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Sammlung

Göschen

Unser heutiges Wissen in kurzen, klaren, allgemeinverständlichen Einzeldarstellungen

Jede Nummer in eleg. Leinwandband 80

G.I.Göschen'sche Verlagshandlung, Leipzig

Owe«f und Ziel der „Sammlung Göschen" ist, in Ein-^ zeldarstellungen eine klare, leichtverständliche und

Ganze, wenn , systematische ! bilden dürfte.

übersichtliche Einführung in sämtliche Gebiete der Wissenschaft und Technik zugeben; in engem Rahmen, auf streng wissenschaftlicher Grundlage und unter Berücksichtigung des neuesten Standes der Forschung bearbeitet, soll jedes Bändchen zuverlässige Belehrung bieten. Jedes einzelne Gebiet ist in sich geschlossen dargestellt, aber dennoch stehen alle Bändchen in innerem Susör......* .......^^*“ *R k

^    Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Darf

er erschienenen ses Bändchens

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Num

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Mathematische Bibliothek

aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschichte der Mathematik von Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr. 226.

Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert. Nr. 47. Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Professor Dr. Hermann Schubert.    Nr. 48.

Algebraische Kurven von Eugen Beutel, Oberreallehrer in Vaihingen-Enz. I. Kurvendiskussion. Mit 57 Figuren im Text.

Nr. 435.

dritter und vierter Ordnung. Mit Nr. 436.

--II: Theorie und Kurven

52 Fig. im Text.

Determinanten von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groß-Lichterfelde.    Nr. 402.

Koordinatensysteme von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groß-Lichtenfelde.    Nr. 507,

bene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. v. Prof. G. Mahler. Nr. 41. Erstellende Geometrie I mit 110 Figuren von Professor Dr. Rob. Haußner.    Nr. 142.

Nr. 143.

--II. Mit 40 Figuren.

Wahrscheinlichkeitsrechnung von Dr. Franz Hack, Professor am Eberhard-Ludwigs-Gymnasium in Stuttgart. Mit 15 Figuren im Text.    Nr. 508.

Wbene und sphärische Trigonometrie mit 70 Figuren von Prof. Dr. Gerhard Hessenberg.    Nr. 99.

Nr. 97.

Stereometrie mit 66 Figuren von Dr. Glaser.

Vtedere Analysis m. 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer. Nr. 53. lerstellige Logarithmen von Prof. Dr. Hermann Schubert. In zweifarbigem Druck.    Nr. 81.

Fünfstellige Logarithmen von Prof. Aug. Adler, Direktor der k. k. Staatsoberrealschule in Wien.    Nr. 423.

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 65.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor O. Th. Bürklen. Nr. 256. Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

zur analytischen Geometrie des Prof. 0. Th. Bürklen.    Nr. 309.

Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 87.

Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

Aufgabensammlung

Raumes mit 8 Figuren von

Wenden!

Hinrichs Nr. 532.

Repetitorium u. Aufgabensammlung sur Dlffe reebnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Fig. von Professor Dr. K. Doehlemann.    Nr. 72.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 51.

Einführung ln die geometrische Optik von Dr. W. in Wilmersdorf-Berlin.

Versicherungsmathematik v. Prof. Dr. Alfred Loewy. Nr. 180.

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate m. 15Fig.u.2Tal.v.Prof.Wilh.Weitbrecht. Nr.302.

Vektoranalysis mit 11 Figuren von Professor Dr. Siegfr.Valentinen

Nr. 354.

Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Professor Dr. Siegm. Günther.    Nr. 92.

Astronomie. Größe, Bewegung und Entfernung der Himmelskörper von A. F. Möbius, neubearbeitet von Prof. Dr. Herrn. Kobold. I: Das Planetensystem. Mit 33 Abbildungen.    Nr. 11.

--II: Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Figuren

und 2 Sternkarten.    Nr. 529.

Astrophysik mit 15 Abbildungen von Prof. Dr. Walter F. Wislicenus, neubearbeitet von Dr. H. Ludendorff.    Nr. 91.

Vermessungskunde von Oberlehrer Dipl.-Ing. P. Werkmeister. 2 Bändchen mit 255 Abbildungen.    Nr. 468, 469.

Nautik. Kurzer Abriß des täglich an Bord von Handelsschiffen ange-wandtTeils d.Schiffahrtskunde m. 56 Abb.v.Dr.Franz Schulze. Nr.84.

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.    Nr. 58.

IM ^Ansammlung Göschen

Formelsammlung und

Repetitorium der Mathematik

enthaltend

die wichtigsten Formeln und Lehrsätze der

Arithmetik, Algebra, algebraischen Analysis, ebenen Geometrie, Stereometrie, ebenen und sphärischen Trigonometrie, mathematischen Geographie, analytischen Geometrie der Ebene und des Raumes der Differential- und Integralrechnung

Von

O. Th. Bürklen

Professor am kgl. Realgymnasium in Schw. Gmünd

Mit 18 Figuren

Dritte, durchgesehene Auflage Vierter Abdruck

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung

1909

1,‘t    *

KD 51 03 3.3)

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht von der Verlagshandluug vorbehalten.

Spamersche Buchdruckerei, Leipzig,

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Arithmetik, Algebra, algebraische Analysis.

I.    Abschnitt. Arithmetik und Kombinatorik.

§ 1. Potenzierung und Zerlegung von Binomien

§ 2. Proportionen.........

§ 3. Potenzen mit ganzen Exponenten .

§ 4. Wurzeln..........

§ 5. Potenzen mit gebrochenen Exponenten

H 6. Imaginäre und komplexe Zahlen.....

§ 7. Logarithmen.........

§ 8. Kettenbrüche.........

§ 9. Kombinationslehre........

§ 10. Determinanten........

§ 11. Wahrscheinlichkeitsrechnung ....

§ 12. Binomialkoeffizienten.......

II.    Abschnitt. Reihen.

A) Endliche Reihen.

§ 13. Arithmetische Reihen erster Ordnung § 14. Geometrische Reihen ....

§ 15. Zinseszins- und Rentenrechnung .

§ 16. Arithmetische Reihen höherer Ordnung § 17. Interpolation......

B) Unendliche Reihen.

§ 18. Konvergenzbedingungen......

§ 19. Satz von der Koeffizientenvergleichung .

§ 20. Binomischer Lehrsatz.......

§ 21. Exponentialreihe; logarithmische, trigonometrische und zyklometrische Reihen.....

III. Abschnitt. Gleichungen.

87

§ 22. Gleichungen ersten Grades .

§ 23. Gleichungen zweiten Grades; Exponentialgleichungen    41

Ebene Geometrie.

§ 31. Gerade Linien und Winkel am Kreis; regelmäßiges

Vieleck.........

§ 32. Proportionalität von Strecken, Ähnlichkeit § 33. Flächenvergleichung, Inhaltsbeziehungen .

§ 34. Längen- und Flächenberechnungen .

§ 35. Zusammenstellung von Daten; weitere Formeln

§ 36. Geometrische Örter......

§ 37. Besondere Linien und Punkte am Dreieck

§ 38. Harmonische Teilung......

§ 39. Kreispolaren........

§ 40. Ceva-, Menelaos-, Pascal-, Brianchonsatz .

§ 41. Ähnlichkeitspunkte; Potenzlinien (Chordalen) .

Stereometrie.

§ 42. Gerade Linien und Ebenen......

§ 43. Kugel-, Zylinder-, Kegelüäche.....

§ 44. Geometrische Örter.......

§ 45. Sätze über Polyeder. Formeln für Oberflächen und Rauminhalt.........

Ebene Trigonometrie,

L Goniometrie.

§ 46. Funktionen einfacher Winkel .

§ 47. Funktionen zusammengesetzter Winkel .

II. Das Dreieck usw.

§ 48. Formeln über das schiefwinklige Dreieck.

§ 49. Berechnungen........

Sphärische Trigonometrie. § 60. Das rechtwinklige sphärische Dreieck § 51. Das schiefwinklige sphärische Dreieck

00 00 So 8o

KN

Es

.    107

. 108

§ 24. Diophantische Gleichungen.....

§ 25. Allgemeine Sätze über höhere Gleichungen

§ 26. Binomische Gleichungen.....

§ 27. Kubische Gleichungen......

§ 28. Biquadratische Gleichungen ....

§ 29. Höhere numerische Gleichungen. — Näherungs

methoden ........

§ 30. Größte und kleinste Werte.....

Seite

46

48

53

54

56

67

60

Mathematische Geographie.

Seite

I. Beobachtungsmittel.

§ 52. Koordinatensysteme § 53. Lagebestimmung .... § 54. Die Zeit......

II. Das Sonnensystem.

§ 55. Die Erde......

§ 56. Planeten, Sonne und Mond .

§ 67. Weltsysteme.....

§ 68. Berechnungsaufgaben .

. 116

118

119

122

Analytische Geometrie.

I. Geometrie der Ebene.

§ 59. Änderung des Koordinatensystems § 60. Allgemeine Sätze.....

Linie erster Ordnung (gerade Linie).

§ 61. Gleicbungsformen; Lagebeziehungen .

§ 62. Größenbestimmungen und -Beziehungen .

§ 63. Polargleichung der Geraden ....

§ 64. Strahlbüschel; Doppel Verhältnis;    projektivische

Strahlbüschel........

§ 65. Homogene Gleichung der Geraden; trimetrische Punktkoordinaten

§ 66. Linienkoordinaten; Gleichung des Punktes, Punktreihe. Projektivische Punktreihen und Strahlbüschel 136 § 67. Homogene Gleichung des Punktes, trimetrische Linienkoordinaten

Linien zweiter Ordnung.

A) Der Kreis.

§ 68. Kurvengleichung; Sekante, Tangente, Polare usl .    139

§ 69. Polarkoordinaten.....

B) Parabel, Ellipse, Hyperbel § 70. Kurvengleichungen; Sekante, Tangente, Polare usf. 140

§ 71. Sätze über Kegelschnitte.....

§ 72. Konstruktion der Kegelschnitte ....

§ 73. Allgemeine Gleichung zweiten Grades § 74. Gleichungen weiterer Kurven ....

138

.    135

138

.    140

.    150

154

.    157

. 160

II. Geometrie des Raumes.

§ 75. Koordinaten- und Größenbeziehungen § 76. Änderung des Koordinatensystems

§ 77. Allgemeine Sätze.......

§ 78. Die Ebene........

§ 79. Gerade Linie, gerade Linie und Ebene § 80. Erzeugung von Flächen .    .    .    .

Seite i

162

163

165

166

168

172

Flächen zweiter Ordnung.

§ 81. Allgemeines........

§ 82. Einteilung der Flächen zweiter Ordnung .

§ 83. Die einzelnen Flächen zweiter Ordnung .

175

178

179

Höhere Analysis.

A)    Differentialrechnung.

§ 84 Funktion; unendlich kleine Größen; Differentialquotient ..........

§ 85- Allgemeine Formeln über Differentiation .

§ 86. Spezielle Formeln........

§ 87. Die Taylorsche und die Mac Laurinsche Reihe

§ 88. Werte unbestimmter Ausdrücke.....

§ 89. Größte und kleinste Werte von Funktionen .

B)    Integralrechnung.

§ 90. Bezeichnung und Erklärung......

§ 91. Integration einfacher Funktionen; Grundformeln .

§ 92. Allgemeine Formeln; Integrationsweisen entwickelter Funktionen; Rekursionsformeln § 93. Bestimmte Integrale .    . ......

Ü) Anwendung der Infinitesimalrechnung auf Geometrie.

§ 94. Ebene Kurven.......

§ 95. Raumkurven (doppelt gekrümmte Kurven)

§ 96. Krumme Flächen......

184

188

191

193

194

196

198

198

200

206

210

.    218

.    221

§ 97. Viel gebrauchte Zahlenwerte

. 226

Arithmetik,

Algebra und algebraische Analysis.

I. Abschnitt.

Arithmetik und Kombinatorik.

§ 1. Potenzierung und Zerlegung von Binomien.

1. (a±b)² = a²±2ab + b².

2a (a + b + c + d)² = a² + 2ab + 2ac+2ad + b3 + 2bc+2bd + e² + 2cd-fd².

3.    (a±b)³ = a⁸±3a²b + 3ab²:(:b³.

4.    (aj^b)⁴ = a⁴:j₌4 a³b + 6 a²b² Jt; 4 ab⁸ + b⁴,

5.    Binomialtafel:

Ul

-> 3 -> 1

I    l

6    4

10 10 usf.

(Binomischer Lehrsatz s. § 20.)

In einer Proportion kann man die inneren Glieder unter sich, die äußeren Glieder unter sich vertauschen und es dürfen die inneren Glieder zu äußeren, und die äußeren zu inneren gemacht werden.

2.

a d = b c , d. h.:

Das Produkt der äußeren Glieder ist gleich dem Produkt der inneren.

Die Faktoren des einen

6.

a⁸ + b⁸ = (a + b)(a² —ab+b²)

a⁶ + b⁵ = (a + b) (a⁴ — a³ b + a² b² — ab⁸ + b⁴)

usf.

7.

a⁸ —b⁸ = (a —b)(a²+ab + b²)

a⁸ —b⁵ = (a —b)(a⁴ + a⁸b + a²b² + ab⁸ + b⁴)

usf.

8.

' a² — b² = (a + b) (a — b)

a⁴ — b⁴ = (a² — b²) (a²+b²) = (a+b) (a—b) (a²+b²) = (a + b) (a⁸ ~ a² b + a b² — b³)

= (a — b) (a³ + a² b + a b² + b³)

usf.

Wenn a: b =

§ 2. Proportionen.

c: d, dann ist ^ — und

rH

er¹ er¹ P

O 03 rd

c: a = d : b , c : d = a: b , d: b = c: a , d: c = b: a ,

d. h.:

Umgekehrt: Sind zwei Produkte aus je zwei Faktoren einander gleich, so kann aus denselben eine Proportion gebildet werden.

Produktes werden die äußeren, die des anderen die inneren Glieder der Proportion.

5.

Korrespondierende Addition:

a: (a + b) = c: (c + d) | b: (a + b) = d: (c + d).

Korrespondierende Subtraktion: a: (a — b) = c:(c — d) | b:(a-b) = d:(c-d).

Korrespondierende Addition und Subtraktion:

(a + b):(a — b) = (c + d):(c — d).

Das erste oder zweite Glied einer Proportion verhält sich zur Summe oder Differenz des ersten und zweiten, wie das dritte oder vierte Glied zur Summe oder Differenz des dritten und vierten.

Die Summe des ersten und zweiten Gliedes verhält sich zur Differenz derselben, wie die Summe des dritten und vierten Gliedes zur Differenz derselben.

6. Wenn a:a₁=b:b₁=c:c₁ = ...=w:l, dann ist (a -f- b -f- c -f-...): (a₁ -{- b^ c^ -f- ...) = a:a^ = ... = w:l,

(am + h n + c p + ...): (a₁ m + \ n + Cj p + ...) — aai —-... w: 1 »

7. Wenn a : b = c : d

j.

Proportionen.

(a: m): (b : m) = c: d , (a: m): b = (c: m): d ,

am:bm = c: d , am:b = cm:d ,

In einer Proportion darf ein inneres und ein äußeres Glied zugleich mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

3.

d. h.:

4.

an: bn = cn: dn ,

ny^:nyb=ny^:nyd.

und

dann ist

( (a a-i): (b bx) = (c cj: (d dt) und i (a: %): (b: bj) = (c: cj: (d: d,).

8.    Wenn a:b = c:d und

a: b = c: x , dann ist x = d.

9.    Stetige Proportion: a:x = x:b.

10.    Harmonische Proportion:

(a — b):(c — d) = a:d; stetige harmonische Proportion:

(a — x): (x — b) = a: b .

11.    a) Arithmetisches Mittel aus a und b: a -f- b

2 '

b)    Geometrisches Mittel aus a und b: x ----/ab.

th I oa

c)    Harmonisches Mittel aus a und b: 2 ab

X“a + b’

Bei n Größen a^,    ist

»)

ai + a2 + • • • + an

!-!(!+!

x n va^ ag

>ya₁ae...an>l:l(l+i+...+l).

d) Cauchys Satz:

ai + % + • - • ~t~ an

§ 3. Potenzen mit ganzen Exponenten.

I. Positive, ganze Exponenten.

| a³ = a«a«a

\ am = a • a ... a (m Faktoren), a heißt Basis, m Exponent, am Potenz.

1. a¹ = a> 0n = 0, ln= 1, a°=l; a°° =

wenn a

VIA

1.

(—a)2n+¹ — —a2n+1 (a — b)2n = (b — a)2n, (a-b)²“^¹^-(b-a)²^¹ .

am • ar = am+r

(~l)2n — + 1 >

2.    (—a)2n = +a2n ,

3.

am: ar =

am-r, wenn m > r wenn m = r

1,

ar —m ’

(a b)m = am bm .

wenn m< r.

(t)*-

a™

bm *

6. (am)r = amr.

am —bm

7.

a-b

am —¹ _|_ am —8 b -j- am —3 b² + ...

8.

+ abm

am — bm

+ bm—1.

— = mam—1

II. Negative, ganze Exponenten.

Erklärung: a—m =

1.

arf • a—r ---a~m • ar ---

a-m . a r

2.

am: a~r a~m :ar ----- a“m—r a-m:a-r = a-m+r.

ato ' am-r a-m+r

= a~~m—r ----- a—(m+r). am+r

4.

CS IrQ

a— m b-m

(am)—r== a~mr

5.

(a—m)r =a~mr (a—m)~r = amr.

§ 4. Wurzeln.

»/—

Erklärung: Wenn xn = a, dann x = ya, also

Cfa)n = a, F =

Bei yä heißt a Radikand

Benennungen: n Wurzelexponent; )/a =]Za .

i.

nyr = i; n/ö=0;

2n-|-1,-

2.

I Vä=a;

I. Wurzelformeln:

2n + l

yr=i;

2n-}-1

ya²n+¹==a;

2n + l-

y=r=-i.

]/—a2n+! —

3.

4.

2n-

V(-a)2n =

1^.nyb=nyab.

;V₌(n/^)r.

7.

₃ I yä+yb+yö (yä+yb)²-₀

z(ya+yF—/c)

Wurzeln.

13

8.

a^b =|/an b .

1.

II. Rationalmachen des Nenners:

z zj/a¹¹“¹

z z/ä

7    ni—

ya

2.

yä+yb

³yä+⁸yb

z(^T³y^b+W

z(yä+yb—yö)(a + b — c— 2yäb) _ /    (a + b —c)² —4ab    '

besonderer Fall a + b = c.

4.

yä+yb

zfa + ^b z j/a + yb (a—^b)

+yb

a² — b

z |/(a² —b) (a —/b)

a² — b

HI. Zerlegung einer Quadratwurzel:

wobei r ----- ^a² — b .

Öt-y+-r±]/+-r

rV. Beispiele für Quadrat- und Kubikwurzelausziehung:

yi2|53jl6 = 354 9 = a*

1.

2a = 6|353

325 = 2 ab + b*

2 (a + b) = 70j2816

2816 = 2(a + b)c + c*

2.

)44|361|864 = 354 27 =a³

3a²--27 17361

135    = 3 a*b

225 = 3 ab* 125 = b³

3 (a + b)* = 3675 1486864

14700    =3(a + b)*c

1680 = 3(a + b)c* 64 =c³

3.

j/(25x⁶-30xs+79x⁴-57x³ + 58x*-21x +

+ 25x 10 x³ —30x⁸ + 79x4 + 30xs + 9x4 10 x³ — 6 x* + 7 0 x⁴

= 5x³ —3x*+7x—

+ 70x⁴+42x³+49x*

10 x³ — 6x*+14x —15x³+ 9x*    ₉

+ 15x³± 9x*+21x±j

4. Mb?_225x®+ 660x⁷-657x⁴+924x⁸-441 x⁴+343x⁸) ±125 x⁹    = 5x⁸-3x¹ + 7x

75 x⁶|—225x⁸

|+ 225x⁸±135x⁷+27xe

75x⁸—

90x⁸+27x⁴j-j-

525x⁷—630x4 525x⁷T 630x⁶±189x⁸

±735x⁸T441x⁴±343x*

§ 5. Potenzen mit gebrochenen Exponenten.

Erklärung:

- n/-an ==|ar;

n =an

= a~n =

Sh -

1. ln = 1 ;    0=0.

1 p. J-4-Z n q

6.

r r

4.    (ab)“ =a“ b“ .

5.    (a:b)“’ = a“': “

/ ±\P. i.

\an/q =an

§ 6. Imaginäre und komplexe Zahlen.

Erklärung:

y — 1 = i (imaginäre Einheit),

i4n = + l

i4n+l==+i i4n + 2 ₌ _1 i4n + 3__ie

1.

/—-a = i]/a (imaginäre Zahl), a + bi (komplexe Zahl; Normalform), i =i i¹ = — 1 ' i² = —i

U⁴ = + l

y-a • /—h = i¹/aTb = — /ab ;    (y—a)¹ =

y-a :y-b = ya: b .

3.    Konjugierte komplexe Zahlen: a + bi und a — bi,

(a + b i) (a — b i) = a² + b² .

4.    Wenn a + b i = 0, dann ist a = 0 und b = 0 , wenn a + bi = x + iy, dann ist a — x, b = y .

5.    Setzt man: a=r cos op {cp Anomalie ----- Richtungswinkel),

b = r sin 99 (r Modulus), r=ya² + b², dann ist

a + bi = r(cos99 + isin99) (Kanonische Form),

allgemeiner:

6.

a±bi = r[cos(<p + 2kn)±isin(90 + 2kri)\ (k ganze Zahl), | (cos 99 + i sin 99) (cos t/; + i sin xp)

\    = cos (99 + vO i i Lin (99 + y) .

7. Moivres Formel:

(cosy + i sin<y>)n = cos™ (2k:t + 9p) + isin™ (2k ;r+ <y>); im einzelnen: (cos99 + i sin99)° = cosn 99 + i sinn 99

... A 2kjr + 99    .21v7r + 99

(cos 99 +1 sin 99) ^ — cos---— +1 sin

§ 7. Logarithmen.

Erklärung: Wenn cx = a, dann ist x = loga, daher

c •    c

cl0»a --- a;

log(cn) = n; log(c~n) = —n . c heißt die Basis, a der Logarithmand, n der Logarithmus.

3. loga" ----- n loga

1.    loga b = loga + logb

nr— 1

4. log ya == — loga

2.    log ~ = loga — logb

b

c    c

5. loge -----1; log 1 — 0; logO = _roo₎]e nachdem c^ 1;

c

logoo = + 00, je nachdem c^l .

6. Die Basis der künstlichen, oder gemeinen, oder Briggschen Logarithmen ist 10; die Basis der natürlichen Logarithmen, welche mit log nat, oder logn oder l bezeichnet werden, ist e----2,71828 ...

(8. § 21).

7.

loga =    ; loga ----- loga • logb .

logb

8. Umrechnung der gemeinen in natürliche Logarithmen:

io

log 10

2,30259...

a)    l10 = log 10 =    —

loge io

log> A    10

b)    Za = loga = —— = loga • 2,30259...

loge

Weiteres über Logarithmen s. § 21.

§ 8. Kettenbrüche.

1. Verwandlung eines gewöhnlichen Bruches in einen Kettenbruch:

14    1    1

0,43429...

*)

47    47

i4 ³⁺ii ³⁺n H

²⁺j

3-f

2-f

¹⁺T

b) 14

die Nenner sind 3, 2, 1, 4.

1 4|_4

2. Statt eines Kettenbruches k kann man stets folgenden schreiben:

, dessen

, dessen erster Näherungswert

04

0 4-k

0    o

zweiter — ist.

3. Verwandlung eines Kettenbruches in einen gewöhnlichen Bruch:

Ist — der wahre Wert und sind —-, — usf. B    B₁ B

die einzelnen Näherungswerte des Kettenbruches

1 „

a₁4- —

a₂ 4---h • • •

so ist:

Ar_j_i_-i-1 Ar 4~ Ar _ i e A^__1_. A^

Br-j-i ar^_i Br 4~ Br—i

a₃

a2

Bx % B₂ a₂ % 4" I

usf.

Schema: —

ai

Hg

a2

a3 ^2 4~ I

+ l a₃(a₂a₁4-l)4-ai

10

1—1 I

(-1)F

BJ

Ar

Br

4.

Ar_i • Br — Ar • Br_! = (— l)r Ar—i

Ar (~l)r

Br-1

Br

Br-1'Br

("IX

Br- Br_|_!

5. Sätze:

a)    Die aufeinanderfolgenden Näherungswerte (N.-W.) eines Kettenbruches sind abwechselnd größer und kleiner als der wahre Wert desselben und zwar sind die ungeraden (der 1., 3. ...) größer, die geraden (der 2., 4. ...) kleiner als der wahre Wert des Kettenbruches.

b)    Jeder N.-W. liegt dem wahren Wert des K.-Br. näher als der vorhergehende.

c)    Der Unterschied des wahren Wertes des K.-Br. und eines N.-W. ist kleiner als der reziproke Wert des Quadrates vom Nenner dieses N.-W.

d)    Die N.-W. eines K.-Br. sind in den kleinsten Zahlen ausgedrückt, d. h. Zähler und Nenner sind relative Primzahlen.

e)    Kein Bruch, dessen Nenner kleiner ist als der Nenner eines N.-W., kommt dem wahren Wert des K.-Br. näher als dieser N.-W.

§ 9. Kombinationslehre.

I. Permutationen.

1. Die Permutationen aus n Elementen bestehen aus den Komplexionen, in denen sämtliche Elemente vorkommen; die Komplexionen unterscheiden sich nur durch die Stellung der Elemente.

Die Permutationen von a, b, c, d sind in lexiko-graphischer Anordnung:

2.    Die Anzahl der Permutationen aus n verschiedenen Elementen ist:

P(n) = 1 • 2 • 3 ... (n — 1) • n = n! („n Fakultät“) .

3.    Sind unter den n Elementen <x unter sich gleiche Elemente, ebenso ferner ß und y je unter sich gleiche Elemente, so ist die Anzahl der Permutationen:

P(n)

abcd

abdc

acbd

acdb

adbc

adcb

bacd bade b cad bed a bdac bdea

cab d cadb ebad ebda edab cdba

dab c dacb dbac dbca dcab deba

n!

(a,ß,y)    «! ß\ yl'

Bestehen die n Elemente aus zwei Gruppen von r und n —r je unter sich gleichen Elementen, dann ist die Anzahl:

P(n)

n!

n(n — 1) (n — 2) ... (n — r + 1)

(r, n — r) r!(n —r)!

r!

, vgl. § 12.

4. Irgend zwei Elemente einer Komplexion bilden eine Nichtfolge (Inversion), wenn das erste Element höher ist als das zweite.

Durch Vertauschung zweier Elemente einer Komplexion ändert sich die Zahl der Nichtfolgen um eine ungerade Zahl.

II. Variationen.

5. Die Variationen aus n Elementen der r-ten Klasse bestehen aus allen Komplexionen, die sich aus je r der n Elemente bilden lassen. Die Variationen zweiter Klasse der vier Elemente ab cd sind:

ohne Wiederholung ab ae ad ba bc bd ca cb cd da db de

Qj PL. pj Pj

6. Die Anzahl der Variationen aus n Elementen zur r-ten Klasse ist

Vr(n)=n(n—l)(n—2) ... (n—r+l)=(”).il (s. § 12)

Vn(n) = n(n — 1) (n — 2)... 1 = n! (Permutationen.)

7. Die Anzahl der Variationen mit Wiederholung ist: YUn) = nr.

HI. Kombinationen.

8.    Die Kombinationen aus n Elementen zur r-ten Klasse sind die Komplexionen, die sich aus je r der n Elemente bilden lassen, wobei aber bloße Umstellung der Glieder keine neue Kombination ergibt.

Die Kombinationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse sind:

ohne Wiederholung: ab, ac, ad, bc, bd, cd;

mit

: aa, ab, ac, ad; bb, bc, bd; cc, cd, dd.

9.    Die Anzahl der Kombinationen aus n Elementen zur r-ten Klasse ist

Kr(n)

n(n—l)(n—2) ... (n—r+1)

n!

r! (n—r)!

Aus den Kombinationen ergeben sich die Variationen, wenn man die Elemente der einzelnen Kombinationen

r!

permutiert.

10. Die Anzahl der Kombinationen aus n Elementen zur r-ten Klasse mit Wiederholung ist

Kr(n)

a(n + l)(n + 2)...(n-t-r—1)

r!

(n + r-l) .

§ 10. Determinanten.

%bi

a₂ b₂

% bi °i &2 b2 °2 ⁼⁼ % ag b₃ Cg

Unter der Determinante eines Systems von n² Elementen a^ a^, ... an, \, b₂, ... bn, ... versteht man die Summe ^,(+a₁ b₂ Cg ...), in welcher jedes Glied alle Buchstaben und Indices ohne Wiederholung enthält und welche zugleich alle möglichen Produkte umfaßt, die durch Permutation der Indices gebildet werden können. Jedes (alphabetisch geordnete) Glied ist positiv oder negativ zu setzen, je nachdem die Anzahl der Nichtfolgen der Indices gerade oder ungerade ist.

2. Der Wert einer Determinante wird nicht geändert, wenn die Vertikal- als Horizontalreihen und umgekehrt geschrieben werden. Z. B.:

1.

— b-i b₂ bx

«r cf j'

+ a3

CF

3.    Werden irgend zwei Parallelreihen miteinander vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

4.    Sind in einer Determinante zwei Parallelreihen entsprechend gleich oder proportional, so ist der Wert der Determinante gleich Null.

5.    Pegel von Sarrus: Um eine dreigliedrige Determinante zu entwickeln, setzt man die beiden ersten Horizontalreihen der Reihe nach unter die letzte; alsdann schreibt man die sechs Produkte an aus je drei Elementen, welche auf den Diagonalen des Quadrates und auf Parallelen dazu liegen. Dabei ist den Produkten, welche in der Richtung der Diagonale des Anfangselementes liegen, das Vorzeichen +, den andern das Vorzeichen — zu geben.

\ *■ .

. \ / /

X "K A

XXV XX \ XXV

— Uj b₂ c₈ + ag b₃    + a₃ bz c₂

Ui b₃ Cg ag bx c₃ 9^ bg c^ .

[Man kann auch die beiden ersten Vertikalreihen hinter die letzte setzen und dann ebenso entwickeln.]

6.    Bezeichnet man in einer Determinante A den Faktor von ar mit Ar (Unterdeterminante), den von br mit Br, dann ist

A = 3^ At + a₂ Ag + ... + an An = bt Bi + b₂ Bg + ... + bn Bn ferner ist

bt Ax -[-bg A^ +...+bn An = cx At + c₂ Ag +. •.+cn An = 0.

7.    Jede Unterdeterminante ist wieder eine Determinante. Die Unterdeterminante zu einem Element, das in der i-ten Horizontal- und der k-ten Vertikalreihe

steht, wird erhalten, indem man die Horizontal- und die Vertikalreihe, welche in diesem Element sich kreuzen, durchstreicht und die dadurch entstehende Determinante mit (—l)!+k multipliziert. Hieraus ergibt sich die Entwicklung einer viergliedrigen Determinante, usf. Es ist also:

a>l bl Cj dji

a^ b₂ c₂ d₂

% ^3 Cg dg

a₄ b₄ c₄ d₄

= ai

a2

jp*

b₁ q dj b₂ Cg d₂ .

bg Cg dg

bj. Oi 6l

a4

"k äg b₂ c₂ d2 b₄ c₄ d₄

8. Wenn alle Elemente einer Horizontal- oder einer

Vertikalreihe mit demselben Faktor multipliziert sind, so ist die Determinante mit diesem Faktor multipliziert. Z. B.:

Ui bjL Ol

kai bi Ci

k a₂ b₂ c₂ — k • a₂ b₂ c₂ • ka₈b₃Cs

Sind alle Elemente einer Reihe 0, so ist die ganze Determinante gleich Null.

oder:

(a₁ + ä₁)    + (a^ -f- a₂) A₂ + (% + <Xg) A₃ —

+ ^ A₂ + a3 ^3 + Ax + oc₂ A₂ + <x₃ A₈ .

Bestehen die Glieder einer Reihe aus m, die einer andern aus n und die einer dritten aus p Summanden, so ist die Determinante in m • n • p Determinanten zerlegbar.

10. Der Wert einer Determinante bleibt unverändert, wenn man zu den Elementen einer Reihe beliebige, gleich vielfache der entsprechenden Elemente einer parallelen Reihe addiert; z. B.

ai \    a₁ \ gx    + k a₁

3^2 bz    o₂    —    3a b₂ C2    -f- k Sy    •

a3 bg    Cg    a₃ b₃ c₃    + k a₃

11. Wenn

a₁ \ ct

dann ist

«1 ßi Yi

D = 3^ b₂ c₂ und A = a₂ ß₂ y2 a3 b₃ c₃

ä-2 öc₃ + b₂ /5₃ + C2 7g . ag &3 + b₃ ßs + c8 7s

12. Wenn alle diejenigen Elemente einer Determinante verschwinden, welche m Vertikal- mit n — m Horizontalreihen gemeinschaftlich haben, so läßt sich dieselbe in das Produkt zweier Determinanten zerlegen; z. B.:

ai bi

3*2 b₂    I

000

cf cf cf rö° rcf rö* cf cf cf

13. Jede Determinante kann auf folgende Weise erweitert werden:

1 ß± ß± ß₂ ßs

0 1    <x₂

=    0 0 a-L bx

0 0 a>2 b₂ Cg 0 0 % b₃ Cg

§ 11. W ahr scheinlickkeitsr echnung.

1. Ist für ein Ereignis die Anzahl aller möglichen Fälle m, die der günstigen Fälle (Treffer) t, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines günstigen Falles:

cT cf cf

w= — ,

m

für das Nichteintreffen m — t

= 1 — w, also m

W + u = 1 .

2.    Ist bei m möglichen Fällen w, = — die Wahr-

m

scheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses E^ und

f

w₂ = diejenige für das Eintreffen von E₂, so ist die

Wahrscheinlichkeit dafür, daß entweder Ex oderE₂ eintrifft, W=w₁+w₂ .

3.    Die Wahrscheinlichkeit, daß mehrere Ereignisse Et: Eg, Es...gleichzeitig (oder nacheinander) eintreffen, ist:

W=w₁-w₂- ws ...

4.    Die Wahrscheinlichkeit, daß von zwei Ereignissen Ei und E₂ das erste eintrifft, ist:

I.

n.

m.

wi

IV. w

Wj + w₂ ‘

5. Soll von zwei Ereignissen Ex und E₂ eintreten •

a)    Et und E₂, so ist W = wt • w₂ ;

b)    Et, aber nicht Eg, so ist W =    (1 — w₂);

c)    Et nicht, aber Eg, so ist W= (1 — w^) • w₂ ;

d)    eines, aber nicht beide, so ist

W=wx(l —w₂) + (l —w^. w₂ ;

e)    höchstens eines von beiden, so ist W=1—wt w₂;

f)    wenigstens eines von beiden, so ist

W=w₁ + Wg —w₁w₂ ;

g)    beide oder keines, so ist

W=l-w₁(l-w₂)-(l-w₁)w₂ ;

h)    Et n mal, E₂ m mal in bestimmter Reihenfolge, dann ist W = w“ • w™; ist die Reihenfolge beliebig, dann ist

(D+m)!wn n!m! ¹

•w™.

§ 12. Binomialkoeffizienten.

1. Der Bruch -

n(n— l)(n—2) ... (n—r+1)

r!

gelesen „n über r", heißt Binomialkoeffizient.

2. Ist n positiv und ganz, so wird

r>n; ist aber n gebrochen oder negativ, so wird für keinen Wert von r Null.

c-

0. wenn

(:)

ft)-! (:)-

i;

CH-

3.

CHN

nl

(n —r)!r! '

4.

(hhmh-

II. Abschnitt.

Reihen.

A) Endliche Reihen.

T-4 ci

§ 13. Arithmetische Reihen erster Ordnung. Reihe: a, a + d, a + 2 d, ... a + (n — l)d. z = a + (n — 1) d .

(a + z) • n [2 a + (n — 1) d] • n

§ 14. Geometrische Reihen.

Reihe: a, aq, aq², aq⁸ ... aqn™¹. z = aqn—1 .

a (qn — 1) qz —a q—1

3. Ist n = oo und 0<|q|<l, dann ist s

1 +x + x² + x³ + •••

1

1-X + X2-X⁸+ ...

§ 15. Zinseszins- und Rentenrechnung.

Zinsfuß pVo, Zinsfaktor q

, ursprüng-

Zinseszins- und Rentenrechnung.

29

Hohes Kapital a, angewachsenes h, Zahl der Zinsperioden (Jahre) n, Rente r.

b = aqn (Zinseszinsformel). r(qn — 1)

b = a qn ——— (erste Rentenformel). r(qn — 1)

b ---- ——— (zweite Rentenformel), b -----    (dritte Rentenformel).

r-VlL-Lll-i).

(q—l).q“ q —1 X qn/

a = - r-■■■ (n=oo). q— 1

n    Pi qn — 1

⁴    100 q — 1

1. Gibt den End wert an, auf den das Kapital a in n Jahren durch Zinseszins anwächst.

1.

2.

3.

4.

5.

5'.

6.

2.    Gibt den Endwert an, den a durch Zinseszins erreicht, wenn dasselbe am Ende jedes Jahres noch um r vermehrt oder vermindert wird; wird a in n Jahren aufgezehrt, so ist b = 0.

3.    Gibt die Summe an, welche bis zum Ende des n-ten Jahres erreicht ist, durch eine am Ende jedes Jahres erfolgende Zahlung r.

4.    Stellt denselben Wert dar wie 3., wofern die Zahlung r am Jahresanfang geleistet wird.

5.    a ist das Ablösungskapital (Mise) einer nmal am Jahresende wiederkehrenden Rente.

5'. a Ablösungskapital einer immerwährenden Rente.

6.    Amortisation. Die Gleichung gibt die Bedingung an, unter der ein Kapital a in n Jahren durch

Verzinsung mit p₁% getilgt werden kann, wenn der Zinsfaktor (bei dem üblichen Zinsfuß p) q ist.

Jo Ji Jt Js Y4 ••• yb erste Differenzenreihe: A y₀ A yx A y₂ Ay₃ ... zweite

§ 16. Arithmetische Reihen höherer Ordnung. 1. Reihe:

^2y0 ^2yi ^2y2 •••

0 1=P0 ,

f R2*h;

^s61-"">■

i? + i!+i! = 2P,

J yx* ± a2 dx = J yx2 ±as±yi(i +yxs±a*).

Sammlung

Leo Bloch in Wien. M.8 Vollb. Nr. 45. Römische Ges

¹

   an «aq =a

-L p. ±_p.

²

   an :aq =an q

dritte

^²y₀ ^²yi ^²y₂ •••

^sy₀ ^⁸yi

^r+1 ym = ym+i—A* y

Ist die r-te Differenzenreihe konstant, so ist die Reihe von der r-ten Ordnung.

2. Bestimmung des allgemeinen Gliedes:

yn = y<> +

CK-

Wenn die Reihe mit y₁ anfängt, dann ist:

Yn

+ ••• +

(V)

AtYi -

3. Summe der Glieder von y₀ bis zum

Glied yn (einschl.):

+ ... +

s--("T>-+(nr)^«+cr)^ ct;w

oder bei der zweiten Bezeichnung:

Sn

⁼ (l)yi + (2)Zlyi + (3)J2yi+-⁺(r+l)Jryi-

Arithmetische Reihen höherer Ordnung.

31

4. Sätze: a) Das allgemeine Glied einer Reihe r-ter Ordnung ist eine Funktion r-ten Grades in n.

b)    Setzt man in der rationalen ganzen Funktion

<p(n) = a₀nr+a₁n'—x+ ... +3,, welche in Beziehung auf n vom r-ten Grade ist, für n der Reihe nach die Zahlen 0, 1, 2 ..., so bilden die Werte op (0), op (1),    2) ... eine Reihe r-ter Ordnung

mit der Schlußdifferenz r!a^.

c)    Setzt man in <p(n) für n nacheinander die Zahlen &, # + h, <x + 2h ..., welche eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden, so bilden die Funktionswerte <p(&), cp (oc + h), <p (<x + 2 h) ... eine arithmetische Reihe r-ter Ordnung mit der Schlußdifferenz r! a₀ • hr.

12 + 22 ₊ 3-₂₊ ... +n*-i(2n+l)-(n+l).n; l⁸+2⁸ + 3⁸ + ... +n⁸ = 1(n+l)².n«.

5.

6. Figurierte Zahlen: a) Polygonalzahlen: Dreieckszahlen: 1 3 6 10 15 21 ..

Viereckszahlen: 1 4 9 16 25 ..

n²,

r-Eckszahlen:

b) Pyramidalzahlen: dreiseitige: 1 4 10 20 35...

vierseitige: 15 14 30 55...

- öH¹)-

- (i)⁺²(2)~

•en+-(T).

■ (T)+² (“t¹).

r-seitige:

§ 17. Interpolation.

1. Einschaltung bei arithmetischen Reihen.

Sollen bei einer arithmetischen Reihe r-ter Ordnung, deren allgemeines Glied gegeben ist durch die Formel yn (s. § 16₂), zwischen je zwei Glieder p weitere Glieder so eingeschaltet werden, daß die neue Reihe wieder eine Reihe r-ter Ordnung ist, so geschieht dies, indem man in dem Ausdruck für das allgemeine Glied für n der Reihe nach

p+i ’ p+i’ p+i""p + i

i+j

1-f

P + l’ ’

P +1

setzt. Die Schlußdifferenz der neuen Reihe ist

Häufig ist es zweckmäßig, nur so viel Glieder der neuen Reihe zu berechnen, daß sich daraus die Anfänge der Differenzenreihen ergeben, und dann die Reihe von der Schlußdifferenz aus weiter zu berechnen.

2. Einschaltung bei Versuchsreihen.

a) Interpolationsformel von Lagrange.

•y»

_    (x-x₁)(x-x₂)(x-x₈) ... (x-x„)

y (x₀-x₁)(x₀-x₈)x₀—xs) ... (x^—xn) (x — x₀)(x —x₂)(x —x₃) ... (x —xn)

(Xi — Xy) (xt — x₂) (xx - Xz) ... (xx — xn)

Hierbei sind y₀, yu y₂ ... die zu x₀, xx, x₂ ... gehörigen Funktionswerte. Ist bekannt, daß die zunächst unbekannte Funktion y = f (x) für alle Werte zwischen x₀ und xn eine ganze Funktion von höchstens n-tem

Grade ist, so ist sie durch Lagranges Formel vollständig bestimmt; andernfalls liefert letztere eine Annäherung.

b) Newtons Interpolationsformel: y* =-- Jo + Ao(x — xo) + A₁(x — x₀) (x —xj + A2(x —Xo)(x —xt)(x —x1!)+ ...

y₂ yi ^2 X1 Cp -Bq Xg - Xi ’

Gi-Vi

a _yi, yp

o    — Xp ’

A ___ -^0 ~

1 X2 — ^ ’ R-A,

^    Xg—X« '

B₀

Bl

B₂

X₄-Xi

Co

y₃ y₂

usf.

Xo — Xo

Cl=^ usf.

X₄-X2

usf.

B) Unendliche Reihen.

§ 18. Konvergenzbedingungen.

1.    Eine Reihe sn=a₀+a₁ + a₂ + ... -(-an heißt konvergent, wenn die Grenze von sn bei unbegrenzt wachsendem n eine endliche Zahl ist.

Die Reihe heißt divergent, wenn limsn nicht endlich ist. Dies ist u. a. der Fall, wenn lim an nicht 0 ist

2.    Die abnehmende geometrische Reihe ist konvergent; also 1 + x + x² + x³ + ... ist konvergent, wenn der absolute Betrag von x < 1, sie ist divergent, wenn |x| > 1.

3.    Eine Reihe ist konvergent, wenn sie von einem bestimmten Glied an konvergent ist und kein vorangehendes Glied unendlich groß ist.

4.    Eine Reihe ist konvergent, wenn jedes Glied derselben kleiner ist als das gleichvielte einer konvergenten Reihe.

5.    Erste Hauptkonvergenzbedingung: Eine Reihe von positiven Gliedern ist konvergent, wenn von

Bürklen, Formelsammlung.

einem bestimmten Glied ab der Quotient aus einem Glied und dem vorhergehenden < 1 und wenn auch

lim

Ist der Grenzwert gleich 1, so kann nur eine besondere Untersuchung über Konvergenz oder Divergenz entscheiden.

6.    Zweite Hauptkonvergenzbedingung:- Eine Reihe mit abwechselnden Zeichen konvergiert, wenn die Glieder von einer bestimmten Stelle an abnehmen und lim a^ ----- 0 ... Ist lim a^ ^ O, so nimmt sn zwei verschiedene Grenzwerte an, je nachdem man eine gerade oder ungerade Anzahl unendlich vieler Glieder summiert; die Reihe heißt dann oszillierend.

(Bei einer Reihe mit gleichen Zeichen ist die Bedingung lim an = 0 für die Konvergenz notwendig, aber nicht hinreichend.)

7.    Jede Reihe mit negativen oder abwechselnden Gliedern ist konvergent, wenn sie konvergiert, falls man alle Glieder positiv setzt.

8.    Ist a₁ + a* + Eis + ... eine konvergente Reihe aus positiven Gliedern und sind kt, k₂, k₃ ... positive oder negative Zahlen, die ihrem absoluten Werte nach unter einer endlichen Grenze bleiben, so ist auch k₁a₁ -j- k^ a, + k₃a₃ + ... konvergent.

9.    Abels Satz: Ist S(x) = a₁x + a₂x² + a₃xs ... und ist A = a₁ + a2 +83 ..., so ist, wenn sich x von kleineren Werten der Grenze 1 nähert,

lim S(x)x = i = A .

§ 19. Satz von der Koeffizientenvergleichnng.

Ist

Ao + Ai x + A₂ x² + A₃ x³ + ...

= B₀ -f Bi x + B2 x2 + B₃ x⁸ + ...

Exponentialreihe, logarithmische usw. Reihen. 35

und sind beide Reihen konvergent, so ist

Aq = Bq , Ajl — Bx, A₂ — B₂ usf.

Dieser Satz dient zur Entwickelung von Funktionen in Reihen.

§ 20. Binomischer Lehrsatz — Newtonsche Reihe.

(l + x)» = l + (;)x+(”)x* + ...+ (;)xr + ..

Für negative und gebrochene Werte von n wird die Reihe unendlich. Sie ist konvergent für

ferner für

x = +1, wenn n > — 1 x — — 1, wenn n > 0

a> b .

(a±b)n

Beispiel:

Ist b gegen a sehr klein, dann ist

— a^ (Näherungsformel);

8,- b

ya³ + b = a + -—- (Näherungsformel).

§ 21. Exponentialreihe; logarithmische, trigonometrische und zyklometrische Reihen.

X X² 3

1.

eI=l + Y7+2^ + ^j + ... — oo<x< + oo 111    / l\n

= ¹+ü+2] + 3i+-=IK¹⁺nL

= 2,7182818284...

2.

ax == ex/a = 1 -f

x Za (x/a)

(xZa)

1!

2!

3!

-OÜ < X < + oo

v2 -v-3 y4

3.    l( l+x)=

4.    l(l-x) = -j

X² X³ X⁴

f₇l+x

— 1 oder

5.

0 <z <oo .

6. Z(a + h) Za = 21

3 V2a+hZ ^    /

2a+h

7. Übergang vom natürlichen zum Briggschen System: io    io

10*08------ z; logz • Z10 = Zz

l Z -- T

üo=Ml#*z    ₁

----- Modulus des Briggschen Systems ----- ——

= 0,4342945 ... (s. auch § 7₈).

X X³ X⁵

S“X=l!-3! + 5!- ⁺ -cosx=l-g+^+...j -oo<x< + oo.

cosx + i sinx = eix cosx — i sinx = e—ix

M₁₀

io

logz

x = arcx°

Gleichungen ersten Grades. eix + e—

ix

608 X

sinx

eix — e~ix

21

10.    e* = e?+2kinri; e2kjri = 1 ,    e(2k+i)«i = — 1 .

11.    Ist y = ex = ex+2kjri, so ist

lj = x+ 2 kni.

— 1) = (2 k + 1) Tr i;    Z(-y) = /y + (2k+l)^i.

Ist y -f- i z = r e^¹, so ist

Z(y + i z) = Z r + (<P + 2 k jr) i .

12.

⁺ 2'4Ty⁺"'+1>I>_1

arc tg x = x —

j + |⁵-y+ ... 1>X>-1

⁷¹ .11 ¹ , 1 1 ,

- = arctgl = l —j + —— y+ ...

(Leibnizsche Eeihe).

Zur Berechnung von n können folgende Reihen und Formeln benutzt werden:

y = 4arctgi —arctg^|g (Clausensche Formel),

arpte-— (Meiseische tg515 Formel).

f = 8arctgÄ“arctgi

HI. Abschnitt.

Gleichungen.

§ 22. Gleichungen ersten Grades, a) Umformungs- und Versetzungsregeln:

1. Jede Gleichung bleibt richtig, wenn auf jeder Seite dieselbe Operation mit derselben Zahl vorgenommen wird.

2.    Ein freier Summand der einen Seite kann auf die andere Seite als Subtrahend gesetzt werden und umgekehrt.

3.    Eine Zahl, welche Faktor der gesamten einen Seite ist, kann auf die andere Seite als Divisor derselben gesetzt werden und umgekehrt.

4.    Eine Zahl, welche Potenzexponent der gesamten einen Seite ist, kann auf die andere Seite als Wurzelexponent derselben gesetzt werden und umgekehrt.

5. Aus

b) Gleichungen mit einer Unbekannten. x + a = b folgt x = b — a x — a = b folgt x = b + a .

a x = b folgt x -----

M cS

— b folgt x ----- ab

ii——.

xn = a folgt x = y a nr~

\ x = a folgt x = an a + x = b + x folgt x = co .

6. Aus

ax — 0 folgt x — 0 a (x — b) = 0 folgt x — b — 0

(x — a) (x — b) = 0 folgt x — a ----- 0 und x — b = 0 ax + bx = cx folgt x = 0 a (x — b) + c (x — b) = d (x — b) folgt x — b ----- 0 .

Ist die linke Seite einer auf Null gebrachten Gleichung ein Produkt, das x oder Ausdrücke in x als Faktoren enthält, so ist jeder dieser Faktoren gleich Null zu setzen.

Kann eine Gleichung mit x oder einem Ausdruck, der x enthält, durchdividiert werden, so ist x, bzw. dieser Ausdruck, gleich Null zu setzen.

7.

Aus

c) Gleichungen mit zwei und mehr Unbekannten, ax + by = c «k x + \ y = Ci , folgt

c —ax

<h —

bi

y -----    , daher

I.

c —ax

bi

(Gleichsetzungsmethode),

H ax + b •

—axx

bi

c (Einsetzungsmethode),

a \ x + b \ y = c \ a₁bx + bb₁y = c₁b

UL

1)

rv.

