sin y berechnet man ab. hierauf kann man mit Hilfe einer quadratischen Gleichung a und b bestimmen und dann den Tangentialsatz anwenden.

Bemerkung. Bei der Aufgabe 7 können die werte für a und b und entsprechend auch die werte für « und ß miteinander vertauscht werden. Dasselbe gilt auch für die Ausgaben, in denen bei Anwendung der Mollweideschen Formel die halbe Differenz zweier Winkel durch den Kosinus bestimmt wurde. Da nämlich cos (—«) = + cos « ist (§ 23,5), so muß auch cos (a — ß) = cos (ß — a) sein.

Dritter Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel und die graphische Darstellung der Funktionen.

§ 20. Winkel von beliebiger Größe.

Man kann sich einen Winkel LA C (Fig. 28) dadurch entstanden denken, daß von zwei Geraden A B und A C, die ursprünglich aufeinanderlagen, sich die eine, etwa A C, um den beiden Geraden gemeinsamen Punkt A in der Richtung des Pfeiles in der Figur gedreht hat, während die

andere festlag. Der Winkel ist dann anzusehen als das Maß der Drehung der Geraden AC gegen die Gerade AB.

/A

Fig. 28.

Bei dieser Auffassung des Winkels kann man auch von winkeln sprechen, die größer als ein gestreckter (180°) sind. Der Winkel kann jede beliebige Größe

annehmen. Sagt man z. B. von einer Geraden Ä C, sie habe sich gegen eine andere, festliegende Gerade AB um einen Winkel von 750° gedreht, so heißt dies, daß die Gerade A C sich von ihrer Anfangslage, wo sie sich mit AB deckte, zweimal ganz um den Punkts gedreht hat und dann noch weiter um einen Winkel von 30°.

will man auch für solche Winkel trigonometrische Funktionen einführen, d. h. will man auch solche Winkel durch Verhältnisse von Strecken bestimmen, so muß man für die trigonometrischen Funktionen andere Erklärungen geben, und diese neuen Erklärungen müssen die bisherigen Erklärungen als besondere Fälle in sich einschließen. Cs geschieht dies mit Benutzung eines rechtwinkligen Koordinatensystems.

§ 21. Vas rechtwinklige Koordinatensystem.

Nimmt man aus einer beliebigen Geraden XX± (Fig. 29) einen festen Punkt 0 an, so kann man die Lage eines jeden Punktes A der Geraden bestimmen, wenn man erstens die Strecke OA angibt, um welche der Punkt A von dem festen Punkt 0 entfernt ist, und zweitens hinzufügt, ob der Punkt A rechts oder links von dem festen Punkt 0 sich befindet. Um diese letzte Ungabe einfach machen zu können, ist man übereingekommen, die Entfernung OA mit einem “ positiven Vorzeichen zu versehen, wenn 1 der Punkt A rechts von 0 liegt, mit einem negativen, wenn er sich links von 0 befindet. Nach dieser Vereinbarung ist also jeder Punkt der Geraden durch seine mit einem Vorzeichen versehene Entfernung von 0 eindeutig bestimmt.

Die mit dem zugehörigen Vorzeichen versehene Entfernung eines Punktes der Gera den von dem festen Punkt 0 heißt die Abszisse des Punktes.

Man bezeichnet die Abszissen gewöhnlich durch x (xlt x₂,...) und nennt die Gerade XtX Abszissenachse oder X-Achse.

Errichtet man auf der Ubszissenachse im Punkte 0 die Senkrechte YYlt so ist die Lage eines jeden Punktes B dieser Senkrechten durch seine Entfernung von dem festen Punkt 0 eindeutig bestimmt, wenn man festsetzt, daß die Entfernung positiv genannt werden soll, wenn der Punkt

11

in

IY

Fig. 29.

r,

oberhalb der Abfzisfenachse liegt, negativ dagegen, wenn er sich unterhalb dieser Achse befindet.

Die mit dem zugehörigen Vorzeichen versehene (Entfer* nung eines Punktes der Senkrechten von dem festenpunktO heißt die Ordinate des Punktes.

Man bezeichnet die Ordinaten gewöhnlich durch y (ylt y2t . ..) und nennt die Senkrechte YY₁ die Grdinatenachfe oder ^-Achse.

Die beiden aufeinander senkrechten Geraden XX₁ (die Abszissenachse) und YYX (die Grdinatenachfe) bilden ein rechtwinkliges Koordinatensystem. Der Punkt o heißt der Nullpunkt oder der Anfangspunkt des Systems.

2. hat man auf der Abszissenachse einen Punkt A durch seine Abszisse x bestimmt und auf der Grdinatenachfe einen Punkt B durch seine Ordinate y und legt dann durch A und B die parallelen zu den Achsen, so schneiden sich diese in einem und nur einem Punkts. (Fig. 29). Die beiden parallelen bestimmen also eindeutig einen Punkt der Ebene, in welcher das Koordinatensystem liegt. Die Abszisse und die Ordinate, durch welche die parallelen bestimmt werden, nennt man auch die Abszisse und die Ordinate des Punktes P oder mit gemeinsamem Namen die Koordinaten des Punktes P.

Ebenso wie durch die beiden Koordinaten ein Punkt der Ebene eindeutig bestimmt ist, bestimmt auch jeder Punkt der Ebene eindeutig zwei Koordinaten. Man findet sie, indem man durch den Punkt die parallelen zu den Achsen des Koordinatensystems legt.

5. Die vier Teile der Ebene, welche durch die Achsen des Koordinatensystems gebildet werden, nennt man denersten,zweiten, dritten und vierten (Quadranten. Der erste Ouadrant ist derjenige, welcher von den beiden positiven Richtungen der Achsen begrenzt wird, von ihm aus zählt man dann die übrigen (Quadranten im positiven Drehungssinn d. h. in der Richtung, die der Richtung, in der der Zeiger einer Uhr sich bewegt, entgegengesetzt ist. In der Figur 29 sind die einzelnen (Quadranten durch I, II, III und IV bezeichnet.

4.Im ersten (Quadranten liegen alle Punkte, deren Koordinaten positiv sind. Für Punkte im zweiten (Quadranten ist die Abszisse negativ und die Ordinate positiv. Die Punkte im dritten (Quadranten besitzen negative Koordinaten. Im vierten (Quadranten ist für jeden Punkt die Abszisse positiv und die Ordinate negativ.

§ 22. Erklärung der trigonometrischen Funktionen beliebiger Mnkel.

.... P

Sinus und Kosinus. Um eine für alle Winkel gültige Erklärung der trigonometrischen Funktionen geben zu können, denkt man sich den Scheitel des Winkels u (Fig. 30) auf den Unfangspunkt 0 eines rechtwinkligen Koordinatensystems gelegt und seinen einen Schenkel mit der positiven Richtung der Ubszissenachse zusammenfallend. Den zweiten Schenkel des Winkels u zeichnet man dort, wohin

eine Gerade gelangt, die auf der Ub- _i

szissenachse lag und sich dann um den x£ \

Unfangspunkt des Koordinatensystems im positiven vrehungssinn um den Winkel cc gedreht hat.

Zig. 30.

Beschreibt mannunumdenUnfangs-punkt 0 des Koordinatensystems mit einem beliebigen Radius r den Kreis, so mutz dieser Kreis den Schenkel des Winkels, der nicht mit der positiven Richtung der Ubszissen-achse zusammenfällt, in einem Punkte P schneiden. Es wird also durch den Schenkel des Winkels auf dem Kreise ein Punkt eindeutig bestimmt. Umgekehrt bestimmt aber auch jeder Punkt des Kreises, wenn man von ihm aus den Radius nach 0 zieht, eindeutig einen Winkel. Da nun nach § 21,2 die Lage eines jeden Punktes durch seine Koordinaten bestimmt ist, so kann man die Koordinaten auch benutzen, um durch sie den Winkel zu bestimmen. Uns dieser Überlegung beruht die Erklärung der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel.

Erklärung. Ulan nennt die RIatzzahl (vgl. 8 2,1) der mit demRadius r gemessenenOrdinate des PunktesdenSinuS des Winkels « und die lNaßzahl der Ubfzisfe den Kosinus des Winkels cc.

cos« = ~ (Zig. 31.)

Diese Erklärung schließt die früher gegebenen Erklärungen in sich ein, gestattet aber von dem Sinus und Kosinus eines jeden Winkels zu sprechen.

Bemerkung. £tn dieser Stelle kann jetzt eine Erklärung der Entstehung der Bezeichnung Sinus gegeben werden. Der Name Sinus ist wahrscheinlich in folgender Weise entstanden: Die Strecke? 9 (Zig. 31),

bereit Maßzahl ber Sinus ist, ist bte Hälfte ber zu bem Peripheriewinkel cc gehörenben Sehne. Die inbischen Mathematiker haben zuerst biese halbe Sehne zur Bestimmung bes Winkels benutzt, währenb ptole-rnäus noch bte ganze Sehne gebrauchte. 3m 3nbifchen heißt bte halbsehne jiva. Dieses Wort kam als technisches Frembwort zu ben Krädern, würbe von ihnen burch dschiba wiebergegeben unb, ba bte Kraber bte vokale nicht schreiben, dschb geschrieben. Nun gibt es im Krabischen ein häufig gebrauchtes Wort dschaib, welches auf Deutsch Busen ober Tasche bebeutet unb bas wegen bes Fortlassens ber vokale beim Schreiben ebenfalls dschb geschrieben würbe. Den Übersetzern ber arabischen mathematischen Werke in bte lateinische Sprache war nun nur bas zuletzt genannte Wort bekannt, sie übersetzten baher dschb burch bas lateinische Wort sinus, welches Busen bebeutet.

K [Css

2. Tangens und Kotangens. Nach Ruffteilung ber Definitions-gleichungen für Sinus unb Kosinus liegt es nahe, ben Tangens burch bte Gleichung

tng a -----

zu erklären. Line solche Erklärung ist aber nicht brauchbar, bet jetzt bte Funktionen als Maßzahlen von Strecken für ben Rabius als Maßeinheit erklärt werben. (Es ist baher nötig, um auch ben Tangens als Nkaßzahl einer Strecke erklären zu können, bie man mit bem Nabius

r mißt, ben Bruch ^ burch einen gleichwertigen Bruch zu ersetzen,

bessert Nenner r ist. Dies gelingt in folgenber weise. Legt man in A (Fig. 31) an ben Kreis bte Tangente, welche ben zweiten Schenkel bes Winkels in T schneibet, unb bezeichnet bie Strecke AT mit t, bann

besteht nach bem Strahlensatz bte Proportion

x r

hierdurch ist ber für bte Erklärung bes Tangens brauchbare Rusbruck

tng« = 7

gefunben. 3n Worten heißt biefe Erklärung.LegtmananbenKreis in seinem Schnittpunkt mit berpo-sitivenKichtung berRbszissenachse bieTangente, so ist bte Maßzahl

P/

77 €C

Af\

der Strecke vom Berührungspunkt der Tangente bis zu ihrem Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Winkels

or der Tangens des Winkels

Bemerkung. Die soeben für tngo? gegebene Erklärung erklärt zugleich den für diese Funktion gewählten Namen (vgl. § 5, 7 Bern.).

Für den Notangens kann man in ähnlicherweise eine geeignete Erklärung finden. Nach der in § 6,3 gegebenen Erklärung ist in dem rechtwinkligen Dreieck OQP (Fig. 32)

cot a = ^ •

Ti/

Zieht man in B an den Ureis die Tangente, welche den zweiten Schenkel des Winkels in Tt schneidet, dann ist AOQP~AOBTlt denn es ist LQ = L B als Rechte und L P O Q -----LOTtB als Wechselwinkel an parallelen. Bus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke folgt x : y = tx : r.

Cs ist daher

CO tcc =

5tg. 32.

Erklärung. Legt man an den Kreis in seinem Schnittpunkt mit der positiven Richtung derGrdi-natenachse die Tangente, so ist die Maßzahl der Strecke vom Berührungspunkt der Tangente bis zu ihrem Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Winkels u der Kotangens des Winkels «.

§ 23. Die Mente der funktionell beliebiger Minkel.

V Die Funktionen der Winkel über 560°. (Es ist leicht einzusehen, daß man nur die Funktionen der Winkel von 0° bis 360° zu untersuchen hat. Übersteigt nämlich die Größe des Winkels den wert von 360°, so rückt der Schenkel des Winkels, durch dessen Drehung die Winkel entstehen, wieder in den ersten (Quadranten. Die Funktionen müssen daherwiederdieselbenwerte annehmen, diesie vorherhatten, als der Winkel von 0° bis 360° wuchs. Man kann dies aussprechen in dem Lehrsatz: Die Funktionen der Winkel ändern sich nicht, wenn man den Winkel um ein beliebiges ganzes vielfaches von 360° vermehrt oder vermindert.

Bedeutet k eine beliebige ganze Zahl, so hat inan die Formeln

sin a    = sin (a + k • 560°), tng a = tng    (a    + k •    560°),

COS a    = cos (a + k • 360°), cot a = cot    («    + /?•    560°).

Huf Grund dieser Formeln kann man jede Funktion eines Winkels, der 360° übersteigt, auf dieselbe Funktion eines Winkels zwischen 0° und 360° zurückführen. So ist z. B.

sin 410° = sin (410°- 1 • 360°) -----    sin    50°,

sin 850°== sin (850°- 2 • 360°) ----    sin    130°.

tng 1896°= tng 96°.

Wan hat nur die Hnzahl der Grade durch 360 zu dividieren und den bei der Division bleibenden Rest zu bestimmen. Der Rest gibt dann die Gradzahl der der gegebenen Funktion gleichen Funktion an. cos 5977°= cos 217°,

2. Die Funktionen der Winkel zwischen 0° und 360°. Die vier (Quadranten, welche in dem Kreise, der mit dem Radius r um den Hnfangspunkt beschrieben ist, gebildet werden, sind einander kongruent. (Es müssen daher auch die Koordinaten der Kreispunkte, deren Maß-zahlen die Winkel bestimmen, in allen Quadranten dieselben absoluten werte durchlaufen. Rur wird man ihnen wegen der Lage im Koordinatensystem das eine Mal einen positiven wert, das andere Mal einen negativen wert geben müssen. Die Tafeln der Funktionen spitzer Winkel, die sich in den Logarithmentafeln finden und die bisher benutzt wurden, genügen also für die Funktionen aller möglichen Winkel.

wichtig ist nur, daß man sich darüber klar wird, wie man die absoluten werte der Funktionen der Winkel in den einzelnen (Quadranten

Yc

1,

rt

auf die absoluten werte der Funktionen von Winkeln im ersten (Quadranten zurückführt. (Es läßt sich dies leicht aus Fig. 33 erkennen, in bexLPiOÄ einen Winkel im ersten (Quadranten (einen spitzen Winkel), _ LP₂OA einen Winkel im zweiten x (Quadranten (einen stumpfen Winkel) darstellt. LP^OA ist, nortA aus im positiven Drehungssinn gerechnet, ein Winkel im dritten Quadranten, und, ebenso gerechnet,/, PaOA ein Winkel irrt vierten (Quadranten. Da die Dreiecke PxOQf P%OQlt

P3OQ1 unö P₄0 Q, deren Ratheten die Zinns und Kosinus und damit auch die Quotienten dieser Funktionen, den Tangens und Kotangens, bestimmen, einander kongruent sind, so findet man mit Berücksichtigung der durch die Lage der Strecken bedingten Vorzeichen:

I.    Die gunftionen der Winkel im zweiten Quadranten haben dieselben absoluten werte wie dieFunktionen ihrer spitzen Supplementwinkel. Der Sinus ist ebenfalls positiv, aber der Kosinus ist negativ, und daher besitzen auch die Quotienten dieser beiden Funktionen, der Tangens und der Kotangens, negative werte.

(Es stimmt dies mit dem überein, was in § 12 über die Funktionen stumpfer Winkel ermittelt wurde.

II.    Die Funktionen der Winkel im dritten Quadranten haben dieselben absoluten werte wie die Funktionen der spitzen Winkel, die man erhält, wenn man 180°non dem gegebenen Winkel abzieht. Der Sinus und der Kosinus sind negativ und daher Tangens und Kotangens positiv.

Beispiele: sin 112°20'=sin67⁰40', sin228°15'--sin48°15', cos 157°42'= — cos 22°18', cos 350°12'= cos 9°48', tngl66° 26'- - tngl3°34', tng250°28' = tng70°28'.

Bemerkung. Findet man, wenn man einen Winkel berechnen soll, für eine Funktion dieses Winkels einen negativen wert, ist 3. B. tng cc = — 0,728, so kann man aus dieser Gleichung den wert von cc nicht bestimmen, da man eine negative Zahl nicht logarithmieren kann. Bedenkt man aber, daß für stumpfe Winkel der Tangens negativ ist, so erkennt man zunächst, daß cc ein stumpfer Winkel sein muß. Da nun die absoluten werte der Funktionen stumpfer Winkel gleich den werten der Funktionen ihrer spitzen Supplementwinkel sind, so muß tng(l80°—et) = 0,728 sein, hieraus findet man logtng(l80°— cc) -9,86213— 10 und 180°— «--- 36°3,3Cs ist also et ---143°56,7

III.    Die Funktionen der Winkel im vierten Quadranten haben dieselben absoluten werte wie die Funktionen der spitzen Winkel, die man erhält, wenn man den gegebenen Winkel von 360° abzieht. Der Sinus ist negativ, der Kosinus aber positiv, und daher sind Tangens und Kotangens negativ.

Faßt man das über die Vorzeichen gesagte zusammen, so findet man:

Der Sinus ist positiv im ersten und zweiten Quadranten, negativ im dritten und vierten.

Der Kosinus ist positiv im ersten und vierten Quadranten, negativ im zweiten und dritten.

Tangens und Kotangens sind positiv im ersten und dritten (Quadranten, negativ im zweiten und vierten.

Nach diesen Überlegungen kann man die Funktionen eines jeden beliebigen Winkels auf Funktionen von winkeln im ersten (Quadranten zurückführen.

5. Die werte der Funktionen für ganze vielfache von 90°. Für

einen Winkel von 0° ist die Ordinate 0 und die Äbszisse + r. Daher sind die Rlaßzahlen, wenn man mit dem Radius mißt, 0 und 4-1, d. h. sin 0° = 0 und cos 0°= 1. Für den Vinkel von 90° ist es gerade umgekehrt, also sin 90° = 1 und cos 90° = 0. Ist der Winkel gleich 180°, so ist die Ordinate 0 und die Abszisse — r. Daher sind die Rlaßzahlen, wenn man mit dem Radius mißt, 0 und — 1, d. h. sin 180°= 0 und cos 180°= —1. Für Winkel von 270° ist es wieder umgekehrt, also sin 270°= —1 und cos 270°= 0. Für Winkel von 360° erhält man wieder dieselben werte wie für 0°. Die wexte für Tangens und Kotangens ermittelt man durch Division aus den Werten

270°

180°

0°

90°

sin

für Sinus und Kosinus. Die einzelnen Werte sind noch einmal in der nebenstehenden Tabelle zusammengestellt.

cos

+ 00

tng

— 00

-f- 00

cot

— 00

Bemerkung. Daß für bestimmte Winkel Tangens und Kotangens unendlich groß werden, erkennt man auch recht gut an Fig. 31 und an Fig. 32 wird z.B. der Winkel a gleich 90°, so muß (Fig. 31) OT parallel 3U ATwerden, und daher die Strecke A T, deren waßzahl den wert des Tangens gibt, einen unendlich großen wert annehmen. Ähnlich ist es beim Kotangens, da für Winkel von 0° die Linie OT, (Fig. 32), der Tangente B7^ parallel wird.

4. Änderung der werte der Funktionen in den einzelnen Tua-dranten. was über die Änderung der Funktionen spitzer Winkel, also solcher Winkel, die im ersten (Quadranten liegen, bei der Besprechung der einzelnen Funktionen im ersten Abschnitt gesagt ist, gilt nicht gleichzeitig auch für die übrigen (Quadranten. Denkt man sich in Fig. 31 den Schenkel OP tm positiven Drehungssinne bewegt, wobei der Winkel großer wird, und verfolgt dabei die Änderungen, welche die Abszisse und die Ordinate des Schnittpunktes erleiden, so bekommt man einen klaren Einblick in die Rrt der Änderung der Funktionen. Berücksichtigt man hierbei auch noch die durch die Lage bedingten Vorzeichen der Funktionen, so kann man die Ergebnisse der Beobachtung in die folgenden Sätze zusammenfassen.

Der Sinus wächst mit wachsendem Winkel im ersten Quadranten von 0 bis 1, im zweiten und dritten nimmt er ab von 1 bis 0 und dann von 0 bis — 1, im vierten (Quadranten wächst er wieder von — 1 bis 0.

Der Kosinus nimmt mit wachsendem Winkel im ersten und zweiten Vuadranten ab von 1 bis 0 und von 0 bis — 1, in dem dritten und vierten (Quadranten wächst er von — 1 bis 0 und von 0 bis 1.

Der Tangens wächst in allen (Quadranten mit wachsendem Winkel, während der Kotangens stets mit wachsendem Winkel kleiner wird.

5. Die Sunltionen negativer Winkel. Bisher ist der Winkel stets dadurch entstanden gedacht, daß sich der eine Schenkel von der positiven Richtung der Abszissenachse ausgehend im positiven Drehungs-sinn um den Anfangspunkt des Koordinatensystems drehte. Die Drehung kann aber auch im anderen Sinne erfolgen. Der Schenkel kann, ebenfalls von der positiven Richtung der Abszissenachse ausgehend, auch im negativen Drehungssinn d.h. in der Richtung, in welcher der Zeiger einer Uhr sich bewegt, sich um 0 drehen. In diesem Falle pflegt man der INaßzahl des entstehenden Winkels ein negatives Vorzeichen zu geben.

'cc

.cc

Ist Winkel POA (Fig. 34) gleich k, so versteht man unter dem Winkel — u den ihm absolut gleichen Winkel PßA, den man erhält, wenn man von P auf i die Abszissenachse das Lot fällt, biefes~lH bis zum Schnittpunkt mit dem Kreise in Pi verlängert und nun Pt mit 0 verbindet.

fl

Big. 34. r

Aus der Kongruenz der Dreiecke OQP und OQPt erkennt man sofort, daß die absoluten werte der Funktionen beider Winkel einander gleich sein müssen. Aus der Lage der homologen Stücke aber wird es klar, daß der Sinus des negativen Winkels negativ ist, der Kosinus aber auch für den negativen Winkel positiv sein muß. Dies hat zur Folge, daß sowohl Tangens wie Kotangens negative werte besitzen müssen. Klan erhält also die Formeln

sin    — sin «,

cos (—«) = + cos a,

tng (—«) = — tng«,

COt (— cc) = — COt cc.

