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Biblioteka Politechniki Krakowskiei

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Aus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

387. Bändchen

Differentialrechnung

unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen

Dr. Martin Lindow

Studienrat, Münster i.M.

Zweite Auflage

Mit 45 Figuren im Text und 161 Aufgaben

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin J9J8

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Schuhformel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1918 by B.G.Teubner in Leipzig

Alle Rechte, einschließlich desllberfetzungsrechts, vorbehalten

Druck von

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B. <s Teubner, Dresden

Vorwort zur zweiten Auflage.

Wenn nach wenigen Jahren eine Neuauflage nötig wurde, trotzdem während dieser Zeit die politischen Ereignisse alle andern Interessen zu absorbieren drohten, so beweist das wohl am besten, daß das vorliegende Buch seinen Freundeskreis gefunden hat.

Die

Im Vorwort zur ersten Auflage sagte ich unter anderem: „~.v Differential- und Integralrechnung hat in der Mathematik und in den exakten Naturwissenschaften dieselbe Bedeutung wie das Mikroskop in den beschreibenden. Der Ausbau eines Ganzen wird nur durch das Studium der kleinsten Teile begreiflich. Der Vorteil, den die Technik aus diesen Rechnungsarten zieht, veranlaßte meine im Winter 1910/11 und 1911/12 in Dortmund gehaltenen Vorträge über „Grundzüge der höheren Mathematik für Ingenieure^, jene gaben den Anstoß zum Erscheinen dieses Bändchens. — Bei der Fülle des vorliegenden Stoffes war Beschränkung in materieller Hinsicht geboten. Ich suchte aber wenigstens nach Möglichkeit auf Anwendungen in Mechanik. Elektrotechnik, Wärmelehre, Luftfahrt u. dgl. hinzuweisen. Auch die Form der Darstellung bemühte ich mich möglichst faßlich zu gestalten, oft führte ich Beweise geometrisch, wenn das algebraische Verfahren zu umständlich schien ..

Als die zweite Auflage nötig wurde, schlug mir die Verlagsbuchhandlung in dankenswertem Interesse für das Werk vor, es durch ein zweites Bändchen zu ergänzen, welches Übungsaufgaben zu den im ersten entwickelten Sätzen enthalten sollte. Im Gedankenaustausch über diesen Plan gelangten wir jedoch zu der Ansicht, daß es zweckmäßiger sei, die Aufgaben wie bisher der Theorie unmittelbar anzugliedern, ihre Zahl aber zu vermehren und den gesamten Stoff auf zwei in sich abgeschlossene Bändchen zu verteilen. Das erste behandelt die Differentialrechnung, das zweite wird der Integralrechnung gewidmet sein. So wurde es möglich, die charakteristischen Züge zu vertiefen und gleichzeitig den Wünschen der Kritik, deren wohlwollender Beurteilung das Buch seinen Erfolg mit verdankt, nach Möglichkeit Rechnung zu

l*

tragen. Noch mehr als bisher konnte ich anstreben, den Leser nie in der Theorie stecken zu lassen, sondern ihn zur eigenen Mitarbeit, zur praktischen Auffassung anzuregen und ihm die Freude am Können zu geben, andrerseits vermochte ich auch einige Gebiete zu vertiefen oder zu erweitern, ohne die Behaglichkeit der Darstellung zu gefährden. Wo es möglich war, wurde gezeigt, wie man die Ergebnisse der Rechnung auf verschiedene Weise prüfen kann.

Wenn schon in der ersten Auflage nur die elementarsten mathematischen Kenntnisse vorausgesetzt wurden, so mußte jetzt besonders darauf Rücksicht genommen werden, daß die letzten Jahre eine regelmäßige Vorbildung erschwerten. Nichts pflegt aber das Studium einer mathematischen Schrift unerfreulicher zu gestalten, als Lücken in den Grundlagen. Damit dem Leser Gelegenheit geboten werde, diese auszufüllen, gelegentlich auch gleiche Gegenstände in verschiedener Beleuchtung zu sehen, wurden in Fußnoten Hinweise auf die Bändchen der Sammlung gegeben, welche die betreffenden Gebiete der Elementarmathematik behandeln. Natürlich ist für jemand, der jene Sätze schon beherrscht, eine Durcharbeitung jener Bücher zum Verständnis des vorliegenden nicht notwendig. Wohl aber kann jedem angeraten werden, später Kowalewskis „Einführung in die Infinitesimalrechnung" (ANuG Bd. 197) zu studieren; dort findet sich eine mehr theoretisch gehaltene strenge Formulierung der Grundlagen.

Eine angenehme Pflicht ist es mir, Herrn Prof. vr. I. Plaßmann für die gütige Beteiligung am Korrekturlesen meinen verbindlichsten Dank auszusprechen, ebenso allen, die mich auf Druckfehler in der ersten Auflage hinwiesen, besonders Herrn Lehrer Gütiges in Solingen.

Auch in der Geisteswelt gibt es eine Art Energiegesetz; möge das Werk die Freude wieder ausstrahlen, mit der es verfaßt ist.

Münster i.W., November 1917.

M. Lindow.

Inhalt.

I. Der Funktionsbegriff und seine technische Bedeutung.

1—9

10—22

Graphische Darstellung der Funktionen. . . .

Funktionen, Veränderliche und Konstanten. Festlequng der Funktionen durch Tabellen und Gleichungen. Beispiele für Funktionen aus der Geometrie und den Naturwissenschaften. Das Bild der Funktion im Achsenkreuz. Die Vorteile der graphischen Darstellung. Einwertigkeit, Endlichkeit, Stetigkeit, Differentiierbarkeit.

II. Der Differenzenquotient und der Differentialquotient.

Differentiation einfacher Funktionen.....

Die Tendenz einer Funktion. Das Steigungsmaß. Der Übergang von der Kurvensekante zur Tangente, der Differen-tialquotient. Die lineare Funktion und die Gerade. Die reine quadratische Funktion und die Parabel. Die reine kubische Funktion. Die Funktion n ten Grades. Der binomische Satz für ganze positive Exponenten. Höhere.Differentialquotienten . Ableitungskurven.

III. Allgemeine Differentiationsregeln.

Differentiation schwierigerer Funktionen. . . 22—88 Der Differentialquotient einer Summe, einer Differenz, eines Produktes mit einem konstanten Faktor, eines beliebigen Produktes, eines Quotienten. Funktionen von Funktionen und implizite Funktionen. Partielle Differentialquotienten. Differentiation einer beliebigen Potenz von x.

Inverse Funktionen. Trigonometrische und zyklometrische, logarithmische und Exponentialfunktionen. Hyperbelfunktionen.

IT. Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung technisch wichtiger Kurven. . 38—65 Steigen und Fallen, konkaver und konvexer Verlauf einer Kurve. Wendepunkte. Der Krümmungsradius. Gerade Linie, Parabel, elastische Linie, Isotherme, Adiabate, Potenzkurven und Polytropen, Kegelschnitte, Kreisevolvente,

Zykloide, gedämpfte Schwingungen. Weitere Beispiele.

V. Reihen........

Seite

56—7-

Bedeutung der Reihen. Die geometrische Reihe. Konvergenz. Konvergenzbedingungen für beliebige Reihen Das Konvergenzintervall der Potenzreihen. Differentialquotient einer Potenzreihe. Die Mac-Laurinsche Reihe und ihre Anwendung zur Berechnung der Funktionen. Das Lagrangesche Restglied. Anwendungen zur Fehlerabschätzung. Der Mittelwertsatz. Die Taylorsche Reihe und ihr Restglied.

VI. Anwendungen der Mar-Laurinschen und Taylorschen Reihe. . .

Näherungsformeln. Auflösung von Gleichungen. Maxima und Minima.

. .    74—8

TU. Prüfungsmethoden.....

Lösungen.......

Anhang .......

Die wichtigsten Differentialquotienten

85—81

89—9

94—9

97

Erstes Kapitel.

Der Fnnktionsbegrifs und seine technische Bedeutung. GraphischeDarstellung derFunktionen.

Eine moderne Maschine besteht meist aus vielen Teilen, von denen jeder seine bestimmte Aufgabe hat. Diese erfüllen sie nicht unabhängig voneinander, sondern in gegenseitigem Zusammenhang, wie auch ihre Form < z. B. bei Zahnrädern) auf das Zusammenarbeiten konstruiert ist. Ist eine Maschine an eine Welle angeschlossen, so hängt die Schnelligkeit der Bewegung jedes einzelnen Elementes von der Tourenzahl n (Umdrehungen in der Minutes der Welle ab, sie ist eine Funktion von n.

Unter einer funktionalen Beziehung versteht man ganz allgemein ein Abhängigkeitsverhältnis zweierZahlenn undr,, derart, daß zu jedem Wert der „unabhängigen Veränderlichen" x ein einziger bestimmter Wert der „abhängigen Variabeln" y gehört Jede Vergrößerung oder Verkleinerung von x wird im allgemeinen auch eine Veränderung von y mit sich bringen, die aber nicht gleicher Art zu sein braucht. In unserem Beispiel ist die Tourenzahl n die unabhängige Variable, denn man kann sie innerhalb der praktisch zulässigen Grenzen beliebig annehmen. Ist dies aber einmal geschehen, so ist die Geschwindigkeit jedes Maschinenteiles dadurch bestimmt. Läuft z. B. von der Welle, deren Durchmesser dmm sei, ein Riemen über eine Scheibe vom Durchmesser dv mm, so macht diese

nt = -j-n Umdrehungen in der Minute.

An diesen Veränderungen nehmen die Durchmesser nicht teil, sie behalten ihre ursprüngliche Größe. Derartige Zahlen nennt man Konstanten.

Erhitzt man einen Kessel, der Wasser und gesättigten Dampf enthält, immer weiter, so zeigt das Manometer starke Drucksteigerung an. Der Druck des gesättigten Wasserdampfes ist also eine Funktion seiner Temperatur; sie ist in technischen Tabellen (z. B. von Fliegner, Hol-

I. Der Funktionsbegriff und seine technische Bedeutung usw. born, Henning, Baumann) niedergelegt. Die Technik, wie jede andere Naturwissenschaft, darf sich nämlich nicht mit dem gesicherten Bewußtsein begnügen, daß zwischen zwei Größen ein Abhängigkeitsverhältnis besteht, sondern sie muß es zahlenmäßig festlegen, etwa in Form einer Tabelle.

Noch lieber aber ist es dem, der auch theoretisch die Wissenschaft erfassen und vielleicht fördern will, wenn diese Abhängigkeit, wie in dem vorigen Beispiel (Welle und Riemenscheibe) durch eine Gleichung gegeben ist. Auf diese ist der ganze Apparat der mathematischen Analysis zugeschnitten; um ihre reichen Hilfsmittel zur Beherrschung der Naturerscheinungen benutzen zu können, muß man also erst aus der experimentell ermittelten Tabelle das Abhängigkeitsgesetz in Form einer Gleichung zwischen den Variabeln herausfinden, die man in den meisten Fällen y ---- f(x)

schreibt. Die Funktion f(x) bezeichnet darin einen Ausdruck, der durch eine in bestimmter Weise vorgenommene Anwendung der mathematischen Rechenoperationen auf die Größe x (und eventuelle Konstanten) entstanden ist. Zur Unterscheidung der verschiedenen Funktionen kann man statt f auch andere Buchstaben wählen, also cp(x), F(x), Q(x), fx {x) u. dgl. schreiben. Diese analytische Darstellung der in der Natur vorkommenden Funktionen aufzusuchen, ist eine Aufgabe der theoretischen Naturwissenschaften; in vielen Fällen, z.B. bei dem Problem des gesättigten Wasserdampfes, ist sie noch nicht gelöst. Hat man y aber einmal in dieser Weise dargestellt, so kann man für jeden zulässigen Wert von x den entsprechenden Wert von y finden. Eine Tabelle kann selbstverständlich nur eine bestimmte endliche, wenn auch sehr große Zahl von Wertepaaren enthalten. Andererseits zwingt uns die mathematische Formulierung zu bisweilen recht umständlichen Rechnungen, während die Tabelle sofort Ergebnisse liefert und daher in der Praxis, wenn die Genauigkeit ausreicht, sehr beliebt ist.

Beispiele für Funktionen existieren in unzähliger Menge. In der Geometrie ist z.B. der Umfang eines Kreises eine Funktion des Durchmessers d, der in diesem Falle die unabhängige Veränderliche ist, nämlich    U = nd.

7t ist die bekannte Konstante 3,142.

Eine andere Funktion des Durchmessers ist der Inhalt I, nämlich

itd²

Technische Hilfsbücher, wie die Hütte, enthalten Tabellen für diese Ausdrücke, z. B.

3,142

6,283

9,425

12,666

15,708

18,850

21,991

25,133

28,274

31,416

0,7854

3,1416

7,0686

12,5664

19,6360

28,2743

38,4845

50,2655

63,6173

78,5398

In der Mechanik ist der von einem frei fallenden Körper zurück-elegte Weg s eine Funktion der Fallzeit t (s in m, t in sec), s    g ----- 9,81 m/sec*.

>obei c eine für jeden Fall fest gegebene Größe, eine Konstante, vor-ellt, während v die unabhängige, p die abhängige Veränderliche ist. In der Wärmelehre erweitert sich das eben erwähnte Mariotte-he Gesetz zu dem Mariotte-Gay-Lussacschen

Die theoretische Ausflußgeschwindigkeit einer Flüssigkeit v ----- ]/2 gh, äugt von der Höhe /r der Flüssigkeitssäule ab; der Druck, p Atm, den eine ^geschlossene Gasmenge von v cbm ausübt, ist (bei gleichbleibender Temperatur)

Darin ist B eine Konstante, während die absolute Temperatur T nd das Volumen v unabhängig voneinander geändert werden können; ist hier also eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen, em Raum und der Temperatur.

Die Elektrotechnik benutzt sehr häufig das Ohmsche Gesetz

it=x^'

i dem i die Stromstärke in Ampere, e die Spannung in Volt und w en Widerstand in Ohm angibt. Ist die Spannung, wie z. B. beim Leitungsnetz einer großen Zentrale, konstant, so ist die Stromstärke nur me Funktion des (regulierbaren) Widerstandes. Schaltet man vor tne Glühlampe einen Rheostaten, dann zeigt sich, daß auch die Licht-ärke, die Wärmeabgabe in der Zeiteinheit u. a. nt. Funktionen des nabhängig variabeln Widerstandes sind.

Ein Laie pflegt beim Blick in ein technisches Lehrbuch kein Hehl araus zu machen, daß ihn Formeln und Zahlen nicht interessieren. )okumentiert er hierdurch seine Verständnislosigkeit gegenüber den behandelten Problemen, so muß es andererseits auffallen, daß er an den Abbildungen der Maschinen haltmacht und sie sich wenigstens ansieht, wenn ihm auch die Art ihrer Wirkungsweise unklar ist. Während dort der mathematisch-technisch gebildete Verstand in Tätigkeit treten mußte, wirkt hier die unmittelbare Anschauung. Sollte es nicht möglich sein, auch eine Darstellung der Funktionen zu finden, die sich zur Tabelle und Gleichung verhält, wie das Bild zur Beschreibung? Nicht nur der Laie würde davon profitieren.

Ties gelingt in der Tat. Fast alle zu Messungen dienenden Instrumente stellen Zahlen unter Benutzung einer Skala als Längen dar. Die Angaben einer Briefwage, eines Amperemeters, Voltmeters, eines Manometers, Thermometers usw lesen wir ab, indem wir die Länge des Weges (in Skalenteilen ausgedrückt) bestimmen, die der Zeiger vom jeweiligen Nullpunkt ausgehend zurückgelegt hat. Als einfachster Repräsentant der Zahlen erscheint ein gerader Maßstab. Wir legen auf ihm einen Punkt als Nullpunkt fest und tragen von diesem aus eine passend gewählte Strecke als Einheit wiederholt ab. Es ist gebräuchlich, wenn die betreffende Gerade wagerecht liegt, die Zahlen 0, 4- 1, -f 2, -4- 3 usw. von links nach rechts folgen zu lassen, also wie die Buchstaben und Worte einer Zeile. Geht man nun von einer dieser Zahlen, z. B. 6, aus nach links, so kommt man, wenn man eine Einheit zurückgelegt hat, auf + 5, dann auf 4- 4 uff. bis auf 0. Bei der Fortsetzung dieses Verfahrens erhält man links vom Nullpunkt die Zahlen — 1, — 2,-3 usw. Die (positiven oder negativen) gebrochenen Zahlen entstehen leicht durch eine feinere Einteilung der Skala, z. B. 3,4, indem man das „Intervall" 3... 4 in IO gleiche Teile zerlegt und dann vier Teile, von 4- 3 an gerechnet, nach rechts abträgt. Noch feinere Teile lassen sich schätzen.

Die so erhaltene Gerade soll uns die Werte der unabhängigen Veränderlichen x repräsentieren, diese bezeichnen wir als Abszissen, die Gerade als Abszissenachse.

man

Gehört, wie es bei der Funktion y =■ f(x) der Fall ist, zu einem Wert von x ein Wert von y, so kann man diesen nicht ebenfalls auf der w-Achse darstellen, weil dadurch Verwirrung entstehen würde, sondern man nimmt die zweite Dimension der Ebene zu Hilfe, indem in jedem Punkte x der Abszissenachse die Senkrechte (Ordinate) errichtet und sie gleich = y macht; diese Zahl wird nach oben aufgetragen. wenn sie positiv, nach unten, wenn sie negativ ist. Bei Regi-

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Fig. 1.

Fig. 2.

Graphische Darstellung einer Ballonfahrt.

strierthermometern z. B. besorgt dies selbständig ein Schreibstift. Auf der Abszissenachse ist, als unabhängige Veränderliche, die Zeit angegeben, die zugehörige Ordinate gibt die zurzeit gemessene Temperatur an. Man beachte den Unterschied zwischen Wärme- und Kältegraden. (Fig. 1.) Die Krümmung der Ordinaten ist mit Rücksicht auf die kreisförmige Bewegung des Zeigers angeordnet.

Abszissen und Ordinaten nennt man zusammenfassend Koordinaten. Will man Celsiusgrade etwa in die des Fahrenheit-Thermometers umwandeln, so gilt die Beziehung

I/-32 + {*,

wenn x die Temperatur in Celsius», y in Fahrenyeitgraden mißt. Zur graphischen Darstellung dieser Funktion legt man x passende Werte bei und berechnet jedesmal y. So entsteht die folgende Tabelle.

x\ 0| 2 | 4 1 6 1 8 1 10 | 12 1 14 j 16    18 j 20 j 22 | 24 | 26 [ 28 [ 30

z,l32>35,6>3S,2>42,8>46,4>50,0>53,6>b7,2!60,8js4,4>68,0l71,6>75,2>78,8>82,4>8S.O

^ I — 2 | — 4 | — 6 | — 8 J — 10 1 — 12 | — !4 | — 16

i/|28;4|24,8|21,2|l7,6| 14,0 | 10,4 | 6,8 | 3,2 & | — 18 | — 20 | — 22 j -24 | -26 j -28 [-30 y I_ 0,41 - 4,01 - 7,61 - 11,2 | - 14,81 - 18,4 >-22

Jedes dieser Wertepaare stellt einen Punkt im Achsenkreuz (Kor ordinatensystem) dar; man sieht sofort, daß sie alle in einer Geraden liegen. Um auch alle möglichen Zwischenwerte zu berücksichtigen, braucht man nur das Lineal anzulegen. Für #-*=13 findet man z. B. y = 55,4 (Fig. 3).    ₂

Die auf Seite 3 für / = — berechnete Ta.

+10 +20+30

Fig. 3.

w m belle liefert bei der Zeichnung eine Anzahl von Punkten, die sicherlich nicht in gerader Linie liegen. Natürlich kann man I auch für eine be--■*—■* liebig große Anzahl von Zwischenwerten berechnen, dann schließen sich diese Punkte immer enger zusammen und kommen endlich einer Kurve beliebig nahe. Man erhält diese praktisch dadurch, daß man die (in genügender Anzahl) gezeichneten Punkte durch das Kurvenlineal verbindet (Fig. 4).

Man beachte den verschiedenen Maßstab auf den Achsen. Da die eine cm, die andere qcm darstellt und diese Maße wegen ihrer verschiedenen Dimensionen gar nicht miteinander verglichen werden können, so liegt keine Notwendigkeit vor, 1 cm durch dieselbe Länge wie 1 qcm wiederzugeben. Die Verschiedenheit des Maßstabes gestattet uns, ein größeres Wertegebiet der Funktion anschaulich zu machen, als sonst möglich wäre; ein Versuch beweist es. 7Q

rrm

Trotzdem wollten wir für die Zukunft 60 voraussetzen, daß das Einheitsmaß auf 50 der Abszissenachse dieselbe Länge besitze *> wie das auf der Ordinatenachse, daß das so bei Fig. 4 angewendete Verfahren also so nur eine Ausnahme sei.    ¹⁰

Fig. 4.

Maßstab. Borteile der graphischen Darstellung. Grundeigenschasten ^ Die Vorteile der graphischen Darstellung gegenüber Tabellen und Formeln liegen auf der Hand. 1. Die angestrebte Anschaulichkeit ist erreicht, deshalb wird z. B. ein Elektrizitätswerk seinen Aufschwung den Aktionären vor Augen führen, indem es die Monate üs Abszissen, die in ihnen an die Konsumenten abgegebene Kilowatt-tundenzahl (elektrische Energie) als Ordinalen aufträgt. 2. Die Auf-uchung des Funktionswertes geschieht ebenso schnell wie bei den Tabellen und das bei diesen notwendige lästige Interpolieren fällt ott; das hat das Kurvenlineal selbsttätig besorgt, als die einzelnen Punkte verbunden wurden. 3. Fig. 4 gestattet nicht nur, zu einem ge-;ebenen Kreisdurchmesser den Inhalt zu finden, sondern auch den Durchmesser zu ermitteln, wenn der Inhalt bekannt ist. Ist dieser ;. B. 60 qcm, so braucht man nur auf der Ordinatenachse den Punkt ----- 60 aufzusuchen und, wagerecht weitergehend (parallel zur Ab-zissenachse), die zugehörige Abszisse d ----- 8,74 abzulesen. Fig. 3 ist wensogut zu gebrauchen, wenn man Celsius- in Fahrenheitgrade um-vandeln will, als wenn umgekehrt die Temperatur nach der Fahrenheitskala vorliegt und in die Celsiuseinteilung übergeführt werden soll. Allgemein muß, sobald y ----- f(x) ist, auch x eine Funktion von y sein, c ----- (p{y), die man als inverse Funktion zu bezeichnen pflegt; um )iese darzustellen, ist also keine neue Kurve nötig, sobald man die ursprüngliche Funktion einmal gezeichnet hat.

Als wesentliches Merkmal einer Funktion haben wir die Ein w ertig-!eit hervorgehoben. Ist aber z. B. y = 2x 4- }/x, so ist für x = + l ntweder y = 2 +1 = 3 oder 2 — 1 = 1, und dasselbe gilt für alle lnderen Werte von x. In solchen Fällen stellt die Gleichung zwei ver-chiedene Funktionen dar. Man sprich! bisweilen von einer zwei-vertigen Funktion, doch widerspricht diese Ausdrucksweise unserer De-inition.

Wir hatten es ferner mit endlichen Funktionen zu tun, wenigstens n dem gezeichneten Intervall, denn nie wurde eine Abszisse oder Or-»inate über alle Grenzen groß. y ----- besitzt dagegen für a------ 2

einen endlichen Wert, sondern wird (abgesehen vom Vorzeichen) be-iebig groß, wenn man x genügend nahe an 2 herankommen läßt.

Außerdem waren alle Funktionen stetig, d. h. die Kurven zeigten eine Unterbrechungen, man konnte sie durch einen zusammenhängenden, lirgends durchschnittenen Faden bedecken. Die erwähnte Funktion

y    springt dagegen, wenn man in der Richtung der positiven

«-Achse den Punkt i = 2 passiert, von + oo auf — <x>.

Endlich nähert sich die Kurve I — in ihren kleinsten Teilen

immer mehr einer Geraden. Man erkennt dies, wenn man den Maßstab passend vergrößert (und dabei überflüssige Teile der Zeichnung fortläßt). Es gilt z. B. für den zwischen d = 3 unb d = 4 liegenden Teil folgende Tabelle, die in Fig. 5 wiedergegeben ist.

d I 3 I 3,1 I 3,2 I 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,8 | 3,9 |    4

^-|7,069[7,548|8,042|8,553|9,079|9/62l|l0,179|l0,752|ll,34l|ll,946|l2,566

Man zeichne die Funktion zwischen x ---- 3,4 und 3,5, indem man jedesmal / d um 0.01 wachsen läßt.

Diese Eigenschaft einer Kurve, in ihren kleinsten Teilchen geradlinig zu sein, bezeichnet man als Differentiierbar-feit. Eine differentiierbare Funktion muß 3    3,3    3,4    3,6    3,8 t,o also immer stetig sein, während die Um-

Fig. s.    kehrung dieses Satzes nicht immer zutrifft.

Die eben geschilderten vier Grundeigenschasten einer Funktion können wir. von vereinzelten Ausnahmen abgesehen, die man mit leichter Mühe erkennen kann, bei allen Funktionen voraussetzen, die in der Technik Verwendung finden.

Aufgaben.')

1. über einem rechtwinkligen Fabrikgrundstück bewegt sich ein Lauskran auf der Kranfahrbahn und eine Lauskatze auf dem Laufkran. Warum kann diese Anlage zur Erläuterung r---—T

des Koordinatenbegriffs dienen? (Fig. 6.)

Die folgenden Funktionen sollen graphisch dargestellt werden: 2.y=2+0,5x. 3. ?/---2—0,5«.

_LoM^aUe fl

4.y=-2+0,5«. 5.2/=-2-0,5«. 6.t/=™p + g«, | wenn für p und q beliebige bekannte Zahlen ge- 4

--- •    |C

1) Weitere Aufgaben findet man in Auerbach,

Die graphische Darstellung (ANuG Bd. 487), Crantz, Analytische Geometrie der Ebene (ANuG Bd. 504) und Neuendorff, Praktische Mathematik(ANuGBd.341).

F«g. s

nommen werden. Man ändere die Vorzeichen. 7. y—3a;⁸. 8.y----^L⁸.

9.y=a:⁸+2. 10.y —x*—2. ll.y—{•**—6. 12.y =>13 — 1,5a:⁸.

1    9 _    H    O />i 3

18. y = — K.y — ä+i' 15, y — P+i" ¹⁶~ y ~ sx*—~s‘ 17. y-y^ 18.?/-y2* + l. 19.y-^. 2#.y-]/||±|.

21.    Man wähle bei den gezeichneten Kurven Punkte aus, die von besonderem Interesse zu sein scheinen und zeichne deren Umgebung in zehn- oder hundertfach vergrößertem Maßstabe. Wozu?

22.    Wie wählt man den Maßstab, wenn man von der Kurve eine allgemeine Übersicht haben will?

23.    Kann man mit Recht der graphischen Darstellung den Vorwurf der Ungenauigkeit machen?

24.    Man ermittle den Funktionswert y aus der Zeichnung für Werte von x, die zwischen den bei der Konstruktion benutzten liegen (graphische Interpolation). Nachher stelle man durch direkte Rechnung den Genauigkeitsgrad fest.

25.    Welche der obigen Funktionen kann man (ungenau) als mehrwertig bezeichnen?

26.    Welche Funktionen werden für endliche Werte von x unendlich groß? Man Kaffe in y — die Größe x stufenweise dem Werte

V5 = ± 2,236 ... nahekommen, einmal von unten her (2; 2,2; 2,23; 2,236...) dann von oben her (3; 2,3; 2,24; 2,237...) y ----- oo ist nur eine symbolische Abkürzung für grenzenloses Größerwerden.

27.    Findet sich bei einer Kurve eine Unterbrechung der Stetigkeit?

28.    Legt eine Zeichnung die Vermutung nahe, daß eine unserer Funktionen nicht differentiierbar ist?

Zweites Kapitel.

Der Disserenzenquotient und der Differentialquotient. Differentiation einfacher Funktionen.

Die graphische Darstellung des Thermometer- und Barometerstandes interessiert vor allem deswegen, weil man sofort erkennen kann, ob in einem gewissen Zeitpunkt diese Größen steigende oder fallende Tendenz besitzen. Dasselbe gilt von der Produktionskurve einer Fabrik. Konnte man dort meteorologische Schlüffe ziehen, so kommt hier die Rentabilität des Unternehmens zum Ausdruck. Bei der Untersuchung der Funktion y ----- fix) tritt dieselbe Frage an uns heran. Zu ihrer Entscheidung für einen gegebenen Punkt, dessen Abszisse x und dessen Ordinate y ----- f(x) ist, lassen wir x um die Größe As auf xx wachsen, so daß As = xx — x ist. A ist die Abkürzung für das Wort Differenz, also ein Symbol ähnlich wie sin, cos u. dgl., nicht aber ein Faktor, mit dem x multipliziert werden soll. Gleiches gilt ja von dem bereits benutzten Zeichen f, dem Funktionssymbol. Für xr = x + As kann man den zugehörigen Wert Vx = /"Oi) --- f{x + As)

leicht berechnen. Ist yx größer als y, also yx — y größer als 0, so steigt die Kurve. yx — y sei der Analogie wegen durch Ay bezeichnet. Ist Ay kleiner als 0, so fällt die Kurve, ist Ay = 0,. so bleibt sie auf gleicher Höhe.

Es sei etwa y = ^x²in der Umgebung des Punktes ^zu untersuchen, dessen Abszisse L ----- 4 ist. Manberechnet zunächst y — ~• • 4² = 12,57. Dann erteilt man x einen beliebigen Zuwachs, z. B. As ---1, sodaß^ --- 5 wird. yx -----™«5² wird ----19,64 also A*/=19,64-12,57 = + 7,07.

Die Kurve steigt in dem betrachteten Punkte, mit wachsendem Durchmesser wird der Kreisinhalt selbstverständlich größer.

Ein Gas erfülle bei einem Druck von 1 Atm. und der Temperatur 15° den Raum 2001. Wird es ohne Temperaturänderung zusammengepreßt oder ausgedehnt, so gilt für Druck p und Volumen v die Beziehung: pv ----- 200 • 1 ----- 200 oder p — — • Hat man das Gas auf v ----- 2501 ausgedehnt und vergrößertden Raum noch um

Mg. 9.

Fig. 8.

Fig. 7.

so ist P = ^ = 0,8 Atm.;

1 ^=250 +l,7 = 251,7;p₁=^ = ₀,7946Atm.,Ajp = -0,0054,

der Druck nimmt ab.    '

Es interessiert aber nicht nur, zu erfahren, ob eine Größe zu- oder abnimml, sondern auch, ob diese Änderung relativ stark oder schwach 5 ist. Tritt der erste Fall bei y = f(x) ein, so wird für einen kleinen Zuwachs A® die Ordinate y erheblich größer werden. Die Verbindungsgerade der betreffenden Kurvenpunkte PPX wird steil gegen

die Abszissenachse geneigt sein, das „Steigungsmaß" tg¹)« = wird groß sein (Fig. 7). Bei schwacher Steigung ist klein (Fig. 8)

und bei fallender Tendenz negativ (Fig. 9), da der Zähler negativ, der Nenner positiv ist. Auch « wird im letzten Fall negativ. Zeichnet

und verbindet die Punkte, deren Abszissen x = 5,    = x + /\x = 7

sind, so toicb y- 1,25, Vl = 5,25, tg « = -|f -    = 2, « - 63» 26

Pu

4y

PA

Pt

man z. B. die Kurve, welche der Gleichung y = °^—x entspricht (Fig. 10)

Fürrr---1, xt = 3 erhält man Ay=0, tg « = 0, «=0; für -r ----- — 4, xt = — 2 wird A^ = —2 —(—4) = + 2,</ = 8,y₁ = 3, Ay= —5, also tg« = - 2, 5, « = - 68° 12'.

1) Näheres über die Funktion Tangens findet man in Crantz, Trigono-;f mehrte (ANuG Bd. 431 § 5).

ANuG 887: Lindow, Differentialrechnung, 2. Aufl.

Fig. 10 zeigt aber auch gleichzeitig die Mängel unseres Verfahrens es wurde bisher nicht eigentlich das Steigen und Fallen der Kurv selbst untersucht, sondern man bk trachtete die Verbindungslinie zweie Kurvenpunkte, eine Kurvensekante und deren Verlauf gibt den der Kurv doch nur in roher Annäherung wieder Für x — 1, A« = 2 fanden wi Ay = 0, die Sekante steigt dm weder noch fällt sie, sondern sie läü der Abszissenachse parallel. Für bi Kurve selbst trifft dies in dem gi -4 -2    5    7 nannten Intervall durchaus nicht zi

Apc

Ax

Fig-IO.

sie fällt zunächst, dann steigt sie Wiede Aber wenn auch Kurve und Sekan qualitativ dasselbe Verhalten zeigen, wie für x = 5, so gilt doch dc oben gefundene Steigungsmaß für die Sekante, nicht für die Kurv Nimmt man für die willkürliche Größe A « einen anderen Wert, z. 8 1 an, so wird dort

= 1,75, « — 60°15\ 1,4025- 1,25

Ay 3-1,25

= 1,525; « = 56°45f.

0,1

Ax = 0,1 liefert =

A.-0,Olgibt^-^-^

Das Steigungsmaß der Sekante ist demnach sicherlich von der Wal der Zusatzgröße A x abhängig. Wenn man diese sehr klein annimm so ist die Abweichung der Kurve von der Sekante schon sehr gerin«

so daß der zugehörige Differenzenquotient -- mit immer zunehmendk

Genauigkeit als Steigungsmaß der Kurve betrachtet werden kam je kleiner man Ax wählt. Zur Klärung des Problems unterbreche wir einen Augenblick die Untersuchung unserer Kurve, um uns der bi kanntesten krummen Linie, dem Kreise, zuzuwenden.

AB in Fig. 11 sei eine Sehne, die Verlängerung BS ergänzt si zu einer Sekante. Zieht man von A aus eine kürzere Sehne AB so wird der Zentriwinkel kleiner (Mt < M), Winkel A größer (At> A bei A = 90° — y, At= 90°—^- <$CA nähert sich unbegrenzt einer

Sekante und Tangente rechten Winkel, wenn B nahe genug an A heranrückt. Soll die Sehne z. B. so gezogen werden, daß die Abweichung höchstens 5° beträgt, so braucht man nur den Zentriwinkel AMB₂ = 10° zu machen; für alle Sehnen, die noch kleiner sind als AB2l ist der Unterschied 90° — A geringer als 5°.

Fig-11.

Ist A = 90°, so tritt statt des Dreiecks AMB₂ die Linie AM auf. Unsere Gerade hat die Lage AT, sie ist keine Sekante mehr, da sie den Kreis nicht mehr in zwei Punkten von endlicher Entfernung schneidet, sondern nur noch A mit ihm gemeinsam hat. Wir nennen sie jetzt Tangente.

Kann man allgemein durch einen gegebenen Punkt A einer Kurve (die nicht gerade ein Kreis zu sein braucht) eine Gerade ziehen, der sich die verschiedenen von A ausgehenden Sekanten unbegrenzt nähern, und zwar um so mehr, je kleiner die entsprechende Sehne wird, so wollen wir diese Grenzlage als Tangente bezeichnen; aus dieser Definition ergibt sich, daß sie besser als jede Sehne das Verhalten der Kurve in jenem Punkte kennzeichnet; ihn nennen wir Berührungspunkt.

Die obigen Überlegungen, welche uns die geometrische Konstruktion der Tangente an einen beliebigen Punkt eines gegebenen Kreises lieferten — man hat nur nötig, im Berührungspunkt aus dem zugehörigen Radius die Senkrechte zu errichten —, gelten nur für diese Kurve, bei jeder anderen müßte man von vorn anfangen. Deswegen suchen wir ein

allgemeines Verfahren und greifen auf unser Beispiel    )

Wir wissen, daß wir für jede Sekante, mögen die Endpunkte der zugehörigen Sehne nahe oder weit sein, das Steigungsmaß finden können. Es läge nahe, das der Grenzlage dadurch zu erzwingen, daß man xx einfach gleich x setzt. Dann wird von selbst yx=y und der Differenzenquotient    Im ersten Augenblick könnte man vielleicht annehmen.

daß dieser Wert gleich 1 sei. Die Prüfung ist leicht. Daß ~ = 3 ist, beweist man durch Ausführung der Multiplikation 3 - 4, die den

Zähler des ersten Bruches, 12. ergeben muß und auch ergibt; f = 5 ist falsch, denn 5 - 6 ist 30 und nicht 23. So scheint J = 1 zu sein,

2*

14 II. Der Differenzenquotreut und der Different:-,lquotient usw. denn 1 -0 = 0. Aber der Wert tg a = 1 entspricht dem Winkel a = 45°, der offenbar für unsere Figur nicht paßt. Auch rechnerisch scheint der Differenzenquotient nicht der Zahl 1, sondern 1,5 zuzustreben, da wir oben für ihn die Werte 1,75; 1,525; 1,5025 erhielten. In der Tat kann man auch £ = 1,5 setzen, •ß. ,ßi denn 1,5 * 0 = 0, aber ebensogut auch gleich jeder andern endlichen Zahl a;

•B,

•B,

Fig. 12.

ist an sich völlig unbestimmt. Dies entspricht genau geometrischen Tat-fachen. Nimmt man x = xv y = t/v so hat man überhaupt nicht zwei Punkte -(die eine bestimmte Sekante liefern würden), sondern nur einen, und durch einen Punkt kann man, wenn man sich um seineUmgebung nicht kümmert, eine Gerade in ganz beliebiger Richtung legen, so daß ihr Steigungsmaß, tg a, völlig unbestimmt wird (Fig. 12).

