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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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HANDBUCH

DER

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YERMESSTJN GrSKUNDE

VON

D" W. JORDAN

PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU HANNl

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ZWEITER BAND

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FELD- UND LAND-MESSÜ

DRITTE VERBESSERTE UND ERWEITERTE AUFLAGE

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STUTTGART

VERLAG DER J. B. METZLERschen BUCHHANDLUNG

1888

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Druck der J. B. Metz 1er sehen Buchdruckerei in Stuttgart.

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VORWORT.

Dieser zweite Band der dritten Auflage des nun auf drei Bände berechneten „Handbuchs der Vermessungskunde“ enthält im wesentlichen das, was in der vorigen zweiten Auflage (1877) im zweiten Teil des ersten Bandes enthalten war, aber in gründlichster Neubearbeitung und mit sehr vielen Erweiterungen.

Trotz der Vermehrung des Inhalts wurde der Gesamtumfang nicht erheblich vermehrt, weil andererseits durch Beschränkungen und kürzere Ausdrucksweise Raum gewonnen wurde.

Zur Umgestaltung und Verbesserung des Werkes hat namentlich die im Jahre 1881 erfolgte Berufung des Verfassers von Karlsruhe nach Hannover beigetragen, zunächst durch die von hoher Behörde bewilligte Neueinrichtung der Hannoverschen geodätischen Sammlung, welche nun, nebst unserer früheren Karlsruher Sammlung, die für das Buch ausgewählten charakteristischen Instrumente geliefert hat. Auch glaubt Verfasser aus Vergleichungen mancher süddeutscher und norddeutscher Vermessungs-Verhältnisse, in Verbindung mit der theoretischen Erfassung der Gesamtaufgabe der Feld- und Landmessung, zur Gewinnung eines eigenen Urteils und zur Berechtigung des öffentlichen Aussprechens eines solchen, gelangt zu sein.

Nach dem Druck des zwölften Bogens wurde die Weiterführung unterbrochen, weil der Verfasser im Sommer 1887 Gelegenheit fand, die Triangulierung und Polygonisierung der Stadt Linden bei Hannover auszuführen. Dadurch sind einige Un Stetigkeiten entstanden, indem z. B. die Triangulierung von S. 188, welche als Hauptbeispiel für Kapitel VIII. bestimmt war, nun durch die grössere Triangulierung von S. 228 ersetzt wurde.

Diese Lindener Stadtvermessung war auch das beste Mittel, auf die Kataster-Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 Bezug zu nehmen, und die dieser wichtigen Anweisung IX. zu Grunde liegenden Tlieorieen zu behandeln.

Die Instrumenten-Zeichnungen und sonstigen Figuren, welche zum Teil auch aus der vom Verfasser fach wissenschaftlich redigierten „Zeitschrift für Vermessungswesen“ entlehnt wurden, sind im Schnitt nicht gleichartig; die gleichartige Neuherstellung aller Figuren würde unver-hältnismässige Kosten verursacht haben.

Allen Fachgenossen, welche uns durch Zusendung von Sonderabdrücken geeigneter Abhandlungen unterstützt haben, sagen wir hiefiir Dank, und hoffen, durch richtige Einreihung solcher Mitteilungen, den Gebern entsprochen zu haben.

Im Jahre 1881 erschien eine russische¹) Übersetzunng von zwei Teilen dieses Werkes, ohne vorherige Einholung der Zustimmung des Verfassers. —

Eine autorisierte italienische Übersetzung von Ing. Emilio Ferrero, im Verlage von Ermanno Loescher in Turin, ist gegenwärtig in Arbeit.

Für etwaige weitere Übersetzungen oder ähnliche Weiterverwertungen dieses Werkes werden alle Rechte Vorbehalten.

Hannover im Mai 1888.

Jordan.

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INHALTS-ÜBERSICHT.

Seite

§    1. Einleitung

Kapitel I. Die einfachsten Arbeiten des Feldmessens und ihre Verbindung zu kleineren Aufnahmen.

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Bezeichnung von Punkten......... .......

Absteckung von geraden Linien...............

Kreuzscheibe, Winkelkreuz, Winkeltrommel...........

Spiegel-Instrumente...................

Das Bauernfeind sehe Prismenkreuz..............

Das Bauernfeind sehe Winkel-Prisma..............

Längenmessung mit Messlatten...............

Längenmessung mit dem Stahlband und mit der Kette.......

Massvergleichung für Messlatten und Messbänder.........

Genauigkeit der Längenmessung mit Messlatten, mit dem Messband und mit der Messkette. Allgemeine Vergleichung dieser Werkzeuge .    .    .    .

Ausgleichung von Längenmessungen..............

Das Messrad......................

Schrittmass und Marschzeit.................

Coordinaten-Aufnahme mit Messlatten, Winkelspiegel u. s. w......

Ausdehnung des Vermessungs-Gebietes.............

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COS COS COS COS COS COS COS COS COS COS

Kapitel II. Berechnung und Teilung der Flächen.

Flächenbestimmung durch rechtwinklige Coordinaten......

Flächenbestimmung nach einem Plau...........

Genauigkeit der Flächenbestimmung............

Flächenberechnung von Dreiecken und Vierecken.......

Teilung eines Dreiecks................

Parallel-Teilung von Vierecken und Polygonen........

Vierecks-Teilung durch gegebene Punkte..........

Vierecks-Teilung und Polygon-Teilung nach Seiten-Verhältnissen .    .

Grenzregulierung............ .....

Allgemeines über Flächenteilung.............

42

48

51

54

56

60

66

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76

Kapitel III. Mechanische Hilfsmittel für Berechnungen.

Seite

§ 27. Planimeter. Allgemeines.................

§ 28. Das Amslersche Polar-Planimeter..............

§ 29. Das Roll-Planimeter von Coradi...............

§ 30. Prüfung des Planimeters, und Genauigkeit der Planimeter-Messungen .    .

§ 31. Der Rechenschieber...................

§ 32. Die Rechenmaschine...................

80

81

86

88

91

95

Kapitel IV. Die Libelle.

CO Rietet-CO CO CO CO CO

105 105 105 105 105

Die Röhren-Libelle..........

Empfindlichkeit der Libelle.......

Prüfung der Libelle durch Umsetzen und Drehen

Die Dosen-Libelle...........

Einfluss der Wärme und des Glases ....

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Kapitel V. Die optischen Instrumente.

§ 38.    Das    Sehen mit freiem Auge    .    .

§ 39.    Die    Konvexlinse......

§ 40.    Die    Lupe........

§41. Das einfache Fernrohr .... § 42. Zusammenwirken zweier Linsen .

§ 43.    Das    Ramsdensche Fernrohr    .    .

§ 44.    Das    Huyghenssche Fernrohr    .    .

§ 45. Allgemeine Prüfung der Fernröhre § 46. Das Mikroskop.......

108

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116

118

124

128

129

131

131

Kapitel VI. Der Theodolit.

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Beschreibung des Theodolits ..........

Der Nonius................

Das Schrauben-Mikroskop...........

Das Schätz-Mikroskop............

Die Axenfehler des Theodolits.........

Bemerkungen zu den Axenfehlern des Theodolits .    .    .

Berechnung der Fehler-Einflüsse der Theodolit-Axenfehler

Excentricität des Fernrohrs..........

Excentricität der Alhidade...........

Berechnung der Excentricität der Alhidade.....

Teilungsfehler des Limbus...........

Repetitions-Messung.............

134

145

147

151

153

158

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166

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174

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Kapitel VII. Coordinaten- und Azimut-Rechnung.

Erklärungen und Vorbereitungen........

Grundformeln der Coordinaten- und Azimut-Rechnung .

Umformung der Coordinaten.........

Bogen-Schnitt........... ...

Diagonalen-Schnitt.............

186

189

195

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Inhalts-Übersicht.

Kapitel VIII. Triangulierung.

§ 64. Allgemeines...........

§ 65. Grundaufgabe der Triangulierungs-Berechnung § 66. Aufstellung des Theodolits und der Signale

§ 67. Winkel-Messung..........

§ 77. Verschiedene Nebenbetrachtungen zur pothenotischen Aufgabe .... 245 §    78.    Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte    Erste    Lösung

§    79.    Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte.    Zweite,    allgemeinere, Lösung 254

§ 80. Zweifach gegenseitiges Rückwärts-Einschneiden § 81. Vorwärts-Einschneiden mit mehreren Strahlen, nach der M. d. kl. Q. . . 259 § 82. Rückwärts (Pothenotisch) -Einschneiden mit mehr als drei Strahlen nach der M. d. kl. Q.

201

204

205

209

213

214

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220

225

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238

240

242

252

257

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§ 83. Vorwärts- und Rückwärts-Einschneiden nach der M. d. kl. Q.....267

§ 84. Fehlerzeigende Figur durch Seiten - Differenzen für Vorwärts-Einschneiden 268 § 85. Fehlerzeigende Figur durch Goordinaten-DiSerenzent. Vorwärts-Einschneiden 272 § 86. Fehlerzeigende E’igur für Vorwärts-Einschneiden u. Rückwärts-Einschneiden 275 § 87. Schärfere Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur

§ 88. Coordinaten-Gewichte...........

§ 89. Schluss-Betrachtungen über Kleintriangulierung .    .

278

284

287

Kapitel IX. Polygonale Züge.

§ 90. Grundformeln.....................

§ 91. Beispiel einer Zugs-Berechnung ...............

§ 92. Anschluss eines Zuges an einen hochgelegenen Punkt (Kirchturm).

(Herunterbringen eines Punktes)..............

§ 93. Anlage eines Polygon-Netzes................

§ 94. Festlegung und Versicherung der Polygon-Punkte........

§ 95. Längen-Messung....................

§ 96. Winkel-Messung....................

§ 97. Längenfehler und Querfehler................

§ 98. Fehlergesetze der Zugmessung...............

§ 99. Fehlertheorie des gestreckten gleichseitigen Zuges........

§ 100. Ausgleichung eines Polygonzuges nach der M. d. kl. Q.......

292

295

302

303

310

314

317

323

326

330

342

Kapitel X. Nivellierung.

§101. Einleitung.......

§ 102. Einfache Nivellier-Instrumente

345

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Aufnahme von Längen-Profilen............

Aufnahme von Quer-Profilen.............

Flächen-Nivellierung...............

Festlegung und Versicherung der Nivellierungspunkte .    .    .    .

Feinere Nivellier-Instrumente............

Libellen-Kreuzung, Doppel-Libelle und Okular-Auszug .    .    .    .

Die Nivellier-Latten................

Nivellierung erster Ordnung.............

Verschiedene Versicherungs-Hilfsmittel.........

Fehler-Gesetze des Nivellierens............

Allgemeines über Nivellierungs-Ausgleichung.......

352

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Kapitel XI. Trigonometrische Höhenmessung.

414

§ 127. Ausgleichung eines Höhen-Netzes nach bedingten Beobachtungen (mit

Korrelaten)...................

§ 128. Theorie der Refraktion...............

§ 129. Vergleichung der Refraktions-Theorie mit Beobachtungen

§ 130. Täglich periodische Änderung der Refraktion.......

§ 131. Litteratur über Refraktion.............

416

430

433

435

437

441

449

452

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465

466

Kapitel XII. Barometrische Höhenmessung.

§ 132. Grundzüge der Theorie.........

§ 133. Das Quecksilber-Barometer........

§ 134. Temperatur-Korrektion des Quecksilber-Barometers

§ 135. Capillar-Depression...........

§ 136. Schwere-Korrektion...........

§ 137. Luftdrucksberechnung. Genauigkeit.....

§ 138. Feder-Barometer............

§ 139. Reduktionsformeln für Feder-Barometer .... § 140. Temperatur-Korrektion der Feder-Barometer . . § 141. Teilungs-Korrektion der Feder-Barometer . . .

§ 142. Änderung der Stand-Korrektion.......

§ 143. Bestimmung der Lufttemperatur......

469

472

475

480

482

486

489

494

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512

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515

§ 144. Bestimmung der Luftfeuchtigkeit .

§ 145. Vollständige barometrische Höhenformel .

§ 146. Barometrische Höhentafeln.......

§ 147. Messung und Berechnung barometrischer Höhen § 148. Barometrische Höhen-Einschaltung ....

. . 518 .    . 524

531

535

541

542

544

547

550

Kapitel XIII. Distanzmesser.

§ 155. Erklärungen.................

§ 156. Distanzmessung durch den parallaktischen Winkel .    .    .    .

§ 157. Optische Theorie des Faden-Distanzmessers.......

§ 158. Bestimmung der Konstanten des Faden-Distanzmessers . . § 159. Abstimmung des Distanzmessers auf fc = 100 u. s. w. . . .

§ 160. Geneigte Ziellinien...............

§ 161. Genauigkeit des Faden-Distanzmessers........

§ 162. Distanzmesser ohne Latte.............

554

555

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Kapitel XIV. Tachymetrie.

§ 163. Tachymeter-Theodolite.........

§ 164. Verschiedene Hilfsmittel für cos² a und l/₂ sin 2 a

§ 165. Der Kompass............

§ 166. Kompass-Züge.........* . .    .    ,

§ 167. Strahlen-Zieher...........

§ 168. Messband-Züge mit dem Stock-Kompass u. mit Freihand-Höhenwinkelmessung 626 § 169. Tachymetrische Aufnahmen .    .

§ 170. Konstruktion der Horizontalkurven § 171. Flüchtige Aufnahmen ....

590

601

612

619

623

632

636

642

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Kapitel XV. Der Messtisch.

Konstruktion des Messtisch-Apparates......

Prüfung und Berichtigung der Kippregel.....

Anwendung des Messtisches..........

Allgemeine Betrachtung der Messtisch-Aufnahmen .    .

Litteratur über Tachymetrie, Messtisch und Verwandtes

645

648

649

652

654

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Kapitel XVI. Abstecken von Linien.

Abstecken von langen geraden Linien............

Abstecken von Kreisbögen. Übersicht der Methoden.......

Absteckung der Hauptpunkte, wenn zwei Tangenten und der Halbmesser gegeben sind.....................

657

661

§ 180. Unzugänglicher Tangentenschnitt § 181. Absteckung der Einzelpunkte nach rechtwinkligen Coordinaten .... 670 § 182. Absteckung der Einzelpunkte durch Peripheriewinkel § 188. Einrückungs-Verfahren und Näherungsforineln.    .    .

§ 184. Verschiedene Bestimmungsarten für Kreisbögen und Tangenten .    .    .    .    679

§ 185. Absteckung nach einem allgemeinen Coordinatensystem § 186. Verschiedene Wahl der Bestimmungs-Punkte und Bestimmungs-Tangenten 684

§ 187. Übergangskurven...........

§ 188. Litteratur über Linien-Ahsteckung und Verwandtes

665

672

676

681

688

694

Nachtrag zu § 73. und zu § 97.

698

Hilfstafeln.

Reduktion für Wärme-Ausdehnung oder für kleine Massstahsfehler . . Reduktion schiefgemessener Längen auf den Horizont, L — Leos a . .

Verwandlung der Sexagesimalteilung in Centesimalteilung.....

Verwandlung der Centesimalteilung in Sexagesimalteilung.....

Division von Winkelsummen durch 4............

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Hilfstafeln zur Berechnung mittlerer Nivellierungsfehler Trigonometrische Höhenmessung. Erdkrümmung und mittlere Refraktion .    [9]—[12]

Barometrische Höhenmessung. Barometer- und Thermometer-Teilungen .    .    .

„    „    Reduktion des Quecksilber-Barometers    . .    [14]—[16]

„    „    Capillardepression

_    „    Schwere-Reduktion

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[13]

[17]

[18]—[19]

Spannung des Wasserdampfes u. s. w. . . [20]—[23] Ausdehnung der Luft durch die Wärme .    .    .

Rohe Meereshöhen

[24]

Barometrische Höhenstufen......

Schrittmasse mit Barometer-Differenzen .    .

[25] —[33] [34] [35]

Distanzmessung durch den parallaktischen Winkel..........

Berechnung von Messband-Zügen mit Höhen winkeln, 20 cos a und 20 sin a Magnetische Missweisung, für die Mitte des Jahres 1890

Tachymetrische Tafel........

Rechtwinklige Coordinaten für Kreisbögen .

Peripheriewinkel für die Sehnenlänge 20™ .

Sehnenlängen für gegebene Peripheriewinkel Übergangskurven.........

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]—[43] [44]—[46] [47]-[49]

[50]

[51]

Mass-V ergleichung

[52]—[55]

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Nr.

§ 1. Einleitung.

Die Vermessungskunde (Geodäsie) beschäftigt sich mit dem Messen einzelner Teile der Erde, und mittelbar mit dem Messen der Erde selbst.

Man wendet die Namen Feldmessung, Landmessung, Erdmessung an, wenn es sich um Messung von kleineren oder grösseren Teilen der Erdoberfläche handelt.

Messen heisst das Bestimmen des Verhältnisses zweier gleichartiger Grössen. Als unmittelbar zu messende Grössen kommen hier nur in Betracht Längengrössen und Winkelgrössen, weil sich die Bestimmung aller anderen geometrischen Grössen hierauf zurückführen lässt.

Als Masseinheit für Längengrössen dient eine ursprünglich willkürlich gewählte Länge, das Meter, mit seinen Vielfachen und Unterabteilungen, namentlich:

1000 Meter = 1 Kilometer, 1000”' = 1*’"

Ein Hundertstel-Meter = 1 Centimeter, 0,01™ = l™1 Ein Tausendstel-Meter = 1 Millimeter, 0,001™ = 1™’“

Die Zwischenstufen 100™, 10m, 0,1™ werden gewöhnlich nicht besonders benannt, dagegen wird bei feinen Massvergleichungen noch ein kleinerer Teil benannt:

Ein Tausendstel-Millimeter = 1 Mikromillimeter, 0,001’"™ = V1 Die metrischen Flächenmasse des Feld- und Landmessens sind:

100 Quadratmeter = 1 Ar, (10™)² = 100'*™ = 1"

10 000 Quadratmeter = 100 Ar = 1 Hektar, (100™)² = lft“

100 Hektare = 1 Quadratkilometer, (1000™)² = lqkm

Als Masseinheit für Winkelgrössen dient der einer vollen Umdrehung einer Geraden um einen Punkt entsprechende Winkel, mit Teilung in 360 Grad (alte Teilung) oder 400 Grad (neue Teilung).

Die Oberfläche der Erde ist, abgesehen von Bergen und Thälern und sonstigen örtlichen Unregelmässigkeiten, nahezu diejenige, welche eine Ellipse bei der Umdrehung um ihre kleine Axe erzeugt. Der Quadrant dieser Ellipse hat eine Länge von rund

10000 000 Metern, und die Abplattung der Ellipse ist rund -— ^

die beiden Halbaxen sind.

Das beschriebene Umdrehungs-Ellipsoid ist nahezu diejenige Oberliäche, durch welche der Erdkörper begrenzt wäre, wenn er überall von ruhender Flüssigkeit umgeben wäre; es stellt also der Meeresspiegel, abgesehen von Flut und Ebbe, Wellenschlag u. s. w., nahezu einen Teil dieser Fläche vor.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aull. II. Bd-

Einleitung.

§ 1.

Die Genauigkeit, mit welcher man die Grösse der Erde kennt, ist veranschaulicht durch folgende Zahlen der JBesseZschen Bestimmung vom Jahr 1842, welche heute noch allgemein gebraucht werden:

Q= 10000 856“

Quadrant

+ 498“

‘ 299 -t- 5

Abplattung -    ^

wo die mit + heigefügten Beträge die mittleren zu fürchtenden Fehler sind.

Die grosse Haihaxe der Ellipse ist a = 6 377 397 Meter und die kleine Halbaxe ist b = 6 356079 Meter, woraus sich der angegebene Ahplattungswert berechnet. Das

geometrische Mittel der drei Hauptaxen des Umdrehungs - Ellipsoids ist ya _

6 370 283 Meter, dieser Wert ist gleich dem Halbmesser einer Kugel, welche mit dem Ellipsoid gleiches Volumen hat. Das arithmetische Mittel der drei Hauptaxen ist a + a-\-b

= 6 370291 Meter, und dieser Wert ist zugleich auf ein Meter genau gleich

dem Halbmesser einer Kugel, welche mit dem Ellipsoid gleiche Oberfläche hat.

Für summarische Berechnungen ohne Rücksicht auf die Abplattung der Erde kann man hiernach in runder Zahl annehmen:

Erdhalbmesser r = 6 370 000 Meter.

Eine in einem Punkte des Ellipsoids gelegte Berührungsebene heisst die Horizontalebene des Punktes, und jede in dieser Ebene liegende Berührungslinie heisst Horizontale. Die geometrische Normale eines Punktes der Erdoberfläche heisst die Vertikale (welche demnach im allgemeinen nicht nach dem Erdmittelpunkt gerichtet ist).

Da die Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit in allen Punkten rechtwinklig zu der auf die einzelnen Flüssigkeitsteile wirkenden Kraft ist, so folgt, dass die Vertikale in der Richtung der Schwerkraft liegt.

Je nachdem man hei Messungen die Ausdehnung der Erdoberfläche nur in horizontalem oder vertikalem Sinne in Betracht zieht, unterscheidet man Lagemessungen und Höhenmessungen (Horizontalmessungen und Vertikalmessungen).

Bei Lagemessungen unterscheidet man je nach der Gestalt der zu Grunde gelegten Erdoberfläche vier Stufen:

1)    Man betrachtet die Erde als Ebene, was etwa bis zur Ausdehnung von 1 Quadratmeile (1 Quadratmeile = 55,0629 Quadratkilometer) ausreicht.

2)    Man betrachtet die Erde als Kugel, deren Halbmesser der Erdkrümmung an der betreifenden Stelle möglichst entspricht (z. B. für Hannover rund r — 6 380 000“). Diese Annahme reicht bis zu einer Ausdehnung von einigen Hundert Quadratmeilen.

3)    Man betrachtet die Erde als Ellipsoid von gegebenen Grössen werten; diese Annahme reicht bis zu einer Ausdehnung von 1000 und mehr Quadratmeilen.

4)    Man untersucht die Abweichungen, welche zwischen der Annahme eines Umdrehungs - Ellipsoids und der wirklichen idealen Erdform, dem Geoid, noch bestehen.

Diese Unterscheidung 1) 2) 3) 4) mit den angegebenen Gültigkeitsbereichen gilt nur für /.«Bemessungen ; hei i/ö/iemn essungei i wird die Erdkrümmung viel früher merklich; die Erdkrümmung beträgt z. B. auf P'"‘ Entfernung bereits 8C“ in der Höhe.

Die Höhenmessungen werden nicht nach der Ausdehnung, wie die Lage-messungen, sondern nach anderen Rücksichten eingeteilt.

Im Folgenden behandeln wir zuerst nur Lagemessungen, und später die Höhenmessungen.

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Kapitel I.

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Die einfachsten Arbeiten des Feldmessens und ihre zu kleineren Aufnahmen.

§ 2. Bezeichnung von Punkten.

Ein Punkt im Sinne der Feldmessung ist für Lagemessungen bestimmt durch eine senkrechte körperliche Linie, d. h. eine Bake (Fluchtstab, Stange u. s. w.) oder eine Hauskante, Kirchturmspitze u. s. w.

Wir unterscheiden hiebei künstliche Punkthezeichnung und natürliche Punkt-bezeichnung, und zählen zur ersteren alle besonders für Yermessungszwecke aufgestellten Zeichen, welche man auch unter dem Gesamtnamen Baken zusammenfasst, während zur zweiten, der natürlichen Art, alle solche Zeichen gehören, welche ursprünglich ohne Beziehung zu Yermessungszwecken entstanden sind, namentlich Kirchtürme.

Man kann auch zugängliche und unzugängliche Punkte unterscheiden, zu letzteren gehören meist die Kirchtürme.

Die gewöhnlichen Feldmess-Baken sind Stäbe von 1,5 bis 3 Meter Länge, unten mit eiserner Spitze, zum Einstossen in den Boden, versehen (der eiserne Schuh, dessen Unterteil die Spitze ist, soll nach oben zwei Lappen haben, welche das Holz von zwei Seiten noch über der Höhlung des Schuhs umfassen). Die Baken werden etwa von halb zu halb Meter weiss und rot oder schwarz angestrichen (das obere Ende soll immer hell sein), auf weitere Entfernung oben mit einer weiss-roten Fahne versehen.

Unsere kleinen Baken sind mit Spitze 1,7 Meter lang, 3 Centimeter dick. Der Querschnitt ist rund, oder quadratisch mit abgeschrägten Kanten (dieser Querschnitt ist zu vielen Nebenzwecken besser als der runde Querschnitt). Einzelne Baken ver-. sieht man an einer Seite mit Decimeterteilung, um sie gelegentlich als Massstähe zu verwenden.

Die Baken dienen zur Punktbezeichnung für das Messen seihst, auf kurze Dauer. Zur Punktversicherung auf kleinere oder grössere Dauer hat man Holzpflöcke und Marksteine.

Um bei Pflöcken die Bakeneirtsetzung sicher zu haben, thut man oft gut daran, zwei Pflöcke zu schlagen, zwischen welchen der eigentliche Punkt, hzw. eine Bake sich befindet. Marksteine sind das beste Mittel zur dauernden, auch rechtlich gültigen Be

zeichnung.

Unterirdische Versicherung, durch Thonröhren,, ist zweifellos wertvoll, aber unterirdische Punkthezeichnung allein, ohne Bezeichnung über dem Boden, kann beim Nachgraben viel Zeitverlust verursachen.

§ 3. Abstecken von geraden Linien.

Eine gerade Linie oder kurz eine Gerade, im Sinne der Feldmessung ist bestimmt durch die Aufeinanderfolge mehrerer Punkte (Baken), die in einer senkrechten Ebene liegen. Der Abstand der Baken von einander beträgt in der Ebene etwa 100 bis 200 Meter, auf unregelmässigem Boden etwa 20—100 Meter.

Wenn zwei Punkte einer Geraden gegeben sind, und die Aufgabe vorliegt, die Gerade durch weitere Punkte abzustecken, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden,

Fig. l.

Absteiken einer Geraden A B C D

1)

ob nämlich die Verlängerung über die zwei gegebenen Punkte hinaus geschehen soll, oder ob die Absteckung zwischen jenen Punkten stattfinden soll.

Das erstere geschieht durch » Einrichten « weiterer

.................. Punkte in der Verlängerung der zwei gegebenen, das

zweite geschieht durch »Einweisen« zwischen die gegebenen Punkte.

1)    Einrichten. Wenn in Fig. 1. A und B gegeben sind, so wird die Bake C dadurch in die Gerade A B eingerichtet, dass man sie so steckt, dass C , B und A in Deckung erscheinen, ebenso wird mit D u. s. w. fortgefahren.

2)    Einweisen. Hiezu ist ein Gehülfe erforderlich.

Wenn in Fig. 1. die Endpunkte A und D gegeben sind, so schickt man den Gehilfen ungefähr in die Gegend von B (oder G) und weist ihn durch Zeichen (Aufheben des linken oder rechten Armes) so ein, dass die Baken sich decken. Hat man mehrere Baken einzuweisen, so sind stets die entfernteren zuerst zu stecken, damit ihre Stelle nicht durch die näherstehenden (unter grösserem Winkel erscheinenden) Baken verdeckt wird. Der Eingewiesene hat, um rasch zum Ziele zu kommen, jeweils den Kaum zwischen den zwei letzten Versuchen zu halbieren.

Hat man keinen Gehilfen und kein besonderes Absteck-Werkzeug (§ 4.), so kann man durch mehrfaches Probieren auch eine Gerade zwischen zwei Endpunkten abstecken, indem man (nach Fig. 1.) B und G zuerst schätzungsweise steckt, und dann durch abwechselndes Zielen längs AB G und BGD die Punkte B und G allmählich in die Gerade AB CI) herein bringt.

Da das Auge für die gegenseitige Deckung einer Fluchtreihe von Baken sehr empfindlich ist, kann man sehr lange Gerade, bis zu 1 Kilometer und mehr, lediglich von freiem Aug, durch fortgesetztes Verlängern, abstecken, ohne dass die Geradrichtung zu wünschen übrig liesse.

§ 4. Kreuzscheibe, Winkelkreuz, Winkeltrommel.

Mit diesen Namen werden die verschiedenen einfachen Werkzeuge bezeichnet, welche mit zwei sich rechtwinklig schneidenden Absehvorrichtungen versehen sind, und sehr verschiedene Formen haben, wie in Fig. 1., Fig. 2. und Fig. 3. S. 5 angedeutet ist.

Die in Süddeutschland fast ausschliesslich gebrauchte Kegelform (Fig. 1.) hat mancherlei Vorzüge:

Bei gleicher Höhe der Instrumente gestattet der Kegel steileres Zielen als der Cylinder. Die Kegelkreuzscheibe mit ihrer vorstehenden starken eisernen Grundplatte ist Beschädigungen (etwa beim Umfallen) weniger ausgesetzt als die Cylinder-Trommel.

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Die Absehvorrichtung (Diopter) besteht entweder aus zwei einander gegenüberliegenden Spalten (Fig. 1.) oder einer Spalte mit gegenüberliegendem Faden (Fig. 2.). Es sind jedenfalls zwei solcher Diopter, in zwei vertikalen, sich rechtwinklig schneidenden Ebenen liegend, vorhanden, unter Umständen benützt man auch ein drittes oder viertes Diopter, die Winkel der zwei ersten halbierend (Halbschnitte Fig. 3.), so dass mit dem Instrumente nicht nur rechte Winkel, sondern auch halbe rechte Winkel abgesteckt werden können.

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Vergleichung der beiden Arten von Absehvorrichtungen:

Eine Spalte mit einem gegenüberstehenden Faden hat den Vorzug des deutlicheren und bequemeren Sehens; zwei einander gegenüberliegende Spalten haben dagegen den Vorzug der Möglichkeit des Vor- und Rückzielens, der Unveränderlichkeit und der Dauerhaftigkeit.

Der Anfänger wird Spalten und Fäden vorziehen, jedoch bald zu der unveränderlichen und zum Vor- und Rückzielen geeigneten Kreuzscheibe, welche nur Spalten hat, übergehen.

Der Durchmesser der Kreuzscheibe kann, wenn das Instrument nicht schwerfällig werden soll, nicht über 20"“ genommen werden.

Die Breite der Spalten kann bis zu lmm betragen. Durch sehr enge Spalten lässt sich die Genauigkeit nicht vergrössern. Die beste Breite der Spalten dürfte 0,5”*“ sein.

Die Kreuzscheibe dient 1) zum Errichten von Senkrechten (durch Einweisen), 2) zum Fällen von Senkrechten (durch Probieren), 3) zum Aufsuchen eines Punktes einer Geraden zwischen zweien ihrer Punkte, Vor- und Rückzielen, mit allmählichem Richtigstellen.

Fig. 1.

Kegelkreuzscheibe.

Fig. 2.

Winkelkrenz.

Fig. 3.

Winkeltrommel.

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Fig. 4.

Spiegel-Instrumente.

§ 5-

Die Prüfung der Kreuzscheibe (Fig. 4.) geschieht durch Abstecken eines rechten Winkels AP B und Anlegen eines zweiten rechten Winkels BPC an den ersten, mit gleicher Benützung des Instruments, worauf A PC eine Gerade sein muss; oder auf ähnliche Weise. Berichtigung ist selten möglich.

Was die Genauigkeit des Absteckens mit der Kreuzscheibe betrifft, so kann der mittlere Zielfehler etwa — 2' angenommen werden.

Verfasser hat dieses durch verschiedene Versuche gefunden (Zeitschr. für Venn. 1875, S. 303, und 1885 S. 27) und bei fremden Versuchen bestätigt gefunden (Zeitschr. f. Verm. 1886, S. 586).

Hiernach hat man auf 50 Meter Entfernung einen mittleren Fehler 2'

Aus diesem Grunde gestatten die Kataster-VermessungsanWeisungen meist keine längeren Ordinaten als 30 Meter, 40 Meter, höchstens 50 Meter.

Bei gutem Auge und Übung kann man die Genauigkeit auch bis 4- 1' bringen; andererseits ist an Abhängen, wenn der Kreuzscheibenstock nur nach Augenmass senkrecht gestellt wird, und bei schlechter Beleuchtung, wohl ein mittlerer Fehler von + 5' zu fürchten.

- 0,03“ oder rund = 3™

§ 5. Spiegel-Instrumente.

Wenn man es nur mit Absteckungen in der Ebene, und nicht an Abhängen, zu thun hat, sind, statt der im vorigen § 4. beschriebenen Werkzeuge, die nun zu betrachtenden Spiegel-Instrumente in vielen Fällen vorzuziehen:

Fig. 2.

Winkelspiegel

zum Gebrauch auf einem Stock.

Fig. 1.

Winkelspiegel

zum Gebrauch in freier Hand.

r:

W iS

Fig. 4.

Gebrauch des Winkelspiegels.

Fig. 3.

Theorie des Winkeispiegels.

OJ

oC

oa

bti

LL

P—

a.

Der Winkelspiegel (Fig. 1. und Fig. 2.), welcher vor etwa 100 Jahren in England erfunden wurde, dient zum Abstecken rechter Winkel. Seine Wirkungsweise beruht auf dem Gesetz der Reflexion des Lichtes (gleiche Winkel mit der spiegelnden Ebene). Der Winkelspiegel besteht im Wesentlichen aus zwei (bei der Anwendung vertikal stehenden) spiegelnden Ebenen A C, AB (Fig. 3.). In Folge von Reflexion an jeder derselben macht ein von P ausgehender Strahl den Weg PB C Q und scheint daher dem in Q befindlichen Auge von Q' herzukommen.

Die Beziehung zwischen dem Winkel Qr D P — q> des eintretenden und des austretenden Strahls und dem Winkel B A C = a der beiden Spiegel giebt sich nach Fig. 3.:

Aus dem Dreieck ABC folgt: « -f- (90° — ß) -+- (90° — y) = 180°, d. h. « = /9+y

Aus dem Dreieck BGD folgt: ip = 2ß + 2 y, also Beim Winkelspiegel ist « = 45°, folglich <p = 90°.

<p = 2 a.

Die Anwendung des Instruments zeigt Fig. 4. Um von P eine Senkrechte PQ auf die Gerade MN zu fällen, schreitet man, mit dem Auge O nach NM schauend, in dieser Geraden so lange vor, bis das doppelt reflektierte Bild von Pin dem Spiegel A B unter der (über den Spiegel hinweg gesehenen) Bake N erscheint.

Diese Art der Anwendung ist nicht die einzige; man kann in Fig. 4. auch QP als die gegebene Gerade, und N Q als die zu fällende Senkrechte betrachten.

Ausserdem kann man in beiden Fällen links und rechts vertauschen, und hat somit im ganzen 4 Fälle der Anwendung, welche nach kurzer Übung mit Sicherheit angewendet und ausgewählt werden.

Wenn man in der zuletzt angegebenen Weise eine Senkrechte zwei, ach bestimmt, etwa zuerst nach Fig. 4. und dann mit Vertauschung von links und rechts, d. h. P mit P', und A nach rechts, so hat man eine Probe, welche in dreifachem Sinn gebraucht werden kann:

1) Wenn das Instrument als solches richtig ist und P' Q P eine richtige Gerade ist, so hat man die Sicherheit richtigen Zielens und richtiger Handhabung des Instruments.

2)    Wenn P' Q P eine richtige Gerade ist, richtig gezielt worden ist, und dennoch die Umwendung von links nach rechts einen Widerspruch gieht, so ist das Instrument falsch und bedarf einer Veränderung des Winkels «, welchen die beiden Spiegel nach Fig. 3. unter sich bilden. Dieser Winkel « ist dann nicht genau 45°, und kann durch Korrektionsschrauben (z B. die Zug- und Druckschrauben Z und T) in Fig. 1.) berichtigt werden, wozu nur wenige Versuche erforderlich sind.

3)    Wenn das Instrument an sich richtig ist (a — A5°) und wenn es richtig behandelt wird, so kann man die Probe mit Vertauschung von P und P' in Fig. 4. auch dazu benutzen, zu bestimmen, ob Q sich in der Geraden P' P befindet. (Der Winkelspiegel erfüllt dann mit zwei Stellungen denselben Zweck, wie das nachher zu beschreibende Spiegelkreuz (Fig. 5.) in einer Stellung.)

Der Strahlenschnittpunkt D in Fig. 3. ist ein wenig veränderlich, man kann deswegen nicht ein für allemal genau angeben, an welcher Stelle des Instruments das Absenkeln auf den Boden stattfinden soll, jedenfalls liegt aber der richtige Winkelscheitel nicht im Schwerpunkt des Instruments, sondern mehr der Hauptöffnung nahegerückt, wie die Befestigung des Stockes in Fig. 2. zeigt.

Den Winkelspiegel auf einem leichten Stock zu tragen (Fig. 2.) ist dem Gebrauch in freier Hand (Fig. 1.) vorzuziehen, wenn man das Ablothen auf den Boden auf 1—2cm genau haben will.

Die Zielgenauigkeit des Winkelspiegels beim Feldmessen ist derjenigen der Kreuzscheibe (§ 4. S. 6) nahezu gleich, nämlich etwa 2'.

Fig. 5.

Das Spiegelkreuz.

Das Spiegelkreuz (Fig. 5. und 6.) besteht aus zwei

Dasselbe

rechtwinklig gegen einander gestellten Spiegeln, dient zum Aufsuchen eines Punktes auf der Geraden zwischen

i:

zwei gegebenen Punkten.

Dieses Instrumentchen wurde im Jahr 1844 von Kegie-rungsgeometer Berlin in Grunerts Archiv 4. Teil S. 126 beschrieben.

mm

f m

£ n

Fig. 6.

Theorie des Spiegelkreuzes.

iS

1)

IIP1

Die durch Fig. 6. veranschaulichte Theorie des Spiegelkreuzes ist einfach: Wenn die Spiegelmitte C sich auf der Geraden A B befindet, so erscheinen dem Auge in D die beiden Spiegelbilder von A und von B in Deckung.

Die Prüfung des Instruments geschieht durch Aufsuchen des Punktes C, indem man in die Gerade A B sowohl von D her als auch von der anderen Seite herkommend eintritt. Erhält man hiebei zwei verschiedene Punkte, so erfolgt eine Berichtigung durch Veränderung des Winkels der beiden Spiegel.

§ 6. Das Jfauernfeindsche Prismenkreuz.

Dieses im Jahr 1851 von Bauernfeind in München konstruierte Instrument, welches zum Abst-ecken von 180“-Winkeln, also zum Einrichten eines Punktes in die Gerade ZAvischen zwei gegebenen Punkten dient, beruht mit seiner Wirkungsweise auf dem Satz, dass ein gleichschenklig rechtwinkliges Glasprisma mit seiner Hypotenusen-Ebene wie ein ebener Spiegel wirkt. (Dieses gilt für Fig. 3. und Fig. 3a. S. 10.)

Wir schicken den Beweis dieses Satzes hier voraus (indem wir die optischen Brechungsgesetze, sin a — fi sin ß, totale Reflexion u. s. w. als bekannt annehmen).

Fig. 1.

Fig. 2.

In Fig. 1. und Fig. 2. wird der Eintritt eines Strahls an einer Kätheten-Ebene, Reflexion an der Hypotenusen-Ebene und Wiederaustritt an der anderen Katheten-Ebene dargestellt. Diese zwei Figuren geben, indem der Brechungs-Coëfficient des Glases mit fi (etwa = 1,5) bezeichnet wird:

Fig. 2.

45° + (90° — /?) + y = 180° 45° + (90° — ô) + y = 180

Fig. 1.

(i)

45°+ ((9 + 900) + y — 180°

45° + (ft + 900) + y = 180°

(2)

Fig. 1. und Fig. 2. sin a = n sin ß sin 6 = fi sin 6

Die Gleichungen (1) geben ß — 6, und dieses in die Gleichungen (2) einge

setzt giebt:

(3)

a — s

Damit ist bewiesen > dass die Hypotenusen-Ebene eines rechtwinkligen gleichschenkligen Prismas (Fig. 1. und Fig. 2.) in Bezug auf die Richtungsveränderung eines Strahles ebenso wie ein ebener Spiegel wirkt.

In Fig. 1. findet jedenfalls totale Reflexion statt; in Fig. 2. nur dann, Avenn der Winkel a sehr klein ist, nämlich kleiner als 4° 47', was daraus folgt, dass y in Fig. 2. nicht grösser sein darf als entsprechend der Gleichung:

Sin ymnx —

wo fi der Brechungs-Coëfficient des Glases ist, woraus jw = 49°ll' folgt, sodann

ßmin - 4 11, Si'h Umax — fl Sin 4° 11 , Umax-- 40 47 .

In dem Falle von Fig. 2. Avird also sehr oft nicht totale Reflexion an der Hypotenusen-Ebene stattfinden, und dann tritt der grösste Teil des Lichtes an der Hypotenusen-Ebene aus. Dieses kann verhindert Averden dadurch, dass man die Hypotenusen-Ebene mit Folie belegt.

Nach dieser Vorbereitung betrachten wir in Fig. 3. und Fig. 4. das Instrument selbst, und in Fig. 3a. und Fig. 4a. dessen Wirkungsweise:

Fig. 4.

Neuere Anordnung der Prismen.

.. Fig. 3.

Prismenkreuz.

Altere Anordnung der Prismen.

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f!

! '!!

Fig. 3a. Wirkungsweise des Prismenkreuzes. Fig. 4a.

Da die Hypotenusen - Ebenen wie ebene Spiegel wirken, so geben die beiden rechtwinklig zu einander gestellten Hypotenusen-Ebenen in Fig. 3a. dieselbe Wirkung, wie das Spiegelkreuz Fig. 5. und Fig. 6. § 5. S. 8.

Eine zweite Zusammen-Wirkung beider Prismen zeigt Fig. 4a., für die neuere Anordnung der Prismen von Fig. 4. Jedes einzelne Prisma giebt dabei dieselbe Brechung eines Lichtstrahls wie bei Fig. 2. des folgenden § 7. S. 11.

In beiden Fällen (Fig. 3a. und Fig. 4a.) sieht das Auge in D die beiden Bilder von A und von B in Deckung, wenn das Instrument sich auf der Geraden A B befindet.

Fig. 3. und Fig. 4. unterscheiden sich ausser durch die Anordnung der Prismen auch durch den äusseren Umstand, dass Fig. 3. den Gebrauch auf einem Stock, und Fig. 4. den Gebrauch in freier Hand veranschaulicht.

Die Prüfung des Prismenkreuzes erstreckt sich zuerst darauf, ob die Prismenkanten parallel sind, was man unmittelbar an den Bildern einer Senkrechten, z. B. einer Mauerkante, beurteilen, und durch Schrauben nötigenfalls richten kann.

Dann fragt es sich, ob die Hypotenusen-Ebenen gut rechtwinklig zu einander sind. Hiezu richtet man sich mit dem Instrument in eine Gerade ein, macht rechtsumkehrt, und wiederholt die Einrichtung; ein hiebei auftretender Widerspruch wird hälftig durch Drehen der Prismen, mit Korrektionsschrauben, weggeschafft.

Nach diesem soll man sich überzeugen, ob kleine Drehungen des Instruments, ohne Standänderung, kein Ausweichen der Bilder A und B (Fig. 3a.) erzeugen. Berichtigung wäre hiefür nicht möglich.

Die optische Fehler-Theorie des Prismenkreuzes in Bezug auf die Wirkung von Fig. 3a. ist in der allgemeineren Theorie des Steinheilschen Prismenkreises inbegriffen, welche Verfasser in seinen „Grundzüge der astr. Zeit- u. Orts-Bestimmung“, Berlin 1885, S. 262 u. ff. entwickelt hat. Zu der Fehler-Theorie von Fig. 4a. vgl. Fig. 3. und Fig. 4. § 7. S. 13.

Ausser zum Einrichten in eine Gerade zwischen zwei Punkten kann das Prismenkreuz auch zum Abstecken von rechten Winkeln dienen, indem jedes einzelne seiner beiden Prismen als Winkel-Prisma gebraucht werden kann, wie im folgenden § 7. angegeben wird.

§ 7. Das Bauernfeindsche Winkel-Prisma.

Bauernfeind hat im Jahr 1851 die Entdeckung gemacht, dass ein rechtwinkliggleichschenkliges Prisma nicht nur als Reflexions-Glas (wie ein ebener Spiegel) wirken, sondern auch eine konstante Ablenkung von 90° geben kann.

Hiernach kann ein solches kleines Prisma die Kreuzscheibe und den Winkelspiegel ersetzen.

Fig. 1.

Bauernfeinde Winkelprisma mit Fassung und Schutzdeckel, zum Tragen in der Tasche.

Fig. 2.

Bauernfeinde. Winkelprisma. Theorie.

et

JL.

/s\ß

rcx

Fig. 2. giebt folgende Gleichungen: Die Brechung am Eintritt giebt:

sin a = fi sin ß

Zwei Dreiecke mit der Spitze 45° rechts geben:

/? + (? +90°)+ 45° = 180° (90° — 8) + (90° — y) -b 45° = 180° Die Brechung am Austritt giebt:

sin e = u sin 6

Aus (2) und (B) folgt:

/» = «

Damit geben (1) und (4) zusammen:

(5)

a — s

Damit ist der Winkel <p des eintretenden und des austretenden Strahles:

<jd = 90° —p a — a — 90°

Der hier in Betracht kommende Lichtstrahl, welcher an einer Kathete eintritt, im Innern an der andern Kathete und an der Hypotenuse reflektiert wird, und dann an der anderen Kathete austritt, heisst der feste Strahl, im Gegensatz zu dem in Fig. 1. und Fig. 2. § 6. S. 9 betrachteten, nur an der Hypotenusen-Ebene reflektierten, bei der Drehung des Prismas beweglichen Strahl.

Ausser diesem Kennzeichen hat man zur Unterscheidung beider Strahlen fol

gendes :

1)    Der feste Strahl ist immer in der Nähe einer scharfen Kante (mit 45°) zu suchen, und zwar an der dem Eintritt ahgewendeten Kante.

2)    Der feste Strahl ist lichtschwacli, wenn die Hypotenusen - Ebene unhelegt ist, denn der Winkel y in Fig. 2. ist für totale Reflexion zu klein. Wenn man dagegen, Avas neuerdings geschieht, die Hypotenusen-Ebene mit Folie belegt, so ist auch der feste Strahl lichtstark.

Vergleicht man das Winkelprisma mit der Kreuzscheibe und mit dem Winkelspiegel , so hat es mit dem Winkelspiegel den Nachteil des Versagens bei steilen Strahlen gemein, weshalb für solche Fälle die schwerfällige Kreuzscheibe nicht zu entbehren ist.

In der Ebene dagegen ist das Prisma ein vorzügliches Instrumentchen, das dem Winkelspiegel gegenüber den Vorzug der Bequemlichkeit und Handlichkeit (Gewicht nur etwa 60 Gramm) hat, und namentlich den Vorzug, dass es, wenn einmal richtig, richtig bleibt, so lange es überhaupt dienstfähig ist.

Die Prüfung des Winkel-Prismas besteht darin, dass man eine Senkrechte links und rechts nimmt, wobei kein Widerspruch entstehen darf. Ausserdem darf das Prisma heim schwachen Drehen in der Hand keine Drehung des Lichtstrahls geben.

Zur Beurteilung etwaiger Abweichungen in dieser Beziehung dient die folgende

Optische Fehler-Theorie des Winkel-Prismas²).

In Fig. 3. und Fig. 4. S. 18, ist ein Prisma angenommen, welches Aveder recht-Avinklig, noch gleichschenklig ist, indem es die WTinkel hat:

A = 90° — x

o , æ

§ 12. Ausgleichung von Längeninessungen.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. B

JE

§ 25. Grenzregulierung.

§ 30. Prüfung des Planimeters und Genauigkeit der Planimeter-Messungen.

§ 35. Prüfung der Libelle durch Umsetzen und Drehen.

(2)

20'“25öö=0’0314

§ 50. Das Schätz-Mikroskop.

§ 54. Excentricität des Fernrohrs.

§ 58. Repetitions-Messung.

Anmerkungen.

§ 65. Crrundaufgabe der Triangulierungs-Berechnung.

§ 71. Besondere Centrierungs-Verhältnisse.

für

§ 11. Verschiedene Nebenbetrachtungen zur pothenotischen

(3)

§ 85. Fehlerzeigende Figur durch Coordinaten-JHïïermzm für Yorwärts-Einschueiden.

+ pq

§ 91. Beispiel einer Zugs-Berechnung.

§ 94. Festlegung und Versicherung der Polygon-Punkte.

§ 98. Fehler-Gesetze der Zugmessung.

§ 100. Ausgleichung eines Polygonzuges mich der Methode der

§ 105. Flächen-Nivellierung.

Hiezu kommt noch die Latten - Korrektion nach § 10

§ 114. Netz-Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen.

Kapitel XI.

S"I7

(4)

(2)

§ 130. Täglich periodische Änderung der Refraktion.

§ 136. Schwere-Korrektion.

§ 140. Temperatur-Korrektion der Feder-Barometer.

Q,

Die Näherungs-Rechnung nach der Gleichung (27) S.

§ 150. Koch-Thermometer.

§ 155. Erklärungen.

(H)

§ 161. Genauigkeit des Faden-Distanzmessers.

(1)

§ 165. Der Kompass.

§ 169. Tachymetrische Aufnahmen.

§ 175. Allgemeine Betrachtung der Messtisch-Aufnahmen.

§ 180. Unzugänglicher Tangentenschnitt.

§ 185. Absteckung nach einem allgemeinen Coordinatensystem.

§ 188. Litteratur über Linien-Absteckung und Verwandtes.

K. /y""

¹

Moskau, Buchhändler N. J. Mamontowa. Preis 8 Rbl. Silb. Mit Übersendung 9 Rbl.

²

Diese Entwicklung ist aus einer Anfrage von Landmesser Deubel, und Erörterung desselben mit dem Verfasser, entstanden. S. Zeitschr. f. Verm. 1885, S. 138 und S. 176.

B — Ah

o , æ

+ ¥_t

C = 45° +-|- + t A+B+C= 180°.

Hiebei ist x der Fehler des rechten Winkels, und r das Mass der Unsymmetrie. Im Übrigen sind die Bezeichnungen von Fig. 2. heibehalten.

Um den Weg des Lichtstrahls durch das Prisma zu verfolgen, haben wir zunächst beim Eintritt und beim Austritt die Brechungsgleichungen:

(6)

(7)

Fig. 3. 45°+£ -T

Fig. 4.

«* + |

rX

r/7

45°+t

45#+f + t

!*

-G

sin a = ;i sin ß sin s = ß sin S

Ferner wird aus der Figur 8. abgeleitet:

^45° +    + r ) + (90° + y) + ß' =

45° + ~ + rj 4- (90° — y) + (90° — 5) = 180°

180°

(8)

(9)

Hieraus folgt:

x —j— 2 t — 6 — ß

Zur Vergleichung von ß' und ß hat man in dem Dreieck bei A :

(10)

Folglich nach (10):

(90° — x) + (90° — ß) 4- ß' = 180°

ß' —ß — X

2 x-{-2 t =    — ß

Dieses 5 in (7) gesetzt giebt:

(11)

sin s = ß sin (ß -h 2 (x -j- r) ) Da x und r klein sind, kann man entwickeln:

sin s = ß (sin ß + 2 (x + r) cos ß)

und mit (6) verglichen:

sin s — sin a = 2 ß (x -+- r) cos ß

(12)

Da bei einem fehlerfreien Prisma « = e wäre, so ist auch a — s als klein zu behandeln, d. h. :

sin s — sin a = (e — a) cos a

was

in Verbindung mit (12) giebt:

cos ß cos a

Hier ist ß zu eliminieren, nämlich nach (6):

sin ß — — sin a cos ß ß

= /i

sin² a

cos ß

ß*

COS a

— y{fi² — 1) sec² a 1

(14)

also:

a = 2(æ + r)|/l + (fi² — 1) SCC² cc Denkt man sich nun durch den Scheitel des Winkels A Parallelen zu dem ein-und austretenden Strahl gezogen, so ergiebt sich aus der Fig. 3.:

(90° — a) + cp + (90° — x) — (90° — e) = 180°

<p — 90° "H X —j- cc — £

(15)

oder den Wert für e—a nach (14) eingesetzt:

(16)

(p = 90° + x — 2 (x -f- r) y\ ■+ (ß² — 1) sec² a Betrachtet man nun den von der entgegengesetzten Seite eintretenden Strahl Fig. 4., so gelten hiefür im wesentlichen dieselben Gleichungen, aber mit geänderten Vorzeichen von x und t, d. h. :

c — cc — — 2 (cc —j— t)

(17)

cos ß'

COS a

(18)

gf = 90° + x + 2 (® + t) yr+ (jtt² — 1) sec² a'

Aus den Gleichungen (16) und (18) geht hervor, dass der abgesteckte Winkel q> abhängig ist:

1)    von den konstanten Fehlern x und % des Prismas,

2)    von dem veränderlichen Winkel a, welchen der eintretende Strahl mit dem Einfallslote bildet.

Nehmen wir nun an, dass das fehlerhafte Prisma zwar rechtwinklig, aber nicht gleichschenklig ist, so wird in obigen Gleichungen x = 0, und dieselben gehen über in:

(P — 90° — 2t]/ ÎT+ (u² — 1) sec² « ą! = 90° + 2 * y 1 -r- (;<² — 1) sec² «'

Wird also der Winkel a = a, so ergänzen sich die Winkel g> und <p' zu 180°; die Bilder decken sich mit dem direkt gesehenen Objekt. Da aber bei der Drehung des Prismas in der Hand dieser Fall jederzeit eintreten kann, so ist bewiesen, dass die Deckung der Bilder entgegengesetzter Signale mit dem Objekt, allein nicht zur Feststellung der Richtigkeit eines Prismas genügt. Es wird vielmehr durch sorgfältige Beobachtung während der Drehung des Instrumentes zu konstatieren sein, ob das Prisma einen wirklich festen, von dem Winkel a unabhängigen Strahl hat.

Um Zahlenwerte einzuführen, nehmen wir in runder Zahl n = 1,5, also ffi — 1 = 1,25, und x -h t zusammen rund — P, damit wird folgendes berechnet:

« = 0°

* 10 „ 20 « 40

v 60 r 80 » 90

2(® + r) yÎ 4-1,25 sec² a = 3,0'

3,0

h ^ o o q CO CO ^ CO o

(19)

(20)

§ 8. Längenniessung mit Messlatten.

Das wichtigste Werkzeug zur Längenmessung im Felde sind die Messlatten

und an den Enden 30’

und 25™”'.) Zum Schutz gegen Feuchtigkeit, und um das Abfasern des Holzes zu vermindern, werden die Latten mit Ölfarbe

(oder Messstangen). Das sind Massstäbe von möglichst astfreiem Tannenholz, gewöhnlich 5“ lang, in der Mitte 30—40™m, an den Enden 20—30“™ dick, an den Enden mit Metall beschlagen. Der Querschnitt wird kreisrund oder etwas elliptisch gemacht, oder man nimmt von dem ursprünglich kreisförmigen Querschnitt nachher oben und unten kleine Segmente ab. (Hiernach sind z. B. zweckmässige Dimensionen: in der Mitte 45mi'* und 30’

angestrichen, und zwar, um zugleich Einteilung zu erzielen, von Meter zu Meter mit verschiedenen Farben (weiss und rot). Die weitere Teilung auf Decimeter wird ebenfalls durch Farbenstriche oder durch eingeschlagene Nägel mit runden Köpfen bewirkt, Centimeter können geschätzt werden.

Die Anwendung der Latten auf ebenem Boden ist folgende: Zur Messung einer Linie sind zwei Latten erforderlich. In der Ebene genügt ein Arbeiter; derselbe legt die Latten, die er am hinteren Ende hält, eine vor die andere, unmittelbar auf den Boden, indem er nach den Baken schaut, welche die Gerade bezeichnen. Beim Aufheben wird die Latte durch die Hand geworfen, und dann wieder in die Gerade gelegt.

Das Zählen geschieht laut und konsequent im Augenblick des Aufhebens; eine Latte, welche noch liegt, gilt noch nicht als gezählt. Das laute Zählen schützt sehr gegen Zählfehler, ferner kann man als Mittel dagegen äusserliche Unterscheidung der Latten an wenden, indem man z. B., hei weiss-roter Abteilung nach Metern, die erste Latte so legt, dass weiss anfängt und die zweite so, dass rot anfängt; dann haben in der ganzen Linie die Latten mit weissem Anfang ungerade, und die Latten mit rotem Anfang gerade Zählung, und man kann, wenn man hierauf achtet, sich nur um 2 (oder 4 . . . ) Latten verzählen, jedenfalls nicht um 1 Latte, was sonst am häufigsten vorkommt. Ferner hat man damit in der ganzen Linie durchlaufend die ungeraden einzelnen Meter weiss, die geraden rot. Bei kürzeren Linien und solchen mit vielen Zwischenpunkten, zählt man sofort die Anzahl der Meter, also 5 10 15 . . . Meter. Bei langen Linien ohne Zwischenpunkte kann man auch die einzelnen Latten zählen, und nachher mit 5 multiplizieren.

An Abhängen wird nach der Staffelmethode gemessen, es sind dazu zioei Mann erforderlich, welche mit einer Latte und einem Lotstab arbeiten. Als Lotstab kann eine Bake, der Kreuzscheibenstock u. dergl. dienen. Der Lotstab soll übrigens womöglich prismatisch bearbeitet sein, wobei nicht seine Mitte, sondern eine seiner Kanten den Endpunkt der Messlatte bezeichnet. Der Lotstab wird bei kleinen Höhen nach Augenmass, hei grösseren Höhen mittelst des Handsenkels senkrecht gestellt. Die Horizontalität der Messlatte selbst wird nach dem Augenmass geprüft oder dadurch, dass man die Latte um ihren festen Endpunkt einen Kreisbogen beschreiben lässt, wobei dann diejenige Lage der Latte die horizontale ist, welche den grössten Abstand des Lotstabes von dem festen Ende verlangt.

Die Aufsetzung einer Libelle oder Setzwage auf die horizontale Latte ist hei Stalfelmessung nur dann nötig, wenn man nicht nur die horizontalen Entfernungen, sondern auch die Höhen erhalten will, d. h. wenn man Profile aufnehmen will.

Auf schwach, aber nahezu gleichförmig geneigtem Boden wird nicht bei jeder einzelnen Lattenlage abgelotet, sondern es wird der Zwischenraum bestimmt, welcher zwischen je zweien Latten-Enden zu bleiben hat, und zwar durch einmaliges Abloten,

Fig. 1.

Schiefe Messung mit Zwischenmas z.

worauf der dabei beobachtete Zwischenraum nach Schätzung beibehalten wird. Ausserdem kann man den Zwischenraum nach Massgabe des Höhenunterschiedes der beiden Latten-Enden berechnen. Ist nämlich (Fig. 1.) h die Höhe des Lotstabes, welche beim StatFelmessen in Betracht käme, so ist der bei aufliegenden Latten einzuhaltende Zwischenraum:

wobei l die Länge der Latte ist. so rechnet man genähert:

Z —    ₊ /j2 _ l

Wenn nun h verhältnismässig klein gegen l ist,

(1)

■4+*)

-2t

(2)

Zählt man hiebei h in Decimetern und z in Millimetern, so hat man bei 5 - Meter - Latten schlechthin :

(3)

gmm —-    2

z. B. wenn h -- 3 Decimeter ist, so muss der Zwischenraum z = 9 Millimeter genommen werden.

In der Zeitschrift für Verm. 1873 S. 77—88 wurde von Schmitz vorgeschlagen, den Lotstab mit einer Teilung zu versehen, welche sofort das nach Gleichung (1) berechnete Zwischenmass angiebt. Um den Lotstab selbst nach gleichförmigem Intervall von z zu beziffern, hat man (1) nach h aufzulösen:

(4)

h = y z (z + 2 l)

Die hiernach berechneten Zahlenwerte zeigt folgende Tafel:

Lotstockhöhe h für das Zwischenmass z, für die Lattenlänge 1 = 5 Meter.

Zwischeu-

mass

,00    ,01    ,02    ,03    ,04    ,05    ,06    ,07

,08 ! ,09

© © © © co'cct-*'©

O lC 00 00 0!NU3 © O-

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oigoco

OO OS Cu t—1 00    OS

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^    CÔ CO

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—*» >—¹ ►—» o

y «

CO

CO CD

1,986

JNDJ—¹ H-¹ CD

'o'Vi'co'co ⁵

CO CD Cn CO DC CO

Hiernach hätte man den Lotstock einzuteilen.

Die damit zu erreichende Messungs-Genauigkeit ist nur scheinbar grösser als bei unmittelbarem Abloten, denn wenn das Verfahren gut sein soll, so muss man, um die Lothöhe h genügend genau zu erhalten, die Latte selbst gut horizontal halten.

Nur bei kleinen Höhen ist das Messen der Lothöhe, und Berücksichtigung nach der Tabelle (5), oder einfacher nach der Formel (3), zu empfehlen.

Die Drehlatte (Feldzirkel) (Fig. 2. S. 17) ist eine besondere Art der Messlatte, welche in Bayern üblich ist. Beim Gebrauch wird die Latte um die eine in den

Boden gestellte Spitze umgeschwungen, also wie ein Zirkel auf dem Reissbrett ge-handhabt. Der Boden darf hiebei nicht zu hart sein, weil sonst die Spitzen nicht fest sitzen, und nicht zu weich, weil sonst die Spitzen denselben aufwühlen und sieh

Fig. 2.

Die Dreh-Latte.

k-

->

verschieben. Auf ebenem Boden misst ein Arbeiter mit dieser Drehlatte nahezu mit gewöhnlicher Gehgeschwindigkeit. Die Genauigkeit ist hiebei nahezu dieselbe, wie bei der Kettenmessung.

§ 9. Längenmessung mit dem Stahlband und mit der Kette.

Das seit etwa 10 Jahren in Anwendung genommene Stahlband ist für viele Messungen ein sehr zweckmässiges Werkzeug. Das Band besteht aus gehärtetem Stahl, ist gewöhnlich 10—20™ lang, 15—20™™ breit, etwa 0,5™™ dick, durch eingeschlagene Nägel in Meter und Decimeter geteilt. An den Enden sind, durch Vermittlung der nötigen Gelenke, metallene Ringe von 3—4e™ Durchmesser befestigt, welche über entsprechende Stäbe geschoben werden. Mit diesen Stäben wird das Band durch zwei Mann gehandhabt. Für den Transport und die Aufbewahrung wird das Band auf ein Gestell aufgerollt.

Bei der Anwendung wird das Band längs der zu messenden Linie auf dem Boden ausgespannt, das hintere Ende wird auf den Anfangspunkt der zu messenden Linie gebracht, und nachdem der vordere Endpunkt durch einen eingesteckten Stab oder eisernen Nagel bezeichnet ist, rückt das ganze Band um seine eigene Länge vor, und so fort. Die vom Hintermann gesammelten Nägel oder Pflöcke geben zugleich die Zählung der ganzen Bandlagen.

Auf geneigtem Boden müssen die Neigungswinkel der einzelnen Bandlagen gegen den Horizont gemessen werden, wonach die Reduktion auf den Horizont berechnet werden kann. Im Notfall kann man sich hiebei eines einfachen Gradbogens, der mit dem Zirkel auf ein kleines mit Papier überzogenes Brett aufgetragen ist, mit angehängtem Lotfaden, zum Messen der Neigungswinkel bedienen, und leicht Genauigkeit von etwa 1° erreichen; ein besseres Instrument für diesen Zweck zeigt Fig. 1. S. 18, dessen Prinzip von Matthes und Zugmaier in der „Zeitschr. f. Verm. 1872“ S. 214, und 1873, S. 113 angegeben wurde (vgl. auch „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 0—7).

Das Instrument besteht aus einem kreisförmigen Gehäuse A A, in welchem sich ein geteilter Kreisbogen B B centrisch um G bewegt. Durch Zufügung eines Gewichtes D ist der Schwerpunkt des ganzen um G drehbaren Teiles so bestimmt, dass der zum Nullstrich der Teilung gehörige Halbmesser sich immer horizontal stellt. Die cylindrische Wand des Gehäuses trägt bei E eine Sehspalte, gegenüber auf einer Glasplatte G G angebracht, eine Zielmarke F. Die Kreisteilung BB ist nicht auf einer Ebene aufgetragen, wie der Anblick unserer Figur vermuten lässt, sondern auf Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

einer Kegelfläche, so dass alle Teilstriche ungefähr unter 45° gegen die Zeichenebene der Figur geneigt sind. Das Auge kann daher von E aus den Teilstrich ahlesen, welcher sich an der Zielmarke F befindet. Damit ist der Höhenwinkel der Ziellinie EF bestimmt.

Fig. 1.

Neigungsmesser für schiefe Bandmessung.

<p

-si

■<-

Um zu prüfen, ob das Instrument die Höhenwinkel bzw. Tiefenwinkel richtig gieht, misst man zwischen zwei Punkten hin und her, und sieht zu, oh der Höhenwinkel hin dem Tiefenwinkel her gleich wird.

Zeigt sich ein Fehler, so kann man denselben durch Verschieben des Gewichtes D verbessern, indem durch solche Verschiebung der Schwerpunkt des Ganzen sich ändert Hätte man z. B. einen Höhenwinkel +3° und zurück den Tiefenwinkel —5°' gemessen, so wäre der richtige Höhenwinkel = -(- 4°, und darauf hin das Instrument zu verbessern.

(Hat man ein richtiges Nivellier-Instrument zur Hand, so wird man viel einfacher dessen Ziel-Linie als Kontrolle benützen.)

Unser Instrument ist so eingerichtet, dass man Winkel bis zu 80° damit messen kann, obgleich für Reduktion schiefer Längen gewöhnlich nicht mehr als 30° gebraucht werden.

In Betreff der Genauigkeit haben wir uns durch vielfache Versuche überzeugt, dass man die Höhenwinkel leicht auf 0,2° genau mit diesem Instrument messen kann. Indessen genügt es gewöhnlich, für die Reduktion schiefer Längen auf den Horizont, die Winkel nur auf einzelne Grade abgerundet anzugeben. Eine zur Berechnung der Reduktion auf den Horizont dienende Tafel ist auf S. [2] des Anhangs gegeben.

Die Anwendung dieser Tafel wird durch nachstehendes einfache Beispiel (siehe Tabelle S. 19) erläutert.

Die Messkette besteht aus einzelnen etwa 0,5mm langen, 3™m dicken Gliedern von Eisen oder Messing, welche durch Ringe verbunden sind. Die Enden sind mit grösseren Ringen versehen zur Befestigung an Stäben. Die Anwendung der Kette ist dieselbe, wie die soeben beim Bande beschriebene. Die Kette ist wegen des häufigen Verschlingens der Glieder, -wegen des Dehnens der Ringe und Ösen und dadurch er-

Schiefe Länge Neigungswinkel

Reduktion L — L cos a

20m

20™

5°

20™

6°

20™

8°

20™

10°

20™

13°

20™

15°

17,3™

17°

20°

0,08™

0,11™

0,19™

0,30™

0,51™

0,68™

0,87™

1,04™

(0,60 -+- 0,42 + 0,02)

Schiefe Länge = 157,30™

Horizontale Länge = 157,30™ — 3,78™ = 153,52™.

3,78™

zeugten Yerlängerns des ganzen Werkzeuges, zu guten Messungen nicht geeignet, und jeden falls Jdem Bandmass untergeordnet.

Die Messkette war früher das wichtigste Werkzeug der norddeutschen Feldmesser (in Süddeutschland war sie nie im Gebrauch), die Kette ist aber bei den neueren Preussischen Kataster-Vermessungen ausser Gebrauch gesetzt, und durch das Stahlband oder die Messlatten ersetzt.

§ 10. Massvergleichung für Messlatten und Messbänder.

Die Normalmasse zur Herstellung und zur zeitweiligen Vergleichung der Messlatten und der Messbänder müssen auf amtlichem Wege erhalten werden. Die Kaiserliche Normal-Aichungs-Kommission in Berlin und die ihr unterstellten Aichungsämter verwalten das deutsche Urmeter, dessen unmittelbare Kopieen und die davon abgeleiteten Haupt-Normale und Gebrauchs-Normale ¹).

0,3

0,6

0,3

1,6

Die hölzernen Messlatten werden aichamtlich als „Werkmassstäbe“ behandelt, und nach der Aich-Ordnung ist der grösste im öffentlichen Verkehr zu duldende Fehler einer 5 Meter-Latte = + 8m™, und der grösste hei der Aichung selbst zulässige Fehler -■+-4entsprechend bei 20-Meter-Stahlbändern hzw. 4mm und 8™™.

Diese Fehlergrenzen sind bei hölzernen Messlatten für gute Feldmessung zu weit, es sind deswegen von der Kataster-Verwaltung besondere Bestimmungen getroffen, wonach der Feldmesser sich nur die Normal Masse amtlich zu verschaffen hat, nach welchen er dann seine Feld-Gebrauchs-Masse selbst richtig stellt.

Diese Bestimmung wurde in der „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 160—161 mitgeteilt, und enthält im wesentlichen folgendes:

Die Normal-Masse müssen mindestens die Genauigkeit von Gebrauchs-Normalen im Sinne des § 51. der Aich-Ordnung vom 16. Juli 1869 (Beilage zu Nr. 32 des Bundesgesetzblattes für 1869) besitzen und als solche in Gemässheit des ersten Nachtrags vom 30. Juni 1870 zu der gedachten Aich-Ordnung (Beilage zu Nr. 29 des Bundesgesetzblattes für 1870) bzw. des zehnten Nachtrags vom 25. März 1878 (Centralblatt für das Deutsche Reich, 1878, S. 205) mit einem dazu gehörigen Beglaubigungsscheine versehen sein. Es sind thunlichst nur solche Normal-Masse zu verwenden, welche bei 15° Celsius ihre richtige Länge haben.

Bei der Prüfung nach den Normal-Massen dürfen (unter Berücksichtigung der durch die Wärme ein tretenden Änderungen) die Feld-Gebrauchs-Masse folgende Abweichungen im Zuviel oder Zuwenig haben :

a. die Stahlband-Masse von 20™ Länge höchstens 3,5™”*

»    10”* n

b. ,

2,4"""

c.

d. „

„ Messlatten

e.

S 5    §

IO CO Cd

1,6”*"*

1,3”*”*

1,1™”*

Hiezu wird noch weiter bemerkt:

Zum handlichen Gebrauche und zum leichten Transporte empfehlen sich als Normal-Masse zwei Stahlstäbe von je 1™ Länge und quadratischem Querschnitt, von etwa Ie™, mit keilförmig abgeschrägten Enden, welche kreuzweise vor einander gelegt werden.

Solche Normal-Masse können von Mechaniker Bamberg in Berlin N. Linienstrasse 158, mit Kasten, zum Preise von 15 Mark für ein Paar bezogen werden. Mechaniker Bamberg besorgt auch die Aichung der Stäbe als ,Gebrauchs-Normale“ durch die kaiserliche Normal-Aichungs-Kommission.

Nachdem man in den Besitz eines Normal-Masses und der aichamtlichen Gleichung desselben gelangt ist, legt man eine Tabelle dafür an.

So haben wir zwei der technischen Hochschule zu Hannover gehörige Endmasse von Messing mit Stahlenden vergleichen lassen, und in einem Beglaubigungsschreiben der K. Normal-Aichungs-Kommission die Resultate erhalten:

I    = 1™ -j- 0,04”'™ + t X 0,0182

II    = 1™ — 0,09”*™ + t X 0,0182

mm

(l)

Bei der Temperatur t = 0° hat der Stab I die Länge 1™-f-0,04”*™, d. h. er zu lang, und für je 1° Zunahme der Temperatur t dehnt sich der aus.

ist um 0,04 Stab um 0,0182

Hiernach wurde eine Tabelle berechnet, von welcher wir den am meisten gebrauchten Teil von 10° bis 20° als Beispiel hierhersetzen:

I + II = 2“ + 0,31

t = 10° I + 1» + 0,22""»    11=1“+ 0,09

0,11 0,13 0,15 0,16

0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,27

Eine allgemeinere kleine Tabelle dieser Art für Ausdehnung von Messing, Eisen und Tannenholz haben wir im Anhang S. [1] gegeben, nebst einer Übersichts-Tabelle der,^Vielfachen solcher Ausdehnungen.

Die oben erwähnten, von der Preussischen Kataster-Verwaltung empfohlenen Normal-Masse haben ihre richtige Länge nicht hei 0°, sondern etwa bei 15°, und können dann bei den gewöhnlichen Gebrauchs - Temperaturen zwischen 10° und 20° wohl ohne Rücksicht auf die Temperatur-Ausdehnung zur Vergleichung gewöhnlicher hölzerner Messlatten benützt werden.

Nach diesen Vorbereitungen kommt die Vergleichung seihst.

Fig. l.

Vergleich-Apparat für Messlatten.]

mm

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

!<-

0,24

0,35

0,26

0,28

0,30

0,31

0,33

0,35

0,37

0,39

0,40

________5-ZL___________

0,39

0,42

0,46

0,50

0,53

0,57

0,61

0,64

0,68

L‘

(2)

ft ,

iS

»! B'

tTTT

Als Vergleich-Apparat für Messlatten benützt Verfasser ein starkes forchenes Brett B B' (Fig. 1.), auf welchem, im Abstand von etwas mehr als 5 Metern, zwei Stahlschneiden SS' befestigt sind. Nachdem die zu untersuchende Latte L L' auf das Brett zwischen die Schneiden gelegt ist, wird der noch bleibende Zwischenraum z mit einem Stahlkeil sehr bequem auf 0,1''”” genau gemessen.

Dieser Messkeil, in der Figur unten gezeichnet, ist mit einer Teilung versehen, welche die jeweilige Dicke des Keils, bis zu welcher er zwischen die Schneiden eingeschoben werden kann, d. h den Zwischenraum z, unmittelbar angieht. Der Keil wird mit der einen seiner schiefen Flächen an das ebene Ende II der Messlatte angelegt, während die andere Fläche an die Schneide S' anstösst.

Statt des Keils kann auch ein Schieber mit Nonius oder auch ein einfacher in Millimeter geteilter Anlege-Massstab angewendet werden.

Zur Messung des Abstandes der Schneiden selbst dienen die oben hei (1) und (2) erwähnten zwei messingenen Endmeter mit stumpfen Stahlschneiden, welche auf dem Brett an einander abgeschoben werden. Der in jedem Falle noch bleibende Zwischenraum zwischen dem letzten Meter und der Fixpunktsschneide wird ebenfalls mit dem Keil gemessen. Durch Wiederholung dieses Abschiebens überzeugt man sich, dass man dadurch rasch den Schneidenahstand auf 0,lmm genau bestimmen kann.

Folgendes ist ein Beispiel zur weiteren Erläuterung dieses Verfahrens mit der Annahme, dass die Stäbe I und II mit der obigen Tabelle (2) gebraucht worden sind.

Bei einer Temperatur von 14° C. wurden die beiden messingenen Kontroll-Normal-Meter zwischen den Schneiden abgeschoben, und gaben einen Zwischenraum z — 10,6”*”*. Bei 14° haben wir nach der Tabelle (2) S. 21:

= 5,0012”*

^ = 0,0106

~ = 5,0118 = 5" + 11,8™”*

I + II + i + il + I ₌ 5- -i- 0,30 + 0,16 + 0,30 + 0,16 4- 0,30 = 5™ 4- 1,22”*”' also 5 Messingmeter hiezu Zwischenmass Schneiden-Abstand

9,0”*”*

Eine Messlatte wird eingelegt, und gieht mit dem Keil das Zwischenmass:

(3)

folglich ist die wahre Lattenlänge : = 5”* + 2,8”*”* = 5,0028”*

Die Kontrollierung des Schneiden-Abstandes selbst braucht nicht sehr oft gemacht zu werden, die Änderung eines solchen Brettes von 5™ Länge beträgt bei geschützter Aufbewahrung nur 1—2”*”* in einem Jahr. Indessen bei Witterungswechsel soll man sich nie auf die Unveränderlichkeit von Hölzern verlassen.

Einige Versuche mit Karlsruher Latten haben wir in der Zeitschr. f. Verm. 1877, S. 69 mitgeteilt. Die mittlere Änderung von April bis Oktober 1876 war + 0,8”*”* auf 5 Meter Länge.

Unsere Hannoverschen Latten gaben seit drei Jahren folgendes:

Lattenlänge = 5 Meter + Tafelwert:

Latte 1883

1883

1885

1886

1886

Nr.

8. März 30. April 13. Oktbr. 4. Novbr. 12. Novbr.

Änderung

COOO<105t)T^CODCH

++++++++++

^ CO H-i H- CO to bO fcO CO fcO 'bo 'r—* 'bo 'co ^ OO 4^

mm

+ 2,6

+ 2,4

+1,6

+ 2,3

mm

+ 3,9 + 3,6 + 3,0

+ 2,3 + 2,4

+ 2,7

++++++++++

+ coca++ + c5‘co'c?i'eo

++++++++++

co _co co ça 4. rf- co cc CO It—Ifc00~acöc005

+T+++++++4

Diese Latten haben sich also um etwa 1—2”m verlängert.

Vergleich-Apparat für Stahlbänder und Ketten.

Zur Vergleichung und Berichtigung der Stahlbänder kann man sich eines Kon-troll-Normal-ßandes bedienen. Da ein solches verhältnismässig teuer ist, und da man metallene Kontrollmeterstäbe wohl für andere Zwecke ohnehin hat, kann man auch mit diesen die Vergleichung vornehmen.

Hiezu haben wir auf der Brüstungsmauer der nördlichen Altane der technischen Hochschule in Hannover die durch Fig. 2. S. 23 veranschaulichte Einrichtung getroffen : Es ist B ein etwa 2cm dicker eiserner Bolzen, welcher in die Brüstung eingegossen ist, und zum Anhalten des linkseitigen Ringes des zu untersuchenden Bandes dient. Rechts befindet sich eine Rolle mit angehängtem Gewicht, wodurch dem Band eine gewisse Spannung erteilt werden kann.

Fig. 2.

Vergleich-Apparat für Mess-Bänder.

LB

d^'K

iC

OMR

—n—>j

20(m)

Zur Massbestimmung ist rechts ein in Millimeter geteilter Messingmassstab in die Mauer eingelassen, dessen Nullpunkt 0 den Abstand A von der rechten Fläche des Bolzens B hat. Zur Bestimmung dieses Abstandes A werden die 2 messingenen Endmeterstäbe, welche oben bei (1) und (2) beschrieben wurden, von dem Bolzen B an 20 mal abgeschoben, und geben die Entfernung B M — 20 nominelle Meter, was in Fig. 2. mit 20 (m) angedeutet ist. Diese 20 fache Meterabschiebung trifft den Punkt M, oder den Strich a der Teilung, während das zu untersuchende Stahlband bis zum Punkte jR oder dem Striche n der Teilung reicht. Sind nun L und II, die Meterlängen bei der betreffenden Temperatur, so hat man:

(4)

^4 = 10 (It -+- II₍) — a Wenn der Bolzen B nicht genau die halbe Dicke des Bandringes hat, so kommt noch die kleine Reduktion d links, nach Andeutung der Figur, hinzu, und damit wird:

(5)

(6)

oder:

S = A 4" n d S = 10 (I₍ + II«) — a + n -(- d

Beispiel.

Am 9. November 1886 wurde unser Stahlband (Nr. 2096) bei einer Temperatur von 11° auf dem Apparat Fig. 2. mit einer Spannung von 5 Kilogramm verglichen. Zuerst wurden die beiden Messing-Endmeter 20mal abgeschoben, und gaben:

a — 8,4™”'

Diese Messingmeter haben nach der Tabelle (2) bei 11° zusammen die Länge I, + II, = 2™ + 0,35™™

10 (It + IL) = 20™ + 3,5™™

also

Ferner fand sich:

d — 3,0™™

n = 1,5™™

(6)

(7)

(8)

Es ist also nun nach (6):

S = 20™ + 3,5™™ — 8,4™™ + 1,5™™ + 3,0™™ S — 20™ — 0,4™™

(9)

Das Band ist also um 0,4™™ zu kurz, d. h. hinreichend richtig.

Die Temperatur des Bandes selbst ist hiebei nicht in Rechnung gebracht, es ist nur die Länge des Bandes in der Temperatur, welche gerade stattfand, (11°) bestimmt worden. Da man bei den Messungen im Felde selbst die Temperatur des

Bandes auch nicht berücksichtigt, so ist es am einfachsten, die Vergleichungen hei mittleren Temperaturen, möglichst bei 15° zu machen, und von der Temperatur des Bandes abzusehen. Übrigens kann man auch die Temperatur des Bandes, welche für 10° und 20m rund 2mm ausmacht, nach der Tabelle S. [1] des Anhangs berücksichtigen.

Wenn man mehrere Bänder nach einander vergleicht, so gilt die Berechnung von A nach (4) für alle gemeinsam; auf einer steinernen Sockel-Mauer an der Nordseite eines Hauses, wie in unserem Falle, kann man auch A längere Zeit als konstant annehmen, und hat dann folgende Anordnung der Vergleichung:

J. Vorbereitung.

20 Meter bei 11° abgeschoben, geben nach der Tabelle (2):

10 (I₍ + II₍) = 20m + 3,5mm Ablesung an dem Massstab a = 8,4mm 10 (I, + IL) — a = A = 20m — 4,9”*™

d = + 3,0™ n— -+- 1,5“

Bandlänge: S = 20™ — 0,4mm

— 2mm = H- O^”¹”1 Bandlänge bei 15°: S₁₅ = 20m -f- 0,4”"“

Hat man viele Vergleichungen zu machen, so legt man ein autographiertes Schema an, in welchem alles Konstante vorgedruckt ist. Ein solches Schema schützt namentlich vor den in solchen Fällen gefährlichen Vorzeichen-Fehlern.

Es ist noch ein Wort über die Spannung des Stahlbandes zu sagen: Wir haben eine Spannung von 5 Kilogramm angenommen, welche durch die Bollen-Vorrichtung von Fig. 2. bestimmt wird. Die mit verschiedenen Gewichten gemachten Erfahrungen

gaben für eine Spannungs-Zunahme von 10 kg eine Bandstreckung im Mittel etwa _ 2*»»». Das Band hat 20’

Breite und etwa 0,5mm Dicke, also einen Querschnitt

= 10?mm oder = 0,Dcm.

Man berechnet hieraus einen Elastizitäts-Modul = 1000 000 kg pro 1««“, während für Stahl gewöhnlich etwa 2000 000 angenommen wird.

Die.in der Anmerkung auf S. 19 angegebene aichamtliche Fehlergrenze 1,6 “ gilt für eine Spannung von 20 Kilogramm.

§ 11. Genauigkeit der Längenmessung mit Messlatten, mit dem Messband und mit der Messkette. Allgemeine Vergleichung dieser

Werkzeuge.

Die bei Längenmessungen auftretenden Fehler sind teils unregelmässig, gleich wahrscheinlich positiv und negativ, teils regelmässig oder einseitig wirkend.

Wir betrachten zunächst nur die unregelmässigen Fehler: Eine Länge l werde durch n maliges Aneinander legen der Massstablänge X erhalten, also:

l — X -(- X -f- X —L • •. X — n X

Jede Massstab-Anlage habe den unregelmässigen mittleren Fehler + n > dann ist der Gesamtfehler angedeutet durch:

= ±f*±/“±P±-..±M

und nach Band 1, Meth. d. kl. Q. (2 b), § 5. S. 12, ist der mittlere Fehler der gemessenen Länge l:

ui — y/ ■+* i«²    + • • • i«² — Vn    = n Y n

Setzt man hier nach (1):

so wird:

(2)

fl

= m-i

d. h. uiy ist der mittlere Fehler der Längeneinheit. Man hat also in Worten den wichtigen Satz, dass der mittlere unregelmässige Fehler der Längenmessung proportional der Quadratwurzel der Länge wächst.

Um die Genauigkeit irgend welcher Längenmessungs-Art zu bestimmen, kann man etwa eine Länge l oft wiederholt messen, nach den Sätzen über das arithmetische Mittel (Band I, § 7. S. 15) den mittleren Fehler m einer einzelnen Messung der Länge l ableiten, und hieraus nach (2) auch den mittleren Fehler uiy der Längeneinheit finden.

In der Praxis hat man es viel häufiger mit zahlreichen Doppelmessungen zu thun, wie sie z. B. bei Polygon-Zügen auftreten.

Die hiezu nötige Formel haben wir schon in Band I (6) §11. S. 30 entwickelt, nämlich,Ijwenn nun der mittlere Längeneinheits-Fehler mit uiy und die einzelnen Längen mit l bezeichnet werden:

wo gesetzt ist:

Vk

(3)

Uly

(4)

Dabei sind dy d% d?j.. . d„ die Differenzen von n Doppelmessungen.

Als Beispiel hiefür wollen wir einige Messungen besonders genauer Art nehmen, nämlich Messungen mit Meterstäben längs gespannter Schnur:

Num.

da

d*

mm

05 Ol + OS t>0 H-*

28,1155

28,136

28,061

28,019

14,400

14,549

28,111

28,140

28,057

28,021

14,399

14,5475

+ 4,5

-4,0 + 4,0 — 2,0

+ 1,0

+ 1,5

20,25

16,00

16,00

4,00

1,00

2,25

0,72

0,57

0,57

0,14

0,07

0,15

C- OO 05

(N

<X) C> CO 4^ 4^

'CG 'Vl ^<1 'in ¹ 'uO Oi «<1 OO CO —J Cn »—*

OO

14,272

14,1385

9,582

9,776

9,741

9,3675

-1,0

-3,5

0,0

0,0

0,0

— 0,5

o o o o to —•

gfggssfs

0,07

0,87

0,00

0,00

0,00

0,03

3,19

-y/3,19 y 24

5m 10m    20m    50"¹

Hiernach sind folgende Zahlenwerte berechnet: Gemessene Länge .... I = \m Mittlerer Fehler einer Messung m = 0,4ram 0,8mm

l,lmm 1,6”*”* 2,5”*m Wenn man nicht lauter Doppelmessungen hat, sondern Gruppen von beliebigen Messungshäufungen, so berechnet man aus jeder Gruppe den mittleren Fehler für sich, wie schon im Anschluss an (2) angegeben wurde, und dann bildet man aus diesen verschiedenen m\ einen Gesamtmittelwert, indem man jedem m\ sein (n — 1) als Gewicht giebt, wo n die einzelnen Gruppenzahlen sind, also wenn in der ersten Gruppe n' in der zweiten n" u. s. f. Messungen vereinigt sind, berechnet man:

(6)

m\ =

(»' — 1) K')² + (»” — 1) Oi")² + in'" — 1) («ij"')² + ...

(n' — 1)-H»" — 1)+ (*»'" —1) + ...

Nach solchen Formeln kann man den unregelmässigen Längeneinheitsfehler immer berechnen, und da in Messungswiederholungen sich die einseitig wirkenden Fehler wohl grösstenteils auf heben (einzelne Reste hievon, z. B. heim Messen bergauf und bergab u. s. w. werden immer noch Vorkommen), so kann man die so berechneten Werte für praktische Zwecke hinreichend genau als unregelmässig annehmen.

Nun sind aber alle unmittelbaren Längenmessungen mehr oder weniger auch mit einseitig wirkenden und konstanten Fehlern behaftet, z. B. erzeugt das Ausweichen aus der Geraden nach rechts oder links, nach oben oder unten, ferner bei der Messung mit dem Band oder der Kette das Einschlagen derselben, unter allen Umständen einen positiven Fehler, d. h. das Resultat wird infolge dieses Fehlers zu gross erhalten.

Diese regelmässigen Fehler sind proportional der Länge selbst anzunehmen, und da nun in dem Gesamtfehler zwei Elemente zusammentreten, von denen das erste proportional Y l und das zweite proportional l ist, so ist als theoretische Form für den Gesamtfehler anzunehmen (nach Band I, § 6. S. 14) :

(?)

M=ViA VT)² + (B l)2 = ŸA2 l + B²l²

Dieses ist das theoretische Gesetz, und es kommt nun darauf an, die Coëfficienten A² und B² jeweils durch Erfahrung zu bestimmen.

Im Jahr 1877 war mancherlei hiezu bestimmtes Material vorhanden (vgl. hierüber „Zeitschr. f. Venn.“ Band I (1872) S. 17—36, 120—129, 154—162, 199—200 221—225, Band II (1873) S. 185—211 und S. 344-362), sowie auch Wastlcr, 845 Doppelmessungen mit der Kette (Zeitschr. des österr. Ing.- und Arch.-Vereins 1876, S. 33—37), und Lorber, 5970 Doppelmessungen mit Latten, Kette, Stahlband und Drehlatte: „Über die Genauigkeit der Längenmessungen“, Wien 1877, Berg- und Hüttenmännisches Jahrbuch 1877, I. Heft.

Hieraus haben wir folgende Mittelformeln gebildet:

m — 0,003 Y l

0,005 yi

m = 0,008 y l

für Lattenmessung für Stahlbandmessung für Kettenmessung

und hiernach wurde folgende Übersichts-Tabelle berechnet:

Gemessene

Länge

Mittlerer unregelmässiger Fehler einer Messung mit

I.

II.

Latten m,y = 0,003

III.

Kette

wij “ 0,008

Mittlerer

regel

mässiger

Fehler

4- 0,03 %

m' = -f- 0,00™ 0,02 0,03

Stahlband ml — 0,005

m = + 0,01™ m = + 0,02™ m = -t~ 0,03™

0,04 0,05 0,07

0,09 0,10 0,11 0,16

Soweit nicht Untersuchungen für besondere Umstände vorliegen, wird man die Angaben dieser Tabelle wohl als allgemeine Mittelwerte annehmen dürfen.

Als wichtigste amtliche Bestimmung über Feldmess-Längen-Genauigkeit haben wir aus der „Preuss. Anweisung IX“, vom 25. Oktober 1881 S. 20, folgendes anzuführen:

Die zulässige Abweichung zweier unabhängiger Messungen (hin und her) der Länge l ist für Latten oder Stahlband:

I. auf ebenem günstigem Boden

II.    auf mittlerem Boden

III.    auf unebenem ungünstigem Boden a = 0,01 )/8 l -j- 0,01 G Hiernach ist folgende Übersichts-Tabelle berechnet:

10™

50

100

0,02

0,06

(8 a)

200

300

400

500

1000

Gemessene

Länge

10™

50

100

200

300

400

500

1000

2000

3000

0,03

0,08

0,04

0,05

0,06

0,07

0,09

0,11

0,06

0,14

0,16

0,18

0,25

0,09

0,12

0,15

0,30

= 0,01 Y4 Z + 0,00512 a = 0,01 Ÿ61 + 0,0075 Z²

Zulässige Differenz zweier Messungen

I. günstig.

CO^H(M H Ołl>lO t>- O OHC4W

o'dd'd' d'd'd'o' r-T ci'

(9)

TL mittel. IlII. ungünstig.

a = 0,08m

a — 0,09™

0,18

0,20

0,26

0,30

0,39

0,45

0,50

0,60

0,70

1,16

2,05

2,92

0,57

(10)

0,69

0,81

1,34

2,36

3,38

Um die Bestandteile der drei Formeln (9) besser übersehen zu können, schreiben wir diese Formeln auch in andere Form:

I. günstig

a = y (0,02 yi )2 + ^0,071

l \2

100

II. mittel

a= y(0,025 y Z)² -t- (o,087 ₁₍jJ

a — y(0,028 ]/T)² -H ^0,100

(H)

III. ungünstig

Es wird also im Falle II. ein unregelmässiger mittlerer Fehler-Teil von 0,025™ für 1™ und ein einseitig wirkender Fehler-Teil von 0,087% angenommen.

Um ferner diese amtlich gültigen äussersten Messungsdifferenzen mit den unter (8) gefundenen mittleren Fehlern vergleichen zu können, muss man sich zuerst erinnern , dass nach Band I, § 98. S. 296, die zulässige Messungs-Abweichung a etwa gleich dem 4 fachen mittleren Fehler einer Messung zu setzen ist.

Hiernach bilden wir folgende Vergleichung:

Gemessene Längel

100™

yVn² -f- m'2 nach (8 a), II.

0,06™

0,09

0,19

1000

0,34

_    « CO O OO OS

g ^ ' o o o o « I rr

to

Dieses ist eine befriedigende Übereinstimmung.

Was die Vergleichung der verschiedenen Vorzüge und Nachteile der Messlatten, des Stahlbandes, der Kette u. s. w. betrifft, so steht so viel fest, dass die Messlatten die grösste Genauigkeit geben, dass aber die Messung mit dem Stahlband im freien Feld etwas rascher von statten geht, und jedenfalls für die Arbeiter auf die Dauer weniger ermüdend ist.

Der Deutsche Geometer-Verein hat im Jahr 1873 auf seiner Hauptversammlung in Nürnberg Versuchsmessungen mit diesen Werkzeugen angestellt, worüber ein ausführlicher Bericht in der „Zeitschr. für Venu. 1873“, S. 344—362' von uns veröffentlicht wurde.

Das Ergebnis dieser Versuchs- und Konkurrenz-Messungen, bei welchen die Süddeutschen zum erstenmal die Messkette, und die Norddeutschen zum erstenmal die Latten in Thätigkeit sahen, war, dass zunächst beide Parteien um so hartnäckiger bei ihren gewohnten Werkzeugen blieben, nämlich die Süddeutschen bei den Latten, die Norddeutschen bei der Kette oder dem Band. Doch haben jene Nürnberger Versuche mittelbar viel zur Klärung der Ansichten beigetragen, wornach beide Arten von Län-genmess-Werkzeugen nach Umständen auszuwählen sind. Die Messlatten haben sich inzwischen in Norddeutschland sehr eingebürgert.

¹

Abstufung der aichamtlich gebrauchten Masse und Gewichte.

1)    Deutsches Urmeter und Urkilogramm. (Vgl. Art. 2. und 5. der Mass- und Gewichtsordnung.)

2)    Unmittelbare Kopieen der Urmasse. Diese können nur von der Normal-Aichungs-Kommission hergestellt werden.

3)    Haupt-Normale werden von einzelnen Aufsichtsbehörden ausgegeben.

4)    Kontroll-Normale werden von allen Aufsichtsbehörden ausgegeben und zwar sowohl an die Aichämter als an Private. Der Maximalfehler eines Kontroli-Normals ist 1/20 des entsprechenden im öffentlichen Verkehr zulässigen Fehlers.

5)    Gebrauchs-Normale sind hauptsächlich für den Gebrauch der Aichämter bestimmt. Der Maximalfehler eines Gebrauchs-Normals ist 1/5 des entsprechenden im öffentlichen Verkehr zulässigen Fehlers.

6)    Neu geaichte Verkehrs-Masse werden von den Aichämtern an das Publikum ausgegeben. Der Maximalfehler derselben ist l/₂ des entsprechenden im öffentlichen Verkehr zulässigen Fehlers.

Die Abstufung der Genauigkeit ist so bemessen, dass selbst die ungünstigste Anhäufung aller Fehler nicht im stände ist, ein Mass zuzulassen, dessen Fehler gleich anfangs die im Verkehr gestattete Grenze überschreitet.

Grösste zulässige Differenzen zioisehen Gebrauchs-Normalen und den entsprechenden Kontroll-Normalen.

Ein Meter von Messing, als „Handelsmass“ hat zulässige Differenz 0,10 Millimeter Ein Meter von Messing, als    „Präzisionsmass“ „    „    „    0,04    „

Ein Meter von Holz    „

Ein Doppelmeter von Holz    „

Ein Anschlagmeter von Stahl    „

Ein Bandmass von 20 Meter    Länge    „

§ 12. Ausgleichung von Längeninessungen.

Obgleich die Ausgleichung von Messungen in einer Geraden, etwa mit verschiedenen Teilpunkten, ungemein einfach ist und von jedem Praktiker durch Proportional-Verteilung gelöst wird, ist es doch nicht überflüssig, sich auch theoretisch hierüber klar zu werden, namentlich weil es ein weitverbreiteter Irrtum ist, die Methode der kl. Q. verlange ein anderes als „das bisherige Verfahren, die Fehler der Längenmessungen im einfachen Verhältnis der Länge der Linien zu verteilen“ (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1872“, I. Band S. 162).

Dieses „bisherige Verfahren“ entspricht nämlich gerade den theoretischen Fchler-gesetzen, denn wenn die unregelmässigen Fehler proportional ]/l wachsen, so sind ihre Gewichtsreciproken proportional l, und darnach ist die Verteilung zu treffen. Andererseits sind die regelmässigen Fehlerteile, welche selbst proportional l sind, jedenfalls proportional l zu verteilen, weil bei einseitig wirkenden Fehlern kein gegenseitiges Aufheben angenommen wird.

Die Fehlerverteilung „im einfachen Verhältnis der Längen“ entspricht also allen theoretischen und praktischen Anforderungen.

Wir wollen dieses näher betrachten :

Man habe den Fall, dass auf einer Geraden zwischen zwei unabänderlich gegebenen Fixpunkten weitere Punkte einzumessen sind. Wir machen dabei die Annahme, dass der mittlere Längenmessungsfehler proportional der Quadratwurzel der Länge wächst, oder dass das Gewicht einer Längenmessung umgekehrt proportional der Länge seihst ist.

Der geradlinige Abstand der Fixpunkte sei L, die Messung soll aber einen Widerspruch to ergehen, indem statt L der Wert L — w erhalten wird. Ein Punkt sei festgelegt durch

Fig. l.

Längen-Ausgleichung. w — L — (l -|- V).

_v_

-L

<F

den gemessenen Abstand l vom ersten Fixpunkt j

und den gemessenen Abstand V vom zweiten p l'“~

<w>

K----x----->

Fixpunkt (vgl. Fig. 1.), es ist also:

(1)

-------1*--------»

Tj l -j- V -f- w

Der durch die Ausgleichung zu findende Abstand vom ersten Fixpunkt sei = x. Nun hat man zwei Bestimmungen für x:

1)    £C] = l mit dem Gewicht pl =

2)    x₂ = L— V oder wegen (1): x₂ = l w mit dem Gewicht p₂ = ~ also nach Band I. § 8. S. 19:

= l~\--g

Pl +P2

pll+p₂ (i+w) Pl +P2

oder mit Einsetzung der Gewichte pi und p₂:

(2)

x — Ï —(—

— w-l + zw

Hiebei ist im Nenner näherungsweise L statt l -j- V geschrieben. Die Korrektion der ersten Messung 1 beträgt also :

vi = + j; ¹⁰ s

und für die zweite Messung V wird die Korrektion entsprechend sein:

V% —    W

d. h. der Widerspruch iv wird auf die zwei Strecken l und l' proportional den Streckenlängen verteilt.

Die vorstehende Betrachtung gestattet noch, den mittleren Messungsfehler für die Länge 1 und den mittleren Fehler der Lage des Punktes nach der Ausgleichung anzugeben. Zuerst kann man den mittleren Fehler einer Messung der Länge 1 (vor der Ausgleichung) bestimmen; derselbe ist nach den Sätzen über das arithmetische Mittel von Beobachtungen verschiedener Genauigkeit Band I § 8. S. 22:

iv

Pl

Vl

wie sich auch unmittelbar einsehen lässt, indem w als der mittlere Fehler einer Messung der Länge L zu betrachten ist. Der mittlere Fehler von x nach der Ausgleichung ist :

VPi~\-P2

d. h. der mittlere Fehler der Punktfestlegung durch Einmessen zwischen zwei Fix

-i*¹*

punkten ist proportional der Ordinate Yl V des über der Geraden L als Durchmesser

w

beschriebenen Kreises; er wird am grössten in der Mitte, nämlich = -- •

Etwaige Fehler der Fixpunkte selbst müsste man, um sie wenigstens möglichst zu zerstreuen, ebenfalls den Längen proportional verteilen; ebenso etwaige einseitig wirkende Messungsfehler, es führt also die Annahme des theoretischen Quadratwurzelgesetzes von selbst zu dem überall befriedigenden Verfahren.

Hat man eine Linie einmal durchlaufend und sodann in zwei Absätzen gemessen, so verfährt man nach demselben Prinzip, wie folgendes Beispiel zeigt :

. Durchlaufend gemessen: 2 -ł- Ż' =415,26’“

Einzelne Messungen: l = 274,38, V = 140,72, also Z + Z' = 415,10 Man nimmt nun für die Gesamtlänge das Mittel aus 415,26 und 415,10, d. h. 415,18 (sofern nicht etwa durch das Absetzen eine aussergewöhnliche Unsicherheit entstanden ist) und verteilt dann den Widerspruch 274,38 + 140,72 — 415,18 ^415,10 — 415,18 = — 0,08 proportional den Strecken 274 und 141, d. h. in die Teile 0,05 und 0,03 und man hat das Gesamtresultat:

l = 274,38 + 0,05 = 274,43 V = 140,72+0,03= 140,75 l + V = 415,26 — 0,08 = 415,18

Die Ausgleichung von Längenmessungen, welche nicht auf einer Geraden vorgenommen werden, also die Ausgleichung eines durch Längenmessungen aufgenommenen Polygons wird theoretisch sehr umständlich. Schon die Ausgleichungs-Rechnung eines Vierecks, in welchem die vier Seiten und beide Diagonalen gemessen sind, würde sich praktisch nicht lohnen.

Einige solche Ausgleichungen, welche jedenfalls ein gewisses theoretisches Interesse verdienen, hat Steuerrat Vorländer in der „Zeitsehr. für Verm. 1873“ S. 145 bis 171 mitgeteilt, wobei jedoch allen Messungen, unabhängig von den Längen, gleiche Gewichte zugeteilt sind.

§ 13. Das Messrad.

Unter „Messrad“ verstehen wir ein Rad, das mit einer mechanischen Vorrichtung zur Zählung der Umdrehungen versehen ist, wodurch bei der Abwicklung des Rades auf einer Geraden die Länge dieser Geraden auf bequemste Weise gemessen wird.

In Deutschland werden namentlich die Messräder von Wittman in Wien gebraucht, deren Konstruktion die folgende Fig. 1. S. 31 veranschaulicht.

Das Rad A hat einen Umfang von 0,5 bis 2 Meter, und ist je nach der Grösse mit einer mehr oder weniger ausgedehnten Vorrichtung B zum Halten und Handhaben versehen (die grösseren Räder haben ein schubkarrenartiges Gestell, welches sich an B anschliesst). Die Axe des Rades setzt ein Zahl werk in Bewegung, welches in dem Gehäuse CD sich befindet, und die Zahl der Umdrehungen an einzelnen Zifferblättern abzulesen gestattet.

In Betreff der Genauigkeit, welche das Messrad liefert, benützen wir einen Teil der Versuche, welche Prof. Tinter in Wien angestellt, und in der „Zeitschr. des österr. Ing.- und Arch.-Vereins 1875“ Heft II und III mitgeteilt hat:

Fig. l.

Messrart.

’K

ßu

l&Iö 9

:d

Versuche auf einem guterlialtenen Fussiceg, teilweise mit feinem Schotter. a) Langsam gefahren:

Gemessene Entfernung.

499,80™

499,55

499,85

499,57

499,67

lOOlSt-W

aqœœo

©OOJOłO C2 O 02 02 i

rH    H

199,85«'    299,82™    399,5s«¹

200,05    300,28    400,23

199,58    299,69    399,75

200,05    300,15    400,02

200,10    300,15    400,05

Mittel

Wahrsch. Fehler einer Messung

99,92    199,93    300,02    399,92    499,69

± 0,08™    ±0,15™    ±0,17™    ±0,18™    ±0,09™

Fehler-V erhältnis

1249

1333

1759    2222    !    5552

Mittel

b) Sehr schnell gefahren: 99,90™    199,57™    299,47™

3^9,35™

Wahrsch. Fehler einer Messung

± 0,10™

± 0,10™

±0,18™

± 0,23™

Fehler-V erhältnis

999

1996

1664

1475

Die heigesetzten wahrscheinlichen Fehler und die Fehler-Verhältnisse sind die von Tinter berechneten. Aus den Fehler-Verhältnissen, welche mit wachsender Länge zweifellos abnehmen, erkennt man, dass man den mittleren Fehler nicht der Länge selbst proportional annehmen darf, sondern mit der Quadratwurzel der Länge wachsend. Wir machen daher für die erste Versuchsreihe die folgende Fehlerherechnung :

Nummer der Messung

Messungs-Resultate

cn co to

99,95»

100,00

99,65

99,97

100,05 199,85»

200,05

199,58

200,05

200,10 299,82»

300,28

209,69

300,15

300,15 399,55™

400,23

399,75

400,02

400,05 499,80»

499,55

499,85

499,57

499,67

Mittel und mittlerer Fehler des Mittels

99,92+0,07 199,93+0,09 300,02+0,11 399,92+0,12 499,69+0,06

Mittlerer Fehler einer Messung

+ 0,16»    +0,20™    +0,25™    +0,27™    +0,13»

Der mittlere Fehler einer Messung der Längeneinheit (1 Meter) findet sich hieraus: ÖJ62 Ö,20²    0,252 ~~0,27²    O/tW _

IW ⁺ 200    3W + 400    5Wj ~

es ist also der mittere Fehler einer Messung der Länge l:

m = ±0,013 }/J

Vt(

± 0,013»

wobei m und l in Metern zu rechnen sind.

Da die einzelnen Strecken ausser mit dem Rade, mit anderen genaueren Mitteln gemessen sind, so kann man noch unter der Voraussetzung, dass diese anderen Messungen im Vergleich zu den Radmessungen fehlerfrei seien, den konstanten Fehler der Radmessung, welcher in der vorstehenden Berechnung ausser Betracht gehliehen ist, bestimmen. Dass ein konstanter Fehler vorliegt, entweder in den Radmessungen oder in den anderen Messungen, zeigt sich daran, dass in vier Fällen die Mittel der Radmessungen kleiner sind, als die anderen Resultate, während nur in einem Falle das Rad im Mittel ein etwas grösseres Resultat gegeben hat.

Das Verhältnis der Radresultate zu den anderweitig bestimmten Längen ist

im Mittel:

99,92 + 199,93 + 300,02 + 399,92 + 499,69    1499,48

~ 100 + 200 + 300 + 400 + 500 — 1500 0,52 1500

und hiernach gieht das Rad die Entfernungen im Mittel um 0,0347% zu klein.

Dass die Angaben des Rades im allgemeinen einer kleinen prozentischen Korrektion bedürfen, wird man wohl annehmen müssen Die Korrektion kann sogar für dasselbe Rad hei verschiedener Bodenbeschaffenheit verschieden sein. Da man aber die Korrektion leicht bestimmen, und mittelst einer zu berechnenden kleinen Hilfstafel berücksichtigen kann, so ist dieses durchaus kein besonderer Übelstand der Radmessung, sondern eine Sache, welche diese Messungsmethode mit jeder anderen Methode der unmittelbaren Längenbestimmung mehr oder weniger gemeinsam hat.

Professor Schlebach berichtet in der „Zeitschr. für Verm. VI. Band 1877“ S. 241—249, über eine grössere Reihe von Versuchen mit einem Rad von 2» Umfang

oder:

= 1-

= 1 — 0,000347

von Konrad Baer in Nürnberg. Der mittlere Fehler wurde durch Vergleichung gleichartiger Messungen mit ihrem arithmetischen Mittel bestimmt mit der Annahme, dass der mittlere Messungsfehler proportional der Quadratwurzel der Länge wächst. Die Länge der gemessenen Linien war zwischen 60™ und 300“. Folgendes sind die Hauptresultate:

Anzahlder Mittlerer Fehler

Messungen

y 1 Meter Lange

+ 0,009™

0,019

0,012

0,006

0,036

0,020

0,039

0,014

Beschaffenheit des Bodens

von

1.    Pflaster aus Granitplatten..........

2.    Bekiester Fussweg.............

3.    Gutes Strassenpflaster aus kleinen Kalksteinen .    .    .

4.    Gut erhaltene Landstrasse..........

5.    Neu erstellte Strasse mit ganz grobem Schotter .    .

6.    Trockenes Wiesland mit kurzem Gras......

7.    Bekiester ordentl. erhalt. Feldweg mit 9% Steigung auf u. ah

8.    Frisch geackertes Feld mit 9% Steigung.....

40

40

30

50

30

50

10

10

Durchschnitt + 0,019™

Dieses stimmt nahezu mit den oben angegebenen Eesultaten von Tinter, und da unsere eigenen seit etwa 10 Jahren jährlich hei den Messungsubungen angestellten Vergleichungen im wesentlichen damit übereinstimmten, nehmen wir den mittleren unregelmässigen Fehler einer Messrad-Messung:

= 0,02 yj

wonach folgende Übersicht berechnet ist:

Gemessene Länge l

Mittlerer Fehler einer Messrad-Messung ± 0,06™

0,14 0,20 0,28 0,35 0,40 0,45 0,63

Vergleicht man dieses mit der Tabelle (8a) § 11. S. 27 für Latten-, Band- und Ketten-Messung, so sieht man, dass mit Rücksicht auf die Bequemlichkeit der Radmessung, diese für viele Zwecke ein vorzügliches Hilfsmittel ist. Nur darf man konstante Fehler hiebei ja nicht ausser Acht lassen.

Zu ausgedehnten Kontrollierungen, z. B. der Distanzsteine an Strassen und Eisenbahnen, eignet sich das Messrad vorzüglich, und es empfiehlt sich dann, das Zählwerk mit einem Glockenschlag zu versehen, welcher etwa alle 100™, 500™ u. s. w. tönt.

10

50

100

200

300

400

500

1000

§ 14. Schrittmass und Marschzeit.

Die Entfernungs - Bestimmung durch Abschreiten ist eine so bequeme und einfache, dass ihr trotz der augenscheinlichen Unsicherheit immer noch für manche Zwecke eine hohe praktische Bedeutung zukommt. Aus diesem Grunde hat Verfasser seit Jahren Erfahrungen über Schrittmasse gesammelt.

Die erste Frage betrifft die Schwankungen der Schritte verschiedener Menschen. Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd,

Zur Beantwortung derselben stehen uns 256 Schrittwerte zur Verfügung, welche seit 1873 bei den ersten Längenmessungen der Studierenden an den technischen Hochschulen zu Karlsruhe und Hannover gewonnen wurden, indem Linien von 200—300m mit Latten und Messbändern auf ebenem Boden gemessen und nachher von den Messenden abgeschritten wurden. Nach der Grösse geordnet geben diese 256 Schrittwerte folgende Übersicht:

Häufigkeit des Vorkommens

Häufigkeit

Schrittlänge

Schrittlänge des Vorkommens

63 cm

1 mal

83 cm

10 mal

70 „

84 „

13

71 *

85 „

11

72 „

73 „

74 „

Ö5 CH tO H

86 „

87 „

88 „

13

13

18

91 „

34

H CO -5t¹ CVI r-H r-<

29

98 „

28

94 „

81 „

23

82 „

20

97 „

73.

183

= 80

Das Mittel aus allen 256 Werten ist 80,7cm und, wenn man diese 250 Werte als ebenso viele unabhängige Bestimmungen einer Unbekannten auffasst, so findet man aus den Abweichungen dieser Bestimmungen von ihrem Mittelwerte den mittleren Fehler einer solchen Bestimmung = + 4,47''"' oder 5,5 0/₀ ; hiernach hat man das Recht, wenn ein Schrittmass in der Ebene vorliegt, ohne dass man über die Persönlichkeit des Schreitenden oder sonstige Umstände etwas Besonderes weiss, 1 Schritt rund anzunehmen, und der damit berechneten Länge einen mittleren Fehler von etwa 5 % zuzuschreiben.

Die Verteilung der Häufigkeits-Zahlen n, die man am besten durch Aufträgen dieser Zahlen n als Ordinaten zu den Schrittwerten s als Abscissen veranschaulicht, zeigt, wie zu erwarten, ein asymptotisches Auslaufen gegen die untere und die obere Grenze, aber keine Symmetrie gegen den Mittelwert. Vielmehr hat 78cm das deutlich ausgesprochene Maximum der Häufigkeit (n = 34), von welchem die Kurve nach beiden Seiten rasch abfüllt und beim Mittelwerte 80,7 nur noch etwa n = 25 zeigt.

Das Alter der Schreitenden war im Mittel etwa 20 Jahre; es ist wahrscheinlich, dass mit zunehmendem Alter die Schrittgrösse wieder etwas abnimmt.

Alan kann annehmen, dass der Schritt eines und desselben Menschen, von Zeit zu Zeit neu bestimmt, Entfernungs-Bestimmungen etwa auf 2 % genau grebt, wenn keine ungünstigen Ursachen einwirken. Solche Ursachen sind z. B. Steigung des Weges und Ermüdung nach langem Marsche.

Zur Prüfung des Schrittmasses für Nivellements-Zwecke beging der Verfasser im September 1881 die Strassenstrecke von Freudenstadt nach Lautenbach über den Kniebis, und schritt den grössten Teil derselben nach den Strassensteinen ab. Es fand sich die Schrittlänge :

auf wagerechter Strasse auf der Kniebis-Strasse mit 7,4 o/₀ Steigung aufwärts .    76,3C™,

(Mittags-Pause)

auf der Kniebis-Strasse mit 7,4 °/₀ Gefälle abwärts . . 76,8C™, auf wagerechter Strasse nach 7stündigem Marsche . . 75,0C™.

78,0C™,

Also trotz erheblich verschiedener Umstände ergaben sich doch nur Abweichungen bis zu 4o/₀ vom Mittel (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 299).

Viel bedeutender werden die Änderungen, wenn man die Landstrasse verlässt und auf Gehirgspfaden oder pfadlos an Abhängen marschiert. Zur Gewinnung der Schrittwerte unter solchen Verhältnissen benutzte der Verfasser tachymetrische und Messhand-Züge. Aus 136 Vergleichsstrecken fand sich nach graphischer Ausgleichung:

Schrittwert

aufwärts

Steigung

Schrittwert

cm

abwärts

Gefälle

cm

0°

77

0°

77

5°

70

5°

74

10°

62

10°

72

15°

56

15°

70

20°

50

20°

67

25°

45

25°

60

30°

38

30°

50

Bei 30° Steigung ist also die Horizontal-Projektion eines Schrittes nur noch die Hälfte von dem Werte in der Ebene, während hei 80° abwärts 1 Schritt immer noch etwa ²/₃ des Wertes in der Ebene als Horizontal-Projektion giebt. (Weiteres hierüber s. „Zeitschr. f. Yerm. 1884“, S. 485—488.)

Man kann noch fragen, in welcher Weise das Schrittmass von der Kürpergrösse abhängig ist? Eine kleine hierauf bezügliche Untersuchung an 19 Studierenden vom Jahre 1884 gab:

Manneshöhe

Schrittwert

Manneshöhe

Schrittwert

H r-T

im

Hi

1,63™

\m

’m

0,77™

0,79™

0,74™

0,75™

0,80™

0,88™ 0,76™ 0,77™

1,74“

1,75™

1,76™

1,77™

1,78™

1,80™

1,81™

0,81"

0,76

0,81™ 0,85™

0,80™ 0,75™ 0,81™

0,83™

0,84™ 0,83™ 0,80™.

1,72™

Das Wachsen des Schrittes mit der Körperhöhe zeigt sich deutlich, wie es ja auch nicht anders sein kann. Zur Ausgleichung wurde nach der Methode der kleinsten Quadrate die Formel gebildet:

s = 0,7905™ + 0,25 (h — 1,70™),

±0,0085 ±0,12

wo die mit ± heigesetzten Werte die mittleren zu fürchtenden Fehler nach der Ausgleichung sind. Der mittlere Fehler einer Schrittbestimmung wurde = ± 0,034™.

Der Coefficient 0,25 ± 0,12 sagt, dass einer Zunahme der Körperhöhe eine Schrittzunahme von i/₄ entspricht, dass aber diese Zunahme selbst nur auf i/₂ ihres eigenen Wertes sicher berechnet ist.

Nach der letzten Formel bildet man folgende Tabelle :

Höhe 1,80™ 1,85™ 1,90™ 1,95™ 2,00™

Höhe

1,55™

1,60™

1,65™

1,70™

1,75™

Schritt

0,75™

0,77™

0,78™

0,79™

0,80™

Schritt

0,82™

0,83™

0,84™

0,85™

0,87™.

Wir haben noch ein Wort über sogen Normalschritte zu sagen. Beim Militär ist beim Marschieren in Reih und Glied gleicher „Schritt und Tritt“ nötig, aber ausserhalb Reih und Glied und ohne Trommeltakt hat jeder Mann seinen eigenen Schritt, in den er immer wieder unwillkürlich verfällt. Man soll daher auch nicht einen Messgehilfen zwingen wollen (was zuweilen vorkommt), einen „Normalschritt“ anzunehmen ; vielmehr muss man umgekehrt, wo es auf Genauigkeit ankommt, den natürlichen Schritt der Gehilfen bestimmen und entsprechend besonders in Rechnung bringen.

Mechanische Schrittzähler, zur Ersparung des Schrittzählens in Gedanken, sind schon mehrfach konstruiert worden. Es giebt deren, welche in solcher Weise mit den Beinen verbunden werden, dass jeder einzelne Schritt auf einem Zahnrad durch einen Schalthaken registriert wird, und dieselben (welche auch Reittieren angelegt werden können), leisten jedenfalls den gewünschten Dienst.

In neuerer Zeit hat man Schrittzähler, welche, einfach in die Tasche gesteckt, nur durch die allgemeine Erschütterung des schreitenden Körpers in Bewegung gesetzt werden.

Diese Schrittzähler geben, bei scharfem bestimmtem Schreiten, gute Resultate (unser Hannov. Versuchs-Exemplar zeigte im Mittel 1—2% zu viel, gegen wirkliches Zählen).

Auch die Zeit, welche zum Begehen einer Linie erforderlich ist, kann als relatives Entfernungsmass benützt werden.

Die mittlere Geschwindigkeit eines Mannes ohne schweres Gepäck mag etwa 5,5*™ in 1 Stunde sein. Verfasser fand für sich als „Tourist“ im Mittel 5,7*™ mit Schwankungen zwischen 5,3*™ und 6,1*™*. Die grösste uns bekannt gewordene Marschleistung (Sport) ist 18*™ in 2 Stunden 5 Min., d. h. 8,65*'™ in 1 Stunde.

Zu geographischen Aufnahmen auf Reisen braucht man mehr die Geschwindigkeit von Tieren, z. B. von Reitpferden, von Kamelen u. s. w. Für letzteren Fall hat Verfasser im Winter 1873—74 auf der libyschen Expedition von Eohlfs folgende Zahlen gefunden :

Strecke

Marschzeit

Tage j Stunden

Weg in 1 Stunde

Kilometer

Hamrah—Farafrah Farafrah—Dachei Dachei—Regenfeld Regenfeld—Siuah Siuah—Beharieh Behar ieh—Farafral Farafrah—Dachei Dachei— Chargeh Chargeh—Esneh

^ O ^ CO CO CD

r-H t—I

to"

OiüThNtocotOCniKtO 0° CO L-O OO 05 ~    h-*

00 O <35 05 o'cn'ost-*'®

8,85

4,14

3,61

4,02

4,07

4,52

4,29

4,03

3,79

Summen

681/2    597,9

Gesamtmittel

4,005

Der Geograph hat hiernach das Recht, die Itinerare von Kamelkaravanen in Nordost-Afrika nach dem Massstab 1 Stunde = 4 Kilometer zu verwerten, und zwar wird man hei längeren Strecken mit diesem Massstab kaum um 5 Prozent fehlen.

§15. Coordinaten-Aufnahme mit Messlatten, Winkelspiegel u. s.w.

Durch Abstecken von Geraden, und von Senkrechten, und durch Längen-Mes-sungen kann man ein massiges Gebiet aufnehmen, indem man eine Gerade steckt, und von allen’ Punkten, die man haben will, Senkrechte auf diese Gerade fällt.

Die Aufzeichnung geschieht in einem „Handriss¹¹, d. h. in einer Zeichnung, welche im Felde seihst mit fortschreitender Messung, nach nahezu richtigen Verhältnissen, gefertigt wird, zuweilen nur nach Augenmass, oder auch mit einem Anlege-Massstab oder dergl., das Wichtigste hei der Handriss-Führung sind die eingeschriebenen Masse

Das Einschreiben der Masse kann nach verschiedenen Systemen geschehen, deren einige in Fig. 1., Fig. 2. und Fig. 3. angedeutęt sind.

Fig. 1.

Handriss mit quergeschriebenen Abscissen- und Ordinaten-Massen (Württemberg).

1S,XX

Z so

«s

- gf'*S

In Fig. 1. sind alle Coordinatenmasse rechtwinklig quer zu der betreffenden Linie geschrieben. Die Abscissen 23,22 38,63 u. s. w. sind durchlaufend gemessen. Einzelne Masse schiefer Entfernungen sind parallel den betreffenden Linien geschrieben, z. B. 28,32 17,56. Diese Schreibweise, welche sich in Süddeutschland seit Jahrzehnten festgesetzt hat, ist nach unserer Ansicht sehr zu empfehlen.

Fig. 2.

Handriss mit quergeschriebenen Abscissen-Massen und parallelen Ordinaten-Massen (Preuss. Kataster).

t‘97

Äs.

12

Zit

Fig. 2. unterscheidet sich von Fig. 1. wesentlich nur dadurch, dass die Ordinaten-Masse, z. B. 16,2 7,8 u. s. w. in demselben Sinn wie die zugehörigen Abscissen 23,2 38,6 u. s. w. geschrieben sind. Die Masse sind 'in Fig. 2. auf 0,1 abgerundet, was nach Umständen auch in Fig. 1. oder Fig. 3. geschehen kann; oder umgekehrt kann auch Fig. 2. mit Massen auf 0,01 genau geschrieben werden.

Fig. 3.

Handriss mit abgesetzten Abscissen-Massen (Baden).

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76'ZZ

7 SV

nzs

2322

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(to-w)

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Fig. 3. hat ahgesetzte Ahscissen-Masse mit der Kontroll-Summe 84,83, und auch die schiefen Masse quer geschrieben.

In Fig. 4. S. 39 ist der Handriss einer grösseren Aufnahme mit konsequent quer geschriebenen Coordinaten-Massen gezeichnet. Die Hauptaufnahmslinie ist AB-, die darauf errichteten Senkrechten dienen zum Teil selbst wieder als Abscissen-Linien.

Es sind auch zahlreiche schiefe Entfernungen gemessen, und in der Zeichnung durch kurze Linien, welche die Messungsrichtung andeuten, von den Coordinaten-Massen unterschieden. Wo keine Verwechslung zu fürchten ist, kann man diese kurzen Linien weglassen, und umgekehrt, wo die Deutlichkeit es verlangt, kann man die Bedeutung schiefer Masse noch durch beigesetzte Häckchen (wie in Maschinen- und Bauzeichnungen üblich) hervorheben. Z. B. ist die Wasserbreite 2,90 und die Brückenbreite 3,90 in Fig. 4. in dieser Weise hervorgehoben

Allgemeine Bemerkungen zur Handriss-Führung.

Das Führen eines guten Handrisses ist nicht so leicht, als es auf den ersten Blick scheint ; es gehört viele Übung dazu. Der Handriss ist so deutlich und korrekt zu führen, dass darnach das Aufträgen jederzeit und auch durch jeden anderen Sachverständigen bewirkt wzrden kann.

Kleinere Handrisse kann man von freier Hand in ein Feldschreibbuch zeichnen ; für grössere Handrisse im Format 60™ X 40™, wie es in der Kataster-Vermessung vorkommt, bedienen sich die Feldmesser eines leichten Messtisches, der auf einem in den Boden zu stossenden Stocke leicht befestigt ist, und das Auflegen von Schreibund Zeichen-Geräten gestattet.

In Preussen werden die Kataster-Handrisse nicht mehr mit Blei, sondern im Felde selbst mit Tinte geschrieben. —

Die schiefen Entfernungen, welche man unter allen Umständen bei Eigentumsgrenzlinien, Hauskanten etc. misst, geben bei der Zeichnung die nötigen Proben. Die wichtigsten derartigen Proben kann man auch durch Eechnung mit der Quadrattafel verwerten. Z. B. sind in Fig. 4. S. 39 die Ordinaten der zwei äussersten Eckpunkte

39,34 und 29,68, es ist also der Ordinatenunterschied = 9,66 ; der Abscissen-Unter-schied findet sich unmittelbar = 84,00 eingeschrieben.

Nach einer Quadrattafel berechnet man hiemit:

9,662 =    93,32

84,002 ₌ 7056,00

Summe = 7149,32

1/7149,32 = 84,55”* Schiefe Entfernung gemessen = 84,56m

Probe

0,01”*

§ 15.

Fig. 4.

Handriss einer Aufnahme mit Messlatten und Kreuzscheibe.

39

29.68

Handriss

einer Aufkahm e mit Messlatten.

und Kremscheibe.

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Maafsstab 1- 500.

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40

Ausdehnung des Vermessungs-Gebietes.

§16.

Ausser diesen Proben durch Hypotenusen sucht man sich noch auf andere Weise Versicherungen zu verschaffen.

Z. B. das abgesetzte Messen der Absćissen in Fig. 8. ist aus diesem Grunde gewählt (obgleich sonst durchlaufendes Messen besser wäre), indem die nachfolgende Bückmessung der Gesamt-Länge mit der Summe der Einzelmasse stimmen muss.

In der „Zeitschr. f. Verm. 1881“, S. 243—247, hat Th. Müller verschiedene zweckmässige Anordnungen von Probemessungen mitgeteilt, von denen wir die nachfolgende Fig. 5. entlehnen:

Fig. 5.

Versicherungs-Messungen 55,90 63,70 73,00.

öi Tz

0*1

t .................^ SS, fO

.4/

'y

ij,n>

§ 16. Ausdehnung des Vermessungs-Gebietes.

Für Kataster-Zwecke dürfen die Ordinaten mit der Kreuzscheibe, dem Winkel-spiegel u. s. w. nicht über 40—50m lang gemacht werden, während die Längenmessung in einer Geraden viel weiter ausgedehnt werden kann. Man kann also mit Messlatten

Fig. l.

Lange Senkrechte PA.

und Kreuzscheiben u. s. w. einen Feld-Streifen von grosser Länge, aber nur massiger Breite von 100w unmittelbar aufnehmen.

Um ausnahmsweise eine lange Senkrechte PA (Fig. 1.) von einem Punkt P auf eine Gerade A B zu fällen, kann man so verfahren, dass man zuerst A ungefähr mit der Kreuzscheibe aufsucht, dann nimmt man den Punkt B auf der Geraden beliebig an, misst PA und PB, worauf berechnet werden kann:

!..

B A = Ypbz — P A*

Parallelen-Methode.

Man kann ein Netz von Parallelen, wie es in Fig. 2. S. 41 dargestellt ist, auf viel weitere Ausdehnung gut einmessen, als die Anlage einzelner langer Senkrechten zulässig wäre, denn man kann die Parallelen durch zahlreiche Proben, etwa nach Fig. 1. oder durch Kreuzmasse u. s. w. versichern.

Parallelen-Methode.

Fig. 2.

Parallelen-Netz der Württembergisclien Landes-Vermessung. (Massstab 1 : 2500.)

VI

Nach Festlegung des Parallelen-Netzes ist dann die Einzelaufnahme sehr einfach, wie Fig. 2. von der WürttAlbergischen Landes-Vermessung (1820—1840) andeutet.

Linien-Netz.

Da ein Dreieck durch seine drei Seiten bestimmt ist, und man jedes Vieleck in Dreiecke zerlegen kann, so kann man jedes Vieleck durch Längenmessung aufnehmen.

Ein solches Linien-Netz, das man durch zahlreiche eingebundene Kreuzungs-Linien , Diagonalen u. s. w. versichert, giebt auf weite Entfernung verhältnismässig grosse Genauigkeit.

Namentlich in Norddeutschland war dieses Verfahreii bei den nur mit der Messkette und dem Winkelkreuz ausgerüsteten Feldmessern sehr verbreitet, und es wurden ganze Ortschaften und Feldmarken so umsponnen.

Trotz der Einfachheit und der verhältnismässig guten Resultate ist dieses Verfahren, ebenso wie auch die oben beschriebene süddeutsche Parallelen-Methode im Vergleich mit den neueren Theodolit-Aufnahmen, nicht mehr zweckmässig.

Das Abstecken und Messen mit Hindernissen.

Fig. 3.

Parallel-Ausweichen.

Um beim Abstecken und Messen einer Geraden ein nicht zu ausgedehntes Hindernis zu umgehen, wendet man Parallel-Abweichen mit Benützung der Kreuzscheibe an. wie in Fig. 3. angedeutet ist.

Fig. 4.

Seitwärts-Einmessen.

Liegt eine teilweise hindernde Fläche auf einer abzusteckenden Geraden AB G D Fig. 4., so führt unter Umständen die Anlage einer seitlichen Hilfslinie B’ C zum Ziel.

Aus BB', B'C, G'D lassen sich die Coordinaten der Punkte P, Q, G durch einfache Proportionen berechnen, und dann P, Q, C u. s. w. seitwärts einmessen.

B’

T’

Fig. 5.

Fluss-Aufnahme durch 45°-Schnitte.

Mit Hilfe einer mit Halbschnitt versehenen Kreuzscheibe, welche Winkel von 45° abzustecken gestattet, kann man das jenseitige Ufer eines Flusses in der durch Fig. 5. angedeuteten Weise aufnehmen.

Man wird im allgemeinen besser daran thun, durch Wahl der Aufnahmslinien u. s. w. Hindernisse zu vermeiden, als auf deren Überwindung besonderen Scharfsinn zu verwenden.

A¹ "

/!

Kapitel II.

Berechnung und Teilung der Flächen.

§ 17. Flächenbestimmung durch rechtwinklige Coordinaten.

Wenn eine Figur mittelst Messlatten und Kreuzscheibe aufgenommen ist, so wird sie durch die Messungslinien in rechtwinklige Dreiecke und Trapeze zerlegt, wie Fig. 1. andeutet, deren Fläche F bestimmt wird durch die Formel:

2 F — ci h% -+- b (^2 -t- h3) c \Jig -+- /i^) -+- A (Iią -+- Äg) -+- e 1

Hiebei können sogenannte verschränkte Trapeze, hei welchen die schiefe Seite von der Aufnahms-Axe    geschnitten    werden,

nach derselben Formel wie gewöhnliche Trapeze behandelt werden, indem die zwei ë/    Parallelseiten mit    verschiedenen    Zeichen

/    eingeführt werden.

'    Dass dieses zulässig ist, zeigt folgende

elementare Betrachtung (Fig. 2. S. 43). Die Fläche ... MABGN ... kann man so zusammensetzen:

Fig. 1.

Rechtwinklige Dreiecke und Trapeze.

4«

\h3

fl)

... Trapez MA M₀ + A ^ -^o $ — /\B B₀S + Trapez BCCqBq -+- Trapez N C G₀ -4- ...

Es handelt sich also jedenfalls um die Differenz zweier Dreiecke :

/\ A Aq S — B Pq S

(1)

also :

Hiebei ist:

2/\AA₀S = ay , 2 & B B₀S = by’

/\AA₀S —/\BB₀S=ay — by’

Betrachtet man andererseits das verschränkte Trapez A B B₀ A₀, wobei A₀ B₀ = a + b = x ist, so hat man :

(1)

x (y — y) = (a b) (y — yf) = a y — by’ A-by — a y1 Die zwei letzten Glieder heben sich auf, weil die Proportion besteht:

a: y = b :y’

Es ist also:

x(y — y') = ay — by'

und durch Vergleichung von (1) und (2) hat man:

A A A₀ S — A B B₀ S = x {y — y')

(2)

(3)

Fig. 2.

Verschränktes Trapez ABB₀A₀.

M--,

wą

JS b -Bq

c₀ A«-

fcd

wM

Als Beispiel für diese Art der Flächen-Berechnung dient Fig. 3. und die dazu gehörige folgende Zahlenberechnung:

Fig. 3.

(Massstab 1 : 200)

<*£24

LL....

op'/e

zz'oi

SV'Ol

+ (15,88— 18,27) x 30,24 + (70,23 — 15,88) x (30,24 + 22,04) = + 54,35 X 52,28 = + 2841,4 -h (91,56 — 70,23) X (22,04 — 12,22) = + 21,33 X 9,84 = + 209,5 + 91,56 X (12,22 + 10,05)    =    +    91,56    X    22,27    =    +    2039,0

— 13,27 X 10,05    =    —    13,27    X    10,05    =

= + 2,61 X 30,24 = +    78,9

—133,4

Summen: + 5168,8 — 133,4 503M

2517,7(4) 25 Ar 17,7

2F = F = oder F =

qm

Ein zweites Beispiel (das zu Übungs-Kechnungen gebraucht werden kann), zeigt Fig. 4. S. 44., welche als Aufgabe aus dem württembergischen Geometer-Examen, 1882, in der „Zeitschr. f. Verm. 1883“, S. 486 von Schlebach mitgeteilt wurde.

(Die Zahlen für die Punkte (4) und (10) sind in dem Holzschnitt Fig. 4. etwas ungeschickt ausgefallen; (4) hat die Abscisse 244,84, (10) hat die Abscisse 254,66 und die Ordinate 33,54.)

Man kann die Grundformel (1) auch in andere Gestalt bringen, nämlich:

2 F = (os -+- b) 7?2    (b -f- c) Z&3 -4- (c +- cZ) h^ -+- (d •+- c) h§

Dieses entspricht der nachher zu behandelnden allgemeinen Formel (8). Für einfache Formen wie Fig. 1. ist diese Formel (5) der früheren (1) vorzuziehen.

(5)

Fig. 4.

(Massstab 1:50.)

(2)

(3)

(V

123,26

Bei einer Flächen-Berechnung, wie die vorstehenden, zu Fig. 3. und Fig. 4., kann man immer durch den Anblick der Figur entscheiden, welche Teile positiv, !112,62 UTK| -welche Teile negativ zu rechnen sind; i    man kann aber auch die Formeln für die

16)

51,08

Flächen-Berechnung rein algebraisch, im Sinne der analytischen Geometrie auf-

_ jÄJ_______

$ V Wes v

j___

fassen, und braucht dann zur Vorzeichen-_°j______Entscheidung keine Figur.

v ' tf'vc

Kj

-fr

19)

110)

Man kann die Flächen-Berechnung nach verschiedenen Formeln machen, wie schon durch (1) und (5) gezeigt ist.

Wir wollen die verschiedenen Um-

formungen an dem Beispiel eines Fünfecks zeigen:

Denkt man die Zerlegung in Trapeze ausgeführt, mit Ordinaten y, so wird:

2 F = (.r₂ — #i) (y₂ 4- y\)

-j- (æ₃ — æ₂) {yz 4- 2/2)

+ (x4 — x3) (2/4 + 2/3)

+ (x5 — *4) (2/5 + 2/4)

+ (*1 — *5) (2/1 H~ 2/5)

Wenn man dieses ausmultipliziert und nach x ordnet, so erhält man:

-2 F — Xi (2/2 — 2/5)

+ x2 (2/3 — 2/l)

+ xs (2/4 — 2/2)

+ x4 (2/5 — 2/3)

4- x5 (2/1 — V4)

Wenn man dagegen nach y ordnet, so findet man:

2 F == yx (asg — æ₅)

+ 2/2 (xs — xl)

4“ 2/3 (®4 — *2)

+ 2/4 (*6 — xs)

+ 2/5 (*1 — x4)

Allgemein

2 F — 2 ((æ„ +1 — x„) (y„+ 1 4- 2/«))

= s( A x (yn +1 + 2/»))

Allgemein — 2F=2(x„ (y

— y—0)

Allgemein

2 F = 2 (yn (x„ ₊1 — æ„_i))

(6)

(7)

(8)

Dieses kann man noch in eine vierte Form bringen:

Allgemein

— 2 F = (1/2 — 2/i) {x\ + ocz)

— 2 F-

"{{y«+¹    2/«) («■ + Xn +1)) >

— — S ( A y (xn + x„ +1))

■+• (y3 — 2/2) ix2 + *3)

(9)

+ (2/4 — Vs) (x3 + xa)

+ (y 5 — y a) (æ4 + *5)

-h (2/1 - 2/5) (*₅ + x\)

Diese vier Formeln (6) (7) (8) (9) geben die Fläche F positiv, wenn die Numerierung (1) (2) (8) . . . im Sinne von links nach rechts geht (z. B. im Sinn (17) , (18) , (19) in Fig. 5.), und wenn, wie bei Landesvermessungs-Coordinaten immer geschieht, die Drehung von -f- x nach 4- y ebenfalls positiv ist (z. B. -j- x nach Norden, -\-y nach Osten).

Alles, was sonst noch hiezu zu bemerken ist, erklärt sich am besten durch ein ausgerechnetes Zahlen-Beispiel (siehe S. 46 und S. 47), welches wir zu Fig. 5. geben.

Fig. 5.

Geschlossenes Polygon mit 15 Ecken zur Flächen-Berechnung. (Massstab 1: 5000.)

X = +95 400m

18

17

19

20

+ 95 300

^021

1Q0m

4-H-hf-H-H-

+ 95 200

+ 95 100

lO

CM

SÄ

\

ta

o

LD

-15 300

-15 200

l£

X = + 95 000

(Fig. 5. bezieht sich auf unsere polygonometrische Aufnahme des Weifengartens in Hannover, Vermessungs-Übung 1884.)

Punkt

Vn

Tabellarische Flächen-Berechnung zu Fig. ö.

(y»+1

—y— O

x„

2/»

CCn

-\~Xn-h 1

►—*

v25

— 15 442,82

+ 95 329,61

+ 51,26

4- 13,94

834,38

673,16

.. 391,56

+100,99

.. 343,55

8,65

+ 49,73

5,29 :

Si ⁰¹ ss

ctT ©

^DO

---N    /—N

Ci 00

5S

^-S     S

K)    DO

Ol    Ci

'-"    N-✓

^    CO    o

ca    03    rH

-—✓    >—✓    •-—^

/■-\    ✓-s

►—»    t—*

00    «<1

—✓    v—y

.. 341,83

+ 111,45

.. 338,26

733,39

681,81

6,11

.. 280,11

.. 192,14

.. 230,46

.. 223,13

.. 269,30

.. 353,88

.. 385,25

. . 408,63

.. 415,99

.. 405,70

.. 398,16

.. 467,37

.. 442,82

.. 391,56

Summen

+ 61,72

+ 87,97

— 38,32

+ 7,33

— 46,17

— 84,58

— 31,37

— 23,38

7,36

+ 10,29

+ 7,54

— 69,21

4- 24,55

|(4- 51,26)

+300,39

—300,39

0,82

621,94

675,70

+149,69

-f 49,65

- 30,99

— 38,84

— 130,75

—115,95

— 54,75

— 30,74

+ 2,93

+ 17,83

— 61,67

— 44,66

+ 75,81

4-508,35

—508,35

.. 337,44

. . 297,30

.. 184,68

.. 82,14

.. 83,03

.. 93,84

.. 87,73

.. 96,55

.. 74,11

.. 63,06

.. 26,17

.. 58,55

.. 329,61

.. 343,55

Summen

- 40,96

— 40,14

—152,76

-112,62

—102,54

4~ 10,81

6,11

+ 8,82

— 22,44

— 11,05

- 36,89

-215,16

-101,65

+ 11,70 + 4,70

+ 2,71

— 13,62

— 33,49

— 47,94

+ 32,38

+271,06

4,51

+303,44

(4- 13,94)

+337,90

—337,90

+285,00

4-616,20

—616,20

472,25

422,60

453,59

634,74

481,98

266,82

492,43 165,17

623,18

739,13

793,88

824,62

821,69

803,86

865,53

176,87

181,57

184,28

170,66

137,17

89,23

84,72

910,19 388,16

Berechnung 1. (Formel (7)).

Berechnung II. (Formel (8)).

IJn + l 2/n-l

Xn

Produkt

xn (2/«+1    y^-i)

Xn +1 Xn — 1

y„

Produkt

Un (Xn + l Xn - l)

+ 100,99 + 111,45 + 149,69

+ 49,65

—    44,66 + 75,81

343,55

338,26

337,44

297,30

184,68

82,14

83,03

93,84

87,73

96.55 74,11 63,06 26,17

58.55 329,61

34 695,1 37 699,1 50 511,4 , 14 760,9 I

217,1 1 124,4

24 987,7

CO CO

5 723,2

3    190,3 10 856,2 10 880,7

4    803,2 2 967,9

— 40,96 —152,76 —215,16 —101,65

4- 11,70

+ 4,70

+ 2,71

1    613,9

2    614,8

4,51

+303,44

+285,00

391,56

341,83

280,11

192,14

230,46

223,13

269,30

353,88

385,25

408,63

415,99

405,70

398,16

467,37

442,82

4~

2 088,6 11 473,3 29 351,3 49 585,8 22 681,2

3 387,0

3 150,8 1 663,2 1 044,0

5 565,5 13 931,5 19 449,3 1 795,7

141 818,8 126 203,7

+ 163 995,7 —42 650,2

+ 155 922,2

—277 267,5

2 F = + 121 345,5

2 F= - 121 315,3

Berechnung III. (Formel (9)).

Berechnung

IV. (Formel (6)).

Xn

-f- Xn+l

Produkt 4/ y (Xn + x„+i)

y*

■+■ yn+l

Produkt Ax (yn + y»₊i)

+ 51,26 + 49,73 + 61,72

+ 87,97

—    38,32 + 7,33

7,36

+ 10,29 + 7,54 — 69,21 + 24,55

673.16 681,81 675,70 634,74 481,98 266,82

165.17 176,87 181,57 184,28 170,66

137.17 89,23 84,72

388,16

34 506,2 33 906,3 41 704,2 55 838,1

18 469,5

1 955,8

1411,5

672,8

9 529,3

+179 524,2

7 625,9 14 959,7 5 695,9 4 308,5 1 256,1

5 863,5

—58 179,1

2F= + 121 345,1

+ 13,94 834,38

—    5,29    733,39

—    0,82    621,94

—    40,14 472,25 j

—    112,62 I 422,60

—    102,54 453,59 + 0,89 492,43 + 10,81 | 623,18 ;

—    6,11    739,13

+ 8,82    793,88

—    22,44    824,62    |

—    11,05    821,69

—    36,89 803,86 + 32,38 865,53 +271,06 910,19

11 631,3

3 879,6 510,0 18 956,1 47 593,2 46 511,1

438,3 6 736,6

4 516,1

7 002,0

18 504,5 9 079,7 29 654,4

28 025,9 246 716,1

+ 179 204,7

—300 550,2

2 F = — 121 345,5

Wir haben also nun in Übereinstimmung aus allen vier Formeln, ohne Rück

sicht auf das Vorzeichen -4- oder —, welches hier keine Bedeutung hat:

F = 6*° 6“ 73«m

2 F= 121345,4«™

F — 60673«™

oder

Nach allen vier Formeln wird man natürlich im allgemeinen nicht rechnen, das geschah in unserem Falle nur zur Vergleichung.

Die Doppelrechnung nach zwei verschiedenen Formeln bietet eine sehr gute Bürgschaft für die Richtigkeit des übereinstimmend erhaltenen Resultats, sie hat jedoch gegenüber zwei unabhängig geführten Rechnungen nach nur einer Formel den Nachteil, dass man im Falle der Nichtübereinstimmung der Resultate nicht sofort sieht, wo die Rechnungen auseinandergehen.

Die bei solchen Flächenrechnungen vorkommenden sehr mühsamen Zahlenrech nungen können teilweise ersetzt werden durch die Anwendung einer Produktentafel. (Grelle, Rechentafeln, Berlin 1880, enthält alle Produkte von je zwei 1-, 2- und 3-ziffrigen Zahlen.) Das beste Mittel ist aber die Rechenmaschine, welche wir in § 32. behandeln werden.

Anmerkung.

Fig. 6.

Geometrische Deutung der Coordinaten-Flächen-Formel des Vierecks.

(V

Für ein Viereck gestaltet sich die Inhaltsformel besonders einfach, es wird nämlich :

2 V= Xl (y₂ — Va) 4- X₂ (ys — yx)

+ «3 (2/4 — Vi) + «4 (2/i — 2/3)

2 V = (xx — x₃) (t/2 — 2/4)

— (x₂ — x₄) (jyx — y₃)

Diese Formel lässt sich unmittelbar geometrisch deuten, sie entspricht in Fig. 6. der Differenz zweier Rechtecke: ab c d — a' V c' d'

Indem man das grosse Rechteck a b c d wieder in 4 Rechtecke mit den Diagonalen AB B C CD DA zerlegt denkt, findet man:

2 V — 2 ABCD — abcd — a' V c' d'.

(10)

§ 18. Flächenberechnung nach einem Plan.

Misst man die Grundlinie und die Höhe eines auf einem Plan gezeichneten Dreiecks, so kann man daraus den Inhalt des Dreiecks berechnen.

Da jedes Vieleck durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt werden kann, so hat damit auch die Möglichkeit, jede Vielecksfläche zu bestimmen. Dieses Verfahren

man

ist sehr sicher, aber etwas mühsam.

Fig. 1.

Flachen-Verwandlung durch Parallel-Abschieben.

Rascher geht das Verwandeln eines Vielecks in ein Dreieck durch die in Fig. 1. angedeutete Methode des wiederholten Parallel-Abschiebens. Dieses Verfahren leistet

bei gewisser Übung, wobei die verschiedenen Hilfslinien nicht ausgezogen werden, gute Dienste. (Ein Hilfsinstru ment für das Parallel-Abschieben, welches in Baden im Gebrauch ist, findet sich in der „Zeitschrift für Vermessungswesen 1874“, S. 83—85 von Dr. Doll beschrieben.)

Ein Näherungsverfahren zur Flächen-Bestimmung, namentlich für unregelmässige Figuren ist in Fig. 2. angedeutet. Man legt ein Netz von Parallelen (Pauspapier, Fadennetz u. s. w.), deren Abstand eine runde Zahl, etwa 2mm ist, auf die zu bestimmende Fläche, und ermittelt die Summe der „verglichen“ gemessenen Längen der entstehenden Streifen durch Abgreifen und mechanisches Addieren mit dem Zirkel, so dass man durch Multiplikation dieser Summe mit dem Abstand der Parallelen die Fläche bekommt.

Fig. 2.

Zerlegen in Parallel-Streifen.

nissen.

Änderung des Papiers.

Das Zeichenpapier ändert seine Grösse bei verschiedenen Feuchtigkeitsverhält

Namentlich gedruckte Pläne und Karten haben beim Gebrauch fast nie die Dimensionen der ursprünglichen Zeichnung. Auch sind die Änderungen nach verschiedenen Richtungen durchaus nicht immer gleich.

Ungleiches Eingehen ist die Regel bei feucht gedruckten lithographierten Karten, welche in der einen Richtung gewöhnlich 1%, in der andern 1,5% Eingang zeigen. Dieser Unterschied rührt her von dem Durchziehen unter der Walzenpresse.

Wir betrachten zuerst die Papier-Änderung nur nach einer Richtung, z. B. nach der einen Richtung eines Quadrat- Proportional-Abmessung. Netzes, wie in Fig. 3. angedeutet ist. Hier sei Al B' eine unrichtige verkürzte Seite und A B die ursprüngliche richtige Länge, welche schief angelegt ist, um Proportional-Abmessung des Stückes A' P oder B' P mit Hilfe eines hölzernen Anlege-Massstabes anzudeuten.

(In dieser Weise pflegte Verfasser Coordinaten aus den lithographierten Württembergischen Flurkarten abzumessen.)

Will man nicht bloss graphisch, sondern rechnerisch verfahren, so bestimmt man z. B. den Eingang nach jeder Richtung in % und schlägt für jede Abmessung die betreffenden Prozente zu.

Fig. 3.

jB'B

AA’

Berechnung der Änderung nach einer schiefen Richtung.

Ein Quadrat (Fig. 4.) hat nach der horizontalen Richtung jö% und nach der vertikalen Richtung q %

Eingang, um wie viele Prozent p' % ist die schiefe Tiinie l eingegangen, welche die Katheten a und h abschneidet ?

Fig. 4.

Änderung der schiefen Länge 7.

v%

Es seien a h l die ursprünglichen (richtigen) Masse, und bzw. a! V V die durch den Karteneingang veränderten Masse, dann bestehen die Gleichungen:

l = Vcfi+b 2

Der Annahme zufolge ist:

V = l/a'2 + 6'2

<!°/o

(j°/o

(L

T>%

a'= all —

100

(i)

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Es ist hinreichend genähert:

a'² = o² ( 1 —

2 p\

2<Z

** = »[ I“ — <*'² + 6'² = «² + &³ - 4 («²* + ⁶² «) = («²+fc2) (l “ iöö

1 a² jp -|- fe² 2

100

100

Ï = 11

100 a² + 6²

(2)

Die Vergleichung von V nach (1) und (2) giebt den gesuchten prozentischen Eingang p' nach der schiefen Dichtung von l:

aPp-hb¹* q

a² + b²

Die Katheten a und b müssen nur als Verhältniszahlen, und nicht sehr genau,

p' =

(3)

bekannt sein.

Die Formel (B) sagt in Worten: p' ist ein arithmetisches Mittel aus p und q, wobei diesen Werten die Gewichte a² und tß beigelegt werden.

Beispiel. Ein Quadrat eines Coordinatennetzes hatte ursprünglich die Seite 100“. Nach einiger Zeit ergiebt sich , dass die horizontale Seite auf 99,3“ und die vertikale auf 99,8'" eingegangen ist, also p = 0,7, q = 0,2. Der prozentische Eingang einer Linie, welche die Stücke 3 und 5 von den Seiten abschneidet, ergiebt sich:

9x0,7 + 25x0,2

P’

9 + 25

0,33

Diese Bestimmung des Eingangs nach anderen Dichtungen als nach den Blatträndern oder nach den Coordinaten-Netzlinien ist nur dann nötig, wenn es sich um Flächen - Ermittlungen mit einer aus dem Plan abgenommenen Dimension handelt, wobei die andere Dimension etwa unmittelbar im Felde gemessen sein kann (vgl. Fig. 2. § 19. S. 51).

Bei Flächenbestimmungen aus zwei rechtwinklig zu einander stehenden Karten-Massen kommen immer nur die Eingänge der Bänder p und q in Betracht, wie folgende Betrachtung zeigt:

Fig. 5.

Reduktion der Fläche m n.

In Fig. 5. werde ein Dechteck mXn berechnet, wobei m den schiefen Eingang ebenso wie in Fig. 4. habe, also nach (3):

p'

a² pĄ-b^ q

a² -f- 6²

Für die hiezu rechtwinklige Dichtung n hat man ent-

sprechend :

also:

_ b²p-\-cfi q ¹ a² 4- 62

, , ,    («² + b²)i? -|- (b² -+- (ß) q

V +<t=-ÿ + i*---=p + i

Statt mn hat man also zu rechnen:

p' + i

100

also wegen (4) :

V loo y

Eine⁻Flächenberechnung nach dem Plan bekommt also unter allen Umständen den Prozentsatz p ■+• ą als Zuschlag, mag die Berechnung nach den Hauptrichtungen mit den Eingängen p und q selbst, oder nach irgend welchen anderen Richtungen, oder auch mit dem Planimeter gemacht sein.

§ 19. Genauigkeit der Flächenbestimmung.

Wenn ein Rechteck aus zwei Seiten a und b berechnet wird, so ist die Fläche :

F — aXb

Wenn die Seiten a und b die Fehler + A a und + J b haben, so wird auch die Fläche F einen Fehler + z/ F erhalten, und zwar ist:

F H- zf F — (a -4- z/ à) x (b -F A b)

= ab + gzf& + &zlfl + JflJ6

(1)

Vergleicht man dieses mit (1), und vernachlässigt dabei den kleinen Wert z/ a Ab, so wird :

+ zf F = Hh a A b + b A a

Die geometrische Bedeutung dieser Gleichung (2) ist durch Fig. 1. veranschaulicht.

Wenn etwa Aa = Ab ist, dagegen a erheblich grösser als b, so ist auch der Fehlerteil a A b viel grösser als b A a.

Daraus erklärt sich die jedem Landmesser geläufige Kegel, dass man bei langgestreckten Grundstücken die kurzen Seiten verhältnismässig viel genauer messen soll, als die langen Seiten.

Daraus erklärt sich auch das durch Fig. 2. angedeutete Verfahren, dass man bei den lang gestreckten Eigentumsstücken, welche der Feldbearbeitung wegen die gewöhnlichen sind, die Breiten AB, CD u. s. w. unmittelbar im Felde auf lcm genau misst, die Längen A C, B D u. s. w. aber nur aus dem Plan, vielleicht auf 0,1™ genau abnimmt.

Wir kehren nach diesem zu unserer theoretischen Fehlerformel (2) zurück, und machen jetzt die Annahme, dass A a und A b nicht bestimmte Fehler, sondern von jetzt ab mittlere Fehler vorstellen sollen, so wird der mittlere Fehler AF\

Fig. 1.

Fehler einer Rechtecksfläche.

Fig. 2.

Langgestreckte Grundstücke.

Sr' I

Js'

(2)

Zt F = Ÿ(a Z bf + (ft A à)2

(3)

Um weitere Schlüsse hieraus zu £ v ziehen, muss man Annahmen machen in Bezug auf die Fehler zfa und /lb. Wir werden im folgenden drei solche Annahmen weiter verfolgen:

A JB

S'"

A'

I.    A a — A b = c

(4)

oder die Längenfehler sind konstant, von den Längen selbst unabhängig, was etwa beim Abstechen aus Plänen stattfindet.

(5)

II.    A a = C a , Ab = Cb

oder die Längenfehler sind den Längen selbst proportional.

(6)

III. A a = Tc Y a , Ab — k Y b

oder die Längenfehler sind den Quadratwurzeln der Längen proportional, was bei unregelmässigen Fehlerursachen zutrifft.

(V)

Diese 3 Fälle einzeln weiter behandelnd, haben wir durch Einsetzen von (4) in (3) : A Fi — cj/a²-j-&²

Der ’Flächen fehler ist proportional der Diagonale des Rechtecks.

Wir wollen nun statt der beiden Seiten a und b, die Fläche F und das Seitenverhältnis a : b einführen, d. h. wir setzen :

und

ab— F

T = n

Dadurch werden b und a m F und n ausgedrückt:

(8)

(0)

a = YFn

Damit wird (7):

JF,= cVf/^¹

(10)

n — 10 oder =0,1 giebt A F, = cYF 1/10,1 | = 3,178 c Y F    }

n — 1 giebt

(H)

AFj=cyW ]/2"

= 1,414 c Y~F

Abgesehen von n haben wir hieraus den Satz, dass beim unmittelbaren Abmessen aus einem Plan der Flächenfehler A F proportional der Quadratwurzel der Fläche F ist. Wir machen die Annahme:

(12)

Abmessfehler: c — + 0,1“’" und berechnen darnach zur Übersicht folgende Tabelle :

Flächenfehler eines Jlechtecks für unmittelbares Abmessen vom Plan

Gemessene Fläche F

Seiten-Verhältnis = n

Yf

n =10

qcm

cm

qcm

qcm

qcm

qcm

25

A F = 0,01 A F = 0,02 AF — 0,02 A F = 0,03

(l?,)

OIOOO

10

15

20

30

0,07

0,14

0,21

0,28

0,42

0,08

0,16

0,24

0,32

0,47

0,11

0,16

0,23

0,32

0,34

0,46

0,46

0,64

0,68 :

0,95

Der zweite oben bei (5) betrachtete Fall, Aa—Ca, Ab —Cb giebt durch Einsetzen in (3):

(14)

A F = CŸ(a b)2 -f \ab)2 = C]/2 F In diesem Falle ist also der Flächenfehler proportional der Fläche F selbst, und vom Seitenverhältnis n unabhängig.

Endlich der dritte Fall gieht durch Einsetzen von (6) in (3):

A Fm = k ]/a² 6 + 6² a = k Ya 5 (a + b)

Wenn man wieder nach (9) verfährt, so wird:

+ n oder

(15)

AFm^TcÿFsj/^-yi

= k\/F'3-frn 7/1 + — r    n

Je nachdem n gewählt wird, hat man es mit einem mehr oder weniger gestreckten Rechteck zu thun.

n = 10 oder n= 0,1 gieht

A Fm = k\/F³$ 12j | = 1,865 k ŸF* (

n — 1 giebt :

A Fm = k $1™ V2 = 1,414 k pF*

Den mittleren unregelmässigen Fehler der Latten- oder Band-Messung nehmen wir nach (8) § 11. S. 26, um zugleich kleine einseitige Fehlerteile-mit zu berücksichtigen, = 0,005m pro lm, d. h.:

A a = 0,005 Y a

oder

h = 0,005“

(16)

(17)

für « = 10

A Fm = 0,00932 }/F³

(18)

Setzt man dieses in (16), so wird: für n = 1

A Fm = 0,00707 ]/F³

Hiernach ist folgendes berechnet:

Theoretischer Flächen-Fehler für Feldmessung.

Quadrat

Fläche F

Rechteck 1 X 10

qm

1 Q.-Meter

10

1 Ar

10

10 „

1 Hektar

100

1000

10

10000

100000

f—I xf

s oocdcOHoo ^ O O o t-h cT

co

qm

A F = 0,01

0,05

(19)

0,3

1,7

9,3

52,4

Dieses sind rein theoretische Fehlerwerte; in der Praxis werden die Fehler immer grösser sein, weil ausser den von uns betrachteten Längenfehlern A a und A b immer noch andere Fehlerquellen vorhanden sind.

Für die Praxis kann unsere theoretische Betrachtung nicht viel mehr hieten, als die Form der Fehlerfunktion, welche jedenfalls nicht nach (14) gewählt werden darf; oder es sind die früher in manchen amtlichen Vermessungsvorschriften gegebenen Flächenfehler-Bestimmungen nach Prozenten (z. B. i/₂ % Grenzfehler) jedenfalls zu verwerfen. Für Feldmessungen wird man wohl eine zwischen (10) und (15) vermittelnde Form anzunehmen haben.

Bei der neuen Preussischen Kataster-Vermessung sind für die Flächenberechnung Genauigkeitsbestimmungen getroffen worden, welche auf jahrelangen praktischen Vergleichungen guter Messungsergehnisse und auf vielfachen theoretischen Erwägungen beruhen. Es ist dabei die Form angenommen:

a = 0,01 Ÿ60 F-\- 0,02 F²

(Anweisung VIII S. 74 und 175), wo F den Flächeninhalt in Aren, und u die höchstens zulässige Abweichung zweier Flächenberechnungen, ebenfalls in Aren bedeutet ¹). Aus der hiezu gehörigen Fehlertabelle (Anweisung VIII S. 176—180) bilden wir folgenden Auszug:

Fläche

Zulässige

Abweichung

Fläche

Zulässige

Abweichung

cn

10 ha

2,8 a

20 „

4,5 „

fl

40 „

7,5 „

60 „

O OO H <M

w tc M 000 000

1 lia

S R R

CT

80 ,

100 „

10,4 , 13,3 „ 16,1 ,

(20)

1000

fl

fl

10 „

200 ha 300 „ 400 „ 500 „ 600 „ 700 „

30.3    a

44.4    „

58.5    „ 73,0 „ 87,0 „

101,1 „

§ 20. Flächenberechnung von Dreiecken und Vierecken.

Als Vorbereitung der später folgenden Theorie der Flächenteilung behandeln wir die wichtigsten Flächenberechiiungs-Formeln :

1) Gegeben ist die Grundlinie c und die Höhe h eines Dreiecks (Fig. 1.), dann ist die Dreiecksfläche:

(i)

2) Gegeben zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, b c a (Fig. 1.), dann ist:

a.

4r

Fig. l.

a und ß.

a-t

b c sin a

(2)

3) Gegeben eine Seite c und die beiden anliegenden Winkel

Nach (2) ist: nach dem Sinus-Satz ist:

2    = b c sin a

b = —— sin ß

sm y

, also :

c² sin a sin ß c² sin a sin ß s in y

Wenn man sin(a -+- ß) entwickelt, so findet man:

LA

■>

sin (a 4- ß)

c²

(3)

cotg a -f- cotg ß

Diese Formel findet man auch, mehr geometrisch, durch Zuziehung von Fig. 1.,

mit Zerlegung c =p -j- q.

4) Wenn alle drei Seiten a , b , c eines Dreiecks gegeben sind, so berechnet man die Fläche nach der Formel:

wo

A = Vs (s — a) (s — b) (s — c) a+b + c

(4)

5)    Man kann die Produktformel (2) auch allgemeiner auf-fassen. Wenn nach Fig. 2. die Seiten b und c sich schneiden, also die Diagonalen eines Vierecks bilden, so ist, wie leicht einzusehen, die Vierecksfläche V bestimmt durch:

2 V = b c sin a

6)    Eine weitere Verallgemeinerung der Produktformel (2) bekommt man durch Betrachtung zweier Seiten b und c, welche sich gar nicht treffen.

Fig. 3. giebt:

b c sin a = ((b + b') — b') ((c + d) — d) sin a = (b + b') (c -+- c') sin a

—    (b + b')d sin a

—    (c + d) b' sin a + V d sin a

d. h.:    I- b c sin a = 1+ 11+ III + IV + V

—    ;+ in + v)

—    +1V+V)

Fig. 2.

(5)

b /"\/a

Fig. 3.

Ąa

\b'

' cL

'Vv nr b

hieraus :

b c sin a — 2 (II — I)

(<i)

7) Die Fläche V eines Trapezes, dessen Parallelseiten a und 6 sind, mit dem Abstand h, wird berechnet:

2 V=(a + b)h

(?)

8) Ein beliebiges Viereck AB GD, Fig. 4., wird aus drei Seiten c , a , b und den beiden davon eingeschlossenen Winkeln A und B berechnet durch die Formel:

2 F = c a sin A -+- ab sin B — cb sin (A -f- B) (8)

Diese Formel kann mit den Hilfslinien von Fig. 3. begründet werden:

Fig. 4.

,C

c a sin A = 2/SB AB = 2 (IV + II) c b sin B — 2 A B G — 2 (IU + 11) — 2 (II— I)

— cb sin (A + B)

, wegen (6) Summe = 2(17+111+ II+l) =2 V

Cl

Das letzte Glied in (8), nämlich cbsin(A + B), hat ausser der soeben benützten Bedeutung 2 (II — J) nach (6), auch die Bedeutung des doppelten Dreiecks C B D' M, Fig. 4. Wir nennen dieses Dreieck M das Konvergenz-Dreieck für die Seiten c und b, und entsprechend ABI)' = N das Konvergenz-Dreieck für die Seiten a und d.

Die Formel (8), angewendet auf das nachfolgende Viereck, Fig. 5. S. 56, lautet : 2 V = a in sin a + an sin ß — in n sin (a + ß)

Fig. 5.

/«

m y    h'

/ !

9) Wenn zwei Gegenseiten a b gegeben sind (Fig. 5.), und alle Winkel a ß y b (nämlich drei Winkel unabhängig, und der vierte durch die Summe a 4- ß 4- y 4- b = 360°), so kann man das Viereck als Differenz zweier Dreiecke nach (3) auffassen, und hat:

a²

&²

cotg a 4- cot ff ß

a²

cot ff (180° — y) 4- cot ff (180° — b) &²

cotg a + cotg ß cotg y 4- cotg b

(3)

10) Im Anschluss an diese Flächenformeln nehmen wir noch zwei Seitenformeln, zunächst für ein Dreieck, Fig. 1.:

a² — 6² 4- c² — 2b c cos a

(10)

11) Eine ähnliche Formel kann man auch für das Viereck bilden. Nach Fig. 5. ist: c(2 — {fu 4_ m')2 4_ (n -)- n')² — 2 (m 4- m') (n -(- n') cos s b% — w'² 4- n'² — 2 m' n' cos e

a² — ft² = m² 4- 2 m m' -(- n² 4- 2 n n' — 2 (m n 4- m n' 4- m' n) cos s «² — 6² — m² —|- w² — 2 mn cos s

4-2 m (m' — n' cos e)-\-2n{n' — m' cos e)

Es ist aber:

m’ — n' cos k = b cos (180° — Ô) = — b cos b n' — m' cos e = b cos (180° — y) — — b cos y e — y -f- b — 180° , also: n² = h² 4- wi² 4- M² 4-2 mn cos (y 4- b) — 2 b m cos b — 2bn cos y Wendet man dieselbe Formel auf a und ß an, so ist:

tfi — a² 4- nfi 4- rfi 4- 2 m n cos (a 4- ß) — 2 a rn cos a — 2 an cos ß

und im ersten Glied :

(H)

(12)

§ 21. Teilung eines Dreiecks.

I. Es ist ein Dreieck AB G Fig. 1. gegeben, und auf einer Dreiecksseite ein Punkt M. Es soll durch M .eine Teilungslinie MN gelegt werden, welche den Inhalt MAN — F abschneidet.

Die einfachste Auflösung dieser Aufgabe besteht darin, dass man von M die Höhe MÎJ auf die Seite AN fallt, und dann die Seite AN — m berechnet nach der Bedingung :

2 F ME

Wenn man nicht unmittelbar im Felde die Höhe ME fällen und messen kann, und wenn dagegen die Seite A M und der Winkel A gegeben sind, so berechnet man:

ME = AM sin A , also :

2 F

A M sin A

Man kann diese einfache Aufgabe auch dadurch lösen, dass man die Länge der Senkrechten E N berechnet:

2F AM

Dann steckt man eine Parallele zu iM im Abstand EN, und bestimmt den Punkt N als Schnitt dieser Parallelen mit der Geraden AB.

Fig. 1.

liii

m {ME) = 2 F ,

EN =

(1)

(2)

(3)

Eine mehrfache Anwendung dieser einfachen Aufgabe ist in der folgenden Fünfecks-Teilung enthalten :

Fig. 2.

Teilung eines Fünfecks von einem Innenpunkt O aus.

JB

<9,0.7

9$.2

117.9

\!A)

52.3

3175

98.3

92.2

sî />

p>/

tV3/ \

/ \

/ \

\88.2

S®

Oo

70.7

1)

Das in Fig. 2. gezeichnete Fünfeck A Bf! D E soll in drei gleiche Teile geteilt werden mittelst Linien, die durch den im Innern gegebenen Funkt 0 gehen; die Richtung der ersten Teillinie sei O A.

O A wird zur Aufnahmslinie genommen, und das Fünfeck wird durch die in Fig. 2. eingeschriebenen Masse aufgenoinmen.

Wir haben hiebei überall auf 0,1™ abgerundet, während nach Umständen auch auf 0.01"' genau zu messen und aufzuschreiben wäre. Für die Veranschaulichung des Teilungs-Verfahrens ist dieses gleichgültig. (Die Zahlen waren ursprünglich badische Fuss.)

Die Gesamtfläche F des Fünfecks findet sich aus den eingeschriebenen Massen :

- 997,3

98,8 X 98,2=+ 9658,1 165,0 X 150,5 = +24832,5 — 54,2 x 18,4 =

199,6x 162,9 = +32514,8 117,9 X 92,2 = + 10870,4

+ 77870,8 — 997,3

2 F = 76873,5

(4)

F = 38436,7”“    = 12812,2”“

Zur Auffindung der Teillinie OF hat man:

O A B = ~ (150,2 x 98,2) = 7374,8.

2 in (4), so findet man die Differenz = 12812,2 — 73+,8 = 5437,4, also ist der Punkt F auf der Geraden B C nach

-GAB

Vergleicht man dieses mit ^

der früheren Aufgabe von Fig. 1. S. 56, zu bestimmen.

Hiezu wurde OH— 80,7 auf dem Felde gemessen (genauer berechnet = 80,698),

2 X 5437,4 80,7

womit der Punkt F auf der Geraden B G eingemessen werden kann.

In gleicher Weise hat man auf der anderen Seite:

O A F = -1 (150,2 X 92,2) = 6924,2, OEG= OAE= 5888,0.

dieses giebt :

BF =

= 134,76

dieses giebt:

OK wurde auf dem Felde gemessen =88,2 (genauer berechnet =88,21);

2 X 5888,0

EG

88,2

133,51.

damit gelöst.

Damit lässt sich auch der Punkt G abstecken, und die Teilungs-Aufgabe ist

Man schliesst aber eine solche Teilung nicht ohne durchgreifende Probe ab; und eine solche Probe wird in diesem Falle dadurch erhalten, dass man das übrig-bleibende Fünfeck OFGDG nun nochmals unabhängig misst und berechnet, wobei

seine Fläche wieder =

nach (4) werden muss.

Fig. 3.

P"

CTL.

CD

II. Von einem Dreieck BAG, Fig. 3., oder was hier dasselbe ist, von einem offenen Winkelraum BAG = a, soll eine Fläche F abgeschnitten werden durch eine Teillinie PN M, welche durch einen gegebenen Punkt P geht; und zwar sei P gegeben durch den Winkel BAP = ß, und durch die Entfernung AP — a.

Wir setzen die Abschnitte AN = » und AM—m, und haben dann zwei Gleichungen :

m n sin a = 2 F (Fläche)

m n sin « -+- n a sin (ß — a) = a m sin ß (Gerade M N P) Bestimmt man n aus (6), und setzt es in (5), so wird:

(5)

(6)

m sin a

a m sin ß

m sin a -+- a sin (ß — a)

oder :

a m² sin a sin ß = 2 m F sin « + 2«F sin (ß — a)

F sin a +_ j/P² sin² a -+- 2 F «² sin a sin ß sin (ß — a) a sin a sin ß

Y1 + 2 F

m a sin ß a sin ß

a sin ß a sin (ß — a)

sin a

(7)

Das zugehörige n wird nach (5):

(8)

m sin a

Es ist nicht uninteressant, vom rein algebraischen Standpunkt, die verschiedenen Lösungen zu betrachten, welche diese quadratische Gleichung (7) darbietet.

Lassen wir « und ß kleiner als 180° bleiben, so ist die Wurzel immer reell, wenn ß — a positiv, oder ß grösser als a ist, d. h. nach Fig. 3., wenn der Punkt F ausserhalb des Winkelraums a liegt. Man bekommt dann zwei reelle Werte m, von denen aber der eine negativ ist, und einem Abschneiden auf der Rückverlängerung von A B entspräche, was keine praktisch brauchbare Lösung giebt.

Wird ß = a, so liegt der Punkt'P auf der Geraden A C selbst, und wir haben den früheren einfachen Fall von Fig. 1. S. 56, was sich auch daran zeigt, dass dann (7) mit dem oberen Zeichen in (2) übergeht. Das untere Zeichen giebt mit ß = « in (7) m = 0, was mit n = oo als unendlich langer und schmaler Streifen zu deuten wäre, und praktisch bedeutungslos ist.

Wird ß kleiner als a, so liegt der Punkt P im Inneren des Winkelraums a, nochmals zwei Fälle zu unterscheiden, ob nämlich die Wurzel in (7) reell oder imaginär wird; im ersten Fall hat man zwei Werte m, im zweiten Falle keinen. Nach Fig. 4. erklärt sich das geometrisch so:

Das Parallelogramm mit der Diagonale A P hat die Fläche:

und dann hat man

R<

Fig. 4.

M.

Q’

QO.

A Q PQ' = A Qx y — «² sin ß —

sin (a — ß) sin a

Man hat also in (7):

/ zwei reelle Werte von in I | keinen reellen Wert von m j Wird die abzuschneidende Fläche F gleich der Fläche des Parallelogramms AQPQ', so bekommt man eine reelle Lösung, wobei die Teilungslinie MN nach Fig. 4. parallel der Diagonale Q Q’ des Parallelogramms wird.

In der Formel (7) kann man statt a und ß die rechtwinkligen Coordinatcn x und y des Punktes P einführen; es ist nämlich nach Fig. 4.:

wenn F

grösser

kleiner

j als 2AQPQ'.

a sin ß = y

,    -r— sin (a — ß) = A Q - x — y cotg a

(9)

wenn die auf A M gezählte Abscisse des Punktes P mit x bezeichnet wird.

Wir haben hiezu eine besondere Figur, Fig. 5., in welcher A M nach rechts (statt AM nach links in Fig. 3.) gerichtet ist. A Q = x ist nach rechts positiv, und QP — y nach oben positiv gezählt. Die Beziehung (9) gilt damit ^ also auch für Fig. 5. und damit geben die Gleichungen (7) und (8) :

Fig. 5.

1V,

y\

AQ — x , AM —m

(10)

2F

m sin a

Wir nehmen hiezu ein Zahlen - Beispiel mit Fig. 6 Die gebrochene Grenze SPC soll in eine geradlinige Grenze NM verwandelt werden, jedoch so, dass sie nach wie vor durch den Punkt P geht.

Aus den gemessenen, in Fig. 6. eingeschriebenen Massen berechnet man die Fläche AB PC, nämlich:

24,70 X 32,48 = 802 4,96 X 40,48 = 200 11,04 X 8,00 =    88

(H)

Fig. 6.

Viereck AB P C=-b AM M. (Massstab 1 : 200.)

N/

CO 00 CO

N’y

2 F = 1091,4 545,7

OG

Die Coordinaten von B geben:

tang a —

32,48 24,70    ’

52° 45'

Die Coordinaten von P sind:

und

x = 29,66

Damit geben die Formeln (9) und (10) :

m = 68,21 + 37,90 = 106,11 12,92

y =. 8,00

oder oder

Von den beiden Lösungen, welche beide den Bedingungen der Aufgabe entsprechen, wird man in diesem Fall die zweite auswählen, nämlich:

A N = n = 45,24.

AM — m = 30,31

30,31

45,24

Fig. 7.

III. Von einem Winkelraum MAN

(Fig. 7.)

soll eine Fläche MAN = F abgeschnitten werden durch

eine Teillinie MN, welche einer gegebenen Geraden M' N' parallel werde. Damit sind die Winkel ft und y des Dreiecks MAN bestimmt, und damit auch das Seitenverhältnis :

mV

■v. -et

(12)

Hiezu hat man noch die Flächengleichung:

m n sin a — 2 F

Damit hat man zwei Gleichungen, welche sich leicht nach m und n auflösen lassen, nämlich:

(18)

sin ft

2F^Sinl~~

sin a s in ft

Wegen a-ł-/?4-y = 180°, kann man dieses auch so schreiben:

in =

sin a sin y

(14)

m — Y2 F (cotg a -f- cotg ft) was auch unmittelbar aus (8) § 20. S. 54 folgt.

n — \2 F (eotg a + cotg y)

(15)

§ 22. Parallel-Teilung von Vierecken und Polygonen.*)

I. Von dem Viereck AB DG (Fig. 1.) soll ein Stück F abgesclmitten werden durch eine Parallele MN zur Seite AB.

Fig. 1.

