WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA SŁOWNA

L. inw.

HULEN

UND

BAUGEWERKSMEISTER

VON

KARL ZILLICH

KÖNIGLICHER REGIERUNGS-BAUMEISTER

DRITTER TEIL:

GRÖSSERE KONSTRUKTIONEN

MIT 91 ABBILDUNGEN IM TEXT

BERLIN 1900

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN

CGROPIUS’SCHE BUCH- UND KUNSTHANDLUNG)

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297073

STATIK

FÜR

BAUGEWERK SCHULEN

UND

BAUGEWERKSMEISTER

VON

KARL ZILLICH

KÖNIGLICHER REGIERUNGS-BAUMEISTER

DRITTER TEIL:

GRÖSSERE KONSTRUKTIONEN

MIT 91 ABBILDUNGEN IM TEXT

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BERLIN 1900

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN

(GROPIUS’SCHE BUCH- UND KUNSTHANDLUNG)

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KRAKÓW J

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Nachdruck verboten.

Akc. Nr.

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Der vorliegende dritte Teil der Statik schliefst das Werk ab. Er enthält die statische Berechnung der am häufigsten vorkommenden gröfseren Baukonstruktionen, insbesondere der Hängewerke, freitragenden Dächer, Gewölbe, Futtermauern uud Fabrikschornsteine.

Hierbei wird die Kenntnis des bereits erschienenen ersten und zweiten Teiles vorausgesetzt; doch ist vielfach, um die Benutzung des Buches zu erleichtern , auf die betreffenden Stellen noch besonders verwiesen. Bei der durchaus elementaren Darstellung sind gröfsere mathematische Kenntnisse als zum Verständnis der beiden ersten Teile nicht erforderlich.

Die ausführliche Durchrechnung zahlreicher praktischer Beispiele dürfte allen Lesern willkommen sein. Für das Selbststudium empfiehlt es sich, die Abbildungen in gröfserem Mafsstabe zu zeichnen und die gestellten Aufgaben zu lösen.

Fürstenwalde a. Spree, Dezember 1899.

K. Zillich.

Freitragende Dächer.

Zusammengesetzte Festigkeit.

Gewölbe.

vu w

Schornsteine.

K. Zillich.

Inhalt.

Kapitel I.

Freitragende Dächer.

Seite

§ I. Eigengewicht und Schnee ....

§    2.    Winddruck.........

§    3.    Bestimmung der Querschnitte .

§    4.    Abgekürztes Verfahren.....

§    5.    Versteifung der Binder.....

§    6.    Fetten^als durchgehende Gelenkträger

1—4

4-8

8-9

9—14

14—17

Kapitel 2.

Zusammengesetzte Festigkeit.

§ 7. Biegung und Druck ....

§ 8. Beispiel, Fettendach ....

§    9. Biegung und Zug (Hängewerk)

§ 10. Einseitiger Druck in Mauern .

§ II. Mittelkraft aufserhalb des Kerns § 12. Beispiel, freistehende Mauer .

Kapitel 3.

Gewölbe.

§ 13. Unbelastete Gewölbe .    .    .

§ 14. Gewölbe mit Überschüttung .

§ 15. Überschüttung und Belastung .

§ 16. Maximal- und Minimaldrucklinie § 17. Einseitige Belastung ....

§ 18. Unsymmetrische Gewölbe .

§ 19. Widerlager.......

§ 20. Mittelpfeiler......

18—20 20—22 22—26 26-31 31—35 35—37

Kapitel 4.

Reibung, Wasserdruck, Erddruck.

Seite

coo COO COO COO coo COO

^ ts)    w bi    to to

Os (л oj    IO м

Reibung.........

Wasserdruck.......

Erddruck im allgemeinen .

Gleitfläche........

Ebene Erdoberfläche.....

Erdoberfläche wagerecht, Beispiel

59-61

61—63

64— 65

65- 67 67-70

70—73

Kapitel 5.

Schornsteine.

§27. Gröfse des Winddrucks .    .

§ 28. Der Schaft......

£ 29. Sockel und Grundmauerwerk

74— 75

75— 84 ■

85-90

Kapi tel i.

Freitragende Dächer.

§ i. Eigengewicht und Schnee.

Die Last der Dächer setzt sich zusammen aus :

1.    dem eigenen Gewicht,

2.    Schnee und

3.    Winddruck.

Das Gewicht der Dachdeckung ist sehr verschieden. In der folgenden Tabelle sind die Gewichte der gebräuchlichsten Arten aufgeführt.

Dachart

I qm der schrägen Dachfläche wiegt einschl. d. Sparren

kg

Einfaches Ziegeldach ans Biberschwänzen . Doppeltes Krondach

99

99

Pfannendach auf Lattung

„ Lattung und Schalung .    .    .

Falzziegeldach..........

Deutsches Schieferdach auf 2,0 cm starker Sc] Zinkdach auf 2,5 cm starker Schalung .    .

Wellblechdach auf Winkeleisen .

99

99

90

120

130

90

HO

IIO

85

40

25

35

180

20

25

30

Das Gewicht freitragender Dachbinder bis etwa 20 m Spannweite kann man einschliefslich der Fetten für die

statische Berechnung vorläufig zu etwa 25 kg für 1 qm des Grundrisses annehmen. Nachdem die Konstruktion entworfen ist, wird man durch eine Berechnung des wirklichen Gewichts prüfen, ob die Annahme zutreffend war, und, wenn es nötig scheint, die statische Untersuchung berichtigen.

In Abb. i ist ein Dachbinder von 18 m Spannweite dargestellt und in Abb. 2 die Mittellinien der Stäbe noch einmal gezeichnet. Die Last der Dachdeckung wird von

---------- 18m    --------

Abb. i. Mafsstab i : 200, 1 cm = 2 m

den Sparren auf die Fetten übertragen, und diese ruhen auf den Knotenpunkten der oberen Gurtung, so dafs die Binder nur an diesen Stellen belastet sind. Die einzelnen Binder sind 4 m von einander entfernt (vergl. Abb. 12, Seite 15).

Die Dachfläche, welche auf einen Binder entfällt, beträgt 2 *9,50 *4 = 76 qm. Es ist Zinkdeckung auf 2,5 cm starker Schalung angenommen, deren Gewicht nach der Tabelle auf Seite 1 40 kg für 1 qm beträgt, im Ganzen also 76*40 = 3040 kg.

Die Grundfläche für einen Binder beträgt 18*4=72 qm, und das Gewicht der Binder und Fetten ist demnach bei 25 kg/qm zu 72*25 = 1800 kg anzunehmen.

Das ganze Gewicht des

Als gröfste Belastung durch Schnee rechnet man in Deutschland 75 kg für 1 qm der Grundfläche. Auf einen Dachbinder kommen 72 qm.

Schnees beträgt also 72*75 = 5400 kg.

Anmerkung. Bei steilen Dächern kann man eine geringere Schneelast annehmen, weil der Schnee dort leicht abrutscht, und sich gröfsere Schneemassen nicht halten. Bei einer Neigung über 40⁰ stellt man die Hälfte und über 500 gar keine Schneelast mehr in Rechnung.

Die ganze Last für einen Binder beträgt :

zusammen: 10240 kg.

Hiervon kommt */₆ = 1707 oder rund 1710 kg auf jeden mittleren Knotenpunkt und halb so viel = 855 kg auf die Endknotenpunkte.

1710'

Ц о 8 1 I

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6_

10

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18.0

B\

Abb. 2. Mafsstab i : 200, 1 cm = 2 m.

p,

0--0

Pz

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Ps

Г0-92Л

,16700

e-J3300_

4t

Pi

Pr

Abb. 3. i cm = 2000 kg.

Man kann die Belastung eines Knotenpunktes auch auf folgende Art ermitteln : Auf jeden mittleren Knotenpunkt kommen 4,0*3,17= 12,68 qm Dachfläche zu 40 kg = 507,2 kg und 4,0*3,0=12 qm Grundfläche mit je 25 kg Eigengewicht und 75 kg Schnee, zusammen 100 kg.

12*100=1200 kg. Im Ganzen 507,2 -f- 1200 = 1707,2 oder rund 1710 kg. Auf jeden Endknotenpunkt entfällt die Hälfte davon =855 kg.

Für diese Lasten ist der Kräfteplan des Dachbinders gezeichnet (Abb. 3), und die sich ergebenden Spannungen sind in einer Tabelle (auf Seite 8) in Spalte 2 und 3 zusammengestellt. Symmetrische Stäbe haben gleiche Spannungen.

§ 2. Winddruck.

Der Druck des Windes auf senkrechte Flächen wird gewöhnlich zu 125 kg für 1 qm angenommen. Der Druck auf schräge Flächen, wie Dächer, ist geringer.

Bezeichnet h die Höhe, l die Länge und a den Neigungswinkel des Daches gegen die Wagerechte (Abb. 4), W₀ die

wagerechte Kraft des Windes imd W den Druck auf die Dachfläche, so ist

w=%±.

' s],

h

Das Verhältnis — (welches für

Abb. 4.

jeden Winkel a ein bestimmtes ist) nennt man den Sinus des Winkels, abgekürzt sin. Daher W — W₀ • sin a.

Hiernach beträgt die Gröfse des Winddrucks TFbei einer Dachneigung von 1 :

L5

2,5    3    3,5    4    4;5    5;

wobei der Winkel а —

45° 33°4ï' 2Ó°34' 2i°48' i8°2ó' i5°57' i4°2' i2°32' 1 i°i8', 88    69    56    47    40    34    30    27    24

kg für i qm der schrägen Dachfläche.

Anmerkung. Der Winddruck auf schräge Flächen wird mitunter auch anders berechnet. Die hier angegebene Art ist die einfachste.

Bei dem in Abb. 1 und 2 dargestellten Dachbinder ist

%YL

iri

\₂55

(Z

'2ГХ/' “\a

46

/2

/9

JO

<fó

Abb. 5.

Mafsstab 1 :300.

B\

M ^ а Il s 1-8    ■;

II 5 c "    ¹

"S

5?

Ca

2=3600__

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10=Jff-6t

-2

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.s s ö § ^L

■4

Abb. 6. i cm

= 500 kg.

'

\ v hi \

\ 'f,

\ Vÿâ

AV

•4

'bl⁷

die Dachneigung 3 : 9 = 1:3, W also 40 kg für 1 qm. Der Wind möge von links wehen (Abb. 5). Die von ihm getroffene Fläche beträgt für einen Binder 9,5.4 = 38 qm und der Druck also 38 • 40 = 1520 kg. Davon kommt aut die beiden mittleren Knotenpunkte je ein Drittel = rund

510 kg und auf den ersten und vierten je -AIQ — 255 kg.

Bei eisernen Dachbindern ist gewöhnlich ein Auflager beweglich eingerichtet, damit es nachgeben kann, wenn sich

kl

kt

'б

/О

JS

JB

Abb. 7. Mafsstab x : 300.

das Eisen bei Wärme ausdehnt oder bei Kälte zusammenzieht (Abb. i, 2, 5 und 7). Auch wenn kein bewegliches Auflager vorhanden ist, mufs man ein solches annehmen, um den durch Wind hervorgerufenen Auflagerdruck zu bestimmen. Am beweglichen Auflager wird nur senkrechter Druck übertragen, der Gegendruck ist natürlich ebenfalls senkrecht gerichtet (Abb. 5). Man verbindet den Schnittpunkt dieser Kraft В und der Mittelkraft des Windes W mit dem Auflager A; dann ist GA die Richtung des Auflagerdruckes Aj und W kann zerlegt werden in DE und DF. Nachdem die äufseren Kräfte so bestimmt sind, werden die

Spannungen der einzelnen Stäbe durch den Kräfteplan gefunden (Abb. 6).

Das Entwerfen von Kräfteplänen für Winddruck ist etwas schwieriger als bei nur senkrechten Kräften. Die im I. Teil, § 30 gegebenen Regeln gelten aber auch hier und können als Anhalt dienen. Die Stäbe 13, 15 und 17 bekommen keine Spannung.

Weht der Wind von rechts (Abb. 7), so ist wieder der rechte Auflagerdruck В senkrecht gerichtet; es wird also die Senkrechte durch В gezogen, C mit A verbunden und die Mittelkraft des Windes W nach den Richtungen CA und С В zerlegt. Darauf kann man den Kräfteplan zeichnen (Abb. 8). Diesmal sind die Stäbe 3, 5 und 7 ohne Spannung.

18= 3000

ï=ô’3c

B\

Abb. 8. i cm = 500 kg.

Anmerkung. Bei steilen Dächern ist es nicht selten, dafs ein Stab durch den Wind Druck bekommt, der sonst nur gezogen wird. Dieser Druck ist jedoch fast immer so klein, dafs der gleichzeitig vorhandene Zug überwiegt.

Die durch den Wind hervorgerufenen Spannungen der einzelnen Stäbe sind in der Tabelle auf Seite 8 in Spalte 4, 5, 6 und 7 eingetragen; durch Zusammen zählen ist dann die gröfste Spannung ermittelt, welche ein Stab im Ganzen erfahren kann. (Spalte 8 und 9).

Tabelle der Stabspannungen.

Nr. des Stabes

Senkrechte

Lasten

Wind von links

Wind von rechts

Zug

Druck

kg

kg

Zug Druck

kg

kg

Zug

Druck

Gröfste Spannung Zug Druck

kg

kg

kg

kg

17 600

3400

1500

21 000

16 700

3600

930

20 300

i 640

510

2 150

17 000

3400

1500

20 400

3 400

1020

4 420

13 300

2600

930

15 900

2430

750

3 i8o

13 200

2400

1500

15 боо

4 700

1300

но

6 000

io

9 250

1450

850

10 700

4700

170

1230

5 930

12

13 200

1650

2250

15 450

13

2430

77 о

3 200

13 300

1570

1970

15 270

i5

3 400

1040

4 440

i6

17 000

1650

3250

20 250

I 640

SIO

2 ISO

i8

16 700

1570

3000

19 700

19

17 600

1650

3250

20 850

§ 3. Bestimmung der Querschnitte.

Symmetrische Stäbe wird man der Einfachheit wegen gleich stark konstruieren, natürlich entsprechend der Spannung des am meisten beanspruchten von ihnen. In der Tabelle auf Seite 9 ist diese in Spalte 2 und 3 aufgeführt. Es sind dann bei den gezogenen Stäben die nötigen Querschnitte für Schmiedeeisen (750 kg/qcm) berechnet und in die folgende Spalte (4) eingetragen.

Bei den gedrückten Stäben kommt die Möglichkeit des Knickens in Betracht. Sie müssen daher hierfür berechnet werden. Die obere Gurtung möge aus Holz bestehen. Das Trägheitsmoment ist nach der Formel J = ioo P • l2 bestimmt und quadratischer Querschnitt gewählt worden (Teil II, § 36). Der für Druck nötige Querschnitt ist reichlich vorhanden. Die Streben 3 und 7 mögen durch gufs-eiserne Flügelsäulen gebildet werden. Das Trägheitsmoment J=8P*l² (Teil II, § 40). Die erforderlichen Trägheitsmomente sind in Spalte 6 und 7 und die für sämtliche Stäbe gewählten Querschnitte in Spalte 8 aufgeführt.

Nr.

M9

iS §

Gröfste 5 ’S

CJ <u

II

Zug Druck kg kg qcm

Spannung

21 000

<-n g Länge

Trägheitsmoment für

Gufs-eisen cm⁴ cm⁴

Holz

Gewählter

Querschnitt

3,17 21 100

Holz 23X23 cm

2,18 20300

27,1

Rundeisen 5,9 cm stark

3,17

2 150

0,78

II

gufseis erne Flügelsäule 6 cm breit, 1 cm stark

4,16

20 400

ЗД7 20500

wie Nr. I

5.15 4440

6,0

Rundeisen 2,8 cm stark

6,14 15900

21,2

Rundeisen 5,2 cm stark

7,13

3 200

1,56

63

gufs eis erne Flügelsäule 8 cm breit, 1,5 cm stark

8,12

15 600

3,17 15700

wie Nr. I

9,11    6000

8,0

Rundeisen 3,2 cm stark

10    10 700

14,3

Rundeisen 4,3 cm stark

§ 4. Abgekürztes Verfahren.