Bemerkung.Die trigonometrischen Funktionen neg ativer Winkel und solcher Winkel, die größer als 180° find, finden unter anbetrn An-

Wendung bei der Lösung binomischer Gleichungen. (vgl. Arithmetik und Algebra, zweiter Teil. ANuG Bb. 205).

6.    Mehrdeutigkeit der trigonometrischen Funktionen. Jeder Winkel bestimmt eindeutig den wert eines Sims, eines Kosinus, eines Tangens oder eines Kotangens. Die in diesem Abschnitt angestellten Betrachtungen zeigen aber, daß das Umgekehrte nicht der Fall ist. (Es wird also durch eine der genannten Funktionen der wert eines Winkels nicht eindeutig bestimmt. Betrachtet man nur Winkel zwischen 0° mb 360°, so entsprechen jedem werte einer Funktion zwei voneinander verschiedene Winkel. Ist z. B. für den Sinus eines Winkels ein positiver wert gegeben, so gehört dazu ein Winkel im ersten (Quadranten und ein Winkel im zweiten (Quadranten (09!. §12,1). Kennt man für den Tangens eines Winkels einen negativen wert, so gehört dazu ein Winkel im zweiten (Quadranten und ein Winkelim vierten Quadranten usw. Läßt man beliebig große Winkel zu, so gehören zu einem Funktionswert alle die unzählig vielen Winkel, die man erhält, wenn man zu den beiden zwischen 0° und 360° liegenden winkeln, die dem Funktionswert angehören, ttod) + k • 3600 addiert (vgl. §23,1), wenn k irgendeine beliebige positive Zahl bedeutet.

7.    Bemerkung zu den Gleichungen. Bei den in § 8 und § 9, 5

gelösten Gleichungen, welche trigonometrische Funktionen eines unbekannten Winkels enthielten, sind nur die spitzen Winkel gesucht worden, die den Gleichungen genügten. Es konnten daher auch nur positive werte der Funktionen gebraucht werden, und jedem positiven wert entsprach nur ein Winkel. Wan erkennt jetzt, daß zu den positiven werten der Funktionen auch noch ein zweiter Winkel zwischen 90° und 360° gehört, und daß auch die negativen werte Winkel bestimmen, die aber nicht im ersten (Quadranten liegen, weiter ist nach dem oben Gesagten klar, daß man zu allen diesen winkeln auch noch ±    360° hinzufügen muß. Jede Gleichung, in

der trigonometrische Funktionen unbekannter Winkel vorkommen, hat unendlich viel Lösungen.

§ 24. Die Bestimmung der Minkel durch Bogenmaß* Graphische Darstellung der Funktionen*

\. Beschreibt man um den Bcheitel A eines Winkels cc (Fig.35) mit einem beliebigen Kadius r den Kreis, so wird durch die Schenkel des Winkels auf der Peripherie des Kreises ein Bogen b abgeschnitten, zu dem cc als Zentriwinkel gehört. Da sich Bogen desselben Kreises

wie die zu ihnen gehörenden Zentriwinkel verhalten, und da man auch den ganzen Rreisumfang {27tr) als einen Bogen auffassen kann, zu den: als Zentriwinkel ein Winkel von 360° gehört, so besteht die Gleichung b : 2Ttr = cc: 360.    /

Bus dieser Gleichung findet inan

b _ 7ta

7 ” 180

Die linke Seite dieser Gleichung stellt die A Matzzahl des Bogens dar, wenn man r als ^—

5ig. 35.

Maßeinheit nimmt (§ 2,1). Diese Matzzahl ist also für denselben Winkel cc eine unveränderliche Größe und unabhängig von der Größe des gewählten Radius. Die Matzzahl ändert sich aber, wenn der Winkel ein anderer wird, ist also eine Funktion des Winkels. Man hat daher diese Maßzahl auch zur Bezeichnung des Winkels benutzt.

Da die Länge des Halbkreises, wenn der Radius des Rreises gleich r ist, den wert Ttr besitzt, so bezeichnet man den Winkel von 180°, der zu dem Halbkreis als Zentriwinkel gehört, auch durch

^ = „= 5,1415926....

Hiernach läßt sich für jeden Winkel, der in Grad und Minuten gegeben ist, die ihn darstellende Zahl int Bogenmaß leicht berechnen. Für einen Winkel von 1° findet man

= 0,0174533 ....

Die folgende Tabelle, in welcher für Vinkel von 1° bis 9° und von T bis 9' die sie darstellenden Zahlen im Bogenmaß angegeben sind, ermöglicht eine leichte Umrechnung der in Grad und Minuten gegebenen Maßzahl eines Winkels in Bogenmaß.

1' ~ 0,0002909 2' ~ 0,0005818 3' ~ 0,0008727 4'~ 0,0011636 5' ~ 0,0014544 6' ~ 0,0017453 7' ~ 0,0020362 8' ~ 0,0023271 9' ~ 0,0026180.

1° ~ 0,0174533 2° ~ 0,0349066 3° ~ 0,0523599 4° ~ 0,0698132 5° ~ 0,0872665 6° ~ 0,1047198 7° ~ 0,1221730 8° ~ 0,1396263 9° ~ 0,1570796

Ist ein Winkel von 37°25,8' durch Bogenmaß auszudrücken, so findet man nach der Tabelle

30° ~ 0,523599 7° ~ 0,122173 20'~ 0,005818 5'- 0,001454

_0,8'~ 0,000233

37°25,8 ' ~ 0,653277.

2. Graphische Darstellung der trigonometrischen Funktionen. Mt

Benutzung der Bezeichnung der Winkel durch das Bogenmaß ist es möglich, eine graphische Darstellung der trigonometrischen Funktionen zu geben. Wan trägt hierbei die waßzahlen der Winkel als Abszissen und die zugehörigen Funktionswerte als (vrdinaten in ein rechtwink-Y liges Koordinatensystem ein. In dieser weise sind die Figuren 36

und 37 ent-x standen. Fig. _XjC 36 istdiegra-37t phische Darstellung für sin a(Me$v nuslinie), und Fig. 37 stellt die Funktion tng cc graphisch dar. Wan erkennt auch aus den beiden Kurven leicht, was in § 23, 6 gesagt wurde, daß jedem Winkel nur ein Funktionswert, jedem Funktionswert aber unzählig viele werte des Winkels entsprechen. Zieht man nämlich durch den Punkt der Ordinatenachse, welcher dem gegebenen Funktionswert

7°

-7

-7

-Z

-5-

JC

+-f

3JC

fzn»

5JC

1    ; Z 3y

■*“51 ,

Fig. 36.

Fig. 37.

5    6/7

⁴    '/ZK ' 5JC

entspricht, die parallele zu der Abszissenachse, so schneidet diese parallele die Kurve unzählig oft, und die Abszisse eines jeden dieserSchnitt-punkte stellt den Wert eines Winkels dar, der dem gegebenen Funk-tionswert genügt.

vierter Abschnitt.

Die Hööittottstfyeoreme und ihre Anwendung.

§25. fomieln für die funktionell einer Summe oder einer Differenz von Cüinkeln.

1.    Vorbemerkungen. Unter den Additionstheoremen versteht man trigonometrische Formeln, durch welche die Funktionen einer Summe oder Differenz zweier Winkel z. B. sin (« + ß), cos (« — ß) durch Funktionen der einzelnen Winkel, « und ß, ausgedrückt werden. (Eine solche Formel kann zur Berechnung der werte der Funktionen von großem Nutzen sein. Kennt man nämlich den wert von sin 1 °, womit auch cos 1°, tng 1°, cot 1° gegeben sind (vgl. § 7,5), so kann man mit Hilfe eines Additionstheorems sin 2°= sin(l°+ 1°) berechnen, dann sin 3° = sin (2° + 1°) usw.

ptolemäus hat eine besondere Eigenschaft des Sehnenvierecks entdeckt, die in dem folgenden Satze, der seinen Namen trägt, ausgesprochen ist.

Der ptolemäische Lehrsatz. In jedem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte je zweier Gegenseiten.

OL

Mit Hilfe dieses Satzes gelang es ptolemäus, eine Beziehung zwischen dem Sinus der Summe zweier Winkel und den Funktionen der einzelnen Winkel herzuleiten. (Er berechnete daraus mit vieler Mühe den wert von sinl®. Nun konnte er mit Hilfe seiner Formel die Werte der Sinus der übrigen Winkel in der weise, wie es oben angedeutet worden ist, berechnen.

hier soll die Formel, die ptolemäus fand, in ganz einfacher weise hergeleitet werden.

Fig. 38.

2.    vieSdditionstheoreme für den Sinus. Man trage an eine Gerade in einem Punkte P (Fig. 38) auf der einen Seite den spitzen Winkel « und auf

der anderen Seite den spitzen Winkel ß an. Hierauf errichte man auf der Geraden in einem beliebigen Punkte C, welcher auf dem den beiden Winkeln gemeinsamen Schenkel liegt, die Senkrechte und bezeichne ihren Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Winkels « durch A, ihren Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Vinkels ß durch B. (Es ist dann

A PAB = A PAC+ A PBC

und daher, wenn man PA = a, PB = b und PC = c fetzt nach § 15,6b

2^afesin(a -f- ß) = ^ ac sin a -f- bc sin ß. Dividiert man diese Gleichung durch \ab, so findet man sin (<* + ß) = £ sin a + £ sin ß.

Nun ist aber, wie man aus der Figur erkennt,

£ = cos ß und £ = cos ct,

also erhält man die Gleichung

I. sin (« + ß) = sin a cos ß + cos « sin ß.

5ifl- 39.

Oy

wc

Trägt man an die Gerade im Punkte P die Winkel a und ß (a>/5) auf derselben Seite an, — so ist (Fig. 39)

A PAB = A PAC — A PBC

oder j ab sin (a — ß) = ac sin a — ~ bc sin ß.

Hieraus folgt nach Division der Gleichung durch j ab II. sin (« — ß) — sin « cos ß — cos « sin ß.

3. Die gdditionstheoreme für den Kosinus, wendet man die für die spitzen Winkel a und ß gefundene Formel für sin (« — ß) auf die ebenfalls spitzen Winkel (90° — «) und ß an, so erhält man sin (90° — a — ß) = sin (90° — <*) cos ß — cos (90° — «) sin ß. Nun ist sin (90° — cc — ß) = sin (90° — [«-f- /?]), die soeben gefundene Formel geht daher mit Benutzung von § 7,1 über in die andere I. cos (« + !?) = cos a cos ß — sin a sin ß.

Ersetzt man in der für sin (a+ß) gefundenen Formel« durch (90°—«), so findet man

§ 25. Die Rdditionstheoreme

77

sin (90° — a + ß) = sin (90° — «) cos ß + cos (90° — «) sin ß. hieraus folgt, da sin (90° — a + ß) = sin (90° — [« — (3]) ist, wie oben

II. cos (a — ß) = cos a cos ß + sin tt sin ß.

Bemerkung. Die soeben abgeleiteten Rdditionstheoreme gelten nach ihrer Herleitung nur für spitze Winkel. (Es läßt sich aber zeigen, daß sie für jeden Winkel gültig sind. Ist z. B. « ein Winkel im dritten Quadranten und ß ein stumpfer Winkel, dann sind (« — 180°) und (180° — ß) spitze Winkel. Für diese spitzen Winkel gilt nach 2,1 die Formel

sin (a — 180° 4- 180°— ß)

= sin(a — 180°) cos(l80°- ß) + cos(«—180°) sin(180°— ^3).

Die linke Seite dieser Gleichung ist gleich sin (« — ß). Ruf der rechten Seite ist

sin (« - 180°) = sin [- (180° - «)] = - sin (180° — «) (§ 23,5) cos (« - 180°) = cos [- (180° - «)] = + cos (180®- «) (§ 23,5)

Dadurch erhält man aus der gefundenen Gleichung die andere

sin (« — ß)

=■= — sin (180®— «) cos (180®— ß) + cos (180°— «) sin(l 80° — ß). Aus dieser Gleichung folgt nach §12,1 und 2

sin (a — ß) — sin a cos ß — cos « sin ß.

Man findet also für die Winkel « und ß, von denen keiner ein spitzer Winkel ist, genau dieselbe Formel, die oben für spitze Winkel hergeleitet wurde. Sn ähnlicher weise kann man den Beweis auch für andere Winkel und für die anderen Formeln führen. DieRdditionstheo» reme gelten also ganz allgemein.

sin (cc -f- ß) sin cc cos ß + cos cc sin ß cos (a + ßj ⁵⁼³ cos cc cos ß — sin cc sin ß

Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches auf der rechten Seite durch cos a cos ß, so erhält man

5. Die Rdditionstheoreme für den Tangens. Nach §7,4 besteht die Gleichung

tng (« + ß) =

Ähnlich findet man

MIuG 431: Crantz, Trigonometrie

§ 26. formeln für die Summe zweier funhttonen»

Die Sormein für die Summe zweier Munitionen. aus den

Additionstheoremen kann man Formeln herleiten, durch die man imstande ist, die Summe zweier Funktionen in ein Produkt zu verwandeln. Für zwei beliebige Winkel x und y gelten nach den Additionstheoremen die Gleichungen

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, sin (x — y) = sin x cos y — cos x sin y, cos (x + y) = cos x cos i/ — sin x sin y, cos (x — y) = cos x cos y + sin x sin y.

Aus diesen Formeln folgt durch Addition bzw. Subtraktion sin (x + y) + sin (x — y) = 2 sin x cos y, sin (x + y) — sin (x — y) = 2 cos x sin y, cos (x + y) + cos(x — y) = 2 cos x cos y, cos (x + y) — cos(x — y) = — 2 sin x sin y.

Setzt man in diesen Formeln x + y = a und x — y = ß, dann ist,

cc -4- ß

wie man durch Addition bzw. Subtraktion findet, x --- —2 y ----- —~ zu setzen, und man erhält

I.    sin « + sin ß = 2 sin

II.    sin « — sin ß = 2 sin

a + ß

und

• COS

cc + ß

• cos —■~ •

• cos

III.    cos« + cosß = 2 cos

, cc

• sin —

-ß

IV.    cos« — cos/?= — 2 sin

2. Neue Herleitung früher erhaltener gormeln. mit Hilfe der soeben gefundenen Formeln kann man den Tangentialsatz (§ 14,3) einfach in folgender Weise herleiten. (Es ist nach dem Sinussatz

a _sin cc

b ~ sin ß

Sind zwei Brüche gleich, so ist die Differenz aus Zähler und Nenner dividiert durch die Summe aus Zähler und Nenner bei beiden Brüchen

gleich, hiernach folgt aus der obigen Gleichung

sin a — sin ß

a — b

cc + ß . cos ' r

a-\-b ~~ sin cc -f sin ß o . cc — ß. 2sm - 2

2sin 2

. COS —

cc — ß

cc —

CC -j- ß

tng --y--

y    a ß

Beachtet man nun noch, daß ₂ im Dreieck das Komplement zu ₂

ist, so kann man nach §7,1 tng--y- durch cot ₂ ersetzen und erhält

dann den Tangentialsatz in der früher gefundenen Form.

Buch die Formeln für den Übergang zum halben Winkel lassen sich jetzt ganz einfach herleiten. Letzt man in den beiden Formeln 1, I und II ß = 0°, so findet man, da sin 0° = 0 ist, aus jeder der beiden Formeln

„ . cc cc

sin « = 2 sin ₂ cos 2^-

Letzt man in den beiden Formeln 1, III und IV ß = 0°, so findet man, da cos 0° = 1 ist,

cos cc + 1 = 2 cos²

tO £

und cos cc — 1 = — 2 sin⁸

oder

toi R

= 2 cos² 77— 1 und cos a = 1 — 2 sin² -

Dies sind dieselben Formeln, welche § 9, 2 und 3 in anderer weise abgeleitet worden sind. Aus ihnen folgt durch Addition und Division

o Ci    . o Cf

durch 2 die dritte Formel cosa^cos'-^ — sin ₂*

Bemerkung. Man könnte auch die Formeln für den Übergang zum halben Winkel aus dem tu § 25 gefundenen Additionstheorem herleiten. Setzt man in der Formel § 25, 2 I ß = <*, so erhält man sin 2 cc = 2 sin cc cos cc.

Diese Formel sagt ebenso wie die oben gefundene Formel, daß der Sinus eines Winkels gleich dem doppelten Produkt aus Sinus und Kosinus des halb so grotzen Winkels ist.

cos cc

In ähnlicher weise erhält man, wenn man ß = a setzt, aus der Formel § 25, 31

cos 2a = cos² a — sin² a und aus § 25, 5 die Formel für tng 2«.

§ 27. Hnwendimgen der Hdditionstheorcmc.

A. Anwendungen bei Gleichungen.

cos

Aufgabe 1. Den Winkel a zu berechnen aus der Gleichung (a + 36°) + cos (a +12°) = 0,74.

Lösung. Mit Benutzung der Formel §26, 1 III erhält man aus der gegebenen Gleichung 2 cos (« + 24°) cos 12° = 0,74. hierdurch findet man « + 24° = 67°46,4' und a = 43°46,4 .

Aufgabe 2. Die Winkel « und ß zu berechnen, wenn gegeben ist, sin a + sinß = 0,976 und « + /?= 58°50'.

Cts -ß

Ci -j- ß

Lösung. Aus der ersten Gleichung findet man 2 sin—₂—cos ₂

-ß

= 0,976 und hieraus “y-

^ .    , „sin« 9

Aufgabe 3. ^ = 4;

Lösung: Nach dem Satz: Sind zwei Brüche gleich, so ist die Summe Zähler und Nenner dividiert durch die Differenz aus Zähler und Nenner bei beiden Brüchen gleich, erhält man

13-,

T ²'⁶

aus

• (« = 35°55', st = 22°55'.)

; a + j3 = 87°40'.

sin a + sin ß

sin cc — sin ß

und hieraus nach Anwendung von § 26,11 und II

2,6 • cot ^ • (« = 64°6,1', st - 23°33,9'.) y; a — ß = 27°50'.

La — ß

cot 2

Aufgabe 4.

tng cc tng ß

Lösung. Ersetzt man den Tangens durch den (Quotienten aus Sinus und Kosinus und wendet auf die dadurch erhaltene Gleichung den bei Aufgabe 3 genannten Satz an, so erhält man

sin cc cos ß + cos cc sin ß 19

sin cc cos ß — cos cc sin ß    9

hieraus findet man nach § 25,2

sin (a + ß) = ~ sin (a - ß) ■ - (« - 54°3,7', st -- 26° 13,7'.) Aufgabe 5. sinasinß = 0,274; cc ß = 69°20 .

Lösung. Nach §26,1 ist sin a sin ß=^ [cos («—ß)—cos («+ß)].*)

Titan findet demnach aus der ersten Gleichung cos («—ß)—cos(a+ß) --- 0,548 und hieraus cos (« — ß). (« = 47°31,6', ß = 21°48,4'.) Aufgabe 6. tng « — tng ß = 2,3; a — ß = 54°20'.

Lösung, wenn man Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrückt und dann die erhaltenen Brüche auf denselben Nenner bringt, so erhält man einen Bruch, dessen Zähler sin (a — ß) ist. Für den Nenner cos a cos ß findet man nach § 26,1 2 [cos (« — ß) + cos (oc + ß)]. (Es ergibt sich eine Gleichung 3m: Bestimmung von cos(a+ß). («=68°37,4', ß = 14° 17,4'.)

Aufgabe 7. Den Winkel « zu berechnen aus der Gleichung 43,47 sin « — 52,85 cos = 25,89. — (<* = 72°47,5'.)

Bemerkung. Titan könnte die obige Gleichung ähnlich lösen wie die Ausgabe 6 in § 8,2. hierdurch würde man aber auf eine recht unbequem zu lösende quadratische Gleichung kommen. Die Additionstheoreme geben in diesem Falle die Möglichkeit zu einer weit einfacheren Lösung, deren Gang hier allgemein auseinandergesetzt werden soll.

Ist zur Bestimmung von « eine Gleichung gegeben von der Form a sin a + b cos « = c,

so dividiert man die Gleichung zunächst durch den Koeffizienten von sin a. hierdurch erhält man

_ b    c

sin a + - cos a = -.

Nun führt man einen hilsswinkel P ein (vgl. §17,3) durch die Gleichung

tngy =

Die Gleichung lautet dann

c

sin a q: tng <p cos a = -und, wenn man mit cos <x multipliziert,

sin a cos cp :p cos a sin <p = — cos cp.

Durch Anwendung des Additionstheorems (§ 25,2) erhält man hieraus sin (a q: q>) = ~ cos cp. Aus dieser letzten Gleichung berechnet man a q: cp unb hat damit auch den gesuchten Winkel « gefunden.

1) Die Formel ist aus der Gleichung cos (x + y) — cos (x — y) = — 2 sin x sin y herzuleiten.

Aufgabe 8. tag « + tng ß = 3,66; « - ß = 31°10'.

Lösung. Die Aufgabe ist ähnlich zu behandeln wie Aufgabe 6. Sie führt aber auf eine Gleichung wie Aufgabe 7. (« = 70°35,4', ß = 39° 25,4'.)

B. planimetrische und praktische Anwendungen.

Aufgabe 1. von einem Dreieck ABC sind der Winkel y=43°24' und die höhe CD = hc = 236,4 cm bekannt. Wie groß sind die Seiten, wenn sin c = 3 sin ß ist? (a — 817,12 cm, b — 272,38 cm, c=646,89 cm.)

Ausgabe 2. 3n einem Dreieck ABC ist durch die Ecke C eine Gerade gezogen, die AB iit D so schneidet, daß AD = m = 83,56 cm und BD = n = 54,85 cm ist. Ferner ist LACD = 8 = 36° 16' und L BCD = a = 28°20'. wie groß sind die Seiten AC und BC und die ihnen gegenüberliegenden Winkel? (AC = 140,71 cm, BC = 115,12cm, ß = 66°4l,5', « = 48° 42,5.)