Parallel-Teilung MN.

sC

Denkt man sich die Seiten A D und B C bis zu ihrem Schnitt verlängert, so erscheint das Trapez F als Differenz zweier ähnlicher Dreiecke, es ist also nach (8) § 20. S. 54:

2F = —

«2

æ²

NI

ë==àN

m/

.n

cotg a -h cotg ft cotg a + cotg ft Löst man diese Gleichung nach x auf, so erhält

man :

x — l/rt² — 2 F (cotg a + cotg ß)

(1)

*) Wir benützen bei dieser und den folgenden Aufgaben dieses Kapitels zum Teil schon die allgemeinen Formeln der Coordinaten- und Azimut-Rechnung, welche wir erst in Kapitel VII, eingehender behandeln werden,

und sodann:

(2)

Die Winkel a und ß brauchen nicht in Gradmass angegeben zu sein ; häufig kann man cotg a und cotgß unmittelbar bestimmen, wie folgendes Beispiel mit Fig. 2. zeigt: Das Viereck AB CD soll durch eine

Parallele MN zu AB halbiert werden.

Man nimmt das Viereck durch Co-ordinaten in Beziehung auf AB als Aufnahmslinie auf, und berechnet die Fläche desselben aus den Aufnahmsmasseu, nämlich :

— 189,2

Fig. 2.

Parallel-Halbierung MN.

37.10

30.02

\M

— 5,10x37,10 =

59,22x67,12 = 3974,8 26,08x30,02 = 782,9

-t- 4757,7 - 189,2 2 V 4568,5 Fläche des Vierecks V = 2284,3 Wenn das Viereck halbiert werden soll, so ist das von unten abzuschneidende Flächenstück F gleich der halben Vierecksfläche, also 2 F = V = 2284,3

26,08 30,02

-69.00-

JV

15.3t

cotg a

— 5,10

37,10

=—0,1375

oov

J.IO

cotg ß - -

-80.20-

Aß

= -f- 0,8688

59. 22

OSVS>

(3)

cotg a -+- cotg 2 = -+- 0,7313

x = 1/80,202 — 2284,3 X 0,7313 = 69,00 2284,3

y ~ 80,20 + 69,00

Damit lässt sich die Parallele M N abstecken, worauf man die Probe hat, dass ihre Länge MN — x - 69,00 sich ergeben muss.

Zur weiteren durchgreifenden Flächenprobe kann man die Fläche des Rest-Vierecks MN CB nochmals unabhängig aufnehmen, etwa durch eine Diagonale B N mit ihren zwei Senkrechten, wobei diese Restfläche auf wenige Quadratmeter genau wieder = F = 1142'îm werden muss.

Statt, wie hier zunächst angenommen wurde, die Parallele MN unmittelbar mit Hilfe ihres Abstandes y = 15,31”* abzustecken, und die Punkte M und N als Schnitte dieser Parallelen mit den Seiten A D und B C (Fig. 2.) im Felde aufzusuchen, kann man natürlich auch die schiefen Entfernungen AM und BN berechnen:

BN= y— sm ß

wo « und ß nach (3) durch ihre Cotangenten gegeben sind. Man findet:

,? = 49°1'

B N = 20,28™

womit die Punkte M und N in aller Bequemlichkeit und Schärfe abgesteckt werden können.

= 15,31

AM— —— sin a

a = 97° 50'

AM — 15,45™

Diese Aufgabe giebt Gelegenheit zur Mitteilung eines kleinen Beitrags zur Flächengenauigkeits-Bestimmung. Wir haben diese Aufgabe sehr oft als Übungs-Aufgabe mit Studierenden behandelt, und aus den vorhandenen Messungsbüchern folgende Zahlen zusammengestellt: Es bedeutet dabei V die Fläche des ganzen Vierecks,

x die berechnete Länge, x' die gemessene Länge der Parallelen,

Viereck nach der Teilungs-Berechnung, und R die unmittelbare Kontroll-Messung des Rest-Vierecks MN CD (Fig. 2.):

= F das halbe

Zeit

x'

kJ

AB

qm

1878

1879

1880

1881

1883

1884

1885

1886

0,00

0,00

M M M    I—i    »

COHOH<KX)0^a)OGO<l O GO ^ ÜT M O ÜT    O CO ^ s

“oo+"ćo bo + bo+"o'ćo o + o

t—^¹ »—* i—*    t—*    *

œMOP<i(»o«j®ooO'a CJTDÛHMMOÜTOOIHWCO a jcr J>0_0    ÜUDCO M O OO ³

oko co i-¹ o + Vi++ +

qm

+ 4,5

- 1,0

+ 1,9

- 1,2

+ 4,4

+10,2

+ 2,7

0,0

+ 2,3

+ 1,6

+ 4,5

- 0,2

Summe (12) 21788,5 633,86 634,26    + 0,44 10894,2 10923,9    +32,1

- 2,4

910,32    + 2,88 (4)

— 0,04

Mittel 1815,7    52,84    52,88    ±0,04    907,85

(vgl. hiezu (19) und (20) § 20. S. 53—54.)

Man kann die Formel (1), welche wir oben unmittelbar geometrisch begründet haben, auch aus der allgemeinen Vierecksformel (8a) § 20. S. 55 herleiten, was noch zu einer Nebenbemerkung Veranlassung geben wird. Jene Formel (8a) § 20. S. 55 lautet nämlich, auf Fig. 1. angewendet:

2 F = a m sin a + an sin ß — mn sin (a + ß)

2 F = am sin a + an sin ß — in n sin a cos ß — mncos a sin ß Wenn MN parallel AB ist, so ist m sin « = n sin ß = y, also:

2 F = ay A- a y — y² cotg ß — y^ cotg a Löst man diese Gleichung nach y auf, so erhält man :

a + V«2 — 2 F (cotg a + cotg ß) cotg a + cotg ß

Die Wurzel ist dieselbe wie in (1), also:

a — x

y —--——

cotg a + cotg ß

Dabei ist zugleich von den zwei Zeichen + das untere genommen, weil nur dieses unserem praktischen Fall entspricht (das obere Zeichen würde eine Teillinie im Scheitelwinkel von a + ß geben).

Die Formel (7) für y könnte etwa als Kontrolle neben (2), oder als Ersatz von (2), gelten, aber nur dann, wenn a + ß genügend weit von 180° entfernt ist, d. h. wenn die Geraden AD und BG (Fig. 1.) nicht nahe parallel sind. Ist dieses der Fall, so wird y nach (7) unbestimmt, während die Formel (2) immer eine gute Bestimmung giebt.

Aber auch ganz allgemein, wenn AD und BO (Fig. 1.) nicht nahezu parallel sind, ist es praktisch viel richtiger, das wichtige Mass y in letzter Bestimmung nicht auf die Nebenbedingung der Parallelität zwischen MN und A B nach (7) zu gründen, sondern auf die Hauptbedingung der richtigen .FZäcften-Abteilung vermöge (2).

oder:

(5)

(6)

(7)

II. Vierecks-Teilung parallel einer beliebigen Geraden M'N'.

In Fig. 3. S. 63 soll die Fläche AB N M = F werden, wobei die Teilungslinie MN parallel M Nf sei.

Man kann diesen Fall auf den vorhergehenden Fall von Fig. 1. zurückführen, indem man durch A die Parallele AB' zu MN' legt, das Dreieck ABB' berechnet und dann die Teilung auf AB' NM bezieht.

Bei kleinen Verhältnissen könnte man etwa geradezu im Felde die Parallele AB' stecken.

In der reinen Berechnung hat man folgendes :

Gegeben AB=a, Winkel bei A = a, Winkel bei B=ß. Die Parallelen - Richtung sei durch den Winkel q> gegeben, dann ist auch bekannt:

Winkel a

AB’ — a! =

Fig. 3.

Teilungslinie MN parallel M'N'

Hl

Ml

— <p

sin t p

2 /\ AB B' = a a! sin <p

bei A und Winkel ?/; ß + q> sin ß , B B'

a II

s i n q>

sin i/j

oder — aBB' sin ß

,N

kt

(8)

(9)

Statt AB NM = F von AB aus abzuschneiden, schneidet man nun F—/\ABB' von AB' aus ab, nach den Formeln (1) und (2) S. 60—61.

Statt dieser Zurückführung auf die vorhergehende Aufgabe kann man die Vierecks-Teilung parallel einer beliebigen Geraden auch unmittelbar so behandeln:

In Fig. 4. sei a , a , ß gegeben, und es handelt sich um die Teillinie MN, deren Richtung ebenfalls vorgeschrieben ist. Durch diese Richtung sind auch die Winkel y und 8 gegeben, und dann hat man nach (9) § 20. S. 56:

«2

fe2

cotg a 4- cotg ß cotg y -ł- cotg 8

₀    _a² sin a sin ß b² sin y sin 8 a? sin a sin ß — jfl sin y sin 8

sin (a -l- ß) sin (y 4- 8)    sin y

das kann man nach b auflösen:

oder:

— 2 F sin q> + a² sin a sin ß

sin y sin 8

(10)

Nachdem somit b gefunden ist, kann man die Seiten nach dem Sinus-Satz berechnen:

Fig. 4.

Teilungslinie MN parallel M' N'

ci .

m = -i—- sm ß sm <p

b .

—-sm y

sin çd

(U)

M¹

N‘

a

n — — sm a

SW (p

Wenn jedoch der Winkel <p sehr klein ist, so wird die Berechnung von m und n nach diesen Formeln ungenau; in diesem Falle rechnet man besser so:

sin y

sin 8

(12)

HN

in

2 F = mb sin 8 -t- m a sin a — ab sin (« -+- S)

2 F = nb sin y -i- n a sin ß — ab sin (ß -ł- y)

__ 2 F ■+■ a b sin (ß -f- y) a sin ß •+- b sin y

Ein Zahlen-Beispiel hiezu können wir im Anschluss an Fig. 3. des folgenden § 23. S. 67 dadurch bilden, dass die Teillinien A G und BI) so gezogen werden, dass die Konvergenzen der Langseiten in den drei Stücken gleich werden, d. h. dass die Azimut -Differenzen der vier Strahlen (4)(1) , AG , Bl) , (3) (2) einander gleich

2 F + a b sin (a 4- ô)

a sin a 4- b sin 8

(13)

werden. Die vier Strahlen schneiden sich also dann nicht mehr in einem Punkte (n), die Durchführung der Rechnung nach den vorstehenden Formeln giebt: m — 24,33 n = 36,87

o h».

B m! = 43,77

I) n! = 71,10

(13a)

Wiederhölte Parallel-Teilung.

In Fig. 5. soll der Zwischenzug MN O P so gelegt werden, dass MN parallel AB , NO parallel BC , OP parallel CD und dass die Summe der Flächen - Abschnitte nach AB CD hin = F werde.

Fig. 5.

Wiederholte Parallel-Teilung.

¹

a als mathematisches Zeichen für Abweichung und a als Zeichen für Ar sind nicht zu verwechseln.

JE

'M

a F.

P,

'V

(k

Es handelt sich um wiederholte Anwendung der Teilung von Fig. 1. S. 60. Wir setzen daher in Fig. 5.:

MN = X\

AB = «!

OP = æ₃

CD = a₃

NO = x2 B G = a₂

Die Winkel seien mit A B G P bezeichnet, und y sei der Parallel - Abstand, dann bestehen die Gleichungen:

a{ = x\ 4- y cotg AĄ-y cötg g

S    G

rt₂ — x^-\- y cotg -g +y cotg -g-

Q

as = xs + y cotg y + V cotg D

H    0

[«] = [«] + y (cotg A -\- 2 cotg -g- + 2 cotg — -f cotg D) [a] — [x] = y S

wo S die aus der Vergleichung von (14) mit (15) ersichtliche Summe ist. Ferner hat man für die Flächen :

Summe :

(14)

(15)

M + [x))y = ZF

(16)

Die Gleichungen (15) und (16) gehen durch Multiplikation:

[a]2 — [-»ja = 2 FS

[x] = Y\Ü\2-21Ś

und nachdem [x] berechnet ist:

(17)

(18)

[«] + O]

Wir behandeln hiernach ein Zahlen-Beispiel mit Fi«'. 6 :

Fig. 6.

Wiederholte Parallel-Teilung. (Massstab 1 : 1500.)

17.03

19.22

______

110.23

€6 0h

!\

W'fczi

/ 96

150.37

io

US

Die Flächenberechnung nach den in Fig. 6. eingeschriebenen Massen gieht: [AB] 40,93x17,05 = 697,9 [.BC] 46,51 x36,27 = 1686,9 [CD] 35,90x 33,55 = 1204,4 [DE] 27,03x 14,33 = 387,3 [EF] 19,41 x32,79 = 636,5

4613,0

[.F G] 20,73 X 55,23 = 1144,9 [GH] 26,80 X 39,65 = 1062,6 [HJ] 31,86x36,48 = 1162,3 [JK] 29,80x51,71 = 1541,0 [KA] 21,77 x 32,44 = 706,2

5617,0

2 Gesamtfläche = 10230,0 Gesamtfläche = 5115,0''“ Halbierung F = 2 557,5qm

Auch die Winkel und die Seiten wurden aus den Coordinaten berechnet:

Seite AB = 44,34 B C 46,56 CD 36,23 DE 30,59 EF 38,10 FG 23,17 GH 27,31 HJ 31,93 JK 32,58 KA 39,07

Winkel A = 78° 45' B = 160° 3' C = 169° 34' D = 159° 50' E = 87° 18' F = 94° 6' G = 195° 29' H = 194° 45' J = 200° 9' K = 100° 1'

157,72 = [a]

114,99

Summe 1440° 0'

IB    G    D\

S = cotg A + 2 (cotg ^    2 eotg -h 2 cotg ^ J + cotg E

S = 0,1989 + 2 (0,1760 + 0,0913 + 0,1778) + 0,0472 = 1,1363 Die weitere Rechnung nach (17) und (18) giebt:

[æ] = 138,07    , y = 17,29

Dieses bezieht sich auf eine Grenze parallel dem nördlichen Zug AB C D E.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Macht man die entsprechende Berechnung für eine Grenze parallel dem südlichen Zug, so erhält man:

y = 20,22

[x] = 137,92

Wir werden eine andere, ähnlich ; aussehende, aber bessere, Längsteilung des

selben Vierecks in § 24. S. 72—73 behandeln.

§ 23. Vierecks-Teilung durch gegebene Punkte.

I. Von dem Viereck ABCD (Fig. 1.) soll ein Stück A BN M F abgeschnitten werden durch eine Gerade MN, welche durch einen auf AD gelegenen Punkt M geht.

Es sind also die zwei Seiten a , m , die zwei Winkel « , ß und der Inhalt F gegeben, und man hat nach (8a) § 20. S. 55 die Gleichung:

2 F = am sin a + o« sin ß — m nsin (« + /?)

Diese Gleichung kann man nach n auflösen:

2 F — am sin a — a sin ß — m sin (a + /?)

Diese Aufgabe kann in folgender Weise sehr praktisch verwertet werden:

Man habe auf irgend eine Weise, z. B. durch Konstruktion, auf einem Plane eine Teillinie MN gefunden, welche die Flächenteilung nahezu liefert, welche ausserdem nach irgend welchen anderen Rücksichten, z. B. mit Richtung nach einem entfernten Punkte oder parallel einer gegebenen Geraden, gelegt wurde.

Da nun solche Nebenbedingungen gewöhnlich nur beiläufig so genau erfüllt werden müssen, als die Planzeichnung zeigt, während die Flächenteilung so genau richtig werden soll, als man auf dem Felde messen kann, ist es völlig genügend, den einen Abstand m nach dem Plan anzunehmen, und den anderen dazu gehörigen Abstand n nach der Formel (1) scharf zu berechnen.

Fig. 1.

Teilungslinie MN.

,c

,N

in

.n

(1)

Fig. 2.

Teilungslinie Ä MN.

,c

II. Von dem Viereck ABCD (Fig. 2.) soll ein Stück AB N M = F abgeschnitten werden durch eine Gerade A'MN, deren Festpunkt A' auf der Verlängerung von BA liegt.

Nach (3) § 20. S. 54 hat man durch Betrachtung n der zwei Dreiecke A'BN und A'AM:

A' CA

(a -r c)²

C2

cotg tp + cotg ß

Diese Gleichung kann nach cotg cp aufgelöst werden :

2 F (cotg² cp -j- cotg cp (cotg ß — cotg a) — cotg a cotg ß)

— cotg cp ((a -+- c)² — c²) — (a + c)² cotg a — c² cotg ß Dieses ist eine quadratische Gleichung von der Form :

cotg cp — cotg a

A cotg¹* cp — B cotg cp-\-G — 0

(2)

wo

damit ist:

=    2 F (cotg a — cotg ß) -(- (a -f- c)² — c²

= — 2 F cotg a cotg /? + (« + c)² cotg a -f- c² cotg ß

(2a)

(2b)

(2c)

_ B ± YB⁹- — 4 A G

Die Entscheidung über das Doppelzeichen der Wurzel, und über den Quadranten von ip wird praktisch keine Schwierigkeiten machen.

Nachdem der Winkel <p bestimmt ist, kann man auch die Strecken m und n aus den Dreiecken A'A M und Ä B N berechnen, nämlich : c sin w

W ___

sin (a — (p)

_ (a -j- c) sin <p sin (ß -+- ip) Zur Probe kann man dann noch

Fig. 3.

Teilimgslinien durch den Punkt (»). (Massstab 1 : 2000.)

berechnen :

ymj

2F = amsina -4-ansin ß—mnsin(a-\-ß) III. Wir betrachten nach Fig. 3. den besonderen Fall der vorstehenden Aufgabe, dass der Punkt (n), durch welchen die Teillinien gehen sollen, auf dem Schnitt der verlängerten (1)(4) und (2) (3) liegt, und wir stellen die Aufgabe, das Viereck (1) (2) (3) (4) so in drei gleiche Teile zu teilen, dass die Teilungslinien AG und B D verlängert durch (n) gehen.

Alles sei in Coordinaten zu he-handeln. Die Coordinaten der vier Eckpunkte sind:

(1)    yi =

(2)    y₂ = + 97,86

(3)    j/3 = + 52,46

(4)    2/₄ = + 5,71

0,00

0,00

*1 =

x₂ = -+- 35,62 æ₃ = -j- 104,70 a?4 = -j- 68,10 Der Inhalt des Vierecks wird aus diesen Coordinaten berechnet nach (10) § 17. S. 48:

(4) a

(1)

! 'A''

\(3)

(2)

Inhalt des Vierecks (1) (2) (3) (4) V = 5676,0 j V — F\= 1892,0

qm

(5)

%V=F'= 3784,0

(5a)

Auch die Azimute, Winkel und Seiten werden aus den Coordinaten berechnet:

Winkel

Azimute

((4) (1)) = 184° 48' ((1)(2))= 70° 0' ((2) (3)) = 326° 4P ((3) (4)) = 231° 57' ((4) (1)) = 184° 48'

(1)    = 65° 12'

(2)    = 76° 4P

(3)    = 85° 16'

(4)    = 132° 51'

360° 0'

Seiten

(4) (1) = 68,34™ = a

(1) (2) = 104,14

(2)    (3) = 82,67

(3)    (4) = 59,37

(6)

((2) (3)) = 326° 4P ((4) (lj) = 184° 48'

(«) =

38° 7'

(7)

Dann findet man auch die Lage von {ri) gegen (4) und (1):

sin (n)

sin (3) = 95,84

(o+ c)

= W²? sin (2) = sm(w)

104,18

(8)

und die Coordinaten des Schnittpunktes (n):

yn = +13,73

Um nun die Formeln (2a) (2b) (2c) anzuwenden, hat man für die erste Teillinie AG in Fig. 3.:

(n)

xn — “f“ 163,62

(8a)

2 F = 3784,0 , « = (4) = 132° 51' (a + c) = 164,18    ,

Setzt man dieses in (2a) (2b) (2c), so wird: A = 3784,0

Dieses in (3) gesetzt giebt :

<x — 68,34

B = 12511

12° 41'

,9 = (1) = 65° 12' c = 95,84

C = — 19138

(11)

Damit berechnet man auch: c sin ip

sin 120° 10' ⁼

Die zweite Teilungslinie BD Fig. 3. wird ebenso behandelt, sie giebt mit F' = 2 F = 3784,0:

24,339

(a + c) sin <p sin 102° T

= 36,869

(12)

₉' = 25° 44'

Die Azimute der Linien (4) (3) und (1)(2), auf welchen die m n m' n' abzutragen sind, haben wir auch schon oben bei (6) angegeben, nämlich:

Azimut ((1) (2)) = 70° 0'

Damit kann man auch die Coordinaten der Teilpunkte AB G D berechnen, nämlich :

B yB = + 40,00 Xb = 4- 94,94 D yD = + 67,00 xd = + 24,39 (Wir haben dieselbe Aufgabe früher in der „Zeitschr. f. Vorm. 1882“, S. 426—427 in anderer Weise behandelt, indem die Entfernungen m und n unmittelbar als Unbekannte von quadratischen Gleichungen bestimmt wurden.)

m' — 43,54

n' = 71,30

(13)

Azimut ((4) (3)) = 51° 57'

A yA — +24,87 xA - +83,10 G yc = -f⁻ 34,65 Xc = -t- 12,61

(14.)

Fig. 4.

Teilungslinie PMN.

,C

VAL.

iN

<!>

eso- m

IY. Wenn das Viereck (Fig. 4.) von einem beliebig gegebenen Punkt P aus geteilt werden soll, so kann man diese Aufgabe immer auf die vorhergehende zurückführen, indem man die Gerade PA'B zieht.

P selbst sei gegen das Viereck festgelegt durch r und xp, dann kann man jedenfalls das Dreieck PAB aus zwei Seiten a und r und dem eingeschlossenen

Winkel xp auflösen, und man hat damit die Seite PB, sowie die zwei Winkel (y — y) bei P und fx bei B,

AP, A' B und die

worauf auch der Winkel bei A', dann die Entfernungen A! A Dreiecksfläche ABA' leicht gefunden werden.

Sei nun AB NM = F die ursprünglich abzuschneidende Fläche, so nimmt man jetzt die Differenz F = /\AB A' — F', und schneidet diese Differenz F' von der Linie PA'B aus, gegen MN hin, nach der vorigen Aufgabe mit den Formeln (2)

und (B) ab.

Wir nehmen hiezu ein Zahlen-Beispiel mit Fig. 5., dasselbe, welches wir früher in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 422—425 in anderer Weise behandelt haben.

Fig. 5.

Teilungslinie («) PP'. (Massstab 1:2000.)

(3)

fr)

P'

(n) <P \P

US

Es ist ein Viereck durch die Coordinaten seiner Eckpunkte gegeben:

= + 15,04™

#2 = + 19,04 x₃ = + 115,46 = + 71,04

Ein weiterer Punkt ist:

(1)    V\    —    H⁻    32,70™

(2)    2/2    —    ■+■    138,78

(3)    2/3    =    -h    154,08

(4)    2/4    =    +    9,12

(15)

(n) y„ =r +    3,00

a?„ = -(- 44,00

Von diesem Punkt (n) aus soll eine Gerade in)PP gezogen werden, welche die Fläche des Vierecks halbiert.

Zuerst berechnet man die Vierecksiläche selbst aus den Coordinaten, nach (10)

§ 18. S. 48:

2 V= (—52,00) (-121,38) - (+129,66) (—100,42) = 19332,22

(16)

Fi ist das abzuschneidende Stück.

Aus den gegebenen Coordinaten berechnet man die Azimute und die Entfernungen :

2 F=V = 9666,1 JPj = 4833,0

Azimute

((1) («)) = 314° 17' ((1)(4)) = 837° 10' • ((1) (2)) = 87° 50' ((2) (3)) =    9°    V

((») (2)) = 100° 25' ((1) (4)) = 337° 10'

Differenzen

22° 53'

(1)    = 110° 40'

(2)    = 101° 11' fl = 88° 36' a = 123° 15'

Entfernungen (l)(n) = e =    41,49

60,76 106,15

(1)    (4) =

(1)(2) =

(2)    (3) =

(«) (2) = c + a = 138,06

97,63

Nun kann man die zwei Dreiecke (n)(\)A und (1)4(2) ganz berechnen, sie geben: (1)4 = 27,65 , c = 19,29 , a = 118,76 , (Probe: c + a = 188,06)    (18)

A (IM (2) = 1373,1 hiezu Fi — 4833,0

also

2F = 6919,8

Dieses F ist die Fläche P4.(2)P', welche nun von der Basis 4.(2) aus abge-sclmitten werden soll.

Nun kommt die Anwendung der Formeln (2) und (3), mit den unter (17) (18) (19) vorbereiteten Werten :

F = 3459,9

(19)

2F = 6919,8

a c — 138,06 123°15'

Man findet die Coëfficienten

dann nach (3) S. 66:

c = 19,29 p = 88° 36'

A = 6919,8 B = 13983 C = — 12377 20° 25'

>p =

Damit sind die zwei Dreiecke (n) 4 P und (w) (2) P bestimmt, sie geben : A P = 6,90 hiezu (1) A = 27,65

Die Azimute hiezu sind schon unter (19) angegeben, nämlich:

(1)P= 34,55

(2) P' = 50,94

(20)

((1M) = ((1)(4)) = 337°10'

((2)P') = ((2)(3)) = 9°P

Man kann also auch die Coordinaten der Punkte P und P von (1) und von (2) aus berechnen; man findet:

Punkt P y = + 19,29 , £C= h-46,88

PunktP' y' = +146,76 , x' = 4-69,35 (21)

§ 24. Vierecks-Teilung und Polygon-Teilung nach Seiten-Verhältnissen.

I. Wenn man die Vierecksformel (8a) § 20. S. 55 auf das Viereck Fig. 1. zweifach an wendet, so erhält man:

Fig. h

2 J = amsinA-\- am’ sinD — mm' sin (A -f- D)

2F = an sin A -t- a n' sin D — nn' sin (4 -f- D)

Dabei ist J die Fläche des ganzen Vierecks ABCD, und F die Fläche eines abzuschneidenden Stücks.

Das Produkt m m' sin (A -f- B) wollen wir besonders bezeichnen :

(1)

(2)

(3)

m m' sin (4 + P) = 2M

)lV

d. h. es ist M die Fläche eines Dreiecks mit den Seiten m und m' und dem eingeschlossenen Winkel 180° — (A + B) vgl. Fig. 4. § 20. S. 55). Damit kann man die Gleichung (1) so schreiben:

2 J = a(m sin A -f- m' sin D) — 2 M Nun wird festgesetzt, dass eine Teilungslinie die beiden Seiten AB und DG nach gleichen Verhältnissen teile, d. h.:

vi

ii

n'

(4)

a,».

(5)

Damit wird (2):

2 F = v u (m sin A-\-m' sin D) — v² m m' sin (A + D)

Berücksichtigt man hier die durch (3) und (4) eingeführten einfacheren Zeichen M und J, so wird:

2F = 2v{J + M) — 2v²M

v² M—v(J+ M)-\-F= 0 Die Auflösung dieser quadratischen Gleichung giebt:

(6)

J+M

vm)

(?)

Die Formel (7) wird unbrauchbar in dem oft eintretenden Fall, dass die Seiten AB und D C nahezu parallel werden, denn dann wird A Ą-1) nahezu = 180°, folglich nach (3) : M = 0, und (8) giebt hiermit :

V = oo + ]/oo2 — oo

Um diesem Übelstand auszuweichen, bestimmt man besser

v

man rechnet nach (6):

(8)

statt v, d. h.

M— (J-+ M)

1 \a

(9)

(10)

4M F

(7+M)²

(Diese Umkehrung entspricht der Formel, welche Vogler auf S. 620 seines Lehrbuchs der praktischen Geometrie „nach einer Bemerkung Helmerts“ angiebt.)

Wenn in Fig. 1. die Abschneidung nicht von der Seite AD her, sondern von BC her vorgenommen werden soll, so ändert M sein Vorzeichen, denn in (3) tritt dann sin(B-\-C) an die Stelle von sin (A -)- D), und an Stelle von F muss J—F treten, ebenso auch 1 — v an Stelle von v, weil auch die Strecken auf A B und D ü dann von B und von C her abgetragen werden sollen. Dieses bestätigen auch die Formeln, denn nach (7) hat man:

oder

1    J-\-M , JA-M

(11)

M—J+V- ■ • _ j—M±y...

V~ 2 M ~    —2M

Der Ausdruck unter der Wurzel in (12) kann aber an und für sich so umgeformt

(12)

werden :

also:

(/+ M)2 — 4 M F = {J— Mf + 4 M {J — F) — (J — M) +    M)2 a-4 M(J — F)

(13)

2 M

Was das Doppelzeichen der Wurzel betrifft, so ist immer nur ein Zeichen praktisch brauchbar, was stets leicht zu entscheiden ist. In (7), (10) und (11) gilt nur das Zeichen +.

Wir schreiben mit dieser Beschränkung die Hauptformel (10) noch einmal:

1 JA- M

m-Y!u

(14)

Filr den besonderen Fall der Flächenhalbierung hat man J=2F, und damit wird:

/-(”)•

(15)

Anfang ist:

Wenn M klein ist, so kann man (11) oder (14) in eine Reihe entwickeln, deren

2 MF '

(J+ M)ä

1 J -+- J\1 J -+- JM. 7⁼ 2F ⁺ ~2ÏT

1 J+M

und umgekehrt:

Mv,

| 1 + y ^1— Fj )J (genähert) -yjJ (genähert)

(16)

(17)

für die Halbierung der Fläche J hat man J = 2 F, folglich : r ,    1    1 M

[®]l/»~    ~j

Nun ist die im bisherigen behandelte Vierecks-Teilung auch einer Ausdehnung auf Polygone fähig, wie zuerst Vogler in der „Zeitschr. für Yerm. 1884“, S. 277 gezeigt hat.

Wenn man nämlich mehrere Vierecke aneinander reiht, wie in der nachfolgenden Fig. 2. zu sehen ist, und wenn man für alle Teillinien A" B" G" D" F" dasselbe Verhältnis festsetzt:

(genähert)

(18)

1    A A"    B B" CC" D D" _ F E"

TT D' ~ E" E'

(19)

C"C'

so kann man die frühere Betrachtung von Fig. 1. wiederholt anwenden, und man bekommt dieselben Gleichungen (7), (10) u, ff., wenn man nun unter J die Summe aller ganzen Vierecke und unter F die Summe der abzuschneidenden Vierecke versteht, oder kurz, wenn J und F nun die entsprechenden langgestreckten Polygone sind.

A" A!

B" B'

Fig. 2.

A. A" B 75” O C"

Teilung mit konstantem Seiten-Verhältnis ■ ■- =    ₇, ~, =    = •

A A B B CC

B 46,56

n 46

J3"

1691

F"

18 01

Fs

'J?"

1202\A:

20 39' /

19 T

21,0

17,58

21,05

20 53,

<E"

Al

E‘

1-2000

h+

I00m

Zu einem Zahlen-Beispiel nehmen wir nochmals das langestreckte Polygon, Fig. 6.- § 22. S. 65, welches wir in obenstehender Fig. 2. in anderem Massstab neu aufgezeichnet haben.

50

Die Coordinaten der Eckpunkte sind:

A'    -j-    21,77    —32,44

B'    +    51,57    —19,27

G    +    83,43    —17,21    >

B'    -f-    110,23    —22,44

E'    +    130,96    —32,79

Man berechnet aus den Coordinaten zunächst den Inhalt (vgl. S. 65):

J = 5115,0«m

0,00

0,00

E    +150,37

(20)

0,00

(20a)

Aus den Coordinaten kann man auch die Seiten und Azimute berechnen, soweit man dieselben braucht. Ausser den in Fig. 2. eingeschriebenen Massen haben wir:

Seiten

A' A — 39,067». B' B — 37,846 G C = 36,650 B'B = 39,037 E' E = 38,104

Azimute

(A' A) = 326° 8' (£' B) = 343° 40' (C C) =

{B'B) = 19° 37' (E’E) = 30° 37'

Bifferenzen

6° 17'

17° 32' 22° 37' 13° 20' 11° 0'

(21)

Das Ganze soll halbiert werden, weshalb die Formel (15) zur Anwendung kommt. Da J nach (20a) bekannt ist, handelt es sich nur noch um M, und dieses berechnet sich mit den Angaben (21) so:

445,42

533,41

329,94

283,82

39,067 X 37,846 sin 17° 32' = 37,846 X 36,650 sin 22° 37' = 36,650 X 39,037 sin 13° 20' = 39,037 x 38,104 sin 11° 0' =

(22)

2 M = — 1592,59 M = — 796,3

Nach der Bezeichnungsweise von Fig. 1. ist dieser Wert M, welcher zu Fig. 2. gehört, negativ, weil die Linien A'A , B' B u. s. w. von Fig. 2. von Süden nach Norden divergieren.

Übrigens braucht man in unserem Fall gar keine Furcht wegen etwaigen Irrtums im Zeichen von M zu haben, denn wenn M sein Zeichen wechselt, so geht einfach v in 1— v über, wie wir bei (12) und (13) schon allgemein bemerkt haben; auf welche Seite aber v und 1—v gehört, das zeigt der blosse Anblick der Figur, in unserem Fall Fig. 2. muss offenbar der schmälere Teil nördlich sein. Nur wenn etwa das Polygon ABC BE einen Wendepunkt hätte, oder nahe gerade wäre, könnte der unmittelbare Anblick einen Zweifel bestehen lassen.

Wir haben nun nach (20a) und (22): J = 5115,0

und die übrige Einsetzung in (15) giebt:

M = — 796,3

= — 0,15568

(23)

(24)

= 1,85636 v = 0,53869    1 — v = 0,46131

Wenn man mit 1—v und mit v die unter (21) gegebenen Entfernungen A'A B' B u. s. w. multipliziert, so bekommt man die folgenden Teil werte:

nördlicher Teil 18,022 südlicher Teil

17,459    16,907    18,008    17,578

21,045    20,387    19,743    21,029    20,526

Summe 39,067    37,846    36,650    39,037    38,104

Diese Strecken sind, auf 1cm abgerundet, in Fig. 2. eingeschrieben.

(25)

Fig. 3.

4*.

CO

CO

Bisher wurde Alles streng aus Coordinaten berechnet ; die nächste Vereinfachung besteht darin, dass man die Konvergenzflächen M in dem Plane konstruiert und planimetrisch bestimmt.

u>

Ol

ifcü

H' £

CO

CO

Q--

Wir nehmen hiezu in Fig. 3. ein langgestrecktes Zehn-Eck, welches als Teil des Stückvermessungsrisses Kartenblatt Nr. 2, Kiss Nr. 1, von den lithographierten Anlagen der Anweisung VIII vom 25. Oktober 1881 herausgezeichnet wurde, und wir stellen uns die Aufgabe, dieses Grundstück („Pfarre zu Langenburg“) der Länge nach zu halbieren.

— 48,8 —

24,0

24-3

Die in den Steinlinien liegenden Grundstücksftratm setzen wir als direkt gemessen voraus, nämlich :

A A'

B B'

CC

teo

len

: 58,00™ = 48,80™ EE'

: 35,20™

(26)

50ct

( 0SZIM )

21,3

5>

-43,3—

^ 22,0

iSb

Der Gesamtinhalt ist in solchen Fällen wohl schon bekannt; nötigenfalls müsste er besonders berechnet werden. Wir fanden planimetrisch :

Gesamtinhalt von Fig. 3. :

J = 82,02 Ar

Nun konstruiert man durch Pa-rallelabschieben die vier Konvergenzflächen M, oder indem man je zwei zusammen nimmt, die in Fig. 3. schraffierten Teile, welche planimetrisch bestimmt wurden, und gaben:

} (27)

17,3    % ll9—^

Mi = + 21,6 M₂ = — 5,4 M₁-hM₂ = M = + 16,2 Ar

Setzt man J von (27) und M von (28) in die Formel (15), so erhält man:

— = 2,031196 v

und wenn man mit 1 — v und mit v die Breiten (26) multipliziert, so erhält man folgende Teilstrecken :

v = 0,49232

1 — v = 0,50768

(29)

(30)

Diese Breiten sind, auf Decimeter abgerundet, in Fig. 3. eingeschrieben.

Wir wollen nun zu Näherungsberechnungen übergehen, welche bereits in (16), (17) und (18) vorbereitet sind.

Indessen handelt es sich hier weniger um Ersatz der strengen Ausrechnung der Formel (14), welche bei gegebenen / , F und M keinerlei Schwierigkeit hat, als vielmehr um Beschaffung einer Näherung für die Konvergenzgrösse M. Nach (3) ist:

2 M — m m' sin ( A -f- D)

und wenn das Viereck ein Trapez, Fig. 4., wird, so geht dieses über in:

2I=(fl — b)h

In diesem Falle ist der Gesamtinhalt des Vierecks:

2 J — (a -\-b)h

(31)

(32)

(33)

Fig. 4.

also :

J a-{-b

In (18) eingesetzt, giebt die Näherung (34):

\ genähert.

(34)

r~7

7,

h m m' nt

l/a-h \_

1 la —

M‘/,= 2- —T^+6

Wir wenden diese Näherungsformel auf Fig. 2. S. 72 an und haben:

(35)    ,

— 42,73 _ 272,71

— 0,15669

nördlich

44,34

46,56

36,23

30,59

südlich

32,58

31,93

27,31

53,17

b = 157,72

a = 114,99

v = 0,5000 -f- 0,0392 = 0,5392    ,    1 — v = 0,4608

während die genaue Berechnung nach (24) gab: v = 0,5387 ,    1 — v = 0,4613.

Rechnet man mit dem genäherten v die zwei Teilstrecken der ersten Seite A' A aus, so findet man:

18,00 + 21,07 = 39,07

also im Vergleich mit den genauen Entfernungen, welche bei (25) angegeben wurden, nur eine Differenz von 2rm.

Auch die Anwendung der Näherungsformel (35) auf unser zweites Polygon Fig. 3. (welche wir hier nicht im einzelnen vorführen), giebt Übereinstimmung aut 2—3™‘ mit den genauen Resultaten (30).

Die Formel (35) gilt für Halbierung der Fläche. Die allgemeine Näherungsformel dieser Art erhält man durch Einsetzen von (34) in (17):

(36)

F a— b F I F J a + b J \

Diese Formel, und die entsprechende Halbierungsformel (35) werden namentlich dann von Wert sein, wenn man nur zunächst eine gute Näherung haben will und nach Umständen nachher nochmals verbessert.

(Einiges Weitere hierüber haben wir in der „Zeitschr. f. Yerm. 1886“, S. 471 bis 473 mitgeteilt.)

§ 25. Grenzregulierung.

Die im bisherigen behandelten Teilungs-Aufgaben finden oft Anwendung in der Form von Grenzregulierung.

nur

Es handelt sich dabei darum, unter Bewahrung der Flächenverhältnisse, statt unregelmässiger Grundstücksformen regelmässige Figuren, welche durch möglichst wenig Marksteine bestimmt werden, zu erhalten. Innerhalb einer Flurabteilung, eines „Gewannes“, hat man es hiebei gewöhnlich nicht mit der „Gewannengrenze“, sondern mit Eigentumsgrenzen innerhalb der Gewanne zu thun. Wir behandeln einige Beispiele:

Alte Grenze ABGDEF.

Fig. l.

Neue Grenze AA".

(Massstab 1:100.)

<N

j it.11

I 5. OS

D 3.69

16.22

>A"

17.03

19.27

'    10. ä.

(82. 97)

3.00

l 9. ?3 T TSpA '

X    i /

: H0.22

(Fig. 1.) Eine Eigentumsgrenze ABGDEF zwischen zwei Gewannengrenzen AM und FN soll in eine gerade Grenze AA" verwandelt werden, welche durch A geht.

Es wird die Gerade AA' als ungefähr richtige Lage der neuen Grenze gesteckt, und die Fläche zwischen ihr und der alten Grenze aufgenommen, wie Fig. 2. andeutet. Die Flächenberechnung nach der Formel (5) § 17. S. 44 giebt:

-f    4,11 (16,22 +    17,43)    = -j- (    4,11    X 33,65)    =    +    138,30

+    5,08 (17,43 4-    19,27)    = + (    5,08    x 36,70)    =    +    186,44

+    3,69 (19,27 +    14,82)    = + (    3,69    X 34,09)    =    +    125,79

— 73,65 —155,65

qm

— 55,8''”* wird, denn die Abnahme um — nördlich und die Zunahme um — südlich.

geben zusammen eine Differenz = F. Oder die neue Grenze A A" ist so abzustecken, dass die Fläche des Dreiecks AA'A" = 55,8«”' wird. Der Punkt A" ist dadurch bestimmt, dass sein Abstand y von der Geraden AA! werden muss:

1,33™

-o ⁵⁵'3 - 82,97 ~

oder die schiefe Entfernung AA" selbst:

A A!

]/10,222 + 5,502

10,22

1,33

11,61

10,22

1,33 = 1,51"

damit lässt sich der Punkt A" bequem abstecken.

(In dem Holzschnitt Fig. 1. ist A'A" zu gross gezeichnet.)

g.M

to'oe

9ZÖZ

(Fig. 2.) Eine zwischen zwei parallelen Gewannengrenzen A M und J)N liegende gebrochene Eigentumsgrenze AB CD soll in eine geradlinige auf A M rechtwinklig stehende Grenze PQ verwandelt werden.

Man nimmt A E rechtwinklig zu den Gewannengrenzen als Aufnahmslinie, misst die in der Figur eingeschriebenen Masse, und berechnet die Fläche:

Fig. 2.

Alte Grenze AB CD. Neue Grenze PQ. (Massstab 1:200.)

izs

€.70

Ci 'et* CU « » N OO o

TJ* r—I ^ H CO

20,26 X 7,26    =

(59,84 — 20,26) (7,28 + 8,34) = 39,58 x 15,62 = (90,04 — 59,84) (8,34 -4- 6,24) = 30,20 X 14,58 =

2 F = 1206,05 F = 603,0«m

Hieraus berechnet man den Abstand y der Parallelen PQ von der Aufnahmslinie AE:

= 6,70

603,0 90,04

Damit kann die Parallele PQ abgesteckt werden.

(t lg. 3.) Die Grenze AB Gl) soll in eine geradlinige Grenze A E verwandelt werden, welche durch A geht.

Man nimmt die alte Grenze AB C D durch Coordinaten in Beziehung auf irgend eine durch A gehende Aufnahmslinie, z. B. A D auf, und berechnet die Fläehe:

2 ABCD = 740,3«*"

Dann ist der Punkt E so zu bestimmen, dass seine Ordinate y wird:

740,3 _

70,92 ~

Fig. 3.

Alte Grenze A B CD.

Neue Grenze AE.

(Massstab 1 :200.)

%/*-

10,44

.OZ OZ

\E

jp

Wenn hei nicht parallelen Gewannengrenzen, wie in Pig. 2. und Fig. 3., die neue Grenze einer gegebenen Richtung parallel werden soll, so kann man die Parallelteilungsaufgabe von Fig. 1. § 22. S. 60 anwenden. Wenn z. B. hei Fig. 3. die neue

Grenzlinie parallel A D werden soll, so berechnet man die Länge x der neuen Grenze, und den Abstand y derselben von AD, nach den Formeln:

x — )/70,922 — 740,3 (cotg A -+- cotg D)

740,3 70,92 -4- x

die Werte cotg A und cotg D ergeben sich aus Coordinatenmassen.

Fig. 4.

Parallelteilung durch Probieren.

ML

Wenn die Gewannengrenzen nahezu parallel sind, so kommt man vielleicht durch Probieren rascher zum Ziel, wie in Fig. 4. angedeutet ist:

Die Grenze ABC soll parallel PR gemacht werden, wobei PA und R C nicht parallel sind.

Man steckt schätzungsweise M' N'

parallell PR ah, und sieht zu, ob die Fläche PM'N'R — PABCR wird; sollte z. B. MN' zu wenig gehen, so verschiebt man parallel nach MN, so dass der schmale, als Rechteck zu behandelnde Streifen MNN'M' den Fehler deckt, d. h. wenn dieser Streifen = F — F' ist, so berechnet man seine Breite y aus der Gleichung:

F — F'

MN

Weitere Näherungs - Methoden zeigt Fig. 5. Wenn die Grenze AB CB, welche nicht viel von der Geraden AD abweicht, und nahezu rechtwinklig zu AM (oder D N) ist, gerade gemacht werden soll, so wird A Al gleich dem Abstand B B' gemacht, und dadurch D G B A in DCA verwandelt, und ebenso wird DCA' in DA' ver-jsf wandelt.

Fig. 5.

Ml

M’i

Um die Grenze MN ihrer Richtung nach wenig zu verändern, kann man sie um ihren Halbierungspunkt P in die Lage MN' drehen. (Streng richtig, wenn AM parallel DN).

Bei Grenzverlegungen sind zuweilen auch verschiedene Romidis-Verhältnisse zu berücksichtigen.

Ein hübsches Beispiel dieser Art wurde in der „Zeitschr. f. Verm. 1886“, S. 20—22 von Landmesser Voigt mitgeteilt, woraus wir die nebenstehende Fig. 6. S. 79 und folgende Mitteilung entlehnen:

Das Grundstück S. (Fig. 6. S. 79) liegt in der Stadt Königswinter a. Rh. und wird, wie die Figur andeutet, nördlich von einer Strasse und südlich von der Eisenbahn begrenzt, zudem ist der der Strasse zugekehrte Teil der fruchtbarere. Ein zweites Grundstück K. grenzt nur an die Strasse. So erklärt sich, sowohl aus der Lage, als auch aus der Güte des Bodens, der grössere Wert des AT.'sehen Besitzes. Sollte also bei einer Grenz Verlegung ein wirklicher Ausgleich der Werte stattfinden, so blieb nichts übrig, als jedem Grundstücksteile einen bestimmten relativen Wert beizulegen, oder

vi

G ~ n

In unserem Falle haben sich die Besitzer geeinigt, dieses Verhältnis m rund = ’ anzunehmen.

Strasse

A M

-GSt>

Dass diese Annahme selbst ursprünglich eine unsichere war, ist für die Arbeit des Landmessers gleichgültig ; für ihn kommt es nur darauf an, die einmal gegebenen Bedingungen geometrisch gut durchzuführen.

-fl-----

ff/,3

-------------------

Es liegt also folgende Aufgabe vor:

Sn

----------- Ç3 Ö

„Die Besitzer S. und K. wollen ihre gebrochene Grenze AB CD so in eine geradlinige Grenze MN 0 umändern, dass S. vom benachbarten Grundstücke des K. 2 Teile und K. dafür von S. B Teile erhält.“ Die von Voigt gegebene Auflösung, welche in der „Zeitschr. f. Verm. 1886“, S. 22 zu finden ist, drucken wir hier nicht ab, indem wir das Vorstehende als eine Übungs-Aufgabe auffassen.

Eisenbahn

\«s.    ?

‘■5

wenn F und G die gegenseitig auszutauschenden Teile sind, zu setzen allgemein :

Fig. 6.

Grenzverlegung nach Bonitäts-Verhältnissen. (Massstab 1:1000.)

§ 26. Allgemeines über Flächen-Teilung.

Flächenteilungs - Aufgaben kommen in der Feldmesserpraxis hauptsächlich in zweifacher Art vor, nämlich: 1) unmittelbar als Teilung, z. B. bei Erbschaften oder hei Ausscheidung statt gemeinsamer Benützung, 2) als Grenzregulierungs-Aufgaben, wie im vorigen § 25. an einzelnen Beispielen gezeigt wurde.

Kleinere Grenzverlegungen, etwa wie die in § 25. Fig. 1 bis Fig. 5. S. 76—78 behandelten, kommen oft vor der Neuvermessung einer Gemarkung, und vor der Ver-steinung der Grenzen vor, und haben dann namentlich den Zweck, die Versteinung möglichst einfach zu machen. (Baden.)

Zur Schlussprohe jeder Grenzverlegung kann man immer aus der alten und aus der neuen Grenze ein geschlossenes Polygon bilden, dessen Fläche algebraisch gleich Null sein muss.

Die durch reine Rechnung zu lösenden Teilungs- Aufgaben müssen immer verhältnismässig einfach sein.

Wenn die Teilungsaufgaben zusammengesetzt und verwickelt werden, so gelangt man durch einige wiederholte Versuche rascher zum Ziel, als durch strenge Rechnung. Dieses ist namentlich der Fall, wenn, wie fast immer, die Nebenbedingungen (z. B. die Teillinien durch gegebene Punkte oder nach gegebenen Richtungen zu legen,) weniger genau erfüllt sein müssen, als die Hauptbedingung der richtigen Flächen-Teilung. In solchen Fällen macht man eine erste Teilung auf einem genügend grossen Plan und verbessert nötigenfalls nach der Übertragung auf das Feld nach Massgabe unmittelbarer Flächen-Aufnahme.

Grosse Güterzusammenlegungen und Verteilungen (Verkoppelungen, Feldbereinigungen) werden oft lediglich auf dem Plan, etwa 1: 500, durchgeführt.

Fig. 3. § 28. S. 67, Fig. 5. § 28. S. 69 oder Fig. 2. und Fig. 3.

Trotzdem behalten die Berechnungen der Flächen-Teilungen, wie z. B. unsere grösseren Beispiele zu

§ 25. S. 72 und S. 74 immer ihren eigentümlichen Wert; zum mindesten enthalten sie einen guten Übungsstoff für landmessenschc Berechnungen; und wer sich mit solchen Teilungsberechnungen vertraut gemacht hat, wird wohl auch in der Praxis Anwendungen dafür finden, welche dem Nicht-Geübten entgehen.

Man hat solche Teilungsberechnungen mit Coordinaten auch zum Teil noch viel theoretischer und in abstrakteren Formeln behandelt, namentlich geschieht dieses in der „Anleitung zur Berechnung und Teilung der Polygone, von H. Hölscher, Berlin und Charlottenburg 1864“, einem ganz originalen, lesenswerten, kleinen Buche. Wir haben uns jedoch durch verschiedene Vergleichungen überzeugt, dass die abstrakten Hölscherschm Coordinatenformeln keinen Vorteil im Vergleich mit einer mehr geometrisch anschaulichen Behandlung mit Seiten, Azimuten und Winkeln bieten, und dass in diesen abstrakten Formeln manche Zweifel über Ausnahmsfälle mit Null und Unendlich (z. B. bei (7) § 24. S. 71 oder auch bei (7) § 22. S. 62) unerledigt bleiben.

Kapitel III.

Mechanische Hilfsmittel für Berechnungen.

§ 27. Planimeter. Allgemeines.

Unter Planimeter versteht man ein Instrument, mittelst dessen der Flächeninhalt einer ebenen Figur mechanisch bestimmt wird.

Über die Geschichte der Planimeter-Erfindung citieren wir aus Bauernfeind, „Elemente der Vermessungskunde, 6. Aufl. 1879“ II. Band, S. 222: Das Princip, worauf die allein brauchbare Klasse der die Figur umschreibenden Planimeter beruht, wurde, wie Bauernfeind in Dinglers „Polytechnischem Journal“ Band 137 (1855) S. 82 mitgeteilt hat, von dem bayerischen Trigonometer Hermann 1814 erfunden und 1817 angewendet; diese Erfindung ist aber, da Hermann sie nicht veröffentlichte, sondern bloss seiner Vorgesetzten Stelle vorlegte, wieder in Vergessenheit gerathen. Gonelia m Florenz und Oppikofer in Untereppikon in der Schweiz konstruierten 1824 und 1827

auf gleicher Grundlage zwei von dem Hermannsdien Instrument wenig abweichende Planimeter, deren letzterer von Ernst in Paris teilweise verbessert wurde. Wesentlich verbessert wurden diese Instrumente durch Wetli in Zürich, und kleinere Abänderungen sind von Hansen in Gotha und von Starke in Wien angebracht.

Im Jahr 1856 erfand Professor Amsler in Schaffhausen das zierliche und leistungsfähige Polar-Planimeter, welches sich seit dieser Zeit allgemein eingebürgert hat.

In den letzten Jahren sind zahlreiche neue Erfindungen ähnlicher Art gemacht worden, von denen Coradis Roll-Planimeter hauptsächlich zu erwähnen ist.

Wir werden uns auf die Beschreibung des MmsZerschen Polar-Planimeters und des Coradischen Roll-Planimeters beschränken, und stellen einige neuere Litteratur-Angaben hier zusammen, welche sich teils auf die Konstruktion und die Geschichte der Planimeter, teils auf Genauigkeits-Untersuchungen beziehen, auf welche wir in § 80. wieder zurückkommen werden.

Fararo, Beiträge zur Geschichte des Planimeters. Försters Bauzeitung, 1873, mit zahlreichen Litteratur-Angaben.

Cherest, Uber Amslers Polar-Planimeter. Civil-Ingenieur, 1866, S. 47—62.

Junge, Eine Versuchsreihe mit dem AmsZerschen Polar-Planimeter. Civii-Ingenieur, 1866, S. 63—75.

Schell, Allgemeine Theorie des Polar-Planimeters, Sitzungsberichte der K. Akademie der Wissenschaften. Wien 1868.

Tinter, Ein Beitrag zur Kenntnis der Leistungsfähigkeit der in der Praxis hauptsächlich verwendeten Planimeter. Wien 1877, bei R. v. Waldheim.

Rcitz, Korrektur des AwisZerschen Planimeters und Konstruktion zweier neuer Varietäten desselben. Zeitschr. f. Verm. 1878, S. 249—266.

Coradi, Neues Polar-Planimeter. Zeitschr. f. Verm. 1880, S. 25—28.

Doll, Untersuchung der Genauigkeit eines Planimeters von Ott und Coradi. Zeitschr. f. Verm. 1880, S. 28—37.

'Unter, Hohmanns Präcisions-Polar-Planimeter, Theorie, Genauigkeit u. s. w. Wien 1882. Selbstverlag des Verfassers.

G. Coradi, Praktische Anleitung zum Gebrauch und zur gründlichen Prüfung des Planimeters. Preis 50 Pfg. Karlsruhe. Kommissions-Verlag von Malsch & Vogel. 1882.

Höhmann, Beschreibung, Theorie und Gebrauch des Präcisions-Polar-Planimeters. Im Selbstverlag des Verfassers. Karlsruhe, 1882.

Lorher, Über das Präcisions-Polar-Planimeter, Theorie und Genauigkeit. Zeitschr. f. Instrumentenkunde; Septbr., Oktbr. und Dezbr. 1882.

Lorher, Über die Genauigkeit der Planimeter. Österr. Zeitschr. für Berg- und Hüttenwesen, 1883.

Günther, Versuche über die Genauigkeit des Äquidistanz-Planimetcrs. Zeitschr. f. Verm. 1883, S. 37—43.

Lorher, Über das freischwebende Präcisions-Polar-Planimeter von Höhmann und Coradi. Zeitschr. f. Verm. 1884, S. 1—19.

Lorher, Über das Roll-Planimeter von Coradi. Zeitschr. des österr. Ingen.- u. Arch.-Vereins IV. und V. 1884.

Reitz, Das Roll-Planimeter, Patent Hohmann-Coradi. Zeitschr. f. Verm. 1884, S. 479—482.

Fenner, Beitrag zur Theorie des Roll-Planimeters. Zeitschr. f. Verm. 1886, S. 216 und S. 242, mit einer Berichtigung S. 560.

§ 28. Das Amslersche Polar-Planimeter.

Die nachstehende Fig. 1. S.    82    zeigt    das    Instrument im Grundriss, mit den

eingeschriebenen Massbezeichnungen    R'    , R ,    r ,    r' ,    welche wir auch in der nachfolgenden Theorie beibehalten werden.    P ist    der    Pol,    welcher auf der Zeichnung befestigt wird. Um diesen Pol dreht    sich der Arm    PS    = W, welcher Pol-Arm heisst.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Auli. II. Bd.

Der andere Endpunkt S des Pol-Arms PS kann also einen Kreis vom Halbmesser R' um den Pol P beschreiben.

Ein zweiter Arm SF, welcher Fahr-Arm heisst, ist in S scharnierartig mit dem Pol-Arm verbunden, und auf diese Weise kann der Fahrstift F seinerseits wieder einen Kreis vom Halbmesser R um den Punkt S beschreiben.

Fig. 1.

natürliche Grosse.

Das Amslersche Polar-Planimeter.

.'T\

ił

'<.....r.....*

Unter dem Fahr-Arm FS befindet sich ein Laufrad A, dessen Umdrehungen durch ein Zählwerk gezählt werden. Aus den Umdrehungen dieses Rades A wird auf die umfahrene Fläche geschlossen.

Der Abstand des Rades A vom Scharnierpunkt S ist = r, und zwar in Fig. 1. auf der Rückverlängerung von R gemessen. Es giebt auch Instrumente, bei welchen das Rad A auf der Strecke SF selbst sich befindet. In diesem Fall gilt unsere Theorie mit den nachfolgenden Formeln ebenfalls, nur ist dann r negativ zu setzen.

Befahrung eines schiefen Weges x. (Fig. 2.)

1)    Wenn das Laufrad in seiner eigenen Richtung einen Weg b befährt, so wird auch ein Bogen b am Radumfang abgewickelt.

2)    Wenn das Rad in der Richtung seiner Axe irgend einen beliebigen Weg befährt, so wird kein Bogen am Radumfang abgewickelt.

3)    Wenn der Radmittelpunkt die geradlinige Bewegung x macht, in einer Richtung, welche den Winkel a mit der Radebene (oder den Winkel (90° — a) mit der Radaxe) bildet,

so wird ein Bogen b am Radumfang abgewickelt, entsprechend der Gleichung:

b = x cos a

Diese Gleichung gilt auch, wenn das Rad A sich auf einem Kreise um P bewegt, wobei x ein Bogen dieses Kreises und « der Winkel zwischen der Radaxe und dem Kreishalbmesser ist. Dieser Fall ist in Fig. 3. S. 83 angenommen, und damit gehen wir zur Theorie des Polar-Planimeters über:

Fig. 2.

Schiefer Weg x.

-A-

x.

-B

(1)

Wenn der Fahrstift F (Fig. 3.) einen Kreisbogen FF' vom Halbmesser f und dem Centriwinkel F PF' = y beschreibt, so beschreibt der Radmittelpunkt A jedenfalls auch einen Kreisbogen um P mit demselben Centriwinkel y.

Fig. 3.

Theorie des Polar-IJlanimeter.-.

M'-

! SAß.

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,A

1/ f

\J/

\ F"

P \\

ft' \c

•i\r<

✓\

reïs

Ist f der Halbmesser dieses Kreisbogen-Weges von A, so ist die Länge dieses Kreisbogens (der nicht in der Figur dargestellt ist) :

x = f y

wobei y in analytischem Masse verstanden wird.

Dieser Bogen x entspricht dem Wege x des Rades in der vorbereitenden Fig. 2.; man hat also nach der Grundgleichung (1):

b — X COS a f y COS <x

Es handelt sich nun um Bestimmung von f cos a aus den Dimensionen des Werkzeuges und aus dem Halbmesser f der Bahn des Fahrstiftes F.

Wenn man die Projektionen von f und von R' auf den Fahr-Arm FA ins Auge fasst, und den Winkel ß einführt, so giebt Fig. 3.:

f cos a = R' cos ß — r

(2)

Ferner giebt das Dreieck PFS:

p = ii'2 + JR'2 + 2 E R' cos ß

Es ist also nach (2):

b = y (R' cos ß — r) - y ^ // b = y (P — m -

p — Ri — R'i

R'i _ 2 R r)

(3)

Um alle konstanten Teile zusammenzufassen, setzt man:

(4)

R2 + E'² + 2 E r = C²

Damit wird die Gleichung (3) in folgende Form gebracht:

Eb =

v(P-CZ)

(5)

Die in (4) eingeführte Grösse G hat eine einfache geometrische Bedeutung, es ist nämlich G derjenige Wert der Fahrweite f, für welchen die Richtung des Halbmessers f rechtwinklig zum Fahr-Arm FA ist, d. h. es ist in dem unteren Teile von Fig. 3., PFq = G, wobei FA₀ rechtwinklig zu A₀F₀ ist.

90°, und das gieht nach der

Dieses erhellt sowohl aus der Gleichung (4) unmittelbar, weil hiebei r die Projektion von E' ist, als auch aus der Gleichung (5) in Verbindung mit Fig. 2., denn im unteren Teile von Fig. 3. ist der Winkel Grundgleichung (1) mit Fig. 2. auch b = 0, was in der Gleichung (5) erfüllt ist mit /”= G.

Der Kreis, dessen Halbmesser C ist, soll der Grundkreis heissen; und wir wissen nun, dass, wenn der Fahrstift sich auf dem Grundkreis bewegt, keine Raddrehung stattfindet.

C² q> in (5) geometrische Be-

f² <p und

Nunmehr zeigen auch die Werte

deutungcn; es sind dieses nämlich Sectorflächen von Kreisen mit den Halbmessern f und G, und die Differenz derselben, welche in (5) vorkommt, und welche dem Produkt E b gleich ist, bedeutet die Fläche des in der Figur stark schraffierten Kreisringstücks F F' F"' F'". Damit hat man den Satz :

Wenn ein um den Pol F gezogener Kreisbogen FF' (also nicht eine geschlossene Kurve) befahren wird, so wird an dem Rade ein Bogen b abgewickelt, welcher mit 11 multipliziert, den Flächeninhalt eines Kreisringstücks giebt, welches begrenzt ist durch den befahrenen Kreisbogen FF' selbst, durch den Grundkreis F" F'" und durch die den Bogen-Enden zugehörigen radialen Linien F' F" und F'" F.

Hiebei ist es nötig, einen bestimmten Drehsinn und bestimmte Vorzeichen der Raddrehungen und der Flächen einzuführen. Fährt man mit rechts drehendem Winkel ą. und ausserhalb des Grundkreises, so soll das Kreisringstück F F' F" F'" positiv genommen werden, und das Rad soll in diesem Fall wachsende Ablesung geben. Wir nehmen auch an, dass das Rad vom Pol aus gesehen immer rechts sei, oder dass das Rad niemals den Pol-Arm R' überschreitet.

Betrachtet man nun das Durchfahren des staffelförmigen Linienzuges NLM oder M' L' N', so lässt sich zuerst ein sehen, dass die beim Durchfahren der radialen Strecken abgewickelten Bögen sich gegenseitig aufheben müssen ; und wenn man irgend einem Linienzug zwischen M und N oder M' und N' eine enganschliessende staffel-förmige Linie mit unendlich kleinen Absätzen substituiert, und die zu umfahrende Fläche entsprechend in radiale oder bogenförmige Elementarstreifen zerlegt denkt (wobei die Grenzlinien zwischen den Streifen hin und her, also unwirksam, zu befahren wären), so führt der vorige Satz in einfachen Schlussfolgen zu den Resultaten:

1) Wenn ein geschlossener Linienzug durchfahren wird, tvelcher den Pol nicht in sich schliesst, so wird am Rad ein Bogen b abgewickelt, welcher mit R multipliziert, den Inhalt der umfahrenen Fläche giebt. Die umfahrene Fläche F wird also bestimmt durch die Gleichung:

Es ist nun offenbar erwünscht, (f ) = 1 oder =10 oder =100 oder gleich irgend einer Potenz von 10 zu machen, damit die Multiplikation mit (/') möglichst bequem wird. Um dieses zu erreichen, kann man den Arm R durch Verschieben in seiner Hülse ändern, und man kann berechnen, wie gross R sein muss, damit (f) = 1 wird, nämlich nach (11):

2 r' n

Bei unserem Instrument ist ungefähr r' = Ie™, also:

^ = »,159-

Dieses wäre ungeschickt; wir nehmen lieber (f) = 100, und haben damit R — 15,9C"*.

Eine solche Bestimmung von R ist noch sehr ungenau, sie dient aber als Ausgang für die genauere Bestimmung durch Umfahren von Probeflächen.

Hiezu misst man R = 15,9cm beiläufig ab, und macht eine Marke an dem Fahr-Arm. Dann umfahre man eine Probefläche, etwa F = 100'''’”, und wir wollen annehmen, die Umfahrung gebe 97,6cm, d. h. zu wenig.

Nach Gleichung (9) bestehen für zwei auf einander folgende Versuche mit den Armlängen Rj R% und den entsprechenden Ablesungen n% die Gleichungen:

F = 2 Ri r' Tt nj =2 J?₂ r' it n₂

also :

i?₂ : Ą

Hieraus folgt, dass R in demselben Verhältnis zu verkleinern ist, in welchem n grösser werden soll oder umgekehrt, d. h. im Fall des obigen Beispiels muss R = 15,9

übergehen in 15,9

oder man braucht eine Verkürzung:

2) Wenn ein geschlossener Linienzug durchfahren wird, welcher den Pol em-schliesst, so liefert das Produkt Rh die Fläche zwischen dem umfahrenen Linienzug und dem Grundkreise, d. h. nicht die von dem Linienzug selbst umschlossene Fläche F. Um diese Fläche F zu erhalten, muss man zu Rb noch die Fläche des Grundkreises selbst, d. h. C²it addieren, und man hat damit:

F = b R -f- C² 7t (Pol innerhalb)

Statt des abgewickelten Bogens b wollen wir nun die Umdrehungszahl n ein-

(7)

führen. Da der Badhalbmesser = / ist, so giebt eine Umdrehung den Bogen 2r'tt, also geben n Umdrehungen :

2/ 7t n = b

damit geben (6) und (7):

(8)

(Pol ausserhalb) F = 2 Rr'itn -+- C² it (Pol innerhalb)

F — 2 R r' Tt n

(9)

(10)

Es empfiehlt sich noch, für 2 Rr' it ein besonderes Zeichen einzuführen : ,    2 R r' it = (f)

also :

(Pol ausserhalb)

(Pol innerhalb)

(/■) hat die Bedeutung des Flächen wertes für eine Eadumdrehung n = 1.

F = (f)n F = (f) n C² it.

97,6 100 ’

/IR= 15,9

97,6

100

15,9 = —15,9

100 — 97,6

/IR

2,4

15,9 e™ = — 0,38

!"

Man verkürzt den Arm R um 3,8 und ihm entsprechend R abermals verändert, wobei nach Obigem der Arm R zu ver-grössern ist, wenn die Flächenangabe n zu gross erhalten wurde und umgekehrt. In dieser Weise kann man durch wenige gut angeordnete Versuche die Stellung des Arms R für jedes Mass scharf erhalten.

und dann wird ein neuer Versuch gemacht,

mm

Um eine solche Armstellung dauernd zu bezeichnen, macht man eine Strich-Marke, wenn nicht etwa bereits von dem Mechaniker eine Marke angebracht ist.

In neuerer Zeit werden die Planimeter-Arme mit durchlaufenden Teilungen versehen, welche zu Versuchen der vorstehenden Art und zum Einstellen auf bestimmte Werte sehr nützlich sind.

Dieses gilt zunächst nur für Aussen-Pol. Für Innen-Pol hat man noch die Konstante G'² it zu bestimmen.

Diesen Wert kann man ebenfalls zuerst berechnen nach der Gleichung (4): C² =. R² -+- R'² -f- 2Rr. Unser Instrument hat: R' — 15,9e™ R — 15,lcm r = 3,4''”*, womit C²tt — 1908«™*.

Wenn man sich auf unmittelbares Abmessen einlassen will, so kann man C auch noch viel einfacher finden: Man stellt das Instrument so auf ein Reissbrett, wie der untere Teil von Fig. 3. S. 83 andeutet, nämlich mit PA₀ rechtwinklig zu M₀2^₀, dann ist P F₍₎ geradezu C.

Eine Verbesserung der so erhaltenen Konstanten C² ir erhält man durch Umfahren einer Figur von bekanntem Inhalt mit innseitigem Pol und Vergleichung des Resultats mit dem bekannten Flächenmass. Z. B. gab das Umfahren eines Quadrats von 1600ÎCT": n = —295,0, und da 1600 = n-f- C²it, so ist (J² u — 1895,0.

Auch die aufeinander folgenden Befahrungen einer Figur, zuerst mit Aussen-Pol und dann mit Innen-Pol, führen zur Kenntnis der Konstanten (P-it.

Eine ungefähre Kenntnis der Konstanten C²jt vor der genauen Bestimmung ist immer zu empfehlen, weil das Zählwerk mehr als 100 Radumdrehungen, d. h. in unserem Falle mehr als 1000^”* nicht mehr angiebt. Wenn nun die Konstante grösser ist, als die umfahrene Fläche, so wird n negativ, was ebenfalls beim Ablesen wohl zu beachten ist. Im obigen Falle wurde z. B. zu Anfang 149,1 und am Ende 854,1qcm abgelesen, woraus mit Rücksicht auf den bereits ungefähr bekannten Wert C²n gebildet wurde: n — 854,1 — 1149,1= —295,0, also F = —295 -+- 1895 = -f- 1600, wie es sein soll.

Die Anwendung des Planimeters mit Innen-Pol vermeidet man thunlichst, indem grosse Flächen zerlegt, und in Teilen mit Aussen-Pol umfährt.

Auch kann man in solchen Fällen der Figur ein möglichst grosses Rechteck oder sonst eine unmittelbar messbare Figur einbeschreiben und nur die Dilferenz mit dem Polar-Planimeter messen.

§ 29. Das Roll-Planimeter von Coradi.

Von allen den verschiedenen neueren Planimeter-Erfindungen zeichnet sich das

Roll-Planimeter (das wir schon in § 27. erwähnt haben) dadurch aus, dass es nach einer Richtung ins Unendliche geführt werden kann. Das Instrument wird nämlich mit keinem Punkte auf der Zeichnungsebene festgemacht, wie die Polar-Planimeter, sondern liegt nur mit Rollen auf.

Breite und von unbegrenzter Länge

Man kann daher eine Fläche von 34

damit umfahren.

Nach unserem im Jahr 1886 angeschafften Hannoverschen Exemplar, mit Benützung der vom Erfinder veröffentlichten Ansichts-Zeichnung Fig. 1. und der dazu gezeichneten theoretischen Fig. 2., erhalten wir folgende Beschreibung und Theorie dieses Instruments :

Fig. 1.

Ansicht des Roll-Planimeters, etwa

Abstand der Köllen Bt Durchmesser der Scheibe = 5,5cm

natürlicher Grösse.

— 16«»

C Cr

m.

PS

feig

mm

(Hannov. Sammlung.)

Ein langer Rahmen BB dient allen übrigen Teilen als Stütze. Zunächst ist unter diesem Rahmen BB eine lange Rollen-Axe angebracht, welche an ihren Enden zwei Laufrollen R\Ą trägt. Diese Rollen, mit rauhem Rande, laufen auf der Zcich-nungsebene, und übertragen ihre Drehung auf die horizontale Scheibe A, mittelst konischer Räderübersetzung R₂ , R3. Wird ein Weg dx rechtwinklig zu BB durchlaufen, so giebt dieses einen Rollwinkel die an der Rolle vom Halbmesser Rx:

Fig. 2.

Theorie des Roll-Planimeters.

PC/

dx

y-

Bi

Rx

-TX

■B,

und wegen der eingeschalteten konischen Räder, deren Halbmesser R₂ und R₃ sind, giebt das eine Drehung dp an der Scheibe A: R₂ dx Jź₃ -Ri

Indem hier k als konstant eingeführt wird, haben wir zunächst eingesehen, dass die Scheibendrehung dp dem Rollen weg dx proportional ist.

Um die übrige Einrichtung zu verstehen, betrachten wir den

dp =

— ledx (1)

F!

<P

fy

■y—>■!

li. u.”

sr

Fahr-Arm^tSjP und den damit rechtwinklig verbundenen Bad-Arm SE (Pig. 2. S. 87). Dabei ist S ein auf dem Bahmen BB angebrachter Scharnierpunkt, um welchen die beiden Arme SF und SE sich drehen können; diese beiden Arme machen in Fig. 2. den Winkel <p mit der Bichtung S X bzw. mit S Y, welches in B B liegt.

Der Arm SE' gabelt sich bei E', und giebt dadurch dem Bade E ein Axen-lager in der Bichtung EG. Das Bad E (mit welchem ein Zählwerk verbunden ist) liegt auf der Scheibe A lose auf, und übernimmt daher die Drehung d ß der Scheibe A, nach dem Masse der Gleichung:

(2)

b = r d ß cos a.

Dabei ist b der Bogen, welcher am Umfang des Bades E abgewickelt wird, wenn das Bad den Abstand r von der Scheibenmitte hat, und der Winkel a hat dieselbe Bedeutung wie in der früheren Fig. 2. § 28. S. 82.

Die Gleichungen (1) und (2) führen vollends zur Theorie des Planimeters, es

ist hiernach:

(3)

b — krdxcosa

Nach Fig. 2. ist:

also:

a -f- rp + ß — 90°

und

sin (p sin (q> + ß) b = k a sin <p d x = y d x

cos a

(4)

Hier sind k und a konstant, der Arm /' ist nur zur Massstabs - Regulierung verschiebbar, für die Gleichung (4) also auch konstant; es ist also gezeigt, dass eine Fahrung von F nach (Fig. 2.) eine Radabwicklung b giebt, welche der Rechtecksfläche ydx proportional ist.

Eine Umfahrung F F^F^F^F würde dasselbe geben, denn Fy F% und F₃ F heben sich auf, und die Fahrung F% F?> in der X-Axe giebt keine Abwicklung b, weil dabei « = 90° ist.

Dass vollends die Umfahrung irgend einer Fläche der Integration der Gleichung (4) entspricht, wird ebenso eingesehen, wie beim Polar-Planimeter, und braucht hier nicht weiter erörtert zu werden.

Der in einer Hülse verschiebbare Arm SF in Fig. 2., oder F in Fig. 1., ist mit einer Teilung versehen, und kann durch Versuche so gestellt werden, dass in (4)

-    — 1 oder =: 100 u. s. w. wird, dass man also die Flächen un

mittelbar aus den Rad-Ablesungen bekommt.

die Konstante ^a

§ 30. Prüfung des Planimeters und Genauigkeit der Planimeter-Messungen.

Nachdem man sich durch einige Probe-Umfahrungen überzeugt hat, dass ein Planimeter im ganzen richtig arbeitet, geht man dazu über, eine und dieselbe Figur bei verschiedenen Stellungen des Instrumentes, namentlich verschiedenen Pol-Stellungen beim Polar-Planimeter, zu umfahren.

Folgendes zeigt einen solchen Versuch mit unveränderter Armlänge, aber geänderter Pol-Stellung :

Pol-Stellung I. Ablesungen Differenzen 6968 8937

Pol-Stellung II. Ablesungen Differenzen 1622

0904

2875

4845

196,9«cm

196,7

197,1

197,0

3602

5581

7565

9549

198,0 *em 197,9 198,4 198,4

(1)

Mittel 196,92 icm

Die Differenz beider Resultate beträgt 1,26

198,18 l‘cm

oder 0,6 o/₀.

Kommen so starke Abweichungen vor, so wird man sich kaum befriedigt erklären. Die bei verschiedenen Pol-Stellungen erhaltenen Flächen-Bestimmungen sollten wenigstens innerhalb 0,5 % unter sich stimmen.

Der Grund solcher Abweichungen liegt hauptsächlich in einer Schiefe der Rollen-Axe gegen die Axe des Fahr-Armes 11 beim Polar-Planimeter.

In der „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 264—266, hat Deitz die Theorie der Rollenschiefe behandelt, und durch vier Figuren (Fig. 11.—14.) gezeigt, in welchem Sinn die Rollenaxe schief liegt, bzw. verschoben werden muss, wenn die Differenz gewisser Umfahrungen positiv oder negativ ist.

G. Coradi teilt in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“, S. 27 mit, dass bei einem gut justierten Planimeter der mathematische Fahr-Arm um einen kleinen Winkel von der zur Rollenaxe parallelen Lage nach der vom Pol-Arm abgewendeten Seite hin abweicht. Diesen kleinen Winkel erklärt Coradi als Folge der Reibung, was sehr wahrscheinlich ist.

qcm

Weiter bemerkt Coradi: „Die Fehler im Spiel der Rolle treten am deutlichsten in der durch Fig. 1. angedeuteten Stellung hervor (oder mehr noch, wenn die Rolle sich gar nicht dreht, d. h. in dem Falle A{) mit a = 90°, Fig. 3. § 28. S. 83). Die Gleichheit der Ablesungen hängt grösstenteils von der Beschaffenheit des Rollen-Randes ab. Bei einer sonst fehlerlos und

Fig. l.

Planimeter-Stellung zur Prüfung der Rolle.

Vol

Lau/r-olle

zentrisch gearbeiteten und geteilten Rolle, deren Rand noch nicht die richtige Beschaffenheit besitzt, betragen die Abweichungen der einzelnen Ablesungen unter einander 2—3 Trommelteile. Diese Fehler lassen sich nur dadurch beseitigen, dass der

Rollen-Rand in der Richtung der Rollen-Axe gestreift wird, d. h. der Rollen-Rand soll mit zahllosen feinen Strichen, welche parallel zur Rollen-Axe sind, vollkommen gleich-massig bedeckt sein. Diese Arbeit kann nur ein mit der Justierung der Laufrolle vollkommen vertrauter Mechaniker ausführen. “

Weiteres in diesem Sinn giebt die schon in § 27. erwähnte Broschüre von Coradi: „Praktische Anleitung“ u. s. w.

Daselbst wird auch das Kontroli-Lineal besprochen, d. h. ein Lineal mit Polstift und Einsatz-Löchern für den Fahrstift des Planimeters, um Kreise von genau bekanntem Halbmesser zu umfahren. Coradi glaubt, dass Umfahrungsfehler dadurch nicht ohne Weiteres ausgeschlossen seien, obwohl diese Flächen-Umfahrungs-Kontrolle ihre Vorzüge hat.

Gehen wir nun zu den unregelmässigen Fehlern der Planimeter-Messungen über, so wird cs sich zuerst fragen, welche Funktion für das Fchlergesctz anzunehmen ist. Den Felder der Fläche selbst proportional zu setzen, ist jedenfalls verfehlt, denn der sogenannte relative Fehler, d. h. das Verhältnis eines Flächenfehlers A F zur gemessenen Fläche F, ist jedenfalls bei kleinen Flächen viel grösser als bei grossen Flächen.

Ein allgemeines Fehlergesetz kann sich an die unmittelbare Abmessung eines Rechtecks anschlicssen, wofür wir in (10) § 19. S. 52 die Form gefunden haben:

AF = kÿF

(2)

Professor Lorber nahm eine zusammengesetzte Fehlerfunktion (s. Zeitschr. f. Venn. 1884“, S. 17) von dieser Form:

AF = c(f) + kV~F(f)

(3)

wo (f) nach unserer Gleichung (11) § 28. S. 85 der Flächenwert für eine Rad-Umdrehung (n — 1) ist. Für ein Polar-Planimeter fand Lorber:

A F — 0,00126 (f) + 0,00022 ŸFjf) wobei alles in Quadrat-Centimeter gerechnet ist.

Die Annahme eines konstanten Gliedes c (f) in (3) ist wohl gerechtfertigt, allein da es sehr schwer ist, dessen Betrag im einzelnen Falle zu bestimmen, und Lorber selbst in (4) einen sehr kleinen Wert hiefür fand, wollen wir nun die einfache Fehlerform (2) unseren weiteren Betrachtungen zu Grunde legen, zumal dieses Quadratwurzelgesetz (2) sich auch aus vielen anderen formellen Gründen sehr empfiehlt.

Dabei verstehen wir unter A F zunächst nur den rein unregelmässigen Messungsfehler, welcher durch wiederholtes Befahren derselben Figur mit derselben Pol-Stellung lediglich aus den Abweichungen aufeinander folgender Bestimmungen berechnet werden kann, welcher also etwaige Instrumentenfehler, falsche Armlänge, Rollenschiefe u. s. w. nicht mitenthält.

(4)

Dieser unregelmässige Fehler ist sehr klein, man kann etwa annehmen : A Fx = 0,003 Y F

(5)

(A Fl und F in qcm)

Wenn man dagegen den mittleren Flächenfehler mit Rücksicht auf diese Instrumentenfehler, Armlängen-Unsicherheit, Rollen-Schiefe u. s. w. kennen will, so reicht die Formel (5) bei weitem nicht aus. Es ist wahrscheinlich, dass dann eine Fehlerfunktion mit einem Gliede von der Ordnung F anzunehmen wäre, d. h.

A F = ft] F ± fc₂ y F oder    A F = yic\ F*+ k\ F

Da uns kein genügendes Material zur Bestimmung einer Funktion (6) zu Gebot steht, behalten wir auch für den Gesamtfehler der Planimeter - Messung die einfache Form (3) bei, und setzen auf Grund eigener Versuche *) und der schon oben in § 27. S. 81 erwähnten Vergleichungen verschiedener Autoren:

(6)

*) Z. B. gaben einige Versuche mit Studierenden Folgendes, wobei F die durch Zerlegen in Dreiecke, Abmessen und Berechnen erhaltene Fläche, und F' die durch das Polar-Planimeter erhaltene Fläche bedeutet:

F'-F

1.    196,90«cm    196,92?"”    +0,02

2.    197,15    198,18    + 1,03

3.    196,92    198,00    + 1,08

4.    196,50    197,05    + 0,55

5.    196,48    197,00    +0,52

6.    196,79    197,50    + 0,71

7.    197,04    196,50    — 0,54

F'

F'

F’—F

qcm

CO 00

254,74'"™    254,70'"™    —0,04''™'

255,08    255,02    — 0,06

j *a = 0,03 y F

Hiernach ist folgende Tabelle berechnet:

(d h\L und F in qcm)

(«*)

Umfahrene

Fläche

Mittlerer Fehler einer Planimeter-Umfahrung ohne Rücksicht

auf

mit Rücksicht

In str umentenfehler JF) = 0,008 y F I.

auf

Instrumentenfehler JF₂ = 0,03 y F    II.

J gern

10

1,00

25

3,16

100

5,00

10,00 15,00 400    20,00

31,62

225

1000

J Fi = + 0,003''™* 0,009 0,015 0,030 0,045 0,060 0,095

â F2 = + 0,03«™*

0,09

0,15

0,30

0,45

0,60

0,95

Für eine Menge von Fällen reicht die Genauigkeit II. unbedingt aus, z. B. für Querprofile bei Erdmassen-Berechnungen u. s. w.

Die Genauigkeit I. ist grösser als die Genauigkeit, mit welcher man eine Figur überhaupt auf dem Papier zeichnen kann.

rein

Obgleich man die Instrumentenfehler nie ganz wegschaffen kann, und somit der unregelmässige Umfahrun^sfehler I. nur theoretische Bedeutung hat, kann man der dadurch angedeuteten grossen Genauigkeit I. doch sehr nahe kommen, indem man zu jeder Figur auch eine nahezu mit gleicher Pol-Stellung umfahrbare Kontroli-Figur umfährt. Dieses kann man z. B bei Katasterplänen, indem man immer das nächst-liegende Coordinaten - Netzquadrat mit umfährt, und alle Flächen durch ihre Verhältnisse zu den Netzquadraten bestimmt (wodurch zugleich auch der Eingang des Papiers berücksichtigt wird).

§ 31. Der Rechenschieber.

Der logarithmische Rechenschieber (Fig. 1. S. 92) ist ein mechanisches Hilfsmittel zur Ausführung kleiner Multiplikationen, Divisionen und ähnlicher Rechnungen, mit einer Genauigkeit von ungefähr i/₃%. Derselbe ist für solche kleinere Rechnungen ein ungemein nützliches Hilfsmittel, jedoch nur dann, wenn der damit Rechnende infolge genügender Übung die einzelnen Operationen rasch ohne Besinnen, ge-wissermassen mechanisch auszuführen im Stande ist, wenn er die ganze Handhabung ■»im Griff« hat.

Auf S. 92 haben wir das Instrument selbst, und die zu seiner Erklärung nötigen Zeichnungen in Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3. und Fig. 4. gegeben.

Der Rechenschieber besteht in der Regel aus drei gegenseitig beweglichen Teilen, nämlich (vgl. Fig. 2.):

1.    dem Hauptteil, Lineal,

2.    dem Schieber, welcher sich mittelst Nuten in dem Lineal verschieben lässt,

3.    dem Läufer.

Das Lineal und der Schieber sind meist 25cm lang. Das Lineal und der Schieber tragen auf ihrer Vorderfläche die Hauptteilungen für Multiplikation, Division und

Fig. 1.

Der logarithmische Rechenschieber.

hj

Schieber £

f®

Fig. 3.

Theorie des Rechenschiebers.

Fig. 4.

Iß I9 bl

'5 ¹ [i [7 f 1 l⁸ 1

8    9    10

1,0

Fig. 1. Ansicht des Rechenschiebers in natürlicher Grösse (ohne Läufer). (Bei den neueren Rechenschiebern ist die untere Teilung B mit C identisch.)

CD

CO

CO

t>-

CD

co

LO-

CN

Ö>

co

C\3

tH-

CO

Loq

tH

— (£>

-o

CM

Fig. 2. Lineal und Schieber mit den Haupt-Teilstrichen, in ¹I₃ natürlicher Grosse.

laufer

»I iel 1 z 11 1 1 1 1 I Oll 6    8¹ à 9¹ gl td

>9 uo|

60

xl 6 8 â 91 r V ¹ s!

çl

's

'4

ci

I2

111 1

. ■ .g M

Fig. 3. Logarithmische Haupt-Teilung, im Massstab von Fig. 1.

0,8

0,7

0,6

<3‘0

0,4

so

z' 0

Fig. 4. Addition zweier Logarithmen, durch Aneinanderschieben zweier Teilungen.

6    7    8    9 10

II

fo

ll

Lineal

iL

Quadrierung, häufig ist die Rückseite des Schiebers auch noch zu Teilungen für sin, cos, tang etc. verwertet.

Der Läufer hat den Zweck, einzelne Stellen der Scalen zu markieren, wozu die beiden abgeschrägten Endflächen der nach links vom Läufer ausgehenden Zeiger dienen.

Die Teilung und die Anwendung des Rechenschiebers gründet sich auf die algebraischen Sätze über die Logarithmen, insbesondere:

(1)

log (a b) = log a -fi- log b Um den Gebrauch des Instrumentes zunächst für Multiplikation zu erklären, machen wir die Annahme, man wolle sich selbst einen Rechenschieber für Multiplikation konstruieren. Man entnimmt hiezu aus einer beliebigen Logarithmentafel die Werte: log 1 = 0,0000

log 2 = 0,3010    log 1,1 = 0,0414

(2)

log 3 = 0,4771    log 1,2 = 0,0792

u. s. w.

log 4 = 0,6021 u. s. w.

Diese Werte sind in Fig. 3. S. 92 dargestellt, wobei die untere Teilung gleichförmig ist. Es ist z. B. der Teilstrich für 2 aufgetragen bei 0,301 der unteren Teilung, der Teilstrich für 3 bei 0,477 der unteren Teilung u. s. f.

Man könnte nun bereits unsere obere Teilung von Fig. 3. zum Multiplizieren verwenden, etwa unter Zuziehung eines Zirkels. Um z. B. 2 x 3 zu multiplizieren, nehme man den Abstand 1-2 von jener Oberabteilung (Fig. 3.) in den Zirkel, sodann den Abstand 1 - 3, und man wird finden, dass diese beiden Strecken, mit dem Zirkel an einander gesetzt, und dann wieder von 1 an nach rechts abgetragen, genau bis zum oberen Teilstrich 6 reichen, weil nach dem algebraischen Satze (1):

logi log3 = log 6

Statt dieser Benützung einer Scale mittelst eines Zirkels kann man nun aber die Aneinanderfügung zweier Scalenwerte viel besser dadurch bewerkstelligen, dass man zwei Scalen neben einander verschiebt.

Dieses wird durch Fig. 4. veranschaulicht: Die obere und die untere Scale sind beide gleich der oberen Teilung von Fig. 3. Will man 2x3 multiplizieren, so stellt man 1 der unteren Teilung auf 2 der oberen Teilung, geht auf der unteren Scale bis 3 vor und liest, von da wieder zur oberen Scale hinaufweisend, oben das Produkt 6 ab, und bei derselben Schieberstellung kann man ebenso die Produkte 2x4=8 und 2 X 5 = 10 u. s. w. bilden.

Ganz nach derselben Methode verfährt man mit dem hölzernen Instrument (Fig. 1.), indem man den Schieber in dem Lineal bewegt, und dadurch die untere Teilung neben der oberen Teilung hin und her schiebt.

Wenn man ein Produkt bilden will, welches grösser als 10 ist, so würde die eine Teilung (Fig. 1.) nicht ausreichen, deshalb kommt in Fig. 1. bei 10 rechts eine Wiederholung der ersten Teilung.

Wenn man 0,2x3 rechnen will, so verfährt man genau ebenso wie bei 2x3, und schreibt zum Schluss 0,6 statt 6. Die Stellung des Decimal-Kommas giebt der Rechenschieber nicht, diese ist einer Neben-Überlegung durch Kopfrechnung überlassen.

Nachdem wir hiemit die Multiplikation erklärt haben, ist auch Division als

Umkehrung der Multiplikation erklärt. Man denke sich stets die Kante zwischen

Lineal und Schieber als Bruchstrich, z. B. in Fig. 1. links oben:

A.    A

- entspricht dem Bruch —-

d. h. man stellt mittelst des Läufers in dieser Weise A über B, und liest den Quotienten links, über 1 des Schiebers, am Lineal ab.

Auch das Produkt ~ B' = A' wird ähnlich gefunden :

Man stellt wieder A über B, sucht Br auf der Teilung B, und entnimmt darüber das Resultat A' auf der Teilung A.

Die Teilung G Fig. 1. hat doppelten Massstab von A oder B, es geben also B und C zusammen Quadrate und Quadratwurzeln.

Unmittelbar hat das wenig Wert, weil hiefür die Anwendung einer Zahlentabelle viel bequemer ist.

, —— und ähnliche, mit

⁰ yc

Man kann aber auch unmittelbar Ausdrücke, wie

Hilfe der Teilung G abschieben.

Bei manchen Instrumenten sind nicht die beiden Teilungen BB von Fig. 1.

einander gleich, sondern die beiden unteren Teilungen B und G (vgl. die Anmerkung zu Fig. 1. S. 92).

Nach der einen oder anderen Anordnung richtet sich natürlich der Gebrauch. Indessen wollen wir hierauf, sowie auf Beschreibung der Rechnung mit sin a tang a u. s. w. nicht weiter eingehen, weil doch nur persönliche Übung (wobei man eine gewöhnliche Rechnung nebenher macht) zum Ziel führen kann.

Die Genauigkeit des Rechenschiebers beträgt etwa 0,2 bis 0,3%; wir haben in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 57, einiges über Rechenschieber-Genauigkeit mitgeteilt, wie folgendes Beispiel zeigt:

Num.

Reehenschicber-

Brodukt

soll

Fehler

100 b

100 bV

2,34 X 7,69    =    18,0    17,99    +0,01    0,060/₀    0,0036

9,61 x 1,42    =    13,68    13,65    +0,03    0,21    0,0441

7,22 X 6,13    =    44,4    44,26    + 0,14    0,32    0,1024

3,45x 7,78    =    26,8    26,84    —0,04    0,15    0,0225

Mittlerer Fehler

- j/°>I⁷²⁶

= 0,21%

0,1726

Die hier gemachte Quotienten-Berechnung entspricht dem logarithmischen Gesetz :

dx

d log x = —

Im Mittel kann man die Rechenschieber-Genauigkeit etwa zu 0,2 % bis 0,3 % annehmen.

Die Rechenscheibe. Da auf dem geraden Rechenschieber zwei gleiche Teilungen hintereinander nötig sind, ist es naheliegend, die Teilung auf einem Kreis aufzutragen, so dass das Ende von selbst wieder in den Anfang übergeht. Eine solche Rechenscheibe (von Mechaniker Landsberg in Hannover) wurde von uns mehrfach benützt. Der Durchmesser ist = 15c“, also die Teilungs-Einheit = 15 tt = 47 cm, d. h. 3,8mal so gross als die Teilungs-Einheit 12,5cm des gewöhnlichen Rechenschiebers.

Die Genauigkeit ist auch entschieden grösser als beim gewöhnlichen Schieber, indessen ist die Kreisform der Übersicht und Raschheit der Rechnung nicht nützlich, und wir ziehen, wenn es sich um Genauigkeitssteigerung handelt, den 50""-Schieber vor.

Das Rechen - Rad (Fig. 5.).

Die neueste Form des logarithmi-schen Rechnungs-Werkzeugs ist das von Beyerlen in Stuttgart konstruierte Rechen-Rad , das wir nach der Beschreibung von Hammer in der „Zeitschr. f. Verm. 1886“, S. 382 bis 385, in Fig. 5. abbilden.

Die Teilungen auf zwei Oylinderflächen sind entschieden übersichtlicher und bequemer als auf einer Scheibe. Unser Hannoversches Exemplar hat jedoch keine Teilung auf dem Metall seihst, sondern nur aufgezogene gedruckte Papier-Teilung.

Bei scharfer Metall-Teilung und genügender Grösse könnte das Rechen-Rad wohl auf eine Genau ig-

gebracht werden.

keit von

1000

Fig. 5.

Das Rechen-Rad. (Rad-Durchmesser = 12''«»)

ISE

sM.

(Hannov. Sammlung.)

§ 32. Die Rechenmaschine.

Die Rechenmaschine ist eine Erfindung des Philosophen Leibnitz aus der Zeit von 1673 (s. Leibnitii opera omnia, Tomus tertius, Genevae 1768, S. 413—415). Die Originalmaschine befindet sich in der K. Bibliothek zu Hannover, wo sie von uns besichtigt wurde. Die Konstruktion stimmt im wesentlichen (Walzen mit ungleich langen Zähnen u. s. w.) mit der heutigen Thomasschen und Burlchardtschen Konstruktion. (Wir denken im Laufe des Jahres 1887 eine Beschreibung der Leibnitzschen Maschine in der „Zeitschr. für Verm.“ zu bringen.)

Die Form, in welcher die Leibnitzsche Erfindung nach langer Vergessenheit in Thätigkeit gebracht wurde, stammt von dem Elsässer Thomas, und wurde in Paris ausgeführt. In Deutschland besteht eine sehr zu empfehlende Werkstätte für Rechenmaschinen (von welcher wir zwei Maschinen bezogen haben) in Glashütte in Sachsen, von Arth. Burlchardt.

Beschreibung der Burkhardtschen Rechenmaschine.

(Vgl. die Zeichnung auf S. 97.)

Die zuerst in Betracht kommenden Teile sind die Walzen W, deren unsere Zeichnung 6 veranschaulicht, nämlich im Grundriss W W und im Aufriss W W. Jede solche Walze ist auf etwa die Hälfte ihrer Oberfläche vollkommen cylindrisch, der übrige Teil ist besetzt durch 9 Zähne von verschiedener Länge. Denkt man sich die Länge der Walze in 10 Teile geteilt, so hat der längste Zahn 9 Teile, der nächste 8 u. s. f. und der kürzeste hat die Länge 1 Teil. Schneidet man eine Walze bei 0, so erhält man einen vollkommen kreisförmigen Querschnitt, schneidet man sie bei 9, so. erhält man einen Kreis mit 9 aufgesetzten Zähnen.

Diese Zahnwalzen stehen im Eingriff mit Zahnrädern a (im Grundriss aa, im Aufriss a'a'), welche auf ihren horizontalen Axen (parallel den Walzenaxen) so verschoben werden können, dass sie nach Umständen mit mehr oder weniger Walzenzähnen Zusammenkommen. Die Verschiebung wird mit den Knöpfen A von oben gemacht, und wenn z. B. ein Knopf A auf 6 steht, so ist das darunter befindliche Bad a so auf der Walze gestellt, dass es hei einer Umdrehung der Walze mit 6 Zähnen derselben in Eingriff kommt.

Die sämtlichen Walzen stehen durch konische Bäder mit einer Längentrans-mission so in Verbindung, dass bei einer Umdrehung der Kurbel K, welcher eine Umdrehung der Transmissions-Axe entspricht, sich auch alle Walzen je einmal umdrehen.

Die kleinen Bäder a stehen (ebenfalls mittelst konischer Bäder) in Verbindung mit Zifferscheiben C, welche ihre Axen in c . . . c haben. In unserer Zeichnung ist nur eine solche Zifferscheibe C, nämlich beim 8tm e gezeichnet, und zwar punktiert, weil sie unter der Gesamtdeckplattc sich befindet. Jede volle Umdrehung eines Bades a dreht auch die entsprechende Scheibe C einmal um und führt dabei die aufgeschriebenen Ziffern 123 4 567890 sämtlich unter dem Schauloch B vorbei; sieht man also zu Anfang in einem Schauloch die Ziffer 0, und dreht die Kurbel einmal um, während das Bad a mittelst seines Knopfes A auf 6 gestellt ist, so kommen 6 Walzenzähne mit 6 Zähnen von a in Eingriff, drehen also a und die damit verbundene Zifferscheibe C um 6 Teile, und nach Vollendung der Kurbeldrehung wird man, statt ursprünglich 0, in dem Schauloch die Ziffer 6 erblicken.

Hiemit ist folgendes erkannt: Wenn man alle Zifferscheiben in den Schaulöchern auf 0 stellt, dann die Knöpfe A bzw. auf 9 3 4 6 0 6 stellt, und dann die Kurbel einmal umdreht, so wird nachher in den 6 Schaulöchern ebenfalls zu sehen sein: 9 3 4 6 0 6.

Wenn anfänglich die Zifferscheiben nicht auf 0 gestanden haben, so drehen sie sich doch bei einer solchen Operation genau um so viel Teile, als der Knopf A an-giebt, wenn z. B. die erste Scheibe (von rechts) 6 zeigt, und der entsprechende Knopf A ebenfalls 6, und man dreht die Kurbel einmal um, so zeigt dabei das Schauloch ff folgende Veränderungen: 7 8 9 0 1 2, und am Schluss der Operation hat man 2. Alle andern Scheiben sind dabei unverändert geblieben. Das ist aber nicht das, was wir wollen, wir kommen deswegen jetzt zu der

Zehnerubertragung. Die Axen der Bäder a tragen nicht bloss diese Bäder a selbst, sondern in der Verlängerung auch noch die Bäder a" a", welche jedoch mit den Walzenzähnen nicht in Berührung kommen; dagegen tragen die Walzenaxen ebenfalls in der Verlängerung noch besondere Zähne z, welche zwar im allgemeinen nicht in der Ebene a"a" der Bäder a" liegen, und deswegen nicht in dieselben greifen können, welche jedoch ausnahmsweise in die Ebene a"a" geschoben werden können.

Jede Zifferscheibe hat nämlich unten einen Daumenansatz q (s. im oberen Teil der Zeichnung), und in dem Moment, in welchem die Zifferscheibe von 9 auf 0 übergeht, drückt dieser Daumen q mittelst einer Hebelübersetzung den besonderen Zahn z der nächsten Walze in die Ebene der Bäder a"a".

Die Zähne' z sind im Grundriss unserer Zeichnung durch verschieden lange Striche angedeutet, weil die Zähne verschiedene Winkel mit dem Horizont machen und sich deshalb verschieden lang projizieren.

Projiziert man eine Walze nebst dem Zahn z auf ihre Querschnitts-Ebene, so erhält man, wie die besondere grössere Zeichnung W₂ (s. links unten in der Zeichnung) für die zweite Walze zeigt, einen Kreis mit 10 Zähnen, denn zu den 9 verschieden

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Fig. 1.

Die Rechenmaschine.

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langen Walzenzähnen, welche sich als die gleich geformten Zähne 123456789 projizieren, kommt noch der Zehnerzahn 10 mit unmittelbarem Anschluss.

Wir kehren nun zu den Walzen-Umdrehungen zurück und denken uns wieder den ersten Knopf A auf 6 gestellt. Steht die zugehörige Zifferscheibe auf 0, so wird sie durch eine erste Kurbeldrehung auf 6 gebracht, und durch eine zweite Drehung Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Auli. II. Bd.

allerdings wieder wie früher auf 2, allein während sie von 9 auf 0 sprang, setzte der Daumen q die Zehnerübertragung an der zweiten Walze in Thätigkeit, und die ziveite Scheibe ist um 1 vorgerückt, obgleich der zweite Knopf auf 0 stand.

Wenn der zweite Knopf A vorher nicht auf 0 stand, so hat bei einer Kurbeldrehung die zweite Scheibe sowohl die ihr unmittelbar von der Walze übertragene Drehung auszuführen, als auch die etwa durch die Zehnerübertragung von der ersten Scheibe her geforderte Drehung um einen Teil, und damit diese zwei Ursachen die gewünschten Wirkungen hervorbringen, erfolgt immer die Zehnerübertragung, nachdem alle Walzenzähne an der Eingrilfsstelle vorübergegangen sind, denn würde etwa der Zehnerzahn gleichzeitig mit einem Walzenzahn eingreifen, so würden diese beiden Zähne an ein und derselben Axe doch keine andere Drehung hervorbringen, als einer allein.

Der Zehnerzahn z„ (für die nte Walze) wird in dem Augenblick in die Ebene der Zehnerräder a"a" geschoben, wenn unter dem Schauloch Bn-1 der Übergang von 9 auf 0 stattfindet, d. h. während die Walze Wn-\ wirksam ist. Der Zehnerzahn z„ muss aber natürlich vorher in die Wirkungsebene a"a" geschoben werden, ehe er daselbst auf das Rad a"„ wirken kann. Die Zeit der Wirkung dieses Zehnerzahnes z„ ist also zwei Bedingungen unterworfen:

1)    er muss nach allen Zähnen seiner eigenen Walze W„ wirken,

2)    er muss wirken, nachdem alle Zähne von TK„_i, den Zehner zahn zn-1 inbegriffen, an ihrer Eingrilfsstelle vorühergegangen sind, denn möglicherweise wird der Übergang von 9 auf 0 im Schauloche Bn-X nicht durch einen Walzenzahn, sondern gerade durch den Zehnerzahn zn-1 veranlasst, dieser Übergang von 9 auf 0 hei B muss aber, wie schon früher erwähnt, als Ursache des Vorschiebens von z„ in die Ebene a"a", dem Eingriff von zn vorangegangen sein.

Aus der Vereinigung dieser beiden Bedingungen folgt die Notwendigkeit fortgesetzter Verzögerung der Walzenwirkung derart, dass W₂ erst eingreifen darf, wenn mindestens der erste Zahn von Wi gewirkt hat (oder hätte wirken können) und bei 6 Walzen können gleichzeitig wirken, z. B.:

w₆    w₅    w₄    ws    w₂    W₁

Zq    Zs    z₄    Z₂    Z₂    Z\

Hieraus erklärt sich die verschiedene Zahnstellung der Walzen W' W (s. unten rechts in der Zeichnung).

Ein leerer Raum auf jeder Walze ist nötig, damit die Wirkungen verschiedener Kurbeldrehungen gehörig auseinander gehalten werden ; wenn gleich nach dem 9. Zahn und der Lücke für den 10. Zahn auf jede Walze wieder der 1. Zahn käme, so würde eine Kurhelumdrehung wegen der Walzen Verzögerung nicht alle Zähne zum Eingriff bringen.

Es bleibt nun nur noch übrig, zu zeigen, dass die Bewegung der Zifferscheiben vollständig umgekehrt werden kann:

Die Kurbel K, die Längentransmission und die daran gekuppelten Walzen, sowie auch die von den Walzen mitgenommenen Räder a und a", drehen sich immer in demselben Sinn, dagegen ist die Bewegungsübertragung von den Rädern a und a" auf die Zifferscheiben G eine doppelte.

In der besonderen Zeichnung (links unten) ist J H die Axe eines Rades a und eines Rades a"; auf dieser Axe stecken zwei konische Räder Ad. und Sub., von denen das erste als im Eingriff befindlich mit dem konischen Rad c gezeichnet ist. c steckt auf derselben Axe mit der Ziffernscheibe G, welche sich unter dem Schauloch B dreht. Die zwei Kegelräder Ad. und Sub. haben unter sich konstanten Abstand, können aber

Walze :

Zahn :

zusammen auf ihrer Axe verschoben werden mittelst des Wendehebels V (in der Hauptzeichnung). Steht dieser Hebel in der Lage V (Ad. und Mult.), so greift unten das Rad Ad. in das Rad c, und die Ziffernscheibe G dreht sich in dem positiven Sinn 0 1 2 3 ... 8 9. Steht aber der Wendehebel in der Lage V (Subtr. und Div.), so greift unten das Rad Sub. in das Rad c, und die Ziffernscheibe C dreht sich in dem negativen Sinn 9 8 7 6 ... 1 0. Der Wendehebel V kann nur in Bewegung gesetzt werden, wenn die Kurbel K in ihrer Normalstellung ist.

Der ganze Rahmen MMNN mit den daran befestigten Zifferscheiben C und den damit centrischen konischen Rädern c ist um die Axe MM drehbar, und längs derselben verschiebbar, so dass man nach Belieben die erste Walze auf die erste Ziffernscheibe, oder auf die zweite, dritte u. s. f. Ziffernscheibe wirken lassen kann.

Dieser Rahmen MMNN hat endlich noch eine besondere Reihe von Ziffernscheiben, welche sich um die Axen e unter den Schaulöchern D drehen.

Diese Scheiben tragen je folgende 18 Ziffern:

012345678987654321

Yon diesen Scheiben dreht sich aber immer nur eine, nämlich diejenige, welche gerade sich an der Pfeilmarke P befindet. Die Ziffern 0 1 2 ... 9 entsprechen der Multiplikation, und können zur Kontrollierung des Multiplikators, durch die Zahl der Kurbeldrehungen, dienen. Die zweite Hälfte 9 8 7 ... 2 1 0 jener 18 Ziffern wird beim Dividieren gebraucht, ihre Reihenfolge erscheint hier umgekehrt, d. h. abermals 0 1 2 3 ... 9, und es wird dadurch der Quotient bestimmt.

Noch sind zu erwähnen die zwei Knöpfe F und 6r, durch deren Drehung man die sämtlichen Zifferscheiben B und D auf einmal auf 0 stellen kann.

Die verschiedenen Federn und sonstigen Vorrichtungen, welche zur Sicherung des Gangs aller Teile dienen, sowie mehrere Kleinigkeiten, welche sich selbst erklären, übergehen wir.

Nach dieser Beschreibung des Instruments wird es genügen, die Anwendung durch einige Beispiele zu erläutern:

Multiplikation. 934606 X 762142.

Man steckt mit den Knöpfen A den einen Faktor 934606 als Multiplikandus auf, wie unsere Figur zeigt. Der Wendehebel steht auf Mult. Das Schauloch auf P, alle Schaulöcher B zeigen 0.

Man dreht die Kurbel 2mal, und erhält:.......

Man hebt den Rahmen M N und bringt 1)₂ auf P, dreht sodann 4mal, und erhält: ...............

Man hebt den Rahmen abermals, stellt Ds auf P, dreht lmal

1 869 212

39 253 452

und erhält:

132 714 052

2 001 926 052 58 078 286 052 712 302 486 052

So fährt man fort mit den übrigen Ziffern 2 6 7 des Multiplikators, und erhält der Reihe nach :...........

Die letzte Zahl ist das gesuchte Resultat.

Man wählt natürlich hiebei die kleinere Zahl als Multiplikator.

Division. 712 302 486 052 : 934 606.

Man steckt den Dividendus 712 302 486 052 auf den Ziffernscheiben B von links anfangend auf, ebenso den Divisor 934 606 auf den Scalen mittelst der Knöpfe A.

Die Scheiben Z> werden auf 0 gestellt, und der Wendehebel V auf Div. Wenn nun die erste Ziffer links des Dividendus grösser ist als die erste Ziffer des Divisors, so fährt man mit dem Rahmen MN ganz nach rechts hinaus, andernfalls, wie bei unserem Beispiel, fährt man um einen Teil weniger, so dass man hat:

CO

712    02486052

Nun dreht man die Kurbel so lange, bis über dem unverändert bleibenden Divisor eine dem Stellenwert nach kleinere Zahl bleibt. In unserem Falle dreht man 7mal und findet:

00 co

00 o

So fährt man mit successive links geschobenem Rahmen fort, d. h. man macht die Umkehrung der Multiplikation, und liest schliesslich auf den Scheiben D von links nach rechts den Quotienten ab, nämlich:

7 6 2 1 4 2

Addition und Subtraktion brauchen nicht weiter erklärt zu werden.

Hat man (z. B. bei einer Flächenrechnung) einen Ausdruck von der Form: ab + cd + ef..

auszurechnen, so bildet man das erste Produkt ab, lässt das Produkt stehen, und stellt zunächst den Wendehebel so, wie es das Vorzeichen des folgenden Produkts verlangt, dann wird mit dem zweiten Produkt, unbekümmert um das auf den Scheiben B bereits befindliche erste Produkt, fortgefahren; ebenso geschieht mit den folgenden, bis man am Schluss das Resultat auf den Scheiben B abliest.

Sehr bequem machen sich offenbar arithmetische Reihen, indem man die Diffe. renz auf A aufsteckt und dann hei jeder Kurheldrehung ein neues Glied bekommt.

Kapitel IV.

Die Libelle.

§ 33. Die Röhren-Libelle.

Die Libelle, oder Wasserwage, dient zur Bestimmung der horizontalen Richtung nach der Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit.

Die Flüssigkeit ist hiebei in ein Glasgefäss eingeschlossen, das entweder die Gestalt einer ausgehauchten Röhre, oder einer oben gewölbten Dose hat, und demnach unterscheidet man Röhren-Libellen und Dosen-Libellen (von letzteren wird in § 36. gehandelt werden).

Eine Röhren-Libelle besteht im wesentlichen aus einem Glasgefäss, dessen Innenfläche durch Umdrehung eines flachen Kreisbogens um eine Sehne erzeugt gedacht werden kann (Fig. 1. S. 101). Zuweilen ist übrigens nur ein Teil der Innenfläche, nämlich der obere Teil, so geformt, während der untere Teil cylindrisch ist (Fig. 2. S. 101).

Die mechanische Herstellung der Libellen - Röhre geschieht durch Ausschleifen einer vorher cylindrischen Röhre (bei schlechteren Libellen durch Biegen einer cylind-rischen Röhre). Der seitliche Verschluss geschieht durch Zuschmelzen, oder Einkitten eines Glasstöpsels. Die Röhre ist soweit mit Weingeist oder Schwefeläther gefüllt,

Fig. l.

Längenschnitt einer Köhren-Libelle (mit übertriebener Krümmung).

Fig. 2.

Röhren-Libelle, nur oben geschliffen, mit Scheidewand S.

11

dass nur ein kleiner Teil oben von Flüssigkeit frei bleibt, welcher sich aussen in Gestalt einer Blase zeigt. Um die Länge der Blase, welche sich mit der Temperatur der Flüssigkeit verändert (und bei mangelhaftem Verschluss stets grösser wird) regulieren zu können, versieht man grössere Libellen mit einer Scheidewand S (Fig. 2.), welche verschiedene Verteilung der Flüssigkeit in beiden durch sie abgegrenzten Räumen, nämlich der eigentlichen Libelle und der „Kammer“ gestattet.

Für Feldmessungen ist eine zugeschmolzene Libelle ohne Kammer immer vorzuziehen , denn die nicht zugeschmolzenen, nur zugekitteten Libellen sind selten genügend dicht. Die Blasen werden deswegen mit der Zeit immer länger, und schliesslich, trotz der Kammer, zu lang.

Die Blasen-Länge ist auch mit der Temperatur veränderlich (s. § 37.).

Die Fassung der Libelle dient zur Verbindung der Libelle mit derjenigen Geraden oder Ebene, deren Horizontalität untersucht werden soll. (Linealkante, Fernrohr-Axe etc.) Nach Verschiedenheit der Fassung kann man unterscheiden: liegende, stehende, hängende, Reiter-Libellen etc. Die Fassung muss eine Korrektionsvorrichtung haben, bestehend in Zug- und Druckschrauben, Schraube mit Gegenfeder u. s. w., damit die Lage der Libelle, und damit die Libellen-Axe gegen die Fassung in vertikalem und zuweilen auch in horizontalem Sinn geändert werden kann.

Liegende Libellen, z. B. zur Horizontalstellung einer Glasplatte (künstlicher Horizont), können auch ohne Metall-Fassung gebraucht werden. Es wird hiebei die Glasröhre unten nach einer Ebene so weit angeschliffen, dass sie feste Lage hält. Eine solche Lage-Libelle braucht auch keine Korrektions - Schrauben, und ist, wenn einmal richtig, immer richtig, so lange sie überhaupt dienstfähig bleibt.

§ 34. Empfindlichkeit der Libelle.

Die Oberfläche der in der Glasröhre eingeschlossenen Flüssigkeit ist eine horizontale Ebene (abgesehen von der an den Rändern entstehenden Aufbiegung), und die Blasenmitte zeigt den höchsten Punkt der Innenfläche an.

Um die Stellung der Blasenmitte auf der Röhre zu bestimmen, ist die letztere mit einer Teilung versehen, die bei kleineren Libellen nur aus wenigen gegen die Röhrenmitte symmetrisch liegenden Strichen, bei grösseren Libellen aber zweckmässig aus einer durchlaufenden gleichförmigen Teilung mit Bezifferung besteht. Die Mitte der Teilung, oder ein der Mitte naheliegender Punkt, gilt als „Normalpunkt der Teilung“.

Axe der Libelle heisst die im Normalpunkt der Teilung an die Innenfläche der Libelle nach der Längen-Richtung gezogene Tangente¹). Wenn die Axe horizontal ist, so fällt die Blasenmitte mit dem Normalpunkt zusammen, oder „die Blase spielt ein“.

Wenn die Axe nicht horizontal ist, so hat die Blasenmitte einen gewissen Abstand vom Normalpunkt, der „Ausschlag“ der Blase heisst, und gewöhnlich in Einheiten der Teilung „Strichen“ (linear) gemessen wird. Die Teilungs-Einheit (1 Strich) ist meist = 2,26mm, d. h. 1 Pariser Linie.

Der Begriff der Empfindlichkeit einer Libelle ist durch Fig. 1. und Fig. 2. veranschaulicht.

Fig. l.

Einspielende Libelle.

Fig. 2.

Geneigte Libelle mit dem Ausschlag a.

-L a

21

ex

Fig. 1. zeigt eine Libelle mit horizontaler Axe AB, und Fig. 2. zeigt eine Libelle mit geneigter Axe A' B'. Im ersten Fall fällt die Blasenmitte M mit dem Normalpunkt N zusammen, im zweiten Falle bat die Blasenmitte M' von dem Normalpunkt N' den Abstand a, welcher „Ausschlag“ heisst.

Wenn G, bzw. C der Krümmungsmittelpunkt der Libelle ist, so ergiebt sich zwischen dem Ausschlag a, der Axen-Neigung « und dem Krümmungshalbmesser li die Beziehung:

(1)

Das Verhältnis

der Masszahlen für den Ausschlag a und die Axen-Neigung «

ist also konstant, wenn der Krümmungshalbmesser B auf die ganze Länge der Libelle konstant ist, d. h. wenn die Libelle gut kreisförmig geschliffen ist. Dieses wird bei der Herstellung angestrebt und wird bei der Theorie angenommen.

Zur Bestimmung der Empfindlichkeit dient ein in Fig. 3. skizzierter Apparat, der im wesentlichen in einem starren Arm von der Länge l besteht, der an einem Ende mittelst zweier gewöhnlicher Stützen A, und am andern Ende mittelst einer durch

Die Empfindlichkeit wird gewöhnlich durch die einem Ausschlag a von 1 Strich entsprechende Neigung a angegeben.

Fig. 3.

Libellen-Prüfer.

ihn gehenden Schraube S, auf fester Unterlage aufliegt. Wenn h die Ganghöhe der Schraube, und Z die Länge des Arms ist, so entspricht einer Schrauben-Umdrehung die Neigung:

“1 ~tq

Die Dimensionen h und l sind so zu wählen, dass « eine runde Zahl wird. Z. B. hat unser Hannoverscher Libellen - Prüfer h = 0,51mm und Z = 438,3mm, womit ai = 4 Minuten wird, weshalb die Scheibe in 240 Teile geteilt ist.

Die hier nötige Messung der Ganghöhe h kann man wohl genügend dadurch machen, dass man 10 oder 20 u. s. w. Gänge an verschiedenen Stellen der Schraube abzählt und mit dem Zirkel misst. Damit kann man den Wert h wohl auf etwa 1 o/0 genau finden, also auch Libellen entsprechend genau bestimmen, was für alle Zwecke der Feld- und Landmessung ausreicht.

Folgendes ist ein Beispiel einer Libellen-Empfindlichkeits-Bestimmung (Libelle des Nivellier-Instruments Bamberg):

Schraube

Blasen

länge

Blase links rechts

Ausschlag links rechts

3' 0”

3 10

3 20

3 30

3 40

3 50

4 10

4 20

4 30

4 40

4 50

5 10

5 20

h-ih-*)—‘i—‘I—‘I—‘I—‘COtOtOIsD

w b b m b lo b os oc 1s < t-* bo A b

tObObOtOcOtOOSCOCOCOOSOSi^^^

w oj w ffl œ œ ^eo^OT^pooj-ico b w b w h a h 'o i⁴ w b ^ h a k

I—l    I—*    I—l    H-* l    I—•    H—^    1—!|—‘I—l    I—l    h—11    I—11    l—11

bt    bi    bt    "bi    v\    br    bi    bt b*- br    7p*-    bi    cs

^    W    io    io    IO    lß

vH i-H t—4    H    vH t—«    t-H    t—4    rH    vH    H t”H    vH vH

17,2

17,2

17,3

17,3

17,3

17,3

17,3

17,3

17,4

17,4

17,4

17,4

17,4

17,5

17,5

2' 20” = 140”

21,5    21,2    21,5    21,2

Mittel = 21,35

Im Mittel hat man 21,35 Striche Ausschlag auf eine Neigung von 2' 20" = 140”. Auf 1 Strich kommt also:

140

= 6,58”

21,25

Die Wiederholung der Messung in umgekehrter Folge gab 6,7”, wir nehmen also im Mittel: Empfindlichkeit = 6,6" auf 1 Strich.

Die Zeitdauer einer solchen Versuchsreihe war 20 Minuten. Oft ist es besser, noch langsamer zu verfahren, weil die Blase langsam zur Kühe kommt.

Die Ausschläge sind für die 14 Schrauben-Bewegungen hinreichend gleich, nämlich zwischen den Grenzen 1,4 und 1,7 schwankend.

Wenn für gleiche Schrauben-Drehungen die Ausschläge gleich sind, so ist bewiesen, dass die Röhre gut kreisförmig geschliffen ist, sofern die Schraubengänge alle gleich sind (vgl. hiezu § 37.).

Umgekehrt kann man auch durch Vergleichung desselben Libellen-Ausschlags an verschiedenen Stellen der Schraube untersuchen, ob die einzelnen Schraubengänge gleich sind; dabei ist es nützlich, die linksseitigen Stützen A in Fig. 3. auch als Schrauben einzurichten.

Die Blasenlänge erscheint in dem obigen Beispiel etwas veränderlich, nämlich zwischen 17,2 und 17,5, was auf Temperatur-Änderung während des Versuchs oder vielleicht auch auf ungleiche Köhrenweite hindeutet.

Bei Instrumenten für Feld- und Landmessung sind etwa folgende Empfindlichkeiten zu empfehlen:

5” auf 1 Strich von 2,26

nfn

Hauptnivellierung

Wenn die Libellen zu empfindlich sind, d. h. nicht zur Kühe kommen, so erschweren sie die Arbeit, ohne an Genauigkeit etwas zu nützen.

¹

Eine analytisch - geometrische Theorie der Libellen-Axe ist von Helmert in der „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 185—192, angegeben.

§ 35. Prüfung der Libelle durch Umsetzen und Drehen.

Obgleich die verschiedenen Prüfungen und Berichtigungen, welche bei Libellen Vorkommen, besonders zu behandeln sind, wenn von den Instrumenten die Rede ist, an welchen die Libellen angebracht sind, so ist es doch nützlich, sich ein- für allemal von der Wirkung des Umsetzens einer Röhren-Libelle zu überzeugen.

Wenn in Fig. 1 .AB eine Libellenaxe, und CD eine mit ihr fest verbundene Linealkante, oder sonst eine feste Gerade, Axe, ist, und untersucht werden soll, ob

beide Axen AB und CD parallel sind, so setzt man CD auf eine feste Unterlage, und giebt dieser eine solche Stellung, dass die Blase einspielt, also die Axe der Libelle horizontal ist. Legt man nun die Libelle um (in die Lage A'B'), so wird die Blase nur dann einspielen, wenn die Unterlage horizontal ist; andernfalls entspricht der Ausschlag der Blase dem doppelten Winkel zwischen A B und CD, d. h. dem Winkel 2 «. Man hat daher mittelst der Libellen-Korrektions-Schraube die Hälfte des Ausschlags wegzuschaffen, und, wenn man zugleich die Unterlage horizontal machen will, diese so zu neigen, dass die andere Hälfte des Ausschlags verschwindet. Dieses Verfahren ist im wesentlichen das bei allen Libellen-Korrektionen zur Anwendung kommende.

Fig. 1.

Umsetzen einer Libelle.

2 oc. Al

C{

oc bd    d ;

B' *

C~

Bei grossen und empfindlichen Libellen kann man, statt mittelst der Korrektions-Schrauben die Libellen-Axe zu neigen, einen anderen Normalpunkt auf der Teilung wählen, und damit eine neue Axe bestimmen.

Man habe z. B. eine Libelle mit durchlaufender Libelle, mit dem Mittelstrich 25. Dieselbe gebe die Ablesungen entsprechend Fig. 1. :

rechts: 37,8 links: 35,0

Lage A B Lage B'A'

links: 16,4 rechts: 13,6

Mittel = 27,1 ,    =24,3

Mittel 15,0

36,4

25,7

Gesamt-Mittel: 25,7

Man könnte nun mit den Korrektions-Schrauben dahin wirken, dass das Mittel der Ablesungen von 25,7 auf 25,0 kommt, indessen ist es einfacher, nun den Punkt 25,7 als Normalpunkt N anzunehmen, und mechanisch nichts mehr zu ändern.

Um mit Hilfe einer Libelle die Neigung einer nahezu horizontalen Geraden (z. B. einer horizontalen Instrumenten-Axe) zu bestimmen, setzt man die Libelle in beiden Lagen auf, und erhält aus dem arithmetischen Mittel beider Ausschläge die gesuchte Neigung, unabhängig von dem Libellen-Fehler « (Fig. 1.), ferner bestimmt die halbe Differenz der Ausschläge diesen Fehler a, d. h. den Winkel zwischen der Libellen-Axe und der Auflage-Linie.

Wenn eine Reiter-Libelle auf eine cylindrische Instrumenten-Axe aufgesetzt wird, und wenn bei einer geringen Drehung um diese Axe die Blase ausweicht, so ist das ein Beweis, dass die Libellen-Axe gegen die Drehungs-Axe eine Kreuzung hat oder windschief liegt. Diese Libellen - Kreuzung, welche z. B. bei Nivellier-Instrumenten besondere Beachtung verlangt, wird durch seitliche Korrektions - Schrauben beseitigt, worauf wir hier nicht weiter eingehen.

§ 36. Die Dosen-Libelle.

Eine Dosen-Libelle besteht aus einem flachen Gefäss mit schwach gewölbter Glas-Deckplatte.

Die Dosen-Libelle wirkt nach allen Richtungen wie eine Röhren-Libelle, und zeigt also, auf eine Ebene aufgesetzt, sofort die Neigung der Ebene nach Richtung und Grösse, wenn angenommen werden kann, dass die Axen-Ebene der Dosen-Libelle, d. h. die in der Mitte an die innere krumme Fläche gelegte Berührungs-Ebene parallel der Unterlags-Ebene ist.

Um dieses zu untersuchen, setzt man die Dosen-Libelle auf ein Legebrett mit Stellschrauben, und bringt sie mit diesen Stellschrauben zum Einspielen. Nun dreht man die Dose um sich selbst, und sieht zu, ob ein Ausschlag entsteht, und nach welcher Richtung der Ausschlag am grössten ist. Die so gefundene, am weitesten ausschlagende Blase wird mit Korrektions - Schrauben hälftig gegen die Mitte getrieben, und wenn man dann die Blase wieder auf dem Legebrett zum Einspielen bewegt, so wird sie beim Umdrehen stehen bleiben.

Dosen - Libellen haben meist geringe Empfindlichkeit, sie zeigen häufig nur Y deutlich oder sind auch noch weniger empfindlich, sie sind dafür aber sehr bequem.

Häufig hat man Dosen-Libellen auch an Instrumenten, welche ausserdem empfindlichere Röhren-Libellen haben.

Eine Dosen-Libelle dient in solchem Falle nur zum vorläufigen Einstellen, womit erhebliche Zeitersparung erzielt werden kann.

§'37. Einfluss der Wärme und des Glases.

Die erste Einwirkung der Wärme auf die Libelle besteht in der Änderung der Blasenlänge, welche in der Kälte erheblich grösser ist als in der Wärme.

Wir fanden z. B. bei einem Nivellier-Instrument {Bamberg), dessen Libelle keine Scheidewand hat:

Temperatur t Blasenlänge l

0    5°    10°    15°    20°    25° C.

!6    24,5    22,5    20,5    18,5    16,5 Striche

= 1 ° entspricht A l = 0,4 Striche.

Wenn man diese Verhältnisse für eine Libelle bestimmt hat, so kann die Libelle zugleich als Thermometer benützt werden (sofern sie keine Scheidewand S und Kammer hat, Fig. 2. § 83. S. 101).

Auch die Empfindlichkeit ist mit der Temperatur etwas veränderlich ; für Feld-und Landmessung ist das jedoch wenig von Bedeutung. Wir fanden z. B. bei der vorerwähnten Libelle ohne Scheidewand, deren Blasenlänge sich also nur infolge der Temperatur verändert, bei Temperaturen zwischen 0° und 25° die Empfindlichkeit etwa zwischen 6,7" und 6,0" auf 1 Strich.

Zur Untersuchung der Empfindlichkeit bei verschiedenen Blasenlängen, aber konstanter Temperatur wurde mit dem Nivellier-Instrument Nr. IV. der Preussischen Landes-Aufnahme folgender Versuch gemacht, wobei die Blasenlänge mittelst der Scheidewand willkürlich geändert wurde:

Temperatur

15,1°

15.7

15.2

15.3

15.8

Wenn hiernach, wie auch sehr natürlich ist, die Blasenlänge auf die Empfindlichkeit in rein geometrischem Sinn fast keinen Einfluss hat, so besteht doch in anderem Sinne ein solcher Einfluss. Sehr kleine Blasen sind sehr träge, sie bewegen sich langsamer als grosse Blasen, was auch durch die Reibung der Flüssigkeit an den Glaswänden völlig erklärt wird.

Es ist deshalb zu empfehlen, die Blasenlänge etwa gleich einem Drittel oder der Hälfte der geschliifenen Röhrenlänge zu machen.

Die Wärme übt auf die Libellen verschiedene Einflüsse aus:

Wenn eine ruhig stehende Libelle einseitig erwärmt wird, so bewegt sich die Blase, und zwar geht sie der Wärmequelle zu. Man schützt desswegen die Libellen durch Überziehen der Fassung mit schlechten Wärmeleitern (Papier) oder durch doppelte Fassung.

Im Felde muss ein Instrument mit einer empfindlichen Libelle stets unter einem Sonnenschirm gehalten werden.

Ausser diesen Abweichungen von der rein geometrischen Theorie zeigen die Libellen manchmal auch andere Missverhältnisse, welche in der Beschaffenheit des Glases und der Füllungsflüssigkeit ihren Grund zu haben scheinen.

Als Beispiel können wir die oben bei (1) benützte Libelle von 6,5" Empfindlichkeit anführen, welche nach einigen Jahren Störungen zeigte, wie wenn sie ganz

Il II

(1)

Blasenlänge Empfindlichkeit

29,7 Striche 3,70" auf 1 Strich 3,93 3,78

24,1

17,4

(2)

IO CO

3,98

4,12

ungleichförmig geschliffen wäre. Diese Libelle gab nämlich im Juni 1886, auf dem Prüfer Fig. 3. § 34., unter Anderem folgendes:

Schraube

Blase links rechts

Ausschlag Blasen-links rechts länge

3' 40" 8' 50"

4' 0"

4' 10" 4' 20" 4' 30" 4' 40"

03 CO I>

oi' i> i> cT cT

O l>

O CO

f-H T—4    •

uo OO    1-H    I>^

cT    i> i> i> ov

f-H 03    03    03    03    03 CO

in o ca o o so

CO    »—⁴    1—4    t—4    CO    *

io    cT    03    O O    CO

CO    03    03    1—4    t-h    *-h    O

i>    h    i>    t.“    t."    t>    i>

H    rH    r-4    i-H    r-H    t—I    r—f

Herr Bamberg hat uns darüber folgendes mitgeteilt:

„Der Fehler, dass die Libelle nicht mehr funktionierte, lag daran, dass die Füllungsflüssigkeit stark abgesetzt hatte, resp. das Glas durch wässerige Beimischung, wahrscheinlich durch Absorption während des Schleifens, Teilchen ausgeschieden hatte, welche punktartig die Schlifffläche belegten und so den regelmässigen Gang der Blase hemmten. Es ist dieses ja eine bekannte Erscheinung fast aller Libellen der neueren Zeit und hat seinen Grund in dem Bestreben der Glasfabrikanten, möglichst leicht schmelzbare und verarbeitbare Gläser zu erzielen auf Kosten der Dauerhaftigkeit derselben gegen äussere Einflüsse.

Wie die Erfahrungen der letzten Jahre gezeigt haben, lässt sich das Ansetzen der Libellen dadurch vermeiden, dass dieselben nach dem Schliff längere Zeit hindurch (circa 14 Tage) in Alkohol und Äther gespült werden. Nachdem diese Procedur mit Ihrer Libelle vorgenommen worden ist und dieselbe wieder gefüllt, zeigt sich dieselbe vollendet tadellos.“

Die fragliche Libelle hat in der That wieder den alten Gang der Blase und Zuverlässigkeit der Angaben wieder erlangt.

Es mag am Platze sein, hier auch eine Stelle anzuführen aus einem Votum des Chefs der trigonometrischen Abteilung der K. Landesaufnahme, Herrn Oberst-(Lieutenant) Schreiber (Mai 1883), als Beilage zu der Denkschrift betreffend die physikalisch-technische Reichsanstalt, Etat für das Reichsamt des Innern 1887/88, S. 62. Diese Stelle lautet:

„Es kommen alljährlich Fälle vor, dass Wasserwagen während der Feldarbeiten ohne erkennbaren Grund in der Zuverlässigkeit ihrer Angaben nachlassen, und selbst ganz unbrauchbar werden. Mit einem solchen Fall ist stets ein erheblicher Zeitverlust verbunden, weil die Glasröhre durch eine neue ersetzt und diese bezüglich des Wertes und der Genauigkeit ihrer Angaben untersucht werden muss. Wenn aber der Übelstand nicht frühzeitig bemerkt wird, so bleiben entweder die dadurch erzeugten Inkorrektheiten in der bereits geleisteten Arbeit zurück oder sie muss verworfen und wiederholt werden.“

Kapitel V.

Die optischen Instrumente.

§ 38. Das Sehen mit freiem Auge.

Teils als Vorbereitung der Theorie der optischen Instrumente, Lupen, Fernröhre, Mikroskope u. s. w., teils wegen selbständiger Bedeutung für das Messen, behandeln wir hier das Sehen mit freiem Auge.

Die erste Frage betrifft die Genauigkeit, mit welcher man die gegenseitige Lage zweier benachbarter Punkte, namentlich das Aufeinanderfallen zweier Punkte, beurteilen kann, oder kurz die Genauigkeit des Zielens mit freiem Auge.

Man kann sich davon leicht durch Versuche Bechenschaft geben. Einen solchen einfachen Versuch machten wir im November 1879 mit Karlsruher Studierenden in

folgender Weise :

Eine Latte hatte eine breite, weit sichtbare Teilung in Decimeter, und eine

So wurde folgendes erhalten :

feine nur in der Nähe sichtbare Teilung in Millimeter. Ein Bleistift wurde als Zeiger willkürlich auf die Teilung gehalten, und von den 18 Meter entfernt stehenden Studierenden nach Schätzung an der Decimeter-Teilung abgelesen, wie unter ci im Folgenden angegeben ist. Nachher wurde die Ablesung a genau an der Millimeter-Teilung genommen, so dass a!—a=Al den Fehler der Zielung auf 18 Meter vorstellt.

ci

ci—a - A

0,64™

0,68

0,66

0,605

0,65

0,575

0,44

0,47

0,72

0,775

0,634™

0,678

0,659

0,607

0,645

0,567

0,439

0,472

0,721

0,767

-h 2

-V

204

10

25    =±4,52

64

64

mm

204

auf 18™ Entfernung, also der

Der mittlere Zielfehler ist also = ± 4,52 mittlere Zielfehler als Winkel:

(1)

= 4- 52"

4,52

18ÖÖÖe

Ähnliches wurde auch hei Wiederholungen dieses Versuches gefunden.

Das Zielen durch Kreuzscheibenspalten nach hölzernen Baken ist weniger genau, es giebt nämlich einen mittleren Fehler von etwa 2', wie wir schon in § 5. S. 6 angegeben haben.

Andererseits kann man die Zielgenauigkeit noch erheblich steigern, wenn man nämlich die Zielpunkte günstig gestaltet und beleuchtet, wenn man z. B. eine scharfe Linie zwischen zwei Fäden einstellt, wobei schmale helle Streifen übrig bleiben.

Interessante Versuche in dieser Beziehung hat Ingenieur B. Wagner angestellt und in der „Zeitschr. f. Verm. 1886“, S. 87—89 und S. 97—104, mitgeteilt. Die Versuche waren im wesentlichen ebenso angeordnet, wie der vorhin beschriebene Versuch mit einer Decimeter-Latte, jedoch in feinerer Weise behandelt, mit Einstellung eines vertikalen Fernrohr - Fadens auf einen weissen Streifen auf schwarzem Grunde. Breite des Streifens = 2m™, Smm und 20mm, hei Zielweiten zwischen 50m und 500m. Bei 25facher Fernrohr-Vergrösserung fand sich im ganzen ein mittlerer Zielfehler von nur + 0,287", also auf freies Sehen reduziert, = 25x0,287 = 7,2"

(2)

b = ± 7,2"

Die Genauigkeit ist hier 7mal grösser als hei dem rohen Versuche (1), und etwa 15mal grösser als bei dem Zielen durch Kreuzscheibenspalten nach hölzernen Baken.

q" 25 = 206" = 8' 26". Dieses entspricht 2 b -f Strichbreite in der nachfolgenden Fig. 2. S. 111; die Strichdicke nehmen wir rund = 60" an, es bleibt also b = 73" oder etwa das Doppelte der Breite 84", welche sich bei den nachher zu berichtenden Förster sehen Versuchen als die günstigste ergeben hat.

Zur Vergleichung mit dem Folgenden bemerken wir noch, dass die Streifen breite 20mm bei 500’" Entfernung und 25facher Vergrösserung einen Gesichtswinkel giebt 0,020

500

Alle diese Verhältnisse werden wesentlich aufgeklärt durch die physiologischen Ergebnisse der Untersuchung des menschlichen Auges.

Herr Prof. Förster hat hierüber im Jahr 1880 eine Abhandlung in „procès-verbaux“ des internationalen Mass- und Gewichts-Comite’s geschrieben, welche wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“, S. 117—124 in Übersetzung brachten. Hieraus entnehmen wir folgendes:

Fig. l.

Schematische Darstellung des Sehens.

lf

y,073/1

20b

mm

-A----15

mm

In vorstehender Fig. 1. ist AT ein Punkt in der Axe der Linse des Auges, welcher näherungsweise (Zusammenfassung der beiden Knotenpunkte) als Centralpunkt bei der Erzeugung von Netzhautbildern betrachtet werden kann.

Wenn ein Linien-Element von V¹ im Abstand 206’"“ vom Auge Lichtstrahlen auf die Augenlinse wirft, so entsteht auf der Netzhaut, 15"'m hinter dem Punkte K, ein Bild von der Grösse:

15

(3)

¹"X206 = °'⁰⁷⁸'‘

Dabei mag lf* vorerst irgend welche Grösse bedeuten, nachher werden wir darunter 0,00p""¹ verstehen, so dass dann der Gesichtswinkel für V¹ wird:

IM

0,001mm

Es wird nun die Frage aufgeworfen: Welches muss die Minimal - Dimension eines Bildes auf der Netzhaut sein, wenn dieses Bild noch sicher wahrgenommen werden soll?

Schon im vorigen Jahrhundert war eine ähnliche Frage der Gegenstand experimenteller Untersuchungen von Jur in und von Tobias Mayer in Göttingen. Ein Bericht über alle hierauf bezüglichen Arbeiten, sowie die wichtigsten Resultate finden sich in der „Physiologischen Optik“ von Helmholtz (S. 209—224 und S. 841—842), ferner sind hier die Versuche von Laugier („Astr. Nachr.“ Nr. 1086 [46. Band, 1857, S. 81]) und vor Allem die schönen Arbeiten von J. A. Broun (1875) im XXIII. Band der „Proceedings“ der Royal Society von London (S. 522) zu erwähnen.

Die Physiologie erklärt die Lokalisierung der Eindrücke, und folglich das Unterscheidungsvermögen, durch die in der Netzhautschicht befindlichen sogenannten Zapfen oder Stäbchen. Die kreisförmige oder polygonale Oberfläche der Endschnitte dieser Zapfen hat einen mittleren Durchmesser von ungefähr 4,5^ und schwankt zwischen 2*‘ und 6P; dieselben finden sich am dichtesten auf dem sogenannten gelben Fleck und ganz besonders in der sogenannten Netzhautgrube.

Man hat gefunden, dass zwei helle Punkte oder zwei helle Linien auf dunkelem Grunde (oder auch zwei dunkle Punkte oder Linien auf hellem Grund) nur getrennt gesehen werden können, wenn der Gesichtswinkel, unter welchem ihr Abstand erscheint, etwa 60” erreicht, d. h. wenn auf der Netzhaut das Intervall ZAvischen den Centren beider Bilder den Wert 60 X 0,073^ = 4,4t¹ erreicht. Die Übereinstimmung dieser Minimaldistanz mit dem soeben genannten mittleren Durchmesser der Stäbchen hat unmittelbar die Erklärung der Trennungsgrenze geliefert; zwei nahe gleiche Objekte erscheinen dem Auge nur dann als getrennt, wenn der Abstand der Mitten ihrer Netzhautbilder ebenso gross oder grösser ist als der Abstand der Mitten zweier benachbarter Stäbchen; denn nur unter dieser Bedingung, und unter der Annahme, dass die Intervalle zwischen den einzelnen Stäbchen sehr klein sind, was an der Stelle des gelben Flecks der Fall ist, werden die optischen Schwerpunkte der Bilder der beiden Objekte auf zwei verschiedene benachbarte Stäbchen fallen. Wenn dagegen die beiden Bildmitten noch auf die Oberfläche eines und desselben Stäbchens fallen, so werden sie nicht getrennt wahrgenommen, sondern sie gehen ineinander über, und ihre Wirkungen vereinigen sich. Es ist von Wichtigkeit, dass diese physiologische Theorie sich zugleich stützt auf die That-sache der Verminderung des Trennungsvermögens für diejenigen Stellen der Netzhaut, auf welchen die Oberflächen der Stäbchen und deren Zwischenräume grösser sind als in der Netzhautgrube.

(Es scheint, dass man manchmal diese Grenze des Trennungsvermögens (4,4^ Minimalabstand der Bildcentren) mit der anderen mindestens 50mal weiteren Grenze der Sichtbarkeit eines einzelnen Objekts verwechselt hat (0,09fx Minimalgrösse des Netzhautbildes). In dieser Hinsicht ist der Versuch Nr. 6 von Broun a. a. O. sehr instruktiv, weil er deutlich den Übergang der einen Grenze in die andere zeigt, und damit vor deren Verwechslung behütet.)

Prof. Förster hat nun Versuche angestellt in der Anordnung von Fig 2. (S. 111), d. h. es wurde ein Teilstrich oder ein Faden zwischen zwei Fäden so eingestellt, dass links und rechts weisse Zwischenräume bb blieben, deren Gleichheits - Schätzung zur Einstellung in die Mitte diente.

Das Minimum der Lichtbreite b, bei welchem der helle Streifen überhaupt noch gesehen werden konnte, ergab sich, auf die Netzhaut projiziert, = 2,5^, oder etwa

F/g. 2. Einstellung eines

Stäbchen-Breite (während nach Broun für eine dunkle Linie auf hellem Grunde 0,09t¹ genügt).

Mit dieser Minimalbreite 2,5t¹ wurde hei 25facher Yergrösserung ein wahrscheinlicher Faden-Einstellfehler = + 0,25t¹ (auf der Netzhaut gemessen) gefunden. Reduziert man dieses auf Objektgrösse und freies Sehen,

entsprechend 34” Gesichts-

gleich

Teilstrichs zwischen zwei Fäden.

Faden

Faden

so hat man 0 = 13,7x2,5^ = 34^ oder = ^

winkel, und einen wahrscheinlichen Einstellfehler = 13,7 x 0,25t¹ = 3,4t1 oder rund = 3,4” Gesichtswinkel. Oder hei 34facher Yergrösserung hätte man einen wahrscheinlichen Fehler von 0,1t¹ am Objekt.

Dagegen braucht man viel stärkere Vergrösserungen, wenn man dieselbe Einstellgenauigkeit erreichen will mit breiteren Lichtstreifen zwischen den Strichrändern und den beiden Fäden.

Wenn z. B. die Breite b dieser hellen Intervalle zwischen den Fäden und den Strichrändern so weit geht, dass sie 8 Nerven-Elemente (Stäbchen-Endflächen) der Netzhaut bedeckt, so braucht man zur Erreichung derselben Genauigkeit (0,1t¹ wahrscheinlicher Einstellfehler) schon eine 85fache Ver-grösserung, und wenn jene Breite bis zu 15 Nerven-Elementen wächst, so braucht man 150fache Vergrösserung.

Als wichtigstes Resultat dieser gesamten Untersuchung von Prof. Förster hat man sich zu merken : Man soll die zu vergleichenden Lichtbreiten b (Fig. 2) möglichst klein machen.

Andererseits hat man aus den groben Unterschieden, z. B. + 2' Zielfehler bei der Kreuzscheibe und dem Winkelspiegel einerseits und + 5” bis + 10” bei den feinsten Messungen andererseits, den Schluss zu ziehen, dass viele unersetzliche Hilfsmittel des Feld- und Landmessers nicht nach optischen Rücksichten zu beurteilen sind.

Die deutliche Sehweite.

Das normale Auge sieht einen Gegenstand am deutlichsten, wenn er sich in einer gewissen Entfernung, etwa 20cm bis 25cm vom Auge befindet; diese Entfernung heisst „deutliche Sehweite¹¹. Wird die Entfernung vergrössert, so kann sich das Auge der vergrösserten Entfernung auch noch anpassen (Akkommodation) bis zur Entfernung Unendlich, z. B. beim Sehen der Sterne.

Die Akkommodation ist mit Veränderung der Pupillen-Offnung verbunden, die Pupille erweitert sich für die Ferne (Helmholtz, „Physiologische Optik 1867“, S. 103).

Wird die Entfernung eines Gegenstandes vom Auge erheblich kleiner als die deutliche Sehweite, so findet kein deutliches Sehen mehr statt (vgl. die Lupe § 40.).

Das Auge kann von zwei Gegenständen, welche verschiedene Entfernungen haben, immer nur einen deutlich sehen. Dieses ist der Haupt-Übelstand der Faden-Diopter (vgl. Fig. 2. § 4. S. 5), weil hier das Auge den etwa 20cm entfernten Faden und ein vielleicht viele Hunderte von Metern entferntes Ziel zusammen beobachten soll.

Indessen gelingt es doch, indem man zwei verschieden entfernte Gegenstände nach einander betrachtet, bald den einen, bald den anderen deutlich zu sehen, und so zusammen zu bringen (vgl. Helmholtz, „Physiologische Optik 1867“, S. 92).

Verschiedene Personen haben verschiedene deutliche Sehweiten. Es giebt Kurzsichtigkeit, mit 10cm und noch weniger Sehweite, und Weitsichtigkeit mit 50cm Sehweite.

Kurzsichtige und Weitsichtige, welche passende Brillen tragen, gelten für die Okularstellungen u. s. w. bei Messinstrumenten als normalsichtig.

§ 39. Die Konvexlinse. ¹)

Eine Linse ist ein durch zwei Kugelabschnitte begrenzter Glaskörper. Von den verschiedenen Formen von Linsen kommt bei Messinstrumenten fast nur die Konvexlinse oder Sammellinse vor (mit dem Grenzfall plankonvexe Linse). Die Wirkung der Linsen beruht auf der Brechung des Lichts.

Axe der Linse heisst die gerade Verbindungslinie der zu beiden Begrenzungsflächen gehörigen Kugelmittelpunkte.

Brechung eines Lichtstrahls durch eine bikonvexe Linse (vgl. Fig. 1. und Fig. 2.). Ein Lichtstrahl geht von einem Punkte A (Fig. 1.) in der Axe der Linse aus, wird an beiden Linsenflächen gebrochen und schneidet die Axe wieder auf der andern Seite der Linse in einem Punkte E (Fig. 2.).

Wir betrachten zuerst, nach Fig. 1., nur die Brechung an der Vorderseite der Linse.

Fig. 1.

Brechung an der Vorderseite der Linse.

4L

<r

-J)

l-/<-

l—d-

A BE' ist der Weg des Lichtstrahls, G ist der Kugelmittelpunkt.

Der Kugel-Halbmesser sei r, das Brechungs-Verhältnis für den Übergang des Strahls von Luft in die Linse sei n.

Aus Fig. 1. nimmt man folgende Gleichungen: Ordinate :

Brechung in B : Winkel summen :

y — D tang a = r sin 8 = dl tang s sin ß = fi sin y

ß = a -t- S ;    8 = y + s

Es wird nun angenommen, dass alle Winkel « , ß , y , 8 , e sehr klein sind, dann gehen die vorstehenden Gleichungen in folgende über:

Da — r 8 d' e

(1)

ß = t¹y

ß = a -+- 8    ;    8 = y -+- e

Hiemit berechnet man aus (3) , (2) und (1):

« -+- 8

(2)

(3)

aus (1):

Setzt man (5) in (4), so bekommt man:

1 1

n ⁺ 7-'lr_r

Die zweite Brechung, an der Rückseite B der Linse, wird durch Fig. 2. angedeutet:

(6)

Fig. 2.

Brechung an der Kückseite der Linse.

bJ Yb'

3>-

E'

-Ł—Ą

Es ist nun nicht nötig, die Entwicklung (1) bis (6) für Fig. 2. zu wiederholen. Man überzeugt sich, dass beide Fälle ineinander übergehen, wenn man setzt:

Fig. 1.

Fig. 2.

1)

d'

— d!

r'

Setzt man dieses in

ein, so geht

über in :

Die Addition von (6) und (7) giebt:

V -¹¹ [v dr)

(7)

Die rechte Seite ist hier konstant, man setzt daher:

(8)

(„-i) (-f+y)~j

(9)

Der dadurch bestimmte Wert f heisst die Brennweite der Linse. Damit heisst die Gleichung (8):

1 1 _ ¹

D ⁺ d~ f

Dieses ist die Grundgleichung für die Brechung eines Lichtstrahls durch eine Linse.

Es ist dadurch bewiesen, dass alle Strahlen, welche von einem Punkt A der Axe ausgehen, sich nach der Brechung wieder in einem Punkte E der Axe vereinigen. Zwei solche Punkte A und E auf der Axe nennt man „konjugiert“.

Wir betrachten ferner (Fig. 3.) ausser dem früheren Strahl A BE, welcher von

(10)

Fig. 3.

Konjugierte Punkte A und E, A' und E'.

i<-----2)

A\

z~cL----A

ß \E

1<—D'-

V-

-d-

E'

der Axe ausgeht, einen Strahl A'BE', welcher nicht von der Axe ausgeht. Der Ausgangspunkt A' des zweiten Strahls soll auf dem ersten Strahl A B liegen, weshalb

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Autl. II. Bd.

auch nach der Brechung noch beide Strahlen denselben Weg B E verfolgen. Während ira ersten Fall der Schnitt E mit der Linsen-Axe von Wichtigkeit war, untersuchen wir im zweiten Fall den Schnitt E' mit der von A' durch die Linsenmitte gezogenen Geraden. Dabei handelt es sich um die beiden Abstände D' und d'.

Um eine Beziehung zwischen D' und d' zu erhalten, nehmen wir die Winkel a , ß , y zu Hilfe, und haben damit:

D _sin (a + y)

sin a

oder weil die Winkel sämtlich klein sind:

1 a + y

d _sin (ß — y)

d'

sin ß

b: - b

1 _ 1 ß — v

d! d ß

d! “ I)

1) a    dß

(11)

Nach Fig. 3. ist aber:

Da— d ß

(12)

Damit fällt das letzte Glied in (11) fort, und die Vergleichung mit (10) giebt: D' ⁺ d' — f

Damit ist bewiesen, dass auch alle Strahlen, welche von einem Punkte A‘ ausserhalb der Axe ausgehen, sich nach der Brechung wieder in einem Punkte E' vereinigen, welcher mit A! und der Linsenmitte auf einer Geraden liegt.

Die Punkte A' und E' heissen konjugiert, ebenso wie auch A und E konju

giert sind.

Verschiedene Fälle der Grundgleichung (10) oder (12):

D = CO

oo

d~-f 1 1

(13)

2f ⁺ 2f~ f

D = d = 2f

(14)

oo

d = oo

(15)

(16)

f—x d f

d wird negativ.

Zwei Punkte auf der Axe, in Abständen f von der Linse, heissen die Brennpunkte der Linse.

Wenn nach (13) ein Punkt in der Richtung der Axe der Linse unendlich entfernt ist, so fällt sein Bild nach der Brechung in den Brennpunkt auf der anderen Seite der Linse. Da alle von einem unendlich entfernten Punkte auf die Linse fallenden Strahlen als parallel gelten, so folgt weiter, dass jeder mit der Axe parallel einfallende Strahl nach der Brechung durch den Brennpunkt geht.

Einen solchen Strahl nennt man einen Hauptstrahl.

Der optische Mittelpunkt.

In der vorstehenden Theorie wird die Annahme gemacht, dass die Linsendicke verschwindend klein sei gegen die übrigen in der Axen-Richtung in Betracht kommenden Dimensionen, jedoch ist es von Interesse, unmittelbar zu zeigen, dass die Gerade A'E'

in Fig. 3. durch einen festen Punkt der Linse geht. Es ist dies nämlich derjenige Punkt, welcher die Eigenschaft hat, dass jeder durch ihn gehende Strahl ungebrochen bleibt. Dieser Punkt heisst der optische Mittelpunkt der Linse, er liegt auf der Axe der Linse und teilt die Dicke der Linse in zwei Teile, im Verhältnis der beiden Krümmungshalbmesser, er liegt dabei stets näher der stärker gekrümmten Fläche. Dieses lässt sich so zeigen (vgl. Fig. 4.):

Ebenso wie bei dem

Fig. 4.

Optischer Mittelpunkt O.

Durchgang eines Strahls durch ein planparalleles Glas, wobei keine Richtungsänderung erfolgt, ergiebt sich für den optischen Mittelpunkt die Bedingung, dass die zwei Berührungs-Ebenen der Linse am Eintritt und am Austritt eines durch ihn gehenden Strahls parallel sein müssen, oder dass die dem Eintritt und Austritt zugehörigen Kugelhalbmesser parallel sind. Ist also 0 der optische Mittelpunkt (Fig. 4.) und A B B'A' ein durch ihn gehender Strahl, so soll A! B' parallel B A, und C'B' parallel BG sein, woraus folgt:

BO .OB' — BG.B'C = r:r'

A'

und genähert:

also :

BO: OB' = DO . OB’

Fig. 5.

Optischer Mittelpunkt der plankonvexen Linse.

D 0 : OD' = r : r'

Bei der plankonvexeiyLinse liegt der optische Mittelpunkt auf der konvexen Seite selbst, wie in Fig. 5. angedeutet ist.

Einen Lichtstrahl, der durch den optischen Mittelpunkt der Linse geht, nennt man einen Hauptstrahl.

Konstruktion konjugierter Punkte mittelst zweier Hauptstrahlen (Fig. 6.).

Als Hauptstrahlen haben wir bisher folgende bezeichnet:

1)    einen Strahl parallel der Axe, z. B. PQ in Fig. 6. ;

2)    einen Strahl, der durch den optischen Mittelpunkt der Linse geht, z. B. POp in Fig. 6.

Fig. G.

Hauptstrahlen PQ und POp.

F"

\P

p>.....—

Damit kann man zu jedem Punkte P seinen konjugierten Punkt p konstruieren (Fig. 6). Man zieht von P aus beide Hauptstrahlen, nämlich PQ parallel der Axe, und PO nach dem optischen Mittelpunkt.

J) -

ei -

P Q geht nach der Brechung durch den Brennpunkt F, und PO bleibt ungebrochen, man findet daher p als Schnitt der verlängerten Q F und PO.

Diese Konstruktion gilt auch für diejenigen Fälle von (13) bis (16), bei welchen D oder d negativ ist.

§ 40. Die Lupe.

Einen besonderen Fall der im vorigen § 39. behandelten Konvexlinse bildet die Lupe, als Konvexlinse mit kleiner Brennweite. Eine solche Linse dient zur Erzeugung vergrösserter Bilder naher Gegenstände (vgl. Fig. 1.).

Fig. 1. Lupe.

P'

F*

-e

—g—-»

Ein Gegenstand P befindet sich zwischen der Linse L und dem linkseitigen Brennpunkt F dieser Linse. Man findet die Lage des dem Punkte P konjugierten Punktes P' mittelst der beiden Hauptstrahlen (nach Fig. 6. § 39. S. 115), welche sich durch Rückverlängerung auf derselben Seite der Linse schneiden, auf welcher P ist, nämlich in dem Punkte P'.

Als Beziehung zwischen den Abständen y und d hat man die Grundgleichung (12) § 39. S. 114, mit Rücksicht darauf, dass der Gegenstand und das Bild auf derselben Seite der Linse liegen, nämlich entsprechend (16) § 39. S. 114:

1 _l _ 1 y 'à ~ f

Diese Gleichung giebt nach y aufgelöst:

¹ _ ¹    1 _ d 4- f

(1)

df

(2)

V d + f

Für die weitere Untersuchung ist es nötig, den Ort des Auges A vor der Lupe zu wissen; das Auge hat hier einen gewissen Spielraum, der etwa gleich der Brennweite f der Linse ist. Wir lassen die Entfernung des Auges von der Lupe vorerst noch unbestimmt, indem wir sie = e einführen.

Nun gelangen die von P selbst ausgehenden Strahlen mit solcher Divergenz in das Auge A, als ob sie von P[ ausgiengen; das Auge glaubt daher ein vergrössertes aufrechtes Bild H des Gegenstandes h zu sehen.

Wenn hiebei deutliches Sehen stattfinden soll, so ist der Abstand des Auges von dem Bilde gleich der deutlichen Sehweite w anzunehmen, d. h.:

(3)

tv = d -f- e oder d = w — e

Dadurch wird auch der Abstand y ein bestimmter, nämlich nach (2) und (3 ) :

Vergrösserung. Direkt gesehen, muss der Gegenstand h in die deutliche

Wenn

to

Sehweite w gebracht werden, er erscheint also unter dem Gesichtswinkel

derselbe Gegenstand mit der Lupe betrachtet wird, so hat er, da der Ort des Auges in A angenommen ist, die scheinbare Höhe H in der Entfernung = w, also erscheint

TI

er unter dem Gesichtswinkel —, und demnach ist die Vergrösserung:

ll

oder vermöge (3) und (4):

(5)

oder :

g v.

+ 1—7

(6)

Da beim Kurzsichtigen w kleiner ist, als beim Weitsichtigen, so hat der Kurzsichtige eine schwächere Vergrösserung als der Weitsichtige, da aber der Kurzsichtige ohne Lupe den Gegenstand näher ans Auge hält als der Fernsichtige, so hat er hier schon einen grösseren Gesichtswinkel; durch die Lupe sehen beide den Gegenstand gleich gross.

Aus (5) ist ersichtlich, dass eine Linse nur dann als Lupe brauchbar ist, wenn ihre Brennweite f kleiner als die deutliche Sehweite w ist.

Wenn man in (6) verschiedene Werte e einführt, welche der Schwankung des Aug-Ortes entsprechen, so findet man:

mit e = 0

Umax —

(?)

(8)

Umin ——

mit e = f

Die unvermeidlichen Schwankungen des Auges vor der Lupe sind also von wenig Einfluss auf die Vergrösserung.

Wichtiger ist es, zu wissen, ob diesen Augorts - Schwankungen etwa erhebliche Veränderungen des Objekt-Abstandes y entsprechen. Um dieses bequem beurteilen zu können, entwickeln wir die Formel (4) für y in eine Keihe:

1-A

_ . w — e

y fü+(f-e)

ir

f-e

-h SI*

f-e

'f—e\2

f f~e

w tu

(9)

Je nachdem man hier e = 0 oder e — f einsetzt, giebt diese Formel (9) Werte

giebt dieses nur

cm

und f = 1

cm

von y, welche um — differieren. Für w = 25 * 10%

0,016mm, was ganz unmerklich ist.

Zugleich kann man aus dieser Gleichung (9) ersehen, welchen Einfluss eine

Änderung der Sehweite w auf die Einstellung y hat.

y — f— —

Zu diesem Zweck differentiieren wir die Gleichung (9) nach w, also :

dy=+^

*    ' w

Nach (8) kann man hiefür schreiben:

(10)

Bei 20facher Vergrösserung (v = 20) und einem Sehweiten-Untcrscliied dw = 20 giebt dieses nur d y = 0,5’"m.

näher an den

Der Kurzsichtige wird also die Lupe in diesem Fall um 0,5 Gegenstand halten als der Weitsichtige.

Anmerkung.

Obgleich wir (nach der Anmerkung auf S. 112 unten) die sphärischen Abweichungen der Linsen nicht in unsere Betrachtung ziehen, kann doch die Bemerkung hier angefügt wer len, dass gute Lupen nicht beiderseits gleich gekrümmt sind, und dass man stets die flachere Seite dem Objekt zukehren soll.

§ 41. Das einfache Fernrohr.

Die bisher behandelte Theorie der Konvexlinse als Objektiv-Glas und als Lupe genügt bereits zur Erklärung der Wirkungsweise des einfachen (Keplerschen) Fernrohrs.

Fig. 1.

Das einfache Fernrohr.

Ofaj.

Io

(X

p;

k----

--I)---

y-*j

-----CF)------

Ein solches Fernrohr besteht nach Andeutung von Fig. 1. aus einer Verbindung zweier Konvexlinsen, nämlich dem Objektiv 0 und dem Okular L, welche verschiedene Brennweiten, bzw. F und f haben. Die Brennweite F des Objektivs ist grösser als die Brennweite f des Okulars.

Die Wirkungsweise dieses Fernrohrs lässt sich so erklären : Das Objektiv 0 erzeugt von einem entfernten Gegenstand Q ein umgekehrtes verkleinertes Bild P, welches durch das als Lupe wirkende Okular L betrachtet wird. Die Entfernung d des Bildes F von dem Objektiv findet sich aus der gegebenen Entfernung I) des Gegenstandes Q von dem Objektiv, und der Brennweite F des letzteren, durch die Grundgleichung: welche, nach d aufgelöst, giebt:

J) — F

oder in Reihen-Entwicklung:

= y(¹+B

l-l

(1)

d — F — ~ + ...

Da D meist sehr gross ist, so ist d nahezu — F-, es giebt z. B. eine Entfernung D = 300™ bei einer Brennweite F — 0,3”' nur d — F = 0,0003“ oder = 0,3™™. Die Einstellung der Okularweite d kann überhaupt kaum auf 0,3™”' genau gemacht werden.

Wir haben also bewiesen, dass schon bei Zielpunkts-Entfernungen über 300™ der Okular-Auszug mit der Auszugsweite d nahezu ebenso zu stellen ist, wie für die Zielweite Unendlich.

Der Abstand y des Bildes P vom Okular L ist abhängig von der Brennweite f des Okulars und von der deutlichen Sehweite w des beobachtenden Auges, es ist jedoch y immer nahezu = f, wie aus der Gleichung (9) des vorigen § 40. hervorgeht, denn hiernach ist:

¹

Wir geben in den folgenden Paragraphen eine elementare Darstellung der Linsen-Gesetze, ohne Bücksicht auf die chromatischen und sphärischen Abweichungen, Lichtverluste u. s. w. Die Gausssche Theorie der Haupt- und Knotenpunkte ist in § 42. benützt, im übrigen ist der „optische Mittelpunkt“ und ähnliche Bezeichnungen nach der älteren Anschauung beibehalten.

fl

IO

(2)

Setzt man beispielshalber hier f=l

, w = 20

y — f— — 0,05cm = — 0,5

cm

cm

, so wird :

mm

Man kann also näherungsweise y — f annehmen.

Das Fadenkreuz und die Ziel-Axe (Kollimations-Axe.)

Mit dem bisher beschriebenen Fernrohr kann man zwar entfernte Gegenstände betrachten, man kann aber keinen bestimmten Punkt des Bildes anzielen. Hiezu ist es nötig, an dem Fernrohr zwei feste Punkte zu haben, welche dem Okularloch und dem Faden eines Diopters, oder dem Visier und dem Korn eines Geschützes entsprechen.

Diese zwei festen Punkte sind das Fadenkreuz und der optische Mittelpunkt

des Objektivs.

Das Fadenkreuz dient dazu, einen Punkt des Bildes im Innern des Fernrohrs bezeichnen zu können. Man hat in der Ebene dieses Bildes auf dem als Okular

blendung dienenden Ring zwei sich rechtwinklig schneidende Fäden (Spinnfäden) ausgespannt, deren Kreuzpunkt mit einem bestimmten Punkte des Bildes zusammenfällt.

Die Einsetzung des Fadenkreuzes im Innern der Okular-Röhre ist durch Fig. 2. veranschaulicht, welche wir später beim Theodolit noch näher betrachten werden.

Fig. 2.

Das Fadenkreuz.

Ti

NS

Der zweite feste Punkt im Fernrohr, welcher zusammen mit dem Fadenkreuzpunkt die Ziellinie bestimmt, ist der schon erwähnte optische Mittelpunkt des Objektivs.

Da stets ein Punkt Q, sein Bild P, und der optische Mittelpunkt 0 des Objektivs in einer Geraden liegen, so heisst ein Punkt „angezielt“, wenn sein Bild P mit dem Fadenkreuzpunkt zusammenfällt, die Gerade PO wird dann durch Q gehen, gerade so wie z. B. hei einem Geschütz die gerade Verbindungslinie von Visier und Korn durch den Punkt geht, auf welchen gezielt wird. (Die Ziel-Axe wird mit der optischen Axe der Objektiv-Linse im allgemeinen nicht zusammenfallen.)

Das Anzielen eines entfernten Punktes geschieht durch folgende Operationen:

1)    Die Entfernung y zwischen dem Fadenkreuz und dem Okular, welche von der Brennweite des Okulars und von der deutlichen Sehweite des beobachtenden Auges abhängt (s. ob. (2)), wird durch Verschieben des Fadenkreuzes oder des Okulars in der Okular-Röhre so reguliert, dass das Fadenkreuz deutlich gesehen wird (vgl. die Theorie der Lupe § 40. S. 116).

2)    Die Okular-Linse samt dem Fadenkreuz, d. h. der ganze Okularkopf, wird gegen das Objektiv in solche Stellung gebracht, dass der Gegenstand, auf welchen das Fernrohr gerichtet ist, deutlich gesehen wird, und dann kann ein bestimmter Punkt des betrachteten Gegenstandes zur Deckung mit dem Fadenkreuz gebracht, d. h. angezielt werden.

Von diesen zwei Einstellungen ist die erste ein- für allemal vorzunehmen, sofern nicht verschiedene Beobachter mit verschiedenen Augen das Fernrohr zusammen benützen, während die zweite bei jedem Zielpunkt zu wiederholen ist.

Ein kurzsichtiger und ein weitsichtiger Beobachter werden die Stellung des Fadens gegen das Okular verschieden nehmen, jedoch wird diese Verschiedenheit höchstens 1 Millimeter betragen, wie aus der Lupen-Theorie in (10) § 40. S. 118 und aus der daran geknüpften Bemerkung entnommen werden kann.

Wenn ein Kurzsichtiger eine seinem Auge entsprechende Brille trägt, so kann er mit einem anderen Beobachter mit normalem Auge abwechselnd ein Fernrohr benützen, ohne dass Fadenverstellung nötig ist.

„Parallaxe“ des Fadenkreuzes heisst eine Abweichung der Fadenkreuz-Ebene von der Bild-Ebene; sie zeigt sich dadurch, dass bei einer Verschiebung des Auges von unten nach oben oder von links nach rechts sich der Fadenkreuzpunkt gegen das Bild verschiebt.

Wenn man eine solche Parallaxe bemerkt, so ist es das Erste, den Okularkopf neu einzustellen. Kann man damit die Parallaxe nicht beseitigen, so muss man den Abstand y zwischen der Okularlinse und dem Fadenkreuz von Neuem stellen.

Ver grösser ung.

Die Vergrösserung des Fernrohrs ist das Verhältnis der Gesichtswinkel, unter welchen das Bild eines Gegenstandes im Fernrohr, und der Gegenstand selbst erscheinen. Setzt man voraus, dass der Gegenstand ziemlich weit entfernt ist, so kann der letztere Gesichtswinkel gleich dem in Fig. 1. angedeuteten Winkel ß genommen werden, weil dann die Fernrohr-Länge L 0 gegen die Entfernung D vernachlässigt werden kann.

Der Gesichtswinkel für das Bild kann — a genommen werden, wenn man das Auge als unmittelbar hinter dem Okular befindlich voraussetzt. Da ferner genähert d = F und y — f ist, so ist die Vergrösserung :

Die Bestimmung der Vergrösserung könnte theoretisch geschehen durch Messen der Brennweiten F und f, es ist jedoch das folgende unmittelbare Verfahren vorzuziehen : Man schaut mit dem einen Auge durch das Fernrohr nach einer geteilten Latte, und mit dem andern Auge gleichzeitig nach derselben Latte, und bringt dabei die mit beiden Augen gesehenen Bilder zur Deckung. Die Vergrösserungszahl ist dann gleich der Anzahl der direkt gesehenen Lattenteile, welche von einem vergrössert gesehenen Teil überdeckt werden.

Wir fanden folgendes Verfahren am besten:

Man schaut mit dem rechten Auge in das Fernrohr, nach einer geteilten Latte, in der linken Hand hält man einen Zirkel in deutliche Sehweite. Nun bringt man die Zirkelspitzen mit dem Lattenbilde in scheinbare Deckung, und kann, fast so genau wie auf der Zeichnung, mit dem Zirkel in der Luft die Lattenteilung abgreifen und nachher auf einem Massstab messen. Ist L die Entfernung der Latte und T der betrachtete Lattenteil, ist entsprechend l die Entfernung des .Zirkels vom Auge und t die mit dem Zirkel gemessene Grösse des Lattenteil-Bildes, so ist die Vergrösserung:

(4)

t T t L V~ l : L ~ T l

Ein Nivellier-Instrument gab so:

L = 88” , T=0,1" , Z = 36

(5)

= 38,5

4,2 33

1) ----

36 0,1

Gesichtsfeld.

Da« Gesichtsfeld des Fernrohrs ist derjenige kegelförmige Raum, der mit dem Fernrohr auf einmal übersehen werden kann.

An der Stelle, wo das Bild im Fernrohr entsteht, ist ein Ring angebracht, der alle zu weit von der Axe des Okulars abstehenden Strahlen von diesem abhält. Dieser Ring, dessen Durchmesser = a sei, heisst Okularblendung oder Diaphragma (er trägt zugleich das Fadenkreuz).

Fig. 3.

Gesichtsfeld a.

—.....—Or—

f—

_F

Da jeder Punkt (Fig. 8.) mit seinem Bilde und dem optischen Mittelpunkt des Objektivs in einer Geraden liegt, so dient der Winkel a, ^ dessen Scheitel im optischen Mittelpunkt des Objektivs ist, und dessen Schenkel durch die Endpunkte eines

Durchmessers der Okularblendung gehen, als Mass des Gesichtsfeldes, und es ist:

(6)

F V

Der Durchmesser a der Okularblendung, oder der wirksame Teil der Okular-Linse darf nicht zu gross genommen werden, damit nicht eine zu stark gekrümmte Linse und ein verzerrtes Bild erhalten wird.

Man kann im Mittel etwa annehmen, dass diese Ötfnung a nur etwa gleich der Hälfte der Okularbrennweite f sei, also a = 0,5/'; dann wird der Ausdruck für die Grösse des Gesichtsfeldes nach (6), wenn man zugleich wieder die Yergrösserung nach (3) berücksichtigt, :

Helligkeit.

Um die Helligkeit eines leuchtenden Gegenstandes im allgemeinen zu definieren, betrachtet man die Lichtmenge L, welche er in das Auge schickt, und die Fläche N2 auf der Netzhaut des Auges, welche von der Lichtmenge L getroffen wird; dann versteht man unter Helligkeit das Verhältnis:

H — —

m

Betrachtet man denselben Gegenstand durch ein Fernrohr, so habe man entsprechend:

H! =

1!

N' 2

und nun versteht man unter Helligkeit des Fernrohrs das Verhältnis:

(8)

if _ J7 W2 Tï~ L N' 2

Um dieses Verhältnis näher zu bestimmen, muss man die Öffnungsweite der Pupille des Auges kennen, durch welches das Licht aufgenommen wird.

Fig. 4.

Helligkeit des Fernrohrbildes.

ht=

<0

k------------f'----------f—)J

ln Fig. 4. ist diese Pupillen-Öffnung = O angedeutet, und wir wollen annehmen, es sei O grösser als der Durchmesser o des aus dem Okular kommenden Lichtbündels, oder höchstens gleich o.

Die Lichtmenge L, welche ein Auge mit der Öffnung O bei natürlicher Beleuchtung aufnimmt, ist der Öffnungsfläche proportional, kann also gesetzt werden:

(«)

in runder Zahl :

Gesichtsfeld

30

•— in Graden.

(7)

Hiernach kann man etwa annehmen: Vergrösserung v = Gesichtsfeld

10

20

30

40

3°    1° 30'    1°    0°45'

Je stärker die Vergrösserung, um so kleiner wird das Gesichtsfeld.

Die unmittelbare Messung des Gesichtsfeldes eines Fernrohrs ist sehr einfach : Man merkt zwei einen Durchmesser des Gesichtsfeldes begrenzende Punkte, und bestimmt den Winkel der zwei nach ihnen gehenden Strahlen, mit einem Winkelmessinstrument, oder durch Messen des Abstandes beider Punkte und der Strahlenlängen.

L — l O²

dagegen die Lichtmenge IJ, welche durch das Fernrohr ins Auge kommt, ist nach Fig. 4. proportional o² und sei daher zunächst:

L' = Ï o²

Die Stärke X' ist hiebei grösser als X, denn alles Licht, welches auf die Ob

jektivfläche vom Durchmesser A gefallen ist, wird auf die geringe Dicke o konzentriert, folglich:

X' — X

Nun geben (9) (10) und (11) zusammen:

jy_A2

L~ 02

Der zweite Quotient von (8) ist leicht anzugeben, nämlich:

m__ i N'2 “ V'2

denn die Vergrösserung v ist das lineare Verhältnis des durch das Fernrohr erzeugten Netzhautbildes N' zu dem direkt erhaltenen Netzhautbilde N. Aus (8) (12) und (13) haben wir nun:

(H)

(12)

(13)

Helligkeit h =

A2

(14)

02 «2

Es wurde vorausgesetzt, dass 0 grösser als o oder gleich o sei. Setzt man nun 0 — o, so wird die Helligkeit am grössten, nämlich :

hmax

A2 _ F2 1

— #2 ifö    ^2

(15)

d. h. die grösste erreichbare Helligkeit ist die „natürliche Helligkeit“ = 1.

(Hiebei ist von den Lichtverlusten beim Durchgang durch die Linsen, welche bereits 20—30% ausmachen können, von Farbenzerstreuung u. s. w. abgesehen.)

Wir betrachten auch noch den bisher ausgeschlossenen Fall, dass 0 Meiner

als 0 sei.

In diesem Falle, der jedoch bei Messinstrumenten selten Vorkommen wird, kann nur ein Teil des aus dem Okular kommenden Lichtbündels vom Auge aufgenommen werden, und es bleibt ein Teil der Objektiv-Öffnung unbenützt. Im übrigen aber hat man ganz dieselben Verhältnisse, wie wenn ö = o ist, also h — 1.

Im ganzen wissen wir nun folgendes:

Man sieht in einem Fernrohr die irdischen Gegenstände höchstens ebenso hell wie in der freien Luft, im allgemeinen weniger hell. Die Helligkeit ist (abgesehen durch Lichtverluste bei der Brechung u. s. w.) ausgedrückt durch die Formel (14). ¹)

Der Durchmesser 0 der Pupille ist selbst veränderlich, bei starkem Lichte verengt sich die Pupille und erweitert sich bei schwachem Lichte, auch die Akkommodation ist mit Veränderung der Pupillen-Öffnung verbunden, wie am Schluss von § 38. S. 111 angegeben wurde.

