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REINHOLD WICHERT, Verlagsbuchhandlung

Berlin SW. 61, Tempelhofer Ufer 5.

Moderne Geschüftsprnxis. K-Ss

einem Anhang: Die wichtigsten Handelsgebräuche von Dr. Otto Knörk, Direktor der kaufm. Schulen in Berlin. 320 Seiten, Oktavformat, gebunden 3 M.

Inhalt: Wesen und Erfordernisse des Geschäftslebens — Wesen und Arten der kaufmännischen und gewerblichen Betriebe — Der Betrieb des Einzelgeschäfts — Der moderne Kontorbetrieb — Ein- und Verkauf der Ware — Bezahlung der Ware — Gewinnung und Erhaltung der Kundschaft — Buchführung und Kalkulation nebst Steuererklärung — Die Hilfseinrichtungen des Handels — Der Selbstschutz des Handels — Der staatliche Schutz des Handels u. a. m.

Das Buch will dem angehenden Geschäftsmann ein Wegweiser sein, sich durch planmässige Einrichtung seines Geschäftsbetriebes ein gesichertes und aussichtsvolles Feld der Tätigkeit zu eröffnen; es will den Angestellten zu einem brauchbaren und zuverlässigen Mitarbeiter machen; es soll schliesslich dem Geschäftsinhaber selber als Nachschlagewerk für die neuesten Einrichtungen des Gewerbes, Handels und Verkehrs dienen.

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Ein Ratgeber für den Verkehr mit der Bank und der Börse. Mit Anhang: Kapitalanlage und Wertpapiere von Dr. Otto Knörk, Direktor der kaufm. Schulen in Berlin. 320 Seiten, Oktavformat, gebunden 3 HI.

Inhalt: Das Geld- und Zahlungswesen — Ursprung und Zweck des Geldes — Das gemünzte Geld — Ersatzmittel des Geldes — Das Bankwesen — Das Privatbankwesen — Das Notenbankwesen — Die wichtigsten Bankgeschäfte — Der Verkehr mit der Reichsbank — Das Börsenwesen — Wie schätzt sich der Kapitalist vor Verlusten? — Wertpapiere, die sich zu Kapitalanlagen eignen u. a. m.

Die Geld-, Bank- und Börsenkunde bezweckt, dem kaufmännischen Angestellten und dem im Gewerbe tätigen Geschäftsmann auf allen diesen Gebieten praktische Fingerzeige zu geben, sie will ein gern benutzter Ratgeber für den Zahlungsverkehr mit Kunden und Lieferanten, für den Geld- und Effektenverkehr mit der Bank und der Börse sein. Die Kapitalanlage ist am Schluss besonders berücksichtigt worden.

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„Amerikanische Buchführung“ für den Selbstunterricht und die Praxis. Leichtverständliche Anleitung für die verschiedenen Arten der Buchführung auf Grund der neuen kaufmännischen Gesetzgebung von F. Wende, Leiter der 2. kaufmännischen Fach- und Fortbildungsschule zu Berlin. 320 Seiten, Oktavformat, gebunden 3 HI.

In dem Buche herrscht das Bestreben, die Erklärungen in kurzer verständlicher Ausdrucksweise zu geben und mit Beispielen zu belegen. Eine reiche Anzahl von Geschäftsfällen und deren Verarbeitung gibt dem Lernenden Gelegenheit zur selbständigen praktischen Ausarbeitung und setzt ihn in den Stand, die Richtigkeit seiner Buchungen sofort zu kontrollieren. Es kann jedem jungen Kaufmann, der sich in der Buchführung vervollkommnen will, warm empfohlen werden.

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Von Ost Biblioteka Politechniki Krakowskiej 352 Seitei

tiiche Berufsstände, alle Rechnungsarten des bürgerlichen Lebens und [midie-    '    »n. Mit Resultaten.

Fachschule in Berlin.

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Praxis. Enthaltend: Kaufmännische Redewendungen — Anleitung für die Abfassung französischer Geschäftsbriefe — Französische Musterbriefe in zusammenhängender Folge — Gesprächsstoffe u. a. m. Alles mit überstehender Ueber Setzung. Von Dr. Otto Knörk. Direktor der Schulen in Berlin, und Jules Hauzeur, Korrespondent und Handelslehrer. 320 Seiten, Oktavformat, gebunden 3 BE.

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ihn besonders angehenden privatrechtlichen Gesetzesvorschriften bekannt machen. Die richtige Benutzung des Buches wird ihn in vielen Fällen vor 1 Verdriesslichkeiten und Verlusten schützen.    E

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praktisches Rechnen.

Neue

Kaufmännische

Bibliothek

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Selbstunterricht und die Praxis

herausgegeben von

Dr. Otto Knörk

Direktor der kaufmännischen Schulen der Korporation der Kaufmannschaft von Berlin.

Band IV.

Berlin SW., Tempelhofer Ufer 5 Reinhold Wichert, Verlagsbuchhandlung —- ^ ■..... 1907 -.....

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JMit Resultaten,

Von

Oskar Vodkncr

Leiter der I. kaufmännischen Fachschule in Berlin.

Berlin SW., Tempelhofer Ufer 5 Reinhold Wichert, Verlagsbuchhandlung ^ - - 1907 _

ms

Vorwort.

as vorliegende Werk ist das Resultat meiner langjährigen Unterrichtstätigkeit an den Kaufmännischen Schulen der Korporation der Kauftnannschaft zu Berlin.

Als praktisches Rechenbuch soll es zeigen, wie man bei der Lösung von Aufgaben aus der Praxis am besten zum Resultat gelangt. Ich habe mich daher nur auf diejenigen Rechengebiete beschränkt, die wirklich praktischen Wert haben; theoretische Stoffe sind nur insoweit herangezogen, als sie zum Verständnis des Ganzen erforderlich sind.

Das Buch soll auch in der Hand des weniger Vorgebildeten mit Erfolg verwendet werden können; es war daher notwendig, mit den Elementen des Rechnens, wenn auch nur in der Form einer kurzen Wiederholung zu beginnen. Allen darauf folgenden Rechnungsarten habe ich eine einfache Darstellung zu geben versucht und bin der Meinung, daß sich der Leser nach gewissenhafter Durcharbeitung des grundlegenden Pensums auch in den späteren Kapiteln wird zurechtfinden können.

Es sei mir nun noch gestattet, den Herren Kollegen von der I. Kanfmännischen Fachschnle, die mich bei dieser Arbeit unterstützt haben, insbesondere den Herren Ehren-treich, Kann nnd Lehmann auch an dieser Stelle meinen wärmsten Dank ansznsprechen.

So möge denn dieses Werk viele Freunde finden und ihnen das werden, was der Titel verspricht: eine gute Anleitung znm praktischen Rechnen.

Dahlem-Berlin, im Mai 1907.

Oskar Voelkner.

Inhaltsverzeichnis,

Einleitung.

Seite

Das Dezimalsystem

I. Die Grundrechnungsarten.

A.    Das Rechnen mit unbenannten Zahlen

1.    Die Addition...........

2.    Die Subtraktion..........

3.    Die Multiplikation........

4.    Die Division...........

B.    Das Rechnen mit mehrfach benannten Zahlen

Allgemeines.............

1.    Das Resolvieren..........

2.    Das Reduzieren..........

3.    Die Addition ....    . .    ...

4.    Die Subtraktiorr..........

5.    Die Multiplikation.........

6 Die Division...........

7.    Verwandlung fremder Sorten in deutsche und inngekehrt 69

8.    Die Zeitrechnung............

I. Der Kalender............

II. Berechnung der Zeitdauer........

III. Berechnung eines Zeitpunktes......

C.    Das Rechnen mit gewöhnlichen Brüchen

1.    Allgemeines über die Entstehung und Arten der Brüche 76

2.    Verwandlung unechter Brüche in ganze mtb gemischte

Zahlen und umgekehrt...........

3.    Erweitern und Kürzen der Brüche........

4.    Die vier Grundrechnungsarten mit gewöhnlichen Brüchen 82

a.    Die Addition ......

b.    Die Subtraktion.....

c.    Die Multiplikation ....

d.    Die Division......

D.    Das Rechnen mit Dezimalbrüchen .    .

1. Allgemeines über deren Entstehung 2 Addition und Subtraktion ....

3.    Multiplikation und Division . . .

4.    Umwandlung genreiner Brüche in Dezimalbrüche . . . 101

5.    Umwandlung der Dezimalbrüche in gemeine Brüche. . 103

6.    Umwandlung von s und d in einer: Dezimalbruch vor: £ 105

CO CO

10

21

33

44

46

48

50

54

57

61

71

71

72

73

78

79

82

86

87

91

94

94

95

95

II. Die bürgerlichen Rechnungsarten.

Seile

A.    Die Regeldetri

1.    Einführung in die Regeldetri.........

2.    Einfache Regeldetri.............

3.    Zusammengesetzte Regeldetri..........

4.    Der Kettensatz...............

B.    Die JVlifchungsrechnung

1.    Die Frage nach der Qualität.........

2.    Die Frage nach der Quantität.........

C.    6efellf chaf t sr ech nung

1.    Allgemeines................

2.    Das Teilungsv erhältnis ist in ganzen Zahlen angegeben

3.    Das Teilungsverhältnis ist in Dezimalbrüchen angegeben

4.    Das Teilungsverhältnis muß gesucht werden ....

5.    Das Teilungsverhältnis wird durch Differenzangaben

ausgedrückt...............

6.    Das Teilungsverhältnis wird durch Nebenausgaben be

einflußt ................

7.    Das Teilungs verh ältnis ist zusammengesetzt . . . .

D.    Prozentrechnung

1.    Die Einführung in die Prozentbestimmung.....

2.    Reiner Grundwert.............

a.    Die einfache Prozentbestimmung......

b.    Die Berechnung des Prozentwertes.....

c.    Die Berechnung des Grundwertes.....

3.    Vermehrter oder verminderter Grundwert.....

E.    Die Zinsrechnung

1.    Einführung in die Zinsrechnung.........

2.    Berechnung der Zinsen............

3.    Berechnung des Zinsfußes...........

4.    Berechnung des Kapitals.........- -

5.    Berechnung der Zeit.............

6.    Berechnung der Zinseszinsen..........

108

108

109

116

119

123

124

128

128

129

130

131

132

133

134

137

137

149

163

165

169

170

179

181

182

183

111. Das Rechnen im Bankfach.

A.    Die Diskontrechnung

1.    Allgemeines................

2.    Berechnung des Barwertes noch nicht fälliger Wechsel .

3.    Verkauf von Wechseln bei der Reichsbank.....

B.    Die Cerminberechnung

1. Allgemeines. 2. Restzahlungstermin.......

3. Mittlerer Zahlungstermin...........

C.    Die Kontokorrentrechnung

1.    Einführung in die Kontokorrentrechnung......

2.    Die progressive Methode......... . .

186

187

189

195

196

198

Seite

3.    Die progressive Methode mit roten Zahlen

4.    Die retrograde Methode ......

5.    Das Kontokorrent mit wechselndem Zinsfuß .... 203

6.    Die Staffelrechnung .

D.    ©old- und Stlberrecbnung

1.    Allgemeines ....

2.    Edelmetallgewichte nnd Feinheitsbestimmungen . . . 215

3.    Berechnung des Feingewichts..........218

4.    Berechnung des Wertes für legiertes Gold- u. Silber . 220

E.    Die JVtünzrccbnung

1.    Einführung in die Münzrechnung . .

2.    Münzverhültnisse der wichtigsten Länder

3.    Die Münzparität. 4. Der Kurswert der Münzen 230, 231

P. Die Devtsenreebnung

Allgemeines über Wechsel in fremder Währung .... 232 Das Wechselpari — Der Wechselkurs Berechnung des Wertes der Devisen

G.    6ffektcnrecbnung

1. Allgemeines über Effekten. 2. Der.Kurszettel. .    244, 248

3. Die Berechnung der Effekten.......... 254

H.    Die Arbitrage

1. Allgemeines. 2. Ausgleichsarbitrage 3 Differenzarbitrage

Hufgaben-Lö hingen

200

201

. 206

. 214

222

. 224

233

239

259, 260

263

265

Hnbang,

Die Münzen-, Mass- u. ©ewiebtssysteme aller Länder der 6rde mit Umrechnungstabellen.

A. Das Deutsche Reich. B. Frankreich..... 299, 301

C. England (Großbritannien). D. Rußland . . .    303, 315

E.    Österreich-Ungarn............

F.    Die übrigen Staaten Europas.......

1. Belgien. 2. Bulgarien. 3. Dänemark . .

4. Griechenland. 5. Italien. 6. Holland . .    327, 328

7.    Portugal

8.    Rumänien. 9. Schweden-Norwegen. 10. Schweiz 334 11. Spanien. 12. Türkei

318

321

321, 322

332

335

Gi. Amerika

336

I.    Die argentinische Republik. 2. Bolivia. 3. Brasilien 336 4. Chile. 5. Columbia. 6. Costa Rica. 7. Die

Dominikanische Republik. 8. Ecuador. 9. Guatemala. 10. Mexiko...........

II.    Die Vereinigten Staaten von Nordamerika . . 338

China. Japan. Ostindien. Aegypten . . .    342, 343

337

Einleitung.

Das Dezimalsystem.

Die Zahl gibt die Menge von Einheiten einer Art an.

Sie ist entweder eine benannte Zahl (10 M, 5 km, 8 Dtz.) oder eine unbenannte Zahl (10, 5, 8), d. h. sie nimmt keine Rücksicht auf die Art der Einbeiten.

Um mit Hilfe weniger Zahlen alle Zahlen ausdrücken zu können-bedient man sich des Z a h l e n s y st e m s. In fast allen Kulturländern ist das Zehnersystem mit der Grundzahl 10 eingeführt. 10 ist die erste Stufe unseres Systems. Der zehnte Teil davon — 1, zwei Zehntel = 2 bis neun Zehntel --- 9. Die Zahlen von 1—9 bilden die Einer.

Durch Multiplikation der Zahl 10 mit 1 bis 9 entstehen die reinen Zehner 10, 20, bis 90.

Durch Addition der reinen Zehner und Einer werden gemischte Zehnerzahlen gebildet: 30 + 6 = 36. Die Zehner schreibt man in die 2. Stelle links.

Durch Multiplikation der Zahl 10 mit sich selbst, also 10 x 10, entsteht die 2. Grundstufe = 100. Multiplizier! man diese Zahl wieder mit 1—9, so erhält man die reinen Hunderter 100—900, die nun wieder durch Hinzufügung von Zehnern und Einern zu gemischten Hundertern werden. Hunderter stehen in der 3. Stelle links. 10 zweimal mit sich selbst multipliziert, 10 x 10 x 10, ergibt die 3. Grundstufe 1000 u. s. w. Die 4. Grundstufe ist 10 000, die 5. 100 000, die 6. 1000 000, die 7.

Voellner, Prall. Rechnen.

10 000 000. Unser Zahlensystem ist unbegrenzt, da durch Hinzufügnng einer 0 immer eine neue Grundstufe entsteht. Es sind also:

10 Einer --- 1 Zehner — 10,

10 Zehner = 1 Hunderter --- 100,

10 Hunderter = 1 Tausender = 1000,

10 Tausender = 1 Zehntausender = 10000,

10 Zehntausender = 1 Hunderttausender = 100 000,

10 Hunderttausender --- 1 Millioner = 1000000,

10 Millioner = 1 Zehnmillioner = 10000000 u. s. w.

10 Hunderttausend Millioner sind eine Billion.

1000 Millionen nennt man eine Müliarde.

Übung im Zahlenlesen.

Eine vielstellige Zahl denkt man sich von rechts nach links in je 3 Stellen abgeteilt, also 5 768 549. In der 7. Stelle stehen die Millionen, hier also 5 Million; die 6., 5., und 4. Stelle liest man mit der Benennung Tausend, hier also 768tausend. Die 3., 2. und 1. Stelle hat keine weitere Benennung. Unsere Zahl wird also gelesen: 5 Million, 768tausend, 549. Die Zahl 420 031 001 heißt 420 Million, 31 tausend und 1. 13 052 400 786 -- 13 Milliarden, 52 Million, 400tausend, 786.

Lies:

3 958 469 7 034 005 6 406 374 18503489

400 700 319 579 340 048 1949 576 374 56 034 685 276.

I. Die Grundrechnungsarten.

A. Das Rechnen mit unbenannten Zahlen.

Unser gesamtes Rechnen stützt sich aus 4 Grundrechnungsarten, Spezies genannt: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

I. Die HcUitton

Addieren heißt den Gesamtwert mehrerer Zahlenwerte ermitteln. Der Gesamtwert von 4 und 3 ist 7. Die zu addierenden — zusammenzuzählenden — Zahlen nennt man Summanden oder Posten. Der Gesamtwert derselben, das Resultat, ist die Summe. Das Additionszeichen ist +, das Gleichheitszeichen «.

Unser Beispiel wird also geschrieben: 4 + 3 * 7.

Kopfrechnen.

Aufg. 1.

Schreibe das Ergebnis schnell nieder und vergleiche Resultaten im Anhang.

00 CD iß

^ CD 05

03 Xh CO

er

o

Aufg. 2.

32

CD 00 ^ M-

[> xt< CD + + +

Iß CD 00

+ + +

03 xH CM 03 xH 00

CO

iß xh< CD + + +

\

iß xh 00 + + +

iß CO H Xh 03 iß

Aufg. 3.

Ergänze zum reinen Zehner:

45

91

81

54

57

84

64

12

53

13

00 K CO ÜX 02

Aufgaben mit Überschreitung des Zehners: 47 + 8.

Zerlege 8 in 3 (die du zur Ergänzung zu 50 brauchst) und 5. 47 + 3 = 50, 50 + 5 = 55.

Aufg. 4.

4-4-4-

02 CD <1

00 l> iO + + +

i—¹ 00 Ox

Ox CD

4- 4- +

00 ^3 CD

oo 02 r-*

444

00 CD 02 x (M CO

Aufg. 5.

23

71

27

444

4 4-4-

CD CD O

4- 4- 4-

io xh CD

4-4-4-

CR <1 CD

00 Qx Ox

+ + + 0 05 CD

+ + + 02 CJi -sj

-M- +

OJ

4-4-4-

Ü» <1 oo

4-4-4-

00 CD O)

Aufg. 6.

Bilde nach folgendem Beispiel Reihen:

13 + 7 - 20, 20 + = 27, 27 + 7 90 +7 = 97; kürzer: 13 7 = 20 + 7 = 20, 27 u. s. w.

8 + 6 -- 14 15 14 + 6 — 20 24

34 u. s. w. bis 27 ; noch kürzer 13

CD CD

= 24 9

-- 33

00 00

u. s. w.

w.

s. w.

4- 4-^

[> t> fi

II

Aufg. 7.

20 + 40 30 + 50 50 + 50

o o

CO O l

4-4-4-

CD

SS

60 + 40 30 + 40 70 + 30

Da 40 + 30 = 70 ist, muß 45 + 30 =

Aufg. 8.

fe

O O <M CO

+ + + Cs) CO Oi

io <m m

67 + 30 46 + 40 38 + 60

19 + 30 65 + 20 26 + 60

5S5    5 8SS

+ + +    I' + + +

©SS

Anfg. 9.

38 + 46.

co 05 00 r- 05 (M CM (M CM H

+ + + + +

I> OO CO x* lO

co ^ co co o

Z >o oo c* t> oo

^ H ^ lO CO + + + + + + 8

L>-    00    xO    CO    t>

CO    0    lO    CM    CO

^    +    +    +    +    +

S    00    05    O    05    xO

L    CM    rH    CM    CO    rH

00

co

CO Ci    >—¹    4^-    CO    II

00 4^    CO    ^    <1    II

+ +    + +    +    L

4^ CO    CG    CO

co oo CO 00

Rechenvorteil:

Liegt einer der Posten nahe an einem reinen Zehner, so wird dieser bezw. zu diesem addiert und das Resultat um die Differenz gekürzi.

59 + 28. 60 + 28 = 88, 88 — 1 = 87.

23 + 68 23 + 70 = 93, 93 — 2 — 91.

Ausg. 10.

OO E S

+ + +

CO 4^ CO CO CO Ol

OO 05 OO CM O CO

+ + +

O* co o

T—I rH xQ

M to

co oo äs 4-4-4-

Ol 03 05 CO Ol oo

4^ CG CO CJi -J

+ + +

CO 4^ CG pt 00 00

Aufg. 11.

300 + 50 500 + 70 900 + 80 400 + 60

8 oAd + + + + S885

rH D- CO CM

OO CO

rH rH

CO O»

CO Ol

co

CG 05

CG CD 05 CO ^ OOiQ I>

+ + + +

o o o o

CM < XT* rH ^C*COH

rr

IG »

03

00 CO 00 00 . [>• CO Xh XO

'S 4—I—I—h

rH OO CO t>

Ol 4^ O CO •0 05

Aufg. 13.

430 + 120 710 + 280 350 + 330 520 + 270

CG

00

00

5 S 02 H +

05 00 OO

+ + + +

CO CG Oi 4^    ||

-O 00 Ol co

CG

00

4^ CO So CG + 00 CO Ol <1

Ol

⁺⁺⁺:!, 00 tG OO

CO 05 io xO CM CO

oa

5888

_|--j--1--

xh io co co

^ CM H H CO 05 ^ O

650 + 140 430 + 260 240 + 350 420 + 370

330 + 219 170 + 728 210 + 584 430 + 446

CH tG <1 Ol CG t—*■ 45k Oi

o o o o

cp GO 05 GO xp co xt< xo CO rH co co

Aufg. 14.

443 + 369 . 443 + 300 = 743 + 60 = 803 + 9 = 812.

CD 'd* ^ ec + + + + CO (M iO CO

180 + 360 270 + 490 460 + 270 670 + 280

283 + 410 346 + 430 719 + 140 628 + 160

258 + 360 347 + 270 585 + 340 189 + 450

Aufg. 15.

Bilde folgende Reihen:

46

= 92

87

58 58 = .. 64 64 = ..

CO !> 00 ^ ^ 00 O CD

bis 966 „ 957 „ 986 „ 960.

Beispiel:

Wieviel fehlen von 485 bis 1000?

Von 485 bis 490 =    5

„ 490 „ 500 = 10 „ 500 „ 1000 = 500

von 485 bis 1000 = 515.

Aufg. 16.

Ergänze folgende Zahlen zu 1000:

co So 23

749

614

Oi

394

ZK23

xh to ec

Aufg. 17.

Zähle mit 100 vorwärts und rückwärts von 1000—2000, von 4100 bis 6000, von 2500-4000, von 6800—8000.

Aufg. 18.

Zähle mit 10 vorwärts und rückwärts

von 1010—1150, von 4080—5050, von 8950—9010,

„ 3150—3200, „ 6890—7000, „ 9950—10 000.

Aufg. 19.

Zähle vorwärts und rückwärts von 1000—1025, von 1991—2014, von 6998—7020,

„ 1090—1110, „ 3884-3906, „ 9981—10 000.

Aufg. 22.

Bilde folgende Reihen:

Rechenvorteile:

Grenzt ein Posten an einen reinen Hunderter oder Tausender, so addiert man zu diesem und vermindert das Resultat um die Differenz. Beispiel: 8597 + 584.

8600 + 584 = 9184 — 3 = 9181.

6998 + 446.

Aufg. 20.

4000

3028

9800

5576

6460

8945

7119

4391

6640 + 120 3485 + 410 6739 + 600 7082 + 910.

Aufg. 21.

2598 + 437. 2598 + 400 = 2998 + 30 = 3028 + 7 1648 + 354 7654 + 836 3985 + 214 6489 + 759

= 3035.

4780 + 245 2849 + 374 6931 + 269 8854 + 774

5492 + 645 7673 + 763 6954 + 594 2865 + 297.

7000 + 446 = 7446 — 2 = 7444.

Schriftliches Rechnen.

Höhere Zahlenwerte oder viele Posten addiert man am besten

schriftlich.

Dabei schreibt man die Zahlen so untereinander, daß die Einer genau unter den Einern, die Zehner unter den Zehnern, die Hunderter unter den Hundertem stehen, und macht darunter den Additionsstrich.

Man addiert nun zunächst die Einer, verwandelt das Resultat in Zehner und Einer, schreibt die Einer unter den Additionsstrich — unter die Einer — und notiert die Zehner in kleinen Ziffern unter die Zehnerreihe. Darauf addiert man die Zehner; der soeben notierte Zehner ist mitzurechnen. Das Resultat verwandelt man in Zehner und Hunderter. Den Zehner schreibt man ins Resultat unter die Zehnerreihe, den Hunderter notiert man wieder unter der Hunderterreihe und verfährt nun ebenso mit den Hundertem, Tausendem, Zehntausendem usw.

Um ein unbedingt sicheres Resultat zu erzielen, addiere man die Reihe erst abwärts, dann aufwärts. Untereinander stehende Zahlen, die zusammen 10 oder 11 betragen, faßt man als einen Posten auf. Bei einiger Zahlenübersicht und Übung wird man auch 8,8 und 4 als 20, oder 9, 9, 6 und 6 als 30 u. s. w. lesen und addieren.

Beispiel:

Aufg. 24.

8996 + 489 2995 + 755 7997 + 385 1991 + 986 3993 + 753

8399 + 640 4796 + 186 5697 + 235 4898 + 480 7299 + 643.

7 350

85 469 387 103 795 9 788 591

1 2 2 32

9 985 592.

Ausg. 25.

a) 3793805 + 3857 + 639859 + 27034 + 936420 + 84 + 162738.

b)    5846 + 3003 + 7543892 + 6498 + 9374856 + 4801593 + 69 + 7014.

c)    4859 + 753864 + 760 + 4297634 + 85889706 + 13448375 + 4966.

d)    98465793 + 6854659 + 35987 + 4365 + 9889 + 4976548 + 889503.

e)    3154 + 68769890 + 5546478 + 498502 + 1984973 + 3984 + 28575.

f)    7593658 + 2697538 + 4501436 + 4894790 + 849 + 2694358 + 9542849.

g)    8965432 + 215426 + 68475 + 3948 + 28846 + 338891 + 29573 + 2858763.

Für längere Additionsreihen empfiehlt sich folgendes Verfahren: Man zerlegt die Reihe in mehrere Teile, addiert zunächst den ersten Teil auf und schreibt das Resultat in steinen Ziffern darunter. Darauf addiert man den zweiten Teil, rechnet dabei das durch die Keinen Ziffern ausgedrückte Resultat des ersten Teiles mit, notiert dieses Resultat wieder unter den zweiten Teil und so fort, bis man zum Gesamtresultat gelangt.

CD Q O CO oiO CD lO CD OO Q Q CD l>

Beispiel:

182

1 045 807

Ausg. 26.

a) 4358 + 468443 + 27085 + 38 + 5464 + 3968 + 4985 + 642 + 358 + 4015 + 7954 + 385 + 642 + 842 + 94472.

b)    889 + 2914 + 7643 + 4428 + 394 + 5971 + 6543 + 87294 + 358368 + 9703 + 6721 + 6842 + 95783 + 8847 + 9935.

c)    9465 + 3987 + 652 + 870 + 30049 + 295 + 64839 + 4785 + 49432 + 6464 + 33932 + 89784 + 64724 + 938765 + 4433652.

2. Die Subtraktion.

Subtrahieren heißt eine Zahl um den Wert einer andern vermindern.

Die Zahl, die vermindert werden soll, heißt Minuendus oder Vollzahl. Die Zahl, um welche der Minuendus vermindert werden soll, heißt Subtrahendus oder Abzugszahl. Das Resultat ist der Rest, die Differenz oder der Unterschied. Das Subtraktionszeichen ist ein wagerechter Strich (—) oder X •

Soll 9 um 3 verringert oder 3 von 9 subtrahiert werden, so ist 9 der Minuendus, 3 der Subtrahendus, und das Resultat 6 ist die Differenz.

Unser Beispiel wird geschrieben 9 — 3 = 6.

Kopfrechnen.

Zahlenkreis bis 10.

Zunächst muß in der Subtraktion im Zahlenkreise bis 10 völlige Sicherheit erzielt werden. Schreibe daher das Resultat von folgenden Aufgaben sehr schnell nieder, vergleiche es mit der Lösung und wiederhole diese Übung recht oft.

Anfg. 1.

a) 3 — 1

5    — 1 9 — 1

6    — 1 10 — 1

7 — 1 2 — 1

er

oo 05 o:

OI>C5iO

l>2 CO CO DO co tO co

c) 4 — 3 d) 5 — 4 e) 5 — 5 f) 7 — 6

10 — 6 9 — 6 6 — 6 8 — 6

10 — 3 •    6 — 3

9 — 3 5 — 3 8 — 3 3 — 3

9 — 4

7    — 4 4 — 4

8    — 4 10 — 4

6 — 4

8    — 5 10 — 5

8)10-? h) 9-8 i) 10 — d

8    — 7

9    — 7 7 — 7

10 — 8 8 — 8

9 — 9.

Zahlenkreis bis 100.

Der Subtrahendus ist e i n st e l l i g.

Das Resultat kann in demselben Zehner bleiben, es kann aber auch in dem niederen Zehner liegen.

Die erste Gruppe bietet keine Schwierigkeiten.

Wenn 7 — 4 = 3 ist, muß 17 — 4 = 13, 27 — 4 = 23 usw. sein.

Aufg. 2.

a) 25 — 5 38 — 4 67 — 6 19 — 3 96 — 5 45 — 4

c) 85 — 3 27 — 6 96 — 5 48 — 7 77 — 7 95 — 4

Ist der Subtrahendus größer als der Einer im Minuendus, z. B. in der Aufgabe 36—9, so verfährt man folgendermaßen: man subtrahiert von der Zahl 36 zunächst den Einer 6, erhält also den reinen Zehner 30; da man aber 9, also 3 mehr abziehen sollte, muß man von 30 noch 3 subtrahieren; das Resultat ist demnach 27.

Sprich: 36 — 9.

05 vO CO 00 COOHiO

29 — 8 39 — 9

d) 96 — 6 66 — 4 89 — 7 54 — 3 79 — 7 88 — 8.

36

30

CD CO

CO

CO

also ist 36 — 9 = 27. Kürzer: 36 — 6 = 30 — 3 = 27.

Aufg. 3.

a) 63 — 4 22 — 6 13 — 8 64 — 8 82 — 7 41 — 9

b) 91 — 7 25 — 8 74 — 9 82 — 5 56 — 9 35 — 6

CO

CO

Q-

CO CO to 03 rH Cs! 00 C5 O

00 ^ 03 CO INO *o Ol CO ^ CO Co

CO (J3 O 05 O'

Der Subtrahendus ist z w e i st e l l i g.

1.    Beispiel. 84 — 50. Hier subtrahiert man den reinen Zehner 50 von dem reinen Zehner 80, = 30. Der Einer 4 bleibt unverändert. Resultat also 34.

Aufg. 5.

a) 55 - 40 b) 79 — 40 c) 92 - 70 d) 42-30

47 — 30 66 — 50 84 — 70 93 — 30

84 — 50 51 — 30 92 — 70 63 — 50.

65 — 50 54 — 50 29 — 20 81 — 60

Bilde folgende Reihen: 100 — 2 =

98 — 2 = bis 2 — 2 =

100 — 3 = 97 97 — 3 = 94 bis 4 — 3 = 1

CP

CD CD O tO 05

Sf.

tst

SS¹⁰

tO o o

05 05

>.

M CO Q 0^0

CD CD CD

100 — 7 = 93 93-7-86 bis 9 — 7 = 2

er

Q (M (M O 05 r—(

00 00 00

100 — 91 -bis 10 —

OO CD h MH

66 — 30 83 — 80 49 — 30 74 — 60

2.    Beispiel. 76 — 27. Man subtrahiert zunächst den reinen Zehner 20 und darauf den Einer 7.

76 — 20 = 56: 56 — 7 = 49.

Aufg. 6.

a) 93 — 22 53 — 31 86 — 53 48 — 26 64 — 42

tr

CO C< 05 -d OO CD Üi OO CD Öi

CD 03 CO t—I tO CD lQ OQ 05)

I> OQ I> OO CD co ^    03

p-

OT OO 05 ^ Cü Ol to CO

Rechenvorteil: Liegt der Subtrahendus nahe an einem reinen Zehner, so subtrahiert man diesen und erhöht das Resultat um

die Differenz. Z. B. 62 — 48. 62 — 50 - 12; 12 + 2 (die Differenz zwischen 48 und 50) = 14: also ist 62 — 48 = 14.

Aufg. 7.

cd

er

00

<M

CO 03

cd rD

Zahle nkrersbis 1000.

Der Subtrahendus ist ein- und zweistellig.

Die Subtraktion ein- und zweistelliger Zahlen bietet, wenn im Zahlenkreise bis 100 Sicherheit erlangt ist, keine Schwierigkeit, sofern das Resultat in demselben Hunderter bleibt, der Subtrahendus also Keiner ist als Zehner und Einer int Mnuendus.

Beispiel: 483 — 46.

483 — 40 = 443 443 — 6 = 437;

also ist 483 — 46 = 437.

Aufg. 8.

a) 783 — 37 b) 854 — 38 c) 484 — 38 383 — 46 975 — 59 788 — 32 857 — 49 676 — 27

542 — 36 976 — 68 149 — 29 478 — 39 595 — 56

875 — 49 772 — 36 956 — 34 663 — 28 576 — 63.

Der Minuendus ist ein reiner Hunderter.

Beispiel: 500 — 6.

500 denken wir uns in 400 und 100 zerlegt.

Von 100 subtrahieren wir 6 = 94, folglich ist 500 — 6 = 494.

a) 300 — 2 400 — 9 800 — 8 500 — 5

c) 600 — 6 900 — 7 500 — 8 300 — 3.

b) 200 — 4 700 — 6 900 — 9 400 — 3

Beispiel: 700 — 40.

Da 100 — 40 = 60 ist, sind 700 — 40 = 660.

Aufg. 10.

a) 500 — 80 b) 200 — 20 c) 500 — 40 400 — 90 900 — 80 700 — 30

300 — 50 900 — 60 600 — 70.

400 — 40 800 — 50 300 — 30

Der Minuendus besteht aus Hundertem und reinen Zehnem, der Subtrahendus ist ein reiner Zehner.

Beispiel: 730 — 50.

Von der Zahl 730 subtrahieren wir erst 30, erhalten also 700; hiervon ziehen wir noch 20 ab, bleibt als Rest 680.

Sprich: 730 — 50

730 — 30 - 700 700 — 20 - 680

Aufg. 11.

folglich ist 730 - 50 - 680.

a) 410 — 40 b) 720 — 50 430 — 90 560 — 70 930 — 80

520 — 60 740 — 40 350 — 90

o) 630 — 40 420 — 80 710 — 70 820 — 60.

Der Minuendus besteht aus Hundertern und gemischten Zehnem. Der Subtrahendus ist ein reiner Zehner.

Beispiel: 632 — 80.

Da 630 — 80 = 550 ist, muß 632 - 80 - 552 sein.

a) 743 — 70 b) 418 — 50 865 — 90 422 — 40 633 — 80

Aufg. 12.

c) 319 — 823 — 964 — 536 —

624 — 80 517 — 60 928 — 70

Der Subtrahendus ist ein gemischter Zehner.

Beispiel,: 418 — 65.

418 — 60 = 358 ; 358 — 5 = 353; folglich ist 418 — 65 = 353.

a) 717 — 43 b) 876 — 433 — 784 — 482 — 321 — 916 —

c) 412 — 26 933 — 55 664 — 78 845 — 88 356 — 79 713 — 25.

Aufg. 13.

943 — 57 863 — 78 428 — 36 743 — 51 622 — 92

Aufg. 14.

Bilde folgende Reihen:

817 — 43 = ? bis 430

456 — 24 - ? bis 240

a) 860 — 43 -- 817 b) 480 — 24 = 456 c) 810 — 27 = 783

783 — 27 =    ?

bis 540

II II

d) 900 — 45 -- 855 e) 720 — 36    684 f) 640 — 64 = 576

855 — 45 = ?    684 — 36    ?    576 — 64 = ?

bis 0

bis 450    bis 360

Der Subtrahendus ist dreistellig.

Beispiel: 885 — 400.

Da 800 — 400 -- 400 ist, muß 885 — 400    485 sein.

a) 965 — 600 b) 543 — 400 c) 685 — 300 999 — 800 446 — 300 722 — 400.

Aufg. 15.

803 — 500 514 — 500 749 — 600.

483 — 200 576 — 400 843 — 500.

Beispiel: 749 - 160.

749 —100 = 649 ; 649 — 60 = 589; folglich ist 749 —160 = 589.

Aufg. 16.

Aufg. 10.

7. Verwandlung fremder Sorten in deutsche und umgekehrt.

3. Multiplikation und Division.

2. Die frage nach der Quantität.

b. Die Berechnung des Prozentwertes.

Aufg. 10.

Rechnung von €mll Klendt § 0o., Berlin

Aufg. 6.

Berechnung des dertes der Devisen.

Lösungen.

Aufg. 16.

C. England (Großbritannien).

IV. Griechenland.

:

a) 729 — 460 b) 921 — 780 c) 444 — 290 433 — 280 648 — 370 364 — 190

Aufg. 16.

906 — 370 551 — 260 831 — 480.

814 — 360 653 — 540 719 — 490

Beispiel: 728 — 349.

728 — 300 = 428 428 — 40 - 388 388 —    9    =    379

folglich ist 728 — 349 = 379.

Aufg. 17.

a) 426 — 239 b) 714 — 319 c) 815 — 436

732 — 348 919 — 464 806 — 338

633 — 475 845 — 368 402 — 179

436 — 278 913 — 189 621 — 245.

Rechen vorteil: Liegt der Subtrahendus nahe an einem reinen Hunderter, so subtrahiert man diesen und erhöht das Resultat um die Differenz.

Z. B. 769 — 498. Der reine Hunderter ist in diesem Falle 500. Die Differenz zwischen 498 und 500 ist 2.

769 — 500 - 269 ; 269 + 2 = 271; also ist 769 — 498 = 271.

Aufg. 18.

a) 387 — 198 b) 703 — 298 c) 903 — 294 618 — 495 925 — 399 834 — 591 515 — 296

536 — 299 654 — 395 907 — 796 449 — 199

418 — 199 836 — 497 775 — 298 545 — 392.

Schriftliches Rechnen.

Gewöhnliches Verfahren.

Höhere Zahlenwerte subtrahiert man wieder am besten schriftlich.

Man schreibt den Subtrahendus so unter den Minuendus, daß der Einer unter dem Einer, der Zehner unter dem Zehner usw. steht, macht vor den Subtrahendus das Subtraktionszeichen und unter ihn den Subtraktionsstrich. Sehr einfach gestaltet sich nun die Subtraktion, wenn die entsprechenden Stellen im Minuendus größer sind als die im Subtrahendus. Die Differenz, der Unterschied dieser beiden Zahlen, wird als Resultat unter den Subtraktionsstrich geschrieben.

283 212.

Anfg. 19.

b) 769 783 — 248 682

d) 8 497 837 — 6 296 415 — 26 432 762.

a) 946 854 — 311632 c) 5 793 084 — 2 192 082 e) 78 664 993

Ist eine Stelle im Subtrahendus größer als die entsprechende im Minnendus, so verfährt man wie in folgenden Beispielen.

10

1. Beispiel: 90 — 7

9.0

83

Von 0 Einern können nicht 7 subtrahiert werden. Wir lösen daher von den 9 Zehnern einen in 10 Einer auf, so daß nur noch 8 Zehner im Minnendus bleiben. Zum Zeichen, daß ein Zehner fortgenommen wurde, setzen wir neben die 9 einen Punkt. Die zehn Einer schreiben wir über die Einerstelle im Minnendus, also über die 0. 10 Einer weniger 7 Einer sind 3 Einer. Von den 8 Zehnern ist nichts abzuziehen, es bleiben also für das Resultat 8 Zehner und 3 Einer = 83.

10

2. Beispiel: 83 — 19.

8.3

— 19

64

Nachdem wie im vorigen Beispiel von den 8 Zehnern einer in 10 Einer aufgelöst worden und diese 10 Einer über die Einer im Minnendus gesetzt sind, haben wir in der Einerstelle 10 + 3 = 13.

13 Einer weniger 9 Einer sind 4 Einer.

7 Zehner weniger 1 Einer sind 6 Zehner.

Das Resultat ist also 6 Zehner und 4 Einer -- 64.

3. Beispiel: 35605 — 26 839 10 10 10 10 3.5. 6.0.5 — 26 839

8 766

17

Beispiel: 497 358 — 214146.

497 358

— 214146

Voelkner, Prakt. Rechnen.

Da wir von 5 Einem nicht 9 Einer subtrahieren tonnen, in der Zehnerstelle aber eine 0 haben, lösen wir von den 6 Hundertern einen auf und setzen ihn als 10 Zehner über die Zehnerstelle. Von diesen 10 Zehnem machen wir einen zu 10 Einem (Punkt neben 10 nicht vergessen!) und schreiben sie über die Einerstelle. Nun haben wir in der Einerstelle 10 + 5 = 15 Einer, weniger 9 gibt für das Resultat 6 Einer; in der Zehnerstelle des Minuendus sind von den 10 Zehnem noch 9 geblieben, weniger 3 Zehner sind 6 Zehner. Von 5 Hundertem (6. -- 5) können wir nicht 8 subtrahieren. Wir verwandeln daher von den 5 Tausendern einen in 10 Hunderter, setzen diese über die Hunderterstelle im Minuendus und haben in der Hunderterstelle im ganzen 15, weniger 8 = 7 Hunderter. In derselben Weise ermitteln wir für die Tausenderstelle als Resultat 8Tausender. In derZehn-tausenderstelle hebt der Subtrahend den Minuend auf. Das Gesamt-resultat ist also 8 Tausender 7 Hunderter, 6 Zehner und 6 Einer = 8766.

4. Beispiel: 310 005 — 293 576.

10 10 10 1010 3.1.0. 0.0.5 — 293 576

16 429

Wir haben im Minuendus keine Zehner, Hunderter und Tausender, müssen daher einen Zehntausender in 10 Tausender, von diesen wieder einen in 10 Hunderter, von diesen einen in 10 Zehner und endlich von den 10 Zehnem einen in 10 Einer verwandeln, so daß wir also 9 Tausender, 9 Hunderter, 9 Zehner und 15 Einer zur Verfügung haben. Die Subtraktion macht jetzt keine weiteren Schwierigkeiten.

b) 350 — 143 760 — 334 990 — 439 830 — 518 790 — 348

Aufg. 20.

a) 80 — 6 90 — 4 50 — 15 70 — 24 40 — 34

c) 7 980 — 2 653 5 804 — 1642

8    048 — 3 726

9    060 — 8 524 7 050 — 2434.

Ausg. 21.

a) 74 — 36 92 — 48 81 — 45 63 — 56 52 — 26

b) 482 — 263 985 — 356 567 — 279 872 — 685 724 — 539

c) 82135 — 26 542 76 431 — 37 689 92134 — 25 746 84321 — 45885 54 663 — 28 788.

a) 76 304 — 35 647 b) 47 030 — 26 836 85 036 — 26 848 90 746 — 38 928 85 203 — 48 656 —

80 620 — 47 819 92 051 — 82 863 70 436 — 64 679 57 030 — 28494.

38 043 — 18 476

Aufg. 23.

a) 500 003 — 26 544 800 001 — 497 651 750 006 — 490 378 401003 — 264 994 800 300 — 466 037 630 000 — 45 389

b) 475 003 —    4 574

680 002 — 36 546 700 092 — 86 459 930 030 — 280 394 795 000 — 687 403 980002 — 409 507.

Die Ergänzungsmethode

Die Subtraktton kann auch durch die sogenannte Ergänzungsmethode geschehen. In der Aufgabe 7 — 3 = 4 können auch Subtra-hendus und Differenz als P o st e n aufgefaßt werden und der Minu-endus als die Summe dieser Posten. Die Subtraktion ist dann gleich einer Addition, bei welcher die Summe und ein Posten bekannt sind und der andere Posten durch Ergänzung zur Summe gesucht wird.

Wenn wir nun die Aufgabe 7 — 3 in Form einer Subtraktion niederschreiben (7 — 3), sprechen toir 3 + 4 = 7 und setzen 4 als Resultat unter den Subtraktionsstttch.

Bei den Zehnem, Hundertem usw. verfahren wir natürlich

ebenso.

Beispiel: 95 678 - 2 463

93 215

Sprich: 3 + 5 = 8; 6 + 1 = 7; 4 + 2 = 6; 2 + 3 = 5; 0 + 9 = 9.

Rechne die Aufgabe Nr. 19 nach der Ergänzungsmethode!

In der Aufgabe 75 — 48 sprechen wir 8 + 7 = 15. Wir schreiben die 7 unter den Addittonsstrich, den Zehner aus der Zahl 15 legen wir zum Zehner 4 und sprechen 5 + 2 = 7. Resultat also 27.

Beispiel: 31042 - 2 693

28349

Sprich:3 + 9 = 12;10 + 4 = 14;7 + 3 = 10;3 + 8 = ll; 1+2 = 3.

Löse die Aufgaben Nr. 22 nach der Ergänzungsmethode!

Rechenvorteil: Nach dieser Methode kann man auch mehrere Subtrahenden von dem Minuendus schnell subtrahieren.

Beispiel: Bei einem Jahreseinkommen von 3 445 M hat jemand im ersten Vierteljahr 776 M, im zweiten 815 M, im dritten 795 M, im vierten 836 M verbraucht. Wieviel hat er erspart?

' Lösung: Von 3 445 M sind die 4 verausgabten Posten 776 M, 815 M, 795 M und 836 M zu subtrahieren; also

3 445 M 776 „

815 z 795 „

836 „

3 22

223 M

Sprich :6 + 5 + 5 + 6 = 22 + 3 = 25;3 ins Resultat, 2 in die Hunderterreihe.

2 + 3 + 9 + 1 + 7 = 22 + 2 = 24; 2 ins Resultat, 2 in die Hunderterreihc.

2    + 8 + 7 + 8 + 7 = .32 + 2 = 34 ; 2 in§ Resultat, 3 in die Tausenderreihe.

3    + 0 = 3.

Aufg. 24.

a)    357 984 — (64 897, 26539, 4 685, 79564)

b)    685 003 — (24 764, 37 480, 64 084, 2 679)

c)    9 476 038 — (26 584, 357 942, 35 008, 973 599)

d)    85 003 006 — (2 814936, 268 542, 937 684, 3 795)

e)    10 000 000 — (948 573, 2 846541, 473 956. 948 765)

3. Die Multiplikation.

In der Aufgabe 7 + 7 + 7 + 7 tritt der Posten 7 4mal auf. Man kann die Aufgabe daher auch in die Form „4 mal 7" kleiden. Das Resultat würde, wie aus der Addition bekannt, 28 ergeben.

Die Addition gleicher Posten in dieser Weise ausgedrückt, heißt Multiplikation. Die Multiplikation ist also eine verkürzte Addition gleicher Posten. Der Posten heißthierMultiplikandus; dieZahl, die angibt, wie oft der Posten auftritt, heißt Multiplikator; das Multiplikationszeichen ist einliegendes Kreuz (x ) oder ein Punkt (.), das Resultat heißt Produkt.

Multiplikator und Multiplikandus werden auch Faktoren genannt.

In unsrem Beispiel 4 x 7 = 28 ist also 4 der Multiplikator, 7 der Multiplikandus und 28 das Produkt.

Kopfrechnen.

I. Der Multiplikator ist einstellig.

Um multiplizieren zu können, muß man 10 schnell und sicher multiplizieren können, stelliger Zahlen ist das sogenannte kleine 1 x lxl    1    12

P:

.2

§- &

6 <5ti

xxxxxxxxxx

20 10

xxxxxxxxxx

cococooococococoeoco

8 SS K E2 SS £ £ co o c*

OCOOCXlOiOi^OiCOK

xxxxxxxxxx

00

vQuOiOiOiOiOiOiOiOiO

xxxxxxxxxx

H(MCO^OCDI>0000

II II II II II II II II II II

Ol

O IO

co co

Kitz

Ol

<CO<CDCO<CDCDCOCDCOCDCD

xxxxxxxxxx

hnco^ocdi>oooo

CO (M 00

rH rH

^OCD (M CO co

O-OO-OO-O-OC^OO-

xxxxxxxxxx

H(MC0^10COI>00050

il II II II II II 11 II II II

OWO^COKJOIOOH

OCOOO<lCiO^^ w

xxxxxxxxxx

00000000000000000000

CO t-A

ll II ll ll ll ll ll ll ll ll

CO

Sprich jede einzelne Reihe schnell vorwärts und rückwärts, verdecke die Produkte, schreibe die Glieder außer der Reihe auf und vergleiche dann!

Schreibe auch die einzelnen Reihen in der Folge auf: 7 x , 3 x , 9x,4x,10x,6x,2x,8x,5x, und prüfe die Resultate immer auf ihre Richtigkeit!

Aus dem kleinen lxl kann man leicht das sogenannte mittlere lxl ableiten. Man versteht darunter die Multiplikation der Zahlen von 11 bis 19 mit einem einstelligen Multiplikator (mit. 10).

4 x 16

Crt rfx as CO

X X X X X

CO CO CO CO CO

II II II II II

CO

^ 05 CO M-cn 05 <1 oo

O CO 00 <1 05

X X X X X

CO CO CO CO CO

O-t

CO 03 H o CD t- OO 05

o o o o o

tH tH T—I T—I t—I

X X X X X

H (M co ^ lO

II II II II II

o o o o o

T-l (M co x* lO

o o o o o

H rl T-l H H

X X X X X CD I> OO 05 O

88838

Diese Produkte werden durch Ausrechnung in folgender Weise gefunden:

4 x 10 = 40,

4 x 6 -- 24, also ist

4 x 16 = 64.

Ausg. 1.

a) 7 x 17 3 x 19

5    x 12

6    x 15

d) 8 x 12

6    x 17 3 x 18

7    x 19.

Die Kenntnis des mittleren 1 x 1 ist unerläßlich. Präge es dir

CO CO 00

13 c)

12

16

18

00 Ü5 CD cn

15

14

11

16

X 11

22

CofoCOtOtOCOtODODOCO ^

-- 12 = 24 — 36 --- 48 = 60 -- 72 = 84 = 96 -- 108 -- 120

10 x

cococococoeoeocoeoco

10 x 4 = 40; 10 x 7 = 70; 10 x 5 = 50.

Man multipliziert eine Zahl mit 10, indem man eine 0 daneben

•es-

■vH rH rH rH rH rH rH rH rH rH

XXXXXXXXXX

H(MCC^iOCD!>0000

xh 00 >H CM

CM CO O H (M ^ rH vH rH

-tO lOxCtOxOxCiOiOiOxC

>HTHtHrHvHvHrHvHvHTH

xxxxxxxxxx

>M(MCO'^iöcoi>ooa5o

Crv

CO

rH vH t—( rH

x 16 x 16 x 16 x 16

x 16

x 16 x 16 x 16 10 x 16

(I II II k! II II II II II II

16

32

48

64

80

96

112

138

144

160

vH vH rH vH vH rH H vH rH vH

XXXXXXXXXX

H(MeC^iOC0^ 00 05 0

ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii

00 00 GO CO GO GO GO GO GO GO

rHTHTHrHTHrHrHvHrHTH

XXXXXXXXXX

H(MC0^10COI> 00 05 0

vH vH vH vH vH

0505050505050505050^ vH vH vH vH vH vH rH vH vH rH

XXXXXXXXXX

h(mco^ocoi>oooo

II II II II II II II II II II

rH tH tH vH rH

09 09

x 19 = x 19 = x 19 =

00 C'- CO CO lO t>

usw.

usw.

= (40 — 2) = (60 — 3) = (80-4)

3 x 40. 3 x 4 -- 12; da aber der Multiplikandus (40) 10 x so groß ist, muß das Resultat 12 noch mit 10 multipliziert werden: 10 x 12 = 120; also ist 3 x 40 - 120.

Die Multiplikation der reinen Zehner mit den Zahlen 1 bis 10 nennt man das lxl der reinen Zehner.

Schreibe das 1 x 1 der reinen Zehner auf, und präge es dir in der angegebenen Weise fest ein!

lO D CO CD

70 b)

30

90

80

00 (M I>

c)

<1 CD 00 02

60

ZOO

lO CM ^ CD

90

80

30

20

Außer diesen Einmalemsreihen ist noch das 1 x 1 mit 24, und 75 sicher zu lernen, x 24 - 24 x 24 = 48 x 24 = 72 x 24 - 96 x 24 ----- 120 x 24 ----- 144 x 24 = 168 x 24 = 192 x 24 - 216 10 x 24 ----- 240

CD00^10501^02COM

CO 00 <1 05 üi 02 CO M

10 X

= 25 = 50 = 75 ----- 100 = 125 --- 150 -- 175 = 200 ---- 225 = 250

CD 00 —0 C2 CT* 4^ 02 DO H-*-

10 x

--- 75 ---- 150 --- 225 ---- 300

= 375 = 450 = 525 --- 600 = 675 ---- 750

Beispiel:    3 x 48

X X CO CO

006

II II

120,

24, also ist

3 x 48 ---- 144.

Aus». 3.

iQ CC O CM

r io oo 05

X X X X

er

CC 00 4^ X X X X

W 05 ^ CC OO 02 CO 05

<CD 4^ 00 02

X X X X

4^ CT» CD CC 00 05 to <1

o-

CC -J CO Cn

X X X X

CJ1 ^ CO 05 00 ^ ^3 00

Rechenvvrteil: 7 x 89.

7 x 90 = 630. Der Multiplikandus (90) ist hier aber um 1 zu groß, folglich muß das Resultat um 7 x 1 = 7 gekürzt werden. 630 — 7 ----- 623.

Aufg. 4.

a) 3

Dr

05 05 05 02 02 CD CO CM

X X X X

CO 00 in CM

02 02 02 cd tO H 05 CO

X X X X

lO I> 02 <M

Q-

-3 02 02 00 X X X X ox oo K5

CO CO CO CD

100 x 5 = 500; 100 x 8 = 800; 100 x 6 = 600.

Man multipliziert eine Zahl mit 100, indem man 00 daneben setzt. 6 x 700. 6 x 7 = 42. Der Multiplikandus (700) ist aber 100 mal so groß, das Resultat muß also noch mit 100 multipliziert werden. 100 x 42 = 4 200, also 6 x 700 - 4 200.

Die Multiplikation der reinen Hunderter mit den Zahlen 1 bis 10 nennt man das 1 x 1 der reinen Hunderter.

Schreibe das 1 x 1 der reinen Hunderter auf und präge es dir ein!

Aufg. 5.

a) 4

Hilf

X X X X

er

tO CT* 00 w X X X X

00

<1 DO CP Oj

x 8888

00 CC t> lO

Ol

DO CO 05 ^

X X X X

05 -v] CJ« Co

8 8 88

00 00

x 400 = 3 200, x 9 =    72, also ist

8 x 409 = 3 272.

Aufg. 6.

DO Ot 00

SBSSÜ

l>CCOO(M ^ X X X X

es

er

X X X X

CO 05 CO

X 8688 x Ol ^ OO DO

OiOOWCO X X X X

O OOP <107 00 01

tp K) 00 05

8 S 8

CD

G5>

6S|6

II II

DO DO

88

7 x 640 = 4480.

Aufg. 7.

o o o

COlO 00 (M CO

X X X X

er

dB

#8

CO 00 00 05

x 760 c) x 570 x 430 x 740 9 x 253.

CD 05 I> CO

X X X X

DO O <1 <1 OJ 00 00

o o o o

d) 2 x 680 5 x 790 8 x 420 4 x 650

CO CD CO

XXX

DO

88

CO

1800

450

27

9 x 253 = 2 277.

8    x    794    =    6 352.

40

a) 3

CO lO CO oo

^ ^ CO C5 tH 00 CD Xh

l> OO ^ vo

O tH CO 00 IO 00 00 LO CM CO t> iC

X X X X

^ H CO OCDI>iO Q5 O* (M 00

X X X X

05 CM I> xH

CU

00 CD CO lO

cd

Rechenvorteile: a) 9 x 399.

9 x 400 — 3 600. Der Multiplikandus (400) ist hier aber um 1 zu groß, folglich muß das Resultat um 9 x 1 -- 9 gekürzt werden. 3 600 weniger 9 = 3 591.

b) 8 x 794 = 8 x 800 — (8 x x 800 =

- ( x 6) =

00 00

CD SO

48

Ist der Multiplikandus etwas kleiner als ein reiner Hunderter, so multipliziert man zunächst den reinen Hunderter und verringert das Resultat um das Produkt aus Multiplikator und Differenz.

.«

CD

cd

05 05 05 05

xtl CD tC 00

X X X x

O OO CO 05

rQ

^ ot CO 05 X x X X

llll

Cs) co o X X X X LO 05 00 CD

ESSS

II. Der Multiplikator ist zweistellig.

Ist der Multiplikator ein reiner Zehner, beispielsweise 60, so zerlegt man ihn in 6 x 10. Man multipliziert zuerst mit 6 und darauf mit 10.

Beispiel:

60 x 83.

6 x 83 = 498,

10 x

498 = 4 980

60 x 83 = 4 980.

c) 90 x 28 60 x 84 30 x 96 70 x 58 80 x 26 20 x 98.

a) 50 x 25 70 x 36 90 x 88 20 x 49 4Ü x 54 80 x 28

b) 30 x 48 60 x 55 40 x 76 80 x 33 20 x 86 70 x 43

Ist der Multiplikator ein gemischter Zehner, so multipliziert man zuerst mit dem reinen Zehner und addiert dazu das Produkt aus dem Einer und dem Mulüplikandus.

23 x 84.

Beispiel:

II II

20 x 84 1 680 3 x 84    252

23 x 84 = 1932.

Aufg. 11.

x 36

b) 81 x 28 32 x 67 52 x 51 64 x 33 72 x 71 26 x 35

c) 38 x 43

Qi 05 S 05

x 29

X 26

x 25

x 36

95 x 41.

x 39

Rechenvorteile: Ist der Multiplikator oder der Mulüplikandus ein Produkt zweier einstelliger Zahlen, so multipliziert man zuerst mit dem einen Faktor und darauf das Resultat mit dem andern.

54 x 63. 54 besteht aus den beiden Faktoren 9 und 6 (denn 9x6 = 54). 9 x 63 -- 567 ; 6 x 567 --- 8402.

Aufg. 12.

cS

CO OO (M (M <M Tji lOOOiOOO^D-

X X X X X x 03 T-I TU 00 GO <M

tH 03 03 tH Ol CO

er

iS 83 ^ o§ bä

X x X X X X

p} 05 CO CO to 05 05 00 ÜX CD QO to

Eine zweistellige Zahl wird mit 11 multipliziert, indem man deren Quersumme, d. h. die Summe aus den beiden Ziffern, zwischen beide

Ziffern setzt. Z. SB. 11 x 27. 2 + 7 = 9.    9 zwischen 2 und 7 gestellt

gibt 297. Der Grund wird aus der schriftlichen Multiplikation ersichtlich werden.

Ausg. 13.

Multipliziere folgende Zahlen mit 11:

18, 36, 72, 25, 33, 71, 62, 54.

Ist die Quersumme 10 oder mehr, so schreibt man zwischen die Ziffern nur die Einer der Quersumme; die erste Ziffer wird um 1 erhöht.

Z. SB. 11 x 96. Die Quersumme aus 96 ist 15, 5 zwischen 9 und 6 gestellt und 9 um 1 erhöht gibt 1056.

Aufg. 14.

Multipliziere folgende Zahlen mit 11:

89, 75, 99, 58, 95, 87, 67.

Sehr leicht läßt sich nun die Multiplikation mit 22, 33, 44 usw. -ausführen. Da diese Zahlen ein Vielfaches von 11 sind, multipliziert man bei 22 zuerst mit 11 und dann mit 2, bei 33 zuerst mit 11, darauf mit 3 usw.

33 x 75. 11 x 75 = 825, 3 x 825 = 2 475,

Aufg. 15.

Beispiel: 54 x 66.

In der Mitte dieser beiden Zahlen liegt der reine Zehner 60, die Differenz zu dieser Zahl beträgt in beiden Fällen 6. Man sucht nun das Quadrat der Zahl 60, d. h. man multipliziert 60 mit sich selbst, 60 x 60 = 3 600, und vermindert dieses Produkt um das Quadrat der Differenz, also um 6 x 6 = 36. 3 600 — 36 = 3 564.

54 = 60 — 6,66 = 60 + 6; es ist also zu multiplizieren (60 — 6) x (60 + 6). Die Ausrechnung ergibt folgende Zahlen:

60    60    =    3 600

60    6    --    360,    davon sind abzuziehen

CD CO

x    60    =    360    und

x    6    =    36.

Der Subtrahend 360 hebt den Posten 360 auf, so daß nur noch von 3 600 die Zahl 36 zu subtrahieren ist.

Aufg. 16.

a) 33 x 47 52 x 68 48 x 52 75 x 85 18 x 22

er

CO CO H l> 03 (M I> (M CO

X X X X X

xft xt CO 05 CO

vH CO CD vH XP

(M xh CO CD 05 O005h0

vH    vH

00 CO l> Tti H CD 05 00 GO 05

X X X X X

Beispiel: 65 x 65.

Wir multiplizieren 6 mit der um 1 größeren Zahl, also mit 7, und setzen rechts daneben das Produkt aus 5x5.

CD lO

Ol

= 42 = 25

65 x 65 - 4 225.

] oder 10 x 60

65 = 60 + 5; es ist also zu multiplizieren: (60 + 5) x (60 + 5). Die Ausrechnung ergibt 60 x 60 60 x 5 5 x 60

70 x 60 = 4 200 + 5x5=    25

65 x 65 = 4 225.

Aufg. 17.

cd

NNtziNRN

X X X X X X

Gi Cü (4 Oi DO H Ol ox Üi Gx d Qi

er

lO IO IO IO IO IO t^QÖQOHN vH tH vH

X X X X X X

1-0 vO vO lO lO IO E> 00 05 O vH Ol

Beispiel: 29 x 30.

Wir multiplizieren 30 x 30 = 900 und subtrahieren davon 1 x 30. 900 — 30 = 870.

29 x 30 = (30 x 30) —(Ix 30).

Altfg. 18.

cd

CD tO 00 M

co co co co co X X X X X

8 8 8 8 8

T—I

er

£ 03 03 ^3 CJt

CO CO CO CO co

X X X X x

Beispiel: 29 x 29.

Wir multiplizieren 30 x 30 = 900 und subtrahieren davon zunächst 30 und darauf 29. 900 — 30 = 870; 870 — 29 = 841.

Nach dem vorigen Beispiel ist 29 x 30 = (30 x 30) — (1 x 30) — 870. 29 x 30 ist aber um 29 x 1 größer als 29 x 29. Folglich muß das Produkt 870 noch um 29 x 1 verringert werden. 870 — 29 = 841.

Aufg. 19.

a) 19 x 19 39 x 39 99 x 99 29 x 29 79 x 79

er

SZHZ

X X X x

Beispiel: 30 x 31.

Wir multiplizieren 30 x 30 = 900 und erhöhen dies Produkt um 30 = 930.

30 x 31 = (30 x 30) + (30 x 1).

Aufg. 20.

cd

ggggg

X    X    X    X    X

CO    <1    Üt    OO

HA    t-L    M-    >—«■    L

CL

o S § 8

tH

X X X X CO 03 03 O

I—*. t—A I—¹

Beispiel: 31 x 31.

Wir multiplizieren 30 x 30 = 900 und addieren dazu zuerst 30 und daraus 31 = 961.

Nach dem vorigen Beispiel ist 30 x 31 = (30 x 30) + (30 x 1). 31 x 31 ist aber um 1 x 31 größer als 30 x 31; folglich muß das Produkt 930 noch um 31 erhöht werden.

a) 41 x 41 81 x 81 51 x 51 71 x 71 21 x 21

Ausg. 21.

b) 101 x 101 31 x 31 61 x 61 91 x 91.

Schriftliches Rechnen.

Bei der schriftlichen Multiplikation setzt man den Multiplikator rechts neben den Multiplikandus.

370 418 x 9

1. Beispiel:

3 333 762

Die Multiplikation beginnt mit der Einerstelle. 9x8 Einer sind 72 Einer = 7 Zehner und 2 Einer. Die 2 schreiben wir unter die Einerstelle. Nun werden die Zehner multipliziert und der Zehner 7 von vorher dazu addiert. 9x1 Zehner = 9 Zehner + 7 Zehner = 16 Zehner = 1 Hunderter und 6 Zehner. Die 6 Zehner wieder ins Resultat in die Zehnerstelle geschrieben, der Hunderter wieder vorgemerkt u. s. w.

Aufg. 22.

a)    4 x 58 653, 3 989, 35 034, 84 396, 48 575 , 4 688.

b)    7 x 39 579, 104 698, 57 844, 3 952.

c)    8 x 78 966, 485 568, 39 765, 48 032.

d)    6 x 356 034, 789 631, 219 8463, 94 673, 850 369, 738 480.

2. Beispiel: a) 84936 x 34

339 744 2 548 08

d) 39 464 x 829

355176 78928

2 887 824

31    571 2

32    715 656

Der Multiplikator bei a ist zweistellig. Man führt zuerst in der geübten Weise die Multiplikation mit dem Einer (4) aus, darauf beginnt die Multiplikation mit dem Zehner (3). 3 Zehner mal 6 Einer --- 18 Zehner, das sind 1 Hunderter und 8 Zehner. Die 8 Zehner unter die Zehnerstelle. 3 Zehner mal 3 Zehner = 9 Hunderter + 1 Hunderter von vorhin = 10 Hunderter = 1 Tausender und 0 Hunderter. Die 0 Hunderter schreiben wir unter die Hunderter. 3 Zehner mal 9Hun-derter = 27 Tausender + 1 Tausender von vorhin --- 28 Tausender = 2 Zehntausender und 8 Tausender. Die 8 Tausender in die Tausenderstelle usw. Nun macht man den Additionsstrich und erhält durch einfache Addition das Resultat.

Ist der Multiplikator wie bei b dreistellig, so führt man wieder wie vorher die Multiplikation mit dem Einer (9) und dem Zehner (2) aus. Darauf beginnt die Multiplikation mit dem Hunderter (8). 8 Hunderter mal 4 Einer — 32 Hunderter = 3 Tausender und 2 Hunderter, die 2 Hunderter in die Hunderterstelle, die 3 Tausender werden wieder vorgemerkt u. s. w.

Man sieht, daß jede neu beginnende Multiplikativnsreihe immer eine Stelle nach links rückt.

Aufg. 23.

a)    48 x 368 402, 957 368, 489 127

b)    93 x 274 038, 293 614, 58 907

c)    65 x 63 567, 98364, 84 942

d)    385 x 2 946, 9381, 5 429, 8654

e)    794 x 2 947, 3 684, 2 793, 8 454

f)    4 376 x 5 843, 2 739, 6 848, 4 958

g)    8 779 x 3 987, 2 654, 37 546, 28 789.

3. Beispiel:

a)

39 500 x 34

b) 457 x 27 000

1580

3199

1185

914

1 343 000

12 339 000

c) 3 400 x 19 000

30 6 34 64 600 000

Hat einer der Faktoren (a, b) oder haben beide Faktoren (c) am Ende Nullen, so führt man die Multiplikation ohne Rüchicht auf die Nullen aus und hängt dem Resultat soviel Nullen an, als beide Faktoren zusammen haben.

a)    360 x 2 489, 2 874, 3 693, 2 857

Anfg. 24.

4. Beispiel:

b)    4 800 x 2 941, 3 897, 5438, 2 686

c)    964 x 2 500, 3 400, 4800, 27 000

d)    7500 x 480, 2 600, 39 000, 29 000 3 457 x 8 302

6 914

10371 27 656

28 700 014.

Hier befindet sich im Multiplikator eine 0.

Ist die Multiplikation mit der Einerstelle ausgeführt, so müßte nun mit dem Zehner (0) multipliziert werden. Da diese zweite Reihe aber nur Nullen haben würde, unterlassen wir die Multiplikation mit dem Zehner und multiplizieren gleich mit dem Hunderter, rücken nun aber nicht um eine, sondern um zwei Stellen nach links. (3 Hunderter mal 7 Einer sind 21 Hunderter = 2 Tausender und 1 Hunderter. Der eine Hunderter muß also auch in die Hunderterreihe — unter die 9 — gesetzt werden).

a)    3 405 x 28 976, 347, 2 854

b)    9104 x 3 286, 5 794, 3 857, 2 949

c)    8036 x 5 864, 3 947, 2 694, 2 894

d)    60301 x 487, 396, 693, 5 471

e)    409 006 x 2 880, 48 970, 340 600.

4. Die Division.

7 + 7 + 74-7 = 28.

In der Zahl 28 ist die 7 viermal enthalten. 7 ist also das M a ß, mit welchem 28 gemessen werden soll. Ich kann aber auch 28 in 4 gleiche Teile zerlegen; jeder Teil wäre 7.

Beides nennt man Division und zwar die erste Art das Enthalten-sein oder Messen, die zweite das Teilen.

Diejenige Zahl, die geteilt werden soll, heißt Dividendus (28). Diejenige Zahl, die das Maß für den Dividendus angibt (belln Enthaltensein 7) oder die da sagt, in wieviel Telle der Dividendus

--- 33 —

Voelkner, Prakt. Rechnen.

zerlegt werden soll (Beim Teilen 4), heißt Divisor. Das Ergebnis heißt Quotient (beim Enthaltensein 4, Beim Teilen 7). Wenn der Divisor nicht im Dividendus aufgeht, Bleibt ein Rest.

Das Divisionszeichen ist beim Enthaltensein das Wörtchen „in", beim Teilen ein Doppelpunkt (:).

7 in 28 = 4 x wird gelesen: 7 ist in 28 4 mal enthalten.

28:4 = 7 heißt: 28 geteilt durch 4 = 7.

CD iQ

Der Divisor kann auch in Bmchform ausgedrückt werden: Vs v o n 30, Vs von 30.

Kopfrechnen.

I. Der Divisor ist einstellig.

Übe die Einmaleinsreihen in der Fornr: 2 in 2 = 1 x 2 „ 4 = 2 x

2:2 = 4:2 =

DO M-

usw.

usw.

¹    von 2 =

i 4 ---

usw.

DO M-

Steht der Dividendus nicht in der Einmaleinsreihe des Divisors, so ist die nächst tiefere Einmaleinszahl zu dividieren, die Differenz bleibt Rest.

53 : 6 48 : 6 = 8

53 : 6 -- 8 Rest 5.

Aufg. 1.

a)    Wie oft ist 2 enthalten in 11, 19, 7, 15, 9, 17, 21?

b)    13, 19, 29,    22, 16,    25,    28 : 3.

Eine Zahl wird durch 10 geteilt, indem man von rechts nad) links eine Stelle abstreicht; die abgestrichene Zahl bleibt Rest.

545 : 10 -- 54 Rest 5.

Aufg. 2.

V,o von 478, 736, 599, 1035, 2 587, 9 368, 5 461.

Beispiel: 245 : 6.

Nach dem 1 x 1 der reinen Zehner ist 6 x 40 = 240, folglich ist 240 : 6 = 40 ; 245 : 6 = 40 Rest 5.

Aufg. 3. a) 280 : 4 b) 141 : 7 c) 327 : 8 d) 728 : 9

637 „

453 „

188 „

365 „

814 „

276 „

320    „

400    „

160    „

200    „

80 „

360    „

563

166

725

403

647

803

Beispiel: 344 : 8.

344 wird zerlegt in 320 und 24.

320 :

24 :

00 00

li II

40

3. folglich ist

344 : 8 -- 43.

Aufg. 4.

a) 128:2 b) ¹/₃ von 123 c) 4 in368 d) der 5. Teil von 255

84

282

172

415

196

51

228

165

138

192

344

370

174

264

296

485

38

222

176

225

C7I cp O) OS

162

316

310

252

224

195

tOtOOi^O^tOOOCO

f) 504 : 7 g) der 8. Teil von 200 h) 9 in621

231

343

658

455

189

684

273

448

144

392

378

792

536

368

632

496

441

639

288

522

837

Beispiel: 477 : 6.

477 -- 420 + 57

O C-<M iO

CD CD

II II

70

9 Rest 3

477 : 6 = 79 Rest 3.

Aufg. 5.

a) 335 : 4 b) V, von 444 c) der 9. Teil von713 d) 6 in413

279

276

447

328

187

398

680

233

371

183

344

598

265

590

591

149

346

674

294

378

137

481

617

453

298

243

888

292

Beispiel: 3 780 : 7.

3 780 = 3 500 + 280

3 500 : 7 - 500 280 : 7 = 40

3 280 : 7 = 540

Aufg. 6.

a) 990 : 3 b) V, von 6 000 o) der 7. Tell von 3 850 d)9m3060

1620

2 560

5 530

2070

2 550

4 400

1890

5130

870

7 520

2 660

4 230

540

5 840

6 580

1350

2370

3120

4 620

6570

1710

6 240

1960

1260

2940

7 760

6 930

6 840

Beispiel: 3164 : 8.

3 164 = 2 400 + 720 + 44

CO

00 00 00

300

90

5 Rest 4

3 164 : 8 = 395 West 4.

Aufg. 1.

a) 5 in 4 393 b) Vg von 6 849 o) 5 843 : 7 6) der 8. Teil von 4375

2 682

2 984

3 946

5 779

1837

7 542

4 634

2 292

3143

4 879

1436

6 592

4 728

5 317

b. Der Divisor ist zweistellig.

Nur dann rechnet man mit zweistelligem Divisor im Kopf, wenn es sich um die Divisoren 11 — 20, 24, 25, 75 oder um reine Zehner handelt.

Schreibe das 1 x 1 dieser Reihen auf und präge es

dir ein!

Aufg. 8.

cd

05 tH

00

^00500»-^coco00

Ox CD Ox CD 00 CO 05 Ox O O CO

288

3324

780

6 840

552

CO

oo

•'S

<M

CD CD CO CD

OO 00 05 H-*■ CD 00 Ox -O OOO^M^CpÜXOJ OO 05 O O Ox O CD O

d) 14 in 1540

350

e) Vis von 7 800 1065

f) 1264 : 16

1392

7 560

645

1104

1064

1005

5 360

1218

1650

1552

8 680

8 550

8 640

1092

690

1536

6 580

13 605

6 512

731

5 508

1235

4420

965

1332

1530

9576 10 640

1445

7 308

1805

1632

1764

1216

1326

13356

1482

5 202

3132

10 260

k) 24 in 1800    1) »/,* von 1325

1344

1900

m)2 550 :

5 300

75

10320

2 450

4 200

2112

1950

1176

9500

Ot o

2 304

1875

6 675

1560

11750

2 325

1008

2 475

4 050

Schriftliches Rechnen.

36

a) Gewöhnliches Verfahren. Beispiel: 375 680 : 6 -- 62 613 (Resultat)

15

12

co co

CO CO

00 CO

20

18

2 Rest

Bei der schriftlichen Division beginnt man mit der höchsten Stelle. 37 Zehntausender : 6 = 6 Zehntausender, Rest 1 Zehntausender = 10 Tausender, + 5 Tausender -- 15 Tausender : 6 = 2 Tausender, Rest 3Tauseuder = 30 Hunderter, + 6 Hunderter --- 36 Hunderter u. s. w.

Ist der Divisor zwei- oder mehrstellig, so verfährt man in derselben Weise:

Beispiel:    583 597 : 26 = 22 446    386402 : 4 563 = 84

52

365 04

iO ^ CO <M r-4 O CD ilQ tH tH

21362

18252 3110

119 104

157

156

Aufg. 9.

a) 35 684 : 3 26 495 45 720 38423

b) 26842 : 6 48 536 792 647 348 874

c) 4 880 254 : 9 3 947 436 8492 175 3 485 674

d) 4 875 432 : 7 3 846 874

2    948576 8 488 504

g)    454 637 : 24 723 485

793 219 284926

h)    7 294 687 : 68

3    654 782

4    986 561 2 748 650

n) 234 580 : 254 846 726 694 857 342 886

e) 3 568 492 : 12 8 479 321 4 030142 8 765 441 h) 498 874 : 36 294368 498 664 205 094

1) 487 392 : 97 286491 348 780 284 981

o) 956 845 : 478 394 683 765 432 284 887

f)

i)

921 749 : 387 661 473 884 687 431 4 683 971 6 392 847 3 546 988 2 746 719

18

: 54

lEslgsli

gssssss*

lO 07) CO CO 00 05 H

136

743

b) Abgekürztes Verfahren.

Ist im gewöhnlichen Verfahren genügende Sicherheit erreicht, so übe man noch folgende Beispiele im abgekürzten Divisions-verkahren.

Beispiel: 375 680 : 6 = 62 613

15

36

20

2 Rest

Wir multiziplieren hier jedesmal den Quotienten mit dem Divisor im Kopf und notieren nur den Rest.