$1 g. 40.

sin cc sin

nad\ dem Linussatz ed DBC ist    ^ - Durch Division

Lösung. ($ig.40). 3m DreiedA DCift = ^ , im Drei-

findet man aus beiden Gleichungen n sin §

• Aus dieser Gleichung

ß\ sin a ₌

sin ß m sin s

kann man wie in A. Aufgabe 3 die Winkel cc und ß berechnen. Die gesuchten Seiten findet man dann aus dem Dreieck ABC nach dem Sinussatz.

Aufgabe 3. Das Verhältnis der drei Seiten eines Dreiecks ist a:b:c= 18:26:35. wie groß find die Teile, in welche die Mittellinie ma den Winkel cc teilt?

Losung. ($ig. 41.) Da zwei Dreiecke, die im Verhältnis der Seiten übereinstimmen, einander ähnlich sind, und in ähnlichen Dreiecken die

Fig. 41.

Winkel gleich sind, so kann man zunächst die Winkel des Dreiecks berechnen aus dem Dreieck, dessen Seiten 18 cm, 26 cm unb 35 cm langsind.Manfindet«---29056,8 , ß = 46° 8,6' und y --- 103° 54,6'. Nun ist nach dem Sinussatz im

Dreieck ADC - ~    und in dem Dreieck ADB

ma __ sin ß a sin $

Da die linken Seiten beider Gleichungen einander gleich sind, so kann man auch die rechten Seiten einander gleichsetzen und erhält nach Vertauschung der inneren Glieder der Proportion = Y -j •

Aus der letzten Gleichung findet man ähnlich wie in A. Aufgabe 3

. v — ß ■ 00t 2

COt 2

« c Y + ß = 2 UnÖ ~2~

.    £ + 5

tng-₂-

8 + »

= 90° — | ist, so kann man diese werte in die obige Gleichung einsetzen und bekommt die Gleichung

Da nun

. L — S

cot^

= cot*fcot^,

.    ₂ berechnet werden kann. Man findet für L und ö

= 17° 14,0' und 6= 12°42,8'.

aus der dann die werte s

Hufgabe4. Huf dem Gipfel eines Berges steht ein h = 50 m hohen Turm. Man erblickt von der Ebene aus die Spitze des Turmes unter dem Cr-Hebungswinkel e = 58°23' und den Fuß des Turmes / unter dem Winkel ki = 55°45'. wie hoch ist der Berg?

Lösung. (Fig. 42.) Bezeichnet man die Hohe des Berges durch x und die

Entfernung des Beobachtungspunktes von dem Punkt, in welchem die verti- .;' fY kallinie durch den Turm die Ebene trifft, mit y, dann findet man die Gleichungen

y Bis- 42.

h + x

tng e —    -

unb tng «i = | •

Aus diesen Gleichungen folgt durch Division eine Gleichung, aus der man x bestimmen kann.

Man findet

x ==

h - til g e ,

tng s — tng k,

Der Ausdruck für x läßt sich noch umformen (vgl. A. Aufgabe 6) und

_ h sin st - cos a X sin (a — a,)

man erhält schließlich

Die höhe des Berges ist 471,58 m.

Aufgabe 5. von der Spitze eines ft = 200 m hohen Berges erblickt man einen Punkt einer Wolke unter dem Erhebungswinkel s = 67° 15', während man das Spiegelbild dieses Wolkenpunktes in einem in der Nähe des Berges befindlichen See unter dem Senkungswinkel S = 70° 30' beobachtet, wie hoch schwebt die Wolke über der (Erbe?

Ms

Lösung. (Zig. 43.) In der Figur stellt B die Spitze des Berges, A den Wolkenpunkt dar, CE ist die Richtung des Wasserspiegels und das Bild des Molkenpunktes im See. Aus der (Optik ist bekannt, daß das Bild des Wolkenpunktes ebenso tief unter dem Spiegel des Sees liegen muß, wie der Punkt über dem See liegt. Ls ist daher AE = A₁E = x.

Aus dem Dreieck BDA findet man

tng $ = —ßß¹ und aus dem Dreieck BDA₁ ergibt sich \ x -4- h

tng ö =    - Durch Division findet man aus diesen

SiQ. 43.

x + h _ tng <? x — h~~ tng s

wendet man auf diese Gleichung den in A. Aufgabe 3 erwähnten Ai Satz an und beachtet die Lösung von A. Aufgabe 4, so findet man v Ä hsm(d + s)

" sin (d — f)

Die Wolke schwebt 2372 m über der Erde.

beiden Gleichungen

§ 28. Die trigonometrische Landesaufnahme»

Erklärung. 3um Zwecke der Landesaufnahme wird das ganze zu vermessende Land in Dreiecke zerlegt ($\q. 44). Diese Dreiecke schafft man sich dadurch, daß man einzelne weithin sichtbare Punkte als Ccken der Dreiecke festlegt. Man benutzt dazu unter anderm Turmspitzen oder hohe Schornsteine. Sind solche Punkte nicht vorhanden, so stellt man sogenannte trigonometrische Zeichen auf. Diese bestehen aus drei großen pfählen, die in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks in Form einer dreiseitigen Pyramide aufgestellt werden, an deren Spitze man eine Fahne oder dergleichen befestigt.

-r-.

ri3*;.

y'Tt\

/.....I.....

■'-'T.v

J-

'■Vr

' V 7

-7r6

/t₉\ '

5ig. 44.

Die Ausmessung aller dieser Dreiecke des das ganze Land überdeckenden Dreiecksnetzes geschieht dadurch, daß man an einer Stelle eine Strecke, die Grundlinie oder Basis der Vermessung, mit größter Genauigkeit ausmißt. Diese Grundlinie wird zur Seite eines Dreiecks gewählt, das zu der Kette der das Land überdeckenden Dreiecke gehört. Nun werden nur noch Winkelmessungen durch visieren von einem trigonometrischen Punkt nach den benachbarten Punkten ausgeführt. Die Seiten aller Dreiecke werden dann, indem man von der gemessenen Basis ausgeht, durch Rechnung ermittelt. Da sich bei dieser Berechnung wegen der unvermeidlichen Fehler bei der Rlessung kleine Fehler einschleichen können, die immer mehr anwachsen, je weiter man sich von der Basis der Vermessung entfernt, so werden für die Rufnahme eines großen Landes mehrere Grundlinien genau bestimmt. So befindet sich z. B. für die preußische Landesaufnahme eine Grundlinie bei Berlin, bei Strehlen, einer Rreisstadt im RegierungsbezirkBreslau, beiBonn, bei Königsberg in Ostpreußen. Die Länge der Grundlinie bei Berlin, welche sich zwischen denvörfernRlariendorf undLichtenrade befindet, beträgt nach den genauesten Messungen 2,3363885 Kilometer.

2. Anwendung. Die Fig. 44 soll einen Teil des Dreiecksnetzes eines zu vermessenden Landes darstellen. A B ist die Basis der Vermessung,

Tu Tjj, r₈.....find die trigonometrischen Punkte. Hur die Länge der

Basis A B ist gemessen, und alle Winkel der Dreiecke sind durch Messung ermittelt. Die Längen der Seiten der einzelnen Dreiecke sind dann von dem einen der Dreiecke aus, dessen eine Seite die gemessene Grundlinie AB ist, nacheinander berechnet. Ruf Grund dieser Messungen und Berechnungen ist man nun imstande, die Entfernung zweier weit voneinander entfernt liegenden trigonometrischen Punkte ebenfalls durch Rechnung zu bestimmen. So kann z. B. die Entfernung der Punkte T₄ und T₁₀ voneinander in der weise gefunden werden, daß man zuerst aus dem Dreieck B T$ Tt die Strecke B T₄ berechnet (ßr₄ ist in der Figur nicht gezeichnet). Dann berechnet man aus dem Dreieck BT₉T₁₀ die Strecke BTW, die ebenfalls nicht gezeichnet ist. Das Dreieck B T₄ T₁₀ gestattet nun die Entfernung r₄7₁₀ zu berechnen.

man

Um die Entfernung eines nicht als trigonometrischer Punkt angenommenenpunktesPvon irgendeinem anderen zubestimmen, muß man diesen Punkt in die Dreieckskette hineinbringen. So könnte bei der in der Figur angenommenen Lage des Punktes P etwa die Winkel des (nicht gezeichneten) Dreiecks PT₉T₇ messen und dann Me Seiten PT,, vmbP T, berechnen, hiernach gestaltet sich dieBerechnung der Entfernung wieder so, wie oben angegeben.

Bemerkung. Größere Entfernungen auf der Erdoberfläche sind wegen der Kugelgestalt der Erde keine geraden Linien, sondern Kreisbogen. Rus diesem Grunde sind auch größere Dreiecke auf der Erdoberfläche keine ebenen, von geraden Linien begrenzte Figuren, sondern Kugeldreiecke oder sphärische') Dreiecke. Die sphärischen Dreiecke unterscheiden sich von den Dreiecken, die in der ebenen Trigonometrie

1) „Zphaira", griech. die Kugel.

behandelt werden, unter anderm dadurch, daß die Summe ihrer Vinkel keinen unveränderlichen wert besitzt, sondern stets um einen veränderlichen Betrag größer als zwei Rechte ist. Für diese Dreiecke gelten andere Formeln als für die ebenen Dreiecke, mit ihrer Berechnung beschäftigt sich die sphärische Trigonometrie.

Pt

z. Bestimmung des Erdradius. hat man in der eben angegebenen weise die Entfernung zweier Punktes mbP₂ (Fig. 45) bestimmt, die aus demselben Meridian liegen, A so kann man daraus den Radius der Erde berechnen, wenn man die geographischen Breiten cp± und cp₂ der Punkte P₁ und P₂ kennt (vgl.

5ig. 45.

§6,7 Rufgabe 3.)

(Es ist nämlich der zu dem gemessenen Vogen P±P₂ = b gehörende Zentriwinkel gleich der Differenz der Breiten. Daher besteht die Gleichung

b = r (<pt — qpa),

den Radius der Erde bedeutet. Aus dieser Gleichung kann

wenn r man r berechnen.

Die beiden Winkel sind hierbei vor der Rechnung durch Vogenmatz auszudrücken (vgl. § 24,1).

4.    vorwiirtseinschneiden und «ückwärtreinschneiden. man kann die unbekannte Entfernung zweier Punkte voneinander dadurch bestimmen, dah man von den Endpunkten einer bekannten Standlinie nach den beiden Punkten visiert. Dies nennt man vorwärtsein-schneiden. Es ist aber auch möglich, die unbekannte (Entfernung zweier Punkte voneinander dadurch zu bestimmen, datz man von diesen Punkten selbst nach den Endpunkten einer bekannten Standlinie visiert. Dies nennt man Rückwärtseinschneiden. Die folgenden Aufgaben sind Beispiele hierfür.

5.    Aufgabe (Vorwärts einschnei den). Um die unbekannte Ent-fernung zweier Punkte P und Pt voneinander zu bestimmen, hat man von den Endpunkten einer bekannten Standlinie AB — a nach ihnen visiert und gefunden LPAP₁ = <*, LPiAB = ß, L ABP — y und L PBPi = S. (Es soll hieraus die Länge der Strecke berechnet

werden.    _ . „

ABP

Lösung. (Fig.46.) Man findet nach dem Sinussatz aus dem Dreieck

a sin y

AP =

sin (a + ß + y)'

p,

denn der der Seite a gegenüberliegende Winkel APB ist 180° - (« + ß + y). Aus dem Dreieck ABPt erhält man a sin (y -|- d)

x    sin (ß + y + d) '

\ hierdurch kennt man von dem Dreieck X \ AP[ P zw ei Seiten und den eingeschlossenen Winkel und kann die gesuchte Entfernung yX' nach dem Tangentialsatz berechnen.

6. Die yansensche Aufgabe. (Rück-wärtseinfchneiden). Um die unbekannte Entfernung zweier Punkte P und Pt voneinander zu bestimmen, hat man von ihnen aus nach den Endpunkten einer bekannten Stand-linie AB = a visiert und gefunden L APB =    L BPP, = ß,

l_ ap±p = y, L APtB — <5. Ls soll hieraus die Länge der StreckePP1 berechnet werden.

Lösung. (5ig. 47.) Man setze L PXAB --- - und /. PBA ---1 Nun findet man nach dem Sinussatz aus dem Dreieck APB

sin cc AP ⁼ sin?

p,

5tg. 46.

APi —

und aus dem Dreieck APPt

sin (cc + ß + y)

AP

sin 7

/«z

!/

-2-

Bus ben beiden Gleichungen findet * man durch Division

sin cc sin y

y    " sin ? ■ sin (a + ß + y)

Ähnlich läßt sich mit Ejtlfe des Sinus»

5ig. 47.

"finden. Man bestimmt in dem Dreieck ABP₁ das Verhältnis

und in dem Dreieck PP,ß das Verhältnis x: BPV Durch Division findet man aus den erhaltenen Gleichungen

sin $ sin ß _____ sin s • sin (ß + y + ö)

5etzt man die beiden für ^ gefundenen werte einander gleich, so erhält man nach einigen Umformungen

__ sin <? sin ß sin (cc + ß + r). sin £ sin cc sin y sin (ß + Y 4" $)

satzes noch ein zweiter Busdruck für

a:BP₁

sin s

§ 28. Hansens und pothenots Aufgabe

89

Da £ + £ = ß + y sein mutz, weil beide Summen den Winkel, unter dem sich die Linien AP₁ und BP schneiden, zu zwei Rechten ergänzen, so kann man jetzt nach § 27 A, Aufgabe 3 die Winkel e und £ berechnen. Sind diese Winkel gefunden, so kann man x aus einer der im Anfang erhaltenen Gleichungen berechnen.

7. Die pothenotsche Ausgabe (Rückwärtseinschneiden). In einem Punkte C treffen zwei Standlinien von bekannter Länge AC ----- b und BC = a unter dem Winkel ACB=y zusammen, von einem Punkte P aus hat man durch visieren die Winkel APC = ß und BPC = a bestimmt. (Es sollen die Entfernungen des Punktes P von A,

B und C berechnet werden.

Lösung (Fig.48). Die Winkel bei A ^

A und bei B bezeichne man mit ö bzw.    \

PC =

$iQ. 48.

f. Nun kann man die Strecke 7^(7 sowohl aus dem Dreieck APC vok aus dem Dreieck (7mithilfe desSinus-satzes bestimmen und findet b sin d _ a sin s sin ß ~~ sin a

hieraus erhält man eine Gleichung für sin Nisins. Da nun d+s = 360°

— (a + ß + y) ist, so kann man jetzt ö und £ berechnen (vgl. 8 27 A, Aufgabe 3) und findet dann die gesuchten Strecken durch den Sinussatz.

§ 29. Die Bestimmung der Dr ei echs stücke durch dieUiinkel und den Radius des Umkreises*

Vorbemerkung. Sind von einem Dreieck die Winkel bekannt, so ist dadurch die Gestalt des Dreiecks vollständig bestimmt, weil Dreiecke, die in den Winkeln übereinstimmen, einander ähnlich sind. Rennt man nun von einem Dreieck außer den Winkeln noch irgendein Stück, so ist durch dieses eine Stück die Große aller übrigen Stücke des Dreiecks bestimmt. Man kann also alle Stücke berechnen, wenn man Formeln kennt, durch welche die Stücke durch das eine gegebene Stück ausgedrückt sind. Es lassen sich nun einfache Formeln herleiten, durch die man die einzelnen Stücke des Dreiecks aus dem Radius des Umkreises r und den Winkeln berechnen kann. Die Herleitung dieser Formeln gelingt auf Grund des folgenden Lehrsatzes, der sich mithilfe derCigen-

schaft des Kreises, daß sämtliche Peripheriewinkel über demselbenBogen einander gleich sind, leicht beweisen läßt.

aus

2. Lehrsatz. Jede Sehne eines Kreises ist gl eich dem Produkt dem Durchmesser und dem Sinus des zu der Sehne gehörenden Peripheriewinkels.

a = 2 r sin «.

'a>

Beweis (Zig. 49). BC = a sei eine beliebige Sehne des Kreises um M unb LBAC = ct der zu ihr gehörende Peripheriewinkel. Zieht man von B aus den Durchmesser BD und verbindet D mit C, dann ist das entstehende Dreieck BCD bei C rechtwinklig, da der Winkel BCD als Peripherie-\t) winkel im Halbkreis gleich einem Rechten ist. A Ferner ist LBDC = LBAC = a als Periphe-\ riewinkel über demselben Bogen. Run sindet man aus dem rechtwinkligen Dreieck BCD mit \ J Hilfe der Gleichung, durch welche der Sinus er--A- klärt wurde, die Behauptung.

Lig.49.

/ Bemerkung. Die soeben bewiesene Formel gilt auch für den im anderen Kreisbogen über der Sehne a befindlichen Peripheriewinkel, da dieser der Supplementwinkel zu « ist, und sin (180° a) = sin « ist.

5. Bestimmung der Dreiecksstücke durch r und die Winkel.

1. Die Seiten. Da jede Seite des Dreiecks Sehne des Umkreises des Dreiecks ist, so folgt unmittelbar aus dem in 2. bewiesenen Lehrsatz

a = 2rsin«,

b = 2r sin st, c — 2t siny.

II. Die höhen. Nach § 13, 1 \\iha = b sin y, es mag y ein spitzer oder ein stumpfer Vinkel sein. Setzt man in dieser Formel b = 2 r sin ß, so findet man

ha = 2r sin/? siny.

Ähnlich findet man

hb = 2t sin a siny, hc ----- 2 r sin « sin st.

Jede Dreieckshöhe ist also gleich dem Produkt aus dem Durchmesser des Umkreises und den Sinus der beiden Vinkel, die der Seite anliegen , auf welche die höhe gefällt ist.

III. Der Inhalt. Bus ber § 15, 6 b bewiesenen Formel st--- 2 ab sin7 folgt sofort durch Benutzung von I

/ = Sr² sin « sin ß sin y.

IV. Der halbe Umfang. Ersetzt man in der Gleichung 2s=a+b+c die Seiten durch den Radius des Umkreises und den Sinus des ihnen gegenüberliegenden Winkels, so erhält man, wenn man noch y durch fein Supplement « + ß ersetzt,

2s = 2t (sin« + sin/3 + sin (« + ß))-hieraus folgt, wenn man sin « + sin ß nach § 26,11 in ein Produkt verwandelt und sin (« + ß) nach § 9, 2 durch die Funktionen des halben Winkels ausdrückt und dann die gemeinschaftlichen Faktoren vor die Ulammer fetzt

2s = 4r sin

^ (cos^ + cos^)-

Der in der Ulammer stehende Ausdruck kann nach der Formel § 26,1III in ein Produkt verwandelt werden. Die Formel sagt, daß die Summe der Kosinus zweier beliebigen Winkel gleich dem doppelten Produkt der Kosinus der halben Summe und der halben Differenz dieser beiden Winkel ist. In unserem Falle sind die Winkel, für die die Summe der

“ ~ - und —~■ Die halbe Summe dieser Winkel

Kosinus gegeben ist,

ist “, ihre halbe Differenz Der Ausdruck in der Klammer kann

²    aß    a-j-ß

daher ersetzt werden durch 2 cos“ cos|-Ersetzt man außerdem sin durch cos 2 (§7, 1), so findet man

s = 4r cos ^ cos ^ cos •

f 2 r² sin a sin ß sin y

V. Der Radius des Inkreises. Durch die Formel f=Qs(§ 15,6d) findet man

cos

4r cos

und, wenn man im Zähler des Bruches auf der rechten Seite der (Blei* chung die Funktionen der halben Winkel einführt und die gleichen Faktoren im Zähler und Nenner hebt,

q — 4rsin | sin | sin |

VI. Die Radien der Ankreise. In 8 15,5 war gefunden

, cc

Qa = s tng^-

Venn man in dieser Formel s nach IV ersetzt und tng ^ durch den (Quotienten aus Sinus und Kosinus ausdrückt, so erhält man, nachdem durch cos j gehoben ist,

.    . a ß

= 4:r sin 2 coscos

Qa

ähnlich findet man

tOi-Cfc ¹⁰

= 4 t cos-^ sin * a

Qc = 4r cos ^ cos

VII. Die Abschnitte, in welche die Seiten durch die Verührungs-punkte des Inkreises geteilt werden, aus der Formel tng ~

(§ 15,3) folgt

s —. a = q cot

----- 4r sin ~ sin ~ sin j-

Qb

cos

s—a

. ' sin 2

s — a = 4r cos j sin |r sin ^ •

Ebenso findet man

s — b = 4 t sin ^ s — c = 4r sin

. cosj sin

a . ß y 2 sin 2 cos ~2 •

§ 30. Die Losung trigonometrischer Hufgaben durch r und die MnKel.

Kitt Benutzung der in § 29,3 gefundenen Formeln können viele trigonometrische Aufgaben ohne jede Figur, lediglich auf algebraischem Wege gelost werden. Vielfach kann man aber auch neben der in dieser Weise ausgeführten Lösung eine andere, mit Benutzung der Figur mögliche Lösung angeben. (Es ist hier ähnlich wie bei den planime-irischen Aufgaben, von denen viele sowohl durch algebraische Analysis wie durch rein geometrische Analysis gelöst werden können. 3m folgenden soll eine Anzahl von Ausgaben, die die Verwendung obiger Formeln klar machen, behandelt werden. Für die meisten dieser Aufgaben gilt dasselbe, was im Anfange von § 19 gesagt wurde.

Besonders einfach wird die Lösung trigonometrischer Ausgaben mit Hilfe der gefundenen Formeln, wenn die Winkel des Dreiecks unmittelbar oder mittelbar gegeben sind.

aus.

nun

I. Die Winkel des Dreiecks sind unmittelbar gegeben. Befinden sich unter den drei zur Berechnung eines Dreiecks gegebenen Stücken zwei Winkel, so drückt man das dritte gegebene Stück durch r und die Winkel Aus der hierdurch erhaltenen Gleichung berechnet man r und ist imstande, jedes gewünschte Dreiecksstück nach den in § 29,3 aufgestellten Formeln zu bestimmen.

Aufgabe 1. 3n einem Dreieck ABC ist a --- 64°36’, ß = 42 50’, und der Radius des 3nkreises q = 12,73 cm. Die Seiten des Dreiecks sollen berechnet werden.