Dennoch kann man in der Gleichung (14) einen Mittelwert von 0 einsetzen,

zumal die ganze vorstehende Betrachtung nur die Bedeutung einer allgemeinen Veranschaulichung der Helligkeits-Verhältnisse hat. Setzt man etwa 0 — 2mm, oder rund ö² = 5, so wird:

Helligkeit h ==

1 (A",m) 2 5 tja

Unsere besseren Feldmessinstrumente haben Objektiv-Offnungen ‘etwa A = 80 bis 40 mm, und Vergrösserungen etwa v — 20 bis 30. Dieses giebt:

30mm

mm

Objektiv-Öffnung A = 30mm Yergrösserung Helligkeit

v —    20

h = 0,45

30

0,20

407nwi

20

40’

30

0,36

0,80

Dieses kann zu der Bemerkung führen, dass es z. B. nicht nützlich ist, ein Objektiv von 30”*m Durchmesser mit 30facher Vergrösserung anzuwenden, weil die Vergrösserung auf Kosten der Helligkeit geht.

Übrigens kommt hier alles auf die besonderen Umstände an. So werden z. B. den starken Nivellierfernröhren hellblaue Blendgläser beigegeben, weil das Bild einer weissen von der Sonne beschienenen Nivellierlatte manchmal zu grell ist.

§ 42. Zusanimenwirkung zweier Linsen.

Wir betrachten in Fig. 1. zwei Linsen L und II, mit gemeinsamer Axe PP' P", im Abstande o.

Mg. 1.

Lichtstrahl PLL'P’ durch zwei Linsen.

-D-

L'

PL

--------P"

-y-i

k-

<x

>!<-

__Sc

Von einem in der Axe gelegenen Punkt P, der den Abstand D von der ersten Linse L bat, fällt ein Lichtstrahl PL auf die erste Linse, und wird durch sie nach dem Punkte P" der Axe geworfen; ehe er aber diesen Punkt P" erreicht, wird der Strahl durch die Linse 11 noch einmal gebrochen, und dadurch nach P' geworfen, wo er die Axe schneidet.

Da P und P" in Bezug auf die Linse L konjugiert sind, sowie P' und P' in Bezug auf die Linse L', so bestehen folgende zwei Gleichungen:

VS h-i

(1)

D a-\-x

dabei sind f und f die Brennweiten der beiden Linsen.

Um aus den Gleichungen (1) x zu eliminieren, lösen wir die erste Gleichung nach o -+- x und die zweite Gleichung nach — x auf :

1    _1_1 D — f

a-\-x~ f D ~ Df

a + x —

Die Addition dieser zwei Gleichungen giebt:

D-f r-y

Man kann diese Gleichung (2), welche die Beziehung zwischen D und y zunächst ausdrückt, auf folgende Gestalt bringen :

_$zzf

Pf

yf

Df

D-f

f'y

f'-y

(2)

y -t~ v f"

(3)

wobei u , v und f" folgende Bedeutungen haben :

af

af

v =    —--------

f+f-a

(4)

f"

ff

f+f-a

(5)

Diese B Gleichungen (3) (4) und (5), welche das Resultat unserer ganzen Betrachtung enthalten, haben wir zunächst hergeschrieben, und haben noch die Aufgabe, ihre Richtigkeit aus der Gleichung (2) nachzuweisen.

Zu diesem Zwecke ordnen wir sowohl die Gleichung (2) als auch die Gleichung (3) nach Potenzen von D und y, d. h. nach den Gliedern D , y und Dy.

Bringt man zuerst (2) auf gleiche Nenner, so wird:

a(D-f) (f y) — D f (f    y) - f'y {D - f)

Wenn man-dieses ausmultipliziert, und nach D , y und Dy ordnet, so erhält man:

(6)

Df (f-a) + yf(f~a)-Dy(f+f -a)+ff'a = 0

Den Coëfficienten von Dy wollen wir, weil er mehrfach beisammen bleibt, besonders bezeichnen:

und damit wird (6):

f+f-a = 8

(7)

n HM

±y

D y Ą- ~~ a = 0

(8)

Wenn man ebenso auch die Gleichung (3) nach D , y und Dy ordnet, so wird:

(9)

B(r-v) + y(f’-u) — Dy + (u + v)r—uv = 0 Indem .man die entsprechenden Coëfficienten von (8) und (9) einander gleich setzt, erhält man folgende 3 Gleichungen zur Bestimmung von u v und f" :

T (f-a)

f" ( u + v) — U V =

ff — a

(10)

f" —u =

Wenn man hier die beiden Gleichungen links multipliziert, so erhält man:

f"² — f" (u    v)-j-uv =

ff

S2

{ff -{f+f'-a) a)

dl)

Wenn man die Gleichung rechts von (10) hiemit vergleicht, und auch die Bedeutung von s nach (7) zuzieht, so erhält man :

ff

f" 2 —__

' ~ «2

ff

(12)

Dieses ist in der That die Gleichung (5), und aus der linkseitigen Gruppe von (10) ergeben sich auch die beiden Gleichungen (4), so dass das System (3) (4) (5), das wir zuerst hingeschrieben haben, nun bewiesen ist.

Der Wert f" nach (5) heisst die »äquivalente Brennweite« des Linsensystems mit den Brennweiten f und f und dem Abstand a.

Aus der Gleichung (3) folgt, dass zwei feste Punkte H und H' existieren (Fig. 2.), welche die Abstände u und v von den zwei Linsen haben. Diese Punkte H und H' heissen die Hauptpunkte und die ihnen entsprechenden Normalebenen zur Axe heissen die Hauptehenen des Linsensystems.

Fig. 2. *)

Konjugierte Punkte P und P'. Haupt- und Knotenpunkte H und 11'.

------tt-------

----D------

----d-----

P,

LJ

Pik

iS

----u—->

—v—

----D*---

------d--------->i

Die Gleichung (3), welche im wesentlichen dieselbe Form hat wie die einfache Konjugations-Gleichung für eine einzelne Linse, gilt zunächst nur für zwei Punkte P und P', welche in der gemeinsamen Axe beider Linsen liegen; wenn es sich auch um solche Punkte handelt, welche nicht in der Axe seihst liegen, z. B. P und P' Fig. 2., so kann man hierauf die frühere Betrachtung von Fig. 3. § 39. S. 113 übertragen, und wir finden dann, dass in Fig. 2. die Punkte P und P' dann konjugiert sind, wenn erstens die Gleichung (3) erfüllt ist, und wenn zweitens PH parallel H'P' ist.

Dieses war Veranlassung zur Zeichnung von Fig. 3., in welcher die Punkte H und H' von Fig. 2. zusammengerückt sind, so dass der tote Kaum t von Fig. 2. verschwindet.

Da nun in Fig. 2. PH und H' P' parallel waren, muss in Fig. 3. PHH' P' eine Gerade sein.

Fig. 3.

Fingierte Linse /" mit zusammengerückten Haupt- und Knotenpunkten 11 //,.

d'

h; \ir

Aus diesem Grunde heissen die Punkte H und 11' auch Knotenpunkte des Linsensystems.

Wenn man nach Fig. 2. die Abstände konjugierter Punkte P von P' von den Haupt- und Knoten-Punkten P und P' an zählt, indem man setzt:

d' — d -h v

I)' = J) + u

so bekommt man die sehr übersichtliche Gleichung:

1    1 _ i

.7/ ^ d' ~ f"

(13)

(14)

*) In dieser Figur ist angenommen, dass D -+- a 4- d grösser als D' -4- dl sei, oder dass (JD -t- a d) — (./_>' -t- d') = t positiv sei. Sehr oft ist dieses nicht der Fall, jedoch Fig. 2. so zeichnet, dass H und H rechts und links übereinander übergreilen, so wird die Figur weniger übersichtlich.

wenn man

Besonderer Fall D = oo .

Wenn D — oo gesetzt wird, so gehen die Gleichungen (3) bis (5) in folgende über, in welchen der besondere Wert von y mit y₀ bezeichnet ist :

OO

2/o 4- ^ f"

2/o + v = f"

(15)

af

f" =

fr

f+f'-a

y 0 = -,

f (f—a)

f+f'-a

Dieses führt noch zur Definition der Brennpunkte (welche in Fig. 2. und in Fig. 3. nicht eingetragen sind).

Die Brennpunkte erhält man, wenn man von den Hauptpunkten H und 11' aus die Brennweite f" auf die Axe abträgt.

Den rechtseitigen Brennpunkt in Fig. 2. erhält man auch, wenn man den Abstand y₀ nach (17) von der Linse L' nach rechts abträgt.

Anmerkung.

Die Sätze von den Haupt- und Knoten-Punkten eines Systems von zwei Linsen lassen sich auf drei und beliebig viele Linsen ausdehnen.

Fig. 4.

Zusammenwirkung von drei Linsen.

K—D,—

d2'^-----D₃-~ -

i__

— a---

Î2

----aJ-----

In Fig. 4. seien drei Linsen centrisch auf einer Axe aufgereiht, und ein Lichtstrahl gehe von einem Punkte A der Axe aus, durch alle drei Linsen, und komme wieder in B in die Axe; dann hat man mit den eingeschriebenen Bezeichnungen:

¹

⁺ fi

Di

1 _ 1_ ^2 h

(18)

(19)

—}.---1_

I) i -f- U '

Dabei sind u , v und f Funktionen von fx fa und a. Die dritte Linse giebt:

(20)

D₃ (Z₃ fo

Nach demselben Gesetz, welches von (18) auf (19) geführt hat, muss es möglich sein, aus (19) und (20) abermals eine Gleichung herzuleiten von folgender Form:

-Z^i —|— u —f- u!

d₃ -+- v' f"

wo u' v' und f" Funktionen der Brennweiten f\ f<> f₃ und der Abstände a af der einzelnen Linsen sind.

§ 43. Das Ilamsdensche Fernrohr.

Das in § 41. betrachtete einfache (Keplersehe) Fernrohr giebt wegen der sphärischen und chromatischen Abweichungen nur bei schwacher Vergrösserung und bei kleinem Gesichtsfeld gute Bilder.

Beim Objektiv wird den sphärischen und chromatischen Abweichungen durch die aus Kronglas und Flintglas zusammengesetzte achromatische Linse mit passenden Krümmungen entgegengewirkt, und ein solches Objektiv gilt für unsere Zwecke als eine Linse.

Beim Okular wird die Brechung auf zwei getrennt stehende Linsen verteilt, deren Wirkung nach § 42. zu beurteilen ist.

Die einfachste Anordnung dieser Art zeigt das Ramsdensche Okular, welches wir in Fig. 1. veranschaulichen:

Fig. 1.

Fernrohr mit ïtamsdenschem Okular.

L’

JE

A~T~

IC-----Q - f.....■*---

■fixf

Das Okular besteht aus zwei Plankonvexlinsen, nämlich dem eigentlichen Okular-Glas L und dem sogenannten Kollektiv - Glas L' ; beide haben unveränderlichen Abstand a und befinden sich fest in der Okular-Röhre, gehen also beide heim Ausziehen oder Einziehen der Okular-Röhre mit einander vom Objektiv oder zum Objektiv.

Das Fadenkreuz K bezeichnet die Stelle, wo das vom Objektiv 0 erzeugte

Bild entsteht.

Die ganze Wirkungsweise wird auf die Wirkungsweise des einfachen Fernrohrs zurückgeführt, wenn man für die zwei Linsen L und U eine äquivalente Okular-Linse L" nach Brennweite und Lage bestimmen kann.

Die Brennweiten und die Lagen-Verhältnisse der beiden Linsen L und L' sind in Fig. 1. angedeutet. F ist der gemeinsame Brennpunkt rechts, und wenn man alle Masse auf die Brennweite f des eigentlichen Okular-Glases bezieht, so hat man:

Linse L mit der Brennweite

Abstand LI!

Differenz f — a — f 5

Die äquivalente Brennweite ist nach (5) § 42. S. 125:

f" =

ff'

f+f'—a 10

if

(1)

Auch die Gleichung (17) § 42. S. 127 lässt sich aux unseren Fall anwenden (man beachte, dass in Fig. 1. S. 124 und in der neuen Fig. 1. S. 128 die Stellungen f und f links und rechts vertauscht sind). Man erhält auf diese Weise:

(2)

f'if-a) .91

f -\-f — a 50'    10'

Das Fadenkreuz K liegt hiernach sehr nahe an der Linse L'.

Nun kann man auch die Formeln für Vergrösserung, Gesichtsfeld und Helligkeit eines einfachen Fernrohrs von (3) , (6) , (14) § 41. S. 120—123 auf unseren Ramsden-schen Fall übertragen, indem man überall f" an Stelle von f setzt.

Oder: man denke sich zuerst ein einfaches Fernrohr mit der Objektiv-Brennweite F und der Okular-Brennweite f, und dann ein Ramsdensches Fernrohr mit derselben Objektiv-Brennweite F und derselben Okular-Brennweite f, aber mit Einschaltung der Linse L' mit der Brennweite f; dann hat man folgende Vergleichung:

Gesichtsfeld Helligkeit

1 AA

Ä = <³>

Einfaches Fernrohr

Vergrösserung

Ramsdensches Fernrohr v' =

-s|*9

30

CD' g

,.-=³

81

h'=

mh (4)

Durch die Einschaltung der Linse I! wurde die Vergrösserung ein wenig gesteigert (bzw. die Anwendung des Okulars mit der Brennweite f möglich gemacht).

Tö“

§ 44. Das Huyghenssche Fernrohr.

Das Huyghenssche Fernrohr-Okular, welches durch Fig. 1. angedeutet ist, hat ebenfalls wie das Ramsdensche zwei getrennte Linsen A und JJ in festem Abstand, mit gemeinsamem rechtsseitigem Brennpunkt F.

Das Bild und das Fadenkreuz befinden sich aber zwischen den beiden Linsen, bei K.

Fig. l.

Fernrohr mit Ifuyahensschem Okular.

Krön,.

Flint

kcr

MC

fr-

Die durch das achromatische Objektiv L eintretenden Strahlen werden vor ihrer Vereinigung zu einem Bilde zum zweiten Mal gebrochen durch die Kollektiv-Linse L', und erzeugen in einer Ebene zwischen JJ und A, woselbst das Fadenkreuz K ausgespannt ist, ein kleines verkehrtes Bild, welches sodann durch die als Lupe wirkende Okularlinse A vergrössert wird.

Um die Wirkungsweise dieses Fernrohres auf den Fall eines einfachen Fernrohrs § 41. zurückzuführen, betrachten wir nun das Kollektiv IJ mit dem Objektiv L zusammen.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Für die äquivalente Brennweite, die wir diesesmal mit F" bezeichnen, und für den Abstand y des Fadenkreuzes vom Kollektiv, haben wir nach (5) und (17) § 42. S. 125 und S. 127 die Formeln:

Tf f(F-a) y ~ F-hf —a

Ff

F-hf — a

Dabei ist F die Brennweite des Objektivs, und es wird angenommen, dass die Zielweite unendlich, also a konstant ist.

Man kann den Abstand a (zwischen dem Objektiv L und dem Kollektiv L') aus den zwei'Gleichungen (1) eliminieren und bekommt damit:

F" =

(1)

f y - F-hf — a

F"

(2)

Nun müssen die Brennweiten - Verhältnisse bekannt sein; dieselben sind in Fig. 1. eingeschrieben, nämlich:

(3)

r = 3 f₀

wo f{) die Brennweite der eigentlichen Okular-Linse A ist.

Das in K befindliche Bild soll durch die Lupe A betrachtet werden; es muss daher K nahezu im Brennpunkt der Linse A sein, oder es muss der Abstand KA nahezu gleich der Brennweite f₀ sein, woraus folgt:

y = fo

(4)

y = f — 2 f₀ oder

Setzt man (3) und (4) in (2) ein, so wird:

F" =

\f

"3

(5)

Diese zwei Gleichungen (4) und (5) enthalten alles, was zum Verständnis der Wirkung' des Huyghensschen Fernrohrs und zur Zurückführung auf das einfache Fernrohr § 4L notwendig ist.

Das Fadenkreuz erhält nach (4) seine Stelle in der Mitte zwischen der Kollektiv-Linse und der eigentlichen Okular-Linse.

Zur Vergleichung mit dem einfachen Fernrohr denken wir uns nun wieder ein einfaches Fernrohr mit der Objektiv-Brennweite F und mit der Okular-Brennweite f₀, und damit erhalten wir folgendes:

Einfaches Fernrohr

Vergrösserung

Gesichtsfeld

30

fo

Helligkeit 1 A2 h==Tv*

(6)

Huyghenssch.es Fernrohr v'

F"

ar_ 3

Ta

h' =

(7)

Durch die Einschaltung der Kollektiv-Linse mit der Brennweite f ist also die Vergrösserung schwächer geworden, dagegen das Gesichtsfeld und die Helligkeit gewachsen.

Die Vergleichung mit den entsprechenden Werten des Bamsdenschen Okulars (3) und (4) § 43. S. 129 zeigt, dass beim Ramsdcnschen Okular die Vergrösserung, beim Huyghensschen Okular das Gesichtsfeld und die Helligkeit bevorzugt sind.

Die Ziel-Axe des Huyghensschen Fernrohrs ist nach der Anschauung, die wir im Vorstehenden gewonnen haben, bestimmt durch das wirkliche Fadenkreuz K und durch den optischen Mittelpunkt einer fingierten Linse L”. Statt des letzteren

Punktes können wir auch nach der neueren Theorie (§ 42.) einen Haupt- und Knotenpunkt nehmen, welcher der Verbindung der beiden Linsen L und L" entspricht. Der tote Abstand, welcher in Fig. 2. § 42. S. 126 mit t bezeichnet ist, kommt dann nicht weiter in Betracht, indem man ihn in der Richtung nach dem Zielpunkt hin hinausgerückt, und die Zielweiten entsprechend grösser denkt.

Wenn verschieden grosse Ziel weiten gebraucht werden, so hat das in unserer Theorie zur Folge, dass auch der Abstand a zwischen L und L' und damit auch die Brennweite F" der fingierten Objektiv-Linse L" sich ändert. Indessen hei dem beschränkten Gebrauch, den wir hier von dieser Brennweite zur Aufstellung der Formeln (7) gemacht haben, ist das ohne Belang, weil ja die Vergleichsformeln (6) auch zunächst für unendliche Zielweiten und nur näherungsweise für andere Fälle gelten.

§ 45. Allgemeine Prüfung der Fernrohre.

Die in den vorstehenden § 43. und § 44. behandelte Theorie der zwei gebräuchlichsten Fernrohr-Okulare hat sich nur mit der geometrischen Konstruktion der Bilder beschäftigt; oh diese Bilder auch optisch gut sind, ist durch den Erfolg zu erproben.

Ein Umstand lässt sich jedoch unmittelbar erkennen:

Beim Huyghensschen Fernrohr gehen die vom Objektiv herkommenden Strahlen einerseits und die von dem Fadenkreuz herkommenden Strahlen andererseits nicht durch dieselben Linsen ins Auge. Die Krümmungs- und Brennweiten-Verhältnisse der Kollektiv - Linse und der Okular-Linse sind so gewählt, dass ein möglichst gutes Bild des betrachteten Gegenstands erzeugt wird, während für die vom Fadenkreuz kommenden Strahlen die Okular-Linse besser in umgekehrter Stellung wäre (convexe Seite aussen). So lange nur ein Fadenkreuzpunkt in der Mitte des Gesichtsfeldes gebraucht wird, ist dieser Übelstand von geringer Bedeutung; wenn aber mehrere Fäden deutlich gesehen werden sollen, wie z. B. beim Distanzmesser, so werden beim Huyghensschen Okular diejenigen Fäden, welche nicht Durchmesser des Gesichtsfeldes sind, undeutlich und krumm erscheinen.

Wenn man nach dieser theoretischen Rücksicht z. B. für Distanzmesser kein Huyghenssches Okular anwenden soll, so thut doch der Landmesser, welcher keine besonderen optischen Kenntnisse hat, am besten, diese Wahl dem Mechaniker zu überlassen und sein Urteil über ein Fernrohr lediglich nach dem Erfolg abzugeben.

Wir haben z. B. ältere Fraunhofersche Fernröhre mit Huyghensschen Okularen als Distanzmesser vorzüglich gefunden.

Das beste Prüfungsmittel für die Güte der Fernrohrhilder hat der Landmesser in seinen Nivellierlatten.

("5Ö**"    ~ ^ /' ^rössere (°der geringere) Ansprüche

Ein Nivellier-Fernrohr soll jedenfalls auf 50 Meter Entfernung die Zehntel einer Centimeter-Teilung scharf zeigen

sind nach dem Zweck, der erreicht werden soll, zu bemessen.

§ 46. Das Mikroskop.

Ähnlich wie das Fernrohr zur Gewinnung vergrösserter Bilder entfernter Gegenstände dient, benützen wir das Mikroskop zur Vergrösserung naheliegender Gegenstände, namentlich zum Ablesen feiner Teilungen.

Nach Andeutung von Fig. 1. und Fig. 2. besteht ein Mikroskop aus einem Objektiv 0 und einem Okular, das meist aus zwei Linsen A und B zusammengesetzt ist, ähnlich wie die Fernrohr-Okulare. Man hat auch die zwei wesentlich verschiedenen Anordnungen nach Ramsden und Huyghens bzw. Campani, welche wir schon in § 43. und § 44. kennen gelernt haben.

Fig. 2.

Mikróskop mit Camp attischem (Huyghens) Okular.

Fig. 1.

Mikroskop mit Ramsdenschem Okular.

-t+M-

-fpÿ-HWI-

III I 1.1 I 11 +

Auch der hei K ausgespannte Doppelfaden hat dieselbe Bedeutung wie das Fadenkreuz eines Fernrohrs.

Ein Punkt P ist dann angezielt, wenn sein Bild p in der Fadenmitte erscheint.

In Fig. 1. ist ausser den Linsen-Yerhältnissen noch eine Schraube S angedeutet, von welcher wir später (in § 49.) reden werden.

Die Vergrösserung eines Mikroskops kann man ähnlich bestimmen wie bei (3) , (4) , (5) § 41. S. 120 und 121 für ein Fernrohr angegeben ist, zumal wenn man ohnehin eine Teilung von bekannter wahrer Grösse im Gesichtsfeld des Mikroskops hat.

Bei Schätzung von Mikroskop-Yergrösserungen kann man oft auch andere bekannte Eindrücke zu Hilfe nehmen.

Beispielsweise sagen wir: die Teilung eines italienischen (Clebs) Instrumentes mit nur 4rm Durchmesser, mit Strich-Abstand von 0,1 Centésimal - Grad, macht im Mikroskop ungefähr denselben Eindruck wie die Centimeter-Teilung einer Nivellier-Latte in 50 Meter Zielweite bei 25facher Vergrösserung des Nivellier-Fernrolirs.

Die lineare Grösse der Clebsteilung ist:

¹

Die Fernrohrbilder von Fixsternen sind heller als die unmittelbar gesehenen Sterne, weil diese Sterne leuchtende Tunkte sind, so dass keine Vergrösserung v — N' : N stattfindet.

Weiteres hierüber s. Helmholtz „Physiologische Optik“, Leipzig 1867, S. 174.

²⁰'“25öö=⁰’⁰³¹⁴

Die Nivellierlatten-Teilung, auf die Vergrösserung 1 und die Sehweite 0,2m reduziert, ist:

= l,0m,n

T = 25X10

0,2m

50"*

Stimmung eines Mikroskopes zur Ablesung einer Teilung (Fig. 3.).

Die Mikroskope, welche wir später näher kennen lernen werden, haben im Gesichtsfeld, K Fig. 1. und Fig. 2., gewisse Faden-Abstände s (Fig. 3.), welche mit der Einheit t der zu betrachtenden Teilung in Beziehung stehen sollen.

Der Faden-Abstand s ist nämlich bei Schrauben-Mikroskopen gleich der Verschiebung, welche der Faden durch eine Schrauhen-Umdrehung erfährt. Bei Schätz-Mikroskopen ist jener Wert s geradezu durch zwei feste Fäden, oder zwei Striche auf einem Glasplättchen dargestellt.

Fig. 3.

Mikroskop-Stimmung.

< S >

In Fig. 3. ist ein einfaches Mikroskop angedeutet, d. h. ein Mikroskop, welches nur ein Objektiv und ein Okular hat, welch letzteres hei Fig. 3. nicht in Betracht kommt.

•Ö

Ausser dem Teilungswert t und dem Faden-Abstand s (Schrauhenwert) sind die Abstände d und D von dem Objektiv angegeben. Die Brennweite des Objektivs sei f, dann bestehen die zwei Gleichungen:

(1)

Hienach wäre die geschätzte Vergrösserung des Clebs-Mikroskopes :

1,0

0,0314

= 32

1 1 1

D ⁺ ¥ ⁼ 7

Wenn man hier entweder d oder D eliminiert, so

erhält man :

sf

tf

(2)

±_

= f

Während diese Gleichungen für ein richtig gestimmtes Mikroskop gelten sollen, hei welchem s einen gewünschten Wert, z. B. genau eine Schrauhen-Umdrehung, hat, betrachten wir nun einen Fall mit anderen Werten D' , d! und s\ wobei s’ zu gross oder zu klein sei im Vergleich mit dem gewünschten genauen Wert s. Dann hat man statt (2) folgende andere Gleichungen:

s'f

tf

(3)

= f+~r

Aus (2) und (3) folgen die Differenzen:

D~iy=fi[)-T)

Nach (1) kann man hier einsetzen:

Dd

f = D^Td

Auch kann man in der zweiten Formel (4) näherungsweise im Nenner s' = s setzen, und damit wird (4):

•s'

d — d'= —

und

s'

(4)

D — D' =

s’

1--—

d — d' =

dt

s'

D -h d

(5)

(D + d) — (B' + d') = (.D — d) ^ 1 —

(6)

Diese Gleichungen (5) und (6) kann man unmittelbar benützen, wenn das Mikroskop entweder überhaupt nur ein einfaches Okular hat, oder wenn das Okular wie

bei Fig. 1. so konstruiert ist, dass keine Kollektiv-Linse zwischen das Objektiv und den Faden K zu stehen kommt, wie in Fig. 2. Für diesen Fall müsste man eine besondere Untersuchung anstellen, auf welche wir uns hier nicht einlassen. (Eine entsprechende Theorie werden wir später beim Distanzmesser zu behandeln haben.)

Um die Bedeutung der Formeln (5) und (6) durch ein Zahlenbeispiel zu veranschaulichen, ^wollen wir folgendes annehmen :

Eine Mikroskop - Schraube gebe für 5' Teilung den Umdrehungswert 5' 9",

dann ist:

CO ] CO,

5' 9"

309"

s'

~ 5' 0" “ 300"

= 1,030 , 1 — - = — 0,030

Die Abstände D und d wurden gemessen:

D _ 85mm

D -t- d— 133

D — d = 37

d = 48mm

dann berechnet man nach (5) und (6) :

I) — I)' = — 1,63

(1) + d)~ (TT + d') = — 1,11—

Man muss hiernach das Objektiv gegen das Fadenkreuz um l,6mm hineinschieben, und dann das ganze Mikroskop um 1,1— gegen die Teilung herunterschieben.

ä — d' = -+- 0,52

(7)

(8)

Kapitel VI.

Der Theodolit. ¹)

§ 47. Beschreibung des Theodolits.

Der Theodolit ist ein Instrument, das zum Messen von Horizontal-Winkeln oder auch zum Messen von Horizontal-Winkeln und von Höhen-Winkeln dient.

Wir behandeln in diesem Kapitel hauptsächlich die Horizontal-Winkel-Messung mit dem Theodolit.

Unsere Instrumenten-Beschreibung schliesst sich an die vier Abbildungen an, welche auf S. 141—144 von ausgewählten charakteristischen Formen unserer Sammlungen gegeben sind, wozu noch einzelne Teile besonders herausgezeichnet wurden.

der Theodolit des Theodolits dem Theodolite den Theodolit

1) Das Fussgesiell.

Der Unterteil des Theodolits besteht, wie bei den meisten Messungs-Instrumenten, aus einem Dreifuss, welcher in Fig. 1. durch das Mittelstück F G mit den drei Fortsätzen A angedeutet ist.

Die Fortsätze A haben Schrauben-Muttern, in welchen die drei Stellschrauben B laufen, durch deren Umdrehung man den Dreifuss nach allen Bichtungen ein wenig neigen oder heben kann.

Durch diese Stellschrauben B, in Verbindung mit einer Libelle (von welcher später die Bede sein wird) wird das „Horizontalstellen“ des Instrumentes bewirkt, eine Operation, welche mit wenigen Handgriffen erlernt wird und keiner Beschreibung bedarf.

In Fig. 1. ist auch die Verbindung des Dreifusses F G mit einem hölzernen Stativ angegeben, indem das Stativ im Vertikalschnitt gezeichnet ist, und dabei die Stativplatte C mit den Fuss-Schrauben

Fig. 1.

Dreifuss und Stativ.

HUI

jf

iii

JŁ

iy

:•

H und der Durchbohrung I) I)' J zeigt. Die Öffnung DD' ist mit jlLw

weitem Spielraum gemacht, damit für den Dreifuss mit dem Zapfen E und mit dem unten angehängten Lote S auch nach der Aufstellung des Statives noch eine massige Verschiebung auf der Stativplatte verfügbar bleibt.

Nach unten ist die Öffnung DD' durch die verschiebbare Platte K geschlossen, und die Mutter M, mit der darüber gespannten Spiralfeder, hält den Dreifuss an die riatte massig gepresst, so dass noch Umdrehen der Schrauben B möglich ist.

Dieses eine Beispiel einer Stativ- und Dreifuss-Konstruktion mag hier genügen.

2) Der Limbus D*)

ist eine horizontale Scheibe, bei kleinen Instrumenten massiv, bei grösseren Instrumenten meist zur Verminderung des Gewichts mehrfach durchbrochen. Am Bande der Limbus-Scheibe ist auf einem eingelegten Silberstreifen die Teilung fein eingerissen.

Die Teilung giebt unmittelbar nur etwa Sechstels-Grade (10 Minuten), so dass 2160 Teilstriche am Bande vorhanden sind. Die Hilfsmittel, welche man hat, um an einer solchen Teilung Ablesungen von 10" und noch feiner zu machen, werden wir in § 48. bis § 50. besonders behandeln

Der Limbus-Kreis kann mit dem Untergestell des Theodolits fest verbunden sein; es ist aber aus zahlreichen Gründen besser, den Limbus gegen das Untergestell drehbar zu machen.

*) Die Literierung der Theodolit-Teile bezieht sich auf Fig. I. II. und III. S. 141—143 ziemlich gleichförmig, Avährend Fig. IV. S. 144 andere Literierung hat.

Da man bei solcher Drehbarkeit mit dem Theodolit nach dem sogenannten Répétitions-Verfahren messen kann, so nennt man einen Theodolit mit drehbarem Limbus häufig auch einen „Répétitions - Theodolit“, und einen Theodolit mit nicht drehbarem Limbus einen „Einfachen Theodolit“.

Da jedoch jenes Répétitions-Verfahren nicht mehr die Bedeutung hat, welche man ihm früher beilegte, ist auch jene Benennung zurückgetreten, zumal fast alle Theodolite jetzt drehbaren Limbus haben.

3) Die Alhidade E

ist der Zeiger, welcher zur Ablesung am Limbus gebraucht wird. Die Alhidade wäre daher in der einfachsten Gestalt ein um den Limbus-Mittelpunkt sich drehendes Lineal.

Bei unseren Theodoliten besteht die Alhidade aus einer mit dem Limbus con-centrischen Kreisscheibe, welche an den beiden Enden eines Durchmessers die Nonien oder Mikroskope trägt (welche wir in § 48. bis § 50. näher betrachten werden).

Man kann hiernach den Limbus und die Alhidade mit dem Zifferblatt und dem Zeiger einer Uhr vergleichen : der Limbus ist das Zifferblatt, die Alhidade der Zeiger.

Indessen hat die Alhidade des Theodolits doch auch noch einen anderen Zweck als den des blossen Zeigers ; die Alhidade trägt nämlich auch die Zielvorrichtung, d. h. das Fernrohr, zwar nicht unmittelbar, aber durch Vermittlung zweier Träger.

4) Die vertikale Axe

ist in Fig. 2. im Vertikalschnitt gezeichnet. Die Axenform ist konisch, wenigstens oben und unten, während die Mitte so ausgearbeitet ist, dass keine Berührung mit dem Lager stattfindet.

Der von der Alhidade nach abwärts gehende konische Zapfen A läuft in einem entsprechenden, mit dem Limbus verbundenen Lager.

Nun soll aber bei den meisten Theodoliten der Limbus selber gegen das Untergestell drehbar sein (Repetitions-Theodolit), und dann muss das Limbus-Lager L selber wieder als Axe gegen das Fussgestell F wirken. Die Limbus-Axe L ist daher durchbohrt, wirkt innen als Lager und aussen als Axe.

Das Material einer Axe soll immer härter als das des Lagers sein, damit die ganze Abnützung auf das Lager geworfen, und dadurch der Querschnitt der Axe kreisförmig erhalten bleibt. Man nimmt deswegen bei festem Limbus die Alhidaden-Axe A aus Stahl, und das Lager aus Rotguss oder Messing, dagegen bei drehbarem Limbus die Alhidaden-Axe A aus Stahl, die Limbus-Axe L, welche zugleich Lager der vorigen ist, aus Rotguss, und das Lager der Limbus-Axe F, wie überhaupt das ganze Fussgestell aus Gelbguss. Die vertikale Axe und ihr Lager ist nächst der Limbus - Teilung der empfindlichste Teil des Theodolits.

Fig. 2.

Vertikale Axe. (Massstab etwa = 1:2.)

Alhidade

Limbus

IM

WmM

Mliii

5) Feder-Unterstützung der vertikalen Axe.

Bei kleineren Instrumenten kann man den konischen vertikalen Zapfen schlechthin mit seinem natürlichen Gewicht in das Lager abwärts drücken lassen.

Bei grösseren Instrumenten lässt man den Zapfen nicht mit seinem ganzen Gewicht in das Lager drücken, damit die Reibung''?, wischen dem Zapfen und dem Lager, bei bedeutendem Gewicht des ersteren, (welches durch das Gewicht der Fernrohrträger und des Fernrohrs selbst noch vermehrt wird), nicht zu stark wird. Man lässt dann das untere Zapfen-Ende (a in Fig. 2. unten hervorragend) sich auf eine Feder stützen, deren Spannung durch Schrauben reguliert werden kann.

Die Anordnung dieser Federung (welche in Fig. 2. nicht angedeutet ist) ist sehr mannigfaltig, man hat z. B. dreiarmige ebene Federn, Spiralfedern, kugelabschnitt-förmige Federn u. s. w. Wenn ein doppeltes Axensystem vorhanden ist, so muss ihm auch eine doppelte Federung entsprechen, d. h. es müssen dann in Fig. 2. die unteren Enden o und 2 beide unabhängig von einander unterstützt werden.

Die Anordnung der Federung ist auch bedingt durch die Frage, oh das Instrument an das Stativ angeschraubt werden soll, wie z. B. bei Fig. 1., oder nicht.

Die Federung der Vertikal-Axe ist oft von aussen kaum zu erkennen.

Bei dem Enrnber (/-Instrument Fig. IV. S. 144, wo die konische Axe B aufwärts gerichtet ist, ist in der Mitte über B eine Handschraube angebracht (in der Fig. IV. S. 144 nicht deutlich zu sehen), durch deren Drehung man die Federung anziehen oder nachlassen, und damit den Gang der Alhidade leichter oder härter machen kann.

6) Die Brems-Vorrichtung und die Mikrometer-Bewegung

dienen zusammen zum groben und zum feinen Einstellon des Fernrohrs und der Alhidade (H Fig. L).

Wenn der Limbus selbst drehbar ist, so wird eine zweite Brems- und Mikrometer-Anordnung erforderlich (H' Fig. L), um auch den Limbus beliebig scharf drehen und stellen zu können.

Dieses ist bei den meisten Nonien-Instrumenten der Fall (Fig. L, II. und III.), dagegen bei Mikroskop-Instrumenten findet man meist für die Limbus-Drehung nur eine Bremsung (drei Speichen, bei Fig. IV. ohne Buchstaben), aber keine Mikrometer-Einstellung, so dass man nur von freier Hand eine gewisse Ablesung auf einen Zielpunkt bringen kann. (Es wäre zu wünschen, dass auch Instrumente von der Art wie Fig. IV. feine Limbus-Einstellung hätten.)

Die Hauptsache hei allen Mikrometer-Bewegungen ist, dass kein „toter Gang“ entsteht, d. h., dass nach Anziehen der Bremsschraube, und ohne Angriff der Mikrometerschraube, keine Drehung der Alhidade, also auch keine Verstellung des Fernrohrs, oder des Fadens im Gesichtsfeld möglich ist.

7) Die horizontale Axe und das Lager der horizontalen Axe.

Die horizontale Axe, um welche sich das Fernrohr beim Auf- und Niederkippen dreht, liegt in zweien V-förmigen Lagern (vgl. Fig. 3. und Fig. 4. S. 138). Die beiden Enden der stählernen Horizontal-Axe sind cylindrisch abgedreht, und berühren die Y-förmigen Lager nur in je zwei Punkten.

Die Axen-Lager sind durch die Lager-Stützen (in Fig. 3. durch K angedeutet), mit der Alhidade verbunden.

Die beiden Axen-Lager müssen offenbar gleich hoch sein, und da der Mechaniker dieses von vornherein nicht genügend scharf erzielen kann, wird das eine der beiden Lager mit einer Vorrichtung zur Regulierung der Höhenlage versehen. Diese Vorrichtung besteht gewöhnlich aus Zug- und Druck-Schrauben, wie in Fig. 3. angedeutet ist.

Fig. 3.

Fig. 4.

Lagerung und Höhen-Kegulierung der horizontalen Axe.

er;..:

cz

•gui

Fig. 4. zeigt eine andere Art der Höhen-Regulierung, welche in der Zeitschr. f. Verm. 1876, S. 38—40 beschrieben wurde (von Hahn in Kassel).

Dabei ist A eine Schraube mit linkem Gewinde, B eine Schraube mit rechtem Gewinde. Beide Schrauben haben ihre Muttern in dem Stücke C, welches durch einen Stift gedreht werden kann. Thut man dieses, so werden, vermöge Federung des Mes-sings, die beiden Lagerteile sich erweitern oder verengen, und damit das Lager senken oder heben.

8) Da* Fernrohr.

Nachdem wir das Fernrohr im allgemeinen bereits ausführlich in § 41. bis § 45. beschrieben haben, ist es jetzt nur noch nötig, einige Einzelheiten zu behandeln.

Dazu gehört zuerst die Verschiebung des Fadenkreuzes, welche durch Fig. 5. S. 139. angedeutet ist.

Damit die Ziel-Axe (Kollimations-Axe) des Fernrohrs genau in eine bestimmte Lage (nämlich rechtwinklig zur horizontalen Axe) gebracht werden kann, muss das Fadenkreuz im Innern der Röhre quer zur Längsrichtung verschiebbar sein.

Diese Verschiebung des Fadenkreuzes im Innern der Okular-Röhre ist durch Fig. 5. veranschaulicht, welche wir schon in § 41. S. 119 bei der Erklärung der Ziel-Axe betrachtet haben.

Das Fadenkreuz befindet sich bei F auf dem konisch gestalteten Diaphragma-

Ringe BB.

Will man das Fadenkreuz nach links rücken, so hat man offenbar die linke Schraube zu lösen, und die rechte Schraube entsprechend ’nachzudrehen u. s. w.

In Fig. 5. haben wir I>}-we7c-Schrauben ; manchmal kommt auch die Einrichtung von Zug-Schrauben vor, welche ihre Muttern in dem Ringe B haben. Solche Einzelheiten hat man in jedem Falle zuvor zu betrachten, ehe man die Schrauben in Angriff nimmt.

Fig. 5.

Verschiebung des Fadenkreuzes.

ff

.8.

-4 -----

ff

HSSUHR:

In Fig. 5. ist auch eine Verschiebung des Fadenkreuzes in Zäwgrsschlitzen angedeutet, welche der Regulierung des Abstandes y in der Theorie von (4) §. 40. S. 116 entspricht.

Statt dieser Verschiebung des Fadenkreuzes selbst wird sonst auch eine Verschiebung der Okular-Linse angewendet, welche offenbar denselben Zweck erreicht. Es giebt aber Fälle, in welchen es nicht gleichgültig ist, oh das Fadenkreuz oder die Okular-Linse verschoben wird. (Wir werden später heim Distanzmesser darauf zurückkommen.)

Die Bewegungen des Fernrohrs, welche teils während des Messens selbst, teils zu Fehler-Untersuchungen gemacht werden, führen bestimmte Namen:

1) Kippen heisst eine Auf- und Nieder-Bewegung des Fernrohrs mit Drehung um die horizontale Axe.

Das Fernrohr soll für gewöhnlichen Okular-Auszug im Gleichgewicht sein, so dass man Horizontal-Winkel auch ohne Benützung der Vertikal-Mikrometer-Bewegung messen kann.

2)    Durchschlagen heisst eine vollständige Kippung des Fernrohrs um 180°, so dass das Objektiv und das Okular vertauscht werden.

Zum unmittelbaren Durchschlagen ist erforderlich, dass die Fernrohr-Träger hoch sind und das Fernrohr nicht zu lang ist. Bei Fig. I. (S. 141) kann man mit dem Okular unten zwischen den Trägern durchkommen, bei Fig. IL (S. 142) mit dem Objektiv. Bei den zwei grösseren Instrumenten Fig. III. (S. 143) und Fig. IV. (S. 144) kann man nicht unmittelbar durchschlagen, sondern nur mittelbar, dadurch, dass man das Fernrohr zuerst aus den Lagern hebt, und mit vertauschtem Objektiv und Okular wieder einlegt.

Unmittelbares Durchschlagen des Fernrohrs ist dringend zu wünschen. Wenn das Durchschlagen mit dem Okular-Ende geschieht, so muss so viel Raum sein, dass auch der Okular-Auszug für Zielweiten bis 100m durchgeht.

3)    Umlegen heisst Aushehen des Fernrohrs aus den Lagern und mit vertauschten Zapfen (links und rechts) wieder einlegen. Das Umlegen wird manchmal durch unsymmetrische Teile, am Höhenkreis u. s. w., erschwert, oder auch ganz unmöglich gemacht.

9) Libellen.

Man kann mit einer Libelle zum Horizontalstellen des Instruments auskommen. die meisten Theodolite haben aber zwei und manchmal drei Libellen.

Wir unterscheiden zwei wesentlich verschiedene Arten der Libellen am Theodolit :

I.    Horizontal-Axen-Libelle (Reiter-Libelle),

II.    Alhidaden-Libelle.

Eine etwa auf dem Fernrohr selbst befestigte Libelle kann das Instrument zum Nivellieren geeignet machen, für den Theodolit als Winkelmesser hat sie wenig Wert, und bleibe hier ausser Betracht. Selbst zum Messen von Höhen-Winkeln ist eine solche Fernrohr-Libelle kein gutes Mittel.

Wir beschränken daher unsere Betrachtung auf die oben unter I. und TI. angegebenen Anordnungen.

I. Die Reiter-Libelle auf der horizontalen Axe ist nicht fest, sondern abnehm bar, und kann in zwei Lagen aufgesetzt werden. Eine solche Libelle ist in Fig. III. (S. 143) und Fig. IV. (S. 144) aufgesetzt gezeichnet, und in Fig. I. (S. 141) und Fig. IL (S. 142) abgenommen angedeutet.

Die Horizontal-Axen-Libelle hat bei Landmess - Theodoliten durchaus nicht die Bedeutung wie bei astronomischen Theodoliten, weil beim Landmessen selten starke Ziel-Neigungen Vorkommen, und bei nahezu wagrechten Ziellinien, welche in der Landmessung die Regel bilden, es auf scharfe Horizontrierung der horizontalen Axe weniger ankommt.

II. Unter Alhidaden-Libelle verstehen wir jede mit der Alhidade des Horizontalkreises fest verbundene Libelle, in der Mitte oder seitwärts, sei es eine Axen-Längs-Libelle (Li in Fig. I. und Fig. II.), welche für Höhen-Winkel nötig ist, oder eine Röhren-Quer-Libelle oder eine Dosen-Libelle.

Eine Dosen-Libelle sollte an keinem Theodolit fehlen. Bei kleinen Feldmess-Theodoliten genügt eine solche meist überhaupt zum Messen der Horizontal-Winkel. Bei grösseren Theodoliten, welche ausserdem mit einer feineren Röhren-Libelle versehen sind, dient die Dosen-Libelle zum ersten vorläufigen Einstellen, wodurch einesteils überflüssige Arbeit gespart und andernteils die Axe des Theodolits vor vielem überflüssigem Drehen bewahrt wird.

Wenn ein Theodolit eine Alhidaden-Libelle und eine Reiter-Libelle hat (wie in Fig. I. und Fig. II.), so kann man im allgemeinen mit der Alhidaden-Libelle messen, und die Reiter-Libelle nur ausnahmsweise, etwa zur Prüfung und Berichtigung der Horizontal-Axe, benützen. (Um dieses anzudeuten, sind die Reiter-Libellen in Fig. I. und Fig. II, abgesetzt gezeichnet.)

Anmerkung.

Unsere vorstehende Instrumenten-Beschreibung hat sich auf das Nötigste beschränkt; für Weiteres ist zu empfehlen:

„Anweisung zur Behandlung der Universal - Instrumente und Theodolite mit mikroskopischer Ablesung von Carl Bamberg. Berlin N. Linienstrasse 158.“ 1883. Buchdruckerei von Gustav Schade (Otto Francke) in Berlin N.

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Fig. I.

Kleiner Feldmess - Theodolit.

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(Hannov. Sammlung.)

Kleiner Feldmess-Theodolit von Mechaniker Randhagen in Hannover.

Dieses Instrument eignet sich namentlich zum Messen von Polygon-Zügen und von Triangulierungen IV. Ordnung. Mit dem Höhenkreis wird zugleich die Verwendbarkeit zu Polygon-Höhen-Zügen und zur Höhenmessung für nachfolgende Tachymetrie gesichert.

Der Horizontalkreis hat 15cm Durchmesser und giebt 10” Ablesung an zwei Nonien, der Höhenkreis hat 12cm Durchmesser und giebt 30" Ablesung. Das Fernrohr ist 28cm lang und wird mit dem Okular durchgeschlagen. Die Vergrösserung des Fernrohrs ist 18fach.

Es sind drei Libellen vorhanden: Eine Dosen-Libelle L\ in der Mitte (in der Figur nicht sichtbar), eine Röhren - Längs - Libelle L₂, welche bei der Messung von Hühen-Winkeln unbedingt nötig ist, aber auch zum allgemeinen Horizontalstellen für Horizontal-Winkel (bei steilen Zielungen) gebraucht wird. Die Empfindlichkeit dieser Libelle L₂ ist etwa 1' auf 1 Strich. Eine Reiter-Libelle Ls kann auf die Horizontal-Axe aufgesetzt werden (in der Figur abgesetzt gezeichnet). Diese Libelle L?> mit Empfindlichkeit von 1' auf 1 Strich wird bei den Messungen selbst gewöhnlich nicht gebraucht, sondern dient nur zur Prüfung und Berichtigung der Horizontal-Axe.

Fig. II.

Grosser Feldmess - Theodolit.

U‘

ja

Ti

mm

ff L,

Miin.r..

Siini

*■

(Hannov. Sammlung.)

Grosser Feldmess - Theodolit nach iVteZschem Muster von Mechaniker Pfeift' in Hannover konstruiert, mehrfach für unsere Zwecke abgeändert von Mechaniker Band-hagen in Hannover.

Der Horizontalkreis hat 20,4"“ Durchmesser und 10" Ablesung an vier Nonien. Der Höhenkreis H hat 13"“ Durchmesser und 20" Ablesung an zwei Nonien (Der zweite Kreis H' hat keine Teilung, sondern ist nur zur Symmetrie vorhanden.)

Das Fernrohr hat 33cm Länge und 22 fache Yergrösserung; dasselbe lässt sich mit dem Objektiv durchschlagen.

Es sind drei Libellen vorhanden, ebenso wie bei dem kleinen Instrument Fig. L, nämlich eine Dosen-Libelle L₀, eine Röhren-Längs-Libelle mit 30" Empfindlichkeit und eine Reiter - Quer - Libelle L₃ mit 7" Empfindlichkeit, als Kontrolle für die Horizontal-Axe. (Lj und L₂ dürften besser beide gleich, etwa 10" bis 15" Empfindlichkeit haben.)

Dieses Instrument, welches nach einigen Wiederholungen Horizontal-Winkel auf etwa 2" bis 5" und Höhen-Winkel auf etwa 10" genau giebt, dabei leicht und handlich ist, ist zu Landmesser- und Ingenieur-Messungen der verschiedensten Art sehr geeignet.

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Fig. III.

Münchener Theodolit.

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(Karlsr. Sammlung.)

Dieser Theodolit, von Er tel in München im Jahre 1823 konstruiert, wurde bei der Grossh. Badischen Triangulierung 1823—1852 gebraucht.

Der Limbus des Horizontalkreises hat 22rm Durchmesser, ist in Zehntels-Gentes.-Grade (10“) geteilt, und giebt an vier Nonien Ablesung 10 Centesimal-Sekunden (10~).

Das Fernrohr hat 36cm Länge (in der Figur etwas verkürzt gezeichnet) und 30fache Yergrösserung mit Huyghensschem Okular.

Es ist nur eine Libelle L als Reiter auf der Horizontal-Axe vorhanden.

Der kleine Höhenkreis, mit einem Nonius, dem keine Längs-Libelle entspricht, dient nur als gelegentliche Beigabe und wurde nie ernstlich gebraucht.

Dieser Münchener Theodolit, in mechanischer und optischer Hinsicht ein Meisterwerk seiner Zeit, kann als Repräsentant der Instrumente dienen, mit welchen im zweiten Viertel unseres Jahrhunderts die deutschen, und namentlich die süddeutschen Landes-Triangulierungen ausgeführt wurden.

Über die Teilungs-Genauigkeit dieses Instrumentes und über Winkel-Messungen mit demselben nach der Repetitions-Methode werden wir in § 57. und § 58. Weiteres mitteilen.

Fig. IV.

Berliner Mikroskop - Theodolit.

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M,,

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ÏÏÊT*¹

(Hannov. Sammlung.)

Berliner Mikroskop - Theodolit von Mechaniker Bamberg in Berlin.

Der Horizontalkreis K hat 21cm Durchmesser, ist in 5' geteilt und wird durch zwei Schrauben-Mikroskope M und M₁ mit 16facher Vergrösserung abgelesen. Das Fernrohr hat 44cm Länge, und giebt mit zwei Ramsdenschen Okularen 40fache und 55fache Vergrösserung. Es ist nur eine Libelle L als Reiter auf der Horizontal-Axe angebracht, mit Empfindlichkeit = 5,9". Beim Durchschlagen muss das Fernrohr aus den Lagen gehoben, und die Libelle L abgenommen werden.

Dieser Berliner Mikroskop-Theodolit, welcher in seinem Bau zum Teil den Instrumenten der früheren Werkstätte von Bistor und Martins nachgebildet ist, ist zur Zeit hei der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme eingeführt, und zwar in dieser Grösse, Kreisdurchmesser = 21COT für Triangulierung II. Ordnung, und entsprechend mit 27cm und 35cm Durchmesser für I. Ordnung.

§ 48. Der Nonius.

Der Limbus-Kreis eines gewöhnlichen Feldmess-Theodolits ist gewöhnlich nicht weiter geteilt als etwa in Drittels- oder Sechstels-Grade, man kann aber die Ablesung wohl auf etwa 10" Schärfe bringen durch eine kleine Hilfsteilung, welche Nonius heisst.

Allgemein betrachtet, kommen bei dem Ablesen der Stellung eines Zeigers auf einer Teilung zwei Operationen vor: erstens die Untersuchung, hinter welchem Teil-Strich der Zeiger einschneidet, und zweitens die Messung des Abstands des Zeigers von dem vorhergehenden Teilstrich. Die letztere Operation wird bei rohen Messungen durch eine Schätzung ersetzt, bei Theodoliten führt man sie aus mittelst des Nonius oder des Mikroskops.

Der Nonius besteht aus einem kleinen längs der Haupt-Teilung verschiebbaren Massstab, dessen Teilung derjenigen des Limbus nahezu gleich ist.

Ist L die Teilungs-Einheit des Limbus, N diejenige des Nonius, und m eine ganze Zahl, so ist:

(m — 1) L = mN, also L > N

(1)

(2)

L — IV =

Man teilt also (m — 1) Limbus-Teile in m Nonien-Teile, z. B. 9 L in 10 N (Fig. 1.) oder 59 L in 60 N (Fig. 2. S. 146).

Der durch die Gleichung (2) bestimmte Wert a heisst die „Angabe des Nonius“. Wenn irgend ein Nonius-Strich mit einem Limbus-Strich zusammentrifft, so stehen die zwei nächsten Striche um a, die zwei darauffolgenden Striche um 2 a von einander ab Wenn also z. B. (Fig. 1.) der dritte Nonius-Strich mit einem Limbus-Strich

Fig. l.

lOteiliger Nonius. (Ablesung 3 von rechts nach links.)

U. S. W.

32    37

30

ZS Zä 27    26

26

2.3 ZZ 27

zo

(7

zusammenfällt, so steht der Nullstrich des Nonius um 3 a von dem Strich 22 des Limbus ab, und da hier m = 10, also a= 0,1 L, so ist die Stellung der Noniusnull gegen die Limbus-Teilung angegeben durch die Ablesung:

22 + 3x0,1 = 22,3.

Häufig erhält die Angabe a des Nonius eine andere Benennung, als die Teilungs-Einheit des Limbus, und dann muss auch die Bezifferung des Nonius darnach gerichtet sein. Wenn z. B. ein Limbus in l/₆ Grade geteilt ist, so ist L — i/₆° = 10', und

wenn hiebei m = G0, so ist a = beziffern :

^ = 10". Dann wird man den Nonius nicht so

0    10"    20"    30"    40"    50"    G0"    70"    80"    . . .

sondern so:

1' 1' 10" 1' 20" . . .

0    10"    20"    30"    40"    50"

wobei Abkürzungen angewendet werden.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Unter dieser Voraussetzung hat man folgende Ableseregel:

Fig. 2.

60teiliger Nonius. (Ablesung 2' 40" von rechts nach links.)

Nonius

3'

Z'

1'

6.3°

6 Z°

61°

60°

Limbus

1)    Man betrachtet den Nonius - Nullstrich als Zeiger und sucht (von rechts nach links) denjenigen Limbus Strich, hinter welchem der Zeiger abschneidet, z. B. 60° 50' (Fig. 2.).

2)    Man sucht auf dem Nonius (ebenfalls von rechts nach links) denjenigen Strich, welcher mit einem Limbus-Strich zusammenfällt, und liest die diesem Nonius-Stricli zugehörende Ziifer ab, z. B. 2' 40".

3)    Man schlägt die zweite Ablesung der ersten zu, also :

60° 50'+ 2' 40" =60° 52' 40".

Sollte kein Nonius-Strich mit einem Limbus-Strich genau Zusammentreffen, so nimmt man nach Schätzung ein Mittel derjenigen zwei Striche, welche am besten passen.

am

zur

Überteilung. Die Nonien haben gewöhnlich am Anfang und am Ende 1 bis 2 überschüssige Teilstriche, z. B. in Fig. 2. ist rechts von O noch ein Strich. Diese Über-Teilstriche sind angenehm zum Vergleichen, wenn es sich um Ablesung ganz Anfang oder ganz am Ende des Nonius handelt. Auch kann man die Überteilung Untersuchung der Haupt-Teilung benützen, wovon in § 57. weiteres verhandelt werden wird.

Der im bisherigen beschriebene Nonius, mit den Gleichungen (1) und (2), ist der gewöhnliche, welcher bei Theodolit-Teilungen allein vorkommt, die Ablesung geht hiebei in dem Sinne mit der Haupt-Teilung.

Nun giebt es aber auch einen zweiten, sehr selten z. B. bei Barometern vorkommenden Nonius, mit Ablesung in dem Sinne gegen die Teilung.

Die hiefür gültigen Gleichungen sind:

(3)

(m -f-1) L = m N

(4)

Anmerkung.

Der Nonius ist nicht bloss für den Limbus eines Theodolits, sondern auch für viele andere Teilungen, eine sehr nützliche Einrichtung, welche aber auch manchmal unnötig angewendet wird, z. B. bei Planimeter - Ablesungen und manchen anderen kleinen Teilungen, bei welchen unmittelbares Schätzen an einem Zeiger-Strich denselben oder einen besseren Dienst thut.

§ 49. Das Schrauben-Mikroskop.

Nachdem der Grund-Gedanke des Mikroskops bereits in § 46. S. 131 mitgeteilt ist, beschreiben wir das Weitere an einem Beispiel Fig. 1.—3. von Pistor und Martins.

Fig. 1. zeigt den Mikroskop-Kasten mit abgenommener Deckplatte und mit abgeschraubtem Okular. In dem Kasten K ist ein Schlitten A, welcher zwei Parallelfäden F trägt. Der Schlitten A samt diesen Parallelfäden F wird durch die mit geteilter Trommel B versehene Schraube S bewegt, und man kann dadurch die Fäden F über einen im Gesichtsfeld sichtbaren Teilstrich einstellen (so dass der Strich zwischen den Fäden erscheint).

Die Verschiebungen des Fadens I' sind nun offenbar den Umdrehungen der Schraube S proportional; wir wollen der Einfachheit wegen zunächst annehmen, dass eine Umdrehung der Schraube S und der Trommel B gerade den Faden F von einem Teilstrich zum folgenden Teilstrich verschiebt. Wenn man dann die Trommel B dem Intervall zwischen zwei Teilstrichen entsprechend einteilt, so kann man an der Trommel B jeden Bruchteil eines Limbus-Intervalls messen.

Ehe wir das weiter verfolgen, seien die einzelnen Teile mechanisch erklärt:

Fig. l.

Schrauben - Mikroskop.

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(Karlsr. Sammlung.)

Fig. 2.

Deckplatte mit Zeiger Z.

Fig. 3.

Deckplatte mit Rechen R.

P'l

P’

P'

•1 Z

I_L

In Fig. 1. ist G eine Spiralfeder, welche einem toten Gang der Schraube S entgegenwirkt.

Um eine gewisse Stellung des Fadens F im Gesichtsfelde als Normal - Stellung zu bezeichnen, hat man eine dünne Platte, welche mittelst des Verbindungsstückes 1) mit dem Kasten in Verbindung steht, über denselben hergedeckt. In Fig. 2. ist diese Deckplatte P als abgenommen besonders gezeichnet, und es ist durch die punktierten Linien die entsprechende Stellung der Fäden angedeutet.

Die Deckplatte trägt in der Öffnung für das Gesichtsfeld einen Zeiger Z, unter welchem die Normal-Stellung der Fäden ist. Die Deckplatte mit dem Zeiger kann mit Hilfe der Schraube E (Fig. 1.), gegen welche die Feder G drückt, etwas verschoben werden, damit die Normal - Stellung der Fäden der Ablesung Null an der Trommel B entspricht.

Wenn nicht eine Umdrehung der Schraube die Fäden von einem Teilstrich des Limbus zum folgenden schiebt, sondern z. B. 5 Umdrehungen, so müssen 5 Zeiger Z nebeneinander, d. h. ein sogenannter „Bechen“ vorhanden sein, damit die einzelnen Umdrehungen der Schraube abgezählt werden können. Dieses ist in Fig. 3. S. 147 angedeutet. Der Mittelzahn des Bechens kann etwa noch besonders als Haupt-Zeiger gestaltet sein.

(Der Abstand zweier aufeinander folgender Bechenzähne wird dadurch genau gleich der Ganghöhe der Schraube gemacht, dass der Bechen mit demselben Schneidezeug, das zur Herstellung der Schraube gedient hat, geschnitten wird.)

Damit ist die Konstruktion und die Wirkungsweise des Schrauben-Mikroskops genügend erklärt, und wir können den Vorgang beim Einstellen und Ablesen an Fig. 4. und Fig. 5. (zu dem jBam&e/y/-Theodolit Fig. IV. § 47. S. 144) verfolgen.

Grade

Fig. 4.

Gesichtsfeld des Mikroskops. (Instrument Bamberg Fig. IV. S. 144.)

WÆ

12

Der Limbus ist in

mm.

= 5' geteilt, und eine Trommel-Um-mm. drehung schiebt die Fadenmitte von <p|i einem Strich zum folgenden.

Bei normaler Trommel-Stellung A wird die Fadenmitte zwischen zwei Teilstriche gebracht, z. B. :

6C

7°

| Strich links Fadenmitte Strich rechts

6° 25'

włśmamM.

6° 30'

Fig. 5.

Trommel-Teilung der Mikrometer-Schraube. Norm al-Stellung.

Ablese-Stellnng.

Nun dreht man mit der Schraube die Fadenmitte auf den linken Strich 6° 25' und liest an der Trommel hie-für ab: 2' 26". Dann ist die ganze Ablesung :

en O

o>

Oin    «

6° 25' -+- 2' 26" = 6° 27' 26" (Dieses könnte auch z. B. 36° 27' 26" oder 206° 27' 26" u. s. w. entsprechen, denn die 30° oder 200° sieht man nicht im Mikroskop, sondern mit freiem Aug an besonderer Teilung.)

gemessen

(Hannov. Sammlung).

Wenn etwa der Weg vom Strich 6° 25' zum Strich 6° 30' durch fünf Schrauben - Umdrehungen würde, so hätte eine Schrauben-Umdrehung den Wert 1' = 60", die Trommel wäre schlechthin in 60 Teile geteilt, und man würde dann z. B. so ablesen :

= 46° 25'

2'

26"

Strich links 2 Bechen-Zähne 26" an der Trommel =

= 46° 27' 26"

Gesamt-Ablesung

Eine grosse Umdrehungszahl, z. B. fünf, wie hier angenommen ist, für den Weg von einem Teilstrich zum folgenden, ist nicht bequem. Hat man etwa nur zwei oder drei Umdrehungen, so kann man die Ablesung am Bechen auch entbehren, indem man die ganze Minuten geradezu schätzt.

Doppel - Sekunden. Bei vielen Instrumenten ist die Bezifferung der Trommel nicht geradezu nach Sekunden, sondern nach Doppel-Sekunden gemacht, das hat den Zweck, bei der Mittelbildung aus den Ablesungen zweier Mikroskope, das Halbieren

zu ersparen, wie folgendes Beispiel zeigt, wobei die Doppel - Sekunden durch das Zeichen

nrr

angedeutet sind.

Mikroskop I. Mikroskop II.

Bezifferung nach Sekunden 50° 36' + 3' 6" -j- 3' 41"

Bezifferung

nach Doppel-Sekunden 50° 36' + 3' 3,0"" + 3' 20,5""

Summe Mittel Gesamt-Ablesung

50° 39' 23,5"

+ 6' 47" + 3' 23,5"

50° 39' 23,5"

23,5""

23,5"

Dieser kleinen Ersparung an Rechen-Arbeit stehen aber viele Nachteile gegenüber:

oder bei 4' 2" = 4' 1""

An der Grenze zweier Minuten, z. B. bei 3' 58" = 3' 29'

kommt es vor, dass die ganzen Minuten in beiden Mikroskopen verschieden sind, so

gar wenn die Mikroskope gut diametral stehen (was auch nicht immer der Fall ist), dann muss man, um obige Rechnungsart zu wahren, statt 4' 1"" schreiben: 3' 31"", oder statt 3' 29

muss man schreiben: 4'—1"" u. s. w.

Es kommt oft vor, dass die Messungen an einem Mikroskop ganz für sich stehen, z. B. bei Bestimmungen mittlerer Ablese- und Einstellungsfehler, bei Untersuchungen von Teilungsfehlern u. s. w.

Ob die kleinen Übelstände der Doppel-Sekunden durch die Ersparung des Haibierens beim Ausrechnen der Winkel aufgewogen werden, lässt sich nur subjektiv entscheiden.

Verfasser hat an allen seinen Instrumenten einfache Sekunden-Bezifferung.

tut

Stimm ungs - Korrektion.

Wir haben bis jetzt angenommen, dass die Verschiebung der Fadenmitte, von einem Strich zum folgenden Strich, genau durch eine Umdrehung der Schraube, oder eine ganze Zahl von Umdrehungen, bewirkt werde. Ob dieses genügend genau der Fall ist, erfährt man dadurch, dass man den Abstand je zweier Nachbar - Striche an vielen Stellungen der Teilung misst.

Mit dem Ramiers-Instrument Fig. IV. S. 144 wurde in dieser Weise eine Versuchs-Reihe zweifach gemacht in folgender Ordnung, aus welcher nicht nur der gesuchte Gangwert, sondern auch der mittlere Fehler der Einstellung erhalten wird:

M/

Mikroskop A.

Teilstriche

Messungs-Reihe 1.

Messungs-Reihe 2.

links

rechts

! =A

d = h ~r2 hx — 0₂

dï

359° 55' 9° 55' 19° 55' 29° 55'

0°0'

10° O' 20 °0' 30° 0'

CO 05 CO

te I—‘

CO GO CO CO

3' 23"

0"

CD CD CO 03 ł—t CO

CQ CO »“*

0"

349° 55'    350° 0'    0' 51"    0'47''    +4"    1'24''    1'22''    +2”    +2''    4

(36)

Entsprechend gab:

Summen +116 Mittel: Mikroskop A +3,2''

+ 85 + 2,4"

443

12,3

Mikroskop B

+ 2,5"

+ 1,6"

12,2

Hiezu ist zuerst noch zu bemerken, dass die Unterscheidung links und rechts sich auf den unmittelbaren Anblick im Gesichtsfeld des Mikroskops bezieht (vgl. Fig. 4. S. 148). Die Fadenbewegung geschah von rechts nach links (in dem Sinn von A nach F in Fig. 4. S. 148), die Ablesungen rechts wurden immer zuerst gemacht.

Nun ergiebt sich als Differenz zwischen einem Teilungs - Intervall und einer Trommel-Umdrehung

im Mittel für Mikroskop A 8

= + 2,8"

(1)

2,5 + 1,6

2-”=+²'⁰"

(2)

(Die Einzelwerte 3,2 und 2,4, sowie 2,5 und 1,6 differieren nicht unbedeutend unter sich um 0,8" und 0,9", doch sind diese Abweichungen immer noch in zulässigen Grenzen.)

Gleichzeitig haben wir das mittlere Differenz-Quadrat d² = 12,3 und 12,2, und da in jeder Differenz d vier Einstellungen und Ablesungen lx , rx , 1% , r% Zusammenwirken, haben wir das mittlere Fehler-Quadrat:

ą²5 = 3,06

4

Der so erhaltene Wert m ist der mittlere Fehler einer Einstellung und Ablesung mit dem Mikroskop. (Die Yergrösserung ist 16fach.)

Die oben berechneten Werte 8A = + 2,8" und 8b = -+- 2,0" zeigen, dass die Mikroskope nicht genau auf die Teilung gestimmt sind, und man könnte nun nach der Theorie von (5) § 46. S. 133 die Mikroskope durch Verschiebungen genauer stimmen.

Indessen wenn es sich nur um kleine Werte 8 handelt, wird es kaum gelingen sie vollständig wegzuschaffen.

Will man den Einfluss von 8 nicht vernachlässigen, so kann man eine Korrektionstafel berechnen, welche in unserem Fall folgende Form bekäme:

Mikroskop A

m² =

also

m = ± 1,7"

Mikroskop B

(3)

Ablesung

Ablesung

Verbesserte

Ablesung

Verbesserte

Ablesung

O'

r — o,6" 2' —1,1" 3' — 1,7" 4' — 2,2" 5' — 2,8"

O'

1'

O'

2'

3'

4'

5'

1' — 0,4"

2' — 0,8"

3' —1,2"

4' —1,6"

5' — 2,0"

Bei der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme werden hei Messungen

III. und II. Ordnung die Mikroskope abgestimmt, so gut es möglich ist, und die kleinen etwa noch bleibenden Beste 8 nicht weiter beachtet.

Dagegen für Messungen I. Ordnung werden die Schrauben-Werte 8 bestimmt und von der trigonometrischen Abteilung nach folgender Theorie in Kechnung gebracht :

Es sei durch die Trommel-Ablesungen an je zwei aufeinanderfolgenden Teilstrichen ermittelt, dass hiebei die Trommel nicht, wie sie soll, z. B. 5' — 300", sondern 300" + 8 giebt, oder allgemeiner f-t-6, dann ist:

^1 —yj Sekunden.

1 Trommel-Teil =

Wenn man nun zum Zweck der Kreis-Ablesung immer sowohl auf den Strich links als auf den Strich rechts einstellt, und dabei bzw. I und r erhält, so ist:

die verbesserte Ablesung links — l ^1 — j

rechts =

= *■-+

-6

l -\-r

Das Mittel ist:

oder:

Zu dem arithmetischen Mittel a der Ablesungen am linken und rechten Strich kommt also noch eine kleine Verbesserung:

(4)

2 ~ a

Hiernach kann für gegebene Verhältnisse ein Hilfstäfelchen berechnet werden.

In mechanischer Beziehung ist zu allen Schrauben-Einstellungen zu bemerken, dass man immer nur in einem bestimmten Sinn, z. B. von rechts nach links, einstellen soll, weil man nie darauf rechnen kann, dass die Schraube völlig ohne toten Gang ist, und weil ein toter Gang durch dieses Verfahren thunlichst unschädlich gemacht wird.

Auch in Bezug auf Elimination des Stimmungsfehlers (welcher von Station zu Station nicht unbedingt als konstant gelten kann) giebt es eine sehr sinnreiche Anordnung, welche von Zaehariae in dem Werke „Die geodätischen Hauptpunkte“ (deutsch von Lamp, Berlin 1878, S. 74) angegeben wird: Es wird die Drehung des Kreises zwischen den Sätzen so ausgeführt, dass die Schrauben-Ablesungen für den Ausgangspunkt an n zusammengehörigen Sätzen sich gleichmässig auf den Umfang der Trommel verteilen.

¹

Über die Etymologie des Wortes „Theodolit“ vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1880“, S. 55, Sanders-, 1883, S. 321, Zöppritz.

Das Wort Theodolit scheint hiernach aus dem Arabischen durch Verschmelzung mit dem englischen Artikel the entstanden zu sein. Das Wort wird im Deutschen jetzt so dekliniert:

die Theodolite der Theodolite den Theodoliten die Theodolite.

§ 50. Das Schätz-Mikroskop.

Man hat neuerdings die Mikroskope auch ohne Schrauben zürn Ablesen von Theodolit-Teilungen angewendet.

Man kann schon mit einem festen Faden im Gesichtsfeld Ablesungen schätzen, wenn z. B. in Fig. 1., welche eine 10'-Teilung sehr stark vergrössert zeigt, nur der eine feste Strich bei 0' vorhanden wäre, so könnte man die Lage dieses Striches zwischen 29° 50' und 30° 0' immerhin = 2' schätzen, und hätte dann die Ablesung 29° 52'.

Genauer wird die Sache, wenn man eine ganze Hilfs-Teilung mit in das Mikroskop aufnimmt. In Fig. 1. z. B. sind die 11 Striche 10' ... 5' ... 0'

Fig. 1.

Gesichtsfeld des Schätz-Mikroskops.

......29°W '

li

30

29°50*

auf einem Glasplättchen im Mikroskop eingerissen, und somit fest im Mikroskop. Der Abstand 10' ... 0' ist gleich dem Teilungs- Intervall 29° 40' ... 29° 50' ... 30° 0'. Wenn also 0' als Zeiger gilt, so handelt es sich nur um das Stück x, welches man = 2,4' schätzt. Die ganze Ablesung von Fig. 1. ist also:

29° 50' + 2,4' = 29° 52,4' (= 29° 52' 24")

Die ganze Anordnung ist offenbar sehr bequem, und auch genau, wie wir nachher noch besonders erörtern werden.

Indessen ist der Anblick der verschiedenen Striche häufig nicht so klar, Avie Fig. 1. (welche aus einer Mitteilung von Optiker Hensoldt in der „Zeitschr. f. Verm. 1879“, S. 499, entlehnt ist), weil die Teilstriche des Limbus, im Vergleich mit der Mikroskop-Teilung, meist zu dick sind.

Wir Hessen an einem älteren Theodolit unserer Hannoverschen Sammlung solche Schätz-Mikroskope durch Mechaniker Breithaupt in Kassel anbringen. Die 10'-Teilung des Theodolits sieht nun im Mikroskop aus etwa wie eine Centimeter-Teilung natürlich gesehen, und die Breithauptsche Glasstrich-Teilung sieht dann aus etwa wie eine Millimeter-Teilung (Vergrösserung etwa 50fach), und hiernach könnte man 0,1' scharf schätzen. Die Glasstrich-Teilung würde das auch gestatten, allein die Kreis-Teilung selbst ist in unserem Fall, wie meist bei Instrumenten, welche ursprünglich zu anderer Art der Ablesung bestimmt Avaren, für Schätz-Mikroskope zu grob. Nach Mitteilung von Breithaupt könnten bei IVew-Teilung die Striche wohl entsprechend genügend fein gemacht werden.

Den Übelstand, dass die Teilstriche der Kreise- meist zu dick für feine Schätz-Mikroskope sind, hat schon Hensoldt in der Abhandlung „Zeitschr. f. Verm. 1879“, S. 500, erwähnt (Strichdicke etwa 1'); derselbe giebt daselbst Aveitere lesensAverte Einzelmitteilungen.

Man kann dem fraglichen Übelstand auch dadurch ausweichen, dass die Striche zwar dick, aber in feine Spitzen auslaufend gemacht Averden.

Genauigkeit des Schätz -Mikroskops. Trotz des störenden Umstandes, dass die Teilstriche meist zu grob aussehen, kann man doch die Zehntel der Mikroskop-Teilung noch nahezu richtig schätzen.

Wir haben schon bei der ersten Hensoldtschen Mitteilung in der „Zeitschr. f. Verm. 1879“, S. 505, einen kleinen Genauigkeits-Versuch veröffentlicht mit dem Ergebnis:

0)

Mittlerer Fehler einer Schätzung = + 0,12' — -t- 7"

Der bereits erwähnte Hannoversche ältere Theodolit mit neuen Schätz-Mikroskopen von Breithaupt gab bei einem ersten Versuch mit Studierenden, in 4 Sätzen mit je 5 Zielpunkten, den mittleren Fehler einer Richtung in einem Satz = + 5".

Das Schätz - Mikroskop ist natürlich ungenauer als das Schrauben - Mikroskop, weil bei letzterem die günstige Einstellung zwischen zwei Fäden nach Fig. 2. S. 111 stattfindet und die Dicke der Striche unwesentlich ist.

Andererseits geht die Arbeit mit dem Schätz - Mikroskop rascher und bequemer

vor sich.

Ein Schätz - Mikroskop muss mit seinen Strichen auf die abzulesende Teilung gestimmt werden, wie ein Schrauben-Mikroskop.

Das Abstimmen wird überflüssig, wenn man die Teilung selbst möglichst Aveit treibt, und dann nur noch einen Faden bzw. Strich im Mikroskop als Schätz-Zeiger anwendet. Dieses Prinzip wird neuerdings bei italienischen Instrumenten „Cleps“ verfolgt.

§ 51. Die Axen-Fehler des Theodolits.

Wir betrachten drei eigentliche Theodolit-Axen und eine Libellen-Axe, also im ganzen vier Axen. Dieselben sind (mit Veranschaulichung durch die nachfolgenden schematischen Figuren 1. und 2.) die folgenden:

1.    die Vertikal-Axe V

2.    die Horizontal-Axe H

3.    die Ziel-Axe Z (Kollimations-Axe).

Hiezu noch :

4. eine Libellen-Axe L.

Zwischen diesen vier Axen müssen folgende Beziehungen bestehen :

Allgemeine Bedingungen.

[1]    Z -L H , Ziel-Axe rechtwinklig zur Horizontal-Axe.

[2]    L _L V , Libellen-Axe rechtwinklig zur Vertikal-Axe.

[3]    H _L V , Horizontal-Axe rechtwinklig zur Vertikal-Axe.

Diese drei allgemeinen Bedingungen nehmen verschiedene Formen an, je nach der Anordnung der Libelle.

Wir betrachten die zwei verschiedenen Libellen-Anordnungen, welche schon bei 9) § 47. S. 140 besprochen worden sind, und indem jeweils nur eine Libelle vorausgesetzt wird, haben wir folgende schematische Darstellung, welche wir voranstellen :

II. Alhidaden-Libelle ¹)

Fig. 2.

I. Horizontal-Axen-Libelle (Reiter-Libelle).

Fig. l.

1)    Z _L H

2)    L parallel H

für I. und II. gemeinsam 1) Z J_ H

2) L 1 V

3) HA. V

Nach dieser schematischen Einteilung, welche vielleicht nach der ausführlichen Behandlung noch mehr Bedeutung gewinnt, gehen wir zu den Einzelheiten über:

1) Die Frage, ob die Ziel-Axe rechtwinklig zur Horizontal-Axe ist, betrifft beide Anordnungen I. u. II. gemeinsam, und wird in beiden Fällen am besten vorausgeschickt. Man kann die Untersuchung auf folgende vier Arten machen:

a)    (Fig. 3.). Bei beliebig aufgestelltem Instrument I wird ein Punkt A angezielt und dann das Fernrohr umgelegt (Lager vertauscht). Dann muss beim Kippen des Fernrohrs der Punkt A abermals am Fadenkreuz erscheinen. Erscheint statt dessen ein anderer Punkt A', so ist AIA' der doppelte Zielaxen - Fehler und man hat die Hälfte des sich zeigenden Fehlers AIA’ durch seitliche Verschiebung des Fadenkreuzes wegzuschaffen, in dem Sinn, welchen der unmittelbare Anblick verlangt (der Zielaxen-Fehler wird auch Kollimationsfehler genannt).

Fig. 3.

A\ : ,A'

Fig. 4.

A • A"

b)    Fig. 4.). Ausser dem Umlegen des Fernrohrs (das zuweilen durch den Höhenkreis verhindert wird) kann man auch Durchschlagen mit Drehen um 180° in folgender Weise benützen: Es wird ein Punkt A angezielt und dann das Fernrohr durchgeschlagen, so dass es nach A’ gerichtet erscheint. Dann dreht man mittelst der Limbus-Teilung die Alhidade und mit ihr das Fernrohr um 180°, so dass es nach A" gerichtet wird. Wenn nun A" nicht mit A zusammenfällt, so ist A 1 A" der doppelte Ziel-Axen-Fehler, dessen Hälfte wie bei a) weggeschafft wird.

A'\

Oft ist es bequemer, nach dem Durchschlagen wieder auf den ersten Punkt A einzustellen und umgekehrt an der Teilung nachzusehen, ob die Drehung genau 180° war. Z. B. man stellt das Fernrohr auf einen Punkt A ein, und liest entsprechend am Limbus mit einem Nonius ab: 127° 16' 0", darauf schlägt man das Fernrohr durch, zielt denselben Punkt A nochmals an, und liest an demselben Nonius ab: 307° 19' 0"; dann beträgt der doppelte Fehler 3' 0" und man berichtigt den Fehler, indem man den Nonius auf 307° 17' 30” stellt und dann das Fadenkreuz seitlich so vorschiebt, dass es den Punkt A deckt.

Wir haben hier nur von einem Nonius gesprochen; wenn die entsprechende Behandlung am zweiten Nonius ein abweichendes Resultat geben sollte, so nimmt man das Mittel aus beiden Resultaten; übrigens ist im vorliegenden Falle eine Unsicherheit von 10”—20” unerheblich.

Fig. 5.

Fig. 6.

Die so beschriebene Untersuchung stellt sich bei praktischen Winkelmessungen immer von selbst ein; man kann in jedem Feldschreibbuch nachsehen, ob das Instrument einen erheblichen Zielaxen-Fehler hatte, indem man zusieht, ob zusammengehörige Ablesungen in zwei verschiedenen Fernrohr-Lagen um 180° verschieden sind.

Die bisher beschriebenen zwei Methoden a) und b) reichen zur Untersuchung des Zielaxen-Fehlers immer aus, sie sind sehr bequem, weil man sie, ohne ins freie Feld zu gehen, auf einer festen (steinernen) Fensterbank anwenden kann. Der theoretischen Vollständigkeit wegen führen wir noch zwei andere Methoden an :

c) Fig. 5.). Nachdem mit dem Instrument 1 ein Punkt A angezielt worden ist, wird durchgeschlagen, und ein zweiter Punkt B angezielt. Wenn die drei Punkte A IB nicht in einer Geraden liegen, was in A oder in B untersucht werden muss, so ist der Winkel BIB' der doppelte Zielaxen-Fehler.

Diese Untersuchung kann man nicht gut anders als im freien Feld mit Baken-Absteckung machen.

d) (Fig. 6.). Es wird ein Punkt A angezielt, das Fernrohr durchgeschlagen, und ein zweiter Punkt B angezielt. In der zweiten Fernrohr-Lage wird nochmals A angezielt, und dann das Fernrohr nochmals durchgeschlagen. Wenn statt B ein anderer Punkt B' erscheint, so ist BIB' der vierfache Zielaxen-Fehler.

Hier kann wenigstens der erste Zielpunkt A ganz willkürlich sein, B und B' aber lässt sich nicht gut ohne Baken-Einweisung oder Latten-Ablesung gewinnen.

Nach Erledigung des Zielaxen-Fehlers tritt die schon oben (S. 158) verbreitete Unterscheidung nach der Libellen-Anordnung ein:

Anordnung I. Horizontal-Axen-Libelle (Reiter-Libelle).

2)    Die Libellen-Axe soll parallel der Horizontal-Axe sein.

Die Keiter-Libelle wird auf die horizontale Axe aufgesetzt, und mittelst der Stellschrauben zum Einspielen gebracht ; dann setzt man die Libelle auf der Axe um, und verbessert die Hälfte des sich zeigenden Ausschlags an der vertikal wirkenden Korrektionsschraube der Libelle und die andere Hälfte an den Stellschrauben des Theodolits.

Hiebei ist noch eine Nebenfrage zu erledigen, betreffend die sogenannte Libellen-Kreuzung :

Wenn man nach Ausführung der vorher erwähnten Libellen - Berichtigung die Reiter-Libelle seitlich dreht, und dabei ein Ausweichen der Blase beobachtet, so hat inan die Libelle mittelst der seitlich wirkenden Korrektionsvorrichtung in der Fassung zu verschieben, und zwar nach folgender leicht zu begründenden Regel: Wenn die Libelle so vor dem Beobachter aufgestellt ist, dass er das eine Libellen-Ende zur linken Hand und das andere zur rechten Hand hat, und wenn dann beim Drehen der Libelle herwärts gegen den Beobachter, die Blase dem rechten Libellen-Ende zuläuft, so ist das rechte Libellen-Ende dem Beobachter zu nähern, und umgekehrt.

3)    Die Libellen-Axe soll rechtwinklig zur Vertikal-Axe sein.

Es wird zuerst mit Benützung der Reiter-Libelle und der drei Stellschrauben des Theodolits ein allgemeiner Horizontal-Stellungs-Versuch gemacht; wenn es sich hiebei zeigt, dass es nicht möglich ist, die Reiter-Libelle allgemein zum Einspielen zu bringen, so stellt man sie parallel der Verbindungslinie zweier Stellschrauben, und bringt sie mit diesen zum Einspielen. Dann wird die Alhidade (ungefähr) um 180° gedreht, und zunächst die Hälfte des sich zeigenden Libellen - Ausschlags mittelst der Stellschrauben des Theodolits weggeschafft. Die andere Hälfte des Libellen-Ausschlags wird an den Lagerschrauben durch Heben oder Senken des einen Horizontal-Axen-Lagers weggeschafft (vgl. Fig. 3. und Fig. 4. § 47. S. 138).

Nach diesem dreht man noch das Instrument um 90°, und bringt in dieser Lage den ganzen sich zeigenden Libellen-Ausschlag mit den Stellschrauben zum Verschwinden.

Anordnung 11. Älhidaden-Libelle.

1)    Die Ziel-Axe soll rechtwinklig zur Horizontal-Axe sein.

Diese Untersuchung (welche für die Libellen-Anordnungen I. und II. dieselbe ist) haben wir schon oben mit Fig. 3. bis Fig. 6. erledigt, es folgt also sofort:

2)    Die Libellen-Axe soll rechtwinklig zur Vertikal-Axe sein. Dieses wird wie bei I. 3) behandelt, nämlich:

Es wird zuerst ein Versuch allgemeiner Horizontalstellung gemacht; wenn es sich hiebei zeigt, dass es nicht möglich ist, die Libelle allgemein zum Einspielen zu bringen, so stellt man sie parallel der Verbindungslinie zweier Stellschrauben, und bringt sie mit diesen Stellschrauben zum Einspielen. Dann wird die Alhidade (samt der Libelle) um 180° gedreht, und die Hälfte des sich zeigenden Ausschlages mittelst der Korrektionsschraube der Libelle weggeschafft.

Dadurch ist die Libellen-Axe rechtwinklig zur vertikalen Axe gemacht worden; um zugleich die vertikale Axe genau vertikal zu machen (das Instrument horizontal zu stellen), schaift man die noch übrige zweite Hälfte des Libellen-Ausschlags mittelst der Stellschrauben des Instruments weg. Dann dreht man die Alhidade samt der Libelle um 90°, und bringt den sich jetzt zeigenden ganzen Ausschlag mittelst der dritten Stellschraube zum Verschwinden (Stellschrauben B Fig. 1. S. 135).

Hat man nicht eine Röhren-Libelle, sondern eine Dosen-Libelle fest verbunden mit der Alhidade, so bringt man dieselbe bei feststehender Alhidade mit den Stellschrauben zum Einspielen, dreht dann die Alhidade samt der Libelle, und korrigiert in derjenigen Stellung, in welcher der grösste Ausschlag entsteht, die Hälfte des Ausschlags an den Korrektionsschrauben der Dosen-Libelle, und, um zugleich die vertikale Axe vertikal zu machen, die andere Hälfte mit den Stellschrauben; worauf beim Drehen der Alhidade die Dosen-Libelle allgemein einspielen wird.

3) Die Horizontal-Axe soll rechtwinklig zur Vertikal-Axe sein.

Nachdem die Vertikal-Axe in Folge der unter 2) besprochenen Operationen vertikal gestellt worden ist, wird von der Horizontal-Axe verlangt, dass sie in jeder Lage horizontal ist.

Wenn man sich zwei mit der Instrumentenmitte in einer vertikalen Ebene liegende Punkte verschallen kann, so müssen beim Niederkippen des Fernrohrs (bei feststehender Alhidade) beide Punkte am Fadenkreuz erscheinen.

Zwei Punkte liegen jedenfalls mit der Instrumentenmitte in einer vertikalen Ebene, wenn sie in einer und derselben vertikalen Geraden liegen. Dieses führt zu den folgenden Prüfungsmethoden:

a)    Es wird eine lange Senkelschnur aufgehängt, und zugesehen, ob beim Niederkippen des Fernrohrs das Fadenkreuz immer an dieser Schnur bleibt. Das Pendeln des Senkels kann dadurch vermindert werden, dass man das Senkelgewicht in ein Ge-fäss mit Wasser tauchen lässt. Für eine rohere Untersuchung genügt statt der Senkelschnur eine vertikale Hauskantc.

b)    Künstlicher Horizont (Fig. 7.) Man verschafft sich einen horizontalen Spiegel

Fig. 7.*)

Fig. 8.

Schlitz-Hülle.

Künstlicher Horizont.

äT

......po-

*>

*) Von den vier Winkeln, welche hier = a eingeschrieben sind, sind a bei A und bei B wegen Reflexion einander gleich, und gleich dein Tiefenwinkel der Ziellinie nach jP; dagegen der Höhenwinkel der Ziellinie nach P, welcher in Fig. 7. ebenfalls = a geschrieben ist, ist nur genähert — a, und würde nur dann wirklich = a, wenn P unendlich entfernt wäre.

AB und lässt einen hochgelegenen Punkt P sich in diesem Spiegel reflektieren, so dass man sein Spiegelbild P' unten sieht.

Dann stellt man den Theodolit so auf, dass man sowohl den hochgelegenen Punkt P als auch das Spiegelbild P' beiin Auf- und Niederkippen im Gesichtsfelde des Fernrohrs findet. Hat man nun den oberen Punkt P scharf angezielt, so soll beim Niederkippen des Fernrohrs auch der untere Punkt P' am Fadenkreuz erscheinen.

Als horizontaler Spiegel AB kann eine Schale mit Flüssigkeit genommen werden (Quecksilber, Öl, Teer, Rotwein, Tinte u. s. w.); bei ruhiger Luft genügt dieses, und bei bewegter Luft kann man eine Schutz-Hülle (Fig. 8. S. 156) anwenden. (Über Glashorizonte u. s. w. ist Weiteres mitgeteilt in des Verfassers „Grundzüge der astron. Zeit- und Ortsbestimmung, Berlin 1S85“, S. 162—167).

Das Gefäss oder den Spiegel A B stellt man dem Theodolit ganz nahe ; trotz

Fig. 9.

dem ist die Okularstellung für P und P dieselbe, weil nicht die wirkliche Entfernung des Gefasses oder Spiegels A B, sondern die scheinbare Entfernung des Punktes P' für die Okularstellung massgebend ist.

c) Projektion auf eine horizontale Latte P' Q P" (Fig. 9.).

Zwei Punkte, welche zwar nicht in einer vertikalen Geraden, aber mit der Instrumentenmitte in einer vertikalen Ebene liegen, erhält man folgendermassen :

P' Q P“

Es wird ein hochgelegener Punkt P angezielt, und durch Niederkippen des Fernrohrs auf eine unten befestigte horizontale Teilung (z. B. Nivellier-Latte) projiziert. Dieses wird nach erfolgtem Durchschlagen wiederholt; und wenn das zweite Mal nicht derselbe Projektionspunkt P' erhalten wird wie das erste Mal, sondern ein anderer Punkt P", so ist der zwischen P' und P" in der Mitte liegende Punkt Q der richtige Projektionspunkt, welcher dann denselben Dienst leistet, wie der Punkt P' in Fig. 7. (S. 156).

Bei allen hier genannten drei Methoden a) , b) , c) wird ein sich zeigender Fehler durch Heben oder Senken des einen Fernrohr-Lagers (Fig. 3. und Fig. 4. § 47. S. 138) weggeschafft, und zwar ist das rechte Lager zu heben (oder das linke zu senken), wenn das Fadenkreuz beim Abwärts-Kippen nach rechts abzuweichen scheint, weil das Fernrohr die Gegenstände umgekehrt zeigt.

Bei der Methode b) ist die Hälfte des sich zeigenden Fehlers wegzuschaffen, bei fl) und c) ebenfalls die Hälfte dann, wenn die Ziellinien nach den beiden massgebenden Punkten um gleich viel aufwärts und abwärts gegen den Horizont geneigt sind. Wenn die Neigungen der Visuren nicht gleich sind, so ist die Verbesserung darnach zu bemessen, dass bei horizontaler Ziellinie der Fehler der Horizontal-Axe unschädlich ist. Wenn also z. B. bei der Methode c) (Fig. 9.) Q in der Instrumentenhöhe liegt, so wird man zuerst nach Q zielen, dann aufwärts kippen, und den ganzen bei P sich zeigenden Fehler mittelst der Lagerschrauben wegschaffen; wenn dagegen z. B. die Ziellinie nach P doppelt so stark aufwärts, als die nach Q abwärts geneigt ist, so v/ird man zuerst auf Q einstellen, und dann von dem bei P sich zeigenden Fehler ²/₃ aufheben u. s. w. (streng genommen sind die Visur - Abweichungen den Tangenten der Höhenwinkel proportional, wie in § 53. gezeigt werden wird).

§ 52. Bemerkungen zu den Axen-Fehlern des Theodolits.

Eliminierung von Axen-Fehlern.

Von den drei Axen-Fehlern lassen sich zwei durch Durchschlagen des Fernrohrs eliminieren, nämlich der Zielaxen-Fehler und der Horizontalaxen-Fehler.

Um dieses einzusehen, braucht man nur sich klar zu machen, dass durch Durchschlagen des Fernrohrs diese beiden Fehler von links nach rechts oder umgekehrt gebracht werden, dass also die Messung in beiden Fernrohr-Lagen zwei Werte giebt, deren arithmetisches Mittel von jenen Fehlern frei ist.

Soweit nicht die unmittelbare Anschauung des Theodolits selbst zum Verständnis dieser Behauptung führt, kann auch Fig. 3. § 51. S. 154 und Fig. 9. § 51. S. 157 zu Hilfe genommen werden.

Bei der Horizontal-Axe ist hiebei angenommen worden, dass sie nur deswegen nicht horizontal ist, weil sie nicht genau rechtwinklig zur Yertikal-Axe ist, welch letztere zunächst als genau vertikal gelten mag.

Ist die Vertikal-Axe selbst nicht genau vertikal, so entsteht ein Fehler an der Horizontal-Winkelmessung, welcher wedei durch Durchschlagen, noch durch Umlegen u. s. w. eliminiert werden kann.

Der Vertikalaxen-Fehler kann davon herrühren, dass die benützte Libelle nicht rechtwinklig zur Vertikal-Axe war, oder davon, dass diese Libelle nicht richtig benützt worden ist, oder auch von diesen beiden Umständen.

Wie der Vertikalaxen- oder Aufstellungs-Fehler mit dem eliminier baren Horizontalaxen-Fehler zusammenwirkt, wird bei der späteren Berechnung der Fehler-Einflüsse (§ 53.) deutlicher gemacht werden.

Die Aufeinanderfolge der Prüfungen und Berichtigungen

muss nicht notwendig in allen Beziehungen so eingehalten werden, wie im vorigen § 51. angegeben ist.

Bei I. (Horizontal-Axen-Libelle) ist die Frage nach der Ziel-Axe ganz unabhängig von den Libellen-Fragen, und braucht deswegen nicht notwendig vorangestellt zu werden; es ist nur nötig, dass die Libelle vorher parallel zur Horizontal-Axe gemacht wird, ehe ihre Rechtwinkligkeit zur Vertikal-Axe untersucht wird.

Bei II. (Alhidaden-Libelle) ist umgekehrt die Zielaxen-Frage jedenfalls vorher zu erledigen, ehe die Rechtwinkligkeit der Horizontal-Axe zur Vertikal-Axe in Betracht kommt.

Theodolit mit mehreren Libellen.

Wenn nicht bloss eine Libelle vorhanden ist, sondern eine Horizontal-Axen-Libelle und eine Alhidaden-Libelle, so kann man die oben unter I. und IL S. 155 beschriebenen Prüfungs-Verfahren beliebig verbinden, z. B. kann man zuerst nur die Horizontal-Axen-Libelle anwenden, und zum Schluss die Probe mit dem künstlichen Horizont machen. In der theoretischen Darstellung ist es aber immer gut, beide Libellen-Anordnungen auseinander zu halten.

Spielpunkt der Libelle.

Bei den Libellen-Bericlitigungen, welche bei I. 2) S. 155 und II. 2) S. 155—156 beschrieben wurden, ist gesagt, es sollen die Libellen-Fehler an der Libellen-Korrektions-Schraube weggeschafft werden. Bei kleineren und wenig empfindlichen Libellen geschieht dieses.

Dagegen hei grossen und empfindlichen Libellen, welche mit durchlaufenden Teilungen versehen sind, ist es für die letzte Feinheit viel bequemer und schärfer, das schon früher in § 85. S. 105 angedeutete Verfahren anzuwenden, d. h. jeweils einen besonderen Einspiel-Punkt der Libellen-Teilung zu bestimmen, welcher von dem sonst gebrauchten Normal-Punkt um 1—2 Striche abweichen kann.

Es stehe z. B. die Blasenmitte einer Alhidaden-Libelle zuerst auf 25,0 und nach dem Umdrehen um 180° (wobei man die Kreis-Teilung benützen kann) auf 28,4, dann berechnet man das Mittel 26,7 und heisst dieses den Spielpunkt-, man bringt mittelst der Fuss-Stellschrauben die Blasenmitte auf diesen Spielpunkt 26,7, und man kann nun erwarten, dass sie auf diesem Punkt allgemein einspielen wird. Den Spielpunkt und zwei Symmetralpunkte hiezu kann man durch aufgesetzte Reiter-Marken bezeichnen.

So lange man mit Justier-Stiften u. s. w. an den Libellen handiert, ist es hei empfindlichen Libellen, deren Korrektion eine zeitraubende Arbeit ist, nützlich, vor der Anwendung der Korrektions-Schrauben zu untersuchen, welche Beziehung zwischen einer Umdrehung der Schraube und dem Ausschlag der Blase besteht, damit man ungefähr weiss, um wie viel gedreht werden muss, wenn es sich um Wegschaffung eines gewissen Ausschlags handelt.

die Libellen-Axe um

= 286 Sekunden, und wenn einem Ausschlag von einem

Wenn z. B. eine vertikal wirkende Korrektions-Schraube eine Ganghöhe h = 0,25’""* hat, und an einem Hehelsarm l = 180"m wirkt, so neigt eine Schrauben-Umdrehung 0,25 180 ⁹

Strich 5,0 Sekunden entsprechen, so würde eine ganze Umdrehung der Korrektions-Schraube die Blase um 286 : 5 = 57,2 Striche verschieben, woraus zugleich ersichtlich ist, wie schwer es ist, kleine Ausschläge mit Hilfe der Korrektions-Schrauben mit Justier-Stiften u. s. w. wegzuschaffen. Einer ähnlichen Untersuchung ist auch die Wirkung der Fuss-Stellschrauben zu unterziehen.

Veränderlichkeit der Ziel-Axe.

Die Ziel-Axe ist durch zwei Punkte bestimmt, nämlich 1) den Fadenkreuzpunkt und 2) den optischen Mittelpunkt des Objektivs. Wenn nun verschiedene Zielweiten in Betracht kommen, so findet Okular-Verschiebung statt, und es kann sich fragen, oh diese Verschiebung immer genau centrisch in der Richtung der Ziel-Axe selbst stattfindet, oder ob dadurch seitliche Änderung der Lage der Ziel-Axe erzeugt wird.

Beim Ramsdenschen Okular kann es sich hiebei nur um das Fadenkreuz handeln, denn das Objektiv ist fest; beim Huyghenssćhen Okular dagegen ist nach unserer Auffassung von § 44. S. 129 auch der Objektiv-Mittelpunkt an der Okular-Ausziehung beteiligt, weil das Objektiv seihst nur als eine fingierte äquivalente Linse, für das eigentliche Objektiv und das Kollektiv zusammen, auftritt.

Bei Zielweiten über 500m ist jedoch diese Frage verschwindend, weil von hier an alle Zielweiten als unendlich gelten (vgl. (1) §.41. S. 119), und auch hei kürzeren Zielweiten wird der fragliche Fehler durch Durchschlagen eliminiert.

Es kann sich also in praktischer Beziehung nur noch darum handeln, ob der Okular-Auszug einen wenigstens nahezu centrischen, im übrigen aber sicheren Gang hat.

Überflüssige Feinheiten.

Der Zielaxen-Fehler (Kollimations-Fehler) ist in allen Beziehungen ein wenig schädlicher Fehler für Feld- und Land-Winkelmessung, und deswegen ist es für diese

Zwecke auch nicht nötig, die besonderen Hilfsmittel kennen zu lernen, welche man in der Astronomie hat (Kollimatoren), um den astronomisch viel wichtigeren Kollimations-Fehler genau zu untersuchen und zu bestimmen.

Ähnlich verhält es sich auch mit der Frage, oh die Zapfen-Enden der Horizontal-Axe genau gleichen Durchmesser haben. Für Feld- und Landmessung ist das wohl immer genügend der Fall. (Vgl. des Verfassers „Grundzüge der astron. Zeit- und Orts-Bestimmung, Berlin 1885“, S. 46.)

Bei sorgfältiger Behandlung ist das oft wiederholte Prüfen und Berichtigen eines Theodolits in Hinsicht auf Axen-Fehler nicht nötig. Ob an den Libellen etwas fehlt, zeigt sich meist beim Gebrauche selbst, auch der Zielaxen-Fehler (Kollimations-Fehler) zeigt sich aus den Ablesungen in zwei Fernrohr-Lagen immer unmittelbar.

Überhaupt spielen in der Landmessung die Theodolit-Axen-Fehler nicht die Kolie, welche nach dem Umfang und der Ausführlichkeit ihrer Theorie vermutet werden könnte. Wenn Theodolit-Messungen schlecht sind, so ist in der grössten Mehrzahl der Fälle irgend etwas anderes Schuld als die Axen-Fehler.

Trotzdem ist die Theorie dieser Fehler (welche auch in Landmesser-Prüfungen das beliebteste Thema sind) unentbehrlich, weil nur, wer das volle Verständnis inne hat, ermessen kann, wo und wieviel von den strengen Forderungen nachgelassen werden darf.

§ 53. Berechnung der Fehler-Einflüsse der Theodolit-Axen-Fehler.

Sphärische Differential-Formeln.

Als Vorbereitung der Berechnung der Fehler-Einflüsse der Theodolit-Axen-Fehler (und zugleich als Hilfsmittel für viele andere Zwecke) entwickeln wir einige einfache Differential-Formeln der sphärischen Trigonometrie:

Fig. l.

Spliär. Differential-Dreieck.

b,

/a

In Fig. 1. ist ABC ein schmales Differential-Dreieck mit der kleinen Seite c und dem kleinen Winkel y. Von B ist eine Senkrechte BB' gefällt, so dass ein kleines rechtwinkliges Dreieck AB' B entsteht, welches in erster Näherung als eben behandelt werden darf.

In dem ebenfalls rechtwinkligen Dreieck CBB' hat man: sin y

— _*L

sin a

sin y

oder weil y und y klein sind:

. _ y

'r sin a

Mit gleicher Annäherung kann man auch setzen:

y — y sin a

[1]

y — y sin h

[2]

wobei die Seite A C = h ist. Weiter ist:

[3]

sin ß sin b sin a sin a

Da ß und a nahe gleich sind, entwickeln wir die Differenz ß — a, und setzen:

ß = a + (ß — «) und entsprechend b — a + x sin ß — sin a -j- (ß — a) COS a

sin b — sin a -x cos a

folglich nach [3]:

1 -f- (ß — a) cotg a — 1 -(- x cotg a

ß — a — x cotg a tang a

[4]

Es ist aber nach Fig. 1. S. 160:

y — c sin a

x tang a = y

Hieraus mit Zuziehung von [1]:

ß — a — y COS a

(Die Formel [1] entspricht dem Parallelkreisbogen, und die Formel [5] entspricht der Meridian-Konvergenz auf der Erdkugel.)

oder

ß — a = c sin a cotg a

[5]

Nach dieser Vorbereitung gehen wir über zu der Berechnung, um wie viel ein Horizontal-Winkel falsch erhalten wird, wenn die drei Axen-Fehler gewisse Werte haben.

Wenn die drei Axen eines Theodolits sich in gegenseitig richtiger Lage befinden, so ist die Ziel-Axe rechtwinklig zur Horizontal-Axe und die Horizontal-Axe rechtwinklig zur Vertikal-Axe; und wenn der Theodolit richtig zur Messung aufgestellt ist, so ist die Vertikal-Axe vertikal und die Horizontal-Axe rechtwinklig zu ihr, also horizontal, während ausserdem, wie vorher, die Ziel-Axe rechtwinklig zur Horizontal-Axe ist. Wir setzen nun voraus, dass alle diese drei Bedingungen nicht erfüllt sind, sondern das Folgende stattfindet:

1)    Die Ziel-Axe ist nicht rechtwinklig zur Horizontal-Axe, sondern sie macht

mit    der    letzteren einen Winkel 90° — c,    d.    h. es ist c die Abweichung der Ziel-Axe

von    der    Lage, welche sie haben sollte, (c    =    Zielaxen-Fehler oder Kollimations-Fehler.)

2)    Die Horizontal-Axe ist nicht rechtwinklig zur Vertikal-Axe, sondern sie macht

mit    derselben einen Winkel 90° — i, oder    es    ist i die Abweichung der Horizontal-Axe

von    der    Lage, welche sie haben sollte.    Wird die Vertikal-Axe als genau vertikal

vorausgesetzt, so ist also i die Neigung (Inklination) der Horizontal-Axe gegen die wahre Horizontale.

3)    Die Vertikal-Axe ist nicht genau vertikal, d. h. der Theodolit ist nicht richtig aufgestellt. Die Abweichung der Vertikal-Axe von der wahren Vertikalen, oder der Aufstellungs-Fehler sei = v.

Diese drei Axen-Fehler c , i , v betrachten wir zunächst nicht gemeinsam, sondern einzeln, und bezeichnen die durch sie erzeugten Horizontal-Projektions-Fehler eines Zielstrahles bzw. mit (c) , (i) , (u). In. der Rechnung werden c , i , v als kleine Winkel behandelt.

Bei den folgenden Untersuchungen denken wir uns um die Instrumentenmitte (Schnittpunkt der drei Axen) eine Kugel von beliebigem Halbmesser gelegt, um die in Betracht kommenden Winkelgrössen als Seiten und Winkel von sphärischen Dreiecken zu veranschaulichen.

1) Zielaxen-Fehler (Kollimations-Fehler).

In Fig. 2. S. 162 ist AB die Horizontal-Axe, 1Z die Vertikal-Axe, 1Z' IP ID’ sind drei Lagen der falsch gerichteten Ziel-Axe, welche die Winkel Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Z IZ' — QIP = CID' = c mit den entsprechenden richtigen Lagen IZ IQ IC der Ziel-Axe machen, so dass Z' PD' ein Parallelkreisbogen zu ZQC ist.

Es wird ein Punkt P angezielt, dessen Höhen-Winkel 2 DIP=h ist. Wäre die Ziel-^ Axe richtig, so würde P nach D projiziert werden; wegen /    des Fehlers c wird statt D die

_    Projektion D' erhalten. PQ

sei ein Parallelbogen zu A C B ; derselbe kann wegen der Kleinheit von c näherungsweise als ein Grosskreisbogen rechtwinklig zu ZC betrachtet werden.

Es ist also das schmale Dreieck Z P Q, welches in Fig. 2. rechts nochmals besonders herausgezeichnet wurde, näherungsweise als rechtwinklig zu betrachten, und nach der Yorbereitungsformel [1] ist zu setzen:

c = Zsw(90°—h)    oder c — Zcosh

Fig. 2.

Zielaxen-Fehler (Kollimations-Fehler).

pUIol

C'

Al

n,

DD' C

jyjD=(c) , DC — z.

(1)

Der dadurch bestimmte Winkel Z steht in Beziehung zu dem Fehler (c) der Horizontal-Projektion von P. Als Bogen erscheint Z in Fig. 2. unten, nämlich DC = Z (ebenso wie eine geographische Länge auf der Erde entweder als Winkel am Pol oder als Bogen am Äquator dargestellt werden kann).

Nun kann man geradezu sagen : Der Bogen DC = Z ist der Projektions-Fehler des Punktes P; indessen, da bei horizontaler Ziellinie ein konstanter Fehler D' C — c entsteht, welcher in der Differenz zweier Projektionen sich aufhebt, wollen wir hier nur den veränderlichen Teil des Projektions-Fehlers DG näher betrachten, und wir setzen daher:

DC — D'G = Z—c = (c)

Aus (1) und (2) folgt nun der veränderliche Teil des Projektions-Fehlers:

(2)

(c)

cos h

(3)

cos h — 1

Für kleine Höhen-Winkel h kann man dieses auch etwas umformen, mit — 2 sin² Î

, genähert :

(c) = c ^1 -t- 2 sin² j — c

= 2 c sin²

toi s-

oder:

(e) =

ch2

2?

(4)

Um zu überlegen, wie gross der Zielaxen - Fehler c etwa werden kann, denke man sich ein Fernrohr, dessen Brennweite =30rOT ist; steht dann das Fadenkreuz um

falsch, so ist c — ç = 1,15'.

Zur weiteren Überlegung, ob ein gewisser Fehler c einen mehr oder weniger beträchtlichen Winkelfehler der Horizontal-Projektion erzeugt, dient folgende nach der Formel (3) berechnete Tafel :

0,1

mm

1. Fehler-Einfluss des Zielaxen-Fehlers (Kollimations-Felilers) auf die Horizontal - Winkelmessung.

Höhen-Winkel h

1° i 2°

3°    4°    5°

10°    20°    45°

►—»    >—*

OÜTtOHO

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SOj—^¹ p^op

co 5b lb 05

»b co Ib co «5

O O i—i Tf 05

0,6"

3,9"

7,7"

4"

25"

50"

19,3" 2' 04" 38,5" 4' 09"

2) Horizontal-Axen-Fehler.

In Fig. 3. ist AB die richtige Lage der Horizontal-Axe, und A! B' die um den Winkel i geneigte falsche Lage der Horizontal - Axe. Die Ziel-Axe bewegt sich daher heim Kippen des Fernrohrs in der Ebene GPZ' statt in der Ebene GQZ, wie es sein sollte.

Fig. 3.

Horizontal-Axen-Fehler.

Wird ein Punkt P angezielt, so wird er Z fälschlicherweise nach C projiziert, während er vom wahren Zenit Z aus nach D projiziert werden sollte, oder es ist DG = {i) der zu findende Projektions-Fehler.

Dieser Wert (i) findet sich aber auch oben hei Z in dem Winkel PZQ = (i), wie in der Nebenfigur von Fig. 3. rechts besonders angedeutet ist. Hier erscheint auch der Winkel PCQ = i, und da auch die Höhe h = CQ, und das Komplement 90° — h = QZ ist, haben wir aus der Nebenfigur von Fig. 3. nach der Yorhereitungs-Formel [1] in zweifacher Anwendung:

Z' z

pHq

-I-

—-i—~~~

bd fcd

90°-h //(•)

PQ = (i) sin (90⁰ — h) und PQ = i sin h (i) cosh — i sin h ,    (i) = i tang h

(5)

Hiernach ist folgendes berechnet:

II. Fehler-Einfluss des Horizontal-Axen-Fehler s i auf die Horizontal- Winkelmessung.

Höhen-Winkel h

1°

2°

3°    4°    5°

10°

20°    45°

ö ï-h ba <b 2

T“H

t' ib b t> r-1 o © cn> ^

cT r-T ca" io o

po^cop

CO r- h CO Öl 00 Cß O or

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ca ^ os co -b¹

UÎ r-l (M C- ^

ö o 05 oo 5b

tr~ C3 CO 05 05.

o O qJ

0,87"

5,25"

10,50"

26,25"

52,49"

1,8" !    3,6”

10.6" 21,8" 21,2"| 43,7" 52,9" 1/49" 1,46"    3'38"

bcböb

3) Vertikal-Axen-Fehler oder Aufstellungs-Fehler v.

Wir nehmen in Fig. 4. an, die Vertikal-Axe IZ' stehe schief, oder sie sei um den Winkel v gegen die wahre Vertikale IZ geneigt. In Folge hievon hat die (zur Vertikal-Axe rechtwinklige) Limbus-Ebene die Lage F KG' statt FKC, wobei der Winkel F'IF beider Ebenen gleich dem Fehler v der Vertikal-Axe ist. Wird irgend ein Punkt P angezielt, so wird er von Z' aus nach F projiziert, während er von dem wahren Zenit Z aus nach I) projiziert werden sollte.

Fig. 4.

Vertikal-Axen-Fehler oder Aufstellungs-Fehler v.

z z'

IP

F\

yrÄiz

I lT 1

J-J: A

'O

’C

'Vf

u    V;—^v

F) K '----

Der zu berechnende Projektions-Fehler ist also die Differenz (zunächst ohne Rücksicht auf das Vorzeichen):

FD —FE

oder

u-u’ = (V)

Die Winkel u und ur, welche hier als Bögen erscheinen, kommen bei Z und hei Z’ auch als Zenit-Winkel vor, wie in der Nebenfigur rechts hei Fig. 4. besonders angedeutet ist. Wir können daher mit Anwendung der Vorbereitungs-Formel [5] sofort angeben : u — u' = v sin u' cotg (90° — h)

oder, weil hier u' und u auch verwechselt werden dürfen,:

(6)

(?)

u — u' — v sin u tang h = (v)

Es ist in mancher Beziehung von Wert, dieses Resultat (7) auch noch auf eine andere Art zu begründen, in folgender Weise: Wenn der Punkt P in Fig. 4. angezielt werden soll, so muss die Horizontal-Axe die Lage A'B' haben, im Grundriss rechtwinklig zu IE, bzw. zu ID, wobei die Neigung gegen die wahreHorizontal-Ebene — AIA'= i' sei. Man hat nun ein Dreieck KAA', welches bei A rechtwinklig ist, und dessen Kathete KA wieder —u ist, weil FD -+- D K — 90° und D K-+- K A = 90°. Es ist also:

(8)

A A' — K sin K A, d. h. i' = v sin u Eine Horizontal-Axen-Neigung i' erzeugt aber nach (5) einen Fehler:

(i') = i' tang h = v sin u tang h

Dieses stimmt mit dem früheren (7) überein, und die Formel (7) oder (8) sagt nun:

Der Vertikal-Axen-Fehler v giebt zunächst eine Komponente vsinu auf die Horizontal-Axe, und dieses vsinu, als Horizontal-Axen-Fehler, erzeugt nach dem Gesetze (5) einen Projektions-Fehler = (v sin u) tang h.

Der Azimutal-Winkel u wird hiebei gezählt von der Anfangsrichtung IF an, in welcher die grösste Limbus-Neigung stattfindet.

Zusammen- Wirkung der drei Einzelfehler.

Wenn mit einem Theodolit gemessen wird, dessen Ziel-Axe den Fehler c hat, dessen Horizontal-Axe den Fehler i hat, und dessen Vertikal-Axe bei der Aufstellung eine Neigung v gegen die wahre Vertikale erhalten hat, so kombinieren sich die drei Einflüsse (c) (i) (v), und zwar ist der Gesamtfehler:

(9)

(*) = (c) + (i) + (®)

Die Berechtigung von (9) lässt sich so zeigen: Jedenfalls ist der Fehler (s) eine Funktion von c , i und v, welche verschwindet, wenn c , i und v einzeln = 0 werden. Denkt man sich diese Funktion mittelst des Taylorschen Satzes nach Potenzen von c , i , v entwickelt, so sind die drei ersten Glieder der Entwicklung die Werte (c) , (i) , (<>) ; und die Gleichung (9) stellt einen Näherungswert des Gesamt-Projektions-Fehlers vor, mit demselben Recht, wie (c) , (i) und («) einzeln, unter Vernachlässigung der höheren Potenzen c² , i² u. s. w., genügende Näherungswerte sind.

Wenn Glieder zweiter Ordnung in den Ausdrücken von (c) , (i) oder (v) vorkämen, so würde die einfache Addierung nach (9) nicht zum Ausdruck des Gesamt-Projektions-Fehlers genügen, denn sonst würden die Produkte cv , ci , iv verloren gehen.

Fehler - Formel für einen gemessenen Winkel.

Die bisherigen Betrachtungen beziehen sich immer nur auf einen Zielpunkt P, und geben den Projektions-Fehler für denselben. Bei der Messung eines Winkels kommt noch ein zweiter Zielpunkt P' hinzu, und der Winkelfehler ist die Differenz der beim rechtseitigen und linkseitigen Zielstrahl begangenen Projektions-Fehler. Wenn h und h die beiden Höhen-Winkel sind, und u und u' die Azimutal-Winkel, von der grössten Limbus-Neigung an gezählt, so hat man die Gesamtformel für den Winkelfehler A: A — c (sec h! — sec h) + i (tang hl — tang h) -|- v (tang h sin u! — tang h sin u)    (10)

Wenn h = h' ist, so fallen die zwei ersten Glieder fort; dieselben fallen auch dann fort, wenn mit zwei verschiedenen Fernrohrlagen gemessen wird, denn beim Durchschlagen ändert sich das Vorzeichen von c und von i. Für Messung mit Durchschlagen des Fernrohrs hat man also nur:

(11)

A' — v (tang h! sin u' — tang h sin u)

Dieser Wert erreicht bei gleichen Werten h und h' sein Maximum in Bezug auf u und u', wenn sin u' =— sin u, oder wenn:

u' — u = ± 180°

v! — u ist der zu messende Winkel, es wird also für h—li der Fehler A' am grössten, wenn der zu messende Winkel nahezu 180° ist (was z. B. bei Polygonzügen der Fall ist). Nimmt man h' = h und ti — u = 180°, so wird:

Amax = 2v tang h ,

wofür Zahlenwerte aus der Tafel II. S. 168 zu entnehmen sind.

Zusammenfassung der Resultate.

Der Zielaxen-Fehler (Kollimations-Fehler) c ist der wenigst schädliche aller Axen-Fehler, sein Einfluss ist bei einem einigermassen richtig behandelten Instrument verschwindend klein gegen die übrigen Fehler. Der Horizontal-Axen-Fehler i und der Aufstellungs - Fehler v haben bei kleinen Höhen-Winkeln unter 5° immer noch so wenig Einfluss, dass man bei einem gut geprüften und berichtigten Instrument sie nicht zu fürchten braucht.

Messung mit durchgeschlagenem Fernrohr eliminiert zwar den Zielaxen-Fehler c, und den Horizontal-Axen-Fehler i, nicht aber den Fehler v der Vertikal-Axe, und da dieser Fehler unter Umständen die anderen Fehler überwiegt, ist das Durchschlagen des Fernrohrs zwar ein sehr wichtiges, aber nicht vollkommenes Mittel zur Fernhaltung von Winkelmessungs-Fehlern.

Wenn durchgeschlagen wird, hat man hauptsächlich auf die Horizontalstellung des Instrumentes zu achten, wobei es genügt, wenn die Blase der Libelle an irgend welcher Stelle der Libellen-Teilung stehen bleibt.

Anmerkung.

In der Feld- und Land-Messung werden die im Vorstehenden entwickelten Formeln selten unmittelbar gebraucht, und deswegen haben wir auch unterlassen, die Vorzeichen, welche immer eine besondere Überlegung verlangen, zu erörtern.

Wenn aber auch die entwickelten Formeln hauptsächlich nur mittelbar nützlich sind, indem sie manche Fingerzeige für die Praxis geben, so kommen doch auch Fälle unmittelbarer Anwendung vor. Z. B. bei den Hilfsmessungen für Centrierungen auf Kirchtürmen sind manchmal Steil - Zielungen, mit 45° und noch mehr, nicht zu vermeiden, und dann ist es wohl am Platz, die Reduktion für die Horizontal-Axen-Neigung i, nämlich nach (5) S. 163, zu benützen:

(i) = i tang h

Man kann hieran auch eine Nebenbetrachtung knüpfen, mit der Frage, ob man eine Turmhöhe H besser mit steilem Höhen-Winkel h und kurzer Entfernung a, oder mit flacherem Höhen-Winkel und längerer Entfernung nehmen soll. Ist di der mittlere Fehler von i, und (di) der entsprechende mittlere Fehler der Azimutal-Winkelmessung, so ist:

also :

(di) = di tang h , tang h = —■ a (di) = dix H

Hier ist a (di) die lineare Querabweichung der Projizierung, und diese ist also, soweit der Libellen-Fehler (di) in Frage kommt, nur abhängig von der Turmhöhe H, und gar nicht von der Entfernung a. Es ist also für a (di) insofern gleichgültig, ob man eine kurze oder lange Entfernung a nimmt.

¹

In den früheren Auflagen dieses Buches hatten wir die Alhidaden-Libelle als I. und die Reiter-Libelle als II. genommen.

§ 54. Excentricität des Fernrohrs.

Es giebt Theodolite, bei welchen das Fernrohr nicht in der Mitte, sondern seitlich angebracht ist

Ein solcher Theodolit ist in Fig. 1. S. 167 gezeichnet. Der Grund für die seitliche Anbringung des Fernrohrs besteht hier darin, dass dadurch bequemes Durchschlagen ohne hohe Träger, und Steil-Zielungen bis 60° und mehr, möglich gemacht werden.

Das Instrument Fig. 1. hat diese Anordnung deswegen, weil es gleichzeitig zu astronomischen Messungen und zu topographischen Aufnahmen (mit der aufgesetzten Bussale B) benützt worden ist.

(Weiteres hierüber siehe in des Verfassers „Grundzüge der astronomischen Zeit-und Orts-Bestimmung, Berlin 1885“, S. 38.)

Indem wir hier die Frage der Fernrohr-Excentricität weiter verfolgen-, haben wir zuerst den Hauptsatz hiefür auszusprechen und zu beweisen, dass der Einfluss dieser Excentricität auf Horizontal-Winkel-Messung eliminiert wird, wenn man mit

Fig. 1.

Theodolit mit excentrischem Fernrohr.

il,il

i.*

[=

(Hannov. Sammlung.)

beiden Fernrohr-Lagen misst (Durchschlagen) und aus den beiden hiebei erhaltenen Messungs - Ergebnissen das Mittel bildet.

Dieses lässt sich mit Fig. 2. leicht zeigen:

Wenn die Ziel-Axe des Fernrohrs gegen die Limbus-Mitte L eine Excentrici-tät, etwa = e hat, so berühren alle Ziel-Axen im Grundriss einen Kreis, der mit dem Halbmesser e um die Limbus-Mitte L gezogen ist.

Sind A und B zwei Zielpunkte, so ist der Winkel, den man messen will, :

ALB = a

Fig. 2.

Eliminierung der Excentricität des Fernrohrs.

fJ,

ci'

\>'

Wegen der Excentricität misst man aber in Lage I. den Winkel a und in Lage II. den Winkel a". Aus Fig. 2. entnimmt man:

a -j- ß -j- <p = 180 0 a -\- y q> — 180°

Ans diesen vier Gleichungen findet man:

a" + y -f- ip = 180° a + ß + xp = 180°

oder

a a" = 2 a Damit ist der oben ausgesprochene Satz bewiesen.

a -f- a"

nämlich :

Die vier Gleichungen (1) und (2) geben auch die Differenzen von « , d und a",

a — d' = ip — <p

(4)

(5)

a" — d = 2 [g — xp)

Die Parallaxen-Winkel g> und xp bestimmen sich aus der Excentricität e und den Entfernungen der Zielpunkte A und B. Setzt man diese Zielweiten = a und = b, so hat man:

e

e — 0,1”* und a = 1000™ giebt g> = 21”

Die Prüfung und Berichtigung der Axen-Fehler muss bei excentrischem Fernrohr teilweise ein wenig anders gemacht werden, als in § 51. angegeben ist.

Die Untersuchung des Zielaxen-Fehlers nach Fig. 4. S. 154 mit Durchschlagen und Drehen um 180° kann auch bei excentrischem Fernrohr angewendet werden, wenn die Zielweite wenigstens 1 Kilometer ist, denn dann ist nach (6) und (7) der Winkel qo = 21", und bei Feld- und Landmess-Instrumenten ist ein Zielaxen-Fehler von solcher Grösse ohne Belang, zumal das Durchschlagen auch den Zielaxen-Fehler eliminiert.

Hat man keinen genügend weiten Zielpunkt oder will man aus anderen Gründen die Untersuchung schärfer machen, so kann man zwei um 2 e von einander abstehende Zielpunkte anwenden, oder andere durch einfache Überlegungen sich ergebende Abänderungen der Methoden von § 51 benützen.

Z. B. :

(6)

(?)

§ 55. Excentricität der Alhidade.

In Fig. 1. ist L der Limbus-Mittelpunkt, welcher zugleich Drehpunkt der Alhidade sein soll.

Die Alhidade denken wir uns zunächst als eine mathematische Gerade, welche sich jedoch nicht um den Limbus-Mittelpunkt L, sondern um einen anderen Punkt A

drehen soll; d. h. wir nehmen an, es bestehe eine Excentricität der Alhidade gegen den Limbus-Mittelpunkt.

Die Alhidade ist doppel-armig, und trägt an den beiden Arm-Enden die Nonien oder Mikroskope I und II (wobei IAII eine Gerade ist). Nachdem die Alhidade um einen Winkel a gedreht ist, habe sie die Lage T AIT (III und IIP kommen erst später in Betracht).

J    Bei der Winkelmessung folgt die Alhidade jeder

/ Drehung des Fernrohrs, es ist deswegen der Winkel IAT—a, welchen zwei Alhidaden-Lagen AI und AT einschliessen, derjenige Winkel, welchen man mit dem Theodolit messen will. Am Limbus-Rande werden aber zwei Bögen IT und IIIT abgelesen, zu welchen andere Centriwinkel d und d’ gehören.

Es wird sich zeigen lassen, dass a das arithmetische Mittel von d und d’ ist, d. h.:

d -+- a”

Fig. 1.

Excentricität der Alhidade.

ar

n/f

i'

fe-'

4"

ii

LSa

II AU' = a= III AIII’ W AIII’ — g = IIA III.

(1)

a'

einge-

Um dieses zu beweisen, betrachten wir die in Fig. 1. mit d und schriebenen Winkel, und finden, dass sie als Centriwinkel und Peripheriewinkel auf

dem gemeinsamen Bogen IT stehen. Ebenso verhält es sich mit «" und

a"

, welche

auf dem gemeinsamen Bogen IIIT stehen. Zugleich ist « ein Aussenwinkel des Dreiecks Al IT, folglich ist:

a'

a"

“ = T + -2

womit die Gleichung (1) bewiesen ist.

Wir gehen weiter zu der Annahme, dass die beiden Alhidaden-Arme I und II nicht genau diametral stehen, sondern in A eine kleine Knickung haben ; oder es seien nun I und III die beiden Alhidaden-Enden, sowie T und III dieselben Alhidaden-Enden nach erfolgter Drehung um den Winkel a.

Es ist jedenfalls klar, dass der Winkel III AUT, welchen die beiden Arme A III und A11T einschliessen, wieder — a —IIA IT ist, und es wird auch, praktisch genommen, keinem Zweifel unterliegen, dass die beiden kleinen Bögen IIIII und HT IT, welche zu den zwei kleinen Winkeln Ô gehören, ebenfalls gleich sind. Genau ist das nicht der Fall, weil A ein excentrischer Punkt ist, also die beiden ô nicht Centriwinkel sind; allein die Differenz der beiden kleinen Bögen IIIII und III' IT kann höchstens betragen :

(2)

(IIIII— IIT IT)max = (r±e)b — rb = ±eb

Dieses findet in der Richtung der Central-Linie L A statt, und dieser Wert (2) ist für die gewöhnlichen Werte von e und b verschwindend klein.

Wir haben also jetzt den wichtigsten Satz für die Alhidaden - Excentricität bewiesen, welcher sagt, dass der Einfluss dieser Excentricität unschädlich gemacht wird, wenn man an zwei Alhidaden-Armen, mit Nonien oder Mikroskopen, abliest, welche genau oder wenigstens nahezu um 180° gegen einander abstehen.

Elimination der Excentricität durch Durchschlagen.

Auch wenn nur ein Nonius (oder Mikroskop) angebracht ist, kann die Excentricität der Alhidade für Horizontal-Winkelmessung unschädlich gemacht werden durch Durchschlagen des Fernrohrs, und Messen in zwei Fernrohr-Lagen, was ja ohnehin für andere Zwecke erforderlich ist. Man überzeugt sich hievon durch Betrachtung von Fig. 1. S. 168, wobei I und T die Ablesungen für die erste Fernrohr-Lage und II und IT die Ablesungen für die zweite Fernrohr-Lage vorstellen können.

Einfluss der Excentricität auf den Nonius.

In Fig. 1. S. 168 und in den zugehörigen Betrachtungen ist angenommen, dass die Alhidade eine mathematische Gerade sei, welche auch bei beliebig grosser Excentricität immer noch Ablesung am Limbus-Rand gestattet.

In Wirklichkeit ist die Alhidade meist eine metallene Scheibe, welche sich innerhalb des kreisförmigen Alhidaden-Randes drehen soll.

Daraus folgt nun sofort, dass die Excentricität nur ganz unbedeutend, vielleicht 0,01””” bis 0,05mm sein kann, denn sonst würde die Alhidade beim Umdrehen auf einer Seite klaffen und auf der anderen Seite pressen, wenn nicht etwa das Pressen durch nachträgliches Abdrehen beseitigt ist.

Bei sogenannten fliegenden Nonien (an Höhenkreisen), welche auf der Ebene

des Limhus flach aufliegen, könnte die Excentricität ganz erheblich sein, ohne dass sie sich durch Klaffen oder Reiben u. s. w. verriete.

Hier kommt die Frage ins Spiel, ob der excentrisch herumgeführte Nonius überall das ihm zugehörige Limbus-Intervall genau decken kann? Rückt der Nonius zu weit heraus, so erscheint er zu klein, rückt er zu weit hinein, so ist er zu gross. Man kann dieses leicht berechnen : Es sei N die Nonien-Länge in Graden, r der Halbmesser und e die Excentricität, dann handelt es sich um die Differenz:

N N N

~ e To

(r -f- e)

--r —-

<>°    9°

Das ist das lineare Übergreifen oder Zurückbleiben des Nonius ; der entsprechende Wert in Sekunden ist:

JN =

q" = — JV3600" r

r q°

Wenn also z. B. ein Limbus in Sechstel-Grade =10' geteilt ist, und der

und e = 0,01mm, so wird :

9,88

10000

Dieses ist bereits an der Grenze des Zulässigen, man sieht also, wie sehr auch in Hinsicht auf die Nonien die Excentricität der Alhidade schädlich wirkt.

Bei Mikroskopen kommt hiebei immer nur ein Intervall des Limbus in Betracht, und deswegen ist ein schädlicher Einfluss der Alhidade in dieser Beziehung bei Mikroskopen kaum zu fürchten.

Nonius 10" angiebt, r = 100

N = 590' = 9,83°    , AN

3600" = 3,5"

§ 56. Berechnung der Excentricität der Alhidade.

Obgleich wir im vorigen § 55. gesehen haben, dass die Alhidaden-Excentricität sich bei Theodoliten leicht eliminieren lässt, verfolgen wir die Excentricitäts-Verhältnisse doch noch weiter durch Rechnung, erstens, weil dadurch diese Verhältnisse im ganzen noch weiter aufgeklärt werden, und zweitens, weil sich damit auch ein erster Einblick in die Güte der Kreisteilung (§ 57.) ergeben wird.

In Fig. 1. bedeutet wieder, wie bisher:

L den Limbus-Mittelpunkt,

A den Alhidaden-Drehpunkt,

AI und A II die beiden Alhidaden-Arme, welche nicht genau um 180° gegen einander stehen, sondern die Knickung 6 bilden.

A!A" ist die Zentral-Linie, welche durch die beiden Punkte A und L geht, und <p ist der Winkel, welchen bei irgend welcher Alhidaden-Stellung, der Arm AI mit der Zentral-Linie AA' bildet.

Dadurch ist die ganze Fig. 1. geometrisch bestimmt, namentlich auch der Winkel e — D L B, um welchen die beiden Halbmesser LI und LB gegen 180° abstehen. Dabei ist B mit I und A auf einer Geraden, und im übrigen giebt das schmale Dreieck LAB, mit L A = e und LB = r, die Proportion :

s

sm — : e = sm (p:r

Fig. 1.

II — I— 180° = g -f- e Excentricität B A = e

A“

A¹

TUt

LA’— LA"=r

, LA — e.

oder, weil e ein kleiner Winkel ist, :

2e

n sin <p = Em sin <p r

(1)

Dabei wurde zur Abkürzung gesetzt:

(2)

d. h. es ist sm der grösste Wert von £, welcher entsteht mit <p = 90°, oder wenn die Alhidade rechtwinklig zur Zentral-Linie A'A" steht.

Schon eine sehr kleine Excentricität e erzeugt einen beträchtlichen Wert £m,

206 265 = 41".

mit r— 100m,B giebt bereits em =

z. B. e = 0,01

0,02

100

Der Betrag d, um welchen die Ablesungs- Differenz II—I beider Nonien von 180° verschieden ist, ergiebt sich aus Fig. 1. S. 170:

(3)

d = II—l— 180° = 8 + £

Hier ist 6 konstant, dagegen £ nach dem Gesetze der Gleichung (1) veränderlich, folglich auch d eine Funktion von cp.

Bezeichnen wir mit d\ denjenigen Wert von d, welcher zu einem gewissen Werte <p gehört, und mit d₂ denjenigen Wert von d, welcher zu <p+180°, d. h. zu einer Umstellung der Alhidade gehört, so haben wir:

d\ — b -j- sm sin <p d₂ — 8 + s,n sin (cp + 180 °) = b — Die Summe und die Differenz hievon gehen :

d₁ — d₂

(4)

— s — sm sin cp

(5)

Hiernach ist S konstant, s ist von g>, also von der Stellung der Alhidade abhängig. Zur Bestimmung von § genügen daher streng genommen zwei zusammengehörige Werte di und d₂, während zwei solche Werte dl und d₂ in Bezug auf £ wenig aussagen. Um die Veränderungen von £ zu untersuchen, macht man eine über den ganzen Limbus gleichförmig verteilte Beobachtungsreihe, wie folgendes einfache Beispiel zeigt:

Ein kleiner Theodolit mit einem Limbus von 10™ Durchmesser wurde von 20°

zu 20° an beiden Nonien abgelesen, und gab dabei folgendes:

Non.l Nonius Non. Nonius I. IL    I II.

28

j    dl+d2

2 s =

d\—d₂

ooooooooo

(M't O OOO

r-H r-ł i—I i—t

180° 1,0' 200 1,5 220 2,0 240 2,0 260 2,0 280 2,5 300 2,0 320 2,0 340 1,5

180°

340

ooooooooo

(M^COOOOCM^CO

r—* r—H r—i t—I

P MpOpipiOHH*

bn ’o "o ~o 'o+brc o

+++++++++

h-i CO JS3 J>0 JNS to JNÛ H-* H-*

oibbcnboboio

++++

++

+++++++++

DO CO DO DO CO DO DO DO DO COOWOCnüiOiCn

+++++++++

—0,25'

+0,25

+0,75

+0,75

+1,00

+1,25

+1,00

+0,50

+0,50

Mittel +1,19'

Hiedurch ist

cp

crq

a>

<o

[a «] x H- [ab] y — [««] = 0 [a6]a; + [bb]y — [bs] —

(13)

Was die Werte s betrifft, so ist zuerst zu bemerken, dass deren Reihe, als Funktion von I. in der Tabelle (6) nur hälftig angegeben ist, nämlich von I. = 0° his I. = 160°. Die andere Hälfte von 180° bis 340° würde sich von der ersten Hälfte nur durch die Vorzeichen unterscheiden, nämlich -j- 0,25' —0,25' —0,75' u. s. w. und braucht deswegen nicht besonders hergesetzt zu werden.

Wir wollen nun darauf ausgehen, die Werte e nach (5) als Funktion von em und <p darzustellen; wir müssen zu diesem Zwecke setzen:

G — Gm Sm (p — Gm Sin (JL ^Pq)

wobei J, wie bisher, die Ablesung am Nonius 1 ist und derjenige Wert von J, welcher der Central-Linie A'A" in Fig. 1. S. 170 entspricht, oder für welchen g — 0 wird.

(?)

Streng genommen würden zwei Werte c genügen, um die beiden Konstanten g„, und <p₀ der Gleichung (7) zu bestimmen; da wir 9 beobachtete Werte g haben, ist eine Ausgleichung zu machen.

Die Fehler-Gleichungen sind zunächst nach (7):

V — Gm Sm (I 9>o) e sin (I — <po) = sin I cos q>^ — cos I sin <p₀

(8)

Hiebei ist: Daraus ergiebt sich:

v — a x + 6 y — e *    ~ J

wobei die einzelnen Teile folgende Bedeutungen haben :

. fr9j

~c (9)

Coëfficienten

Unbekannte

b = — cos I y = sm sin qiQ

(10)

a = sin I

0C ■—    COS ÇDq

Hat man diese Hills-Unbekannten x und y bestimmt, so kann man daraus auch wieder die ursprünglichen Unbekannten gr>₀ und sm finden mittelst der Gleichungen :

(11)

tang q>Q =

—-— = i/x² -h y²

COS (po

y Sm -

SIU 9)q

Die Fehler-Gleichungen (9) führen auf die Normal-Gleichungen:

(12)

Bei der einfachen Natur der Coëfficienten a und b nach (10) werden die Summen [««] , [ab] u. s. w. sehr einfach, nämlich, wenn n die Anzahl der gleichförmig auf den Halbkreis verteilten s ist (in unserem Falle n= 9) :

P»]=ir

(Der Beweis hiefür ist in Band I. „M. d. kl. Q.“ S. 90—91 gegeben.)

Damit werden die Normal-Gleichungen (13) sehr einfach, nämlich:

”y + [eCOSl] = 0

[ab] = 0

(14)

^ x — [e sin J] = 0

und

~2

(15)

ferner nach (12) und (15):

tang tp^

— [g cos J]

[e sin I]

2 [— g cos J]

(16)

2 [e sin I] n cos g>o

Der Quadrant von <jd₀ bestimmt sich in (16) nach bekannten polygonometrischen Regeln, und sm ist stets positiv.

Sm —

n sin <po

(17)

Man kann auch noch die nach der Ausgleichung übrig bleibende Quadratsumme [î?r] angeben; es ist nach Band I. S. 67, Formel (8):

(18)

[al]* [bl. I]2 [aa\ [& b . 1]

In unserem Falle ist jedoch [ab] = 0 (s. o. (14)), und deshalb wird zunächst [5Z.l] = [5i] und [bb. 1] — [&5], und wenn man auch im übrigen (9) und (10) berücksichtigt, so wird:

[ć COS I]²

(19)

[v v] = [e e]--^ [e sin J]² —

oder wegen (17):

V)

[W] = [aa]-¥*m2

Mittlerer Fehler eines beobachteten Wertes e:

(20)

Die Gleichungen (16) , (17) , (19) , (20) enthalten die ganze Auflösung der v orgelegten Aufgabe.

Die Ausrechnung nach den Formeln (16) , (17) , (19) zeigt folgende Tabelle:

vor

der Ausgleichung

nach der Ausgleichung

s sin I

a cos 1

fi2 1 -5°30' l,070siraç» a'— a

"cs

0°    —0,25' —0,000

20    +0,25 +0,086 +0,235

—0,250

CO cn DO ODOM

+ 4,792    - 0,461

0,0625 — 5°30' 0,0625 +14 30 0,5625 0,5625 1,0000 1,5625 1.0000 llfl 30 0,2500    134 30

0,2500    154 30

5,3125

34 30 54 30 74 30 94 30

bt-Mi^cot-t-oo H 03 50^00 O 0^01    +

Ö'o'o'OrM+OOO

o o o p o o o o o

O io OM Om —> OH1 4*.05 03 00 0CCChf».C001

0,0225

0,0004

0,0196

0,0144

0,0009

0,0324

0,0009

0,0676

0,0016

0,1603

+ 0,461 + 4,792

1 0,461 _ 1 4,792 _ t,n 4,5 sintpQ 4,5 cos vq Also die Ausgleichungs-Funktion nach (7):

a = 1,070 sin (I—5°30')

Die hiernach berechneten Werte e sind mit der Bezeichnung e, zur Unterscheidung von den beobachteten e, in obiger Tabelle eingesetzt. Ihre Vergleichung mit den beobachteten e giebt die einzelnen v und dann [* +

Zur Probe hiefür hat man nach (19):

[««] = 5,3125 — 4,5 (1,070)2 = 0,1605 Endlich kann man daraus auch den mittleren Fehler eines beobachteten Wertes a finden, nämlich:

tang =

<p— 5° 30'

1,070

(21)

(22)

(23)

(24)

Graphische Darstellung.

dargestellt.

Die beobachteten und die ausgeglichenen Werte

sind in Fig. 2. graphisch

JO

Fig. 2.

Excentricitäts - Kurve £ = sm sin (I— <p₀) (Ordinaten-Massstab lcm = V).

0°

o-'

£.m

180°

oT

360

₍Çf 20 4-0 60 80 100 120 140 160 Non.1.

200 220 240 260 280 300 320 340

..⁽Po=5°30

Die beobachteten e sind nur von 0° bis 180° angegeben; von 180° bis 360° würden sie mit umgekehrten Zeichen wiederkehren. Die ausgeglichenen e (d. h. e in der Tabelle S. 173) sind von 0° bis 360° gezeichnet, damit die Sinus-Linie deutlich hervortritt.

Der Wert = 5° 30' entspricht dem Schnitt der Ausgleichungs-Kurve mit der Abscissen-Axe, und die grösste Ordinate em = 1,07' gehört zu der Abscisse 105° 30'.

Wir wissen jetzt, dass der excentrische Alhidaden-Drehpunkt A auf dem Limbus-Halbmesser LA liegt, welcher zu dem Teilstrich 5° 30' gehört, und wir können auch die lineare Excentricität e selbst angeben, nämlich nach (2):

2^rç = em= 1,070'

Der Halbmesser ist r — 50

und damit berechnet man: e = ^-r = 0,0078

mm

mm

§ 57. Teilungsfehler des Limbus.

Wie alle mechanischen Operationen, so ist auch die Ausführung der Teilung eines Limbus-Kreises mit Fehlern behaftet. Man hat die Erfahrung gemacht, dass die Teilungsfehler sich in zwei Klassen einteilen lassen :

1)    unregelmässige, an allen Stellen gleich wahrscheinlich positive oder negative Fehler,

2)    regelmässige oder systematische, an gewissen Stellen des Kreises durchaus positive, an anderen Stellen durchaus negative Fehler.

Man kann sich die Erscheinung der regelmässigen Fehler-Verteilung etwa so erklären: Wenn der zu teilende Kreis centrisch über einen anderen Kreis, dessen Teilung als fehlerfrei vorausgesetzt werden mag, gelegt ist, so wird das Übertragen der Original-Teilung auf den neuen Kreis dadurch bewerkstelligt, dass eine Art von Alhidade auf die Striche des Originalkreises eingestellt wird, worauf ein mit der Alhidade verbundener Reisser entsprechende Striche auf dem neuen Kreis liefert. Wenn nun hiebei ein seitlicher Druck ausgeübt wird, schiefe Beleuchtung stattfindet u. s. w., so entstehen Teilungsfehler. Eine solche Fehler-Ursache wirkt gewöhnlich längere Zeit, sie verändert sich allmählich, und entsprechend ändern sich die seitlichen Abweichungen der Teilstriche.

Eine andere Fehler-Ursache bei der Teilung ist auch die ungleiche Erwärmung und dadurch bedingte ungleiche Ausdehnung der Kreise. Da die Wärme-Verhältnisse sich ebenfalls allmählich ändern, so müssen auch daraus allmählich sich ändernde Teilungsfehler entstehen.

Da eine Kreis-Teilung in sich selbst zurückkehrt, so kann man zunächst nicht von dem Teilungsfehler eines einzelnen Striches reden, sondern nur von dem Fehler der relativen Lage zweier Striche; man kann jedoch irgend einen Strich, z. B. den Nullstrich, als fehlerfrei annehmen, und alle beobachteten Fehler den anderen Strichen zuweisen; wenn man z. B. findet, dass die Halbmesser für die Striche 0° und 30° 10' nicht einen Winkel von 30° 10' einschliessen, sondern den Winkel 30° 10' 1", so sagt man, der Strich 30° 10' hat den Fehler +1", obgleich man natürlich auch sagen könnte, der Nullstrich hat den Fehler — 1".

Das einfachste Mittel, eine Teilung mit Nonien-Ablesung zu untersuchen, besteht darin, dass man die Nonienlänge auf der ganzen Teilung herum trägt, und mittelst der Überteilstriche des Nonius bestimmt, oh die Nonienlänge überall ein gleich grosses Stück der Teilung deckt.

Zeigen sich hiebei Ungleichheiten, so darf man dieselben jedoch nicht ohne Weiteres als Teilungsfehler betrachten, denn es ist hiebei auch die Excentricitât wirksam (§ 55. S. 169). Jedenfalls giebt aber das Durchführen der Nonien einen ersten Aufschluss über die Teilung im ganzen, oh grobe Unregelmässigkeiten u. s. w. Vorkommen.

Wir haben den Ertehchm Theodolit der Karlsruher Sammlung (Fig. III. S. 143) in dieser Weise untersucht, nämlich den Nonius I. und den gegenüberstehenden Nonius III. von 10 ⁰ zu 10⁰ der Teilung ¹) durchgeführt und beides doppelt gemacht, wie folgender Auszug aus der Beobachtungs-Tabelle zeigt, wbbei (10 —0 ) die Differenz der Ablesungen am Anfangsstrich 0_ und am Endstrich 10 des Nonius, d. h. die Nonienlänge bedeutet, der untere Zeiger j oder ₂ bedeutet erste oder zweite Messung.

Nonius I. Teü- !(T0-—0-)j (10-—0-)2 strich J = Ni

= N.

Nonius III.

Xi-Xi W-W stricj¹⁰/ y/1 (‘Ü y/⁸

0°

5“

25

+ 5-

" IO M 03 M h-> O O W O CJI

Il II II II II II II

I—¹ " CO H-₁ I—¹ 1—1 I—¹ O Cn ÜT CTtoio

Il II II II II II II

++++++ +

++++++ +

+ 5=

10°

20° — 20= 30° — 10=

40°

390°

5=

+ 5_

10“    — 30_

_l_ 20“    — 30-

0=

0=

û- +10-    — 10-    100    190°

5=    25

Summe    -f- 170

Mittel    + 4,25-    + 5,62=

+ 225= — 55=    8175

204,4

+ 71,5    +790=    — 75-    3475

4- 17,88- + 19,75-

86,88 (1)

4-4,93-

+18,82“

1/204,4 = + 14,3=

1/86,88 = 9,3

₇/8175 4- 3475

y so

12,07=

(2)

Aus den Einzel-Ablesungen (von denen hier nur etwa der sechste Teil zur Veranschaulichung hergesetzt ist) ergab sich, wie zu erwarten war, dass die .EVZeZsche Teilung keine groben Fehler hat. Dagegen ist der Nonius 1. im Mittel um 4,9“ und der Nonius III. im Mittel um 18,8~ zu gross.

Aus den Wiederholungen finden wir die mittlere Differenz — No im Mittel = 12,07“. In jeder Differenz kommen vier Einzel-Ablesungen vor, es ist also der mittlere Fehler einer Nonien-Ablesung:

,/l2,072

a=V~Ä

= 6,03= ± 1,95"

(3)

Dieses ist gelegentlich ein Beweis, dass die Nonien-Ablesung einer grösseren Genauigkeit fähig ist, als seit Erfindung der Schrauben - Mikroskope manchmal angenommen wird.

Teilungsfehler diametraler Striche.

Wenn man eine Ausgleichung der gleichförmig über den ganzen Kreis verteilten Diametral-Ablesungen durchgeführt hat, wie wir an einem kleinen Beispiel § 56. S. 171 gezeigt haben, so kann man aus den übrigbleibenden Fehlern v einen Schluss auf die Tcilungsfehler ziehen, im wesentlichen in dem Sinn, dass jene übrigbleibenden Fehler v, soweit sie nicht durch reine Ablesungsfehler zu erklären sind, in Teilungsfehlern ihren Grund haben.

Um die Teilungsfehler von den Ablesenfehlern zu trennen, hat man auf die Bedeutung von e nach (3) , (4) und (5) § 56. S. 171 zurückzugehen:

(4)

d\ = II\ 1\ — 180°    ,    <f₂ = II₂ —1₂ — 180°

Diese Gleichungen gelten zunächst ohne Kücksicht auf Teilungsfehler. Wir wollen nun die Teilungsfehler in Rechnung nehmen, und durch das Vorgesetzte Zeichen t jeweils einen Teilungsfehler oder einen Teilungsfehler-Einfluss andeuten; damit geht (4) über in :

d^td^ilĄ+tlĄ)—(Ą+tĄ)—180° , tf₂4-fd₂ = (II₂+fiT₂)—(I₂+fI₂)-180° (5) Da aber d^ und (Z₂ sich auf diametrales Umstellen der Alhidade beziehen sollen, so kommt die Ablesung II₂ sehr nahe an die Stelle von Ą, und J₂ an die Stelle von IĄ. Man darf deswegen setzen:

(6)

tll₂ — t ij und t J₂ = t IIi

Wenn man dieses (6) in (5) berücksichtigt, und dann mit Rücksicht auf (4) subtrahiert, so findet man:

t di — Z cZ₂ _

2

di — <Z₂

2~~~ ~ ⁸

Man kann also mit dem Zeichen t auch statt (7) schreiben:

te = tll— tl

d. h. ein einzelner Wert e enthält die Differenz der Teilungsfehler für die beiden in e wirksamen Diametral-Striche. Andererseits enthält jedes e die Zusammenwirkung von vier Ablesefehlern, nach (4) und (8):

t II\ — t Ii

(?)

Dabei ist:

(8)

(9)

r = 1 1= = 1

Hiernach darf angenommen werden:

(H)

w² = 2 Z² + a² , t

Dabei ist m der mittlere Fehler nach der Ausgleichung ((20) § 56. S. 173), t der mittlere Teilungsfehler eines Striches, und a der mittlere Ablesungsfehler an einem Nonius oder Mikroskop.

Zugleich ist für die Zulässigkeit der Gleichung (11) zu bemerken, dass ein mehrfacher Zeichenwechsel der Teilungsfehler t vorausgesetzt wird.

Um die Formel (11) auf unseren .EWeZschen Theodolit anzuwenden, mag es genügen, hier mitzuteilen, dass eine Excentricitäts - Ausgleichung genau nach dem Muster des kleinen Beispiels § 56. S. 171—174 gemacht worden ist, welche für die Teilstriche 0° 10° 20° . . . 190° folgende übrigbleibende Fehler geliefert hat (in Centesimal-Sekunden) :

— 2,6“ —3,4⁼ -4- 5,7⁼ + 2,0~ + 5,0“ —0,5⁼ —0,5“ — 12,8⁼ — 7,0⁼ — 4,2= + 2,4 4-7,2 4-4,6 4-0,9 4-2,3 +1,9 —1,6 4- 7,0 —3,1 —10,5

Die Quadratsumme dieser Werte ist 570,68, also der mittlere Fehler:

m=j/

570,68 20—2

= + 5,63“ (Centes.-Sekunden)

(12)

Um die Gleichung (11) anzuwenden, brauchen wir den mittleren Ablesefehler a — + 6,03⁼ nach (3) ; indessen kommt dieser hier nicht unmittelbar zur Anwendung, weil die Ablesungen, welche in die Ausgleichung eingingen, sämtlich Mittel aus je vier Wiederholungen waren (Ablesungen am Anfangsstrich des Nonius und am Endstrich, und beides wiederholt). Es ist also hier nur zu nehmen:

= 3,015“

(13)

6,03

a = —= j/4

Setzt man diese Werte (12) und (13) in (11), so wird:

t=y

5,63² — 3,015²

= + 3,36“ oder = + 1,1"

(14)

oder in Worten : Der mittlere Teilungsfehler des Ertelschen Theodolits Fig. IV. S. 144 ist nur etwa 3 Centesimal-Sekunden oder 1 Sexagesimal-Sekunde.

Bestimmung der Teilungsfehler durch Repetitions-Messung.

Wenn man einen Winkel, der durch Repetition im ganzen Kreis aufgeht, z. B. den Winkel 45° oder 60°, durch Repetition im ganzen Kreis herum misst, so kann man dadurch die Teilungsfehler an den benützten Kreisstellen bestimmen.

+ t 60 — t 0 «₂ + U20 — t 60

a₃ + 1180 — 1120

0° bis 60° 60 , 120 „ 120 „ 180

Man denke sich z. B. einen Winkel von 60° (oder sehr nahe = 60°) 6mal gemessen: Messung von

„ 300 „ 360

ag + 10    — t 300

Mittel « +    0 — 0

Das arithmetische Mittel ist von Teilungsfehlern frei; subtrahiert man also Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

dieses Mittel von den 6 einzelnen Messungen, so bekommt man, da 10 = 0 zu setzen ist, die Teilungsfehler für die 5 Teilstriche 60° 120° 180° 240° 800°.

Übrigens ist es nur nötig, den halben Kreis von 0° bis 180° in dieser Weise zu durchlaufen, weil man immer an zwei gegenüberliegenden Nonien oder Mikroskopen abliest; und die Teilungsfehler, welche man so erhält, gelten dann für die Mittel je zweier Diametral-Striche.

Ein Beispiel einer solchen Untersuchung entlehnen wir von Helmert, welcher dasselbe in der „Zeitschr. f. Yerm. 1875“, S. 327—341, mitgeteilt hat. Es handelt sich um einen Theodolit von Starke und Kämmerer mit 16cm Kreisdurchmesser, von 10' zu 10' geteilt, mit zwei Mikroskopen mit 50facher Vergrösserung. Die Hauptzahlenwerte sind folgende:

I. Der mittlere zufällige Einstellungs- und Ablesefehler eines Mikroskops:

(15)

fle = + 1,61"

II. Der zufällige Teilungsfehler der Striche des Horizontalkreises:

(16)

fit — + 0,33"

III.    Teilungsfehler diametraler Striche:

(17)

^ j = ± 2,71"

IV.    Systematische Teilungsfehler wurden durch Repetitions-Messung mit Winkeln von 45,9° und 47,2° bestimmt. Folgendes sind die Haupt-Resultate:

Teilstriche

II

Teilungsfehler für das Mittel i-rii

der Striche

0° und 180° ° „ 210° ⁰ „ 240° ⁰ „ 270° 120° „ 300° 150° „ 330°

— 3,7"

CO 05 CO

c: o o

— 2,8"

+ 5,9"

— 0,6"

— 2,3"

— 2,2"

Mittelwert 3"

(18)

¹

Die Teilung ist centésimal. Wir schreiben 1® = 1 Centesimal-Grad = 0°54'

„    Minute = 0'32,4"

„    Sekunde = 0,324".

Die hier initgeteilten Ablesungsreihen sind im Jahr 1879, nach Anleitung des Verfassers, von dem Karlsruher Studierenden Mühlenhardt gemacht.

§ 58. Repetitions-Messung.

Nachdem die Konstruktion eines Theodolits im allgemeinen erkannt ist, ist es auch leicht, zu begreifen, wie man einen Horizontal-Winkel mit dem Theodolit messen kann : Man zielt einen Punkt links an, und einen zweiten Punkt rechts, liest beidemal beide Nonien oder Mikroskope ab, und hat den Winkel als Differenz zwischen den Ablesungen links und rechts. Das Ganze wird mit durchgeschlagenem Fernrohr wiederholt, und aus den Ergebnissen beider Fernrohr-Lagen wird das Mittel genommen.

Indem wir die Einzelheiten dieser Messungs-Art, welche auch auf mehr als zwei Zielpunkte ausgedehnt werden kann, bei der Triangulierung und bei der Polygon-Messung u. s. w. noch besonders behandeln werden, beschäftigen wir uns hier mit einer Messungs-Anordnung ganz besonderer Art, welche man Répétitions-Messung nennt.

Es wird dazu ein Theodolit mit doppeltem Axen-System erfordert, das wir bereits bei § 47. S. 136 beschrieben haben.

Die Messung geschieht in folgender Weise:

1) Man stellt bei festem Limbus das Fernrohr auf den linksseitigen Zielpunkt L und liest den Wert a₀ ab.

2)    Man stellt bei unverändertem Limbus das Fernrohr auf den rechtseitigen Zielpunkt R und liest den Wert ax ab.

3)    Man dreht den Limbus samt der Alhidade soweit zurück, dass abermals L angezielt wird; wozu die Einstellung an der Hemmung und an der Mikrometer-Schraube des Limbus gemacht wird.

4)    Man stellt bei festem Limbus, nachdem die Alhidade vom Limbus gelöst ist, das Fernrohr zum zweiten Mal auf R und findet bei der Ablesung den Wert a₂. Hat man dieses nmal wiederholt, wobei die Ablesungen a₀ aj a₂ as . . a„-1 a»

seien, so erhält man aus je zwei aufeinander folgenden Ablesungen einen Wert des Winkels, nämlich:

= Ai-— ^3

al — «0 «2 — al a3 — a2

Clin dn — X -

Da bei der Summierung die Zwischenwerte , a₂ . . a«_i herausfallen, so wird das arithmetische Mittel:

(1)

fl” «o___

Die an einem zweiten Nonius gemachten Ablesungen werden ebenso behandelt. Man pflegt hiebei den Nonius I. auf 0° 0' 0" zu stellen (oder wenigstens nahezu auf diesen Wert), und damit erhält man eine Messung, welche durch folgendes Beispiel erläutert wird:

Horizontal-Winkelmessung mit 5fâcher Repetition.

Nr.

Nonius I.

Nonius II.

0° 0' 0"

179° 59' 50"

113° 28' 0"

130° 41' 20" (261° 23' 40") (32° 5' 20") (162° 47' 20") 293° 28' 20"

5fach (293° +360°):    653° 28' 20"

lOfach:

653° 28' 10"

Differenzen 5. — 0.

1306° 56' 30" Resultat: 130° 41' 39"

Die an einem Nonius gemachten Zwischen-Ablesungen 1. 2. 3. 4. wurden bei der Berechnung des Winkels nicht benützt, und brauchen deswegen nicht gemacht zu werden. Die erste Zwischen-Ablesung dagegen (1. = 130° 41' 20") wird wenigstens an einem Nonius gemacht, damit kein Zweifel entsteht, ob während der Repetitionen der Nonius durch 360° gegangen ist, ob also am Schlüsse 360° , 720° . . . zuzuzählen ist. Auch ist die erste Zwischen-Ablesung 1. erwünscht, damit man aus ihrer Vergleichung mit dem Resultat sehen kann, ob kein grober Fehler im Verlauf der Messung vorgekommen ist.

Repetition mit Durchschlagen.

Wenn die Zahl der Repetitionen eine gerade ist, so kann man nach der ersten Hälfte das Fernrohr durchschlagen, wie folgendes Beispiel zeigt:

P® !- P ii %

Nonius I.

Nonius II.

0° 0' 0"

179° 59' 50”

148° 50' 40”

(297° 41' 20”)

CO

(86° 32' 30”) 235° 23' 0”

(Durchschlagen)

55° 23' 10”

595° 23' 20”

4fach (235° -+-360⁰): 595° 23' 0”

Resultat:

595° 23' 10” 148° 50' 47,5”

Repetition mit Zwischen-Ablesungen.

Wenn die Zwischen-Ablesungen 1. 2. 3. . . . an beiden Nonien ebenso genau wie die Anfangs- und die End-Ablesungen gemacht sind, so darf inan nicht schlechthin nach der Formel (1) rechnen, wenn man nicht einen Teil der Messungen verloren geben will. Die Ausnützung der Zwischen - Ablesungen ist aber schwierig, weil man dabei die mittleren Fehler des Zielens und des Ablesens (oder wenigstens deren Verhältnis) kennen muss. Bei einem zwölfzölligen Theodolit, mit welchem je die fünfte Ablesung gemacht wurde, rechnete Bessel („Gradmessung in Ostpreussen“ S. 77) nach folgenden Formeln:

«5 — «o

Gewicht = 1,8

für n — 5

n = 10

a _ °10 — «0

A - -ri-

10

= 4,8

n — 15

5 («i5 — «o) + («io — a5)

80

= 8,2

(2)

n — 20

4 («20 — «p) -t- («15 — «5)

90

= 11,7

= 15,2

19 (<*25— ao) -t~ 5(«20—(5t5) + (rt15—alo)

555

Die Begründung dieser Formeln steht im Zusammenhang mit der nachfolgenden Fehler-Theorie der Repetitions-Messung. Wir lassen uns jedoch auf die Begründung der vorstehenden Formeln nicht ein, weil, statt der Repetition mit Zwischen-Ablesungen, es vielmehr zu empfehlen ist, nach 5 oder 10 Repetitionen die Messung abzuschliessen, und unabhängig von neuem zu beginnen.

(Zudem haben sich die Gewichts-Annahmen, welche den vorstehenden Bessel-schen Formeln zu Grunde liegen, später durchaus nicht bewährt, wie mitgeteilt wird in der „Gradmessung in Ostpreussen“ S. 136—137, und in dem Werk: „Die Königl. Preuss. Landes-Triangulation, Haupt-Dreiecke I. Teil“ (Berlin 1870) S. 45.)

Fehler-Theorie der Répétitions-Messung.

Es sei a der mittlere Einstell- oder Zielfehler des Fernrohrs und ß der mittlere Fehler der Ablesung an der Teilung für das Mittel aus beiden Nonien.

Wenn man einen Winkel einfach misst, indem man links einstellt, dann rechts einstellt, und jedesmal abliest, so kommen hiebei zwei unabhängige Zielfehler a und zwei unabhängige Ablesefehler ß in Betracht, und der mittlere Fehler des Winkels ist demnach:

M] = ]/a² -f- a² -f- ß² -+- ß² = "j/2 (a² -j- ß²)

Wiederholt inan dieses nmal unabhängig und nimmt das Mittel, so wird der mittlere Fehler dieses Mittels durch Division mit ]/w erhalten, also:

Mn =

Mi

⁼ ///¥(a2+i92)

(3)

Misst man dagegen denselben Winkel durch n fache Repetition ohne Zwischen-Ablesungen, so ist die Differenz an — a₀ zwischen der letzten und ersten Ablesung, behaftet mit den Fehlern von 2 n Einstellungen, aber nur von 2 Ablesungen. Der mittlere Fehler der Differenz an — a₀ ist daher :

M = |/2n a² -f- 2/?2

Aus der Differenz a„ — a₀ berechnet man den Winkel a selbst durch Division mit m, und der mittlere Fehler Mr der Repetitions-Messung a wird entsprechend aus M berechnet :

(4)

Mr =

K₌r/TUT£)

n Y n \ n)

Die Vergleichung der zwei Ausdrücke (3) und (4) zeigt deutlich, dass der Repetitionsfehler Mr kleiner ist als Mn, und zwar umsomehr, je grösser der Ablesefehler ß im Vergleich mit dem Ein stellfehler « ist. Da ausserdem bei der Repetition die Arbeit der Zwischen-Ablesungen fortfällt, so ist hiernach die Repetition im Vorzug vor der einfachen Messung.

Um Zahlenwerte einzuführen, braucht man bei (3) nur a² -j- ß² zusammen zu bestimmen, während man diese Grössen für die Einführung in (4) getrennt haben muss.

Es sind zwei ältere hierauf bezügliche Untersuchungen vorhanden, nämlich von Struve, mitgeteilt in den „Astron. Nachr. 2. Band (1824)“ S. 431 - 440, 451—454, 457—464 und von Bessel in den „Astr. Nachr. 11. Band (1834)“ S. 269—290, sowie „Gradmessung in Ostpreussen“ S. 73.

Struve fand den Zielfehler « = + 1,06" und den Ablesefehler an einem Nonius ß\ = HF 1,04", also für das Mittel aus beiden Nonien ß = ßi : "j/2 = + 0,74".

Bessel fand « = + 0,84" und ß^ = ± 1,87" für das Mittel aus 4 Nonien, also für 2 Nonien: ß = ^₄|/2=± 2,64". (Hiezu gehört die schon oben bei den Bessel-schen Formeln (2) gemachte Anmerkung über die später erfolgte Änderung dieser Annahmen für a und für ß.)

Auch einzelne Resultate von § 57., (3) , (14) , (15) bis (18), S. 176—178, sind zur Vergleichung hier beizuziehen.

Um zu einer summarischen Vergleichung der Genauigkeit der einfachen Winkel-Messung und der Repetitions-Messung zu gelangen, nehmen wir in runden Zahlen

a = ± 1" und ,-? = ± 2" einschliesslich Teilungsfehler. Damit gehen die Formeln (3) und (4) über in:

.=/

Mr

(5)

damit erhält man folgende Vergleichung:

Mittlerer Winkelfehler

Anzahl:

n unabhängige Wiederholungen :

n fache Repetition :

(6)

Ot

Si »

±3,2"

± 1,4"

± 1,0"

^ N S

l -S -i

= ± 3,2" = ± 0,9" = ± 0,5"

Konstante Felder der Répétitions-Messung.

Die grosse Genauigkeit der Répétitions-Messung entsprechend der Formel (4) und der Tabelle (6) wird in der Praxis nur teilweise bestätigt. Man hat gefunden, dass die Répétitions - Messung mit kleinen konstanten Fehlern behaftet ist, welche durch die Reibung zwischen dem Limbus und der Alhidade und ähnliche Umstände wohl erklärlich sind.

Im Jahr 1824 hat Struve in den „Astr. Nachrichten“ 2. Band, S. 434 hierauf aufmerksam gemacht, und als Beispiel mitgeteilt, dass er bei der Repetition mit der Teilung und gegen die Teilung eine konstante Dilferenz von etwa 2" fand.

Wir haben diese Sache durch zahlreiche Zusammenstellungen von Repetitions-Messungen der badischen Triangulierung weiter verfolgt.

Die Messungen, welche mit Instrumenten von der Art Fig. III. S. 143 für das Basis-Netz Fig. 1. grösstenteils in der Zeit von 1844—1845 von den Beobachtern Klose und Rheiner gemacht wurden, sind in der Tabelle S. 183 zusammengestellt. Dabei ist jeder Einzelwert, z. B. 45,28230, seihst wieder ein Mittel aus 2—3 Resultaten je 6facher Repetitionen.

Die Winkel sind in neuer Teilung (Centesimal-Teilung) angegeben.

Mit A und A' sind solche zusammengehörige Winkel bezeichnet, deren Summe = 400 Grad neue Teilung sein soll. Die Abweichung der Summe A + A' gegen 400 Grad zeigt also den doppelten konstanten Repetitions-Fehler.

Fig. l.

Badisches Basis-Netz. (Massstab 1: 400 000.)

Bingen

Gr

Ar

'S

Neuenbv.rff

Gr. = Griesheim

C = Casteiberg Basis SN— 2124,6499«*.

Standpunkt

Zielpunkte

Répétitions - Messung

Summe

links rechts

von links nach rechts

von rechts nach links

A'

AĄ- A' — 400 °

Bingen

c.

N.

Neu.

C.

Gr.

Gr.

Casteiberg

Neu.

S.

S.

N.

N.

Neu.

Bi.

N.

N.

S.

Bi.

Bi.

45,28230

10,39364

55,67538

41,54462

24,81295

115,41660

66,35745

49,05891

73,87096

354,71728

389,60621

344,32392

4,2

1,5

7,0

358,45503

375,18736

284,58272

333,64196

350,94090

326,12807

3,5

3,1

6,8

5,9

1,9

9,7

Neuenburg

Gr.

Gr.

Bi.

S.

S.

Bi.

C.

Gr.

C.

Bi.

C.

S.

16,13034

27,57810

27,85187

39,30021

55,42971

11,44816

Griesheim

Bi.

N.

N.

S.

S.

Bi.

N.

S.

36,04531

32,05925

105,37100

68,10403

383,86965

372,42122

372,14782

360,69980

344,56973

388,55170

363,95495

367,94077

294,62938

331,89535

0,1

6,8

3,1

0,1

5,6

1,4

2,6

0,2

3,8

6,2

Nördlicher

Basis-Endpunkt

C.

S.

S.

N.

C.

Gr.

Gr.

86,76009

54,01913

140,78031

313,23962

345,97967

259,21974

2,9

— 12,0

Südlicher

Basis-Endpunkt

Gr.

N.

N.

s.

Gr.

C.

Neu.

Neu.

C.

Gr.

N.

113,92008

88,42678

202,34733

67,04999

180,97011

286,07934

311,57228

197,65213

332,94991

219,02950

5,8

9,4

5,4

1,0

3,9

—104,1 Hh 10,3

— 93,8

Mittel

3,47= —1,12" (7)

Unter diesen 27 Fällen ist die Summe A -+- A' in 21 Fällen negativ und nur 6mal positiv. Der konstante Repetitionsfehler ist für diese Messungen im Mittel nur 0,56". Misst man, wie bei dem badischen Basis-Netz geschah, alle Winkel in zweifacher Weise, A und A', so ist das Mittel von den konstanten Repetitionsfehlern hinreichend befreit.

Auch ohne weitere Berechnungen zeigen die vorstehenden Zahlenwerte auf einen Blick, welch schöne Resultate durch die Repetitions-Messung erreicht werden können.

Einfluss des Vertikal-Axenfehlers auf die Repetitions-Messung.

Bei der Repetitions-Messung kommen zwei vertikale Axen in Betracht, nämlich die Limbus-Axe und die Alhidaden-Axe. Es hat gewisse Schwierigkeit, diese beiden

Axen genau identisch zu machen, und es entsteht die Frage, ob man die Libellen-Axe rechtwinklig zur einen oder zur andern stellen, und entsprechend bei der Messung die eine oder die andere vertikal machen soll. Wir betrachten diese zwei Fälle getrennt:

1)    Die Limbus-Axe ist vertikal. Die Alhidaden-Axe beschreibt im Verlauf der Repetition eine Kegelfläche um die Limbus-Axe, und wenn v der Winkel beider Axen ist, so ist die Neigung der Alhidaden-Axe gegen die Vertikale, worauf es hauptsächlich änkommt, unter allen Umständen = v, und wenn man hei der Repetition im ganzen Kreis herumkommt, so nimmt auch das Azimut der Alhidaden-Axe nach und nach jeden Wert an, und es ist deswegen zu vermuten, dass der von diesem Azimut abhängige Einfluss des Fehlers v auf die Resultate der Einzelmessungen verschieden aus-fallen wird, so dass er im arithmetischen Mittel nicht einseitig wirken kann.

2)    Die Alhidaden-Axe ist am Anfang der Messung vertikal, und die Limbus-Axe, welche mit der Alhidaden-Axe den Winkel v macht, ist somit nicht vertikal. Im Verlaufe der Messung beschreibt die Alhidaden-Axe einen Kegel um die schief stehende Limbus-Axe und nimmt somit nach und nach alle Neigungen zwischen 0 und 2 v gegen die Vertikale an, es ist also die Maximal-Neigung 2 v doppelt so gross als die Neigung v beim Falle 1). Ferner kann das Azimut der Alhidaden-Axe nicht alle Werte von 0 bis 360° durchlaufen, sondern nur Werte zwischen einem Intervall von 180°.

Wir stellen eine Berechnung an für den Einfluss des Fehlers v auf die Repetitions-Messung, unter Voraussetzung des unter 1) angegebenen Falles, dass die Limbus-Axe vertikal ist. (Nach Helmert: „Über das Vertikal-Axen-System des Repetitions-Theodolits“. Zeitschr. f. Verm. 1876 S. 296 und 1877 S. 32.)

Wenn die Limbus-Axe vertikal gestellt wird, so wird die Alhidaden-Axe beim Umdrehen um die vertikale Limbus-Axe eine Kegelfläche beschreiben und stets einen Winkel v mit der wahren Vertikalen bilden. Wird ein Zielpunkt genommen, der den Höhen-Winkel h hat, so ist der zugehörige Projektions-Fehler nach (7) § 53. S. 164:

(8)

(«) = v sin u tang h Dabei ist u der Azimutal-Winkel der Ziellinie, gezählt von der Richtung der grössten Neigung der schiefen Limbus-Ebene (vgl. Fig. 4. § 53. S. 164). Es ändert an der Sache nichts, wenn wir statt u den Komplement-Winkel nehmen:

(9)

90° — u — (/)

(10)

Damit wird (8) :

(v) — v tang h cos q>

Wird ein zweiter Zielpunkt, rechts vom ersten, genommen, welcher den Höhen-Winkel ln! hat, und gegen den ersten Zielpunkt in horizontalem Sinn den Winkel A macht, so ist der dazu gehörige Projektions-Fehler entsprechend (10):

(11)

(«') = v tang 1! cos (tp + A)

Die Differenz der Ausdrücke (10) und (11) ist der Fehler des einfach gemessenen Winkels A, also:

(12)

A₁ A = v (cos (cp -f- A) tang h' —- cos <p tang h)

Wird nun repetiert, so erhält man nach und nach folgendes: A₂ A = v (cos (cp —(— 2 _A) tang h! — cos (<p A) tang h) AsA = v (cos (<p 4- 3 A) tang b! — cos (q> -j- 2 A) tang h)

A„ A — v (cos (?i+«4) tang h' — cos (q> -j- (n — 1) A) tang h)

Der Fehler A A des durch n fache Repetition erhaltenen Winkels A ist das arithmetische Mittel:

(14)

Zur Summierung von (12) und (13) betrachten wir die Summe der ersten Glieder, und die Summe der zweiten Glieder getrennt, und setzen :

v S' tang h' - v S tang h

(15)

Zunächst werde die zweite Summe S näher betrachtet, nämlich:

S = cos g> -f- cos (g> -+- A) -+- cos (<p -+- 2 A) -l- ... cos (<p -+- [w — 1 ] A) Nach Andeutung von Fig. 2. kann man diese Summe S betrachten als die Projektion eines regelmässigen Polygons

(16)

Fig. 2.

Hilfsfigur zu Gleichung (16).

(0) (1) (2) (3) . . . (n)

Dieses Polygon, dessen Seiten (0) (1) = (1) (2) = ... alle = 1 gesetzt sind, wird auf die X-Axe eines Coordi-naten- Systems projiziert, wobei die erste Seite (0) (1) das Azimut q> hat. Der Centriwinkel ist = A, und daraus er-giebt sich für die zweite Seite (1)(2) das Azimut <p A, für die dritte Seite g> 2 A u. s. f.