2)

x(ab₁—a₁b) = c \ — ct b

ob. — Ci b

x — —---—

a bA — a₁ b

(Kombinationsmethode), ax +by = c m a₁x + b₁y = c₁

3) (am + a₁)x + (bm + b₁)y = cm + c₁

ebenso wird y bestimmt.

(Methode der unbestimmten Koeffizienten von Bözout.)

8.    Hat man drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

ax + by +cz — d ai x + bi y + Ci z = di , a2X + b₂y + c₂z = d₂

so stellt man durch zweimalige Elimination derselben Unbekannten, z. B. von z, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und dann hieraus eine Gleichung mit einer Unbekannten her. — Bei vier Gleichungen mit vier Unbekannten eliminiert man dieselbe Unbekannte dreimal und erhält dadurch drei Gleichungen mit drei Unbekannten usf«

9.    Lösung durch Determinanten:

a₁x + b₁y + CiZ = d₁ At a>2 x -f- b₂ y + Cg z = d₂ Ag ag x + b₃ y + c₃ z = d₃ Ä₃ .

Durch Multiplikation mit den angeschriebenen Unterdeterminanten und Addition folgt:

also

setze b m + bx = 0, so ist m = — gesetzt gibt

dies in 3) ein-

(-ir+a-)x

obi

(—ab₁+a₁b)x = — cbi + ^b

e bi — ci b e a bi — % b ’

oder

(% Ai a** A₂ + a3 A3) x = di Ai -f- d₂ Ag + ds Ag ,

_di At -f~ d₂ A₂ -f- d₃ A₃

ai Ai + a2 A₂ + ag Ag

Der Nenner ist die Determinante A des Systems der linken Seiten. — Für y und z folgt ebenso:

äi + d₂ B₂ + d₃ Bz y_    A

z — Ol +    0₂ + äz C₃

Die Zähler sind ebenfalls Determinanten, die man erhält, wenn man in A der Reihe nach a^, a^, az, dann bi, b₂, bz und q, c^, Cg durch d1? d^, d₃ ersetzt.

10. Die Bedingung für das gleichzeitige Bestehen von n homogenen Gleichungen ist die gleich Null gesetzte Determinante des Systems, z. B. für

a-i \ °i

^2 b₂ Cg — 0 .

a₃ b₃ c₃

aix + biy + ciz = 0 a^x + bgy + CgZ^^O ist

a3x + b₃y + c₃z = 0

§ 23. Gleichungen zweiten Grades und Exponentialgleichungen.

1.

a) Mit einer Unbekannten. x² = a

x =±y^.

ax2-]-bx + c= 0

2.

—b +]/b² — 4 ac

2a

je nachdem b2-4ac^0.

Die Gleichung liefert: zwei verschiedene reelle Werte zwei gleiche reelle Werte zwei verschiedene imaginäre Werte

b² —4ac heißt Diskriminante der Gleichung.

; hieraus folgt:

—b+yb²-4c

Ist a = 1, so wird x

3.    Sind xl und x₂ die Wurzeln der Gleichung

so ist

Xi * x₂ = c .

x² + bx + c=0 xi + x2 ⁼ —b ;

Die Gleichungen x²+bx + c = 0 und x²-bx + e=0 haben gleiche, aber mit entgegengesetztem Zeichen versehene Wurzeln.

4.    Die Gleichung

hat die Wurzeln xt = a, x₂ =

— hat die Wurzeln xt = a

a, x₂ = -

tH I

c8

5. Gleichungen, die durch Einführung einer neuen Unbekannten oder durch Zerlegung auf quadratische zurückgeführt werden können:

ax⁴ + bx² + c = 0, setze    x² = y

ax2m + bxm + c = 0, setze    xm = j

ax + byx + c=0, setze /x = y

m- m—    m —

,yx2r + byxr +c = 0, setze yxr = y au2x + bux + c = 0, setze ux=y(§23o) 6. (x²+ax)²+b(x²+ax)+c=0, setze x²+ax=y

ax + b cx + d ^'

1.

2.

3.

4.

5.

7.

/ax + b\2 \cx + d/

ax + b

+- e = 0 , setze

cx + d

6. Symmetrische Gleichungen:

1. ax³+bx²+bx+a = 0,

a(x⁸ + l)+bx(x+l) = 0 ,

Gleichungen zweiten Grades und Exponentialgleichungen. 43 zerfällt in

I. x + 1 = 0 und II. a (x² — x + 1) + b x = 0 .

2. ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a=0, Division mit x²,

x⁸ + —= y² —2 .

x²

setze x 4- — = y x

³- {

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a==0 , a (x⁵ + 1) -f- b x (x³ + 1) -f- c x² (x + 1) = 0 . Abspaltung von x + 1 = 0, Restgleichung symmetrisch vom vierten Grad.

b) Mit zwei Unbekannten.

Für die Auflösung quadratischer Gleichungen mit zwei Unbekannten kann keine allgemeine, einfache Methode angegeben werden, da die Elimination einer der Unbekannten im allgemeinen auf eine Gleichung vierten Grades führt. (Über die allgemeine Behandlung s. § 25, 14.) Es ergibt sich jedoch in vielen Fällen, in welchen die eine der Gleichungen oder beide nicht alle möglichen Glieder enthalten, die Schlußgleichung als quadratische oder sonst lösbare. In jedem einzelnen Falle ist nach Maßgabe der Eigenschaften der vorliegenden Gleichungen zu verfahren. Die wichtigsten Fälle sind:

1.    Die eine der beiden Gleichungen ist vom ersten Grad; man drücke eine Unbekannte aus und setze in die andere Gleichung ein.

2.    Durch Elimination der quadratischen Glieder entsteht eine Gleichung ersten Grades.

3.    Es läßt sich eine Vereinfachung durch Absonderung eines Faktors erzielen.

4.    Die Einführung einer neuen Unbekannten in die eine Gleichung bewirkt, daß dieselbe nur noch diese Unbekannte enthält, oder es wird das ganze System durch Einführung neuer Unbekannten vereinfacht.

5.    Durch Addition und Subtraktion, Multiplikation oder Division der beiden gegebenen Gleichungen, oder auch durch korrespondierende Addition und Subtraktion bei einer derselben, entsteht eine Gleichung, in der für

x + y, x —y, xy oder y oder einen sonstigen Ausdruck in x und y eine neue Unbekannte eingeführt werden kann.

6.    Die Gleichung ist homogen; man dividiert mit y2 durch und bestimmt —.

y

7.    Es kommen außer dem Absolutglied in jeder Gleichung nur quadratische Glieder vor; man eliminiert die Absolutglieder, so erhält man eine homogene Gleichung. Oder: Man bringt die quadratischen Glieder nach links, dividiert die eine Gleichung durch die andere, dividiert dann Zähler und Nenner durch y²,

setzt — = t und bestimmt t.

y

8.    Man kann z. B. aus x² + y² = a, 2xy = b durch Addition und Subtraktion der zweiten (x + y)² = a + b und (x — y)² = a — b bilden und hieraus x-f-y und x — y bestimmen.

c) Exponentialgleichungen (logarithmische Gleichungen).

1. Grundaufgabe:

logb

X loga ’

ax = b ;

x log a = log b ,

2. Besondere Fälle:

1.

ax = ar;

3.

(«r=

3.

\bl d '

log c — log d log a —log b '

4.

(ab) ux = a • br+x .

Logarithmiere, sammle die Glieder mit x nach links, die ohne x nach rechts, und löse nach x auf.

5. abx + c(d + b—x) = e; setze und bestimme zunächst y = bx.

6.

ax+P _j_ ax+q = bx+m + bx+n ;

ax (aP + aq) = bx (bm + bn) ;

CS

x bm + bn

aP + aq '

; hieraus folgt x.

7.

xr xlo&x = b ;

r log x + log x • log x = log b , setze und bestimme y — log x usf.

8.

log(a x + b) + log(c x + d) = m ;

es ist log[(ax + b)(cx + d)] =m, also (a x + b) (c x + d) = 10m ,

woraus x folgt.

9.

ax b^ = p

cx d? = q ;

logarithmiere, bestimme aus den erhaltenen Gleichungen logx und logy und hieraus x und y.

2. Kettenbruchmethode von Lagrange:

Ist 1. ax+by =c gegeben, so setze man 2. ajLx -f \ y — t, dann folgt:

3.

§ 24. Dioph antische Gleichungen ersten Grades, a) Mit zwei Unbekannten.

1. Eulersche Methode. (Absonderung der größten Ganzen.) Beispiel:

61 x + 7 y = 1000

1000 — 61 x

7u+l o —f- = 3u +

u == 2 v — 1, also

14v-7 + l

143-9 x +

u+1 ,    .

2x —1

1000-61(7 Y-3)

169 —61 v .

11

-3

169

108

108

47

11

47

18

-14

sind also die brauchbaren Werte für die Unbekannten.

\ c — b t abi — a^b ' a t — at c ^ abx — a₁b’ x und y sind dann ganze Zahlen, wenn ab± —a₁b = j-l.

Dies ist der Fall, wenn ^ vorletzter Näherungswert

bi    a

des in einen Kettenbruch verwandelten Bruches — ist

(s. § 8₄).

Beispiel:

1.

61 x + 7 y = 1000 .

Näherungswerte des in einen Kettenbruch verwandelten Bruches L sind:    1,    also

2.    26x+3y=t

3.

4.

x = 3000 —7t = 7(429—t) —3 = 7v —3 t—26x    429-v-182v+78

= 169 —61 v.

11

18

Res.:

11

108

47

169

108

47

-14

3. Ist x = p, y = q eine Einzellösung der Gleichung ax+ by = c, so ist x = p + bt, y = q + at die allgemeine Lösung.

b) Mit drei Unbekannten.

4. Man eliminiere aus den zwei gegebenen Gleichungen eine der drei Unbekannten, z. B. z, dann löse man die erhaltene Gleichung nach a) auf und berechne z vermittels der erhaltenen Werte von x und y aus einer der gegebenen Gleichungen.

§ 25. Allgemeine Sätze über höhere Gleichungen.

1. Hat f(x) = xn + a₁ xn—1 + a₂ xn—2 + ... + stn = 0 die Wurzel x = a, so ist f(x) durch x—<x ohne Rest teilbar.

2.    Eine Gleichung n-ten Grades hat n, aber auch nur n Wurzeln.

3.    Sind Ni, oc₂ ••• ccn die Wurzeln der Gleichung f (x) = 0, so ist

f(x) = (x — (xt) (x — a₂) ... (x — «n) und

4.    Symmetrische Funktionen der Wurzeln:

oc₂ ... ocn) = —(oc₁ + oc₂ +... + ocn) ; a₂=2,K₂(dx₁₎ <x₂ ... <xn) = a₁dX₂ + a₁a₃ + ... + a₂a₈

+ • • • + ocn—i ocn ;

«T = —«2 • • • *n) =— («1    «4

+ . . . + #2 ^3 <*4 4" * • * + (Xn — 2 &n — 1 #n)-

Bn — ( l)n •    • &₂ • dXg ... 0Ca.

Newtons Formeln für die Potenzsummen der Wurzeln:

Setzt man oc\ + <x ₂ +... +    = ⁸k > ⁸⁰ ist

⁸i 4~ % ⁼⁼ 0

⁸2+al⁸l + 2a2 = ⁰

⁸8⁻halS2~l~a2⁸l~i⁻^a3⁼⁼^

Allgemeine rekurrierende Formel:

sr 4“ % sr—1 4™ &2 ⁸r—2 4" • • • 4”    sr—n — 0 ,

sie ist auch noch gültig für r>n, hierbei ist s₀ = n.

Allgemeine Sätze über höhere Gleichungen. Unabhängige Formel:

cf cf

cf (M CO

Sr= -lr

r ar ar—i ar—2 • • • ai

Um aus den Potenz summen der Wurzeln die Koeffizienten der Gleichung zu berechnen, hat man:

a.

(-l)r

r!

iS* co o

Sr Sr—i Sr—2 Sr — 3 ... 0

5.    Satz von Descartes. Eine Gleichung mit reellen Koeffizienten hat höchstens so viel reelle positive Wurzeln als Zeichenwechsel und höchstens so viel reelle negative Wurzeln als Zeichenfolgen (die fehlenden Glieder sind mit fO zu ergänzen).

Eine Gleichung von ungeradem Grad hat mindestens eine reelle Wurzel, deren Vorzeichen entgegengesetzt ist dem Vorzeichen von a^.

Hat eine Gleichung geraden Grades negativ, so sind mindestens zwei reelle, mit verschiedenen Vorzeichen versehene Wurzeln vorhanden.

6.    Bei einer Gleichung, die nur reelle Wurzeln haben kann, ist die Anzahl der positiven gleich der der Zeichenwechsel, die Anzahl der negativen gleich der der Zeichenfolgen (Bestimmung der Hauptachsen einer Fläche H. Ordn.).

Bürklen, Formelsammlung.

7.    Ist p + qi eine Wurzel einer Gleichung mit reellen Koeffizienten, so ist auch p —qi eine Wurzel Die Gleichung hat, wenn sie imaginäre Wurzeln hat, stets eine gerade Anzahl derselben.

8.    Sind die Koeffizienten der r niedersten Potenzen von x (x° eingeschlossen) gleich Null, so hat die Gleichung rmal die Wurzel Null; sind die der r höchsten Potenzen 0, so hat sie rmal die Wurzel oo.

9.    Ist oc eine Wurzel der Gleichung 1., so ergibt sich aus derselben durch Division mit x — oc die Gleichung n — 1-ten Grades.

f(x)

x —

dann ist Beispiel:

soll durch x — 2 dividiert werden.

- = b₀ x”-¹ + bi xn~² + ... + bn_2 x + bn_! = 0,

OC

br —- br—i • oc “p ar.

3x¹ 2— 7x³ + 2x¹ + 4i⁴ 5 - 7x — 2 = 0

3    -1

umgewandelt werden, so daß die Wurzeln der letzteren Gleichung um k kleiner sind als die der gegebenen, so muß f (x) ----- y?(x — k), also

ayxn + a₁xn-¹+ ... +aa=p₀(x —k^ + p^x —k)¹—1 + ... +p„_₁(x —k) + pn

sein und es sind daher pn, p„_i, ... po die Beste, die sich ergeben, wenn man f(x) fortlaufend mit x — k dividiert.

Beispiel: x⁴ — 4x³ — 39x²+ 46x + 80 = 0 4) 1    0    —    39    —110 — 360 = pn

4) 1    4    —    23    — 202 = pn_₁

4) 1    8    +    9 = pn—a

4) 1    12 = pi

¹

Res.: 3x⁶ 7 — x⁸ + 4x+l = 0.

²

Durch diese Division wird festgestellt, ob x=2(=a) eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.

³

0    +4    +1

⁴

Um die ganzen rationalen Wurzeln einer Gleichung aufzufinden, zerlege man a* in Faktoren p1? p₈ ... und versuche, ob x — p1? x —p₂ ... ohne Rest in die Gleichung aufgeht (s. auch § 29a> i).

⁵

10. Wurzel Verkleinerung. Soll die Gleichung

⁶

f (x) = a₀ Xn -j-    xn — 1 + . . . + — l X + an = 0

⁷

in die Gleichung

⁸

   —7    +2    +4    —7    —2

0 1=P₀ ,

die gesuchte Gleichung ist:

x⁴ + 12 x³ + 9 x² - 202 X-360---0.

11. Wegschaffung des zweiten Gliedes. Soll die Gleichung f(x) = 0 durch die Einsetzung x = y + k so umgeformt werden, daß das zweite Glied der neuen Gleichung 0 ist, so ist, da Pi=a₁+nka₀ = O,

a₁

nay

Beispiel:

x⁸ - 18 x² + 105 x — 196 ==■ 0 ;

—18

f6;

6) 1 — 12 + 33+2 6) 1- 6- 8

6) 1 0

J = x-6;

Res.: y⁸ — 3y+2==0.

4*

12.    Mehrfache Wurzeln: Haben f(x) = 0 und f'(x) = 0 einen gemeinschaftlichen Teiler von der Form (x — oct)* (x — oc₂)¹ ..., so ist eine k + 1 fache, <x₂ eine 1+1 fache Wurzel der Gleichung f (x) ----- 0 .

13.    Gemeinschaftliche Wurzeln zweier Gleichungen, Resultante. — Eine gemeinschaftliche Wurzel zweier Gleichungen f(x) = 0 und <p(x) = 0 wird gefunden, indem man den gemeinschaftlichen Teiler der linken Seite sucht und denselben gleich Null setzt.

Die Bedingung für das Bestehen einer gemeinschaftlichen Wurzel zweier Gleichungen heißt die Resultante derselben; sie ist das Resultat der Elimination der Unbekannten aus den zwei Gleichungen. Sind diese Si₀Xn+Sii x¹¹-¹ + ... +    = 0

b₀ xm+ bi xm 1 +... + bm = 0 ,

so ist die Resultante

0 ... 0

a₀ ... an

0 a₀ ... an—1 3»n    » o

R= 0 0 ... ao b₀b, ... bm

... an .

0 ... 0

... t)m

0 0 ... b₀

Man findet den Wert der gemeinsamen Wurzel aus ... a„ 0 ... 0

an ... 0

(box + bi)b2 ••• b₀ b, ...

bm..\ 0 bm... 0

= 0.

14. Elimination einer Unbekannten aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y. — Man ordne beide Gleichungen nach Potenzen der einen Unbekannten, z. B. von x, und bilde die Resultante aus beiden, indem man die Koeffizienten jener Unbekannten als bekannte Größen betrachtet. Die Resultante verschwindet wegen des gleichzeitigen Bestehens beider Gleichungen. Diese Resultante, das Eliminationsresultat von x, ist im allgemeinen eine Gleichung vom m • n-ten Grade in y.

i.

§ 26. Binomische Gleichungen.

xn = +1 = cos 2k7i-|-isin2k:7r;

2kn . 2kn

--b i sm---

n    n

n._    1

x=y+r-(+i)«=

cos

wobei k alle ganzen Werte von 0 bis n—1 erhält. ' xn = — 1 =cos(2k+ l)^r + isin(2k+ 1 )jz ;

2 k + 1    , . . 2 k + 1

cos-Ti -4-1 sm-7i.

n    n

2.

3. Beispiele.

1.

mitk=0 ... (x=l,

x³ = 1 ;

mitk

mitk

-l±i/3 f» 2    ~\ß-

= {®... jx=cos60<,±ism⁶⁰⁰=l^J^₌{~^,

X---COS 1200-j-i sin 1200 x³ ----- — 1 •

2.

mitk= 1 ... lx= — 1 .

4.

r,"

xn = —a

-to'V+r

wobei (y^ä) den absoluten, reellen Wert von bedeutet, welchen man durch direkte Wurzelausziehung oder

logarithmische Berechnung erhält, während ]/+l und

y— 1 jeden der durch 1. und 2. bestimmten Werte darstellen.

x³ — a = 0

§ 27. Kubische Gleichungen x³ + a = 0

Mr9

(K).

x—V-ä = |—^ä)-«

OQ C<l

§ 26, 3i, 2-

x³+ax² + bx + c = 0 .

Transformiere die Gleichung (durch Wurzelverklei-

nerung um

—oder Substitution von x = y — ~ 3    3

s. § 25₁₀) auf die Form

y³ + 3py + 2q = 0

und setze y = u + v imd u³ + v⁸ + 2 q = 0 , dann ist

3,.........

u=r—q + /q² + p⁸

3 -------------

v = K—q — VqM-p

y₁ = U + V

y₂

U tl. + Z- /3 (u — v) (Cardan sehe 2    2    Fonnein).

y₈

Z/3(u-v)

Die Cardan sehen Formeln führen zu einer Lösung nur solange q² + p³ > 0 ; sie liefern dann eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln.

3. Fall der drei reellen Wurzeln (casus irre-ducibilis). Ist q² + p³ < 0 , so hat die Gleichung drei reelle Wurzeln (die Cardan sehen Formeln liefern sie aber in imaginärer Form); dann

cos op

-q

r-p

<p

7i = 2 /—-p • cos -7-

= —2 y—p . cos^ + 60 °)

ys = —2/^p.°os|-|- —60°j .

y₂

4. Trigonometrische Auflösung für Fall 2:

q² + p⁸ > 0 .

1. p>o

fÖ*

tev-—;

= + 2 /p • etg 2 y)

y₂ =

±y,(ctgäV+3^;)

ys =

±/p ^otg 2 n>

i/3 \.

sin 2 xpj

hierbei sind die oberen oder unteren Zeichen zu nehmen, je nachdem q^;0.

y₃

sin 2 xp

Zeichen wie oben bei 1. zu nehmen.

§ 28. Biquadratische Gleichungen.

1.    Besondere Fälle s. § 23, 61? 7₂.

2.    Eulersche Methode.

1.    Transformierung der Gleichung auf die Form

x⁴ + ax² + bx + c = 0.

y³+-|y²4

2.    Bildung der Resolvente a² — 4c b²

16    *    64

Sind die Wurzeln dieser Gleichung jx, y₂, y₈, dann ist xi=±(Vyi + /^-/y3)

x2=±(/y^-yy₂ +/ys)

= ±(-/yT+ VyT) x4 = ±(- Vyi - ff*- Yn)»

wobei die Vorzeichen so zu wählen sind, daß

001 er

2. p<0

sin (p

(—p)f

+q

Ji =T2/

V'

1

n . —-

sin 2 yj

§ 29. Höhere numerische Gleichungen. — Näherungsmethoden.

1.    Ganze Wurzelwerte. Dieselben sind in den Faktoren des Absolutgliedes a^ enthalten. Die Bestimmung derjenigen Faktoren, welche zugleich Wurzeln der Gleichung sind, wird erleichtert durch folgendes: a) Es können nur diejenigen Faktoren in Betracht kommen, welche innerhalb der Wurzelgrenzen liegen (s. u. 3); b) nimmt man eine Wurzelverkleinerung (s. § 25) z. B. um 1 vor und zerlegt in der neuen Gleichung ebenfalls das Absolutglied a£, so kann als Wurzel der ursprünglichen Gleichung nur ein solcher Faktor von an in Betracht kommen, welcher um 1 größer ist als ein Faktor von a£.

2.    Wird f(x) für x = p negativ und für x= q positiv, so liegt eine ungerade Zahl von Wurzeln, also mindestens eine. zwischen p und q.

3.    Ist —am der erste, und — Bp der numerisch

größte negative Koeffizient, so ist x < 1 -f- ]/ap eine obere Grenze für die positiven Wurzeln. Vertauscht man x mit —x und sucht in der neuen Gleichung wieder die obere Grenze für die positiven Wurzeln, so ist dieselbe mit negativem Zeichen versehen die untere Grenze für die negativen Wurzeln der gegebenen Gleichung.

4.    Satz von Budan(-Fourier). Bildet man die Reihe f (x), f (x), f"(x)... f<n)(x) und setzt man hierin x—a und x = b, wobei a<b, so hat die Gleichung f (x) ------ 0

nicht mehr Wurzeln zwischen a und b, als die Reihe Zeichenwechsel verliert, wenn man von a zu b übergeht

5.    Satz von Sturm. Sind f₂(x), f₃(x) ... fm(x) die mit umgekehrten Zeichen genommenen Reste, die sich bei der Aufsuchung des größten gemeinschaftlichen Teilers der Funktion f(x) und ihres Differentialquotienten f (x) ergeben, und setzt man in der Reihe der Funktionen f, f, f1? f₂, f₃ ... fm für x einmal a, das andere Mal b, so hat die erste Reihe gerade so viel Zeichenwechsel mehr als die zweite, wie die Gleichung f (x) = 0 Wurzeln zwischen a und b hat.

6. Newtons Methode. Hat man durch Versuche (oder durch Aufzeichnung der Kurve) gefunden, daß oc annähernd eine Wurzel der Gleichung

f(x) = a₀xn + a₁xn-¹+ ... +an = 0

ist, so ist an oc noch eine Korrektion anzubringen, um den wirklichen Wert zu erhalten. Die erste Korrektion p ergibt sich aus (Taylors Satz s. § 87)

f(oc)

— (a₀ &n + ax ocn~¹ + ... +an)

^ na^ acn_1 + (n — l)a₁ ocn~² + ... -f-an—1

Setzt man nun oc + P an Stelle von oc, so erhält hiermit aus der angegebenen Beziehung eine weitere Korrektion p₁ usf.

7. Regula falsi. Hat die Gleichung f(x) = 0 eine Wurzel zwischen oc und oct [f(oc) und f(at) haben also entgegengesetzte Vorzeichen], so erhält man einen angenäherten Wert für die Wurzel, wenn man an Stelle des Schnittpunktes der Kurve mit der X-Achse den der Sehne setzt, welche die zu den Abszissen oc und oc1 gehörigen Kurvenpunkte verbindet; man hat dann:

X— oc

x — oc₁

f{tx) f(«i) '

somit

x = oc

(aq — oc) f (<x) f(«) —£(«!) ■

Mit dem neuen Wert und einem benachbarten kann das Verfahren wiederholt werden usf. — Dieses Ver-

«7.

X\ f(aQ \\l

fahren ist insbesondere bei transzendenten Gleichungen anwendbar. Beispiel:

xx = 100

Ausrechnung:

also

x log x = 2 oder x log x — 2 = 0 .

f(x) — x log x — 2

-2 --1,4 — 0,5687 + 0,4084

8,58

x = 3 -f

1 - 0,57

0,98

00 o io <n CO co

+ 0,0171 — 0,0027

x = 3,58 -f

0,02-0,0171 0,0198

= 3,58 + 0,01727 = 3,59727 usf. (die richtige Wurzel liegt zwischen 3,59728 und 3,59729).

§ 30. Größte und kleinste Werte. (Elementare Behandlung.)

Ist y eine Funktion von x, also eine von x abhängige Größe, und z. B.

1.

y = a x³ + b x² -f c x -f- d , so können hierbei die verschiedenen Werte von x als Abszissen, die von y als Ordinaten einer Kurve betrachtet werden.

♦Y

tX

Zieht man eine Parallele EF zur X-Achse, welche die betreffende Funktionskurve in den Punkten E, F, deren Abszissen x₁ und x₂ sind, schneidet, so hat y in diesen Punkten E und F die gleichen Werte, es ist also für obiges Beispiel 1.

axf + bxf + cx₁+d = ax| + bxf + cx₂-fd, woraus a(xf — x|) + b(x? — x|) + c(x₁ — x^ = 0, folglich nach Division mit xt — x₂

2.

a(xi + xiI2 + xl) + b(x₁ + x₂) + c = 0 .

Wenn sich nun EF parallel weiter bewegt, so werden xt und Xz für den Punkt, wo y einen größten oder

Größte und kleinste Werte.

61

3.

kleinsten Wert erreicht, einander gleich. Ist die Abszisse dieses Punktes x, so ergibt sich demnach aus 2. 3ax² + 2bx + c = 0 .

♦Y

F,

JC

Durch Auflösen dieser Gleichung findet man die Werte von x, welche y zu einem Maximum oder Minimum machen.

Das Verfahren läßt sich nach Vorstehendem in folgender Weise fassen¹):

Um einen größten oder kleinsten Wert (oder mehrere) einer abhängigen Größe zu finden, muß man:

1.    die Funktion in einer unabhängigen veränderlichen Größe x ausdrücken;

2.    in diesen Ausdruck xx und dann Xg einsetzen und die sich ergebenden Ausdrücke einander gleich setzen:

3. die gleich hohen Glieder zusammenfassen, so daß sich mit dem Faktor x₁ — x^ durchdividieren läßt.

4.    Nachdem mit x₁ — x₂ durchdividiert ist, hat man in der hierdurch erhaltenen Gleichung xt = x₂ = x zu setzen und die Gleichung aufzulösen. Für die gefundenen Werte von x erreicht y ein Maximum oder Minimum.

5.    Ob ein größter oder kleinster Wert vorliegt, ergibt sich aus der Natur der Aufgabe oder durch Berechnung der Werte von y für solche Werte von x, die dem gefundenen benachbart sind.

Bemerkungen: 1. Bei Funktionen, in denen eine Quadratwurzel vorkommt, muß vor dem Dividieren mit . Xi — x₂ in der Regel noch umgeformt werden. Beispiel:

mxx + n+]/axf-f-bx₁ + c = mxg + n-fl/ax^+bxg+c,

m(xi — x^+j^xf + bxx-f c— f/axl + bx^ -j-c = 0, woraus

a(*i —xp + bfa—Q -f-1) c -|- y^+b^+^

a,(x₁ + x₂) + b

m(xi— x*)4

folglich m 4

y^₊bx₁ + c4-y^|+b^4^

Nun ist x₁ = x₂ = x zu setzen usf.

2. Das Anwendungsgebiet der obigen, elementaren Methode ist begrenzt; allgemeine Verfahren für Auffindung größter und kleinster Werte gibt die höhere Analysis (s. § 89).

Ebene Geometrie.

§ 31. Gerade Linien und Winkel am Kreis; regelmäßiges Vieleck.

1.    Ein Punkt liegt innerhalb, auf oder außerhalb einer Kreislinie, je nachdem sein Mittelpunktsabstand = als der Halbmesser ist.

2.    Eine Gerade hat mit einem Kreis zwei, einen oder keinen Punkt gemeinschaftlich, d. h. sie schneidet, berührt oder trifft nicht, je nachdem ihr Mittelpunktsabstand = als der Halbmesser ist.

3.    a) Gleiche Sehnen haben gleiche Mittelpunktsabstände und umgekehrt.

b) Von zwei ungleichen Sehnen hat die größere den kleineren Mittelpunktsabstand und umgekehrt.

4.    Zu gleichen Zentriwinkeln in gleichen Kreisen oder in demselben Kreis gehören gleiche Bögen, Sehnen, Aus- und Abschnitte und umgekehrt.

5.    Ein Peripheriewinkel ist die Hälfte des zugehörigen Zentriwinkels.

6.    Alle Peripheriewinkel über demselben Bogen sind einander gleich.

Datum a, r, <x.

7.    Der Tangentensehnenwinkel ist gleich dem Peripheriewinkel im nicht eingeschlossenen Bogen.

8.    a) Im Kreisviereck ist die Summe zweier Gegenwinkel gleich der Summe der zwei andern, d. h. 2 R

b) Wenn in einem Viereck die Summe zweier Gegenwinkel 2 B ist, so ist es ein Kreisviereck.

9.    a) Im Tangenten vier eck ist die Summe zweier Gegenseiten gleich der Summe der zwei andern.

b) Wenn in einem Viereck die Summe zweier Gegenseiten gleich der Summe der zwei andern ist, so ist das Viereck ein Tangentenviereck.

10.    Tangentenabschnitte beim Dreieck

an den Ankr. d. Gegens. b + c + a

(=s-a),

von der Ecke A

an den Inkreis, b + c —a

von der Ecke B

(-B-b),

b -f- c + a

(=8 —C),

von der Ecke C

Datum s, <x.

11. Zwei Kreise K und

a)    berühren sich, wenn sie einen Punkt der Zentrale gemeinschaftlich haben,

b)    haben einen Punkt der Zentrale gemeinschaftlich, wenn sie sich berühren.

c)    K und Ki berühren sich, wenn z = r + g;

K und Kt schneiden sich, wenn

K liegt innerhalb K1? wenn z<r —g;

K liegt außerhalb Kt, wenn z > r + g , s Zentrale, r der größere, g der kleinere Halbmesser.

z < r + q und

z> r — q .

4

12.    Kreisteilung. Zu einem Zentriwinkel von — R

— oder einem Peripheriewinkel von — R — gehört der n-te Teil der Kreislinie.    n

13.    Regelmäßiges Vieleck.

Eckenzahl:

Zentriwinkel:

R.

Polygon winkel:

§ 32. Proportionalität von Strecken, Ähnlichkeit.

1.    Werden die Schenkel eines Winkels oder zweier Scheitelwinkel von zwei Parallelen geschnitten, so sind die Abschnitte auf dem einen Schenkel proportional den entsprechenden auf dem andern und die Parallelen verhalten sich wie die zugehörigen Scheitelabschnitte desselben Schenkels. — Umkehrung des ersten Teils.

2.    Die Halbierungslinie eines Winkels im Dreieck teilt die Gegenseite innerlich im Verhältnis der Anseiten; die Halbierungslinie des Außenwinkels teilt sie äußerlich in demselben Verhältnis. — Umkehrung.

3.    Werden die Schenkel eines Winkels oder zweier Scheitelwinkel von zwei Parallelen geschnitten, so sind die abgeschnittenen Dreiecke einander ähnlich.

4.    Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

a)    zwei Seiten proportional und der eingeschlossene Winkel gleich,

b)    zwei Winkel gleich,

c)    die drei Seiten proportional,

d)    zwei Seiten proportional der Gegenwinkel des einen Paares gleich und die Gegenwinkel des andern

Bürklen, Formelsammlung.

Paares gleichartig sind. — (Besonderer Fall: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei Seiten proportional und den Gegenwinkel der größeren gleich haben.)

5. Zwei Höhen eines Dreiecks verhalten sich umgekehrt wie die zugehörigen Seiten, oder wie die reziproken Werte der Seiten und umgekehrt; also

h:h':h"= —:

— = bc:ac:ab .

6.    a) Zieht man von zwei ähnlich liegenden Punkten bei zwei ähnlichen Vielecken Strahlen nach allen entsprechenden Ecken, so entstehen paarweis ähnliche Dreiecke.

Besonderer Fall: Durch die Diagonalen aus zwei entsprechenden Ecken werden zwei ähnliche Vielecke in paarweis ähnliche Dreiecke zerlegt.

b) Entstehen durch Strahlen, die man von zwei Punkten nach den Ecken zweier Vielecke zieht, paarweis ähnliche, in gleicher Reihenfolge liegende Dreiecke, so sind die Vielecke ähnlich und die beiden Punkte ähnlich liegend.

Besondere Fälle: <x) Werden zwei Vielecke durch die Diagonalen aus zwei Ecken in paarweis ähnliche in gleicher Reihenfolge liegende Dreiecke zerlegt, so sind die Vielecke ähnlich.

ß) Zwei Parallelogramme sind ähnlich, wenn sie einen Winkel gleich und die einschließenden Seiten proportional haben.

7.    Regelmäßige Vielecke von gleicher Seitenzahl sind ähnlich.

8.    In ähnlichen Vielecken sind entsprechende Winkel einander gleich und entsprechende Längen

proportional; die Umfänge ähnlicher Vielecke verhalten sich daher wie entsprechende Seiten.

9.    a) Sind zwei Vielecke in perspektivischer Lage und n — 1 Seitenpaare (worunter keines, das mit einem Strahl zusammenfällt) parallel, so ist auch das n-te Paar parallel und die Vielecke sind ähnlich.

b) Sind zwei Vielecke ähnlich und zwei Seitenpaare parallel, so sind auch die übrigen parallel und die Vielecke sind in perspektivischer Lage.

10.    a) Die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist mittlere Proportionale zwischen der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

b) Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist mittlere Proportionale zu den Hypotenusenabschnitten.

11.    Ist in einem gleichschenkligen Dreieck die Basis gleich dem größeren Abschnitt des stetig geteilten

2

Schenkels, so ist der Winkel an der Spitze ^-R und

umgekehrt. (Bestimmungsdreieck des regelmäßigen Zehnecks.)

12. a) Sekantensatz. Werden die Schenkel eines Winkels oder zweier Scheitelwinkel von einem Kreis geschnitten, so sind die Scheitelabschnitte des einen Schenkels innere, die des andern äußere Glieder einer Proportion, d. h. das Produkt der Scheitelabschnitte ist konstant. (Potenz eines Punktes in Beziehung auf einen Kreis = PO² — r².)

Besonderer Fall: Wird der eine Schenkel eines Winkels von einem Kreis geschnitten, der andere berührt, so ist das Quadrat des Tangentenabschnitts gleich dem Produkt der Scheitelabschnitte der Sekante.

b) Sind auf jedem Schenkel eines Winkels oder zweier Scheitelwinkel vom Scheitel aus je zwei Stücke abgetragen und ist das Produkt der Abschnitte des einen Schenkels gleich dem Produkt der Abschnitte des andern, so liegen die vier Endpunkte der Abschnitte auf einem Kreis.

Besonderer Fall: Sind auf dem einen Schenkel eines Winkels zwei Abschnitte, auf dem andern ein Abschnitt vom Scheitel aus abgetragen und ist das Produkt der Abschnitte des ersten Schenkels gleich dem Quadrat des Abschnitts auf dem zweiten Schenkel, so berührt der durch die Endpunkte der drei Abschnitte gelegte Kreis den zweiten Schenkel.

§ 33. Flächenvergleichung, Inhaltsbeziehungen.

1.    Parallelogramme und ebenso Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe sind gleich.

2.    Ein Dreieck ist halb so groß als ein Parallelogramm von gleicher Grundlinie und Höhe.

3.    Ein Trapez ist inhaltsgleich mit einem Parallelogramm, wenn beide gleiche Höhe haben und wenn die Grundlinie des Parallelogramms gleich der Mittellinie des Trapezes ist. Trapeze sind gleich, wenn sie gleiche Höhe und gleiche Mittellinie haben.

4.    Datum für Parallelogramm und Dreieck: a, h, f², für das Trapez: b + d, h, f².

5.    Ein Kreis ist gleich einem Dreieck, dessen Grundlinie gleich dem Umfang und dessen Höhe gleich dem Halbmesser ist.

6.    Parallelogramme und ebenso Dreiecke, die einen Winkel gleich haben, verhalten sich wie die Produkte der den gleichen Winkel einschließenden Seiten.

Datum: oc, (b c), f³.

7.    Ähnliche Vielecke verhalten sich dem Inhalt nach wie die Quadrate entsprechender Längen.

8.    Das Quadrat über einer Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.

9.    Das Quadrat über der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.

10.    Pythagoreischer Lehrsatz:

a)    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten.

b)    Allgemeiner Pythagoreischer Lehrsatz: Konstruiert man über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ähnliche Figuren, so ist die Figur über der Hypotenuse gleich der Summe der Figuren über den Katheten.

c)    Pythagoreischer Lehrsatz für das schiefwinklige Dreieck: Das Quadrat über einer Dreiecksseite ist gleich der Summe der Quadrate der andern Dreiecksseiten vermehrt oder vermindert um das doppelte Rechteck aus einer dieser Seiten und der Projektion der andern auf sie, je nachdem der Gegenwinkel der ersten Seite stumpf oder spitz ist (vgl. § 48, 6).

11.    Ptolemäischer Lehrsatz, s. § 35, 22.

§ 34. Längen- und Flächenberechnungen.

1. Inhalt des Rechtecks: a*b.

2.    Inhalt des Quadrats: a².

3.    Inhalt des Parallelogramms: ah.

4.    Inhalt J des Dreiecks: (a + b + c = 2s, g Halbmesser des Inkreises, g1? @₂, g₃ Halbmesser des Ankreises an der Seite a, bzw. b, c)

a h

ab c

4r

J — — = g • ß = ^ (s a) = g₂ (s b) = g₃ (s c) =]/s(s — a) (s — b) (s — c) =

d²

8.    Inhalt des Kreises: r² n = — n .

4

9.    Bogen : 2 r 7t = ot°: 360 ⁰; Bogen

10. Sektor : r²jT = a°: 360°; Sektor =

<X°T7l ⁼ 180° ' oc°t²7i br 360° ⁼~2‘

11. Bogenlänge im Kreis vom Halbmesser 1:

(X°7Z

arca

. h(b + d)

5.    Inhalt des Trapezes:

6.    Inhalt des regelmäßigen n-Ecks: -—? ^

7.    Umfang des Kreises:

2 ttt = djz ;

Tr =3,1416 ;

22\ ~TJ *

180° ~ 180° '

71

Regelmäßige Vielecke:

12. Dreieck.

„ = l/3 = L' = 3e

n |(M

II

i«    ai«

c« \<£>

II ^

rd |C0    ^

CO

t-i

CO

O)

13. Sechseck.

r=a==|-e]/s3; e = -|-/3 = y}/3

j=¥^=¥^=²^-

14. Quadrat.

-T**

r = -|-y2=e/2;

J = a² = 2 r² = 4 £².

15. Achteck.

r = ^y4 + 2y2=eK4-2y2

£'= 2" (t² + l)=2" t² + /2

a = r^2 —/2 = 2e(/2-l)

J=2a²(/2 + l) = 2r²/2 = 8e²(/2-l) .

16. Fünfeck.

r = ^ lfäT+iöyf - e (Vö - 1)

^K25 + 10/6=~(/5 + 1)

-^VlO- 2/5 = 20^5-2/5 |-(V5 + l) = |-}/10 + 2/5 = etlO-2y5 J = ^25 + 10/5 = -~yi0 4- 2/5 = 5ß²t5- 2/5.

17. Zehneck.

to\ &

(/5 + l) =    10 /5

|-}/5 + 2^ = ~tl0 + 2/5

J = ^|-}/5 + 2/5=-^-tl0-2/5 = 2e²)%-10y5.

§ 35. Zusammenstellung von Daten; weitere Formeln.

A) Datumsbeziehungen. Wo nichts bemerkt ist, beziehen sie sich auf das Dreieck.

1. h, m, (ß-y) .

2.

h + h', a -(- b, y . h — h', b — a, y .

3. a, r, oc .

4.

s — a, g, <x .

s, Ai, <% •

5. a, h, f².

Trapez: b + d, h, f².

„ I S, Q, f² .

b. \

l s —a, Qt, f² .

Tangentenviereck: a + b + c + d, q, f¹.

7.    (bc), cc, f².

8.    b² —c², (p + q), (p —q) s. u. C₁₇.

B) Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck,

9. b² = ap, c² = aq, (a Hyp., p und q Abschn. derselben).

10.

h² = P q .

a² = b² + c²; a — ]/b² -f- c². bc = ah .

13. Rationale rechtwinklige Dreiecke sind bestimmt durch

a = u² + v² , b — u² — v² , c=2uv.

u² + v² u² — v² 2uv

^OOCOI>OLOCOC5 r-l r-l r-l <M <M <M <M

CO DO

P^Nlb5ÜlOlQ0O3

^CDNOOCO^OO H (M H N

C) Beziehungen am schiefwinkligen Dreieck.

14.    bp==eq (p Projekt, von c auf b, q Projekt, von b auf c).

15.    a² = b² + c2IF2 c q (Pyth. Lehrsatz für das schiefwinklige J), (q Projekt, von b auf c).

16.    b c = 2 rh .

17.    b² — c² = p² — qf (pi und q₁ Projekt, von und c auf a).

a² + 4t² = 2(b²+c²)

18.

4(t² + t'* +t"²) = 3(a² + b² + c²)

a² =

j (2 tf² + 21"² — t»).

19.    m² = bc —vw (v und w Abschnitte der Seite a, erzeugt durch Winkelhalbierende m).

20.    Dreiecksinhalt s. § 34₄.

Q ⁹ Qi⁹ Q2⁹ Qs~

21.

Q2 Qs Q

22. Sehnenviereck (Ptolemäischer Lehrsatz) ee₁ = ac + bd .

Inhalt des Sehnen Vierecks:

wobei

y(s — a) (s — b) (s — c) (s — d) a+b+c+d

§ 36. Geometrische Örter.

A) Der geometrische Ort für einen Punkt, der

1.    von einem Punkt A die Entfernung r hat, ist die Kreislinie um A mit r;

2.    von einer Geraden L auf bestimmter Seite derselben die Entfernung h hat, ist die Parallele zu L auf jener Seite im Abstand h;

3.    von zwei Punkten A und B gleiche Entfernung hat, ist das Mittellot zu AB;

4.    von den Schenkeln eines Winkels gleichen Abstand hat, ist die Halbierungslinie des Winkels;

5.    von zwei Parallelen gleichen Abstand hat, ist die Parallele im mittleren Abstand.

B)    Der geometrische Ort für den Mittelpunkt eines Kreises, der

6.    den Halbmesser r hat und durch Punkt A geht, ist die Kreislinie um A mit r;

7.    den Halbmesser r hat und die Gerade L auf bestimmter Seite berührt, ist die Parallele im Abstand r auf jener Seite;

8.    durch die Punkte A und B gehen soll, ist das Mittellot zu AB;

9.    die Schenkel eines Winkels berühren soll, ist die Halbierungslinie des Winkels;

10.    zwei Parallelen berührt, ist die mittlere Parallele;

11.    eine Gerade L im Punkte A berührt, ist das Lot zu L in A;

12.    eine Kreislinie im Punkte A berührt, ist die Verbindungslinie des Mittelpunkts mit A;

13.    den Halbmesser q hat und eine Kreislinie K vom Halbmesser r von außen oder innen berührt, ist ein zu K konzentrischer Kreis mit dem Halbmesser r + £ oder r — 9, bzw. q — r.

C)    Der geometrische Ort für die Spitzen aller Dreiecke auf derselben Seite über der gemeinsamen Grundlinie a mit

14.    demselben Winkel oc an der Spitze, ist der Kreisbogen über a, welcher den Winkel oc faßt;

15.    dem gleichen Inhalt, ist eine Parallele zur Grundlinie;

16.    demselben Verhältnis m:n für die Seiten b und c ist ein Halbkreis über der Strecke zwischen den beiden Punkten, welche a innerlich und äußerlich im Verhältnis m:n teilen (Satz des Apollonius).

§ 37. Besondere Linien und Punkte am Dreieck.

In einem Dreieck schneiden sich

1.    die Mittellote zu den Seiten in einem Punkt, der von den Ecken gleiche Entfernungen hat (Umkreismittelpunkt 0);

2.    die Halbierungslinien der Winkel in einem Punkt, der von den Seiten gleiche Entfernungen hat (Inkreismittelpunkt M); desgleichen die Halbierungslinie eines Winkels und die der beiden Außenwinkel an der Gegenseite (Ankreismittelpunkte Mn ^2 i Ms) ,

3.    die Schwerlinien (Seitenhalbierende Transversalen) in einem Punkt und teilen sich gegenseitig im Verhältnis 2:1 (Schwerpunkt S);

4.    die Höhen in einem Punkt (Höhenschnittpunkt H).

In einem Dreieck liegen:

5.    der Höhenschnittpunkt, der Schwerpunkt und der Umkreismittelpunkt in gerader Linie, und es ist hierbei HS: SO-----2 :1;

6.    die drei Fußpunkte der Höhen, die drei Halbierungspunkte der Seiten und die drei Halbierungspunkte der oberen Höhenabschnitte auf einem Kreis (Feu erb ach scher Kreis).

§ 38. Harmonisch© Teilung.

1. Wenn die Strecke AB durch die Punkte P und Q innerlich bzw. äußerlich nach demselben Verhältnis geteilt ist, dann heißen A, B, P, Q, harmonische Punkte; A und B, ebenso P und Q heißen zugeordnet. — PQ wird ebenfalls durch A und B in gleichem Verhältnis geteilt.

2.    Gehen die Strahlen eines Büschels durch vier harmonische Punkte, so heißt dasselbe ein harmonisches Büschel; je zwei Strahlen, welche durch zwei zugeordnete Punkte gehen, heißen selbst zugeordnet.

3.    Zu einem Teilpunkt einer Strecke gibt es nur einen harmonisch zugeordneten Punkt; zu einem Teil-strahl eines Winkels gibt es nur einen harmonisch zugeordneten Strahl.

4.    Der zum Halbierungspunkt einer Strecke (in bezug auf die Endpunkte) harmonisch zugeordnete Punkt ist der unendlich ferne Punkt; der zur Halbierungslinie eines Winkels in bezug auf die Schenkel harmonisch zugeordnete Strahl ist das Lot zur Halbierungslinie.

5.    a) Wenn man zu einem Strahl eines harmonischen Büschels eine Parallele zieht, so wird das Stück derselben zwischen dem andern Paar zugeordneter Strahlen von dem zum ersten zugeordneten Strahl halbiert. (Bestimmung des vierten harmonischen Elementes zu drei gegebenen.)

b) Umgekehrt: Werden durch drei Strahlen eines Büschels auf einer Geraden gleiche Strecken abgeschnitten und ist der vierte Strahl dieser Geraden parallel, so bilden die vier Strahlen ein harmonisches Büschel.

6.    Jede Gerade schneidet ein harmonisches Büschel in harmonischen Punkten.

7.    In einer Nebenecke eines vollständigen Vierecks wird der Winkel zweier Gegenseiten durch die Strahlen nach den andern Nebenecken harmonisch geteilt

8.    Auf einer Nebenseite eines vollständigen Vierseits wird der Abstand zweier Gegenecken durch die andern Nebenseiten harmonisch geteilt.

9. Harmonische Proportion, harmonisches Mittel

⁸* § 2io, ii.

10. Ist M Halbierungspunkt der durch P und Q harmonisch geteilten Strecke AB, so ist:

AM² =MP • MQ.

§ 39. Kreispolaren.

1.    Sind A, B, P, Q vier harmonische Punkte und beschreibt man über der Entfernung AB des einen zugeordneten Paares als Durchmesser einen Kreis und errichtet in P ein Lot auf AB, so heißt dieses Lot die Polare von Q in Beziehung auf den Kreis. — Ebenso ist das Lot in Q die Polare von P; P und Q heißen zugeordnete Pole.

2.    Die Berührungssehne der von einem Punkt an einen Kreis gezogenen Tangenten ist Polare jenes Punktes. — Eine Tangente ist Polare ihres Berührungspunktes. — Die Polare des Mittelpunktes ist die unendlich ferne Gerade und der Pol eines Durchmessers ist ein unendlich ferner Punkt.

3.    Die Polaren aller Punkte einer Geraden schneiden sich in einem Punkt, dem Pole dieser Geraden.

4.    Die Pole aller durch einen Punkt gehenden Geraden liegen auf einer Geraden, der Polaren dieses Punktes.

5.    Die Polare des Schnittpunktes zweier Geraden ist die Verbindungslinie der Pole derselben.

6.    Der Pol der Verbindungslinie zweier Punkte ist der Schnittpunkt der Polaren derselben.

7.    Jede durch einen Punkt gehende Sekante wird durch diesen, durch seine Polare und die Kreislinie harmonisch geteilt.

8. In jedem Sehnen vier eck ist eine Nebenecke der Pol zur Verbindungslinie der beiden andern Nebenecken.

9. In jedem Tangenten vier seit ist eine Nebenseite die Polare zum Schnittpunkt der beiden andern Nebenseiten.

§ 40. Ceva-, Menelaos-, Pascal-, Brianchon-Satz.

1.    Satz des Ceva: Schneiden sich drei Ecktransversalen eines Dreiecks in einem Punkt innerhalb oder außerhalb des Dreiecks, so ist das Produkt dreier nicht aneinanderliegender Seitenabschnitte gleich dem Produkt der drei andern. — (Umkehrung).

2.    Satz des Menelaos: Schneidet eine Transversale eines Dreiecks die drei Seiten oder ihre Verlängerungen, so ist das Produkt dreier nicht aneinanderliegender Seitenabschnitte gleich dem Produkt der drei andern. — (Umkehrung).

3.    Satz des Pascal: Die drei Schnittpunkte je zweier Gegenseiten eines Sehnensechsecks liegen in einer Geraden.

4.    Satz des Brianchon: Die drei Verbindungslinien je zweier Gegenecken eines Tangentensechsecks schneiden sich in einem Punkt.