Unser Verfahren versagt also gerade da, wo wir es brauchen, es gleicht einem Weg, der in der Nähe des Zieles durch einen Fluß unterbrochen wird. In diesem Fall wird der Wanderer sich freuen, einen parallel laufenden Pfad zu entdecken, der an der kritischen Stelle eine

Brücke hat. Die Aufgabe ist daher, den Ausdruck so umzuformen,

daß er nach wie vor für jede Sekante richtig bleibt, daß er aber gleichzeitig erkennen läßt, ob ein Grenzwert da ist, von dem er beliebig wenig abweicht, wenn A -r hinreichend klein gemacht wird. Ist dies der Fall, so gibt der Grenzwert des Differenzenquotienten den Tangens des Winkels, welchen die Kurventangente mit der positiven Abszissenachse bildet, denn diese war ja als Grenzlage der Sekante definiert. Um das in der Benennung zum Ausdruck zu bringen, spricht man nach dem Übergang zur Grenze nicht mehr vonDifferenzen-, sondern vomDifferential-

quotienten und schreibt (Aussprache: dy nach dx). Da er aus r,--^(a:) hervorgegangen ist, heißt er auch die Ableitung dieser Funktion und wird, wenn keine Verwechslung möglich ist, durch y' oder f’(x) bezeichnet. Die Aufgabe der Differentialrechnung ist es, zu jeder gegebenen Funktion y = f(x) den Differentialquotienten zu bilden oder (in selten vorkommenden Fällen) die Unmöglichkeit dieses Prozesses nachzuweisen.

So ist in unserem Fall

y    Vx = iV - xii

Ay_(yr i⁸ — a?t) — (-f-a;⁸ — L)_¹ — x₁ — \x² + x

Ax 4 iCj — a:    a;t — a:

Aj/ ₌ -^(a^-a;*)--^ -s) ₌ 1(^1 -«) K +ar)-(a?i-x)

Nehmen wir z.B.rr---- 5,    6, so erhalten wir — ^(6    +    5) — 1

= 1,75; für 3 = 5, x₁ --- 5,1 wird    = 1,525, für a? = 5,    xt    = 5,01

resultiert 1,5025. Man bekommt dieselben Werte wie oben; es muß ja auch so sein, da nur erlaubte algebraischeUmformungen vorgenommen wurden.

Lassen wir jetzt xx immer näher an x heranrücken, so strebt xt + x dem Werte    und der Grenzwert des Differenzenquotienten,

der Differentialquotient, wird

§i = y' = f'(x) = i • 2 x — 1 = f - 1.

Für x = 5 ergibt sich ?/= 1,5, wie wir es früher vermuteten, a wird 56° 19'.

In der Technik bewirkt die endliche Strichstärke der Zeichnung, daß sich Sekante und Tangente, Differenzen- und Differentialquotient, sobald die Differenzen einigermaßen gering sind, nicht merklich unterscheiden.

Eine Veranschaulichung des Überganges vom Differenzen- zum Differentialquotienten liefert für unser Beispiel v

At/ 46

Fig. 13. Hier sind die Werte von

für x = 5 und verschiedene Werte von w Ax berechnet und dann graphisch dargestellt worden.

0,2    04. Qfi 0,8

Rig. 13.

Ax

0,2

0,6

0.8

1,0

Ay 0,31    0,64    0,99    1,36    1,75

^    1,55    1,6    1,65    1,7    1,75

Bei anderen Funktionen strebt das zeichnerische Bild der Differenzenquotienten auch immer für Ax = 0 dem Differentialquotienten zu, aber im allgemeinen krummlinig.

Wir untersuchen jetzt die einzelnen Funktionen planmäßig.

y = ax -f- b

1. Eine Funktion heißt linear oder ersten Grades, wenn sie durch die Gleichung

gegeben ist, in der a und b bekannte konstant bleibende Zahlen sind. Es ist dann    y₁=ax₁ + bl

also

/\y = yx — y = aXx — CLX — a(xx — x) — (l/\X

= a. Jede Verbindungsgerade

•    zweier Punkte der Linie hat genau das

selbe Steigungsmaß, daher ist auch im Grenzfall derDifferentialquotient konstant, nämlich

Fig- 14.

Die Linie, welche die lineare Funktion repräsentiert, hat stets dieselbe * Richtung, muß daher eine Gerade sein. Ihr Winkel gegen die X-Achse genügt

der Gleichung

Für x = 0 wird y = &; 6 bedeutet somit das Stück, welches die Gerade auf der Ordinatenachse abschneidet.

Man wende diese Betrachtungen auf die graphische Darstellung der Funktionen

y= 2®+l; V= 1,5*;—3; y = — 0,4as-f 6; y = — 1,2«—3 und ähnliche an, sowie auf Fig. 3 und Aufgabe 2 bis 6.

Ist b ----- 0, so geht die Gerade durch den Anfangspunkt. Ihre Ordinalen sind den Abszissen proportional, denn aus y = ax folgt für zwei Wertepaare xlf y₁ und xz, y₂

y₂ = ax2l yL=axt,

also durch Division y₂: yx = ax₂: ax₁ ----- x₂: xv

Ein Beispiel ist y = nx, denn die Umfänge der Kreise sind ihren Durchmessern proportional, tg« ist hier ----- 3,142, a ----- 72°21'. Entsprechende Verhältnisse treten auf, wenn man Rsaumur- in Celsiusgrade, Meter in Fuß und sonstige Maße ineinander umrechnet. Das Hookesche Dehnungsgesetz heißt auch Geradliniengesetz, weil die Dehnung der Spannung proportional ist usf.

2. Die reine quadratische Funktion ist definiert durch

Hier und weiterhin sind die Konstanten durch die Anfangsbuchstaben,

Funktionen ersten und zweiten Grades die Variabeln durch die Endbuchstaben des Alphabets bezeichnet, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil ausgemacht ist.

A y ₌ yl-y ₌ cfo *-xa) ₌ c(x₁-x)(x₁ + a?)

A x x₁ — x xx—x A V — c (xt + x).

iJ

Läßt man jetzt xx immer näher an x herantreten, so kann man im Grenzfall xx = x setzen und hat dann

Die Kurve, deren Gleichung y = cx* ist, definieren wir als Parabel. Durch

Division erhält man | = cx, also dy

!p

2_y

tg cc — 2 cx = ^

Fig. 15 zeigt, wie dies Ergebnis zur Konstruktion der Parabeltangente PQR in P benutzt wird.

Sollen alle in der Parabelgleichung vorkommenden Größen Strecken bedeuten,

so muß man die Konstante c durch — ersetzen, hat also

AflQ

_x*

a heißt der Parameter.

QS sei senkrecht auf PR. Dann ist nach dem pythagoräischen Lehrsatz

x*

SA-AR — AQ², SA

Fig. 15.

_A Q*_ 4 _ay_ a

AR " y ~~ ±y ~ 4

Der Punkt S heißt der Brennpunkt der Parabel. Bewegt man ein Zeichendreieck so, daß der Scheitelpunkt des rechten Winkels auf der Abszissenachse fortschreitet und der eine Schenkel stets durch den Brennpunkt geht, dann bildet der andere eine Parabeltangente. Eine genügende Anzahl derselben läßt die Gestalt der Kurve sehr deutlich hervortreten (Umhüllungskonstruktion)?)

l) Genaueres über die Parabel findet man in Crantz, Analytische Geometrie (ANuG Bd. 504, V. Abschnitt).

3. Die einfachste kubische Funktion ist y — ax3 A y _ axt⁹—ax⁸ _ a (x₁s—xs) _ a(xl — x) (xt i+x₁x-\- x*) " xx-x    xx-x ~

— a (xx³ + x + 3²).

~—S ax~.

Im Grenzfall (xx = -r) wird

4. Zur Differentiation der Funktion -rten Grades

y ----- aa;w +    ¹ + cxn~³ H-----\- Tex + l

braucht man die Formel

xxn — xn — (xx — x) (xxn~l + x^~³x + xxl~³x³ + xxn~^x3 H-----h xx³ xn~³ + xx xn~³ + x”—¹),

deren Richtigkeit sich leicht durch Ausmultiplizieren ergibt, da sich dan die mittleren Glieder paarweise aufheben.

Ay a{x\— xn)-f6 (aff— * —xn—*)-\-c{x%—2—x»—'*)-l-----[-fcfo—a;)-j-Z-

Ay jx.-x) [a(aff—i-f x”-2x-\—ix'n-i)+b(x?-2-\- • • +fl«-2)-fc(a”-3+-■ -j-as«—s

— a (x’}~¹+---+ xn~l) + b (aff-² + --- + a:”-²)

+ c (aff⁻³ -I-----f- xn~³)----\- Te.

In der ersten Klammer stehen, wie sich durch Abzählen der Expr nenten (a?°, xx... xn~¹) ergibt, n Glieder, in der zweiten n — 1 ns Im Grenzfall nehmen in einer Klammer alle Summanden denselbe Wert an, nämlich xn~x, xn~³ usw. Es ist

|| = naxn~x + (» - 1) bxn~³ + (n - 2) cxn~³ + • • • + Tc.

Eine Anwendung unserer Formel ist die Ableitung des binomi schen Satzes für ganze positive Exponenten?) Bekanntlich t1 (a + x)³ = a² + 2ax + x3 (a + a;)⁸ == a³ -f 3 asx + 3 ax³ + x³.

Bei jeder weiteren Multiplikation wächst der höchste Exponent vo x, der „Grad" der erhaltenen Funktion, um 1; man hat schließlic a) {a + x)n — A + Bx + Cx³ Dx³ -\- ” •Lxn~¹ Mxn, und es ist unsere Aufgabe, die konstanten Koeffizienten zu bestimmet Soll die Gleichung nicht nur für einen speziellen, sondern für jede

1) Eine Ableitung dieses Satzes ohne Differentialrechnung steht in Crans Algebra (ANuG Bd. 205), Y. Abschnitt. Dort finden sich auch Eigenschaste der bei der Entwicklung auftretenden „Binomialkoeffizienten".

Funktionen 3. und n. Grades. Binomischer Satz

Lert von x richtig sein, so gilt sie auch für zwei Nachbarwerte x und Diese Gleichungen darf man subtrahieren und durch /\x = xt—x ividieren. Die linke Seite wird

x -f xx)n— (a + x)n

[(g+x,)-{a + xj] [(« -f xt)n(a + ^)w~²(a+ a) + --- + (a + x)n~x]

xt — x

[(« +    — (a + #)] = [a -{- xt — a — x] — [xt — x].

Die erste Klammer des Zählers hebt sich gegen den Nenner, und der Differenzenquotient wird der zweiten Klammer gleich. Der Diffe-entialquotient wird links ----- n{a + x)n-x. Die rechte Seite der Gleichung kann nach der obigen Regel differentiiert werden. So ergibt sich

b) n{a + x)n~¹ = B -f- 2Cx + 3Dx² -----h (n — l) Lxn~²

+ nMxn~x.

Die vorigen Betrachtungen lassen sich wörtlich auf diese neue Glei-hung anwenden, und man erhält durch wiederholtes Differentiieren ;) n(n -!)(« + x)n~a=2C + 2 • 3Dx

_|-----1- (n — l)(n — 2)Lxn~³-\- n(n — l)Mxn-²

l) n(n — l)(n — 2) (a + x)n~³ = 2 • 3 • D f • —\-{n — 1) (n — 2) (n — 3)Lxn~i + n(n — l)(n— 2)Mxn~³

i {n — 1) (n — 2) ... 3 • 2 • (a + x) == (n — 1) (n — 2) ... 2 • 1 • L + n(»-l). .. 3 • 2Mx

i(n—l)(n—2)...‘d'2-\—n(n—l)...3'2'l'M.

A = an 2? = y an~x

Für den speziellen Wert E ----- 0 ist i) an — A\

i) nan~x = B;

an~²

C!=

;) n(n — 1 )an~²= 2 • (7;

1) »(» -1) (» - 2) a—* = 2 • 3 • D; D=a—³

• ^ ' I

’-i

s I -

I

M= 1.

also

st”⁻²*²

(st -f- x)n == an + y st”'

+    ~ a”~s a:³-|-----f- y «a;”“¹ + aJ".

Es läßt sich leicht zeigen, daß die vorher für (a + x)° und (a + a;)3 angegebenen Ausdrücke Spezialfälle dieser allgemeinen Formel sind. Bei der Ableitung dieses Satzes war eine Funktion y = f(x) gegeben. Es wurde zunächst ihr Differentialquotient y' = f’(x) gebildet und dieser dann nochmals differentiiert. Das Ergebnis heißt der zweite

Differentialquotient von y und wird y" oder f"(x) oder

geschrieben. Durch nochmalige Differentiation erhält man den dritten Differentialquotienten

,»'_»<*>» f»(*)-0« ff-

./I

°*0 X, X,

Fig. 16.

Will man den Wert des Differentialquotienten für alle Punkte einer gegebenen Kurve y ----- f(x) darstellen, so zeichnet man zu der ursprünglichen die „Ableitungskurve". Man wählt auf der Abszissenachse eine Reihe von Punkten (xtl x₂, Lg,... xn) aus (am besten in gleichen Abständen), errichtet in ihnen auf der Achse Senkrechte, trägt auf diesen die berechneten Werte von f(x) ab und verbindet die Endpunkte durch eine Kurve. In Fig. 16 ist QP .ä—J. unter Benutzung der Tangente AC graphisch

' konstruiert [f (x) = tg « -    -1=PQ\

Aus der ersten Ableitungskurve {y ----- f’(xj) kann man die zweite (y ----- f"(x)) finden uff.

Aufgaben.

29.    Wie lautet die Gleichung einer Geraden, die der L-Achse parallel läuft und von ihr den Abstand b hat?

30.    Hat y den konstanten Wert b, so ist y’ = 0. (Beweis!)

Man differenziere 31. y = -r²; 32. y = 3a?²; 33. y —    + 3;

34. y = ^®²+ 3a;; 35. y = x² + x 4- 1.

36. Man stelle bei der Funktion y ----- ?ta;² den Übergang des Differenzen- in den Differentialquotienten für einen beliebigen Wert von x, etwa x = 2, graphisch dar, indem man /\x die Werte 1,0; 0,9;

0,8; ... 0,1 beilegt. Ebenso berechne man für jedes A« den zugehörigen Sekantenwinkel und lege auch deren Werte in einer Kurve nieder.

Höhere Differentialquotienten. Ableitungskurve. Aufgaben 21

37.    Ein Würfel habe die Kantenlänge x cm, dann ist sein Inhalt y ----- x³ ccm. Man denke sich eine Ecke festgehalten und lasse jede der drei Kanten, die von ihr ausgehen, um A# cm wachsen (z. B. durch Erwärmung). Der Körper vergrößert sich dann um drei quadratische Platten, drei rechteckige Balken und einen kleinen, der festgehaltenen Ecke gegenüberliegenden Würfel. Man gebe die anschauliche Bedeutung von Ay ott und beweise, daß der Differenzenquotient mit abnehmendem A* immer mehr dem Werte Sx² nahekommt.

38.    Soll an die Kurve y = x³ die Tangente in einem gegebenen Punkte gelegt werden, so trägt man, wenn y positiv ist, entweder diese Ordinate zweimal auf der negativen I"-Achse ab und verbindet den Endpunkt mit dem Kurvenpunkt, oder man zerlegt die Abszisse x in drei gleiche Teile und verbindet den passenden Teilpunkt mit dem Kurvenpunkt. (Beweis!)

39.    Wie hat man bei dem eben beschriebenen Problem zu verfahren, wenn y negativ ist?

40.    Gelten die Konstruktionen 38 und 39 auch für y ---- ax³, wenn a eine positive oder negative Konstante ist?

41.    Gelten sie auch für die allgemeine kubische Funktion

y — ax³ + bx³ + cx + e?

Welches sind die Differentialquotienten der Funktionen

42.    y =±x³ — 1; 43. y=\a*+ x — 5] 44. y = — \x³ + x²\

4F y — _ ßS _|_ xi _ 2. ?

46.    Welchen Wert haben sie für x = 0, 1, 2, 3, 4, welchen für

XB ---1, —2, — 3, -4?

47.    Man prüfe die Richtigkeit der eben erhaltenen Lösungen durch die Zeichnung und bilde selbständig ähnliche Aufgaben. Zu beachten ist auch das auf S. 15 geschilderte Annäherungsverfahren.

Die Funktionen 48. y = 0,01z⁴; 49. y = 0,1a;⁴ — 0,2a;³; 50. y = x⁴ — 100 a: usw. sind entsprechend zu behandeln.

Man beweise die Richtigkeit der Formeln

51. (a + x)4 = a4 + 4a3x + 6a2x2 + 4ax3 + x4\

Parabel. Elastische Linie nimmt für x = 0 den beso

Andererseits muß arctg = — sein, denn

m-i-fi-o

5 = 1 + 1 + I1i(1-i)+5a

TI. Recht, Wirtschaft und Technik.

51.    (a + x)⁴ = a⁴ + 4a³x + 6a²x² + 4ax³ + x⁴\

52.    (« 4- aj)⁵= ab + 5a⁴x + 10asa:² + 10a²x³-\- 5ax⁴ + x3 einmal durch Ausmultiplizieren, dann durch wiederholte Differentiation.

53.    Wie lautet der erste, zweite... sechste Differentialquotient von

IJ = X⁴*

22

III. Allgemeine Differentiationsregeln usw.

54.    Man löse dieselbe Aufgabe für die Funktionen der Aufgaben 2—12, 31—35, 42—45, 48—50, für y = 2x⁸--}x« + £a;⁴ unb ähnliche.

55.    Man zeichne für verschiedene der in 53 und 54 erwähnten Funktionen die Ableitungskurven. Wenn notwendig, sind die Ordinalen dabei zweckmäßig zu verkleinern.

Drittes Kapitel.

Allgemeine Differentiationsregeln. Differentiation schwierigerer Funktionen.

Allgemeine Sätze.

Satz 1. Der Differentialquotient einer Summe wird gebildet, indem man die Differentialquotienten der Summanden addiert. Entsprechendes gilt von der Differentiation einer Differenz.

Beweis: Es sei u --- f{x), v = <p{x), y = u -\- v. Dann ist, wenn man den Wert, den die Funktion f für xx einnimmt, mit ult (p(xx) mit vx bezeichnet:

A y __    -f vx - (u -f v) ^ M,

dy

Vz

xt-

v Au    A»

x    A x    A x

ZI_- _|_

du dv dx ' dx

Für y = u — v ist der Beweis ganz analog, y' ist ii' — v'. Geometrisch erhält man y = u + v, indem man die Kurven y = u = f{x) und y=v = (p{x) zeichnet und die zu einem bestimmten Wert x gehörenden Ordinalen addiert. Dann wird auch der Zuwachs der Ordinate beim Übergang von x zu xv Ay = Au + Av.

Beispiel 1. z/---3^-j- 4^ soll nach Satz 1 differentiiert werden. Lösung: w=3a;⁶; u'= 15a:⁴; v=4a;²; v'=8a:; y'=u'+v'= 15a;⁴+ 8x.

Beispiel 2. y = 10a: — 0,4a:⁶; u — 10a:; u'= 10; v = 0,4a;⁶; v' — 2a:⁴; y' = u' — v' = 10 — 2a:⁴.

Satz 2. Ist y—cf(x), so ist y'=cf'(x). (c sei ein konstanter Faktor.)

Beweis:

also int Grenzfall

somit

A y ₌ cf(xx) - cf(x) ₌ ctfjx^-fjx)] ₌ c Af(x)

dy_ ₌ df(x) dx dx Der geometrische Nachweis ist auch hier einfach.

Differentiation von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten 23

Satz 3. Ist y = f(x) • <p(x), so ist y' ==/■'• y -f y' • f. Beweis:

Aj/ ₌ /(a;t) • (pjx^-fjx) ■ y(a)

Man kann die Differenz — f(x) • y^) + /*(a?) • y(^) ohne Fehler einschalten, da sie gleich Null ist

Aj/ ₌ /(a-i) - y fa) -/(«) - yfo) + f(x) - cp(xt)-f(x) - y(a?)

AJ ₌ yfoHflsiWfr)] ₊ m [y (*,) - y(*)]

Beispiel 3. y = (a:² + 5x) (3 — 2 a:³); ■M=a:²+5a:;w, = 2a;+5; v — 3 — 2x³; vr = — 6 x²; y' = u'v-i- v'u = (2x + 5) (3 —2z³) + (— 6 x²) (x² + 5 x) oder ausmultipliziert und zusammengefaßt y' — — 10a;⁴— 40a;³ + 6a; + 15. Dasselbe Ergebnis erhält man natürlich, wenn man zuerst vereinfacht und dann differentiiert.

f(Xi) f(x)

Ay y(^i) y(cv) _ f(x t) • yfo) - yfa) ■ f{x) y(*) • y(^i) • to-z)

Wir schalten hier —f{x)cp(x) + f(x}cp{x) ein

Ay ₌ fjxjcpjx) - f(x)cp(x)-{-t\x)(p{x) -g>{xx)f{x) cp{x) ■ y (xt) (xj — x)

Ay ₌ y(a;)[A^i) -foOJ - Äg)[y(gi)-y(g)]

A*    y (*) • y (^i) (*i — *)

Man kann Zähler und Nenner durch xt —x =/\x dividieren

y(») • y(*j)

<Zy_    ,_f'-cp — rp'-f_u'v — v'u

dx “    qp*    v⁸

u'v-v'u __ (2a; + 2)(a;-5)-l(a;⁸+2a;+l) _ o;⁸-10a;- 11

~~    (* - 5)⁸

Beweis:

A*

A*

Im Grenzfall hat man

Beispiel 4.

v⁸

(* — 5)⁸

Satz 5 über Funktionen von Funktionen. Es kann vorkommen, daß y nicht direkt als Funktion von x gegeben ist, sondern von einer Größe z = cp(x) abhängt, die ihrerseits eine Funktion von x ist. Man hat dann, wenn die Werte x, y, z\ xv ylt zx zusammengehören,

y ----- fO) =/(>(*)); Vi = f(h) = f{<p(xx))

A V ₌ f(ß J-fie)

₌ cpjxj-cpjx) f{zy) - f(z) cpixj-cpix)

xa;

also

Äx Az Äx z₁—z

y = (2 x— 1)³= r*

Beispiel 5.

^ = 3,« = S(2*-1)»;

Satz 6 über implizite Funktionen. Ist der Zusammenhang zwischen x und y durch die Beziehung cp{x,y) — 0 festgelegt (z. B. x* + y — 4 = 0), so kann man aus dieser Gleichung in vielen Fällen y durch x ausdrücken, also den Zusammenhang in der bisher gebräuchlichen Weise    y ----- f{x)

angeben. (In unserem Fall ist y = 4 — x².)

Während y ursprünglich „implizite" als Funktion von x gegeben war, hat man es jetzt „explizite" als Funktion von x dargestellt. Aber zur Bildung des Differentialquotienten ist diese Umrechnung nicht notwendig. Aus g> (x, r,) ----- 0 folgt, wenn xx und yx zusammen-

9C^rCtt' 9>(®i»yi)=0 und <p {xv y^ - cp {x, y) = 0, <pfa,yi)-<p(x,y) o

Hier schaltet man die Größe cp {x, yt) — <p {x, yt) ein, die selbstverständlich = 0 ist, also nichts ändert

qp (ag| ,yi)-<p fo Vi) + y («> Vi) - qp (je,y) = 0

qpQ^yJ-qpfoyi)¹. qpfoyJ-sKs.y) _ ₀

xt — X    ‘    x₁ — X

gpfoiyj-yfoyi) , gpfayO-yfoy) . tt-y = 0 a-1-a-    "l"    yi-y    *1-®

As

Geht man jetzt zur Grenze über, so wird wie bisher ⁼ —

u Während im allgemeinen x und y variieren, ist der Ausdruck

x _ x so gebildet, daß der Wert vonz,, nämlich yv konstant

«leibt und nur 2 sich ändert. So ist die Bezeichnung „Partieller Differen-enquotient" und im Grenzfall „partiellerDifferentialquotient" Anleuchtend. Zum Unterschiede von den bisher abgeleiteten „totalen"

dcp

Differentialquotienten ^ verwendet man für die partielle Differen-iation das runde ö. So wird

dx dtp

₊    und

dx cydx

dy

Beispiel 0. «3 fei * = | + f-l-0

d(p_ 1    dcp_ 1    dy_    _ b

dx    a'    dy    b»    dx    a

Aus der Gleichung folgt

bx -f- ay = ab,

y = b — (Explizite Darstellung)

and hieraus

dy ₌ _ b

was das frühere Resultat bestätigt.

Da die gegebene Gleichung linear ist, so stellt sie eine Gerade dar. Zür x = 0 wird y = b, für x = a wird y = 0, also sind die Abschnitte ruf den Achsen a und b, und wenn a der Neigungswinkel gegen die X-Achse ist, so hat man

tg (180°— a) = — tg a =    * tg cc — —

Beispiel 7.

—    a<iP —2<c d<P_2y dy _    b*x

V — a$+ h, 1 — u) Wx~~a?' dy⁻!)*) Jx--a!y'

Beispiel 8. Mandifferentiiere z,---cra:—Lösung: In ^---aL^^ist Der negative Exponent*) an und für sich sinnlos, da x nicht — n mal als Faktor gesetzt werden kann; will man auch diesem Ausdruck eine Bedeutung beilegen, so wird man zweckmäßig handeln, wenn man sie mit den Besetzen der Potenzen mit ganzzahligen Exponenten in Einklang bringt.

? ,e*en

Da bekanntlich aP'at= aP+? ist²), so folgt, daß man a-n= muß, denn durch Multiplikation mit «”+* ergibt sich

l) Crantz, Algebra I (ARuG 93b. 120, § 31).    2) Crantz, a. a O., § 13.

1    a¹¹^^

an

a~n. an+l _ a— » + w + l _ ai —    _--«« + ¹ ----- ...------- ----- K.

Soll y ----- (w positiv ganzzahlig) differentiiert werden, so be-

yxn ----- a, cp ='yxn — cr ----- 0.

42—52^-’-5*--»«»*-*-¹.

achte man

wOr=n»x"-U’ T%=xn’ dx

Die auf S. 18 für positive ganzzahlige Exponenten abgeleitete Regel gilt also auch, wenn der Exponent negativ ganzzahlig ist.

xn

Beispiel 9. Die vorigen Betrachtungen sollen auf y = ax* angewandt werden.*) Lösung: Es ist ---- j/%pf denn mit Benutzung des Satzes (xm)n=xmn folgt, wenn man beide Seiten mit s Potenziert,

Somit ist

dtp ₌ gyi

(i

a,-xr=°i    3J

dy _ _j_ pxp 1

* — a®

<2t/ p xp~~l-yaq_p xp~¹-axq-aq_p axls~¹,

yq

aqxp

Die oben erwähnte Regel darf man daher auch bet gebrochenen positiven Exponenten anwenden. Man weise die Gültigkeit nach,

wenn n =

-fiü-

Satz 7 über inverse Funktionen. Ist y ----- f(x), so gehört im allgemeinen zu jedem Wert von x ein Wert von y und auch umgekehrt zu einem Wert y ein passender Wert x, d. h. x ist die inverse Funktion von y\ es ist x ----- cp(y) (vgl. S. 7). x, y und xv yt seien zusammengehörige Wertepaare. ft —y ₌    ¹    .

Wi - yf

l) Crantz, Algebra I (ANuG Bd. 120, § 35).

Beliebige Potenzexponenten. Inverse Funktionen. Aufgaben 27

As _

Aa:    Aqp'

Betrachtet man links y als Funktion f von x, rechts x als Funktion y von y, so folgt

Beispiel 10.

y    x = y\= (p{y))

(dgl. Beispiel S,)

dy__dl_ i dx dx

Aufgaben.

A. Differentiation von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten.

56.    Es soll der Differentialquotient von y = u — v abgeleitet werden.

57.    y ----- af(x) + lcp{x) soll differentiiert werden, wenn a und 6 konstante Zahlen sind.

58.    u, v und w seien Funktionen von cc; es sei y = uvw. Wie groß ist ylc*

Man bilde die Ableitungen von 59. 2(a:²+l); 60.5 (tu—l)(a; + l); 61. y(a;² + x + 1) (x — 1); 62. (a:⁸ — 2a:) {x — 1) {x — 5) und ähnlichen Ausdrücken einmal nach den Regeln des Kap. III, dann, indem man zunächst die Klammern auflöst und vereinfacht.

63. Man weise nach, daß Satz 2 in Kap. III ein Spezialfall des folgenden Satzes ist.

-1;

«4..-4,; 65.,-?±- M. „-£!?+•

x'+gx + h'

Die vorhergehenden Lösungen können aus Aufgabe 67 durch geeignete Spezialisierung leicht gefunden werden. Man bilde selbständig Beispiele mit Funktionen höheren Grades.

ANuG S87: Lindow, Differentialrechnung, 2. Aust

B. Funktionen von Funktionen, implizite Funktionen, Potenzen mit beliebigen Exponenten.

68. y = (x + l)⁶. 69.7/ = 0z²+2z + l)³. 70.y = (x³+3x² + + 3a?+ l)². 71. y = (a + b x + cx*)n. 72. ($3 fei xy — a² = 0, mie

groß ist y't Es mögen die Funktionen 73. y =    74. y — lx~³,

75. y ----- cx~⁷ und ähnliche differentiiert werden. 76. y = Y x. 77.y = ]/x. 7S.y=Y^\ 79.y = ~ S0.y = ~ $l.y = ~.

82. y=Yx^l. 88.    84. y    Ix + cx*

Man löse jede Aufgabe möglichst nach verschiedenen Methoden.

Die trigonometrischen und zyklometrischen Funktionen.

Der Winkel wird in der höheren Mathematik stets im Bogenmaß angegeben. Man konstruiert um den Scheitelpunkt einen Kreis mit T-- ^    dem Radius 1 (beim Grad maß ist

Fig. 17.

Gradmaß

360°

er beliebig). Die Länge des zwischen den Schenkeln liegenden Bogens, in derselben Einheit gemessen, gibt die Größe des gegebenen Winkels im Bogenmaß an (Fig. 17). Die Winkelgeschwindigkeit einer rotierenden Scheibe ist bekanntlich der Weg, den einer ihrer Punkte, der vom Mittelpunkt 1 m entfernt ist, in einer Sekunde zurücklegt. Sie gibt also den in einer Sekunde von einem Radius überstrichenen Winkel im Bogenmaß an. Der Winkel, der im Gradmaß 360° beträgt, wird im Bogenmaß durch den Umfang des Einheitskreises gemessen, mithin gelten die Beziehungen Bogenmaß 2tc

1°

¹⁸J° = 57,296° = 57° 18'

m-°'⁰¹⁷⁴⁵

1.

Z. B. ist der Winkel 43°16' im Bogenmaß 43^-0,01745 = = 43,27-0,01745 = 0,7552. Ferner ist 30° = y, 45°=    ,

60°= y, 90°= y, 180°= 7t.

Der im

Bogenmaß gegebene Winkel a = 0,42 ist im Gradmaß 0,42-57,296 = 24,064°; 0,064°= 60-0,064'= 3,84'. Man hat also, auf Minuten genau, a = 2404;

Wählt man den Radius eines Kreises — a (statt 1), dann wird auch der Kreisbogen, welcher von den Schenkeln des Winkels cp (Bogenmaß) eingeschlossen wird, a mal so groß, also

B ----- acp.

Der zugehörige Kreisausschnitt ist (Bogen • Radius: 2)

EL

ff]

Bj D,

Ih Jj

ff

h₂

Fig. 18.

1. Es soll jetzt die Funktion    sin » differentiiert werden. Dazu stellt

man sie zunächst graphisch dar, indem man den Radius MA des Einheitskreises verlängert und ihn als L-Achse betrachtet. Da auf dieser die Werte der Winkel, die im Bogenmaß gegeben sind, abgelesen werden sollen, so wickelt man den Umfang des Kreises auf ihr ab, indem man ABX ----- Bogen AB, ABX ----- AB macht usf. Sodann fällt man von B, D usw. Lote auf die Abszissenachse und überträgt sie unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens auf die vorher gefundenen entsprechenden Punkte. So entstehen die Geraden BXB₂, BXB₂ usw. Die Linie AB₂B₂... ist die in der Elektrotechnik wichtige Sinuslinie (Fig. 18). Ihre Gleichung ist y ------ sin». Z. B. ist in dem rechtwinkligen Dreieck

BMN der Winkel L4 = »; ^ = sin»; BM= 1, also SJV=sin».

Ersetzt man x = AB durch ABt und BN durch B^B^, was nach Konstruktion gestattet ist, so folgt    BXB₂ = sin ABX,

was zu beweisen war.

jj    Es sei jetzt in Fig.19,

bie einen Teil von Fig. 18

AKT^k--vergrößert darstellt,

Bl

Ax

Ci

AC₁ = xv also B₁C₁ = xl — x = /\x. Ferner ist C₂ L = C₃ Ct jsj--5₂Bi = y₁ -y = Ay,

CtL

Fig. 19.

Ax BtL

Aus ABt = AB und AC₁ = AC folgt ACi—AB₁ = /\x = BCl Ay ist nach Konstruktion = CK,

m\mAy

also

CB

Ay ₌ CK

Begnügt man sich mit einem Anschaulichkeitsbeweis, so kann man sagen, daß, wenn Az kleiner wird, der Bogen CB mit immer größerer Genauigkeit durch die Sehne CB ersetzt werden kann.

Fig. 20.

Äi%1)§5⁼ cos K CB.

Die Mitte von CB sei 0 (Fig. 20), sie werde mit M verbunden, dann ist «$£KCB = OMA, weil die Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen und durch eine Drehung um 90° in parallele und gleichgerichtete Lagen kommen.

« cos OMA — cos (AMB + BMO) ----- cos {x + y Az). Im Grenzfall wird Az unendlich klein,

OMA ----- x und    — cos x.

Zu einer strengeren Ableitung braucht man den Hilfssatz: Je kleiner der im Bogenmaß angegebene Winkel u ist, um so mehr nähert

sich der Wert ^ der Einheit. (Fig. 21.)

1) W ist das Abkürzungszeichen für „nahezu".

Differentiation der trigonometrischen Funktionen

31

«,

it-

Beweis: MA sei der Radius des Einheitskreises, CMA = BA die in A an den Kreis gelegte Tangente. Dann ist das Dreieck OMA kleiner als der Kreisausschnitt OMA und dieser kleiner als das Dreieck BMA. Dreieck    sin «---4-sin«.

MA - MA ■

Kreisausschnitt OMA =

= \BM • MA - sin« = 4- • — • 1 • sin « = i —. Daher ist') 2 sin a < y « < -|- Dividiert man alle drei Größen durch die

gleiche positive Zahl -§- sin «, so wird ihr relatives Größenverhältnis nicht geändert.    ₁    < ¹

^ sin a ^ cosa*

Je kleiner « wird, um so größer wird cos«, um für « = 0 schließlich den Wert 1 anzunehmen. Die obere Grenze für nämlich wird in diesem Falle gleich 1, und da die untere dauernd 1 bleibt, so besteht für den zwischen beiden liegenden Grenzwert von keine andere Möglichkeit, als auch 1 zu werden. Ebenso strebt natürlich sein reziproker Wert, !31^, jetzt der Einheit zu.

2 sin

Setzen wir nun y = sin x, so ist A y_yt — y_sin xt—sin x_

Ay_

Ax

m-

Im Grenzfalle wird xt — x, also erst recht sehr klein, und

also

der erste Faktor nimmt den eben ermittelten Grenzwert 1 an. wird schließlich gleich x,

dx~eosx-

2. Die Ableitung von y = cos x läßt sich ganz entsprechend durchführen, was zur Einprägung des obigen Gedankenganges sehr emp-

1)    Crantz, Trigonometrie (ANuG Bd. 431 § 156).

2)    Man vergleiche in technischen Kalendern die Werte des Sinus, Bogens und Tangens, die zu einem Zentriwinkel im Einheilskreise gehören.

3)    Crantz, Trigonometrie (ANuG Bd. 431 § 26).

fehlenswert ist. Schneller kommt man zum Ziel, wenn man sich an die trigonometrische Formel*)

cos a? ----- sin (90° — x) oder bei Benutzung des Bogenmaßes

= sin — xj

cos z ----- cos (y “ ^ = sin x — 1

erinnert. Es sei ~ ■ — x = z, daher y ----- sin s, dann hat man nach Satz 5 auf S. 24 dy ₌

dy^

dx~~ — s*n X

(vgl. Satz 4 auf S. 23)

3. y = tgx differentiiert man am bequemsten mit Benutzung der Formel*) tgx =

rtaO-sm*; <p(x) - cos f (a?) = cos a?; <p (x) = — sin x cos a? • cosa?—(—sina?) • sin fl?

f;

Aus der Trigonometrie ist bekannt, daß der im Zähler auftretende Ausdruck cos²re + sin²A? stets den Wert 1 hat, daher ist

4.

y = ctsx = ^c

5. y = arc sin x [arcus sinus] ist die inverse Funktion zu fl? — sin y. Die zugehörige Kurve findet man, wenn man bei der Sinuslinie y = sin fl? die Koordinaten vertauscht, d. h. die Figur um die Symmetrielinie der positiven fl?- und //-Achse dreht.

dy ₌ _i_ (vgl. S. 7, Satz 26f.)

r_(— sin fl?) - sin fl?—cos fl? • cos fl?_

^    sin ^ fl?