Da die Sehne (0) (1) =1 gesetzt ist, so ist der

IV

\r

(3)

Kreishalbmesser r =

cosec

Y > und die Sehne (0) (n) be-

nA

nA

(n)

Das

rechnet sich daraus 2 r sin = sin cosec

U    Li

zur Projektion der Sehne (0) (n) erforderliche Azimut dieser

T*

A

Sehne (0) (n) findet sich durch mehrfache Zusammensetzung — ₉ -i- (n — 1) lieh ist die Summe (14) nun ausgedrückt durch:

, folg-

Y COS [q, -Ą- {n — 1) Y^j

(17)

S = sin n ^ cosec

Dieses gehört zur Summe der zweiten Glieder von (12) und (13). Wir haben in (15) den Faktor für die Summe der ersten Glieder von (12) und (13) entsprechend mit S' bezeichnet und finden, dass S' sich von S nur dadurch unterscheidet, dass überall q> -t- A an Stelle von q> tritt. Es ist also :

S' = sinn — cosec

cos

(* + (» + !) y)

(18)

Nun kann man aus (15) (17) und (18) unser Resultat bilden:

sinn

cos

(g> + (n + 1) yJ tan9 h'

cos (<p + (n

tang h

n . A sin

Wenn hier nA = 360° oder 720° u. s. w. ist, d. h. wenn der zu messende Winkel A im ganzen Kreis aufgeht, so dass die Repetition wieder auf den Anfangs-

A

A A — 0 ; d. h. in diesem Falle (welchem ein geschlossenes regelmässiges Polygon Fig. 2. entspricht) wird der Vertikal-Axenfehler v eliminiert.

Kapitel VII.

Coordinaten- und Azimut-Rechnung.

§ 59. Erklärungen und Vorbereitungen.

Die Lage eines Punktes in einer Ebene ist bestimmt durch seine rechtwinkligen Coordinaten y und x.

Man giebt den Coordinaten algebraische Vorzeichen -f- und — zur Unterscheidung der Eichtungen, nach welchen sie auf den Coordinaten-Axen abzumessen sind. Z. B. in Fig. 1. hat der Punkt P die Coordinaten -+- y und +£C, P' hat -\-y und —x, P" hat —y und —x u. s. w.

Fig. 1.

Rechtwinkliges Coordinaten-System.

Die Richtung eines vom Coordinaten-Ursprung 0 (Fig. 1.) ausgehenden Strahls OP ist bestimmt durch den Winkel «, um welchen man die -j- X-Axe in dem Sinn von -j- X über -f- Y drehen muss, um sie auf jenen Strahl OP zu bringeu.

Man nennt diesen Winkel a Richtungswinkel, *) oder ebenes Azimut-, oder auch schlechthin Azimut (wenn keine Verwechslung mit dem Azimut der Erdmessung und der Astronomie zu fürchten ist).

Ein Azimut liegt nach dieser Erklärung immer zwischen den Grenzen 0° und 360°; da aber eine Drehung um 360° vorwärts oder rückwärts die Lage eines Strahles nicht ändert, so ist auch die Zufügung eines beliebigen ganzen Vielfachen von + 360° zu jedem Azimut gestattet, ohne dass dadurch der Wert des Azimutes für die hier in Frage kommenden Zwecke geändert würde.

ln der Landmessung pflegt man ein Coordinaten-System fast immer so zu legen, dass —(— as nach Norden und -+- y nach Osten gerichtet ist; und die Azimut-Zählung geht dann von Nord über Ost. **)

Ausserdem kommen für besondere Zwecke auch örtliche Systeme vor, welche gar nicht nach den Himmelsrichtungen gelegt sind, sondern nach irgend welchen an-

n"'

oP

op"

+X

_„-y-op

op'

_ \f

+Y

Fig. 2.

Badisches Coordinaten-System.

*) Bei der preussischen Kataster-Vermessung ist hiefür die Benennung Neigungswinkel oder kurz Neigung eingeführt.

-y

**) Eine Ausnahme hievon macht in Deutschland nur das badische Coordinaten - System Fig. 2., welches mit dem Ursprung Mannheim, -4- X nach Süden und Y nach Westen zählt, und entsprechend die Azimute von Süden über Westen.

so

deren Rücksichten, z. B. -\~x nach der Hauptverstreckung einer Eisenbahn u. s. w. In solchen Fällen soll man aber doch immer die Axen so legen, dass von 4- x nach 4- y die Drehung im Sinne des Uhrzeigers geht, denn dann sind alle unsere Formeln gültig.

Ausgeschlossen ist in der Landmessung die in der analytischen Geometrie gebräuchliche Lage mit -f- X nach rechts und -f- Y nach oben, weil hiebei die Drehung von -+• ^ na°h 4- Y nicht gleich wäre mit der sonst allgemein als positiv geltenden Drehung im Sinne des Uhrzeigers, nach welcher auch alle Winkel-Messinstrumente geteilt sind.

Die Coordinaten-Systeme des Deutschen Reiches.

Rechtwinklige Coordinaten-Systeme, nicht bloss auf Feld-Marken und Städte, sondern auf ganze Länder mit Hunderten von Quadrat-Meilen ausgedehnt, wurden zuerst in Süddeutschland angelegt, in München, Tübingen, Mannheim, Darmstadt, ferner Kassel, Göttingen, später auch in Preussen mit 40 Systemen¹). Alle diese Systeme sind in Fig. 8. zusammengestellt.

Fig. 3.

Übersicht der deutschen Coordinaten-Systeme.

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JL

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3é

JL

Dieses sind allerdings keine ebenen Coordinaten-Systeme, weil auf so weite Ausdehnung die Erdkrümmung nicht vernachlässigt werden darf, sondern es ist die Erdkrümmung nach der Soldnerschen Methode berücksichtigt (mit Ausnahme von Göttingen, welches Gausssche „konforme“ Coordinaten hat); indessen in kleinen Bezirken dürfen diese Coordinaten völlig wie ebene Coordinaten behandelt werden.

Die meisten Zahlen-Beispiele in den nachfolgenden Abschnitten dieses Buches beziehen sich auf das althannoversche Gausssche Coordinaten-System mit dem Ursprung Göttingen, -+-X nach Norden, + Y nach Osten (vgl. Band I. § 60. S. 146). Obgleich dieses Coordinaten-System in seiner Gesamtausdehnung die Erdkrümmung berücksichtigt, können wir doch bei der Triangulierung der Stadt Hannover und deren Umgebung die Coordinaten schlechthin als ebene rechtwinklige Coordinaten behandeln, wie in der Folge geschehen wird.

Wir geben in der nachfolgenden Fig. 4. sofort auch eine Übersicht einer Triangulierung von Hannover, welche von uns 1883—1884 für Schul-Zwecke angelegt wurde, mit den zwei von Bd. I. S. 146 und 151 erhaltenen Basis-Punkten:

y= — 13879,79™ — 16145,7 6

æ = + 93575,89™ — 92808,28.

Ägidius, Turmmitte Wasserturm, Flaggenstange

Fig. 4.

Übersicht einer Triangulierung von Hannover.

y=+96000

>»

y=-i6ooo

l£

>>

Limmen

Techn. Hochschule.

y=-Mooo

£2

ii

| *=+95 000

Christus.

v%

Kreuz!

^Wlarkt.

X= + 94000

Neusfadter.

Aegidius.

aterloo. !

i X«+ 93 000

Wasserthurm.

UHûooo 600 m

g-;

-*-i

t,

Cf)

N>

§ 60. Grundformeln der Coordinaten- und Azimut-Rechnung.

Einige einfache Formeln kommen bei den Berechnungen des Landmessers täglich vor, es kommt darauf an, sich über dieselbe von Anfang völlig klar zu werden.

In Fig. 1. sind zwei Punkte P und P durch Coordinaten gegeben:

P habe die Coordinaten y x P

71    *

In § 59. S. 186 wurde nur von dem Azimut eines vom Ursprung ausgehenden Strahles gesprochen ; man teilt aber auch jedem anderen Strahl ein Azimut zu, und definiert dasselbe so: Wenn von einem Punkte P ein Strahl PP' ausgeht, so erhält man das Azimut dieses Strahles, wenn man durch P einen Strahl PQ parallel und gleichlaufend mit der + X-Axe zieht, und denselben im positiven Sinn so lange dreht, bis er mit dem Strahl PP' zusammenfällt. Der Betrag dieser Drehung ist das Azimut des Strahles PP'.

Da durch zwei Punkte zwei Strahlen bestimmt sind, gieht es auch zwei entsprechende Azimute. In Fig. 1. ist angedeutet:

der Strahl von P nach P' hat das Azimut a P' P

D    d    t    n    n n

Fig. 1.

y' *

+x

0h

-X

çi—y-y-------)

x^x

! ot

r>

a'

(P'P)

(PP")

(2)

Die Azimute a und a eines Strahls und seines Gegenstrahls unterscheiden sich immer um 180°, d. h. :

a' = a± 180°

(3)

Die Willkür +180° oder —180° stimmt mit der Thatsache, dass eine Drehung um 360° die Lage eines Strahles nicht ändert. In den Azimut-Rechnungen sind die folgenden, algebraisch sonderbar aussehenden, Gleichungen gültig:

— 360° = 0

(4)

+ 180° = —180°    ,    + 360° = 0

Häufig bezeichnen wir ein Azimut durch zwei Buchstaben in einer Klammer, z. B. ist {PP') das Azimut des

Azimut des von P' nach P gehenden Strahles. Dabei ist wieder:

von

P nach P' gehenden Strahles, und {P'P) das

{PP) = (P'P) ± 180°

In Fig. 1. sind die Azimute zweifach bezeichnet, es ist:

(5)

(6)

mute gelten.

(PP') = «    (P' P) = «'

Zugleich beziehen sich die Pfeil - Zeichen auf die Richtung, in welcher die Azi

Auch die Entfernung beider Punkte P und P', welche man sonst mit PP' bezeichnet, ist in Fig. 1. nochmals besonders mit a benannt.

Nach diesen Erklärungen entnehmen wir aus Fig. 1. folgende zwei Gleichungen:

x' — x — a cos a

y' — y — a sin a oder mit Anwendung der zweiten Bezeichnungs-Art : y' — y — PP' sin {PP')

x' — X = PP' cos {PP')

(7)

(7)

Diese Gleichungen haben allgemeine Gültigkeit für alle Fälle der Vorzeichen von y' — y und x' — x und des Quadranten von «, bzw. {PP'), wenn die Entfernung a bzw. PP' immer positiv genommen wird, und wenn sin und cos in den 4 Quadranten mit ihren Vorzeichen gezählt werden, nämlich:

Quadrant

1 II III IV

sin

cos

Beispiele hiefür:

I. Quadrant

sin 25° = + sin 25° cos 25° = -f- cos 25°

0° bis 90°

II. Quadrant 90° bis 180° sin 108° = + cos 18° cos 108° = — sin 18°

III. Quadrant 180° bis 270° sin 220° = — sin 40° cos 220° = — cos 40°

IV. Quadrant 270° bis 360° sin 307° = — cos 37° cos 307° = + sin 37°

Durch Umkehrung der Strahlen-Richtung kann man aus Fig. 1. S. 189 auch noch folgende weitere Gleichungen entnehmen: y — y' = a sin d y — y' = P' Psin (P' P)

x — od — a cos d x — x' — P' P cos P' P Wir nehmen hiezu ein Zahlen-Beispiel nach Fig. 4. § 59. S. 188: Gegeben sind die Coordinaten des Punktes Technische Hochschule, Eisenplatte E, y — — 15 266,91™

Die Entfernung von E nach der Waterloo-Säule ist:

Das Azimut von E nach der Waterloo-Säule:

(8)

oder:

(8')

x = 4- 95 002,25™ a = 1851,02™ a = 160° 46' 46"

(9)

Gesucht sind die Coordinaten y' und x' der Waterloo-Säule. log a log sin a

3.267 411

9.517 467

log a log cos a

3.267 411

9.975 091 n

2.784878 a sin a = -(- 609,37

Hiezu (9): y = — 15 266,91 Waterloo:    y' — — 14 657,54™

log a sin a

log a cos a log a cos « =

3.242 502 n - 1747,84

x = + 95 002,25

x' = + 93 254,41™

(12)

(13)

Die Umkehrung dieser Aufgabe in allgemeinen Zeichen ist:

Es sind die Coordinaten zweier Punkte gegeben:

Punkt P mit Coordinaten y und x

y' t

Es soll das Azimut von P nach P', d. h. {PP') = a, und die Entfernung PP' = a berechnet werden.

Hiezu geben die Gleichungen (7):

tang a

_ y' —y

sin a

Diese einfachen Gleichungen veranlassen zu verschiedenen Überlegungen :

_ y' -v

x' — X oder

x' — x

cos a

(14)

(15)

Die Gleichung (15) an und für sich ist für « zweideutig, denn wenn irgend ein Wert a der Gleichung genügt, so genügt auch der Wert « + 180° derselben Gleichung (15).

Es besteht aber in den zwei Gleichungen (16) eine Nebenbedingung, nämlich, dass die Entfernung a stets positiv aus den beiden Gleichungen (16) hervorgehen soll, dass also sina das Vorzeichen von y' — y und cos a das Vorzeichen von x! - x haben muss.

Man leitet hieraus die mechanische Regel ah:

« liegt im Quadranten:    I II III

v' — V

,--die Vorzeichen hat:

x — x

(Vgl. hiezu auch die Anmerkung I. am Schlüsse dieses §.)

Hiernach berechnen wir die Umkehrung des Beispiels (9) bis (13), nach den Formeln (15) und (16):

Es sind die Coordinaten der technischen Hochschule und der Waterloo - Säule gegeben ; es soll das Azimut und die Entfernung von Techn. Hochschule nach Waterloo-Säule berechnet werden:

Punkt jenseits: P' Waterloo-Säule y'— — 14 657,54 „    „ P Techn. Hochsch. 2/ = — 15 266,91

wenn der Bruch

£c'= + 93254,41 x = —(- 95 002,25

(17)

Differenzen: y‘y = -f 609,37 x'-—x= —1747,84    (18)

log {y' — y) 2.784 881 log {cd—x) 3.242 502w

log tanga 9.542 379 n

(19)

Ehe man hiezu a aufsucht, überlegt man den Quadranten nach (17). Wir haben diesesmal:

y' — y _

cd —x

, also den II. Quadranten.

Hier ist a zu betrachten als 90°-f a, wenn a ein spitzer Winkel ist. Man geht mit 9.542379 in die Cofan</-Spalte der Tafel ein und findet daselbst: a' = 70° 46' 46", also:

a = 90° + a' = 160° 46' 46"

(20)

Die Weiterrechnung nach den beiden Formeln (16) giebt:

log {x' — x) 3.242 502 n log cos a

log (y'— y) 2.784 881 log sin a

9.517 467

9.975 091 n

log a 3.267 411 a = 1851,02™

(21)

(22)

log a 3.267 414 a = 1851,04™

Diese beiden Resultate stimmen nicht genau überein; das zweite a = 1851,02™ ist das schärfere.

Dieses giebt zu einer weiteren Betrachtung Veranlassung:

Von den beiden Funktionen sin a und cos a ist hier immer eine erheblich genauer, und zugleich bequemer, als die andere, nämlich diejenige, welche in der Loga-rithmen-Tafel rechts steht, und diese gehört immer zum grösseren der beiden Werte y' — y und cd — X.

D. h. also: man rechnet die Hypotenuse a genauer und bequemer aus der grösseren Kathete y' — y oder x' — x. Dieses ist an und für sich sehr begreiflich, und wird so bewiesen:

Die Spalte rechts ist cos oder sin, je nachdem die Überschrift oder die Unterschrift gilt, oder je nachdem der Winkel a kleiner als 45° oder grösser als 45° ist, d. h. wenn y' — y < x' — x oder y' — y > x' — x. Man soll also mit cos rechnen, wenn x' — x das grössere; und mit sin, wenn y' — y das grössere ist.

Um die Wahl sin oder cos von vornherein unbestimmt zu lassen, lassen wir zwischen logsin (yf— y) und logsin (xr — x) zunächst eine Linie frei, und füllen dieselbe nachher mit der dekadischen Ergänzung von Spalte rechts aus, unbekümmert, oh das sin oder cos ist, und nehmen das dann zu dem grösseren der beiden darüber und darunter stehenden Logarithmen.

Die Ausrechnung des vorigen Beispiels nach dieser Anordnung gestaltet sich so: Punkt jenseits P Waterloo-Säule

x' = -\- 93 254,41 x = + 95 002,25

y' = — 14 657,54 diesseits P Techn. Hochschule y = — 15 266,91

Differenzen y' — y =

+ 609,37 x' — x= —1747,84 (23)

zum grösseren, giebt log a

Unsere trigonometrischen Tafeln haben folgende Einrichtung:

rechts log cos

links log sin

log tang

log cotg

log cos

log cotg

log tang

log sin

log (y' — y) 2.784 881 Ergänzung log (sin a oder cos a) 0.024 909 log (x' — x) 3.242 502 n

log tang a 9.542 379«

« = 160° 46' 46"

(24)

log a 3.267 411

a = 1851,02”*

Dieses stimmt mit (20) , (21) und (22), wie es sein soll.

(25)

Wenn es sich um Entfernungen allein, ohne Azimute handelt, so kann man auch nach der Formel rechnen:

(26)

a = y(y' — y)S+ (*' — ») 2

welche durch Quadrieren und Addieren von (7) entsteht, oder auch unmittelbar aus Fig. 1. S. 189 abgelesen werden kann. Dabei ist vorausgesetzt, dass man eine Quadrattafel zur Verfügung habe, denn andernfalls ist die logarithmische Rechnung mit dem Azimut als Hilfswinkel vorzuziehen.

Kontr oll-Rechnung für das Azimut.

Bei der Preussischen Kataster-Vermessung ist folgende Kontroli - Rechnung der Azimute im Gebrauch:

tang a —

tang (45° -f- a)

tang (45° -(-«) =

(wobei A y = y' — y und /I x — x' — x)

tang 45° -f- tang « v 1 + tang «

— 1 — tang 45° tang a~~ 1 — tang a

A x_Ax-\- /J y

j A y A x — Ay

Ay

Ax

Für das vorstehende Beispiel (23) giebt dieses : x' — x — Al x = — 1747,84 y' — y — A y z=-\- 609,37 Ax + A y = — 1138,47 A x — A y = — 2357,21

log (A x A-A y) 3.056 322 n log (A x — A y) 3.372 398 n log tang (45° +a) 9.683924

(27)

45° + « = 205° 46' 46" a = 160° 46'46"

Dieses stimmt mit (24), wie es sein soll.

Diese Probe ist in manchen Fällen erwünscht, indessen werden dadurch die Subtractionen y' — y = A y und x' — x = Ax nicht controlliert.

¹

Weiteres über die 40 Preussischen Coordinaten-Systeme ist mitgeteilt in der Anweisung IX. vom 25. Okt. 1881 S.387—848, vgl. auch „Zeitschr. f.Verm. 1883“ S.21—22.

Anmerkungen.

I. Um bei der Azimut-Rechnung nach der Formel (15) S. 190 mit der Regel (17) S. 191 ganz sicher zu gehen, haben wir folgende Hilfs-Regeln für das Gedächtnis gebildet:

y'—y

x'—X

1)    Hat man in dem Bruch Quadranten und Alles ist einfach.

2)    Hat man die Vorzeichen —, so liegt (PP) im dritten Quadranten, man ver

die Vorzeichen

so liegt (PP) im ersten

fährt dann zuerst wie bei 1), und schlägt zu dem so erhaltenen Wert 1) noch 180° zu.

, so schlägt man jedenfalls den fraglichen Logarithmus

3) Hat man

oder

als log cotang auf, statt als log tang, wie seine Benennung zunächst verlangen würde. Zu dem so erhaltenen Winkelwert addiert man noch Neunzig oder Zweihundertund siebzig

y'—y

x'— X

Grade, je nachdem das Zeichen — im Nenner oder im Zähler des Bruches Dieses giebt folgende Tabelle:

Gerade Fälle:

taug bleibt, Zuschlag von 0°

Ungerade Fälle :

stand.

180°

tang geht über in cotang,

Zuschlag von 90°

—    im Nenner giebt Neunzig Grad

—    im Zähler giebt Zweihundertsiebzig Grad.

270°

II. Wenn man veranlasst ist, eine Figur mit eingeschriebenen Bezeichnungen für Winkel und Azimute zu benützen, so nimmt man für die Winkelhervorhebung bekanntlich Bogenstücke; die Azimute kann man zwar auch so bezeichnen, z. B. in Fig. 1. S. 189 sind auf diese Weise die Azimute (PP') = a und (P'P) = a angedeutet. Sobald man aber einigermassen mit den Azimut-Rechnungen vertraut ist, nimmt man die einfachere und übersichtlichere Bezeichnung durch Pfeile. Z. B. in nebenstehender Fig. 2.

(welche von Band I. S. 303 wieder hergesetzt ist) sind die Azimute von A nach P mit und von B nach P mit ip durch Pfeile hervorgehoben, und man kann daraus unmittelbar z. B. folgende Gleichungen ablesen :

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Fig. 2.

'a.

13

-------»}

yp = ya-\-b sin q> oder =yb-\-a sin xp X), = xa -+- b cos (f> oder = xb -j- a cos xp

xp = (BP) = (BA) + ß 9> = (AP) — (AB) —a

y = (PA)-(PB)

u. s. w.

= (xp + 180°) — {[xp + 180°) = <p — xp

Die Coordinaten seihst braucht man nicht in die Figur einzuzeichnen.

Es ist übrigens von grosser Wichtigkeit, die Rechnungen mit Coordinaten und Azimuten von dem Anblick einer Figur möglichst unabhängig zu machen, obgleich natürlich der Anfänger sehr wohl daran thut, eine Figur aufzuzeichnen, sei es mit dem Maassstah und Transporteur, oder wenigstens nach nahezu richtigen Verhältnissen, so dass die Vorzeichen der Coordinaten-Differenzen, die Quadranten der Azimute,, und Ähnliches, controlliert werden können.

Die Formeln gelten aber ganz allgemein für alle in einer Figur darstellbaren Verhältnisse, und erst wenn bei den häufig vorkommenden Rechnungen das Gängelband der jeweiligen Figurenaufzeichnung ahgeworfen ist, kann von Rechenpraxis die Rede sein. Dagegen ist natürlich ein Uehersichtsnetz für jede grössere polygonometrische und trigonometrische Messung nötig, woraus der Zusammenhang der Züge und der Dreiecke ersehen wird, und welches zeigt, was überhaupt zu rechnen ist.

III. Logarithmentafeln. Zu den Berechnungen der Feld- und Landmessung braucht man eine fünfstellige und eine sechsstellige logarithmisch - trigonometrische Tafel, eine siebenstellige Tafel ist hier selten erforderlich. Eine vierstellige Tafel ist für kleine Nebenrechnungen nützlich.

Während an fünfstelligen Tafeln kein Mangel ist, haben wir nur eine bequeme sechsstellige Tafel (für alte Teilung), nämlich „Logarithmisch-trigonometrische Tafeln mit sechs Decimalstellen von Bremiker, Berlin,“ welche sehr zu empfehlen ist.

Ÿbr 10—20 Jahren war siebenstellige logarithinische Rechnung allgemein üblich, auch in Fällen, wo 6 und 5 Stellen ausreichten. Die Reaction gegen solche Ziffernverschwendung ist aber jetzt teilweise ins Gegenteil umgeschlagen, und es wird die fünfstellige Rechnung teilweise zu sehr gepflegt. Man soll in der Rechnung in der Regel eine Stelle mehr führen, als der sachlichen Genauigkeit der einzelnen Zahl entspricht, und deswegen ist z. B. Triangulierung immer mindestens sechsstellig zu rechnen.

IV. Rechenformulare. Für alle grösseren Berechnungen ist die Benützung vorgedruckter Formulare sehr nützlich.

Alle Behörden haben solche Schemate im Gebrauch, und in grossen Vermessungen sind dieselben der Ordnung wegen unerlässlich. Es ist darin jeder Zahl und jedem Logarithmus zum Voraus sein bestimmter Platz angewiesen.

Für eigene Zwecke kann man sich leicht solche Schemate durch Autographie herstellen. (Liniierung und Druck am besten roth auf weissem Papier, damit sich die schwarze Schrift gut abheht, wie z. B. neuerdings bei der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme.)

Gute Rechenschemate entstehen aus langjähriger Rechenpraxis.

Die Preussische Kataster-Verwaltung hat 24 Formulare im Format 22 X 36 cm, welche auch öffentlich zu haben sind, von der Beichsdruckerei zu Berlin, S. W. Oranien-strasse 90/91. (100 Bogen = 1,80 tÆ, Mindestabgabe 25 Bogen.)

Diese Formulare wurden eingeführt und werden durch Beispiele und Regeln erklärt in der „Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881“ (vgl. Zeitschr. f. Verm. 1884, S. 19—35).

§ 61. Umformung der Coordinaten.

Fig. l.

In Fig. 1. ist zunächst ein Coordinaten-System X , Y gegeben und in demselben ein Punkt A mit den Coordinaten UmfOTmung der Coordinaten-x = a , y — b. Dieser Punkt A wird als Ursprung eines neuen Systems X' , Y' genommen, wobei die -j-X'-Axe das Azimut e im alten System hat.

Wenn nun irgend ein Punkt die Coordinaten x , y im alten System und die Coordinaten x' , y' im neuen System hat, so bestehen (wie die analytische Geometrie beweist), folgende Gleichungen:

+x

CQ

+X'

(i)

y = 6 + od sin e -f- y' cos s x — a -\- x' cos e — y' sin e Die Auflösung dieser Gleichungen nach y' und nach x' giebt: y' = (y — 6) cos s — (x — o) sin e x' = (y — b) sin s — (x — a) cos e

(2)

(3)

(4)

<!:Y

€>

Wir machen hiezu folgende Anwendung, mit Fig. 2.:

Die Punkte A und B sind durch ihre Coordinaten gegeben:

xa = — 47 215,57 xb — — 47 083,19 Die Linie A B hat als Aufnahmslinie einer Stückvermessung gedient, und dabei wurde der Punkt P bestimmt durch:

AQ=:af = + 21,24 Es sollen die Coordinaten x und y des Punktes P im ursprünglichen System berechnet werden.

Hiezu berechnet man zuerst aus (5) und (6):

(AB) = 8 = 340° 3'44”

Punkt A.

Punkt B.

y„= -\- 43112,24 yi = -f- 43 064,22

QP— 16,29 , y' = — 16,29

(5)

(6)

(V)

Fig. 2.

tang ( A B) = —--—

CCb " Xa

In (1) und (2) ist zu nehmen aus (5):

6 = -p 43 112,24

Setzt man dieses (9) nebst (8) und (7) in (1) und (2), so findet man:

Punkt P. y = +43 089,68 as = — 47 201,16 Wir haben hiebei unmittelbar nach den Formeln (1) und (2) gerechnet, man kann aber auch statt des Azimutes e die Entfernung s einführen, denn es ist nach Fig. 3:

a = — 47 215,57

(8)

(9)

(10)

Sine^^--

COSS =

Xb -Xa

Fig. 3.

also nach (1) und (2) mit Fig. 3.:

Xj    yf

y — Va + — (y» — y a) H- y («> — x»)

— i x'

X — Xa G⁻

Ob man hiernach oder unmittelbar nach (1) und (2) rechnen will, wird davon abhängen, ob man das Azimut (AB) = e oder die Entfernung AB — s näher zur Hand hat.

(xh — xa) — - (yb — yn)

(11)

(12)

.B

t/>

In dem Falle unseres vorstehenden Beispiels (5)—(10) ist log s = 2.148 664, womit man dieselben Resultate wie (10) bekommt (vgl. hiezu F. G. Gauss, die Teilung der Grundstücke, S. 8).

Bestimmung von a, b und e zur Verbindung zweier Systeme.

Es seien zwei Punkte Pj und P₂ in beiden Coordinatensystemen durch Coordinaten gegeben; es sollen daraus die Constanten a , b und e der Umwandlungsformeln (1) und (2) berechnet werden.

Den beiden Punkten entsprechen nach (1) und (2) folgende Gleichungen:

Punkt P₂

y₂ = b + x₂' sin e -f- y₂ cos e x₂ = a -J- x₂ cos e — y₂ sin e

Punkt Pj

y₁ = b -f- x{ sin e -j- y{ cos e Xi — a + x{ cos e — y{ sin e Durch Subtraction findet man:

(13)

sin e —

yt — y2, = (*i' — xz)sin« + (vi — y%)cos« 1

X\ — x2 = (xi — x2r)cos e — [y\ — y%) sin e )

Diese zwei Gleichungen kann man nach sin e und cos e auflösen :

(y\ — y*) (a?i —Sg') —(«1 — afr)(yi'— yj)

(14)

ff 2

wo r² = (t/i - y₂)² 4- {xl — x₂f

(15)

{xx—x₂) (x\x{ ) + (yi —y₂) (yx' — y%)

oder r² = (y₁'—yif+{x{—xź f

Durch Division findet man auch tang e, und durch weitere goniometrische Umformung überzeugt man sich, dass e eine Azimut-Differenz ist, nämlich:

e = (PlP₂)-(Pl'P₂')    6)

COS 6 =

tfl

wobei

tang (Px P₂)

y 2 — y\

ten»(P,'P₂') = ÿ—

x₂ - xx

Diese geometrisch zu deutende Auflösung hätte man unmittelbar wählen können ; doch schien es wenigstens theoretisch nützlich, auch die Entwicklung (14) und (15) zu gehen; zudem kann die Berechnung von e aus (15)’ als Probe benützt werden. Nachdem e gefunden ist, hat man auch a und b zweifach aus (14).

Als Beispiel für solche Coordinaten-Umwandlung können wir die Vermessung von Hannover nehmen. Das alte von Gauss angelegte System mit dem Ursprung Göttingen wurde später in 31 Einzelsysteme zerlegt, wobei die Verdrehung e in jedem System gleich der Meridian-Convergenz des neuen Ursprungs gegen Göttingen wurde. Hiebei kam auch noch eine von der Crnwssschen conformen Projection herrührende Massstabsänderung v in Betracht, so dass z. B. für die Stadt Hannover, mit dem Partial-Ursprung Osterwald, die Coordinaten-Umwandlung sich so gestaltet: y und x Gausssche Coordinaten mit dem Ursprung Göttingen y' und %' Hannoversche Stadt-Coordinaten mit dem Ursprung Osterwald

e = 0° 17' 14,226" = Meridian-Convergenz v — Vergrösserungs-Verhältnis in Osterwald b = —24 622,61

(18)

a — -f- 103 661,85 Coordinaten von Osterwald.

,    .    ,. cos s .    . sin e

*f-{y — V) — -{x — a) —

y — b = y' v cos e + x! v sin e x — a — — y' v sin e -f x' v cos e

(19)

(20)

Hiebei ist:

log sin s log v

7.700 1885.0 0.000 0032-8

log cos s log v

9.999 9945-2 0.000 0032-3

sin

₇ cos s

loa-

y v

log v cos s

Zu einem Zahlenbeispiel nehmen wir den Ägidius-Turm in Hannover. Derselbe hat in zwei Systemen folgende Coordinaten:

Ursprung Göttingen, Ägidius y — — 13879,79”* x = + 93575,89"*    (23

Ursprung Osterwald, T y' =-f- 10793,18”*    x'= — 10031,89™    (24)

Bei der Berechnung nach (19) und (20) mit den Constanten (18) , (21) und (22) wird man die Werte (23) und (24) in Übereinstimmung finden.

7.700 1852-7

loq — v

log v sin s 7.700 1917-3

9.999 9912-9

9.999 9977 5

(21)

(22)

§ 62. Bogen-Schnitt.

In Fig. 1. sind zwei Punkte A und B fest gegeben, und ein dritter Punkt P wird festgelegt durch Messung der zwei Entfernungen AP=b und BP=a. ln der Zeichnung beschreibt man Kreisbögen um A und B mit den Halbmessern b und a und erhält P als Schnitt dieser

Fig. l.

Bogen-Schnitt.

Kreisbögen.

In der Rechnung gestaltet sich die Aufgabe so: Zwei Punkte A und B sind durch ihre Coordinaten

gegeben, ein dritter Punkt P wird bestimmt durch die beiden Entfernungen AP = b und BP = a; es sollen die Coordinaten x y von P berechnet werden.

Da die Seite A B = c aus den Coordinaten von A und B berechnet werden kann, hat man alle drei Seiten c a b des Dreiecks, kann daraus die Winkel berechnen:

------c----

tang “ = j/

(s — b) (s — c)

s (s — a)

wo

a + 6 4- c

S==-2-

und entsprechend für ß und y.

Dann kann man weiter wie hei Triangulierung (§ 65.) verfahren.

Eine zweite Lösung ist folgende (nach F. G. Gauss, die Teilung der Grundstücke, Berlin 1878, S. 8 und Anweisung IX. vom 25. Okt. 1881, Formular 15. S. 289): Nach Fig. 1. ist:

folglich :

also:

p² — q² = Iß — a²

oder (p — q) (p + q) = (b — a) (b + a)    und p -|- q = c

P + q

(1)

p — q _(b -\-a) (b — a)

(2)

2c

Hieraus p und q seihst, und dann li mit Probe:

= Y «2 — q2

h = Yb²—p2

Mit p und h ist nun der Punkt P durch rechtwinklige Coordinaten gegen A B festgelegt, und es gelten daher für die Coordinaten x und y des Punktes P dieselben

oder

(3)

Formeln, welche im vorigen § 61. (11) und (12) mit anderen Bezeichnungen aufgestellt sind, d. h. mit Übergang zu unseren neuen Bezeichnungen in Fig. 1. S. 197 haben wir:

(5)

2/=2/« + | (2/i- — 2/«) 4 ~ 4 — xa)

(6)

X = Xa 4 -y («ft — X„) — — (2/6 — 2/a)

Fig. 2.

Bogen-Schnitt mit Ausgleichung.

Kreuz,

X|Y|

Bogen-Schnitte mit Ausgleichung.

Häufig hat man mehr als zwei Entfernungen gemessen, und dann tritt Ausgleichung ein.

In Fig. 2. seien die drei Punkte K. M. und A. durch Coordinaten gegeben, und der Punkt W. wird festgelegt durch Messen der drei Entfernungen rj r₂ r₃.

x₀ , y(i seien Näherungs-Coordinaten von W. ; x , y die endgültigen Coordinaten, hx und hy seien die Verbesserungen, also: x = XQ-hhX

Bezeichnet man ferner mit (rj) die Entfernung des Näherungspunktes von K. (Kreuz) und mit die Verbesserung der gemessenen Aegidius x₃y₃ Entfernung r1; so bestehen die Gleichungen:

Oh)² = (x₀ — xl)² 4 (2/0 — 2/l)²

Ol + ?h)² = 0 — x\)² + (y — 2/i)² = (»o — + * x)² + (2/0 — 2/i + ⁵ y)2 Ol + ^i)² = Oo — xl)² 4 2 h x (x₀ — Xi) + (2/0 — 2/l)² 4 2 8 y (y₀ — yi)

Hiebei sind (Scc)² und (Sy)² vernachlässigt. Weiter wird, wegen (8):

Oi 4- «i)2 = Oi)2 -+- 2 ô x (*₀—»i) ■+■ 2 5 y (y₀ — 2/1)

X^ — Xx

jw;

*1

/2

X₂y₂

Markt

= Oi)²

rx+vx = Oi)

w.

xy

1’3

’ Ol)²

X₀ — Xx

y = 2/0 + 02/    (7)

(8)

2/0 —2/1

* Ol)²

2/o—yü

Ol)²

Ol)²

Führt man noch das Azimut g>x nach Fig. 2. ein, so hat man:

ri + Vx = Oi) 4- 8 x cos cp -f- ô y sin <p

(9)

Vx — cosep Sx 4- sin(p 02/4 Ol) — rl Dieses ist eine Fehlergleichung von der Form:

(10)

Vx ⁼⁼ G>x h X 4" hx hy —(— Ix Für den zweiten und dritten Strahl u. s. w. hat man entsprechende Fehlergleichungen, welche nun alle zusammen nach der Methode der kleinsten Quadrate aufgelöst werden. Welche Gewichte man hiebei den einzelnen Entfernungsmessungen giebt, hängt von den Umständen ab. Im Falle unmittelbarer Lattenmessung wird man wohl die mittleren Fehler den Entfernungs-Wurzeln proportional, also die Gewichte den Entfernungen umgekehrt proportional setzen.

Im Anschluss an Fig. 2. nehmen wir ein Zahlenbeispiel, welches uns gelegentlich vorgekommen ist.

Die gegebenen Coordinaten von K , M und A und die Näherungs-Coordinaten

von W sind :

Kreuz-Turm, K. y\ = — 14331”*

Markt-Turm, M. y% — — 14154’"

Agidius-Turm, A. y₃ =— 13880™

Wettersäule, W. (y) — — 13920™

Man berechnet hieraus die drei Azimute q> und die drei Näherungs-Entfernungen (r), welch’ letztere mit den gemessenen Entfernungen r verglichen werden:

Näherung :

(r-j) = 422™

(r₂) = 360™

(r₃) = 535™

#! = -+- 94017™

£C₂ —— -j- 93837™ x₃ — -j- 93576™

(x) = -f- 94110™ Näherung (11)

Beobachtung :

Ti = 425™ r₂ = 385™ r₃ = 540™

Die hier als beobachtet aufgeführten r sind aus einem gedruckten Plane der Stadt Hannover in 1:11200 abgestochen, aus welchem auch die Näherungs-Coordinaten y₀ und x₀ entnommen sind; und es handelt sich nun darum, mit den drei Entfernungen die Näherungs-Coordinaten zu verbessern. Die Gewichte werden gleich angenommen, und damit erhält man nach (9) und (10) die drei Fehlergleichungen:

K.    n = 76° 55'

M. <p₂= 40° 36' = 355° 43'

A.

•PS

Differenz: h = — 3™ l₂ = — 25™ h = ~ 5™

v₁ = + 0,23 bx 4- 0,97 by — 3 v₂ = -+- 0,77 bx + 0,64 by —25 vs = 4- 1,00 bx — 0,07 by — 5

Normalgleichungen :

+ 1,64 bx 0,64 by — 24,94 = 0 + 1,35 by — 18,56 = 0

b y = 4- 8™    4 14™

bx = 4-12™    ± 13™

4- 659,0 = [ll]

7/²¹⁹

m = y -y =

±15™

das Resultat:

Fügt man diese by und Sx zu den Näherungs-Coordinaten hinzu, so hat man

Wettersäule W.

y = —13912™ ±    14”

x = + 94122™ ±    13™

§ 63. Diagonalen-Schnitt.

In Fig. 1. sind vier Punkte A , B , C , D dargestellt, deren Coordinaten gegeben sind; es sollen von dem Diagonalen - Schnittpunkt P die Coordinaten x , y berechnet werden.

Sind y und xp die Azimute (IC) und (BD), so

Fig. 1.

Diagonalen-Schnitt P.

hat man :

tang xp = -b

^    Xd — yi)

Die Gleichungen der Geraden AG und B D im Sinne der analytischen Geometrie sind: y — y a -— (x — xa) tang q> , y — yb = (x — xb) tang xp

tang <p -CCc

yc-ya

(1)

(2)

Löst man diese zwei Gleichungen nach den laufenden Coordinaten x und y auf, so hat man damit die gesuchten Coordinaten des Schnittpunkts P.

Wenn man zu diesem Zweck die beiden Gleichungen (2) subtrahiert, so fällt y fort, und die Auflösung nach x giebt dann:

(3)

_ (l/b — y«) + x<* tan9 0> — xb tang xp tang xp — tang xp

Diese Form ist jedoch zur Ausrechnung nicht zu empfehlen, weil die Coordinaten xa und xb, welche meist sehr grosse Zahlen sind, selbst in die Rechnung eingehen; es ist besser, nur mit Coordinaten-Differenzen zu rechnen, und deshalb die Gleichung (3) so umzuformen:

X — Xa —

{yb — Ha) — (Xb — Xa) tang xp

und hiezu nach (2):

tang xp — tang xp

(4)

und

y — ya — (x — Xa) tang xp

Auf gleiche Weise kann man aus (3) auch bilden:

„    „ _ ('Jb — y«) — (*» — sca) tang xp

X Xb —

tang xp — tang ip y — yi, = (x — Xb) tang xp

(5)

und tang xp.

Die Azimute xp und xp selbst braucht man hiebei nicht, sondern nur tang xp

Die Formeln (1) , (4) , (5) , (6) , (7), welche die ganze Rechnungs-Vorschrift enthalten, gelten natürlich nicht bloss für den Schnitt eigentlicher sogen. Diagonalen, wie in Fig. 1., sondern auch für den Schnitt der Verlängerungen zweier Seiten, wie z. B. in dem Viereck Fig. 3. S. 67, für den Schnittpunkt (»).

Wir wollen jenen Fall S. 67 nach unseren neuen Formeln behandeln, und bringen die Bezeichnungen von S. 67 mit den neuen Bezeichnungen Fig. 1. S. 199 so in Beziehung:

(2)

(1)

(3)

(4)

y a — ”ł~ 97,860 0,000 yc —    52,460

ya=+ 5,710

yb =

xa=+ 35,620 xb = xc = -Ą- 104,700

Xa = -j- 68,100

0,000

Nach (1) berechnet man:

tang xp = -j- 0,083 847

tang xp — — 0,657 210

(8)

x = + 163,644

tang xp — tang xp = — 0,741 057 und die Weiter-Rechnung nach (4) bis (7) giebt mit Proben: y — ~V 13,721

Dieses stimmt mit dem früheren (8a) S. 68 insofern genügend, als auf S. 68 überall nur mit Abrundung auf 0,01 gerechnet wurde.

Dieses giebt auch Veranlassung, die Berechnungsart von S. 67—68 mit den neuen Formeln zu vergleichen:

Wir rechneten früher, S. 67, zuerst alle Azimute und Azimut-Differenzen, d. h. Winkel, und dazu die bekannten Entfernungen, d. h. die Vierecksseiten; dann genügte der Sinus-Satz, um auch die Abstände des Schnittpunktes (n) von allen vier Ecken (1) , (2) , (3) , (4) zu bestimmen, und auch die Coordinaten von (n) mit zahlreichen Proben zu berechnen, d. h. wir rechneten dann nach den Triangulierungsformeln von § 65.

Wir glauben, dass in den meisten Fällen ein solches Verfahren besser ist als die Anwendung der Formeln (4)—(7), denn die Entfernungen und die Azimute braucht man gewöhnlich ohnehin, auch lassen sich Azimute und Entfernungen stets summarisch durch die Zeichnung kontrollieren, was bei den Bestandteilen der Formeln (4)—(7) nicht der Fall ist.

Kapitel VIII.

Triangulierung.

§ 64. Allgemeines.

Fig. 1.

Tf

Wenn von einem Dreieck ABP (Fig. 1.) eine Seite AB — c und die Winkel a , ß , y (oder wenigstens zwei Winkel) gemessen sind, so kann man die beiden anderen Seiten a und b berechnen :

«.a

c

a — —— sm « sm y

b/

—— sin ß sm y

0Ł

Wenn man an die Seite a oder b als Basis weitere Dreiecke ansetzt, so kann man auf diese dasselbe Verfahren anwenden.

Oder mit anderen Worten:

Wenn mehrere Punkte einer Ebene so unter sich durch Gerade verbunden sind, dass ein System von Dreiecken entsteht, von denen jedes mit einem Nachbardreieck mindestens eine Seite gemein hat, so lässt sich die Gestalt des dadurch entstandenen Dreiecksnetzes lediglich durch Messung von Winkeln bestimmen, und die Messung einer Seite als Basis genügt zur Bestimmung aller Dimensionen des Netzes.

Dieses ist der Grundgedanke der „Triangulierung“, welche als Erfindung dem Niederländer Snellius im Jahr 1615 zugeschrieben wird.

Man pflegt die Triangulierungen in Ordnungen einzuteilen, etwa so:

I. Ordnung mit Dreiecksseiten von    20*'m    bis    50*“ und darüber,

3*“

(s, Anweisung IX. v. 25. Oktober 1881, S. 6.)

I. und II. Ordnung heissen auch Haupt-Triangulierung, III. und IV. Ordnung heissen Klein-Triangulierung, doch sind solche Einteilungen und Benennungen ziemlich schwankend.

Obgleich die Haupt-Triangulierungen mit Basis - Messungen erst in unserem III. Bande behandelt werden sollen, geben wir doch zur Gewinnung eines ersten Überblicks in den nachfolgenden Fig. 2. und Fig. 3. eine Andeutung der neuesten Triangulierungen unserer Landes-Aufnahme in der Provinz Hannover.

Fig. 2. zeigt die Basis von Meppen, welche 7039”' lang, im Jahre 1883 gemessen wurde.

Durch vier Dreiecke wird daraus die 34563“ lange Seite Windberg - Hesepe abgeleitet, welche dann mit Quekenberg ein Dreieck I. Ordnung bildet.

Man kann mit den Mitteln der heutigen Wissenschaft und Technik solche Linien sehr genau messen, jedenfalls auf 1: 200 000 der Länge genau, und auch noch genauer, und hiernach ist also z. B. die Meppener Basis (welche wir nur in runder Zahl = 7039“ angegeben haben) auf wenige Centimeter genau bestimmt.

Fig. 2.

Basis von Meppen, 1883. (Massstab 1:400000.)

Windbenp’

/fengaibensf

iBerssen

'Hesepe*

Obgleich die genaue Messung einer solchen Grundlinie eine schwierige und mühsame Arbeit ist, indem z. B. die zweimalige Messung der Basis bei Meppen (hin und her) im Jahr 1883 mit den Neben-Arbeiten etwa drei Wochen Zeit in Anspruch nahm, so sieht man doch durch Vergleichung von Fig. 1. und Fig. 2., welch bedeutende Vorteile die Triangulierung im Vergleich mit der unmittelbaren Messung aller Linien bietet. Aus einer einzigen unmittelbar gemessenen, nur wenige Kilometer langen Linie, und mit Zuziehung von Winkeln, deren Messung mit dem Theodolit viel rascher und bequemer vor sich geht als die Längen-Messung, kann man grosse Entfernungen von mehreren Hundert von Kilometern durch trigonometrische Bechnung ableiten.

Fig. 3. zeigt im westlichen Teil die Meppener Basis wieder in kleinerem Massstabe, und die weiteren sich darin anschliessenden Dreiecke und Dreiecks-Ketten.

Fig. 3.

Umfangs-Ketten der Haupt-Triangulierung von Hannover. Preussische Landes-Aufnahme 1883.

(Massstab 1: 2 700 000.)

Wa

Norderney

A'iederlai

PUsnjri>

ischl

At

Leer

jicuiĄf&cjy

iJindürf-y

Friedrickskcoy

NeiuDerk^^

Schleswig -

flokteinschc

\iaoem

*n,

\t<xcL?

Sette.

la rei

hiUwry'

rfuvndorr

'LesienaUde

⁵Slemhohe.

Wilsede

AUeneyOie

vBunslcrf

HdJcenberyb-

\Lu&

Ooppmbzrf Dcc 8 ?ncr Bct^Ce

Masastai i ZTOoooo

Beritfieurv

Nottuln^

Cuehenbery

Soestwlihrfa'

JÙAU,

liźsernetz.

yUnncfeLŁ

■I-h

/do

KR

vsc

rj ° ■**afu;c&ep

Saaiery

VS-

rs

)Mohle/ibanj

wy

Gd

Ho

lichen

'Ohmbery

BiU&icui

Im südlichen Teil von Fig. 3. haben wir in ähnlicher Weise die 5km lange Göttinger Basis (gemessen 1880), und im Nord-Osten befindet sich noch eine dritte solche Basis, die Braaker Basis, gemessen 1871, welche jedoch in unserer Fig. 3. nicht mehr dargestellt ist.

Verschiedene Dreiecks - Ketten verbinden diese drei Grundlinien und bilden einen festen umschliessenden Rahmen, für das „Wesernetz“, welches seinerseits wieder aus Dreiecken besteht, jedoch in Fig. 3. nicht mehr ausgezeichnet ist.

Da wir auch über die Anlage von Coordinaten-Systemen schon in § 59. S. 187 das Nötigste gesagt haben, können wir nun zur Behandlung von Klein-Triangulierungen übergehen, bei welchen immer vorausgesetzt wird, dass mindestens zwei Punkte von vorhergehenden Triangulierungs-Arbeiten nach Coordinaten gegeben sind, und dass es genügt, mit ebenen Dreiecken und mit ebenen rechtwinkligen Coordinaten zu rechnen.

§ 65. Crrundaufgabe der Triangulierungs-Berechnung.

Ehe wir zu den Einzelheiten der Triangulierungen in Hinsicht auf Winkelmessung, Signalstellung, Berechnung und Ausgleichung u. s. w. übergehen, behandeln wir eine mathematische Grundaufgabe, durch deren fortgesetzte Anwendung man ganze Dreiecksnetze berechnen kann.

In Fig. 1. (S. 205) sind die beiden Punkte A und B durch ihre Coordinaten gegeben, in einem an AB sich anschliessenden Dreieck ABP wurden die Winkel a , ß , y, oder wenigstens zwei dieser Winkel, gemessen; es sollen die Coordinaten x , y des Punktes P berechnet werden.

Wenn alle drei Winkel a , ß , y gemessen sind, so wird ihre Summe a -+- ß ■+- y nicht genau auf 180° stimmen, man verteilt dann den Widerspruch gleich auf die drei Winkel.

Die trigonometrische Berechnung beginnt mit der Berechnung des Azimutes und der Länge der Basis AB, nämlich nach den Grundformeln (15) und (16) § 60. S. 190:

(1)

tang (AB) =^—V-Xb — Xa

Xb-Xa

cos (AB)

Der Sinus-Satz giebt die beiden anderen Seiten, nämlich:

c

—-SW a

sm y

Aus dem Azimut {AB) der Basis AB und den beiden Winkeln a und ß findet man auch die Azimute der beiden andern Seiten, nämlich:

(BP) = (BA) + ß

= (AB) ± 180° -f- ß

(rechts Addition)

AB = c

y„ — y a

sin (AB)

oder

(2)

AP =

BP = a —

(3)

(AP) = (AB) —a

oder

(4)

(links Subtraktion)

Dann folgen die Coordinaten von P nach den Grundgleichungen (7) oder (7') von § 60. S. 189 zweifach:

von A aus: von B aus:

y — ya AP sin (AP) y = yb B P sin (BP)

x = xn + AP cos (AP) x = xb + BP cos (BP)

(5)

(6)

Wir nehmen hiezu ein Zahlen-Beispiel, welches ungefähr der beigegehenen Fig. 1. entspricht.

Fig. l.

Gemessene Winkel («) = 40° 27' 23" (y) = 70° 36' 24" (ß) = 68° 56' 25"

Punkt A Punkt P Punkt B

180° 0' 12"

Ausgeglichene Winkel a = 40° 27' 19" y = 70° 36' 20" ß = 68° 56' 21"

180° 0' 0"

ci

Tf

V<X

Gegebene Coordinaten

Punkt B Punkt A

yh = + 5480,26™ ya = + 3418,45™

Xb = — 63843,22m xa = -\- 64524,94™

Coordinaten-Differenzen

yb — y a — + 2061,81™

xb — xa — +    681,72™

log (yb — ya) sin (A B) oder cos (AB) log (Xb — xa)

compl. log |

3.314249

| 0.022 529 zur grösseren Kathete 2.833 606

(AB) =    71° 42' 14"

— 40° 27' 19" (AP) =    31° 14' 55"

log tang (A B) 0.480 643 log AB 3.336 778 log sin y 9.974 629

(BÄ)=z 251° 42' 14" + 68° 56' 21" (BP) =    320 38' 35"

log (AB: sin y) 3.362149

log (AB : sin y) log sin ß

3.362149 9.969 975

log (AB : sin y) log sin a

3.362149

9.812147

log AP

3.332 124

log BP

3.174 296

log A P log sin (AP)

APsin(AP)

3.332124 log AP 9.714960 log cos (AP)

3.047 084 APcos(AP)

3.332 124 9.931 928

3.264 052

log BP log sin (BP)

BPsin(BP)

3.174 296 log BP 9.802192» log cos (BP)

2.976 488» BPcos(BP)

3.174 296 9.888 298

3.062 594

+ 1114,51 ya = W 3418,45

+ 1836,76 Xa = -f 64524,94

— 947,30 yb — + 5480,26

+ 1155,03 Xb = — 63843,22

y = + 4532,96

x — — 62688,18

y = + 4532,96

x — — 62688,19

Man hat also in hinreichender Übereinstimmung von beiden Seiten das Resultat: Punkt P:

y — + 4532,96™

x = — 62688,18™.

Anmerkung.

Die Formeln, welche wir im Vorstehenden entwickelt und durch ein Zahlen-Beispiel erläutert haben, gelten allgemein, wenn nur die Bezeichnungen der Ecken

§ 66. Aufstellung des Theodolits und der Signale.

Die Aufstellung des Theodolits im Felde geschieht bei Klein-Triangulierung auf einem hölzernen Stativ. Wenn man es machen kann, ist natürlich die Aufstellung auf einem steinernen Pfeiler, wie bei Triangulierung I. Ordnung, vorzuziehen.

Die Stativ - Platte soll man für sich mit einer Dosen-Libelle nahezu horizontal stellen, so dass die drei Spitzen der Stellschrauben sehr nahe gleich hoch stehen. Dadurch wird jedes Bestreben des Theodolits, während der Dauer der Messung auf seiner Unterlage zu rutschen oder sich zu drehen, vermieden.

Bei Sonnenschein ist ein Sonnenschirm anzuwenden.

Die Bezeichnung der Zielpunkte geschieht bei Klein - Triangulierung einfach durch starke Stäbe oder Stangen von 5—10''™ Durchmesser. Wenn man dieselben mit Ölfarbe weiss und rot anstreicht, und mit einer Fahne versieht, so genügen dieselben auf Entfernungen von 5—10 Kilometern. Die Signalfahne dient hiebei nicht zum Anzielen selbst, sondern nur zum Auffinden des Signals.

Fig. l.

Pyramiden-Signal.

Fig. 2.

pd\r

A , B , P und der Winkel a , ß , y des Dreiecks ein- für allemal den Formeln entsprechen, nämlich so:

Man denke sich auf die Basis so gestellt, dass man den nun zu bestimmenden Punkt P vor sich hat, dann nenne man den linken Basis-Endpunkt A und den rechten Basis-Endpunkt B, und entsprechend die Winkel a und ß. Der dritte Punkt heisst dann jedenfalls P und hat den Winkel y.

Dieser Regel entspricht z. B. auch Fig. 2.

Fig. 1. zeigt ein kleines Pyramiden-Signal, welches bei der Württembergischen Triangulierung auf Punkten zweiten Rangs angewendet wurde.

Während man die Stangen-Signale jedesmal entfernen muss, wenn auf dem Punkte Winkel gemessen werden sollen, damit die Limbusmitte in die Vertikale gebracht werden kann, welche vorher die Stangenmitte einnahm, kann man unter einem solchen Pyramiden-Signal das Stativ sammt dem Theodolit aufstellen, ohne das Signal jedesmal wegzunehmen.

In Fig. 1. ist zugleich unter der Pyramide der zur dauernden Punktbezeichnung dienende Signalstein angedeutet, und zwar bezeichnet der Stein von Fig. 1. nach Württem-bergischer Methode den trigonometrischen Punkt in der Art, dass eine Stange von gewöhnlicher Dicke (etwa 7cm) auf der Seite des Steins, welche das Zeichen A hat, den Stein berührend, einzustecken ist, worauf die Stangenmitte als trigonometrischer Punkt gilt.

Eine ähnliche Anordnung der Signalsteine zeigt auch Fig. 2. (S. 206) nach badischem System.

Der eigentliche Triangulierungspunkt, in welchen die Signalstange eingesteckt wird, uud über welchem der Theodolit centrisch aufgestellt wird, befindet sich 30 ^ (= 1 bad. Fuss) nördlich vom Stein, woselbst das Zeichen A eingehauen ist.

Dieses Verfahren hat den Vorzug, dass der eigentliche Triangulierungspunkt gleich gut für den Theodolit wie für eine Bake zugänglich ist.

Bei der trigonometrischen Abteilung der preussischen Landes-Aufnahme werden die trigonometrischen Punkte durch Steiue und untergelegte Platten bezeichnet und versichert, wie in Fig. 3. angedeutet ist. Als trigonometrischer Punkt gilt die Mitte des Steins, senkrecht über der Mitte der untergelegten Platte, woselbst das Zeichen -p eingehauen ist.

Fig. 2.

Signal-Stein

der badischen Triangulierung (Massstab 1 :50.)

Fig. 3.

Trigonometrischer Punkt I. Ordnung. Preussische Landes-Aufnahme. (Massstab 1 :40.)

Ansicht von

Nord.

Süd.

TP

IE

-,

<0,30 ^

0,90

Nord.

-i

<r

0,75

------,

skcL

Die Zeichnung Fig. 3. gilt für einen Punkt I. Ordnung; für die II. und III. Ordnung hat man ähnliche Bezeichnung, jedoch mit anderen Dimensionen, nämlich :

Höhe

Ordnung

Dielte

Breite

Dicke

des Steins

der Platte

I.

0,90™

0,90™

0,90™

Ausserdem sind noch kleine Festlegungssteine im Gebrauch von 0,15™ Dicke und 0,5™ Höhe, ohne Unterlagsplatte, jedoch mit oben eingegossenem Bolzen.

Wenn man über einem solchen Steine ein Baken-Signal centrisch anbringen will, so wird die Einrichtung etwas kompliziert, wie die Fig. 4. (S. 207) zeigt, welche ein Signal der Bheinischen Kataster-Vermessung zeigt.

Hiebei ist B eine 1™ lange Basaltsäule, welche nur wenig über den Boden hervorragt, und in der Mitte das Zeichen -|- hat. Darunter befindet sich zur Versicherung eine Thonröhre T. Vier Pfosten A und Al sind seitwärts geschlagen, durch Bretter C O verbunden, die Stange S centrisch gesetzt, und seitwärts mit l) D' vierfach verstrebt.

Um eine Bake gut centrisch über der Mitte eines Steines aufzurichten, hat man häufig auch das Mittel gewählt, den Stein oben mit einem cylindrischen Loche zu versehen, in welches der Bakenfuss einpasst. Solche Steine sahen wir z. B. im früher Kurhessischen Gebiete westlich von Hannover.

In Hessen-Darmstadt hatte man noch ein anderes Mittel : man stellte die Stange

II.

III.

cT o o'

im

zwar neben den Stein, aber schief, so dass der eigentliche Zielpunkt, welcher oben durch zwei Querhölzer bezeichnet war, in die Lotlinie der Steinmitte eingerichtet werden konnte. Das hat aber offenbar manches gegen sich.

Alle diese centrischen Baken-Aufstellungen sind mehr oder weniger mit Unsicherheiten behaftet und sind für die Messungen störend, wenn man wiederholt auf einem Punkte messen und in der Zwischenzeit ein Signal haben will.

Um genau zu sein, muss man die mit der Zeit unvermeidlichen Verrückungen immer wieder verbessern oder dieselben bestimmen und in Rechnung bringen. Wenn man nun aber überhaupt einmal Centrierungsrechnungen macht, so ist es gleichgültig, ob die Excentricität sehr klein oder auch etwas grösser ist.

Fig. 4.

Centrisches Baken - Signal über einem Stein.

(Massstab 1 : 40.)

------o „

Nach solchen Überlegungen haben wir z. B. bei einer Triangulierung von Linden bei Hannover im Sommer 1887 auf centrische Bakenstellung überhaupt verzichtet. Die Versteinung geschah nach Fig. 3., und die Baken, 5™ dick, 4m lang, von 0,5“ zu 0,5’" weiss und rot mit Ölfarbe angestrichen, oben mit Fahne versehen, wurden etwa 1”' seitwärts in den Boden eingegraben und unten verstrebt.

(Über die Centrirungsberechnungen für solche Fälle wird in § 70. gehandelt werden.)

Heliotrop. Auf Entfernungen von 5—10km reichen die angegebenen Signal -Hilfsmittel aus. Auf weitere Entfernungen, und vielleicht auch schon über hkm, wird das Heliotrop angewendet, über welches erst in unserem III. Bande gehandelt werden soll.

§ 67. Winkel-Messung.

Die gebräuchlichste Art der Winkel-Messung für Triangulierung II. bis IV. Ordnung besteht in folgendem : Man stellt alle Zielpunkte der Reihe nach von links nach rechts ein, und liest bei jedem beide Nonien oder Mikroskope ab; hierauf schlägt man das Fernrohr durch, und wiederholt die Einstellungen und Ablesungen in umgekehrter Reihenfolge.

Dadurch bekommt man für jeden Zielpunkt vier Ablesungen, welche in ein Mittel vereinigt werden. Die Zusammenstellung der Ablesungs-Mittel für alle Zielpunkte heisst ein „Satz“ von Messungen.

Für Triangulierungen misst man nun immer mehr als einen Satz, häufig vier Sätze, und verstellt dann vor Beginn eines neuen Satzes den Limbus des Theodolits.

Wenn nur zwei Sätze beabsichtigt sind, verstellt man um 90°, wenn vier Sätze gemessen werden sollen, verstellt man zwischen je zweien Sätzen um 45° u. s. f.

Man kann auch zwischen beiden Hälften eines Satzes den Limbus verstellen, d. h. zwischen Hingang und Rückgang, um noch mehr zur Elimination der Teilungs-Fehler beizutragen. Man nennt solche Messungen „Richtungs-Beobachtungen“ im Gegensatz zu reinen „ Winkel -Beobachtungen“ (im engeren Sinn verstanden), bei welchen nur zwei Zielpunkte in je einem Satze Vorkommen

Auf S. 210 geben wir ein vollständiges Zahlen-Beispiel von Richtungs-Messungen in zwei Sätzen.

Hiezu sind noch einige Bemerkungen zu machen:

Spalte (1). Der nahe Zielpunkt Centrum (Flaggenstange) ist in den Satz mit aufgenommen, wegen der späteren Centrierungs-Berechnung, welche in § 70. behandelt werden wird. Bei so nahen Zielpunkten (Entfernung = 0,980”*) kann man nicht durch das Fernrohr sehen, sondern nur über die Mittellinie des Fernrohrs hinweg, oder über ein besonders hiefür angebrachtes Visier und Korn, wie bei einem Geschütz. Die Winkel-Ablesungen können dann wohl Abweichungen von 5' zeigen, was auf sehr kurze Entfernung unschädlich ist.

Spalte (2). Die erste Ablesung 22° 40' 20" ist willkürlich, bezw. zufällig. Es ist aber nützlich, die erste Ablesung ungefähr gleich dem Azimut des ersten Zielpunkts zu machen.

Dieses kann man in den Messungen wohl einrichten, wenn man die auf gegebenen Punkten bekannten trigonometrischen Azimute sich zur Messung notiert, und den Limbus darnach einstellt. Auf einem neuen Punkte kann man eine etwa dorthin gehende Vorwärtsrichtung nehmen. Oder allgemeiner: Es ist sehr rätlich, vor Beginn der Messungen aus den Anschluss-Azimuten, aus den bei der Recognoscierung beiläufig auf 1' gemachten Messungen u. s. w., die nötigen Richtungen auf etwa 1' genau in das Übersichtsnetz einzuschreiben. Dieses trifft zusammen mit der schon aus anderen Gründen, Centrierung u. s w., auszuführenden vorläufigen Berechnung des ganzen Netzes.

Man kann sich auch eines Kompasses bedienen, welcher die Azimute auf etwa 1° genau giebt, und hat dann jedenfalls die Sicherheit, dass die Ordnung der Ziel-Punkte von Nord an, sogleich richtig wird, und keiner nachherigen Umstellung mehr bedarf.

Die kleine Mühe, welche zur genäherten trigonometrischen Orientierung der Richtungs-Messungen erforderlich ist, lohnt sich durch die Übersichtlichkeit aller Tabellen reichlich.

14

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

FiiclitiiiiffS-Beolbaclitziiiffeii

Standpunkt Wasserturm Linden

Zielpunkt

Fernrohr-Lage I (Hingang)

Fernrohr-Lage II (Rückgang)

Nonius I

Nonius II

Nonius I

Nonius II

(2)

(4)

(5)

Satz 1.

Centrum.....

223 40

202°

215

OS tf*

Ci o

10"

10

240    2

253    27

255 30 43 40

20

40

50"

lu

40

223 45

Satz 2.

Centrum......

313 35

133 40

35

^    W    15    05    *“■

O    ►—¹    tC    05    <1    ^

(O    B    W    (0

o    ©    o    o    ©

In diesem Beispiele ist die Orientierung nach Azimuten nur roh genommen (die Verschiebung beträgt etwa 2° 10'). Das Beispiel ist so gewählt, dass nicht die Vermutung erzeugt wird, die Messungen müssen nach Azimuten orientiert sein.

Spalte (3). Bei den Ablesungen am Nonius II lässt man oft die ganzen Grade beim Ablesen und beim Schreiben fort, da man dieselben jedenfalls aus Spalte (2) und Spalte (4) bekommt. In unserem Beispiel wurden die ganzen Grade beim ersten Satz überall geschrieben, dagegen beim zweiten Satz zum Teil weggelassen.

Spalte (4) und (5). Die Zahlen dieser Spalten werden in der Aufeinanderfolge von unten nach oben erhalten, was auch die Bemerkungen „Hingang“ und „Rückgang“ bei den Überschriften angedeutet ist.

Spalte (6) und (7). Zur Mittelbildung werden die ganzen Grade und Zehner-Minuten nicht addiert, wir rechnen nur die Summe der überschiessenden Minuten, z. B. 40' 50". Die nun folgende Division durch 4 ist zwar eine leichte Sache, welche

= 10' 12,5", allein für so häufiges Vorkommen

man im Kopfe machen kann:

dieser Division haben wir eine kleine Hilfstafel nützlich gefunden, welche auf S. [5] des Anhangs mitgeteilt ist. Einen Abdruck dieser Hilfstafel pflegen wir allen unseren Winkelmessbüchern beizulegen.

Spalte (8). Der erste Wert der reduzierten Mittel ist wieder mehr oder weniger willkürlich. Oft setzt man diesen ersten Wert = 0° 0' 0" und hat dann den ersten

40' 50"

mit einem Nonien-Theodolit.

bei Hannover. 24. Mai 1883.

Summe

Mittel

Reduziertes

Mittel

Bemerkungen.

(7)

l»)

o    ©    ©    ©    ©    ©

Iß    T-I    co    ■'T    CO

©    Iß    ©    t—I    ©    ©

ßJ    CO    H

22° 40' 12,5” 35 36 17,5 60 2 20,0 73 27 55,0 75 30    7,5

223 42 30,0

Excentricität e = 0,980”*

©    o    ©    o    o    o

iß co co

co    o    co    xo    co    ©

<N    rH    CO    CO

Mittel aus beiden Sätzen: 22° 40' 12,5"

223 40

73 28 20,0 75 30 20,0 223 36 57,5

Wert der Spalte (7) (22° 40' 12,5”) von allen folgenden abzuziehen, um die übrigen Werte der Spalte (8) zu erhalten.

Auch kann man im ersten Satz die Berechnung eines besonderen reduzierten Mittels ganz unterlassen, muss dann aber im zweiten Satz und in folgenden Sätzen den ersten Wert von Satz (1) festhalten.

Dieses ist in unserem obigen Beispiel geschehen, es sollte der zweite Satz wieder mit 22° 40' 12,5" beginnen, d. h. es mussten alle Werte des Satzes (2) um 32,5” vermindert werden, wodurch alles Übrige bestimmt ist.

Das Mittel aus beiden Sätzen haben wir sofort auch ausgerechnet und in die letzte Spalte (9), welche hiezu Raum bot, eingesetzt. Bei nur zwei Sätzen kann man das wohl so machen Die Mittelbildung aus mehreren Sätzen und was sonst noch dazu zu sagen ist, werden wir in § 69. kennen lernen.

Spalte (9). Unter die Bemerkungen gehört namentlich alles, was sich auf Centrierungen bezieht, ein Handriss nach dem Taschen - Compass beiläufig orientiert, und für späteres genaues Aufzeichnen mit eingeschriebenen Maassen, etwa nach Art von Fig. 3. § 70. (Wenn die Centrierungen umständlich werden, genügt die Spalte TBemerkungen“ natürlich hiezu nicht.)

Bemerkungen über Witterung, Beleuchtung der Zielpunkte u. s. w. sollen nur ausnahmsweise gemacht werden. Solche Bemerkungen werden meist bei der Berechnung nicht benützt, und erst nachher etwa zur Begründung von Ausscheidungen u. s. w. hervorgeholt.

Anordnung der Sätze. Man soll nicht zu viele Zielpunkte in einen Satz zusammen nehmen , 4—6, höchstens 8, weil das Instrument unmöglich sehr lange unverrückt bleiben kann. Um dann verschiedene Sätze zusammen zu fügen, wähle man einen oder zwei Hauptpunkte aus, welche in allen Sätzen Vorkommen.

Die Ausgleichung wird sich bei einigem Geschick immer ohne viel Theorie bewirken lassen. Sind die Sätze sehr zerstreut, was Vorkommen kann, wegen schlechter Beleuchtung, mangelnder Baken u. s. w., so kann man das Näherungsverfahren anwenden, welches in unserem Band I. § 76. S. 228—231 beschrieben wurde. (Die Anordnung der Linien und Spalten ist dort umgekehrt gegen die Anordnung in den betreffenden Kataster-Formularen der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881.)

Richtungs-Messungen mit dem Mikroskop-Theodolit.

Das Beispiel S. 210—211 gilt für Nonien-Ablesung. Hat man Mikroskop-Ablesung und stellt immer nur einen Strich (den linkseitigen) ein, so ändert sich an dem Schema von S. 210 nichts, als dass die Ablesungen nicht mehr rund auf 10", sondern auf einzelne Sekunden ausgehen, was jedoch das Ganze nicht beeinflusst. {Doppel-Sekunden wenden wir nicht an. Ygl. S. 149.)

Nun ist es aber sehr zu empfehlen, mit dem Schrauben-Mikroskop nicht blos auf den linkseitigen Strich, sondern auch auf den rechtseitigen Strich einzustellen. Auch dieses ändert an der Gesamt-Anordnung nichts, und das Schema S. 210 bleibt dasselbe, nur braucht man für jede Einstellung zwei Linien statt einer.

Will man aber noch die Stimmungs-Korrektion nach (4) S. 151 berücksichtigen, so wird die Sache komplizierter. Wir werden das besonders im nachfolgenden § 68. behandeln.

Repetitions-Messung.

Nachdem das Nötigste über Repetitions-Messung bereits in § 58. S. 178—186 gesagt ist, wollen wir hier nur einen Umstand behandeln: Auf Türmen und anderen beschränkten Orten ist es oft unmöglich, einen Theodolit für Richtungs-Messungen aufzustellen, weil man weder herumgehen noch auch sich so weit hinausbiegen kann, um Alles einzustellen und abzulesen. Hier leistet die Repetitions-Methode vorzügliche Dienste, denn man kann damit z. B. auf einer steinernen Fensterbrüstung, welche nur von einer Seite her zugänglich ist, vorzüglich messen. Auch können Repetitions-Instrumente verhältnismässig leichter gebaut und leichter transportabel sein als Richtungs-Instrumente.

Beispielshalber erwähnen wir von einer Triangulierung von Linden bei Hannover, dass zwei hochgelegene Punkte mit vortrefflicher Umschau vorhanden waren, auf welchen das sonst gebrauchte Mikroskop-Richtungs-Instrument (S. 144) nicht benützt werden konnte, nämlich die Altane vor dem Hauptturm der technischen Hochschule mit eiserner Brüstungs-Platte, und der Wasserkunst-Turm bei Herrenhausen wegen schwieriger BesteigungsVerhältnisse. Hier wurde der auf S. 142 gezeichnete Repetitions-Theodolit angewendet, die Winkel in allen Kombinationen gemessen, und nach den Formeln ausgeglichen, welche wir in Band I. S. 223 (8) entwickelt haben.

Es zeigte sich zugleich, dass diese Messungen bei geringem Zeitaufwand verhältnismässig sehr genau sind (mittlerer Fehler eines Winkels nach der. Ausgleichung, etwa = + l"), wodurch die schon auf S. 183 angedeutete Ansicht weiter bestätigt wird, dass die Repetition für viele Zwecke ein treffliches, nicht immer genügend gewürdigtes Hilfsmittel ist.

§ 68. Stimmungs-Korrektion der Mikroskope.

Wenn man die Ablesungen an einem Mikroskop-Theodolit theoretisch scharf ausnützen will, so hat man die kleine Korrektion A in Rechnung zu nehmen, welche wir in § 49. S. 150—151 betrachtet haben.

Die Korrektion A entspricht der Formel (4) S. 151, oder besonders für unseren Theodolit S. 144, dessen Teilungs-Intervall t = 5' = 300" ist, hat man:

in Sekunden,

- ⁸ (°’⁵    30o)

dabei ist 8 der Mittelwert von l — r.

Zunächst wurde ein Hilfstäfelchen berechnet für 8 = + 1" :

Stimmungs-Korrektion A für 8 = + l" :

0"

10"

20"

30"

40"

50"

+ 0,50" + 0,30 + 0,10 — 0,10 — 0,30

+ 0,47" + 0,27 + 0,07

—    0,13

—    0,33

+ 0,43" + 0,23 + 0,03

—    0,17

—    0,37

+ 0,40"    +0,37"    +0,33"

+ 0,20    +0,17    +0,13

0,00    —0,03    —0,07

__ o,20    — 0,23    — 0,27

— 0,40    — 0,43    — 0,47

(1)

Nach diesem kommt es darauf an, den Wert 8, d. h. den Mittelwert von l — r zu bestimmen. Das geschieht aus den Messungen selbst. Mit Trennung nach Stationen und Beobachtern (J. und P.) fanden wir aus den ersten 4 Stationen:

Station

Mikroskop A

Mikroskop B

J.

P.

P.

Wasserturm

Tönjesberg

Bahnhof

+ 1,31"    +1,03"

+ 0,86    + 0,84

+ 1,22    +0,15

+1,35    + 0,00

8 = + 1,70" + 1,28" 8 = + 1,26    + 1,29

8 = + 1,52    + 2,09

Badenstedter Weg 8 = + 1,71    + 1,78

Mittel

+1,55" + 1,61"

+ 1,18" + 0,50"

+1,58"

Andere Mittelbildung mit Bücksicht auf die Einstellungszahlen:

8b — + 0,94"

(2)

+ 0,84"

8a = + 1,52"

Hiemit wurden besondere Hilfstäfelchen nach Art von (1) berechnet, und darnach die Korrektionen 8 alle einzeln in Rechnung gebracht.

Obgleich letzteres fast nur hei Triangulierungen erster Ordnung geschieht, geben wir hier doch, zur Veranschaulichung der Arbeit, welche dadurch entsteht, ein Beispiel aus der Lindener Triangulierung, die wir 1887 so durchgeführt haben :

Standpunkt Badenstedter

Fernrohr-Lage I (Hingang)

Ziel-

Punkt

Kreis

Mikroskop A

Kreis

Mikroskop B

Mittel

l—r

Kunst

9° 55' 3' 58" 3' 58" l -+- r

--a = 3 58,0

A = — 0,5 9° 58' 57,5"

0,0" 10° 0' i r 27" 1' 24"

Z -t- r

1 25,5

A = -\J- 0,2 10° V 25,7"

10° 0' 11,6"

Wasserturm

79° 40' | 4' 57" I 4'52,5" l -h r

a

A =

79° 44' 54,0"

4 54,7

0,7

+ 4,5"

45" 2' 12" 2' 12"

= 2 12,0

-H 0,1

47' 12,1"

0,0"

79° 46' 3,05"

Wenn die Werte Z— r nicht bedeutend sind, so machen die Verbesserungen A im Schluss-Ergebnis, d. h. im Mittel aus mehreren Sätzen so wenig aus, dass es sich kaum der Mühe lohnt, die Rechnung so fein zu führen.

In unserem Falle ergab sich der mittlere Fehler einer Richtung in einem Satz rund = + 2" (s. d. folg. (9) S. 217) und der mittlere Fehler einer ausgeglichenen Richtung im Netz = + 1,6", und die mittlere Korrektion 6 einer Ablesung = 0,3". Jede Hauptrichtung ist in 8 Sätzen mit 32 Ablesungen gemessen, es ist also der Einfluss von 8 auf eine Hauptrichtung nur = 0,3" : }/32 = + 0,05". Hiernach lässt sich beurteilen, dass die Berücksichtigung dieser kleinen Korrektion selten nötig ist.

§ 69. Berechnung voller Richtungs-Sätze.

Hat man mehrere volle Sätze nach der Art des Beispiels S. 210—211 gemessen, so bildet man aus allen ein Mittel, wie auch auf S. 211 mit zwei Sätzen sofort geschehen ist.

Hat man mehr Sätze, z. B. 4, 6 oder 8 u. s. w., so geht es nicht mehr an, die Mittelbildung sofort in dem Feldschreibbuche zu vollziehen; man schreibt dann die Sätze einzeln heraus, und stellt sie zusammen (Formular 2. der Anweisung IX. vom 25. Okt. 1881). Wir zeigen dies an einem Beispiele:

Standpunkt: Badenstedter Weg.

Ziel - Punkt

Satz 1.

Satz 2. Satz 3. Satz 4.

Summe S

Mittel A

P° Kunst . . . P' Martin . . . P” Wasserturm P"' Tönjesberg

9° 59' 35,2" 69    2    52,0

79 45 26,6 140 42 42,3

18,2"

<N OO ca

H l> !D H

CO H tO ^ W W (M

œ co w o oT i> oo

CO CO 1—I CO

121,9”

171,7

76,3

150,1

Ï5 (5 H IC

O <N cf

CO ^ H CO

/•j-s

Summe S' . . . Mittel B ... .

156,1

39,0

oT

C- I—■!

126,0 160,5 31,5    40,1

520,0

Weg. 20. Juli 1887.

Kreis

Fernrohr-Lage II (Rückgang)

Mikroskop A

Kreis

Mikroskop B

Mittel

Gesamt-

Mittel

55' 2' 22” 2'22,5" —0,5”

2 22,2

A = -1- 0,1

57' 22,3”

9° 57 4' 57    4 56”

Z + r

4 56,5

0,5

59' 56,0”

+ 1,0”

58' 39,15”

9° 59' 25,37”

40' I 3' 14” I 3' 10” +4,0” r- 3 12,0

l + r _ ~2

79° 45' I 0' 38” | 0' 38” i + r

0,0”

SS

0,2

43' 11,8”

0 38,0

+ 0,3 45' 38,3”

44' 25,05”

79° 45' 14,05”

(Fortsetzung von S. 214.)

Zur Weiterbenützung hat man also das Resultat:

Kunst ....

(2)

Martin ....

Wasserturm .    .

Tönjesberg . .    140

Die Summe S' diene zunächst zur Probe, indem die Quersumme der S' mit der Columnensumme der S, d. h. 520,0 gleich sein muss. Von einer weiteren Benützung der Summen S' und der zugehörigen Mittel B wird nachher die Rede sein.

Wir haben in der Tabelle (1) S. 214 die vier Sätze weder auf einen Strahl = 0° 0' 0,0”, noch überhaupt auf einen Strahl mit gemeinsamem Wert reduziert. Wir wollen nun die erste Richtung Kunst in allen vier Sätzen genähert auf ihr Azimut reduzieren, d. h. dieselbe = 10° 0' 0,0” setzen, und haben dann folgendes:

Verschiebung Tabelle (1):

Ziel-Punkt

+ 24,8” -+41,8" Satz 1. Satz 2.

+29,6” +21,9”

Satz 3. Satz 4. Summe S Mittel +

P° Kunst . . . P' Martin . . . P" Wasserturm P'" Tönjesberg

o

O OS OS o

H O t- Tf

CO ©

Ol I—1 H-¹ J3S ©

+ + oo q

io CO

q œ is q o co oo cd

t-H TJT

0,0”

4S. t—‘

00 CO o

d os +~ ©

SS

Summe S' . . . Mittel B ... .

—*

GO Ol GO OS

64,6

16,2

Tf r—I

Tj? cd

<X> t-H

272,4

Die Tabelle (3) giebt das Resultat:

10°

69

ö co

CO Ot

o oT oo _ *

t-h

Dieses unterscheidet sich von (2) nur durch eine Verschiebung von 29,5". Im übrigen hat die Tabelle (3) vor der Tabelle (1) aber den Vorzug, dass man in (3) die Genauigkeit besser beurteilen kann, denn nachdem alles auf Kunst = 10° 0' 0,0" reduziert ist, zeigen die Abweichungen in den übrigen Linien die Messungsfehler an.

Wenn man aber den mittleren Fehler ¹) einer Richtung berechnen will, so genügt die Zusammenschiebung der Sätze auf einen Zielpunkt mit gleicher Richtung nicht, dagegen kann man ohne weitere Mühe, als bei (3) erforderlich war, statt (3) eine neue Tabelle (5) bilden, welche zur Berechnung des mittleren Fehlers geeignet ist, wenn man in der Tabelle (1) die Mittel B ins Auge fasst, und nun so verschiebt, dass diese Mittel B in allen Sätzen gleich werden. Man kann dabei irgend einen Wert B zur Bequemlichkeit lassen, z. B. den ersten 39,0, und hat dann Folgendes:

Verschiebung Tabelle (1):

Ziel-Punkt

0,0" +19,7" +7,5" Satz 1. Satz 2. Satz 3.

-1,1"

Satz 4.

Summe S Mittel A

P° Kunst . . . P' Martin . . . P" Wasserturm P" Tönjesberg.

Summe S' . . . Mittel B ... .

9° 59' 35,2" 2 52,0 45 26,6 140 42 42,3

K) CO ^ cn -a 'o bn CO ZD

+ bO + OO

b oo oo b

o co~ cT iO CO

CO <öi CO Ol

O DO

156,0

39,0

to ü> if>- to w w te o>l os w o -a

GO

ö oo +_ bq c-T cî co ci o e-

H r—I T“H t-H

624,4

Die Richtungs-Mittel sind:

Kunst ....

Dieses unterscheidet sich von (2) oder (4) nur durch konstante Verschiebung, giebt also keinen Vorteil. Dagegen die Tabelle (5) bietet einen Vorteil gegen (1) oder (3), indem (5) zur Berechnung des mittleren Fehlers einer Richtung führt.

Man vergleicht nämlich die Richtungen der Tabelle (5) mit den Mittelwerten A jeder Linie, und findet damit die Tabelle der Verbesserungen t':

9°

69

37,0"

49,4

79    45    25,6

42    44,0

(6)

Summe S

Ziel-Punkt Satz 1. Satz 2. Satz 3. Satz 4.

P° Kunst . . . P' Martin . . . P" Wasserturm P'" Tönjesberg.

Summe S' . . .

+ 1,8 — 2,6 -1,0 + 1,7

—    0,9 — 0,9 +1,5 + 2,1 + 0,1 + 0,8

—    0,9 —2,0

Üb

P V? b m lo "

O CCI O 03 o~ o~ o~ ©

— 0,1 — 0,2

0,0 —0,1

Diese Differenzen geben nun, innerhalb der Abrundungs-Genauigkeit, nach Columnen und nach Linien addiert, überall die Summe = 0, also auch im ganzen die Summe = 0.

Der Nenner, welcher hier = 9 ist, hat allgemein den Wert :

(10)

Der mittlere Fehler einer Richtung wird :

= /™f

n'

= ± 1,8”

(9)

13,89

30,08

Man rechnet auch die Quadrat-Summe : 8,24 6,76 1,00 2,89

0,81

0,81

0,00

2,25

4,41

1,44

0,01

0,81

0,64

4,00

0,01

1,00

(8)

3,88

9,86

2,45

Nenner = (s — 1) (G — 1) wo s die Anzahl der Zielpunkte und G die Anzahl der gemessenen vollen Sätze ist.

Als eine Richtung, zu welcher (9) gehört, gilt die Messung in zwei Fernrohr-Lagen mit je zwei Nonien oder Mikroskopen. (Die vorstehenden Messungen sind mit dem Mikroskop-Theodolit S. 144 gemacht.)

Was die Begründung der vorstehenden Fehler-Berechnung nach (9) und (10) betrifft, so ist dieselbe vielleicht an und für sich zu durchschauen, denn es kommt doch nur darauf an, die Quadratsumme der übrig bleibenden Fehler möglichst klein zu machen, und das geschieht wie heim einfachen arithmetischen Mittel dadurch, dass die algebraischen Summen in (8) nach Linien und Spalten immer die Summen Null gehen.

Die strengere Begründung ist in den allgemeineren Formeln des I. Bandes § 78.

S. 231—239 enthalten. Wir haben es mit dem dort schon S. 238—239 besonders erwähnten Falle zu thun, für welchen nach [7] S. 239 die Gleichung gilt:

?n²

[FF]

(0-1) (*-l)

(H)

wobei der Nenner derselbe ist, wie vorher in (10) angegeben ist.

Was [FF] betrifft, so sind die einzelnen F nach Band I. S. 233, Gleichungen (5) zu bilden, wozu weiter die Z\ z₂ z₃ nach (11) S. 234 erforderlich sind. Dem entspricht nun unser vorhergehendes Verfahren nicht geradezu, denn die Verschiebungen 0,0" , —j— 19,7" , +7,5" , —1,1" in unserer vorstehenden Tabelle (5) sind nicht die früheren z₁ z₂ z₃ z₄ selbst, sondern deren Differenzen z₂— z₄ z₃— z{ z₄— Z\ ; es wird aber die erste Änderung z₄ auch an den l seihst angebracht, und folglich bleiben die F wieder ungeändert.

§ 70. Excentrische Winkel-Messung-.

Es kommt oft vor, dass das Aufstellen des Theodolits auf einem Punkte, den man als Triangulierungs Punkt haben möchte, aus irgend welchen Gründen nicht thun-lich ist, die Messungen auf dem Lindener Wasserturm (s. o. § 67. S. 210—211) gehen ein Beispiel hiefür : In der Mitte des Turmes befindet sich eine Flaggenstange, welche als Zielpunkt dient, wenn von anderen Punkten nach dem Turm gemessen wird. Misst man auf dem Turm selbst, so muss der Theodolit excentrisch gegen die Flaggenstange aufgestellt werden.

Solche und ähnliche Verhältnisse kommen sehr häufig vor.

Wir betrachten nun mit Fig. 1. und Fig. 2. die Eichtungs - Centrierung zuerst mit zwei Fällen, e<180° und e>180°, welche jedoch nachher wieder auf eine gemeinsame Formel zusammenführen werden.

Hiebei ist S der Standpunkt des Theodolits, C das Centrum, auf welches reduziert werden soll, P ein Zielpunkt, ferner SC = e die Excentricität, PC — s die Entfernung des Zielpunkts vom Centrum, und e der Richtungs-Winkel des Zielpunkts P, vom Centrum an gezählt.

Fig. 2.

£ > 180°.

Richtungs-Centrierung.

Fig. l. e < 180°.

cAe"

S'

's

SV

e/s

P-

Fig. 2. giebt:

(860° - é) = (860° - e) + 8' sin 8' = — sin (360°—e)

■ Fig. 1. giebt : s' = e + 8

sin 8 = — sin e s

Es wird angenommen, dass e sehr klein sei im Vergleich mit s, folglich: 8 — — q sin e

Hieraus folgt in beiden Fällen gemeinsam :

e' — £ =

e

— ç) sm £

(1)

Fig. 3. ²)

Wasserturm Linden bei Hannover. Excentrische Richtungs-Messung. Massstab 1 : 100.

(CJ — e = 0,980«)

£ und s nennt

Die Werte e man zusammen Centrierungs-Elemente. e und £ kann man oft unmittelbar messen, s aus vorläufigen Berechnungen entnehmen, da s nicht sehr genau zu sein braucht.

Wir werden nachher besonders darüber zu reden haben.

Zu einem Beispiele nehmen wir Richtungs-Messungen auf dem Lindener Wasserturm bei Hannover, welche in Fig. 3. dargestellt sind (vgl. hiezu auch Fig. 4. S. 188 und das Messungs-Beispiel S. 210—211).

S.

Chr.

M.

Aeg.

Wat

Die nachfolgende Berechnung enthält nur einen Teil der in Fig. 3. dargestellten Richtungen, die übrigen sind ebenso zu behandeln. (Die folgende Berechnung schliesst sich an Formular 4) der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 an.)

Centrum

Pi

Technische

Hochschule

Pi

Ps

Pi

Christus

Agidius

Waterloo

223° 40' 0"

22° 40' 12,5" 223 40 0

35° 36' 21,2" 223 40 0

73° 28' 7,5" 223 40 0

75° 30' 13,7" 223 40 0

e — 0,980™ s

159 0 12 2355™

171 56 21 2499™

209 48 7 2392™

211 50 14 1554™

log q 5.31443 log e 9.99123 log sin s cpl. log s

5.30566

9.55426

6.62801

5.30566

9.14682

6.60223

5.30566

9.69636«

6.62124

5.30566

9.72223«

6.80855

log 8

Ccntrierte Richtungen

1.48793 + 30,8"

22° 40' 43,3"

1.05471

-f-11,3"

35° 36' 32,5"

1.62326« — 42,0"

73° 27' 25,5"

1.83644«

— 68,6"

= — T 8,6"

75° 29' 5,1"

Die so centrierten Richtungen werden weiter benützt, wie wenn sie auf dem Centrum selbst (Wasserturm-Flaggenstange) gemessen wären. Man kann dieselben auch nach Belieben im ganzen drehen, z. B. um genäherten Anschluss an Azimute zu erhalten : Technische Hochschule 22° 40' 43,3" —2° 10"    = 20° 30' 43,3"

Besonderer Fall zioeier Richtungen.

Man stellt häufig die TFîw&eZ-Centrierung in einer besonderen Formel dar, wofür wir in Fig. 4. besondere Bezeichnungen angenommen haben. (l und L entsprechend links, r und R entsprechend rechts.)

Da ein Winkel immer die Differenz zweier Richtungen ist, kann man durch zweifache Anwendung der Richtungs-Centrierung (1) auch die Formel für Winkel-Centrierung aufstellen. In Fig. 4. kann man sich den gemessenen Winkel a zerlegt denken:

Fig. 4.

Winkel-Centrierung a — a

/i

li

s'

P'

a — R — L

und wenn man dann auf L und R die Richtungs-Centrierung (1) anwendet, so findet man die Winkel-Centrierung:

\£>'i

\ ’S

Gentrier en eines Zielpunktes.

Fig. 5.

Zielpuixkts-Centrierung.

P’

Auch bei den Zielpunkten kommt oft Centrieren vor. In Fig. 5. sei P' ein Zielpunkt, der bei der Winkel-Messung benützt wurde, und P ein benachbarter Punkt, auf welchen die Winkel-Messung nachher bezogen werden soll.

Ist hiebei PP = e die Excentricität, s die Entfernung und s der Winkel bei P, dann ist der kleine Winkel bei S :

(4)

6 — — q sin s

Dieser kleine Winkel ist von der gemessenen Richtung SP' abzuziehen, damit dieselbe auf SP bezogen werde.

Man kann die Zielpunkts-Centrierungen in demselben Formular berechnen wie die Standpunkts-Centrierungen, es tritt nur ein Vorzeichen-Wechsel ein.

¹

Diese Berechnung des mittleren Fehlers ist für die nächsten Anwendungen nicht unbedingt nötig.

²

Diese Zeichnung stellt den Wasserturm vor in dem Zustande von 1883—1886. Im Sommer 1887 wurde von der trigonometr. Abteilung der Landes-Aufnahme ein steinerner Pfeiler ungefähr an der Stelle von j errichtet. Die später in § 73. mitzuteilenden Messungen sind auf dem Pfeiler 1887 gemacht und nicht auf dem Punkt J der obigen Fig. 3.

§ 71. Besondere Centrierungs-Verhältnisse.

Die Centrierungen spielen bei Triangulierungen eine wichtige Eolle, und auf manchen Stationen machen die Centrierungen mehr Arbeit als die Haupt-Winkelmessung selbst.

Wir wollen von den verschiedenen hiebei auftretenden Umständen einige Fälle hier behandeln (welche beim ersten Studium zu übergehen sind).

Am sichersten geht man immer, wenn man alle Punkte, nur wenigstens vorläufig, auf ein gemeinsames rechtwinkliges Coordinaten-System bezieht, in welchem die gegenseitig zu centrierenden Punkte wenigstens relativ richtig bestimmt sind (d. h. richtige Coordinaten-Differenzen haben). Zu diesem Zweck wird die ganze Triangulierung mit angenährten (vielleicht nur auf 1' genauen) Winkel vorläufig durchgerechnet.

Eine hiebei oft auftretende Aufgabe ist die folgende:

Fig. 1.

MA p

In Fig. 1. sei das Centrum C durch seine Coordinaten x y gegeben, und ein entfernter Punkt P sei ebenfalls durch Coordinaten xx yx gegeben. S sei ein Theodolit - Standpunkt, in welchem der Winkel CSP — a und die

e\a

xy s

kleine Entfernung CS == e gemessen sind; es sollen die Coordinaten cd y' von S bestimmt werden.

Aus G und P hat man:

tang {G P) — —--V

xx — x

sin 8 — — sin a

yi-y

’ sin {CP)

oder

xx — x cos (G P)

(1)

(2)

ß — 180° — (a-j-3) (CS) = (CI>) + ß

y' = y -(- e sin {GS)

x' = x —P e cos {C S)

(3)

(4)

(5)

dann erhält man noch eine durchgreifende Probe, wenn man aus den Coordinaten von S und P das Azimut (SP) unmittelbar berechnet:

(6)

tmg(SP) = V-

denn es besteht die Differenz:

(7)

(G P) — (S P) = 9.

Gentrierung durch Coordinaten-Differenzen.

Hat man in der oben angegebenen Weise alle Punkte in Coordinaten bestimmt, und zwar die Coordinaten - Differenzen benachbarter Punkte so genau als möglich, so kann man statt der in § 70. behandelten Formeln auch alles in Coordinaten berechnen.

Man hat hiebei zwei Mittel: Entweder kann man alle kleinen Winkel als Azimut-Differenzen darstellen, oder man kann die Differentialformeln anwenden, welche wir früher in Band I. § 55. S. 133—134 für andere Zwecke entwickelt haben.

Es seien z. B. in Fig. 5. § 70. S. 220:

x y die Coordinaten von P

d y' *

*12/1 »

dann kann man rechnen:

tang (SP) = J

— Xi

Es ist also der kleine Winkel:

(5)

PSP' = 8 = (SPr) — (SP)

Andererseits kann man Differentiale anwenden, und hat dann nach Band 1-S. 133 Fig. 3.:

Winkel PSP = b

(6)

x' „ sin (SP)+    o cos (S P)

Als ein Beispiel hiefür nehmen w ir das Dreieck Ägidius— Wasser türm— Technische Hochschule, welches schon auf S. 188 dargestellt ist und in dem Triangulierungs-Netze von § 73. nochmals Vorkommen wird.

In diesem Dreieck sind alle drei Standpunkte und auch zwei Zielpunkte excentrisch, denn auf dem Wasserturm wurde teils die Flaggenstange, teils ein Heliotrop angezielt, und von Ägidius aus war der Hauptturm S der technischen Hochschule wegen Zwischentritts des Marktturms nicht sichtbar, weshalb zunächst auf den Süd-Ost-Turm SO gemessen, und dann dieser auf den Hauptturm S reduziert werden musste.

Zu all diesen Reduktionen wurden zunächst Näherungs-Coordinaten aller in Frage kommenden Punkte im althannoverschen System bestimmt, und zwar bei der technischen Hochschule durch eine kleine örtliche Triangulierung mit kleiner Basis MN = 126,591"’ an der Herrenhäuser Allee.

Wir geben beispielshalber diese Coordinaten hier, jedoch nicht als Näherungen, sondern endgültig, weil dieses für weiteren Gebrauch sich empfiehlt und weil der Gebrauch als Näherungen sich doch daran zeigen lässt.

Ägidius :

Centrum der Station : Helmstange unter dem Knopf, 1887    — 13879,790™ +93575,890™

. — 13879,745 -f 93576,064 . — 13880,656 + 93577,039

Holztisch 1887 (Matthiass I, Leuchtbolzen) .    .

Bohle 1887 (Matthiass II)........

Wasserturm :

Centrum der Station : Flaggenstange Mitte in Zinnenhöhe, 1887 ............

Süd-Ost-Turm, Helmstange.......

Östliche Plattform, Eisenplatte.....

Beobachtet wurden u. A. auf Ägidius, Holztisch 1887, die zwei Richtungen: Wasserturm Heliotrop . . .    251° 17' 11,53"

Techn. Hochschule Turm SO 316° 6' 52,63"

—16145,760™ —16145,080

+ 92808,280™ H- 92808,697

S'

SO

—15320,943

—    15321,079

—    15278,280 —15266,847

+ 95013,695 + 95010,044 + 95030,091 + 95002,299

64° 49' 41,10"    (7)

Die erste Richtung soll vom Zielpunkt Heliotrop auf die Flaggenstange, und ~ die zweite Richtung soll vom Zielpunkt S 0 auf den Hauptturm S reduziert werden. Zugleich sollen beide Richtungen vom Standpunkt Ägidius Holztisch auf Ägidius Helmstange als Centrum, reduziert werden.

Man rechnet zu diesem Zweck mit den vorstehenden Coordinaten die vier Azimute:

Differenzen :

Ägidius Holztisch—Wasserturm Heliotrop

Centrum

Ägidius Holztisch—Techn. Hochschule SO „ Centrum —    ,

Centrum —

Azimute: 251° 17' 11,53" 251    17    9,25

6° 6' 52,06" 4 56    0,14

— 0° 0' 2,28"

r—I ł—!

CO CO

- 1° 10' 51,92"

— 1° 10' 49,64"    (8)

Dieser Wert (8) zu (7) hinzugefügt, giebt den allerseits centrierten Winkel:

Wasserturm—Ägidius—Techn. Hochschule S = 63° 38' 51,46"

Die erste unserer obigen Azimut-Differenzen, —0° 0' 2,28", kann man auch durch eine Differentialformel bestimmen, nämlich nach Band I. § 56. S. 134 Fall III*):

,    , A y    Ax .

(I >P = ~1--— Q COS q>--SW q>

wo sich A y und Ax aus je vier Coordinaten-Änderungen zusammensetzen; in unserem Falle ist A y =—0,635™ Ax = — 0,243”* und damit dq> = +17,56"—19,84" = — 2,28", ebenso wie aus den Azimut-Differenzen.

Wir haben vorausgesetzt, dass wir es nur mit vorläufigen Coordinaten zu thun haben, welche jedoch die relative Lage benachbarter Punkte richtig angeben. Wenn wir die Coordinaten der beiden Türme S und SO um gleich viel ändern, z. B. in y und in x um -f- 0,100™, so bekommen wir zwar merklich andere Azimute, nämlich 316° 7' 6,50" und 314° 56' 14,44", welche aber nahezu doch dieselbe Differenz geben wie vorhin, nämlich —1° 10' 52,06".

(9)

od o

während infolge nes Druckfehler-Verzeichnis zu Band I.

++</-</1).

Druckfehlers das zweite Glied das Zeichen — hat. Yergl. das

Anmerkung. Wenn liiemit auch gezeigt ist, dass die Centrierung mit läufigen Coordinaten doch auf 0,1" genau dasselbe giebt, wie die nachträgliche Cen-trierungsberechnung mit den endgültigen Coordinaten, so kommen doch auch in solchen Fällen manche Nebenumstände hinzu, welche noch kleine Fehler hineinbringen. So auch in unserem Falle; wir werden den oben unter (9) gefundenen Winkel 63° 38' 51,46" später in § 73. S. 231—232 mit dem Wert 63° 38' 51,9" wieder finden, d. h. um 0,4" grösser, ohne dass wir uns hier darauf einlassen wollen, diese Differenz zu erklären, welche übrigens bei einer mittleren Entfernung von 2km nur etwa 4™™ ausmacht, d. h. soviel, als auch bei direkter Centrierung mit unterlaufen kann.

vor-

Gentrierungen auf Türmen. Auf Kirchtürmen und ähnlichen Bauwerken spielen die Centrierungen eine besonders wichtige Bolle, weil es fast nie möglich ist, unmittelbar in der Projektion der Helmstange zu beobachten oder die Centrierungs-Elemente unmittelbar zu messen.

Das gebräuchlichste Verfahren der Centrierung besteht darin, dass man auswärts eine kleine Basis mit .Messlatten misst, und von dieser aus sowohl die Helmstange unter dem Knopf, als auch den Theodolitstand beobachtet, und die gegenseitige Lage dieser beiden Punkte bestimmt, und zwar am besten in Coordinaten in irgend welchem System. So wurde die schon vorhin erwähnte Centrierung zwischen den Türmen und Standpunkten der technischen Hochschule in Hannover (Welfenschloss) von uns gemacht.

Oft hat man mehr als einen Theodolitstand, und dazu noch excentrische Zielpunkte bzw. Heliotrop-Leuchtstände. Z. B. auf dem 109™ hohen Ansgariusturm in Bremen hatte die trigonometrische Abteilung der Landes-Aufnahme im Jahr 1886 11 verschiedene Punkte gegenseitig unter sich zu verbinden.

Die Messung einer seitlichen Basis wird erspart, wenn man trigonometrische Punkte nur wenigstens genähert richtig in der Nähe hat oder solche bestimmen kann.

Ein gutes Beispiel hiefür scheint uns folgendes zu sein:

In Fig. 2. bedeute A die Helmstange des Ägidius-Turmes in Hannover, und A' eine an der Laterne des Turmes angebrachte Bake, welche sowohl innen von dem Theo- W dolitstand aus, als auch aussen von zwei Punkten W und L aus sichtbar ist. Diese zwei Punkte (W=

Waterloo-Platz, L — Langensalza-Allee) wurden ihrerseits potheno-tisch an das hannoversche Coordi-

Fig. 2.

Centrierung auf dem Ägidius-Turm.

d<p

P =493,9™

ÄA

r,=266₍2m

naten-System angeschlossen, mit für diesen Zweck genügender Genauigkeit. dtp bzw. dtp' zwischen A und A! scharf gemessen, und wenn man nun mit dx und dy die Cooi'dinaten - Differenzen zwischen A und A' bezeichnet, so hat man mit den Bezeichnungen von Fig. 2., nach Band I. § 55. S. 133 Fig. 3., die Diflferentialformeln :

sin (p

In W und L wurde je der kleine Winkel

dtp —

d g>

.. v i , cos <p , y:- dx-\---— d y

COS tp

sing)'

r'

dx +

r’

dy

Diese Gleichungen kann man nach dy und dx auflösen:

r d q>    r'd g>

COS cp    COS cp

tang cp —tan g cp

r d cp    r'd cp'

sin cp    sin

cotg ip — cotg cp

Oder besser noch wird es sein, sich mehr als zwei Punkte W und L, und mehr als zwei Gleichungen (10) zu verschaffen, und diese nach der M. d. kl. Q. aufzulösen.

Sobald man so die Coordinaten von A' bestimmt hat, kann man die Coordinaten des Theodolitstandes S gegen A' durch das Verfahren von Fig. 1. S. 220 bestimmen.

dy — A-

dx

Unmittelbares Abloten. Es ist oft möglich, die Helmstange von zwei Seiten her unmittelbar ins Innere des Turmes mit dem Theodolit herahzuprojizieren. Dieses' war z. B. auf dem Ägidius in Hannover möglich, und die trigonometrische Abteilung der Landes-Aufnahme hat dabei das folgende in Fig. 3. angedeutete Verfahren' eingeschlagen:

Die Helmstange C wurde zuerst vorläufig projiziert, und dadurch ein Punkt A erhalten. Nun ist es aber nicht möglich, durch eine Projektion in einer Fernrohr-Lage den Punkt A genau in die Vertikale von G zu bringen. Dagegen kann man durch genaue Horizontal-Winkel-Messung zwischen dem vorläufigen Punkt A und der Helmstange C noch eine Korrektion AC\ bestimmen. Zunächst hat man für A Gj eine Winkel - Korrektion, und man könnte daraus eine lineare Korrektion AGt ahleiten, wenn man die Entfernung des Theodolits wüsste. Diese Entfernung kann man sich durch einen kleinen Kunstgriff ersparen : Die trigonometrische Abteilung der Landes-Aufnahme stellt nämlich in A, und links und rechts davon, drei Signale L , A , R in bekannten Abständen auf (LA = AR = 10'"‘) und wenn man nun die Horizontal-Winkel-Messung nicht bloss auf G und A, sondern auch auf L und R ausdehnt, so kann man das Stück A Gi durch eine einfache Proportion berechnen. Es dient hiebei LAR sozusagen als Distanz-Latte.

Dieses Abloten macht man von zwei Seiten her, und hat dann im Innern die Projektion der Helmstange zugänglich.

(Gelegentlich mag hiezu bemerkt werden, dass auf Ägidius die genaue Projektion der Helmstange in der Laterne des Turmes um 17cm von der geometrischen Mitte des Grundriss-Achtecks abwich, obgleich der Turm von aussen nach Augenmass symmetrisch erscheint.)

Bei solchen Tunn-Centrierungen kommen viele Messungen vor, welche man am besten zu der künftigen Stadt-Vermessung in Beziehung setzt.

Am besten ist es, um den Turm herum ein geschlossenes Strassen-Polygon zu legen, dessen Seiten mit Messlatten genau gemessen werden. Auf diese Weise kann man nicht nur die Centrierungen sehr genau bekommen, sondern zugleich auch dem später kommenden Stadt-Vermesser sichere und gut zugängliche Strassen-Punkte verschaffen, und ihm die später doch nötigen schwierigen Turm-Anschlüsse sofort geben.

Fig. 3. Abloten OCt

11

~r~

t-

ec-

'iv

Ci

Centrierung mit dem Gompass.

Wenn man durchaus nach Coordinaten rechnet, so kann man kleine Centrierungen, etwa solche, welche nur Centimeter oder Deciineter betreffen, am einfachsten mit dem Compass erledigen, welcher insofern Azimute giebt, als die Angaben der Nadel um

einen konstanten Betrag (etwa 13°) grösser sind als die trigonometrischen Azimute. Hat man diesen Betrag ermittelt, und kann man vor Eisenmassen sicher sein (im freien Feld), so genügen Compass-Ablesungen zu manchen kleinen Centrierungen.

Genauigkeit der Gentrierungen.

Man soll die Centrierungen so genau machen, dass die dabei übrig bleibenden Fehler im Vergleich mit den Winkel-Messungs-Fehlern als verschwindend zu betrachten sind ; demnach misst man die Excentricitäten e meist auf lmm genau, und nimmt auch die Richtungs-Winkel e entsprechend genau.

Bei Triangulierungen III. bis IV. Ordnung mit Seiten von rund 2km entspricht lmm einem Winkel von 0,1", d. h. der letzten Rechen-Einheit, die man hier überhaupt noch mitführt, und bei Triangulierungen I. Rangs entspricht lmm nur etwa 0,01". Es würden daher die Triangulierungen häufig sachlich nicht anders ausfallen, wenn man bei grossen Entfernungen die Excentricitäten nur auf 1cm genau müsse. Allein erstens kommen grössere Fehler als lmm wohl auch von selbst, wenn man beabsichtigt, auf lmm genau zu messen, und zweitens soll man kleine Fehler, wenn man sie vermeiden kann, nicht leichtsinnigerweise in eine Arbeit hineintragen. Es gilt hier derselbe Grundsatz, wie im sittlichen Leben, und man kann hier mit kleiner Abänderung eines Sprichworts sagen: „Wer die Zehntel nicht ehrt, ist der Sekunde nicht wert.“ —

§ 12. Bildung der Abrisse.

Unter „Abriss“ versteht man das Schluss-Ergebnis der Winkel-Messungen bzw. Richtungs-Messungen auf einer Station. Der Abriss entsteht aus den Einzelmessungen durch Mittel - Bildung oder sonstige etwa nötige Ausgleichung, und durch Zufügung aller Centrierungs-Reduktionen.

Für Kleintriangulierung misst man mindestens zwei Sätze, häufig vier Sätze, und wenn darin keine Lücken sind, so macht man die Mittelbildung nach § 67.

Vollständige Sätze sind aber nicht immer zu erlangen, teils wegen äusserer Hindernisse, z. B. schlechter Beleuchtung, teils aus inneren Gründen, indem sehr viele Zielpunkte (z. B. mehr als sechs) nicht in einen Satz zusammengenommen werden sollen.

Wie man in solchen Fällen zu Gewinnung eines Gesamt-Mittels gelangt, haben wir im I. Band, M. d. kl. Q. S. 229, gezeigt, indessen bei Triangulierungen III. und

IV. Ordnung braucht man solche Hülfen selten. Wenn die Sätze nur teilweise lückenhaft, dafür aber zahlreicher sind, kann man sich wohl dennoch mit Mittelbildungen begnügen.

Setzen wir hiernach die Stations-Ausgleichung als erledigt voraus, und auch die Centrierungen berücksichtigt, so kommt noch die Frage der Orientierung, d. h. der Anpassung der gemessenen Richtungen an die Axen-Richtungen des Coordinaten-Systems, oder Anschluss an trigonometrische Azimute.

Diese Orientierung wird stufenweise erreicht, und hängt mit der trigonometrischen Berechnung und mit der Ausgleichung zusammen.

Wir haben schon bei den Messungen bemerkt, dass es nützlich ist, von vornherein den ersten Satz vorläufig zu orientieren, so dass die Ablesung u° ungefähr nach Norden kommt.

Das spätere genaue Orientieren geschieht im Anschluss an mindestens ein trigonometrisches Azimut.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aull. II. Bd,

Häufig hat man aber an mehrere feste Azimute anzuschliessen, was wir an dem früheren kleineren Beispiel Wasserturm (2) § 70. S. 219 zeigen wollen mit der Annahme, dass für Techn. Hochschule S und für Ägidius endgültige Azimute vorliegen.

Wasserturm, Centrum (Flaggenstangej.

Zielpunkt

Beobachtete

Richtungen

Endgültige

x\zimute

Unter

schiede

•P

<p — a

Endgültig orientierte Richtungen a—19,7" = M

Verbesse

rung

<f>—A = v

Techn. Hochschule S Christus-Turm .    .

Ägidius-Turm .    .

Waterloo-Säule . .

20° 30' 43,3" 33 26 32,5 71 17 25,5 73 19    5,1

20° 30' 20,2"

71 17 9,2

— 23,1"

— 16,3

20° 30' 23,6" 33 26 12,8 71 17 5,8 73 18 45,4

— 3,4"

-f- 3,4

Summe —39,4" Mittel —19,7"

Summe — 0,0"

(In sachlicher Beziehung bemerken wir hiezu, dass dieses einfache von § 67. und § 70. hierhergeführte Beispiel auf zwei Richtungs-Sätzen mit einem Nonien-Instrument beruht, und zu den genaueren Messungen, die wir im folgenden § 73. vorführen werden, in keiner Beziehung steht.)

Endgültige Abrisse erhält man erst nach der Ausgleichung des trigonometrischen Netzes, bzw. nach der Ausgleichung der aufeinanderfolgenden Punkt-Einschaltungen, indem dann jeder gemessenen Richtung ein endgültiges Azimut gegenüber steht. Man setzt dann auch noch die Entfernungs-Logarithmen und vielleicht noch anderes bei, um für weitere Rechnungen alles beisammen zu haben.

Es ist hier das amtliche Werk zu erwähnen: „Die Königlich Preussische Landes-Triangulation. Abrisse, Coordinaten und Höhen u. s. w. VII. Teil. Berlin 1885 (Mittler & Sohn)“, welches die wichtigsten Resultate der Landes-Aufnahme in Form von „Abrissen“ veröffentlicht.

Bei der Bildung der Abrisse kommen manche Formfragen vor, weshalb wir im Folgenden einige Bestimmungen, welche bei der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme seit 1883 gelten, hier vorführen:

Die Abrisse sollen neben dem Verzeichnis der Coordinaten und Höhen eine vollständige und bequem zu handhabende Grundlage für alle weiter zu machende Anwendungen bilden.

Der Ausdruck „Station“ bezieht sich auf die Örtlichkeit, nicht auf einen bestimmten Punkt. In diesem Sinne giebt es „verschiedene Punkte derselben Station“, als: Centrum, Beobachtungspunkt, Zielpunkt u. s. w. Dagegen soll dieser Ausdruck nicht in der Bedeutung eines Punktes gebraucht werden, wo beobachtet ist, im Gegensatz zu einem bloss von aussen angeschnittenen Punkt. Es giebt daher auch „bloss angeschnittene Stationen“ und „Stationen IV. Ordnung“.

Auf jeder Station muss ein Punkt vorhanden sein, auf welchen sämtliche Messungs-Resultate bezogen werden. Dieser Punkt heisst das Centrum der Station, und ist als der eigentliche Dreieckspunkt anzusehen, er mag im Felde bezeichnet sein oder nicht, d. i. centrisch oder excentrisch festgelegt sein. Der Ausdruck „Dreieckspunk;f* ist demnach identisch mit „Centrum“, ist aber nur zu gebrauchen, wo von dem Vorhandensein anderer Stationspunkte stillschweigend abgesehen wird.

Alle in die Netzausgleichung einzuführende Richtungen und Entfernungen sind die auf die Centren reduzierten.

Ist auf einer Station ein Gebäude mit gutem Zielpunkt für die niederen Ordnungen und Kleinvermessungen vorhanden (Turmspitze, Turmmitte u. s. w.), so ist derselbe als Centrum zu nehmen. Wenn der einzustellende Gebäudeteil keinen hinreichend scharf bestimmten Mittelpunkt hat, oder auf die Dauer nicht fest genug erscheint, um als Punkt I. Ordnung genommen zu werden, während er für die niederen Ordnungen genügt, so soll er nominell auch von jener als Centrum genommen, faktisch aber ein ideeller Punkt dafür an die Stelle gesetzt werden, der so nahe, wie dies der Mangel an Regelmässigkeit und Festigkeit des Gebäudeteils überhaupt zulässt, mit dessen Mittelpunkt zusammenfällt, und der durch seine Lage zu einer besonders herzustellenden Festlegung oder zu ohnehin vorhandenen Festpunkten der Station scharf zu definieren ist. Selbstverständlich ist in solchen Fällen der betreffende Gebäudeteil nur für die niederen Ordnungen als Zielpunkt zu benützen, für welche eine Unsicherheit von einigen Centimetern allenfalls ausser Acht gelassen werden kann.

Zur Benennung eines bestimmten Punktes einer Station ist eine nähere Bezeichnung dem Stationsnamen hinzuzufügen. Hiervon allein ausgenommen ist das Centrum, wenn es vorschriftsmässig, d. i. centrisch mit Pfeiler und Platte (bei den Punkten III. und IY. Ordnung vor 1875: mit Pfeiler allein) festgelegt ist, in welchem Falle es mit dem Stationsnamen allein benannt wird. Die nähere Bezeichnung besteht in der Regel in der Angabe derjenigen Vorrichtung oder desjenigen Gebäudeteils, worauf oder wodurch der Punkt bezeichnet ist. Z. B.: Petersberg, Südpfeiler; Petersberg, Nordwestpfeiler; Rugard, Granitpfeiler u. s. w.

Nähere Bezeichnungen, wie: Centrum, Beobachtungspunkt, Zielpunkt, Leuchtpunkt u. s. w. sind nur in Ermangelung solcher von vorstehender Art anzuwenden.

Die einmal eingeführte Benennung eines Punktes muss einschliesslich der näheren Bezeichnung in gleichem Wortlaut und gleicher Orthographie überall wieder angewendet werden, wo der Punkt vorkommt, sei es in den Abrissen (als Überschrift oder als Richtungspunkt) oder im Coordinaten-Verzeichnis. In der Kolumne „Richtung nach“ der Abrisse ist bei Punkten, die derselben Station angehören, wie der Abrisspunkt, der Stationsname fortzulassen, und der Punkt nur mit seiner näheren Bezeichnung, bzw. mit „Festlegung“ zu benennen.

Der Abriss eines Punktes enthält die auf den letzteren als Pol bezogenen sphäroidischen Polar-Coordinaten: Richtungswinkel und Logarithmus der Entfernung gewisser anderer Punkte (Richtungspunkte). Die Nullrichtung der Richtungswinkel ist eine Parallele zum Hauptmeridian (81° östlich von Ferro), von deren nördlichem Arm die Richtungswinkel nach rechts gezählt werden.

Jeder Punkt einer Station, von welchem als Pol ein Abriss aufgestellt oder aufzustellen ist, heisst ein AbrisspunJct, und jede Station, der ein solcher Punkt angehört: eine Abriss-Station.

Es müssen nicht nur vom Centrum, sondern auch von besonders wichtigen excentrischen Beobachtungspunkten Abrisse aufgestellt werden Ferner müssen die Abrisse nicht nur die Polar-Coordinaten von Punkten anderer Stationen, sondern auch diejenigen bemerkenswerter Punkte derselben Station, d. i. die Centrier-Elemente der Stationspunkte, enthalten.

§ 73. Grösseres Beispiel einer Triangulierung.

Um ein zusammenhängendes Triangulierungs-Beispiel zu haben, an welches sich nachher einzelne Aufgaben anschliessen können, teilen wir hier die Resultate einer Triangulierung mit, welche im Sommer 1887 in Linden bei Hannover, mit Erstreckung auf den südwestlichen Teil von Hannover selbst, von uns ausgeführt wurde. Das Hauptnetz ist in Fig. 2. (S. 229) gezeichnet, und dasselbe Netz mit weiteren Einschaltungen ist nochmals in Fig. 1. (S. 228) grösser gegeben.

Als Basis diente die Linie Ägidius - Wasserturm mit den schon auf S. 188 angegebenen rechtwinkligen Coordinaten der beiden Punkte Ägidius und Wasserturm. Der Punkt Ägidius mit diesen Coordinaten stammt unmittelbar von der Gawssschen

Triangulierung von 1821—1844 her, wie wir schon in Band I. S. 146 mitgeteilt haben (Gauss- Wittsteinsches Coordinaten-Verzeichnis S. 36).

Fig. l.¹)

Triangulierung von Linden (Massstab 1:40000).

7 Hauptpunkte, 10 vorwärts eingeschnittene Punkte, 10 rückwärts eingeschnittene Punkte.

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Tönjesberg

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Der zweite Basispunkt Wasserturm wurde durch unsere pothenotische Ein Schaltung und Ausgleichung gewonnen, welche in Band I. S. 151 mitgeteilt ist.

Fig. 2.

Triangulierung von Linden. Hauptnetz. (Massstab 1:80 000.)

4.Kunst

sTech-H.

__

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20'

21

22

23

6Jönjb.

von

Der Umstand, dass hiernach die Coordinaten vom Wasserturm mittlere Fehler + 0,62’" und + 0,32"* haben, ist durch die Ungenauigkeit der benützten alten Anschlusspunkte begründet (vgl. Band I. § 62.) ; und wenn wir nun trotzdem diese zwei Punkte Igidius und Wasserturm mit den angegebenen Coordinaten festhalten, und alles Weitere auf Millimeter genau darauf gründen, so hat das zunächst die Bedeutung, dass wir auch auf eine mangelhafte Basis doch eine genaue Triangulierung gründen können, welche wenigstens in sich selbst konsequent und gut ist.

Zweitens aber werden wir später im Stande sein, wenn mit dem Fortschreiten der Landes - Aufnahme neue scharfe Coordinaten der beiden Basispunkte Ägidius und Wasserturm in irgend welchem System zur Verfügung sein werden, unsere Coordinaten umzurechnen, wozu ähnliche Formeln, wie (18)—(22) § 61. S. 196—197, aufzustellen sein werden.

Nach diesen Vorbemerkungen führen wir die folgenden Basis-Zahlen werte *) wie fehlerfrei in die Eechnung ein:

Ägidius, Turm, Helmstange unter dem Knopf —13879,790”* + 93575,890”* (1) Wasserturm, Flaggenstange in der Zinnenhöhe —16145,760    +92808,280    (2)

*) Wir geben hiemit auch die geographischen Coordinaten dieser zwei Basispunkte, sowie für den Coordinaten-Nullpunkt Göttingen, indem mit den Gawssschen Annahmen für Göttingen und mit den Hessischen Erddimensionen die beiden anderen Punkte von uns berechnet wurden :

Breite

Punkt Göttingen Ägidius

Wasserturm 52° 21' 50,131”

51° 31' 47,850” 52° 22' 15,191”

Länge

27° 36' 28,200” 27° 24' 14,474” 27° 22' 14,822”

Meridian-Gonvergenz 0° 0' 0,000”

0° 9' 41,097”

0° 11' 15,796”.

An die Basis Agidius—Wasserturm wurde das in Fig. 2. gezeichnete Sieben-Eck angeschlossen, das meist Türme, und nur im Süden die drei Bodenpunkte Badenstedter Weg, Tönjesberg und Bahnhof hat. Diese drei Punkte sind nach Fig. 3. § 66. S. 207 versteint (mit Metallbolzen in den Steinen). Über die Punktbezeichnungen und Cen-trierungen auf den Türmen wurde gelegentlich einiges in § 71. S. 221—223 mitgeteilt.

Nach diesem ist über die Winkel-Messung zu berichten. Dieselbe geschah mit dem Mikroskop-Theodolit Bamberg S. 144, nach dem Muster von § 68. S. 214—215, in je 8 vollen Sätzen, so dass das Beispiel von § 69. S. 216 die Hälfte der auf Badenstedter Weg für diesen Zweck gemessenen Sätze enthält. Ausnahmsweise wurde auf dem Hauptturm S der technischen Hochschule und auf dem Kunstturm bei Herrenhausen Répétitions - Messung mit einem Nonien-Instrument angewendet, was mit Angabe der Gründe schon in § 67. S. 212 berichtet worden ist.

Nun geben wir sofort (auf S. 231) den endgültigen Abriss²) der Triangulierung nach der Ausgleichung.

Die ausgeglichenen Richtungen sind mit den trigonometrischen Azimuten identisch, und die beobachteten Richtungen sind ebenfalls diesen Azimuten angepasst. Die als beobachtet aufgeführten Richtungen haben dadurch ihren Charakter als On#waZ-Richtungs-Beobachtungen durchaus nicht verloren, weil ja Richtungssätze im ganzen beliebige Verschiebungen erleiden können.

Beispielsweise sind die beobachteten und ausgeglichenen Richtungen auf Ägidius zuerst diese gewesen :

ausgeglichen 223° 21' 8,91" 251 17 9,39 293 58 16,88 314 56 0,31

—    0,89 + 0,09 + 1,68

—    0,89

(5)

Daraus wurde abgeleitet:

Entfernung Ägidius—Wasserturm =

trig. Azimut „

2392,456’» (log = 3.378 8439) = 251° 17' 9,25"

(3)

oder

Wasserturm—Agidius =    71° 17' 9,25"

(4)

Ägidius beobachtet Bahnhof . . . 223° 21' 9,8" Wasserturm . . 251 17 9,3 Kunst .... 293 58 15,2 Techn. Hochschule 314 56 1,2

Der trigonometrische Anschluss verlangt aber, nach (4), dass die Richtung Ägidius—Wasserturm = 251° 17' 9,25" werde, und deshalb wurden die sämtlichen Richtungen der vorstehenden Tabelle (5) noch um 0,14" vermindert, und so sind sie in der grossen Tabelle von S. 231 aufgeführt.

In dem Abriss S. 231 sind auch einige Zahlen mit aufgenommen, welche mit der Ausgleichung und mit der ebenen Triangulierung nichts zu thun haben, nämlich die Nordrichtungen auf den Punkten Wasserturm, Ägidius und Technische Hochschule. Vgl. hiezu die Anmerkung unten auf S. 229.

Aus den Differenzen der verschiedenen Richtungen bildet man auch die Dreiecks-

Winkel, und man erhält dadurch folgende 7 Dreiecks-Schlüsse, nach der Numerierung von Fig. 2. S. 229:

(Fortsetzung auf S. 232.)

Beobachtete Richtung ; orientiert

Yer-    Ausgeglichene

besserung Richtung;

trigon. Azimut

log der Entfernung ; log s

Nord

1.    Techn. Hochschule S

2.    Ägidius ....

3.    Bahnhof ....

4.    Tönjesberg . . .

5.    Badenstedter Weg .

6.    Kunst .....

t. Wasserturm, Flaggenstange in Zinnenhöhe 1887.

0° 11' 15,80" 20° 30' 20,20" 71 17    9,25

135 14 16,53 192 20 32,86 259 44 35,30 338 10 37,68

21° 30' 20,87" 71 17    9,97

135 10 16,27 192 20 33,47 259 44 34,57 338 10 36,67

—    0,67"

—    0,72 + 0,26

—    0,61 + 0,73 + 1,01

0,00

2. Ägidius, Turm, Helmstange 1887.

3.3719186 3.378 8439 3.049 7386 3.163 6373 3.116 1512 3.366 6752

Nord

7.    Bahnhof ....

8.    Wasserturm .    .    .

9.    Kunst.....

10. Techn. Hochschule S

223° 21' 9,66" 251 17    9,16

293 58 15,06 314 56    1,06

—    0,89" + 0,09 + 1,68

—    0,89

0° 9' 41,10" 223° 21' 8,77" 251 17    9,25

293 58 16,74 314 56    0,17

3.332 5617 3.378 8439 3.534 8234 3.308 7206

0,01

3. Technische Hochschule, Hauptturin S, Helmstange 1887.

0° 10' 41,73" i 134° 56' 0,18" 200 30 20,19 268 26 52,99 j

Nord

134° 56' 0,72" 200 30 18,22 268 26 54,42

—    0,54" + 1,97

—    1,43

3.308 7-206 3.371 9186 3.227 9460

0,00

4. Kunstturm bei Herrenhausen, Steigrohr.

14. Techn. Hochschule S 88° 26' 52,75"    -j- 0,26" i 88° 26' 53,01"

+ 0,01 |

15.    Ägidius . . .

16.    Wasserturm .    .

3.227 9460 3.534 8234 3.366 6752 3.385 4369

18.    Kunst . . . .

19.    Wasserturm .    .

20.    Tönjesherg . .

5. Badenstedter Weg, Stein mit Bolzen.

9° 58'    47,17"    —0,37"

79 44    35,95    — 0,65

.    140 43    26,95    + 1,02

9° 58' 46,80" 79 44 35,30 140 43 27,97

3.385 4369 3.116 1512 3.187 1994

0,00

21.    Badenstedter Weg .

22.    Wasserturm . . .

23.    Bahnhof . . . .

6. Tönjesberg, Stein mit Bolzen.

320° 43'    29,10"    —1,14"    320° 43'    27,96"

12 20    32,10    +0,76    12 20    32,86

60 18    54,50    +0,38    60 18    54,88

3.187 1994 3.163 6373 3.102 9559

0,00

24.    Tönjesherg . .

25.    Wasserturm . .

26.    Ägidius .    .    .

7. Bahnhof, Stein mit Bolzen.

240° 18' 55,36 315 14 16,76 43 21    8,06

—    0,48"

—    0,23 + 0,72

240° 18' 54,88" 315 14 16,53 43 21    8,78

3.102 9559 3.049 7386 3.332 5617

+ 0,01

(Fortsetzung von S. 230.)

Beobachtet

I.

Ausgeglichen

Beobachtet

IV.

Ausgeglichen

(1. 2) (8, 10) (11,12)

50° 46' 49,1" 68 38 51,9 65 34 17,5 179° 59' 58,5"

50° 46' 49,05" 63 38 50,92 65 34 20,01

(4, 5)

(19,20)

(21,22)

Cn Ci Ci O

o

CO cn DO ^1 00 4^

CO

67° 24'    2,44"

60 58 52,67 51 37    4,90

179° 59' 59,98"

179° 59' 55,1"    180° 0'    0,01"

II.

y.

(2, 3)

(7. 8)

(25,26)

CO^ CO

cd~ cT r—~

kO iO

N 10 CO 10

o

CO B- OO CD 03 OO

63° 57' 7,28" 27 56    0,48

88    6 52,25

(5, 6)

(16,17)

(18,19)

CO CC 10 ca ^ -rf

OO H Oi r— CO CO

00

Ci CO <1 <X> t—‘ 00

o

4^    DO

Cn CO Ci

ca oT cc

CO D* O CO O 10

179° 59' 57,1"

180° 0' 0,01"

179° 59' 58,0"

179° 59' 59,95"

III.

(3, 4) (22,23) 24,25)

-a ^ dt ^

OT Ol O CO Ci

iO IO H

H-¹ to <1 4^ ^ bO

57° 6' 16,33" 47 58 22,02 74 55 21,65

Sa

CO D ^ CO ^

Ci CO CO

T—t IO Tf

o

(M O Ci Tf CD CD

42° 19' 42,52" 67 56 32,80 69 43 44,67

180° 0'    7,1"    179° 59' 59,99"

180° 0' 1,0"

180° 0' 0,00"

VII.

(6, 2)

(8, 9) . (15,16)

CO (M Ci rh ^

6’

CO

CO

41

12

uS

93° 6' 31,57" 42 41    7,49

44 12 20,91

180° 0' 3,2"

179° 59' 59,97"

Was die Ausgleichung betrifft, so wurde dieselbe nach dem Muster des Vierecks-Beispiels bewirkt, welches wir in Band I. § 74. S. 216—221 in aller Ausführlichkeit gegeben haben.

Es bestehen 9 Bedingungs-Gleichungen, nämlich 7 unabhängige Dreiecksschlüsse und 2 Seiten-Gleichungen (entsprechend den Formeln (14*) in Band I. S. 183).

Die Dreiecksschlüsse gehen folgende 7 Gleichungen:

I.    «₂ — «i + «io — «8    «12 — «n — 1»5" ⁼ 6

II.    vs — «2«8 —«7 4~«26— «25— 2,9" = 0

Die beiden Seiten-Gleichungen sind zunächst in Sinus-Form:

A. Centralsystem Wasser türm :

sin (10— 8) sin (13—12) sin (17—16) sin (20—19) sin (23—22) sin (26—25)

sin (12—11) sin (16—14) sin (19—18) sin (22—21) sin (25—24) sin (8—7) logarithmischer Widerspruch = -f- 0.0000 038.

B. Diagonale Ägidius-Kunst:

sin (10—8) sin (1—6) sin (15—14)_

sin (16—14) sin (10—9) sin (2—1)

logarithmischer Widerspruch = — 0.0000 155.

Dieses führt (in Einheiten der 6. Logarithmen - Décimale) auf folgende zwei lineare Gleichungen:

A)    —|- 3,97    —    5,01    1,04    v^q -f- 0,96 vu — 1,81 v^ “H 0,85 vjg -f- 0,78 v^ą

— 4,17 «m + 3,39 «]7 + 0,77 «₄₈ — 1 >94 «₄g + 1,17 «20 + 1,67 v^\ — 3,57

+ 1,90 'i?23 —ł— 0,57 «24— 0,34 «25 + 0,07 «2ß + 3,8 = 0

B)    + 4,02 v₁ — 1,71 «₂ — 2,31 «₆ — 1,04 «₈ + 5,49 «₉ — 4,45 «₁₀ — 3,63 «14 + 4,41 «i5 — 0,78 «i0 — 15,5 = 0

Nimmt man diese 2 Gleichungen mit den obigen 7 Gleichungen I. bis VII. zusammen (wobei die letzteren auch noch nach «i «₂ «₃ . . . «₂0 zu ordnen sind), so kann man die Normalgleichungen bilden.

Wir haben aber zuvor die Gleichungen in eine andere Ordnung gestellt, damit in den Normalgleichungen die vollen Glieder möglichst ans Ende gerückt werden, und die leeren Stellen an den Anfang kommen. Eine solche Umordnung zur Eliminations-Erleichterung ist wohl zu überlegen, und kann viel überflüssige Arbeit ersparen.

Wir haben folgende Ordnung angenommen: frühere Bezeichnung: III. IV. V. VI.

Coëfficienten:

Korrelaten :

II. VII.

*6 *₇

k i    *2 ks *₄

damit werden die Normalgleichungen in abgekürzter Schreibweise:

oo 5s⁴ tÖ

A.

*9

. . — 2 *0

+    4,26*9 + 1,00 = 0

—    2,13 *₉ — 4,90 = 0

1,53*₈+    4,85 *₉ — 2,00 = 0

— 2 *₃ . .

+ 6 *3 — 2 *₄

+ 6 Icą — 2 *5

+ 108,68*8+    1,00*9—15,50 =0

+ 101,94*9 + 3,80 = 0

. . — 2 *7 —

. . + 2 *7 -j-    9,18 *8 —    2,29 *g +■ 7,10 = 0

Die Auflösung dieser 9 Gleichungen giebt: *2 = +1,07

*₇ — -j- 0,02

*3 = -+- 0,34

*₈ = + 0,303

*₄ = — 1,39

*₉ = — 0,0425

*5 = -+- 0,o0

*6 = + 0,72

Nun bildet man eine Tabelle ähnlich wie (9) in Band I. S. 218, und berechnet darin alle Verbesserungen «, welche wir schon in dem Abriss S. 231 mitgeteilt haben. Die algebraische Summe dieser « ist stationsweise, und im ganzen, gleich Null,

was als Rechenprobe dient.

Die Quadratsumme der « findet man durch Einzel-Ausrechnung:

[« «] = 22,98

Hiezu hat man die Probe — [w *], welche folgendes giebt :

(6)

III.

4- 1,0

IV.

V.

-    4,9

—    2,0

VI.

4- 7,1

I.

II.

-    1,5

—    2,9

VII.

4- 3,2

B.

—15,5

A.

-4 3,8

4- 0,46 + 1,07 + 0,34

—    1,39 4- 0,50 4- 0,72 +■ 0,02 + 0,303

—    0,0425

— 0,46

4- 5,25 + 0,68 4- 9,87 4- 0,75 4- 2,08

— 0,06

4- 4,70 + 0,16

+23,49 — 0,52 = + 22,97

(?)

Man hat also, in guter Übereinstimmung, aus (6) und (7) den mittleren Fehler einer beobachteten Richtung:

¹

In Fig. 1. sind ausser den Hauptlinien des Netzes Fig. 2. (S. 229) nur noch diejenigen Strahlen gezogen, welche von den sieben Hauptpunkten nach vorwärts eingeschnittenen Punkten gehen ; die rückwärts eingeschnittenen Punkte sind ohne Strahlen eingetragen, weil in dem kleinen Massstab das Einträgen aller Strahlen zur Undeutlichkeit führen würde.

²

Die Messungen auf dem Ägidius-Turm sind nicht von uns gemacht, sondern von dem Vermessungs - Dirigenten der Landes - Aufnahme, Herrn Premierlieutenant Matthiass, welcher dieselben nebst den Centrierungs-Elementen im Juli 1887 mitteilte.

= ± 1,60".

(8)

für

Nun folgt die Berechnung aller Dreiecks-Seiten mit der Basis (3); die so erhaltenen Seiten-Logarithmeu sind bereits in dem Abrisse S. 231 mitgeteilt.

Ferner schliesst sich hieran die Coordinaten-Berechnung mit den früher schon bei (1) , (2) , (3) , (4) gegebenen Elementen für die Basispunkte.

Die Resultate sind :

1.    Ägidius, Helmstange.....

2.    Wasserturm, Flaggenstange . .

3.    Techn. Hochschule S......

4.    Kunst..........

5.    Badenstedter Weg......

6.    Tönjesberg........

7.    Bahnhof.........

—13879,790™

—    16145,760

—    15320,943

—    17010,553

—    17431,505

—    16457,328

—    15356,150

+ 93575,890™ + 92808,280 + 95013,695 + 94967,919 + 92575,620 + 91384,373 + 92012,085

Hiezu gehören noch einige Nebenpunkte (vgl. S. 221—222):

la. Ägidius, Holztisch (Matthiass I.)

„ Bohle (Matthiass II.) . Wasserturm Pfeilermitte (Heliotrop) . Techn. Hochschule Eisenplatte S' Eisenplatte E Süd-Ost-Turm SO.

lb.

• 3»

—    13879,745™ —13880,656

—    16145,080

—    15321,079

—    15266,847 —15278,280

+ 93576,064™ + 93577,039 + 92808,697 + 95010,044 + 95002,299 + 95030,091

Um alle Coordinaten beisammen zu haben, geben wir sofort auch alle in dem Netze von Fig. 1. S. 228 enthaltenen, weiter eingeschalteten Punkte, und zwar mit Beifügung der mittleren Coordinaten-Fehler ± my und ± mx, welche bei der Ausgleichung der Einschaltungen bestimmt worden sind.

Vorwärts

eingeschmttene Punkte :

Punkt

mv

mx

8.    Markt-Turm.....

9.    Kreuz-Turm.....

10.    Neustädter-Turm ....

11.    Waterloo-Säule ....

12.    Rathaus Linden, Turm

13.    Martin-Turm.....

14.    Kath. Kirche, Turm (Linden.)

—14154,136™

—    14381,880

—    14617,234

—    14657,523 —15205,037

—    15881,797 —15504,414

—    15190,778

—    14769,055

—    15552,257

I+I++I+I+I+ + + +1 +

26mm

4- 93836,937™ ±25 + 94017,271 ± 4 + 93768,675 ± 7 + 93254,386 ± 14 + 93192,819 ±10 + 93169,470 ± 5 + 92954,835 ± 8 + 92728,019 ± 9 + 94893,369 ± 5 + 91681,003 ± 4

Rückwärts eingeschnittene Punkte :

Punkt

mv

mx

18.    Falke .....

23.    Limmer-Brücke . .

24.    Bergfeld ....

25.    Davenstedter Strasse

(Nivell.-Stein (42))

26.    Aue (Nivell.-Stein (69))

27.    Köterholz.....

—15190,968™ ± 4m™

—    15518,258 ± 19

—    16023,201 ±78

—    16062,855 ±11 —15603,260 ± 28

—    16723,704 ±10 —16719,864 ± 4

—    17003,410 ± 6

—    14767,237 ± 14

—    16193,917 ±34

+ 93403,173™ ± 12 -4- 92644,948 ± 19 + 92098,650 ±41 + 93666,423 ±27 + 93785,256 ± 10 + 94345,538 ± 17 + 92704,070 ± 2 + 93110,584 ± 6

+ 91914,830 ± 5 + 94120,366 ±22

Alle diese vorwärts und rückwärts eingeschnitteuen Punkte sind in Fig. 1. S. 228 eingetragen, und mit Rücksicht auf die Anmerkung zu Fig. 1. S. 228 kann man sich nun wohl den gewählten Gang der Einschaltungen im allgemeinen vorstellen.

Indessen sind nicht etwa zuerst alle vorwärts eingeschnittenen Punkte zuerst berechnet worden, sondern es wurden auch einige pothenotische Punkte, welche sehr viele Strahlen hatten, zum voraus ‘ bestimmt, und von diesen aus wieder Vorwärtsschnitte auf schwache Punkte, z. B. Christus- und Kreuz-Turm, abgegeben. So wurde die Genauigkeit im ganzen ziemlich ins Gleichgewicht gebracht.

Um nun aber auch diese Entwicklung unserer Triangulierung, nach der Ausgleichung des grundlegenden Sieben-Ecks, deutlicher zeigen zu können, wollen wir wenigstens die Abrisse von einigen wenigen Punkten, mit den im Netz ausgeglichenen festen Strahlen und mit den dadurch orientierten freien Strahlen, hier mitteilen.

Wir wählen hiezu die vier Punkte: Wasserturm, Ägidius, Technische Hochschule und Bahnhof-, wir haben aber hiebei auf Wasserturm und Technische Hochschule die excentrischen Standpunkte gelassen, und nur auf Ägidius die Richtungen auf die Helmstange centriert. Bahnhof ist selbst centrisch, soweit es hier vorgeführt wird (während für Weiteres sogar noch zwei excentrische Standpunkte Bahnhof gebraucht wurden).

Standpunkt Wasserturm, Pfeilermitte, (y = — 16145,080 x = + 92808,697)

Zielpunkt

Beobachtete

Richtung

Azimut

<P

Verschiebung (p—a -- S

Orientierte

Richtung

Rathaus .    .

Ägidius .    .

Waterloo . . Kathol. Kirche Zion.... Zuckerfabrik .

67° 47' 11,25" 71 18 10,00 73 20    1,78

77    9    47,20

94 50 41,78 152 16 53,85

71° 17' 24,50"

— 45,50"

67° 46' 25,75" 71 17 24,50 73 19 16,28 77    9    1,70

94 49 56,28 152 16    8,35

Diese sechs Richtungen stammen aus zwei (je vierfach genommenen) Sätzen, welche an dem einen festen Punkt Ägidius angebunden sind. Wer seiner Messungen sicher ist, kann sich wohl auf einen festen Anbindestrahl beschränken, doch nimmt man gewöhnlich deren mehrere. Das folgende Beispiel zeigt vier feste Anbindestrahlen, doch ist das nicht so aufzufassen, als ob ein Satz mit vier festen Strahlen gemessen wäre, sondern es kam darauf an, die in verschiedenen Sätzen gemessenen Richtungen den vier festen Strahlen möglichst anzupassen.

Standpunkt (centriert) Ägidius Helmstange, {y = — 13879,790 x = 4- 93575,890)

Zielpunkt

Beobachtete

Richtung

Azimut

9>

Ver

schiebung

<p — a

Orientierte Richtung a — 0,14"

Techn. Hochsch. S. . Christus ....

325 58 54,63

223° 21' 8,77"

251 17 9,25

293 58 16,74

314 56    0,17

— 1,03"

— 0,05

+ 1,54

— 1,03

325 58 54,49

Summe — 0,57" Mittel —0,14"

Die hier eingesetzten vier Azimute g> sind dieselben, welche bereits in dem Abriss der Haupttriangulierung, S. 231, als ausgeglichene Azimute Vorkommen.

Die vier in Klammer gesetzten orientierten Richtungen geben gegen die ausgeglichenen Azimute g> die vier Abweichungen v:

4- 0,09"

Das sind dieselben Differenzen v, deren Summe gleich Null ist, welche schon in dem Netz-Abriss S. 231 Vorkommen.

— 0,89"

4-1,68"

— 0,89"

Von der technischen Hochschule gehen wir zwei getrennte Sätze für den Beobachtungspunkt Eisenplatte E auf der östlichen Plattform:

Standpunkt Technische Hochschule Eisenplatte E.

{y = — 15266,847

x = + 95002,299)

Zielpunkt

Beobachtete

Richtung

Azimut

<P

Ver

schiebung

(f> — a

Orientierte Richtung a — 2,26"

Agidius Markt .    .

Kreuz .    .

Neustädter Waterloo . Wasserturm

135° 48' 7,40" 136 19 29,36 136 29 38,84 152 13 46,22 160 46 52,70 201 49 52,78

135° 48' 4,80"

201 49 50,85

— 2,60"

— 1,93

(135° 48' 5,14") 136 19 27,10 136 29 36,58 152 13 43,96 160 46 50,44 (201 49 50,52)

Mittel —2,26"

Agidius Kathaus . Zion. . . Martin .    .

Wasserturm

O    t>    CO    H    IO

"t    ’t.    ^    ®

l>    l>    (N    H    ÎQ

eo    io

OO (N W

113 OO ¹ '

03 t- l>

i-H r-H t-H

185° 48' 4,80"

— 2,60"

03 Oi CO ^

OO 00 H

O 05 o

. I 03

201 49 50,85

— 1,80

« — 2,20" (135° 48' 5,20") 178    2    35,27

178    5    0,76

198 32 49,01 (201 49 50,45)

Mittel — 2,20"

Auf der technischen Hochschule besteht noch ein zweiter, höherer Beobachtungspunkt S' vor dem Hauptturm S. Die daselbst gemachten Messungen werden hier nicht mitgeteilt.

Standpunkt Bahnhof, Stein, centrisch, (y = — 15356,150 a: = + 92012,085)

Zielpunkt

Beobachtete

Richtung

Azimut

'S

Ver

schiebung

q> — a

Orientierte Richtung « —3,11"

Zion. . . Agidius Wasserturin Martin . . Kath. Kirche

13° 0' 25,28" 43 21 11,09 315 14 20,44 335 34 28,97 351    3    45,01

43° 21' 8,78" —2,31" 315 14 16,53    —3,91

». .i

v ^ CO, CO cc

b h ^ 't n Cd t—t CO

c-    os    So"    co    o

h    o    co_    œ    03^

si    i>    t-”    io    h

Cd    H    OJ    lÿ

Mittel —3,11"

Diese Auswahl von vier Fällen aus den sämmtlichen Abrissen des Netzes Fig. 1. S. 228 mag genügen, um den weiteren Gang der Rechnung, nämlich die Punkteinschaltungen, klar zu machen.

§ 74. Yorwärts-Einsclmeiden durch zwei Strahlen.

Nachdem wir schon in § 65. eine Grundaufgahe der Triangulierung behandelt haben, wollen wir nun eine Abänderung jener Grundaufgabe behandeln, mit dem Dreieck ABP. Fig. 1.

Fig. 1.

Es seien die Coordinaten von A und von B gegeben, und die Coordinaten von P zu bestimmen. Wenn von den drei Winkeln a ß y wenigstens zwei unmittelbar gemessen wären, so hätte man . die frühere Aufgabe § 65. Nun kommt es aber oft vor, dass die Winkel a und ß nicht geradezu gemessen werden können, weil zwischen A und B nicht zusammengesehen werden kann ; und sogar wenn die Ziel-Linie AB und BA möglich ist, rechnet man doch unter Umständen nicht geradezu nach den früheren Formeln von § 65, weil vielleicht noch andere Ziel-Linien A C , AD , BE u. s. w. mit benützt wurden. Wir wollen annehmen, die Punkte G , D , E u. s. w. seien durch Coordinaten fest gegeben, dann kann man die Azimute {AC) , {AD) , {BE) u. s. w. endgültig berechnen, und durch die Richtungsmessungen auf A und auf B auch die Azimute {AP) und {BP) bestimmen.

Oder mit anderen Worten : Man habe in A und in B orientierte Abrisse gebildet (§ 72.), in welchen die Azimute {AP) und {BP) Vorkommen, und die Aufgabe lautet nun so:

Gegeben sind die Coordinaten xa y„ des Punktes A

K    n »    »    xb Vb n    »

ferner die Azimute {AP) und {BP).

Gesucht sind die Coordinaten xy des Punktes P.

Zur Auflösung dieser Aufgabe werden im Wesentlichen dieselben Gleichungen gebraucht wie bei der Grundaufgabe § 65. ; nur hat man jetzt teilweise eine andere Aufeinanderfolge, nämlich so:

tang {AB)= yh~~ya-

OCb OCa

y» — ya

sin ( A B)

Nun bildet man aus den drei Azimuten {A B) , {AP) , {BP) durch Subtractionen die drei Winkel a ß y:

AB =

oder

eos { A B) '

{AB) —{AP) = a

(BP) — {BÄ) = ß (oder {BP)— {AB) + 180° = {AP)-{BP) = y

'S

Probe : « + ß -+- y = 180 °.

—— sin ß — b sm y

Sinus-Satz :

Coordinaten-Berechnung :

y — y„ -f- b sin {A P) x = xa -t- b cos {AP)

y =z y,, -f- a sin {B P) x = xb a cos {BP)

§ 74.

Vorwärts-Einschneiden durch zwei Strahlen.

239

Ein Zahlenbeispiel bilden wir mit dem Material von § 73. Wir wollen in Fig. 1. S. 228 annehmen, es werde der Zion-Turm vom Wasserturm und vom Bahnhof her eingeschnitten. Dazu haben wir in den Abrissen von Wasserturm und Bahnhof S. 235 und 237 die zwei orientierten Richtungen gefunden:

Wasserturm - Zion =94° 49' 56,28"

= 13° 0' 22,17".

Bahnhof - Zion

Für den nächsten Zweck runden wir diese Werte auf 1" ab, runden auch die Coordinaten auf 0,01”' ab, und erhalten damit die folgende Rechnung:

Vorwärts-Einschneiden durch zwei Strahlen.

P — Zion.

B — Bahnhof, Stein.

A = Wasserturm, Pfeiler.

yb = —15356,15

1) B Bahnhof

A Wasserturm, Pf. ya = — 16145,08

x„ = -4- 92012,08 xa — -t- 92808,70

Fig. 2.

Differenzen

y b—ya= ■+-    788,93 xb—xa=—    796,62

log (yb — ya) ] 2.897 038 Erg. logsin oder cos (AB) 0.148419

2.901 251«

log (xb — x„)

zum grösseren

log tang (AB)

log c

9.995 787« (A G) = 315° 16' 40" 3.049 670

2) (AB) = 135° 16' 40" (AP) = 94 49 56

(AP) = 94° 49' 56" (BP) = 13 0 22

(BP)

(BA)

CO

I—» M

Ol CO

^ CO O CO

a = 40° 26' 44"

y = 81° 49' 34"

ß = 57° 43' 42"

3)

log c 3.049 670 log sin y 9.995 565

log (c: siny) 3.054 105 log sin ß 9.927 127

log (c : sin y) 3.054 105 log sin «    9.812 061

sc, a

Winkel-Probe

log b 2.981 232

log a

2.866 166

180° 0' 0"

2.866 166

log a

4) logb    2.981 232 logb    2.981232

sin. (AP)    9.998 454 cos (AP)    8.925 509«

log a 2.866 166 sin (BP) 9.352 288 cos (BP) 9.988 713

log A ya 2.979 686

A Xa

1.906 741«

2.218 454

2.854 879

A ya = —16145,08

Aya = -1-    954,30 A xa = —

P y = — 15190,78

xa = + 92808,70 80,68

x — -f- 92728,02

B yb = — 15356,15 xh — + 92012,08 Ay„ = +    165,37 Jxb = A- 715,94

15521,52

92728/2

5)

Zion

y = - 15190,78“

cc = + 92728,02“.

Hiezu sind einige Anmerkungen zu machen :

Die Logarithmen stellen wir immer rechts neben einen vertikalen Strich, welcher nötigenfalls zugleich als Zeichen dient, dass man es mit Logarithmen zu tliun hat, wenn der Raum nicht reicht, um überall log beizuschreiben.

(Diese Bemerkung soll auch für die übrigen logarithmischen Rechnungen dieses Buches gelten.)

Der Gang der Rechnung S. 239 ist durch die Numerierung 1) 2) 3) u. s. w.

angedeutet.

1)    Einsetzen der gegebenen Coordinaten von A und B, und Berechnung des Azimutes (^4 B) und der Entfernung AB — c nach den Formeln von § 60. S.,191—192.

2)    Berechnung der drei Dreieckswinkel a , ß , y als Azimut-Differenzen, wozu das soeben unter 1) berechnete Azimut (AB) bezw. dessen Umkehrung (BA), ausserdem aber die beiden gegebenen (aus Abrissen zu entnehmenden) Azimute (AP) und (BP) eingesetzt werden.

3)    Dreiecksberechnung nach dem Sinus-Satze.

4)    Coordinaten-Berechnung symmetrisch von zwei Seiten her mit Rechenprobe.

5)    Herausheben des Schluss-Resultates.

Anmerkung. Unserer Berechnung S. 239 entspricht im Wesentlichen das Formular 10. der Anweisung IX vom 25. Oktober 1881: „1. Berechnung der genäherten Coordinaten aus dem Schnitte zweier Visierstrahlen.“ Nur ist unsere Anordnung S. 239 symmetrischer, und bringt die Seiten b und a selbst zum Ausdruck, während in jenem Formular 10. die Seiten nur mittelbar auftreten in dem Ausdruck:

yb    y a    Xb X(i

m — — ;— -- = -.

sm § sm ( A B)    sin 6 cos (A B)

§ 75. Die Pothenotische Aufgabe. Allgemeines.¹)

Fig. 1.

In Fig. 1. sind drei Punkte AMB gegen

B.

einander festgelegt durch die zwei Entfernungen AM — a und B M = b, und durch den Winkel BMA

°C

Sa

!T Sb

& ß,

— 7‘

Ein Punkt P wird gegen A , M , B bestimmt durch Messung der zwei Winkel APM = a und MPB = ß, es sollen daraus auch die Entfernungen AP = sa, MP = s und BP = Sb und die Winkel und y bestimmt werden.

Kein geometrisch ist die Lösung sehr einfach: Man beschreibt über AM einen Kreis, welcher den Winkel a fasst, und über MB einen Kreis, welcher den Winkel ß fasst ; dann bestimmen diese zwei Kreise durch ihren Schnitt den Punkt P.

Diese Construktion macht auch sofort begreiflich, dass es einen Ausnahmsfall giebt, in welchem die Lösung versagt; nämlich wenn zufällig alle vier Punkte AMBP auf einem Kreise liegen. Von diesem Ausnahmsfall wird später mehrfach die Rede sein.

Gehen wir nun aber von der Konstruktion zur Rechnung über, so haben wir zunächst in keinem der beiden Dreiecke A MP und BMP zwei bekannte Winkel, können also den Sinus-Satz nicht geradezu anwenden, um sa , s und Sb zu bestimmen.

Betrachten wir die zwei Winkel <p und tp als Unbekannte, so lassen sich für dieselben zwei Gleichungen aufstellen:

woraus :

Viereckssumme a-i-ßA-yA-(p + tp = 860° tp -r~ tp    360° — (a —|— ß -f- y)

(1)

Zweifache Anwendung des Sinus-Satzes giebt:

(2)

a t    &    ,

—-Sill a> = —:-Sin tp

sin a    sm ß

(3)

woraus :

sin <p    sin ß

sin tp a sin a

Nun handelt es sich darum, aus den zwei Gleichungen (1) und (3) die zwei Winkel tp und tp zu bestimmen. Zu diesem Zweck setzt man den Quotienten in (3) gleich der Cotangente eines Hilfswinkels fx :

Dieses ergiebt weiter:

Nun ist einerseits:

Andererseits :

sin ß

sin a

sin (p tang fx ~ sin ip

sin q> — sin ip 1 — tang n

sin <p -+- sin tp    1 -+- tang n

9> ~h ip

(4)

(5)

und damit geht (5) über in:

sin <p — sin tp = 2 sin ^ cos —₀-

1 — tang fi 1 -+- tang /x

cotg (/u + 45 °)

⁹±±cotg{tx 4-45°)

⁹ —— bestimmt, so nimmt man aus (1) noch

ó    &

œ — tp

tang —= tang

u

Hat man hieraus

(6)

hinzu,

und hat dann auch q> und tp selbst, nämlich:

(7)

<P -f- tp tp — tp

tp + tp tp — tp

2- ⁼ *

(8)

dann hat man s aus (2) mit Probe, und auch die beiden anderen Entfernungen sa und sb kann man nach dem Sinus-Satz berechnen:

Sa —

—t-sin (g> -f- a)

sm a

16

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Zahlenbeispiel :

Gegeben a= 841,561 b = 1553,664

= 174° 18' 37" =    58    47

=    2    58

folglich

y + a 4- j9 = 240° 15' 22" qi xfj = 119 44 38

<p +

360°

= 59 52 19

log a log sin a

2.925 086 9.625 618

log b log sin ß

3.191 357 9.817 374

log (a : sin a) 3.299 468 log (b : sin ß) 3.373 983

log (b : sin ß)

3.373 983

log tang n 9.925 485 log cotg (fi -+- 45°)    8.932 366

log tang

0.236 322

fi —

fi + 4h° =

<P + y

O io 00

O 6'    31"

6 31

= 59 44 38

log tang

9.168 688

<P — V>

= 8 23 19

V/ = 51° 29' 0"

Damit ist die eigentlich pothenotische Rechnung fertig und die Weiterrechnung nach (9) und (2) kann keine Schwierigkeiten haben.

(Wir werden die vorstehende Rechnung als Bestandteil der Rechnung § 76. S. 243 wieder finden.)

<P

= 68° 15' 38"

§ 76. Pothenotische Aufgabe mit Coordinaten.

Die beiden Entfernungen AM = a und B M = b, und der Winkel BMA — y, welche im vorigen § 75. als gegeben vorausgesetzt wurden, sind selten unmittelbar gegeben, gewöhnlich hat man es nur mit Coordinaten zu thun, und dann lautet die pothenotische Aufgabe (mit Fig. 1. S. 240 oder Fig. 1. S. 243) so:

Es sind drei Punkte A,    M    und    B    durch    ihre    Coordinaten gegeben, nämlich:

Auf einem vierten Punkte P wurden die zwei Winkel gemessen :

Winkel APM „ MPB=ß

Es sollen hieraus die Coordinaten des Punktes P berechnet werden :

y und x.

Nach der Vorbereitung des vorigen § 75. braucht man nur noch die allgemeinen Coordinaten- und Azimut-Formeln von § 60. S. 189—191 hinzuzunehmen, um diese Aufgabe lösen zu können.

Wir geben hiezu sofort ein durchgerechnetes Zahlen-Beispiel auf S. 243.

ya und xa ym }>

Xm

(1)

} (2)

Punkt P

(3)

1) P Techn. Hochschule

Pothenotische Bestimmung.

Gemessene Richtungen A Agidius M Waterloo

B Wasserturm 202 54 50

186° 53' 5” 161 51 52

8    05.

Winkel

= 24° 58' 47” = 41    2 58

A

__ą

'S»

S<y

s Ab

a + ß = 66° F 45”

2) M Waterloo A Âgidi

Differenzen (M—A) —    777,73

yrn ' y a

Probe : (ym—ÿa) - {ym — yb) = yb—ya

{y™ — y A

Er*-oder    °-⁰⁸⁴²⁵⁷

(xm — x,i) 2.507 181„

3)

5)

us

tang (A M)

sin a

(a : sina) (b : sin ß)

tang g cotan g (g + 45°) tang i(ą>-j-ip)

tang * (<p — y)

— 14657,52 +93254,39 —13879,79 + 93575,89 -    321,50

Xm Xa

— 14657,52 + 93254,39 —16145,76 4- 92808,28 Differenzen (M—B) + 1488,24 +    446ÄI

M Waterloo B Wasserturm

y™— y b

Xm Xb

imd

l*»—*a) -Gm-xb) = xb — Xa

2.890 829,, 4) (AM) = 247°32' 26” (BM) = 73 18 49

0.383 648 2.925 086 9.625 618

3.299 468 3.373 983

9.925 485 8.932 366 0.236 322

9.168 688

y =174°13' 37” « + ß = 66 1 45

(ym - y,) oder«<BM>

(Xm — Xb)

3.172 673

0.018 684

2.649 442

?+«+/? =240°15' 22”)ggQOQ'Qo <P+rp =119 44 38 /

fi = 40° 6' 31” 45°= 85 6 31 \(<P + xp) = 59 52 19 |(gD — rp) = 8 23 19

tang (B M)

sin g

0.523 231 3.191 357 9.817 374

6)

68°15' 38”

v> =

a = 24 58 47

-s

(6 : sin ß) 3.373 983

Winkel-Probe (cp + a) + (rp + ß) + y

= 360°

= 51° 29' 0” = 41 2 58

g> + « = 93°14' 25” tp+ß = 92°31' 58”

7) (a: sin a) 3.299 468    (a: sin a) 3.299 468 (b'.sinß)    3.373 983

sin (<p+a)    9.999 305

siną, 9.967 958

b : sin ß 3.373 983 sin rp 9.893 444 sin(ip-j-ß) 9.999 575

Sa

3.298 773

s 3.267 426

s 3.267 427

Sb

3.373 558

(Proben)

8) (AM) = 247°32' 26” (AP) = 315°48' 4” (BP) = 21°49'49”    (BM)=    73° 18'49”

-h qi =+68 15 38    +«=+24 58 47    —0=—41 2 58    ——51 29 0

(AP) = 315 48 4    (MP) = 340°46' 51” (MP) = 340°46' 51”    (BP) = 21°49'49”

9)

sa 3 298 773

sin (AP) I 9.843 327» cos (A P) 9[855 473 A ya I 3.142 100„ Ax7 3.154 246

Sa

3.298 773

3.373 558 sin (B P) 9.570 378 cos (B P) A yb 2.943 936

sb

sb I 3.373 558 9.967 684

Axb I 3.341 242

10) A ya = —13879,79 A ya = — 1387,08 P y =—15266,87

xa = + 93575,89 Axa = + 1426,42 x = + 95002,31

Hannover Technische Hochschule: (Eisenplatte E)

B yb = — 16145,76 Ayb = +    878,90

P y = — 15266,86

y = —15266,86»

Xb = + 92808,28 Axb = + 2194,03

x = + 95002,31

x = + 95002,31’"

Zu dem Gang dieser Rechnung sind einige Bemerkungen zu machen:

1)    Man setzt die gemessenen Richtungen ein, und bildet daraus durch Subtraktion die Winkel a , ß und a -+- ß. Die gemessenen, aus dem Feldschreibbuch oder aus einem nicht orientierten Abrisse zu entnehmenden Richtungen sind häufig näherungsweise auf Azimute orientiert, doch ist dieses für die Winkel a und ß gleichgültig.

2)    Man setzt die Coordinaten der drei gegebenen Punkte AMB an ihre Stellen, und bildet die Coordinaten-Dilferenzen. Zu diesen Coordinaten-Differenzen kann man auch die Proben bilden :

(ym — y a) — (ym — yb) = yb — y a

{Xm Xa) (Xm Xb) — Xb Xa.

Diese Probe ist wohl rätlich, weil ein Fehler in diesen ersten Subtraktionen erst am Schlüsse gefunden würde, die Probe kann je nach Rechen-Vertrauen unterlassen werden.

3) Es werden die Azimute (AM) und BM) und dabei die Entfernungen AM — a und B M — b in bekannter Weise (nach § 60. S. 191) berechnet, d. h. man hat zu 3) die Formeln :

tang (AM) = -

ym    y a

Xm Xa

tang (BM) =

ym yb

Xm Xb

Xm Xa

~ cos (A M)

Die Entfernungen a und b werden nur aus dem Sinus oder dem Cosinus berechnet, weil immer eine dieser Funktionen (Spalte rechts), welche zur grösseren Kathete gehört, erheblich bequemer und genauer ist als die andere.

4)    Die Azimute (AM) und (BM) geben die Differenz y, und mit a + ß von 1), die Summe <p -t- \\>, deren Hälfte sofort nach 6) an ihre Stelle gesetzt wird.

5)    und 6) Es folgt die eigentliche pothenotische Auflösung und Bestimmung der zwei Winkel <p und xp mittelst des Hilfswinkels nach § 75.

Die Quotienten (a : sin ä) und (b : sin ß) werden in dieser Form getrennt gehalten, weil man dieselben bei 7) wieder so braucht.

7) Seitenberechnung:

ym — ya

sin (A M)

oder

Xm Xb

BM = b—    oder =--■---—

sm(BM )    cos (B M)

sin—S^n    + ^ wozu « + <p bei 6) berechnet wurde,

b . stn ty

St, = sin (ß + i/j) wozu ß -t- iß bei 6) berechnet wurde.

Die Probe mit s kontrolliert Alles von (a : sin ä) und (b : sin ß) an.

8)    Zusammensetzung der Azimute (AP) und (BP) und dann auch noch Doppelberechnung des Azimutes (MP), letzteres teils zur Probe, und weil man später die drei pothenotischen Azimute (AP) (MP) (BP) oder deren Umkehrungen (PA) (PM) (PB) meist braucht. Diese drei Azimute müssen auch gegen die gemessenen Richtungen bei 1) eine konstante Differenz haben.

9)    und 10) Coordinatenberechnung für den Punkt P symmetrisch von A und von B her, nach den bekannten Formeln § 60. (8) oder (8') S. 190, nämlich:

y — y«-hsasin(AP) , x=xa-\-sacos(AP) \ y = yi, + sb sin (B P) , x — æ&-f- sb cos (B P)

Sa =

a

—— sin çp sm cc

sm ß

Wenn diese Coordinaten-Probe stimmt, so ist die ganze Rechnung vom Einsetzen der gegebenen Coordinaten, und der gemessenen Richtungen an, versichert.

Wenn die Coordinaten-Probe nicht stimmt, so kann man auch noch mit dem Mittelstrahl s rechnen, nämlich:

y — Vm -+- s sin (MP) , x = xm -+- s cos (MP).

Bildung eines Abrisses.

Aus den Werten, welche unter 1), 8) und 7) der Berechnung von S. 243 enthalten sind, bildet man folgenden Abriss:

Standpunkt Technische Hochschule (Eisenplatte E).

Zielpunkte

Gemessene

Richtungen

Azimute

Diffe-

renz

log s

Ägidius .... Waterloo-Säule . . Wasserturm . . .

136° 53' 5" 161 51 52 202 54 50

135° 48' 4" 160 46 51 201 49 49

1° 5' 1"

3.298 773 3.267 426 3.373 558

Ein solcher Abriss ist namentlich dann von Wichtigkeit, wenn er auch noch andere gemessene Richtungen enthält, welche dadurch mit trigonometrisch orientiert werden.

In unserem Falle stimmt der vorstehende pothenotische Abriss nahezu mit dem Abrisse S. 237, insofern die pothenotische Rechnung überall auf 1" abgerundet wurde.

Dem entsprechend stimmen auch die auf S. 243 erhaltenen pothenotischen Coordinaten ungefähr auf lcm genau mit den früher angegebenen genaueren Coordinaten des Punktes E von S. 222 und S. 234.

Fig. 2.

p.

Va

sm

s»

sb

vb

Anmerkung. Unsere vorstehenden Formeln und unser Rechen-Formular S. 243 stimmen im Wesentlichen auch überein mit dem Formular 11. der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881, deren Figur wir in nebenstehender Fig. 2. zur Vergleichung hergesetzt haben.

Unser Schema S. 243 ist jedoch mehr symmetrisch, und enthält die Ausrechnung der drei Strahlenlängen, welche im Formular 11. nicht unmittelbar auftreten.

¹

Diese wichtige Aufgabe wird allgemein nach einem französischen Mathematiker Poihenot benannt (vgl. den Schluss von § 77.).

§ 11. Verschiedene Nebenbetrachtungen zur pothenotischen

Aufgabe.

I. Der gefährliche Kreis.

Schon in § 75. S. 240 ist die Bemerkung gemacht, dass die pothenotische Bestimmung versagt, wenn alle vier Punkte auf einem Kreise liegen. Das müssen auch die Formeln zeigen. Wenn dieser Fall eintritt, so ist:

gD-t-*p=180° , singi = sinip

also nach (4) § 75. S. 241 :

sin <p sin rp ~ tang a

M = 45°.

Damit wird weiter 45° -+■ g = 90°, also giebt die Formel (6) § 75. S. 241 nun:

tang 9    9 cotg (u -|- 45°) = oo . 0

u

(B - lp

tang —-

d. h. unbestimmt, und die Bechnung steht still. Fig. l.

Ausser dem praktisch wohl selten vorkommenden Falle, dass cjD + ip genau = 180° O'O" ist, haben wir noch den Fall zu betrachten, dass <p -f- ip nahe — 180° wird; dann wird die Auflösung zwar nicht unmöglich, aber ungenau, und praktisch vielleicht ganz unbrauchbar.

°ö

Fig. 2.

OB

Um sich hievor zu hüten, suche man solche Verhältnisse zu gewinnen, wie sie in Fig. 1. und Fig. 2. angedeutet sind, nämlich Fig. 1. mit einer gegen den Beobachter P ausspringenden Ecke BMA, oder besser noch nach Fig. 2. so, dass P im Innern des Dreiecks A MB liegt.

Alle hieran sich anschliessenden weiteren Genauigkeitsfragen haben wir bereits in Band I. § 106., § 107. und § 115.—118. erschöpfend behandelt. Es sei hier nur noch einmal von Band I. S. 312 daran erinnert, dass einer der drei gegebenen Punkte A, M, B unendlich weit entfernt sein darf, ohne dass (alles Übrige als gut vorausgesetzt) die pothenotische Bestimmung ungenau würde.

II. Auswahl der Winkel « und ß.

Wenn drei Punkte sichtbar sind, so kann man zwei Winkel a und ß zwischen denselben in verschiedener Weise auswählen und messen, nämlich in drei verschiedenen Kombinationen. Man kann aber immer die Auswahl so treffen, dass a und ß beide kleiner als 180° sind, und dass eine Figur entsteht, welche im Wesentlichen die Verhältnisse von Fig. 1. § 75. hat. Wir unterscheiden zwei Fälle:

Erster Fall, a und ß Meiner als 180°.

cotg fi =

Indem wir die Hauptformeln von § 75. nochmals hersetzen, haben wir: 9> + ^ = 360° — (a -\- ß + y) b : sin ß a : sina

(3)

tang ⁹ ^ ^ = tang ⁹ ^ cotg (g 4- 45°)

Der Hilfswinkel g ist durch die Gleichung (2) zweideutig bestimmt, denn ausser welcher der Gleichung (2) genügt, genügt auch der Wert g + 180°

einem Werte

dieser Gleichung (abgesehen von dem beliebigen Zufügen eines Vielfachen von + 360°); aber auch in der Gleichung (3) ändert die Zufügung von + 180° an g den Wert von tang ⁹ ^ ⁹ nicht, denn es ist :

cotg (g -(- 45°) = cotg (g + 180° + 45°)

folglich ist die Wahl von g in (2) vollständig willkürlich. Da wir angenommen haben, es sollen a und ß beide kleiner als 180° sein, so sind sina und sin ß beide positiv, und da die Entfernungen AM und MB überhaupt positiv sind, so kann die Gleichung (2) nur einen positiven Wert cot g ft geben. Der Bequemlichkeit wegen nützen wir die gefundene Willkürlichkeit in Betreff von p. so aus, dass wir stets n als positiven spitzen Winkel nehmen.

Auch ^ wird zweideutig bestimmt, denn wenn irgend ein Wert --    ^

u    u

der Gleichung (3) genügt, so genügt auch der Wert

⁹ -g—— + 180 ⁰ dieser Gleichung ;

u

da aber q> und xp Dreieckswinkel, d. h. kleiner als 180° sein müssen, so lässt sich

<P

hiernach die Entscheidung treffen ; oder positive spitze Winkel, folglich muss ⁹    ^ ein positiver oder negativer spitzer

u

Winkel sein (oder was dasselbe ist, ⁹ ^--- muss im ersten oder im vierten Quadranten liegen).

und £ sind demnach beide kleiner als 90°,

Man hat also die einfache Regel : Man nimmt den Hilfswinkel g stets als positiven spitzen Winkel, und man nimmt ---q—^ als positiven oder negativen spitzen

u

Winkel, je nachdem tang ⁹ _ ^ positiv oder negativ ist.

u

Zweiter Fall, a oder ß grösser als 180°.

In nebenstehender Fig. 3. ist a < 180°, aber > 180°, und wir wollen an diesem Beispiele zeigen, warum es nützlich sein kann, die Wahl so zu treffen. Würde man

Fig. 3.

a < 180°    , fi > 180°.

B PA — a und A PM = ß setzen, so wären « und ß beide kleiner als 180°, aber BPA = a würde sehr klein. Damit würde (a : sin a) sehr gross. Wenn aber (a:sina) oder (b : sin ß) sehr gross wird, so fällt der Hilfswinkel n sehr nahe an 0° oder nahe an 90°, und man müsste p, vielleicht auf 0,001" genau ausrechnen, um die übrige Rechnung nur auf 1" genau zu sichern.

CO

Dieser und anderen formellen Widerwärtigkeit weicht man aus, wenn man eine Wahl von « und ß trifft, wie in Fig. 3. angedeutet ist ; dann wird aber die Entscheidung über die Quadranten nicht mehr so einfach wie im vorigen Fall.

Allerdings die Zweideutigkeit von n bleibt ebenso unschädlich, wie beim ersten Fall, denn diese Zweideutigkeit hebt sich in der Ausrechnung von cotg(n + 45°) selbst wieder auf. Dagegen ist nun eine besondere Überlegung nötig für die Gleichung:

œ — xp

tan9—g

tang

*^±eotg(v + 45°).

Hier ist ⁹    ^ zweideutig. <p oder ip kann auch grösser als 180° werden, wie

u

z. B. in Bd. I. § 106. Fig. 12b. zu ersehen ist, wo u und v die Bedeutung unserer jetzigen <p und xp haben.

Die Entscheidung ist darin zu suchen, dass die Entfernungen AP, MP, BP wieder positiv werden müssen.

Statt einer algebraischen Aufzählung aller hiebei möglichen Fälle (welche wir auf S. 318 — 820 der vorigen Auflage dieses Buches hatten) stellen wir nun die einfache Regel auf:

Man rechnet mit der Zweideutigkeit von

v so lange weiter (führt also zu-

u

nächst zwei Werte tp und zivei Werte xp mit), bis man an die Berechnung der Entfernungen kommt, und lässt dann dasjenige Paar von Werten q> und tp fallen, welches auf negative Entfernungen führt.

Es ist nicht unpassend, hiefür ein Beispiel zu nehmen. In Fig. 4. S. 188, oder Fig. 1. S. 228 betrachten wir eine pothenotische Bestimmung auf der Technischen Hochschule aus den drei Punkten Ägidius, Kreuz, Waterloo. Agidius und Kreuz liegen

mit der Technischen Hochschule nahezu in einer Geraden, denn der Winkel zwischen Ägidius und Kreuz ist nur 0° 40' 12". Trotzdem ist die pothenotische Bestimmung an sich nicht schlecht. Wenn man nun a und ß beide kleiner als 180° haben will, so hat man:

Ägidius Kreuz Waterloo

Die gegebenen Punkte sollen folgende Coordinaten haben:

. . y = 13879,79 . . y = 14332,04 . . y = 14657,77

(Diese Coordinaten sind aus dem Gauss - Wittstein sehen Coordinatenverzeichnis S. 35 — 36 entnommen, und weichen von unseren neuen Bestimmungen § 73. S. 234 nicht unerheblich ab.)

Indem man nun mit den Coordinaten (5) und mit den Winkeln (4) nach § 76. rechnet, findet man:

{A P) — 314° 17' 41"

,u = 87° 51' 17,4"    ,

0° 40' 22" ß = 24° 17' 48"

(4)

Ägidius .    .

Kreuz . . . Waterloo . .

x = 4- 93575,89 x = + 94017,14 x = -+- 93254,42

(5)

<p-h tp

(BP) = 23° 7' 32" = 21° 55' 50,5"    ,

tp — tp

y = 291° 10' 9"

= — 20° 29' 2,9"

tp = 42° 24' 53,4”

log —-sin tp = 3.133 383.

u smß

Trotzdem auf 0,1" genau gerechnet wurde, hat man nun in (6) einen logarith-mischen Widerspruch = 0,000 008.