Sprich:

q) 4684 329 : 3 245 7 603 482 4857 351 7 965 231

s) 89 468 729 : 74 358 47 367 802 80 130 640 28 654 380

r) 4856 583 : 5 605 2 648 764 8 304628 6 785 431

t) 79 654386 : 83 468 14172 230 19181070 21 346 854

37 : 6 = 6 Rest 1,

15 : 6 = 2 Rest 3,

36 : 6 -- 6 Rest 1,

8 : 6 -- 1 Rest 2,

20 : 6 -- 3 Rest 2.

Die fett gedruckten Zahlen bilden das Resultat!

Ermittle auf diese Weise die Resultate der Aufgaben 19a — g! Dieses abgekürzte Verfahren läßt sich auch ausübte Division mit mehrstelligem Divisor anwenden, indem man zurMrmittelung des Restes von der Ergänzungsmethode Gebrauch macht.

Beispiel: 386 402 : 4 563 = 84

21362 3110 Rest.

3)    = 12 +

= 12,

+' 1 - 26, + 1 - 23,

-er

00 X XX 00. 00 »

<x> +

co

Ob

jS

IS»

ro M-

+ H II

r-s

II

CO

lO

6) + 1 =

5) + 2 =

4)    + 2 = 18 + 3 - 21.

Die fett gedruckten Zahlen bilden hier die Reste.

Die Quotienten können auch ohne Aufzeichnung der Produkte und Reste sofort niedergeschrieben werden. Das macht man immer bei solchen Divisoren, deren Einmaleinsreihe sicher gewußt wird.

Man pflegt in diesem Falle unter die Aufgabe einen Strich zu ziehen und darunter die Quotienten zu notieren.

1. Beispiel:

4 876 503 : 6

812 750 Rest 3

2. Beispiel:

284 639 : 24

11859 Rest 23

Rechne auf diese Weise Aufgabe 19 a — g!

c) Rechenvorteile:

Zerlegung des Divisors in seine Faktoren.

Ist der Divisor ein Produkt, das heißt, läßt er sich in Faktoren zerlegen, so dividiert man zuerst durch den einen Faktor und darauf den entstandenen Quotienten durch den andern. Etwaige Reste werden nicht berücksichtigt.

7 392 : 56 (56 = 8 x 7)

1. Beispiel:

7 392 : 8

924 : 7

Resultat: 132

58 365 : 7

8337 : 7 1191 : 3

Resultat: 397

Aufg. 10.

Rechne ohne Berücksichtigung der etwa entstehenden R e st e mit Zerlegung des Divisors in seine Faktoren:

84 961: 81 98 762 : 49 71563 : 28

26 789:168 (8 x7 x 3) 49 674 : 192 79 463:108

a) 46 394 : 63 b) 27 364 : 32 c) 56 784:144 38 976 : 36 54 906 : 48 78 439 : 72

Der Divisor ist ein bequemer Teil von einer dekadischen Zahl.

Soll eine Zahl durch 5 geteilt werden, so multipliziert man sie zuerst mit 2 und teilt sie darauf durch 10 (5 ist ¹/₂ von 10).

Beispiel: 3 697 : 5_

3 697 x 2 = 7 394 : 10

739 (ohne Berücksichtigung d. Restes). Ist eine Zahl durch 25 zu teilen, so wird sie mit 4 multipliziert und dann durch 100 geteilt (25 ist ¹/₄ von 100).

84 655 : 25

Beispiel:

84 655 x 4 = 338 620 : 100 3386

Ebenso rechnet man bei der Division mit den Divisoren50(x 2:100) und 125 (x 8 : 1000).

Ist der Divisor 75, so teilt man zuerst durch 25 und den entstandenen Quotienten noch durch 3.

Ist der Divisor 375, so teilt man zunächst durch 125 und dann durch 3.

Ähnlich geschieht die Division durch 625 und 875.

Der Divisor ist um wenige Einheiten kleiner als eine dekadische Zahl.

In solchen Fällen dividiert man durch die dekadische Einheit und addiert zu dem jedesmal entstehenden Teilrest das Produkt aus Teilquotient und Differenz zwischen dem Divisor und der dekadischen Zahl.

69 77

468 975 : 998 = 469 1000 — 2

9 895

913

In 4689 ist 1000 = 4 x enthalten, der Rest wäre 689. Der Divisor ist aber um 2 kleiner, folglich muß der Rest um 4 x 2 = 8 größer, also 689 + 8 = 697 sein.

In 6977 ist 1000 = 6 x enthalten, Rest 977. Beim Divisor 998 beträgt der Rest 977 +(6 x 2) = 989 usw.

b) 549 875 :    998

765 836 :    997

394 986 : 9 999 586 543 : 9 998

Aufg. 12.

a) 468 743 : 99 496 854 : 98 387 684 : 97 298 478 : 999

Äufg. 11.

a) 579 368 :    5

439 478 : 25 793064 : 50 685 432 : 125

b) 986 542 : 75 786 843 : 375 643 205 : 625 954 360 : 875

B. Das Rechnen mit mehrfach benannten

Zahlen.

Allgemeines.

Bereits auf Seite 1 ist der Unterschied zwischen unbenannten und benannten Zahlen gekennzeichnet. Bisher haben wir den Zahlen keine Benennung gegeben, denn zur Erlangung der rechnerischen Fertigkeit ist es gleichgültig, ob wir bloße Zahlen oder Zahlen mit der Benennung Ji, kg, m oder bergt, addieren.

Wird das Maß eines Gegenstandes durch eine Zahl mit einer Benennung ausgedrückt, so ist diese Zahl eine einfach benannte Zahl, z. B. 5 Meter; werden aber zwei oder mehr Benennungen gebraucht, so sind mehrfach benannte Zahlen verwendet worden, z. 33. 10 Mark 50 Pfennige.

In dem Satze „5 Meter kosten 10 Mark 50 Pfennige" ist also das Längenmaß durch die einfach benannte Zahl 5 Meter, der Preis hingegen durch die mehrfach benannte Zahl 10 Mark 50 Pfennige bezeichnet.

Alle Gegenstände, die im Handel vorkommen, werden berechnet, gemessen, gezählt oder gewogen.

Der Preis wird stets durch Münzen, das Maß durch Längen-, Flächen-, Körper- und Hohlmaße, die Zahl durch Zählmaße, das Gewicht durch Gewichtsmaße ausgedrückt.

Durch Teilung der Münz-, Maß-, Zähl- und Gewichtseinheiten entstehen die Münzen, Maße und Gewichte niederen Grades. Die Zahl, welche bei dieser Teilung gebraucht wird, ist die Resolutions- oder Reduktionszahl, auch Währungszahl genannt.

Ist die Währungszahl eine dekadische Einheit (10, .100, 1000 usw.), so sprechen wir von Münzen, Maßen und Gewichten mit d e z i m a l e r Währung (100 ist die Währungszahl für Mark und Pfennige, Meter und Zentimeter, Hektoliter und Liter usw.). Ist die Währungszahl

eine andere Zahl, so sind es Sorten mit nicht dezimaler Währ (12 ist die Wähmngszahl für Gros und Dutzend, Dutzend und Stück).

Soll eine Sorte mit höherer Benennung in eine andere mit niederer Benennung verwandelt werden, dann nennt man diese Operation das Resolvieren (Auflösen); ist aber eine Sorte mit niederer Benennung auf eine solche mit höherer Benennung zurückzuführen, so heißt diese Rechnung das Reduzieren (Zurückführen).

Die Schreibung mehrfach benannter Zahlen mit dezimaler Währung.

3 Zentimeter und 5 Millimeter schreibt man als cm --- 3,5 cm. Man trennt also Zentimeter und Millimeter durch ein Komma und gibt dem Ganzen die Benennung cm.

Links vom Komma steht die höhere, rechts die niedere Sorte. Die Stellen rechts vom Komma werden Dezimalstellen genannt. Für die niedere Sorte werden soviel Dezimalstellen gebraucht, als die Währungszahl Nullen hat. Die Währungszahl heißt hier 10 (1 cm = 10 mm); es war also nur eine Dezimalstelle nötig.

1 Mark (M) = 100 Pfennige (B,). Folglich werden die Pfennige mit 2 Dezimalstellen an die Mark geschrieben.

Sind nur 1 bis 9 Pfennige vorhanden, so setzt man in die erste Stelle rechts vom Komma eine Null, in die zweite Stelle erst die Pfennig-

zahl.

Soll eine niedere Sorte als höhere bezeichnet werden, so wird die fehlende höhere Sorte links vom Komma durch eine 0 angedeutet.: 8 g = 0,008 kg,

1 Kilogramm    (kg)    = 1000 Gramm (g),

3 kg    und    500    g    =    3,500    kg,

3 kg    und    50    g    =    3,050    kg,

3 kg    und    5    g    =    3,005    kg.

1 Quadratmeter (qm) — 10 000 Quadratzentimeter (qcm).

Bei den nun folgenden Übungen benutze das diesem Buche im Anhang beigegebene Verzeichnis der Münzen, Maße und Gewichte!

Präge dir zunächst das deutsche Münz-, Maß- und Gewichtssystem fest ein, darauf das englische und russische! Die Kenntnis dieser Systeme sowie der Münzverhältnisse der wichtigsten Handelsstaaten der Erde ist unbedingt nötig.

Aufg. 1.

c) 7,53 Frs.

13,08 Rubel 5,18 Kronen (öftr.) 6,90 Kronen (bmt.) 20,06 hkI.(holl.Guld.) 0,350 Milreis 19,06 Pesetas

7,040 km

60,001 g

0,340 ccm 0,035 kg 8,010 km 3,080 t

Lies mit zweifacher Benennung: a) 5,70 M b) 6,150 kg 9,18 m 7,3 cm 8,31 hl 0,04 M 4,30 ha 18,02 a

Aufg. 2.

Schreibe mit der Benennung der höheren Sorte:

a)    50 Pf., 75 cm, 10 1, 5 mm, 300 kg, 41 a, 3 ha, 5 cm.

b)    75 Centimes, 13 Oere, 5 Lepta, 90 Centesimi, 80 Cents (holl.), 17 Heller, 85 Reis, 90 Rappen, 8 Cents (spanisch).

c)    3 M 90 \ 5 m 9 cm, 4 kg 30 g, 9 cm 5 mm, 5 ha 2 a, 15 qkm 6 ha, 19 km 70 m, 15 g 60 mg.

d)    13 Frs. 6 Centimes, 20 Kronen 2 Öre, 1 Drachme 5 Lepta, 50 Lire 13 Centesimi, 9 Kronen 9 Cents, 500 Rubel 5 Kopeken.

1. Das Refolvieren.

a. Nichtdezimale Währung.

1. Beispiel: 7 Grs. 8 Dtz. 9 Stck. = ? Stck.

7 Grs. -- 12 x 7 84 Dtz.

+ 8 „

92 Dtz. = 12 x 92

1104 Stck. + 9    „

1113 Stck.

3 £ = 20 x 3

60 s 66 8 — 12 x 66

792 d + 10 „

802 d

Eine höhere Sorte wird in eine niedere verwandelt, indem man sie mit der Währungs-zahl multipliziert.

7 Grs. sind also 12 x 7 oder 84 Dtz., dazu kommen 8 Dtz. aus der Aufgabe = 92 Dtz.; 92 Dtz. = 12 x 92 = 1104 Stck. + 9 Stck. -- 1113 Stck.

1. Kopfrechnen.

Verwandle folgende Sorten in die Sorte mit niederer Benennung:

Aufg. 3.

6    Feet 3 Inches

7    £ 14 s 13 s 6 d

7 Bushels 4 Gallons 5 Taschen 2 Fuß 7 Pud 27 Pfund 4 Pfund 20 Solotnik 3 Berkowetz 8 Pud.

a) 5 Schck. 4 Mdl.

11 Dtz. 6 Stck.

4 Tg. 8 Std.

11 Mon. 13 Tg.

3    Mdl. 14 Stck.

6 Min. 39 Sek.

4    Ihr. 10 Mon.

2 Ihr. 10 Tg.

2. Schriftliches Rechnen.

Aufg. 4) 3 Schck. 3 Mdl. 14 Stck.

5) 24 Grs. 10 Dtz. 10 Stck.

«) 25 Ihr. 4 Mon. 8 Tg.

7)    19 Tg. 18 Std. 14 Min.

8)    27 £ 13 s 8 d

9)    33 Mrd 2 Feet 9 Inches

10)    16 Quarters 6 Bushels 5 Gallons

11)    17 Hundredweights 3 Quarters 27 Pounds

12)    7 Bushels 4 Gallons 8 Pints

b. Dezimale Währun g.

Die Umrechnung von benannten Zahlen mit dezimaler Wahrung in die niedere Sorte ist sehr einfach.

3,45 M = ? <9>

3,— M -- 300 L,

-l- 45 L,

345 H

Man braucht also uur das Komma wegzustreichen und der Zahl die niedere Benennung zu geben. • Derartige Aufgaben sind daher sämtlich im Kopf zu rechnen.

Aufg. 13.

b) 23,81 Rubel 114,55 Frs. 19,05 £

85,83 Drachmen 258,03 Dollar 49,35 Milrsis 68,48 hfl. 148,45 Piaster.

Lies als eine Sorte mit der niederen Benennung:

a) 17,50 hl 13,05 ha 901,10 M 13,400 kg 315,010 km 50,30 m 28,713 m

316,5 cm

2. Das Reduzieren.

a. Nichtdezimale Währung.

1. Beispiel: 7 369 Stck. = ? Grs., Dtz. und Stck.

7 369 Stck. = 7 369:12 = 614 Dtz., 614 Dtz. = 614:12 = 51 Grs.

12

16

49

2 Dtz.

1 Stck.

Resultat: 51 Grs., 2 Dtz., 1 Stck.

2. Beispiel: Verwandle 1135 Garnez in Tschetwert, Tschetwerik und Garnez.

1135 Garnez = 1135:8 = 141 Tschetwerik = 141:8 = 17 Tschwt.

61

5 Tschetwerik

33

15

Rest 7 Garnez.

Resultat: 17 Tschetwert, 5 Tschetwerik, 7 Garnez.

Eine niedere Sorte wird in eine höhere verwandelt, indem man sie durch die Währungszahl dividiert.

7 369 Stck. sind also 7 369 : 12 = 614 Dtz. Der Rest von 1 Stck. gehört zum Resultat. 614 Dtz. sind 614 :12 = 51 Grs. und 2 Dtz.

7 369 Stck. sind also 51 Grs., 2 Dtz., 1 Stck.

1. Kopfrechnen.

Altfg. 14.

b) 119 Inches 335 s

Verwandle folgende Sorten in die Sorte mit höherer Benennung:

a) 5 Mdl.

75 d

138 Tg.

72 Stck. (Mdl. u. Stck.)

93 Gallons 513 Pfund (russisch)

258 Mon.

90 Dtz.

435 Stck. (Schck. u. Stck.) 3750 Laschen (Werst u. Taschen) 140 Wochen (Ihr. u. Woch.)    109 Pounds

150 Lot (russisch) 169 Ounces.

283 Sek.

200 Std.

2. Schriftliches Rechnen.

Rechne in die Sorten mit höherer Benennung um:

Aufg. 15. 536 Stck. (Schck., Mdl., Stck.)

16.    3 565 Tg. (Ihr-, Mon., Tg.)

17.    1 087 Stck., (Grs., Dtz., Stck.)

18.    2 709 Min. (Tg., Std., Min.)

19.    475 Gallons (Qrs., Bushels, Gallons)

20.    4 593 d (£ s d)

21.    1827 Garnez (Tschetwert, Tschetwerik, Garnez)

22.    987 Zoll (Taschen, Fuß, Zoll)

23.    1 359 Zoll (Uards, Feet, Inches)

24.    10 583 U (Tons, Cwts., Qrs., ü).

b. Dezimale Währung.

Beispiel: 18539 Centesimi sind wieviel Lire u. Centesimi?

= 185,39 Lire.

Da für Centesimi 2 Dezimalstellen gebraucht werden, schneidet man von rechts nach links 2 Stellen durch ein Komma ab und gibt die Benennung Lire.

49

Voelkner, Prakt. Rechnen.

Bei der Umwandlung von Sorten mit dezimaler Währung in solche mit höherer Benennung sind soviel Stellen von rechts nach links abzustreichen, als die Währungszahl Nullen hat.

Aufg. 25.

b) 38597 Kopeken

6 530 c. (£ und c.)

59020 Lepta 104 921 Reis

89 487 $ (Milreis) in: (Conto) 39 684 Öre 300 487 c. (Pesetas)

584 703 Heller (Kronen)

Verwandle folgende Sorten in Sorten mit höherer Benennung:

a) 7 561 L)

17 635 cm 3 804 mm 29765 g 89 423 a 2 803 ha 50 937 kg 994 670 qm

3. Hddmon.

a. Nichtdezimale Währung.

1. Kopfrechnen.

1 Beispiel: 9 s 8 d + 11 d.

00 +

9 s d + 4 d = 10 s,

10 s 7 d = 10 s 7 d.

2. Beispiel: 2    Pud    28    Pfund    +    5 Pud 18    Pfund.

2    Pud    28    Pfund    +    5 Pud =    7 Pud    28 Pfund,

7    „    28    „    +    12 Pfund    -- 8 Pud,

8    „4-6    „    =    8 Pud 6    Pfund.

Im ersten Beispiel sind 9 s 8 d durch Addition von 4 s auf 10 s ergänzt worden. Da aber 11 d zu addieren sind, müssen zu den 10 s noch 7 d hinzugelegt werden.

Beim zweiten Beispiel wurden 2 Pud 28 Pfund zunächst um 5 Pud erhöht. Die Addition von 18 Pfund geschah wie vorhin.

Attfg. 1.

a) 5 Dtz. 7 Stck. + 5 Stck. b) 2 Mon. 13 Tg. + 4 Bkon. 17 Tg. 2 Mdl. 10 Stck.    +    14 Stck.    10    Std. 42 Min. + 5 Std. 30 Min.

9 Grs. 8 Dtz. + 11 Dtz.    9    Dtz. 6 Stck. + 4 Dtz. 8 Stck.

10 Mon. 15 Tg.    +    23 Tg.    4    Grs. 7 Dtz. 4- 5 Grs. 8 Dtz.

16 Std. 34 Min.    +    40 Min.    1    Mdl. 11 Stck. + 1 Mdl. 14 Stck.

24 Min. 45 Sek.    +    50 Sek.    11    Tg. 10 Std. + 5 Tg. 19 Std.

13 Tg. 19 Std. + 22 Std. 2 Schck. 34 Stck. + 7 Schck. 48 St.

Ausg. 2.

a) 5 Dards 2 Fuß + 2 Fuß b) 2 Tschetwerik + 6 Garnez +

7    Fuß 7 Zoll + 9 Zoll

8    £ 13 s + 18 s 6 s 9 d + 10 d 5 Bushels 3 Gall. + 7 Gall.

1 Ton + 15 Cwts +14Cwts 7 Nards 2 Fuß + 6 Pards 2 F.

1 Pud 28 Pfund + 19 Pfund. 2 Pud 30 Pfund5 Pud 18 Pfd.

3 Tschetwerik 5 Garnez 14 l 16 s + 13 £ 17 s 9 s 10 d + 4 s 11 d 4 Bushels 5 Gall. + 2 93. 7 Galt.

2. Schriftliches Rechnen.

Beispiel: 10 Schck. 2 Mdl. 9 Stck. + 5 Schck. 3 Mdl. 11 Stck-+ 2 Mdl. 14 Stck. + 8 Schck. 8 Stck. + 7 Schck. 1 Mdl.

10 Schck. 2 Mdl. 9 Stck.

5    „    3    „    11    „

-    2    „    14    „

00

_    O

tt    n    °    tt

32 Schck. 2 Mdl. 12 Stck.

Beim schriftlichen Addieren setzt man wie in unserm Musterbeispiel die gleichbenannten Sorten untereinander und zählt nun die niedrigste Sorte zusammen. Wir erhalten 42 Stck. = 2 Mdl. 12 Stck. Diese 12 Stck. werden ins Resultat gesetzt und die 2 Mdl. in der Mandelreihe notiert. Darauf werden die Mandeln addiert = 10 Mdl. = 2 Schck. 2 Mdl. Die 2 Mandeln gehören wieder ins Resultat, die 2 Schck. mit der Schockreihe verrechnet sind 32 Schck.; so daß das Gesamtresultat 32 Schck. 2 Mdl. 12 Stck. ist.

Ausg. 3.

5 Grs. 10 Dtz. 6 Stck. + 12 Grs. 4 Stck. + 6 Grs. 11 Dtz. + 4 Grs. 8 Dtz. 9 Stck. + 11 Dtz. 5 Stck. + 7 Grs. + 20 Grs. 4 Dtz. 3 Stck.

Aufg. 4.

38 Schck. 44 Stck. + 25 Schck. 35 Stck. + 19 Stck. + 27 Schck. + 14 Schck. 38 Stck.

Aufg. 5.

14 Grs. 8 Dtz. + 20 Grs. 5 Dtz. 7 Stck. + 17 Grs. 9 Stck. + 36 Grs. 9 Dtz. 3- 9 Grs. 7 Dtz. 6 Stck.

Aufg. 6.

3 Ihr. 5 Mon. 24 Tg. + 9 Ihr. 11 Mon. 17 Tg. + 5 Ihr. 20 Tg. + 9 Mon. 28 Tg. 4- 4 Ihr. 9 Mon. 13 Tg.

Aufg. 7.

13 Std. 48 Min. 15 Sek. + 53 Min. 35 Sek. + 15 Std. 51 Min. 38 Sek. + 9 Std. 45 Sek.

Aufg. 8.

7 Bushels 4 Gallons 3 Pints + 3 Bushels 5 Gallons + 2'Gal-Ions 7 Pints + 5 Bushels 5 Pints + 6 Bushels 6 Gallons 4 Pints.

Aufg. 9.

In einer Faktura stehen folgende Beträge: 3 112 s 9 d, 7 £ 10 d, 14 s 8 d, 2 £ 5 d, 7 £ 18 s 6 d. Über welchen Gesamtbetrag lautet die Faktura?

Aufg. 10.

5 Saschen '5 Fuß 11 Zoll + 8 Saschen + 9 Taschen 6 Fuß 9 Zoll + 8 Saschen 4 Fuß 8 Zoll + 3 Fuß 10 Zoll.

Aufg. 11.

40 Yards 2 Fuß 8 Zoll + 314 Yards 1 Fuß 4 Zoll + 183 Yards 9 Zoll + 98 Yards 2 Fuß 10 Zoll.

b. Dezimale Währung. 1. Kopfrechnen.

Beispiel:

15,65 Frs. + 3,40 Frs.

15.65    Frs. + 3,00 Frs. = 18,65 Frs.

18.65    „ + 0,40 „    = 19,05 „

Wir beginnen mit der Addition der höheren Sorte, addieren hier also zu f 15,65 Frs. erst 3,00 Frs. = 18,65 Frs. (die Centimezahl 65 bleibt'dabei unverändert). Nun legen wir noch 40 Centimes dazu und kommen zum Gesamtresultat 19,05 Frs.

b) 4,80 m + 2,40 m 8,45 ha + 2,25 ha 5,810 km + 3,350 km 2,640 Milreis + 5,750 Milr. 4,95 hfl. + 7,25 hfl.1 10,88 Pesetas + 3,40 Pesetas

Aufg. 12.

a) 6,95 M + 0,30 M

4,15 ha + 0,90 ha

10,65 m + 0,48 m 8,3501t + 0,750 t‘

6,78 Rubel + 0,36 Rubel 7,67 Kr. + 0,88 Kr.

2. Schriftliches Rechnen.

Beispiel: 3,7551 + 350 kg + 171 + 2,6141 + 8,0501 + 475 kg.

3,755 t 0,350 „

17,000 „

2,614 „ i 8,050 „

0,475 „    >

22,244 t

Me diese Posten werden mit der Benennung t untereinander geschrieben, so daß aber immer Komma unter Komma steht. Wir addieren sie wie gewöhnliche Zahlen, streichen von der Summe 3 Stellen ab und geben dem Ganzen die Benennung t.

Aufg. 13.

a)    13,85 m + 14 cm + 29,67 m + 64 m + 26,89 m + 95 cm

10,38 m,

b)    7,315 kg + 20,675 kg + 95 kg + 15,567 kg + 84 g + 1,594 kg + 769 g.

Aufg. 14.

Ein Kassenbuch weist folgende Einnahme- und Ausgabeposten aus:

Kassenbestand 330,65 M Einnahmen 275,80 „

a)    Wieviel betrugen die Einnahmen ohne den Bestand?

b)    Wie groß waren die Ausgaben?

c)    Welches war der gesamte Geldumsatz (Einnahmen und Ausgaben ) ?

Aufg. 15.

Zur Herstellung eines Winterüberziehers werden gebraucht:

2 mEskimo    1,20 mWollfutter&5,40M = 6,50M,

ein Samtkragen 3,25 M, Ärmelfutter und Wattierleinewand 2,75 M, Knöpfe und Taschen 1,75 M, Watte, Nähseide 2,25 M. An Arbeitslohn sind 19,50 M zu entrichten.

a)    Wieviel betragen die Kosten für das Material zu dem Überzieher ?

b)    Wieviel kostet das Kleidungsstück?

Aufg. 16.

Eine russische Faktura weist folgende Posten auf: 314,25 Rubel,

45,50 Rubel, 29,30 Rubel, 136,65 Rubel, 66,— Rubel.

Auf welchen Endbetrag lautet sie?

Aufg. 17.

Eine österreichische Bank nimmt folgende Posten ein: 238,20 K. 553,38 K., 285,19 K., 495,44 K., 1516,33 K., 3 744,36 K., 810,87 K., 5 407,50 K.

Welches ist die Gesamteinnahme?

4. Subtraktion.

a) Nicht dezimale Währung.

1. Kopfrechnen.

Beispiel: 14 Cwts.    2 Qrs. — 6 Cwts. 3 Qrs.

14 Cwts.    2 Qrs. — 6 Cwts. — 8 Cwts. 2 Qrs.

8    „    2    „ — 2 Qrs. = 8    „

8 Cwts. — 1 Qrs. — 7 Cwts. — 3 Qrs.

Man subtrahiert mehrfach benannte Zahlen im Kopf, indem man mit der Subtraktion der h ö h e r e n Sorte beginnt. 14 Cwts. 2 Qrs. — 6 Cwts. = 8 Cwts. 2 Qrs. Dieses Gewicht vermindere ich nun zunächst um 2 Qrs., damit ich reine Cwts. erhalte und darauf noch um 1 Qr.

Aufg. 1.

a) 4 Mdl. 3 Stck. — 9'Stck. b) 6 Grs. 5 Dtz. — 2 Grs. 9 Dtz.

10 Mon. 17 Tg. — 2 Mon. 23 Tg. 16 Ihr. 5 Mon. — 7 Ihr. 10 Mon.

10 Dtz. 5 Stck. — 10 Stck.', 10 Dtz. 2 Stck. — 5 Dtz. 7 Stck. 15 Ihr. 3 Mon. — 7 Mon. 15 Schck. 21 Stck. - 5 Schck. 30 St. 9 Mon. 14 Tg. — 20 Tg.

8 Tg. 8 Std. — 13 Std.

14 Std. 12 Min. - 28 Min. 8 Std. 15 Min. - 3 Std. 40 Min.

b) 7 Tschetwerik 4 Gamez —

Aufg. 2.

a) 9 / 4 s — l2s

1 Ton 7 Cwts. — 12 Cwts. 9 Pud 8    — 14 A

7 Tschetwert 3 Tschetwerik — 5 Tschetwerik

2 Tschetwerik 7 Garnez 10 £ 9 s — 4 £ 15 s 15 TonsSCwts.—6Tonsl3Cwts. 3 Qrs. 16    — 1 Qr. 20 ü

12 Qrs. 2 Bush. — 7 Bush. 14 s 6 d — 8 s 9 d

11 s 3 d — 9 d

7 Pud 13 ki — 3 Pud 27 ü.

2. Schriftliches Rechnen. Beispiel: 10 £ 4 s 3d — 6£17s9d

co cu»

10. £

3 £ 6 s 6 d.

Hier beginnen wir mit der Subtraktion der geringsten Sorte. Da wir von 3 d nicht 9 d abziehen können, verwandeln wir 1 s in 12 d. 12d + 3d = 15d — 9 d = 6 d. Von3 s können wir nicht 17s subtrahieren. Wir verwandeln daher 1 £ in 20 s.

20 s + 3 s = 23 s - 17 s - 6 s. 9 £ - 6 £ = 3 £.

Aufg. 3.

113 Grs. 2 Dtz. 7 Stck. — 67 Grs. 8 Dtz. 11 Stck.

Aufg. 4.

87 Ihr. 5 Mon. 14 Tg. — 48 Ihr. 8 Mon.

Aufg. 5.

18 Tg. 0 Std. 16 Min. — 9 Tg. 14 Std. 24 Min. (Da hier im Minuendus keine Stunden sind, wird von den 18 Tagen 1 Tag in Std. verwandelt und als 24 Std. über der Stundenkolonne notiert. Davon wird wieder 1 Std. als 60 Min. an die 16 Min. abgegeben. )

Aufg. 6.

Eine Ware wiegt mit der Verpackung 2 Cwts. 1 Qr. 16 U. Das Gewicht der Verpackung beträgt 1 Qr. 25 ü. Welches ist das Netto-Gewicht der Ware? (Die Ware mit der Verpackung ist das BrutLoge w i ch t; das Gewicht der Verpackung heißt Tara, dasjenige der

Ware ohne Verpackung Netto. Brutto = Netto + Tara; Netto — Brutto — Tara; Tara — Brutto — Netto).

Brutto 193 Pud 7 U 9 Solotnik; Tara = 15 Pud 12 U 60 Sol. Wie groß ist Netto?

Aufg. 8.

Aufg. 7.

Brutto Cwts. 156.3.13 (lies 156 Cwts. 3 Qrs. 13 U), Netto Cwts. 143.3.24. Wie groß ist die Tara?

Jemand hat zu zahlen (Debet) £ 14.4.3. Er hat zu bekommen (Credit) £ 9.17.8. Durch welche Summe kann er sein Konto ausgleichen?

Aufg. 9.

b. Dezimale Währung.

1. Kopfrechnen.

Beispiel: 8,05 $ — 3,45 $.

8,05 $ — 3,— $ = 5,05 $ 3,05 „ - 0,45 „ = 2,60

Wir beginnen hier wieder mit der Subtraktion der höheren Sorte und oermindern darauf den entstandenen Rest noch um die niedere Sorte.

b) 13,25 Pesetas — 8,75 Pesetas 17,10 Frs. — 3,65 Frs.

20.40    Piaster — 6,80 Piaster 15,20 Kr. — 3,90 Kr.

35,60 hfl — 6,85 hfl

24.40    Rubel - 5,90 Rubel

2. Schriftliches Rechnen.

Beispiel: 3 516,159 : (lies Konto und Milreis) — 894,342 :

Aufg. 10.

a) 14,05 M — 3,19 M

138,50 M — 30,75 M

18,25 m — 15,50 cm 20,125 t — 1,500 t 3,250 kg — 1,500 kg

6,40 hl - 2,75 hl

10 10 10 .

3.5.16.,159 : — 8 94,342 „

2 6 21,817 :

Wir schreiben den Subtrahendus so unter den Minuendus, daß Kvlnma unter Komma steht. Nun denken wir uns das Ganze in Milreis

verwandelt, das Komma m beiden also weggestrichen und subtrahiere» • dann wie mit ganzen Zahlen. Das Resultat verwandeln wir wieder in indem wir von rechts nach links 3 Stellen abstreichen.

Aufg. 11.

a) 4 056,35 M — 3 497,75 M b) 54 329,15 M — 8 736,55 M

c) 13 786,45 M — 8 949,95 M

Aufg. 12.

Eine Ware kostet im Verkauf 435,60 M, im Einkauf 388,70 „S. Wie groß ist der Gewinn?

Aufg. 13.

Ein Wald ist 347,37 ha groß. Es werden davon 85,93 ha verkauft und 25,70 ha abgeholzt.

Wieviel Waldfläche bleibt dem Besitzer noch?

Aufg. 14.

Jemand übergibt seinem Bankier 335,60 M, 2 435,10 M, 898,-- M,

513,75 M ; er entnimmt 1285,50 M und 938,75 M.

Welches Guthaben bleibt ihn: noch?

Aufg. 15.

Eine Forderung beträgt 3 574,65 Rubel. Es werden darauf folgende Zahlungen geleistet: 837,40 Rubel, 758,65 Rubel, 184,50 Rubel. Wie hoch ist die Forderung jetzt noch?

Aufg. 16.

Die Debetseite eines Kontos schließt mit 912,45 Frs., die Credit« feite mit 759,69 Frs. ab.

Wieviel Frs. sind auf der Debetseite mehr (wie groß ist der Debetsaldo)?

5. Multiplikation.

a. Nichtdezi m ale Währung.

1. Kopfrechnen.

Beispiel: 6 x 13 s 5 d.

6    13

II II

78 8

30 d = 2 s 6 d

6 x 13 s 5 d = 80 s 6 d = / 4.0.6.

Man multipliziert mehrfach benannte Zahlen im Kops, indem man mit der Multiplikation der höheren Sorte beginnt. 6 x 13 s = 78 s. 6 x 5 d = 30 d. Das letzte Produkt wird in die höhere Sorte verwandelt = 2 s 6 d und zu 78 s addiert = 80 s 6 d. Da 80 8 -- 4 £ sind, ist das Resultat £ 4.0.6.

Aufg. 1.

a) 7 x 11 Stck. (Dtz., Stck.) b) 9 x 7 Gallons

8    x 37 U (Pud und ü)

11 x 17 s

6x7 Cwts. 2 Qrs.

9    x 5 ü 8 oz (englisch) 5x4 Tschetwert 5 Tschetwerik 5 x 13 Jards 2 Feet.

11    x 15 Stck. (Schck., Stck.) 12 x 13 Garnez 9 x 14 Min.

12    x 13 Tg.

8x7 Ihr. 6 Mon.

5 x 9 Dtz. 7 Stck.

10 x 6 Schck. 2 Mdl.

7x3 Mdl. 14 Stck.

Beispiel:    136 Tons

136

x 37

952

408

5032

+ 32

5064

2. Schriftliches Rechnen. 3 Qrs.

15 ü x 37.

15

x 37

x 37

111

105

+ 19

45

130 : 4 = 32    555 : 28 -- 19

10

28

275

252

23

Resultat: 5 064 Tons 2 Qrs. 23 ü.

Alle Größen sind zunächst mit 37 multipliziert. Das Ergebnis war 5 032 Tons 111 Qrs. 555 ü. 555 U wurden zu Qrs. und ü gemacht, —19Qrs., 23 U. 23 ü gehören ins Resultat, 19Qrs. wurden zu 111 Qrs. addiert = 130 Qrs., diese wieder auf Cwts. und Qrs.reduziert---32 Cwts. 2 Qrs. 2 Qrs. gehören ins Resultat, 32 Cwts. wurden zu 5 032 Cwts. addiert = 5 064 Cwts. Resultat also wie oben.

Aufg. 2.

a)    Für 1 M erhält man 2 Grs. 3 Dtz. 7 Stck.

Wieviel bekommt man für 23 M?

(Für 23 M erhält man 23 x soviel als für 1 M, also 23 x 2 Grs. 3 Dtz. 7 St.)

b)    Für 15 M erhält man 13 Grs. 7 Dtz. 9 Stck.

Wieviel erhält man für 105 M ?

(105 M sind 7 x 15 M) folglich erhält man auch 7 x soviel.)

c)    Mit 100 M reicht man 3 Wochen 3 Tage.

Wie lange reicht man mit 500 J£?

d)    24 Tg. 18 Std. 24 Min. x 46.

e)    1 ü Pottasche kostet 9 d.

Wie teuer sind 83 Cxvls. 2 Qrs. 17 II ?

(Bei solchen Aufgaben resolviert man am besten die mehrfach benannte Zahl (83 Cwts. 2 Qrs. 17 ü = ... U) und ermittelt dann den Gesamtpreis in d. Diese Zahl wird dann auf £, s und d reduziert.)

f)    Berechne den Preis von 125 Cwts. ä £ 4.13.6.

g)    Was kosten 18 Pud 15 U, wenn 1 ü 45 Kopeken kostet?

b. Dezimale Währung.

1. Kopfrechnen.

Beispiel : 7 x 8,35 M.

= 2,45 M

56 M + 2,45 M = 58,45 M.

Aufg. 3.

a)^9 x 2,40 ./('

5 x 6,50 m 3 x 7,255 t

7    x 11,25 ha 11 x 13,50 a

8    x 3,150 kg

b) Ix 15,25 Rubel 12 x 8,60 Frs.

8    x 9,75 £

11 x 4,55 Kr.

4 x 13,65 Piaster

9    x 9,70 hfl.

2. Schriftliches Rechnen.

Beispiel: 39 x 375,48 Frs.

375,48 Frs. x 39

3 37932 112644

14 643,72 Frs.

Man denkt sich 375,48 Frs. als 37 548 c, multipliziert diese mit 39 und verwandelt das Resultat wieder in Frs.

Aufg. 4.

a) 14 x 356,75 M 235 x 84,384 t 854 x 34,175 kg 783 x 26,84 ha

b) 341 x 25,33 Rubel 658 x 38,28 $

93 x 746,83 hfl. 176 x 2 386,55 Kr.

Aufg. 5.

1 kg Soda kostet 0,17 JL Was kosten 525 kg?

Aufg. 6.

Die Fracht für 1 dz (Doppelzentner) beträgt 3,35 JL Was kostet die Fracht für 19 dz?

Aufg. 7.

1 m Lodenstoff kostet 1,73 JL Was kosten 23 m?

Aufg. 8.

1 kg süße Mandeln kostet 1,53 M. Was kosten 43 kg?

Aufg. 9.

1 kg Singapore-Pfeffer kostet 1,97 Jl. Wie teuer sind 4 Säcke k 55 kg?

Aufg. 10.

1 m schwarz Satin kostet 6,75 M. Was kostet ein Stück von 36 m?

Aufg. 11.

1 hl Weizen kostet 17,35 M. Wie teuer sind 467 hl ?

6. Division.

a) Nicht dezimale Währung.

1. Kopfrechnen.

1. Beispiel: 31 U 23 Lot (russisch) : 7.

31 ü: 7 = 4 ü 9teft 3 U. 3 ü = 96 Lot und 23 Lot = 119 Lot 119 Lot : 7 -- 17 Lot

Folglich sind 31 ü 23 Lot : 7 = 4 U 17 Lot.

Aufg. 1.

a) 25 Tg. : 8

17 Dtz. 6 Stck. : 5 , V. von 32 Mdl. 6 Stck. V₄ von 63 Schck.

b) l/₁₀ von 3 Qrs. 6 ü

V₆ von 7 Bushels 4 Gallons der 9. Teil von 15 Tons 6 Cwts. Vi von 13 Taschen 5 Fuß der 7. Teil von 9 Mon. 3 Tg. der 7. Teil von 20 £ 6 s.

2. Beispiel: Wie oft sind 7 Pints in 5 Gallons 2 Pints enthalten? 5 Gallons 2 Pints = 42 Pints 7 Pints sind in 42 Pints 6 mal enthalten.

Aufg. 2.

Wie oft sind enthalten a) 7 Tg. in 3 Mon. 1 Tg.

9 Std. in 5 Tg. 6 Std.

11 Dtz. in 5 Grs. 6 Dtz.

8 Stck. in 9 Dtz. 4 Stck.

13 Stck. in 2 Schck. 10 Stck.

b) 5 d in 8 s 4 d

7 Gallons in 4 Bushels 3 Gll. 12 ü in 4 Pud 8 «

16 s in 7 £ 4 s 40 U in 6 Cwts. 8 ü?

Aufg. 3.

5 Yards kosten 13 s 4 d. Was kostet 1 Yard?

Aufg. 4.

8 Tons kosten 13 £ 12 s. Wie teuer ist 1 Ton?

2. Schriftliches Rechnen.

1. Beispiel: 314 Tons 13 Cwts. 1 Qr. 15 U : 47

314 Tons : 47 = 6 Tons 282

32.20

640 Cwts. + 13    „

653 Cwts : 47 — 13 Cwts.

47

183

141

42.4

168 Qrs.

141

169 Qrs. : 47 --- 3 Qrs.

28.28

CM CD CM lO

784 U +15 „

799 ü : 47 = 17 ü 47 329 329

Resultat: 6 Tons 13 Cwts. 6 Qrs. 17 ü.

Man beginnt mit der Division der höchsten Sorte, verwandelt den Rest in die nächst niedere Sorte, addiert dazu die gleich benannte Sorte aus der Aufgabe, dividiert diese Summe wieder durch den Divisor, verwandelt den Rest in die niedere Sorte usw.

314 Tons : 47 — 6 Tons Rest 32 Tons.

32 Tons = 32 x 20 = 640 Cwts., dazu 13 Cwts. aus der Aufgabe — 653 Cwts. 653 Cwts. : 47 — 13 Cwts., Rest 42 Cwts.

42 Cwts. = 42 x 4 = 168 Qrs., dazu 1 Qr. aus der Aufgabe = 169 Qrs. 169 Qrs. : 47 = 3 Qrs., Rest 28 Qrs.

28 Qrs. = 28 x 28 = 784 U, dazu 15 ü aus der Aufgabe = 799 ü 799 ü : 47 = 17 U.

2. Beispiel: Wie oft sind 3 Dtz. 11 Stck. in 28 Grs. 4 Dtz. 9 Stck. enthalten?

3 Dtz. 11 Stck. = 47 Stck.

28 Grs. 4 Dtz. 9 Stck. = 4 089 Stck.

47 Stck. in 4089 Stck. =87 x

376

329

329

Dividendus und Divisor werden beide tu dieselbe niedrigste Sorte verwandelt, darauf wird untersucht, wie oft der Divisor in dem Dividendus enthalten ist.

3. Beispiel: 3 Cwts. 2 Qrs. kosten £ 1.15.4.

Wie teuer ist 1 Qr.?

3 Cwts. 2 Qrs. = 8 Qrs.

Kosten 8 Qrs. £ 1.15.4, so kostet 1 Qr. den 8. Teil von £ 1.15.4.

£ 1.15.4 : 8

O iQ CM i-l

35 8 : 8 — 3 s

3 s = 36 d + 4 „

40 d : 8 = 5 d

1 Qr. kostet also 3 s 5 d.

Ausg. 5.

a) 57 Tg. 9 Std. : 27

b)    975 Schck. 48 Stck. : 42

c)    655 Mdl. 50 Stck. : 25

d)    130 Ihr. 8 Mon. 2 Tg. : 86

Aufg. 6.

Ein Gärtner pflanzt 57 Schck. 45 Stck. Kohlcabipslanzen in 55 gleiche Reihen.

Wieviel Pflanzen stehen in jeder Reihe?

Aufg. 7.

Ein Landmann hat auf seinem Felde 278 Mdl. und 12 Garben Getreide stehen.

Wieviel Mandeln und Garben gehen durchschnittlich auf einen Wagen, wenn er das Getreide mit 41 Fuhren einfährt?

Aufg. 8.

Ein Gemüsehändler hat einen Vorrat von 94 Schck. 4 Mdl. Kohlrabi. Wieviel verkauft er im Durchschnitt täglich, wenn der Vorrat in 38 Tg. geräumt ist?

Aufg. 9.

a)    £1369.—.3 (1369 £ 0 s 3 d) : 43

b)    157 Qrs. 2 Bushels 7 Gallons : 27

c)    26 Tons 13 Cwts. 1 Qr. 20 U : 32

d)    272 Pud 35 ü 28 Lot : 74

Aufg. 10.

74 Tons kosten 1603 £ 19 s.

Wie teuer ist 1 Ton?

Aufg. 11.

49 Yards kosten £ 35.18.8.

Wie teuer iffjl Yard?

Aufg. 12.

Eine Faktura über 10 Ballen Pfeffer gibt das Gewicht desselben mit Netto 1 Ton 6 Cwts. 0 Qr. 14 ü an. Der Preis der Sendung ohne Unkosten ist £ 121.18.4.

Wie teuer ist 1 U berechnet?

Aufg. 13.

Ein Stück Tuch kostet ohne Spesen £ 15.13.4.

Was kostet 1 Yard, wenn das Stück 47 Yards enthält?

Aufg. 14.

In welcher Zeit setzt ein Schreibwarenhändler 13 Grs. 3 Dtz. 10 Sick. Hefte um, wenn er im Durchschnitt täglich 11 Dtz. 5 Stck. verkauft?

Aufg. 15.

Eine Sendung Kaffee kostet ohne Spesen £ 350.10.8.

Welches ist das Nettogewicht, wenn 1 U mit 8 d berechnet ist?

h. Dezimale Währung.

1. Kopfrechnen.

1. Beispiel: 78,40 Frs. : 8.

72,— Frs. : 8. = 9 Frs.

6,40 „ oder 640 c : 8 — 80 o

78,40 Frs. : 8 = 9 Frs. 80 c oder 9,80 Frs.

Wir haben 78,40 Frs. in 72 Frs. (die durch 8 teilbar sind) und

6,40 Frs. zerlegt, die letzte Zahl in Centimes verwandelt und nun jede Sorte durch 8 geteilt.

Von großer Wichtigkeit bei den folgenden Aufgaben ist das schnelle und sichere Zerlegen der gegebenen Zahl. Erst wenn man hierin Sicherheit hat, kann man eine genügende Fertigkeit im Dividieren erzielen.

Übe daher bei den Aufgaben in Nr. 16 zunächst n u r das Zerlegen und beginne dann erst mit der Lösung!

Aufg. 16.

b) 134,70 Frs. : 3 4,56 $ : 8 6,48 Rubel : 9 13,50 £ : 15 6,66 Gulden : 9 14,35 Kr. : 5 193,20 Drachmen : 30 220,80 Pesetas : 12

Der 10. Teil von 3,60 M oder 360 H ist 36    --- 0,36 M Der

100. Teil von 34,— M oder von 3 400 L, ist 34 H oder 0,34 M. Der 1000. Teil von 48,— kg oder von 48 000 g ist 48 g oder 0,048 g. Ist der Divisor eine dekadische Einheit, so rückt

a) 45,60 M : 4

39,60 m : 6

52.50    hl : 7 78,30 ha : 9 84,500 kg : 5 63,200 km : 8

49.50    a : 15

87,75 M : 25

— 65 —

Voelkner, Prakt. Rechnen.

das Komma im Dividendus um so viel Stellen nach links, als die dekadische Zahl Nullen hat. Etwa fehlende Stellen werden durch Nullen ersetzt.

Kostet 1 in 5 M, so kostet 1 cm den 100. Teil von 5 M = 0,05 M oder 5

Soviel M das m kostet, soviel L, kostet das cm. Dasselbe Verhältnis besteht, wenn die Währungszahl sowohl im Maß als auch im Preise 100 ist.

Merke demnach folgende Regel:

Soviel M (Frs., usw.) das m, soviel L, (c, Kop. usw.) das cm,

1,

n n h&,    „    „

ir lt n h I, ft

a,

n qm,

„ kg,

„ Pfund.

n a,

„    „    dz,    ,f    ff    „

n    n    Zt?',    n    n    n

Aufg. 17.

Ein hl Wein kostet 285 M.

a)    Was kostet 1 I?

b)    Was kosten 5 1?

c)    Was kosten 11 I?

Aufg. 18.

1 ha Ackerland kostet 106 M Pacht.

a)    Was kostet 1 a?

b)    Was kosten 40 a?

c)    Was kosten 2 ha 30 a?

Aufg. 19.

100 Rubel = 216 M.

a)    Wieviel gilt 1 Rubel?

b)    Wieviel gelten 8 Rubel?

c)    Wieviel gelten 50 Kopeken?

d)    Wieviel gelten 10,50 Rubel?

Aufg. 20.

12 kg Sultaninen kosten 8,64 M. Wie teuer ist 1 kg?

Aufg. 21.

15 kg Java-Reis kosten 5,70 M.

Was kostet 1 kg?

Aufg. 22.

Die Firma I. Dupont u. Co., Hamburg liefert Kognak, Marke OA 3, in Originalkisten ä 12 Flaschen. Sie berechnet 1 Kiste mit 45,60 M Wieviel kostet 1 Flasche?

2. Beispiel: Wie oft sind 35 cm in 2,45 m enthalten?

2,45 m — 245 cm 35 cm in 245 cm — 7 x

Aufg. 23.

b) 16 Kopeken in 3,20 Rubeln 45 c in 3,15 Frs.

60 Lepta in 8,40 Drachmen 18 Öre in 2,16 Kr.

1,50 Frs. in 16,50 Frs.

Wie oft sind enthalten

a) 75 L, in 8,25 M 36 1 in 1,80 hl 17 cm in 2,04 m

1,25 a in 11,25 ha 2,3 cm in 16,1 cm

7,20 ha in 43,20 qkm 2,25 Piaster in 20,25 Piastern

2. Schriftliches Rechnen.

1. Beispiel: 1951,60 Rubel : 56

1951,60 Rubel : 56 = 34,85 Rubel 168

271

224

CO co

co oo

Man dividiert zunächst 1951 durch 56 = 34 fy°, setzt zum Zeichen, daß die Division der beendet ist, hinter 34 ein Komma, denkt sich den Rest von 47 in 4 700 Kop. verwandelt, zählt hierzu noch die 60 Kop. aus dem Dividendus und dividiert nun weiter durch 56. Das Resultat hat nun selbstverständlich die Benennung Rubel.

2. Beispiel: 115,60 Kr. : 136.

115,60 K. : 136 = 0,85 K.

1088

CD CD

88

Hier ist die Zahl für K. kleiner als der Divisor. Das Resultat zeigt daher auch 0 K. Hinter diese 0 wird das Komma gesetzt und darauf' weiter durch 136 geteilt.

Bei den folgenden Aufgaben bleiben meist zum Schluß Reste, die nicht berücksichtigt werden sollen.

Aufg. 24.

a) 369,48 M : 48 5 483,95 m : 345 2 849,38 ha : 8 475 98 563,500 km : 2 648 59 570,350 kg : 6 389 48957,125 t : 4736 35,750 g : 175

b) 754,18 Frs. : 78 2 946,84 R : 325 8469,- Pesetas : 485 6 849,75 Piaster : 4 793 48,35 Dollar : 78 29,380 Milröis : 86

68,75 Gulden : 235

Aufg. 25.

Die Fracht auf 37 dz wird mit 85,10 M berechnet.

Wieviel kommt auf 1 dz?

Aufg. 20.

46 Tonnen Heringe stellen sich mit Fracht und Spesen auf 977,50 M. Wie teuer ist eine Tonne?

Aufg. 27.

¹⁸⁰/io Mille Rara Avis kosten laut Faktura 1 215 M, Fracht und sonstige Unkosten betragen 37,80 M.

Welches ist der Selbstkostenpreis für l/,„ Mille?

3. Beispiel:

Wieviel Tage reicht man mit einem Futtervorrat von 3,920 t, wenn täglich im Durchschnitt 245 kg verbraucht werden ?

Werden täglich 245 kg verbraucht, so reicht man mit 3,920 t soviel Tage, als 245 kg in 3,920 t enthalten sind.

245 kg in 3 920 t

245 kg in 3 920 kg = 16 x

2 45 1470

1470

Folglich reicht der Vorrat 16 Tage.

Vor der Ausrechnung sind Divisor und Dividendus auf eine Benennung zu bringen, 3,920 t werden also in 3 920 kg verwandelt.

Aufg. 28.

Eine Küche hat 15,7500 qm Fußbodenfläche. 3,1500 qm werden zur Aufstellung der Kochmaschine gebraucht. Der übrige Teil des Fußbodens soll mit Fliesen ausgelegt werden.

Wieviel Fliesen werden gebraucht, wenn eine Fliese 420 qcm groß ist (1 qm = 10000 qcm!)?

Aufg. 29.

Wieviel 20 Frank-Stücke erhält man in Wien für 8 213,70 K. österreichischer Währung, wenn ein 20 Frank-Stück 19,65 K. gilt.

Aufg. 30.

Wie oft kann man von 1 413,750 kg 16,250 kg auswiegen?

Aufg. 31.

Wieviel Fässer zu je 3,25 hl können aus einem Fasse von 113,75 hl gefüllt werden?

7. Verwandlung fremder Sorten in deutsche und umgekehrt.

Benutze bei folgenden Aufgaben die diesem Buche beigegebenen Umrechnungstabellen!

Beispiel: Wieviel M    sind    £    19.15.8.

Aufg. 1.

a)    Wieviel M sind 71,75 Frs.?

(Beachte hierbei folgendes: Da 75 Frs. nach der Tabelle = 60,75 M sind, sind 75 c = 60,75 H - 0,61 M.)

b)    Wieviel Frs. sind 91,50 M?

Aufg. 2.

a)    Wieviel deutsche geographische Meilen sind 15 km? (Meilentabelle: 1 km = 0,135 deutsche geographische Meilen.)

b)    Wieviele russische Werst sind 25 km?

c)    Verwandle 74 km in englische Meilen!

d)    Verwandle 121 englische geographische Meilen in km!

e)    Verwandle 253 englische Meilen in km!

Ausg. 3.

a)    5 Mrds 2 Feet 8 Inches sind wieviel m, cm und mm?

b)    3Ö9oz = wieviel kg?

c)    13 Tons 18 Cwts. — wieviel Tons?

d)    5 Troypfund 9 oz = wieviel kg?

e)    5 Bushels 3 Gallons = wieviel 1?

f)    £ 24.13.10 = wieviel «Ä?

g)    127,26 Jl = wieviel £, s u. d?

Ausg. 4.

a)    4 Pud 23    = wieviel kg?

b)    569,60 Rubel = wieviel Jl ?

Aufg. 5.

a)    3 495,40 K. (österreichisch) = wieviel Jl?

b)    5 849,50 M = wieviel K.?

Aufg. 6.

a)    9865,60 Kr. (dänisch) = wieviel M?

b)    15641,30 M --- wieviel Kr.?

Aufg. 7.

a)    20560,10 Gulden = wieviel M?

b)    3 580,50 Jl = wieviel hfl.?

Aufg. 8.

a)    320,500 Milreis (portugiesisch) = wieviel M?

b)    595,85 Jl = wieviel Milreis?

Aufg. 9.

a)    675,30 Piaster — wieviel Jl ?

b)    325,50 Jl = wieviel Piaster?

Aufg. 10.

a)    487,30 Milreis (brasilianisch) = wieviel Jl ?

b)    2 480,50 M wieviel Milreis?

Aufg. 11.

a)    835,35 Gold-Pesos (mexikanisch) = wieviel M ?

b)    621,70 M -- wieviel Gold-Pesos?

Aufg. 12.

a)    91438,40 Dollar = wieviel M ?

b)    5631,80 M = wieviel Dollar?

8. Die Zeitrechnung.

I. Der Kalender.

Die Zeit, während welcher sich unsere Erde einmal um ihre Achse dreht, nennen wir einen Tag. Der Tag wird in 24 Stunden ä 60 Minuten ä 60 Sekunden eingeteilt. 28 bis 31 Tage sind ein Monat. Der Monat entspricht ungefähr der Umlaufszeit des Mondes um die Erde. 365 Tage bilden ein gewöhnliches Jahr, ein Gemeinjahr; das ist annähernd die Umlaufszeit der Erde um die Sonne.

Nun ist aber durch genaue Beobachtung festgestellt worden, daß die Erde 365 Tage 5 Stunden, 48 Minuten und 48 Sekunden braucht, um einmal die Sonne zu umkreisen. Ein Gemeinjahr ist demnach um säst 6 Stunden zu kurz, das macht in 4 Jahren 24 Stunden oder einen Tag. Diesem Umstande ist dadurch Rechnung getragen worden, daß man jedem 4. Jahre — jedem Jahre, dessen Zahl sich durch 4 teilen läßt — einen Tag einschaltet. Man nennt diesen Tag Schalttag, das Jahr Schaltjahr. Der Monat Februar hat daher in einem Gemeinjahr 28, in einem Schaltjahr 29 Tage.

Die Veranlassung zur Einfügung des Schalttages hat Julius Cäsar gegeben; die Zeiteinteilung nach diesen Grundsätzen ist der j u l i a n i s ch e Kalender, der Kalender alten Stiles.

Während der julianische Kalender für ein Jahr 365 Tage 6 Stunden rechnet, ist das astronomische Jahr gleich 365 Tagen 5 Stunden 48 Minuten 48 Sekunden, also um 11 Minuten 12 Sekunden kürzer; das macht in 400 Jahren 400 x 11 Min. 12 Sek. — 3 Tage 1 Std. 20 Min.

Tatsächlich hatte sich zur Zeit des Papstes Gregor des Großen die Zeitrechnung bereits um 10 Tage verschoben. Um sie nun wieder mit dem astronomischen Jahr in Einklang zu bringen, ordnete er int Jahre 1582 an, bei der Zählung im Monat Oktober 10 Tage zu überspringen. Man schrieb demzufolge nach dem 4. den 15. Oktober. Damit aber auch für die Folge der Fehler des julianischen Kalenders vermieden

werde, wurde ferner vereinbart, jedem Säkularjahr (1700, 1800, 1900 usw.), das nicht durch 400 teilbar ist, den Schalttag zu nehmen.

Diesen neuen verbesserten Kalender nennt man den g r e g o r i -anischen, den Kalender neuen Stiles.

4. August

Der alte Kalender ist jetzt nur noch in Rußland, Griechenland und bei den Slaven griechischer Konfession im Gebrauch. Er weicht von dem gregorianischen bereits um 13 Tage ab. Wenn die Russen den ersten Januar schreiben, datieren wir breits den 14. Will man das Datunr auf beide Arten angeben, so schreibt man die Manische Angabe unter die gregorianische, z. B. 27. Juni,

22. Juli.

14. Juni,

Im Geschäftsverkehr wird bei der Berechnung der Zeit die Länge der Jahre und Monate in den verschiedenen Ländern verschieden angenommen.

Gebräuchlich ist zu rechnen: in

Deutschland, Rußland und Österreich das Jahr zu 360, den Monat zu 30 Tagen;

Frankreich, Italien, Holland und Belgien das Jahr zu 360, den Monat kalendermäßig;

England und Nordamerika das Jahr und den Monat kalendermäßig.

Handelt es sich aber um eine genaue Zeitberechnung, so müssen überall Jahre und Monate kalendermäßig ausgezählt werden.

II. Berechnung der Zeitdauer.

1. Beispiel:

Ein Kapital wurde am 15. Januar 1902 ausgeliehen und am 20. August 1906 wiedergezahlt.

Wie lange hat es gestanden -

Vom    15.    Januar    1902    bis    15.    Januar    1906    sind    4    Jahre;

„    15.    „    1906    „    15.    August    1906    „    7    Monate;

„    15.    August    1906    „    20.    August    1906    „    5    Tage.

Das    Kapital hat    also 4 Jahre    7 Monate 5    Tage    gestanden.

2. Beispiel:

Ein Wechsel wurde am 28. März diskontiert (verkauft), er ist am 3. Juni fällig.

Berechne die Diskontzeit (die Tage zwischen dem Verkaufs- und dem Fälligkeitstage)!

Im März liegen 2 Diskonttage (30 — 28 = 2),

int April und Mai „    60

(jeder Monat 30 Tg.),

int Juni „    3

Bonr 28. März bis 3. Juni sind also 65 Diskonttage.

Die letzte Art der Zeitberechnung, also für kürzere Zeiten, ist für den geschäftlichen Verkehr sehr wichtig. Bei den folgenden Aufgaben sie daher besonders berüchichtigt.

A wurde am 16. Juni 1846 geboren, er ist am 2. April 1904 gestorben. Wie alt ist er geworden?

Aufg. 1.

Aufg. 2.

Eine Summe war am 3. August fällig; am Jahresschluß war sie noch nicht beglichen.

Für welche Zeit sind Zinsen zu entrichten?

Aufg. z.

Berechne die Diskontzeit folgender Wechsel: Diskontiert am

a)    5. August

b)    16. Juni

c)    27. Januar

d)    30. Mai (0 Maitage!)

e)    14. Januar

fällig am

16. September 13. Augwt 5. Mai 10. August

1. März (1 Märztag!)

1. Beispiel:

III. Berechnung eines Zeitpunktes,

a) Das Enddatum wird gesucht:

Ein Kapital war am 15. September 1899 ausgeliehen worden. Es hatte 3 Jahre, 7 Monate, 25 Tage gestanden.

An welchem Tage wurde es zurückbezahlt?

3 Jahre nach dem 15. Septemper 1899 schrieb man den 15. September 1902,

7 Monate nach den: 15. September 1902 schrieb man den 15. April

1903,

25 Tage nach dem 15. April 1903 schrieb man den 10. Mai 1903. Das Kapital wurde also am 10. Mai 1903 zurückgezahlt.

2. Beispiel:

Ein Wechsel ist am 26. Oktober diskontiert, er hat noch eine Diskontzeit von 57 Tagen.

Wann ist er fällig?

4 Diskonttage (nicht 5!) sind bis zum 31. Oktober,

weitere 30 23

Der Wechsel ist also am 23. Dezember fällig.

„    „ 31. November,

„ 23. Dezember.

Aufg. 4.

Der Kaiser Napoleon I. wurde am 15. August 1769 geboren. Er ist 51 Jahre 8 Monate 20 Tage alt geworden.

Wann starb er?

Aufg. 5.

Eine Geldsumme wurde am 10. Oktober 1902 ausgeliehen und nach 3 Jahren 5 Monaten 23 Tagen zurückgezahlt.

Wann ist das geschehen?

Aufg. 6.

Berechne den Fälligkeitstag folgender Wechsel:

verkauft am 15. August 29. November 26. Mai

Diskonttage! 39 Tage

65    „

58 „ 49    „

8. Dezember

b. Das Anfangsdatum wird gesucht:

1. Beispiel:

Ein ausgeliehenes Kapital wurde am 16. Aprll 1906 zurückgezahlt. Es hat 8 Jahre 5 Monate 20 Tage gestanden.

An welchem Tage ist es ausgeliehen worden?

8 Jahre vor dem 16. Aprll 1906 schrieb man den 16. Aprll 1898; 5 Monate vor dem 16. April 1896 schrieb man den 16. November 1897; 20 Tage vor dem 16. November 1897 schrieb man den 26. Oktober 1897. Das Kapital ist also am 26. Oktober 1897 ausgeliehen worden.

2. Beispiel:

Ein Wechsel ist am 3. November fällig. Er ist vor 46 Tagen dis-kontiert worden.

Auf welchen Tag fällt die Diskontierung des Wechsels?

= 30. September; -- 17.    ..

Vom 3. November 3 Tage zurückgerechnet = 31. Oktober; „ 31. Oktober    30    „

„ 30. September 13 „

Der Wechsel ist also am 17. September diskontiert worden.

Aufg. 7.

Es starb jemand am 24. August 1874; er ist 65 Jahre 7 Monate 19 Tage alt geworden.

Wann ist er geboren? (Tage kalendermäßig!)

Aufg. 8.

Berechne den Diskontierungstag folgender Wechsel: fällig am 13. Januar 5. April 1. Dezember 30. Juni 5. Febmar

Diskonttage

38    Tage 61

39    „

74

46

C. Das Rechnen mit gewöhnlichen Brüchen.

1. Allgemeines über die 6ntftebung und Arten der Brüche.

Wir haben bis jetzt nur mit sogenannten ganzen Zahlen gerechnet und die verschiedenen Operationen mit ihnen gemacht; wir haben gesehen, daß sie sich z. B. mit oder ohne Rest teilen lassen. Nun läßt sich aber auch ein Ganzes in beliebige Teile zerlegen. Teilen wir einen Apfel in 2 gleich große Teile, so entstehen 2 halbe Äpfel. In 3 Teile geteilt, erhält man 3 drittel Äpfel usw. Ein Teil ist dann ein halber bezw. ein drittel Apfel.

Sieht man nun von der Benennung (Apfel) ab, so erkennt man, daß sich jede Einheit, das Ganze, durch Teilung zerlegen läßt. Angenommen, folgender Strich bedeute ein Ganzes oder die Zahl 1.

Durch Teilung in zwei gleiche Teile würden wir zwei Halbe erhalten und nennen jeden Teil ein Halbes. Durch Teilung in 3, 4, 5 usw. Teile entstehen drittel, viertel, fünftel usw.

Ist ein Ganzes in siebentel geteilt und werden 2 solcher Telle zu einer Größe zusammengefaßt, so nennt man das zwei Siebentel.

Solche Größen, die einen oder mehrere Teile eines Ganzen bezeichnen, nennt man Brüche.

Zur schriftlichen Darstellung von Brüchen braucht man 2 Zahlen: eine Zahl, die angibt, in wieviel Teile das Ganze geteilt ist, den Nenner, und eine Zahl, welche sagt, wieviel solcher Teile zu einer Größe zusammengefaßt werden, den Zähler. Zähler und Nenner werden durch einen wagerechten oder auch schrägen Strich, den Bruch-strich, getrennt. Der Zähler steht über, der Nenner unter dem Bruchstrich. Ein Halbes = V₂, ein Drittel = V₃, zwei Drittel ---- ²/₃.

V*

Vs

-«

Vs

zu

Solche Brüche, die als Zähler eine 1 haben, sind Stamm-brücke (*/* V*, V₄,¹U)- Ist der Zähler eine größere Zahl, so ist der Bruch ein abgeleiteter Bruch (²/₃,³/₄,²/s, ⁴/s).

Wenn der Zähler kleiner als der Nenner, der Bruch also auch kleiner als ein Ganzes ist, so heißt der Bruch ein echter Bruch (³/₄,⁵/„ ³/₈,⁸/₁₀); ist er aber größer als der Nenner, also auch größer als ein Ganzes, so nennt man ihn einen unechten Bruch (s/₃, % n/₆).

Wird eine ganze Zahl und ein Bruch zu einer Größe vereinigt, so entsteht eine gemischte Zahl (4¹/₂, 3³/₄, 10V₃)•

- Haben mehrere Brüche einen gleichen Nenner, so nennt man sie gleichnamige Brüche (²/₇, ³/₇, ⁶/₇), im anderen Falle sind es ungleichnamige Brüche (³/₄, ⁵/₈, ⁷/₉).

Ein abgeleiteter Bruch entsteht auch, wenn man mehrere Ganze durch eine Zahl teilt, wie aus folgender figürlichen Dachellung ersichtlich wird.

ZU

■I

I-

Wird also die Zahl 3 durch 4 geteilt, oder was dasselbe ist, wird der

4. Teil von 3 Ganzen genommen, so entstehen ³/₄. V₇ sind demnach der 7. Teil von 5 Ganzen usw.

2. Verwandlung unechter Brüche in ganze und gemischte Zahlen und umgekehrt.

In dem Bruch ³²/₈ gibt der Nenner 8 an, in wieviel Telle der Zähler 32 zu teilen ist. Jeder Bruch ist demnach eine nicht ausgeführte Division. Führen wir die Division durch, so erhalten wir als Resultat 4. Bei dem Bruch ³⁵/« heißt das Resultat 4 Rest 3. 3:8 sind aber ³/s, demnach sind ³⁵/„ = 4³/«.

Aufg. 1

Verwandle folgende unechte Brüche in ganze Zahlen: a) *V*    b)--/«

³⁶/«

*°/e

80

/lO

²V*

*'/,

²*A

c) -*V, ¹²⁸A«

l44/i«

d) m/₁₆

²⁸⁵A*

180/

/S6

Aufg. 2.

Verwandle in ganze und gemischte Zahlen: a) -°/«

b)-³/.

38

/?

*/.

⁵³/,

123

/lO

33

/*

c) ¹*³/,* ¹⁴³/,« ¹⁴³/i» m/,8

d) -³°/„ ³⁰⁰/„ 48SA,

7,4

1 = */*, demnach sind 3 --- -*/*, 7 -- ³⁶/s, 13 -- “/*. Soll die gemischte Zahl 7³/« in einen unechten Bmch verwandelt werden, so verwandeln wir zunächst 7 in ²⁸/₄ und addieren dazu ³/« -- --/«.

Aufg. 3.

a)    Verwandle: 9, 13, 21, 32 in /,.

b)    Verwandle: 4, 16, 25, 48 in /„.

Aufg. 4.

Verwandle in einen unechten Bruch: a) 9V«    b) 12-/.

8°/,

6³/«

33-/-

c) 14-/,

7*/,

19*/«

17*/*

29’/

13*/,

18’/io

3. erweitern und Kürzen der Brüche.

a) Das Erweitern.

7₂

7*

I—I-

-1—1-

i-

-s

•s

7s

7s

⁴/l2

7l2

Wie diese bildliche Darstellung zeigt, ist V- = 7„, V. = ²/„ V. - */«, V« = V«, ³A = ⁶/₈, V» -- ⁴/S, V* -- 7„, 7₃ = ⁶/₉, V. = ⁴/l2, 7» = "/iS-Der Wert der Brüche ist stets derselbe geblieben, hingegen sind sowohl Zähler als auch Nenner größer geworden. Bei dem letzten Bmch ist aus dem Zähler 2 eine 8 geworden, er ist also mit 4 multipliziert, aus dem Nenner 3 entstand der Nenner 12, er ist ebenfalls auf das 4 fache gebracht. Zähler und Nenner sind also mit derselben Zahl multipliziert, man sagt, der Bruch ist erweitert.

Regel: Ein Bruch wird erweitert, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden.

Aufg. 1.

a) ⁴/s durch 4 ³U „    4

er

r: n

CD CD CD CD CD zD

tO Ol    M <1 M -i

w ' aT"    m""

*    to cn w t-*

cy

CD CD CD CD CD CD t-H tH rH 03 tH t—I

Beispiel: Erweitere ⁵/s zu /₆₆.

¹/a =    7 Ut

5/    _ 35/

/ 8    “    / 56

Aufg. 2.

Erweitere

ä) ⁵/l2 M /s6

V» „ /s6

O/4    ^    /s6

ff / 36 3 ff / 36

b ) ³/24 M /72

18 ff

=/

³/,

/ 72

°/>

³/ 4

0) ²/d AU /₉₀

5 ff

⁷/e „ /90 ⁵/e „ /90 ¹⁴/is „ /90

/90

b) Das Kürzen.

Wenn ²/₃ = Via ist, muß auch umgekehrt ®/₁₂ = ²/₃ sein. Zähler und Nenner sind in diesem Falle durch 4 dividiert; wir nennen diese Behandlung des Bruches Mrzung.

Regel: Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler undNennerdurchdieselbeZahldividiertwerden.

Um einen Bruch zu kürzen, muß man eine Zahl suchen, welche sowohl im Zähler als auch im Nenner restlos enthalten ist. Bei Brüchen mit kleineren Zahlen im Zähler und Nenner findet man diese Kürzungszahl leicht (man nennt sie auch gemeinsames Maß), für das Kürzen von Brüchen mit größeren Zahlen ist es vorteilhaft, sich einige Regeln zu merken:

Durch 2 sind alle geraden Zahlen teilbar.

Sie haben in der Einerstelle 0 oder 2 oder 4 oder 6 oder 8. Die Zehner, Hunderter, Tausender sind durch 2 teilbar; 2, 4, 6, 8 sind ebenfalls durch 2 teilbar, folglich müssen also auch alle geraden Zahlen durch 2 teilbar sein.

Durch 4 sind alle Zahlen teilbar, deren Einer und Zehner zusammengenommen ohne Rest teilbar sind.

Da Hunderter, Tausender usw. durch 4 restlos teilbar sind, braucht man also nur die Zehner- und Einerstelle auf die Teilbarkeit durch 4 zu untersuchen.

Durch 8 sind alle Zahlen teilbar, deren Einer, Zehner und Hunderter zusammengenommen durch 8 teilbar sind.

1000 und jedes Vielfache davon ist durch 8 ohne Rest teilbar, folglich muß jede Zahl restlos durch 8 teilbar sein, deren letzte drei Stellen sich durch 8 teilen lassen.

Durch 5 ist jede Zahl teilbar, die in der Einer-stelle eine 5 oder eine 0 hat.

Durch 10 ist jedeZahl teilbar, die inderEiner-stelle eine 0 hat.

Durch 9 ist jede Zahl teilbar, deren Quer-summedurch9teilbar ist. (Die Quersumme ist die Zahl, die durch Addition der Ziffern einer mehrstelligen Zahl entsteht. Die Quersumme von 24 ist 2 + 4 = 6.)

Ist 5427 durch 9 teilbar?

20 „ 7 „

Wenn 5000 durch 9 geteilt wird, bleibt ein Rest von 5, „    400    „    9

CD CD

Wenn 5427 durch 9 geteilt wird, bleibt also ein Rest von 18.

Dieser Rest ist zusammengesetzt aus dem Wert der Ziffem 5, 4, 2 und 7. Er ist durch 9 teilbar, folglich ist auch 5427 durch 9 teilbar.

Durch 3 ist jede Zahl teilbar, deren Quersumme durch 3 teilbar ist.

Ist 5392 durch 3 teilbar?

: 3 = 33 : 3 =    3

©8

1,

90 : 3 = 2:3 =

Wenn 5392 wie oben durch 3 geteilt wird, bleibt ein Rest von 19.

81

Voelkner, Prakt. Rechnen.

Dieser Rest ist nicht durch 3 restlos teilbar, folglich ist auch 5392 nicht durch 3 ohne Rest teilbar.

Durch 6 ist jede gerade Zahl teilbar, deren Quersumme durch 3 teilbar ist.

Wenn sich eine Zahl durch 2 und durch 3 teilen läßt, so ist sie auch durch 2x3, also durch 6 teilbar.

Beispiel:    10S/m.

Der Bruch ist durch 9 zu kürzen, denn die Quersumme des Zählers ist 9, die des Nenners 18. ¹⁰⁸/₁₈₉ also = ¹²/₂i-Dieser Bruch ist wieder durch 3 zu kürzen = ⁴/,.

Aufg. 1.

Kürze folgende Brüche:

a) ²¹/zs

25/

/ 30

b)¹⁶/₂₅

⁸¹/»o

⁴²/»i

C) ls/₆₆

⁵⁶/72

⁴⁸/l

/ 60

35

/ 84

84

/154

d) °°/»°

45/

/ 99 33/

/121

⁷⁵/₉o

Aufg. 2.

cd

b) ⁴²/₉₁

⁷⁵/l05 /l44 /184

48

32

0) ³⁴/119 85/

/187

/ 297

/o02

704

d)

1088

256

16881

1425 /

/ 4245 11841

1464

1392

4. Die vier Grundrechnungsarten mit gewöhnlichen Brüchen.

a) Die Addition.

aa) Das Addieren gleichnamiger Brüche.

Wie sich nur gleichnamige Sorten addieren lassen, so können wir auch nur gleichnamige Brüche zusammenzählen.

9 Mark + 5 Mark = 14 Mark, folglich ⁹/n +⁵/n -- ¹⁴/n oder l³/n.

Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert, der Nenner bleibt derselbe.

1. Beispiel.

1. Kops rechnen.

³/a + ⁵/s + ⁷A = l⁷/₈.

Aufg. 1

a) ³A + V4 ⁵A + ⁵A

7l2 + ’/l2

⁷/i

⁴A

10

10

⁹/io

c) ⁷Ao + ¹⁹Ao + ⁹Ao

¹³/₂4 +    ⁹/24 + ¹⁷/24

19 /    i 31/    1 35/

/ 36 r /36 i / 3 6

2. Beispiel.

5⁴/₉ + 8⁸/g-8 -- 13⁴/₉

-- 13¹²/₉ = 14'/» = 14¹/3 Man läßt, wenn die Summanden gemischte Zahlen sind, den erstell Summanden ganz, legt zu ihm die ganze Zahl aus dem 2. Summanden (5⁴/„ + 8 = 13⁴/₉), darauf addiert man zu dem Resultat noch den Bruch (13⁴/₉ + ®/₉ = 13¹²/₉). Ist das Resultat nun ein unechter Bruch, so verwandelt man ihn in eine gemischte Zahl (¹²/„ = l³/₉) und legt die entstandene ganze Zahl (die 1) zu der ganzen Zahl born Resultat (zur 13). Endlich untersucht man, ob der Bruch ('/») noch zu kürzen ist (s/₉ = V₃).

5⁴/₉

13⁴/₉ +

+ oT"

Aufg. 2.

a) l³/₄ + 3V₄

5²/s + 8Vs 7⁵/₆ + 9¹/,

b) 7⁴/„ + 5•/,

9⁴/₅ + 6³/5 IO³/, + 4«/₇

Schriftliches Rechnen.