Lösung 1. Alan bestimmt zunächst 7 -- 180° —(a + ß) = 72°34’. Nun findet man aus der Formel für q (§ 29,3 V) eine Gleichung für r. Die Rechnung ergibt log r= 1,44031. Durch die Formeln § 29,3 I, werden dann die Seiten berechnet. Alan findet

a --- 49,796 cm, b ----- 37,477 cm, c --- 52,592 cm. Lösung 2. Alit Hilfe der Formeln s — a = q cot |, s — b ----- p cot ^ usw. berechnet man s — a = 20,137, s — b = 32,456,

s — c = 17,340. Die Addition dieser letzten drei Gleichungen liefert den wert für s, denn esifts —a + s — b + s —c = 3s—(a+6+c) = 3s — 2s==s. man findet s = 69,933. Subtrahiert man von diesem werte für s der Reihe nach s — a, s - b, s — c, so findet man die drei Seiten.

Aufgabe 2. man kennt von einem Dreieck die Summe zweier höhen /ib+/ia = 243,5cmunfc>die Winkel a=53⁰20'unbß = 41°18'. wie groß sind die Seiten des Dreiecks?

hb + ha = 2r sin 7 (sin « + sin ß).

Da die in der Klammer stehende Summe sich für die logarithmische Rechnung schlecht eignet, so verwandelt man sie nach § 26,1 in ein

HUu© »ri: Crantz, Trigonometrie.    7

Lösung 1. Der Winkel 7 ist durch « und ß bestimmt (7 = 85°22'). Drückt man ha und hb durch r und die Winkel aus (§ 29,3 II), so erhält man

CC -f- ß

= COS

| setzt (§ 7,1),

Produkt und findet, wenn man sin —₂

hb+ ha = 4r sin y cos ^ cos — ₂~ •

Hus dieser Gleichung berechnet man 2r (log 2r = 2,22294) und bestimmt dann die Seiten nach den Formeln a = 2r sin « usw. (a = 134,02 cm, b = 110,28 cm, c = 166,54 cm).

F<

Lösung 2. (Fig. 50.) Man fälle von B die höhe BD = ht auf A C und trage auf der Verlängerung DF = ha ab. Nun ziehe man durch F die parallele zu A C, die die Verlängerung von B C in G schneidet. Dann ist L G = y (Gegenwinkel an parellelen), und LF = \R, ferner ist nach dem Strahlensatz \    hb'.ha — a: CG.

V⁷ Da sich in jedem Dreieck die höhen umgekehrt /.\ verhalten wie die Seiten, auf die sie gefällt sind, f \    besteht aber auch die Proportion

Big. 50. J)

hb:ha== a:b.

K kf>

Aus den beiden Proportionen folgt, daß CG = b sein muß. 3n dem rechtwinkligen DxmdBGF\\i also die Hypotenuse B G gleich a-\-b, die Rathete BF=hb + ha und der dieser Rathete gegenüberliegendewinkel gleich y. (Es besteht daher die Gleichung

h + ha a + b

sin 7 -----

Mit Hilfe dieser Gleichung kann man a + b berechnen, findet dann durch die Mollweidesche Gleichung die Seite c und hierauf die beiden anderen Seiten durch den Sinussatz.

ausgäbe 3. Die Differenz der Radien der beiden Kreise, welche die Seite a berühren, ist in einem Dreieck Qa Q — 27,36 cm, ferner ist a = 48°34' und ß — 55°42'. Wie groß ist der Inhalt des Dreiecks? Lösung. Nach § 29,3 VI und V ist

CC f ß

= 4r sin ^ (cos ₂ cos = 4r sin j cos = 4r sin²

^ — sin 2 sin —j ßp(§ 25,31),

Qa~Q

Qa — Q

Nun kann man log r berechnen und findet dann den Inhalt durch die Formel § 29,3III. {f = 1963,5 qcm.)

II. Die Winkel der Dreiecks find mittelbar gegeben. Man kann die Winkel eines Dreiecks leicht berechnen, wenn unter den drei zur Berechnung des Dreiecks gegebenen Stücken sich zwei Stüde befinden, die die Ähnlichkeit zweier Dreiecke bedingen, falls beide Dreiecke in ihnen übereinstimmen. Solche Stücke sind außer den winkeln

1.    das Verhältnis zweier Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel (a : b = m : n, y).

2.    das Verhältnis der drei Seiten (a : b : c = m : n : p).

3.    das Verhältnis zweier Seiten und der der größeren von ihnen gegenüberliegende Winkel (a : b = m : n [m > n], «).

3m ersten Falle berechnet man die Winkel des Dreiecks, in welchem zwei Seiten gleich m und n sind, und in dem der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel gleich y ist. 3m zweiten Falle berechnet man die Winkel des Dreiecks, dessen Seiten m, n und p sind. 3m dritten Falle berechnet man die Winkel des Dreiecks, in dem zwei Seiten gleich m und n sind und in dem der Seite m der Winkel « gegenüberliegt.

3n allen drei Fällen sind dieDreieckswinkel, welche man findet, zugleich die Winkel des zu berechnenden Dreiecks, denn in ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel einander gleich.

Aufgabe 4. 3n einem Dreieck, dessen 3nhalt f= 237,6 qcm groß ist, ist das Verhältnis zweier Seiten a: b --- 11:7 und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel y = 106° 24'. wie groß sind die beiden anderen Winkel und die Seiten?

Lösung 1. Aus dem Dreieck, dessen Seiten a, = 11 cm und bx = 7 cm den Winkel y = 106°24' einschließen, findet man durch Benutzung des Tangenllalsatzes « = 46° 14,3 und ß = 27°21,7 . Nun berechnet man log r durch die Formel für f (log r = 1,28590) und kann dann die Seiten bestimmen, (a = 27,901 cm, b = 17,755 cm, c ---- 37,508 cm.)

Lösung 2. Aus der Formel f = | ab siny berechnet man ab,

dann findet man mit Hilfe von a b und £ durch Multiplikation a²

und durch Division b\ Dadurch kennt man von dem Dreieck zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel.

Ausgabe 5. Das Verhältnis der Seiten eines Dreiecks ist a: 6: c = 17 : 23 : 29, und die Summe der Radien zweier Ankreise Qa + Qb = 44,54 cm. Die Winkel und die Seiten des Dreiecks zu berechnen.

Lösung. Man berechnet diewinkel des Dreiecks, deffenSeiten 17cm, 25 cm und 29 cm lang find, und findet c — 35°52,2', ß = 52°26,6' und y = 91°41,2'. Nun stellt man die Gleichung aus

| + cos sin I) -

Der in der Klammer stehende Nusdruck ist nach §25,21 gleich sin ₂~- > hierfür kann man cos - setzen und erhält dann

Qa + Qb — 4 r cos (sin ^ cos

Ca +    — 4 r cos⁸•

Aus dieser Gleichung berechnet man den wert von logr und kann wieder leicht die Seiten bestimmen, (a = 26,889 cm, b = 36,380 cm, c — 45,870 cm.)

man aus

III. Nur ein Winkel ist gegeben. Man ersetzt jedes der beiden anderen gegebenen Stücke durch r und die Winkel. Die dadurch er» haltenen Formeln formt man dann so um, daß in ihnen nur noch die Summe und die Differenz der beiden unbekannten Winkel vorkommt. In dieser weise erhält man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die Unbekannten sind r und die Differenz der Winkel. Nun schafft den beiden Gleichungen r fort, gewöhnlich durch Division, und erhält dann eine Gleichung, aus der man die Differenz der unbekannten Winkel bestimmen kann, hierdurch sind dann sämtliche Winkel des Dreiecks bekannt, und man kann aus einer der beiden zuerst entwickelten Formeln den wert von r berechnen.

Ausgabe 6. Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist a + b = 126,8 cm, die Differenz der zu den Seiten gehörenden höhen hb—ha =87,5 cm und der von den Seiten eingeschlossene Winkel y=62 38 . töte groß sind die beiden anderen Winkel und die Seiten des Dreiecks?

cos~2

Lösung. (Es ist a + Z> = 2r (sin a + sin |3)=4r cos ^

Ferner ist

COS

hb — ha — 2 r sin y (sin a — sin ß) = 8 r sin® ₂

Durch Division findet man aus den beiden erhaltenen Formeln eine Gleichung für den Tangens der halben Differenz der Winkel« und ß. Zur Berechnung von r benutzt man am besten die für a + b erhaltene Gleichung, (a = 110°37,3', ß = 6°44,7', a = 112,67cm, b = 14,158 cm, c = 106,90 cm.)

Aufgabe 7. Die Differenz zweier Seiten eines Dreiecks ist a-b = 18 cm, der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel y = 78 11,8

und die Differenz aus dem Radius des Rnkreifes an die dritte Seite und dem Radius des Inkreises qc — Q = 58,51 cm. Wie groß sind die unbekannten Winkel und die Seiten?

Lösung. TTTcrn findet

u — ß .    7

“2 Sm 2r

----- 4 r sin² ~ •

(«=62°5,3', ß=39°42,9', <z=65,00cm,6=47,00cm,c=72,00 cm.)

Rufgabe 8. Die unbekannten Winkel und die Seiten eines'Drei-ecks zu berechnen, von dem gegeben ist Qa — Qb^ 17,56 cm, a + b --- 39,48 cm und y ----- 67°20\

Lösung. Man findet

Qc Q

a — £ = 4 r sin

Qa Qb

----- 4r cos™ sin ₂ ^ ,

CQ_

a + b — 4r cos ~ cos

(a --- 80° 18,7', ß --- 32° 21,3', a ---- 25,588 cm, b --- 13,892 cm, c ---- 23,953 cm.)

IV. 6$ ist kein Winkel gegeben. Die gegebenen Stücke werden durch r und die Winkel ersetzt, dann werden die erhaltenen Formeln so umgewandelt, wie es in den vorhergehenden Rufgaben geschehen ist, indem man einen der Winkel von den beiden andern absondert. Man erhält dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Rufgabe 9. In einem Dreieck ist Seite c — 169 cm, die Differenz der beiden anderen Seiten a — b = 13 cm und die Differenz der Radien der Rnkreise an den beiden zuletzt genannten Seiten Qa—Qb ----- 26 cm. Wie groß sind die Winkel und die beiden unbekannten Seiten? Lösung. Ru§ den Gleichungen

c =-- 4r sin ^ cos ,

4r sin “ 2 ~ sin = 4r sin cos^

CC- ß

und sin —~~ ⁼

Qa Qb

findet man

COS

Qa-Ob

tnS 2

(ü == 67°22,8', ß = 59°29,4', y -- 53°7,8', a --- 195,00 cm, b --- 182,00 cm.)

Register.

Abszissenachse 63. Additionstheoreme 75.

Änderungen in den (Quadranten 70. Allgemeiner pythagoreischer Lehrsatz 53.

Ankreis 47.

Basis der Vermessung 85. Bogenmaß 72.

Depressionswinkel 15.

Einrichtung der Logarithmentafel^. Elevationswinkel 15.

Crdradius 87.

Crhebungswinkel 15.

Funktion 6.

Funktionen beliebiger Winkel 67. Funktionen negativer Winkel 71. Funktionen stumpfer Winkel 35. Geographische Breite 25.

Graphische Bestimmung des Sinus 8. Graphische Bestimmung des Tangens 18.

Graphische Darstellung 74. Grundlinie der Vermessung 85. halbe Winkel 30.

Halbwinkelsatz 46.

Hansens Aufgabe 88. heronische Formel 49, 58. Hilfsdreiecke 58.

Hilfswinkel 54. höhe der Sonne 21.

Höhenmessung 15.

Inhalt des Dreiecks 47.

Inkreis 46.

Komponenten 42.

Koordinatensystem 64.

Kosekans 26.

Kosinus 21.

Kosinus, Erklärung des Hamens 22. Kosinussatz 56.

Kotangens 22.

Landesaufnahme 84.

Maßeinheit 2.

Maßzahl 2.

Mehrdeutigkeit der Funktionen 72. Messen 2.

Mollweides Gleichungen 42. Negative Winkel 71.

Ordinatenachse 64.

Parallelogramm der Kräfte 4L peilen 41.

positiver Drehungssinn 64. pothenots Kufgabe 89. ptolemäischer Lehrsatz 75.

Quadranten 64.

Radius des Ankreises 47, 50. Radius des Inkreises 50. Resultierende 4L Rückwärtseinschneiden 87.

Seemeile 4L Sefans 26.

Senkungswinkel 15.

Sinus 5.

Sinus, Erklärung des Hamens 65. Sinus, graphische Bestimmung 8. Sinuslinie 74.

Sinussatz 37.

Summe zweier Funktionen 78. Tangens 16.

Tangens, Erklärung des Hamens 19, 67.

Tangens, graphische Bestimmung 18. Tangentialsatz 44.

Trigonometrie 2.

Trigonometrische Funktionen 2. Trigonometrische Zeichen 84. Umfang des Dreiecks 45.

Verhältnis 3.

Vorwärtseinschneiden 87.

Vorzeichen in den (Quadranten 69. Winkel als Maß der Drehung 62. Winkel in Bogenmaß 73.

Vertag von B. 6. üeubner in Leipzig und Berlin

Zeder Band geheftet M. t.—, in Leinwand gebunden M. 1.25

Hus JNatur und Geistes wett

Bus dem Gebiete der Mathematik erschienen u. a.: Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Dr. Paul Crantz, Prof, amRskanischen Gymnasium htBerlin. In2Bänden. MitFig. Bö. 120,205.

1. Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. 3. Huflage. Mit 9 Figuren. (Bb. 120). II. Teil: Gleich un-g e n. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 2. Ruflage. Mit 21 Figuren. (Bö. 205).

will in leicht faßlicher und für das Selbststudium geeigneter Darstellung über die Hnfartgs» gründe der Arithmetik und Algebra unterrichten. Im ersten Bande werden die sieben Rechnungsarten, die Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten und die Gleichungen zweiten Grades mit einer Unbekannten, und schließlich die Logarithmen behandelt, im zweiten die Gleichungen höheren Grades, die arithmetischen und geometrischen Reihen, die Zinseszins- und Rentenrechnung, die komplexen Zahlen und der binomische Lehrsatz, wobei überall die graphische Darstellung eingehende Berücksichtigung erfährt und zahlreiche in ausführlicher Ausrechnung eingefügte Beispiele das Verständnis erleichtern.

Planimetrie znm Selbstunterricht. Von Dr.paul Crantz,Professor am Kskanischen Gymnasium in Berlin. Mit 99 Figuren. (Bb. 340).

Enthält die Planimetrie bis zur Ahnlichkeitslehre und der Berechnung des Kreises. Das Buch verfolgt dieselben Siele wie die in der gleichen Sammlung erschienene „Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht." In möglichst einfacher und verständlicher Art macht es mit den Grundlehren der Planimetrie vertraut, ohne dabei der wissenschaftlichen Strenge zu entbehren, wert ist darauf gelegt, den Zusammenhang der einzelnen Sätze und den Nutzen derselben her-vorzuheben. Diesem Zweck dienen die überall gegebenen praktischen Anwendungen. Auch rein geometrische Aufgaben sind in größerer Zahl vorhanden, deren Lösung teils ausführlich besprochen, teils kurz angedeutet ist. historische Bemerkungen sind, wo es anging, eingefügt. Ein ausführliches Register ist dem Buche zur leichteren Orientierung beigegeben.

ffilnfüljtung in die Infinitesimalrechnung mit einer historischen Übersicht. vonprof.Dr.G.Korvalewski in Prag. 2. Rufi. ITtit225ig.(Bb.l97.)

Bietet in allgemeinverständlicher Form eine Einführung in die Infinitesimalrechnung, ohne die heute eine streng wissenschaftliche Behandlung der Naturwissenschaften unmöglich ist. welche die nicht sowohl in dem Kalkül selbst, als vielmehr in der gegenüber der Elementarmathematik veränderten Betrachtungsweise unter den Gesichtspunkten der Kontinuität und des Unendlichen liegenden Schwierigkeiten zu überwinden lehren will.

Diffcvcittictls uttö Integralrechnung mit Berücksichtigung öer praktischen Rnwenöung in der Technik, von Dr.IN.Lindaw. IKit 42 Rbb. (Bö. 387.)

Gibt unter durchgängiger Benutzung der anschaulichen geometrischen Methode an der Hand praktisch verwendbarer Beispiele unter möglichster vermeidnng rein theoretischer Erörterungen eine Darstellung der Grundzüge der Differential- und Integralrechnung.

praktische Mathematik, von Dr. H. Neuenöorff, Kiel. I. Teil: Graphisches und numerisches Rechnen. Mit 62 Figuren u. 1 Tafel. (Bö. 341.)

In allgemeinverständlicher weise werden Rechenmethoden und mathematische Apparate, die im praktischen Leben mit Vorteil Verwendung finden, erläutert und zu ihrer Verwendung Anregung gegeben. Zunächst wird der Begriff der Funktion erklärt und eingehend mit vielen Beispielen aus dem täglichen Leben die graphische Darstellung besprochen. (Es folgen Kapitel über verkürztes Rechnen, Tabellenrechnen, Recheninstrumente und Rechenmaschinen. Endlich werden die verschiedenen Methoden der Flächen- und Körperberechnung behandelt, mit besonderer Berücksichtigung der Planimetrie.

Mathematische Spiele, von Dr. Wilhelm Rhrens in Berlin. Mit 1 Titelbild und 77 Figuren. 2. Rufi. (Bö. 170.)

Sucht in das Verständnis all der Spiele, die „ungleich voll von Nachdenken" vergnügen, weil man bei ihnen rechnet, ohne Voraussetzung irgendwelcher mathematischer Kenntnisse einzuführen und so ihren Reiz für Nachdenkliche zu erhöhen. So werden unter Beigabe von einfachen, das Mitarbeiten des Lesers belebenden Fragen wettspringen, Boß-Puzzle, Solitär- oder Einsiedlerspiele, Wanderungsspiel, Dyadische Spiele, der Baguenaudier, Mim. der Rösselsprung, die Magischen (Quadrate, endlich Paradoxien der Mathematik behandelt.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Elememente der Mathematik

Von Professor Dr. E. Borei

Deutsche Ausgabe von Professor Dr. P. Stäckel

In 2 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

I. Band: Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. 1908. JC 8.60. II. Band: Geometrie. Mit 403 Figuren. 1909. JC 6.40.

Lösungen hierzu von P. Stäckel und H. Beck.

I. Heft: Aufgaben aus der Trigonometrie und Algebra, gr. 8. 1913. ^ 1.50. II. Heft: Aufgaben aus der Geometrie, gr. 8. 1913. JC 1.50.

„Die besten Dienste wird das Buch nicht Lehrern und Schülern, sondern jener immer zahlreicher werdenden „Kategorie der Nichtmathematiker“ leisten, die sich in vorgerückten Jahren genötigt sehen, auf die lange beiseite geschobene Mathematik zurückzugreifen; . . . Die überaus klaren, durch Beispiele aus dem täglichen Leben erläuterten Ausführungen und, fügen wir hinzu, die wohltuend einfache, konkrete, überall peinlich korrekte Darstellung werden die halbvergessenen Schulkenntnisse neu beleben, konzentrieren und soweit ergänzen, daß selbst der Weg zu dem „Gipfel der Differential- und Integralrechnung kaum erhebliche Schwierigkeiten mehr bietet.“    (Pädagog. Zeitung.)

Mathematische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Elementarmathematik für Schule und Leben

Prof. Dr. A. Witting

Dr. W. Lietzmann

Unter Mitwirkung von Fachgenossen herausgegeben von

und

Professor am Gymnasium zum Heiligen Kreuz zu Dresden

Oberlehrer an der Oberrealschule zu Barmen

In Kleinoktav-Bändchen kartoniert je JC —.80.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Heften in zwangloser Folge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an der Mathematik im weitesten Sinne des Wortes haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren und zu unterrichten. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung und eingehendere Bearbeitung solcher elementarer Probleme, die allgemei-und kulturelle Bedeutung oder besonderes mathematisches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser — ohne zu große Anforderungen an seine mathematischen Kenntnisse zu stellen — in neue Gebiete der Mathematik einführen.

Bisher sind erschienen:

1.    E. Löffler, Ziffern und Ziffernsysteme bei den Kulturvölkern in alter und neuer Zeit. 1912.

2.    H. Wieleitner, der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen Entwicklung. Mit 10 Figuren. 1911.

3.    W. Lietzmann, der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatsche Problem. Mit 44 Figuren. 1912.

4.    0. Meißner, Wahrscheinlichkeitsrechnung nebst Anwendungen. Mit 6 Figuren. 1912.

5.    H. E. Timerding, die Fallgesetze. Mit 20 Figuren. 1912.

6.    M. Zacharias, Einführung in die projektive Geometrie. Mit 18 Figuren. 1912.

7.    H. Wieleitner, die sieben Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen. 1912.

8.    P. Meth, Theorie der Planetenbewegung. Mit 17 Figuren. 1912.

9.    A. Witting, Einführung in die Infinitesimalrechnung. Mit 40 Figuren. 1912.

10.    W. Lietzmann und V. Trier, wo steckt der Fehler? Mit 65 Figuren. 1913.

11.    P.Zühlke, Konstruktionen in begrenzter Ebene. Mit 25 Figuren. 1913.

12.    E. Beutel, die Quadratur des Kreises. Mit 15 Figuren. 1913.

13.    Ph. Maennchen, Geheimnisse der Bechenkünstler. 1913.

14.    R. Rothe, darstellende Geometrie des Geländes. Mit Figuren. 1913.

15.    A. Witting und I«. Gebhardt, Beispiele zur Geschichte der Mathematik. Ein rnath.-hist. Lesebuch. Mit 28 Figuren. 1918.

Bus jNatur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen aus allen Gebieten des Wissens

Jeder Band ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich. — Werke, die mehrere Bände umfassen, find auch in einem Band gebunden vorrätig.

Jeder Sand geheftet M. I.—, in Leinwand gebunden M. 1.25

Verzeichnis der bisher erschienenen Bände innerhalb der Wissenschaften alphabetisch geordnet.

AnSTheologie u. Philosophie, Pädagogik u. Bildungswesen erschienen:

Amerikanisches Bildungswefen siehe Techn.

Hochschulen, Universitäten, Volksschule.

Ästhetik. Von Prof. Dr. R. Hamann.

(23b. 345.)

Aufgaben und Ziele des Menschenlebens.

Von Dr. I. Unold. 3. Stuft. (Vd. 12.)

—    siehe auch Ethik.