'

Das Zeichnen der Kräftepläne für Winddruck ist etwas umständlich. Bei flachen Dächern ist der Einflufs des Windes

im Vergleich mit den übrigen Kräften nur gering; man zieht daher hier meist ein viel einfacheres wenn auch nicht ganz genaues Verfahren vor, indem man eine Gesamt-

£40099= y

CK

00Z7'

0077

fr

0077

Щ0099= %

ft?

ü-'

2000 kg.

I!

ШЭ I

Abb. 9.

tr-Л

belastung von Eigengewicht, Schnee und Winddruck annimmt. Zum Vergleich ist der Dachbinder der Abb. 1 auch auf diese Art berechnet.

Die senkrecht wirkende Last betrug bei einem mittleren

Knotenpunkt 1710 kg, hierzu der Winddruck von 510 kg, giebt zusammen 2220 kg, bei den Endknotenpunkten die Hälfte =1110 kg.

Für diese Lasten ist in Abb. 9 der Kräfteplan gezeichnet ; die Spannungen der Stäbe sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt und ihre Stärke wie früher berechnet. Der Vergleich mit der Tabelle auf Seite 9 zeigt, dafs die gefundenen Querschnitte nur wenig von den früheren abweichen.

Nr.

M9

2,18

3,17

4>l6

5Д5

6,14

7,13

8,12

9,11

Spannung

Zug

kg

Druck

kg

22 800

21 700

ХЛ

ö 'S

jj 'S

'S .s

О .Д

52 S

s-s

Länge

0*с/з

qcm

29,0

2 100

22 IOO

4 400

17 300

3 200

17 150

5.

3J7

0,78

ЗД7

5,9

23,1

1,56

ЗД7

6 100

8,2

Trägheits

moment

für

Holz

cm⁴

Gufs-

eisen

cm⁴

Gewählter Querschnitt

22 900

22 200

17 200

Holz 23 X ²3 cm

Rundeisen 6,1 cm stark

II

63

gufseiserne Flügelsäule 6 cm breit, 1 cm stark

wie Nr. I

Rundeisen 2,8 cm stark

Rundeisen 5,5 cm stark

gufseiserne Flügelsäule 8 cm breit, 1,5 cm stark

wie Nr. I

Rundeisen 3,3 cm stark

Rundeisen 4,6 cm stark

16,0

io II 950

Eine noch bessere Annäherung an die richtigen Spannungen wird mittelst eines verhältnismäfsig einfachen Verfahrens erzielt, wenn man den Winddruck nur auf der einen Hälfte des Daches zur senkrechten Last zuschlägt, ihn aber um 10 °/₀ vermehrt.

Das ist in Abb. 10 geschehen. Für einen mittleren Knotenpunkt betrug der Winddruck 510 kg.

Hierzu i о °/₀ .

.    .    . =    51 kg

zusammen: 561 oder rd. 560 kg.

Kapitel i.

OQ

fy06?9=V

9-

2270\

22 70\

1900\

17Щ

1710\

\1710

B= 5660kg

м=тоо

oooe = шэ i

Abb. 10. Mafsstab 1:200. 1 cm — 2 m.

/710

12

13

i-260

1990

1't

1f/0

1710 +560 0 =» 2270$.

<9

<⁷¹⁰Mfo £

13

07

ß=l6200

oO

Abb. ix.

LV

855+\ 280

7136 t

\ 6390kg

\-r

Es sind also zur Belastung des zweiten und dritten Knotenpunktes 560 kg und zu der des ersten und vierten

280 kg zugeschlagen.

Von den 2 • 560 + 2 • 280= 1680 kg Winddruck hat

3

das linke Auflager —

4

= 1260 und das rechte — = 420 kg 4

zu tragen, die zu den 5130 kg (Abb. 3) hinzukommen. Es beträgt also der linke Auflagerdruck 5130 -f" 1260 — 6390 kg und der rechte 5130 -j- 420 =.5550 kg. Hiernach läfst sich der Kräfteplan zeichnen (Abb. 11), der zwar nicht symmetrisch wird wie Abb. 3 und 9, aber keine besonderen Schwierigkeiten bereitet. Bei zwei symmetrischen Stäben ist natürlich die Spannung des am meisten von ihnen beanspruchten mafsgebend. Das Ergebnis ist in der folgenden Tabelle unter III zusammengestellt, und zum Vergleich sind unter I und II auch die früher ermittelten Spannungen aufgeführt. Man sieht, dafs die Kräfte unter III meist wenig gröfser aber nirgends kleiner sind als unter I.

Vergleich der auf verschiedene Art ermittelten Spannungen.

II.

III.

Zug

Zug

Druck

Druck

Druck

21 OOO

22 800

21 800

20 3OO

21 7OO

20 7OO

2 I50

2 IOO

2 200

20 4OO

22 IOO

21 100

444O

4 4OO

45OO

15 9OO

17 30°

l6 200

3 200

3 200

3 250

15 600

17 150

15 900

6 000

6 100

6 200

10

10 700

II 950

10 800

Aufgaben. Für die Binder der Abb. 99 und 100 im I. Teil ist eine Bedachung anzunehmen und die nötige I Stärke der einzelnen Stäbe nach verschiedenen Verfahren zu bestimmen!

In überschläglichen Rechnungen nimmt man auch bei steileren Dächern einfach eine senkrecht wirkende Gesamtlast von Eigengewicht, Schnee und Winddruck zusammen an, und zwar je nach der Neigung bei Metall- und Glasdeckung .

•    • 125—150 kg,

.    .    200 —24O

•    •    25O—3OO

4OO

,, Schieferdeckung.....

,, Ziegeldeckung.....

und bei sehr steilen Mansardendächern für i qm des Grundrisses.

§ 5. Versteifung der Binder.

Bei freitragenden Dachbindern müssen die Knotenpunkte der oberen Gurtung, da sie auf Druck beansprucht wird, gegen Ausweichen nach der Seite gesichert werden. Bei der unteren Gurtung ist dies nicht nötig, weil in ihr nur Zugkräfte wirken.

Man verbindet gewöhnlich zwei benachbarte Binder miteinander durch die Fetten und dazwischen eingefügte Diagonalen zu einem Ganzen (Abb. 12). Dann entsteht ein neues, liegendes Fach werk, dessen Knotenpunkte zugleich die Knotenpunkte der beiden oberen Gurtungen sind. So werden diese am Ausweichen gehindert.

§ 6. Fetten als durchgehende Gelenkträger.

Über zwei mit einander versteifte Binder läfst man die Fetten häufig auf beiden Seiten überstehen und setzt in den verbleibenden Zwischenraum (ab in Abb. 12) ein kürzeres Fettenstück, d. h. man ordnet den Stofs schwebend an. Ъ Die Fetten werden dann sehr günstig beansprucht; denn r die Last auf den überstehenden Enden wirkt dem Biegungs-p moment, welches durch die Lasten zwischen den Stützpunkten hervorgerufen wird, entgegen und vermindert es. Solche Träger nennt man durchgehende Gelenkträger.

Wird die Strecke ab = o,yl gemacht (Abb. 13), so ist das gröfste Biegungsmoment in der Mitte

0,06125^ *Z²;

M1 =

0,49.

P'l²

°nr

■°-r

? Btnder

~Т

Freitragende Dächer. Aufrifs.

15

. (t

f-o

4-0

Binder

“Т?

И-

3,о

- о‘р

- 3,о

-3,о

- 3,о -

TV

o-h

Bin der _ .

О)----N

r-O

ВьтгВег _

- - .Qi

Grundrifs.

Abb. i2. Mafsstab 1:200, 1 cm = 2 m.

das Biegungsmoment am Binder bei c (Abb. 14)

0,7 T'l

o, 15 • l

•0,15 Z -f- 0,15    ---—

= 0,0525 pl² 4- 0,01125 pl* = 0,06375 V •¹²

'S

— о;?г

0,7.

Abb, 13.

1VJ

й-

«Н

- Bùuter,

BinAej

Mafsstab i : 100, i cm = i m.

6{

ft

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г

- - 0,6Sl- Kj

?b-L

-->W - - I - -

~k~

K--

+-

Abb. 14.

•Æ. -->4 Ur — - l--*J<— -

V2

Abb. 15.

Biegungsmomente durchgehender Gelenkträger.

Abb. 16.

Biegungsmomente gewöhnlicher Träger.

und das Biegungsmoment in der Mitte bei d

Mz —P -¹--

o,7

0,65

—P'l-0,651— 0,65-p-1- — 2 2

= 0,5P'l² 0,22J5P-1² 0,2 I I 25 P • l²

= 0,00 I 2 5 p • l² = Mv

0,707 11 l

Die Strecke ab sollte eigentlich gleich

]/z

p-l²

sein, statt (angenähert) 0,7 l\ dann würden die 3 Biegungsmomente ganz gleich werden = 0,06257? • l² = — •

2

Die Gröfse der Biegungsmomente wird durch Abb. 15 veranschaulicht. Zum Vergleich sind auch die Momente gewöhnlicher Träger, die von Binder zu Binder reichen, in Abb. 16 hinzugefügt. Man sieht, dafs das gröfste Biegungsmoment durch die Anordnung des schwebenden Stofses an geeigneter Stelle um die Hälfte verringert wird.

Kapitel 2.

Zusammengesetzte Festigkeit.

§ 7. Biegung und Druck.

In Abb. 17 hat ein Balken die gleichmäfsig verteilte Last P zu tragen und wird aufserdem durch die Kraft P in seiner Längsrichtung zusammengedrückt. Dann kommen an jeder Stelle Biegungs- und Druckspannungen gleichzeitig zur Geltung ; beide zusammen dürfen das zulässige Mafs nicht überschreiten.

Sl F '

Die Biegungsspannung s₂ =

Die Druckspannung

— si ~h s2

Die Gesamtspannung

F W'

Bei Holzbalken berechnet man am besten zuerst die nötige Stärke für Biegungsfestigkeit allein, nimmt dann mit Rücksicht auf die doppelte Beanspruchung eine reichliche Höhe an und bestimmt die hierzu gehörige Breite.

da

F—b • h und W

b-h²

so ist

und

b-h ¹ b-h2 P , 6 M

s-hr

Beträgt die gleichmäfsig verteite Last 4000 kg und die Länge l 4,0 m (Abb. 17),

so ist

P.Z

4000 • 400

=200000 kgcm

M 200000

rd. 2857 cm³.

Hierfür genügt ein Balken von 22 cm Breite und 28 cm Höhe (Tabelle im II. Teil, Seite 35). Mit Rücksicht auf die hinzutretende Druckkraft von 10000 kg werde die Höhe h = 30 cm angenommen.

Die zulässige Gesamtspannung für Druck und Biegung beträgt bei Kiefernholz ebenso wie für Biegung allein 70 kg/qcm. Dann berechnet sich die Breite

6•200000

und

70

70

10000

70*30    70-30*30

= 4,8    +    19,0= rd. 24 cm.

jP= 0 000 kg

Ę- 10000kg—>{

}4-jv = iooooty

h- —

gf0----4

Abb. 17. Mafsstab i : ioo, i cm = i m.

Scheint das Verhältnis der Breite zur Höhe (24:30) nicht passend, kann man eine andere Höhe annehmen und die zugehörige Breite berechnen.

Es ist noch zu untersuchen , ob der gefundene Querschnitt genügende Knickfestigkeit hat (Teil II, § 36).

Das erforderliche J = 100 iM²

— 100•10 • 42 = 16000 cm⁴.

Vorhanden ist

j_ h -b*

30 *24

12

12

34560 cm⁴,

mehr als ausreichend.

Zu# A

ZlZCf

± J=_

Abb. 18.

|-* 55,ó

h; = 30 cnt-Ą

Abb. 19.

Die im gefährlichen Querschnitt, in der Mitte zwischen den Auflagern, vorhandene Spannung ist

1.    Druckspannung P IOOOO F~ 2Ą- 30

sie ist in Abb. i8 dargestellt.

2.    Biegungsspannung M 6•200000

24-30-30 = rd. 55,5 kg/qcm, und zwar auf der oberen Seite Druck, auf der unteren Zug. (Abb. 19.)

Beide zusammen ergeben die Gesamtspannung, welche in Abb. 20 dargestellt ist. Die Kraft P vermehrt den durch die Biegung hervorgerufenen Druck oben und vermindert die Zugspannungen auf der unteren Seite des Balkens.

rd. 14 kg/qcm;

s*~w

Pt-weh

§ 8. Beispiel, Fettendach.

Æk- 69,ô -H -h ^ 55, S

h =30 cjib^X

7" Vr'LLch

Ц H,5*\W\+

K ^ćf ^

Abb. го.

Biegung und Druck kommen oft zugleich bei Fettendächern vor. Bei diesen fehlen die Sparren, und die Dachschalung liegt unmittelbar auf den Fetten. Da diese dann nicht weit von einander entfernt sein dürfen, wird es meist nötig, die obere Gurtung freitragender Dachbinder auch zwischen den Knotenpunkten zu belasten. In Abb. 21 liegen noch je 2 Fetten dazwischen. Die Abmessungen und Lasten des Daches sind wie früher bei Abb. i

angenommen. Eskommen daher auf jede Fette 510

1710

570 kg

senkrechte Last und

170 kg Winddruck.

Die Stäbe der oberen Gurtung übertragen ihre Lasten auf die Knotenpunkte, so dafs diese in ganz gleicher Weise wie früher belastet werden. Sämtliche Stäbe des Fachwerks

----9,0--

Abb. 21.

erhalten daher dieselben Zug- und Druckkräfte, wie sie im § i und 2 bestimmt waren (Tabelle auf Seite 8). Die obere Gurtung wird aber aufserdem auf Biegung beansprucht.

))

Die Biegungsmomente betragen (Abb. 22): durch die senkrechten Lasten Mx = 570 • 100 = 57000 kgcm und durch den Winddruck J/₂ = 170 • 106 = 18020

zusammen 75020 kgcm.

Demnach W— —— 75 ⁰²⁰

70

1072 cm³.

S70

Abb. 22.

Hierfür allein würde ein Querschnitt von 15X21 cm erforderlich sein. Mit Rücksicht auf die noch hinzutretende Druckkraft von 21 000 kg (Seite 9) werde für Stab 1 eine Höhe von 24 cm angenommen.

6•75020

21 000

Es ist b =

in Zahlen b

2 I OOO

6 M

TU?⁹

6*75 020

70•24•24

11,2 = 23,7 oder rd. 24 cm. Scheint der gefundene Querschnitt von 24 X 24 cm nicht passend, so kann man eine andere Höhe annehmen, etwa 26 cm. Dann wird

70-24

= 12,5 +

7O•2Ó•2Ó

9>5

70-26

ii»5 +

= 2 i cm.

§ 9. Biegung und Zug. (Hängewerk.)

Biegung und Zug kommen bei Hängewerken zusammen vor, wenn der Hauptbalken belastet ist.

In Abb. 23 tragen doppelte Hängewerke die Decke und das Dach über einem Saale. Die Deckenbalken ruhen auf den Hauptbalken und die Dachfetten auf den Säulen der Hängewerke. Die Entfernung der Binder von einander beträgt 4 m ; die Last der Decke werde mit 400 und die Dachlast (einschl. Schnee und Winddruck) mit 300 kg für i qm des Grundrisses in Rechnung gestellt.

Auf eine Hängesäule kommen 3,5 X 4 = 14 qm Decke,

je 400 kg ...........

Da der Hauptbalken einen durchgehenden Träger bildet, empfiehlt es sich, die Belastung der Mittelstützen zur Berechnung der Streben und des Spannriegels um ein Viertel höher anzunehmen (vgl. Teil II, § 34) .    .    . x/₄ - 5600 = i 400 kg,

= 5600 kg.

zusammen 7 000 kg.

Dazu 14 qm Dach je 300 kg ... = 4200 kg,

im Ganzen 11200 kg.