¹⁷ /«. + ²⁹As + ¹¹ As + ³⁴ As + ⁴¹ As

c) 3³A + 7⁷A 13⁷/i2 + 25u/₁₃

H¹⁴/i5 + 18⁷As

¹⁷ As ²⁹ As ¹¹ As ³⁴As ⁴¹ As

132/    _

/ 45    —

Sind mehrere Brüche zu addieren, so schreibt man sie untereinander, addiert nur die Zähler, gibt der Summe der Zähler (132) den gemeinsamen Nenner (45), verwandelt den entstandenen unechten Bmch in einen echten (mA₅ = 2⁴²/₄₅ ) und versucht zu kürzen (⁴²As = "As)-

132

A.: 45 = 2⁴²As = 2¹⁴/₁₅

2. Beispiel.

4=/,e + 19»»/.. + 8²⁵/s6 + 24³¹/₃₆ + 20--/-,

4⁵/a6

19»’/°°

8²⁶/

24-»/

20-«/°°

83»--/-° 132: 36 -- 3-»/-. = 3-/°

24

+ 83

Aufg. 3.

86-/°.

9*/„ + 17*/,. + 36V, ° + 25»-/,° + 34»°/,°

Aufg. 4.

20V,° + 31»’/,° + 29»-/,° + 6’/,° + 14»»/,°

Aufg. 5.

15»/°, + 24-°/°° + 104’/°„ + 87»»/°° + 45»°/°₀

bb. Das Addieren ungleichnamiger Brüche.

Kopfrechnen:

Ungleichnamige Brüche müssen vor dem Addieren gleichnamig gemacht werden.

Beim Kopfrechnen geschieht das so, daß man die Einmaleinszahlen des größten Nenners durchgeht, bis man zu einer Zahl kommt, in der auch der andere Nenner enthalten ist. Man nennt diesen so gefundenen Nenner den Hauptnenner. Der Hauptnenner für 8 und 12 ist 24, für 16 und 20 ist 80 usw. Nun verwandelt man die gegebenen Brüche in Brüche mit dem Hauptnenner und addiert sie.

Beispiel: ’/° + V,°.

Der Hauptnenner ist 24.

’/° -«'/-. Vir — »V24

»V 24 + »V24 — ⁴¹/ 24 ~ ll'/24-

Aufg. 6.

a)³/4 + V. b) Vs + V. c) »/. + •/» d) «/» + V, e) »V» + V«

’/24 4~ */,

V« + V-

v° + V«

°/7 + »/4

V» + V,

V» + V 4

v„ + V.

’/l- + °/°

v„ + -/„

«/,« + ⁴/°

Bei der Addition mehrerer ungleichnamiger Brüche sucht man den Hauptnenner in folgender Weise: Man schreibt alle Nenner in eine Reihe nebeneinander und untersucht, ob einige der Nenner einen gemeinschaftlichen Faktor enthalten, d. h. ob sie sich durch dieselbe Zahl teilen lassen. Wie unten im Beispiel gezeigt, setzt man diesen gemeinschaftlichen Faktor neben die Nennerreihe. Nun schreibt man in eine zweite Reihe damnter noch einmal sämtliche Nenner, dividiert aber diejenigen Nenner durch den gemeinschaftlichen Faktor, die sich ohne Rest teilen lassen. Darauf untersucht man, ob einige der Zahlen in der zweiten Reihe einen gemeinschaftlichen Faktor haben, den man dann wieder links neben die zweite Reihe stellt, und so fort bis die letzte Zahlenreihe einen gemeinschaftlichen Faktor nicht mehr hat. 9hm multipliziert man die Zahlen der letzten Reihe und die gefundenen gemeinschaftlichen Faktoren miteinander. Das Produkt ist der Hauptnenner.

Die Brüche werden jetzt verwandelt und wie vorher gezeigt addiert.

Beispiel: 2V, + 5V, + 7V, + 10*/, + 12¹³/₂₀ + 6V«. Aufsuchen des Hauptnenners:

4 8. 5. 9. 3. 20. 16.

03 CO iO

2. 5. 9. 3. 5. 4.

1. 5. 9. 3. 5. 2.

5. 3. 1. 5. 2.

4x2x3x5x3x2 = 720

720

2³/,

5V,

7V,

10V,

12¹³/so

6V»

2 419 : 720 = 33M/„₀

2160

259

45“Vm

Ansg. 8.

13⁵/i2 + 17¹³/₂₀ + 117» +    97h + 167a + 187-

Aufg. 9.

207- + 137° + 177₈ + 19u/i2 + 25¹V,₈ +

Aufg. 10.

147, +    87₂i + 217s +    67u + 3¹⁷/₂₂ +    167,2

Aufg. 11.

245-/° + 3597s    + 785-/» + 650-/. + 510⁷/,« + 921¹7₂.

Aufg. 12.

7317» + 3457m + 18⁷/,₂ + 94!--/°. + 293¹³/₂₈ + 1444-7°°

b) Die Subtraktion.

aa) Das Subtrahieren gleichnamiger Brüche.

9 Mark — 2 Mark = 7 Mark, daher sind 7„ — 7„ = ⁷/„ Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert.

1. Beispiel: -->/,- - 7,° - ⁸/,° = ³/°.

2. Beispiel: 77« — 7»

77» -7,-7 7    — 7» - 6⁷/»

12

Aufg. 7.

57₃ + 19-/. +    7»/, +    97« + 87« +

8⁷/io

3. Beispiel: 157,₂ — 4-7

157.2    - 4    = 117,2

117.2    — -7,- - 107,₂ - 10-/₂.

Aufg. 1.

a) --/₂°    ⁷/₂5 b) ¹³/,8    7l8 c) -728    -728 d) ³7so “/so

Aufg. 2.

a) 97°-7° b) 167,-7, c) 207«-7s d) 24¹7,° — «/,.

Aufg. 3.

a) 77° — 47° b) 87,-27» c) 12-/,₂-9⁷/,₂ d) 367»-177,

bb) Das Subtrahieren ungleichnamiger Brüche:

Ungleichnamige Brüche müssen vor dem Subtrahieren gleichnamig gemacht werden.

23 /

/ 36

83

83²³/₃₆.

Der Hauptnenner ist 36. s/₁₂ = ¹⁵/₃₆,⁷Z» = ²⁸/₃₆- Von ¹⁵/₃₆ kann man nicht ²⁸/₃₆ abziehen, daher wird ein Ganzes von 213 in ³⁶/₃« verwandelt. Nun haben wir im Minuendus ³⁶/₃₆ und ¹⁵/3e = ⁶¹/₃₆ zur Verfügung. ⁵¹/₃₆ — ²⁸/₃₆ = ²³/₃₆. Nach der Subtraktion der ganzen Zahlen erhält man also cüs Gesamtresultat 83²³/₃₆.

Aufg. 7.

a) 314 — 16⁶/s b) 731 — 418³/XÖ c) 1450 — 839⁵/u.

Aufg. 8.

Kopfrechnen:

1. Beispiel: =/₆ — ³/₆-Der Hauptnenner ist 30.

5/ _ 25/    3 / _ 18/

/ 6 “    /30z    / 5 —    /30z

/so ¹⁸/so — ⁷/s0‘

2. Beispiel: 7⁵/„ — 3n/₁₂.

Der Hauptnenner ist 24.

7⁵/s ⁼ 7«/«, 3u/i2 — 3-²/24. 7¹³/₂₄ —    3 = 4¹⁵/

4l5/s4 = ²²/s4 = 3”/

24

24-

Aufg. 4.

ar/s-Vo b)³/₄-²/₃ c)=/«-»/₄ d)*/, —¹/₇ e )•/«-*/,

Aufg. 5.

a) 5²/₃ — 2l/₂ b) 7⁵/₉ — 4¹/e c)9l/₄ —2²/₃ d) IO³/, — l¹/*

Aufg. 6.

a) 13²/₅ — 6²/₃ b) ll²/ä — 6⁴/, c) 18²/₉ — 5³/₄ d)14I/«-7⁵/,

Schriftliches Rechnen:

Beispiel: 213⁵/₁₂ - 129⁷/₉.

36

213⁶/j2 - 129 ⁷/»

15

28

a) 718¹³/jS - 349¹⁴/₁₅ b)905«/₁₂- 237⁴³/₁₆ c) 1428⁷/₁₆ - 683l3/x

c) Die Multiplikation.

Bei der Multiplikation mit gewöhnlichen Brüchen sind 3 Fälle zu unterscheiden:

1.    Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl,

2.    Multiplikatton einer gemischten Zahl mit einer ganzen Zahl,

3.    Multiplikation eines Bruches oder einer gemischten Zahl mit einem Bruch oder einer gemischten Zahl.

aa) Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl.

9x5 M = 45 M, 9 x 5 R» = 45 R°, folglich sind auch 9 x 5 Achtel = 45 Achtel, 9 x '/, = ⁴⁵/s = 4°/,.

Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert, der Nenner bleibt unverändert.

Man kann die Multiplikatwn des Bruches mit einer ganzen Zahl

9x5

auch so darstellen: 9x⁶/₈ = 9x5:8 =

Oft läßt sich der Nenner gegen eine der Zahlen über dem Bruchstrich kürzen oder sogar ganz wegbringen, wodurch die Multiplikatwn wesentlich erleichtert wird.

1. Beispiel:

12 x ⁶/e -- 12.5 = u /t = 7l/a

2. Beispiel:

24 x °/, -- 24.5 -- ls/i = 15.

3. Beispiel:

3 X ’/ia =

cp r.

.7 = ’/« = l⁸/«.

12

Kopfrechnen:

Stufst. 1.

a) 7 x •/« b) 10 x ⁸/e c) 12 x »/„ d) 8 x “/„ e) 12 x •/„

Aufg. 2.

a) 6 x ⁶/g b) 15 x ²¹/25 c) 8 x ⁷/I2 d) 9 x e) 4 x ⁷/

Schriftliches Rechnen:

Aufg. 3.

a) 17 x «/„ b) 26 x ¹³/l7 c) 49 x ³¹/₃4 d) 39 x «/«

Aufg. 4.

a) 36 x ⁷³/₁₄₄ b) 216 x »/« o) 64 x ³⁷/₂₄ d) 49 x ⁷³/₈₄

bb) Multiplikation einer gemischten Zahl mit einer ganzen Zahl.

Beispiel:    24 x 13l/s

24 x 13

24 x V. - ■*/. = 4V.

312

+ 4«/,

316*/,

Man multipliziert zuerst den Multiplikator mit der ganzen Zahl, darauf mit dem Bruch und addiert beide Produkte.

Kopfrechnen:

Aufg. 5.

a) 4 x 3*/₄ b) 6 x 7⁴/s c) 5 x 8*/, d) 9 x 8⁴/u e) 7 x 12⁷/,

Aufg. 6.

a) 8 x 3³/t b) 3 x 6l/₄ c) 7 x 9*/₃ d) 11 x 4³/s e) 10 x ll⁷/l6 Schriftliches Rechnen:

Aufg. 7.

a) 26 x 13s/e b) 35 x 14⁸/ia c) 51 x 43%, d) 63 x 17³/

26

Aufg. 8.

a)426 x 121°/„ b)143 x 97¹¹/,, c)495 x 649⁸/₃, d) 183x273

vo. Multiplikation eines Bruches oder einer gemischten Zahl mit einem Bruch oder einer gemischten Zahl:

8 x ⁴/e heißt 8x4:5 = 8x4

8x4

Setzen wir für 8 den Bruch ⁸/g ein, so sind s/₉ x ⁴/₆ =

woraus wir die Regel herleiten:

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multizipliert.

Ist einer der Fakwren eine gemischte Zahl, oder sind beide Fakwren gemischte Zahlen, so werden diese erst in unechte Brüche verwandelt.

9x5

_ 32 /

—    /4ö,

Kopfrechnen:

Beispiel: P/₅ x 2V₄

Aufg. 9.

P/. — ⁸/5/ 2⁴/₄ — ²/₄

⁸/s X ²/4 — ⁷² /20 ⁼ 3¹²/20 — 3³/₆

a) ²/z X ⁴/₂ b) ⁵/e x ³A c) ⁷/s x ⁴/s d) ³/₅ X ⁷/s e) */u X ³A

Aufg. 10.

a) IV, x 3V₄ b) 4V₂ x 2l/₃ c) 4V₆ x P/₄ d) 6V₂ x l³/₈, ' e) 2³/₄ x P/₅

Beispiel:

Schriftliches Rechnen: 23⁵/e x 16³/₄

23

16

138

64

+ 5    +3

67

67

/„ x ⁶⁷    = 143 x67

6x4

143 x 67

1001

858

9581 : 24 -- 399s/₂₄

238

221

Können Kürzungen vorgenommen werden, so hat das vor der Ausrechnung zu geschehen.

Aufg. 11.

a) 49%₆ x 75³/₄

Aufg. 12.

b) 19¹³/1B x 28⁷/ie

Aufg. 12.

a) 25¹⁷/₁₈ x 33⁴/,

b) 38⁴%₅ x 18%₀

a) 124% x 16%

b) 17¹³/₁₈ x 20%

d) Die Division:

Bei der Division haben wir 2 Fälle zu unterscheiden:

1.    Der Divisor ist eine ganze Zahl,

2.    Der Divisor ist ein Bmch oder eine gemischte Zahl.

aa) Der Divisor ist eine ganze Zahl.

Bei der Betrachtung über das Wesen des Bruchs haben wir durch Veranschaulichung erkannt, daß der Wert eines Bruchs umso kleiner wird, je größer die Anzahl der Teile ist, in die das Ganze zerlegt werden soll. Die Anzahl der Teile wird durch den Nenner ausgedrückt. Es ist also % kleiner als ein %, ¹/₁₂ kleiner als %. Soll % noch einmal in 2 Telle oder, wie wir sagen, durch 2 geteilt werden, so entstehen Sechstel.

= ⁵/24-

8x3

Ein Bruch wird also durch eine ganze Zahl geteilt, indem der Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert wird.

Soll eine gemischte Zahl durch einen Bmch geteilt werden, so verwandelt man sie erst in einen unechten Bmch.

Sind die Ganzen in einer gemischten Zahl größer als der Divisor, so teilt man zuerst die ganze Zahl, den Rest verwandelt man unter Hinzufügung des Bmchs in einen unechten Bruch und teilt diesen dann wieder durch den Divisor.

1.    Beispiel: ’/₁₂ : 8 =

2.    Beispiel: 5V₃: 9.

12 x 8

— ⁷/96

5¹/« = "/-> : 9 --

16

3x9

= ie/₂₇

3. Beispiel: 38°/« : 4. 38 : 4 = 9

2 -- ¹⁸/, + % = ”U : 4 -

17

6x4

-- ”/*«

38°/« : 4 — 9¹⁷/₂₄.

Aufg. 1.

Kopfrechnen:

a)Vs:3 b) °/„:7 c) ⁷/,₀:4 d) ⁸/«:9 e)»/,₂:7

Aufg. 2.

a) °/»:4 b) ⁴/s: 2 c)°/„:3 d) ⁸⁸/₁₇:6 e) ⁸⁴/₂₆:8

Aufg. 3.

a) 3*/₃:4 b)6V₂:9 c) 2³/«:3 d) 6»/₄:7 e) 6=/«:9

Aufg. 4.

a) 15°/,:3 b)17°/«:6 o)24-/«:5 d) 56*/«:6 e) 30%:9.

Aufg. 6.

Schriftliches Rechnen:

a) «/„ : 32 b) »/„ : 42 c) °°/„ : 52 d) »/«, : 34

Aufg. 6.

a) 38°/« : 45 b) 26°/« : 31 c) 44»/, : 52 d) 19°/,₃ : 22

bb. Der Divisor ist ein Bruch:

⁸/« : 5 = ³/j₀. Soll statt des Divisors 5 der Divisor ‘/« gesetzt werden, so ist dieser Divisor gleich dem 6. Teil des Divisors 5. Je Keiner aber der Divisor ist, desto größer muß der Quotient sein. Wird also der Divisor so verändert, daß er gleich dem 6. Teil ist, so muß der Quotient

4-^-5, s° müssen

6 mal so groß werden. Sind demnach ⁸/«: 5 «

8/4'6/e = nrn

3x6

4x5

gekürzt =

3x3

2x5

Für das praktische Rechnen gilt daher folgende Regel:

Ist der Divisor ein Bruch, so kehrt man ihn um und multipliziert ihn mit dem Dividendus.

Bei der Umkehrung wird aus ⁵/„ der Bruch */₅, aus B/₈ wird s/₆. Ist der Divisor eine gemischte Zahl oder sind beide, Divisor und Dividendus gemischte Zahlen, so hat man sie erst in unechte Brüche zu verwandeln.

1.    Beispiel: -/. : */» -- ³/„ x »/„ = ²⁷/₁₆ = l¹¹/,«.

2.    Beispiel: 15 : «/„ - 15 x •/« -- ¹³⁵/, = 16⁷/₈.

3.    Beispiel: 7⁵/„ : 3«/°.

7⁵/» = ⁶⁸/„ 3⁴/₆ -- *•/,

68 x 5

68

/t : ¹⁹/₅ --

9 x 19

- a40/m --- llee/m

Kopfrechnen:

Aufg. 7.

a) ³/₄:V₂ b) ⁶/₆:²/₃

c)²/₃:³/₄ d) ⁵/₈:²/₃ e) V₇ :⁶/e

Aufg. 8.

a) e/lO • ⁴/s b ) ’/g • ⁶/l2 c)    5 d ) ⁴/9 ' ²/s    6 ) ⁷/l6 • ⁵/6

Aufg. 9.

a) l²/₃:²/₃ b)2»/₂:⁴/, o) 3V₃:⁶/, d) l⁷/«:³/.

Schriftliches Rechnen:

Aufg. 10.

a) ¹³/i₆ :¹⁷/„ b) «/.₄ : ²³/₂₉ c) I8/₂₃: •/» d) ¹³/₂,: «/«

Aufg. 11.

a) 23=/,: 13*/, b) 33¹/»: 16²/, c) 14³/„: 7⁴/„ d) 18⁴/,: 6*/₄

D. Das Rechnen mit Dezimalbrüchen.

1. Allgemeines über clie Enlktebung der Deztmal-

brücbe.

Die Dezimalbrüche sind eine Fortsetzung des dekadischen Zahlensystems unter die Einheit.

In dem dekadischen Zahlensystem bilden 10 Einheiten einer Stufe 1 Einheit der nächst höheren Stufe, und 1 Einheit einer Stufe hat je 10 Einheiten der nächst niederen Stufe. Daraus folgt, daß jede Ziffer nach links das 10 fache derselben in der vorhergehenden Stelle und nach rechts den 10. Teil derselben bedeutet.

In 1111 bedeutet die erste 1 (von rechts gerechnet) den Einer, die zweite den Zehner, die dritte der: Tausender, die vierte den Zehntausender.

Schreibt man rechts von den Einern noch eine 1, also 1111 lt so gilt diese nach dem dekadischen Gesetze den 10. Teil von 1 Einer = ¹/₁₀. Eine 1 rechts hiervon, lllln, gilt den 10. Teil von ¹/₁₀ ----- Vioo; die folgende 1 ---- 1111m den 10. Teil von Vioo = Viooo und so fort.

Die Einerstelle betrachtet man als die Grundstelle und kennzeichnet sie durch ein Komma; sind keine Einer (Ganze) vorhanden, so setzt man eine 0.

Die Stelle bestimmt den Wert der Ziffer.

In der 1. Stelle rechts vom Komma stehen die Zehntel (z),

„    „    Hundertstel (h),

„    „    Tausendstel (t),

„ *„ Zehntausendstel (zl),

„    „    Hunderttausendstel (ht),

„    „    Millionstel (m).

14,738 enthält also 1 Z 4 E 7 z 3 h 8 t 3,0728 „    „ 3 E 0 z 7 h 2 t 8 zt.

0,04

„ 0 E 0 z 4 h.

Da die Dezimalbrüche nur eine Erweiterung des Zahlensystems nach unten sind, so gestaltet sich das Rechnen mit denselben genau so, wie das Rechnen mit ganzen Zahlen, nur ist darauf zu achten, daß im Ergebnis dem Komma die richtige Stelle gegeben wird.

2. Hddition und Subtraktion.

46,30590 18,92306

45,789 kg 0,037 „ 146,405 „ 45,04    „

27,38284

1,1

238,371 kg

0,0398

0,005684

0,034116

Dezimalbrüche werden addiert oder subtrahiert, indem man die gleichen Ordnungseinheiten untereinandersetzt (Komma unter Komma) und sie dann wie ganze Zahlen behandelt.

3. Multiplikation und Division.

a) Mit einer dekadischen Zahl.

I. 489,738

II. 4897,38

In Zahl I bedeuten die Ziffern 4§8Z9E7z3h8t,

In Zahl II 4 T 8 E 9 Z 7 E 3 z 8 h.

Jede Ziffer in Zahl II ist 10 mal so groß als in Zahl I, folglich ist Zahl II10 mal so groß als in Zahl I.

Dies Ergebnis ist dadurch erzielt worden, daß in Zahl 11 das Komma eine Stelle nach rechts gerückt wurde.

Ein Dezimalbruch wird mit 10 multipliziert, wenn man das Komma 1 Stelle nach rechts rückt.

Umgekehrt zeigt sich, daß Zahl I den 10. Teil von Zahl II beträgt, weil jede Ziffer der ersteren 10 mal kleiner ist, als in der letzteren. Das ist eine Folge davon, daß das Komma in Zahl I eine Stelle nach links gerückt ist.

Ein Dezimalbruch wird durch 10 dividiert, wenn man das Komma eine Stelle nach links rückt.

10.0,89 --- 8,9 0,89:10 = 0,089

Bei der Multiplikation und Division mit 100 ist das Komma um 2, bei 1000 um 3, bei 10 000 um 4 Stellen u. s. f. zu rücken.

Regel: Ein Dezimalbruch wird mit einer dekadischen Zahl multipliziert, indem man das Komma um soviel Stellen nach rechts rückt, als die dekadische Zahl Nullen hat.

Ein Dezimalbruch wird durch eine dekadische Zahl dividiert, indem man das Komma um soviel Stellen nach links rückt, als die dekadische Zahl Nullen hat.

Aufg. 1.

Multipliziere 14,056 mit 10, 100, 1000, 10 000, 100 000

Aufg. 2.

Multipliziere 0,07    „ 10, 100, 1000, 10000, 100 000 .

Aufg. 3.

Multipliziere 483,2    „ 10, 100, 1000, 10 000, 100 000.

Aufg. 4.

Teile 4,8 156,07 23,0894 durch 10, 100, 1000, 10 000, 100 000.

b) Mit einer ganzen nicht dekadischen Zahl.

Multiplikation.

7.36 M —    252 M.

7.36 Schck. = 252 Schck.

- 252 r = 25,2 = 252 h = 2,52

7.36 z (3,6)

7.36 h (0,36)

7.36 t (0,036) -- 252 t -- 0,252

7.36 zt (0,0036) = 252 zt -- 0,0252

386.0,0789

57.3,86

Beispiel:

27 02

4734

193 0

6 312

220,02

23 67

30,4554

Ein Dezimalbruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, wenn man die Multiplikation ohne Rücksicht auf das Komma ausführt und vom Resultat soviel Stellen abschneidet, als im Multiplikandus Dezimal st ellen vorhanden sind.

Division.

486,45 M : 15 = 32,43 M 45

64

60

Ein Dezimalbruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man wie bei den ganzen Zahlen bei der höchstenOrdnungseinheit mitderDivision beginnt, von Stufe zu Stufe bis zur letzten Einheit fortschreitet und dasKomma imQuotienten dann setzt, wenn man es im Dividendus überschreitet, d. h. wenn man die Einer geteilt hat.

Geht die Division nicht auf, so verwandelt man den Rest in die nächst niedere Ordnungseinheit und teilt weiter, bis die erforderliche Anzahl ott Dezimalstellen im Quotienten erreicht ist.

97 —

Voelkner, Prall. Rechnen.

Beispiel:

12,56 : 9 -- 1,3955....

in r-co <m

6,45 : 8 = 0,80625

64 z

64 z

50 t

86

48 t

81

20 zt

50

16 zt

45

40 ht 40 ht

50

45

5u.s.f.

Geht die Division nicht auf, so rechnet man bei Münzen, Maßen und Gewichten bis auf so viel Stellen, daß man im Resultat die niedrigste Einheit der Münze, des Maßes oder Gewichtes abgekürzt angeben kann.

Um in diesem Falle ein möglichst genaues Resultat zu bekommen, werden berechnet

bei

zur Bestimmung der

Stellen

abgekürzt

Pf.

cm mm qm qm cdm kg

Die Abkürzung der Dezimalbrüche geschieht in der Weise, daß die niedrigste der beizubehaltenden Stellen unverändert bleibt, wenn die

darauf folgende eine 0, 1, 2, 3, 4, enthält; sie wird um 1 erhöht, wenn die folgende eine 5, 6, 7, 8, 9 enthält.

43,724 M = 43,72 Jf,

8,3728 m = 8,373 m.

c) M i t einem Dezimalbruch.

Multiplikation.

6 . 12    =72

6 . 1,2 = 7,2 0,6 . 1,2 = 0,72

Die beiden ersten Beispiele wiederholen Bekanntes. In dem letzten soll ein Dezimalbmch mit einem Dezimalbruch multipliziert werden. Es ergeben sich int Resultat dieselben Ziffem; da aber in der 3. Aufgabe mit einem zehnmal Leineren Multiplikator multipliziert wird, so muß auch das Resultat zehnmal Heiner werden, das Komma muß eine Stelle weiter nach links gerückt werden als in dem 2. Resultat.

37.4,056

28392

12168 150,072

0,37.4,056

28392

12168 1,50072

Beide Resultate enthalten dieselben Ziffem, nur die Stellung des Kommas und damit der Wert des Produktes ist verschieden. In der

2. Aufgabe soll mit dem 100. Teil des Multiplikators multipliziert werden; das Resultat muß also 100 mal Heiner werden, dämm ist das Komma 2 Stellen nach links gerückt.

Die Zahl der Dezimalstellen im Resultat stimmt mit der Zahl der Stellen in den Faktoren überein. Daraus ergibt sich die Regel:

Dezimalbrüche werdenmiteinander multipliziert,wenn man sie ohneRücksicht auf dasKomma wie ganze Zahlen multipliziert und im Produkt

soviel Stellen von rechts abschneidet, als beide Faktoren Dezimalstellen haben.

Division.

25: 5 = 5 125 : 25 = 5

Aus diesen Beispielen ergibt sich: Der Quotient bleibt unverändert, wenn man Dividendus und Divisor mit derselben Zahl multipliziert. Daher ist 456    : 0,7    = 4560 :    7

3,075 :1,48 = 307,5 :148 0,78 : 0,032 = 780 : 32

Beispiel:

: 6 = 4 : 12 = 4

358,3 : 6,25 35830 : 625 = 57,328

3125

4580

4375

2050

1875

1750

1250

5000

5000

Man dividiert durch einen Dezimalbruch, indem man den Divisor durch Fortstreichen des Kommas zu einer ganzen Zahl macht und das Komma im Dividendus um ebensoviel Stellen nach rechts rückt, als im Divisor Dezimalstellen waren.

Aufa. 5.

Kopfrechnen.

cd

CT'

h-L    o    o    o    o

o

I    o    O    0,0

¹    o    H    M

00    OX

H iO (M ^

oT TjT t-T CO

Aufq. 6.

a) 0,8 : 0,2 0,36 : 0,12 0,84 : 0,14 0,91 : 0,13

b) 4 :

20 :

18 :

12 :

p>p> o o

iO ^ CO CO

c) 2,8 : 14,4 : 28,8 : 17,1 :

rH t-H CO 1—(

Schriftliches Rechnen.

Das Resultat ist unter Berüchichtigung der 4. Dezimalstelle auf 3 Stellen

abzukürzen.

Aufg. 7.

05 -CI 00

CD So

d)    5,34 .    0,685

e)    7,96 .    13,041

f)    13,01 . 125,365

Aufg. 8.

a)    13,074.5,681

b)    26,368.4,04

c)    7,103.8,85

d)    0,358.0,07

e)    0,849.0,039

f)    0,619.0,0036

Aufg. 9

a)    36 : 0,7

b)    : 0,12

c)

: 3,6

d)    3,8 : 0,71

e)    9,3 : 0,47

f)    16,2 : 0,078

Aufg. 10.

a)    35,03 : 0,497

b)    9,6 : 0,3948

c)    13,1 : 0,0298

d)    0,459 : 7,58

e)    0,028 : 43,2

f)    0,048 : 0,093

4. Umwandlung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche.

Die Dezimalzahl ist ein Bruch, dessen Nenner eine dekadische

Zahl ist.

Bei der Umwandlung der gemeinen Brüche in Dezimalbrüche ist der Bruch demnach so zu erweitern, daß der Nenner eine dekadische Zahl wird. Alle Brüche, deren Nenner in einer dekadischen Zahl nicht enthalten sind, lassen sich als Dezimalbruch nicht genau darstellen.

V2 — ⁶/io — 0,5

Vs -- 0,666...

³U — ⁷⁶/ioo - 0,75

V, = 0,428571482

Das Verwandeln der gemeinen Brüche in Dezimalbrüche geschieht, indem man den Zähler durch den Nenner dividiert; da jeder Bruch eine Divisionsaufgabe darstellt.

’/, = 7:8 = 0,875

⁶/„ = 5 : 9 = 0,555....

70

50

60

50

40

50

⁷/e - 0,875

⁶/₉ = 0,555....

Geht bei der Division die Rechnung auf, so entsteht ein eMicher, geht die Rechnung nicht auf, so entsteht ein unendlicher Dezimalbruch. Vs, ³U, V₈ ergeben endliche, aus Va, ³/j, V» entstehen unendliche Dezimalbrüche.

Bei dem Dezimalbruch von ²A> und s/₉ wiederholt sich dieselbe Ziffer, in »/, dieselbe Ziffernreihe 0,42857142857142....

Die Reihe der sich immer wiederholenden Ziffern heißt Periode, ein solcher Dezimalbruch periodischer Dezimalbruch.

Beispiele:

Via = 2 : 13 = 0,1538461

20

70

50

110

60

80

20

°/,2 = 5 : 12 = 0,41666......

50

20

80

80

80

Bei */i* beginnt die Periode unmittelbar nach dem Komma, bei ⁵/12 nicht, es stehen vor der Periode noch andere Ziffern; die ersteren heißen rein periodische, die letzteren unrein periodische Dezimalbrüche.

Aufg. 11

Verwandle

a)    ⁶/sz ⁵/l6/ ⁴/

b)    ⁸/s, ³/„ ⁵/

c)    ⁶/ez ¹¹/i2z ’/

in einen Dezimalbruch.

(endlich)

¹¹/s2z    ⁷/«4 f

Vn, e/i2, ⁷/₃₃; (rein periodisch)

d/22, ¹³/so

(unrein periodisch)

5. Umwandlung der Dezlmalbrücbe in gemeine

Brüche.

a. Endliche Dezimalbrüche.

0,14 — ¹⁴/ioo = ⁷Uo> 0,23 = ²³/ioo»

0,75 -- »/100 = ³U; 0,8 = */,o = ⁴/₆; 0,125 -- ¹²⁵/₁₀₀₀ = iU-

Ein endlicher Dezimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man den dekadischen Nenner unter den Dezimalbruch setzt und den Bruch kürzt, wenn es möglich ist.

b. Rein periodische Dezimalbrüche.

Der zu suchende gemeine Bruch sei x. Dann ist

x = 0,666...

PP

10 x -

— 1 x =

°-u

²/₃.

0,666...

X -- 0,2727....

0,27....

100 x = 27,27 —1 x --

99 x = 27,00

X — ²⁷/9»    — ³/ll

0,2727.... --

0,531531....

1000 x = 531,531 —Ix--    0,531

999 x = 531,000

531

/999 = ⁶⁸/m

0,531531.... = ⁵»/m.

Einen rein periodischen Dezimalbruch verwandelt man in einen gewöhnlichenBruch, indem man unter die Periode soviel 9 als Nenner setzt, als die Periode Stellen hat.

c) Unrein periodische Dezimalbrüche.

Beispiel:

0,35496496 ist in einen gewöhnlichen Bruch zu verwandeln.

x -- 0,35 496 496....

100 000 x = X 100 x =

35 496,496 496...

35,496 496...

99 900 x =    35 461

35461

/99900

x —

Man verwandelt einen unrein periodischen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch, indem man die Vorziffern und ein Periodenglied alsganzeZahl betrachtet, sie um die Vorziffern vermindert, das Gefundene als Zähler nimmt und demNenner soviel Neunen gibt, als die Periode Stellen hat, mit soviel Nullen, als Borziffern vorhanden sind.

Vorziffern 35 Periode 496

Vorziffer und Periode .... 35 496 X Vorziffern 35

35 461 = Zähler.

00

Die Periode hat 3 Stellen, der Nenner ist also zunächst . . 999 dazu, weil die Vorziffer

2 Stellen hat, 2 Nullen . .

99 900 = Nenner.

Aufg. 12.

Verwandle in gewöhnliche' Brüche:

a) 0,333.... 0,2727... 0,4545... 0,8787...

c) 0,42929... 0,7233... 0,328282... 0,75213213....

b) 0,3636... 0,423423... 0,211... 0,688...

6. Umwandlung von s und d in einen Dezimal-bruch von £.

Die unbequeme Stückelung des englischen Münzsystems ist bei manchen Rechnungsarten außerordentlich störend. Es empfiehlt sich daher, in solchen Fällen s und d als einen Dezimalbruch von £ darzustellen. Das Verfahren ist ziemlich einfach.

20 3 = 1 £

1    s = */2o<£ ⁼ 0,05 £

2    8 = 0,10

3 s -- 0,15

Man verwandelt s in einen Dezimalbruch von £, indem man sie mit 0,05 multipliziert.

12 d (1 s) = 0,05 £

CL Q- Q- Q-

4- GJ L-C —

= 0,05 £ : 12 - 0,004166... - 0,004 0,008333... = 0,008 0,0125    =    0,013

0,01666...    =    0,017

= 0,025 £

= 0,020833... = 0,021 £ = 0,025 = 0,029166..

= 0,0333...

= 0,0375 = 0,04166...

= 0,045833

CD 00 <1 05 Ol

O-i O- P- P- P- P- Pi

= 0,029 £

= 0,033 £

= 0,038 £

= 0,042 £

= 0,046 £

Die Dezimalbrüche sind auf Tausendstel abgekürzt. Die Ziffem fürdie Schreibung der d als Dezimalbrüche müssen fest eingeprägt werden, wir wollen sie Pencezahlen nennen.

Man verwandelt d in einen Dezimalbruch von £, indem man sie mit 0,004 multipliziert, von 3 d an wird das Resultat um 0,001, vonOdanum 0,002 erhöht.

17 s 9 d = 0,85 £ + 0,038 „ 0,888 £

4 s 3 d also — 0,2    £

+ 0,013 „

0,213 £

Kürzeres Verfahren: £ 5 .15.6 = wieviel £?

£ 5,775.

Wir beginnen mit der Verwandlung von d und sprechen:

4 x 6 + 1 = 25. 5 wird in die Tausendstelstelle geschrieben, 2 wird gemerkt; 5 x 15 + 2 = 77 für die Zehntel- und Hundertsielstelle.

Schreibe dezimal als £:

Aufg. 1

a) 2 s

10

18

00 CO CD 05

er

14

11 „

CD CO 05 O 5 ^

S oo £ p 5

[> 00 »O (M H

p-

Aufg. 2.

a)

00

05 i-t i> CO

rH tH tH

^ 05 Cf) 05 tO

b) £ 12. 9.6 9.15.8 21. 3.4 6.17.3

3. 7.9

Soll ein Dezimalbruch von £ wieder in s und d verwandelt werden, so ist das Verfahren umgekehrt. Aus den Zehnteln und Hundertsteln werden durch Division mit 5 die s ermittelt. Soll z. B. £ 0,873 in s und d verwandelt werden, so dividieren wir 87 durch 5 und erhalten 17 8. Als Rest bleibt mit der 3. Dezimalstelle 23. Diese Zahl liegt in der Reihe der Pencezahlen zwischen 21 und 25; man nimmt immer die Nächstliegende, in diesem Falle 25. 25 Pencezahlen = 6 d. Also £ 0,873 = 17 s 6 d.

Aufg. 3.

Schreibe als £, s und d:

a) £ 0,058

b) £

OC 05

,05 ,CD ^

Aufg. 4.

a) £ 0,592 0,763 „ 0,988 .. 0,275

b) £ 7,264 „ 13,591 „ 5,785 „ 9,974

II. Die bürgerlichen Rechnungsarten.

A. Die Regeldetri.

1. Einführung in die Regeldetri.

In der Aufgabe: „5 m einer Ware losten 16,50 M. Wieviel kosten 11 m?" find 3 Stücke gegeben, das 4. soll gesucht werden. Eine solche Aufgabe nennt man Regeldetri (regula de tribus numeris — Regel von 3 Zahlen). Sie besteht aus zwei Sätzen, aus dem Bedingungssatz (5 m kosten 16,50 M) und dem Fragesatz (Wieviel kosten 11 in?). Enthält der Bedingungssatz 2 Stücke und der Fragesatz 1 Stück, so ist es eine einfache Regeldetri-Aufgabe. Werden beide Sätze durch 1 Stück erweitert, so entsteht eine zusammengesetzte Regeldetriaufgabe, z. B. 5 Arbeiter verdienen in 18 Tagen ä 10 Stunden 202,50 M. Wieviel verdienen 12 Arbeiter in 15 Tagen ä 9 Stunden?

Es gibt demnach

einfache Regeldetriaufgaben mit 3 gegebenen Stücken und zusammengesetzte Regeldetriaufgabeinmit 5, 7, 9 und mehr gegebenen Stücken.

In beiden Aufgaben war der Wert für eine Ware bezw. für die Arbeitskraft gegeben. Ware und Preis, Arbeitskraft und Lohn stehen aber in demselben Verhältnis zueinander; je mehr Ware, desto höher der Preis; je mehr Arbeit, desto mehr Lohn. Eine solche Rechnungsart nennt man Regeldetri mit geraden Verhältnissen. In der Aufgabe : „Bei 9 Pferden reicht man mit einem Vorrat Hafer 10 Tage. Wie lange reicht man bei 12 Pferden?" gehen wir von der Erkenntnis aus, daß man bei mehr Pferden weniger Tage reicht. Hier gilt also der Satz: je mehr, desto weniger, und diese Aufgaben gehören zur Regeldetri mit umgekehrten Verhältnissen. Auch sie können wieder einfach oder zusammengesetzt sein.

Wir teilen demnach die Regeldetri ein in

a.    einfache Regeldetri (gerades und umgekehrtes Verhältnis),

b.    zusammengesetzte Regeldetri (gerades und umgekehrtes Verhältnis).

Um zu untersuchen, ob die Verhältnisse gerade oder umgekehrte sind, empfiehlt es sich, folgende Schlüsse zu merken:

1.    Je weniger Ware, desto weniger Geld, je weniger Geld, desto weniger Ware.

2.    Je m e h r Ware, desto mehr Geld, je mehr Geld, desto mehr Ware.

3.    Je m e h r Zeit, desto mehr Kosten,

je weniger Zeit, desto weniger Kosten.

4.    Je m e h r Arbeit, desto mehr Arbeiter,

je weniger Arbeit, desw weniger Arbeiter.

5.    Je m e h r Kapital, desto mehr Zinsen,

je weniger Kapital, desto weniger Zinsen.

1.    Je weniger Verzehrer, desto länger reicht der Vorrat, je mehr Verzehrer, desto weniger Zeit reicht der Vorrat.

2.    Je weniger Geld man täglich ausgibt, desto mehr Tage reicht man mit einer Summe,

je m e h r Geld man täglich ausgibt, desto weniger Tage reicht man.

3.    Je weniger Personen, desto mehr kann jede hei der Verteilung einer Summe erhalten,

je mehr Personen, desto weniger kann jeder erhalten.

4.    Je schmaler ein Stoff liegt, desto mehr braucht man an Länge, je breiter er liegt, desto weniger braucht man an Länge.

5.    Je weniger Zeit man zur Verfügung hat, desto mehr Arbeitskräfte braucht man,

je mehr Zeit, desto weniger Arbeitskräfte.

2. einfache Regeldetri.

Bei diesen Aufgaben schließt man

1.    von der Einheit auf eine Vielheit,

2.    von einer Vielheit auf die Einheit,

3.    von einer Vielheit auf eine andere Vielheit.

Tie Aufgaben zu 1. und 2. haben bereits bei der Multiplikation und Division benannter Zahlen ihre Erledigung gefunden. Es soll hier aber noch eine Methode gezeigt werden, die für die 1. Gruppe int praktischen Leben sehr viel Anwendung findet:

die Zerlegungsmethode,

auch Zerfällungsmethode, welsche Praxis, genannt. Soll z. B. von 1 m auf 12,5 m geschlossen werden, so zerlegt man 12,5 m in 10 m und 2,5 in, berechnet den Preis für 10 m, entwickelt daraus den Preis für 2,5 in und sucht durch Addition den Preis für 12,5 m.

1. Beispiel: 1 m Stoff kostet 5,25 M. Wieviel kosten 12,50 m? 10 in — 52,50 M>.

2,5 „ = 13,125 „ (der 4. Teil von 52,50 M.)

12,5 in — 65,625 M — 65,63 M.

2. Beispiel: 1 kg kostet 6,75 M. Wieviel kosten 2²/₃ kg?

2 kg -

„ (der 3. Teil von 13,60 M)

2²/₃ kg — 18,— M-

3. Beispiel: 1 Cwt. kostet £ 2.12.6. Wieviel kosten 7 Cwts. 3 Qrs. 16 ü?

1 Cwt. = £ 2.12.6 = £ 2,625

7 Cwts. = £ 18,375

2 Qrs. = „ 1,312 5 (die Hälfte von 1 Cwt.) 1 Qr. =„ 0,65625

14 U

= „ 0,328125 (die Hälfte von 1 Qr.)

-    „ 0,046 875

Cwts. 7.3.16 = £ 20,918 75

—    „ 20.18.4.

Es kommt bei solchen Aufgaben darauf an, daß man schnell die gegebene Zahl in solche Zahlen zerlegt, mit denen sich bequem rechnen läßt.

Der Ansatz.

Man überlege zunächst: 1. Wonach ist gefragt? 2. Was ist gegeben? Die Aufgabe wird demnach in 2 Sätze zerlegt, den Fragesatz und den Bedingungssatz. Man schreibe den Bedingungssatz so nieder, daß dasjenige Glied, welches dem erfragten Gliede entspricht, am Ende steht; darunter schreibe man den Fragesatz und zwar die entsprechenden Glieder untereinander, das Fragewort an den Schluß. Man nennt die so niedergeschriebene Aufgabe den Ansatz.

Aufgabe: Wieviel kosten 17 kg, wenn 5 kg 21,20 M kosten?

5 kg kosten 21,20 M

17

Aufg. 1.

1 m kostet 13,35 M. Wieviel kosten 65 m?

Aufg. 2.

1 r,

8,65 „

33    ⁹

ft OO „ .

Aufg. 3.

1 kg „    7,45 „

„    62V- kg?

Aufg. 4.

Aufg. 5.

„    16,55 „

„    37>/₂ „ ?

Aufg. 6.

1 t „ 343,50 „

4V, t?

Aufg. 7.

1 hl „    58,30 „

„    55 I?

Aufg. 8.

1 Pud „ 117,35 R°.

6V. Pud?

1 Cwt. „    £ 19.17.6.

„    70 ü?

Regeldetriaufgabeu mit dem Schluß von einer Vielheit auf eine andere Vielheit ermittelt man meist durch den Ansatz.

Ansatz:

Nach M ist gefragt, mit den gegebenen M beginnen wir. 21,20 M werden notiert und darunter ein langer Bruchstrich gemacht. Soviel kosten 5 kg; 1 kg kostet dann den 5. Teil von 21,20 M (jeweniger Ware, desto weniger Geld)

21,20

dann kosten 17 kg 17 mal soviel (je mehr Ware, desto mehr Geld)

21,20 x 17

Nach den Regeln über die Division und die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl schreibt man also die Zahlen, durch die geteilt werden soll, unter den Bmchstrich, die Zahl dagegen, mit welcher zu multiplizieren ist, darüber.

Dieser Bruch ist nun auszurechnen. Die Zahlen, die über dem Bmchstrich stehen, werden multipliziert und das Produkt durch die Zahl unter dem Bruchstrich dividiert.

Ist es möglich, wie in unserem Falle, Zahlen im Zähler (oben) gegen Zahlen im Nenner zu kürzen, so tue man dies vor der Ausrechnung.

4,24

A -- 4,24 M x 17

21,20 x 17

2 968 72,08 M.

Aufg. 9.

Der Arbeitslohn für eine Woche ä 6 Tagen beträgt 28,50 M. Wieviel beträgt er für 19 Tage?

Aufg. 10.

11 Liter 90%iger Spiritus kosten 15,84 A. Wie teuer sind 19 Liter?

Aufg. 11.

Ein Stoff liegt 142 cm breit. Man braucht davon 25 m. Wieviel würde man brauchen, wenn er 75 cm breit wäre?

Aufg. 12.

Eine Serone- (90 kg) Cochenille kostet £ 12.18.10.

Wieviel / s und d kosten 254 kg?

Aufg. 13.

4 Röhren füllen ein Bassin in 3 Stunden.

Wielange brauchen 7 Röhren von derselben Stärke dazu?

Aufg. 14.

Eine Maschine mäht ein Feld in 4 Tagen.

Wieviel Tage brauchen 16 Schnitter dazu, wenn die Maschine 20 Menschen ersetzt?

Aufg. 15

12 Arbeiter vollenden ein Werk in einer Woche. Wieviel Zeit brauchen 7 Arbeiter dazu?

Bei der Lösung der gegebenen Aufgaben ist immer nur der Schluß von einer Vielheit auf die Einheit und wieder von der Einheit auf eine andere Vielheit gemacht worden. Bei einer bestimmten Gruppe von Regeldetriaufgaben sind indessen noch andere Schlüsse nötig.

Beispiel: 3³/₄ 1 kosten 4¹/₂ M. Was kosten 7³/₅ 1?

Hier müssen die gemischten Zahlen 3³/₄, 4x/₂ und 7³/₅ erst in unechte Brüche verwandelt werden:

3³/₄ 1    =    ¹⁵/₄ 1,

4¹/₂ M — ⁹/₂ M, 7³/₅ 1 = ³⁸/₅ >•

Der Ansatz ist also

38

¹⁵/₄ 1 kosten ⁹/₂ M U „    „    ?

Der Gang der Lösung ist folgender: Wir schließet:

von ¹⁵/₄ 1 auf ¹/₄ 1,

lt / 4 rr    tt    1 ttr

n 1    ,,    „    Vs „ UNd

1/    38/

ff / 5 ff ff / 5 ff

Kosten ¹⁵/₄ Liter ®/₂ „I, so kostet l/₄ Liter ®/₂ : 15 --

9

dann kostet 1 Liter 4 x ——-9

dann kostet Vs Liter ^ dann kosten 3S/₅ 38 x

2 . 15'

2.15 5

M,

CD .

. 4.38

2 . 15 . 5

2 . 15.5

gekürzt

9-4-38    3.2.38    228

2-15-5

5.5

^ = 228 : 25 = 9,12

25

30

113

Voelkner, Prakt. Rechnen.

Aufg. 16.

12³/₄ kg einer Ware kosten 48,45 M. Was kosten 6³/₅ kg?

Aufg. 17

9s/₅ kg kosten in Paris 15,04 Frs. Was kosten 2V/₃ kg?

Aufg. 18.

6V₄ Dtz. Kragen kosten 41,25 M.

Wie teuer sind 10²/₃ Dtz.?

Aufg. 19.

3⁷/g ü russ. werden in Petersburg mit 69,44 R° bezahlt.

Was kosten demnach 15³/₄ U? .

Aufg. 20.

Auf 7³/₈ dz betragen die Spesen 78,47 M.

Wieviel auf 3V₂ dz?

Aufg. 21.

Für 3V₂ ha braucht man 44⁴/e kg Samen.

Wieviel braucht man für 15²/₃ ha?

Aufg. 22.

Aus einem Posten Garn webt man 130 m 1% m breiten Stoff. Wieviel könnte man daraus weben, wenn der Stoff nur ⁵/„ m breit werden soll?

Aufg. 23.

Zum Tapezieren einer Wand braucht man 96 m Tapete von ⁵/₆ m Breite.

Wieviel m würde man brauchen, wenn die Tapete s/₄ m breit ist?

Aufg. 24.

8⁴/₄ Mrds kosten in London £ 4.5.3.

Wieviel kosten 24²/₃ Dards?

Beispiel: Wenn man täglich 4,25 M verbraucht, reicht man mit einer Geldsumme 16 Tage. Wie lange kommt man bei einem täglichen Verbrauch von 3,90 M aus?

Bei 4,25 .ft täglichem Verbrauch reicht mau 16 Tage. Bei 3,90 M täglichem Verbrauch reicht man ? Tage? 16.4,25

(Umgekehrtes Verhältnis!)

Man schließt in solchen Aufgaben direkt von 4,25 M auf 1 M und von 1 «ft auf 3,90 M täglichen Verbrauch. Sprich: Man reicht 16 Tage, wenn man täglich 4-,25 «ft ausgibt. Braucht man täglich nur 1 «ft, so reicht man 16.4,25 Tage usw.

Die Ausrechnung eines solchen Bmchstrichs kann auf zweifache Weise geschehen.

1.    Man multipliziert 16.4,25 und teilt durch 3,90,

2.    Man schafft vor der Ausrechnung die Dezimalstellen fort, indem man immer eine Dezimalzahl unter dem Bruchstrich und eine Zahl über den Bmchstrich mit einer solchen dekadischen Zahl (10, 100, 1000 usw.) multipliziert, daß die Dezimalbrüche verschwinden. In unserem Falle multiplizieren wir mit 100. Aus 4,25 wird dann 425, aus 3,90

3,90

85

entsteht 390. Resultat

16.425

= 16.85 = 1360: 78 = 17¹⁷/₃₉ Tage.

78

Bliebe noch eine Dezimalzahl unter dem Bmchstrich übrig, so schaffen wir die Dezimalstelle ebenfalls durch Multiplikation mit einer dekadischen Zahl fort, setzen dann aber auch diese dekadische Zahl über den Bmchstrich. Angenommen in unserem Beispiel stände außer den bekannten Zahlen unten noch 0,755, also

16.4,25 3,90.0,755 '

so würde der eingerichtete Bmchstrich so aussehen:

16.425.1000

390.755

Bleibt über dem Bmchstrich noch eine Dezimalzahl, so wird, nachdem das Komma darin gestrichen ist, die entsprechende dekadische Zahl unter den Bmchstrich gesetzt.

Aufg. 25.

Für 216,30 M erhält man 100 ty°.

Wieviel für 3 516,25 M?

Aufg. 25a.

100 hfl. = 168,65 M.

Wieviel hfl. erhält man für 1 635,50 M?

Aufg. 26.

Ein Küchenfußboden kann mit 540 Wesen belegt werden, von denen jede 0,045 qm Oberfläche hat.

Wieviel Fliesen werden gebraucht, wenn solche mit 0,035 qm Oberfläche verwendet werden?

Aufg. 27.

Bei der Schlußrechnung eines Konkurses betragen die Aktiven (die zur Verteilung gelangende Summe) 6 345,40 M, die Passiven (die Schulden der Firma) 25 685,85 M. A hat eine Forderung von 4 933,50 M.

Wieviel wird er aus der Konkursmasse erhalten?

Aufg. 28.

Für 173,18 R° erhält man 372 Arschin Schafwollstoff.

Wieviel kann man für 243,50 R° erhalten?

3. Zusammengesetzte Regeldetn.

1. Beispiel: 6 Weber weben in 12 Wochen 1173,6 in. Wieviel weben 17 Weber in 9 Wochen?

6 Weber weben in 12 Wochen 1173,6 m 17 Weber weben in 9 Wochen ?

i> dp dp

<xT dp dp ^ dp ts-

1—I    TM

SP

dp

tM

146,7 . 17 102 6 9

249 3,9 m.

Gefragt ist nach der Arbeitsleistung; von der gegebenen Arbeitsleistung (1173,6 m) gehen wir aus. 1173,6 m leisten 6 Weber, ein

1173 6

Weber leistet den 6. Teil davon =    in. 17 Weber schaffen

t..t 1173,6. 17

17 mal soviel = —-¹-

b

einer Woche den 12. Teil =

in. Das leisten sie in 12 Wochen, in

1173 . 17

6 . 12

in: in 9 Wochen 9 mal soviel

1173.17.9

6.12

in.

2. Beispiel: 7 Maurer führen in 9 Tagen ein Mauerwerk von 85 cbm auf. Wieviel Maurer werden gebraucht, wenn 145 cbm in 8 Tagen geleistet werden sollen?

85 cbm leisten in 9 Tagen 7 Maurer,

145 cbm leisten in 8 Tagen ? Maurer?

29

7-145-9

85 - 8

Maurer =

1827

136

-- 13⁵⁹/j3« --- 13 Maurer.

17

Die Lösung ist der vorigen ähnlich; es ist nur zu überlegen, daß Arbeitszeit und Arbeitskraft im umgekehrten Verhältnis zueinander stehen. Der Schluß heißt also: Je weniger Tage, desw mehr Arbeiter und umgekehrt.

Aufg. 29.

7    Arbeiter verdienen in 4 Tagen 91 M.

Wieviel verdienen dann nach dem gleichen Lohnsatz 11 Arbeiter in 9 Tagen?

Aufg. 30.

8    Schuhmacher verfertigen in 3 Wochen 75 Paar Stiefel. Wieviel Schuhmacher müssen beschäftigt werden, wenn der Auftrag übernommen wurde, 2000 Paar Stiefel in Sl/₂ Wochen herzustellen?

Aufg. 31.

27,25 ha Land werden in 10V₂ Tagen mit 5 Pflügen gepflügt. Wieviel ha werden mit 8 Pflügen in 7l/₂ Tagen unter gleichen Voraussetzungen gepflügt?

Aufg. 82.

Aus 70 kg Garn verfertigt man 56 Stück Zeug von je 24 m Länge und 0,7 m Breite.

Wieviel Garn ist erforderlich zu 75 Stück Zeug, wenn jedes Stück 21 m lang und 0,65 m breit werden soll?

Aufg. 33.

Ein Stück Ackerland hat die Form eines Rechtecks; es ist 295 m lang und 124 m breit und wurde für 5 760 M verkauft.

Wie teuer würde das benachbarte Feld mit gleicher Ertragsfähigkeit sein, das ebenfalls die Form eines Rechtecks mit 315 m Länge und 180 m Breite hat?

Aufg. 34.

Für 7 t 250 kg zahlt man für eine Strecke von 150 km 239,25 M Transportkosten.

Wieviel müßte man demnach auf 101650 kg für 135 km rechnen?

Aufg. 35.

Um eine Schreibarbeit zu bewältigen, sind 4 Schreiber 12 Tage ä 9 Stunden beschäftigt.

In wieviel Tagen würden 6 Schreiber bei einer Arbeitszeit von 10 Stunden dasselbe leisten?

Aufg. 36.

24 Gasflammen verzehren in 6 Stunden für 4,32 M Gas. Wieviel Stunden können 16 Flammen für 3,80 M brennen?

Aufg. 37.

Um eine Fläche mit Platten zu belegen, braucht man 486 Platten von 25,5 cm Länge und 16,5 cm Breite.

Wieviel Platten von 24 cm Länge und 14,5 cm Breite würden zur Belegung derselben Fläche notwendig sein?

4. Der Kettensatz.

Die Aufgabe : 6,550 kg kosten 24,85 M. Was kosten 13,500 kg? wird durch folgenden Bruchstrich gelöst:

13,500

13,500    24,85.

6,550

24,85

6,550

? M kosten    13,500 kg,

wenn 6,550 kg    24,85 M kosten.

Denken wir uns den Bmchstrich in der angedeuteten Weise aufrecht gestellt, neben die Zahlen die Benennungen geschrieben, oben links neben den Bmchstrich die Frage ? M gesetzt, so läßt sich dieser Bmchstrich auch lesen:

Bei der Ermittelung des Resultats werden die Zahlen rechts vom Strich miteinander multipliziert und durch die Zahl links vom Strich dividiert.

Eine solche Forin der Lösung nennt man Kettensatz. Sehen wir uns nun den Kettensatz an: Er nennt zuerst die Frage ? M und dann diejenige Größe, für welche der Wert in M gesucht werden soll, sie hat die Benennung kg. Der Satz

? M 1 13,500 kg.

ist das erste Glied der Kette.

Das zweite, hier das letzte Glied

6,550 kg | 24,85 M

beginnt mit der Benennung kg, also mit derselben Benennung, mit welcher das erste Glied schloß. Es endet mit der Bezeichnung, auf welche die Frage gerichtet war.

Die Regeln für die Aufstellung des Kettensatzes sind demnach folgende:

1. Der Kettensatz beginnt mit der Frage und zwar zunächst mit dem Fragewort (wieviel ?) und der ihm zugehörigen Benennung (M), und endet mit der benannten Größe, auf welche die Frage gerichtet ist (13,500 kg).

2. Jedes folgende Kettenglied muß mit derselben Benennung beginnen, mit der das vorige Glied aufhörte.

t* 3. Die letzte Benennung des letzten Gliedes muß dieselbe sein, mit der der Kettensatz anfing.

4.    Wie beim Bruchstrich können die Zahlen rechts gegen diejenigen links vom Strich gekürzt werden.

5.    Gewöhnliche Brüche werden in der Weise fortgeschafft, daß man den Nenner streicht und ihn als Fakwr auf die entgegengesetzte Seite bringt. Gemischte Zahlen werden vorher in unechte Brüche verwandelt.

6.    Bei der Ermittelung des Resultats werden alle Zahlen als Faktoren aufgefaßt. Das Produkt aus den Faktoren rechts wird durch das Produkt aus den Faktoren links dividiert.

Unser Beispiel enthält nur 2 Kettenglieder, weil nur ein Bedingungssatz gegeben war. Sind deren aber mehrere vorhanden — besonders bei Aufgaben mit Umrechnungen von Münzen, Maßen und Gewichten — so entsteht ein mehrgliedriger Kettensatz. Die genannten Regeln sind natürlich auch auf solche Aufgaben anzuwenden.

Beispiel: In Petersburg kostet 1 Pud 8,97 Z>°.

Wieviel kosten ohne Rücksicht auf die Spesen in Berlin 100 kg, wenn 100 Z," = 216,45 M und 1 ü russisch = 409,512 g sind?

? Jli 100 kg 1 kg 1000 g

136,504 409,512 g 40 ü russ. 1 Pud 100

1 U russ.

1 Pud 8,97

216,45 M 72,15

100.8,97.72,15 -- 64 718,55 136,405.4 =    546,016

64 718,55 : 546,016 ---    118,53

100 kg =    118,53 M.

Das 1. Glied endet mit der Benennung kg. In der Aufgabe ist eine weitere Angabe für kg nicht gemacht, wohl aber für g, folglich muß man von kg auf g hinüberleiten, das geschieht durch das 2. Glied: „1 kg = 1000 g". Das 3. Glied schließt mit ü russ. Die Aufgabe gibt

den Preis für Pud an, wir leiten daher durch den Satz „40 U russ. = 1 Pud" auf Pud über.

Soll durch den Kettensatz der Preis für eine Größe, z. B. 1 kg, inkl. % Spesen, berechnet werden, so muß die Frage lauten: „? M mH. Spesen = 1 kg?". Das vorletzte Glied wird dann mit der Benennung ... M ohne Spesen enden, und das letzte Glied hat dann durch den Satz „100 M ohne Spesen = ... M mit Spesen" die Kette zu schließen.

Sind in der Aufgabe die Spesen nicht in Prozenten sondern in anderer Weise z. B. als Gesamtspesen für die erfragte Größe angegeben, so werden diese zu dem Resultat addiert.

Beispiel: Wieviel kosten in Berlin 360 kg, wenn 1 kg in Paris mit 4,43 Frs. bezahlt werden und 15 % Spesen zu rechnen sind? (100 Frs. — 80,55 M.)

360 kg = 147,73 M.

? M mit Spesen 1 kg 100 Frs.

100 M ohne Spesen

360 kg 4,43 Frs.

80,55 M ohne Spesen 115 M mit Spesen

Aufg. 1.

1 Pud Weizen kostet in Odessa 1,17 H°.

Wie teuer wären demnach in Hamburg 1000 kg, wenn 100 I(-° = 216 M und 1 ü russ. = 409,512 g sind?

Aufg. 2.

1000 kg kosten in Hamburg 152,25 M.

Wieviel kostet 1 Pud in Petersburg? 1 ü russ. = 409,512 g, 100 y° = 216,50 M.

Aufg. 3.

1 Barrel Mehl (ein Faß enthaltend 196 engl. Pfund) wird in New-Iork mit $ 3,25 notiert.

Wie hoch stellen sich 50 kg in Berlin? (100 $ = 417,50 M, 1 ü engl. --- 453,6 g).

Aufg. 4.

51 m kosten in Deutschland 230,10 M.

Welchem Preise in Schweden entspricht dies? (100 m --- 168,41 schwedische Ellen, 1 ®r. = 1 M 12x/₂ B>).

Aufg. S.

Amerikanisches Schmalz wird in New-Hork mit 12,75 $ per Cwt. notiert.

Wie teuer sind 100 kg in Berlin? (100 $ = 417,75 M, 1 ü engl. — 0,4536 kg).

Ausg. 6.

Ein Barrique (ein Faß von 228 I) Wein kostet in Bordeaux 484,50 Frs. Wie hoch stellt sich ein I in Berlin, wenn 100 Frs. = 80,95 M sind?

Aufg. 7.

Aus 10 Troy U schlägt man 466»/« Sovereigns.

Wieviel Solotnik wiegt 1 Sovereign? (1 Troy ü = 373,242 g, 1 Solotnik = 4,267 g).

Aufg. 8.

1 kg kostet in Paris 5,45 Frs.

Erst nach der Prozentrechnung zu rechnen!

Wie teuer sind 350 kg in Berlin bei 12 % Spesen? (100 Frs. = 80,75 M).

Aufg. 9.

1 Tschetwert Getreide kostet in Odessa 7,80 P-°. Wie teuer wäre bei 10 % Spesen in London 1 Qr. (1 Qr. = 290,8 1, 1 Tschetwert -- 209,9 1, 1    = 25 d).

B. Die Mschungsrechnung.

Der Kaufmann und der Gewerbetreibende find sehr oft gezwungen, verschiedene Qualitäten einer Ware miteinander zu mischen, teils um aus Waren von geringerer und solchen von feiner Beschaffenheit ein Mittelgut herzustellen, teils um dadurch eine dem Geschmack des Publikums zusagende Ware zu erzielen. (Wein, Kaffee, Tabak, Tee.)

Aufgabe der Mischungsrechnung ist es nun,

1.    den Preis einer aus mehreren Qualitäten hergestellten Ware zu suchen,

2.    die Mengen (Quantitäten) zu ermitteln, die von den einzelnen Sorten zur Mischung verwendet werden sollen.

1. Die frage nach der Qualität

Beispiel: Jemand mischt 40 I Wein ä 2,75 M und 15 1 Wein ä 2,10 M.

Wieviel kostet 1 1 der Mischung?

40 1 ä 2,75 M = 110,— Jli 15 „ ä 2,10 „ = 31,50 „

55 1 Mischung = 141,50 M 1 „ der Mischung -- 141,50 : 55 = 2,572

315

= 2,57 M

400

150

Es ist also der Gesamtpreis jeder einzelnen Sorte zu berechnen, die Sortenmaße und Sortenpreise zu addieren und der Gesamtpreis der Mischung durch das Maß der Mischung zu dividieren.

Aufg. 1.

Es werden 26 I Ol k 75 ^ und 20 I L 90 gemischt. Wie teuer ist ein 1 der Mischung?

Ein Teehändler nnscht 42 kg Tee zu 9,20 M und 36 kg ä 7,50 M. Wie hoch stellt sich 1 kg dieser Mischung?

Aufg. 2.

Aufg. S.

Ein Weinhändler mischt 325 1 ä 0,95 M, 136 1 ä 1,10 M, 275 1 ä 1,50 M und 110 1 ä 1,75 M.

Welches ist der Preis für 1 hl der Mischung?

Aufg. 4.

Ein Getreidehändler mischt 20 dz Hafer ä 12,25 M und 15 dz Gerste ä 14 M.

Was kostet ein dz von diesem Pferdefutter?

Aufg. S.

Ein Importeur mischt 350 kg Zanzibar-Gewürznelken ä 138 M per 50 kg und 560 kg Amboina-Gewürznelken ä 115 M per 50 kg. Welcher Preis wird für 50 kg dieser Mischung ermittelt?

Aufg. 6.

Es werden gemischt 90 kg Kupfer ä 1,95 M mit 45 kg Zink ä 45 Wie teuer ist 1 kg dieser Legierung?

2. Die frage nach der Quantität.

Hierbei soll aus 2 oder mehr Sorten verschiedener Qualität eine bestimmte Mittelsorte Dort bestimmter Güte hergestellt werden, und es ist zu untersuchen,

1.    nach welchem Verhältnis werden die gegebenen Sorten gemischt,

2.    welche Mengen werden von den gegebenen Sorten gebraucht, wenn der Preis und die Menge der Mittelsorte vorher bestimmt sind.

a) Bestimmung des Mischungsverhältnisses:

Beispiel: Ein Kaufniann hat 2 Sorten Kaffee, das kg zu 2,70 M und 2,10 M. Er will eine Mischung herstellen, von welcher das kg 2,30 M kostet. In welchen: Verhältnis muß er die beiden Kafseesorten mischen?

Verkauft er die teurere Sorte zu 2,30 M, so hat er bei jedem verkauften kg einen Verlust von 2,70 — 2,30 = 0,40 M. Diesen Schaden kann er dadurch wieder aufheben, daß er die billigere Sorte zu dem Durchschnittspreise verkauft. Er würde bei jedem kg die Differenz zwischen 2,30 M und 2,10 M, also 0,20 M gewinnen. Will er nun den Verlust von 0,40 M wieder einholen, so muß er soviel mal 1 kg von der billigeren Sorte zum Durchschnittspreise verkaufen, als 0,20 in 0,40 M enthalten sind = 2x. Nimmt er also zu der Mischung 1 kg der besseren Sorte, so muß er 2 kg der geringeren verwenden, er mischt die bessere und die geringere Sorte im Verhältnis wie 1 : 2 (gelesen 1 zu 2).

Preise der Sorten

Preis- i Verhältnis der j Mischungsdifferenzen : Preisdifferenzen i Verhältnis

2-,

I.    Sorte 2,70 M Verlangte

Mittelsorte 2,30 M

II.    Sorte 2,10 M

Die Mischungsmengen verhalten sich also umgekehrt wie die Preisdifferenzen.

0,40 M } 0,20 M

-1

Aufg. 7.

Es soll aus folgenden Sorten eine Durchschnittssorte hergestellt werden; bestimme das Mischungsverhältnis:

II. Sorte:

2,75 M 3,80 „

13,50 „

I. Sorte: ci) 3,50 M

b)    4,65 „

c)    18,35 „

d)    1,95 „

e)    12,80 „

00 H-i.

Durchschnittssorte: 3,20 M

4.10    „

16.10    „

1,80

10,40 „

b. Bestimmung der Mrschungsmenge: Beispiel: Jemand braucht 3,80 hl einer Ware ä 44 M per hl. Er hat 2 Sorten Ware zu 49,50 M und 39,50 M vorrätig. Durch Mengen der Sorten will er die gewünschte Qualität erzielen. Wieviel muß er von jeder Sorte nehmen?

Preis- : Verhältnis der j Mischungsdifferenzen i Preisdifferenzen; menge

Preise der Sorten

I.    Sorte 49,50 M \ \ Mittelsorte 44,— M

II.    Sorte 39,50 M

5,50 M j 4,50 M

11

11

Nimmt er also von der I. Sorte 9 Teile, so muß er von der II. 11 Telle, zusammen 20 Teile, verwenden. Diese 20 Teile sind = 3,80 h I = 380 I. 1 Teil ift dann gleich 380 : 20 = 19 1.

Er verwendet also von der I. Sorte 9 . 19 1 = 171 I,

„    „ II. „    11 - 19    = 209 „

380 1.

Probe:

1,71 hl ä 49,50 M = 84,645 M, 2,09 „ „ 39,50 „ = 82,555 „

3,80 hl d. Mischung = 167,20 M 1 1 = 167,20:380 --    44

1 hl = 100.0,44    = 4 —

Allfg. 8.

Aus 2 Kaffeesorten ä 3,80 M und 3,15 M per kg will jemand 50 kg einer Mittelsorte zum Preise von 3,55 M per kg herstellen. Wieviel kg nimmt er von jeder Sorte?

Aufg. 9.

Ein Tabakhändler hat 2 Sorten Tabak zu 4,10 M und 3,20 M per kg. Er hat 40 kg ä 3,85 M zu liefern und will dazu die beiden Tabafforten verwenden.

Meviel nimmt er von jeder Sorte?

Anfg. 10.

Ein Landmann hat an einen Getreidehändler 38 dz Mutterkorn ä 125 M per dz zu liefern. Er verwendet dazu Hafer ä 140 A und Gerste ä 112 A per dz.

Wie hat er zu mengen?

Ist aus 3 und mehr Sorten eine bestimmte Durchschnittssorte zu mengen, so sind sehr viele Losungen möglich; denn wenn auch ein Mischungsverhältnis gefunden ist, so kann dies wieder dadurch abgeändert werden, daß man von der teureren Sorte weniger, dafür von einer billigeren Sorte mehr verwendet. Ist ein bestimmtes Resultat bei der Mischung von beispielsweise 3 Sorten gewünscht, so muß das Verhältnis oder die Menge von 2 Sorten gegeben sein.

Beispiel: Aus 3 Teesorten ä 8,— 6,— und 5,—'M per kg soll eine Sorte ä 6,50 JA und zwar die beiden teureren Sorten im Verhältnis von 3:2 gemischt werden. Wieviel sind von jeder Sorte zu nehmen, wenn 50 kg gebraucht werden?

Die beiden besseren Sorten sollen im Verhältnis von 3 : 2 gemischt werden, d. h. verwendet man von der I. Sorte 3 kg, so braucht man von der II. 2 kg.

cn> oo

2 „ ,,

.    = 24 M

• = 12 „

5 kg dieser Mischung -- 36 M 5 kg der herzustellenden Sorte sollen nun aber 5.6,50 = 32,50 M kosten, die Mischung aus den Sorten I und II ist also um 3,50 M zu teuer. Dieser Preisunterschied kann dadurch aufgehoben werden, daß man noch die billigere Sorte hinzutut, und zwar verringert sich der Unterschied durch jedes billigere kg um 6,50 — 5,00 M — 1,50 M. Man verwendet demnach soviel kg der III. Sorte, als 1,50 M in 3,50 J£ enthalten sind — 2¹/₃ mal.

Werden also von    der    I.    Sorte    3    kg

und „    „    II.    „    2    „ gebraucht,

so werden „    „    III.    „    2V₃    „

Das Verhältnis der Mengen ist folglich 3:2: 2¹/₃ oder mit 3 multipliziert 9 : 6 : 7 = 22 Teile.

Diese 22 Teile sind = 50 kg, 1 Teil = 2³/u kg.

I. Sorte = 9.2³/₁₁ kg — 20⁵/u kg,

II.    „    = 6 . 2³/lt    „    =    13⁷/ii    „

11 rt

III.    „    - 7. 2³/i,    „    -    15»/

50 kg.

Aufg. 11.

Ein Kaufmann mischt 3 Sorten einer Ware a 1,40 M, 1,20 M und 0,90 M per kg. Er soll eine Mischung ä 1,05 M per kg Herstellen. Tie beiden besseren Sorten mischt er im Verhältnis von 3 : 4. Welche Gewichtsmengen verwendet er zu 90 kg Mischung?

Aufg. 12.

Wieviel muß er nach den vorigen Angaben von der II. und III. Sorte nehmen, wenn von der I. Sorte 20 kg verwendet werden?

C. Gesellschaftsrechnung.

1. Allgemeines.

Bei der Gesellschaftsrechnung kommt es darauf an, eine gegebene Größe in verschiedene Teile zu teilen, die zwar nicht gleich sind, aber doch in einer solchen Beziehung zueinander stehen, daß die Teilung nach einem bestimmten Plane, nach einem gegebenen oder erst zu ermittelnden Verhältnis erfolgen muß.

Im praktischen Leben findet die Gesellschaftsrechnung Anwendung, sobald ein von mehreren Personen gemeinsam erzielter Gewinn nach dem Verhältnis der Beteiligung an einem Unternehmen, an einem Geschäft verteilt werden soll, desgleichen bei gemeinschaftlich zu deckenden Kosten, sowie bei einem von mehreren Beteiligten zu tragenden Verlust.

2. Das Cetlungsverbältms ist in ganzen Zahlen

gegeben.

1. Beispiel. 132 M sollen unter drei Personen im Verhältnis von 5:4:3 verteilt werden. Wieviel erhält jede Person?

Lösung: Die Anteile sollen sich verhalten wie 5:4:3, d. i. wenn 5 M +3 M + 4 M, zusammen 12 M zur Verteilung kommen, so erhält davon die erste Person 5 M, die zweite 3 M, die dritte 4 M.

Da nun nicht 12 M, sondern 132 M, also 11.12 M zur Verteilung kommen, so erhält jede Person ihren Anteil 11 mal.

Demnach bekommt die erste Person 11.5 M = 55 M, die zweite Person 11.3 M = .33 M, die dritte Person 11.4 M =44 M.

Aufg. 1.

Aus dem Walde werden 279 Raummeter Holz nach vier Plätzen abgefahren. Die Mengen sollen auf die Plätze im Verhältnis von 2 : 3 :1: 3 verteilt werden.

Wieviel Holz kommt auf jeden Platz?

Aufg. 2.

56 kg Reis sollen unter drei Hausfrauen im Verhältnis von 5:2:1 verteilt werden.

Wieviel kg erhält jede Hausfrau?

Aufg. 3.

Ein Gewinn von 287,70 M soll im Verhältnis von 3 : 4 verteilt werden.

Wie groß sind die beiden Antelle?

Aufg. 4.

Bei einem Unternehmen erleiden die beteiligten Personen L, M, N und 0 einen Verlust von 3417,85 M. Dieser ist nach dem Verhältnis 5 : 3 : 7 : 2 zu tragen.

Welchen Verlust erleidet jeder der Beteiligten?

Aufg. 5.

Ein Lotterielos bringt einen Gewinn von 1000 M. Es wird von zwei Personen gespielt, deren Einlagen sich wie 3:5 verhalten. Welchen Betrag erhält jeder Spieler, wenn nach dem Berlosungs-plane Vio des Gewinns in Abzug gebracht werden soll?

3. Das Ceüungsverbältms ist in Dezimalbrücben angegeben.

2. Beispiel. Fünf Personen teilen einen Verlust von 7500 M nach dem Verhältnis ihrer Forderungen, die sich verhalten wie 3 : 0,5 :1,25 : 2 : 0,75.

Welchen Verlust erleidet jeder?

Lösung: Das Teilungsverhältnis ist 3    : 0,5 : 1,25 :    2    :

oder ³°»/ioo: ⁵⁰/₁₀₀ :

. 125

/100

200

/l

00

/100

ober 300 : 50 : 125 : 200 : 75

ober gekürzt 12 :    2    :    5

12 + 2+ 5 + 8 + 3 = 30 30 in 7500 = 250 mal

250.12 M = 3000 M ; 250.2 M = 500 M ; 250.5 M = 1250 M; 250.8 M = 2000 M ; 250.3 M = 750 M.

129

Vocllner, Prakt. Rechnen.

Mfg. 6.

Vier Personen teilen einen Gewinn nach dem Verhältnis ihrer

Einlagen.

Teilungsverhältnis: 0,08 : 2,8 : 0,36 : 0,6 0,45:0,8 :1,1 : 0,45 3,5 :4    :1,50:3

2    : 3,25 : 1,75 :1

Wieviel beträgt der Gewinn der einzelnen Personen in jedem Falle? Gewinn:

a)    2304,— M

b)    4648,— M

c)    7284,60 M

d)    968,— M

4. Das Ceilungsverbältms muss gesucht werden.

3. Beispiel. Zu einem Geschäftsbetrieb gibt A 2400 M, B 1800 M, C 3000 M. Die Unternehmet erzielen einen Gewinn von 1152 M. Wieviel beträgt der Gewinn eines jeden?

Lösung: Die Gewinnanteile verhalten sich wie die Einlagen, also wie 2400 :1800 : 3000 oder (durch 600 gekürzt) wie

4 : 3 : 5, d. i. wenn 4 M + 3 M + 5 M = 12 M gewonnen werden, so erhält davon A 4 J(, B 3 M, C 5 M.