§ 41. Ähnlichkeitspunkte, Potenzlinien (Chordalen).

1. Zieht man in zwei Kreisen zwei gegenläufige oder gleichläufige parallele Halbmesser, so geht die Verbindungslinie der Endpunkte jedes Paares stets für sich durch denselben festen Punkt. Diese beiden Punkte teilen die Zentrale innerlich und äußerlich im Verhältnis der Halbmesser; sie heißen innerer bzw. äußerer Ähnlichkeitspunkt.

2.    Satz des Monge: Die drei äußeren Ähnlichkeits-punkte dreier Kreise, ebenso je zwei innere und ein äußerer liegen auf einer Geraden (Ähnlichkeitsachse).

3.    Die Potenzlinie zweier Kreise (d. h. die gerade Linie deren sämtliche Punkte in bezug auf zwei Kreise gleiche Potenz haben, s. § 32,i2a.) steht senkrecht auf der Zentrale. Wenn gemeinschaftliche, gleichartige Tangenten vorhanden sind, halbiert sie dieselben; schneiden oder berühren sich die Kreise, so ist die Potenzlinie gemeinschaftliche Sekante oder Tangente im Berührungspunkt; sind die Kreise konzentrisch, so liegt sie in unendlicher Entfernung. Die von einem Punkt der Potenzlinie an die beiden Kreise gezogenen Tangenten sind einander gleich.

4.    Die Potenzlinien je zweier von drei gegebenen Kreisen schneiden sich in einem Punkt, dem Potenzoder Chordalpunkt derselben, oder sie sind parallel

Stereometrie.

§ 42. Gerade Linien und Ebenen.

1. a) Eine Gerade ist einer Ebene parallel, wenn sie einer in der Ebene liegenden Geraden parallel ist

b)    Ist eine Gerade einer Ebene parallel, so schneidet jede durch die Gerade gelegte Ebene die erste Ebene in einer parallelen Geraden.

c)    Ist eine Gerade einer Ebene parallel und zieht man durch einen Punkt der Ebene eine Parallele zu der Geraden, so fällt die Parallele ganz in die Ebene hinein.

2. a) Legt man durch jede von zwei Parallelen eine Ebene, welche die andere schneidet, so ist die Schnittlinie der beiden Ebenen den beiden Geraden

parallel.

b) Sind zwei Geraden einer dritten parallel, so sind sie einander selbst parallel.

3.    Werden zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten, so sind die Schnittlinien parallel.

4.    Sind die Schenkel zweier Winkel parallel, so sind auch ihre Ebenen parallel.

5.    Sind die Schenkel zweier Winkel parallel und beide Paare gleichläufig oder beide gegenläufig, so sind die Winkel gleich; ist das eine Schenkelpaar gleich-, das andere gegenläufig, so sind die Winkel supplementär.

Bürkien, Formelsammlung.

6.    Sind zwei Ebenen einer dritten parallel, so sind sie einander selbst parallel.

7.    a) Steht eine Gerade zu zwei Geraden einer Ebene senkrecht, so steht sie auf allen in der Ebene liegenden Geraden senkrecht, d. h. sie ist senkrecht zur Ebene.

b) Alle Geraden, welche in demselben Punkte zu einer Geraden senkrecht sind, liegen in einer Ebene, die senkrecht ist zu der Geraden.

8.    Zu einer Ebene läßt sich durch einen Punkt auf oder außerhalb derselben nur ein Lot ziehen.

9.    Zu einer Geraden läßt sich durch einen auf oder außerhalb derselben gelegenen Punkt nur eine senkrechte Ebene legen.

10.    a) Jede Ebene durch ein Lot zu einer Ebene ist zu dieser Ebene senkrecht.

b)    Eine Gerade, welche innerhalb einer von zwei zueinander senkrechten Ebenen senkrecht zu deren Schnittlinie ist, ist auch senkrecht zur andern Ebene.

c)    Eine Gerade, welche senkrecht zu einer von zwei senkrechten Ebenen ist, fällt ganz in die andere oder ist ihr parallel.

d)    Sind zwei sich schneidende Ebenen senkrecht zu einer dritten, so ist auch ihre Schnittlinie senkrecht zur dritten.

11.    Ist ein Winkel, dessen einer Schenkel in der Projektionsebene liegt, ein R, so ist auch seine Projektion ein R; umgekehrt ist die Projektion ein R, so ist der Winkel selbst ein R.

12.    a) Stehen zwei Geraden auf derselben Ebene senkrecht, so sind sie parallel

b) Ist die eine von zwei parallelen Geraden senkrecht zu einer Ebene, so ist es auch die andere.

13.    a) Stehen zwei Ebenen auf derselben Geraden senkrecht, so sind sie parallel.

b) Ist die eine von zwei parallelen Ebenen zu einer Geraden senkrecht, so ist es auch die andere.

14.    Das Lot von einem Punkt auf eine Ebene ist die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Ebene und umgekehrt.

15.    Diejenigen Strecken zwischen einer Ebene und einem Punkt außerhalb derselben sind einander gleich, deren Endpunkte von der Projektion des ersten Punktes gleichweit entfernt sind, und umgekehrt.

Die gleichen Strecken machen mit der Ebene gleiche Winkel und umgekehrt.

16.    Von zwei von einem Punkt nach einer Ebene gezogenen Strecken ist diejenige die kleinere, deren Endpunkt näher bei der Projektion jenes Punktes liegt, und umgekehrt.

Die kleinere der Strecken macht mit der Ebene den größeren Winkel und umgekehrt.

17.    Der Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene ist kleiner als der Winkel der Geraden mit irgend einer Geraden in der Ebene.

18.    Alle parallelen Strecken zwischen zwei parallelen Ebenen sind gleich und machen mit derselben Ebene gleiche Winkel.

19.    Die kürzeste Strecke zwischen zwei windschiefen Geraden ist diejenige, die auf beiden Geraden senkrecht steht.

20.    Werden zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten, so sind:

einander gleich,

a)    entsprechende Keile

b)    innere Wechselkeile

c)    äußere Wechselkeile

und d) innere Gegenkeile

betragen zusammen zwei rechte Keile.

e)    äußere Gegenkeile

f)    gemischte Wechselkeile Jeder der sechs Sätze ist umkehrbar.

§ 48. Kugel-, Zylinder-, Kegelfläche.

A) Lagebeziehungen.

1.    Ein Punkt liegt innerhalb, auf, außerhalb einer Kugel, eine Gerade und ebenso eine Ebene schneidet, berührt, liegt ganz außerhalb der Kugel, je nachdem

der Mittelpunktsabstand =r ist. (r Halbmesser.)

2.    Ein Punkt und ebenso eine zur Achse parallele Gerade liegt innerhalb, auf, außerhalb einer Zylinderfläche, eine zur Achse nicht parallele Gerade und eine zur Achse parallele Ebene schneidet, berührt sie, trifft

sie nicht, je nachdem der Abstand von der Achse = r ist. (r Grundkreishalbmesser.)    ^

3.    Eine durch die Spitze eines Kegels gehende Gerade liegt innerhalb, auf, außerhalb einer Kegelfläche, eine durch die Spitze gehende Ebene schneidet, berührt sie, trifft sie nicht, je nachdem der Winkel der Geraden

oder der Ebene mit der Achse = der erzeugende Winkel oc ist.    ^

4.    Eine Ebene, welche eine Kugel schneidet, schneidet sie in einer Kreislinie. — Eine zur Achse parallele Schnittebene einer Zylinderfläche schneidet diese in zwei zur Achse parallelen Mantellinien. — Eine durch die Spitze eines Kegels gehende Schnittebene schneidet die Kegelfläche in zwei Mantellinien.

5.    Eine Berührungsebene an eine Kugel ist (u. a.) bestimmt durch zwei Tangenten im Berührungspunkt,

eine Berührungsebene an eine Zylinder- und ebenso an eine Kegeliiäche ist bestimmt durch Berührungsmantellinie und Grundkreistangente.

6.    Das Lot vom Kugelmittelpunkt auf eine Kugelkreisebene, Berührungsebene, Sehne der Kugel geht bzw. durch den Kreismittelpunkt, Berührungspunkt, Halbierungspunkt derselben.

Umkehrungen.

7.    Zwei Kugeln berühren sich, wenn sie einen Punkt der Zentrale gemeinschaftlich haben, und umgekehrt.

Die Zentrale zweier sich berührender Kugeln ist gleich der Summe oder gleich der Differenz der Halbmesser.

8. Ein Punkt der Kugelfläche ist Pol eines Kugelkreises, wenn er von drei Punkten desselben gleiche sphärische Entfernungen hat; er ist Pol eines Großkreises, wenn er von zwei Punkten desselben sphärische Entfernungen von 90° hat.

B) Größenbeziehungen.

9.    Der Großkreisbogen ist die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten auf der Kugelfläche.

10.    Ist ein sphärisches Dreieck Polardreieck zu einem zweiten, so ist auch das zweite Polardreieck zum ersten.

11.    Die Bogengrade der Seiten eines sphärischen Dreiecks ergänzen die Winkelgrade der entsprechenden Winkel des Polardreiecks und die Winkelgrade des sphärischen Dreiecks ergänzen die Bogengrade der entsprechenden Seiten des Polardreiecks zu 180°.

(Nr. 10 und 11 gelten ebenso für Dreikant und Polardreikant.)

12.    Zwei sphärische Dreiecke gleicher Kugeln oder zwei Dreikante sind entsprechend gleich, wenn

a)    zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel,

b)    eine Seite und zwei anliegende Winkel,

c)    die drei Seiten,

d)    die drei Winkel,

e)    zwei Seiten und der Gegenwinkel der einen gleich sind und der Gegenwinkel der andern in beiden

zugleich =90° ist,

k) zwei Winkel und die Gegenseite des einen gleich sind und die Gegenseite des andern in beiden

zugleich ^90° ist.

13.    In jedem sphärischen Dreieck und jedem Dreikant

a)    liegen gleichen Seiten gleiche Winkel gegenüber und umgekehrt,

b)    liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber und umgekehrt,

c)    sind zwei Seiten zusammen größer als die dritte,

d)    sind zwei Winkel zusammen kleiner als der um 2 R vermehrte dritte,

e)    ist, wenn die Summe zweier Seiten ^ 180°, auch die Summe der Gegenwinkel ^ 180° und umgekehrt.

14.    Ein sphärisches Zweieck verhält sich zur Kugeloberfläche wie sein Winkel zu 4 R; oder

sphärisches Zweieck ----- 2 R²arc& .

15.    Der Inhalt des sphärischen Dreiecks verhält sich zur Kugeloberfläche wie der sphärische Exzeß zu 8 R; oder

sphärisches Dreieck = R² arc(& + ß + y — 2 R) .

16.    In einem sphärischen Dreieck liegt

a)    die Summe der Winkel zwischen 2 R und 6 R,

b)    die Summe der Seiten zwischen 0 und 4 R.

§ 44. Geometrische Örter.

1.    Eine um Punkt A mit dem Halbmesser r beschriebene Kugel ist geometrischer Ort

a)    für    jeden Punkt,    der    von A    den Abstand    r    hat,

b)    für    jede    Gerade,    die    von A    den Abstand    r    hat,

c)    für    jede    Ebene,    die    von A    den Abstand    r    hat,

d)    für den Mittelpunkt jeder Kugel vom Halbmesser r, die durch A geht.

2.    Eine um die Gerade L als Achse mit dem Grundkreishalbmesser r beschriebene Zylinderfläche ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von L den Abstand r hat,

b)    für    jede    Gerade,    die    von L    den Abstand    r    hat,

c)    für    jede    Ebene,    die    von L    den Abstand    r    hat,

d)    für den Mittelpunkt jeder Kugel vom Halbmesser r, die L berührt.

3.    Eine Kegelfläche mit der Achse L, der Spitze A und dem erzeugenden Winkel <x ist geometrischer Ort

a)    für jede durch A gehende Gerade, welche mit L den Winkel <x bildet,

b)    für jede durch A gehende Ebene, welche mit L den Winkel oc bildet,

c)    für jede durch A gehende Ebene, welche mit einer zu L senkrechten Ebene den Winkel R — <x bildet.

4.    Eine zu einer Ebene E im Abstand r auf einer Seite derselben parallel gelegte Ebene ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt auf dieser Seite, der von E den Abstand r hat,

b)    für jede parallele Gerade auf dieser Seite, die von E den Abstand r hat,

c)    für den Mittelpunkt jeder Kugel auf dieser Seite, die E berührt und den Halbmesser r hat,

d) für die Achse jedes Zylinders auf dieser Seite, der den Grundkreishalbmesser r hat und E berührt.

5.    Die Mittellotebene zu einer Strecke AB ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von A und B gleiche Entfernungen hat,

b)    für jede Gerade, die von A und B gleiche Entfernungen hat und mit AB einen rechten Winkel bildet,

c)    für den Mittelpunkt jeder Kugel, die durch A und B geht.

6.    Die Mittellotebene zu einem Winkel ABC ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von den Schenkeln gleichen Abstand hat,

b)    für jede durch B gehende Gerade, die mit den Schenkeln gleiche Winkel bildet,

c)    für den Mittelpunkt jeder Kugel, welche beide Schenkel berührt.

7.    Die Halbierungsebene eines Keils (MQ) ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von M und Q gleichen Abstand hat,

b)    für    den    Mittelpunkt    jeder    Kugel, welche    M

und Q berührt.

8.    Das    Lot    zur Ebene    eines    Dreiecks ABC    im

Umkreismittelpunkt 0 desselben ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von A, B und C gleiche Abstände hat,

b)    für den Mittelpunkt jeder Kugel, die durch A, B und C geht,

9.    Das    Lot    zur Ebene    eines    Dreiecks ABC    im

Inkreismittelpunkt oder einem Ankreismittelpunkt desselben ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von den drei Seiten gleiche Entfernungen hat,

b)    für den Mittelpunkt jeder Kugel, welche die drei Seiten berührt.

10.    Die Schnittlinie der drei Mittellotebenen der Seiten eines Dreikants ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von den drei Kanten gleiche Abstände hat,

b)    für den Mittelpunkt jeder Kugel, welche die drei Kanten berührt. Die Schnittlinie ist Achse des dem Dreikant umbeschriebenen Kegels.

11.    Die Schnittlinie der Halbierungsebenen der drei Keile eines Dreikants ist geometrischer Ort

a)    für jeden Punkt, der von den drei Seitenflächen gleichen Abstand hat,

b)    für den Mittelpunkt jeder Kugel, welche die drei Seitenflächen berührt.

Die Schnittlinie ist Achse des dem Dreikant einbeschriebenen Kegels.

§ 45. Sätze über Polyeder. Formeln für Oberflächen, Rauminhalte.

A) Allgemeine Sätze.

1. Eulers Satz: Bei jedem Vielflächner ist die Summe der Anzahl der Ecken und Flächen um 2 größer als die Zahl der Kanten,

E+F=K+2 .

2. Die Anzahl der Kanten ist halb so groß als die der Winkel,

3.    Ein Parallelschnitt einer Pyramide ist ein der Grundfläche ähnliches Vieleck und es verhält sich der Inhalt des Parallelschnittes zu dem der Grundfläche wie die Quadrate ihrer Entfernungen oder derjenigen entsprechender Ecken von der Spitze der Pyramide.

4.    Satz des Cavalieri: Haben zwei Körper gleiche Höhe und gleiche Grundflächen und sind alle Parallelschnitte, die in denselben Entfernungen von den entsprechenden Grundflächen gelegt sind, einander gleich, so sind die Körper selbst inhaltsgleich.

5.    Ähnliche Körper verhalten sich der Oberfläche nach wie die Quadrate, dem Inhalt nach wie die Kuben entsprechender Längen.

B) Berechnungen.

M Mantel, 0 Oberfläche, G Grundfläche, Q Querschnitt, h Höhe, r Grundkreishalbmesser, R Kugel-halbmesser, a, b, c Kanten, s Mantellinie, S Mittelschnitt, V Rauminhalt.

6. Quader:

0 ----- 2 (a b b c -j- c a) j V=abc .

V= G • h = Q • s .

V = G. — .

3

M = 2rjrh;

0 = 2 r 7i (h + r) ;

Für den Hohlzylinder: V = (r² — r?) n h . 10. Kegel:

7. Prisma:

8. Pyramide:

9. Zylinder:

V = r² n h .

M = r re s ;    0 = r n (s + r) ;

— ]/r² -f- h²; V = — r² n h .

Sätze über Polyeder. 11. Pyramidenrumpf:

V = |(G+yGG~ + G₁).

12. Kegelrumpf:

M = (r + rx) jt s = 2 p n h (p Mittellot zur Mantellinie bis zur Achse);

Y=

7i h

13. Prismatoid:

Y=

— (rü + ri^+r?) .

^-(a+^ + 48).

14. Schief ab geschnittenes dreiseit. Prisma:

Y=Q •

a ~j~ b -f- c

15. Kugel:

Kugelzone: 0 = 2 Rjrh ;

4 R³jt

0 = 4R²tz ; Y-

Kugelabschnitt:

^(3r* + 3r? + h²);

0 = 2Rjzh = (r² + h²)ji ; Y=^(3r2+y)=^(3R-h);

¹

Vgl. hierzu: Martus, Maxima und Minima, Berlin 1861,

Kugelausschnitt: Y=

f R²*h;

Kugelkeil: Y

7CW-(X°

270°

Ellipsoid: y Trabe;

Drehungsellipsoid: Drehungsparaboloid: Y=^-r²7th;

4

— 7i a b² (2 a Drehachse);

Abgestumpftes Drehungsparaboloid:

Y=

-1»(R* + r*)h

Wulst:

(R, r Halbmesser der Endflächen, h Höhe); Y= 2 ji² R r² ;    0 = 4^²Rr

(r Halbmesser des gedrehten Kreises, R Abstand seines Mittelpunktes von der Drehachse);

Schief abgeschnittener, gerader Kreis-

Zylinder: Y= jrr²^^^² •

; M=jrr(h₁+h₂) (hx kürzeste, 1^ längste Mantellinie); Zylinderhuf: Y=^- [a(3r²—a²) + 3r²(b—r) <p];

2 rh

M = -y"[(b-r)Y + a]

(h längste Mantellinie, 2 a Hufkante, b Länge des Lotes vom Fußpunkt von- h auf 2 a, 2 cp Länge des Bogens bezogen auf den Halbm. 1).

16. Q-uldins Sätze, a) Die Oberfläche einer Drehfläche ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie und dem Wege des Schwerpunktes derselben.

Besteht die Erzeugende 1 aus den Teilen li, \, 1₃ ..., deren Schwerpunkte die Abstände s1? s₂, s₃ ... von der Achse haben, während der Abstand des Gesamtschwerpunktes der Erzeugenden s ist, so ist

⁸1 — si li + s₂1* + s₃1₈ + ...

b) Der Inhalt eines Drehkörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der erzeugenden Fläche und dem Weg des Schwerpunktes derselben.

Zerlegt man die erzeugende Fläche i in die Teile ilf i^, ig ... und sind die Achsenabstände der Schwerpunkte der ganzen Fläche und der Teile s, st, ß₂, s₃ ..., so ist si = s₁i₁ + s₂i₂ + s₃i₈4- ...

17. Regelmäßige Körper. R Halbmesser der umbeschriebenen, r derjenige der einbeschriebenen Kugel, a Kante.

0 = a²/3 ;

Tetraeder:

Würfel:

B-y/3;

Y=a⁸.

0 = 6 a² ;

Oktaeder:

B—l#;

0 = 2 a²]/3 ; Y=y/2. Dodekaeder: E = -^-(l +/s)/§ ;

actg36⁰cos36°;

r_ a j/50 + 22/5

0 = 3 a² y 5 (5 + 2/5) ;

12 F« r

—---4 F • r (F Seitenfläche)

a³

= — (l5 + 7/5) = 5a⁸etg²36°co636⁰.

R = j/2 (5+1^5) ; _ al/7 + 3/I

Ikosaeder:

a 3+/5

2 r 6

2 acos²36°

f3

12

0 = 5 a² /3 5 20-F-r

5a'(3+V5)

10 a¹

Ebene Trigonometrie.

1. Goniometrie.

§ 46. Funktionen einfacher Winkel.

1. Erklärung der Funktionen, a) Am rechtwinkligen Dreieck (a Hypotenuse, b und c Katheten).

o I er

sin/J = ^;    tg/?=    ;

cosß = ~; ctgß=~;

cosec ß —

sec ß = — . c

b) Am Koordinatensystem (r Fahrstrahl, x und ▼ Abszisse und Ordinate).

sin<x = cos (x = — ; ctg (x =

Der sin hat das Vorzeichen der Ordinate der cos das der Abszisse, tg und ctg haben gleiches Vorzeichen.

c) Vorzeichen in den vier Quadranten:

sin cos tg ctg

I.

II.

III.

IV.

0/

-jr

2.

— oc

3 R + oc

4nR-j-sc

sin II — sin oc

cos oc

+ sin oc

— cos oc

sin (-j- oc)

cos

cos oc

+ sin oc

— cos oc

+ sin oc

cos(+dx)

tg

— tg«

Tctg«

±tg«

-F ctg«

tg(±«)

ctg

— ctg oc

+ tg«

±C tgoc

Ttg«

ctg(+«)

3. Grenzwerte und besondere Werte:

0°

360°

90° 180° 270° 45°    30°    60°

sin

10-1

cos

0-10

H |(M H |(M

tO| H-

tg

+ oo 0 +oo

M-

Ctg + oo

0 +oo 0

tH

^ m ie

rH lod rH I CO r~*^

r—I I CQ

CO| i-* o?|    ^

4. Zusammenhang der Funktionen: sin²« -f- cos²« — 1

tg« =

ctg« tg « • ctg « = 1 1+tg²«

sin « 1

cos «    ctg «

cos «

sin « tg «

cos²«

1 + ctg²«

sin²« *

Bürkien, Formelsammlung.

tgdX

sin <x

cos oc ctg<x

sin & =

yi—cos²^

tgocj

yi + tg²oc

costx =

]/l—sin²^

yi+tg²^

ctg dX

/l +ctg²<x

tgtf =

sin<%

yi—sin² dX yi-cos²öc

cos dX

ctg dX

ctgdX =

yi—sin²dx

COSdX

sin dx

yi—cos²dx

tgdX

l?

(S

:*>

\\

oc

rcc

cc

cc

H-sUt*a

cos cc

ctg ec

§ 47. Funktionen zusammengesetzter Winkel.

1.

sin (« ± ß) = sin « cos ß ± cos « sin ß cos (« ± ß) = cos« cos ß + sin « sin ß

»)

tg«±tgß

1 + tg « tg ß

ctg (« ± (?)

_ ctg « ctg ß + 1 ctg ß± Ctg«

b)

«)

d)

ft)

b)

Funktionen zusammengesetzter Winkel.

sin « — 2 sin ~ cos ^

sin 2« — 2sin« cos« ;

cos 2«

cos²«

•53

o

CD

Im

BJ

tg 2 a

2tg«

1 — tgaa

tga

. 2tgf

ctg 2« —

ctg²« —1

2 ctg «

ctg «

l-tgaf

ctg² ^ — 1

2ctgf

2 cos¹ « = 1 + cos 2 « ;    2 cos²

2 sin² (x — 1 — cos 2 <x ;    2 sin²

tg«

1 — cos 2 (x

sin 2 <x

= 1 + COS «

= 1 — cos «

1 — cos 2 «

1 + cos 2«    1 + cos 2 «

sin 3 « = 3 sin « — 4 sin⁸« cos 3 (x — 4 cos³« — 3 cos « .

sin 2 x

2. Umformung von Summen und Differenzen, sin a + sin ß = 2 sin " ^ ^ cos -

. a — 8

8m g

a-ß

«~ß

sin « — sin ß = 2 cos cos « + cos ß = 2 cos

cos « — cos ß = — 2 sin

cos « 4- sin « — V2^ sin (45° + «) cos « — sin « — Y?T- cos (45° + «) 1 +tg«

1 —tg« ctg « +1 Ctg « —

cos

« + ß . « —ß

g*8m g '

= tg (45« + a)

j — ctg (45° — a) .

c)

ctg <x + tg<x

sin 2 « ctg « — tg -x — 2 ctg 2 « .

1.

II. Das Dreieck etc.

8 48. Formeln über das schiefwinklige Dreieck.

«+1+L

2 2 2

sin (ß -f y) = sin (2 R — <x) = sin oc cos (ß + y) = cos (2 R — <x) = — cos #

ß y

cos r ----- cos

_sto(E_«)_cos|

M)=

. Ä sm2‘

2.

(Höhensonne!.)

a: b: c = sin <x: sin ß: sin /. (Sinussatz.) a sin ß = b sin oc = h" b sin 7 = c sin ß = h c sin = a sin y = h'.

2r

(Sehnenformel.)

sin <x sin ß sin y a = 2r sin <x b = 2 r sin ß c— 2r sin y .

a = b cos y + c cos ß b — c cos oc + a cos y (Projektionssatz.) o ----- a cos + b cos a .

Formeln über das schiefwinklige Dreieck.

101

4.

a-fb

a —b , (x — ß tg 2

(Nepersche

Gleichungen.)

fjr

5.

(b + c) sin J = a cos (MoUweidegche

(b-c)cosJ = asinto Gleichungen.)

1.

6. Pythagoreischer Lehrsatz für das schiefwinklige Dreieck: a² = b* -f ca — 2bv cos <x .

Folgerungen:

2.

a² =

a + b + c=2s — a + b + c= 2(s — a)

(b + c)²-4bccos²|

(b —c)² + 4bcsin²|.

L    2

a — b + c= 2(s — b) a + b — c = 2(s — c) .

3. sinf

-V

4.

* 1 /

cos — — 1/

2    bc

2 /----

sin # = — y s (s — a) (s b) (s — c) .

(s-b)(s —c)

8 (s — a)

bc

5.

tg

toi £

-y

(s-b) (s-c) p

s (s — a)

7. Inhalt, In- und Ankreishalbmesser.

2 J = a b sin y = b c sin <x = c a sin ß .

ab c 4r

1.

2.

J = 2 r² sin <x sin ß sin y =

cd 's#

px

J =— ys (s — a) (s — b) (s — c)

= e-s = 5i(s —a) = e2(s-b) = es(s-c).

6’Qi’6t •& = J2-

e = (s —a)tg| = (s — b)tg| = (s-o)tg|

, «

ß.

e₈ = Btg|.

6.

o = 4r sin — sin — sin—

* 2 2 2

. <x ß y s = 4rcos —cos-^cos-^.

§ 49. Berechnungen.

I. Das rechtwinklige Dreieck, (a Hypotenuse.)

1. Gegeben a, ß.

b = a sin ß ;

Berechnungen.

103

2.    Gegeben b, ß.

b

a sin ß ’

3.    Gegeben a, b.

4.    Gegeben b, c.

a~iiX~5X;

2J = bc = abcos/? = absiny = b²tgy .

c = b ctg ß .

a’

c = a cos/? = b ctg/?; c =ya² — b².

II. Das gleichschenklige Dreieck.

1.    Gegeben b, ß.

a = 2 b cos ß;

2.    Gegeben a, ot.

b==ö~“5;

2 cos ß

3.    Gegeben a und b.

h = b sin ß .

h=2tg/?‘

cos /? = — / n = bsin/? =

CO I 8=

tSß=y

a*

b²—-

a²

J == b² sin a = — tg /? .

in. Das regelmäßige Vieleck.

a . 180°

—: sin--

2    n

1. Gegeben a.

180°

^2Ctg—⁵

na² 180° — ctg-.

4 n

a ----- 2 r sin

2. Gegeben r. 180°

180° —;

T nrs . 360°

J --- —- sm-

2    n

p ----- r cos

3. Gegeben q.

Sektor -----

IV. Segment.

t²jzoc° r²

3600

— — arc (X .

r²

r² (noc° Segment»-|.₁₈₀₀

\ r2

sin aJ = — (arc oc — sin <x) .

V. Das schiefwinklige Dreieck. 1. Gegeben a, ß, y.

tx = 180°-G8 + y);

2. Gegeben b, c, ex. R-2

ß+r

v a sin ß sin<x '

oder:

a sin y o-------—- .

sin ec

fl-y_b_c /?+r

tg 2 b + c g 2

ß±y ,ß—r

2^2

x._fi+y ß-v

⁷ 2 2

b sin (X

^ c — b cos (x

b sin (X c — b cos oc

sin ß

cos ß

bsina sin ß

(=yb²+c²— 2bc-cos&)

Berechnungen.

105

3. Gegeben a, b, c.

1.    J = /s (s — a) (s — b) (s — cj .

2.    q = —.    (2 s = a -j- b -{- c) .

*\

if

<4

S-G

Proben:

1. (s — a) + (s — b) + (s — c) = s .

, . * , ß ,

8/ % 2#tg 2*tg

- + ~ + -2 2^2

4. Gegeben a, b, ß.

a) b > a.

* =A> *

to|^

2.

3.

ßinoc

= Q.

--900.

asin ß

oc < 90° •

y = 180⁰-(a + 5).

3.

b) b<a;

b sin y a sin y sin/? sin <x

asinß

sin oc —

hierbei x und 180° — oc brauchbar, daher 2 Werte für c:

c₂ = acoSjß — bcoea .

| 60. Das rechtwinklige sphärische Dreieck.

L Formeln (a Hypotenuse).

1. cos a = cos b cos c .

2.    cos a = ctg ß ctg y .

3.    cos/? = siny cosb ;

,    . Q sinb

4.    sind -----—- ; sma

5. cos/? = ^^-; tga

cos y = sin ß cos c . sine

sin v ------— .

sma

tgb

cos y ---- -— . tga

tgc

7. Nepers RegeL Der cos irgend eines der wie nebenstehend angeschriebenen Stücke ist gleich dem Produkt der sin der getrennten und gleich dem Produkt der ctg der anliegenden Stücke.

/3

Hierdurch können die Formeln 1—6 mechanisch abgeleitet werden.

90?Ö

II. Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks. 1. Gegeben a, b. cosa cos b '

cos c =

tgc

sinb '

2. Gegeben b, c.

cos a = cos b cos c; tg ß = 3. Gegeben a, ß.

ctgy ----- cos a tgß . tgc = tgacos/? ;

tgb .

tgc

sine

""-Sb-

tg b = tg a cos y .

4.    Gegeben b, ß.

sin a = (zwei Werte für a). sin/?

ctgy = cos a tg ß ;

5.    Gegeben b, y.

tg c = tg a cos ß .

, tgb

tga =-;

cos y

tgc=sinbtgy; cos/?=cosbsin y.

6. Gegeben /?, y.

cos a = ctg/? ctg 7; cos b

cos /? sin y ⁷

cos y cos c = -r-~. sin /?

Sind ß und y gleichartig, so muß

Determ.

^ + y>90° und <270° sein; sind /? und y gleichartig, so muß ß — y oder y —ß< 90 (s. 43, 13c,d).

un-

sein

n.

§ 51. Das schiefwinklige Dreieck. A) Formeln.

cos a ----- cos b cos c + sin b sin c cos a cos b = cos c cos a + sin c sin a cos ß cos c — cos a cos b + sin a sin b cos y ' sin a: sin b : sin c ----- sin <x : sin ß: sin y ; sin a sin ß ----- sin b sin <x ----- h" sin b sin y ----- sin c sin ß —b . sin c sin cc — sin a sin y = h'

a, b,c, «; Kosinus satz.

a> b, <x, ß\ Sinussatz.

DL

sin a cos/? = cos b sine—sinbcosccosa ; a, b, c, oc,ß;

sin a cos y = cos c sin b — sine cos b cos oc;

sin b cos y =coscsina—sinccosacos/? ;

sin b cos <%=cosasine—sinacosccos/? ;

sin c cos tx=cos a sin b—sin a cos b cos y ;

sine cos/? = cos b sin a—sinb cos a cos y .

b + c

IV.

sin ~ sin

4

(x . b cos — sin —

cos

cos

tgb+c

V.

VL

+4 a, b±c,ß±y;

ß + y

sin — cos

2"609 ¥8i“ 2

C08 ± sin ttl Gleichungen.

cos

c

- = sin

COS

COS

, b—c . a

**—= tsy

. ß — y

am2~

, «

Ctgy.

cos

cos

Delambresche

bzw.

GauBsche

a, b+c, ß+y, ß—y a, ß+y, b+c, b-o

Kepersche

Gleichungen.

tg 2

. (X

ctgy

. b —c sin 2

. b + c sm—2

smi=y

sin (s — b) sin (s — c)

sin b sin c

j Äj a, b, c.

(X 1/

cos-=l/

YHX

sin s • sin (s — a) sin b sin c

8 = ysin 8 sin (s — a) sin (s — b) sin (s — c) #, a, b, c .

(S Eckensinus.)

sin (x

28

sin b sin c

₌j/Bin(8

— a) sin (s — b) sin (s — c)

sin 8

sin (s — a)

. <x

ctg¥

* = a~}-ß + y — 180° (sph. Exzeß)

ax s — b , 8-c

-tg-g-tg-g

- )=]/

. 8 —bx 8 — 6

»H oi

^g 2 tg 2

(L’Huiliersche Gleichung.) Polarformeln.

mb)

cos(X = — cosßcos/-f-sinß sin/cosa; a,#,ß,y. Ib) < cosß = — cos/ cos#+sin/ sin#cosb cos / = —cos#cos/?+sin#sin/? cosc . sin#cosb=cosßsin/ -f sin/? cos/cos a ; a, b, sin(Xcosc=cos/sinß + sin/cosßcosa #, ß} y. sin ß cos c— cos / sin# + sin/ cos# cos b sin ß cos a=* cos # sin y+sin ex cos y cos b sin / cosa=cos# sin/?+sin# cos ßoosc sin/cosb—cosßsin# + sinßcos#cosc .

45°—

IX b)

*4-4)=

, O o — oc

tg¥<g —

₀, D a b o = 2 tgRcos —cos-cos —

(x -j~ ß -j- y — 2 (X >

27 --- K— cos ö cos (<x—ä) cos (ö—-p)cos(<x—y);

YTTb)

sin a

2 27

sin p sin y

sind

2 27

sin y sin <%

sin c

227

sin <x sin ß '

k'

_~j/cos (<x — «) cos (<x — ß) cos (<7 — y)

!    — COS ö

Mb)

COS {ö — «)

k'

COS (tf — P)

cos (a — y)

d = 360 ⁰ — (a + b + c) (sphär. Defekt); . d°

*4 =

k'

^1=

k'

X. Sphärischer Umkreishalbmesser R. sin a    sin b    sine

sin«    sin ß    siny

ctgR = k/ (s. Vlil).

XL Sphärischer Inkreishalbmesser q tg£ = k (s. Vlil).

XII. Inhalt des sphär. Dreiecks s. § 43₁₆.

1. Gegeben a, b, c.

B) Berechnungen.

1. a+b+o=2s,

s—a=.

s—b=.

2. k ans VUL

3.

ct° "2

ol sin (s — a)

Ctg2

ß sin (s — b) ^

y sin (s — c)

Proben:

1. (s — a) + (s — b) + (s — c) = s .

n 1 j OC    ß 1 V 1

²'t ■

2. Gegeben ol, ß, y.

1. 2 o=OL-\-ß-{-y ; a—&=..., o—ß=.

V aus VElb).

2.

a cos (a — a)

a-y = ...

usw. s. VUIb).

B. tg-

Proben:    1. (0— <x) + (0— /?) + (0—y) = a.

a b c 1

•iSä-teytej—p.

k'

2.

COS (7

3. Gegeben b, c, sc.

cos — cos

2.

sm|c°s ₂

OL . b —0

— sin-

2 2

cos

Z'

. a . b + c W V,)* sin-sm —

ß±r,ß-r

»- 2 _ff + y ß-y '    2    2

cos —

od.

(s. IV.), oder

4.

sin2

Z'

COS

N'

/? —y

sin —

COS

1.

2.

Ist nur a verlangt, dann dies aus L

4. Gegeben /?, y, a.

. a ß —

8m2°0B_2_

cos — cos

c ^2^-2

Z'

3.

a . /H-y N'-c°s_sm__

V b+c,b—C b“ —+ —

b+c b—c

4.

. <x Sm2

. b + c sm 2

oder

cos

(s. TV.), oder

Z'

N'

cos—

2    . b —c

sm 2

cos

Ist nur (x verlangt, dann dieses aus 1b.

Bürklen, Formelsammlung

5. Gegeben a, b,

Bmß

1.

sin b sin oc sina

2.

c a + b

^2ÄtgT-

oc ß cos——-

cos

Ot—ß

oder

Oi + ß

t a-b 8in-2 = t^ 2 *

. a-sm—-2

-/*

(S.V.).

3.

tg = Ctg    .

cos

co|>j

cos

a -f* b

. a — b sm 2

a+b'

sin —

Determination. Für ß ergeben sich aus L im allgemeinen zwei Werte. Bei der Bestimmung ist zu berücksichtigen, daß

wenn a

dann oc = ß ,

und a + b^l80°, dann oc + ß^ 180° (s. § 43, 13b und e).

6. Gegeben oc, ß, a.

1.

sin b

sin a sin ß sin a

2.

00

ckT

Ü |<M

S. 5, 2 .

Determination s. ebenfalls vorige Aufgabe. Anmerkung. Die Aufgaben 2, 4, 6 sind die Polarfälle zu den Aufgaben 1, 3, 5; ihre Lösung kann daher durch Übergang auf das Polardreieck auf die Lösung der Aufgaben 1, 3, 5 zurückgeführt werden.

Mathematische Geographie.

I. Beohachtungsmittel.

§ 52. Koordinatensysteme.

A)    Zenitlinie, Horizont.

1.    Zenitlinie = "Vertikallinie durch den Beobachtungsort; ihre Schnittpunkte mit der Himmelskugel heißen Zenit (Scheitelpunkt) und Nadir (Fußpunkt).

2.    Horizont (wahrer Horizont), die durch den Erdmittelpunkt senkrecht zur Zenitlinie gelegte Ebene; scheinbarer Horizont ----- Berührungsebene an die Erdkugel im Beobachtungsort; scheinbarer Horizont parallel dem wahren. — Horizontalkreise senkrecht zur Zenitlinie.

3.    Ost- und Westpunkt, Schnittpunkte des Horizonts mit dem Himmelsäquator (s. B); Süd- und Nordpunkt je um 90° vom Ost- und Westpunkt abstehend, Mittagslinie verbindet diese beiden.

4.    Vertikalkreise (Höhenkreise), Schnittkreise der durch die Zenitlinie gelegten Ebenen mit der Himmelskugel, sie sind senkrecht zum Horizont; erster Vertikal geht durch Ost- und Westpunkt.

B)    Weltachse, Äquator.

5.    Weltachse, verlängerte Erdachse, Drehungsachse der Himmelskugel; Weltpole (Nordpol, Südpol) Schnittpunkte der Weltachse mit der Himmelskugel.

6.    Äquatorebene durch den Erdmittelpunkt senkrecht zur Weltachse.

7.    Meridiane oder Deklinationskreise, Großkreise durch die Weltpole, senkrecht zum Äquator; Hauptmeridian durch Zenit, durch Süd- und Nordpunkt.

8.    Polhöhe = Neigungswinkel der Weltachse gegen den Horizont. Äquatorhöhe --- Neigungswinkel der Äquatorebene gegen den Horizont.

Polhöhe = geographische Breite.

Die Polhöhe hp wird bestimmt durch Beobachtung der Äquatorhöhe ha zur Äquinoktialzeit, hp = 90°— ha oder als arithmetisches Mittel aus oberer und unterer

Kulminationshöhe eines Zirkumpolarstemes. — Aus der Polhöhe erhält man die geographische Breite.

9.    Sichtbare Sterne für einen Ort von der geographischen Breite cp sind diejenigen, deren Abstand vom sichtbaren Pol <180°—cp, vom unsichtbaren > cp ist

10.    Zirk umpolar st er ne, Abstand vom sichtbaren Pol < cp .

C) Ekliptik, Achse der Ekliptik.

11.    Ekliptik ----- scheinbare jährliche Bahn der Sonne, Ebene der Erdbahn.

12.    Schiefe der Ekliptik ----- Neigung der Ekliptik gegen den Äquator; sie ist veränderlich, für den Anfang des Jahres 1904 28° 27' 6".

13.    Achse der Ekliptik ----- Lot im Erdmittelpunkt auf der Ekliptik; Endpunkte dieser Achse Pole der Ekliptik.

14.    Tag- und Nachtgleichepunkte — Schnittpunkte der Ekliptik mit dem Äquator, Frühlingsäquinoktium (Frühlings- oder Widderpunkt Y) und Herbstäquinoktium; Sonnenwendepunkte oder Sol-stitien stehen von den vorigen je um 90° ab.

15.    Breitenkreise, Großkreise durch die Ekliptikpole, jL zur Sonnenbahn.

g 53. Lagebestimmung.

1. System A. — Grundpreise: Hauptmeridian und Horizont.

Höhe h gezählt auf dem Vertikalkreise vom Horizont aus, 0°—90° nördl. oder südl.

Azimut a (A) gezählt auf dem Horizont vom Südpunkt aus über W, N, 0 von 0° — 360°. Ermittlung dieser Koordinaten durch den Theodolit, Höhe auch durch den Sextanten und annähernd durch Schatten-

länge (tgh = l) .

2. System B.

a)    Deklination ö, nördlich (+) oder südlich (—), sphärischer Abstand des Sterns vom Äquator; Poldistanz 90° — <5.

Stundenwinkel t ----- Äquatorialbogen zwischen Meridian des Beobachtungsortes und Meridian des Sterns, gezählt von dem ersteren aus von 0°— 360° überW und N (wie das Azimut); statt Gradzählung auch Stundenzählung (15° = 1 St.) ringsherum 0—24h, oder nach beiden Seiten.

Messung durch Äquatoreal.

Rektaszension oc (A. R.), gezählt im Äquator vom Frühlingspunkt (Y) aus, entgegengesetzt demSinn der täglichen Bewegung der Sonne von 0°— 360°.

Steinzeit & ----- Stundenwinkel des Frühlingspunktes, z.B. lh Steinzeit, wenn Stundenwinkel des Frühlingspunktes 15°.    @ —1= <x .

b)    Deklination <3, wie in a, und

Messung mit Passage-Instrument und Uhr nach Steinzeit

3.    System C.

Breite ß nördlicher oder südlicher Abstand des Sterns von der Ekliptik, gezählt von der Ekliptik aus.

Länge A, Bogen der Ekliptik zwischen Frühlings-punkt und Breitenkreis, gezählt vom Frühlingspunkt aus im Sinn von oc, von 0°—360°.

4.    Sternbilder.

Die zwölf Sternbilder des Tierkreises sind:

Widder

Schütze

Steinbock

Wassermann

Fische

Stier

Zwillinge

Krebs

Y Löwe bl Jungfrau II Wage Q Skorpion

§ 54. Die Zeit.

1.    Sterntag ä 24 Sternstunden ----- Zeit zwischen zwei oberen Kulminationen eines Sterns, ----- Zeit einer vollständigen Umdrehung der Erde. 0h Sternzeit, wenn der Frühlingspunkt im Meridian; Dauer eines Sterntags 23,935h — 23h 56m 4e m. Z.

2.    Mittlerer Sonnentag ----- bürgerlicher Tag, — Zeit zwischen zwei Kulminationen der gedachten, im Äquator mit gleichförmiger Geschwindigkeit laufenden Sonne.

3.    Zeitgleichung — Differenz zwischen mittlerer und wahrer Zeit.

4.    Tropisches Jahr = scheinbare Umlaufszeit der Sonne, von Y Punkt zu Y Punkt ---- 365,2422 m. T. ---- 365 T. 5h 48m 46° m. Z. = 366,2422 Sterntage.

5.    Siderisches Jahr = wirkliche Umlaufszeit der Erde von Fixstern zu Fixstern = 365,2564 mittl. Tage --- 365 T. 6h 9m 11° m. Z. --- 366,2564 Stemtage.

6.    Siderischer Monat ----- Umlauf von Fixstern zu Fixstern --- 27,32 Tg.

7.    Synodischer Monat ----- Zeit von Neumond zu Neumond (d. h. von Sonne zu Sonne) 29,53 Tg.

8.    Astronomische Jahreszeiten.

Beginn des Frühlings am 21. März, Sonne im Äquator, im Y Punkt, Tag- und Nachtgleiche.

Beginn des Sommers am 21. Juni, Sonne im Wendekreis des Krebses, längster Tag (Sommersolstitium). Beginn des Herbstes am 23. September, Sonne im Äquator, Tag- und Nachtgleiche.

Beginn des Winters am 22. Dezember, Sonne im Wendekreis des Steinbocks, kürzester Tag (Wintersolstitium).

II. Das Sonnensystem.

§ 55. Die Erde.

A) Gründe für die Kugelgestalt

1.    Erscheinungen infolge der Ortsveränderungen auf einem Meridian oder einem Parallelkreis.

2.    Schattenform bei Mondfinsternissen und die Ge

stalt der andern Himmelskörper.

3.    Depression des Horizontes.

4.    Umschiffungen der Erde in verschiedenen Bich

tungen.

5. Ergebnisse der Gradmessungen.

B) Gründe für die Rotation.

1.    Ablenkung der Luftströmungen.

2.    Östliche Abweichung fallender Körper.

3.    Foucaultscher Pendelversuch.

4.    Rotation anderer Weltkörper.

5.    Abplattung der Erde (¹/₂₉₆ bis ¹/₃₀₀)-

§ 56. Planeten, Sonne und Mond.

u Anzahl

der

Tra

banten

Umlaufszeit

88 T.

224a/₃ T.

365'/« T.

1 J. 322 T.

3—9 J.

11 J. 315 T.

29 J. 167 T.

84 J. 7 T.

164 J. 280 T.

Rotations

dauer

88 T.

L ’IMZ,

24V?

nOI

10¹/?

12h?

Masse

0,06

0,81

0,105

311

93,4

14,4

16,7

326800 25,19 T.

27,32 T.

SIO‘0

Dichte

1,173

0,807

(** I

0,711

0,242

0,13

0,195

0,300

0,253

0,615

Mittlere

Entfernung

von

der Sonne

0,39

0,72

l*)

1,52

2,2-4,3

5,20

9,54

19,19

30,11

60,3 Erd-halbm.

Äqua

torial-

halb-

messer

0,373

0,999

=) i

6378,3 km)

0,53

11,06

9,299

4,234

3,798

108,56

0,273

--a

| & Merkur $ [| g Venus Q

Erde 5

ui

g g Mars 3 A Planetoiden

Jupiter 2s.

9 p Saturn t>

Uranus 6

Sonne

Mond

io

§ 57. Weltsysteme.

1.    Ptolemäisches System. Die Erde ist Mittelpunkt des Weltalls, um sie bewegen sich Mond, Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter, Saturn. Unregelmäßigkeiten in der Bewegung werden durch Epizykeln erklärt.

2.    Kopernikanisches System. Die Sonne steht still, um sie bewegen sich Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn in kreisförmigen, exzentrischen Bahnen.

3.    Keplers Gesetze.

1.    Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2.    Der Planet bewegt sich so, daß der Leitstrahl in gleichen Zeiten gleiche Flächen beschreibt.

3.    Die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Achsen.

§ 58. Berechmmgsanfgaben.

1. Flächeninhalt J einer Zone zwischen den geographischen Breiten cp± und <p₂:

J = 2 r n h = 2 r n (r sin cpx — r sin <p₂)

= 4 r² 71 cos

V1 + V2 —    .

der Teil dieser Zone, der von den Meridianen zur Länge ^ und ^ begrenzt wird, ist

vi + v* Ginvi —V2

4 r² n cos

T _ (^1    ^)0

360°

(Berechnung des Inhalts von Kartenblätterm)

2. Kimm und Kimmtiefe. — Kimm ----- Kreis, welcher den scheinbaren Horizont begrenzt (Halbmesser a == Sehne ----- Bogen); Kimmtiefe (oc/r) == Winkel zwischen dem SehstraM nach der Kimm und der Horizontalen, Höhe des Beobachtungspunktes h.

1.

n „ 180 - 60 - 60" 2. <x":-

a==]/2rh,    _

71

=a:r oder <x"=j/-^ • 206265",

hierbei ist von der Strahlenbrechung, welche a vergrößert und a verkleinert, abgesehen.

3.    Beziehungen zwischen den Koordinaten der Systeme A und B (s. § 51). In dem Dreieck Zenit - Pol - Stern sind die Seiten ZP = 90° —<p, ZS = 90°-h, PS--900 —ö; die ZS und PS gegenüberliegenden Winkel sind t (bzw. 360° — t) und 180 ⁰ — a. Aus den Formeln I—HJ des § 51 folgt, wenn

1.    a und h gegeben, t und <5 gesucht (cp ist als bekannt vorausgesetzt):

sin 3 == sin h sin cp — cos h cos cp cos a - cos S sin t = cos h sin a (cos d cos t = sin h cos cp + cos h sin cp cos a).

2.    t und d gegeben, gesucht a und k sin h = sin d sin cp + cos & cos cp cos t

- cos h sin a == cos d sin t (cos h cos a = — sin d cos cp + cos d sin cp cos t) .

4.    Parallaxe; Entfernung eines Gestirns.

a) Höhenparallaxe p= Winkel, unter welchem vom Gestirn aus der zum Beobachtungsort gehörige Erdhalbmesser r erscheint, ----- Unterschied der Höhenwinkel über dem wahren und über dem scheinbaren Horizont p = h'—h;

die Entfernung E des Gestirns ist dann

rcosh sinp

b)    Ist das Gestirn im Horizont, dann heißt p die Horizontalparallaxe (jr),

R = -A-.

sm n

Ist der in Frage kommende Halbmesser ein Äquatorhalbmesser, so heißt p die Äquatorial-Horizontalparallaxe.

c)    Bei Fixsternen ist die Parallaxe des Erdhalbmessers (tägl. Parallaxe) verschwindend; man benützt für sie die Parallaxe des Erdbahnhalbmessers, die jährliche Parallaxe; sie ist bei keinem Fixstern über 1".

d)    Die Parallaxe des Mondes kann aus direkter Beobachtung ermittelt werden; die Horizontalparallaxe beträgt für denselben im Mittel 57' 2,5".

e)    Die Parallaxe der Sonne ist zur Bestimmung durch direkte Beobachtung zu klein; die mittlere Äqua-torial-Horizontal-Parallaxe kann gefunden werden aus den Marsoppositionen und dem dritten Keplerschen Gesetz (aus der Parallaxe des Mars zunächst seine Entfernung d = R₁ —B von der Erde, dann folgt aus

=    =    :fö),

oder durch die Methode der Venusdurcügänge, oder aus der Messung der Parallaxe eines Planetoiden (z. B. Flora); ihr Wert ist etwa 8,85".

f)    Außer vermittels der Parallaxe kann die Entfernung der Sonne noch durch andere Mittel gefunden werden, insbesondere aus der Geschwindigkeit des Lichts und der Zeit, welche dasselbe braucht, um von der Sonne zur Erde zu gelangen (Verfinsterung der Jupitertrabanten).