Vildungswesen, Das deutsche, in seiner geschichtlichen Entwicklung. Bon weil. Prof.

Dr. F r. Paulsen. 3. Aufl. Von Prof.

Dr. W. Münch. Mit Bildn. Paulsens.

(Bd. 100.)

Buddhas Leben und Lehre. Von weil.

Prof. Dr. R.Pischel. 2. Aufl. von Prof.

Dr. H. Luders. Mit ITaf. (Bd. 109.)

Calvin, Johann. Von Pfarrer Dr. G. So-deur. Mit Bildn.    (Bd. 247.)

Christentum. Aus der Werdezeit des Chr.

Studien und Charakteristiken. Von Prof.

Dr. I. G effcken. 2. Aufl. (Bd. 54.)

Christentum und Weltgeschichte. Von Prof.

D. Dr. K. Sell. 2. Bde. (Bd. 297,298.)

—    siehe auch Jesus, Mystik im Christentum.

Deutsches Ringen nach Kraft und Schönheit. Aus den literar. Zeugn, eines Jahrh, gesammelt. Von Turninspekwr K. M ö l -l e r. 2 Bde. Bd. II in Vorb. (Bd. 183,189.)

Einführung in die Philosophie, Theologie siehe Philosophie, Theologie.

Entstehung der Welt und der Erde. Von Prof. Dr. B. Weinstetn. 2.Aufl.^ ^

Erziehung, Moderne, in Haus und Schule.

Von I. Tew s. 2. Aufl. (Bd. 159.)

■— siehe auch Großstadtpädagogik und Schulkämpfe der Gegenwart.

Ethik. Prinzipien der E. Von E. Went-

scher.    (Bd.397.)

— siehe auch Aufgaben und Ziele des Menschenlebens, sittliche Lebensanschauungen, Willensfreiheit. Fortbildungsschulwesen, Das deutsch Dir. Dr. F. Schilling. .(Bo . Fröbel, Friedrich. Leben und Wirken. Von A. v. Portugall. MitöTaf. (Bd 82.)

e. Von . 256.)

Grohstadtpädagogik. Bon I. T^w 8.^ ^

—    siehe auch Erziehung, Moderne, und Schulkämpfe der Gegenwart.

Heidentum siehe Mystik.

Herbarts Lehren und Leben.

Dr. O. Flügel. Mit Bildn. (Bd. 164.) Hilfsschulwesen. Von Rektor Dr. B. M a e n -net.    .    (Bd. 73.)

Hochschulen siehe Techn. Hochschulen und Universitäten.

Hypnotismus und Suggestion. Von Dr.

E. Trömner. 2.Aufl. (Bd. 199.) Jesuiten, Die. Eine histor. Skizze. Von Prof. D. H. B o e h m e r. 3. Aufl. (Bd. 49.) Jesus und seine Zeitgenossen. Geschichtliches und Erbauliches. Von Pastor C. Bonhoff.    (Bd.89.)

—    Wahrheit und Dichtung im Leben Jesu. Von Pfarrer D. Dr. P. Mehlhorn.

2.    Aufl.    (Bd. 137.)

—    Die Gleichnisse Jesu. Zugl. Anleitung zu quellenmäßigem Verständniss der Evangelien. Von Prof. D. Dr. Wei n e l.

3.    Aufl.    (Bd. 46.)

Israelit. Religion. Die Grundzuge der

iirael. Religionsgeschichte. V. weil. Prof. Dr. F r. G i e s e b r e ch t. 2. Aufl. (Bd. 52.) Jugendfürsorge. Von Waisenhausdirektor Dr. J.Petersr». *    lfll>m)

Kant, Immanuel. Darstellung und Würdigung. Von Prof. Dr. O.Külpe. 3. Aufl. Mit Bildn.    (Vd. 140.)

Knabenhandarbeit, Die, in der heutigen Erziehung. Von Sem.-Dir. Dr. A Pap ft. Mit 21 Abb. u. Titelbild. (Bd. 140.) Lehrerbildung siehe Volksschule und Leh-rerbildung der Ver. Staaten.

Oer neueren Forschung. Von Prof. D.H Boeh-3. Ausl. Mit 2 Bildn. 086. 113.)

Von

tot

Luther im Lichte der Ein krit. Bericht mer.

Mädchenschule, Die höhere, in Deutschland. Von Oberlehrerin M. Mart in.

(Bd. 65

Mechanik des Geisteslebens. Bon Prof. Dr. M. Berworn. 3. Aufl. Mit 18 Fig.    (Sb. 200.)

— siehe auch Psychologie.    _

Mission, Die evangelische. Von Pastor S.

B au d er t.    (Bd. 40b.)

Mittelschule siehe Volks- u. Mittelschule. Mystik im Heidentum und Christentum. Bon Prof. Dr. Edv. Lehmann. (Bd. 217.) Mythologie, Germanische. Bon Prof. Dr. I. von Regelet». 2. Aufl. (Bd. 95.)

36 Abb.    (Bd.    260.)

"

Pestalozzi. Leben und Ideen. Von Prof. Dr. P. N a t o r p. 2. Aufl. Mit Bildn. u. Brieffaks.    (

Philosophie, Die. Einführung in die Wissenschaft, ihr Wesen und ihre Probleme. Von Realschuldir. H. Richert 2.Aufl (Bd. jSo )

—    Einführung in die Philosophie. Von

Prof. Dr. R. Richter. 3. Aufl. von Dr. M. Brahn.    (Bd.    ,155.)

—    Führende Denker. Geschichtl. Einleitung

in die ——    —    c*

C oh n.

Technische Hochschulen in Nordamerika.

Pädagogik, Experimentelle, mit Bef. Rücks. auf die Erzieh, durch die Tat. Bon Dr. W. A.Lay. 2.Aufl. Mit2Abb. (Bd. 224.) — siehe auch Erziehung, Großstadtpäd-agogik u. Psychologie des Kindes. Palästina und seine Geschichte. Bon Prof. Dr. H. Frh. v. Soden. 3. Aufl. Mit 2 Karten, 1 Plan u. 6 Ansichten. (Bd. 6.) Palästina und seine Kultur in fünf Jahrtausenden. Von Dr. P. T h o m s e n. Mit 36 Abb.    (Bd. 260.)

(Bd. 309.)

(Bd. 250.)

®®a&l.ro(»bDnl)

—    siehe auch Weltanschauung. Philosophie der Gegenwart, Die, in

Deutschland. Charakteristik ihrer Haupt-richtungen. Von Prof. Dr. O. t

“fiStÄSi SS SSL.

—    siehe auch Pädagogik.

Religion. Die Stellung der R. im GeisteS-ben. Von Lic. Dr. P. Kalweit.

(Bd. 22o.)

—    Religion und Naturwissenschaft in Kampf und Frieden. Ein geschichtl. Rückblick. Von Dr. A. Pfanntuch e. 2. Ausl.

(Bd. 141.)

—    Die relig. Strömungen der Gegen

wart. Von Superintend. D. A. H. Br aafch. 2. Aufl.    (Bd. 66.)

Rousseau. Von Prof. Dr. P. Hensel 2. Aufl. Mit Bildn.    (Bd-180.)

Schopenhauer. Persönlichkeit, Lehre. Bedeutung. Bon Realschuldir. H. Richert. 2. Ausl. Mit Bildn.    (Bd-81.)

Schule siehe Fortbildungsfchulwefen. Hilfsschulwesen, Hochschule, Mädchenschule, Mittelschule, Volksschule und die folgenden Bände.    ^ M

Schulhygiene. Bon Prof. Dr. L. Bur-gerßcitt. 3.Aufl. Mit 33 S;9mv

('VV* V v* 1

SchulkLmpse der Gegrnwart. Vont 3. Zeus. 2.Stuft.    (Sb. 111)

—    siehe auch Erziehung, Moderne, und Grotzstadtpädagogik.

Schulwesen. Geschichte M deutschen Sch. Von Oberrealschuldir. Dr. K. Kna b e.

(Bd. 85.)

Seele des Menschen. Die. Bon Prof. Dr.

1.    Rehmke. 4. Aufl.    (Bd. 36.)

—    siehe auch Psychologie.

Sittliche Lebensanschauungen der Gegenwart. Von weil. Prof. Dr. O. Kirn.

2.    Aufl.    (Bd. 177.)

—    siehe auch Ethik.

@*Äin.6ett- ®0nDr Ä @%a245e)

Student, Der Leipziger, »an 1409 bis 1909. Bon Dr. W. Bruchmuller. Mit 25 $166.    (Sb. 273.)

"EES&Äef"

(Bd. 134.)

—    siehe auch Jesus.

Theologie. Einführung in die Theologie.

Von Pastor M. Cornils. (Bd. 347.) Über Universitäten und Universitätsstudium. Bon Prof. Dr. Th. Ziegler.^

—    siehe auch Student, llnterrichtswesen, Das britfftfie, der Gegen-

r„taBeSOn DbetCeamUlblV-mr29®)

und verwandte Bildungseinrichtungen IN den wichtigsten Kulturländern feit bet

SK£Ä³tt:$®lM,Ä

Volks- und Mittelschule. Die preubischc. Entwicklung und Ziele. Von Geh. Reg.-u. Schulrat Dr. Sachse. (Bd. 43^.) Volksschule und Lehrerbildung der «er» einigten Staaten. Bon Dir. Dr. F. K u o-pers. Mit 48 Abb. u. Sttellnlb.

üeIä ää’

zur Z. Von Dr. (Bd. 430.)

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

Prof. Dr. R- FaLckenberg. (Bd. 56.)

— siehe auch Philosophie.

Aus Sprachkunde, Literaturgeschichte und Kunst erschienen:

Bau und Leben Dir. Prof. Dr. Mit 44 Abb.

(Bd. 288.1

—    siehe auch Shakespeare. Lefsing, Schiller und Theater.

Drama. Das deutsche, des 19. Jahrh. In

tsssÄrÄ»

bels.    (Sb. 51.)

—    siehe auch Hebbel, Hauptmann. Dürer. Albrecht. Von Dr.SR.SBustmann.

Mit 33 Abb.    (Bd. 97.)

's» nr.r?- "AR!

Griechische Kunst. Die Blütezeit der g. K im Spiegel der Reliefsarkophage Eme Einführung in dre griech. Pla)trk. Von Dr. H. Wachtler. Mit 8 Taf. u. 32 Abb.    _    (Bd.272.)

.— siche auch Dekorative Kunst.

. E.

(Bd. 283.)

Haydn, Mozart, Beethoven. Von Prof. . *Dr. C. Krebs. 2. Aufl. Mit Ewn.

Hebbel, Friedrich. Von Prof. Dr. O. W a l -zel. Mit 1 Bildn.    (Bd. 408.)

Ibsen. Björn!»» und ihre Seitgenoffen. Bon weit. Prof. Dr. B. Kahl e. 2. Stuft, von Dr. Morgenstern. Mit 7 Bildn.

(Bd. 193.)

s färb. Tafel.    (Bd. 395.)

Klavier siehe Tasteninstrumente.

Kunst. Deutsche, im »glichen Leben bis

Architektur siehe Baukunst und Renais-sancearchitektur.

Ästhetik. Von Prof. Dr. R. Hamann.

(Bd. 345 ) nst. Von 2. Stuft. (Bd. 68.)

ankunde siehe Abtlg. Technik, aukunst. Deutsche B. im Mittelalter. Bon Prof. Dr. A. Matth aei. 3. Aufl. Mit 29 Abb.    (Bd. 8.)

—    Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter

bis z. Ausg. des 18. Jahrh. Von Prof. Dr. A. Matthaei. Mit 62 Abb. und 3 Tafeln.    (&*>■ 326.)

—    Deutsche Baukunst im 19. Jahrh. Bon Prof. Dr. A. Matthaei. Mt Abb.

(.Bd. 453.)

—    Kultur des Wohnhauses, Die. Von

Reg.-Baumeister a. D. G. Langen. Mit Abb.    (Bd. 434.)

Beethoven siehe Haydn.

Björnson siehe Ibsen.

Dekorative Kunst des Altertums. Von Dr Fr. P o ulsen. Mit Abb. (Bd. 454.) Drama, ^Das. Von Dr. B. Busse. Mit

®b6i:llbStntiIeiumfral⁶b:m)

Bd.IIr Von Versailles bis Weimar.

Harmonium siehe Tasteninstrumente. Hauptmann, Gerhart. Von Prof. Dr Sulger-Gebing. Mit 1 Bildn.

'SMÄSSmSÄlj

Kunst siehe auch Griechische, Ostasiatrsche

Kunstpfiege in Haus und Heimat. Von Superint. N. Bur kn er. 2.Auft- Mit 29 Abb.    (Bd. 77.)

Lessing. V. Dr. C h. S ch r e m p f. (Bd. 403.)

Lyrik. Geschichte der deutschen L. seit Claudius. Bon Dr. H. Spiero. Wd.254.)

—    siehe auch Minnesang und Volkslied.

Maler siehe Impressionismus.

Malerei, Die deutsche, im 19. Jahrh. Von

—    siehe auch Rembrandt. (Bd. 373.)

Michelangelo. Einführung in das Ver-

,'i .Kf

Ml.uel.ng. Den Dr. I. SB- ^eu ln^en

S KchiA-L Musil siehe Haydn, Mozart. Beethoven, Wagner.

—    Die Grundlagen der Tonkunst. Versuch e. genet. Darstellung der al.gem. Mnsiklehre. Von Pros. Dr. H. 9He N ch.

Romantik, Deutsche. Don Prof. Dr. O.

Musikal. Kompositionsformen. Von S. G. Kallenberg. 2 Bde.

Bd. I: Die elementaren Tonverbindnn-gen als Grundlage der Harmmnele^re.

Bd. II: Kontrapunktik und Formenlehre.

Musikal. Romantik. Die Blütezett btt m! R. in Deutschland. Bon Dr. E. I st e l. Mit Silhouette.    08b. 239.)

Mythologie, Germanische. Don ^nn. jDr.

siehe auch Bvlkssage, Deutsche. Novelle siehe Roman.

Orchester. Die Instrumente des Orch.

Prof. Dr. F r. Bolbach. Mit 60

Walzel. 2. Aufl.    (93b. 232.)

Romantik siehe auch Musikal. Romantik. Schiller. Don Prof. Dr. Th. Ziegler.

Mit Bildn. 2. Aufl.    08b. 74.)

Shakespeare und seine Zeit. Don Prof. Dr.

E. Sieper. Mit 3 Taf. u. 3Textabb. 2. Aufl.    (8b. 185.)

Sprachbau. Die Haupttypen des menschlichen S. Bon weil. Prof. Dr. F. N. Ftnck.    (Bb. 268.1

Sprachstämme des Erdkreises. Don weil.

Prof. Dr. F. N. Finck.    (Bb. 267.)

Sprechen. Wie wir sprechen. Don Dr. E.

Don

Abb.

Richter.    (Bb. 354.)

te der Stile on Dr. E.

— siehe auch Rhetorik.

(Bb. 384.) Stile. Die Entwicklungsgeschich

—    Das moderne Orchester in seiner Ent- in der Menden Btnft. D Wicklung. Don Prof. Dr. Fr. Dolbach. Cohn-Wrener. 2 Bde.

Mit Partiturbelsp. u. 3 Taf. (Bd. 308.)    Bd^: Vom Altertum brs zur Gotik

Orgel siehe Tasteninstrumente.    <Mtt 57 Abb.    (Bd.317.)

Ostasiatische Kunst und ihr einstufe auf    Bd. II: Don der Renaissance b.z. Gegen-

Europa. Don Dir. Prof. Dr. R. G r a u l. wart. Mit 31 Abb.    (Bd. 318 )

Mit 49 Abb.    (Bd. 87.) Tasteninstrumente. Klavier, Orgel, Har-

Personennamen, Die deutschen.    Bon Dir.    monium. Das Wesen der    T.    Bon Prof.

A Bähn if ch.    (Bd. 296.)    Dr. O. Bre.    (Bd-325.)

Plastik siehe Griechische Kunst.    Theater. Das. Schauspielhaus und Schau-

Rembrandt. Don Prof. Dr. P. Schub- sprelkunst vom grrech. Altert, bis aut bte rtna Mit 50 Abb.    (Bd. 158.)    Gegenwart. Bon Dr.    Chr.    ® ^e lb be.

Renaissancearchitektur in Italien I. Don    2. Aufl. Mit 18 Abb.    (Bd. ^30 )

Dr P. Frankl. Mit 12 Taf. u. 27 Tonkunst stehe Musik.

Tertabb    (Bd. 381.) Volkslied, Das deutsche, über Wesen und

Rhetorik. Von Dr. @. (Setfeier. I Richt-    Werden deutschen Bolksgesangeo Von

liniert für die Kunst des Sprechens.    Dr. I. W. Brütn:er. 5. Aufl. (Bd. 7.)

2 Aufl    (Bd. 455.) Volkssage,Dtedeutsche.Von Dr. O.Bo ckel.

_ - II. Anweisungen rur Kunst der _    Mythologie. German ''

—    ließe nucsi Svrechen    Wagner. Das Kunstwerk Richard WagnerS

Raman Der franrönlche Roman und die Von Dr. E.Jste l Mit Bildn. (Bd. 330.) ^Novelle. Von O Flake. 08b.377.) — siche auch Musikal. Romantik.

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

Aus Kultur, Geschichte u. Geographie, Recht u. Wirtschaft erschienen:

Angestellte siehe Kaufmännische A.

Haushofer.

Alpen, Die. Bon H. Retshauer .Mit 26 Abb. u. 2 Karten.    (Bd. 276.)

Altertum, Das. int Leben der Gegenwart.

Von Prof. Dr. P. (Sauer. (Bd. 356.) Amerika. Geschichte der Vereinigten Staaten von A. Bon Prof. Dr. E. D^e n^U.

—    Aus dem amerikan. Wirtschaftsleben.

Von Prof. I. L. L a u g h l i n. Mit 9 graph. Darstellungen .    (Bd.127.)

—    siehe ferner Lehrerbildung, Volksschule. Techn. Hochschulen. Universitäten Amerikas in Abtlg. Bttdnngswcsen.

Amerikaner, Die. Von N- M. Butler. Deutsch von Prof. Dr. W.Pas Skowskl.

(Bd. 319.)

Antike Wirtschaftsgeschichte. Do^Dr.^O.

Arbeiterschulz und Arbeiterversicherung. Von Prof. O. v. Zwiedineck - Süden-h orst. 2. Aufl.    (Bd. 78.)

— siehe auch soziale Bewegung. Australien und Neuseeland. Banb, Leute und Wirtschaft. Bon Prof. Dr N Sch ach n er.    (Bd.    366.)

Bauernhaus. Kulturgeschichte des deutschen B. Bon Reg.-Baumeister Chr. Ran ck. 2. Aufl. Mit    70    Abb.    (Bd.    121.)

Bauernstand. Geschichte des deutschen B. Bon Prof. Dr. H. Gerdes. Mit 21 Abb.    (Bd.    320.)

BevölkerungSlehre. %on Prof. Dr. M-

Jeder Banb geh. je TB. 1.- HUS Udtur Ult6 Geisteswelt 3« Leinw. geb. je M. 1.25 Rus Kultur, Geschichte und Geographie, Recht und Wirtschaft

Buch. Wie ein Buch entsteht. Von Prof. A. W. Un g er. 3. Ausl. Mit 7 Taf. u. 26 Abb.    (93b. 175.)

—    Das Buchgewerbe und die Kultur.

6 Vorträge, gehalten i. A. des Teutschen Buchgewerbevereins.MitlAbb. (93b. 182.)

—    siehe auch Schrift- und Buchwesen. Byzantinische Charakterköpfe. Von Privat-

doz Dr. K. Dieterich. Mit 2 Bildn.

(93b. 244.)

harakterbilder aus deutscher Geschichte siehe Von Luther zu Bismarck.

Deutsch: Deutsches Bauernhaus s. Bauernhaus.— Deutscher Bauernstand s.Bauern-stand. — Deutsches Dorf f. Dorf. — Deutsche Einheit s. Vom Bund zum Reich.

—    Deutsches Frauenleben s. Frauenlebeu.

—    Deutsche Geschichte f. Geschichte. — Deutscher Handel s. Handel .— Deutsches Haus s. Haus. — Deutsche Kolonien s. Kolonien. — Deutsche Landwirtschaft L Landwirtschaft. — Deutsche Reichsversicherung s. Reichsversicherung. — Deutsche Schrffahrt s. Schiffahrt. — Deutsches Schulwesen s. Schulwesen. — Deutsche Städte s. Städte. — Deutsche Verfassung, Verfassungsrecht s. Verfassung, Verfassungsrecht. — Deutsche Volksfeste, Volksstämme, Volkstrachten f. Volksfeste usw.

—    Deutsches Weidwerk f. Weidwerk.— Deutsches Wirtschaftsleben s. Wirtschaftsleben. — Deutsches Zivilprozeßrecht ). Zivilprozeßrecht.

Deutschtum im Ausland, Das. Von Prof.

Dr. R. Hoeniger.    (Bd. 402.)

Dorf, Das deutsche. Von R. Mielke.

2. Aufl. Mit 51 Abb.    (Bd. 192.)

Ehe und Eherecht. Von Prof. Dr. L.

Wahrmund.    (93b.    115.)

Eisenbahnwesen. Das. Von Eisenbahnbau-u. Betriebsinsp. a. D. Biedermann. 2. Ausl. Mit Abbildgn.    (Bd-    144.)

—    siehe auch Verkehrsentwicklung in Deutschland 1800/1900.

Englands Weltmacht in ihrer Entwicklung vom 17. Jahrhundert bis aus unsere Tage. Von Prof. Dr. W. Langen-beck. 2. Stuft Mit 19 Bildn. (Bd, 174.) Entdeckungen, Das Zeitalter der. Von Pros. Dr. S. Günther. 3. Stuft Mit 1 Welt-karte.    (Bd. 26.)

Erbrecht. Testamentserrichtung und E. Von Prof. Dr. F. Leonhard. (Bd. 429.) Familienforschung. Von Dr. E. De-Orient.    (Bd.    350.)

ern'mia,,nnWaf(- ®°" W°f' öBb.%ij Frauenarbeit. Ein Problem des Kapitalismus. Von Prof. Dr. R- W i l b r a n d t.

(93b. 106.)

Frauenbewegung, Die moderne. Ein geschichtlicher Überblick. Von Dr. K. S ch i r -macher. 2. Ausl.    (Bd. 67.)