. ©

“ cos y = ]/l - sin²?/ --- /i - fl?²,

also

dy ₌    1_

c?A? “ y

l) Crantz, Trigonometrie (ANuG Bd. 4SI § 7).

Trigonometrische und zyklometrische Funktionen

33

6.    y = arc cos x ist die inverse Funktion zu x = cos y

— sin ?/ = — f/l — cos²?/ — — f/l — x* djy ₌__

7.    y — arc tg x, x = tgy,

cos²?/-}-sin²?/

dy ₌ l dx 1 -f x²

8. y = arc ctg», x — ctgy,

dy cos * y sin² y cos² y

= 1 + tg² y — 1 -f x²

= — (1 + ctg²?/) = — (1 + x*)

dy sin² y

sin²?/ -f cos²?/

sin² y

dy ₌___

dx    1 -}- M²

Die zyklometrischen Funktionen (Nr. 5 bis 8) sind vor allem bei der Integralrechnung wichtig.

Aufgaben.

85.    Welcher Bruchteil vom Radius muß auf der Peripherie eines Kreises abgetragen werden, damit der zugehörige Zentriwinkel den Wert a) 1°; b) l'; c) l" hat?

86.    In der Funktion y = sin x sei x der spezielle Wert 0,3 beigelegt. Es soll der Übergang des Differenzen- in den Differentialquotienten nach dem früher entwickelten Verfahren (vgl.S. 15) graphisch dargestellt werden, wenn /\x — 1,0; 0,8; 0,6; 0,4; 0,2 ist.

87.    Man löse dieselbe Aufgabe, indem man A» = 0,10; 0,09; 0,08 ... 0,01 nimmt.

88.    Es soll eine entsprechende Darstellung für die Ableitungen der andern Funktionen gegeben werden, etwa für cos 0,52; tg ctg 4,6.

Man differentiiere:

91.?/ = tg (nx).

90. y ----- cos (nx):

93. y — a sin (m x) -}- 6 cos (nx).

96. y ----- cos²r. 99.y=arccos^y

89. y = sin (nx).

92.y --- ctg (nx).

94. y = «sin (ct-f &). 95. y = sin²#

97. ?/ = sin².r-f-cos²r. 98. y — arc sin

101. y — arc

100. y — arc

102. Man zeichne die Kurve y ----- arc sin x und versuche, den Winkel a, den eine beliebige Tangente mit der -r-Achse bildet, geometrisch zu konstruieren.

Der Logarithmus und die Exponentialfunktion.

Es darf als bekannt vorausgesetzt werden^), daß der Logarithmus einer Zahl a zur Basis S derjenige Exponent ist, mit dem 6 potenziert werden muß, damit man die gegebene Zahl erhält. Ist y -----⁶lg a, so folgt nach dieser Definition 6? = a. Die wichtigsten Sätze über Logarithmen sind

(1)    »lg (uv) =    »lg w + »lg v,

(²)    61g(ir) =    61gM~~61gy'

(3)    »lg (un) —    n »lg u,

(4)    »lg(>M=i *lgw.

Ist d größer als 1, und dies ist bei

den gebräuchlichen Logarithmensystemen der Fall, so gilt    ,

-(5)»lgO=- <x>,benn6-co=^₅

bedeutet einen Bruch, dessen Nenner beliebig groß, dessen Wert also beliebig klein und im Grenzfall 0 wird;

(6)    »lg 1 = 0, beim 6° = 1,

(7)    »lg 6 = 1, denn    6,

~1

-2

-3

-4

Fig. 22.

(8)    »lg b² ----- 2, denn b² ----- b²,

(9)    »lg bn = n, denn 6” ----- bn.

Die Kurve y = b\gx verläuft also so, wie Fig. 22 zeigt.

Zur Bildung des Differentialquotienten von y = »lg x nehmen wir b zunächst beliebig an und behalten uns vor, im Verlaufe der Rechnung für die Größe den Wert zu wählen, der uns am passendsten erscheint. Den Zuwachs /\x machen wir aus Zweckmäßigkeitsgründen gleich dem -rten Teile von x, wobei n eine beliebige ganze²) Zahl bedeuten soll (in der Figur ist x = 5, n = 10 gewählt), die im Grenzfall unendlich groß wird.

2) Es läßt sich zeigen, daß diese Beschränkung des Wertes n nicht notwendig ist.

Logarithmus und Exponentialfunktion A y _ ⁶lg(a?4-Ax) —*Iga: _ ° \ X / _ g \    n /

Wir untersuchen, ob für (l + ein endlicher bestimmter Wert

resultiert, wenn n immer größer wird. Wenn er existiert, nennen wir ihn e. Nach dem binomischen Satze (S. 18f.) ist

n 1 n(n — 1) 1 _n(n — l)(w — 2) 1

ln’' 1- n²    12 3 na

-l)(n-2)...    -[n- 1]) 1

+ •••-

Man dividiere jetzt jeden Faktor n, n — 1, n — 2, ... durch je einen Faktor des Produktes n • n • w ...

“(¹⁺^) ”1 + 1+r2‘¹(¹⁻¥)⁺rfs'¹(¹⁻'S')(1_n)

+nVi(‘-i)(‘-i)(- i)

+-"+i:*:v₄...»(¹ “+H¹ “4)'"!¹ “++

Setzt man dann -r = oo, so wird die Reihe 6=1 + 1 + ^ + ^ ₃

Nur die Schlußglieder erfordern eine besondere Untersuchung; sie zeigt, daß die genannte Reihe für e tatsächlich völlig richtig ist. Verwandelt man die Brüche in Dezimalbrüche und rundet die vierte Stelle nach dem Komma ab, so erhält man einen Näherungswert.

—, ~ usw. = 0, also beginnt

+ ••

12 3 4 1+1+|= 2,5000

sie = 0,1667 = 0,0417 = 0,0083 = 0,0014

12 3 4

1-2-34-5

1 2 3 4 5 6

172.37+677 ” °'⁰⁰⁰²

= 0,0000

123.456.7.8

= 2,7183.

Allerdings ist jetzt noch fraglich, ob die fehlenden Glieder und die Abrundungen das Ergebnis nicht wesentlich fälschen. Diese Frage wird später im verneinenden Sinne entschieden werden.

Im Grenzfall (n --- oo) resultiert, wenn y = b\gx ist dy blge

Besonders einfach wird das Ergebnis, sobald man e selbst zur Basis des Logarithmensystems nimmt (natürliche Logarithmen). Statt des Symbols elg schreibt man einfach l (wie man die einfachste Wurzel durch V , statt durch ]/~ bezeichnet), le ist nach (7) ---1, also folgt

y — Ix

y=-.

y X

Die gebräuchlichste Basis ist 10 (Briggische, gemeine oder künstliche Logarithmen)

(10)

oo

Aus

y --- ¹⁰lg x liefert (unter Benutzung der Logarithmentafel)

, _ ¹⁰lg e _ 0,43429 y ~ x ~~ x

Es sei y der natürliche und z der Briggische Logarithmus von x.

z — ¹⁰lg x

ergibt sich

also

y = lx und

6y = X UNd 10* ----- X, ey = IO-".

Man logarithmiert beide Seiten nach Vorschrift der Gleichung (3) auf S. 34, indem man einmal 10, einmal e als Basis nimmt.

y • "lg e ----- z • ¹⁰lg 10 = z y • «lge = y — z • ZI0.

Hieraus ergibt sich durch Einsetzen der Werte für y und z

lx-¹⁰^ lx~ ¹⁰lg c

(12)

(13)

Der Wert x — 10 liefert in (12)

*l° = T5j~e

110 • ¹⁰lge — 1.

Da "lg e nach der Logarithmentafel = 0,43429 ist, so ist «lg 10 = 2,30259. Man kann daher (12) und (13) auch schreiben lx= "lgz • «HO = 2,30259 ¹⁰lgy ,0lg x = lx- ¹⁰lg e = 0,43429 Ix.

(14)

So kann man bequem die Logarithmen des einen in die des anderen Systems umwandeln. Die Richtigkeit der angegebenen, den Tafeln entnommenen Zahlenwerte wird später (Lehre von den Reihen) bewiesen werden.

Wie aus der Definitionsgleichung für die Logarithmen hervorgeht, sind die Exponentialfunktionen zu ihnen invers. Aus y = exfolgt

&-»

dy~y' dx

(16)    Die Ableitung von ex ist also wieder ex. y = ax gibt, nach e logarithmiert

ly dx 1    1 dy ,

x=ii[ d^ ⁼ uc-p d~x=yla~

(17)    Die Ableitung öon ax ist axla.

Eng verwandt mit der Exponentialfunktion einerseits und den trigonometrischen Funktionen andererseits sind die Hyperbelfunktionen. Man definiert

(18)    (Sin x = — (e* — e~x)

(19)    Cos-r---^(6--l- e~x)

Ihre Ableitungen sind sehr leicht zu finden

ly — xla,

(22)

(23)

x = ly,

axla.

(20)    %%x- £₀\x—ex + e-x

Cos x_ex + e-*

(21) Ctg x =

Sin-»

(24)

d%QX

Cos'«

(o₆\ d£tQX__1

^ > dx    <Sin*x

Aufgaben.

103.    Es soll die Funktion y= (l + graphisch dargestellt werden.

104.    Man zeichne die Kurven a) y = (l + b) yt = 1;

c) = ¹ + Y •    d)y₃=l+    • l    ^;

⁶) Vi = ¹ + 1 • i + n{~' ■ „1 + n(K !    2> • h ™fto-in

dasselbe Achsenkreuz ein und beachte die immer genauer werdende Annäherung.

105.    Man berechne dienatürlichen Logarithmen der ganzen Zahlen von l bis 10 nach Formel 14 auf S. 36, indem man die künstlichen Logarithmen einer Tafel entnimmt und vergleiche die Ergebnisse mit

einer Tabelle (z. B. in der „Hütte"). Benutzt man den Rechenschiebers, so ist die Berechnung besonders bequem, da die Zahl 2,303 dauernd eingestellt bleiben kann?)

106.    Man zeichne die Kurven y = la; y = ¹⁰lga; y -----²⁰lg x, bestimme für einen beliebigen Wert von x, etwa 5, den Differentialquotienten und prüfe, ob die Kurventangente die berechnete Neigung gegen die Abszissenachse hat.

107.    Man wende das aus S. 15 geschilderte Verfahren an.

108.    Es soll dieselbe Ausgabe für e* und 10* gelöst werden {x = 0, 1, 2, 3).

109.    Man stelle die hyperbolischen Funktionen graphisch dar und prüfe die Richtigkeit der für die Ableitungen gefundenen Werte nach den bisherigen Methoden an speziellen Werten von x.

Man leite die Formeln

110.    Cos x + Sin x ----- e*.    113. Sin (2 a) = 2 Sina Cos x.

111.    Cos a — Sin a ---- e~x. 114. Cos (2 a) — Cos²a + Sin² a.

112.    Cos²a— Sin²a--- 1.

ab und untersuche, ob noch andere, den trigonometrischen ähnliche aufgestellt werden können._

115. y = 1 {x + i/x² -f a²) soll differentiiert werden.

Viertes Kapitel.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung technisch wichtiger Kurven.

Die Gleichung einer Kurve sei y = f{x). (Fig. 23.)

Schreibt man y einen bestimmten Wert a vor, so liefert die Gleichung    f{x) == a

die Abszissen der Punkte, die von der a-Achse den Abstand a haben. Diese Punkte müssen, wenn a positiv ist, über, wenn a negativ ist, unter der Abszissenachse liegen. In Fig. 23 hat z.B. y den vorgeschriebenen Wert a, wenn x ----- OM = xa ist. Die negative Größe b wird erreicht, wenn x — ON ----- xb oder auch, wenn x = OQ = xbl wird. Für den

1)    Vgl. Neuendorff, Praktische Mathematik (ANuG 33b. 341 VI. Vortrag).

2)    Für die Berechnung von Potenzen oder Wurzeln mit beliebigen Exponenten, sowie für Logarithmen beliebiger Basen ist der von Nestler in Lahr in den Handel gebrachte Rechenschieber „System Peter^ hervorragend geeignet. Die elementaren Operationen lassen sich durch ihn wie mit jedem andern Instrument ausführen.

speziellen Werta^-Oerhältman die Schnittpunkte mit der-r-Achse, die Gleichung f(x) ----- 0 würde also in unserer Figur durch die Ab-szissen OB, OP mb OH befriedigt sein.

Är

aW

C/

xaj

Q_\H_

F\

xb

Schon auf S. 14 wurde erwähnt,daßderDif-ferentialquotient y'= f'(x) = tgu ist, wenn u den Tangentenwinkel bedeutet. Ist y\ also auch a, positiv, so steigt die Kurve (Punkt A, 6); ist 2/' negativ, so —— fällt sie (Punkt/ ist y' ----- 0, so läuft sie m omentan d er Absziss en-achseparallel (Punkt J),

Fig. 23.

G). Dies ist stets bei den höchsten und tiefsten Punkten der Kurve der Fall.

Ebenso wie das Vorzeichen von y und y' ist auch das der zweiten Ableitung y" für die Untersuchung von Bedeutung. Es sei x eine beliebige Abszisse, xx = x + Aa; eine größere. Steigt die Kurve in dem Punkt, der zuxt gehört, stärker als in dem vorigen    y

(Fig. 24), so werden ihre Tangentenwinkel größer, also auch deren trigonometrische Tangenten

<^>v°d°r^>0

und im Grenzsall >0, t/"> 0.

Die Kurve ist dann in unserem Achsensystem nach „oben" konkav (Punkt K, J, G in Fig. 23).

Ist */"< 0, so ist sie konvex (Punkt L, D, E)\ ist y” = 0, so ist sie momentan ganz geradlinig, man spricht von einem Wendepunkte (Fig. 23, C und F).

Die Verbindungslinie zweier naher Kurvenpunkte liefert im Grenz-fall die Tangente. Um eine noch größere Annäherung mit einfachen

x± — x    Ax

Fig. 24.

Mitteln zu erhalten, sucht man einen Kreis, der sich der Kurve möglichst gut anpaßt, den Krümmungskreis. Soll ein Kurvenstück AB als ein Kreis gelten, so muß der Mittelpunkt aus dem Schnittpunkt zweier „Normalen^ (Senkrechten auf der Tangente im Berührungspunkt) liegen; wir wählen die Endpunkte A und B als Berührungspunkte. Der Winkel zwischen den beiden benachbarten Normalen sei cp. Aus Fig. 25 geht hervor, T daß cp = at — a = A« ist.

dy

Fig- 25.

Der Kreisbogen AB hat (vgl. S. 29) die Länge qcp — q • A«. Die Sehne AB ist

As-y(A3),+ {Mf- A*]/i + (ff)“'

Rücken A und B näher und näher, so werden diese Größen immer mehr gleich, es ist nahezu

(®)

eA^A,yr₊(H)!

und im Grenzfall genau q =

Nun besteht aber die Beziehung:

• -ri-s

“ = arcte(S

(vgl. S. 33). Man kann hier die Hilfsgröße ^ = w einführen und a = arctg u

1    du ä^y , , da

^dArÄ' rdx⁼dxt> ‘)st9cr dTc ⁼

also

hat dann

ioi

du 1

•*&

Diese Größe kann man in die Gleichung für o einsetzen

&y

dx*

Besonders einfach wird die Formel, wenn die Kurve der Abszissen

dx%

achse momentan parallel läuft, dann ist nämlich ^ = 0, der Zähler wird 1, und    _ JL _ 1

9o d*y «"* dxa

Will man an eine Kurve parallel zu einer gegebenen Geraden AB die Tangente legen, so zieht man zwei parallele Sehnen CD und EF, halbiert sie und bringt die Verbindungslinie der Mitten zum Schnitt T mit der Kurve. (Fig. 26.) So erhält man, wenn das Kurvenstück nicht zu groß ist, den X,

Fig. 26.

Berührungspunkt der Tangente. Der Beweis ist leicht, wenn man den Kurvenbogen durch den Krümmungskreis ersetzt,denn fürdenKreis ist das geschilderte Verfahren streng richtig.

Es läßt sich zeigen, daß es auch für die andern Kegelschnitte (Ellipse, Parabel, Hyperbel) exakt ist, und da sich ein Kurvenbogen durch eine dieser Linien mit großer Genauigkeit annähernd ersetzen läßt, so liefert es fast stets sehr gute Ergebnisse.

Nach diesen allgemeinen Untersuchungen besprechen wir einzelne technisch wichtige Kurven speziell.

1. Die gerade Linie.

Die Theorie der geraden Linie wurde, soweit sie uns angeht, schon aus S> 16 behandelt. Einige Beispiele sollen ihre große Bedeutung für die Praxis zeigen. Jede Lösung möge graphisch (g.) ausgeführt werden.

Aufgaben.

116.    Welche Geschwindigkeit v (in m/sec gemessen) nimmt ein Körper, der frei fällt, nach t Sekunden an? Wie groß ist sie, wenn er in einer Fallrinne herabrollt, die unter dem Winkel a gegen die Horizontale geneigt ist? (g.)

117.    Ein Thermoelement liefert, wenn die Lötstelle um 100° erwärmt wird, folgende Spannung: Eisen-Konstantan 0,0053 Volt; Kupfer-Konstantan 0,004 Volt; Eisen-Nickel 0,0032 Volt; Kupfer-Nickel 0,0022 Volt; Eisen-Platin 0,0017 Volt. Man stelle die Be-

ziehurig zwischen Temperatur und Spannung graphisch dar und vergleiche die Diagramme. (Elektrische Pyrometer.)

118. Die Größe des Widerstandes in Ohm, welchen ein Leiter von 1 m Länge und 1 qmm Querschnitt besitzt, heißt sein spezifischer Widerstand c. Dieser ändert sich mit der Temperatur. Bei 15" sei er gleich c₁₅, bei t⁰ ist er dann c = c₁₅ [! + «(< —15)]. (g.)

Nach der „Hütte" sind die Konstanten__

Stoff

Alu-

mmtunt

Blei

Eisen

stauten

Kupfer

silber

C16

0,03 iß

0,21

0,10-0,14

0,5

0,017-0,0175

0,95

+0,0037

+ 0,0037

+ 0,0045

-0,00003

+0,004

+0,00087

119.    Der Raum, den ein Gas bei 0° einnimmt, sei v₀. Dann erfüllt es bei gleichbleibendem Druck, wenn die Temperatur t° ist, das Volumen v = y₀(l +- ±t). (g.)

Beispiel: v₀= 11

120.    Aus einer Tabelle findet man sin 20°30' = 0,3502; sin 20°40'=0,3529. Wie groß ist sin 20° 37'? Welcher Winkel gehört zu sin a = 0,3510? (g.)

2. Die Parabel.

Schon auf S. 16 ist die Gleichung der einfachsten quadratischen Funktion

gegeben. Ihre technische Bedeutung liegt darin, daß in den Naturwissenschaften sehr oft eine Größe dem Quadrat einer anderen proportional ist. c ist die Proportionalitätskonstante. Aus y=^ folgt y' = ~ und y" ----- 2. Wir nehmen a zunächst als positiv an. Dann

ist y für alle positiven und negativen Werte von x positiv, die Kurve fällt nie unter die Abszissenachse.

y' ist für positive Werte von -r stets positiv, für negative stets negativ. Die Kurve hat rechts von der Ordinatenachse stets steigende, links stets fallende Tendenz. Die weitere Diskussion der ersten Ableitung ist bereits auf S. 17 erledigt.

y" ist stets positiv, die Parabel also nach oben konkav.

,SlMS

Parabel. Elastische Linie nimmt für x = 0 den besonders einfachen Wert ~ an. Der Krümmungsradius im Scheitelpunkt der Parabel ist gleich dem halben Parameter oder dem doppelten Brennpunktsabstand. Da sich der Krümmungskreis hier der Kurve gut anschmiegt, so ist er eine wertvolle Ergänzung der Umhüllungskonstruktion, die gerade an dieser Stelle zeichnerische Schwierigkeiten bietet.

Ist a negativ, so liegt die Kurve ganz unterhalb der n-Achse, sie ist symmetrisch zu der eben beschriebenen Gestalt.

Ausgaben.

121.    Welchen Weg durchsällt eine ohne Anfangsgeschwindigkeit abgeworfene Bombe in t Sekunden? (g.)

122.    Ein Wasserstrahl fließt mit gleichbleibender Geschwindigkeit (c m/sec) aus einer wagerechten Röhre. Welche Bahn beschreibt er unter dem Einfluß der Schwere?

123.    Welche Geschwindigkeit v m/sec muß ein Geschoß von P= 50kg Gewicht haben, damit seine Wucht a) SOOOOOmkg, b) GOOOOOmkg, c) 900000 mkg ist? (g.)

124.    Ein elektrischer Strom durchfließt einen Leiter, dessen Widerstand 120 Ohm ist. Wie hängt die in der Sekunde erzeugte Stromwärme von der Spannung ab? (g.)

3. Die elastische Linie.

PI* (x 1 a?³\

y~2Ej\ T"bF)!

77/ dabei sind x und y auch in cm gegeben. sy// (Elastische Linie; Fig.27.)

Für x = 0 wird y = 0;

für x -----1 wird y -----

Ein Stab, dessen Eigengewicht verhältnismäßig klein ist, sei an einem Ende in horizontaler Richtung fest eingespannt. Seine Länge sei l cm, sein Elastizitätsmodul E kg/qcm, das Trägheitsmoment seines Querschnitts Jcm⁴. Wird sein freies Ende mit Pkg belastet, so deformiert er sich infolge dieser Beanspruchung auf Biegung. Die oberen Fasern werden gedehnt, die unteren verkürzt, und ein Teil der mittleren, die sogenannte neutrale Schicht, behält ihre Länge, aber nicht ihre ursprüngliche Lage. Die Gleichung ihrer neuen Gestalt ist vielmehr nach den Sätzen der Mechanik

Vs

Fig. 27.

i Pl* 3 eT

ANuG 387: Lindow, Differentialrechnung, 2. Aufl.

Diese Größe stellt die maximale Durchbiegung dar.

folgt

Für ein Doppel-ff'-Eisen, Normalprofil 12, ist «7= 328 cm⁴. Nimmt man E ----- 2150000 kg/qcm an, und ist l — 1,5 m, P= 100 kg, so 100.150*

2/max — 3-2150000 - 328 Cm

?/max ----- 0,16 cm — 1,6 mm.

Pl*

M 2EJ\l laJ

Es Wird für a: = 0 also in unserem Beispiel

y’o =

PP

2 EJ

l--O

y,° ~ 2 EJ'

100 - 22500

= 0,0016,    « = 5|'.

Zwischen * = 0 und x = Z bleibt | stets kleiner als 1, also

3-2150000-328

-(f

Px

stets positiv und ebenso y'. Die Kurve hat steigende Tendenz. x = Z ergibt a = 0.

EJ

Die zweite Ableitung ist y"=    (— ^ =

Sie verschwindet für x = 0, das freie Ende des Stabes wird zum Schluß gerade. Zwischen x = 0 und x = l ist y" negativ, die Kurve konvex. An der Einspannstelle wird, da y' — 0 ist, i _ EJ

?o== v,ama ~~

q₀ == — 47000 cm ----- — 470 m.

Das Vorzeichen gibt die Richtung an, in der der Krümmungsmittelpunkt liegt.

Bei Berücksichtigung des Eigengewichtes G gilt, wenn sonst keine Kraft (etwa P) wirkt, eine andere Formel, nämlich GP (x i #⁴\

y~em

1 m des eben beschriebenen Doppel-1-Eisens wiegt 11,15 kg, daher ist G ----- 16,7 kg, die anderen Konstanten sind schon bekannt.

Die Diskussion der Kurvengleichung wird wie vorher geführt. Die maximale Durchbiegung ist

16,7-150*    3    A,

y-» - 672I6ÖÖÖÖ7328'4 = °-01 Cm ~ °'1 mm'

Di° Größen y' - ~ (j - fr) - A (l -

Gx* 2EJI

y” — —

und

lassen ähnliche Schlüsse wie vorher zu.

Wirkt außer dem Eigengewicht noch die Kräfte so summieren sich natürlich die durch die beiden Kräfte hervorgerufenen Abweichungen y der Anfangslage; es ist

l* [-n(X Xs\ , G /X

y ‘ imru _ m ⁺ s (t ~ «#

Eine sehr reichhaltige Zusammenstellung der Gleichungen für die verschiedenen Formen der elastischen Linie findet sich im 1. Bande der „ Hütte".

von

4. Die gleichseitige Hyperbel.

Neben der direkten Proportionalität, die durch eine Gerade, und dem quadratischen Abhängigkeitsverhältnis, das durch eine Parabel dargestellt wird, tritt in der Technik am häufigsten die reziproke Beziehung auf. Ihr entspricht die Gleichung y = ~ , b.lj. die Ordinaten

sind den zugehörigen Abszissen umgekehrt proportional.

Die Kurve, deren Gleichung diese Form hat, nennen wir eine gleichseitige Hyperbel; sie entsteht z. B. bei der graphischen Darstellung des Mariotteschen Gesetzes (S. 10). Weil bei dieser Zustandsänderung die Temperatur konstant bleibt, heißt sie Isotherme.

In der Kurvengleichung ist a² stets positiv. Zeichnung und Rechnung lehren, daß die Kurve aus zwei kongruenten Zweigen besteht, von denen der eine in dem Raum zwischen der + X unb + X-Achse, der

andere zwischen der —X und — X-Achse liegt. (Die Gleichung t/=—“

stellt eine gleichseitige Hyperbel dar, die in den beiden anderen Quadranten verläuft.)

y = ^ = a²x~i

tg a = y'= - a?x~* = -    = - f"

Fig. 28 zeigt die auf diese Formel sich gründende Tangentenkonstruktion. Die Tangente bildet mit den Achsen ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten = 2x unb 2y sind. Der Inhalt ist

F — —₂²- — 2 xy — 2 a².

Sie ist zu den beiden Winkelhalbierenden des Achsenkreuzes symmetrisch. Da

ist, so hat man

46

IV. Anwendung der Differentialrechnung usw.

T

t:

Fig. 28.

Fig. 29.

Ist von einer gleichseitigen Hyperbel außer dem Achsenkreuz eine Tangente gegeben, so kann man beliebig viele andere zeichnen, indem man den Abschnitt auf der Ordinatenachse n mal, den aus der Abszissenachse i mal so groß macht wie zu Anfang. (In Fig. 29 ist z. B. n =    3, 4y, y...)

Besonders wichtig ist der Krümmungsradius im Scheitelpunkt, für den aus Symmetriegründen x = y ist. Aus der Kurvengleichung folgt zunächst    X'X — a², x = ± a.

Site *= + « ist    >/’ = ^r = l

i/i+ is

=    2y2 = a}/2 ----- OA

(Fig. 28). Dadurch ist die Lage des Krümmungsmittelpunktes bestimmt. 5. Die Adiabate.

Befindet sich ein Gas in einem abgeschlossenen Raum und wird es zusammengepreßt, ohne daß Wärme entweichen kann (Kompressoren), so wird sein Druck einmal nach dem Mariotteschen Gesetz größer,

außerdem aber auch noch dadurch, daß sich die mechanische Arbeit in Wärme umsetzt und diese unter normalen Verhältnissen das Gas zwingen würde, einen größeren Raum einzunehmen. Dies wird verhindert, und so äußert sich die eben erwähnte Wärmeenergie durch vermehrten Druck auf die Gefäßwände. Die Beziehung zwischen Druck und Volumen wird hier durch das Poissonsche Gesetz p:p₀=v₀k:vk

geregelt.

p₀ und v₀ geben den Anfangszustand des Gases nach Druck und Volumen an, ft ist für Luft = 1,41. Es ist

p -----    ----- cv~k

äs ⁼ “ kcv-b-¹ = — ft|-

^ = + h(k +    = +

P0I v₀, p und v sind ihrer Natur nach positive Größen, ebenso ist ft, wie angegeben, positiv, auch vh und vs.

Ist v sehr klein, so auch vk\ p ist dann sehr groß.

Da stets negativ ist. so fällt der Druck mit wachsendem Volumen. ^ ist überall positiv, die Kurve also (für positive^ und v) immer konkav.

Pot vo bezeichne den Ansangszustand. Es ist interessant, von ihm ausgehend einmal die isotherme (p ----- und in demselben Achsenkreuz die adiabatische (l> ⁼ ^r) Zustandsänderuug darzustellen. Das Steigungsmaß wird im ersten Fall = —    = — also für

den Ausgangspunkt Adiabate verläuft steiler als die Isotherme.

6. Die Potenzkurve.

= -%■ Sm zweite» Fall "ist Z = -di-

Die Gleichung der Potenzkurve ist y = cxn. Für n = 1 erhält man die Proportionalitätsgerade, n = 2 liefert die Parabel (ro = -§- die Parabel in anderer Lage), n = — 1 die gleichseitige Hyperbel, n = — k die Adiabate. Die Potenzkurve umfaßt also fast alle bisher behandelten Linien als Spezialfälle. Bei der Diskussion muß man unter

scheiden, ob n ganzzahlig oder gebrochen ist, im ersten Fall kann wieder n gerade oder ungerade, positiv oder negativ sein. Im zweiten

Fall ist neben dem Vorzeichen zu beachten, ob der Zähler oder der Nenner gerade oder ungerade ist. In jedem Falle hat man

y’ — ncxn~x ----- — f a    x

eine Formel, die eine leichte Tangentenkonftruktion liefert.

n{n-\)y

?/' = n (n — l) cxn~² -----

gestattet uns, über die konvexe oder konkave Gestalt der Kurve zu entscheiden und den Krümmungsradius zu bestimmen. Ist n größer als 2 und ungerade, so ist x = 0, y = 0 ein Wendepunkt.

Aufgaben?)

125.    In dasselbe Koordinatensystem sollen die Kurven y = x\ y = a:³; y = a:⁵ usw. gezeichnet werden. In welchen Punkten schneiden sich alle? Was ist an ihrer Gestalt gemeinsam, was verschieden? Man vergleiche den Teil, welcher positiven Werten von« entspricht, mit dem, welcher negative Abszissen hat.

126.    Dieselben Aufgaben sind für y = a?; y = a:⁴; y == x* usw.

zu lösen.    ±    ±

127.    Warum ist die Untersuchung t)Qny = x2',y = x*'₁y = xt uff. nach Lösung der vorigen Aufgaben besonders einfach?

128.    Es soll y ----- as“¹; y ----- ar⁻³; y ----- ar⁻⁶; ...; y ----- ar~³; y ----- ar⁻⁴; y ----- ar~⁶;... behandelt werden.

129.    y ---- af"T; y ----- aTT; y ----- a;_T usw.

130.    y ----- aff; r, ----- a;⁻T; y = x±’^; y ----- a:±'5 u. dgl.    ₃

131.    Man zeichne die Neilsche oder semikubische Parabel y = ax* und berechne für einige Punkte das Steigungsmaß der Tangente und den Krümmungsradius. Bei Trägern von gleichem Widerstand gegen Biegung kann die Begrenzung des Längsschnittes eine semikubische Parabel sein.

132.    Ein Gas nimmt bei 1 Atmosphäre Druck den Raum y₀= 6 Liter ein. Der Zusammenhang zwischen Druck und Volumen soll graphisch verfolgt werden a) bei isothermem, b) bei adiabatischem, c) bei polytropischem Verlauf der Kompression und Expansion. Die Polytrope unterscheidet sich nur dadurch von der Adiabate, daß der Exponent

1) Bei der Lösung wird der auf S. 38 erwähnte Potenzrechenschieber die besten Dienste leisten.

nicht Je, sondern n ist, wobei n im allgemeinen zwischen 1 und Je liegt (z. 93. n = 1,1; 1,2; 1,3). Wie stark muß in jedem Fall der Druck sein, damit das Volumen nur noch 11 beträgt?

133.    Ist vQ das Anfangsvolumen eines Gases, T₀ die (absolute) Anfangstemperatur und entsprechen v und T dem Endzustand, so gilt bei der polytropischen Zustandsgleichung die Beziehung

T===To (")    •

Man nehme v₀ = 6 1, T₀= 290° (---- 17° C) an und zeichne die 7-v-Kurve.

134.    Der Druck des gesättigten Kohlendioxyddampfes ist

p ----- 2,967    — l)4,525 kg/qcm, wobei t die absolute Temperatur

(Celfiusgrade + 273) bedeutet, (g.)

135.    Für adiabatische Zustandsänderungen des überhitzten Wasserdampfes ist nach der „Hütte"

= -%♦ T(v - 0,001)°° = T₀(v₀ - 0,001)°°; p(y~ 0,001)M TT T₀T¹

7. Die Kegelschnitte.

Eine ausführliche Besprechung der Kegelschnitte würde hier zu weit führen. Der Leser, welcher sich für diese technisch wichtigen Kurven interessiert, wird auf Crantz, Analytische Geometrie, verwiesen.

Die Gleichung des Kreises lautet z² + t/s — a² = 0. Man findet

y' ” — Yx'lsy ~ y Die zweite Ableitung y" wird nach der Quotientenregel gebildet. Der Krümmungsradius ist konstant. Die Tangente schneidet auf der X-Achse das Stück MT = ^-cfo.

Die Gleichung der Ellipse ist ~ -f = 1; «/'==— MT ist auch hier ----- ~ (Tangentenkonstruktion mit Benutzung des Hauptkreises, dessen Radius die große Halbachse a ist). Für die Scheitelpunkte werden die Krümmungsradien ~ unb y-

Die Gleichung der Hyperbel ist ~t — ~ = 1.

----- p₀(v₀ — OjOOl)¹*⁸. Weitere Beispiele finden sich in der Theorie des Wärmeüberganges, bei Ausflußformeln für Luft und gesättigten Wasserdampf uff.

Um einen Kreis sei ein undehnbarer Faden gelegt. Er sei an einem Ende fest, das andere werde abgewickelt. Die Kurve, die es dabei beschreibt, nennt man Kreisevolvente. Es wird vorausgesetzt, daß der Faden straff gespannt wird, so daß der abgewickelte Teil in jeder einzelnen Lage eine Gerade bildet.

Die X-Achse werde durch den Kreisradius gebildet, der das freie Ende des Fadens in seiner Anfangslage mit dem Mittelpunkt verbindet.

Nach Fig. 30 ist x = MB = MS + PT, MS ----- a cos cp,

PT — QP sin cp. Das abgewickelte Stück QP w ist aber gleich dem Kreisbogen Q JJ = dcp,

’* denn der Faden hat, weil undehnbar, bei der Abwicklung seine ursprüngliche Länge behalten.

Fig. SO.

x — a cos cp + acp sin cp y = PR = QS — QT y = a sin cp — acp cos cp.

dy

Der Zusammenhang zwischen x und y ist hier durch eine vermittelnde Größe cp dargestellt. Die selbstverständliche Gleichung Ay Ax _ Ay Acp' Aip A x

geht im Grenzfall über in

y' =

b'-x

b*x

•ty

-±

*r_? b

y] nähert sich mit wachsendem x immer mehr dem Werte ± dies ist das Steigungsmaß der Hyperbeltangenten in der Unendlichkeit, der Asymptoten. Der Krümmungsradius im Scheitelpunkt ist ^ •

8. Die Kreisevolvente.

a:³-a⁸

dx dx

Hier ist ^ = « cos cp — a[l • cos cp -f cp (— sin <p)] = a <p sin <p — a sin cp -f- a[l • sin cp + cp cos cp\ = acp cos cp

dy ₌ sinq> _ t

dx COS qp 5 T    ^

Das Steigungsmaß der Tangente, tg a, ist = ^ = tg <p, es muß

also a = <p sein. Die Tangente PV muß dem Kreisradius MQ parallel sein und daher auf der Kreistangente PQ senkrecht stehen.

Wickelt man den Faden nur ganz wenig weiter ab, so beschreibt P nahezu einen Kreisbogen mit PQ als Radius und Q als Mittelpunkt, und da die Kreistangente auf dem Berührungsradius senkrecht steht, so ist die Rechnung geometrisch bestätigt. Zugleich finden wir so den Krümmungsradius = PQ = acp. Die Rechnung ergibt

1 + /a=1 + tgV-,₊^ = ”W5 = _l_

(X + yn)s --‘,v

also durch Division

d(y')

=    dq> ~ a<P C0S

d(y') . dx __ d(y')    ,,₌_1

dcp 'dtp dx 3 acp cos³ cp

(i + 2/'V

Q = ~-y"— =

Die Benutzung der Krümmungskreise erleichtert hier die Konstruktion sehr.

Anwendung findet die Kreisevolvente bei Verzahnungen.