Deswegen rechnen wir nun so:

Kreuz Waterloo Ägidius

v— 1° 26' 47,6"

log sinq>= 3.133 391

24° 17' 48" ß = 335° 1' 50"

(6)

{A P) = 203° 7' 32" /i = — 45° 18' 28"    ,

(B P) = 247° 32' 57"

y — 315° 34' 35" 89° 15' 32"

? ^ = — 157° 27' 6,5"    ,

tp = — 68° 11' 34

log AP = 3.133 385    , log MP = 3.267 503    , log B P = 3.299 087    (7)

3.267 502

<P = 113° 17' 22"

y = — 15269,33

tp — tp

x = + 95001,90.

In (6) stimmt der zweite Wert mit dem Wert AP in (7) nahezu, während der erste Wert von (6) mehr abweicht.

III. Möglichkeit oder Unmöglichkeit pothenotischer Bestimmung.

Eine letzte Nebenfrage, ohne praktische Bedeutung, aber doch dann und wann hervortretend, soll noch erledigt werden.

Es handelt sich darum, ob eine pothenotische Berechnung mit ivillkürlich angeschriebenen (also nicht gemessenen) Winkeln, welche zu drei gegebenen Punkten gehören sollen, möglich oder unmöglich ist.

Fig. 4.

Dass man die Zahlen nicht schlechthin willkürlich anschreiben darf (etwa zu einer Übungs-Rechnung) kann an dem Beispiel dreier Punkte in einer Geraden gezeigt werden: Nimmt man hiezu drei Strahlen mit Winkeln von je 120°, so existiert kein Punkt, von dem aus diese Strahlen nach den gegebenen drei Punkten in einer Geraden möglich wären.

Im Übrigen stellen wir folgende Betrachtung an:

Wenn ein Strahlensystem BAG Fig. 4. in das Punktsystem ABC Fig. 5. pothenotisch eingepasst werden soll, so muss zunächst jedem Punkt ABC ein Strahl zugeteilt werden, was durch die Bezeichnungen ABC ausgedrückt sein soll.

Die drei Winkel, welche die Strahlen unter sich bilden, nenne man a ß y, und die drei Winkel des Dreiecks Fig. 5. entsprechend \ ABC. Dann ist jedenfalls :

A-\-B-\~C = 180° a —}— ß -f¹ y = 360°

Um das Dreieck ABC beschreibe man einen Kreis Fig 6., den wir zur Unterscheidung von anderen, durch P gehenden Kreisen, den Grundkreis nennen wollen. Nun ist zuerst zu entscheiden, ob der geometrische Ort des Punktes P vermöge eines der gegebenen drei Winkel a ß y, etwa vermöge ß, innerhalb oder ausserhalb dieses Kreises fällt. So lange ß zwischen den Grenzen B und 180° liegt, liegt P im Innern des Dreiecks ABC, und folglich auch im Innern des Grundkreises.

Die Bedingung, dass P nicht gegen P0 hin aus dem Kreise hinausrückt, ist: ßx>B

Wenn P aus dem Dreieck A BC über A C hinaus gegen P₂ hinrückt, so wird ß grösser als 180°, und die Bedingung, dass P₂ noch innerhalb des Kreises, also nicht gegen P₃ hin fällt, ist:

Fig. 5.

(1)

(8)

(9)

Fig. 6.

Po

'V.

360° — ß₂ + B> 180° oder (360° — ß₂) > (180° — B)

(11)

Als Bedingung, dass der Punkt P im Innern des Kreises liegt, hat man also nach (10) und (11):

ß> B

(360° — ß)> (180° — B)

wenn ß < 180° wenn ß> 180°

Wenn die pothenotische Bestimmung überhaupt möglich sein soll, so müssen alle drei Winkel a ß y die Punktlage entweder innerhalb oder ausserhalb verlangen. Wir müssen zunächst zwei Fälle unterscheiden:

r—i

Fall I. a <180°    ß<\80° y < 180°

Fall II. ein Wert «, ß oder y ist >180°

Im ersten Fall hat man die Bedingung für innerhalb des Kreises um ABC: a> A ß> B y> G

(14)

(15)

(16)

Eine Punktlage ausserhalb giebt es hierbei überhaupt nicht, was man entweder geometrisch einsehen oder auch darnach beurteilen kann, dass die drei Bedingungen für Punkt innerhalb des Kreises, nämlich:

a < A

y <G

in ihrer Summen mit den Summen (8) und (9) nicht verträglich wären.

Als ein Beispiel dafür, dass zwei Bedingungen von den dreien unter (16) angegebenen nicht genügen zur Entscheidung, betrachten wir den Fall:

« — A> 0

o = 170°

A — 75°

ß= 170°

20°

B = 75° G = 30°

ß — B> 0 y — G <0

(17)

y =

Diejenigen Teile der zwei Kreise für a und ß, welche für die Punktlage massgebend sind, liegen bei der Annahme (17) beide im Innern des Grundkreises, sie schneiden sich aber nicht im Innern.

Übergehend zum II. Fall (s. o. (15)) wollen wir annehmen, es seien a und ß beide kleiner als 180°, dagegen y grösser als 180°, dann gelten für a und ß die Bedingungen von der Form (12), dagegen für y eine Bedingung von der Form (13), also zusammen :

für Punkt innerhalb: a> A

für Punkt ausserhalb: a < A ß<B

360° — y < 180° — G

Hier ist je die dritte Bedingung überflüssig, denn sie ist vermöge (8) und (9) bereits in den zwei ersten enthalten.

Wenn also von den drei Winkeln « ß y einer überstumpf (> 180°) ist, so braucht man nur die beiden anderen hohlen (< 180°) Winkel in Betracht zu nehmen, und hat als Möglichkeits-Bedingung, dass a — A und ß — B beide gleiches Zeichen haben, und nebenbei hat man mit «— A ^ 0 entschieden, ob der Punkt innerhalb oder ausserhalb des Grundkreises fällt.

Um beide Fälle thunlichst zusammen zu fassen, schreiben wir nun:

ß>B

360°— y > 180° — C

(18)

Fall I. «<180°

ß < 180°

ß — B> 0

y <180°

y — G > 0 giebt den Punkt P innerhalb des

« — A> 0

Grundkreises. Wenn auch nur eine der Differenzen a — A, ß — B, y — C negativ wird, so ist die Lösung unmöglich. (Ausserhalb des Grundkreises kann der Punkt P im Falle I. überhaupt nie liegen.)

Failli.    «<180°    ß < 180°    y > 180°

a — J. > 0    ß — B> 0    (360°—y) >(180°—G)    giebt den Punkt innerhalb,

a — A<0    ß — JB<0    (360° — y) < (180° — C)    giebt den Punkt ausserhalb.

Sind die Vorzeichen dieser drei Differenzen nicht gleich, so ist die Lösung unmöglich.

Wenn man trotz der Unmöglichkeit der Aufgabe die Rechnung nach den gewöhnlichen pothenotischen Formeln beginnt, so wird man auf eine negative Strahlenlänge PA, PB oder PC geführt, und rechnet man mit einer negativen Entfernung weiter, so stimmen die Schluss - Coordinaten in den getrennten Rechnungen wieder überein. Diese Coordinaten gehören aber zu einem pothenotischen Punkt, von dessen Bestimmungs-Strahlen PA, PB, PC einer die entgegengesetzte Richtung hat im Vergleich mit dem entsprechenden Strahl der unmöglichen Kombination. Umgekehrt werden die unter sich verträglichen Elemente unverträglich, wenn man einen der Bestimmungs-Strahlen in Betreff der Richtung umkehrt.

Pothenotische Litteratur.

Über die Herkunft der Benennung nach Pothenot zitieren wir zuerst aus dem „Handbuch der Mathematik, Physik“ u. s. w. von Wolf, Zürich 1869, I. S. 288: Willebrord Snellius löste die Aufgbe in seinem „Eratosathenes Batavus, de terrae ambitus vera quanti täte. Lugd. Batav. 1617 in 4°.“ Später gab Laurent Pothenot (16. .. — Paris 1732; Professor der Mathematik und Mitglied der Akademie in Paris) in einer 1692 vorgelegten Abhandlung: „Problème de géomètre pratique etc. (Ane. Mém. Par. X)“ eine Lösung derselben Aufgabe, welche nun seinen Namen erhielt.

Nach Johann Tobias Mayer, „Gründlicher und ausführlicher Unterricht zur praktischen Geometrie, Göttingen 1816“, zweiter Teil, S. 316, befindet sich Pothenots Abhandlung „in den Mém. de l’Ac. royale de sc. à Paris 1692, p. 188“.

Die bequemste und gebräuchlichste analytische Lösung der pothenotischen Aufgabe mit dem Hilfswinkel q, welche in unserem § 75. gegeben ist, finden wir zuerst mitgeteilt von J. G. Burckhardt in der „Monatlichen Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde von v. Zach¹¹, 4. Band, Gotha 1801, S. 360. (Hilfswinkel y b sin a

aus tanq y = —;— asmß

Die erste pothenotische Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate stammt her von Gauss-, sie findet sich in den „Astr. Nachrichten“, erster Band, 1823, Nr. 6, S. 81—86. Gauss behandelt die zwei Fälle der Richtungs-Messungen („Winkel-Messungen auf Einmal“) und der unabhängigen Winkel-Messungen, und giebt dann ein Zahlenbeispiel (Holkenbastion) für den zweiten Fall.

Das nächste ist: „Grundzüge der Wahrscheinlichkeits-Rechnung von G. Hagen, Berlin 1837“, § 33. und § 34. Hagen giebt zuerst die Theorie, wie Gauss, für Winkel-Messungen und für Richtungs - Messungen, dann in § 34. ein Beispiel für beide Fälle.

Nach diesem ist zu erwähnen: Gerling, „die pothenotische Aufgabe in praktischer Beziehung, Marburg 1840“. Gerling bildet aus dem schon erwähnten Winkel-Beispiel von Gauss (Holkenbastion) zuerst einen „Horizont-Abschluss“, und gleicht diesen abermals nach Winkeln aus (was hier nicht richtig ist). Sodann giebt Gerling in seinem grösseren Werke „Die Ausgleichungs-Rechnungen der praktischen Geometrie, Hamburg und Gotha 1843“, S. 127—129, eine Winkel-Ausgleichung nach Gauss.

Helmert giebt in dem Werke „Die Ausgleichungs-Rechnung nach der M. d. kl. Q. u. s. w., Leipzig 1872,“ S. 158—163, eine pothenotische Richtungs-Ausgleichung, und dabei, auf S. 161, den Kunstgriff, durch Mittelbildung in den Fehlergleichungen die Richtungs-Unbekannte f zu eliminieren. Dieses Verfahren, das wir schon in Band I. S. 151 erwähnt haben und in § 82. wieder benützen werden, ist inzwischen sehr gebräuchlich geworden.

Die von Schreiber bei der trigon. Abteilung der Landes-Aufnahme angewendete Eliminationsform haben wir in Band I. S. 153—154 mitgeteilt.

In unserem Buche 1. Auflage (Taschenbuch d. pr. G. 1873, S. 144—147) war nur eine TFw^eZ-Ausgleichung gegeben; in der 2. Auflage 1877, § 116. eine Winkel-Ausgleichung, § 117. eine Richtungs-Ausgleichung mit gewöhnlicher Eliminierung von z.

Alle diese Citate schienen deswegen nicht überflüssig, weil in verschiedenen Schriften die Winkel- und Richtungs-Ausgleichungen confundiert sind, und manches (z. B. auch unsere Artikel) zum Teil falsch citiert ist.

§ Ï8. Die Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte.

Erste Auflösung.

In Fig. 1. sind die zwei Punkte K und B gegeben.

Es soll die Lage zweier anderer Punkte P und M in Bezug auf die gegebenen Punkte K und B bestimmt werden durch Messung der vier Winkel a , y , a , y. Wir setzen dabei voraus, dass die gegebenen Punkte K und B (z. B. Kirchtürme) unzugänglich seien, weshalb die Winkel g> , g> , ip , i//, durch welche man am einfachsten die Punkte P und M gegen K und B festlegen könnte, nicht gemessen sind.

Die gegenseitige Lage der vier Punkte kann sehr verschieden sein, z. B. so, wie Fig. 1. angiebt, oder auch nach Angabe der später folgenden Fig. 1. und Fig. 2. § 79.

Wir setzen vorerst voraus, dass die Berechnung sich unmittelbar an den besonderen Fall einer Figur anschliesst, und legen deswegen für die nächstfolgende Berechnung die Fig. 1. zu Grunde.

Wenn umgekehrt P und M gegeben, und K und B zu bestimmen wären, so könnte man einfach nach dem Sinus-Satz die Punkte K und B gegen P und M festlegen, und dann auch die Entfernung KB berechnen aus dem Dreieck B M K, in welchem die zwei Seiten B M und M K und der eingeschlossene Winkel BMK = a 4- y bekannt wären; in gleicher Weise könnte auch das Dreieck BPK benützt werden. Jedenfalls kann man auf diese Weise die Gestalt des ganzen Vierecks bestimmen.

Diese Überlegung führt dazu, zuerst alle Winkel und Seitenverhältnisse des Vierecks zu bestimmen, und dann erst mit der Seite KB als Basis die übrigen Seiten zu berechnen.

Die weitere Ausführung dieses Grundgedankens soll an einem Zahlenbeispiel gezeigt werden, wobei die Punkte K und B durch Coordinaten gegeben sind, und die Coordinaten der Punkte P und M berechnet werden sollen. Gegeben sind die Coordinaten von K und B (Königsbach und Bilfingen):

Fig. l.

(Massstab 1:90000.)

o ..    ß

;w

\ vy

\}>Yr

</> \ i /    ,

Vï7/8

ys>pM

k/

+ 6620,10 + 1551,00

+ 37855,30 4- 39082,60

Gemessen sind die vier Winkel a , y , a , y. Wir schreiben sofort auch die Winkel ß und ß' dazu, welche man als Ergänzungen in den betreffenden Dreiecken berechnet :

ta

(1)

« = 54° 35' 57" ß = 35 y = 89

° 13' 3"

io OO CM kO

29

22

34

Ci OO CO H

Summen: 180° 0' 0"

= 144 24 180° 0' 0"

(2)

Wir nehmen an, man habe durch eine geometrische Konstruktion die Entfernung PM näherungsweise = 1980m gefunden, und nehmen deswegen als erste Näherung: log PM — 3.296 665 genähert.

Man könnte zwar auch schlechthin PM = 1, also log PM = 0.000 000 annehmen, es ist aber bequemer, sogleich einen genäherten Wert hier einzuführen. Nun kann man nach dem Sinus-Satz berechnen:

PM

(3)

PK =

sin y

Die [Resultate sind:

sin ß

DT? PM ‘    ’

PS — —-7 sm a

sm ß

MK=^^sina sm ß

PM

MB —

sin ß'

sin y

logPK= 3.533 512 logMK^2,AU 733 % PB = 3.269 264 log MB=3.562 935 PK= 3415,95    MK= 2784,41 PB= 1858,93    " MB— 3655,40

In dem Dreieck BMK hat man somit die Seiten BM und MK und den davon eingeschlossenen Winkel a + y = 107° 11' 37" gegeben, sowie die Summe:

<p + xp = 180° — («' + y) = 72° 48' 23".

(5)

Damit rechnet man:

<p- X\)

iang —

Man hat also aus (5) :

MB — MK <p-ł- xu ⁼ MB -h MKtan9 ~~2~~ ' <p ■+■ V

36° 24' 11,5"

(6)

und aus der Gleichung (6) :

⁹    5° 41' 42,4"

u

Die Summe und die Differenz hievon sind : çd = 42° 5' 54"

In gleicher Weise berechnet man aus dem Dreieck BPK:

<p'= 6° 40' 25"

¥ = 30° 42' 29"    (7)

^'=12° 19' 50"    (8)

Dabei hat man die Proben q> — xp = ß und i/? — xp' — ß'.

Nun kann man die Entfernung BK vierfach berechnen: MIC

BIC =

BK

sin xp

PK

sin (y -+- a ) =

MB

sin xp'

sin (/+ a) —

sin <p

PB

sin (y -h a )

sin (y'-+- a)

(9)

s in q!

Man erhält aus allen diesen vier Formeln in genügender Übereinstimmung:

(10)

log BK — 3.716 743 genähert.

Dieses ist derjenige genäherte Wert, welcher der ursprünglich bei (3) gemachten Näherungs-Annahme für log PM entspricht.

Andererseits berechnet man log B K endgültig aus den schon zu Anfang unter (1) mitgeteilten Coordinaten, nämlich:

log BK = 3.717 301 endgültig.

Zugleich berechnet man auch das Azimut:

(B K) = 346° 23' 23" oder (KB) = 166° 23' 23".

dl)

Aus der Vergleichung des vorläufigen Wertes (10) und des endgültigen Wertes (11) von log BK findet man, dass der vorläufige Wert um 0.000 558 zu klein war, und man hat daher alle bisher berechneten Seiten-Logarithmen um 0.000 558 zu vergrössern, d. h. man erhält dadurch aus (4) endgültig:

logPK=3.534070 , logMK= 8.445 291 , log PB = 3.269 822 , % 20 = 3.563493 (13) Mittelst des Azimutes (KB) oder (BK) und der Winkel q> cp ip ip' setzt man auch die zur Coordinaten-Rechnung nötigen Azimute zusammen:

}(H)

(KP) = (KB) — y'= 159° 42' 58”    (KM) = (KB) — v = 124° 17' 29''

(BP) = (BK) + ,//= 358° 43' 13”    (BM) = (BK) 4- ip = 17° 5' 52”

Dabei müssen die Proben erfüllt sein:

(BM) — (BP) = ßf

(KP) — (KM) = ß

Nun hat man von allen vier Strahlen KP , KM , BP , BM sowohl die Längen nach (13) als auch die Azimute nach (14), und man kann deshalb die Co-ordinaten der zwei Punkte P und M je zweifach berechnen.

Die Resultate sind mit Übereinstimmung:

4- 39041,04" 4- 40158,68™

4- 3411,86 4- 5049,34.

(15)

Anmerkung.

Wenn man die im vorstehenden behandelte Auflösung auch im allgemeinen beibehalten will, so kann man doch die Bestimmung der Winkel cp und ip eleganter machen. Man hat nämlich ausser der Summe <p 4- ip nach (5), noch das Sinus-Verhältnis:

PM

PM

sin q> : sin ip = MB : MK =

_ sin y _ sin « sin ß' ' sin ß

Aus der Summe (cp 4- ip) und dem Sinus-Verhältnis s in cp: sinxp kann man aber die Winkel cp und ip durch Einführung eines Hilfswinkels bestimmen, wie bei der pothenotischen Aufgabe § 75. gezeigt wurde.

sin cp : sin ip

sin ß'

sin y :

sinß

sin a

§ 79. Die Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte.

Zweite, allgemeinere Lösung.

Unsere erste Lösung der vorliegenden Aufgabe, im vorigen § 78., ist bei der Berechnung an eine bestimmte Figur gebunden. Bei sehr häufigem Vorkommen einer solchen Aufgabe liebt man allgemein - gültige Formeln, welche für jede denkbare Figur gelten, ähnlich wie bei der pothenotischen Aufgabe § 76.

So dringlich wie bei der pothenotischen Aufgabe ist in diesem Falle das Bedürfnis allgemeiner Formeln (nach denen man ein Formular drucken kann) nicht, denn die vorliegende Aufgabe kommt nicht sehr oft vor; indessen ist es doch eine nicht undankbare Arbeit, die Auflösung von möglichst allgemeinem Gesichtspunkte zu betrachten.

Wir fanden, dass eine allgemeine Auflösung möglich ist, wenn man zuerst über die Numerierung der Punkte selbst und dann über die Zählung der gemessenen Winkel allgemeine Bestimmungen trifft:

Fig. 1.

Wir bezeichnen die zwei zu

Fig. 2.

I. Fall. P₃ und P, auf derselben bestimmenden Punkte, auf wel- n- Fall. P₃ u. l\ auf verschiedenen Seite von ptp₂.    chen die Winkel -Messung statt- p Seiten vou p‘ p=-

findet, mit Px und P₂, un<^ die zwei gegebenen (unzugänglichen)

Punkte mit P₃ und P₄, und zwar soll P₃ derjenige Punkt sein, welcher beim Drehen des Strahls Pj P₂ um P₁ von links ^ nach rechts zuerst getroffen wird.

ft

9^

Pe

Pt

27

ofoC'

ot

p,

cP

Die gemessenen Winkel (von links nach rechts gezählt) seien:

P₂ P₄ P₄ = «'

Pi P<l Pb — ß P₁P₂P₄ = /î'

Pj P₂ = D Standlinie P₃ P₄ = z/ unzugängliche Entfernung.

(1)

Pf

Diese Bezeichnungen sind in Fig. 1. und Fig. 2. eingeschrieben. Eine wesentlich andere Gestalt des Vierecks Px P₂ P₃ P₄ ist nicht denkbar, z. B. der Fall des vorigen § 78. Fig. 1. S. 252 ist in Fig. 2. mit inbegriffen. Es genügt deswegen, wenn man sich überzeugt, dass die folgenden Formeln den Fig. 1. und 2. gemeinsam entsprechen :

cp -+- i]j = 180° — (a — a)

Cd

Man setze:

sin (ß — a)

sin ß

sin (ß' — a)

-^—:—- = n

sin ßt

und :

(4)

cotq u

sin iß n

dann ist:

(5)

œ — ip

tang —= tang

u

Damit sind die Winkel cp und iß bestimmt; worauf sich alle Entfernungen nach dem Sinussatz berechnen lassen.

Wenn die unzugängliche Entfernung A nicht unmittelbar, sondern durch die Coordinaten von P₃ und P₄ gegeben ist, und wenn auch die Coordinaten von Px und P2 zu bestimmen sind, so hat man ausser den vorstehenden Formeln (2) — (5), welche im Wesentlichen zur Bestimmung von cp und iß dienen, noch folgende Formeln anzuwenden :

tang (P₃ P₄)

PsPl

2/4 — 2/3 _ x₄ — x3 sin (P₃ P₄) cos (P₃ P₄)

A sin cp sin (a—a)

_ y4    2/3

x₄ — xs

A sin iß ~ Sin (öl—a)

D = m X P₃ P\ =■ n X P₄ P\

(6)

P4Pl —

sin a _ * sin (ß± 180°)

sin a _ .

sin (ß'± 180°) —

(P₃P]) = (P₃P₄) + ₉>

(p₄p₁) = (pip₃)-1ß

P3 P% — P3 P1

P₄P₂ = P₄P₁

sin {ß' — a — iß)_ A sin v

sin {ß' — ß) sin (ß> — ß)

sin (ß — a -j- q> + 180°) _ A sin u

sin (ß'— ß)

sin (ßr—ß)

(P₃ P₂) = (P₃ Px) + (ß - «) ± 180°

(P₄ P«) = (P₄ P₄) + (ß'-a') ± 180

P cc    o    o'

'    '—'    r->

ai)

Nachdem somit die 4 Strahlenlängen P₃ Pj , P₄ P₁ , P₃ P₂ , P₄ P₂ und die zugehörigen Azimute (P₃ Px) , (P₄ Px) , (P₃ P₂) , (P₄ P₂) berechnet sind, kann man die Coordinaten von Px und P₂ je zweifach bestimmen, wofür wir die Formeln (nach § 60. (7') S. 189) wohl nicht besonders anzuschreiben brauchen.

Nachdem die Coordinaten xxyx und æ₂ y% von Px und P₂ berechnet sind, hat man noch die weitere Probe:

(12)

D — V (2/1 — y₂)² + (»1 — x₂f

Der Hilfswinkel g, welcher in Gleichung (4) durch cotg g zweideutig bestimmt

ist, ist willkürlich (als positiver oder negativer spitzer Winkel) zu wählen.

tp — rfj

muss in (5) so gewählt werden, dass nachher I) in Gleichung (8) und damit von selbst auch die übrigen Entfernungen, positiv werden.

Wir nehmen ein Zahlenbeispiel²) hiezu:

ic₄ = + 310,57 x₃ = — 313,34

y₄ = —1341,53 y₃ = - 1198,31

Gegebene Punkte : P₄

Differenzen

2/4 — 2/3 — — ¹⁴³>²²

x₄ — £C₃ — -f⁻ 623,91 Damit berechnet man in bekannter Weise das Azimut und die Entfernung:

Azimut (P₃P₄) = 347° 4' 18" Gemessene Winkel «'= 320° 53' 48"

38 55 0

(13)

log P₃ P₄ = log A — 2.806 273

Differenzen ß' — 68° 31'54" ßf— a'= 107° 38' 6" ß = 273 40 18    ß — « = 234 45 18

Differenzen «'—« = 281° 58' 48"

log sin (ß — a) log sin ß

9.912 058» 9.999 107„

/?'-/? = 154° 51' 36"

log sin (ß' - a) log sin ß'

9.979 096 9.968 772

log m log n

9.912 951 0.010 324

log n

0.010 324

log cotg g

9.902 627

log cotg (g-+- 45°) log tang \ (y + n>)

log tang\{<p — x\>)

9.047 811„ 0.091 476»

9.139 287

= 51° 22' 12" ju + 45 =96 22 12

«H-»/>=180o— («'—«) = 258° 1'12" | («p -f- rp) —129    0 36

‘ (9, — y) = 187 50 48

9> =316° 51 24"

t/j = 301 ° 9'48" ß — a= 234 45 18    ß'— «'=107 38 6

nach den Formeln (9) und (10):

Nun hat man alles, was zur Ausrechnung der Entfernungen nach den Formeln (7) — (10) nöthig ist. Man findet mit log A von (13): log P₃ P₄ = 2.748 155 log D = 2.661 106

m= 11° 36'42"

v =166° 28' 18"

nach (7):

nach (8) mit Probe: nach (9) und (10) ( log P₃ P₂ = 2.547 139

mit Proben:

log P₃ P₂ = 2.547 135

log P₄ Px = 2.650 781 log D

log P₄ P₂ = 2.481 846 logP₄P₂ — 2.481 850

= 2.661 105

(14;

Die Azimute werden nach (11) zusammengesetzt:

(P₃ P₂) = 358° 41' 0" (P₄ P₂) = 153 32 56

(17)

(P₃ P|) = 303° 55' 42"

(P₄ Pt) = 225 54 30 Da man nun in (14), (16) und (17) alle Entfernungen und Azimute hat, kann man die Coordinaten doppelt berechnen, wovon wir aber die Logarithmen nicht hersetzen, sondern nur die Zusammensetzungen :

P₃ —1198,31    —313,34

— 464,62    + 312,54

P₃ —1198,31    —313,34

—    8,10    + 352,39

Px — 1662,93

0,80

P₂ — 1206,41

+ 39,05

-    1341,53    + 310,57

—    321,40    —311,37

P₄ — 1341,53    + 310,57

+ 135,12    —271,52

P₄ —1662,93 Man hat noch die Probe nach (12): P₂ — 1206,41 +39,05 Px — 1662,93 — 0,80 Differenzen + 456,52 +39,85

0,80

P₂ —1206,41    + 39,05

(ĄĄ) = 85° 0' 41" log (P₄ P₂) = 2.661108 = log 1) nach (15).

Besondere Fälle:

Wenn einer der zu bestimmenden Punkte I\ oder P₂ in die Gerade der beiden gegebenen Punkte P₃ und P₄ fällt, so nenne man ihn P₂, dann wird der zweite Ausdruck (9) für P₃ P₂, welcher sonst eine Rechenprobe liefert, unbestimmt ; im Übrigen ändert sich nichts.

Wenn einer der gegebenen Punkte P₃ oder P₄ in die Gerade der zu bestimmenden Punkte P₄ und P₂ fällt, so versagt die oben angegebene Regel über die Wahl der Benennung P₃ oder P₄; man nenne dann diesen Punkt P₄, damit nicht die erste Formel (9) für P₃ P₂ unbestimmt werde.

§ 80. Zweifach gegenseitiges Rückwärts-Einschneiden.³)

Fig. 1.

(Massstab 1 : 100 000.)

Gegebene Punkte AB A'B'.

Zu bestimmende Punkte PQ.

Es sind vier Punkte A,B, A', B' gegeben. Zwei andere Punkte P und Q liegen so, dass man zwischen denselben zusammensehen kann, und dass von dem einen Punkte P, zwei der gegebenen Punkte A und B, und von dem anderen Punkte Q die zwei anderen Punkte Al und B' sichtbar sind.

A’

j\-

W'

ß!

Pr \

+ /+

/ß

B'

Man misst in P die zwei Winkel :

(1)

(2)

A PQ = ß und Q PB -- a Ebenso misst man in Q die zwei Winkel:

B’QP=y und PQA'=?>.

Man soll daraus die beiden Punkte P und Q bestimmen.

Um die Aufgabe zunächst durch geometrische Konstruktion zu lösen, beschreibt man um AB P und um A' B' Q je einen Kreis ; die beiden Kreise schneiden die Gerade PQ in den Punkten P' und Q'. P' wird auf dem Kreis um APB bestimmt durch die Beziehungen :

¹

Vergl. Briefwechsel zwischen Gauss u. Schumacher, hrsgeg. von Peters, Altona 1861, III. Band S. 46—50, und „Zeitschr. f. Vermessungswesen 1886“, S. 140—145.

²

Es ist dieses dasselbe Beispiel, welches Hansen im 18. Band (1841) der .astronomischen Nachrichten“ S. 165 in teilweise anderer Weise behandelt hat.

³

Diese Aufgabe findet sich mit geometrischer Auflösung durch zwei Kreise in der „technischen Anleitung zur Ausführung der trigonometrischen Operationen des Katasters, im Aufträge des königl. ungarischen Finanzministeriums, verfasst von J. Marelc. Budapest 1875.“ S. 269.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl.

a'— 180° — a , ß' = 180° — ß. Ähnlich verhält es sich auch bei Q', nämlich:

(3)

y'= 180° — y

180° — 5.

(4)

Dadurch ist auch die Coordinaten-Rechnung vorgeschrieben:

Man berechnet die Coordinaten von P' aus den Coordinaten von A und B und mit den Winkeln «' und ß' nach der Grundaufgabe der Triangulierung, § 65., in gleicher Weise berechnet man die Coordinaten von Q'. Aus den Coordinaten von P' und Q' erhält man das Azimut (P' Q'), und damit ist auch das Dreieck AP' P oder B P' P bestimmt, und man kann die Coordinaten von P berechnen.

Entsprechend wird auf der andern Seite auch Q bestimmt.

Folgendes Zahlenbeispiel entspricht ungefähr den Verhältnissen von Fig. 1.:

Gegebene Coordinaten :

xa = + 6782,72 xb = + 4362,81 Xa' = + 6428,78 «»'= + 4702,81

ya = —1902,43 yb — — 2917,44 ya' = -f- 2814,33 yb' = +1627,49

Punkt A

A'

(5)

B'

Gemessene Winkel:

17

R -ÎÔ

03 00 co co

t—I

►4

DO 00

5 = 138° 9' 12" y = 134 7 32

(6)

Nach (3) und (4) hat man :

(t= 47° 42' 52" «'= 41 50 18 P' = 90 26 50

hiezu :

41° 50' 48" 45 52 28 92 16 44

(7)

180° 0' 0"

Aus den Coordinaten (5) berechnet man :

log B A = 3.418 990 Azimut (BA) = 22° 45' 19"

180° 0' 0"

log A' B' = 3.321 112 Azimut {A’B') = 214° 30' 50"

} (8)

Nun kann man mit (7) und (8) die beiden Dreiecke A BP' und A'B'Q' vollständig berechnen, man findet die Coordinaten von P und Q ' : yP' — — 3656,08 ay = + 5949,78

yq' = -t- 3089,82 ay = -f- 5057,65    (9)

Hieraus Azimut und Entfernung von P' nach Q' : Azimut (P' Q')

= Azimut (P Q) = 97° 32' 1"

logP'Q' = 3.832 805

(10)

IO CO CM CM

„ p'= 57 30

(11>

Die übrige Rechnung geht nach dem angegebenen Weg und ohne Schwierigkeit, und giebt schliesslich die Coordinaten:

Punkt P    yP — — 1089,03

„ Q    yv = + 1176,12

xp = -f- 5610,29 xq = + 5310,73

(12)

§ 81. Yorwärts-Einschneiden mit Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Nachdem wir in § 73. S. 235—237 gesehen haben, wie man auf festen Punkten, mit je einem oder mehreren Strahlen, neue Strahlen orientieren, d. h. die Azimute der neuen Strahlen bestimmen kann, und nachdem wir in § 74. gesehen haben, wie man für zwei solche, von verschiedenen Punkten ausgehende Strahlen die Coordinaten ihres Schnittpunktes berechnen kann, wollen wir nun die Ausgleichung bei mehr als zwei Strahlen behandeln. *)

Die neuen Strahlen, welche aus orientierten Abrissen hervorgehen, sind zwar theoretisch im allgemeinen nicht gleichgewichtig, denn nach Band T. § 63. S. 162, (14), hat ein neuer. Strahl, welcher durch einen Richtungssatz auf s alte, feste Strahlen orientiert wurde, das Gewicht:

(1)

P * -r 1

Indessen wir wollen hier, wie oft geschieht, hievon absehen, und alle zum Schnitt bestimmten Strahlen als gleichgewichtig einführen.

Als Beispiel nehmen wir nach § 73. Fig. 1. S. 228 das Einschneiden von Zion von den vier Punkten Bahnhof, Wasser türm, Technische Hochschule E, und Ägidius aus, und es ist zu empfehlen, dieses Viereck mit den vier Strahlen nach Zion, von Fig. 1. S. 228 besonders für unsern Fall herauszuzeichnen.

Die erste Arbeit besteht in der Bestimmung von Näherungs-Coordinaten, wozu die Berechnung von § 74. S. 239 benützt werden kann.

Um aber zu zeigen, dass es ganz gleichgültig ist, woher man die Näherungs-Coordinaten hat, wollen wir von den auf S. 239 berechneten Coordinaten hier keinen Gebrauch machen, sondern eine zufällig vorhandene ältere ungenauere Bestimmung benützen, welche wir früher schon mit anderen Messungen berechnet hatten, nämlich:

Zion, Näherung (y) —— 15190,730™

Die ganze nun folgende Ausgleichung, deren Begründung aus den verschiedenen in Band I. vorgetragenen Theorien jetzt nicht mehr wiederholt wird, ist auf den zwei Seiten 260 und 261 enthalten (entsprechend dem Formular 10. der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881).

(*) = H- 92728,050™

(2)

*) Eine ähnliche Aufgabe haben wir schon in Band I. § 57. gelöst, dabei waren vier unabhängige Winkel als gemessen angenommen. Jene Annahme war geeignet zur ersten theoretischen Einführung in die trigonometrischen Ausgleichungen, während in praktischer Beziehung die Ausgleichung nach Richtungen, welche wir jetzt vornehmen, wichtiger ist.

Azimut-Berechnung zu der Ausgleichung des Punktes Zion. (S. 261.)

Punkt P Punkt A

Vf

I* £

y* —y«

Xv

Xa

log (y, —y a) log (xp — xa) log tang (A P)

Azimut

(AP)

Zion .    .    .

Bahnhof .    .

I. Vor der Ausgleichung:

—    15190,730    +    92728,050

—    15356,150    +    92012,085

+    165,420    ~+    715,965

2.218 588 2.854 892

9.363 696

Ol) =

13° 0' 34,6"

Zion.....

Wasserturm, Pfeiler

—    15190,730    + 92728,050

—    16145,080    +92808,697

954,350

2.979 708 1.906 588„

80,647

1.073 120„

(952) =

94° 49' 49,0"

Zion.....

Techn. Hochschule, E

— 15190,730 —15266,847

+ 92728,050 + 95002,299

1.881 482 3.356 838«

76,117

— 2274,249

8.524 644«

Os) =

178° 4' 59,1"

Zion.....

Ägidius, Centrum .

—    15190,730 ! +92728,050    3.117 583«

—    13879,790 I +93575,890    2.928 314«

— 1310,940

847,840

0.189 269

(«»4) =

237° 6' 27,2"

II. Nach der Ausgleichung:

Zion .    .    .

Bahnhof .    .

—    15190,778

—    15356,150

+ 92728,019 + 92012,085

2.218 462 2.854 873

+    165,372

715,934

9.363 589

<Pi —

13° 0' 23,4"

Zion......

Wasserturm, Pfeiler

—    15190,778

—    16145,080

+ 92728,019 + 92808,697

2.979 686 1.906 755«

+    954,302

80,678

9>2 —

1.072 931«    !    94° 49' 56,6"

Zion......

Techn. Hochschule, E

— 15190,778 —15266,847

+ 92728,019 + 95002,299

1.881 208 3.356 844«

+    76,069

— 2274,280

8.524 364«

9>3 =

158° 5' 3,5"

Zion ......

Ägidius, Centrum .

—    15190,778

-    13879,790

+ 92728,019 + 93575,890

3.117 599« 2.928 329«

1310,988

847,871

0.189 270

<P4 =

! 237° 6' 27,4"

Ko.

Vorwärts-Einschneiden nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Eingeschnittener Punkt Zion., Kirchturm.

Standpunkt

Zielpunkt

Gemessene

Richtung

Näherungs-

Azimut

(<P) — a

O)

l²

1.    Bahnhof.......

2.    Wasserturm, Pfeiler    .

3.    Techn. Hochschule, E

4.    Ägidius, Centrum .    .

Zion

7i

7)

I-

o

co ^

t-H Oi

00 i+

I> co

7—ł CN]

0' 22,2"

49 56,3

5    0,8

6    25,8

105,1"

o²

<1

5c © t-h <m 03 C3 + co io n

b 03 œ

i"+ I I H“

J-¹    ^3 JO

Cu h M V

153,76

53,29

2,89

1,96

169,9    + 4,8    211,90

62

ab

'h—¹ 'bo ~C2o

237,1

—    4,641 +20,10 —20,56] — 1,73

—    0,68j —20,61

+ 17,32 —11,20

J-¹ DO © _p

+ 7o © "-.i o) cc oj 03

—    6,3 —21,5

—    0,3

+11,1

+27,4

- 1,8

-    9,1

-    7,2

+ 11 +

J-* H-¹ +1 5

Vl 03 rf>-

t> Ol H

cT c<T o co co

to

625,2

«J

b]

l]

[a

+ 625

[b

— 211

+ 889

+ 95

+ 889

71

[ï

+ 358

+    32

+ 212

15

by —

by =

(y) = — 15190,730"*

—    0,4 8    [66.1] = + 818

—    0,048m

+ 390 + 197

186

y = — 15190,778”*

[II. 2]

+ 11

No.

Standpunkt

Zielpunkt

r-H* oi co

Bahnhof .......

Wasserturm, Pfeiler . Techn. Hochschule, E Ägidius, Centrum . .

Zion

[®t>] = [11.2] = 11.4 log[vv] log[n— 2)

log m2 log m

°° I

«c.

OO

I    Ci CO io

I    CO T—I T—I

OO 00 00 CO O CO

C7T 00 OO ! ^ DO

00

00

— 211 + 625

50

[ao.l]= + 575

Gemessene

Richtung

13° 0' 94 49 178    5

237    6

1.0569

0.3010

0.7559 0.3780 m = + 2,4"

Gesamt-Resultat : Zion, Kirchturm

CO

00

172,6

79,9

OT

::

—211,1    +94,9    +858,8

+ 358

+ 95

+    85

+ 212

144

+ 180

+ 68

—    0,31

—    0,031”*

dm

56

\ll. 2]=+ 12

Endgültiges

Azimut

bx = bx =

(x)= -f- 92728,050™

x = + 92728,019”*

<P — a = V

DO    CJT InD

Ol O Oi to

oo oo co h

105,1"

H CM

CÛ Ol CO H <1 OO ^ 05 o

+ + + + cd to of t-

(N lO Cd

Ö ©

Ci cn

03^ OÎ I> CDft H d OÎ H

^ Ci Ci CD ^ q ci ic r-T o I> of

0.7559 2.9128

7.8431 8.9216 m,, = + 0,08'im

y = —15190,778”*

+ 0,008”*

log wfi log [66.1]

log my2 log my

110,9    + 5,8    11,38

log m2 log [a a . 1]

0.7559

2.7597

7.9962 8.9981 mx = + 0,10,lm

+ 92728,019”*

+ 0,010”*

Zogr w*¹-¹

Zo# wij

Die Bechnung nimmt folgenden Gang :

1)    Mit den unter (1) gegebenen Näherungs-Coordinaten und mit den von S. 234 zu entnehmenden festgegebenen Coordinaten der Standpunkte Bahnhof, Wasserturm, Technische Hochschule und Agidius, berechnet man in dem oberen Theil von S. 260 die vier Azimute vor der Ausgleichung.

2)    Diese Näherungs-Azimute (<p) setzt man in dem Formular S. 261 an ihre Stelle. Gleichzeitig setzt man die gemessenen Bichtungen a an ihre Stellen, nämlich :

.    =13°    0'    22,2" von S. 237

Bahnhof — Zion .....

„ „ 235

Wasserturm — Zion ....

„ » 237 „ „ 236.

Tech. Hochschule — Zion .    .

Agidius — Zion.....

Es folgt die Einsetzung der Differenzen (<p) — a — l, und sofort auch die Quadrierung Z², mit der Summe [ll] = 211,9.

3)    Tn der zweiten Gruppe von S. 261 beginnt man mit Einsetzen der Azimute q> nur etwa auf 0,1° genau. Dazu setzt man die Coefficienten £ und ij aus der Hilfstafel III. S. [8]—[9] des Anhangs von Band. I. Daneben schreibt man auch die Strahlenlängen II in Kilometern, die man genügend genau aus einem Übersichtsnetz der Triangulierung abmessen kann. (Allerdings unser Holzschnitt Fig. 1. S. 228 ist hiezu zu klein, aber ein grösseres und schärferes Netz braucht man ohnehin.)

Nach diesem folgen die Divisionen:

— CI

und

entweder geradezu, oder mit dem Bechenschieber.

Statt all dieser hier unter 3) genannten Arbeiten, kann man die a und b auch unmittelbar genauer rechnen, nach den Formeln :

(3)

1 sin <r>    1 COS w

,₀--rft = + iö~7~

wo r die Entfernung in Metern ist, und ^ zugesetzt wurde, um die Coordinaten-Kor-

rektionen in Decimetern zu erhalten. Will man direkt nach (3) rechnen, so geschieht das im Anschluss an S. 260 (vgl. Formular 10. Seite 2. der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881).

4) Es folgt die Ausrechnung der a² , b² , ab u. s. w. und ihrer Summen [an] , [bb] , [ab] u. s. w. in dem Schema, welches die Mitte von S. 261 einnimmt.

Die Elimination geht nach dem Beispiele an Band I. S. 48, z. B. in der ersten Eliminationslinie auf S. 261 hat man:

211

211 = — 71

— 211

95 = -j- 32 u. s. w.

625

Dieses macht man am bequemsten mit dem Eechenschieber.

Man findet by ——0,48dm,bÆ =—0,31d“ und [ll. 2] = -+-11 oder [ll. 2] = -t-12. Die Übereinstimmung -j- 11 und +12 ist genügend und dient als Probe.

625

5) Die Korrektionen by = —0,48d“ und bx — — 0,31''”' werden in Meter umgewandelt: by = —0,048”* , bx = —0,031”*, zu den Näherungen (y) und (x) hinzugefügt, und geben damit das Haupt-Besultat :

x = + 92728,019“.

y = — 15190,778“

6) Damit füllt man den unteren Teil von S. 260 aus, und berechnet die endgültigen Azimute q> nach der Ausgleichung, setzt diese q> in den unteren Teil von S. 261 und berechnet die i’ und v'² mit der Summe [vv], gerade so wie oben anfangs die l und [Z Z].

7) Wenn = 11,38 mit [ZZ. 2] = 11 oder =12 hinreichend stimmt,

was

hier der Fall ist, so kann man das Ganze als richtig gelten lassen. Man berechnet dann noch den mittleren Fehler m einer Richtung, und die mittleren Coordinaten-Fehler m„ und mx, nach dem Vordruck unten auf S. 261 und hat dann das Gesamt-

Resultat :

Zion, Kirchturm . . y = — 15190,778”*

± 0,008

x = + 92728,019’"

±0,010

(4)

Schürfe der Zahlenrechnung. Unsere Rechnung S. 261 ist mit so vielen Stellen geführt, als nötig ist, um die Coordinaten auf lmm scharf zu erhalten. Das ist offenbar völlig genügend. Man kann sogar an Rechenschärfe noch etwas nachlassen. Versuchsweise haben wir die zweite Gruppe von S. 261 abgerundet gerechnet:

•p

«2

ab

13°

+ 28

36

784

— 168

' 95

— 21

441

+ 42

178

81

237

+ 11

121

49

77

598

918

— 203

(5)

Die so weiter geführte Rechnung gab die Schluss-Coordinaten nur je um lmm anders als die Rechnung auf S. 261.

Wer keine überflüssigen Dećimalen schreibt und einigermassen mit dem Rechenschieber vertraut ist, kann die ganze Rechnung von S. 261 leicht in der doppelten Zeit herunter führen, als zum pünktlichen Schreiben überhaupt erforderlich ist. Allerdings gehört zum Rechnen mit wenig Ziffern mehr Erfahrung, als zum Ansetzen von 5—6stelligen Columnen, welche der Anfänger liebt.

Wir haben gesehen, dass die Abkürzungen (5) am Schluss-Resultat nur Änderungen von 1"*’" ausmachten ; was hat es aber zu bedeuten, wenn hier auch Rechenfehler von 2—3 Millimetern entstehen ? Die Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen hat überhaupt im Vergleich mit der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen das Eigentümliche, dass bei weitergehenden Abrundungen nur die Minimumsbedingung für [dd] weniger scharf erfüllt wird (was aber gerade in der Nähe eines Minimums wenig schadet), dass aber die geometrische Möglichkeit des Zusammengehens aller Resultate (z. B. alles auf lmm formell stimmend) trotzdem unabhängig erhalten bleiben kann.

Um ein Bild von der wirklichen, sachlichen Genauigkeit zu erhalten, welche bei solchen Punkt - Einschneidungen erreicht werden kann, brauchen wir nur die schon früher auf S. 234 unten mitgeteilten 10 vorwärts-eingeschnittenen Punkte mit ihren mittleren Coordinaten-Fehlern mv und mx zu betrachten. Wir haben daraus im Mittel berechnet :

Mittlerer Punktfehler j/(my)² -j- (w?.*)² = + 17mm und dazu noch aus den 10 Berechnungs-Tabellen von der Form S. 261 :

(6)

(7)

Mittlerer Richtungsfehler m — + 1,9".

Diese zwei Zahlenwerte (6) und (7) zeigen die Genauigkeit guter Messungen auf kleinem Gebiete, wobei keine Punkt-Verrückungen an Türmen u. s. w. im Laufe der Arbeit vorgekommen sind. Bei räumlich und zeitlich weit ausgedehnten Messungen wird man auf grössere mittlere Fehler als (6) und (7) zu rechnen haben.

§ 82. Rückwärts (Pothenotisch) -Einschneiden mit Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Da wir die pothenotische Lichtungs-Ausgleichung theoretisch, und in einem Beispiel, bereits in Band I. § 60. und 61. behandelt haben, ist es uns jetzt nur noch darum zu thun, an einem Formular-Beispiel S. 265 und S. 266 den ganzen Gang dieser wichtigsten aller trigonometrischen Ausgleichungen ohne jede Auslassung oder Zufügung vor Augen zu führen.

Eine Figur zu diesem Beispiel kann man sich leicht aus Fig. 1. S. 228 bilden, indem man die fünf Strahlen von Victoria nach Techn. Hochschule, Kreuz-Turm, Martin-Turm, Wasser-Turm und Kunst auszieht.

Die gegebenen Coordinaten dieser fünf Punkte entnimmt man von S. 234, die Näherungs-Coordinaten von Victoria wurden nach § 76. mit der Auswahl Technische Hochschule, Wasser-Turm und Kunst berechnet, und dabei auch die auf Victoria gemessenen Richtungen vorläufig so auf Azimute orientiert, wie sie auf S. 266 unter a eingesetzt sind.

Zur Veranschaulichung der Genauigkeit unserer sämtlichen pothenotischen Ausgleichungen von Fig. 1. S. 228 haben wir bereits auf S. 235 die mittleren Coordi-natenfehler angegeben und wir bilden daraus den Mittelwert:

und

Mittlerer Punktfehler j/(m„)³ -(- (m*)² = + 36m™

Mittlerer Richtungsfehler m — + 5,3".

Vergleicht man dieses mit den entsprechenden Werten + 17™"* und + 1,9" für Vorwärts-Einschneiden, nach (6) und (7) § 81. (s. oben), so sieht man, dass die rückwärts eingeschnittenen Punkte nur etwa halbe Genauigkeit der vorwärts eingeschnittenen Punkte haben, was sich durch die allmähliche Fehler-Anhäufung und dadurch erklärt, dass die ersteren Punkte als scheinbar fehlerfrei den Rückwärts-Einschneidungen zu Grunde gelegt wurden.

Azimut-Berechnung zu der pothenotisclien Ausgleichung des Punktes Victoria.

Punkt A Punkt P

Xa

xp

OCn Œp

log {ya — yP) log (xa— Xp) log tang {PA)

Azimut

{PA)

I. Vor der Ausgleichung (vorläufig) :

Techn. Hochschule S Victoria .    .    . .

—    15320,943

—    16062,837

-j-    741,894

4- 95013,695 + 93666,450 -f 1347,245

2.870 342 3.129 446

9.740 896

28° 50' 25,8"

Kreuz-Turm .    .

Victoria . . .

—    14331,880

—    16062,837 + 1730,957

-f 94017,271 4- 93666,450

4-    350,821

3.238 286 2.545 085

0.693 201

78° 32' 34,1"

Martin-Turm .    .

Victoria .    .    .

-- 15881,797    -f 93169,470

- 16062,837    4-93666,450

+    181,040    —    496,980

2.257 775 2.696 389„ 9.561 436„

159° 59' 3,5"

Wasserturm .    .

Victoria .    .    .

—    16145,760    4-92808,280

—    16062,837    4-93666,450

—    “ 82,923

858,170

1.918 675„ J2.933 573„ 8.985 102

185° 81' 9,2"

Kunst-Turm . Victoria .    .    .

—    17010,553 ;    4-    94967,919

—    16062,837    |    4-    93666,450

—    947,716    4-    1301,469

2.976 678„ 3.114 434

9.862 244

323° 56' 18,0"

IL Nach der Ausgleichung (endgültig) :

Techn. Hochschule S Victoria ....

— 15320,943 —16062,855

+    741,912

4- 95013,695 4- 93666,423 4- 1347,272

2.870 352 3.129 455

9.740 897    28° 50' 26,0"

Kreuz-Turm .    .

Victoria .    .    .

— 14331,880 —16062,855 + "1730,975

+ 94017,271 4- 93666,423

+    350,848

3.283 291 2.545 119

0.693 172

78° 32' 31,4"

Martin-Turm .    .

Victoria .    .    .

—    15881,797

—    16062,855

4-    181,058

+ 93169,470 + 93666,423 —    496,953

2.257 818 2.696 316»

9.561 502

159° 58' 53,4"

Wasserturm .    .

Victoria . .    .

—    16145,760

-    16062,855

+ 92808,280 + 93666,423

1.918 581, 2.933 560„

82,905

858,143

8.985 021

185° 31' 5,5"

Kunst-Turm .    .

Victoria .    .    .

—    17010,553

—    16062,855

947,698

-f 94967,919 -+- 93666,423 + 1301,496

2.976 670„ 3.114 443

9.862 227,

323° 56' 21,8"

Rückwärts-Einschneiden nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Eingeschnittener Punkt : Victoria-Strasse.

No. Standpunkt

Zielpunkt

Gemessene

Richtung

Näherungs-

Azimut

(?)

Cn *>• CO K5 i—¹*

Victoria

7)

7)

Techn. Hochschule, S j 28° 50' 25,9” . .    78 32 32,7

. . 159 58 49,4

Kreuz-Turm

Martin-Trm . . Wasserturm . . Kunst-Tuurm. .

4^ H-* O

0 95 OO

ZO —J

Summen

134,6”

90,6"    +16,0

Mittel + 3,2

0,0 | 149,8

No.

<r

<H

SÎC

»,

o;

a² 5²

ab

al

bl

28,8°

78,5

160,0

185,5

323,9

—    9,94 -fl 8,07 1,54 —20,22 + 4,11 1,77

—    7,05 —19,38 0,53 + f98 +12,15

—20,53 0,86 +16,67 1,61

+++I i

h-1 +¹

to co j—* Ci

Summen +21,4 Mittel + 4,3

-11,7 - 2,3 +36,6 +23,8 —10,4 +36,0

+ 2,2

+ 7,1

+ 9,0 — 6,6 —11,8 —^C),T

—18,9 — 9,5 +29,4 +16,6 —17,6

0,0

0,0

+319,0 +1897,2

109,6 17,8

207,7 + 253,7

36,6

44,8

54,6

+132,4 +409,8

b] l]

[a ! + 319 + 254 + 132 + 1897 + 410

—    202    — 105

[6

+ 1897

[a

[l

+ 254

+ 319

+ 150

34

+ 410 + 132

55

+ 150

b]

«J

55

89

ÏJ

— 0,18 — 0,018™ (y) = — 16062,837™ y— — 16062,855™

dm

[65.1] = +1695

+ 305

+ 95

55

[an . l] = + 285

77

61

21

—    0,27

—    0,027™

[ll. 2] =

[ll. 2]= + 40 j\Probegleichung : z = — ^    ^

+ 40

bx —

bx —

bX —

(x)= + 93666,450™ x — -+ 93666,423™

by —

No. Standpunkt

Zielpunkt

Gemessene

Richtung

ZK 4^ OO INS

Victoria

r>

j)

Techn. Hochschule, S

Kreuz-Turm.....

Martin-Turm.....

Wasserturm.....

Kunst-Turm.....

Summen

28° 50' 25,9” 78 32 32,7 159 58 49,4 185 31    8,7

323 56 17,9 134,6”

Endgültiges

Azimut

<p

28° 50' 26 78 32 31 159 58 53 185 31 .5 323 56 21

q> — «

= v'

+ 0,1

-1,3

+ 4,0

— 3,2

+ 3,9

138,1” i -+- 3,5 Mittel +0,7

[tr]

v~^n »2 = v

0,36

4,00

0,0    40,70

[vv] = [ll. 2] = 40,7 n — 3 = 2

log \vv] log (n — 3)

1.6096

__0.3010

log m² 1.3086 log m 0.6543 m = + 4,5”

Gesamt-Resultat : Victoria-Strasse

log wi2 log [bb.l] log mp log m,j

1.3086 3.2292 8.0794 9.0397 m, = + 0,llfi™

y = - 16062,855™

+ 0,011™

log m² 1.3086 log\cia.X] 2.4548 log mp 8.8538 log mx

9.4269 mx — + 0,27"™

« = + 93666,423 ‘ + 0,027™

§ 83. Vorwärts- und Rückwärts-Einschneiden nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Was in Band I. § 63., § 64. und § 66. bereits theoretisch und an einem Beispiel klar gemacht worden ist, das soll uns hier nur in der Hinsicht nochmals beschäftigen, wie eine solche Ausgleichung sich in unseren Schematen S. 261 und S. 266 vereinigen lässt. Sind \ai cq] , [aj bj] u. s. w. die Summen-Coëfficienten von S. 261 und [a₂ o₂] , [o₂ b₂] s. w. die entsprechenden Coëfficienten von S. 266, für denselben Punkt, den wir also als vorwärts und rückwärts eingeschnitten voraussetzen, dann hat man nichts zu thun, als diese Coëfficienten zu addieren :

(1)

[oj cq] -f- [o₂ a<2] = [aa] ,    [«1 bj] -4- [o₂ b₂] = [ob] u. s. w.

dann löst man die Gleichungen auf:

[o a] x -(- [ab] y + [al] — 0 was man in dem einen oder dem anderen Schema S. 261 oder S. 266 machen kann, und nach der Auflösung rechnet man wieder in beiden Schematen getrennt weiter, um schliesslich [v v] wieder aus beiden Teilen [tq tq] -+- [v₂ p₂] zusammenzusetzen.

Bei den Zusammensetzungen (1) wird man allerdings die Gewichtsfrage nach Band I. § 63. und § 66. schärfer erwägen müssen, als dieses bei getrennten Ausgleichungen S. 261 oder S. 267 nötig war. Will man sich auf ganz feine Gewichts-Bemessung nicht einlassen, so wird es sich nach Band I. S. 179 empfehlen, statt der obigen Addition (1) so zu rechnen:

u. s. w.

ł \a\ rtl] + [«2 a2\ — ia a\ u- s- w-

d. h. den äusseren Richtungen halbes Gewicht zu geben.

Den Nenner für das mittlere Fehlerquadrat kann man nach dem Beispiel (17) S. 179, Band I. einrichten. Für schärfere Berechnung kämen die Formeln (11) und (12) S. 161 —S. 162, Band I. in Betracht.

Doppel-Punkt-Einschaltung (Fig. 1.).

Die nächste Erweiterung der Einschneide-Ausgleichungen besteht darin, dass zwei Punkte gegenseitig angezielt und ausserdem gegen andere Punkte sozusagen pothe-notisch bestimmt werden, z. B. in Fig. 1. sind gemessen:

in L die Richtungen LB, LG, LF, L1J in B die Richtungen B L, B P, B F, B G.

Fig. 1.

Gegebene Punkte F, G, P.

Neu bestimmte Punkte L, (x, y), und B, (x, >/').

---

~op

Nun stellt man zunächst für die Standpunkte L und B die Fehlergleichungen auf, wie wenn man pothenotische Bestimmung hätte, nur mit dem Unterschied, dass die jenseitige Punktverschiebung in der Linie LB jedesmal mit berücksichtigt werden muss.

Indem x, y die Coordinaten-Korrektionen von L, und x', y’ entsprechend von B sein sollen, wollen wir annehmen, man habe auf diese Weise folgende Fchlergleichungen erhalten : ¹)

LB

LG

LF

LP

t'j = z— 0,90 (x — x')— 4,58 (y — ?/')+0,0 v₂ — z + 37,98 x vs = z -\- 4,81 x — z — 4,38 x

—    19,13 y

—    0,66 y

—    0,93 y

+ 5,6 + 1,4 + 0,9

(2)

BL

BP

BF

BG

v₅ — 0'+ 0,90 (x¹ — x) + 4,58 {y' — y) -h 0,0 v₆ — z'— 3,04 x' v-i = 0'+ 2,63 x' v& - 0'+ 1,42 x'

+ 2,81 y' Hr 1,95 y' + 4,57 y'

— 2,7 + 6,7

(3)

Diese acht Fehler-Gleichungen enthalten zusammen sechs Unbekannte, nämlich :

> y y

und es ist zunächst das einfachste, die acht Fehler-Gleichungen nach diesen sechs Unbekannten zu ordnen, die Normal-Gleichungen auch nach dieser Ordnung zu bilden und aufzulösen, wobei der Umstand, dass die 0 uud 0' einfache Coëfficienten haben (-4-1 oder 0), sich von selbst günstig ausdrückt.

Will man aber nach der mehr systematischen Schreiber sehen Methode verfahren, welche in Band I. § 63.—§ 65. mitgeteilt wurde, so hat man zu den obigen Gruppen (2) und (3) die Summen zu bilden, und dieselben als fingierte Fehler-Gleichungen mit

¹ und 4

den Gewichten —

---1 zu den bereits vorhandenen acht Fehler-Gleichungen

hinzuzunehmen, und dann diese zehn Fehler-Gleichungen, nun mit Weglassung von 0 und z', nur mit den vier Unbekannten x , y , x' , y' weiter zu behandeln.

§ 84. Fehlerzeigende Figur durch tfeitfm-Differenzen für Yorwärts-Einschneiden.

Fig. l.

In Fig. 1. seien die drei Punkte A , B , G durch ihre Coordinaten gegeben, nämlich:

+ 15967,50 \

+ 14032,80 [ (1) +167860,50 J

—    44904,30

—    39554,90

—    36479,40 Pie drei Strahlen AP , BP , CP

seien durch Richtungs-Messungen an die

festen Strahlen AB , PC angeschlossen, und dadurch seien in A , B und C folgende orientierte Abrisse erhalten worden:

Standpunkt A

(AP) = 66° 57' 51,2" [AB] =109 53    0,2

Standpunkt B [BA] — 289° 53' 0,2" (PP) =

[P C] =

Standpunkt C

CO 00 co

25

LO in

[CP] = 228° 25' 47,2" (CP) = 278 36 36,2

(2)

log AB = 3.754 998

log CB = 3.613 931

Aus Differenzen dieser Azimute bildet man die Winkel der zwei Dreiecke A PB und B PC, nämlich :

A BPC 75° 23' 56,7 54 25 14,3 50 10 49,0

(3)

A ÄPB

180° 0' 0,0"

180° 0' 0,0"

Mit diesen Winkeln (3) und mit den schon hei {2) angegebenen Basis-Logarithmen log AB und log CB berechnet man die übrigen Seiten:

A ÄPB

AP = 3899,42™

BP = 3882,83™ BP = 3882,15

ABPC

CP — 4891,23™

0,68™

(4)

Differenz

Die Seite BP wird aus beiden Dreiecken nicht gleich erhalten, sondern aus dem linken Dreieck A PB um 0,68™ grösser als aus dem rechten Dreieck BPC. Damit ist bewiesen, dass sich die drei Strahlen AP , BP und CP nicht in einem Punkte schneiden, sondern ein sogenanntes fehlerzeigendes Dreieck bilden, das wir in

Fig. 2.

Fehlerzeigendes Dreieck. (Massstab 1 : 50.) PlI\ = 0,68m.²)

AY

Fig. 2. in grösserem Massstab gezeichnet haben. Es war dazu bloss nötig, die Differenz von (4), 0,68™ = P] P₃ aufzutragen, und die Winkel entsprechend Fig. 1. S. 268 anzulegen.

Nachdem das fehlerzeigende Dreieck Fig. 2. so konstruiert ist, hat man in demselben sich für ei-C nen Punkt als eigentlichen Schnittpunkt zu entscheiden.

Wir wollen zunächst annehmen, man wolle die Entscheidung schlechthin nachGutdünken treffen, was in den meisten Fällen geschieht. (Weiteres hierüber soll in § 87. gesagt werden.)

Es sei also der Punkt P in Fig. 2. als endgültig angenommen, dann kann man auch die endgültigen Seiten, Azimute und Coordinaten in folgender Weise bestimmen :

und es ist also endgültig, auf 1" genau abgerundet,:

(7)

[BP] = 333-° F 50,5" — 3,2" = 333° V 47"

In gleicher Weise findet man:

(8)

Man fällt von P Senkrechte auf die Seiten P₂ P₃ , P₃ P₁ , Px P₂ und misst sowohl die Längen ex , e₂ , e₃ dieser Senkrechten ah, als die Stücke, in welche dadurch die Seiten sx , s₂ , s₃ zerlegt werden. s₂ = 0,68 wird zerlegt in die Stücke 0,48 und 0,20, und die zugehörige Senkrechte ist e₂ = 0,06.

Damit bekommt man die ausgeglichene Seite BP zweifach, nämlich: aus ABP BPo — 3882,83 — 0,20 BP = 3882,63

aus BPC BPX = 3882,15 + 0,49

(5)

BP = 3882,63

Das Azimut (BPX) — (PP₃), welches bei (2), = (£P)= 333° 1' 50,5" gegeben worden ist, muss vermindert werden um den Betrag:

_ 0,06 BP ⁹ ~ 3882

'■>

206265 = 3,2"

(6)

AP = A P₃ — 0,07 = 3899,42 — 0,07 = 3899,35 CP— CPX 0,35 = 4891,23 + 0,35 = 4891,58 Die Senkrechten ex =0,19 und e₃ = 0,37 geben die Richtungs-Korrektionen :

<*1

0,19

AP⁹ 3899

206265 = 10"    ,

e3

0,37

CP Q 4892

und damit die endgültigen Azimute [AP] und [OP]

206265 = 16"

(9)

(AP) = 66° 57 51" + 10"

Korrektionen =

(OP) = 278° 36' 36" + 16"

Korrektionen =

(10)

[AP] = 66° 58' 1"

BP = 3882,63 [BP] = 330° 1' 47"

[CP] = 278° 36' 52" OP = 4891,58 [OP] = 270° 36' 52

AP = 3899,35 [AP] = 66° 58' 1"

und wenn man damit die Coordinaten von P auf allen drei Wegen, von A , B und C aus berechnet, so erhält man mit genügender Übereinstimmung:

(11)

Coordinaten von P

— 41315,80    + 17493,17.

(12)

Anmerkung. Die Richtungs-Correktionen nach (6) und (9), z. B. :

e2 °)°⁶ 206265 = 3,2"

BP⁹ 3882    ’

kann man mit dem Rechenschieber, oder graphisch durch ein Strahlen-Diagramm bestimmen.

Wenn mehr als drei Strahlen zum Schnitt kommen, so wird die Behandlung der Aufgabe nicht wesentlich anders als bei drei Strahlen.

Wir wollen hier noch ein Beispiel mit vier Strahlen vorführen, wegen der Vergleichung mit dem folgenden § 85.

In Fig. 1. S. 272 des folgenden § 85. sollen die folgende Werte haben :

A APB

1.    42° 54' 57,0"

2.    93 56 12,7

3.    43    8    50,3

eingeschriebenen zwölf Winkel

A BPC

4.    75° 23'56,7"

5.    54 24 51,7

6.    50 11 11,6

A G PB

7.    40° 53' 0,2"

8.    62 55 14

9.    76 11 44

A DPA

10.    16° 58' 38,4"

11.    148 43 40,7

12.    14 17 40,9

(13)

180° 0' 0,0"

180° 0' 0,0"

180° 0' 0,0"

180° 0' 0,0"

Die Basis-Logarithmen sind:

log AB = 3.754 998 logBG^ 3.613 931 log CD = 3.651 749 log D A = 3.840 856 Damit kann man alle nach P gehenden Strahlen doppelt berechnen:

AP

BP

CP

BP

12. 3899,20 1. 3899,43

3.    3882,59

4.    3882,80

6.    4891,60

7.    4891,54

9. 3296,85 10. 3297,15

Differenzen

0,21

0,06

0,31

0,23

= Pl P4

Mit diesen Seiten ist das Fehlerviereck Fig. 3. gezeichnet, wobei die oben unter (13) mitgeteilten Winkel 2. 5. 8. 11. nach Anleitung der Fig. 1. § 85. mit zu benützen sind; und zwar hat man dabei mehrere Proben, weil nun von dem Viereck P] P₂ P₃ P₄ in Fig. 3. alle vier Seiten und alle Winkel gegeben sind.

Fig. 3.

Massstab 1 :10.

Pt P„ = 13™ -|- 8

= 21 cm» , P₂ P₃ = Qcm n. s. w.

■c

‘V

Pl

f3

¹

Diese Fehler-Gleichungen entstehen, wenn man das Zahlen-Beispiel der vorigen Auflage (1877) § 120., welches dort mit sechs unabhängigen Winkeln durchgeführt war, nun so abändert, dass zwei Sätze von Richtungs-Messungen in L und in B angenommen werden, dabei sind die Azimute von Süden gezählt.

²

Die Widersprüche sind in diesem fingierten Beispiel absichtlich sehr gross gewählt. Bei guten Messungen fallen die fehlerzeigenden Figuren kleiner aus.

§ 85. Fehlerzeigende Figur durch Coordinaten-JHïïermzm für Yorwärts-Einschueiden.

In Fig. 1. seien A , B , C, D vier fest gegebene Punkte, mit folgenden Coordinaten :

A    —44904,30    +15967,50

(1)

B    — 39554,90    +    14032,80

36479,40    +    16760,50

D    — 39392,10    +    20170,80

Von allen diesen vier Punkten aus ist der Punkt P vorwärts eingeschnitten worden, und wir denken uns in jedem dieser Punkte einen orientierten Abriss gebildet, indem z. B. in A die beiden Richtungen [^4 D] und [A B] fest gegeben sind, nämlich gleich den aus den Coordinaten (1) berechneten Azimuten, und (AP) das durch den Anschluss an D und B aus den Messungen erhaltene vorläufige Azimut von A nach P.

Fig. l.¹)

Massstab 1: 100 000 (1«» = 1 km)

J)

•f.?

~6/ C

3\4

Standpunkt A

Standpunkt I)

[AD]= 52° 40' 22,3” (AP)= 66 58 3,2 [A B] =,-109 53 0,2

(2)

log A .JJ= 3.840 856 log AB = 3.754 998

[DG\ = 139° 29' 59,0" (PP) —215 41 43,9 [JDÄ\ 232 40 22,3

(4)

log BC =3.651 749 log DA — 3.840 856

(3)

(5)

Standpunkt B [B J.] =289° 53' 0,2" log BA = 3.754 998 (PP) =333    1 50,5

[P C] = 408 25 47,2 log BC= 3.613 931

Standpunkt G [CP] = 228° 25' 47,2" log CB = 3.613 931 (CP) =278 36 58,8

[CD] = 319 29 59,0 log CD = 3.651 749

Dieses ist dasselbe Beispiel, das wir schon im zweiten Teile des vorigen § 84. zur Konstruktion einer fehlerzeigenden Figur (Fig. 3. S. 271) mittelst Seiten-Differenzen behandelt haben; wir gehen nun aber zu einer zweiten Methode mittelst Coordinaten-Differenzen über (welche von F. G. Gauss angegeben wurde).

Fig. 2.

Axen-Schnitte R und S.

Yo

In Fig. 2. sei A ein Standpunkt mit den gegebenen Coordinaten xtt ya\ und es soll von diesem Punkte A ein Strahl A F mit dem Azimut q> ausgehen. Man weiss, dass dieser Strahl AP zu einem Schnitte kommt, etwa in der Gegend der Coordinaten x₍₎ und y₀ ; wir betrachten daher die Punkte R und S, welche die folgenden Coordinaten haben:

Punkt R Punkt S

(6)

y und x0 y₀ und x

Die Werte y und x berechnet man aus den Gleichungen :

y = {x₀ — xa) tang q> -t- y „ x = (î/₀ — y„) cotang <p + xa Für den Strahl AP, dessen Anfangs-Coordinaten und Azimut bereits unter 1) und 2) mitgeteilt sind, hat man hiernach folgendes, wobei y₀ und x₀ nach einer irgendwie erlangten Näherungs-Bestimmung der Coordinaten des Punktes P angenommen sind:

Näherung P Punkt A

(7)

Xo_R

Xo

Yo

y₀ = —41316,00 y a = — 44904,30

cc₀ = 4- 17493,00 æa = 4- 15967,50

y o — ya — 4- 3588,30

Xq — xa = 4- 1525,50

log iyo — ya) 'ya = 66 ° 58' 3,2" log cot g <pa

{AP) —

3.554 889 9.628 535

log (X₀ — Xa) log tang ya

3.183 412 0.371 465

log {yo — ya) cotg ya

3.183 424

log (xq — xa) tang tpa

3.554 877

iyo — y«) cotg q>a = 4- 1525,54 xa — -\- 15967,50

(x₀ — x«) tang <pa = 4- 3588,20 y a = — 44904,30

Strahl AP

x =4-17493,04

y = — 41316,10 (8)

In gleicher Weise wird die Rechnung auch für die drei anderen Strahlen geführt, wodurch man erhält:

Strahl BP Strahl C P Strahl DP

y = — 41315,62 y = — 41313,51 y = —41315,98

Diese Strahlen-Schnitte sind in Fig. 3. S. 274 aufgetragen.

Der Strahl AA' ist bestimmt durch die Axen-Schnitte R und S, entsprechend der vorstehenden Berechnung (8), ebenso verhält es sich mit den drei anderen Strahlen, welche von B , C und I) ausgehen.

Wenn für einen Strahl die beiden Axen-Schnitte R und S sehr nahe zusammenfallen, was z. B. bei dem Strahl AP stattfindet, so wird die Richtung unsicher, man

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

£0 = 4-17493,74 x = + 17493,38 £c = 4— 17492,97

(9)

kann dann das bekannte Azimut (66° 58') mitbenützen, und dazu ist die Azimut-Teilung am Rande von Fig. 8. angegeben, welche auch sonst benützt werden kann.

Fig. 3.²)

Fehlerzeigende Figur im Massstab 1 : 10 zu dem vierfachen Schnitt P von Fig. 1. S. 272.

140    150    160    170    180

\ \ w\\w y\w\\\và \\\u aw\ \ \w\ \ \ \ \ \ n 11 1111

135

<5

200 210

\iuilt mh /1 /// / /

220

225

s /

en I

2-i.

£7

t !

X /

00

> 230

120

240

CO

110

11

fr

250

100

VT

sh

260

xlx

O ■ II

00

a>

XO

\N .

80

cy

o

h,

cd

V=-41316,50

ly= 413116,00

's

50^ /.

CO

y=- 411315,50

310

N\\\\

45

315

40

30

20    10    0    350    340    330

320

Die schraffierte Fläche ist mit dem auf anderem Wege erhaltenen Viereck Fig. 3. § 84. identisch. Die schraffierte Fläche ist aber nicht die ganze Ausdehnung der fehlerzeigenden Figur, denn dazu gehört auch noch der Schnitt zwischen AÄ und CG', welcher rechts über das Quadrat von Fig. 3. hinausfällt.

Indessen kann man auch noch Schnitte mit anderen Coordinaten - Axen als den erstmals angenommenen berechnen. Wir haben in unserem Falle nach den Formeln (7) noch folgende .ßantZ-Schnitte berechnet:

Strahl    AP.    westlich    A:    x    =-j-    17492,83    ,    östlich    A! :    æ =    + 17493,25

Strahl    BP.    östlich    B:    x    =-+-    17492,76    ,    nördlich    B' :    y —    — 41315,88

Strahl    CP.    östlich    G:    x    — -\-    17493,30    ,    westlich    C :    x —-±-17493,45

Strahl DP. nördlich D: y = — 41315,62 , südlich D' : y — — 41316,33. Hat man auf diese Weise die fehlerzeigende Figur konstruiert, so wählt man einen endgültigen Punkt M nach Gutdünken aus. Wir nehmen:

M y = - 41315,75”* x = + 17493,25”*

Wir haben diese Wahl (zufällig auf dem Strahl BB') als „nach Gutdünken“ getroffen bezeichnet. In Wirklichkeit haben wir den Punkt nach der M. d. kl. Q. (§81.) berechnet und gefunden:

M y = — 41315,752”*

± 0,067

Der mittlere Fehler einer Richtung ergab sich

m — HH 4,5"

und die ausgeglichenen vier Richtungen, d. h. Azimute wurden:

[AP] — 66° 57' 58,1" , [BP] = 333° V 50,6" , [CP] = 278° 36' 55,2"

[DP] = 215° 4P 41,8"

Bei dieser Gelegenheit wurde auch die in Fig. 3. eingezeichnete Fehler-Ellipse berechnet, und zwar die wahrscheinliche Ellipse, nach B.and I. S. 347, mit s — 0,83254 , 1F= 0,50000 , ]/A2 + B2 = 1,1774 M.

Es ist gleich wahrscheinlich, dass der wahre Schnittpunkt innerhalb oder ausserhalb dieser Ellipse liegt. (Weiteres hiezu s. § 87.)

* = +17493,253”* ± 0,062

(10)

(11)

(12)

}(H)

§ 86. Fehlerzeigende Figur für Vorwärts-Einschneiden und Rückwärts-Einschneiden.

Es ist möglich, auch pothenotische Winkel-Messungen durch äquivalente Gerade zu ersetzen, wie wir in Band I. § 103. S. 304—306 gezeigt haben; und man könnte daher daran denken, für jeden zum Rückwärts-Einschneiden gemessenen Winkel eine Gerade zu zeichnen, also auch für reines Rückwärts-Einschneiden und für die Verbindung von Vorwärts- und Rückwärts-Einschneiden, je eine fehlerzeigende Figur zu konstruieren, ebenso wie für reines Vorwärts-Einschneiden; allein erstens müsste dieses Verfahren noch eine Änderung erleiden, wenn pothenotische Richtungs-Messungen vorliegen, und zweitens werden die Figuren für Rückwärts-Schnitte mühsam herzustellen, und ermangeln der Anschaulichkeit, welche beim Vorwärts-Einschneiden das Verfahren beliebt gemacht hat.

Aus diesen Gründen sehen wir von dem Konstruieren besonderer Strahlen für Rückwärts-Schnitte ab, und gehen statt dessen darauf aus, die Vorwärts- und Rückwärts-Schnitte zuerst unter sich auszugleichen, und nach dieser Ausgleichung eine Fehler-Figur nach den früheren Regeln § 84. oder § 85. zu konstruieren.

Wir wollen das frühere Beispiel § 85. Fig. 1. S. 272 so ergänzen, dass ausser den vier Richtungs-Messungen auf den Punkten A, B, C, D nun auch ein voller Richtungs-Satz auf dem neuen Punkte P selbst gemessen sei, wie in der folgenden Tabelle unter der Bezeichnung „Rückwärts“ angegeben ist.

Diese Tabelle, in welcher unten auch noch Kontroll-Summen und Mittel angegeben sind, erklärt sich wohl nahezu von selbst, wenn man sie mit der entsprechenden tabellarischen Berechnung von § 69. (1) und (5) S. 214—216 vergleicht.

Die Rückwärts-Richtungen a müssen zunächst beliebig orientiert eingesetzt werden; in unserem Falle haben wir das erste « = 246° 58' 3,2” auf das erste <p' = 66° 58' 3,2” gerichtet. Nun wird der Satz Rückwürts-Richtungen a in sich selbst so verschoben, dass sein Mittel, welches zunächst = 35,35” ist, gleich dem Mittel der q!, d. h. = 39,1" wird; die Verschiebung beträgt also 39,1—35,35 =    8,75”,

was sich auch als arithmetisches Mittel der q>— a ergiebt. Damit ist auch die weitere Rechnung und die Mittelbildung verständlich gemacht entsprechend der Gleichung:

(2)

Mittel 9) = —"i —

Indessen ist über diese Mittelbildung noch ein Wort zu sagen in Bezug auf verschiedene Gewichte der Vorwärts- und Rückwärts-Richtungen.

Nach Band I. § 63. S. 162, Gleichung (14) hat ein neuer Strahl, welcher durch einen Satz von Richtungs-Messungen auf s alte feste Strahlen orientiert wurde, das Gewicht :

(3)

s-bl

Also in unserem Palle, wo wir annehmen, dass die äusseren Strahlen AP, B P

s

u. s. w. je auf s = 2 alte feste Strahlen orientiert seien, ist vorstehendes p = —

Richtung

Vorwärts

Rückwärts I

q! — a

9>" = a

+ 3,75”±180° g> =

Mittel 9>-1- <p"

CO CO 05 H «J 05 O)

CT co œ œ o

4*. 05 vr

M ai i-¹ oo

4- W CT

os œ p w

U OO CT io

Summe

Mittel

156,4

39,1”

246° 58' 3,2” 153    1    22,9

98 36 44,5 35 41 70,8

141,4

35,35"

O CD CC Ci

°~ 5 3“ £

+ 15,0 + 3,75”

156,40

39,10

156,4

39,1"    (1)

+ 1-8-

Wenn also die Richtungs-Messungen an sich überall als gleichgewichtig gelten sollen, so ist in der obigen Tabelle am Schluss zu rechnen:

COi DO

v'+ <p"

2 q>-\- 3 <p"

(4)

Wir haben zuerst oben eine Tabelle (1) ohne Gewichts-Unterscheidung vorgeführt (entsprechend dem trig. Formular 12. der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881) weil die Nachforschung, auf wie viele alte, feste Strahlen jeder zur Ausgleichung gelangende neue Strahl ursprünglich orientiert war, in solchen Fällen zu umständlich ist, und weil dann die Annahme gleicher Gewichte, d. h. die einfache Mittelbildung nach Gleichung (2), wenn auch theoretisch nicht richtig, so doch in der Anwendung die bequemste ist.

Wenn man aber sich überhaupt auf Gewichts-Unterscheidung einlassen will, so scheint es uns am besten, in der Bevorzugung der Rückwärts-Strahlen noch weiter zu gehen als die Gleichung (3) verlangt, d. h. wir halten die folgende Mittelbildung für igut :

<³>'+ 2<p"

(5)

= <P

Die Gründe hiefür sind dieselben wie die schon in Band I. § 66. S. 179 angegebenen. Insbesondere entspricht die Gleichung (5) dem einfachen Fall eines einzigen Dreiecks. Bei einem solchen Dreieck sind die Vorwärts-Strahlen AP und BP

selbst nur an einen festen Strahl angelehnt, in Gleichung (3) ist also s = 1 und p = ^

und mit dieser Änderung giebt das obige tabellarische Verfahren (1) dieselbe Fehler-Verteilung, wie die jedenfalls anstandslos angenommene gleiche Verteilung des Winkel-Summen-Widerspruchs gegen 180°.³)

Fig. l.

Fehlerzeigende Figur für Vorwärts- und Rückwärts-Einschneiden.

P©

_u

*17493,00

Al__

Ohne die Frage der Gewichts-Unterscheidung für Vorwärts- und Rückwärts-Strahlen weiter zu verfolgen, können wir nun einsehen, dass nach der besprochenen Ausgleichung, mag sie mit irgend welchen Gewichts-Annahmen gemacht sein, die Konstruktion der fehlerzeigenden Figur gerade so gemacht wird, wie für reine Vorwärts-Schnitte bereits in § 84. und § 85. gelehrt wurde. Wir geben daher für die oben unter (1) berechneten Mittel <p sofort die Resultate, bezogen auf y₀ = —41316,00 und x₀ = -+- 17493,00 :

<p

—    41316,01

—    41315,87

—    41314,36

—    41316,28

-+- 17493,00 -(- 17493,25 + 17493,25 -I- 17493,39

Die zugehörigen Strahlenschnitte zeigt die vorstehende Fig. 1. S. 277, welche gleichen Massstab und gleiche Orientierung hat wie die frühere Fig. 3. § 85.

Dass jetzt nach dem Zutritt der Messungen auf P seihst, die Fehler-Figur grösser statt kleiner geworden ist, ist Zufall, und ausserdem, da das ganze Beispiel ein fingiertes ist, gleichgültig.

§ 87. Schärfere Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur.

Obgleich in praktischer Beziehung die Auswahl eines Punktes in einer fehlerzeigenden Figur nach Gutdünken die Hauptrolle spielt, ist doch das, was man über die Konstruktion des richtigen, der Methode der kleinsten Quadrate entsprechenden Punktes bis heute weiss, hier mitzuteilen.

Wenn nur drei Strahlen für Vorwärts-Einschneiden vorliegen, so hat die Konstruktion des richtigen Minimums-Punktes keine Schwierigkeit, wie wir schon in Band I. S. 333 gezeigt haben, mit Hilfe einer Figur, welche (nach Verbesserung eines Fehlers in der Mitte) hier in Fig. 1. nochmals hergesetzt wird.

Fig. 1.

Sind , s₂ » ss die drei Seiten des fehlerzeigenden Dreiecks, und e₁ , e₂ , e₃ die Abstände des Minimums-Punktes M von diesen Seiten und A , B , G die Strahlenlängen , so bestehen, bei gleich genauen Richtungen, die Verhältnisse: ßl : e₂ : e₃

— A²Si : J3²s₂ : C²s3 wornach sich der Punkt M im Innern des fehlerzeigenden Dreiecks konstruieren lässt,*) indem man zu den Seiten , s₂ , s₃ Parallelen zieht in Abständen proportional den Grössen A^s^ , B²s₂ , C2s₃.

*) Die Verhältnisse (1) sind als besonderer Fall einer allgemeineren Theorie von Helmert zuerst mitgeteilt in der Abhandlung „Studien über rationelle Vermessungen

,AV3

A'

;-₆K

}«

A2    B2    (ß

Zu einem Zahlenbeispiel wollen wir das frühere Dreieck Fig. 2. § 84. benützen, das wir in nebenstehender Fig. 2. nochmals hersetzen. Der Mittelstrahl B Pi P₃ soll zweifaches Gewicht im Vergleich mit den anderen Strahlen haben, was in verschiedenen Ursachen seinen Grund haben kann.*) Darnach haben wir:

«₃ = 1,28 G = 4,89*™* P3 = ¹

$i — 1,05™ Strahlenlängen A — 3,90*'™ Gewichte

s₂ = 0,68™

B = 3,88*™*

Pi =1

Fig. 2.

'f/

P ?Ć2$2

Vf

Bei (1) ist angenommen, die drei Strahlen, welche das fehlerzeigende Dreieck bilden, haben gleiche Richtungs-Genauigkeit. Ist dieses nicht der Fall und haben die drei Strahlen die Gewichte pl , p₂ , p%, so geht C (1) über in:

Pz = 2

s₂ = 5 Pz

Damit ist die obige Fig. 2. konstruiert worden.

Pl

(ß

Ps

«3 = 31.

Ein graphisches Verfahren, um in einer fehlerzeigenden Figur einen Punkt so zu bestimmen, dass die Quadrat-Summe seiner Abstände von mehreren Geraden ein Minimum wird, wurde im Jahr 1876 mitgeteilt in den ..Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences“, 82. Band, Januar — Juli 1876, S. 682 — 685. Der Verfasser Bertot hat zunächst die Bestimmung eines Schiffs-Orts aus mehreren gemessenen Sonnen- oder Stern-Höhen**) im Sinn, eine Aufgabe, welche mit unserer vorliegenden trigonometrischen Aufgabe sehr nahe verwandt ist. Betrachtet man statt 1868“, § 18. (vgl. Band I. Anmerkung S. 343). Den Fall dreier Strahlen mit der Beweisform Band I. S. 333, und die entsprechende Konstruktion des Punktes M, haben wir früher in dem „Monatsblatt des badischen Geometer-Vereins 1871“, S. 16 mitgeteilt.

*) Wenn der Mittelstrahl nur deswegen anderes Gewicht haben soll, weil in Fig. 1. § 84. bei B zweifache Richtungsanlehnung für den Strahl BP stattfindet, so

1 2

sind nach Band I. S. 162, Gleichung (14), die drei Strahlengewichte bzw. ^ ’ g ’ "2

4

— mal so gross als die Gewichte der beiden

also das Gewicht des Mittelstrahls nur

= 2 muss daher durch verstärktes Messen er-

Pb

anderen Strahlen. Unsere Annahme klärt werden. Diese (willkürlich zulässige) Annahme stammt in Wirklichkeit daher, dass wir dasselbe Beispiel in der vorigen Auflage dieses Buches S. 375, mit Winkel-Messungen behandelten, welche jenes Gewicht ergaben, während wir jetzt Pichtungs-Messungen annehmen. Das Beispiel ist in beiden Fällen ein fingiertes.

**) Sonnen- oder Stern-Höhen führen in der Ausgleichung für Breite und Ortszeit auf lineare Fehler-Gleichungen, von ähnlicher Art wie bei trigonometrischen Messungen, und jeder linearen Fehler-Gleichung entspricht eine bestimmende Gerade der fehlerzeigenden Figur. (Vgl. Jordan, „Grundzüge der astronomischen Zeit- und Orts-Bestimmung, Berlin 1885“, § 21.) , wo L

der einfachen Qnadrat-Summe der lotrechten Abstände h die Summe

Strahlen-Längen sind, so geht jene astronomische Aufgabe in unsere trigonometrische Einschneide-Aufgabe über.

In Deutschland wurde dieses Verfahren bekannt hauptsächlich durch einen Bericht von Helmert in der „Zeitschr. f. Vermessungswesen 1877“, S. 53—58.

Auch in die „Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881“, S. 224 wurde dieses Verfahren aufgenommen.

Wir erlauben uns, den erwähnten Homerischen Bericht über Bertots Verfahren hier abzudrucken:

I. Sind m Punkte P , P' , P" , P"' u. s. w. gegeben, so .ist derjenige Punkt G, für welchen 2 {Gl*⁴-) ein Minimum ist, der Schicerpunkt.

Dieser aus der Mechanik (Theorie der Trägheits-Momente) bekannte Satz ist wie folgt zu beweisen: Ist A irgend ein anderer Punkt, so wird für jedes P:

AP⁴ = AG*A-GP* — 2 AG. GP. cos AGP.

Addiert man nun für alle mPunkte, so folgt:

ZAPZ = m.AG*-\- 2GP⁴ - 2 A G . 2 (G P. cos AGP).

Damit nun 2’ćrP⁴ ein Minimum ist, d. h. 2HP⁴> 2’ćrP⁴, muss das negative Glied rechter Hand immer kleiner als m. AG⁴ bleiben, was unbedingt der Fall ist für 2(GP.cosAGP) — Null, d. h. für G als Schwerpunkt. Denn GP. cos AGP ist nichts anderes, als das statische Moment von P in Bezug auf eine Axe durch G, die normal iw. AG steht.

II. Sind mGerade MN , M' N' u. s. w. gegeben, so ist derjenige Punkt G, für welchen die Quadratsumme der normalen Abstände, 2 (GP⁴), ein Minimum ist, zugleich der Schwerpunkt des Systems der Fusspunkte P der Normalen.

Auch dieser Satz folgt unmittelbar aus der Theorie der Trägheits-Momente; er kann direkt wie folgt bewiesen werden: Ist nicht G der Schwerpunkt, sondern irgend ein anderer Punkt A und legt man von demselben aus Normalen A Q zu den gegebenen Geraden, so giebt eine leicht zu konstruirende Figur:

GP⁴ = AG⁴ -j-iP⁴ — 2 AG . AP cos GAP.

Addiert man nun für alle mGeraden und berücksichtigt, dass A der Schwerpunkt sein soll, so folgt:

Da nämlich M Schwerpunkt der Punkte R ist (Satz II.), so ist die Summe der Projektionen der Linien MR auf irgend eine Axe gleich Null. Berücksichtigt man nun die Gleichheit der Länge und Richtung von M R und Q P, so folgt, dass die Summe der Projektionen der Linien OP und OQ gleich sind, oder dass die Summe der statischen Momente der Punkte P gleich ist der Summe der statischen Momente der Punkte Q in Bezug auf eine beliebige Axe durch 0. Mithin haben die Punkte P und Q denselben Schwerpunkt G.

Fig. 3.

= Schwerpunkt der Punkte if, — Schwerpunkt der Punkte Q.

\A

An

T_____ ML

&f

,F

Ol

Fig. 4.

G — Schwerpunkt der Punkte P, Schwerpunkt der Punkte Q'.

!)

IY. (Fig. 4.) In jedem gegebenen Falle ist nun M durch Konstruktion der Schwerpunkte für zwei Punkt-Systeme leicht zu finden. Zunächst kennt man von der Figur nur die Geraden AB und den beliebigen Punkt 0 und hat nun in erster Linie den Schwerpunkt G der Punkte P zu konstruieren. Anstatt des Kreises über 0 M konstruiert man (da man M noch nicht hat) zunächst einen andern Kreis, der die Normalen 0 P in Punkten schneidet, und sucht nun den Schwerpunkt g dieser Punkte Q'. Beachtet man aber erstens, dass die Peripherie-Winkel über den Bögen Q' Q' gleich sind denjenigen über den entsprechenden Bögen QQ, weil sie den gemeinsamen Scheitel 0 haben, und zweitens, dass gleichen Peripherie-Winkeln gleiche Centriwinkel entsprechen, so ist klar, dass die Polygone Q' Q' Q' • • • und QQQ . . . einander ähnlich sind, dass ferner die Schwerpunkte G und g in beiden Polygonen eine ähnliche Lage besitzen müssen. Nur der Punkt 0 selbst nimmt an der Ähnlichkeit keinen Anteil. Dagegen kann man einen zu T (Fig. 3.) ähnlich liegenden Punkt y angeben (Fig. 4.); es ist das derjenige Punkt, in welchem die Linie OG die Peripherie des Hilfskreises schneidet, denn offenbar gehören zu den Bögen y Q und T (J gleiche Centriwinkel.

9r

VM

//

Verlängert man jetzt y g bis an den Hilfskreis, so ergiebt sich der 0 entsprechende Punkt o und der nun zu ziehende Durchmesser om des Hilfskreises entspricht dem Durchmesser 0 M, dergestalt, dass auch /A ogm<^> /\OGM. Ferner ist die Richtung OM identisch mit Om, denn es ist Winkel yom = y Om. Um endlich M noch auf 0 m ausfindig zu machen, hat man OM so zu konstruieren, dass

OM: om — OG: og.

Nach dieser Theorie wird von Helmert das in Fig. 5. S. 282 gezeichnete Beispiel gegeben.

ABC ist ein fehlerzeigendes Dreieck, entstanden aus den Schnitten von drei Geraden, nämlich:

1.    Gerade CB mit dem Gewicht = 1 oder Länge —

71

71

2.    Gerade GA „

3. Gerade BA „

71

71

V2.

Fig. 5.

Fehlerzeigendes Dreieck ABC.

= Schwerpunkt der Punkte P, , P₃ , 2 Pa,

/I

//

t\

9; I

/ /

AP,

/ I

'AVA'. |

⁷⁷¹ 01^-®^

P*

Man nimmt einen Punkt 0 willkürlich an (möglichst in der Nähe des muth masslichen Minimumspunktes). Dann wird ein Kreis gezogen, welcher durch den angenommenen Punkt 0 geht. Dieser Kreis ist theoretisch auch willkürlich; man suche aber zu vermeiden, dass die Senkrechten, welche man von 0 auf die gegebenen Geraden AB , A C , BC u. s. w. fällt, den Kreis unter ungünstig stumpfen Winkeln schneiden. Das nächste ist nämlich, diese Senkrechten OPj , 0P₂ , OjP₃ zu fällen, und ihre Durchschnitte    mit dem Kreise zu markieren.

Nun bestimmt man zwei Schwerpunkte, nämlich :

den Schwerpunkt G der drei Fusspunkte 1\ , P₂ , P₃ (mit p₃ — 2) den Schwerpunkt g der drei Schnittpunkte , Q₂' , Q₃ (mit ps = 2)

Die Bestimmung dieser Schwerpunkte geschieht durch Rechnung, d. h. Abmessen der Entfernungen von zwei Geraden, wobei aber die oben angegebenen Gewichte zu berücksichtigen sind.

Z. B. der Abstand des Punktes g von A B wird so erhalten :

Qi von AB entfernt = 17m,n X 1 = 17

= 24 X 1 = 24 = 67 X 2 =134

= 44,nm u. s. w.

g von AB entfernt =

Nun zieht man folgende Gerade:

a)    OGy, oder G 0 y, d. h. bis zum Kreisschnitte y

b)    ygo bis zu dem Kreisschnitte o

c)    om durch den Kreismittelpunkt bis m,

d)    mOM, d. h. die Richtung nach M.

Der Punkt M selbst, welcher der gesuchte Punkt des Minimums ist, wird erhalten durch den Abstand:

01 =

wo r der Halbmesser des Kreises ist.

Wenn man diese Bertotsche Konstruktion mit der rechnerischen Ausgleichung § 81. S. 261 vergleicht, so kommt man zu der Überzeugung, dass der Konstruktion praktische Bedeutung nicht wohl zukommt.

Ein anderes, schon oft versuchtes Mittel besteht in der Abmessung der Coor-dinaten aller Linienschnitte, und Ausgleichung nach Coordinaten-Gewichten, worüber in § 88. weiteres gesagt werden wird.

Wer an der Auswahl eines Punktes, lediglich nach Gutdünken, Anstoss nimmt, der kann sich auch dadurch helfen, dass er für mehrere Punkte in der mutmasslichen

Gegend des Minimums die Summen    J ausrechnet, wo h die Abstände und L

die Strahlenlängen sind. Damit erhält man eine Andeutung, wo etwa das Minimum liegen mag ; man sieht aber auch, dass gerade in der Gegend des Minimums eine kleine

Änderung der Punktlage auf die Quadratsumme    wenig Einfluss hat, und dass

es also auch gar nicht so wichtig ist, den mathematischen Minimums-Punkt scharf zu bestimmen.

Eine geometrische Deutung der Quadrat-Summe \vv\ kann zur Aufklärung der Begriffe beitragen. Nach Band I. S. 35 ist:

[v v] = [a «] æ² + 2 [ab] xy -+- 2 [a l] x + [66] y* +2 [bl] y

¹

In Fig. 1. sind die drei Punkte A, P, C und der Strahl PP mit der früheren Fig. 1. § 84. S. 268 identisch; dagegen AP und BP sind anders angenommen.

²

Gedruckte Linien-Netze zum Aufzeichnen solcher Fehler - Figuren körmen als Beilage zum trigonometr. Formular 12. der Anweisung IX. vom 25. Okt. 1881 von der Reichsdruckerei bezogen werden (vgl. S. 194, oben).

³

Der Fall von S. 384 der vorigen Auflage (1877) dieses Buches war ein anderer, ebenfalls in sich richtig, insofern dort TFm/eeZ-Messungen zu Grunde lagen, während wir jetzt Richtungs-Messungen annehmen. Wirkliche Messungen liegen nicht vor, das Beispiel ist ein fingiertes.

⁴

(GP⁴) = m . AG* + 2 (AP⁴).

Setzt man noch mittelst des rechtwinkligen Dreiecks APQ, für A P⁴ den Wert AQ⁴ QP⁴, so folgt:

2(GP⁴ = m . AG⁴ 2 (AQ⁴) -f- 2(QP⁴) oder 2 (GP*) > 2 (AQ⁴) was der Voraussetzung widerspricht. Es muss daher G mit dem Schwerpunkt zusammenfallen.

III. (Fig. 3. S. 281.) Sind mehrere Gerade AB gegeben und M derjenige Punkt, für welchen die Quadratsumme der Normalen MP ein Minimum wird (also M der Schwerpunkt der Punkte P), so ist für einen andern Punkt 0 der Schwerpunkt der Normalenfusspunkte P nicht in 0 selbst, sondern in einem davon verschiedenen Punkt G. Dieser Punkt G ist nun zugleich der Schwerpunkt derjenigen Punkte Q, in welchen ein Kreis über OM, als Durchmesser, die Normalen OP schneidet.

+ pq

Man denkt sich nun unter x, y veränderliche Coordinaten, d. h. nicht speziell diejenigen Werte, welche [««] zu einem Minimum machen; dann kann die vorstehende Gleichung betrachtet werden als Gleichung eines elliptischen Paraboloids, bei dem es sich darum handelt, die Berührungsstelle einer Ebene parallel der x, i/-Ebene zu finden. Einen hierauf gegründeten Versuch haben wir früher in Schlömilchs „Zeitschr. für Math, und Physik 1871“, S. 164—167 mitgeteilt.

Eine Schrift „Beiträge zu graphischen Ausgleichungen, von Garl Genge, Zürich 1877“, geht auch von diesem elliptischen Paraboloid aus, und gründet auf 8 Ordinaten-werte eine Konstruktion des Minimums-Punktes.

§ 88. Coordinaten-Gewichte.

Fig. 1.

(X)

(P)

—~o

u,v

—(Y)

<p'

IS

r>

Wenn verschiedene Triangulierungsbestimmungen für einen Punkt vor liegen, so kann man daran denken, für jede Abscissen-Bestimmung und für jede Ordinaten-Bestimmung ein Gewicht festzusetzen, und dann nach dem arithmetischen Mittel auszugleichen.

Z. B. in Fig. 1. sei der Punkt P durch Einschneiden von A und B aus erhalten, und der Punkt P' durch Einschneiden von G und D Die Schnitte P und P' sind also ganz unabhängig.

ln der Nähe von P oder P' ist ein Näherungspunkt (P) mit den Näherungs-Coordinaten ( Y) und (X) angenommen, und man habe :

D aus.

Coordinaten von P:

Coordinaten von P' :

Indem man die Gewichte von v und w den ndttleren Fehler-Quadraten der Coordinaten umgekehrt proportional setzt, hat man nach Band I. § 102. S. 303, Gleichungen (3) und (4), mit Übergang zu den teilweise neuen, in unserer Fig. 1. eingeschriebenen Bezeichnungen :

(Y) Hh v

( d + v

(A) -f- u (A) -+- u'

(1)

(2)

siffi {(p — ip)

r² sin xp -f- s² sin² (p

Px —

sin² (<p — ip) r² COS² *p 4- S² COS² g>

(3)

und entsprechende Formeln gelten für pv' und pj.

Nun ist nach dem arithmetischen Mittel für ungleichgewichtige Bestimmungen

zu nehmen :

PvV+ Pv' v' Pv+Pv

= (y)

pxU -+- Px u’

Px + pj

(4)

Die ausgeglichenen Coordinaten des Punktes P oder P' wären dann:

(5)

(Y) Hh (y)    (X) + (*)

Ohne jetzt zu untersuchen, ob das eine richtige Ausgleichung ist, ob es vielleicht als Näherung zu gebrauchen ist und dergleichen, wollen wir nun die Ausgleichung der vier Strahlen von A , B , C , D aus, nach der Methode der kleinsten Quadrate betrachten, und zwar zuerst A und B zusammen und G und D zusammen, nachher alle vier zusammen.

Die zwei Strahlen A P und B P für sich allein sollen diese Normal-Gleichungen

geben :

[a a] x + [a 5] y -j- [a Z] = 0 [ab]x + [bb]y + [b 1] = 0

und die zwei anderen Strahlen CP' und DP' sollen geben:

[a!    a'] x + [a' b'] y + [«'    V] = 0

[a'    6'] x + [&' 6'] y H- [6'    V] = 0

dann giebt die Gesamt-Ausgleichung aller vier Strahlen diese Normal-Gleichungen: ([aa]    + [a'    a'])    x + ([ab] + [a' b']) y    + ([a l]    +    (a' V])    =    0

([ab]    + [a'    b'])    x + ([5b] + [b' b']) y    + ([bl]    +    [V l'])    =    0

Die Auflösung dieser Gleichungen (8) giebt die richtigen, der Methode der kleinsten Quadrate entsprechenden Coordinaten-Korrektionen y und x, welche aber mit den nach der Gewichtsmethode (4) erhaltenen (y) und (x) im allgemeinen nicht identisch sind.

(6)

(?)

(8)

Es besteht aber eine gewisse Verwandtschaft zwischen beiden Auflösungen, womit wir uns nun beschäftigen.

Zuerst kann man einsehen, dass die anfangs in (1) eingeführten u und v die

selben Werte sind, welche man erhält durch Auflösung des ersten Normal-Gleichungssystems (6), d. h. :

[ad\u -1- [ab]v = — [a l] [a b] u [b b] v — — [b l] Ebenso verhält es sich mit (2) und (6), d. h. :

(9)

[a' a'] u'+[a' b']v'=—[a'V]

[a' b'] u'+ [V V] v'= — [b' V]

Damit werden die Gleichungen (8) diese:

([aa] 4- [a! a']) x + ([ab] -+- [a' b']) y = [aa\u [a' a'] u' [ab] v [a' b'] v'

([ab]    [a' b']) x -+■ ([b b] -4- [b b']) y = [ab] u-h [a! b'] u' + [b b] v -j- [b' b'] v'

Nun sieht man, dass x und y unabhängig von einander werden und dass x unabhängig von v , v', sowie y unabhängig von u , u' wird, wenn der besondere Fall eintritt: [ab] = 0

Dann zerfallen die Gleichungen (11) in die zwei unabhängigen Gleichungen: ([aa] -h [a'a']) x — [aa]w+ [a'a'] v!

([b b] + [V b']) y = [b b] v -t- [b'V] v'

Und nun lässt sich mit Hilfe der Gewichts-Coefficienten [aa] , [aß] , [ßy] in Band I. S. 42 zeigen, dass in diesem Falle (12) die Auflösungen (4) und (18) identisch werden. Denn es ist nach der „Zusammenfassung“ unten auf S. 42 Band I. [ab] = 0:

[a' V] = 0

(10)

}(U)

(12)

(13)

D = [a a] [b b] —- [a b] [a b] = [a a] [b b]

Pv =

[a a]

— [b b] und

px -

[bb]

= [aa]

(14)

Zur geometrischen Deutung der Gleichungen (12) haben wir: sin cp

«] =

,    cos <p

= + —

a₂ = —

sin ip

cos rp

2s sin2xf>

0 = [ab] = ax bi 4- a₂ b₂ = — sin 2 q> —

2 9, + 2 x\> = 360°

90 -)- i[j = 180°

Die beiden Geraden liegen symmetrisch gegen die Coordinaten-Axen.

Man kann die vorstehende Betrachtung auch weiter verallgemeinern, und man wird Anden, dass zwei oder mehrere unabhängige Punkt-Bestimmungen dann nach Coordinaten-Gewichten vereinigt werden können, wenn für jede dieser Bestimmungen die Axen der Fehler-Ellipse parallel der X- und Y-Axe sind.

Es giebt noch einen anderen sehr schönen Satz, welcher die Frage der Coor-dinaten-Gewichte aufhellt.

Hat man mehrere Fehler-Gleichungen :

Vy = dy X -+-    y —|— ly

(16)

^2 = a2 x + &2 y ~b I2

Vo = a₃ x + 63 y + Zo

so sind x und y aus folgenden Gleichungen zu bestimmen:

(17)

also z. B. mit r = s :

0 = sin 2 <p -h sin 2 x\>

[a a\ x -+- [a fe] y -+- [a l] — [ab]x-h [bb]y + [fei] =

Andererseits denke man sich die Gleichungen (16) in allen Combinationen zu zweien aufgelöst; z. B. die zwei Gleichungen

0 dj X -f— b-y y    ly

0 = «2 x -+- fe₂ y    12

sollen geben:

und dazu rechnet man :

V = 2/1-2

X =z Xy.₂

oo" ST

«1.₂ = («i &2 — <¹2 ^l)²

Thut man dieses für alle anderen Combinationen, so kann man bilden :

(20)

(21)

V\ • 2    • 2 ~t~ V\ • 3    • 3 + y2 • 3 ^2 • 3 ~t~ • • •

und entsprechend für x.

Damit bekommt man dieselben Werte y und x wie aus den Normal-Gleichungen (17). Was den Beweis dieses schönen Satzes (21) betrifft, so kann man den besonderen Fall mit nur zwei Unbekannten x und y einfach durch Auflösung aller Klammern [a es] = ay² -j- os₂² = «3² + • • ■ u. s. w. nachweisen, ähnlich wie in Band I. § 16. und § 34.¹)

Die Gewichte n nach (20) lassen sich im Falle des Yorwärts-Einschneidens nach Fig. 1. leicht angeben, es ist nämlich nach (15):

(22)

7¹1 • 2 ⁼ (al ^2 — °2 ^l)² =

sin² (90 — i/j)

r2 s²

Dieses ist mit den früher angenommenen Coordinaten-Gewichten pv und px in (3) nicht identisch.

Mit dem Jakobi sehen Satz weiss man also, dass es möglich ist, nach Coordinaten-Gewichten it auszugleichen. Andererseits aber sieht man, dass ein praktischer Vorteil hierin im Allgemeinen nicht liegt.

§ 89. Schluss-Betrachtungen über Kleintriangulierung.

Unter „Kleintriangulierung“ versteht man eine solche trigonometrische Vermessung , welche nicht selbständig auf einer besonders hiefür gemessenen Grundlinie aufgebaut wird, sondern sich an eine „Haupttriangulierung“ anschliesst, wodurch mindestens zwei Punkte gegeben sind. Diese durch die Haupttriangulierung gelieferten Punkte sollen durch rechtwinklige Coordinaten gegeben sein, und wir setzen ferner für den Begrilf der Jf/emtriangulierung fest, dass hiebei die Erde als Ebene betrachtet werden darf, und dass man es durchaus mit rechtwinkligen ebenen Coordinaten zu thun hat.

In Bezug auf die Anlage und die dadurch bedingte Ausgleichung eines Kleintriangulierungsnetzes hat man zwei wesentlich verschiedene Fälle zu unterscheiden, nämlich Punkteinschaltung (Fig. 1.) und Netzeinschaltung (Fig. 2. S. 288). Im ersten Fall wird immer nur ein Punkt, durch mehrfache Messungen, festgelegt, und nachher ebenso wie die ursprünglich gegebenen Punkte unabänderlich beibehalten, und weiteren Punktbestimmungen als gegeben zu    Grunde gelegt.    In    Fig. 1    sind die

durch starke Linien verbundenen Punkte    A ,    B , C u. s. w.    ursprünglich    gegeben,

und es wird immer nur ein Punkt nach dem andern eingeschaltet. Die Numerierung zeigt nahezu die Aufeinanderfolge der Einschaltungen. Der Punkt (1) ist bestimmt durch die Verbindungen mit G D K J E, dann wird der Punkt (4) eingefügt durch die Verbindungen mit J KD G (1), es    tritt    also (1) bereits    als    gegebener Punkt

von demselben Range wie J K D G .    . . auf. Der Punkt    (13)    stützt    sich auf

K (1) (4), vielleicht auch D u. s. f. Damit ist das Prinzip genügend erläutert.

Die Einschaltungen und Ausgleichungen der Punkte können hiebei nach der

M. d. kl. Q. oder durch fehlerzeigende Figuren oder sonstwie gemacht sein.

Eine wesentlich andere Anordnung zeigt Fig. 2. S. 288 mit Vete-Einschaltung. Es sollen wieder die stark verbundenen Punkte A , B , C u. s. w. gegeben sein. Es sind dann Partialnetze angelegt und zwischen die gegebenen Punkte eingefügt; und wenn eine gute Ausgleichung dieser Partialnetze oder Partialketten ausgeführt wird, so kann man dadurch mit geringerem Aufwand von Winkelmessarbeit die gleiche Genauigkeit erzielen, wie bei der Punkteinschaltungs-Methode.

Dieses führt zur allgemeinen Vergleichung der beiden Anordnungen Fig 1. und Fig. 2. S. 288.

Die fortgesetzte Punkteinschaltung Fig. 1. erfreut sich allgemeiner Beliebtheit bei den Trigonometern : Fig. 1. ist ein Badisches Netz von 1862, giebt aber ebensogut auch ein Bild von den neueren Preussischen Kataster-Triangulierungen. Der Trigono-meter hat hier viel zu messen, und auch viel zu rechnen, aber er braucht nie einen neuen Schritt zu thun, ehe nicht alles Vorhergehende fest und zuverlässig ist, und die einzelnen Punkteinschaltungen lassen sich ohne viele theoretische Hilfsmittel erledigen. Der Trigonometer gleicht hier dem vorsichtigen Kaufmann, der nur Geschäfte mit kleinem Gewinn, aber guter Sicherheit unternimmt.

Betrachten wir dagegen die Netzeinschaltung von Fig. 2., so ist wohl nicht zu zweifeln, dass man hier mit weniger Messungs-Arbeit auskommen kann, als bei den Punkteinschaltungen, aber zu der Berechnung ist bei den Netzeinschaltungen viel mehr Ausgleichungs-Arbeit und Theorie erforderlich, wenn die Vorzüge des gegenseitigen Stützens und Verstrebens ausgenützt werden sollen.

Einen Übergang von der einfachen Punkteinschaltung zur Netzeinschaltung

Fig. 1.

Kleintriangulierungsnetz mit Punkteinschaltung.

10

,A

4?

U.

19\

26

12

\25

'2

'S¹

2i

2ö;

13’

ly

22,

16.

13,

Ml

\21,

Cr

15

Üf

17

23

Fig. 2.

Kleintriangulierungsnetz mit Netzeinschaltung.

bildet die Doppel-Punkteinschaltung, von welcher wir in Band I § 65. S. 167 ein Beispiel von der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme mitgeteilt haben.

In der That hat die trigonometrische Abteilung der Landes - Aufnahme auf solchem Wege in den letzten Jahren ganze Netze in die festen Kähmen der Ketten eingeschaltet, z. B. das Weser-Netz, mit welchem man in Fig. 3. S. 203 den inneren leeren Raum zwischen den Umfangsketten ausgefüllt denken mag.

Unser grösseres Triangulierungs-Beispiel § 73. (Hannover, Linden) enthält ein selbständiges Netz III. Ordnung (Fig. 1. S. 228) auf einer Basis Ägidius—Wasserturm, mit zahlreichen Punkteinschaltungen. Für ähnliche Fälle kann das als Muster dienen, allein eine so schön in sich abgerundete Triangulierungsarbeit giebt es selten ; fast immer hat man zahlreiche Anschlüsse an ältere Punkte zu machen, die selbst dadurch kontrolliert werden sollen.

Fig. 3.

Triangulierung Ibenthal.

Massstab 1: 50 000. (Badisches System -(- x nach Süden -f- y nach Westen.)

Ein solches Beispiel geben wir in der nachfolgenden Fig. 3. von einer im Jahr 1872 mit Karlsruher Studierenden gemachten Triangulierung zu Eisenbahn-Vorarbeiten im Ibenthal bei Freiburg.

St.M.

LinĄtribery

Ohrrv

X~+166000

./;

(h

»Z

X*+168000

\

otè\

/ ///'/

0y--\

’jf'^Birktnreiiiz X--i-Î7COOG :

i 11!

Lindenberg y = + 33490,53»» Birkenreute Buchenbach

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl.

+ 36889,91 + 33864,58

\Buchenbaeh

x = -{-165119,57™

-)- 169922,02 + 170043,46

II. Bd,

19

Es waren ursprünglich drei Punkte gegeben : Buchenbach, Birkenreute und Lindenberg, die beiden letzteren Kirchtürme. Nachdem sich aber aus Anschluss-Messungen ergehen hatte, dass der Turm auf Lindenberg durch Umbau verschoben worden war (was oft vorkommt), nahm die ganze Messung folgenden Verlauf :

Es wurde Lindenberg neu pothenotisch bestimmt aus 8 älteren entfernten Punkten der badischen Triangulierung (Fig. 8. zu ergänzen mit Feldberg südlich und Kandel nördlich) mit Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate, welche zum weiteren aber nicht mehr gebraucht wurde, indem alles weitere nach Gutdünken ausgeglichen wurde.

Die drei Punkte S S' G in der Mitte, wurden jeder für sich pothenotisch gegen Lindenberg, Buchenbach und Birkenreute bestimmt, dann das kleine Verbindungsdreieck S S' G zur Versicherung genommen, S S' = 222,66“ unmittelbar gemessen.

Das nächste war die pothenotische Bestimmung von Z aus Birkenreute, S und Lindenherg, und zur Versicherung aus dem Dreieck Lindenberg, S, Z.

In ähnlicher Weise wurde fortgefahren; jeder neue Punkt mindestens zweifach unabhängig bestimmt, und aus den erhaltenen Bestimmungen ein Mittel genommen. Die Widersprüche betrugen dabei häufig 0,1™ und mehr. Doch war das für den gestellten Zweck, tachymetrische Messtischaufnahme in 1 : 5000, hinreichend genau.

Vergleichung¹ verschiedener Arten der Punkteinschaltung.

Nachdem wir in dem Vorstehenden erkannt haben, dass die fortgesetzte Punkteinschaltung nach Fig. 1. und Fig. 3. in der Praxis grosse Wichtigkeit hat, wollen wir die verschiedenen Ausgleichungsarten hiefür betrachten und vergleichen.

1) Mittelbildung in den Coordinaten.

Man bestimmt jeden Punkt auf mindestens zwei Wegen, rechnet die Coordinaten für jeden einzelnen Bestimmungsweg gesondert aus, und nimmt dann ein Mittel aus den Coordinaten.

Wenn man glaubt, die verschiedenen Bestimmungen nicht als gleich gut achten zu können, so nimmt man nicht das einfache Mittel, sondern rückt von dem einfachen Mittel näher gegen die gute Bestimmung.

Beispielshalber sei in Fig. 3. S. 289 der Punkt Z doppelt bestimmt:

y = -t- 33433,12 y = + 33433,33

cc = + 167729,74 x = -+- 16729,61

1)    pothenotisch aus Birk. S, Lind.:

2)    aus dem Dreieck Lind. S, Z.\

Einfaches Mittel : y — -+- 33433,22 x = -+- 16729,68.

Wir gehen aber aus verschiedenen Gründen der pothenotischen Bestimmung den Vorzug, und setzen deshalb:

Punkt Z: y = -4- 33433,20 x = •+- 16729,70.

Man hat häufig versucht, solche Mittelbildungen durch Coordinaten-Gewichte zu verbessern. Wir haben in § 88. gezeigt, dass, wenn man diese Gewichte nicht etwa selbst wieder nach Gutdünken ansetzt, diese Methode sehr umständlich ist.

Die Methode der Coordinaten - Mittelbildung nach Gutdünken von Fall zu Fall, im Zweifel einfaches arithmetisches Mittel, ist namentlich Solchen zu empfehlen, welche nur selten trigonometrische Punktbestimmungen machen. Oft begnügt man sich auch mit einem Dreieck oder mit einer pothenotischen Ausrechnung; dann soll aber wenigstens noch ein Versicherungs-Azimut dazu genommen werden.

2) Graphische Ausgleichung durch fehlerzeigende Figuren. (§ 84.—86.)

Für reines Vorwärts-Einschneiden, z. B. bei unzugänglichen Kirchtürmen, ist dieses Verfahren sehr gut. Auch in dem Falle des Vorwärts- und Rückwärts-Ein-schneidens mit vorläufiger Winkel-Ausgleichung nach § 86. ist nichts dagegen einzuwenden. Die Auswahl des schliesslichen Punktes in der Fehler-Figur treffe man nach Gutdünken.

Die Methode der fehlerzeigenden Figuren hat vor allen anderen den Vorzug der Anschaulichkeit. Ein Blick auf diese Figuren zeigt sofort, was man von der Genauigkeit zu halten hat. In Baden ist die Methode fehlerzeigender Figuren nach § 84. seit 50 Jahren im Gebrauch (jedoch ohne die Modifikation § 86.).

3) Die Methode der kleinsten Quadrate (nach § 81.--83.)

ist für Punkteinschaltungen, objektiv betrachtet, zweifellos die beste.

Der einzige Vorwurf, der dieser Methode gemacht wird, betrifft die Rechen-Arbeit. Dieser Vorwurf ist aber erstens subjektiv, denn wer überhaupt geringe Rechen-Gewandtheit hat, wird auch die Summen - Coëfficienten [a«] , [ab] , [6 5.1] u. s. w. nicht gerne ausrechnen; zweitens ist der Vorwurf dann ungerecht, wenn die Rechnungen ohne Ziffern Verschwendung schematisch (S. 261) und namentlich mit dem Rechenschieber gemacht werden. Manche in die Öffentlichkeit gebrachten Vorschläge von Coordinaten-Gewichten und Ähnliches, verlangen mehr Rechen-Arbeit, als die reine Methode der kleinsten Quadrate.

Die Punkteinschaltung nach der M d. kl. Q. hat vor den anderen Methoden für den einzelnen Punkt auch den Vorzug, dass sie eindeutige, von persönlicher Entscheidung unabhängige Coordinaten-Werte giebt ; für eine Reihe von Punkten trifft dieses aber nicht mehr zu, denn wenn wir z. B. für ein Netz wie Fig. 1. § 73. S. 228 oder Fig. 1. § 89. S. 288 mit zahlreichen, aufeinander folgenden Punkteinschaltungen, die Theodolit-Messungen fertig vorliegend denken, so werden zwei verschiedene Rechner doch durchaus nicht identische Coordinaten erlangen, weil in der Aufeinanderfolge der Einschaltungen und in vielen Nebenumständen dem freien Ermessen noch ein weiter Spielraum gelassen ist.

Eine Vergleichung zwischen der M. d. kl. Q. und verschiedenen Näherungs-Methoden haben wir an dem Beispiele Fig. 1.²) § 85. S. 272, in der Art durchgeführt, dass für fünf verschiedene Fälle sowohl die Ausgleichung nach der M. d. kl. Q. als auch nach anderen Methoden gemacht wurde; es ergaben sich dabei je 8 Quotienten

, wo /ly und /ix die Abweichungen der anderen Methoden

von der Form

Ay

mv

und

/ix

mx

gegen die M. d. kl. Q., und mv, mx die mittleren Coordinaten-Fehler für die M. d. kl. Q. sind. Diese 16 Quotienten wurden: ä y __

0,55    0,17    0,12    0,22    0,28    0,67    0,00    0,01

mx

— = 0,65    0,40    0,15    0,18    0,59    0,67    0,31    0,01

Der Durchschnittswert dieser 16 Quotienten ist:

— = 0,31

d. h. : Man kann bei trigonometrischen Punkteinschaltungen mit den gewöhnlichen Näherungs-Methoden, der M. d. kl. Q. so nahe kommen, dass die Abweichungen im Durchschnitt nur etwa ein Drittel des im günstigsten Falle zu fürchtenden mittleren Fehlers beträgt.

Die Gesamt-Vergleichung der verschiedenen Arten trigonometrischer Punkteinschaltung stellt sich nun so, dass die M. d. kl. Q. mit ihren schönen Nebenresultaten für mittlere Fehler, immer die Königin der Ausgleichungen bleiben wird.

Indessen nur wer berufsmässig (als „Trigonometer“) solche Ausgleichungen macht, wird den vollen Genuss der M. d. kl. Q. empfinden. Wer nur selten einen trigonometrischen Punkt zu berechnen hat, wird durch die vorher erwähnte Coordinaten-Mittelbildung oder fehlerzeigende Figur (beides mit Auswahl nach Gutdünken) mehr befriedigt werden.

Kapitel IX.

Polygonale Züge.

§ 90. (Irundformeln.

Wenn mehrere Punkte (0) , (1) , (2) , (3) . . . («) einer Ebene in der Aufeinanderfolge ihrer Numerierung durch Gerade verbunden werden, so entsteht ein offener polygonaler Zug, wie in Fig. 1. angedeutet ist, in welcher vorerst P und Q ausser Betracht bleiben sollen.

Die Gestalt des Zuges an und für sich, ohne Beziehung zu einem Coordinaten-System, ist bestimmt durch -Messen der n Seiten und der Brechungs-Winkel.

Bei n -+-1 Punkten hat man n Seiten und n—1 Brech-

rig. h

pp

/?*

ungs-Winkel.

ß-y

Wir setzen:

io.

Seite

(0) (1) = s0 (1) (2) = * (2) (3) = s₂

(oM‘

(1)

Sc

Jk

St

<Z>

(3)

Û)

„ (n — 1) (n) = s„-i

Die (n — 1) Brechungs-Winkel sind:

im Punkte (1) :    (0)

a.

(2): (1) (3): (2)

„ (n—1): (n-2)(n—l)(n) = (?„_i

Über die Brechungs-Winkel ß ist eine besondere Bemerkung zu machen :

Zwischen zweien von einem Punkt ausgehenden Strahlen können zwei verschiedene Brechungs-Winkel ß gemessen werden, welche sich zu 360° ergänzen; wir setzen daher, um jeder Zweideutigkeit vorzubeugen, fest, dass als Brechungs-Winkel ß stets der vom vorhergehenden Punkt zum nachfolgenden Punkt im positiven Sinn (von links nach rechts) gemessene Winkel gilt. Die Wahl der Brechungs-Winkel ist also abhängig von dem Sinn, in welchem man den Zug durchlaufen denkt; kehrt man diesen Sinn um, so geht jeder Brechungs-Winkel ß in seine Horizont-Ergänzung 360° — ß über.

Nach diesen einfachen Erklärungen stellen wir uns die Aufgabe, die Coordinaten aller Eckpunkte des Zuges in Bezug auf ein vorgeschriehenes Coordinaten-System zu berechnen.

Hiezu sollen folgende Grössen (ausser den schon unter (1) und (2) erwähnten) gegeben sein:

1)    Die Coordinaten yQ x₀ des ersten Punktes (0).

2)    Die Coordinaten xp yp eines Punktes P, welcher von (0) aus sichtbar ist.

3)    Der Anfangs-Winkel (P) (0) (1) =/?₀, welcher nun zu den oben gegebenen Brechungs-Winkeln ßl , ß% . . . ßn-i hinzukommt.

Es ist nun klar, wie man den Zug in dem Punkte (0) an das Coordinaten System anschliessen kann: Man berechnet aus den Coordinaten von (0) und P das Azimut ((0)P):

{a«7((0)P)=^J>

O/Q

(3)

dann hat man auch :

Azimut ((0) (1)) = Azimut ((0) P) -+- ß₀

Zur weiteren Azimut-Übertragung nehmen wir eine einfachere Bezeichnung an:

= «o

— «i = «2

(ü

nach (1) , , (1) « (2) , , (2) * (3) ,

(4)

— an—i

((n — 1) (n)) = Azimut von (n—1) nach (n) ,

Nun ist der Brechungs-Winkelgleich der Azimut-Differenz: Vorwärts ((1)(2)) — rückwärts ((1)(0)). Das Vorwärts-Azimut (1)(2) ist nach den Bezeichnungen (4) zu setzen = ai und das Rückwärts-Azimut ((1)(0)) ist die Umkehrung des Azimutes a₀, d. h. = a₀ + 180°. Der Brechungs-Winkel ß₁ ist daher als Azimut-Differenz so zu schreiben :

ßl = «i — («o ± 180°) 1 «l = «o + ßi dt 180° J

(5)

oder

Eine entsprechende Formel gilt auch für ß% , ß% u. s. w., und man sieht ein, dass man damit Schritt für Schritt die Azimute aller Strecken allmählich ableiten kann; hat man aber die Azimute, so kann man mit den schon zu Anfang bei (1) angegebenen Seiten s alle Coordinaten schrittweise nach den Formeln (7) oder (7') S. 189 berechnen.

Ehe wir das ausführlich durchnehmen, wollen wir aber den in Fig. 1. angedeuteten Fall sogleich mit behandeln, dass nicht nur der Anfangspunkt (0), sondern auch der Endpunkt (n), an das Coordinaten-System angeschlossen sei, wodurch mehrfache Messungs-Proben entstehen; d. h. wir nehmen nun im Zusammenhang folgendes :

Summe: «„    ~ a° -+- [|?] +pl80°

Dabei ist + P 180° ein gewisses unbestimmt gelassenes Vielfaches von 180°, dessen Betrag nicht weiter untersucht zu werden braucht, weil wir + 360° an jedem Azimute willkürlich haben (vgl. (3) und (4) S. 189).

Abgesehen von diesem + P 180° giebt die Gleichung (8):

(9)

In Fig. 1. sind vier Punkte durch ihre Coordinaten gegeben, Punkt    P    mit    den Coordinaten

Wir berechnen «° und «„ aus den Gleichungen:

Vv

2/o

2/™

y*

tang a„ = —--—

nämlich :

(6)

tang #° = —-—

a?o —

Das hier neu eingeführte Zeichen a° ist das Gegen-Azimut des oben in (3) berechneten Azimutes ((0)P). Es ist in der neuen Aufgabe konsequenter, alle Azimute, also auch das des Anlagestrahls (0) P, in einem Sinn durch den ganzen Zug P , (0)    Q zu zählen.

Wenn man das Gesetz der Gleichung (5) wiederholt anwendet, so hat man:

Xq- Xn

(?)

«0

= a° +

«1 = «0 «2 = “1

o o

OO 00

+ 180°

an —2 -+- ßn — 1 dl 180°

CC,,-1 =

CCn = a„_l -f- ßn + 180°

(8)

[/?] = a„ — a°

d. h. die algebraische Summe [/?] aller gemessenen Brechungs-Winkel ß muss gleich der Differenz des Abschluss-Azimutes «„ und des Anfangs-Azimutes «° sein.

Völlig genau wird das nicht der Fall sein, wegen der Messungsfehler. Es wird ein Widerspruch iv auftreten:

[ß] — (a„— a°) — IV

(10)

Wenn dieser Widerspruch w gewisse Grenzen nicht überschreitet, so verteilt man ihn zu gleichen Teilen auf die einzelnen Brechungs-Winkel ß, und rechnet dann nach (8) die sämtlichen Azimute a widerspruchsfrei durch.

Hat man somit alle Azimute a und alle Strecken-Längen s, so hat man die Coordinaten-Berechnung :

— Sq sm ag

2/i — 2/o 2/2 —■ 2/1    = «1    Sin cq

2/3 - 2/2    = Ä’2    sin a₂

x\ — xo — s0 cos “0 #2 — x\ x3 — *2

= Sj COS cq = S₂ COS a₂

(H)

yn--t/n — 1 Sn — 1 Sifl CCn — 1

Xn Xn — 1 — Sn — 1 COS CCn — 1

Summen : yn — y₀ = [s sin a]

= [s cos a]

Damit hat man wieder zwei Proben, ähnlich wie bei (8).

Xn-— Xq

[s COS ß] — (X„ — £C₀) = Wx.

Im allgemeinen werden kleine Widersprüche bleiben: [s sin «] — (yn — y₀) = wy

(12)

Bleiben die Widersprüche wy und wx in gewissen Grenzen, so verteilt man dieselben auf die einzelnen s sin a und s cos a, und rechnet dann die Coordinaten selbst nach den Formeln (11) aus.

Alles dieses wollen wir an einem Zahlenbeispiel in folgendem § 91. zeigen.

Geschlossene Polygone.

Die Winkelsumme eines geschlossenen Polygons von n Ecken ist, wenn sich die Seiten nicht schneiden,

(13)

entweder [/?] = (n— 2) 180° oder [/?] = (n + 2) 180°.

Fig. 2.

Fig. 3.

Diese zwei Fälle gelten, je nachdem die Numerierung von rechts nach links (Fig. 2.) oder von links nach rechts (Fig. 8.) geht.

Gewöhnlich wird die erste Numerierung (Fig. 2.) angewendet, damit die Innenwinkel als Polygonwinkel erscheinen.

Hat man z. B. bei einem Viereck, dessen Seiten sich nicht schneiden, die Numerierung nach Fig. 2., so erhält man die Innenwinkel, deren Summe ist:

(14)

[/?] = (n—2) 180° ^ (4 — 2) 180° = 360°

Hat man die Numerierung nach Fig. 3., so erhält man die Aussenwinkel, deren

Summe ist:

(15)

[ß] = (n + 2) 180° = (4 + 2) 180° = 1080°

Wenn dagegen zwei Seiten des Vierecks sich schneiden, so dass das Viereck ein „verschränktes“ ist, so wird, wie man sich an einer Figur überzeugt, die Summe der Winkel unter allen Umständen = 720°.

Wir verfolgen dieses nicht weiter, da geschlossene Vielecke in der praktischen Polygonometrie wenig Bedeutung haben.

¹

Der allgemeinere Satz, in Determinanten, ist von C. G. J. Jakobi mitgeteilt in Crelles „Journal für reine und angewandte Mathematik, 22. Band, 1841“, S. 285—318: „De formatione et proprietatibus Determinantium“. Diese Mitteilung verdanke ich Herrn Prof. v. Mavgoldt (vgl. Band I. S. 87).

²

„Monatsblatt des badischen Geometer-Vereins 1871“, Nr. 2—5. Es sind dabei verschiedene Combinationen von Winkeln in Fig. 1. S. 272 als gemessen angenommen.

Die auszugsweise Mitteilung jener Vergleichs-Rechnungen, welche in der 2. Auflage (1877) dieses Buches in § 121.—123. gegeben war, unterdrücken wir jetzt zur Raum-Ersparung.

§ 91. Beispiel einer Zugs-Berechnung.

Der in Fig. 1. S. 296 gezeichnete Zug, den wir berechnen wollen, hat 9 Punkte :

Hard, (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), Neubruch.

Hard und Neubruch, sowie die zwei weiteren Punkte Capelle und Brauerei (Br. Fig. 1.) sind trigonometrisch bestimmt, und haben folgende, fest gegebene Coordinaten :

Capelle . . . —7773,87™ Hard .    .

Neubruch . . — 7077,54 Brauerei

+ 46101,76”* . —7853,19    +45313,21

+ 46002,10 . —7708,68    + 46101,27

Schon ehe die Messung eines Zuges zwischen Hard und Neuhruch begonnen wird, kann man, zur Vorbereitung, die zwei Azimute berechnen, welche in (7) des vorigen § 90. S. 294, mit «° und an bezeichnet wurden:

Hard .

Capelle . — 7773,87 -    79,32

Azimut von Capelle nach Hard = a° = 185° 44' 39"

. — 7853,19    + 45313,21

4- 46101,76

log — 79,32 1.899 393, log — 788,55 2.896 829„

788,55

log tang a°

9.002 564

(2)

Brauerei . — 7708,68 Neubruch — 7077,54

+ 46101,27 4- 46002,10

log — 631,14 2.800 126« log -l- 99,17 1.996 380

0.803 746„

log tang an

Azimut von Neubruch nach Brauerei aH — 278° 55' 47".

— 631,14    +    99,17

(3)

Fig. 1.*)

Cap

X-2%ooo

Neuhruch

2: roooo

wo

1t o

ZOO

ZOO

*UO

V)

&‘~7SOO

S/- + 7OO0

/ t&soo

fl)

(6

'*0

(91

(6>>

Hard

<4j

*) Dieses Beispiel ist von der Gemarkung Grünwinkel bei Karlsruhe. Wir haben aber die badischen Coordinaten, welche -+- x nach Süden und + y nach Westen zählen, (vgl. S. 186 unten), für unser Buch umgestellt, so dass nun in Fig. 1., dem allgemeinen Gebrauch entsprechend, + x nach Norden und 4- y nach Osten zählt.

Folgendes sind die gemessenen Brechungs-Winkel und Seiten :

Seiten

Hard

Brechungswinkel 16° 8' 14"

ßo =

x—S    / N /- S /- N S S /«—N

^3 Oi OT ^ CC DO

^V ' W S'—^ W    v

ß₁ = 261° 52' 20" ß₂ = 196° 47' 10" ß₃ = 189° 14' 0" 98° 5' 0"

04 =

ß₅= 251° 1' 40" 74° 36' 35"

ß₇ = 178° 50' 55" Neubruch ß₈ =    86° 32' 40"

Sq = 159,60™ 8i = 185,72 s₂ = 66,45 Sg = 117,33 s₄ — 253,83 s₅ = 131,13 s₆ = 365,22 s₇ = 224,85

(4)

[ß] = 1353° 8' 34"

Die weitere Rechnung wird tabellarisch gemacht, wie auf S. 298—299 ausführlich gezeigt ist (im Wesentlichen nach dem trigonometrischen Formular 19. der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881).

Wir verfolgen diese tabellarische Rechnung im Einzelnen:

Spalte 1. 2.) Die Spalten 1. und 2. dienen nur zu Verweisungen u. s. w.

Spalte 3. und 4.) Die Spalten 3. und 4. werden mit den soeben unter (4) mitgeteilten Punktbezeichnungen und den gemessenen Brechungswinkeln ausgefüllt; zugleich kann man auch die Summe {/?] = 1353° 8' 34" unten bilden.

Spalte 5.) In die Spalte 5. setzt man oben und unten die früher S. 000 zur Vorbereitung berechneten Azimute «° = 185° 44' 39', und «„ = 278° 55' 47". Unten in der Spalte 5. berechnet man die Differenz an — «° = 93° 11' 8". Dieselbe Differenz schreibt man auch herüber in die Spalte 4. mit: Soll ...3° 11' 8", dabei überzeugt man sich, dass 1353° — 93° = 1260° ein ganzes Vielfaches von 180° ist, nämlich = 7x180°.

Spalte 4.) Die so erhaltene Differenz — 2' 34" oder = — 154" wird auf die neun Winkel der Spalte 4. gleichförmig verteilt, was auf einen Winkel rund 17" ausmacht, weshalb überall die Korrektion + 17" beigeschrieben ist (und am Schluss +18", um die Summe 154" genau voll zu haben).

Spalte 4. und 5.) Nun kommt die Azimutrechnung nach den Formeln (8) § 90. S. 296. Wir schreiben den Anfang ausführlich:

a° =

185° 44' 39"

+ 17"

+ 16° 8' 14"

201° 53' 10" — 180°

«o =

21° 53' 10"

+ 17"

-+261° 52' 20"

283° 45' 47" — 180°

«l =

103° 45' 47"

U. S. AV.

oo

Coordinaten-Berechn un ff

Nr. des Zuges.

Punkt

Brechungs

winkel

Azimut

Strecke s

Meter

log s

log s

log sin a log cos a

log s sin a log s cos a

l., 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Zag Nr. 1. Die Azimute 185° 44' 39" und 278° 55' 47" sind von (2) und (3) S. 000 entnommen.

Hard

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Neubruch

Summe

Soll

Fehler

+ 17 16° 8' 14"

185° 44' 39"

21° 53' 10"

159,60

2.203 033 9.571 433

2.203 033 9.967 514

+ 17

261° 52' 20" i

103° 45' 47"

135,72

+ 17 196° 47' 10"

+ i?

189° 14' 0"

98°

120° 33' 14"

129° 47' 31"

17

0"

47° 52'48"

+ 17 251° 1' 40"

118° 54'45"

74° 36' 35"

13° 31' 37"

+ 17

178° 50' 55"

12° 22' 49"

+ 18 86° 32' 40"

1353° 8'34" ...3 11 8

278° 55' 47"

2' 34"

93° 11' 8"

66,45

117,33

253,83

131,13

365,22

224,85

1.774 466

2.170 547

2.132 644 9.987 348

2.132 644 9.376 407„

2.119 992

1.822 495 9.935 079

1.757 574

2.069 409 9.885 572

1.954 981

2.404 543 9.870 253

2.274 796

1 509 051n

1.822 495 9.706 161„

1.528 656„

2.069 409 9.806 181«

1.875 590„

2.404 543 9.826519 2.231 062

2.117 702 2.117 702

9.942 186 9.684 373«

2.059 888

2.562 555 9.369 035

1.802 075„

2.562 555 9.987 783

1.931 590 2.550 338

2.351 893 2.351 893 9.331223 9.989 782

1454,13 = [s] 1.683 116 12.381 675

eines JPolygon-Zuges.

k Ordinaten-f unterschied s sin «

Abscissen-

unterschied

S COS a

Verbesserter Ordinaten-unterschied d y und

Ordinate y

Meter

Verbesserter Abscissen-unterschied dx und Abscisse x Meter

Punkt

9.

10.

11.

12.

13.

— 7853,19

-+-45813,21

Hard

4- 59,49

+ 148,10

4- 59,52

— 7793,67

4 148,15 + 45461,36

(1)

4 131,82

— 32,29

-+- 131,86

- 7661,81

— 32,24

+ 45429,12

(2)

+ 57,22

— 33,78

+ 57,25

— 7604,56

— 33,73

+ 45395,39

(3)

+ 90,15

75,09

+ 90,18

— 7514,38

— 75,04

+ 45320,35

(4)

4 188,28

-+- 170,24

-4- 188,32

— 7826,06

+170,29

+ 45490,64

(5)

+ 3

+ 114,79

— 63,40

+ 114,82

— 7211,24

— 63,35

+ 45427,29

(6)

+ 85,43

4 355,09

4 85,46

— 7125,78

4 355,14

4 45782,43

(7)

4 48,21

+ 219,62

4 775,39

0,00

4 893,05

— 204,56

4 48,24

— 7077,54

4 219,67

4 46002,10

Neubruch

4 775,39 Soll + 775,65

4 688,49 Soll + 688,89

4 775,65

4 688,89

Fehler wv = — 0,26 = 0,03

0,26

wx = — 0,40 = 0,05

0,40

4 wx^ — f — 0,48m

Spalte 7. und 8.) Mit den Azimuten a aus Spalte 5. und den Entfernungen s aus Spalte 6. kann die logarithmische Rechnung log s sin a und log s cos a gemacht werden (mit fünfstelligen oder sechsstelligen Logarithmen).

Spalte 9. und 10.) Einsetzung der s sin a und s cos a selbst in je zwei Spalten für -f- und —. Dann Addition der Columnen, so dass man unten hat:

[s cos a] = -|~ 688,49.

Spalte 11. und 12.) Oben und unten werden die gegebenen Coordinaten eingesetzt, und unten die Differenz gebildet: y₀ = — 7858,19

[s sin a] = H- 775,39

x₀ = -+ 45318,21 Hard

y» = -- 7077,54

xu = -+- 46002,10 Neubruch

x„ — x₀ = +    688,89

U« — Uo = + 775,65 Spalte 9. und 10.) Diese soeben in den Spalten 11. und 12. berechneten Co-ordinaten-Differenzen werden als „Soll“ links herüber gesetzt und zeigen die Widersprüche

wx = — 0,40™.

wv = — 0,26“

Diese Widersprüche verteilen wir gleichförmig, d. h. wir geben den s sin a die Korrektion + 0,03» oder + 0,04«* und den s cos a die Korrektion + o,05>».

Spalte 11. und 12.) Die so korrigierten s sin a und s cos a setzt man von 9. und 10. nach 11. und 12. hinüber, z. B. :

+ 0,03

+ 59,49    , A y — 59,49 = + 59,52 u. s. w.

s sin

dann addiert man Schritt für Schritt die Spalten 11. und 12. herunter, und muss auf die vorher unten schon eingesetzten Coordinaten von Neubruch herauskommen.

Zulässige Widersprüche.

Ohne jetzt schon auf die Fehlergesetze einzugehen, nach welchen sich der Winkelsummen-Widerspruch w und die Coordinaten-Widersprüche ivu und wx zusammensetzen, wollen wir nur die hiefür gütigen amtlichen Bestimmungen der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881, hier zusammenstellen.

Nach S. 22 und S. 40 dieser Anweisung darf der Gesamt-Winkelfehler eines Zuges den Betrag von 1,5 Yn Minuten in der Regel nicht übersteigen, wobei n die Anzahl der Brechungswinkel, den Anschluss und Abschlusswinkel mitgerechnet, bezeichnet. Diesem entspricht folgende Tabelle :

îVmax

Wmax

2,r

10

3,0'

15

4,7'

3,7'

20

5 8' «W = 1,5 |/n

(5)

4,2'

25

6,7'

4,7'

30

7,5'

8,2'

Unser Beispiel S. 298—299 hat, mit n~ 9, den Widerspruch w = ■—2' 34 , was nach vorstehender Tabelle (5) noch zulässig ist

Über die zulässigen Coordinaten-Widersprüche w„ und wx (welche theoretisch sehr schwer zu behandeln sind) hat die Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881, S. 23 dasselbe Grenzfeliler-Gesetz angenommen, welches wir bereits in den Gleichungen (9)

S. 27 für die reine Längenmessung zitiert haben, nämlich, für drei Klassen von Verhältnissen :

Yiv,ß + wx²    =    f=    0,01    Ÿ4 [.?]    + 0,0050 [s]²

«    „    0,01    Vojs]    + 0,00751#

«    „    0,011/8 [s]    + 0,0100 [s]²

I. günstig

(6)

II. mittel

III. ungünstig Diesem entspricht folgende Tabelle :

Summe der Seiten

Zulässig f= yicj,2 + wx² im Falle

I. günstig II. mittel III. ungünstig

200”*

0,32™

400

0,49

600

0,65

800

0,80

1000

0,95

1500

1,31

2000

1,67

2500

2,03

3000

2,39

o" o o o¹ h h ot ui ci

iD^-OOłi—‘Xl-30505 tOOOÜTi—‘CSOOCOOCD 3

0,45™

0,69

0,92

1,13

1,34

1,86

2,36

2,88

3,38

Unser Beispiel S. 298—299 hat wy — — 0,26 , wx = — 0,40, also die Hypotenuse hiezu ]/0,26² H-0,402 = 0,48 — f. Die Seiten-Summe ist [s] = 1454™, und hie-für ist nach vorstehender Tafel der Fehler 0,48™ in allen drei Klassen noch wohl zulässig, wie überhaupt solche amtliche Fehlergrenzen gewöhnlich so weit gehalten sind, dass der sorgfältig arbeitende Landmesser sie leicht einhalten kann.

Auch über die Verteilung der Coordinaten-Widersprüche wy und wx können wir hier, ohne Theorie, einiges sagen: die einfachste Verteilung ist die gleichförmige, welche wir auf S. 298 — 299 angewendet haben. Die Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 empfiehlt, auf S. 286, Verteilung nach dem Verhältnis der Streckenlängen. Andere Anweisungen verlangen Verteilung im Verhältnis der Coordinaten-Unterschiede u. dgl.

Da einfache theoretische Gesetze hier fehlen, und da im Endergebnis die verschiedenen Verfahren sich meist wenig unterscheiden, halten wir es für das Beste, bis zum Betrag von 2 — 3C™ auf einen Wert s sin a oder scosn, gleichförmig, und den Rest proportional oder nacli Gutdünken zu verteilen.

Grobe Seitenfehler.

Wenn in einer Seitenmessung ein grober Fehler, z. B. von 5™ ist, so hat dieses zur Folge, dass der ganze Zug von da an in der Richtung der falschen Seite um 5™ verschoben wird. Wenn daher zwei grobe Fehler wy und tvx beim Abschluss zum Vorschein kommen, so sieht man zuerst zu, ob ]/«;„² wx² ungefähr = 5™, oder eine andere runde Zahl ist, und zweitens sieht man zu, oh der Quotient wy : u\ mit einem der Quotienten s sin a : s cos a nahezu übereinstimmt. Ist dieses der Fall, so wird man in dem betreffenden s den Fehler vermuten. Allerdings hei sehr nahe geradliniger Erstreckung des ganzen Zuges ist mit diesem Kennzeichen wenig zu erreichen.

Doch kann man sehr grobe Fehler hiernach ziemlich sicher auffinden. Beispielsweise ergab sich ]Ao,y² + wf* — 27™, und heim Nachsehen der verdächtigen Seite fand sich, dass in Folge eines Schreibfehlers 103’" statt 130’" gesetzt war.

Schärfe der Rechnung.

Die Züge werden gewöhnlich nur auf Centimeter genau berechnet, wie auch unser Musterbeispiel auf S. 298—299 zeigt. Indessen für Stadt-Yermessungen und andere wichtige Fälle ist doch die Ausrechnung auf Millimeter wegen der Häufung von Ahrundungsfehlern nötig. So sind auch die Züge der Lindener Stadtvermessnng § 93. Fig. 1. auf Millimeter genau durchgerechnet.

§ 92. Anschluss eines Zuges an einen hochgelegenen Punkt

(Kirchturm).

Herunterbringen eines Punktes.

Wenn ein Zug in der Nähe eines trigonometrisch bestimmten Kirchturms oder eines ähnlichen unzugänglichen hochgelegenen Punktes vorbei geht, so kann man nicht unmittelbar, sondern nur durch eine Hilfsmessung anschliessen.

Diese Hilfsmessung wurde hei der Berliner Stadtvermessung „Herunterbringen“ genannt, was ein ganz bezeichnender Ausdruck ist (jedoch nicht zu verwechseln mit unmittelbarem Abloten, vgl. S. 224).

Fig. 1.

Herunterbringen des Punktes C.

$c

---------VA''

j6

m’

Nach Fig. 1. haben wir folgendes:

Ein Zug m' mnn' wird in der Nähe eines Kirchturms G, dessen Coordinaten gegeben sind, vorbeigeführt.

Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden:

Erster Fall: Wenn in der Nähe von C ein weiterer durch Coordinaten gegebener Punkt A sichtbar ist, was in dem Punkt m der Fall sein soll, so kann man die Coordinaten von m berechnen, und kann daher auf m den Zug in Beziehung auf Azimute und Coordinaten an- oder ahschliessen, wie wenn der Punkt m unmittelbar ein trigonometrischer Punkt wäre.

Zweiter Fall: Wenn ein weiterer trigonometrischer Punkt A in der Nähe von m nicht sichtbar ist, so kann man zwar die Entfernung m G durch eine Hilfsmessung bestimmen, folglich den Zug in G in Beziehung auf Coordinaten ahschliessen, nicht aber in Beziehung auf das Azimut.

Unter Voraussetzung des ersten Falles nehmen wir als gegeben die Coordinaten von C und von A, nämlich:

mn

Gm —

siny — 98,438

Punkt C    — 7773,87

Punkt A    — 8240,62

+ 46101,76 + 46014,26

Es wird die Zugseite mn mit C zu einem Dreieck verbunden, gleichzeitig wird auch in m der entfernte Punkt A angezielt; man misst also folgende drei Winkel:

y = 50° 49' 40"

122° 51' 30"

« = 29° 28' 20"

e =

und die Seite mn — 125,16.

Aus n und y erhält man auch ß = 180° — (a + y) = 99° 42' 0" und damit lässt sich berechnen :

sin ß

Aus den oben gegebenen Coordinaten von C und A berechnet man das Azimut und die Entfernung von G nach A, nämlich:

(GA) = 259° 22' 56"

log GA = 2.676585

Sobald GA berechnet ist, hat man dieselbe Aufgabe, wie früher in Fig. 1. S. 220, d. h. man hat in dem Dreieck A Gm zwei Seiten CA und Cm und den nicht eingeschlossenen Winkel AmC — f. Daraus berechnet man den spitzen Winkel bei A, nämlich :

sin A

sine

A = 10° 1' 40".

Damit hat man auch 8 = 180° — (A + e) = 47° 6' 50".

Um die Coordinaten von G auf m überzutra^en, hat man bereits die Entfernung Cm oben bestimmt, das Azimut (Gm) findet sich ebenfalls, nämlich:

(Cm) = (CA) — 8 = 212° 16' 6".

Damit wird:

xm = xc -t- Cm cos (Cm) xm = ■+■ 46018,53™

ym = yc -t- Cm sin (Cm) ym = — 7826,42™ womit die Aufgabe gelöst ist.

Zweiter Fall. Wenn der Punkt A in m nicht sichtbar ist, so kann man nur das Hilfsdreieck mCn messen, hat aber keine Orientierung für dasselbe.

§ 93. Anlage eines Polygon-Netzes.

Polygon-Netze werden selten selbständig angeordnet, sondern zur gegenseitigen Verbindung zwischen trigonometrische Punkte gelegt. Die Polygon-Züge sind das wichtigste Verbindungsglied zwischen der Triangulierung und der Klein-Vermessung¹).

Unser erstes Beispiel (Fig. 1. S. 305) schliesst sich unmittelbar an unsere Lin-dener Triangulierung an, welche wir früher auf S. 228 dargestellt haben. Die 10 trigonometrischen Bodenpunkte (pothenotische Schnitte) bilden die Knotenpunkte des Polygon-Netzes. Die Entfernung der trigonometrischen Punkte, also die Länge eines

Haupt-Zuges ist in diesem Falle nur etwa 700—800 Meter, weil es sich um eine Stadt-Vermessung handelt, bei welcher grosse Genauigkeit erfordert wird, und bei welcher nachher noch viele Polygon-Züge zweiter und dritter Ordnung gelegt werden.

Ein zweites Beispiel, mit einer Land-Gemeinde, Grünwinkel bei Karlsruhe, zeigt Fig. 2. S. 306, von welcher auch unser früheres Beispiel S. 296, mit der Berechnung S. 298—299 entnommen ist (ZugHaN südöstlich). Es sind hier (S. 306) nur sechs trigonometrische Punkte vorhanden, und zwar vier zugängliche Bodenpunkte A, D, N, H, und zwei unzugängliche Punkte, G = Capelle und B = Brauerei.

Die Zahl der Punkte ist: im Umfang 33 Polygonpunkte,

„ Innern 72    „

10 Schnittpunkte,

im Ganzen 115 Punkte auf l,644fcm

oder 70 Punkte auf 1 'lkm.

Was die Zahl der Polygonpunkte im allgemeinen betrifft, so giebt die Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 S. 17 hierüber ungefähr folgendes:

Anzahl n der Polygonpunkte auf lihm (100ha):

Durchschnittliche Parzellengrösse über 50 Are

50—5 Are

unter 5 Are (Städte)

Karten-Massstab

1 : 2000

1 : 1000

1 : 500

Ebene, ohne Hindernisse .    .

Mittel-Verhältnisse . .

CO o

Î-H j <M

CO    O

CO    iO

O ; CO O    CO

vH    vH

Berge und Hindernisse.    .    .

n = 40

n = 100

n — 200

Numerierung der Polygonpunkte.

In unserem Lindener Netz (Fig. 1. S. 305) ist die Numerierung ohne besonderes System gemacht, sie zeigt einfach die Zeit-Folge der Züge, und das ist das bequemste.

Wird im Laufe der Vermessung ein Punkt eingeschaltet, so wendet man Zwischen-Numern an, z. B. am Wasserturm S. 305 wurde (62a) zwischen (62) und (53) nachträglich eingeschaltet, um das Polygon um den Wasserturm vollends zu schliessen.

Nach der Preussischen Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 (§ 31.) werden die Polygonpunkte gemarkungsweise, mit Eins beginnend, fortlaufend numeriert, jedoch einschliesslich der trigonometrischen Beipunkte (trigonometrische Punkte niederster Ordnung). Im übrigen ist die Numerierung willkürlich, etwa der Zeit-Folge der Auswahl oder der Messung entsprechend.

Bei der badischen Kataster-Vermessung bestehen besondere Vorschriften über die Numerierung (Anweisung von 1863, § 4L). Es wird in jeder Gemarkung in der Ortschaft mit (1) begonnen, dann geht die Numerierung nach Norden, und kommt in der ganzen Gemerkung in dem Sinn von Norden über Westen, Süden und Osten herum. In nicht bewohnten Gemarkungen beginnt die Numerierung auf einem nördlichen Punkte in der Nähe der Gemarkungs-Grenze, und wird von da über West, Süd und Ost fortgeführt. Die Numern der Punkte werden im Felde auf eingeschlagenen Pflöcken oder Schindeln beigeschrieben. Die Numern der Gemarkungs-Grenzsieme, welche von der übrigen Numerierung unabhängig sind, werden endgültig eingehauen.

Was man über die Anordnung der Züge im allgemeinen sagen kann, ist in Kürze folgendes:

Man unterscheidet Hauptzüge und Nebenzüge.

Die Hauptzüge sollen auf dem kürzesten Wog und mit Vermeidung stark aus-und einspringender Ecken einen Dreieckspunkt mit dem andern verbinden. Die Zugs-

Fig. l.

Polygonometrisches Netz der Stadt Linden bei Hannover. (Massstab 1 : 20000.)

120 Haupt-Polygon-Punkte auf 3

Ummer Brücke

40

39

Köterholz

X=+94000

27

>28 ~29

,41

^Küchengarten

114

113

112

in

110

115

47

48

Dalvenstedter Weg

60,

,49

61

>50

51

Bergfeld

X=+92000

/=-17000

Victoria

109

108

107

46

59

45

58

54

^ 43    ⁴⁴

42

33

34

26

24

57

56,

5 b,

104

102 *⁰³ \ 35

i²⁵    99 ⁹⁸

Martin

O—097

101

V⁶ J* „    |3 6^38

I5 ,4^* Falke

m.

>106

>105

68

1.

'XI7

Rath,

haus

20 ^ <⁸

,69

70

91

3,

^ ez'OCiPII °Za62v

Wasserthurm

63,

,8

>64

72Q^j7l 4

KathXKirch

>92 0 90

6,

930 89«

Zion

AlterijDThor

66 9⁷³

940    088

65

,74

75

76

>77

95

78

Hamelnstrasse Bahnhof

y=-i6000

>87

86

81

,79

oo

,82

v=-15ooo

seiten sollen möglichst gleich lang, und nicht zu kurz, d. h. mindestens 100 Meter, höchstens 300 Meter und im Mittel etwa 150 Meter lang sein.

Die Nebenzüge legen sich in gleicher Weise zwischen je zwei Punkte der Hauptzüge. Jeder Punkt soll nach möglichst vielen Richtungen hin Verbindungen haben. Lange parallel laufende Züge ohne Querverbindungen sind ungünstig.

Fig. 2.

Polygonometrisches Netz der Gemarkung Grünwinkel bei Karlsruhe. (Massstab 1:15 000.)

115 Punkte auf 1,64 '/*»»•

X =+07000

y ^-sooo™

’uiOOOL - - ft

cs

\r ='+£6000

if

V= + ’lbOOO

/. 15000

Zug - Verknotung.

In vielen Fällen ist es nützlich, nicht geradezu die Züge als Verbindungen zwischen den trigonometrischen Punkten anzuordnen, sondern von mehreren trigonometrischen Punkten nach einem Zentralpunkt zusammen zu rechnen. Ein solcher Fall ist in untenstehender Fig. 3. gezeichnet. Man rechnet hier von vier Seiten her nach dem Punkte (3), gleicht die vier Azimute in (3) zusammen aus, und berechnet dann die Coordinaten des Punktes (3) von vier Seiten her. Wenn die Wege hier nahezu gleich sind, wie in dem Beispiel Fig. 3., so wird man die Coordinaten - Ausgleichung in dem Punkte (3) durch einfache Mittelbildung bewerkstelligen; sind die Wege sehr ungleich, so bildet man zuerst auch das einfache Mittel, rückt dann aber nach Gutdünken noch nötigenfalls nach der einen oder anderen Seite. Theoretisch unsichere Ausgleichungs-Gewichte haben hier wenig Wert.

Fig. 3. *)

Zug-Verknotung.

Au

Wù

Hoch

Berg

*) Diese Figur ist einer Mitteilung von Kataster-Geometer Fuhrmann in Donau-eschingen, in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“, S. 294—297, entnommen.

Zug- Verlcnotung mit Kirchturm-Anschluss.

Nachdem das Anschlüssen an Kirchtürmen durch „Her unterbringen“ in § 92. behandelt ist, können wir auch den kranzförmigen Anschluss rund um einen Turm herum als theoretisch erledigt betrachten, denn es handelt sich hier nur um wiederholtes Herunterbringen, mit gegenseitigen Proben.

Ein klares, übersichtlich gezeichnetes Beispiel zeigt Fig. 4., und auch unser Lindcncr Netz (Fig. 1. S. 305) hat zwei solche Kranz-Polygone, um den Wasserturm» und um den Martin-Kirchturm.

Über die Rechnungs-Führung und Ausgleichung lässt sich nichts allgemeines sagen; es kommt dabei alles auf praktisches Gefühl und Verständnis des Rechnenden an.

Anschluss an die Klein- Vermessung. Je nachdem man mit der polygonometri-schen Messung mehr oder weniger ins Kleine geht, oder früher Winkelspiegel- (Kreuzscheiben-) Messungen anschliesst, gestaltet sich die Anordnung verschieden. Ein Bei-

Fig. 4.*)

Zug-Verknotung mit Kirchturm-Anschluss.

gl

fco

Wald

fco

■ VN

10

ta

Hoch

© Kerg

*) Diese Figur ist einer Mitteilung von Kataster-Geometer Fuhrmann in Donau-eschingen, in der „Zeitschr. f. Venn. 1880“, S. 294—297, entnommen.

spiel für den ersten Fall, sehr weit ins Kleine getriebene Polygon - Messung, allerdings mit vielen, tot auslaufenden Strahlen, zeigt Fig. 5. von der Karlsruher Stadt-Vermessung (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 316).

Fig. 5.

Teil des Polygon-Netzes der Karlsruher Stadt-Vermessung. (Im Mittel 2260 Polygon-Punkte auf 1 Q.-Kilometer.)

mmm am

W/A

aaaSÊÊÊm

^Wmwmm

Ÿm.

JP

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]2MÉR r'

y[Strass b

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mm

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?i

ip

«I

wB

»-

ïWim^r⁰

ïÆsm

jé

Jl

0R

Maassslab 1:2000

50 m

100"i

Klein-Punkte. Solche Punkte, welche durch reinen Linien-Anschluss (oder auch mit dem Winkelspiegel) gewonnen werden, und nach Coordinaten berechnet werden, nennt die Preussische Kataster-Vermessung „Klein-Punkte“.

Wenn z. B. auf einer Geraden, von welcher zwei Punkte durch Coordinaten gegeben sind, weitere Punkte mit Latten eingemessen werden, so kann man auch deren Coordinaten leicht berechnen (Formular 22. der Anweisung IX. vom 22. Oktbr. 1831).

Ähnlich verhält es sich mit Winkelspiegel- (Kreuzschreiben-) Aufnahmen, Bogen-Sclinitten und Diagonalen-Schnitten, welche wir bereits in § 61. bis § 63. (S. 195 — 200 behandelt haben.

¹

Über die geschichtliche Entwicklung der Theodolit-Polygon-Züge, welche von den Rheinlanden aus in alle deutschen Landes-Vermessungen übergegangen sind, haben wir einige Mitteilungen in der „Zeitschrift f. Verm. 1886“, S. 535, und 1887, S. 25 und S. 58.

§ 94. Festlegung und Versicherung der Polygon-Punkte.

Die Anordnungen, welche man zur Festlegung und Versicherung der Polygon-Punkte zu treffen hat, sind verschieden, je nachdem es sich um freies Feld oder Städte handelt.

I. Polygon-Punkte im freien Feld.

Es fragt sich zuerst, welche Vermarkung der Gemarkungs-, Gewannen- und Eigentums-Grenzen vorhanden ist, und ob man diese als dauernd betrachten darf. Z. B. im Grossherzogtum Baden wurde heim Beginn der Katastervermessung (1854) ein Vermarkungs-Gesetz erlassen (abgedruckt in der „Zeitschr. f. Verm. 1887, S. 400—404), und dann die Polygon-Punkte wenn möglich auf Gemarkungs- und Gewannen-Grenz-steine und auf Eigentums-Grenzsteine gelegt.

Es wird dabei die Stein mitte als Polygonpunkt genommen und durch ein Loch mit dem Steinmeisel bezeichnet. Über einem solchen Punkt kann man zwar den Theodolit centrisch aufstellen, allein man kann auf der Steinmitte keinen Stab einstecken für das Anzielen von anderen Punkten her. Am besten ist es, den Punkt auf dem Stein selbst (ohne Bake) anzuzielen, und nach dieser Rücksicht die Punkte auszuwählen ; ist aber dieses nicht möglich, so steckt man jeweils einen Stab in der gerade in Betracht kommenden Richtung hinter⁻ oder vor den Stein, oder lässt für die kurze Dauer der Winkelmessung durch einen Gehilfen einen Stab centrisch und lothrccht aufhalten.

In den Landes-Grenzen, in Staatsforsten u. s. w., hat man oft Steine, die über 0,5m aus dem Boden hervorragen ; dann ist es das allerbeste, man stellt den Theodolit auf die Steine selbst, und setzt auch Signale, etwa wie unsere später folgende Fig. 4. und Fig. 6. § 96., auf die Steine. Damit bekommt man ausgezeichnete Resultate, sogar wenn man wegen geringer Steinoberfläche einen Theodolit der kleinsten Art anwenden muss.

Im Gegensatz zu dieser in Süddeutschland allgemein als gut geltenden Benützung vorhandener Steine als Polygon-Punkte, hat die preussische Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881 (S. 18-—19) den umgekehrten Satz ausgesprochen: „die gleichzeitige Benutzung von Grenzsteinen oder ähnlichen Marken als Polygon-Punkte ist im allgemeinen grundsätzlich zu vermeiden, damit das Polygon-Netz möglichst unabhängig von den mehr oder minder wandelbaren Grenzbezeichnungen erhalten wird.“

„Die Polygon-Punkte sind im Felde in dauerhafter Weise, und zwar möglichst unterirdisch zu vermarken“ (durch Drain-Röhren von 4,5cm lichter Weite).

II. Polygon-Punkte in Städten.

Wir beginnen mit einer Mitteilung von Berlin („Zeitschr. f. Verm. 1881“, S. 18). Wegen der fortgesetzten Aufwühlungen des Bodens für Kanalisation, Gas- und Wasser leitung u. s. w. wurden die Vermessungs-Zeichen hauptsächlich auf die Bürgersteige gelegt, wie in folgenden Figuren angedeutet ist:

Fig. 1.

Geometrische Punktbezeichnungen in den Strassen von Berlin.

T-

-l------+

--------o------

Fig. 2.

Erklärung der Zeichen von Fig. 1.

+    + Kreuze in Bordschwellen, Polygon-Punkte.

_l_ JL Anker injBordschwellen, für die Stückvermessung.

O O Eisenbolzen 0,55™ lang, im Pflaster.

Von demselben Grundsätze, Freilassung der Strasse selbst, ging die Karlsruher Stadtvermessung aus, indem sie ebenfalls die Bordsteine der Bürgersteige zur Polygon-Punktbezeichnung wählte.

In nebenstehender Fig. 3. bezeichnet GBF das Eckhaus eines Blockes, mit der Spitze li. AB CD ist der durch Bordsteine begrenzte Bürgersteig. Nun wird der Polygon-Punkt P auf der Verlängerung von AB und D G genommen, und zunächst für sich auf dem Pflaster durch ein eingehauenes -b bezeichnet. Dies geschieht, wenn P auf einen Pflasterstein selbst fällt ; fällt P in eine Fuge zwischen zwei Steinen, so wird ein eiserner Nagel von 10cm Länge und lcm Dicke eingeschlagen.

Fig. 3.

Karlsruher Stadt-Vermessung. Polygon-Punkt P.

i

*■11

C-y

mimm,

Diese Bezeichnung des Polygon-Punktes V reicht während der Polygonmessung selbst aus; zur weiteren Bezeichnung hat man die eingehauenen Striche Ji und C, welche um eine ganze Meterzahl von P abstehen, z. B. BP—CP— 4'", oder nach Umständen gm, 5»» u> s_ w. Diese Masse sind natürlich aufgeschrieben, indessen da man die Verlängerung A B und D C geradezu sieht, so kann man hiernach und nach der Bestimmung BP=CP = ganze Meterzahl, den Punkt P immer wieder sofort hersteilen, wenn das Zeichen -+- auf dem Pflaster oder der eiserne Nagel zwischen dem Pflaster verloren sein sollte. Die Linie AB oder DC bezieht sich nicht auf die Kante der

-ł-

rtO

Bordsteine, sondern auf die Mittellinie der Bordsteine, damit das Auflegen der Messlatten längs A B oder D G möglichst bequem wird.

Mit A und D sind Punkte angedeutet, welche auf den Polygon-Seiten liegen (Kleinpunkte) und zum Anschluss der Stückvermessung dienen (vgl. Fig. 5. S. 309). (Weiteres über die Karlsruher Stadtvermessung s. „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S 318—318.)

Nach diesem teilen wir einige von uns seihst gemachte Erfahrungen mit, betreffend die im Sommer 1887 von uns ausgeführtc Triangulierung und Polygonisierung der Stadt Linden hei Hannover, deren Netze wir schon früher in § 73. S. ‘228 und Fig. 1. S. 305 mitgeteilt haben.

Fig. 4.

Nach dem Vorgang der soeben erwähnten Stadtvermessungen von Berlin und Karlsruhe hatten wir zuerst die Absicht, die Polygon-Punkt-Zeichen einfach auf den Bordquadern der Bürgersteige anzubringen, allein da Linden eine erst in der Entstehung begriffene Stadt ist, fanden sich nur wenige hierzu geeignete Quader vor. Die Bezeichnung geschah auf solchen Quadern nach Fig 4. durch eingegossene eiserne Bolzen. Diese Bolzen haben ein oben eingebohrtes Loch von 5™™ Durchmesser, welches nicht nur an und für sich eine scharfe Punktbestimmung giebt, sondern auch zum Anzielen auf 50“ bis 300”* Entfernung leicht und genau hergerichtet werden kann durch Einstecken eines Stiftes, wie in Fig. 1. angedeutet ist (nötigenfalls mit einem kleinen Blatt Papier).

Solche Bolzen wie Fig. 4. sind ferner angebracht worden auf Steinen, welche ursprünglich anderen Zwecken dienten, z. B. Strassen-Kilometersteinen, Nivellementssteinen u. s. w. und auf einer grösseren Zahl von Steinen, welche besonders zu diesem Zwecke gesetzt wurden.

An vorhandenen Merkmalen wurden auch die Hydranten der Wasserleitung ins Auge gefasst. Es wurde mitgeteilt, dass die Hydranten-Kästen nicht dauernd seien, wohl aber die darunter befindlichen prismatischen Schieberstangen. Solcher wurden mehrere als Polygon-Punkte genommen; indessen wurde gleich nach der Messung die Erfahrung gemacht, dass drei derselben von der Wasser-Behörde wieden verlegt werden mussten.

Diese Hydranten führten aber dazu, selbst solche eiserne Kappen zu setzen, und dadurch tiefer liegende Röhren żu bedecken. Damit gelangten wir zu der in Fig. 5. S. 313 angedeuteten Anordnung (welche Ähnlichkeit mit einer früher von Herrn Geriet in Altenburg in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 201 beschriebenen Einrichtung hat, jedoch weniger schwer ist).

Der geometrische Punkt ist bestimmt durch die Axe A einer versenkten schmiedeeisernen Röhre li von 30""* Länge und 5<m Durchmesser. (Solche Röhren wurden als ausgediente Siederöhren erhalten, ausgeglüht und mit Theer angestrichen.)

co C-~.

II

WÊB

sus

Die Röhre R ist mit einem Cement-Mantel G umgeben, und damit sie von oben zugänglich bleibt, durch einen gusseisernen Hydranten-Kasten K von 20cm Tiefe und lichter Weite überdeckt, mit Zwischenlage eines Holzstückes H; die lichte obere Weite, 9cm, des etwas konisch gestalteten Kastens, beschränkt sich jedoch auf 7™, wegen des links oben angebrachten Zapfens Z zur Führung des Deckels I). Dadurch kommt auch die Axe A der Röhre gegen die Kastenmitte gewöhnlich etwas excentrisch zu liegen.

Das in der Mitte durchbohrte Holzbrett H, auf welches der Kasten zur Vermehrung der Standfestigkeit aufgenagelt ist, liegt auf dem Cement G nur lose auf, und die Röhre R ragt nicht in das Holz oder in den Kasten hinein, damit bei Weg-

nähme der oberen Teile im Falle von Umpflasterung u. s. w. doch die Röhre selbst uuverrückt bleibt.

Fig. 5.

Köhre mit Kappe. Massstab 1:10.

Pt

\wm25

cm

m

Ul

»feil

ma

mm \

WMF ÿ

v/^//

cc

■Hflfti

Mit Einrechnung der in das Polygon-Gebiet fallenden pothenotischen Punkte hatten wir für die Stadt Linden, deren Polygon-Netz bereits auf S. 305 mitgeteilt ist, folgendes:

Eiserne Bolzen Fig. 4. in Bordquadern und in solchen Steinen, welche schon vorher da

waren.............

Eiserne Bolzen Fig. 4. in solchen Steinen, welche für die Vermessung besonders gesetzt wurden ..........

Fig- 6.

Polygon-Versicherungs-Mauerbolzen.

28

33

Eiserne Röhren mit Kappen Fig. 5.    ...    54

Hydranten der Wasserleitung

Summa . .    .123

Mauerbolzen. Zur Versicherung für die Zukunft haben Avir eine grosse Zahl von Mauerbolzen (etwa 70) nach Andeutung von Fig. 6. anbringen lassen, welche mit in das polygonometrische Netz aufgenommen wurden. Der Bolzen B ist in die Mauer M wie ein Nivellementsbolzen eingegossen, und unterscheidet sich von letzterem nur durch ein Locli zum Einstecken eines Stiftes S. Die nur 2 — 3™”* dicken Stifte S lassen sich mit dem Theodolit unmittelbar anzielen.

■ft

U

mm

A'

§8

'‘V

Es ist theoretisch klar, dass aus zwei solchen nach Coordinaten berechneten Mauerbolzen sich der alte in der Nähe befindlich gewesene Polygon-Punkt wieder hersteilen lässt; hat man einen fernen trigonometrischen Punkt, z. B. Kirchturm u. s. w. sichtbar, so genügt sogar ein Yersicherungs-Mauerholzen, um entweder den ursprünglichen Polygon-Punkt oder einen anderen Coordinaten-Punkt wieder herzustellen. (Eine Strassenkreuzung mit Anordnung zweier Yersicherungs-Mauerholzen haben wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1888“, S. 8 gezeichnet.)

§ 95. Längen-Messung.

Nachdem das Wichtigste über Längenmessung bereits in § 8. — § 12. behandelt ist, haben wir hier nur einige Besonderheiten, namentlich in Bezug auf Stadt-Vermessungen vorzuführen, im Anschluss an die Vermessung von Linden (§ 93. Fig. 1. S. 305).

Die Polygon-Seiten wurden mit den gewöhnlichen, früher auf S. 15 und S. 21 beschriebenen süddeutschen fünf Meter-Latten gemessen. Die Linien sind meist nahezu horizontal, doch teilweise auch geneigt bis zu 4°; die Latten wurden überall der Neigung des Bodens entsprechend gelegt, und die Höhenwinkel dazu mit dem Theodolit hei der Horizontal-Winkelmessung gelegentlich mit abgelesen. Das genügt in den meisten Fällen, wo aber eine merkliche Änderung der Neigung auf die Erstreckung einer Seite zu erkennen war, wurden besondere Neigungs-Winkel mit dem auf S. 18. beschriebenen Neigungsmesser oder ähnlichen Freihand-Instrumenten genommen, oder sonst kleine Korrektionen angebracht (vgl. die nachfolgenden Fig. 1. und 2. S. 316).

Besondere Sorgfalt wurde auf die Vergleichung der Messlatten mit dem Normalmass verwendet, und zwar mit Benutzung des auf S. 21 beschriebenen Vergleichs-Apparates; ndt welchem man die Vergleichungen leicht auf 0,1””" genau erhält.

Die Vergleichung wurde meist für jeden Feldmess-Tag besonders gemacht, z. B.:

Latte Nr. 5.

15. Oktober 1887    5™ + 4,20

Latte Nr. 8.

5”* + 2,17”*”*

Diese Mass-Vergleichungen und die Neigungswinkel zusammen geben für jede Strecke eine Reduktions-Berechnung, welche durch folgendes Beispiel veranschaulicht wird :

Gemessen von (52) nach (53), V = 142,579”* aufliegend.

mm

Messlatte Nr. 5. 5”* -+- 4,20 „ Nr. 8. 5”*+ 2,17

Neigungswinkel a — 1 ° 8'

log V = 2.154 056 log cos a = 9.999 915 log (1 -f e) = 0.000 276

log l = 2.154 247 l = 142,642”*

10”* + 6,37’ (1 + e) = 1,000 637

Jede Linie ist hin und her gemessen, meist mit denselben Latten und nach kurzer Zwischenzeit von denselben Arbeitern. Aus den dadurch erhaltenen Differenzen kann man den mittleren unregelmässigen Fehler der Längen-Messung bestimmen, wie folgender Auszug aus der Gesamt-Berechnungs-Tabelle zeigt:

= l/n9A = 0,887™™.