5. Auf- und Untergang der Gestirne, Tageslänge. Aus § 58^2 folgt für h = 0

cos t₀ = — tg d tg p .

Die Tageslänge ist gleich dem doppelten Stundenwinkel t₀ (für h = 0) der Sonne. Ergibt sich aus <5 und p z. B. t₀ = 120° = 8h, so ist die Tageslänge 16h.

Für Morgen- und Abendweite w (Bogen zwischen Ost- und Ausgangspunkt, bzw. zwischen West- und Untergangspunkt) ist

sin w =

sin <5 cos p '

Für das Azimut a₀ des Ausgangspunktes ist

sin d cos cp

6. Entfernung e zweier Punkte (Aly pt] ^, 9?₂) auf der Erdoberfläche

cos e = sin p₁ sin p₂ + cos p₁ cos p₂ cos — X₂) . Liegen beide auf demselben Meridian, dann ist e = <Pi — (P2 •

Liegen sie auf demselben Parallelkreis, dann ist <^i =    = 99 und daher

. e' . h—h

sin — = cos cp sin —-.

Analytische Geometrie.

I. Geometrie der Ebene.

§ 59. Änderung des Koordinatensystems.

x, y Koordinaten, OX, OY Achsen des ursprünglichen Systems, s⁷, / Koordinaten, OX', OY' Achsen des neuen Systems, a, b Koordinaten des neuen Ursprungs.

1.    Parallele Verschiebung der Achsen: x=r a + x7 y = b + y'.

2.    Drehung eines rechtwinkligen Systems um den Ursprung um den Winkel <p:

x «= x' cos (p — y sin cp y = x'sin<p-f-y/cos<p.

3.    Verschiebung und Drehung jeder Achse (Änderung des Winkels zwischen den Achsen):

x = a-f

x? sin (X'Y) + y' sin (Y'Y)

sin(XY)

y=tH

x' sin (X'X) -f y sin (YsX)

sinfYXj

§ 60. Allgemeine Sätze.

1.    Der Grad einer Gleichung wird durch Verwandlung des Koordinatensystems nicht geändert.

2.    Die Bedingung dafür, daß der Punkt mit den Koordinaten x₁, yr auf der Linie liegt, deren Gleichung F(i, y)=0, ist F(x₁,y₁) = 0.

3.    Die aus den beiden Gleichungen F(x, y) = 0 und f (x, y) = 0 sich ergebenden Werte von x und y sind die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden durch jene Gleichungen dargestellten Linien.

Setzt man in F(x, y) = 0 für y den Wert Mull, so ergeben sich aus der erhaltenen Gleichung die Abszissen der Schnittpunkte der betreffenden Linie mit der X-Achse; aus x — 0 ergeben sich die Ordinaten der Schnittpunkte mit der Y-Achse.

4.    Ist k ein Zahlenfaktor, so stellt

F(x, y) + Af(x, y) = 0

die Gleichung einer Linie dar, welche durch die Schnittpunkte der durch F(x, y) ----- O und f(x, y) = 0 dargestellten Linien geht.

Linie erster Ordnung,'gerade Linie.

§ 61. Grleichnngsformen. Lagebeziehnngen.

Es seien a und b die Abschnitte der Geraden auf den Achsen (Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen), <p der Winkel der Geraden mit der + X-Achse, p die Länge des Lotes vom Ursprung auf die Gerade, tx der Winkel, den p mit der + X-Achse bildet.

Ax + By + C = 0 ,

y = mx + b ,

1. Gleichung der Geraden²): erste allgem. Form zweite

dritte

vierte

x cos « -f- y sin n — p ----- 0

(Normalform).

Symbolische Abkürzung der Gleichung für die allgemeine Form L = 0 , für die Normalform

Achsenabschnitte:

Winkel mit der X-Achse bestimmt durch

toi o

tg<p = — — = m = —

= — Ctg (X .

2. Besondere Fälle:

Ax-j-By=0

x=a Gleichung einer Geraden || zur Y-Achse, y=b Gleichung einer Geraden || zur X-Achse, Gleichung einer Geraden durch den Ursprung,

y=mx

y=0 Gleichung der X-Achse, x=0 Gleichung der Y-Achse,

0• x + 0*y+C = 0 Gleichung der co fernen Geraden.

3.    Gerade durch Punkt (x1? yx):

A (x — Xi) + B (y — yx) = 0 , oder

y yi = m (x xi)

(x — xt) cos a + (y — Yi) sin ac = 0 (durch ein veränderliches m, bzw. oc erhält man ein Strahlenbüschel).

4.    Gerade durch zwei Punkte (xx, yx), (xg, y₂):

J — Ji

oder

y~yi

72 ~~ Ji

(* —*l)

oder

X— x₂

y₂-yi *2—*i

oder

x₂ Xi

oder (xx —x₂)y —(yx —y₂)x=x₁y, —x^

x    y 1

xi    yi i ---y₂1

(Zugleich Bedingung dafür, 0 . daß drei Punkte in gerader Linie liegen.)

Gerade durch den Ursprung und Punkt (x1? yt):

xiy—yix = ° •

6. Zwei parallele Gerade:

Ax + By+ C = 0 oder Ax+By+C₁ = 0

x cos <x + y sin<x — x cos (X + y sin oc — px = 0 .

Zwei gerade Linien Ax+By+C=0 und x + Bx y + Ct= 0 sind parallel, wenn A.A^ = B:BX.

6.    Gerade durch Punkt (xn j±) parallel zu einer gegebenen Geraden.

Gegebene Gleichung:

Ax + By + C = 0 oder y = mx + b , gesuchte Gleichung:

A(x — x₁) + B(y — yx) = 0 oder y — yx = m (x — xt) .

7.    Zwei senkrechte Gerade:

Ax + By + C = 0 oder

Bx — Ay + C₁==0 oder

fy=mx+b \ y = m x + \ , oder -P = o

y=mx+b y = -^X + bl'

Die Geraden

Ax + By + C = 0 f und A₁x+B₁y+C₁=0 \ sind senkrecht, wenn A Ax + B Bx = 0

oder

y----- mx + b und y = m₁x+b₁

m m₁ + 1 = 0 .

oder

Gleichung einer Geraden, welche durch Punkt (x₁,y₁) geht und senkrecht zu der Geraden Ax+By+O —0 ist:

B(x — Xi) — A(y — yx) = 0 .

8. Drei Gerade Ax+By+C = 0, A₁x+B₁y+C1 = 0, A₂x+B₂y+C₂ = 0 gehen durch einen Punkt, oder eine Gerade geht durch den Schnittpunkt der beiden andern, wenn

ABC

A^C,

Ao BoC

d. h. wenn

A(B, C₂-B₂ Cx)+B (C, A₂ - C₂ Ai)+C(A₁B₂-A₂B₁) = 0 oder wenn die Zahlfaktoren A, X₂ sich so bestimmen lassen, daß

i (Ax + By -f C) + (At x + y + C₁) + 4 (A₂ x + B₂ y + C₂) = 0 .

§ 62. Größenbestimmnngen und -Beziehungen.

1. Koordinaten (x, y) des Teilpunktes P einer Strecke P₁P₂, Endpunkte (x₁,y₁), (x₂, y₂), [P₁P:PP2 A:l]:

m x₂ + n xiod’ ^ x2 X    m + n    1 + A

_my₂ + ny₁^y₁+ly2 ^    m+n    1+2

Sind m und n ungleichzeichig, bzw. ist X negativ, so liegt P außerhalb Fx P₂.

Für den Halbierungspunkt ist:

„ xi + x₂    Yi + y₂

2 ’ ⁷ 2

2.    Beziehungen zwischen den Koordinaten von vier harmonischenPunkten(x₁,y₁),(x₂,y₂), (fi,r7i)>(f₂^₂)"-

2 (xi x₂ + fi f₂) = (xi + X2) (fi + f2)

2 (Ji y₂ + Vi^) = (Ji + 72) toi + %) -

3.    Vier durch den Ursprung gehende Gerade

y = m₁x

y=nix

y = m₂x

y = n₂x

bilden ein harmonisches Büschel, wenn

2 (1% m₂ + ni n₂) ----- (mx + m₂) (nt + n₂) .

4.    Entfernung zweier Punkte (x1? yi), (x₂, y₂):

| e | = / (x₂ — Xi)² + (y₂ - yx)² .

Im schiefwinkligen System mit Achsen winke! co:

I e| = y(x₂ —Xi)² + (y₂—yj² + 2(x₂ - xx) (y₂ —yj) cos Cü.

5. Gerade durch Punkt (xv y,), welche mit der X-Achse den <£99 bildet:

y Ji — (x xi) % <p -

6. Winkel zwischen zwei Geraden L und L, bestimmt durch

¹

os² 36°.

²

Wenn sich eine der Gleichungen oder Formeln auf ein schiefwinkliges System beziehen soll, ist dies besonders bemerkt.

^s61-"">■

7.    Gerade, welche mit y = mx + b den <£<p bildet und durch Punkt (x,, y,) geht:

(x-xj.

y —yi =

m + tg<p 1 — m tg cp

8.    Abstand p des Ursprungs von der Geraden Ax-fBy+C = 0, oder y = mx + b:

p + /a² + B2 ±ym²+i’

das Zeichen wird so gewählt, daß p positiv wird.

9. Abstand e des Punktes (x,, y,) von der Geraden Ax + By-f C = 0, oder y = mx + b, oder x cos <x + y sin tx — p = 0:

Ax₁+By₁ + C_ yi — mxj— b

-j- y A² + B2 --- — (x, cos (X + y, sin oc — p) .

Das Vorzeichen der Wurzel wird so gewählt, daß für einen Punkt, der mit dem Ursprung auf derselben Seite der Geraden liegt, e positiv wird.

10. Entfernung e zweier paralleler Geraden (s. § 61₆):

_j_ym²+ 1

|e|

0,-0

0,-0

±)/A²+B² ±ym²+l

Pi-P -

11. Halbierungslinie des Winkels zweier Geraden:

Ax+By+C

oder

A.₁x + B₁y + C₁

ßj+¥2

VAf + B?

x cos (X + y sin oc — p = (x cos <x± + y sin ocx — px). Sind die Geraden gegeben durch die symbolischen Gleichungen 1 — 0, lx = 0, dann ist die Gleichung der Winkelhalbierenden

1 + 1X = 0.

12.    Inhalt J eines Dreiecks, aus den Ecken (xi, Ji), (x₂, y₂), (Xg, y₃):

1 xi yi 1    1

±J = T x2^¹    ='^[xi(y₂-y₈) + x₂(ys-y₁)

¹ x₃y₈l “    + xs (y,. - y₂)].

Liegen die drei Punkte in gerader Linie, so ist J = 0, vgl. § 61₄. Fällt (x₈, y₈) in den Ursprung, so ist

±J=y(xiy2-xayi) •

13.    Inhalt eines Vielecks aus den Koordinaten der Ecken:

±2J =x₁ (y₂ - jn) + x₃ (y₈—yi) + Xg (n — y₂) + • • •

+ xn(yi—yn-0 -

§ 63. Polargleichung der Geraden, r Fahrstrahl, cp Azimut, p Lot vom Pol auf die Gerade, Winkel zwischen P und der Polarachse.

1. Lot zur Polarachse:

r cos cp =* p .

2.    Parallele zur Polarachse:

r sin cp = p .

3.    Gleichung der Geraden:

r cos (99 — a) = p .

4. Zwei parallele Gerade:

r cos (cp — oc) = p r cos (cp — oc) = px .

6. Zwei Gerade sind senkrecht, wenn oc± — oc = R .

6.    Entfernung e zweier Punkte (9^, r₁), (<p₂, r₂):

e == ir? + *2 — 2 ri r₂ cos (<p₂ —    .

7.    Inhalt des Dreiecks CP₁P₂:

J — i-g-rir, sin

8.    Inhalt des Dreiecks P^ P₂ Pg:

J = ±4lri '2 sin (<p₂ — (Pi) + r2 r₃ sin («p₈ - <p₂)

+ rsT₁sm(<p₁-₍p₃)} .

9.    Bedingung dafür, daß drei Punkte in gerader Linie liegen:

rx r₂ sin (<ps — <pt) + r₂ r₈ sin (<ps — <p₂)

+ r₈r₁sin(₉7₁ —y₃) = 0 .

10. Gleichung der Verbindungslinie der beiden Punkte (<Pl> rl), (<P2, r2):

rt r₂ sin (<p₃ — <pt) + r₂ r sin (<p — <p₂)

+ rrx sin (9^ — <p) = 0 .

K 64. Strahlbüschel, Doppelverhältnis, projektivische Strahlbüschel.

(Abgekürzte Bezeichnung der Gleichung der Geraden.)

1. Strahlbüschel. Sind 1^ — 0, 1^ = 0 die Gleichungen zweier Geraden in Normalform, so ist die all gemeine Gleichung einer dritten Geraden (Teilstrahl), die durch den Schnittpunkt der beiden ersten geht

lx — A= 0 .

X ist das Verhältnis der von irgend einem Punkt des Teilstrahls 1₃ auf lx und gefällten Lote (Linusteilverhältnis).

sin (lt 1z)

sin(l₈y '

Ist der Zahlenfaktor X veränderlich, so ist durch die Gleichung ein Strahlbüschel dargestellt.

Sind die ersten Geraden durch ihre allgemeine Gleichung = 0, Lz ------ 0 gegeben, so ist die Gleichung

des Teilstrahls

Li — ^ 1*2 = 0 .

k unterscheidet sich von dem Verhältnis der Abstände durch einen konstanten Faktor.

2. Vier sich in einem Punkt schneidende Gerade können dargestellt werden durch die Gleichungen

ii = o

\—X₁\ = ö li X₂12 — 0 .

Das Doppelverhältnis (anharmonisches Verhältnis) (a, b, c, d) der vier Strahlen a, b, c, d ist

^ = (a,b,c,d)

sin (a c) sin (a d) sin (c b)' sin (d b)'

Satz: Wenn vier von einem Punkt ausgehende Strahlen a, b, c, d von einer beliebigen Geraden in den Punkten A, B, C, D geschnitten werden, so ist das Doppelverhältnis der vier Schnittpunkte konstant und gleich dem Doppelverhältnis des Büschels, d. h.

AC AD sin(ac) sin(ad)

CB: DB ⁼ sin (ob)' sin(db) '

Für einen gegebenen Wert des Doppelverhältnisses ist zu drei Strahlen der vierte eindeutig bestimmt.

Homogene Gleichung der Geraden.

CO

Das Doppelverhältnis des Büschels

^1    ^3-^2 — 0

li    A^ ^2 ==s 0    ist

1± — la = 0

li A₂1₂ ~ 0

^1    ^3 . ^1_^4

^2    ^3 ^2 ^4

3.    Harmonisches Büschel. Ist das Doppel-verhältnis der vier Strahlen = — 1, so ist das Büschel ein harmonisches; es ist dargestellt durch

11 = 0 I2 = 0

li —    1, = 0

1i + ^1₂ = 0.

Die Beziehungen in Nr. 2 und 3 gelten auch, wenn die Geraden durch Gleichungen von der Form — Ai Xi₂ = 0 usw. gegeben sind.

4.    Projektivische Strahlbüschel. Sind

Lx — A₂ Lg = 0 usf., Mj— 4M₂ = 0 usf.

Li Ai L₂ — 0,

Mi — Aj M₂ — 0, die Gleichungen der Strahlen zweier Büschel, so ist das Doppelverhältnis von vier Strahlen des einen Büschels gleich dem Doppelverhältnis der entsprechenden Strahlen des andern; solche Büschel heißen projek-tivisch.

Durch drei Paare entsprechender Strahlen sind die Büschel vollständig und eindeutig bestimmt.

§ 65. Homogene Gleichung der Geraden, trimetrische Punkt-Koordinaten.

Sind = 0, 1₂ — 0, lz ----- 0 die Gleichungen dreier nicht durch einen Punkt gehender Geraden, so kann die Gleichung jeder andern Geraden in die Form gebracht werden:

Ai li + A₂1₂ + A31₃ = 0 .

Hierbei können 11?    1₃ auch aufgefaßt werden

als Größen, die den Abständen eines Punktes der Geraden von den Seiten des Dreiecks, das von ll7 1^, 1^ gebildet wird, proportional sind (Dreieckskoordinaten). Jeder Abstand ist positiv oder negativ zu nehmen, je nachdem er gleich- oder gegenläufig ist zu dem von einem Punkt im Innern des Dreiecks auf dieselbe Seite gefällten Lot.

§ 66. Linienkoordinaten; Gleichung des Punktes; Punktreihe; projektivische Punktreihen und Strahl-büschel.

1.    Ist die Gleichung irgend einer Geraden

ux + vy+l=0 ,

so ist die Lage der Geraden durch die Konstanten u und v gegeben; sie heißen daher die Koordinaten jener geraden Linie oder Linienkoordinaten, u und v sind die negativen reziproken Werte der Abschnitte, welche die Gerade auf den Koordinatenachsen macht.

(i)

2.    Alle Geraden, deren Koordinaten einer Gleichung Au+Bv+C=0

genügen, gehen durch einen Punkt, dessen Koordinaten A    B

— und y ----- sind; die Gleichung (1) heißt all-

v    L

(2)

gemeine Gleichung des Punktes. Die Gleichung au + bv+l = 0 heißt die Normalform der Gleichung des Punktes.

3.    Eine Gleichung n-ten Grades in u und v stellt eine von Geraden eingehüllte Kurve dar; bestimmt man aus dieser Gleichung und der Gleichung eines Punktes die gemeinschaftlichen Werte von u und v, so ergeben sich aus denselben n Tangenten an die Kurve; diese heißt eine Linie n-ter Klasse. Die Ordnungszahl gibt die Zahl der Schnittpunkte der Kurve mit einer Geraden an, die Klassenzahl die Anzahl der Tangenten der Kurve, die durch einen bestimmten Punkt gehen.

4.    Sind 2 = 0 und 2^ = 0 die Gleichungen zweier Umhüllungslinien, so stellt 2¹ + A 2^ = 0 eine Umhüllungslinie dar, welche alle gemeinschaftlichen Tangenten von 2’= 0 und 2’₁=*0 berührt (vgl. § 60J.

5.    Sind U₁ = 0, U₂= 0 die Gleichungen zweier Punkte Pt und P₂, so ist

Ut — A U₂ — 0

die Gleichung eines Punktes auf der Verbindungslinie von Pi und P₂; ist X veränderlich, so hat man die Gleichung einer Punktreihe.

6. Doppelverhältnis. Sind

Ul—^1 U₂ = 0

Di — A₂ u₂ = 0

vier Punkte auf einer Geraden, so ist das Doppel ver-

JL

hältnis derselben ausgedrückt durch .

Ui — 0

U₂=0

Wenn X₁:X₂==— 1,

7. Harmonische Punkte, so sind die vier Punkte (von Nr. 6) harmonische Punkte; sie sind also dargestellt durch

u₁₌o

U₂= 0

Ut — AU₂=0

Ui+ ^ u₂ = 0 .

8. Projektivische Punktreihen. Zwei Punkt-reihen Ux— AU₂=0 und Vx — A V₂ = 0 sind projek-tivisch.

Eine Punktreihe Ux — A U₂ = 0 und ein Strahlbüschel Li — AL₂ = 0 sind projektivisch.

§ 67. Homogene Gleichung des Punktes, trimetrische Linienkoordinaten.

Sind Ux — 0, U₂ = 0, U₃ = 0 die Gleichungen dreier nicht auf einer Geraden hegender fester Punkte, so kann die Gleichung jedes andern Punktes in die Form gebracht werden:

Linien zweiter Ordnung (Kegelschnitte).

A) Der Kreis.

§ 68. Kurvengleichnng; Sekante, Tangente, Polare etc.

Koordinaten des Mittelpunktes (a, b), Halbmesser r.

1. Allgemeine Gleichung des Kreises:

(1). x² + y² + Ax + By + C = 0.

2. (2)

(x — a)² + (y — b)² ----- r².

a --- —

-|/A²+B²—4C .

Ist A² ----- 4 0, oder B² = 4 C, dann berührt der Kreis die X-, bzw. die Y-Achse; ist C = 0, so geht der Kreis durch den Ursprung. — Für die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen ist x₁ + x₂ = 2 a, 7i + y₂ = 2b .

(3)

3.    Der Ursprung ist Mittelpunkt: x² y² _ r² (Mittelpunktsgleichung).

4.    Mittelpunkt auf der X-Achse im Abstand r vom Ursprung:

y² — 2 n — x² (Scheitelgleichung).

5. Gleichung für ein schiefwinkliges System:

(x — a)² + (y — b)² + 2 (x — a) (y — b) cos co = r².

— Xiytzkrl/x^ + yi — r2 r² — x?

(3) y —yi

(x-Xi).

6. Sekante durch die Punkte (xx, y*), (x₂, y₂), Mittelpunkt im Ursprung:

y-7i

XX + X₂

XX + X2

oder y —yx =

(x —xx).

yx+y₂

yi+y₂

7. Tangente, Berührungspunkt (xn y^), Mittelpunkt (0, 0):

X — Xi

(i)

xx, +yy₁=r«.

Mittelpunkt (a, b):

(x — a)(xx — a) + (y — b)(yx— b)=r* . Tangenten vom Punkt (xx, y,j an den Kreis um 0 mit r:

(2)

8. Polare (s. § 39) des Punktes (xn yi) in Beziehung auf den Kreis x² + y²=r²:

xxi+yyi=r2-

Die Koordinaten des Pols der Geraden

xi

Ax + By + C = 0 sind Br²

Ar²

yi=-

9. Kreis durch drei Punkte (xx, yt), (Xg, y₂) (i₃, y₃); er ist bestimmt durch die vier Gleichungen (x -a)² + (y — b)² = r²,

(xi — a)² + (yx— b)² = r²,

(X2 — a)² + (y₂ — b)² = r²,

(x₈ —a)² + (ys —b)² = r²;

seine Gleichung ist daher x² + y², x,

Xi+yL xx,

x₂+y₂, Xz,

x| + y|, Xg,

y,

(Zugleich Bedingung — 0 . dafür, daß vier Punkte auf einem Kreis liegen.)

10.    Zwei Kreise

x² + y² +A x + B y + C =0 x² + y² + A₁x + B₁y+C₁ = 0 sind konzentrisch, wenn A = Ax, B = Bx.

11.    Potenzlinie (s. § 41) zweier Kreise (s. Nr. 10):

(A — At) x + (B — Bx) y + C — C, — 0 (Differenz der Kreisgleichungen, vgl. § 41₃ und § 60₄).

§ 69. Polarkoordinaten.

Ist 0 der Pol (Anfangspunkt), M der Mittelpunkt, 0X die Polarachse, <IOI = a, <POX = <p, OP-o, OM==d, so ist

1.    die Gleichung des Kreises

(q cos cp — d cos oC)² + (q sin cp — d sin a)² = r² oder Q² — 2 q d cos (<p — a) + d² = r².

Fällt OM mit OX zusammen (Mittelpunkt auf der Polarachse), so ist die Gleichung des Kreises £² — 2 q d cos cp + d² = r².

Liegt außerdem 0 auf dem Kreis, so ist q = 2 r cos cp .

2.    Für den berührenden Leitstrahl ist

d sin (cp — (x) = r .

B) Parabel, Ellipse, Hyperbel.

g 70. Kurvengleichungen; Sekante, Tangente, Polare etc.

1. Stücke und Bezeichnungen.

| bei Ellipse und Hyperbel;

Große (reelle) Achse 2 a kleine (imag.) Achse 2 b Parameter 2 p (---- Sehne durch einen Brennpunkt parallel

Kurvengleichungen; Sekante, Tangente, Polare. 141 zu der Leitlinie); für Ellipse und Hyperbel ist

b²

Lineare Exzentrizität (Abstand des Brennpunktes vom Mittelpunkt) ist bei der

Ellipse:    f = /a²—b³; f<a;

Hyperbel: f ----- ya² + b² ; f > a ;

• «M | es

Parabel: Abstand des Brennpunktes vom Scheitel~

Numerische Exzentrizität bei Ellipse und Hyperbel e— .

e gibt zugleich das Verhältnis der Entfernung eines Kurvenpunktes vom Brennpunkt und seines Abstandes von der zugehörigen Leitlinie an. Es ist für die

Ellipse, Parabel, Hyperbel bzw. e = 1 .

Abstand des Brennpunktes von der Leitlinie -----

2. Scheitelgleichung. Erste Form:

I. y³ = 2 px — (1 — e²)x² oder y² = 2px + qx2 (gemeinschaftliche Gleichung).

8 SSM 0

Diese Gleichung stellt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel dar, je nachdem 6^1, bzw. q ^ 0 . gibt die Scheitelgleichung eines Kreises.

Zweite Form:

H.

(Parabel);

y² = 2 p x — — x² (Ellipse); y² = 2 px y² == 2 p x + — x² (Hyperbel).

Analytische Geometrie

3. Mittelpunktsgleichung:

5 + p-¹ (™pse);

X²

a²

~ P⁼¹ (Hyperbel).

4. Polargleichung.

1. Der Brennpunkt ist Pol, die Achse bzw. große Achse ist Polarachse, cp ist von dem Scheitel aus gezählt, der dem Pol am nächsten liegt.

^    1 + £ COS Qp '

Die Kurve ist eine Ellipse, Parabel, Hyperbel je nachdem e = 1 .

2. Der Mittelpunkt ist Pol, die große Achse

Polarachse.

(Ellipse);

(Hyperbel).

Q²

b²

1 — e² cos ² cp -b²

^    1 — £² COS ² (p

Die folgenden Gleichungen sind bei der Parabel auf die Scheitel-, bei Ellipse und Hyperbel auf die Mittelpunktsgleichung zu beziehen.

5. Sekante durch die beiden Punkte (x1? yx), (x₂, y₂) der

1. Parabel:

/yi + y₂)y-yiy₃ = 2px oder

y—yi

2p

yx + y₈

a²

b²

p(y—yi)+yi(x—X₁)=0, oder xyi+py = y₁(x₁ + p);

2. Ellipse:

+ x₂) x (yt + y₂) l _ x₂ y₂

a²

b²

a²

b2 fl, oder

b^xt+xa)

j—ji

3. Hyperbel:

(*i + X₂) X (yt + y₂) y x^Xz

a² (yi + y₂)

(x—xi);

Jl 72

a²

b²

a²

oder

y —yi

b²(x₁+x₂)

a²(yi+y₂)

(x-Xl).

6. Tangente im Punkt (xl7 yt) der

yy^pCx+Xi);

xxx , yyt

1. Parabel:

2. Ellipse:

a¹ 2 3 4 5 6

b²

2. Ellipse:

Analytische Geometrie. a²x b²y

oder

a² — b²

a² + b², oder

aIji

b²x₁

9. Bezeichnet man die Abszisse des Schnittpunktes der Tangente im Punkt (x^, yx) mit der X-Achse mit x₀, die Subtangente (Projektion des Tangentenstückes zwischen Berührungspunkt und X-Achse auf die X-Achse) mit ST, die Subnormale mit SX, so ist

3. Hyperbel:

yi

a²x b²y

xi

yi

y—yi

(X-Xj) .

ST

SN

1.    für die Parabel:

2.    für die Ellipse:

— Xz 2 Xi

a² a² — xf

b²Xj

xi

3. für die Hyperbel:

a² x² — a²

xi

xi

a² '

b² Xi

Aus dem Wert von x₀ ergibt sich für jede Kurve eine Konstruktion der Tangente im Punkte (xl7 yt). 10. Tangenten vom Punkt (xn yx) an die 1. Parabel:

yi±/yi — ²pxi

7—Ji

2 Xjl

(x-xx);

T-Yi

2. Ellipse:

— Xi yi ±^b²    + s>²jI — a² b²

a² — x²

(x-Xj) :

y-yi

3. Hyperbel:

_ ~ X1 yi ±V-b² X² + a² yi + a² b²

a² —x²

(x - x,) •

11. Allgemeine Gleichung der Tangente (Richtung gegeben) für die

y_mx P ;

J    2 in '

1. Parabel:

y — in x = + /m2 a² + b²;

2.    Ellipse:

3.    Hyperbel: y — mx = + ^m² a² — b² .

12. Zieht man durch einen Punkt P eine Sekante

eines Kegelschnittes, so heißt der Ort des zu P in Beziehung auf die beiden Schnittpunkte zugeordneten vierten harmonischen Punktes die Polare von P in Beziehung auf den Kegelschnitt.

Polare des Punktes (x1? yx) in Beziehung auf die

yyi=p(x+xi);

XXj

1. Parabel:

2.    Ellipse:

3.    Hyperbel: XXl

a²

yyi _ 1 . ¹ ,

b²

yyi

a²

b²

Liegt Punkt (xly yt) auf der Kurve, so ist seine Polare zugleich Tangente. Die Polare des Mittelpunktes ist die unendlich ferne Gerade; die Polare eines unendlich fernen Punktes ist ein Durchmesser.

Bp

13. Koordinaten des Pols der Geraden Ax + By + C — 0 für die

-+y

X1

yi

1. Parabel:

2. Ellipse:    xL

a² A

b² B

yi =

C '

a² A

b² B

yi— 0 "

14. Zwei Gerade heißen konjugiert in bezug auf einen Kegelschnitt, wenn jede durch den Pol der andern geht

B ü r k 1 e n, Formelsammlung.

3. Hyperbel: xt

10

1. Ist bei der Parabel ein unendlich ferner Punkt gegeben durch die Richtung y=mx, so ist der zugeordnete Durchmesser

2. Gleichungen für zwei konjugierte Durch

messer bei der

Ellipse:    A x — B y = 0 und

Bx Ay

----= 0 •

a⁷ 8 9 ' b⁷

Hyperbel: A x + B y = 0 und

Bx Ay

----— = 0 .

a⁷ * b⁷

Jede Asymptote der Hyperbel und ihr konjugierter Durchmesser fallen zusammen.

15. Gleichung in Beziehung auf zwei konjugierte Durchmesser 2 aj, 2 \ der 1. Ellipse:

y⁷

ai ^ bj

72

— 1 ; Beziehung: a* + b? = a⁷ + b⁷;

Gleichung der Hyperbel in Beziehung auf die beiden Asymptoten

P a² + b2 ^y=c² = — =

gleichseitige Hyperbel x'y^ — a².

16. Leitlinie (Direktrix), d. h. Polare des Brennpunktes für die

1. Parabel:

Brennpunkt oj;

a²

=    f. d. Brennpunkt(f,0);

a

=—; f. d. Brennpunkt (f, 0). €

17. Länge des Brennstrahls, bzw. der Brennstrahlen zu dem Punkt (xu yt):

¹ ==xi+|;

2. Ellipse:

x=—

a²

3. Hyperbel: x = —

1.    Parabel:

2.    Ellipse:

r = a — xx £ tx = a + X! e ; 3. Hyperbel: r = x₁e —a ri = xi £ + a ;

r + tx = 2 a ;

r, — r = 2 a .

18. Krümmungsmittelpunkt (x₀, y₀) und Krümmungshalbmesser q für den Punkt (x1? yt) der

1. Parabel: <

Xq — 3 -f p

3y? + 2P»

Ji

2p

p²

Ä (y? + p y    n»

Q =-TT—

P²

P²

; für den Scheitel p = p;

10*

2. Ellipse:

f² xf e² xf

Xo=l^ "ii"*

y₀

II “K

b⁴

E² a² yf b4 5

_(b⁴x? + a⁴yf)^

⁶    a⁴b⁴    ab

(rrj

N²

P² '

Nx Normale vom Punkt (xx yt) bis zur X-Achsa Für den Scheitel der großen Achse ist

für den der kleinen

b²

⁶¹ -T*

3. Hyperbel:

f² xf E² Xf

IT’

y₀

b⁴

a² e²y\

b⁴

(b⁴xf+ a⁴ yf)^ (rr^ Nf

P² '

ab

a⁴b⁴

b²

für den Scheitel ist p = — = p.

a

19. Flächeninhalt:

1. Parabelsegment S.

Sehne senkrecht zur Achse, (x1? yx) Koordinaten des einen Endpunktes:

Beliebiges Segment; (x1? yx), (x₂, y₂) Koordinaten der Endpunkte:

s=⁴

o (ji - Jif *i -*2 (yt —y₂)\ 12p    6 Yi + y*

2. Ellipsenzone zwischen der kleinen Achse und der im Abstand xx dazu parallelen Sehne:

— (x₁ ya² —    + a² arc sin .

Gesamte Ellipsenfläche: ahn.

3. Hyperbelsegment, Sehne senkrecht zur

X-Achse:

S = xx y₁ — a b l

20. Eonfokale Kegelschnitte. — Eine Ellipse und eine Hyperbel, welche dieselben Brennpunkte haben, konfokal sind, haben folgende Gleichungen:

7 x²

y*

a²

a² (1 — e²)= 1 '

X²    y²

W⁻a²(s?-l)_ '

wobei as = a₁£₁ = f, s< 1, §1 > 1. Die Gleichungen können demnach in folgende Form gebracht werden:

1,

x²

a² — f²

y²

a?

f² — a?

Diese beiden konfokalen Kegelschnitte schneiden sich rechtwinklig (elliptische Koordinaten).

Die Gleichungen aller konfokalen Zentralkegelschnitte sind in der Gleichung enthalten:

X²

i;

y²

a² — k ¹ b² —k sie stellt eine Ellipse, Hyperbel oder imaginäre Kurve dar, je nachdem k<b² <a², oder b²<k<a², oder b²unda² <k.

§ 71. Sätze über Kegelschnitte.

A) Für jeden Kegelschnitt.

1.    Ein Kegelschnitt im allgemeinen ist durch fünf Punkte oder 5—r Punkte und r Tangenten (r = 0 bis 5) bestimmt.

2.    Eine Gerade trifft einen Kegelschnitt in zwei reellen und verschiedenen, oder zusammenfallenden, oder in zwei imaginären Punkten. Durch einen Punkt lassen sich an einen Kegelschnitt zwei reelle verschiedene, oder zusammenfallende, oder zwei imaginäre Tangenten ziehen.

3.    Die Polaren (s. § 70,₁₂) der sämtlichen Punkte einer Geraden gehen durch den Pol dieser Geraden, und die Pole sämtlicher Strahlen eines Büschels liegen auf der Polaren des Büschelmittelpunktes.

Die Berührungssehne zweier von einem Punkt ausgehender Tangenten ist die Polare dieses Punktes.

Die Halbierungspunkte paralleler Sehnen liegen auf einem Durchmesser.

4.    Das Verhältnis der Entfernungen eines Punktes eines Kegelschnittes vom Brennpunkt und von der Leitlinie ist konstant und gleich der numerischen Exzentrizität e. (Für die Ellipse ist e < 1, für die Parabel e = 1, für die Hyperbel e > 1.)

5.    Die Sehne, welche durch einen Brennpunkt geht und senkrecht zur großen Achse ist, ist der Parameter.

6.    Zieht man in den Endpunkten einer durch den Brennpunkt gehenden Sehne Tangenten, so schneiden sich diese auf der Leitlinie, und die Verbindungslinie des Schnittpunktes mit dem Brennpunkt steht senkrecht auf der Sehne.

7.    Der Schnittpunkt zweier Tangenten liegt auf demjenigen Durchmesser, welcher der Sehne zwischen den Berührungspunkten konjugiert ist.

8.    Sind in einer Ebene zwei Kurven zweiter Ordnung K und Kx und bestimmt man zu jedem Punkt von K die Polare in Beziehung auf Kn so umhüllen diese Polaren eine dritte Kurve zweiter Ordnung.

9.    Satz des Pascal: Bei jedem einem Kegelschnitt einbeschriebenen einfachen Sechseck schneiden sich die drei Paare Gegenseiten in drei Punkten einer Geraden. (Konstruktion eines Kegelschnittes aus fünf Punkten.)

10.    Satz des Brianchon: Bei jedem einem Kegelschnitt umbeschriebenen Sechseck schneiden sich die drei Verbindungslinien von je zwei Gegenecken in einem Punkte. (Konstruktion eines Kegelschnittes aus fünf Tangenten.)

11.    Der Krümmungshalbmesser im Scheitel der großen Achse ist gleich dem halben Parameter.

B) Für die Parabel.

12.    Die Durchmesser einer Parabel sind parallel zur Achse.

13.    Der Fußpunkt des Lotes vom Brennpunkt auf eine Tangente liegt auf der Scheiteltangente. (Konstruktion der Parabel durch Umhüllung.)

14.    Der Ort des Schnittpunktes zweier Parabeltangenten, die senkrecht aufeinander stehen, ist die Leitlinie.

15.    Die Entfernung des Berührungspunktes einer Tangente vom Brennpunkt ist gleich der Entfernung des letzteren vom Schnittpunkt der Tangente mit der Achse. (Konstruktion der Tangente.)

16.    Die Tangente halbiert den einen der Winkel zwischen dem Brennstrahl und dem durch den Berührungspunkt gehenden Durchmesser, die Normale den andern. (Konstruktion der Tangente und Normale.)

17.    Die Subtangente einer Parabel wird durch den Scheitel halbiert; die Subnonnale ist gleich dem halben Parameter (p).

18.    Die Parabel kann als Ellipse betrachtet werden, deren zweiter Brennpunkt in unendlicher Entfernung liegt

C) Für Ellipse und Hyperbel.

19.    Hat man ein System von Ellipsen, bzw. Hyperbeln, welche eine Achse gemeinschaftlich haben, so schneiden sich alle Tangenten, welche auf dieser Achse die nämliche Koordinate für den Berührungspunkt haben, in einem und demselben Punkt der gemeinschaftlichen Achse. (Konstruktion der Tangente.)

20.    Alle Sehnen, welche einem Durchmesser parallel gezogen sind, werden von seinem konjugierten halbiert Die Tangente im Endpunkt eines Durchmessers ist parallel zum konjugierten Durchmesser.

21.    In jedem einem Kegelschnitt umbeschriebenen Parallelogramm sind die Diagonalen konjugierte Durchmesser; in jedem einem Kegelschnitt einbeschriebenen Parallelogramm sind die Seiten zwei konjugierten Durchmessern parallel.

22.    Das Produkt der Entfernungen der Brennpunkte von einer Tangente ist unveränderlich (= b²) und die Fußpunkte der Lote liegen auf einem Kreis, der die große (bzw. reelle) Achse zum Durchmesser hat. (Konstruktion des Kegelschnittes durch Umhüllung.)

23.    Die Tangente und die Normale in einem Punkt der Ellipse oder Hyperbel halbieren die Winkel, welche die Brennstrahlen nach diesem Punkt miteinander bilden. (Konstruktion der Tangente und der Normale.)

Hieraus folgt: Eine Ellipse und eine zu ihr kon-fokale Hyperbel schneiden sich unter rechten Winkeln.

24.    Bei der Ellipse ist die Summe, bei der Hyperbel die Differenz der Brennstrahlen nach einem Punkt der Kurve unveränderlich und zwar gleich der großen (reellen) Achse. (Fadenkonstruktion der Kurven.)

25.    Auf jeder Sekante einer Hyperbel sind die beiden Abschnitte, welche zwischen der Kurve und ihren beiden Asymptoten liegen, einander gleich; der Abschnitt einer Tangente zwischen den Asymptoten wird durch den Berührungspunkt halbiert.

(Konstruktion der Hyperbel, wenn ein Punkt und die Asymptoten derselben gegeben sind.)

26.    Der Inhalt eines Dreiecks, das zwischen zwei konjugierten Halbmessern einer Ellipse und der Verbindungslinie ihrer Endpunkte liegt, ist unveränderlich.

27.    Der Inhalt eines Dreiecks, das von den Asymptoten und einer zwischen denselben liegenden Tangente einer Hyperbel eingeschlossen wird, ist unveränderlich

28.    Alle Parabeln sind einander ähnlich.

29.    Zwei Ellipsen mit den Halbachsen (a, b), (%, bj

sind einander ähnlich, wenn ~ = ebenso sind zwei

b bjL

Hyperbeln einander ähnlich, wenn ~ ==5l ü. h., wenn

b bi

sie gleiche Asymptotenwinkel haben.

Zwei Kegelschnitte (Bezeichnung s. § 73,₆) sind einander ähnlich:

a)    wenn B² — 4 A C = Bf — 4 Ax Cj = 0 ,

b)    wenn B² —4 AG und Bf —-4 Ax C₁ ^0 und

8 72. Konstruktion der Kegelschnitte.

1. Parabel.

— Ziehe in den beliebig, aber

a) DX Achse, SY Scheiteltangente, DE Leitlinie, also DS = SF = !

Ai

A| /i X

-Vxl

y 1 \ / v '

CJ X

slcj F    cj,

X-"'\    /

B*T

zweckmäßig gewählten Punkten Cx, C₂, C₃ ... Lote zur Achse und beschreibe um F mit D einen Bogen, der das zu Oi gehörige Lot in A₁ und B± schneidet; verfahre ebenso mit D C₂ usw. Al7 A₂, A₃ ..B B₃ ... sind Parabelpunkte. (Begründung: Jeder Punkt der Parabel hat vom Brennpunkt und der Leitlinie gleiche Abstände.)

b) Durch Umhüllung. —SxX Achse, S₁Y Scheiteltangente, F Brennpunkt. Ziehe von F nach S₁Y die Strahlen FAn FAz, FAS ... und errichte auf denselben in Ai, A^, A₃ ... die Lote B1?    B₂, As Bg ..., so

umhüllen diese die Parabel. (Begründung: § 71,₁₈.)

B,

A.

s.

£>/

2. Ellipse.

a) OX = a, halbe große Achse; OY = b, halbe kleine Achse. Beschreibe um 0 mit a und b Kreise; ziehe durch 0 eine Gerade, welche die Kreise in B und C schneidet, ziehe CAJLOX, BA||OX, so ist A ein Punkt der Ellipse. Ähnlich weitere Punkte.

(Begründung: y =■ ^ )4i² — x².)

1/

\l

IX X

/ zZ I

//

<7

A~

kC

b) OX—OXi ----- a, OY=OYt ----- b. Bestimme die Brennpunkte F und Fi durch FY = F₁Y = a. Ziehe x xx = XX1 = 2a, nimm darauf Punkt a₁ beliebig an, beschreibe um F

WT--

-X

"" X

* ^

mit x Li und um Ft mit xt Kreisbögen, die sich in and Bx schneiden usf. und Bi sind Punkte der Ellipse. (Begründung: r + r₁=2a, s. § 71,₂₄.)

3. Hyperbel.

OX = OXj = a; 0F = OF₁ =Va² + b² . Ziehe x xi = 2 a ; nimm auf der Verlängerung von xij einen Punkt a₁ an und beschreibe um F mit x

Vl

B;

"S"

und .um Fx mit xx a₁ Bögen, die sich in Aj und B^ schneiden. Ax und Bx sind Punkte der Hyperbel Verfahre ebenso mit usf.

(Begründung: r — ^ = 2 a, s. § 71,₂₄.)

§ 73. Allgemeine Gleichung zweiten Grades.

(1) aux² + 2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁sx+2a₂₃y+a3₈ = 0 .

1. Nach Division der Gleichung (1) mit a₃₃ zeigt sich, daß die Gleichung fünf unabhängige Konstanten enthält; eine Kurve zweiten Grades ist daher durch fünf Punkte bestimmt.

2.    Die Koordinaten des Mittelpunktes bestimmen sich aus den Gleichungen:

—    f£ = a₁₁ x + a₁₂ y + a>l 3 = 0 ,

—    fy = ai2 x + a₂₂ y + a23 = 0 .

3.    Polare des Punktes (xl7 yx):

(x - Xi) fi,+ (y - yx) fy,+ 2 f (xx, yt) = 0 ,

oder

au x₁x + a₁₂(xy₁+xy₁) + a₉₂ y₁y + a₁₃ (x^x)

+ %8 (yi + y) + ^ = o.

Regel: Die Gleichung der Polare von (x1? yx) wird erhalten, indem man in die Kurvengleichung für i², y⁸, 2xy, 2x, 2y bzw. xtx, yx y, x^ + xy^ xx+x, yt+y setzt.

Die Gleichung der Polare ist Gleichung der Tangente iih Punkt (xl7 yx), wenn dieser auf der Kurve liegt.

4.    Durchmesser konjugiert zu den Sehnen, welche mit der X-Achse den "Winkel (X machen:

cos (X f'x + sin <x fy = 0 oder costf(aux + a^y + ^s) + sin<x(a₁₂x + &>₂y + a^) = 0 .

5.    Die Richtung der Hauptachsen (zwei zueinander senkrechte konjugierte Durchmesser), von welchen die eine mit der X-Achse den Winkel x bildet, ergibt sich aus:

2 a₁₂

tg2 *

6. Besprechung der allgemeinen Gleichung zweiten Grades.

Es sei

— »11 (»22 »33    »23) “t” »12 (»23 »13

»12 »33) + »13 (»12 »23    »22 »ls)

— »11 »22 »12 •

A-S3 —

%1 %2 »13 A = %2 »22 »23 »13 »28 a38 »11 »12 »12 »22

Die Gleichung zweiten Grades stellt nun dar:

I. Eigentlichen Kegelschnitt, wenn A^O und zwar

1.    Ellipse, wenn A₃₈ > 0; dieselbe ist reell oder imaginär, je nachdem a₁₁ und A verschiedene oder gleiche Vorzeichen haben; sie ist ein Kreis, wenn

»11 ⁼⁼ »22    »12 ⁼ 0 J

2.    Parabel, wenn AS3 = 0 ;

3.    Hyperbel, wenn ÄS3 < 0 ; —

LT. Zerfallenden Kegelschnitt, wenn A = 0 und zwar

1.    reelles, sich schneidendes Geradenpaar, wenn A3S <0;

2.    paralleles Geradenpaar (reell und verschieden, zusammenfallend, oder imag.), wenn A₈₃ = 0;

3.    imaginäres, sich schneidendes Geradenpaar,

wenn A₃₃ > 0 .    _

Anderes Verfahren: die Gleichung sei Ax² + 2Bxy + Cy² + Dx + Ey + F= 0 ; sie stellt Ellipse, Parabel oder Hyperbel dar, je nachdem bzw. B² — AC^O .

Um zu untersuchen, ob das Gebilde reell, imaginär oder zerfallend ist, löse man die gegebene Gleichung nach einer der Veränderlichen, z. B. nach y, auf. Wird der Radikand der auftretenden Quadratwurzel für einen gewissen Bereich der Werte von x positiv, so ist das Gebilde reell; ist er für alle Werte von x negativ, so ist es imaginär; ist er ein Quadrat, d. h. die Wurzel ausziehbar, so ist es zerfallend.

§ 74. Gleichungen weiterer Kurven.

A) Algebraische Kurven.

1.    Neilsche Parabel y == ax^ .

2.    Lemniskate (x² + y²)² — a² (x² — y²) = 0 oder

r² (r² — a² cos 2 cp) = 0 .

3.    Konchoide x² y² = (b-f y)² (a² — y²) oder

4.    Cissoide y² (a — x) = x¹⁰ .

5.    Descartessches Blatt x¹⁰ + y¹⁰ = 3 a x y .

6.    Cassinische Kurve (x² + y²)² — 2 a² (x² — y²)

= b¹¹ — a¹¹ .

(x² + y²) (y — b)² ----- a² y² oder r--- a->—— . v    cos 99

7. Kardioide (y² + x²— ax)² = a²(x² + y²) oder r = a (1 + cos cp).

B) Transzendente Kurven.

X

1.    Logarithmische Linie y = mea .

m ( —

2.    Kettenlinie y = — \ea + e

f x = acp — ax sinop \ y = a — cos cp ,

4. Epizykloide, beschrieben von dem Punkt P (s. Nr. 3), wenn der Kreis auf der Außenseite eines Kreises (Halbmesser b) rollt:

z , ix • a(P    - a + b

x = (a -f b) sin ■——    sin —-—

<P-

z , i x    a + b

y = (a + b) cos~~ — a^ cos——-

5. Hypozykloide, beschrieben von dem Punkt P (b. Nr. 3), wenn der Kreis auf der Innenseite eines Kreises (Halbmesser b) rollt:

<P>

x = (b — a) sin — ax sin —

<P-

/_    . a w    b — a

y = (b — a) cos-f    cos——

Die Zykloide, ebenso die Epi- und Hypozykloide ist die gestreckte, gemeine oder verschlungene, je nachdem

as 0a.

6.    Spirale des Archimedes (lineare Spirale) r = a <p.

7.    Parabolische Spirale r* = 2 p (p .

<P

8.    Hyperbolische Spirale r .

9.    Logarithmische Spirale r = m e& .

10.    Kreisevolvente (Tangente = dem Bogen zwischen einem festen Punkt des Kreises und dem Berührungspunkt): r = a}/l + 9?², y = <p — arctgcp .

11

BOrklen, Formelsammlung.

II. Geometrie des Raumes.

§ 75. Koordinaten- ¹²) und Größenbeziehungen.

0 Ursprung, P ein Punkt im Raum, OP = r; <x, ßy y Winkel der OP mit den positiven Teilen der Koordinatenachsen; x, y, z die Koordinaten von P.

1.    Ein Punkt. Die Koordinaten des Punktes P sind die Projektionen von OP auf die Achsen:

x ----- r cos oc , y = r cos ß , z — r cos y , r = yx² + y² + z² , cos² oc + cos ²ß + cos ² y = 1 .

2.    Zwei Punkte. (xx, y1? zx) und (Xj, y₂, z₂) .

0 Pi — Ti ,    0 P₂ = r₂ ;

cos (rx, r₂) = cos ocx cos oc₂ + cos ßx cos ß₂ + cos yx cos y2 __ xi x2 + yt y~2 + zi Z2 U r2

Stehen rx und r₂ senkrecht aufeinander, so ist cos <xx cos oc₂ + cos ßx cos ß₂ + cos yx cos y₂ = 0 . Entfernung e = /(xs — xx)² + (y₃ — yt)² + (z₂ — zx)s.

Für Punkt P(x, y, z), der Px P₂ im Verhältnis m: n == A: 1 teilt (Pt P : P P₂ = in: n), ist

_ mx2 + nx₁ = m y₂ + n yt ^m z₂ + n zx .

X m+n '    ^ m + n ' Z m + n ’

oder x

Xi+Axa    yi + A y₂ _    z₁+Az2>

⁷    1+A '    1 + A ⁷

sind m und n ungleichzeichig, bzw. ist A negativ, so liegt P außerhalb P₂ .

3.    Projektionen. Ist 1 eine Strecke, f eine

Fläche, sind ferner ln    1₈, bzw. fx, f₂, fg, ihre

Projektionen auf die Koordinatenebenen, so ist

Änderung des Koordinatensystems.

¹

Hyperbel:

²

7. Asymptoten der Hyperbel:

-+z

a ± b    b

³

Ist der Asymptotenwinkel 2 <p, so ist tg cp = — .

⁴

Bei der gleichseitigen Hyperbel stehen die Asymptoten aufeinander senkrecht.

⁵

Ein Durchmesser y = mx schneidet, berührt in einem unendlich fernen Punkt (ist also Asymptote), trifft die

^b²

Hyperbel nicht, je nachdem m² == — .