9. Die gewöhnliche Zykloide.

Die Profile der Zähne bei Verzahnungen können auch Zykloiden sein. Rollt ein Kreis auf einer Geraden ohne zu gleiten, so beschreibt ein Punkt seiner Peripherie eine gewöhnliche Zykloide.

In Fig. 31 rolle der Kreis mit dem Radius a auf der X-Achse, der betrachtete Punkt befinde sich zuerst in 0, nachdem sich der Kreis um den Wälzungswinkel cp gedreht hat, in P. Dann ist

x= OQ = OB — PS — PB — PS = acp — a sin cp y = PQ =?= MB — MS — a — a cos cp

~ = a sin cp = 2 a sin ~ cos ^

Fig. 31.

,N

also

^ = a — a cos <p = «(1 — cos tp) — 2asin²^

cos I

dy_dy'dx_

dx dtp * dtp sin qp

= °tg| = tg(»o<’-|), a — 90° —

Demnach ist PT die Tangente und PB die Normale. T und B sind die Endpunkte des zur Abszissenachse senkrechten Durchmessers. Ist nur P, nicht die momentane Lage des Mittelpunktes M gegeben, so wird dieser leicht gefunden, indem man zu OL die Parallele im Abstande a zieht (denn auf dieser bewegt sich der Mittelpunkt beim Abrollen des Kreises) und um P den Kreis mit a beschreibt.

Aus A PPB findet man die Länge der Normale PB ----- 2 a sin -f--

^    1 1 &-Wf

somit

d(tf) ^dx ^dW M n ^ dtp * dtp dx "

Da der Nenner stets positiv ist, ist die Kurve stets nach „oben" konvex.

9 =]/1 + ctg² ! : ^

4 a sin⁴

Ähnlich wie auf S. 51 findet man für den Zähler

y1+otK>l„_±_,

daher, vom Vorzeichen abgesehen,    ²

o —-: —¹-= 4a sin ^ = 2 PR.

sin⁸-? 4 a sin⁴

Der Krümmungsmittelpunkt N wird erhalten, wenn man die Normale um sich selbst verlängert.

x=(R + r) cos <p) y =(E + r) sin (ji cp) -,r sin    cp)

Beispiel 11. Ein fester Kreis habe den Radius R, auf ihm rolle ein beweglicher mit dem Radius r. Ein Punkt der Peripherie des zweiten beschreibt eine Epizykloide, wenn die Berührung äußerlich, eine Hypozykloide, wenn sie innerlich ist. Legt man die X-Achse durch den Mittelpunkt des festen Kreises und durch den erzeugenden Punkt, wenn dieser gerade auf dem festen Kreise liegt, und bezeichnet man den Wälzungswinkel des Rollkreises (vgl. Fig. 31) mit <p, so ist für die Epizykloide

und für die Hypozykloide

x^(R — r) cos    go) + r cos 9>)

B-r

cp).

— (JR — r) sin    cp) — r sin (

Man beweise, daß die Kurvennormale stets durch den momentanen Berührungspunkt beider Kreise geht. Die Epi- und Hypozykloide lassen sich besonders einfach studieren, wenn man ein kleines Stück des festen Kreises als eben ansieht.

10. Gedämpfte Schwingungen.

Bringt man einen elastischen Körper aus seiner Ruhelage, so entstehen in ihm Spannungskräfte, die der gewaltsam herbeigeführten Deformation proportional sind. Hört die äußere Kraft auf zu wirken, so versetzen sie ihn in schwingende Bewegung (angestrichene Stimmgabel). Man kann diese Bewegung sichtbar machen, indem man sie durch einen an dem Körper angebrachten Schreibstift auf eine Platte überträgt, die mit gleichbleibender Geschwindigkeit fortgezogen wird. Wirkte nur die elastische Kraft, so würde die Schwingung sich dauernd in gleicher Weise vollziehen. Die Mechanik lehrt, daß dann

-auf der Schreibfläche eine

Fig.82.

Sinuslinie entstehen würde. In Wirklichkeit treten Reibungswiderstände auf, z. B. an der Luft und an der Berührungsfläche von Schreibstift und Papier, die die Schwingungen dämpfen. Man erhält dann, wenn die Dämpfungskraft ein gewisses Maß nicht überschreitet, eine Kurve von der Gleichung y — ae~bx sin{cxy a, b und c sind Konstanten, die durch die Versuchsanordnung gegeben sind. Wir können sie sämtlich als positiv annehmen.

Läßt man x von 0 bis ins Unendliche wachsen, so ist e~bx stets endlich und für endliche Werte von x auch von 0 verschieden; y verschwindet stets, wenn der Faktor sin {cx) gleich 0 wird, also für

x = 0, x =    ~ usw., aber auch nur dann. Die Zeit, welche

zwischen zwei Durchgängen durch die Ruhelage verfließt, ist die halbe Schwingungsdauer. Da die Schreibplatte gleichmäßig fortbewegt werden soll, sind die Wege x den Zeiten t proportional; und weil diese Wege

von einer Ruhelage zur anderen den gleichen Wert ~ besitzen, so sind die halben, also auch die ganzen Schwingungszeiten gleich groß. y' wird nach der Produktenregel gefunden, y = a-uv\ u = e~bx, u' = — be~bx\ v — sin {cx'), v’ = c cos (cx)

y¹ = a^^ = a{u’v + v'u) = a[— be~bx-sin {cx)

+ c • cos {cx) e~bx\ y' = ae~bx\c • cos {cx) — b sin {cx)].

Für x *= 0 wird y' ----- ac, also positiv, die Kurve steigt. Wächst x, so nimmt sowohl e~bx wie auch der Klammerausdruck ab, die Kurve

steigt schwächer. Für c • cos (cx) — b sin (cx) ----- 0, also tg (cx) — |, x = y arctg j verschwindet y\ die Kurve hat ihren höchsten Punkt erreicht. Von da an wird y' negativ, für -r ------ — erhält man

_b_7t'    C

y' — —ace. c

Die weitere Untersuchung ist analog.

Ist y der zu der Abszisse x gehörige Ausschlag (Ordinate), so gehört zu    2»

xx= x-\--der Wert ^ --- «e c sin (cx + 2 it)

bX- sin (cx) — e c y.

Vi = -

Während bei der Sinuslinie y = asm(cx), die der ungedämpften Schwingung entspricht, die Ordinalen nach Verlauf der Schwingungsdauer wieder genau denselben Wert besitzen, find sie hier im Maßstab l:e c verkleinert. Auch für xi = x + y läßt sich yx leicht ermitteln. Die Ausschläge werden immer kleiner, die Kurve nähert sich für größere Werte von x immer mehr der Abszissenachse.

Aufgaben.

136.    Man zeichne in dasselbe Achsenkreuz die Kurven^/----« sin (e-r); y = ae-bx\ y = ae~bxsm(cx), vergleiche ihre Gestalt und bestimme ihre Schnittpunkte.

137.    Der Verlauf der allgemeinen Sinuslinie y ----- a sin (cx) soll untersucht werden (Schnittpunkte mit der L-Achse, Steigungsmaß der Tangenten, Wendepunkte, Krümmungsradien).

138.    Ebenso soll die Kurve y = ae~bx behandelt werden.

139.    y ----- ae+bx soll diskutiert werden.    / j*

140.    Die Gleichung der Kettenlinie ist y == y [cm + e

wenn m eine gegebene Strecke ist. Welches sind ihre wichtigsten Eigenschaften?

141.    Man untersuche die durch die Gleichung y=ae~bx(ecx—e~cx) charakterisierte aperiodische Bewegung.

142.    Ebenso ist y ----- axe~bx zu behandeln.

Fünftes Kapitel.

Reihen.

Konnte das vorige Kapitel uns die ungemein fruchtbare Anregung vor Augen führen, welche die Geometrie von der Differentialrechnung erhielt, so wenden wir uns jetzt ihrer Einwirkung auf die Analysis, den rechnenden Teil der Mathematik, zu. Und dies ist notwendig, denn wir haben Gebilde der Geometrie, z. B. die Zykloide, analytisch durch Gleichungen dargestellt, kamen dabei aber auf nicht mehr elementare Funktionen. Können diese (in unserem Beispiel die trigonometrischen) auch näherungsweise leicht bestimmt werden und sind sie selbst mit größerer Genauigkeit in Tabellen niedergelegt, so darf man sich dabei natürlich nicht beruhigen, sondern muß suchen, sie aus eigener Kraft zu entwickeln, d. h. einen Weg zu finden, der gestattet, sie mit beliebiger Genauigkeit für jeden Wert der unabhängigen Veränderlichen zu berechnen. Wäre dies nicht möglich, hätte man keine ganz genaue Kenntnis der auftretenden Funktionen, so wäre das in Angriff genommene Problem (z. B. die Diskussion der Rollbewegung) durch die analytische Einkleidung unklarer geworden, und man hätte besser getan, es rein geometrisch zu behandeln.

Die als notwendig erkannte Aufgabe der möglichst einfachen Funktionsdarstellung löst die Differentialrechnung durch Reihenentwicklung, ein Hilfsmittel, das wir schon bei der Ableitung des binomischen Satzes und der Berechnung der Zahl e kennen gelernt haben. Eine Reihe ist eine Folge von Größen, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Man spricht z.B.von einer geometrischen Reihe *), wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor g gebildet ist. Ist das Anfangsglied a,so heißt die Reihe a, aqf a<f... a<f (n + 1 Glieder).

Wir untersuchen den einfachen Fall, daß a = 1 ist, also die Reihe 1, 2, 9², 2⁸,---2”.

3ft q = + 1, so sind sämtliche Glieder = + 1; ist q = — l, so wechselt fortwährend + 1 und — 1 ab. Reihen, in denen die Vorzeichen von Glied zu Glied wechseln, heißen alternierend. Ist q eine positive Zahl, die größer als 1 ist, so wächst qn über jede vor-

1) Die geometrische Reihe ist ausführlich behandelt in Crantz, Algebra II. (ANuG Bd.205 § 17—24). Dort findet man auch zahlreiche Übungsaufgaben gelegte Größe hinaus, wenn nur n genügend groß (und natürlich positiv ganzzahlig) gewählt wird. Ist q ein positiver echter Bruch, so nähert sich qn mit wachsendem n unbegrenzt dem Werte 0. Man kann

<hn

nämlich ? = ^ setzen; qx muß eine positive Zahl sein, die größer als 1 ist. In qn — — wird der Nenner beliebig groß, also der Wert be-

liebig klein, wenn man n genügend groß annimmt. Man sagt in diesem Falle, qn konvergiere mik wachsendem n gegen 0.

Gibt man der Größe q ein negatives Vorzeichen, so bleiben die Betrachtungen dieselben, nur ändern sich bei jeder Multiplikation die Vorzeichen. Wenn q ein negativer echter Bruch ist, so konvergiert auch hier qn gegen 0. So nehmen bei den gedämpften Schwingungen (S. 53 f.) die größten Ausschläge in Form einer geometrischen Reihe

(q = — e c ) ab und werden allmählich unendlich klein.

Es liege jetzt q unter — 1, dann überschreitet qn, abgesehen vom Vorzeichen, mit wachsendem n jede Grenze.

An dieser Stelle werde die Definition des „absoluten Betrages" eingeführt. Darunter verstehen wir den Wert einer Zahl, losgelöst vom Vorzeichen. So ist der absolute Betrag von + 3 und auch von — 3 gleich 3. Damit qn mit wachsendem n gegen Null konvergiere, muß der absolute Betrag von q kleiner als 1 sein.

Die Summe der endlichen geometrischen Reihe s — a + aq+ aq²-\- • • • + aqn

findet man leicht, wenn man diese Gleichung mit q multipliziert und das erhaltene Resultat von s subtrahiert.

sq= aq + aq²-\-----\- aqn + aqn+l

s — sq = a — aqn+l.

Die mittleren Glieder vernichten sich nämlich gegenseitig.

»(1    —    -en+1);

Diese Formel ist stets richtig, wenn n, a und q endliche Zahlen sind und n außerdem positiv und ganzzahlig ist. Ist z. B.

so hat man

s=2-f2-3 + 2- 3²+ 2 - 3³+2 • 3⁴+ 2 • 3⁵=y^-(l - 3⁶).

a= 2, 3=3, n = 5,

Links und rechts erhält man als Summe 728.

Für einen unendlich großen Wert von a oder q verliert die Summe ihre Bedeutung. Wächst n über alle Grenzen, so muß man unterscheiden, ob der absolute Betrag von q größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Nur der letzte Fall interessiert uns hier; denn dann konvergiert <f, also auch qn +¹ gegen 0. Man schreibt dafür auch lim [2”]«=«= 0,

wobei lim das Abkürzungszeichen für limes, Grenzwert, ist.

Wir haben also das Ergebnis:

Ist q ein Positiver oder negativer echter Bruch, so hat die Summe

8 ----- a + aq -f- aq²+ aq*-\----,

wenn n ins Unendliche wächst, einen Grenzwert, und dieser ist

s=r-i

Aufgabe.

143. Wie groß ist die Summe der unendlichen Reihe S=l+y + |-f-§-H----?

Es sei jetzt eine beliebige Reihe mit lauter positiven Gliedern

(l-y, ßg, ^31

gegeben, bereit Gliederzahl unbegrenzt sei. Damit ihre Summe überhaupt konvergieren kann, ist notwendig, daß sich ihre Glieder immer mehr der Null nähern. Wäre dies nämlich nicht der Fall, existierte eine (wenn auch sehr kleine) Zahl g, die von keinem Glied der Reihe unterschritten würde, so wäre

$«=»! +«₂+%+•••«« größer als g + g + g--+g = ng, und mit wachsendem n würde die letzte Summe, also ganz sicher die gegebene Reihe, bis ins Unendliche wachsen. Konvergiert aber das Endglied der Reihe gegen Null, so ist damit durchaus noch nicht gesagt, daß ihre Summe einem bestimmten endlichen Wert zustrebt. Es läßt sich z. B. leicht nachweisen, daß die Summe s=l+y + y + i- + y+ -- -

unendlich groß wird. Es ist nämlich s = l + y + (i + t) +

+ Ob + T + T + t) + (t H-----H ie) + (fH----m) "i----

Die erste Klammer ist größer als 2. -J= -§-, die zweite größer als 4--|-=-| uff. Aus der Reihe lassen sich beliebig viele Summanden abspalten, von denen jeder größer als j ist.

Es gibt viele Kriterien für die Konvergenz der Summe einer vor-

gelegten Reihe, von denen das wichtigste der Cauchysche Satz ist. Er lautet:

Die Summe

= ax -f «2 a3 + *' */ in der alt a₂ usw. lauter positive Zahlen sind, ist sicher

konvergent, wenndieQuotienten ^usw.sämtlichkleiner sind als ein bestimmter echter Bruch q.

Ist kleiner als q, so folgt daraus, daß a₂<atq ist; ~<q

liefert a₃ < a₂g; a₃ ist um so mehr kleiner als (axg) • 3 = axq² usw. Es folgt durch Addition

Sn — % + «2 + a3 +----f- an < stj + atq -f atq² +----H a^-¹

sn < at (1 4- q + q² H-----1- 9”⁻¹).    ₁

Die Klammer ist aber sicher kleiner als der Grenzwert —-, also

Andererseits ist sn größer als av

Diese Behauptung gilt auch noch dann, wenn die Gliederzahl (bisher n) ins Unendliche steigt, die Summe s der Reihe muß unbedingt

zwischen at und ~ - liegen. Man kann ihren Wert aber auch mit gesteigerter Genauigkeit ermitteln. Aus

S = «! -|- a₂ + «3 + • • •

«<.«!+ «2 + «23 + a₂q² + •••

s liegt also zwischen ax und av +

Der Unterschied der Grenzen für s war vorher «i „ _ «i - «i (1 - 3) _ «i 3

-ai-—rrq w

folgt auch

1-3

Da a₂ nach Voraussetzung kleiner als atq ist, so sind die Grenzen näher zusammengerückt.

Ferner ist

die Differenz der Grenzen ist jetzt

(^+ <% +₂) = r^i. demnach kleiner als usf. Die Grenzen kommen sich beliebig

jetzt aber

s<«i + % +

ANuG 387: Lindow, Differentialrechnung, 2. Aufl.

nahe; es existiert nur ein ganz bestimmter endlicher Grenzwert der Summe.

Trifft dies Konvergenz-Kriterium zwar nicht für die ersten, wohl aber für alle einem bestimmten Gliede folgenden Summanden einer Reihe zu, so kann man auch von ihr die Konvergenz behaupten, indem man einfach die ersten Glieder für sich nimmt und als endliche Summe abspaltet und auf den Rest den Cauchyschen Satz anwendet.

Sind die Glieder einer Reihe sämtlich negativ, so setzt man nur das Minuszeichen vor die Klammer und hat in derselben einen Ausdruck, auf den die eben angestellten Betrachtungen sofort angewandt werden können.

Bei einer alternierenden Reihe findet schon dann Konvergenz statt, wenn die absoluten Beträge der einzelnen Glieder fortwährend abnehmen und gegen Null konvergieren. Bei Reihen, deren Glieder lauter gleiche Vorzeichen haben, ist, wie wir sahen, diese Bedingung notwendig, aber zum Beweis der Konvergenz nicht ausreichend. Es sei

alr a2i a31 '' '

eine Reihe von absoluten Beträgen, die der genannten Forderung genügen. Wir behaupten die Konvergenz von

s = ctj — a₂ +    — «₄ + «₅ T • •

1.

Es ist nur eine formale Änderung, wenn man schreibt s = ax - («₂ - a₃) - (a, - aö) - ( ) • • •

2.

s = Oi - «₂) + Os ~    + () + •* ••

Nach Voraussetzung ist jeder Klammerinhalt positiv, es folgt aus 1., daß s kleiner als ax und aus 2., daß s größer als a₁— Og ist. s liegt also zwischen zwei Grenzen, die sich um ^ — (at — a₂) ----- at unterscheiden. Ebenso ist

s = Ul — a₂ + «₃ — (a₄ — a₅) — ( ) • • • liegt daher zwischen ax — «₂ und ax — a₂ + «₃- Die Differenz der Grenzen ist («, — a% + «₃) — (cti — «2) = «₃, also enger als vorhin. Fährt man so fort, so kommen sich die obere und untere Grenze für s beliebig nahe, da an beliebig klein wird, wenn die Gliederzahl n hinreichend groß gewählt wird.

Ist jeder Quotient einer alternierenden Reihe ein (negativer) echter Bruch, so nehmen die absoluten Beträge der Glieder stets ab, die Reihe konvergiert. Das Cauchysche Konvergenz-Kriterium gilt auch hier.

3.

4.

Die analytisch wichtigste Form einer Reihe ist die Potenzreihe

a + bx+ ex* + e ;e³ + • • ••

Es ist klar, daß sie möglicherweise nur für bestimmte Werte von x konvergiert, dagegen für andere Werte der Variabeln ihre Summe sich keinem endlichen Grenzwerte nähert, daß die Reihe dann „diverziert".

Es seien zunächst die Größen a, b, c uff. sämtlich positiv, ebenso x. Konvergiert die vorgelegte Reihe für x = z₀, so besagt das, daß

§ = a + bxQ -f- cxQ² + • • • -\-Jcx₀n+ lx₀n+l -f mx₀n+² +pxjl+* -\----

= a + bx₀ + cx₀² -I-----l- kx₀n+ B

sich mit wachsendem n einem bestimmten Grenzwert mit beliebiger Genauigkeit nähert. Es muß B der Null beliebig nahe kommen. Ist

B = V⁺¹(z + mxo + H----)

kleiner als eine Zahl g, so gilt dasselbe von

Bt = a:”+¹ (Z + mx + px² + - - -), wenn x zwischen 0 und x₀ liegt, da jedes Glied jetzt kleiner als vorher ist. Ersetzt man x durch — x, so bleibt der absolute Betrag des Faktors vor der Klammer derselbe (nur das Vorzeichen kann sich ändern), der absolute Betrag der Klammer wird kleiner, da sich infolge der wechselnden Vorzeichen die Glieder teilweise aufheben, B ist somit auch hier, absolut genommen, kleiner als g.

Konvergiert B für x = Xq gegen 0, so gilt daher dasselbe auch, wenn x irgendeinen Wert zwischen — x₀ und + a-₀ annimmt, d. h. die vorgelegte Reihe konvergiert in diesem Intervall für jedes x.

Haben die Koeffizienten a, b, c usw. der Reihe a + bx + cx²+ • • • verschiedene Vorzeichen, und konvergiert \a\ + \b\x₀+\c\

wobei IaI den absoluten Betrag von a bedeutet, | b \ beit von b uff., so ist die ursprüngliche Reihe selbstverständlich konvergent, da das Restglied B — x₀n + 1(l + mz₀ + i?z₀²+ •■*) sicher kleiner ist als das Restglied der aus den absoluten Beträgen gebildeten Reihe. Man bezeichnet in diesem Falle die Konvergenz der vorgelegten Reihe als absolut. Auch hier findet Konvergenz statt für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner als x₀ ist.

f(x) = a + bx + cx* + exs -f • • *,

Es seien x und x + h Zahlen innerhalb des Intervalles der absoluten Konvergenz der Reihe

dann konvergiert auch

f(x -f h) = a -f b (x -f h) -f c (x + A)⁸ + e (z + A)³ + • • • absolut.

fix -f h) = a + bx 4- bh -f- cx² + 2cxh + ch?-f ex* + 3ex²h + 3 exJi² -f -j- ....

Es

ist gestattet (was sich, wenn auch nicht ganz elementar, nachweisen läßt), die Glieder dieser unendlichen Reihe umzustellen, man hat dann, wenn man nach steigenden Potenzen von h ordnet,

fix + h) = a + b x + cx² + ex³-]-----h 7* (6 + 2cx+ 3ex²-\----)

+ 7j² (c + 3ex + •••) + W (« + • • •)•

b + 2cx •+ 3ex²+---

Die absolute Konvergenz von f (x + h) wäre aber nicht möglich, wenn einer der Bestandteile der Reihe sich anders verhielte, es muß also auch

absolut konvergieren.

Die Bedeutung dieser Funktion ist leicht ersichtlich; es ist

fix + Ir)=fix) + h(b -\-2cx-\-3ex²-]----) + 7?²(- • +    ----

b + 2cx + 3e»²+----f h (•••) + h² (•••) + •■ •• Ersetzt man h durch &x, so sieht man, daß der links stehende Aus-

f(x+h)-gx)

/-

druck nichts anderes als der Differenzenquotient ist. Um ihn in

den Differentialquotienten zu verwandeln, braucht man nur 1> dem Wert 0 unbegrenzt zu nähern, dann ist

b + 2cx+ 3ex²-f----.

Der Differentialquotient einer absolut konvergenten Potenzreihe wird also genau so wie der einer ganzen rationalen Funktion mit endlicher Gliederzahl gebildet. Er tritt selbst in Form einer Potenzreihe auf, die in demselben Intervall absolut konvergiert, wie die ursprüngliche.

Führt man diese Betrachtungen weiter, indem man von f' ausgeht, so folgen genau entsprechende Sätze über die höheren Ableitungen, §. B. ist fix) = 3c + 2-3-ea: + f{x) = 2-3-e + •••.

Für den speziellen Wert x = 0 ergibt sich

f{ 0) --- a

f' (0) — 1 • &

f"i 0) ==1.2-6 fm(0) = 1 • 2 • 3 - 6 usw.,

so daß man die Reihe schreiben kann

f(x) - f(0) + Jf’( 0) +    + t—f'io) + ■■

Dies ist die Mac-Laurinsche Reihe. Die Formel zeigt die Bedeutung der Koeffizienten a, b, c usw. Sie kann aber auch dazu dienen, eine Funktion in Form einer Potenzreihe zu entwickeln, wenn man die speziellen Werte der Funktion und aller ihrer Ableitungen für x = 0 kennt.

Beispiel 12. (1+®)“ soll unter der Voraussetzung entwickelt werden, daß n keine positive ganze Zahl ist.

Lösung, y = (1 + x)n= zn. (Vgl. S. 24, Satz 5).

Es ist auf S. 25 f. nachgewiesen, daß für jedes n die Ableitung

der vorgelegten Funktion --- nzn~x ist; ^ == 1, also p- = f'{x) = n(l + xy-\

Ebenso findet man f"(x) = n (n — 1) (1 + .x)n-2

f(0) - 1; f’(0) - «; f"(0) = n(n- 1)

-7i+»)-**+• • •.

Man erhält den binomischen Satz scheinbar in derselben Form wie für den Fall der ganzen positiven Exponenten. Der große Unterschied liegt aber darin, daß hier keine der Größen nln—lln — 2,n — 3... verschwinden kann, wir erhalten eine unendliche Reihe. Ihre Konvergenz wird unter Benutzung des Kriteriums von Cauchy (S. 59) untersucht.

a.

' = nx\ —

«1 ' «2

usw.

1.2

Tx

_    «4 ₌

2    » a₃

n(n-l)(n- 2) 12 3

12

⁼    3    *

_n-k+l h ak    Je    \

n ist eine fest gegebene Größe, die Ordnungszahl h steigt, weil die Reihe unendlich ist, über alle Grenzen, daher wird beliebig

klein, der Klammerinhalt nähert sich unbegrenzt dem Werte — 1. Ist x also ein echter Bruch, so muß der absolute Betrag des Quotienten

von irgendeinem Gliede an kleiner als 1 werden, womit die

ak

Konvergenz der Reihe für die genannten Werte von x bewiesen ist.

a*+i

-i)*>

Es ist sehr instruktiv, einen bestimmten Wert für n anzunehmen und die Kurve y — (1 + x)n mit den Näherungskurven y = 1 + nx\

y-l+nx + ^^x^

uff. in demselben Koordinatensystem zu zeichnen.

Eine Anwendung findet der Satz bisweilen zum bequemen Ausziehen der Wurzeln.    ___

j/29 =V²⁷+ ² =■ ]/27 (l + ^) = 3 y 1 + 0,07407 = 3 (1 + 0,07407)'s;

(DH)

-- »5

12 3

1 n (n — 1) W = 3> ”+72"

(D(-I)H)

12 3

_    - + S

V29 = 3 (1 + 0,02469 - 0,00061 + 0,00002z) = 3,07231z.

Schon diese vier Glieder der Reihe liefern eine Genauigkeit, welche die Anforderungen der Praxis weit übertrifft, die weiteren sind für sie völlig bedeutungslos.

Bei dieser Reihe und mancher folgenden läßt sich ein Glied leicht berechnen, wenn man das vorhergehende kennt. Setzt man abkürzend (1 + x)" = 1 + A + B + G + D + • • •, so ist

uff.

Beispiel 13. f(x) — sina:. Es ist f'(x) — cos x, f"(x) — — sina;, f,n(x) — — cosa;, f""(x) = + sina;

f( 0) = 0, f\0) = 1, f'\0) = 0, f"'(0) - - 1, r\0) - 0 •. •

n/ \    ■    xs ,    xB    x¹

I23.4-5.6.7

f{x) — sina; = x-^7^71 +

x*

--2T3' Ö2- - 4.5

uff. Mag der fest gegebene Wert a; auch noch so groß fein, von einem bestimmten Gliede ab werden die Quotienten ihrem absoluten Betrage nach dauernd kleiner als 1 und nähern sich sogar dem Werte 0. Die Reihe konvergiert für jeden Wert von x. Man zeichne hier und später Näherungskurven, um den Grad der Genauigkeit graphisch darzustellen. Soll ein bestimmter Sinus, z. B. sin 25°, berechnet werden, so muß

Trigonometrische und zyklometrische Reihen man das Gradmaß zunächst in Bogenmaß verwandeln, denn diese Einheit war bei der Entwicklung des Differentialquotienten vorausgesetzt.

25° ist im Bogenmaß =    = 0,4363

sin 25°--- 0,4363 - 0,0138 -- 0,4225.

Beispiel 14. /*(#) ----- cos #.

uff-

f'(x) — — sin#, /"(#) — — cos#, /'"(#) ----- + sin#, f""(x) ----- +

f(0) --1, fX0) --- 0, f"(ö) --- 1, f'X0) = 0, f'"Xo) - + 1.

■“¹ - rü + rrüri ~ r^iTä ± ■ ■• ■-

Auch diese Reihe konvergiert für jedes #.

cos 25°= 1 - 0,0952 + 0,0015 = 0,9063.

Man beachte hier wie weiterhin die Schlußbemerkung zu Beispiel 12.

Die Funktion tg# läßt sich wohl in Form einer Potenzreihe entwickeln, doch befolgen deren Koeffizienten kein einfaches Bildungsgesetz; bei ctg# tritt noch die Schwierigkeit hinzu, daß diese Funktion für # = 0 unendlich groß wird. Will man diese Funktionen berechnen, so benutzt man besser die Formeln tg # = und ctg # -----

Aufgaben.

144.    Die Gleichungen der Kreisevolvente sollen in Potenzreihen entwickelt werden.

145.    Die Gleichungen der Zykloide sollen ebenso behandelt werden.

Beispiel 15. /*(#) ---- arctg#.

⁼ i+5i"

Statt weitere Ableitungen zu bilden, kann man die gesuchte Reihe

für arctg# /*(#) = a + bx + c#²+ ex³~i----

differentiieren:    /'(#) = & + 2 c# + 3 e#² 4----

und die Koeffizienten mit denen der Reihe

1+#¹

¹    --- 1 —#*+#*_ #6+... (ögt ©.58)

vergleichen.

Es ist 6 = 1, c = 0, e = — \ usw. Da für # = 0 auch /*(#) verschwindet (wenigstens bei der gebräuchlichen Definition der Funktion), ist a - 0, also arctgi - f    q: ....

Die Reihe konvergiert, wenn x ein echter Bruch ist.

Ähnlich lassen sich die anderen zyklometrischen Funktionen entwickeln.

yi

Für 2 = 4= wird

arCtg (yä) yä (X 3.3 ⁺ 5.9    7 . 27 ⁺ 9 • 81 H )'

Faßt man die ersten vier Glieder zusammen, so erkennt man, daß der Klammerausdruck größer als 0,905 ist, die Hinzufügung des

fünften lehrt, daß er kleiner als 0,908 ist, arctg (4=) liegt zwischen 0,522 und 0,525.    X>/3y

Andererseits muß arctg = — sein, denn

tg(|) = tg30»=i-

y liegt also zwischen den genannten Zahlen, n zwischen 3,132 und 3,150.

Daß die Zahl n mit Hilfe dieser (oder einer ähnlichen) Reihe beliebig genau berechnet werden kann, liegt auf der Hand.

Beispiel 16.

y = ex'₁ y' — «*, y" = ex usf.; /'(o) = f’(0) = f"(0) • • = 1.

_    „ I X . x¹ . xs ,

12 8-4

6 =1+T ⁺ T72 ⁺ r2^ +

Das Kriterium von Cauchy lehrt, daß diese Reihe für jeden Wert von x konvergiert (vgl. Beispiel 13).

Für 2 = 1 nimmt sie die schon auf S. 35 untersuchte Form an.

Aufgaben.

146.    Bei der Theorie der Seilreibung tritt die Größe e^a auf. Ihr Wert werde für fi = 0,2; « = 108° festgestellt.

147.    Die Funktionen Sin x und Cos x (vgl. S. 37) sollen entwickelt werden.

148.    Man stelle die Gleichung der Kettenlinie^) durch eine unendliche Reihe dar.

149.    Für ax soll eine Reihe angegeben werden, a sei positiv.

150. Man bilde die Ableitungen der bisher behandelten Potenzreihen und vergleiche sie mit den früher erhaltenen Ausdrücken.

Beispiel 17. Es sollen die natürlichen Logarithmen durch Reihenentwicklungen gefunden werden.

Man könnte versuchen, y = Ix in der bisherigen Weise durch die

Reihe

a + bx + cx²-\----

darzustellen. Dann müßte aber, da 1(0) = — oo wird, auch a diesen Wert annehmen. Deswegen berechnet man besser f(x) = Z(1 + x), denn hier wird f(0) = 11 ----- 0, also a ----- 0.

f(x) = 1(1 + -r); f’(x) =

Man kann entweder die weiteren Ableitungen bilden, oder, wie in Beispiel 15, durch eine Reihe darstellen. In diesem Falle hat man 6 + 2cx + 3ex²-i- ••• = ! — a; + x² — x³+”\

also

— jr e = + y uff.

Z(l + a;) = T-y + T + ....

Die Reihe konvergiert, wenn x ein echter Bruch ist. Ebenso ist

6=1, c =

A)

wl

B)

und durch Subtraktion

0)

Ö=²(f + y + y + -)-

Setzt man in 0) x = so resultiert

12    = 2(i +3^ ⁺ 6^« + '")⁼⁰'⁶⁹³¹⁵-Zugleich ist jetzt Z4-2i2; Z8 = 3Z2 usw. bekannt x = \ ergibt in C eingesetzt

¹³    = 2 (l^2 + 8^8 + 5^ + ’' •) “ 1.09861.

Dadurch ist Z9 = 2Z3; Z27 usf. bestimmt, ferner auch

usw.

Z6 = Z3 + Z2 = 1,79176, Z12, Z18 15 = 1(6 -1) = Z[6(l-|)]=Z6 + 1(1 -1)

(Formel B)    ,    ,

15 =1,79176 — ^+ g ₆i+ 3.₆s + • ■) = 1,60944.

Der für die Umwandlung der Logarithmensysteme bedeutsame natürliche Logarithmus von 10 ist

Z10-Z5 + Z2 = 2.30259.

Bon Den ganzen Zahlen zwischen 1 und 10 fehlt jetzt nur noch 7.

Z7 - Z(8 — 1) - z[s (l - I) j - Z8 + z[l = 2,07944 -

⁻(l78 ⁺ 2^⁺8^⁺' - ’)

Z7 —1,94591.

Nun läßt sich auch jeder andere natürliche Logarithmus leicht ermitteln, wir greifen ganz willkürlich die Zahl 6137 heraus.

Z6137 --- Z(1000 - 6,137) = Z1000 + Z6,137

-3!10 + i[6(l+"i-j]

*-]

ician    0,137- , 0,137»

(6137-3Z10 + Z6 +    --2^r+ 3 6,

Z6137 = 8,69953 + 0,02258 - 8,72210. Selbstverständlich läßt sich die Genauigkeit beliebig steigern.

Sind alle natürlichen Logarithmen bekannt, so kann man aus ihnen die künstlichen einfach ermitteln, indem man sie mit 0,43429 multipliziert (vgl. S. 36, Formel 15).

Das Restglied der Mac-Laurinschen Reihe.

Die bisher behandelten Reihen lieferten uns sicherlich den Wert der jeweils gesuchten Funktion um so genauer, je mehr Glieder wir berücksichtigten. Absolute Genauigkeit können wir auf diesem Wege nie erhalten, da uns tatsächlich die Vereinigung unendlich vieler Summanden unmöglich ist. Wohl aber gibt es ein Mittel, das uns gestattet, den Fehler abzuschätzen und in bestimmte Grenzen einzuschließen, den wir begehen, wenn wir eine unendliche Reihe nach dem raten Gliede abbrechen, ra ist dabei eine bestimmte, endliche Ordnungszahl, z. B. 5.

Wir brauchen dazu folgenden Satz: Wenn eine im Intervall 0... a stets endliche, stetige und differen- tJ tiierbare Funktion f(x) für x = 0 und x=a verschwindet, so muß mindestens für eineZahl zwischen diesen ₀,

Werten, xt = 0 • a, die Ableitung * f'M gleich Null sein. 6 bedeutet / hier einen echten positiven Bruch, mit dem a multipliziert werden soll. J    ~~

Fig. 83.

Der Beweis folgt aus Fig. 33 so-, fort durch geometrische Anschauung,

wenn man sich an die Definitionen der Endlichkeit und Stetigkeit auf

S. 7 erinnert. Verschiebt man ein Lineal so, daß es immer der Abszissenachse parallel bleibt, so muß es schließlich mindestens einmal die Kurve tangieren; tgcc = f ist für diesen Wert von x, den wir mit xt bezeichnet haben, ----- 0. Fig. 34 zeigt, daß diese Überlegung nicht mehr zwingend ist, wenn f (Fig.a) oder f (Fig. b) in dem Intervall unstetig oder wenn eine dieser Größen unendlich wird (Fig. c, d).

-x

9r

£ Fig. 34.

Die zu untersuchende Mac-Lau-rinsche Reihe sei    ,

f(x)=*f(0) + xf’(p) + ^f’(p)+    +

(n — 1)!, gelesen n — 1 Fakultät, bedeutet dabei das Produkt 1.2*3...(«-!).

Wir betrachten zunächst eine andere Funktion einer neuen Un-

bekannten t.

-

(n—1)!

x ist hier als Konstante aufgefaßt, t soll zwischen 0 und x liegen, K bestimme ich so, daß q(t) für t = 0 verschwindet.

Setzt man t — x,\o wird q (t) = y (x) ----- f(x) — f(x) —    —

(x—

(n-l)T

für t ---- O und i ----- a- verschwindet, so muß nach unserem Hilfssatze (t) für einen zwischen 0 und x liegenden Wert 6x gleich Null werden. Die Differentiation (x konstant!) liefert

v(<) - - m - [(^m + ^-V'©] r©+

f"(i) + ⁽^>(f)] -

-[

— 2 (x — t)

— 3 (x—ty

1.2. 8

wo] +

(»-1)1

n\

+ ^—K.