Mittlere Differenz

V 152

Dieses ist die mittlere Differenz zweier Messungen von 1™. Der mittlere Fehler des Mittels zweier solcher Messungen ist m — -4- 0,444™™, also der mittlere Fehler des Mittels aus zwei Messungen der Länge l :

(1)

Strecke

Messung 1 Messung 2

»s

Falke — (1)

(1) —(2)

(2)    — (3)

(3) -(4)

(4) -(5)

(5) -(6)

(6) — Altenthor

153,135”*

102,180

158,055

95,498

154,862

94,400

81,764

158,120™ 102,180 158,068 95,490 154,870 ■ 94,408 81,763

+ 15’

— 13

+ 8

b Vi V <i h* b w

152 Strecken

Summa .

119,6

= 0,444 Yl.

Damit ist Folgendes berechnet:

Länge ■ Mittlerer Fehler Länge ; Mittlerer Fehler

100™

-f- Ąmm

300™

150

±5

500

200

±6

1000

± 0,008™ ±0,010 ± 0,014

(2)

Einseitig wirkende Fehler, von welchen später in §. 98. die Rede sein wird, sind hier nicht berücksichtigt.

Vergleicht man Menait die amtlichen Fehlergrenzen der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881, welche wir früher auf S. 27 citiert haben, so hat man z. B. für 100™ Länge die grösste zulässige Abweichung zweier Messungen, im günstigsten Falle a = 0,21™; das entspricht dem mittleren Fehler einer Messung: m — ±0,05™, während unsere obige Tabelle (2) für l — 100™, nur m — ± 4™™, also nur etwa den zehnten Teil des vorigen ± 0,05™ beträgt. Dieses Verhältnis erklärt sich erstens dadurch, dass man auf harten Stadt-Wegen mit Latten viel genauer messen kann als im freien Felde, zweitens dadurch, dass in unserer Tabelle die Lattenfehler selbst nicht inbegriffen sind.

Messungs-Hindernisse.

Wenn eine Linie AB nicht unmittelbar gemessen werden kann, so besteht das nächste Hilfsmittel in der Anlage eines Dreiecks AGB, dessen Seiten a und b, nebst

dem eingeschlossenen Winkel y gemessen werden können. Mag man nun alle Winkel des Dreiecks ABC, oder nur zwei oder nur einen gemessen haben, so ist die Rechnung immer einfach.

Im Falle von Fig 1. ist:

c2 — «2 _j_ 1)2,    2 a b cos y

Darnach kann man unmittelbar rechnen. Wenn aber y klein ist, so ist es besser, so umzuformen :

c² ~ a² +• b² + 2 a b

Nun setzt man :

Fig. l.

Hilfsdreieck A CB.

Ä⁻

(3)

^ 1 — 2 sirfi = (a 4- b)² — 4 ab sin² ^ .

2 ]/ab sin ^ = x

(4 a)

Folglich ist:

c = }/(« + 6 + æ) (a + 5 — x)

Bei kleinem Winkel y mag das die bequemste Rechnung sein.

Ein zweiter, oft vorkommender Fall ist in Fig 2. angedeutet.

Wenn neben einer schlecht zu messenden Geraden A B ein bequem zu messender Weg A DB in geringem Abstand y hinführt, so misst man lieber AD B, und reduciert es durch eine Näherungsformel auf AB.

Wir betrachten zwei Fälle, erstens zwei Gerade A D und D B mit einem Brech-

Fig. 2.

Flaches Dreieck AD B oder flacher Bogen AA'DB'B

A'_

ungspunkte D und zweitens einen Bogen AA'DB' B. Für den ersten Fall hat man mit A B = s :

AD

=V{l)'+yS = i/

4?y2

folglich :

AD A DB —s = 2 AD — s

= 2,J~

(5)

Für den zweiten Fall, Bogen A DB, hat man unter Annahme eines (in Fig. 2. nicht eingeschriebenen) Centriwinkcls a und Halbmessers r:

Bogen AD B = r a

Gerade A B = s — 2 r sin

a³

~2

n’’

Bogen A D B — s — r

Es ist aber:

2 z/

folglich :

Bogen AD B — s =

y- = 2,667 V -

00

Vergleicht man die beiden Formeln (5) und (6), so findet man nur verhältnismässig geringe Abweichung, und wenn man ferner bedenkt, dass es viele Fälle giebt, in welchen man gar nicht genau sagen kann, ob die Seitwärts-Abweichung eine Brechung oder ein Bogen war, so Kann man für kleine Querabweichungen y wohl einen Mittelwert zwischen den Formeln (5) und (6) nehmen, d. h. für Fig. 2. allgemein annehmen :

(7)

Geradstreckungs-Reduktion

Diese Formel ist auch anzuwenden, wenn eine Linie in vertikalem Sinne einen Buckel oder eine Einbuchtung macht, und man nur die Neigung im ganzen gemessen hat. Es sei z. B. eine 200”* lange Linie über einen l”¹ hohen Buckel gemessen, so wird die Reduktion nach (7):

₌ (1,5^2

1,52

200

= 0,011"'.

§ 96. Winkel-Messung.

Als Instrument zu Polygon-Zügen nimmt man gewöhnlich ein einfaches Nonien-Instrument, etwa nach S. 141 oder S. 142. (Unsere mehrfach erwähnte Lindener Polygonisierung ist mit dem Instrument S. 142 gemacht.)

Ein Höhenkreis an dem Theodolit ist angenehm, weil man die Neigungen für schiefe aufliegende Längen-Messungen gelegentlich damit ablesen kann.

Das Feldschreibbuch kann nach S. 210—211 eingerichtet sein; ein Satz von Winkeln ist oft genügend, es empfiehlt sich aber aus manchen Gründen, zwei unabhängige Sätze zu messen.

Die willkürliche Limbus-Stellung kann man in zweierlei Art bequem wählen: Erstens kann man immer die Ablesung links (vorhergehender Punkt) nahezu auf 0° 0' 0" bzw. auf 180° 0' 0" stellen und damit das Ausrechnen der Winkel bequemer machen, man kann auch förmlich zweimal repetieren (vgl. S. 180), von 0° 0’ 0” anfangend, und hat dann etwa :

179° 59' 50"

0° 0' 0”

148° 50' 40"

Durchschlagen

17° 4P 0"

297° 41' 20" 297° 41' 20"

297° 41' 10"

297° 41' 15" ß = 148° 50' 37,5"

Andererseits kann man die Willkürlichkeit der Limbus-Stellung dadurch aus-niitzen, dass man immer nahezu auf Azimute stellt.

Man schreibt sich zu diesem Zweck den trigonometrischen Abriss des Ausgangspunktes in das Feldschreibbuch und orientiert hiernach; auf jedem folgenden Punkte stellt man auf die vorhergehende Ablesung etwa 1' genau ein.

Diese kleine Mühe lohnt sich nachher reichlich in der Übersichtlichkeit aller Tabellen, namentlich wenn viele Nebenstrahlen zu Anschlüssen, Versicherungen u. s. w. Vorkommen, denn man hat dann immer sofort im Feldbuche Azimute auf einige

Minuten genau.

In dieser Weise haben wir die Lindener Polygonisierung gemacht.

Alles Weitere, was sich auf Winkel-Messung bezieht, ist von der Frage der Centrierung und Signalisierung beeinflusst, denn hei den kurzen Zielweiten (in Städten manchmal weniger als 50w) wirken Centrierungsfehler sehr schädlich.

Wir betrachten in Fig. 1. zuerst den Fall eines nahezu geradlinig gestreckten

Zuges.

Fig. l.

A\

---

~7

Q'6-«

Es seien A , C , B drei Punkte

____eines gestreckten Zuges, C der Theo-

~ °B dolit-Standpunkt, A und B die Signale; dann hat man ausser dem reinen Theo-dolit-Winkelmessungs-Fehler noch drei Excentricitäts - Einflüsse in Rechnung

zu nehmen:

1)    Excentricität    e    des    Theodolits,    quer    zur    Zugsrichtung    gemessen,

2)    Excentricität    e'    des    Signals A,    quer    zur    Zugsrichtung    gemessen,

3)    Excentricität    e'    des    Signals B,    quer    zur    Zugsrichtung    gemessen.

Diese drei Excentricitäten    geben    nach Andeutung    der Figur folgende Winkel-Fehler:

a -h b -aV'"

1) (/ —il = CAC + CBC = e,,+

a x

AGA' = — o a

BCB'= y Q

2)

3)

(1)

(2)

Diese drei Teile sind unabhängig, und verbinden sich mit dem reinen Winkel-Messungsfehler fi zu dem mittleren Fehlerquadrat eines Winkels für den gestreckten Zug:

a ■+■ b

(3)

nfi — »2 -f.

\ ab

Wenn der Zug nicht nahezu gerade gestreckt ist, d. h. wenn ß in Fig. 1. nicht sehr klein Cist, wie hei der Herleitung der Formel (1) angenommen wurde, wenn'viel-mehr ß einen beliebigen Wert hat, so denken wir uns um die drei Punkte^A , B und G einen Kreis beschrieben, und zählen die Excentricität e im Punkte G rechtwinklig (radial) zu diesem Kreise, indem eine Excentricität tangential zu dem Kreise ebenso unschädlich ist, wie bei dem geradlinigen Zug eine Excentricität in der Zugrichtung selbst.

Den Winkelfehler ß' — ß, welcher in dem Dreieck ABC durchweine radiale Excentricität e erzeugt wird, haben wir früher schon aus anderer Veranlassung, in Band I.‘ § 103., entwickelt, und dort in Gleichung (11) S. 306 gefunden:

,    AP.BP

P ~ AB

Setzt man die dort gültigen Bezeichnungen in die jetzt gebrauchten Bezeichnungen um, so ist:

dp = + e , d<f>

₌ ß'-ß

d (p

also nun :

(t

, AP—a , BP = b , AB — c ,

ab (ß ß)

, oder ß' — ß = —e(i

(4)

-4- e = —

— c

Dieses (ß' — ß) tritt in das zweite Glied von (3) ein, und man hat daher das mittlere Fehler-Quadrat eines Winkels in einem beliebig gebrochenen Zug;

rrfi =

(5)

Setzt man hier e' = e, so wird:

w² = |it² -f- (e (j)²

c² + 6² + a²

Wenn man in (5) wieder c — a -+- b setzt, d. h. wenn man wieder einen geradlinig gestreckten Zug annimmt, so geht (5) wieder in (3) über, wie es sein soll.

*)

(6)

Wir wollen von der allgemeinen Formel (5) oder (6) hier keinen weiteren Gebrauch machen, sondern zu der Formel (3) für den gestreckten Zug zurückkehren, und dafür eine kleine Tabelle berechnen, mit den Annahmen:

e = 4- 5““

mittlerer reiner Winkel-Messungsfehler n = + 10" mittlere Theodolit-Excentricität

Signal-Excentricität und 10

e' = ± 10

Excentricität sind ziemlich grob, und etwa in

mm

Diese Annahmen 5 Feld und Wald, nicht hei Stadtmessungen denkbar.

Damit wurde folgendes Täfelchen zur Übersicht berechnet:

mm

Mittlerer Polygon- Winkelfehler m nach der Formel (3) mit « = + 19" , e — + 5““ , e' = -+-10

50“

100“

50“

r 12"

1' 04"

100“

200“

300“

oo

r 04"

37"

51"

29"

49"

28"

47"

25"

200“

51"

29"

20"

18"

15"

300“

49"

28"

18"

16”

13"

oo

47"

25"

15"

13"

10"

Fig. 2.

Spiegel AB unter dem Theodolit.

Man kann daran denken, nach diesem Gesetze Winkelgewichte zu berechnen, und die Verteilung des Azimut-Widerspruchs auf die einzelnen Winkel eines Zuges ent sprechend ungleich zu machen. Das konnte man aber nur für ganz besondere gut bekannte Verhältnisse einrichten.

Achse.

Theodolit-

Die Hauptsache war für uns, durch den Anblick der vorstehenden Fehler - Tabelle vor Nachlässigkeit im Centrieren zu warnen.

Ablotung. Das gewöhnliche Abloten mit Schnur-Lot ist eine der unangenehmsten Verrichtungen wegen Schwankens im Winde u. s. w.

(Karlsruher Sammlung.)

Unser erster Versuch eines optischen Abloters, mit einem unter dem Theodolit schief unter 45° angebrachten Spiegel mit Diopter oder Fernröhrchen, ist in Fig. 2. angedeutet.

*) Diese Formel wurde zuerst von Helmert in anderer Weise entwickelt und mitgeteilt in der Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 115.

Dieses Instrumentchen leidet aber an Umständlichkeit der Prüfung und Berichtigung (welche in der vorigen Auflage dieses Buches 1877, S. 230—231, angegeben war).

Ein optischer Ahloter, mit vertikalem Fernröhrchen, wurde von Nagel in der Zeitschrift „Civilingénieur“ Jahrgang 1886, Heft 3., Tafel XIV., und in der „Zeitschr. f. Verm. 1888“, Heft 2., beschrieben, wovon wir die nachstehende Fig. 3. entnehmen:

Fig. 3.

Ablote- und Centrier-Vorrichtung.

1II

IIP

iii

\r

Wi

lim

(Mechaniker Hildebrand.)

h'

■v

Wir haben auch unsere nachher zu besprechenden Signale Fig. 5. S. 321 zum optischen Abloten einrichten lassen, indem statt des vertikalen cylindrischen Stabes E'EG ein Fernröhrchen oder auch nur ein vertikales Diopter eingesetzt wird, welches so gerichtet sein muss, dass es genügend genau vertikal zielt, wenn die Dosen-Libelle L einspielt.

Indessen ist bei unseren Theodolit-Polygon-Zügen das genaue Abloten an sich nicht ebenso wichtig, wie das centrische Umsetzen des Theodolits und der Signale, zu welchen wir nun übergehen.

Umsetzen des Theodolits und der Signale.

Pas Umsetzen des Theodolits und der angezielten Zeichen ist hei Theodolit-Zügen deswegen noch wichtiger, als das Abloten, weil ein Fehler von einigen Millimetern, im Abloten allein, sich nicht fortpflanzt, dagegen ein Fehler im Umsetzen gerade so wie ein Winkel-Messungsfehler wirkt, der sich in ungünstigster Weise fortpflanzt bzw. vergrössert (vgl. den späteren

Fig. 4.

Stativ - Signal. (Massstab etwa 1 : 0000.) Höhe ±z 40

§ 98,).

Zur Verminderung der Umsetz-Fehler haben wir die Anwendung von drei Stativen mit den in Fig. 4. und Fig. 5. gezeichneten Signalen und Fuss-lagern am besten gefunden.

Das Stativ-Signal Fig. 4., welches mit einem Theodolit abwechselnd auf demselben Stativ gebraucht wird, besteht aus einem Dreifuss A mit drei Stellschrauben B, welche entweder auf Unterlagsplättchen D, oder auf einem besonderen Fusslager Fig. 5. aufstehen.

i-'lü5

B0ÊÊ

gr->

In dem Dreifuss Fig. 4. steckt centrisch and vertikal eine Eisenstange G BE', welche mit G auf einen beliebigen Punkt centriert werden kann, und mit ihrem oberen, in der Dicke abnehmenden Ende E' zum Anzielen auf verschiedene Entfernungen dient. Zum Vertikalstellen dient eine Dosen-Libelle L. (Statt dieser cylindrischen Stange EC kann auch ein Diopter oder ein Fernröhrchen zum optischen Abloten wie bei Fig. 3. S. 320 eingesteckt werden, wie schon im Vorhergehenden bemerkt worden ist.)

Hat man einen Theodolit und zwei Signale (Fig. 4.) mit gleich weiten Fussspitzen, so kann man den Theodolit und die Signale. unmittelbar auf dem Stativ selbst oder auf den Unterlagsplättchen D (Fig. 4.) umsetzen.

Wenn dagegen der Theodolit und die Signale verschiedene Fussschrauben-Weite haben, so dient statt der Scheibchen D in Fig. 4. das Fusslager Fig. 5., welches drei unter Winkeln von 120° auslaufende scharfe Binnen darbietet, in

Jordan, Handb d. Vermessungskunde. 3. Auf!. II. Bd.

D

(Hannov. Samnil. ; Mech.Randhagen.)

Fig. 5.

Fusslager des Stativ - Signals und des Theodolits. Doppelter Massstab von Fig. 4.

'1

(Hannov. Sammlung; Mechaniker Randhugen.) welche die Stativ- bzw. Signal-Spitzen ein-

21

gesetzt werden, ähnlich wie z. B. die Stativplatten zuweilen mit solchen dreistrahligen Rinnen ausgerüstet sind.

Man denke sich nun das aus Messing gegossene dreizackige Stück ABC (Pig. 5.) auf eine hölzerne Stativplatte mit rundem Loch von etwa 10"“ Durchmesser gelegt. Dann hat man bei der Aufstellung des Statives selbst, einen guten Spielraum von 5"“. Steht das Stativ, so wird mit gewöhnlichem Lot oder durch ein an Stelle der Stange C E gestecktes Visierrohr abgelotet. Ist dieses geschehen, so werden hei S SS drei

Schraubenspitzen, welche bisher hochgestellt waren, hinabgeschraubt, dass sie sich in das Holz der Stativplatte eindrücken lassen, und damit die ganze Platte während des Messens und Umsetzens genau in ihrer Lage erhalten.

Das Aufstellen der Stative mit den Fusslagern (Fig. 5.) besorgt ein Gehilfe des Polygonometers ; derselbe kann dem Winkelmessenden stets 1—2 Stationen voraus sein, weshalb häufig sogar vier Stative gleichzeitig gebraucht werden können.

Die Messung eines Zuges AB CEE (Fig. 6.) geschieht nun so: Man nimmt mindestens drei Stative von möglichst gleicher Konstruktion der Oberplatten, auf welche sowohl der Theodolit als auch zwei Signale (Fig. 4. S. 321) abwechselnd gestellt werden können. In Fig. 6. seien die drei Stative auf den Punkten A B C centrisch aufgestellt. Auf dem Stativ über B steht der Theodolit, auf den Stativen über A und C stehen die Signale Fig. 4. Mit dem Theodolit T misst man nach den gut vertikal gestellten Signal-stäbchcn EE'. Nach der Messung in B bleiben die zwei Stative über B und C stehen, und das Stativ über A wird von dort nach E gebracht. Der Theodolit wandert von dem Stativ B auf das Stativ C, und die Stative über B und E werden wieder mit den zwei Signalen besetzt.

Mit diesem Verfahren haben wir einen mittleren Polygon-Winkelfehler von + 15" erhalten (vgl. §98.), während die Winkel-Messung an sich, in zwei Sätzen, einen mittleren Fehler von etwa + 10" hat.

Zum Schluss wollen wir noch in Fig. 7. und Fig. 8. zwei einfache Geräte vorführen, welche man bei Winkel-Messungen in Städten, auf festem Pflaster u. s. w., brauchen kann.

Fig. 7. ist ein ganz einfaches, 25—30cm hohes Gestell zum Bezeichnen von Boden-Punkten E zur Winkel-Messung auf kürzere Entfernung.

Fig. 8. zeigt einen vom Schlosser gefertigten eisernen Dreifuss zum Festhalten einer gewöhnlichen Bake lotrecht über einem Punkte C auf Pflaster oder sonstigem hartem Boden.

Fig. ö.

Fig. 7.

J)

(Hannov. Sammlung.)

Fig. 8.

--

Hannov. Sammlung.)

§ 97. Lîingenfehler und Querfehler.

Wenn ein nahezu geradlinig gestreckter Zug zwischen den zwei Punkten A und II Fig. 1. gelegt ist, und, in Folge der Messungsfehler, von A ausgehend statt in den

richtigen Punkt B, in den falschen Punkt B' ausmündet, so stellt der Abstand B B' — z den Abschlussfehler nach Grösse und Rich-

Fig. l.

+x

0/

w"

C vv¹

,B'

CQ \

//

tung vor.

Man kann diesen Schlussfehler z in zweifacher Weise in Componenten zerlegen :

1) Projicierung auf die Coordinaten-Axen-Richtungen giebt:

BC — wx

BC - Wy

2) Projicierung auf die Gerade A B giebt :

(1)

BD = w' , B'D = w"

(2)

Wir führen weiter die Azimute cp , <p' und die Längen S , S' der Linien A B und A B' ein, bezeichnen mit xa, ya , xb, y<, die festgegebenen Coordinaten der Punkte A und B, mit [.s sin «] und [s cos «] die in der Coordi-naten-Berechnung des Zuges AB' auftretenden Projektions-Summen, so bestehen die Gleichungen :

-6-6

yA,p

+Y

[s sin n] — (yb — ya) = wv _ yb — ya ~ Xb — Xa

[s sin «]

[.? COS a] ’

tany </>

tang y =

, [s COS ft] - (xh - Xa) = wx

Vb — y a _

sin i/j

[sstna] _ sin y

w'= S'—S

„„n

W =

A q>

OCi) OCa COS Ç)

[S COS a] COS (p

S oder = S'

co

(5)

(6)

Die zwei letzten Gleichungen (6) gelten nur genähert, aber hinreichend genau. Durch diese Gleichungen (1) bis (6) sind alle Fehlerbeziehungen, mit denen wir uns beschäftigen wollen, bestimmt; allein es ist manchmal erwünscht, die Beziehungen zwischen ivx , v)y einerseits und w' , w” andererseits, auf kürzerem Wege zu haben, als durch die Gleichungen (4) und (5). Diesen kürzeren Weg erhält man durch Coordinaten-Umformung nach § 61. S. 195. Wir haben dort, wenn a — 0 und 5 = 0 ist, die zwei Gleichungen angegeben :

y — x' sin s + y' cos e Diese zwei Gleichungen kann man auf Fig. 1. anwenden mit den Bezeichnungen ip statt 6, wx, w,j statt x, y und «/, w" statt x', y' ; wir haben daher: wy ~ w' sin (p + w" cos <p

x = x' cos s — y' sin e

ivx — w' cos <p — w" sin <p

(7)

(8)

hat man :

Diese zwei Gleichungen kann man auch nach w' und w” auflösen, und dann

w' — Wy sin (p 4- iox cos <p

(2)

w" — Wy cos cp — wx sin <p

und cos q> kann man hier auch nach (4) die Seite S mit den Coor-dinaten-Dilferenzen yb — ya und xb — xa einführen, oder man kann auch (um auf die

Statt sin

<p

Formeln und Bezeichnungen der Anweisung IX. überzugehen) für diesen Zweck eben so genau setzen :

[dy]

sin <p = g

COS <J)

_ [dx]

und damit geht (9) über in :

w' =

wu \A y] + w* [d %]

w"

wy [Z1 a?] — wx [A y]

(10)

Wir wollen auch noch den Quotienten q zwischen der polygonometrischen Entfernung AB' — S' und der trigonometrischen Entfernung A B = S einführen, d. h.:

i i S'—S

also q — 1 = —„ b

S'

q = -$-

Mit (10) gieht dieses:

gqK

(11)

Wy [A y~\ -f- wx [A x]

(12)

und wenn wir auch den in Fig. 1. mit A q> eingeschriebenen Verdrehungswinkel </,'—</-ähnlich ausdrücken, so haben wir:

A (p =

w" _ Wy [A x\ — wx [A y\

~S Q ~    S2

(13)

Wenn man noch S² = [Ay]% 4- [Ax]2 setzt, so bekommt man:

icy [Ar] — wx [Ay] [ / V/]² 4- ( /a:|2

ç (I4)*i

.    WU \A y] -B w* \A n\

q ~ [Jy? + [Äxf

Oh man geradezu nach den Formeln (4), (5) und (6), oder nach den Differentialformeln (10), (12), (13) oder (14) rechnen will, hängt von Umständen und vom Gutdünken ab.

<// und die Entfernungen S , S' ohnehin haben muss, was oft vorkommt, dann bieten die scheinbar numerisch kürzeren Differential-Berechnungen nach (10), (12), (13) oder (14), keinen Vorteil gegen (4), (5) und (6). Zur Probe mag es sich empfehlen, nach beiden Arten zu rechnen. Beispielshalber nehmen wir von unserem Zuge § 91. S. 298—299:

[s sin et] =-+-775,39 (y>, — y,v) = 4- 775,65

Wenn man die Azimute

>P »

[s cos «] = 4- 688,49 (xb — #„) = -+- 688,89

Wy =

Damit berechnet man:

— 0,26

wx =

— 0,40

q! — 48° 23' 50” 48 23 25

<p =

S'= 1036,940™ S’ = 1037,402™

4- 25"

S = 4- 0,126 = w"

S'—S= -0,462™

— 0,462 = w'

(15)

Dasselbe bekommt man auch durch die Formeln (9) oder (10).

*) Diese Formeln (14) sind im Wesentlichen dieselben, wie die Formeln für q— 1 und g>, welche auf dem Coordinaten-Berechnungsformular 19. der Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881, rechts oben in Anmerkung stehen; nur ist dort (p, mit Weglassung von p, in analytischem Masse gerechnet.

Graphische Bestimmung um w' und w". Wenn man für einen Zug eine Zeichnung nach Fig. 1. in richtigen Verhältnissen aufträgt, wobei jedoch die Entfernungen S und S', wenn inan sie überhaupt mit aufnimmt, in viel kleinerem Massstab als die Widersprüche w aufgetragen werden, so kann man bei gegebenen ivx und wv, die zugehörigen iv' und iv" aus der Zeichnung entnehmen.

Als ein grösseres Beispiel von Berechnungen nach den oben entwickelten Formeln (3) — (6) u. s. w. geben wir in der folgenden Tabelle die Züge der Lindener Stadt-Vermessung Fig. 1. § 93. S. 305:

Zug

Nr.

S'

S'—S

S'— s

?>-5» n <P ~ «P    ..... «

<?

OOOOOi

825,84™

612,03

807,43

547,31

679,10

562,12

575,65

480,40

474,71

1047,17

923,07

838.75

643.76 743,92

554.62 653,30

1057,65

528,34

524,81

432,84

174.62 325,98 156,28

1092,52

825,63™

611,97 807,29

938.56

643.57 743,73 554,54 653,16    — 0,14

1057,57    - 0,08

528,27    — 0,07

524,70    0,11

432,61 174,56    - 0,06

325,94    — 0,04

156,26    —0,02

1092,49    — 0,03

—    0,21™    — 0,00025

—    0,06    —0,00010

-0,14    —0,00017    —    18

— 0,00018    + 10

—    0,00032

—    0,00021

—    0,00024

0,18    —0,00037

0,12    — 0,00025

4- 24"

•+ 15

+ 31

-t-    6

H- 49

+ 0,10 -h 0,01

—    0,07 4- 0,03

—    0,01 4- 0,04 4- 0,09

■ 4- 0,01 — 0,00 — 0,10 -4 0,34

—    0,17

—    0,02 - 0,00 + 0,02

—    0,04

-    0,02 4- 0,02 4- 0,11 — 0,03 4- 0,02 + 0,02 + 0,04 -0,17

Sa. 24    15362,22™

15359,22™    — 3,00™    — 0,00504

+ 463

+ 1,48

Mittel

CO

15361

— 0,00019

— 0,00021 + 0,00002

+ 19”

+ 0,06™

(16)

Gesamtmittel — 0,00020

Wir wollen von dieser Tabelle zuerst den weniger wichtigen Teil erledigen, nämlich die Verdrehungen cp— cp mit dem Mittelwert + 19” und die Querkorrektionen mit dem Mittelwert + 0,06™.

Diese Werte sind befriedigend, sowohl nach Grösse als nach Vorzeichen Wechsel.

Viel mehr Interesse bieten die Längenfehler S' — S, welche alle in gleichem Sinne auftreten und im Mittel rund — 0,00020 oder 0,20’“ auf 1000’" ausmachen. Da unsere trigonometrische Basis schlechthin vorläufig war, wie wir schon zu Anfang, § 73. S. 229, angegeben haben, können wir daran denken, nicht unsere Züge nach dem trigonometrischen Netze zu korrigieren, sondern die Basis unseres Netzes zu verbessern, d. h. jetzt anzunehmen, (nach 16):

(17)

Basis = 2392,456 (1 — 0,00020) = 2391,98*

Dieser Wert wurde in der „Zeitschr. f. Verm. 1888“, S. 18 veröffentlicht; inzwischen sind die Neumessungen der trigonometrischen Abteilung der Landesaufnahme verfügbar geworden, und nach diesen ist:

(18)

Basis = 2391,67”*

Dieses ist nur um 0,31m kleiner als unser lediglich aus den Polygonzügen abgeleiteter Wert 2391,98 nach (17).

Betrachtet man die Differenz 0,31m als einseitig wirkenden Fehler unserer Längen-Messungen (§ 95. S. 315), so macht das, relativ gerechnet, einen einseitig positiven Fehler von 0,13“ auf 1000“, was sehr wahrscheinlich ist.

S’—

Wenn die Differenzen S’— S oder

einer Seite (-f- oder —) hin neigen, was bei genauer Behandlung fast immer der Fall sein wird, so bringt man an den Längen-Messungen eine entsprechende konstante Verhältnis-Korrektion (logarithmisch) an.

S

-- in einer Yermessuug zv,'eifellos nach

§ 98. Fehler-Gesetze der Zugmessung.

Nachdem in den vorhergehenden § 95. und § 96. die Längen-Messungen und Winkel-Messungen für sich behandelt worden sind, können wir die wichtigsten Gesetze über die Zusammenwirkung der Einzelfehler in der Zugmessung behandeln.

Wenn der mittlere Winkelfehler (einschliesslich Excentricitäts - Einflüssen) in allen Punkten eines Zuges als gleich angenommen wird, etwa = -4- e, so ist bei n Winkel-Punkten, der Schlussfehler w die Zusammenwirkung von n Einzelfehlern:

IC= + {+ { + t-|- . . . .

vfl — e² -+- ć² -j- s² —|- . .    = n e²

w = s Yn

Wenn eine grössere Zahl von gemessenen Zügen und die Abschlussfehler w derselben vorliegen, so erhält man aus jedem Zug einen Wert e², nämlich nach (1):

™3²

(1)

wY

wY

e3² —

«l² =

n\

Wenn die Anzahl der verfügbaren Züge — z ist, so wird der Mittelwert von ‘e :

. = /!(-

r z V nx

Wir wenden diese Formel auf die Hauptzüge des Lindener Netzes Fig. 1. § 93. S. 305 an, d. h. auf diejenigen der dort gezeichneten Züge, welche unmittelbar zwischen trigonometrischen Punkten liegen (die Punkte (10), (62) und (20) gelten als „heruntergebrachte“ Punkte wie trigonometrische Punkte). So wurde folgende Tabelle von 14 Zügen erhalten:

f-Y —

ns

wY wY wY

ns

Nr.

Zug

ÎU²

von

bis

iv

CO

Falke— Altenthor Altenthor—(10) Falke—(20)

(20)—Victoria Köterholz— Küchengarten Küchengarten—Falke Falke—(12)—Falke Köterholz—Limmerbrücke Victoria -Köterholz V ictoria—Küchengarten (62)—Hamelnstrasse Hamelnstrasse—Altenthor Altenthor—Bahnhof Victoria—Davenstedt. Str.

HCCOIMWM^ÜIC-IOCOWOO

+ 51"

+ 22 + 17 — 21

—    48 + 22 + 23

—    47

325

97

32

55

329

69

106

552

+ 21

+ 41

—    14

—    49 + 13

—    67

147

336

65

480

21

408

3022

Mittlerer Winkelfehler :

«=/

302a

14

= + 15"

(3)

Dieser Wert ist sehr klein, die Genauigkeit wurde hauptsächlich durch die in § 96. S. 321 beschriebenen Signal- und Umsetz-Vorrichtungen erreicht (vgl. S. 322).

Im allgemeinen ist die Polygon-Winkel-Genauigkeit in der Praxis bei gewöhnlicher Feldmessung geringer, nämlich der mittlere Winkelfehler etwa + 30" bis + 1'.

Die Anweisung IX. vom 25. Oktober 1881, S. 22, § 39. 3., deren höchste zulässige Abschlussfehler wir bereits in § 91. S. 300 angegeben haben, setzt:

Grenzwert wmax= 1,5' ÿw

was einem mittleren Winkelfehler von etwa 30" entspricht.

Wenn man nun weiter nach den Punktverschiebungen in einem Zuge fragt, so hat man sich zuerst über das Wesen der ungünstigen Winkelfehler-Fortpflanzung Rechenschaft zu geben, welche in einem solchen Polygon-Zug stattfindet.

Wir beschränken jedoch unsere Betrachtung im Anschluss an Fig. 1. auf einen nahezu geradlinig gestreckten gleichseitigen Zug.

In diesem Falle sind die Längenfehler und die Winkelfehler von einander unabhängig, denn die Längenfehler erzeugen nur Verschiebungen in der Hauptrichtung des Zuges, und die Winkelfehler erzeugen nur Verschiebungen quer zur Zugrichtung.

Über die Verteilung der Längenfehler in einem geradlinigen Zuge haben wir bereits früher in § 12. S. 29 bis 30, alles gesagt, was hierüber theoretisch zu sagen ist.

Wir beschäftigen uns nun mit den Querverschiebungen, und betrachten in Fig. 1. einen Zug, welcher von einem

A_s_ J.

Fig. 1.

------

s C

--o-

s D

—o-

L=ns

(n-2)s

(4)

D'

jć|

O—

F' G¹

-Ô

festen Punkte A mit gleichlangen Seiten s sich nahezu geradlinig nach B , G ... G erstreckt.

Wenn in irgend einem Punkte C ein Winkelfehler a stattlindet, so wird dadurch der ganze folgende Teil C , D ... G des Zuges um den Winkel e verdreht, d. h. wenn C der dritte Punkt von Anfang an ist, so ist:

q — G G' — (n—2) s e

Nach diesem Gesetz hat man folgende Fehler-Häufung: Winkelfehler e im Punkte A giebt:

= 4- ns s

J)

<1\

— + (n — 1) ss

32

qn-2 — 4- 2 s e

T)

Qn -

= + 1 s«

Die Zusammenwirkung aller dieser Fehler giebt den mittleren Querfehler: v)q = y [ns t)² 4- ((n — 1 ) s e)² 4- ... (2 s e)² 4- (s s)²

Wq — s e \')fi + (n — l)² 4- ... 2² 4- l²

Nach der Theorie der Reihen*) lässt sich die Summe der Quadrate in geschlossener Form darstellen, nämlich:

12 4- 22 4- ... (n — 1)2 4- n² =

2 n'⁽ 4 3 «² 4 n i

also : mq

= sel/

2«³4 3»²4»

(6)

30" : (/'). Damit berechnet man für verschiedene Werte n

Dieser Ausdruck zeigt deutlich, wie rasch die Querabweichung wächst. Wir wollen eine Seitenlange s = 150”* und einen mittleren Winkelfehler e — HH 30" annehmen (in der Formel folgendes:

Zahl

Mittlere

Länge

der Seiten des Zuges Querabweichung

]j - ns

m,,

750m

10

1500

15

2250

20

3000

Ił Ił 1+1 +

Wenn n eine einigermassen grosse Zahl ist, so kann man in der Formel (6) eine sehr gute Näherung ein führen. Man kann dann vfi und n gegen n³ vernachlässigen, und hat damit:

m,,

= ssj/

■«

(8)

Weiter setzt man nun nach Fig. 1.:

(9)

*) Im folgenden § 90. wird in Gleichung (19) und (20) diese Summierung näher betrachtet werden.

Wir haben daraus in Worten den wichtigen Satz:

Die mittlere Querabweichung mq eines langen Polygon-Zuges wächst proportional der 1 i/₂-Potenz der Gesamtlänge L und ist umgekehrt p'oportional der Quadratwurzel aus der Streckenlänge s.

Aus dem letzteren folgt, dass bei Theodolit-Zügen die Seiten s möglichst lang genommen werden sollen.

Im Gegensatz hiezu steht der Bussolen-Zug (und die Nivellierung), welcher, wie wir später sehen werden, das Fehler-Gesetz hat:

(ID

niq = t' Y Ls

d. h. bei einem Bussolen-Zug wächst die mittlere Querabweichung proportional der Quadratwurzel der Streckenlänge s, und deswegen sollen die Seiten s beim Bussolen-Zug möglichst klein gemacht werden.

Dagegen ist der mittlere Richtungsfehler e in (11) bei einem Bussolen-Zug viel grösser als der mittlere Winkelfehler t in (10) bei einem Theodolitzug, nämlich etwa e’ — + 0,1 ° — + 6', während für den Theodolit, wie wir gesehen haben, nur etwa t'— +30", d. h. der zwölfte Teil von e anzunehmen ist.

Man kann daher die Vergleichung beider Arten von Zügen so fassen:

Der Theodolit-Zug ist im einzelnen sehr genau, hat aber eine ungünstige Fehler-Fortpflanzung, und soll deswegen möglichst lange Seiten s (bis 300”') haben.

Der Bussolen-Zug ist im Einzelnen ungenau, hat aber eine sehr günstige, auf weite Entfernungen brauchbare Fehler-Fortpflanzung, und soll möglichst kleine Seiten s (20™ bis 50m) haben.

Man kann diese Verhältnisse noch anschaulicher machen, wenn man die beiden Gleichungen (10) und (11) durch Kurven darstellt.

Die Verteilung eines Winkelsummcn-Widerspruchcs iv auf die Brechungswinkel haben wir schon in dem Zahlen-Beispiel von § 91. S. 298 ohne Theorie erledigt, indem wir den Widerspruch w gleichförmig verteilten.

Will man diesen Fall theoretisch behandeln, so wird man auf dieselben Formeln geführt, welche wir schon früher zur Ausgleichung von Längenmessungen in § 12., S. 29—30, aufgestellt haben.

Wir betrachten einen Zug von n Winkelpunkten in zwei Teilen, so dass n = Wj -t- m₂ ist. Dann lässt sich das Azimut der Strecke, welche zwischen dem nt teil und dem (•«, + l)ten Winkelpunkt liegt, in zweifacher Weise ableiten:

1)    Vom Anfangspunkt her über gemessene Brechungswinkel ß, deren mittlerer

Fehler

und damit wird (8):

Ml, =

-rj/™ - 0,577 e j/U>

(10)

ist, also mit dem mittleren Fehler e ]/ ni oder mit dem Gewicht p^ = -.

n\

2)    Vom Endpunkt her über «₂ gemessene Brechungswinkel, entsprechend mit

dem mittleren Fehler t. ]/m₂ oder mit dem Gewicht p₂ — -

n₂

Die Summe [/?] der gemessenen Brechungswinkel soll gegen die Azimute einen Widerspruch w geben, man hat also wieder die Aufgabe von § 12. S. 29, und man kann die dort entwickelten Formeln auf den neuen Fall anwenden, wenn man an Stelle von l und V bzw. nx und w₂ schreibt, und auch L durch nx -+- n₂ ersetzt. Auf diese Weise giebt uns die frühere Formel für M auf S. 30 :

(12)

y Hi n2 nx -+- n₂r 1 z

M bedeutet jetzt das ausgeglichene Azimut der Strecke, welche zwischen den zwei Brechungspunkten ny und ny 1 liegt.

Der mittlere Fehler eines ausgeglichenen Azimutes ist somit am grössten in der

CO S

Mitte des Zuges, woselbst n— n' ist, und erreicht dort seinen Maximalwert Mm„s.=

gebogen werden. Weiteres

Weil hiernach die ausgeglichenen Azimute an verschiedenen Stellen des Zuges sein¹ verschieden genau sind, darf ein Theodolit-Zug zum Zweck der Ausgleichung nicht als ein starres Ganzes gedreht werden, sondern er muss hierüber giebt die Theorie des folgenden § 99.

§ 99. Fehlertheorie dos gestreckten gleichseitigen Zuges.

Fig. 1.

(%

(n-i)

a₃

ßn-t

rtj

(i) >

(n)

-i x

ß,

von

Wir betrachten in Fig. 1. einen Zug von nahezu geradliniger Erstreckung gleich langen Seiten, mit n Brechungspunkten, also mit n — 1 Seiten von der Länge s.

Die nahezu geradlinige Erstreckung ist so aufzufassen, dass alle Brechungswinkel so nahe = 180° sind, dass auch die Azimute alle nahezu gleich bleiben, und indem die Haupt-Zugs-Richtung als X-Axe genommen wird, sollen die Azimute « sämtlich so klein sein, dass in den Genauigkeitsberechnungen sin a — a und cos a — 1 gesetzt werden kann.

Da hiernach die Brechungswinkel nach gewöhnlicher Zählung alle nahezu =180° sind, stellen wir, um stets mit Meinen Winkeln zu thun zu haben, nur die Differenzen gegen 180° in Rechnung, und bezeichnen dieselben mit ßx /?₂ ... /?„, wo jedes ß positiv oder negativ gezählt sei, je nachdem der neue Strahl von der Verlängerung des vorhergehenden Strahls nach rechts oder nach links abweicht.

Bei diesen Annahmen wird die Ausgleichung der Längenmessungsfehler von der Ausgleichung der Winkelmessungsfehler unabhängig.

Wir behandeln daher im Folgenden nur die Ausgleichung der Winkelmessungsfehler, für welche zwei Bedingungsgleichungen bestehen: 1) die Azimutprobe, 2) die Ordinatenprobe.

Die Azimute a selbst setzen sich aus den Brechungswinkeln nach der angenommenen Zählweise der letzteren so zusammen:

«1 = fr

«2 = ßl + ßi

«3 = ßl + ßz + ß3

ß„-

«»-1 — ßX -}- ßo -f- ß₂ +

b ccn-i — üj -f- Ü2 d- bÿ -+- • • . . d⁻ b„,

(ö)

hieraus bildet man die Summe:

«1 + t¹2 ~1~ a3 “F • • ■ an-l — (w-1) ßl + (n-2) ~F (n-3) /?3 -4- . • • -f- 2 ßn — 2 + ßn-1 (2)

Die erste Bedingungsgleichung heisst:

ßl •+■ ßz + ßs "F • • • •

■+" ßn — 1 + ßn ... -+■ W — 0

(3) ¹)

wo w der in der Azimutprobe zu Tage tretende Gesamtwinkel-Widerspruch ist. Dieser Widerspruch soll durch Zufügung der Korrektionen § zu den Winkeln ß getilgt werden, woraus folgt :

bn-1 -f-    — w ~ 0

ül + ^2 “F ^3 + • • • •

Die zweite Bedingungsgleichung heisst zunächst:

(4)

(5)¹)

s sin «i -f- s sin «₂ -+- s sin «₃ -+- ... s sin an~i    iv' = 0

wo w' der beim Durchrechnen der Coordinaten mit den unverbesserten Winkeln ß, bzw. mit den unverbesserten Azimuten a, zu Tage tretende Ordinatenwiderspruch ist.

(Dieser reine Ordinatenfehler w' tritt bei den praktischen Rechnungen meist gar nicht auf, weil man fast immer die Coordinatenrechnung mit den bereits nach (4) ausgeglichenen Winkeln und Azimuten ausführt.)

Der Widerspruch w' in (5) soll durch die Verbesserungen b a der Azimute getilgt werden, d. h. :

S sin (oej -j- b ccj) -f- .S sin (cc₂ 4- b cc₂) —(- . . . -¹ f- S sin {cin~\ d- b <Xn — i) d- ... — 0 S {sin CC} d~ b cc| COS otj) —[— s {sin cc₂ d~ b cc₂ COS cc2) + ....

Da der gemachten Annahme zufolge überall cos a = 1 gesetzt werden kann, so folgt aus der Verbindung vorstehender Gleichung mit der Gleichung (5):

d-SÖ CC,,-i w' — 0

oder

d- ... = 0

(6)

S b cc± d-S b    d- S b ctg -f- ...

Die Azimutfehler ba setzen sich aus den Fehlern b der Brechungswinkel ß nach Gleichung (1) zusammen:

b aj =

b «2 — ^1 d⁻ ^2

b «3 — üj d~ ü₂ d- Ô3

(7)

b «j d- b <¹2 d- b 0f₃ d~ . . . b ccn—1 — {n — 1) üj -J— {n — 2) b% -+- {n — 3) Ü3 d- . . . |

2 bn-2 + bn—

Aus (6) und (8) ergiebt sich die auf die Messungsfehler b bezogene Ordinaten-Bedingungsgleichung :

s \(n — 1) üj —(- {n — 2) ü₂ d~ {n — 3) ü₃ -f- ... d- 2 bn—2 H- Ô»—1] — w¹ — 0    (9)

Die Gleichungen (4) und (9) enthalten die beiden unabhängigen Bedingungen unserer Aufgabe für Richtungs- und Ordinaten-Abschluss beim Durchrechnendes Zuges.

Es wäre aber nicht nützlich, auf diese beiden Bedingungsgleichungen (4) und (9) sofort die Ausgleichung zu gründen, weil die Gleichung (9) nicht symmetrisch ist Man kann es erreichen, dass das Glied [ab] der später aufzustellenden Normalgleichungen gleich Null wird, wenn man die Gleichung (9) symmetrisch macht; und ein zweiter Vorteil wird dadurch in Bezug auf den Ordinatenwiderspruch w' erreicht werden.

Diese Symmetrischmachung besteht darin, dass man zu (9) die mit s U ₍ ^

u

multiplizierte Gleichung (4) hinzufügt, und subtrahiert, dieses giebt:

(n — 1 n — 3 n — 5    n — 5    n — 3

-1

(10)

s I y    2 H-----2~    ' '    2 ®" ~²---2—

n — 1 2 "

Die Mittelglieder, welche hier nur durch ... angedeutet sind, gestalten sich verschieden, je nachdem n eine gerade oder ungerade Zahl ist; wir werden nachher . darauf zurückkommen. Vor Allem interessiert uns aber das Absolutglied der Gleichung (10). Dieses Absolutglied ist nichts Anderes, als der Ordinaten-Widerspruch w", welcher nach erstmaliger Verbesserung der Brechungswinkel ß (vgl. (3) und (4)) sich 'einstellt.

Um dieses zu beweisen, und um zugleich die übrige dadurch bedingte Ausgleichung vorzubereiten, zerlegen wir jede Winkelverbesserung in zwei Teile:

(H)

8 = u —1— v

wo u derjenige Teil ist, welcher nur von der Summcngleichung (3) oder (4) gefordert wird, und v derjenige Teil, welcher der Ordinatenprobe entspricht; d. h. man hat nach (4):

ÎI] — W>2 — W3 — . .

Un —

(12)

und wenn man nun in (9),    = Uy -t- Vy , 8$ = u₂ +    ... einsetzt, erhält man:

(13)

s ^(n — 1) ™ -+- (n —- 1) v-y + (« — 2) ™ + (n — 2) t?₂ -ł- • • •

— w' - 0.

₀ w    w

2-----f- a Vn — 2 “f“----h Vn — 1

Die Glieder mit w zusammengefasst geben :

w r,    ,,    „    iv n — l

s [(« — 1) + (n — 2) + ... -+- 2 + 1] = s — n n    n 2

und damit wird (13):

S [(><—1) Vy -f- (ti—2) V<>    -j- 2 üB_j| -P- v„_ 1 ] — (^w — s y

w I =. 0

(14)

Damit ist die auf das Absolutglied von (10) bezügliche Behauptung bewiesen, denn nach erstmaliger Verbesserung der Brechungswinkel um die Beträge u, bleibt eine auf die Restkorrektionen v bezogene Bedingungsgleichung (14) übrig, welche dasselbe Absolutglied hat wie (10). Nennen wir dieses Absolutglied nun iv" (dasselbe, welches bei dem üblichen praktischen Polygon-Berechnungsverfahren allein auftritt), so haben wir in (4) und (10) zwei unabhängige Bedingungsgleichungen, welche nach der Correlatenmethode weiter behandelt werden können. Zur Übersicht schreiben wir diese zwei Bedingungsgleichungen nochmals zusammen :

u) Üj -+- f>2 ■+■ Üg . . . -j- 8n —2 -f- 8„—1 +    — W = 0

I 4 H

b) s —

(4*)

- W §2 “ł⁻ $ ~

n — 5

2~ h — s 2 n-— 1

8n-'i - S

8u-i

(10*)

-s~2

8n - W" — 0

Denkt man, die Coëfficienten dieser beiden Gleichungen seien beziehungsweise «4 a₂ «3 ... und bx b₂ b₃ .. ., dann hat man bekanntlich die beiden Normalgleichungen zu bilden:

ungen auf:

[a a] 7t 4 -f- [« b] /c₂ — w = 0 [a b] fc] + [ft &] fr₂ — iv" = 0 Da aber in unserem Falle [ab] - 0 wird, so reduzieren sich die Normalgleich-[a a] ki — w — 0 [b 6] k2 — w" = 0

Hat man hieraus k\ und /c₂ bestimmt, so wird :

Ô4 = Uy -+-    — fl] fcj -+- 64 jfc₂

^2 = W₂ + ^2 = «2 ^1 ~t~ ^2 ^2

(15)

(16) •

und wenn es sich nach der Ausgleichung darum handelt, das Gewicht P einer Funktion zu bestimmen, welche sei:

F = fl ßi + fi ß2 + fz h + • • •

so hat man nach Band I. § 42. S. 104 dafür zunächst die allgemeine Formel:

(17)

-[ff] {[««]+ [66.1]}

welche jedoch in unserem Falle, wegen [a b] = 0, sich reduziert auf :

= [ff] ~ {

W.

[« a] ^ [bb]

(18)

Zur weiteren Ausführung dieser Formeln ist es nötig, die gerade oder ungerade Zahl n der Brechungspunkte als besondere Fälle zu unterscheiden, es dient deswegen zur Verdeutlichung, zuerst zwei besondere Fälle, n = 7 und n = 6, zu behandeln.

Erster besonderer Fall n = 7.

Die Bedingungsgleichungen (4*) und (10*) werden -j- ö₂ -\- S₃ -j-    -f- 65 -f- S₆ +

3sÔ, -f 2s Ö₂ + « h . . . — sÔ₅ — 2sô₀ — 3.sö₇ — w" — 0 Die Coëfficienten der Normalgleichungen (15) werden :

[aa] = 18-t-18-j-... = 7 [b 6] = 2 (32 + 22 + 12) S2 ₌ 28 «2 ₇    w"

h - + 28s2

n? — 0

,    w

h — ~T rj

Die Winkel-Verbesserungen:

w ,

8l — ul-hv₁ = Y~r

w ,

<>2 — u2 +    — y "4~

„ w , ô3 — US + VB — y +

<^4    ¹ W4 “D ^4--rj

Die Korrelaten :

3 uT_

28 T

2 w"

28 IT

1 w"

28 g

1 «/'

*5-**5 + «5-y —2g — 2 w"

»•

*o = u6 +    = -rj — 28

3 w"

6y_Ul + v^ _ -₂-t

Die Azimut-Verbesserungen :

3 w"

28 T

5 w"

8 ai —

5 «₂ = 2 ~ H-^ Ÿ w 6 w"

ö«₃ = 3t + 28T

5«4 = 4T + 2gT

^ ß5 — 5 y +

8«6 = ()y +

_ w

5 «7 = 7    +0

</■

5 «/'

28 g

3 w"

28 T

(19)

Die Funktion F, deren Gewicht nach der Ausgleichung bestimmt werden soll, sei die Ordinate des mittelsten, vierten Punktes, d. h. nach (17):

F = s sin + s sin «₂ -f~ s sin a3 d F — S d cc₄ —f— S d cc₂ -f- $ d <*3

oder, wenn man nach (7) die Azimutfehler da in den Winkelfehler d ausdrückt.:

(IF — s -f- s (Ô] + S₂) -I⁻ & (^i + do -j- 5₃) 3 S öj —j⁻ ^ 8 0₂ —f— S ê₃

Damit hat man folgendes Coöfficienten-System :

f% — 2 s

«2 = 1 b₂ = 2 s

A = 3«

= 1

hi = 3s Damit wird nach (18):

ft = ls

«3 = 1 ft₃ = iS

[ff] = US2 [«fl = 6*

[6 fl = 14«²

196.0

28 »2

J = (14 — 12,14) s² = 1,86 «2

(21)

und der mittlere Fehler der Funktion F wird:

(22)

y1,86 = 1,36 es

wo e der mittlere Winkel-Messungsfehler ist.

Zweiter besonderer Fall n — 6.

Die Bedingungsgleichungen (4*) und (10*) werden:

a)

*1

+ Ö₂ + dÿ + Ô4 -f- S5 -j- dß

b)

— te"= 0

Die Normalgleichungs-Coëfficienten werden :

[aa] = 12+ 12+ ... = 6

DO Cn

S2

Die Korrelaten:

5 w"

4«;

*• = + <T

Die Winkel-Verbesserungen :

„    5 w"

₆    +g₅ —

_    .    w . 2> w"

«₂-«₂ + ®a = -g +85 7-

îü 1 M?” «3-**3 + »S= 6 +₃₅ —

„    w 1 so"

S₄-u₄ + «₄- ₆ -₃₅ -

c    ,    w 3 w"

05_tt5 + „5 = T-_T

_    w 5

S₆-M₆+^-g--₃g s

2w"

35 s² '

Die Azimut-Verbesserungen: ä    w 1

äni- T+357

w 8 iv" ô“²“ 6“ ⁺ 35T t 3 w 9 tv" ⁰“3 = T+35 T

8 w" 6 ⁺35 7 5w 5 w" d« 5-X + 35T

d a$ — W

Die Funktion F sei die Ordinate des dritten Punktes, also: F — s sin ay + 8 sin a₂

also:

d T — s (Ï ccy —f- s d ec₂ — s (üj ) —f— s (öj Ö₂) — 2 s öj +- s Öo fl =2 s ay — 1

₆=⁵

fz = 0

[/ f\ = 5 s2 [«/'] = 3 s

13

U>f] = 2 s2

{ + +    = ⁵ - O.⁵ + ².«⁴) *s

~ = (5 — 3,914) s² = 1,086 s2 M= 1,042 es

= 5 *2

(24)

Um zum allgemeinen Fall überzugehen, brauchen wir die Summenformel für arithmetische höhere Reihen.

Es seien y , ây , A^y die Glieder einer solchen Reihe, und S die Summen, wie folgendes Schema andeutet:

LC

A² ?/2

dann ist die Summe Sr der r Glieder Sr = y y 4- y2 ■+■ 2/3 + • • • y<- ausgedrückt durch :

r r — 1 r — 2 Aa

3 A*y 1 + .. .

&■ =

(25)

Wendet man diese Formel z. B. auf die Quadratzahlen an, welche eine Reihe der zweiten Ordnung gehen, so hat man:

2/1 = 1    , 2/yi = 3

,    ^²2/i = 2

und damit giebt die Formel (25) :

Sr = l² -4- 22 + 32 + 42 + ... r² = -1 (1 + 3r 4- 2 r²) ^

—2— > so erhält man für ungerades n :

( y) _ 1 \ 2    11

12 + 22 + 32 + 42 +..^ ₂ j = ^(M-1)(»+1)

Setzt man hier r —

(2G)

(27)

ferner berechnet man unmittelbar noch (25):

1 \2

3 \2

— 1\2

24

(28)

Zur Bildung von [h f] für gerades n wird erforderlich sein : n — 4

r=n

&/■

s²

s² ,

DO C*r

¹⁰ s2 2 '

li s² ,

s²

IC W IO W

s²

(29)

s²

«² ,

⁼ ä(n+T) (w~²⁾*²

Die Anwendung der Formel (25) gieht in diesem Fall:

(30)

für n ungerade: [bf]

Die Summe einer arithmetischen Reihe erster Ordnung, deren erstes Glied yx, letztes Glied y„ und Gliederzahl r ist, wird gegeben durch die Formel:

(31)

S — (Vl "+• U'>) ~2

Nach dieser Vorbereitung kann zur allgemeinen Aufstellung der Normalgleichungen (15) und der Gewichtsformel (18) geschritten werden:

Erster allgemeiner Fall, n ungerade.

[an] = n

[6 h] = 2 112 + 22 + ... (—g -j²j s2 = i2 (» — 1) (» + 1) s® |

(31a)

Wenn die Funktion F sich auf die Ordinate des Mittelpunktes bezieht, so wird :

n — 3

= 2 S ’

2s

«1 = 1 n

hl =

7*

M

[ff] =2i(n-l)(n+l)«*

(n -+- 1) (n— 1)

"--8--Ä

[bf] = 24 (n~ l)(w + ])s2

— 2Ą (n — ¹) (n + 1 )/s'² — (

[af] =

{n + l)² (»— l)²

+ ₄n₈(«-l)(w+l))s² (32)

Zweiter allgemeiner Fall, n gerade.

[« a] — n

i» »=2 {(ijv (i)+ •.. (V)²} =r₂ (»-!)(»+o ^

(32a)

Da in der Zugmitte selbst kein Brechungspunkt ist, so soll die Punktion F sich auf den Punkt unmittelbar diesseits oder jenseits der Zugmitte beziehen (z B. bei « = 6 auf den dritten Punkt), dann ist:

2s

. n— 1

fl~ 2

CL\ =    1

h n

h = -

n — 3

⁼ ~2~'S ’

2“* ’

[/7] = |^-1)0-2)s2

r    n — 2

[af] = n —g—s

⁺ 2 ) (« — 2) «2 ix,,-2)s2-( fi4

DO Ol

1 \2

(n — 2)2

48 (n + 1) (n -1) J ⁶'2 Wenn n eine grosse Zahl ist, so dass man näherungsweise n—1 = n -+- 1 u. s. w. setzen kann, so geben die beiden Formeln (32) und (33) übereinstimmend:

n (n 2)² n

T,

(33)

nß »2 ns' P ⁼ 124 — 64 ~ 48,

s² =

riß

192

(8--3 — 4) s2 =

vß

192

«2

(34)

Z. B.

n — 7 giebt — = 1,79 s² gegen 1,86 s² nach (21).

ü=6 giebt — 1,13s² gegen 1,04s² nach (24).

Die Näherungsformel (34) ist also wohl im Stande, die Genauigkeits-Verhältnisse, unabhängig von der Unterscheidung ungerader oder gerader Punktzahl, darzustellen.

Wir entnehmen nun zuerst aus dieser Formel (34), wie ungemein günstig die

vß

richtige Ausgleichung auf die Zugs-Genauigkeit wirkt, denn das erste Glied - - s² ent-

itß

192

*2,

spricht dem mittleren Fehler-Quadrat v,or der Ausgleichung ; und der Wert

0,354 des-

welcher nach der Ausgleichung gilt, ist nur noch ^ des entsprechenden Wertes vor der Ausgleichung, oder ein Zug von n Seiten, welcher am Anfang und Ende abgeschlossen und richtig ausgeglichen ist, lässt in der Mitte nur jenigen Wertes als Querverschiebung fürchten, der bei einem offenen, vom Anfangs-

ÏI

punkt mit Seiten bis zur Mitte geführten Zuge zu fürchten wäre.

Um Zahlenwerte einzuführen, gehen wir vom Gewicht P zu dem mittleren Fehler M über:

/i—y*

192

(35)

22

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

dabei ist M der mittlere Querverschiebungs-Fehler in der Mitte des Zuges, e der mittlere Fehler eines gemessenen Brechungswinkels, s die Länge einer Zugs - Seite, n die Anzahl der Brechungspunkte, oder auch, bei einem langen Zuge (entsprechend den bei (32) und (33) zugelassenen Näherungen), n die Anzahl der Zugs-Seiten. Wir führen nun noch die Gesamtlänge L des Zuges ein :

L — ns oder

also :

(36)

ykV"=⁰'⁰⁷²²*/

Diese Formel enthält das Fehler-Fortpflanzungs-Gesetz für nahezu geradlinige Theödolit-Züge mit gleichen Seiten. Dieses Gesetz heisst in Worten:

Die mittlere zu fürchtende Quer Verschiebung des Zuges wächst 'proportional der Potenz der Gesamtlänge L und ist umgekehrt proportional der Quadratwurzel der Zielweite s.

(Dieses ist dasselbe Gesetz, wie für einen offenen Zug (10) § 98. S. 329.)

Man soll also die Zielweite s möglichst lang nehmen (im Gegensatz zu Bussolen-Zügen und Nivellements, wo die Zielweiten möglichst klein genommen werden müssen). Um auch eine quantitative Fehler-Berechnung zu erhalten, nehmen wir den

30"

, , womit man erhält:

mittleren Winkelfehler s = 30" oder zum Einsetzen in (36), e =

(37)

= 0,0000105 j/L*

Hiernach ist folgende Tafel berechnet :

Mittlere zu fürchtende Querverschiebung in der Mitte eines Zuges.

Länge

des

Länge der einzelnen Seiten des Zuges s

Zuges L 50™

100™

150™

200™

250™

300™

500™

1 000

1    500

2    000 3 000 5 000

o o o o o o Ai 1c i-* o o o ts ^ os œ w co

o o o o © o CO t—* o o o o

<1 <1 O Q 05 H

o o o o o o os m b b b b o A 00 Ol M H

: § s q q ą

. o' o o o ö~

: § s § q ą

. o o cT o o

•    •    'S*    kO    O    T—I

•    ■    ®    °„    T1

.    .    ©    o    o    o

Cft

CO

Wenn die Zugs-Seite s in der Gesamtlänge L nicht aufgeht, z. B. s— 150™ bei L = 500™, so gilt die Berechnung nach (36) oder (37) nur genähert, wie ja überhaupt schon hei (32) und (33) ähnliche Näherungen eingeführt wurden.

Die Tafel (38) gieht die mittlere zu fürchtende Querverschiebung M des Zuges unter der Voraussetzung, dass die Ausgleichung streng nach der Methode der kleinsten Quadrate erfolgt sei. Da dieses in der Praxis nicht der Fall ist, hat man den wirklichen mittleren Fehler etwas grösser zu schätzen.

Zum Schluss wollen wir noch eine graphische Darstellung des unter (20) behandelten Falles in Fig. 2. entwerfen. Es handelt sich um einen Zug von 7 Brechungspunkten und 6 dazwischen liegenden gleich langen Seiten s.

Fig. 2.

(V

(2)

0)

(4)

(5)

(0)

Q'

K-

Cc

i-

-f

Si

K— S---->1

Die unmittelbare Messung, welche in A beginnt und daselbst die feste Gerade A P zur Orientierung benützt, soll den schwach und gleichförmig gekrümmten Zug AB geliefert haben, wobei in B der Azimutwiderspruch QBQ — w sich einstellt. Um diesen Widerspruch zu tilgen, verteilt man ihn auf die 7 Brechungswinkel gleichförmig, und erhält dadurch die Linie AB', welche vermöge der gleichen Verteilung von w als eine Biegung von A B erscheint.

In unserer Figur ist angenommen, dass zufällig AB' eine Gerade werde, damit die Krümmungsverhältnisse zwischen AB, AB' und AB" deutlich hervortreten; es ist durch Annahme dieses Zufalls der Allgemeinheit insofern nicht vorgegritfen, als es sich nur um die relative Formveränderung eines stets nahezu geradlinig gestreckten Zuges handelt, so dass z. B., wenn AB' die erste durch Messung erlangte Form wäre, AB die zweite Form darstellen könnte.

Die Form und Lage AB' ist deswegen nicht endgültig, weil der anderwärts unabänderlich gegebene Endpunkt des Zuges B" verfehlt worden ist; oder der erstmals durch reine Winkelausgleichung verbesserte Zug liefert bei der Coordinatenberech-nung den Ordinatenwiderspruch w" (von dem Abscissenwiderspruch, welcher durch reine Distanzverbesserungen zu tilgen wäre, ist hier überhaupt nicht die Rede.)

Die unter (20) S. 333 gegebenen Resultate zeigen nun in graphischer Darstellung, dass der Zug AB' in die Endlage AB" durch abermalige Biegung gebracht werden muss, und zwar so, dass die Krümmung von AB" relativ gegen AB' einen Wendepunkt erhält.

Wir wollen diese Biegung des Zuges noch etwas weiter verfolgen, und suchen zu diesem Zweck zuerst die zweiten Winkel-Korrektionen v auf, welche nach (16) sind:

= bl lc₂

v2 — ^2 ^2

[bb] — w"= 0

Dabei ist nach (15):

also:

[M

b₂ „ A w"

[Ml

Vr =

br

— w"

[66]

Die b sind nach (29) :

(39)

h n bi — -

Da die Azimut-Korrektionen b a die Summen der vorhergehenden Winkelkorrektionen v sind, so bekommt man für das Azimut ar der rten Strecke:

wn

bdr — V1 -ł⁻    H⁻ • • • “t“ Vr = {by -+- &₂    &r) j-^ ^ S

(40)

Die b bilden nach (39) eine einfache arithmetische Reihe, deren Summe wird:

,    , ,    ,    ,,    , . r In—1 n — 2r~t-l\r ,    . r

h₂ + •. br- (hj + br) 2 — (    2    “*--~~2    ) 2 '⁹ ~ (n " r) 2 ⁶

(41)

Die Summe [ft ft] ist nach (31a) und (32 a) für gerades und ungerades n:

(w — 1) n (n + 1) s2

12

(42)

Man hat also jetzt aus (40), (41) und (42) :

6 (n — r) r w"

(n — 1) (n -4- lj ns

(43)

Diese Formel ist insofern sehr anschaulich, als das Produkt (n — r) r im Zähler proportional dem mittleren Fehlerquadrat des Azimutes nach der ersten Ausgleichung ist (entsprechend dem Produkt nx n% in (12) § 98. S. 330).

Die Azimutformel (43) führt auch zu den linearen Querkorrektionen :

qr — s (6 oq -+- b «2 ~f~ • • • s «r)

q% = S b ctj -+- S b

(44)

Statt die hiezu nötigen Summierungen nach der allgemeinen Formel (25) Seite 335 vorzunehmen, wollen wir uns nun erlauben, anzunehmen, es sei die Zahl n der Zugpunkte einigermassen gross, und dann kann man mit ganz guter Annäherung die algebraische Summierung durch bequemere Integration ersetzen. Wir schreiben in solcher Annäherung statt (43) und (44):

b ar

6 (n — r) r ul'

(45)

fl

~~2    ~3

also nach (44) :

q= (3«r2    2 rS) = (s ( ) - 2

w"

(40)

Dieses ist die Gleichung der Kurve AB" in Fig. 2. S. 339. Wir wollen nun bestimmen, um wie viel äusscrsten Falls diese Kurve von der Gerädert AB" abweicht. Diese Gerade, welche der Proportionalverteilung von tv" entspricht, hat die Gleichung

Um die Differenz zwischen (46) und (47) zu bilden, setzen wir zur Abkürzung:

w"

(47)

S- I S

(48)

d. h. es ist l die relative Länge vom Anfang des Zuges bis zu dem r teil Punkt. Damit ist:

q — q'=( 3 12 — 213 — 1) w" Dieses erreicht sein Maximum, wenn

(49)

6 ±)/l2

dieses gieht:

0 = 6 l — 6 P _ 1 , l

l = 0,789 oder l = 0,212 (q — q')max — -+- 0,096 w" oder — 0,096 w"

12

Wenn man also an Stelle der Kurve eine Gerade setzt, so begeht man einen Fehler von höchstens etwa 0,1 w".

Mit der Abkürzung (48) haben wir nun folgende Vergleichung:

Ordinate der Geraden q'= l w"

q'=0

q' = 0,25 w" q'= 0,50 w" q'= 0,75 w" q' = 1,00 w"

Dieses führt zu folgender graphischer Ausgleichung nach Fig. 3. :

Ordinate der Kurve q = {dV — 2l3)w"

Abstand vom Anfang des Zuges

2 = 0

q = 0,156 w" q = 0,500 w" q — 0,844 w" q = 1,000 w"

(51)

l = 0,00 l = 0,25 l = 0,50 l = 0,75 l = 1,00

Fig. 3.

-Y

Wy

+y

D,

-I),

C,

m'

E"

E'

Pt⁷⁷⁷

B B' =0,15 w" B'B" = 0,25 w'

OC =0,50 w" (TO" =0,50 w'

DD’ = 0,85 w" D'D” =0,75 w’

Ein nahezu geradlinig gleichseitiger Zug erstreckt sich von A nach E, und gieht nach der ersten Winkelausgleichung die Coordinaten-Widersprüche wy und ivx. Diese trägt man in verzerrtem grossem Massstah von E nach Ex und von Ex nach E" auf, und erhält damit die Punktverschiebung E E".

Durch Projektionen rechtwinklig und parallel zur Haupterstreckung A E des Zuges zerlegt man EE" in seine Komponenten EE'=w" und E' E"=w'.

Nun teilt man AE in vier gleiche Teile, errichtet in den Teilpunkten B , C

und D die Ordinaten BB', CG', DD' und konstruiert nach (51) mit Abrundung auf 0,05 :

B B' = 0,15w/' B'B"= 0,25 w'

DD' — 0,85 w" D'D"= 0,75 m/

C C = 0,50 w"

G'C"= 0,50 w'

wie auch hei der Fig. 3. seihst heigeschrieben wurde.

Damit hat man genügende Anhaltspunkte, um die Ausgleichungs-Kurve A B" G" D" E" zu zeichnen.

Für jeden Punkt kann man nun auch die Coordinaten-Korrektionen aus der Figur entnehmen, z. B. D Dx als y - Korrektion und DlD" als x - Korrektion von D. Wenn nun allerdings der Zug nicht genau auf AE seihst liegt, sondern Abweichungen macht, so kann man die Konstruktion nur als Näherung und mittelbar brauchen.

Immerhin kann man aber für jeden Zug, der nur wenigstens im grossen und ganzen die Erstreckung von A nach JE hat, in der Mitte die Korrektionen für G, im ersten und letzten Viertel die Korrektionen für B, beziehungsweise D benützen, und dazwischen gleichförmig oder nach Gutdünken ausgleichen.

¹

Vgl. hiezu S. 343 und S. 344; die Absolutglieder w haben jedoch auf S. 331 und S. 343 verschiedene Vorzeichen.

§ 100. Ausgleichung eines Polygonzuges mich der Methode der

kleinsten (Quadrate.

Obgleich die strenge Ausgleichung eines Polygonzuges nur sehr selten angewendet werden wird, ist es doch nötig, der theoretischen Vollständigkeit wegen, hier das Wesentliche einer solchen Ausgleichung zu behandeln.

Bei dieser Aufgabe müssen Längenfehlcr und Winkelfehler, also ungleichartige Fehler, zusammen behandelt werden.

Da ungleichartige Grössen nicht addiert werden können, so können die Fehler ungleichartiger Grössen auch nicht in einer Quadratsumme vereinigt werden ; man kann jedoch Winkelmessungen auf Längenmessungen reduzieren. Streng genommen haben wir überhaupt keine reinen Wegmessungen, sondern nur Längenmessungen, denn um einen Winkel zu bestimmen, misst man am Bande eines geteilten Kreises die Länge eines Bogens, also eine lineare Grösse. Wenn ein Winkel in Minuten gemessen, vorliegt, so betrachten wir statt dessen die Länge :

</

_ mß

oder wir denken uns, man habe an einem Theodolit vom Halbmesser =1, die Bogenlänge X gemessen. Dem mittleren Winkelfehler mß entspricht also ein mittlerer Längenfehler :

mx

Wir betrachten ferner eine Messung der Länge s, deren mittlerer Fehler auf irgend welche Weise — ms ermittelt wurde. Nun liegen drei Messungen vor, nämlich die Messung des Winkels ß, der Länge Ä und der Länge s, indem wir ihre Gewichte vorerst bzw. mit p' , px ■> P bezeichnen, haben wir folgende Zusammenstellung:

Gemessene Grösse

Mittlerer Fehler

mß

Vlß

g a.

Gewicht

Die Gewichte und mittleren Fehler müssen folgenden Proportionen genügen :

l v

p'

px

p'-px-p =

mß

mß,

ms

Da die Gewichte nur Verhältniszahlen sein sollen, kann ein Gewicht = 1 gesetzt werden. Nimmt man das Gewicht der Winkelmcssung zur Einheit, also p' = 1, so sind auch die beiden anderen Gewichte durch die vorstehenden Proportionen be-

'mß\²

stimmt, nämlich:

p'= 1

PX = C²

PX, d. h. das Gewicht einer fingierten Messung wird nicht weiter gebraucht.

ms

Nach dieser Vorbereitung zu unserer Hauptaufgabe zurückkehrend, nehmen wir folgende Bezeichnungen an:

1)    Xj y₁ , x₂ 2/2 » xz ßz • • • x» V« > füe Coordinaten der in Betracht kommenden Punkte, und zwar seien xY yi , x„ yu unabänderlich gegeben.

2)    6'i , .S’₂ , % . . . Sn — i , die unmittelbar gemessenen Seiten.

3)    (h * ßz > ßz • • • ß»-i , die gemessenen Brechungswinkel; /9₁ und ß„ dienen zum Anschluss des Zuges an fest gegebene Strahlen.

4)    ai , <*2 ,    . . . a„-i , die Azimute der Seiten Sj , S2 • . s„_ i, in dem

Sinn der Nummerierung genommen.

Man hat somit gemesen : n Winkel ß und n — 1 Seiten s, im ganzen 2 n 1 Grössen, und es sollen damit n — 2 Punkte festgelegt werden. Hiezu sind notwendig: 2 n — 4 Messungsgrössen, etwa n — 2 Winkel und n—2 Seiten, man hat also 3 überschüssige Grössen gemessen, und ebenso gross muss die Zahl der unabhängigen Bedingungsgleichungen sein.

Die erste dieser Bedingungsgleichungen ist:

(2)

ßl ■+■ ßi + ßz •+■ • • • • + ßn — S - 0

wobei S die theoretische Winkelsumme ist.

Ferner bestehen die Gleichungen:

*s’ [ sin (f | —f— ,s'2 sin «2 H⁻ *3 sin «3 -+- ... —(— Sn—1 sin <xn

Sj COS re j -+- $2 COS «2 -f- S3 COS re 3 -f- ... -j- Sn-1 COS Kn— i

(3)

—    (y» - y\) = ⁰

(4)

—    (x„ — xt) = 0

Die hier benützten Azimute a sind Funktionen der gemessenen Winkel, nämlich, mit Weglassung der verschiedenen + 180°:

«1 = 9>o + ßi

(5)

«2 — v>0 + ßl •+■ ßi

«3 = VQ + ßl + ßi “k ßz nl = 9>0 + ßl + ßi + ßz ~k ßi

Dabei ist </>(l das konstante Anlage-Azimut, welches nicht weiter in Betracht kommt.

Denkt man sich die Gleichungen (5) in (3) und (4) eingesetzt, so hat man damit zwei Gleichungen, welche mit (2) zusammen die oben erwähnten drei unabhängigen Bedingungsgleichungen vorstellen.

Diese drei Gleichungen werden durch die Beobachtungen ß und s im allgemeinen nicht befriedigt; daher treten an Stelle von (2), (3) und (4) folgende andere Gleichungen :

(2*)

ßi H⁻ ßi + ßz •+■ • • ßn — S — w

(3*)

Si sin ai + s₂ sin a₂ -t- . . s«_i sin a„-1 — (yu — y\) — wy

(4*)

Sj COS (X 1 —s₂ COS «2 “k • • Sn — x COS ein — l —    - X j ) — Wx

Man muss nun den ß und s solche Verbesserungen zufügen, welche die Widersprüche w , wx , wv wieder zum Verschwinden bringen. Hiernach hat man :

(ßl + S ft) -k (^2 + 8 ßi) (ßz + 8 ^3) + ...-(- (ßn + 8 ßn) — S — 0 woraus in Verbindung mit (2*) sich ergiebt:

(2**j

ößi -h 8/?2 -ł⁻ à ßz -+- ... + fißn -+- w — 0 In gleicher Weise fortfahrend erhält man:

(S| -|- 8<?j) sin (aj -+- 8aQ -4- (S2 -+- 8^2) sin (a₂ -+- à (*2) + .. • —— (y» — yi) — 0

Durch Entwicklung nach dem Taylorschm Satze erhält man :

(sj —f- ö&Q {sin cc^ 4- ô otj cos ccj) 4-oder mit Kücksicht auf (3*):

S] cos «i ^ «₁ + sin «j -+- s₂ cos a₂ Sa₂ -f- sin a₂ bs₂ + ... -t- wy — 0 Es ist aber nach (5) :

b aj -- b ßi

b a₂ = bßi 4- b ß₂

b «3 = b ßi 4- b ß₂ -+- b ß₃

folglich :

(Sj COS    «J 4- S₂    COS    «₂    4- 63    COS    «3    4-    . .    .) Sft 4- Sin «1 ö»!

4“ (s₂    COS    cc₂    4~ S3    COS    ctg    4-    . .    .) b ß₂ 4~ S4 r;₂ <1 s₂

{s₃    cos    fxg    4“    ... ) b ß3 4” sin a₃ 5 Sg

4- IVy —    0

Die Coefficienten von ö/?j , ö/?₂ , bß₃... sind die Abscissen der Polygonpunkte, bezogen auf ein System, dessen Ursprung der letzte Punkt (n) ist, und dessen Axen denen des ursprünglichen Systems entgegengerichtet sind; oder es sind diese Coöffi-cienten die negativen Abscissen der Punkte, bezogen auf ein System mit den früheren (unveränderten) Axenrichtungen und dem Ursprung (n). Bezeichnet man diese letzteren Abscissen mit x{ x₂ ..., so hat man die zweite Bedingungsgleichung :

— x{ bßx — x₂' bß₂ — x₃ bß₃ — . . .

4- sin aj bsi 4- sin a₂ ^S₂ + sin «₃ ös₃ — ... 4- sin an~ \ bsn-1 + wv — 0

bß„-1

— x'

(3**)

Für die Gleichung (4*) hat man eine ganz ähnliche Entwicklung.

Die Korrektionen bß in (3**) sind in analytischem Mass verstanden, und wenn man die Winkelkorrektioner bß in Minuten zählen will, so muss man die betreffenden Glieder in (3**) durch p — 3438 dividieren.

Nun kann man die Ausgleichung verfeinern, wenn man nach der Methode der „partiellen Ausgleichung“ verfährt, welche wir in Band I. § 45. gelehrt haben, insbesondere nach der Methode der „reduzierten Bedingungsgleichungen“, Gleichungen (23), (24), (25) S. 111, Band I., welche wir dort in Voraussicht der Polygon-Ausgleichung bereits zurecht gemacht haben.

Man wird finden, dass die Coordinaten durch Verschiebung so zu verwandeln sind, dass die algebraischen Summen \y) — 0 und [,x] = 0 werden.

Wir begnügen uns hier mit dieser Andeutung. Dagegen mag es belehrend sein, die gebräuchlichen Zugausgleichungen mit einer strengen Ausgleichung nach der Methode der kleinen Quadrate zu vergleichen.

Wir nehmen hiezu den Zug von § 91. S. 296 mit 9 Punkten und 1454™ Ausdehnung (siehe nebenstehende Tabelle S. 345), dessen Ausgleichung nach der Methode der kleinen Quadrate in der vorigen Auflage dieses Buches (1877) in § 103. S. 303—306 ausführlich mitgeteilt war.

Die grösste vorkommende Abweichung ist 0,16™ bei Xi,, was verglichen mit u;x — 0,40™ einen Betrag von 40% ausmacht. Die Proportionalverteilung erscheint günstiger als die gleichförmige Verteilung.

wv = — 0,26“

II

wx = — 0,40“

Punkt

Hard

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(?)

Neubruch

Ordinaten y

Abscissen x

M. d. kl. Q.

gleich

förmig

prop. /Ix

M. d. kl. Q.

gleich

förmig

prop. /ly

—    7853,19“

—    7793,67

—    7661,81

—    7604,58

—    7514,42

—    7326,04

—    7211,24

—    7125,77

—    7077,54

,19“

,19™

,67

,68

,81

,81

,56

,57

,38

,39

,06

,24

,78

,54

,05

,22

,77

,54

+ 45 313,21™ -+- 45 461,38 + 45 429,08 + 45 395,30 + 45 320,20 + 45 490,54 + 45 427,13 + 45 782,38 + 45 002,10

,21“

,21“

,36

,12

,39

,35

,64

,29

,43

,10

,36

,08

,31

,25

,56

,18

,40

10

(Zur Ausgleichung von Polygon-Zügen nach der M. d. kl. Q. ist auch eine Abhandlung von Fenner in der „Zeitschr. f. Yerm. 1887“, S. 249 und S. 287 anzuführen.)

Kapitel X.

Nivellierung.

§ 101. Einleitung.

Unter Nivellierung (im engeren Sinne) versteht man ein Verfahren der Höhen-Messung, wobei der Höhen-Unterschied benachbarter Punkte durch horizontales Zielen nach lotrechten Massstäben (Latten) bestimmt wird, wie in Fig. 1. angedeutet ist.

Fig. 1.

Veranschaulichung des Grundgedankens der Nivellierung.

/f

PS

fgplifj

w--

Ein Nivellier-Geräte besteht aus zwei getrennten Teilen, dem eigentlichen Nivellier-Instrument mit Stativ, und der Latte.

Die horizontale Entfernung je zweier Punkte 0,1,2... (Fig. 1.), deren Höhen auf einmal bestimmt werden, ist immer massig, etwa rund = 100 Meter (oder Zielweite = 50 Meter); da man aber das ganze Verfahren beliebig oft wiederholen kann, so hat man in dem Nivellier-Verfahren ein Mittel, nicht bloss Linien von Kilometern, sondern Linien durch ganze Länder und Weltteile, der Höhe nach zu bestimmen, und hohe Berge zu messen.

Wenn man in solcher Weise Hunderte und Tausende von Stufen-Messungen aneinander setzt, so könnte man fürchten, dadurch allmählich eine sehr schlimme Fehler-Anhäuf un g zu erhalten; und in der That hat diese Furcht dem Nivellier-Verfahren, welches im Grundsatz schon im Altertum bekannt war (z B. 200 v. Chr. Heron von Alexandrien, vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 674-—678), lange eine untergeordnete Bedeutung zugewiesen, und noch bis zur Mitte dieses Jahrhunderts wurden die beiden anderen Höhen-Messverfahren, welche wir haben, das trigonometrische und das barometrische, fast allein angewendet, wenn es sich um geographische ausgedehnte Höhen-Aufnahmen handelte.

Seit etwa 20 Jahren hat die Höhen-Bestimmung durch Nivellieren, teils infolge der beim Eisenbahnbau u. s. w. gemachten Erfahrungen, teils durch die Anregung der „Europäischen Gradmessung“ einen bedeutenden Aufschwung genommen, und das Nivellieren mit kurzen Zielweiten gilt jetzt allgemein als erste und genaueste aller Höhen-Messungs-Mcthoden.

Jene Furcht der Fehlerhäufung ist jetzt durch die Erfahrung und durch die Theorie (§ 112.) besiegt, ja man weiss jetzt, dass die Nivellierung, wegen der an jedem Punkte auf die Libelle wirkenden Richtkraft der Erde, die günstigste Fehler-Fortpflanzung hat und wohl die genaueste aller Land- und Erdmess-Verrichtungen ist.

Seit dem Jahre 1879 werden bei uns die Nivellierungs-Höhen alle auf einen gemeinsamen Horizont bezogen, dessen Höhe man Normal-Null (N. N.) nennt. Weiteres hierüber siehe am Schluss von § 106.

. 1

Obgleich Nivellierungs-Linien sich auf weite Teile der Erde ausdehnen können, ist doch die Berücksichtigung der Jïràlcrümmung bei den Messungen und bei den Berechnungen nicht nötig, weil die Ziel-Linien immer von selbst anschmiegende Tangenten der jeweiligen Erdkrümmungs-Linicn sind.

Die Instrumente und die Nivellier-Arten für Kleinvermessungen, und für Aufnahmen im grossen, lassen sich nicht streng auseinander halten. Wir werden jedoch im Folgenden zuerst vorwiegend die einfacheren Einrichtungen behandeln, und dann zu den feineren und schwierigeren Teilen übergehen.

§ 102. Einfache Nivellier-Instrumente.

Ein Nivellier-Instrument besteht im wesentlichen aus einer Libelle und einem Fernrohr, deren Axen unter sich parallel, und beim Gebrauch horizontal sind.

Die einfachste Konstruktion besteht nun darin, dass die zwei Hauptteile, die Libelle und das Fernrohr, sowohl unter sich, als auch mit dem Untergestell fest verbunden sind.

Diese einfache Konstruktion, welche für die gewöhnlichen Ingenieur-Arbeiten, Querprofile und massig lange Längenprofile u. s. w., imbedingt zu empfehlen ist, betrachten wir an zwei Mustern unserer Sammlungen (Fig. 1. und Fig. 2.) näher.

Was die zugehörigen Nivellier-Uaffen betrifft, so mag es genügen, hier zu bemerken, dass eine solche Latte ein hölzerner in Centimeter geteilter Massstab von etwa 3 Meter Höhe ist.

Weiteres über Nivellier-Latten wird in § 109. gesagt werden.

Fig. 1.

Einfaches ÎS'i vellier-In.str liment.

JL

LI

\\.4

II

us

vyy.

TW

lï

(Karlsr. Sammlung; Mechaniker Siekier.)

Fig. 2.

Einfaches Nivellier-Instrunieut.

■2

•i llw-

(Hannov. Sammlung; Mechaniker Bandhagen.)

348 .--^>‘*Tig. 1. Ein gewöhnlicher Dreifuss A mit Stellschrauben JE ist mittelst einer Centralschraube B auf ein Scheibenstativ C befestigt. Um eine vertikale Axe E dreht sich das Gestell G, mit welchem das Fernrohr H und die Libelle J vollkommen fest verbunden sind.

Die Vergrösserung des Fernrohrs ist 15fach und die Empfindlichkeit der Libelle ist 25" auf 1 Strich.

Das Instrument hat zwei Berichtigungs-Mittel, nämlich vertikal wirkende Richte-Sclirauben K am Fadenkreuz des Fernrohrs, und eine ebenfalls vertikal wirkende Richte-Schraube L an der Libelle.

Fig. 2. Die Einrichtung dieses Instrumentes ist im wesentlichen dieselbe, wie bei dem vorhin beschriebenen Intrumente Fig. 1. Wir haben jedoch nun ausser der Haupt-Libelle L noch eine wenig empfindliche Dosen-Libelle X₂, und dann sogar noch eine Dosen-Libelle L₀ auf dem Stativ, also im ganzen drei Libellen. Die zwei Dosen-Libellen dienen nur der Bequemlichkeit und Beschleunigung in der Weise, dass zuerst der hölzerne Stativkopf mittelst der Libelle L₀ beiläufig wagrecht gestellt wird, und dass dann die Dosen-Libelle X₂ mit den Stellschrauben F zum Einspielen gebracht wird. Dann erst beginnt die Benützung der Haupt-Libelle L, abermals mit den Stellschrauben F.

Über der Haupt-Libelle L befindet sich ein schiefer Spiegel S, mit dessen Hilfe man unmittelbar vom Okular aus, ohne den Kopf zu erheben, die Blasenstellung ahlesen kann.

Prüfung und Berichtigung des einfachen Nivellier-Instrumentes.

Fig. 3.

Axen des Nivellierinstruments.

Wenn ausser der Längs - Libelle etwa noch eine Dosen-Libelle (X₂ Fig. 2.) vorhanden ist, so ist hievon jetzt nicht die Rede. Wir haben nach Fig. 3. drei Axen in Betracht zu nehmen :

1)    die Libellen-Axe L,

2)    die Ziel-Axe Z des Fernrohrs,

3)    die vertikale Umdrehungs-Axe V.

Es sollen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:

[1]    Il F (Libellen-Axe rechtwinklig zur Vertikal-Axe),

[2]    Z parallel L (Ziel-Axe parallel der^Libellen-A xe). Um diese zwei Bedingungen zu erfüllen, hat man zwei Berichtigungs-Hilfswinkel k und l, nämlich k als Richte-Schrauben

am Fadenkreuz des Fernrohrs (Fig. 5. S. 139) und l als Riclite-Schraube an der Libelle.

Um L parallel Z zu machen, kann man l oder k benützen; um aber L _L V zu machen, kann man nur l benützen, und daraus folgt, dass die Bedingung L _L V zuerst erfüllt werden muss, mit der Libellen-Richte-Schraube l, und dass nachher erst Z parallel L gemacht werden darf, mit der Faden schraube k. Aus diesem Grunde ist auch diese Aufeinanderfolge [1] und [2] oben so angegeben.

Sachlich ist die erste Bedingung L 1 V nicht ebenso wichtig als die zweite, es ist aber wegen der Bequemlichkeit und Raschheit der Messung doch erwünscht, dass die Libellen-Axe möglichst genau rechtwinklig zur vertikalen Axe liegt.

Man hat also folgendes auszuführen:

[1] Die Libellen-Axe soll rechtwinklig zur vertikalen Umdrehungs-Axe sein. Dieses wird gerade so behandelt, wie schon beim Theodolit (S. 155—156) beschrieben wurde. Nachdem ein Horizontalstellungs-Versuch im ganzen gemacht ist, stellt man die Libelle parallel der Verbindungs-Linie zweier Stellschrauben, und bringt sie mit letzteren zum Einspielen. Dann wird die Libelle (samt dem Fernrohr) um 180° gedreht, und die Hälfte des sich zeigenden Ausschlags der Blase mittelst der Richte-Schraube l der Libelle, sowie die andere Hälfte mittelst der Fuss-Stellschrauben weggeschafft. Hierauf dreht man die Libelle um 90°, und bringt den jetzt sich zeigenden ganzen Ausschlag mit der dritten Fuss-Stellschraube zum Verschwinden.

Dadurch hat man nicht nur die Libellen-Axe rechtwinklig zur vertikalen Axe, sondern letztere zugleich vertikal gemacht, d. h. man hat das Instrument „horizontal gestellt“.

[2] Die Ziel-Axe des Fernrohrs soll parallel der Libellen-Axe sein.

Die Prüfung dieser wichtigsten Bedingung wird mit Zuhilfenahme der Latte im freien Felde gemacht, und wir haben dazu zuerst das wichtige Mittel der Zielung am der Mitte (Fig. 4.).

Es ist wichtig, auch für das Nivellieren seihst, einzusehen, dass ein Fehler der Ziel-Axe gegen die Libellen-Axe dann unschädlich bleibt, wenn das Instrument Jx in der Mitte zwischen den Latten A und B steht, d. h. J\ (Fig. 4.) braucht nicht in der Geraden AB selbst zu stehen, sondern nur wenigstens so, dass die Zielweiten J, A und B einander gleich sind. Dann werden olfenbar durch einen Ziel-Axen-Fehler die beiden Latten-A Ides un gon ax und hx um gleich viel zu gross oder zu klein, und die Differenz ax — bx bleibt richtig.

Hiernach erhalten wir zur Untersuchung [2], oh die Ziel-Axe parallel der Libellen-Axe ist, folgendes Verfahren :

Fig. 4.

Zielung aus der Mitte.

jTl A *

Man wählt zwei sichere, etwa 100“ von einander entfernte Standpunkte A und B (Fig. 4.) aus, und stellt zuerst das Instrument in die Mitte Jx zwischen beide Punkte A und B, und nachher möglichst nahe zu einem derselben, etwa nahe zu A, nach J₂. An den Latten A und B

werden die Masse ax , bi und a₂ , b₂ nach Andeutung von Fig. 4. ahgelesen ; und es muss nun die Bedingung erfüllt sein :

«1 —- &i = a₂ —- b₂

bo = a₂ — (a, — bx).

Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, so muss man in der Instrurnenten-Stellung J₂ das Fadenkreuz des Fernrohrs mit seinen vertikal wirkenden Richte-Schrauben (S. 189) so verstellen, dass die vorstehende Bedingung erfüllt wird, so dass man hat:

Beispiel :

Ablesungen in Jx: ax = 1,675“

= 1,388

Ablesungen in J₂: a₂ = 1,590“ b₂ = 1,317

a₂ — b₂ = 0,273

Differenzen : ax — bx — 0,292

b₂ = 1,590 — 0,292 = 1,298.

Nun ist «i — bx — 0,292 die richtige Differenz, weil Jx in der Mitte zwischen A und B steht; a₂ gilt ebenfalls als richtig, wegen der Kürze der Zielweite; man rechnet nun:

Man hat daher in J₂ das Fadenkreuz so lange aufwärts zu schrauben, dass statt der Ablesung 1,317 an der entfernten Latte die Ablesung 1,298 erscheint.

Obgleich dieses Verfahren immer anwendbar ist, geben wir doch noch ein zweites Verfahren an, entsprechend Fig. 5.:

Man wählt zwei Instrumenten-Standpunkte J⁻! und J₂ aus, welche symmetrisch gegen die Lattenpunkte A und B liegen. Man liest nun wieder die vier Masse , &i , «2 > ^2 an den Latten ah, und sieht zu, oh a{—hl = o₂— bo ist. Wenn dieses nicht der Fall ist, so nimmt man das arithmetische Mittel:

Fig. 5.

Gegen-Zielungen Ji und ,7t.

B Ji

Jx

_ («! — &!) Hh (o₂— b₂) 2

Dieses ist die richtige Diiferenz, man stellt daher in J₂ das Fadenkreuz so, dass statt ho die Ablesung «₂ — (a — b) erhalten wird.

Beispiel :.

Ablesungen in Ą : «j = 2,045™ bx = 1,243

Ablesungen in J₂: a₂ = 1,784™

&₂ = 0,952

Differenzen : ax

n₂ — 6₂ — 0,832 Mittel: a — b = 0,817.

Man rechnet wieder 1,784 — 0,817 = 0,967; es muss also in ,/₂ das Fadenkreuz so verstellt werden, dass statt 0,952 die Ablesung 0,967 an der entfernten Latte gemacht wird.

Beim Verstellen des Fadenkreuzes kann man sich in Betreff der Richtung (auf oder ah) nicht irren, wenn man bedenkt, dass das Okular keine Bildumkehrung erzeugt; man hat also den Faden gerade so, wie es der unmittelbare Anblick verlangt, auf oder ab zu schieben.

Die hier beschriebenen Prüfungs-Verfahren, namentlich a) Zielung aus der Mitte, sind sehr wichtig, auch für andere Instrumente, weil man damit unter allen Umständen die Parallelität der Absehlinie und der Libelle eines Nivellier-Instrumentes sicher untersuchen kann.

(Indessen kommt hier auch noch der Gang der Okular-Röhre in Betracht, worüber später am Schluss von § 108. das Nötige gesagt werden wird.)

Nivellier - Theodolit.

Ausser den zwei eigentlichen Nivellier-Instrumenten, Fig. 1. und Fig. 2. S. 347, wollen wir in Fig. 6. S. 351 noch ein kleines Instrument betrachten, welches zunächst anderen Zwecken dient, mit dem man aber auch nivellieren kann. Eine solche Verbindung kommt oft vor.

Dieses Instrument ist theodolitartig gebaut, dann aber durch Aufsetzen einer festen Libelle L auf das Fernrohr F₀1\ auch zum Nivellieren eingerichtet. Dieses findet sich oft; und ein Ingenieur, der Winkel-Messungen etwa nur auf P genau nach

Lage und Höhe, und einfache Nivellierungen zu machen hat, kann wohl alle diese Zwecke (vielleicht auch noch Tachymetrie) in einem solchen Instrumentchen, wie

Fig. o.

Nivellier - Theodolit.

Fo

... fl

A'

ci

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;    cs? \?

*    W-- \ I

ca

<ö

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4-*

; s ^

Cv

/.A. J. ßTÜNKEL.^

Hannov. Sammlung.

Fig. 6., vereinigen, während genaue Messungen der einen oder anderen Art besser mit verschiedenen gesonderten Instrumenten, also z. B. reinen Nivellier-Instrumenten, gemacht werden.

Horizontal-Stellung.

Zum Schluss unserer Beschreibung einfacher Nivellier-Instrumente, wollen wir noch einige Bemerkungen über Horizontal-Stellung machen.

Die gewöhnlichste Vorrichtung zum Horizontal-Steilen ist der Dreifuss mit drei Fuss-Stellschrauben wie bei Fig. 1. und Fig. 2. S. 347.

Es kommen aber auch noch viele andere Formen vor, z. B. vier Schrauben, von denen je zwei ineinander entgegen wirken, oder auch zwei Schrauben mit je einer entgegen wirkenden Feder.

Fig. 7.

Schrauben mit Gegen-Federn.

Eine Anordnung der letzteren Art zeigt Fig. 7., Patent von Geyer in München (nach einer Patent - Notiz in der „Zeitschr. f. Verra. 1882“, S. 47). In perspektivischer Ansicht zeigt Fig. 7.:

S'/

HT

kJ

und

Schraube s' mit Gegenfeder e Schraube s mit Gegenfeder d

las

Die beiden Schrauben und Federn wirken in zwei Ebenen, rechtwinklig zueinander.

Ähnliche Anordnungen hatte früher schon Stampfer in

(MechanikerGeg/er.)

Wien.

Ein schon mehrfach gemachter Versuch bezieht sich auf selbstthätige Horizontalstellung durch ein Schwebe-Gewicht. (Z. B. in unserer Hannov. Sammlung befindet sich ein solches Instrument.)

Nicht unzweckmässig dürfte eine Verbindung einer solchen selbstthätigen rohen Einstellung mit einer feinem Schrauben-Einstellung sein. Sobald die rohe Einstellung, etwa in Cardanischer Aufhängung, sich von selbst ergeben hat, wird die Gelenkverbindung geschlossen, und eine gewöhnliche freie Einstellung in Angriff genommen.

Wir sind von diesem Gedanken deswegen wieder teilweise abgegangen, weil die auf dem Stativkopf angebrachte Dosen-Libelle L{) Fig. 2. S. 347 für erste rohe Horizontalstellung auf Strassenboden ziemlich denselben Dienst thut (mit Bücken der Stativ-Beine) wie etwa von der Cardanischen Aufhängung mit Schliessung zu erwarten wäre. Auf steilen Waldwegen u. s. w. wäre die Cardanische Aufhängung vielleicht sehr am Platz.

§ 103. Aufnahme von Längen-Profilen.

Die Neigungsverhältnisse einer Nivellierungs-Linie werden in einem „Profil“ dargestellt, indem man die Linie im Grundriss geradlinig ausgestreckt denkt.

Die Aufnahme eines Längenprofils zerfällt in zwei Teile, nämlich :

1)    die horizontale Vermessung,

2)    die Ermittelung der Höhen.

Zum Zweck der horizontalen Vermessung wird die aufzunehmende Linie in gleiche Strecken (nach Umständen 20”*, 50™, 100™ u. s. w.) eingeteilt, verptlockt und numeriert. Beim Nivellieren bestehender Strassen und Eisenbahnen kann man die zum Zweck der Verwaltung bereits vorhandenen Nummernsteine benützen.

Bei gewöhnlichen Nivellierungen wird die Latte einfach auf den natürlichen Boden gestellt, für genauere Zwecke stellt man die Latte auf eine eiserne Platte, wie in § 109. Fig. 7. angegeben werden wird, oder auf eine andere ähnliche Vorrichtung.

Die Vertikalstellung der Latte wird erreicht:

1)    Durch Schätzung (wenn die Ablesung klein ist).

2)    Durch Vor- und Kückwärtsneigen der Latte während des Ablesens; das Minimum der Ablesung entspricht der Vertikalstellung der Latte.

3)    Durch beigegebene Senkel.

4)    Durch eine an der Latte befestigte Dosen-Libelle, welche nach Massgahe eines Senkels richtig gestellt wird.

Die Latte wird dabei von freier Hand gehalten.

Die Zielweiten nimmt man gewöhnlich etwa 50 Meter, rückwärts und vorwärts gleich. Dadurch wird man auf die in Fig. 1. angedeutete Anordnung geführt, durch welche zugleich die Berechnung der Höhen angedeutet wird.

Fig. l.

Nivellierung mit gleichen Zielweiten.

V₁

r2

Es sei eine erste Instrumenten-Aufstellung mit der ersten Bückwärtsablesung und der ersten Vorwärtsablesung V\.

Ebenso sei i₂ eine zweite Instrumenten-Aufstellung mit der Rückwärtsablesung r2 und der Vorwärtsablesung v₂.

Die Zwischenstellung der Latte, an welcher vorwärts und rückwärts r₂ abgelesen wurde, heisst ein „Wechsel*.

Der Höhenunterschied zwischen der ersten und der letzten Latten-Aufstellung ist nach Fig. 1. S. 352:

h = r₁ — v₁+ri — v ₂ + ...

Die Instrumentenhöhen selbst und *₂ u. s. w. braucht man nicht.

Häufig hat man es aber mit Linien zu thun, welche nicht so einfach verlaufen. Ein Beispiel einer Längen-Nivellierung mit Zwischenpunkten, und die zugehörige Berechnungstabelle ist im folgenden gegeben.

Fig. 2.

Längen-Nivellierung mit Zwischen-Punkteu.

1.320,

(if+p/o)

Air

1.8*5

1110

1116

K'

6‘

(Abstand der Hauptpunkte = 30«, Grösste Zielweite = 45m.)

Nivellierungs-Tabelle (Feldschreibbuch) zu Fig. 2.

Punkt

Ablesung

Höhe

über N. N.

Horizont

Bemerkungen

03 DO ^ 3

03 I h-* I—‘I

^ ^ DO O H-1 Cn O +1

cb

114,620™

114,626

114,113

112,988

116,033™

Ausgangspunkt, ge-114,620™ über Normal-Null.

(Wechsel)

geb

en ⁴

(3)

(B)+ 8,0™ (3) 4 12,2™ (3) + 17,0™ (3) +25,0™

(4)

(5)

(6)

t—»    I    JNJ DO H

do <i go h V ^ b

M^CO^C5<lCODO O O O O DO

Ci O CH

112,988

112,480

111,840

111,550

111,840

112,185

112,270

112,794

114,010

Böschungsrand Bach rand Bachsohle Bachrand

(Wechsel)

(6)

1,918

114,712

23

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Die hier benützte Berechnungs-Tabelle (welche man im Feldschreibbuch gedruckt führt) ist wohl die einfachste der vielen vorhandenen. Wir unterscheiden hiebei Wechsel-Punkte (3 und 6 Fig. 1.) und Zwischen-Punkte.

= 114,620 + 1,413 = 116,033 116,033 — 1,407 = 114,626 116,033 — 1,920 = 114,113 116,033 — 3,045 = 112,988

Die Ausgangshöhe des Punktes (0) betrachten wir als gegeben = 114,620 über

N. N., diese wird zuerst eingesetzt, dann folgt die erste Ablesung = 1,413, folglich der erste Horizont

dann folgt:

112,988 -j- 1,022 = 114,010 neuer Horizont 114,010 — 1,530 = 112,480

..........u. s. w.

Diese Berechnungen, wenigstens für die Wechsel-Punkte, macht man gewöhnlich sofort auf dem Felde, in der Tabelle S. 353, und rechnet nachher zu Hause zuerst die Horizonte und die Höhen der JFecÄseZ-Punkte nach, worauf auch die Berechnung der Zwischen-Punktshöhen folgt.

Wenn nicht nach wahren Höhen über Normal-Null gerechnet werden kann, so kann man dieselbe Berechnungs-Art auch mit einer willkürlich angenommenen Ausgangshöhe anwenden.

Das Aufträgen eines Längen-Profils erfolgt auf Grund der berechneten Höhen (über N. N.) der einzelnen Punkte, gewöhnlich mit zweckmässig gewählter Überhöhung. Wenn ein Längen-Profil im Zusammenhang mit Quer-Profilen (s. folg. §) gezeichnet wird, so empfiehlt es sich, den Höhenmassstah des Längen-Profils gleich dem Massstab der (nicht überhöhten) Quer-Profile zu machen.

§ 104. Aufnahme von Quer-Profilen.

Die im Grundriss rechtwinklig zu einem Längen-Profil gelegten Quer-Profile, überhaupt kürzere Profile, welche zum Aufträgen in grossem Massstab bestimmt sind, spielen hei Projektierungsarbeiten des Ingenieurfaches eine wichtige Rolle.

Die Profile werden zuerst durch einige Stäbe abgesteckt, und dann mit Messlatten und einem einfachen Nivellier-Instrument aufgenommen.

Wenn die Profile sehr einförmig sind, so kann die Aufnahme gerade so wie hei Längen-Profilen, mit Aufschreiben der Entfernungen und Höhen in einer Tabelle erfolgen (Tabelle S. 353 des vorigen § 103.). Wenn dagegen viele Besonderheiten Vorkommen, z. B. Wege, Bäche, Raine etc., so empfiehlt sich das Aufzeichnen aller Masse in einem Handriss, der zugleich Gelegenheit zum Einträgen von Bemerkungen über Bodenverhältnisse giebt.

Das Quer-Profil ist stets so zu zeichnen, dass links und rechts im Sinne der Numerierung des Längenprofils gilt.

Ein Beispiel zeigt Fig. 1. S. 355. Es sind dabei die meisten Masse nur auf Decimeter abgerundet eingeschrieben, jedoch ist es meist nötig, wenigstens die Höhen auf einzelne Centimeter anzugeben.

Fig. 1.

Handriss eines Querprofils (Massstab etwa 1 : 166).

r0

N* (JjK «s *-r«v5«v

r.......T'

Sh

-x-

vi

<&

t;

äT

7V, A

73.5

12,8

OZL

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3,83

2.7

0} I >v

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«$■

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“0

cy'

rr

2.8

ff'/

»c

Achse

Setelatte.

Fig. 2 Setzlatte.

An steilen Abhängen verursacht das fortgesetzte Wechseln des Instrumentenstandpunkts sehr viele Mühe, deshalb empfiehlt es sich, hier, statt des Ni-vellier-Instruments, die in Fig. 2. gezeichnete Setzlatte mit Libelle anzuwenden. Die Setzlatte ist etwa 3m lang, und wird mit einem etwa eben so langen vertikalen Massstab gebraucht.

Es lassen sich an Abhängen mit der Setzlatte Querprofile in einem Drittel oder einem Viertel der Zeit aufnehmen, welche zu der Aufnahme mit dem Nivellier-Instrument erforderlich wäre, und zwar mit aller wünschenswerten Genauigkeit.

Als Beispiel hiefür möge eine Erfahrung aus der Praktikanten-Zeit des Verfassers dienen. An den steilen Muschelkalk - Abhängen der Hall-Krailsheimer Linie wurden die Profile etwa 50m hoch, mit der Setzlatte Fig. 2. aufgenommen, und unten und oben durch ein Längs-Nivellement versichert. Es galt als Kegel, dass der Anschluss innerhalb l Fuss (= 0,286m) stimmen musste.

Freihand-Instrumente.

Zu Querprofilen und ähnlichen weniger genauen Nivellierungen kann man zuweilen ein kleines Instrumentchen in freier Hand anwenden, wie z. B. das im Folgenden, Fig. 3. S. 356 gezeichnete Freihand-Nivellier-Instrument von Wagner.

Das Fernrohr besteht zunächst aus einem Objektiv und Huyghensschem'Okxüar. Seitwärts in die Wandung des Fernrohrs ist eine Reversions-Libclle L (Fig. 3.) parallel zur Ahsehlinie befestigt, und ihr gegenüber ist ein Planspiegel S angebracht.

Fig. 3.

Freihand-Nivellier-Instrument von Wagner.

Fig. 3 a. Anblick im Fernrohr.

Fig. 3 b. Horizontal-Schnitt.

nF-"'

□ I d

s_U\

(Hannov. Sammlung; Mechaniker Tesdorpf.)

Unmittelbar neben der eigentlichen Okularlinse befindet sich eine zweite plankonvexe Glaslinse l (Fig. 3 b.) (die Libellenlinse) eingesetzt, und an die Okularlinse etwas ungeschliffen. Die Fernrohrwandungen sind zum Durchlässen von Licht soweit durchbrochen, dass durch die Libellenlinse die Libellenblase sichtbar wird.

Bringt man das Auge an die Stelle von G (Fig. 3b.), so sieht man einesteils wie gewöhnlich, das Fernrohrgesichtsfeld mit dem Fadenkreuz, der Nivellierlatte u. s. w., und anderenteils gleichzeitig links daneben die Libelle, wie in Fig. 3 a. dargestellt ist. Man ist somit in der Lage, die Ablesung im Momente der Libelleneinspielung zu bewirken.

(Weiteres hierüber, und über andere kleine Freihand-Instrumente, haben wir in der „Zeitschr. f. Yerm. 1887“ S. 1—13 mitgeteilt.)

Quer-Profile zu endgültigen Kostenberechnnngen wird man wohl immer mit dem Nivellier-Instrument oder mit der Setzlatte aufnehmen ; anders verhält es sich mit Profilen, welche nur zu vorläufigen Entwurfs-Arbeiten dienen sollen. Hier kann man mit Vorteil den Distanzmesser mit Höhenkreis, oder das Messband in Verbindung mit einem einfachen Höhengradbogen anwenden, wovon in dem Kapitel über Tachymetrie Weiteres angegeben werden wird.

Das Aufträgen der Quer-Profile geschieht meist in grossem Massstab (1 ; 200 bis 1:100) ohne Überhöhung. Die Zeichnung muss die dem Längen-Profil entsprechende vertikale Axe und einen Horizont enthalten, welcher durch die aus dem Längen-Nivellement entnommene Höhe des Axpunktes über N. N. geliefert wird. Wenn das Quer-Profil so gezeichnet ist, so kann man daraus die Höhe jedes Punktes über N. N. mit dem Zirkel abnehmen, ebenso wie den horizontalen Abstand eines Punktes von der Axe. Da man den Höhenmassstab des Längen-Profils gleich dem allgemeinen Massstab der Quer-Profile nimmt, so kann man hiernach Höhenmaasse (z. B. Auftragsund Abtragshöhen) aus dem Längen-Profil in das Quer-Profil und umgekehrt übertragen. Die in das Quer-Profil eingezeichneten Auftrags- und Abtragsflächen werden mit dem Planimeter bestimmt.

§ 105. Flächen-Nivellierung.

Die Nivellierung einer Fläche verlangt die Aufnahme von so viel Punkten, dass der Verlauf der Oberfläche im ganzen daraus erkannt werden kann.

man

Eine besondere Art der Flächen-Aufnahme ist bereits in § 103. und § 104. behandelt, denn durch ein Längen-Profil mit den zugehörigen Quer-Profilen erhält die Aufnahme eines Flächen-Stra'/ews. Dabei können aber Punkte zwischen zwei Profile fallen, welche zwar nicht wichtig genug sind zur Anlage eines besonderen Zwischen-Profils, aber doch ungern vermisst werden.

Wenn eine Lagen-Aufnahme (Flurkarte) fertig vor liegt, so hat man nur noch die Höhen dazu zu bestimmen, um eine vollständige Flächen-Aufnahme zu haben.

Da dieser Fall sehr häufig eintritt, so behandeln wir hier die Nivellierung einer Flurkarte lediglich durch Horizontal-Zielungen mit einem einfachen Nivellier-Instrument, ohne der zweckmässigeren, später zu behandelnden tachymetrischen Methode, welche auch beim Vorhandensein einer Flurkarte die besten Dienste leistet, vorzugreifen.

Das Nivellieren einer Flurkarte (welches Verfasser mit lithographierten württem-bergischen Flurkarten im Massstab 1 :2500 längere Zeit ausführte) ist im Grundsatz sehr einfach. Man macht zuerst ein versichertes Längen-Nivellement ( For-Nivellement) durch das aufzunehmende Gebiet, längs Strassen, Eisenbahnen, Flussläufen u. s. w., •jedoch auch so, dass die Anhöhen erfasst werden. Als Fixpunkte werden Marksteine und Strassensteine genommen, die nivellierten Höhen werden in die Karte eingeschrieben.

Bei der Flächen-Aufnahme selbst müssen zwei Ingenieure zusammen arbeiten, der erste führt die Karte, und weist den Lattenträger (oder deren zwei) zum Aufstellen an, zeichnet Punkte, welche nicht unmittelbar in der Karte gegeben sind, durch Abschreiten oder nach Schätzungen, mit dem Taschen-Kompass u. s. w. ein, und leitet das Ganze. Der zweite Ingenieur (Gehilfe) macht lediglich am Instrument die Lattenablesungen, und schreibt sie tabellarisch auf. Die Nummern der Kartenpunkte und der Tabellenangaben müssen sich entsprechen.

Nachdem zu Hause die Höhen in der Nivellierungstabelle berechnet sind, werden sic in die Karte eingeschrieben, womit die Aufnahme beendigt ist. Die etwa darauf folgende Konstruktion der Horizontalkurven wird wie bei der später zu behandelnden tachymetrischen Aufnahme gemacht, wie überhaupt das ganze Verfahren nur eine vereinfachte Tachymetrie ist. Formelle Kegeln sind: Hervorhebung der Nivellierungs-Wechselpunkte in der Karte, dadurch, dass man die betreffenden Höhen auf Centi-meter oder Millimeter angiebt, während sonst Decimeter genügen; ferner geordnetes Einschreiben aller Zahlen, Nummern links, Höhenzahlen rechts, horizontal neben den Punkt.

Auf massig hügeligem Boden können zwei Ingenieure zusammen in wenigen Tagen leicht ein Blatt von 1 Q.Kilometer mit 500 —1000 Punkten aufnehmen; die Berechnungsarbeit ist gering.

Wenn ausnahmsweise grössere Höhen - Unterschiede Vorkommen, kann man sich durch Lattenverlängerungen helfen. (In Württemberg hatte man „Aufsatteln“ bis zu 30 Fuss Höhe.) Auf gebirgigem Boden wird aber das Verfahren mühsam und ungenau, und muss dann durch Tachymetrie ersetzt werden.    •

§ 106. Festlegung und Versicherung der Nivellierungs-Punkte.

Um Nivellierungs-Punkte auf kürzere oder längere Zeit zu bezeichnen und zu versichern, hat man verschiedene Mittel, z. B. Einschlagen von Holzpflöcken in den Boden, Setzen von Steinen, Einhauen von Zeichen oder -f- u. s. w.) in vorhandene Steine, Trittstufen, Sockelmauern.

In Fig. 1. ist die Anordnung der Nivellierungs - Festpunkte gezeichnet, welche die trigonometrische Abteilung der Landes-Aufnahme hat. In einen etwa 0,75™ tief versetzten Granitstein ist seitlich ein eiserner Bolzen eingegossen, dessen Oberfläche

Fig. l.

Nivellierungs-Bolzenstein der Landes-Aufnalime. (Massstab 1:10.)

Latte

"’S

(KWï)

0,25m

als Nivellierungs-Punkt gilt, weshalb die Latte auf diesen Bolzen (und nicht etwa auf den Stein) gesetzt wird.

Jeder Bolzen hat eine Nummer, z. B. 1645 in Fig. 1.

Die Numerierung geht jetzt etwa bis 7000, und da die Steine in der Regel in Abständen von 2km stehen, deutet dieses auf eine Länge von 14 000*™ Nivellierungen erster Ordnung.

Hierzu ist nur eine Bemerkung zu machen: In Fig. 1. ist als Nummer auf dem Eisenbolzen 1645 geschrieben; der Bolzen bei der Technischen Hochschule in Hannover trägt aber in Wirklichkeit die Bezeichnung 645, d. h. 645 mit zwei Punkten darüber, wobei die zwei Punkte bedeuten sollen, dass es sich um 645 im zweiten Tausend handelt. Diese Bezeichnungs-Art, welche man auf den meisten Bolzen der Landes-Aufnahme in Norddeutschland findet, war früher auch in den Druckwerken und in der . Schrift üblich, ist aber jetzt amtlich wieder verlassen.

Nach diesem haben wir die Mauer-Bolzen (Fig. 2. S. 359) zu betrachten, welche in bestehende Sockel - Mauern u. s. w. eingegossen werden, und auch zum Aufsetzen der Latte dienen.

Solche Mauer-Bolzen werden seit einigen Jahren auch von der Landes-Aufnahme gesetzt; namentlich hat man sie aber bei Stadt-Nivellierungen, z. B. für das Stadt-Nivellement von Hannover und Linden, dessen Ausgleichung in § 115. mitgeteilt werden soll, wurden mehrere Hundert solcher Mauer-Bolzen wie Fig. 2. gesetzt. Die Mauer-Bolzen sind den Bolzensteinen vorzuziehen.

Fig. 3. zeigt eine Haupt-Höhen-Marke der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme, wie sie seit einigen Jahren gesetzt werden, und zwar ist Fig. 3. mit der Zahl 56,297™ über Normal-Null derjenigen Marke entsprechend, welche sich an der Technischen Hochschule in Hannover befindet. Die Höhen-Marken (Fig. 3.) werden ebenso wie die Mauer-Bolzen (Fig. 2.) in gutes Sockelmauerwerk M eingegossen und gegen das Herausziehen durch einen Querstift S versichert, zum Aufsetzen der Latte gilt der höchste Punkt 0.

Was das Einsetzen der Zahl, z. B. 56,297,

Fig. 2.

Mauer-Bolzen.

r/Wj

Latte

mm

Als Nivellierungs-Punkt

gehalten, und kann durch ein anderes ersetzt werden.

Ehe die Zahl durch Nivellieren gefunden ist, hat man ein Plättchen ohne Zahl; erst später nach Vollendung des Nivellements und der Berechnung wird das endgültige Plättchen eingeschraubt.

Fig. 3.

Haupt-Höhen-Marke der Landes-Aufnahme.

!<-—Os-------o,i

------>

wösr

W v'\

■i~

0,144^--------

Wir wollen hier auch eine Mitteilung über ältere, weniger zu empfehlende Höhen-Marken einschalten (Fig. 4. S. 360), weil solche noch vielfach vorhanden sind (z. B. in Sachsen, Württemberg, Baden).

Diese in den Jahren etwa 1860—1870 gesetzten Höhen-Marken befinden sich in Manneshöhe, etwa 1,5™ über dem Bahnsteig, an Bahnhöfen u. s. w. Der Messing-

Bolzen M mit gebohrtem Loch, in welchen ein Stift S gesteckt werden kann, ist in die Mauer eingegossen und durch eine Schildplatte E mit der Aufschrift „Höhen-Marke“ überdeckt.

Fig. 4.

Ältere Höhen-Marke. (Massstab 1:5.)

Höhen-Marke

Oto

</

Will man mit einer Nivellierung anschliessen, so hängt man mit dem Stifte S eine besondere kleine Hänge-Latte an. Im ganzen ist diese Anordnung (Fig. 4.) iliclit zu empfehlen, und kommt allmählich in Abgang.

Zum Schluss gehen wir noch in Fig. 5. S. 361 eine Darstellung des im Jahre 1879 in Berlin errichteten Normal-Höhen-Punktes, und schicken hiezu folgendes voraus:

Früher hatte jedes Land oder jede Provinz, ja fast jede Stadt, ihren besonderen Höhen-Ausgangspunkt.

Alle diese Landes- und Provinzial - „Höhen über dem Meer“ stimmten aber an den Grenzen oft um mehrere Meter nicht überein, und niemand wusste zu sagen, was eigentlich eine „Höhe über dem Meer“ genau genommen sein soll.

Nachdem nun vollends durch Nivellierungen sicher gestellt war, dass die Mittel-Wasser-Höhen verschiedener Meere überhaupt nicht auf Decimeter übereinstimmen, entschloss sich das preussische Central-Direktorium der Vermessungen, kurzer Hand, eine Höhe anzunehmen, welche innerhalb jener Schwankungen willkürlich, dem Hergebrachten sich möglichst anschliessen, dann aber in aller Strenge festgehalten werden sollte.

Das Hergebrachte war für Nordwest-Deutschland der Amsterdamer Pegel, und die amtliche Festsetzung geschah am 22. März 1879 an der Berliner Sternwarte durch eine Marke, welcher die Höhe „37 Meter über Normal-Null“ zugeteilt wurde.

Als Träger des Normal-Höhenpunktes dient der Nordpfeiler der Berliner Sternwarte. In diesen Pfeiler ist ein 1,70”* langer Syenit-Balken eingemauert, welcher an seiner frei vorstehenden vertikalen Stirnfläche auf einem eingeschobenen Emaille-Glas eine Millimeter-Skala von 20cm Länge trägt, deren Mittelstrich den Normal-Höhenpunkt bezeichnet.

■■■

Ausser dem Skala-Stein, welcher heim nivellitischen Anschluss mit seiner 20 langen Teilung gewissermassen selbst als Nivellier-Latte dient, wurde noch an dem Westpfeiler der Sternwarte ein aus Achat gefertigter Versicherungs-Bolzen eingesetzt,

welcher zum unmittelbaren Aufsetzen einer beliebigen Nivellier-Latte eingerichtet wurde und um 0,841”* tiefer als der Normalpunkt selbst (also 36,159”* über Normal-Null) liegt.

Der „ Normal-Höhenpunkt“ ist eine Art wissenschaftliches Symbol der im Jahr 1879 vollzogenen Nivellierungs-Regelung in Preussen, an welche sich inzwischen auch die anderen deutschen Staaten angeschlossen haben.

Fig. 5.

Der Normal-Höhenpunkt für das Königreich Preussen an der Sternwarte zu Berlin.

Ä ♦ 6*6+ + 8M-8-*

t-i-

⁺⁹łif⁹⁺

+£ws+

⁺+lB|-łł

37 METER UBER

tzSfz+

-o-M-o— i¥c

NORMAL-NULL.

-i-

•s-

-+•

-S

■‘n

-S-

-9-

9-

~LmtL ' ->#8-

'-Hm

Vorderiläche des Skala Steins.

■7.

Syenit

asD

épfij

ÉÜ

Querschnitt des Skala-Steins.

Massstab 1: 4 d. n. G.

10

10 cm.

§ 107. Feinere Nivellier-Instrumente.

Das einfache Nivellier - Instrument von § 102. S. 347 kann in mannigfacher Beziehung weiter entwickelt werden.

Um die verschiedenen entwickelteren Formen von Nivellier-Instrumenten zu beurteilen, ist eine Einteilung wünschenswert. Ein Grundsatz der Einteilung ist nicht wohl zu finden.

Wir teilen daher die Nivellier-Instrumente in zweifacher Weise ein:

A) Unterscheidung in Beziehung auf Horizontalstellung:

1)    Allgemeine Horizontalstellung (gewöhnlich mit drei Stellschrauben, wie heim Theodolit), wobei die Libellen-Axe mittelst der Stellschrauben rechtwinklig zur vertikalen Axe gestellt wird, so dass die Libelle heim Um-drehen um letztere in allen Lagen einspielt.

2)    Besondere Horizontalstellung, wobei nur in jeder einzelnen Zielung die Libelle horizontal gestellt wird.

3)    Vereinigung beider Anordnungen, mit roher allgemeiner, und feiner besonderer Horizontalstellung.

Die Anordnung 1) kommt am häufigsten vor, besonders bei weniger genauen Instrumenten; 2) kommt selten vor; 3) ist die beste Anordnung und kommt bei den genauesten Instrumenten zur Verwendung. (Neigungsschraube S Fig. 2. S. 364 und H Fig. 3. S. 365.)

B) Unterscheidung in Bezug auf die Verbindung der einzelnen Instrumententeile unter sich:

1)    Feste Verbindung von Libelle, Fernrohr und Fussgestell.

2)    Lösbarkeit der Verbindung von Libelle, Fernrohr und Fussgestell.

3)    Teilweise Lösbarkeit dieser Teile.

Die vollkommen feste Verbindung kommt namentlich hei weniger genauen Instrumenten vor, und empfiehlt sich hier wegen der dadurch verbürgten Unveränderlichkeit des Instruments. Instrumente für feine Messungen sollen jedenfalls eine Drehung der Libelle gestatten. Im übrigen ist auch bei feinen Instrumenten die Beweglichkeit der Teile nicht immer nützlich (Einspielen von Staub unter eine Setz-Libelle u. s. w.)

Nach diesem betrachten wir einige ausgewählte Nivellier-Instrumente Fig. 1. S. 363, Fig. 2. S. 364 und Fig. 3. S. 365 näher.

Fig. i.

Grosses Nivellier-Instrament.

(Massstab 1:4,3 d. n. Gr. Fernrohr-Länge = 44«»».)

'T*

F If

-G-    --

Éf

mS*

JL

.4

...

fi

(Trigon. Abteilung der Landes-Aufnahme ; Mechaniker Bamberg.)

Brennweite des Objektivs = 42cm, Öffnung des Objektivs = 4,1™*. Vergrösscrung (Bamsden) = 30fach, Empfindlichkeit der Libelle 4,1" auf

1 Strich.

Das Fernrohr F kann in den Lager-Ringen G gedreht und umgelegt werden. Dabei bleibt die Haupt-Libelle L mit dem Fernrohr fest verbunden.

Zum vorläufigen Ein stellen sind zwei Dosen-Libellen 0 und P angebracht.

Der Träger D hat seinen Drehpunkt in der Mitte, und bei M und M' Richteschrauben mit Zug und Druck.

Weitere Berichtigungsmittel sind die Faden-Richteschrauben N , N', und an der Libelle links Schraube und Gegenmutter II , I und rechts K für die Libellen-Kreuzung.

(Mit diesem Instrument haben wir, im Aufträge der Preussischen Landes-Aufnahme, im Jahre 1881, mehrere Hauptlinien in Baden nivelliert.)

Fig. 2.

Grosses Nivellier-Instrument.

(Massstab 1:4,4 d. n. Gr. Fernrohr-Länge = 44«»»)

11 L’

âm

F .N

trA'i

mi

D'

w iff/m

ëJL

‘«8

iss

f.

w"m

i-i

C il

VI

(Hannov. Sammlung ; Mechaniker Bamberg.)

Brennweite des Objektivs = 42rm, Öffnung des Objektivs = 4,0°". Vergrösserung (Ramsden) = 37fach. Empfindlichkeit der Libelle = 6,5" anf

l Strich.

Das Fernrohr F kann in den Lager-Ringen G gedreht und umgelegt werden, dabei bleibt die Haupt-Libelle L\, welche doppelt geschliffen ist, fest mit dem Fernrohr verbunden. X₂ ist eine am Träger D angeschraubte Dosen-Libelle zum vorläufigen Einstellen, und X₃ bedeutet eine in den hölzernen Stativkopf versenkte Dosen-Libelle zu gleichem Zweck.

Der einzige wesentliche Unterschied dieses Instrumentes Fig. 2. gegen Fig. 1. besteht in der Neigungsschraube S mit der Gegenfeder T, wodurch der Arm D D um seine Mitte (bei D') gedreht werden kann.

Diese Schraube S macht in einer gewissen Stellung die Libellen-Axe L\ rechtwinklig zur vertikalen Axe. Die Faden-Richteschrauben N und die Libellen-Richteschrauben H und K sind wie bei Fig. 1.

Am Okular rechts bei b ist ein blaues Blendglas angebracht zur Beobachtung bei greller Sonnen-Beleuchtung.

Fig. 3.

Ni voilier-instrument mit Setz-Libelle. (Massstab 1 : 4 d. n. Gr. Fernrohr-Länge 42««.)

WM

-LL- ^ J

F,

fi

HJ

77

CD)

nu

ngj7 v_j

1 1

F®

«m

(Karlsr. Sammlung; Mechaniker Kern.)

Brennweite des Objektivs = 37cm, Öffnung des Objektivs = 3,5"m.

Vergrösserung(Ramsden) = 30fach. Empfindlichkeit der Libelle = 6,8" auf 1 Strich.

Der Dreifuss A mit den Stellschrauben B wird durch Plättchen C auf dem Stativ gehalten. Die Säule D enthält die vertikale Umdrehungs-Axe.

Das Gestell E hat rechts bei E" ein Gelenk und links bei E eine feine Neigungsschraube H zur feinen Horizontalstellung.

Die Libelle G ist in ein hölzernes Gehäuse mit übergedeckter Glasplatte J eingeschlossen. Mit der Libelle ist ein schiefer Spiegel K verbunden, zum Ablesen des Standes der Blase vom Okular aus

Das Fernrohr kann in seinen Lagern gedreht und umgelegt werden, und die Libelle kann auf dem Fernrohr umgesetzt werden.

Die Neigungsschraube H macht in einer bestimmten Stellung die Libellen-Axe rechtwinklig zur vertikalen Umdrehungs-Axe, ausserdem sind zweierlei Berichtigungsmittel vorhanden ; erstens die Faden-Richteschrauben L und ferner zwei Libellen-Richte-schrauben M vertikal, und N horizontal (für Kreuzung) wirkend.

Prüfung und Berichtigung eines Nivellier-Instrumentes mit beweglichem Fernrohr, mit beweglicher Libelle und mit Neigungsschraube.

Ein solches Instrument ist in Fig. 3. S. 365 gegeben, und obgleich wir dieses nicht für das Beste halten, behandeln wir doch zuerst die Berichtigung desselben, weil wir hierin nahezu den allgemeinsten Fall haben, welcher viele andere Fälle (z. B. auch Fig. 1. und Fig. 2. S. 363 und 364) in sich schliesst.

Yorausgeschickt muss werden, dass nichts hindert, ein Instrument, Fig. 1., Fig. 2. oder Fig. 3. S. 363, 364, 365, ebenso zu behandeln, wie früher das einfache Instrument Fig. 1. und Fig. 2. S. 347, indem man von der Beweglichkeit einzelner Teile keinen Gebrauch macht; und die wichtigste Nivellier-Probe, Messung aus der Mitte (Fig. 4. § 102. S. 349), behält auch für feinere Instrumente ihre Bedeutung. Indessen gehen wir nun zur Behandlung des Instrumentes Fig. 3. S. 365 mit beweglichen Teilen über.

Man hat wieder dieselben zwei Bedingungen, wie bei dem einfachen Instrument nach dem Schema Fig. 3. § 102. S. 348 ; wir nehmen die Bedingungen diesesmal in dieser Aufeinanderfolge :

[1]    die Ziel-Axe des Fernrohrs und die Libellen-Axe sollen parallel sein ;

[2]    die Libellen-Axe soll rechtwinklig zur vertikalen Umdrehungs-Axe sein.

Die Einzelbetrachtung gestaltet sich so:

[1] Ziel-Axe parallel der Libellen-Axe.

Dieses giebt Unter-Abteilungen :

1) Gentrieren des Fernrohrs, d. h. man bringt die Ziel-Axe des Fernrohrs zum Zusammenfallen mit der durch die Lagerringe bestimmten geometrischen Axe (oder man macht wenigstens diese zwei Axen in sehr kleinem Abstand von einander parallel). Die vollständige Centrierung der Ziel-Axe erfordert Centrierung des Objektivs und Centrierung des Fadenkreuzes.

Wir setzen vorerst voraus, dass das Objektiv sehr nahe centriert sei, und unter dieser Voraussetzung wird die Centrierung des Fadenkreuzes so bewerkstelligt: Man wählt einen ziemlich entfernten Punkt (damit eine kleine Excentricität des Objektivs ohne Einfluss bleibt) und zielt ihn scharf an. Wenn dann beim Drehen des Fernrohrs um seine Lager-Axe, das Fadenkreuz nicht auf dem angezielten Punkte bleibt, so ist das Fadenkreuz entsprechend (um die Hälfte) in dem Okularkopf mittelst der Faden-Richteschrauben zu verschieben.

Damit hat man aber noch nicht das Fadenkreuz im strengen Sinn centriert, sondern man hat nur die Ziel-Axe (Verbindungslinie zwischen dem optischen Mittelpunkt des Objektivs und dem Fadenkreuzpunkt) parallel der geometrischen Fernrohr-Axe gemacht. Um vollends zu untersuchen, ob der Abstand dieser beiden Axen merklich ist, nimmt man im Gegensatz zu der soeben gemachten Untersuchung, wobei ein sehr ferner Zielpunkt benützt wurde, einen möglichst nahen Punkt, und wiederholt das Verfahren. Wenn sich dann beim Drehen des Fernrohrs um seine geometrische Axe eine Verschiebung des Fadenkreuzes gegen den angezielten Punkt zeigt, so ist dadurch eine Excentricität des Objektivs bewiesen, welche nicht ohne Hilfe des Mechanikers weggeschaflt werden kann. Man trifft selten ein so schlecht centriertes Objektiv, dass die Excentricität schädlich wäre (vgl. übrigens hiezu den Schluss von § 108.).

2) Nach der Centrierung hat man zu untersuchen, oh die Libellen-Axe parallel der geometrischen Fernrohr-Axe ist, und zwar trennt sich diese Untersuchung wieder in zwei Teile:

a)    Es ist zu untersuchen, ob die Libellen-Axe parallel ist der oberen Mantel-Linie des durch die beiden Fernrohr-Lagerringe bestimmten Cylinders (oder Kegels). Diese Untersuchung geschieht durch Umsetzen der Libelle auf dem Fernrohr, mit Korrektion der Hälfte des Ausschlags an der Richteschraube der Libelle. Hiebei ist auch die Libellen-Kreuzung nach S. 155 zu berichtigen. (Wir werden nachher in § 108. die Theorie der Libellen-Kreuzung besonders behandeln.)

b)    Es ist die Frage aufzuwerfen, ob die beiden Fernrohr-Lagerringe gleiche Durchmesser haben. Diese Frage wird dadurch beantwortet, dass man, nachdem die Libelle zum Einspielen gebracht ist, das Fernrohr samt der darauf sitzenden Libelle in den Lagern umlegt.

Fig. 4.

Ungleichheit der Ring-Durchmesser T) und d des Fernrohrs.

Lagel.

Lagel.

H-------------

4S

Dt-------

r:__

2e

Dieses ist in Fig. 4. klar gemacht:

Hiebei bedeutet H U die Horizontale, und A B eine schiefe Gerade, auf welcher das Fernrohr mit zwei ungleichen Ring-Durchmessern I) und d, in zwei Lagen I. und II. aufgelegt wird.

In Lage I. ist das dicke Ende D links und das dünne Ende d rechts, die Libelle, welche auf ihrer Unterlage durch Umsetzen richtig gestellt wurde, spielt ein, folglich hat die Gerade AB eine Neigung = 2e, indem a der kleine Winkel ist, welchen die Fernrohr-Axe gegen die Libelle bildet infolge der Ungleichheit der Ring-Durchmesser D und d.

Setzt man nun das Fernrohr samt der Libelle in die Lage II. um, so dass nun das dicke Ende D nach rechts und das dünne Ende d nach links kommt, so müssen die verschiedenen Neigungen e, welche in Lage I. sich gegenseitig aufgehoben hatten, nun in Lage II. sich häufen, und die Libellen-Axe macht nun in Lage II. den Neigungswinkel 4 e gegen die Horizontale H.

Die Anwendung mag ein Beispiel zu Fig. 4. zeigen :

Lage I.

Blase links Blase rechts 31,8

Lage II.

Blase links Blase rechts

34,0

8,4

10,5

22,25

e = 0,54 Striche.

Ein Libellen - Strich entspricht einem Winkel von 6,8", also in Sekunden :

20,1

4 e = 2,15

a = 3,7".

Hier kommt eigentlich noch eine weitere Frage hinzu, nämlich, in welcher Weise die ungleichen Eing-Durchmesser D und d in die etwa ringförmigen oder gabelförmigen Lager einsinken ; und die vorstehende Betrachtung mit Fig. 4. gilt nur, wenn die Eing - Durchmesser D und d auf den tiefsten Punkten der Lager aufruhen. Wir übergehen aber diese letzte Feinheit, betreffs etwaiger Gabel-Lager (sogen. Y-Lager), mit Verweisung auf Begründung am Schluss dieses §. (Das verschiedene Einsinken in solche Lager wird in astronomischen Werken für die horizontale Axe untersucht, vgl. z. B. in des Verfassers „Grundzüge der astron. Zeit- und Ortsbestimmung“, Berlin 1885, S. 46).

[2] Die Libellen-Axe soll rechtwinklig zw vertikalen Umdrehungs-Axe sein.

Um diejenige Stellung der Neigungsschraube (H Fig. 3. S. 365 oder S Fig. 2. S. 364) zu ermitteln, bei welcher die Libellen-Axe rechtwinklig zur vertikalen Axe ist, bringt man die Libelle zum Einspielen, dreht um 180°, und schafft die Hälfte des sich zeigenden Libellen-Ausschlages mit den Fuss-Stellschrauben, die andere Hälfte mit der Neigungsschraube weg. Die so gefundene Normalstellung der Neigungsschraube wird durch irgend welchen Zeiger zum leicht Wiederfinden eingerichtet.

Das Vorstehende bezieht sich im ganzen auf das Instrument Fig. 3. Soweit die Beweglichkeit der Libelle nicht in Frage kommt, gilt es auch für Fig. 1. und Fig. 2., und man hat damit folgendes für diese zwei letzteren Instrumente:

1)    Centrieren des Fadenkreuzes mittelst der Fadenkreuz - Eichteschrauben NN'.

2)    Untersuchung der Parallelität der Libellen-Axe und der Fernrohr-Umdrehungs-Axe durch Umlegen des Fernrohrs in den Lager-Eingen, mit Berichtigung an den vertikal wirkenden Libellen-Eichteschrauben H.

3)    Untersuchung der Libellen-Kreuzung durch schwaches seitliches Drehen des Fernrohrs in seinen Lager-Eingen bei einspielender Libelle, Berichtigung an der horizontal wirkenden Libellen-Schraube K.

4)    Eichtigstellung der Fernrohr- und Libellen-Axe rechtwinklig zur vertikalen Umdrehungs-Axe, durch Umdrehung um letztere, Berichtigung an den Trägerschrauben M und M' Fig. 1. oder an der Neigungsschrauhe S Fig. 2.

5)    Die zur vorläufigen Einstellung dienende Dosen-Libelle O Fig. 1. oder i₂ Fig. 2. muss natürlich ebenfalls zum allgemeinen Einspielen beim Umdrehen des Instruments gebracht werden.

Die unter 2) angegebene Untersuchung hat nur dann völlig den gewünschten Erfolg, wenn die in den Lagern liegenden Fernrohr-Einge gleiche Durchmesser haben. Ob dieses genau der Fall ist, kann an den Instrumenten Fig. 1. und Fig. 2. selbst nicht untersucht werden. Aus diesem Grunde, und weil die im vorstehenden beschriebenen Einzel-Untersuchungen überhaupt mühsam sind, benützen wir während der Messungen seihst zuweilen die bekannte Probe mit ungleichen Zielweiten zwischen zwei Lattenständen, welche im durchlaufenden Nivellement bereits mit gleichen Zielweiten nivelliert waren (vgl. Fig. 4. § 102. S. 349). Stimmt diese Probe, so braucht man nur noch zuweilen die Libellen-Kreuzung nachzusehen, um immer mit vollem Vertrauen fortarbeiten zu können.

Über die Neigungsschrauben S Fig. 1. und H Fig. 3. ist noch einiges zu sagen: Wenn die Fuss-Stellschrauben genügend weit gestellt sind, und nicht zu groben Gang haben, so kann man diese Fuss-Schrauben seihst dazu benützen, um in jeder einzelnen Zielung die Libelle schärfer zu stellen als das im allgemeinen möglich

ist; es entstehen dadurch aber beständige kleine Hebungen und Senkungen des Instrumentes, welche zu den Latten-Ablesungen hinzu treten, und trotz ihrer Kleinheit störend werden können. Dieses wird vermieden, wenn man eine besondere Neigungsschraube S Fig. 2. S. 364 hat, welche das Gestell D um die Mitte (bei I)’) dreht, während in Fig. 3. S. 365 der seitliche Drehpunkt E" jene Hebungen und Senkungen zulässt.

Unser Instrument Fig. 2. S. 364 mit der Haupt-Libelle Lj, welche fest mit dem Fernrohr verbunden ist, jedoch Drehung gestattet zur Kreuzungs-Bestimmung, mit der Dosen - Libelle i₂ un<l Oer Neigungsschraube S, hat bis jetzt alle unsere Wünsche befriedigt. (Die Libelle Xj ist doppelt geschliffen, wovon wir aber keinen Gebrauch machen, s. S. 371.)

Eine letzte Vervollständigung feiner Nivellier-Instrumente wurde in neuerer Zeit von verschiedenen Seiten ( Vogler, Nagel) angebracht in einer besonderen Setz-Libelle, welche etwa in Fig. 1. S. 363 bei den Lager-Ringen G aufzusetzen wäre.

Wenn man in jedes Nivellement von Zeit zu Zeit die Mitten-Probe (Fig. 4. § 102. S. 349) einschaltet, so ist eine besondere Setz-Libelle nicht nötig.

In manchen Nivellierungs-Anweisungen wird die Forderung gestellt, der Nivellierende solle jeden Tag sein Instrument durch Libellen-Umsetzungen u. s. w. prüfen, und kleine gefundene Fehler jeweils an den Richteschrauben verbessern. —-

Die Erfahrungen der besten Nivellierungen, die wir haben, weisen darauf hin, dass die letzten Verfeinerungen nicht durch Fehler-Verbesserung am Instrument, sondern im Nivellier-Verfahren selbst zu suchen sind, wobei die letzten kleinen Instru-menten-Fehler nicht wiederholt zu ändern, sondern konstant zu erhalten und im Mes sungs-Verfahren zu bestimmen und unschädlich zu machen sind.

§ 108. Libellen-Kreuzung, Doppel-Libelle und Okular-Auszug.

Einige Nebenfragen, welche zur Theorie der Nivellier-Instrumente (§ 102. und § 107.) in Beziehung stehen, behandeln wir noch besonders:

CS

I. Libellen-Kreuzung (Fig. 1. S. 370).

macht, so kann daraus ein Nivellier-

<P

Wenn die Libellen -Axe mit der Ziel-Linie des Fernrohrs nicht in einer vertikalen Ebene liegt, sondern, im Grundriss gesehen, mit der Ziel-Linie des Fernrohrs einen kleinen Kreuzungs-Winkel Fehler entstehen.

Allerdings, wenn die Libellen-Axe und die Ziel-Axe in zwei parallelen horizontalen Ebenen liegen, dann ist kein Fehler zu fürchten, aber darauf kann man im allgemeinen nicht rechnen, namentlich dann nicht, wenn man die Horizontalstellung quer zur Ziel - Richtung weniger scharf macht als die Horizontalstellung in der Ziel-Richtung selbst.

In Fig. la. und Fig. Ib. (S. 370) sei FF die Ziel-Axe des Fernrohrs und zugleich Dreh-Axe (etwa wie in Fig. 2. § 107. S. 364). Die Libellen-Axe ALB habe im Grundriss eine Kreuzung <p, und zeigt sich daher im Aufriss nicht als ein Punkt L, sondern als eine kurze Gerade AB = 2y.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

In Fig. lb. ist eine kleine Querdrehung « um die Axe F angenommen, und dadurch erscheint auch die kurze Gerade A' B' = 2 y im Aufriss (Fig. 1 b.) um den Winkel a gegen die Horizontale geneigt, und es handelt sich um den Höhen-Unterschied h der Punkte A' und B' in Fig. lb. Dieser ist:

h= A' B' sin a — 2 y sin a.

Es ist aber für eine Libellen-Länge l nach Fig. la.:

Fig. l.

Theorie der Libellen-Kreuzung.

1 a.

lb.

y ~ 2 tav9 v

folglich :

oder =

•p

2 y.....

*■-

h — l cp sin a

oder:

CD

îh

= </> sin a — n (1)

Dieses ist die Neigung n, welche die Libelle infolge des Kreuzungs winkeis cp an nimmt, oder auch umgekehrt die Neigung der Ziel-Linie, wenn man nachher die Libelle in der Ziel-Richtung wieder horizontal einstellt.

Oder kurz, der Wert cp sin a nach (1) stellt den Fehler vor, mit welchem wir uns hier beschäftigen.

Es könnte auf den ersten Blick scheinen, dass dieses Produkt cp sin a immer verschwindend klein sei, weil sowohl <p als a allerdings klein sind, und beim Theodolit ist in der That die Libellen-Kreuzung kaum zu beachten (vgl. S. 155, Libellen-Kreuzung als Nebenfrage). Indessen beim Nivellieren ist eine auch noch so kleine Ziel-Neigung so wichtig, dass auch jenes Produkt cp sin a wohl von Einfluss sein kann.

Bei sorgloser Behandlung kann die Kreuzung selbst, d. h. cp, wohl 1°= 3600” betragen; wenn nun auch nur « = 1' ist, so erreicht cp sin a bereits den Wert von 1”, d. h. die Ablesungs-Grenze. Die Quer-Neigung a kann auch aber leicht grösser werden.

Alle diese theoretischen Betrachtungen führen zu folgenden Regeln:

1) Wenn man ein feineres Instrument auszuwählen hat, so sehe man jedenfalls darauf, dass das Fernrohr mit der Libelle eine grössere Quer-Drehung a gestatte, damit der Kreuzungsfehler cp bequem untersucht werden kann, wie schon beim Theodolit S. 155 angegeben wurde.

Nach der Prüfung und Berichtigung der Kreuzung Libellen-Richteschrauben, sorgt man dann durch eine Anlehnung, dass eine Quer-Drehung a nicht zufällig eintritt.

HOL

ou.

F y /B

B¹

Li

L‘

Ay F

.i:.

A‘

•Pc

mittelst der seitlichen

2) Wenn es sich um ein gröberes Instrument handelt, bei welchem das Fernrohr und die Libelle beide fest mit dem Untergestell verbunden sind, so ist manchmal (für Querprofil-Aufnahmen u. s. w.) die Libellen-Kreuzungsfrage unwesentlich; da man aber mit solchen festen Instrumenten wohl auch feinere Arbeiten, Längen-Profile u. s. w., macht, so ist so zu verfahren: Man stellt das in allen anderen Beziehungen berichtigte Instrument so auf, dass die Ziel-Linie parallel der Verbindungs- Linie zweier Fuss-schrauben wird, und zielt so nach einer Latte. Nun sieht man zu, ob das Umdrehen der dritten Stellschraube, welche der Quere nach wirkt, die Latten - Zielung ändert, wenn gleichzeitig die Längs - Libelle mit den zwei erstgenannten Schrauben im Einspielen erhalten wird.

Allerdings eine kleine Ziel-Änderung muss diese dritte Schraube wohl erzeugen, nämlich entsprechend der Höhen-Änderung am Instrumente selbst ; das ist aber wenig, und kann nötigenfalls in Rechnung gebracht werden.

Nach dem Erfolge dieser Untersuchung ist die Libelle zu lassen, oder durch seitlich wirkende Richteschrauben von ihrer Kreuzung zu befreien.

(Diese Prüfungsart ist von Helmert in der „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 192 angegeben worden, indem zugleich die Bedeutung der Libellen-Kreuzung für das Nivellieren überhaupt zuerst ins richtige Licht gestellt wurde.)

II. Die Doppel-Libelle.

In neuerer Zeit findet man an Nivellier-Instrumenten häufig Libellen, welche auf zwei Seiten, oben und unten, geschliffen und eingeteilt sind, und durch Umdrehung auf beiden Seiten benützt werden können. Z. B. unser Instrument Fig. 2. § 107. S. 364 hat eine solche Doppel-Libelle (von welcher wir aber bei unseren Arbeiten nur eine Seite benützt haben).

Fig. 2.

Doppel-Libelle.

>+

—D'

Ä'

Bei einer Doppel - Libelle ist zuerst zu beachten, dass sie zwei Axen hat. Die Axe ist nach unserer Erklärung von § 34. S. 102 die im Normalpunkte der Teilung nach der Längsrichtung (Richtung der geringsten Krümmung) gezogene Tangente.

Hat nun eine Libelle oben und unten eine Teilung mit je einem Normalpunkt A oder B (Fig. 2.), so hat sie auch zwei Axen AL und BL, und man kann von vornherein nicht wissen, ob diese beiden Axen parallel sind.

In Fig. 2. ist angenommen, dass die beiden Libellen-Axen den Winkel X unter sich bilden, und dass die Libelle mit ihren beiden Axen um eine Dreh-Axe DC gedreht werde.

Zu Anfang sei die erste Libellen-Axe A horizontal, die Blase spielt in A ein. Nach der Umdrehung kommt die zweite Axe B in der Lage Br zur Anwendung, und es fragt sich, welche Neigung die Axe I! B’ hat, oder welcher Ausschlag bei B’ beobachtet wird?

Fig. 2. S. 371 giebt folgendes zu erkennen:

L A    hat    die Neigung = 0

b —(- (6 -+- A) = 2 b -+- k Wenn man nun nach der Drehung die gewöhnliche Libellen-Berichtigung macht, d. h. die Hälfte des Ausschlages an den Fuss-Stellschrauben und die andere Hälfte an

der Lihellen-Richteschraube wegschafft, so wird 2 b -+- k — 0    , b —

~, d. h. die

Dreh-Axe DC wird dann parallel der Halbierungs- Linie LF des Winkels k in der ersten Lage.

Fig. 3.

Doppel-Libelle, zweimal einspielend (.4 und B’).

K>0«

Lj>==“E.

Hor.

TE

B'j

A'

SJ

pE¹

D'

Dieses ist in Fig. B. veranschaulicht; die Dreh-Axe DG macht hier eine Neigung gegen den Horizont, und hei der Umdrehung spielt die Libelle oben in A und

unten in B' ein.

Man sieht also, dass das zweifache Einspielen der Doppel - Libelle heim Umdrehen, noch keine Bürgschaft ist für die Horizontalität der Dreli-Axe, noch für die Symmetrie der Libelle.

Zu einer vollständigen Prüfung müsste man sich mit anderen Mitteln eine horizontale Axe verschalten, indem man das Fernrohr centriert, und dann etwa Zielung aus der Mitte nimmt (Fig. 4. § 102. S. 349), und dann untersucht, oh die Doppel-Libelle das Umdrehen ohne Ausschlag aushält.

Die Berichtigung des Fehlers k geschieht durch Ändern der einen Teilung; wenn k zufällig einen ganzen Strich (oder mehrere ganze Striche) beträgt, so geht das leicht, andernfalls wäre die Teilung abzuschleifen, oder der Fehler in Rechnung zu bringen.

Indessen tritt nun noch die Frage hinzu, oh die beiden Libellen - Axen verschiedene Kreuzungen haben.

Ist eine Doppel-Libelle in allen diesen Beziehungen untersucht und richtig, so kann man damit die Ungleichheit der Ringdurchmesser des Dreh-Fernrohrs eliminieren

oder bestimmen ; man sieht aber aus dem In einandergreifen der vielen hiebei nötigen Fehler-Bestimmungen, dass die Doppel-Libelle ein kompliziertes Hilfsmittel ist, und dem am Schluss des vorigen § 107. S. 369 ausgesprochenen Gedanken, die letzten kleinen Fehler nicht im Instrument, sondern im Messungs-Verfahren zu eliminieren, nicht entspricht.

111. Gang der Olmlar-Röhre.

Ein grosser Teil unserer bisherigen Betrachtungen über die Fehler von Nivellierinstrumenten ist nur dann gültig, wenn entweder von der Beweglichkeit der Okular-Röhre abgesehen wird (bei lauter gleichen Zielweiten), oder angenommen werden darf, dass bei dem Auszug der Okular-Röhre sich das Fadenkreuz in einer durch den optischen Mittelpunkt des Objektivs gehenden Geraden bewegt, oder allgemeiner (z. B. für das Huyghens sehe Okular S. 130—131), wenn die Annahme gemacht werden darf, dass beim Auszug des Okulars die Ziel-Axe (Kollimations-Axe) sich nicht ändert.

Diese Annahme ist ohne Weiteres nicht zulässig, und wir haben daher in dem störenden Gang der Okular-Röhre einen Grund mehr, nur mit gleichen Zielweiten rückwärts und vorwärts zu nivellieren.

Dann ist aber auch die schöne Nivellier-Probe, mit gleichen und ungleichen Zielweiten, nach Fig. 4. S. 349 und Fig. 5. S. 350 nicht mehr streng richtig.

Um den fraglichen Fehler bei einem Nivellier-Instrumente (Fig. 3. § 107. 8. 365) zu bestimmen, haben wir folgende Anordnung getroffen (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 305): Es wurde eine Gerade von 165”* in 11 gleiche Teile von je 15”* geteilt, und die 12 Teilpunkte fest versichert.

Das Nivellier-Instrument wurde der Reihe nach auf die 11 Mittelstellungen zwischen je zwei Festpunkte gebracht, und dabei jedesmal alle 12 Lattenstellungen auf den Festpunkten abgelesen.

Nun waren zuerst genügend viele Nivellierungen aus der Mitte vorhanden, um die Höhen der zwölf Festpunkte scharf zu bestimmen, und die übrigen Zielungen lieferten die Verbesserungen für schiefen Okular-Gang. Es ergab sich folgendes:

Zielweite

40”*    ,

Korrektion y = -+- 0,0”*”*, + 0,3”*”*, + 0,6”*"' , + 0,7”*”*, + 1,1””'* , + 1,7”*”* x , _    ,

Töö¹’⁷“²' “

0”*

0,00

20”* ,

60”* ,

80”* , 100”*

0,34

0,68

1,02

1,36

1,70

+ 0,26’

0,00'

0,00”*”* + 0,04”*"* -f 0,08”*”* + 0,32

mm

y' — y =

Diese letzten Differenzen y' — y geben ein Bild von der Grössen-Ordnung der Okular-Auszugs-Fehler, denn die Ordinaten y selbst können, wenn sie proportional x wachsen, lediglich durch eine Ziel-Axen-Neigung gegen die Libellen-Axe erklärt werden.

Nach diesem Erfunde ist jenes Instrument in Hinsicht auf den Okular - Auszug genügend richtig.

So lange man eine solche Untersuchung nicht gemacht hat, bleibt nichts übrig, als überall, wo ungleiche Zielweiten Vorkommen, also auch hei den Prüfungen von Fig. 4. S. 349 und Fig. 5. S. 350, vorsichtig zu sein, und solche Prüfungen nur als vorläufig gelten zu lassen.

Zu der Hauptsache aber, nämlich gleiche Zielweiten rückwärts und vorwärts, kommt bezüglich der Okular-Röhre noch die mechanische Rücksicht, zwischen Rück-Zielung und Vor-Zielung den Okular-Auszug überhaupt nicht anzufassen.

§ 109. Die Nivellier-Latten.

Eine Nivellier-Latte ist ein etwa 2 — 4m langer, geteilter Massstab, gewöhnlich von Tannenholz.

Man kann mit einer Latte nivellieren; da man aber dabei jedesmal warten muss, bis die Latte vom rückwärtigen Punkt zum nächsten vorwärts zu nehmenden Punkte gebracht ist, so benützt man besser zwei Latten zusammen.

Der Querschnitt einer Nivellier-Latte kann einfach rechteckig sein (etwa 9x3™*). Zur Verhinderung des Werfens macht man den Querschnitt zuweilen T-förmig (Fig. 1.) oder doppel-T-förmig (Fig. 2.). Die letztere Form empfiehlt sich auch deswegen, weil die beiden seitlich vorstehenden Rippen zum Schutze der Teilungen dienen.

Fig. 2.

Fig. l.

Querschnitte von Nivellier-Latten.

Die beste Form ist jedoch die Kanten - Form, welche in dem Querschnitt A A' in der Mitte von Fig. 3. S. 377 angedeutet ist.

Zum Schutz gegen Feuchtigkeit wird die Latte, nachdem sie gut getrocknet ist, mehrfach mit Ölfarbe angestrichen.

Die Teilungs-Einheit soll in der Regel nicht kleiner als 1 Centimeter sein, da sich Millimeter und deren Teile besser schätzen, als unmittelbar ablesen lassen.

Die Ausführung der Teilung kann für gewöhnliche Zwecke (Längen- und Quer-Profile) geradezu mittelst angelegten Normal - Strichmasses, mittelst Stangen-Zirkels u. dergl. geschehen. Wenn man aber die Länge auf lmm für lm sicher haben will, so ist eine Teilmaschine mit genauer Massvergleichung, Berücksichtigung der Temperatur u. s. w. erforderlich. (Unseren Karlsruher Latten-Comparator mit Teilmaschine haben wir in der „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1881,“ S. 41—47, beschrieben.)

Die Anordnung der Felder, Striche u. s. w. wird bei Nivellier-Latten je nach Gutdünken sehr verschieden gemacht.

In Fig. 3. bis Fig. 7. S. 376 und S. 377 haben wir von unseren hierüber gemachten Erfahrungen einige Muster von Nivellierlatten-Teilungen zusammengestellt.

Fig. 3. Einfache Felder-Teilung. Dieses ist eine Teilung, welche wir seit Jahren gut bewährt gefunden haben. Die durchgehenden Striche bei den ganzen Decimetern sind nötig zum Schutz gegen Centimeter-Ablesefehler.

Fig. 4. Scliachbrett-Felder-Teilung. Diese Teilung ist im wesentlichen ebenso eingerichtet wie Fig. 3., nur sind aus theoretischen Gründen, zum Schutz gegen Irradiationsfehler, zwei Centimeter-Teilungen, schachbrettartig verschoben, neben einander gestellt. Auch hier sind die durchgehenden Decimeter-Striche von Wichtigkeit. Die Irradiation äussert sich darin, dass z. B. hei heller Beleuchtung die weissen Felder grösser erscheinen als die schwarzen oder rothen (obgleich in Wirklichkeit die Felder gleich sind). Daraus entstehen ohne Zweifel Fehler im Schätzen der Millimeter, und zwei Felder - Teilungen, gegen einander verschoben wie in Fig. 4. S. 376, geben eine

gewisse Hilfe gegen solche Schätzungsfehler, allein dadurch wird das Bild zu unruhig. Eine gewisse Unruhe ist überhaupt nicht zu vermeiden, wenn man an der Felder-Teilung festhält, deswegen gingen wir über zu:

Fig. 5. Strich-Teilung. Die Teilstriche sind dabei i/₂ oder i/₃ Millimeter dick, und erscheinen in einem massigen Fernrohr bei einer Zielweite von 50m als deutliche schwarze Linien, etwa von gleicher Dicke wie der Horizontalfaden des Fadenkreuzes. Es wird nicht bestritten, dass eine solche Teilung immer den theoretischen Nachteil behält, dass die Dicke der Teilstriche bei den Schätzungen einen gewissen Einfluss hat, allein dem steht der praktische Vorteil des sehr ruhigen Lattenbildes, mit dem Fortfall der Irradiation, entgegen, und der Vorteil, dass das Abzählen der Teilstriche viel sicherer und angenehmer geschieht, als bei den schwarzen und weissen Feldern; insbesondere ist die Gefahr eines ganzen Centimeterfehlers bei der Linien-Teilung geringer, als bei der Felder-Teilung.

Fig. 6 a.

Fig. 6. Felder-Teilung und Strich-Teilung. Felder-Teilung und stńch-Teiiung.

(Massstab */z der natürl. Grösse.)

Diese Verbindung ist in unserem Falle dadurch entstanden, dass wir eine Felder - Teilungs - Latte (Fig. 7.) der Landes-Aufnahme nachher noch mit Strichen versahen, wegen der Schwierigkeit, zwischen die in hellem Sonnenschein ganz ungleich aussehenden Felderbreiten hinein zu schätzen. Diese

Verbindung von Feldern und Strichen, welche wir inzwischen noch genauer ausführen Hessen, hat viele Vorteile.

Zur grösseren Deutlichkeit und zur Vergleichung haben wir in Fig. 6 a. nochmals reine Felder-Teilung und Felder-Strich-Teilung in grösserem Massstab neben einander gestellt.

Fig. 7. Kasten-Latte der trigonometrischen Abteilung des Landes-Aufnahme. Nachdem wir die Felder-Teilung von Fig. 7. bereits bei Fig. 6. vergleichend betrachtet haben, fassen wir die eigentümliche Bezifferung von Fig. 7. ins Auge.

Es ist links eine Bezifferung von unten nach oben, und rechts mit Kreuzen (x) eine entsprechende Bezifferung in dekadischen Ergänzungen von oben nach unten. Je zwei zusammengehörige Zahlen haben die Summe 100, z. B. :

60 + x40 = 100 59 -j- x41 = 100 u. s. w.

Die Anwendung dieser (von Oberst Schreiber eingeführten) Bezifferung werden wir in § 110. kennen lernen.

Statt zwei Bezifferungen nebeneinander findet man zuweilen auch zwei Teilungen mit Bezifferungen auf beiden Seiten einer Latte (Beversions - Latten), wobei dann die beiden Bezifferungan irgend welche konstante Summe oder konstante Differenz haben.

Latten-Vergleichung. Wie schon oben bei Gelegenheit der Latten - Teilung bemerkt wurde, sind zur Versicherung der richtigen Länge, etwa innerhalb 0,1mm auf lm, alle Massregeln feiner Massvergleichungen anzuwenden.

(Fortsetzung Seite 378.)

Verschiedene Nivellier-Latten-Teilungen. *) (Massstab 1 : 5.)

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.

Felder - Teilung und Strich-Teilung. (iZalö-Centimeter.)

Einfache

Felder-Teilung.

Schachbrett-

Felder-Teilung.

Strich-Teilung.

|

-ö-¹

0!

— 13

6'

IM

12-

12

L\

EkX

95

L17^X

ił

11

5!

9*X

VS'

9frX

CD

CO

ff

(Karlsr. und Hannov. Sammlung.)

*) Fig. 3., Fig. 4. und Fig. 5. sind mit aufrechten Zahlen von unten nach oben beziffert, was der Wirklichkeit nicht entspricht, indem, wegen der Umkehrung des Fernrohrbildes, die Zahlen, von unten nach oben wachsend, verkehrt stehen müssen.

Nivellier-Latte und Kontroll-Mass der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme. Fig. 7.

Fig. 8.

Latten-Vergleichung. (Massstab 1 :10.)

IKasten-Latte. (Massstab 1: 5.) Teilung in Ha?6-Centimeter.

Zï*

çç qijx

3™

ii

cin

3,5

Stahl - Stab

-»70 T| 96*

£0 JT Z6*

Z0 86*

._>L

10

cm.

10    66x

ßf i

O«

(Fortsetzung von Seite 375.)

Die Ausdehnung der Latte durch die Wärme beträgt für Tannenholz etwa 0,000004 der Länge für 1° C (etwa i/₄ der Ausdehnung des Eisens), was bei einer 3”* langen Latte, und einer Temperatur-Veränderung von 10° C, nur 0,1 Millimeter ausmacht.

Bedeutender als die Temperatur-Ausdehnung hölzerner Latten ist deren Längenänderung durch Einwirkung von Feuchtigkeit., und überhaupt Änderungen, welche in der organischen Natur des Materials ihren Grund haben.

Diese Änderungen betragen in einem Sommer wohl 0,3”"" auf 1”*. Hat man also in einem Sommer hohe Berge nivelliert, ohne genügend häufige Latten-Untersuchungen, so geht neben den Lattenfehlern die reine Nivellier-Genauigkeit verloren.

Die trigonometrische Abteilung der Landes-Aufnahme hat bei Nivellierungen

II. Ordnung tägliche Lattenvergleichung eingeführt, in folgender durch Fig. 8. S. 377 angedeuteter Weise:

Jede Latte hat am Ende des ersten und zweiten Meters je eine Silbermarke M.l. und M. r., auf deren ebene Flächen ein stählerner Vergleichs-Normalstab aufgelegt wird. Der Stahlstab ist an seinen Enden in fünftel Millimeter geteilt, wovon man    mit    einer starken Lupe (wie man sie    zum    Ablesen von Theodolit-Teilungen hat)

noch    den    zehnten Teil, d. h. =    0,02’"’", schätzen    kann. Die Ablesung geschieht daher

in Einheiten von Doppelmillimetern (was für die nachherige Mittelbildung aus je zwei aufeinander folgenden Messungen bequem ist). Die Teilung des Stahlstabs wächst von rechts nach links; im Falle von Fig. 8. S. 377 habe man z. B. folgende Vergleichung:

1)    Marke links (M. I.), vom Mittelstrich 10 der Stahlstab-Teilung in der Pfeil-

riclitung von rechts    nach links    bis    zum Markenstrich gezählt: —0,15

Doppelmillimeter.

2)    Marke rechts (M. r.), vom Mittelstrich 0 der Stahlstab-Teilung in der Pfeilrichtung von rechts    nach links    bis    zum Markenstrich gezählt: +0,16

Doppelmillimeter. Hieraus: links — rechts = + 0,15 — 0,16 = — 0,01 Doppelmillimeter = — 0,02 Millimeter, also :

+ 1 Stahlmeter

i"

Marken-Abstand = — 0,02

oder allgemein:

(1)

Marken-Abstand = 1 Stahlmeter + l — r Die sechs Stahlstäbe der Landes-Aufnahme sind von Mechaniker Bamberg gleichzeitig angefertigt worden, und haben bei der Vergleichung auf der Kaiserl. Normal-Aichungs-Kommission genügend übereinstimmend folgende Gleichung erhalten:

(2)

1 Stahlmeter = \m — 0,18””'* -\~ 0,01”*”* t wo t die an einem eingelassenen Thermometer abgelesene Temperatur bedeutet. Aus den Gleichungen (1) und (2) findet man den Marken-Abstand, der jedoch an und für sich noch kein Interesse hat, welcher vielmehr noch mit dem mittleren Lattenmeter verglichen werden muss, es sei nämlich:

(3)

1 Lattenmeter = Marken-Abstand + bmm

dann hat man aus (1) , (2) und (3) :

(4)

1 Lattenmeter = lm + [(l — r) -f- 0,01’"”* t + (— 0,18mm + b)]

(5)

= 1 m + w

Wie man hieraus ersieht, wird nur die Temperatur des Stahlstabes, nicht aber die Temperatur der Latte selbst in Bechnung genommen. Die Temperatur-Änderung der Latte verbindet sich von Fall zu Fall mit der hygroskopischen Änderung, Und beide zusammen erzeugen die verschiedenen Werte n.

Ein Beispiel von unserer Schwarzwald-Nivellierung diene zur Veranschaulichung. Alexander-Schanze 23. August 1881, ID 30m Mittags:

Latte Nr. 18.

20,6°

+ 0,33 Doppelmillimeter. + 0,29    „

Latte Nr. 17.

Anfangs-Temperatur t = 20,0°

1. Vergleichung, Marke links l — + 0,24 „ rechts r = + 0,22

+ 0,04

—    0,07

—    0,11

l — r + 0,02

2. Vergleichung, Marke links l — — 0,12 „ rechts r = — 0,15

+ 0,04 20,8°

End-Temperatur

l — t — + 0,03

20,2°

Latte Nr. 17.

/ — r = + 0,05’ + 0,011 = + 0,20 &17 = -f- 0,06, b₁₈~ + 0,04 giebt: (—0,18 + b) = — 0,12

Zusammenfassung

Latte Nr. 18. + 0,08 + 0,21 — 0,14

+ 0,15

Mittel n — -f- 0,14!

(6)

d. h. an jenem Tage, 23. August 1881, war:

1 Lattenmeter Nr. 17 = lm -+- 0,13mm 1 Lattenmeter Nr. 18 = 1M + 0,15mw

Was die hier gebrauchten in Formel (3) eingeföhrten Konstanten b betrifft, so wurde deren Bestimmung nicht wie die Marken-Vergleichungen täglich, sondern nur alljährlich zweimal, vor Beginn und nach Beendigung der Feldarbeiten, vorgenommen, und zwar dadurch, dass gleichzeitig nicht nur der Marken-Ahstand einer Latte, sondern auch 4 Meterlängen nach der Teilung mit dem Stahlstah gemessen wurden.

Für die Latten 17. und 18. erhielt ich am 1. April 1881 von Berlin die Mitteilung fc₁₇ = -+- 0,06m”‘, bi₈ = -r 0,04“m, wie in obigem Beispiele angegeben ist; die am 30. September 1881 in Karlsruhe von mir vorgenommene Schlussbestimmung gab für die Latte Nr. 17 Folgendes:

Mittel aus 16 Vergleichungen: 1 Lattenmeter =-+0,20 Marken-Abstand = -+ 0,13

mm

Lattenmeter—Marken-Abstand = b = + 0,07 Im Mittel b₁₇ = + 0,07

-I- 0,15’"’” +0,19”'"* +0,21”'”* + 0,14    +0,11    +0,10

+ 0,01™”* +0,08™”* +0,11”'™

mithin für Gleichung (4) :

— 0,18 +ft₁₇ = —0,11.

Ebenso fand sich blH = + 0,06™”*, also besteht mit den bereits im vorigen Bei-

und big = + 0,04™ Überein

spiel erwähnten Frühjahrs-Bestimmungen &₁₇ = + 0,06 Stimmung innerhalb 0,02”'™.

Hat man für das Nivellement eines Tages die Latten-Korrektion n nach Gleichung (5) und (6), wie das Beispiel sagt, bestimmt, so lassen sich die an diesem Tage nivellierten Höhen-Unterschiede sofort auf richtiges Mass reduzieren, und zwar ist es nützlich, hiezu eine kleine Tabelle anzulegen, nicht der leichten Rechnung selbst wegen (die im Kopf oder mit dem Rechenschieber zu machen), sondern zur allgemeinen Sicherung gegen etwaiges falsches Stellen des Kommas oder ähnliche Versehen. Eine für solchen Gebrauch geeignete Tabelle ist im Anhang auf Seite [2] gegeben.

Das im vorstehenden beschriebene Verfahren war das amtlich eingeführte-bei der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme, 1881.

Die nur zweimal jährlich gemachte Bestimmung der Konstanten b und die allgemeine Annahme der Proportionalität zwischen Marken - Abstand und Lattenmeter kann durch Benützung mehrerer Original-Teilstriche auf dem Holze, bei jeder Vergleichung, ersetzt werden.

Als Beispiel für die erheblichen Veränderungen, welche Nivellier-Latten in einem Sommer erfahren können, wollen wir einen Teil der Latten-Vergleichungen unserer Nivellierungen vom Sommer 1881 im Folgenden mitteilen :

Ln Hügelland wurde die Vergleichung täglich morgens, mittags oder abends gemacht, im Gebirge (Kniebis) wurde mittags verglichen, damit die Latte möglichst in dem Zustande untersucht wird, in welchem sie heim Nivellieren gedient hat.

Ort.

Zeit 1881. Latte Nr. 17.

Latte Nr. 18. Mittel

mm

mm

Graben .    .

Germersheim Karlsruhe . Appenweier Oberkirch . Oppenau .

Griesbach .    .    .

Alexander-Schanze Karlsruhe . . .

Heidelsheim Bretten .    .

Karlsruhe .    .

9. Juni 4A Nach. 23. „    2*    „

9. Juli 12A Mitt.

11.    Aug. 7AMorg.

15.    , 7a „

16.    n 6a „

20. „ 7A ,

22.    „ 3A Nach.

23.    „    12A    Mitt.

4. Sept. 9A Morg.

12.    , 10A „

14.    „ 8A „

15.    „    4A    Nach.

29. „ 12A Mitt.

— 0,02 — 0,11

—    0,04

—    0,07

—    0,06 + 0,02 + 0,01 + 0,10 + 0,13 + 0,08 + 0,19 + 0,18 + 0,25 + 0,15

n — — 0,01

—    0,08 Min.

—    0,02 — 0,06 — 0,06 + 0,03 + 0,03 + 0,10 + 0,14 + 0,08 + 0,19 + 0,18

+ 0,24 Max. + 0,14

n — — 0,00 — 0,06 — 0,01

—    0,05

—    0,05 + 0,04 + 0,05 + 0,10 + 0,15 + 0,08 + 0,19 + 0,19 + 0,23 + 0,12

Grösste Änderung 0,32mm auf 1”*.

Für unsere Hannoverschen Latten-Vergleichungen haben wir einen Stahlstab von trapezförmigem Querschnitt anfertigen lassen, dessen Teilfläche schief gegen die Latten-Ebene steht (wie hei den gewöhnlichen hölzernen, auf dem Reissbrett zu benützenden Massstäben). Dieser von Mechaniker Bamberg konstruierte, mit Teilungen von 0,1’”’» auf Platin-lridium-Plättchen versehene Stab wurde auf der Königl. Normal-Aichungs-Kommission verglichen, und hat, nach dem Beglaubigungs - Schein vom 13. September 1883, folgende Gleichung:

Nr. 1930 = 1" + 0,04 ’»’» + 0,011'"’» (t — 18) wo t die an einem eingelegten Thermometer abzulesende Temperatur ist.

Hiernach haben wir folgende Tabelle berechnet:

Stahlstab Nr. 1930 — T“ -+- Tafelwert S :

<N CO •«*

— 0,16’

—    0,15

—    0,14

—    0,12 — 0,11

10°

11

12

13

14

-0,05

—    0,04

—    0,03

—    0,02 — 0,00

20°

21

22

23

24

io co c- oo as ©

— 0,10

—    0,06 -0,05

15

16

17

18

19

20

+ 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 + 0,05 + 0,06

25

26

27

28

29

30

+++++ ++++++

CO OO ®    (M CO ^ IO O l>

0>    O ^    ł I—I T—<

o o o o" o o cT o o o o

Wenn man für seinen Normalstab ein solches Täfelchen anlegt, und zur Vergleichung seihst ein gedrucktes Schema benützt, so ist die tägliche Lattenvergleichung eine leichte Sache.

Nivellier-Latten für bergmännische Arbeiten.

Zum Schluss unserer Betrachtungen über Nivellier-Latten führen wir in Pig. 9. S. 382 noch eine Latte zum Nivellieren in Stollen und Tunneln vor, nach der Beschreibung und Zeichnung, welche Prof. M. Schmidt in Freiberg in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“, S. 475—477 gegeben hat.

Nivellieren in Tunneln kommt dem Ingenieur nicht selten vor; und man kann hier nötigenfalls auch mit gewöhnlichen Latten, mit Lampen- und sogar mit Fackel-Beleuchtung, durchkommen, wie wir z. B. von einer Nivellierung des 1,7*” langen Sommerau-Tunnels im Schwarzwald berichten können. Doch ist das immer nur ein Notbehelf, und z. B. Fackeln- und gewöhnliche Lampen schaden den Latten. Fadenkreuz-Beleuchtung im Fernrohr fanden wir dabei nicht nötig.

Die Schmidtsche Latte (Fig. 9. S. 382) hat nun zuerst eine Verlängerungs-Verschiebung mit der Pressschraube p und dem Einrichtestift f, was in dem beengten bergmännischen Raum nötiger ist als im freien Felde. Die Latte kann damit auf eine Länge zwischen 1,5™ und 2,7™ gestellt werden, was an dem Zeiger Z angegeben wird.

Bei d ist eine gewöhnliche Dosen-Libelle angebracht.

Zur Beleuchtung dient die Reflektor-Lampe X, welche in jede Gebrauchshöhe geschoben werden kann. Der Reflektor ist derart geformt, dass möglichst viele Lichtstrahlen auf die Latten - Teilung geworfen werden, während die Lichtflamme selbst dem Beobachter am Instrument verborgen ist. Als Lichtquelle dient eine Stearinkerze, welche vollauf genügt.