Friedensbewegung, Die moderne. Von A. H.

Fried.    (Bd.    157.)

Friedrich der Große. Sechs Vorträge. Von Prof. Dr. T h. B i t t e r a u f. 2. Ausl. Mit 2 Bildnissen.    (Bd.    246.)

Gartenkunst. Geschichte d. G. Bon Reg.-Baumeifter Chr. Ranck. Mit 419106.

(93b. 274.)

—    siehe auch Abt. Naturwissensch. (Blumen u. Pflanzen.)

Gartenstadtbewegung, Die. Von General-sekr. H. Kampfmeyer. Mit 45 Abb. 2. Auf!.    (Bd.    239.)

Geld. Das, und sein Gebrauch. Von G. Maier.    (Bd.    398.)

—    siehe auch Münze.

Germanische Kultur in der Urzeit. Von Prof. Dr. G. Steinhaufen. 2. Aufl. Mit 13 Abb.    (Bd. 75.)

Geschichte. Deutsche siehe Von Luther zu Bismarck, Friedrich der Große, Restauration u. Revolution, Revolution (1848), Reaktion u. neue Ära, Vom Bund zum Reich, Moltke.

Gewerblicher Rechtsschutz in Deutschland. Von Patentanw. B. T o l k s d o r f.

(Bd. 138.)

Griechische Städte. Kulturbilder aus gr. St. Von Oberlehrer Dr. E. Ziebarth. 2. Aufl. Mit 23 Abb. u. 2 Tafeln.

(Bd. 131.)

Handel. Geschichte des Welthandels. Von Prof. Dr. M. G. Schmidt. 2. Aufl.

(93b. 118.)

—    Geschichte des deutschen Handels. Von Prof. Dr. W. Langen beck. (93b. 237.)

Handwerk, Das deutsche, in seiner kultnr-

Haus, Das deutsche, und sein Hausrat. Von Prof. Dr. R. Meringer. Mit 106 Abb.    (Bd. 116.)

Holland siehe Städtebilder, Historische. Hotelwesen. Bon P. Damm-Etienne.

Mit 30 Abb.    (Bd. 331.)

Japaner, Die, in der Weltwirtschaft. Von Prof. Dr. R a th g e n. 2. Aufl. (Bd. 72.)

³!!?.i%n'§Ä⁶i!t03rlur-Ä9f)

Internationale Leben, Das, der Gegenwart. Von A. H. Fried. Mit 1 Tafel.

(Bo. ££o.)

Juris»r»den, im häuslichen Leben. Sur Familie und Haushalt dargestellt. Bon Rechtsanw. P. Bi-nengraher. 2J)be.

Kaufmann. Das Recht des K. Von Rechts-antoalt Dr. M. Strauß. (Sjb. 409.) Kaufmännische Angestellte. Das Recht der t. A. Von Rechtsanw. Dr. M. Strau ft.

(Bd. dol.)

(Bd. 292.) (Bd. 293.)

63 Abb. 085.91.)

Ostmark, Die. Eine Einführung in die Probleme ihrer Wirtschaftsgeschichte. Von Prof. Dr W. Mitscherlich. (Bd. 351.) Ostseegebiet. Von Privatdozent Dr. G.

Braun.    (Bd. 367.)

Palästina und seine Geschichte. Von Prof. Dr. H. Freiherr von Soden. 3. Ausl. Mit 2 Karten, IPlan und 6 Ansichten.

(Bd. 6.)

Palästina und seine Kultur in fünf Jahrtausenden. Bon Ghmnasialoberlehrer Dr. P. Thomsen. Mit 36 Abb. (Bd.260.) Polarforschung. Geschichte der Entdeckungsreisen zum Nord- und Südpol von den ältesten Zeiten bis zur Gegenwart. Von Prof. Dr. K. Hassert. 2.Auft^ Mit

Kolonien, Die deutschen. (Land und Leute.) Von Dr. A. Heilborn. 3.Aufl. Mit 26 Abb. u. 2 Karten.    (Bd. 98.)

—    Unsere Schutzgebiete nach ihren wirt-

•— Vom Kriegswesen im 19. Jahrhundert. Bon Major O. v. S o t h e n. Mit 9 Übersichtskarten.    (Bd.59.)

-— siehe auch Seekrieg.

Landwirtschaft, Die deutsche. Von Dr. W. Ela aßen. Mit 15 Abb. und^Karw.

Miete, Die, nach dem BGB. Ein Handbüchlein für Juristen, Mieter und Vermieter. VonRechtsanw. Dr.M. Strauß (Bd. 194.)

Mittelalterliche Kulturideale. Von Prof. Dr. V. Vedel. 2 Bde.

Bd. I: Heldenleben.

Bd. II: Ritterromantik. Mittelstandsbewegung, Die moderne. Von Dr. L. Müffelman n. (Bd. 417.) Moltke. Von Kaiserl. Ottoman. Major im Generalstab F. C. E n d r e s. Mit Bildn.

(Bd. 415.)

Münze, Die, als historisches Denkmal sowie ihre Bedeutung im Rechts- und Wirtschaftsleben. Von Prof. Dr. A. Lu-sch in v. Ebengreuth. Mit

—    siehe auch Geld.

NapoleonI. Von Prof. Dr. Th. Bitter-

a it f. 2. Aufl. Mit Bildn. (Bd. 195.) Organisation. Die wirtschaftliche. Von Privatdozent Dr. E. Lederer. (Bd. 428.) Orient, Der. Eine Länderkunde. Von E. Banse. 3 Bde.

Bd. I: Die Atlasländer. Marokko, Mge-rien, Tunesien. Mit 15 Abb., 10 Kartenskizzen, 3 Diagrammen u.^ Tafel.

Bd. II: Der arabische Orient. Mit 29 Abb. und 7 Diagrammen. (Bd. 278.) Bd. III: Der arische Orient. Mit 34 Abb., 3 Kartenskizzen und 2 Diagrammen.    (930.279.)

Österreich. Geschichte der auswärtigen Politik Österreichs im 19. Jahrhundert. Von

R. C h a r m a tz.    (Bd. 3 74.)

Österreichs innere Geschichte von 1848 bis 1907. Von R. C har matz. 2 Bande.

Bd^I^Die Vorherrschaft der putschen

Bd. II: Der Kampf d. Nationen. (Bd. 243.)

6 Karten.

Politische Geographie. Von Dr. E. S ch ö n e.

(Bd. 353.)

Politische Hauptströmungen in Europa im 19. Jahrhundert. Von Prof. Dr. K. T h. b. Seiflel. 2.Ausl.    (8b. 129.)

Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien. Von Prof. Dr. F r. v. D u h n. 2. Aufl. Mit 62 Abb.    (Bd. 114.)

Postwesen, Das. Entwicklung und Bedeutg. Bon Postrat I. Bruns. (Bd. 165 )

Primitive. Die geistige Kultur der P. Bon Prof. Dr. K. Th. Preuß. (Bd. 452.)

Reaktion und neue Ära. Skizzen zur Entwicklungsgeschichte der Gegenwart. Bon Prof. Dr. R. Schwemer. 2-JlufL^ ^

Recht siehe Eherecht, Erbrecht, Gewerbl. Rechtsschutz, Jurisprudenz, Kaufmann. Kaufmänn. Angestellte, Urheberrecht. Verbrechen, Verfassungsrecht, Wahlrecht, Zr-vilprozeßrecht.    m L _

Rechtsprobleme, Moderne. Bon Prof. Dr. I. Köhler. 3.Aufl.    (Bd. 128.)

Reichsversicherung, Die. Tue Kranken-, Invaliden-, Hinterbliebenen-, Unfall- und Angestelltenversicherung nach der Reichsversicherungsordnung u. dem Berrrche-rungsgesetz für Angestellte. Bon Landes-versicherungsassessor H. Seelmann.

(2ÖO. Oov./

Restauration und Revolution. Skizzen zur Entwicklungsgeschichte der deutschen Einheit. Von Prof. Dr. R. S ch wem e r 3 Aufl.    (Bd. 37.)

Revolution. Geschichte der Französischen R. Von Pros. Dr. Th. 8iHerauf (Bd. 346.)

—    1848. Sechs Vorträge. Don Prof. Dr.

O. Weber. 2. Ausl.    (Bd. 53.)

Rom. Das alte Rom. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. O. Richter. Mit Bilderanhang u. 4 Plänen.    (Bd. 386.)

—    Soziale Kampfe im alten Rom. Von Privatdoz. Dr. L. Bloch. 3. Aufl.

(»vD • E* *a • /

—    Roms Kampf um die Weltherrschaft: Bon Prof. Dr. Kromayer. .(Bd. 368.)

Testamentserrichtung und Erbrecht. Von Prof. Dr. F. Leonhard. (Bd. 429.) Theater. DaS. Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griech. Altertum bis auf die Gegenw. Bon Dr. Chr. Gaehde. 2. Aufl. Mit 18 Abb.    (93b. 230.)

(Sb. 80.)

Schiffa^t, Deutsche, intb Sc^iffahrtspolittk

xlu£QCmaiCt ®0U r° '(93bri69.) Schrift- und Buchwesen in alter und neuer

Dr- ⁰-a8ei|e'³(Ä

—    siehe auch Buch.

Schulwesen. Geschichte des deutschen Schulwesens. Bon Oberrealschuldir. Dr. K Knabe.    (Sb. 85.)

Seekrieg. Eine geschichtl. Entwicklung vorn Zeitalter ber Entdeckungen bis zur Gegenwart. Bon K. Freiherrn v. M a l tz a h n , Vizeadmiral a. D.    (Bd. 99.)

—    Das Kriegsschiff. Von Geh. Marinebaurat Krieger. Mit 60 Abb. (Bd. 389.)

—    siehe Krieg.

Soziale Bewegungen und Theorien bis zur modernen Arbeiterbewegung. Bon

G. Maier. 4. Aufl.    (Bd. 2.)

—    siehe auch Arbeiterschutz und Arbeiterversicherung.

Soziale Kämpfe im alten Rom siehe Rom.

Sozialismus. Geschichte der sozialistischen Ideen im 19. Jahrh. Bon Prrvatdoz. Dr. Fr. Mückle. 2 Bde..

Band I: Der rationale Sozialismus^ ^

Band II: Proudhon und der entwicklungsgeschichtliche Sozialismus. (Bd. 270.)

Städte. Die. Geographisch betrachtet. Von Prof. Dr. K. Hassert. 3JWJ1 Abb.

—    Deutsche Städte und Bürger im Mit

telalter. Von Prof. Dr. 93. Heil. 3. Aufl. Mit zahlr. Abb. u. 1 Doppel-tafel.    (Bd. 43.)

—    Historische Städtebilder aus Holland und Niederdeutschland. Bon Reg.-Bau-meister a. D. A. E r b e. Mit 59 Abb.

(vv* 1 1 • • )

—    siehe auch Griechische Stäbte, ferner Pompeji, Rom,

Statiftil. Bon Prof, Dr. ©. SÄcU^

Strafe und Verbrechen. Bo» Dr, P^o^

Student. Der Leipziger, »o» 1409 bis 1909. Bon Dr. W. Bruch muller Mit 25 Abb.    (Sb. 273.)

Über Universitäten n. Nniversitätsstudium V. Prof. Dr. Th. Ziegler. (93b. 411.) — siehe auch Student, Der Leipziger. Urheberrecht. Das Recht an Schrift- und Kunstwerken. Bon Rechtsanwalt Dr. R. Mothes.    (Bd. 435.)

Verbrechen. Strafe und V. Bon Dr. P.

Pollitz.    (Bd. 323.)

Verbrechen und Aberglaube. Skizzen aus der volkskundlichen Kriminalistik. Von Dr. A. Hellwig.    (93b.212.)

Verbrecher. Die Psychologie des V. Von Dr. P. Pollitz. Mit 5 Diagrammen.

(93b. 248.)

Verfassung. Grundzüge der V. des Deutschen Reiches. Bon Prof. Dr. E. Loe-ning. 4. Aufl.    (Bd. 34.)

Verfassungsrecht. Deutsches, in geschichtlicher Entwicklung. Von Prof. Dr. Ed. H u brich. 2. Aufl.

Verkehrsentwicklung in Deutschland. 1800 bis 1900 (fortgeführt bis zur Gegenwart). Vorträge über Deutschlands Eisenbahnen und Binnenwasserstraßen, ihre Entwicklung und Verwaltung sowie ihre Bedeutung für die heutige Volkswirtschaft. Von Prof. Dr. W.

—    siehe auch Eisenbahnwesen. Versicherungswesen. Grundzüge des V.

Von Prof. Dr. A. Mane s.    ^

—    siehe auch Arbei.terschutz und Arbeiterversicherung und 'Reichsversicherung.

Volksfeste und Volkssitten. Deutsche. Von H. S. Nehm. Mit 11 Abb. 08b. 214.) Volksstämme. Die deutschen, und Landschaften. Von Prof. Dr. O. We rse 4. Aufl. Mit 29 Abb.    (Bd. 16.)

Volkstrachten. Deutsche. Von Pfarrer C. Spieß.    (Bd. 342.)

—    siehe auch Deutsche Volksfeste usw. Vom Bund zum Reich. Neue Skizzen zur

Entwicklungsgeschichte der deutschen Ern-

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D, ©. Webet. 2

®^ÖÄ?n⁵- ®°" *Ca'U1A°)

Weidwerk, Das deutsche.    Bon    G. Frh.

v. Nordenflycht.    (Bd. 43b.)

Welthandel siehe Handel.

»WÄ Ä

von Prof. Dr. K. Dove.    (93b. 122.)

irtschaftsleben, Deutsches. Auf geographischer Grundlage geschildert. Bon wert. Prof. Dr. Chr. Gr über. 3. Aufl. Neubearb. von Dr. H. Neinlein.

wirtschaft. Bon Prof. Dr. P. A rn b ü 2 Ausl.    (Bd. 179.)

Wirtschaftliche Organisation, Dre. Bon Privatdozent Dr. E. Lederer.

(Bd. 428.)

Wirtschaftsgeschichte siehe Antike Wirtschaftsgeschichte.

Zeitungswesen. Bon

(Bd. 42.)

Dr. H. Diez.

(Bd. 328.) Bon Rechts-(Bd. 315.)

— Die Entwicklung des deutschen Wirtschaftslebens im letzten Jahrhundert. Bon Prof. Dr. L. Pohle. 3.    ^

— Deutschlands Stellung in der. Welt-Wichtige Gebiete der Volkswirtschaft sind auch in der Abteilung Naturwissenschaft und Technik behandelt unter den Stichwörtern: Automobil, Bierbrauerei, Bilder aus der chem. Technik, Eisenbahnwesen, Eisenhüttenwesen, Elektr. Kraftübertragung, Gartenstadtbewegung, Jngenieurtechnik, Kaffee, Kakao, Kinematographie, Kohlen. Landwrrt-schaftl. Maschinen. Metalle, Patente. Salz. Schmucksteine. Spinnerei, Straßenbahnen.

Tabak, Tee, Wald, Wasserkraftmaschinen, Weinbau.

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

«US Mathematik, Naturwissenschaften, Medizin u. Technik erschienen:

A^rglaube, Der.^ ^^^^edizur seine Prof. Dr. D. v. Hanseman n. 2.^Aufl.

I.    Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. 2. Aufl. Mit S Fm.

Abstammungs- und Vererbungslehre, Ex-

S*Ä *•" °' ° ⁵‘Älm

Fig.    (Bd. 39.)

Agrikulturchcmie. Von Dr. P. Krische.

Mit 21 Abb.    (Bd. 314.)

Algebra siehe Arithmetik.

«lkoholismus, Der. Von Dr. G. B. Gru-b e r. Mit 7 Abb.    (Bd. 103 )

Ameisen, Die. Von Dr. Fr. Knauer Mit 61 Fig.    (Bd. 94.)

Anatomie des Menschen, Die. Von Prof. Dr. K.v. Bar de leben. 6 Bde. 2. Aufl.

I.    Teil: Zellen- und Gewebelehre. Ent

wicklungsgeschichte der Körper als ©an* zes. Mit 70 Abb.    (Bd. 418.)

II.    Teil: Das Skelett. Mit ⁵³Jlbbbj19 }

in. Teil: Das Muskel- und Gefäßsystem.

Mit 68 Abb.    (Bd. 420 )

IV. Teil: Die Eingeweide (Darm-, At-mungs-, Harn- und Geschlechtsorgane).

V^l^Nervensyftem und Sinnesorgane.

VI^Te???'Statik und Mechanik des menschlichen Körpers. Mit ^Abb.^ }

agaRuii5,8?₈flS- Son *•*' Srnmz& Arithmetik und Algebra zum Selbstunter-richt. Bon Prof. Dr. P. Crantz. 2 Bde.

1 * V* z

II.    Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszrns- mtb

’gjfe'ÄÄS'.’K'r Äfffi

Arzt. Der. Seine Stellung und Aufgaben im Kulturleben der Gegenw. Ern Lert-

mmn- $onÄbj

Astronomie. Probleme der moderne« «str. Bon Prof. Dr. S. Oppenheim. M>r 11 Fig.    (Bd. 355.)

— Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von Bros. Dr. A. Marcuse. Mit 26 Abb. (Bd.378.) — siehe auch Weltall. Weltbrld, Sonne.

Mond, Planeten.    ^

Atome. Moleküle — Atome — Weltäther. Von Prof. Dr. G. Mre. 3. Auft. Mrt 27 Fig.    (Bd.58.)

Auge des Menschen. Das, und seine Ge-

88« Ä *”'■ «M;

Auge, Das, und die Brille. Von Dr. W » Rohr. Mit 84 Abb. und I

Automobstl^Das. Eine Einführung in Bau und Betrieb des modernen Kraft-Wagens. Bon Ingenieur K. B lau. 2. Aufl. Mit 86 Abb. u. 1 Xit^rbj66}

Bakterien. Die. im Kreislauf des Stoffes Chemie. Einführung in die chemische Wrs-in der Natur und im Haushalt des senschaft. Bon Prof. Dr. W. Lob. Mrt Menschen. Von Prof. Dr. E. Gutzeit. 16 Figuren.    (S3b.264.)

Mit 13 Abb.    (Bd. 233.) — Bilder aus der chemischen Technrt.

—    Die krankheiterregenden Bakterien. Von Don Dr. A. Müller. Mrt 24 Abb. ffE-ent Dr. M. SoeSinn^SlU 6f)em|e #st(#e unS 5au3. 4on Weit.

«°u und Tätigkeit »cs menschlich»» Kör- J^Kl e?n.^Mtt 1 Doppelt^' (Bd. 76.)

Dr-    me?e"Ä

Baukunde. Das Wohnhaus. Von Reg.- Mit 15 Fig.    (Bd. 286.)

Baumeister a. D. G. Langen. 2 Bde. Chirurgie, Die, unserer Zeit. Von Pros. Mit Abb.    Dr. Feßler. Mit 52 Abb. (Bd. 339.)

Bd. I: Sein technischer Aufbau. (Bd. 444.) Dampfkessel siehe Dampfmaschine! und Bd. II: Seine Anlage und Ausgestaltung. Feuerungsanlagen.

(Bd. 445.) Dampfmaschine, Die. 2 Bde. I: Wir-

—    Eisenbetonbau, Der. Von Dipl.-Jng. tungsweise des Dampfes in Kessel und

E. Haimovici. 81 Abb.    (Bd.    275.)    Maschine. Bon Geh.    Bergrat Prof. R>

Baukunst siehe Abtlg. Kunst.    Vater. Z.Aufl. Mit45Abb. (Bd. 393.)

Befruchtungsvorgang. Der. sein Wesen und — H: Ihre Gestaltung und ihre Ver-seine Bedeutung. Bon Dr.    E, Teich-    Wendung. Bon Geh.    Bergrat Pros. R.

mann.

peltaseln.

2 Ausl. Mit 7 Abb.    und 4    Dop*-    Vater. Mrt 95 Abb.    u. 1 Das. (Bd. 394.)

(Bd. 70.) Darwinismus. Abstammungslehre und D. Beleuchtungsarten, Die, der Gegenwart. Bon Prof. Dr. R. Hesse. 4.5lufl. Mrt Von Dr. H. Lux. Mit Abb. (Bd. 108.)    37 Frg.    (Bd.39.)

Bierbrauerei. Von Dr. A. Bau. Mit Dttfercntial- u. Integralrechnung Von

«Moäcmt'f Einführung In die ^ ^Soii Drähte lind Kabel, ihre Anfertigung und ®$$WDr. MoT    <Bd. 352.1    ö“¹ ö U tf" Mit

Biologie. Experimentelle. Von Dr. C. 43'M^    ($8b.285.)

Sb.!: E/p°rLnt^Z-lls^rfchung ^'u'^BL1^7inkp?tt°ka.^KB°kd'7:

Band II: Regcneration. Transplaniation -JPfltf,?' au^mün^u^&ttaienbabnen! und verwandte Gebrete. (Bd. 337.) Berkehrsentwicklung.

Biologie siehe auch Abstammungslehre. Eifenbetonblpr. Von Dipl.-Jng. E. Hai-Befruchtunasvorgang. Erscheinungen des moviei. Mit 81 Abb. (Bd.275.) Lebens, Lebewesen. Organismen. Mensch Eisenhüttenwesen. Bon weil. Geh. Bergrat und Tier.    Prof. Dr. H. Wedding. 4. Aufl. von

Blumen. Unsere Bl. und Pflanzen im Bergreferendar F. W. Weddrng. Mrt 15 Garten. Bon Prof. Dr. U. Dämmer. Fig.    (^.20.)

Mit 69 Abb.    (Bd. 360.) Eiszeit, Die, und der vorgeschrchtlrche

Abb.

"IhÄrVt’Ä,¹;Ml: 8“ist

lut. Herz, Blutgefäße und Blut und

Botanik siehe Kolonialbotanik, Blumen, Kulturpflanzen.

Brauerei. Die Bierbrauerei. Von Dr. A.

Bau. Mit 47 Abb.    (Bd. 333.)

Brille. Das Auge und die Br. Bon Dr. M. v. R o h r. Mrt 84 Abb. und 1 Lichtdrucktafel.    (Bd. 372.)

Buch.

A. W und

—• siehe auch Abt. Kultur (Buchgewerbe, Schrift- u. Buchwesen).

Elektrochemie. Bon Prof. Dr. K. Arndt.