Diese nach den Richtungen der Strebe und des Spannriegels zerlegt (Abb. 24), giebt 16,8 t für den Spannriegel und 20,2 t für die Strebe. Die 20,2 t werden am Fufs der Strebe in eine senkrechte Kraft von 11,2 t und eine wagerechte von 16,8 t zerlegt (Abb. 25). 16,8 t ist die

Aufrifs.

v>;

163 j 1&Г

CS

- - V,o

h---з,о\ — ->4<-

•H---3,0    —

Grundrifs.

I_____

____// ui der

i---

i---

1-----X

-4

l_

•3,0-->;■<— --9,o---J-->f<--3,o---►

I

Binder

■I

Abb. 23.

A—

-W-+?0

о-4r

li

•i f

Zugkraft, welche der Hauptbalken in seiner Längsrichtung aufzunehmen hat.

Die einzelnen Teile werden wie folgt berechnet. Streben: 20,2 t Druck; für Knickfestigkeit /= 100 • 20,2 • з,6² = 26 180 cm⁴.

Hierfür 24 cm im Quadrat mit /=27648 cm⁴ (Tabelle im II. Teil, Seite 36).

Spannriegel: 16,8 t Druck; für Knickfestigkeit / = 100 • 16,8 • 4,o²= 26880 cm⁴.

schnitt von nur

70 qcm. Wegen der Verbindungen

Hierfür ebenfalls 24 cm im Quadrat mit / =27 648 cm⁴. Hängesäulen : 7000 kg Zug. Diese erfordern einen Quer-7000

100

mit den anderen Teilen mufs man aber einen gröfseren Querschnitt wählen, etwa 20X24 cm.

Der Hauptbalken hat auf der mittleren

4 m langen

320000 kgcm

Strecke eine Last von 4X4X400 = 6400 kg zu tragen. Diese ergiebt ein Biegungsmoment 6400 • 400

und erfordert ein Widerstandsmoment

70

W= — = 4571 cm³.

Hierfür genügt ein Balken von 24 X 34 cm mit 1^=4624 cm³ (Teil II, Seite 35).

werde

eine Höhe des Balkens von 36 cm angenommen. Die Breite berechnet sich dann nach der Formel

Da noch die Zugkraft von 16,8 t hinzutritt

s • h

.    16800

b =-—

70*36

s-h²’

; da s = 70,

6•320000 70-36-36

21,2 = 27,9 oder rd. 28 cm. Wird h = 34 cm angenommen, ergiebt sich 16800 . 6*320000

70*34    70*34*34

7,1    -f-    23,7 = 30,8 oder rd. 31 cm.

Anmerkung. Bei einseitiger Belastung kann ein doppeltes Hängewerk seine Form verändern , wie in Abb. 26 (etwas übertrieben) dargestellt ist. Die Biegungsfestigkeit des Hauptbalkens verhindert den Einsturz ; er erleidet dabei aber eine Beanspruchung, welche bei der statischen Berechnung nicht berücksichtigt wurde.

Abb. 26.

Deshalb ist die zulässige Spannung für Biegung und Zug hier nur zu 70 kg/qcm angenommen, während bei Kiefernholz für Zug allein 100 kg/qcm zulässig sind. Bei einem einfachen Hängewerk, das einer Verbiegung durch einseitige Belastung nicht ausgesetzt ist, kann man die Spannung des Hauptbalkens sehr wohl höher (80 kg/qcm) annehmen.

Abb. 27.

Durch Diagonalen zwischen den Hängesäulen kann man ein doppeltes Hängewerk versteifen (Abb. 27). Das geschieht bei Brücken oft, im Hochbau selten , weil hier die Hauptlasten meist gleichmäfsig verteilt sind und nur ein kleiner Teil der Lasten einseitig wirken kann.

Aufgaben. Man berechne den einfach verstärkten Balken (Abb. 28), sowie die Eisenteile zu seiner Verstärkung und nehme die zulässige Spannung des Holzes für Biegung und Druck 5 — 70 kg/qcm !

Р111111111111ШШШУ^¥1Ш[[1Щ111111111111111

-f-"/

-»4<-----4.0 —

Abb. 28.

4.0 - -

ją

FUigdsćLul& *

'ł Rujtdeùreib

9,0 - -

-- V,o---->K----y,o----^

Abb. 29.

Ebenso den doppelt verstärkten Balken (Abb. 29), wenn 8 = 60 kg/ qcm !

§ 10. Einseitiger Druck in Mauern.

„Ca + ■

4)

/    In Abb. 30 ist der Querschnitt

, einer Mauer dargestellt. Um die ! Spannungen an der Fuge AB zu ¹ bestimmen, betrachtet man ein

Stück der Mauer von 1 m Länge. Was für dieses gilt, gilt für jedes andere auch.

Der Mauerkörper AB CD hat einen Rauminhalt von

->R

Abb. 30.

1,2 • 1,0 • 4,0 = 4,8 cbm und ein Gewicht von 4,8 • 1600 = 7680 kg. Diese Last verteilt sich gleich-mäfsig über die Grundfläche von 120'100= 12 000 qcm, es kommt also auf i qcm eine Druckspannung 7680

0,64 kg (Abb. 31).

von

12 000

Weht von links ein Wind, der auf 1 qm einen Druck 125 kg ausübt, dann beträgt die getroffene Fläche des

I m breiten Mauerstücks 1.4 = 4 qm und "der ganze Winddruck 4*125 = 500 kg. Diese Kraft (w) sucht die Mauer nach rechts zu schieben oder umzuwerfen. Dafs eine Verschiebung eintritt, ist wegen der grofsen Reibung des Mauerwerks nicht zu befürchten.

Das Drehmoment der Kraft w um einen Punkt der Fuge AB ist 500X200=100000 kgcm. Die gröfste hierdurch hervorgerufene Spannung berechnet sich nach der Formel für Biegungsfestigkeit

= 0,42 kg/qcm

100000•6

100•120 * 120

und zwar

bei В Druck und bei A Zug.

(Abb. 32.)

Die gesamte Beanspruchung beträgt daher

H---

'/,20--

Abb. 31.

bei В 0,64 -f- 0,42 = i,o6 kg/qcm Druck

und

i ^гттттттттгтттгШЛ"Y В

- /,2,0--

bei А 0,64 — 0,42 = o,22 kg/qcm Druck (Abb. 33).

Abb. 32.

à ^ТШПТШШШ !

________!-    _____>J

Abb. 33.

Zu diesem Ergebnis kommt man auch auf folgende Art, welche dazu führt, die Spannung in Gewölben und Pfeilern bei einseitigem Druck zu berechnen.

In Abb. 34 ist der Winddruck mit dem Gewicht der

Diese trifft

Mauer zu einer Mittelkraft zusammengesetzt, die Fuge AB im Punkte Cy der um e von der Mitte ent-

w

fernt ist. Es verhält sich —

Gr

2,0

0,13 m = 13 cm.

e— 2,0- =

2,00*500

7680

Die Kraft R läfst sich am Punkte C wieder in eine zur Fuge senkrechte P und eine damit gleich gerichtete T zerlegen (Abb. 35). Letztere, welche gleich w ist, erzeugt Schubspannungen, die im Vergleich zu den Druck- und Zugspannungen gering sind und nicht weiter berücksichtigt werden sollen.

Die Kraft P ist gleich dem Gewicht G. Wenn sie in der Mitte wirkte, würde sie nur gleichmäfsige Druckspannung

TV = SOO

H*

<S'

k-

2,0-->pc---2,0 -

IS

\А i I СВ

щщ

Ъят^мтт.

? к

<5 Г

Abb. 35. Mafsstab 1:30.

-I

TV

Abb 34. Mafsstab i : ioo, i cm = i m,

Abb. 36. Mafsstab 1:30.

hervorrufen. Durch ihre Verschiebung nach rechts wird der Druck dort vergröfsert und links vermindert.

Um die Spannungen zu bestimmen, kann man sich in der Mitte der Mauer zwei gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte P₁ und P₂ hinzugefügt denken^ welche ebenso grofs sind wie P (Abb. 36). Diese heben sich gegenseitig

moment

, w da e =

M=P-e;

P • 200

Q—Wi

auf; es wird also an dem Gleichgewichtszustände nichts geändert.

Die Kraft Px — P erzeugt die gleichmäfsig über AB verteilte Druckspannung

7680

F b-h

0,64 kg/qcm (Abb. 31).

100•120

Die Kräfte P und P₂ bilden zusammen ein Gegenpaar (vgl. Teil I, Seite 43), welches das Bestreben hat, die Mauer AB CD rechts herum zu drehen.

Das Dreh

G ' ²⁰°’ und da P = G,

M = w • 200 = 500 • 200 = 100000 kgcm.

Es ist dasselbe Biegungsmoment wie früher und ruft natürlich auch dieselben Spannungen hervor (Abb. 32).

Die Gesamtbeanspruchung des Mauerwerks ist wie vorher die Summe der Druck- und Biegungsspannungen (Abb. 33).

Da M=P-e und das Widerstandsmoment W=

so läfst sich die Formel für die Biegungsspannung s₂ = auch schreiben

S2

P-e-6

P-6-e

F-h *

Die gröfste Spannung

.    _ P г P à-e

si-t~s2 F “+■ F * h

(■+£)

und die Spannung auf der anderen Seite P P 6-e P

S0-S1    S2- pi — pi ' д - F

Bei unserer Mauer wird 7680 12 000

wie auch früher gefunden war.

6 • 13

120

(■

)=i,o6 kg/qcm,

Anmerkung. Statt der zur Fuge senkrechten Kraft P ist vielfach die schräge Kraft R gegeben. Ihre Richtung weicht jedoch meist wenig von der Senkrechten zur Fuge ab, und R ist fast gleich P. Wenn ihre gegenseitige Neigung ¹/₇ beträgt (Abb. 37), ist R erst um weichungen ist es deshalb nicht von Belang, welche von beiden Kräften man in die Formel einsetzt.

1/

1100

gröfser. Bei kleineren Ab-

'J

*-----

Abb. 37.

v\

Abb. 38.

Beispiele. In einem Gewölbestreifen von 60 cm Höhe und 100 cm Breite (Abb. 38) beträgt die Mittelkraft 30000 kg; sie ist 4 cm von der Mitte entfernt.

Die gröfste Beanspruchung bei В berechnet sich

ЗОООО

IOO • 60

(1 +    = 7,0 kg/qcm.

Am Fufse eines Pfeilers von 120X150 cm Querschnitt (Abb. 39) ist die Druckkraft von 80000 kg 10 cm von der Mitte entfernt.

Die gröfste Beanspruchung bei C berechnet sich 80000

150• 120

(■+

6 • 10'

120

\

j=rd. 6,7 kg/qcm.

Aufgaben. Es ist die gröfste Spannung der Fuge AB in Abb. 38 zu bestimmen, wenn

P — 20000, 40000 und 50000 kg ,    und e= io,    5    „

desgleichen der Fuge CD in Abb.

cm.

39, wenn

P= 40000, 60000 und 100000 kg

4 cm !

und e =    20,

12

ü-    -

c -10 cm./

Abb. 39.

Man berechne die gröfste Spannung der Fuge Ai? in Abb. 30, wenn die Höhe der Mauer AB CD 5 statt 4 m beträgt!

Ebenso, wenn die Höhe 6 m und das Gewicht von i cbm Mauerwerk statt 1600 2000 kg beträgt!

§ и. Mittelkraft aufserhalb des Kerns.

Wenn die Entfernung der Kraft P von der Mitte der h

Mauer gerade — beträgt, wird die gröfste Spannung nach

der Formel

= Sl+*2 = ^(l+x)’

da dann

6 e — h und — = i,

S0    JP

Zugleich wird die kleinste Spannung auf der anderen Seite

i) = o.

Die Verteilung des Druckes über die Fuge AB in diesem Falle zeigt Abb. 40.

Wird e noch gröfser, so wird

(-¥)

und

h ^ ¹

d. h. es tritt Zug-

kleiner als Null oder negativ Spannung auf.

Beispiel. Wirkt auf die Mauer (Abb. 30) ein Druck von 250 kg für i qm, so beträgt er bei der 4 qm grofsen Fläche 250*4= 1000 kg.

Die Entfernung der Kraft R von der Mitte der Fuge AB berechnet sich :

26 cm

W 200 • 1000

e = 200 •

7680

doppelt so grofs als früher.

•    -f- -—²—^ = i,47 kg/qcm Druck

^ = — o, 19 kg/qcm d. h. Zug.

Die Spannung an der rechten Kante bei В 7680

100• 120 und an der linken Seite bei А

7680

120

IOO•120

Die Verteilung der Spannungen in diesem Falle zeigt

Abb. 41.

Die Widerstandsfähigkeit des Mauerwerks gegen Zug ist sehr gering. Im allgemeinen sucht man das Auftreten von Zugspannungen zu vermeiden und richtet es so ein, dafs die Druckkraft aus dem mittleren Drittel, welches man auch den Kern des Querschnitts nennt (Abb. 41), nicht heraustritt. Bei statischen Berechnungen wird die Mitwirkung der Zugfestigkeit des Mauerwerks gewöhnlich gar nicht in Betracht gezogen. Man nimmt an, dafs der Mörtel an den Stellen, wo Zug auftritt, nachgiebt und ein Rifs entsteht, so dafs gar keine Spannung vorhanden ist.

Zusammengesetzte Festigkeit.

Dann trifft die bisherige Art, die Beanspruchungen zu berechnen, nicht mehr zu. Die Druckspannung ist an der Kante des Mauerwerks , welcher die Mittelkraft näher liegt, am gröfsten und nimmt nach der an-

nrn m

l-e -

deren Seite zu gleich-mäfsig bis auf Null ab. (Abb. 42).

Die Verteilung    _

der Spannungen von    ^TïïÏÏffMilllllm 1fr

В bis C ist gerade    _    -X-

so, als wenn die Kraft    Peru ->•

P an der Grenze des Kerns vom Querschnitt B G läge. Es ist also

BC= 3 BD = 3/.

Die Summe der

Abb. 40.

Abb, 41.

LP

TI

-Ü

I

Druck

VT

Druckspannungen ist

з/™*-

-- sA 102

Grundriss

~x

Diese mufs der Kraft P gleich sein; d. h.

und

ohne ррмтгшгд

Müte

KraftP

2 .P

3/•*'

Wird dies auf unsere Mauer angewandt, so berechnet sich der gröfste Druck bei В, da /=60 — 26 = 34 cm,

2•7680 3.34*100

statt, wie früher gefunden war, 1,47 kg/qcm.

Тъ = 4,20ГГЪ Abb. 42.

1,51 kg/qcm

B\

Von A bis C auf 120 — 3*34= 18 cm herrscht keine

Spannung.

Anmerkung. Dafs bei einseitigem Druck Zugspannungen auftreten können, und die Fuge sich öffnet, davon kann man sich leicht überzeugen, wenn man ein auf einem Tische liegendes Stück Gummi nahe j' der einen Kante stark drückt. Dann ⁴ hebt sich die andere Seite vom Tische ab.

Wird das Vorstehende zu-sammengefafst, so hat man im wesentlichen vier verschiedene Fälle der Lage von P.

i. Die Kraft wirkt in der

Aufrifs.

GriunPriss

'Л

o-

к--

- - 4L--Abb. 43.

Mitte.

(Abb. 43).

«c

♦feh-Abb. 44.

F b-h

2. Sie ist um e von der Mitte entfernt, liegt aber noch innerhalb

des Kerns ; e <^-

^TTTTfflf

(* + 1“) ⁽-Abb‘ ⁴⁴->‘

Kern ^

3. Sie liegt gerade am Rande des Kerns ; e =

Abb. 45.

2P

b-h

2 — (Abb. 45).

«0

-ł-r-ł-TiA:

U Kern*

Abb. 46.

4. Sie liegt aufserhalb des Kerns, um / von der nächsten

Kante entfernt; e^> —.

6

(Abb. 46).

lP

зь. f

Die Kraft P geht jedes Mal durch den Schwerpunkt der Fläche, welche die Spannungen darstellt. Das sieht

man ohne weiteres bei den Abb. 43, 45 und 46; bei Abb. 44 kann man sich aber auch leicht davon überzeugen, wenn man den Schwerpunkt des Trapezes bestimmt. Dies ist sehr erklärlich ; denn die Druckspannungen sollen der Kraft P das Gleichgewicht halten. Ihre Summe mufs deshalb gleich P sein, und ihre Mittelkraft (oder Schwerlinie) mufs in derselben Linie liegen wie P.