Da nun nicht 12 M, sondem 1152 M, also 96 mal 12 M gewonnen werden, so muß A 96 . 4 A = 384 M, B 96.3 M = 288 M und C 96 . 5 M --- 480 M erhalten.

Mfg. 7.

Ein Unternehmen bringt einen Gewinn von 612,75 M.

Wieviel erhält davon A, der 675 M, B, der 750 M, C, der 850 M, D, der 950 M gegeben hat?

Aufg. 8.

A beteiligt sich an einem Geschäft mit 3000 M, B mit 4000 M, C mit 5000 M. Es ergibt sich beim Abschluß ein Verlust von

1080,60 M.

In welcher Weise ist dieser von den Unternehmern zu tragen?

Aufg. 9.

Eine Baustelle ist von zwei Unternehmern für 45 000 M gekauft worden. Sie wird mit 59 400 M weiter verkauft.

Wie verteilt sich der G winn, wenn der eine 20 000 M und der andere 25 000 M zum Ankauf gegeben hatte?

Aufg. 10.

Bei einer Zahlungseinstellung haben die Lieferanten A, B und C zu fordern 2 700 M, 12 250 M und 7850 M. Es sind vorhanden in barem Gelde 2327 M; aus dem Warenlager wurden 4125 M erzielt, die Forderungen, die noch einzutreiben sind, betragen 1300 M. Wieviel erhält jeder der drei Lieferanten von der zu verteilenden Summe?

Aufg. 11.

Die Kosten für die Ausbesserung eines Weges betmgen 330 M. Sie sind von drei Grundbesitzern im Verhältnis der Größe ihrer Güter aufzubringen. A hat 142 ha, B 196 ha, C 102 ha Land. Wieviel betrugen die Kosten für jeden?

Aufg. 12.

Vier Bauern pachten eine Wiese für 1280 M. A schickt 63, B 54, C 57, D 66 Stück Vieh auf die Weide.

Wieviel zahlt jeder?

5. Das Ceüungsverbältms wird durch Differenz-angaben ausgedrückt

4.    Beispiel. Zwei Personen sollen eine Erbschaft von 10 000 M so teilen, daß die eine 2 500 M mehr erhält als die andere. Wieviel bekommt jede?

Lösung: Die eine Person bekommt 2500 M mehr als die andere, demnach bleiben 10 000 M — 2 500 „

werden müssen.

7 500 M, die zu gleichen Teilen geteilt 7 500 M : 2 - 3750 M;

3 750 „ + 2500 M = 6250 M.

Die eine Person erhält also 6 250 M, die andere 3 750 M.

5.    Beispiel. Drei Geschäftsteilnehmer D, E, F teilen einen Gewinn von 18700 M so, daß D 2500 M mehr erhält als E und dieser 1500 M mehr als F. Wieviel erhält jeder?

Lösung: E erhält 1500 M mehr als F

D erhält 2500 „ mehr als E, also 2500 M + 1500 M = 4 000 M mehr als F.

D und E erhalten vorweg daher 1 500 M + 4000 M — 5 500 M.

Werden diese 5 500 M von dem Gesamtgewinn von 18 700 M ab* gezogen, so ergibt sich der Betrag von 13 200 M, welcher an die drei Teilnehmer gleichmäßig zur Berteilung kommt.

F erhält V, von 13 200 M = 4 400 M,

E erhält 4 400 M + 1500 M = 5 900 M,

D erhält 5 900 M + 2 500 M = 8 400 M.

Aufg. 13.

587 M sind unter A, B und C so zu teilen, daß B 120 M und C 167 M mehr bekommt als A.

Wieviel erhält jeder?

Aufg. 14.

Ein Vermögen von 42 500 M soll nach dem Willen des Vaters unter seine drei Kindern so verteilt werden, daß das jüngste Kind 3 500 M mehr erhält als jedes der beiden anderen.

Wieviel erbt jedes Kind?

Aufg. 15.

Zwei Freunde lassen sich gemeinsam 2 dz Äpfel schicken. Der ältere nimmt 30 kg mehr.

Wieviel kg bekommt jeder?

Aufg. 16.

Bei der Gründung eines Geschäfts gibt A 12000 M, B 8 000 Jt, C 4 000 M. Am Schluß des ersten Geschäftsjahres ergibt sich ein Gewinn von 15 % ihrer Einlagen.

Wieviel erhält jeder der Gründer, wenn B schon 300 M und C 450 M im voraus erhielten.

(Erst nach der Prozentrechnung zu lösen!)

6. Das Ceüungsverbältms wird durch Nebenausgaben beeinflusst.

6. Beispiel. A, B und C teilen sich in die 3 600 M betragenden Gerichtskosten so, daß B 2 mal soviel als C und noch 25 M, A das Doppelte des B und noch 25 M gibt. Wieviel zahlt jeder?

Lösung: C gibt 1 Teil,

B gibt 2 Mal soviel, also 2 Teile + 25 M,

A gibt 2 mal (2 Teile + 25 M), also 4 Teile + 50 M und noch 25 M, mithin 4 Teile + 75 M.

3 600 M enthalten also 7 gleiche Teile + 25 M + 75 M oder 7 Teile + 100 M.

7 Teile + 100 M = 3 600 M,

= 3 600 M — 100 M, d. i. 3 500 M = 3 500 M : 7 = 500 M.

7 Teile 1 Teil

C gibt also 500 M,

B gibt 2 . 500 M = 1 000 M + 25 M = 1025 M,

A gibt 2 . 1025 M = 2050 M + 25 M = 2075 M.

Aufg. 17.

Vier Personen sollen 224 440 Jll so teilen, daß B 3 mal soviel erhält als A, D 2 mal soviel als C und dieser 3 mal soviel als B. Wieviel bekommt jeder?

Aufg. 18.

Von 7 500 M Kosten hat A l¹/. mal soviel zu tragen als B und außerdem 90 M, B 3 mal soviel als C und dazu 90 M.

Wieviel muß jeder ausbringen?

7. Das Ceuungsverbältms ist zusammengesetzt.

7. Beispiel. Zu einem Wegebau stellt der Steinsekmeister L 10 Arbeiter auf 8 Tage, der Meister M 8 Arbeiter auf 9 Tage. Sie verdienen zusammen 950 M.

Wieviel erhält jeder Meister?

Lösung: L stellt 10 Arbeiter auf 8 Tg., d. i. so gut, als stellte er 8 . 10 = 80 Arbeiter für 1 Tg.

M stellt 8 Arbeiter auf 9 Tg., d. i. so gut, als stellte er 9.8 Arbeiter = 72 Arbeiter für 1 Tg.

Die Anzahl der Arbeiter verhält sich wie 80 : 72 oder wie 10 : 9. In demselben Verhältnis stehen die Ansprüche der beiden Meister. 10 + 9 = 19; 950 :19 = 50.

L erhält 10.50 M = 500 M; M erhält 9.50 M = 450 M.

Aufg. 19.

Zu einer Spekulation hatte A 1 500 M auf 6 Monate,

hergegeben. Der Gewinn aus dem Unternehmen betrug 4164,55 M. Welche Summe kommt auf jeden bei der Verteilung?

Aufg. 20.

Zur Abtragung eines Hügels hatte die Gemeinde R 18 Arbeiter und 4 Pferde auf 10 Tage, die Gemeinde 8 24 Arbeiter und 6 Pferde auf 12 Tage und die Gemeinde T 30 Arbeiter und 8 Pferde auf 9 Tage gestellt. Den 3 Gemeinden wurde eine Vergütung von insgesamt 1 548 M gewährt.

Wie wurde diese Summe verteilt, wenn die Leistung eines Pferdes gleich 3 Männerleistungen gerechnet wurde?

D. Prozentrechnung.

1. Die 6mfübnmg in die prozentbestmimung.

a) Einleitung.

Will man eine durch Zahlen ausgedrückte Größe messen, so bedient man sich als Maßstab dazu einer andern Zahl. Die zu messende Zahl erscheint dann als Vielfaches oder als Teil der Maßzahl.

Diese Art des Messens findet ihre Anwendung bei der Lchung der Regeldetrimlsgaben, denn hier kommt nur Malnehmen und Teilen in Betracht.

Häufig stehen aber die zu messenden Zahlengrößen in einer bestimmten Abhängigkeit von einer andern Größe. So ist der Gewinn, den ein Kaufmann beim Verkauf einer Ware erzielt, von der Höhe des Einkaufspreises abhängig ; die Zinsen stehen in Beziehung zuni zinstragenden Kapital, die Verpackung zu dem vollen Gewicht einer Sendung und so fort.

Tie Bedeutung dieser Abhängigkeit möge folgendes Beispiel zeigen:

Jemand erzielt mit 200 J{ einen Gewinn von 20 M und mit 800 M einen Gewinn von 40 M. Welche Geldsumme ist besser angelegt?

An und für sich ist zwar der Nutzen von 20 M aus dem ersten Geschäft geringer als der Nutzen von 40 M aus dem zweiten Geschäft, da 20 M nur die Hälfte von 40 M ausmachen. Aber eine solche Vergleichung hat für den Geschäftsmann keinen Wert. Eine richtige Schätzung des Gewinnes ergibt sich erst, wenn seine Abhängigkeit von dem Anlagewert berüchichtigt wird. Dies kann geschehen, indem man den Nutzen als einen bestimmten Teil des Anlagewertes betrachtet. Der Wert desselben ist dann genau bestimmt. Hier sind 20 M Nutzen von 200 M 7,0 des Anlagewertes; 40 M Nutzen von 800 M ergeben aber nur ¹/₂₀ des Anlagewertes. Daraus ist zu ersehen, daß das Geschäft im ersten Falle doppelt so günstig ist als im zweiten.

b) Die Zahl 100 als Beziehung s zahl.

Im öffentlichen Leben kommt aber noch ein anderes Verfabren zur Anwendung, das zu demselben Ergebnis führt. Ta es sich nämlich um einen von einer andern Zahl abhängigen Wert handelt, so kann man demselben auch einen Maßstab gegenüberstellen, der ebenfalls von einer and rn Zahl abhängig ist. Die beiden vorher betrachteten Gewinne können auf eine den beiden Anlagewerten gemeinsame M ttelzahl bezogen und umgerechnet werden. Hierzu eignet sich am be en die Zahl 100. Der Nutzen von 100 M des Anlagewertes dient so als Maßstab des Gesamtnutzens. In dem vorliegenden Beispiel führt die Beziehung auf 100 zu folgendem Ergebnis:

Im ersten Falle erzielt man mit 100 M einen Gewinn von 10 M, im zweiten Falle einen solchen von 5 Jl. Ein Vergleich dieser beiden Zahlen läßt auch bei diesem Verfahren ohne weiteres erkennen, daß das Geschäft im ersten Falle doppelt so günstig ist als im zweiten Falle.

Welches von den beiden beschriebenen Verfahren zur Bestimmung eines abhängigen Wertes anzuwenden ist, hängt im Einzelfalle ganz von den Zahlenverhältnissen in der Aufgabe ab. Wo die abhängige Zahl sofort als ein einfacher Teil des ihr gegenüberstehenden Wertes erkannt wird, ist das erste Verfahren der kürzere Weg. Der so gefundene Wert kann trotzdem auf 100 zurückgeführt werden.

c) Feststehende Ausdrücke bei der Beziehung

auf 100.

Im Geschäftsleben ist es allgemein üblich, abhängige Werte stets auf 100 umzurechnen. Diese Beziehung auf 100 drückt man durch die Bezeichnung pro cent (pro centum) aus. Das bedeutet „für 100". Man schreibt auch „Prozent" oder setzt dafür das Zeichen %. 10 M Nutzen von 100 M sind also 10 %, 5 M aber 5 %. Der Ausdruck Prozent braucht sich nicht immer auf M zu beziehen. 5 % kann ebenso gut heißen: für 100 H 5 als auch für 100 M 5 M. Die Anwendung ist auch nicht bloß auf Geld beschränkt, man kann vielmehr bei den verschiedensten Dingen von Prozenten sprechen.

Neben dem Ausdruck Prozent ist gleich noch die Bezeichnung pro mille (---- °/₀₀) zu erwähnen. Diese findet Anwendung, wenn ein Wert nicht zu 100, sondern zu 1 000 in Beziehung gesetzt wird.

Mit 800 M werden 40 M oder 5 % verdient.

Hier sind 3 Zahlenausdrücke, für welche meist feststehende Bezeichnungen üblich sind. Man kann unterscheiden:

1.    den Grundwert (Gw),

2.    den Prozentwert oder die Prozente (Pzw) und

3.    den Prozentsatz (p).

Der Grundwert ist stets die Zahl, von welcher Prozente berechnet werden, welche also den Prozenten zugrunde liegt, hier 800 M. Der Prozentwert ist die vorn Grundwert abhängige Zahl, hier 40 M. Der Prozentsatz ist die von 100 abhängige Zahl, hier der Gewinn von 100 M, also 5 %.

Als Grundwert gilt der Anlagewert bei der Berechnung von Gewinn oder Verlust, das Kapital bei der Berechnung von Zinsen, das volle oder Bruttogewicht bei Berechnung von Unkosten oder Verpackung, der Rechmmgsbetrag bei Gewährung eines Nachlasses in Form von Rabatt und vieles andere. Die in Betracht kommenden Fälle sind so zahlreich, daß auf eine vollständige Aufzählung verzichtet werden muß. Gewinn und Verlust, Tara, Unkosten und Rabatt sind dann die entsprechenden Prozentwerte.

* In einigen Fällen kann der Grundwert mit den darauf bezüglichen Prozenten zusammengesetzt oder auch um dieselben vermindert sein. Die Aufgabe weist dann einen verm ehrten oder verminder-t e n Grundwert auf. Ist dies nicht der Fall, so hat man einen reinen Grundwert. Zur Erläuterung diene für jeden der drei Fälle ein Beispiel:

1.    Reiner Grundwert: Wieviel beträgt der Rabatt zu 4 % von 540 M ? Hier sind 540 M der reine Grundwert. Man erkennt ihn bei der Untersuchung als solchen aus dem Umstande, daß weder zugezählte noch abgezogene Prozente vorkommen.

2.    B e r m e h r t e r Grundwert: Eine Ware wird mit einem Gewinn von 7l/₂ % für 645 M verkauft. Wie groß ist der Gewinn?

645 M sind zusammengesetzt aus dem reinen Grundwert und dem Prozentwert, d. h. hier aus dem Einkaufspreis und den: Gewinn von 7V₂ %. Sie stellen also einen vermehrten Grundwert dar. Der Ursprungs- oder reine Grundwert beträgt in diesem Falle 600 M.

3. Verminderter Grundwert: Eine Ware wird mit einem Verlust von 6 %für 564 M verkauft. Wie teuer war sie im Einkauf?

564 M ist ein verminderter Grundwert, welcher um den Verlust von 6 % kleiner ist als der reine Grimdwert. Letzterer beträgt hier ebenfalls 600 M.

Die Prozente sind immer von dem reinen Grundwert abhängig. Dies ist bei der Beurteilung einer Aufgabe stets im Auge zu behalten. Mit dem reinen Grundwerte haben wir es in den meisten Fällen überhaupt nur zu tun.

Da bei jeder Aufgabe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz in Betracht kommen, so kann jedes dieser drei Stücke aus den beiden andern berechnet werden.

2. Keiner Grundwert.

a) Die einfache Prczentbcstimmung oder die Berechnung des Prozentsatzes.

Gegeben sind Grundwert imt> Prozentwert.

1. Beispiel: A kaust eine Ware mit 450 M ein und gewinnt 27 M. Wieviel % sind das?

Ausrechnung: Da die Frage den Sinn hat: Wieviel gewinnt er mit 100 M? so ist der vollständige Ansatz

450 M ergeben 27 M Gewinn,

100 „ ? „

Am Bruchstrich erhält man folgende Aufstellung:

2 S 100 - 2?

<3> O

Mündlich:

Von 450 M erhält man 27 M Gewinn,

„    50 „    „    27 : 9 = 3 M,

„ 100 „    „    2x31=6 M = 6 %.

Aus dem Bruchansatz ergibt sich die Formel:

Pzw . 100

oder

lOO facher Pzw

Gw

13

Man kann zur Lösung derartiger Aufgaben auch die Form des Kettensatzes wählen, indem man mit der Frage beginnt und den Bedingungssatz folgen läßt:

wenn von 650 A

von 100 A,

16,250 M Gew.

Die Ausrechnung ist natürlich dieselbe wie am Bmchstrich.

Z. Beispiel: Die vierteljährliche Einnahme eines Geschäftes ist von 8 000 M auf 9000 M gestiegen; um wieviel % also? Hier ist zu beachten, daß der Prozentwert als Unterschied von 8 000 M und 9000 M gegeben ist, er beträgt mithin 1000 .fl. Diese Feststellung ist als Vorarbeit nötig, ehe der Schluß auf 100 ausgeführt werden kann. Nun ergibt sich als Ansatz:

Auf 8 000 M kommen 1000 A,

„ 100 V

A = 100 M : 8 = 12V- M = 12V₂ %■

2. Beispiel: Wieviel % beträgt die Tara, wenn dieselbe bei einem Bruttogewicht von 650 kg mit 16,250 kg in Abzug kommt?

Bruchansatz:    2

1,25

108 - 16,250

650

kg = 2Vs kg = 2¹/a %.

Die Ausrechnung am Bruchstrich führt durch Kürzung von 1 000 und 8 000 auf Vs von 100, nämlich 100 . 1000

8000

Zu diesem Ergebnis kommt man auch, wenn man gleich feststellt, daß die Mehreinnahme von 1000 A V₈ der ursprünglichen Einnahme von 8 000 M beträgt. Demnach muß auf 100 M auch Vs dieser Zahl als Mehreinnahme kommen, = 12V₂ M = 12l/₂ %.

Aus diesem Beispiel läßt sich daher der Satz ableiten:

Sind die Prozente als ein bequemer Teil der Zahl zu erkennen, von welcher sie abhängig sind, so findet man den Prozentsatz durch einfache Divisionder Zahl 100. Als Divisor gilt der Nenner des das Teilverhältnis ausdrückenden Bruches. (Grundwertdivisor.) Es ist

Übungsaufgaben.

I. Kopsrechnen:

Aufg. 1.

Verkauf: 22,— M 30,- „ 40,- „ 47,50 „ 75,- „

Wieviel % sind in folgenden Fällen gewonnen?

Einkauf:    Verkauf:    Einkauf:

94,50

daher wichtig, daß sich jeder Rechner die durch einfache Teilung zu findenden Prozentsätze sicher einprägt. Hier einige Beispiele:

¹/₂ der aanzen Zahl (des Grundwertes) = 50 %

Vs „

V. „

Vs it

In folgenden Aufgaben ist das erkennbare Teilverhältnis auf 10 zu übertragen. Die so gefundenen Prozentsätze sind in obiger Weise zusammenzustellen und einzuprägen.

Einkaufspreis: Gewinn:

= 33¹/s% = 25 % = 20 %.

50 M

40

30 „ 24

20 „

Einkaufspreis: Gewinn:

i)    250 „ k) 180 „

50 M

20 „

16

10

Der Gewinn, also der Prozentwert, ist hier nicht unmittelbar

gegeben, sondern erscheint als Unterschied von Einkaufspreis und Verkaufspreis. Nachdem dieser gesucht ist, wird der Prozentsatz durch einfache Division gefunden.

Beispiel: Einkauf 20 M, Verkauf 25 M. Wieviel % sind gewonnen?

Von 20 M bis 25 M = 5 M ; 5 M sind als V« von 20 M zu erkennen, der Prozentsatz ist also ¹/t von 100 M = 25 Jl= 25 %.

Ebenso, aber ohne vorherige Subtraktion:

Aufg. 2.

Wieviel % betragen die Spesen, wenn kommen

auf a. 16 M Fakturabetrag 4 M Spesen

b.

c.

03 CO

d.

e.

f.

g-

rt» xh cc.

h.

i.

k. 120 „

Aufg. 3.

Wieviel % sind a) 60 von 120, b) 30 von 90, c) 20 von 80, d) 16 von 80, e) 2V₂ von 10, f) 3‘/₂ von 35, g) 4V₂ von 54, h) 3\/₃ von 60. (Das Teilverhältnis ist bei den gemischten Zahlen nach vorhergehendem Einrichten zu suchen.)

Ausg. 4.

a)

«’O.

b)

c)

ii

d)    20 „ =

e)    50 „ =

Hier ist Prozentwert (L-) und Grundwert (M) ungleich benannt, daher ist zunächst Herstellung gleicher Benennung erforderlich. Auf 300 L, kommen 4 H, auf 100 4 ⁴/₃ 4 = ll/₃ %,

I, 180    „

64 = ‘/so des Grundwertes = 3'/₂ %.

Aufg. 5.

a)    5 1 = ?

b)    10 „ = „

c)    12 „ =

d)    25 „ =

e)    40 „ =

— hl

Aufg. 6.

Wieviel % des niedrigen Preises beträgt der Unterschied?

Höchster Preis: Niedrigster Preis:

3,— tf(-1,50 ,. 2,25 „

4.20    „

7.20    „

a)    3,15 M

b)    1,75 „

c)    2,50 „

d)    4,50 „

e)    7,50 „

Aufg. 7.

Wieviel % sind

Aufg. 8.

1000 kg Raffinade kostet im Einkauf 600 M, im Verkauf 650 M. Wieviel % beträgt der Gewinn?

Aufg. 9.

Eine Nähmaschine kostet bei Barzahlung 72 M, auf Abzahlung 96JC. Wieviel % Aufschlag?

Aufg. 10.

Eine Waldfläche ist 25 ha groß; davon werden 3 ha abgeholzt. Wieviel % sind dies?

Aufg. 11.

45 1 Wein werden mit 5 1 Wasser verdünnt.

Wieviel % der Mischung sind Wasser?

Aufg. 12.

Das Los zu einem Lotteriegewinn von 1000 M hat 37,50 M gekostet. Wieviel % des Gewinnes beträgt der Einsatz?

II. Schriftliches Rechnen:

Lösung mit Bruchansatz oder Formel

Pzw.100

Gw

Aufg. 13.

Auf 672 M kommen 10,08 M Skonto. Wieviel %?

Ansatz: Auf 672 Jl kommen 10,08 M,

„ 100 „

Ausrechnung:

0,03

100 - 10,08

M = ³/t M = 1*/» %. ■

CO tv

Ebenso ist der Pwzentsatz bei folgenden Angaben zu berechnen:

Aufg. 14.

a)    Auf 825,60    Frs. kommen 103,20 Frs. Spesen.

184,86 If Zoll.

20,83 hfl. Courtage. 61,91 £ Kommission. 3262,50 Kr. Dividende.

b)    1232,40

c)    3124,50    hfl.

d)    7429,20    £

e)    7250,—    Kr.

Aufg. 15.

Die Kommissionsgebühr für 2580 M beträgt 19,35 M.

Wieviel %?

Aufg. 16.

3 Dtz. Handschuhe kosten im Einkauf 63 M, Gewinn 18 M. Wieviel %?

Aufg. 17.

5 Stck. weißer Lasset kosten int Einkauf 312,50 M. Der Verkaufs, preis beträgt 437,50 M.

Wieviel % Gewinn?

Aufg. 18.

Eine Baustelle hat 25 400 M gekostet und wird für 27 940 M verkauft.

Wieviel % sind gewonnen?

Aufg. 19.

Ein Posten Lederwaren kostet 344,80 Verlust 60,34 fy°. Wieviel % sind das?

Aufg. 20.

Eine Ware, die im Einkauf 1632,50 M gekostet hat, muß mit

117,54 M Verlust verkauft werden.

Wieviel % beträgt der Verlust?

Aufg. 21.

Wieviel % werden verloren, wenn eine Ware für 2 432,40 M eingekauft und für 2 351,32 Jl verkauft wird?

Aufg. 22.

Wieviel % beträgt die Tara: a) br. 350 kg, T. 20 kg; b) br. 810 kg T. 27 kg; c) br. 1000 kg, T. 37V₂ kg?

Aufg. 23.

4 Faß Zucker wiegen brutto 252 kg, die Tara beträgt 21 kg. Wieviel % also?

Aufg. 24.

6 Sack Brasilkaffee haben ein Bruttogewicht von 536 kg Tara 29,480 kg.

Wieviel %?

Aufg. 25.

4 Sack Santos-Kaffee wiegen brutto 243,600 kg, Tara 5,684 kg. Wieviel % betra t dieselbe?

Aufg. 26.

Der Prozentsatz der Tara ist zu bestimmen bei: a) br. 181 kg, Nettog. 165 kg b) br. 270 kg, Nettog. 255 kg; c) br. 375 kg, Nettog. 360 kg.

Aufg. 27.

50 Kisten Reisstärke haben ein Bruttcgewicht von 1 548 kg, netto 1431,9 kg.

Wieviel % beträgt die Tara?

Aufg. 28.

Eine Sendung Kleiderstoffe kostet 640 M; für die Verpackung sind 3,20 M zu bezahlen.

Wieviel % des Nettopreises ist das?

Aufg. 29.

Ein Posten Zucker kostet 480 M, Fracht und Unkosten 15 M. Wieviel % des eigentlichen Preises betragen die Kosten?

Aufg. 30.

Eine Schule wird von 360 Schülern besucht. In: Durchscknitt haben 15 Schüler gefehlt.

Wieviel,^,sind es?

Aufg. 31.

Das jährliche Gehalt eines Beamter: beträgt 2 250 M. Er erhält eine Zulage von 150 M.

Um wieviel % ist das Gehalt erhöht?

Aufg. 32.

Die Einwohnerzahl einer Stadt ist von 16 000 auf 17 440 gestiegen. Wieviel % beträgt der Zuwachs?

Aufg. 33.

Aus einem Schweinebcstande von 135 Tieren starben an der Rotlaufseuche 15.

Wieviel % gingen also ein?

Wie Gewinn, Verlust und Tara in vielen Aufgaben nicht als einzelne Zahl, sondern als Differenz auftritt, so ist der nach Prozenten anzugebende Wert auch noch häufig aus andern Bestimmungen abzu-leiiex. $anbe\t 'e§> sich um Gewinn und Verlust, so kann in der Aufgabe der Einkaufspreis für den ganzen Posten stehen, während der Verkaufspreis nur für die Einheit angegeben ist. Bei der Tara kann es heißen: 1 kg per Sack. In der Auslandsfaktura erscheint der Einkaufspreis in fremder Währung und steht vielleicht in der Aufgabe dem Verkaufspreise in einheimischer Währung gegenüber. Der nach Prozenten zu bestimmende Wert ist in solchen Fällen zwar auch unzweideutig in der Aufgabe enthalten. Doch ist er nicht sofort erkennbar, sondern nur ans andern Bestimmungen zu entnehmen. Ehe die Beziehung auf 100 erfolgen kann, ist daher eine Vorarbeit nötig, die häufig mehr Aufmerksamkeit und Überlegung fordert, als die Prozentbestimmung selbst.

Beispiel: 20 Dtz. Brieftaschen kosten im Einkauf 576 M. Im Verkauf bringt das Stück 3,— M.

Wieviel % beträgt der Gewinn?

a) Vorarbeit: 1 Stück kostet im Verkauf 3 M, 20 Dtz. oder 240 Stück kosten im Verkauf 240 x 3 I = 720 M.

Gewinn 720 M — 576 M --- 144 M.

b) Prozentbestimmung: Der Ansatz heißt:

Auf 576 M kommen 144 M Gewinn,

:!

Lösung am Bruchstrich:

25

100 - 144

M = 25 M - 25 %.

Aufg. 84.

10 Stck. Velvet, zusammen 360 m, kosten im Einkauf 360 M. Das m wird mit 1,50 M verkauft.

Wieviel % Gewinn?

Aufg. 35.

Ein Gastwirt kauft das hl Bier mit 25 M und schenkt ⁴/xo 1 für 15 H aus.

Wieviel % verdient er?

Aufg. 36.

12 Sack Kampinas-Kaffee wiegen Bnitto 1050 kg. Tara per Sack l³/i kg.

Wieviel % beträgt dieselbe?

a)    Vorarbeit: Tara für 1 Sack l³/₄ kg, für 12 Sack l³/₄ kg x 12 = 21 kg.

b)    Prozentbestimmung: Der Ansatz heißt:

Auf 1050 kg kommen 21 kg,

„ 100 „

9

♦ „

Lösung a m Bruch strich:

100 • 21

1050

kg = 2 kg = 2 %.

21

Aufg. 37.

20 Stck. Seide aus Lyon kosten 8 237,50 Frs. (ä 0,80 B,). Die Unkosten betragen 110 M. Verkauf für 8 308 M.

Wieviel % sind gewonnen?

a) Vorarbeit: Die französische Währung ist zuerst in deutsche Wähnmg umzurechnen. Da 1 Fr. --- 0,80 M ist, oder ⁴/s M, so sind 8 237,50 Frs. = 8237,50 M x ⁴/₅.

Voelkner, Prakt. Rechnen.

145

10

V. --- 8237,50 M Vs - 1 647,50 „

⁴/n - 6 590,— Ai.

Einkaufspreis + Kosten = 6 590 .M + 110 Al = 6 700 Ai. Gewinn - 8308 K — 6700 .« - 1 608 M.

b) Prozentbestimmung: 6 700 ergeben 1608 Ai Gewinn, 100 M ergeben 1608 Ai : 67 -- 24 M -- 24 %.

Aufg. 38.

15 Kisten grüner Tee, zusammen 180 kg, kosten per kg 4,50 hfl (ä 1,70 Ai), Steuer 76,50 Ai.

Wieviel % des Einkaufspreises beträgt dieselbe?

Aufg. 39.

Ein Pferdehändler kauft in Ostpreußen 10 Pferde zum Durchschnittspreise von 750 M. Transport und Futterkosten im ganzen 200 Ai. Er verkauft 1 Pferd mit 880 M.

Wieviel % verdient er?

a)    Vorarbeit: Der Gewinn ist die Differenz zwischen Einkaufspreis und Verkaufspreis. Der Verkaufspreis ist für 1 Pferd genau angegeben. Diesem muß der erst zu berechnende Einkaufspreis gegenübergestellt werden.

1 Pferd ohne Unkosten =    750 M

= 7 500 „

= 7 500 + 200 Jl - 7 700 Ai = 7 700 Ai : 10 - 770 Ai.

10 Pferde „

mit

10 „

1 Pferd „

Gewinn 880 Al — 770 M = 110 Ai.

b)    Prozentbestimmung: Der Gewinn von 110 M ist auf den Einkaufspreis von 770 Ai zu beziehen. Man erkennt denselben leicht als einen bequemen Bmchteil von 770 Ai. nämlich als V, davon.

V₇ von 770 Al — 110 Ai

V, „ 100 „ = 14-/7 M -- 14-/7 %■

Aufg. 43.

50 kg Zucker kosten im Einkauf per kg 0,64 M. Der ganze Posten wird mit 35 Ai verlauft.

Wieviel % sind gewonnen?

a) Vorarbeit: Einkaufs- und Verkaufspreis müssen erst gleichgestellt, d. h. auf gleiche Mengen umgerechnet werden.

Der Verkaufspreis für den ganzen Posten -- 35 M.

Der Einkaufspreis für den ganzen Posten =50 x 0,64 M --- 32 JL Der Gewinn beträgt 35 M — 32 M =3 M.

b) Prozentbestimmung:

Auf 32 M

4 (Vs b. 32) „

„ 100 „ (25 x 4)„

int Einkatif kommen 3 M Gewinn 3 .V

■M --- 9Vs M Gew.

- 9V, %.

Die Beziehung auf 1000 ist genau so zu behandeln wie die Prozentbestimmung.

Beispiel: Ein Tischlermeister versichert seine Vorräte mit 33 600 JA und zahlt 25,20 M Prämie.

Wieviel °/₀₀ beträgt dieselbe?

Lösung: Die Fraae hat den Sinn: Wieviel M Prämie kommen auf 1000 M?

„    252,— „ (10 x soviel)

Auf 33 600 M kommen 25,20 M „ 336 000 „

252

M (gekürzt

336

1000 „    „    252,— M : 336 --

durch 84) = V₄ °/oo-

Ebenso:

Aufg. 41.

Eine Seefracht im Werte von 48 600 M erfordert eine Prämie von 60,75 -M.

Wieviel °/₀₀ sind gerechnet?

Aufgaben zur Prozentbestimmung durch ein-fache Division.

Da die Auffassung der Prozente als Bmchteil des Grundwertes die Rechnung bedeutend vereinfacht, so ist dies Verfahren in allen Fällen

anzuwenden, in denen ein bequemes Teilverhältnis sofort in die Augen fällt.

Aufg. 42.

Der jetzige Mietspreis einer Wohnung beträgt 720 M. Früher wurde sie für 600 M vermietet.

Wieviel % beträgt der Aufschlag?

Aufg. 43.

1 kg Fleisch ist von 1,60 M auf 2,— M gestiegen.

Um wieviel % ist es teurer geworden?

Aufg. 44.

B verkauft eine Forderung von 750 M für 500 Jl.

Wieviel % verliert er?

Aufg. 45.

Der Preis für eme Tonne Roggen fällt von 180 M auf 171 JL Um wieviel % ist der Roggen billiger geworden?

Aufg. 46.

Ein Faß Olivenöl wiegt brutto 63 kg; Tara 9 kg.

Wieviel des Bruttogewichts macht die Tara aus?

Aufg. 47.

Ein Klavier hat 950 M gekostet und wird für 760 Ji verkauft. Wieviel % des Einkaufspreises beträgt der Unterschied?

Aufg. 48.

Jemand wog 90 kg. Während einer Krankheit nahm er 15 kg ab. Wieviel % seines ersten Gewichts ist das?

Aufg. 49.

Ein Landwirt hat einen täglichen Milchertrag von 75 I; 5 1 werden im Haushalt verbraucht.

Wieviel % also?

Aufg. 50.

Eine Familie hat in einem Winter 5 500 Preßkohlen gebraucht. Dies waren 500 mehr als im Vorjahre.

Wieviel % beträgt der Mehrverbrauch?

Aufg. 51.

Bon 3 000 M Einkommen hat jemand 200 M erspart.

Wieviel % des Einkommens macht das aus?

b. Die Berechnung des Prozentwertes.

Gegeben sind Grundwert und Prozentsatz.

Im Geschäftsleben sind meist von vornherein bestimmte Prozente angenommen. Aus dem so vorher feststehenden Prozentsatz und dem Grundwert wird dann der Prozentwert berechnet. Dies ist der am häufigsten vorkommende FM aus der ganzen Prozentrechnung.

Bezüglich des Verfahrens ist zu merken, daß bei dezimaler Schreibung des Grundwertes mit großer Leichtigkeit 1% desselben gefunden werden kann. Da nämlich 1 % = ¹/₁₀₀ des Grundwertes ist, so sind bei einer ganzen Zahl in der für 100 bekannten Divisionsweise nur 2 Stellen von rechts nach links durch ein Komma abzuschneiden. Bei schon vorhandenem Komma ist dieses um 2 Stellen nach links zu rücken, die so entstandene Zahl ist dann eben 1 % der gegebenen Zahl. Diese Feststellung von 1% eignet sich auch daher vorzüglich als Ausgangspunkt bei der Berechnung des Prozentwertes, 'Weit der wirklich gegebene Prozentsatz naturgemäß eine kleine Zahl ist und daher auch leicht zerlegt werden kann. Von 1 % ist also ein Übergang zu dem gegebenen Prozentsatz leicht möglich. Es handelt sich dann nur um eine Vervielfältigung des Wertes für 1 % mit dem in bequeme Teile zerlegten gegebenen Prozentsatz. Dabei fällt noch als wesentlich ins Gewicht, daß die dabei erforderliche Multiplikation oder Division gewöhnlich nur mit einer einstelligen Zahl auszuführen ist und so in der kürzesten Form durch einfaches Mederschreiben des Resultats geschehen kann. Sieht man von der Zerlegung ab, so ergibt sich aus dem Zurückgehen auf 1 % und dem nachherigen Vervielfältigen mit dem Prozentsatz ohne weiteres die Formel:

Pzw =

Gw x p

100

1. Beispiel. Wieviel betragen 5 % Rabatt von 136,50 M? Ausrechnung: Grundwert 136,50 M

1 % = 1,3650 M

5 % — 6,825 M {5x1%)

- 6,83 M

2. Beispiel. Das Bruttogewicht einer Ware beträgt 2 425 kg. Tara 3VS %. Wieviel kg sind für die Tara abzuziehen?

Ausrechnung: Grundwert 2 425 kg

1 % = 24,25 kg 3% - 72,75 kg (3x1%)

Vü % --- 12,125 „ (Hälfte von 1 %)

3V, % -- 84,875 kg.

(Die nachträglich zu addierenden oder zu subtrahierenden Gleichungen werden nicht durch Querstriche getrennt.)

3. Beispiel. Einkaufspreis 532,80 K. Gewinn 15³/₄ %. Wieviel K. find gewonnen?

Ausrechnung:

Gmndwert 532,80 K.

1 % = 5,328 K.

10 %    =    53,28    K. (Komma im Grundw.    1 Stelle nach    links)

5%    --    26,64    „    (Hälfte von 10 %)

V. %    =    2,664    „    (Hälfte von 1 % oder der 10. Teil von 5 %)

V« %    --    1.332    „    (Hälfte von V. %)

15³/₄ % = 83,916 K. = 83,92 K.

Das Zurückgehen auf 1 % des Grundwertes bei Beginn der jedesmaligen Ausrechnung möge an vorstehenden Beispielen besondere Beachtung finden.

4. Beispiel. Es sind 20 % Gewinn von einer Einlage im Betrage von 39 000 F zu berechnen.

Ausführung: Da die Bezeichnung 20 % hier den Sinn hat: von 100.Ä Einlage beträgt der Gewinn 20M, so fällt sofort das bequeme Teilverhältnis zwischen 20 und 100 auf. Ohne weitere Rechnung ist erstere Zahl als ¹/₆ von 100 zu erkennen. Da nun 100 M der Grundwert für 20 M Gewinn ist, so beträgt der Gewinn Vs des Grundwertes. Vs von 39 000 M -- 7 800 M.

Der Fall, daß der Prozentsatz ein einfacher Bruchteil von 100 ist, kommt sehr häufig vor. Erkennt man dies bequeme Teilverhältnis zwischen dem Prozentsatz und der Zahl 100 sofort, so wird man bei der Rechnung auch stets den oben gezeigten Vorteil anwenden. Man findet die Prozente dann immer durch einfache Division des gegebenen Grundwertes. Ms Divisor dient der Nenner des Bruches, welcher das Teilverhältnis zwischen dem Prozentsatz und der Zahl 100 angibt. (Grundwertdivisor.)

Die wichtigsten dieser so zu benutzenden Prozentsätze muß daher jeder Rechner fest dem Gedächtnis einprägen. Hier nur einige Beispiele:

50    % = V₃ der ganzen Zahl (des Gmndwertes)

33¹/, % = V

-555^5

Bei folgenden weiteren Prozentsätzen ist das Verhältnis zu 103 zu suchen und zusammen mit den oben schon gegebenen Verhältniffen dem Gedächtnis fest einzuprägen:    1 %; 2 %; 2¹/, %; 3¹/, %; 6V„ %;

6²/₃%; 8V₃%; 12V, %; W, %; m₃ %.

Die oben gefundenen Teilverhältnisse sind auf folgende Aufgabe anzuwenden:

A»sg. 52.

Der Einkaufspreis einer Ware beträgt 1260 M.

Wie hoch ist der Gewinn, wenn derselbe beträgt ¹/₂, Vs, V«, V₆,

¹/₃, ¹/:, ¹/s, ¹/io, ¹ /i2, ¹/i5, ¹ /1er ¹/so, ¹/*v ¹/so, x/io, '/so des Einkaufspreises? (Nach % und M anzugeben.)

5. Beispiel mit englischer Währung: Wieviel £ beträgt der Gewinn zu 7Vs % von £ 25.12.6?

a) Vorarbeit. £ 25.12.6 ergeben in dezimaler Schreibung durch Multtplikation der s mit 5 und der d mit 4 (Zugabe 1 kezw. 2) £ 125,625. Die Ausführung ist nun genau so wie in deutscher Währung, nämlich:

Grundwert 125,625 £ 1 % = 1,25625 £

7    % = 8,793 75 £

Vs % -- 0,628 13 „ 7Vs% -- 9,42188 £

= 9,422    „

--- £ 9.8.5.

In England wird bei Versicherungsprämien und in ähnlichen Fällen der Prozentsatz meist so ausgedrückt, daß angegeben wird, wieviel s und d auf 100 £ zu rechnen sind. Wenn für 2 652 £ eine Prämie von 9 s 8 d auf 100 £ gerechnet werden soll, so wird dies geschrieben: £ 2652 L 9/8. Diese Angabe kann entweder nach der in Deutschland üblichen Ausdrucksweise umgeändert werden, indem die s und d als Bruchteile von £ aufgefaßt werden, oder sie kann nach dem Zer» legungsverfahren gerechnet werden:

6. Beispiel. Wieviel beträgt die Prämie für £ 2652 ä 9/8?

Ausführung: 9 s 8 d = 9²/₃ s. Läßt man diesen Betrag nicht für 100 £, sondern für 1 £ gelten, so ist der später durch 100 zu teilende Wert 2652 x 9V, s oder, was ebensoviel ergibt,

9Vs x 2652 8

1 x 2 652 8

9 x - 23 868 s

3 X --3 X --

884 „ (Vs von 2652)

884 „ (jedes Drittel einzeln)

9V₃ x = 25 636 s Meder auf 100 bezogen ---    256.36 s

In £ verwandelt =    256,36 : 20 oder ¹/,₀ von 256,36 s

25,636

V 20 —

12,818 £

= £ 12.16.4

Häufig wird aber in England der von einer andern Zahl abhängige Wert überhaupt nicht in Prozenten ausgedrückt, sondern es gilt der auf 1 £ kommende Betrag als Maßstab. Soll z. B. eine Gebühr 2 s 6d für 1 £ gelten, so schreibt man 2 s 6 d im £.

Die Berechnung für eine gegebene Summe ist dann nach dem Zerlegungsverfahren in ähnlicher Weise auszuführen, wie bei der bor» stehenden Aufgabe, nur daß die Beziehung auf 100 wegfällt.

Bei der Beziehung auf 1000 unterscheidet sich das Verfahren in keiner Weise von demjenigen bei Berechnung des Prozentwertes. l°/oo = Viooo des Grundwertes wird auf dieselbe leichte Weise gefunden wie 1 %, indem hier 3 Stellen durch Komma abgeschnitten werden oder das schon vorhandene um 3 Stellen nach links gerückt wird. Dies zeigt das

7. Beispiel. Die Feuerversicherungsprämie für eine Summe von 8571 M beträgt ²/₃ °/₀₀. Wieviel ist zu zahlen?

Ausrechnung: Grundwert 8571 M 1 °/oo = 8,571 M ¹U °/oo = 2,857 M (Va von l°/₀₀)

¹/₃°/oo = 2,857 „ (dasselbe wiederholt)

²/₃ %0 = 5,714 M = 5,71    „.

Übungsaufgaben.

I. Kopfrechnen.

Zu rechnen: 3 % = 3 L, von 1 Jl, 3 Centimes von 3 Frs. usw. Aufg. 53.

Wieviel sind 3 % von 14; 17; 22; 65; 78 M ob. Frs. ob. Kr. ob. H°.

Aufg. 54.

Wieviel sind 4 % „    25; 32; 45; 64; 84 „    „    „    „    „    „    „

Aufg. 55.

Wieviel sind 4 % „    12; 18; 21; 46; 92 „    „    „    „    „    „    „

2V₂ % von 2 M == 5 % Don 1 M.

Wenn der einen Bruch enthaltende Prozentsatz mit dem Nenner dieses Bruches multipliziert wird, so ergibt sich ein Prozentsatz ohne Bruch, mit dem man das gewollte Resultat findet, wenn man ihn auf die durch den erwähnten Nenner geteilte Zahl anwendet.

Aufg. 56.

27* % ; 3Vä % ; 47* % von 24; 36; 48; 64 ; 96 M oder Frs, oder Kr. oder

(Ausfühmng: 27₂ % v. 24 M = 5 % v. 12 it =12 x 5 ^ =■ 60 ^) 2»/* % v. 25M -- 5% v. 12K = 12 x 5 L, --- 60 L, +3 ^ = 63 L,

Aufg. 57.

2l/₂ %; 3V₄ %; 47₂ % von 21; 35; 45; 65; 95 K oder Frs. oder Kr. oder

Ausfühmng wie vorstehendes Muster. Der bei der Testung übrig* bleibende Rest der ursprünglichen Zahl wird also dadurch berücksichtigt, daß man für jede überschießende M usw. soviel Pf. usw. zu dem ersten Ergebnis hinzufügt, als der abgerundete Prozentsatz angibt.

Aufg. 58.

37s % von 9; 15; 27; 39; 81 M oder Frs. oder Kr. oder Ausführung: 37s % von 9 M = 10 % von 3 M = 10 L, v. 1 M x 3 = 30

Aufg. 59.

37a % von 10; 17; 29; 41; 82 M oder Frs. oder Kr. oder Is-° Ausfühmng:

37, % von 10 M = 10 % von 3 M = 10 $ öon 1 Ä x 3 --- 30 L,

+ 3    — 33

37s % von 17 M - 10 % von 5 M = 10 L, von 1 M x 5 = 60 ^

4- 7 H - 57 L-.

Mfg. 60.

Wieviel sind a) 37s %, b) 37- %, c) 47- % von 24 M; 35 M; 43 M ; 72 M ; 85 M; 96 M?

Aufg. 61.

60 % von 310 M.

Aufg. 62.

An einem Gewinn von 2100 M ist A mit 40 % beteiligt.

Wieviel erhält er?

Aufg. 63.

Jemand hat ein Einkommen von 2 400 M. Er zahlt als Staatssteuer l'/r % dieses Einkommens.

Wieviel also?

Aufg. 64.

Wieviel Salz enthalten 500 kg einer 12V₂ % Sole?

Aufg. 65.

Jemand hat seine Wohnungseinrichtung mit 6000 M versichert. Die Prämie beträgt */₄ °/₀₀.

Wieviel zahlt er jährlich?

II. Schriftliches Rechnen.

Lösung vorzugsweise nach dem Zerlegungsverfahren oder nach

Gw x p

iöö '

der Formel Pzw ---

Aufg. 66.

Folgende Zahlen sind um a) 6¹/» %, b) SV» %, c) 12¹/» % zu vermehren: 75; 120; 450.

Ausführung: 100 % = 75 1 % - 0,75 6    =    4,50

Vs = 0,25

6Vs % = 4,75; 75 + 4,75 -- 79,75

Aufg. 67.

Folgende Zahlen sind um a) 4V₂, b) 16, c) 24 % 51t vermindern: 600 ; 720; 810.

Aufg. 68.

Wieviel sind:

a)    V₂ % Courtage von 4560 K?

..    836    ., ?

„ 1468 „ ? ..    780    ?

b)    1 Vs % Delcredere „ 5 775 „ ?

c)    V« % Dekort

d)    2    % Skonto

e)    IV* % Skonto

Aufg. 69.

Wieviel sind 18V» % von 9 835,50 hfl.?

Aufg. 70.

Wieviel sind:

a)    2    %    Kommission    v.    2 425,50    M ob.    Frs. ob. Kr. ob. dkl. ob. H°?

<?

b)    ll/s    %    Courtage    „    432,25    „    „    „

„2118,24,, „ ii 975,60 „ „

c)    6¹/,    %    Rabatt

it ii ii n ii it

d)    y/3    %    Zoll

e)    37¹/₂ % Dividende „ 5 462,78 „ „

Aufg. 71.

a)    Bei einer Seeversicherung werben V₄ % als Prämie gezahlt. Wieviel bei einer Versicherungssumme von 12 575 M ?

b)    Der Verkaufspreis einer Ware beträgt 285,50 Frs.

Wie hoch ist der Rabatt von 4V₂ %?

Aufg. 72.

Beim Umwechseln von Halbimperials (ruff. 5-Rubelstück) werben durch Disagio lx/₄ % verloren.

Wieviel bei 3 245 ty°?

Aufg. 73.

1 t kostet im Einkauf 425,25 M. Gewinn 5«/» %.

Wieviel M beträgt derselbe?

Aufg. 74.

Ein Stück Seide wird mit 925,60 Frs. eingekauft und mit 18»/₄ % Gewinn verkauft.

Wieviel Frs. beträgt derselbe?

Aufg. 75.

Wieviel wird an einer Ware gewonnen, die

a)    für 832,60 M eingekauft und mit 7³/₄ % Gewinn verkauft wird?

C) „

d)    „    254,80 £

e)    „ 1275,45 Peset.

f)    „ 2 563,70 hfl.

g)    „ 3 852,40 l

h)    „ 4 635,24 Drach. „

II

it

18¹/

ti

15Vs „

Aufg. 76.

20 Tschetwert kosten im Einkauf 325,80 Gewinn O³/, %. Wieviel Rubel beträgt derselbe?

Aufg. 77.

• 16 Ervts. kosten im Einkauf ^15.6.4. Es werden 8 % gewonnen. Wieviel also?

Aufg. 78.

948 kg Tee kosten int Einkauf 6160 M. Der Posten wird mit 4³/₄ % Verlust verkauft.

Wieviel beträgt der Verlust?

Aufg. 79.

Jemand muß eine Ware, die im Einkauf 7 256,80 M gekostet hat, mit 12 % Verlust verkaufen.

Wie hoch ist der Verlust?

Aufg. 80.

Wieviel wird an einer Ware verloren, die

a)    für 268,70 Al eingekauft und mit 8    % Verlust verkauft wird?

b)    „ 327,25 Frs. „

n n 9²/₃ „

„ „ 10V

2 II

7V, „

14¹/

15»/

2 fl

Aufg. 81.

Wieviel kg beträgt die Tara von

a)    6a/₃ % bei einem Bruttogewicht von 150 kg?

„ 310 „ ? „ 350 „ ? „ 400 „ ? „ 780 „ ?

b)    6»/, „ „

c)    7l/i „ „

d)    12*/« .. „

. ft

e)    3²/₅ „ „

Aufg. 82.

1 Ballen Karolina-Reis wiegt Brutto 112 kg. Die Tara beträgt

ßl/₄ 0/,

Wieviel kg sind^es?

Aufg. 83.

2 Kisten Seife haben ein Bmttogewicht von 225 kg. Tara 6*/₂ %. Wieviel kg?

Aufg. 84.

5    Faß amerikanisches Petroleum haben ein Bruttogewicht von 890 kg. Wieviel kg kommen auf die Tara, wenn dieselbe % beträgt?

Aufg. 85.

Eine Sendung von 20 Sack Kaffee wiegt Bmtto 2 220 kg. Die Tara beträgt 57₂ %.

Wie hoch ist das Nettogewicht? (Brutto X Tara!)

Aufg. 86.

Auf 5 Sack Java-Kaffee mit einem Bmttogewicht von 375 kg kommen &U % Tara.

Welches Nettogewicht hat die Sendung?

Aufg. 87.

Ein Kaufmann erhält 10 Sack Brasil-Kaffee mit einem Bruttogewicht von 820 kg. Die Tara beträgt 7'/₂ %.

Wieviel kg Netto?

Aufg. 88.

Ein Faß Provenceöl wiegt brutto 144 kg, Tara 10 %, Gutgewicht 1 % vom Nettogewicht.

Wieviel kg sind zu bezahlen?

Aufg. 89.

6    Sack Bahia-Kaffee wiegen bmtto 347,5 kg, Tara 2 %, Gutgewicht 1 % vom Bruttogewicht.

Wie hoch ist das Netto-Nettogewicht?

Aufg. 90.

Zu einem Einkaufspreise von3 500 Kr. kommen noch 4'/- % Spesen. Wieviel Kr. betragen dieselben?

Aufg. 91.

Wie hoch sind die Unkosten bei einem Einkaufspreise von 2 832 I(-°, wenn bxU % desselben zu zahlen sind?

Aufg. 92.

Jemand hat bei einer Versichemng schon 834 M eingezahlt. Er tritt zurück und bekommt 66²/₃ % seiner Prämie heraus.

Wieviel M erhält er?

Die schon früher erwähnte Möglichkeit, daß die Hauptwerte in der Aufgabe nicht als einfache Zahlen auftreten, gilt auch vom Grundwert. Ist dieser nicht in einer vollen Zahl gegeben, so muß er erst aus andern Bestimmungen abgeleitet werden. Die dann der Ausrechnung der Prozente vorangehende Arbeit erfordert besondere Aufmerksamkeit des Rechners.

Beispiel:

Aufgabe: 5 Ballen Kammgarnstoff, zusammen 180 m, kosten im Einkauf per m 6,25 M, Spesen 5 % des Einkaufspreises.

Wie hoch ist der Verdienst von 15 % ?

a.    Erklärung: Die Aufgabe enthält nur den Einzelpreis betn Einkauf, sowie die Spesen nach Prozenten. Der für den Verdienst von 15 % in Betracht kommende Grundwert besteht aber aus dem Gesamteinkaufspreise zuzüglich der Spesen. Diese Stücke sind demnach zuerst zu bestimmen.

b.    Vorarbeit: 180 m kosten int Einkauf 180 x 6,25 M = 180 x ²⁵/₄ M = 45 x 25 M = 45 Viertelhundert Jl = 1125 M

4 % Spesen -- ll¹/« x 4 M

........-    45 „

zusammen .... 1170 M

o. Berechnung der 15% Serbien ft: Gw -- 1170,— M

10% =    117,- M

5% =    58,50 „ (Hälfte von 10%)

15% =    175,50 M.

Aufg. 93.

Jemand kauft in Rußland für 4 500 Ifr⁰ (ä 2,20 M) Pelztvaren. Fracht und Unkosten 500 M. Er will 20 % verdienen.

Wieviel M muß der Posten im Verkauf bringen?

Zuweilen gehört das Aufsuchen von Prozenten in einer Aufgabe nur zu bett Nebenrechnungen und bildet so nur einen untergeordneten Teil der ganzen Lösung, während in der Hauptsache etwas anderes bestimmt werden soll. Dies ist unter anderem der Fall, wenn es sich darum handelt, den Gesamtbetrag einer Faktura zu berechnen. Die Aufgabe läßt sich dann immer in mehrere Teilaufgaben zerlegen.

Beispiel:

Aufgabe: 10 Sack Rio-Kaffee wiegen Brutto 600 kg. Tara 1 kg per Sack, Gutgewicht l/₂ % vom Bruttogewicht.

Wie hoch ist die Faktura, wenn 1 kg 1,20 M gerechnet wird und IV- % Kommissionsgebühr zu zahlen ist?

Ausrechnung:

a. 1. Teil: Zuerst ist das für die Bezahlung in Betracht kommende Gewicht festzustellen.

Bruttogewicht 600,— kg

10,— „ = 590,— kg

X Tara 1 kg per Sack

X GutgewichtV-% von 590,— kg .... = Nettogewicht

2,950 „

-- 587,050 kg

b. 2. Teil: Preisberechnung.

: 704,46 M

10,57 „

587,050 kg zu 1,20 M = 587,050 x e/₅ M.....

+ IVa % Kommissionsgebühr (1 % = 7,045 M und »/- % = 3,522 M).............

Fakturabetrag . . 715,03 M In ähnlicher Weise sind Nr. 94 bis 97 zu rechnen.

Aufg. 94.

Ein Faß Butter wiegt brutto 120 kg, Tara 10 %.

Wieviel kostet die Ware, wenn für 50 kg 90 M zu zahlen sind und 2 M Spesen hinzukommen?

Aufg. 95.

Eine Warensendung wiegt netto 4 520 kg. 100 kg kosten 25 M. Wie hoch stellt sich der Preis für die ganze Sendung mit 5 % Unkosten?

Aufg. 96.

20 Ballen Baumwolle wiegen brutto 4 400 kg. Tara 4 %.

a)    Welches ist das Nettogewicht?

b)    Wieviel kostet die Ware, das kg zu 0,35 M ?

Aufg. 97.

Brutto 315 kg Reis, Tara 6²/₃ %■

Welches ist der Fakturabetrag, wenn 1 kg 0,60 M kostet und 3,60 M für Verpackung gerechnet sind?

Aufg. 98.

°/oo Courtage von 5 200 M?

Aufg. 99.

Für eine Seefracht im Werte von 32 400 M beträgt die Prämie

>'/- °/o„.

Wieviel M sind zu zahlen?

Aufg. 100.

Eine Versicherungssumme beträgt a) 5 400 M, b) 12 350 M,

c) 8260 M, d) 5.750 M, e) 9 000 M.

2. bei l*/₂⁰/

Welche Prämie ist zu zahlen: 1. bei lVi “/

3. bei ²/₃°/oo?

Aufg. 101.

Die Versicherungsprämie für 3 250 £ a ¹⁵/₉ ist zu berechnen.

Aufg. 102.

Wieviel beträgt die Provision für 650 £, l/₂ s im £?

Aufg. 103.

Welches ist die Dividende n 2 s im £ von 840 £?

Aufgaben zur Berechnung des Prozent-ivertes durch einfach eDivisiou des Grundwertes.

(Der Prozentsatz ist ein einfacher Bruchteil von 100).

Aufg. 104.

Wieviel sind 5 % Skonto von a)683J(,b) 136,50 M, c) 297,20 M d) 774,40 M, e) 1 137,20 M?

Voelkner, Prakt. Rechnen.

161

11

Aufg. 105.

Wieviel sind 33'/, % Dividende von 54 896,55 Jl?

Aufg. 106.

Der Verkaufspreis ist aus folgenden Angaben durch Division und nachfolgende Subtraktion zu berechnen:

Einkaufspreis

Cg ^ Ol

Einkaufspreis Verlust

e. 60,— Jl

a.    76,80 M 6l/₄

f.    25,— Frs.

g.    47,40 Kr.

h.    47,60 h?

b.    63,50 Frs.    20

c.    60,— Kr.    10

12'/-

25

d.    120 Aufg. 107.

3 Fässer Petroleum wiegen brutto 534 kg. Tie Tara beträgt 12'/,% Wieviel kg also?

Aufg. 108.

7 Fässer Zement haben ein Bruttogewicht von 840 kg. Die Tara beträgt 8¹/, %.

Wieviel kg also?

Aufg. 100.

1 Ballen Tuch: Brutto 130 kg, Tara 6l/₄ %.

Wieviel kg Tara?

Aufg. 110.

Bei einem Einkommen von 3 600 M kommen 20 % auf die Miete. Wie hoch ist dieselbe?

Aufg. 111.

Ein Mietspreis von 1 500 M wird um 6²/, % erhöht.

Wieviel beträgt die neue Miete?

Aufg. 112.

Bei einem Brande wird Ware im Werte von 3 560 M beschädigt. Sie wird verkauft und bringt noch 20 % des ursprünglichen Wertes.

Wieviel ist das?

Anm. 113.

In einem Orte sind als Gemeindeeinkommensteuer 120 % der Staatssteuer zu zahlen.

Wieviel Jl entfallen auf den Staatssteuersatz von 72 Jl?

Aufg. 114.

Für die Vermittelung eines Klavierkaufs zahlt die Fabrik 8l/₃ % Provision.

Wieviel verdient der Vermittler bei einem Preise von 960 M ?

c. Die Berechnung des Grundwertes.

Gegeben sind Prozentsatz und Prozentwert.

Die Frage nach dem Grundwert gewisser Prozente kommt im öffentlichen Leben nicht gar zu häufig vor. Wo die Berechnung in einzelnen Fällen aber doch erforderlich ist, bedient man sich vorzugsweise des Bmchansatzes. Da der Grundwert immer 100 % beträgt, so hat man von dem gegebenen Prozentsatz auszugehen und auf 100 zu schließen oder auch die Schlüsse nach dem Verhältnis des Prozentsatzes zum Prozentwert zu bilden.

1. B e i s p i e l: Die Dividende einer Konkursmasse beträgt 3 444 M Welches war die Forderung, wenn 35 % ausgezahlt werden?

Ansatz I. Schlüsse auf 100 %:

35 % = 3 444 M,

100 „ = ? „

Ansatz II. Schlüsse nach dem Verhältnis des Prozentsatzes zum Prozentwert:

35 M haben einen Grundwert von 100 M,

?

3 444 „    „

20

Ausrechnung I:

100 - 3444

SS

,Ä = 9840 M

20

II:

3444 . 100

SS

Jl --- 9840 M.

In Form des Kettensatzes:

? M    100 %

wenn 35 %    3444 M

= 9840 M

Jede dieser Aufstellungen führt zu der Formel: Gw =

100 x Pzw

2. Beispiel: Von einer Forderung gehen nur 20 % in Höhe von 327,60 M ein.

Wie hoch war dieselbe?

Ausrechnung: 20% bedeuten hier: Von je 100 M der Fordemng gehen 20 M ein. Einem gezahlten Betrage von 20 M entsprechen also 100 M der Fordemng. 20 = V₅ von 100. Die Zahlung beträgt also auch V₅ der ganzen Forderung. Diese war demnach 5 x

327,60 M = 1 638 .11

Hieraus ergibt sich:

Ist der Prozentsatz sofort als ein einfacher Bmchteil von 100ju erkennen, so findet man den Grundwert durch einfache Mul-tiplikation des Prozentwertes. Als Multiplikator gilt der Nenner des Bruches, welcher das Teilungsverhältnis zwischen dem Prozentsatz und der Zahl 100 angibt.

Aufgaben.

Teils durch Bruchansatz, teils durch einfache Multiplikation zu

lösen.

Aufg. 115.

4 %; 5 %; 6-/,    %; 10 %; 12-/- % 20 %; 25 %; 33-/- %

unb 50 % einer Summe betragen 72 M.

Wie heißt die Summe?

Aufg. 116.

75 kg Schokolade sind mit einem Gewinn von 30 M verkauft worden. Verdienst 20 %.

Wieviel kosten die 75 kg im Einkauf?

Aufg. 117.

Die Tara zu 3-/- % beträgt 86,5 kg.

Welches ist das Bmttogewicht?

Aufg. 118.

Bei einem Brande erhält jemand 25 % der versicherten Summe. Jl)M werden 1500 M ausbezahlt.

Wie hoch >var er versichert?

Aufg. 119.

Ein Vermittler hat bei einem Hausverkauf 312,50 M verdient. Er erhielt l¹/i⁰/₀₀ des Kaufpreises.

Wie hoch war derselbe?

Aufg. 120.

Ein Beamter hat eine Pension von 1 500 M. Dies sind 60 % seines früheren Gehaltes.

Me hoch war dasselbe?

Aufg. 121.

Jemand kauft eine gebrauchte Wohnungseinrichtung für 2 440 M. Dies sind 66²/₃ % des ursprünglichen Preises.

Me hoch war derselbe?

Aufg. 122.

Eine Familie befindet sich in Not und verkauft verschiedene Sachen mit einem Verlust von 44 % für 420 M.

Wieviel hatten diese bei der Anschaffung gekostet?

3. Vermehrter oder verminderter Grundwert.

Wie schon in der Einleitung zur Prozentrechnung erwähnt wurde, ist es manchmal erforderlich, aus Zahlen, die eine Zusammensetzung des Grundwertes mit den entsprechenden Prozenten darstellen, die Bestandteile derselben zu berechnen. Es handelt sich um einen vermehrten Grundwert. Die Frage kann sowohl nach dem Prozentwert als auch nach bem reinen Grundwert gestellt sein. Ist jedoch der Prozentwert berechnet, so ist der reine Grundwert leicht durch Subtraktion des Prozentwertes von dem vermehrten Grundwert zu finden. Ein besonderes Verfahren für diesen Fall ist also nicht erforderlich.

Wenn aber eine Zahl in einer Aufgabe einen Wert darstellt, der aus einem andern Werte durch Verminderung um gewisse Prozente entstanden ist, so ist aus dem reinen Grundwert ein verminderter Grundwert geworden. Auch hier kann nachdem Prozentwert und dein reinen Grundwert gefragt werden. Der reine Grundwert wird aber ebenso gut nach Berechnung des Prozentwertes durch Addition des letzteren zum verminderten Grundwert gefunden. Folglich ist auch hier nur die Berechnung des Prozentwertes ins Auge zu fassen.

1. Beispiel: (Vermehrter Grundwert.) Eine Ware wird mit % Gewinn für 785,54 M verkauft.

Wieviel M beträgt der Gewinn?

Erklärung: 785,54 M sind zusammengesetzt aus dem unbekannten Einkaufspreis und dem Gewinn. Da auf diese Weise der Gewinn mit dem Einkaufspreis eine einzige Zahl bildet, so muß dieser Zahl auch eine Zusammensetzung der Zahl 100 mit dem entsprechenden Gewinn gegenübergestellt werden. Der Gewinn für 100 M im Einkauf beträgt 8,50 M. Durch Addition dieser beiden Zahlen erhält man 108,50 M. Nun entsteht der Regel-detriansatz:

108,50 M enthalten 8,50 M Gewinn,

785,54 „

Ausrechnung am Bruchstrich:

36,2    1,70

M -- 1,70 x 36,2 M -- 61,54 M.

785,54 - 8,50

108,50

21,70

2. Beispiel: (Verminderter Grundwert). Das Nettogewicht einer Ware beträgt 723,75 kg. Es sind 3V₂ % Tara abgezogen. Wieviel kg kommen auf die Tara?

Erklärung: 723,75 kg sind aus dem unbekannten Bruttogewicht nach Abzug von 3l/₂ % Tara entstanden. Hier ist also ein verminderter Gmndwert. Diesem muß die um den Prozentsatz verminderte Zahl 100 gegenübergestellt werden. Die Tara für 100 kg Brutto beträgt 3,5 kg (3V₂ % )• Durch Verminderung der 100 kg um3,5 kg erhält man96,5 kg. Nun entsteht derRegel-detriansatz:

Auf 96,5 kg Netto kommen 3,5 kg Tara,

„ 723,75 „    „

?

Ausrechnung:

37,5    0,7

. 723,75

kg - 0,7 x 37,5 kg -- 26,25 kg.

3. Beispiel: (Einfache Division) a) 20 t Weizen werden mit einem Gewinn von 12¹/₃ % für 513 M verkauft.

Wie hoch ist der Gewinn?

Erklärung: 12V₂ % Gewinn gleich ¹/₈ des Einkaufspreises. In 513 M sind also ö/₈ + ¹/₈ des Einkaufspreises enthalten. ⁹/₈ = 513 M; der Gewinn als ¹/₈ des Einkaufspreises, beträgt daher den 9. Teil von 513 M = 57 M.

b) Der vorige Posten wird mit 12¹/₂ % Verlust für 399 M verkauft-

Wie hoch ist der Verlust?

Erklärung: Auch hier sind 12¹/a % Verlust als */₈ des Einkaufspreises aufzufassen. Da 399 M den um den Verlust verminderten Einkaufspreis darstellen, so betragen sie nur ’/„ des Einkaufspreises, '/s des Einkaufspreises = 399 M; der Verlust als V₈ des Einkaufspreises beträgt mithin den 7. Teil von 399 M = 57 M.

Hier zeigt sich, daß der für einen bestimmten Prozentsatz geltende Grundwertdivisor bei vermehrtem Grundwert um 1 vermehrt, bei vermindertem Grundwert um 1 vermindert werden mutz.

Der Rechner fertige hiernach eine Tabelle an, in welcher die bekannten Divisoren für vermehrten oder verminderten Grundwert abgeändert werden.

Aufgaben.

Aufg. 123.

84 m Tuch kosten int Verkauf 630,50M. Es sind 8lt₃% gewonnen. Wieviel M beträgt a) der Gewinn, b) der Einkaufspreis?

Aufg. 124.

Ein Posten Mehl wird mit 12 % Gewinn verkauft und bringt 2 833,60 M.

Wie hoch ist a) der Gewinn, b) der Einkaufspreis?

Aufg. 125.

Jemand muß eine Ware für 7 245 M mit 8 % Verlust verkaufen.

a)    Wieviel beträgt der Verlust?

b)    Wie teuer hat er die Ware eingekauft?

Aufg. 126.

Eine Ware kostet einschließlich 15 % Zoll 4 140 M.

Wieviel M beträgt a) der Zoll, b) die Ware ohne Zoll?

Aufg. 127.

Eine Rechnung beträgt nach Abzug von 3l/₂ % Rabatt noch 1 351 M

a) Wieviel M kommen auf den Rabatt, b) Wie hoch war die Rechnung?

Aufg. 128.

Nach Erlaß von 12¹/₂ % der ursprünglichen Schuldsumme zahlt jemand noch 973 M. — Wie hoch war die Schuld?

Aufg. 129.

Nach einer Lohnerhöhung von 87₃ % zahlt eine Fabrik jetzt wöchentlich 6110 Al aus. — Wieviel vorher?

E. Die Zinsrechnung.

1. 6mftibrung in die Zinsrechnung.

Rentier Schwarz leiht dem Kaufmann Weber zur Vergrößerung des Geschäfts 3 000 M. Für die Benutzung dieses Geldes verpflichtet sich Weber, an Schwarz jährlich 180JC zu zahlen. Schwarz ist dann der Gläubiger oder Kreditor, Weber ist Schuldner oder Debitor.

Die Entschädigung (180 M) nennt man Zins, Zinsen auch Interesse (Zs.). Die Höhe der Zinsen hängt ab

1.    voll der Sicherheit, die der Debitor dem Kreditor bieten form,

2.    von der Höhe des geliehenen Kapitals,

3.    von dem Angebot und der Nachfrage nach Kapital überhaupt,

4.    von der Zeit, auf welche das Kapital geliehen ist.

Der Berechnung der Zinsen wird der Zinsfuß (p) zugrunde gelegt, das ist die Entschädigmlg, die voll je 100 einer Münzart zu leisten ist, daher auch in der Zinsrechnung der Ausdruck Prozellt (%).

Somit ist die Zinsrechnung eine Anwendung der Prozentrechnung ; der Grundwert entspricht dem Kapital, der Prozentsatz dem Zinsfuß und der Prozentwert dell Zinsen. 4 % Zinsen von 240 M bedeutet also : Wieviel Zinsen sind von 240 M zu zahlen, wenn auf 100 M 4 M Zinsen kommen.

Werden die Zinsen zu den festgesetzten Zeitell bem Darlehnsgeber gezahlt, so spricht man von einfachen Zinsen; werden sie indessen dem Kapital zugeschlagen, so daß also die Zinsen wieder zinstragend angelegt werden, dann nennt man solche Zinsen Zinseszinsen; im kaufnlänllischell llnd gewerblichen Leben kommen diese aber wenig vor.

Bei der Prozentrechnung hatten wir 4 Stücke: den Grundwert den Prozentsatz, den Prozentwert und die Zahl 100. Hier kommt zu den entsprechenden Stücken (Kapital, Zinsfuß, Zinsen und 100) noch ein fünftes, die Zeit, hinzu. Die Zinsrechnung stellt demnach 4 Fragen :

1.    Die Frage nach den Zinsen, 3. die Frage nach dem Kapital,

2.    die Frage nach dem Zinsfuß, 4. die Frage nach der Zeit.

2 Berechnung der Zinsen.

a. Zinsen nach Jahren.

1 A heißt der hundertste Teil des Grundwertes,

1 % Zinsen sind demnach der 100. Teil des Kapitals.

300 L, = 3,— M, 475 „ -- 4,75 „

1 % Zinsen von 300 M =

1%

4%    „

3 % n

475 „ =

„ 475 „ =    x 4,75 M = 19,— „

„ 315 „ =    x 3,15 „ - 9,45

In allen Fällen hat es sich hier um die Zinsen auf 1 Jahr gehandelt. Ist ein anderer Zeitraum angegeben, so muß von einem Jahr aus iveiter geschlossen werden.

1. Beispiel: Wieviel Zinsen bringen 3 545,50 M ü 3'/, % in 3V₄ Jahr?

Nach der Zerlegungsmethode.

1    % Don 3 545,50 M auf 1 Jahr = 35,455 M

(Dte Sälste . von 1%).

(Der 4. Teil ^L.oon den jährlichen Zinsen)

VU% „    3    545,50    „    „    V₄    „    -    31,0231

3V* % von 3 545,50 M auf 3V₄ Jahre = 408,30 M Nach dem Ansatz.

100 M    bringen    in 1    Jahre    3,50    M Zinsen

3545,50 „    „    „ 3V₄    „    ?

- 403,30 M

3,50.3545,50.13

100.4

b. Zinsen nach Monaten oder Jahren und Monaten.

Sind Zinsen für Monate zu berechnen, so muß von den jährlichen Zinsen auf monatliche geschlossen werden.

2. Beispiel. Wieviel Zinsen bringen 765,65 „ft L 4¹/« % in 10 Monaten?

Nach der Zerlegungsmethode.

1    % von 765,65 M auf 1 Jahr = 7,6565 M

4 % von 765,65 M auf 1 Jahr = 30,6260 M V₄% „ 765,65    „ 1 „ = 1,9141 „

4l/< % von 765,65 M auf 1 Jahr = 32,5401 M

Jon. --- 16,27005 M *a|in »    == 10,8467    ,.

4l/₄ % von 675,65 „ft auf

4V₄% „ 765,65 „ „ 4¹/₄ % von 765,65 M auf 10 Mon. - 27,11675 „ft

-- 27,12 M

Nach dem Ansatz.

100,— M bringen in 12 Monaten 4,25 M Zinsen 765,65 „

„ 10

4,25 . 765,65 . 10

100 . 12

= 27,12 M

3. Beispiel. Wieviel Zinsen bringen 744,50 M ä 5V₂ % in 5 Jahren 4 Monaten?

=    7,445 M

Nach der Zerlegungsmethode. 1    % von 744,50 M in 1 Jahr

= 37,225 M =    3,7225 „

= 40,9475 M

= 204,7375 M = 13,6492 „

5    % von 744,50 M in 1 Jahr

V₂ % „ 744,50 „ „ 1 „

5¹/₂ % von 744,50 „ft in 1 Jahr 5V₂ % von 744,50 M in 5 Jahr. 5¹/₂ % „ 744,50 „ „ 4 Mon.

5¹/₂ % von 744,50 M in 5 Jahr. 4 Mon. = 218,3867 M

™ 218,39 F.

Nach dem Ansatz.

100 Ji bringen in 1 Jahr 744,50 „

5,50 M Zinsen

„ 5 Jahr. 4 Mon. ?    „    „

(5 Jahre 4 Monate — 64 Monate)

16

5,50.744,50.64

100 . 12

= 218,39 M

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Cs

JO

-g

co

.5

Schriftliches Rechnen.

Aufg. 2.

Wieviel Zinsen bringen 1354,75 .Ä ä 6 % in 9 Jahren?

Aufg. 3.

3 468,70 M in 4 Jahren 5 5% wieviel Zinsen?

Aufg. 4.

7 950,— M in 6 Jahren 5 3V₂ % wieviel Zinsen?

Aufg. 5.

1 891,30 M in 3 Jahren ä 4Va % wieviel Zinsen?

Aufg. 6.

3 546,75 M in 5 Mon. ä 3VS % wieviel Zinsen?

Aufg. 7.

6 541,30 M in 7 Mon. ä 4V₃ % wieviel Zinsen?

Aufg. 8.

3 684,50 M in 3V₂ Ihr. ä 5¹/, % wieviel Zinsen?

Aufg. 9.

559,80 M in 5 Ihr. 7 Mvn. ä 4²/₃ % wieviel Zinsen?

¹

/io —

Aufg. 10.

1 579,50 .« in 4 Ihr. 11 Mon. ä 3*/» % wieviel Zinsen?

c. Zinsen nach Tagen.

Für den Geschäftsverkehr kommt fast ausschließlich die Frage nach Zinsen für Tage in Betracht.

Bei der Berechnung der Zeit wird in Deutschland — ebenso in Rußland und Österreich — das Jahr mit 360, der Monat mit 30 Tagen angenommen.

Das Kapital wird auf ganze M (Zch K.) abgerundet; unter 50 H (Kop., Heller) fallen dabei fort, 50 D, und darüber werden zil einer Mark erhöht.

551.49    M werden also auf 551 M gekürzt,

551.50    oder 551,75 M auf 552 M erhöht.

In der Aufgabe:

Wieviel Zinsen ä 5 % bringen 551,49 M vom 17. August bis

3. Dezember?

berechnet man zunächst die Tage.

Vom 17. August bis 3. Dezember sind 106 Tage.

13 Tage im August,

3    „    „ Dezember, dazu

90    „ für die Monate Sept., Okt. und Nov.

106 Tage

Das Kapital 551,49 M wird auf 551 M abgermldet. Nach der gewöhnlichen Zinsrechnung ist der Ansatz

„ 106 „ ? „

100 M bringen in 360 Tg. 5 M Zinsen 551 „

5.551 . 106

100 . 360

Bei der Ausrechnung multiplizieren wir nun die Zahlen für Kapital (K) und Tage (551 x 106). Das Produkt nennt man Z i n s z a h l oder No mb re (58 406).