Löst man die Klammern auf, so zerstören sich alle Glieder bis auf die beiden letzten gegenseitig, es ist

(x-t)”-1 (»-1)1

m) +

(x-t)n~x (»-1)1

(x-Qx)n

fW(6x) +

K = fW(ßx),

H‘)=/-w - m - ^-V(<) - ^>(f)

0 = -Hieraus folgt

Jetzt setzen wir den vorher erwähnten Zwischenwert t --- Qx ein. (x-Qx)n~x

(»-i)l also

(a? — t)n~l (»-1)1

Wir beachten nochmals, daß K so gewählt war, daß f für t = 0 verschwindet, es ergibt sich

o6er

° "(*) - /(o) + fm + fjrco)+•••+*>(o)

xn

+ ^

Das so gefundene Restglied E = —^n\dx) wird nachLagrange

benannt. Unsere Betrachtungen sind zwingend, wenn f mit sämtlichen Ableitungen bis zur roten in dem Intervall x = 0 &t§ x = x einschließlich der Grenzen endlich und stetig ist, denn dann gilt der oben angeführte Hilfssatz, der den Kern des Beweises bildet.

Anwendungen des Lagrangeschen Restgliedes.

Beispiel 18. Mit welcher Genauigkeit wird e durch die ersten fünf Glieder der Reihe dargestellt?

e" = 1 + ^ + li ⁺ ii ⁺ ii ⁺

f, f usw. ist hier = ex, fW(ßx) ----- e⁶*. Die Größe x ist gleich 1.

,1,1,    ,1    A

+ 21+3I+    + 5i'⁶ '

t\~

e~1 + Tl

6 liegt zwischen 0 und 1. f(x) ----- ex ist stets positiv, die Ableitung f (x) ---- ex auch, ex wächst fortwährend, e¹ ist daher der größte Wert, den ex in dem Intervall 0 bis 1 haben kann. Das Restglied ist kleiner

als -Jr = tL- e ist kleiner als 3, wie sich durch gliedweise Vergleichung mit der Reihe

1 + (1 4- 2 + 2T2 + 2.2 • 2 + • • 0 = ¹ + ²

leicht feststellen läßt. Das Restglied B ist also kleiner als i^Ö obcr 40 ⁼ 0'025-Das Restglied liegt zwischen 0

und

4!

31

0,041

0,166

0,025

0,042

0,167

2,5

2,5

und

e liegt zwischen 2,707 Beispiel 19. Mit welcher Genauigkeit ist ^29 auf S. 64 berech-

2,734

net worden? j_    _ ^    ^

Kx) - (1 + *)³;    =    + x) ⁸; /"(*) — {(1 + *)“³;

/"''(*) -- ~(1 + x)"l;    - - |?(1 + ,)Hf

* - *(- h) (1 + e»)"*- -

(1 + e»)

-V

_v_1

r (1 + 0i)

Dieser Ausdruck nimmt mit wachsendem -r ab, ist also am größten, wenn 6 = 0 ist. B liegt zwischen 0 und

ir

-0,00000124..., f/29 ist 3 (l + A)\

Der mögliche Fehler B wird natürlich auch mit 3 multipliziert; man weiß, daß Bt = 3B zwischen 0 und — 0,000004 liegt.

Beispiel 20. Man prüfe die Genauigkeit von 8in 25° (Beispiel 13). Bei der Ableitung sind die vier ersten Glieder der Mac-Laurinschen

Reihe benutzt worden; es ist B= y^(Qx). Die fünfte Ableitung von f(x) ----- sin x ist fi® (x) ----- cos x, mithin gj cos (0 a?).

r<(-Y- 1.

25—    i \180y    5!

jgQ ist kleiner als 0,5 ----- ₂ ; die fünfte Potenz kleiner als ~ '    ¹    < 0,0003.

Da x = 25° ist, muß Ox zwischen Ö® und 25° liegen, der größte Wert für cos (0a:) ist in diesem Intervall cosO°= 1.

-ß<

32 - 120

f(?) = f(P) + xf’(ßx)

Die weiteren Beispiele können entsprechend behandelt werden. Beispiel 21. Berücksichtigt man in der Mac-Laurinschen Reihe nur die erste Potenz von x, so ist

I Mittelwerts«^

Die geometrische Deutung gibt Fig. 35, in ihr ist tg a = f (0a?). Für die als endlich vorausgesetzten Werte, welche /*' (a?) in dem Intervall 0 ... dx... x annehmen kann, muß eine obere und untere feste Grenze existieren, die von keinem derselben erreicht wird. Man hat nun die Wahl von x völlig in der Hand und kann diese Größe so klein annehmen wie man will.

f(x)

f(o)

&x

Fig. 35.

m=m + rS (0) + fr f" (0) + ••• - f(°) + iT f (S-)

Dann nähern sich die beiden Grenzwerte von xf (0 a?) mit beliebiger Genauigkeit der Null, also auch alle Zwischenwerte. Wenn daher a; klein genug gewählt wird und f{0) x eine endliche von Null verschiedene Größe ist, so hängt das Vorzeichen der Potenzreihe

nur von ihrem ersten Gliede f(0) ab.

Die Taylorsche Reihe.

Die Aufgabe, f{x) in eine Potenzreihe zu entwickeln, läßt sich leicht noch verallgemeinern. War bisher a? ----- 0 der Ausgangswert, so kann man statt dessen auch eine beliebige andere Zahl, z. B. a? == a nehmen, also f{a + a?) untersuchen. Dieses Problem läßt sich aber leicht auf das schon gelöste zurückführen.

dF dm d_m dz_ ₌ , x dx dx dz dx ' w

Ersetzt man in der Funktion f(x) die unabhängige Veränderliche durch a + x, so entsteht eine neue Funktion F(x) = f (a+x). Dann ist nach dem Mac-Laurinschen Satz

F(x) = F (0)    (0) + F" (0) + • • +    **-»(<>)

+ ^FM(0z).

F(x) geht für a; = 0 in f(a + 0) = f(a) über.

dF _ df(a + x) dx    dx

Es werde für den Augenblick « -j- x = z gesetzt.

d*F dx*

Wird x = 0, so wird z = a, wird x ---- 0a;, so wird z — a 4- dx. So erhalten wir die Taylorsche Reihe

/<«-!) a

f(a 4* x) = f(a) +    («) + fy f"(.a) + " +

+ f{n) (a + dx).

f(a + x) = cos (a + x)

f" (a + x) — — cos (a + x), f"" (a + x) = + cos (a 4- x) uff. cos (« 4" #) — cos st — ~ sin st — |y cos st 4- |y sin st 4- |y cos st + • • •

cos (st 4- ®) ~ cos st ^1 — |y 4- |y ■ •    — sin a

Die Klammerausdrücke stellen nach S. 64, Beispiel 13 und 65, Beispiel 14 die Funktionen cosa; und sina; dar, man erhält cos (st 4- *) = cos st cos x — sin a sin x.

Ganz analog findet man

sin (st 4- a:) — sin st cos x 4- cos a sin x.

Da die gefundenen Formeln schon bei der Herleitung des Differentialquotienten von sin x und cos x benutzt wurden, so ist die eben gegebene Ableitung nur als Nachprüfung zu betrachten.

Sie gilt, wenn f mit sämtlichen Ableitungen bis zur nitn in dem Intervall aUä a+ x (einschließlich der Grenzen) endlich und stetig ist. Beispiel 22.

f (a + x) = — sin (a -f x), f" (a + rc) = + sin (a + x)

Bricht man die Taylorsche Reche nach dem zweiten Gliede ab, so resultiert eine allgemeinere Form des Mittclwertsatzes, nämlich

f(a -f x) — f{a) + xf 0 + 6x)

oder, wenn man a + x = b setzt

f(b) = f{a) 4 (b — a)f [a -f 6 (b — <*)]. Vgl. Fig. 35

Sechstes Kapitel.

Anwendungen der Mac-Laurinschen und Taylorschen Reihe.

1. Nähernngsformeln.

Die Anwendung der Potenzrechen zur exakten Berechnung der Funktionen wurde schon verschiedentlich erläutert; jetzt soll gezeigt werden, daß Formeln durch sie wesentlich vereinfacht werden können, wenn nur kleine Werte von x auftreten und daher die Reihen schon nach einem der ersten Glieder abgebrochen werden können, ohne daß der Fehler, den man dabei begeht, praktisch merkbar ist. (Vgl. die entsprechende Bemerkung über die Mac-Laurinsche Reihe auf S. 68.)

Beispiel 23. Der lineare Ausdehnungskoeffizient « eines Materials gibt an, um wieviel m sich 1 m des betreffenden Stoffes bei der Temperaturerhöhung von 0° auf 1° ausdehnt, der kubische bezieht sich auf 1 cbm; wie groß ist er? Das Kubikmeter wird durch die Erwärmung zu einem Würfel von der Kantenlänge 1 + « Meter, der Inhalt, ursprünglich 1 cbm, wird jetzt (1 + «)⁸ cbm. Da « sehr klein ist (z. B. für Eisen 0,000012), so kann man ihn ohne merklichen Fehler = 14-3« setzen. Der Volumenzuwachs beträgt 3« Kubikmeter, der kubische Ausdehnungskoeffizient ist dreimal so groß wie der lineare. Vgl. Aufgabe 37 auf S. 21.

Beispiel 24. a sei nur wenig größer als b, wie groß ist näherungsweise -^-?

« __₌_¹__ h + fcn^Yl-¹.

& + (<*-&) t | (a-b) L ^ \ b JJ

Dies ist nahezu = l —    • Eine neue Atmosphäre ist=l kg/qcm,

eine alte (=760 mm Quecksilbersäule) = 1,033 kg/qcm. 1 neue Atmosphäre ist daher = 1 — 0,033 alte. Die Länge eines Sta-

bes sei l₀ bei 0°, steigt die Temperatur um 1°, so wächst sie um Z₀a, bei t₀ um l₀ut, wird also Z = Z₀+    ?₀(1 + «0- Ist diese ge

messen, wie es praktisch fast immer geschieht, und soll die Länge auf

die Temperatur 0° reduziert werden, so hat man l₀ = un^

kann dafür in den meisten Fällen Z₀= l (1 — at) setzen.

Liest man z. B. den Stand eines Quecksilberbarometers an einer Glasskala ab (= l mm), so muß man beachten, daß diese Skala nur für eine bestimmte Normaltemperatnr richtig ist. Diese sei 0°. Unter Berücksichtigung des linearen Ausdehnungskoeffizienten für Glas ßx = 0,000008

findet man die Ausdehnung A =    = <3^(1 — ßxt), also unter

Vernachlässigung des zweiten Gliedes A = lßxt. Da sich der Maßstab um diesen Betrag ausgedehnt hat, so ist die abgelesene Quecksilbersäule um ihn zu kurz gemessen, ihre wahre Höhe ist lx = l + lßxt.

Das Volumen eines Körpers sei v₀ bei 0°, sein spezifisches Gewicht y0f während bei t° die entsprechenden Größen v und y seien. Sein Gewicht sei p, sein kubischer Ausdehnungskoeffizient ß₂. Dann

C¹ - Nur bei

Gasen ist diese Abrundung im allgemeinen nicht mehr gestattet.

Bei der vorher erwähnten Barometerablesung muß man auch bedenken, daß Quecksilber von 0° verlangt wird; hat es die Temperatur f, so ist sein Druck entsprechend dem spezifischen Gewicht kleiner. Ersetzt man es durch eine kleinere Quecksilbersäule von 0°, so müssen die Höhen den spezifischen Gewichten umgekehrt proportional sein, also wenn l₂ die gesuchte ist

h: h “ 7: Yo> 4 = h * ~~ ⁼ h (1 ~ ßa0*

ßt ist die Ausdehnungszahl des Quecksilbers = 0,000181

h-H 1 + M (1 -<3,0 = Kl-K& - <y).

ßx - ßa kann vernachlässigt werden

l₂=l(l - 0,0001730 = l - 0,000173lt.

— 0,000173 - 765,4 * 25 = - 3,3 mm und der reduzierte Barometerstand 762,1 mm.

Bei einer Messingskala ist ßx = 0,000019 und das Korrektionsglied - 0,000162 lt. .

ANuG 387: Lind ow, Differentialrechnung, 2. Aufl.

Liest man etwa bei 25° die Höhe l = 765,4 mm ab, so beträgt die Korrektion

Aufgaben.

Man weise die Richtigkeit der folgenden Näherungsformeln nach

151.    4- ß Fti 1 + y; 152. "/l — « Rj 1 — 2 )

158.

allgemein

Bei adiabatischer Kompression (S. 46f.) nehme das Volumen v um den kleinen Betrag « ab, dann folgt aus pvk = px (v — «)*,

1    OC    ...    1    a

ViT«™ r’ ' yr^1 +T'

155. (1 + a)n Fti 1 + na.

daß

Pi =

also pjftj p (l + wird; die (kleine) Druckzunahme ist pp

156.    Wie groß ist näherungsweise sin«, wenn « in Graden, Minuten oder Sekunden gegeben ist?

157.    Wie groß ist näherungsweise tg«?

158.    sin 40° ist 0,64279; cos 40°= 0,76604. Wie groß ist ’ 41°, cos 41°, sin 39°, cos 39°?

>2

Beispiel 25. Der Inhalt 7^ eines Kreisabschnittes (Fig. 36) wird erhalten, wenn man den Inhalt des Kreisausschnittes, (vgl. S. 29) um den

des Dreiecks,    vermindert.

F “= (a — sin «);

12 3

(angenähert), also F f« p--

Die Bogenhöhe h ift = r — rcos-^- = >•    — cos

a V\ ~1

y)

die Sehne

s --- 2 r sin Pti 2 r

. (f r

21

a*r

= -p/

ras    ( a\

Ly—“äi)'

7 2 rSa*

Die Vernachlässigung von ^ liefert die Näherungsformel F fö j sh.

6²=rV,

A “-ir i

also

6S Rti ss + Y*“.

Hieraus kann man b angenähert berechnen, wenn s und h gegeben ist. Bei allen diesen Formeln ist vorausgesetzt, daß «, im Bogenmaß ausgedrückt, klein ist, sie gelten daher noch für beträchtliche Werte im

Gradmaß, das ja durch Division mit —    57,3 in Bogenmaß ver

wandelt wird.

DerSchwerpunkt des Kreisbogens b hat vom Kreismittelpunkt

den Abstand ~ =

2r ein-^

-, seine Entfernung von der Sehne ist

cc    rcc¹    2

?FölTft,TÄ‘

Aufgaben.

159.    Die Gleichung der Kettenlinie soll für kleine Werte von x angenähert aufgestellt werden.

160.    Wann verdoppelt sich ein Kapital von a Mark, das zu p % steht, bei Berechnung der Zinseszinsen?

161.    Wann ist es Lmal so groß wie zu Anfang?

2. Auflösung von Gleichungen.

Jede Gleichung mit einer Unbekannten läßt sich auf die Form fix) = 0

bringen. Schon auf S. 39 wurde eine Lösungsmethode angedeutet. Man braucht nur die Kurve y ----- f{x) recht genau zu zeichnen, dann sind die Abszissen der Schnittpunkte mit der L-Achse die Lösungen, die man auch als „Wurzeln" der Gleichung bezeichnet. Die Quadrat-, Kubik- und^ weiteren Wurzeln sind Spezialfälle dieses allgemeineren Begriffes; Y a ist z. B. die Lösung der Gleichung xn— a = 0.

Wenn auch diese graphische Lösung von Gleichungen äußerst anschaulich ist und bei Vergrößerung des Maßstabes zu beliebiger Ge-

6*

nauigkeit gesteigert werden kann, so erfordert sie doch viele umständliche Rechnungen, sobald die Funktion s etwas komplizierter ist. Hat man einen Wert x = a gefunden, der nahezu der Gleichung genügt, so sucht man natürlich nicht nur einen besseren, sondern einen viel besseren Näherungswert, die Zwischenwerte interessieren nicht. Hier führt leicht die Taylorsche Reihe zum Ziel, in ihr bedeute h das Zusatzglied, welches, zu a addiert, den genauen Wert der Wurzel liefert, es sei also f{a + A) = 0. Da a selbst schon nahezu richtig ist, können wir Ji sehr klein annehmen und die Reihe nach dem zweiten Gliede abbrechen.

f(a + h) = f{a) + Jif (a) — 0,

/(«)

demnach    h = — ^

h--

a⁸— 29 3a* '

- 0,00168

Beispiel 26. ^29 ist zu bestimmen. f(x) = xs- 29 = 0;    /’,0) = 3z?;

Ein Näherungswert ist a — 3; h wird

- + Ä- 0,074.

27-29

39

Der nächste Näherungswert ist ax = 3,074

3,074⁸— 29    0,0477

“    ~3 - 3,0742    =    28,36 ™

a₂ = 3,07400 - 0,00168 = 3,07232.

Diese Genauigkeit kommt der auf S. 64 erreichten gleich; in der Praxis hätte schon die erste Verbesserung von a genügt.

Beispiel 27. Ein Kugelballon wird mit Leuchtgas gefüllt. 1 qm Ballonhülle wiegt mit dem Netzwerk 0,4 kg. Gondel, Ballast, Bemannung und Schleppseil besitzen zusammen das Gewicht 500 kg. 1 cbm des benutzten Leuchtgases wiegt 0,6 kg; 1 cbm Luft 1,293 kg. Beide Angaben sind auf 0° bezogen und sollen, da die Aufstiege im Sommer stattfinden, auf 25° umgerechnet werden. Wie groß muß der Durchmesser x sein, damit der Ballon noch eine Steigkraft von 200 kg hat?

Die spezifischen Gewichte sind bei dieser Temperatur nach Beispiel 24 (S. 74)

1,293

0,6

gleich 0,595 und 1,281.

1 + 25 • 0,000366    1 + 25 • 0,000366

(Die näherungsweise Berechnung ist hier auch noch zulässig.)

Der Inhalt ist cbm, das Gasgewicht ^ • 0,595 kg. Die Hülle wiegt jtx*-0,4 kg, Gondel usw. 500 kg. Diese Kräfte ziehen den Ballon

nach unten, nach oben wirkt der Auftrieb der Luft mit 1,281 kg. Somit gilt die Gleichung

^. 1,281 - ^ - 0,595 - 7TZ².0,4 - 500 ----- 200 0,359z³- 1,26z²- 700 = 0 z³- 3,51z²- 1950 ---- 0.

10    |    12    |    14

Zur Konstruktion der Kurve y = x⁵— 3,51z²— 1950 können die Wertepaare der folgenden Tabelle dienen x | o

y | -1950 | - 1956 | - 1942 | - 1860 j - 1663 | - 1301 | — 727 ] +106

a ----- 14 ist ein Näherungswert.

f'(x) = 3z²- 7,02z, os-3,51a¹- 1950 3a¹— 7,02 a

daher wird

«----- 14 liefert h -----\ wird schon praktisch bedeutungslos.

Beispiel 28. Ein Kreis soll durch eine Sehne in zwei Kreisabschnitte geteilt werden, deren Flächen sich wie 2:3 verhalten. Der Radius sei r, der zu dem kleineren Abschnitt gehörige Zentriwinkel «. Dann sind die Flächen (vgl. Fig. 36)

*i = ^(«-sin«);    F.-At-F.;    F,-

Es gilt die Proportion

106

490

0,22;    ------ 13,78 in.

teil.

\n —

a + sin a).

(a — sin a): ^2tt — a -f sin a) = 2 : 3 3« — 3 sin a = 4 tt — 2a + 2 sin a

5 a — 5 sin a — 4 7k ----- 0

f— 1 — cos a;

a — sin a — 2,513 ----- 0 h = —

cc₀ — sin a₀ — 2,513

(zwei Halbkreise)

wenn au der Näherungswert ist. Wir wählen a₀= tc

7* = -^- = -0,315.

ct₁= 2,827 = 162°.

Die nächste Korrektion liefert h = - 0,0028; a₃ = 161° 50' Beispiel 29. Für welche Punkte der Kurve y ----- e~x sin x (vgl. S. 54 f.) bildet die Tangente mit der z-Achse den Winkel 30°?

y'= e~x (cos x — sin 2) = tg 30°--- 0,5774 cos x — sin x = 0,5774c*;    cos 2 — sin x~- 0,5774s* — 0.

f~ — sin2 - C0S2 — 0,5774 e*; 7i =

cos#—sin x— 0,5774 e* ßin x -f cos x -f 0,5 7 7 4 e-*

Für z = 0 wird / = 1, « = 45°. Für 2 = ^ = 45° wird « = 0.

Zwischen diesen Werten von 2 muß der gesuchte liegen, als ersten Näherungswert nehmen wir

« = 22°30' = 5 = 0,3927.

ll =

= -0,1452;

-0,3139

2,1617

-0,0160

1,9541

«!= 0,2475 — 14°ir

= -0,0077;    ö₂= 0,2398 = 13°44'.

3. Maxima und Minima.

Es sei wieder h eine kleine Größe, während 2 irgendeinen endlichen Wert bedeute.    ,

f{x + h) = f{x) + hf (2) + 2j /" («) H----

f(x + h) = f{x) + h (f'(x) + ^f"(x)+ •••)•

Wie in Beispiel 21 auf S. 72f. gezeigt wurde, kann h so klein angenommen werden, daß das Vorzeichen der Potenzreihe nur von dem ersten Gliede abhängt. Diese Bemerkung wenden wir jetzt auf den Klammerausdruck an. Ist f (2) positiv, so ist es auch die Klammer.

h sei ebenfalls positiv, dann gilt dasselbe von h • (f'(x) H----); f{x-\- h)

f{x + h) = fix) + £(/"(*) + \r (*) + ••)

/(*-»)- m+y(rw -\r\x)+••)•

ist größer als f{x)\ f{x — h) = f(x) — h(f'(x) + • • •) ist, da das zweite Glied negativ ist, kleiner als f(x), die Kurve y = fix) hat im Punkte 2, y steigende Tendenz, was schon auf S. 39 geometrisch abgeleitet wurde. Genau ebenso zeigt man, daß, wenn ?{x) negativ ist, f(x-\-h) kleiner und f(x — h) größer als f(x) ist. (h ist stets positiv angenommen.) Es kann aber f{x) auch einmal gleich Null sein, dann wird das Verhalten der Funktion erst durch das folgende Glied der Potenzreihe gekennzeichnet.

Auch hier ist bei genügend kleinem h nur das erste Glied der Klammer für ihr Vorzeichen von Bedeutung. Wenn f\x) positiv ist, so ist sowohl f(x + h) wie f(x — 7t) größer als fix), da /? unbedingt positiv sein muß. Die Funktion hat für diesen speziellen Wert x ein Minimum, denn sie ist kleiner als ihre Nachbarwerte. Ist dagegen f"(x) negativ, so tritt ein Maximum ein, weil sowohl f(x + 7t) wie fix — Ti) kleiner als fix) sind. Geometrisch sagt die Forderung f’= 0, f"> 0 aus, daß für den betreffenden Kurvenpunkt die Tangente der Abszissenachse parallel lause und die Krümmung konkav sei (Punkt G in Fig. 23, S. 39). Man sieht unmittelbar, daß dann ein Minimum eintritt. Ebenso leicht erkennt man für f'= 0, f" <0 ein Maximum (Punkt D). Nun kann aber außer s auch f” — 0 sein.

f{x + 7t) ---- f(x) (f'"ix) +jf ”'iv) + * •) *

In diesem Fall verläuft die Untersuchung wie vorher, man hat nur zu beachten, daß sich hinsichtlich des Vorzeichens 7t⁸ wie h, h* wie h2 verhält usw. Verschwindet also f und f", aber nicht f", so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein. Für

o, fn=o, r=o, ?'"> o

hat man ein Minimum, für

f — 0, f"= 0, f'"= 0, f""< 0 ein Maximum uff. Man kann zur Untersuchung die früher behandelten Ableitungskurven (S. 20) heranziehen.

Beispiel 30. Ein Wassergraben hat einen rechteckigen Querschnit Q = 0,5 qm. Die Breite x und die Tiefe y sind so zu wählen, daß die vom strömenden Wasser benetzte Fläche möglichst klein wird,, damit der Reibungswiderstand minimal ist. (Fig. 37.)

Aus xy --- 0,5 folgt y = — • Es soll die Funktion

f(x) = x + 2y x +—

Fig. 37.

zu einem Minimum gemacht werden.

¹

Vgl. Aufgabe 140, S. 55.

m-i-fi-o

liefert x = -f 1; die Lösung L ----- 1 hat keine praktische Bedeutung. y = wird hier = 0,5; die Breite ist daher gleich der doppelten Tiefe.

,, = 7

nimmt für x = + 1 den positiven Wert 2 an. Wir haben es also

wirklich mit einem Minimum zu tun, nicht mit einem Maximum (yH << 0)

oder einem Wendepunkt. v '

Beispiel 31. Ein Stab sei an einem Ende fest eingespannt und lagere mit dem anderen auf einer Stütze.

Nach den Lehren der Mechanik lautet die Gleichung der Linie, die seine neutrale Faser infolge seines Eigengewichtes G kg bildet,

y    ~EJ48 \T T*    W) ’

Fig 38.

Positive Konstante Gl

l, x und y (Fig. 38) sind in cm, der Elastizitätsmodul E in kg/qcm und das Trägheitsmoment J in cm⁴ ge-geben. Für welchen Wert von x weicht die Linie am meisten von der Horizontalen ab? Zur Abkürzung sei die

----- c gesetzt, also

EJ• 48

/ 3xs 2x*\ -<=(*-TT+ ir)

t    (. 9xi 8x*\    „    /    18a?    24a;,\

y _ _ c(l - -Ji- +    y =-.c(- -p- + p-)’

Zum Eintritt eines Maximums oder Minimums ist erforderlich i-^r + ^r^O; 8x³-9a²Z + Z³ = 0; 8xs-8x*l-x²l + Z³ = 0 8x²(x — l) — l(x² — Z²) = 0; (x — 0[8a;³ — l(x + Z)] ----- 0.

Für x -----Z tritt ein Maximum ein, da y' ------ 0, y" negativ wird. Die

setzt.

zweite Möglichkeit dafür, daß y' verschwindet, erhält man, wenn man 8x² — l(x + 1) = 0

33Z*

256

Ss’-Zs-Z*-»;    =    -J + fiS“

‘c-Te±il/33>

X = 16

(i+ysä).

Das negative Vorzeichen der Wurzel kann unberücksichtigt bleiben, da negative Werte von x praktisch unmöglich sind. Es ergibt sich also x = 0,4215Z.

y" liefert für dieses x den positiven Wert y" ----- + 3,323 y wird

ein Minimum, dessen Größe resultiert, wenn man den errechneten Wert von x in die allgemeine Formel für y einsetzt.

t/min =- 0,00542 Die Kurve hat Wendepunkte für x = 0 (bedeutungslos) und für % = \ k. Hier

GP

wird y" = 0, und zugleich mit dem Bor-zeichen dieser Größe ändert die Kurve die Art ihrer Krümmung.

Fig. 39 erläutert die Aufgabe graphisch.

Fig. 39.

Die Ordinalen der Ableitungskurven sind aus leicht ersichtlichen Gründen im Maßstab 1:10 verkleinert worden. Es wurde c = 1 = 1 gesetzt.

Beispiel 32. Ein Kreis hat den Durchmesser d. Es soll ein Rechteck mit den Seiten x und y gezeichnet werden, dessen Ecken auf der Peripherie liegen und dessen Seiten den Ausdruck xyn zu einem Maximum oder Minimum machen.

(Fig. 40.)

Zur Lösung führt man am besten den zwischen x und d liegenden Hilfswinkel <p ein.

x = d cos cp, y = d sin <p; xyn = d!n+¹ cos cp sin" cp — Min.

Fig. 40.

Es ist

f = — sin cp • sin”g> f wcosgosin”⁻V • cos cp = sin”⁻^ (%cos²g>—sin²<p) f" — (n — 1) cos cp sin”⁻² cp (n cos² cp — sin² cp)

+ sin”⁻¹ cp (— 2 n sin cp cos cp — 2 sin cp cos cp) f"= (n — 1) cos cp sin”⁻² cp (n cos²<p — sin²y) — 2 (w+ l)sin”qo cos qo f verschwindet, wenn sin cp = 0, also x = d und y = 0 ist, was wir als praktisch bedeutungslos außer Betracht lassen wollen, oder wenn n cos²g> — sin²cp — 0,

ist. Die Aufgabe ist daher nur für positive n lösbar, auch hat nur das positive Wurzelvorzeichen Bedeutung, da cp nie negativ oder stumpf werden kann. Für den genannten Wert von cp verschwindet der erste Bestandteil von f", der zweite besitzt das negative Vorzeichen, wir haben also ein Maximum.

a) n -----1; xyx ist der Flächeninhalt des Rechteckes, der ein Maximum wird, wenn

Da dn konstant bleibt, untersuchen wir die Funktion f = cos cp sin” cp.

---- -r, tg cp = }/n

tgy = 1, <p = 45°, x — y = d • wird. Soll aus einem zylindrischen Baumstamm ein Balken von möglichst großem rechteckigen Querschnitt geschnitten werden (der Abfall also möglichst gering sein), so muß das Rechteck ein Quadrat sein.

d) n — 2; xy² ist dem Widerstandsmoment proportional. Dies erreicht ein Maximum, wenn tg<p = Y2, die Höhe sich also zur Breite wie Y² :"j/I verhält. Man findet leicht

-14

x~dVv

Das Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand, den der Balken der Durchbiegung entgegensetzt, wenn die Biegungskraft parallel zu y wirkt.

c) w = 3; xy% ist dem Trägheitsmoment proportional. Je größer dieses ist, um so weniger weicht der Stab bei Biegungsbeanspruchung von der horizontalen Lage ab. Man erhält ein Maximum, wenn tgq) = y:x = Ys ist.

~2’

IVs-

Zur Konstruktion der allgemeinen Lösung teile man den Durchmesser in n + 1 gleiche Teile und errichte im ersten Teilpunkt das Lot bis zur Peripherie. Die Verbindungslinien seines Endpunktes mit den Endpunkten des Durchmessers sind die Seiten des Rechtecks.

Beispiel 33. Es ist der größte Ausschlag der durch die Gleichung y --- ae-bx(ecx — e~cx)

gekennzeichneten aperiodischen Schwingung zu ermitteln.

y' — — abe~bx (ecx — e'M) + ae~‘jX (ceCJS -j- ce~cr) y¹ — ae~~bx [— becx + be~ac -1- cecx + ce~cx] y¹ --- ae~bx [(& + c) e~cx — (b — c) ecx\

(b — c) ecx = (b -f c) e~cx,

Da der erste Faktor für endliche Werte von x nicht verschwindet, so muß der zweite Null werden.

b > c.

daher

Durch Untersuchung von y" findet man, daß ein Maximum eintritt.

Siebentes Kapitel.

Prüfungsmethoden.

Hat man zu irgendeinem Zweck von einer gegebenen Funktion y=f(x) die Ableitung f (x) gebildet, so wird man gern die Richtigkeit der Rechnung kontrollieren wollen, ehe man auf ein möglicherweise falsches Ergebnis weitere Untersuchungen gründet. Mancher wird nie ein gewisses Gefühl der Unsicherheit im Differentiieren los, weil ihm solche Prüfungsverfahren unbekannt sind.

Die meisten Fehler werden schon vermieden, wenn die Rechnung mit einer gewissen Behaglichkeit und großer Sorgfalt ausgeführt wird. Man gewöhne sich an eine übersichtliche Anordnung (keine verstreuten Zettelnotizen!), schreibe deutlich und notiere auch Zwischenergebnisse auf. Die größere Schreibarbeit wird weitaus durch das Gefühl der Sicherheit ausgewogen; ein beim „Kopfrechnen" gemachter Fehler entzieht sich besonders gern der Nachprüfung, vor allem, wenn es sich nicht nur um Zahlen, sondern um Formeln handelt.

Bei der Aufzählung der wichtigsten Prüfungsmethoden unterscheiden wir Verfahren, die zum Ziele führen, wenn die gegebene Funktion y=f(x) außer x nur bekannte Zahlen, keine Buchstabengrößen a, b, c u. dgl. enthält, von den Mitteln, welche anzuwenden sind, wenn die Funktion dieser Beschränkung nicht unterliegt.

Im ersten Falle beachte man folgende Winke, die an dem einfachen Beispiel y — }/l — 4 z² erläutert werden.

1. Verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Man schlage bei derselben Aufgabe verschiedene Wege ein. Die Regeln über Differentiation impliziter Funktionen, über Funktionen von Funktionen usw. kommen hier in Betracht. Für unser Beispiel sind etwa folgende Methoden zweckmäßig:

a) /l —4z²; 1 - 4z²=*; y =    !=

₌ j___.    8a.. dy₌__

⁼ 2}/i-4:x*’ dx=° ) dx dz'dx yi-iic*

(Satz 5 auf S. 24).

b) Es kann eine Hilfsgröße t eingeführt werden, in unserem Fall empfiehlt es sich, 2 x = sin t ju setzen.

y = -j/i — 4 a;² = j/l — sin² t = cos i;    — sin i = — 2 a:;

di 2    2 '    ’da: yi-4a:² da: di da; ]/l—4a;s

c) t/ = )/(l + 2a;) (1 — 2a:) == ]/l+ 2a: • |/l — 2x = u • v. (9SgI. S. 23, Satz 3.)

u' =

Vl + 2a;’ y

(1 —2a:) —(1-f 2a:) yi —4a;²

^_==l; y'=u'v + yf w=

yi-2x yi+2xm y 1 + 2* yi-2a?

yi—4a:²

d) 2/² = 1 — 4a;²; y* + 4a:²- i = 0;    - (^) : (%). (Vgl.

S. 24, Satz 6.)    W

,__8M____

y ~    ~    yi—4a:²'

2.    Tangentenkonstruktion. Man zeichnet die Kurve, deren Gleichung y = f(x) ist, auf, rechnet für eine Anzahl von Werten xv x2/ x₃-"Xn die zugehörigen Ordinalen ylt yai y₃ ---yn und die zugehörigen Werte des Steigungsmaßes y' aus und bestimmt (trigonometrisch oder rein zeichnerisch) die Tangentenwinkel ccv a₂, «₃ • • • Hierauf zieht man Gerade, die diese Winkel mit der positiven L-Achse bilden, konstruiert parallel zu ihnen die Tangenten (vgl. Fig. 26 auf S. 41) und sieht zu, ob sie die Kurve in den berechneten Punkten berühren.

3.    Vergleich mit dem Differenzenquotienten. Man nimmt Az ziemlich klein an und berechnet für einen beliebigen Wert xx den Ausdruck Ayx = f{xx + Ax) — f(xx), ebenso für einen andern Wert x2 die Größe Aya = f(x₂ + Ax) — f{xa) usw. Die Differenzenquotienten ~ müssen den Differentialquotienten für dieselben Werte von x um so näher kommen, je kleiner Ax wird. Nimmt man z. B. in y ---/l — 4a?die Abszissen xx = 0; x₂ = 0,1; x₃----- 0,2; a;₄ ---- 0,4 und macht Ax stets gleich 0,001, so ist

4a:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,9798

0,9165

0,8000

0,6000

A*

-0,02

-0,43

-0,90

-1,54

-2,76

y'

-0,41

-0,87

- 1,50

-2,67

yi—4z*

4. Entwicklung in Potenzreihen. Man entwickelt die gegebene Funktion y = f(x) in eine konvergente Potenzreihe ebenso die berechnete Ableitung y' = f’(x) in eine zweite Potenzreihe R₂. Dann muß R₂ auch die Ableitung von Rt sein. So ist }/l — 4z² = (1 - 4z²)i = 1 - 2 z³- 2 z⁴- 4 z⁶-10z⁸ —

JL -    (1 - 4z²)⁻l= 1 + 2z² + 6z⁴+ 20z⁶+ ... (@.63,

y 1-4**

Beispiel 12 für n - ± |).

Die Reihen konvergieren, wenn 4 z² kleiner als 1 ist, z also zwischen

—    unb + y liegt. Der Differentialquotient der ersten Reihe ist

—    4z — 8z⁸— 24z⁵— 80z⁷ — und dieser Ausdruck ist genau

gleich — 4z •    ¹

In vielen Fällen genügt eine Näherungsformel, die nur die erste oder zweite Potenz berücksichtigt, zumal dann, wenn der Verdacht vorliegt, daß in dem errechneten Differentialquotienten ein fehlerhafter konstanter Faktor auftritt.

Wir fassen jetzt den Fall ins Auge, daß, im Gegensatz zu unserer bisherigen Annahme, in f(x) auch Konstanten vorkommen, deren Zahlenwert man nicht angeben kann.

1.    Verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Auch hier wird es von größtem Vorteil sein, wenn man auf recht verschiedenen Wegen zum Ziel zu gelangen versucht. So kann z. B. die Funktion y ="|/a²— b² z2 ganz ebenso behandelt werden wte der früher besprochene Speztalsaü.

Die graphischen Methoden werden im allgemeinen versagen, ebenso

wird die Berechnung von oft Schwierigkeiten bieten.