§ 12. Beispiel, freistehende Mauer.

Es soll die Standfestigkeit der in Abb. 47 dargestellten Mauer bei einem Winddruck von 125 kg auf 1 qm untersucht und dabei das Gewicht von 1 cbm Mauerwerk zu 2000 kg angenommen werden.

Der über der Fuge А В befindliche Mauerkörper hat (bei i m Tiefe) einen Rauminhalt von 0,8 • 5,0 • 1,0 = 4,0 cbm und ein Gewicht von 4,0 • 2000 = 8000 kg. Der Druck des Windes auf die 5 X 1 = 5,0 qm grofse Seitenfläche beträgt 5,0 X 125 = 625 kg. Die Entfernung der Kraft P von der Mitte der Fuge AB

•250= 19,5 cm.

e=^-8000

; da /=40 — 19,5 = 20,5 cm, 2•8000

P liegt aufserhalb des Kerns. Die gröfste Spannung berechnet sich deshalb nach der Formel 2 • P

3 f-b

2,6 kg/qcm.

3-20,5 • 100

Bis zur Fuge CD ist der Mauerkörper AB CD hinzugekommen von

0,5 • i,o - 1,0 = 0,5 cbm= 1000 kg Gewicht.

Dies mit dem früheren zusammen giebt 8000+ 1000 = 9000 kg.

Der Winddruck auf die Fläche А C von 0,5 • 1,0 = 0,5 qm beträgt 0,5-125=62,5 kg, zusammen mit dem früheren 625 + 62,5 = 687,5 kg-

Seine Mitte liegt 250-1-^ = 275 cm über der Fuge CD.

3*

Die Kraft P beträgt 10200 -j- 1400 = ï ï 6°o kg, und ihre Entfernung von der Mitte

22,2 cm.

Die Entfernung der Kraft P von der Mitte der Enge CD

e==^2A

9OOO

P liegt aufserhalb des Kerns, /= 50 — 21,0 = 29,0 cm.

. 275 = 2 1,0 cm.

2•9000

2,07 kg/qcm.

3 • 29,0 • 100

Bis zur Fuge EF sind weitere 0,5 • 1,2 = 0,6 cbm Mauerwerk = 0,6X2000= 1200 kg Gewicht hinzugekommen. Die ganze Last beträgt daher 9000 -j- 1200 = 10 200 kg.

Der Winddruck ist eben so grofs wie vorher = 687,5 kg; seine Mitte liegt 275 -j- 50 = 325 cm über der Fuge EF.

der Mitte

Die Entfernung der Kraft P von

325-687,5

Or9

21,9 cm.

10200

P liegt aufserhalb des Kerns, /=60—21,9 = 38,1 cm.

Die gröfste Druckspannung

JL

£ o,s>,

2•10200

J3x

4>*

3-38,1. IOO

D79 kg/qcm.

r/'"4f    Bis zur Grundfläche GH ist das

^ Mauerwerk weiter

Abb. 47.

um

oder vermehrt.

1,4 *o,5- 1,0 = 0,7 cbm

0,7 • 2000 = 1400 kg Gewicht

375-687,5

11 600

P liegt innerhalb des Kerns ; die gröfste Druckspannung berechnet sich deshalb nach der Formel

11 600

(■+^)

(■+

6 -22,2

140

I40•IOO

= 0,83 (1-j-0,95)= 1,62 kg/qcm.

Aufgabe. Man untersuche die Standfestigkeit dieser Mauer bei einem Winddruck von 150 kg für 1 qm!

Anmerkung. Viele freistehende Mauern sind nicht so standfest wie die, welche in Abb. 47 dargestellt ist. Die meisten sind aber auch nie einem Winddruck ausgesetzt, wie er hier in Rechnung gezogen wurde.

Kapitel 3.

Gewölbe.

§ 13. Unbelastete Gewölbe.

dafs die Sie üben im

Ein Gewölbe (Abb. 48) trägt sich dadurch beiden Hälften sich gegenseitig stützen.

Scheitel einen wagerechten Druck auf einander aus, den sogenannten Horizontalschub.

Bei einem gröfseren Gewölbe untersucht man gewöhnlich die Standfestigkeit eines Streifens von i,o m Tiefe. Was für diesen gilt, gilt für jeden anderen auch. Man denkt sich nun die eine Hälfte des Gewölbes (hier die linke) weg und dafür den von ihr ausgeübten Horizontalschub H im Scheitel angebracht. (Abb. 48.)

Es wird die Schwerlinie der anderen Gewölbehälfte bestimmt. Hierzu teilt man sie in kleine Abschnitte, bestimmt ihr Gewicht und bringt dieses als senkrechte Kraft in ihrer Mitte an.

In Abb. 48 ist die Länge jedes Teiles 0,80 m und seine Stärke 0,50 m. Bei 1,0 m Tiefe ist der Kubikinhalt also 0,8 • 0,5 • 1,0 = 0,4 cbm. Wiegt 1 cbm 2000 kg, so beträgt das Gewicht 0,4 X 2000 = 800 kg. Die Mittelkraft G sämtlicher Gewichte ergiebt sich mit Hilfe des Seilzuges 1'2'3'4'5'6'.

Wäre die Kraft H zu klein, um das Gewölbe zu halten, so würde es sich um den Kämpfer E drehen und einstürzen.

Das Drehmoment des Horizontalschubes um E mufs dem Drehmoment der Last G das Gleichgewicht halten ;

H-h = G-a,

H= —

=r

♦w

U—

Cb---

= ^717Ь л

'/o rw

- - 6,8-

Gl

I II

<5

2’

3y

oy//.

// 466Оку

2L

[G<n Г'

<7

.X

2'

F 80

j3

Kräfteplan.

=800,

es

= 8l

Abb. 48. Längen: 1 cm = 1 m, Kräfte: icm = 1000 kg.

Es ist G — 5 • 800 — 4000 kg, a = 1,7 m \ und h = 1,46 mj also berechnet sich

Я = 4000 • -

nach der Zeichnung,

rd. 4660 kg.

D7

1,46

Man kann H auch leicht durch Zeichnung finden, indem man den Schnittpunkt von H und G, F mit E verbindet und durch В eine Parallele zu EF BC sowie durch A eine Wagerechte AG zieht. Dann folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und DEF

AG DF

AB DE h ’

da AB = G,

AC =

G • ci

H.

Der Horizontalschub wird mit Gx zu zusammengesetzt , B₁ mit 6r₂ zu B₂, B₂ mit G₃ zu B₃, B₃ mit 6r4 zu R± und R± mit 6r₅ zu Въ , welche mit der Linie FE zusammenfällt, wenn richtig gezeichnet worden ist. Der Linienzug E BxB₂B₃B^Bb heifst die Drucklinie des Gewölbes.

Man hat damit an jeder Stelle die Kraft, welche auf eine Fuge wirkt. Auf LM drückt z. B. die Mittelkraft von Hy Gv G₂ und G₃ = B₃. Man kann ihre Gröfse aus dem Kräfteplane entnehmen =5,23 cm = 5230 kg, ihre Lage ist durch die Drucklinie gegeben ; sie ist 4 cm von der Mitte entfernt, liegt also noch innerhalb des Kerns. Die gröfste Druckspannung bei L berechnet sich nach der Formel

(■ + t)

5230

50 • 100

(■+£)

= L55 kg/qcm.

Aufgaben.

Man wähle die Stärke des Gewölbes (Abb. 48) statt 50 40 und 30 cm, zeichne die Drucklinie in gröfserem Mafsstabe und bestimme die Beanspruchungen an den Fugen I

§ 14. Gewölbe mit Überschüttung.

Ist ein Gewölbe noch mit Erde überschüttet, so kommt deren Gewicht zu seiner eigenen Last hinzu. Man teilt das Gewölbe meist ohne Rücksicht auf die Fugen mit der Überschüttung in schmale, senkrechte Streifen (Abb. 49).

Wenn diese nicht zu breit sind, kann man ihre Mittellinien mit genügender Genauigkeit zugleich als Schwerlinien an-sehen.

Ist die Überschüttungserde ebenso schwer wie Mauerwerk, dann entsprechen die Höhen der Streifen ihrem Gewicht.

vc*

ST*

Ox

-1,2 - >

G< g₂

____¥

1с?гь =S00hg

-\ - - ----6,34 - -

G3 е

4 Gs У

---If= 5', ZS cm/- 6400hg

Gr

°2<

4сз-

G.

Kräfteplan.

gl

G,

ал

'ь

Abb. 49. Längen: icm = im, Kräfte: x cm = 1600 kg.

i m ihrer Höhe bedeutet also

Sie sind hier 0,5 m breit, bei i m Tiefe 0,5 X 1,0 X 1,0 = 0,5 cbm und, wenn i cbm 1600 kg wiegt, 0,5 X 1600 = 800 kg. Die mittleren Höhen können somit unmittelbar als Gewichte aufgefafst

werden.

Im Kräfteplan ist, um die Zeichnung nicht zu grofs werden zu lassen, nur die halbe Höhe der Streifen als Kraft aufgetragen. Es bedeutet hier also i cm 2 m Höhe = 2 ><800 =1600 kg. Zur Halbierung ist Abb. 50 benutzt. Die Strecke AB ist = 4 cm und BC=2 cm gemacht. Nimmt man eine beliebige Strecke z. B. G₆ in den Zirkel und trägt sie von A aus auf der Linie AB ab (.AD), dann ist die Senkrechte von D auf AC (DE), deren Länge man bestimmen kann, ohne sie zu ziehen, indem man

denn

den Zirkel von D aus nur herumschlägt, = — AD\

Ni Ю

DE\DA = BC\BA = 2\ 4=i: .

—>427-

¥omy Abb. 50.

Man nimmt nun wieder einen beliebigen Pol an (.M), zeichnet den Seilzug zu den Kräften Glt G₂, 6r₃ u. s. w. und bestimmt die Mittelkraft G. Dann zieht man die Wagerechte durch den Gewölbescheitel (H), verbindet den Punkt 0, in welchem sie die Verlängerung von G \ trifft, mit der Kämpfermitte P und zieht im Kräfteplan durch N eine Parallele zu OH und durch L eine Parallele zu OP. So ergiebt sich in SN die Gröfse des Horizontalschubes, und man kann die Drucklinie zeichnen.

Aufgabe. Man erhöhe die Überschüttung des Gewölbes um 0,5 m und zeichne die Drucklinie in gröfserem Mafsstabel

§ 15. Überschüttung und Belastung.

Wenn ein Gewölbe aufser der Überschüttung noch Lasten zu „tragen hat, pflegt man diese in Überschüttungsmaterial (Erde oder Kies) umzurechnen. Beträgt z. B. die Belastung in Abb. 51 600 kg auf 1 qm, und wiegt 1 cbm

—¹— cbm und 600 kg 1500

= 0,4 cbm. So viel Erde auf 1 qm entspricht der ge-

Erde 1500 kg, dann ist 1 kg

600

1500

gebenen Belastung. Man braucht also die Überschüttung in der Zeichnung nur um 0,4 m zu erhöhen.

Wenn das Mauerwerk schwerer ist als Erde , kann man die Höhen der einzelnen Streifen so vermindern, dafs das Gewicht des Überschüttungskörpers BEF G (Abb. 51) dem eines Mauerkörpers BJLG gleich ist. Hier wurde i cbm Erde= 1500 kg und 1 cbm Mauerwerk = 2000 kg

1,0    4,0 -*k- 4,0 -4«- 4yo 4,0 ^ 4,0 ^

jr—b

*v.

-V.

4C-\

----2,66

— 6,0---

Abb. 51. Mafsstab i : ioo, i cm = i m.

angenommen und die Höhen der Überschüttung mit Hilfe 1500

von Abb. 52 auf

2000

³/₄ verkleinert.

Die neuen Höhen der Streifen entsprechen ihren Gewichten; ihre Breite beträgt 1,0 m. Es wird wieder ein Abschnitt des Gewölbes von 1,0 m Tiefe in Betracht gezogen. 1,0 m Höhe der Streifen bedeutet dann 1,0 X 1,0 X 1,0 = 1,0 cbm — 2000 kg.

Die Höhen sind ferner mit Benutzung der Abb. 53 auf ²j₅ ihrer Länge verkürzt und so in Abb. 54 als Ge wichte aufgetragen. 2 cm im Kräfteplan stellen demnach 5 cm Höhe = 5 X 2000= 10000 kg dar, und 1 cm = 5000 kg.

Es ist dann wie früher die Schwerlinie der Lasten bestimmt und die Drucklinie gezeichnet.

terris Abb. 52.

Anmerkung. InAbb.51 ist der Teil GUT des Ge-ч. wölbes mit seiner Auflast bei der statischen Untersuchung "J nicht berücksichtigt, um für die Breite der Streifen ein rundes Mafs zu bekommen, was die erforderlichen Rechnungen bedeutend vereinfacht. Der dabei begangene Fehler ist sehr klein, wovon man sich leicht überzeugen kann, wenn man dieses Stück mit in Betracht zieht. In praktischen Fällen ist es nötig, auch die

zyt

Abb. 54.

Kräfteplan zu Abb. 51. i cm = 5000 kg.

h*-

-h

5 C77V Abb. 53.

Standfestigkeit der Widerlager zu prüfen, und dann schlägt man ein solches Überschiefsendes Stück zum Widerlager (vgl. Abb. 64—67).

Eigentlich müfste man ein Gewölbe in unendlich viele, ganz schmale Streifen teilen und so die Drucklinie zeichnen.

Macht man die Teile kleiner, erhält man neue Seiten der Drucklinie, welche die Ecken der ersten abstumpfen, und schliefslich geht die gebrochene Linie in eine stetig gekrümmte über, die von der ersten eingehüllt wird (vgl. Teil II, § 30).

Es ist aber nicht nötig, die Streifen von vornherein sehr schmal zu machen ; man kann sie, wo es erforderlich scheint (ähnlich wie beim Seilzug), noch nachträglich teilen. Die gekrümmte Drucklinie läfst sich auch mit einem Kurvenlineal genügend genau einzeichnen, wenn die Streifen nicht allzubreit sind.

Aufgabe. Man nehme in Abb. 51 statt 600 1200 kg Belastung für 1 qm und zeichne die Drucklinie in gröfserem Mafsstabe 1

§ 16. Maximal- und Minimaldrucklinie.

Bisher wurde die Drucklinie durch die Mitte des Scheitels

Man kann sie aber auch

und des Kämpfers gelegt, durch andere Punkte legen ; denn ein Gewölbe bleibt standfest, wenn die Drucklinie auch nicht ganz in der Mitte liegt. Natürlich darf sie nicht aus dem Gewölbe heraus treten. Der Horizontalschub wird jedes Mal anders und zwar desto gröfser, je kleiner die Höhe der Drucklinie ist (h in Abb. 48).

Unter allen Drucklinien in einem Gewölbe sind zwei besonders bemerkenswert, die mit dem kleinsten Horizontalschub, welche im Scheitel durch die obere und an den Kämpfern durch die untere Kante des Mauerwerks geht, die sogenannte „Minimaldrucklinie“ (Abb. 55), und die mit dem gröfsten Horizontalschub, welche umgekehrt im Scheitel durch die untere und an den Kämpfern durch die obere Kante geht, die „Maximaldruckiinie“ (Abb. 56).

Ist der Schub, welchen die Widerlager aushalten können, nicht so grofs als bei der Minimaldrucklinie, dann weichen sie aus; im Scheitel öffnet sich die Fuge unten, an den Kämpfern oben (Abb. 55), und das Gewölbe stürzt zusammen.

Ist der Schub, welchen die Widerlager selbst gegen das Gewölbe ausüben (vielleicht infolge des Druckes von benachbarten Gewölben), stärker als bei der Maximaldrucklinie, dann öffnet sich die Fuge am Scheitel oben und an den Kämpfern unten, und das Gewölbe giebt nach, indem es nach oben ausweicht (Abb. 56).