Statt nun diese Zinszahl mit 5 zu multiplizieren und dann durch 36 000 zu dividieren, kürzen wir 5 gegen 36 000 = 7 200 und brauchen also nur die Zinszahl (58 406) durch den Divisor 7 200 zu teilen.

Diese Zahl 7 200 nennt inan Zinsdivisor. Natürlich gibt es nur für solche Zinsfüße (p) Zinsdivisoren, die ohne Rest in 36 000 enthalten sind, und man kann mit den unten gegebenen Zinsdivisoren nur rechnen, wenn das Jahr zu 360 Tagen angenommen wird.

Die Zinszahl (Zz oder #) ist das Produkt aus

K x Tg.

Der Zinsdivisor (Zd) ist der Quotient aus 36 000 : p.

Die Zinsen (Zs) sind = Zz

Zd.

Zz = 38 406, Zd - 7 200, Zs -- 58 406 : 7 200 = 8,11 M.

Gekürzte Zinszahl, gekürzter Zinsdivisor.

Noch praktischer ist die Zinsberechnung, wenn man den Zinsdivisor, der immer ein Vielfaches von 100 ist, durch 100 kürzt; dann muß man natürlich auch die Zinszahl durch 100 teilen. Den bei der Zinszahl entstehenden Dezimalbruch streicht man, wenn er weniger als 0,50 beträgt, man erhöht die Einerstelle um 1, wenn im Dezimalbruch 0,50 oder mehr stehen. Aus der Zz 58 406 wird 584, aus dem Zd 7 200 wird 72. Zs = 684 : 72 = 8,11 JL?

Zinsdivisoren.

Zd für 1    %    ist    36    000,    gekürzter    Zd = 360

,,    „    1V₄%    „    28 800,

„    „    IV, %    „    27 000,

it    n    l¹/2 %    ii    24 000,

„    „    l²/,%    „    21600,

ui, 2    %    „    18000,

„    „    2l/₄ %    ii    16 000,

„    „    2V₅%    „    15 000,

„    „ 2¹/₂ %    „    14 400,

„    2³/,%    „    13 500,

,,    3    %    „    12 000,

„    3*/,%    „    10800,

„    3³/, %    „    10 000,

„    „    3V₄%    „    9 600,

„    „    4 %    „    9 000,

„    „    4Va%    „    8 000,

„    „    5 %    „    7 200,

„    „    6 %    „    6 000,

„    „    6»/,%    „    5 400,

„ - 288 „ = 270 « = 240 „ -- 216 „ = 180 n = 160 n = 150

100

„ « 144 „ = 135 „ = 120 „ - 108

„ = 96 ii — 90 „ = 80 „ = 72

n =    60

„ = 54

-- 207

Beispiel: 738,85 Kr. ä 3³/₄ bringen in 28 Tg. wieviel Zinsen? 739 . 28

100

Zd ä 3³/₄ % = 96 Zs - 207 : 96 = 2,16 Kr.

Aufg. 11.

a)    Wieviel Zinsen bringen 1452,85 M ä 3    ^ in 76 Tg.?

b)    „

c)

d)

e)

g)

h) „

Aufg. 12.

Wieviel Zinsen bringen

a)    438,90    M    k    5 %    vom 15.    Jan.    bis    24.    März?

b)    6 073,40    „    „    6Vs%    „    24.    Febr.    „    5.    Juni?

c)    469,85    Kr.    „    3%    „    19.    Aug.    „    31.    Okt.    ?

d)    5 807,45    „    4%    „    23.    März    „    7.    Juli    ?

Hat der Zinsfuß keinen Zinsdivisor, wie z. B. 5J/₂ %, so wendet man die Zerlegungsmethode an.

Beispiel: Wieviel Zinsen ä 5l/₂ % bringen 3 570,65 M vom 2. Januar bis 1. April?

Zz =

= 3178

Vom 2. Januar bis 1. April sind 89 Tage. 3571 x 89

100

Zd ä 5    % = 72

= 44,139 M

Zs ä 5    % = 3178 : 72

„ „ V. % (b. 10. Teil v. 5%) = 4,4139 „

= 48,5529 M = 48,55    „

Bei der Berechnung der Tage ist noch folgendes zu merken:

Auch der Monat Febmar wird zu 30 Tagen gerechnet, wenn der Endtermin hinter dem letzten Februar liegt.

Vom 15. Febmar bis 3. März = 15+3 Tg.

„ 28.

„    29.

Ist indessen der E n d t e r m i n der letzte Februar, so zählt man für diesen Monat nur 28. resp. 29 Tage.

Vom 3. Januar bis 28 Febmar = 27 + 28 Tg.

= 3+29 „

Ist der Endtermin der 31. Januar, März, Mai, Juli usw., so sind oie Beträge zwar erst am 31. d. Mts. zu zahlen, der Monat ist aber mit 30 Tagen in Anrechnung zu bringen.

Zs ä 5¹/s %

..    27.    „

„ 10. „ — 2 + 10 „

„    5. April -- 1 + 5 + 30 Tg.

„ 29.

Man bedient sich in den Bureaus auch folgender Tabellen I. Tabelle für die Berechnung der Zinstage. Der Monat zu 30 Tagen.

p p 0° <3    Datum

Jan

D- 00 CM CM

05 o o

(M CO CO

Febr

März

IP-tH

Mai

Juni

Juli

Aug.

Sept.

Oft.

Nov.

OS o

xh iO

i—I CM CO xh iQ iO vO iO vO O

Cn üi crt 00 <] 05

05 OX O CD

T—*    lr^ y~^    T—*    -r-^ r-H    i—I    tH r—I    i—I    rH tH tH i-H t-H t-H    t—i    -H    i—t    i—(    i—I    r-H r-H rH i-H i-H tH

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHr-I t-H t-H t-H t-H t-H t—( t-H i—I t-H

ÄAUAK 8 LAZSSZZZSLLZZZ^AÄÄ^

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CD l>- 00

tH i—I i—l 1—t 1—1 1—I

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<]

241

DO DO

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

S^ro^OiOx^üicO^OCDOO^ScfrOx^SobOH^OCD'OO^iaiOix^aoCOHA

301

302

303

304

305

306

307

308

gSlilllSllglllSllEllS1888i8g|gS ®»

Datnm

II. Tabelle für die Berechnung der Ziustage. Die Monate kalendermäßig.

Jan.

Febr.

März

April

Mai

nmß

Juli

Aug

Sept

Oft.

Nov.

Dez.

CDOO<ICOi^WtOM

(MCOx^iOCDt^*

co co co co co co

00 05 CO CO

OHWCOxtliOCDI>OODOHWCO^)OCD 1~ 00 05 O tH t-Ht-Ht-Ht—It-Ht-Ht-Ht-Ht—It—l(M(M<M(MCJ<M<M<M<MOaCOCO

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CD 00 00 00 O CD 00 «o

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t-H tH t-H t-H tH t-H t-H rH tH t-H t-H t-H t-H rH t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H t-H

t-H rH tH tH H t-H t—I t-H t-H t—I tH tH tH t—I t-H t-H t-H t-H rH tH t-H t-H H tH t—t H tH tH tH tH

®8338S8S588®8SS583;88S;88Sög8S88S88S:353

HHHHHHHHHHHHHHHHHH(M(M(M(M(M(M(M(M(M(M(M(M(M

^^^^SwScSScOCoSScOMtODOtOtODOtOMtoSoHKKHKHM

wmhoooo^ojoi^ojwkocdooSqS^ojSkoSS^SSKco

tOtOtOlOMMMWMWMMMWIGlOrODOlOlOlOMlOrOÜlMMMMW

OOOJOJOJCCCUCüOJOJOiWOJOOCöCüCüOiCüOJOiOJCOCWWWWOOCJOOiCü

OOOJOOOSWWMMMMMtOMDOMKKKKKKHKHHOOOOO

^CüMKOCDOO<IOi0^i^OOMHOCDOO<10iÜi^Ü3K)KOOOO<ia5Üt

cococococococococococococoeocococococococococococococococococo

Beispiel für die Benutzung der Tabellen:

Wieviel Tage sind vom 24. Februar bis 7. Juli?

I. Tabelle. Der 24. Februar ist der 54., der 7. Juli der 187. Tag des Jahres. Zwischen dem 54. und 187. liegen 187—54 = 133 Tage.

II. Tabelle. Der 24. Februar ist der 55., der 7. Juli der 188. Tag des Jahres. Zwischen den beiden Daten liegen also 188 — 55 = 133 Tage. Ist das Jahr ein Schaltjahr, so erhöht sich das Resultat um 1 Tag.

Aufg. 13. Wieviel Zi sen bringen

a)    3 698,50 M ä 3¹/i % vom 19. Juli bis 12. Dezember?

b)    6 837,75 M ä 6V₂ % vom 28. Januar bis 5. März?

c)    395,45 M ä 2¹/₃ % vom 6. Juli bis 1. November?

d)    8 947,20 ä 4³/₄ % vom 12. Dezember bis 3. Februar a. f.?

(4 % + V* % + ¹U % ober b % — lU% b. 20. Seil b. 5 %)

e)    978,95 Kr. ä 4¹/₃ % vom 18. November bis 31. Januar a. I.?

f)    10548,50 M ä 5³/₄ % vom 23. Mai bis 19. August?

(5³/₄ % = 6% - V₄%).

g)    3 590,75 Frs. ä 6V₃ % vom 21. Okt. bis 2. Febr. a. f.

(Tage kalendermäßig).

h)    836,45 £ ä 3V₄ % vom 1. Juli bis 28. Dez. (Tg. kal.)

i)    9 857,20 hfl. ä 4²/₃ % vom 6. Dez. bis 5. März a. f. (Tg. kal.) k) 15 456,85hfl.ä 5-/₃ % vom 31. Jan. bis 6. Mai (Tg. kal.)

c. Gesamtzinsen von Kapitalien mit gleichem Zinsfuß.

Das Wesen der Zinszahl und des Zinsdivisors bietet eine bedeutende Erleichtemng, wenn es sich darum handelt, von mehreren Kapitalien, die zu gleichem Zinsfüße ausgeliehen sind, die Gesamtzinsen zu ermitteln.

Man berechnet in diesem Falle zunächst die Zinstage, darauf in der bekannten Weise aus Kapital und Tagen die Zinszahlen. Statt nun aus jeder einzelnen Zinszahl die Zinsen für jedes Kapital zu suchen, addiert man die Zinszahlen und stellt durch Division des Zinsdivisors in die Summe der Zinszahlen die Gesamtzinsen fest.

Beispiel: Welche Gesamtzinsen ä 4l/₂ % ergeben 530,35 M vom 19, Juli bis 15. September, 3 525,60 M vom 25. Februar bis 1. Mai,

2 949,80 M vom 1. August bis 10. Oktober, 3 905,40 M vom 20. April bis 19. Juli?

Beträge

Daten

Tage

Zinszahlen

530,35 19/7.-15/9. 3 525,60 25/2.— 1/5.

2    949,80    1/8.-10/10.

3    905,40 20/4.—19/7.

56

66

69

89

05 (M CO ^ (MCOO^ <M CO

8 135 : 80 = 101,6875

135

1(11,69 M.

550

700

600 400

Aufg. 14.

Welche Gesamtzinsen ä 4 % ergeben 845,55 M vom 16. August bis 19. Dezember, 642,90 M vom 15. Februar bis 21. Mai,

3488,75 M vom 28. November bis 1. Februar a. f., 2 948 M vom 30. August bis 1. Dezember?

Aufg. 15.

Berechne die summarischen Zinsen ä 4V₃ % von 2 930,45 M vom 24. Juni bis 2. Oktober, 7 358,50 M vom 22. Januar bis 19. Mai,

495,45 M vom 31. Dezember bis 15. März, 1948,65 M vom

17. Januar bis 1. Mai, 689,75 M vom 14. November bis 13. Januar a. f. ?

3. Berechnung des Zinsfusses.

Kopfrechnen.

Beispiel: 350 M bringen in 2 Jahren 28 M Zinsen. Zu wieviel Prozent sind sie ausgeliehen?

Es ist zu berechnen, wieviel Zinsen 100 M in 1 Jahr bringen.

In 2 Jahren betragen die Zinsen 28 M, in 1 Jahre also 14 M. Bringen 350 M in 1 Jahre 14 M Zinsen, so bringen 50 M den 7. Teil = 2 M und 100 M bringen in 1 Jahre 2x2 = 4 M.

Das Kapital ist demnach zu 4 % ausgeliehen.

Aufg. 16.

Zu welchem Zinsfuß bringen

e)    1250 „ „ V, „

f)    750 „ „ 3 Mon.

Schriftliches Rechnen.

Beispiel: Zu welchem Zinsfuß sind 4 380 M ausgeliehen, wenn sie in 4 Jahren 992,80 M Zinsen bringen?

„ 1 Jahre ?

4 380 M bringen in 4 Jahren 992,80 M 100 „

992,80.100

4 380 . 4

_ £292 /    _ £2 / O/

-*• ° /438 — ° /3 /O

Setzen wir für die Zahlen die Buchstaben Zs (Zinsen) K (Kapital) und Zt (Zeit) ein, so erhalten wir die Formel

P (Zinsfuß) =

100 . Zs

K . Zt

Ist die Zeit nach Monaten oder Tagen angegeben, so muß die Formel mit 12 bezw. 360 multipliziert werden.

100 . Zs (. 12 bezw. 360)

K . Zt

Aufg. 17.

Zu welchem Zinsfuß bringen

61,04 M Zinsen? 254,70 „ „ ? 103,51 „

34,20 „

371,- „

9,75 „    „    ?

a)    436 M in 3V₂ Jahren

b)    849 „ „ 6

c)    575 „ „ 4-/2    „

d)    1140 „ „ 9 Mon.

e)    4 770 „ „ 2 Ihr. 4Mon.

f)    624 „ „ 5 Mon.

4. Berechnung des Kapitals.

Kopfrechnen.

Beispiel: Welches Kapital bringt & 4 % in 3 Jahren 150 M Zinsen? Wäre das Kapital = 100 M, so würden die Zinsen in 3 Jahren 5 4% 12 M betragen. Das Kapital bringt aber 150 M, d. i. 12V₂ x 12 M, folglich muß es auch 12¹/» x 100 M sein = 1250 M.

A«fg. 18.

Wie groß ist das Kapital, das

a)    in 2 Jahren ju 5 % 80,— M Zinsen bringt?

5    „

6    Mon.

g)    „ io „

Schriftliches Rechnen.

Beispiel: Welches Kapital bringt in 2l/₂ Jahren ä 3¹/t %

482,50 M Zinsen?

Bei 3V₃ M Zinsen in 1 Jahr ist das Kapital = 100 M „ 482,50 „    „    „ 2V₂ Ihr. „ „

Zu beachten ist nun, daß K und Zt im umgekehrten Verhältnis stehen, also je mehr Zt, desto Heiner K (wenn es dieselben Zinsen bringen soll) und umgekehrt.

96,50

--- 5 790 M

100.3.482,50.2

10.5

Formel: K --

100 . Zs (. 12 bezw. 360)

p . Zt

Aufg. 19.

Welches Kapital bringt:

a)    in 3 Jahren & 4    % 714,— M Zinsen?

ii ii b % 734,    „

„ 3V₂ % 760,20 „ „ 5V₂ % 294,03 „ .. 2»/, % 102,- „

5. Berechnung der Zeit

Kopfrechnen.

Beispiel: In welcher Zeit bringen 450 M 4 5% 56,25 M Zinsen? 450 M bringen ä 5 % in 1 Jahre 4¹ 2 3/₃ x 5 M = 22,50 M; da das Kapital im ganzen aber 56,25 M Zinsen bringt, muß es soviel Jahre stehen, als die jährlichen Zinsen in den Gesamtzinsen enthalten sind. 22,50M in 56,25 M = 2¹/₈ x.

Das Kapital steht also 2¹/, Jahre.

Aufg. 20.

In welcher Zeit bringen

a)

b)

49- M Zinsen?

c)

d)

e)

1')

g)

h)

i)

o ca Co Ol Ql ca

89- „ „ ? 97,50 „ „ ?

56,-

34.50

Schriftliches Rechnen.

Beispiel: In welcher Zeit bringen 4170 M ä 3¹U % 451,75 M

Zinsen?

100 M bringen 3»/₃ M Zinsen in 1 Jahr; 4170    45175    9    9

^ X 'V tt tl    I v „    ft    ,,    „

= 3,25 Jahre

3 Jahre 3 Monate.

Gefragt ist nach der Zeit; mit der gegebenen Zeit, mit 1 Jahr, beginnen wir. So lange müssen 100 M stehen, um 3,50 M Zinsen zu bringen. 1 M müßte 100 x 1 Jahr stehen um dieselben Zinsertrag zu geben, 4170 M brauchen nur den 4170. Teil. Sollen die Zinsen nicht 3¹/₃ sondern nur ¹/₃ M, also den 10. Teil der Zinsen betragen, so braucht die Zeit auch nur gleich dem 10. Teil zu sein; bei 1 M Zinsen ist aber 3 x und endlich bei 451,75 M Zinsen 451,75 x soviel Zeit erforderlich.

100 . Zs

Formel: Zt =

K . p

Soll die Zeit in Monaten oder Tagen angegeben werden, dann muß das Resultat mit 12 bezw. 360 multipliziert werden.

Aufg. 21.

In welcher Zeit bringen

a)    3480    M    &    4    %    487,20    M    Zinsen?

3V₂ %    99,75    „    ?

„ ?

f)    7 224 „ „ 5V₂% 1489,95 „

Die Formeln für die Berechnung des Zinsfußes, des Kapitals und der Zeit lassen sich sehr leicht merken, da über dem Bruchstrich stets 100 . Zs, unter ihm die übrigen gegebenen Stücke stehen. Ist die Zeit durch Monate oder Tage ausgedrückt, wird über den Bruchstrich noch die entsprechende Reduktionszahl (360 bezw. 12) gesetzt.

6. Berechnung der Zinseszinsen.

Wl Zinseszinsen sind im Privatverkehr verboten, sie kommen aber bei den Berechnungen der Sparkassen, der Versicherungsgesellschaften und auch in den Zinskontokorrenten vor, da hier der Saldo des letzten Kontokorrents auf neue Rechnung zinstragend überschrieben wird.

Das Wesen der Zinseszinsen wurde bereits in der Einleitung zur Zinsrechnung gekennzeichnet. Meist handelt es sich um die Frage, wie hoch ein Kapital mit den Zinseszinsen in einer bestimmten Zeit anwächst.

Zu ihrer Lösung stellt man die Höhe des um die Zinseszinsen vermehrten Wertes entweder von Jahr zu Jahr staffelartig fest, oder man bedient sich der Zinseszinstabellen.

Beispiel: Aus welchen Wert wächst eine Sparkasseneinlage von 500 M bei 3 % Verzinsung in 6 Jahren an?

i. Lösung (staffelartig).

Jahreszinsen 4 3% von 500 M . .

Kapital am Ende des 1. Jahres. Jahreszinsen ä 3 % Dort 515 M . .

Einlagekapital M 500,— „ 15-

M 515 —

„    15,45

Kapital am Ende des 2. Jahres Jahreszinsen 5 3% von 530,45 M ■ Kapital am Ende des 3. Jahres Jahreszinsen 5.3 % von 546,35 M .

Kapital am Ende des 4. Jahres. Jahreszinsen & 3 % Don 562,73 M ■ Kapital am Ende des 5. Jahres

M 530,45 „ 15,90

M 546,35 „    16,38

Jl 562,73 „    16,89

. M 579,62

2. Lösung (nach der Tabelle).

1 M wächst in 5 Jahren ä 3 % auf 1,1592 M 500 M wachsen daher auf 500 x 1,1592 = 579,60 M Die Differenz von 2 D, ist ohne Belang.

Aufg. 22.

Auf welchen Betrag wachsen durch Hinzufügen der Zinseszinsen

a)    700 M k 4    % in 6 Jahren?

Äufg. 23.

Eine Stadt hat 35 000 Einwohner. Sie ist bisher in jedem Jahre um 5 % in der Einwohnerzahl gewachsen.

Wieviel wird sie nach 12 Jahern unter der gleichen Voraussetzung zählen?

Aufg. 24

Wie groß ist eine Spareinlage von 3 648 M 5 3% Zinseszinsen nach 7-/4 Jahren? (Die Zinsen vom letzten Vierteljahr werden besonders berechnet.)

Zinseszinstabelle.

Jahre

IV, %

2V. % 3 % 3V, % 4%

4V,%

1,015

1,02

Hl DO

O H03f0^l0 0l>00a50 rH 03 rH rHrHrHrHrHrHrHrHrHOl 03 03

1,0614

1,0773

1,0934

1,1098

1,1265

1,1434

1,1605

DO DO Ov

iO SD O 00 07) O 03 03 03 03 03 7C

IIIIIIIII1 llllllllll

tH iH r-H rH rH rH H H rH rH H rH rH rH rH rH rH rH r—*

1,0404

1,0612

1,0824

1,1041

1,1262

1,1487

1,1717

1,1951

1,2190

1,2434

1,2682

1,2936

1,3195

1,3459

1,3728

1,4002

1,4282

1,4568

1,4859

1,5157

1,5460

1,5769

1,6084

1,6406

1,6734

1,7069

1,7410

1,7758

1,8114

ÄZKKAiZÄLLL

HHHHHHHHHH    t—I tH t-H rH t-T t-T t-T t-T t-T tH' t-T t-T t-T t-T t-T rH t-T t-T oT 03

T—I TH

1,1593

1,1941

1,2299

1,2668

1,3048

1,3439

1,3842

1,4258

1,4685

1,5126

1,5580

1,6047

1,6528

1,7024

1,7535

1,8061

1,8603

1,9161

1,9736

2,0378

2,0938

2,1566

2,2213

2,2879

2,3566

2,4273

IslIlfslSs

tH tH rH T—I rH H H H rH H HHHHHHHHHH Öl" oT oT Ol" of oT o? Öl" oT of

1,04

1,0816

1,1249

1,1699

1,2167

1,2653

1,3159

1,3686

1,4233

1,4802

1,5395

1,6010

1,6651

1,7317

1,8009

1,8730

1,9479

2,0258

2,1068

2,1911

2,2788

2,3699

2,4647

2,5633

2,6658

2,7725

2,8834

2,9987

3,1187

3,2434

1,045

1,05

1,0920

1,1412

1,1925

1,2462

1,3023

1,3609

1,4221

1,4861

1,5520

1,6229

1,6959

1,7722

1,8519

1,9353

2,0224

2,1134

2,2085

2,3079

2,4117

2,5202

2,6337

2,7522

2,8760

3,0054

3,1407

3,2820

3,4297

3,5840

3,7453

1,1025

1,1576

1,2155

1,2763

1,3401

1,4071

1,4775

1,5513

1,6289

1,7103

1,7959

1,8856

1,9799

2,0789

2,1829

2,2920

2,4066

2,5270

2,6533

3,7857

3,9253

3,0715

3,2251

3,3864

3,5558

3,7335

3,9201

4,1161

4,3219

IIL Das Rechnen im Bankfach.

A. Die DlLkontrechnung.

1. Allgemeines.

Diskont auf und von 100.

Unter Diskont versteht man gewöhnlich einen Abzug, der bei sofortiger Barzahlung von einem erst später fällig werdenden Kapital gemacht wird.

A hat an B nach 3 Monaten'5 000 M zu entrichten. Er will sich dieser Verpflichtung aber sofort entledigen. Es ist klar, daß er nicht die volle Summe zahlen wird, weil er doch das Kapital noch 3 Monate verwerten, es z. B. zinstragend anlegen könnte. Er wird also nur eine Summe zahlen, die mit den Zinsen in 3 Monaten auf 5 000 M anwächst. Diesen Abzug zu ermitteln ist die Aufgabe der Diskontrechnung.

Der Wert, um welchen das Kapital verringert wird, ist der gegenwärtige oder der diskontierte Wert. Die vertragsmäßig erst später zu zahlende Summe heißt Nennwert. — Oft bezeichnet man mit dem Ausdruck Diskont auch den Prozentsatz, der der Diskontrechnung zugrunde gelegt wird.

Angenommen, der Diskontsatz sei 4 %, die Barzahlung 100 M, so würde diese Summe nach 3 Monaten auf 101 M anwachsen. Den Nennwert 5000 M können wir demnach nicht zu der reinen Zahl 100, sondern müssen ihn zu der um die Zinsen für die Diskontzeit vermehrten Zahl 100, also zu 101 in Beziehung setzen.

Für die Berechnung des Diskonts machen wir von dem Kettensatz Gebrauch.

? M Diskont wenn für 101 M

für 5 000 M,

1 M Diskont zu rechnen sind.

- 49,50 M.

Die Barzahlung beträgt demnach 5 000 — 49,50 = 4 950,50 M.

Probe: Die Barzahlung müßte in 3 Monaten soviel Zinsen ergeben, wie der Diskont beträgt, so daß Barzahlung und Diskont wieder gleich Nennwert werden. Dies ist tatsächlich der Fall; denn 4 950,50 M bringen in 3 Monaten ä 4 % 49,50 M Zinsen (eigentlich 49,51 M; der Fehler von 0,01 M ist durch die Anwendung der Abkürzungsregel entstanden).

Man nennt den auf diese Weise ermittelten Diskont den D i s k o n t a u f 100. Kommt es auf ein peinlich genaues Resultat an, oder handelt es sich um große Kapitalien oder lange Diskontzeiten, so muß man immer den Diskont auf 100 berechnen.

Im kaufmännischen Verkehr rechnet man aber fast immer den Diskont von 100, da bei kürzeren Diskontzeiten der Fehler ohne Belang ist. Die Diskontrechnung ist somit hier die reine Zinsrechnung, und wenn wir das Jahr zu 360 Tagen annehmen, sind wir auch bei der Diskontrechnung in der Lage, Zinsdivisoren zu verwenden.

Unsere Aufgabe wird also so gerechnet:

- 4500

Zz --Zd = 90

Diskont -- 4500 : 90 - 50 M Barzahlung = 5000 — 50 = 4 950 M

5000 . 90

100

2. Berechnung des Barwertes noch nicht fälliger

dechfel.

Die Diskontrechnung beschränkt sich fast ausschließlich auf die Berechnung beim Verkauf von Wechseln. (Über Wesen und Arten der Wechsel verweisen wir auf den in dieser Sammlung erschienenen Band: Geld-, Bank- und Börsenkunde.)

Beispiel: Ein Wechsel auf Berlin über 1800 M, fällig am 10. Juli 1907, soll am 5. Juni diskontiert werden. Wie wird der Wechsel bewertet? (Diskont 3l/₂%).

Vom 5. Juni bis 10. Juli = 35 Tage, M 1800,— per 10. Juli

•/„

6,13 Diskont - 35/3V- %

M 1 793,87 Valuta per 5. Juni.

Aufg. 1

Ein Wechsel auf Breslau über 1315,60 M, fällig am 15. Januar a. f., wird am 13. Dezember ä 5 % diskontiert. Wie groß ist der Ertrag?

Aufg. 2.

Welchen Ertrag liefert ein am 3. August fälliger Wechsel auf Königsberg i. Pr. über 839,75 M, der am 5. Juli a 3V₂ % diskontiert wird?

Aufg. 3.

Wieviel wird für einen Wechsel auf Köln über 2 346,40 M am

4. Mai bezahlt, der am 10. Juli fällig ist? (Diskont 4x/₂ %).

Werden mehrere Wechsel zu gleicher Zeit diskontiert, so tritt das vereinfachte Verfahren ein, das wir bereits in der Zinsrechnung bei der Ermittelung der Gesamtzinsen von Kapitalien mit gleichem Zinsfuß kennen gelernt haben.

Man ordnet die Wechsel nach ihrer Verfallzeit, nennt bei der Aufzählung erst den Zahlungsort der Wechsel, darauf die Wechselsumme und dahinter den Fälligkeitstag; dann berechnet man die Diskontzeit und ermittelt die Diskontzahlen (#). Die Summe der Diskontzahlen wird durch den Zinsdivisor für den Diskontsatz, zu welchem die Wechsel diskontiert wurden, dividiert; mau erhält auf diese Weise den Diskont, um welchen die Summe des Nennwertes aller Wechsel zu kürzen ist. Die so ermittelte Zahl gibt den Wert (die Valuta) an, tvelchen die Wechsel am Diskontierungstage haben.

Beispiel:

Berlin, den 16. April 1907. Für Ihre Rechnung sind heute ä 4V₂ % diskontiert:

Tage

ans Brandenburg (Havel) . M    385,75    per    28.    April 12

4(i

Aachen . Danzig . , Hildesheim Berlin . ,

„ 5129,95

1168

/• „

14,60 Diskont ä 4>/* %

M 5115,35 Valuta per 16. April 1907.

Berechne den Ertrag folgender Diskonten:

(Die Bankplätze sind hier nicht genannt, da sie für die Berechnung nicht erforderlich sind).

Aufg. 4.

Diskontiert am 12. Mai ä 4 % : M 516,30 per 10. Juni, M 857,35 per 12. Juni, M 2 581,75 per 19. Juni, M 1 289,50 per 3. Juli, M 948,20 per 8. Juli.

Aufg. 5.

Diskontiert am 28. Januar ä 3l/₂ %:M 2 965,— per 15. Februar, M 649,45 per 20. Februar, M 1 410,90 per 28. Februar, M 875,60 Per 1. März, M 567,25 per 15. März.

Aufg. «

Diskontiert mit 25. August ä 4³/₄ % : M 749,50 per 11. September, J£ 913,65 per 16. September, M 2 056,80 Per 20. September, M 1 574,80 per 2. Oktober, M 873,50 per 5. Oktober.

Aufg. 7.

Diskontiert am 17. Dezember ä 5 %: M 653,90 per 31. Dezember, M 1 240,85 per 5. Januar a. f., Jli 1455,10 per 12. Januar a. f., M 9 000,— per 25. Januar a. f., M 4 500,— per 31. Januar a. f.

3. Verkauf von Älecd sein bei der Retcbobank.

Nach den allgemeinen Grundsätzen über den Geschäftsverkehr mit der Reichsbank kann jeder ordentliche Geschäftsmann nach festgesetzten Bestimmungen mit dieser Anstalt in Geschäftsverkehr treten. Er hat zuvor der Bankanstalt, in deren Bezirk er seinen Wohnsitz hat, die erforderlichen Mitteilungen über seine Vermögenslage zu machen und, wenn seine Firma in das Handelsregister eingetragen ist, einen beglaubigten Auszug aus demselben zu überreichen.

Bei der Diskontierung von Wechseln ist der Verkäufer an die „Allgemeinen Bestimmungen über den Geschäftsverkehr mit der Reichsbank" gebunden. Wir lassen diese daher, soweit sie den Ankauf von Wechseln auf das Inland betreffen, hier folgen:

1. Erfordernisse der Wechsel: Die Wechsel müssen der Wechselordnung, bezw. den an dem ausländischen Ausstellungsorte geltenden wechselrechtlichen Bestimmungen entsprechen, eine Laufzeit von höchstens 3 Monaten haben und die Unterschriften von in der Regel 3, mindestens aber 2 als zahlungsfähig bekannten Personen oder Firmen tragen; sie sind an die Bankanstalt des Zahlungsortes zu girieren.

Wechsel, welche am Sitz der ankaufenden Bankanstalt zahlbar sind, und alle domizilierten Wechsel, welche noch länger als 8 Tage zu laufen haben, müssen vor dem Ankaufe mit Annahmevermerk versehen sein. Von letzterem wird bei Domizilwechseln abgesehen, wenn der Bezogene an einem Bankplatze wohnt.

Wechsel, welche die Einschränkung „oder Wert" enthalten oder auf einen anderen als den im Wechsel angegebenen Verfalltag akzeptiert sind oder Rasuren oder Korrekturen enthalten, werden von der Reichsbank nicht angekauft.

Bei Wechseln mit offenem Giro muß jedenfalls das Indossament an den Verkäufer und dasjenige der letzteren an die Bank ausgefüllt sein. Mlongen müssen stets eine vollständige Bezeichnung des Wechsels enthalten.

Die Wechsel sind mit den Fälligkeitstagen zu überschreiben und mit einer Rechnung (nach Ziffer 2) einzureichen und übereinstimmend mit derselben zu ordnen.

2. Erfordernisse der Rechnung: Besondere Rechnungen müssen ausgestellt werden:

a)    für Platzwechsel (zahlbar am Sitze der ankaufenden oder einer ihr untergeordneten Bankanstalt);

b)    für Versandwechsel (zahlbar an anderen deutschen Bankanstalten).

Außerdem sind bei Diskontierungen in der Zeit vom l. Oktober bis 31. Dezember jeden Jahres die Wechsel, welche noch im alten Jahre verfallen, und diejenigen, welche im neuen Jahre fällig werden, voneinander zu trennen und auf besonderen Noten einzureichen.

Auf der Rechnung sind die Wechsel nach den Bankanstalten oder nach den Verfalltagen geordnet, nach Betrag, Verfalltag, Bezogenen: und Zahlungsort einzeln zu verzeichnen und die in Abzug kommenden Zinsen auszurechnen; bei Domizilwechseln ist der Name und Wohnort des Akzeptanten und des Domizilianten anzuführen.

Bei der Zinsberechnung wird jeder Monat zu 30 Tagen angenommen ; indessen wird der Monat Februar bei solchen Wechseln, welche am letzten Februar fällig sind, nur zu 28 bezw. 29 Tagen gerechnet. Der Tag des Ankaufs wird nicht mitgezählt.

Mithin sind zu berechnen bei Wechseln,

am 15. Febmar angekauft, per 5. März 20 Tage,

, „ 28. Februar 13    „ ,

14    „ ,

15.

15.

28.

, „ 29.    „

, „    5. März 7

An Zinsen sind mindestens zu berechnen:

a)    4 Tage auf Wechsel, welche am Ankaufsorte zahlbar sind;

b)    5 Tage auf solche nicht am Ankaufsorte zahlbaren Wechsel, welche in Stücken von 10 000 M oder mehr, oder bei Posten von mindestens 20 000 M in Stücken von nicht unter 5 000 M eingereicht werden;

c)    10 Tage für alle übrigen Wechsel.

Für jeden einzelnen Wechsel im Betrage von 100 M und weniger werden jedoch mindestens 30 \ für jeden Wechsel über mehr als 100 M mindestens 50 H erhoben.

für 50 $ 60,00 No. 51,43 „ 45,00 „ 40,00 „ 36,00 „ 32,73 „ 30,00 „ 27,69 „

Die Berechnung der Zinsen ist durch Zinszahlen zu bewirken. Bei den einzelnen Wechseln müssen diese Zinszahlen mindestens ergeben für 30 L,

bei 3    % 36,00 No.,

3V⁴„ 30,86 „ ⁴)

4    „    27,00    „

4V₂ „ 24,00 „ ⁴)

5    „    21,60    „

5V₂    19,64 „ ⁴)

6    „ 18,00 „

6V₂ „ 16,62 „ ⁴)

Die Wechselrechnungen sind von dem Verkäufer bezw. dessen Prokuristen oder Bevollmächtigten eigenhändig zu quittieren.

B a n k p l ä tz e: Die deutsche Reichsbank hat im ganzen Reiche Zweiganstalten errichtet, die nach ihrer Bedeutung Reichsbankhauptstellen, Reichsbanfftellen, Reichsbanknebenstellen und Warendepots sind. Die Ausgabe Nr. 44 der Reichsbankbestimmungen weist außer dem Reichsbankdirektorium Berlin 19 Reichsbankhauptstellen, 72 Reichsbankstellen, 365 Reichsbanknebenstellen und 13 Warendepots auf.⁵)

Die in diesem Verzeichnis in gewöhnlicher Schrift aufgeführten Orte, mit Ausnahme der durch ein Kreuz (f) bezeichneten, sind Bank Plätze.

An Bankplätzen und auf solche werden Wechsel aufgekauft. Auch auf die tu dem Verzeichnis aufgeführten, tu kleinerer Schrift gedruckten Orte (Wechselplätze) werden Wechsel angekauft. Solche sind an die unmittelbar vorhergenannte Bankanstalt zu girieren.

Wechsel, welche an den mit einem Kreuz bezeichneten Orten zahlbar sind, werden von der Reichsbank tticht angekauft. Die an diesen Orten befindlichen Bankanstalten (N e b e n ft e 11 e n und Warendepots) sind nicht mit Kasseneinrichtung versehen. Ihre Tätigkeit beschränkt sich nur ans die Vermittelung von Wechselankäufen und Lombardgeschäften.

Muster von Wechselrechnungen für die Reichsbank.

Den zu diskontierenden Wechseln sind vom Verkäufer selbst ausgefertigte Rechnungen beizngeben, und zwar sind bestimmte weiße Formulare für Platzwechsel, rosa Formulare für Versandwechsel zu verwenden.

I. Beispiel: Weißes Formular.

Berlin den 5. März 1907.

Wechsel auf Berlin, Charlotteu-burg, Potsdam, Rixdorf.

¹

. 100.3.451,75

²

4170 - 10

³

139

⁴

Anmerkung: Der Zinsdivisor für 3¹/⁴ °lo ist ³⁶⁰/g,₅ — 360.²/„ d h. die Summe der Zinszahlen wird mit 7 multipliziert und das Produkt durch 720 dividiert.

⁵

’⁴) Das Verzeichnis der Bankplätze befindet sich in dem Bande „Geld-, Bank- und Börsenkunde".

Rechnung von €mll Klendt § 0o., Berlin

für die Reichshauptbank.

Wechsel

betrag

Verfallzeit

Diskonte 4 o/s

g>

^ Monat

Bezogene

Tage

Zins-

zahlen

Empfangs

betrag

M 95 50 780 — 110 — 1600 —

Cvi lO ZÖ rH 03 CM

März

April

945 —

30. März

376 75

6. Mai

auf Berlin Ferdinand Kramer L. Jacoby & Sohn Emil Breuer Julius Altmann auf Charlottenbnrg Fritz Berger auf Potsdam Bruno Meyer

CT5    co    ro co to

■    Ol    O • O «<]

27

156

45

464

236

230

M 3907 25 / 12 87

Tis fönt ä

4%

1158

M 3894 38

Betrag Emil We

M 3894,38 erhalten nbt & Co.

Der Wechsel per 12. März ist ein Wechsel unter 100 ,M ; für solche werden mindestens 30 O, Zinsen erhoben, folglich mußten 27 # eingesetzt werden. Für den 3. Wechsel über 100 Ai sind mindestens 50 zu zahlen, daher sind 45 # notiert.

II. Beispiel: Rosa Formular.

Berlin, den 5. März 1907.

Wechsel auf auswärtige Bankstellen.

Rechnung von Emil OJendt § ßo., Berlin

für die Reichshauptbank.

Wechsel- Verfallzeit betrag §

Bezogene

Diskont a 4%,

^ Monat

Tage

Empfangs-

Zins- betrag zahlen

M 120 —

25000 —

i 00

5000 —

8.

auf Königsberg i.P.

März Otto Haupt auf Leipzig „ Kreditanstalt auf Breslau

„ Breslauer Diskontobank

10    45

5    1250

6000 — 9000 —

do.

750 —

Breslauer Wechslerbank

auf Hamburg 12. April G. Ermler

37

O Q O 00 iO Q ip t>-CM CO    <M

Ai 45870 — / 28 59

Dis tont 5 4%

2573

Ai 45841 41

Betrag Emil W<

M 45841,41 erhalten

Der Wechsel No. 1 muß, da er auf eine Summe unter 20 000 Ai lautet, mit mindestens 10 Tagen veranlagt werden; er würde aber auch dann nur 12 # ergeben. Da Wechsel über 100 M aber mindestens 50 L, Zinsen einbringen müssen, sind 45 # eingesetzt.

193

13

Voelkner, Prakt. Rechnen.

Nr. 2 ist ein Wechsel von über 10 000 M; hier werden also nicht IO, sondern nur 5 Tage angerechnet.

Nr. 3 bis 5 sind Wechsel im Gesamtbeträge von 20 000 M, deren jeder einzeln nicht unter 5 000 M Nennwert hat. Auch diese 3 Wechsel brauchen also nur mit 5 Tagen berechnet zu werden.

Nr. 6 ist nach der gewöhnlichen Zinsrechnungsart diskontiert.

Aufg. 1.

Ermittele den Erlös aus folgenden Werten:

Berlin, diskontiert am 3. Februar ä 5 %

n n 28.    „

„    „    1560,— „    „    „    3. März

„ Potsdam 3 5OO,— „    „    „    2. „

„ Rixdorf 840,— „    „    „    8. April.

auf Berlin 390,50 M fällig am 10. Februar, n n 483,75 „

Aufg. 2.

Aufg. 3.

Berlin, diskontiert am 25. Juli ä 4 % auf Berlin

85,75 M fällig am 28. Juli,

150,— „    „    „    1. August,

„    „    970,— „    „    „    1. September,

„ Charlottenburg 1 000,— „    „    „ 28. August.

Berlin, diskontiert am 28. Februar ä 4V₂ %

10. „ 15.    „

auf Kiel. ... M 3 500 per 5. März, „ Hamburg. . „ 5 000 „

„ Mannheim. „ 4 500 „

B. Die Terminrechnung.

1. Allgemeines.

Derjenige Tag, an welchem ein Betrag zu zahlen ist, heißt Zahlungstermin. Auf einem Konto können nun mehrere Beträge mit verschiedenen Zahlungsterminen stehen. Sollen diese Posten an einem Termin gezahlt werden, so muß ein Tag gesucht werden, der so liegt, daß weder Schuldner noch Gläubiger Zinsen verlieren. Diesen Tag zu finden ist Aufgabe der Terminrechnung.

Bei der Terminrechnung kommen zwei Fälle in Betracht:

1.    Ein Posten soll in verschiedenen Quoten gezahlt werden (Rest-zahlungstermin ),

2.    mehrere Posten mit verschiedenen Zahlungsterminen sollen auf einmal beglichen werden (Mittlerer Zahlungstermin).

2. Reftzablimgstmmii.

1. Beispiel: A hat am 10. Februar 900 M an B zu zahlen. Er zahlt aber schon am 10. Januar 400 M und am 31. Januar 200 M.

Wie lange darf er den Rest behalten?

Wir setzen für die Lösung der Aufgabe einen Termin fest, von welchem aus wir unsere Berechnung beginnen. Man nennt diesen Tag die E p o ch e. Sie soll in unserm Beispiel auf den spätesten Zahlungstermin, den 10. Februar, gelegt sein.

A hat am 10. Januar 400 M und am 31. Januar 200 M gezahlt, trotzdem er dazu nicht verpflichtet war. Dadurch hat er ein Recht auf Zinszahlen erworben, diese betragen

im 1. Falle für 30 Tage 12 000 #*)

„ 10 „

2 000 #

zusammen 14 000 #

*) Wir rechnen hier mit ungekürzten Zinszahlen.

Er verzichtet auf die Zinsen daraus, will lieber dafür den Rest von 300 M so lange behalten, bis das Recht auf 14 000# aufgebraucht ist.

Nun ist aber die Zinszahl ein Produkt aus Kapital mal Tage. Wird daher in das Produkt 14000 der eine Faktor 300 dividiert, so sagt mir das Resultat 46=/₃, wieviel Tage A das Kapital nach dem 10. Februar behalten darf. (46²/₃ Tage = 47 Tage.)

10. Februar + 47 Tage = 27. März.

Der Rest von 300 M ist also am 27. März zahlbar. Kurze Darstellung:

30 x 400 = 12 000 10 x 200 =    2 000

200 „

900 M 400 „

300 M

Aufg. 1.

14 000 : 300 - 47 Tage.

7 OM M sind am 3. Juli fällig. Es werden am 4. Juni 1500 M und am 23. Juni 3 000 M gezahlt.

Wann ist der Rest zu bezahlen?

Aufg. 2.

A hat an B am 15. Dezember 2 400 M zu zahlen. Er zahlt aber schon am 1. November 1100 M und am 23. November 750 M. Wann ist der Rest fällig?

Aufg. 3.

Auf eine Schuld von 13 500 M, die ant 1. Juli beglichen werden soll, werden ä conto am 14. Mai 4 300 M, am 25. Mai 2100 M und am 9. Juni 3 250 M gezahlt.

An welchem Tage muß der Rest entrichtet werden?

3. JVKttlerer Zahlungstermin«

2. Beispiel: A hat an B

,,    20. November 4 400    „ zu zahlen.

Er will die ganze Schuld auf einmal begleichen. Wann muß das geschehen?

Die Epoche soll der 20. November sein.

Wenn sämtliche Posten an diesem Tage gezahlt würden, so würden alle bis auf den letzten zu spät ausgeglichen werden und zwar 49, bezw. 35, bezw. 30 Tage. A schuldet demnach an diesem Tage die Gesamtschuld von 17 300 M und

7 500 x 49 = 367-500 #,

3 400 x 35 = 119 000 „ und 2 000 x 30 --- 60 000 „

zusammen 546 500 #.

8 verzichtet auf die Zinsen daraus, will aber die 17 300 M früher bezahlt bekommen. Die Tage finden wir wie im vorigen Beispiel wieder, indem wir die Summe der Zinszahlen (546 500) durch die Summe der Kapitalien (17 300) teilen.

546 500 : 17 300 = 31

102

173

= 32.

Das Gesamtkapital ist also 32 Tage vor dem 20. November, also am

18. Oktober fällig.

Berechne in folgenden Aufgaben den mittleren Zahlungstermin:

Ausg. 4.

3 450 M per 3. Januar, 2150 M per 21. Januar, 275 M per 18. Februar, 1 350 M per 1. März.

Ausg. 5.

7 654 M per 1. Oktober, 3 480 M per 18. Oktober, 930 M per 17. November, 1500 M per 30. November.

Ausg. 6.

4 890 M per 4. August, 2 930 M per 14. September, 5 400 M per

5. Oktober, 948 M per 1. Dezember, 1619 M per 20. Dezember.

Aufg. 7.

485,75 M per 31. Januar, 781,25 M per 15. Februar, 1 676,80 M per 20. Februar, 1220,25 M per 9. April, 938,90 M per 18. Juni.

C. Die Kon tokorrentrechnung.

1. Einführung in die Kontokorrentrechnung.

Das Kontokorrent (italienisch Conto corrente) ist die laufende Rechnung, die der Kaufmann seinem Kunden in einem seiner Geschäftsbücher, dem Hauptbuche — auch Kontokorrentbuch genannt — macht. In die linke Seite, die Debetseite werden alle Leistungen, die er dem Kunden macht, eingetragen. In die rechte Seite, die Kredit-feite, setzt man alle Leistungen des Kunden ein.

Jede Seite weist 6 Kolonnen auf, die Spalten für das Datum, den Text, den Verfall, die Zinstage, die Zinszahlen und die Beträge.

In: Bankgeschäft wird das Konto jedes Halbjahr abgeschlossen. Dabei werden beide Seiten summiert und die Differenz als Saldo zürn Ausgleich auf die kleinere Seite gesetzt, sodaß beide Seiten also scheinbar gleich sind — sie balanzieren. Ist die Debetseite größer gewesen, so entsteht ein D e b e t s a l d o, der also zum Ausgleich auf die Kreditseite gesetzt wird. Ein Kreditsaldo erscheint auf der Debetseite.

Nach derri Abschluß wird der Saldo auf neue Rechnung auf der entgegengesetzten Seite vorgetragen.

Die Abschrift dieses Kontos wird dem Geschäftsfreunde zur Anerkennung zugestellt. Man Pflegt die Abschrift noch mit dem Ausdruck „Irrtum vorbehalten" oder den Buchstaben „S. E. e. 0." (salvo errore et omissione - unbeschadet des Irrtums und der Auslassung) sowie mit dem Datum und der Unterschrift zu versehen; nach den geltenden gesetzlichen Bestimmungen ist dies indessen nicht unbedingt nötig.

Man hat nun Kontokorrente ohne Zinsen und Zinskontokorrente. Die ersteren kommen in kleineren Betrieben vor, die zweiten erfordern eine längere Betrachtung. Bei der Berechnung der Zinsen wird die Epoche (vgl. Terminrechnung) entweder auf den Abschlußtag oder auf den Eröffnungstag gelegt. Danach unterscheidet man eine progressive und eine retrograde Methode der Zinsberechnung. Eine dritte Art, die Zinsen zu berechnen, ist die, den Zins von einem Geschäftsvorfall bis zum andern festzustellen und zuletzt zu summieren; dies ist die sogenannte Staffelrechnung.

2. Die progressive ]Wetbode.

Beispiel Nr. 1 (Seite 208 u. 209).

Die Epoche ist der 31. Dezember.

Die Debetseite beginnt mit einem Saldo von 600 M, den Kuttner seit dem 30. Juni schuldet. Angenommen, die Kreditseite weist keine Beträge auf, dann schuldet K am 31. Dezember nicht allein die 600 M, sondern auch Zinszahlen für diesen Betrag vom 30. Juni bis 31. Dezember also für 180 Tage = 1080 #. Der 2. Posten müßte dann mit 87, der

3. mit 54 und der vierte mit 15 Tagen verzinst werden, so daß Kuttner außer den Beträgen 1080 + 609 + 486 + 150 = 2 325 Zinszahlen schuldet.

Bei der Betrachtung der Kreditseite nehmen wir an, daß Kuttner keine Posten auf der Debetseite hat, also nichts schuldet. — Er hat am 10. Juli 500 M gezahlt, die ihm natürlich bis 31. Dezember verzinst werden müssen und zwar mit 170 Tagen, wodurch 850# entstehen. Aus demselben Grunde ist der zweite Posten für 51 Tage mit 612 Zinszahlen zu veranlagen. K hat also außer den Beträgen 850 + 612 = 1472 # gut.

Er schuldet wie oben 2325 #, er hat gut 1462 #, folglich hat er uoch die Zinsen aus 2325 — 1462 = 863 # zu entrichten. Damit die Zinszahlenspalte balanziert, werden die 863 # unter der Bezeichnung Zahlensaldo in die Kreditseite gesetzt, die Zinsen & 5 % = 11,99 M werden aber in die Betragskolonne der Debetseite eingetragen.

Mn erst wird der Betragssaldo ermittelt und das Kontokorrent wie irrt Beispiel abgeschlossen.

Diese Art der Zinsberechnung heißt progressive Methode, weil man bei der Bestimmung der Zinstage von der Epoche vorwärtsschreitet (Progreß = Fortschritt).

Bei der progressiven Methode ist also zu merken, daß Zahlen-saldo und Zinsen auf verschiedenen Seiten stehen.

Arbeiten bei der progressiven Methode:

1.    Zinstage auf beiden Seiten berechnen,

2.    Zinszahlen auf beiden Seiten berechnen,

3.    Zahlensaldo ermitteln und in die Zahlenkolonne der kleineren Seite einsetzen,

4.    Zinsen aus dem Zahlensaldo in die Betragskolonne der e n t g e g e n-gesetzten Seite eintragen,

5.    Betragssaldo suchen und in die Betragskolonne der kleineren Seite setzen,

6.    abschließen,

7.    Saldo vortragen (entgegengesetzte Seite).

3. Die progressive jMetbode mit roten Zahlen.

Sehr oft werden Beträge ins Kontokorrent eingesetzt, die erst nach dem Abschlußtage fällig werden. So ist im 2. Beispiel am 15. Oktober ein Posten Ware eingetragen, der mit 3 Monaten Ziel gekauft ist, dessen Betrag also erst am 15. Januar fällig wird. Ferner ist am 20. Dezember auf Suttner 3 Monate a dato gezogen worden. Der Betrag dafür wurde dem K. kreditiert, aber am 20. März ist das Papier erst fällig.

Sollen solche Posten in die Zinsberechnung mit hineingenommen werden, so sind sie anders zu behandeln.

Muster für ein solches Kontokorrent ist das Beispiel Nr. 2.

Der 1., 2. und 5. Posten der Debetseite bedarf keiner weiteren Erklärung. Der 3. Posten verfällt am 15. Januar. Wird er bereits am 31. Dezember mitverrechnet, so geschieht das 15 Tage zu früh. Für diese Zeit sind also dem Kuttner Zinsen zu vergüten. Die 105 # gehören daher ihrer Bedeutung nach ins Kredit. Wir tragen sie aber der Übersicht wegen ins Debet ein; weil sie indessen entgegengesetzte Bedeutung haben, werden Tage und Zinszahlen rot% geschrieben. Der

4. Posten, fällig am 10. Februar, ist ebenso zu behandeln.

Der 3. Posten im Kredit hat seinen vollen Wert erst am 20. März. Wenn er schon am 31. Dezember mit 900 M angerechnet würde, so geschieht dies zum Schaden des Koutoführers. Daher muß Kuttner mit den Zinsen aus 900 M für die Zeit vom 31. Dezember bis 20. März, also für 80 Tage, belastet werden. Die 720 Zinszahlen gehören also ins Debet und werden im Kredit als Debetzinszahlen rot geschrieben.

Rote Zahlen i m Debet haben also Kredit-bedeutung, rote Zahlen im Kredit haben Debetbede u t u n g.

Bevor wir an die Berechnung des Zinszahlensaldos gehen, müssen die roten Zinszahlen erst geregelt werden. Es könnte das dadurch geschehen, daß turnt die roten Zahlen aus bem Debet schwarz in die Kreditzahlenkolonne unb die roten Zahlen aus dem Kredit schwarz itt die Debetzahlenspalte einsetzt. Man erreicht aber denselben Effekt, toetttt man die Differenz sucht und diese schwarz auf die kleinere Seite bringt. In unserem Beispiel sind 105 + 400 = 505 rote Zahlen im Debet, 720 rote Zahlen int Kredit. Im Kredit sind also 215 rote Zahlen mehr, die demnach ins Debet gehören und auch dort schwarz unter der Bezeichnung Saldo der roten Zahlen eingesetzt sind.

Nun erst wird der eigentliche Zahlensaldo gesucht, wobei natürlich die r o t e n Zahlen nicht m i t z u r e ch n e n sind.

Die weiteren Arbeiten sind dieselben tote im vorigen Beispiel.

4. Die retrograde JWetbode.

Bei der retrograden Methode (Beispiel Nr. 3) wird die Epoche auf den Erösfnungslermin, hier also auf den 30. Juni gelegt. Im Gegensatz zur progressivett Methode schreiten wir bei der Berechnung der Zinstage von dent Verfalltage zur Epoche zurück; daher die Bezeichnung retrograde Methode (retrograd = zurückschreckend).

An diesem Tage sollen theoretisch alle Verpflichtttngett attsgeglichett fein, wenigstens werden alle auf dieses Datunt Zurückgeführt.

Der Saldo von 1367,15 M ist an demselben Tage füllig, an welchem er verrechnet toird, Epoche und Verfalltag treffen zusammen, Zins-zahlen sind also nicht zu berechnen.

Der 2. Posten vott 439,50 M ist am 3. November fällig. Wemt er schott am 30. Juni verrechnet wird, so geschieht das 123 Tage zu früh. Dafür müssen dem Kunden Zinsen vergütet tverden. 439,50 M und 123 Tage ergeben 541 #. Diese Zinszahl gehört ihrer Bedeutttng nach ins Kredit; sie wird aber als retrograde Zahl neben bett Posten 439,50 M ins Debet gestellt.

Alle andern Postett im Debet sind ebenso zu behattdeltt.

Wir haben also zu merken: Retrograde Zahlen im Debet haben Kreditbedeutung.

Der 1. Posten im Kredit ist ein Wechsel, der erst am 7. August fällig wird. Wenn wir diese Summe bereits am 30. Juni verrechnen, so ist der Kontoführer im Schaden. Er erleidet einen Zinsverlust für 1250 M auf 37 Tage = 463 #. Er macht sich dadurch schadlos, daß er den Kuttner mit 463 4t belastet. Wir setzen diese Zinszahl zwar neben die Betragsziffer 1250 M, sie gehört aber ihrer Bedeutung nach ins Debet. Die zinsliche Veranlagung der andern Posten im Kredit ist dieselbe.

Retrograde Zahlen im Kredit haben also Debetbedeutung.

Wir haben bis jetzt nur die einzelnen Posten per 30. Juni verrechnet; es ist nur untersucht, welcher Zinseffekt, in Zinszahlen ausgedrückt, sich bei der Abrechnung ergeben würde. Es bleibt noch festzustellen, welche Summe Kuttner an diesem Abrechnungstage aus den Beträgen dem Kontoführer schuldet oder von ihm zu fordern hat. Diese Summe nennt man, da sie ohne Rüchicht auf etwaige Zinsen berechnet wird, Rohsaldo.

Alle Beträge sind zurückgerechnet per 30. Juni.

„ Kreditseite 4 650,— „

Kuttner schuldet per 30. Juni laut Debetseite 7 537,36 M, er hat gut „ 30.

der Rohsaldo ist also .... 2 887,36 M, und zwar ist es ein Debetsaldo. Da aber der Wert nicht am 30. Juni sondern erst am 31. Dezember verlangt werden kann, müssen von Kuttner noch Zinsen vom 30. Juni bis 31. Dezember, also für 180 Tage, geleistet werden. Diese Zinszahl Don 2 887,36 M für 180 Tage --- 5197 # soll im Debet wirken. Weil wir mit retrograden Zahlen rechnen, müssen sie also in die Kreditseite eingetragen werden. Der Rohsaldo wird in der Textkolonne ebenfalls in der Kreditseite nur vorgemerkt.

Kuttner schuldet nun die Zinszahlen auf der Kreditseite

- 11 059 # --- 7 424 #

3 635 *

er hat gut die Zinszahlen auf der Debetseite..... er schuldet demnach uod) einen Zinssaldo von ....

Wir setzen diesen Saldo auf die kleinere Seite ins Debet, wodurch Mn beide Zinszahlenspalten balanzieren.

Die Zinsen aus 3635 # ä 4¹/₂ % werden mit 45,40 in die Debet-Betragskolonne gebracht. Bei der retrograden Methode stehen also Zahlen saldo und Zinsen auf derselben Seite.

Nun erst stellen wir in der bekannten Weise den Gesamtbetragssaldo fest und schließen das Kontokorrent ab.

Arbeiten bei der retrograden Methode:

1.    Zinstage (retrograde) und Zinszahlen berechnen;

2.    Rohsaldo aufsuchen und in der Textkolonne der kleineren Seite vornotieren ; Zinszahl in die Zahlenspalte derselben Seite;

3.    Zahlensaldo ermitteln; die Zinszahl aus dem Rohsaldo nicht vergessen; Zahlensaldo in die Zahlenspalte der kleineren Seite;

4.    Zinsen aus dem Zahlensaldo in die Betragskolonne derselben Seite;

5.    Betragssaldo auf die kleinere Seite bringen und abschließen.

5. Das Kontokorrent mit wechselndem Zinsfuss.

Die Höhe des Prozentsatzes, nach den: die Beträge im Kontokorrent behandelt werden, hängt imnrer von dem Diskont ab, zu welchem die Reichsbank Wechsel diskontiert. Ist die Reichsbank gezwungen, den Diskont zu verändern, so müssen diesem Beispiel auch die andern Bankanstalten folgen. Es tritt dann also auch im Kontokorrent ein Wechsel des Zinsfußes ein.

Das Beispiel 4 zeigt ein solches Kontokorrent; es ist auch nach der retrograden Methode bearbeitet.

Die Berechnung der Tage und Zinszahlen geschieht wie gewöhnlich. Darauf sucht man auf beiden Seiten die Stelle, wo der Diskont wechselt, das ist im Debet nach dem 5., im Kredit nach dem 2. Posten. Man addiert Zinszahlen und Betrüge der ersten Diskontperiode und notiert die Resultate darunter in kleinen Ziffern. Darauf stellt man die Endsummen der Beträge und Zinszahlen fest, die ebenfalls in kleinen Ziffern unter den letzten Zahlen vorgemerkt werden.

Nachdem diese Vorarbeiten erledigt sind, beginnt man mit der Berechnung der 1. Diskontperiode.

Im Debet sind 9 364,05 M Beträge,

der Rohsaldo der 1. Periode ist

„ Kredit „ 6140,-

1568 #, 2450#,

demnach .... 3 224,05 M. Er wird in die Textkolvnne der kleineren, hier der Kreditseite gesetzt und mit 76 Tagen zinslich veranlagt (2450 #). Diese Zinszahl darf aber nicht in die Zahlenkolonne wie bei dem Kontokorrent mit gleichbleibenden! Zinsfuß gesetzt werden. Der Grund dafiir wird aus der Besprechung der 2. Diskontperiode ersichtlich iverden. — Für die Feststellung des Zahlensaldos der 1. Periode haben wir zur Verfügung aus deni Kredit dazu die Zinszahl aus bem 1. Rohsaldo

zusammen . . .    4018 #.

........ 1605 #,

Im Debet sind......

2413 #,

mithin beträgt der 1. Zahlensaldo woraus ä 4*/₂ % 30,16 M Zinsen entstehen.

Für die Ermittelung des 2. Zahlensaldos gilt nun folgendes: Man faßt den 2. Z a h l e n s a l d o als Differenz zwischen d e m ganzen Kontokorrent und d e m der 1. Diskontperiode auf.

Wir stellen also unsere Berechnung so an, als ob der Zahlensaldo des g a n z e n Kontokorrents zu suchen und davon der 1. Zahlensaldo abzuziehen sei. Daraus erklärt sich nun auch, iveshalb die Zinszahl aus dein 1. Rohsaldo nur in der Textspalte vornotiert ivnrde; der l. Rohsaldo und also auch seine Zinszahl hat mit der zinslichen Veranlagung des ganzen Kontokorrents nichts zu tun.

Von dem Zinseffekt der ganzen Geschäftsperiode wird nun der

I.    Zahlensaldv — also der Zinseffekt der 1. Periode — dadurch abgezogen, daß er in die Zinszahlenspalte eingestellt und mitgerechnet wird, er wirkt dann s u b t r a k t i v.

Die Sunnne der Beträge im Kredit ist M 17 655,—

„    „    „    „    „ Debet „ „ 11931,20

Der 2. Rohsaldo beträgt demnach . . . M 5 723,80

Er ist mit 180 Tagen zinslich zu veranlagen = 10 303 #. Der

II.    Rohsaldo wird wieder in die Textkvlonne gesetzt; die Zinszahl kann aber schon, da es ja die Zinszahl aus deni letzten Rohsaldo ist, in die Zahlenkolonne eingestellt werden.

Nun ist aber in das Debet noch der 1. Zahlensaldo von 2413 # gesetzt. Wird diese Zahl noch zu den 14 756 # hinzugerechnet, so verschwindet nicht nur der Zahlensaldo von 2083# im Debet, sondern es entsteht sogar noch für das Kredit ein 2. Zahlensaldo von 330 #, woraus ä 4 % 3,67 M Zinsen entstehen, die in die Betragskolonne der Kreditseite einzutragen sind.

Schließlich wird nun der Gesamtsaldo aus den Beträgen ermittelt und das Kontokorrent abgeschlossen.

Ist Provision verabredet worden und sind Porto und andere Unkosten zu verrechnen, so wird vor dem Abschluß die erstere von der größeren Seite berechnet, der Saldo aber, der von der vorigen Rechnung herrührt, wird erst in Abzug gebracht, weil er schon dort mit Provision belegt war.

Der Zahlensaldo der ganzen Geschäftsperiode würde aus folgenden Zahlen entstehen

Kredit . . Debet . . der aus dem 2. Rohsaldv.

daraus würde ein Zahlensaldo von für das Debet entstehen.

16 839#

4 453#

10303 „    14 756 „

2 083#

Beim An- und Verkauf von Effekten ist die Provision schon in die Spezialrechnung des Auftraggebers aufgenommen. Diese Posten müssen also für die Provisionsberechnung aus dem Kontokorrent ausscheiden ; desgleichen darf auch von denjenigen Posten eine Provision nicht erhoben werden, die provisionsfrei (provfr.) oder unkostenfrei (untfr.) gehandelt wurden, oder die ihrer Natur nach keine Bankgeschäfte sind, z. B. Warenrechnungen, Unkosten- und Versicherungsrechnungen und dergl.

Hat der Kontoführer sich beim Ein- und Verkauf von Wechseln auf ausländische Plätze, von Geldsorten und Effekten eines Maklers bedient, oder hätte er es tun können, so wird von diesen Beträgen noch Maklergebühr berechnet, wenn sie nicht ausdrücklich als mgbfr. (maklergebührenfrei) bezeichnet sind.

Endlich werden noch alle Unkosten wie Porto, Wechselstempel usw. in Rechnung gestellt, und nun erst kann das Kontokorrent abgeschlossen werden.

Arbeiten bei dem Kontokorrent mit wechselndem Zinsfuß:

1.    Zinstage und Zinszahlen wie gewöhnlich ausrechnen;

2.    die kleinen Endziffern beider Diskontperioden in Beträgen und Zahlen suchen;

Z. I. Zahlensaldo und Zinsen für die I. Diskontperiode ermitteln.

a)    I. Rohsaldo in die Textkolonne der kleineren Seite;

b)    Zinszahl daraus ebenfalls in die T e x t k o l o n n e;

c)    Zahlensaldo feststellen (nicht die Zinszahl aus dem Rohsaldv vergessen!) und, damit er später subtraktiv wirkt, in die Zahlenspalte;

d)    Zinsen daraus in die Betragskolonne.

4.    Zahlensaldo und Zinsen für die II. Diskontperiode berechnen.

a)    II. Rohsaldo aus den Endsummen der Beträge suchen;

b)    Zinszahl daraus in die Zahlenkolonne;

c)    II. Zahlensaldo ermitteln (alle Zahlen, die jetzt in den Zahlenkolonnen stehen, mitrechnen);

d)    Zinsen daraus in die Betragskolonne.

5.    Provision und Kosten einsetzen;

6.    Gesamtsaldo suchen und abschließen.

6. Die 8taffelrecbnung.

Im Geschäftsverkehr mit den Banken wird sehr oft vereinbart, daß dem Kunden für alle Posten im Debet 1 % bis 1V₂ % über Bankdiskont gerechnet, für alle Kreditbeträge 1 % bis V/a % unter Bankdiskont vergütet werden. In solchen Fällen kann man weder die progressive noch die retrograde Methode anwenden. Es werden dann die Zinsen nach der sogenannten Staffelrechnung ermittelt. Das Kontokorrent selbst wird ohne Zinstage und Zinszahlen aufgestellt; die Zinsen werden laut beigelegter Staffel eingetragen.

Beispiel Nr. 5 zeigt eine solche Art der Zinsberechnung. Die einzelnen Posten in Debet und Kredit sind nach dem Verfall chronologisch geordnet. Die Zinsennota beginnt mit dem Saldo von 600 Mr der am 30. Juni fällig ist. Erst ein Debetsaldo (das deutet das D in der zweiten

Spalte an ) und bleibt unverändert bis zum 3. Juli, weshalb er mit 3 Tagen zu verzinsen ist. Die daraus entstehenden 18 # sind also Debetzinsen und werden in die Debetzinszahlenspalte eingesetzt. Am 3. Juli kommen aus dem Debet 700 M zur Verrechnung, so daß der Saldo nun 1300 M beträgt. Er ist ebenfalls ein Debetsaldo und muß vom 3. bis 10. Juli, also für 7 Tage mit 91 # verzinst werden. Am 10. Juli wird der Saldo durch einen Kreditposten um 500 M verringert u. s. w. —

Jeder Saldo wird also immer bis zu dem Tage zinslich veranlagt, an welchem ein neuer Posten im Debet oder Kredit auftritt.

Debetsaldo und Debetpo st en ergeben wieder einen Debetsaldo.

Aus Kreditsaldo und Kreditposten entsteht ein Kreditsaldo.

Kommt ein D e b e t s a l d o und ein K r e d i t p o st e n oder ein K r e d i t s a l d o und ein D e b e t p o st e n zusammen, so wird der S a l d o durch S u b t r a k t i o n der k l e i n e r e n von der größeren Zahl gefunden. Die Bezeichnung D oder C der größeren Zahlen gibt auch dem Saldo seine Benennung.

Kurz gesagt:

Bei gleichen Benennungen werden die Zahlen addiert, bei ungleichen Benennungen werden die Zahlen subtrahiert.

Der Saldo bekommt die Benennung der größeren Zahl.

Debetsalden bedingen Debetzinsen, Kreditsalden geben Kredit

zinsen.

Der letzte Saldo wird bis zum Abschlußtage veranlagt. Darauf werden die Zinszahlen addiert, aus jeder Zahlensumme die Zinsen berechnet und miteinander verrechnet. Die ermittelten Zinsen werden ins Kontokorrent eingetragen.

Hat der Diskont im Laufe der Geschäftsperiode gewechselt, so wird jede Diskontperiode für sich berechnet. Man führt also das Kontokorrent bis zum Tage des Diskontwechsels, rechnet die Zinsen aus, führt dann das Kontokorrent bis zum Abschlußtage weiter, ermittelt aus der 2. Diskontperiode die Zinsen und verrechnet diese mit den Zinsen aus der 1. Diskontperiode.

I. Beispiel.

Debi

Kontokorrent nach der

ßcrr ßdnrtcb

Monat Tag

Verfall Tage Zahlen Betrag

1906

Juli

August

Sept.

ih cd cd id

tH

An Saldo . . . „ Waren . . .

do-

do.

„ 5% 863 *    .

00 00 iO i~l

tH

© cd cd id

00    i-l

11

! I ! !8

1907

Jan.

2325    3211

1. An Saldo . .

31.

1511

II. Beispiel.

Kontokorrent nach der progressiven

I i|||l

1.

10.

15.

10.

20.

An Saldo „ Waren

do.

do.

do.

„ Saldo d. rot. Zahlen „ Zinsen 4 o/o 474 #

Dez.

Juni

Juli

Aug.

Juni

30.

10.

15.

10.

20.

2722

160

105

400

90

215

3187

1511

800

700

1000

900

4917

rr

7.

An Saldo .    .

30.

1367

CO I I I I CM I c§ I CM

III. Beispiel.

Kontokorrent nach der

1906

Juli

Aug.

Sept.

Nov.

Dez.

to CÖ

p px O px 00

An Saldo . „ Waren .

do.

do.

do.

do.

„ Zahlensaldo L4V,o/o

Jum 30. Nov. 3. Aug. 15. Dez. 30. Febr. 25 Jan. 5.

I co uo o to m

I CM ^ 00 CO 00

1—1

Epoche

1367

541

1336

1861

2298

1388

3635

439

2968

1034

978

749

45

1907

Jan.

11059

7582

1. An Saldo . .

31.

2932

CM

00

progressiven Methode.

Kiittner, Berlin,

' Credi

Monat Tag

Verfall

Tage

Zahlen Betrag

1906

Juli

10.

Nov.

9.

Per bar.....

„ do......

„ Zahlensaldo . . „ Saldo zu meinen Gunsten . . .

Juli

Nov.

10.

9.

170

850

51

612

863

500

1200

Dez.

31.

3211

99

2325

1511

99

Irrtum vorbehalten. Berlin, d. 31. Dezember 1906.

Karl Brämer.

Methode mit roten Zahlen.

I- fli

^    05

io ö © > d

-H <N <M <M

Per bar

J./Rimesse

M./Tratte

bar

Zahlensaldo

38

474

II I I 8

8888 5

lO 'tfl 05    CO

3187

4917 26

retograden Methode.

Juli

Nov.

20.

10.

Dez.

15.

6.

Per J./Rimesse . . „ bar .... „ M./Tratte . . „ bar .... „ Rohsaldo2887,36^ „ Saldo z.m. Gunsten

Aug.

Nov.

Dez.

7.

10.

37

15

6.

31

31.

130

165

156

180

463

650

1250

4125

624

5197

11059

500

2500

400

2932

7582

00

Boelkner, Prakt. Rechnen.

209

14

IV. Beispiel.

Debi

Kontokorrent mit wechselndem Zins-

ficrr fiemrtcb Kuttner,

Monat Tag

Verfall Tage Zahlen Betrag

1907

Jan.

1. An Saldo-Vortrag . Dez. „ J/Tratte . . . Jan. „ Effekten....

2.

Febr.

März

24.

10.

Febr.

15.    „ Giro-Überweisung März

do

20.

Juni

21.

1.

„ Effekten. ...

„ M/Rinresse. . . April „ J/Entnahme . . Juni

„ I. Zahlensaldo L 4V₂%

„ II. Rohsaldo . .

„ Saldo ....    „

IC CO to    ¹— I—L    to ^    CO

ox p p    px p    px p    p

7} CD 00    I

Cn O O    0(0    0x0    I

Epoche 3 932 256 2 563

162

648

546 1 364

641

854

1605    9364

1040 1 300 434    481

1374    785

4453    11981

O L CO

00

2413    30

10 303

5 697

17 169 17 658

V. Beffpiel.

Debl

Monat Tag

Verfall

Betrag

1905

Juli

Okt.

Dez.

1    An    Saldo ....

„ Zinsen lt. Staffel

20

Juni

Juli

Nov.

Dez.

3.00

Jan.

1 An Saldo

Dez.

31    300

fuß. 4V₂7o bis 16. März, 4°/₀ bis 30. Juni.

Berlin*

Credi

Monat Tag

Verfall Tage Zahlen Betrag

Jan.

Febr.

Mai

Juni

ö id id ö

▼H tH <M

do

co* ö    ö id id ö

tH    Dl    CM

CO o o 00

72

1496

2    400

3    740

lClOO

lOCOt-

■H t—I f—I

15 6 8

6 14 0

3 600

1302

4 249 6120

4 500

840

2    575

3    600

„ I. Rohsaldo M 3224,05 # 2450 „ I. Zahlen

März

CD

tH

saldo ä 4 o/

330

67

17 169

17 658

67

Juli

1.

Per

Juni

5 697 31

Credr

Monat Tag

Verfall

Betrag

Juli

Aug.

Nov.

Ö id CD* Ö

tH T—I T—I 1—<

Per Kasse . .    .

„ Effekten . .

„ J/Rimesse. .

„ M> Entnahme „Saldo zu m. G

Juli

Aug.

Dez.

3500

Deb. Cred.

Zinsen - Wola

Betrag Tage

Znrszahlen

Debet 5o/o Credit 3%

Aug.

Nov.

Dez.

ö cd    ö    io    ö    ö    xd

CO    tH    tH    CO    Ol

U ö pp

P PP P P

ö

T-<

ö U ö ü Uö ö

_600,—

1000,- 80 _1500,-

500,- 15 _7**0, —

1200,-    5

_900,-

300,- 20 Zins-Saldo 0,94

00    ^    o

-H    05    00

60

800

75

60

60

584

860

M 8,11 M 7,17 _Saldo 0,94

M 8,11 M 8,11 Bei den nun folgenden Aufgaben sind die Geschäftserzählungen für die Textkolonne weggelassen, da sie ohne Einfluß auf die Berechnung der Zinsen sind. Es sind nur die Verfalltage und die Beträge angegeben.

Rechne die Aufgaben 1 bis 3 sowohl nach der progressiven als auch nach der retrograden Methode und nach der Staffelrechnung.

Aufg. 1. Abzuschließen per 30. Juni, Zinsen im Debet und Kredit 4 %. Debet

per 31. Dezember M 650,—

„ 20. Januar „ 10. März „ 30. April „ 20. Mai „ 10. Juni

„ 1000,-

„    900,-

„ 1500,— „    500,-

„ 2100,-

M 300,94

Kredit

per 31. Januar M 500,—

„ 20. März „ 2 000,—

„ 10. Mai „ 1 800,—

Aufg. 2.

Abzuschließen per 30. Juni, Zinsen im Debet und Kredit 5 %. Debet

per 31. Dezember M 486,40 „ 15. Januar „ 3. Februar „

.. 7. März

,, 16. „

„ 21. April „ 8. Juni

„ 1639,60 731,35 „ 2 285,65 „ 1480,25 „    675,35

„    300,-

Kredit

per    1.    Februar    1500,—

„    5.    März    „    2 450,-

15.....4121,50

„    3.    Juni    „    953,75

Auf«, z.

Abzuschließen per 31. Dezember, Zinsen im Debetund Kredit 4V₂ %■

Kredit

per    Juli    M    4758,-

„    August    „    1396,45

„    Oktober    „    7 600,—

„    Januar    „

„ Februar 2 461,55 „    Dezbr.    „    967,30

Debet

per 30. Juni „ 30. Juli „ 13. August .. 29. Juli „ 3. Januar „ 10. Febmar „ 15. Dezember „ ,, 20. „

M 1397,40 „ 1456,85 .. 1875,-„ 4 839,45 „ 2 789,35 „ 1123,40 987,20 „    435,45

450,—

Aufg. 4.

Abzuschließen per 31. Dezember, Zinsen im Debet und Kredit bis 13. September 4 %, vom 14. September bis zum Abschluß 5 %.

Kredit M 600,—

„    300,-

„ 1000,— 900,— 200,— 500,—

Debet

per 30. Juni „ 10. Juli

„ 20. Dezember „ 1000,—

„ 20. „

„ 30. August „ 10. September „

per 20. Juli „ 25. August 31

n U-L* it    n

„ 20. September „ „ 10. Oktober „ „ 20. Dezember „

Aufg. 5.