Mit 38 Abb.    (Bd. 234.)

eie»

und Kabel,

Elektrotechnik. Grundlagen der E. Bon Dr. A. Rotth. Mit 72 Abb. (Bd.A91.) - siehe auch Drähte graphie.

Energie. Die Lehre von der E. Von Dr.

26 Abb.    (Bd. 175.)

(Bd. 19.)

TrsSÄ? L"K:». 18

A. Stein. Mit 13 Fig. 08b.257.) Ernährung und Volksnahrunasmittel. Bon weil. Prof. Dr. I. § xt nie l. 2. «ufl. Neu bearbeitet von Geh.-Rat Prof. Dr.

N. Zuntz. Mit 7 Abb. und 2 Tafeln.

und

Farben siehe Licht.

Feuerungsanlagen. Industrielle, u. Dampfkessel. Bon Ingenieur I. E. Mayer. Mit 88 Abb.    (Bd. 348.)

Funkentelegraphie. Don Oberpostpraktikant

H. Th urn. Mit 53 Jllustr. 2.Ausl.

(Bd. 167.)

Garten siehe Blumen, Pflanzen. Gartenkunst. Geschichte der G.

Baumeister Chr. Ranck. Mit 41 Abb.

08b. 274.)

Gartenstadtbewegung. Die. Bon Generalsekretär H. Kampffmeyer. Mit 43 Abb. 2. Ausl.    (Bd. 259.)

Gebiß, Das menschliche, seine Erkrankung und Pflege. Bon Zahnarzt Fr. Jäger. Mit 24 Abb.    (Bd. 229.)

Geisteskrankheiten. Bon Anstaltsoberarzt Dr. G. Jlberg.    (Bd.    151.)

Genußmittel siehe Kaffee. Tee, Kakao, Tabak, Arzneimittel u. Genußmittel. Geologie. Aus der Vorzeit der Erde. Bon Prof Dr. Fr. Fr ech. 2. Ausl.

Dd.IV: Die Arbeit des Ozeans und die chemische Tätigkeit des Wassers im allgemeinen. Mit 1 Titelbild und 51 Abb.

(Bd. 210.)

Bd. V: Kohlenbildung und Klima der Borzeit. 49 Abb. u. 1 Titelbild.

08b. 211.)

Dd. VI: Gletscher einst und jetzt. Mit 1 Titelbild und 65 Abb. 08b. 61.) Geschlechtskrankheiten, ihr Wesen, ihre Verbreitung, Bekämpfung und Verhütung. Bon Generalarzt Prof. Dr. W. S ch u m -bürg. 2. Aufl. Mit 4Abb. und 1 Tafel.

(Bd. 251.)

Gesundheitslehre. Acht Vorträge aus der

G.    Bon wert. Prof. Dr. H. Büchner.

4. Aufl. besorgt von Prof. Dr. M. von ©ruber. Mit 26 Abb.    (Bd. 1.)

Gesnndheitslehre für Frauen. Bon Pros.

Dr. Opitz. Mit Abb. (Bd. 171.) Getreidegräser siehe Kulturpflanzen. Graphische Darstellung, Die. Bon Prof.

Hebezeuge. Das Heben fester, flüssiger und luftförmiger Körper. Bon Geh. Bergrat Prof. R. B a t e r. Mit 67 Abb. (Bd. 196.)

Heilwissenschaft, Die moderne. Wesen

Grenzen des ärztlichen Wissens. Bon Dr. E. Biernacki. Deutsch von Dr.

S. Ebel.    (Bd.25.)

Heizung und Lüftung. Bon Ingenieur I. E. Mayer. Mit 40 Abb. 08b.241.) Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Bon Prof. Dr. H Rosi n. Mit 18 Abb.    (Bd.    312 )

Hüttenwesen siehe Eisenhüttenwesen. Hypnotismus und Suggestion. Bon Dr.

E. Trömner. 2.Ausl. (Bd. 199.) Infinitesimalrechnung. Einführung in die I. mit einer historischen Übersicht. Bon Prof. Dr. G. Kowalewski. 2. Ausl. Mit 18 Fig.    (Sb.    197.)

Jngenieurtechnik. Bilder aus der I. Bon Baurat K. Merckel. Mit 43 Abb.

(Bd. 60.)

— Schöpfungen der Jngenieurtechnik der Neuzeit. Bon Geh. Regierungsrat M. Geitel. Mit Abb.    (Bd.    28.)

Kabel. Drähte und K., ihre Anfertigung und Anwendung in der Elektrotechnik. Bon Telegrapheninspektor H. B r i ck Mit 43 Abb.    (Bd.    285.)

Kaffee. Tee, Kakao und die übrigen narkotischen Getränke. Bon Prof. Dr. A. Wieler. Mit 24 Abb. und 1 Karte.

08b. 132)

Korallen und andere gesteinbildende Tiere. Von Prof. Dr. W. May. Mit 45Abb.

(Bd. 321.)

Kraftanlagen siehe Feuerungsanlagen und Dampfkessel, Elektr. Kraftübertragung, Dampfmaschine, Wärmekraftmaschine.

Kraftmaschinen siehe Wärmekraftmaschine, Wasserkraftmaschme.

■siasns««;

Krankenpflege. Bon Chefarzt Dr. B. Le ick (Bd. lo<2.)

Kriegsschiff, Das. Von Geh. Marinebaurat Kt ieg er. Mit 60 Abb. (Bd. 389 )

Küche siehe Chemie in Küche und Haus.

Kulturpflanzen. Unsere wichtigsten K. (die Getreidegräser). Von Pros. Dr. K- Gre-senhagen. 2.Aufl. 36 ^g.

Landwirtschaftliche Maschinenkunde. Prof. Dr. G. Fischer. Mit 62

Mensch. Der vorgeschichtliche, siehe Eiszeit. Mensch und Erde. Skizzen von den Wechselbeziehungen zwischen beiden. Von weil. Pros. Dr. A. Kirchhofs. 3.Ausl. ^ ^

Mensch und Tier. Der Kampf zwischen Mensch und Tier. Von Pros. Dr K-Eckstein. 2. Ausl. Mit 51 Fig. (Bd. 18 ) Menschlicher Körper. Bau und Tätigkeit des menschl. K. Bon Prof.

Sachs. 3. Ausl. Mit 37 Abb. ____

— siehe auch Anatomie, Blut, Herz, Nervensystem, Sinne, Verbildungen.

Metalle. Die. Von Prof. Dr. K. Scheid. 3. Ausl. Mit 16 Abb.    ‘

Von Dr.

(Bd. 141.)

Bon

Abb.

(Bd.316.)

Lebewesen. Die Beziehungen der L. zueinander. Von Prof. Dr. K. Kraepe-lin. Mit Abb.

--1. Der Tiere zueinander. (Bd. 426.)

--II. Der Pflanzen zueinander und zu

den Tieren.    (Bd. 427.)

•— siehe Organismen, Biologie.

Leibesübungen. Die, und ihre Bedeutung für die Gesundheit. Von Prof. Dr. R. Zander.3. Ausl. Mit 19Ab». (Bd. 13.)

Licht, Das, und die Farben. Von Prot. Dr. L. Graetz. 3. Ausl. Mit 117 Abb.

(Bd. 17.)

Luft, Wasser, Licht und Wärme. Neun Vorträge aus dem Gebiete der Experi-mentalchemie. Bon Prof. Dr. R. Blo ch-mann. 4. Ausl. Mit 115 Abb. (Bd. 5.)

Luftfahrt, Die, ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre technische Entwicklung. Von Dr. R. Nim führ. 3.Aufl. von Dr. Fr. Huth. Mit zahlr. Abb.

08b. 300.)

Luftstickstoff, Der, und seine Verwertung. Von Prof. Dr. K. Kaiser. Mit 13 Abb.    (Bd. 313.)

Lüftung. Heizung und L. Bon Ingenieur

I. E. Mayer. Mit 40 Abb. (Bd.241.)

Maschinen siehe Hebezeuge, Dampfmaschv-ne, Wärmekraftmaschine, Wasserkraftmaschine und die folg. Bände.

Maschinenelemente. Bon Geh.Bergrat Prof. R. Vater. Mit 184 Abb. (Bd. 301.)

Maschinenkunde siehe Landwirtschaft!. Maschinenkunde.

Matze und Messen. Bon Dr. W. Block. Mit 34 Abb.    (Bd.    385.)

Mathematik, Praktische. Von Dr. R. Neuen d o r f f. I. Teil: Graphisches u. numerisches Rechnen. Mit 62 Fig. u. 1 Tafel.    (Bd.    341.)

Mathematik. Naturwissenschaften und M. im klassischen Altertum. Von Prof. Dr. Joh. L. Heiberg.    (Bd.    376.)

Mathematische Spiele. Bon Dr. W. Ah-rens. 2.Ausl. Mit 70 Fig. (Bd. 170.)

Mechanik. Von Kais. Geh. Reg.-Rat A. v. I Hering. 2 Bde.

Bd. I: Die Mechanik der festen Körper. Mit 61 Abb.    (Bd.    303.)

Bd. II: Die Mechanik der flüssigen Körper. Mit 34 Abb.    (Bd.    304.)

Meeresforschung und Meeresleben. Von Dr. O. Janson. 3.Aufl. Mit 41 Fig.

(Bd. 30.)

Mensch. Entwicklungsgeschichte des M. Von Dr. A. H e i l b o r n. Mit Abb. (Bd. 388.)

Mensch der Urzeit, Der. Vier Vorlesungen aus der Entwicklungsgeschichte des Menschengeschlechtes. Bon Dr. A. Heilborn. 2. Aufl. Mit zahlr. Abh.¹ .(Bd. 62.)

Dr. H. (Bd. 32.)

3. Aufl. Mit 16 Abb.    (Bd. 29.)

Mikroskop, Das. seine Optik, Geschichte und Anwendung. Von Dr. S ch e f f e r. 2. Aufl. Mit 66 Abb.    (Bd.    35.)

Milch. Die, und ihre Produkte. Von Dr.

A. Reitz. Mit 16 Abb. (Bd. 362.) Moleküle — Atome — Weltäther. Von Prof. Dr. G. M ie. 3.Aufl. Mit 27Fig.

(Bd. 58.)

Mond, Der. Von Prof. Dr. I. Franz.

Mit 31 Abb.    (Bd. 90.)

Naturlehre. Die Grundbegriffe der modernen N. Von Pros. Dr. F. Auerbach. 3. Aufl. Mit 79 Fig. (Bd. 40.) Naturstoffe. Künstliche Darstellung von N. Bon Prof. Dr. E. Rüst. Mit Abb.

(Bd. 457.)

Naturwissenschaften im Haushalt.

I.    Bongardt. 2 Bde.

L Teil: Wie sorgt die Hausfrau für die Gesundheit der Familie- Mit 31 Abb.

(Bd. 125.)

II. Teil: Wie sorgt die Hausfrau für gute Nahrung? Mit 17 Abb. (Bd. 126.)

Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Altertum. Bon Prof. Dr. Joh. L. Heiberg.    (Bd.370.)

Naturwissenschaft und Religion. R. und. N. in Kampf und Frieden. Ein geschichtlicher Rückblick. Bon Dr. A. Pfann-kuche. 2. Aufl.    ~

Naturwissenschaften und Technik. Am sausenden Webstuhl der Zeit. Übersicht über Wirkungen der Entwicklung der N. und

T. auf das gesamte Kulturleben. Von Prof. Dr. W. Launhardt. 3. Aufl. Mit 16 Abb.    (Bd. 23.)

Nautik. Von Dir. Dr. I. Möller. Mit 58 Fig.    (Bd. 255.)

Nerven. Vom Nervensystem, seinem Bau und seiner Bedeutung für Leib und Seele in gesundem und krankem Zustande. Von Prof. Dr. R. Zander. 2. Ausl. Mit 27 Fig.    08b. 48.)

Obstbau. Bon Dr. E. Bog es. Mit 13 Abb.    (Bd. 107.)

Optik siehe Auge, Brille. Licht u. Farbe. Mikroskop. Spektroskopie, Stereoskop. Strahlen.

Optischen Instrumente. Die. Von Dr. M.

v.Rohr. 2. Aufl. Mit 84 Abb. Wb. 88.) Organismen. Die Welt der O. In Entwicklung und Zusammenhang dargestellt. Bon Prof. Dr. K. Lampert. AM 52 (Bd. 236.)

(Bd. 360.)

Von Prof. Dr. G. Küm-(Bd. 227.)

Abb.

von

<§> <§)

62 Abb.

Strahlen. Sichtbare und unsichtbare. Von Prof. Dr. R. Börnste'in und Prof. Dr. W. Marckwald. 2. Aufl. Mit 85

Abb.

Abb.

—    siehe Lebewesen.

Patente und Patentrecht siehe Abtlg. Recht.

(Gewerbl. Rechtsschutz).

Pflanzen. Das Werden und Vergehen der Pfl. Von Prof. Dr. P. Gisevius. Mit 24 Abb.    (Bd. 173.)

—    Vermehrung und Sexualität bei den

Photochemie.

mell. Mit 23 Abb.

Photographie, Die, ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre Anwendung. Bon Dr. O. P r e l i n g e r. Mit Abb. (Bd. 414.)

Photographie, Die künstlerische. Bon Dr. W. Warstat. Mit Bilderanhang (12 Tafeln).    (Bb. 410.)

Physik. Werdegang der modernen PH. Von Dr. H. Keller. Mit 13Fig. (Bd. 343.) — Einleitung in die Experimentalphysik. Don Prof. Dr. R. B ö r n st e i n. Mit 90 " (Bd. 371.) Physiker. Die großen Ph. und ihre Leistungen. Von Prof. Dr. F. A. Schulze. Mit 7 Abb.    (Bd.    324.)

Schachspiel. Das, und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lang e. 2. Ausl. Mit den Bildnissen E. Lasters und P. Morphys, 1 Schachbrettafel u. 43 Darst. Übungsbeispielen.    Wb. 281.)

Schiffbau siehe Kriegsschiff.

Schiffahrt siehe Nautik und Abt. Wirtschaft.

Schmucksteine, Die, und die Schmuckstein-Jndustrie. Von Dr. A. EpPler. Mit 64 Abb.    (Bd.376.)

chulhygiene. Von Prof. Dr. L. B u r g e r -stein. 3. Stuft. Mit 43 Fig. 08b. 96.) in ne des Menschen, Die fünf. Bon Prof. Dr. I. K. Kreidig. 2. Aufl. Mit 39-Abb.    Wb. 27.)

Spektroskopie. Von Dr. L. Grebe. Mit Wb. 284.)

Spinnerei. Von Dir. Prof. M. Lehmann. Mit 35 Abb.    (Bd. 338.)

Sprengstoffe. Chemie und Technologie der Spr. Von Prof. Dr. R- B i e d e r m a n n. Mit 15 Fig.    (Bd. 286.)

Stereoskop, Das, und feine Anwendungen. Bon Prof. Th. Hartwig. Mit 40 Abb. und 19 Tafeln.    (Bd. 135 )

Sonne. Die. Bon Dr. A. Krause. Mit 64 Abb. im Text u. auf 1 Buntdrucktafel.

(Bd. 357.)

Stimme. Die menschliche St. und ihre Hygiene. Von Prof. Dr. P.H. Gerbe r. 2. Aufl. Mit 20 Abb. (Bd. 136.)

(Bd. 64.)

Straßenbahnen. Die Klein- und Straßenbahnen. Bon Oberingenieur a. D. A. Liebmann. Mit 85 Abb. (Bd. 322.) Suggestion. Hypnotismus und Suggestion.

B. Dr. E. T r ö m n e r. 2. Aufl. (Bd. 199.) Süßwasser- Plankton, Das. Von Prof. Dr.

O. Zacharias. 2. Aufl. Mit 49 Abb.

(Bd. 156.)

Tabak, Der, in Landwirtschaft, Handel und Industrie. Mit Abb. Von I a c^W^oN.

Tee. Kaffee, Tee, Kakao und die übrigen narkotischen Getränke. Von Prof. Dr. A. Winter. Mit 24 Abb. und 1 Karte.

(Bd. 132.)

Telegraphen- und Fernsprechtechnik in ihrer Entwicklung. Von Telegrapheninspektor H. Br ick. Mit 58 Abb.^, ^

—    Die Funkentelegraphie. Von Oberpost

praktikant H. Thurn. Mit 53 Jllustr. 2. Aufl.    (Bd. 167.)

—    siehe auch Drähte und Kabel.

Tiere der Vorzeit. Von Prof. Dr. O.

Abel. Mit Abb.    Wb. 399 )

und Verbreitung Dr. O. Maas. (Bd. 139.)

Abb.

Abb.

und

Weinbau und Weinbereitung. Von Dr. F.

Schmitthenne r. 34 Abb. (Bd. 332.) Weltall. Der Bau des W. Bon Prof. Dr. J.Scheiner. 4. Aufl. Mit ^Fig^

Weltäther siehe Moleküle.

Weltbild. Das astronomische W. im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. Oppen -heim. 2. Aufl. Mit 24 Abb. (Bd. 110.) Weltentstehung. Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wlstenschaft. Von Prof. Dr. B. W e i n st e i n.^2. Aust.

Wetter. Gut und schlecht. Bon Dr R Hen nig. Mit 46 Abb. (Bd. 349.) Wind und Wetter. Von Prof. Dr. L. Weber. 2. Aufl. Mit 28 Figuren und 3 Tafeln.    (Bd. 5a.)

Wirbeltiere. Vergleichende Anatomie der Sinnesorgane der W. Von Prof. Dr. W. Lubo sch. Mit 107 Abb. (Bd. 282.) Wohnhaus siehe Baukunde.

Zahnheilkunde siehe Gebiß.

Weitere Bände sind in Vorbereituna.

Tierkunde. Eine Einführung in die Zoologie. Von weil. Privatdozent Dr. K. Hennings. Mit 34 Abb. (Bd. 142.)

—    Lebensbedingungen der Tiere. Von Prof.

Mit 11 Karten und Abb.

—    Zwiegestalt der Geschlechter in der Tierwelt (Dimorphismus). Von Dr. Fr. Knauer. Mit 37 Fig. (Bd. 148.)

—    siehe auch Lebewesen.

Tierwelt des Mikroskops (die Urtiere). Bon Prof. Dr. R. Goldschmidt. Mit 39 (Bd. 160.)

Tierznchtung. Von Dr. G. Wilsdorf. Mit 30 Abb. auf 12 Tafeln. (Bd. 369.)

—    Die Fortpflanzung der Tiere. Von Prof. Dr. R. Goldschmidt. Mit 77

(Bd. 253.)

Trigonometrie. Ebene, zum Selbstunterricht. Von Prof. Dr. P. Crantz. Mit 50 Fig.    (Bd. 431.)

Tuberkulose. Die. ihr Wesen, ihre Verbreitung, Ursache, Verhütung und Heilung. Bon Generalarzt Prof. Dr. W. Schum-burg. 2. Aufl. Mit 1 Tafel tt.^8

Uhr. Die. Von Reg.-Bauführer a. D. H.

Bock. Mit 47 Abb.    (Bd.216.)

Verbildungen. Körperliche, im Kindesalter und ihre Verhütung. Von Dr.    v^d.

Vererbung. Experimentelle Abstammungs-Vererbungslehre. Bon Dr. H. Lehmann. Mit 26 Abb.    (Bd.379.)

Vogelleben, Deutsches. Von    Dr.^A.

4EgAMt⁶-580,1111!

Volksnahrungsmittel siehe Ernährung u. V.

Wald. Der deutsche. Von Prof. Dr. H. Hausrath. 2. Aufl. Mit 15 Abb. und 2 Karten.    (Bd. 153.)

Wärme. Die Lehre von der W. Bon Prof. Dr. R. Börnstein. Mit 33 Abb.

(Bd. 172.)

—    siehe auch Luft, Wasser, Licht. Wärme. Wärmekraftmaschinen. Die neueren. 2 Bde.

I: Einführung in die Theorie und den Bau der Maschinen für gasförmige und flüssige Brennstoffe. Bon Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 4. Aust. Mit 33Abb.

(Bd. 21.)

—    II: Gasmaschinen, Gas- und Dampfturbinen. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 3. Aust. Mit 48Abb. (Bd.86.)

—    siehe auch Kraftanlagen.

Wasser. Das. Von Privatdozent Dr. O. Anselmin o. Mit 44 Abb. (Bd. 291.)

—    siehe auch Luft, Wasser, Licht. Wärme. Wasserkraftmaschinen und die Ausnützung

der Wasserkräfte. Von Geh. Reg.-Rat A. v. Jh er ing. 2. Aufl. Mit 73 Fig.

(Bd. 228.)

DIE KULTUR DER GEGENWART

--------- IHRE ENTWICKLUNG UND IHRE ZIELE ----------

HERAUSGEGEBEN VON PROF. PAUL HINNEBERG

Eine systematisch aufgebaute, geschichtlich begründete Gesamtdarstellung unserer heutigen Kultur, welche die Fundamentalergebnisse der einzelnen Kulturgebiete nach ihrer Bedeutung für die gesamte Kultur der Gegenwart und für deren Weiterentwicklung in großen Zügen zur Darstellung bringt. Das Werk vereinigt eine Zahl erster Namen aus Wissenschaft und Praxis und bietet Darstellungen der einzelnen Gebiete jeweils aus der Feder des dazu Berufensten in gemeinverständlicher, künstlerisch gewählter Sprache auf knappstem Raume. Jeder Band ist inhaltlich vollständig in sich abgeschlossen und einzeln käuflich.

*) Jeder Band kostet in Leinw. geb. M. 2.—, in Halbfr, geb. M.4.— mehr.

teil iu. ii: Die geisteswissenschaftlichen Kulturgebiete. Die allgemeinen Grundlagen der Kultur der Gegenwart. Geh.*) M. 18.—. [2. Aufl. 1912. Teil I, Abt. i.]