> a²

⁶

Normale im Punkt (xn yt) der 1. Parabel:

⁷

Hyperbel:

Beziehung: a? — b\ = a⁷ — b⁷.

Sind cp und cpY die Winkel, welche zwei konjugierte Durchmesser mit der Hauptachse bilden, so ist für die

⁸

   Ellipse:

b⁷

tg<rtg<pt -----^ ;    a₁b₁sm(9? —9?₁) = ab (s. §71,₂₆);

⁹

   Hyperbel:

tgytgyi =+ "i 5    % bi sin(9? — q>₁) = ab (s.§71,„).

¹⁰

Zykloide, beschrieben von einem bestimmten

¹¹

Punkt P auf dem Halbmesser eines Kreises, der auf einer Geraden rollt (a Halbmesser des rollenden Kreises, Li Mittelpunktsabstand von P, <p = arc P 0 X, X Berührungspunkt):

¹²

Es sind stets, wofern nichts anderes bemerkt ist, rechtwinklige Koordinaten vorausgesetzt.

163

i? + i!+i! = 2P,

2.

* 1 + fl + *3 — *² • tx = f cos (X, f₂ = f cos /?, fg = f cos y; <x, ß, y Neigungswinkel der f gegen die Koordinaten ebenen.

4. Inhalt V der dreiseitigen Pyramide.

1. Eine Ecke im Ursprung, die drei anderen Ecken sind (x₁,y₁, zj, (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃) .

g- [xi(y₂z3-y₃z₂)+x2 (y₃zi -yiz₃)+xs (yiza - y₂zi)l

V=

th Icd

xi Ji zi

⁼    *2 J2 Z2 *

x8 y₃ z3

2. Liegt die erste Ecke nicht im Ursprung, sondern im Punkt (x, y, z), so ergibt sich V, indem man das Koordinatensystem parallel verschiebt, so daß der Ursprung mit (x, y, z) zusammenfällt; man hat alsdann im vorigen Ausdruck statt , yt, z₁ zu setzen xt — x, y, — y, zx — z usf.

Liegt (x, y, z) in derselben Ebene mit den drei übrigen Punkten, so ist V = 0; dies ist die Gleichung der Ebene durch jene drei Punkte.

§ 76. Änderung des Koordinatensystems.

1. Parallele Verschiebung der Achsen; a, b, o Koordinaten des neuen Ursprungs. x = a + x⁷

z = c-f z'.

y = b + /

2. Drehung um den Ursprung.

OOO

' bilde mit OX, OY, 0 Z die Winkel <xx, ßx, ylt

J ß'2 ) Z21 ^3' ßsi ZS*

Schreibt man der Kürze halber die Buchstaben der

Winkel für ihre Kosinus, so ist:

11*

x = x'-f <x₉y/+ <%q z' y = ßix'+ßiy'+ßsz'

x'=Ä! x + /?t y + y₁ z /= OC₂ x + ßt y + y₂ z

z=n^+Y2j' + y$^    z'=<x$x + ßsJ + Yaz ■

Zwischen den Kosinus bestehen die Beziehungen oc? + (x\ + <xi = 1 $+$+$=1 y? + yl + yl = i

3.    Eulersche Formeln für den Übergang von einem rechtwinkligen System 0, HZ zu einem anderen rechtwinkligen 0, X'Y'Z' mit demselben Ursprung. Es sei OA die Spur der OX'Y'-Ebene in der OXY-Ebene, <£ AOX = xp, AOX'= cp, <£ Z 0 Z' = 0, dann ist

' x ----- x'(cos9? cos xp — sin cp sinxp cos 0)

+ y(— sin cp cos xp — cos cp siny; cos 0) + z'siny; sin 0 < y ----- x'(cos cp sin xp + sin cp cos xp cos 0)

+ y'(— sin <psim/; + cos<p cos xp cos @) + z'(— cos yj sin 0)

, z *= x⁷ sin cp sin© + y⁷ cos99 sin 0 + 7! cos 0 .

4.    Polarkoordinaten. OP ---- r, cp Winkel zwischen OP und der XY-Ebene, gezählt von der letzteren gegen die + Z-Achse hin (von —90° bis + 90°); xp ist der Winkel, den die Ebene Z OP mit der Ebene ZOX bildet, gezählt von der -f- X-Achse aus im positiven Drehungssinn von 0°—360°.

Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt:

— yx* + y⁸ + z³, sin cp = —

cos xp

/x² + y*

1. r

sin xp

)/x²-f y*

x = r cos cp cos rp y = r cos <p sin \p z = r sin cp .

2.

§ 77. Allgemeine Sätze.

1.    Eine Fläche ist durch eine Gleichung zwischen x, y und z bestimmt Die Bedingung dafür, daß der Punkt (xjl , yx, zx) auf der Fläche liegt, deren Gleichung F (x, y, z) = 0 ist, ist F(xt, Yi, Zi) = 0 . Eine Fläche ist ferner darstellbar durch zwei Gleichungen in x, y und z, die einen veränderlichen Parameter, oder durch drei Gleichungen, die zwei veränderliche Parameter (s. § 96, i) enthalten, usf. (S. auch § 80.)

2.    Eine Linie ist durch zwei Gleichungen in x, y und z bestimmt; die Linie ist die Schnittlinie der durch jene zwei Gleichungen dargestellten Flächen. Jeder Punkt, dessen Koordinaten die beiden Gleichungen F(x, y, z) = 0 und f (x, y, z) 0 befriedigen, liegt auf der Schnittlinie der durch die beiden Gleichungen dargestellten Flächen. (S. auch § 95.)

3.    Setzt man in der Gleichung F(x, y, z) ----- 0 eine der Koordinaten, z. B. z, gleich Null, so erhält man die Gleichung der Schnittlinie der Fläche mit der Ebene der anderen Koordinaten, z. B. der XY-Ebene.

4.    Eliminiert man aus den Gleichungen zweier Flächen eine Koordinate, so erhält man die Gleichung der Projektion der Schnittlinie beider Flächen auf die Ebene der beiden anderen Koordinaten. Bestimmt man aus den Gleichungen dreier Flächen die gemeinschaftlichen Werte von x, y, z, so stellen diese die Koordinaten der Schnittpunkte der drei Flächen dar.

5.    F (x, y, z) + Af (x, y, z) = 0 gibt die Gleichung einer Fläche an, welche durch die Schnittlinie oder

die gemeinschaftlichen Punkte der beiden Flächen F (x, y, z) = 0 und f(x,y,z) = 0 geht.

§ 78. Die Ebene.

a, b, c Abschnitte der Ebene auf den Koordinatenachsen ; <x, ß, y die Winkel, welche das Lot vom Ursprung auf die Ebene mit den Achsen bildet, p die Länge dieses Lotes.

1. Gl eichungsformen für die Ebene:

2.

1. allgemeine Form Ax + By + Cz + D = 0 (E), x    v    z

7,

-+I+--1

a    b    c

3.

„ xcosa+ycosß+zcosy—p=0 (Normalform N.)

Spur in der XY-Ebene Ax + B y + D = 0 ,

77    77 YZ- „

77    77    2 X- „

By+ Cz +D = Ö, Ax+Cz+D = 0 .

Achsenabschnitte:

P I«

l —

Lot vom Ursprung: p = a cos n ----- b cos ß = c cos y

Q p,

±yA² + B² + C*

(Das Vorzeichen der Wurzel wird so gewählt, daß p positiv wird.)

Winkel des Lotes p mit den Achsen aus:

P Ap

COS oc

D-±

]/A² + B²+C²

usf.

2. Besondere Fälle:

x —a Ebene parallel zur Y Z-Ebene,

ZX-

XY-

Ax+By+Cz + D = 0 und A₁x+B₁y+C₁z+D₁ = 0;

1. sie sind parallel, wenn -^- = -^- = -5-,

A.1 Bt

also (Gleichungen zweier paralleler Ebenen Ax+By+Cz+D =0 Ai + By + Cz-f D^O oder x cos oc + y cos ß + z cos y — p ----- 0 x cos oc + y cos ß + z cos y — pt = 0 .

2. Abstand zweier paralleler Ebenen:

D, -D

Ax+By+D = 0 Ebene parallel zur Z-Achse 2.] Ax+Cz + D = 0    „

By+ C z-|-D = 0    „

3. Ax + By + Cz = 0 n durch den Ursprung.

die Z-Achse

A x + By = 0 4. Ax+Cz = 0 B y -f- C z = 0 3. Ebene durch den Punkt (xl7 y1? zt): A(x-x₁) + B(y-y₁) + C(z-z₁) = 0 ,

» T- „ » »

Jl Z1 ¹

A = y₂ z₂¹ >

y₃z3i

Zi Xi 1

B — z₂X2 1

Z₃ xs 1

wobei

xi 7i 1 C = x₂ y₂ 1

x₈y₈i

(s. auch § 75,4,2>

4. Abstand e eines Punktes (xu yt, zt) von der Ebene E oder N (s. 1.):

Axx -pBy₁4-Czt +D

±yA2+B2+c²

5. Zwei Ebenen

xx cos oc + jx cos/5 + z₁ cos y—p.

= Pi — p .

3.    Winkel cp zweier Ebenen aus:

COS (p

AAt+BBt + CCt

±V(A² + B* + C²)(A? + Bs+Cf)'

4.    Sie sind senkrecht, wenn cos<p=0, d.L wenn

AAjL + BBi + CC^O .

6.    Ebenenbüschel. Sind A₄ = 0, Ag = 0 die Gleichungen zweier Ebenen (1) und (2) in Normalform, so ist die Gleichung einer dritten Ebene (3), die durch die, Schnittlinie der beiden ersten geht,

Ax — l As = 0 .

Sind (3, 1), (3, 2) die Neigungswinkel zwischen (3) und den beiden gegebenen Ebenen, so ist Bin (3, 1) sin (3, 2) ‘

Die Halbierungsebenen der von den beiden Ebenen gebildeten Keile haben daher die Gleichung

Ax T a₂ = 0 .

7.    Drei Ebenen durch eine Gerade.

Damit drei Ebenen E₄ = 0, E₂ = 0, E₃ = 0 sich in derselben Geraden schneiden, ist notwendig und hinreichend, daß es drei von Null verschiedene Zahlfaktoren As gibt, für welche die Identität besteht:

Ei + ^2 Eg + ^3 E₃ = 0 .

8.    Vier Ebenen durch einen Punkt. Damit vier Ebenen Ex = 0, E₂ ----- 0, E₃ = 0, E₄ = 0 durch einen und denselben Punkt gehen, ist notwendig und hinreichend, daß die Identität besteht:

Ei -f- E₂ -f- Ä₃ E₃ -j“ A₄ E₄ = 0 .

K 79. Gerade Linie; gerade Linie und Ebene.

1. Jede Gerade ist durch zwei unabhängige Gleichungen ersten Grades zwischen x, y und z bestimmt

Allgemeine Gleichungsformen:

Ai x + Bi y + Cx z +    = 0

A₂ x + B₂ y + C₃ z + D₂ = 0 fy=mx+b \ z =nx +c .

Eine Gerade parallel zur YZ-Ebene ist durch (2) nicht darstellbar; ihre Gleichungen sind

y = pz + q.

(i)

(2)

x = a

Die Koordinaten der Spuren in der XY-, YZ-, XZ-Ebene ergeben sich aus bzw. z = 0, x = 0, y = 0. 2. Besondere Fälle:

1.

3.

y = mx + b

z ----- c y ~ b

z =nx+ c

z =py + q

x = a

Gerade parallel zur X-Achse; —0 ^^ohse. Gerade parallel zur Y-Achse;

? Gerade parallel zur Z-Achse;

Gerade parallel zur XY-Ebene.

Gerade parallel zur XZ-Ebene.

Gerade parallel zur YZ-Ebene.

( Z 0 Y-Achse. \x=0

3.

x = y=b y=mx z =nx

x==0 y=0

Gerade durch den Ursprung.

Z-Achse.

3. Winkel mit den Achsen n, ß, y:

so ist

y = mx + b ,

z = nx| o

cos#

y 1 + m² + n² ’ cos y

cos ß

yi + m² + n²’

4. Gerade bestimmt durch einen Punkt (xA, y₁, z^) und Richtung (<x, /?, y): x — x₁

y- Ji

z — zt

cos ß cos y 6. Gerade durch zwei Punkte (xl7 y1? z₁), (x₂, y₂, z₂):

z — zA

cos (X

x — x₁

y-yi

^ — xi y₃ — yi z2 zi

Durch den Ursprung und den Punkt (x₁, y1} z^):

xi yi zi

6. Zwei gerade Linien: j y = mx + b l z =nx +c

s y = mi x + bx

\ z = n, x + q .

1.    Die Geraden schneiden sich, wenn (m-m₁):(n-n₁) = (b-b₁):(c-c₁) (s. u. 5.).

2.    Sie sind parallel, wenn m₁ = m, n₁=n.

cos cp

3.    Der Winkel 90 der Geraden ergibt sich aus 1 + m mL + nnr

)/(l + m² + n²) (1 + m\ + n\)

4. Sie sind senkrecht, wenn cos cp = 0, also wenn

l+nim₁ + nn₁ = 0 .

5. Kürzester Abstand zweier Geraden:

e«=

y(mnx — m₁n)² + (m — mt)² + (n — nL)²

6. Abstand e zweier paralleler Geraden j y = mx-f b y = mx + bx l z=nx+c z=nx+c₁:

(s. 0. 1.).

]/F² + G² + H²

wobei

F = (b — b₁)m + (c — cx)n,

G = (c-c₁)mn-(b-b₁)(l+ n²) , H = (b-b₁)mn-(c-c₁)(l + m²) .

7. Gerade und Ebene:

und Ax + By + Cz + D = 0 ,

sy=mx+b \ z =nx + c

1.    Die Gerade liegt in der Ebene, wenn A + Bm + C n = 0 und Bb + Cc + D = 0 .

2.    Die Gerade ist parallel der Ebene, wenn

A+Bm+Cn= 0 .

3.    Winkel cd zischen der Geraden und der

Ebene aus

sin cd

A+Bm+Cn

y(A² + B² + C²)(l+m² + n²)

4. Die Gerade ist senkrecht zur Ebene, wenn

— == n .

A m’

5. Beliebige Ebene durch die Gerade

y=mx+b

z = nx + c:

y — mx — b

--= k.

z — n x — c

Geraden

z = nx + c:

8.    Ebene durch Punkt (xn j₁, zx) senkrecht zur y=mx+b

(x-x₁) + m(y-y₁) + n(z-z₁) = 0 .

9.    Gerade durch Punkt (xl5 y₁, zx) senkrecht zur Ebene Ax + By + Cz + D = 0:

B , x y - yi=x (x - xi)

z — zi =

10.    Ebene durch zwei sich schneidende gerade Linien (s. Nr. 6^:

f y = m₁x + b1 1 z= nxx + <q

m — nq

s y=mx+b 1 z = nx+c

oder

, y — mx —b b —b.

oder ---=--

n — rq

z — nx —c

c — q

Ebene durch zwei parallele Gerade:

c-Cj.

y — mx —b b — bi z — n x — c

11.    Ebene durch eine Gerade y=mx+b, z=nx+o parallel zu einer zweiten Geraden y = nq x + bx z = nx x + cq:

(mn₁-m₁n)x+(n-n₁)y-(m-m₁)z=b₁(n-n₁)-c₁(in-ni₁).

12.    Ebene durch einen Punkt (x₁,y₁,z₁) parallel zu zwei Geraden:

(m^-n^n)(x-xx) + (n-n₁)(y-y₁)-(m-m₁)(z-z₁) = 0.

§ 80. Erzeugung von Flächen.

2) f(x,y, z,p) = 0

Allgemeines: Enthalten die Gleichungen 1) F(x,y, z,p) = 0 einer Linie einen veränderlichen Parameter p, so stellen sie eine bewegliche Linie dar. Die Gleichung der durch die bewegte Linie erzeugten Fläche wird erhalten, indem man aus den Gleichungen (1) und (2) p eliminiert

Enthalten die Gleichungen F(x, y, z, p, q, ...)== 0, f (x, y, z, p, q, ...)== 0 der Beweglichen n veränderliche Parameter p, q ..., die durch n — 1 Gleichungen miteinander verbunden sind, so ist die Gleichung der erzeugten Fläche das Eliminationsresultat der n Parameter p, q ... aus den n + 1 gegebenen Gleichungen. — Die n —1 Bedingungsgleichungen sind in der Regel der analytische Ausdruck dafür, daß die bewegliche Linie auf n — 1 festen gleitet. — Die Bedingung dafür, daß eine Linie eine andere schneidet, erhält man, indem man aus den vier Gleichungen beider Linien x, y, z entfernt Regelflächen werden erzeugt durch die Bewegung einer Geraden; da die Gleichungen einer Geraden im allgemeinen vier Konstanten (Parameter) enthalten, so sind drei Leitlinien nötig. Man unterscheidet abwickelbare und windschiefe Regelflächen. Bei den ersteren liegen zwei unendlich nahe Mantellinien in einer Ebene (z. B. Zylinder- und Kegelfläche), bei den letzteren nicht (ein-schaliges Hyperboloid, hyperbolisches Paraboloid).

A) Zylinderflächen.

L Leitlinie: 1) <p (x, y, z) ----- 0 ,

2) y> (x, y, z) = 0 .

Erzeugende: 3)y = mz + y₀,    4) x = pz + x₀,

Eliminationsresultat von x, y, z aus 1) bis 4):

5) F Yo) ~ O .

Gleichung der Zylinderfläche:

6) F(x — p z, y — m z) = 0 .

II. Allgemeine Gleichung der Zylinder flächen: F[(ax + by + ez + d), (at x + bx y + Ci z + dx)] = 0.

B) Kegelflächen.

Spitze: (xn yu z,). L Leitlinie:

1)    <p(x, y, Z) = 0 ,

2)    v»(x, y, z) = 0 . Erzeug. Mantellinie: 3) x — x^ ----- p (z — zx),

4 y-yi = m(z-Zl). Elim.-Resultat von x, y, z aus 1) bis 4):

5) F(m, p) = 0.

Gleichung der Kegel fläche (Elim.-Resultat von m und p aus 3) bis 5)):

6) f(|

-*1 y-yi

— Zi ’ z — z₁

Liegt die Spitze im Ursprung, so ist die Gleichung

der Kegelfläche F ( - , — j =

0, d. h. sie ist homogen.

Die Gleichung ax² + by² + cz²+dxy+ exz-j-fyz = 0 stellt einen Kegel zweiten Grades dar mit der Spitze im Ursprung.

II. Allgemeine Gleichung der Kegelflächen: aiX + b₁y-j-c₁z-f-d₁ a^x + hgy-t-c^²"!- d₂\    ^

ax + by + cz + d ’ ax + by + cz + d 1

C) Drehflächen.

I. Z-Achse ist Drehachse.

Erzeugende: 1) <p(x, y, z) = 0, 2) ^(x, y, z) = 0; Parallelkreis: 3) x² + y² = r²,    4) z =d ;

Bedingungsgleichung (Elim.-Result. von x, y, z aus 1) bis 4)): 5) F(r, d) ----- 0; Gleichimg der Drehfläche (Elim.-Result. von r und d aus 3) bis 5)):

6) F(yX2+y2, z) = 0 .

II. Drehachse durch den Punkt (Xy, y₀, z₀), <x, ß, y Richtungswinkel derselben:

Erzeugende: 1) und 2) wie bei I.

Parallelkreis :f Z (x-x₀^+(y-yo)^ + (z-zo)^-r*=0; 14) xcos<x+ycosp + zcosy—d = 0 .

5) F (r, d) = 0 .

Gleichung der Drehfläche (Elim.-Resultat von r und d aus 3) bis 5)):

Bedingungsgleichung (Elim.-Resultat von x, y, z aus 1) bis 4)):

D) Konoidische Flächen.

Eine Gerade bewegt sich so, daß sie die Z-Achse und eine Leitlinie beständig schneidet und dabei der XY-Ebene parallel bleibt.

Leitlinie: 1) cp (x, y, z) = 0,    2) y(x, y, z) = 0 ;

Erzeugende: 3) ^ = m ,    4) z ----- d .

Elim.-Resultat von x, y, z aus 1) bis 4):

5) F(m, d) = 0 .

Gleichung der Konoidfläche (Elim.-Resultat von m und d aus 3) bis 5)):

6, r(f . -o.

Beispiel: Schrauben fläche. Die Leitlinie dieser Konoidfläche ist die Schraubenlinie:

x — r cos t

Z 2n ’

Die Gleichung der

F (V(x — x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)², x cos (X + y cos ß -f z cos y) = 0 .

Geht die Drehachse durch den Ursprung, so geht 6) über in 6¹) F(yx² + y² + z²,

6)

xcos

<x + y cos ß+z cos y) = 0.

y ----- r sin t ,

deren Achse die Z-Achse ist.

Schraubenfläche ist: —

Flächen zweiter Ordnung.

§ 81. Allgemeines.

Die allgemeine Gleichung der Flächen zweiter Ordnung ist:

{{X, y, z) = a-n X¹ + y² + 833 z³ + 2 x y + 2 a,₃ X z

2 Szz y z + 2 a₁₄ x -j- 2 a«,₄ y + 2 ag₄ z -f- a₄₄ = 0 .

1.    Die Koordinaten des Mittelpunktes ergeben sich aus den Gleichungen:

^fI=a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄==0 ,

• ify = ai2x + a22y + £^3z + a24 = 0 , fz = a₁₃ x + ajg y + ag₈ z + ag₄ = 0 .

2.    Durchmesser-(Diametral-)Ebene zugeordnet der

Richtung x = mz, y = nz, bzw.    ß, y:

mfx-j-nfy-f-fi^O , bzw. cos (X fx + cos ß fy + cos y fz = 0 .

3.    Durchmesser zugeordnet der Richtung der Ebene Ax-}-By-{-Cz-|-D = 0, bzw.

x cos oc + y cos ß + z cos y — p == 0:

ABC

fx

fy

cos ß

bzw.

COS#

cos y

4.    Polarebene zum Punkt (x1? y1? z₂), d. h. Ort des Punktes auf einer durch (xu yt, zx) gehenden Sekante, welcher diesem Punkt in Beziehung auf die zwei Schnittpunkte. der Sekante mit der Fläche harmonisch zugeordnet ist:

(x-x₁)fi₁+(y-y₁)fyi+(z-z₁)fI1+2f(x₁, y₄, z₄) = 0.

Liegt der Punkt (xx, yx, zt) auf der Fläche, so ist seine Polarebene zugleich Berührungsebene an die Fläche.

5.    Hauptdiametralebene oder Hauptebene heißt jede Ebene, welche senkrecht ist auf den von ihr halbierten Sehnen (Hauptsehnen). Die Richtungskosinus <x, ß, y dieser Sehnen und die Zahl A bestimmen sich aus den Gleichungen:

Ki — A) oc + a₁₂ ß + ai₃ y = 0

(W)

3-13 & 4" (a22 ß <hs y — 0 %8 Ä 4~ ß 4~ Ks A) y = 0 <x²4-^² + Z²=l -

A ist bestimmt durch die kubische Gleichung an — A 3^2

a13

oder

(R)

a!2

&22~ ^ ^23

^3

a23

a33    ^

(R) A⁸ — (an + a₂₂ + a₃₃) A² + (an a₂₂ + a^ a₃₃ + a₃₃ a11 aiü ai3 ^3) ^    (%! %2 a33 4" 2 a₁₂ a₁₃ &₂₃    a₁₁ a₂z

a22 a13    ^3 a12) ⁼⁼ 0 .

Die Wurzeln dieser Gleichung sind reell; vermittels A sind Oe, ßj y aus den Gleichungen (W) erhältlich.

6. Hauptachsen. Man verschiebe das ursprüngliche System parallel durch den Mittelpunkt (xq , y₀, z₀), so geht die allgemeine Gleichung über in:

(T) au x² + a₂₂ y² + a₃₃ z² + 2 a₁₂ xy + 2 ai₃ x z + 2a₂₃yz = M ,

hierbei ist M == —(a₁₄x₀+a₂₄y₀+a₃₄z₀ + a₄₄); M^O.

Man dividiere die Gleichung (T) mit M durch und bilde aus den Koeffizienten der neuen Gleichung die Gleichung (R), sie werde mit F (A) ---- bezeichnet. Die Wurzeln dieser neuen Gleichung seien A1? A₂, A₃, dann sind die halben Hauptachsen der Fläche gegeben durch

Vx- l/x' //

7. Allgemeine Sätze.

a) Eine Fläche zweiter Ordnung wird im allgemeinen durch neun Punkte oder neun Berührungsebenen bestimmt/

b)    Eine Fläche zweiter Ordnung wird von einer Ebene in einer Linie zweiter Ordnung und von einer Geraden in zwei Punkten geschnitten.

c)    Wenn ein Teil des Schnittes zweier Flächen zweiter Ordnung eine ebene Kurve ist, so ist auch der übrige Teil eine solche.

12

Bürklen, Formelsammlung.

d)    Wenn ein Punkt eine Ebene durchläuft, so dreht sich seine Polarebene um einen Punkt, den Pol dieser Ebene, und umgekehrt.

e)    Wenn ein Punkt sich auf einer Geraden bewegt, so dreht sich seine Polarebene um eine in dieser liegenden geraden Linie und umgekehrt.

f)    Durch den Pol und die Schnittlinie seiner Polarebene mit der Fläche zweiter Ordnung ist der zum Pol als Spitze gehörige Berührungskegel bestimmt

g)    Wenn der Pol einer gegebenen Oberfläche zweiter Ordnung eine zweite Oberfläche derselben Ordnung beschreibt, so berührt seine Polarebene eine dritte Oberfläche zweiter Ordnung und umgekehrt, wenn die Polarebene einer gegebenen Oberfläche zweiter Ordnung sich als Berührungsebene um eine zweite Oberfläche derselben Ordnung herumbewegt, so beschreibt der Pol eine dritte Oberfläche zweiter Ordnung.

§ 82. Einteilung der Flächen zweiter Ordnung.

Die Flächen zweiter Ordnung werden nach den Wurzeln der Gleichung (R), bzw. F (A) = 0 (s. § 81,5 und 6) eingeteilt

I. Mittelpunktsflächen.

F(A) = 0 (s. § 81,ß) hat keine Wurzel gleich 0.

A)    Ax, 4? 4 haben gleiche Zeichen.

4, 4 positiv: |

1. I

a)    M>0 (s. § 81), Ellipsoid,

b)    M = 0, Punkt.

2. 4, 4, 4 negativ: Imaginäre Fläche.

B)    Zwei Wurzeln X mit gleichem, die dritte mit entgegengesetztem Zeichen.

1. Zwei Wurzeln positiv, eine negativ:

a)    M> 0 , einmanteliges Hyperboloid,

b)    M= 0, Kegel und Punkt.

2. Zwei Wurzeln negativ:

M>0, zweimanteliges Hyperboloid,

H. Nicht zentrale Flächen.

Die Gleichung (R) (s. § 81,₅) hat eine oder zwei Wurzeln gleich Null, die Flächen haben 0 oder unendlich viele Mittelpunkte.

A) Eine Wurzel k ist gleich 0, kein Mittelpunkt vorhanden. Die beiden andern Wurzeln haben:

1.    gleiche Zeichen: Elliptisches Paraboloid;

2.    ungleiche Zeichen: Hyperbolisches Paraboloid.

ß) Eine Wurzel ist gleich Null, unendlich viele Mittelpunkte auf einer Geraden. Die beiden andernWurzeln haben:

1.    gleiche Zeichen: Elliptischer Zylinder oder eine Gerade;

2.    entgegengesetzte Zeichen: Hyperbolischer Zylinder oder zwei sich schneidende Ebenen.

C) Zwei Wurzeln gleich Null:

1.    kein Mittelpunkt vorhanden: Parabolischer Zylinder;

2.    unendlich viele Mittelpunkte: zwei parallele Ebenen (Doppelebene; zwei imaginäre Ebenen).

§ 83. Die einzelnen Flächen zweiter Ordnung

y²

z*

+ bT + -^-¹=°-

a²

c*

1. Ellipsoid: X

Die Fläche liegt ganz im Endlichen, sie wird von jeder Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse geschnitten; die Hauptschnitte sind ebenfalls Ellipsen.

Durchmesser ebene, welche die Sehnen, deren Richtungskosinus <x, ß, y sind, halbiert:

OL X

a²

b²

c²

o.

Polarebene des Punktes x₁|y₁|z₁: xi x , J , Zj z

a2 1 b²

c²

Liegt (xt, yu zt) auf der Fläche selbst, so stellt die vorige Gleichung die Berührungsebene dar. Konjugierte Durchmesser. Die Geraden ( x = m₁ z

l y=niz>

j x = mz l y = nz ,

= m₂ z = n₂ z

stellen konjugierte Durchmesser dar, wenn folgende Bedingungen stattfinden:

' m mi

n nt

a²

b²

0,

nn₂

a²

b²

o,

mj m₂ nj n₂

a²

b²

c²

Werden zwei, bzw. drei Achsen einander gleich, so geht die Fläche in ein Drehungsellipsoid, bzw. eine Kugel über.

Kugel, Mittelpunkt im Ursprung: x²+y² + z² = r².

Mittelpunkt im Punkt (x1? y1? z₁):

(x - Xi)³ + (y — yi)² + (z — Zi)³ = r³.

x² y* z²

2. EinmanteligesHyperboloid: -^r + ^y—^- — 1 = 0.

Die Fläche besteht aus einem ins Unendliche sich erstreckenden Mantel; sie wird von der XT-Ebene in einer Ellipse, von der XZ- und der YZ-Ebene je in einer Hyperbel, von einer beliebigen Ebene in einer reellen Ellipse, einer Parabel oder Hyperbel geschnitten.

x² y²    z²

Asymptotenkegel: —+ —--₂ =0 .

Die einzelnen Flächen zweiter Ordnung. Zwei Scharen von Mantellinien:

181

und

H(K

l-l

\a c/

Jede Schargerade schneidet alle Gerade der anderen und keine der eigenen Schar. Die Fläche ist der Ort einer Geraden, welche immer drei Gerade schneidet Sie ist eine windschiefe Regelfläche.

X² y* za

3.ZweimanteligesHyperboloid: ^ + ^—^ + 1 = 0.

Die Fläche besteht aus zwei sich ins Unendliche er

streckenden Mänteln, sie enthält keine reellen Geraden, wird von der XY-Ebene in einer imaginären Ellipse, von der XZ- und der YZ-Ebene in Hyperbeln, von einer beliebigen Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse, einer Parabel oder Hyperbel geschnitten. — Wird a = b, so geht jedes der Hyperboloide in ein Drehungshyperboloid über.

v* z²

4. Elliptisches Paraboloid: —+—=2 x

(b u. c gleichzeitig).

Die Fläche besteht aus einem einseitig sich ins Unendliche erstreckenden Mantel; sie wird von der YZ-Ebene berührt, von der XY- und der XZ-Ebene je in einer Parabel und von einer beliebigen Ebene in einer reellen oder imaginären Ellipse oder in einer Parabel geschnitten. — Die Fläche entsteht, wenn die Parabel, die in der XY-Ebene liegt, parallel so verschoben wird, daß ihr Scheitel auf der in der XZ-Ebene liegenden Parabel weiter rückt Für b ----- c Drehungsparaboloid.

y* z*

V--=2x

b c

5. Hyperbolisches Paraboloid:

(b u. o positiv).

Die Fläche ist sattelförmig, sie hat mit der unendlich fernen Ebene ein Geradenpaar gemein, sie wird von der

XY- und von der XZ-Ebene je in einer Parabel (diese beiden Parabeln haben den Ursprung gemeinschaftlich und ihre auf der X-Achse liegenden Achsen sind entgegengesetzt gerichtet), von der YZ-Ebene in einem Geradenpaar und von einer beliebigen Ebene in einer Parabel oder Hyperbel geschnitten. Sie ist der Ort einer Geraden, welche immer zwei gegebene Gerade schneidet und einer gegebenen Ebene parallel bleibt. — Sie wird ferner erzeugt, wenn die in der XY-Ebene liegende Parabel parallel weiter rückt und dabei mit ihrem Scheitel auf der in der XZ-Ebene liegenden Parabel bleibt Die Fläche enthält zwei Scharen von Geraden, nämlich:

to £

fb Vc

_y_ ₊ _z_₌₌_^ /b yc p

> und

/b /c ^

Die Geraden der Schar A sind parallel der Ebene

6. Kegelfläche, Spitze im Urspnmg:

X ^ V“ z²

imaginärer Kegel: “ + ——- = 0 ,

a²

b²

c²

x*

y¹

z*

reeller Kegel:

Letztere Fläche, welche abwickelbar ist, wird von einer Ebene in einer reellen Ellipse, oder Parabel oder Hyperbel (oder deren Ausartungen) geschnitten; sie enthält eine Schar von Geraden, welche durch die Spitze gehen, nämlich

TT+ b«-—= °-

a³

c³

x z y , x z Ay

a²

b²

0,

f x = pz + c l y = mz + d

= 1, z = 0.

Die sich ins Unendliche erstreckende Fläche wird von jeder Ebene in einer Ellipse (oder einem Parallelenpaar) geschnitten und enthält eine Schar von parallelen Geraden. Ist die Erzeugende parallel der Z-Achse, so ist die

Gleichung der Fläche:    +

a² b²

wenn die Erzeugende:

und die Leitlinie:

x² y²

a²

b²

--1.

x² y²

8. Hyperbolischer Zylinder: —--- — 1 = 0 ,

x² y2    a

die Leitlinie — — — — 1 = 0, z = 0 und die 1 a² b²

zeugende parallel der Z-Achse; er wird von einer Ebene in einer Hyperbel oder einem Parallelenpaar geschnitten.

x² 2 y

I² b"^⁰’

9. Parabolischer Zylinder:

x² 2 y

Leitlinie —--— ----- O, z = 0, Erzeugende parallel der

Z-Achse; er wird von einer Ebene in einer Parabel oder einem Parallelenpaar geschnitten.

10. Jede Gleichung von der Form

x² + y² + z2 + ax + by + cz + d = 0,

ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz = 0, (ax + by + cz + d)(a₁x + b₁y + c₁z + d₁) = 0 stellt bzw. eine Kugel, einen Kegel, ein Ebenenpaar dar

iH CM

3)

Höhere Analysis.

A) Differentialrechnung.

8 84. Funktion; unendlich kleine Größen; Differential quotient.

Funktionen.

1.    Eine Zahl von unveränderlichem Wert (3, 5, a, 3a — b ...) heißt eine Konstante; eine Zahl, welche alle Werte der Zahlenreihe annehmen kann, heißt eine Veränderliche (in der Regel bezeichnet mit t, x, y, z).

Der

2.    Ist die Größe y mit der Größe x so verbunden, daß — einem bestimmten Gesetz zufolge — jeder Veränderung von x eine Veränderung von y und jedem Wert von x ein bestimmter Wert von y entspricht, so heißt y eine Funktion von x. Man nennt hierbei y die abhängige, x die unabhängige Veränderliche oder das Argument. Sind x, y und z so miteinander verbunden, daß zu einem willkürlich gewählten Wertopaar von x und y ein bestimmter Wert von z gehört, so ist z eine Funktion von x und y; x und y sind hierbei die unabhängigen Veränderlichen; usf.

Inhalt eines Kreises, einer Kugel ist eine Funktion des Halbmessers; derjenige eines Rechtecks, eines Quaders ist eine Funktion von Länge und Breite, bzw. von Länge, Breite und Höhe.

Funktion.

185

Bezeichnung der Funktion: f(x), F(x), cp (x), tp (x) und dergleichen.

y = f(x) ist eine Funktion von einer unabhängigen

Veränderlichen x.

e = f(x, y) ist eine Funktion von zwei unabhängigen

Veränderlichen, x und y.

u = f(x, y, z) ist eine Funktion von drei unabhängigen

Veränderlichen, x, y und z.

3.    y = f(x), z ----- f(x, y) usf. heißen entwickelte (explizite) Funktionen.

Die Funktion y = f(x) heißt für einen bestimmten Wert von x n-deutig, wenn die durch den Ausdruck von f(x) gegebene Vorschrift zur Berechnung von y aus jenem Wert von x im allgemeinen n verschiedene Werte von y liefert.

F (x, y) = 0 , F (x, y, z) = 0 usf. heißen unentwickelte (implizite) Funktionen.

4.    Man unterscheidet algebraische und transzendente Funktionen und teilt die algebraischen ein in rationale und irrationale. Die allgemeine Form einer rationalen Funktion ist

aX) + a₁x + a₂x* + ... + anxn

y b₀ + b₁x + b₂x² + ...+bmxm ' wobei m und n ganz und positiv sind; eine ganze rationale Funktion n-ten Grades hat die Form y = aö + aLx + a2x2+ ••• + xn, wobei ^0 .

y ist eine irrationale Funktion von x, wenn zur Berechnung des Wertes von y neben rationalen Zahlenverbindungen noch eine oder mehrere Wurzelausziehungen notwendig sind.

Eine Funktion heißt transzendent, wenn der Wert derselben nicht vermittels einer endlichen Anzahl von einfachen algebraischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Radizierung mit konstanten Exponenten) aus der unabhängigen Veränderlichen berechnet werden kann. y = ax, y — logx, y — sinx z. B. sind transzendente Funktionen.

5. Eine Funktion f (x) heißt stetig für den Wert a des Argumentes, wenn nach Annahme einer beliebig kleinen Größe e die Größe <5 so bestimmt werden kann, daß für eine Änderung des Argumentes um eine Größe h < <5 die Änderung der Funktion f (a + h) — f (a) < t bleibt, oder kurz, wenn

lim f (a + h) | = lim f (a — h) I

I h = 0    I h =0

Unendlich kleine Größen und Grenzwerte.

6.    Wenn eine veränderliche Größe sich der Null nähert und dabei einen Wert annimmt, der kleiner ist als jede angebbare Größe, so nennt man sie unendlich klein.

7.    Zwei unendlich kleine Größen heißen von derselben Ordnung, wenn ihr Quotient gegen einen von Null verschiedenen, endlichen Grenzwert konvergiert. Ist a eine endliche, y eine unendlich kleine Größe, so ist a y von derselben Ordnung wie y.

8.    Ist d von der ersten Ordnung, so ist y von der

n-ten Ordnung, wenn der Quotient ~~ gegen einen

lim X-

endlichen, von Null verschiedenen Wert konvergiert, also wenn

Das n-te Differential dn y einer Funktion y = f (x) ist im allgemeinen unendlich klein von der n-ten Ordnung, sofern dx von der ersten Ordnung ist.

11. Differential und Differentialquotient.

y =f (x)

y + zfy = f(x + Jx)

A y = f (x + A x) — f (x)

f (x + J x) — f (x)

dy

=T-=y

lim Ji=0 OX

9.    Eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung ist im Vergleich zu einer solchen niederer Ordnung selber unendlich klein; sie kann daher neben dieser vernachlässigt werden.

Ist eine endliche Größe F gleich der Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Größen so bleibt F unverändert, wenn jede Größe y um ein unendlich Kleines e von höherer Ordnung vermehrt wird. Ist also

r= y₁ + 7% + • • • = lim 2 y , so ist auch r= (n + h) + (y₂ + ei) + ••• = lim+ s).

10.    Es ist

1) lim(l + (5)^=o=

lim

(l+-)m V m/m = 00

a*⁵ — 1 2) lim —-—

sin ö

loga

<$ =

o loge ‘

3) lim

4) lh»(l +-i)

= ex .

lim -j— ----- lim

⁼iGr)==f,(x)==r)f(x)-

dx heißt das Differential von x, dy dasjenige

d y

von y, df(x) = f(x)dx das von f(x); heißt Diffe-

rentialquotient, die Funktion f(x) die (erste) Ableitung von f (x).

Es gibt stetige Funktionen, die keinen Differentialquotienten haben.

Ist C eine von x unabhängige Konstante, so ist

dx

Die Ableitung des ersten Differentialquotienten gibt den zweiten usf.; es ist also

dx

die zweite Ableitung von f(x).

§ 85. Allgemeine Formeln über Differentiation.

Es seien u, v, w Funktionen von x, A, B, 0 Konstanten.

df(u) df(u) du

dx

du dx ’

2.

d(Au + Bv + Cw) = Adu + Bdv + Cdw , d(Au + B,±C₃)_₁du    a»    dw

dx    dx    dx

= A u'+ B V+ C V. d(u v) = v du -f udv , d(uv w) = v wdu + u wdv + u vdw , d(u v)

dx

dx

dx

u'v + u^uv^ + J),

•(I+t+^+4

uvw ..

u'v —uV

dx

v²

so ist:

5. Bezeichnet man die n-te Ableitung von u mit u<n) dn(A u + B v)

dxn

AuW + BvW ,

(u v)(n) ----- u(n)v + ^ j u^¹¹”"¹) yW +

to p

u(n-2) y(2) + eee

^ j uW y(n™x) -f- u y(n) .

6.    Ist u = f (z), z = cp (y), y = ip (x), dann ist du df(z) dz dy

dz dy dx'

7.    Vertauschung der unabhängigen Veränderlichen. Sind x und y Funktionen yon t, so ist:

1)

' dx dt dt J ₀x d²y /dx d²y dy d²x\

' dx² \dt * dt² dt * dt²/

dx

xY'—y'x"

(xO⁸ '

Ist x als Funktion yon y gegeben, so hat man

d²y

dy

dx

³⁾ dx ¹" dy

d²x

:(-)•

dy² Vdy/

dx²

8. Betrachtet man in der Funktion z = f (x, y) die eine der Größen x und y, z. B. x, als veränderlich, die andere als konstant, so heißt die Ableitung der Funktion nach dieser Veränderlichen x die partielle Ableitung nach x;

dz

sie wird mit —— oder mit (x, y) oder auch kurz mit fi dx

bezeichnet. Es ist also

dz

—— ----- lim

f(x + h, y) — f(x, y)

dx

dz

—— ----- lim

t(x, y + k) —f(x, y)

Das partielle Differential nach x wird mit <5xz, das nach y mit dy z bezeichnet und es ist

<5xz 0(1. dxf (x, y) = ^- dx=f'x(x, y) dx od. kurz =fx dx. öx

Die Änderung dz, welche z erfährt, wenn die beiden Veränderlichen x und y zugleich sich um die voneinander unabhängigen Differentiale dx und dy ändern, heißt das totale Differential von f (x, y) und es ist d z = fx dx + fy dy .

Für u = f (x, y, z) ist

du — fx dx + fy dy + fz dz , d. h.

Das totale Differential einer Funktion ist gleich der Summe der partiellen Differentiale nach sämtlichen Veränderlichen:

9.    Sind x, y, z Funktionen von t, dann ist

df(x, y, z) af.dx.if.dy.if.di_ dx dt — dy dt ‘ dz dt

10.    Für die höheren partiellen Ableitungen der Funktion z = f(x, y) gelten folgende Bezeichnungen und Beziehungen:

dt

dx

d² z

dx

dx²

fi'x;

dx

d² z

d^

dy

d² z

dx

dy dx

f" -Ay, * >

dy dxdy

d —

dy d²z

<Pz

dx dy dy dx

dy dy²

rf2z oder fx, y = f'y, x •

wofern im Zähler jeden Gliedes du² durch ö² u ersetzt wird. — Der Satz gilt ebenso auch für das Differential n-ter Ordnung.

12. Unentwickelte (implizite) Funktionen.

Ist f (x, y) = 0, so ist

df(x, y) = f'xdx + fydy = 0 oder    — fx : fy

d²y

dx

fx/xf;²-2fxZyfxfy+fy/yf^

dx²

f^

13. Ist f (x, y, z) = 0, so kann z als Funktion von : und y betrachtet werden, dann ist

' dx ⁺ dz dx ’ öf öf dz

²⁾ ^+är^⁼⁰’

hieraus folgt

hieraus folgt

dz

O»

<5y'

Differenziert man Gleichung 1) nach x, dann auch nach y, ferner Gleichung 2) nach y, so ergeben sich

S²z <3²z d²z

Gleichungen, aus welchen man -—-, -——, -— erhält

<3x² oxoy (5y²

14. Mittelwertsatz der Differentialrechnung: k (*o + h) —f (xo) = h . f (Xo + © h), wobei © ein positiver, echter Bruch.

§ 86. Spezielle Formeln.

1.    Das Differential und der Differentialquotient einer Konstanten ist Null.

_    dxn    .

2.    —— = n xn—1 . dx

3.    dT{xa)

dxr

n(n —l)(n—2)...(n —r+l)xn~r, r<n.

dax

4.

Höhere Analysis. damx

—— = am xm l a ; dx    dx

dex

— = ex.

, !g-w.

6.

dlogx 1 a

dx

= — (s. § 21„),

dZx

dx

7.

dr (log x)

'dxr

(-l)r-i(r-l)!

loge

xr

8.

d sinx

dx

008 X

= sin ^x +

9.

dr sinx

10.

dxr

dcosx

sin

(’+¥)•

dx

sinx = cos

(*+ )■

11.

dr cos x

dxr

cos

(*+¥)■

12.

dtgx

dx

~t— (= sec²x).

C0S²X

(Für höhere Ableitungen kein einfaches Bildungsgesetz.)

13.

detgx

dx

sin²x

(= — cosec²x).

14.

d arc sin x

dx

d arc cos x

yi - x²

dx

₁₆ darctgx

dx

^ d arc ctg x

dx

18.

d arc sec x

dx

19.

d arc cosec x

xyx² — 1

dx

x^x² — 1

§ 87. Die Taylorsche und die Mac Laurinsche Reihe. 1. Taylorsche Reihe:

f(l + h) = f(x) + if(x) + ^r(x) + ... + ^f(n)(x) h(n + !)

f(n+¹) (x + p h)

' (n + 1)!

wofern fi positiv und <1, f (x), f(x), f'(x)... endliche und bestimmte Werte haben und wofern f(n+¹) (x) endlich und stetig für alle Werte zwischen x und x + h. Für x = a und h = a —x ergibt sich;

<-^r<a) +

2. f (x) = f (a) + (x — a) f (a) -f (x — a)n+¹

nl

f(n+i) [a + p (x — a)].

Hierbei muß f(n+¹^(x/) für alle Werte von x/ zwischen a und x endlich und stetig bleiben.

Für a — 0 ergibt sich:

3. Mac Laurinsche Reihe:

(n + 1)!

f(x)=f(0)+^f(0)+^f"(0)+^r(0)+...+^f(”)(0)

f(n+‘)(/ix),

X11 + ¹

(n + 1)!

Btirklen, Formelsammlung.

18

wofern f (x) und seine Ableitungen im Intervall 0 bis x endlich und stetig bleiben.

Wird f (x) oder eine seiner Ableitungen für x = 0 unendlich oder unstetig, so kann f(x) nicht mehr vermittels der Mac Laurinschen Reihe entwickelt werden. In diesem Falle ist 2. anzuwenden.

4. Taylors Reihe für zwei Veränderliche. x + ht = p, y + kt = q, f(p,q) = U, f(x,y) = u,

1 (du <5u V²⁾

2!\5xh + ^k)

f(x + h,y + k) = u +

^3! W

(3)

du

<5x

du

Sy

h+ ykJ +- +

(s. § 85, u).

^kf+R

Sy

R = ~r

1 MU

;-h +

%'T-(

n!L\<5p

(p = x + 0 h, q = y + 0 k) •

du VnI

Tykl J'

§ 88. Werte unbestimmter Ausdrücke.

^    0. oo, 0», oo», 1°°,

für X ----- a die unbestimmte Form —

oo — oo .

1. Nimmt ——

oder — an, so ist oo ⁷

<P (x)

f(x)

wird auch

f(a)

hmy(x) x=a r//(a) '

0    OO

= — oder —

so wird das Verfahren

g/(;a)    0

wiederholt und es ist, wenn f(n) (a) und cp^ (a) diejenigen Ableitungen sind, welche zuerst nicht gleichzeitig zu 0 oder zu oo werden:

lim

f(") (a)

<p (x) I ₌ a    'P(n) (a) '

f(x)

2. Ist f (x). cp (x) = 0 • oo für x = a, so ist:

Dieser letztere Ausdruck nimmt für x = a die Form 0 an, sein Wert ergibt sich nach 1.

3.    Nimmt der Ausdruck [f (x)jv(x) für x — a eine der Formen 0°, oo°, 1°° an, so setzt man [f(x)]?dx) _e<r(xHf(x) imci untersucht nach 1. oder 2. den Ausdruck cp (x) l f (x).

4.    Führen die angegebenen Mittel stets wieder zu demselben unbestimmten Ausdruck, so muß man zu besonderen Hilfsmitteln greifen. Man kann dann für x zunächst a + h setzen, den Ausdruck umformen oder nach steigenden Potenzen von h entwickeln und wenn möglich vereinfachen, worauf sich für h = 0 der gesuchte Wert ergeben kann. Es ist jedoch auch möglich, daß ein Grenzwert der unbestimmten Form überhaupt nicht existiert.

5.    Wenn f (x) — cp (x) für x ----- a die unbestimmte Form oo — oo annimmt, so suche man den Ausdruck in ein Produkt oder in einen Bruch zu verwandeln, was z. B. folgendermaßen geschehen kann:

9 (x) f (x)

f(x)-9?(x) =

f (x) * <p (x)

Der Wert hierfür wird nach dem Vorausgegangenen ermittelt.

6. Die Bestimmung des wahren Wertes eines für x = a unbestimmten Ausdruckes kann häufig dadurch vereinfacht werden, daß man denselben von solchen

Faktoren befreit, welche für x = a weder zu Null noch unendlich groß werden. Das Produkt aus dem wahren Wert des übrig bleibenden Teiles und den bestimmten Werten der weggelassenen Faktoren gibt den wahren Wert des gegebenen Ausdruckes an.

g 89. Größte und kleinste Werte von Funktionen.

1.    Die Funktion y = f(x) erreicht für x —a ein Maximum, wenn f (a^h) —f (a)<0 , ein Minimum, wenn f (a ^ h)— f(a)>0 ,

wobei h sich der Null unbegrenzt nähert.

2.    Bei zunehmendem x ist

f (x) wachsend, wenn f(x) > 0 , f(x) abnehmend, wenn f(x)<0.

3.    y = f (x) erreicht für x — a

ein Maximum, wenn T(a) ----- 0 und f"(a)<0, ein Minimum wenn f(a) = 0 und f"(a)>0;

f(n)(x) in der Umgebung von

allgemein: Sind f(x) x = a stetig und verschwinden die (n -1) ersten Ableitungen für x — a, während die n-te §0 ist, so ist f(a) bzw. ein Maximum oder Minimum von f (x), wenn n gerade ist.

Ist die niederste für x ---- a nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung (z. B von erster), so ist f(a) weder ein Maximum noch ein Minimum.

Um die Stelle und den Wert des Maximums oder Minimums zu finden, wird y gebildet, gleich Null gesetzt und die erhaltene Gleichung nach x aufgelöst. Nun wird y" gebildet, es werden die gefundenen Werte von x eingesetzt und aus dem negativen oder positiven Ergebnis bestimmt, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt Durch Einsetzen der gefundenen Werte von x

in y = f (x) ergibt sich der Wert des Maximums oder Minimums selbst.