2.    Entwicklung in Potenzreihen. Die Entwicklung in Potenzreihen läßt sich auch hier oft mit Vorteil anwenden, nur macht die Untersuchung der Konvergenz bisweilen Schwierigkeiten; als Spezialfall der Potenzreihen kann man die Näherungsformeln gebrauchen. Soll z. B. untersucht werden, ob der Differentialquotient von xneax gleich nxn~¹eax + xneax ist, so kann man die Exponentialreihe unbedenklich anwenden, da sie stets konvergiert.

y = xn.eax=xn^i±ax±<^ + ±£_.^----^ =z”+ »Z« + ¹ + —g—

a*xn + i

Der Differenttalquotient dieser Potenzreihe ist

y' ----- nxn~¹ + in + l) axn +    a²2n+1 +    a*xn+*-\----

Anderseits ist

nxn~xeax-\- xneax=nxn—¹-\-naxn-t- y a$a;”+¹ + yaV!+² | •••

+ xn + axn+¹ +    -----f • • • '

Wa;w —i g«* _|_    = wa;"⁻¹ -f (wa + 1) a:" -f (Wct + 2)xn + 1 +

-f y (wa -f 3) 2”+² + • • •, ein Ausdruck, der sicherlich nicht mit

dem für y' gefundenen übereinstimmt. Wäre jedes Glied des zweiten Summanden a mal so groß, so wäre die Übereinstimmung hergestellt, und in der Tat ist die Ableitung unseres Ausdrucks gleich nxn~¹eax + + ax”eax, denn wenn man ea* differentiiert, so erhält man aeax.

Man hätte den Fehler auch schon bei Anwendung einer Näherungsformel gefunden. exPal-\-x'₎ ea:tRdl-+- ax',ypaxn-\- axn+1]y'^nxn~1 + (n + 1) axn, während nxn~¹eax + xn eax~nxn~¹ + naxn-\- xn + axn+¹ ist.

3. Spezialisierung. Man kann den Konstanten in f{x) einfache Zahlenwerte beilegen, z. B. 0,1, — 1, \ usw., oder man kann sie unendlich groß werden lassen. Man pflegt dann auf wenig komplizierte Ausdrücke zu kommen, die oft auch numerisch ganz bestimmt sind. Sie lassen sich meistens sehr leicht differentiieren. Ist die Ableitung des allgemeinen Ausdrucks richtig gebildet, so müssen aus dem allgemeinen Differentialquotienten die speziellen durch Einsetzen jener vereinfachenden Zahlenwerte folgen. Ist ein Widerspruch da. so hat man an irgendeiner Stelle einen Fehler begangen, die Übereinstimmung läßt aber noch nicht exakt auf die Richtigkeit des zu prüfenden allgemeinen Ergebniffes schließen, doch mit um so größerer Wahrscheinlichkeit, je mehr Stichproben man macht. Es verhält sich mit diesem Prüfungsverfahren etwa so wie mit der im elementaren Rechnen gebrauchten Neuner- und Elferprobe.

Nehmen wir beispielsweise an, jemand habe y — eflxsm{bx + c) zu differentiieren. Er setzt die Ableitung dieses Ausdrucks gleich aeax sin (bx + c) und will das Resultat durch Spezialisierung prüfen. Für 6 = 0 wird y^eaxsmc und y' ----- aeax sin c. Dieser Spezialwert von y' geht aus dem gefundenen allgemeinen Werte von y' hervor wenn man b ----- 0 setzt.

Wird aber er ----- 0 gesetzt, so wird y = sin (bx + c); y' — bcos(bx + c) und nicht, wie man aus aeax sin (bx + o) schließen müßte, gleich Null. Der angegebene Differentialquotient ist also trotz des Gelingens der ersten Probe fehlerhaft gebildet. Wie man leicht erkennt, ist der zweite Summand, der bei der Produktenregel auftrat, vergessen worden. Der richtige Wert ist y'= aeaxsin(bx+ c) + beaxcos(bx + c). Dieser Ausdruck besteht jede Prüfung.

Lösungen.

1. CL ist die Abszisse, CA die Ordinate in dem Koordinatensystem mit den Achsen AB und AE. Durch passende Wahl der Koordinaten kann jeder Punkt der Ebene (jeder Ort des Grundstücks) erreicht werden. 2.-6. Man erhält Gerade. 7. —12. Parabeln. (Vgl. Kapitel IV.) 13. — 20. Verschiedene Kurven. 21. Solche Punkte sind die Schnittpunkte mit den Achsen, sowie die höchsten und tiefsten Punkte. Die Vergrößerung des Maßstabes erhöht die Genauigkeit. 22. Klein. 23. Nein. (Vgl. 21.) 25. Aufgabe 17, 18, 20 wegen des doppelten Vorzeichens einer Quadratwurzel. 26. Aufgabe 13 für x = 0] 14 für x = — 3; 16 für aj=l; 20 für x = %&. 27. An den eben genannten Stellen. 28. Nein, wenn man von den eben genannten Stellen absieht. 29,y = b. 30. Ay = 0. 31. y'= 2x. 32. 6x. 33. ±x. 34. -|a; + 3. 35. 2a;+ 1. 36.~gür Ax = l ist Ai/ = 5r • 3S-«• 2*= 15,71. Der Differenzenquotient ist 15,71: l — 15,71', der Sekantenwinkel 86°2i',5; für An---0,9 erhält man 15,39; 86°17' usf. Der Differentialquotient ist 12,57, der Tangentenwinkel 85°27'. 37. DieZunahme des Volumens ist Ai/=3n⁸An-s--f-3n(An)⁸-f-(An)⁸. Der Differenzenquotient ist 3n⁸-s-3nAn-f-(An)⁸. 38. tg cc = y'= 3#*= Zy :x = y :\x. 39. Symmetrisch. 40. Ja. 41. Nein. 42. y'= Ax*. 43.    1. 44. — -^n'-f- 2n. 45. — 3n⁸-f-2n. 46. Die

verlangten speziellen Werte sind z. B. im Falle der 42. Aufgabe: 0; 0,3; 1,2; 2,7; 4,8. 48.i/' = 0,04 a:⁸. 49. 0,4x⁸-0,6 x*. 50. 4s⁸- 100. 51. und 52. Vgl. S. I8f. 53. y' = 4a:⁸; y" = 12xl; y"' = 24n; yIV = 24; yV=yVI = ...=0. 54. Ist y = xn, so ist y'=-nxn~l; y"=n(n—t)xn~s usf. Der nte Differentialquotient ist konstant, alle folgenden verschwinden. 56. Vgl. Satz 1 auf S. 22. 57. Satz l und Satz 2 liefert y'—as{x) b<p'(x). 58. Man setze «u—tund differentiiere nach Satz 3. @rgefrnt8: y'==u'vio-\-uv'w-\-uvw'.

59. y'= ix. 60. y'= 10#. 61. t/' = ,r$. 62. 5a;⁴— 24a;⁸-}- 9#*-f 24a: — 10.

63. 9>(#) = c;qp'(#) = 0. 61. yr    ‘js ij

C7 a;t(gf~a) + 2a;(^~⁶) + a/t~⁶gr (x*+gx + h)'

-3#»-8#+l ⁶⁶‘ (x*-x-iy

6-a

fom''

68,3; -{-1 = £, y = Z⁶; ^~ = 6 z⁶=

= ° <^ + I( “i H “ 1! lf “ S 'H " 6 (;C + ¹⁾'- 63,1 + ³°^+ 60:C’+

-f 60#s-f 30#-f 6.    69. und 70. liefern dasselbe Ergebnis; warum?

71./=w(6 + 2c#) (a + 6# + c#⁸)n-1

dop

. 72. l.ßöfung: q)(x>y)=xy — at] |~ = a3; y'= — ^-. 2. Lösung: y = ^-= a*#—1; y'= — a*x

Tx = V'

— — ~i——“• 3. Lösung: y=“; w=a*; w=0; v=#;

78. y₌_lE₌_^. 74. i/'= - 3&#~⁴. 75. y=-7c#~⁸. 76.t/=-L-_

77* y'—~r— 78. y'—~— 79 ----    80.--4 ■ 81. --j*-

4j/P    5^#    24/#«    2>/#⁶

82.    83.-----------— = 84. -y-__

y-r'-1    (£C — 1) |/a?s— 1    3j|/(a-f-&#-l-e#,)i

Die Nenner sind auf manchen Rechenschiebern durch

sf/#⁵

b) üb;

Striche bezeichnet. Sekunden kommen wegen ihrer Kleinheit bei technischen Rechnungen nur ausnahmsweise in Betracht. 86.

^ 206 300

int Bogenmaß

int Gradmaß

Ay

= sin x—sin 0,3

1,3

1,1

0,9

0,7

0,5

0,3

74°29' 63"2' 51°34' 40° 6' 28°39' 17°11'

0,9635

0,8913

0,7833

0,6441

0,4794

0,2955

0,6680

0,5958

0,4878

0,3486

0,1839

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,668

0,745

0,813

0,871,

0,919,

“cT

Ter Differentialquotient y — cos» nimmt für # = 0,03 den Wert cosl7°ir = 0,9554 an. Fig. 41 zeigt den Übergang deutlich; auf der Abszissenachse

sind die Werte von Ax, auf der Ordinatenachse die von ^ abgetragen und für #=0 der Differentialquotient 87. Die Kurve stellt das Anfangsstück

der Fig. 41 vergrößert dar und verläuft fast geradlinig.

89. n cos (nx). 90. — n sin (nx).

92. -

sin* (nx)

93. ma cos (mx) — nb sin (nx).

94. accos(c<+6). 95. 2 sin« cos« = sin 2«. 96. — sin 2 x.

97.0.(sin*«-f-cos*«hatdenkonstanienWert1).

98.

-    99.-

100.

«*+«*

101.

y«*-«*

1$ 5üT 5,0

«*+«*'

102. 2/'=*——~= liefert bei Anwendung des Pythagoras eine leichte Tan-

yi—«*

gentenkonstruktion^ 103. Man sieht (Fig. 42) wie die Kurve mit wachsendem n einer Grenzlage zu- £-

strebt, nämlich der Geraden, die ² ^ im Abstand e = 2,718 ... zur 1 »r-Achse parallel gezogen ist.

Um den Grenzwert im end-    ^    x

liche nZahlengebiet zu erhalten, setze man n= -, also y — (1 + pY =    + p

(Fig. 43). 105. Zur Prüfung der Ergebnisse vgl. Beispiel 17 auf S. 67. 110. (Eos« + ©in« = | (e» + e-») + |(e*-6-^ = 6” 111-114 folgen auch aus den Formeln 18 und 19 auf S. 37. 115. «-f- y«*yä*---v; «    __«-f- y«*+g*t dy dy dv 1

y«*+as y«*+a* ¹ dx~dv'~dx~ yx*_(_a** b. v = gt sin a. 120. In diesem kleinen Intervall wächst der Sinus fast gleichförmig. Nimmt d um 10r zu, so vergrößert sich der Sinus um 27 Einheiten der letzten Dezimale, wird d um x Minuten größer, so muß der Sinus um y = 2,7« vermehrt werden. (Gerade Linie!) sin 20° 37'= 0,3502 + 0,0019 = 0,3521; « --- 20°33'. Die graphische Interpolation ist für alle Funktionen von einigermaßen regelmäßigem Verlauf dann am Platze, wenn mehrere Einschaltungen auszuführen sind. 121. s = -| y*²= 4,905 #* Meter. 122. In t Sekunden bewegt sich ein Wasserteilchen wagerecht um die Strecke « = et Meter, in derselben Zeit füllt es um y=-^§t* Meter. Zwischen« und y besteht daher die Beziehung y = |^- Die Bahn ist eine Parabel, die positive ANuG 387: Lindow Differentialrechnung, 2. Aufl.

v-P+v)'

Fig. 42.

Fig. 41.

y-V+pf

Fig. 43.

dv

116a .v=gt,

Richtung der Ordinate weist nach unten. Weitere Beispiele über Wurs bewegung gibt jedes ausführlichere physikalische Lehrbuch. 123. W=

(Parabel.) a) v = 343 m/sec, b) 485, c) 594. 124. Ist der Strom i Am pere stark, so Beträgt die Wärmemenge Q = 0,24 i*w Grammkalorien; i unserem Fall ist Q = 28,8125. Schnittpunkte: x=0, t/ = 0; x=l y =» 1; x — — 1, y = — l. Die Kurven steigen verschieden stark an, de den positiven Werten von x entsprechende Teil ist dem andern symmetrisch 126. Die Kurven ähneln der Parabel. Schnittpunkte: x = Q, y = 0; x — +l y= 1.    127. Inverse Funktionen. 132. Für « = l (Isotherme) wir

p = 6 Atm., für «=1,41 (Adiabate), p = 12,51; « = 1,1, p — 7,18; «---1,2 p = 8,59; «=1,3, p = 10,27. 136. Die erste Kurve gibt die Periodizitäi die zweite das Abklingen der dritten wieder. 137. Schnittpunkte mit de

X-Achse: L=0, ", — • • • Sie sind zugleich Wendepunkte. Die Tangent in ihnen bildet den Winkel+^-(= 45° mit der X-Achse. Für die Scheitel de 140. Ta y =

Mo-

Kurve ist q = ^ m Cos (^j ist, so erinnere man sich ai Aufgabe 109; y'= ^ Vy*— m* gib eine einfache Tangentenkonstruktion Krümmungsradius ist q = ^

d° i + 6/')’-^ y"= A ist Seine Länge ist gleich der Normalen gerechnet vom Kurvenpunkt bis zur

X-Achse. (Fig.44.) 143. Lösung s --- ——, = 2. Die geo-

Fig. 44.

metrische Veranschaulichung gibt Fig. 45, in der das Rechteck AB in zwei gleiche Flächen zerlegt wurde, die eine von ihnen >    vieder usf.

yL’fi-

6    \    4 5

y⁴

^ 1 2 3 4 5 7 a cp*

V--iT-

145. x =

y¹ j y⁴

u-3 5

45-67

- — ₇₈±- • - j- 146. «ist im Bogen-

maf} = Mjt = 0,6 Jt =1,885; fi «=0,377; e,<a= 1 + 0,877 + 0,071 + 0,009 + 0,001

= 1,458.    147. ©in a? = £C +    4-

+ .iTO6 + -^^“i + 0 +

•/,

’/s

4- • • •. Die Reihen unterscheiden sich von denen für sinx mtb cos# nur dadurch, daß alle Glieder

früher abgeleiteten Formeln.

Fig. 45.

positiv sind. Dies erklärt die Analogie der

rc , (X\    X* .    X*

118. y - m <£o| (-) = « + , ;₂— +

149. Da a = ela ist (vgl. S. 34 f.), so wird a*= (eZct)K= exla; ax = l + +    +    150. Differentiiert man z. B. sinw = w-

1-2-3-4m8 1 1-2-3-4-5-6m⁴

1-2-3

+ ''' / fa erhält man 1 —    4* j-g u -F''' t also die Reihe

für cos#. Dies stimmt genau mit dem auf @.29 f. erhaltenen Ergebnis überein; ebenso ist es bei allen anderen Funktionen. 151—155. Man benutzt den

binomischen Satz. 156 und 157. sin a ^5 tga Fti —— = —— = —“----

v    °    57,30    3438    206300

158. Es ist (nach Beispiel 22) sin (a + x) Fti sin ä + x cos a; cos (a 4- x) fö cos a — * sin a; a = 40°, x = + 1° = + 0,01745. Man kann geometrisch und rechnerisch nachweisen, daß diese Näherungswerte zu groß ausfallen müssen. 159. Nach Aufgabe 148 ist y & m +—■ Die Kurve wird also angenähert durch eine Parabel ersetzt, bereit Scheitel auf der I^-Achse um m verschoben ist. Der Parameter (S. 17) ist hier 2m, der Krümmungsradius = m (S. 42 f.), was mit der Angabe auf S. 88 völlig übereinstimmt. 160. In n Jahren wächst es auf a (⁴ + loö)”³⁰^⁰^ an

Algebra II § 21,« (>+ifö)"™²°i nl{¹ + l£ö) ~U'

x‘

I23.4.5

(Erantz

Z2    12    69 3

-7-——    —' also bei 3% in 23 Jahren.

T ⁺ IööJ    \m)

161 n ~ 100 lk

Es sei (vgl. S. 35)

Anhang.

Die Reihe für e.

Ist n = 1, so erhält man (l + ~j” = 2. Wird n größer (2, 3

4 • • •), so wächst auch die Summe, da die Faktoren, aus denen di Summanden der Reihe gebildet sind, größer werden. Für jedes end liche ganzzahlige n ist die Summe s sicher wieder kleiner als

Sl = l + l + { + 2^3 + 27^4 ••• +

denn hier sind die Faktoren 1 —    1 — ^ usw. durch den größerei

Wert 1 ersetzt. s₁ ist wieder kleiner als

-i----h und s₈ kleine

₂-l-i + ±

s₃

= 1 -j- 1 4- — -f —--f- —

! T 2 ¹ 2 - 2 ' 2-2-2

afö s₃ = l + l+2 + gT 1

Die hierin auftretende (unendliche geometrische) Rcrbe t n, S. 58, Aufg. 143 den Wert

= 2, also ist s₃ = 1+ 2 = 3.

¹~2

Für jedes endliche n, welches größer als 1 ist, hat - einen Wert der zwischen 2 und 3 liegt.

Zur engeren Eingrenzung kann man s = 1 4-1 4- R setzen,

11

»/

^ “ 1^2 (“ ~ «) t1 + l (* ~ T) + 3^4 l1 _ )

B₂ ist größer als 0, da jeder Summand positiv ist, und kleiner als

+ -L +____1—1

^ 3-4 ^    3•4 • ••nJ

nd UM so mehr ist

■B=<r2[¹ + i + r» + ⁻'⁻]'

Die geometrische Reihe in der Klammer hat die Summe

aher liegt B₂ zwischen 0 und s zwischen 2 und 2,75. Man könnte :tzt entsprechend

5 = 1 + ¹ + I¹i(¹-i)+⁵a

chen und B₃ in Grenzen einschließen, wir führen aber die betreffende Verlegung gleich allgemein durch, indem wir s nach p Gliedern abrechen und den Rest Bp nennen.

1.2.3... (p-l)

RP =

[¹⁺fK¹⁻^)

f ••• +

1.2.3..

P-n )

(P+l)(p + 2)

Ö» + 1)(P +*)"••>

Da nur positive Faktoren und Reihenglieder auftreten, ift-Rp größer rls 0. Anderseits hat man

_¹_si _l .—?:--L_

1-2.3...^L ^ p + l^(p + l)(p + 2)

uP<

mb um so mehr

Rp<C.

1-2.3.• -p

+ ---

(P + l)(P + 2) •••

-J

Der Klammerinhalt ist

daher liegt 2^ zwischen 0 und

ff +1

Das Bemerkenswerte dieser oberen Grenze für das Restglied ist, daß sie von n unabhängig ist, also für jede der Zahlen n = 2, 3, 4 ... gilt, mag sie auch noch so hoch sein, sie ist also auch im Grenzfall (m = oo) richtig. Dann geht

über in

1-2.3. • .(29-1)

+ RP-

⁶”¹ + ¹ + ri + r^73 + '" +

Für p = 4 liegt z. B. BP zwischen 0 und A, e zwischen ¹ + 1 + i + i == 2-|

und

O 2    5 6) 23

“"y * Sst    J32' also zwischen 2,666 und 2,719.

Es läßt sich leicht beweisen, daß, je grösser p .    "" wird, um

so kleiner das Restglied Rp wird, um so enger also die Grenzen sind, in die e eingeschlossen wird.

i+-:-

1.2-3---p-p

1 • 2 • 3 ... p

Wird p immer größer, so nähert sich der kleiner werdende Zähler immer mehr der Einheit, während der Nenner beliebig groß wird. Der Wert des Bruches wird also mit wachsendem p beliebig klein, um so mehr Bp, die Reihe für e nähert sich mit steigender Glieder-zahl unbegrenzt dem Werte e = 2,7182818284 ...

Die wichtigsten Disserentialquotrenten.

1)    V = a, y' = 0

2)    y = aas, 2/' = «

3)    ?/ —    y'= naxnm~l

4)    y = £rt, y’ = —

5)    y = aVä?

V'=PiJ~l

6)    2/ = sin Lv, i/' — cos a?

--- ax ,

7)    y = cosae, y'=—sin#

8)    y = tgoc, y'=^

9)    ?/ = ctg x, y'——    ¹

10) y — arcsinx,y'=.^===

12)    z/ = arctga?,2/,= r^i

13) 2/ — arc ctg x,

v'=- ¹

1+05*

14)    y ---- Ix, y’ = -

15)    1/ — e®, 2/ = e* '• i

16)    y = ⁶lga?, 2/'--^

17)    2/ — a¹, y' = a*la

18)    y = Sin x, y' — Cos x

19)    y = Cos x, y' — Sin as

20)    y = Z8*, S/' = ä^

21)    2/ —Ctgae,2/' ——

22)    y = m -{- r, 2/' = u’ + V

23)    y - u - Ti, y' = u'-v'

24)    2/ — c/(a?), y¹ — cf (a?)

25)    2/ — uv, y' =zu'v-\- v'u ₀,.x «e , u'v — v'u

2t») y = —j 2/' = —

27)    2/-/'(P(M))-/(ch,

2/'=/'(*) <p'(x)

28)    Ist y (^2/) = 0, so ist

Sin* 05

Integralrechnung. Nach Axel Harnacks Übersetzung. N bearbeitet von Dr. G. Scheffers, Professor an der Technischen Hoc schule zu Berlin. In 3 Bdn. 4. u. 5. Ausl. gr. 8. Gebunden.

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—    Christentum und Weltgeschichte seit der Mission. Die evangelische. Von Pastor S.

Resormanon. Von Prof. D. Dr. K. Säubert.    (Bd. 406)

Cell. 2 Bde.    (Bd. 297.298.) Mystik inHeidentum ».Christentum V.Prof.

—    siehe Jesus, Mystik im Christentum. Dr. C d. Lehmann. 2. Aul. (Bd. 217.) Ethik. Grundzüge der E. Von E. We n t- Mythologie. Germanische. Von Prof Dr.

scher.    (Bd. 397.) I. v o n Ne g e le i n. 2. Ausl. (Bd. 95.)

—    s. a. Aufg. u. Ziele. Sexualethik, sittl. Naturphilosophie. Die moderne. B Priv.-Lebensanschauungen, Willensfreiheit. Doz. Dr. I. M. V e r w e y e n. (Bd. 491.)

Freimaurerei, Die. Anschauungswelt u. Palästina und seine Geschichte. Von weil. Geschichte. Von weil. Geh. Rat Dr. L. Prof. Dr. H. Frh. v. Soden. 3. Aufl. "etter.    (Bd. 463.) M. 2 Kart.. 1 Plan u. «Ansicht. (Bd. 6.)

cchische Religion siehe Religion.    — P. u. s. Kultur in 5 Jahrtausenden.

Handschriftenbeurteilung. Die. Eine Ein-    Nach den neuesten Ausgrabungen und

führung in die Psychol. d. Handschrift.    Forschungen dargestellt von Oberl. Dr.

Von Prof. Dr. G. Schneidcmüh l.    P. T h o m s e n. 2. neubearb. Ausl. M.

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Heidentum siebe Mystik.    Paulus,'Der Apostel, u. sein Werk. Bon

Hellenistische Religion siebe Religion.    Prof. Dr. E. Bischer.    (Bd. 309 )

Hume siehe Locke, Berkeley. Hume.    Philosophie. Die. Von.Realschuldirelt. H.

Hypnotismus und Suggestion. Von Dr.    Richert. 2. Aufl.    (Bd. 186.)

E. Tr ö inner. 2. Aufl. (Bd. 199.) — Einführung in die Ph. Von Prof. Jesuiten. Die. Eine histor. Skizze. Von Dr. R. Richter. 3. Aufl. von Dr. M Prof. Dr. H. Boehmer. 4.Aufl. (Bd.49.)    Br ahn.    (Bd. 155.)

Jesus. Wahrheit und Dichtung im Leben — Führende Denker. Geschichtl. Einleit.

ru?-*,otretDr-*• r„R.»wyiiä

—    Die Gleichnisse Jesu. Von Prof. D. Dr. —Religion und PH. im alten Orient. Bon

H. Weinet. 4. Aufl.    (Bd. 46.)    Prof. Dr. E. von äst er. (Bd. 521.)

Israelitische Religion siehe Religion. — Die Ph. d. Gegenw. in Deutschland. V. Kant, Immanuel. Darstellung und Wür- wl. Pros.Dr. O. Külpe. 6.Aufl. (Bd-41.) digung. V. weil. Prof. Dr. O. Külpe. — Philosophisches Wörterbuch. V Ober-4. Ausl. Hrsg. 9. Prof. Dr. A. Messer. lehrer Dr.P. Thormeyer. (Bd. 520.) M. 1 Bildn.    (Bd. 146.) - s. a. Ethik. Naturphilos., Weltansch.

II. Pädagogik und Bildungswesen.

Amerikanisches Bildungswefen^siehe Techn.

Peru so wühlVcgatiunn' u.C%rbc°itslci!tung in ihren gegenseitigen Beziehungen. Von W. I. R u t t m a n n. M.7 Abb. (Sb.522.) Sildungswesen. D. deutsche, in s. gefchichtl. Entwicklung. V. weil. Prof. Dr. F r. Sau Isen. 3 Aufl. Von Prof. Dr. W. Münch. M. Bildn. Paulsens. (Sb. 100.)

—    s. auch Bolksbildungswesen.

Deutsches Ringen n. Kraft u. Schönheit.

Bon Turninsp. K. Möller. (Sb. 188.) Erziehung. E. zur Arbeit. Von Prof. Dr. Ed. Lehmann.    (Sb.    459.)

—    Moderne E. in Haus und Schule. Bon I. Lews. 2. Aufl. (Sb. 159.)

•— siehe auch Großstabtpädagogik. Fortbildungsschulwesen. Das deutsche. Von Dir. Dr. F. Schilling. (Sb. 256.) Fröbel. Friedrich. Von Dr. Ioh. Prüfer. Mit 1 Tafel.    (Sb. 82.)

Rousseau. Bon Prof. Dr. P. Hensel.

2. Aufl. Mit 1 Bildnis. (Sb. 180.) Schopenhauer. Bon Realschuldir. H. Richert. 3. Aufl. Mit l Silbnis. (Bb. 81.) Seele des Menschen, Die. Bon Geh. Rat Prof. Dr. I. Re l, m k e. 4. Aufl. (Sb. 36 ) ■— siehe auch Psychologie.

erb.. Willensfreiheit: Pädagog. Abt. II. Reformation siehe Calvin, Luther. Religion. Die Stellung der R. im Geistes-leb. S. Lic. Dr. P. Kalweit. (Sb. 225.)

—    Rclig. u. Philosophie im alten Orient. Bon Prof. Dr. E. von After. (Sb. 521.)

—    Die Religion der Griechen. Bon Prof. Dr.E.S a in te r. M.Bilderanh. (Sb.457.’

—    tzelleuistisch-röm. Religionsgesch. Bon Hofprebig. Lic. A. Iacoby. (Sb. 584.)

—    Die Grundzüge der israel. Religions-

gefchichte. Bon weil. Prof. Dr. F r. Gicsebrecht. 2. Aufl.    (Sb. 520

- Religion und Naturwissenschaft in Kampf und Frieden. Bon Pfarrer Dr. A. Plan nkuche. 2. Aufl. (Sb. 141.)

—    Die relig. Strömungen der Gegen

wart. Bon Snperintend. D. A. H. Braasch. 2. Aufl.    (Sb. 66.)

f. a. Scrgfbn, Buddha. Calvin.Chriften-tnt, Luther.

Serualethik. Don Prof. Dr. H. E. Ti

Sinn/ d? Menschen. D. Sinnesor?an?un Sinnesempirndungen. Bon Prof. Dr. f K. Kreidig. 3. Verb. Ausl. Mit 3'

Sittl?LcbenSanschauungen d. 8e§nw.^V weil. Prof. Dr. O. Kirn. 3. Auf! durchges. von Prof. D. E. Stephan

—    s. a. Ethik. Sexualethik. [(Sb. 177.

"Sffi,⁸"“ DT- K ⁶ tS °L'

Staat und Kirche in ihrem gegenseitige, Verhältnis seit der Reformation. Bo, Pastor Dr. A. P f a n n k u ch e. (Sb. 485. Sternglauben und Sterndeutung. Bo,

Suggestion s. Hypnotismus.

Testament. Neues. Der Text b. N. T. nftd seiner gefchichtl. Entwickl. B. Div.-Psarr A. Pott. Mit 8 Taf.    (Sb. 134.

Theologie. Einführung in die Theologie Bon Pastor M. Cornils. (Sb. 347. Veranlagung u. Vererbung. Geistige. B Dr.phil. et med. ©.Sommer. (Sb. 512. Weltanschauung. Griechische. Von Prof Dr. M. Wundt. 2. Au l. (Sb. 329. Wcltanschauungen.D., d. grob. Philosoph« d. Neuzeit. B-weil. Prof. Dr. L. Suffe 6. Stuft-, Hrsg. v. Geh. Hofrat Prof. Dr R. Falckenberg.    (.Sb. 66.

—    siehe auch Philosophie.

Weltentftchung. Entsteh, d. W. u. d. Erd

nach Sage u. Wissenschaft. Bon Prof. Dr M. S. Weinstein. 2. Aufl. (Sb. 223. Weltuntergang. Untergang der Welt uni der Erde nach Sage und Wissenschaft. B Prof. Dr. M. B. Weinstein. (Sb. 470 Willensfreiheit. Das Problem der W. Bo, Prof. Dr. G. F. Lipps. (Sb. 383.

—    s.a. Ethik.Mechan. d.Geistesleb.,Psychol

Grobstadtpädagog. B F. Tew S. (Sb.327. — s ehe Erzieh., Schulkämpfe b. Gegenw Handschriftenbeurteilung. Die. Eine Ein führ, in die Pfychol. der Handschrift. B Prof. Dr. G. Schneidemühl. Mi 51 Hanbschriftennachbildungen. (Sb.514. Herbarts Lehren und Leben. Bon weil Pastor Dr. O. Flügel. 2. Aufl. Mi 1 Biidnis Herbarts.    (Sb. 164.

Hilfsschulwesen. Vom. Von Rettor Dr. B Maennel.    (Sb. 73

Hochschulen f Tech«. Hochschulen u. llntti Jugendfürsorge. D.ösfentl. B Waisenhaus dir. Dr. I. Pe ter fe n. (Sb. 161, 162. Jugendpflege. Bon Fortbilbungsschulleh rer SB. Wie mann.    (Sb. 434.

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Leibesübungen siehe Abt. V. Mädchenschule. D. höhere, in Deutschland.

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Universität, über Universitäten u. Uni. versitätsstud. B. Prof. Dr. Tb. Zieg. ler. Miel Bildn. Humboldts. (Bd.411.) — Die amerikanische Univers. Von Ph.

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Schule siehe Fortbildungs-.Hilfsschulwes..    bett toWaßbutturiärtbe⁹nt.tW.f%“a®t6i6\rt

Techn. Hoch-, Madch., Volksschule. Unrv.    Dr. G Fritz. Mit 14 Abb.    (Bd. 266.)

Schulkämpfe der Gegenwart. Von    I.    u Schulrat vr. A. S a ch s e.    (Bd. 432.)

Lews. 2. Aufl.    (Bd. 111.) Volksschule und Lehrerbildung der Ver-

— siehe Erziehung. Grotzstadtpäd.    einigten Staaten. Von Dir. vr. F. K u y -

Student. Der Leipziger, von 1409    bis    pers. M. 48 Abb. u. Titelb.    (Bd. 150.)

1909. Von Dr. W. Bruchmüller. Zeichenkunst. Der Weg zur Z. Bon vr. E. Mit 25 Abb.    (Bd.273.) Weber. Mit82Abb.u. 1 Taf. (Bd.430.)

Architektur siehe sancearchitektur.

KW"

Björnson siehe Ibsen.

Buch. Wie ein Buch entsteht siehe Abt. VI. — s. auch Schrift- u. Buchwesen Abt. IV.

HI. Sprache, Literatur, Bildende Kunst und Musik.

Drama. Das. Von weiland vr. B. Busse. M. 3Abb. 3 Bde. I: Von d. Antike z. frans. Klassizismus. 2. Aufl. neubearb. von Oberlehrer Dr. Niedlich u. Prof. Dr. Glaser. II: Von Versailles bis Weimar. III: Von der Romantik zur Gegenwart.    (Bd. 287/289.)

Drama. D. dtsche. D. d. 19. Jahrh. I. s. Entwickl.dgest.v.Prof. Dr.®. Witkows -k i. 4. Aufl. M. Bildn. Hebbels. (Bd.51.)

—    siehe auch Grillparzer, Hauptmann» Hebbel. Ibsen, Lessing. Literatur. Schil-ler, Shakespeare, Theater.

Französische Roman. Der. und die Novelle. .Bon O. Flake:.    (Bd. 377.)

Frxmendichtung. Geschichte der deutschen F.

-    seit 1800. Bon Dr. H. Sviero. Mit 3 Bildnissen auf 1 Tafel. (Bd. 390.)

Fremdwortkunde. Bon Dr. Elise Rich -

Baukunst und Renais-

imswxsm

u. aut 2 Doppeltafeln.    (Bd. 8.)

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Ausg. des 18. Jahrh. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A Matthaet. Mrt 62 Abb. und 3 Tafeln.    (Bd. 326.)

—    Deutsche B. im 19. Jahrh. Von Geh.

—    siehe auch Rskaissancearchitektur. Beethoven siehe Hahdn. '

-— siehe auch Baukunst, griech. Kunst. Impressionismus, Kunst. Maler. Malerei. Stile.

%'o/si:;fretessiÄ«⁸boniöD4ri

Deutsch siehe Baukunst, Drama, Frauendichtung. Heldensage. Kunst.Literatur.Lh-rik. Maler. Maleret, Personennamen, Romantik, Sprache, Volkslied. Volkssage.

t e r.    (Bd. 570.)

Gartenkunst siehe Abt. VI.

Griechische Komödie. D:e. Von Prof. Dr.

A. Körte. M.Titelb. u. 2Taf. iBd.400.) Griechische Kunst. Die Blütezeit der g. K. im Spiegel der Neliefsarkophage. Eine Einführ. i. d. griech. Plastik. SB. Dr. H. Wachtler. M.8Taf.u.32 Abb. (Bd.272.) — liehe auch Dekorative Kunst. Griechische Tragödie. Die. Von Prof. Dr. I. Geffcken. Mit 1 Plan u. Abb.

Grillparzer. Franz.^ Der Mann u^d HarmoiUum s. Tasteninstrum. l(Bd. btSL

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— siehe auch ^Bolkssa Homerische Dichtung, T

tor Dr. G. Finster.    --------

Ibsen, Björnson u. i. Zeitgenossen. V.weil. Prof. Dr. B. Kahle. 2. Anfl. v. Dr. G. orgenstern. M.7Bildn. (Bd.193.) Impressionismus. Die Maler des I. Bon Prof. Dr. B. LLzLr. Mit 32 Abb. u. 1 färb. Tafel    (Bd. 395.)

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R. in Deutschland. Von Dr. E. Istel. Mit 1 Silhouette.    (Bd. 239.)

-    s. a. Hahdn, Mozart, Beethoven, Oper, Orchester, Tasteninstrumente, Wagner, kythologie. Germanische. Von Prof. Dr.

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38.)

05

— siehe auch Volkssage, Deutsche. Niederländische Malerei s. Malerei. Novelle siehe Roman.

Oper, Die moderne. Vom Tode Wagners Instrumente s. Tasteninstrum., Orchester. bis zum Weltkrieg (1883—-1914). Von Klavier siehe Tasteninstrumente.    Dr. E. J st e l. Mit 3 Bildn. (Bd. 495.)

Komödie siehe Griech. Komödie.    -—freye auch Hahdn, Wagner.

»$?,?'    Df“: mmsÄ

Thode. Mit Abb.    (Bd. 585.) — Das moderne Orchester in seiner Mtt-

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Prm™6&93nn Dr gäiemlf ' «Jit Weisungen. Von Prof. i)r. K. Doeftle.

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Photographie, Die künstlerische. Von Dr. W. Warstat. Mit 12 Taf. (Bd. 410.1 s. auch Photographie Abt. VI.

Plastik s. Griech. Kunst, Michelangelo. Poetik. Von Dr. R. Müller-Freien-fels.    (Bd. 460.)

Pompeji. Eine Hellenist. Stadt in Italien. Von Prof. Dr. Fr. v. Dubn. 3. Ausl. Mit zahlr. Abb.    (Bd. 272.)

Ta

nte

ng, Literatur,

Maler, Die altdeutschen, in Süddeutschland. Von H. Nemitz. Mit 1 Abb. i.

* Text und Bilderanhang. (Bd. 464.)

— s. a. Michelangelo, Impression.

Malerei. Die deutsche, im 19. Jahrh. Von Prof. Dr. R. Hamann. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57 ganzseitigen und 200 halbseitigen Abb., auch in 1 Halbperga-mcnlbd. an M. 7.—.    (Bd. 448—451.)

— Niederländische M. im 17. Jahrh. Von Prof. Dr. H. Iantzen. Mit 37 Abb. - siehe auch Rembrandt. s(Bd. 373.) s. Volksmärchen.

ngelo. Bon Prof. Dr. E. 6 übe» bran.d t. Mit 44 Abb. (Bd. 392.)