Abb. 55. Minimaldrucklinie.

Abb. 56. Maximaldrucklinie.

Soll ein Gewölbe Bestand haben, so mufs also die Mittellinie des Druckes zwischen der Minimal- und Maximal-

Abb, 57. Minimaldrucklinie.

Abb. 58. Maximaldrucklinie.

drucklinie verlaufen. Schon wenn sie aus dem mittleren Drittel des Querschnitts heraustritt, entstehen Zugspannungen, und es bilden sich leicht Risse (vgl. § 11). Bei wichtigen

Gewölben soll die Drucklinie deshalb überall innerhalb des

Kerns liegen.

drucklinie oft auch die, welche den Kernrand im Scheitel

Man versteht demgemäfs unter Minimal-

oben und an den Kämpfern unten berührt, und unter Maximaldrucklinie die, welche ihn im Scheitel unten und an den Kämpfern oben berührt (Abb. 57 und 58).

Innerhalb des Kerns sind meist noch zahlreiche Drucklinien möglich. Welche von diesen dem wirklich vorhandenen Druck am besten entspricht, läfst sich nicht bestimmt angeben. Das hängt von der Ausführung ab, dem Setzen der Lehrgerüste, der Nachgiebigkeit der Widerlager u. s. w. Im allgemeinen hält man die Drucklinie für die wahrscheinlichste, welche die kleinsten Beanspruchungen hervorruft.

Um die Standfestigkeit eines Gewölbes nachzuweisen, zeichnet man deshalb eine Drucklinie ein, die innerhalb des Kerns möglichst günstig verläuft, und berechnet die dabei vorkommenden gröfsten Spannungen.

Aufgaben. Man zeichne die Minimal- und Maximaldrucklinie bei den Gewölben in Abb. 48—51 !

§ 17. Einseitige Belastung.

Bei einseitiger Belastung ist es nötig, die ganze Drucklinie zu zeichnen ; die eine Hälfte wie bei symmetrischer Belastung genügt nicht. Die meisten Gewölbe werden dabei ungünstiger als bei voller Belastung beansprucht. Man zeichnet zu den gegebenen Lasten erst einen Seilzug unter Annahme eines beliebigen Poles 0 (Abb. 59 und 60). Dann zieht man Senkrechte durch die Kämpfermitten A und В bis zum Schnitt mit dem Seilzug A₁ und B₁ und verbindet diese Punkte.

Ruhen die Lasten auf einem Balken mit den Stützen A und В, dann findet man den Auflagerdruck mit Hilfe einer Parallelen zu A₁ Bx durch den Pol 0 (OL⁷in Abb. 60). Man kann nun jede Drucklinie auch als Seilzug ansehen ; nur ist er nach oben gekrümmt, während man ihn sonst gewöhnlich nach unten durcjihängend zeichnet. Der Horizontalschub entspricht dem Polabstande.

Die gesuchte Drucklinie soll durch A und В gehen, ihre Schlufslinie mufs also die Richtung AB haben. Das wird der

Fall sein, wenn der Pol des Kräfteplanes auf einer Linie liegt, die durch F parallel zu A B gezogen ist. (FF in Abb. 60.) Die Drucklinie soll ferner durch die Mitte des Gewölbescheitels C gehen, d. h. ihre Höhe gleich CN=y₁ sein. Das Biegungsmoment an dieser Stelle M= II• KL = H»y. Bezeichnet H₁ den Polabstand der gesuchten Drucklinie, dann M auch =Hl*y₁ ;

Hi -У1 = Н-у,

H.y

ist

demnach

o,sj?,ôO,s^,sj^ J I ! I I i

i <51 16

⁸\ *\ M w

or

WB.

6,0

---->

j:

t?

Abb. 59.

Längen : i cm = i m. Kräfte : i cm = 0,5 cbm = 800 kg.

Нл у

Hiernach läfst sich Нл leicht berechnen. Da    = —,

H Ух

kann man Ht auch durch Zeichnung finden (Abb. 61). Man zieht von einem Punkte V zwei beliebige Strahlen und trägt auf dem einen уг und H und auf dem anderen у ab.

Wird dann durch T eine Parallele zu RS gezogen (TU), so ist vb _ y

VU=H₁; denn

Eine Parallele zu GJ im Abstande H₁ davon (Abb. 60) ergiebt auf der Linie FP den gesuchten Pol P. Er

V³ yrS

•o

л-

«He-

>o

JO

<72

Abb. 6o. Kräfteplan zu Abb. 59.

Die Höhen der Streifen in Abb. 59 sind auf ²/₅ verkleinert; daher 1 cm = ³/₂ • 800 = 2000 kg.

mufs natürlich auf der anderen Seite des Kräfteplanes liegen wie 0, damit sich die Drucklinie nach oben krümmt. Diese kann man nun zeichnen; wenn man am Punkte A beginnt, geht sie auch durch В und G.

Man zeichne die Drucklinien der Gewölbe

Aufgaben.

Abb. 49 und 51 bei einseitiger Belastung !

Glaubt man, dafs sich eine noch günstigere Drucklinie finden läfst, die am Scheitel und an den Kämpfern nicht

'TT

Drucklinie

\t

gerade durch die Mitte geht, so kann man statt А, В und C drei andere Punkte annehmen, in gleicher Weise wie vorher den ihnen entsprechenden Pol bestimmen und die zugehörige zeichnen.

—ж.—

Abb. 61.

Aufgabe. Man prüfe die Standfestigkeit des Gewölbes in Abb. 64, wenn die eine Hälfte mit 400 kg/qm belastet ist, und zeichne in grofsem Mafsstabe !

Ebenso, wenn die Belastung 600 kg/qm beträgt!

§ 18. Unsymmetrische Gewölbe.

Unsymmetrische Gewölbe werden ebenso wie einseitig belastete behandelt.

In Abb. 62 ist die rechte Hälfte der auf einem steigenden Gewölbe ruhenden Treppe mit 400 kg/qm belastet. Das Gewicht von 1 cbm Mauerwerk ist zu 1600 kg

angenommen ; die Belastungshöhe beträgt also

0,25 m.

400 1600

Aus der Zeichnung des Kräfteplanes (Abb. 63) und des ersten Seilzuges A₁B₁ ergiebt sich

H= 2,18 cm

und

Da

so berechnet sich

y= 1,47 cm. Vt = Q,62 cm,

5А 7 cm-

H-y _ 2,18-1,47

0,62

Man zieht nun OF || B₁A₁ und FP || B A und findet den Pol P dort, wo die Senkrechte, die von der Linie GJ um 5,17 cm entfernt ist, und FP sich schneiden. Dann kann man die Drucklinie zeichnen.

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y 7,^7 cm

Abb. 62. Mafsstab 1 : 50. Längen : 1 cm = 0,5 m. Kräfte : x cm = 0,5 • 0,5 • i,o = 0,25 cbm = 400 kg.

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,'jbooji.d-

515^2-~ /4 s,i7cm

Abb. 63, Kräfteplan zu Abb. 62.

In

Abb. 63 ist die halbe Höhe der Streifen von Abb. 62 als Kraft aufgetragen; daher 1 cm = 2 • 400 = 800 kg.

Die gefährlichen Stellen des Gewölbes sind bei D und E. Bei D berührt die Drucklinie gerade den Kernrand ; die Beanspruchung

3>36 kg/qcm.

2 *4200

25 • IOO

Bei E beträgt die Entfernung der Drucklinie von der Aufsenkante des Gewölbes 10 cm, von der Mitte also 2,5 cm, und es berechnet sich die Druckspannung

5О4О

6-2,5

('⁴    >5

)= З.23 kg/qcm.

25 • IOO

Aufgabe. Man prüfe die Standfestigkeit des Gewölbes, wenn die Belastung der rechten Hälfte 600 kg/qm beträgt!

§ 19. Widerlager.

Bei Widerlagern von Gewölben sind sämmtliche einwirkenden Kräfte zu einer Mittelkraft zu vereinigen; alsdann ist die Beanspruchung desMauerwerks an den gefährlichen Stellen zu berechnen. Ein Nachgeben des Widerlagers ist am meisten zu befürchten, wenn das Gewölbe voll belastet ist, weil es dann den gröfsten Schub ausübt. Dabei mufs sich die Fuge im Scheitel des Gewölbes unten und an den Kämpfern oben öffnen, entsprechend der Minimaldrucklinie.

In Abb. 64 ist das Widerlager eines Kappengewölbes untersucht und dabei wie gewöhnlich ein Streifen von 1 m Tiefe in Betracht gezogen.

Bei der Minimaldrucklinie des Gewölbes ergiebt sich der Kämpferdruck zu rd. 3980 kg. Das aufgehende Mauerwerk des Widerlagers ist 4 Stein stark, und sein Gewicht beträgt bei 3 m Höhe rd. 3,0*1700 = 5100 kg; dazu die darauf ruhende Last von 15 000 kg, giebt zusammen 20 100 kg. Diese sind mit dem Kämpferdruck von 3980 kg zu einer Kraft von 23 100 kg zusammengesetzt, welche an der Fuge AB 30 cm von der. linken Kante entfernt ist.

_ 2 • 23 100 ~~    3- 100-30

rd- kg/qem.

Die gröfste Pressung des Mauerwerks berechnet sich nach der Formel 2 P

Abb. 65. Mafsstab 1:100.

i cm = 5000 kg.

Abb. 64. Mafsstab

: 100.

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Statt 3080 sollte stehen 3980.

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0,2 cm - ЮОоТар

Kräfteplan zu Abb. 64.

Kräfteplan zu Abb. 65.

Das Gewicht des Grundmauerwerks von 0,9 • 1,55 • 1,0 = 1,395 cbm beträgt 1,395 • 1600 = rd. 2230 kg. Diese ergeben mit den 23 100 kg zusammen eine Mittelkraft von 25300 kg, welche an der Sohle 17 cm von der Mitte entfernt ist.

Im Falle, dafs dies für den Baugrund zu viel ist, läfst sich die Beanspruchung durch Einlegen eines Ankers vermindern. Verlängert man die Linie der Kraft von 25 300 kg nach oben bis zum Schnitt mit dem Anker im Punkte E und verbindet E mit der Mitte der Fundamentsohle G, dann giebt die Linie EG die Richtung an, welche die Mittelkraft aus den 25300 kg und dem Zuge des Ankers haben soll.

Zieht man im Kräfteplan durch 0 eine Parallele zu EG OJ und durch F eine Wagerechte, so findet man die erforderliche Zugkraft des Ankers FJ=o,2 cm = 1000 kg.

In Abb. 65 sind die Kräfte, wie sie aufeinander folgen, zusammengesetzt; die Zugkraft des Ankers von 1000 kg mit der Last von 15 000 kg ; ihre Mittelkraft giebt mit dem Kämpferdruck von 3980 kg (im Kräfteplan steht fälschlich 3080 statt 3980) eine Kraft von 17 900 kg und diese mit dem Mauergewicht von 5100 kg eine Kraft von 23000 kg, welche die Fuge AB 8 cm von der Mitte entfernt trifft.

Die gröfste Beanspruchung bei A berechnet sich :

(■

) = rd. 3,3 kg/qcm.

23 OOO

6 • 8

103

Die Beanspruchung 25 З⁰⁰

ioo- 155

(1 + ^jpj = rd. 2,7 kg/qcm.

100*103

Die Kraft von 23 000 kg trifft, verlängert, die Fuge CD in der Mitte. Dort wirkt auch das Gewicht des Grundmauerwerks von 2230 kg, und beide zusammen ergeben eine Mittelkraft von 25200 kg. Die Beanspruchung berechnet sich :

25 200

ioo* 155

rd. 1,6 kg/qcm.

§ 20. Mittelpfeiler.

Ein Mittelpfeiler wird am ungünstigsten beansprucht, wenn das eine anstofsende Gewölbe belastet und das andere unbelastet ist, weil sie dann verschiedenen Schub ausüben, und der Pfeiler einseitigen Druck auszuhalten hat.

In Abb. 66 ist das rechte Gewölbe belastet und daher ein Ausweichen des Pfeilers nach links zu befürchten. Wenn dies eintritt, mufs sich im rechten Gewölbe die Scheitelfuge unten und die Kämpferfuge oben öffnen, entsprechend der Minimaldrucklinie.

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800

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WOO /ООО о

woo

Kräfte

woo

6000

8000kg

Abb. 66.

Das linke Gewölbe mufs gleichzeitig nach oben aus-weichen, wobei sich die Scheitelfuge oben und die Kämpferfuge unten öffnet, entsprechend der Maximaldrucklinie.

Es ist demnach im belasteten Gewölbe die Minimal-und im unbelasteten die Maximaldrucklinie zu zeichnen ; beide Kämpferdrücke sinej zu vereinigen und mit dem Gewicht des Pfeilers zusammenzusetzen.

In Abb. 66 sind Mauerwerk und Überschüttung gleich schwer (1600 kg für 1 cbm) angenommen und die Gewölbe in Streifen von 0,5 m Breite geteilt; 1 m ihrer Höhe entspricht also bei 1 m Tiefe 0,5 cbm = 800 kg. Im Kräfteplan ist ⁴/₁₀ davon aufgetragen ;    1 m bedeutet demnach

л io

800--- 2000 kg.

Die beiden Kämpferdrücke von 575о und 3270 kg ergeben zusammen eine Mittelkraft von 5760 kg. Diese ist mit der auf dem Pfeiler ruhenden Last von 12 000 kg und seinem Gewicht, welches bei 2,4 m Höhe und i. M. 2 Stein Stärke 2,4*850 = rd. 2000 kg beträgt, zu einer Kraft von 19 600 kg zusammengesetzt. In dem neuen Kräfteplan ist i m = 10000 kg genommen.

Das Gewicht des folgenden Absatzes ist bei 3 Stein Stärke o,6* 1270 = rd. 800 kg und das Gewicht des Fundaments bei 4x/₂ Stein Stärke o,6*i920 = rd. 1150 kg.

Diese werden der Reihe nach hinzugefügt.

An der Fuge CD ist die Kraft 19600 kg 5 cm von der Mitte entfernt, und die gröfste Spannung bei C berechnet sich :

19 600

IOO-64

(1 + Tr/) = rd' 4,5 kg4cm-

An der Fuge AB ist die Mittelkraft ein wenig kleiner, weil das Stück AB CD abgeht; doch ist die Abweichung von der Kraft 19600 kg in Gröfse und Lage so gering, dafs man diese zur Berechnung der gröfsten Spannung benutzen kann ; sie ist 5 cm von der Mitte entfernt.

^1    ^ = rd. 6,1 kg/qcm.

19 600 100*51

An der Sohle bei EF ist die Kraft 21600 kg 3 cm von der Mitte entfernt, und die Druckspannung bei E berechnet sich:

0 +77f)=rd-2,15 ks/qcm-

2 i 600

IOO • 116

Abb. 67 entspricht der Abb. 66 ; es ist jedoch das linke Gewölbe als belastet und das rechte als unbelastet

angenommen und daher links die Minimal- und rechts die Maximaldrucklinie gezeichnet. Der Kämpferdruck ergiebt sich links zu 3970 und rechts zu 4730 kg; die Mittelkraft beider ist 5300 kg. Diese wird wie vorher mit den Kräften von 12000, 2000, 800 und 1150 kg zusammengesetzt.

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12000

21300

/7n = lOOOOjcg

_3^

2 cm

2000

800

1150

21300

Abb. 67.

An der Fuge CD ist die Kraft 19300 kg 4 cm von der Mitte entfernt ; die Beanspruchung bei C berechnet sich :

6.4

19 300

IOO * 64

(,+₅.

) = rd. 4,4 kg/qcm.

An der Fuge AB ist die Mittelkraft um das Gewicht des Stückes AB CD kleiner und etwa 7 cm von der Mitte entfernt.

nügend genau :

Die Beanspruchung bei A berechnet sich ge

19300

100-51

(1 + ⁶-£) = 6,9 kg/q

cm.