4. Funktion zweier unabhängiger Veränderlichen, z = f (x, y).

Man bestimme x und y aus

<x di „    , di A

1) -T—=* 0 und — = 0.

dx    dj

Die erhaltenen Werte müssen der Bedingung genügen:

sn dH

w'W2<0'

Es findet dann Maximum oder Minimum statt, je nachdem ^₂f

2)

/ dn y

\dx6y/

3)

und

dH

dj²

dx²

für jene Werte von x und y beide gleichzeitig bzw. < 0 oder > 0 sind.

5. Relative Maxima und Minima. Die Werte von x, y, z, für welche die Funktion v = f(x, y,z) unter gleichzeitigem Bestehen der Bedingungsgleichungen (Nebenbedingungen) cp (x, y, z) = 0 und y (x, y, z) = 0 ein Maximum oder Minimum erreicht, ergeben sich aus den Gleichungen:

du

l) = fi + X (px + n y4 = o

<5u

2) jr— — fy X <Py 4" tyy — 0 ,

<9y

du

3)    — = ¥z X (pz ja, y/z = 0 j

4)    <p(x, y, z) = 0 ; aus welchen man zunächst die willkürlichen Konstanten X, ja entfernt und wobei

a = f(x,y, z) + Ay(x,y, z) + ytty(x, y, z).

⁶) «M^y, z) = o,

B) Integralrechnung.

§ 90. Bezeichnung und Erklärung.

wenn

F(x) heißt das Integral von f(x)dx, geschrieben /f(x) dx,

es

f(x) .

ist also dann [ f(x) dx = F(x) + C, wobei C eine unbestimmte Konstante bedeutet; ferner ist d J f(x)dx

dx

§91. Integration einfacher Funktionen; Grundformeln.

Bei sämtlichen nachstehenden Formeln ist rechts

die unbestimmte Konstante zu ergänzen. xn+*

1.

xn dx

n -j⁻ 1

J{ a+bx)n =

für n§ — 1 ,

(a + bx)n+¹

2.

Ix ;

(n + 1) • b •

3.

ax

axdx = ₁— ,

Za

4.    Jcosx dx = sinx .

5.    s sin x dx = — cos x . s dx

J cos²x

’• /äI

6.

tgx .

ex dx = ex .

8.

/■

sin²x sin x

cos ²x

ctg x .

dx ==

—— ( = sec x).

cos X

9.

COS X

sin²x

dx

10.

sin x cos x dx

sin x sin²x

(=- — cosecx).

11.    stgx dx = — Zcos x .

12.    J ctg x dx = /sin x .

ltgx ;

13.    /    ⁴¹

J

sin x cos x

sinx

"»f;

14.

fl!L_ltgfe ₊ i).

J cos x \4    2 /

15.

dx

yi—x²

arc sin x =

71

— arc cos x-{- — }

dx

s dx

16. J.

/a²— b²x²

1 + x²

71

= arc tgx = — arc ctg x + — ,

dx

a² + b² x² ab

arc tg-.

yx² —1

arc sec x ,

dx

x yb² x² — a²

arc sec-.

18.

s_dx

J y2 x—x²

arc sin (1 — x) ,

yi + x²

i(x + fl'Tx'²) .

dx

20.

21.

22.

23.

24.

25.

yx*-i

J yx* ± a² dx = J yx² ±as±yi(i +yxs±a*).

f+

a² — x²dx =

~ ]/a² — x² +    arc sin ~ .

r ** i

J ya+2bx + cx² /c

/(b+ ex

dx

+/c]/a + 2bx + cx²) .

-b

1    . cx

ya+ 2 bx —cx² yö xdx

yb² + ac

—ya+2bx + cx8 c

= —= arc sin ——

yö⁵

ya + 2 b x + c x2 —^r=/(b + cx+/cya+2bx + cx²) .

xdx

26.

ya+2bx —cx² ^

arc sin

^-ya + 2 bx —cx2 . cx —b yb² + ac’

§ 92. Allgemeine Formeln; Integrationsweisen entwickelter Funktionen; Rekursionsformeln.

Es seien u, v, w ... Funktionen von x; A, B ... konstante Faktoren.

1.    Integration einer Summe.

J‘(Au + Bv + Cw + ...) dx = Aj'udx-t-Bjvdx + CjVdx+ ...

2.    Teilweise Integration.

uv = Judv + JVdu und Judv = uv — Jvdu.

Integrationsweisen entwickelter Funktionen. Beispiel:

Jx² cos x dx ----- Jx² d sin x = x² sin x — 2 Jx sin x dx , /x sin x d x = — / x d cos x = — x cos x + /cos x dx = — x cos x + sin x + C , also jx² cos x dx = x² sin x + 2 x cos x — 2 sin x + C .

3. Integration durch Substitution. i =* <p (z), dann ist dx = <p'(z) dz ,

/f (x) dx = ff [cp (z)] <p'(z) dz .

Es sei

Beispiel: dann ergibt sich

dx

xm (a + b x)n '

Man setzt--\- b = z

L_f

am+n-ij

(z — b)m+n-⁸

dz ;

nun entwickelt man nach dem binomischen Lehrsatz und integriert die einzelnen Summanden.

Die häufigsten Substitutionen sind:

zn

z==a + bx ;

z = a + b x²;

z -----

x+b*

a + bx

z — 1 'z+i'

, dx = — • zm—,dz ; b

CÖ |rO

oder x =

zm —a

z, oder x ----- —-— b

sinx — z und dx

a —bx

ya + bx =

dz

tg|~«t, sinx

2t

1 + t²

, cosx

/l - z2 1-t²

1 + t²

2 dt 1+t²*

4. Integration durch Zerlegung in Teilbrüche.

V(x)

Jede unecht gebrochene, rationale Funktion läßt sich in eine ganze Funktion w(x) und eine echt

F(x)

f (x)

gebrochene, rationale Funktion umformen. Diese letztere läßt sich in eine Summe von Teilbrüchen zerlegen.

1) Die Wurzeln der Gleichung F(x) = 0 seien sämtlich reell und untereinander verschieden, es sei F(x) = (x — a) (x — b) (x — c) ... = 0 , dann ist

f(x)

F(x) x — a x —b x —c

hierbei ist

f(a)

f(b)

B F'(b)'    ‘

A F'(a)’

2) F(x) = 0 hat auch komplexe Wurzeln, z. B. p + qi und p —qi, dann ist

f(x)

<p(±)

F(x) x-p-qi

x — p + qi"¹” 0(x) '

hierbei ist

f(p—q.0 F'(p-qi) •

Faßt man nach der Bestimmung von A₁ und Ag die beiden ersten Brüche zusammen, so geben sie einen reellen Bruch mit dem Nenner (x —p)² + q².

3) Mehrfache Wurzeln. Es sei F(x) = 0 = (x — a)a (x — b)l (x — c)^ ..., dann ist

Al

f(p + qi)

F(p + qi)

A,

f(x)

Ai

A„_i

F(x) (x —a)Ä (x — a)Ä 1

(x-by ' (x — b)^ ¹

Setzt man F(x) = (x — a)Ä • <p(x), so hat man zur Bestimmung von A, Ax, A₂ ... folgende Gleichungen:

f(a) --- A - <p(a),

f'(a) = A - cp' (a) + At <p(a),

f'(a) = A <p"(a) + At • 2 y'(a) + Aj • 2 <p(a), ft°)(a) — A <p(n)(a) + Aj • n • <p(n~ *)(a)

+ Aa • n(n — 1) • <p(n-²>(a) + ... +n! An_j<p(a) . Das Integral der ursprünglichen, gebrochenen Funktion eigibt sich nun durch die Integration der einzelnen Teile.

(-MW

eine Funktion, welche

aus L und der n-ten Wurzel durch rationale Verbindungen derselben aufgebaut ist, dann läßt sich

5. Es bedeute R

in das Integral einer rationalen Funktion überführen durch die Einsetzung

a x + b

—;— ⁼ y •

cx + e

Um /R(x, ya + bx + cx²)dx (c> 0) auszuführen,

benutzt man die Einsetzung y =

man erhält dann

cx + b

y ac4- b²’

/R(x,ya + bx4:cx²)dx=/R₁(y, yi ±y²)dy .

Hierbei stellt Rt wieder eine Funktion dar, die durch rationale Verbindungen von y und yl+y² gewonnen wird. Ist nun Rt eine Summe mehrerer Glieder, so integriert man jedes Glied einzeln. Andernfalls läßt sich das Integral, abgesehen von Integralen rationaler Differentiale, zurückführen auf eine Summe von Inte-

B,(y)dy

Wendet man auf R₂ Partialbruchzerlegung an, so erhält man eine Summe von Integralen von der Form y°dy

dy

wobei n>0 und

(y—a)”V i dby*

yi±y’

Die letztere läßt sich durch die Einsetzung y—a------

z

und durch Wiederholung des obigen Ganges ebenfalls auf die erste Form bringen, auf welche nunmehr auch das ursprüngliche Integral zurückgeführt ist Rekursionsformel:

y—¹]/! +ya

y"dy

n—1 s yn~⁸ dy

yi±y²

V¹ ±y*

Durch wiederholte Anwendung dieser Rekursionsformel gelangt man auf das Integral 16. oder 19. von

f ydy

J yi±y²

§ 91 oder auf

Durch unmittelbare Integration vermittels der Grund-formeln, durch Teilbruchzerlegung und durch die vorstehenden Yerfahrungsweisen ist die Integration von <p(x)dx durchführbar für folgende drei Falle:

n. (p(x) = r

I. <p(x) = R(x),

HI. <p(x) = R(x, ya+ 2 b x -f-cx²).

6. Weitere Rekursionsformeln.

1.

sinm x cosn xdx

sinm+¹xcosn-1x

n-ir m + ru/

sinm xcosn—2 xdx.

2.

sinmxcosnxdx

sinm—1xcosn+¹x

m-1 s m + n J

in + n

sinm—2xcosn xdx .

3. J*xn ex dx = xn ex — njxn—1 exdx . — dx

1 f ex n — 1J xn—

5.    /x*sinxdx = -xncosx + nJxn—1 cosxdx .

6.    Jxncosxdx = xn sinx —njx¹¹“¹ sinx dx . sinx

4.

ex

(n— 1) xn—1

(n—l)xn — 1 1 n — 1 /xn” cos x

(n — 1) x“”1 7. Integration durch unendliche Reihen.

1. Wenn f (x) = ut + u^ + u₈ + ... + un + ... eine Reihe ist, deren Glieder stetige Funktionen einei Veränderlichen x sind, wenn ferner diese Reihe für & und b und alle Werte zwischen a und b konvergent ist und wenn f(x) die Grenze ist, gegen die sie konvergiert, so ist (s. § 93, i)

fsin x

⁷- j^di 8.

J xn

cosx

Tdx.

1 s sinx n— lj xn

— dx.

b    b    b    b

Jf(x) dx = Jux dx +    dx +/u₃ dx + ...

2. Liefert die Mac Laurinsche Reihe für f(x) eine konvergente Reihe

xs

so ist

f(x) = f(0) + xf(0) + -f"(0)+...,

/f(x)dx = O + ^f(0) + ^f(0) + ^f'(0)+ ...

Die Integration durch unendliche Reihen besteht also darin, daß man den betreffenden Ausdruck (z. B. durch

den binomischen Lehrsatz, die logarithmische Reihe u. a.) in eine unendliche Reihe verwandelt und, nach Untersuchung der Konvergenzverhältnisse, die einzelnen Glieder derselben integriert.

§ 98. Bestimmte Integrale.

1. Ist f (x) dx das Differential von (x), so ist 9?(x)+C das unbestimmte Integral von f(x)dx; dagegen heißt

/f(x) dx = <p(b) — <p(a)

das bestimmte Integral genommen zwischen den Grenzen a und b, d. h. für x = a und x ---- b. Das be-

b

stimmte Integral j*f(x) dx ist die Grenze der Summe

der unendlich kleinen Werte des Differentials f(x)dx, wenn x durch unendlich kleine Änderungen h von a in b übergeht; daher auch b

4.    yf(x)dx = Jf(x)dx + j’f(x)dx + j*f(x)dx , c und d Werte zwischen a und b.

5. Mittelwertsätze. Wenn f(x) in dem Intervall x = a bis x = b stetig bleibt, ist:

b

sf(x) dx = (b — a) f [a + e (b — a)], wenn ferner f(x) in dem Intervall a <x<^b positiv und nicht überall gleich Null, so ist

b    b

J <p(x) f (x) dx = <p(c) f f (x) dx

a    a

, a<o <b.

b

Integrals jf(x) dx.

6. Angenäherte Berechnung eines bestimmten — Es sei für jeden Wert von x

zwischen a und b für eine Funktion cp (x)

<p(x) <f(x), desgleichen für eine zweite y(x) t/;(x)>f(x), dann ist

b    b    b

f <p(x) dx < f f (x) dx < f yj(x) dx .

a    a    a

Simpsonsche Regel. Um einen Näherungswert xan

von

f f(x) dx zu finden, teile man die Strecke zwischen

x§ und x2n in 2n gleiche Teile von der Länge h, und bestimme die zu den Teilpunkten gehörigen Ordinaten y₀, yi, ys ... y*n, dann ist annähernd

x«n    u

/ f W dx = —(y₀+4y₁ + 2ys + 4y₃ + 2y₄+... + ySn)

Xo    o

(s. auch § 94, u).

7. Summierung von Reihen durch bestimmte Integrale.

Wird f(x, m) dx zwischen zwei Grenzen a und b, die von m unabhängig sind, integriert, so ist das Ergebnis im allgemeinen wieder eine Funktion von m, so daß also

b

daher

f f (x, m) dx ----- <p(m) ,

b    *

j [f(x, 0) + f(x, l) + f(x, 2)+ ... 4-i(x, n —l)]dx

= yW + v(i) + <p( 2) + - + yC¹¹—i)

Läßt sich die unter dem Integralzeichen stehende Reihe leicht summieren, so erhält man die Summe der rechts stehenden Reihe in Form eines bestimmten Integrals¹).

8.

x, (x) dx =

wenn die Grenzen a und b konstant sind in Beziehung auf dagegen

df(x,a)    db    .(Ja

wenn a und b Funktionen von a sind.

/[/f(¹> y)dx] dy=/[/f(x» y)dy]dx»

o a

wenn f(x, y) für a <x <b, c <y <d eindeutig und stetig ist.

9. Besondere bestimmte Integrale.

71

1.

a + bx³ 2}/äb

s—

r

dx

²' /(i+x)yi “•

i    i

f dx n f xdx

• JyT^ 2' J/IZTS

4.

x2n

]/l —x²

dx

1-3-5 ... (2 L-1)

sin2nx dx

1.3.5 ...(2 n-1)

2-4-6 ... 2n

toi a

■= / cos2nx dx ;    2 n> 0 ,

5.

x2n + l

yi-x*

dx

1.3 • 5 ... (2 n + 1)

ßin2n+¹ x dx

2-4-6 ... 2 n

1-3... (2n+l)

6.

00

/

-J

0

cos2n+¹xdx; 2n+l>l.

sinax

71

dx--- — ; a>0 ;

scos a x 0

dx = 00 .

7.

e~xdx =1:

Bürklen. Formelsammlung.

14

8.

jxne-axdx = -^^(a>0, n ganze Zahl), o

n!

C) Anwendung der Infinitesimalrechnung aul Geometrie.

§ 94. Ebene Kurven.

1. Ist y ----- f (x) die Gleichung einer Kurve, r der Winkel der Tangente mit der X-Achse, dann ist (ds s. § 94, ₄):

dy

sin r    ,

ds

dx

dy

OOS r    ,

ds

Wenn y'=0, dann ist die Tangente parallel der X-Achse, ist y'—oo, so ist sie parallel der Y-Achse.

2.    Verlauf. Die Kurve steigt (d. h. y wächst) bei zunehmendem x, wenn 0, sie fällt, wenn y^<0.

Die Kurve ist in irgend einem Punkt erhaben (konvex) gegen die X-Achse, wenn y und y" für diesen Punkt gleiche Zeichen haben; im andern Falle ist sie hohl (konkav) gegen die X-Achse (s. § 89,₈).

— oo.

3.    Besondere Punkte. Für einen Wendepunkt der Kurve y = f(x) haben f"(x —h) und f"(x + h) entgegengesetzte Vorzeichen (h unendl. kl.). Die Koordinaten der Wendepunkte ergeben sich aus der Kurvengleichung und aus der Bedingung: f"(x) = 0, während F"(x) ^ 0 ; oder aus f"(x)

Für die in Polarkoordinaten gegebene Kurve r ----- f(<p) erhält man die Koordinaten der Wendepunkte aus dieser Gleichung und aus

r²+ 2 r'*—rr"= 0 .

Ein Punkt ist ein vielfacher Punkt, wenn sich mehrere Kurvenzweige in ihm schneiden, es müssen sich also für ihn mehrere Werte von y⁷ ergeben.

Dies ist möglich, wenn — — dx

fx    ,    0

die Form —-*y

annimmt, wenn also fx = 0, f y = 0. Durch Ableitung des Zählers und des Nenners der rechten Seite nach x erhält man zur Bestimmung von y':

= 0;

«) £x+2f?y^ + f?y

hieraus ergeben 1 Werte von y⁷, d. h. der Punkt ist

Doppelpunkt, bzw. Rückkehrpunkt oder Selbstberührungspunkt, bzw. isolierter Punkt, je nachdem

W/2 jy/ w/

Ixy^IxxTyy •

Für einen Rückkehrpunkt (Abszisse Xq) erster Art (Zweige auf verschiedenen Seiten der Tangente) erhält

d²y

man mit Xa 4- h zwei verschiedene Werte von -—- mit

dx²

entgegengesetzten Zeichen; für den Rückkehrpunkt zweiter Art erhält man in derselben Weise Werte mit gleichen Zeichen.

Es sei

Besondere Punkte im Ursprung 0.

A + (Bx + Cy) + (Dx² + Exy + Fy²)+ ...

+ (Pxn + Qxn-¹y+ ... + S yn) = 0 die Gleichung einer Linie n-ten Grades. Ist nun oc) A = 0, so geht die Linie durch 0 und es ist B x + C y = 0 die Gleichung der Tangente in 0;

ß) A = B = C = 0 , so ist 0 doppelter Punkt und es ist Dx² + Exy + Fy² = 0 die gemeinschaftliche

Gleichung der Tangenten in 0. Ist dabei E²—4DF=0 , so sind dieselben bzw. reell getrennt, reell zusammen-fallend oder imaginär und 0 ist bzw. eigentlicher Doppelpunkt, Rückkehrpunkt oder Einsiedler.

Einen Doppelpunkt der Kurve x = <p(t), y = y>(t) bestimmt man aus

X = <p(ti) = y(t>) ,    y = V(t₁)=V(t₂),

einen Bückkehrpunkt aus — = 0,    — = 0.

In zweifelhaften Fällen ist eine Untersuchung der Kurve in der Nähe des Punktes nötig.

4. Größenbestimmungen.

Bogenelement

ds=±ydx2+ay2=±yi+/2.dx=±y(ar)2+(rd<p)s.

ds muß bei der Bestimmung von sinr und cost (s. 1.) mit dem Zeichen genommen werden, das dem für tgr entspricht.

Die Tangente und Normale in Punkt P schneiden die X-Achse in T, bzw. in U, dann ist:

Tangente PT =

y

Subtangente

Y_

Normale PU---y^1 -j-y^;

Subnormale = yy/.

Polarkoordinaten: fi Winkel der Tangente PT mit dem Fahrstrahl OP zum Berührungspunkt P, im Sinne des wachsenden Winkels cp genommen; das Lot auf OP in 0 schneide die Tangente in T, die Normalo in N, dann heißt PT die Tangente (T), PN die Normale (N), OT Polarsubtangcnte (St), ON Polarsubnormale (Sn) und es ist

( dr

⁼ rr:-

' d<p

)- HMy)’

; N*=yr²+r/3 ;

r²

Sn ----- r'.

8t-- —

5. Gleichung der Tangente im Punkt (x, y), an die Kurve y = f(x), bzw. F(x, y) ----- 0, bzw. x = <p(t), y --- \p(t), X und Y laufende Koordinaten:

r' ’

1)    ?-7—£<*—*)•,

2)    F'x(X-x) + Fy(Y-y) = 0;

3)    (X-xÄ-CT-jÄ-O.

6. Bestimmung der Asymptoten. Die Gleichung einer Asymptote kann in einer der Formen geschrieben werden:

m ----- lim —

y = mx + c, x«=/*y + y; hierbei ist , c = lim (y — m x)

= lim —

dx

fji = lim —

dx

— lim —

y=oo

äy

, 7 = Um(x — hj)

Bei einer Linie n-ten Grades kann man die n möglichen Asymptoten (Tangenten in den n Schnittpunkten der unendlich fernen Geraden) erhalten, indem man ausdrückt, daß die Richtungsgerade (y ----- mx) mit der Kurvengleichung eine Wurzel x = <x> und daß die Asymptote (y = mx + c) deren zwei hat. Man setzt daher das Aggregat der Glieder n-ter Ordnung gleich

y

Null dividiert mit xn und löst nach — auf. Die n Wurzel-

y = oo

y    ¹

werte (m) für — sind die Richtungskoeffizienten. Man

setzt nun y = mx-fc in die Kurvengleichung ein und ordnet nach Potenzen von x. Der Faktor von xn wird von selbst zu Null. Aus dem gleich Null gesetzten Faktor von x“⁻“¹ ergibt sich c.

Für die Kurve r = l(cp) (Polarkoord.) bestimmt sich die Richtung einer Asymptote aus dem Wert von 9?, für welchen r = 00 wird; die Lage der Asymptote ergibt sich aus der Polarsubtangente, für welche man hat

St = lim. ^ |

Asymptoten parallel der Y-Achse. Man sucht die Werte von x, für welche y---so wird. — Für die Kurve yPF(x)+yP-¹F₁(x)+...+Fp(x) = 0, -F(x), F,(x)... ganze rationale Ausdrücke — ergeben sich die zur Y-Achse parallelen Asymptoten aus F(x) = 0. Auf entsprechende Weise erhält man die zu der X-Achse parallelen Asymptoten.

Zwei Kurven

7. Berührung von Kurven, y-----f(x) und y = <p(x) haben in einem bestimmten, gemeinschaftlichen Punkte (Abszisse Xq) eine Berührung n-ter Ordnung, wenn f(x₀) = <p(x₀) und für denselben alle Ableitungen von f(x) und 99 (x) bis zur n-ten einschließlich einander gleich sind. — Eine Berührung n-ter Ordnung kann aufgefaßt werden als eine Grenzlage, bei welcher n+1 Schnittpunkte der beiden Kurven in einen zusammenfallen. Eine Gerade y=mx+b bildet mit einer Kurve y = f(x) eine Berührung n-ter Ordnung, wenn für den gemeinschaftlichen Punkt alle Ableitungen von f"(x) bis zur n-ten einschließlich verschwinden und f'(x) = m (Wendepunkt, wenn n gerade, Flachpunkt, wenn n ungerade ist). Das Berühren ist mit Schneiden oder Nichtschneiden im Berührungspunkt verbunden, je nachdem die Berührung von gerader oder ungerader Ordnung ist.

8. Krümmungskreis. Er ist derjenige Kreis, der mit einer Kurve eine Berührung zweiter Ordnung im Punkt (x,y) hat; der Mittelpunkt desselben, der Krümmungsmittelpunkt, ist der Schnittpunkt zweier unendlich naher (zusammenfallender) Normalen. Der Krümmungshalbmesser q und die Koordinaten (X, Y) des Krümmungsmittelpunktes sind bestimmt durch die drei Gleichungen:

1)    (x-X)* + (y-Y)s = es,

2)    (x — X) + (y — Y) • y/= 0 ,

3)    l+y'²4-(y--Y)y"=0, hieraus ergibt sich

Krümmungshalbmesser q =±(1 + y²)^ : y77 Q- je nachdem 0)

X = x-(i + y⁷²).y':y",

Y = y + (l+y'²):y".

Ist die Kurve gegeben durch die Gleichungen x ----- <p(t) und y = xp(t), so ist

Q = (x⁷³ + y'²)^: (x' y"— x" y'),

. X = x — yYx^-f-y'²): (x'y⁷'—x'/v'),

T = y + x'(x'² + y'2): (x' y"— x" y') .

Für Polarkoördinaten hat man

e=s±

(r² + r'²)^

r² + 2r'² — rr" ’

Der Kontingenz winkel dr ist der Winkel zweier unendlich naher Tangenten, er ist gleich dem Differential des Neigungswinkels der Tangente gegen die Polarachse; es ist

^ _ dx d²y — d²x dy

ds²

*+(£)■

r dtp “dr~ ⁹

ds

ds

dr d(p-\-dju '    i

Maß der Krümmung, kurz Krümmung: —

Q

dr

ds*

9.    Die Evolute einer Kurve ist der geometrische Ort des Krümmungsmittelpunktes. Ihre Gleichung wird erhalten, indem man aus den Gleichungen für X und T in Nr. 8 unter Benutzung der Kurvengleichung x und y eliminiert. Die gegebene Kurve heißt Evolvente. Jeder Krümmungshalbmesser ist Normale zur Evolvente, Tangente an die Evolute. Differenz zweier Krümmungshalbmesser gleich dem dazwischen liegenden Bogen der Evolute. Wird ein um die Evolute gelegter, biegsamer und unausdehnbarer Faden in straffer Spannung abgelöst, so beschreibt der Anfangspunkt des Fadens die Evolvente.

10.    Hüllkurven. Die Gleichung F(x,y,p) = 0, worin p ein veränderlicher Parameter ist, stellt eine Kurvenschar dar, welche eine Kurve umhüllt; die Gleichung der umhüllten Kurve ergibt sich durch Elimination von p aus den Gleichungen

1.

F(x, y, p) = 0 und

2.

dF „

^-----0.

6p

Enthält die Gleichung der beweglichen Kurve zwei veränderliche Parameter p und q, zwischen welchen die Beziehung <p(p, q) besteht, so ergibt sich die Gleichung der Hüllkurve durch Elimination von p und q aus den drei Gleichungen:

<9 F d(p <5F dcp _    . x

F(x,y,p,q)=0, ?(p,q)=0.

11.    Flächeninhalt (Quadratur). Der Inhalt J der Fläche, welche zwischen der Kurve, der X-Achse und den zu den Abszissen x§ und x₁ gehörigen Ordinaten eingeschlossen ist, ergibt sich aus

J = /f(x)dx,

X#

oder bei schiefwinkligen Koordinaten

J = sin yJf(x)dx .

Xo

Soll die Fläche begrenzt sein durch die Kurven y = f(x), y = <p(x) und die zu x^ und xx gehörigen Ordinaten, so ist

j = /[f(x) —<p(x)]dx .

Xo

Simpson sehe Regel. Ist f(x) höchstens vom diitten Grade, ym die Ordinate in der Mitte zwischen x§ und xx, dann ist

Xl

/ f (x) dx = |(X! — Xo) (y₀ + 4 ym + yj

*0

(s. auch § 93, g).

12. Kurvenlänge (Rektifikation). Die Länge 8 eines Kurventeiles, welcher zwischen den Abszissen x0 und X; liegt, ist

= /ydx² + dy² =/y 1 + y'² dx .

xo    xo

13. Polarkoordinaten: Fläche zwischen der Kurve und den zu (p₀ und <px gehörigen Strahlen

7¹

J = |/r²d

Vo

Kurvenlänge:

<Po

r#

• dr .

§ 95. Raumkurven (doppelt gekrümmte Kurven).

1. Eine Raumkurve ist gegeben durch die Gleichungen x =    (t),

y = i/;(t), oder

.z = x (t)

f(x, y, z) = 0 , (Schnittlinie der F(x, y, z) = 0

Flächen)

oder

{ Y = (Pi (x) (Projektionen \ z = cp₂ (x) der Kurve).

2.    Bogenelement

da =ydx² + dy² + dz² =yi -fy'² + z'² • dx .

3.    Gleichungen der Tangente im Punkt (x,y,z)

X-x Y-y Z-z

dx

X —y(t) Y-

csa p-

, oder

— x(t)

<p'( t)

di

Oe-^

/(t) '

oder

(Y-yH

di

dF

Oe Oe

rrj N

(Z — z) — 0 ,

(T-y) + ^

(Z — z) == 0 .

Winkel ß, y der positiven Tangentenrichtung mit den Achsen bestimmt durch

„ dy

oo,ß-r

dx

dz

cos (X = — , ds

C08y—a;-

4.    Gleichung der Normalebene im Punkt (x, y, z) (X — x) dx + (Y — y) dy + (Z — z) dz == 0

[X — y(t)j <p'(t) + [T — y(t)] y'(t) + [Z — %(t)]/ (t) = 0 oder (X— x) cos (X + (Y — y) cos ß + (Z — z) cos y = 0 .

5.    Gleichung der Schmiegungsebene (= Krümmungsebene ----- Oskulationsebene — Ebene durch Punkt [x, y, z] und zwei unendlich nahe Punkte)

(X — x) cos X + (Y — y) cos /i + (Z — z) cos y = 0

A(X — x) + B(Y — y) + C(Z — z) = 0 ,

oder

oder

wobei A = dyd²z— d²ydz, B = dz d²x — d²zdx, 0 — dxd²y — d²xdy:

Normale zur Schmiegungsebene (Binormale) X—x Y—y Z-z C '

Die Winkel A, /r, v dieser Normalen mit den Achsen sind bestimmt durch

cos X =

cos ix = -

COS V =

ö| o

wobei

D=yA² + B² + C².

Die Hauptnormale ist die Schnittlinie der Normalebene mit der Schmiegungsebene; die Gleichungen der Hauptnormalen sind:

X — x Y — y Z —z

, dx dy ~ dz q—— d—— d——

ds

ds

ds

Für die Richtungswinkel f, r), f der positiven Hauptnormalen hat man: cos | d cos (X

cos rj dcoSjS

cos C d cos y

ds ’

6. Kontingenzwinkel dz, d. h. Winkel zwischen zwei unendlich nahen Tangenten:

D ,-

dr =    = y(d cos (x)² + (d cos ß)² + (d cos y)².

Erster Krümmungshalbmesser ds ds³

ei== d7⁼ir'

Der Krümmungsmittelpunkt liegt in der Schmiegungsebene, auf der Hauptnormalen und kann als Schnitt der Hauptnormalen mit einer unendlich nahen Normalebene betrachtet werden.

Qi

ds

Qi

Qi

ds

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind

2 ds

-5T*

x-x+d-£

d^

ds

T = y + ei

Unter der (ersten) Krümmung oder Flexion versteht man

ds

dr

ds Pl

Kurven mit der Flexion Null

Linien.

CH

sind gerade

7. Torsionswinkel di-, d. h. Winkel zweier unendlich naher Schmiegungsebenen

di- =-]/(d cos A)² + (d cos ja)² + (d cos v)² . Zweite Krümmung oder Drehung (Torsion) der di- 1

Kurve

ds

02

Kurven mit der Torsion Null

Kurven.

Ci-»)

sind ebene

Zweiter Krümmungshalbmesser (Halbmesser der Drehung)

ds

(links oder rechts gewundene Kurven).

6»    ± fl#

8. Frenets Formeln:

d cos (x cos f    d cos ß cos rj d cos y cos f

ds

0i

ds

0i

ds

0i

dcosA cosf    dcos/i cos 77    dcosr cos;

02    ^ S 02

dcos| cosdx cosA dcos-7 cos/? cos jx

ei e»

ds

ds

ds

dcos£

ds

ds

0i

02

02

cosy cosy

0i

02

9. Schmiegungskugel, Grenzlage einer durch vier unendlich benachbarte Punkte einer Raumkurve gehenden Kugel; ihr Mittelpunkt (x₀, y₀, z₀), der Schnittpunkt dreier unendlich naher Normalebenen, bestimmt sich aus

x<> ----- x -h ^ cos L — g₂ -—ji- cos X ,

d£i

Yo = y + cos rj — q₂ -r— cos ix ,

ds

dpi

z₀ = Z 4- COS C — Qi cos V .

Der Schnitt der Schmiegungskugel mit der Schmiegungsebene heißt Schmiegungskreis.

10. Rektifikation, die Länge s eines Bogens der Kurve x = <p(t), y = y (t), z = ^(t) zwischen den Punkten x₀, y₀, z₀ und x1? yx, zx ist

-/}

to § 96. Krumme Flächen.

1.    Eine Fläche ist gegeben durch die Gleichung F(x, y, z) = 0, oder entwickelt z = f(x, y), oder durch x==9?(u, v), y = y(u, v), z = ^(u,v).

dz

Bezeichnungen:

dz    <3³z    d²z    d* z

dj ^’ <5x³    dxdy ⁸’ dy³

2.    Gleichung der Berührungsebeneim Punkt (x, y, z) (X-x)F'x = (Y-y)Fy + (Z--z)F'z = 0, oder

p(X~x) + q(Y~y)-(Z-z) = 0.

3.    Gleichungen der Normalen im Punkt (x, y, z) X — x Y— y Z — z

Fi

Fi

Fi

(Z-z).

X-x Y-y

oder

Winkel Xy fi, v der Normalen mit den Achsen bestimmt durch

F'x

°°S/i=N ’

i'.

bzw.

wobei

cos v == —

C0S/i =

und

N» = (Fy» + (Fy)» + (F.)* n² = p² -f- q² -j- 1 .

4. Die Schnittlinie irgend einer durch die Normale gehenden Ebene mit der Fläche heißt Normalschnitt. Es sei q der Krümmungshalbmesser eines Normalschnittes im Punkt P, oc, ß, y die Winkel, welche die Tangente des Normalschnittes in P mit den Achsen bildet, dann ist

₌_n +p² + qii_

® rcos²<x +2 scosaCOS/8 +tcos²j6 ‘

Satz von Meunier. Geht eine Ebene durch die Tangente eines Normalschnittes (im Fußpunkt P der Normalen), so ist der Krümmungshalbmesser g' dieses schiefen Schnittes im Punkt P

q'=q cos (q {/) oder

der Krümmungshalbmesser des schiefen Schnittes wird erhalten, indem man den Krümmungshalbmesser des Normalschnittes auf die Ebene des ersteren projiziert.

5. Die beiden (aufeinander senkrechten) Ebenen, für welche q einen größten (pt) und einen kleinsten Wert (p₂) erreicht,heißen Haup tnormalschnitte, die Krümmungshalbmesser Qi und Qi derselben bestimmen sich aus den Gleichungen

(l + q²)r-2pqs + (l+p*)t _ -Ft=li--n’

Ql +(?2

oder als Wurzeln der Gleichung

£?2

rt — s²

(rt—s²)p² —[(l + q²)r—2pqs+(l-f-p²)t]ng+n⁴ = 0 .

6. Satz von Euler. Für irgend einen Normal-schnitt, dessen Ebene mit der Ebene des zu qx gehörigen Hauptnormalschnittes den Winkel cp bildet, ist 1    cos ²<p    sin²<p

Der Ausdruck

Qi

Qi

Qi Qz

heißt das (Gaußsche) Maß der Krümmung für den betreffenden Punkt.

Satz von Gauß: Das Krümmungsmaß bleibt bei einer beliebigen Verbiegung der Fläche umgeändert; oder¹: Sind zwei Flächen aufeinander abwickelbar, so haben sie in je zwei entsprechenden Punkten gleiches Krümmungsmaß.

7.    Sind q' und q" die Krümmungshalbmesser zweier aufeinander senkrechten Normalschnitte, so ist

Q¹ Q" Qi Qi'

d. h. für denselben Punkt einer Fläche ist die Summe der Krümmungen konstant.

8.    Krümmungslinie heißt der Ort des Punktes einer Fläche, für welchen die unendlich nahen Normalen zur Fläche sich schneiden; die Normalen gehören daher einer abwickelbaren Fläche an. Durch jeden Punkt einer Oberfläche gehen zwei Krümmungslinien, die aufeinander senkrecht sind und die Tangenten der Hauptnormalschnitte berühren. Sie sind dargestellt durch die Gleichung |⁸+[(l+q3)r-(l+p»)t](^) + [pqr — (1+P²)s] = 0

l(l + q*)s —pqt]

und durch die Gleichung der Fläche.

9. Eine auf einer Fläche liegende Linie heißt geodätische Linie, wenn ihre Schmiegungsebenen zugleich Normalebenen zur Fläche sind. Ihre Gleichungen sind

dF

dF

dF

dz

<3y

dcosa dcos/S dcosy Die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche gehört einer geodätischen Linie an.

10. Hüllfläche. Die Gleichung F(x, y, z,p) = 0,

worin p ein veränderlicher Parameter ist, stellt eine Flächenschar dar, welche eine Fläche umhüllt. Die Gleichung der Hüllfläche ergibt sich durch Elimination von p aus

F(x, y, z, p) = 0 und ^F(x,y, Z,p)

<5p

Enthält die Flächengleichung F(x, y, z, p, q) = 0 zwei veränderliche Parameter p und q, die durch die Gleichung <p(p, q) = 0 miteinander verbunden sind, so wird die Gleichung der Umhüllungsfläche erhalten durch

dq

Entfernung von p und q und — aus

F(x, y, z,p, q) = 0 ,    <p(p, q) = 0 ,

dF . dF

er! P-

dp dq

ö(p öcp “dp ~Äq

Enthält die Gleichung der bewegten Fläche zwei, voneinander unabhängige Parameter p und q, so wird die Gleichung der Hüllfläche erhalten als Eliminationsresultat von p und q aus

<5F

<5F

= 0 . <5q

<5p    0'

11. Quadratur (Komplanation) der Flächen. Das Differential der Fläche ist

F(x, y, z,p,q) = 0,

daher

dF = yi + p² + q⁸ - dxdy

F = /dx/yi + p2 + q2 dy , x₀ y₀

y₀ und sind die der Abszisse x entsprechenden Ordinaten der Projektion des Umrisses der Fläche auf , die Xi-Ebene, x₀ und x₁ sind die Abszissen zu den Ordinaten, welche jene Projektion begrenzen.

Bei Dreh flächen ergibt sich (— X-Achse ist Drehachse —):

F = 2 7isj y 1 +y/2dx = 2 njy ds . Bei Polarkoordinaten hat man:

• r d<p di/;.

(8. § 76, z).

12. Kubatur.

1.    Bei Drehflächen (— 0X Drehachse —); die gedrehte Fläche ist begrenzt vom gedrehten Kurvenbogen, den zu den Endpunkten desselben gehörigen Ordinaten und der X-Achse.

V = 7rJry²dx .

2.    Die gedrehte Fläche ist begrenzt von zwei Ordinaten und zwei Kurven y = f(x) und y₁ = f₁(x),

"v=7t/(y² —y?)dx.

15

Bürklen, Formelsammlung.

3.    Es sei u der Inhalt eines parallel zur Ebene YOZ geführten Schnittes, dann ist der Inhalt des Körpers, der zwischen zwei parallel zu YOZ geführten Schnitten mit den Abszissen x₀ und xx liegt,

Y=y*udx (u abhängig von x).

xo

4.    Allgemeine Formel:

V= J J Jdxdy dz .

ergibt sich

5.    Für Polarkoordinaten (Bezeichn, s. § 76, z) Y = i //r³ cos cp d<p dyj,

§ 07. Viel gebrauchte Zahlenwerte.

Zahlenwert

Logarithmus

Zahlenwert

Logarithmus

0,15052 0,23856 0,34948 0,38 908

0,50000

0,49715

0,79818

1,09921

0,19612

0,02003

0,10 034 0,15 903 0,23300 0,25 937

0,33333

0,99430

0,24857

0,16572

0.50285-1

0,00570-1

/2 = 1,4142

/3=1,73205

/5 = 2,2361

y 6 = 2,4495

yiÖ=3,16225 7r—3,1416

25t=6,2832

471= 12,5664

^=1,5708

|=1,0472

>^2 = 1,2599 ^3 = 1,4422 1^5 — 1,7100 1^6 = 1,8171

]/l0=2,1544 tt²=9,8696 }^= 1,7725 )^=1,4646 —=0,31831

71

-h=0,10132

7ll

Zahlenwert

Logarithmus

Zahlenwert

Logarithmus

= 0,7854 0,89509-1    ¹ =0,56419 0,75143-1

= 0,5236 0,71900-1 ==4,1888 0,62209

= 0,68278 0,83428-1

=57,29578    1,75 8 1 2

g=9,81    0,99167    s=2,7183    0,43429

-|=4,905    0,69064    e²=7,3891    0,86859

-^ = 0,1019    0,00833-1    e³= 20,086    1,30288

yg=3,1321    0,49583    /e = 1,6487    0,21715

Vs

^= = 1,0030 0,00132    ]^e = l,3956    0,14476

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Abwasser. Wasser und Abwasser. I Alpen, Die, von Dr. Rob. Sieger. Pro-Ihre Zusammensetzung. Beurteilung u. sessor an der Universität Graz. Mit Untersuchung von Professor Dr. Emil 19 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 129.

SÄÄtSÄ

2Jdjctbau-- u.JPfIon3cn6<lu(ct»rc i)oii 60n Th. tzchaustler, Prosestor am Dr. P°ul Nipper, m Essen und Ernst Realgymnasium ln Ulm. Nr. 28.

2^gtiaftuHur^cmTcif^Pt^an3cne(■tnä³^= AM-stam-n». A°Nai«n-geschichI-rang van Dr. Karl^rauer. Nr. 329. «an D Dr. Max Lahr. WoMlor an Agrikulturchemisch-K-n,rollwesen, der Umaechlal Königsberg. Nr. 292. Das, v. Dr. Paul Krische in Leopolds- Amphibien. Das Tierreich III: Rep-hall-Stahfurt. Nr. 304.    litten und Amphibien v. Dr. Franz

— Unlersuchungsmethoden von Prof. Werner. Professor an der Universität Dr. EmilKaselhosf, Vorsteherder land-    Wien. Mit 48 Abbildungen. Nr.383.

wirsi-hasll. Versuchsstalian in Marburg Analyse, Techn.-Chem., van Dr. ®. in Kesten. Nr. 470.    Lunge. Praf. a. d. Eidgen. Palylechn.

Akustik. Theorel.Physik I - Mecha- Schule ln Zürich. Mi, 18 Abb. Nr. 195. ntfc und Akustik. Van Dr. Gustav Analysis, KSHere» I- Disserenlial-Jager, Praf. an der Technischen Kach.    rechnung. Van    Dr. Frdr.    Junker,

fdiulcuifflmt. ÜJltt 19 älbbil6. ülr. 76.    Rektor des Realgymnasiums    und der

•• Musikalische, van Pro-star Dr.    Oberrealschule in    Göppingen. Mil

Karl L. edjajer in Berlin. Mil    68 Figuren. Nr.    87.

Algebra. Arithmetik und Algebra

von Dr. K. Schubert, Professor an der Gelehrtenschule des Iohanneums in Hamburg. Nr. 47.

— Veifpielfammlung z. Arithmetik u. Algebra v. Dr. Hermann Schubert. Prof. a. d. Gelehrtenschule des Iohan-neums in Hamburg. Nr. 48. Algebraische Kurven v. Eugen Beutel. Oberreallehrer in Vaihingen-Enz. I: Kuroendiskussion. Mit 57 Figuren im Text. Nr. 435.

--11: Theorie und Kurven dritter

und vierter Ordnung. Mit 52 Figuren im Text. Nr. 436.

35 Abbild. Nr. 21.    --Aepelitoriuni und Ausga-

bensammlung zur Differentialrechnung von Dr. Frdr. Junker, Rektor d. Realgymnasiums u. der Oberrealschule in Göppingen. Mit46Fig. Nr. 146.

--II: Integralrechnung. Von Dr.

Nr. 147. r. Benedikt Sporer in Ehingen. Mit 5 Fig. Nr. 53.

Friedr. Junker, Rektor des Realgymnasiums und der Oberrealschule in Göppingen. Mit 89 Figuren. Nr. 88. --Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung von Dr. Friedr. Junker, Rektor des Realgymnasiums u. der Oberrealschule in Göppingen. Mit 50 Fig.

— Niedere, von Prof. Dr.

Arbeiterfrage, Die gewerblich

Werner Sombart, Prof. a. d. £< Hochschule Berlin. Nr. 209.

Kobold

Kiel.

von

au

Lokomotivschuppen, düngen. Nr. 515.

Balkanstaaten. Geschichte d. christlichen Balkanslaaten (Bulgarien. Serbien. Rumänien, Montenegro.

iechenland) von Dr. K. Roth in Kempten. Nr. 331.

Bankwesen. Technik des Bankwesens von Dr. Walter Conrad, stellvert. Vorsteher der statist. Abteilung der Reichsbank in Berlin. Nr. 484.

Bauführuna.

über das Wesen der Bauführung Architekt Emil Beutinger, Assistent der Technischen Kochschule in Darmstadt. M. 25 Fig. u. 11 Tabell. Nr.399.

Baukunst, Die, des Abendlandes v. Dr. K. Schäfer, Assist, a. Gewerbe-museum. Bremen. M. 22 Abb. Nr. 74.

— des Schulhauses von Prof. Dr.-Fng. Ernst Vetterlein in Darmstadt. I: Das Schulhaus. Mit 38 Abb. Nr. 443.

--II: Die Schulräume — Die Nebenanlagen. Mit 31 Abbild. Nr. 444.

e, von andels-

Arbeiterverficherung, Die» von Prof.

Dr. Alfred Manes in Berlin. Nr. 267. Archäologie von Dr. Friedrich Koepp, Professor an der Universität Münster i. W. 3 Bändchen. M. 28 Abbildungen im Text und 40 Tafeln. Nr. 538/40. Arithmetik u. Algebra von Dr. Kerm. Schubert, Prof, an der Gelehrtenschule des Iohanneums in Kamburg. Nr 47. --Deifpielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Dr. Kerm. Schubert, Professor a. d. Gelehrtenschule des Iohanneums in Kamburg. Nr. 48. Armeepferd, Das, und die Versorgung der modernen Keere mit Pferden von Felix von Damnih, General der Kavallerie z. D. und ehemal. Preuß. Remonteinspekteur. Nr. 514. Armenwesen und Armensürsorge. Einführung in die soziale Kilfsarbeit v. Dr. Adolf Weber. Professor an der Kandelshochschule in Köln. Nr. 346. Ästhetik, Allgemeine, von Prof. Dr. Max Diez. Lehrer an der Kgl. Akademie d. bild. Künste in Stuttg. Nr. 300. Astronomie. Größe, Bewegung u. Entfernung der Kimmelskörper von A. F. Möbius, neu bearbeitet von Dr. Kerm. >, Professor an der Universität I: Das Planetensystem. Mit 33 Abbildungen. Nr. 11.

— — II: Kometen, Meteore u. das Stern-festem. Mit 15 Figuren und 2 Sternkarten. Nr. 529.

Astronomische Geographie von Dr.

Siegmund Günther, Professor an der Technischen Kochschule in München. Mit 52 Abbildungen. Nr. 92. Astrophysik. Die Beschaffenheit der Kimmelskörper v. Prof. W. F. Wislicenus. Neu bearbeitet von Dr. K. Ludendorff in Potsdam. Mit 15 Abbild. Nr.91. Ätherische öle und Riechstoffe Dr. F. Rochussen in Miltitz. Mit 9 Abbildungen. Nr. 446.

Aufsatzentwürfe von Oberstudienrat Dr. L. W. Straub, Rektor des Eberhard-Ludwigs-Gymnas. i. Stuttgart. Nr. 17. Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate von Wilh. Weitbrecht, Professor der Geodäsie in Stuttgart. Mit 15 Figuren und 2 Tafeln. Nr. 302.

Außereuropäische Erbteile, Länderkunde der, von Dr. Franz Keiderich, Professor an der Exportakademie in Wien. Mit 11 Textkärtchen und Profilen. Nr. 63.

Australien. Landeskunde u. Wirtschaftsgeographie -es Festlandes Australien von Dr. fturt Koffert, Professor der Geographie an der Kandels-Kochschule in Köln. Mit 8 Abb., 6 graph. Tabellen u. 1 Karte. Nr. 319.

Autogenes Schweiß- und Schneidverfahren von Ingenieur Kans Niese in Kiel. Mit 30 Figuren. Nr. 499.

Bade- ».Schwimmanstalten, -öffentliche, v. Dr. Karl Wolfs, Stadt-Ober-baur., Kannover. M.50Fig. Nr.380.

Baden. Badische Geschichte von Dr. Karl Brunner. Prof, am Gymnasium in Pforzheim und Privatdozent der Geschichte an der Technischen Koch-schule in Karlsruhe. Nr. 230.

— Landeskunde von Baden von Prof. Dr. O. Kienitz i. Karlsruhe. Mit Profil., Abbild, und 1 Karte. Nr. 199.

Bahnhöfe. Kochbauten der Bahnhöfe von Eisenbahnbauinspektor C. Schwab, Vorstand d. Kgl. E.-Kochb sektion Stuttgart II. I: Empfangsge-bäude. Nebengebäude. Güterschlippen.

Mit 91 Abbil-

Gr

Kurzgefaßtes Kandbuch an

Anlagen. Mit 31 Abbild. Nr. 225.

--111: Elektromotoren. Betriebskostentabellen. Graph. Darstell. Wahl d. Betriebskraft. M. 27 Abb. Nr. 474.

Bewegungsspiele von Dr. E. Kohlrausch , Professor am König!. Kaiser Wilhelms-Gymnasium zu Kannover.

---------- Nr. 96.

Das System der, der Gymnosper-. Pilger. Kustos am Kgl. Botanischen Garten in Berlin-Dahlem. Mit 31 Figuren. Nr. 393.

Bodenkunde von Dr. P. Vageler in Königsberg i. Pr. Nr. 455.

Brasilien. Landeskunde der Republik Brasilien von Bel Rodol-pho von Ihering. Mit 12 Abbildungen und einer Karte. Nr. 373.

Brauereiwesen I: Mälzerei von Dr. Paul Dreverhoff. Direktor der Brauer- u. Mälzerschule zu Grimma.

Mit 16 Abbildungen. Nr. 303.

Britisch - Nordamerika. Landes-kunoe vonBritisch-Nordamerika Prof. Dr. A. Oppel in Bremen. — Mit 13 Abbild, u. 1 Karte. Nr. 284.

Buchführung in einfachen und doppelten Posten von Prof. Rob. Stern, — Oberl. der Ossentl. Kandelslehranst. u.

Doz. d. Kandelshochschule z. Leipzig.

Mit vielen Formularen. Nr. 115.    —

Mit 15 Abbildungen.

es von r. 190.

e, von Dr. med. erlin. I: Assimilation.

Bausteine. Die Industrie der künstlichen Bausteine und -es Mörtels

von Dr. G. Rauter in Charlottenburg. Mit 12 Tafeln. Nr. 234. Bauslosfkunde, Die, v. Prof. K. Kaber-stroh, Oberl. a. d. Kerzogl. Baugewerk-schuleKolzminden. M.36Abb. Nr.506. Bayern. Bayerische Geschichte von Dr. Kans Ockel in Augsburg. Nr. 160. — Landeskunde des Königreichs Bayern v. Dr. W. Göh. Prof. a. d. Kgl. Techn. Kochschule München. Mit Profilen. Abb. u. 1 Karte. Nr. 176. Beschwerderecht. Das Disziplinar-und Beschwerderecht für Keer u. Marine von Dr. Max Ernst Mayer, Prof. a.d.Univ. Straßburg i.E. Nr.517.