Minnesang. Von Dr. I. W. Bruinier.

Mozart siehe Haydn.    s(Bd. 404.)

Musik. Die Grundlagen d. Tonkunst. Ver-such einer genet. Darstell, d. allg. Musiklehre. V.Prof.Dr.H.Rie tsch. (Bd 178.)

Märchen

Michelai

ufl.

ktio

P^jektionSlelirc. ^Vo^Zeichenl^reroA.

Rembrandt. Von Prof. Dr. P. S ch u b -ring. Mit 50 Abb.    (Bd. 158.)

Renaissancearchitektur in Italien. Von Dr. P. F r a n k l. 2 Bde. I. M. 12 Taf. u. 27 Tertabb. II. M.Abb. (Bd. 381 382.)

Rhetorik. Von Lektor Prof. Dr. E. Ge igle r. 2 Bde. I. Richtlinien für die Kunst des Sprechens. 2. Aufl. II. Anweisungen zur Kunst der Rede. (Bd. 455/456.)

— siehe auch Sprache: Stimme Abt. V.

Roman. Der französische Roman und die Novelle. Bon O. Flake. (Bd. 377.)

Romantik. Deutsche. B. Geh. Hofrat Prof. Dr. O. Walzet. 4. A. (Bd. 232/233.)

Sage siehe Heldensage, Volkssage, Mhthol.

Sturm und Drang. Von Prof. Dr. R.

Unger.    (8b. 589.)

reckor E. veusermann. (Sb 493.) Shakespeare und feine Zeit. Von weil. Prof. ^Dr. E. Sieber. M^3 Abb.

Sprache! Die Haupttypen des meiisch^ch. Sprachbaus. Von weil. Prof. Dr. F. N.

— Sie beutjdje Sprache von heute. Bon ■— Frcnidwortkunde. I

Tasteninstrumente. Klavier. Orgel, Harmonium. V. Prof. Dr. O. B i e. (Sb.325.) Theater, Das. Schauspielhaus u.-kunst v. griech.Altert. bis auf d. Gegenw. B.Prof. Dr.C b r.G ae h d e. 2.21.18 Abb. (8b 230.) Tonkunst siehe Musik, zmi⁻    Tragödie s. Griech. Tragödie,

eute' Bon Urheberrecht siehe Abt. VI.

(Sb! 475.) Volkslied, Das deutsche, über Wesen und

®on

— siehe auch Phonetik, Rhetorik: ebenso Volksmärchen, Das deutsche V.

Sprache u. Stimme Abt. V.    rer K. Spieß.    (Bd. 587.)

Sprachstümme des Erdkreises. Von weil. Volkssage. Die deutsche, übersichtl. bärgest.

Prof. Dr.F N.Fin ck. 2.Aufl. (Bb.267.) v. Dr. O. Böcke l. 2. Ausl. (Sb. 262.) Sprachwissenschaft. Von Prof. Dr. Kr. — siehe auch Heldensage, Mythologie.

Sanbfelb-Jensen. (Sb. 472.) Wagner. Das Kunstwerk Richard Wagners. Stile. Die Entwicklungsgesch. d.St. in der Von Dr. E. I st e l. Mit Bildn. (Bb. 330.) Mb. Kunst. Bon Dozent Dr. E. C o h n - — siehe auch Musik. Romantik u. Over. W iener, 2 Bde. 2. Ausl. I.: V. Al- Leichenkunst. Der Weg zur Z. Von Dr. turtum bis zur Gotik. M. 60 Abb. II.: E.W e be r. M 82Abb.u.1 Taf. (Sb.430.) Van 8k"Msance bis zur Gegenwart. -— s. auch Perspektive, Prolektionslehre. Mit 39 Abb.    (Sb. 317/318.) Leitungswesen. V. Dr. H.Die z. (Vd.328.)

IV. Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie.

Alpen. Die. Von H. Reis Hauer. Mit 26 Abb. und 2 Karten. (Sb. 276.)

AArtum, Das, tm Leben der Gegenwart.

V- Prob.-Schul- u. Geh. Reg.-Rat Prof.

Dr. P. Cauer. 2. Ausl. (Bo. 356.)

Amerika. Gesch. d. Verein. Staaten v. A. B-Prof. Dr. E. D a e n e l l. 2. A. ' (Sb. 147.)

Amerikaner, Die. B N. M.Butler. Dtsch.

'/Jolkssckmle^ua Lehre'rbilb!: DichnUche Hoch,chulen, Unrvers. Amerikas Abt. II '

Antike Wirtschaftsgeschichte. Von Dr. O.

Neurath. 2. Ausl.    (Sb. 258.)

•SfS&lÄÄct

Engl

Nachwirkungen auf b. Gegenw. V. Prof.

„ 2.Aml. M.8Abb.u.2Kartensk. (Sb. 542.)

⁰muey?r'nui- Kulturgeschichte des deutschen

MT    e6«b.°2U

Bauernstand. Gesch. d. dtsch. B. B. Prof. Dr. H. Ger des. M. 21 Abb. (Sb. 320.)

Bismarck und seine Zeit. Von Professor Dr. S. Valentin. Mit einem Bildn. Bismarcks.    (Sb. 500.)

Brandcnburg.-preuß. Gesch. Von Archiv-assistent Dr. Fr. Israel. 2 Bde. I. B. b. ersten Anfängen b. z. Tode König Fr. Wilhelms I. 1740. II. V. der Negier. Frdr. b. Gr.    b.    zum Ausbruch    des Weltkrieges.    (Sb.    440/441.)

Bulgarien. Von Otto Müller-Neu-d orf.    (Sb. 597.)

Bürger im Mittelalter s. Städte.

Byzant. Eharaktcrköpse. V. Privatdoz. Dr.

K. Dieterich. Mit 2 Bildn. (Sb. 244.) Calvin, Johann. Von Pfarrer Dr. G. So -beut. Mit 1 Bildnis. (Sb. 247.) Christentum u. Weltgeschichte seit ber Reformation.    Von    Prof.    D. Dr.    K. Cell.

2 Sbe.    (Bb.    297/298.)

Deutsch siehe Bauernhaus, Bauernstand. Dorf. Feste. Frauenleben, Geschichte, Handel, Handwerk, Jahresfeste, Reich, Staat, Städte, Verfassung, Verfassuugsr., Volksstämme, -trachten, Wirtschaftsl.usw. Deutschtum im Ausland, Das. Von Prof.

Dr. R. 6 oe nist er.    'Sb. 402.)

Dorf. Das deutsche. Bon R. Mielke.

2. Stuft. Mit 51 Abb.    (Sb. 192.)

Eiszeit. Die, und der vorgeschichtliche Mensch. Von Geh. Vergrat Prof. Dr.

G. Steinmann. 2. Ausl. M. 24 Abbildungen.    (Sb. 302.)

and u. Deutschland i. ihr. Beziehungen v. Mittelalter b. z. Gegenw. B.Prof. Dr. W. Langenbeck. (Sb. 543.) - Englands Weltmacht in ihrer Entwicklung vom 17. Jahrhundert bis auf unsere Tage. V. Prof. Dr. W. Langen-deck. 2. Ausl. Mit 8 Bildn. (Sb. 174.)

Entdeckungen, Das Zeitalter der E.

Pros. Dr. S. Günther. 3. Stuft.

1 Weltkarte.    (Bd

Erde siehe Mensch u. E.

Erdkunde s. Wirtsch. Erdk., Geogr.

Europa. Vorgeschichte E.'s. Von Prof. Dr.

H. Schmidt.    (Bd. 571/572.)

Familienforschung. Von Dr. E. De-vrien t. M. 7 Abb. u. 2 Taf. ($5.350.) Feste. Deutsche, n. Volksbräuche. V. Priv.-Doz.Dr.E. F e b r I e. M.30 Abb. (Bd.518-) Französische Geschichte. I.: Das französische Königstum. Von Prof. Dr. ,R. Schwem,

Griechentum. Das G. in seiner geschichtlichen Entwicklung. Von Prof. Dr. R. v. Scala. Mit 46 Abb. (Bd. 471.) Griechische Städte. Kulturbilder aus gr. St. Von Professor Dr. E. Ziebarth. 2.91. M. 23 Abb. u. 2 Tafeln. (Bd. 131.) Handel. Geschichte d. Welthandels. Von Realghmnasial-Dir. Prof. Dr. M. G. Schmidt. 3. Stuft    (Bd. 118.)

—Geschichte des deutschen Handels. Von Prof. Dr. W. Lau gen deck. ($5.237.) Handwerk, Das deutsche, in seiner kultur-gcschichtl. Entwickl. V. Geh. Schulrat Dr. E. Otto. 4. A. M. 27 Abb. (Bd. 14.) -— siehe auch Dekorative Kunst Abt. III. Haus. Kunstpflege in Haus u. Heimat. B. Superintendent R. Bür kner 2. Ausl.

tit 29 Abb.    (Bd. 77.)

Slftt^vi ^Ernhaus, Dorf; Wohnhaus

®”®bDr4s&

Soltow. ($5.614.) Von Dir. Dr. R.

(Bd. 594.)

Internationale Leben. Das. der Gegcnw.

Von A H. Fried. M. 1 Taf. .(Bd. 226.) Island, d. Land u. d. Volk. V. Prof. Dr. P.

M. 9 Abb. (Bd 461.)

Prof. Dr. ($5.576.)

m. Von

621.)

.26.)

chwemer.    (Bd. o74

fieftc auch Napoleon, Revolution.

Frauenbewegung. Die moderne. Ein geschichtlicher Überblick. Von Dr. K. S ch ir -wacher. 2. Stuft.    (Bd. 67.)

Fraucnleben, Deutsch., i. Wandel d. Jahrhunderte. Von Geh. Schulrat Dr. Ed. Otto. 2. Auslage.    (Bd. 45.)

Friedrich d. Gr. K. Prof. Dr. Th. Bitter auf. 2.91. M. 2 Bild. (Bd-246.)

Gartenkunst. Geschichte d. G. V- Baurat Dr.-Ing. Chr. Ranck. Mit^tl Abb. ^

Geographie der Vorwelt (Paläogeogra phre). Von Priv.-Doz. Dr. E. Dacqu 6 Mit 21 Abb.    (Bd. 619 )

Geologie siche 9lbt. V.

German. Heldensage s. Heldens.

Germanische Kultur in der Urzeit. Bon Geh.-Rat, Bibliotheksdir. Prof. Dr. G. Steinhaufen. 3. Ausl. Mit 13 Abb.

Geschichte. Deutsche. Skizzen zu/^Entwick-lungsgeschichte d. deutschen Einheit. Von Prof. Dr. R. Schwemer. 3 Bde. I.: Von 1800—1848. Restauration u. Revolution. 3. Stuft. (Bd. 37.) II.: Von 1848—1862. Die Reaktion u. die neue Ära. 2.Aufl.(Bd.lÜl.)IH. :B. 1862-1871. V- Bund z» Reich. 2. Stuft. (Bd. 102 )

— der

Hellenist.-röm. Religionsgeschichte s.Abt.I. Holland siehe Städtebilder. Historische. Japaner, Die. i. d. Weltwirtschaft. V. Prof.

Dr. K. Rathge n. 2. Ausl. (Bd. 72.) Jesuiten. Die. Eine hist. Skizze. Von Prof.

Dr. H. Boehmer. 4. Stuft. (Bd. 49.) Indien. B. Prof. S. K Jndogermanenfrage.

Herrmann. M. 9A Kaisertum und Papsttui St. Hofmeister.

Kalender siehe Abt. V.

Kirche s. Staat u. K.

Kolonialgeschichte. Allgemeine. Von Prof.

Dr. F. Keutgcn. 2Bde. ($5.545/546.) Kolonien. Die deutschen. (Land u. Leute.) Von. Dr. St. Heil born. 3. Stuft. Mit 28. Abb. u. 8 Karten.    (Bd. 98.)

—    Unsere Schutzgebiete n. i. wirtschaftl. Verhaltn. Im Lichte d. Erdkunde 5arg. von De. Chr. G. Barth. (Bd. 290.)

Königstnm. Französisches. Von Prof Dr.

R. Sckwemer    (Bd 574.)

Krieg, Der, im Zeitalter des Verkehrs und der Technik. Von weil. Major St. Meyer. M 3 Abb. u. 2 Taf. ($5.271.)

—    Kulturgeschichte d. Krieges. Von Prof.

Dr. K. Weule . Geh. Hofrat Prof. Dr.

E. Bethe. Prof. Dr. B. Schmeid-ler, Prof. Dr. A. Do reu, Prof. Dr. P. Serie.    ($5.561.)

—    Der Dreitzigjährige Krieg. Von Dr.

Fritz Endres.    ($5.577 )

Kriegsschiff. Das. Seine Entstehung und Verwcndg. V. Geh. Marine-Baurat a. D.

E.    Krieger. Mit 60 Abb. . (Bd. 389.) Kulturgeschichte d. Krieges s.'Krieg. Luther. Martin L. u. d.dtsche. Reformation.

Von Prof. Dr. W. K ö h l e r. M. 1 Bildn. Luthers. 2. Stuft.    (Bd. 515.)

—    s. auch Bon L. zu Bismarck.

Marx. Von Dr.

Mensch u. Erde. Skizzen v. den Wechselbeziehungen zw. beiden. V. weil. Geh. Rat Prof. Dr. St. Kirchhofs. 4. Stuft.

—    s. a. Eiszeit: Mensch Abt.V. [($5. 31.) Mexiko. Bon Ferd. Frhr. p. Reitzen-

st e i n. Mit Abb.    (Bd. 588.)

Mittelalter. Mittelalterl. Kulturideale. V. Prof. Dr. V. Wedel. L: Heldenleben. II: Ritterromantik. (Bd. 292. 293 )

—    s. auch Städte u. Bürger i. M.

Moltke. V. Kaiser!. Ottoman. Major a. D.

F. C. Endres. Mit 1 Bildn. ($5.415.) Münze, Die. als histor. Denkmal sowie i.

Bedeut, im Rechts- u. Wirtschaftsleben. Von Hofrat Prof. Dr. St. Luichin v. Ebengreuth. Mit 53 Abb. (Bd. 91)

—    s. a. Finanzwiss.; Geldwesen Abt. VL

Jeder Band geheftet M. 1.20 0US ttötUT tlttb Geistes Welt Jeder Band gebundenM. 1.50 __Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie_

Mykenifche Kultur, Die. Von Prof. Dr. F.

C. Lehmann-Haupt. (Bd. 581.) Mythologie s. Abt. I.

Napoleon!. Von Prof. Dr. Th. Bitter-auf. 3 Aufl. Mit 1 Bildn. (Bd. 195.) Nationalbewußtsein siehe Volk. Naturvölker, Die geistige Kultur V. Prof. Dr. K. Th.P

reuß. M. ( lg. s(Bd.

ber N.

9 Abb.

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452.)

bis

Religion s. Abt.I.

Restauration und \ schichte, deutsche.

Revolution. Die Französ. V Prof. Dr. Th. Bitterauf. 2.91. M.SBild. (Bd. 346.)

—    R. 1848, 6 Vorträge. Von Prof. Dr. O. Weber. 2. Aufl. (Bd. 53.)

Rom. Das alte Rom. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. O. Richter. Mit Bilderanhang u. 4 Plänen.    (Bd. 386.)

—    Soziale Kämpfe i. alt. Rom. Ä. Privatdozent Dr. L. Bloch. 3. Aufl. (Bd. 22.)

—    Roms Kampf um die Weltherrschaft. V. Prof. Dr. I. Kro m av e r. (Bd. 368.)

Römer, beschichte der R. Von Prof. Dr. R. v. Scala.    (Bd.578.)

- siehe auch Hellenist.-röm. Religionsge-chichte Abt.I; Pompefi Abt. II. utzland. 2 Bde. I.: Land, Volk u. Wirt-schüft. Von Syndikus Dr. Wallrot h. II.: Geschichte, Staat und Kultur. Von Dr. A. Luther. (Bd. 562/563.) Schrift- und Buchwesen in atter und neuer Zeit. Von Prof. Dr. O. Weise. 3.Aufl. Mit 37 Abb.    (Bd. 4.)

Revolution siehe Ge

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Abt. VI.

a. Wie ein Buch entsteht.

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Prof. Dr. H. Frh. von Soden. 3. Aufl. Seekrieg s. Kriegsschiff.

Mit 2 Karten, 1 Plan u. 6 Ans. (Bd. 6.) Soziale Bewegungen und Theorien bis V. u. f. Kultur in 5 Jahrtausenden. zur modernen Arbeiterbewegung. Von Nach d. neuesten Ausgrabungen u. For- G. Maier. 4. Ausl.    (Bd. 2.)

jungen dargestellt von Gymn.-Oberl. — s. a. Marx, Rom: Sozialism. Abt. VI.

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ten.    (Bd. 547.) — Historische Städtebilder aus Holland

Politik. V.Dr.A. Grabow kky. .Bd 537 ) und Niedcrdeutschland. V. Reg.Baum. — Umrisse der Weltpolitik. V. Prof. Dr. a. D. A. Erbe. M. 59 Abb. (Bd. 117.) I. Has Hagen. 3 Bde. I: 1871 bis — f. a. Griech. Städte. Pompeji. Rom. 1907. II: 1908—1914. III: D. volit. Student, Der Leipziger, von 1409 bis Ereign, währ. d. Krieges. (Bd. 553/555.)    1909. Von Dr. W. Bruchmüller.

^Mische Geographie. ^Von ^Prost,Dr. Mit 25 Abb.    085.273.)

■— Polttische Hauptströmungeu in Europa im 19. Jahrhundert. Von weil. Prof. Dr.

K.    Th. v. Heigel. 3 Aufl. (Bd. 129.)

Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien. Bon Pros. Dr. F.r. v. Dubfl.

3. Aufl. Mit zahlr. Abb. (Bd. 114.)

Preußische Geschichte s. Brandenb.-pr. G.

Reaktion und neue Ära s. Gesch.. deutsche.

Reformation s. Calvin. Luther.

Reich. Das deutsche 91. von 1871 bis zum Weltkrieg. Bon Archivassistent Dr. ssr.

M

Stu

Studententum. Geschichte d. deutschen St.

Von Dr. W. B r u ch m ü l l e r. (Bd. 477.) Türkei. Die. V. Reg.-Rat P.R. Krause.

Mit 2 Karten. 2. Auflage. (Bd. 469 ) Ungarn siehe Österreich.

Urzeit s. german. Kultur in der U. .erfaffung. Grundzüge der V. des Deut» scheu Reiches. Von Geheimrat Prof. Dr. E. Löning. 4. Ausl.    (Bd. 34.)

Verfassungsrecht. Deutsches, in geschichtlicher Entwicklung. Von Prof. Dr. Ed. Hu brich. 2. Ausl.    (Bd. 80.)

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Volk. Vom deutschen V. zum dt. Staat. Eine Gesch. b. dt. Nationalbewußtseins. V. Prof. Dr. P. Ioachimsen. (Bd.511.) Völkerkunde. Allgemeine. I: Das Feuer, der Nahrungserwerb, Wohnung, Schmuck und Kleidung. Von Dr. A. Heil-born. M. 54 Abb. (Bd. 487.) II: Waffen und Werkzeuge, die Industrie, Handel und Geld, die Verkehrsmittel. Von Dr. A. Heilborn. Mit 51 Abbild. (Bd. 488.) III: Die geistige Kultur der Naturvölker. Von Prof. Dr- K. Th. Preuß. Mit 9 Abbildungen. (Bd. 452.) Volksbräuchc. deutsche, siehe Feste. Volksstämme. Die deutschen, und Landschaften. Von Prof. Dr. £>. Weis e. 5. völlig umgearb. Aufl. Mit Abb.

i. Text u. einer Dialektkarte Deutschlands.    (Bd. 16.)

Volkstrachten. Deutsche. Von Pfarrer K.

Spieß. Mit 11 Abb. (Bd. 342.) Vom Bund zum Reich siehe Geschichte.

Von Jena bi^s zum Wiener Kongreß. ^Von

Von Luther zu Bismarck. 12 Charakterbild. a. deutscher Gesch. V. Prof. Dr. O. Weber. 2 Bde. 2. Aufl. (Bd. 123/124.) Vorgeschichte Europas. Bon Prof. Dr. H. Schmidt.    (Bd. 571/572.)

Weltgeschichte s. Christentum.

Welthandel s. Handel.

Wcltpolitik s. Politik.

Wirtschaftliche Erdkunde. Von weil. Prof. Dr. Chr. Gruber. 2. Aufl. Bearb. von Prof. Dr. K. Softe. (Bd. 122 ) Wirtschaftsgeschichte. Antike. Von Dr. O. Neurath. 2. Auflage. (Bd. 258.)

—    s. a. Antikes Leben n. d. ägypt. Papyri. Wirtschaftsleben. Deutsches. Auf geogr.

Grundlage gefchildert. Von weil. Prof. Dr. Chr. Gruber. 3. Aufl. Neu bearb. von Dr. H. Reinlein. (Bd. 42.)

—    s. auch Abt. VI.

Y. Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin.

Aberglaube, Der. in der Medizin u. s. Gefahr f. Gesundh. u. Leben. V. Prof. Dr. D. v. Hanse mann. 2. Aufl. (Bd. 83.) Abstammungslehre ».Darwinismus. B. Pr.

Dr. R. Hesse. 4. 21. M. 37Fig. (Bd. 39.) Abstammuugs- und Vererbungslehre. Experimentelle. Von Prof. Dr. E. Lehman n. Mit 26 Abb.    (Bd. 379.)

Abwehrkräfte d. Körpers. Die. Einfuhr, i. d. Jmmunitätslehre. V. Prof. Dr. med. H. Kämmerer. M.52Abb. (Bd. 479.) Algebra sieh« Arithmetik.

Alkoholismus. Der. Von Dr. G.B. Gruber. Mit 7 Abb.    (Bd. 103.)

■— Sei

-    Seine Wirkungen it. s. Bekämpf. Hrsg, v. Zentralverb. z. Bekämpf, d. Alkoholismus in Berlin. III. Teil. (Bd. 145.)

Teil s. Alkoholismus v. Gruber. Anatomie d. Menschen, Die. B. Prof. Dr. K. v. Bardeleben. 6 Bde. Jeder Bd. mit zahlr. Abb. (Bd. 418/423.) I. Zellen- und Gewebelehre. Entwicklungsgeschichte. Der Körper als Ganzes. 2. Aufl. II. Das Skelett. 2. Aufl. III. Das Muskel- u. Gefäßsystem. 2. Aufl. IV. Die Eingeweide (Darm-, Atmungs-, Harn- und Geschlechtsorgane). 2. Ausl. V. Nerven--system und Sinnesorgane. VI. Statik u. Mechanik d. menscht. Körpers.

-    siche auch Wirbeltiere.

I. u. II.

E.^W.

Schmidt. (Bd. 335.)

Aguarium. Das.

Mit 15 Fig.

Arbeitsleistungen des Menschen. Die. Einfuhr. in d. Arbeitsphysiologie. SS. Prof. DrH Boruttau. M.14Fig. (Bd.539.) ■— Berufswahl. Begabung u. Arbeitsleistung in i. gegens. Beziehungen. Bon W. I. R u t t m a n n. Mit 7 Abb. (Bd. 522.)

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Prof. P. Crantz. 2 Bände. L: Die Rechnungsarten. Gleichungen

1.    Grades mit einer u. mehreren Unbekannten. Gleichungen 2. Grades. 4. Aufl. M. 9 Fig. II.: Gleichungen, Arithmet. u. geometr. Reih. Zinseszins- u. Renten-rechn. Komvl. Zahlen. Binom. Lehrsatz 3. Aufl. M. 21 Fig. (Bd. 120, 205.)

Arzneimittel und Genußmittel. Bon Prof.

Dr. O. Schmiedeberg.    (Bo. 363.)

Arzt. Der. Seine Stellung und Aufgaben im Kulturleben der Gegenw. Von Dr med. M. Fürst.    (Bd. 265.)

Astronomie. Probleme d. mod. A. V.Prof. Dr.S. Op p e n b e i m. 11 Fig. (Bd.355.)

—    Die A. in ihrer Bedeutung für da-praktische Leben. Von Prof. Dr. A Marcuse. Mit 26 Abb. (Bd.378.)

—    siehe auch Weltall, Weltbild, Sonne. Mond, Planeten: Sternglauben Abt. I

Atome. Moleküle — A. — Wcltäther. B Prof. Dr.G M ie. 4.9t. Fia. (Bo. 58/59. Auge des Menschen. Das, und seine Gesundheitspflege. Von Prof. Dr. G. Abelsdorff. Mit 15 Abb. (Bd. 149.] Auge. Das. und die Brille. Von Prof. Dr M. v. Rohr. Mit 84 Abb. und 1 Licht drucktafel.    (Bd. 372.)

Bakterien. Die. im Kreislauf des Stoffes in der Natur und im Haushalt des Menschen. Von Prof. Dr. E. Gutzeit

2.    Aufl. Mit Abb.    (Bd. 242.)

—    Die krankheiterregenden Bakterien

Von Privatdozent Dr. M. Loehlein. Mit 33 Abb.    (Bd. 307.)

ehrkräfte, Desinfektion. Pilze.

Schädlinge.'

au u. Tätigkeit d. menscht. Körpers. Eins, in die Physiologie d. Menschen. V. Prof.

Eiszeit. Die. und der vorgeschichtliche Mensch. Von Geh. Bergrat Bros. Dr. G. Steinmann. 2. Ausl. Mit 24 Abb.    (Bd. 302.)

Elektrochemie. Von Prof. Dr. K. Arnd t.

Mit 38 Abb.    (Bd. 234.)

Elektrotechnik, Grundlagen der E. Von Oberinnenieur A. Rotth. 2. Ausl. Mit

Energie'. ^D.Lehre v. d. E. V. weil/Oberlehr!

A. Stein. 2. 9t. M. 13Fig. (Bd. 257.) Entwicklungsgeschichte des Menschen. Von Dr. A. Heilborn. Mit 60 Abbild.

(Bd. 388.)

Erde s. Weltentstehung u. -Untergang. Ernährung und Volksnahrungsmittel. 3. Amt. von Geh.-Rat Prof. Dr. N. Zuntz. Mit Abb. n. Taf. (Bd. 19.) — s. auch Nahrungsmittel. Erverimentalchemie s. Luft usw.

Erverim

Dr. H. Sachs. 4. A. M. 34 Abb. (Bd.32.) eaabung s. Berufswahl, efruchtungsvorgana, Der, sein Wesen und s. Bedeutung. B. Dr. E. Teichmann.

2.Aufl. M.9Abb.u.4Dovveltaf. (Bd. 70.) ewegungslehre s.Mechan., Ausg. a. d. M. I. iochcmie. Einführung in die B. Von Prof. Dr. W. Löb. Mit 12 Fig. (Bd.352.) iologie. Allgemeine. Einfuhr, i. d.HauPt-probleme d. organ. Natur. V. Prof. Dr.

Mil

H. Miehe. 2. Ausl. 52Fig. (Bd. 130.) perimentellc. Von Dr. C. T h e s i n g.

Abb. 2 Bde. I: Erperim. Zellfor-schung. II: Regeneration, Transplantat, und verwandte Gebiete. Bo. 336. 337.)

-    siehe a. Abstammungslehre, Befruchtungsvorgang,Fortpflanzung, Lebewesen,

im

Erverimentalphysik s. Physik.

Farben s. Licht u.F.: s.a. Farben Abt. VI. Festigkeitslehre s. Statik.

Fortpflanzung. F. und Geschlechtsuntcr-schiede d. Menschen. Eine Einführung in die Sexualbiotogie. V. Prot. Dr. H, Boruttau. M. 39 Abb. (Bd. 540.) Garten. Der Kleing. Von Redakteur Joh.

Schneider. Mrt 80 Abb. (Bd. 498.) — Der Hausgarten. Von Garte

Organismen. Mensch und Tier, Urtiere, lumen. Unsere Bl. u. Pflanzen Garten. Von Prof. Dr. U. Dämmer.

Mit 69 Abb.    (Bd. 360.)

-    Uns Bl. u.Pflanzen i.Zimmer. V. Prof.

Dr. U. Da m m e r. 65 Abb. (Bd. 359.)

-    siehe auch Garten, lut. Herz, Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Von Prof. Dr. H.

Rosin. Mit 18 Abb.    (Bd. 312.)

otanik. B. d.praktischen Lebens. V-Prof.

Dr.P.Gilevius. M.24Abb. (Bd.173.)

-    siehe Blumen, Lebewesen, Pflanzen, — siebe auch Blumen, Pflanzen; Gar-

Pilze. Schädlinge, Wald: Kolonialbota- tentunst, Gartenstadtbewegung Abt. VI. uif, Tabak Abt. VI    Gebisz, Das mcnschl., s. Erkrank, u. Pflege,

rrlle. Das Auge und die Br. Von Prof. Zahnarzt Fr. Iäger. 24A. (Bd.229.)

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Dr. B. B av in k. Mit ^Fig. (Bd. 1870

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— s. a. Planim., Projektionslehre, Stereometrie, Trigonometrie. Geschlechtskrankheiten, ihr Wesen, ihre Ver

-    Einführung in die anorganische Chemie. Bon Dr. B. Baviiit. (Bd. 598.)

-    Einführung i. d. analyt. Chemie, iß.Dr.

F. Rüsberg. 2 Bde. (Bd. 524, 525.)

-    in Küche und Haus. Von Dr. I.

Klein. 3. Aufl.    (Bd. 76.)

-    siehe a. Biochemie, Elektrochemie, Luft,

Photoch.; Technik, Chem., Agrikulturch.,

Sprengstoffe Abt. VI. hirurgie. Die, unserer Zeit. Von Prof.

einst

Dr. I. Feßler. Mit 52 Abb. (Bd. 339.) arwinismus. Abstammungslehre und D.

Von Prof. Dr. R. Hesse. 4. Aufl. Mit 27 Fig.    (Bd. 39.)

esinfektion, Sterilisation und Kouscr-vicrung. Von Reg.- u. Med.-Rat Dr. O.

Solbrig. M. 20 Abb. i. T. (Bd. 401.) isferential- u. Integralrechnung mit Berücksichtigung der prakt. Anwendung in der Technik. Von Dr. M. Lindow. M.

42 Fig.    (Bd. 387.)

wnamik s. Mechanik, Aufg. a. d. techn.

M. 2. Bd., ebenso Thermodynamik.

M.'m G r'u 6 e r!mSit l26l abb^r($b. U

G. für Frauen. Von Prof. Dr. K. Barsch. Mit 11 Abb. (Bd. 538.) — f. a. Abwehrkräfte, Bakterien. Leibesüb. Graphische Darstellung, Die. V. Hrfrat Prof. Dr. F. Auerbach. M. 10U Abb.

MUMM

EEME998B

—- s. o. Arithmetik. Diff.- u. Integral-rechn., Geometrie, Jnfinitesimalrechn., Perspektive, Planim. Projektionslehre. Trigon.

Mechanik. Von Kais. Geh. Reg.-Rat A. v.IHering. 2Bde. I: Die Mechanikd. feit., Körper. Mit 61 Abb. II: D. Mech. d. fluss. Körper. 34 Abb. (Bd. 303.304.)

Aufgaben aus d. technischen Mechanik für d. Schul- u. Selbstunterr. B. Prof. 9?; Schntt tt. I. Bewegungslehre. Sta-ttk. 156 Aufg. u. Losungen. M. zahlr. rStg. i. T. II. Dynamik. 140 Amg. u. Lösungen. M. zahlr. Fig. i. T.

— siehe auch Statik. f(Bd. 558/559.)

Medizin s. Aberglaube in der Medizin.

Meer. Das M., s. Erforsch, u. s. Leben. Von Prf.Dr.O.J a n s o N.3.A.M.40F. (Bd-30.)

(Bd. 437.)

Haushalt siehe Bakterien, Chemie, Des-infettion. Naturwissenschaften. Physik. Haustiere. Die Stummesgeschichte unser«

H.    Von Pros. Dr. C. Keller. Mit 28

Fig.    (Bd. 252.)

■— siehe auch Kleintierzucht, Tierzüchtung Abt. VI.

Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Von Pros. Dr. H. Rosin. Mit 18 Abb.    (Bd.

Hygiene s. Schulhygiene, Stimme. Hypnotismus und Suggestion. Bon Dr.

E.    Trömner. 2. Ausl. (Bd. 199.) Jinniunitätslehre s. Abwehrkräfte d. Körp. Infinitesimalrechnung. Einführung in die

I.    Von Prof. Dr. G. Kowalewski.

2. Aufl. Mit 18 Fig.    (Bd. 197.)

F. (5

Integralrechnung s. Differentialrechnung. Kaffee, Tee, Kakao u. die übrig, narkotisch. Getränke. Von Prof. Dr. A. Wieler. Mit 24 Abb. u. 1 Karte. (Bd. 132.) Kalender. Der. Von weil. Prof. Dr. W.

Urzeit.

—    Natur u. Mensch siehe Natur. Menschl.Körper. Bau u.Tätigkeit d.mcnschl.

K. Einführung in die Physiol. d. Men-Mt"34^bhd^o^ Dr‘ «ach s^I.Auft. - {. auch Anatomie, Arbeitsleistungen, Auge, Blut. Gebiß, Herz, Fortpflanzg., Nervensystem. Ph.siol., Sinne. Verb.ld. oskop. Das. Allgemeinverstä ellt. Bon Prof. Dr. W. S 99 Abb. 2. Aufl.

—    s. auch Pflanzenwelt d. M.

Moleküle — Atome — Weltüther. V Prof.

Dr. G. Mie. 4. A. M. Fig. (Bd. 58/59.) Mond, Der. Von Prof. Dr. I. Franz.

Mit 34 Abb. 2. Aufl.    (Bd. 90.)

Nahrungsmittel, Die. ihre Zusammensetzung. Herstellung und Prüfung. Von Dr. H. K ü h l. Mit Abb. (Bd. 599.)

—    f^a. Ernährung u. Volksnahrunqsmitt. Natur u. Mensch. V. Direkt. Prof. Dr. M.

G. Schmidt. Mit 19 Abb. (Bd. 458.)

Al

sie

F.    Wislicenus. 2. Aufl. (Bd. 69.) Kalte, Die. Wesen, Erzeug, u. Verwert.

Von Dr. H. Alt. 45 Abb. (Bd. 311.)

Kinematographie s. Abt. VI.

Konservierung siehe Desinfektion.

Korallen u. and.gesteinbilü. Tiere. B. Prof.

Dr. W. M a y. Mit 45 Abb. (Bd. 231.)

Kosmetik. Ein kurzer Abriß der ärztlichen Verschönerungskunde. Von Dr. I. Sou-d e k. Mit 10 Abb. im Text. (Bd. 489.)

Mikr

ndl.

Krankenpflege in Haus u. Beruf. V. Chefarzt Dr. M. Sera. M. Abb. (Bd. 533.)

Lebewesen. Die Beziehungen der Tiere und Pflanzen zueinander. Von weil. Prof.

Dr.8. Kraepelin. 2. Aufl. M. 132 Abb.

I. Der Tiere zueinander. II. Der Pflanzen zueinander u.zu d.Tier. (Bd.426/427.)

■—s.a. Biologie. Oganismen, Schädlinge.

Leibesübunqen. Die, und ihre Bedeutuna für die Gesundheit. Von Prof. Dr. R.

Zander. 3. Aufl. Mit 19 Abb. (Bd. 13.)

■— s. auch Turnen.

Licht. Das, u. d. Farben. (Einführung in die Optik.» V. Prof. Dr. L. Graetz.

4. Aufl. Mit 100 Abb. (Bd. 17.)

Luft, Wasser. Licht und Wärme. Neun Naturlchre. Die Grundbegriffe der mo-Vorträge aus dem Gebiete der C^veri-    »einen N. Einführung in die Physik,

mentalchemie Von Pros. Dr. R. Bloch-    Von Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach,

mann. 4. Aufl. Mit 115 Abb. (Bd. 5.)    4. Auch Mit 71 Fig.    (Bd. 40.)

Luftstickstoff. D., u. s. Verwertg. V. Prof. Naturphilosophie, Die mod. V. Privatdoz. Dr. K.Kaiser. M. 13 Abb. (Bd.313.) Dr. I. M. Verwehen. (Sb. 491.)

Naturwissenschaft und Religion. R. und N. Physiologie siehe auch Arbeitsleistungen, in Kampf und Frieden. Von Pfarrer , Men sch l. Körper. Pflanzenphhsiologie. Dr. Ä. Pfannkuche. 2. A. (Bd. 141.) ^ Pilze. Die. Von Dr. A. Eichinger. Mit Naturwissenschaft und Technik. Am sau- — s. a. Bakterien. [64 Abb. (Bö. 3:34.) senden Webftuhl der Zeit. Übersicht über Planeten. Die. Von weil. Pros. Dr. B. Wirkung der Entwicklung der N-    u. T-    ! Peter. Mit 18 Fig.    (Bd.240.)

aui das gesamte Kulturleben. V.    Pros.    Planimetrie z. Selbstunterricht. V. Prof.