Inhalt: Das Wesen der Kultur: W.Lexis. — Das moderne Bildungswesen: Fr.Paulsen-f-. — Die wichtigsten Bildungsmittel. A. Schulen und Hochschulen. Das Volksschulwesen:

G.    Schöppa. Das höhere Knabenschulwesen: A. Matthias. Das höhere Mädchenschulwesen : H. Gaudig. Das Fach- und Fortbildungsschulwesen: G. Kerschensteiner. Die geisteswissenschaftliche Hochschulausbildung: Fr. Paulsen -f*. Die mathematische, naturwissenschaftliche Hochschulausbildung: W. v. Dyck. B. Museen. Kunst-und Kunstgewerbemuseen: L. Pallat. Naturwissenschaftliche Museen: K. Kraepelin. Technische Museen: W. v.Dy ck. C. Ausstellungen. Kunst-u.Kunstgewerbeausstellungen: J.Lessing f. Naturwissenschaft!.-techn. Ausstellungen: O. N. Witt. D. Die Musik: G. Göhler. E.Das Theater: P.Schlenther. F. Das Zeitungswesen: K.Bücher. G. Das Buch: R. Pietschmann. H. Die Bibliotheken: F. Milkau. — Organisation der Wissenschaft: H. Di eis.

Die Religionen des Orients und die altgermanische Religion. Geh.*) M. 8.—. [2. Aufl. 1913. Teil I, Abt. 3, L]

Inhalt: Die Anfange der Religion und die Religion der primitiven Völker: Ed v. Lehmann. — Die ägyptische Religion: A. Erman. — Die asiatischen Religionen: Die babylonisch-assyrische Religion: C. Bezold. — Die indische Religion: H. Oldenberg.— Die iranische Religion: H. Oldenberg. — Die Religion des Islams: J. Goldziher. — Der Lamaismus: A. Grünwedel. — Die Religionen der Chinesen: J. J. M. de Gr00t. — Die Religionen der Japaner: a) Der Shintoismus: K. Florenz, b) Der Buddhismus:

H.    Haas. — Die orientalischen Religionen in ihrem Einfluß auf den Westen im Altertum: Fr.CumonL — Altgermanische Religion: A. Heusler.

Geschichte der Christi. Religion. M. 18.—*). [2. A. 1909. T. 1,4, L]

Inhalt: Die israelitisch-jüdische Religion: J. Wellhausen. — Die Religion Jesu und die Anfange des Christentums bis zum Nicaenum (325): A. Jülich er. — Kirche und Staat bis zur Gründung der Staatskirche: A. Harnack. — Griechisch-orthodoxes Christentum und Kirche in Mittelalter und Neuzeit: N. Bonwetsch. — Christentum und Kirche Westeuropas im Mittelalter: K. Müller. — Katholisches Christentum und Kirche in der Neuzeit: A. Ehrbard. — Protestantisches Christentum und Kirche in der Neuzeit: E. Troeltsch.

Systcmat. Christi. Religion. M. 6.60*). [2. A. 1909. Teil I, 4, II.]

Inhalt: Wesen der Religion u. der Religionswissenschaft: E. Troeltsch. — Christlichkatholische Dogmatik: J. Pohle. — Christlich-katholische Ethik: J. Mausbach. — Christlich-katholische praktische Theologie: C. Krieg. — Christlich-protestantische Dogmatik: W. Herrmann. — Christlich-protestantische Ethik: R. Seeberg. — Christlichprotestantische praktische Theologie: W. Fab er. — Die Zukunftsaufgaben der Religion und der Religionswissenschaft: H. J. Holtzmann.

Allgemeine Geschichte der Philosophie. Geh.*) M. 14.—. [2. Auflage 1913. Teil I, Abt. 5.]

Inhalt. Einleitung. Die Anfänge der Philosophie und die Philosophie der primitiven Völker: W. Wundt. I. Die indische Philosophie: H. Oldenberg. II. Die islamische und jüdische Philosophie: J. Goldziher. III. Die chinesische Philosophie: W. Grube. IV. Die japanische Philosophie: T. Jnouye. V. Die europäische Philosophie des Altertums: H. v. Arnim. VI. Die patristische Philosophie: CI. Baumker. VII. Die europäische Philosophie des Mittelalters: CI. Baumker. VIII. Die neuere Philosophie:W. Windelband.

TEIL I ii.II DER KULTUR DER GEGENWART

Systemat.Philosophie. Geh*) M. io.—. [2. Aufl. 1908. T.I, 6.]

VIII.

Inhalt. Allgemeines. Das Wesen der Philosophie: W. Dilthey. — Die einzelnen Teilgebiete. I. Logik und Erkenntnistheorie: A. Riehl. II. Metaphysik: W.Wundt. III. Naturphilosophie: W. Ostwald. IV. Psychologie: H. Ebbinghaus. V. Philosophie der Geschichte: R. Bücken. VI. Ethik: Fr. Paulsen. VII. Pädagogik: W. Münch. Ästhetik: Th. Lipps. — Die Zukunftsaufgaben der Philosophie: Fr. P au Isen.

Die oriental. Literaturen. Geh.*) M. 10.—. [1906. Teill, Abt. 7.]

Die babylonisch - assyrische Literatur: Die israelitische Literatur: H. Gunkel. — Die aramäische Literatur:

Inhalt. Die Anfänge der Literatur und die Literatur der primitiven Völker: E. Schmidt. — Die ägyptische Literatur: A. Er man.

C. Bezold.

Th. Nöldeke. — Die äthiop. Literatur: Th. Nöldeke. — Die arab. Literatur: M. J. de Gocje. — Die ind. Literatur: R. Pischel. — Die altpers. Literatur: K. Geldner. — Die mittelpers. Literatur: P. Horn. — Die neupers. Literatur: P. Horn.— Die türkische Literatur: P. Horn. — Die armenische Literatur: F. N. Finck. — Die georg. Literatur: F. N. Finck. — Die chines. Literatur: W. Grube. — Die Japan. Literatur: K. Florenz.

Die griechische und lateinische Literatur und Sprache. Geh.*) M. 12.—. [3. Auflage. 1912. Teil I, Abt. 8.]

Inhalt: L Die griechische Literatur und Sprache: Die griech. Literatur des Altertums: U. v. Wilamo witz-Moellendorff. —Die griech. Literatur des Mittelalters: K. Krumbache r. — Die griech. Sprache: J. Wackernagel— II. Die lateinische Literatur und Sprache: Die römische Literatur des Altertums: Fr. Leo. — Die latein. Literatur im Übergang vom Altertum zum Mittelalter: E. Norden. — Die latein. Sprache: F. Skuts ch.

Die osteuropäischen Literaturen u. die slawischen Sprachen. Geh.*) M. 10.-. [1908. Teil I, Abt 9.]

Inhalt: Die slawischen Sprachen: V. v. Jagiö. — Die slawischen Literaturen. I. Die russische Literatur: A. Wesselovsky. — H. Die poln. Literatur: A. Brückner. HI. Die bohrn. Literatur: J. Machal. IV. Die südslaw. Literaturen: M. Mur ko. — Die neugriech. Literatur: A. Thumb.— Die finnisch-ugr. Literaturen. I. Die ungar. Literatur: F. Riedl. II. Die sinn. Literatur: E. Setälä. III. Die estn. Literatur: G. Suits. — Die litauisch-lett. Literaturen. I. Die lit. Literatur: A. Bezzenberger. H. Die lett. Literatur: E. Wolter.

Die romanischen Literaturen und Sprachen. Mit Einschluß des Keltischen. Geh.*) M. 12.—. [1908. Teil I, Abt u,L]

Inhalt: I. Die kelt. Literaturen, i. Sprache u. Literatur im allgemeinen: EZimmer. 2. Die einzelnen kelt. Literaturen, a) Die ir.-gäl. Literatur: K. Meyer, b) Die schott.-gäl. u. die Manx-Literatur. c) Üiekymr. (walis.) Literatur, d) Die körn. u. die breton. Literatur: L. Ch. Stern. II. Die ro man. Literaturen: H. Mors. IH.Dieroman.Sprachen: W.Mey er-Lübke.

Allgemeine Verfassungs- und Verwaltungsgeschichte. I. Hälfte. Geh.*) M. 10.—. [1911. Teil II, Abt. 2, L]

Inhalt: Einleitung. Die Anfänge der Verfassung und der Verwaltung und die Verfassung und Verwaltung der primitiven Völker: A. Vierkandt. A. Die orientalische Verfassung und Verwaltung: x. des orientalischen Altertums: L. Wenger, 2. des Islams: M. Hartmann, 3. Chinas: O.Franke, 4. Japans : K. Rath gen. — B. Die europäische Verfassung und Verwaltung (1. Hälfte): 1. des europäischen Altertums: L. Wenger, 2. der Germanen und des Deutschen Reiches bis zum Jahre 1806: A. Luschin v. Ebengreuth.

Staat u.Gesellschaft d. Griechen u. Römer. M.8.—*). [ 191 o. 11,4,1.]

Inhalt: I. Staat und Gesellschaft der Griechen: U. v. Wilamowitz-Moellendorff — II. Staat und Gesellschaft der Römer: B. Niese.

Staat u. Gesellschaft d. neueren Zeit M. 9.—*). [ 1908. Teil II, 5,1.]

Inhalt: I. Reformationszeitalter, a) Staatensystem und Machtverschiebungen, b) Der moderne Staat und die Reformation, c) Die gesellschaftlichen Wandlungen und die Geisteskultur: F. v. B e z o 1 d. — II. Zeitalter der Gegenreformation: E. G o t h e i n. — III. Zur Höhezeit des Absolutismus, a) Tendenzen, Erfolge und Niederlagen des Absolutismus, b) Zustände der Gesellschaft, c) Abwandlungen des europäischen Staatensystems: R. K o s e r.

Allgem. Rechtsgeschichte. [i 913. Teil II, Abt 7,1. Unt d. Presse.]

Inhalt: Die Anfänge des Rechts: J. Köhler — Orientalisches Recht im Altertum: L. Wenger. — Europäisches Recht im Altertum: L. Wenger.

TEIL n, in u. IV DER KULTUR DER GEGENWART

Systematische Rechtswissenschaft Geh*) ca. M. 14.—. [2.Auflage 1913. Unter der Presse. Teil II, Abt. 8.]

Inhalt: I. Wesen des Rechtes und der Rechtswissenschaft: R. Stammler. II. Die einzelnen Teilgebiete: A. Privatrecht. Bürgerliches Recht: R. Sohm. — Handels- und Wechselrecht: K. Gareis. — Internationales Privatrecht: L.v.Bar. B. Zivilprozeßrecht:

L.    v. Sentiert. C. Strafrecht u. Strafprozeßrecht: F.v.Liszt D. Kirchenrecht: W. Kahl. E. Staatsrecht: P. Laband. F. Verwaltungsrecht Justiz und Verwaltung: G. Anschütz.

—    Polizei- und Kulturpflege: E. Bernatzik. G. Völkerrecht: F. von Martitz. III. Die Zukunftsaufgaben des Rechtes und der Rechtswissenschaft: R. Stammler.

Allgemeine Volkswirtschaftslehre. Von W. Lexis. Geh.*)

M.    7.—, [2. Auflage. 1913. Teil II, Abt. 10, I.]

TEIL ill: Die mathematischen, naturwissenschaftlichen und medizinischen Kulturgebiete.

Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter: H.G.Zeuthen. Geh. M. 3.—. [1912. Abt. I. Lfrg. 1.]

Chemie einschl. Kristallographie u. Mineralogie. Bandredakt.: E.v.Meyer u.F.Rinne. MitAbb. Geh.*)M. 18.—. [1913. Abt.III., 2.] .

Inhalt: Entwickelung der Chemie von Robert Boyle bis Lavoisier [1660—1793]* v* . Meyer. — Die Entwicklung der Chemie im 19. Jahrhundert durch Begründung und Ausbau der Atomtheorie: E. v. Meyer. — Anorganische Chemie: C. Eng 1 er und L. Wöh 1 e r.

—    Organische Chemie: O. Wallach. — Physikalische Chemie: R. Luther und W. Nernst. — Photochemie: R. Luther.— Elektrochemie: M. Le Blanc.— Beziehungen der Chemie zur Physiologie: A. Kossel. — Beziehungen der Chemie zum Ackerbau: fO. Kellner und R. Immendorf. — Wechselwirkungen zwischen der chemischen Technik: O. Witt. — Kristallographie und Mineralogie: Fr. Rinne.

Zellen- u. Gewebelehre, Morphologie u. Entwicklungsgesch.

1.    Botan.Teil. MitAbb. Geh.*) M. io.—. [1913. Abt.IV., Bd. 2,1.]

2. Zoolog.Teil. MitAbb. Geh.*) M. 16.—. [1913. Abt. IV., Bd.2, II.]

Inhalt des botanischen Teils (Bandred. E. Strasburger): Pflanz!. Zellen- und Gewebelehre: E. Strasburger. — Morphologie und Entwicklungsgeschichte der Pflanzen: W.Benecke. Inhalt des zoologischen Teils (Bandred. O. Hertwig): Die einzelligen Organismen: R. Hertwig. — Zellen und Gewebe des Tierkörpers: H.Poll. — Allgemeine und experimentelle Morphologie und Entwicklungslehre der Tiere: O. Hertwig. Entwicklungsgeschichte und Morphologie der Wirbellosen: K. Heiden - Entwicklungsgeschichte der Wirbeltiere: F. Keibel. — Morphologie der Wirbeltiere: E. Gaupp.

Unter der Presse befinden sich:

Bd.3: Astronomie. Bandred.: J. Hartmann. Abt IV, Bd.₄: Abstammungslehre, Systematik, Paläontologie, Biogeographie. Bandredakt.: R. v.Hertwig u. R. v. Wettstein.

Abt. VII, Band 1: Naturphilosophie. Bandredakt.: C. Stumpf. Bearb. von E. Becher.

Abt. I, Lfrg. 2: Die Beziehungen der Mathematik zur allgemeinen Kultur: A. Voß.—

Mathematik und Philosophie: A. Voß. —

Lfig. 3: Die Verbreitung mathemat. Auffassungen und Kenntnisse: H. E. Timerding.

Abt. IH, 1: Physik. Bandred.: E. Warburg.

teil IV: Die technischen Kulturgebiete.

Technik d. Kriegswesens. MitAbb. Geh *)M.24.—. [igij-Bd.i 2.]

Inhalt (Bandredakt: M. Schwarte): Kriegsvorbereitung,Kriegsführung: M.Schwarte.-Waffentechnik, a) in ihren Beziehungen zur Chemie :O.Poppenberg; b) in ihren Beziehungen z. Metallurgie: W. Sch winning; c) in ihren Bezieh, z. Konstruktionslehrc: W. Schwin-ning* — d) in ihren Beziehungen zur optischen Technik: O. von Eberhard; e) in ihren Beziehungen zur Physik und Mathematik: O. Becker. — Technik des Befestigungswesens:

T Schröter. — Kriegsschiffbau :0. Kretschmer. — Vorbereitung für den Seekrieg u. Seekriegsführung: M. G lat zel. — Einfluß d. Kriegswesens auf die Gesamtkultur: A. Kersting.

-o__mit Inhaltsübersicht des Gesamtwerkes, mit Probeabschnitten, t

Ir rODcilcII Resümees, Inhaltsverzeichnissen und Besprechungen der Bande steht umsonst zur Verfügung bei B. G. TEUBNER, Leipzig, Poststraße 3.

Dritte flufsagT]    l'tlS ßzöeil I Zmeite Aufsage

Schaffen und Sdjauen

-7. 'Banb:-

Von deutscher Art und Ttrßeit

_2. "Band:-

Des Ttlenscßen Sein und Werden

Unter Mitwirkung von

K. Vürkner I Lohn - H. Dade - R. Deutsch • R. Dominicus • K.Dooe• L. Luchs p. Klopfer - E. Koerber • <D. Lyon • E. Maier - Gustav Maier • <E. v. Maltzahn t R. v. Reinhardt - $. R. Schmidt • (v. Schnabel • G. Schwamborn G. Steinhaufen • <E. Teichmann • R. Thimm • <E. wentscher • R. witting G. Wolfs • Th. Zielinski Mit 8 allegorischen Zeichnungen von Rlots Kolb

Jeder Band in Leinwand gebunden M. 5.—

von Männern des öffentlichen Lebens und der Schule, von

Nach übereinstimmendem Urteile

Seitungen und Zeitschriften der verschiedensten Richtungen löst „Schaffen und Schauen-in erfolgreichster Weise die Ruf gäbe, die deutsche Jugend in die Wirklichkeit des Lebens einzuführen und sie doch in idealem Lichte sehen zu lehren.

hat sich „Schaffen und Schauen" als ein weitblickender Berater bewährt, der einen

Bet der Wahl des Berufes

Überblick gewinnen läßt über all die Kräfte, die das Leben unseres Volkes und des Einzelnen in Staat, Wirtschaft und Technik, in Wissenschaft. Welt. anschauung und Kunst bestimmen.

Zu tüchtigen Bürgern

Kenntnis der Formen, sondern Einblick in das Wesen und Einsicht in die inneren Zusammenhänge unseres nationalen Lebens gibt und zeigt» wie mit ihm das Leben des Einzelnen aufs engste verflochten ist.

3m ersten Bande

werden das deutsche Land als Boden deutscher Kultur, das deutsche Volk in seiner Eigenart, das Deutsche Reich tn seinem Werden, die deutsche Volkswirtschaft nach ihren Grundlagen und in ihren wichtigsten Zweigen, der Staat und seine Aufgaben, für wehr und Recht, für Bildung wie für Förderung und Ordnung des sozialen Lebens zu sorgen, die bedeutsamsten wirtschaftspolitischen Fragen und die wesentlichsten staatsbürgerlichen Bestrebungen, endlich die wichtigsten Berufsarten behandelt.

werden erörtert die Stellung des Menschen in der VTTI jlUCUCll ÜUIlue Natur, die Grundbedingungen und Äußerungen seines leiblichen und seines geistigen Daseins, das werden unserer geistigen Kultur. Wesen und Aufgaben der wissenschaftlichen Forschung im allgemeinen wie der Geistes, und Naturwissenschaften im besonderen, die Bedeutung der Philosophie, Religion und Kunst als Erfüllung tiefwurzelnder menschlicher Lebensbedürfnisse und endlich zusammenfassend die Gestaltung der Lebensführung auf den in dem Werke dargestellten Grundlagen.

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

Tierbau und Tierleben

in ihrem Zusammenhang betrachtet

2 Bände. Lex.-8.

HXit Abbildungen und Tafeln in Zchwarz-, Bunt- und Lichtdruck.

In Griginal-Ganzleinen geb. je Ist. 20.—, in Original-Halbfranz je Ml. 22.—

I.    Band. Der Tierkörper als selbständiger Organismus, von R.k)esse. Mit 480 Kbbild. u. 15 Tafeln. [XVII u. 789 S.] 1910.

II.    Band. Das Tier als Glietz des Naturganzen, von $. Dof= lein. Mit ca. 500 llbbild., 8 farbigen und zahlr. schwarzen Tafeln. [Unter der Presse.]

aus den Besprechungen:

„Der wissenschaftliche Charakter des Werke- und die ruhige, sachliche Darstellung, öie sich von allen phantastischen Abschweifungen, wie sie in der gegenwärtigen biologischen Literatur so häufig sind, freihält, verdienen volle Anerkennung. Dabei ist das Werk so klar und populär geschrieben, daß sich auf den Leser unwillkürlich die Liebe des Verfassers zu seinem Gegenstände überträgt und er sich ohne Mühe auch zu den verwickelten Linzelfragen führen läßt. Line ungewöhnlich große Anzahl von Abbildungen erleichtert das Verständnis und bildet nicht nur einen Schmuck, sondern einen wesentlichen Bestandteil des ausgezeichneten Buches."    (Deutsche Rundschau.)

warm

„Man wird dieses groß angelegte, prächtig ausgestattete Werk, das einem wirklichen Bedürfnis entspricht, mit einem Gefühl hoher Befriedigung durchgehen. Ls ist wieder einmal eine tüchtige und originelle Leistung. ... Line Zierde unserer naturwissenschaftlichen Literatur. ... (Es wird rasch seinen weg machen, ^wrr können es seiner Originalität und seiner Vorzüge wegen dem gebildeten Publikum nur empfehlen. Ganz besonders aber begrüßen wir sein Erscheinen im Interes,e des natur-geschichtlichen Unterrichts." (Prof. <L Keller in der „Neuen Zürcher Zeitung".)

- u. Gesellschafts-Biologie.)

Dr. «.Hesse

und

Dr. $. Dosiern

Professor an der Landwirtschaftlichen Hochschule in Berlin

Professor der Zoologie an der Universität Freiburg i. Br.

„...Der erste Band von R. Hesse liegt vor, in prächtiger Ausstattung und mit so gediegenem Inhalt, daß wir dem Verfasser für die Bewältigung seiner schwierigen Aufgabe aufrichtig dankbar sind. Jeder Zoologe und jeder Freund der Tierwelt wird dieses Werk mit Vergnügen studieren, denn die moderne zoologische Literatur weist kein Werk auf, welches in dieser großzügigen weise alle Seiten des tierischen Organismus so eingehend behandelt, hesses Werk wird sich bald inen Ehrenplatz rn jeder biologischen Bibliothek erobern." (£. Plate im Archiv

„Lin in jeder Hinsicht ausgezeichnetes Werk. Ls vereinigt sachliche, streng

sch östlicher Probleme bezeichnet werden." (£it. Jahresbericht des vurerbundes.)

ausführt. Prospekt vom Verlag B. G. Teubner in Leipzig

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ttünstlerischer Wandschmuck für das deutsche Haus

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(Original-Lithographien) entsprechen allein vollwertig Original-Gemälden. Keine Reproduktion kann ihnen gleichkommen an künstlerischem wert. Sie bilden den schönsten Zimmerschmuck und behaupten sich in vornehm ausgestatteten Räumen ebensogut, wie sie das einfachste Wohnzimmer schmücken.

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Ot>on den Bilderunternehmungen der letzten Jahre, die der neuen .ästhetischen Bewegung* entsprungen sind, begrüßen wir eins mit ganz ungetrübter Freude: den ,künstlerischen Wandschmuck für Schule und Haus*, den die Firma B. G. Teubner in Leipzig herausgibt, wir haben hier wirklich einmal ein aus warmer Liebe zur g,.ten Sache mit rechtem Verständnis in ehrlichem Bemühen geschaffenes Unternehmen vor uns. Fördern wir es, ihm und uns zu Nutz, nach Kräften!“ (Kunstwort.)

der Kimstler-Steinzeichnimgen mit farbiger Wiedergabe von ca. 200 Blättern gegen Linsend, von 40 Pf. (Kusland 50 Pf.) vom Verlag ß.«. Ceubner, JLefpzig, poststr. 3

Vollständiger Katalog

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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