An der Sohle EF ist die Kraft 21 300 kg 2 cm von der Mitte entfernt, die Druckspannung bei F berechnet sich : 21 300 100 • 116

0    77б) == rd‘ 2,0 kg/qcm‘

Anmerkung. Bei starken Gewölben kann es Vorkommen, dafs die Mittelkraft im Pfeiler rechts von der Mitte fällt, wenn man die Untersuchung, wie in Abb. 66, für den Fall des Ausweichens nach links durchführt, oder umgekehrt links von der Mitte für den Fall des Ausweichens nach rechts, wie in Abb. 67. Ein Ausweichen nach der fraglichen Seite ist dann nicht zu befürchten, und man kann den Horizontalschub im belasteten Gewölbe gröfser und im unbelasteten Gewölbe kleiner nehmen, das heifst die Drucklinien von den Grenzen des Kerns nach der Mitte zu verschieben. Die Mittelkraft des Druckes erhält dann eine günstigere Lage, und die rechnungsmäfsigen Beanspruchungen werden kleiner.

Aufgabe. Man verstärke Gewölbe und Pfeiler der Abb. 66 und führe die Untersuchung durch 1

Kapitel 4.

Reibung, Wasserdruck, Erddruck.

§ 21. Reibung.

In Abb. 68 sucht eine Kraft P die Last Q auf einer wagerechten Unterlage zu verschieben. Durch Auflegen verschiedener Gewichte bei E kann man bestimmen, wie grofs die Kraft sein mufs, um die Reibung der sich berührenden Flächen AB zu überwinden.

Fügt man zur Last Q noch ein Gewicht hinzu, so wird eine andere Kraft Рг nötig sein, um die Bewegung herbeizuführen. Durch Versuche hat man gefunden, dafs die be- '' wegende Kraft zu der ;

Last immer in einem ' ganz bestimmten Verhältnis steht, welches sich durch einen echten Bruch ausdrücken läfst, den sogenannten Reibungskoeffizienten. Dieser ist nur von der Beschaffenheit der sich berührenden Flächen abhängig ; auf ihre Gröfse kommt es dagegen nicht an.

In der folgenden Tabelle ist der Reibungskoeffizient verschiedener Stoffe angegeben :

%

ftv*

V/,

/o\*

mm

Abb. 68.

Reibende Stoffe

Zustand

der Oberflächen

Reibungs

koeffizient

Gufseisen aufGufseisen oder Bronze desgl.

Schmiedeeisen auf Schmiedeeisen desgl.

Eichenholz auf Eichenholz, parallel zu den Fasern......

wenig fettig trocken wenig fettig trocken

0,15

0,20

0,14

0,44

desgl.

Sandstein auf Sandstein .

mit Seife geschmiert trocken

0,15

0,50

Ziegel auf Ziegel .    .    .

Steine und Kies auf Holz Mauerwerk auf Erde .    .

desgl.

trocken

nafs

o,7

0,5—0,7

0,45—0,6

0,65

Eisen auf Eis

o,3

0,01

Hiernach läfst sich die Kraft berechnen, welche nötig ist, um einen Körper zu verschieben. Liegt z. B. ein Sandstein von 1000 kg Gewicht auf einem anderen Sandstein, so ist eine Kraft von 1000 • 0,7 = 700 kg nötig, um die Reibung zu überwinden.

Dafs überhaupt eine Kraft dazu gehört, eine Last auf wagerechter Unterlage fortzuschieben, erklärt sich dadurch, dafs auch auf anscheinend glatten Flächen Unebenheiten vorhanden sind, über welche die Last bei der Bewegung hinweggehoben werden mufs, und von denen ein Teil fortgerissen oder abgeschliffen wird.

Sind die Flächen sehr glatt, d. h. sind nur geringe Unebenheiten vorhanden, so wird die Reibung kleiner. Die Reibung läfst sich auch durch das Einbringen gewisser Stoffe, wie Fett oder Seife, zwischen die betreffenden Flächen vermindern. Es findet dann keine so innige Berührung statt, und das Überwinden der Unebenheiten macht weniger Schwierigkeiten.

Da der Zustand der auf einander reibenden Flächen, ihr Feuchtigkeitsgrad u. s. w. von Einflufs sind, so läfst sich die Gröfse der Reibung meist nicht sehr genau angeben.

Bei manchen Stoffen passen sich die Erhöhungen des einen den Vertiefungen des anderen allmählig an, wenn sie längere Zeit mit einander in Berührung sind, und der Beginn einer Verschiebung macht mehr Schwierigkeiten als die Fortsetzung der begonnenen Bewegung. Man spricht dann von „Reibung der Ruhe“, im Gegensatz zur ,,Reibung der Bewegung“.

Werden die bewegende Kraft P und das Gewicht Q zu einer Mittelkraft zusammengesetzt (Abb. 68), so bildet diese mit der Senkrechten einen Winkel (w). Ist die Last eine andere (QJ, so ist auch die bewegende Kraft eine andere (Рг) ; sie stehen aber in demselben Verhältnis zu einander ; deshalb ist auch die Richtung der Mittelkraft (i?x) dieselbe. Den Winkel w nennt man „Reibungswinkel“.

anzu-

Vy

In Abb. 6g ruht eine Last auf einer schiefen Ebene CD. Man kann ihr Gewicht G in zwei Kräfte zerlegen, eine in Richtung der Neigung (P), die andere senkrecht dazu (Q). Die Kraft P sucht die Last zu verschieben und Q, sie an die Unterlage

Ш,

Abb. 69.

drücken. Eine Bewegung wird eintreten, wenn der Winkel zwischen G und Q wenigstens so grofs ist wie der Reibungswinkel der Flächen AB. Da der Neigungswinkel der schiefen Ebene a ebenso grofs ist wie der Winkel zwischen G und Q, so folgt, dafs die Last gleitet, wenn die Neigung gröfser ist als der Reibungswinkel.

Wenn Erde aufgeschüttet wird , bildet sich von selbst eine natürliche Böschung von einer Neigung gegen die Wagerechte gleich dem Reibungswinkel ; nachdem dieser erreicht ist, wird weiter aufgeschütteter Boden abrutschen. Das bietet ein einfaches Mittel, bei Erde den Reibungswinkel zu finden.

§ 22. Wasserdruck.

Wie die Naturwissenschaft lehrt, ist der Druck des Wassers immer senkrecht auf die Flächen gerichtet, welche es begrenzen. Seine Gröfse ist gleich dem Gewicht einer Wassersäule, deren Querschnitt die gedrückte Fläche, und und deren Höhe ihre senkrechte Entfernung von der Oberfläche bildet. Auf die Form des Gefäfses, in dem sich das Wasser befindet, kommt es dabei gar nicht an.

Der Druck des Wassers auf 1 qcm beträgt daher in in der Tiefe von 1    2    3    4    5    u. s. w. m

0,1    0,2    0,3    0,4    0,5    u. s. w. kg.

• ib

Der Wasserdruck auf eine senkrechte, ebene Wand läfst sich in Form eines Dreiecks darstellen, dessen Grundlinie gleich der Höhe ist (Abb. 70). Da die Fläche h²

\B-

■*!

-AB=7v-

Abb. 70.

des Dreiecks F = —, so beträgt der Druck, wenn man i cm Länge der Mauer in Betracht zieht und demnach auch die Höhe h in h²

cm angiebt, — Gramm, und 2

wenn man 1 m Länge in Betracht zieht und h in

h²

va

m angiebt, — Tonnen. 2

Ist z. B. h — 2 m = 200 cm, so ist der Wasserdruck 200•200

\B

20 000 g

Wt"

Abb. 71.

= 20 kg auf i cm Länge oder 2 • 2

2 t — 2000kg

auf i m Länge, das ist auf 1 cm Länge 20 kg, wie vorher.

Die Mittelkraft des Wasserdrucks geht durch den Schwerpunkt des Dreiecks, sie liegt also in х/₃ der Höhe (Abb. 70).

Bei schräger Wandfläche (Abb. 71) ist das Druckdreieck nicht mehr gleichschenklig; seine Grundlinie AB ist gleich dem

'abrade

w-

Abb. 72.

Abstande des tiefsten Punktes (A) von der Oberfläche, und seine

Fläche F =

AC Die Mittelkraft des Wasserdrucks geht 2

wie vorher durch den Schwerpunkt.

Gebrochene Wand- _

flächen zerlegt man in |§р ihre Teile. Es ist dann x leicht, den Druck auf diese sowie die Lage der Mittelkraft zu bestimmen (Abb. 72).

Gekrümmte Wandflächen ersetzt man durch ungefähr gleichwertige gebrochene und verfährt wie vorher (Abb. 73).

§23. Erddruck im allgemeinen.

Der Erddruck nimmt wie der Wasserdruck nach der Tiefe zu ; wenn die Oberfläche eben ist, läfst sich der Druck auf eine gerade Wand durch ein Dreieck darstellen (Abb. 80 auf Seite 71).

Da Erde schwerer ist als Wasser, so würde sie gröfseren Druck auf die Begrenzungsflächen ausüben, wenn der Zusammenhalt ihrer Teilchen und ihre Reibung an einander nicht den Druck nach der Seite verringerten. Sie bewirken, dafs Erddruck bei Stützmauern meist kleiner ist als Wasserdruck.

Die Reibung und der Zusammenhalt der Teilchen sind nicht blofs bei verschiedenen Bodenarten, sondern auch je

nach dem Zustande, in dem sich diese befinden, sehr verschieden. Erisch aufgeschütteter Boden drückt stärker nach der Seite als abgelagerter sogenannter „gewachsener“.

S-.

Abb. 74.'

Lehm und Thon üben, wenn sie in trockenem Zustande und fest gelagert sind, fast gar keinen Druck aus. Sind sie aber von Wasser durchzogen, werden sie breiartig flüssig und schieben sehr stark. Hieraus ergiebt sich die grofse Wichtigkeit einer guten Entwässerung bei Futtermauern.

Bei grobem Sand und Kies ist der Druck weniger vom Feuchtigkeitszustande abhängig. Es ist jedoch auch hier nötig, für gute Trockenlegung zu sorgen, um zu verhindern, dafs der Druck von etwa sich hinter der Mauer ansammelndem    Wasser    zum Erddruck hinzutritt. Meist werden

Schlitze angebracht und ihre Mündung mit Steinen umpackt,    damit    sie sich    nicht verstopfen (Abb. 74). Im

allgemeinen ist der Druck bei grobkörnigen Bodenarten kleiner als bei feinkörnigen. Da sie auch das Wasser besser durchlassen, hinterfüllt man Futtermauern gern mit Kies oder Gerolle.

Es ist immer ungewifs, ob die Beschaffenheit des zur Hinterfüllung verwandten Bodens den Voraussetzungen ganz entspricht. Deshalb läfst sich die Gröfse des Erddrucks niemals genau bestimmen, und es ist gut, die Stärke von Futtermauern reichlich zu bemessen, so dafs sie auch einen etwas gröfseren Druck als den rechnungsmäfsigen aushalten können.

§ 24. Gleitfläche.

Wenn eine Stützmauer dem Erddruck nicht widerstehen kann und nachgiebt (Abb. 75), rutscht im ersten Augenblick der Bewegung ein Erdkörper AB F in den Raum AB₂F%, indem er an den Flächen AB und A F gleitet. Hierbei

ЧНШ

i Ч

vu w

/ж\

rv

J) I

Abb. 75.

mufs die Reibung überwunden werden, der auf die Mauer und die Fläche A F ausgeübte Druck also von den Senkrechten darauf um den Reibungswinkel ab weichen (w und wt in Abb. 75). Aufserdem wirkt noch der Zusammenhalt des Erdreichs der Bewegung entgegen ; dieser bleibt aber meist unberücksichtigt, weil man sich nicht auf ihn verlassen kann.

Wenn die Gleitfläche AF bekannt wäre, könnte man das Gewicht des abrutschenden Erdprismas B AF bestimmen, es nach den Richtungen von E und J zerlegen und so die Gröfse dieser Kräfte finden. Nimmt man verschiedene Lagen der Gleitfläche an, so wird jedesmal das Gewicht des von ihr und der Mauer eingeschlossenen Erdkörpers und sein Druck auf die Mauer anders werden und bei einer bestimmten Lage seinen gröfsten Wert erreichen.

Es ist nicht schwer, die Gröfse des Druckes bei verschiedenen Gleitflächen zu bestimmen.

In Abb. 76

wurde eine natürliche Böschung des Erdreichs von 3:2, in welcher sich die meisten Bodenarten aufschütten lassen, und ein Reibungswinkel zwischen Erde und Mauerwerk w₁ — 30⁰ angenommen.

4,56 • 1,15

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC beträgt

— 2,62 qm, bei 1 m Tiefe dem Gewicht von 2,62 cbm entsprechend. Diese sind im Kräfteplan nach den Richtungen von E und /₁ zerlegt ; es ergiebt sich -®i = i,73 cbm-4.5⁶ • 1*27

Das Dreieck ACD hat

2,90 qm Flächeninhalt, entsprechend 2,90 cbm. Diese sind im Kräfteplan zu den 2,62 cbm hinzugefügt und das ganze Gewicht nach den Richtungen von E und J₂ zerlegt. Es ergiebt sich E₂ = 2,56 cbm.

6,55 • 1,01

Der Inhalt des Dreiecks ADE beträgt

3,31 qm. Еъ ergiebt sich in der Art wie vorher = 2,69 cbm.

Der Inhalt des Dreiecks AFG beträgt

6,55.1,06

3,47 qm; ü?₄ ergiebt sich = 2,04 cbm, bedeutend kleiner als E₃.

Der gröfste Wert von E liegt augenscheinlich zwischen E₂ und E₃] deshalb ist das Dreieck ADE noch halbiert und der Erddruck für die Gleitfläche AB bestimmt worden.

Eb beträgt 2,74 cbm.

Wenn man die Endpunkte der verschiedenen Kräfte E durch eine gekrümmte Linie verbindet, werden ihre Veränderungen noch deutlicher. Zieht man eine senkrechte Be-

rührende an die Kurve, so findet man, dafs der gröfste Wert von E 2,75 cbm beträgt. Beim Ausweichen der Mauer wird sich die diesem entsprechende Gleitfläche bilden ; eine Kraft gleich dem Gewicht von 2,75 cbm ist also der Erddruck.

StyfUv-

\F₂=2,90qrrlĘ=3rii(]m/Fv =J, V7

Vv /

v'

Щ£/

I /о

////s

V/Æ

-2

Лц_.

-в

Abb. 76.

Mafsstab. Längen : 1 cm = 1 m, Kräfte : x cm = 2 cbm.

r*-----3,VT-------3,31---»t*----2,90--*+*■--2,62---»4

er:

V.

Kräfteplan.

Sein Angriffspunkt liegt da, wo eine durch den Schwerpunkt des abrutschenden Erdkörpers (ABH) zur Gleitfläche (AH) parallele Linie die Hinterfläche der Mauer trifft. In Abb. 76 ist sie nicht gezeichnet, um die Übersichtlichkeit nicht zu stören.

§ 25. Ebene Erdoberfläche.

Wenn die Oberfläche des Erdbodens eben ist (Abb. 77), vereinfacht sich das Auffinden des gröfsten Druckes ; denn die Flächeninhalte der Dreiecke I, II, III und IV verhalten sich zu einander wie ihre Grundlinien BC} CD, DF und

Diese können daher ohne weiteres im Kräfteplan als Gewichte aufgetragen werden. In Abb. 77 ist dies geschehen , und die Werte von E sind für die Gleitflächen AC, AD y A F und AG bestimmt worden. Schliefslich ist das Dreieck D A F noch halbiert, weil der Erddruck dort seinen gröfsten Wert erreicht; dieser ergiebt sich = 0,92 cm.

FG.

Demnach 0,92 cm = 1,4-0,92 = rd. ¹ >3 7    °der bei i m Tiefe 1,37 cbm.

1,49 qm.

Die gemeinsame Höhe der Dreiecke I, II, III und IV beträgt 2,98 m. 1 m ihrer Grundlinie (= 1 cm) bedeutet also im Kräfteplan den Inhalt eines Dreiecks von 2,98 m Höhe = i X 2,98

T,

ш/ш

ps

■jp

CA

/Ы

î'

■y

4П\

///

Kräfteplan.