Abzuschließen per 30. Juni, Zinsen im Debet und Kredit bis 17. April 4l/a %, vom 18. April bis zum Abschluß 4 %.

,, II- „

„ 4. April „ 9. Mai „ 6. Juni ii 23.    „

„ 28. „

„ 6. Juli

„ 1500,— „ 2 600,— ii ^00,

„ 1 300,— ,,    500,-

Debet

per 31.    Dezember    M    343,50

„    5.    Januar    „    269,30

„    7.    Februar    „    1357,40

„    849,10

„    1658,45

„    389,45

„    264,50

„    805,30

„    1496,-

„    879,40

Kredit

per 2. Januar M 800,—

„ 13. Februar „ 20. März „ 25. April „ 10. Juni „ 13. Juli

Aufg. 6.

Abzuschließen per 31. Dezember, Zinsen im Debet 4 %, im Kredit

2%.

Debet

Kredit

M 945,75 „ 1364,40 „    958,70

per 30.    Juni

„    10.    Juli

„    3.    August

„    12.    September    „    490,35

„    4.    November    „ 1 684,90

374,65 1 842,30

ii 25.    „    ,,

„ 21. Dezember „

M 1 200,—

per 30. Juli „    4. Oktober „    950,—

„    3. November „ 3 000,—

30.

„ 2 400,— „ 13. Dezember „ 1800,—

D. Gold- und Hilberrechnung.

1. Allgemeines.

Gold und Silber bilden in säst allen Kulturstaaten der Erde das Münzmetall. Sie eignen sich dazu in hohem Maße besonders wegen ihrer vorzüglichen chemischen Eigenschaften, wegen ihrer Dauerhaftigkeit, ihrer Widerstandsfähigkeit gegen atmosphärische Einflüsse, ihrer Dehnbarkeit und ihres Glanzes.

Beide Metalle sind indessen in reinem Zustande zu weich, sie werden daher, um ihnen mehr Härte zu geben, meist mit Kupfer vermischt.

Das beigemischte Metall ist die Regierung, Ä l l i a g e oder 33 e -schickung.

Reines Gold oder Silber wird fein, das legierte Metall rauh genannt. Das Gewicht des rauhen Metalls ist das R a u h g e w i ch t, das Gewicht des darin enthaltenen feinen Metalls das F e i n g e w i ch t. Das Verhältnis zwischen Feingewicht und Rauhgewicht heißt Feingehalt. Bei Münzen nennt man das Feingewicht „Korn" und das Rauhgewicht „S ch r o t".

Das Gewichtsmaß der Edelmetalle (Münzgewicht) stimmt nicht immer mit dem Handelsgewicht überein, es ist daher für die Berechnung der Edelmetalle die Kenntnis der in den einzelnen Ländern geltenden gesetzlichen Münzgewichte erforderlich.

2. Sdelmetallgewtcbte und feuibeitsbestunmung.

In den meisten Ländern wird der Feingehalt der Edelmetalle in Tausendteilen ausgedrückt. 0,900 f (fein) oder einfach 900 f heißt: unter 1000 Teilen Rauhgewicht sind 900 Teile Feingewicht und 100 Teile Beschickung. Nur in einigen Ländern (siehe Rußland und England) bedient man sich anderer FKnheitsbezeichnungen.

Deutscbee Reich*

Seit 1857 gilt als Gewicht für Edelmetalle das Münzpfund ä 500 g oder 1 000 Aß und das kg ä 1 000 g ä 1 000 mg.

186

Das frühere Münzgewicht war die kölnische Mark = 233,8555 g. Sie wurde als Gewicht für Gold in 24 Karat ä 12 Gräns, als Gewicht für Silber in 16 Lot ä 18 Gräns eingeteilt. 18karätiges Gold enthielt unter 24 Teilen Rauhgewicht 18 Teile fein Gold. Die Feinheit dieses Goldes kann auch durch den Bruch ¹⁸/₂₄ ausgedrückt werden. Ist der Feingehalt in Karat und Gräns angegeben, so muß alles in Gräns verwandelt werden, der Nenner des Feinheitsbruches ist dann 24 x 12 --- 288. Gold von 15 Karat 6 Gräns hat demnach den Feinheitsbruch /₂₈₈, Silber von 12 Lot 9 Gräns hat ²²⁵/₂₈₈ Feingehalt.

Diese Feinheitsbezeichnung findet sich heute noch auf den älteren goldenen und silbernen Geräten und Schmuckgegenständen. Will man sie in die neue Feinheitsbezeichnung verwandeln, so braucht man nur den Femheitsbruch in einen Dezimalbruch zu verwandeln.

14karätiges Gold - ¹⁴/₂₄ - 14 : 24 --- 0,583 f.

Gib folgende Feinheitsbezeichnung in Tausendteilen an:

Aufg. i.

Gold : a) 16 Karat, b) 12 fl., c) 14 K., d) 20 K., e) 18 K., 4 Gr.,

f) 15 K. 8 Gr., g) 20 K. 10 Gr.

Aufg. 2.

Welche Tausendstelbezeichnung haben folgende Silberlegierungen: a) 12 Lot, b) 8 L-, c) 10 L-, d) 9 £., e) 14 £., l) 12 L. 12 Gr., g) 13 £. 8 Gr., h) 10 £. 15 Gr.

Oesterreich - Ungarn.

Münzgewicht ist das kg ä 1000 g.

580

Gegenstände aus Edelmetall werden auf den Punzierungsämtern mit einem Kontrollstempel versehen. Goldgegenstände sollen in den Feinheitsgraden ⁹²⁹/₁₀„o = No. 1, M9/₁₀₀₀ = No. 2, ”%₀₀₀ = No. 3, /io»o ^ No. 4 gefertigt sein. Haben Waren einen andern Feinheitsgrad, so erhalten sie den nächstniedrigeren Stempel.

900

Silbergegenstände sollen die Feinheitsgrade ⁹⁵⁰/1O0o = No. 1, Aooo = No. 2, ⁹“»/₁₀₀„ = No. 3, ™V₁₀₀₀ = No. 4 haben.

franhrcieh, Belgien, Italien, Portugal und Spanien.

Münzgewicht ist das kg ä 1000 g.

Die Feinheitsbezeichnung geschieht in 1000 Teilen rauh.

Die Schweiz.

Münzgewicht ist das Münzpfund ä 500 g.

Feinheitsbezeichnung wie in Frankreich.

Niederlande.

Münzgewicht ist das Pond (kg) ä 1000 Wigtjes (g). Feinheitsbezeichnuug nach Tausendteilen.

Dänemark, Schweden und Norwegen.

Münzgewicht ist das kg ä 1000 g.

Feinheitsbezeichnung nach Tausendteilen.

Russland.

Münzgewicht ist das Handelsgewicht (1 ü russ. = 96 Solotnik ä 96 Doli. 1 U = 96 x 96 = 9216 Doli. 1 ü = 409,512 g).

Die Feinheitsbezeichnung wird „Probe" genannt. Durch die Probe soll gezeigt werden, wieviel Solotnik bezw. Solotnik und Doli feinen Metalles in einem Pfund rauh enthalten sind. Der Nenner des Feinheitsbruches ist 96 oder 9216, je nachdem die Feinheit in Solotnik oder in Doli ausgedrückt werden soll. ⁸⁴/9e f. Gold bedeutet 84 Teile f. Gold in 96 Teilen rauh.

Die Umwandlung in die Bezeichnung nach Tausendsteln geschieht wieder in der Weise, daß der Zähler durch den Nenner dividiert wird.

Cnglanct.

Münzgewicht ist das Troypfund (TrU) zu 12 Ounces (oz) zu 20 Pennyweights (dwts) zu 24 Grains (grs).

1 Troypfund = 12 x 20 x 24 = 5760 grs = 373,242 g.

Feinheitsbezeichnuug: Feingold = 24 Karat (car) ä 4 Grains, Feinsilber ----- 240 Pennyweights (dwts) ä 24 Grains. Sowohl bei Gold als auch bei Silber bezieht man aber die Feinheitsbezeichnung nicht auf 24 Karat bezw. 240 Pennyweights, sondern auf die Legierung, aus der Gold- und Silbermünzen geprägt werden, das ist bei Gold 22 Karat, bei Silber 222 Pennyweights. Metall in dieser Feinheit heißt Standardmetall. Um nun die Feinheit des Edelmetalls zu bezeichnen, gibt man ein, um wieviel car und grs oder dwts es besser oder schlechter als Standardmetall ist. Dieser Unterschied wird durch report B (better = besser) und report W (worse --- schlechter) ausgedrückt. Die Differenz zwischen der Feinheit des Metalls und Standardmetall ist die B e 11 e r n e s s (das Mehr) und t)ie W o r s e -ness (das Weniger).

Beispiele: Welchen Feingehalt hat Gold vom report W 3„2?

Standardgold ----- 22 car Worseness ---- 3 „ 2 grs Gold vom report W 3,,2 ----- 18 car 2 grs --- ⁷⁴/₉₆ f.

Welchen Feingehalt hat Silber vom rep. B 4„8?

Standardsilber ---- 222 dwts Betterness ----    4    „    8    grs_

Silber vom rep. B 4„8

----- 226 dwts 8 grs --- ⁵⁴³²/

5760

f.

Seit dem 1. November 1852 bezeichnet bieBank of England den Feingehalt des Goldes in Tausendteilen.

Will man die alte Feinheitsbezeichnung in die Angabe nach Tausendsteln umrechnen, so bildet man erst wie im Beispiel oben einen gewöhnlichen Bruch (18 car 2 grs = 72 grs + 2 grs == 74 grs, 24 ear ----- 96 grs; Zähler 74, Nenner 96 ----- ⁷⁴/₉₆) und verwandelt diesen in einen Dezimalbruch. ⁷⁴/₉₆ ---- 0,7708 ----- 770²/₃ f. (Die Bank of England rechnet bis auf Dritteile von Tausendteilen).

Aufg. 3.

Rechne folgende Feinheitsbezeichnungen in Tausendstel um:

@ o I b: a) report W 2 car ©über: a) report B ödwfcs b) „ Bl „ grs    )    „ W 7 „

,,    W10 „

„    B 2 „ 12 grs

c)

,, W 5 „

d) „ BO „

CM tH CO

3. Berechnung des femgewicbts.

1. Beispiel: Ein Goldbarren von dem Feingehalt 0,850 wiegt 5,4 kg. Welches ist sein Feingewicht?

5,4 x 85

? kg f    5,4 kg rauh

1000 rauh    850 f

270

432

459,0 : 100 ---- 4,590 kg.

Sprich: Wieviel kg Feingold sind in 5,4 kg Rauhgewicht enthalten, wenn in 1000 Teilen rauh 850 Teile Feingold sind? 2. Beispiel: Ein Silberbecher von der Probe 84 wiegt 34 Solotnik. Wieviel Feinsilber ist darin enthalten?

17 x 7

?f

M Sol. rauh 17

4 48-0S rauh 84 f 7

119 : 4 ---- 29³/₄ Sol.

3. Beispiel: Wieviel feines Metall berechnet man in London aus 65,376 oz Gold report W 1 car 2 grs?

Standardgold X rep. W1 car 2 grs ---    1 „ 2 grs

---- 22 car

24    41/48 f

20 car 2 grs ----- 20Va

? oz s. 12 4S rauh

65,376 oz rauh 16,344

41 f

16,344 x 41 653 76

670,104 : 12 = 55 842 oz f.

70

101

50

24

Man ermittelt d a s Feingewicht, indem man das Rauhgewicht mit dem Feingehaltsbrnch m ultipliziert.

Aufg. 4.

Wieviel fein Silber ist in 214,7 kg Barrensilber ⁸⁸⁰/₁₀oo fein enthalten?

Aufg. 5.

Ein Goldbarren ⁹¹⁰/₁₀oo fein ist 4,357 kg schwer. Wieviel fein Gold enthält er?

Aufg. 6.

Eine goldene Medaille ⁸⁹⁰/10(J0 fein wiegt 173 g. Wie groß ist ihr Feingewicht?

Aufg. 7.

Eine goldene Uhrkette ⁵⁸⁶/₁₀₀₀ fein wiegt 93 g. Wieviel fein Gold ist darin enthalten?

Aufg. 8.

Wieviel fein Silber ergeben 14 Pfd. 34 Sol. 11 Doli von der Probe 84?

Aufg. 9.

Wieviel fein Gold sind in 94,834 oz vom rep. W 2 grs enthalten?

219

4. Berechnung des Wertes für legiertes Gold und Silber.

Gold und Silber bilden ebenso wie andere Waren einen beliebten Handelsartikel, der in bezug auf seine Bewertung dem Angebot und der Nachfrage unterworfen ist. Die Schwankungen des Preises zeigen sich in den amtlichen Börsennotizen. Außerdem sind für die Wertberechnung dieser beiden Metalle die f e st e n Preise der Hauptbanken des betreffenden Landes sowie diejenigen der Münzstätten maßgebend.

Berlin: Eine amtliche Börsennottz für Gold und Silber gibt es nicht mehr. Die Reichsbank kauft Barrengold von mindestens ⁹⁰⁰/lü00 f. zum Preise von 1392 M per Münzpfund f. (500 g).

Bei fehlendem Probierschein müssen ihr 3,— M vergütet werden. Hamburg: Börsennottz: Gold 2784 — 2788 per kg fein; Silber 70,80—71,10 per kg fein. Courtage V» °/₀₀.

00'

Frankfurt a/M.: Börsennottz: Gold 2780—2788 per kg fein; Silber 70,75—71,10 per kg fein. Courtage l/₂ “/

Paris: Fester Preis für Gold 3437 Frs. per kg. — Meist notiert Gold mit einem Aufgeld (prime) von 1—3 °/₀₀. Courtage meist ¹/₈ %■ London: Die Börsennottz gilt für Münzmetall, d. i. Standardgold oder -Silber. Gold : 77 s 9—10V₂ d per Troyunze. Silber ca. 24 d per oz.

Wien: Die österreichisch-ungarische Bank zahlt für Barrengold 3278 K. Bei fehlendem Probierschein berechnet sie 2 K. Eine amtliche Börsennottz für Gold und Silber gibt es nicht. Maßgebend ist daher der Bankpreis der Londoner, Amsterdamer und der anderen Börsen.

Amsterdam: Börsennotiz fein Gold per kg 1648—1649 hfl.. Courtage meist 1 °/₀₀.

Die Nederlandsche Bank zahlt für Gold per kg fein 1648 hfl. und verkauft fein Gold mit 1653 hfl per kg.

New Hörk: Börsennotiz Gold fein $ 800,— für 43 Troy-Ounzen, wobei aber eine in °/₀₀ ausgedrückte Prämie oder ein Verlust in Anrechnung gebracht wird. Courtage wird meist vereinbart. Silber per Troy-Ounze fein 48³/₄—49l/₈ Cents.

Soll nun der Wert einer Gold- oder Sllberlegiernng ermittelt werden, so ist zunächst aus dem Rauhgewicht und dem Feingehalt das Feingewicht festzustellen und dieses darauf mit dem Gold- oder Silberpreise zu multiplizieren.

1. Beispiel: Ein Goldbarren, 5,438 kg ä 890 fein, wird bei der Reiche bank Berlin ohne Probierschein verkauft.

Welches ist der Erlös?

Feingewicht 5,438 x 0,890 ----- 4,8398 kg 1 kg fein Gold — 2784 M

4,8398 „    „    „    = 4,8398 x 2784 M = 13 474,003 M

'/ Probierkosten..

13 471,— M

2. Beispiel: Welchen Erlös bringt in London ein Barren Gold W 2„3, Rauhgewicht 94,703 oz, zum Preise von 77/9V₂ (lies 77 s 9¹/₂ d). Courtage '/«

Standardgold ---- 22 car report W = 2 „ 3 grains

19 car 1 grains ----- 19¹/₄ =

Standardgold — ⁷⁷/₈₈ — ⁷/s Standardgold.

In 1 oz rauh sind oz Standardgold, in 94,703 oz rauh sind ⁷/a x 94,703 oz = 82,865 oz Standardgold. 1 oz St. G. kostet 77 s 9V₂ d; 82,865 oz St. G. kosten also 82,865 x 77 s 9»/₂ d = £ 322.6.2

8.1

X Vs % Courtage_=

Erlös . .= £ 321.18.1

Anfg. 10.

Wie hoch sind zu bewerten a) 2,560 kg Gold ä 0,900 f., b) 4,135 kg Gold ä 0,890 f., c) 4,765 kg Silber ä 0,810 f., d) 13,431 kg Silber ä 0,920 f.?

Goldpreis: 1392,— M per 0,500 kg.

Silberpreis: 70,85 M per 1 kg.

Courtage V₈ %■

Aufg. 11.

Was kosten in London 45,306 oz vom rep. W 1 car 2 grs? 1 oz Standardgold = ⁷⁷/„.

Aufg. 12

Was erhält man in London für 165,403 oz Silber born rep. B 4 dwts? 1 oz Standnrdsilber = 23¹/₂ <i

Aufg. 13.

Ein Barren güldisches Metall¹) wiegt 18,3946 kg. Er enthält 775 Tausendteile Gold und 150 Tausendteile Silber. Goldpreis 2785 M per kg, Silberpreis 70,90 M per kg.

Berechne den Wert des Barrens!

Aufg. 14.

Welchen Ertrag bringen in Paris 23,346 kg Gold, Feingehalt 910 milliemes (Tausendteile) ? Fester Preis 3437 Frs. per kg mit 2 °/₀₀ prime. Courtage ¹/R %.

E. Die Münzrechnung

1. Einführung in die JVIünzrecbnung.

Münzen sind Metallstücke bon meist runder Form. Sie haben ein bestimmtes Gewicht und einen bestimmten Feingehalt. Die beiden Seiten nennt man Abers und Rebers. Der Abers zeigt das Bild des Landesherrn (20 JH¹, 10 M ©Me) oder die Bezeichnung des Wertes der Münze (1 J£=, V₂ K-Stücke), der Rebers weist das Landeswappen auf. Entweder auf dem Rebers oder dem Abers lesen wir noch die Jahreszahl der Prägung und den Münzbuchstaben. Bei den deutschen Münzen bedeutet

Buchstabe A die Münzstätte Berlin,

Hannober²), Frankfurt a. M.²), München,

Dresden,

Buchstabe F die Münzstätte Stuttgart,

Karlsruhe,

Darmstadt³),

Hamburg,

Straßburg³).

Man unterscheidet Kurant- und Scheidemünzen. Kurantmünzen bilden das gesetzliche Zahlungsmittel; ihr innerer Wert ist dem Nennwerte fast gleich. Scheidemünzen sind minderwertig geprägt und brauchen nur bis zu einem bestimmten Betrage in Zahlung genommen werden.

Die Befugnis zur Münzausprägung (Münzregal) hat jetzt in fast allen Ländern nur der Staat.'

Die staatlichen Münzstätten sind berechtigt, soweit sie nicht von dem Staat in Anspruch genommen sind, auch für Privatpersonen Münzen zu prägen. Sie tun dies gegen Erhebung einer bestimmten Gebühr, des Schlagschatzes. Die deutschen Münzanstalten prägen aus 500 g fein Gold 139V₂ Kronen = 1395 M. Sie zahlen aber nur für 500 g fein Gold 1392 M. Der Schlagschatz beträgt demnach 3 M.

Münzen werden aus Gold, Silber, Kupfer, Nickel und Bronze geprägt. Die gesetzlichen Bestimmungen darüber, welches von den Metallen im Lande als Zahlungsmittel zu gelten hat, nennt man die Währung.

Sind Goldmünzen gesetzliches Zahlungsmittel, Silbergeld nur Scheidemünze, so spricht man von der Goldwährung.

Bei der Silber Währung kann Silber in beliebiger Höhe in Zahlung gegeben werden, Goldmünzen werden in solchen Ländern meist mit Aufgeld, Agio, berechnet.

In manchen Ländern ist Gold und Silber in ein bestimmtes Wertverhältnis, Relation, zueinander gesetzt. Beide Metalle gelten als gesetzliches Zahlungsmittel. Man nennt diese Geldverfassung die Doppelwährung.

Beim Übergang von der Doppel- oder Silberwährung zur Goldwährung wird oft den älteren Silbermünzen die Kuranteigenschaft gelassen, sie müssen also in jeder Höhe als Zahlungsmittel angenommen werden (im Deutschen Reich die Talerstücke). Die reine Goldwährung ist also dort noch nicht eingeführt; man bezeichnet diesen Zustand als hinkende Währung.

Die gesetzliche Bestimmung darüber, wieviel Stücke einer Münze aus einer bestimmten Gewichtseinheit feinen oder auch legierten Metalls geprägt werden, nennt man Münzfuß. So wird durch den deutschen Münzfuß festgesetzt, daß aus 500 g fein Gold 1395 Ji geschlagen werden. Das Gewicht, das dem Münzfuß zugrunde gelegt wird, ist das Münzgewicht.

Bei der Herstellung der Münzen ist es nicht immer möglich, sie ganz genau den gesetzlichen Bestimmungen gemäß sowohl in bezug auf die Feinheit als auch auf das Gewicht zu prägen; daher sind sowohl nach oben wie nach unten kleine Grenzen gegeben, innerhalb welcher die Münzen noch Zahlungsfähigkeit haben. Man bezeichnet die Abweichung mit Remedium oder Toleranz.

Dadurch, daß die Münzen im Verkehr von Hand zu Hand gehen, verlieren sie allmählich durch Abnutzung an Gewicht. Wieviel diese Differenz betragen darf, wird durch das Passiergewrcht festgelegt. In Deutschland liegt diese Gewichtsgrenze 5 °/₀₀ unter dem Vollgewicht. Das Normalgewicht eines 20 Markstücks ist 7,9649 g, das Passiergewicht demnach 7,9649 g — 5 °/₀₀ = 7,9251 g. Ist der Gewichtsverlust noch größer geworden, so gelten solche Münzen nicht mehr als vollwertiges Zahlungsmittel, sie werden nur noch nach ihrem Gewicht bewertet, al marko gehandelt.

2. JWünzverbältniffe der wichtigsten Länder.

Deutsches Reich.

Goldwährung. 1 Mark = 100 Pfennig.

00«

Aus einem Münzpfund fein Gold & 500 g werden 139,5 Kronen (10 Markstücke) geprägt. 1 M also = ¹/₁₃₉₅ ü oder l/₂?9o kg fein Gold. Feinheit der Goldmünzen 0,900, Rauhgewicht einer Krone 7,96495 g, Feingewicht 7,16846 g, Remedium für die Feinheit 2 °/₀₀, für das Gewicht 2¹/₂ °/

Kurantmünzen. 20Markstücke (Doppelkronen) und 10Markstücke (Kronen). Ms Knrantmünze gilt auch der Taler. 30 Taler --- 1 Münzpfund fein Silber; Rauhgewicht 18,5185 g, Feingehalt 0,900, Feingewicht 16,66... g.

Scheidemünzen, a) Silberstücke: 5, 2, 1 und V-,Markstücke.

100 M --1 Münzpfund fein Silber, b) Nickelmünzen: 10 und 5 Pfennigstücke. c) Bronzemünzen: 2 und 1 Pfennigstücke.

H a n d e l s m ü n z e. Für Deutsch-Ostafrika die Rupie.

Oestcrrticb-Öngarn.

Jetzt Goldwährung. (Seit dem 1. Januar 1900).

1 Krone = 100 Heller.

Aus 1 kg Feingold werden 164 20 Kronenstücke 0,900 fein geprägt.

00,

00'

1    Krone also = ¹/₃₂₈₀ kg fein Gold. Feingewicht eines 20 Kronenstücks 6,09756 g; Rauhgewicht 6,77507 g; Remedium für Feinheit 1 °/ für Gewicht 2 °/

Kurantmünzen. 20 und 10Kronenstücke. Scheidemünzen, a)Silbermünzen:5und 1 Kronenstücke 0,900 fein, b) Nickelmünzen: 20 und 10 Hellerstücke, c) Bronzemünzen:

2    und 1 Hellerstücke.

Handelsmünzen, a) der Golddukat0,986'/₉fein, Rauhgewicht 3,4909 g; Feingewicht 3,44241 g. b) der Maria Theresientaler 0,833'/z fein Silber; Ranhgewicht 28,0668 g; Feingewicht 3,44241 g.

Vor dem 1. Januar 1900 Silberwährung.

1 Gulden (ösl) = 100 Kreuzer.

Guldenstücke sind noch im Verkehr als Kurantmünze geblieben. Bei der Umrechnung ist 1 Krone = ¹/.i ösl.

Die lateinische JMünz-Qmon,

Dazu gehören Frankreich, Italien, Belgien, die Schweiz und seit 1868 auch Griechenland.

Doppelwährung. Gold- und Silbermünzen haben die Ausprägungsrelation 15¹/₂ : 1.

1 Frank = 10 Centimes.

Aus 1 kg fein Gold werden 3444⁴/₉ Frs. Gold und aus 1 kg fein Silber 222²/₉ Frs. Silber gemünzt.

Aus Silber ä 0,900 fein wird das 5Frankstück gemünzt,

Aus Gold werden 100, 50, 20, 10 und 5 Frankstücke 0,900 fein geprägt. Ein 100 Frankstück -- 32,25806 g Rauhgewicht und 29,03226 g Feingewicht; Remedium für die Feinheit 1—2 °/₀,„ für das Gewicht 1—30/

Rauhgewicht 25 g, Feingewicht 22,5 g. Diese Münze und die genannten Goldmünzen sowie die entsprechenden Münzen von Italien, Belgien,

Loelkiier, Prakt. Rechnen.

225

15

der Schweiz und Griechenland werden in allen Ländern der Münzunion zum vollen Wert in Zahlung genommen.

Scheidenlünzen: 2 und 1 Frankstücke ä 0,850 fein Silber. Nickel-münzen : Das 25 Centimesstück. Bronzemünzen: Das 10, 5, 2 und 1 Centimesstück. Das 5 Centimesstück führt im Verkehr den Namen Sou.

Außer den genannten Staaten haben noch einige andere Länder das Franksystem eingeführt, so daß der Frank, wenn auch unter anderem Namen, eine der verbreitetsten Münzen ist. Es folgen hier die Länder mit Franlwährung.

Belgien:

Bulgarien:

1 Frank = 100 Centimes, abgekürzt Fr, c. 1 Lewa (Mehrz. Lew) = 100 Stotinki (Einzahl Stotinka), abgekürzt L, st. Griechenland: 1 Drachme (Mehrz. Drachmai) = 100Lepta (Einzahl Lepton), abgekürzt Dr, 1.

1 Lira (Mehrz. Lire) = 100 Centesimi (Einz. Centesimo), abgekürzt £, c.

1 Leu (Mehrz. Lei) = 100 Bani (Einzahl Bann), abgekürzt L, b.

1 Frank = 100 Centimes oder Rappen, abgekürzt Fr, c.

1 Dinar (Mehrz. Dinare) -- 100 Paru, abgekürzt = Din, p.

1 Peseta (Mehrz. Pesetas) = 100 Centimes (Einz. Centimo), abgekürzt Pa, o.

Italien:

Rumänien:

Schweiz:

Serbien:

Spanien:

Cnglancl.

Goldwährung. 1 Livre Sterling (£) = 20Shillings (s oder sh) = 12 Pence (Einzahl Penny). Aus 20 Troypfund Standardgold werden 934¹/₂ £, aus einem Troypfund Standmdstlber 66 s geprägt.

Kurantmünzen: 5, 2, 1 und ¹/₂ ^-Stücke. Der Sovereign, das 1 ^-Stück, hat ein Rauhgewicht von 123,27447 grs oder 7,98805 g, ein Feingewicht von 7,322385 g, einen Feingehalt von 0,916²/₃; Remedium in der Feinheit 2 °/₀₀, im Gewicht 0,2 grs.

Scheidemünzen.

a) Silbermünzen.

1 Silber-Crown

1 Silber-Double-Florin .

»mW

1    „ Penny ....

b) Bronzemünzen.

1 Bronze-Penny . . . . 1    „ -Hals-Penny . .

1    „ -Farthing . . .

Russland.

Vor 1885 Silberwährung. 100 Silberrubel wurden aus 5¹/,, ruff. Pfund rauh ä 83V, Sol. .fein, 62²⁶/₄₆ Halbimperial ä 5,15 P? aus 1 Pfund rauh, 88 Sol. fein geschlagen.

Von 1885—1897 Doppelwährung. Der alte Halbimperial = 10 ältere Rubel. Auch jetzt noch kursiert der alte Silberrubel, aber als Scheidemünze.

Seit 1899 Goldwährung.

1 Rubel (fy°) = 100 Kopeken.

Das eigentliche Zahlungsmittel im inneren Verkehr ist noch immer der Silberrubel und der Papierrubel. Da jetzt diese Geldsorlen von den Staatskassen in jeder Höhe in Zahlung genommen werden, haben sie mit dem Goldrubel den gleichen Wert. Der neue Goldrubel -- ²/a der alten Münze, also 1 alter Goldrubel --- l¹/₂ neuen Goldrubeln.

Kurantmünzen. 15,10,7²/₂ und 5 Rubelstücke. Das 15Rubelstück (Imperial) hat 12,9039 g = 3 Sol. 2,4 Doli Rauhgewicht und ist, wie alle russischen Goldmünzen, 0,900 fein geprägt. Feingewicht 11,61349 g, Remedium aller Goldmünzen in der Feinheit 1 °/00l im Gewicht 1,3 bis 3 °/₀₀.

Scheidemünzen. Der bisherige Silberrubel 0,900 fein; außerdem 20, 15, 10, 5 Kopekenstücke von 0,500 sein Silber und 5. 3, 2, 1, ¹/s und lu Kopekenstücke aus Bronze.

Niederlande.

Doppelwährung. 1 holländischer Gulden = 100 Cents. Gold zu Silber = 15⁵/₈ zu 1.

Kurantmünzen: Goldstücke ä 10hfl (Tjentjes), 6,72 g rauh, 0,900 Feingehalt; der Silbergulden, 10 g rauh, 0,945 Feingehalt; der Rijksdaaler zu 2V₂ fl, 25 g rauh und der V. Silbergulden zu 5 g.

Scheidemünzen: 25, 10, 5ols-Stücke aus Silber und 2¹/₂, 1¹ /2 ots-Stücke aus Bronze.

Handelsmünze: Der holländische Dukat, 3,494 g rauh, 0,983 Feingehalt.

Schweden, Norwegen, Dänemark.

Goldwährung. 1 Kronor (Einz. Krona) = 100 Oere. Münzfuß: 1 kg fein Gold = 2480 Kronen.

Kurantmünzen: 20, 10 und 5 Kronor. 20 Kronorstücke ä 8,96057 g rauh, 8,06452 g Feingewicht, 0,900 Feingehalt.

Scheidemünzen: 2, 1 Kr 50 40, 25, 10 Oe aus Silber und 5, 2, 1 Oe aus Bronze.

Türkei.

Nach dem Gesetz Doppelwäbrung, dem Auslande gegenüber Goldwährung, im innern Verkehr Silberwährung. 1 Piaster = 40 Para ä 3 Asper.

Kurantmünzen: Der Goldlire zu 100 Piaster, rauh 7,2164 g, Feingewicht 6,61503, Feingehalt 0,916²/₃; außerdem Goldmünzen zu 500, 250, 50 und 25 Piaster. Silberkurantmünze für das Inland der Silber-Medjidis, früher im Werte von 20, seit 1880 von 19 Piastern. Feingehalt 0,830; ferner Silbermünzen ä 10, 5, 2,1 und V. Piaster.

Scheidemünzen: a) Silber-Altiliks zu 0,440 fein, zu 5, 2l/₂,

IV. Piaster, b) Silber-Beschliks zu 2¹/* und IV« Piaster. 0,225 bis 0,185 fein, c) Silber-Metalliques zu V₂, ¹/₄, l/₈ Piaster, 0170 fein,

d) Silberscheidemünzen vom Jahre 1900 zu V« und x/₉ Piaster.

Portugal.

Goldwährung. 1 Milreis ($) = 1000 Reis (Einz. Rei oder Real). Münzfuß: 1 kg Gold = 615,116 $.

Kurantmünzen: 1, V₂, V₅, V₁₀ Kronen, 1 Krone = 10 $ rauh 17,735, Feingewicht 16,25708 g, Feingehalt 0,916-/-.

Scheidemünzen: a) aus Silber 5, 2, 1 und ¹/₂TostLo, 0,91G²/3 sein; b) aus Bronze 20,10 und 5 Reisstücke.

Rechnungsstufe: Das Conto (Zeichen:) = 1000 $. 18 : 740 $ 800 r = 18 Conto 740 Milreis 800 Reis.

Vereinigte Staaten von Amerika.

Nach dem Gesetz Doppelwährung, dem Auslande gegenüber Goldwährung. 1 Dollar ($) ----- 100 Cents. 1 kg fein Gold = 664,615 $.

00*

Goldmünzen 20, 10, 5, 3 und 1 $ a 0,900 fein. Ein 10 $ Stück = 16,71813 g rauh, Feingewicht 15,04632, Remedium für die Feinheit 1 °/oo, für das Gewicht 0,77—1,94 0/

Silbermünzen: 1, ¹/?, ¹/₄ und ¹/₁₀ $ ä 0,900 fein.

Nickelmünzen: 5 und 3 Centstücke.

Bronzemünzen: 3 und 1 Centstücke.

Brasilien.

Goldwährung. 1 Milreis = 1000 Reis.

Goldmünzen: 20, 10 und 5 $ Stücke ä 0,916²/., fein. Ein 10 $ Stück = 8,964849 rauh, Feingewicht = 8,21778 g.

Silbermünzen: 2, 1 und ¹/₂ $ Stücke ä 0,916²/₃ fein. Nickelmünzen: 200, 100, 50 Reisstücke.

Bronzemünzen: 20 und 10 Reisstücke.

Im Inlands kursiert nur Papiergeld mit bedeutendem Disagio.

China.

Silberwährung. 1 TaÄ = 10 Tsien = 10 Fan = 10 Li.

= 36,8284 „ — 36,66    „

Der TaÄ ist aber nur Rechnungseinheit, er wird nicht geprägt. Man gibt Silberbarren in Zahlung, die nach TaÄ bewertet werden. Das Gewicht des Taels ist für die verschiedenen Provinzen verschieden. Der Haikwan-TaÄ = 37,783 g Feinsilber „ Kanton- „

,, Shangai- „

Zahlungsmittel.

a)    Shoes (Schuhe) d. s. Silberbarren ca. 50 Taels schwer, Feingehalt ²³⁹/₂40.

b)    Chinesische Cash. Das Cash dient im ganzen Reiche als Scheidemünze. Es hat in der Mitte ein viereckiges Loch zum Aufreihen auf Schnüre.

c)    Der Drachen-Dollar zu 100 Cents (ungefähr = 1,70 M).

d)    Der mexikanische Piaster, eine wichtige Zahlungsmünze im Exportverkehr.

6) Der britische Handelsdollar (ebenfalls = ca. 1,70 M).

f) Große Mengen Papiergeld der Notenbanken.

Japan.

Goldwährung. 1 Pen = 100 Sen ä 10 Rin.

Goldmünzen: 20, 10, 5, 2 und 1 Penstücke ä 0,900 fein. Ein 20 Pen-Stück = 16,6667 g rauh, Feingewicht 15,000 g. 1 kg fein Gold = 66²/₃ 20 Yenstücke.

Silbermünzen: 1 Pen ä 0,900 fein, 50, 20, 10 und 5 Senstücke ä 0,800 fein.

3. Die JMünzpantät.

Die Münzparität drückt den Wert einer Münze in einer andern Währung aus. Sie stellt z. B. fest, wieviel Frs. gleich 1 M, wieviel Rubel gleich 1 Krone usw. ist. Die Parität der Münzen ergibt sich aus denAusmünzungsverhältnissen. Es hat indessen nur Wert, Goldmünzen mit Goldmünzen zu vergleichen.

Man bedient sich zur Feststellung des Münzparis am besten des Kettensatzes.

Beispiel. Welches ist das Münzpari von 1 £ in der Markwährung. Es müssen hierbei sowohl die englischen wie die deutschen Aus-münzungsverhältnisse untersucht werden.

England: 20 Troypfund Standard = 934Va £■

Deutsches Reich: 500 g = 1395 M.

20 Trotz ü Stand. 2 22 Trotz U f 11 --- 373,242 g 1395 M 465155

623 1869 934¹/* £ 2 6 12 24 Trotz ü Stand.

1 Trotz ü 50500 g

63 637,761 : 31 150 = 20,4294 1 £ = 20,4294 M.

Aufg. 1.

Welchen Wert hat nach den Ausmünzungsverhältnissen

a) Ein 20Markstück in französischer Währung?

£) n

„ englischer „ französischer „ deutscher

„ französischer „ englischer

4. Der Kurswert der jMünzeri.

Was bereits bei der Wertberechnung der Edelmetalle über die Preise für Gold und Silber gesagt wurde, daß nämlich ihr Handels-w e r t von Angebot und Nachfrage abhängig ist, dasselbe gilt auch int internationalen Verkehr von dem Handelswert der Gold- und Silbermünzen. Die Kurszettel notieren diesen Wert entweder für 1 Stück oder für 100 Stück oder al marko, d. i. nach dem Gewicht.

Die Wertberechnung der Münzen nach dem Kurse ist außerordentlich einfach, sie geschieht, wenn der Preis für die Stückzahl angegeben ist, durch einfache Multiplikation.

Der Hertel'sche Kursbericht notierte für Berlin am 21. Februar 1907.

Gold-, Silber- und Banknoten.

Münz-Dukat p. Stck. Rand- „    „ „

Sovereigns. . . . 20 Franksstück. . . 8 Gulden-Stück . .

Dollar......

Imperials . . . . Alte per 500 Gr. . 100 Gold

9,73 b. B

16M5 b.

Dänische Noten Engl. Banknoten . Franz.

Holland. „ Italien. „ Norweg. „

Osterr.

112,10

81,25 b. 169,10 b. 81,30 b.

215,20

Amer. Not. 1000-5 $ „    „ 2 u. 1 $

et.b.G. 4,2175 b. 4,2175 b.

„    1000 K. .

Rufs. Banknoten . „    500 r . . .

„ klein . - . . „ Zollkoupons.

„ Koup. zahlbar New-Iork Belgische Noten. .

81,— b.

kl. .

ft    ff

Schwedische Noten. Schweizer „    .

84,95 b. G. 84,95 b. G.

215.40    b. 215,30 b. 215,30 b.

323.40    b. 323,40 b. 112,10 b.

81,20 b.

Die Kurszettel deutscher Börsen weisen insofern eine Verschiedenheit auf, als auf den einen Geldsorten nicht notiert werden, die sich auf andern vorfinden. So bringt der Berliner Kurszettel eine Notiz für Imperials, die für Hamburg fehlt.

Über die Bedeutung der Zeichen b, B. G, et. b siehe Effekten

rechnung.

Beispiel. Wieviel Mark sind 218 Imperials ä 16,62 M? 1 Imperial = 16,62 M

218

- 16,62 x 218 = 3 623,16 M.

Aufg. 2.

Welchen Wert haben in Berlin

a)    545 holl. 10 ll Stücke ä 16,65 M?

„ 16,25 „ ? „ 20,42 „ ? „ 4,15 „? 9,73 „?

b)    936 Napoleons⁴)

c)    348 Sovereigns

d)    874 $

e)    178 Münzdukaten

F. Die Devisenrechnung.

Allgemeines über Wechsel in fremder Währung.

Im internationalen Verkehr werden die meisten Verbindlichkeiten durch Wechsel gelöst. Angenommen B in Berlin hat von P in Paris für 20 000 Frs. Waren bezogen. Seine dadurch entstandene Schuld kann er begleichen, indem er den P auffordert, auf ihn zu trassieren. P entnimmt nun auf B in Berlin soviel Mark, daß er durch den Verkauf dieses Abschnittes am dortigen Platze 20 000 Frs. erhält.

Hat nun ein anderer Pariser Geschäftsmann in Berlin eine Schuld zu decken, so kann er dies Papier in Paris von P ankaufen und es als Rimesse nach Berlin einsenden.

Andererseits wird es B in Berlin möglich sein, an seinem Platze Abgaben auf Paris in Frankwährung anzukaufen und sie an P einzusenden.

So entwickelt sich an beiden Plätzen ein lebhafter Handel mit Wechseln in fremder Währung auf ausländische Plätze, und solche Wechsel nennen wir Devisen.

DevisensindalsoWechselinfremderWährung auf ausländische Plätze.

Devisen für Berlin sind z. B.

Wechsel in Frs. auf Paris, in I^° auf Petersburg, in £ auf London usw. Devisen für Paris sind

Wechsel in Mark auf Berlin, in £ auf London, in I^⁰ auf Petersburg usw.

Durch Vermittelung unserer großen Bankinstitute ist man in der Lage, jederzeit Wechsel auf ausländische Plätze in beliebiger Höhe zu erwerben; somit kann also jede Verbindlichkeit im internationalen Geschäftsverkehr gelöst werden.

Das ötccMelpari.

Die Grundlage für die Devise ist das Wechselpari. Dieses ist eigentlich nichts anderes als eine Wertvergleichung zweier Münzen verschiedener Valuta nach ihrem innern Werte, d. h. nach den gesetzlichen Ausmünzungsverhältnissen. Es hat also mit dem Münzpari die gleichen Voraussetzungen und unterscheidet sich von ihm nur dadurch, daß es sich nicht auf eine Münzeinheit, sondern auf 100 Einheiten der fremden . Währung bezieht.

Das M ü n z p a r i eines 20 Frs-Stücks ist 16,20 M, das entsprechende Wechselpari demnach 100 Frs. = 81 M.

Der MecKlellrurs.

Hinsichtlich der Preisbestimmung der Devise ist aber nicht allein das Wechselpari maßgebend. Wie bei den Wechseln auf das Inland, so richtet sich auch der Preis der Devise nach dem Verfalltage. Während jene aber einen festen Grundpreis, den Nennwert haben,, der nur durch den Diskont reguliert wird, ist die Devise als Ware anzusehen, deren Wert von Angebot und Nachfrage und auch von mancherlei anderen Faktoren abhängig ist. Ihr Preis ist somit Schwankungen unterworfen, und diese kommen in den von vereidigten Kursmaklern festgestellten und im Kurszettel veröffentlichten Kursen zum Ausdruck.

Der Wechselkurs sagt, wieviel einheimische Valuta man für eine feststehende Zahl der auswärtigen, fremden Valuta anlegen muß. (Berliner Kurszettel: 100 Frs. = 81,10 M, 1 $ = 4,26 Jl).

Die fremde Valuta (Frs., $) ist die feste; man sagt, die feste Valuta liegt im Auslande. Die eigene Valuta (M) ist veränderlich. Diese Art der Notierung nennt man die B ö r s e n n o t i z. Die höhere Bewertung der Devise wird durch eine Zahl der eigenen Valuta ausgedrückt; für dieselbe Ware muß mehr Geld angelegt werden. In fast allen Wechselplätzen ist die Börsennotiz üblich.

Der Londoner Wechselkurszettel notiert anders. Für alle Wechselplätze Europas mit Ausnahme von Petersburg, Moskau, Madrid und Lissabon ist die einheimische Valuta fest, die ausländische dagegen veränderlich. Die feste Valuta liegt im Jnlande. Durch den Kurs wird hier ausgedrückt, wieviel M, Frs., £, K. man für den festen Wert von 1 £ erhält. Steigt der Wert der Devise, so fällt die ausländische Valuta, denn von einer teureren Ware erhält man für dasselbe Geld weniger. Man hat dieser Notierungsweise den Namen Wechselnotiz gegeben.

Wir merken demnach:

Börsennotiz:    Bei steigendem    Wert    der    Devise steigt    der    Kurs,

fällt

steigt

In bezug auf den Verfall unterscheidet der Kurszettel drei Arten von Devisen:

1.    WechselmitlangerSicht. Das sind Wechsel, die innerhalb zweier oder dreier Monate nach der Kursnotiz fällig werden.

2.    Wechsel mit kurzer Sicht. Ihr Verfalltag ist nach acht oder zehn oder vierzehn Tagen.

3.    Sichtwechscl. Sie sind bei Vorzeigung zahlbar.

Für einige Plätze sind sowohl Kurse für lange als auch für kurze Sicht angegeben.

Endlich findet man int Wechselkurszettel noch den Diskont für die einzelnen Wechselplätze, der für die Berechnung der Devisen maßgebend ist.

Wir lassen nun die Wechselkurszettel von einigen Wechselplätzen folgen.

Devise auf:

Dis-

tont

Amsterdam. ...    5%

.....5%

Brüssel u. Antwerp.    4 %

Budapest . .

Italienische Plätze    4 %

4%

- - 4¹/,% 4Va%

4%

Kopenhagen . . . 5l/₂% London

....... 5%

Madrid «.Barcelona 4 % New-York...    5%

Paris.....

Petersburg. . .

tt    *    *

Schweiz....

Skandinav. Plätze.    6 %

Warschau ....    7%

Wien

5%

4%

5%

3%

3%

7%

7%

5%

5%

4V,%

Berlin, den 2. März 1907.

Sicht

toti^cooooocooiooocooocooo

feste Valuta

Kurs

K) 00 CO 00 CO 00 tO I

rill || || IfIF ff fff ff ff ff ff

O CO 00 (M

hfl. 100— 168,85 b.

„    100— 167,90 b.

„    100,—    80,44    b.G.

R» 100,— 214,70 b'.

„    100,— 209,10 b.

Frs. 100,—    81,—b.B.

„    100,—    80,30    B.

Kr. 100,— 110,50 b.

R" 100,— 214,70 b.

K. 100,—| 84,90 b. G. „    100,—    83,80    G.

K.'

L.

1-

Die feste Valuta liegt, wie in den Kurszetteln aller deutschen Bankplätze, imAuslande. Lange Sicht ist meist zwei Monate, nur fürLondon und Petersburg wird der Dreimonatskurs notiert. Kurze Sicht ist gewöhnlich acht Tage, für italienische und skandinavische Plätze zehn, für Madrid und Barcelona vierzehn Tage. Ein sta-Kurs wird nur bei New-York genannt.

„Amsterdam, 8 Tage, 168,85" ist zu lesen: Ein nach acht Tagen (oder innerhalb acht Tage) fälliger Wechsel auf Amsterdam über 100,— hfl. wird in Berlin mit 165,85 M bewertet.

Der Zweimonate-Kurs findet auf alle Wechsel Anwendung, die nach zwei Monaten, hier also am 2. Mai 07 fällig werden; der Dreimonate-Kurs bezieht sich auf den 2. Juni 07 als Verfalltag. Man nennt das auf diese Weise ermittelte Datum den Stichtag.

Eine Zinsvergütung auf Wechsel, die vor Ablauf der kurzen Sicht fällig werden, findet nicht statt.

Die Zinstage werden bei der kurzen Sicht nach dem Kalender berechnet, bei der langen Sicht gilt der Monat 30 Tage.

Sichtwechsel werden wie die Wechsel mit kurzer Sicht umgerechnet.

Über die Bedeutung der Buchstaben b., B., G. wird auf das Kapitel Kurszettel verwiesen.

Bei Zeitsichtwechseln werden zur Zahl der Sichttage meist noch zwei Posttage hinzugerechnet, die zur Einholung des Akzepts erforderlich sind.

Frankfurt am Main, den 4. März 1907.

Wechsel.

Amsterdam u. Rotterdam

. . fl. 10

Antwerp. Brüssel . . .

I k. S. I I. S. k. S.

Jtal. Bankplätze

. Fr. 100 |

Lire 100 k. S.

l. S.

Lissabon u. Oporto . . .

2l/g ä 3 Mte. k. S.

Milr. 100

l. S.

London .......

Madrid.......

New-Jork......

Paris........

Schweizer Bankpl. .    .

St. Petersburg . . .

Wien .......

£ 10

Pes. 100

Fr. 100

Fr-

. S.-R. 100 3 W. Kr. 100

Zinsv.

5%

5%

4%

4%

5%

5%

4%

4%

5%

5%

5%

^ ^ ^ ^ O O Xh CM CM

O iQ 00 D-

81 12V,

81 15 81 15

84 90

Bezahlt:

20,51-53 20,49 51 20,24z 81,00 08 80,38-44

80.94    81,02 80,12 - 04 81,20-81,00 80,20—10

168,85-169,00 166,7o—50

84.95    - 80 83,60-80 80,10 79,20

Geld:

20,52z

20,48

20,22z

80,95

80,25

80,85

79,90

81,00

80,00

168,80

166,40

84.80 83,55

79.80 73,00

4,35

Brief:

20,54z

20,52

20,264

81,25“

80,55

81,15

80,20

81.30

80.30 160,20 166,80

85,10

83,85

80,20

74,00

4,45

Hamburg, den 4 März 1907.

Zins-

Berg.

ff

2£

ft

ft

Sicht

kurz

3 Mt

Sicht

3 Mt Sicht 3 Mt Sicht 3 Mt Sicht

TM 8

Sicht

3 Mt 3 Mt

Wechsel.

per 1 ZStrlg.

London .

214,60—215,60

112.20- 05

110.50- 30

112.20- 05

110.50— 30

112.20- 05 110,50 30

4,22-23

4,15-14

Bank-Diskonto: Reichsbank 6 g, Amsterdam 5 g, Wien 4z«, London 5 g, Paris 3 g,' Kopenhagen 6 g, Schweiz 5 g, Belgien 4 g, Stockholm 6 g, Christiania 5 g, St. Petersburg 7 g.

214,50

209,00

112,00

110,20

112,00

110,20

112,00

110,20

4,21|

4,13

216,50

211,-

112,40

110,60

112,40

110,60

112,40

110,60

4,24z

3 Mt. 3 Mt.

Sicht

3 Mt

Sicht

3 Mt

4z

Sicht 3 Mt. Sicht 3 Mt.

Sicht

4,16

„ 1

„ 100 Francs . „ 100

Brüssel und Antwerpen.    .    .    .    „    100    „

Belgische Bankplätze....... 100

Schweizerische Bankplätze    .    .    .    „    100    „

. „ „ . . . „ 100 I Amsterdam und Rotterdam . . „ 100 fl. Holl.

-    „    100    .

. „ 100 Kronen

^ Oesterr. und Ungar. Bankplätze    .    „    100    „

. „ 100 Lire „ 100 Pesetas „    1    Mill-R.

. „ 100 Rubel S.

Paris.......

Französische Bankplätze .

oo Wien

HK)

„* 100 Kronen

Italienische Bankplätze .    .

I Spanische Plätze . . . . Portugiesische Plätze.    .    .

St. Petersburg . . . .

1 $ Gold

•    • • • poßsatajß ' stzvlchuvM 3(pliim®

•    • • ' U3övhU3ck0U

OOT.....-tzvlchuvA o(plii)3nuojß

001 "

OOT.....stz-OqsaitzS

uijotpo}©

.    „    100

.    „    100

Christiania

LONDON

COURSE OE EXCHANGE.

Tuesday, Feb. I2th, iyoj.

TIMES

PRICES AS N EGO TIA ED THIS DAYS.

TO

FROM

Amsterdam, Rotterd., etc.

Ditto.........

Antwerp, Brussels, etc. . Paris......... . .

Short 3 Months

Ditto. . .Commercial Marseilles, Lyons, etc. „

Zürich, Basic, etc.....

Hamburg, Berlin and Ger-1 man Bank Places. . .]

St. Petersburg......

Moscow.........

Vienna, etc...... . .

Madrid..........

Other Spanish Bank Places

New York.........

Ditto

Rome and Italian Bank

Places ........

Disbon and Oporto ....

Cheques 3 Months

Demand 60 Days

3 Months

12.12¹/

12.5V2

25.56V4

25.26V

25.45

25.45

25.56V4

12.13V2

12.61/2

25.62V*

25.271/2

25.511/4

25.511/4

25.60

20.78

20.81

24V2

24V2

24V«

43

24V«

43V

24.40

24.50

43

43¹/

486

nom.

485-/4

nom.

25.56-/2

25.62-/2

51¹³/is

In Frankfurt a. Main bedeutet kurze Sicht acht Tage. Für Wechsel, die vor Ablauf der kurzen Sicht fällig werden, findet eine Zinsvergütung nicht statt. Alle Kurse verstehen sich für kurze Sicht, sie geben also den Kurswert für Wechsel an, die nach acht Tagen fällig werden. Auch der bei der langen Sicht angegebene Kurs bezieht sich auf den Wert des Wechsels, den er bei kurzer Sicht haben würde. Die kurze und lange Sicht sind daher in der Kursnotiz ziemlich gleich, Wechsel auf Paris mit l. S. sind sogar höher bewertet als solche mit L S.

In Hamburg werden zum Sichtkurse alle Sichtwechsel, Checks und diejenigen Wechsel berechnet, die höchstens zehn Tage Laufzeit haben. Eine Zinsvergütung für kurze Wechsel (bis zehn) Tage findet nicht statt.

Alle anderen Wechsel werden nach dem langen Kurse behandelt. Der Zinssatz für die Wertberechnung der Wechsel mit weniger als drei Monaten Laufzeit ist meist l/₂ % niedriger als der Bankdiskont des Platzes, auf den der Wechsel lautet.

London notiert alle europäischen Plätze mit Ausnahme von Petersburg, Moskau, Madrid und Lissabon in der Wechselnotiz; die feste Valuta liegt im Inland e. Durch den Wechselkurs wird somit ausgedrückt, wieviel M, Frs., hfl. usw. man für den festen Wert von 1 £ erhält.

Für die außereuropäischen sowie für die genannten Plätze liegt dagegen die feste Valuta im Auslande (Börsennotiz); der Kurs gibt an, wieviel Pence für den festen Wert von 1 P-°, 1 Peso, 1 Milröis, 1 Rupie, 1 Silberyen usw. gezahlt werden. Der Kurs bei New-Pork notiert den Wert für 10 $.

Der Ausdruck „Demand“ (bei Vorzeigung) ist der Bezeichnung „short", d. i. „kurz", gleich zu erachten. Für die Zahlung solcher Sichtwechsel bestehen aber auch drei Respekttage.

Bei der Zinsberechnung wird das Jahr zu 365 Tagen, die Monate kalendermäßig, der Februar stets zu 28 Tagen gezählt.

¹

Anmerkung: Güldisches Metall ist eine Mischung bon Gold, Silber und Kupfer. Sein Wert wird bestimmt, indem man zunächst das Feingewicht jedes Edelmetalls berechnet. Darauf sucht man den Wert des Goldes und dann den des Silbers.

²

Die mit ²) bezeichneten Münzstätten sind eingegangen.

³

Die mit ³) bezeichneten Münzstätten sind eingegangen.

⁴

20 Frankstücke.

Berechnung des dertes der Devisen.

a) Verfalltag und Stichtag stimmen überein. Stimmen Verfalltag und Stichtag überein, so ist die Wertberechnung der Devise sehr einfach; sie wird durch die einfache Regeldetri oder den Kettensatz erledigt.

1. Beispiel: Berlin notiert am 2. März 1907 Petersburg lang 209,10. Was ist in Berlin ein Wechsel von 314,50 H°, fällig per 2. Juni, wert?

Die Kursnotiz bedeutet: 100 per 2. Juni kosten in Berlin am 2. März 209,10 M. Stichtag und Verfalltag stimmen also überein. 100,— H° = 209,10 M

314,50 „ ~    ?    „

oder

? M 314,50 100 IV 209,10 M

= 657,62 M.

2. Beispiel: London notiert am 3. April Berlin 3 Monate mit 20,80. Welchen Wert haben in London 590,— M per 3 Mt. auf Berlin?

Die Notiz sagt: 20,80 M per 3 Mt. auf Berlin kosten in London 1 £-, folglich ist

20,80

590,- M =

1 . 590

20,80

oder

? £ 590 M

20,80 M 1 £

= 28,365 £ oder 28 £ 7 s 3V₂ d.

Aufg. 1.

Welchen Wert haben in Berlin 675 hfl. kurz Amsterdam zum Kurse von 168,85?

Aufg. 2.

Wie teuer sind in Hamburg 1450 Kronen per Sicht auf Wien? (Kurs 84,95)

Aufg. 3.

Was wird in Frankfurt a. M. für 837 £ k. S. auf Genua zum Kurse von 81,05 gezahlt?

Aufg. 4.

Was zahlt man am 12. Februar in London für 935 M auf Berlin, fällig per 12. Mai, wenn London deutsche Plätze per 3 Monate mit

20,81 notiert?

b) Verfalltag und Stichtag stimmen nicht überein.

Zur Berechnung derjenigen Wechsel, deren Verfalltag nicht mit dm durch den Kurszettel festzustellenden Stichtag übereinstimmt, ist noch die Kenntnis einiger Usanzen für die betreffenden Wechselplätze erforderlich.

In Berlin werden nur solche Wechsel nach dem kurzen Kurse berechnet, die höchstens noch 14 Tage Laufzeit haben. Da für alle Wechsel, die vor der kurzen Sicht verfallen, Zinsvergütung nicht gewährt wird, kann also auf kurze Wechsel nur eine solche von

14 — 8 = 6 Tagen in Anrechnung kommen*). Bei der turnen Sicht werden die Tage kalendermäßig gezählt.

Zum Kurse für lange Sicht werden alle Wechsel gerechnet, die höchstens 15 Tage vor dem Stichtage fällig sind.

Wechsel, deren Verfall zwischen der kurzen und langen Sichtperiode liegt, nennt man Wechsel mit Mittelsicht. Sie werden nach dem Kurse für lange Sicht behandelt, erfordern aber eine besondere Vereinbarung über die Höhe des anzuwendenden Zinssatzes.

Frankfurt a. M. rechnet auch bei Wechseln mit kurzer Sicht den Monat zu 30 Tagen, der Stichtag wird aber kalendermäßig ermittelt.

In Hamburg gelten als Wechsel mit kurzer Sicht solche mit bis acht Tagen Laufzeit; auf alle übrigen findet der Treimonatskurs Anwendung. Die Monate werden ebenfalls zu 30 Tagen berechnet, nur bei Wechseln kurz London werden die Tage nach dem Kalender ausgezählt.

Die Wertberechnung von Wechseln, deren Verfalltag nicht auf den Ablaus der Kurssicht fällt, soll nun an einigen Beispielen gezeigt werden:

1. Beispiel: Welchen Wert hat in Berlin am 2. März ein Wechsel über 375,50 hfl. auf Amsterdam, der am 20. April fällig ist? Lange Sicht 167,90. Diskont 5 %.

Wir stellen zunächst fest, wie der Wechsel bewertet würde, wenn er am Stichtage, also am 2. Mai fällig wäre.

? M 375,50 hfl.

100 hfl. 167,90 M — 630,46 M-

Nun ist aber der Wechsel bereits am 20. April, also 12 Tage früher zahlbar. Sein Wert muß demnach um den Diskont für 12 Tage ä 5 % höher sein.

630,46 1 4 5% auf 12 Tage -- 1,05 M.

375,50 hfl. per 2. Mai ä 167,90 ......-- 630,46 M

> Diskont ä 5 auf 12 Tage (f. früh. Fälligkeit)    1,05 „

Wert des Wechsels am 2. März 631.51 M.

*) Anmerkung: Eine Ausnahme bilden kurze Wechsel auf Portugal und Spanien, Italien und Skandinavien, welche einen kurzen Kur« von 14 Tagen notieren und noch mit 21 Tagen als kurze Wechsel lieferbar sind.

Voelkner, Prakt. Rechnen.

241

16

2. Beispiel: Welchen Erlös bringen in Berlin am 2. März

6531,50 Frs. auf Paris, fällig am 16. März, wenn Paris in Berlin 81,08 k. S. notiert wird und der Diskont 3 % beträgt?

Der Stichtag für k. S. ist acht Tage nach dem 2. März, also am 10. März. Der Wechsel wird aber erst am 16. März, also sechs Tage später fällig; sein Wert ist demnach um den Diskont für 6 Tage 4 3% geringer. Wir ermitteln daher zunächst, welchen Wert der Wechsel hätte, wenn er am 10. März fällig wäre, und subtrahieren davon den Diskont für die genannte Zeit.

? M 6531,50 Frs. 100 Frs.

81,08 M

X Diskont für 6 Tage 4 3%

6531,50 Frs. per 10. März ä 81,08 . . .    5295,74 M

2,65

Wert des Wechsels am 2. März 5293,09 M

3. Beispiel: In Frankfurt a.M. werden am 4. März folgende Wechsel auf Amsterdam verkauft: 1560 hfl. per 4. Mai, 875,75 hfl. per 10. Mai, 948,50 hfl. per 15. Mai, 560,— hfl. per 18. Mai.

Der Kurs der Wechsel mit l. S. ist 168,95. Der Diskont beträgt 5 %. Welchen Erlös bringen die Wechsel?

In Frankfurt a./M. gibt auch der lange Kurs an, welchen Wert ein erst nach 2¹/₂—3 Monaten fälliger Wechsel haben würde, wenn er schon nach 8 Tagen zahlbar wäre.

Wir ermitteln daher zuerst den Wert in hfl., der sich ergeben würde, wenn alle Wechsel am Stichtage, also am 12. März verfallen. Da für 8 Tage keine Zinsen gerechnet werden, sind die Beträge einfach zu addieren.

Darauf untersuchen wir, wieviel Tage jeder Wechsel hinter dem Stichtage fällig wird, und stellen die Zinszahlen fest, um welche jede Summe wegen des späteren Verfalls zu kürzen ist. Der Vereinfachung wegen werden aber nicht die Z i n s e n aus den einzelnen Zinszahlen, sondern aus deren Summe berechnet und von der Gesamt wechselsumme subtrahiert. Wir erhalten so, in hfl ausgedrückt, den Gesamtwert der Wechsel am Verkaufstage und brauchen nur noch eine Umrechnung mit dem angegebenen Kurse vorzunehmen.

Stichtag 12. März. 1560—    hfl.    per    4.    Mai 52 Tg. 811 #

Verfalltag 4. März.

3944,25 hfl. 31,76 „

2287 #

2287 : 72 = 31,76 hfl.

3912,49 hfl. zum Kurse von 168,95 = 6610,15 M.

Als praktische Regel merke man:

Liegt der Verfall vor dem Stichtage, so wird der Diskont zur Wechselsumme addiert, liegt er aber hinter dem Stichtage, so ist der Diskont zu subtrahieren.

4. Beispiel: A in Berlin hat von B in Paris 5210 M zu fordern-Er will diese Summe durch einen nach 8 Tagen fälligen Wechsel entnehmen. Auf wieviel Frs. lautet die Tratte, wenn Paris kurz in Berlin mit 81,08 notiert wird?

Diese Aufgabe erledigt sich, da Stichtag und Wechselverfall zusammentreffen, durch einen einfachen Kettensatz.

? Frs. 5210 M 81,10 M 100 Frs.

= 6424,17 Frs.

Aufg. 5.

Ein Wechsel über 6249,70 Frs. per 20. Mai auf Paris wird in Berlin am 4. März zum langen Kurse von 81,08 verkauft. Welchen Erlös bringt er? (Diskont 3 %.)

Aufg. 6.

Wieviel muß man am 4. März in Berlin für 7385,40 £ per

15. März auf Mailand anlegen? Kurze Sicht 81,00. Diskont 4 %.

Aufg. 7.

Wie teuer sind am 4. März in Berlin 7613,50 Frs. per 18. März auf Antwerpen, wenn belgische Plätze in Berlin 81,10 k. S. bei 4 % Diskont notiert sind?

Aufg. 8.

Was kosten am 4. März in Berlin 975,75 per 22. Mai/5. Juni? Lange Sicht 209,10. Diskont 7 %.

Aufg. 9.

Welchen Ertrag geben am 4. März in Berlin folgende Wechsel auf Wien? a) 2351 K per 20. Mai, b) 1675 K per 22. Mai,

c) 4789,75 K per 25. Mai, d) 985,50 K per 27. Mai, e) 1345,80 K per 30. Mai. Kurs für l. S. 83,80. Diskont 47₂ %.

Aufg. 10.

In Hamburg wird am 4. März ein Wechsel auf Rotterdam über 2 560 hfl. per 28. Mai zum 3 Monatskurse von 166,60 bei 4l/₂ % Diskont verkauft.

Wie wird er bezahlt?

Aufg. 11.

Welchen Erlös bringen am 4. März in Frankfurt a./M. folgende Wechsel auf Paris zum Kurse für lange Sichtwechsel bei 3 % Diskont: a) 3445,50 Frs. per 21. Mai, b) 2845,75 Frs. per

25. Mai, c) 1483,— Frs. per 28. Mai, d) 948,70 Frs. per 1. Juni,

e) 5648,— Frs. per 4. Juni?

Aufg. 12.

London begibt am 12. Febmar 3519,70 M per 2. Mai auf Berlin. Welches ist der Ertrag, wenn Berlin 3 Monate in London mit

20,78 notiert ist? (Diskont 3%.)

G. Effektenrechnung.

1. Allgemeines über Effekten.

Effekten sind entweder Schuldverschreibungen der Staaten, Provinzen, Kreise oder Kommunen oder Anteilscheine der Industrie- und Handelsgesellschaften an ihren geschäftlichen Unternehmungen, oder sie geben dem Inhaber das Recht der Beteiligung an zu veranstaltenden Verlosungen. Man kann sie daher in

Schuldverschreibungen oder Obligationen,

Anteilscheine oder Aktien und Lose oder Prämienanleihen

einteilen. Lauten sie auf den Namen des Eigentümers, so sind es Namenspapiere, sie können dann nur durch Indossament an andere Eigentümer übertragen werden. Meist sind sie aber Inhaber p a p i e i e, d. h., jeder Inhaber des Effekts wird als dessen Qüigentümer angesehen.

a. Die Obligationen.

Obligationen versprechen dem Inhaber einen festen Z ins -genuß und eignen sich daher besonders zu Anlagewerten. Von den gewöhnlichen Schuldverschreibungen, Schuldscheinen, unterscheiden sie sich vor allem dadurch, daß sie dem Schuldner gegenüber unkündbar sind. Hingegen steht diesem aber das Recht zu, den Zinsfuß für die Obligatton herabzusetzen (Konversion) oder nach seinem Ermessen einen Teil oder die ganze Anleihe zur Rückzahlung zu kündigen, sofern nicht in der Obligation ausdrücklich ein Termin, bis zu welchem sie auch seitens des Schuldners unkündbar sein soll, angegeben ist. Wenn von vomherein die Rückzahlung nach einem bestimmten Plane vorgesehen ist, so nennt man diese Art der Tilgung die A m o r t i s a t i o n. Die Obligationen lauten auf einen bestimmten Bettag, den Nominal- oder Nennwert.

In der Regel besteht eine Obligation aus zwei Blättern: 1. aus m Mantel, der eigentlichen Obligation, mit dem Namen, dem Nominalwert und der den Besitzer bezeichnenden und rechtlichen Angaben; 2. aus dem Zinsbogenschein, welcher aus den Zinsscheinen und dem Erneuerungsschein oder Talon besteht. Die Z i n s s ch e i n e, auch Coupons genannt, sind Anweisungen zur Erhebung der fälligen Zinsen. An den auf den Coupons bezeichneten Zinsterminen schneidet der Inhaber einen Zinsschein ab und legt ihn der betteffenden Zahlstelle zum Inkasso vor. Gleichzeitig mit dem letzten Zinsschein reicht er auch den Talon ein und erhält darauf einen neuen Zinsbogen. Bei verlosten Papieren hört die Verzinsung mit dem an der Verlosung bekannt gegebenen Termin auf. Der Anspruch auf die Zinsen aus dem Coupon verjährt innerhalb 4 Jahre.

Die Hauptgruppen von Obligationen sind:

I. Staatspapiere oder Fonds.

Sie beruhen meist auf dem Ansehen und den Einnahmen des Staates, also auf den Zöllen und den Erträgen aus seinen geschäftlichen Unternehmungen. Die deutschen Fonds sind Rentenpapiere, bei welchen eine Rückzahlung nicht vorgesehen ist. Diese berechtigen den Inhaber also lediglich zum fortlaufenden Zinsgenuß. Einige Staaten, z. B. Frankreich, haben neben solchen Renten (perpetuellen, ewigen Inskriptionen) auch amortisierbare Staatspapiere ausgegeben.

II. Schuldverschreibungen von Kommunen.

Tiefe bieten als Unterpfand den gesunten Besitz an Grund und Boden, Gebäudeweren u. der l. Sie sind me st nach einem festgelegten Tilgungsplane amortisierbar. Ihrem innern Werte nach sind sie oft den Fonds gleich zu erachten.

III. Pfandbriefe der Hypothekenbanken.

Sie sind durch die Darlehen sicher gestellt, welche diese Banken auf Grundbesitz oder Gebäude vergeben haben.

IV. Pfandbriefe der Landschaften.

Landschaften sind Kreditvereinigungen von ländlichen Grund' besitzern. Die Unterlage ihrer Pfandbriefe sind die Hypothekenforderungen, die sie auf den Grundbesitz der zu ihrem Verbände gehörenden Mitglieder an erster Stelle eingetragen haben. Diese Obligationen sind wegen ihrer Sicherheit ein sehr beliebtes Anlagepapier der Kapitalisten.

V. Prioritätsobligationen.

Zumeist sind es Eisenbahngesellschaften, welche durch Ausgab^ von Prioritätsobligationen zur Einrichtung oder Erweiterung ihres Betriebes fremdes Kapital heranziehen. Diese Papiere genießen ein Vorzugsrecht in bezug auf die Zinsforderungen und diejenigen Beträge, die zur allmählichen Kapitaltilgung vorgesehen sind. Bevor also die Zinsen für die Obligationen nicht bezahlt und die genannten Beträge zur Tilgung nicht zurückgestellt sind, dürfen die Gesellschaftsmitglieder Gewinnanteile nicht erhalten.

b. Tie Aktien.

Aktien sind Anteilscheine an dem Vermögen einer Aktiengesellschaft und berechtigen, am Gewinn derselben zu partizipieren. Sie stellen demnach nicht wie die Obligationen einen bestimmten gleichbleibenden Zinsgenuß in Aussicht. Ihr Ertrag richtet sich vielmehr immer nach dem jedesmaligen Ergebnis des Geschäftsunternehmens. Er ist daher oft sehr schwankend; auf Jahre mit sehr hohen Gewinn-anleiten können solche folgen, in denen kein Nutzen erzielt wurde.

Die Gewinne der Aktiengesellschaft werden am Schluffe des Geschäftsjahres ermittelt und auf Beschluß der Generalversammlung unter die Besitzer von Aktien, die Aktionäre, in Prozenten als Dividende verteilt. Zur Abhebung der Dividende berechtigt der der Aktie beigegebeneDividendenscheinbogen, von dem der fällige Dividendenschein losgelöst und der Gesellschaft zur Zahlung der Dividende eingereicht wird.

Der Aktionär beteiligt sich also mit einem bestimmten Kapitalbetrage an dem Geschäftsunternehmen der Gesellschaft. Über diesen Betrag hinaus Einlagen zu leisten, ist er nicht verpflichtet.

Weil der Ertrag der Aktie sehr schwankend, ihr Wert somit auch sehr veränderlich ist, eignet sich dieses Papier vorzüglich als Spekulationsobjekt.

Häufig werden von den Aktiengesellschaften auch sogenannte Stamm-Prioritäts-Aktien ausgegeben. Diesen wird eine bestimmte, in Prozenten ausgedrückte Dividende garantiert. Hat die Gesellschaft eine höhere Dividende erzielt, so wird die Differenz als Superdividende bezeichnet.

Gegenüber den Stamm-Prioritätsaktien werden die ursprünglichen Aktien Stammaktien genannt.

Wenn auch bei Aktien eine besti rntte Dividende nicht in Aussicht gestellt werden kann, werden doch beim Verkauf an den deutschen Börsen meist 4 % Stückzinsen gerechnet; diese sind als Vergütung für die zu erwartende Dividende anzusehen.

Mit den Aktien verwandt sind die Kuxe. Das sind Anteile an Bergwerksunternehmungen. Sie lauten nicht auf einen bestimmten Betrag, sondern stellen V₆₄ ober V128 oder auch Vioo des Gesellschaftskapitals dar. Der Inhaber eines Kuxes ist verpflichtet, wenn es erforderlich ist, Nachzahlung zu leisten. Ist er von dieser Verpflichtung befreit, so heißen solche Kuxe Freikuxe.

c. Die Lose ober Prämienscheine.

Prämienscheine versprechen meist nicht einen festen Zinsgenuß. Derjenige Betrag, der für die Verzinsung und Amortisation vorgesehen ist, wird zur Veranstaltung einer Lotterie verwendet, bei welcher Prämienscheine entweder mit ihrem Nennwerte oder einem oft sehr viel höheren Betrage ausgelost werden. Oft werden von einer Prämienanleihe immer je 100 oder 1000 Nummern zu einer Serie zusammengefaßt. Aus der Reihe der Serien werden dann durch die erste Verlosung die Gewinnserien und aus diesen durch eine zweite Verlosung die Gewinnlose bestimmt.

Prämienscheine werden von Staaten, Kommunen und auch von Privatinstituten nur dann ausgegeben, wenn selbst bei hohen Zinsen und niedrigen Emissionskursen die Unterbringung von Obligationen schwierig ist. Sie sind daher zur Kapitalsanlage besonders für den, der von Zinsen lebt, wenig geeignet.

Der Verkehr für Jnhaberpapiere mit Prämien wird in Deutschland durch das Gesetz vom 8. Juni 1871 geregelt. Danach dürfen Prämienanleihen innerhalb des deutschen Reiches nur auf Grund eines Reichsgesetzes und nur zum Zwecke der Anleihe eines Bundesstaates oder des Reiches ausgegeben werden. Andere Jnhaberpapiere mit Prämien, die im Jnlande ausgegeben sind, und solche ausländische Prämienscheine, die nach dem 30. April 1871 ausgegeben sind, dürfen wederweiter begeben,noch an der Börse, noch an anderen zum Verkehr mit Wertpapieren bestimmten Versammlungsorten zum Gegenstände der Geschäftsvermittlung gemacht werden.

Ausländische, vor dem 1. Mai 1871 ausgegebene Jnhaberpapiere mit Prämien können an den Börsen gehandelt werden, wenn sie zu diesem Zwecke abgestempelt sind. Solche Prämienanleihen sind z. B. die Russische erste Staats-Prämienanleihe vom Jahre 1864, die Russische zweite Staats-Prämienanleihe von 1866, die Türkenlose 400 Franks von 1870, die Bukarests! Städtische Anleihe von 1869 usw.

2. Der Kurszettel.

Bei der Berechnung eines Effekts sind zwei Werte zu berücksichtigen: der Nominalwert, das ist derjenige Betrag, der auf dem Papier genannt wird, und der Kurswert, das ist der eigentliche Wert, den das Effekt int Börsenhandel hat. Diese beibett Werte sind meist sehr verschieden voneinander; während ersterer feststeht, ist der Kurswert von Angebot und Nachfrage abhängig, also veränderlich. An den deutschen Börsen wird der Kaufpreis eines Effekts nach Prozenten des Nominalbetrages festgestellt.

Die Ermittelung der Kurse geschieht täglich auf der Grundlage der von den Maklern an dem betreffenden Börsentage abgeschlossenen Geschäfte. Wird das Effekt mit 100 notiert, so steht es „pari". Ist der Kurs höher als 100, so wird es mitAgio gehandelt. Bei einem Kurse von

104,50 beträgt das Agio 4V₂ %. Notiert der Kurs hingegen unter 100, so ergibt sich ein Disagio; bei einem Kurse von 98,25 beläuft sich das Disagio auf ls/₄ %■

Die maßgebenden Kurse werden an jedem Börsentage im amtlichen Kurszettel veröffentlicht.

In dem folgenden Auszuge ist nur ein kleiner Teil derjenigen Effekten enthalten, die der Berliner Kurszettel ausweist. Zur Zeit werden in Berlin über 1600 Papiere gehandelt.

Auszug aus dem Kurszettel des Berliner Börsen-Courier.

Montag, 15 April 1907.

Deutsche Fonds

Zmsternnn per 1. 4. 08 „ 1. 7. 08 April-Okt. versch. versch. versch. Jan —Juli wtai-Nov. Jan —Juli

CT¹

Deutsche Reichsschatzscheine Serie I do.    „ II

1905 I

do.

Deutsche Reichsanleihe . .

do.    . . . .

Preußische Konsols.....

Badische St. Anleihe unkv. 09    .

Bayerische Staatsanleihe . . . Hamburg. Staatsrente amort. 1900

99.00 B. 98 75 b. 98 75 b. 95.90 b. 84.70 b. 95.90 b. 101.75 b. 101.40 b. 100.90 b 6.

Rentenbriefe

April-Okt.

versch.

April-Okt.