Dr. W. L au n har dt. 4. Aufl. neubearb. P. Crantz. Mit 99 Fig. (Bd. 340.) von Geh. Reg.-Rat M. Geitel. Mit Praktische Mathematik s. Mathematik. Abbildungen.    (Bd. 23.) Projektionslehre. Die rechtwinklige Po

■— N. u. Math. i. klass. Altert. B-    Prof.    lelprojeltion und ihre Anwend, am die

Dr. I. L. Heiberg. 2Fig. (Bd. 370.)    Darstell, techn. Gebilde nebst Anhang

Nerven. Vom Nervensystem, sein. Ban u. über die schiefwinklige Parallelpro;ektion sein. Bedeutung für Leib u. Seele im ge-    in kurzer leichtfaßlicher Darstellung für

fund. u. krank. Zustande. V. Prof. Dr. R.    Sclbftunterr. u. Schnlgebr. V. Zeichen!.

avium und Radioaktivität. Von Dr. Centnerszwer. M. 33 Abb. (Bd.405.) Rechenmaschinen, Die, und das Maschincn-rcchnen. Von Reg.-Rat Dipl.-Jng. K. Lenz. Mit 43 Abb.    (So. 490.)

Relativitätstheorie. Von Dr. 23. B l 0 ch.

(Bd. 618.)

Röntgenstrahlen. D. R. «.ihre Anwendg. V.

Dr. meä.G Bucky. M. Abb. (Bd. 556.) Säugling. Der. s. Ernährung u. s. Pflege.

V. Dr. W. Kaupe. M17Abb. (Bd. 154.) Schachspiel, Das. und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lange. 2. Aufl. Mit 2 Bildn.. 1 Schachbrettafel u. 43 Darst. v. Übungsbeispiel. (Bd.281.) Schädlinge im Tier- und Pslanzenreich und ihre Bekämpfung. Von Prof. Dr. K. Eckstein. 3. Aufl. M. Fig. (Bd. 18.) Schulhygiene. Von Prof. Dr. L. Burger-stein 3. Aufl. Mit 43 Fig. (Bd. 96.) Serualbiologie s. Fortpflanzung, Pflanzen. Scrualethik. V. Prof. Dr. E. Timerding.    (Bd. 592.)

Sinne d. Mensch.. D. Sinnesorgane und Sinnesempsindunaen. V. Prof. Dr. I. K. Kreidig. 3. A. M. 30 A. (Bd. 27.)

Kra

Zander. 2. Aufl. Mit27Fig. (Bd. 48.)

- siebe auch Anatomie.

Optik. Die opt. Instrumente. V. Prof. Dr.

M. v. Roh r. 2. A. M. 84 Abb. (Bd. 88.)

—    s. a. Auge, Brille. Kinemat., Licht u.

Farbe. Mikrosk., Spektroskopie, Strahlen.

Organismen. D. Welt d. O. In Entwickl. u. Zusammenhang bärgest. B. Prof. Dr.

K. Lampert. Mit 52 Abb. (Bd. 236.)

—    siehe auch Lebewesen.

Paläozoologie siehe Tiere der Borwelt.

Perspektive. Grundzüge der P. nebst An-

weudg. V. Prof. Dr. K. Doehlemann.

Mit 91 Fig. u. 11 Abb. (Bd. 510.)

Pflanzen. Vermehrung u. Serualität bei den Pfl. Bon Prof. Dr. E. Küste r.

Mit 38 Abb.    (Bd. 112.)

—    Die fleischfressenden Pfl. V. Prof. Dr.

A. Wagner. Mit 82 Abb. (Bd. 344.)

—    Uns. Blumen u. Pfl. i. Garten. V.Pvof.

Dr. U. Da m in e r. M. 69 Abb. (Bd. 360.)

—    Uns. Blumen u.Pfl. i. Zimmer. V.Prof.

Dr. U. Dämmer. M.65Abb. iBd. 359.)

—    s. auch Botanik, Garten, Lebewesen,

Pilze, Schädlinge.

Pflanzenphysiologie. V. Pros. Dr. H. Mo-lisch. Mit 63 Fig.    (Bd. 569.) ^    m rx or e

flanzenwelt des Mikroskops. Die. Von Sonne. Die. Von Dr. A. Krause. Mit Lehr. E. Reu kauf. 100Abb. (Bd. 181.)    64 Abb. .    ^

Mit

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"mixVnii fsmt⁰'- Dr- V22I; «Ä    ® «b. 2*1!)

Photographie s. Abt. VI.

Physik. Werdegang d. mod. PH. V. Oberl.

Dr. .tz. Keller. M.13Fig. (Bd. 343.) ■— Erperimcntalphysik. Von Prof. Dr. R. Börnstein. M. 90Abb. (Bd. 371.)

—    Physik in Küche und Hans. Von Prof. H. Speit kamp. M. 51 Abb. (Bd. 478.)

—    Die großen Physiker und ihre Leistun-gen. Von Prof. Dr. F. 21. Schulz e. 2. Aufl. Mit 7 Tafeln. (Bd. 324.)

—    s. a. Energie, Naturlehre, Optik, Rela-tivitätstheorie, Wärme; ebenso Elektrotechnik Abt. VI.

Physi"logie des Menschen. Bon Privatdoz. Dr.21. Lipschütz. 4 Bde. I: Allgem.PHH-siologie II; Physiologie d. Stoffwechsels. III: PH. d. A.mung. d. Kreislaufs u d. Ausscheidung. IV: PH. der Bewegungen und der Empfindungen. (Bd.527—530.)

meu.    2iov.    fie6e mat6em_ Spiele, Schachspiel.

Sprache. Entwicklung der Spr. und Hei-luno ihrer Gebrechen bei Normalen. Schwachsinnigen und Schwerhörigen. B. Lehrer K. Nickel.    (Bd.586.)

-    siehe auch Rhetorik. Sprache Abt. III. Statik. Mit Einschluß der Festigkeitslehre.

V. Baugewerkschuldirektor Rem-Baum. A. Sch au. Mit 149Fig. i. T. (Bd.497.) — siehe auch Mechanik.

Sterilisation siehe Desinfektion.

Stickstoff s. Luftstickswif.

Stimme. Die menschliche St. und ihre Hygiene. Von Prof. Dr. P.H. Gerber. 2. Aufl. Mit 20 Abb.    (Bd. 136.)

Strahlen. Sichtbare u. unsichtb. V. Prof. Dr. R. Börnstein und Prof. Dr. W. Marckwald. 2.21. M.85Abb. (Bd. 64.)

-    s. auch Optik, Röntgenstrahlen.

•— Tierkunde. Eine Einführung in die Zoologie. V. weit. Privatdozent Dr. K. Hennings. Mit 34 Abb. (Bd. 142.) ■— Lrbensbeüingungen und Verbreitung der Tiere. V.weit.Prof. Dr. O. Maas. Mit 11 Karten und Abb. (Bd. 139.) — Zwiegeskalt der Geschlechter in der Tierwelt (Dimorphismus). Von Dr. F r. Knauer. Mit 37 Fig. (Bd. 148.) ■— s. auch Aquarium. Bakterien, Haustiere, Korallen. Krebs, Lebewesen, Schädlinge, Urtiere, Vogelleben, Vogelzug,

in. u. 3 Taf. t,ere. Verglei Sinnesorgane der W. Von Prof. Dr. 'W. Lnbosch. Mit 107 Abb. (Bd. 282.) Zahnheilkunde siebe Gebiß.

Zellen- und Gewebelehre siehe Anatomie des Menschen, Biologie.

Suggestion. Hypnotismus und Suggestion.

V. Dr. E. T r ö m n e r. 2. Stuft. (Sb. 199.) Süfzwasser-Plankton.Das. V.weit.Prof. Dr.

O.Zacharias. 2.A. 57Abb. (Bd. 156.) Thermodynamik s. Abt. VI.

Tiere. T. der Vorwelt. Von Prof? Dr. O.

Abel. Mit 31 Abb.    (Bd. 399.)

— Fortpflanzung der T. B. Prof. Dr. R. Goldschmidt. M. 77 Abb. (Bd. 253.)

Wirbeltiere.

Tierzucht siehe Abt. VI: Kleintierzucht, Tierzüchtung.

Trigonometrie. Ebene, z. Selbstunterr. V.

Prof. P. Crantz. M. 50Fig. (Bd. 431.) Tuberkulose, Die. Wesen, Serbreitung, Ursache, Verhütung und Heilung. Von Generalarzt Prof. Dr. W. S ch u m b u r g. 2. Stuft. M. 1 Taf. u. 8 Fig. (Bd. 47.) Turnen. Das. Von Oberl. F. Eckardt. — s. auch Leibesübungen.    ((Bd. 583.)

Urtiere, Die. Einführung i. d. Wissenschaft vom Leben. Von Prof. Dr. R. Gold-schmidt. 2. St. M. 44 Abb. (Bd. 160.) Urzeit. Der Mensch d. U. Vier Vorlesung, aus der Entwicklungsgeschichte des Men-schengeschlechts. Von Dr. A. H e i l b o r n. 2. Stuft. Mit zahlr. Abb. (Bd. 62.) Verbildungen. Körperliche, im Kindesalter u. ihre Verhütung. Von Dr. M. D a v i d. Mit 26 Abb.    (Sb. 321.)

Vererbung. Erv. Abstammgs.- u. V. Lehre. Bon Pros. Dr. E. Lehmann. Mit 20 Abbildungen.    (Bd- 379.)

—    Geistige Veranlitguna u. V. Von Dr. phil. et med. G. Somme r. (Bd. 512.)

Vogclleben, Deutsches. Von Prof. Dr. A.

Voigt.    (Bd. 221.)

Vogelzug und Vogelschutz. Von Dr. W. N.

e darbt. Mit 6 Abb.    (Bd-218.)

Volksnahrungsmittel siehe Ernährung u.V. Wald. Der dtschc. $. Prof. Dr. L>. Haus-rath. 2. Afl. M. Bilderanh. u. 2. Karten.

—    siche auch Holz Abt. VI. ((Bd. 153.) Wärme. Die Lehre v. d. W. B. Prof. Dr.

R. Börnstein. M. 33 Abb. (Bd. 172.)

—    s. a. Luft, Wärmekraftmasch., Wärmelehre, techn., Thermodynamik Abt. VI.

Wasser, Das. Von Geh. Reg.-Rat Dr. O.

Slnielmtno. Mit 44 Abb. (Sb. 291.) Weidwerk. D. dtschc. V. Forstmstr. G. Frhr.

v. N o r d e n f l h ch t- M. Titelb. (Bd-436.), Weltall. Der Ban des W. V. Prof. Dr. I.

Sch ein er. 4. 91. M. 26 Fig. (Bd. 24.) Weltäthcr siehe Moleküle.

Weltbild. Das astronomische W. im Wandel der Zeit. Von Prof.Dr. S. Oppenheim. 2. Stuft Mit 24 Abb. (Sb. 110.)

—    siebe auch Astronomie.

Weltcntstehung. Entstehung d. W. u. d.Erde

nach Sage u. Wissensch. V. Prof. Dr. M. B. Weinstei n. 2. Stuft. (Bd. 223.) Weltuntergang. Untergang der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. V. Prof. Dr. M- BW einst ein. (Bd. 470) Wetter. Gut und schlecht. Von Dr. R. H e n -n i g. Mit 46 Abb.    (Bd. 849.)

—    Einführung in die Wetterkunde. Bon

Prof. Dr. L. Weber. 2. Stuft. Mit 28 Fig. u. 3 Taf.    (Bd. 55.")

Wirbelt,ere. Vergleichende Anatomie der Sinnesorgane der W. B

TI. Recht, Wirtschaft und Technik.

Agrikulturchcmie.

Mit 21 Abb. Alkoholismus, Der. b e r. Mit 7 Abb.

Von Dr. P. Von Dr. G.

(Bd. 78.)

Krische. Arbeiterschutz und Arbeiterversicherung. (Bd. 314.) Bon Prof.O. v. Zwiedineck-Süden-h o r st. 2. Stuft.

— siehe auch soziale Bewegungen.

-Seine Wirkungen u. seine Bekämpfung. Arbeitsleistungen des Menschen. Die. Ein-

(I. u. II. Te,l s. Alkoholrsmus v. Gruber.) -— Berufswahl, Begabung u. A. in Amerika. Aus dem amerik. Wirtschafts- gegenseitigen Beziehungen. Von W.' 3! leben. Von Prof. I. L. L a n g h l i n. R u t t m a n n. Mit 7 Abb. (Bd. 522.) Mit 9 graphisch. Darstellung. (Bd. 127.) Arzneimittel und Genutzmittel. Von Prof. Slngcstellte siehe Kaufmännische A.    Dr O. Schmiedeberg.    (Bd. 3»3.)

Antike Wirtschaftsgeschichte. Von Dr._ O. Avzt. Der. Seine Stellung und Slufgaben Neurath. 2. Stuft.    (Bd. 258.) im Kulturleben der Gege,. 0. Von Dr.

— siehe auch Antikes Leben Abt.IV.    med. M. Fürst.    (Sb.265.)

Automobil, Das. Eine Eins, in b. Bau d. Eisenhüttcnwesen. V. weil.Geh.Bergr. Prof. Heut-Personen-Kraftwagens- V.Ob.-Jng.    Dr. H. Wedding. 5. Stuft, v. Bergref.

K. Blau. 3. Stuft. M. 98 Abb. u.    F. W. Wedding. M. Fig. (Bd 29.)

Tiielbild.    (Bd. 166.) Elektrische Kraftübertragung. Die. B. Ing.

Bahnen s. Eisenbahnen, Klein-u. Straßen- 93. Köbn. Mit 137 Abb. (93b. 424.)

bahnen, Verkehrsentwicklung.    Elektrochemie. Bon Prof. Dr. K. Arndt.

Baukunde. Der Eisenbetonban. V. Dipl.- Mit 38 5(66.    (Bd. 234.)

Ing. E. H ai m o v i c i. 81 Abb. (Bd.275.) Elektrotechnik. Grundlagen der E. Bon — siehe auch Städtebau.    ^bering. A. Rotth. 2. Ausl. Mit 74

I"«””⁶'Ä 433"

»««»•"• B    SW.W-d.    «('e&ÄÄngYÄltiTsiS v!

i)tna*    (91D. 4t»e.) Farben u. Farbstoffe. I. Erzeug, u. Ber-

wend. 2S.Dr.St. Bart. 31 Abb. (Bd. 483 )

—    siehe auch Licht Abt. V. Fernsprechtechnik s. Telegraphie Feuerungsanlagen,Jndustr.,u.Dampfkessel.

B.Jng.J.E. Mayer. 885(66. (23b.348.) Finanzwissenschaft. Bon Pros. Dr. S. P. Altmann. 2 Bde. 2. Stuft. I. Allg. Teil. II. Besond. Teil. (Bd. 549—550 )

—    siehe auch Geldwesen.

Frauenarbeit. Ein Problem d. Kavitalism.

23. Prof. Dr. R. Wilbrandt. (Bd. 106.)

—    siehe auch Frauenbewegung Abt. IV. Friedensbewegung. Die moderne. Bon 5t.

H. Fried.    (Bd. 157.)

Funkentelegraphie siehe Telegraphie. Fürsorge s.Krgsbeschädigtenf.; Bgbf.5t6t.IL Garten. Der Kleingarten. B. Redakt. Jo h. Schneider. Mit 80 Abb. (Bd. 498.) Der Hausgartcn. Bon Gartenarchitekt S. Schubert. Mit Abb. (23b.502.) siehe auch Blumen.

Gartenkunst. Gesch.d.G. B.

Cbr. Ranck.

Von Dr. (Bd. 76.)

2. Stuf: Eisenbct

Ra

adtb

M.

Bewegungslehre s. Mechan.,Aufg. a. b. SOI Bierbrauerei. Bon Dr. 5t. 93 a u. Mit 47 Abb.    (Bd.    333.)

Bilanz s. Buchhaltung u. 23.

Blumen. Unsere Bl. und Pflanzen im Garten. Bon Pros. Dr .U. Dämmer. Mit 69 Abb.    (Bd.    360.)

- Uns. 231. u. Pfl. i. Zimmer. 23-Pros. Dr.tL Sammet. M.65 Abb. (Bd. 359.) —- siehe auch Garten.

Brauerei s. Bierbrauerei.

Buch. Wie ein B. entsteht. B. Prof. A. W-Nnger. 4. Stuft.    Mit    8    Taf.    u. 26    Abb.

im Text.    (Bd.    175.)

—    f. a. Schrift- u.    Buchwesen    Abt.    IV.

Buchhaltung u. Bilanz. Kaufm., und ihre

Beziehungen z. buchhalter. Organisation. Kontrolle u. Statistik. Be Dr. P. Gerst -ner. M. 4 schemat. Darstell. (Bd. 507.) Ihemie in Küche und Haus.

I Klein. 3. Ausl.

—    s. auch Agrikulturchemie, Elektrochemie, Farben. Sprengstoffe, Technik; ferner Chemie Abt. V.

Dampfkessel siehe Feuerungsanlagcn. Dampfmaschine, Die. Bon Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bde. I: Wirkungs-weise des Dampfes in Kessel und Maschine. 3. Ausl. Mit 45 Abb. (Bd. 393.) H: Ihre Gestaltung und ihre Verwendung. Mit 95 Abb. u. 1 Taf. (93b. 394.) Desinfektion. Sterilisation und Konservierung. Von Reg.- und Med.-Rat Dr. O. Solbrig. Mit 20 Abb. (Bd. 401.) Deutsch siehe Handel, Handwerk. Landwirtschaft, Reich, Reichsversicherung, Schiffahrt, Verfassung, Weidwerk. Wirtschaftsleben, Zivilprozeßrecht.

Drähte und Kabel, ihre Anfertigung Anwend, in d. Elektrotechnik. B. Tel

mit s. Mechanik, Aufg. > ebenso Thermodynamik.

Eisenbahnwesen, Das. Von Eisenbahnban-u. Betriebsinsp. a. D. Biedermann, l. Mit 56 Abb.    (Bd. 144.)

tonbau. Bon Dipl.-Jng. E. H a i -ici. Mit 81 Abb.    (Bd.275.)

.Baurat Dr.-Jng. 415166.    (296.274.)

Gartenstadtbcwegung, Die. Von Generalsekretär H. Kamp ff me her. 2. Stuft. Mit 43 Abb.    (Bd. 259.)

Gefängniswesen s. Verbrechen.

Geldwesen. Zahlungsverkehr und Vermögensverwalt. B. G. Maier. (Bd. 398.) - s. st. Finanzwissensch.; Münze Abt. IV. Genußmittel siehe Arzneimittel und Ge-außmittel, Kaffee, Tabak.

Getränke siebe Kaffee, Tee, Kakao. Gewerblicher Rechtsschutz i.Deutschland. 23. Patentanw. 29. Tolksdorf. (Bd. 138.)

—    siehe auch Urheberrecht.

Graphische Darstell.,Die. V.Hofrat Prof.Dr.

F. Auer dach. M. 100 Abb. (93b. 437.) Handel. Geschichte d. Welth. Bon Direktor Prof. Dr. M. G. Schmidt.

3.    Stuft.    (Bd. 118.)

—    Geschichte des deutschen Handels. Von Prof. Dr. W. Langenbeck. (93b. 237.)

Handfeuerwaffen, Die. Entwickl. u. Techn.

V. Major R.We i ß. 69Abb. (23b. 364.) Handwerk, D. deutsche, in s. kulturgeschichtl. Entwicklg. V. Geh. Schulr. Dr. E. Otto.

4.    Stuft. M. 33 Abb.    (Bd. 14.)

—    s. auch, Klempnergewerbe.

JederBand gehef Verzeichnis der

mittel

Häuserbau siehe Baukunde, Beleuchtungswesen, Heizung und Lüftung.

Hebezeuge. Hilfsmittel zum Heben flüssiger und gasf. Körper. Don Geh. Bergrat Pros. R. Vater. 2. Aufl. M. zahlr. Abb.    (Sb. I9v.)

Heizung und Lüftung. Von Ingenieur I.

E. Mayer. Mit 40 Abb. (Sb. 241.) Holz, Das H., seine Bearbeitung u. seine Verwenbg. V- Jnsp. I. Großmann. Mit 39 Originalabb. i. T. (Sb. 473.) Hotclwesen. Das. Von P. Damm-Etienne. Mit 30 Abb. (Bb. 331.)

E. Krieger. ! Kriminalistik. Mo Dr. A. Helln,

Mechanik. Von Kais. Geh. Reg.-Rat A. v. I Hering. I: Die Mechanik d. festen Körper. M. 61 Abb. II: Die Mechanik b. flüss. K. M. 34 Abb. (Sb. 303/304.) — Aufgaben aus der technischen M. f. b. Schul- u. Selbstunterr. B. Prof. N. Schmitt. M- zahlr. Fig. I. Bewe-gungsl., Statik. 156 Aufg. u. Lösungen. II. Dvnam. 140 A. u.Lös. (Sb. 558/559.) siehe Maße und

Messen

Hüttenwesen siehe Eisenhüttenwesen. Japaner, Die, i. d. Weltwirtschaft. B. Prof.

Dr. K- Rathgen. 2. Ausl. (Bd. 72.) Immunitätslehre s. Abwchrkräfte Abt. V. Jnqenieurtechnik. Schöpmngen d. I. der Neuzeit. Von Geh. Regierungsrat M. ©eitet. Mit 32 Abb.    (Sb.28.)

Znstallateurgewerbe s. Klempnergew. Instrumente siehe Optische I. Jurisprudenz i. Häusl. Leben. F. Familie und Haushalt. V. Rechtsanw. P. B lene ngr aber. 2 Bde. (Sb. 219,220.) -— siehe auch Miete.

Kabel s. Drähte und K.

Kaffee. Tee, Kakao u. d. übrigen narkot. Getränke. Von Prof. Dr. A. Wieler. Mit 24 Abb. u. 1 Karte. (Sb. 132.) Kälte. Die. ihr Wesen, ihre Erzeugung und Verwertung. Von Dr. H. Alt. Mit 45 Abb.    (Sb.    311.)

Klein- u. Straßenbahnen. B. Oberlehrer A. Lieb mann. M. 85 Abb. (Sb. 322.) Kleintierzucht. Von Redakteur Joh. Schneider. Mit 29 Fig. im Text u. 28 auf Tafeln.    (Sb. 604.)

— siehe auch Tierzüchtung.

Klempner- und Installateurgewerbe, Das.

Von Dr. O. Kallenberg. (Sb. 615.) Kohlen, Unsere. V. Bergafs. P. Kukuk.

Mit 60 Abb. u. 3    Taf.    (Sb. 396.)

Kolonialbotanik. Von Prof. Dr. F. Tob-ler Mit 21 Abb.    (Sb. 184.)

Kolonisation. Innere. Von A. Bren-n ing.    (Sb. 261.)

Konservierung siehe Desinfektion. Konsumgenossenschaft, Die. Von Prof. Dr.

F. Staubing er.    (Sb. 222.)

-— s. auch Mitielstanbsbewegung, Wirtschaftliche Organisationen.

K^ftanlagen siehe Feucrungsanlagen und

krastmaschin'e, Wasserkraf:m"as'chine.^^ Kraftübertragung. Die elektrische. Don Ing. P. Kühn. Mit 137 Abb. (Bd. 424.) Krankenpflege in Haus u. Beruf S. Chefarzt Dr. M. Berg. M. Abb. (Bd. 533.) Krieg. Kulturgeschichte d. K. B. Prof. Dr. K- Weule, Geh. Hofrat Prof. Dr. E. Bethe, Prof. Dr. B. Schmeidler. Prof. Dr. A. Loren. Prof. D. P. 6er re.    (Sb. 561.)

Kriegsbeschädigtenfürs. In Verbinbg. m. Meb.-Rat Dr. Rebentisch, Geiverbe-schulbir. H. Back. Dir. b. Stäbt. Arbeitsamts Dr. P. Schlotter Hrsg, von Dr. S. Kraus. Leiter b. Stäbt. Fürsorgeamts für Kriegshinterbliebene in Frankfurt a. M.    (Bd. 523.)

Kriegsschiff, Das. Seine Entstehung und Berwenb. V- Geh. Marinebaurat a. D-~~ ‘ '    Mit 60 Abb. (Sb. 389.)

ibernc. Von Amtsrichter i g.M.18Abb. (Sb. 476.)

—    s. a. Verbrechen, Verbrecher.

Küche siehe Chemie in Küche und Haus.

Kulturgeschichte des Krieges siehe Krieg.

Landwirtschaft. D.deutsche. V.Dr.W.C l a a -feen. 2. Ausl. Mit 1 Karte. (Bd. 215.)

—    s. auch Agrikulturchemie, Kleintierzucht, Luststickstoff, Tierzüchtung: Haustiere, Tierkunde Abt. V.

Landwirtschaftliche Maschinenkunde. Von Prof. Dr. G. Fii.cher. Mit ^Abbild.

Luftfahrt. Die, ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre technische Entwicklung. Von Dr. R. N i m f ü h r. 3. Aufl. v. Dr. F r. H u t h. M- 60 Abb. (Sb. 300.)

Luststickstoff. Der, u. s. Sem. B. Pros. Dr. K. Kaiser. M. 13 Abb. (Sb. 313.)

TrÄu?⁶s? 46 iiiwäfi

Marx. Von Dr. M. Adler. (Sb. 621.) — s. auch Sozialismus.

Maschinen s. Hebezeuge. Dampfmaschine, Landwirtsch. Maschinenkunde, Wärme-kraftmasch., Wasserkraftmasch. Maschinenelemente. Von Geh.Bergrai Prof.

R. Vater. 2. 91. M. 175 Abb. (Sb. 301.) Maße und^Mefsen. Von Dr. W. B l o ck.

Messen.

Zeder Band geheftet M. 1.20

Kus Natur und Geisteswelt Zeder Band gebunden m.l.50 Recht. Wirtschaft und Technik_

Netalle. Die. Von Prof. Dr. K. Scheid. Schmuckst.. Die. «. d. Schmucksteinindustr. 3. Stuft. Mit 11 Abb.    (Bd. 29.) V. Dr. A-Eppler. M. 64 Abb. (93b.376.)

Niete. Die. nach dem BGB. Bon Justiz- Soziale Bewegungen und Theorien bis zur rat Dr. M. Strauß. (Bd. 194.) modernen Arbeiterbewegung. Von G. Nikroskop, Das. Gemeinverständlich dar- Maier. 4. Ausl.    (Bd. 2.)

gestellt von. Bros Dr. W. S ch e f fer — s, „. Arbeiterschuy u. Arbeiterversicher. 2. Aufl. Mtt 99 Abb.    (M. 35.) Sozialismus. Gesch. der sozialist. Ideen i.

19. Irl,. B. Privatdoz. Dr. F r. M ucfle. 2.A. I: D. ration.Soz. II: Proudhon u.d. entwicklungsgeschichtl.Soz. (Bd.269,270.) — siehe auch Marx; Rom, soziale Kämpfe i. alten R. Abt. IV.

Spinnerei. Bon Dir. mann. Mit 35 Abb.

stilch. Die. und ihre Produkte. Bon Dr. A. '«Reib. Mit 16 Abb. (Bd. 362.) llittelstandsbewegung. Die moderne. Von Dr. L. Müffelmann. (Bd. 417.) — siehe Konsumgenoss., Wirtschaft!. Org. kahrungsmittel s. Abt. V. Naturwissenschaften und Technik. Am sausenden Webstuhl der Zeit. Übersicht über Wirkungen d. N. u. T. auf das gesamte Kulturleben. Von Prof. Dr. W. Laun -bardt. 3. Aufl. M. 16 Abb. (Bd. 23.) tautif. V.Dr.J.M ölle r.50 Fig.(Bd.255.) ptischcn Instrumente, Die. Von Prof. Dr. M. v. Rohr. 2. Aufl. Mit 84

Abb

ihre

Prof.

M;

Abb.    (Bd. 88.)

rganisationen. Die wirtschaftlichen. Von Privatdoz. Dr. E. L e d e r e r. (Bd. 428.)

Privatdoz. Dr. E. Lederer. (Bd. 428.) stmark. Die. Eine Einführung in die Probleme ihrer Wirtschaftsgesch. Hrsg, von Dr[. W. Mitscherlich. (Bd. 351.) atente u. Patentrecht s. Gewerbl.Rechts erpetuum mol Mit 38 Abb. chotochemie. Von Prof. Dr. G. K ü m -mell. Mit 23 Abb.    (93b. 227.)

(Holographie, Die, ihre wissenschaftlichen Grundlagen u. i. Anwendung. 93. Dr. O. Prelinger. Mit 65 Abb. (Bd. 414.) -Diekünstleris

entrecht s. Gewer ibtle. Das. V Dr.

F r.J chak. (Bd. 462.)

(Bd. 414.)

-    Die künstlerische Photographie. Von Dr. SB. 9B antat. M. 12 Tafeln. (Bd. 410.)

-    Angewandte Liebhaber-Photographie, ihre Technik und ihr Arbeitsfeld. Von Dr.W. Warstat. Mit Abb. (Bd. 535.) thysik in Küche und Haus. Von Prof. Dr. H.Speitkamp. M. 51 Abb. (Bd. 478.)

siebe auch Physik in Abt. V. iostwesen. Das. Entwicklung und Bedeutg. Von Postrat I. Bruns. (Bd. 165.) iechenmaschiner.. Die, und das Maschinen-

w',S"a4₉oas

recht siehe Eherecht, Erbrecht, Gewerbl. Rechtsschutz, Jurrspr., Kanfm., Kaufm. Angest.. Urbeberr. Verbrechen. Krimina-lntrk, Verfssgsr., Wahlr.. Zivilprozeßr.

«eichsversicherung, Die. Bon Landesrat H. Seelmann.    (Bd. 380.)

Salzlagerstätten, Die deutschen. Von Dr. C. Riemann. Mit 27 Abb. (Bd. 407.) — siehe auch Geologie Abt. V.

Schiffahrt, Deutsche, u. Schiffahrtspol, d.

Ggnw. V. Prof. Dr. K. T h i e ß. (Bd. 169 ) Schiffbau siche Kriegsschiff.

Sprengstoffe, Die, ihre Chemie' u. Technologie. Bon Prof. Dr. R. Bieder-mann. 2. Aufl. M. 12 Fig. (Bd. 286.) Staat siehe Abt. IV.

Statik. Mit Einschluß der Festigkeitslehre. Von Reg.-Baum. Baugewerkschuldirekt. A. Schau. M. 149Fig. i. T. (Bd. 497.) — siehe auch Mechanik, Anfg. a. d. M. I. Statistik. Von Professor Dr. S. Schott.

(Bd. 442.)

Strafe und Verbrechen. Geschichte u. Or» ganis. d.Gefängniswes. 93. Strafanstalts-dir. Dr. med. P.Pollitz. (Bd. 323.) Straßenbahnen. Die Klein- u. Straßenb. Von Oberingenieur a. D. Oberlehrer A. Lieb mann. M. 82 Abb. (Bd. 322.) Tabak, Der. Anbau, Handel u. Verarbeit.

V. Jac. Wolf. M. 17 Abh. (93b. 416.) Technik, Die chemische. Von Dr. A. Müller. Mit 24 Abb.    (Bd. 191.)

—    s. a. Elektrotechnik, Naturwiss. u. T. Technologie siehe Sprengstoffe.

Tee siehe Kaffee.

Telegraphie, Die. i. i. Entwicklg. u. Bedentg.

V.Postrat I. B x u n s. M-Fig. (Bd. 183.)

—    Telegraphen- und Fernsprechtechnik in ihrer Entwicklung. 93. Oberpost-Jnsp. 6. Sri ck. 2. A. Mit 64 Abb. (Bd. 235.)

—    Die Funkentelegr. B. Telegr.-Jnsp. H. Thurn. M. 51 Abb. 4. A. (Bd. 167.) - fiehe auch Drähte und Kabel.

erri

n?b

Testamentserrichtung und Erbrecht. Bon Prof- Dr. F. Leonhard. (Bd. 429.) Thermodynamik. Aufgaben aus d. T. V.

Geh. Bergrat Prof. Dr. R. Vater.

— siehe auch Wärmelehre. [(Sb. 596.) Tierzüchtuug. Von Dr. G. Wilsdorf.

Mit 30 Abb. auf 12 Tafeln. (Bd. 369.) -— siehe auch Kleintierzucht.

Uhr, Die. Grundlagen und Technik der Zeitmessung. Von Prof. Dr.-Jng. «H. Bock. 2., umgearb. Aufl. Mit 49 Abb.

(Bd. 216.) chrift- und . Dr. R. (Bd. 435.) rblich. Rechtsschutz.

Urheberrecht. Das Recht an Dch Kunstwerken. Von Rechtsanw. Mo thes.

■— siehe auch g

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Ster

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Ent-

Volks

a. Arbeite uahrungsm

Waffentechnik siehe Handfeuerwaffen. Wahlrecht, Das. Von Reg.-Rat Dr. O. Poensgen.    (Bd. 249.)

iald, Der deutsche. 33. Prof. Dr. Haus -rath. 2.Afl. Bilderanh.u.Kart. (Bd. 158.)

(Bd. 436.)

-wirtschaft. 33. 2. A. (Bd- 72.)

Zeitungswesen Zivilprozetzrecht. Da stizrat Dr. M. St

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unde der

Benut-

Preis des Gestells (für 500 Bande) aus dunkelbraun geräucherten. Holz mitFustM.00.-ohneFußM 82.50

sind^iH^Vorb ereitung.

rbrechen. Strafe und V. Geschichte u.Or-ganisation d. Gefängniswesens. 58.Straf » onft.-ffiir. Dr.med.93. Pollitz. (S5b.328.)

— Verbrechen und Aberglaube. Skizzen aus der volkskundlichen Kriminalistik. V. Amtsrichter Dr. A. H e l l w i g. (Bd. 212.) •— Moderne Kriminalistik. 33. Amtsrichter Dr.A.Hellwig.M.189lbb. (Bd. 476.) Verbrecher. Die Psychologie des V. (Kri-minalpsych.) B.Strafanstaltsdir. Dr. med. P. Pollitz. 2.9t. M.5 Diaar. (Bd. 248.)

- s. a. Handschriftenbeurt. Abt. I. erfassg. Grundz. d. V. d. Deutsch. Reiches. 33. Geheimrat Prof. Dr. E. Loening. Aufl.    (Bd. 34.)

erfassg. und Verwaltung der deutschen Städte. Von Dr. Matth. Schmid.

(Bd. 466.)

— Deutsch. Verfassgsr. i. geschichtl. Ent-wickl. B.Pr.Dr.E.H u b r i ch. 2.9t. (53b.80.) Verkehrsentwicklung i. Deutsch!. 1800 b. z.

Gw. 33. Prof. Dr. 583. L o tz. 3. 91. (Bd. 15.) Versicherungswesen. Grundzüge des V. V. Prof. Dr. 91. M an e s. 2. A. (Bd. 105 ) rschutz, Reichsversicherung. Nittel s. Ernähr.u.V.Abt.V.

Wärmekraftmaschinen, Die neueren. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bde. I: Einführung in die Theorie u. d. Bau d. Gasmaschin. 4.A.M.42Abb. (Bd-21.) II: Gaserzeuger, Großgasmasch., Dampf-u. Gasturbin. 3.A. M. 45 9166. (Bd. 86.)

—    siehe auch Kraftanlagen.

Wärmelehre, Einführ. i. d. techn. (Thermodynamik). Bon Geh. Bergrat Prof. R. Vater. M. 40Abb. i.Text. (586-516.)

—    s. auch Thermodynamik.

taffer. Das. Von Geh. Reg.-Rat Dr. O. Anselmino. Mit 44 Abb. (58b. 291.)

—    s. a. Luft, 583aff., Licht, Wärme Abt. V. Wasserkraftmaschinen u. d. Ausnützung d.

Wasserkräfte. V. Kais. Geh. Reg.-Rat A. V.J bering. 2.9t. M.57Fig. (Bd. 228.) Weidwerk, Das deutsche. Bon Forstmeister 4^ T'?lb4d t’" b! ordenflhcht. Mit

Weinbau und Weinbereitung. Von Dr. F.

Schmitthenne r. 34 Abb. (Bd. 332.) Welthandel siehe Handel.

Wirtschaftliche Erdkunde. Von weil. Prof. Dr. Chr. Gruber. 2. Aufl. Bcarb. von Prof. Dr. K. Dove. (Bd. 122.)

--------- Weitere Bände

Wirtjchaftsgesch. s. Antike SB., Ostmark.

W^rt s ch a fts l eb en. Deutschs Auf Geograph, be r^Z.Ä^v! Dr.^H.^Re i n le?i m (Bch 42.)

—    Die Entwicklung des deutschen Wirtschaftslebens im letzten Jahrhundert. 33. Prof. Dr. L.Poh I e. 3. Ausl. (§80.57.)

—    Deutscht. Stellung i. d. Weltwirtsch. V- Prof. Dr. P. Arndt. 2.91. (33b. 179.) - Aus dem amerikanischen Wirtschaftsl. Von. Pros. I. L. Laughlin. Mit 9 graphischen Darstellungen. (Bd. 127.)

—    Die Japaner in d. Welt Prof. Dr. K- Rath gen.

Wirtschaftlichen Organisationen. Die. Von Privatdoz. Dr. E. Lederer. (Bd. 428.)

—    s. Konsumgenoss.. Mittelstandsbeweg. . 33. Dr. H.Diez. (Bd.328.)

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