Fig. 9.

Bergmännische Nivellier-Latten von Schmidt. (Massstab etwa = 1 : 12,2.)

N

m

i

i

i

Ei

tr*

V cc

L

(Mechaniker Lingke.)

§ 110. Nivellierung erster Ordnung.

Wie bei Triangulierungen kann man auch bei den Nivellierungen Unterscheidung I. II. III. Ordnung u. s. w. treffen, oder auch andere mehr oder weniger zutreffende Benennungen (z. B. „Präzisions“-Nivellement u. s. w.) anwenden.

Wir beschreiben im Folgenden die Nivellierungen erster Ordnung im wesentlichen nach den Anordnungen der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme *), unter Bezugnahme auf die Zeichnung und Beschreibung der Instrumente (Fig. 1. S. 363 und Fig. 2. S. 364) und Latten (Fig. 7. S. 377).

Der Nivellierende hat vier Gehilfen zur Verfügung, nämlich zwei Lattenträger, einen Instrumententräger und einen Schirmhalter, von welch letzteren der eine die Libellen-Ablesungen besorgt.

Das Instrumenten-Stativ wird von dem Gehilfen so aufgestellt, dass die auf dem Stativkopf angebrachte Dosen-Libelle nahezu einspielt, wenn der Nivelleur zur Stelle kommt. Dieses vorläufige Einstellen des Stativkopfes erlernt sich bald mit wenigen Griffen. Nach diesem wird die am Instrumente selbst angebrachte Dosen-Libelle zum Einspielen gebracht, und dann erst die Haupt-Libelle ins Auge gefasst. Häufig haben wir das Verfahren eingehalten, nach dem Einstellen der Dosen-Libelle die Röhren - Libelle nur in der Richtung der jeweiligen Ziel - Linie einzustellen, und zwar kann man sich dieses bequeme Verfahren erlauben, wenn man sicher ist, dass die Hqupt-Libelle keine merkliche Kreuzung gegen die Fernrohr-Axe hat. Indessen ist es doch zu empfehlen, dass zuerst die Dosen-Libelle thunlichst eingerichtet, dann die Haupt-Libelle einmal quer zur Visir-Richtung eingestellt, dann aber nach beiden Zielungen nochmals besonders auf 1—2 Striche zum Einspielen gebracht wird, worauf die Blasenstellung vom Gehilfen abgelesen werden kann.

Bei der Latten-Ablesung und bei der Berechnung werden dekadische Ergänzungen angewendet, welche bekanntlich beim Logarithmen-Rechnen längst im Gebrauch sind. Oberst Schreiber hat die Er-

gänzungen in die Nivellierungen und andern Arbeiten der Landes-Aufnahme eingeführt mit dem Zeichen x, wie folgendes Beispiel zeigt :

x 7,210 = —7,210 —10 = —2,790.

Fig. 1.

Latten-Ablesungen mit dekadischen Ergänzungen.

Die Anwendung zeigt Fig. 1., welche der Latten - Teilung von Fig. 7. S. 377 entspricht. Nach der gewöhnlichen Rechnung hat man :

2,790 X 7,210

*7,61*2

2,358

(1)

2,790—2,358 = 0,432

Wenn man nun festsetzt, dass rückwärts die direkte Zahl (ohne x) und vorwärts die Ergänzung (mit x) abgelesen werden soll, so hat man nach Fig. 1. folgendes: 2,790 + x7,642 = xl0,432 - 10 = 0,432

(2)

*) Diese Beschreibung entspricht den Nivellierungen, welche Verfasser in Baden, im Dienste der trigonometrischen Abteilung der Preussischen Landes-Aufnahme, im Jahre 1881, ausgeführt hat (vgl. „Zeitschr. f. Venu. 1882“, S. 281—303).

Um zugleich eine Doppel-Nivellierung zu haben, kann man ein zweites mal rückwärts Ergänzung, und vorwärts direkt ablesen, und bekommt dann in der Summe die Ergänzung des ersten Falles, also nach Fig. 1. S. 383 das zweitemal:

(3)

x7,210 -+- 2,358 = x9,568 = — 0,432

Die Vergleichung der Ergebnisse (2) und (3) hat als Messungs-Probe keine sehr hohe Bedeutung. Jedenfalls hat aber die Vergleichung von (2) und (3) einen hohen Wert als liechen - Probe und als Versicherung gegen Centimeter - Ablesefehler, wozu man die Dekaden-Probe jeweils im Kopfe zu bilden hat.

Um die Reduktionsrechnung für die Blasen-Ausschläge zu behandeln, erinnern wir uns, dass ein Instrumentenstand mit der Rückwärts-Ablesung r und der Vorwärts-Ablesung v, zum Gesamtresultat den Beitrag liefert:

(4)

h = r — v

Diese Gleichung soll für das Instrument Fig. 1. S. 363 oder Fig. 2. S. 364 gelten, wenn die Blasenmitte auf dem Mittelstrich 25 der Libellen-Teilung steht, oder wenn die Ablesung Obj., welche dem Objektiv zugewendet ist, und die dem Okular

Obj + Oc

= 25,

zugewendete Blasenablesung Oc., zusammen das arithmetische Mittel

oder die Summe Obj -j- Oc = 50 geben. Ist diese Summe grösser als 50, so ist die Fernrolir-Zielung in die Tiefe geneigt, und die Latten-Ablesungen r und v sind zu klein, bedürfen also positiver Korrektionen, und die Gesamtkorrektion A h ist proportional der Differenz (Obj -{- Oc)r — (Obj + Oc) „.

Eine Einheit von (Obj -}- Oc) entspricht einer halben Einheit von

ß

d. h. man braucht zur Reduktionsrechnung den Winkelwert für l/₂ Strich, indem

e die Libellen-Empflndlichkeit für 1 Sti'ich sein soll.

e 100 000 206265    2

Nun ist aber die Latte nicht in Millimeter bzw. Centimeter, sondern in Halb-millimeter geteilt, man hat daher:

>/₂ Strich auf 100’” Entfernung giebt

Auf 100™ Entfernung giebt dieses

Millimeter.

2,06265

Halbmillimeter

(5)

oder zur Anwendung des Rechenschiebers mehr geeignet: i/₂ Strich auf 100™ Entfei’nung giebt 100 :

Wir wollen noch eine Formel für Schrittmass bilden:

Es sei ein Schritt = a Meter (a etwa = 0,77 bis 0,83). Dann hat man:

Halbmillimeter. (7)

e,

Halbmillimeter.

(6)

2 Libellen-Strich auf 100 Schritte giebt: 100 : f

206,265

Wenn nun die Zielweite = s in Metern ist, so hat man nach (6):

Halbmillimeter (für i/₂ Strich)

und wenn die Zielweite — s' in Schritten ist, so hat man:

Halbmillimeter (für l/₂ Strich)

Statt, wie hier vorausgesetzt ist, die Empfindlichkeit e in Sekunden auf dem Legebrett (Fig. 3. S. 102) zu bestimmen, kann man die Konstanten der Formeln (8)

Reduktion

_ g ^206,265j

Reduktion =

y. ^206,265j

(8)

(9)

und (9) auch an der Latte selbst bestimmen, denn es ist

206,265

der Lattenwert für

i/₂ Libellen - Strich auf 1 Meter Entfernung, und

ea

206,265

der entsprechende Wert

auf 1 Schritt Entfernung.

Diese Formeln sind für den Bechenschieber*) die bequemsten. In unserem

Falle war e = 4,15" auf 1 Strich, also nach (8) :

Beduktion = s : 49,70 Halbmillimeter für s Meter und l/₂ Strich oder für einen Schrittwert 0 = 0,78™ nach (9):

Beduktion = s' : 63,7 Halbmillimeter für *•' Schritte und i/₂ Strich.

(10)

(11)

Nun sind wir genügend vorbereitet, um ein vollständiges Zahlen beispiel zu verstehen.

Nivellierungs-Tabelle mit Berechnung der Libellen-Ausschläge.

Linie Germersheim—Bretten Teilstrecke Strassenstein (10,0L™)— (10,5L"‘).

Zielweite

Schritte

Meter

Eich-

tung

Ablesungen der Latte rück xrück

Libelle

vor

vor

Oc.

0 bj.    Korr.

4-Oc.

Bemerkungen

48

49

38

rück

vor

2,790 x 7,642

x 7,210 2,357

43,0

53,8

41,2

46

45

36

rück

vor

3,000

xj7,259

x 7,001 2,741

Ci "to Vl

41,3

39,7

+ 1,6

50.3 + 3,5

50,5

47.3 + 3,2

+ 2,7

Stein (10,0) 10'* 30™

+ 2,3

49

48

38

rück

vor

3,358

7,351

X 6,642 2,649

41,2

41,2

50,4

50,4

46

44

35

rück

vor

2,980

x7,171

x 7,020 2,829

O Ol o

0,0

49,3

45,3

0,0

50

49

39

rück

vor

3,888 x 7,680

6,111

2,320

r-T OOOO

OO CO CO

-<1

+ 2,4

43

41

33

rück

vor

3,094

x7,311

x6,906

2,689

O 00 00

0,0

31

rück

vor

3,878

*9,210

x6,122

0,789

Ci GO O

— 0,3

40,4

39,0

-<1 -o oi

— 0,3

638 i 250

+ 1,6

+ L4

+ 3,0

+ 1,9

10h 46™

Stein (10,5)

76,612 = +6,612

63,386 = —6,614

+ 9,3

H- 6,6130

— 0,3

+ 970"

90

-f- 6,6220 Halbmeter h = + 3,3110™

*) Die Landes-Aufnahme wendet den Bechenschieber nicht an, sondern hat Tabellen für die Normal-Zielweiten 50”* , 25™ u. s. w.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl.

II. Bd.

25

Hiezu kommt noch die Latten - Korrektion nach § 109. S. 378—381, was wir jedoch, als nicht zum Nivellieren selbst gehörig, hier nicht weiter verfolgen.

38

Die in der ersten Spalte der Tabelle S. 385 geschriebenen Schrittzahlen sind unmittelbar gezählt, die Meterangahen sind hieraus dureh Einteilen der Schrittsumme auf die bekannte Steindistanz 500"‘, mittelst des Rechenschiebers, erhalten. Die Li-bellen-Korrektionen der letzten Spalte sind aus den Ausschlägen der vorhergehenden Spalte nach den Gleichungen (10) bzw. (11) ebenfalls mit dem Rechenschieber gewonnen, z. B. :

49,7”

3,5 = 2,7

oder geradezu für Schrittmass :

3,5 = 2,7

48,5

63,7

Man macht für diese Rechnung an dem Rechenschieber eine Strichmarke bei der Zahl 49,7 bzw. bei 63,7, und findet dann das Resultat je mit einer Einstellung. Der Rechenschieber scheint uns in diesem Falle den Vorzug vor allen anderen Mitteln, numerischen und graphischen Tafeln u. dergl. zu verdienen.

Die Zieliveiten.

Die Zielweiten werden durch Ahschreiten bestimmt, wobei auf Landstrassen und Eisenbahnen die Kilometer-Nummernsteine zur Regulierung des Schrittmasses dienen.

Die Genauigkeit des Schrittmasses ist für Nivellierzwecke ausreichend, wie aus unseren früheren Mitteilungen (S. 35) zu ersehen ist.

Wollte man die Zielweiten so genau als möglich haben, so wäre es nicht zu schwierig, ein Messband geradezu auf dem Boden mitzuziehen. (Dieses geschah zum Teil bei dem badischen Eisenbahn-Nivellement.)

Tageszeit. Bei der Zielweite 50™, welche im Sonnenschein auch noch beschränkt werden kann, braucht auf die Tageszeit wenig Rücksicht genommen zu werden, zumal die ungünstigen heissen Mittagsstunden, etwa von 1 Uhr bis 3 Uhr, ohnehin als Ruhepausen auszufallen pflegen.

Geschwindigkeit des Nivellierern.

Bei dem im vorstehenden beschriebenen Nivellier-Verfahren kann man leicht eine Geschwindigkeit von P”‘ für 1 Stunde erreichen, und leicht stellt sich eine grössere Geschwindigkeit von selbst ein. Wenn die Arbeit einmal im Gange ist, ziehen wir ein energisches Tempo vor, denn wir haben aus den Fehler-Diskussionen die Erfahrung gezogen, dass die Messungen immer dann am testen stimmten, wenn die Arbeit schlankweg aus dem Felde ging. Es ist das eine Erfahrung, welche auch bei anderen feinen Arbeiten, z. B. auch bei Basismessungen gemacht wurde.

Die Erklärung dieser Erscheinung ist nicht schwer zu geben: Bei einer so einförmigen Arbeit wie Nivellieren, wo einige wenige Handgriffe hundert- und tausendmal wiederholt werden, stellt sich bald eine Art Mechanismus der Geistes- und Muskel-Thätigkeit ein. Das Anfassen der Schrauben, das Ablesen und Aufschreiben der Teilungen, auch die Handtierungen der Gehilfen, nehmen allmählich einen maschinenartigen Gang an, und funktionieren dann auch mit der Genauigkeit und ganz von selbst auch mit der Geschwindigkeit einer Maschine.

Ein rasches Nivellieren ist auch deswegen viel nützlicher als langsames, weil dadurch mehr unabhängige Wiederholungen möglich werden, welche für die Eliminierung der letzten kleinen, namentlich der einseitig wirkenden Fehler, von ganz besonderer Wichtigkeit sind, und zwar mehr als die allerfeinste einmalige Messung.

§ 111. Verschiedene Versicherungs-Hilfsmittel.

Man hat für die Nivellierungen zahlreiche Proben und Versicherungen erfunden, von denen wir noch einige behandeln wollen:

I. Nivellierung mit doppelten Anbindungen.

Es werden dabei stets zwei Nivellierungen neben einander her mit demselben Instrument ausgeführt, wie Fig. 1. zeigt, wobei im Grundriss die Instrumentenstände durch Dreiecke, und die Lattenstände durch Kreise bezeichnet sind.

Fig. l.

Nivellierung mit doppelten Anbindungen,

J,

JZ

u'

__-0------

"O------

______O----

------o----

--------- —

------O-----

Eine noch weiter gehende Veranschaulichung giebt Fig. 1. im Aufriss, wo u , o zwei Latten-Fusspunkte bedeuten (Unterlagsplatten wie in Fig. 7. § 109. S. 377), auf welchen beiden eine Latte aufgestellt wird, so dass beide Lattenstellungen von einem Instrumenten - Standpunkte Jt aus nacheinander abgelesen werden. Ebenso ist es mit u' o' , u" o" u. s. w. Man hat auf diese Weise zahlreiche Proben.

Die Landes - Aufnahme wendet dieses Verfahren bei den sogen. „Signal - Nivellierungen“ an, und zwar wird hiezu die Unterlagsplatte Fig. 7. § 109. S. 377 mit zwei ungleich hohen Bolzen B versehen, auf welche nach einander die Latte gestellt wird.

Dieses Verfahren ist früher sehr allgemein angewendet worden, in Bayern, Sachsen, Württemberg, Baden u. s. w., indessen die auf den ersten Blick bestechenden Vorzüge vermindern sich sehr bei genauer Untersuchung.

Die beiden dadurch geschaffenen Nivellierungszüge sind durchaus nicht unabhängig-, viele im Instrument selbst, in der Luft, im Boden u. s. w. verborgene Fehlerquellen beeinflussen beide Nivellierungen nahezu gleich, und die mittleren Fehler, welche man aus den Abweichungen zweier solcher verbundener Nivellierungen berechnet, geben meist einen illusorischen Massstab für die Genauigkeit des Ganzen. (Z. B. fand Verfasser in Baden aus solchen Doppelbindungen kleine mittlere Fehler unter 1mm für P"‘, während der mittlere Fehler, aus unabhängigen Messungen berechnet, etwa 2m" bis Bmm auf Pm ist.

Auch gegen grobe Ablesefehler geben die Doppelbindungen keine völlige Sicherheit (z. B. sind in Baden trotzdem zwei Fehler von rund 0,1 untergelaufen).

Bei alledem bleibt das Nivellieren mit doppelten Anbindungen ein sehr schätzenswertes Verfahren für Arbeiten zweiten Rangs und namentlich dann, wenn man nicht Zeit hat, hin und her zu nivellieren.

II Ablesen an mehreren Fäden.

Die ersten deutschen sogen. Gradmess un gs - Nivellierungen hatten fast alle die Einrichtung von drei Horizontalfäden im Gesichtsfelde des Fernrohrs, um dadurch die Ablesungs-Genauigkeit zu steigern, und um durch die Ablesungs - Differenzen zwischen den Fäden zugleich eine gute Entfernungsbestimmung zu haben.

Der letztere Vorteil ist nicht zu unterschätzen, aber dennoch ist man nach den bei den badischen Nivellierungen gemachten Erfahrungen bald von den drei Fäden wieder abgegangen, weil die Mühe der dreifachen Ablesung sich als nicht lohnend herausstellte. Die Ablesungen am oberen und unteren Faden sind aus dioptrischen Gründen niemals ebenso scharf als die Ablesung am Mittelfaden; und keinenfalls darf man die drei Ablesungen als unabhängig annehmen, und etwa glauben, die Genauigkeit würde durch drei Fäden im Verhältnis Y 3 : 1 gesteigert.

Bei der Landes-Aufnahme wurde immer nur an einem Faden abgelesen.

III. Einstellen auf die Mitte eines Feldes.

Ohne Zweifel ist die Ablesung und Schätzung 0,5 in der Mitte eines Lattenfeldes genauer als eine Ablesung 0,1 oder 0,8 u. s. w.; und diese Überlegung hat dazu geführt, den Faden je auf die Mitte eines Feldes einzustellen, was hei dem Spielraum, den man mit dem Libellen-Ausschlag hat, wohl möglich ist. (S. Vogler, Über das holländische Präzisions-Nivellement von Cohen Stuart, „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 7—18.)

Ohne hierüber und über ähnliche Fragen der Schätzungsfehler ein bestimmtes Urteil hier auszusprechen, schlieseen wir unsere Betrachtungen hierüber mit der Bemerkung, dass Nivellieren eine durchaus nicht bloss optische, sondern auch eine mechanische Verrichtung ist, und dass, wenn optische Verfeinerungen den Ausschlag geben würden, man wohl auf einer Genauigkeit von -4- l,,,m auf 1km angelangt wäre, was aber nicht der Fall ist.

§ 112. Fehler-Gesetze des Nivellierens.

Wir betrachten die verschiedenen Fehler, welche in das Schluss-Ergebnis einer Nivellierung eingehen, und haben dazu in Fig. 1. S. 389 die Annahme gemacht, dass

eine lange Linie L in » Ziel weiten von der Länge s, also mit ^ Aufstellungen, nivelliert werde.

Zuerst entsteht die Frage, welches der mittlere Fehler + ₍i einer einzelnen Latten-Ablesung ist. Dieser Fehler n setzt sich zusammen aus dem Fehler des Zielens mit dem Fernrohr und aus dem Fehler der Einstellung oder Ablesung der Libelle. Doch ist es jetzt nicht nötig, diese zwei Fehler einzeln zu kennen; wir wollen ihre Zusammenwirkung mit der Bezeichnung ±fi weiter behandeln, und als erstes Gesetz annehmen, der Latten-Ablesungsfehler /i sei proportional der Ziel weite s, d. h.:

+ fi = k s

Auf massige Entfernungen ist dieses jedenfalls richtig, und nur wenn bei grösseren Entfernungen besondere Unsicherheiten entstehen (Luft-Zittern im Sonnenschein u. s. w.), so wäre das Gesetz (1) abzuändern, doch ist davon jetzt nicht die Kede.

Fig. 1.

Fehler-Fortpflanzung des Nivellierens.

-—-i|<—— S-----^

r~

v„

<-------s-----

S------>k— S

ißw>

WM

P2

r.

v,

m.

v„ f³

w

l-l

mmm-

WJ.

Der Gesamt-Höhen-Unterschied zwischen dem Anfangspunkte und dein Endpunkte der Linie L setzt sich nach Fig. 1. so zusammen:

H = ri —    -j-1¹2 — v2 + ł's — • • • Vn

Jede Ablesung r oder v ist mit dem mittleren Fehler + n behaftet, es ist daher der Fehler z/ H von H :

z/ = -t~ /X H- ;t -t- /l -F ;i -f- /i    /t

und der mittlere Fehler von M:

M = yV² -t- i«² •+• M² +1“² +i«² ■+■ • • • i«² —■ Vn ß²

Hier ist nach Fig. 1. :

(2)

also :

Wenn man hier auch noch die erste Gleichung (1) berücksichtigt, so hat man:

(3)

M = Je y Ls

Diese Gleichung enthält zwei Fehler-Gesetze, welche in Worten so lauten:

Erstes Fehler-Gesetz : Für ein und dasselbe Instrument und sonstige gleiche Umstände (k konstant) wächst bei konstanter Zielweite s der mittlere Fehler der Nivellierung proportional mit der Quadratwurzel der nivellierten Strecke L.

Zweites Fehler-Gesetz ¹): Für dasselbe Instrument wächst der mittlere Nivcl-lierungsfehler M, abgesehen von der Länge der Nivellierungslinie, proportional mit der Quadratwurzel der Zielweite s.

Dieses zweite Gesetz giebt eine Antwort auf die Frage, ob es besser ist, eine Linie L zu nivellieren entweder mit wenigen Aufstellungen aber unsicheren Einzel -ablesungen, oder mit vielen Aufstellungen und genaueren Einzelablesungen?

Das mathematische Gesetz entscheidet für das zweite Verfahren mit kurzen

Zielweiten s.

Als grösste Zielweite gilt heute ziemlich allgemein die Entfernung 5 = 50 Meter, doch ist diese Wahl keine mathematische Folge aus dem fraglichen Gesetz. Ob unter gegebenen Verhältnissen eine kleinere oder auch eine grössere Zielweite nützlich ist, lässt sich nicht allgemein sagen.

Da eine Nivellierungs- Arbeit mit kleinen Zielweiten mühsamer ist als eine solche mit grossen Zielweiten, und da man die Arbeitsmenge nahezu umgekehrt proportional der Zielweite annehmen kann, so folgt, dass die erreichte Genauigkeit proportional der Quadratwurzel aus der aufgewendeten Arbeit wächst.

Da für konstante Zielweite s der mittlere Fehler M proportional j/L ist, so müssen die Gewichte verschiedener Nivellierungs-Resultate hei konstanter Zielweite s, und unter sonst gleichen Umständen, umgekehrt proportional den Längen L genommen werden, also:

(4)

p:p' = ir:^r

Übergehend zu der zahlenmässigen Bestimmung der Nivellierungsfehler betrachten wir die Libelle und das Fernrohr.

Die Empfindlichkeit der Libelle und die Vergrösserung des Fernrohrs müssen in einer gewissen Beziehung stehen. Folgende Verhältnisse dürften sich empfehlen,

wobei die Empfindlichkeit als Winkelwert für einen Ausschlag von 1 Linie (2,3mm) angegeben ist.

Instrument

Empfindlichkeit der Eibelle

zur Aufnahme von Querprofilen zur Aufnahme von Längenprofilen . zur Ausführung von Nivellierungen erster Ordnung......

15—30"

10—15"

3—6"

Vergrösserung des Fernrohrs

10-15

15—25

25—40

.Daraus kann man schon schliessen, dass feine Nivellier - Instrumente sowohl an der Libelle als am Fernrohr nur etwa 1" Zielfehler haben werden.

Zur Gewinnung einer ersten Übersicht berechnen wir nach der Gleichung (3) eine kleine Tabelle, wobei für einen Zielfehler k" in Sekunden zu setzen ist: k = k" : q", also:

k"

M — —fj- y Ls

9"

(5)

Mittlerer Nivellierungsfehler für 1 Kilometer Länge.

Zielschärfe

CS!

k" = ± 1" k" = ± 2” fr" = 4- 5"

co

.1-

00 'co Ol : ³

50”*

05 LO

.-H C—

CD

o ^

© CD

Cc

± 1,1

il

px tO

CO CO

H (N CO

'OT

o °0 ^

§    eo' 03

200,n j 300’"

mm

±2,2

4,8

10,8

05 W 05 05 '-d

05

Itiese Tabelle giebt manches zu erkennen: Bei der üblichen Zielweite von 50m ist nur eine Zielschärfe von 2" nötig, um einen mittleren Fehler von 2,2mm auf lkm zu erlangen, und dabei ist vorausgesetzt, dass nach jeder Latte immer nur eine Zielung stattfinde.

Aus dem Umstande, dass die theoretische Genauigkeit der Tabelle (0) S. 390 im allgemeinen in Wirklichkeit nicht erreicht wird, ist zu schliessen, dass in der Ausführung noch manche kleine Fehler, Erschütterungen des Instruments, Senkungen des Stativs und der Latten, dann Zielungs-Unsicherheiten in der Luft u. s. w., hinzukommen, welche in der bisherigen Theorie nicht berücksichtigt waren.

Entsprechend gelten auch die theoretischen Sätze, u. A. über die Gewichte nach (4), nur genähert.

Hin- und Her-Nivellieren.

Hat man eine Linie in verschiedene Strecken eingeteilt (welche nicht etwa gleich zu sein brauchen), und hat man jede Strecke s hin und her nivelliert, so giebt das eine Differenz d, und auf eine grössere Zahl solcher Differenzen kann man eine Genauigkeits - Rechnung gründen, welche theoretisch in Band I. § 11. vorbereitet ist, welche aber auch mit dem Gewichts-Gesetz in (4) wohl unmittelbar verstanden werden kann :

Strecke ^ giebt — h{ — di

» s2 »    7*2 —

„ Sn n hn hn - dn

Die mittlere Differenz für die Streckenlänge s = 1 wird:

(7)

di² ₊ di + dl

sl s2 s3

der mittlere Fehler einer Nivellierung der Strecken-Einheit:

1)

V2

-/a?]

(8)

und der mittlere Fehler des Mittels aus zwei Nivellierungen der Strecken-Einheit:

V2

4/im

(9)

Die Strecken s zählt man gewöhnlich in Kilometern, und die Differenzen d in Millimetern, und dann geben die Formeln (7) , (8) und (9) einen Wert in Millimetern für 1 Kilometer.

Wir nehmen hiezu ein Beispiel von unserem im Jahr 1887 ausgeführten Nivellement der Stadt Hannover, und zwar geben wir in folgender Tabelle die zweifache Nivellierung der l,8*m langen Hauptstrasse von Hannover (Lange-Laube und Georgsstrasse). Es ist dazu zu bemerken, dass das Zeichen x nach dem Vorgänge der Landes-Aufnahme dekadische Ergänzung bedeutet, z. B.:

x 9,9095 = 9,9095 - 10 = —0,0905.

Die Rechnung mit dekadischen Ergänzungen ist beim Nivellieren sehr bequem, weil man nicht zwei Spalten mit -+- und — zu führen braucht.

Nivellierung

Nivellierung

II

Punkt

i—ii

Höhen

unterschied

Höhen

unterschied

Entfernung y s

Mittel

I + II

(2)

mm

km

mm

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

0,4428 0,3540 x9,8016 0,2330 0,2157 0,1940 X 9,5822 x 9,4694 x 9,1178 0,4990

x9,9095 =— 0,0905™

0,4418 0,3541 x 9,8034 0,2340 0,2144 0,1934 x 9,5808 x 9,4686 x9,1162 0,4984

x9,9051 = — 0,0949™

-+- 1,0 -0,1 -1,8 — 1,0

+ 1,3

+ 0,6

+ 1,4

4- 0,8

4- 1,6

+ 0,6

4- 4,4    1,80

or oo "o ot "to T-* V- 4*. La co

| OS

cffiîo'

I    r-l    T-l    t>

0,4423 0,3541 x9,8025 0,2335 0,2150 0,1937 x9,5815 x9,4690 x.9,1170 ' 0,4987

x9,9073 , = — 0,0927m

Der mittlere Fehler des Mittels aus beiden Nivellierungen wird:

=\v

73,99

io i¹-⁸⁶

für \km

(10)

d und

Für die in diesen Fällen häufig vorkommende Berechnung von Ausdrücken d²

— haben wir im Anhang auf S. [7] und [8] einige Hilfstabellen gegeben.

(Man kann auch den Rechenschieber benützen, unmittelbare Ausrechnung mit 4stelligen Logarithmen, u. s. w., und solche Hilfsmittel zur Probe gegenseitig an wenden.)

Bei der Verteilung der Differenzen I—II ist es eine bekannte Erfahrung, dass die Vorzeichen einseitig nach einer Seite hinneigen. Dieses zeigt sich auch an dem vorstehenden kleinen Beispiel: Wir haben 7 Mal positive Differenz I—II, und nur 3 Mal negative Differenz Die Summe der positiven Differenzen ist + 7,3mm und die Summe der negativen Differenzen ist —2,9”‘™, also positive Differenz unbedingt vorwiegend. In den Hin- und Her-Messungen hebt sich dieses grossenteils wieder auf. Die Gründe solcher einseitigen Differenzen lassen sich vermuten (z. B. Einsinken des Instrumentes oder der Latten u. s. w.), aber schwer nachweisen; die Hauptsache ist, dass man unbedingt das zweite Nivellement in der Ge^m-Richtung des ersten macht.

Linien-Ausgleichung.

Wenn eine Linie mit Zwischenpunkten hin und her nivelliert wird, so besteht die Ausgleichung lediglich darin, dass man die Höhen auf einen Ausgangspunkt bezieht und dann überall das einfache Mittel nimmt. (Etwaige grobe Fehler, welche auch Vorkommen können, sind besonders zu untersuchen.)

Wenn eine Linie in sich selbst zurückkehrt, und hier einen Widerspruch zeigt, so wird derselbe nach dem Verhältnis der Entfernungen auf die Zwischenpunkte verteilt.

Ebenso wird verfahren, wenn eine Nivellierung am Anfang und am Ende an zwei bereits anderweitig unabänderlich fest bestimmte Punkte angeschlossen wird (z. B. an zwei Bolzen der Landes-Aufnahme).

Diese einfachen Ausgleichungen, welche die Praktiker sozusagen nach dem Gefühl erfunden haben, entsprechen vollständig den theoretisch'n Gesetzen; und man kann auch noch weitere Schlüsse darauf gründen.

Wir wollen diese Fälle nach dem Satze vom arithmetischen Mittel aus zwei ungleich gewichtigen Messungen behandeln.

Wenn ein Nivellierungszug von der Länge L in einem geschlossenen Polygon oder zwischen zwei Fixpunkten mit einem Widerspruch iv abschliesst, so kann man die Höhe irgend eines Zwischenpunktes, welcher den Abstand l vom Anfangspunkt und den Abstand V vom Endpunkt des Zuges hat, auf zweifache Weise ausdrücken; die beiden Resultate werden aber unter allen Umständen um w differieren; dieselben sind:

1)

(11)

mit dem Gewicht p^ =

2)

H=h + w „    „

Pz =

Das Mittel ist :

h -4- w

Pl h + Pz {h + «0_ l

Pl + Pz

H=z

l + V

Statt dessen kann man auch schreiben:

l+V

(12)

(13)

H = (h + w) — w j-j-j

Die zwei Gleichungen (12) und (13) sagen in Worten: Man hat den Widerspruch w proportional den Längen l und V auf die zwei Resultate h und h + w zu Verteilen. Der mittlere Fehler M einer Nivellierung vom Gewicht 1, d. h. von der Länge

l — l wird:

»> = j/pi (»    + P2 («

und mit Einsetzung der Gewichte nach (11):

W -,/j    7'    w

l 4. l' V¹^¹ — - /-—■

d-. h. man findet den mittleren Fehler für die Längen-Einheit des Nivellierungszuges, indem man den Abschluss-Widerspruch w durch die Quadratwurzel der Länge L dividiert, was auch deswegen von vorn herein klar ist, weil man io zu behandeln hat als den mittleren Fehler des ganzen Zuges von der Länge L.

Mit Weiterbenützung des Satzes (7) S. 21 in Band I. findet man auch noch, dass der mittlere Fehler der ausgeglichenen Höhe ist:

YI + V VL

(14)

(15)

Vpi ■+- pz

Dieses erreicht seinen grössten Wert, wenn l l'= ^ ist, und in diesem Falle wird:

u

Der Wurzelwert yi f jn (15) }iat bekanntlich die geometrische Bedeutung der Halbkreis-Ordinate für den Durchmesser l + l' — L und das giebt eine Anschauung des Anwachsens und Wiederabnehmens des mittleren Fehlers nach der Ausgleichung zwischen zwei Fixpunkten im Abstande L.

§ 113. Nivelliernetz-Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen.

Fig. l.

Teil des badischen Nivellierungs-Netzes. (Massstab etwa 1:1200 000.)

Mannheim

Bei der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen haben wir nach den Regeln zu verfahren, welche früher in Band I. § 37. bis

Schmetzinqen

Graben 9--x

Karlsruhe

§ 42. entwickelt und dort in § 43. S. 104—106 11 AX) Heidelberg übersichtlich zusammengestellt worden sind.

I

Die Anwendung dieser Regeln auf ein Nivelliernetz gestaltet sich sehr einfach.

Wir nehmen hiefür sofort ein Zahlen-Beispiel, und zwar nach Andeutung von Fig. 1. ein Stück des badischen Landes - Nivelliernetzes, dessen amtliche Bearbeitung wir 1883 bis 1884 ausgeführt haben*).

Die Punkte, um welche es sich hiebei handelt, sind durch Höhen-Marken älterer Art (nach Fig. 4. § 106. S. 360) bezeichnet.

Folgendes ist die Zusammenstellung der nivellierten Höhen - Unterschiede h, und der Entfernungen s :

G A Bruchsal

<? w x

A Dur lach ¹⁰

x12

Mühlacker

V"

Pforzheim

Die Pfeile bedeuten die Richtung des Steigens.)

Abriss der Messungen.

Nr.

Linie

Entfernung

von

bis

Niv.-Höhen-

Uunterschied

Schwetzingen—Mannheim Mannheim—Heidelberg Schwetzingen—Heidelberg Heidelberg—Bruchsal Schwetzingen—Graben Graben—Bruchsal Graben —Karlsruhe Bruchsal — Durlach Karlsruhe—Durlach Bruchsal —Mühlacker Mühlacker—Pforzheim Durlach—Pforzheim

20

32

26

12

22

17

33

13

26

05 CO CO

jk O 05 Hj05_C5 CO © to ©

coco~coco^<i'©X'.-‘05©'t-‘oo

tOO^COOMCTCO

<NI TT 00

= 229*“

*) „Die Grossh. Bad. Haupt-Nivellements mit den Anschlüssen an die Nachbarstaaten“ bearbeitet von Prof. Dr. Jordan. Herausgegeben von der Grossh. Oberdirektion des Wasser- und Strassenbaus. Karlsruhe. Druck und Kommissions-Yerlag der G. Braun-schen Hofbuchhandlung. 1885.

Übergehend zu der Aufstellung der Bedingungs-Gleichungen schreiben wir nach dem Anblick von Fig. 1. S. 394:

I. Es soll sein:

4    — hs — 0

Setzt man aber die gemessenen h aus vorstehendem Abriss ein, so hat man:

(2)

4- 0,893 -t- 9,125 - 10,012 = 4- 0,006 = wl Um diesen Widerspruch zu tilgen, fügt man zu jeder Messung eine Verbesserung v hinzu, und dann wird sein :

(3)

oder in Zahlen:

(hi 4    4- (h₂ 4    — ül3 + 03) —

(4)

-f- (0,893 -|—    -J- (9,125    v<£) — (10,012 4- 113) — 0

Die Verbindung von (3) und (5) giebt:

(5)

(6)

I. Vi -f-1’₂ — v₃ -f- 0,006 = 0 Dieses ist die erste Bedingungs-Gleichung ; und wenn man mit den drei anderen Polygonen ebenso verfährt, und wenn man zur Probe auch noch den Gesamt-Umfang hinzu nimmt, so erhält man tabellarisch folgendes:

Poly-

gon

Linie

Länge

Nivellierte

Höhen-Unterschiede

Widerspruch

t“¹

1.    Schwetzingen Mannheim

2.    Mannheim—Heidelberg .

3.    Heidelberg—Schwetzingen

14km    4- 0,893”*

20    4- 9,125

—10,012”*

43    -t-10,018 —10,012 ioj = + 6--

HH

3.    Schwetzingen—Heidelberg

4.    Heidelberg—Bruchsal .    .

6. Bruchsal —Graben . . .

5.    Graben—Schwetzingen

9    4- 10,012

32    -+• 2,640

12

26

—    6,481

—    6,193

79    + 12,652 — 12,674 w₂ = - 22'

6.    Graben—Bruchsal .    .

8.    Bruchsal—Durlach .    .

9.    Durlach—Karlsruhe

7.    Karlsruhe—Graben . .

12    4- 6,481

17    4- 1,712

22

- 1,212

— 6,999

56    4- 8,193 — 8,211 ws = —18

1—1

10.    Bruchsal—Mühlacker .

11.    Mühlacker—Pforzheim

12.    Pforzheim—Durlach .

8. Durlach—Bruchsal .    .

33    4-126,214

13    4- 39,844

26

17

—164,388 — 1,712

89    4-166,058 —166,100    «?₄ = — 42’

Gesamt - Umfang

2. Mannheim—Heidelberg

4.    Heidelberg—Bruchsal .

10.    Bruchsal—Mühlacker .

11.    Mühlacker Pforzheim

12.    Pforzheim—Durlach .

9. Durlach—Karlsruhe

7. Karlsruhe—Graben . .

5.    Graben—Schwetzingen

1. Schwetzingen—Mannheim

20    4-    9,125

32    4-    2,640

33    4-126,214

13    4-    39,844

26

22

26

14    4-    0,893

—164,388

— 1,212

—    6,999

—    6,193

191

4178,716 —178,792 vf = — 76

IHM

Hier bestehen mehrere Rechenproben :

wj 4“    HI— Wg —|— Wą = w' d. h. —f— 6 — 22 — 18 — 42 = — 76

ferner für die s:

43    79 + 56 + 89 4- 191

Dabei ist 229 die Summe [$], welche schon früher in dem Abrisse der Messungen angegeben war (S. 394).

Einen anderen Zweck als diese Rechenproben hatte die Ansetzung des Gesamt-Umfangs (S. 395) nicht, namentlich darf man nicht etwa den Umfang noch als fünfte Bedingungs-Gleichung ausser I. II. III. IV. in die Ausgleichung einführen, weil ja die Umfangsprobe in den vier Einzelschlüssen schon enthalten ist.

Die vier unabhängigen Bedingungs-Gleichungen sind hiernach:

I.

II.

III.

IY.

-f- v₁ + v₂ — v₃ + 6mm = 0 + «3 + v₄ — v₆ — v₅ — 22

4" «6 + «8 — «9 — ^7 — 18

+ «10 + «Il — «12 — «8 — 42

Wir kommen zur Frage der Gewichte. Wir nehmen hier schlechthin die Gewichte umgekehrt proportional den Entfernungen s (wie in § 112. Gleichung (4) S. 390 gezeigt wurde), und damit entsteht folgende Tabelle :

CO

. . 4-

«3

CO

CO

«5

«6

«7

«8    «9

©

sT

«12

IC

— 22 — 18

(10)

42

26

12

22

17

26

Hiernach wird :

— 14 -+- 20 -\- 9

9 + B2 + 26 + 12 = 79

= 43

[y] =

[ÿ] =

[y] =

— 12

U. s. w.

Daraus ergeben sich die Normalgleichungen in abgekürzter Schreibweise:

. .    -f- 6mm = 0

+ 79 fc₂ — 12    . .    —22

(H)

+ 56 ftg — 17 k₄ — 18mm = 0 + 89 k₄ — 42,",,‘ = 0

— 42,9 = — [pv v\

(15)

In (14) hat man die letzte Korrelate k₄ erhalten, welche nun rückwärts in (13) gesetzt wird, und k₃ = + 0,575 giebt, und so weiter zurück, so dass man alle vier Korrelaten erhält:

(16)

Die allmähliche Auflösung nach dem Schema von Band I. § 41. S. 102 giebt:

+ 77,1 k₂ — 12,0 7c₃

.    — 20,7 = 0

+ 56,0    — 17,0 k± — 18,0 = 0

+ 89,0 kA — 42,0 = 0

(12)

0,8

+ 54,1 k₃— 17,0 kA — 21,2 =: 0 + 89,0 k₄ — 42,0 = 0

6,4

(13)

+ 83,7 k₄ — 48,6 14,7

J®|i»

<11 Ci

= + 0,581

(14)

k] — — 0,063    + 0,358 k$ = + 0,575 k% = + 0,581

Nun hat man die Formeln für die v, nämlich allgemein:

*?| Ą £

+ +

03!    03¹ 03

Ä, <= j Ä,

Diesem entspricht folgende Tabelle, welche sich an die frühere Tabelle (10)

anschliesst:

1.    2.    3.

4.    5.

6.

7.    8.    9.    10.    11.    12.

14    20    9

32    26

12

22    17

33    13    26

kx : —0,063 , fcj s k^ — +0,358 , k%s &₃ = + 0,575 , Icq s kA= -1-0,581 , ka s

Il II II II

—0,9—1,3+0,6    .

.    +3,3+11,5—9,3—4,3    .

.    +6,9 —12,6 +9,8 —2,9    .

.    —9,9    .    +19,2 +7,6 —15,1

v = —0,9—1,3 -f-3,9 +11,5 —9,3 +2,6—12,6 —0,1 —2,9 +19,2+7,6 —15,1

Die so berechneten v setzt man zu den beobachteten h, und erhält damit

folgenden

Abriss der Ausgleichung:

Nr.

von

Linie

bis

Schwetzingen—Mannheim Mannheim—Heidelberg Schwetzingen—Heidelberg Heidelberg—Bruchsal Schwetzingen—Graben Graben—Bruchsal Graben—Karlsruhe Bruchsal—Durlach Karlsruhe—Durlach Bruchsal—Mühlacker Müh lacker— Pforzheim Durlach—Pforzheim

Gemessen

km

14

20

32

26

12

22

17

33

13

26

mm

Ausgeglichen h-h v

ce |

898    — 0,9    0,8921

125    — 1,3    9,1237

10,012    + 3,9    10,0159

640    -+11,5    2,6515

193    — 9,3    6,1837

481    + 2,6    6,4836

999    —12,6    6,9864

712    — 0,1    1,7119

212    — 2,9    1,2091

126,214    +19,2    126,2332

39,844    + 7,6    39,8516

164,388    —15,1    164,3729

3,74

4,47

3,00

5,66

5,10

3,46

4,69

4,12

2,24

5,74

3,61

5,10

0,24

0,06

0,29

1,30

2,03

1,82

0,75

2,69

0,02

1,29

3,35

2,10

2,96

0,08

1,69

4,12

3,31

0,56

7,24

0,00

1,66

11,22

4,41

8,76

43,11

(18)

Summe

Nachdem die h-+-v ausgerechnet sind, überzeugt man sich zuerst, ob die Bedingungs-Gleichungen stimmen, d. h. ob man nun die Höhen alle widerspruchsfrei zusammensetzen kann.

Dieses ist mit unseren h-\~v der Fall, und indem wir nun eine Höhe als gegeben annehmen, nämlich Karlsruhe = 116,745 über N. N., finden wir die übrigen wie folgt:

Mannheim

104,4670'» üb. N. N. Schwetzingen 103,5749    „    „    „

Graben Karlsruhe Durlach

(19)

(Diese Höhen weichen von unserer badischen Gesammt-Ausgleichung bis zu 16'»’» in Mannheim ab. Hier handelt es sich nur um ein Rechenbeispiel, weshalb diese Abweichungen uns nichts angehen.)

Nachdem die Höhen stimmen, gehen wir zu den Genauigkeitsfragen, wozu bereits in (15) und (18) die Summe

Um alles zu zeigen, wollen wir auch noch die dritte Berechnung dieser Art machen:

[t]

mit Probe berechnet ist.

ui

— wk

I.

II.

III.

_|_ Qmm — 22 — 18 — 42

— 0,063 + 0,358 + 0,575 + 0,581

+ 0,378 4- 7,876 4- 10,350 4- 24,402

4- 43,006 = — [«;&]

(20)

Nun haben wir mit genügenden Proben, aus (15), (18) und (20), im Mittel:

[pvv] = m = 43,0

also den mittleren Fehler der Gewichtseinheit, da wir vier Bedingungs-Gleichungen hatten :

= /f

-t- 3,3mm für 1 Kilometer

(21)

Endlich wollen wir auch noch den mittleren Fehler einer Funktion der ausgeglichenen Höhen bestimmen, wozu der Höhen-Unterschied von Mannheim bis Pforzheim gewählt werden möge.

Ja, wir wollen hiefür, zur Probe, zwei Wege wählen, nämlich nach Fig. 1. S. 394: Mannheim—Pforzheim

H — — l*i —J— h§ -f- h'j —(— ht) -j— 7tjg oder H = 1*₂ + h₄ -j- Ajo -p l*n

Die Rechnung geht nach den Formeln (16) S. 106, Band I. und schliesst sich an unsere bereits gemachte Elimination (11)—(15) an.

Damit erhalten wir für den ersten Weg, nämlich:

folgendes :

-— 1*1 + 1*5 + 1*7 + 1*9 + 1*12 (s* °0

/l2 ⁼ "b" 1

fl — — 1 fh — + 1 fl — "+■ 1 fd = + 1 alle anderen f sind gleich Null.

Wh

-14 ,

Wh

— 26 ,

Wh

-27 ,

Wh

— 26 ,

Wh

+ 93.

H- 43,0 ri — 9,0 r₂

—14,0 = 0 — 26,0 = 0

-f~ 79,0 r2 — 12,0 r₃    . .

+ 56,0 r₃ — 17,0 r₄ — 27,0 = 0 -f- 89,0 r₄ — 26,0 = 0

+ 93,0

77,1 r₂ — 12,0r₃ . .    — 28,9 = 0

+ 56,0 r₃ — 17,0 r₄ — 27,0 = 0 + 89,0 r₄ — 26,0 = 0 + 88,4

+ 54,1 r₃ — 17,0 r₄ — 31,5 = 0 + 89,0 r₃ — 26,0 = 0 + 77,6

83,7 r₄ — 35,9 = 0 + 59,3

+ 43,9 — —

(22)

folgendes :

Der zweite Weg giebt, indem wir hier nur noch die Endgleichungen schreiben,

77,1 r₂ - 12,0 r₃ . .

43,0 rj — 9,0 r₂

+ 20,0 = 0 + 36,2 = 0

+ 54,1 r₃ — 17,0 r₄ + 5,6 = 0

83,7 r₄ + 47,7 = 0

+ 44,2 =

I—²

(23)

Die zwei Resultate 43,9 nach (22) und 44,2 nach (23) stimmen für diesen Zweck genügend überein, wir rechnen im Mittel:

= 44,0

und, mit Zuziehung des mittleren Gewichts - Einheitsfehlers m = Hh 3,3”'"² nach (21), haben wir:

(24)

M = ± 3,3 Y44,0 = ± 21,9t²

Dieses ist der mittlere Fehler des ausgeglichenen (d. h. nicht mehr auf einen bestimmten Nivellierungsweg bezogenen) Höhen-Unterschiedes Mannheim—Pforzheim.

¹

Die Priorität dieses zweiten Fehler-Gesetzes gehört der ersten Auflage dieses Werkes, „Taschenbuch der praktischen Geometrie 1873“, S. 165. (Man vergleiche hiezu auch „Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 66, S. 108 und S. 112.)

²

Die hier benützten Messungen sind einer Abhandlung von General v. Morozowicz in der „Zeitschr. f. Verm. 1876“, S 328—333 entnommen (vergl. ,,Zeitschr. f. Verm. 1876“, S. 390—394).

§ 114. Netz-Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen.

In dem Nivellierungs-Netz Fig. 1. sind 6 Höhen-Unterschiede h mit ihren Entfernungen s bestimmt:¹)

Höhen- Unterschiede

Ä, = A B = + 10,8838”¹

/i₂ = MC = + 4,6783 h₃ = AD = + 18,5595 ft₄ = CJ3 = + 6,1963 lir₀ =    = 4- 13,8677

hG = BD = A- 7,6657

Entfernungen

= 11,67¹"¹ s₂ = 9,24 s₃ = 20,42 s₄= 6,05 s₅ = 12,86 s₆ = 16,58

Gewichte p =

pv = 85 «₂ =108 p₃= 49 p₄ = 165 »5 = 78

rU «0

1000

(1)

Die Richtung des Steigens ist in Fig. 1. durch Pfeile angegeben.

Fig. l.

Nivellierungs-Netz (Massstab etwa 1: 250 000).

Die Gewichte p sind den Entfernungen umgekehrt proportional genommen, und zwar, um möglichst gleiche Coöfficienten der Normal-Gleichungen zu erhalten, haben wir gesetzt:

1000 .

I)

(2)

Das Ge-

wobei s in Kilometern genommen ist wicht p = 1 kommt also einer Nivellierung der Strecke 1000¹”¹ zu.

Wir betrachten A als Ausgangspunkt, dann sind die drei anderen Punkte B , C und D vollkommen bestimmt durch die drei Höhenunterschiede AB , AC , AD, welche wir deshalb als unabhängige Unbekannte einführen.

Dass die Punkte B , G und D unmittelbar mit A verbunden sind, ist hiebei unwesentlich.

Nun bezeichnen wir die wahrscheinlichsten Verbesserungen der 6 absoluten Höhen-Unterschiede mit Vi v₂ v₃ v₄ v₅ v₆. Als Näherungswerte der 3 unabhängigen Unbekannten, d. h. der Höhen von B , G und D über A werden die 3 Beobachtungen selbst genommen, und die zugehörigen wahrscheinlichsten Verbesserungen seien x₂ x₃.

Man hat 6 Fehler-Gleichungen, entsprechend den 6 beobachteten Grössen; die 3 ersten Fehlergleichungen werden sehr einfach, nämlich:

«1 = x\ v₂ = x2 v₃ = x₃

1)

2)

3)

(3)

Zur Aufstellung der vierten Fehlergleichung betrachten wir das Dreieck BCA, dasselbe giebt:

hieraus folgt:

10,8838 + »! = 4,6783 + »₂ + 6,1963 4- v₄

v₄ = x₄ — x₂ 4~ 0,0092™

In ähnlicher Weise findet man auch die beiden letzten Fehlergleichungen :

4)

(4)

(•r>)

^5 — — x₂ 4~ x₃ 4- 0,0135™ u₆ = — »x 4- #3 4- 0,0100™

Die 6 Gleichungen (3) , (4) und (5) haben die allgemeine Form : v = ax₄ -f- bx₂ 4- c»₃ 4-l

und die geordnete Zusammenstellung der Coëfficienten giebt mit Annahme des Centi-meters als Einheit folgendes:

Num.

a    k-O OO 05 io 00 o

^    OO O ^ CO O CO

t-H    r-H

4-1

4- 1

Die Coëfficienten der Normalgleichung werden:

[paa\ — 4- 310,0 [pab] =— 165,0 [pac] = — 60,0    [pal] = 4- 91,8

[p 6 6] = 4-351,0    [pbc] = — 78,0    [pbl] = —257,1

[pcc] — 4~ 187,0 [p cl\ =4- 165,3 [pll] = 4- 341,9

Man löst die hiezu gehörigen Gleichungen in üblicher Weise auf, und findet dabei auch die Gewichte P der 3 Unbekannten, und ausserdem die Summe [pvv] = [pll. 3]. Die Kesultate sind :

»! = — 0,18rm Pl =

177

x₂ = 4- 0,48 =

[pll. 3] = 79 (Centimeter).

194

x₃— — 0,74

P₃ =

130

(6)

26

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Die sämtlichen Verbesserungen v erhält man nach Angabe der Fehlergleichungen

(3) , (4) und (5):

== '■— 0,18' v₂ = + 0,48 % = — 0,74

+ = + 0,26 v₅ = + 0,13 «6 = + °>⁴⁴

und hiermit berechnet man die ausgeglichenen Höhen-Unterschiede :

cm

Höhen - Unterschied AB = 10,8838"* — 0,0018"* „    AG=    4,6783    +0,0048

„    AB =    18,5595    —0,0074

„    CB =    6,1963    +0,0026

,    CD= 13,8677 +0,0013

,    B 7>=    7,6657    +0,0044

II II 11 I! II II

10,8820"*

4,6831

18,5521

6,1989

13,8690

7,6701

(7)

Zur Probe macht man die Berechnung der Summe [pvv] aus den einzelnen v:

BD²

Num.

2,75 24,88 26,83 11,15 1,32 11,62 78,55

Die Summe [pw] — 78,55 stimmt genügend mit der aus der Elimination erhaltenen Summe [pll .3] = 79, und damit ist die ganze Ausgleichuug versichert.

Der mittlere Fehler einer Nivellierung vom Gewichte = 1 wird :

Oł Cn 4^ W tO h-

— 0,18 + 0,48 — 0,74 + 0,26 + 0,13 + 0,44

0,0324

0,2304

0,5476

0,0676

0,0169

0,1986

85

108

49

165

78

60

, ₇/ 79

m = ±y

Das Gewicht p ~ 1 kommt nach (3) einer Nivellierung von 1000*™ Länge zu, wir erhalten daher (ohne in Bezug auf m deswegen eine neue Bezeichnung einzuführen) den mittleren Fehler für lfcm :

6—3

+ 5,1''”*

(8)

5,1

= ± 0,16™ = + 1,6”*”*

(9)

l/IÖÖÖ

Die Gewichte der aus den Normalgleichungen bestimmten Unbekannten sind bei (6) schon gelegentlich der Elimination bestimmt worden, und man berechnet daraus die entsprechenden mittleren Fehler:

Mab —

5,1

y i77

= ± 0,39'

Mag —

5,1

yi94

+ 0,37™

Map —

5,1

±0,45

1/130

Damit hat man die absoluten Höhen mit ihren mittleren Fehlern:

Absolute Höhe von A = 0,0000 (Ausgangspunkt) „ B = 10,8820 + 0,0039"*

„ G = 4,6831 + 0,0037»*

„ D = 18,5521 + 0,0045”'

(13)

Die beigeschriebenen mittleren Fehler beziehen sich auf den Ausgangspunkt Av und das gilt auch, wenn nun für A etwa eine Höhe über N. N. eingeführt wird, z. B. : Punkt A , Höhe = 50,0000™ + ma

über N. N.

Anmerkung.

Zur Vergleichung wollen wir das im vorstehenden nach vermittelnden Beobachtungen behandelte Beispiel auch mit Korrelaten behandeln, und ausserdem dabei, um den Wert der Ziffern besser zu beurteilen, die Höhen auf 1™”' und die Entfernungen auf P™ abrunden. Man hat dann:

,Sj = 12*™

s₂ = 9 s₃ = 20 s₄ ⁼⁼ 6 s₅= 13 s₆ = 17

hx = 10,884™ 7*₂ = 4,678 Tig = 18,560 7*₄ = 6,196 7*5 = 13,868 7*c = 7,666

Bedingungsgleichungen :

—- Ui -j- «₂ -f- «₄ — 10™™ = 0

—    «₂ -p v₃ — Vß -(-14    = 0

—    «4 + «5 — »6 + ⁶

Normalgleichungen :

Korrelaten : Verbesserungen : v₁ = — 2m™ , «₂ = 4- 5™™

-P 27 fc* — 9 *₂ — 6*3 — 10

4-42*2— 13*3 + 14 =0 4- 36 *3 +6    = 0

*₂ = — 0,38

*4 = 4- 0,18’

uni

*₃ = — 0,27’

«₃ = —8™™ , «₄ = 4- 3™™ , «5 = 4-1™™ , Vß = 4- 4™™

Üt] = ⁸-⁸³

— [w *] = 8,74

Also mit

genügender Übereinstimmung :    — 8>8

-vt-

+ 1,7™™ für P™.

Die ausgeglichenen Höhen stimmen innerhalb 1™™ mit den früheren, schärfer berechneten überein.

§ 115. Bildung der Normalgleichungen u. s. w. nach der Figur.

Wenn man die langen Tabellen einer ausgedehnten Nivellierungs-Netzausgleichung betrachtet, worin meist eine ganze Menge Glieder fehlen (d. h. gleich Null sind), so kommt man zu dem Gedanken, dass man diese langen und breiten Tabellen zum grossen Teil ersparen, und die Resultate nach dem Anblick einer Figur bilden kann, welche man ohnehin braucht.

Wir wollen dieses an dem Beispiel unserer Hannoverschen Stadt-Nivellierungs-Ausgleichung zeigen (welche ausführlicher in der „Zeitschrift der Hannoverschen Ingenieur- und Arehitekten-Vereins, 1887fc, S. 682—699 mit Karte, Blatt 38, veröffentlicht ist .

Die nachfolgenden Fig. 1. S. 405 und Fig. 2. S. 406 sind von dort entnommen, und diese beiden Figuren in Verbindung mit untenstehendem Abriss werden genügen, um jenes ziemlich umfassende Nivellierungs-Material in gedrängtester und zugleich übersichtlichster Form zur Anschauung zu bringen.

Abriss der Nivellierungs - Ausgleichung der Stadt Hannover.

Nummer

Ent-

fer-

nung

Nivellierter

Höhen

unterschied

Ver

besserung

Verbesserter Höhenunterschied h + v

Vs

Vs

î>² Poly-

gon

OGC<l

—» •—‘O h—¹ •—* ¹ OO    tO o    p p p p

loV    'to'o'»-¹ CoVlOo'cO VlVlOCO 'looVlCiCOCg

1,3

1,3

1,2

1,9

2,0

1,4

2,3

1,8

1,2

0,9

1,9830-"

1,0762

0,6422

1,3338

2,0095

0,3600

0,5377

1,6765

2,0542

6,5599

1,3832

1,2733

0,2928

0,6659

0,8580

0,2280

0,9220

0,4413

2,6768

1,1213

1,5477

0,4896

0,7035

0,4848

0,9371

0,7116

1,1624

1,5476

5,4463

1,1623

7,9794

—    0,3”*"*

—    0,8 + 0,2 + 0,1

—    2,3

—    0,5

+ 0,3 - 0,6 -0,2

+ 0,5

+ 2,0

2,0

1)4

+ 0,9

—    0,5 + 0,5 + 1,2

+ 0,3 -2,7

+ 2,7 + 2,4

+ 0,0

+ 2,3

—    2,2

—    3,5

-1,2

+ 3,4 + 4,1

-1,2

—    0,8 + 0,6

1,9827’"

1,0754

0,6424

1,3339

2,0072

0,3595

0,5380

1,6759

2,0540

6,5604

1,3858

1,2713

0,2942

0,6668

0,8575

0,2285

0,9232

0,4416

2,6741

1,1240

1,5501

0,4896

0,7058

0,4826

0,9336

0,7104

1,1658

1,5517

5,4451

1,1615

7,9800

0,12

1,82

0,07

0,01

5,29

0,28

0,29

0,18

0,06

0,14

5,62

5,02

2,76

2,66

0,22

0,25

1,19

0,15

6,60

5,20

4,71

■ 0,00

4,08

4,00

6,35

0,72

7,84

7,29

0,79

0,52

0,40

pH

VII.

VIII.

34,9

74,63

Det Gang der Ausgleichung ist dieser :

Aus den Feldschreibbüchern oder aus vorläufigen Zusammenstellungen von der Form § 112. S. 392 erhält man die nivellierten Höhen-Unterschiede h und die Entfernungen s des Abrisses von S. 404 (das übrige wird erst später erhalten).

Nun macht man das Übersichts-Netz Fig. 1., deutet durch einen Pfeil an jeder Linie die Richtung des Steigens an, und schreibt alle nivellierten Höhen und Entfernungen dazu. Bei dieser Gelegenheit macht man sich auch über die Nummerierung schlüssig.

Mg. i. *)

Nivellierungs-Netz der Stadt Hannover.

Übersicht der Nivellierungs-Linien und der Polygon-Schlussfehler.

0648)

(1644)

3,3781m 1.3 km.

J5-

/^le^O,22802

20542 m

0,7km.

13

0/858 O^¹    iir

1,1km. -UL -08mm\ (+0,46mm )J7-0,9220m

142&Ł2. 04413™

ł 06km.

60,)

♦ 0,7 mm-(+0,29™™)

Æ”) \

X 0,6659/(j,3Km.

1646

JPW

1km

11.

. -7,8™ (+1,94 mm)

1,6765™

2|0km.

10762™3*-0e422m >p2<0,3Km    0,6 km ^

19830™

0,8km.

mm

(-011mm)

I77m'

1,4km

80

12km

0,4896m

1,3338m 07Km.

0,0mm .

(-0,03mm)

22.

0,5377^6:

0,3600™

0,9km.

44>6.-

P,7035m"-<r^3r^r

1,3km.

31

7,9794™

0,9km.

HL

24.

26.

+6,8

mm

(-1,83™™)

0,4848™

km.

[2000]

_09mm

(- 0,64mm)

28.

1,1623™

1,2km.

\    +1mm

1,5476™    (-2/}4™m)

2,3 km.

0,7116™

20km.

25

30.

09371™

9km.

5,4463™^

1,8km.

[■29.

(30)

.27.-

1,4km,

Die Pfeile bedeuten die Richtung des Steigens und des positiven Vorzeichens. An der Hinterseite des Pfeiles steht die Nummer der Linie. An der Vorderseite (Spitze) des Pfeiles steht der nivellierte Höhen-Unterschied in Metern und die Länge in Kilometern. Im Innern jedes Polygons steht zunächst der Schlussfehler in Millimetern und darunter, in Klammer, die Korrelate der Ausgleichung, ebenfalls in Millimetern.

I6:

*) Die zwei nördlich angefügten Punkte (1644) und (1648) sind Bolzen der Landes-Aufnahme, welche zu unserer hier besprochenen Ausgleichung in keiner Beziehung stehen.

Die so erhaltene Fig. 1. S. 405 enthält ausser den Entfernungen und den nivellierten Höhen-Differenzen auch die Widersprüche in den einzelnen Polygonen. Wir rechnen beispielshalber den Fall I. hier ausführlich vor, indem das Polygon von der nordwestlichen Ecke im positiven Sinne durchlaufen gedacht wird :

> rH r—H    CO C^>

in + 6,5599™

—    1,8832™

—    1,9830

+ 0,5377

—    1,6765

—    2,0542

+ 7,0976™ — 7,0969™ , w₁ =    0,7™™.

(Fortsetzung S. 407.)

Fig. 2.

Nivellierungs-Netz der Stadt Hannover.

Übersicht der ausgeglichenen Höhen-Unterschiede und der Höhen über Normal-Null.

53,1110

33781

49,7337®¹⁰    645^2^,

56,2941

9.

2,0540

1,3858

[60051,7877

X 0,2285^ 0,8%75    y

°/⁴⁴¹⁶

’*@f⁰²²⁸ x' 4

X    02942    0,9232 K VA

\ U 064^553170

11.    0,6668^4.

1,426-

[1648] 52,9675

15.

164

19.

54,3939

53,9522

20

2,674-1 v

1,1240

8.

1.075

(77)55,9837 >4 ^0,6424

J.5501

.21.^5 55,0761

5) Ti.

80

1,6759

54,9083

1,9827

56,6261 1,3339

0,4896

22.

31

^’<%2ae

53,4636

0.3595

14)5:

53,2849

0,7058

'55^2922

Z3r

01)54,5864

24

28.

26.

7,9800

vn

0,4826

[2000

161,4436

1,5517

0,7104

1,1615

^5)55,0690

25.

30.

3,4451

60,2821

■2.9 r

27.-

1,1658

0,9336

30)56,0027

54,8370

Die sämtlichen 10 Widersprüche w sind die folgenden : I. + 0,7”™

V. —7,8

III. — 0,8"™

VII. +6,8

X. — 1,9

Diese Widersprüche iv schreibt man ebenfalls in Fig. 1. S. 405 ein.

Nun wird die Annahme gemacht, dass die Gewichts-Beciproken der einzelnen Linien den Längen proportional sind; und damit können wir, ohne erst eine Tabelle der Bedingungsgleichungen zu bilden, sofort die Normalgleichungen nach dem Anblick von Fig. 1. S. 405 anschreiben. Die erste Normalgleichung wird:

+ 6,70 kx — 1,20 Tc₂ — 0,30 7₉ — 0,80 7+ + 0,70 = 0 und zwar ist der erste Coefficient nach dem Anblicke von Fig. 1. S. 405 so entstanden:

1,7 + 1,2 + 0,8 4- 0,8 + 2,0 4- 0,7 = 4- 6,7.

Der zweite Coefficient entspricht der Grenzlinie zwischen I. und II. u. s. w.

Alle 10 Normalgleichungen zusammen sind, abgekürzt geschrieben, folgende

II.

7,6”™

VI. 0,0 IX. — 0,9

IV. -f 5,4”™

VIII. 4-11,1

Normalgleichungen :

6,7 fr] —1,27:₂

mm

4,07:3 —1,27^4    . .

3,77:g -—l,27;e

4,57:0 —1,3 7c₇    . .

6,47:7 —2,0T;₈

—0,3 7₉ —0,87c^q—(— 0,7 = 0 . .    —0,37+— 7,6 = 0

. . — 0,8 = 0

. .    —0,67+ +5,4 = 0

. .    — 7,8=0

. .    — 0,77++ 0,0 = 0

. . + 6,8 = 0 6,7 kH —2,3 Ä:₉ —1,0 7+4-11,1 = 0 7,47r₉ —0,97+— 0,9 = 0 4,37+— 1,9 = 0.

Die Auflösung dieser 10 Gleichungen gieht:

k₄ = — 0,53”™

h = +

Icq — — 0,03

k₇ = — 1,83"™

7"₈ = — 2,44 k₉ — — 0,64

7+ ⁼ — 0,11

Diese Korrelaten werden nun auch in Fig. 1. S. 405 eingeschrieben. Die Korrelate bedeutet für ein Polygon den Korrektionswert für P™, welcher auf dieses Polygon entfällt. Damit kann man alle Linien-Korrektionen nach Fig. 1. S. 405 leicht finden; z. B. :

=    0,29

k₂ — —t- 2,46

7.3 = -f“ 0,46

mm

v1 = — 0,8 (-+- 0,29”™) -+- 0,8 (— 0,11”™) = — 0,23”™ — 0,09”™ = — 0,32”™.

Die sämtlichen so berechneten Linien-Verbesserungen v und ihre Zufügung zu den nivellierten Höhen-Unterschieden h kann man auch in Fig. 1. S. 405 einfügen (handschriftlich etwa rot); da aber unser Holzschnitt Fig. 1. doch hiezu nicht ausreicht, haben wir die v und die h-+- v in den Abriss S. 404 eingeschrieben, von wo aus jedoch jedenfalls die h + v wieder in ein Netz Fig. 2. S. 406 übergetragen werden.

Nachdem also die verbesserten Höhen-Unterschiede h + v in Fig. 2. S. 406 eingetragen sind, kann man die Höhen aller Knotenpunkte widerspruchsfrei zusammensetzen, und zwar nehmen wir als Ausgangshöhe über N. N. die Höhe des Bolzens (1646) = 55,317”*. Wir erhalten damit die Höhenwerte, welche nicht nur in Fig. 2. S. 406

sich finden, sondern auch nochmals in folgender Tabelle vereinigt sind. (Zugleich wurden auch die in der Anmerkung S. 405 erwähnten zwei fremden Punkte (1644) und (1648) mit ausgerechnet.)

Punkt

Höhe

über N. N.

Punkt

Höhe

über N. N.

Punkt

Höhe

über N. N.

(1644) (LW) (H M)

(67)

(1646)

(1647)

(1648)

(61)

53,1110

49,7337

56,2941

55,0228

55,3170

54,3939

52,9675

54,1654

(54)

(47)

(80)

(77)

(5)

(10)

(5i)

(60j)

53,9522    (2000)

55,0761    (L)

56,6261    (163*)

55,9837 54,9083 52,9256 53,4636    (84)

51,7877    (14)

(30)

(35)

(41)

61,4436

60,2821

54,8370

56,0027

55,0690

54,5864

55,2922

53,2849

Damit ist die Ausgleichung fertig.

(Was weiter über die Anschlüsse an die Landes-Aufnahme von Interesse ist, findet man in der „Zeitschr. der Hannov. Arch.- u. Ing.-Vereins 1887“, S. 694.)

Übergehend zur Genauigkeits-Berechnung haben wir zuerst in dem Abriss S. 404

alle einzelnen

ifl    v v~\

ausgerechnet mit der Summe I—J =

74,63.

Dazu machen wir folgende

Probe-Rechnung :

Nummer

— wk

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

+ 0,29 + 2,46 + 0,46

—    0,53 + 1,94

— 0,2 + 19,6 - 0,4 + 2,8 + 15,2

0,0

+ 12,4 + 27,0

0,6

+ 0,2 -

76,0

Die

Übereinstimmung ⁽ J ⁼

74,63 und = 76,0 ist genügend, wir nehmen

einfach das Mittel 75,3 und haben daraus, mit Rücksicht auf die 10 Bedingungsgleichungen :

Mittlerer Fehler

_ ₇/75,3 _

V io ~

+ 2,7mm für 1+

§ 116. Allgemeines über Nivellierungs-Ausgleichung.

Nachdem in § 113—§ 115. bereits Beispiele von Nivellierungsnetz-Ausgleichungen durchgerechnet worden sind, wobei der Ansatz der Bedingungsgleichungen oder der Fehlergleichungen keine Schwierigkeit machte, ist es nun doch auch nützlich, über diese Gleichungen eine allgemeinere Betrachtung anzustellen.

Wir betrachten ein Netz von p Punkten, zwischen welchen h Yerbindungshöhen gemessen sind.

Um p Punkte der Höhe nach gegen einander festzulegen, braucht man p — 1 unabhängige Messungen von Höhen-Differenzen, z. B. die Verbindungen von einem Punkt mit den p — 1 übrigen, oder die p — 1 Verbindungen, welche ein offener über alle p Punkte in beliebiger Aufeinanderfolge gelegter Zug enthält.

Wenn daher Ausgleichung möglich sein soll, so muss die Zahl h der wirklich vorhandenen Höhen-Verbindungen grösser als p — 1 sein, d. h.:

(1)

h > p — 1

Der Unterschied zwischen h und p—1 zählt die überschüssigen Messungen, und ebensogross ist auch die Zahl der unabhängigen Bedingungsgleichungen, welche wir mit r bezeichnen, also:

(2)

r = h — p + 1

Z. B. in dem Hannoverschen Stadt-Netz Fig. 1. § 115. S. 405 haben wir mit Weglassung von (1644) und (1648), welche gar nicht zu dem Netze gehören, p = 22 Punkte, h = 31 Verbindungs-Höhen, also:

(3)

r = 31 — 22 + 1 = 10

wie auch unmittelbar eingesehen wurde.

Wir gehen nun zu der Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen über:

Betrachtet man hiebei einen Ausgangspunkt als fest gegeben, und die p — 1 Höhen-Unterschiede der übrigen Punkte gegen den Ausgangspunkt als unabhängige Unbekannte, so kann man die sämtlichen gemessenen h Höhen in diesen p — 1 Unbekannten ausdrücken, und hat daher h Fehlergleichungen zur Bestimmung von p — 1 Unbekannten, welche nach der M. d. kl. Q. sowohl die Unbekannten selbst, als auch deren Gewichte liefern.

Die Anzahl der aufzulösenden Normalgleichungen ist hier gleich der Anzahl der unabhängigen Unbekannten, d. h. = p — 1.

Man hat nun folgende Vergleichung der beiden Methoden :

Vermittelnde

Beobachtungen

P— ¹

Bedingte

Beobachtungen

(Korrelaten)

Anzahl    der    Punkte.........

„    „    gemessenen Höhen-Unterschiede .

„    „    unabhängigen Höhen-Unterschiede

„    „    Bedingungsgleichungen ....

„    „    Fehlergleichungen.....

h —p 4- 1

„    „    Normalgleichungen.....

Da die Anzahl der aufzulösenden Normalgleichungen hauptsächlich bestimmend ist für die Grösse der Arbeit, so wird man nach der Methode der bedingten oder der vermittelnden Beobachtungen ausgleichen, je nachdem:

h—p-+-l<p— 1    oder    h—p + l>p — 1

(5)

h < 2 (p — 1)    oder    h > 2 (p — 1)

Der zweite Fall tritt bei Nivellierungsnetzen meistens ein, es ist also in Hinsicht auf die Zahl der Endgleichungen meist besser, nach bedingten Beobachtungen (mit Korrelaten) auszugleichen.

Jedoch giebt es auch noch andere Rücksichten, nämlich in Bezug auf die Gewichts- und Fehlerberechnungen. Bei den vermittelnden Beobachtungen bekommt man die Gewichte der p — 1 unabhängigen Unbekannten geradezu nebenbei, und mehr braucht man selten. Anders ist es bei bedingten Beobachtungen ; hier muss man jedes einzelne Gewicht durch besondere Rechnung bestimmen, wie z. B. das Gewicht der Höhe zwischen Mannheim und Pforzheim in dem Beispiel § 113. S 399 besonders berechnet wurde.

Andererseits spricht wieder zu Gunsten der Korrelaten - Methode (bedingte Beobachtungen) , dass man sofort nach der Ausgleichung die schöne durchschlagende Probe der widerspruchfreien Höhen - Berechnung hat, während bei den vermittelnden Beobachtungen die Proben entfernter liegen.

Fast alle grösseren Nivellierungs-Ausgleichungen, z. B. der preussischen Landes-Aufnahme, unseres badischen Netzes (Anm. S. 394), sind nach der Korrelaten-Methode ausgeglichen. Eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen mit Gewichts-Berechnung für alle Punkte enthält das Landes-Nivellement von Sachsen, bearbeitet von Nagel, Berlin 1886 („Zeitschr. f. Yerm. 1886“, S. 540 und 570).

Binde-Punkte. Wenn ein Punkt eines Höhen-Netzes nur mit zwei anderen

Punkten verbunden ist, so bildet seine Höhe keinen wesentlichen Bestandteil der Ausgleichung. Wir unterscheiden daher Knoten- Punkte, welche mindestens nach dreien anderen Netzpunkten Verbindung haben, und Binde - Punkte, welche nur mit zwei anderen Netzpunkten Anschluss haben.

Z. B. in dem Hannover’schen Stadt-Nivellierungsnetz Fig. 1. § 115. S. 405 haben wir ausser den Knotenpunkten ziemlich viele Bindepunkte : (60), (2000), (L), (35). (Die zwei nördlichen Punkte (1644) und (1648) gehören überhaupt nicht zu der Ausgleichung.)

Man kann solche Bindepunkte auch aus der Ausgleichung fortlassen, ohne das Ausgleichungs-Resultat zu ändern, denn es treten dann eben die Summen der Höhen und der Entfernungen ein, und nach der Ausgleichung hat man die Korrektion v einer zusammengezogenen Linie wieder auf die Teile nach dem Verhältnis der Entfernungen umzulegen. Die Höhe des Bindepunkts wird in beiden Fällen dieselbe, wie man durch nähere Betrachtung der Beiträge zeigen kann, welche in dem einen und in dem anderen Falle zu den Normalgleichungen u. s. w. geliefert werden.

Viele Bindepunkte wird man in eine Ausgleichung nicht aufnehmen, um die Übersichtlichkeit zu wahren, indessen wird die Zahl der Bedingungsgleichungen durch die Bindepunkte nicht beeinflusst, wie aus der Formel (2) hervorgeht, in welcher jeder etwa eingeschaltete oder ausgeschiedene Bindepunkt sowohl die Zahl h der Höhen als auch die Zahl p der Punkte gleich trifft, also die Zahl r = h —p -h 1 un-geändert lässt.

Als Beispiel für die Anwendung der soeben gewonnenen Sätze über Bindepunkte u. s. w. wollen' wir die Ausgleichung der nebenstehenden Fig. 1. nehmen. Nach der Korrelaten-Methode würde man drei Bedingungsgleichungen anschreiben :

Fig. l.

f5

(6)

Vi H— V₃ — V3 -f- Wj — 0 v₃ ■+■ «4 — V₆ — V₅ -+- W₂ = 0 v₆ -h v₇ — vs + w₃ — 0 und im Übrigen wäre nach § 113. zu verfahren.

Da aber F und K nur Binde-Punkte und keine .Knoten-Punkte sind, kann man sie auch ausscheiden, und dann reduziert sich die ganze Ausgleichung auf ein geschlossenes Viereck S H BG.

Um dieses zu erreichen, gleicht man zuerst das nördliche Dreieck SFH für sich aus, nach dem Verhältnis der Längen, welche ^ , s?: , s₃ seien, dann tritt nach dieser Dreiecks-Ausgleichung die Linie SU mit verstärktem Gewichte auf, oder mit einer reduzierten Länge, s3 entsprechend der Gleichung:

(?)

s3 s3

Ebenso verfährt man mit dem südlichen Dreieck G BK-, nach der Ausgleichung

bekommt GB eine reduzierte Entfernung s₃ entsprechend der Gleichung:

s6

Sq S₇ + Sg

(8)

Nun hat man das Viereck:

SH    mit    der Entfernung s₃ nach (7)

.5₆' nach (8)

S5

Gleicht man das Viereck, wobei die Höhen SH und BG die Ergebnisse der vorhergehenden Dreiecks-Ausgleichungen sind, nach dem Verhältnis der vier Entfernungen s₃ ,    , Sq , S5 aus, und schaltet nachher wieder F und K als Binde

punkte ein, so hat man dasselbe, was die Korrelaten - Ausgleichung nach den drei Bedingungsgleichungen (6) giebt.

Ob man hier nach dem bei (7) und (8) u. s. w. beschriebenen Verfahren, oder geradezu nach Korrelaten ausgleichen will, ist Sache des Gutdünkens; sieht man näher zu, so wird man finden, dass man in beiden Fällen dasselbe zu rechnen hat. Die Korrelaten-Methode hat das in eine mechanische Regel gebracht, was man im anderen Falle durchdenken muss.

Der Grund, warum man einzelne Bindepunkte, wie z. B. (60), (2000), (L), (35) in Fig. 1. § 115. S. 405 mit in die Netzausgleichung aufnimmt, ist nur der, dass das wichtige Punkte sind, die man nachher doch scharf einschalten muss, was ebensoviel Mühe machen kann, als die Hineinziehung in die Netzausgleichung selbst. Immerhin wird die Berechnung des mittleren Fehlers in der Gesamtausgleichung auch etwas schärfer mit als ohne die Bindepunkte.

Ein einzelnes Polygon, welches in sich geschlossen ist, und sozusagen nur aus Bindepunkten besteht, wird, wenn man etwa die Korrelaten-Methode auf dasselbe anwenden wollte, dieselbe Ausgleichung erhalten, welche wir schon früher in § 112. S. 393 nach dem Grundsatz des arithmetischen Mittels fanden, nämlich Verteilung des Schlusswiderspruchs nach dem Verhältnis der Längen.

Verschiedene mittlere Fehler.

Wenn man in einem Nivellierungs-Netz jede Linie, in Strecken geteilt, in sich hin und her misst, und wenn man dann die Mittel der Hin- und Her-Messungen in eine Netz-Ausgleichung einführt, so bekommt man zwei Berechnungen des mittleren Fehlers:

1) aus den Strecken-Differenzen d in der Anzahl n:

-WWi

2) aus den Verbesserungen v der Linien l in der Netz - Ausgleichung bei r Bedingungsgleichungen :

m₂

=Vvm

In den bis jetzt erschienenen Ausgleichungen der trigonometrischen Abteilung der Landes-Aufnahme haben wir folgende Werte und m₂ :

Nachweisung ²)

Hin- und Her- Netz-Messungen Ausgleichung

m₂

tö    td    td    cd    td

P    p    P    P    P3

0    3    O    3    CS

pU    P-i    p-    P-i    PU

—' 03 L— r-t

cd cd

S

* ²

✓---N /—“N /--N /—V ^-N

cc m O CO CO I> O OO OO OO

00 00 00 00 00

H    rH ł—< r—<

v- ^    ^    'w'

HH

03 1—I ©

co Tt² co cd cd cd

cd .

^ æ æ æ

° Ö 53    53'

CO

• co ca -'f so

± 1,52 ±1,51 ± 1,25 ± 1,62 ± 1,28

mm

± 1,79”™ ± 1,76 ±2,24 ± 1,93 ±2,18

Einfacher Durchschnitt

± 1,44”"“

± 1,98’

für 1 Kilometer.

(9)

Gewöhnlich giebt die Netz-Ausgleichung einen etwas grösseren Wert als die Vergleichung der Hin- und Her-Nivellierungen, wobei es aber auch darauf ankommt, ob die Differenzen der Hin- und Her-Nivellierungen sich auf kurze Entfernungen, „Strecken“ von 1—2km, oder auf weite Entfernungen, „Linien“ von 10—20tm u. s. w. beziehen

Ferner ist es wichtig zu wissen, ob und wieviel Ausscheidungen, Verwerfungen und Nachmessungen vor dem Eingehen in die Netz-Ausgleichung vorgenommen wurden u. s. w. (Die Landes-Aufnahme hat weniger als 10/₀ Verwerfungen.)

Es kommen hier auch die schon früher bei der Berechnung von    (§ 112.

S. 392) erwähnten Fragen von Punkt-Verrückungen, Strahlenbrechungen u s. w. in Betracht.

Ausgleichung von Gebirgs-Nivellierungen.

Während in der Ebene die Annahme der Gewichte p umgekehrt proportional den Entfernungen ganz am Platze ist, kann bei stärkeren Steigungen diese Annahme ungenügend werden, namentlich dann, wenn stark steigende Linien mit ebenen Linien in einer Ausgleichung zusammen kommen, und wenn keine genügenden Latten-Vergleichungen gemacht wurden.

Wenn wir setzen:

= s oder = (fi s

(10)

m = u V s und

p

wo n der mittlere Nivellierungsfehler für die Länge s = 1, m der mittlere Fehler für die Länge s, und p das Gewicht ist, so haben wir nur die eigentlichen Nivellierungsfehler berücksichtigt, bei starken Steigungen kommen aber auch die Unsicherheiten in den Maassen der benützten Latten und vielleicht noch andere mit der Höhe wachsende kleine Fehler in Betracht, und deswegen ist es besser, hier für eine Länge s und eine Höhe h zu setzen :

ai)

— jU² S -j- A² lfi

Nun entsteht die Frage, wie man die Konstanten n und A dieser Formel bestimmen soll?

Wenn verschiedene Polygone mit ihren Schlussfehlern vorliegen, so wird man, wenn das vorstehende richtig ist, verschiedene Schlussfehler erhalten, je nachdem ein Polygon mehr oder weniger ausgedehnt in der Lage oder in der Höhe ist. Vogler hat zuerst den Gedanken verfolgt, nach solchen Rücksichten die Schlussfehler zu trennen, d. h. die Schlussfehler als Funktion der Längen s und der Höhen h der Polygone in empirischer Ausgleichung darzustellen („Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 95—97 und 1877, S. 896—403). Helmert hat hiezu eine schärfere Theorie in den „Astron. Nachrichten“, 89. Band, Nr. 2127 und Nr. 2128 (Februar 1877) entwickelt.

(Eine kurze Zusammenfassung hievon, „Fehlertrennung in Nivellements-Polygonen“, haben wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1885“, S. 44—47 gegeben.)

Bei unseren badischen Nivellierungen, welche in der Zeit von 1873—1882 nach sehr verschiedenen Methoden, und mit zum Teil ungenügenden Latten-Vergleichungen

= s unmöglich

gemacht worden waren, konnte die einfache Gewichts-Annahme beibehalten werden.

Wir nahmen daher Gewichte nach dem Gesetz der Gleichung (11), und bestimmten die Fehlerteile fi und A von Fall zu Fall, auf verschiedene Weisen, d. h. es wurden die Fchlerteile a priori geschätzt.

Unsere so gewonnene Netz-Ausgleichung mit 22 Polygonen enthält die amtliche Veröffentlichung „Die Grossh. Badischen Hauptnivellements u. s. w., Karlsruhe 1885“ (vergl. die Anmerkung unten auf S. 394).

¹

Die hier benützten Messungen sind einer Abhandlung von General v. Morozowicz in der „Zeitschr. f. Verm. 1876“, S 328—333 entnommen (vergl. ,,Zeitschr. f. Verm. 1876“, S. 390—394).

²

Vergl. hiezu „Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 395; 1880, S. 370—373; 1883, S. 501—507; 1886, S. 358—360.

Kapitel XI.

Trigonometrische Höhenmessung.

§ 117. Messung der Höhenwinkel.

Die Theodolite, welche wir früher in § 47. S. 141—143 beschrieben haben, dienen auch zum Messen von Höhenwinkeln. Da wir früher nur die Horizontalwinkel-Messung beschrieben haben, ist jetzt das nachzutragen, was die Hühenwinkelmessung besonders verlangt.

Zuerst betrachten wir die Anordnung der Libellen. Will man gute Höhenwinkel messen, so muss man unbedingt eine Libelle in der Richtung des Fernrohrs haben, also z. B. die Libelle X₂ in Fig. I. S. 141, oder die Libelle Lj in Fig. IL S. 142, oder die Libelle L an dem nachher zu behandelnden Instrument Fig. 1. S. 415.

Hat man einen Höhenkreis ohne eine solche Längs-Libelle, z. B. an dem Münchener Theodolit Fig. III. S. 143, was allerdings manchmal angetroffen wird, so kann das nur den Sinn haben, dass das Instrument zunächst wesentlich für Lagemessungen bestimmt war, und nur für untergeordnete Höhenmessungen noch ein Höhenkreischen beigegeben wurde. (Oder cs ist auch manchmal anzunehmen, dass der Verfertiger nicht das richtige Verständnis für die Höhenwinkel-Messung hatte.)

Ein Höhenkreis-Instrument ohne Libelle in der Fernrohr-Kichtung wäre eben so verfehlt, wie etwa ein Nivellier-Instrument ohne eine Libelle parallel dem Fernrohr, was noch niemand versucht hat.

Es ist hier auch die Libelle auf dem Fernrohr selbst zu erwähnen, wie z. B. auf dem kleinen theodolitartig gebauten Instrument Fig. 6. S. 351, das wir dort Nivellier-Theodolit genannt haben.

Eine solche Fernrohr-Libelle kann wohl auch zum Höhenwinkelmessen gebraucht werden, und zwar in der Weise, dass man für jeden Höhenwinkel ziecimal abliest, einmal bei der Einstellung auf den Höhen-Zielpunkt, und einmal bei einspielender Libelle, indem vorausgesetzt wird, dass die Libellen-Axe und die Ziel-Axe parallel seien; indessen das ist nur ausnahmsweise für Höhenwinkel zu empfehlen; die eigentliche gute Anordnung besteht in einer Alhidaden-Libelle, im Sinne von II. S. 140, in der Fernrohr-Richtung, mit genügender Empfindlichkeit von etwa 10" auf 1 Strich.

Diese Libelle muss bei jeder einzelnen Höhen-Zielung scharf einspielen, ebenso wie die Libelle eines Nivellier-Instrumentes; und da es schwierig ist, die Libelle so fein richtig, d. h. rechtwinklig zur Vertikal-Axe zu stellen, dass sie allgemein einspielt, so hilft man sich in gleich einfacher Weise, wie beim Nivellieren, dadurch, dass man bei jeder einzelnen Zielung mit einer passend gelegenen gewöhnlichen Fuss-Stellschraube soweit nachdreht, dass die Blase gut einspielt.

Ausserdem hat man aber auch (wie beim Nivellieren) das feinere Mittel einer besonderen Neigungsschraube zum Einstellen der in der Fernrohr-Richtung liegenden Libelle.

Dieses zeigt Fig. 1. S. 415 mit der Schraube M, welche auf die Libelle L wirkt, ganz unabhängig von den drei Fuss-Stellschrauben S.

Die Libelle L ist fest verbunden mit dem Nonienträger des Höhenkreises und mit dem senkrechten Hebelsarm V, gegen welchen die Schraube M wirkt. Hält also mit der Schraube M die Libelle scharf im Einspielen, so behält der Hebel V und der Nonienträger konstante Neigung.

man

Fig. 1.

Höhenwinkel-Messung.

II

lis

Fo

Sj

w_

!■

Bi

V %l|ii

"".;v£S

(Hannov. Sammlung; Mechaniker Randhagen.)

Äblesen der Libelle. Statt die Libelle mit der Schraube M wirklich zum Einspielen zu bringen, kann man auch die Blasen-Ausschläge ablesen und in Rechnung bringen, wie wir dieses beim feinen Nivellieren kennen gelernt haben. Indessen ist dieses Verfahren auch nur bei feinen Höhenwinkel-Messungen (etwa Refraktionsbestimmungen u. s. w.) am Platze, nicht aber bei den gewöhnlichen trigonometrischen Höhenmessungen, die wir hier im Sinne haben, wo Genauigkeit von 1 — 2" überhaupt selten erreicht wird.

Höhenkreis mit einem Nonius.

Was wir früher schon über die Excentricität zwischen Limbus und Alhidade eines Teilkreises in § 54. bis § 56. gesagt haben, gilt natürlich auch für den Höhen-kreis, und zwei einander gegenüberstehende Nonien bewirken hier ebenso die Eliminierung der Alhidaden-Excentricität wie am Horizontalkreis.

Man findet aber nicht selten kleine Höhenkreise mit nur einem Nonius, so z. B. bei dem Münchener Theodolit Fig. III. S. 143; und der Grund mag hier einfach darin liegen, dass ein Nonius sich gelegentlich am Ständer K anbringen liess, während für zwei Nonien ein besonderer Träger hätte angebracht werden müssen.

Indessen ist für die Höhenwinkel der Feld- und Landmessung die Anwendung eines Nonins (oder Mikroskops) deswegen besonders zu betrachten, weil diese Winkel die Eigentümlichkeit haben, fast immer Mein zu sein, im freien Felde meist zwischen — 5° und -+- 5° schwankend, und auch im Mittelgebirge selten über 10°.

Bei Meinen Höhenwinkeln wirkt aber die Excentricität nahezu konstant (wenn die Ablesungen immer nahezu an denselben Stellen des Kreises erfolgen). Misst man also solche Höhenwinkel mit einem Nonius, aber mit Durchschlagen des Fernrohrs, so bekommt man trotz des Durchschlagens einen nahezu konstanten Fehler, der ähnlich wie ein konstanter Indexfehler wirkt und in Rechnung gebracht werden kann.

Hat man eine Libelle auf dem Fernrohr wie bei dem Nivellier-Theodolit Fig. 6. S. 351 und einen Höhenkreis mit einem Nonius, so empfiehlt es sich, die Libelle nach der Nivellierprobe Fig. 4. S. 349 richtig zu stellen, und jeden Höhenwinkel als Differenz zweier Einstellungen, einmal auf den Zielpunkt und einmal mit einspielender Libelle, zu bestimmen; dann ist man von dem konstanten Einfluss der Excentricität bei kleinen Höhenwinkeln unabhängig.

Die erwähnte Nivellierprobe ist auch dann anzuwenden, wenn man nicht einen Vollkreis, sondern nur einen Höhen-Sefcior, mit einem Nonius hat, so dass der Indexfehler nicht durch Durchschlagen eliminiert oder bestimmt werden kann. Solche mangelhaftere Verhältnisse findet man etwa bei Tachymetern und Kippregeln, bei deren Beschreibung wir wieder hierauf zurückkommen werden.

Indem wir von diesen zuletzt erwähnten Besonderheiten absehen, haben wir für die gewöhnliche Höhenwinkel-Messung folgende Anweisung:

1)    Man bringt den Zielpunkt in das Gesichtsfeld.

2)    Man sieht zu, ob die Libelle gut einspielt und bringt sie erforderlichenfalls zum scharfen Einspielen mit einer geeignet liegenden Stellschraube oder, wenn die Libelle beweglich ist, mit der besonderen Einsteil-Mikrometerschraube.

3)    Man bringt den Fadenkreuzpunkt oder wenigstens den (richtig gestellten) Horizontalfaden auf den Zielpunkt.

4)    Man liest an dem Kreise ab, den man zu diesem Zweck in beliebige bequeme und gut beleuchtete Lage bringen, also auch aus der Messungs-Ebene herausdrehen kann.

Das Ganze wird mit durchgeschlagenem Fernrohr wiederholt (vgl. hiezu § 118.) und aus den in beiden Lagen erhaltenen Ergebnissen das Mittel genommen.

§ 118. Berechnung der Höhenwinkel.

Hat man nach der soeben gegebenen Anweisung einen Höhenwinkel gemessen, so besteht die Berechnung im wesentlichen in einfacher Mittelbildung. Trotzdem ist hierüber noch Verschiedenes zu sagen:

Index - Fehler.

Wenn man bei einspielender Libelle eine Höhenzielung nimmt, so bekommt man einen Höhenwinkel dann unmittelbar richtig, wenn der horizontalen Zielung die Ablesung Null entspricht. Wenn dieses nicht der Fall ist, sondern bei horizontaler Zielung etwa die Ablesung -+- x gemacht wird, so wird statt eines richtigen Höhenwinkels a der falsche Wert a -t- x erhalten, und man sagt dann, der Höhenwinkel hat den Index-Fehler x, oder er verlangt eine Index-Verbesserung — x.

Da in Wirklichkeit die Fernrohr-Ziel-Axe nicht mit dem Ablese-Zeiger eine Gerade F bildet, wie in Fig. 1. angenommen ist, so verhält sich die Sache etwas anders, als in Fig. 1. dargestellt ist; dass aber das Schluss-Ergebnis dasselbe bleibt, wird sich leicht überblicken lassen. Um jedoch jedem Zweifel vorzubeugen, haben wir in den nachfolgenden Figuren 2., 3. und 4. die Sache nochmals gründlicher dargestellt, und zugleich auch die gebräuchlichste Anordnung berücksichtigt, dass nicht der Kreis, sondern der Nonienhalter fest ist, und dass der Kreis fest mit dem Fernrohr verbunden auf- und niedergeht. In Fig. 2., 3. und 4. soll die stark gezogene, mit einer Pfeilspitze versehene Linie die Ziel-Axe des Fernrohrs vorstellen. Der an den Enden mit 0 und 00 bezeichnete Kreisdurchmesser ist derjenige, welcher die Anfangspunkte der Teilung enthält. Da der Kreis mit dem Fernrohr fest verbunden ist, so macht die Fernrohr-Axe mit dem Durchmesser 0—00 einen konstanten Winkel c. Da die Libelle ein-spielen soll, können wir annehmen, dass die Ablese-Vorrichtung N eine feste Stellung hat, so dass die Verbindungslinie zwischen dem Kreismittelpunkt und dem Ablese-Index N einen konstanten Winkel n mit der Horizontalen macht.

Fig. 2.

.c

27

Das Wichtigste, was über den Index-Fehler zu sagen ist, ist der Satz, dass derselbe aufgehoben wird durch Durchschlagen des Fernrohrs und Messen in beiden Lagen.

Wenn man sich das Fernrohr samt dem Nonius zusammen als eine ideale Gerade vorstellt, welche sich an einem festen Höhenkreis auf- und ab-bewegt, so kann man sich die Eliminierung des Index-Fehlers nach Fig. 1. leicht klar machen : Es sei M M' der Durchmesser eines festen Höhenkreises, welcher die Null-Teilstriche (oder 0° und 180°) verbindet. F sei die ideale Vereinigung der Fernrohr-Axe mit dem Ablese-Zeiger (Nonius-Nullstrich). Der Kreis-Durchmesser MM' mache mit der Horizontalen RH' den Winkel x (Index-Fehler) und der wirkliche zu messende Höhenwinkel sei = a, dann ist es leicht, nach Fig. 1. einzusehen, dass man folgendes bekommt:

Lage I.

Lage II.

Fig. l.

Index - Fehler.

-H

I.

TL.

f;

a"= a — X

a¹

OL"

■e-eW

~l-l!

Mittel

und

u — a"

=*x

(1)

J. Erste Einstellung.

Fig. 2. zeigt die Stellung des Kreises und des Fernrohrs, welche nötig ist, um einen wahren Höhenwinkel a zu messen. Am Kreis wird abgelesen der Winkel a, welchen der nach dem Index N gezogene Kreishalbmesser mit dem Null-Halbmesser macht.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

II. Umdrehen.

Fig. 3.

Tl

Fig. 8. zeigt die um 180° gedrehte, im übrigen aber unverändert gelassene Stellung des Kreises, des Fernrohrs und des Index - Striches (weshalb die Ziel-Axe des Fernrohrs, welche in Fig. 2. vor dem Kreise liegend angenommen ist, nun in Fig. 3. als hinter dem Kreise liegend, punktiert gezeichnet ist).

Fig. 4.

III. Durchsehlagen.

folglich :

Um den erstmals angezielten Punkt wieder zu erhalten, schlägt man nun das Fernrohr durch, und erhält, da der Kreis die Bewegung des Fernrohrs mitmacht, die in Fig. 4. gezeichnete Stellung. Die Ablesung erfolgt an dem unverändert gebliebenen Index-Strich N, und indem man von der ßückverlängerung 00 des Kreishalbmessers 0 zählt, erhält man die Ablesung a".

Man entnimmt aus Fig. 2. und Fig. 4. die Beziehungen :

a = a" + c — n

ci"

(N

e"<

's

'a'

a — a"

(2)

Dieses sind im wesentlichen dieselben Gleichungen wie die früheren (1).

Man bekommt also den Höhenwinkel a als arithmetisches Mittel der Ablesungen a und a", unabhängig vom Index-Fehler c — n, und der Index-Fehler c — n seihst wird erhalten als halbe Differenz zweier zusammengehöriger Ablesungen d und a".

Da der Index-Fehler seiner Natur nach konstant sein muss, so hat man für die

Höhenwinkel-Messung in zwei Fernrohrlagen die Probe, dass die Differenz je zweier Ablesungen d und «" konstant sein muss.

Obgleich auf diese Weise der Index-Fehler unschädlich gemacht wird, ist es doch für manche Zwecke wünschenswert, ihn wegzuschaffen, oder wenigstens klein zu machen, was entweder durch Verschieben der Nonien oder durch Verschieben des Fadenkreuzes (in vertikalem Sinn) geschehen kann.

Um den Index-Fehler eines Nonius wegzuschaffen, verfährt man so :

Man misst einen Höhenwinkel in zwei Fernrohrlagen, und erhält denselben unabhängig von dem Index-Fehler als arithmetisches Mittel der zwei Ablesungen eines Nonius. Während nun das Fadenkreuz den angezielten Punkt deckt, und die Libelle einspielt, stellt man den Nonius so, dass er das obige arithmetische Mittel als Ablesung giebt.

Wenn man dagegen die Korrektion am Fadenkreuz vornehmen will, so stellt man den Kreis mittelst der Mikrometer-Schraube so, dass jenes arithmetische Mittel am Nonius abgelesen wird, und verschiebt dann das Fadenkreuz derart, dass es den Punkt deckt, auf welchen vorher eingestellt wurde.

Jeder Nonius hat seinen besonderen Index-Fehler; wenn beide Index-Fehler gleich sind, so stehen die Nonien einander diametral gegenüber (abgesehen von Ex-centricität). Durch Verschieben des Fadenkreuzes kann man nur den Indexfehler eines Nonius wegschaffen.

Verschiedene Bezifferungen des Höhenkreises.

Die Bezifferung des Kreises wird sehr verschieden gemacht, und da hievon auch die Ausrechnung der Schluss-Ergebnisse abhängt, müssen wir diese Verhältnisse näher betrachten.

I. Höhenwinkel und Tiefenwinkel. Das Einfachste ist, geradezu Höhenwinkel und Tiefenwinkel abzulesen, wie in Fig. 5. angedeutet ist.

Hiebei giebt jeder Nonius bei jeder Fernrohrlage einen Wert des Höhenwinkels, und man hat das Mittel aus je zwei Ablesungen an demselben Nonius zu nehmen, also im ‘ganzen das Mittel aus allen vier Ablesungen.

Fig. 5.

Höhen- und Tiefenwinkel.

so

SO

60

6o

so

'30

60 _₉₀ 60

Beispiel zu Fig. 5.

Non.

Lage I

Lage II

Mittel

II—I

links

rechts

Mittel

+ 5° 26' 30” + 5° 24' 10”

-f 5° 25' 20”

+ 5° 29' 40” + 5° 27' 30”

+ 5° 28' 5” + 5° 25' 50”

+ 3' 10” + 3' 20”

+ 5° 28' 35”

+ 5° 26' 57,5”

Wenn ein erheblicher Index-Fehler vorhanden ist, so können bei kleinen Höhenoder Tiefenwinkeln die vier Ablesungen verschiedene Zeichen erhalten, doch kann man in der Ausrechnung des Höhenwinkels nicht irren, wenn man nur diese Vorzeichen rein algebraisch berücksichtigt.

Diese einfache Anordnung Fig. 5. zeigt beim ersten Blick manche Vorteile; sie hat aber auch manche Nachteile: Man braucht hiebei einen doppelten Nonius oder einen nach zwei Richtungen bezifferten Nonius, und die Vorzeichen der Winkel (-H oder—) müssen stets mit aufgeschrieben werden, was zu Irrungen führen kann.

II. Zenit - Distanzen. Am meisten gebräuchlich ist die Anordnung von Fig. 6., wobei die horizontale Ziel-Linie die Ablesung 90° bekommt.

Die Ablesungen für Höhenwinkel und Tiefenwinkel werden hier im gleichen Sinn gemacht. Wenn Lage I Zenit-Distanzen giebt, so giebt Lage II deren Supplemente (gewisser-massen Nadir-Distanzen). Bezeichnet man die Ablesungen in der ersten und zweiten Fernrohrlage bzw. mit I und II, und die entsprechenden Höhenwinkel mit d und a”, so findet man:

— a" = 90° — II

Fig. 6.

Zenit-Distanzen.

180 „ —r—JO

/SO

/So.

60

90

60

30 o 150

SO

'730

folglich :

d =90° — I

«' +«” _ II—I 2 “ : 2

Man erhält den Höhenwinkel nach Grösse und Vorzeichen als halbe Differenz der Ablesungen. Um dabei die Lagen 1 und II nicht zu verwechseln, benennt man sie gewöhnlich nach dem Kreis ; ist dieser in Lage I links, so muss er in Lage 11

(3)

rechts sein. Wenn die Formel (3) gelten soll, so muss diejenige Lage, welche Zenit-Distanzen giebt, mit I bezeichnet werden. Zwei Beispiele zeigt folgende Tabelle:

Non.

Lage 1 Kreis links

Lage II Kreis rechts

II—I

Bemerkungen

links

rechts

88° 2' 10" 88° 0' 20"

91° 57' 50" 91° 56' 10" Mittel II— 1

+ 3° 55' 40" -1- 3° 55' 50" + 3° 55' 45"

Konstante Summe 180° 0' 0" 179° 56' 30"

Höhen winkel

1I-I

links

rechts

90° 10' 30" 90° 9' 10"

89° 49' 20" 89° 47' 40" Mittel II—I

+ 1° 57' 52,5"

— 0° 21' 10"

—    0° 21' 30"

—    0° 21' 20"

179° 59' 50" 179° 56' 50"

Höhenwinkel

u

— 0° 10' 40"

Fig. 7.

Zenit- u. Nadir-Distanzen.

150

ISO

ASO

120

120

90

-V

90

60

60

30

30

Eine unwesentliche Abänderung des Falles von Fig. 6. S. 419 zeigt Fig. 7.; man erhält hier in jeder Lage an dem einen Nonius eine Zenit-Distanz, an dem andern eine Nadir-Distanz, und statt des ersten der zwei vorstehenden Beispiele hätte man das folgende:

Non.

links

rechts

Lage I 88° 2' 10" 91° 56' 10"

Lage II 91° 57' 50" 88° 0' 20"

II— J= + 3° 55' 40" I—II +3° 55'50"

Mittel

-+- 3° 55' 45" Höhenwinkel +1° 57'52,5"

Wenn der Index-Fehler klein ist, mag es zuweilen bequem sein, alle Ablesungen einzeln auf Höhenwinkel zu reduzieren, z. B. aus dem ersten Beispiel der obigen Tabelle folgendes zu bilden:

+ 1° 57' 50" + 1° 57' 50" + 1° 59' 40" + 1° 56' 10" Gesamt-Mittel + 1° 57' 52,5"

III. Durchlaufende Bezifferung. Fig. 8. Wenn der Höhenkreis wie der Horizontalkreis des Theodolits von 0° bis 360° durchlaufend beziffert ist, so stehen die Ablesungen I und II, welche an einem Nonius bei zwei Fernrohrlagen gemacht sind, zu dem Höhen winkeln a in folgenden Beziehungen:

180° + 1 — II

Fig. 8.

Durchlaufende Teilung.

90

120

150

60

180

210

oder Zenit-Distanz:

'290

33 a

270

Z = 90°— a

11—I

(4)

Als Lage I ist diejenige zu bezeichnen wachsende Ablesungen giebt. Bei der Bildung der Differenz II— I wird II nötigenfalls um 360° vermehrt. Ein Beispiel dient zur Erläuterung:

Non. links rechts

welche beim Erheben des Fernrohrs

Lage I 30° 22' 30" 210° 22' 20"

Lage II 213° 35' 0" 33° 34' 30"

II—I 183° 12' 30" 183° 12' 10"

Mittel

Zenit-Distanz

183° 12' 20" 91° 36' 10"

Höhenwinkel — 1° 36' 10"

180° 4- 1 — II = — 3° 12' 30"

180° + I— II— — 3° 12' 10" Mittel

Höhenwinkel

Oder um sofort den Höhenwinkel zu erhalten, rechnet man so : links rechts

—    3° 12' 20"

—    1° 36' 10"

Auch bei dieser Anordnung muss, wie bei Zenit-Distanzen, die Summe der Ab-esungen für einen Nonius konstant sein.

Wir haben bei dem letzten Beispiel angenommen, dass der Nullpunkt des Kreises ganz willkürlich liegt, so dass von einem Index-Fehler im gewöhnlichen Sinn keine Eede ist. Diese Anordnung III kommt namentlich dann vor, wenn der Kreis auf seiner Axe wie der Limbus eines Répétitions - Theodolits drehbar ist, und nur für die Dauer einer einzelnen Messung festgestellt wird. Man misst dann einen Winkel mit irgend welcher Kreisstellung, macht jedoch die Wiederholungen der Messung mit anderen Kreisstellungen.

Diese Einrichtung ist sehr zu empfehlen, damit nicht die wenigen Teilstriche, welche den fast allein vorkommenden Höhenwinkeln von wenigen Graden entsprechen, ausschliesslich zur Anwendung kommen.

Eigentliche Répétitions-Messung (mit zwei Libellen) kommt bei Höhenwinkeln

kaum vor.

Die Genauigkeit der Höhenwinkel-Messung ist bei gleichem Kreisdurchmesser meist etwas geringer, als die Genauigkeit der Horizontalwinkel-Messung.

Namentlich muss man sich hüten vor konstanten Fehlern, welche z. B. beim Einstellen der Libelle Vorkommen können.

§ 119. Einfluss der Axenfehler des Theodolits auf die Höhenwinhel-Messung. ¹)

Wir denken uns das Höhenwinkelmess-Instrument so konstruiert, dass ein fester Höhenkreis in die vertikale Ziel-Ebene gebracht wird; mit dem Fernrohr sei ein Index fest verbunden, und zwar so, dass der Index am Höhenkreis Null zeigt, wenn die Ziel-Linie vertikal ist (Ablesung von Zenit-Distanzen ohne Indexfehler). Allerdings ist gewöhnlich das Verhältnis umgekehrt, indem der Kreis sich mit dem Fernrohr dreht und der Index fest ist, da es sich aber nur um die relative Drehung der Ziel-Linie gegen eine in der Ebene des Kreises feste Gerade handelt, so können wir unsere Rechnung wohl auf die obige Voraussetzung gründen; der Übersichtlichkeit wegen können

wir ferner annehmen, dass der Kreis in die Beobachtungs Ebene selbst gerückt sei, und dass der Nullpunkt der Kreis-Teilung mit dem Zenitpunkt des Kreises zusammenfällt.

Als „Indexlinie“ bezeichnen wir diejenige Lage der Ziel-Axe, welche diese Axe einnehmen würde, wenn kein Ziel-Axenfehler (Kollimationsfehler) vorhanden wäre.

Wenn das Ganze um eine Yertikal-Axe gedreht wird, welche nicht genau vertikal ist, so wird in den verschiedenen Lagen, in welche der Kreis hiebei kommen kann, der Zenitpunkt des Kreises nicht mehr mit dessen Nullpunkt zusainmenfallen, jedoch kann man in jeder Kreislage den Kreis in seiner Ebene unabhängig von dem übrigen Instrument so viel drehen, dass diese Bedingung wieder erfüllt ist, und zwar dient hiezu die in der Richtung der Zielung angebrachte Libelle.

Wenn das Instrument mit Axenfehlern behaftet ist, so wird, bei einer Zenit-Distanz-Messung, am Kreis der Winkel abgelesen, um welchen sich die oben definierte Indexlinie dreht, vom Zenit- und Nullpunkt des Kreises bis zu derjenigen Lage, welche der Fernrohr-Zieluog entspricht. (Projektion der Fernrohr-Axe auf die Kreis-Ebene.)

Fig. i.

Fig. 2.

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'K \\vŁ

2)

bo

4*<

Wir werden zuerst den Ziel-Axenfehler (Kollimationsfehler) c mit dem Fehler i der Horizontal Axe zusammennehmen, und nachher noch den Fehler v der Yertikal-Axe mit in Rechnung bringen.

Um den Aufstellungspunkt I des Instruments denken wir eine Kugel von beliebigem Halbmesser beschrieben, um die in Betracht kommenden Winkel als Bestandteile sphärischer Dreiecke zu veranschaulichen (Fig. 1. und Fig. 2.).

Die Horizontal - Ebene des Beobachtungspunktes I sei die Ebene A CB, das Zenit sei Z. Die Horizontal-Axe des Theodolits hat statt AB die falsche Lage A' B', und sei unter dem Winkel B IB' = i gegen die wahre Horizontale IB geneigt.

Wäre kein Ziel-Axenfehler c vorhanden, so müsste sich nun die Ziel-Axe in einer Ebene C P' Z' rechtwinklig zu A' B' drehen (wobei Z'IZ=i ist), und jedenfalls ist IZ' die Zenit-Stellung der früher beschriebenen Indexlinie. Wegen des Ziel-Axenfehlers c bewegt sich aber die Ziel-Axe in der flachen Kegelfläche C PZ", oder es tritt an Stelle des Bogens P' Z' der Parallelbogen PZ".

Wird ein Punkt P angezielt, dessen wahre Zenit-Distanz ZIP = z ist, so wird statt z am Instrument der Winkel Z'IP' — z’ abgelesen, welchen die Indexlinie durchläuft von ihrer Zenit-Stellung IZ' bis zu der Stellung IP'. Diese Drehung z' wird auch gemessen durch den Winkel Z A' P in dem sphärischen Dreieck ZA'P (Fig. 2.), dessen drei Seiten die Werte haben:

A' P — 90 ° — c

ZP = z

A' Z = 90°A-i

Dieses Dreieck Z A! P liefert die Gleichung:

cos ZP = cos A'Z cos A'P -+- sin A'Zsin AP cos A' oder mit den eingeführten Bezeichnungen:

(1)

cos2 — cos (90 ° + i) cos (90 ° — c) + sin (90 ° + i) sin (90 ° — c) cos z'

und wenn statt der Zenit-Distanzen z und z' die entsprechenden Höhenwinkel eingeführt werden, nämlich:

b! = 90° — z'

h = 90 ° —£

so giebt die Gleichung (1):

sin h = — sin i sin c -+- cos i cos c sin h'.

Durch Reihen-Entwicklung erhält man:

sin h = — i c + ( 1 —

c2

sin h'

sin h' — sin h = ic -+-

Î2 -p C2

sin h'

sin lx' — sin h = (h! — h) cos h'

folglich mit Vertauschung von h' und h in den Korrektions-Gliedern:

h' —h =

ic

(2)

-— tang h

Wenn man die zwei Fehler i und c einzeln untersucht hätte, so würde man

cos h

?2

C2

auf ähnliche Weise wie früher in § 53. die Glieder tang h und — tang h haben, dagegen wäre das Produkt

ic

erhalten

in (2) auf diesem Wege nicht zu finden gewesen.

cos h

Dieses Produkt, welches mit h = 0 nicht verschwindet, lässt sich folgender-massen geometrisch deuten: Fig. 3. stelle das Fadenkreuz des zur Beobachtung dienenden Fernrohrs vor, O ist der Fadenkreuzpunkt, welcher der richtigen Ziel-Axe entspricht, OO' ist der Horizontalfaden bei unrichtiger Instrumentenstellung. Da wir das Vorhandensein eines Ziel-Axen-fehlers c annehmen, sei der zum Anzielen dienende Fadenkreuzpunkt von O nach O' gerückt, wobei O O' = c ist. Wenn die Horizontal-Axe des Instruments um den Winkel i gegen die wahre Horizontale geneigt wird, so wird bei horizontaler Zielung auch der Horizontalfaden um den Winkel i gedreht, so dass das ganze Fadenkreuz die in Fig. 3. punktiert gezeichnete Lage erhält. Der dadurch erzeugte Höhenwinkelfehler ist der Bogen O'O", und da 00'= c, und der Winkel 0"00'—i ist, so hat man 0'0"= ctangi oder genähert 0'0"= ci-, es ist also für h = 0 dieser Bogen O'O" mit dem ersten Glied der Formel (2) identisch.

Fig. 3.

n",

Es bleibt jetzt noch übrig, den Einfluss eines Fehlers v der Vertikal-Axe zu

i' — v sin u

und an Stelle von i in (2) ist zu schreiben i -+- i', folglich wird nun :

untersuchen, und hiezu können wir die Neigung der Horizontal-Axe betrachten als teilweise herrührend von einer Neigung v der Vertikal-Axe, denn es ist nach (8) § 53. S. 164:

Für die numerische Rechnung in Sekundenmass ist jedoch dieser Ausdruck noch mit 206265" zu dividieren.

Die quadratischen Glieder dieses Ausdrucks (3) hätte man auch durch Einzelbetrachtung der Fehler i , c , v , ähnlich wie früher in § 53. erhalten, während die Produkte hiebei verloren gegangen wären, wie die folgende Betrachtnng zeigt: Da h' — h eine Funktion von c , i und v ist, welche für c = 0 , i = 0 und v = 0 verschwindet, so kann man li' — h nach dem Taylorschen Satz in eine Reihe nach Potenzen von c , i und v entwickelt denken, nämlich: h' — h = f (c ,i ,v)

df

h' —

h' — h =

(i -+- v sin u) c    (i 4- v sin u)² •+- c²

cos h

tang h

h' — h =

-t- c² -+- u² sin² u

tang h +

ci + cvsinu -4- ivsinusinh

cos h

(3)

h=°l.

3 c

3² f 3 c 3 v

32 f

d²v

Wie der Ausdruck (3) zeigt, sind die Glieder erster Ordnung in dieser Reihe im vorliegenden Falle = Null, und die drei folgenden quadratischen Glieder können durch Einzelbetrachtungen gefunden werden, nicht aber die drei letzten Produkt-Glieder.

Der Fehler-Ausdruck (3) für Höhenwinkel-Messung unterscheidet sich von den früher in § 53. entwickelten entsprechenden Formeln für Horizontalwinkel-Messung wesentlich dadurch, dass bei jenen Formeln Glieder erster Ordnung vorhanden waren, während jetzt, bei der Höhenfehler-Formel, nur noch Glieder von zweiter Potenz vorhanden sind. Dieses deutet schon an, dass die Höhenfehler sehr klein sein werden.

In der That giebt die Ausrechnung nach der Formel (3), für einen einzelnen ö²

Teil von der Form

3² f

de²

27

32 f

3² i

t'2 +

U² -f-

3² f

de di

CV -t-

32 f

didv

— iv -h ...

tang h, folgendes:

Höhen Winkel h

1)

1°

5°

10°

20°

30°

45°

60°

90°

0,000"

0,004"

0,014"

0,136"

o oa oo cb o o o e~

O Ô3 W ÎO O O CO 00

4^ O O O ÜT C3 H O CO O CO

00 00 CO o

PÏ ^ *3 ^

0,02"

0,38"

1,51"

13,60"

Diese labelle berechtigt uns, bei Höhenwinkel - Messungen mit einem einiger-massen berichtigten Theodolit, und bei Höhen, die nicht über 45° gehen, die Axen-fehler schlechthin zu vernachlässigen.

Wenn hiernach die ganze Fehlertheorie, die wir in diesem § entwickelt haben, in gewissem Sinne zu einem negativen Resultat geführt hat, nämlich dazu, dass man diese Theorie zu den Messungen nicht braucht, so wollen wir unsere theoretische Arbeit doch nicht für überflüssig erklären.    t

Diese Theorie befreit den Messenden von der sonst wohl vorhandenen Furcht vor schädlichen Einflüssen der Axenfehler.

§ 120. Grundzüge der Theorie der trigonometrischen Höhenmessung.

Bei massigen Entfernungen kann man Höhen-Unterschiede nach Andeutung von Fig. 1. dadurch bestimmen, dass man einen lotrechten Abstand h mit einer wagrechten Entfernung a zu einem rechtwinkligen Dreieck ABE verbindet, und den einen Winkel a misst; dann hat man nach Fig. 1.: h = a tang a

Dieses ist aber nur bei kurzen Entfernungen nahezu richtig, aus zwei Gründen :

(1)

FJg. 1.

Erstens macht sich die Erdkrümmung sehr bald bemerklich, so dass die Linie A E in Fig. 1. nicht mehr als Gerade, sondern als Bogen behandelt werden muss, und zwar ist dieses hier in viel stärkerem Masse der Fall als bei Lagemessungen. Während der Lage nach ein Dreieck von 5000 Meter Seite noch als eben behandelt werden kann, wird für die Höhe schon bei 500 Meter Entfernung die Erdkrümmung merkbar.

Zweitem kommt noch die Strahlenbrechung (Refraktion) hinzu, so dass auch die Linie AB in Fig. 1. nicht eine Gerade, sondern ein Bogen wird. Die Strahlenbrechung entsteht aus dem Umstand, dass die unteren Schichten der Luft dichter sind als die oberen. Obgleich aber die physikalischen Gesetze der Lichtbrechung bekannt und der Rechnung zugänglich sind (s. § 128.), treten doch infolge des beständigen Wechsels in dem Zustand der Atmosphäre Unsicherheiten ein, welche bis jetzt die trigonometrischen Höhenmessungen nicht zu der Schärfe der Lagemessungen gelangen liessen, und da andererseits für genaue Höhenbestimmungen das ausgezeichnete Verfahren des Nivellierens vorhanden ist, so ist die trigonometrische Höhenmessung jetzt auf Messungen niederen Rangs im Gebirge beschränkt worden.

A -Va

-a

k—

Erdkrümmung.

In Fig. 2. sei AE die kugelförmig gekrümmte Erdoberfläche mit dem Halbmesser r, AH ist Tangente in A und a der Höhenwinkel der Zielung von A nach B. Die Linie AB wird hier vorerst als gerade " angenommen. Die Entfernung der beiden Punkte A und E sei = a, und es soll wegen der Kleinheit von a, im Verhältnis zum Erdhalbmesser r, gleichgültig sein, ob man a in der Sehne A C oder in dem Bogen A E gemessen denkt *)

Fig. 2.

X' a

ß'B

*) Wenn der Bogen AE mit b bezeichnet wird, und die Sehne mit a, so ist:

b = r y und a = 2 r sin TL

u

Die Reihen-Entwicklung giebt:

Indem die beiden eingeschriebenen Winkel y hei C, und hei A, sich selbst

erklären, können wir auch den dritten Winkel ß' hei B bestimmen durch die Gleichung:

(«' 4- 90°) -t- y 4- ßt = 180°

(2)

ß> - 90° _ («' -g y)

Nun giebt das geradlinige Dreieck AB E nach dem Sinus Satz:

h ₌st'w(a,+ f) ***[*'⁺j)

sin ß’

Da y klein sein soll, kann man entwickeln:

SIW ^cc H—= sin a H—COS a -h ... COS (a -+- y) = COS a -+- . . .

sin ct —}-    cos cc

COS a

h — a tang a -+- a ~

Also :

a s-

= tang a' +

U

Fig. 3.

B'

Es ist aber weiter:

(3)

"'a--

//

folglich nun :

«2

h = a tan# a -+- —

(4)

Strahlenbrechung.

An Stelle der geraden Lichtbahn AB in Fig. 2. S. 425 wollen wir nun eine krumme Lichtlinie AB annehmen, wie in Fig. 3. angedeutet ist.

\ 2Ô

Man kann diesen Fall (Fig. 3.) auf den vorhergehenden Fall (Fig. 2.) mit Gleichung (4) zurückführen, wenn man den Winkel 5 weiss, welchen in Fig. 3. die Gerade A B mit der Tangente AB' bildet.

Man nimmt näherungsweise an (vorbehaltlich der späteren Bestätigung durch Versuche), Ai dass der Bogen AB ein flacher Kreisbogen sei mit dem Mittelpunkt C, dessen Centriwinkel hei

7

⁼ 2    48

folglich :

b \a__63^

24    24 Ir/ — 24 r²

Setzt man z B. b = 20000m und r = 6370000"¹, so wird b — a nur = 0,008m, was hier unmerklich ist.

C das Doppelte des kleinen Winkels B'AB = b ist, wie in Fig. 3. S. 426 mit 2 b bei C eingeschrieben ist.

Der Halbmesser r' des flachen Bogens AB wird konstant angenommen, und durch einen Coëfficienten k in Beziehung zu dem Erdhalbmesser r gesetzt durch die Gleichung :

(5)

r — k r' oder

Der hier eingeführte Coefficient k enthält zunächst eine sehr willkürliche Annahme; es wird Vorbehalten, nachher zu zeigen, wie k bestimmt werden kann, und dass es in runder Zahl etwa = 0,13 ist.

Jedenfalls kann man vorerst mit dieser Annahme (5) weiter rechnen, und in dem näherungsweise die beiden Bögen AE und AB einander gleich,²) — a gesetzt werden, hat man weiter:

AB = a — 2r'b

oder wegen (5) :

Nach Fig. 3. S. 426 hat man:

(6)

5=_2 / 1 ak

¹

Beim ersten Studium zu übergehen.

²

In der sehr übertrieben gezeichneten Fig. 3. S. 426 scheint die Annahme AE = AB kaum zulässig; indessen in der Wirklichkeit, wo y ein kleiner Winkel von nur etwa 10'—20' ist, kann die Annahme AE — AB unbedingt gemacht werden.

S"I7

1 ak

“"27

Dieses setzt man in die Gleichung (4), und zwar abermals genähert, weil auch a immer ein ziemlich kleiner Winkel ist:

tang a = tang

co

,    lak

- =fo»p«-¥ —

Damit giebt die Gleichung (4):

a²fc a²

77"⁺ 27

h — a tang a —

oder mit Zusammenfassung der zwei letzten Glieder:

h = a tang a -1-    ^

(7)

Dieses ist die Grundformel der trigonometrischen Höhenmessung; obgleich mancherlei Näherungen dabei angewendet wurden, ist diese Formel (7) doch für die meisten praktischen Zwecke ausreichend.

Bestimmung des Befraktions-Goëfficienten k.

ca e

Das einfachste Mittel, theoretisch genommen, zur Bestimmung von k, besteht darin, dass man eine Höhe h genau durch Nivellieren bestimmt, und dann einen Höhenwinkel a bei bekannter Entfernung a misst; denn wenn li nebst a , a und r als gegeben zu betrachten sind, so kann man die Gleichung (7) nach k (oder 1 — k) auflösen :

(8)

(h — a tang «)

Dieses theoretisch einfachste Mittel wurde aber früher nicht angewendet, weil das genaue Nivellieren auf grosse Entfernungen und grosse Höhen gescheut wurde. (In neuerer Zeit hat namentlich Bauernfeind in München Refraktions- Bestimmungen nach dem Grundsatz der Gleichung (8) angestellt.

Die ersten Bestimmungen von k hat man schon frühzeitig durch das Verfahren

Fig. 4.

oa.

der gegenseitigen Messungen erlangt, wie in Fig. 4. angedeutet ist. Misst man von A nach B den Höhenwinkel a und von B nach A den Tiefenwinkel ß, so hat man die Gleichung:

y + (90° + « — Ä) + (90° — ß—«') = 180°

b + b' = y + a — ß

Mit der Annahme b' = b, und mit der Gleichung (6) hat man:

b h- b'= 2 b =

= y 4- a — ß r '

Nach (3) ist

y = — c-

damit wird, für Winkelmass:

(9)

r (ß — «

Nach diesem Grundsatz sind gegenseitige (und womöglich gleichzeitige) Höhenmessungen in grosser Zahl zur Bestimmung der Refraktions-Konstanten angestellt worden. Einige Mittelwerte der dabei erhaltenen Resultate sind die folgenden :

1751.

1792.

1823.

1831.

1834.

1849.

1858.

Tobias Mayer (De refractionibus objectorum terrestrium etc., Göttingen 1751, § XII.) berechnete aus französischen Messungen :..................

Delambre und Méchain (Base du système métrique, tome III

S. 776) fanden im Mittel............

Gauss (Beri. Astr. Jahrbuch 1826 S. 91).......

Struve (Breitengrad-Messung in den Ostseeprovinzen Russlands.

Band I. S. 187, Dorpat 1831)...........

Bessel (Gradmessung in Ostpreussen S. 197)......

Baeycr (KüstenVermessung S. 490—-491) Küsten - Dreiecke

k = 0,1362, Binnenland k = 0,1239, Mittel......

Britische Landes-Aufnahme (Ordnance trigonometrical survey,

k = Vs = 0,1250

?r er*

er¹

0,1678

0,1306

0,1237

0,1370

0,1300

s- xv.) ₂ k = —

bis

M’ Mit,eI

1870—1875. Preussische Landes-Aufnahme, Nivellements und Höhenbestimmungen :

Erster Band, 1870, S. 135, in der Nähe der See 0,1292, im

Binnenland 0,1175, Mittel.........

Zweiter Band, 1873, S. 90............

Dritter Band, 1875, S. 151............

oder . k =

0,1587

0,1327

Durchschnitt dieser 10 Werte k =

Die hier aufgeführten vier deutschen Bestimmungen gehen:

Durchschnitt k = 0,1289.

In Deutschland ist es üblich geworden, den von Gauss in Hannover, also in der Mitte von Deutschland, gefundenen Mittelwert k — 0,1306 als mittleren Refraktions-Coëfficienten anzunehmen. Dieses stimmt auch nahe mit dem soeben roh berechneten Durchschnitt, und wir nehmen daher in runder Zahl:

(10)

Mittelwert . . . k = 0,13.

Die im vorstehenden mitgeteilten Einzelwerte sind selbst wieder Mittelwerte aus grösseren Beobachtungsreihen, und sie schwanken nur etwa zwischen 0,10 und 0,16, und die mittlere Abweichung vom Mittelwert wäre also nur 0,015 oder rund etwa Ein Zehntel von k selbst.

Viel grössere Schwankungen erhält man aber, wenn man die Einzelwerte be

trachtet, aus denen jene Mittelwerte bestimmt sind. Wir bilden hiezu folgende Vergleichung :

Delambre

Baeyer

Gauss

Maximum k = 0,5954 0,2668 0,2078

Minimum

—    0,0070 0,0829

—    0,1141

Differenz

0,6024

0,1839

0,3219

Mittel 0,3694

Die grösste Abweichung vom Mittel wäre also = 0,1847, d. h. grösser als k selbst.

Um auch die durchschnittliche Abweichung vom Mittel zu veranschaulichen, betrachten wir im Folgenden die 28 Refraktions-Bestimmungen, welche Gauss im „Berliner astron. Jahrbuch für 1826“, S. 91, mitgeteilt hat.

k km

ooocToooooooooo

‘I—'I—‘I—‘I—>ł—‘H-‘I—*►—‘I—‘I—¹

WMi^COOSOWWOltOtOifiiM^

OMCnCOüuDCOCXli^CflCXIOlOiW

1,938

—    0,025 + 0,009

—    0,037 ± 0,298

(MH(NOO(M^H(MO(NCOCOH(M

t-H h »”"* O r-H O⁵ T-H    t—«    (M    r—ł O 03

i O o O O O O O    O    o    O    O o    O o

k JCjn

—    0,009 + 0,004

—    0,008 + 0,034

—    0,004 + 0,047 + 0,005

—    0,006 — 0,088 — 0,002 + 0,089 + 0,060 + 0,234 — 0,106

1,430

1,938

3,368

± 0,696 ± 0,298

± 0,994

km —

3,368

28- = °'¹²⁰

± 0,994

28— ⁼ — 0,035

Der Mittelwert 0,120 stimmt nicht mit dem von Gauss selbst berechneten Mittelwert 1c = 0,1306, weil bei letzterem die verschiedenen Entfernungen berücksichtigt sind. Es kam uns hier nur darauf an, die Abweichungen k— km zu veranschaulichen, deren Durchschnittswert Am = + 0,035 ist. Durch diese und mehrere ähnliche Vergleichungen kamen wir dazu, anzunehmen, dass die mittlere Abweichung der jeweils

k geschätzt

stattfindenden Refraktion von einem Mittelwerte, etwa k = 0,13, etwa zu

werden kann; und um für überschlägige Genauigkeits - Schätzungen einen Anhalt zu haben, setzen wir:

(U)

Mittelwert k = 0,13 (1 HK 0,25)

Mit dieser Annahme und mit der Formel (7) kann man nun die Höhenberechnungen ausführen, wie wir in § 124. zeigen werden.

§ 121. Weitere Entwicklungen.

Obgleich die in dem vorigen § 120. entwickelte Formel (7) S. 427 für die meisten praktischen Zwecke ausreicht, und' auch sofort zu den Anwendungen von § 122. und § 123. gebraucht werden kann, haben wir doch noch einige weitere Entwicklungen iür den Fall gegenseitiger Messungen zu machen; und auch bei Beschränkung auf jene Formel (7) S. 427 ist es teilweise erwünscht, die im vorigen § 120. angewendeten Näherungen nun schärfer zu begründen.

Fig. 1.

Gegenseitige Messungen.

■X Az

Az

Ji//

(----

B¹

r.

In Fig. 1. bezeichnet C den Mittelpunkt der zunächst als kugelförmig angenommenen Erde, BB' ist die Meeresfläche; A und A' sind zwei Punkte, deren Höhen über dem Meere bzw. H und 11' sind. Die krumme Linie A Al stellt die Lichtkurve vor, über deren Krümmung (z. B. nahezu kreisförmig) zunächst noch keine Annahme gemacht werden soll. Die Zenit-Distanzen in A und Al seien bzw. = z und = z'. Die kleinen Winkel, welche die Lichtkurven A A' mit der Sehne AA1 macht, nämlich Az und Az', heissen Refraktionswinkel, und ihre Summe Az-\-Az' ist die gesamte Refraktion des Strahles AM.

Das geradlinige Dreieck CAM liefert folgende Gleichung:

. A - M lang—₂

CM—CA

CA' H- CA ~ A +!'

tang ₂

(1)

Dabei ist:

Winkel A — 180°— (z -+- A z)

. und Winkel M = 180° — {z'+ Az') Summe M + A/=180° — y

ferner:

CA = r+H

CA'=r + H'

Damit geht die Gleichung (1) über in folgende : H' — H

2r + H+H' ~

H+ H'

tang i/a (z' 4- d z' — z — Az)

cotang 1/2 7

H'—H

= 2r(l-h

j tang tang

z' 4- dz'— (z 4- dz)

(2)

Hinreichend genau ist:

= (l

(3)

also nach (2) und (3):

H' — II = a 1 4-

H 4- H'

tang

(z' 4- d z') — (z 4- d z)

(4)

Das geradlinige Dreieck CA A’ giebt die Winkelsumme:

74- 180°— (z + dz) 4- 180° — (z' 4- dz') = 180° dz 4- Az'= 7 4- 180°— (Z -I- z')

Nun wird der Refraktions-Coëfficient 1c eingeführt durch die Annahme: dz-hdz'=lcy

und weiter soll die Annahme gemacht werden, dass dz und dz' gleich seien, also:

dz — dz' = -^k y

oder :

(5)

(6)

(7)

(8)

Mit Hilfe der Gleichung (5) kann man die Gleichung (4) zweifach umformen, indem man entweder ź 4- d z' oder z ■+- d z eliminiert. Im ersten Falle nimmt man aus (5):

z" 4- dz' — 180° 4-7 — {z 4- dz)

und damit giebt (4):

= a ^1 -f-

11 -r- H’

j cotg (^z + dz — ^j

(9)

und dementsprechend findet man auch:

H-H' = a 1 4-

H+H'

2r

j cotg ^'4- dz'— ^j

(10)

und mit Rücksicht auf (8) bildet man daraus zwei neue Formen:

1 — h s

11! — S=« I4-

H + H'

cotg z

(11)

H-II'= all+

H-hH'

2r

(12)

Aus (5) und (8) bildet man:

l—k =

z 4- z'— 180°

(13)

und dieses in (11) und in (12) gesetzt, giebt übereinstimmend:

z ' — z

2

Diese letzte Gleichung (14) zeigt, dass man bei gegenseitigen Messungen (z und z' gemessen) den Höhen-Unterschied H' — H findet, ohne die Refraktion zu kennen ; es ist aber dabei die (zweifelhafte) Annahme gemacht, dass d z und d z' gleich seien.

H' — H=a 14-

H+H'

tang

(14)

Für einseitige Messungen haben wir die Formeln (11) und (12), welche beide im wesentlichen dasselbe sagen. Setzt man R—H=h, so hat man hieraus:

(15)

h — a \ 1 -f-

H -f- R

Setzt man hier wieder nach (3): y = y und s = 90° — a, so wird: 1— k

vj = a tang (^a +

= a tang a -+-

h = al +

R+H'

27

2r

l—k

“ST*

- a2 + ...

(16)

Dieses ist wieder im wesentlichen dieselbe Formel, wie (7) § 120. S. 427 als Ergebnis der roheren Entwicklung von § 120.

Den Korrektionsfaktor ^1 -f-

R+H'

, welcher der Mittelhöhe

ent-

spricht, kann man nach der Hilfstafel S. [10] des Anhangs berücksichtigen.

Bestimmung des Erdhalbmessers r.

Bisher haben wir die Erde als kugelförmig angenommen, und für Messungen von geringer Ausdehnung kann man eine solche Annahme gelten lassen. Für die Erde im ganzen nimmt man dann in runder Zahl:

(17)

r = 6370 000 Meter (logt¹' = 6.80414)

Wenn man dagegen einen bestimmten Teil der Erde im Sinne hat, so ist zu berücksichtigen, dass die Erde ein Umdrehungs-Ellipsoid ist, das an verschiedenen Stellen und nach verschiedenen Richtungen verschiedene Krümmungen hat. Für Deutschland, mit der Mittelbreite ç> = 50°, hat man den mittleren Krümmungshalbmesser:

(18)

log r = 6.80489 (r = 6 381 000“) und mit diesem Mittelwert sind die Tafeln S. [10]—[11] in unserem Anhänge berechnet.

Indessen bei einigermassen scharfen Berechnungen auf weitere Entfernungen ist die Annahme eines solchen konstanten Wertes (18) auch noch zu roh, die Krümmung der Erde hat in demselben Punkte nach verschiedenen Richtungen Werte, welche bis zu 0,3 0/₀ unter einander abweichen.

Die Berechnung dieser Krümmungs-Verhältnisse gehört in die höhere Geodäsie, und wird in unserem dritten Bande gelehrt werden. Inzwischen geben wir, zur Gewinnung einer Übersicht, im Folgenden eine kleine Tabelle der Werte log r für verschiedene Breiten und verschiedene Azimute :

Tafel für logr, wo r in Metern der Erdkrümmungs-Ralbmesser.

Azimut

- 40°

9>

= 45°

ip = 50°

<p

= 55°

<*> = 60°

0°

15°

30°

45°

60°

75°

6.80353 6 80365 6.80396 6.80439 6.80482 6.80513 6.80524

6.80391

6.80401

6.80428

6.80464

6.80500

6.80527

6.80537

6.80429

6.80437

6.80459

6.80489

6.80519

6.80542

6.80550

6.80466

6.80472

6.80490

6.80514

6.80538

6.80555

6.80562

6.80500

6.80505

6.80519

6.80537

6.80555

6.80568

6.80573

Wenn es sich darum handelt, die Änderung der Erdkrümmung zu berücksichtige!), überhaupt wenn man nach den genaueren Formeln, z. B. (15) rechnen will, so wird man besondere Hilfstafeln für die jeweiligen Verhältnisse anzulegen haben, auf welche wir hier nicht eingehen können.

§ 122. Anwendungen auf die Meeresfliiche.

Höhenwinkel-Messungen in Beziehung auf das Meer gehen manche Anwendungen unserer bisher entwickelten Formeln. Obgleich diese Anwendungen zum Teil rein seemännischer Art sind, und den Feld- und Landmesser nicht berühren, wollen wir doch, der Vollständigkeit wegen, das Wesentlichste hievon hier vorführen:

Zur See braucht man für astronomische Höhenmessung ausser der Refraktion und der Parallaxe noch die Kimmtiefe, um gemessene Höhen auf wahre Höhen zu reduzieren. Der Seemann misst nämlich z. B. eine Sonnenhöhe mit dem Sextanten als kürzesten Abstand des Sonnnen-Ober- oder -Unterrandes von der Kimm, d. h. von der Begrenzungslinie zwischen Wasser und Luft.

Indem wir die Grundformel der trigonometrischen Höhenmessung nach (7) § 120. S. 427 vornehmen, nämlich:

l_]c

h = a tang a H--^

§ 122.

Anwendungen auf die Meeresfläche.

433

(1)

finden wir daraus die Kimmtiefen-Formel in folgender Weise:

Fig. l. Kimmtiefe.

A. t-

ft

90/

tt

In Fig. 1. betrachten wir die Ziel-Linie AB von einem Punkte A, welcher die Höhe h über dem Meere hat, nach der Kimm B, d. h. eine das Meer in B berührende Licht-Linie, welche in A den Tiefenwinkel t hat. Wendet man hierauf die

Grundgleichung (1) zweifach an, nämlich zuerst für die Zielung von A nach B, und dann für eine fingierte Messung von B nach A, so erhält man zwei Gleichungen:

von A nach B:

von B nach A:

j_]c

h — a tang (— t) +    a²

1 — *

.2)

-f- h = a tang 0 -f-Die letzte Gleichung gieht die Sehweite :

ST“'²

(3)

(4)

Nimmt man den Erdhalbmesser r — 6 370 000“ und den Refraktions-Coöfficienten lc = 0,13, so erhält man, für a und h in Metern:

(5)

a = 3826,7 }/h

Damit ist folgendes berechnet: Sehweite a 0,0km

Höhe h

Höhe h

0m

Qm

3,8

5.4

6,6

Sehweite a 9,4lm 10,1 10,8 11,5

Höhe h Sehweite a

30m

40

50

100

7,7

10

12,1

500

8,6

20

17,1

1000

28

Jordan, Handln d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Ausführlichere Tafeln dieser Art enthalten die nautischen Werke (z. B. Domke, nautische Tafeln, Berlin 1874, S. 73.)

Das Vorstehende gilt nur für die freie Kimm. Die Kimm vor einem Strande erscheint tiefer, sofern nicht etwa der Strand hinter der Kimm auftaucht, d. h. selbst schon weiter als die Sehweite für freies Meer entfernt ist.

Fig. 2. Strandtiefe.

h'

Ist man genötigt, eine Kimm zu benutzen, welche sich nicht gegen den Himmel, sondern gegen Land abhebt, so wird man zuerst überlegen, ob man die Strandlinie wirklich sieht oder ob sie sich hinter der Kimm befindet, und hiezu dient die Formel (5) mit der zugehörigen Tabelle der Sehweite (S. 433).

Den Tiefenwinkel t für eine Messung nach einem Strande in der Entfernung s bekommt man nach Andeutung von Fig. 2. ebenfalls aus

der Grundgleichung (1), nämlich:

434

Anwendungen für die Meeresfläche.

§ 122.

dieses giebt:

Die Formel für die Kimmtiefe findet man, wenn man (2) und (3) subtrahiert,

2 h — a tang t

und dieses mit (4) zusammen genommen, zugleich mit tang t — —

, giebt :

(6)

Setzt man wieder r = 6 370 000”‘, und k = 0,13, so giebt die Formel (6):

t = 107,8" y%

(?)

Hiernach ist Folgendes berechnet:

£ h>

V\ 4*- CO CO f*

Kimmtiefe t Höhe h 0' 0” r 48"

2' 32"

5m

CO CO

cc

OO 05

f—¹

Kimmtiefe t 4' 1"

4' 24"

4' 45"

5' 5"

5' 23"

5' 41"

Höhe h Kimmtiefe t 5' 41"

6' 58"

8' 2"

9' 50"

11' 22”

10’“

15

20

30

40

Hohe h Kimmtiefe t 12' 42" 13' 55" 15' 2" 16' 4” 17' 3" 17' 58"

50’"

60

70

80

90

100

stang(— f)-j-s2

tang (—t') — —

■'S

gesetzt, giebt die Auflösung nach t' :

1 — k

~2r~QS

(log¹^Q = 8.14 878)

Beispielshalber berechnen wir hiernach für h = 4”‘ : s = lfcm

₂*m

4*™

0 km 7 km

t = 13' 59"

7' 21"

4' 23"

3' 42"

3' 36" (freie Kimm.)

Endlich kann man noch die Beobachtung der Kimmtiefe t von einem Punkte aus, dessen Höhe h bekannt ist, dazu benützen, um den Refraktions-Coöfficienten k zu bestimmen, denn die Gleichung (6) lässt sich so auflösen:

;-'rni7

Man wird die Höhe h möglichst gross nehmen, also etwa von einem Berge in der Nähe des Meeres, dessen Höhe h man zuvor nivelliert hat, den Tiefenwinkel nach

(9)

t \²

der See messen.

Solche Bestimmungen, überhaupt Ziel-Linien über das Meer geben im allgemeinen einen etwas grösseren Wert k als Beobachtungen über Land. (Über See etwa k = 0,16, über Land 0,13.) Dieses würde zur See einer schwächeren Temperatur-Abnahme nach oben entsprechen als zu Lande (vgl. § 128.—129.), was an sich wahrscheinlich ist.

§ 123. Hilfstafeln für trigonometrische Höhenmessung.

Ausser den kleinen Zahlen-Tabellen, welche bereits auf S. 433 und S. 434 mitgeteilt sind, haben wir für den praktischen Gebrauch eine Anzahl von grösseren Tafeln berechnet, und im Anhang auf S. [9] bis [12] zusammengestellt.

Zur Erklärung dieser Tafeln nehmen wir zuerst die einfache Grundformel (7) § 120. S. 427 wieder vor, nämlich :

h = a tanga ^

(1)

Fig. 1.

Erdkrümmung und Refraktion.

oder:

B‘

«² a'ik

Tr“27

Dieser Gleichung entspricht die nebenstehende Fig. 1. Hier ist A E die krumme Erdober-

b ;P<

rp⁻

— a-

'H*

et*

fläche, AH die Horizontale, AB die krumme Lichtbahn und A B’ die Tangente der Lichtbahn; folglich ist:

2?

a²

Erdkrümmung EH —

a²fc

Refraktion

BB’ =

HB' = a tang a (genähert)

EB = h — HB'    EH— BB' entsprechend Gleichung (2).

cfi

Wir haben nun zuerst auf Seite [9] des Anhangs die beiden Teile 1_£

der Formel (2) und die Differenz - a² in einer Tafel ausgerechnet und auch den q entsprechend Fig. 3. § 120. S. 426 beigegeben.

folglich :

und

a² k

Refraktionswinkel 6 =

Wenn ein entfernter Punkt unter dem Höhenwinkel 0° erscheint, so liegt er

1_£

höher als der Standpunkt, nämlich um den Betrag ^ fl², deswegen nennt man diesen Wert die .Horizont-Korrektion“.

Die Zahlenwerte von Seite [9] sind abgerundet gegeben, weil es sich hier nur um Gewinnung einer Übersicht handelt. Diese Zahlenwerte, und namentlich die Refraktionswinkel <5, dienen zu Genauigkeits-Schätzungen; man sieht z. B. auf Seite [9], dass für eine Entfernung auf 30 Kilometern der Refraktionswinkel = 1' 3" ist; wenn mau also nach (11) § 120. S. 430 annimmt, dass die Refraktion um 25% unsicher ist, so hat man für 30Ł™ rund +15" Unsicherheit des Höhenwinkels anzunehmen, u. s. w.

Schärfere Zahlenwerte sind auf Seite [10] und Seite [11] gegeben, wovon Anwendung im nächsten § 124. gezeigt werden soll.

Mit lc = 0,13 und lag r = 6.80489 hat man zu Seite [9]—[11] folgende Zahlen werte :

Korrektion für Erdkrümmung

fl.2

--= 0,078357

1000

, log

= 2.89408-10

Korrektion für Refraktion

Gesamt-Horizont-Korrektion

2,- = °-°¹⁰¹⁸⁶ (iÖ0o)² ’    ^ Tr

— a²= 0,068171 AM²

an

’    ’°⁹ 2r

= 2.00802—10

= 2.83360—10

Refraktionswinkel

= 2,1011"

1000

: s-

= 7.32245—10

Endlich haben wir noch auf Seite [12] eine trigonometrische Höhentafel für ganz roh genäherte Bestimmungen mitgeteilt, welche zu manchen überschläglichen Schätzungen gebraucht werden kann.

Es sind dabei andere Werte r und k zu Grunde gelegt, als bei unseren übrigen Tafeln; es ist nämlich für Seite [12]:

und

lc = 0,16;

r = 6365 000

und zwar beziehen sich diese Annahmen auf die libysche Wüste, für welche die fragliche Tafel zuerst bestimmt war. Bei der geringen Genauigkeit, von welcher hier überhaupt nur die Rede ist, ist dieses ziemlich gleichgültig.

Ein zweiter mittelbarer Gebrauch der fraglichen Tafel Seite [12] besteht darin, dass man damit aus gegebener Höhe h und gemessenem Höhenwinkel a rasch die Entfernung a bestimmen kann.

Natürlich sind solche Bestimmungen sehr unsicher, allein sie können wenigstens dazu dienen, bei flüchtigen Aufnahmen, z. B. auf Entdeckungsreisen, gemessene Höhenwinkel und die zugehörigen nur näherungsweise bekannten Entfernungen in Einklang zu bringen, und es kann eine grössere Zahl von Höhenwinkeln bei solchen flüchtigen Aufnahmen wesentlich bei der Situations-Konstruktion mitwirken.

Zur See ist diese Methode sehr gebräuchlich, man misst dabei vom Schiff aus, also in bekannter Höhe h über dem Meeresspiegel die Tiefenwinkel nach verschiedenen Punkten der Grenzlinie zwischen dem Wasserspiegel und der Küste.

Zu Lande ist die Methode weniger wertvoll, weil die Höhen h nicht ebenso wie zu Schiffe bekannt sind, doch lässt sich in der oben angedeuteten Weise diese Methode auch zu Lande verwerten.

In solchen Fällen kann man indessen auch rein graphische Bestimmungen anwenden; und wir haben hiezu ein Diagramm konstruiert , welches in seinen Hauptlinien durch Fig. 2. S. 437 veranschaulicht ist. Die geraden Linien entsprechen

hiebei den Werten a tang a, und die unten beigefügte Kurve giebt noch die Korrektion

k

— o² für Erdkrümmung.

1 —

Fig. 2,

Diagramm für trigonometrische Höhen. Horizontal-Massstab = 1:500000. Höhen-Massstab 1 = 1:10 000.

500 Meter

5°0° 3°    2°

30'

1°

SO'

30'

—000

--300

20'

-200

- 300

JO

Kilometer

50

±300 Meter

Der Horizontal-Massstab von Fig. 2. ist 1:500 000, der Höhen-Massstab 1:10000; man entnimmt daraus z. B., dass für die Distanz 30 Kilometer und den Höhenwinkel 0° 40' die Höhe MjB = 410m beträgt, in genügender Übereinstimmung mit der Tafel Seite [12] des Anhangs, welche 408m giebt.

$ 124. Einseitige Höhen-Bestiminung mit mittlerer Refraktion.

Wir nehmen unsere einfache Grundformel (7) § 120. S. 427 nochmals vor.:

1 —

2r

(1)

Damit bekommt man den Höhen - Unterschied zwischen der Fernrohrmitte diesseits, und dem Zielpunkt jenseits.

In vielen Fällen hat man eine Instrumentenhöhe i und eine Zielpunktshöhe z zu berücksichtigen; wenn nach Fig. 1. die Fernrohrmitte die Höhe i über dem eigentlichen Fixpunkte, z. B. über einem trigonometrischen Signalstein hat, und wenn der Zielpunkt die Höhe z über dem jenseitigen Fixpunkte hat, so kommt zu der Formel (1) noch die Reduktion i — z hinzu, und man hat dann nach Fig. 1.:

Fig. 1.

Instrumentenhöhe = i. Zielhöhe = z.

7?--

■ü/

h = a tang a -t-

(2)

Wenn hier a , i und z mit algebraischen Vorzeichen richtig behandelt werden (-+- a für Höhenwinkel, —a für Tiefenwinkel u. s. w.), so bekommt man auch h immer von selbst richtig, nämlich h positiv, wenn der jenseitige Punkt über dem diesseitigen Punkte ist, u. s. w.

Die Entfernung a soll trigonometrisch bestimmt sein; vielleicht kann man log a geradezu aus den Triangulierungs-Berechnungen entnehmen, in anderen Fällen muss man es aus den Coordinaten berechnen. Wir wollen für letzteres ein Beispiel hersetzen:

Es handelt sich um eine Höhenmessung von Karlsruhe, Polytechnikum, nach der Durlacher Warte; folgendes sind die gegebenen Coordinaten und die darauf gegründete (nach S. 192 zu führende) Entfernungs-Berechnung:

Karlsruhe, Polytechnikum, Pfeiler .    .

Durlacher Warte, Signalkugel .    .    .

Differenzen

4- 3508,36 — 1892,36

+ 53046,50 4- 54452,14

4- 5400,72

1405,64

log 5400,72

log 1405,64

3.732 452 0.014 238 3.147 874

log a = 3.746 690

a = 5580,71™

0.584 578

Nun habe man mit einem Theodolit, der auf dem Pfeiler des Polytechnikums stand, nach der Signalkugel den Höhenwinkel gemessen:

damit wird berechnet:

+ 1° 26' 18" log a    3.746 690

log tang «    8.399 828

2.146 518

a tang a = -[- 140,13”*

log a tang a

Hiezu nimmt man aus der Hilfstafel S. [10] des Anhangs, mit a — 5580 den

1_j.

^ o² = 2,12’", oder wenn man statt a selbst, den log a näher zur Verfügung

hat, nimmt man aus der Hilfstafel S. [11], mit log a = 3.747, den Wert 2,13”*, hinreichend übereinstimmend mit dem ersteren; wir haben also nun.

Wert

a tang a = + 140,13”*

2.12

142,25™

Nun kommen noch die Reduktionen i und z ; es ist in unserem Falle i = 0,27™ die Höhe des Theodolit-Fernrohrs über dem Pfeiler des Polytechnikums, und z = 2,11”* die Höhe der Signalkugel über dem Pfeiler auf der Durlacher Warte, man erhält also die von Pfeiler zu Pfeiler gerechnete Höhe h im ganzen so :

a tang = -|- 140,13™

= + 2,12

1 — Je

i — 0,27™

z — 2,11™ giebt i — z =

+ 142,25

1,84

(3)

h = + 140,41™

d. h. die Oberfläche des Pfeilers auf der Durlacher Warte liegt um 140,41™ höher als die Oberfläche des Pfeilers auf dem Karlsruher Polytechnikum.

Wenn in dem vorstehenden Beispiele der Höhenwinkel « negativ wäre und alles andere wie zuvor, so würde man folgende Rechnung haben :

a tang = — 140,13™ 1 — k

to a

— 1°26' 18"

= + 2,12

— 138,01

i = 0,27™    2 = 2,11™ giebt i — z =

1,84

h = — 139,85™

Der jenseitige Punkt wäre 139,85™ tiefer als der diesseitige Punkt.

Genauigkeit.

Um zu überlegen, welche Genauigkeit eine Höhen-Bestimmung von der Art der vorhergehenden haben mag, hat man drei Fehlerquellen zu betrachten :

1)    Fehler der Entfernung a.

2)    Fehler des Höhenwinkels a.

3)    Fehler der Refraktion k.

Die entsprechenden Höhenfehler wollen wir mit dha , dha und dhk bezeichnen, und dann ist zunächst nach (1):

I_j.

dh„ — da tang a -+- 2 a d a ^

(4)

Hier ist das zweite Glied wohl immer verschwindend klein, und wenn man es mit trigonometrisch bestimmten Entfernungen a zu thun hat, so ist der Fehler da auch fast immer so klein (jedenfalls kleiner als 1™), dass auch das erste Glied von (3) so gut wie unschädlich bleibt, denn die Höhenwinkel a selbst sind im freien Lande auch immer klein, und auch bei Gebirgs-Aufnahmen selten 10°. (Bekanntlich werden die Höhenwinkel nach Augenmass vom Unerfahrenen stark überschätzt.)

Wenn wir hiernach den Entfernungsfehler da bei trigonometrisch bestimmten Entfernungen im allgemeinen als unschädlich für die Höhen-Bestimmungen ansehen können, so führt diese Überlegung umgekehrt dazu, dass auch ziemlich mangelhafte Entfernungen immer noch, wenn nicht zu sehr guten, so doch zu brauchbaren Höhen-Bestimmungen benützt werden können.

Aus eigener Erfahrung können wir die württembergische trigonometrische Höhen-Aufnahme auf Grundlage der lithographierten Flurkarten in 1 : 2500 anführen.

Jeder Flurkartenpunkt, z. B. Markstein, konnte als Standpunkt genommen werden; die Coordinaten solcher Standpunkte wurden von uns nach dem Verfahren abgemessen, das früher in § 18. S. 49, Fig. 3. beschrieben ist; und die so abgemessenen Coordinaten mit anderen geradezu trigonometrisch bestimmten Coordinaten (z. B. von Kirchtürmen u. s. w.), sowie auch unter sich, zu Entfernungs-Berechnungen verbunden.

Schätzt man den mittleren Fehler der aus den Messtisch-Aufnahmen in 1:2500 abgemessenen Coordinaten zu 1 — 2™, so findet man bei der Kleinheit der Höhenwinkel (fast immer unter 5°), dass keine erheblichen Höhenfehler hieraus entstehen, wie auch der Erfolg bestätigt hat.

Man kann sogar noch viel weniger genaue Entfernungen, z. B. Abmessungen aus topographischen Karten in 1:25 000, oft mit Vorteil zu trigonometrischen Höhen benützen, wenn man nur kleine Höhenwinkel hat, oder überhaupt, wenn man die aufzuwendenden Mittel mit dem zu erreichenden Zweck in richtige Beziehung bringt.

Um die zweite Fehlerquelle, die Ungenauigkeit der Höhenwinkel-Messung, zu beurteilen, hat man das Hauptglied a tang a der Formel (1) nach a zu dilferentiieren. Dieses giebt:

(5)

ad a

COS² a

Wegen der Kleinheit von a wird man aber den Nenner cos^a — 1 setzen dürfen, und damit wird hinreichend genau :

da"

dha = ad a oder = a

wenn da" ein Winkelfehler in Sekunden ist.

Wenn wir bei unserem vorstehenden Beispiele Karlsruhe—Durlach den Höhenwinkel a etwa mit einem mittleren Fehler da = +5" gemessen haben, so giebt das bei einer Entfernung a = 5581”* einen Fehler:

TT

(6)

dha = 5581™

= ± 0,14”*

(7)

206 265

Solche Fehlerschätzungen können jederzeit ebenso wie bei trigonometrischen Lage-Messungen gemacht werden.

Zur dritten Fehlerquelle der Refraktion übergehend, halten wir uns an die früher bei (11) § 120. gemachte Annahme, dass der mittlere Fehler der Refraktion gleich einem Viertel der Refraktion selbst ist.

Nun ist nach der Hilfstafel Seite [9] des Anhangs bei 5,6*-'™ Entfernung der Refraktionswert :

a2/c

rund = 0,3™, also d hk =

1 a*k 4 2 r

rund = 0,1™

(8)

und diese runde Schätzung mag hier genügen.

Dann hat man nach (7) und (8) zusammen:

d ha , k = j/0,14^ + 0,102 = + 0,17“

Dieses wäre der mittlere Fehler des oben bei (3) berechneten Hühen-Unterschiedes 140,41™, und man wird hiernach schreiben:

(9)

h = 140,41 ± 0,17™

Diese Fehlerschätzung kann auch zu einer Vergleichung mit einer Nivellierung führen: Hätte man jene Entfernung von 5,6Am nivelliert, oder mit unvermeidlichen Umwegen, statt dessen, etwa 9A™, und nimmt man einen mittleren Nivellierungsfehler von + 5m™ für \km an, so wird:

(10)

Mittlerer Nivellierungsfehler = 5mm Y 9 = 15’

Dieser Wert (10) ist nur etwa der zehnte Teil des trigonometrischen Höhenfehlers (9). Aber andererseits ist dieser Genauigkeits - Vergleichung eine Arbeits-Vergleichung gegenüber zu stellen: Die Messung des Höhenwinkels, einschliesslich der Höhenberechnung ist eine Arbeit von höchstens einer Stunde, die Nivellierung wäre mindestens eine Tages-Arbeit.

§ 125. Höhenmessung aus einem Zwischenpunkte.

Wenn von einem Standpunkte die Höhen h und lï zweier Zielpunkte bestimmt werden, so ist der Höhen-Unterschied der letzteren = h — h!. Wenn nun beide Messungen nahezu gleichzeitig gemacht wurden, so ist es gerechtfertigt, anzunehmen, dass der Eefraktions-Coëfficient bei beiden Messungen derselbe war, dass also in dem Höhen-Unterschied h — h! nur die Differenz der beiden Refraktionsfehler eingeht. Es lässt sich das schon daraus schliessen, dass alle die Refraktion hauptsächlich beeinflussenden Umstände, nämlich Temperatur und Druck der Luft, für beide Messungen dieselben sind, wir werden aber in der Theorie der Strahlenbrechung (§ 128.) diese Annahme noch näher begründet finden, namentlich weil der Wert k von dem Höhenwinkel selbst (z. B. ob der Höhenwinkel positiv oder negativ ist) nahezu unabhängig ist.

Wir betrachten zuerst eine einfache Messung, und haben hiefür die Formel:

ax2 ax² k

h = ax tang ax +

Nach den Betrachtungen des vorigen § 124. findet sich der mittlere Fehler Ah als Funktion des mittleren Fehlers A von at und des mittleren Fehlers Ak von k, (indem der Fehler von a vernachlässigt, und ai als sehr klein behandelt wird) :

(1)

2 +(4M*)*

Für eine zweite Messung h₂ gilt eine ähnliche Formel, und unter Voraussetzung gleicher Refraktionsfehler A k erhält man für den Höhen-Unterschied 7tL — /i₂ folgenden mittleren Fehler:

m — j/(aj A aj)² -+- (a₂ A a₂)² + ^

(a:² — o₂²) A k-Y

2r

(2)

Man kann also unter dieser Voraussetzung sich von dem Refraktionsfehler teilweise unabhängig machen, wenn man sich so aufstellt, dass die zwei Punkte, deren Höhen-Unterschied man bestimmen will, möglichst gleich weit entfernt sind, und es wird durch solche Höhenmessung aus einem Zwischenpunkte die Genauigkeit der Resultate wesentlich erhöht.

Wir nehmen beispielsweise an. dass der mittlere Fehler beider Höhenwinkel Aal — Aa₂ — ± 5” sei, und wenn A k = i/₄ A: = 0,0325 genommen wird, so giebt die Gleichung (2), mit logr = 6.80489, folgendes:

= I/O,0005876 (V + 02*) + 0,000006485 {a^ — a₂2)2 wobei m in Metern, dagegen rtj und o₂ in Kilometern genommen ist. Es wurde hieinit folgende Tafel für m berechnet:

Mittlerer Fehler der trigonometrischen Höhenmessung aus einem Zwischenpunkte, für den mittleren Winkelfehler /i a — -+- 5".

"l

oder

Q km

1 km

Ej km 0 km ^ km g km 0 km

10*™ 12*™

«2

Q km ^ hm 2 km 0 km Ą. km km 0 km J km g km 0 km

0,00

0,02

0,05

0,08

0,11

0,14

0,17

0,21

0,25

0,30

10*™    0,35

12*™    0,47

©> © ©

CO H r- M

r— H H 03 (N C^ OÎ

o ©~ © © cT © © ©

0,19

0,22

0,25

0,29

0,33

0,44

HHHHhÇJCO^ I tC

g CO CO    CO    CO    CO    CO    CO^ CO    CO

© o    ©    o    cT    ©    © o io

l> l>    I>    00    00    Ci    -- ICO    üO    O    CO    CO

r—¹    i—i    t—I    t-h    t—h    co I co    co    CO    CO    ^

© ©    ©    ©    ©    ©    ©|©    ©    ©~    o    o'

O CO r-i co CO ^

0,25 0,30 0,25 0,30 0,25 0,30 0,25 0,29 0,25 0,29 0,25 0,29 0,25 0,29 0,26 0,29 0,27 0,30 0,30 0£[ 0,32 0,33 0,40 0,40

ht>!C®iOTli(NH0001'-

co_ ^

" © © © © © cT © ©' o* ©" © o~

Man sieht hieraus z. B., dass zwei Punkte in der Entfernung von 12*™ durch eine Messung, d. h. mit Oj = 12*™ und a₂ = 0*™, in Hinsicht auf ihren Höhen-Unterschied mit einem mittleren Fehler von 0,4lm bestimmt werden; dagegen von einem Zwischenpunkte aus, mit zwei Messungen auf = 6*™ und a₂ = 6*™, mit einem mittleren Fehler von nur 0,21™.

Besser noch überblickt man diese eigentümlichen Genauigkeits-Verhältnisse, wenn man zu der vorstehenden Zahlen-Tabelle eine graphische Schichtentafel konstruiert.

Eine solche Höhenmessung aus der Mitte, oder wenigstens aus einem Zwischenpunkte, bietet sich von selbst dar, wenn man, als Hauptpunkte, die trigonometrisch nach Coordinaten bestimmten Kirchtürme nimmt, welche von Bodenpunkten aus angezielt werden.

Einen solchen Fall hatten wir bei der württembergischen trigonometrischen Höhen-Aufnahme, die bereits im vorigen § 124. S. 439 zum Teil beschrieben wurde.

Höhen■ Diagonalen.

Bei jenen württembergischen Aufnahmen begannen wir die Ausgleichung mit der Zusammenfassung von möglichst vielen Höhenmessungen, welche sich auf dieselben zwei Zielpunkte bezogen, und nannten den ausgeglichenen Höhen-Unterschied solcher zweier Hauptpunkte eine Höhen-Diagonale.

Wenn zwei Punkte von verschiedenen Standpunkten angezielt werden, so liefert jeder Standpunkt einen Wert hx — 7i₂ = und das Gewicht einer solchen Bestimmung ist:

(4)

P ~ m²

wobei m nach der Gleichung (3) zu bestimmen ist.

Hat man mehrere solcher Bestimmungen, so erfolgt die Ausgleichung durch Mittelbildung mit den Gewichten.

Wir geben im Folgenden ein Beispiel liiefür, welches einer Aufnahme des Verfassers vom Jahr 1867 entnommen ist (Atlasblatt Blaubeuren). Pis wurde der Höhenunterschied zwischen dem Hauptdreieckspunkt Heroldstatt und dem 7 Kilometer davon entfernten Kirchturmknopf von Justingen bestimmt durch Messen eines Winkels auf Heroldstatt selbst, und von 14 Winkeln auf 7 anderen Standpunkten.

Standpunkt

Entfernungen

Höhen-Unterschiede

(186) Herold statt (218) Maisenloch (397) Biss

(405)    Kohlberg

(406)    Mittelsberg (408) Schwende (410) Wagnerbaum (412) Langrain

I—1 H-‘    I—*

o o w w b œ p j    a

V OO Oi oo +j © o "o s

h\ — 7i2 = h

Mittlerer

Fehler

0,00

± 56,43

± 76,36

± 60,68 ± 57,68 ± 56,96 + 106,80 -I- 96,33

—    5,65 ± 44,39 ±33,77

± 62,77 ± 62,52 ± 62,30 ± 62,92 ± 62,64 ± 62,61 + 62,41 ± 62,56

±0,21 ±0,34 ±0,40 ±0,15 ±0,12 ± 0,14 ±0,37 ±0,36

Die hier in der letzten Spalte eingesetzten mittleren Fehler ± m sind nach der Formel (3) berechnet, oder aus der zu der Formel (3) gehörigen Hilfstafel eingesetzt. Nun bekommt man nach dem Grundsatz des arithmetischen Mittels für ungleich gewichtige Messungen (Band I. § 8.) folgende Mittelbildung, wobei man zur Ausrechnung der Werte p sich des Hilfstäfelchens im Anhänge von Band I. Seite [7] bedienen kann:

Num.

h—62,00

pl

0,68 — l

= v

r-i’c<icô'Vinœt>oé

±0,21" ±0,34 ±0,40 ± 0,15 ±0,12 ±0,14 ±0,37 ± 0,36

23

44

69

51

217

0,77™

0,52

0,30

0,92

0,64

0,61

0,41

0,56

17,7

4,7

1,8

40,5

44,2

31,1

2,9

4,5

—    0,09™ ± 0,16 ± 0,38

—    0,24 ±0,04 ±0,07 ±0,27 ±0,12

0,0729 ' 0,51 0,0144 I 0,12

147,4

5,11

147,4

æ = W

= 0,68

-y

5,11

7 X 217

= ± 0,058™

(5)

Man hat also den wahrscheinlichsten Wert x = 0,68 mit dem mittleren Fehler ± 0,058m oder :

(6)

h = 62,00 -f- x = 62,68™ ± 0,06™

So werden wir diesen Höhen-Unterschied in die Netz-Ausgleichung im folgenden § 126. einführen.

Anmerkungen.

Die Fehlerverteilung in der vorstehenden Ausgleichung ist nicht sehr befriedigend, indem von den 8 Werten v nur 2 negativ, alle anderen positiv sind. Indessen zeigt eine andere Prüfung guten Erfolg, nämlich die Berechnung der mittleren Fehler der Einzelbestimmungen naeh der Ausgleichung.

Der mittlere Fehler einer Bestimmung vom Gewichte = 1 ist nach (5):

= ± 0,854.

TOj

-VW

Damit wird berechnet und verglichen :

1—1

mx

Vp

(s. o.) m =

-°    -°    J

k—‘    1—+

C7T    CO

»

u    I-* w

to    O

CO

CO co

-° -° rrt

%    £ ⁹⁰

Diese mittleren Fehler nach und vor der Ausgleichung sind hinreichend einander gleich, und gehen Befriedigung in Hinsicht auf die zu Grunde gelegten Annahmen A a — HH 5” und Ale = + 0,25Tb.

Wir haben jedoch das Beispiel auch noch mit einer anderen Annahme A a = + 10'" für den mittleren Fehler eines Höhen winkeis, und mit Beibehaltung von Ak = + 0,25 k durchgerechnet; das Resultat blieb aber innerhalb 0,01m das frühere, nämlich:

h = 62,667”* ± 0,061”*

In sachlicher Beziehung kann noch bemerkt werden, dass die Höhenwinkel-Messungen mit einem Theodolit von ähnlicher Art, wie etwa Fig. 2. S. 142, mit Nonien-Ablesung von 20", gemacht sind.

§ 126. Ausgleichung eines Höhen-Netzes nach vermittelnden

Beobachtungen.

Wenn man die Höhen-Diagonalen h zwischen mehreren Punkten, nebst ihren mittleren Fehlern in der soeben beschriebenen Weise berechnet hat, so liegt die Aufgabe vor, das durch diese Höhen - Diagonalen gebildete Netz auszugleichen, sofern die Anzahl der Höhen-Unterschiede das unmittelbare Bedürfnis übersteigt. Man kann die Werte h als unmittelbare Beobachtungen mit den Gewichten, welche ihren mittleren Fehlern entsprechen, einführen.

Die Ausgleichungsmethoden für ein solches Netz sind im wesentlichen dieselben, wie bei einem Nivellierungsnetz, worüber die nötigen allgemeinen Auseinandersetzungen schon in § 116. S. 409—410 gemacht sind. Wir behandeln hier ein kleines Netz (Teil einer grösseren Aufnahme des Verfassers von 1867, Atlasblatt Blaubeuren) nach der Methode der vermittelnden Beobachtungen.

Eine Übersicht der Messungen ist in der nachstehenden Fig. 1. S. 445 enthalten, worin die Pfeile die Richtung des Steigens angeben.

Durch Mittelbildungen, ganz entsprechend dem im vorigen § 125. bei (4)- - (6) S. 442 und 443 behandelten Beispiele, wurden die in der folgenden Tabelle aufgeführten Höhenwerte h und mittleren Fehler m erhalten:

Num. N.*)

Diagonale

Höhe

Mittlerer

Fehler

Gewicht

10 m

‘    * t—à >—i    *

^ ÇO CO H p JO OO ^ pi ZP 4X CO po f—¹

45    Justingen—Heroldstatt

33    Magolsheim—Heroldstatt 2G Ludwigshöhe —Heroldstatt

34    Justingen—Magolsheim

27    Magolsheim—Ludwigshöhe

22    Bremelau—Ludwigshöhe

36    Mehrstetten—Magolsheim

35    Tiefenhülen—Magolsheim

37    Mehrstetten—Justingen

23    Bremelau—Mehrstetten

38    Tiefenhülen—Mehrstetten

24    Bremelau-Justingen

25    Tiefenhülen—Bremelau

46    Tiefenhülen—Justingen

62,68™    ± 0,06™

50,05    ± 0,06

6,03    ± 0,05

16,25    ± 0,03

^    ‘    ^©    ^ j-* h-¹ DO JD J>0 JO

h b O) b b cs b œ w oo ^ oo oo

Fig. 1.

Ausgleichung eines trigonometrischen Höhen-Netzes. (Würltemb. Atlasblatt Blaubeuren.)

Heroldstatt

Ludwigs!i ohe

\2

agolsheim,

Mehrsïctten

G)

/ijustirugeri

to

//

Tiefenhülen

fc)

Breme7au

7.-200000

loJTdom

*) Siehe „Württembergische Jahrbücher für Statistik und Landeskunde 1870“, S. LII und LIII, woselbst die obigen Werte unter den Ordnungsnunnnern N. veröffentlicht sind, jedoch nicht wie hier in Metermass, sondern in Württembergischem Fussinass (1 Fuss = 0,2864226™).

Da das Netz 7 Punkte hat, ist es durch 6 unabhängige Höhen - Unterschiede vollständig bestimmt; man kann solche 6 unabhängige Höhen-Unterschiede verschieden auswählen; in unserem Palle wollen wir alles auf den Hauptpunkt Heroldstatt beziehen, indem wir dessen Höhe als unabänderlich gegeben betrachten.

Man kann diese Ausgangshöhe = Null setzen, oder irgend welchen anderen Wert dafür annehmen. Da wir nachher doch alle Höhen über dem Meer, oder über Normal-Null, anzugeben haben, rechnen wir sogleich in dieser Form, und haben nach neuester Mitteilung des statistischen Landes-Amtes, die Höhe von Heroldstatt = 848,62”“ über Normal-Null.

Die Höhen der anderen Punkte aus den mitgeteilten Höhen-Unterschieden näherungsv/eise (also ziemlich willkürlich, ohne Ausgleichung) zusammengesetzt, sind:

Höhe über N. N.

. 848,62“

. 785,94 . 798,57 . 818,88 . 769,72 . 786,02 .    776,06

Die hier eingeführten Verbesserungen iCj , a?₂ • • • %e sollen durch die Ausgleichung bestimmt werden.

Von anderer Art als diese 6 Verbesserungen x₄ , x₂ . . • sind die 14 Verbesserungen v₁ , v₂ . . . Vi₄, welche an den beobachteten Höhen-Unterschieden h der der Tabelle (1) S. 445 angebracht werden müssen.

Wir haben die 14 Werte v in den 6 Werten x auszudrücken, d. h. die 14 Fehler-Gleichungen für die 14 Beobachtungswerte h aufzustellen.

Wir nehmen beispielshalber den letzten Wert hu = 16,25”* vor, und vergleichen ihn (nach dem Anblick der Fig. 1. S. 445) mit den genäherten Höhen der beiden zugehörigen Punkte:

(1)    Justingen

(2)    Tiefenhülen

Punkt

Heroldstatt .

(1)    Justingen

(2)    Magolsheim .

(3)    Ludwigshöhe

(4)    Tiefenhülen .

(5)    Mehrstetten .

(6)    Bremelau .    .

fest gegeben

mit Verbesserung x₄

x₂

x3

X₄

x5

x6

. Höhe = 785,94”* + xx . „ = 769,72”* + x₄

(2)

Höhen-Unterschied Beobachtungswert h₄₄ =    16,25"*

Differenz —0,03“ + x₄ —- x₄ = vu (3)

16,22”* -f- xl—x₄

Dieses ist die letzte Fehlergleichung

Als weiteres Beispiel wollen wir auch die erste Fehlergleichung ausführlich bilden:

Heroldstatt

Justingen

Höhe = 848,62”* + 0

„    = 785,94“ + ajj

Höhen-Unterschied Beobachtungswert h₄ —    62,68“

Differenz

62,68“ —

(4)

0,00“ — x₄ = v₄

Diese Fehlergleichung ist aus zwei Gründen sehr einfach : Erstens kommt nur eine Unbekannte x₄ darin vor, weil die fragliche Linie h₄ mit dem Ausgangspunkt

Heroldstatt selbst verbunden ist, und zweitens wurde das Absolutglied = 0,00, weil die betreffende Beobachtung zu dem Näherungswert von .Tustingen benützt wurde.