31

Hannoversche Posensche . . Preußische

95.10 B. 100.80 G.

Stadt-Anleihen

Jan.—Juli versch. April-Okt. versch.

31

3i

do.

do.

98.00 b.G. 96.20 b. 96.00 b. 100.80 b.

Pfandbriefe

. . 122.75 G. . . 103.80 b.

PPPPP

Berliner . . Ostpreußische. do.

Pommersch e . . Posensche Lit. D

coTTTT

su,8

crt

8 ro

Öt

Febr. Aug. l.Mai/1 Setzt 1934 p St. Augsburger 7 ü Lose .    — —

3 ;3 % Vi ³V/₆*VVi2 1924 M p.<5t Braunschw. 20Thlr.Lose 170.00 B. 2- Jan. 2. Jan. 1926 M% Hamburger 50Thlr.Lose 146.75 G.

Serien-

Ziehung

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Prämien-    letzte    Notiz

Ziehung    Ziehg. in

Amtlich notierte Loskurse

; PCQ5 5

•8d(B-mn8

ML - -uvL

'IZG-IPM

Jan. - Juli

l 0T —’T/ 0T

ML-'uvL

^gxrfxrfxOOuU^ifx — H-C^axCnüt

uf- ^MteiH-toH^H.'* ^

Italiener konv. Oesterr. Goldrente „ Silberrente Ungar. Goldrente „ Kronenrente

do.

do.

Chinesische von 1895 5K Griechische 81 84 4 do. kleine Japanische Anl. II

do.

do.

do.

do.

068T *1UB 'yuajrZ -upuaöaB

in

'MvL hwifs

*18 ammatguig

169.00 b. 145.75 b.

ZanU

Heutiger

Voriger

94.50 G.

99.60 b.

99.20    b. 99.80 b B.

100.20 b. 105.00 e.b.G.

51.50    b.G. 40.00 G. 93.10 6. bG.

93.20    b.G

93.50    b.G.

94.60 B. 94.50 b.

99.10 b. 99.80 b. 99.80 b. 105.10 b.G. 51.50 G. 40.00 b.G. 93.25 b.G. 93.25 b.G. 93.40 b.G. 103.20 G.

Heuttger | Voriger Kurs

Deutsche Eisenbahn-Stamm- und Prioritäts-Aktien

Zins

termin

Dividende 1905 1906

Heutiger

Kurs

Jan.

Jan.

Jan.

April

April

• • •

-g

Uli!

ifäll

g

Ulli

142.75    G.

128.75    G. 150,40 G.

Deutsche Eisenbahn-Prioritäts-Obligationen

Zinstermin

Zf.

Heutiger

Kurs

Braunschw. Land-Eisenbahn I . .

Halberst. Blankenb. 1895 - 1903    .

Nordhaus. Wernig. unk 07 . . .

Fremde Eisenbahn-Stamm- u. Stamm-Prior.-Aktien

Jan. Juli Jan.-Juli Apr. - Okt.

CC CO Th

92,75 G.

Dividende 1905 | 1906

Zins

termin

Zf.

i bedeutet inkl. Dividendenschein.

Heutiger

Kurs

i — i KD. i R.D.

102

»ose»

®soje

eg-sE-S

C: CP TO re a

f 63

o •

104,30 G.

34,50 e.b.B. 2u,25 b.

Fremde Eisenbahn-Prioritäts-Obligationen.

Zinstermin

Zf.

Heutiger

Kurs

Mai Nov. April-Okt.

ö Q

#2

2 s 8 2

sg

vO

Cg

99,60 G.

PffP

.Mi

Z2(S\(S\te

CO

Dux-Prager Goldobl. . . Oesterr. Staatsbahn gar. . Südösterr. (Lomb.) . . .

do.

79,10 G. 87,30 G. 64,90 b.G.

do. 5K gar. Obl. 104,60 b.G.

April-Okt. April-Okt. Jan.—Juli

5    Anatolische Bahnen gr. .    . .

3£    Gotthardbahn......

4    Italienische Mittelmeerb.    strfr.

102,00 G. 101,00 G.

500, 1000 1000

600, 1200 250 fl. sd. 600, 1200, 1600 600, 1200 600, 1200 1000, 3000 250 R.°

Mark

n8

versch. versch. versch. Jan —Juli Jan.—Juli Febr.—Aug. April-Okt. Jan.-Juli Jan.—Juli Jan.—Juli April-Okt. Jan.—Juli

trötrtrö-ö-trtrtr

ooooooooo

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cd -3 -<i oo

05 CD'

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La. 00 CD tO C>~

00 -Q ^ CD *+*

12

Januar 5£ | Januar Januar Januar Januar Januar Januar

8,22 Jan. Juli Reichs-Bank .... ilO Januar 06 Rufs. B. f. ausw. Hand

Berliner Handelsges.......158,80    b.B.

do.    Hypoth. Bank.....126,00    G

Breslauer Diskonto-B...... 109,00    b.G.

Dannst    B. f. Hand.    u. Industrie    .

Deutsche Bank........ 230,30    b.

Diskonto-Gesellschaft...... 172,80    b.G.

Dresdener Bank....... 146,50    et b.G.

.    .    156,40    b.G.

.    .    141,00    b.

Ein- Dividende n. zahlung 1904 1905! 1906 6rnstermrn

tznjsmtz mmatgmg

i bedeutet inkl. Dividendenschein _    pro 1906

Heutiger

Kurs

Bankaktien.

Serie IX, unk. bis 1914

konv........

Mitteld. Bodenkredit, Ser. II . .

Preußische Pfandbriefe, Ser. XVIII, unk. 1908 , do.    Ser. XXIV unk. 1912 .

do.

•oq

Meininger Hypoth. B. Serie II

Hamburger Hypoth. S. 141—840    . . .

do.    S. 471 - 500 unk. 1916

do.

VII

S. I u. II unk. 14 Deutsche Hypothekenbank Berlin IV-IV .

do.

do.

Berliner Hhpotheken-B. . .

Notiz stets in Markprozent

Deutsche Hypoth.-Z er tifikate u. Pfandbriefe.

90.75    G. 100 25 G. 101,00 bG.

99,25 b.G. 99,25 b.G. 100,00 G. 100,00 b. 100,00 b.G. 93,20 b.G.

99.75    G. 99,40 b.G. 94,00 G.

Heutiger

ec

CT

to

Industrie-Aktien

(Sämtliche — auch Vorzugs-Aktien — mit 4 % Stückzinsen zu rechnen)

Stücke in Mark

Dividende pro Zins-1904 1905 1906 ternritt

i bedeutet tncl. Dividendenschein pro 1906

HeutigerKurs

1000

600

20

25

1000

1000

15

1000

20

15

ii

22

12z

600. 1000

600

10

12

1000

1000

1000

12

16

7*

14

15

—    Nov.

4 Jan.

—    Juli

—    Juli

15    Jan.

16    Jan.

0 Jan.

i 8z Jan.06

—    Jan.

17    Jan.

Adler Fahrrad-Fabrik Berliner Aquarium . Bleistiftfabr. Faber . Deutsche Gasglühlicht Linoleumges. Rixdorf Ludwig Löwe & Co. . Norddeutsche Eiswerke Norddeutscher Lloyd . Orenstein & Koppel . Schering, Ehern. Fabr.

do.

320.00 b G 128.00 G. 280 00 b.G. 317 00 b.G.

192.75    G.

254.75    b.G. 60 00 b.B.

127.00 bB. 206.40 b. 272.10 b.G.

Industrie-Obligationen

(Die mit * bezeichneten Obligationen sind bhvotk». sichergestellt)

98.00 G. 101.40 B. 103.25 b.

Gr. Berliner Straßenbahn. . .

.Norddeutscher Lloyd.....

*    Orenstein & Koppel    ....

*    Schultheiß Brauerei    ....

Feite Umrechnung.

1 Livre Sterl. = 20.40 M. 1 Doll. ---- 4,20 M 1 Rubel = 2,16 M 1 Gold rubel (alte Goldrubel) — 3,20 M. 1 Silber-Rubel (alte Kreditrubel) = 216 \t, 7 fl. südd Währ. = 12 M, 1 fl. österr. Währ. und 1 fl. Silber = 1 70 M, 1 österr. Gold gülden = 2 #, 1 ungarischer Goldgulden = 2,0:5    1 Krone österr. und ungar. Währ. = 0 85 Jl,

1 fl. holl. Währ =170 Jt, 1 Franc oder 1 Lira oder 1 Peseta oder 1 Lei = 80 Pf., 1 skand Krone - 1,12z «A 1 Peso (Gold, = 4 M, 1 Peso (argentin. Papier) = 175 M.

0.

0.

N.

J.

Der Kurszettel erfordert einige Erklärungen.

Die Zinstermine geben die Daten an, an welchen die Zinsen für die Effekten fällig sind. April-Oktober oder auch A. '£>. bedeutet demnach, daß am 1. April und am 1. Oktober die halbjährlichen Zinsen gegen Einreichung der Zinsscheine gezahlt werden.

Der Ausdruck „versch." will angeben, daß hier sowohl Papiere mit A/O-Zinsen als auch mit J./J. (Januar/Juli)-Zinsen notiert sind. Zf. heißt Zinsfuß. Bei den fremden Eisenbahn-Stamm und Stamm-

Prioritäts-Wien ist unter Zf. der Prozentsatz für die Stückzinsen zu verstehen, welche im Handel für diese Aktien berechnet werden.

In der Kolonne für die Dividende sind oft neben der Dividende für das verflossene Geschäftsjahr auch zur Vergleichung die Dividenden der früheren Jahre angegeben.

Die römischen Ziffern neben den Namen der Effekten bezeichnen die Nummer der Serie. Die Jahreszahlen nennen entweder das Emissionsjahr (Berliner Stadtanleihen von 1876 und 1878) oder dasjenige Jahr, bis zu welchem das Effekt seitens des Staates, der Kommunen usw. unkündbar (unk.) oder unkonvertierbar (unkv.) ist (Preußische Pfandbriefbank Serie XXIV unk. 1912).

Der Kurs ist in Prozenten ausgedrückt. Es wurden also z. B. am 15. April 1907 100 M 3V₂ % Deutsche Reichsschatzscheine von 1905 mit 98,75 dl bezahlt. Der Buchstabe b. heißt „bezahlt". Es soll dadurch ausgedrückt werden, daß zu dem genannten Kurse Abschlüsse auf das bezeichnete Papier gemacht sind. „etw. b." oder „et. bez." heißt: „e!was bezahlt", die Umsätze sind geringfügig gewesen.

Außerdem finden wir noch die Bezeichnungen G. und B. G. ist die Abkürzung von Geld und soll angeben, daß zu dem genannten Kurse Käufer für das Papier vorhanden waren, also Nachfrage danach hielten.

B. bedeutet Brief. Zu dem angegebenen Kurse wurde in dem Papier ein Angebot gemacht, es waren Verkäufer vorhanden.

Wurden Umsätze erzielt, blieb aber noch ein Teil der Käufer unbefriedigt, so setzt man hinter die Kurszahl ein b. G.; konnten dagegen nicht alle zum Verkauf angebotenen Papiere untergebracht werden, so bezeichnet man das durch b. B.

3. Die Berechnung der Effekten.

Die Wertermittlung eines Effekts setzt sich zusammen aus der Berechnung des Kurswertes,

„    „    „ Zinsen und

„    „    der Unkosten.

a. Die Berechnung des Kurswertes.

1. Beispiel: Was kosten 6000 M 3V₂ % Preußische Konsolidierte Anleihe zum Kurse von 99,80?

Der Kurs von 99,80 sagt: 100 M Nennwert --- 99,80 M Kurswert. Der Kettensatz würde also lauten:

? M Kurswert 6000 M Nennwert 100 „ Nennwert 99,80 M Kurswert -- 5988 M.

Der Nennwert ist demnach mit dem Kurse zu multiplizieren und durch 100 zu dividieren.

2. Beispiel: Wie teuer sind am 8. April 1907 £ 200 4V- % Japanische Anleihe, wenn der Kurs an diesem Tage 92,80 ist?

Es empfiehlt sich, ausländische Effekten zuerst in deutsche Währung umzurechnen. Der Umrechnungssatz für £ beträgt 20,40 M. 200 £ sind also 200 x 20,40 — 4080 M. In der Praxis schreibt man die deutsche Währung unter die ausländische und trennt beide durch einen wagerechten Strich / 200 £ \

uosTZf

--- 3786,24 M.

Der Kurswert für 4080 M Nennwert ist nach dem 1. Beispiel 4080 x 92,80

100

Japanische Anleihe ä 92,80 = 3786,24 M.

Man gewöhne sich, die Rechnung in folgender Weise aufzustellen: £ 200

M 4080

b. Die Berechnung derZinsen.

An den deutschen Börsen werden die Kurse für die Effekten ohne Rücksicht auf die Zinsen notiert. Man hat also nicht allein den Kurswert des Papiers festzustellen, sondern es sind auch noch die Zinsen zu ermitteln, die entweder dem Verkäufer oder dem Käufer zu vergüten sind, je nachdem der letzte Zinsschein mitgeliefert oder zurückbehalten wird. Wird das Papier an dem Tage verkauft, an welchem die Zinsen fällig sind, so ist natürlich eine Zinsberechnung nicht erforderlich, da der Käufer auf den zunächst fälligen Zinsschein die vollen Zinsen für die Zeit erhalten wird, während welcher das Papier in seinem Besitz war, und andererseits der Verkäufer einen Zinsanspruch nicht hatte, weil er durch den letzten Zinsschein in bezug auf Zinsen befriedigt war.

Anders stellt sich aber die Rechnung, wenn der Kauftag und der Fälligkeitstag der Zinsen nicht zusammenfallen. Hier hat man zu unterscheiden, ob der letzte Zinsschein mitgeliefert wurde oder nicht.

Für die Berechnung der Zinsen gilt nun folgendes:

Zinsen werden stets nur vom Nennwerte berechnet. Bei noch nicht voll eingezahlten Aktien indessen nur von dem eingezahlten Telle des Nennwertes. Der Monat wird zu 30, das Jahr zu 360 Tagen angenommen. Der Tag des Kaufes i st m i t z u r e ch n e n, so daß also vom 1. Oktober bis 7. November nicht 36 Tage wie bei der Diskontierung, sondern 37 Tage zu rechnen sind. — Wird der letzte Zinsschein dem Käufer mitgeliefert, so würde der Verkäufer die Zinsen vom letzten Zinsfälligkeitstage bis zum Kauftage verlieren. Sie sind also zu berechnen und dem Verkäufer zu vergüten. In solchen Fällen werden demnach die Zinsen zum Kursbetrage addiert.

Behält dagegen der Verkäufer den für die laufende Zinsperiode geltenden Zinsschein, so kann der Käufer für die Zeit vom Kauftage bis zum nächsten Zinssälligkeitstage keine Zinsen erheben. Sie müssen ihm also vom Verkäufer vergütet werden; das geschieht in der Weise, daß die Zinsen für diese Zeit von dem Kurswerte abgesetzt werden.

3. Beispiel: Wie teuer sind am 12. April 7500 M 37₂ % Berliner Stadtanleihen mit den Zinsen? Kurs 98, Zinstermine Januar und Juli.

Da der letzte Zinsschein mitgeliefert wird, müssen dem Käufer die Zinsen vom 1. Januar bis 12. April, also für 102 Tage, in Rechnung gestellt werden.

7500 M 37s % Berl. Stadtanleihe ä 98 = JC 7350,—

+ 102/37s % Zinsen von 7500 Jl . . . = „    74,38

M 7424,38

Ungarische Goldrente ä 94,40 --- M 15 292,80 + 102/4 % Zinsen von 16 200 M -- „    183,60

4. Beispiel: Was kosten am 12. Aprll 8000 fl. 4 % Ungarische Goldrente mit den Zinsen? Kurs 94,40, Zinstermin l./l. und 1./7. Der feste Umrechnungssatz für ungarische Goldgulden ist 2,025 M. 16 200 M

8000 fl.

M 15 476,40

Die Berechnung der Unkosten.

Die Unkosten bei dem Umsatz von Wertpapieren setzen sich zusammen aus der Courtage, dem Schlußscheinstempel und der Provision des Bankiers.

Die Courtage oder Maklergebühr ist derjenige Betrag, den der Makler für seine Bemühung bei der Vermittlung des Geschäfts erhält. Sie beträgt in Deutschland meist ¹/₂°/oo vom Nennwerte. Da einem Kauf auf der andern Seite ein Verkauf gegenübersteht, beträgt die Courtage bei einem Geschäft im ganzen also 1 °/₀₀.

Der Schlußschein st empel ist eine Steuer, mit welcher der Staat den Handel mit allen in- und ausländischen Effekten belegt. Sie wird vom Kurswert mit Abrundung nach oben auf das ganze Tausend berechnet und beträgt

² ho °/oo

für inländische Obligationen, für ausländische Staatsund Eisenbahn-Obligationen............

(Deutsche Fonds sind von der Stempelpflicht befreit.)

³/io °/oo ⁴/io °/oo l°/oo

für Aktien und ausländische Staatsanleihen und Pfandbriefe .....................

für Termingeschäfte................

für Kuxe.....................

Der Bankier berechnet stets den    Schlußscheinstempel

betrag. Es haben nämlich in Wirklichkeit 2 Umsätze in dem betreffender: Effekt stattgefunden, erstens zwischen dem beauftragten Makler und dem Bankier, zweitens zwischen dem Bankier und dem Auftraggeber. Der Makler berechnet dem Bankier einen halben Stempel (die andere Hälfte trägt der Partner), den dieser wieder mit dem zweiten Stempel seinem Kommittenten in Rechnung stellt.

00»

Die Provision des Bankiers beträgt meist ¹/₈ % bis 1 °/ Sie wird vom Nennwert, oft aber auch vom Kurswert berechnet.

Alle Unkosten erhöhen die Kaufsumme, sind also zu dieser zu addieren, sie verringern den Erlös, sind demnach beim Verkauf von der Summe zu subtrahieren.

Es ist also bei der Berechnung von Effekten zu unterscheiden zwischen Kauf und Verkauf.

5. Beispiel: Wie teuer sind am 15. April 3000 M S¹/₂ % Preuß. Konsols ä 95,90 mit dem Zinsschein (Januar/Juli)? V₈ % Provision, V* °/oo Courtage.

Voelkner, Prakt. Rechnen.

257

17

3000 M Preuß. Konsols ä 95,90 ■ . . M 2877,— 105/3V- Zinsen . .

Provision 3,75 Courtage 1,50

30,63    2907,63

5,25

5,25

M 2912,88

6. Beispiel: Welchen Erlös erzielt man am 15. April für 5000 fl. Ungarische Goldrente ä 4% zum Kurse von 94,50 (Januar/Juli-Zinsen)? Vs % Provision, V- °/„o Courtage.

5000 fl.

10125 M

105/4 % Zinsen Provision 12,65 Courtage 5,10 Stempel 3,—

Ung. Goldr. ä 94,50    . . M 9568,13

118,12 M 9686,25

20,75

M 9665,50

Übungsaufgaben.

Die Bedingungen zu den folgenden Aufgaben sind dem Kurszettel-Auszuge zu entnehmen. Der Termin für sämtliche Verkäufe und Käufe ist der 15. April 1907. An Provision soll stets l/₈ %, an Courtage ¹/₂ °/₀₀ gerechnet werden.

Aufg. 1.

Kauf: 6000 M 4% Hamburger Staatsrente.

Aufg. 2.

Verkauf: 10 000 M 3V₂ % Deutsche Reichsanleihe.

Aufg. 3.

Kauf: 3500 M 3V.% Berliner Stadtanleihe 1878.

Aufg. 4.

Kauf: 9000 F 4^ Ostpreußische Pfandbriefe.

Aufg. 5.

Verkauf: 400 { 4V₂ % Japanische Anleihe II.

Aufg. k.

Verkauf: 6500 K 4 % Ungarische Goldrente.

Aufg. 7.

Kauf: 6300 M 4% Meininger Hypotheken-Pfandbriefe.

Aufg. 8.

Verkauf: 10 000 M 3V*% Preuß. Pfandbriefe uns. 1912.

Aufg. 9.

Kauf: 3000 M Deutsche Bankaktien.

Aufg. 10.

Verkauf: 6000 M Aktien der Norddeutschen Eiswerke.

Aufg. 11.

K a u f: 12 000 M 3¹/₂ % Gr. Bert. Straßenbahn-Obligationen.

Aufg. 12.

Verkauf: 10 000 M Aktien der Deutschen Gasglühlicht-Gesell-schaft, Dividendenschein vom 1. Juli.

H. Die Arbitrage.

1. Allgemeines.

Eine sehr wichtige Anwendung der Gold-, Münz-, Devisen- und Effektenrechnung ist die Arbitrage. Arbitrieren heißt soviel wie schätzen, erwägen; die Arbitrage beschäftigt sich damit, zu schätzen, zu erwägen,

1.    welche von mehreren Begleichungsarten bei der Deckung einer Schuld oder Einziehung einer Forderung die vorteilhaftere ist, oder

2.    ob aus der Verschiedenheit der Kursnotierung an den verschiedenen Börsenplätzen bei Ein- und Verkauf von Edelmetallen, Geld, Wechseln oder Effekten ein Gewinn zu erzielen ist.

Somit kann man hinsichtlich des Zwecks der Arbitrage reden

1.    von einer Ausgleichsarbitrage,

2.    von einer Differenzarbitrage.

Mit Bezug auf das Objekt, das der Arbitrage zugrunde liegt, unterscheidet man 1. Goldarbitrage, 2. Devisenarbitrage,

3. Effektenarbitrage.

Die Arbitragenrechnung ist eine außerordentlich umfangreiche und erfordert eine ganz genaue Kenntnis der Usanzen au den Börsenplätzen, der Münzverhältnisse, der Zins-, Provisions- und Stempelsätze. Der Arbitrageur muß mit klarem Blick einen Vorteil schnell ermitteln können und darauf schnell handeln, kurz: er muß mit allen börsentechnischen Verhältnissen gut vertraut sein.

Wir müssen es uns hier versagen, das Kapitel Arbitrage erschöpfend zu behandeln. Wer sich genauer damit beschäftigen will, findet in dem Literaturnachweis geeignete Werke für diesen Zweck genannt. SSir wollen hier nur das bieten, was jeder Kaufmann und Gewerbetreibende über die Arbitrage wissen muß. An der Hand einiger Beispiele werden wir daher versuchen, einen Einblick in die Arbitrage zu eröffnen.

2. Huegleicbsartritrage.

Bei dieser Art der Arbitrage handelt es sich immer um eine Schuld oder eine Forderung, die der Arbitrageur im A u s l a n d e hat. Er erwägt nun, welchen Börsenwert er beim Ausgleich verwendet.

Natürlich wird er zum Ausgleich einer Schuld dasjenige Papier benutzen, für das er am w e n i g st e n anzulegen braucht; hingegen wird er seine im Ausland bestehende Forderung durch solche Werte einziehen, welche in der Währung seines Landes am teuersten sind.

1. Beispiel. Heinrich Kuttner in Berlin hat an Jules Barre in Paris 2 575 Frs., sofort fällig, zu zahlen.

Wie gleicht er diese Schuld aus, roettit Berlin Wechsel auf Paris per 8 Tage mit 81,05, per 2 Monate mit 80,85 bei 4 % Diskont notiert und^ deutsche Wechsel mit 3 Monaten Sicht in Paris 121,80 ebenfalls mit 4 % Diskont verzeichnet sind.

Lösung. Aus den angegebenen verschiedenartigen Kursen muß zunächst ein gleichartiger festgestellt werden. Am besten ist es, alle Kurse auf den Sichtkurs zurückzuführen, d. h. mittelst der angegebenen Diskontsätze aus dem 8 Tage- bzw. 2 Monate- bzw. 3 Monatekurs den Kurs für sofort fällige Wechsel zu berechnen.

Berlin auf Paris 8 Tage = 81,05 + 8/4%    - 0,07

Paris vista 81,12

Wenn ein Wechsel bmi 100 Frs., der imd) 8 Tagen füllig ist, mit 81,05 M bezahlt wird, dann muß ein sofort fälliger Wechsel in gleicher Höhe um die Zinsen aus 81,05 M a 4°/₀ auf 8 Tage wertvoller sein, also um 0,07 Jl = 81,12 M.

Berlin auf Paris 2 Monate = 80,70 + 60/4% -- 0,54 Paris vista 81,24

Die Berechnung erklärt sich aus dern vorher Gesagten.

Kuttner könnte seine Schuld in Paris auch dadurch ausgleichen, daß er Barre auffordert, auf ihn zu trassieren mit) sich durch Verkauf dieses Papiers an der dortigen Börse bezahlt zu machen. Paris notiert Berlin 3 Monate nach der Aufgabe 121,80.

Paris auf Berlin 3 Monate = 121,80 + 3 Mon./4 % =    1,22

Berlin ä vue 123,02 ? M 100 Frs. 123,02 Frs 100 M

= 81,28.

Nachdem der Sichtkurs auf Berlin hergestellt wurde, mußte diese hi Frs. ausgedrückte Zahl in die Markwührung umgerechnet werden. Der Sichtkurs 123,02 Paris auf Berlin entspricht dann also dem Sichtkurse 81,28 Berlin auf Paris.

Der Berliner Geschäftsmann kann also mit 81,12 M eine Schuld von 100 Frs. in Paris decken, wenn er Wechsel mit kurzer Sicht remittiert;

er muß 81,24 A beim Ausgleich durch Wechsel mit langer Sicht

anlegen;

er muß für 100 Frs. Schuld 81,28 M rechnen, wenn er von Paris aus auf sich trassieren läßt.

Kuttner findet nun beim Vergleich dieser drei Notierungen, daß es für ihn am vorteilhaftesten ist, wenn er Wechsel mit kurzer Sicht verwendet, da er 100 Frs. Schuld schon mit 81,12 M ausgleichen kann.

Die Berechnung des Markbetrages, den er zur Deckung von 2575 Frs. anlegen muß, ist nun einfach. Er fragt:

? M | 2575 Frs.

100 Frs. |    81,12 M

= 2088,84 M.

Auch die Preise für Edelmetalle, gemünzt und ungemünzt, können in die Arbitrage mit hineingezogen werden.

2. Beispiel: Jemand hat in Paris eine Schuld auszugleichen. Kurz Paris kostet in Berlin 81,05, Provision Vs %, Courtage '/- %o-1 kg fein Gold wird in Paris 3 437 mit 1 %„ Prime (Aufgeld) bezahlt. Was ist nun günstiger, Rimesse in kurz Paris zu machen oder 20 Markstücke nach Paris zu senden, wenn man auf den Transport des Geldes vier Tage und für Courtage und Spesen 1 %₀ rechnen muß (Zinsfuß 4°/«,.

Lösung. Um das vorteilhaftere Deckungsmittel zu finden, berechnen wir,

1.    ivie teuer inkl. Kosten 100 Frs. Vista Paris sind;

2.    welchen Wert in Mark ausgedrückt nach dem Goldpreise 100 Frs. in Paris haben;

3.    wie hoch sich der Preis dieser Summe inkl. 4 Tage Zinsen und Kosten stellt?

1. 100 Frs. 8 Tg. in Berlin = 81,05 + 8/4% = 0,07 Vs % Provision = 0,10 v.% Courtage = 0,04

100 Frs. vista in Berlin 81,26 2. Der Preis für 1 kg fein Gold in Paris ist 3437 Frs. + 1 %„ Prime = 3437 + 3,44 - 3 440,44 Frs.

? M 100 Frs.

3440,44 Frs. 1 kg f.

1 kg f 2790 M,

= 81,09 M.

-- 81,09 M = 0,04 „ = 0,08 „

3. 100 Frs.

4 Tage Zinsen n 4 % 1 % Unkosten

81,21 M.

Eine Sendung von 20 Markstücken lväre nach dieser Berechnung vorteilhafter als die Rimesse; indessen wird die geringe Differenz von 5 $ per 100 Frs. bei der Remittierung von Münzen durch die Porto-nnd Bersicherungsunkosten usw. aufgebraucht, so daß man es doch vorziehen wird, die Schuld durch einen Wechsel mit kurzer Sicht auszugleichen.

3. Differenzarbitrage.

Die Differenzarbitrage stellt fest, wie aus den Kursdifferenzen Gewinne erzielt werden können.

An den verschiedenen Börsenplätzen weichen die Kurse meist nicht sehr voneinander ab. Mitunter aber wird die Spannung doch so groß, daß sich trotz der Unkosten bei Ein- und Verkauf von Börsenpapieren immer noch Gewinne erzielen lassen, indem man nämlich das Papier an dem einen Orte mit niedrigerem Kurse kauft und es gleichzeitig am andern Orte zu höherem Kurse verkauft.

Daß es sich hierbei auch um die Kursnotierungen inländischer Börsenplätze handeln kann, möge folgendes Beispiel zeigen:

3. Beispiel. Am 22. April 1907 stand die 3% Deutsche Reichsanleihe inHamburg auf 84,50, in Berlin dagegen auf 84,30. Eine Berliner Bankfirma, von dem höheren Kurse in Hamburg durch Telephon verständigt, gab sofort den Auftrag, in Hamburg 2 000 000 M> Deutsche Reichsanleihe zu verkaufen und kaufte am Berliner Platze dasselbe Papier in gleicher Höhe.

Daraus entstand folgendes Arbitragegeschäft.

22. April 1907.

Berlin (Kauf).

. M 1 686 000 .    „    3 666,70

M 2 000 000 3 % Deutsche Reichsanleihe a 84,30 .

Zinsen 22/3%

Courtage

M 1 689 666,70 500,-

M 1690166,70

22. April 1907.

. M 1690 000 .    „    3 666,70

Hamburg (Verkauf). M 2 000 000 3% Deutsche Reichsanleihe L 84,50 .

Zinsen 22/3%

Courtage

M 1 693 666,70 „    500,-

M 1 693166,70

Der Ankauf kostete also 1690166,70 M, der Verkauf brachte 1693 166,70 M; es wurde somit ein Reingewinn von 3000 M erzielt.

Es konnte selbst bei dieser geringen Spannung von 20 s, per 100 M Nennwert ein nennenswerter Gewinn herausgerechnet werden, weil Deutsche Reichsanleihe wie alle inländischen Staatspapiere beim Handel stempelfrei sind und mit beut Makler nur y₄ %o Courtage vereinbart waren.

Es folgt nun itoch ein Beispiel einer Arbitrage ztvischen Berlin und einein ausländischen Börsenplätze.

4. Beispiel.

24. April 1907.

200 Stück

Lvnd o n (Kauf).

40 £

Kommission Stempel .

Canada Pacific 178 . . . £ 7 120.—

2.50 2.50

L 7125 -

Berlin (Verkauf).

20000 $ Canada Pacific ä 175,60 . M 147 504,—

300/4 %

„ 2100,-

Courtage

M 149,604,— „    42,-

Stetnpel

M 149 562,

44,40

Abrechnung:

Wir erhalten...........

Wir zahlen £ 7 125 ä M 20,44 . . ._

Reingewinn............

M 149 517,60

M 149517,60 „ 145 635,—

M 3 882,6«

Lösungen.

Das Dezimalsystem.

Übung iw Zahlenlesen.

3 Million, 958 tausend, 469

Die Grundrechnungsarten.

Das Rechnen mit unbenannten Zahlen.

1. Die Addition.

Auf«. 1.

Aus«. 2.

Auf«. 3.

k—^ CJX |4^    H-¹-

⁶⁰ ^ ⁰¹ 8 $ 8 «s «e 5 + + +

00 00 Ox

CC CO

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Ol -h lO O 05

O 00 05 OX 00 CO

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CJ» CO CO O O O

Aufg. 4. 42

72

24

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Aufg. 5. 50

96

53

Aufg. 7.

8 00 O

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Aufg. 8. 96

43

89

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693

760

776

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730

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950

788

lC 07

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Aufg. 15. 46.    92.

460.

828.

87. 174.

348.    435.    522.    609.    696. 783.

870.

58. 116.

580.

64. 128.

640.

3800.    3900.    4000.    3900.    3800.    u. s. tu.

6800.    6900.    7000.    7100.    7200.    7300.    7400. 7500.

7600. 7700. 7800. 7900. 8000. 7900. 7800 u. s. tu.

Aufg. 18. 1010. 1020. 1030. ... 1090. 1100. 1110. ... 1150. 1140. 1130 u. s. tu.

4080. 4090. 5000. 5010. 5020. 5030. 5040. 5050. 5040. 5030 u. s. tu.

3190. 3200. 3190 u. s. tu.

8950. 8960. ... 8990. 9000. 9010. 9000. 8990 u. s. tu. 3150. 3160

6890. 6900. 6910. ... 6990. 7000. 6990 u. s. tu.

9950. 9960. ... 9990. 10000. 9990 it. s. tu.

Aufg. 19. 1000. 1001. ... 1025. 1024 u. s. tu.

1991. 1992. ... 1999. 2000. 2001. ... 2014. 2013 u. s. tu. 6998. 6999. 7000. 7001. ... 7020. 7019 u. s. tu.

1090. 1091. ... 1099. 1100. ... 1110. 1111 u. s. tu.

3884. 3885. ... 3899. 4000. 4001. ... 4006. 4005 u. s. tu. 9984. 9985. ... 9999. 10 000. 9999. u. s. tu.

857

Ausg. 22.

1714

2571 3428 4285 5142 5999

6856 7713 8570

Ausg. 24. 9485 9039 3750 4982 8382 5932 2977 5378 4746 7942

Aufg. 20. 4007 3068 6760 9809 5624 3895 6468 9038 7339 7124 4476 7992

Aufg. 21 2002 5025 6137 8490 3223 8436 4199 7200 7548 7248 9628 3162

A«fg. 23 6035    443    6049    4567

8141 1601 2223 1846 7237 4239 4588 6572 4532 3110 7332 2347

Ausg. 25. a)    5 563 797 b) 21 742 771 c) 104 400 164

d) 111236 744 e) 768355 556 f) 31925 478

g) 12 509 354

Ausg. 26. a) 623 651 b) 612 275 c) 5 731 695

2. Subtraktion.

rr

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CD OO lO rc

H l> oo O (M iO O

o-

CfQ

o io ^ co

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Aufg. 2. a) 20 b) 32 c) 82 d) 90 Aufg. 3. a)59    b) 84 c) 27 d) 67

SS

SS

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IO Ci O (M C5 H t-h CO 00 CD 03

Aufg. S. a) 298 b) 196 c) 594 Aufg. 10. a) 420 b) 180 c) 460

391 694 893 792 891 492 495 397 297

775 544 783 382 457 894 553 858 476

Aufg. 15. a) 365 b) 143 c) 385 Aufg. 16. a) 269    b) 141 c) 154

Aufg. 14. a) 817 b)

o) 783 d) 855 e)

774

731

688

645

602

559

516

473

430

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810

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648

621

594

567

540

765

720

675

630

585

540

495

450

lOiO^COCONHH

64

Aufg. 24. a) 182 299 b) 555 996 c) 8 082 905 d) 80 978 049 e) 4 782 165

Multiplikation.

Aufg. 1. a) 119 b) 104

57

108

60

64

90

36

Aufg. 2. a) 350 b) 160

270

160

270

120

480

350

Aufg. 3. a) 225 b) 104

477

392

261

126

552

266

Aufg. 4 a) 267 b) 594

441

552

203

195

316    58

Elle üsili ü&gisi

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Q-

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SSSfe £ C3 O CD OOOO

Aufg. 5. a) 1600 b) 1500 c) 1600

o-

4200

7200

2700

2700

1000

5600

2400

1400

2000

Aufg. 6. a) 2824 b) 1506 c) 2745

2456

4256

2724

4045

3636

5648

410

5430

3042

Aufg. 7. a) 1660 b) 4560 c) 2880

Q-

1250

4560

7020

2590

1290

6510

1960

6660

810

Aufg. 8. a) 429 b) 1799 c) 8919

Q-

5915

3048

1528

5688

3132

1897

996

2790

3412

Aufg. 9. a) 3493 b) 2964 o) 3450

5592

1782

3510

1797 8091 3960 1580 6320 5940

Aufg. 10.

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00 CD CD T-i O CO CD CD ^ hJH CO

Aufg. 18. a) 380 b) 3 540 Aufg. IS. a) 361 b) 4761

2450

8010

6 320

1560

870    4 830

9900    14 280

6241

Aufg. 20. a) 1640 b)

6480

2550

4970

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CO CD Oi Ci CD rH

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Aufg. 21. a) 1681

6561

2601

5041

er

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O CD (M 00 CM Ci l> CM O CO 00

420

441

Aufg. 22. a) 234 612 15 956 140 136 337 584 194 300 18 752

b)    277 053 732 866 404'908 27 664

c)    631 728 3 884544 318120 384 256

d)    2136 204 4 737 786 13190 778 568038 5102214 4 430 880

Aufg. 23. a) 17 683 296 45 953 664 23 478 096

b)    25 485 534 27 306 102 5 478 351

c)    4 131 855 6 393 660 5 521 230

d)    1134 210 3 611685 2 090 165 3 331 790

e)    2 339 918 2 925 096 2 217 642 6 712 476

f)    25 568 968 11985 864 29 966 848 21 696 208

g)    35 101 773 22 399 466 32 616 334 242 739 631

Aufg. 24. a) 896 040    1 034 640    1 329 480

b)    14116 800 18 705 600    26 102 400    12 892 800

c)    3 600 000 19 500 000 292 500 000 217 500 000

Aufg. 25. a) 98 663 280    1 181535    9 717 870

b)    29 915 744    52 748 576    35114 128    26 847 696

c)    47 123 104    31 718 092    21 648 804    23 256184

d)    29 366 587    23 879 196    41 788 593    329 906 717

e)    1 177 937 280    20029 023 820    135 217 843 600

Division.

e)    6 Rest 1,89t. 2,3 R. 2,9 R. 2,10 R. 5,691.3,3 9t. 1,4 R. 4.

f)    5 Rest 1, 9 SR. .1, 7, 8 9t. 2, 5 9t. 6, 4 9t. 1, 7 9t. 4

g)    2 Rest 3, 4 9t. 6, 10 9t. 3, 9 R. 3, 6 9t. 1, 7 R. 4

i> co cd io co r> co

70 „ 7 50 „ 3 20 „ 8 40 „ 5 90 „ 4 30 „ 6

h)    3 Rest 3, 4 R. 4, 7 9t. 7, 10 9t. 5, 8 R. 8, 4 9t. 8, 3 9$. 5 Aufg. 2. 47 Rest 8,73 9t. 6,59 9t. 9,1039t. 5,258 R.7,936 9t. 8,546 9t. 1 Aufg. 3. a) 70 b) 20 9t. 1 c) 40 9t. d) 80 9t. 8

Voelkner, Prakt. Rechnen.

273

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907    407

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8 089 „ 2 132107 „ 5 58145 „ 4

8 831 „ 2 15240 „ 0 12 807 „ 2

d) 696 490 R. 2 e) 297 374 R. 4 549 553 „ 3 421 225 „ 1 1212 643 „ 3 8) 18 943 R. 5 b) 13 857 R. 22 8176 „ 32 13 851 „ 28 5697 „    2

706 610 „ 1 335 845 „ 2 730 453 „ 5

30145 „    5

33 050 „ 19 11871 „ 22

k) 107 274 R. 55    1)    5    024    R. 64

53 746 „ 54 73 331 „ 53 40 421 „ 22 n) 923 R. 138 3 333 „ 144 2 735 „ 167 1349 „ 240

q) 1 443 5R. 1 794 r) 866 R. 2 653 472 „ 3 204 1481 „ 3 623 1210 „ 3 381 t) 954 R. 25 914 69 „ 66138 29 „ 66 898 55 „ 62 514

2 343 „    447

1496 „ 2 831 2 454 „ 2 001

2    953 „ 50

3    595 „ 65 2 937 „ 92

o) 2 001 R. 367 825 „ 333 1601 „ 154 595 „ 477

c) 542 250 R. 4 438 604 „ 0 943 575 „ 0 387 297 „ 1 f) 51 208 R. 5 21536 „ 13 26 326 „ 16 38190 „ 11 i) 86 740 R. 11 118 386    „ 3

65 684 „ 52 50 865 „    9

m)3 997 R. 29

3    590 „ 31 6 964 „ 52

4    647 „ 50 p) 532 R. 508

1206 „ 514 1274 „    90

145 „    29

s) 1203R. 16055 637 „ 1 756 1 077 „ 47 074 385 „ 26 550

CO DO

Aufg 1« a) 736

1082

b) 855

1048

c) 394

159

1143

2015

258

1089

2555

735

5069 „ 92 3996 „ 72 298 „ 776

768 „ 140 395 „ 381 587 „ 717

Das Rechnen mit mehrfach benannten Zahlen.

1. Resolvieren.

Aufg. 1.

a) 5 M 70 Pf. b) 6 kg 150 g c) 7 Frs. 53 Centimes 7 km 40 m 60 g 1 mg

0 ccm 340 emm 6 Kronen 90 Öre 20 hfl 6 Cents 0 Milreis 350 Reis 19 Pesetas 6 Centimos.

9 m 18 cm

7    cm 3 mm

8    hl 31 1 014 Pf.

4 ha 30 a

18 a 2 qm

Aufg. 2.

a) 0,50 M 0,75 m 0,10 hl 0,5 cm 0,300 t 0,41 ha 0,03 qkm 0,05 m

13 Rubel 8 Kopeken 5 Kronen 18 Heller

0 kg 35 g 8 km 10 m 3 t 80 kg

b) 0,75 Frs. c) 3,90 M 0,13 Kr.

0,05 Drachmen 4,030 kg 0,90 £

0,80 hfl 0,17 K.

0,085 Milrsis 19,070 km 0,90 Frs.

0,08 Pesetas

5,09 m

9,5 cm 5,02 ha 15,06 qkm

15,060 g

d) 13,06 Frs. 20,02 Kr. 1,05 Trach. 50,13 £

9,09 K. 500,05 Rubel

Aufg. 3. a) 24 Mdl.

138 Stck. 104 Std. 343 Tg. 59 Stck. 399 Sek. 58 Mon.

b) 75 Inches 154 s.

162 d.

60 Gallons 37 Fuß 307 Pfund 404 Solotnik 740 Tg. (d. Ihr. zu 365 Tg.) 38 Pud.

Aufg. 4. 239 Stck.

5. 3586 Stck. 8. 6644 d. 11. 2015 Pfd.

6. 9128 Tg.

9. 1221 Inches 12. 488 Pints.

7. 28454 Mm.

10. 1077 Gall.

b) 2381 Kop.

11455 Centimes 1905 Centesimi 8583 Lepta 25 803 Cents 49350 Reis 6 848 Cents 14845 Centimos. b) 9 Feet 11 Inches 16 £ 15 s.

6    s. 3 d.

1 Qr. 3 Bsh. 5 Gall. 12 Pud 33 Pfund

7    Werst 250 Saschen

3    Qrs. 25 Pfund

4    Pfund 22 Lot 10 Pfund 9 oz.

Aufg. 13. a) 1750 1 1305 a 90110 Pf.

13400 gl 315010 m 5030 cm 28713 mm 3165 mm

Aufg. 14. a) 1 Schck. 1 Mdl.

4 Mon. 18 Tg.

4 Mdl. 12 Stck.

21 Jahre 6 Mon.

7 Grs. 6 Dtz.

7    Schck. 15 Stck.

2 Jahre 36 Wochen 4 Min. 43 Sek.

8    Tg. 8 St.

Aufg.    15.    8 Schck. 3 Mdl. 11 Stck.

„    16.    9 Ihr. 10 Mon. 25 Tg.

„    17.    7 Grs. 6 Dtz. 7 Stck.

„    18.    1 Tg. 21 Std. 9 Min.

„    19.    7 Qrs. 3 Bush. 3 Gall.

„    20.    19 £ 2 s 9 d.

„    21.    28 Tschetw. 4 Tschetwk. 3 Garnez

„    22.    11 Laschen 5 Fuß 3 Zoll.

„    23. 37 Hards 2 Feet 3 Inches.

„    24. 4 Tons 14 Cwts 1 Qr. 27 Pfund.

b) 385,97 Rubel 65,30 £

3,804 m (380,4 cm) 590,20 Drachmen 29,765 kg 894,23 ha 28,03 qkm 50,937 t 9946,70 a

„    25. a) 75,61 M

176,35 m

104,921 Milreis 89,487:

396,84 Kr. 3004,87 Pesetas 5847,03 K.

Addition.

b) 7 Mon.

16    Std. 12 Min.

14 Dtz. 2 Stck.

10 Grs. 3 Dtz.

3 Mdl. 10 Stck.

17    Tg. 5 Std.

10 Schck. 22 Stck. b) 6 Tschetwerik 3 Garnez 28 £ 13 8.

14 s y

7    Bushels 4 Galt.

14 Yards 1 Fuß

8    Pud 8 Pfund

A«fg. 1. a) 6 Dtz.

3 Mdl. 9 Stck.

10    Grs. 7 Dtz.

11    Mon. 8 Tg.

17 Std. 14 Min.

25 Min. 35 Sek.

14 Tg. 17 Std.

Aufg. 2. a) 6 Yards 1 Fuß

8    Fuß 4 Zoll

9    £ 11 s.

7    s. 7 d.

6 Bushels 2 Gatt.

Aufg. 4. 106 Schck. 16 Stck.

„    6. 24 Ihr. 1 Mon. 12 Tg.

„    8. 23 Bush. 3 Gall. 3 Pints

„    10.33 Taschen 0 Fuß 2 Zoll.

2 Tons 9 Cwts 2 Pud 7 Pfund.

Aufg. 3. 57 Grs. 10 Dtz. 3 Stck.

„    5. 98 Grs. 6 DK. 10 Stck.

„    7. 39 Std. 34 Min. 13 Sek.

„    9. 21 £ 7 s. 2 d.

„    11. 637 Yards 1 Fuß 7 Zoll

b) 7,20 M 10,70 ha 9,160 km 8,390 Milrsis 12,20 hfl. 14,28 Pesetas

„    12. a) 7,25 M

5,05 ha 11,13 m 9,100 t 7,14 Rubel

8    55 Kr.

Aufg. 13. a) 145,88 m b) 141,004 kg „    14. a) 10503,65 M b) 7640,15 M c) 18143,80 M

„    15. a) 50,50 M b) 70,— M

Aufg. 17. 13 051,27 K.

„    16. 591,70 Rubel.

Subtraktion.

b) 3 Grs. 8 Dtz.

4 Dtz. 7 Stck.

9 Schck. 51 Stck.

7    Mon. 24 Tg.

8    Ihr. 7 Mon.

4 Std. 35 Min.

Aufq. 1. a) 3 Mdl. 9 Stck.

9 Dtz. 7 Stck. 14 Ihr. 8 Mon. 8 Mon. 24 Tg. 7 Tg. 19 Std. 13 Std. 44 Min.

Aufg. 2. a) 8 £ 12 s.

b) 4 Tschetw. 5 Garnez 5 £ 14 s.

8 Tons 15 Cwts

15 Cwts.

5 s 9 d

3 Pud 26 Pfund

8 Pud 34 Pfund 6 Tschetw. 6 Tschwk. 1 Qrs. 24 Pfund 11 Qrs. 3 Bush.

10 s 6 d

Aufg. 3. 45 Grs. 5 Dtz. 8 Stet. Aufg. 4. 38 Ihr. 9 Mon. 14 Tg.

5. 8 Tg. 9 Std. 52 Min. 7. 177 Pud 34 Pfd. 45 Sol. 9. 4 £ 6 s 7 d.

6.1 Cwt 3 Qrs. 19 Pfund

8. 12 Cwts 3 Qrs. 17 Pfd.

b) 4,50 Pesetas 13,45 Frs. 13,60 Piaster 11,30 Kr. 28,75 hfl 18,50 Rubel

„ 10. a) 10,86 M

107,75 M

2,75 m 18,625 t 1,750 kg 3,65 hl

Aufg. 11. a) 558,60 M b) 45 592,60 M c) 4836,50 M. Aufg. 12. 46,90 „    13. 235,74 ha

„    14. 1958,20 M

15.    1 794,10 Rubel

16.    152,76 Frs.

Multiplikation.

b) 7 Bush. 7 Gall.

19 Tschwk. 4 Garnez 7 Pud 16 Pfund 9/7s 45 Cwts 49 Pfund 8 oz 23 Tschw. 1 Tschwk. 68 Yards 1 Fuß

Aufg. 1. a) 6 Dtz. 5 Std.

2 Schck. 45 Std.

2 Std. 6 Min.

6 Tg. 12 Std.

60 Ihr.

45 Dtz. 11 Std.

65 Schd.

27 Mdl. 8 Schd.

Aufg. 2.    a) 52    Grs. 10 Dtz. 5 Std.    e)    351 £ 6 s    9 d

b)    95    Grs. 6 Dtz. 3 Std.    f)    584 £ 7 s    6 d

c)    7    Wochen 1 Tg.    g)    330 Rubel    75    Kopeken

d)    1139 Tg. 6 Std. 24 Min.

Aufg. 3. a) 21,60 M 32,50 m 21,765 t 78,75 ha 148,50 a 25,200 kg

Aufg. 4. a) 4994,50 M 19830,240 t 29185,450 kg 21015,72 ha

Aufg. 6. 63,65 M „    9. 433,40 M

Aufg. 7. 39,79 M „ 10. 243,- A

Aufg. 5. 89,25 M

8. 65,79 M 11. 8 102,45 A

b) 106,75 Rubel

103,20 Frs. 78,- £

50,05 Kr.

54,60 Piaster 87,30 hfl. b) 8 637,53 Rubel 25 188,24 Dollar 69 455,19 hfl. 420 032,80 Kr.

Division.

Aufg. 1. a) 3 Tg. 3 Std.

3 Dtz. 6 Stck.

3 Mdl. 9 Stck.

15 Schck. 45 Stck.

1 Mon. 9 Tg.

13 x, 14 x, 6 x, 20 x, 5 x, 14 x,

Aufg. 2.

b- P

b) 9 Pfund

1 Bushel 2 ©all.

1    Ton 14 Cwts 3 Taschen 3 Fuß

2    £ 18 s x, 10 x x, 17 x

Aufg. 4. 1 £ 14 s

Aufg. 3. 2 s 8 d

b) 23 Schck. 14 Stck.

Aufg. 5. a) 2 Tg. 3 Std.

c) 26 Mdl. 14 Stck. d) 1 Ihr. 6 Mon. 7 Tg.

Aufg. 6. 63 Pflanzen Aufg. 7. durchschnittlich 6 Mdl. 12 Stck. Aufg. 8. durchschnittlich 2 Schck. 2 Mdl.

b) 5 Grs. 6 Bush. 5 ©all.

Aufg. 9. a) 31 £ 16 s 9 d

Aufg. 11. 14 s 8 d

c) 16 Cwts 2 Grs. 19 Pfund d) 3 Pud 27 Pfund 16 Lot Aufg. 10.    £ 21.13.6

Aufg. 12.

1 Ton 6 Cwts 14 ü = 2 926 ü. £ 121.18.4 = 29 260 d. 2926 U = 29260 d.

1 ü = 10 d.

Aufg. 13. 6s8d Aufg. 14. 14Tg. Aufg. 15. 93Cwts3Qrs. 16Pfund

b) 44,90 Frs.

Ausg. 16. a) 11,40 M 6,60 m

7.50    hl 8,70 ha

16,900 kg 7,900 kg 3,30 a

3.51    M

0,57 Dollar 0,72 Rubel 0,90 i 0,74 hfl.

2,87 Kr.

6,44 Drachmen

18,40 Pesetas

Aufg. 17. a)    2,85    M    b)    14,25    M    c)    31,35 M

„    18.    a)    1,06    M    b)    42,40    M    c)    243,80 M

„    19.    a)    2,16    M    b)    17,28    M    c)    1,08 M d)    22,68 M

Aufg. 20. 0,72 M Aufg. 21. 0,38 M Aufg. 22. 3,80 M

b) 20 x

Aufg. 23. a) 11 .x

12 x

Ol [> CO

14 x

12 x 11 X

b) 9,66 Frs. 9,06 Rubel 17,46 Pesetas 1,42 Piaster 0,61 Dollar 0,341 Milröis 0,29 hfl.

Aufg. 26. 21,25 M „    29. 418 Stücke

Ausg. 24. a) 7,69 M 15,89 m 0,33 ha 37,221 km 9,323 kg 10,337 t • 0,204 g

Ausg. 27. 6,96 M „    30. 87 x

Aufg. 25. 2,30 M „    28. 300 Fliesen

„    31. 35 Fässer

Verwandlung fremder Sorten in deutsche und umgekehrt. Aufg. 1. a) 58,12 M b) 112,97 Frs.

Aufg. 2. a) 2,025 deutsche geographische Meilen b) 23,425 Werst

c) 45,954 englische Meilen e) 407,077 km

d) 224,455 km

Anfg. 3. a)    1    Darb    —    0,915 m,    5    Dards    —    4,575 m

1    Foot    =    0,305 m,    2    Feet    ---    0,610 m

1    Inch    =    0,0254 in,    8    Inches    =    0,2032 m

5 Dards 2 Feet 8 Inches = 5,3882 m

„    = 5 m 38 cm 8 mm

b) 1,616 kg d) 2,146 kg f) 504,45 M

c) 14,126 Tonnen

e) 195,37 1

g) 6 £ 4 s 7 d

Anfg. 4. a) 74,941 kg b) nach der Tabelle 1902,46 M, nach dem

Satze 1    = 2,16 M = 1230,34 M.

Anfg. 5. a) 2 971,09 M „    6.    a)    11098,81 M

„    7.    a)    34 695,17 M

„    8:    a)    1455,07 M

„    9.    a)    124,94 M

„    10.    a)    383812,69 M

b) 6881,77 K b) 13 903,44 Kr. b) 2121,79 hfl. b) 131,244 Milrsis b) 1 757,70 Piaster b) 1341,60 Dollar.

Zeitrechnung.

Anfg. 1. 57 Ihr. 9 Mon. 17 Tg. (Die Tage sind hier kalendermäßig auszuzählen, der März wird also mit 31 Tagen berechnet.)

Anfg. 2. 147 Tg.

Anfg. 5. 2. April 1906

Anfg. 3. a) 41 Tg. b) 57 Tg. c) 98 Tg. ä) 70 Tg. e) 47 Tg. Anfg. 4. 5. Mai 1821 Anfg. 6. 24. September, 4. Februar nächsten Jahres, 24. Juli, 27. Februar nächsten Jahres

Ausg. 7. 5. Januar 1809

Aufg. 8. a) 5. Dezember v. I. b) 4. Februar c) 22. Oktober

d) 16. April e) 19. Dezbr. v. I.

Das Rechnen mit gewöhnlichen Brüchen.

Verwandle unechte Brüche in ganze und gemischte Zahlen und

umgekehrt.

c) 20

co lO t> GO

Anfg. 1. a) 9

19

Aufg. 2. a) 8VS

b) 4³/₄

öV,

5s/₈

5 V₈

8⁵/«

12³/₁₀

6³/is

Aufg. 3. a) ⁶³/₇, ⁹V„ ¹⁴⁷/„ „    4- a) ³⁹/₄

⁶¹,₇

⁹ Vs

⁶⁸/s

224

b) ³⁸/₃

c) 9³/₁₅

8¹⁵/,e

7¹⁰/is 7¹⁷/i8 /, b) ³⁶/* "Vs, c) ¹⁰⁰/₇

d) I8V13

15",is

28⁹/lv

25²³/₂₄

225

432

d) ²²²/13

100

,3

/ö

125

/17

¹¹⁹/«

⁶⁹/o

239

187 /

,10

94 yl9 ²⁹³ /2'

Aufg. 1 a) ¹⁶/₂o

¹²/l6

28

Erweitern und Kürzen der Brüche.

O) ¹¹²/l76 48 /

/ 208

/240 /si2

/ 32

b) ¹⁸/‘27 27 /

/ SO 45 /

/ 72

112

¹² / 20

V 24 20/

/ 28

Attfg. 2. a) ¹⁵/₃₆

¹⁶/ 36 27 /

/ 36 30 / ,36 24/ ,36

18

45

286

27 /

,63 45 / ,108

b) ⁹/?2

/ 72

,7:

,72

,72

80

144

,86

,32»

c) ⁶%o

72/

/SO

70/

/SO

⁷⁵/so

/ 90

Aufg. 3. a) ³/„

b) V,

c) V«

d) V

= ,4

⁹,

⁷ ,9

⁵/

Vs

⁶,

³,

V,

Vi:

⁶/n

e) V.

f) ⁶/l3    g) ²,7

Vs

⁵ ,7

⁵,11

Vs

⁴/

Vs

23

³² / 41

h)²⁷³/₅04

/183 95 /

/ 283

⁷⁴,87

Aufg. 1. a) 1

Addition, b) l⁸/₉

c) l*/₄

l²/₃

l⁵/,

l¹¹/

l¹/«

l⁹/lO

2¹³/

Attfg. 2. a) 5

b) 13V₃

14

I62/5

c) UV»

17

152/7

39V₂

30-/,

Ausg. 3. 124

Aufg. 5. 277¹³/₃₀

Aufg. 4 102¹⁷/i

„    6- a) IV« b) P/₄₀ c) 1“/*. d) P°U₃ e) I⁵»/

35/

/ 36

IV.

IV.

1V-1

120

55 /

/ 63

l⁷/₃;

1⁵/s6

107

127

/l

/120 lU/,26

Aufg. 8 . 86³⁶⁴/₄₉5    Aufg. 9. 10225l/₇2o

„ 11. 3474³⁷/₇₂₀    „    12. 3775¹⁷/₅₀₄

Subtraktion.

„    7.    a) 297³/s    b)    312¹³/₁₆    o)    610°/„

„    8.    a) 368⁷¹/₉„    b)    667²⁹/₄₈    c)    744⁶⁷/₉„

Multiplikation.

Aufg. 1.    a) 5V₄    b)    8i/₃    c)    10²/₆    d)    6W/₁₇    e) 9»/n

„    2.    a) 3V,    b)    12³/₅    c)    4²/₃    d)    7V,    e) 3‘/₂

„    3.    a) 16»/„    b)    19"/,₇    c)    30»/₃₄    d)    29"/₂₅

„    4. a) 18V₄ b)85V₂ c) 45l/₃ d) 42⁷/₁₂

„    5.    a) 13    b)    46⁴/₆    c)    42¹/,    d)    75³/₄₁    e) 89⁴/,

„    6.    a) 28⁴/ä    b)    18³/₄    c)    67²/₃    d)    46⁴/»    e) 114²/₃

„    7.    a) 352⁴/₉    b)    511⁷/₁₃    c)    2217    d)    1091⁴/₂₆

„    8. a) 51671⁵/j, b) 13 931¹/₂ c) 321 375"/₃₃ d) 50044²⁵/₃₂

„    9.    a)V.    b)    Vs    c)    ²⁸/₄₅    d)    ²¹/₁₀    e) •/..

„    10.    a) 4⁷/₈    b)    lOVa    o)    7⁷/₂₀    d)    8l5/₁₆    e) 4¹⁸/₂₀

„ 11 a) 3735²⁷/₆₄ b) 564²³/₂₄ Aufg. 12. a) 867™/,₆₂ b) 2889»/50 „ 13. a) 2099²³/₂₄ b) 367⁶³/₇₂

Aufg. 7. 60²/is „    10. 70⁶⁵/

308

Division.

Aufg.l.    a)    ⁴/₄₃    b)³/₂₈    c)    ⁷/₁₀    d)³/„    e) n/₈₄

n    2.    a)    ²/₉    b)    ²/s    c)    ²/n    d) ²/₁₇    e) ³/₂₅

„    3.    a)    ⁵/₆    b)    ⁴³/ls    c)    u/₁₂    d)²³/₂₈    e) ²⁰/₂₇

4.    a)    5⁴/₂₇    b)    2²³/₂₄    c)    4²³/₂₆    d) 9³/₈    e) 3³/₈

,,    3. a) ⁷/₂₇₂    b) ²³/ioo8 c) a/i88    d) '/

6. a) ³¹/₃₆    b) ²¹³/₂₄₈ c) ¹⁹³/₂₃₄ d) ³⁴⁷/₃₉₆

98

d) ¹⁵/», d) IV»

d) 8⁷/i6

b) IV« b) 2V10 b) 3»/,

c) V, c) =V2i c) 3V»

/138 c) l¹⁵/»» d) o98/i215

11 a) l²¹⁸/₂₈₀ b) 2⁸/₁₇₁ c) l2,8/₃₂₇ d) 2¹⁴²/,

c) ²V».

o) ⁴V,5

„    9-    a)    2V,

„    10.    a)    ²⁴⁷/t55 b)

133

Das Rechnen mit Dezttnalbriicben.

Multiplikation und Division.

Aufg.l.    140,56    1405,6    14 056    140 560    1 405 6.00

„    2.    0,7

„    3.    4832    48 320    483 200    4 832 000    48 320 000

70

700

7 000

0,48

Aufg. 5. a) 0,6

0,048    0,0048    0,00048    0,000048

15,607    1,5607    0,15607    0,015607    0,0015607

2,30894    0,230894    0,0230894    0,00230894    0,000230894

c) 0,63

0,24

b) 0,04

1,35

0,075

4,95

1,44

0,0052

0,018

1,92

2,52

Aufg. 6. a) 4

b) 8

50

c) 2

12

30

40

Aufg. 7. a) 26,32 d) 3,658 Aufg. 8. a) 74,273 d) 0,025 Aufg. S. a) 51,429 d) 5,352 Aufg.1«. a) 70,483 d) 0,061

b) 9,176 e) 103,806 b) 106,527 e) 0,033 b) 625 e) 19,787 b) 24,316 e) 0,065

c) 82,124 f) 1630,999 )    57,179

0,002

13,611

207,692

439,597

0,516

Aufg. 11.

a)    0,625    0,3125    0,16    0,34375    0,109375

b)    0,66...    0,42857142...    0,55...    0,5454...

0,46153846...    0,2121...

c) 0,8333...    0,91666...    0,4666...    0.40909...

a) Vs

Vu

b) Vu

Vu

²⁹A=

47/

/lll

19/

/SO

31/

/ 45

C) ⁸⁵/l98

217j

⁶⁵/l 12523j

300

98

16650

Verwandlung von s und d in einen Dezimalbruch von £.

Aufg. 1

Aufg. 2.

a) 0,133 £ b) 0,513 „

0,925 „

0,238 „

0,746 „

7,629 £ 13,313 „ 3,721 „ 9,408 „ 20,846 „

a) 0,258 £ b) 12,475 £ 0,963 „

0,588 „

0,375 „

0,667 „

9,783 „ 21,167 „ 6,863 „ 3,388 „

Anfg. 3.

a)

or

18 „

14 „ 11 „

05 CD ^1 ^ ' ' '

05 05 00 45-

O 05 CD 00

Aufg. 4.

a) 11 s

15 „

19 „

5 ..

O CD CO O

CD Oi CO

H o 05 < r-i r—I

CO O 00 CD

Rcgcldetn.

Aufg. 1.

Aufg. 2.

Anfg. 3.

867,75 M

285,45 M

465,63 M

Aufg. 4.

620,625

Aufg. 5.

1648,80 M

Aufg. 6.

3206,50 A

Aufg. 7.

Aufg. 8.

Aufg. 9.

£ 12.8.5

90,25 M

Aufg. 10.

27,36 M

Aufg. 13.

1 Std. 42⁶/, Min.

Aufg. 11.

471/3 m

Aufg. 14.

5 Tage

Aufg. 12.

36 £ 10 s 6 d Aufg. 15.

10 Std. 171/7M1N.

37,24 M

70,40

Aufg. 16.

25,08 M

Aufg. 19.

282,24 R°

Aufg. 22.

195 m

Aufg. 25.

1625,64 R°

Aufg. 27.

1218,02 M

Aufg. 30.

183 Schuhmacher

Aufg. 33.

8928,16 M

Aufg. 36.

3 Std. 31 Vs Min.

Aufg. 17.

3,41 M

Aufg. 20.

Aufg. 23.

106²/s m

Aufg. 25a.

969,75 hfl.

Aufg. 28.

523⁴⁴7s659 Arschin

Aufg. 31.

59,46 ha

Aufg. 34.

482,78 M

Aufg. 18.

Aufg. 21.

200⁸/i5 kg

Aufg. 24.

£ 12.14.11 (£ s u. d zuerst in d verwandeln).

Aufg. 26.

694 Fliesen

Aufg. 29.

321,75 M

Aufg. 32.

76,172 kg

Aufg. 35.

77» Tage

Aufg. 37.

588 Platten (abgerundet)

Kettensatz.

Aufg. 1.

M    1000 kg

kg    1000 g

--- 154,28 M

Aufg. 2.

1000 g 1000 kg 216,5 M

40 ü

Aufg. 3.

409,512 g

1 kg

152,25 M 100 ls-°

= 1,15 R,"

kg

50 kg

1000 g

3,25 $

417,50

= 7,63 M

Aufg. 4.

Aufg. 5.

Aufg. 6.

? Kr.

168,41 Ellen 51 m 1,125 M

1 Elle 100 m

? M 11

228 1 484,50 Frs.

? M 100 kg 0,4536 kg 1 ü

230,10 M 112 ü 12,75 $    100 Frs. 80,95 M

100 $ 417,75 M = 1,72 M = 104,84 M

1 Kr.

--- 2,38 Kr.

Aufg. 7.

? Sol. 466,25 £

Aufg. 8.

? M 350 kg 1 kg 5,45 Frs. 1 ü 373,242 g 100 Frs. 80,75 M 4,267 g 1 Sol.

= 1 Sol. 84 Doli ohne Sp. I m. Spef.

Aufg. S.

10 u

209 9 1

100 M I 112 M 1 Tfchetwt.

1 Qr.

290,8 1 1 Tfchetwt. 7,80

25 d

240 d 10 /o.Sp.

ll^m.Sp.

Aufg. 1.

0,82 M Aufg. 4.

jMifcbimgerecbnung.

Aufg. 2.

8,41 M

Aufg. 3.

1,28 M

13 M

Aufg. 5.

123,84 M

Aufg. 6.

1,45 M

Aufg. 7.

a) 3:2; b) 6:11; c) 45 : 32; d) 5:3; e) 37 : 48.

Aufg. 9.

I. 30¹⁰/i3 kg, II. 19³/i3 kg. I. 28⁸/₉ kg, II. II¹/» kg.

Aufg. 10.

I. 17Vu kg, II. 20 VM kg.

Aufg. 11.

I.    15 kg, II. 20 kg, III. 55 kg.

Aufg. 12.

II.    11*/* kg, III. 58V, kg.

Aufg. 8.

Aufg. 1.

GeMlfcbaftsrecbmmg.

Aufg. 2.

62, 93, 31, 93 Raummeter.

35 kg, 14 kg und 7 kg.

Aufg. 3.

Aufg. 4.

123,30 M und 164,40 M

L. 1005,25 Mo, M. 603,15 M, N. 1407,35 M, 0. 402,10 M.

Aufg. 5.

Der Abzug beträgt ¹/w vou 100 M, der zu verteilende Gewinn demnach 1000 — 100 = 900 M. Bekommt der erste Spieler 3 M, so kommen auf den zweiten 5 M, zusammen 8 M. Es sollen aber 900 M, d. i. 112y₂mat soviel, verteilt werden; folglich erhält der erste 112V- x 3 = 337,50 M und der zweite 562,50 M.

a)    Die Anteile verhalten sich wie 8 : 280 : 36 : 60 oder toie 2:70:9:15 = 96Teile. 1 Teil = 2304 : 96 = 24^.—, 2 Teile = 48 M, 70 Teile = 1680 M, 9 Teil -- 216 M,

15 Teile = 360 M.

b)    747 M, 1328 M, 1826 M, 747 M.

c)    2124,67 M, 2 428,20 M, 910,58 M, 1821,15 M.

d)    242 M, 393,25 M, 211,75 M, 121 M.

Aufg. 7. A 128,25 M, B 142,50 M, C 161,50 M, D 180,50 M.

„    8. A 270,15 M, B 360,20 M, C 450,25 M.

9.

A 6 400 M, B 8 000 M.

„ 10. A 918 M, B 4165 M, C 2 669 M.

„ 11. A 106,50 M, B 147 M, C 76,50 M.

„ 12. A 336 M, B 288 M, C 304 M. D 352 M.

„ 13. A 100 M, B 220 M, C 267 M.

Aufg. 15.

115 kg, 85 kg.

Aufg. 14.

13 000 M, 13 000 M, 16 500 M.

Aufg. 16.

II II II

15 „

15 % Gewinn von 12 000 M 1 800 M 8 000 „ 1200 „

15 „    „    4 000 „    600 „

A erhält 1800 M, B erhält 1200 — 300 M = 900 M, C erhält 600 — 450 = 150 M.

Aufg. 17.

A hat den geringsten Anteil. Erhält er 1 Teil, so kommen auf B. 3 Teile, auf C 9 Teile auf D 18 Teile; das sind zusammen 31 Telle. 1 Teil -- 224 440 : 31 = 7 240. A erhält also 7 240 M, B 3 x 7 240 - 21 720 M, C 3 x 21 720 = 65160 M, D 2 x 65160 = 130 320 JL

Aufg. 18.

C trägt 1 Teil, B 3 Teile + 90 M,, C 1‘A x (3 Teile + 90 M) 4 Teile + 120 M und außerdem noch 90 M, also 4 Telle + 210 M. Mle 4 tragen also 8 Teile 4- 90 Z + 210 M = 7500 M

= 7500 — 300 = 7200 A, 1 Teil=900 .K. C trägt 900 M, B trägt 3 x 900 + 90 = 2 790 M, A trägt IV, x 2 790 = 3 720 M + 90 M = 3 810 M.

Voelkner, Prakt. Rechnen.

289

19

Aufg. 20.

Wenn die Leistung eines Mannes an einem Tage einen Anspruch von 1 Teil, die Leistung eines Pferdes an einem Tage einen Anspruch von 3 Teilen    begründet, so    bekommt die Gemeinde

R 18 x    10    =    180 + (4 x    10 x    3) =    120, zusammen 300 Teile

504 „

486 „

Prozentrechnung.

Einfache Prozentbestimmung.

Durch einfache Teilung gefundene Prozentsätze.

k) Vi«d. ganz. Zahl = 6²/₃ %

n    ii    ⁼ 6lA %

h) Vao ii ii    ii    — 5    %

„    =4    %

ii    — 3Va %

a) V« d. ganz. Zahl = 16²/₃ %

„ =14V,%

ii — 42¹/z % „ =10 % ii = SVa %

i)V

25 ll

k) V*

0 II

Aufg. 1.

a)    25    %

b)    20 %

c)    8¹/, % d) ll¹/.%

a)    25    %

b)    16 V, %

c)    12 V, %

d)    11V.%    g) 6V,%

e)    10 %    h) 8V,%

f)    9Vu%

i) 6V,% k) 10 %

Aufg. 3.

a) 50% b) 33V,% c) 25% d) 20% e) 25% f) 10% g) 8V,% h) 5V,%.

Aufg. 4.

a) IV,% b) 3V,% c) 2V,% d) 5%

e) 20%

Aufg. 5.

a) 2V,% b) 47,% c) 5% d) 5%

e) 67, %

Aufg. 6.

a) 5% b) 16V,% c) 117»% d) 77,% e) 47, %

Aufg. 7.

a) V.% b) V,% c) 37-% d) 7-7° e) 47, %

Aufg. 8.

Aufg. 9.

87,°/°

337,7°

Aufg. 10.

12%

Aufg. 11.

10 % (die Mischung enthält 45 + 5 = 50 IV Aufg. 12. 3,75%.

rr

S*

tH

CÖ,£j GnJ D

(M iO

T-t T—H

t©H-p5©QO«siet©x

co ^    H h h io h co

xQ OOOOI>I>WOCOCO

od d © h w «5 ^ »fli ©idfrieoceeecoeee©

CSS

cö _q o

co

__7    ___cc__«___co

^ iH H H lO    r-t H H H N    th"

00 iO (M OO io ^ D- W^CDOiHOO

t-4 lO lO

rr

S*

CO DO DO

CiOOJOO^Ü'WÜ'O

ta    ta ta    ta    m

Das Verhältnis der bekanntesten Prozentsätze znm Grundwert.

a)    1    ---- Vioo des Grundwertes

b)    2

C)

tt

d)

e)

f)

tt

g)

II

12

tt

tt

Aufg. 52.

50    % -- 630— M

3373% = 420- „ 25    % = 315,- „

20    % - 252,- „

167-% = 210,- „ 147? % = 180,- „ 127-% = 157,50 „ 10 % = 126,- „ Aufg. 53.

87-% = 105,- M 84,- „ 6l/₄% = 78,75 „ 5    % = 63,- „

4 % = 50,40 „ 37-% = 42,- „ 27-% - 31,50 „ 2    % - 25,20 „

67s % ---

0,42; 0,51; 0,66; 1,95; 2,34 M ob. Frs. ob. Kr. ob. B°

Aufg. 54.

1,00; 1,28; 1,80; 2,56; 3,36 „ „

Aufg. 55.

0,48; 0,72; 0,84; 1,84; 3,68 „ „

Aufg. 56.

a.    0,60; 0,90;

b.    0,84; 1,26;

c.    1,08; 1,62;

Aufg. 57.

a)    27₂% = 0,53; 0,88; 1,13; 1,63; 2,38 M ob. Frs.ob. Kr. ob.

r-T t-T (Xi"

; 2,40 ; 3,60 ; 2,88; 4,32

tt

tt

tt tt tt tt

tt tt tt tt

tt

tt rt tt

Aufg. 60.

Aufg 61.

186 M Aufg. 64.

62V- kg

Aufg. 63.

Aufg. 62.

36 M

840 A Aufg. 65.

4,50 M

Aufg. 66.

a)    79,75;    127,60 ; 478,50.

b)    81,25;    130;    487,50.

c)    84,375; 135;    506,25.

Aufg. 67.

a)    573; 687,20 ; 773,55.

b)    510; 612;    688,50.

Aufg. 68.

a) 22,80 M ; b) 77 M; c) 6,27 M; d) 29,96 M; e) 11,70 M

Aufg. 69.

1 835,96 hfl.

Aufg. 70.

a) 48,51 M ob. Frs. usw.

b)

6,48 „ „

c)    137.69

d)    32,52

e)    2 048,54

b) 12,85 M.

Aufg. 73.

26,36 M

Aufg. 71.

a) 94,31 M

Aufg. 72.

40,56 Aufg. 75.

a) 62,48 M d) 14,01 £ g) 712,69 £ Aufg. 76. 31,77 h° Aufg. 78. 306,46 M

Aufg. 74.

173,55 Frs.

b) 56,61 Frs.    c) 84,72 Kr.

e) 207,26 Peset.    f) 346,10 hfl.

h ) 726,19 Drachmen

Aufg. 77. £ 1.4.6 Aufg. 79. 850,82 Ji

Aufg. 80.

a)    21,50 M    d) 44,84 Kr.    g) 71,58 $

b)    33,81 Frs.    e) 94,32 Drachmen h) 278,67 Milreis

c)    34,923 £ f) 147,84 Peset.

Aufg. 81.

a)    10 kg

b)    19,375 kg

Aufg. 82.    7 kg

„    83.    14,625 kg

„    84.    86,775 kg

„    85. 2 107,890 kg

„    86. 349,688 kg

„    87. 758,50 kg

„    88.    128,304 kg

„    89.    337,075 kg

„    90.    157,50 Kr.

c)    25,375 kg

d)    52 kg

e) 73,320 kg

Aufg.    91.    148,68

„    92.    556 M

„    93.    12 480 M

„    94.    196,40 M

„    95.    1 186,50 M

„    96.    a) 4224 kg

Aufg. 100.

1 a) 6,75 M

lb)    15,44 „

lc)    10,33 „

ld)    7,19 „

le)    11,25 „

Aufg. 101.

£ 25.11.11 Aufg. 104.

a)    34,15 M

b)    6,83 „

Aufg. 105. 18 298,85 M. Aufg. 106.

a)    72 M

b)    50,80 Frs.

c)    54 Kr.

2 a) 8,10 M 2b) 18,53 „ 2 c) 12,39 „ 2d) 8,63 „ 2 e) 13,50 „

Aufg. 102.

£ 16.5

3a) 3,60 M 3b) 8,23 „ 3 c) 5,51 3d) 3,83 3 e) 6,—

Aufg. 103.

£ 84.

c)    14,86 M

d)    38,72 „

e) 56,86 M

d)    105 R°

e)    57 M

f)    24 Frs.

g)    44,24 Kr.

h)    35,70

Aufg. 107. 66,750 kg Aufg. 110. 720 M Aufg. 113. 86,40 M

111. 1600 „

112. 712 „

108.    70

109.    8,125 „

114. 80

Aufg. 115. a) 1800 M

b)    1440 „

c)    1080 „

d)    864 „ 150 M

117.    2    595

118.    6 000 119. 250 000 „

123.    a) 48,50 M

124.    a) 303,60 „

125.    a) 630

126.    a) 540    „

127.    a) 49    „

128.    1112 M

Aufg. 116.