Delriebskrafi, Die zweckmäßigste,

von Friedrich Barth, Oberingenieur in Nürnberg. 1. Teil: Einleitung. Dampskrastanlagen. Verschied. Kraftmaschinen. Mit 27 Abb. Nr. 224. --11: Gas-, Wasser- u. Wind-Kraft-

Blütenpflanzen, mit Ausschluß

men von Dr. R

von

Buddha von Professor Dr. Edmund Kardy. Nr. 174.

Burgenkunde» Abriß der, von Kos-rat Dr. Otto Piper in München. Mit 30 Abbildungen. Nr. 119.

Bürgerliches Gesetzbuch siehe: Recht des BGB.

Byzantinisches Reich. Geschichte des byzantinischen Reich,

Dr. K. Roth in Kempten. N

Chemie, Allgemeine und physikalische, von Dr. Max Rudolphi, Professor an der Technischen Kochschule in Darmstadt. Mit 22 Figuren. Nr. 71.

—    Analytische, von Dr. Johannes Koppe in München. Ir Theorie und Gang der Analyse. Nr. 247.

--II: Reaktion der Metalloide und

Metalle. Nr. 248.

—    Anorganische, von Dr. Jos. Klein in Mannheim. Nr. 37.

--Metalle (Anorganische Chemie

2. Teil) von Dr. Oskar Schmidt, dipl. Ingenieur. Assistent a. d. König!. Baugewerkschule in Stuttgart. Nr. 212.

--Metalloide (Anorganische Chemie

1. Teil) von Dr. Oskar Schmidt, dipl. Ingenieur, Assistent a. d. König!. Baugewerkschule in Stuttgart. Nr. 211.

—    Geschichte der» v. Dr. Kugo Bauer, Assistent am chemischen Laboratorium der Königlichen Technischen Kochschule Stuttgart. 1: Bon den ältesten Zeiten bis zur Verbrennungstheorie von Lavoisier. Nr. 264.

--II: Bon Lavoisier bis zur Gegenwart. Nr. 265.

—    der Kohlenstosfverbin-ungen von

Dr. Kugo Bauer, Assistent am chem. Laboratorium der Kgl. Techn. Kochschule Stuttgart. I. II: Aliphatische Verbindungen. 2 Teile. Nr. 191. 192.

--III: Karbocyklische Verbindungen.

Nr. 193.

--- IV: Keterocyklische Verbindungen.

Nr. 194.

Organische, von Dr. Jos. Klein in Mannheim. Nr. 38. Pharmazeutische» von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. 2 Bändchen. Nr. 543/44.

Physiologische 91. Legahn in B Mit 2 Tafeln. Nr. 240.

— II: Dissimilation. M. 1 Taf. Nr.241.

von

bildungen. Nr. 546.

Determinanten v.P. B. Fischer, Oberl.a. d. Oberrealsch. z. Groß-Lichterf. Nr.402.

Deutsche Altertümer von Dr. Franz Fuhse, Direktor d. stöbt. Museums in Braunschweig. Mit 70 Abb. Nr. 124.

Deutsche Fortbildungsschulwesen, Das, nach seiner geschichtlichen Entwicklung u.in seiner gegenwärt. Gestaltv.K. Siercks, Revisor gewerbl. Fortbildungsschulen in Schleswig. Nr. 392.

(1500

Nr. 520.

des 13. Jahr

der Wissen-

Chemie, Toxikologische, von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. Mit 6 Abbildungen. Nr. 465.

Chemische Industrie, Anorganische, von Dr. Gust. Rauter i. Charlottenburg. 1: Die Leblancsodaindustrie und ihre Nebenzweige. Mit 12 Taf. Nr. 205.

--II: Salinenwesen, Kalisalze, Düngerindustrie und Verwandtes. Mit 6 Tafeln. Nr. 206.

--III: Anorganische chemische Präparate. Mit 6 Tafeln. Nr. 207.

Chemische Technologie, Allgemeine, von Dr. Gust. Rauter in Charlottenburg. Nr. 113.

Chemisch - Technische Analyse

Dr. G. Lunge, Professor an der Eidgenössischen Polytechnischen Schule in Zürich. Mit 16 Abbild. Nr. 195.

ChristlichenLiteraturendesOrients» Die, von Dr. Anton Baumstark. I: Einleitung. — Das christlich-aramäische u. d. koptische Schrifttum. Nr. 527.

--II: Das chriftl.-arab. u. das äthiop.

Schrifttum. — Das christl. Schrifttum d. Armenier und Georgier. Nr. 528.

Dampfkessel» Die. Kurzgefaßtes Lehr. buch mit Beispielen für das Selbststudium und den praktischen Gebrauch von Oberingenieur Friedrich Barth in Nürnberg. I: Kesselsysteme und Feuerungen. Mit 43 Figuren. Nr. 9.

--II: Bau und Betrieb der Dampfkessel. Mit 57 Figuren. Nr. 521.

Dampfmaschine, Die. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Beispielen für das Selbststudium und den praktischen Gebrauch von Friedrich Barth, Oberingenieur in Nürnberg. Mit 48 Figuren. Nr. 8.

Dampfturbinen, Die, ihre Wirkungs weise und Konstruktion von Ingenieur Kerm. Wilda, Prof. a. staatl. Technikum i. Bremen. Mit 104 Abb. Nr. 274.

Desinfektion von Dr. M. Christian. Stabsarzt a. D. in Berlin. Mit 18 Ab-

Deutfches Fremdwörterbuch von Dr. Rudolf Kleinpaul in Leipzig. Nr. 273.

Deutsche Geschichte von Dr. F. Kurze. Prof. a. Kgl. Luisengymnas. i. Berlin. Ir Mittelalter (bis 1519). Nr.33.

--II: Zeitalter der Reformation

und der Religionskriege bis 1648). Nr. 34.

--III:    Vom Westfälischen

Frieden bis zur Auflösung des alten Reichs (1648—1806). Nr. 35.

--siehe auch: Quellenkunde.

Deutsche Grammatik und kurze Geschichte der deutschen Sprache von Schulr. Prof. Dr. O. Lyon in Dresden. Nr.20.

Deutsche Kandelskorrefpondenz von Professor Th. de Beaux, Osficier de i'Instruction Publique. Nr. 182.

Deutsches Handelsrecht von Dr. Karl Lehmann. Pros. an der Universität Göttingen. 2 Bde. Nr. 457 u. 458.

Deutsche Heldensage» Die, von Dr. Otto Luitpold Iiriczek. Professor an der Universität Würzburg. Nr. 32.

Deutsches Kolonialrecht von Dr. K. Edler von Koffmann, Professor an der Kgl. Akademie Posen. Nr. 318.

Deutsche Kolonien. I: Togo und Kamerun von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 441.

— II: Das Südfeegebiet und Kiau-tschou von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Tafeln u. 1 lithogr. Karte.

Deutsche Kulturgeschichte von Dr. Reinh. Günther. Nr. 56.

Deutsches Leben im 12. u. 13. Jahrhundert. Realkommentar zu den Volks- u. Kunstepen u. zum Minnesang. Von Prof. Dr. Jul. Diessenbacher in Freiburg i. B. I: Öffentliches Leben. Mit zahlreichen Abbildungen. Nr. 93.

--II: Privatleben. Mit zahlreichen

Abbildungen. Nr. 328.

Deutsche Literatur

Hunderts. Die Epigonen des höfischen Epos. Auswahl a. deutschen Dichtungen des 13. Jahrhunderts von Dr. Viktor Iunk, Aktuarius der Kaiserlichen Akademie schäften in Wien. Nr. 289.

Deutsche Literaturdenkmäler des 14. u. 15. Jahrhunderts. Ausgewählt und erläutert von Dr. Kermann Iantzen, Direktor der Königin Luise-Schule in Königsberg i. Pr. Nr. 181.

und

Deutsches Unterrichtswesen. Geschichte des deutschen Unter-richtswesens v. Prof. Dr. Friedrich Seiler. Direktor des Kgl. Gymnasiums zu Luckau. 1: Von Anfang an bis zum Ende des 18. Jahrhunderts. Nr. 275.

--II; Dom Beginn d. 19. Iahrhund.

bis auf die Gegenwart. Nr. 276.

Deutsche Urheberrecht» Das, an Itte-rarifaien. künstlerischen und gewerblichen Schöpfungen, mit besonderer Be-rücksichtigung der internationalen Verträge von Dr. Gustav Rauter, Patentanwalt in Charlottenburg. Nr. 263.

Deutsche Volkslied, Das» ausgewählt Professor Dr. Jul. 1. Nr. 25 u. 132.

von

an

Deutsche Literaturdenkmäler des 16. Jahrhunderts. I. Martin Luther, Thom. Murner und das Kirchenlied des 16. Jahr-hunderts. Ausgewählt und mit Einleitungen und Anmerkungen versehen von Prof. G. Berlit, Oberlehrer am Nikolaigymnasium zu Leipzig. Nr. 7.

---11; Kans Sachs. Ausgewählt u.

erläutert v. Prof. Dr. I. Sahr. Nr. 24.

--III: Von Brant bis Rollen-

hagen: Drant» Kulten» Fischart, sowie Tierepos und Fabel. Aus-gewählt und erläutert von Professor Dr. Julius Sahr. Nr. 36.

— des 17. und 18. Jahrhunderts von Dr. Paul Legband in Berlin. Erster Teil. Nr. 364.

Deutsche Literaturgeschichte von Dr. Max Koch, Professor an der Universität Breslau. Nr. 31.

--derKlasfikerzeit von Carl Weit-

brecht, durchgesehen und ergänzt von Karl Berger. Nr. 161.

--des 19. Jahrhunderts von Carl

Weitbrecht, neu bearbeitet von Dr. Bich. Weitbrecht in Wimpfen. I. II. Nr. 134. 135.

Deutsche Mythologie. Germanische Mythologie von Dr. Eugen Mogk. Prof. a. b. Univers. Leipzig. Nr. 15. Deutschen Personennamen» Die» v.

Dr. mb. Kleinpaul i. Leipzig. Nr. 422. Deutsche Poetik von Dr. K. Borinski. Professor an der Universität München. Nr. 40.

Deutsche Redelehre von Kans Probst.

Gymnasialprof. in Bamberg. Nr. 61. Deutsche Schule, Die» im Auslande

von Kans Amrhein, Direktor der deutschen Schule in Lüttich. Nr. 259. Deutsches Seerecht v. Dr.Otlo Brandts, Oberlandesgerichlsrat in Kamburg. I. Allgemeine Lehren: Personen Sachen des Seerechts. Nr. 386.

--11. Die einzelnen seerechtlichen

Schuldverhältnisse: Verträge des Seerechts und auhervertragliche Kaftung. Nr. 387.

Deutsche Stammeskunde v. Dr. Rudolf Much, a. o. Prof, an der Univerf. Wien. Mit 2 Kart. u. 2 Taf. Nr. 126.

und erläutert von Sahr. 2 Bändchen.

Deutsche Wehrverfassung von Karl Endres, Geheimer Kriegsrat und vor-trag. Rat im Kriegsministerium in München. Nr. 401.

Deutsches Wörterbuch v. Dr. Richard Loews in Berlin. Nr. 64.

Deutsche Zeitungswesen» Das» von

Dr. Robert Brunhuber in Köln a. Rh. Nr. 400.

Deutsches Zivilprozetzrecht von Pro-feffor Dr. Wilhelm Kisch in Slrahburg i. E. 3 Bände. Nr. 428-430.

Dichtungen aus mittelhochdeutscher Frühzeit. In Auswahl mit Einltg.

u. Wörterb. herausgegeb. v. Dr. Kerm. Iantzen, Direktor der Königin Luise-Schule in Königsberg i. Pr. Nr. 137.

Dietrichepen. Kudrun und Dietrich-epen. Mit Einleitung und Wörterbuch Dr. O. L. Iiriczek. Professor der Universität Würzburg. Nr. 10.

Differentialrechnung von Dr. Frdr. Junker. Rektor des Realgymnasiums und der Oberrealschule in Göppingen. Mit 68 Figuren. Nr. 87.

— Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung von Dr. Frdr. äunker. Rektor des Realgymnasiums u. d. Oberrealschule in Göppingen. Mit 46 Fig. Nr. 146.

Drogenkünde von Rich. Dörstewitz in Leipzig und Georg Ottersbach in Hamburg. Nr. 413.

Druckwasser- und Druckluft - Anlagen. Pumpen, Druckwasser- und Druckluft-Anlagen von Dipl.-Ingen. Rudolf Vogdt, Regierungsbaum. a. D. in Aachen. Mit 87 Fig. Nr. 290.

Elektrochemie von Dr. fieinr. Danneel in Gens. I: Theoretische Elektrochemie und ihre physikalisch-chemischen Grund-lagen. Mit 16 Figuren. Nr. 252.

---II. Experimentelle Elektrochemie.

Meßmethoden. Leitfähigkeit, Lösungen. Mit 26 Figuren. Nr. 253.

Elektromagnet. Lichttheorie. Theoretische Physik IV: Elektromagnetische Lichllheorie u. Elektronik von Professor Dr. Gust. Jäger in Wien. Mit 21 Figuren. Nr. 374.

Elektrometallurgie von Dr. Friedr. Reaelsberger, Kaiser!. Regierungsrat in Steglih-Berlin. M. 16Fig. Nr. 110.

Elektrotechnik. Einführung i. d. mo-derneGleich-u.Wechselstromtech-nik v. 3. fierrmann, Prof. d. Elektrotechnik an der Kgl. Techn. Kochschule Stuttgart. 1: Die physikalischen Grundlagen. Mit42Fig. u. 10 Taf. Nr. 196.

--II: Die Gleichstromtechnik. Mit

103 Figuren und 16 Tafeln. Nr. 197.

--III: Die Wechselstromtechnik. Mit

Figuren und 16 Tafeln. Nr. 198. Materialien des Maschinenbaues und der Elektrotechnik v. Ingenieur Professor fiermann Wilda in Bremen. Mit 3 Abbild. Nr. 476.

Elsatz-Lothringen, Landeskunde o., Prof. Dr. R. Gangenbedt in Straß, burg i.E. M.l l Abb.u. lKarte.Nr.215.

Englisch - deutsches Gesprächsbuch von Professor Dr. E. fiausknecht in

Eddalieder mit Grammatik, Uber-setzung und Erläuterungen von Dr. Wilhelm Ramsch, Gymnasial - Oberlehrer in Osnabrück. Nr. 171.

Eisenbahnbau. Die Entwicklung des modernen Eisenbahnbaues von Dipl.-Fng. Alfred Birk. Eisen-bahnoberingenieur a. D.. o. ö. Prof, a. d. k. k. Deutsch. Techn. fiochschule in Prag. Mit 27 Abbild. Nr. 553.

Eisenbahnfahrzeuge von fi. fiinnen-thal, Regierungsbaumeister u. Oberingenieur in fiannover. I: Die Lokomotiven. Mit 89 Abbildungen im Text und 2 Tafeln. Nr. 107.

— — II: Die Eisenbahnwagen u. Brem-sen. Mit Anhang: Die Eisenbahnfahrzeuge im Betrieb. Mit 56 Abb. im Text und 3 Tafeln. Nr. 108.

Eisenbahnpolitik. Geschichte der deutschen Eisenbahnpolitik von Betriebsinspektor Dr. Edwin Kech in Karlsruhe i. B. Nr. 533.

Eisenbetonbau, Der» v. Neg.-Baumeist.

Karl Rößle. Mit 75 Abbild. Nr. 349.

Eisenhüttenkunde von A. Krauß, dipl. fiütteningenieur. I: Das Roheisen.

Mit 17 Figuren u. 4 Tafeln. Nr. 152.

--II: Das Schmiedeisen. Mit 25 Figuren und 5 Tafeln. Nr. 153.

Eisenkonslruktionen im Kochbau von Ingenieur Karl Schindler in Meißen. Mit 115 Figuren. Nr. 322.

Eiszeitalter» Das, v. Dr. Emil Werth in Berlin-Wilmersdorf. Mit 17 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 431.

Elastizilätslehre für Ingenieure 1: Grundlagen und Allgemeines über Spannungszustände, Zylinder» Ebene Platten, Torsion, Gekrümmte Träger. Bon Prof. Dr.-Ing. Max Enßlin an der König!. Baugewerkschule Stuttgart und Privatdozent an der Techn. fiochschule Stuttgart. Mit 60 Abbild. Nr. 519. Elektrischen Metzinsirumente, Die, von I. fierrmann. Professor an der Technischen fiochschule in Stuttgart.

Mit 195 Figuren. Nr. 477.

Elektrische Telegraphie, Die» von Dr. Lud. Rellstab. M. 19 Fig. Nr. 172. Eleklrizilät. Theoret. Physik III: Elektrizität u. Magnetismus von Dr. Gust. Jäger, Prof. a. d.Techn.fioch- — schule in Wien. QHil 33 Abb. Nr. 78. |

126

- Die

von

Lausanne. Nr. 424.

Englische Geschichte von Prof. L. Ger-der, Oberlehrer in Düsseldorf. Nr. 375.

Englische Kandelskorrespondenz v. E. E. Whitfield, M. A., Oberlehrer an King Edward VII Grammar School in King's Lynn. Nr. 237.

Englische Literaturgeschichte von Dr. Karl Weiser in Wien. Nr. 69.

--Grundzüge und Kaupttype

der englischen Literaturgeschichle von Dr. Arnold M. M. Schröer, Prof.

der fiandelshochschule in Köln. 2 Teile. Nr. 286, 287.

Entwicklungsgeschichte der Tiere von Dr. Johannes Meisenheimer. Professor der Zoologie an der Universität Jena. 1: Furchung. Primitiv-anlagen, Larven. Formbildung. Em-bryonalhüllen. Mit 48 Fig. Nr. 378. — II: Organbildung. Mit 46 Fig. Nr. 379.

an

r. 148.

13. Jahrhunderts von Dr. Viktor Iunk, Aktuarius der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. Nr. 289.

Erdmagnetismus, Erdstrom» Polarlicht von Dr. A. Nippoldt jr„ Mitglied des Königlich Preußischen Me-tereologischen Instilnts in Potsdam. Mit 14 Abbild, und 3 Tafeln. Nr. 175.

Erdteile, Länderkunde der außereuropäischen» von Dr. Franz Keide-rich, Professor an der Exportakademie in Wien. Mit 11 Textkärtchen und Profilen. Nr. 63.

Ernährung und Nahrungsmittel v.

Oberstabsarzt Professor K. Bischofs in Berlin. Mit 4 Abbildungen. Nr. 464.

Ethik von Professor Dr. Thomas Ache-lis in Bremen. Nr. 90.

Europa» Länderkunde von, von Dr. Franz Keiderich, Professor an der Exportakademie in Wien. Mit 14 Text-Kärtchen und Diagrammen und einer Karte der Alpeneinteilung. Nr. 62.

Exkursionsslora von Deutschland Aittn Bestimmen der häufigeren in Deutschland wildwachsenden Pflanzen von Dr. W. Migula, Professor an der Forstakademie Eisenach. 2 Teile. Mit je 50 Abbildung. Nr. 268 u. 269.

Explosivstoffe. Einführung in die Che-mie der explosiven Vorgänge von Dr. K. Brunswig in Steglitz. Mit 6 Abbildungen und 12 Tab. Nr. 333.

Familienrecht. Recht des Bürgerlichen Gesetzbuches. Viertes Buch: Familienrecht von Dr. Kein-rich Titze, Professor an der Universität Göttingen. Nr. 305.

Feldgeschütz, Das moderne, von Oberstleutnant W.Keydenreich, Militär-lehrer an d. Militärtechn. Akademie in Berlin. I: Die Entwicklung des Feldgeschützes seit Einführung des gezogenen Infanteriegewehrs bis einschl. der Erfindung des raucht. Pulvers, etwa 1850 ins 1890. M. 1 Abb. Nr. 306.

--11: Die Entwicklung des heutigen

Feldgeschützes auf Grund der Erfindung des rauchlosen Pulvers, etwa 1890 bis zur Gegenwart. Mit 11 Abb. Nr. 307.

Fernfprechwesen, Das, von Dr. Ludwig Nellstab in Berlin. Mit 47 Figuren und 1 Tafel. Nr. 155.

Festigkeitslehre von W. Kauber. Dip-lom-Jngenieur. Mit 56 Fig. Nr. 288.

— Aufgabensammlung zur Festigkeitslehre mit Lösungen von N. Karen, Diplom - Ingenieur in Mannheim. Mit 42 Figuren. Nr. 491.

Fette, Die, und Sle sowie die Seifen-u. Kerzenfabrikat, u. d. Karze, Lacke. Firnisse m. ihren wichtigst. Kilfsstosfen von Dr. Karl Braun in Berlin. 1: Einführ. in die Chemie. Besprech. einiger Salze u. d. Fette und öle. Nr. 335.

--II: Die Seifenfabrikation, die

Seifenanalyse und die Kerzenfabrikation. Mit 25 Abbild. Nr. 336.

--III: Karze. Lacke. Firnisse. Nr. 337.

Feuerwaffen. Geschichte der gesamten Feuerwaffen bis 1850. Die Entwicklung der Feuerwaffen von ihrem ersten Auftreten bis zur Einführung der gezogenen Kinterlader. unter besonderer Berücksichtigung der Keeresbewaffnung v. Kauplmann a. D. W. Gohlke. Steglitz. Berlin. Mit 105 Abbildungen. Nr. 530.

Finanzsysteme d. Großmächte, Die, (Internationales Staats- u. Gemeinde-Finanzwesen) von O. Schwarz. Geh. Oberfinanzrat in Berlin. Zwei Bändchen. Nr. 450 und 451.

Finanzwissenschaft von Präsident Dr. R. van der Borght in Berlin. 1: Allgemeiner Teil. N

--II: Besonderer Teil (Steuerlehre).

Nr. 391.

Finnisch * ugrische Sprachwissenschaft von Dr. Josef Szinnyei. Prof, an der Universität Budapest. Nr. 463.

Finnland. Landeskunde des Europäischen Rußlands nebst Finnlands von Professor Dr. A. Philipp-jon in Kalle a. o. Nr. 359.

Firnisse. Karze, Lacke» Firnisse von Dr. Karl Braun in Berlin. (Fette und Öle III.) Nr. 337.

Fische. Das Tierreich IV: Fische

von Professor Dr. Max Rauther in Neapel. Mit 37 Abbild. Nr. 356.

Fischerei und Fischzucht von Dr.

Karl Eckstein. Professor an der Forst-akademie Eberswalde, Abteilungs-dirigent bei der Kanplstation des forst-lichen Bersnchswesens. Nr. 159.

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Einscklutz der Abortanlagen von

Professor Dr. phil. und Dr.-Ingen. Eduard Schmitt in Darmstadt. Mit

und Kommandeur der

mann.

und

Nr. 143.

zweqarvlgen Hlgu — Projektive» in lang von Dr. Karl fesfor an der Universität München. Mit 91 Figuren. Nr. 72.

Flora. Exkursionsflora von Deutschland zum Bestimmen der häufigeren in Deutschland wildwachsenden Pslanzen von Dr. W. Migula, Prof, an der Forstakademie Eisenach. 2 Teile. Mit je 50 Abbildungen. Nr. 268, 269.

Forensische Psychiatrie von Professor Dr.W.Weygandt. Direktor der Irren-anstalt Friedrichsberg in Kamburg. Zwei Bändchen. Nr. 410 und 411.

Forstwissenschaft von Dr. Ad. Schwap-pach. Prof. a. d. Forstakademie Eberswalde, Abteilungsdirig. bei d. Kaupt-station d. forsil. Versuchswes. Nr. 106.

Fortbildungsschulwesen, Das deutsche, nach seiner geschichtl. Entwicklung und in seiner gegenwärt. Gestalt von fi. Siercks, Revisor gewerbl. Fortbildungs-schulen in Schleswig. Nr. 392.

Franken. Geschichte Frankens von Dr. Christ. Meyer, Kgl. preuß. Staatsarchivar a. D. in München. Nr. 434.

Frankreich. Französische Geschichte von Dr. R. Sternfeld. Professor an d. Universität Berlin. Nr. 85.

— Landeskunde von Frankreich v. Dr. Richard Neuse, Direktor der Ober-Realschule in Spandau. 1. Bändchen. Mit 23 Abbild, im Text und 16 Landschaftsbildern auf 16 Tafeln. Nr. 466.

--2. Bändchen. Mit 15 Abbild, im

Text, 18 Landschaftsbildern auf 16 Tafeln und einer lithogr. Karte. Nr. 467.

Französische Kandelskorrespondenz von Professor Th. de Beaux, Officier de l'Instruction Publique. Nr. 183.

Fremdwort, Das, im Deutschen von Dr. Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 55.

Fremdwörterbuch, Deutsches, von Dr. Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr.273.

Fuge. Erläuterung und Anleitung zur Komposition derselben v. Prof. Stephan Krehl in Leipzig. Nr. 418.

und Wasserinstallationen mit

119 Abbildungen. Nr. 412. Gaskraftmaschinen, Die» von Ing. Alfred Kirschke in Kalle a. 6. Mit 55 Figuren. Nr. 316.

Gasthäuser und Kötels von Architekt Max Möhler in Düsseldorf. I: Die Bestandteile und die Einrichtung des Gasthauses. Mit 70 Figuren. Nr. 525.

Gasthäuser und üotels von Architekt

Max Wühler in Düsseldorf. II: Die verschiedenen Arten von Gasthäusern. Mit 82 Figuren. Nr. 526.

Gebirgsartillerie. Die Entwicklung der Gebirgsartillerie von Kluß-Oberst

1. Feldartillerie-Brigade in Königs-berg i. Pr. Mit 78 Bildern und 5 Übersichtstafeln. Nr. 531.

Genossenschaftswesen, Das, in Deutschland von Dr. Otto Lindecke in Düsseldorf. Nr. 384.

Geodäsie. Vermessungskunde von Diplom-Ing. P. Werkmeister, Ober-lehrer an der Kaiser!. Technisch. Schule in Strahburg i. E. I: Feldmessen Nivellieren. Mit 146 Abbild. 11: Der Theodolit. Trigonometrische und barometrische Köhenmessung. Tachymetrie. Mit 109 Abbildungen. Nr. 468 u. 469.

Geologie in kurzem Auszug für Schulen und zur Selbstbelehrung zusammen-gestellt von Professor Dr. Eberh. Fraas in Stuttgart. Mit 16 Abbildungen und 4 Tafeln mit 51 Figuren. Nr. 13.

Geometrie, Analytische, der Ebene von Professor Dr. M. Simon in Straßburg. Mit 57 Figuren. Nr. 65.

--Aufgabensammlung zur Analytischen Geometrie der Ebene von O. Th. Bürklen, Professor am König!. Realgymnasium in Schwäb.-Gmünd. Mit 32 Figuren. Nr. 256.

—    Analytische, des Raumes von Professor Dr. M. Simon in Strahburg. Mit 28 Abbildungen. Nr. 89.

--Aufgabensammlung zur Analytischen Geometrie des Raumes von O. Th. Bürklen. Professor am König!. Realgymnasium in Schwäb.-Gmünd. Mit 8 Figuren. Nr. 309.

—    Darstellende, v. Dr. Robert Kaußner, Professor an der Universität Jena. I. Mit 110 Figuren. Nr. 142.

--II. Mit 40 Figuren.

—    Ebene» von G. Mahler. Professor am Gymnasium in Ulm. Mit 111 weifarbigen Figuren. Nr. 41.

synlhet. Behänd-Doehlemann, Pro-

ulvers it 33

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von

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, von Dr. an der Uni-

Geometrische Optik, Einführung in die» von Dr. W. Kinrichs in Wilmersdorf-Berlin. Nr. 532.

Geometrisches Zeichnen von K.Becker, Architekt und Lehrer an der Bau-gewerkfchule in Magdeburg, neube-arbeitet von Professor 3. Vonderlinn in Münster. Mit 290 Figuren und 23 Tafeln im Text. Nr. 58.

Germanische Mythologie von Dr. E. Mogk, Prof. a. d.Univ. Leipzig. Nr. 15.

Germanische Sprachwissenschaft von Dr. Rich. Loewe in Berlin. Nr. 238.

Geschichtswissenschaft, Einleitung i. die» von Dr. Ernst Bernheim. Prof, an der Unioers. Greifswald. Nr. 270.

Geschütze» Die modernen, der Futz-artillerie von Mummenhoff. Major und Lehrer an der Fuhartillerie-Schieb-schule in Jüterbog. 1: Vom Auftreten d. gezogenen Geschütze bis zur Verwendung des rauchschwachen Pulvers 1850—1890. Mit 50 Textbildern. Nr. 334.

--II: Die Entwicklung der heutigen

Geschütze der Futzartillerie seit Einführung des rauchschwachen Pr 1890 bis zur Gegenwart. M Textbildern. Nr. 362.

Gesetzbuch, Bürgerliches» siehe: Recht des Bürgerlichen Gesetzbuches.

Gefundheltstehre. Der menschliche Körper, sein Bau und feineTätig-keiten von E. Rebmann, Oberschul-rat in Karlsruhe. Mit Gesundheitslehre von Dr. med. Seiler. Mit 47 Abbildungen u. 1 Tafel. Nr. 18.

Gewerbehygiene von Dr. E. Roth in Potsdam. Nr. 350.

Gewerbewesen von Werner Sombart, Professor an der Handelshochschule Berlin. I. II. Nr. 203. 204.

Gewerbliche Arbeiterfrage» Die» von Werner Sombart. Professor an der Handelshochschule Berlin. Nr. 209.

Gewerbliche Bauten. Industrielle und gewerbliche Bauten (Speicher, Lagerhäuser und Fabriken) von Archi-tekt Heinrich Salzmann in Düsseldorf. I: Allgemeines über Anlage und Konstruktion der industriellen und gewerblichen Bauten. Nr. 511.

--II: Speicher und Lagerhäuser.

Mit 121 Figuren. Nr. 512.

Gewichtswesen. Matz-, Münz- und Gewichtswesen von Dr. Aug. Blind. Prof. a. d. Kandelssch. i. Köln. Nr. 283.

Gietzereimaschlnen von Emil Treiber, Dipl.-Ingenieur in Keidenheim a. d. Brenz. Mit 51 Figuren. Nr. 548.

Glas- und keramische Industrie (Industrie der Silikate, der Bausteine und des künstlichen Mörtels I) von Dr. Gustav Rauter in Charlottenburg. Mit 12 Taf. Nr. 233.

Gleichstrommaschine» Die» von Ingenieur Dr. C. Kinzbrunner in London. Mit 78 Figuren. Nr. 257.

Gletscherkunde von Dr. Fritz Machacek in Wien. Mit 5 Abbildungen im Text und 11 Tafeln. Nr. 154.

Gotische Sprachdenkmäler mit Grammatik, Übersetzung und Erläutergn. v. Dr. Kenn. Ianhen, Direktor d. Königin Luise-Schulei. Königsberg i.Pr. Nr.79.

Graphischen Künste, Die, von Carl Kampmann, k. k. Lehrer an der k. k. Graphischen Lehr- und Versuchsanstalt in Wien. Mit zahlreichen Abbildungen und Beilagen. Nr. 75.

Griechische Altertumskunde von Professor Dr. Rich. Maisch, neu ^arbeitet von Rektor Dr. Franz Pohlhammer. Mit 9 Vollbildern. Nr. 16.

Griechische Geschichte von Dr. Keinrich Swoboda, Professor an der deutschen Universität Prag. Nr. 49.

Griechische Literaturgeschichte Berücksichtigung d. Geschichte d. Wissenschaften von Dr. Alfred (Berthe, Prof, an der Univers. Breslau. 2 Bänd-chen. Nr. 70 und 557.

Griechischen Sprache, Geschichte d.» I: Bis zum Ausgange der klassischen Zeit von Dr. Otto Koffmann, Prof. a. d. Universität Münster. Nr. 111.

Griechische u. römische Mythologie

v. Prof. Dr.Kerm.Steuding, Rektord. Gymnasiums in Schneeberg. Nr. 27.

Grundbuchrecht» Das formelle» von Oberlandesgerichtsr. Dr. F. Kretzschmar in Dresden. Nr. 549.

Kandelspolitik» Auswärtige,

Dr. Keinr. Sieveking, Professe der Universität Zürich. Nr. 245.

Kandelsrecht, Deutsches Karl Lehmann, Professor i versität Götlingen. I: Einleitung. Der Kaufmann und seine Kilfspersonen. Offene Kandelsgesellschaft. Komman-dit- und stille Gesellschaft. Nr. 457.

Kandelsrecht, Deutsches, von Dr.

Karl Lehmann. Prof. a. d. Unlo. Göttin-gen. II: Aktiengesellsch. Gesellsch. m. b.

f. d. Kerzogt. Anhalt zu Desta

Kandelsftand, Der, von R

au. Nr. 558. /*/*.*, wii ^echtsanwalt Dr. jur. Bruno Springer in Leipzig. (Kaufmännische Rechtskunde Band 2.) Nr. 545.

Kandelswesen» Das, von Geh. Ober-regierungsrat Dr. Wilh. Leris. Professor an der Universität Göttingen.

I: Das kandelspersonal und der Warenhandel. Nr. 296.

--II: Die Effektenbörse und die innere Kandelspolitik. Nr. 297. Kandfeuerwaffen» Die Entwicklung der» feit der Mitte des 19. Jahr-Hunderts und G. Wrzodek

(Die Fette

von Pro-

K. Eing.Gen. Kandelsgesch. Nr. 458. andelsschulwesen» Das deutsche,

von TheodorBlum. Direktor des kaufm. Unlerrichtswesens der Handelskammer ihr heutiger Stand von

w. w.₀v^., Kauptmann und korn-pagniechef im Infanterie-Regim. Freiherr Killer von Gärtringen (4. Posen-sches) Nr. 59 in Soldau. Mit 21 Ab-bildungen. Nr. 366.

Karmonielehre von A. Kalm. Mit vielen Notenbeispielen. Nr. 120.

Kartmanr: von Aue, Wolfram von Eschenbach und Gottfried von Stratzburg. Auswahl aus dem höfischen Epos mit Anmerkungen und Wörterbuch von Dr. k. Marold. Pro-fesfor am königlichen Friedrichskollegium zu Königsberg i. Pr. Nr. 22.

Karze, Lacke» Firnisse von Dr. Karl Braun in Berlin, und Öle III.) Nr. 337.

Kauptliteraturen, Die, d. Orients v. Dr. M. Kaberlandt. Privatdoz. a. d. Univers. Wien. I. 11. Nr. 162. 163.

Kebezeuge, Die, ihre Konstruktion u. Berechnung von Ing. Pros. Kermann Wilda. Bremen. M. 399 Abb. Nr. 414.

Keeresorganisation. Die Entwicklung der Keeresorganisation seit Einführung der stehenden Keere von Otto Neuschler. Kauptmann u. Bat-teriechef in Ulm. I: Geschichtliche Entwicklung bis zum Ausgange des 19. Jahrhunderts. Nr. 552.

Keizung u. Lüftung v. Ing. Johannes Körting in Düsseldorf. I: Das Wesen und die Berechnung der Keizunas- und Lüflungsanlagen. Mit 34 Fig. Nr. 342.

Keizung u. Lüftung v. Ing. Johannes ctörting in Düsseldorf. II: Die Aus-führung der Keizungs- und Lüftungs-anlage. Mil 191 Fig. Nr. 343.

Kessen. Landeskunde des (Srofo-Herzogtums Kessen, der Provinz Kesfen-Nassau und des Fürstentums Waldeek von Prof. Dr. Georg ©reim in Darmstadt. Mit 13 Ab. bildungen und 1 Karte. Nr. 376.

Kotz» Das. Aufbau. Eigenschaften und Verwendung von Ingenieur Professor Kermann Wilda in Bremen. Mit 33 Abbildungen. Nr. 459.

Kötels. Gasthäuser und Kötels von Architekt Max Möhler in Düsseldorf. 1: Die Bestandteile u. d. Einrichtung d. Gasthauses. Mit 70 Figuren. Nr. 525.

--II: Die verschiedenen Arten v. Gast-

Häusern. Mit 82 Figuren. Nr. 526.

Kydraulik von W. Kauber. Dwt.-Ing. in Stuttgart. Mit 44 Fig. Nr. 397.

Kygiene des Städtebaus» Die, von

Professor K. Chr. Nuhbaum in Kan-nover. Mit 30 Abbildungen. Nr. 348. — des Wohnungswesens

fesfor K. Chr. Nuszbaum in Kannover. Mit 5 Abbildungen. Nr. 363. Iberische Kalbinfel. Landeskunde der Iberischen Kalbinsel von Dr. Fritz Regel.Prof. a. d.Univ. Würzburg. Mit 8 Kärtchen u. 8 Abb. im Text und 1 Karte in Farbendruck. Nr. 235. Indische Religionsgeschichte v. Prof.

Dr. Edmund Kardy. Nr. 83. Indogerman. Sprachwissenschaft o. Dr. R. Meringer. Professor an der Univers. Graz. Mit 1 Tafel. Nr. 59. Industrielle u. gewerbliche Bauten (Speicher. Lagerhäuser und Fabriken) von Architekt Keinrich Salzmann in Düsseldorf. I: Allgemeines über An-läge und Konstruktion der industriellen und gewerblichen Bauten. Nr. 511.

--II: Speicher und Lagerhäuser.

Mit 121 Figuren. Nr. 512. Infektionskrankheiten, Die» und ihre Verhütung von Stabsarzt Dr. W. Koffmann in Berlin. Mit 12 vom Verfasser gezeichneten Abbildung, und einer Fiebertafel. Nr. 327. Instrumentenlehre v. Mustkdir. Franz Mayerhoff i.Chemnitz. 1: Text. Nr.437. --II r Notenbeispiele. Nr. 438.

88.

Aufgaben-

KausmännischeRechtskunde. I

Wechselwesen von Rechtsanwalt Rudolf Mothes in Leipzig. Nr. 103. — 11: Der Kandelsstand v. Rechtsanw.Dr.

jur. Bruno Springer. Leipzig. Nr. 545. Kaufmännisches Rechnen von Prof. Richard Just, Oberlehrer a. d. öffentl. Kandelslehranstalt d. Dresdener Kauf-mannfch. I. II. 111. Nr. 139. 140. 187.

Mit 7

Kolonialgeschichte von Dr. Dietrich Schäfer. Professor der Geschichte an der Universität Berlin. Nr. 156.

Kolonlalrecht» Deutsches, von Dr. K. Edler von Koffmann, Professor an der Kgl. Akademie Posen. Nr. 318.

Kommunale Wirtschaslspflege von Dr. Alfons Rieh, Magistratsassessor in Berlin. Nr. 534.

Kompositionslehre. Musikalische Formenlehre von Stephan Krehl. I. II. Mit viel. Notenbeispiel. Nr. 149. 150.

Kontrapunkt. Die Lehre von der selbständigen Stimmführung von Stephan Krehl in Leipzig. Nr.'390.

Kontrollrvesen» Das agrikultur-chemische, von Dr. Paul Krische in Leopoldshall-Stahfurt. Nr. 304.

Koordinatensysteme:). PaulB. Fischer. Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groh-Lichterfelde. Mit8Fig. Nr. 507.

Körper, Der menschliche, sein Bau und seine Tätigketten von E.

Integralrechnung von Dr. Friedr. Junker. Rektor des Realgymnasiums und der Oberrealschule in Göppingen. Mit 89 Figuren. Nr. "

— Repetitorium und

sammlung zur Integralrechnung von Dr. Friedrich Junker, Rektor des Realgymnasiums u. d. Öberrealfchule in Göppingen. Mit 52 Fig. Nr. 147.

Israel. Geschichte Israels bis auf die griechische Zeit von Lic. Dr. 3. Benzinger. Nr. 231.

Italienische Kandelskorrespondenz von Professor Alberto de Beaux. Oberlehrer am König!. Institut S. S. Annunziata in Florenz. Nr. 219.

Italienische Literaturgeschichte von Dr. Karl Böhler, Professor an der Universität München. Nr. 125.

Kalkulation, Die, im Maschinenbau von Ingenieur K. Bethmann. Dozent am Technikum Altenburg. Mit 63 Abbildungen. Nr. 486.

Kältemaschinen. Die thermodynamischen Grundlagen der Wär-mekrast- und Kältemaschinen von M. Röttinger, Diplom-Ingenieur in Mannheim. Mit 73 Fig. Nr. 2.

Kamerun. Die deutschen Kolonien 1 r Togo und Kamerun von Prof. Dr. Karl Dove. Mit 16 Tafeln und einer lithographischen Karte. Nr. 441.

Kant» Immanuel. (Geschichte d. Philosophie Band 5) von Dr. Bruno Bauch, Pros. a. d. Univ. Kalle a. S. Nr. 536.

Kartell und Trust v. Dr. S. Tschierschky in Düsseldorf. Nr. 522.

Kartenkunde, geschichtlich dargestellt von E. Gelcich, Direktor der k. k. Nauti-schen Schule in Lussinpiccolo. F.Sauter, Professor am Realgymnasium in Ulm und Dr. Paul Dinse, Assistent der Gesellschaft für Erdkunde in Berlin, neu bearbeitet v. Dr. M. Groll. Kartograph in Berlin. Mit 71 Abbild. Nr. 30.

: Das

Dr.

Keramische Industrie. Die Industrie der Silikate, der künstlichen Bausteine und -es Mörtels

von Dr. Gustav Rauter. 1: Glas- u. keram. Industrie. M. 12Taf. Nr. 233. Kerzenfabrikation. Die Seisen-fabrikation» die Seisenanalyse und die Kerzenfabrikation von Dr. Karl Braun in Berlin. (Die Fette u. Öle II.) Mit 25 Abbild. Nr. 336. Kiautschou. Die deutsch. Kolonien. 11: Das Südseegebiet und Kiau-tschou von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 520. Kirchenlied. Martin Luther, Thom. Murner und das Kirchenlied d. 16. Jahrhunderts. Ausgewählt u. mit Einleitungen und Anmerkungen versehen von Prof. G. Berlit. Oberl. a. Nikolaigymnasium zu Leipzig. Nr. 7. Kirchenrecht von Dr. E. Schling, ord.

Prof. d. Rechte in Erlangen. Nr. 377. Klimakunde I: Allgemeine Klima-lehre von Professor Dr. W. Köppen, Meteorologe der Seewarte Kamburg. Taf. und 2 Figuren. Nr. I I4.

Rebmann. Oberschulrat in Karlsruhe. Mit Gesundheitslehre von Dr. med. K. Seiler. Mit 47 Abb. u. 1 Taf. Nr. 18. Kostenanschlag siehe Veranschlagen.

u. der

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492.

ik II. Teil: on Dr. Gust.

107.

Regierungsrat in Straßburg. Nr. 6.

— Landeskunde v. Elsafr-Lothring. v.Prof. Dr. R. Langendem i. Straßburg t. E. Mit 11 Abb. u. 1 Karte. Nr. 215.

Lötrohrproblerkunde. Qualitative Analyse mit Ktlfe des Lötrohrs von Dr. Martin Henglein in Freiberg

i. Sa. Mit 10 Figuren. Nr.'483.

Lübeck. Landeskunde der Grofz-

Kriegsschiffhau. Die Entwicklung des Kriegsschiffbaues vom Altertum bis zur Neuzeit. I. Teil: Das Zeitalter der Ruderschiffe Segelschiffe für die Kriegsführung See vom Altertum b. 1840. Von Tjard Schwarz. Geh. Marinebaur. u. Schiff. bau-Direktor. Mit32Abd. Ar. 471.

Kriegswesens» Geschichte des, von Dr. Emil Daniels in Berlin. I r Das antike Kriegswesen. Nr. 488.

— — I I: Das mittelalt. Kriegsw. Nr.498.

--III: Das Kriegswesen der Neuzeit.

Erster Teil. Nr. 518.

--IV s Das Kriegswesen der Neuzeit.

Zweiter Teil. Nr. 537. Kristallographie von Dr. W. Bruhns, Professor an der Universität Straß-burg. Mit 190 Abbild. Nr. 210. Kudrun und Dietrickepen. Mit Einleitung und Wörterbuch von Dr. O. L. Ziriczek. Professor an der Uni-verfität Würzburg. Nr. 10.

Kultur, Die» der Renaissance. Ge-sittung, Forschung, Dichtung von Dr. Robert F. Arnold, Professor an der Universität Wien. Nr. 189. Kulturgeschichte, Deutsche,

Reiny. Günther. Nr. 56. Kurzschrift siehe: Stenographie.

Lacke, Karze» Lacke» Firnisse Dr. Karl Braun in Berlin. (Die Fette und Öle III.) Nr. 337. Lagerhäuser. Industrielle und gewerbliche Bauten. (Sveicher, Lagerhäuser u. Fabriken) von Architekt Kein-richSalzmann. Düsseldorf. II: Speicher

u.    Lagerhäuser. Mit l21Fig. Nr. 512. Länder- und Völkernamen von Dr.

Rudolf Kleinpaul in Leipzig. Nr. 478. Landwirtschaftliche Betriebslehre

v.    E. Lqngenbeck in Groß-Lichterfelde. Nr. 227.

Landwirtschaftlichen Maschinen» Die, von Karl Walther, Diplom-Ingenieur in Mannheim. 3 Bändchen. Mit vielen Abbildgn. Nr. 407-409. Lateinische Grammatik. Grundriß lateinischen Sprachlehre von Prof. Dr. W. Votsch in Magdeburg. Nr. 82. Lateinische Sprache. Geschichte der lateinischen Sprache von Dr. Friedrich Stolz, Professor an der Universität Innsbruck. Nr.

Licht. Theoretische Physi Licht und Wärme. V

Zager, Prof, an der Technischen Koch-schule in Wien. Mit 47 Abb. Nr. 77.

Logarithmen. Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithnfisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von Dr. Hermann Schubert, Prof, an der Gelehrtenschule des Iohanneums in Hamburg. Nr. 81.

— Fünfstellige» von Professor August Adler, Direktor der k. k. Staatsober-reatfchule in Wien. Nr. 423.

Logik. Psychologie und Logik zur Einführung in die Philosophie von Professor Dr. Th. Elsenhans. Mit 13 Figuren. Nr. 14.

Lokomotiven. Eisenbahnfahrzeuge von H. Hinnenthal. 1: Die Lokomotiven. Mit 89 Abb. im Tert u. 2 Taf. Nr.

Lothringen. Geschichte Lothringens von Dr. Hermann Derichsweiler, Geh.

Herzogtümer Mecklenburg u. der Freien u. Kansefladt Lübeck von

Dr. Sebald Schwarz, Direktor d. Realschule zum Dom in Lübeck. Mit 17 Abbildungen und Karten im Text und 1 lithographischen Karte. Nr. 487.

Lust- und Meeresströmungen von Dr. Franz Schulze. Direktor der Navigationsschule zu Lübeck. Mit 27 Abbildungen u. Tafeln. Nr. 551.

Lüftung. Keizung und Lüftung von Ingenieur Johannes Körting in Düsseldorf. I: Das Wesen und die Berechnung der Keizungs- und Lüftungsanlagen. Mit 34 Figuren. Nr. 342.

--II: Die Ausführung der Heizungs-

und Lüftungsanlagen. Mit 191 Figuren. Nr. 343.

Luther, Martin, Thom. Murner u. das Kirchenlied des 16. Fahrhunderts. Ausgewählt und mit Einleitungen und Anmerkungen versehen von Prof. G. Berlit, Oberlehrer am Ntkolaigymnasium zu Leipzig. Nr 7

Maurer- un- Sleinhauerarbeilen

von Prof. Dr. phil. und Dr.-Ingen. Eduard Schmitt in Darmstadt. 3 Bändchen. Mit vielen Abbild. Nr. 419—421.

Magnetismus. Theoretische Physik Itt.Teit: Elektrizitätu. Magnetismus. Von Dr. Gustav Jäger, Professor an der Technischen Kochschule Wien. Mit 33 Abbildungen. Nr. 78.

Mälzerei. Vrauereiwesen I: Mälzerei von Dr. P. Dreverhosf, Direktor der Öffentl. u. 1. Sächs. Versuchsstat. für Brauerei u. Mälzerei, sow. d. Brauer-und Mälzerschule zu Grimma. Nr. 303.

Maschinenbau» Die Kalkulation int, v. Ing. K. Bethmann, Doz. a. Technik. Altenburg. Mit 63 Abbild. Nr. 486.

— Die Materialien -es Maschinenbaues und -er Elektrotechnik von Ingenieur Prof. Kermann Wilda. Mit 3 Abb. Nr. 476.

Maschinenelemente» Die. Kurzge-fahles Lehrbuch mit Beispielen für das Selbststudium und den praktischen Gebrauch von Fr. Barth, Oberingenieur in Nürnberg. Mit 86 Figuren. Nr. 3.

Matzanalyse von Dr. Otto Röhm in Stuttgart. Mit 14 Figuren. Nr. 221.

Matz-» Münz- un- Gewichlswesen von Dr. August Blind. Professor an der Kandelsschule in Köln. Nr. 283.

Malerialprüfungswesen. Einführung in d. mod. Technik d. Materialprüfung von K. Memmler, Diplom-Ingenieur, siänd. Mitarbeiter a. Kgl. Material-Prüfungsamte zu Groß-Lichterfelde. I: Materialeigenschaften. — Festigkeitsversuche. — Kilfsmittel für Festig-keitsoerfuche. Mit 58 Fig. Nr. 311.

---II: Metallprüfung u. Prüfung von

Kilfsmaterialien des Maschinenbaues. — Baumaterialprüfung. — Papierprüfung. — Schmiermittelprüfung. — Einiges über Metallographie. Mit 31 Figuren. Nr. 312.

Mathematik» Geschichte ver» von Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten. Nr. 226.

Mathematische Formelsammlung u. Repetitorium der Mathematik, enth. die wichtigsten Formeln und Lehrsätze der Arithmetik, Algebra, algebraischen Analysis, ebenen Geometrie, Stereometrie. ebenen und sphärischen Trigo-nometrie, matk. Geographie, analyt. Geometrie der Ebene u. d. Raumes, der Different. - u. Integralrechn, von O. Th. Bürklen, Prost am Kal. Realgymn. in Sch.-Gmünd. Mit 18 Figuren. Nr. 51. |

Me

rchanik. Theoret. Physik I. Teil: Mechanik un- Akustik. Von Dr.

Gust. Jäger, Profess, nischen Kochschule in W bildungen. Nr. 76.

Mechanische Technologie von Geh. Kofrat Professor A. Lüdicke in Braunschweig. 2 Bändchen. Nr. 340, 341.

Mecklenburg. Landeskunde -er Grotzherzogtümer Mecklenburg u. -er Freien u. Kansestadt Lübeck v. Dr.Sebald Schwarz, Direktor d. Realschule zum Dom in Lübeck. Abbildungen im Text. 16 Tafeln und 1 Karte in Lithographie. Nr. 487.