•Çf

Abb. 77. Mafsstab. Längen: i cm == i m, Kräfte : 1 cm = 1,49 cbm.

An den Abb. 7 6 und 77 sieht man, dafs es nicht nötig ist, die Gleitflächen sehr nahe an einander zu legen, um den Erddruck zu finden. In der Regel werden 3 Lagen etwa in der Mitte zwischen Wand und natürlicher Böschungsneigung genügen. Geht die Gröfse des Erd drucks aus den gefundenen Werten nicht klar hervor, so kann man noch eine andere Gleitfläche annehmen.

Da der abrutschende Erdkörper bei ebener Erdoberfläche ein Dreieck bildet (.ABH in Abb. 77), so trifft die Parallele durch seinen Schwerpunkt die Wand in ¹/₃ der

Höhe. Dort liegt also der Angriffspunkt des Erddrucks, und dieser läfst sich durch ein Dreieck darstellen, dessen Flächeninhalt seiner Gröfse entspricht (Abb. 80 auf Seite 71).

Aufgaben. Man bestimme die Gröfse des Erddrucks unter Annahme ähnlicher Verhältnisse wie in Abb. 76 und 77 !

Anmerkung. Es ist zweckmäfsig, sich die vorkommenden Reibungswinkel in starkem Papier auszuschneiden, wenn kein entsprechendes Dreieck zur Verfügung steht.

Die Gleitfläche und die Gröfse des Erddrucks lassen sich auch auf folgende Art finden (Abb. 78):

kr

•a

К /я

Ъ- \s>    -

S3

Abb. 78. Mafsstab i : ioo. i cm = i m.

Man schlägt einen Halbkreis über AC, zieht die Linie BD unter dem Winkel w-\-w₁ gegen die Wandfläche und errichtet in D die Senkrechte zu AC DL. Wird dann AG = AL

gemacht und GH || DB gezogen, so ist AH die Gleitfläche.

In Abb. 78 ist ferner GK=GB gemacht und die Linie HK gezogen. Die Gröfse des Erddrucks wird durch

das Dreieck G HK dargestellt, dessen Fläche = ——

= ¹,3 7 qm, bei 1 m Tiefe 1,37 cbm entsprechend.

Diese Konstruktion ist bei ebener Erdoberfläche anwendbar. Der Beweis für ihre Richtigkeit ist etwas ständlich und soll deshalb hier nicht gegeben werden ; man kann sich davon überzeugen, wenn man dus Ergebnis mit dem auf die frühere Art gefundenen vergleicht. Auch in Abb. 77 und 78 ergab sich der Erddruck gleich grofs.

um-

§26. Erdoberfläche wagerecht, Beispiel.

Gewöhnlich ist die Erdoberfläche wagerecht. Wenn die natürliche Böschung gleich 3:2 ist und der Reibungswinkel zwischen Erde und Mauerwerk 30⁰ beträgt, findet man die Gröfse des Erddrucks bei einer Neigung der Wandfläche (Abb. 79)

nach vorn 0,3    0,2    0,1

nach hinten

o;3 h

E = 0,416 0,357 ⁰-305 0,258 0,218 0,183 0,153 ä2 und die Grundlinie des Druckdreiecks (Abb. 80) b — 0,832 0,714 0,610 0,5x6 0,436 0,366 0,306 h.

von

0,1

0,2

7ÎXLCÏV

rULch/ Tiintetv

vorn/

HoJl£ Jo--

Aufgaben. Man prüfe die Richtigkeit 5- vorstehender Zusammenstellung durch Bestimmen des Erddrucks auf eine Wand von 10 m Höhe bei verschiedenen Neigungen der Hinterfläche !

wenn

Abb. 79.

Man bestimme den Erddruck in vorstehenden Fällen, w —    = 37⁰ ist !

Beispiel. In Abb. 81 ist eine Futtermauer von 4 m Höhe gezeichnet. Der obere Teil ist (wenn die auf den Absätzen ruhende Erde zum Mauerwerk geschlagen wird) 3,o m hoch und 1,42 m stark, die Querschnittsfläche beträgt also 3 • 1,42 =4,26 qm; bei 1 m Tiefe sind qm und cbm gleichbedeutend. Der Erddruck wird durch das Dreieck KLM dargestellt, dessen Grundlinie LM= 0,516*3,0 =

rd. 1,55 m, und dessen Inhalt

2,32 qm beträgt.

3 • D55

Wenn die Hinterfüllungserde eben so schwer ist wie Mauerwerk, kann man die qm oder cbm ohne weiteres als Kräfte einführen ; sonst mufs die Zahl der cbm Erde entsprechend verkleinert werden wie im § 15. Hier wurde das Gewicht von 1 cbm Erde = 1 cbm Mauerwerk = 1600 kg angenommen. Die 4,26 und 2,32 qm ergeben zusammen eine Mittelkraft von

5,8 qm, welche die Fuge AB im Punkte J an der Grenze des mittleren Drittels trifft. Die Be-

4 »4911 - -

ESz

demnach

anspruchung bei A ist

5,8 • 1600• 2

100•142

= rd. 1,3 kg/qcm.

Uf---£---->4

Abb 80.

Der zweite Abschnitt der Mauer AB CD enthält 1,42 • 1,0= 1,42 qm.

Diese ergeben mit den

5,8 qm eine Mittelkraft von 7,14 qm. Die Neigung der Hinterfläche beträgt 0,3 m auf i m. Den Erddruck darauf findet man durch das

Dreieck NOP, dessen Grundlinie OP = 0,306 • 4,0 = rd. 1,22 m ist. Davon kommt das Trapez MO PT in Be-

tracht, dessen Inhalt 1,0 •

= 1,07 qm beträgt.

0,92 -f- 1,22

berechnet sich zu

= rd. 1,74 kg/qcm.

Diese werden mit den 7,14 qm zu einer Kraft von 7,71 qm zusammengesetzt, welche die Fuge CD im Punkte R an der Grenze des Kernes trifft. Der gröfste Druck bei C 7,71 • 1600 • 2 100•142

Das Fundament enthält, wenn wieder der auf den Absätzen ruhende Erdboden zum Mauerwerk geschlagen wird,

2,0 • 1,0 == 2,0 qm. sammen eine Mittelkraft von 9,60 qm.

Diese ergeben mit den 7,71 qm zu-

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Kräfte

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Abb. 81.

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QT

„i

0,52 • 1,0

Der Erddruck auf die Vorderfläche beträgt

0,26 qm, die zu den 9,60 qm hinzutreten. Die Mittelkraft ist 9,67 qm. Der Erddruck auf die Hinterfläche ergiebt

• 1,0 = 2,32 qm beträgt.

sich aus dem Dreieck KUV, dessen Grundlinie UV=o,$ 16*5,0 — 2,58 m ist. Davon kommt das Trapez UVWH in Be-2,06 + 2,58

tracht, dessen Inhalt

Diese werden mit den 9,67 qm zu einer Mittelkraft von 11,48 qm zusammengesetzt, welche (rückwärts verlängert) die Fuge EF im Punkte Z noch innerhalb des Kerns, 29 cm von der Mitte entfernt trifft. Die gröfste Beanspruchung berechnet sich nach der Formel

•(■+¥)

(1 + —) \ ‘ 200 /

11,48 • 1600

100•200

= rd. 1,72 kg/qcm.

Die Beanspruchung des Mauerwerks an den Fugen AB und CD ist verhältnismäfsig klein, trotzdem die Mittelkraft schon am Rande des Kerns liegt. Es ist aber nicht empfehlenswert, Stützmauern zu bauen, bei denen die Mittelkraft des Dtuckes erheblich aus dem Kern heraustritt ; denn eine kleine weitere Verschiebung nach aufsen infolge von Nachgeben des Baugrundes und dadurch verursachtem Überneigen der Mauer nach vorn kann sonst leicht verhängnisvoll werden.

Aufgabe. Man vermindere die Stärke der Mauer um einen halben Stein und bestimme die Beanspruchungen 1

Kapitel 5.

Schornsteine.

§27. Grösse des Winddrucks.

Hohe Schornsteine werden durch Wind gefährdet. Sie werden selten viereckig ausgeführt, weil diese Form dem Wind eine zu gute Angriffsfläche bietet und deshalb für die Standfestigkeit nicht günstig ist.

Nur viereckige Schornsteine haben den vollen Winddruck auszuhalten ;

bei sechseckigen genügt es, 0,75, bei achteckigen und bei runden

0,70 0,67

davon einzuführen. Dabei gilt die in den Abb. 82—84 bezeichnete Breite.

.S

CL

Breite

Ÿ CL

e----Breite

Abb. 82.

Abb. 83.

Wind I

Abb. 84,

Bis 45 m Höhe nimmt man gewöhnlich die gröfste Stärke des Winddrucks zu 125 kg/qm einer senkrechten Fläche an. Bei gröfseren Höhen würde dies nicht genügen, weil der Wind in den oberen Luftschichten gröfsere Geschwindigkeit erreicht als unten. Bis 75 m rechnet man mit 150 kg/qm und darüber hinaus mit noch stärkerem Druck. So hohe Schornsteine sollen hier nicht berücksichtigt werden. Bei ihnen wählt man meist Baustoffe von besonderer Güte ; dann ist eine höhere Beanspruchung als sonst zulässig.

Unter Annahme eines Winddrucks von 125 kg auf i qm senkrechter Fläche ergiebt sich

125 • 0,70 = rd. 88 kg 125 • 0,67 = rd. 84 kg

bei sechseckiger Form 125* 0,75 = rd. 94 kg, bei achteckiger und bei runder

Druck für i qm Ansichtsfläche.

§ 28. Der Schaft.

In den Abb. 85 — 87 ist ein Schornstein mit rundem Schaft dargestellt. Die Wandstärke beträgt oben 15 cm und nimmt nach je 4 m um 5 cm zu.

Der mittlere Durchmesser des I. Absatzes beträgt aufsen 1,24 m, innen 0,94 m und die Querschnittsfläche demnach (Tabelle im II. Teil, Seite 3 und 4)

F (1,24)= 1,208 qm / (0.94) = 0,694 qm

F—/=0,514 qm.

Der Kubikinhalt ist bei 4 m Höhe 4 • 0,514 — 2,056 cbm.

Hohe Schornsteine bestehen gewöhnlich aus Klinkermauerwerk von wenigstens 1700 kg Gewicht für 1 cbm. 2,056 • i 700 = rd. 3500 kg.

Beim II. Absatz ist die Querschnittsfläche F (1,42)= 1,584 qm / (1,02) = 0,817 qm F—f =0,767 qm

und das Gewicht 4 • 0,7*67 • 1 700 = rd. 5220 kg.

Winddruck.

Schnitt

durch die Mitte.

Ansicht.

---г ■

\*0,№

24-

-J-

''S 1,02'

\ łóz

1550

-V

-Л

'/70

III

-V-

800

532

*77

---o‘b--

•y - X

■/,лг

Ifcö

1050

, ^

< 72,09 V >

- - 7,0- - -

Ï--

f-¹

Д<?7 - **

-2.70-

Abb. 85.

Mafsstab i : 200.    1 cm = a m.

Abb. 86.

Abb. 87.

Beim III. Absatz ist

F (1,59) = 1,986 qm / (1,09) = 0,933 qm F~f — 1,053 qm

und das Gewicht 4 • 1,053 • 1 700 = rd. 7 160 kg. Beim IV. Absatz ist

F (i,77) = 2,461 qm

/ (1,17)= 1,075 дш

F—f— 1,386 qm

und das Gewicht 4 • 1,306 • 1 700 = rd. 9420 kg.

Alle 4 Absätze zusammen wiegen

3500 -j- 5220 -f~ 7 160 -f- 9420 = 25300 kg.

Es werde die Spannung an der Fuge А—В untersucht. Die Querschnittsfläche

F (1,85) = 2,688 qm / (1,25)= 1,227 qm

F—f= 1,461 qm oder 14610 qcm. Das darauf lastende Gewicht ist 25300 kg, somit die Druckspannung

P _ 25300

rd. 1,73 kg/qcm.

I46IO

Hierzu kommt der Winddruck. Da der Schaft rund

ist, sind nach § 27    84 kg/qm in Rechnung zu stellen.

Die Ansichtsfläche des Schaftes kann man in ein

Parallelogramm von ió m Höhe und 1,15 m Breite und ein Dreieck von 16 m Höhe und 0,70 m Breite zerlegen (Abb. 85).

Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von 16 • 1,15 — 18,4 qm; i8,4*84 = rd. 1550 kg. Das Biegungsmoment dieser Kraft für die Fuge A—В ist 1 550 • 800 = rd. 1240000 kgcm.

0,7 • 16

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt

rd. 251 000 kgcm, zusammen M= 1 240000 -f- 251 000 = 1 491 000 kgcm.

= 5,6 qm; 5,6 • 84 = rd. 470 kg, und das Biegungsmoment dieser Kraft für die Fuge А—В ist 470 • 1600

Die Biegungsspannung s₂ = — ; W = — (Teil II,

W    a

§ 28). Das Trägheitsmoment des ringförmigen Querschnitts kann man so berechnen :

J=J (185)—J (125) (Teil II, § 42). Beim kreisförmigen Querschnitt ist

Tt№ 71 d² d2 4    16 ’

64

j (185) =

n‘ 185²    185

16

26880 •

34 225

16

J (125) =

(Tabelle im II. Teil, Seite 5),

71 • I 25² I 25²

15 625

12 272 •

l6

(Tabelle im II. Teil, Seite 4).

/=/(185) — / (125)

(26880-34225 — 12272 • 15625)

= rd. (920 000 000 — 192 000 000)

= -^г« 728 000 000 = rd. 45500000 185

- = 45 500 000:-

a    2

M i 491 000

492 000

Druck an der rechten und Zug an der linken Kante. Hierzu die gleichmäfsige Druckspannung von 1,73 kg/qcm, ergiebt 3,03 -(- 1,73 = 4,76 kg/qcm Druck rechts und 3,03 — 1,73 = i,3° kg/qcm Zug links.

Da dem Mauerwerk jedoch keine Zugspannungen zugemutet werden sollen, mufs man annehmen, dafs sich die Fuge

somit

16

cm⁴.

rd. 492 000 cm³*),

°²~W

rd. 3,03 kg/qcm

*) Nicht selten wird der Fehler begangen, das Widerstandsmoment eines Querschnitts einfach aus den Widerstandsmomenten seiner Teile zusammenzusetzen. Das würde, wie man sich hier leicht überzeugen kann, ein anderes (falsches) Ergebnis liefern. Man mufs das Trägheitsmoment bilden und dieses durch den Abstand der äufsersten Faser von der Mitte (die halbe Höhe) dividieren.

auf der Windseite öffnet und die Druckverteilung sich etwa gestaltet, wie in Abb. 88 dargestellt ist.

Die Kraft P = 25 300 kg wird durch den Wind aus der Mitte des Schornsteines verschoben. Das Mafs der Verschiebung e kann man durch Zusammensetzen der Kräfte finden. Es läfst sich aber leichter und genauer dadurch bestimmen, dafs das Drehmoment der verschobenen Kraft um [die Mitte P-e dem Drehmoment des Windes von i 491 000 kgcm gleich sein mufs (vgl. § 10);

Abb. 88.

•-

$1

Mafsstab. Längen: i cm ='50 cm, Kräfte: 1 cm = 5000 kg.

1 /■

S „ 4    10/

30352

6 -O-r

6100

■Vi I

/\ \ ! LiWI

Zerrt

äMPÖiii*,

! = 400 cm,

-425 - --165- j- - -

b--e-S9 »■'

yd! 5

rf

30

' f=

f33,s>i

Aufrifs.

Grundrifs.

25 300 • e = i 491 000 kgcm, i 491 000

rd. 59 cm.

25 З00

2-25300

= rd. 7,2 kg/qcm.