Aufg. 1.

h)    288 M

i)    216 „

k) 144 „

Aufg. 120. 2 500 M „    121. 3 660 „

»    122. 750 „

b) 582 M b) 2530 „ b) 7 875 „ b) 3 600 „ b) 1400 „

Aufg. 129. 5 640 M

Zinsrechnung.

g)    36,20 M

h)    27,81 „

i)    36,54 „

k)    52,14 „

l)    140,- „ m) 86,40 „

n)    126- M

o)    147,- „ P) 11,70 q) 9,20 v) 18,-s) 4,80

a)    20,— M

b)    15, i,

c)    21,-

d)    14,- „

e)    41,- „

f)    36,40 „

Aufg. 2.    731,57 M Aufg. 5. 255,33 M Aufg. 8. 709,27 M

„    3. 693,74 „

„    4. 1669,50 „

Aufg. 11.

a)    9,20 M

b)    15,03 „

c)    5,83 „

Aufg. 12.

a) 4,33 M Aufg. 13.

a)    51,43 M

b)    45,68 „

c)    2,94 „

d)    60,21 B°

„ 6. 49,26 „ „ 7. 165,35 „

„ 9. 145,86 „ „ 10. 284,75 „

d)    9,04

e)    10,28 Kr.

f)    40,10 M

g)    15,85 1$,°

h)    41,88 Kr.

b) 113,59 M c) 2,78 Kr. d) 67,10

e)    8,48 Kr.

f)    144,90 M

g)    62,18 Frs.

h)    13,59 £

i)    113,73 hfl. k) 231,74 „

Aufq. 14. 72,66 M Aufg. 16.

a)    5%

b)    3%

Aufg. 17.

a)    4%

b)    5%

Aufg. 18.

a)    800 Al

b)    850 „

c)    650 „

Aufg. 19.

a)    5 950 M

b)    7340 „ Aufg. 20.

c)    4%

d) 3%

e) 4°/« d) 4%

d)    1100 M

e)    2 400 „

Aufg. 15. 171,96 M

e)    5%

f)    6%

e)    31/3%

i) 3V«%

f)    2 250 M

g)    480 „

c)    5 430 M

d)    7128 „

e) 9180 M

a) 2

b) 37a

Ihr-

c) 3

d)    4 Ihr.

e)    IV2 „

f)    3    „

g)    Vt Ihr-

h)    7*

i)    V.

Aufg. 21.

a)    37- Ihr.

b)    1 Ihr. 2 Mon. d) 4 Ihr. 2 Mon. Aufg. 22.

a)    885,71 M

b)    2 443,35 „

Aufg. 23. a) 62 857 Einwohner

c) 10 Mon.

e)    17« Ihr.

f)    374 „

c)    263,36 M

d)    1283,76 „

e) 11235,90 M

Aufg. 24. 4 520,33 M

Diskontrecbnimg.

„ 5. 6452,40 „ „ 6. 6145,05 „

Aufg. 1. 1309,75 M Aufg. 4. 6164,82 M Aufg. 7. 16766,14 M 2. 837,45 „

„    3. 2327,05 „

Diskontverkehr mit der Reichsbank.

Aufg. 1. 6743,89 Al Aufg. 2. 2197,41 M Aufg. 3. 12978,56 AI

Cermtnrccbnung.

Aufg. 1. 2. Aug. „    2.    13.    Apr.

„    3.    2.    Okt.

Aufg. 6. 23. Sept. „    7. 18. März.

Aufg. 4. 20. Jan.

„    5. 15. Okt.

Kontokorrentrecbnung.

Einige Lösungen weisen im Zahlensaldo bei der Ausrechnung nach den drei Methoden infolge der Abkürzung der.Zinszahlen Differenzen von 1—3 # auf. Für das Resultat ist das aber belanglos, zumal man in der Praxis die Pfenmgbeträge auf 10 bezw. 5 Pfennige abzurunden pflegt.

Aufg. 1. (progressiv).

4<7o/1630#

31. Dez. 20. Jan. 10. Mürz 30. April 20. Mai 10. Juni

180

160

110

60

40

20

1170

1600

990

900

650,-

1000,—

900,-

200

420

1500,

Z. 8.

31. Jan. 20. März 10. Mai

150 750

100

50

2000

900

500,

Saldo

1630

2100,—

18,11

5280 6668,11

5280

500,-

2000,-

18U0,-

2368,11

6668,11

Aufg. 2. (retograd.)

13.12.

15.1.

3. 2.

7. 3.

15 246 33 241

16. 3.

67

21.4.

76

1532

R. S. 1426,65«# 8. z. J/G

8. 6.

111

158

1125

749

474

30.6. 180 2559 30. 6.

4$6,40

1639,60

731.35 2285,65 1480,25

675.35 300 —

11431,19

6936! 9029,*79

Zählens. L5°/o

cd cd cd <£> 'r-i ud io cd

31

h5

75

153

465

1593

3092

o co

1500 — 2450,— 4121,50 953,75

4,54

Aufg. 3. C-edi'tsaldo 2743,92 M.

4. Debet aldo 814 30 M.

„    5. Debetsaldo 699,74 M.

„    6. Creditsaldo 1664,67 M.

Gold- und Büberrecbnung.

Aufg. 1. a) 0,666... b) 0,5 c) 0,583 d) 0,833.. e) 0,764 f) 0,653

g) 0,868.

Aufg. 2. a) 0,750 b) 0,500 o) 0,625 d) 0,563 e) 0,875 f) 0,792

g) 0,840 h) 0,677.

Aufg. 3. Gold: a) 0,833 b) 0,979 c) 0,698 d) 0,948.

Silber: a) 0,946 b) 0,896 c) 0,833 f) 0,935.

Aufg. 4. 188,936 kg. Aufg. 5. 3,965 kg. Aufg. 6. 153,97 g. Aufg. 8. 12 U 53 Sol. 82 Doli. Aufg. 9. 84,955 oz.

Aufg. 10. a) 6406,32 M b) 10232,73 M c) 273,06 M d) 874,37 Jli. Aufg. 11. 164 £ 2 s 4 d. Aufg. 12. 159 £ 9 d. Aufg. 13. 39 898,OH Aufg. 14. 73073,65 Frs.

JWiinzrecbmmg.

Aufg. 1. a) 24,692 Frs. b) 19,579 s c) 25,2215 Frs. d) 4,1979 M

e) 32,40 M f) 40 Frs. g) 31,7208 s.

Aufg. 2. a) 9074,25 M b) 15210,00 M c) 7106,16 M d) 3627,10 M

e) 1695,94 M.

Devtfenrccbnung

Aufg. 1. 1139,70 M. Aufg. 2. 1231,80 A. Aufg. 3. 678,10 M. „    4.    4268,15    „

„    7.    6170,40    „

Aufg. 9. a) 1966,20 M

b)    1400,49 „

c)    4003,28 „

d)    823,45 „

e)    1124,13 „

#) Kurswert, Zinsen, Courtage und Provision sind auf 5 bezw. 10 Pfennige abgerundet und zwar derart, daß 5 Pfennige als 5 Pfennige gelten, unter 5 Pfennige wegfallen, über b Pfennige aber als 10 Pfennige gerechnet werden (5 = 5; unter 5 = 0; über 5 = 10).

„ 5. 5060,70 „ „ 8. 2039,90 „

„    6. 5981,15 „

Aufg.    10.    4268,15 M.

„    11.    a) 2799,04    M

„    b) 2311,06    „

„    c) 1204,05

d)    770,06

e)    4583,35

6.    12565,25 „

7.    6323,65 „

8.    9481,60 „

10.    3657,70 „

11.    11802,10 „ 12. 31957,30

Anhang.

Die JMünzen-, jWass- und Gewlcbtefyfteme aller Staaten der Erde mit Umrechnungstabellen ln deutsche Sorten und umgekehrt.

A. Das Deutsche Reich.

1. Die deutschen Maße.

Seit dem 1. Januar 1872 ist im Deutschen Reiche das metrische Maßsystem nach französischem Vorgänge eingeführt.

Die Grundlage dieses Systems ist das Meter (m). Es ist der zehnmillionste Teil eines Erdmeridianquadranten. Durch diese Teilung ist auch für die Maße, wie für die meisten Münzen, das für rechnerische Zwecke übersichtliche Dezimalsystem eingeführt.

3. Die deutschen Längenmaße.

1. Vervielfachung des Meters: a) 10 Meter (m).....

= 1 Dekameter (1 dkm),

b)    10 Dekameter (dkm) ...    =1 Hektometer (1 hm),

c)    10 Hektometer (hm) . . . = 1 Kilometer (1 km),

d)    10 Kilometer (km) . . . = 1 Myriameter (1 Mm). 2. Einteilung des Meters:

= 10 Dezimeter (dm),

b)    1 Dezimeter (dm). . . . — 10 Zentimeter (cm),

c)    1 Zentimeter (cm) ... =10 Millimeter (mm).

a) 1 Meter (m)

b. Die Flächenmaße.

Die Einheit bildet das Quadratmeter (qm), d. i. eine quadratische Fläche von je 1 rn Länge und Breite.

1. Vervielfachung des Quadratmeters:

a)    100 Quadratmeter (qm) . . =1 Quadratdekameter,

b)    100 Quadratdekameter (qD in) = 1 Quadrathektometer,

c)    100 Quadrathektometer (q D m) — 1 Quadratkilometer,

d)    100 Quadratkilometer (qkm) =1 Quadratmyriameter.

Statt qDm sagt man Ar (a),

„ qrim „    „ Hektar (ha).

2. Einteilung des Quadratmeters:

1 qm =100 Quadratdezimeter (qdm),

1 qdm = 100 Quadratzentimeter (qcm),

1 qcm = 100 Quadratmillimeter (qmm).

c) Hohlmaße.

Die Grundlage bildet das Kubikmeter (cbm), also ein Würfel, der 1 m lang, 1 m breit und 1 m hoch ist.

1 Kubikmeter (cbm) . .    .    .    „    =    1 000    Kubikdezimeter (cdm),

1 Kubikdezimeter (cdm).    .    .    .    =    1000    Kubikzentimeter (ccm),

1 Kubikzentimeter (ccm)    .    .    .    =    1000    Kubikmillimeter (cmm).

Der Rauminhalt eines    Würfels, dessen    Seite 1 dm lang ist, wird

als Liter bezeichnet.

1. Vervielfachung des Liters:

10 Liter (I)    . .    .    =    1    Dekaliter (Dl)

10 Dekaliter    (Dl)    .    =    1    Hektoliter (hl),

10 Hektoliter    (hl)    .    =    1    Kiloliter (kl).

2. Einteilung des Liters:

1 Liter (1)

1 Deziliter (dl). . 1 Zentiliter (cl) .

10 Deziliter (dl),

10 Zentiliter (cl),

10 Milliliter (ml).

2. Die deutschen Gewichte.

Den Ausgangspunkt des deutschen Gewichtssystems bildet das Kilo-gramm (kg). 1 kg ist das Gewicht von 1 Liter reinen Wassers, gewogen bei 4 ° Celsius.

1. Vervielfachung des kg:

a)

50 kg ---    100 Pfund (ü) = 1 Zentner (ctr),

b) 100 „ =    200

—¹    „    (ü) = 2

c) 1000 „ = 2 000

(Doppelzentner) = 1 Meterzentner (rne.tr), (ü) = 1 Tonne (t) (--- 20ctr).

2. Einteilung des kg: 1 kg = 10 Hektogramm (hg),

1 hg =10 Dekagramm (Dg),

1 Dg = 10 Gramm (g), lg =10 Dezigramm (dg),

1 dg =10 Zentigramm (cg),

1 cg =10 Milligramm (mg).

3. Die deutschen Münzen.

Durch das Münzgesetz vom 9. Juli 1873 ist in Deutschland die Goldwähmng einaeführt. Da jedoch auch silberne Dalerstücke gesetzlich in Zahlung genommen werden müssen, ist damit zugleich die Silberwährung zugelassen. Es wurden in Deutschland geprägt:

a)    aus Kupfer: 1 Pfennigstücke und 2 Pfennigstücke,

c)

d)

Die unter a), b) und c) erwähnten Münzen sind Scheidemünzen und zwar braucht nach Art. 9 des Deutschen Münzgesetzes vom

9. Juli 1873 niemand Reichssilbermünzen im Betrage von mehr als M 20,—, desgleichen Nickel- und Kupfermünzen im Betrage von mehr als einer Mark in Zahlung zu nehmen.

Folgende Sorten des Papiergeldes sind in Deutschland in Gebrauch :

a)    die Reichskassenscheine von 5, 20 und 50 M, ausgegeben von der Reichsbank,

b)    die Banknoten des Deutschen Reiches von 100,500 und 1 000 M,

c)    das Papiergeld der Privatnotenbanken von 100,500 und 1000M.

Unser deutsches Münzsystem ist nun auch ein rein dezimales geworden; denn in unseren Münzbenennungen erscheinen nur die Faktoren 2 und 5 und deren Produkte.

B. Frankreich.

1. Die französischen Masse.

Sie beruhen auf dem metrischen System und entsprechen in der Bezeichnung den deutschen Maßen.

Längenmaße:

1 Myriam^tre = 10 Kilomätres ä 10 Hektom6tres a 10 Decam^tres ä 10 M6tres.

Körpermaße:

1 störe (cbm) ---- 10 ddcist^res k 10 centistöres. Hohlmaße:

1 Hectolitre -- 10 Däca litres ä 10 Litres ä 10 Ddci litres ä 10 Centilitres.

Die Fünffrankstücke werden in ganz Frankreich bis zu jedem Betrage in Zahlung genommen, während die zu Scheidemünzen herabgedrückten übrigen französischen Silbermünzen nur bis zum Höchstbetrage von 50 Frs. als gesetzliches Zahlungsmittel genommen zu werden brauchen.

Beispiel:

1 Frank (Fr.) -- 100 Centimes (c); 1 Fr. --ca. 0,81 M, je nach dem Kursstände.

Tabelle I.

Umrechnung von französischem Geld (Gold) in deutsches Geld (Gold) nach dem Metallpari.

Frs. M Frs. M Frs.

Frs.

M Frs. M

MKMMKKIXXKKH

OCDOO<lCJCfi^OJlOl-lOCDOO<IO>0'^OJtOK

0.81

1.62

2.43

3.24

4.05

4.86

5.67

6.48

7.29

8.10

8.91

9.72

10.53

11.34

12.15

12.96

13.77

14.58

15.39

16.20

gCO^COOOCO^COCOCOgDOgbOgDO^COCOtO

17.01

17.82

18.63

19.44

20.25

21.06

21.87

22.68

23.49

24.30

25.11

25.92

26.73

27.54

28.35

29.16

29.97

30.78

31.59

32.40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

lLx l£x dx lLx dx dx dx dx dx dx dx CO CO CO CO CO CO CO CO CO

2§§§2o§SSSSSS^SShho§

öocD^CobbbbcobböoODobbooobb

OCDGOOO)CnrfxCOtOl-lC)iX>00<IOiC3^COtOK

65.61

66.42

67.23

68.04

68.85

69.66

70.47

71.28

72.09

72.90

73.71

74.52

75.33

76.14

76.95

77.76

78.57

79.38

80.19

81.—

cc

Tabelle II.

Umrechnung von deutschem Geld (Gold) in französisches Geld (Gold) zum Metallparikurs von 123.46:

JC

Frs.

Frs.

Frs.

Frs.

0'^00K)HOC000<1050^^WMHOC000<l05aitL0:WH

CO O- OO 03 O

co co co co ^

(M CC ^ lO 00 oi

co co co eo co co co

40.74

41.97

43.21

44.44

45.67

46.91

48.14

49.38

50.61

51.85

53.08

54.32

55.56

56.79

58.03

59.26

60.49

61.73

62.95

64.19

65.42

66.66

67.89 69.13 70.36 71.60 72.83 74.07 75.30 76.53 77.77 79.— 80.24 81.47 82.71 83.94 85.18

86.42 87.65

88.89 90.12 91.35 92.59

CD OO OO O CO GO

CO CO CO 03 K> H*-

CO CO Ox ^

H

o CO CO CO CO OCOOO<1Q

>—L>—Lt—LI—LI—t-l—LI—L>—t-l—t-l—l-t—L>—LI-i.H'-h-LH-f-h-i-

J8S8SS!oSi!E;-SSßtiS8S8SSS28SS888

C. England (Großbritannien).

Trotzdem das metrische System in England gesetzlich zugelassen ist, wird ausschließlich das alte Maß- und Gewichtssystem im Geschäfts-leben angewandt.

1. Längenmaße:

12 inches (Zoll) . . . machen 1 foot (Fuß), 3 feet (Plural von foot)

5V₂ yards......

40 poles.......

8 furlongs (= 1760

yards)......

3 miles.......

3 Larleycorns (Gerstenkörner) ......

3 inches (Zoll) . . .

1 yard (Elle),

1 rod (pole ob. perch) Rute, 1 furlong,

„    1 mile (englische -Steile),

„    1 league (Wegstunde),

7,92 „    .

5 feet . . 2¹/₂ feet .

120 fathoms . . 25 links . . . . 100 ......

„    1    inch,

„    1    palm (Handfläche),

„    1    band (Hand),

„    1    link.

„    1    pace (Schritt),

„    1    military pace (Militärschritt),

„    1    fathom (Faden),

„    1 cable's length (Kabellänge),

„    1    pole,

,,    1    chain of land.

Englische See-Längenmaße:

6 feet (Fuß) . . . machen 1 fathom (Faden),

120 fathoms ....    „    1    cable's length,

„    1    nautical mile = 1 knot (Knoten)

„    1    league,

„    1    degree (Grad)

1000

3 nautical miles 20 leagues .. . . 20 nautical miles

Tabelle:

Inches

Links

Feet

Yards

Poles Chains

Fur

longs

Miles

12

36

198

792

7 920

63360

OO M-

O O Ot CR Cr<

tH CO

16 V«

66

660

5 280

rH iQ

CM O O CM CM CD CM I>

CO

tH xh O O xh <M

SS

OO M-

CO

Meilentabelle:

Deutsche

geograph. Meile

Kilometer-

Englische Meile

Englische geograph. Meile

Oesterreichische

Meile

Russische Werst

M alpjuipcx

Schweizer-

Stunde

Holländische

Ure

Norwegische

Meile

Schwedische

Meile

^ CD 00 O W H h cq cq h cd^ l>- io ^

H O O O t—i O tH o o

7,420

1,000

CT> CO O lO

11,299

10,692

[II §11111II

xsl o o T—i Xh cT X*T OcT CO CD icT

O t—i O O xH xjH 1—l 03 O lO 1H <20 CD^ GO_ i-H_ l>. CO_

xh" cT t-T i—T xh" ö" xt^ 03"" co" t>" cd"

03    t>-    00    1—I    xh

00    GO    iO    03    xh

CD    02    xsl    O    CD

X X -P o „© o j-. _© 4=> „© „©

Ol CN2 CO 00

03 O

tH xsl xsl xh 02 02 xh 02 CO co 00 O i—t 02 CD t>- x^ xt*

O G5v vOv l> W Ov Ov vo 03 lO O co" cT t-T t-T t>" h [>*" x*TicT ö" o"

s8811E§iss$

03    xf4    xh    O    tH    tH

050    CD    O    CO    (M

^T-^co^oo^o^o^oa r-TcTcTcTr-T o~r-T ö" h ocTt-T

CQGQiOC0 0003[>Or>Oxt< ^OCOOOl>(MCDOOiO(M iO^ 03^    CO^    cq^ iO^ 03    IO    O    H    CO    Ol

"ft O    O    O    r—1    o    t—I    t—I    i—l    03    03

Soi^CDI>CiCD(MOi

ODOr-l-r-IODOOOxtl'^

cT cT o" ö" cT cT cT ö" ö" t-T ö" co o 02 co co

CO 00 00 CO CD CO H (M CO CO

OJ Ü1 <1 ^ to ^

co

^ ^ o o .o >p .o o Vi "m- V-l "o "oa

H 05 Oi CD CO O O OX ax

88

i—I l>-

Besondere Maße für den Tuchhandel:

2V₄ inches .........

4 nails (= 9 inches) . . .

3 quarters (= 27 inches) . .

machen 1    nail,

„    1    quarter,

„    1    Flemish    Eil,

»    1    yard,

„    1 English Eil,

,,    1 French Eli.

Englische Längenmaße, verglichen mit metrischen Längenmaßen:

Kilometer

Meter

Qenü*

meter

Milli

meter

1 engl. Mile = 8 furlongs =

1 760 yards........

1 furl. — 40 poles — 220yards

1,60931

0,20116

1609,31 160 931 201,16 20116

1609310

201164

(Fortsetzung)

Kilometer

Meter

Zenti

meter

Milli

meter

1 chain = 4 poles = 22 yards

1 pole --- 5¹/₂ yards.....

1 fathom — 2 yards --- 6 feet 1 yard = 3 feet — 36 inches

1 foot --- 12 inches.....

1 inch............

0,02012

0,00503

0,001829

0,000915

0,000305

0,0000254

20,12

2 012

20116

5,03

503

5030

1,82877

0,915

0,305

0,0254

182,88

91,44

30,5

2,54

1829

914,4

305

25,4

2. Die englischen Flächenmaße:

Ws Grundlage dient der englische Quadratfuß (square foot)" 1 square foot — 144 square inches,

1 square yard --- 9 square feet,

1 Rod of brickwork = 272 square feet,

1 square of flouring --- 100 square feet,

1 Square Pole (Rod oder Perch) = 30V₄ square yards,

1 Square Chain — 16 square poles,

1 Square Rod = 40 square poles = 1210 square yards,

1 Acre = 4 square Rods = 10 square chains --- 160 square poles = 4 840 square yards,

1 Square Mile --- 640 acres,

1 Hide of Land --- 100 acres,

1 Barony *= 40 hides.

3. Die englischen Körpermaße:

1728

277V₄ Cubic Inches (Kubikzoll) machen 1 Standard Gallon, „    „ machen 1 Cubic Foot,

27    „ Feet machen 1 Cubic yard,

1    „    Yard Erde macht 1 Load (Last),

40    „    Feet rauhes Holz machen 1 Ton (Load),

50

„ Stammholz machen 1 Ton (Load),

„ machen 1 Ton (Schiffstonne).

Cubic inch

„ foot = 1728 cubic inches „ yard = 27 cubic feet . .

16,38618

28315,31

764510

0,01638618 0,00001639 28,31531    0,028315

764,51    0,76451

cbm

ccm

Englische Körpermaße:

Metrische Körpermaße:

cbdm

4. Die englischen Gewichte:

In England werden die Waren, mit Ausnahme der Feinmetalle, nach demsogenanntenAvoirdupoids(Abkürzung: Avdp)-Gewicht gewogen.

Die Grundlage des englischen Handelsgewichtes (Avdp) ist das Pound (Zeichen „Uu bort libra = das Pfund).

I. Zusammenstellung der Avoirdupoids-Gewichte: a) Einteilung des Pound : f

1 Pound (U) ■    .    =    16 Ounces    (oz),

1 Ounce (oz) .    .    ==16 Drams    (drs).

b) Vervielfältigung des Pound :

14 Pounds .    =    1 stone (st),

2    stones.    .    = 28 Pounds    .    -----    1 Quarter    (qr),

4    quarters.    — 112 Pounds    .    -----    1 Hundredweight (cwt.)

Ein englischer Zentner (cwt), Abkürzung von cent weight — hundredweight — hat 112 Pfund und nicht 100 Pfund, obwohl das Wort „hundredweight” wörtlich „Hundertgewicht" auf deutsch heißt. 20 cwt (Hundredweight) = 1 Ton (t) (Tonne). Doch gebraucht man auch in London 1 Genta 1 oder 1 New Hundredweight ---- 100 Pfund und auf dem Londoner Fleischmarkte 1 stone ----- 8 Pounds.

Folgende Tabelle gibt eine. Übersicht über die Avoirdupoids-Gewichte:

Ton

Cwts.

(Hundred-

weisrhts)

Quarters

(Qrs.)

Pounds

Ounces

(ti)

(oz)

Drams

(drs)

CO

O T-t

CO

►—¹ t\D M M ^ GO CO O

co

vO rH

GO

t-t ^ CD ^ Gl QO CO O

573 440 28 672

7168

256

Beim Wägen der Steinkohlen braucht matt einige besondere Gewichtsbezeichnungen:

14 pounds machen 1 stone,

28

„    1 quarter Cwt.,

56

V₂ Cwt.,

1 Sack von 112 Pfund macht 1 Cwt.,

1 Doppelsack von 224 Pfund macht 2 Cwts.,

20    Cwts. oder 10 Doppelsack machen 1 Ton,

21    Tons 4 Cwts. machen 1 Barge oder Keel,

20 Keels oder 424 Tons machen 1 Ship Load (Schiffslast), 140 Cwts. = 7 Tons machen 1 room (Raum),

52 Cwts. machen 1 Chaldron.

Für das Gewicht von Weizenbrot und Weizenmehl hat man die folgenden Bezeichnungen:

Vergleich des englischen ^.voirdupoids - Gewichtes mit dem metrischen Gewichte:

Englische

Gewichtssätze

Gramm Dekagramm Kilogramm I Tonnen

(g)

(Dg)

(kg)

(t)

1 Dram . . . 1 Ounce = 16 Drams 1 Po und ---16 oz --- 256 drs 1 Hundredwgt. = 112 U = 1792 oz . . . lTon = 20 Cwts. = 3240 U = 35 840 oz .

1,77185    0,177185

28,34954    2,834954

do.

do.

453,59265    45,359265

do.

do.

50802,38    5080,238

do.

do.

1016047,54 101604,754

do.

do.

do.

do.

cq o co oo i>

Essais! ZAZZ

8 8    3    %    g

cTcT o' S 3

0,000001772

0,00002835

do.

0,0004536

do.

0,0508024

do.

1,01604754

do.

do.

77

QC

II. Das englische Troy-Gewicht.

Neben dem ^voirdupoids-Gewicht besteht in England noch das sogenannte Troy-Gewicht. Mit diesem Gewichte wiegt man Gold, Silber, Platin, Juwelen und solche Flüssigkeiten, die nach dem Gewicht verkauft werden. Die Grundlage dieses Gewichtssystems bildet das Troy Pound (Troy Pfund = Tr U), so genannt nach der Stadt Troyes in Frankreich.

a)    Einteilung des Troy Pound:

1 Tr U (Troy Pound) ----- 12 Ounces (Unzen, oz),

1 Ounce (oz, Unze) = 20 Pennyweights (dwts),

1 Pennyweight — 24 Grains (gr).

b)    Vervielfältigung des Troy Pound :

100 Pfund = 1 Gwt.

Tabelle:

Cwt.

oz

dwts.

grs.

1 Cwt . 1 Pfund 1 oz .

1 dwt

100

1200

24 000

576 000

12

240

20

5 760

480

24

1 gr

Vergleich des englischen Troy-Gewichts mit dem metrischen Gewichte:

Englische Troy-Gewichte

Gramm

Dekagramm

Kilogramm

kg

1 grain .........

L pennyweight (dwt) . .

----- 24 grains......

1 ounce ----- 20 dwt . . .

----- 480 grains.....

1 Pfund -----12 oz --- 240 dwts dwts ----- 5760 gr . . . . 1 Cwt ----- 100 Pfund =

576 000 gr.......

0,06479895

1,55517480

do.

0,0064799

0,1555175

do.

0,0000648

0,0015552

do.

31,103496

do.

3,1103496

do.

0,0311035

do.

373,241952

37324,1952

37,3241952

3732,41952

0,373242

37,3241952

5. Die englischen Hohl- und Flüssigkeitsmaße:

a) Zusammenstellung der Trockenmaße:

(pt) 1 Pint .

2 Pints .

2 Quarts

4

2 Gallons 4 Pecks .

- 4 Gills,

= 1 Quart (qt),

= 1 Pottle,

= 1 Gallon (gal),

= 1 Peck,

= 1 Bushel,

2 Busheis. ----- 1 Strike,

= 1 Sack,

----- 1 Coomb,

= 1 Quarter (nicht Quart).

b) Maße für Bier (Ale, Stout and Beer):

1    Quart oder Pott ----- 2 Pints,

4 Quarts ----- 6 Bottles = 1 Gallon,

■9 Gallons ----- 1 Pirk in,

2    Firkins ----- 18 Gallons ---- 1 Kilderkin,

2 Kilderkins ---- 36 Gallons ----- 1 Barrel,

F/a Barrels ----- 3 Kilderkins — 54 Gallons — 1 Hogs* head,

2    Barrels ----- 1 Puncheon,

3    Barrels --- 2 Hogsheads --- 1 Butt.

c) Weillmaße:

4 Gills . 2 Pints . 4 Quarts 10 Gallons

1 Pint,

1 Quart,

1 Gallon,

1 Anker,

1 Barrel,

1 Tierce,

1 Hogshead,

„    1 Puncheon,

2 Hogsheads ---- 126 Gallons — 1 Pipe, 2 Pipes . . ----- 252 Gallons ---- 1 Tun.

3F/₂ „

42

63

84

Der Inhalt eines Gebäudes wird meist nach Gallonen berechnet. Da 1 Gill = 0,14198 Liter beträgt, so läßt sich folgende Tabelle aufstellen :

Vergleich zwischen englischen Trocken- und Flüssigkeitsmaßen mit den entsprechenden metrischen Maßen:

Englische Maße

Deziliter

Liter

Hektoliter

(di)

(i)

(hl)

1 Gill .........

1 Pint ---- 4 Gills . . . .

1 Quart ----- 2 Pints . . .

1 Gallon ----- 4 Quarts . .

1 Peck ----- 2 Gallons . .

1 Bushel ----- 8 Gallons. .

1 Quarter ----- 8 Busheis .

1 Pottle = 2 Quarts. . . 1 Strike --- 2 Busheis. . 1 Sack ----- 3 Busheis . .

1 Coomb ----- 4 Busheis. .

1 Load ------ 5 Quarters . .

1 Last ----- 80 Busheis . .

1 Pirk in = 9 Gallons . 1 Ki Merk in -- 18 Gallons

I, 41983 5,67932

II, 3586 45,4346 90,8692

CO CO

22,7172

276,954

1090,431

408,9114

817,8228

usw.

0,141983    0,00142

0,567932    0,00568

1,13586    0,011359

4,54346    0,04543

9,08692    0,09087

36,3477    0,363477

209,7816    02,9078

2,27172    0,02272

72,6954    0,7270

109,0431    1,0904

145,3908    1,4539

1453,908    14,5391

2907,816    29,078

40,8911    0,4089

81,7823    0,8178

usw.    usw.

6. Das englische Münzshstem:

1 Pfund Sterling (£ ----- Livre), auch Sovereign genannt, eine Goldmünze im Werte von etwa 20,40 M ----- 20 Shillings (sh), 1 Half Sovereign entsprechend dem deutschen 10 A-Stücke. Silber, münzen sind: 1 Crown ----- 5 Shillings, 1 HalLcrown = 2¹/i sh* 1 Flor in = 2 sh, 1 Shilling ----- 12 pence, (d ---- denarius), 1 Six* pence, 1 Threepence.

Kupfermünzen: 1 Penny, 1 Halfpenny, 1 Farthing (---- lV₄d)

Hs

ooooooooooooooooooooooooooo

O O O H CM co

Umwandlung von englischem Geld in deutsches Geld Metallpari 1 l = 20.429 M

O O O O O O O O O O O H C<1 CO 'xfi i-O CD O- GO GO

«•>—1-1—

CDG0MDC3^ü;[0H'O

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOH^O

2pp££So!5ESKKOCDOO<lDat^OODO^-?Ol00,00 *°»o O (-> O

8    af

CO 00 <1 OJ m

CO tu

co co

lO CD

co co

81.72

102.15

122.58 143.01

163.44

183.87

204.30

224.73

245.16

265.59 286.02

306.45

326.88

347.31

367.74

388.17

408.60 429.03

449.46

469.89

490.32

510.75

531.18

551.61 572.04

592.47

612.90

633.33

653.76

674.19

694.62 715.05

735.48

00 05

co co co

^S^i^^^^^^^^^^^^SoOOOCDCDCDCDOOOOOOOOaxi 1

CD 00 O CD

1430.10

1450.53

1470.96

1491.39

1511.82

1532.25

1552.68

1573.11

1593.54

1613.97

1634.40

1654.83

1675.26

1695.69

1716.12

1736.55 1756.89

1777.41

1797.84

1818.27

1838.70

1859.13

1879.56 1899.99

1920.42

1940.85

1961.28

1981.71

2002.14

2022.57 2043.—

usw.

Umrechnung von deutschem Gelde in englisches Geld:

Pence H Pence H Pence

Pence

oaxiajOM^OiWH

Ow to to O O OO

H <M 00

00 00 00

gsßsssgss'sssssgssöfeölfefefcfefeifefesssssas

CDOOOOOOOOqoCßCßOOCßOOOOQO-O

10

10¹/

10V4

10³/

8

IO¹/* •

OLO

11

11

UV

ll¹/

ll³/

UV2

ll⁵/₈

100

101

102

103

104

105

106

107

Deutsch

M

Cs'OO-OQOT^OilOK

OH(MW^100C^00050

—1 1—1 T—1 7—1 7—1 7—1 7—1 7—1 7—1 7—1 CM

ll³/.

ll⁷/,

12

1 Shilling

1 8

1 „

' oo"

1 „ O³/

8 „

1 „ ov₂ „

1 „ OVs „

usw.

£

00000000000000000000

Englisch

8

d

GOO<lO:Cn^OOt\DKO

'r_1    1 T—i 7—1

T—< tH tH 7—1

10³/₄

10¹/,

10V₄

10

9³/₄

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

9V,

9V₄

9

8³/₄

8¹/,

8V₄

8

7³/₄

7V₂

7V₄

7

(Fortsetzung.)

Deutsch

Englisch

Deutsch

Englisch Deutsch Englisch

M £ s d

OJCCCOOJMMtOtOtOtOlOtOtO

Wt0HOCO00<l07C3^0JLC}M

CO 00 ■<! 07 O' ^ CU DO H- O

O CO I> lO IQ IO

00 07 LO LO

05 00 CR ^

CO l>-CO CO

00 07 CO CO

MHOCs)QO<107 07ÜX|fi.03lOI-lOOOO«OOÜx^OJCOHO

T—1 1—1 -rH T-I o O O tH tH tH 1—( 7—< t-H tH

£2    oooooooooooooooooococococococoro

Q7Üi^a?K)HOCo5^3Sox£SSMOcOQO<IOOi^03tO KoSSSSoxKw

(?. OH(M GQ 07 07 07

CO xh 07 07

CO CO CO CO OO <1 07 ox

O CO O CO

888888

(M OO ^»OOO

CDOO<l

SS

**—    t-H 1-H CM CM CO

IV,

l³/s

IV,

0⁷/a

0°/,

O³/,

OVs

ll⁷/,

11°/,

ll³/,

UV,

10V4

9¹/,

8¹/,

CR <] CO

5³/„

4'/,

3 V,

800 39 3 900 44 1 1000 48 18

2000

3000

4000

5000

6000

7000

usw.

97 17 146 16 195 15 244 14 293 13 342 12

8000 391 9000 440 10000 489

11

10

usw.

0³/„

ll¹/.

OOOOOCOCOOOHH

D. Rußland.

1. Die russischen Maße.

Trotz der fakultativen Zulassung des metrischen Systems seit 1898 werden in der Geschäftswelt noch immer die alten Maße und Gewichte gebraucht.

a)    die russischen Längenmaße:

1 Arschin.

1 Taschen 1 Werst .

1 Stange.

1 Arschin.

1 Wersche!. = 71,12 cm : 16 = 4,445 cm,

1 Werst . . = 1067 m, also 1 Taschen . = 1 067 m : 500 = 2,134 m,

1 Fuß    30 cm, also 1 Zoll = 30 cm : 12 = 2,5 cm.

b)    Die russischen Flächenmaße:

1 Quadrat-Arschin....

1 Quadrat-Werst ....

1 Quadrat-Saschen • . .

1 Quadratfuß......

= 16 Werschek,

- 7 Fuß; 1 Fuß - 12 Zoll,

= 500 Saschenen,

= 10 Fuß (dieses Maß besteht nur für Finnland), = 71,12 cm, also

=    256    Quadrat-Werschek,

= 250 000    Quadrat-Saschenen,

=    49    Quadratfuß,

=    144    Quadratzoll.

Vergleichung mit den metrischen Flächenmaßen:

1 Quadratzoll — 6,25 qcm,

1 Quadratfuß = 6,25 x 144 — 900 qcm = 9 qdm,

1 Quadratsaschen = 49 x 900 = 44 100 qcm --- 4 qm 41 qdm, 1 Quadratwerst = 250 000 x 4,41 qm --- 1102 500 qm ---1,1025 qkm,

1 Werschek = 4,445 cm, also

1 Quadratwerschek -- 4,445 x 4,445 = 19,758 025 qcm,

1 Quadrat-Arschin = 256 x 19,758 025 qcm = 5 058,0544 qcm — 50,580 544 qm.

c) Die russischen Hohlmaße und Kör permaße:

Die Grundlage für die russischen Hohlmaße bildet 1 Keuschka. 10 Kruschka machen 1 Wedro,

40 Wedro machen 1 Botska,

8 Tschetwerik machen 1 Tschetwert,

16 Tschetwert machen 1 Last,

1 Kruschka -- 1,2298 Liter,

1 Wedro = 12,298 Liter,

1 Botska = 491,92 Liter,

1 Tschetwerik = 26,2375 Liter,

ferner

1 Tschetwert = 209,91 Liter,

1 Tonne = 6,3 Kubikfuß,

1 Kubikfuß = 10 Kannor, also 1 Tonne = 63 Kannor. Da 1 Tonne — 164,888.. Liter, so ergibt sich

a) 1 Kubikfuß. . = 164,888.. : 6,3 = 26,17 Liter und b) 1 Kannor . =    2,617 Liter.

2. Die russischen Gewichte.

a) 1 russisches Pfund = 96 Solotnik (Sol) = 32 Lot (1 Lot = 3 Solotnik).

1 Solotnik = 96 Doli (Dol).

40 Pfund russisch = 1 Pud,

10 Pud = 1 Berkowetz.

Finnische Gewichte:

1 Ztr. = 5 Liespfund,

1 Liespfund = 20 Skalpfund.

Da ein russisches Pfund genau 409,512 Gramm hat, so ergibt sich folgende Tabelle:

Metrische Gewichte:

Russische Gewichte

Gramm

(g)

Kilogramm

(kg)

Tonnen

(t)

1 Doli.........

1 Solotnik = 96 Doli . . I Sot = 3 Solotnik. . . 1 U = 32 ßot = 96 Sol. .

1 Pud = 40 U.....

1 Berkowetz = 10 Pud = 400 ü . .......

0,044435

4,26575

12,79725

409,512

16380,48

0,000044435

0,00426575

0,01279725

0,409512

16,38048

0,000000044435

0,00000426575

0,00001279725

0,000409512

0,01638048

163804,8

3. Die russischen Münze».

1 Rubel (R°) = 100 Kopeken,

1 Gold-Rubel = ca. 3,30 M,

1 Silber-Rubel = ca. 3,20 M, (bei dem augenblicklich schlechte» Silberpreis ca. 2 1),

1 Papier-Rubel = ca. 2,16 M.

163,8048

0,1638048

Umrechnung von russischem Gold in deutsches Gold:

Rub. | M I Rub. j M Rub' ~M i Rub.! Jt I Rub. JC

COOO^JC^Ox^CObOI-¹

tO M H K h* K K Ii.

OCDOO<lOiO'^OJb3HO

01000 0^0:00100000:005000030:0^0

^OJCOCOOOOJCüWCüCOOJbODODOCObSCOtOCOtO

70.14

73.48

76.82

80.16

83.50

86.84

90.18

93.52

96.86

100.20

103.54

106.88

110.22

113.56

116.90

120.24

123.58

126.92

130.26

133.60

05 Gx Ox O CO 00

136.94 140.28 143.62 146.96 150.30 153.64 156.98 160.32 163.66 167.— 170.34 173.68 177.02 180.36 183.70 187.04 190.38 193.72 197.06 200.40

61    203.74

62    207.08

63    210.42

64    213.76

65    217.10

66    220.44

67    223.78

68    227.12

69    230.46

70    233.80

71    237.14

72    240.48

73    243.82

74    247.16

75    250.50

76    253.84

77    257.18

78    260.52

79    263.86

80    267.20

CO CO CO 00

M-

8

270.54

273.88

277.22

280.56

283.90

287.24

290.58

293.92

297.26

300.60

303.94

307.28

310.62

313.96

317.30

320.64

323.98

327.32

330.66

334.—

Folgende Münzen sind in Rußland in Gebrauch:

a)    Goldmünzen:    1. Imperials (= 1 Zehnrubelstück),

2. Halbimperials (= 1 Fünfrubelstück).

1 alter Imperial -- 10,30 Rubel neu, 1 alter Halbimperial =

5,15 Rubel neu.

Die alten Goldrubel (d. h. die Einheit) sind deshalb M 3,34 wert, die neuen M 3,24.

b)    Silbermünzen:

1 Rubelstück -- 100 Kopeken,

= 50

V«

-- 25

c) Scheidemünzen:

1.    aus Silber zu 20, 15,10 und 5 Kopeken,

2.    „ Bronze zu 5, 3, 2, 1, ¹/₂ und */₄ Kopeken.

E. Oesterreich-Ungarn.

Die österreichischen Maße und Gewichte beruhen wie die deutschen auf dem metrischen System.

1. Die österreichischen Münzen.

a)    Goldmünzen zu 20 und 10 Kronen. Daneben 4 und 8 Guldenstücke (entsprechend 8 und 16 Kronen oder 10 und 20 Francs).

b)    Silbermünzen: 1 Kronenstücke und 50 Hellerstücke. Daneben kursieren noch die alten österreichischen Gulden. 1 fl = 2 Kronen.

c)    Nickelmünzen: 20 und 10 Hellerstücke.

d)    Bronzemünzen: 2 und 1 Hellerstücke.

Umwandlung von österreichischer Valuta in deutsche Währung; 0,5 und mehr werden für voll gerechnet:

Heller H Heller    Heller L, Heller L» Heller -9,

cooo<iobo^^ObMK

OrH(MCOThiOCOr»OOGbO

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Kronen

OI

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(Fortsetzung.)

M | Krone» M

Kronen

30.60

31.45

32.30

33.15

CO CO

CO Co Co Co 00 <1 Q

00 o

lO lO

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

200

300

400

500

60.35 61.20 62.05

62.90

63.75

64.60

65.45

66.30

67.15 68— 68.85 69.70 70.55 71.40 72.25 73.10 73.95 74.80 75.65 76.50

77.35 78.20 79.05

79.90

80.75

81.60

82.45

83.30

84.15 85—

600

700

800

900

1000

510— 595— 680 — 765— 850 —

170.— 255.— 340.— 425 —

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

8 000

9 000

10 000

20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70000 80 000 90 000 100 000

200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000 900 000 1000 0000

6    800— 7 650— 8500—

17 000— 25 500— 34 000— 42 500— 51 000— 59 500— 68 000— 76 500— 85 000 —

170 000— 255 000— 340000— 425 000— 510 000— 595 000— 680 000— 765 000— 850 000—

Umwandlung von deutscher Valuta in österreichische Währung.

4 Heller 4

Heller 4

Heller M

Kronen

M Kronen

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Kronen

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«Fortsetzung.)

Kronen

Kronen

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50000 60000 70000 80000 90000 100000

235.29 352.94 470.59 588.24 705.88 823.63 941.18    200000

1058.82    300000

1176.47    400000

50)000

2    352.94    600000

3    529.41    700000

4    705.88    800000

5    882.35    900000

7 058.82    1 000000

8 235.29 9411.76

10    588.23

11    764.71

23529.41 35 294.12 47 058.82 68 823.53 70588.23 82 352.94 94117.65 105882.35 117 647.06

235294.12 352941.18 470588.23 588 235.29 705882.35 823529.41 941176.47 1058823.53 1176 470.59

F. Die übrigm Staaten Europas.

L Kelgke».

Belgien wendet das metrische Maß-, Münzen» und Gewichtssystem an. Doch sind folgende Benennungen üblich:

a) für die Längenmaße: Statt „meter“ sagt man , ,aune”,

Boelliler, Pratt, Rechnen.

CO

to

fO

statt ,,dm” ,,palme", statt „cm” „pouce” und statt ,,mm” „ligne”.

b)    für die Flüssigkeitsmaße: Statt ,,bl" sagt man „Baril“ und statt Siter „Litron“. Für ,,dl" (Deziliter) sagt man ,,verre” und statt ,,cl" (Zentiliter) ,,Dd".

c)    für die Trocken-Hohlmaße:

1 Rasiere (Hektoliter) --- 10 Boisseau (x) (Dekaliter).

1 Boisseau (Dl) --- 10 Litron (s) (Liter).

1 Litron (I) ----- 10 Mesurette (s) (Deziliter).

d)    für die Gewichte:

1 Livre (Kilogramm) ----- 10 Once (s) (Hektogramm).

1 Once (Hg) ----- 10 Gros (Dekagramm).

1 Gros (Dg) --- 10 Esterlin (s) (Gramm).

1 Esterlin (g) --- 10 Grain (s) (Dezigramm).

IL Salgarle».

Seit 1889 ist das metrische System in Maßen, Gewichten und Münzen eingeführt. Doch sind noch einige ältere Bezeichnungen vorhanden.

a)    bei den Hohlmaßen: 1 Krina=20 Liter (1) (im Getreidehandel).

b)    bei den Gewichten hat man noch vielfach das alte Gewicht: 1 Okka ---- 1,278 kg.

c)    bei den Münzen: 1 Lew (franc) -----100 Stotinki (Centimes).

Bemerkung:

Bulgarien gibt Silbermünzen und Banknoten aus, jedoch keine Goldmünzen, an ihre Stelle treten ausländische Goldmünzen (Zwanzigund Zehnfrankenstücke verschiedener Staaten).

III. Dänemark.

Dänemark hat nur metrische Gewichtsbezeichnungen: 1 Zentner — 100 Pfund ----- 50 kg,

1 Pfund - 100 Quintin; 1 Quintin - 10 Ort, also '

1 Quintin -- 5 Gramm und 1 Ort -- 5 Dezigramm,

1 Liespfund --- 16 Pfund,

20 Liespfund = 1 Schiffspfund --- 320 Pfund = 160 kg,

16'/i Schiffspfund --- 1 Last --- 325 Liespfund = 5 200 Pfund = 2600 kg

In Island: 1 Pott = 40 Mark = 40 kg.

a) Die dänischen Längen- und Flächenmaße:

1 Wen (Elle) -- 2 Fod (Fuß),

1 Fod (Fuß) -- 12 Tommer (Zoll),

3 Wen = 1 Faden,

1 dänische Meile = 7532,5 m (nach anderen auch 7536 in),

1 Quadratrute = 100 Quadratfuß = 9,85 qm,

1 Tonne Land = 560 Quadratruten = 560 x 9,85 qm = 5 516 qm --- 55,16 ar.

Die isländische Men (Elle) hat 571 mm -- 0,571 m.

b) Die dänischen Hohlmaße:

1 Korntonne = 139,12 Liter,

20 Tonnen = 1 Last,

1 Salztonne -- 170,04 Liter,

1 Fuder Wein (unser „Stück" etwa) -- 4 Oxhoft,

11 Oxhoft --- 6 Anker; 1 Anker -- 19³/„ Kannen, also 1 Fuder = 24 x 19³/s Kannen = 465 Kannen,

1 Tonne Bier = 131,39 Liter (auch in Island eingeführt).

Island: 1 Kutur -- 5 dänische Pott -- 4,83 Liter, also 1 Pott -- 0,966 Liter.

c) die dänischen Münzen:

Seit der skandinavischen Münzkonvention von 1872 ist die Krone zu 100 Oere eingeführt. 1 dänische Krone beträgt 1 M 12V, H.

Umwandlung von dänischem Geld in deutsches Geld: (0,5 H und mehr sind stets für 1 gerechnet)

Öre A Öre A

Öre A

Öre

A Kr.

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(Fortsetzung.)

Kr.

58    65.25

59    66.37¹/,

78

87.75

98

110.25 99 111.37V,

112.50 225.—

337.50 450.—

562.50 675.—

787.50

900._

990 1012*50 1000 1125.—

2    000 2 250 —

3    000 3 375.—

4    000 4 500.—

5    000 5 625.—

6    000 6 750.—

7    000 7 875.—

8    000 9 000.— 1000 000

9    000 10 125.—

Umwandlung von deutschem Geld in dänisches Geld: (0,5 Ore und mehr sind stets für 1 Ore gerechnet).

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

67.50

68.62Vi

69.75

70.87V-

72.—

73.12V,

74.25

75.37V,

76.50

77.62V-

78.75

79.87V,

81.—

82.12¹/,

83.25

84.37V,

85.50

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

86.62V, 97

88.87V-

90.—

100

91.12V-

92.25

93.37V-

94.50

95.62V

96.75

97.87¹/,

99.—

100.12V-

101.25

102.37'/,

103.50

104.62V-

105.75

106.87V-

108.-

109.12V,

200

300

400

500

600

700

800

10 000 20 000 30 000 40 000 50000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000 900 000

11 250.— 22 500.— 33 750.— 45 000.— 56 250.— 67 500.— 78 750.— 90 000.— 101 250.— 112 500.— 225 000.— 337 500.— 450000.-562 500.— 675 000.— 787 500.— 900 000.— 1 012 500.— 1125 000.—

A Örv A Övr A S« A Ötv A Örr A Öre A Öre A Ör. A Öre A Öre

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45

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12    11 22 20 32 13.12 23 20 33 14 12 24 21 34 15! 13 25 22 35 16 14 26 23 36 17,15 27 24 37|

18 16 28 25 38,

19,17 29 26 39 20 18 30 27 40| 36 50

46

47

48

49

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72 91

92

93

75 94

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77 97

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OO OO 00 QO QO 00 OO OO ^1 05 üi ^ W K) H

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388388g88£8SSSSS!£S&SS£855fee;fcefefcÖg8SS8fc

(Fortsetzung.) Kronen M I Kronen

Kronen

bbhbSSSg'l bS8bS3Sg'l

8 8888 8

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800.—

888.89

CD CD CD 00

2 000

3 000

4000

5 000

6 000

7 000

8000

9000

10 000

20 000 30 000 40 000 50 000 60000 70 000 80 000 90 000 100 000

200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000 900 000 1000 000

1    777.78

2    666.67

3    555.56

4    444.44 5333.33 6 222.22 7111.11 8000.— 8 888.89

17 777.78 26 666.67 35 555.56 44444.44 53 333.33 62 222.22 71111.11 80 000.— 88 888.89

177 777.78 266 666.67 355 555.56 444 444,44 533 333.33 622 222.22 711111.11 800 000.— 888 888.89

IV. Griechenland.

Seit 1865 ist das metrische System eingeführt, doch weichen die Namen ab.

a)    Die griechischen Längenmaße:

1 Stadion (Kilometer) --- 1000 Piki (Meter),

10 Stadion (Kilometer) = 1 griechische Meile,

1 Piki (Meter) -- 10 Palamas (Dezimeter),

1 Palamas (dm) = 10 Dactyl (Zentimeter),

1 Dactyl (cm) -- 10 Gram (Millimeter).

b)    Griechisches Flächenmaß:

1 Stremma (10 Ar) --- 1000 qm.

c)    Griechische Hohlmaße:

1 Kilo (hl) = 10 Kotyli (Dekaliter),

1 Kotyli (Dl) -- 10 Mistra (Liter),

1 Mistra (1) --- 10 Kubus (Deziliter), also 1 Mo - 1 bl = 100 Liter.

d)    Die griechischen Gewichte:

Neues Gewicht:

1 Talent = 100 Minen,

1 Mine = 1500 Drachmen (Gramm); also 1 Talent = 150 000 Drachmen = 150 kg,

1 Tonne --- 1000 kg.

Altes Gewicht:

1 Stater = 44 Oken,

1 Oke = 40 Dramme.

Vergleich:

1 Stater = 56,32 kg,

1 Oke = 1,28 kg,

1 Dramme = 0,032 kg (= 32 Gramm).

e)    Die griechischen Münzen:

Die Geldeinheit bildet 1 Neu-Drachme (Frank) = 100 Lepta (Centimes). Zur Umrechnung kann man die Münztabelle für

Frankreich benutzen, indem man die französischen Ausdrücke durch griechische ersetzt.

V. Italien.

Das Münz-, Maß- und Gewichtssystem beruht auf metrischer Grundlage:

Die Münzeinheit bildet

1 Lira (Franc, Abkürzung „£“) -- 100 Centesimi,

5 Lire --- 1 Scudo.

In den italienischen Kolonien benutzt man den Erhthreischen Taler = 5 Francs --- 5 Lire -- M 4,05 und den Maria-Theresien-Taler -M 4,20.

Den Wein verkauft man noch vielfach nach der Pipa (= 400 Liter). Die Umrechnungstabellen entsprechen genau den französischen.

VI." Hollaad.

Die holländischen Maße sind metrischen Systems mit holländischen Bezeichnungen.

Man bezeichnet

Kilogramm ... mit „Pond", Dekagramm... „ „Loode", Gramm .... „ „Wigtjes"

3 Pond (kg) = 1 Steen (= 3 kg) 1 Tonne = 1000 kg. Man bezeichnet ferner:

mit „Elle",

,, „Myl",

„ „Palm",

„ „Duim",

„ „Streep".

Meter . .

Kilometer.

Dezimeter Zentimeter Millimeter

schließlich

mit „Bunder",

Hektar

Kubikmeter ... „ „Störe" oder „Wisse",

Hektoliter . ... mit „Mud" „Bat", oder „Zak" Liter. .... .

„Kan" oder „Kop" „Scheepel" und endlich „Maatjes".

Dekaliter ....

Deziliter ....

Die holländischen Münzen.

Seit 1875 bildet die Grundlage des Münzsystems das goldene Zehnguldenstück. 1 Silbergulden = 100 Cenis = 1 M 68³/₄ 3\.

Umwandlung von holländischem Geld in deutsches

Geld.

Cents L> Cents    Cents A Cents A Cents A

r-<c<icoxhiocDt>ooa50TH<MeoT^iccDi>ooo)0

rH tH H tH tH tH rl H rH i—1 03

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1.69

3.38

5.06

6.75

8.44

10.13

11.81

13.50

15.19 16.88

18.56

20.25

21.94

23.63 25.31 27— 28.69 30.38 32.06 33.75 35.44 37.12 38.81

40.50

42.19 43.88

45.56

47.25

48.94

50.63

52.31

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CO co

54—

55.69

57.38

59.06

_(Fortsetzung.)

|@ulbeuj M Gulden M

Gulden

60.75

62.44

64.13

65.81

67.50

69.19

70.88

72.56

74.25

75.94

77.63

79.31

81 — 82.69 84.38 86.06 87.75 89.44 91.13

92.81

94.50

96.19

97.88

99.56

101.25

102.94

104.63

106.31

108—

T-f    CO

119.81

121.50

123.19

124.88

126.56

128.25

129.94

131.63

133.31 135—

136.69

138.38 140.06

141.75 143.44 145.13

146.81

148.50

150.19

151.88

153.56

155.25

156.94

158.63

160.31 162-—

163.69

165.38 167.06

168.75

337.50

506.25

675—

843.75

600    1    012.50

700    1    181.25

800    1    350—

900    1    518.75

1000    1    687.50

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5    062.50

6    750— 8 437.50

10125— 11 812.50 13 500— 15187.50 16 875.—

20 000    33 750—

30 000    50 625—

40 000    67 500—

50 000 84 375— 60 000 101 250.— 70000 118125.— 80 000 135 000— 90 000, 151 875.— 100000, 168 750.—

200 000 337 500— 300 000 506 250— 400 000 675 000— 500000 843 750.— 600 000 1 012 500.— 700 0001181 250— 800 000 1 350 000— 900 000 1 518 750—

Umwandlung von deutschem Geld in holländisches Geld:

L, Cents H Cents A Cents H Cents M Gulden

EStO^OCDOO^oiox!^05CO^OCDOO<IO)Ox4xOoCOh-i

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Gulden

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5.33

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6.52

7.11

7.70

8.30

8.89

9.48

10.07

10.67

11.26

11.85

12.44

13.04

13.63

14.22

14.81

15.41

16.—

16.59

17.19

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(Fortsetzung).

Gulden

Gulden

Gulden

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92

93

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95

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98

99

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

2 000

3000

4 000

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6 000

7 000

8 000

9 000

10 000

20000 30 000 40 000 50000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000

200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800000 900000 100 000

2    962.96

3    555.56 4148.15

4    740.74 5333.33

5    925.93

11 851.85 17 777.78 23 703.70 29 629.63 35 555.56 41 481.48 47 407.41 53 333.33 59259.26

118518.52 177 777.78 237 037.04 296 296.30 355 555.56 414 814.81 474 074.07 533 333.33 592 592.59

VII. Partngal.

In Portugal selber ist das metrische System eingeführt, während in seinen Kolonien besondere Systeme angewandt werden.

1 portugiesische Goldkrone = 10 Milröis (#),

1 Mllröis -- 4,54 M = 1000 Reis,

1 Conto (Rechnungsbetrag) = 1000 Mllröis = 4 536 M.

Umwandlung von ganzen portugiesischen MilrSis in deutsches Geld. 1 Milreis - M 4,54.

Ml-

röis

Mil-

röis

M röis

Mil- M

Mil-

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M Mil-

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385.90 390.44 394.98 399.52 404.06 408.60 413.14 417.68 422.22 426.76 431.30 435.84 440.38 444.92 449.46 454.— 908.— 1362.— 1 816.— 2 270.— 2 724.—

Umwandlung bort deutschem Geld in portugiesisches Geld.

M Mlröis M Milröis M Milröis M Milröis M Milröis

1-4 CM CO ^ iO CO

O i—4 i—4 H H CM CM xf CO 00 O CM

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10 CO l> CM CM GM

co co to o co 00

iO rO lO CO CD CO

I> I> O t> l> O (M ^ CO 00 iO I> 05 H CO

(Fortsetzung.)

M Milröis M Milröis M Milröis Jf Milröis M Milröis

coc^i>i>i>i>odododoöoio5a505a>

H (M cn Tjl lQ co co co co co

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MHOOOOCDCDCDOOOOGOOOOO

0)0x0x0x0xpx0x0x0x0x0x^^>fxtf^

OOGO-JOSO^OOCOKOCDOO^O

10.131    61    13.436

10.352    62    13.656

10.572    63    13.877

10.793    64    14.097

11.013    65    14.317

11.2.33    66    14.537

11.454    67    14.757

11.674    68    14.978

11.894    69    15.198

12.115    70    15.418

12.335    71    15.638

12.556    72    15.859

12.776    73    16.079

12.996    74    16.299

13.216    75    16.520

16.740    91    20.044

16.960    92    20.264

17.180    93    20.485

17.401    94    20.705

17.621    95    20.925

17.841    96    21.145

18.062    97    21.365

18.282    98    21.586

18.502    99    21.806

18.723    100    22.026

18.943    200    44.053

19.163    300    66.079

19.383    400    88.106

19.604    500    110.132

19.824    600    132.159

VIII. R«m3i»ke«.

Auch dieses Land hat seit der Begründung der lateinischen Münzkonvention im Jahre 1865 das metrische System angenommen.

Besondere Münzen:

a)    in Silber: 1 Leu (Piaster, Romana) = 100 Bani (Para),

b)    in Gold: 1 Carold'or = 20 Lei,

1 Leu -- 81 H, 1 Carold'or = M 16.20.

IX. Schweden und Norwegen.

Das metrische System herrscht seit der skandinavischen Münzkonventton vom 18. Dezember 1872.

1 Krone = 100 Ore = 1,125 M.

Man hat goldene 20,10 und 5 Kronenstücke, silberne 2 und 1 Kronenstücke, ferner Silbermünzen zu 50, 40, 25 und 10 Ore.

X. Schweiz

Auch dieses Land hat das mettische System. Die Schweiz gehört zu den 4 Mächten (Frankreich, Italien, Belgien und die Schweiz), welche am 23. Dezember 1865 die lateinische Münzkonvention abschlössen. Das Gewichts-, Maß- und Münzsystem entspricht demjenigen Frankreichs.

XI.    Kpairkeir.

Für das metrische Münzsystem ist die Einheit die Peseta — 100 Centesimos --- 81 L,, 5 Pesetas --- 1 Duro nuevo = 500 Centesimos --> M 4.05. In Gold das 20 Pesetastück = M 20.25 — 25 Silber-Pesetas.

XII.    Türket.

Seit 1874 Einführung des metrischen Systems, doch existieren in der Geschäftswelt noch einige alte Bezeichnungen.

1 Kantar (56,36 kg) = 44 Oka,

1 Oka - 400 Drachmen,

1 Drachme ---- 3,2 gr,

1 Pik --- 65—68 cm (an verschiedenen Plätzen),

1 Agalsch (Farsang) — 3 Berry,

1 Berry -- 1670 m,

1 Fortin --- 141 Liter.

Die Grundlage des Münzsystems bildet 1 Piaster (?) — 40 Para (p) — 0,19 M. Goldmünzen zu 500, 250,100, 50, 25 Piastern, Silbermünzen zu 20, 10, 5, 2 Piastern.

Umrechnung von türkischen Goldpiastern in Mark:

P.

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13.51 91 13.69 92 13.88 93 14.06 94 14.25 95 14.43 96 14.62 97 14.80 98 14.99 99 15.17 100 15.36 200 15.54 300 15.73 400 15.91 500 16.10 600 16.28 700 16.47 800 16.65

17.

37.

55.50 74.—

92.50 111.— 129.50 148.—

usw.

0. Amerika.

I. Die argentinische Republik

verwendet das metrische System. 1 Peso nacional — M 4,05 Goldwähmng.

II. äoUvia

ebenfalls mit metrischem System. Münzeinheit ist der Peso nacional (= 5 frs = M 4,05) oder „Boliviano".

HI. Kraft ie«:

1 Conto (:) - 1000 Milrsis ($);

= 1000 Reis (Rs) = ca. 2,29 M.

1 (S)

Umwandlung von brasilianischen Milrsis (Gold) in Mark (Gold):

Mllröis

VUliöie

Mil'Sis

Mllröis

Milröls

Milröls

96j 220.16

97    222.45

98    224.75

99    227.04 100 229.33

2.29 20 45.87 4.59 21! 48.16 6.88 22 50.45 9.17 23 52.75 11.47 24 55.04 13.76 25 57.33 16.05 26 59.63 18.35 27 61.92 20.64 28 64.21 22.93 29 66.51 25.23 30 68.80 27.52 31 71.09 29.81 32, 73.39 32.11 33 75.68 34.40 34 77.97 36.39 35 80.27 38.99 36 82.56 41.    37    84.85

43.    38,    87.15

CO OO <1 05 O'

oo o*

CM iO

39    89.44 58 133.01 77 176.59

40    91.73 59 135.31 78 178.88

41    94.03 60 137.60 79 181.17

42    96.32 61 139.89 80 183.47

43    98.61 62 142.19 81 185.76

44    100.91 63 144.48 82 188.05 45! 103.20 64 146.77 83 190.35 200 458.67

46    105.49 65 149.07 84 192.64 300 688.—

47    107.79 66 151.36 85 194.93 400 917.33

48    110.08 67 153.65 86 197.23 500 1 146.67

49    112.37 68 155.95 87 199.52 600 1 376.—

50114.67    69 158.24    88    201.81    700    1 605.33

51 116.96    70 160.53    89    204.11    800    1    834.67

52119.25    71 162.83    90    206.40    900    2 064.—

53    121.55 72 165.12 91 208.69 1 000 2 293.33

54    123.84 73 167.41 92 210.99

55    126.13 74 169.71 93 213.28 2 000 4 686.67

56    128.43 75 172.— 94 215.57 3 000 6 880.—

57,130.72    76,174.29    95,217.87    4 000    9 173.33

IV. m* Republik Chile.

a) Silbermünzen:

1 Peso = 100 Centavos = 3,83 M.

b) Goldmünzen:

1 Quadruple .... 16 Pesos,

1 Condor

1 Peso.

V. Columbia:

Münzsystem wie in Chile.

Der gesetzliche Wert eines Peso ist M 4,05, der faktische Silberwert aber nur etwa M 2,20.

VI. Costa Rica:

Die Silber- und Goldmünzen wie in Chile.

VII. Die DomiuiKauische Republik:

Die Münzen haben als Einheit 1 Peso im Werte von M 4,05 bezw. nur von M 3,83 (Wertverhältnis 1:15¹/, oder 1:16,4).

VIII.    Cerrador:

Als Münzeinheit gilt dort 1 Sucre (genau 1 Peso wie in Chile, 1 Sucre = 100 Centavos. 5 verschiedene Silberstücke wie in Chile 1, V₂,¹U, Vio und V20 Sucrestücke (nicht Pesostücke). Wert von 1 Sucre = M 4,05 bezw. M 3,83.

Ecuador besitzt keine eigenen Goldmünzen.

IX.    Guatemala:

Wie in Costa Rica.

X. M-elKo:

Mit metrischem System. Einheitsmünze 1 Peso duro = 400 Centavos.

1 Peso duro (= 1 Piaster) — 8 Realen,

1 Reale = 4 Cuartillos (also 1 Peso duro = 32 Cuartill.)

XI. Die Verewigten Staaten non Nordamerika.

Die Maße Nordamerikas.

Trotz Einführung des metrischen Systems seit 1866 bedient sich die Geschäftswelt noch immer der alten Maße und Gewichte.

a)    für den Weinhandel: 1 amerikanische Weingallone (= 231 Kubikzoll) = 0,8331 Imp.-Gallone = 3,7852 Liter,

1 englische Weingallone (== 277,274 Kubikzoll) = 1,2009 amerikanische Weingallone = 4,5435 Liter.

b)    für den Bierhandel: 1 amerikanische Ale-Gallon (= 282 Kubikzoll) = 1,1069 Jmp.-Gallone -- 4,6202 Liter,

1 englische Bier-Gallon (--- 277,274 Kubikzoll) - 0,9834 amerikanische Gallone = 4,5435 Liter.

c)    für den Getreidehandel:    1 amerikanisches Bushel

(2150,4 Kubikzoll) --- 0,9694 englisches Jmp.-Bushel - 35,24 Liter,

1 englisches Bushel (= 2218,192 Kubikzoll) = 1,0315 amerikanische Bushels ----- 36,35 Liter.

Die Minzen der Bereinigten Staaten von Nordamerika.

Goldmünzen: Das 1 Dollarstück,

n 2¹/₂    „

(V₄ Eagle), (0,3    „ ),

Das 5 Dollarstück (V₂ Eagle),

(1 „ ),

(Doppel-Eagle.)

„ 10

„ 20

Silberrnünzen:

100 Centsstücke (=    1 Dollar ---    1 $),

50

25

(— lU ,r

20

10

(“ ¹/l0    „

—    V. „),

= V₄ „),

—    lU rr )r

—    ¹/lO n )•    *

Unuoandlung von Dollars und Cents in M mit) D-, 1 Dollar = 4 M 19³/₄

Cents! A

Ceirts A

Cents I $ Cents! H Cents |    4

OJ to H

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(Fortsetzung.) Cents L, 1

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Dollar M

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75.56    53    222.47

79.75 I 83.95 88.15 92.35 96.54

100.94

104.94 109.14 113.33 117.53 121.73 125.93 130.12 134.32 138.52 142.72 146.91 151.11 155.31 159.51 163.70 167.90 172.10 176.30 180.49 184.69 188.89 193.09 197.28 201.48 205.68 209.88 214.07 218.27

54    226.67

55    230.86

56    235.06

57    239.26

58    243.46

59    247.65

60    251.85

61    256.05

62    260.25

63    264.44

64    268.64

65    272.84

66    277.04

67    281.23

68    285.43

69    289.63

70    293.83

71    298.02

72    302.22

73    306.42

74    310.62

75    314.81

76    319.01

77    323.21

78    327.41

79    331.60

80    335.80

81    340.—

82    344.20

83    348.49

84    352.59

85    356.79

86    360.99

87    365.18

Dollar

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

369.38

373.58

377.78

381.97

386.17

390.37

394.57

398.76

402.96

407.16

411.36

415.55

419.75

(Fortsetzung.)

Dollar

Dollar

400

500

600

700

800

900

1000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7000

8000

200

300

839.50

1259.25

9000

10 000

1679 — 2 098.75 2 518.50

2    938.25

3    358 — 3 777.75 4197.50 8 395 —

12 592.50 16 790— 20 987.50 25185 — 29382.50 33 580— 37 777.50 41 975 —

20 000 30 000 40000 50000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000

83 950— 125 925.-t-167 900 — 209 875— 251 850— 293 825— 335 800— 377 775.— 419 750.— 839 500.— 1259 250— 1679000— 2 098 750— 2 518 500—

2    938 250—

3    358 000—

Umrechnung bon iß undL- in Kund Cents (1Ä -- 23,8217 Cents):

Ä ! Ct«.I L, I Cts. I I 61«. I S, St«. I L,

Cts. $ et«.

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CM CM

Dollar

(Fortsetzung.!

Dollar M Dollar

Dollar

cDOO<iOiüi^o:tOM

0,24

0,48

0,71

0,95

1,19

1,43

1,67

1,90

8,58

8,82

9,05

9,29

9,53

9,77

10,01

16,92

17,16

17,39

17,63

17,87

18,11

18,35

300

400

500

600

700

800

900

71,47

95,29

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2,14

2,38

2,62

2,86

3,09

3,33

3,57

3,81

4,05

4,28

4,52

4,76

5,00

5,24

5,47

10,24

10,48

10,72

10,96

11,20

11,43

11,67

11,91

12,15

12,39

12,62

12,86

13,10

13,34

18,58

18,82

19,06

19,30

19,54

19,77

20,01

20,25

20,49

20,73

20,96

21,20

21,44

1000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

8 000

9 000

10 000

119,11

142,93

166,75

190,57

214,40

238,22

476,43 714,65 952,87 1191,09 1 429,30 1667,52

1    905,74

2    143,95 2 382,17

^ iO CD 03 03 03

5,71

5,95

GO 05 O O IO CD

13,58

13,81

14,05

14,29

21,68

21,91

22,15

22,39

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C^^WMHOCDOO<1

6,19

6,48

6,67

6,91

7,15

7,39

7,62

7,86

8,10

8,34

-<3050505050505050505

14,53

14,77

15,00

15,24

15,48

15,72

15,96

16,20

16,44

16,68

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100 :

200

22,63

22,87

23,11

23,34

23,58

23,82

24,06

24,30

23,82

47,64

20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000

200 000 300 000 400 000 500 000 600 000

4 764,34 7 146,51 9528,68 11 910,85 14 293,02 16 675,19 19057,36 21 439,53 23 821,70

47 643,40 71 465,10 95 286,80 119108,50 142 930,20

usw

China benutzt

China

a) als Längenmaße:

1 Yin = 10 Covid = 10 Tsun, 1 Tsun = 10 Fän, also l Mn = 1 000 Fän. Man nimmt 1 Din zu 3,58 m (nach Hartleben zu 3,73 m) an. Danach berechnet sich 1 Din = 3,58 m, 1 Covid = 3,58 dm, 1 Tsun = 3,58 cm und 1 Fän = 3,58 mm (bezw. 3,73);

b)    als Flächenmaße:

1 King = 2 453 qm und 1 Man = 631 qm;

c)    als Hohlmaße:

1 Sching = 10,3 Liter, 1 Tschi = 103 Liter, also 1 Tschi = 10

Sching;

d) als Gewichte:

1 Pikul = 100 Kätties, 1 Kättie = 16 Taöls, 1 Tact = 3,78 g, also 1 Pikul = 60,48 kg und umgekehrt 1 kg = 0,0165 Pikuls;

e) als Münzen:

1 Taöl = 1 000 Käsch = 6,40 M.

Japan.

Japan besitzt

a) als Flächenmaße:

1 Schaku Kän k 10 Sung ä 10 Bun k 10 Rin. 1 Ken = 1,19 m, 1 Schaku Kän = 0,303 m, 1 Ri = 36 Tscho, 1 Tschv = 60 Keng, IKeng = 6 Schaku Kän, also 1 Ri = 12 960 Schaku Käu = 3,927 km, also 1 Schaku Käu = 3 927 m: 12 960 = 0,303 m. 1 Ri --- 1 japanische Meile, also ungefähr ¹/₂ deutsche Meile.

b) Flächenmaße:

1 Tschubo = 36 Sari = 3,319 qm, 30 Tschnbo = 1 Seh, also 30 x 3,319 qm = 99,57 qm,;

c) Körpermaße:

1 Sching Shv = 1000 Sai -- 1,18 Liter, 1 Kokn -- 100 Sho -- 181 Liter;

d) Gewichte: wie in China: i Pikul = 60,48 kg;

e) Münzen:

1 Silber-Yen = 100 Sen = 4,185 M.

Außerdem prägt Japan:

Silbermünzen: 20 Sen-Stücke,

10 „    „ ,

5    „    n

Au Goldmünzen kommen vor:

1 Yen (Dollar), 2, 5, 10 und 20 Yen-Stücke.

Ostindien.

Für dieses unter englischer Herrschaft stehende Land gelten die englischen Maß- und Gewichtsverhältnisse. Münzeinheit ist die loni« pany-Rupee zu 16 Annas. 1 Rupee = 1 M 19V₂ \ 6et dein augenblicklichen niedrigen Silberkurs ist sie jedoch oft nur ca. 1 M wert.

Ägypten.

Trotz der int Jahre 1875 erfolgten Einführung des metrischen Systems rechnet man noch vielfach nach folgenden Maßen:

a) Gewichte:

1 Oka

1 Cantaro forforo - 45 kg, 1 Cantaro forforo = 36 Oka = 1,25 kg und 1 Dl = 100 Rottcü, also 1 Rottoü = 12,5 g.

b)    Längenmaße:

1 9Sif Beledi — 58¹/₂ cm (altes Normalmaß), 1 Pik Endasch = 64 cm, 1 Pik Stambuli = 68 cm, 1 Pik Meimari = 75 cm, 1 Pik Nilli = 52V2 cm, 1 Kanäle = 3V₂ m.

c)    Flächenmaße:

1 Feddan = 42 ar.

d) Hohlmaße:

1 Ardeb = 6 Quebehs = 198 Liter, 1 Quebch -- 4 Rmlbehs, 1 Rouböh = 12 Keles, also 1 Queböh = 33 Liter, 1 Roubeh --- 8 U Liter

U,tb Ägypten hat"Goldwährung unb prägt folgende Goldmünzeit 1 Lyra (Sequin) & 100 Piaster = 20,75 M, ä 50    „    ,

¹U „    " ä 25    "    '

Silbernlünzen sind folgende:

Das 20, 10, 5, 2, 1, V* und V« Piasterstuck.

aus:

V* n

Benutzte und für die Weiterbildung zu empfehlende Werke:

Dr* Josef Klemens Kreidig, Lehrbuch der kaufmännischen Arithmetik.

findetsen-Claussen, Beispiele und Aufgaben für den Unterricht im kaufmännischen Aechnen.

Cb* Scharf, Aechenbuch für kaufmännische §ortbildungs-fchuien.

H* fltetb und 6. (Hinter, praktisches kaufmännisches Aechnen.

Richard Just, kaufmännisches Aechnen.

Johannes Jahn, die ^ontokorrentrechnung.

J* K* Roesler und fr* Milde, Beispiele und Aufgaben zum kaufmännischen Aechnen.

Stern, kaufmännisches Aechnen.

Schulze, Aichtig Aechnen durch Selbstunterricht.

Bebm und Dageförde, die Praxis des kaufmännischen Aechnens.

H* Bergmann, Münzen, Matze und Berichte aller Staaten.

Kautsch, Bandbuch des Bank- und Börsenvvesens.

Dr* Eduard Hmtbor, Ouintessenz des kaufmännischen Aechnens.

Druckfehler-Berichtigung.

Seite 64, 2. Zeile von oben. Statt 655 Mdl. 50 Stck. lies 673 Mdl. 5 Stck.

„ 110, 3. und 4. Zeile von unten. Statt £ 20,91875 lies ^ 20,71875

„ 20. 18. 4.    „ 20.14. 4.

„ 200. Sämtliche Daten sind um 6 Monate zu verschieben; statt 15. Oktober lies also 15. April u. s. w.

„ 208 u. 209, I. Beispiel. Der Saldo ist 1511,99 M und die Endsumme der Beträge im Credit 3211,99 M. Statt der Jahreszahl 1906 lies 1905.

Druck: Beyer & Boehme, Berlin 8. 42.

TB-96

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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