Meereskun-e» Physische» von Pro-feffor Dr. Gerhard Schott, Abteilungs-Vorsteher bei der Deutschen Seewarte in Kamburg. Mit 39 Abbildungen im Text und 8 Tafeln. Nr. 112.

Meeresströmungen. Lust- und Meeresströmungen von Dr. Franz Schulze, Direktor der Navigationsschule zu Lübeck. Mit 27 Abbil-düngen und Tafeln. Nr. 551.

Menschliche Körper» Der» sein Bau un- seine Tätigkeiten von E. Rebmann, Oberschulrat in Karlsruhe. Mit Gefundheitslehre v. Dr.med.ß.6eiler. Mit 47 Abbild, und 1 Tafel. Nr. 18.

Metalle (Anorganische Chemie 2.T.) von Dr. Oskar Schmidt, dipl. Ingen., Assistent an der Königlichen Baugewerkschule in Stuttgart. Nr. 212.

Metallographie. Kurze, gemeinfasiliche Darstellung der Lehre von den Me-lallen und ihren Legierungen unter besonderer Berücksichtigung der Metall-Mikroskopie von Prof. E. Keyn u. Prof. O. Bauer am Kgl. Materialprüfungs-(Gr.-Lichlerfelde) der Kgl. Techn. Kochschule zu Berlin. I: Allgem. Teil. Mit 45 Abbildungen im Text u. 5 Lichtbildern auf 3 Tafeln. Nr. 432.

--II: Spezieller Teil. Mit 49 Abb.

im Text u. 37 Lichtb. auf 19 Taf. Nr. 433.

Metalloide (Anorganische Chemie 1. Teil) von Dr, Oskar Schmidt, dipl. Ingenieur. Assistent an der Kgl. Bau-gewerkschule in Stuttgart. Nr. 211.

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von Stephan Krehl. Notenbeisp. Nr. 149,150.

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stoffen von Dr. Karl Braun in Berlin. 1: Einführ, in d. Chemie. Besprech. einiger Salze und der Fette und Öle. Nr. 335.

Metallurgie von Dr. August Geih, inKristianssand (Norwegen). 1. 11. Mit 21 Figuren. Nr. 313, 314.

Meteorologie von Dr. W. Traber!, Professor an der Universität Innsbruck. Mit 49 Abbild, u. 7 Tafeln. Nr. 54.

Mililärslrafrechl von Dr. Max Ernst Mayer. Professor an der Universität Straßburg i.E. 2 Bde. Nr. 371, 372.

Mineralogie von Dr. R. Brauns. Professor an der Universität Bonn. Mit 132 Abbildungen. Nr. 29.

Mittelhochdeutsch. Dichtungen mittelhochdeutscher Frühzeit. In Auswahl mit Einleitung und Wörterbuch herausgegeben von Dr. Kermann Janhen, Direktor der Königin Luise-Schule in Königsberg i. Pr. Nr. 137.

Mittelhochdeutsche Grammatik. Der Nibelunge Not in Auswahl und mittelhochdeutsche Grammatik m. kurzem Wörterbuch v. Dr. W. Golther, Prof. a. d. Universität Rostock. Nr. 1.

Morgenland. Geschichte des alten Morgenlandes von Dr. Fr. Kommet, Professor an der Universität München. Mit 9 Bildern und 1 Karte. Nr. 43.

Mörtel. Die Industrie der künstlichen Bausteine und des Mörtels v. Dr. G. Rauter in Charlottenburg. Mit 12 Tafeln. Nr. 234.

Münzwesen. Matz-, Münz- u. Gewichtswesen v. Dr. Aug.Blind. Prof, a. d. Kandelsschule in Köln. Nr. 283.

Murner, Thomas. Martin Luther, Thomas Murner u. d. SUrch lied des 16. Jahrhunderts. 9 gewählt u. nt. Einleitungen u. Anmerk, versehen von Prof. G. Berlit, Oberl. am Nikolaigymn. zu Leipzig. Nr. 7.

Musik, Geschichte der alten u. mittelalterlichen» von Dr. A. Möhler in Steinhauszen. 2 Bdch. M. zahlr. Abb. und Musikbeilagen. Nr. 121 und 347.

Musikalische Akusl Dr. Karl L. Schüfe 35 Abbildungen. Nr. 21.

Musikalische Formenlehre (Störn* rrositionslehre)

T. 11. Mit viel.No

Musikästhetik von Dr. Karl Grunsky in Stuttgart. Nr. 344. Musikgeschichte des 17. und 18.Jahr« Hunderts von Dr. K. Grunsky in Stuttgart. Nr. 239.

Musikgeschichte seit Beginn des 19. Jahrhunderts von Dr. K. Gxunsky in Stuttgart. I. II. Nr. 164. 165.

Musiklehre, Allgemeine» von Stephan Krehl in Leipzig. Nr. 220.

Nadelhölzer» Die» von Dr. F. W. Neger, Professor an der Königlichen Forstakademie zu Tharandt. Mit 85 Abbild., 5 Tab. und 3 Karten. Nr.355.

Nahrungsmittel. Ernährung Nahrungsmittel von Oberstabsarzt Professor K. Bischofs in Berlin. Mit 4 Abbildungen. Nr. 464.

Nautik. Kurzer Abriß des täglich an Bord von Kandelsschiffen angewandten Teils der Schiffahrtskunöe. Bon Dr. Franz Schulze. Direktor d. Navigations-Schule zu Lübeck. M. 56 Abb. Nr. 84.

Neunzehntes Jahrhundert. Geschichte des 19. Jahrhunderts von Oskar Jäger, o. Konorarpros. a.d. Unio. Bonn. l.Bdchn.: 1800-1852. Nr.216.

--2. Bändchen: 1853 bis Ende des

Jahrhunderts. Nr. 217.

Neutestamentliche Zeitgeschichte von Lic. Dr. W. Staerk. Prof. a. der Unio. in Jena. I: Der historische und kulturgeschichtliche Kintergrund des Ur-christentums. Mit 3 Karten. Nr. 325.

--II: Die Religion des Judentums

int Zeitalter d. Hellenismus u. ö. Römer-Herrschaft. Mit 1 Planskizze. Nr. 326.

Nibelunge Not, Der» in Auswahl und mittelhochdeutsche Grammatik mit kurzem Wörterbuch von Dr. W. Golther. Professor an der Unio. Rostock. Nr. 1.

Nordische Literaturgeschichte I: Die isländische u. norwegische Literatur des Mittelalters von Dr. Wolsgang Golther. Prof, an der Univers. Rostock. Nr. 254.

Nutzpflanzen von Professor Dr. I. Behrens. Vorst, d. Großherzogl. landwirtschaftlichen Versuchsanstalt Augusten-berg. Mit 53 Figuren. Nr. 123.

Fette und öle sowie die Seifen- u. Kerzenfabrikation u. d.Karze, Lacke, Firnisse m. ihren wichtigst. Kilfs-

Öle und Riechstoffe» Ätherische»

von Dr. F. Rochuffen in Miltitz. Mit 9 Abbildungen. Nr. 446.

Optik. Einführung in die geometrische Optik von Dr. W. Kinrichs in Wilmersdorf-Berlin. Nr. 532.

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r. 145.

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Rechtwinklige ometrie von in Münster.

und

Pflanze» Die, ihr Bau und ihr Leben von Professor Dr. E. Dennert. Mit 96 Abbildungen. Nr. 44.

— Morphologie u. Organographie der Pflanzen von Prof. Dr. M. Nordhausen. Privatdoz. a. d. Universit. kiel. Mit 123 Abbildungen. Nr. 141.

von

W.

v. Dr Univ.

Orientalische Literaturen. Die Literaturen -es Orients von Dr. M.

ßaberlanbf, Privatdozent an der Universität Wien. Ir Die Literaturen Ostasiens und Indiens. Nr. 162.

—    — II: Die Literaturen der Perser, Semiten und Türken. Nr. 163.

—    Die christlichen Literaturen -es Orients von Dr. Anton Baumstark. 1: Einleitung. — Das christlich-aramäische u. d. Koptische Schrifttum. Nr. 527.

--II: Das christlich-arabischc

äthiopische Schrifttum. — D liche Schrifttum der Georgier. Nr. 528.

Österreich. Österreichisch,

schichte von Prof. Dr. Franz von ftrones, neu bearb. von Dr.karlUhlirz. Prof. a. d. Univ. Graz. 1: Bon d. Urzeit b. z. Tode Königs Albrechts II. (1439). Mit 11 Stammtafeln. Nr. 104.

--11: Vom Tode König Albrechts II.

bis zum Wests. Frieden (1440-1648). Mit 3 Stammtafeln. Nr. 105.

—    Landeskunde von Österreich-Ungarn von Dr. Alfred Grund. Prof, an der Universität Prag. Mit 10 Text-Illustrationen und 1 Karte. Nr. 244.

Ovidius Nafo» Die Metamorphosen des. In Auswahl mit einer Einleit, u. Anmerk, herausgegeb. von Dr. Jul. Ziehen in Frankfurt a. M. Nr. 442. Pädagogik im Grundriß von Professor Dr. W. Rein, Direktor des Pädagog. Seminars an der Univ. Jena. Nr. 12.

—    Geschichte der, von Oberlehrer Dr. ß. Weimer in Wiesbaden. N

Paläogeographie. Geologische Ge-schichte der Meere und Festländer von Dr. Franz kossmat in Wien. 1 Karten. Nr. 406.

Patäoklimatologie von Dr. Wilh. R.

Eckardt in Weilburg (Lahn). Nr. 482. Paläontologie von Dr. Rud. ßoernes, Professor an der Universität Graz. Mit 87 Abbildungen. Nr. 95.

—    und Abstammungslehre von Dr. Karl Diener. Professor an der Univers. Wien. Mit 9 Abbildungen. Nr. 460.

Palästina. Landes- u. Volkskunde Palästinas v. Lic. Dr. Gustavßölscher i.ßalle. M.8Vollbild.u.l k. Nr. 345. Paraltetperspektive.

schiefwinklige Axon Professor I. Donderlinn Mit 121 Figuren. Nr. 260.

Personennamen» Die deutschen, von

Dr. Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 422. Petrographie von Dr. W. Bruhns. Professor an der Universität Straß, bürg i. E. Mit 15 Abbild. Nr. 173.

Zellenlehre und Anatomie der Pflanzen v. Dr. ß. Wiehe, Prof. a. d. Univ. Leipzig. Mit 79 Abb. Nr. 556. Pflanzenbaulehre. Ackerbau- und Pflanzenbaulehre von Dr. Paul Rippert in Essen und Ernst Langen-beck in Groß-Lichterfelde. Nr. 232. Pflanzenbiologie von Dr. W. Migula. Professor an der Forstakademie Eisenach. Mit 50 Abbildungen. Nr. 127. Pflanzenernährung. Agrikultur-chemie Ir Pflanzenernährung Dr. Karl Grauer. Nr. 329. Pflanzengeographie von Professor Dr. Ludwig Diels in Marburg (ßessen). Nr. 389.

Pflanzenkrankheiten von Dr. Werner Friedr. Bruck. Privatdozent in Gießen. Mit 1 färb. Taf. u. 45Abbild. Nr.310. Pflanzenreich» Das. Einteilung des gesamten Pflanzenreichs mit den wichtigsten und bekanntesten Arten von Dr. F. Reinecke in Breslau und Dr.

r an der Forst-akad. Eisenach. Mit50Fig. Nr. 122. Pflanzenreichs» Die Stämme des» von Privatdozent Dr. Robert Pilger. Kustos am kgl. Botanischen Garten in Berlin-Dahlem. Mit 22 Abb. Nr. 485. Pflanzenwelt» Die» der Gewässer von Dr. W. Migula, Prof. a. d. Forstak. Eisenach. Mit 50 Abb. Nr. 158. Pharmakognosie. Bon Apotheker F. Schmitthenner, Assist, a. Botan. Jnstit. d. Techn. ßochsch. Karlsruhe. Nr. 251. Pharmazeutische Chemie von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. 2 Bändchen. Nr. 543/44. Philologie» Geschichte d. klassischen» . Wilhelm kroll, ord. Prof. a. d. Münster in Westfalen. Nr. 367. Philosophie» Einführung in die, von Dr. Max Wentscher. Professor an der Universität Bonn. Nr. 281.

an der l.Teil: Mit 24 Ab-

Dissimilation. MitlTaf. Nr. 241. Physische Geographie von Dr.Siegm. Günther. Prof. a. d. Kgl.Techn. Kochsch. in München. Mit 32 Abbild. 9tr. 26. Physische Meereskunde von Prof. Dr. Gerh. Schott, Abteilungsvorsteher bei der Deutsch. Seewarte in Kamburg. Mit 39 Abbild, im Text und 8 Taf. Nr. 112.

Pretzlustwerkzeu^e»^ Die, von Mpl.-Technischen Schule in ^traßburg. Mit

Psychologie und Logik zur Einsühr. in die Philosophie von Prof. Dr. Th. Elsenhans. Mit 13 Figuren. Nr. 14.

Grundriß der» von G. F. Lipps in Leipzig.

von

Philosophie, Gesch. der, IV: Neuere Philosophieb. Konto.Dr.B.Bauch, Prof. a. d. Univ. Kalle a. S. Nr. 394. — V: Immanuel Stunt von Dr. Bruno Bauch, Professor an der Uni-versitäl Kalle a. S. Nr. 536.

—    Hauptprobleme der, von Dr. Georg Simmel, Prof.a.d.Univ.Berlin.Nr.500.

—    Psychologie und Logik zur Eins, in die Philosophie von Professor Dr. TH.Elsenhans. Mit 13Figuren. Nr. 14.

Photographie» Die. Don K. Kehler, Professor an der k. k. Graphischen Lehr-und Versuchsanstalt in Wien. Mit 3 Tafeln und 42 Abbildungen. Nr. 94.

Physik, Theoretische, von Dr. Gustav Jäger, Professor der Physik Technischen Kochschule in Wien. Mechanik und Akustik, bildungen. Nr. 76.

--11. Teil: Licht und Wärme. Mit

47 Abb. Nr. 77.

--111. Teil: Elektrizität und Magnetismus. Mit 33 Abbildungen. Nr. 78.

--IV. Teil: Elektromagnetische Licht-

theorieu. Elektronik. M.21 Fig.Nr.374.

—    Geschichte der, von Prof. A. Kistner in Wertheim a. M. I: Die Physik bis Newton. Mit 13 Figuren. Nr. 293.

--II: Die Physik von Newton bis zur

Gegenwart. Mit 3 Figuren. Nr. 294.

Physikalisch-Chemische Rechenaufgaben von Professor Dr. R. Abegg u. Privatdozent Dr. O. Sackur, beide an der Universität Breslau. Nr. 445.

Physikalische Aufgabensammlung von G. Mahler. Professor der Ma-theniatik u. Physik am Gymnasium in Ulm. Mit den Resultaten. Nr. 243.

Physikalische Formelsammlung von G. Mahler, Professor am Gymnasium in Ulm. Mit 65 Figuren. Nr. 136.

Physikalische Messungsmelkoden v. Dr. Wilh.Bahrdt, Oberl. a. d. Oberreal-schule i. Gr.-Lichterf. 92t. 49 g. Nr. 301.

Physiologische Chemie von Dr. med. A. Legahn in Berlin. 1: Assimila-tion. Mit 2 Tafeln. Nr. 240.

--11: Di

Plastik, Die, des Abendlandes von

Dr. 55cms Stegmann. Direktor des Bayerischen Nationalmuseums in München. Mit 23 Tafeln. Nr. 116.

— Die, seit Beginn des 19. Fahr-hunderls von A. Keilmeyer in Mün-chen. Mit 41 Vollbildern. Nr. 321. Plattdeutsche Mundarten von Dr. Kubert Grimme, Professor an der Universität Freiburg (Schweiz). Nr. 461. Poelilr» Deutsche, von Dr. K. Borinski.

Prof. a. der Univ. München. Nr. 40. Polnische Geschichte von Dr. Clemens Brandenburger in Posen. Nr. 338. Portugiesische Literaturgeschichte von Dr. Karl von Reinhardstoettner. Professor an der Königlichen Technischen Kochschule München. Nr. 213. Postrecht von Dr. Alfred Wolcke, Post-inspeklor in Bonn. Nr. 425.

82 Figuren. Nr. 493.

Preußisches Staalsrechl von Dr. Fritz Stier-Somlo, Professor an der Universität Bonn. 2 Teile. Nr. 298, 299.

Psychiatrie. Forensische, von Professor Dr. W. Weygandt, Direktor der Irrenanstalt Friedrichsberg in Kamburg. 2 Bändchen. Nr. 410 unö 411.

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Mit 3 Figuren. Nr. 98.

Pumpen, Druckwasser- u. Druckluft-Anlagen. Ein kurzer Überblick Dipl.-Ing. Rudolf Bogdt, Regierungsbaumeister a. D. in Aachen. Mit 87 Abbildungen. Nr. 290.

Quellenkunde der deutschen Geschichte von Dr. Carl Jacob, Prof, an d. Univ. Tübingen. 1. Band. Nr. 279.

Radioaktivität von Dipl.-Ing. Wilhelm Fromme!. Mit 21 Abbild. Nr. 317.

Rechnen, Das, in der Technik und feine Kilfsmittel (Nechenschieber.Rechen-tafeln, Rechenmaschinen usw.) von Ingenieur Ioh. Eugen Mayer in Freiburg i. Br. Mit 30 Abbild. Nr. 405.

— Kaufmännisches, von Prof. Richard Just, Oberlehrer an der Öffentlichen Kandelslehranstalt der Dresdener Kaufmannschaft. 1.11.111. Nr. 139,140,187.

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Europäischen Rußlands nebst Finnlands von

Professor Dr. A. Philippson in fialle a. 6. Nr. 359.

Russisch - Deutsches GesprSchsbuch

von Dr. Erich Berneker, Professor an der Universität München. Nr. 68. Russische Grammatik von Dr. Erich Berneker. Professor an der Universi-tät München. Nr. 66.

Russische Kandelskorrespondenz von Dr. Theodor von Kawraysky in Leip-zig. Nr. 315.

Russisches Lesebuch mit Glossar von Dr. Erich Berneker, Professor an der Universität München. Nr. 67. Russische Lileralur von Dr. Erich Boehme, Lektor a. derfiandelshochschule Berlin. I. Teil: Auswahl moderner Prosa und Poesiemit ausführlichen An-merhgn. u. ^Ikzentbezeichnung. Nr. 403.

leihing — Lehre von den Personen u. von den Sachen von Dr. Paul Dert-mann, P<vfessor an der Universiläl Erlangen. Nr. 447.

--II: Erwerb und Verlust. Geltendmachung und Schuh der Rechl Dr. Paul Oertmann. Profess der Universität Erlangen. Nr. 448.

—    Zweites Buch: Schuldrecht. I. Abteilung : Allgemeine Lehren von Dr. Paul Oertmann, Professor an der Universität Erlangen. Nr. 323.

--II. Abteilung: Die einzelnen Schuld-

verhältnisse o. Dr.Paul Oertmann. Pros, an der Universität Erlangen. Nr. 324.

—    Drittes Buch: Sachenrecht von Dr. F. Kretzschmar. Oberlandesgerichtsrat in Dresden. I: Allgemeine Lehren. Besitz und Eigentum. Nr. 480.

--II: Begrenzte Rechte. Nr. 481.

—    Viertes Buch: Familienrecht von Dr. fieinrich Titze, Professor an der Uni-versität Göttingen. Nr. 305.

Rechtslehre» Allgemeine, von Professor Dr. Th. Sternberg in Berlin. I: Die Methode. Nr. 169.

--II: Das System. Nr. 170.

Rechtsschutz, Der internationale ge* werbliche, von 3. Neuberg. Kaiserl. Regierungsrat, Mitglied des Kaiserl. Patentamts zu Berlin. Nr. 271.

Redelehre, Deutsche, von fians Probst, Gymnasialprof. in Bamberg. Nr. 61.

Redeschrift siehe: Stenographie.

Reichsfinanzen, Die Entwicklung der» von Präsident Dr. N.

Borght in Berlin. Nr. 427.

Religion» Die Entwicklung der christlichen, innerhalb des Neuen Testaments von Professor Dr. Lic. Carl (Heroen. Nr. 388.

—    Die, des Judentums fm Zeitalter des Kellenismus und der Römerherrschaft von Lic. Dr. W. Staerk (Neu-tesiamentl. Zeitgeschichte II.) Mit einer Planskizze. Nr. 326.

Religionen der Naturvölker, Die, von Dr. Th. Achelis, Profess Bremen. Nr. 449.

Religionswissenschaft, Abrik der vergleichenden, von Professor Dr. Th. Achelis in Bremen. Nr. 208.

Renaissance. Die Ftultur der Renaissance. Gesittung, Forschung» Dichtung von Dr. Robert F. 5lrnuiu, Prof, an der Universität Wien. Nr. 189.

Reptilien. Das Tierreich III: Reptilien und Amphibien. Don Dr. Franz Werner, Professor an der Universität Wien. Mit 48Abb. Nr. 383.

Rheinprovinz, Landeskunde der,

Dr. V. Steinecke. Direktor des Realgymnasiums in Essen. Mit 9 Abb., 3 Kärtchen und 1 Karte. Nr. 308. Riechstoffe. Ätherische öle und Riechstoffe von Dr. F. Rochussen in Miltitz. Mit 9 Abbildungen. Nr. 446. Roman. Geschichte des deutschen Romans o.Dr.fiellm.Mielke. Nr.229. Romanische Sprachwissenschaft Dr. Adolf Zauner, Privatdozent an d. Univ. Wien. 2 Bände. Nr. 128, 250. Römische Altertumskunde von Dr.

Leo Bloch in Wien. M.8 Vollb. Nr. 45. Römische Geschichte von Realgym-nasial-Direktor Dr. Jul. Koch in (Brune-wald. Nr. 19.

Römische Literaturgeschichte von Dr.

fiermann Joachim in fiambura. Nr. 52. Römische und griechische Mythologie von Prof. Dr. fiermann Steuding. Rektor des Gymnasiums in Schneeberg. Nr. 27.

Rußland. Russische Geschichte von

Dr. Wilh. Reeb. Oberlehrer am Oster-aynmasium in Mainz. Nr. 4.

— Landeskunde des

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lauen, r. 258.

99 Abbildungen. Nr. 524. chmarotzer und Schmarotzertum in der Tierwelt. Erste Einführung in die tierische Schmaroherkunde von Dr. Franz v. Wagner, a. o. Professor an der Universität Graz. Mit 67

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Russische Literatur von Dr. Erich Boehme. Lektor an der Kandelshoch-schule Berlin. II. Teil: Bccbojioä'b lapranH-B, PaacnasM. Mit Anmerk, und Akzentbezeichnung. Ar. 404.

Russische Literaturgeschichte von Dr. Georg Polonskij in München. Nr. 166.

Russisches Vokabelbuch» Kleines» von Dr. Erich Boehme. Lektor an der Handelshochschule Berlin. Nr. 475.

Sachenrecht. Recht d. Bürgert. Gesetzbuches. Drittes Buch: Sachenrecht von Dr. F. Krehfchmar, Ober-landesgerichtsrat in Dresden. I: Allgemeine Lehren. Besitz und Eigentum. II: Begrenzte Rechte. Nr. 480, 481.

Sachs» Kans. Ausgewählt und erlöut. von Prof. Dr. Julius Sahr. Nr. 24.

Sachsen. Sächsische Geschichte von Professor Otto Kaemmel, Rektor des Nikolaigymnasiums z. Leipzig. Nr. 1

— Landeskunde -es Königreichs Sachsen von Dr. I. Zemmrich. Oberlehrer am Realgymnasium in Mit 12 Abb. und 1 Karte.

Säugetiere. Das Tierreich I: Säugetiere von Oberstudienrat Professor Dr. Kurt Lampert, Vorsteher des Königlichen Naturalienkabinetts in Stuttgart. Mit 15 Abbildungen. Nr. 282.

Schattenkonstruktionen von Professor 3. Vonderlinn in Münster. Mit 114 Figuren. Nr. 236.

Schmalspurbahnen (Klein-. Arbeits-und Feldbahnen) v. Dipl.-3ng. August Boshart in Charlottenburg. Mit

Abbildungen. Nr. 151.

Schreiner - Arbeiten. Tischler-(Schreiner-)Arbeiten Ir Materialien, Kandwerkszeuge» Maschinen. Einzelverbindungen» Fußböden» Fenster» Fensterladen» Treppen» Aborte von Prof. E. Viehweger, Architekt in Köln. Mit 628 Fig. auf 75 Tafeln. Nr. 502.

Schuldrecht. Recht des Bürgerl. Gesetzbuches. Zweites Buch: Schuldrecht. I. Abteilung: Allgemeine Lehren von Dr. Paul Oertmann, Prof. a. d. Univ. Erlangen. Nr. 323.

Schuldrecht. Recht des Bürger!. Gesetzbuches. Zweites Buch: Schuldrecht. II. Abteilung: Die einzelnen Schuldverhältnisse von Dr. Paul Oertmann, Prof, an der llnio. Erlangen. Nr. 324.

Schule» die deutsche» im Auslande

von Kans Amrhein, Direktor der deutschen Schule in Lüttich. Nr. 259. chulhaus. Die Baukunst desSchul-hauses von Professor Dr.-3ng. Ernst Vetterlein in Darmstadt. I: Das Schulhaus. Mit 38 Abbildungen. II: Die Schulräume — Die Nebenanlagen. Mit 31 Abbildungen. Nr. 443 u. 444.

Schulpraxis. Methodik der Volksschule von Dr. R. Seyfert, Seminardirektor in Zschopau. Nr. 50.

Schwedisch-deutsch. Gesprächsbuch von Johannes Neuhaus, Dozent an der Universität Berlin. Nr. 555.

Schwedisches Lesebuch zur Einfüh-ruug in die Kenntnis des heutigen Schwedens mit Wörterverzeichnis von Johannes Neuhaus, Dozent an der Universität Berlin. Nr. 554.

Schweiz. Schweizerische Geschichte von Dr. K. Dändliker, Professor an der Universität Zürich. Nr. 188.

—    Landeskunde der Schweiz Prof. Dr. ß. Walser in Bern. Mit 16 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 398.

Schwimmanstalten. Sssentl. Dade-und Schwimmanstalten von Dr. Karl Wolfs. Stadt-Oberbaurat in ßan-nover. Mit 50 Figuren. Nr. 380.

Seemacht» Die» in der deutschen Geschichte von Wirkl. Admiralitätsrat Dr. Ernst von Kalle, Professor der Universität Berlin. Nr. 370.

Seerecht, Das deutsche» von Dr. Otto Brandts, Oberlandesgerichtsrat inßam-burg. I. Allgemeine Lehren: Perso und Sachen des Seerechts. Nr. 386.

—    — II. Die einzelnen feerechtlichenSchuld-verhältnisse: Verträge des Seerechts u. auhervertragliche ßaftung. Nr. 387.

Seisensabrikation, Die» die Seifenanalyse u. d. Kerzensabrikation v. Dr. Karl Braun i. Berlin. (Die Fette und Öle II.) Mit 25 Abbild. Nr. 336.

Semitische Sprachwissenschaft Dr. C. Brockelmann, Professor an der Universität Königsberg. Nr. 291.

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Oberl.

Silikate. Industrie -er Silikate» der künstlichen Bausteine u. des Mörtels von Dr. Gustav Rauter in Charlottenburg. I: Glas und keramische Industrie. Mit 12 Taf. Nr. 233. --II : Die Industrie d. künstlichen Bausteine und des Mörtels. Mit 12 Ta-

fein. Nr. 234.

Simpticius Simpticisfimus von Kans Jakob Christoffel v. Grimmelshausen. In Auswahl herausgegeben von Professor Dr. F. Bobertag. Dozent an der Universität Breslau. Nr. 138.

Skandinavien» Landeskunde von, (Schweden, Norwegen und Dänemark) von Heinrich Kerv. Kreisschulinspeklor in Kreuzburg. Mit 11 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 202.

Slavische Literaturgeschichte v. Dr. Josef Karäsek in Wien 1: Altere Literatur bis zur Wiedergeburt. Nr. 277.

--11: Das 19. Jahrhundert. Nr. 278.

Soziale Frage. Die Entwicklung der sozial. Frage von Professor Dr. Ferdin. Tönnies. Nr. 353.

Soziologie von Professor Dr. Thomas Achelis in Bremen. Nr. 101.

Spanien. Spanische Geschieht Dr. Gustav Dierclis. Nr. 266.

— Landeskunde der Iberischen Kalbinsel v. Dr. Fritz Regel. Prof, an der Univ. Würzburg. Mit 8 Kärtchen und 8 Abbildungen im Text und 1 Karte in Farbendruck. Nr. 235.

Spanische Kandelskorrespondenz von Dr. Alfreds Nadal de Mariez-currena. Nr. 295.

Spanische Literaturgeschichte v. Dr.

Rudolf Beer. Wien. 1. 11. Nr.167.168.

Speicher. Industrielle und gewerbliche Bauten (Speicher, Lagerhäuser und Fabriken) von Architekt Heinrich Salzmann in Düsseldorf. II: Speicher u. Lagerhäuser. Mit 121 Fig. Sir. 512.

Staatslehre, Allgemeine, von Dr. Kermann Nehm, Professor an der Universität Strahburg i. E. Nr. 358.

Staatsrecht, Allgemeines» von Julius Hatschek. Prof. d. Recht Univ. Göttingen. 3 Bdch. Nr.415—417.

Staatsrecht, Preußisches, von Dr. Fritz Stier-Somlo. Prof. a. d. Universität Bonn. 2 Teile Sir. 298, 299.

Stammeskunde, Deutsche» von Dr. Rudolf Much. a. o. Prof. a. d. Univ. Wien. M. 2 Kart. u. 2 Taf. Sir. 126.

Statik von W. Kauber. Dipl.-Ing. I. Teil: Die Grundtehren der Statik starrer Störper. Mit 82 Figuren. Nr. 178.

--11. Teil: Angewandte Statik.

Mit 61 Figuren. Nr. 179.

Steinhauerarbeiten. Maurer- und Steinhauerarbeiten von Professor Dr. ephil. und Dr. - Ing. Eduard Schmitt in Darmstadt. 3 Bändchen. Mit vielen Abbildgn. Nr. 419—421.

Stenographie. Geschichte der Stenographie von Dr. Arthur Mentz in Königsberg i. Pr. Nr. 501.

Stenographie n. d. System v. F. 2E. Babelsberger v.Dr.AlbertSchramm, Landesamtsass. in Dresden. Nr. 246.

—    Die Redeschrift des Gabets-bergerschen Systems von Dr. Silbers Schramm. Landesamtsassessor in Dresden. Nr. 368.

—    Lehrbuch d. Vereinfachten Deutschen Stenographie (Einig.-System Stolze-Schrey) nebst Schlüssel. Lese-stücken und einem Anhang von Dr. Amsel, Studienrat des Kadettenkorps in Densberg. Nr. 86.

—    Redeschrift. Lehrbuch schrift des Systems Stolze-Schrey nebst Kürzungsbeisp., Lesestücken. Schlüssel und einer Anleitung zur Steigerung der stenographischen Fertigkeit von Kein-rich Drüse, amtl. bad. Landtagssteno-graph in Karlsruhe (B.). Nr. 494.

Stereochemie von Dr. E. Wedekind. Professor an der Universität Tübingen. Mit 34 Abbildungen. Nr. 201.

Stereometrie von Dr. R. Glaser in Stuttgart. Mit 66 Figuren. N

Steuersysteme des Auslandes, Die, von Geh. Oberfinanzrat O. Schwarz in Berlin. Nr. 426.

Stilkunde v. Prof. Karl Otto Kartmann in Stuttgart. Mit 7 Vollbildern und 195 Textillustrationen. Nr. 80.

Stöchiometrische Aufgabensammlung von Dr. Wilh. Bahrdt, an der Oberrealschule in Groß-Lichter-felde. Mit den Resultaten. Nr. 452.

Straßenbahnen von Dipl.-Ing. August Boshart in Nürnberg. Mit 68 Abbildungen. Nr. 559.

Strategie von Löffler. Major im Kgl. Sächf. Kriegsmin. in Dresden. Nr. 505.

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Teriil-Jn-uflrie. II: Weberei, Wirkerei» Pofamentiererei» Spitzen-u. Gardinensabrikatien u. Filz-

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der Tiere von Dr. Keinrich Simrotb. Prof, an der Univ. Leipzig. Nr. 131. Tiere» Entwicklungsgeschichte der, von Dr. Iohs. Meifenheimer, Professor

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Slröme und Spannungen 4n Stark-stromnetzen o. Jos. Kerzog, Dipl.-Elektroingenteur in Budapest u. Cla-Feldmann. Professor der Elektrotechnik in Delft. Mit 68 Abb. Nr. 456.

Südseegebiet. Die deutschen Kolonien Ili Das Südseegebiet und tschou von Prof. Dr. K. Dove. i Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 520.

Talmud. Die Entstehung d. Talmuds v. Dr. 6. Funk in Boskowitz. Nr. 479.

Technisch-Chemische Analyse v. Dr. G. Lunge. Pwf. a. d. Eidg. Polytechn. Schule i. Zürich. Mt 16 Abb. Nr. 195.

Technisches Wörterbuch» die wichtigsten Ausdrücke schinenbaues, Schiffbaues und der Elektrotechnik von Erich Krebs in Berlin.

I.Teil: Deuifch-Englifch. Nr. 395.

--II. Teil: Englisch-Deutsch. Nr. 396.

--III. Teil: Deutsch-Französ. Nr. 453.

--IV. Teil: Französ.-Deutsch. Nr. 454.

Technologie» Allg von Dr. Gust. R bürg. Nr. 113.

— Mechanische, v. Geh. Kofrat Prof. A. Lüdicne i. Braunschweig. Nr. 340, 341.

Teerfarbstoffe» Die» mitbesond. Berück-'-üchkigung der synthetischen Methoden v. Dr. Kans Bucyerer. Prof. a. d. König!. Techn. Kochschule. Dresden. Nr. 214.

Telegraphenrecht von Postinspektor Dr. jur. Alfred Wolcke in Bonn. 1 s Einleitung. Geschichtliche Entwicklung. Die Stellung des deutschen Telegraphenwesens im öffentlichen Rechte, allgemeiner Teil. Nr. 509.

--II: Die Stellung des deutsch. Telegraphenwesens im öffentlichen Rechte, besonderer Teil. Das Telegraphen-Strafrecht. Rechtsverhältnis der Telegraphie zum Publikum. Nr.

Telegraphie» Die elektrische» v. Dr. Lud. ReUstab. Mit 19 Fig. Nr. 172.

Testament. Die Entstehung des Alten Testaments von Lic. Dr. W. Staerk, Prof. a. d. Univ. Jena. Nk.272. Die Entstehung des Neuen Testaments von Professor Lic. Dr. Carl (Heroen in Bonn. Nr. 285.

Tertil-Jndustrie. I: Spinnerei und Zwirnerei von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat im Kgl. Landesge-werbeamt, Berlin. M. 39 Fig. Nr.l84.

tabrikationv. Prof. M. Gürtler. Geh. Regierungsr. i. Kgl. Landesgewerbeamt zu Berlin. Mit 29 Figuren. Nr. 185.

— III r Wäscherei» Bleicherei, Färberei und ihre Kilssstoffe Dr. Wilh. Massot, Prof. a. d. Preutz. höheren Fachschule für Textilindustrie in Krefeld. Mit 28 Figuren. Nr. 186.

Thermodynamik (Technische Wärmelehre) v. K. Walther u. M. Röttinger. Diplom-Zngen. M. 54 Fig. Nr. 242. Die thermodynamisch, lagen der Wärmek Kältemaschinen von tinger, Diplom heim. Nr. 2.

Thüringische Geschichte von Dr. Ernst Devrient in Leipzig. Nr. 352.

Tierbiologie. Abriß der Biologie der Zoologie an der Universität Jena. I: Furchung, Primitivanlagen. Larven. Formbildung, Embryonalhüllen. Mit 48 Figuren. Nr. 378.

--II: Organbild. M.46Fig. Nr.379.

Tiergeographie v. Dr. Arnold Zacobi, Prof, der Zoologie a. d. Kgl. Forstaka-demie zu Tharandt. M.2Kart. Nr.218. Tierkunde von Dr. Franz v. Wagner. Professor an der Universität Graz. Mit 78 Abbildungen. Nr. 60. Tierreich, Das» 1: Säugetiere von Oberftudienr. Prof. Dr. Kurt Lampert, Borst. d. Kgl. Naturalienkabinetts in Stuttgart. Mit 15 Abbild. Nr. 282.

—    III: Reptilien und Amphibien von Dr. Franz Werner, Professor a. d. Univ. Wien. Mit 48 Abb. Nr. 383.

—    IV: Fische von Professor Dr. Max Rauther in Neapel. Nr. 356.

—    VI: Die wirbellosen Tiere von Dr. Ludwig Böhmig. Professor der Zoologie an der Universität Graz. I: Urtiere, Schwämme. Nesseltiere. Rippenquallen und Würmer. Mit

Figuren. Nr. 439.

11: Krebse, Spinnentiere, Tausend-süßer, Weichtiere, Movstierchen, Armfüßer. Stachelhäuter und Manteltiere. Mit 97 Figuren. Nr. 440.

Unterrichtswesen. Geschichte des deutschen Unterrichtswesens von

Prof. Dr. Friedrich Seiler, Direktor des Königl. Gymnasiums zu Luckau. I. Teil: Von Anfang an bis zum Ende des 18. Jahrhunderts. Nr. 275.

--II. Teil: Vom Beginn d. 19. Jahr-

hund. bis auf die Gegenwart. Nr. 276. Untersuchungsmethoden, Agrikulturchemische, von Professor Dr. Emil Kaselhosf, Vorsteher der landwirtschaftlichen Versuchsstation in Marburg in Kessen. Nr. 470. Urgeschichte der Menschheit von Dr. Moriz Koernes. Prof, an der Univ. Wien. Mit 53 Abbildungen. Nr. 42.

Tierzuchtlehre, Allgemeine unspezielle, von Dr. Paul Rippert in Essen. Nr. 228.

Tischler- (Schreiner-) Arbeiten I: Materialien. Kandwerkszeuge, Maschinen, Einzelverbindungen, Fußböden, Fenster, Fensterladen» Treppen, Aborte von Prof. E. Viehweger. Architekt in fiöln. Mit 628 Fig. auf 75 Tafeln. Nr. 502.

Togo. Die deutschen Kolonien I: Togo und Kamerun von Prof. Dr. Karl Dove. Mit 16 Tafeln und einer lithographischen Karte. Nr. 441.

Toxikologische Chemie von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. Mit 6 Abbildungen. Nr. 465.

Trigonometrie, Ebene u. sphärische» von Professor Dr. Gerh. Gessenberg in Breslau. Mit 70 Fig. Nr. 99.

Tropenhygiene von Medizinalrat Professor Dr. Nocht. Direktor des Instituts für Schiffs- und Tropenkrankheiten in Hamburg. Nr. 369.

Trust. Kartell und Trust von Dr. S. Tschierschky in Düsseldorf. Nr. 522.

Turnkunst, Geschichte der» von Dr. Rudolf Gasch, Prof. a. König Georg-Gymnas. Dresden. M. 17Abb. Nr.504.

Ungarn. Landeskunde von öfter» reich-Ungarn von Dr. Alfred Grund. Professor an der Universität Berlin. Mit lOTextillustr. u. 1 Karte. Nr. 244.

— Geschichte der ungarischen Literatur von Dr. Ludwig Katona, Professor an der Universität Budapest und Dr. Franz Szinnyei, Dozent an der Universität Budapest. Mr. 550.

Urheberrecht, Pas, cm Werken der Literatur und der Tmckuryt, das Verlagsrecht mb das Urheberrecht an Werken der bildenden Künste und Photographie von Staatsanwalt Dr. 5. Schlittgen in Chemnitz. Nr. 361.

— Das deutsche, an literarischen, künstlerischen und gewerblichen Schöpfungen, mit besonderer Berücksichtigung der internationalen Verträge von Dr. Gustav Rauter, Patentanwalt in Charlottenburg. Nr. 263.

Vektoranalysis von Dr. Siegfr. Valen-tiner. Professor an der Bergakademie in Clausthal. Mit 11 Fig. Nr. 354.

Veranschlagen, Das» im Kochbau. Kurzgefaßtes Kandbuch über das Wesen des Kostenanschlags von Architekt Emil Beutinger, Assistent a. d.Techn. Kochsch. in Darmstadt. Mit vielen Fig. Nr. 385.

Vereinigte Staaten. Landeskunde der Vereinigten Staaten von Nordamerika von Professor Keinrich Fischer, Oberlehrer am Luisenstädt. Realgymnasium in Berlin. 1. Teil. Mit 22 Karten und Figuren im Text und 14 Tafeln. Nr. 381.

--II. Teil: Mit 3 Karten int Text.

17 Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 382.

Vergil. Die Gedichte des P. Ver-gilius Maro. In Auswahl mil einer Einleitung und Anmerkungen herausgegeben von Dr. Julius Ziehen. I: Einleitung und Aeneis. Nr. 497.

Vermessungskunde von Diplom-Ing. P. Werkmeister. Oberlehrer an der Kaiser!. Technischen Schule in Straßburg i. E. I: Feldmessen und Nivellieren. Mit 146 Abb. Nr. 468.

--II: Der Theodolit. Trigonometrische u. barometrische Köhenmessung. Tachymetrie. Mit 109 Abb. Nr. 469.

Versicherungsmathematik von Dr. Alfred Loewy, Professor an der Universität Freiburg i. B. Nr. 180.

Versicherungswesen, Das, von Dr. iur. Paul Moldenhauer, Professor der Versicherungswissenschaft an der Handelshochschule Köln. I: Allgemeine Versicherungslehre. Nr. 262.

Völkerkunde von Dr. Michael Kaber-landt, k. und k. Kustos der ethnogr. Sammlung des naturhistor. Kofmuseums und Privatdozent an der Universität Wien. Mit 56 Abbildungen. Nr. 73.

Wärmelehre, Technische» (Thermodynamik) von &. Walther und M. Röttinger. Diplom-Ingenieure. Mit 54 Figuren. Nr. 242.

Wasser, Das, und seine Verwendung in Industrie und Gewerbe v. Dr. Ernst Leher, Dipl.-Ing. in Saalfeld. Mit 15 Abbild. Nr. 261.

Wasser und Abwässer. Ihre Zusammensetzung. Beurteilung u. Untersuchung von Prof. Dr. Emil Kaselhoff. Vorsteher der landwirtschaftl. Versuchsstation i. Marburg i. Kessen. Nr. 473.

Gas- und mit Ein-

1: Urtiere.

Volkerne/neu. Länder- u. Völker-namen von Dr. Rudolf Kleinpaul in Leipzig. Nr. 478.

Volksbibliotheken (Bücher- und Lese-hallen), ihre Einrichtung und Verwaltung von Emil Iaeschke, Stadtbibliothekar in Elberfeld. Nr. 332.

Volkslied, Das deutsche, ausgewählt und erläutert von Professor Dr. Jul. Sahr. 2 Bändchen. Nr. 25,132.

Volkswirtschaftslehre von Dr. Carl Iohs. Fuchs. Professor an der Universität Tübingen. Nr. 133.

Volkswirtschaftspolitik v. Präsident Dr.R. van derBorght. Berlin. Nr. 177.

Wahrscheinlichkeitsrechnung von Dr. Franz Kack, Professor am Eberhard-Ludwigs-Gymnasium i. Stuttgart. Mit 15 Figuren im Text. Nr. 508.

Maldeck. Landeskunde des Grotz-herzogtums Kessen» der Provinz Kefsen-Nassau und des Fürstentums Waldeck von Professor Dr. Georg ©rettn in Darmstadt. Mit 13 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 376.

Waltharilied, Das, im Versmaße der Urschrift übersetzt und erläutert von Prof. Dr. K. Althof, Oberlehrer am Realgymnasium in Weimar. Nr. 46.

Walther von der Vogelweide» mit Auswahl aus Minnesang u. Spruchdichtung. Mit Anmerkungen und einem Wörterbuch, von Otto Güntter, Prof, an der Oberrealschule und an der Techn. Kochsch. in Stuttgart. Nr. 23.

Warenkunde v. Dr. Karl Kassack, Prof, und Leiter der k. k. Kandelsakademie in Graz. l.Teil: Unorganische Waren. Mil 40 Abbildungen. Nr. 222.

--ll. Teil: Organische Waren. Mit

36 Abbildungen. Nr. 223.

Warenzeichenrecht, Das. Nach dem Gesetz z. Schutz der Warenbezeichnungen vom 12. Mai 1894. Von Reg.-R. I. Neuberg, Mitglied des Kaiserlichen Patentamts zu Berlin. Nr. 360.

Wärme. Theoretische Physik II. T.: Licht u. Wärme. Don Dr. Gustav Jäger, Prof, an der Techn. Kochschule Wien. Mit 47 Abbildungen. Nr. 77.

Wärmekraftmaschinen. Die thermodynamischen Grundlagen der Wärmekraft- u. Kältemaschinen von M. Röttinger, Diplom-Ingenieur in Mannheim. Mit 73 Figuren. Nr. 2.

Wafferinstallationen. Wasserinstallationen schlusz der Abortantagen von

^Professor Dr. phil. und Dr.-Ingen. Eduard Schmitt in Darmstadt. Mit 119 Abbildungen. Nr. 412. Wasserturbinen, Die, von Dipl.-Ing. P. Koll in Berlin. I s Allgemeines. Die Freistrahlturbinen. Mit 113 Ab-bildungen. Nr. 541.

--II: Die Überdruckturbinen. Die

Wasserkraftanlagen. Mit 102 Abbildungen. Nr. 542.

Wasserversorgung der Ortschaften

von Dr.-Ing. Robert Weyrauch, Professor an der Kgl. Technischen Kochschule Stuttgart. Mit 85 Fig. Nr. 5. Wechfelstromerzeuger von Ing. Karl Pichelmayer, Professor an der K. K. Technischen Kochschule Wien. Mit 40 Figuren. Nr. 547. Wechfelwesen, Das, v. Rechtsanw. Dr.

Rudolf Mothes in Leipzig. Nr. 103. Wehrverfassung» Deutsche, von Geh. Kriegsrat Karl Endres, vortr. Rat im Kriegsministerium i. München. Nr. 401. Wettbewerb, Der unlautere, von Rechtsanwalt Dr. Martin Wassermann in Kamburg. I: Generalklausel, Reklameauswüchse, Ausverkaufswesen, Angestelltenbestechung. ‘2lr. 339.

---II: Kreditschädigung, Firmen- und

Namenmißbrauch. Verrat von Geheimnissen . Ausländerschuh. Nr. 535. Wirbellose Tiere. Das TierreichVI : Die wirbellosen Tiere von Dr. Ludwig Böhmig. Prof, der Zoologie an der Universität Graz.

Schwämme. Nesseltiere. Rippenquallen und Würmer. Mit 74 Fig. Nr. 439.

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wirbellose Tiere. Das Tierreich VI: Die wirbellosen Tiere von Dr.

I, tck^ioig DSHE. Prof, der Zoologie. t an der Univexsilät Graz. II: Krebse, Spü .sntier^ Tausendfüßer, Weichtiere» Movstierchen. Armfüßer, Stachelhäuter und Manteltiere. Mit 97 Figuren. Ar. 440.

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Geometrisches» von* f>. Architekt und Lehrer an der

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Wirtsch astspslege. Kommunale Wirtschastspslege von Dr. Alfons Rieh, Magistratsass. i. Berlin. Nr. 534.

Wohnungsfrage» Die» v.Dr.L.Pohle. Professor der Staatswissenschaften zu Frankfurt a. M. 1: Das Wohnungs-wesen in der modernen Stadt. Nr. 495.

--II: Die städtische Wohnungs- und

Bodenpolitik. Nr. 496.

Wörterbuch nach der neuen fretifc sehen Rechtschreibung von Dr. Keinrich Klenz. Nr. 200.

—    Deutsches, von Dr. Richard Loews in Berlin. Nr. 64.

—    Technisches» enthaltend die wichtigsten Ausdrücke des Schiffbaues und der von Erich Krebs in Berlin. I. Teil: Deutsch-Englisch. Nr. 395.

--II. Teil: Englisch-Deutsch.

--III. Teil: Deutsch-Französ.

--IV. Teil: Französ.-Deutsch. Nr.454.

Württemberg. Württembergische Geschichte v. Dr. Karl Weller. Prof, a. Karlsgymnas. i. Stuttgart. Nr. 462.

—    Landeskunde des Königreichs Württemberg von Dr. K. Hasserl, Professor der Geographie an der Handelshochschule in Köln. Mit 16 Voll-

Maschinenbaues, r Elektrotechnik

Nr. 396. Nr.453.

Becker.

Baugewerkschule in Magdeburg, neu bearbeitet von Prof. 5. Vonderlinn. Direktor der königl. Baugewerkschule zu Münster. Mit 290 Figuren und 23 Tafeln im Text. Nr. 58.

Zeitungswesen, Das deutsche» v. Dr. Rob. Brunhuber, Köln a. Rh. Nr. 400.

— Das moderne, (Syst. d. Zeitungslehre) von Dr. Robert Brunhuber in Köln a. Rh. Nr. 320.

Zeitungswesens» Allgemeine Geschichte des» von Dr. Ludwig Solomon in Jena. Nr. 351.

Zentral - Perspektive von Architekt Hans Freyberger, neu bearbeitet von Professor 3. Vonderlinn. Direktor der Kgl. Baugewerkschule in Münster i. W. Mit 132 Figuren. Nr. 57.

Zimmerarbeiten von Carl Opitz, Oberlehrer an der Kaiser!. Technisch. Schule in Straßburg i. E. I: Allgemeines. Balkenlagen, Zwischendecken u. Deckenbildungen, hölzerne Fußböden, Fachwerkswände. Hänge- und Spreng, werke. Mit 169 Abbild. Nr. 489.

--II: Dächer, Wandbekleidungen,

Simsschalungen, Block-, Bohlen- und Bretterwände, Zäune, Türen, Tore, Tribünen und Baugerüste.

Mit

167 Abbildungen. Nr. 490.

bürg i. E. 3 Bände. Nr. 428—430. Zoologie» Geschichte der» von Prof.

D-. Rud. Burckhardt. Nr. 357. Zündwaren von Direktor Dr. Alfons Bujard, Vorstand des Städtischen ,.,v v , _    m 4Pr1    Chemischen Laboratoriums in Stutt-

bildern und 1 Karte. Nr. 157.    garf.    io9.

Zeichenschule von Professor K. Kim- Zwangsversteigerung» Die, und die mich in Ulm. Mit 18 Tafeln in Zwangsverwaltung von Dr. F.

Kretzschmar, Oberlandesgerichtsrat in Dresden. Nr. 523.

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Ton-, Farben- und Golddruck und 200 Voll- und Textbildern. Nr. 39.

= Weitere Bände sind in Vorbereitung.

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