Die gedrückte Fläche wird sich annähernd durch zwei Rechtecke von 3 5 cm Breite ersetzen lassen, bei denen die Kraft P am Rande des Kernes wirkt (Abb. 88). Dann berechnet sich die gröfste Beanspruchung nach der Formel 2 P

3 * 2 - 35 - 33,5

S~ 3 b-f

Zur Prüfung der Richtigkeit kann man die Spannungen im Grund- und Aufrifs zeichnen und die Schwerlinie des die

Spannungen darstellenden Körpers d. h. ihre Mittelkraft bestimmen.

In Abb. 88 ist der Körper, um die Rechnung möglichst zu vereinfachen, in Streifen von 10 cm Breite geteilt. Die Inhalte dieser ergeben sich (in kg), wenn man die Grundfläche (qcm) mit der mittleren Höhe (kg/qcm) multipliziert (vgl. die folgende Tabelle zu Abb. 88).

Nr. des Streifens

Länge

Breite

Grund

fläche

mittlere

Höhe

Inhalt

cm

cm

qcm

kg/qcm

kg

2.30= 60

10

600

0,4

240

2 • 30 = 60

IO

600

1,1

660

2 • 30

60

10

60O

1,8

I 080

2 • 32

64

IO

640

600

2-35

70

10

700

3,2

2 240

2*39= 78

10

780

4,o

3 120

2 • 50 — 100

10

i 000

4,7

4700

2 • 63 — 126

10

i 260

5,4

6 804

2-50= 100

10

i 000

6,1

6 100

10

2 • 28 = 56

10

560

6,8

3 808

zus.

30352

Die Summe der Kräfte beträgt 30352 kg, und ihre Schwerlinie ist 61 cm von der Mitte des Schornsteins

entfernt. Die angenommenen Spannungen würden also einer Kraft genügenden Widerstand leisten, die 2 cm weiter nach aufsen liegt und um rd. x/₅ gröfser ist als die vorhandene von 25300 kg. Daraus folgt, dafs die wirklich auftretende gröfste Spannung nicht, wie angenommen, 7,2 kg/qcm sondern höchstens davon betragen kann.

Will man die Spannungen genauer bestimmen, kann man eine neue Annahme machen und wie vorher verfahren. In Abb. 89 ist eine gröfste Spannung von 6 kg/qcm sowie, damit die Schwerlinie mehr nach der Mitte des Schornsteins rückt, eine Breite der gedrückten Fläche von ii . 10 = 110 cm angenommen. Die Kräfte in den einzelnen Streifen sind wie vorher berechnet und zusammengesetzt (vgl. die Tabelle auf Seite 82). Die einzelnen Grundflächen sind bis auf den hinzutretenden Streifen 1 dieselben wie in Abb. 88.

IfW

//W

Abb. 89.

Mafsstab. Längen: x cm = 50 cm, Kräfte: 1 cm =5000 kg.

27L7.'/

1 \

ssł

5796

5200

У : ; ;    ;

: jjfj-j-ff-.ф ; : „g

T|?

Aufrifs.

*239*6700 1011

^trtTr-r~^ ! ¹ V 1cm i

v-TJ

Г>

<- -111X10C ■ = 110 cm

£ e=59

-Ф

u i

<\ \ ;i

: \

TT

■p

Grundrifs.

Nr. des Streifens

Länge

Breite

Grund- mittlere fläche Höhe

Inhalt

cm

cm

qcm

kg/qcm kg

2 • 30 = 60    10

600

0,3

180

2.30= 60

10

600

0,8

480

2 • 30 = 60

10

600

840

2 • 30 = 60

IO

600

L9

i 140

2-32= 64    10

640

2,4

i 536

2-35= 70    10

700

3,o

2 100

2-39= 78

10

780

3,5

2730

-2 • 50 = 100    10

i 000

4,i

4 100

2-63=126    10

i 260

4.6    5 796

10

2 • 50 = 100 io

I 000

5,2

5 200

ii

2 • 28 = 56

10

560

5,7

3 192

zus.

27 294

Diesmal liegt die Schwerlinie der Mitte 1 cm näher als P; die Summe der Kräfte beträgt 27294 kg. Um noch bessere Übereinstimmung zu erzielen , wären sämtliche Spannungen 25300

im Verhältnis

Spannung

27 294

zu verkleinern. Dann wird die gröfste

0,0-25300

27294

rd. 5,6 kg/qcm.

Will man ferner die Schwerlinie etwas nach aufsen

schieben, mufs man die Breite der gedrückten Fläche verringern und den Streifen 1 etwa nur 6 cm breit machen. Damit die Summe der Kräfte dieselbe bleibt, ist die gröfste Spannung gleichzeitig zu erhöhen, etwa auf 5,7 kg/qcm. Man versuche es !

Anmerkung. Das hier benutzte Verfahren zur Bestimmung der gröfsten Spannung, indem man ungefähre Annahmen macht und dadurch, dafs man sie prüft und berichtigt, zu genaueren Werten gelangt, ist bei Grundrissen von ganz beliebiger Form anwendbar und führt bald zu einer für die Praxis ausreichenden Genauigkeit.

Bei ringförmigen Grundrissen wie hier kann die gröfste Spannung schneller mit Hilfe nachstehender Tabelle gefunden werden. Diese giebt das Verhältnis der gröfsten Kantenpressung s zur gleichmässig verteilten Druckspannung st

/ .    s \    .    r    e

( die Gröfse    — )    bei verschiedenen    Werten von —    und —    an.

V    sj    RR

r bedeutet dabei den inneren Halbmesser,

R den äufseren Halbmesser    ф

und e wie sonst die Entfernung der Kraft P von der Mitte.

Werte s : s-, *)

0,0    0,5 I 0,6    0,7    0,8    0,9 I 1,0

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

1,00

1,16

1,00

M5

,32

,29

1,48

1,64

i,44

i,59

1,00

1,13

1,27

1,40

,54

1,00

1,12

1,24

i,37

i,49

1,00

1,11

,22

20

i,33

i,44

30

i,4°

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

o,35

0,40

o,45

2,00

2,23

2,48

2,76

3,ii

1,80

1,96

2,12

2,29

2,51

со 00 -ф о 04

t^oo O ci со w w cf d cf

1,67

1,81

i,94

2,07

2,23

1,61

i,73

1,85

1,98

2,10

i,55

1,66

i,77

1,88

i,99

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

0,25

0,30

o,35

0,40

o,45

0,50

o,55

0,60

0,65

0,70

3,55

4,i5

4,96

6,00

7,48

2,80

3,H

3,58

4,34

5,40

O d чо. d О <4 ^ sO cf cf cf cf cf

0,50

o,55

0,60

0,65

0,70

o,75

0,80

0,85

0,90

o,9S

1,00

9,93

13,87

21,08

38,25

96,10

7,26

10,05

15,55

30,80

72,20

OMN N и d OO « NtNlN

G ń fO 4чО

00

CO

00

00

00

00

o,75

0,80

0,85

0,90

o,95

1,00

*) Nach J. Goeb d. V. d. Ing. 1898, S.

[, Standfestigkeit eines Schornsteines. Zeitschr. 180 n. f.

In unserem Falle ist

185

und e = 59 cm,

r

demnach —

und —

R 185

59 • ^

R 185

rd. 0,68

= rd. 0,64.

Da die Werte — für diese Zahlen in der Tabelle nicht

unmittelbar gegeben sind, müssen sie durch Einschaltung gefunden werden ; vgl. nachstehende Zusammenstellung, in welcher die eingeschalteten Werte eingeklammert sind.

o,6

[o,68] oj

o,6o

3,24

2,92

[3.31] (3.22) 3.30

(0,64)    (3,69)

0,65    3,80

e    r

Für—= 0,64 ergiebt sich bei — = 0,6 R    R

indem man ⁴/₅ von 3,80—3,24 zu 3,24 zuzählt und bei — zu 3,22, indem man ⁴/₅ von 3,30—2,92 zu 2,92

.<■

— zu 3,69,

B = °’7 zuzählt.

*1

von 3,69—3,22

/10

Durch Einschalten zwischen 3,69 und 3,22 ergiebt sich für—= o;68 — = 3,31, indem man Bj

von 3,69 abzieht; demnach ist 5 = 3,31 • sv

beträgt, wie auf Seite 77 berechnet war, 1,73 kg/qcm; daher 5 = 3,31 • 1,73 = rd. 3,7 kg/qcm, was mit dem auf Seite 82 gefundenen Wert hinreichend genau übereinstimmt.

Die gröfste Biegungsspannung M 2 509 000

rd. 1,89 kg/qcm

I ЗЗОООО

demnach die Gesamtspannung

bei D 1,89 —f— 1,58 = 3,47 kg/qcm Druck und bei C 1,89 — 1,58 = 0,31 kg/qcm Zug.

Die ohne Berücksichtigung der Zugfestigkeit des Mauerwerks sich ergebende gröfste Spannung kann nach dem bei der Fuge A — B angewandten Verfahren bestimmt werden. Das ist aber hier kaum notwendig ; denn es ist klar, dafs sie keinen unzulässigen Wert erreicht.

F — 2,37² = 5,6169 qm /= i,25²= 1,5625 qm

Der VI. Absatz des Schornsteins hat eine Querschnittsfläche

F—f— 4,0544 qm und bei i m Höhe ein Gewicht von

i • 4,0544-1700 = 6890 kg,

mit dem früheren von 44 380 kg

zusammen 51 270 kg.

rd. 1,27 kg/qcm.

Die Querschnittsfläche an der Fuge E — F beträgt 40544 qcm, demnach die Druckspannung 51 270

40544

15 000 kgcm.

Der Druck des Windes auf die 2,37 qm grofse Fläche beträgt 2,37*125=1x1. 300 kg und das Biegungsmoment dieser Kraft für die Fuge E—F 300*50 =

307 000 kgcm. 2 509 000 kgcm zusammen M = 2 831 000 kgcm.

Die Hebelarme der anderen Kräfte von 1550, 470 und 1050 kg sind um 100 cm länger als bei der Fuge C—D, das Biegungsmoment ist also gröfser um

(1550 + 470 +¹ °5o) • 100 =

Dazu das frühere von

Das Trägheitsmoment des Querschnittes

237⁴    125⁴ .

237² = rd. 56200 und 56 200² = 3 158 440 000,

rd. 243360000

I25⁴ wie früher =

²37⁴ — 125⁴ = 2 915 080 000.

_2915 080 000

12

2 “2 7

TF = J:—-=rd. 2050000 cm3 2

2 831 000

rd. 243000000 cm⁴,

J/

rd. 1,38 kg/qcm;

2 050 OOO

demnach bei F 1,38-)- 1,27 = 2,65 kg/qcm Druck und bei E 1,38—1,27 = 0,11 kg/qcm Zug.

Die Bestimmung der gröfsten Druckspannung ohne Berücksichtigung der Zugfestigkeit des Mauerwerks ist wie bei der Fuge C—D entbehrlich.

Aufriss

- - 46

Grujbcbrifo ---2,70---

-ж- .тщш

I    - r-> g g

V------ГТГ"«—

Abb. 90.

Mafsstab i : ioo; i cm = i m.

Der VII. Absatz hat eine Querschnittsfläche F— 2,70s = 7,2900 qm f= i,25²= i,5⁶²5 qm

F—f= 5.7275 qm,

und bei 2,5 m Höhe ein Gewicht von

2,5 • 5,7275 -1700 = rd. 24 340 kg.

rd. 2 470 kg 21 870 kg, 51 ²7° kg zusammen 73 140 kg.

Hiervon gehen die in Abb. 90 dargestellten Fuchs- und Reinigungsöffnungen ab. Ihre Grundfläche beträgt (2,7 — 1,25) 0,8 =1,16 qm und der Inhalt bei 1,2 5 m Höhe 1,16 • 1,25 = 1,45 cbm, entsprechend 1,45 • 1 700 =

Gewicht. Es bleiben also mit dem früheren von

rd. 843 000 kgcm 2831 000 kgcm zusammen 3674000 kgcm.

Die Winddruckkräfte haben sämmtlich einen um 250 cm längeren Hebelarm als an der Fuge E—F; es kommt also ein Biegungsmoment von (1550+470 +1050+300) • 250 = zu dem früheren von

hinzu.

rd. 50 cm beträgt, 270

Die Ermittelung der gröfsten Spannung nach dem im §28 angegebenen Verfahren hat keine Schwierigkeit. Werden von der tragenden Fläche nur die beiden in Abb. 91 schraffirten Rechtecke von zusammen 270— 125 = 145 cm Breite und 270 cm Höhe in Betracht gezogen, so ergiebt sich, da die Verschiebung der Mittelkraft durch den Wind e 3 674 000

73 140

50 = 85 cm

rd. 3,96 kg/qcm.

und die gröfste Druckspannung 2 P _ 2 • 73 140

36./-3.145-85

Die wirklich auftretende Spannung ist natürlich noch kleiner, weil ein Teil der tragenden Fläche nicht berücksichtigt wurde; eine genauere Ermittelung ist also nicht erforderlich.

*7 •о

ж.

Abb. 91.

Mafsstab i : ioo, x cm = 1 m.

73140 kg

270

->

Das Betonfundament hat eine Querschnittfläche von 4.4= 16 qm und enthält bei 1,5 m Höhe 1,5 • 16 = 24 cbm Beton von je 2 200 kg Gewicht; 24*2200= 52800 kg, mit dem früheren von

zusammen 125940 kg. Die Grundfläche J—К enthält 400 * 400 = 160 000 qcm. Die

Druckspannung st beträgt demnach

125940

rd. 0,79 kg/qcm.

160000

Die Winddruckkräfte haben einen um 150 cm längeren Hebelarm als vorher; es kommt also ein Biegungsmoment (1 55° + 47° + 1050 -f- 300)* 150 = rd. 506 000 kgcm

3 674 000 kgcm

von

zu dem früheren von

hinzu,

zusammen M = 4 180 000 kgcm.

Das Widerstandsmoment des Querschnitts ist nach der Formel 400 • 400 • 400

bh²

= rd. 10670000 cm

und die gröfste Biegungsspannung M 4 180 000

² W 10670000 demnach beträgt die Gesamtspannung

= rd. 0,39 kg/qcm;

bei К 0,79    °>39 = 1,18 kg/qcm Druck

und bei J 0,79 — 0,39 = 0,40 kg/qcm Druck.

und W= -

rd. 1330000 cm¹.

§29. Sockel und Grundmauerwerk.

Der Sockel des Schornsteins ist quadratisch. Die Querschnittsfläche des V. Abschnitts berechnet sich F = 2,09s = 4,3681 qm f— 1,25й = 1,5625 qm F—/=2,8056 qm

und das Gewicht

4 • 2,8056 • i 700 = rd. 19080 kg, mit dem früheren von 25300 kg zusammen 44380 kg.

Die Querschnittsfläche an der Fuge C—D ist 28056 qcm und die Druckspannung

P 44380

Sl F

28056

rd. 1,58 kg/qcm.

Der Druck des Windes auf die Fläche von 4 • 2,09 = 8,36 qm beträgt 8,36- 125 = rd. 1050 kg und das Biegungsmoment dieser Kraft um einen Punkt der Fuge C—D 1050 • 200 =

Die Hebelarme der Kräfte von 1550 und 470 kg sind um 400 cm länger als an der Fuge A—В. Daher ist ihr Biegungsmoment um (1550 -f- 470) • 400 = gröfser als vorher; dazu das frühere von

210000 kgcm.

808000 kgcm i 491 000 kgcm

zusammen M= 2 509000 kgcm.

209⁴    125⁴

Das Trägheitsmoment des Querschnitts ist

12

Nach der Tabelle I im II. Teil ist

209² = rd. 43700 und 43 7oo² = i25² = rd. 15600 und i5 6oo² =

i 909690000 243 360000 209⁴—i25⁴ = rd. 1666330000,

also J =

i 666330000

= rd. 139000000 cm⁴

Die Spannungen erreichen also an keiner Stelle des Schornsteines eine gefährliche Gröfse.

Aufgabe. Man erhöhe den Schornstein durch Hinzufügen einer neuen (V.) Schafttrommel um 4 m, verstärke Sockel und Grundmauerwerk entsprechend und prüfe die Standfestigkeit !

-f

S-96

■h

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