Wenn man nun, ebenso wie (3) und (4), auch alle anderen Fehlergleichungen aufstellt, und die Form zu Grunde legt:

(5)

Vy — (ly Xy 4“ ft₂ X₂ 4“ (X3 X3 4~ . . . 4“ ly = «2 x\ ■+" &2    ^*3 XS    h

so bekommt man folgende Tabelle der Coëfficienten :

Num. p

I—l I—, I—‘ H-*    l

4 W DO p ® 00 4 Ol W ^ 05 to 4

4    “ y P P 4 4 4 1° P

4 o o> b o 05 o 05 w 00 4^ QO 00

0,0*"

0,0

0,0

-1,3

3,8

-1,5

0,0

0,0

-1,6

0,0

-t- 1,5

—    5,3 + 3,1

—    0,3

(6)

Es folgt die Bildung der Coëfficiënten der Normalgleichungen, z. B. :

[paa\ =    2,8 4- 2,8 4- 4,0 4- 1,6 4- 11,1 = 4- 22,3

[pah] — —2,8 ... u. s. w.

[pal] = + 2,8 X 1,3 — 4,0 X 1,6 — 1,6 X 5,3 — 11,1 X 0,3 = — 14,57 Das ganze System der Normalgleichungen ist:

dm

~ł~ 22,3 x₁—2,8 £C₂    • •    —11,1 x₄ —4,0 x₅— 1,6 x₆— 14,57 = 0

9,34 = 0

8,7 x₂— 1,5    — 0,6£c₄ — 1,0 x₅

— 1,6 Xg 4~ 3,30 = 0 -f- 16,7 x₄ — 1,0 x₅ — 4,0 Xg — 10,57 = 0 4- 6,4 x₅ — 0,4 Xg 4- 7,90 — 0 4- 7,6 xg 4- 23,28 = 0 4- 126,87

~4~ 3,5 X3 . .

Die Auflösung dieser Gleichungen giebt:

P1 = 4,81 p₂ = 4,83 Ps — 2,23 P4 = 3,77 Pa = 2,91 p₆ = 2,89

x-y = — 0,03 x₂ = -(- 0,43 X3 = — 2,53 x₄ = — 0,43 x₅ = — 1,52 Xg = — 3,90

dm

(?)

[pll.l]= 16,84

Die hier mitberechneten Gewichte p₁ , p₂ . . . pG braucht man zu der Ausgleichung selbst nicht. Die Verbesserungen xx ,x₂ . . . x₆ setzt man zu den oben hei (2) S. 446 angenommenen Näherungswerten, und bekommt damit:

Ausgeglichene Hohen über N. N.

. . 848,620”* Ausgangspunkt . . 785,937 . . 798,613 . . 818,627 . .    769,677

. . 785,868 .    .    775,670

Damit ist die Ausgleichung vollendet, aber wir wollen noch teils zur Probe, teils zur Genauigkeits-Untersuchung noch einiges hiezu berechnen.

Zuerst sind die einzelnen v auszurechnen, z. B. *₁₄:

[1] Justingen ....    785,937”*

[4] Tiefenhülen.... 769,677 16,260

beobachtet hXi = 16,250

vu = -f- 0,010”* oder — -+- 0,10',m

Dasselbe bekommt man auch aus (3) und (7). Alle v zusammen sind:

«e = ~ 6,13 v-j — —j— 1,95 % = + 0,86 Vg — — 0,11

■t'io= -f- 2,38

[0] Heroldstatt .

[1]    Justingen .

[2]    Magolsheim

[3]    Ludwigshöhe

[4]    Tiefenhülen

[5]    Mehrstetten

[6]    Bremelau .

(8)

v\\ = + 0,41 v₁₂ = — 1,43 ^13 = — 0,37

VyĄ = -f- 0,10

dm

dm

vx = 4- 0,03 = — 0,43 vo = + 2,53 = — 0,84 = + 0,84

Nimmt man hiezu die Gewichte p von der Tabelle (1) S. 445 und rechnet einzeln aus: px -Dj² -f p₂ »2² + . . ., so erhält man die Summe:

[pvv\ = 16,78

Dieses stimmt hinreichend mit [pll. 6] = 16,84 hei (7) und wir nehmen im Mittel rund [pvv\ — 16,8; damit wird der mittlere Fehler der Gewichts-Einheit:

dm

(0)

m = j/

16,8

g = + i,⁴⁵

Zu Anfang in der Tabelle (1) S. 445 sind die Gewichte p — ^^ J j

14 —

dm

(10)

gesetzt,

d. h. p — 1 gehört zu 10m = 1 oder in =. 0,1™ = ldm, während nach der Ausgleichung nun in (10) zu p = 1 der mittlere Fehler m = 1,45''™ gehört. Diese Übereinstimmung ist für solche Fälle genügend.

Mit dem mittleren Gewichtseinheitsfehler nach (10) und mit den unter (7) mitgeteilten Gewichten der ausgeglichenen Höhen kann man nun auch die mittleren Fehler der Höhen nach der Ausgleichung berechnen, z. B. für [1] Justingen :

1,45"”*

vm

Führt man diese Berechnung auch für die übrigen Punkte durch, so erhält man folgendes Schluss-Ergebnis:

= + 0,66''”*

848,62™ Ausgangspunkt 785,94™ ± 0,07™

798,61 ±0,07 818,63 ±0,10 769,68 ±0,07 785,87 ±0,08 775,67 ±0,09

Heroldstatt .    .

[1]    Justingen .    .

[2]    Magolsheim

[3]    Ludwigshöhe .

[4]    Tiefenhülen. .

[5]    Mehrstetten

[6]    Bremelau .    .

Die mittleren Fehler beziehen sich sämtlich auf den Ausgangspunkt Heroldstatt.

(H)

§ 127. Ausgleichung eines Höhen-Netzes nach bedingten Beobachtungen (mit Korrelaten).

Das in nachstehender Fig. 1. gezeichnete Höhen-Netz, welches vom Verfasser im Jahre 1864 aufgenommen wurde, soll als Beispiel der Ausgleichung mit Korrelaten dienen.

Fig. l.

(Massstab 1 : 125 000.)

Ausgleichung eines trigonometrischen Höhen-Netzes. (Württemb. Atlasblatt Bopfingen.)

(?)

(Sj

"(8\

<%)

(*)

----«c--{10J-

K.

a)

X

(3)

•4)

Die Pfeile zeigen die Richtung des Steigens.

Zwischen 6 Hauptpunkten wurden 11 Höhen - Diagonalen durch Ausgleichungen von Messungen aus Zwischenpunkten erhalten (im wesentlichen nach § 125.); die Zusammenstellung dieser 11 Höhen-Diagonalen zeigt folgende Tabelle:

Um die Bedingungsgleichungen aufzustellen, überlegt man zuerst deren Anzahl. Nach dem, was hierüber schon bei den Nivellierungs-Ausgleichungen in § 116. S. 409 bis 410 gesagt worden ist, hat man allgemein:

p Punkte

r = h — p -+- 1 Bedingungsgleichungen.

In unserem Falle ist p = 6, h = 11, also r = 6.

Wenn man nebenbei überlegt, wie viel Normalgleichungen man bei vermittelnden Beobachtungen erhalten hätte, so findet man p —1 = 5; d. h. in Hinsicht auf die Anzahl der aufzulösenden Normalgleichungen wäre die Ausgleichung nacli vermittelnden Beobachtungen ein wenig günstiger.

Da wir hier nach bedingten Beobachtungen (mit Korrelaten) ausgleichen wollen, suchen wir die 6 Bedingungsgleichungen durch einzelne Dreiecke, z. B. :

hi -+-    — hß — 0

46,54™ 4~ 9,64™ — 55,68™ = -+- 0,50™ =

h Höhen-Diagonalen.

Es soll sein:

Es ist aber: deswegen werden Verbesserungen v angebracht:

(hi 4- Vi) 4- (h₄ 4- v±) —• (hß 4- v₀) = 0

Dieses mit dem vorigen zusammen giebt:

t'i 4 »4 — v₆ 4- 0,50™ = 0.

In ähnlicher Weise erhält man die übrigen 5 Gleichungen, und alle 6 zusammen:

a)    4 v₄ — v₆ 4- 5,0¹“ = 0

b)    Vi 4-1'2 — «5 -1-4,9 = 0

c)    «4 4-«n —«₈—0,1    =0

= 01 (2) = 0 I

Num.

Diagonale¹)

Mittlerer Höhe Fehler

! i—

(10 m)²

Gr A — Grosskuchen—Auernheim AE — Auernheim—Elchingen AF = Auernheim—Freilass ^4jV = Auernheim—Neresheim GE = Grosskuchen—Elchingen GN — Grosskuchen—Neresheim EF — Elchingen—Freilass KE — Kösingen—Elchingen KF = Kösingen—Freilass KN = Kösingen—Neresheim NF = Neresheim—Freilass

46,54™    ±0,17“

8,69

0,13

2,9

1,7

10,65

9,64

54,74

55,68

2,46

31,47

33,75

32,43

1,00

0,13

0,08

0,42

0,30

0,08

0,21

0,34

0,08

0,13

1,7

0,6

17,6

9,0

0,6

4,4

11,6

0,6

1,7

(1)

d)    v₂ 4 V’j —v₃ 4 5,0''™= 0 j

e)    ^10 ■+• v\\ ~vg — 3,2

f)    Vg 4- V’j --F 1,8

(Die hier benützten Dreiecke sind nicht in gleichem Sinne durchlaufen; es ist dieses nicht nötig, wäre aber bei einer Neuberechnung zu empfehlen.)

Um die Normalgleichungen vorzubereiten, bilden wir die Tabelle der Coëfficienten und der Gewichte:

9    10    11

+2,9+1,7

+ 1,7 +0,6 +17,6 . . +1

+9,0 +0,6 +4,4

+ 11,6 +0,6 +1,7

dm

+ 1 +1

—1    +1

. . +1 .

-f-1

+ 1 +1

+5,0    (₃)

+4,9 -0,1 + 5,0 —3,2 + 1,8

Nun wird z. B.:

fa a~\

L p J ~

2,9 + 0,6 + 9,0 = + 12,5

U. s. w.

Man hat daher folgende 6 Normalgleichungen aufzulösen:

4~ 4,0 *4

. .    4- 5,0 = 0

. . -f 4,9 = 0 . . — 0,1 = 0 .    4- 0,6 k₆ + 5,0 = 0

+ 13,9*5+ H,6    3,2 = 0

+ 16,6 + 1,8 = 0

Die Auflösung gieht:

k₄ = 4- 1,30 = + 0,57 *₆ = — 0,47

kl = — 0,40 *₂ = — 0,07 k₃ = —(— 0,38

Nunmehr finden sich die Korrektionen v mit Benützung der Tabelle (3), z. B. :

«i = — (*! + *a) = 2,9 (— 0,40 — 0,07) = — 1,4*"

P\

und auf gleiche Weise erhält man auch die übrigen v, nämlich:

= +1,2*" v6 —■ 4" 3,6 V'i — — 1,1 «₈ = — 2,1

7in = NF = 1,00 +0,16 = 1,16

vx = — l,4d“ v₂ = — 2,3 v₃ — + 1,6 vA =

0,0

Vq = — l,2dm

vio — + 0,3 »lf = + ¹»⁶

Aus diesen Werten lassen sich die Höhen sämtlicher Punkte ohne Widersprüche auf den verschiedenen Wegen berechnen. Nur teilweise bestehen noch kleine Abweichungen der letzten Stelle, die aber lediglich von der Abrundung der Rechnung auf 0,01“ herrühren.

Yon einem Punkte ist die Höhe über N. N. gegeben; es ist nämlich, nach neuester Mitteilung des statistischen Landes-Amtes:

Freilass Signalstein .    . . 651,16”* über N. N.

und damit werden die übrigen bestimmt, wie folgende Tabelle aller 6 Höhen zeigt:

Höhe über N. N. . 651,16”*

. 617,53 . 649,99 . 640,35 . 593,95 . 648,81.

Punkt

F Freilass .

K Kösingen .

N Neresheim A Auernheim G Grosskuchen E Elchingen

Anmerkungen.

Über die Württembergische trigonometrische Höhen-Aufnahme, welcher die zwei Beispiele von § 126. und § 127. entnommen sind, geben die „Württemb. Jahrbücher für Statistik und Landeskunde“, herausgegeben vom statist.-topogr. Bureau 1859—1876, weitere Auskunft. Im Jahrgang 1869, Seite I—XVI, wird ein historischer Überblick über die bis dahin veröffentlichten Messungen, und die Ausgleichung des Blattes Waiblingen gegeben. Das in gegenwärtigem § 127. mitgeteilte Neresheimer Netz vom Jahr 1864 war die erste wissenschaftliche Ausgleichung der Württemb. trigonometrischen Höhen-Aufnahme (vgl. hiezu „die trigonometrische Höhenmessung und die Ausgleichung ihrer Resultate“, von W. Jordan, Stuttgart 1866). Die späteren Aufnahmen sind übrigens genauer als die hier mitgeteilten Beispiele, weil zuerst nur kleine Höhenkreise mit 9—11"'* Durchmesser zur Verfügung waren, dagegen nachher ein 27cm-Kreis.

Weiteres giebt eine Darstellung von Inspektor Regelmann, „Württemb. Jahrbücher für Statistik und Landeskunde“, trigon. Höhen, S. 64, und in dem Werke „Deutsches Vermessungswesen“ von Jordan-Steppes, I. Band, S. 260—264.

§ 128. Theorie der Refraktion.

Zur theoretischen Untersuchung der krummen Lichtbahn in unserer Atmosphäre brauchen wir zuerst das allgemeine Brechungs-Gesetz: Bezeichnet man mit u den Brechungs-Coëfficienten für den Übergang vom leeren Raum in ein lichtbrechendes Mittel, und mit fi' den Brechungs-Coëfficienten für den Übergang vom leeren Raum in ein anderes brechendes Mittel, so gilt für den Übergang eines Strahls von dem einen brechenden Mittel in das andere (nach Fig. 1. S. 453) der Satz:

(1)

sin i

sin ß n

Wir betrachten nun nach Fig. 1. S. 453 den Weg eines Lichtstrahls P' P... Pl durch verschiedene Schichten der Atmosphäre, welchen verschiedene Brechungs-Coëfficienten fi , g.' , fi' u. s. w. zukommen.

Die Schichten der Atmosphäre seien kugelförmig, und haben an zwei Stellen die von dem gemeinsamen Mittelpunkt G aus gemessenen Halbmesser r und r\ dann besteht die Gleichung:

¹

Siehe „Württembergische Jahrbücher für Statistik und Landeskunde 1870“, S. XXXII; die Höhen sind dort in Württemb. Fussen zu 0,2864226™ angegeben.

sin ß _ sin i’

r'

(2)

Die Verbindung der zwei Gleichungen (1) und (2) giebt:

r ß sin i — r' (i sin il

Wenn man die in (1) und (2) enthaltenen Gesetze auch weiter an wendet bekommt man eine ähnliche Formel wie (3), oder allgemein :

(4)

r n sin i = r' fi sin i' — r" fi" sin i" = ... = y

wo

y eine Konstante ist.

1/

Fig. 1.

Fig. 2.

-a

-q

ä.

'CL.

,z

o_r

C~

An der Erdoberfläche im Punkt 1\ mit r — wird i gleich der scheinbaren Zenit-Distanz glf und indem man den zugehörigen absoluten Brechungs-Coëfficient mit fH bezeichnet, hat man nach (4):

(5)

t’i ui sin Zi — y

Die Konvergenz der beiden Erdhalbmesser r und r' sei d G, dann entnimmt man nach Fig. 1. aus einem rechtwinkligen Differential-Dreieck:

(«)

,    -, rdC

langt =

oder, wenn G von dem Halbmesser OP an gezählt wird, entsprechend der vorigen Gleichung (6):

rdC

tang i =

Nachdem die Beziehungen (4) , (5) und (7) erkannt sind, ist es nicht mehr nötig, die Lichtkurve in ihren Elementen zu betrachten, wir gehen daher über zu Fig. 2., wobei P einen veränderlichen Punkt der Lichtkurve und PQ deren Tangente in P bedeutet. Diese Tangente hat in der Vertikalen OQ eines Erdpunktes, die Zenit-

(7)

Distanz z', welche sich aus dem Einfallswinkel i und dem Erdcentriwinkel C zusammensetzt nach der Gleichung:

«'=*+ G

Um hier die Brechungs-Gesetze anzuwenden, haben wir die oben entwickelte Gleichung (4) S. 453 zu benützen; dieselbe giebt logarithmiert und differentiiert:

(8)

dr

---h

di — —

(9)

Zieht man noch d G nach (7) zu, so erhält man aus (8) und (9) :

tang i

dz' = di + dC = —

(10)

tang i kann in r und ß und in den Konstanten rj , ßi , zx ausgedrückt werden, nämlich nach (4) und (5):

tang i —

sin i

rx ßi sin zx

]/1 — siny i    Yr² /t² — y² ]/r² fi² — r^² ßY sin² zx

Die Einsetzung dieses Wertes in (10) giebt:

_ G dp

— dz'

ßi sin zx

r-Y

(11)

-- /U]² sin² zx

Da rx und r nicht erheblich verschieden sind, wird geschrieben :

ü = !

r —rx

(12)

und mit einiger anderer Umformung erhält man aus (11):

sin zx

— dz' =

(13)

sin² zx

Der Brechungs-Coefficient ß hängt von der Dichte q der brechenden Luft ah, und zwar nach Massgahe der Gleichung:

wo c eine Konstante ist.

/ l²--1 = C Q

(14)

m² — 1 heisst die brechende Kraft der Luft (allgemein des brechenden Gases) /u² — 1

und

heisst das Brechungs-Vermögen, welches nach (14) für dasselbe Gas konstant ist. (Der Ausdruck „brechende Kraft“ rührt von der Emanationstheorie her. Das Gesetz (14) beruht nicht auf einer Theorie, sondern ist nur empirisch gefunden worden, von Biot und Arago).

(Neuere Versuche hierüber sind mitgeteilt in den Beiblättern zu Poggendorff's „Annalen der Physik und Chemie 1877“ Nr. 5, Band 1 Stück 5, S. 257—270.)

In (13) kommt das Verhältnis ß% : ßX² vor, welches in den Dichten q und pj ausgedrückt werden kann, denn es ist nach (14):

(15)

jU² = 1 -+- c Q

woraus :

jU *    1 + C Q

m² l+cç!

(16)

___ CP1    ( j__£

Ml² 1 + C Pl

Pl

(17)

Dieses giebt Veranlassung zur Einführung einer neuen Bezeichnung, nämlich:

Cp

Her²“¹

Da c konstant ist, so sind a und cq nur Funktionen der Luftdichten p und pt ; derjenige Wert a, welcher einer gewissen als normal angenommenen Luftdichte p entspricht, wird die Refraktions-Konstante genannt. Mit Einführung von at nach (18) geht (17) über in:

2«

(18)

Pl

(19)

d fi c d p ~~2^

und nach (16) , (15) und (18) kann man dieses so umformen:

In der Formel (18) ist auch noch hiezu zuerst nach (14) oder (15):

2fidfi = cdç

— in d p , p und pL auszudrücken, man hat

oder

d fi d p

=.

«l

Ql 1 —2«!

1 — *-

(20)

Pi

Wenn man nun (19) und (20) in (18) einsetzt, so erhält man als Ergebnis der bisherigen Entwicklung die Gleichung:

r — i’i

Pi

«1

1—2 CCj

hi)/

cos²z i—2«

(¹-t) ⁺ (²’L7

Die Bedeutung aller hier vorkommenden Bezeichnungen ergieht sich aus (18) (14) und Fig. 2. S. 453.

(Dieses ist die vollständige Differentialgleichung der Lichtkurve, welche zuerst von Laplace in der „Mécanique céleste Tome IV“ S. 246 entwickelt wurde.)

Für die terrestrische Refraktion zum Gebrauch für trigonometrische Höhen-Messung kann man einige Vereinfachungen der Differentialgleichung (21) sofort ein-treten lassen; da es sich hier immer nur um verhältnismässig kleine Ausdehnungen

( 1--— ] im Nenner = 1 setzen, ebenso ( 1 — r—— )

V    Pi/    \ r j

handelt, kann man den Faktor

im Zähler == 1, und ben wir noch zur Abkürzung:

unter der Wurzel vernachlässigen. Im übrigen schrei-

r — rx — h

und nun hat man statt (21) hinreichend genau:

(22)

— dz' —

«i

sin z₁

1—2«!

j/cos² Z\ — 2 «J ||l--—j -(- 2 ~ st»² z₁ Pl

(23)

Wir müssen nun die Grösse näher ins Auge fassen. ax ist nach (18) derjenige besondere Wert von a, welcher für die Luftdichte (>[ (entsprechend dem Punkte 1\ in Pig. 2. Seite 458) gilt.

Der allgemeine Wert « ist nach (18) eine Funktion der Luftdichte ç und zwar ist sehr genähert a proportional q , weil c sehr klein ist (nämlich c = 0,000589 nach Dulong); wenn man a für irgend welche Luftdichte kennt, so kann man den entsprechenden Wert auch für jede andere Luftdichte berechnen. Die Dichten q und (j, zweier Luftmengen haben nach dem Mariotte-Gay-Lussac sehen Gesetz das Verhältnis :

(24)

ei

q _ B l + eTi Bi 1 + s T

wenn B , J3t die Barometerstände, T , 1\ die Lufttemperaturen und e = 0,003665 ist.

Als Zahlenwert für a finden wir aus den Angaben von Bessel in den „Tabulae regiomontanae“ S. LIX—LXII, mit Zuziehung der Bemerkungen im „Berliner astron. Jahrbuch für 1826“ S. 16:

(25)

ec = 1,003282 x 57,538" = 57,7269"

gültig für eine Lufttemperatur 48,75° Fahrenheit = 9,31° Celsius und einen Barometerstand von 751,51mm, welcher sowohl in Bezug auf das Quecksilber als auf den Massstab auf 0° C. reduziert ist. Man hat daher nach (24) für irgend welche andere Lufttemperatur T (in C°) und einen anderen Barometerstand B (in Millimetern auf 0° reduziert) den entsprechenden Wert «:

B 1 +0,003665x9,31 751,51    1 + 0,003665 T

in Sekunden, oder mit Reduktion auf die Normalwerte 760mm und 0°:

a — 1,0458 an

760 1 + 0,003665 T

a = 60,371"

760 1 + 0,003665 T oder in Bogenmass (durch Division mit 206265") :

(26)

a = 0,00029269

(27)

76Ö 1 + 0,003665 T

Den J3meZschen Wert an pflegt man die Refraktions-Konstante schlechthin zu nennen; mit Rücksicht auf (26) und (27) nehmen wir jedoch als Normalwert:

«o = 60,371" bzw. = 0,00029269

Dieser Wert «₀ bezieht sich auf den Barometerstand B = 760mm und die Lufttemperatur T — 0 °.

Zur Vorbereitung des ersten Faktors von (23) berechnen wir auch:

r—^a°cr    = 0,00029286

1 — L «o

In den bisherigen Bezeichnungen und Formeln ist angenommen, der Lichtstrahl P P\ (Fig. 2. S. 453) komme Punkt P und treffe erst im Punkte P₁ einen Punkt der Erdoberfläche; wenn nun P selbst ein Punkt der Erdoberfläche ist, welcher Licht nach Px sendet, so ist der Weg dieses Lichtes doch derselbe wie bei dem ersten Fall.

(28)

(29)

aus

weiter Ferne her, gehe durch einen (veränderlichen)

Um diese neuen Verhältnisse auch in den Formeln deutlicher hervortreten zu lassen, nehmen wir nun entsprechend Fig. 3. folgende Bezeichnungen an: In zwei Punkten 1\ und P₂ werden die gegenseitigen Zenit-Distanzen z₁ und z₂ beobachtet, sowie die Lufttemperaturen 2\ , T₂ und die auf einheitliches Mas« reduzierten Luftdrücke , B₂. Die Luftdichten seien pj und q₂, ferner sei h der Höhen - Unterschied beider Punkte und r der Erdhalbmesser mit Einschluss der mittleren Höhe der Punkte. Mit a₀ bezeichnen wir die Refraktions-Konstante, bezogen auf 0° Temperatur und 760mm Barometerstand nach (28) und (29). Den Werten Bi , T] und B₂ , T₂ entsprechen bzw. cq und a₂.

Mit Annahme dieser Bezeichnungen wird die Differentialgleichung der Lichtkurve nach (23) :

Fig, 3.

P₂

',Z2

\J

Z'

z/ZÏ

Z,

Pi

1 — 2 cci

sin Zi

TS

-j/COS² Zx —2 ai ^1--— j

Ql

+ 2 — sm2 z\

wobei, wie früher, unter z' verstanden wird die Zenit-Distanz der in P₂ an die Lichtkurve gelegten Tangente P₂ Q₂, gemessen in der Vertikalen von Pv

Der Punkt Pj wird als fest, und die auf ihn bezüglichen Grössen aj , ^ werden als konstant behandelt.

Zum Zweck der Integration der Gleichung (30) bringen wir zuerst Alles auf die Veränderliche h.

Da 2 ai gegen 1 sehr klein ist, hat man hinreichend genau nach (29) und (27) mit s = 0,003665 :

Bi 1

«l ________

1 — 2«!    1 — 2 «o 760 1 + e Tx

Das Verhältnis der Luftdichten ist nach (24):

(31)

-®2

(32)

Die Beziehung zwischen der Höhe h und den meteorologischen Grössen wird durch die Barometerformel geliefert :

h — K (log Bi — log B₂) ^1 -\- e

Ti + T₂

(33)

wobei K bedeuten soll die barometrische Konstante mit Einschluss der Korrektionsglieder zweiter Ordnung, nämlich:

= 18400 ^1 + 0,377    (1 + 0,00265 cos 2 <p) (l + 2    **

(34)

wobei e der mittlere Dunstdruck, B der mittlere Luftdruck, <p die mittlere geographische Breite, H die mittlere Meereshöhe und r der Erdhalbmesser ist. Von ganz besonderer Wichtigkeit ist noch die Abnahme der Lufttemperatur mit der Höhe. Wenn

*) Die Entwicklung hiefür wird in § 145. gegeben werden.

h der Höhen-Unterschied der beiden Punkte ist, in welchen die Lufttemperaturen Tx und P₂ stattfinden, so wird eine Funktion bestehen:

(35)

1\ — T₂ = n h -+- h² • ■ • wobei in erster Näherung gesetzt werden kann:

(36)

Ti-T₉

Die Gleichung (33) kann man in eine Reihe entwickeln: bx-b₂ 1 (Bx - B₂y

Tx + T₂

(37)

im letzten Faktor dieser Gleichung kann man nach (35) und (36) schreiben :

es wird deswegen die Gleichung (37) auf Glieder von der Ordnung h einschliesslich genau aufgelöst durch die Gleichung:

B\ — B₂ _ . Bx

B,

Bx

MK

(38)

Damit, nebst (35) erhält man aus (32) :

^ ⁼    (i + «efc + ...) = i-(

also, weil ()t konstant ist, giebt die Diflferentiierung nach o₂ in erster Näherung:

1 — sTx

MK

— nej h + h²... (39)

91 ₌l

1 — eTx

Ql

KM

dh

(40)

Führt man die Zwischenentwicklungen (31) (39) (40) in (30) ein, so erhält man:

dz' =

Bx 1 1 — 2 a₀ 760 1 + sTj

«o

1 — e Tx

MK

sin zx d h

(41)

Y cos² zx + h ...

dabei sind mit + h... Glieder angedeutet, welche nachher vernachlässigt werden, so dass fürs folgende |/cos² zx -h h ... = cos zx zu setzen ist.

Der Höhen-Unterschied h kann in erster Näherung gesetzt werden nach Fig. 4. S. 459:

h = a cotg zx

wo a die Entfernung beider Punkte Px und 7₂ ist. Man hat also nun:

dh — da cotg zx oder d h tang zx — da Damit giebt die Gleichung (41):

dz' =-“°

Bx

1 — ; Tx

— ne) da

1 — 2 «₀ 760 1 + eTx Für die Integration weiss man, dass z' — zx wird mit a = 0, daher wird:

“o    B i    1

1 — 2 «a 760 1 + £ 1\

z' — zx

MK

1 — e Tx

MK

— — 11 e

)l“

(42)

z' — zx ist die gesamte Refraktion der Lichtkurve zwischen Px und P₂, es ist nach Fig. 3. S. 457, z' — zx gleich der Summe der Winkel /Jzx und Az%, welche die Lichtkurve in den Punkten Px und P₂ mit der Sehne PjP₂ macht, oder gleich dem

Winkel, unter welchem die in Px und l\ gezogenen Tangenten der Lichtkurve sich schneiden. Wir wollen diesen Winkel mit d bezeichnen, und haben in Fig. 3. und in Fig. 4. diesen Wert d eingeschrieben.

In Fig. 4. haben wir zugleich die Tangente Pl Ç)| zu der Axe eines rechtwinkligen Systems £ , rj gemacht, so dass nun ist:

/,=2'-²> = äi

Da aber die auf P₁ gemessenen schiefen Entfernungen sehr wohl den horizontalen Entfernungen a gleich gesetzt werden können, hat man auch

Fig. 4.

\9i

?2

<y

-sf

Zi

-tt —

P<

dabei ist | • • • j a eine Abkürzung für (42).

<Z² tj_ |

Ja2 = ( " '

Der zweite Differentialquotient einer Kurvengleichung kann aber näherungsweise gleich der Reciproken des Krümmungshalbmessers R gesetzt werden, also :

Weiter ist:

(42a)

Dieses giebt eine Anknüpfung an die frühere rohe Theorie von § 120. Wir haben dort in der Gleichung (5) S. 427 unter Refraktions-Coefflcient k verstanden das Verhältnis des Erdhalbmessers r zum Halbmesser der Lichtbahn r', welchen wir nun R nach (42 a) nennen wollen. Und da nun die Lichtbahn nicht mehr im ganzen als kreisförmig gelten soll, verstehen wir nun unter dem Refraktions-Coëfficienten k für irgend welchen Punkt der Lichtbahn, das Verhältnis des Erdhalbmessers r zum Krümmungshalbmesser R der Lichtbahn in dem betrachteten Punkt. Es ist also nun k veränderlich, und nach (42 a) :

“{•■T

(43)

oder mit Wiedereinführung des Klammerwertes von (42):

1 — e Tx MK

wickelt :

___-Bi 1

1 — 2 «o 760 1 + tTj Nun denken wir uns die Gleichung der Lichtkurve nach Potenzen von | ent-

— ne] r

(44)

v= PP + QP + ---

(45)

wo P und Q gewisse Coëfficienten sind.

Wie schon bei (42 a) kann man den zweiten Differentialquotienten als reciproken Wert des Krümmungshalbmessers R nehmen, d. h. :

(Z² 7j

~U~ dl²

Indem man R = Rl für den Punkt I\ mit | = 0 einfuhrt, und R = P₂ für den Punkt P₂ I = a, erhält man aus (45a) zwei Gleichungen:

=2P+6Ç£

(45 a)

R,

= 2 P ,    — = 2 P + 6Q«

(45 b)

Diese zwei Gleichungen bestimmen die vorläufig unbestimmt gebliebenen Coëffi-cienten P und Q in (45), man findet durch Auflösung der zwei Gleichungen (45 b):

Ri—Rz

6 a Rx Il₂

Setzt man diese Coëfficienten P und Q von (46) in (45) ein, und nimmt man zugleich £ = a, so erhält man :

2Ą

(46)

a²

V 2 R'

(47)

wobei R' folgende Bedeutung hat :

2 ---1--

Ri P₂

_ 3 Ri R2 2 R’z ~ł~ R\

Nun sollen, den drei Krümmungshalbmessern Rx , R₂ und R! entsprechend, drei besondere Refraktions-Coëfficienten eingeführt werden :

? r *2 — TO

oder

R’ ~

(48)

damit wird nach (48):

Ri

Ro

und

Azx=AL

a

_ 2 kx -f- k2 k    3

_— JL k' ~ —_

2 R' 2 r 2

~ k' C

(49)

(50)

Zusammenfassung der Resultate (vgl. Fig. 4. S. 459).

Wenn auf zwei Punkten, Px und P₂, die gegenseitigen Zenit-Distanzen zx und z₂, sowie die Lufttemperaturen 2\ und 1\ (in C°) und die Barometerstände und B₂ (in Millimetern auf 0° und sonst auf ein einheitliches Mass reduziert) beobachtet sind, so berechnet man nach (44):

i.    “o Bi ¹

¹    1 — 2 «o 760 1 + e Tx

MIC

— nx e )r

(51)

ko = —a°    A _¹_(

²    1 — 2 «o 760 1 + s T₂ [

1-sTz

MK

n₂s r

(52)

wobei, nach (29), T—*°

1 — 2a₀

Einschluss der Korrektionsglieder zweiter Ordnung nach (34), M = 0,43429 die loga-rithmische Modul, e — 0,003665 der Ausdehnungs-Coëfficient der Luft, und r der Erdkrümm ungs-Halbmesser für die mittlere Höhe der Beobachtungspunkte ist. nx und n2 sind nach (35) die Temperatur-Änderungen für lm Höhe in der Nähe der Punkte Pj und P₂ (im Mittel ungefähr n — 0,005).

Nachdem kx und 1,:₂ bestimmt sind, berechnet man:

2*2 + *1    o\

= 0,00029286, ferner R die barometrische Konstante mi

y _ 2 ki + k2 k ~    3

Azx = i l₂k'C

k"

Jz₂ = y₂VG

Den Höhen-Unterschied selbst kann man nun zweifach berechnen, nämlich :

*—s

Cn cp

H₂ — H₁ = a cotg {zx -j- A zx) -f-

(55)

Hx — H₂ = a cotg (z₂ -j- Az₂) -f

(56)

oder mit Einführung von k' und k" :

(57)

HL — Hi — a cotg zx +

Hi — H₂ — a cotg z₂ +

1 —k"

ö— «²

2 r

(58)

Weitere Glieder kann man entbehren, wenn man unter a die Horizontal-Entfernung,

+ #2

reduziert auf den Horizont der Mittelhöhe

, versteht (vgl. (16) § 121. S. 432).

Die vorstehenden Formeln setzen zunächst die meteorologischen Beobachtungen Bi , B₂ , Ti , T₂ und die Kenntnis der Differentialquotienten und n₂ des Gesetzes der Temperatur - Abnahme voraus; jedoch kann man jedenfalls mittelst des vorläufig berechneten Höhen-Unterschiedes H₂ — Hx nach der Barometerformel, B₂ aus Bx hinreichend genau ableiten, oder umgekehrt B\ aus B₂. Wenn das Gesetz der Temperatur-Änderung in einer abgekürzten Reihe gegeben ist :

T— Tx + Ah + B/i2 + CÄ3

(59)

so hat man zuerst allgemein :

dT

(60)

und wenn man T — Ti und h = H₂ — Hx einander entsprechend annimmt, so wird mit h = 0 :

ni — A

mit h = H₂ - Hi : n₂ = A + 25 (H₂ — J/j) + 3 C {H₂ — Hxf

(61)

(62)

Ob man in jedem Falle das Temperaturgesetz (59) kennt, das ist eine Frage, welche unsere Theorie zunächst nicht berührt. Die Theorie hatte nur die Aufgabe, den inneren Zusammenhang zwischen der Refraktion und den meteorologischen Elementen zu ermitteln, und zwar haben wir überall zunächst nur erste Näherungen berücksichtigt.

§ 129. Yergleichung der Refraktions-Theorie mit Beobachtungen.

Zuerst empfiehlt es sich, eine Übersichts-Tabelle für die theoretischen Werte k

zu berechnen.

Wenn man zu diesem Zweck in (51) und (52) § 128. S. 460 unbestimmte Werte B , T , n einführt, das Konstante möglichst zusammenfasst und ein wenig umformt, so erhält man:

0,00029286 / B 1    '

M K ¹ \760 1 -h 6 T,

Wir setzen k = 18464, was später in § 146. näher begründet werden wird, den Erdhalbmesser rund r = 6 370000”*, und erhalten damit aus (1):

(1 — e T — en MK)

(1)

760 1 -j- e 2’) ^    ⁶

Zur Berechnung einer Übersichts - Tafel wollen wir auch dieses nochmals zerfallen, und schreiben:

k = 0,23264

T— 0,29389 n)

(2)

Damit wird:

B 1    _

760 l + ₈r”(i k₀ = 0,23264 (1 — eT — 0,29389 n) k k§ o

— Luftdichte

/—s N    /• s

C7T ^ CO

Hiernach sind die zwei folgenden Tafeln berechnet:

Tafel der Werte k₀ = 0,23264 (1 — e T — 0,29389 n)

Abnahme der Luft-Temperatur für lm Höhen-Zunahme

— 10°

Luft-Temperatur T

0°

4- 10°

+ 20°

4-30°

-l- 40°

n = - 0,005 n = n = -+- 0,005 ji = 4- 0,010 n — -+- 0,015 .n = -f- 0,020

0,000

0,2754

0,2412

0,2070

0,1728

0,1386

0,1044

0,2668

0,2326

0,1985

0,1643

0,1301

0,0959

0,2583

0,2241

0,1899

0,1557

0,1216

0,0874

0,2498

0,2156

0,1814

0,1472

0,1130

0,0788

0,2412

0,2070

0,1729

0,1387

0,1045

0,0703

0,2327

0,1985

0,1643

0,1302

0,0960

0,0618

Luftdruck

Tafel der Luftdichte q =

760 1 4- 0,003665 T

Luft-Temperatur T

— 10°

0°

-4- 10°

4- 20°

+ 30° |    4-40°

600’

650"™

700"*”*

730““

760’

0,8194

0,8876

0,9559

0,9969

1,0378

0,7895

0,8553

0,9210

0,9605

1,0000

0,7616

0,8250

0,8885

0,9266

0,9646

0,7356

0,7969

0,8581

0,8949

0,9317

0,7113

0,7705

0,8298

0,8654

0,9010

0,6885

0,7459

0,8033

0,8377

0,8722

Für mittlere Verhältnisse in Deutschland ist etwa B = 730’ also die Luftdichte nach der zweiten Tafel q = 0,9266, und nimmt man eine Lufttemperatur-Abnahme n = 0,01, d. h. 1° auf 100”* Höhe, so gieht die erste Tafel für n = 0,01 und T = 4- 10° den Wert = 1557; man hat also zusammen:

k 0,9266 X 0,1557 = 0,144

Dieses stimmt nahezu mit dem Mittelwert der in Deutschland wirklich beobachteten Werte k, den wir hei § 120. S. 429 k = 0,13 angegeben haben.

Indessen die hier angenommene Lufttemperatur-Abnahme n = 0,01 oder 1° auf 100m Höhe stimmt nicht mit der in Deutschland meteorologisch beobachteten Temperatur-Abnahme, denn diese hat nach einer Abhandlung von Hann (LXI. Band der Sitzungsberichte der k. Akademie der Wissenschaften, II. Abtlg., Jan.-Heft, Jahrgang 1870, Wien) folgende Mittelwerte:

Abnahme der Luft-Temperatur für einen Höhen-Unter schied von 100m :

Monat

Westalpen

Nord

schweiz

Schwäbische Alb

Erz

gebirge

Harz

Mittel

Januar Juli . .

io o ^ © ©~ ©

© to

^ OO

o o

rH t>

cvi io © ©

© © © CO OO -d

Jahresmittel

0,58°    0,51°    0,44°

0,59°

CO r-H | t>

CO I> I © © ©

Ol

4^

Einige weitere Litteratur-Nachweise enthält die „Zeitschr. für Verm. 1877“. Ergänzungsheft S. (59)—(63).

Eine Verarbeitung der badischen und württembergischen meteorologischen Wärme-Beobachtungen von 40 Stationen in Hinsicht auf die Wärme-Änderung haben wir in der österreichischen „Zeitschr. f. Meteorologie 1880“, S. 162—167, veröffentlicht. Die Höhen H der 40 Stationen sind zwischen 114“ und 1012“ über dem Meer, im Mittel 400“, die geographischen Breiten <p sind zwischen 47° 41' und 49° 46'. Die 10jährigen Jahresmittel t von 1869—1878 wurden von uns durch folgende Interpolations-Formel zusammengefasst :

t = 11,31° —0,943

100

■f 0,0307

7/\2

100

+ 0,88 (₉ — 49°)

(6)

Der mittlere übrigbleibende Fehler wurde =4-0,61° und die mittleren Fehler der Coëfficienten wurden bzw. :

11,31 + 0,39 , 0,943 + 0,150 , 0,0307 + 0,0173 , 0,88 + 0,88. Hiernach ist folgende Tabelle berechnet:

Mittlere Jahres-Temperatur in Südwest-Deutschland (1869—1887)

Höhe

47

<p

48°

49

50°

Jt

für 100“

0“

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

h⁴    H

œ <1 -5 o0 po _co    o p h dc os

<1 H Oi O «1 M    OO W M k H

Ci Oi    jX)    CO j£) O M CO

CO "to Oi H O "tO    b 05 ^ w to

o

CO ^ 10^ OO rH o" cT 00" 00

rH rH

1/5^ C» 05

o" œ" 00" i> i>

rH

(-0,9°) (-0,9 ) — 0,8 -0,7

—    0,5 (-0,4) (-0,4)

Die Wärme-Abnahme für 100“ ist im Mittel etwa = 0,7°. Dass die Wärme-Abnahme unten erheblich stärker ist (0,9°) als oben (0,4), ist teils aus der eigentümlichen Lage der Stationen zu erklären, teils auch nur als Rechenform anzusehen, indem die Gleichung (6) zwar im ganzen die 40 Beobachtungen gut darstellt, aber nur inter-polatorisch zwischen engen Grenzen Gültigkeit hat.

Wenn der thatsächlich beobachtete Mittelwert der Refraktion k = 0,13 eine stärkere Temperatur-Abnahme, etwa « = 0,01, verlangt als « = 0,006 oder 0,007, was etwa als Sommer-Mittel meteorologisch gefunden wurde, so wird sich das dadurch erklären, dass die hier benützten meteorologischen Beobachtungen an der Erdoberfläche, unter dem Einflüsse der strahlenden Wärme des Erdbodens gemacht sind, während für die Lichtbahn die Wärme-Abnahme in freier Luft massgebend ist.

Die starken Refraktionen, über 0,2, welche man oft morgens und abends beobachtet, lassen sich nur durch Zunahme der Luft-Temperatur nach oben erklären (entsprechend negativem n in unseren Formeln).

Vergleichung der Theorie mit Zenitdistanz-Beobachtungen.

Wir haben die Formeln (51)--(54) § 128. S. 460 mit der längeren Beobachtungsreihe Kupferkuhle—Brocken verglichen, welche General Baeyer in dem Werke „Über die Strahlenbrechung in der Atmosphäre, Petersburg 1860“ mitgeteilt hat.

Diese Vergleichsberechnung haben wir mit der Theorie selbst mitgeteilt in den „Astronomischen Nachrichten, 88. Band, 1876“, S. 99—108 (abgedruckt in der vorigen Auflage 1877 dieses Werkes, S. 568—572).

Inzwischen hat auch Major Hartl unsere Formeln mit der Erfahrung verglichen, und zwar mit amerikanischen Messungen, nach dem „United States Coast Survey Report for 1876“ mit 600“ Höhe.

Hartl hat dieses mitgeteilt in dem XVI. Band, April-Heft 1881, der „Meteorologischen Zeitschrift“ (Separatabdruck S. 9, Tafel IV.).

Von den beiden Beobachtungsreihen der korrespondierenden Stationen Bodega Head und Ross Mountain, welche dort mitgeteilt sind, führen wir die erste hier vollständig vor, und geben von der zweiten wenigstens die Differenzen zwischen Beobachtung und Rechnung:

Stunde

Refraktion Bodega Head beobachtet : berechnet :    Differenz :

Ross Mountain Differenz :

h-¹ t—‘ h-*

morgens

mittags

abends

►—* |_± h-i >—» I—* tO H H    Ł—*    M W

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CD OO CO CO OO ^ 00 CD CO 00 CO r—I t“H Od O    Od r-H ł-H Od iO

r-H r-H

± 4,1"

Durchschnitt + 5,4"

Major Hartl bemerkt hiezu:

„Es muss als ein besonderer Vorzug der Refraktionsformel von Prof. Jordan angesehen werden, dass in derselben für die Temperatur-Abnahme mit der Höhe keine bestimmte Annahme gemacht, sondern dafür ein Coefficient n eingeführt wird, für welchen der Rechner einen Zahlenwert oder auch komplizierteren Ausdruck einführen kann, welcher für die obwaltenden Umstände am geeignetsten erscheint.“

Über die Ditferenzen zwischen Beobachtung und Rechnung, welche im vorstehenden im Durchschnitt +5,4" und +4,1" betragen, bemerkt Major Hartl: „Durch Differentiieren der Formel nach n fand ich, dass eine Änderung der Temperatur-Abnahme in der ganzen Luftsäule (von circa 600m Höhe) um +1° eine Refraktions-Änderung von — 3,8" hervorbringe, so dass es also nur geringer Korrektionen der beobachteten Lufttemperatur bedarf, um Beobachtung und Rechnung in Übereinstimmung zu bringen.“

§ 130. Täglich periodische Änderung der Refraktion.

Man hat schon frühe gefunden, dass die Refraktion einen ziemlich regelmässigen Tagesverlauf hat, dass sie morgens und abends bedeutend grösser ist als mittags.

General Baeyer hat diese Erfahrung bei seinem „Nivellement zwischen Swinemünde und Berlin“ gemacht, und er schloss daraus, dass der Refraktions - Coefficient dem halben Tagebogen proportional sei, nämlich (S, 117 des „Nivellements von Swinemünde nach Berlin“):

k = 0,21321

wo t die in Teilen des halben Tagebogens ausgedrückte Zeit ist. Hiernach wäre bei Sonnen-Aufgang und -Untergang k = 0,2132 und im wahren Mittag k = 0, d. h. im wahren Mittag wäre eine Unstetigkeit in der Änderung von k. Jedenfalls hat dieses Gesetz nur Geltung für diejenigen Tageszeiten, welche das Material dazu geliefert haben, nämlich für b zwischen 0,34 und 0,85. Da der Wert k — 0 und die Unstetigkeit, welche für den wahren Mittag aus der obigen Formel folgt, jedenfalls ganz unzulässig ist, kann man den Versuch machen, die Beobachtungen des Nivellements zwischen Swinemünde und Berlin (S. 115) in anderer Weise empirisch zu verwerten. Auch ist hiezu eine Ausscheidung von Vormittags- und Nachmittagszeiten nötig, welche von Baeyer zusammengenommen sind, denn keine der meteorologischen Grössen, welche die Refraktion beeinflussen, hat einen in Bezug auf den wahren (astronomischen) Mittag symmetrischen Verlauf. Durch graphische Behandlung der genannten Beobachtungen fand ich folgende Mittelwerte, wo t die Zeit in Teilen des halben Tagebogens bedeutet (Vormittags t negativ, Nachmittags t positiv gezählt):

Nivellement Swinemünde—Berlin :

= -i,o

= 0,20

Vormittag

—0,8 —0,6 —0,4 —0,2 0,16    0,13    0,11    0,09

Nachmittag 4- 4 +0,6

0,13

SO

OO r-H

o o

© H-¹

co ©

In dem Werke „Grossh. Mecklenburgische Landes-Vermessung“ von Paschen ist auch eine wertvolle Untersuchung über den Tagesverlauf der Refraktion enthalten (S. 241), von welcher wir einen Auszug in der „Zeitschr. f. Verm. 1883“, S.36‘2 gegeben haben, nämlich:

s- «■

r.

00

CO

Tf r-H

cT o

Mecklenburg —0,2 0,0 0,10 0,10

**

oo

CO

© T—

f-T O

Major Hartl im österreichischen Generalstahe hat solche Vergleichungen weiter ausgedehnt in einer längeren schätzenswerten Abhandlung: „Beiträge zum Studium der terrestrischen Strahlenbrechung“, Separatabdruck aus den „Mitteilungen des k. k. militärgeographischen Institutes“ III. Band 1883. Es wurden sechs Beobachtungsreihen behandelt, nämlich: 1) Gradmessung in Ostpreussen, 2) Nivellement Swinemünde—Berlin, 3) Küsten-Vermessung, 4) Preussische Landes-Triangulation, 5) Mecklenburgische Landesvermessung, 6) Ostseeprovinzen Russlands. Die Ausgleichung gab, ohne Unterscheidung von Vormittag und Nachmittag, folgendes:

Mittelwerte von Hartl:

Pf

© ©

if © s

.'S © ©

eo

0,3    0,4    0,5    0,6

0,11    0,12    0,13    0,13

IO D- r-4

O ©

P P Z

r-* OO A3

© CfQ

c P

a> i—T ©" ^2

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aun. II. Bd.

Um hievon einen Gebrauch zu machen, muss man noch eine übersichtliche Tabelle der Tagebögen oder der Aufgänge und Untergänge der Sonne haben, wie sie z. B. in des Verfassers „Grundzüge der astronomischen Zeit- und Ortsbestimmung, Berlin 1885,“ Anhang Seite [14] für die Breiten von Berlin und von Karlsruhe enthalten ist.

Um die Anwendung zu veranschaulichen, wollen wir folgendes annehmen: Man habe in Süddeutschland, am 15. Juli Nachmittags 51/2 Uhr, eine trigonometrische Beobachtung gemacht, welche Refraktion k ist zu nehmen?

Am 15. Juli geht in der Breite 49° von Karlsruhe, die Sonne auf um 4" 13”‘ und unter um 7" 58"*. Dieses giebt:

Aufgang 4" 13”*

= 4,22"

19,97 — 4,22

Beobachtung 12" + 5" 30”* 17,50"

7,88"

Untergang 12" ■+• 7" 58”* 19,97"

19,97 + 4,22

= 12,10"

Mittag =

(Die Abweichung des Mittags von 12,00" rührt von der Zeitgleichung her.)

Nun ist die Beobachtungszeit 17,50" um 5,50" vom Mittag entfernt, und da

5^50

7,88

Geht man mit t = 0,70 in die obenstehende Tabelle von Hartl ein, so findet man k = 0,15.

Es kann keinem Zweifel unterliegen, dass auf diesem Wege eine Verfeinerung der gewöhnlichen Höhen - Berechnung mit konstant angenommenem Refraktions - Coëffi-cienten k = 0,13 erreicht werden könnte.

Einige durchlaufende Tagesreihen der Refraktion hat in letzter Zeit Bauernfeind beobachtet (s. S. 468).

der halbe Tagbogen b — 7,88" ist, hat man t =

— 0,70 in Teilen von b.

§ 131. Litteratur über Refraktion.

1751. Tobias Mayer. De refractionibus objectorum terrestrium etc. Göttingen 1751.

Aus dem französischen Werk „la méridienne vérifiée“ P. II. p. X. werden 4 gegenseitige Zenit-Distanzmessungen mitgeteilt :

Erd-Centriwinkel a>    = 35'    36"    28' 15,5"

Refraktion r -f Q    =4'    57"    3'    20,5"

= 4'    27"    3' 32"

Hiernach ist der Refraktions-Coëfficient nahezu k = —

12' 52" 1' 22"

8' 58" 0' 43"

— CÙ

V 36,5"

1' 7"

1807. Delambre. Base du système métrique décimale u. s. w. Tome II 1807. S. 771—776.

Mittel aus 189 Beobachtungen, L k = 0,08388, oder * = 0,16776. Maximum k = 0,5954

Nr. 85, Minimum k = — 0,0070, Nr. 12. S. 775—776 giebt Unterscheidungen für Sommer 0,15862, Winter 0,19486 u. s. w

1805. Laplace. Traité de mécanique céleste par M. Laplace, tome IY. Paris an XIII = 1805, Livre X. Chap. I. Des refractions astronomiques. Equation différentielle du mouvement de la lumière (3) S. 246.

1826. Gauss. Berliner astronomisches Jahrbuch für 1826, S. 91. Refraktions-Bestimmungen von der Hannoverschen Gradmessung.

Gauss giebt hier die 28 Refraktions-Bestimmungen der Hannoverschen Gradmessung, welche wir bereits in § 120. S. 429 mitgeteilt haben. Die Entfernungen haben zwischen 46' 7" und 2' 42" Centriwinkel (85*-'«* und 5**»), das Mittel aus allen Bestimmungen mit Rücksicht auf die Längen der Linien ist 0,1306.

Von diesen 28 Bestimmungen sind 11 grösser und 17 kleiner, als der von Gauss angegebene Mittelwert 0,1306; dagegen 19 grösser und 9 kleiner, als das einfache arithmetische Mittel 0,1203. Die durchschnittliche Abweichung von dem arithmetischen Mittel 0,1203 ist ± 0,0354, und die durchschnittliche Abweichung von dem Mittelwert 0,1306 ist ± 0,0350. Maximum k = 0,2078, Minimum k =— 0,1141.

1831. Struve. Beschreibung der unter Allerhöchstem Kaiserlichem Schutze von der Universität zu Dorpat veranstalteten Breitengrad - Messung in den Ostsee-Provinzen Russlands, ausgeführt und bearbeitet in den Jahren 1821—1831 von F. G. W. Struve, Direktor der Dorpater Sternwarte. Dorpat 1831, S. 187, und „Astr. Nachr. 7. Band 1829“, S. 394. Bei einer Entfernung von 1000 Toisen fand sich ein von der Refraktion herrührender wahrscheinlicher Fehler von ±5,124" für eine Zenit-Distanz. Indem Struve die Annahme macht, dass dieser Fehler proportional der Quadratwurzel der Entfernung ist, setzt er: w = 0,05124" ŸD, wenn w der wahrscheinliche Fehler einer Zenit-Distanz, so weit er von der Refraktion herrührt, und D die Entfernung in Toisen ist.

Für Metermass rechnet man hieraus : m = 1,721" ]/z>, wenn m der mittlere Fehler einer Zenit-Distanz und D die Entfernung in Kilometern ist. Wenn D = 5 , 10 , 50 Kilometer beträgt, so wird das Verhältnis von m zu der Refraktion an dem einen Endpunkte der betrachteten Entfernung bzw. = 0,36 , 0,26 und 0,12. Hiebei waren die Tageszeiten ausgewählt.

1837. Fuss, Saivitsch und Sabler. Ermittlung des Höhen-Unterschiedes zwischen dem schwarzen und kaspischen Meer. S. 227—248 und S. 251.

Einfaches Mittel aus 292 Beobachtungen 0,1108 mit durchschnittlicher Abweichung vom Mittel, ±0,1652; 83 Beobachtungen mit etwa 1800»» entfernten Zielpunkten Je — 0,1752 mit dem wahrscheinlichen Fehler 0,0038, ferner 61 Beobachtungen mit doppelt so weit entfernten Zielpunkten Ä = 0,1768 ± 0,0026. Maximum =1,506, Minimum = — 0,940.

Eine empirische Formel für den Refraktions-Coëfficienten wurde von Struve bestimmt, derselbe fasste die bei der Ermittlung des Höhen-Unterschiedes zwischen dem schwarzen und kaspischen Meer (S. CVI und CVII) gewonnenen Resultate zusammen in der Formel:

1,012

k — 0,1448

20 — T

Es bedeutet hierin : A die mittlere Höhe der Gesichtslinie über dem Boden ; B den auf 0° reduzierten Barometerstand am Beobacbtungsort in Millimetern; T die Lufttemperatur am Beobachtungsort in C°.

1838. Bessel. Gradmessung in Ostpreussen, u. s. w.

Auf S. 196 werden folgende 9 Bestimmungen des Refraktions-Coëfficienten k mitgeteilt, welche bei Entfernungen über 14000 Toisen (=27 Kilometer) erhalten wurden:

4)    0,1406

5)    0,1264 (Min.)

6)    0,1298

7)    0,1313

8)    0,1456

9)    0,1276

1)    0,1437

2)    0,1397

3)    0,1538 (Max.)

Das einfache Mittel dieser 9 Werte ist k = 0,1376 und das von Bessel mit Rücksicht auf die verschiedenen Entfernungen berechnete Mittel ist k = 0,1370. Die durchschnittliche Abweichung von dem einen oder anderen Mittel ist =±0,0079. Diese geringe Abweichung ist dadurch zu erklären, dass die angegebenen 9 Werte selbst Mittel aus längeren Reihen von Beobachtungen sind, und dass nur bei gutem normalem Wetter beobachtet wurde.

1840. Baeyer. Nivellement zwischen Swinemünde und Berlin, auf dienstliche Veranlassung ausgeführt von J. J. Baeyer, Major im Generalstabe, mit einer Übersichtskarte. Berlin 1840.

Auf S. 115 dieses Werkes werden 60 einzelne Refraktions-Bestimmungen vom 4. Aug. bis 20. Septbr. 1835 mitgeteilt; deren einfaches arithmetisches Mittel ist k — 0,1412. Von diesen 60 Einzelwerten k sind 36 kleiner und 24 grösser als das arithmetische Mittel 0,1412. Die durchschnittliche Abweichung einer Einzelbestimmung vom arithmetischen Mittel ist + 0,0258 oder etwa ± t/₅ k. Das Maximum ist =0,2668, das Minimum =0,0424. Die Beobachtungszeiten sind ungefähr auf 7t*—10* vormittags und 2*—5* nachmittags beschränkt.

Baeyer fand, dass die Refraktion morgens und abends grösser als mittags ist, und schloss daraus auf Proportionalität zwischen der Refraktion und der Zeit in Teilen des halben Tagebogens, wie wir bereits in § 130. S. 465 mit einer graphischen Neu-Ausgleichung angegeben haben. Wir haben für diese 60 Werte k auch die Verteilung nach dem Fehlerwahrscheinlich-

1849. Baeyer. Die Küstenvermessung und ihre Verbindung mit der Berliner Grundlinie u. s. w. von J. J. Baeyer, Oberst. Berlin 1849.

S. 488. 6 Bestimmungen über See mit dem einfachen Mittelwert k — 0,1949.

0,1368, mit

keitsgesetz (Band I. § 95.) untersucht, und folgendes gefunden, mit den Grenzen Null und «fâcher wahrscheinlicher Fehler, wobei der wahrscheinliche Fehler r = 0,0220 ist:

1,0    1,5    2,0    2,5    3,0    3,5    4,0

Grenzen 0 und nr

Theorie : Erfahrung :

n = 0,5

§ .8 8 8

S. 489—490. 16 Bestimmungen in den Küstendreiecken, einfaches Mittel k Bücksicht auf die Entfernungen nach Baeyer, k — 0,1362.

S. 490. Binnenland 19 Bestimmungen, einfaches Mittel =0,1230, Mittel mit Rücksicht auf die Entfernungen nach Baeyer, k — 0,1239.

S. 560—564. Zusammenstellung aller Bestimmungen, nach der Tageszeit geordnet.

S. 564. 28 Beobachtungen des Meereshorizontes geben im einfachen Mittel k = 0,1515.

1860. Baeyer. Mémoires de l’académie impériale des sciences de St. Pétersbourg, Vile série. Tome III, Nr.5.

Über die Strahlenbrechung in der Atmosphäre, von J. Baeyer, kgl. Preuss. Generallieutenant, korrespondierendem Mitgliede der Akademie. Der Akademie vorgelegt am 1. Juni 1860. St. Petersburg, 1860. Leipzig.

S. 46 gibt als Beobachtungen eine korrespondierende Tagesreihe mit Zenit - Distanzen, Barometer, Lufttemperatur und Psychrometer zwischen den Stationen Kupferkuhle und Brocken im Harz, Entfernung 47843»*, Höhen-Unterschied = 971™.

1861. Bruhns. Die astronomische Strahlenbrechung in ihrer historischen Entwicklung dargestellt von Dr. C. Bruhns, eine gekrönte Preisschrift. Leipzig 1861. S. 86—88 Entwicklung der Differentialgleichung für die Refraktion.

1864 Bauernfeind. Die atmosphärische Strahlenbrechung auf Grund einer neuen Aufstellung über die physikalische Konstitution der Atmosphäre, von Prof. Dr. C. M. Bauernfeind. Astronomische Nachrichten, 62. Band, Nr. 1478—1480, S. 209—252.

1866. Batiernfeind. Die atmosphärische Strahlenbrechung u. s. w. Fortsetzung. Astr. Nachrichten 67. Band, Nr. 1587-1590, S. 33—88.

Bauernfeind legt die Annahme zu Grunde:

h'

wobei bedeutet : fl    und    fl'    die    absoluten Lufttemperaturen,

p    und    p'    die    Luftdrücke,

(/    und    Q'    die    Luftdichten,

h    und    h'    die    Atmosphärenhöhen.

(vgl. hiezu Helmert, Physikalische Theorieen der höheren Geodäsie II. Band § 15. kritische Bemerkungen.)

1876. Jordan. Ein Beitrag zur Theorie der terrestrischen Refraktion. Astronomische Nachrichten, 88. Band Nr. 2095, S. 99—108, Mai 1876.

(Im wesentlichen der Inhalt unseres vorstehenden § 128.)

1880. v. Bauernfeind. Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion, von Carl Max v. Bauernfeind. Erste Mitteilung, enthaltend die Feststellung von Thatsachen. Separatabdruck aus den Abhandlungen der K. Bayer. Akademie der Wissenschaften. IL Kl., XIII. Bd., III. Abt. München 1880.

1881. Hartl. Über den Zusammenhang zwischen der terrestrischen Strahlenbrechung und den meteorologischen Elementen. Von Heinrich Hartl, k. k. Hauptmann im militär-geographischen Institute. Separatabdruck aus dem XVI. Bd., April-Heft 1881, der meteorologischen Zeitschrift.

1882. Paschen. Grossherzoglich Mecklenburgische Landes-Vermessung. I. Teil. Die trigonometrische Vermessung, ausgeführt durch die Grossh. Mecklenb. Landes-Vermessungs-Kommission, unter der wissenschaftlichen Leitung von F. Paschen u. s. w. Schwerin 1882.

S. 201—242 trigonometrische Höhen-Bestimmungen erster Ordnung.

1883. Hartl. Beiträge zum Studium der terrestrischen Strahlenbrechung, von Heinrich Hartl, k. k. Major des Armeestandes, Leiter der geodätischen Gradmessungs-Arbeiten des k. k. militärgeographischen Instituts. (Separatabdruck aus den „Mitteilungen des k. k. militär-geograph. Institutes“, III. Band 1883.)

1883.    v. Bauernfeind. Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion, von Karl Max v. Bauernfeind. Zweite Mitteilung, enthaltend weitere Thatsachen und ihre Erklärung. Mit zwei Steindruck-Tafeln. Aus den Abhandlungen der K. Bayer. Akademie der Wissenschaften. II. Kl., XY. Bd., I. Abtlg. München 1883. (Mehrere durchlaufende Tagesreihen.)

1884.    Dietze. Trigonometer der Landes-Aufnahme, hat in der Zeitschr. f. Verm. 1884, S. 245—259 eine Mitteilung gebracht über Refraktions-Bestimmungen bei Triangulierungen niederer Ordnung, wobei er den Refraktions-Coëfficienten k als Funktion der Entfernung s darstellte und mit der Entfernung etwas wachsend fand. Wir haben aus den Dietze sehen Tabellen folgenden Auszug gebildet für zwei Entfernungen s—10000™ und s — 15849™ (entsprechend logs = 4,000 und log s — 4,200) :

I. Ebene

II. Hügelland

III. Gebirgsland

«=10000«¹ s= 15849»¹

$ —10000’»

« = 15849»¹

s = 10000»¹

s = 15849»¹

Brandenburg

Oberschlesien

Elsass-Lothringen

J: —

0,090

0,101

0,011

k = 0,147 0,204 0,113

0,100

0,107

0,100

0,127 0,133 0,117

Mittel aus diesen 18 Werten: k = 0,134.

k z=

0,119

0,111

0,127

0,121

0,147

0,139

1884. Hartl. Über mittlere Refraktions-Coëfficienten, von Heinrich Hartl, k. k. Major des Armeestandes, Leiter der geodätischen Gradmessungs-Arbeiten des k. k. militär-geograph. Institutes. (Separatabdruck aus den „Mitteilungen des k. k. militär-geograph. Institutes“. IV. Band, 1884.

1884. Helmert. Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie. II. Teil : Die physikalischen Theorien.

8. Kapitel. Die trigonometrische Höhenmessung. Theoretische Formel für den Refraktions-Coëfficienten (12) S. 577. § 14. S. 584—587 Bauernfeinds Refraktions-Theorie; § 15. S. 587 bis S. 590: kritische Bemerkungen hiezu. § 16. S. 590—592: „Refraktions-Theorie von Jordan“, mit der Schlussbemerkung S. 592: „Die Formeln haben vor den Bauernfeindschen allerdings den Vorzug, die wirkliche Temperatur-Abnahme mit der Höhe zu berücksichtigen: so gut als dies eben möglich ist, wenn nur an den Endpunkten¹) Beobachtungen über dieselbe vorliegen. Umgekehrt gestatten sie auch aus Refraktions-Beobachtungen einen mehr oder weniger sicheren Rückschluss auf die Temperatur-Verhältnisse.“

Kapitel XII.

Barometrische Höhenmessung.

§ 132. Grundzüge der Theorie.

Die barometrische Höhenmessung beruht auf der Bestimmung des Luftdrucks in verschiedenen Schichten der Atmosphäre.

um

Ehe wir die Instrumente kennen lernen, welche zur Messung des Luftdrucks dienen, und ehe wir die vollständige Theorie der Höhenberechnung vornehmen, schicken wir hier die Grundzüge dieser Theorie voraus, um dadurch einen ersten Überblick über die Gesamtaufgabe zu gewinnen, welche uns nachher beschäftigen wird.

I. Das Mariotte'sehe Gesetz.

Das Volumen eines Gases ändert sich bei konstanter Temperatur umgekehrt proportional dem Druck, und die Dichte des Gases ändert sich hiernach proportional dem Druck; man hat also in Zeichen:

Druck

Volumen

Dichte

Anfangszustand

Endzustand

Po

^o

Po

«0

4>

(1)

Die Drücke p(> und p sind dabei auf eine beliebige Flächeneinheit bezogen.

II. Das Gay-Lussaćsehe Gesetz.

Die Erwärmung eines Gases bei konstantem Druck hat eine Volumänderung zur Folge, welche der Temperaturänderung proportional ist.

Temperatur

Volumen

«o

Anfangszustand

Endzustand

V = v₀ (1 + et)

Der Coefficient e dieser Gleichung hat den Wert:

e = 1,003665 ²)

Derselbe Coefficient gilt nahezu für alle permanenten Gase, und kann näherungsweise auch für Kohlensäure und Wasserdampf genommen werden.

Die Reciproke von

(2)

(3)

ist:

(4)

— = 272,85 oder rund = 273

Dem entsprechend schreibt man das Gay-Lussacsehe Gesetz, statt in der Form (2) häufig in der anderen Form:

(5)

_ 273°+ t ~ 273®

Indem man nun 273°-ht die absolute Temperatur nennt (—273° absoluter Nullpunkt), kann man das Gay-Lussac sehe Gesetz auch so aussprechen: die Volumina derselben Gasmenge verhalten sich, bei unverändertem Druck, wie ihre absoluten Temperaturen.

III. Das Mariotte-Gay-Lussac'sehe Gesetz.

Die Verbindung der beiden soeben erwähnten Gesetze giebt folgendes:

Ein Gas-Volumen vQ stehe unter dem Druck p₀ und habe die Temperatur 0°; nachdem der Druck den Wert p und die Temperatur den Wert t angenommen hat, wird das Volumen:

(6)

v = v₀

Wenn A₀ die Dichte für den Anfangszustand, und A die Dichte für den Endzustand bedeutet, so hat man:

(-)

^-(1 + et)

P

oder

Pq 1 -f- e t

(8)

Barometrische Höhenmessung.

Nach Andeutung von Fig. 1. betrachten wir einen vertikalen Luft-Cylinder, von beliebigem Querschnitt, weshalb der Querschnitt =1 gesetzt werden soll.

Fig. i.

p-dp

An irgend einer Stelle in der Höhe H über der Meeresfläche AB, sei der Luftdruck = p, und in der Höhe H ■+- dH sei der Luftdruck — p — dp. Man kann die Druck-Abnahme dp angeben, welche der Höhen-Zunahme dH entspricht, wenn man die Dichte A der Luft an der betreffenden Stelle und die Schwerebeschleunigung g kennt. Die Druckänderung dp ist nämlich gleich dem Gewicht des kleinen Luft-Cylinders von der Höhe dH.

Da der Querschnitt = 1 angenommen wurde, ist das Volumen des fraglichen kleinen Luft-Cylinders = 1 xdH=dH, die Masse — AdH, und das Gewicht = AgdH, wir haben also nun:

(9)

dp = — A g dH

Die hier vorkommende Luftdichte A ist durch

das Mariotte-Gay-Lussacsehe Gesetz bestimmt, und setzt man demnach A aus (8) in (9), so erhält man:

dp _ A

-g, ¹

^>0    1 + S t

Indem man A₀ , p₀ , g und t als konstant behandelt, kann man sofort integrieren (indem Ip den natürlichen Logarithmus von p bezeichnet) :

dH

(10)

ÓC

(11)

H -4- Const.

Die Integrations-Konstante soll dadurch bestimmt werden, dass man zwei Drücke p und P mit entsprechenden Höhen H und H' annimmt; dann hat man zu (11) noch eine zweite Gleichung:

IP = —

4)    9

H' — Const.

Po 1 •+■ * t,

Die Verbindung der beiden Gleichungen (11) und (12) giebt:

(12)

lP—lp =

(—(#-#') \ Po 1 + et)

(13)

H—H' ist die Differenz der beiden absoluten Höhen, wir setzen deshalb H—H' — h-, zugleich gehen wir von den natürlichen Logarithmen zu den briggi-schen Logarithmen (log) über, nämlich:

l P = log P , tp = j^logp    , wo M — 0,434295

u,og

oder IP — lp = ^(logP—logp) oder =

Damit wird (13) in diese Form gebracht:

(14)

Was nun p₀ , z/₀ , g betrifft, so genügt es uns hier, zunächst zu wissen, dass diese Werte als konstant in unsere Entwicklung eingegangen sind, und wir fassen desAvegen zusammen:

1 Po M /t₀ g

(15)

= K= 18464

h=Klog(f)

damit wird (14):

(16)

Dieses ist im Avesentlichen die barometrische Höhen - Formel, und zwar ist K — 18464 ein Wert, der für Mittel-Europa gilt. Die Lufttemperatur t, welche bei der Integration in (11) als konstant behandelt Avurde, wird in der Formel (16) einfach dadurch berücksichtigt, dass man das Mittel der oben und unten gemachten Lufttemperatur-Messungen als den Wert t nimmt.

Die Formel (16) genügt uns zunächst, um einzusehen, dass die Messungen für solche Höhenbestimmungen zunächst sich auf die Luftdrücke P und p und auf die Lufttemperatur zu erstrecken haben, Avoran sich noch Weiteres anreihen wird. Die Theorie werden wir später in § 145. weiter fortsetzen, und wir werden uns dann zuerst mit der Zusammensetzung von K nach (16) weiter zu beschäftigen haben.

Indessen für die gewöhnlichen praktischen ZAvecke wird auch die spätere feinere Theorie keine andere Formel als die vorstehende (16) bieten, welche in Verbindung mit unseren Hilfstafeln zur gewöhnlichen praktischen Höhenmessung ausreicht.

§ 13B. Das (Quecksilber-Barometer.

Das wichtigste Instrument zur Bestimmung des Luftdrucks ist das von Torricelli (1643) erfundene Quecksilber-Barometer.

Man kann die verschiedenen Arten solcher Barometer in zweifacher Weise

einteilen :

1)    Einteilung nach der Anordnung des Quecksilber-Behälters:

Gefässbarometer und Heberbarometer.

2)    Einteilung nach der Art des Gebrauchs:

Standbarometer und Beisebarometer.

Wir beschränken uns hier auf ausführliche Beschreibung eines Gefässbarometers als Standbarometer und eines Heberbarometers als Reisebarometer.

L Gefässbnrometer als Standbarometer. Fig. 1.

Fig. l.

Staudbarometer mit Grefass.

F.Mollenkopfg,

STUTTGART.

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L.

Die oben geschlossene Barometerröhre A A taucht unten in ein Gefäss B ein, so dass das in dem letzteren enthaltene Quecksilber mit dem Quecksilber der Bohre selbst in ununterbrochenem Zusammenhänge bleibt. Um die Wirkungsweise verständlich zu machen, geben wir zuerst in Kürze an, wie das Instrument verfertigt wird :

Die Röhre wird in umgekehrter Lage mit Quecksilber gefüllt (wobei Auskochen zur Austreibung der fest am Glase haftenden Luft nötig ist), und dann vollständig verschlossen umgekehrt, worauf Öffnung des Verschlusses erst stattfindet, nachdem die Röhrenöffnung unter den Flüssigkeitsspiegel im Gefäss B gebracht worden ist; das Quecksilber sinkt sodann in der Röhre so weit, dass die verbleibende Säule dem äusseren Luftdruck das Gleichgewicht hält. Im oberen Teil der Röhre entsteht ein leerer Raum.

( Torricelli sehe Leere.)

Wenn die Röhre sich in diesem Zustande befindet, hat man darauf auszugehen, den Höhenunterschied zwischen dem höchsten Punkt des Quecksilbers oben in der Röhre und dem Quecksilberspiegel im Gefäss zu messen. Hiezu dient ein Massstab MS, welcher mit einer Spitze S unten auf der Quecksilberoberfläche aufsteht, und oben eine Teilung trägt. Ob die Spitze S genau in der Quecksilberoberfläche endigt, kann man darnach beurteilen, dass das im Quecksilber unten zu sehende Spiegelbild der Spitze unmittelbar an die Spitze selbst sich anschliesst. Man kann den ganzen Massstab MS mit Hilfe einer Richte-Vorrichtung C wenig heben und senken, um die richtige Lage der Spitze zu erzielen.

Oben ist, längs des Massstabs, mittelst Zahnstange und Getriebe 1) verschiebbar, die Ablesevorrichtung N angebracht, bestehend aus einem Ring, der die Glasröhre umschliesst, und einem Nonius, dessen Nullpunkt in der Höhe der Ringunterkante liegt. Man zielt längs der diesseitigen und jenseitigen Unterkante des Rings, und verschiebt dabei den Ring mittelst des Getriebes D so, dass die Ziellinie die Quecksilberoberfläche berührt; dann liest man am Nonius den Barometerstand ab. Eine Lupe ist dazu nicht unbedingt nötig, weil man auch ohne eine Lupe 0,1 Millimeter richtig erhält.

Zur Ermittlung der Quecksilbertemperatur ist ein Thermometer T in möglichst inniger Verbindung mit der Quecksilberröhre angebracht. Unsere Zeichnung zeigt jedoch noch ein zweites Thermometer T', welches zunächst zur Kontrole des ersten dient, welches aber auch noch einen | besonderen Zweck erfüllt. Das Thermometer T' hat links

Fig. 2.

als

Heise-Barometer.

ö;

ÊTir.TL“..“ 7..“    -■    . V"77 " .. 7_:.rs:

srsr

b*

eine gewöhnliche Skale (C°), und ausserdem rechts eine nach Millimetern bezifferte Skale, welche unmittelbar die Reduktion des Barometerstandes auf 0°, entsprechend einem gewissen mittleren Barometerstand, näherungsweise, jedoch für die meisten Zwecke hinreichend genau, abzulesen gestattet (vgl. S. 477).

Wenn der Quecksilberstand in der Röhre steigt oder fällt, so fällt oder steigt auch der Quecksilberspiegel unten im Gefäss, allerdings nicht in gleichem Mass, weil das Gefäss viel grösseren Querschnitt hat, als die Röhre, indessen ist doch die Höhenänderung des Quecksilherstandes im Gefäss nicht unbedingt zu vernachlässigen. Da es nicht bequem wäre, hei jeder Beobachtung die Spitze S neu einzustellen, um den Höhenunterschied beider Quecksilherspiegel immer unmittelbar ahzulesen, stellt man die Spitze entsprechend einem normalen Barometerstand Bn, und bringt für andere Stände B eine Gefässkorrektion in Rechnung, entsprechend der Gleichung:

Gefässkorrektion = -+- (B —B„)

(1)

Fig. 2 a.

Verschluss K K2 und Bunten sehe Spitze 7).

wo d der innere Durchmesser der Röhre und 1)

der innere Durchmesser des Gefässes ist. Häufig

1 ₊ d hat man —

D -ÏÔ

, also die Gefässkorrektion

—....................

B—Bn

133+590=723

100

, wonach auch zu beurteilen, oh und

mit welchem Schaden man etwa diese Korrektion

iVz

J)

Aj

Hrl

vernachlässigen kann.

Die Prüfung und eventuell Berichtigung des Instruments erstreckt sich auf den leeren Raum oben in der Röhre und auf den Massstab.

Oh der obere Röhrenraum luftleer ist, untersucht man durch Neigen des Instruments, bis das Quecksilber mit scharfem Klang an das Glas anschlägt, und ohne Luftblase die Röhre füllt. Bei einem Standbarometer kann man diese Untersuchung nicht jederzeit anstellen, am besten bei der Aufstellung selbst

Die Untersuchung des Massstabes kann in selbständiger Weise nur dadurch geschehen, dass man denselben herausnimmt, und auf einen Com-- parator bringt. Indessen wird es oft genügen, die Ablesungen an dem Barometer mit den Ablesungen an einem anderen guten Instrument zu vergleichen, zumal da solche Barometervergleichung für andere Zwecke ohnehin nötig ist.

II. Heberbarometer als Reisebarometer. Fig. 2.

Eine heberartig umgebogene Glasröhre ABG ist in umgekehrter Lage (A unten) mit Queck-

silber gefüllt Avorden; wendet man nun die Röhre um, so sinkt das Quecksilber bei A herunter nach E, und steigt in dem kurzen Schenkel bis zu dem Punkte D. Das Quecksilber wird sich in beiden Schenkeln in solche Höhe stellen, dass die Säule D E dem äusseren Luftdruck das Gleichgewicht hält.

Die Röhre ist an einem hölzernen Schafte befestigt, der ausserdem einen Massstab M trägt. Dieser Massstab ist nur in der Mitte mit dem Schafte vollkommen befestigt, und kann sich an den Enden frei ausdehnen. Die Enden des Massstabes sind mit Teilungen versehen, deren gemeinsamer Nullpunkt sich auf der unteren Teilung (etwas unterhalb C) befindet, so dass die Entfernung ED sich als Summe der beiden Ablesungen ergiebt. Die Einstellung erfolgt durch Ringe, welche die Röhre umfassen; und das Ablesen geschieht mittelst Nonien, welche mit den Ringen fest verbunden, längs den Teilungen von freier Hand verschoben werden. Ein Thermometer T liefert die Temperatur des Quecksilbers und des Massstabes.

Der Verschluss der Röhre bei G und bei B wird durch einfache Korkstöpsel erzielt, welche an einem Fischbeinstab gemeinsam 'befestigt sind. Dieser Korkverschluss hat die nötige Elastizität, so dass noch Ausdehnung des Quecksilbers möglich ist, wenn nach der Verschliessung sich das Quecksilber erwärmt.

In Fig. 2 a. S 474 ist der Korkstöpsel-Verschluss K li₂ und weitere Einzelheiten besonders gezeichnet (nach Schreiber, Handbuch der barometrischen Höhenmessungen, Weimar 1877, S. 64, Verschluss von Greiner und Bunten sehe Spitze D).

Beim Niederdrücken des Verschlussstabes F drücken die Korkstöpsel K oben und K₂ bei A unten sich fest.

Die eigentümliche Anordnung der zwei Spitzen bei G und bei D (Fig 2 a.) hat den Zweck, das Eindringen von Luft auf dem Wege vom kurzen, offenen Schenkel in den langen geschlossenen Schenkel zu verhindern, denn Luftblasen, welche etwa nach B gelangen, werden sich dort in der Ausbuchtung sammeln, und erst wenn B mit Luft gefüllt ist, nach C dringen. Ähnlich verhält es sich mit der Ausbuchtung bei E und der in E hineinragenden sogenannten Bunten sehen Spitze D.

Vor dem Ablesen des Barometerstandes klopft man ein wenig an dem Instrument, um die Reibung des Quecksilbers am Glase überwinden zu helfen.

Die beiden einfachen Instrumente, welche wir im vorstehenden beschrieben haben, genügen im allgemeinen als Stand- und Reise-Instrumente. Das Standbarometer Fig. 1. S. 473 hat die Form, wie sie auf den deutschen meteorologischen Stationen im Gebrauche ist. Das Heberbarometer Fig. 2. S. 474 haben Avir im Winter 1873—74 auf der Bohlfs sehen Expedition in die libysche Wüste mitgeführt und dabei ganz zweckentsprechend gefunden.

Will man ein feineres Instrument als Rmebarometer Avälilen, so ist immer zu bedenken, dass die Barometergenauigkeit auf Reisen nicht wohl mehr gesteigert werden kann, als dass man 0,lmm noch bestimmen kann, und namentlich, dass einseitige optische Verfeinerung wenig Wert hat.

§ 134. Temperatur-Korrektion des Quecksilber-Barometers.

Zuerst handelt es sich um die Reduktion der Quecksilber-Barometerstände auf die Normaltemperatur 0°.

Wenn eine Quecksilbermenge samt der umhüllenden Glasröhre erwärmt Avird, so dehnt sich die Glasröhre unter Beibehaltung ihrer geometrischen Form aus, das

Nach dieser Formel kann die Reduktion berechnet werden, wenn die Ausdehnung des Massstabes selbst zu vernachlässigen ist; dieses geschieht z. B. oft bei hölzernen Massstäben.

Um die Ausdehnung des Massstabes selbst zu berücksichtigen, hat man zu bedenken, dass das Mass B an einem Stabe mit dem Ausdehnungs-Coëfficienten m abgelesen, selbst eine Reduktion zu erfahren hat, welche entsprechend (5) den Betrag hat :

(?)

— Bmt

Die Gesamtreduktion ist die Differenz der Ausdehnungen des Quecksilbers und des Messings, d. h. man hat nun aus (5) und (7) zusammen :

(8)

Reduktion Bq — B — — (q — m) Bt Die Ausdehnungs-Coëfficienten für verschiedene hier in Betracht kommende Stoffe sind :

„ Glas „ Silber „ Eisen „ Holz

(9)

Quecksilber dehnt sich mehr aus, und muss daher in der Röhre steigen. Wir bezeichnen den Coëfficienten für die kubische Ausdehnung des Quecksilbers in Glasröhren mit q, so dass eine Quecksilbersäule, welche in einer Glasröhre bei 0° die Höhe B hat, bei t° in derselben Glasröhre die Höhe B (1 qt) hat.

Dieser Wert q wird allgemein nach Régnault für C° so angenommen:

ä ~ 5à50 ⁼ °>⁰⁰⁰¹⁸⁰¹⁸

Die Regnaultschen Versuche von 1847 haben vor kurzem eine Neubearbeitung erfahren, welche veröffentlicht ist in dem Werke: „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures“ II. Band, Paris 1888. Einen Bericht hierüber haben wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1884“ S. 488—495 gegeben, und haben hieraus:

(1 + 20 =

1,0018179 1,0036361 1,0054549

dabei befand sich das Quecksilber in eisernen Röhren. Eisen und Glas haben nahezu gleiche Ausdehnung ; da wir die genaue Reduktion hiefür nicht kennen, lassen wir die Werte (2) unbenützt, und nehmen für unsere Zwecke den abgerundeten Wert (1), nämlich:

B = B₀(l + qt)

Umgekehrt berechnet man hieraus:

10°

20°

30°

0,00018179

0,00018181

0,00018183

wo q = 0,000180

(1)

(2)

(3)

■®o

B (1 — q t + q³ ³2)

(4)

1 + qt

Für genauere Berechnungen muss man wohl hiernach verfahren, indessen die Hilfstafeln für den täglichen Gebrauch gründen sich meist auf die abgekürzte Formel nach (4):

oder

Bq — B — — B qt

Bq = B (1 — 2 t)

Quecksilber-Reduktion Bq — B = — 0,000180 B t

(5)

(6)

für Messing³) m = 0,000 018 0,000 011 0,000 020 0,000 012 0,000 004

Am häufigsten hat man die Messingskala, also mit m — 0,000 018 nach (8) :

(9)

Reduktion für Quecksilber und Messing: B₀— B — — 0,000 162 Bt Für die beiden Fälle (6) und (9) haben wir Hilfstafeln im Anhänge Seite [14] und Seite [15] berechnet.

Besondere Reduktions- Hilfsmittel für einzelne Orte.

von seinem

nm

Für einen und denselben Ort, wo der Barometerstand höchstens 20 Mittelwert abweicht, ist die Temperaturkorrektion fast nur von der Temperatur abhängig, und wenn man einzelne Unsicherheiten bis zu 0,1»"'* nicht zu scheuen braucht, kann man für einen und denselben Ort eine abgekürzte Tafel benützen, welche dem mittleren Barometerstand entspricht.

Man kann aber in diesem Falle die Reduktion noch einfacher dadurch bestimmen, dass man das Thermometer selbst mit einer besonderen Skale versieht, welche unmittelbar die Reduktion abzulesen gestattet. Eine solche Skale hat das obere Thermometer T ' in Fig. 1. § 133. S. 473; diese besondere Skale ist für den mittleren Barometerstand 750»- bestimmt, sie zeigt deswegen z. B. 3,6»"“ an derselben Stelle des Thermometers, wo die gewöhnliche Skale -j- 30° zeigt.

Genaue Reduktions formel.

Die bisherigen Entwicklungen waren nur angenähert richtig, wie schon bei (4) angegeben wurde. Obgleich die genäherte Formel (8) und die entsprechenden Hilfs

0° C, dagegen beim alten Pariser Mass r = 13°i?,

tafeln in den meisten Fällen genügend genau sind, ist es doch von Wert, auch die genaue Reduktion zu betrachten ; zudem wollen wir noch den Fall berücksichtigen, dass der Massstab eine etwas andere Temperatur V habe als das Quecksilber, dessen Temperatur t sei. Endlich sei noch der Fall mitbehandelt, dass der Massstab eine andere A/orwmZ-Temperatur % habe als das Quecksilber. Die Normal-Temperatur des Massstabes ist nämlich beim Metermass

und beim englischen Mass t = 62° F.

Nehmen wir bei der Normaltemperatur r eine Massstablänge M₀ und bei der Temperatur t' eine Länge M, und es sei der Ausdehnungs-Coëfficient des Massstabes = m, dann besteht die Gleichung :

(10)

M = M₀ (1 -f- m (tf — t))

Für das Quecksilber gilt eine ähnliche Gleichung:

Q = Qo (i■+■ 2*)

(ii)

0,000 0189 84 0,000 0180 87 0,000 0178 30 0,000 0176 94 0,000 0174 40

Ausdehnung des Messings, dass häufig noch der von Lavoisier und Laplace bestimmte Ausdehnungscoëfficient 0,000 018 782 angewendet wird, dass aber dieser Coefficient sich auf Temperatüränderungen zwischen 0° und 100° bezieht, während bei barometrischen Messungen nur Temperaturen bis zu 40° Vorkommen, und für diese niederen Temperaturen ist die Ausdehnung eine andere, nämlich für eine mittlere Temperatur von 20°: nach Ibanez und Saavcdra

„ Wild......

„ Borda.....

, Sims......

„ Wild.....

Mittel 0,000 0180 07

In dem Werke „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, Tome I. Paris 1881“, Seite D. 21 wird eine Massstab-Ausdehnung 0,000 01859 und die Quecksilber-Ausdehnung 0,00018153 benützt.

Fig. 1.

frr\

' M.-Q,

Da der Massstab M zur Messung der Quecksilberhöhe Q dient (vergl. Fig. 1.), so ist zu setzen:

-o-

r—T----

und damit geben die Gleichungen (10) und (11):

Qo = M₀

l + m (t' — t)

1h- qt

(12)

v.

Das ist der richtige Wert Q₀, ausgedrückt in Teilen des auf seine eigene

Normaltemperatur t reduzierten Massstabs M₀.

Indessen der Zahlenwert von M₀ ist nichts anderes als der nominelle abgelesene Barometerstand 5, weshalb wir nun als Gebrauchsformel schreiben :

B₀ = B

1 -t- m {t! — t)

(13)

und hiernach kann man geradezu rechnen, indem man etwa Hilfstafeln für log (1 -t- m {t' — r)) und log (1 4- qt) benützt.

Ausserdem kann man aus (13) die Differenz B — Bq bilden:

1 -b m (t' — t)

5 — 5₀ = 5 1 —

B{) — B = — B

1 + qt qt — m(H — r)

1 4- qt

Für genaue Berechnungen hat man diese Formel anzuwenden, näherungsweise den Nenner 1 4- qt = 1, so wird:

(14)

Setzt man

âB = — B (qt — m(t' — r)) und für den besonderen Fall des Metermasses, wo t = 0° ist, und mit der gewöhnlich zulässigen Annahme, dass die Quecksilber-Temperatur t und die Massstab-Temperatur t' einander gleich seien, geht (15) auch in die frühere einfache Formel (8) zurück.

Wir bilden nach (15) die wichtigsten Gebrauchsformeln, und stellen hiezu zuerst die Ausdehnungswerte zusammen:

(15)

Thermometer:

Metermass Celsius :

Normaltemperatur .    .

Normaltemp. Quecks.

Ausdehnungs-Coëfficient für Quecksilber „ Messing . .

„ Glas ....

Hiernach bildet man folgende Formeln:

0°

0°

q = 0,000 1800 m = 0,000 0180 m = 0,0000110

1)    Für Millimeter auf Holz:

2)    y)

3)    »

„ Messing : „ Glas :

4)    „ Pariser Linien auf Holz:

5)    „

6)    „ Englische Zoll „ Holz :

7)    »

„ Messing: „

»    « Messing: „

Altes Pariser Mass Reaumur :

r = 13° ( = 16,25°C.)

Englisches Mass Fahrenheit :

t = 62° (= 16,67°C.)

0°

32°

0,0002250 0,000 0225 0,000 0138

0,000 1000 0,000 0100 0,000 0060

Reduktion = — 0,000 180 Bt = — 0,000162 Bt = — 0,000 169 Bt = — 0,000225 Bt

= — 0,000 225 B14- 0,000 0225 B(t — 13°)

= — 0,0001005 (t — 32°)

= — 0,000 100 B (t—32 °) 4- 0,000 0105 (t—62 °)

Zum Gebrauch mit dem Rechenschieber ist Quotientenform bequemer; z. B.:

— 0,000162 Bt = —

617

10 t

Man macht dann bei 617 des Lineals eine Strichmarke, und schiebt damit die Reduktionen bequemer und genauer ab, als man sie aus einer Hilfstafel entnehmen kann."

Zur gegenseitigen Verwandlung von Barometer-Werten, welche bereits auf ihre eigene Normaltemperatur reduziert sind, dienen folgende Zahlen:

1 Millimeter 1 Millimeter 1 Millimeter

=    0,443296    Pariser    Linien

log

9.646 6938 8.567 5126 8.595 1702

0.353 3062 8.948 4764 1.432 4874 0.027 6576

1.404 8298 1.051 5236 9.972 3424

Eine Tafel zur Verwandlung von Pariser Zollen und Linien in Millimeter, welche den soeben angegebenen Zahlen entspricht, ist im Anhang auf Seite [13] gegeben. (Ausführliche Reduktionstafeln für metrisches, Pariser und englisches Mass und für die verschiedenen sonstigen Barometer-Reduktionen giebt Jelineks „Anleitung zur Anstellung meteorologischer Beobachtungen und Sammlung von Hilfstafeln“. Zweite Auflage, neu herausgegeben und umgearbeitet von Hann. Wien, 1884.)

Berücksichtigung der Gefäss-Korrektion.

Man kann die Gefäss-Korrektion, welche wir schon in § 133. S. 474 kennen

gelernt haben, in die Temperatur-Korrektions-Tabelle mit hineinziehen. Es ist nach (1) S. 474:

Gefäss-Korrektion — +

d \2

(B - Bn)

(16)

wobei d und D die inneren Durchmesser der Röhre und des Gefässes sind, B die jeweilige Ablesung und B„ der normale (mittlere) Barometerstand, für welchen die Skale

gestimmt ist. Wenn z. B.

lïy) ~ löo un<^ -®n = 730“"*, so hat man für 760"*”*

die Korrektion -+- 0,1”*”* und für 740mm die Korrektion — 0,lmm u. s. w.

Indem man diese Gefäss-Korrektion mit der Temperatur-Korrektion zusammennimmt, hat man:

- 0,000162 Bt + 0,01 (B — 750)

wobei Messingskale vorausgesetzt ist.

Eine hiefür berechnete Tafel ist im Anhang Seite [16] gegeben. Dieselbe ist zunächst für das Instrument Fig. 1. § 133. S. 473 und für eine Meereshöhe von rund 100“ bestimmt, und kann daher an sehr vielen Orten gebraucht werden. Jedenfalls kann man für gegebene andere Umstände mit Leichtigkeit eine solche besondere Tafel berechnen.

§ 135. Capillar-Depression.

In Folge der gegenseitigen Anziehung des Glases und des Quecksilbers ist die Oberfläche des letzteren nicht eben, sondern gewölbt, und es steht der Scheitel der sich bildenden Kuppe stets tiefer als die Oberfläche, welche das Quecksilber zeigen würde, wenn jene Anziehung nicht wirksam wäre.

Die Capillar - Depression b ist der Betrag, um welchen die Kuppe tiefer steht, als die Quecksilber-Oberfläche in einer Röhre ohne Depression stehen würde

Fig. l.

Capillar-Depression.

(vgl. Fig. 1.).

Die Capillar-Depression b ist abhängig von dem inneren Röhrendurchmesser D und von der Kuppen-

l) 5

höhe k (Fig. 1.).

Wir haben hiefür im Anhänge S. (17] eine Tafel zusammengestellt (nach Schleiern)aclier und Delcros, Poggendorffs Annalen der Physik, 60. Band, 1843, S. 377, wo jedoch irrtümlich Durchmesser statt Halbmesser steht), aus welcher man z. B. entnimmt, dass für den inneren Durchmesser 10’

k 5::

und die Kuppenhöhe k = 1,3““, die

ist. Wahrscheinlich hat auch die Beschaffenheit und die Tem-

Depression = 0,38 peratur u. s. w. des Glases Einfluss auf die Capillarität. —

Bei Gefässbarometern ist die Depression zu dem an der Kuppe abgelesenen

mm

Stande zu addieren.

Bei Heberbarometern kommt nur die Differenz der beiden Depressionen in Betracht, und zwar ist gewöhnlich die Depression im untern Schenkel die grössere, also die Differenz der Depressionen von der Messung abzuziehen.

Die Kuppenhöhe ist nicht nur bei verschiedenen Instrumenten, sondern auch bei demselben Instrument veränderlich, z. B. bei dem Heberbarometer Fig. 2. § 133. S. 474 mit innerem Röhrendurchmesser von 6““ fand ich auf der libyschen Expedition an verschiedenen Tagen zwischen November 1873 und Mai 1874 nach und nach folgende Kuppenhöhen :

oben 0,83 0,83 unten 1,11    1,26

0,82

0,94™“ 1,63““

Da diese Zahlen die Mittel aus je mehreren Ablesungen sind, so scheint bewiesen, dass sich die Kuppenhöhe im unteren Schenkel um etwa 0,5““ vergrössert hat; der innere Röhrendurchmesser war 6““, folglich entsprechen nach der Tafel im Anhänge Seite [17] den Kuppenhöhen 1,1““ und 1,6““ die Depressionen 1,14““ und 1,41““, und den Kuppenhöhen-Differenzen entspricht eine Depressions-Differenz von 0,27““.

o r-T

o r-T

1,58

co o 00

O t-H

Im Lauf eines Tages kann man an einem Reisebarometer bei verschiedenen Temperaturen, und hei verschiedenen Barometerständen u. s. wv verschiedene Kuppenhöhen beobachten, und muss dann, nach den vorhandenen Tafeln, auch verschiedene Capillar,i-täten in Rechnung bringen. Dieses deutet übrigens darauf hin, dass Quecksilber-Barometerbestimmungen ohne feste Aufstellung überhaupt nicht sehr genau sein können.

Wenn im Laufe der Jahre die Kuppe im unteren Schenkel grösser wird, so hat das eine leicht angebbare Ursache; das Quecksilber erfährt nämlich im unteren Schenkel,

wo es mit der Luft in Berührung kommt, eine geringe Oxydation ; auch kommen hier Unreinigkeiten hinzu und deswegen haftet das Quecksilber ungleich an der Röhrenwand. Auch wird das Glas hier getrübt, so dass nach 1—2jährigem Gebrauch kein sicheres Einstellen auf den Rand mehr möglich ist. Wenn man keinen scharfen Rand mehr beobachtet, so wird man auch nicht berechtigt sein, aus der (ungenügend gemessenen) Kuppenhöhe nach den Tafelwerten eine Capillaritäts-Korrektion anzubringen.

Bestimmung des inneren Durchmessers der Glasröhre.

Bei fertigen Instrumenten kann der innere Durchmesser der Glasröhre, den man jedenfalls zur Capillaritäts-Bestimmung braucht, nicht unmittelbar gemessen werden, weil die Quecksilherfüllung, von aussen gesehen, durch Strahlenbrechung der Glaswand zu gross erscheint, so dass bei dünnwandigen Röhren überhaupt kein innerer Durchmesser zu sehen ist, sondern die ganze Hülle mit Quecksilber ausgefüllt zu sein scheint.

Fig. 2.

Nach einer Mitteilung in der „Zeitschrift für Instrumentenkunde 1886“, S. 106 (nach Lépinay, Journal de phys. II, 4, S. 35) kann man die scheinbare Vergrösserung des inneren Durchmessers oder Halbmessers einer Barometer-Röhre durch Lichtbrechung theoretisch verfolgen, wie in Fig. 2. angegeben ist. Der äussere Röhren - Halbmesser sei = R und der innere Halbmesser — r. fm Abstande a vom Mittelpunkt sieht man beide Halbmesser scheinbar = K! und r' (in Winkelmass). Wenn fi der Brechungs-Coëfficient des Glases ist, so hat man, nach Andeutung von Fig. 2., folgende Gleichungen:

r = R sin a

/P\

r \ a

sin ß = a sin a

R

sin R'

sin r'

sm ß — a —

Hieraus folgt:

R'

R sin r'

¹ fi sin R'

Wenn der Abstand a einigermassen gross ist, also die Winkel r' und R' klein sind, so kann man auch schreiben, zugleich mit y= 1,5:

R r'

(1)

I"

Sah,

(2)

fi R

und dabei können r' und R' selbst auch linear, geradezu an einem quergehaltenen Millimeter-Massstab abgelesen sein.

Diese ganze Betrachtung gilt nur, wenn r' kleiner als R' ist, d. h. wenn man einen inneren Durchmesser überhaupt noch sieht; bei dünnwandigen Röhren ist dieses nicht mehr der Fall, die Röhre scheint dann ganz bis an die äusserste Hülle aus Quecksilber zu bestehen.

Wir betrachten den Grenzfall mit r' = R', dann wird nach (2):

~ R (Grenzfall)

und wenn der Quecksilberrand sich von der Röhre nicht mehr abhebt, so ist also nach (3):

(3)

(4)

r>~sB

d. h. in diesem Falle ist die innere Dicke mindestens gleich zwei Dritteln der äusseren Dicke, oder die Wandstärke höchstens gleich einem Drittel des äusseren Halbmessers. Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufi. II. Bd.

Zur Messung empfiehlt in diesem Falle der citierte Artikel von Lépinay, man soll um die mit Quecksilber gefüllte Röhre eine zweite Glasröhre bringen, und den Zwischenraum mit Wasser füllen.

Fig. 3.

~s

Statt dessen scheint uns ein einfacheres, durch Fig. 8. erläutertes Verfahren anwendbar zu sein, welches darin besteht, dass man die Kuppe schief von oben her betrachtet, und ein entsprechendes Mass h in der Vertikalen misst. Ist der Winkel, den die Sehrichtung mit der Vertikalen macht, = a, so hat man:

(5)

d = h tang a

PUHL

Um den Winkel a konstant zu erhalten und zu bestimmen, kann man eine ganz einfache Zielvorrichtung anbringen, und das Mass h haben wir einfach an der Schiebevorrichtung mit Nonius abgelesen , den man zum gewöhnlichen Einstellen und Ablesen ohnehin braucht.

Als Beispiel einer solchen Bestimmung geben wir von einem Hannover’schen Barometer 10 Ablesungen unter a = 45°:

«<1    «<1    -0    «<]    •<]

OS    OS    OS    OS    OS

^    Ol    w    ^    ^

oo    7-*    7-*    cc>    cd

^    CO    ^    CO

QO    00    00    00    00

lQ    xO    iO    lO    lO

t>    t>    [>    I>    I>

6,66 = d

Mittel 764,96    758,30

¹

Man kann auch andere meteorologische Beobachtungen als an den Endpunkten benützen, eine Funktion (59) oder (60) § 128. S. 461 für die Lufttemperatur zu bestimmen, und damit die Refraktionsformeln (51)—(54) § 128. S. 460 anzuwenden.

²

Bestimmung von Begnault (Comptes rendus, 20. Band, 1845, S. 988) zwei Versuche: 0,003667 und 0,003663, im Mittel 0,003665.

³

ln dem „Repertorium für Meteorologie“, III. Band, Petersburg 1874, Über die Bestimmung des Luftdrucks, S. 7—8 sagt dessen Herausgeber H. Wild über die

§ 136. Schwere-Korrektion.

Der in der bisher beschriebenen Weise reduzierte Quecksilber-Barometerstand ist noch nicht ein absolutes Mass des Luftdrucks, weil die Schwerkraft, also das Gewicht der Quecksilbersäule, veränderlich ist.

Der Druck der Quecksilbersäule, welcher dem Luftdruck das Gleichgewicht hält, ist nämlich das Produkt aus der Masse des Quecksilbers (Masse = Volumen X Dichte) in die Beschleunigung der Schwere. Diese Schwerenheschleunigung, gewöhnlich mit g bezeichnet, ist mit der Höhe über dem Meere und mit der geographischen Breite veränderlich.

In Hinsicht auf die Höhe haben wir das einfache Gesetz, dass ausserhalb der festen Erde die Schweren sich umgekehrt proportional den Quadraten der Entfernungen vom Erdmittelpunkte verhalten. Wenn daher g₍₎ die Schwerenheschleunigung in der Höhe Null (im Meeresspiegel), und g die Schwerenbeschleunigung in der Höhe H bedeutet, und der Erdhalbmesser bis zum Meere = r ist, so besteht die Gleichung:

(i)

g __ (r -+- 0)2

(r -+- H) 2 “ (r + H)2

oder entwickelt, hinreichend genau:

--2 cos 2q> einführt, erhält man aus (3) und (4)

und indem man noch sin² —

H\2

2 5'

(2)

Was die Änderung von g mit der Breite q> betrifft, so besteht eine Gleichung von der Form:

9o = 9o° (1+7 sirfi g>) wo g₀° die Schwere im Äquator, unter der Breite q> — 0, und in der Höhe H — 0 bedeutet, und y ein von der Abplattung der Erde abhängiger Coefficient ist. Man benützt die Beziehung (3) häufig auch in anderer Form ; man hat nämlich mit <p = 45°,

(3)

sin? ip =

, also :

⁴⁵ ~    (¹    2 )

(4)

zusammen :

9o = 9o⁴⁵

cos 2

— 0o⁴⁵ (1 — ß cos 2 y)

(5)

¹⁺ 2

wobei nun g^⁵ die Schwerenbeschleunigung in der Höhe H = 0, unter der Breite 45 ° ist, und ß ein neu eingeführter Coefficient ist.

Was nun die Zahlenwerte für g₀° , y , ß u. s. w. betrifft, so waren dieselben nach verschiedenen Berechnern sehr schwankend. In dem Werke „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures“ I. 1881, S. A. 5—8, sind die wichtigsten Angaben hiefür zusammengestellt und es wird schliesslich (16) ß = 0,00259 angenommen. In jüngster Zeit hat Helmert in dem Werke „Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie“, II. Teil, Leipzig 1884', S. 215—241 eine Reduktion und Ausgleichung von 122 Pendelbeobachtungen durchgeführt, deren Resultat ist (S. 241):

g₀ = 9,7800 (1 + 0,005310 cos 2 <p)

Es ist also mit unseren vorhergehenden Bezeichnungen :

(6)

(6a)

0O° = 9,7800 , y = 0,005310

und die Ausrechnung nach (5) giebt:

g₀45 — 9,80596 oder abgerundet, nach Helmert S. 609:

wo

9o = 0o⁴⁵ (1 — ß cos 2 <p) und

ß = 0,002648

(?)

(8)

(9)

ß — 0,00265

Hiernach werden wir für unsere Zwecke den Wert </₀⁴⁵ nach (8) und ß nach (9) künftig anwenden.

Fasst man nun die Änderungen für Höhe und für Breite zusammen, so hat man aus (1) und (4):

9 = £o⁴⁵ (1 — ß cos 2 9>) ^1 —

oder

— 9o⁴⁵ ^ 1 — P cos 2 <P

(10)

Nun (lenken wir, es sei an einem Punkt mit der Schwere g ein Barometerstand B beobachtet, und wir fragen, wenn an einem Punkte in Meereshöhe (H = 0) unter der Breite 45°, derselbe Luftdruck stattfindet, wie an dem ersten Punkte, welche Barometerhöhe würde an dem zweiten Punkte beobachtet worden sein?

Die Antwort ist: Es würde eine andere Höhe J5₀⁴⁵ beobachtet werden, welche zu der ersten B in der Beziehung steht:

Bg = Bo⁴⁵ go45 Bq^s = B

oder es besteht die Reduktion:

also :

2o⁴⁵

— B 1 — ß cos 2 y —

(H)

2 B H

B(j⁴⁵ — B — — B ß cos 2 (p---—

Zur Übersicht berechnen wir nach dem ersten Gliede dieser Gleichung folgendes Hilfstäfelchen :

(12)

Schwere-Korrektion des Quecksilber-Barometers für geographische Breite y H₀⁴⁵ — Bq — /I Bi — — ß B cos 2 <p , ß = 0,00265 , für B = 760™”*

<f>

/1B[

<P

<P

à Bx

9>

ABX

0°

50°    +0,35»

55    + 0,69

90    + 2,01

—    2,0P

—    1,89

40°

45°

Wie man sieht, ist diese Reduktion nicht unerheblich; allerdings kommen bei den meisten Anwendungen auf barometrische Höhenmessungen nur die Differenzen der Reduktionen für verschiedene Breiten in Betracht, d. h. in Mittel-Europa etwa 0,07mm für 1° Breiten-Unterschied.

Beispielshalber gehen wir die Reduktionen unserer in der libyschen Wüste gemachten Quecksilber - Barometermessungen auf die Breite von Kairo, wo regelmässige korrespondierende Messungen gemacht wurden:

10

20

30

35

40

— 1,54

— 1,01

—    1,69

—    0,35

Ort

Kairo . . . .

Siut.....

Marag . . . Farafrah . .

41

42

43

44

45

Breite

<p

30° 4' 27 11 27 23 27    3

mm

46

47

48

49

50

+ 0,00 + 0,07 + 0,14 + 0,21 + 0,28 + 0,35

m nl

(13)

Reduktion auf Kairo

Ort

Breite

<P

Reduktion auf Kairo

0,00’

— 0,18

0,16

— 0,18

Dachei . . . Chargeh . . Esneh.... Kairo . . . .

25° 42' 25 26 25 18 30    4

— 0,26’ — 0,27

0,28

0,00

Das zweite Glied der Gleichung (12) giebt die Reduktion für die Höhe, und verlangt zur Ausrechnung die Kenntnis der Höhe H über dem Meere, wenigstens genähert. Bei irgend welcher Anwendung wird diese Höhe H wohl leicht zu erlangen sein; um jedoch eine Tafel von der Form (13) zur allgemeinen Übersicht zu berechnen, muss man die Höhe H aus dem Barometerstand B selbst ableiten. Es mag hiezu die

Näherungsfunktion genügen, welche wir in Band I. § 14. in Gleichung (12) S. 39 gefunden haben, etwa in ganz runden Zahlen :

B = 760 — 0,087 H oder H = 11,5 (760 — B)

Setzt man dieses in das zweite Glied von (12), so erhält man :

2 BH

(14)

Bq - B — H B% --

Hiernach ist folgendes zur Übersicht berechnet:

23,0

~ B (760 — B)

(15)

Schicere-Korrektion des Quecksilber-Barometers für die Höhe H über dem Meer. — ²^’° B(160 — B) , r = 6370 000™ , log —

zi Bq = —

2 BH

23,0

= 4,5576 — 10.

bö

H ABZ

JBq

mm

760

750

740

730

720

710

700

— 0,00

— 0,10

575 j —0,13 690    — 0,15

115

230

345

460

690

680

805

920

670    1035

660

1150

650    1265

640

630

1380

1495

—    0,17

—    0,20 — 0,22

—    0,24

—    0,26 — 0,28 — 0,30

620

610

600

590

580

570

560

1610

1725

1840

1955

2070

2185

2300

0,39

— 0,40

(16)

Die im bisherigen behandelte Schwere-Korrektion des Quecksilber-Barometers ist anzubringen vor der Benützung der Quecksilber-Barometer-Angaben zur barometrischen Höhenbestimmung, ferner vor der Vergleichung derselben mit den Angaben von Federbarometern oder Kochthermometern. In manchen Fällen kommt bei Vergleichungen nur ein Teil der Gesamt-Reduktion in Betracht; z. B. wenn man zwei korrespondierende Stationen in sehr nahe gleicher Breite, aber in ungleichen Höhen hat, so kann man die Breiten-Reduktion (13) als konstant fortlassen. Solches ist in jedem einzelnen Falle besonders zu überlegen.

Anmerkungen.

I. Die in der angegebenen Weise reduzierten Quecksilber-Barometerstände, welche mir mit B₀⁴⁵ bezeichnet haben, gelten allgemein als Normalwerte, und sind als solche auch von dem internationalen Mass- und Gewichts-Amte angenommen worden. In dem Werke „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, I. 1881“, Seite A. 46, ist hierüber gesagt: „les hauteurs barométriques sont supposées réduites à la température zéro et a la densité 13,59593 du mercure, à 45° de latitude et au niveau de la mer“. Es ist aber zu beachten, dass das internationale Mass- und Gewichts-Amt einen anderen Coëfficienten 0,00259 anwendet, als die neue, beste Bestimmung von Helmert, 0,00265, welche wir unseren Berechnungen und Tafeln zu Grunde legen (s. o. bei (6), (8) und (9), S. 483.)

II. Versteht man unter B und B' zwei Barometerstände unter gleicher Breite, aber in verschiedenen Höhen, und Bq und Bq die auf die Höhe H — 0 reduzierten Werte, so ist:

§ 137. Luftdrucksberechnimg. Genauigkeit.

Wenn man die im bisherigen beschriebenen einzelnen Reduktionen (§ 134.—§ 186.) an den Ablesungen von Quecksilberbarometern anbringt, so erhält man richtige Masse des Luftdrucks, welche in der zu Anfang entwickelten Formel (16) § 132. S 472 als P und p eingesetzt werden können, um zur barometrischen Höhenberechnung zu dienen.

vor-

B (r + fi)2 _ B B{; ~ B' (r + fi)2 ~ B'

(l + 2

if—fi'

)=l(¹ + 2- -)

log

i = toS|;+%(!+ +

oder

B 2 Mh

= ’ogw

Diese letzte Deduktion wurde früher gewöhnlich in die barometrischen Höhenformeln aufgenommen (Formeln von Laplace, Bauernfeind u. s. w.); wenn man jedoch nicht nur Quecksilber-Barometer, sondern auch Feder-Barometer im Sinne hat, für welch letztere das Schlussglied in (17) nicht gilt, so darf man jenes Glied nicht in die Barometerformel aufnehmen. Ausserdem ist die mit der Aufnahme jenes Gliedes gewöhnlich verbundene Annahme, dass die geographischen Breiten beider Punkte gleich seien, auch nicht immer genügend erfüllt.

Wir werden daher in unserer nachher (in § 145.) zu entwickelnden vollständigen Barometerformel die Schwere-Korrektion für das Quecksilber nicht aufnehmen.

(17)

Da in jener Formel die Ausdrücke P und p nur in dem Quotienten —

p

kommen, so ist auch ersichtlich, dass die Masseinheit für P und p willkürlich ist; es kommt nur darauf an, dass P und p in gleicher Masseinheit ausgedrückt sind.

Wir nehmen einige Zahlenbeispiele:

Gefäss-Barometer Fig. 1. § 133. S. 473.

Der Massstab ist von Messing, innerer Röhrendurchmesser = 10mm. Querschnittsverhältnis der Röhre und des Gefässes = 1:100, Normalstand = 750mm.

Beobachtung

Thermometer

17,5°

| (Anhang Seite [16])

Temperaturkorrektion Gefässkorrektion Capillarkorrektion (Anhang Seite [17])

Kuppe

B = 744,9mm

Rand Kuppenhöhe 743,6mm    l,3mm

— 2,16

+ 0,38

.....

Reduzierter Barometerstand B₀ = 743,12 Die Höhe des Beobachtungspunktes über dem Meer sei fi — 100™ und die geographische Breite sei q> = 49°, und damit berechnet man die Schwere-Korrektion:

— 0,00265 B cos 2 ₉ = + 0,267 2 BH

= — 0,023

+ 0,24

Diese Korrektion -(- 0,24mm, welche man genähert auch aus der Hilfstafel Seite [19] entnehmen kann, wird zu dem obigen B₀ = 743,12 hinzugefügt und giebt:

(fi₀)₀45 ₌ 743,36”*”*.

Ob es nötig ist, die Schwere-Korrektion anzubringen, das hängt von den Umständen ab. Wenn es sich um Vergleichungen zweier Instrumente handelt, bei welchen die Schwere-Korrektion gleich ist, braucht man dieselbe nicht zu berechnen.

Wir nehmen als zweites Beispiel eine Beobachtung mit dem Heber barom eter Fig. 2. § 133. S. 474 ohne Berechnung der Schwere-Korrektion:

Der Massstab ist von Messing, der innere Böhrendurchmesser ist 6“’\ Beobachtung

Oberer Schenkel Unterer Schenkel

Kuppen

höhen

1,0”™

Temperaturkorrektion Capillarkorrektion — (1,44—1,07)= — 0,37

Thermometer Kuppe    Band

17,5°    616,3mm 615,3”™

127,4    129,1

743,7

— 2,11 (—0,000162 Bt nach Seite [15]) (nach Seite [17])

1,7

Capillar-

depressionen

0,37

Beduzierter Barometerstand B₍₎ = 741,22

Bei diesem Instrument liegt der Nullpunkt der Teilung zwischen der oberen und der unteren Quecksilberoberfläche, es werden daher die beiden Ablesungen addiert ; bei anderen Heberbarometern liegt der Nullpunkt unter beiden Ablesungsstellen, und dann wird der Barometerstand durch Subtraktion beider Ablesungen gebildet.

Vergleichung zweier Barometer.

Die Vergleichung von Barometern kommt sehr oft vor, dieselbe ist immer nötig, wenn zwei Instrumente als korrespondierend zu Höhenmessungen gebraucht werden sollen.

Man hat hiebei alle diejenigen Korrektionen anzubringen, welche nicht beiden Instrumenten gemeinsam sind. Da die Instrumente zur Vergleichung an demselben Orte befindlich sein müssen, so ist jedenfalls die geographische Breite und die Meereshöhe, also die Schwerkorrektion gemeinsam.

Folgendes ist ein Beispiel einer solchen Vergleichung:

Kairo, Meteorologische Station Abbasieh 5. Dezember 1873. Zeit 9h 45™

Reisebarometer. 762,90

Stationsbarometer.

762,44

763,69

mm

762,59

762,55

763,39

763,39

10'¹ 30”*

762,23

762,50

762,99

763,22

763,34 Differenz = 0,80””».

Mittel

762,54

Man hat im Mittel das Eesultat:

Stationsbarometer — Eeisebarometer = + 0,80™”*.

Die Capillaritätskorrektion bringt man bei kürzeren Beobachtungsreihen an demselben Orte gewöhnlich nicht einzeln für jede Ablesung in Eechnung, sondern man berechnet sie aus dem Mittel der Kuppenhöhen, und bringt sie als konstant in Eechnung.

Einfluss einer Meinen Luftblase im oberen Schenkel des Barometers.

Eine kleine Luftblase von 1—2mm Durchmesser, welche sich im oberen Teil der Köhre beim Neigen des Instrumentes zeigt, hat einen hinreichend konstanten Einfluss, so dass derselbe gemeinsam mit anderen Fehlern bei der Vergleichung in Rechnung gebracht wird. Die Luft einer grösseren Blase hat bei verschiedenen Temperaturen schon merklich verschiedene Spannungen, und der Einfluss einer solchen Blase muss deswegen durch Vergleichung mit einem Normalbarometer bei verschiedenen Temperaturen bestimmt werden. Man kann den Einfluss einer Blase auf theoretischem Wege bestimmen („Poggendorffs Annalen“ 88. Bd. S. 273 — 278, Schreiber, ,Handbuch der barometr. Höhenmessung“ S. 82—84), doch ist die unmittelbare Vergleichung mit einem anderen Barometer bei verschiedenen Temperaturen das sicherste Mittel zur Elimination des Fehlers, wenn man gezwungen ist, mit einem solchen Instrument zu messen.

Genauigkeit.

Der mittlere Fehler einer Einstellung und Ablesung des Quecksilber-Barometers kann leicht auf + 0,lmm heruntergebracht werden, auch bei Einstellung von freier Hand und Ablesung mit biosem Auge.

Anders verhält es sich aber mit dem mittleren Fehler der Bestimmung des Barometerstandes selbst. Fortgesetzte Vergleichungen von Quecksilber-Barometern zeigen Widersprüche, welche sich durch die Ungenauigkeiten des Einstellens und Ablesens allein nicht erklären lassen.

Zur Genauigkeits-Bestimmung haben wir zwei Instrumente Fig. 1. u. Fig. 2. § 183. mehrere Wochen lang täglich gewöhnlich zweimal miteinander verglichen ; der mittlere Fehler einer Vergleichung fand sich = + 0,33’"ro, also der mittlere Fehler der Messung des Luftdruckes an einem Instrument = 0,33 : ]/2 = + 0,24"™, oder, dabei jeder Vergleichung 3 Einstellungen und Ablesungen in Betracht kommen (2 am Heberbarometer und 1 am Gefässbarometer), so ist der mittlere Fehler einer Einstellung und Ablesung = 0,33 : yW = + 0,19mw*.

In „Carls Repertorium“ Band IX Heft 4 (Separatabdruck S. 39 — 40) giebt Schreiber einige Genauigkeitsresultate, betreffend die Vergleichung von Quecksilberbarometern. Das Poller sehe Barometer verglichen mit dem Leipziger Stationsbarometer

gab den mittleren Fehler einer Vergleichung = fr. 0,52 eine¹’ Luftdrucksbestimmung mit einem Barometer = 0,52 : Y2 = + 0,37m”‘. Ferner Gr einer sches Heberbarometer verglichen mit einem Normalbarometer, giebt den mittleren Fehler einer Vergleichung = + 0,19mm an. Schreiber zitiert hier aus der „Vierteljahrsschrift der Züricher naturforschenden Gesellschaft 1871“, Heft 4, dass Wolf für die Vergleichung eines Heberbarometers mit einem Normalbarometer den mittleren Fehler = + 0,19"'”‘, und dass Bruhns den mittleren Fehler einer Ablesung am Heberbarometer von Gr einer in Berlin = + 0,10””" fand. Wild giebt im „Repertorium für Meteorologie“ III. Band (1874) S. 80 als Gesamtresultat einer Untersuchung der Genauigkeit von Quecksilberbarometern zweiter Klasse (wozu z. B. die Instrumente Fig. 1.

und den mittleren Fehler

und Fig. 2. § 133. zu rechnen sind), folgendes an:

1)    Selbst bei den geringeren dieser Barometer übersteigt der durchschnittliche Fehler einer Ablesung nicht + 0,2””" (= + 0,25”*”' mittlerer Fehler) und bei den besseren bleibt er unter + 0,lmm (= + 0,12””" mittlerer Fehler).

2)    Innerhalb 5 Jahren verändert sich die absolute Korrektion eines Barometers um nicht mehr als 0,2mm.

3) Die absoluten Korrektionen verschiedener Barometer und selbst besserer sogenannter Normalinstrumente betragen oft nahezu 1™"'.

Eine vergleichende Zusammenstellung der gegenseitigen Differenzen der Normalbarometer der europäischen Hauptstationen gab Jelinek in der „Zeitschr. d. österr. Gesellsch. für Met. 1878“ S. 845.

Durchmesser

Aus all diesen Genauigkeitsangaben geht hervor, dass der mittlere Fehler einer Bestimmung des Luftdrucks mit einem Instrument, dessen Röhre 6—10 hat, zu 0,1 bis 0/2™"' zu veranschlagen ist, und dass dieser Fehler durch mechanische und optische Hilfsmittel nicht erheblich verringert werden kann.

§ 138. Feder-Barometer.

So lange man kein anderes Mittel zur Luftdrucksbestimmung hatte, als das für den Feldgebrauch unbequeme Quecksilber-Barometer, blieb die barometrische Höhenmessung auf einen massigen Kreis der Anwendung von Seiten der Geographen beschränkt.

Im Jahr 1847 wurde ein erstes Instrument von dem Engländer Vidi konstruiert, welches den Luftdruck nicht durch die Schwere einer Quecksilbersäule, sondern durch die Federkraft einer metallenen luftleeren Büchse mass.

Seitdem solche Instrumente allgemein verbreitet sind, ist die barometrische Höhenmessung ungemein erleichtert worden, und hat sich damit in weitesten Kreisen der Techniker und der Geographen eingebürgert.

Der Hauptteil jedes Feder-Barometers ist eine aus federndem Metall konstruierte nahezu luftleer gepumpte und luftdicht verschlossene Büchse, welche bei zunehmendem äusserem Luftdruck zusammengedrückt und hei abnehmendem Luftdruck auseinandergezogen wird, welche also in ihren, wenn auch kleinen Dimensions-Änderungen ein Mass des Luftdrucks abgiebt.

genau messen.

Luftleer oder wenigstens nahezu luftleer muss die Büchse deswegen sein, weil sonst die innere Luft durch Temperatur - Änderung bedeutende Druckänderungen er

Die Höhenänderung der Büchse beträgt (nach Koppe, „Die Aneroid-Barometer“, Zürich 1877, S. 2) etwa 0,5m™ für eine Luftdrucks-Änderung von 100™™; um also einen Luftdruck auf 0,l™m genau zu bestimmen, muss man die Büchsen-Änderung auf 0,0005’

zeugen würde, neben denen die eigentlichen Luftdrucks-Anderungen nicht mehr richtig dargestellt, und unter Umständen ganz verdunkelt würden.

Da die Büchse luftleer ist, muss sie den ganzen bedeutenden äusseren Atmosphärendruck aushalten, welcher eine schwache dünnwandige Büchse nach dem Auspumpen sofort zusammendrücken würde. Deswegen haben die Feder-Barometer als .wesentlichen Konstruktionsteil eine starke Feder, welche, dem äusseren Luftdruck das Gleichgewicht haltend, jene Gefahr des Zusammendrückens wieder aufhebt.

Nach dieser allgemeinen Einleitung können wir zur Beschreibung einzelner Konstruktionen übergehen.

I. Feder-Barometer nach Vidi, von Naudet oder Bohne.

Die am meisten gebräuchlichste Konstruktion von Feder-Barometern ist noch immer im wesentlichen die ursprünglich FidLsche, welche in nachstehender Fig. 1. S. 490 dargestellt ist. Zunächst entspricht diese Figur allerdings einem Pariser In-

strument von Naudet, kann aber ebenso auch, in der Hauptsache, die neueren deutschen (kompensierten) Instrumente von Bohne in Berlin veranschaulichen.

Der Hauptteil ist die elastische, luftleer gemachte und luftdicht verschlossene Büchse A von wellenförmigem Querschnitt, deren Wirkung schon in der vorhergehenden Einleitung beschrieben ist, und L ist die starke, dem äusseren Luftdruck das Gleichgewicht haltende Spannfeder.

Fig. 1.

(‘/g natürliche Grösse.)

Feder-Barometer nach Vidi, von Naudet und Bohne.

El

pii

:4

VA

Die untere Wand der Büchse A ist mit dem Boden B der Gesamtumhüllung verbunden, es * wird daher die obere Wand der Büchse A und die damit verbundene Säule C bei Veränderungen des äusseren Luftdruckes eine schwache auf- und niedergehende Bewegung machen, welche durch Hebelühersetzung auf dem Wege HEFG ver-grössert werden muss. Die Ver-grösserung der Bewegung wird in der Hebelübersetzung mit dem Drehpunkt F hauptsächlich bewirkt durch die Kleinheit des Armes FF im Vergleich mit FG ; diese Vergrösse-rung. genügt aber noch nicht, weshalb um eine vertikale Trommel H, von sehr geringem Durchmesser, eine Kette GH von G aus gespannt ist, so dass eine kleine Bewegung von G bereits eine erhebliche Drehung der Axe H hervorbringt. Dabei sorgt eine Spiralfeder N dafür, dass die Kette GH im-

geteilten Zifferblatt K (im Grundriss weggelassen) gemessen werden.

mer gespannt bleibt. Endlich steckt auf der Axe H ein Zeiger J, dessen Drehungen auf einem

Hiemit ist der Apparat im wesentlichen erklärt, es sind aber noch einige Hilfsvorrichtungen zu beachten: Zur Verhinderung eines toten Ganges dient zuerst die schon erwähnte Spiralfeder N, dann die Hauptfeder L, wodurch die Säule C nebst dem Hebelsarm GH immer in die Höhe gedrückt wird, mag der Luftdruck zunehmen oder abnehmen. Gegen toten Gang wirkt auch das Kugelgewicht M, jedoch nur dann, wenn das Instrument horizontal (Zifferblatt oben) gehalten wird, weshalb diese Stellung stets bei der Beobachtung zu bewahren ist.

Zur Berichtigung des Instrumentes sind zwei Vorrichtungen vorhanden : Bei E sind kleine Richte-Schrauben angebracht, durch welche der Hebelsarm EF verändert,

also das Mass der Hebel - Übersetzungsvergrösserung ein wenig geregelt werden kann. Bei P kann mittelst einer Schraube die Pressung der Spannfeder L gegen die Säule G verändert werden, und es ergiebt sich daraus eine Verstellung des Zeigers J auf der Skale K, unabhängig von dem äusseren Luftdruck.

Zur Bestimmung der inneren Temperatur des Instruments ist ein Thermometer mit dem Zifferblatt verbunden, welches jedoch, ebenso wie das Zifferblatt selbst, in unserer Zeichnung nicht dargestellt ist.

Das Feder-Barometer von Bohne in Berlin (Prinzenstrasse 90) hat, äusserlich betrachtet, völlig die im vorstehenden beschriebene Anordnung, es hat aber eine besondere Vorrichtung zur Kompensierung des Temperatur-Einflusses, worüber nach dem „Bericht über die wissenschaftlichen Instrumente auf der Berliner Gewerbe-Ausstellung im Jahr 1879, herausgegeben von Löwenherz, Berlin 1880, S. 122“, folgendes bekannt ist:

Bohne hat sich besonders bemüht, den Einfluss der Temperatur auf den Stand des Instrumentes innerhalb bestimmter Grenzen zu kompensieren.

Mit der durch die Erwärmung der Dose wachsenden Oberfläche derselben tritt eine grössere Belastung durch die auf dieselbe wirkende Luftsäule ein. Die Dose wird dabei mehr zusammengepresst, und der Zeiger zeigt einen höheren Stand.

Andererseits wird die in der Büchse noch in geringer Menge enthaltene Luft durch die Temperatur-Erhöhung ausgedehnt und wirkt der Erhöhung des Barometerstandes entgegen.

Diese beiden Wirkungen der Wärme können, richtig abgestuft, bereits eine Kompensation des Temperatur-Einflusses erzeugen.

Bohne hat jedoch eine mehr zugängliche Kompensations-Vorrichtung angeordnet, indem er den mit der Plattenfeder L auf- und niedergehenden Hebelsarm HD aus zwei verschiedenen Metallteilen zusammensetzt, von denen der stärker sich ausdehnende der untere ist.

Mit dem Steigen der Temperatur wird dieser Hebelsarm sich nach oben krümmen, also dem Steigen des Barometers entgegenwirken.

Wie weit es gelungen ist, dadurch die Temperatur-Einflüsse aufzuheben, werden wir am Schlüsse von § 140. an dem Beispiele unseres Instruments zeigen.

II. Fühlfeder-Barometer von Goldschmid.

Einen neuen Grundgedanken der Feder-Barometermessung hat Mechaniker Goldschmid in Zürich gefunden und seit 1857 in fortgesetzt verbesserten Gestaltungen zur Ausführung gebracht (Nachfolger Hottinger in Zürich).

Fig. 2.

(*/₂ natürliche Grösse.)

\K

Bf Ml

-e : *

B'

Ein im Jahr 1872 bezogenes Instrument der Goldschmid sehen „Konstruktion Nr. 1“ wurde zum Zweck der Untersuchung seiner inneren Einrichtung geöffnet, wobei sich die in Fig. 2. dargestellte Anordnung der Teile fand, deren Wirkungsweise sich leicht erklären lässt.

A ist die federnde Büchse; dieselbe ist unten mit dem starken Gehäuse BB' verbunden, weshalb bei einer Luftdrucks-Änderung der obere Teil C der Büchse Bewegung zeigt. Mit dem Oberteil C der Büchse ist ein Arm CD fest verbunden, der nach oben in eine Schneide D endigt, und damit gegen einen Hebel EF drückt. Dieser Hebel EF hat einen festen Drehpunkt in E, und da der Abstand ED vom Drehpunkt E bis zum Angriff D des Arms CD sehr klein ist im Verhältnis zu den Abständen DJ und DF, so sind die Bewegungen in J und F verhältnismässig gross gegen die Bewegung in G und D.

Die Bewegung bei J wird gemessen durch eine Mikrometerschraube HJ; da es aber nicht möglich sein würde, den Berührungspunkt der Schraube und des Hebels EF durch das blosse Gefühl der Hand genau zu ermitteln, so ist auf den Hebel EF noch ein Federchen DG aufgeschraubt, welches mit dem Namen Fühlfeder bezeichnet wurde, und welches das Mass, wie weit die Mikrometerschraube gedreht werden muss, durch das Zusammentreffen der zwei Zeiger F und G, welche auf die Enden des Hebels und der Fühlfeder gezogen sind, genau angiebt. (Die Verbindung der Fühlfeder DG mit dem Hebel EF ist nicht bei D selbst, sondern etwas rechts davon, die Verbindungsstelle ist in Fig. 2. S. 491 durch zwei kurze senkrechte Striche angedeutet.)

Die ganzen Umdrehungen der Schraube HJ werden an einem festen Höhenmassstab EG, und die Teile der Umdrehungen durch die Trommelteilung KK gemessen.

Weiteres über die Goldschmid sehen Instrumente geben zwei Schriften von Koppe: „Die Aneroid-Barometer von Jakob Goldschmid, Zürich 1877“ und „Über die verbesserten Goldschmid sehen Aneroide von Hotiinger & Comp., Separatabdruck aus der Zeitschrift „Eisenbahn“ Nr. 16 u. 17. Band XVI. 1888.“ Wir entnehmen daraus noch folgendes:

Bei den Goldschmid sehen Instrumenten hatten die Büchsen keine besonderen Spannfedern, sondern das Blech wurde so stark genommen, dass die beiden vor dem Auspumpen der Luft etwas nach aussen gewölbten Büchsenwände nach dem Auspumpen flach und parallel gespannt erschienen. Die Bewegung der Büchsenmitte bei Änderung des Luftdrucks wurde entweder auf ein Hebelsystem übertragen, oder mit der Mikrometerschraube unmittelbar gemessen, oder endlich durch Zusammenkuppeln von fünf oder sechs Büchsen, wie bei den Weilenmann sehen und selbstregistrierenden Instrumenten, entsprechend vergrössert, Die zusammengekuppelten Büchsen haben beim Tragen zum Feldgebrauch den Erwartungen nicht entsprochen.

III. Das mikroskopische Feder-Barometer von Reitz-Deutschbein. Fig. 3. S. 493.

Die Büchse A A hat dieselbe Konstruktion wie bei dem Naudet-Instrument. Die untere Büchsenwand ist mit der Grundplatte B verbunden, es muss daher die obere Büchsenwand und das damit verbundene Gelenk C beim Eintritt einer Luftdrucks-Änderung eine auf- oder niedergehende Bewegung machen. Die Bewegung von C wird vergrössert durch einen Hebel EF, dessen Drehaxe gebildet wird durch die Spitzen zweier Säulen D, welche auf der Fundamentplatte B befestigt sind.

Auf den Hebel EF wirkt ausser der federnden Büchse A, welche bei C angreift, noch die Spiralfeder G, welche denselben Zweck erfüllt, wie die Feder L bei Naudet. Gegenüber der Feder G wirken zwei Gewichte P , P, verschiebbar zur Spannungs-Regulierung.

Der Hebel EF trägt bei F eine feine Teilung auf Glas (welche photographisch auf das Glas übertragen ist). Diese Teilung F wird mittelst eines Mikroskops HH abgelesen, das in der Richtung seiner Axe verschoben werden kann mittelst einer unterhalb angebrachten Schraube J, so dass die vor dem Objektiv angebrachte Teilung

F deutlich gesehen wird; dieselbe gewährt dann ungefähr denselben Anblick wie eine Nivellier-Latte in etwa 50m Entfernung beim Anblick durch das Fernrohr eines Nivellier-Instrumentes.

Die für mikroskopische Beobachtung nötige Beleuchtung wird durch eine Sammellinse K geliefert.

Fig. 3.

(«/a natürliche Grösse.)

Mikroskop-Feder-Barometer von Reit z-Dentschb ein.

'/'//SS'///////,

JL

IHllUIIHib

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Hi

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10-

(l

20-

20-

<§>B

O « Ü§

tu

(Hannov. Sammlung.)

Die Spiralfeder G ist von unten zugänglich durch die Öffnung L des Kastenhodens und der Grundplatte _B; man kann bei L einen Schraubenschlüssel einstecken und damit die Spannung der Spiralfeder G regulieren. Die Stellung von F gegen das Mikroskop kann nach zwei Richtungen reguliert werden, durch die Schrauben M und N. Ein inneres Thermometer Q wird durch die Öffnung R abgelesen. Die Teilung ist hei unserem Instrumente willkürlich. Wir fanden folgende Beziehungen :

Diff.

Qo

Diff.

1200    744,90

1800    747,12

1400    749,35

1500    751,57

1600    753,80

to to to to

hnm

1600    753,80’

1700    756,03

1800    758,25

1900    760,48

2000    762,70

2,23

mm

2,22

2,23

2,22

Eine erste Mitteilung über das Reitz sehe Instrument haben wir in der „Zeitschr. f. Verm. 1873“, S. 363—373 gebracht; eine neuere Mitteilung hierüber, von Hammer, siehe „Zeitschr. f. Yerm. 1887“, S. 20—25.

Anmerkungen.

Das erste Feder-Barometer wurde im Jahr 1847 von Vidi der Pariser Akademie vorgelegt; es bestand im wesentlichen, wie heute noch, aus einer luftleer gemachten Büchse von wellenförmigem Querschnitt. Das Instrument wurde von dem Erfinder „baromètre anéroide“ genannt. (Comptes rendues hebdomadaires des séances de l’académie des sciences XXIV. (1847) S. 975. Poggendorffs Annalen der Physik, 73. Band (1848) S. 620. Aneroid ist abgeleitet aus a privativum und vijçôç = nass oder flüssig, das Wort bedeutet also ein Barometer, das keine Flüssigkeit (Quecksilber) enthält.)

Bald darauf konstruierte Bourdon ein Feder-Barometer, dessen Gefäss die Gestalt einer Mondsichel hat, wobei die Veränderungen des Abstandes der Spitzen durch Hebel Übersetzung gemessen werden. Bourdon nannte dieses Instrument ein „Metall-Barometer“ (entsprechend seinem Metall-Manometer).

Goldschmids Fühlfeder-Barometer wurde 1857 erfunden.

Die ursprüngliche Vidi sehe Konstruktion ist von Naudet und Hulot in Paris verbessert worden; die Pariser Instrumente haben weite Verbreitung gefunden, sie wurden baromètre holostérique (starr) genannt. Auch englische Firmen versandten ähnliche Instrumente.

Von deutschen Instrumenten sind ausser der eigentümlichen Reite sehen Konstruktion (Fig. 3. S. 493) namentlich die sehr nahe kompensierten Bohne sehen Instrumente (s. o. S. 491) herVorzuheben.

§ 139. Reduktionsformeln für Feder-Barometer.

Man kann im allgemeinen nicht erwarten, dass ein Feder-Barometer, wenn es auch nach Millimetern 760, 750 u. s. w. beziffert ist, genau den Luftdruck anzeige, welchen ein richtiges Quecksilber-Barometer an gleicher Stelle zeigen würde.

Die unmittelbare Ablesung F eines Feder-Barometers wird im Allgemeinen nur genähert gleich dem Werte Q₀ sein, welchen ein Quecksilber-Barometer nach Anbringung aller Reduktionen (§ 134. — § 137.) liefert. Wir wollen vorerst annehmen, die Beziehung zwischen Q{) und F lasse sich durch eine Gleichung von folgender Form darstellen :

Q, = F-\-x + ytĄ-z (760 — F)

Hiebei nennen wir:

x die Stand-Korrektion.

y t die Temperatur-Korrektion, und y den Temperatur-Coëfficienten, z (760—F) die Teilungs-Korrektion, und z den Teilungs-Coëfflcienten.

Die Gleichung (1) reicht in den meisten Fällen aus, ja man kann hei den neueren Instrumenten für rohere Zwecke die Temperatur-Korrektion und die Teilungs-Korrektion vernachlässigen, denn bei den thunlichst kompensierten Instrumenten ist y nur etwa = 0,05 d. h. 0,05™m auf 1° oder 0,5™™ auf 10°, und die Teilungen neuerer guter Instrumente pflegen auf etwa l<>/₀ sicher zu sein, d. h. sie haben z nur etwa = 0,01.

Allein im allgemeinen kann man hei Instrumenten die man nicht kennt, durchaus nicht erwarten, dass die Korrektionen so klein sind. Die Temperatur-Korrektion beträgt oft 0,2™™ für 1°, und die Teilungen finden sich wohl bis 5% und mehr fehlerhaft.

Man kann auch nicht von vornherein annehmen, dass bei weiten Intervallen eine lineare Gleichung (1) immer ausreiche; bei genaueren Untersuchungen wird man wohl noch weitere Glieder hinzunehmen müssen, etwa so:

Q₀ = F-Yx + yt + z{im — F) + y't{760 — F) + z' — Ff + y" ... (2) Hier bedeutet y't(760 — F) den mit dem Barometerstand selbst veränderlichen Teil der Temperatur-Korrektion, und das quadratische Glied z' (760 — F)‘* nennt man hier eine Teilungs-Korrektion zweiter Ordnung u. s. w.

Solche weitere Glieder der Überlegung im einzelnen Falle überlassend, betrachten wir nochmals die einfache Gleichung (1), an welche noch einige Bemerkungen zu knüpfen sind, welche zur Vorbereitung für spätere Anwendungen dienen.

Zunächst kann man die Gleichung (1) nach F auflösen:

Qo

F —---

1 —z 1 — z

V— t — 760 ——.

1 —z

Dieses kann man aber besser in folgende Form bringen:

F=Qo

(760 — g₀)

(3)

1 — z 1—z

Wenn z klein ist, so kann man den Nenner 1 — z — 1 setzen, und dann erscheint (3) als Näherungsauflösung von (1), indem nur im letzten Gliede 760 — Q0 statt 760 — F gesetzt ist.

Wenn man umgekehrt eine Gleichung zu Grunde legt:

F— Qo = x' + y' t + z' (760 — Q₀) so kann man dieselbe nach Q₀ auflösen, und erhält :

(4)

Qo-F

x'

i—z' i—z' i

(760 — F)

(5)

Bisher haben wir einen Normalstand von 760™m angenommen, das ist aber natürlich nicht wesentlich; will man z. B. statt 760 den Stand 700 einführen, so kann man (1) so schreiben:

(6)

Qo — F = (x -(- 60 z) -h y t + e (700 — F)

oder

Qo — F = (x -f- 60 z) -(- y t — z {F — 700) u. s. w.

Durch die Änderung des Normalstandes von 760 auf 700 ist auf die Stand-Korrektion von x auf x + 60 z übergegangen.

Q₀ = Fx -\-y t z (760 — F) -\-u (760 — Ff Wenn man hier einen anderen Normalstand als 760, etwa 700 einführen will, so setzt man in den zwei letzten Gliedern 760 = 700 + 60, und erhält damit:

Wir wollen auch in einer quadratischen Funktion den Normalstand ändern. Man habe zunächst :

(7)

Q₀ = F + (x + 60 e + 602 u) + y t -f (* + 120 u) (700 — F) + u (700 - Ff (8)

Hier wird also nicht nur die Stand-Korrektion, sondern auch der Teilungs-coëfficient durch Veränderung des Normalstandes geändert.

Dieses führt dazu, die oben bei (1) gegebenen Erklärungen, Stand-Korrektion, Temperatur-Korrektion und Teilungs-Korrektion genauer so zu fassen, dass diese Grössen, wenn man eine allgemeine Funktion (2) zu Grunde legt, nur durch gleichzeitige Angabe eines Normalstandes scharf bestimmt sind.

In Bezug auf die Resultate, welche man aus einer Reduktionsformel ziehen will, ist es gleichgültig, welcher Normalstand zu Grunde gelegt wird, und deswegen rechnen wir im allgemeinen mit dem Normalstand 760 ; indessen ist es formell häufig zu empfehlen, den Mittelstand als Normalstand zu nehmen. Wenn man z. B. eine Formel mit einer Teilungs-Korrektion zweiter Ordnung bestimmen will, so ist es bei der Ausgleichung bequem, den Normalstand möglichst gleich dem Mittel aller in Betracht kommenden Stände zu machen.

Die Grundlagen zur Aufstellung einer Reduktionsformel zwischen Qô und F wird man immer durch mehrfache Vergleichung eines Feder-Barometers mit einem Quecksilber-Barometer bekommen, und hat man eine Reihe solcher Vergleichungen bei möglichst verschiedenen Temperaturen und möglichst verschiedenen Luftdrücken, so kann man aus einer solchen Reihe alle Coöfficienten x, y, z u. s. w. einer Reduktionsformel gemeinsam (etwa nach der M. d. kl. Q.) bestimmen.

Indessen solche allgemein für Temperatur und Luftdruck brauchbare Vergleichsreihen erhält man selten, deswegen wird meist der Temperatureinfluss besonders untersucht (durch rasche Abkühlungen bezw. Erwärmungen des Feder-Barometers) und dann wird an die Bestimmung der Teilungsfehler gegangen, wozu man im wesentlichen drei Arten von Vergleichungen benützt:

1)    Ruhe-Vergleichungen,

2)    Bergbesteigungen,

3)    Luftpumpenvörsuche.

Statt der rechnerischen Reduktionsbestimmung kann man auch graphische Ausgleichung anwenden.

Wir werden für beides im Folgenden Beispiele behandeln.

§ 140. Temperatur-Korrektion der Feder-Barometer.

Wir legen die Reduktionsformel zu Grunde:

(1)

Qo = F + x -}- y t -|- z (760 — F)

Die Temperatur-Korrektion lässt sich am besten im Winter bestimmen ; man beobachtet das Instrument im gewöhnlich geheizten Zimmer und liest gleichzeitig ein Quecksilber-Barometer (oder ein anderes Feder-Barometer) ab, dann legt man das zu untersuchende Instrument in die freie kalte Luft, und liest nach etwa einer Stunde abermals seinen Stand und gleichzeitig den des Quecksilber-Barometers ab, beidemale

wird auch der Stand t des innern Thermometers an dem zu untersuchenden Feder-Barometer notiert.

Die Gleichung (1) entspreche der ersten Beobachtung und eine ähnliche Gleichung mit accentuierten Buchstaben der zweiten Beobachtung, dann hat man :

(1)

Qo — F 4" x Ar y 14" z (760 — F )

(2)

Qó = F+x + y f+ z (760 - F)

Nun wollen wir annehmen, dass die Teilung nahezu richtig, also der Coefficient z sehr klein sei ; und da zugleich F und F' nicht sehr verschieden sind, können die beiden letzten Glieder in (1) und in (2) hinreichend genau einander gleich gesetzt werden ; man erhält also durch Subtraktion :

Q'o — Qo — F’— F + y (f— t)

oder kürzer:

(Qo- Qo)-{F’-F)

t’—t

(3)

.. 4Qo-4F y = —Jt-⁼

AF-AQ o

At

(4)

wobei durch A Q ₀ , A F , At gleichartige Dilferenzen bezeichnet sind.

Eine Reihe solcher Beobachtungen und deren Berechnung zeigt das folgende tabellarisch geordnete Beispiel, in welchem unter Q₀ , Q'₀ die bereits auf 0° reduzierten Quecksilber-Barometer-Angaben verstanden sind.

Temperatur-Korrektion für das Instrument Naudet 39305.

Nr.

Zeit

Qo

Qo

F'

AQ o A F AF—AQo At

1877

mm

mm

mm

mm

1.

Jan. 26. 9" Jan. 26. 10"

20,20

6,0

746,5 749,6 746,8 747,6

+ 0,8 —2,0    —2,3    —14,2°—0,162

2 Jan. 26. 3* Jan. 26. 4"

19,0

6,0

748,6 750,9 749,0 749,5

4-0,4 —1,4    —1,8    —13,0 —0,138

g Jan. 27. 9Ä Jan. 27. 10"

+ 1,1 —1,3    —2,4    —17,2 —0,140

20,2 756,2 758,6 3,0 757,3 757,3

Summe . .    +1.8 —4,7    — 6,5    —44,4 —0,440

= —0,147

,T.,, .    0,440

3

Solcher Vergleichungen, deren hier nur drei hergesetzt sind, weil dieses zur Veranschaulichung des Verfahrens genügt, machen wir gewöhnlich etwa 5—10, täglich etwa 1—2.

Statt durch Verbindung der Vergleichungen zu je zweien (warm und kalt) kann man eine grössere Reihe von Vergleichungen auch gemeinsam behandeln, indem man graphisch oder nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgleicht.

Folgendes ist ein Beispiel hiezu, welches mit einem JVa«det-Instrument der Karlsruher Sammlung durch 4 tägige Vergleichung erhalten wurde. Die Quecksilber-Baro-

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

meterstände sind sofort auf 0° reduziert, unter der Bezeichnung Q₀ eingeführt Die folgende Tabelle enthält ausser den Beobachtungen Q₀, F und t alles, was zur graphischen Ausgleichung oder zur Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate erforderlich ist.

Nr.

Qo

F—Qo=l 0,1 * = &    &2

bl

V>-

mm

mm

OtOpOOOlOi^MfOH

758,76

759,51

759,34

758,54

758,26

758,08

759,51

758,26

759,28

758,61

lOlOOOiDlOOiOiOiO

OdOO^C^C-OrHCOCO

od aT    aT    od    od    oo

lO Iß    O    »O    iß    lß

t> l>    o-

Oß Oi CD lß CD iß t> t>- O

9,6°    —0,51

10,9    — 0,46

11.2    —0,34

18.7    — 0,14

15.4    — 0,01

18.2    + 0,67

19.2    + 0,49

23,6    + 0,89

24.8    +1,07

25.5    +1,04

CC to to H M

cn CO 0 00 ^ 03 O CD

ai ai or co p j>o m m m p

in H üi 05 CO 00 InO ¹ CD OW<lCOM<]OOÜiCODO

(M    ^    O    W    iß

W    05    H    CO    CD

H    (D    (N    03    (N

a    h    co    c.'    oa

^    io    CO    ^    o

o    o    ©    ©    ©

0,26

0,21

0,12

0,02

0,00

0,45

0,24

0,79

1,14

1,08

88,15    90,85    172,1    +2,70    17,21    32,83    +7,97    4,31

Zu einer graphischen Ausgleichung nimmt man die Temperaturen t als Abscissen und die Differenzen F— Q₀ — l, oder Q₀ — F = —l, als Ordinaten, und trägt damit die 10 Punkte von Fig. 1. auf.

Fig. l.

Temperatur-Korrektion des Feder-Barometers Naudet S.

+jmm

₊ jmm

&>

lll

8°

hi

9 Jj

-]m n

_2mm

10°    12°    14°    16°    18°    20°    22°    24°    26°    28°

Eine verglichen durchgezogene Gerade giebt den Temperatur-Coefficienten durch ihre Neigung gegen die Abscissen-Axe. Bei t = 10° hat die Gerade A B eine Ordinate -J-0,5mm und bei t — 28° ist die Ordinate —l,4”,m; die Abnahme beträgt also — 1,9™”* auf 18° Temperatur, und hiernach ist der Temperatur-Coëfflcient :

1,9

— 0,106.

Zu einer rechnerischen Ausgleichung gehen wir von der einfachen Gleichung aus : Qo — F + x + y t

indem die Teilungs-Korrektion innerhalb der geringen hier benützten Ausdehnung als verschwindend angenommen wird. Die Fehlergleichungen schreiben wir so:

oder

v = x + 10 y ~ + F — Q0 v = x + b y'+ l , wo 6 =

jq und y' =io y-

Die hiezu gehörigen Summen [bb] u. s. w. sind in der vorstehenden Tabelle S. 498 schon ausgerechnet, sie geben die Normalgleichungen:

+ 10,00 x + 17,21 ?/+ 2,70 = 0 + 32,83 y'+ 7,97 = 0 + 4,31

Die Auflösung giebt: x = ± 1,51—»

±0,12

Also die Reduktionsformel:

, y' = — 1,03 oder y = — 0,103    , [Il. 2] = 0,14

±0,07

± 0,007

Q₀₌₌F-h 1,51”»™ — 0,103 t Wenn man hiernach alle 10 Beobachtungen reduziert und die bei der Ausgleichung übrig bleibenden Fehler v bildet und quadriert, so erhält man [vi;] = 0,12 hinreichend übereinstimmend mit [11.2] — 0,14 der Elimination. Der mittlere Fehler einer Vergleichung wird:

(6)

(7)

Die Grösse des Temperatur-Coëfficienten.

Der Reduktionswert für 1° ist bei den meisten Pariser Instrumenten zwischen

— 0,lmm und —0,2mm.

Jelinek giebt in Carls „Repertorium der Experimentalphysik“ (13. Band, 1877, S. 68—73) die Mitteilung, dass bei 108 Feder-Barometern, welche an der österreichischen Zentralanstalt für Meteorologie untersucht wurden, folgende Temperatur-Coëfficienten y gefunden wurden :

bei 9 Exemplaren y zwischen + 0,23 und 0,00

0,00 „ — 0,07 -0,07    „ -0,17

- 0,17 , - 0,37

Die positiven Werte y zeigten sich in der Regel bei kleinen Instrumenten von 7cra Durchmesser.

Eine ähnliche Zusammenstellung haben wir von Major Hartl in den r Mitteilungen des k. k. militär-geographischen Instituts“ 1. Jahrgang, 1881 (abgedruckt in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 458—470). Bei 81 Instrumenten war der Tem-peratur-Coëfficient y zwischen — 0,03 und — 0,24, und darunter bei 58 Instrumenten oder 72 o/Q) y zwischen — 0,11 und — 0,17.

Den mittleren Fehler einer Jahresbestimmung, von y, aus 30—40 Vergleichungen, giebt Hartl = ± 0,014'

, 82

an.

Temperatur-Korrektion zweiter Ordnung und Abhängigkeit der Temperatur-Korrektion

vom Barometerstand.

Die bisher gemachte Annahme, dass die Temperatur-Korrektion bei allen Barometerständen dieselbe sei, ist nur für eine erste Näherung richtig. Man muss im

allgemeinen annehmen, dass die Reduktion bei verschiedenen Ständen verschieden ist, oder dass in der Reduktionsformel (2) § 139. S. 495 ausser dem Gliede yt noch Glieder von der Form y' t (760 — F) oder y" fi u. s. w. Vorkommen. Koppe giebt in dem Buche „Die Aneroide von Jakob Goldschmid“, Zürich 1877, S. 18, nach Weilenmann eine theoretische Untersuchung der zwei verschiedenen Temperatur-Einflüsse, welche einander entgegenwirken, nämlich Vergrösserung der Büchsenoherfläche und Ausdehnung der stets im Innern noch befindlichen Luft, wornach die Temperatur-Kurve nicht geradelinig sein kann, sondern ungefähr parabolische Form haben muss (Glied y" t-), und Koppe s Versuche mit graphischen Darstellungen bestätigen dieses. Trotzdem begnügt man sich hei massigen Temperatur-Intervallen nicht mit einer linearen Funktion.

Was andererseits die Abhängigkeit vom Barometerstand betrifft, so wurde dieselbe bei genauerer Untersuchung von Hartl bedeutend gefunden, wie aus den graphischen Darstellungen im 1. Band des „Militär-geograph. Instituts“ und in der „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 467—469 zu ersehen ist.

Als Zahlentafel giebt Hartl in dem Buche „Praktische Anleitung zum Höhenmessen mit Barometern u. s. w.“ Wien 1884, S. 53, folgendes (im Auszug):

Temperatur-Korrektion für das Feder-Barometer 1222:

B = 760“™

B = 720mm

B = 680™

B = 640”"''

CO CO h-*

O O O O

— 0,0mm -1,8 — 3,6 -5,4

— 0,0ram

-1,7

-3,4

5,0

— 0,0mm -1,6 -3,1 -4,7

— 0,0mm -M -2,9 -4,3

(8)

0190

In solchem Falle kann man auch eine Tafel für Temperatur-Korrektion und Teilungs-Korrektion zusammen anlegen.

Die graphische Darstellung der Beobachtungen seihst und die Ausgleichung nach (8) zeigt folgende Figur:

Fig. 2.

Feder-Barometer Nr. 1222. Temperatur-Korrektion.

7tiQmrL 710

720

7(10

6150

600

6; 10

600

51|0

51 >0

SIO¹¹¹¹¹

0180

0'170

'T⁵⁻

0160

0150

0’140

0130

O'120 0110

Hartl kommt zu dem Schluss: dass es keineswegs genügt, die Feder-Barometer nur hei den geringen Luftdrucksschwankungen an einem und demselben Orte zu beobachten, sondern dass Bestimmungen des Temperatur - Coëfflcienten bei sehr verschiedenem Luftdruck erforderlich sind, um eine Tabelle mit zwei Eingängen konstruieren zu können

Änderung der Temperatur-Korrektion mit der Zeit.

Es ist eine wiederholt gemachte Erfahrung, dass jedenfalls bei neuen Instrumenten sich die Temperatur-Wirkungen mit der Zeit ändern. Von unserem Karlsruher Instrument Naudet 39305 können wir hierüber folgende Bestimmungen mitteilen, welche bis 1880 von uns selbst gemacht, von 1881 an von Herrn Dr. Doll in Karlsruhe mitgeteilt sind; die Vergleichungen sind in der einfachen Weise, wie das Beispiel S. 497 zeigt, mit je 6-—10 Wiederholungen, gemacht.

y = — 0,148 — 0,168

—    0,070.

Karlsruhe 1872 Januar und Februar „    „    November

„    1873    September

„    1874 November und Dezember

„    1877    Januar

„    1879    Januar

„    1880    Januar

„    1881    Januar

„    1882    Januar

„    1888    Februar

Jelinek berichtet in „Carls Repert. 13. Bd. 1877“, S. 68, dass eine Abnahme der Temperatur - Korrektion wiederholt beobachtet wurde, z. B. von 27 Instrumenten, welche von Hauptmann Hartl 1873 und 1875 untersucht wurden, zeigten 22 eine solche Abnahme, 5 eine Zunahme, im Mittel war die Abnahme = 0,012 für 2 Jahre. 8 andere von Jelinek aufgeführte Instrumente zeigen von 1869—1875 im Mittel eine Abnahme von nur 0,05 für 4 Jahre.

Wenn überhaupt eine Änderung der Empfindlichkeit gegen Temperatur stattfindet, so wird es wohl eine Abnahme sein, welche durch das Stabilerwerden der molekularen Zusammensetzung der Instrumenten-Bestandteile erklärbar ist.

Koppe sagt hierüber („Die Aneroide von Goldschmid“, Zürich 1877, S. 23): Eine ganz neue Büchse kann vollständig kompensiert erscheinen, und nach mehrmaligem Erhitzen eine stark gekrümmte Temperatur-Kurve zeigen. Die neuen Aneroide bleiben daher stets längere Zeit hindurch einer Temperatur bis zum Siedepunkt ausgesetzt. Ihre Angaben werden so nach und nach immer regelmässiger und werden zuletzt durch starkes Erwärmen gar nicht mehr geändert.

Auch Hartl spricht sich in der mehrfach citierten Abhandlung in den „Mitteilungen des milit.-geogr. Inst. 1881“, S. 88 (und „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 463) ähnlich aus: Für die eine hinreichend lange Reihe von Jahren verglichenen Feder-Barometer kann der Temperatur-Coëfficient als eine mit der Zeit nicht veränderliche Grösse angesehen werden. Neuere Instrumente werden vielleicht Jahre benötigen, bis ihre Temperatur-Coëfficienten konstante Grössen geworden sind.

Zur Beantwortung der Frage nach „kompensierten“ Feder-Barometern, zu welcher bereits in § 138. S. 491 eine Bohne sehe Konstruktion erwähnt worden ist, können wir über unser Hannoversches Instrument, Bohne Nr. 780, folgendes berichten: Im Februar

1886 gab dasselbe den Temperatur Coëfficienten y = — 0,008, also sehr nahe = Null Im Februar 1888 wurden ähnliche Werte (Mittel y = -+- 0,01) gefunden. Es ist nicht gleichgültig, ob man schon nach 1 Stunde, oder nach 2—3 Stunden abliest, nachdem der Temperaturwechsel eingetreten ist.

§ 141. Teilungs-Korrektion der Feder-Barometer.

Zur Untersuchung der Teilung eines Feder-Barometers hat man verschiedene Mittel, die im wesentlichen in folgendem bestehen:

I.    Fortgesetzte Vergleichungen eines Feder-Barometers mit einem Quecksilber-Barometer bei natürlichen Luftdrücken, wobei beide Instrumente in Ruhe bleiben.

II.    Vergleichungen bei Bergbesteigungen.

III. Vergleichungen unter der Luftpumpe, oder mit ähnlichen Vorrichtungen zur Erzeugung künstlicher Luftdrucks-Verhältnisse.

Wir werden diese drei Methoden nacheinander behandeln.

J. Buhende Vergleichungen.

Die einfachste Bestimmung der Teilungs-Korrektion erhält man durch fortgesetzte Vergleichung des Feder-Barometers mit einem guten Quecksilber-Barometer, an einem und demselben Ort. Allerdings sind die hiebei erreichbaren Luftdrucks-Intervalle nur massig, doch reicht eine solche Untersuchung für viele Zwecke vollständig aus.

Die Schwankungen des Luftdrucks sind in verschiedenen Jahreszeiten sehr verschieden, nämlich im Winter bedeutender als im Sommer. Nach den Stuttgarter Beobachtungen (Schoder, „Württemb. naturw. Jahreshefte 1868,“ S. 262) sind die mittleren monatlichen Schwankungen nach 12jährigen Beobachtungen folgende:

Monat

Januar Februar März . April . Mai . Juni .

Mittl. monatl. Schwankung ± 29»*”*

Monat Mittl. monatl. Schwankung ±15

25

29

20

18

16

Juli . .

August.

September

Oktober

November

Dezember

14

18

23

26

29

Man wird also namentlich in den Monaten Dezember, Januar und März solche Barometer-Vergleichungen machen.

Folgendes ist ein Beispiel hiefür, mit dem Instrument Naudet 39305, Karlsruhe 20. Februar bis 14. März 1877. Der Übersichtlichkeit wegen ist das Zahlenmaterial . auf 10 Vergleichungen beschränkt.

Die aufgeführten Werte Q₀ und F₍₎ sind bereits auf 0° reduziert.

Die Tabelle enthält ausser den Beobachtungen selbst, alles, was zu graphischer oder rechnerischer Ausgleichung nötig ist:

mm

mm

F₀-Qo

mm

760

100

bl

d co ■+ us <x> i+ oc ai ö

762,82

757,56

753.95

751.30 745,66 743,28 742,26

739.30 735,79

734.95

466,87

762,03

756.82 753,06 750,27 744,70 742,24 741,57 738,22 734,65

733.83

457,39

—    1,08 -1,14 — 1,12

+++++++++

LO DO DO •—• t—Ł 05 CTT H CO <1 cn    03 to

'>—L 'cO ^<1 4+ -O 'co O i—¹ O <|CnOOCOOiOW^C005

— 9,48 ,    142,51

— 0,02 + 0,03 + 0,07 + 0,10 + 0,15 + 0,18 + 0,18 + 0,22 + 0,25 + 0,26

+ 1,42

0,000

0,001

0,005

0,010

0,022

0,032

0,032

0,048

0,062

0,068

0,280

+ 0,016

— 0,022-

— 0,062

—1,440

0 O O    05

to 05 0 ^ to DO

^ 00 (M H

to w ^ o

O* O 05    OO

4^ O 05 05 tO

9,225

Zu einer graphischen Ausgleichung, welche in der nachfolgenden Fig. 1. gezeichnet ist, hat man zu den Werten F₀, als Abscissen, die Ordinaten F₀— Qo — l oder — F₀ = — l aufzutragen.

mm

Fig. 1.

Teilungs-Korrektion des Feder-Barometers Nauäd 39 305.

+1,0

mm

5.

6.

8.

9.10.

++—'

+0,5

mm

00

Ml

770

760

750

740

730

720

Durch die so erhaltenen 10 Punkte bann man zunächst nach Gutdünken eine möglichst anschliessende Gerade Ä B' legen, womit die graphische Ausgleichung vollendet ist. Die Ordinaten der Geraden geben dann geradezu die Stand- und Teilungs-Korrektionen; z. B. bei 740mm ist die Ordinate = + l,0n,m.

Die rechnerische Ausgleichung gründet sich auf die Formel:

$0 = 7*0 + x + z (760 — *o)

(1)

oder die Fehlergleichung:

V    = X + z'

V    = £C + b z' + l.

Die Coëfficienten der Normalgleichungen sind schon in der obigen Tabelle berechnet, die Normalgleichungen sind hiernach:

10»+ 1,42 a' —9,48 = 0 + 0,28 a'—1,44 = 0 + 9,22.

760 -F₀

100

wo z' = 100 z

oder

(2)

Die Auflösung giebt: x = + 0,78’

±0,07

z' = 4- 1,13 ±0,43

Die Reduktionsformel ist also:

oder

* = 4- 0,0118 ± 0,0043

[ll. 2] = 0,12.

Q₀ = _F₀ + 0,78mm + 0,0113 (760 —1\)

Mittlerer Fehler: m

= /[tJ = /t = ±0'¹²”

(8)

werte sind :

Nach der Formel (3) kann man eine Reduktionstabelle berechnen, deren Haupt

F'o

760’

750

740

730

Qo-Fo 4- 0,78 4- 0,89 4-1,01 4-1,12

mm

730mm

720

710

700

Qo — 4- 1,12 4- 1,23 4- 1,35 4- 1,46

(4)

Teilungs-Korrektion höherer Ordnung durch zwei ruhende Vergleichs-Reihen.

Wenn man an zwei sehr verschieden hohen Orten ruhende Vergleichungen in der soeben beschriebenen Weise gemacht hat, und dabei merklich verschiedene Tei-lungs-Coëfficienten erster Ordnung findet, so kann man daraus eine Formel mit quadratischem Gliede ableiten.

Man habe an zwei Orten folgende zwei lineare Formeln erhalten :

Qo — F₀ = x₁ + zl (Ql — Fo)

Qo — Fo — x₂ 4*

z2 (Q2 — F₀)

(5)

(6)

Dabei seien und Q₂ die Mittelstände der beiden Vergleichs-Orte. Die neue

Formel, welche für beide Orte gelten soll, werde auf den Mittelstand Qm bezogen, und sei diese :

dabei ist:

Q₀-F₀ = x + Z (Qm - F₀) 4- (Qm ~ F{)f Ql “F Q₂

= Qm und Qi — Q₂ = d Q

Der allgemeine Differentialquotient von (7) ist:

d(Qo-F₀)

d F₀

= —z — 2z' (Qm — F₀)

(7)

(8)

Setzt man hier F₀ = Çj, so wird der Differentialquotient = zlf und mit F₀ — Q₂

wird er = z₂, d. h. :

und

—    z — 2 z'(Qm — Qi) oder — z-+■ z'd Q =—z₁

—    z — 2 z' (Qm — Q₂) oder — z — z' A Q — — z₂.

Diese beiden Gleichungen zusammen geben z und z’ :

*i + *₂

& ZZZ -zr-

z2 zl

2dQ

Zu einem Zahlenbeispiel nehmen wir unser Karlsruher Instrument Naudet 39305. Dasselbe gab in Karlsruhe, nach Gleichung (3):

Qo — F₀ = 4- 0,78 4- 0,0113 (760 — F₀) und in Höchenschwand auf dem Schwarzwald aus einer ähnlichen ruhenden Vergleichung: Qq — F₀ = + 4,30 4- 0,0261 (670 — F₀)

und

z' =

(9)

(10)

Es ist also:

Ql = 760””» , Q₂ = 670””» , Aą = 90» , Q,„ = 715’ = -+- 0,0113 , z% — ■+■ 0,0261 0,0148

z — -t- 0,0187 , z' = -4-

1800

= + 0,000082.

Die neue Formel heisst also nun nach (7) :

Q₀ — F₀ = x + 0,0187 (715 — F{)) + 0,000082 (715 — F₀)z Die Standkorrektion x kann man zweifach bestimmen, indem man Jf^'₀ = 715 entweder in (10) oder in (11) einsetzt, im ersten Falle bekommt man x = -+- 1,29 und im zweiten Falle x = -+- 3,13. Dieser Widerspruch ist jedoch kein Beweis gegen die Brauchbarkeit der Formel (12), denn auf dem Transport des Instrumentes von Karlsruhe nach Höchenschwand (als Postpaket) kann sich die /Stodkorrektion wohl geändert haben. Indessen nehmen wir nun das Mittel beider Werte, x — -+- 2,21, und haben damit aus (12):

Ç₀ — F₀ = + 2,21 + 0,0187 (715 — F₀) + 0,000082 (715 — F₀)*.

Dieses kann man auch wieder auf den Normalstand 760 reduzieren, indem man 715 = 760 — 45 setzt, und alle von 45 herrührenden Teile absondert. Dieses giebt:

Q₀ — F'₀ = + 1,53 + 0,0113 (760 — F₀) + 0,000082 (760 — F₀)2.

Damit kann man eine neue ßeduktionstafel statt (4) berechnen.

(12)

(13)

(14)

Buhende Vergleichungen für Teilungs-Korrektion und Temperatur-Korrektion.

Ein englisches Instrumentchen (Casella 1640) von Taschenuhr-Grösse, welches uns auf kurze Zeit übergeben war, wurde während der verfügbaren Zeit (Mai — Juni 1874) neben das Karlsruher Stations-Quecksilber-Barometer gelegt, und unter möglichst verschiedenen Verhältnissen ruhend abgelesen.

Es gelang, in 38 Tagen, eine Druckdifferenz von 16,9””» und eine Temperaturdifferenz von 12,3° zu erhalten, was eine zusammenfassende Ausgleichung Tätlich scheinen liess.

Die Vergleichungs-Beobachtungen (bereits im Partialmittel zusammengefasst) und einen Teil der Coöfficienten-Berechnung für die Ausgleichung zeigt folgende Tabelle:

Num.

Qo

i— 10 760 — Q0 = c

62

mm

r-ï cd CO HO CO l> 0Ó 05 Ö —I

f-H r-H

755.6

756.4

750.2

742.4

753.7

751.9

745.9

756.3

754.4

759.8

753,7

QO oT CO »O t> rl''' oo” 05 L' Ol CD

Summe . . . Differenzen .

579,8

16,9”"»

504,4

^    . 'I V 0°. ^

CO I> C> l> CD~ C> I> «O I>ço <© I ^

12,7°

13,5

14,5

16,6

17,8

18,0

18,1

19,7

21,8

22,9

25,0

200,6

12,3°

l> io ® OOOH t>^00 o*.®, ^ ca co tp co ocf od oT r-7 ca no cT

r—I T—I r-'    05

co^oo^coco^e-^coir-eo I ca '^'co'oTc-^cDod'^coiooco o

7,29

19,36

12.25

20.25 43,56 60,84 64,00 65,61 94,09

139,24

166,41

225,00

898,54

c<f co oT cT oo co t-h cT aT

HClOCOOOiHCO CO

827,46

47,61

49,00

51,84

50,41

42,25

49,00

49,00

40,96

50,41

40,96

46,24

517,68

Der Ausgleichung soll folgende Form zu Grunde gelegt werden :

(15)

F-Q₀ = x + y(t- 10°) -+- g (760 - Q₀) oder v = x-\-by-hcz-hl, wo b — {t — 10°) , c = (760 — Q₀) , l = Q₀ — F. Die Normalgleichungen werden :

Die Auflösung gieht:

* = — 6,83™" y = -f- 0,0228 ±    0,0203

+ 11,0 x -4- 90,6 y -+- 80,2 z -+- 75,4 = 0 898,5 y + 618,4 2 + 616,2 = 0 4- 827,5 g + 558,2 = 0 -4- 517,7

0,24

Die Keduktionsformel ist hiernach :

g = — 0,0312 0,0160

”*⁼/°8⁸ =

± 0,25'

oder nach aufgelöst:

F— Qo = — 6,83 + 0,0228 (t — 10°) - 0,0312 (760 — Q₀)

(16)

Q₀ — Fq = + 6,62 — 0,022 (* — 10°) + 0,030 (760 — F).

(17)

Hiernach lässt sich eine Keduktionstabelle berechnen.

II Bergbesteigung.

Bei einer Brocken-Besteigung, 25. September 1887, haben wir drei Instrumente mitgeführt, nämlich :

1)    Das Quecksilher-Barometer Fig. 2. § 133. S. 474.

2)    Ein neues Feder-Barometer Bohne.

3)    Ein älteres kleines Feder-Barometer Naudet.

An 7 Punkten in verschiedenen Höhen wurde das Quecksilber-Barometer aufgehängt, alle drei Instrumente je 3 mal in Zwischenzeiten von etwa 5 Minuten abgelesen, gelegentlich wurde auch die Lufttemperatur durch Schleuderthermometer gemessen.

Zuerst geben wir nur die Quecksilber-Barometer-Angaben und deren Reduktion. Die in folgender Tabelle eingesetzten Q₀' sind reduziert wegen Temperatur und Ca-pillarität. Mit Q₀ und dem Mittelwert t = 7° sind die Höhen H roh genähert aus einer barometrischen Höhentafel eingesetzt ; das genügt nämlich völlig, um die Schwere-

O Q TJ

^ zu berechnen, durch welche schliesslich die beobachteten Q₀'

Korrektionen —

auf Q₀ reduziert werden, d. h. auf solche Werte Q₀, welche als richtiges Vergleichs-mass für die Feder-Barometer dienen können.

Brocken-Besteigung 25. September 1887.

Nr.

Ort und Tageszeit

Qo

Luft

Höhe

genähert

Schwere-Korrektion 2 QH

Qo

mm

mm

mm

<i p: ot w co h

8h 50m

Harzburg Canossa-Säule 11* 16m Molkenhaus Scharfenstein Pflasterstoss Kleiner Brocken 4Ä 46 Brocken, Haus 5A 80

1A 16

3" 18 Ah 3m

742,45

721,52

717,87

707,15

687,07

673,74

663,02

o o o tiS m o o os oT oT od »o co c4"

610

850

1010

1140

— 0,05

0,10

— 0,11

— 0,14

0,18

-0,22

i -0,24

742,40

721,42

717,76

707,01

686,89

673,52

662,78

In einer zweiten nachfolgenden Tabelle geben wir die Vergleichung der so berechneten <3₍₎ mit den entsprechenden Feder - Barometern F₀, welch letztere ebenfalls bereits, mit ihren besonderen Temperatur-Korrektionen versehen, eingesetzt werden. Die beigesetzten b u. s. w. beziehen sich auf die Ausgleichung.

Nr. Q₀

Bohne

Fp    Fq—Qo

Naudet Fo    Fo—Q₍₎ = 5

760—Q0 100 bl

53

54

= bc = C2

mm

mm

mm

mm

742,40

721,42

717,76

707,01

686,89

673,52

662,78

665,98    + 3,20

749,03

727,00

723,92

713,07

690,18

676,40

664,89

cb oo    co    co    05    oo    h

CD 40    r—i    O    Od    00    i—<

co" in    o    ?o    so    eff    cn

lO OO lO Cfr —¹ t> 05 O iO [>■ ^ Ci >—1 O O O ^ CO CO ¹

o o o o © o ©

4911,78 4922,02 +10,24 4944,49 +32,71    0,082    2,866    2,224

0,001

0,022

0,032

0,079

0,285

0,560

0,893

1,872

Nun wird man jedenfalls wieder die Differenzen Ç)₀ — F₀ graphisch darstellen, wie in der nachfolgenden Fig. 2. S. 508 zu sehen ist. Jedes der beiden Instrumente Naudet und Bohne giebt 7 Punkte, deren Verbindung sehr unregelmässige Zickzack-Linien geben. Dabei fällt in die Augen, dass der Verlauf 2. 3. 4. 5. bei beiden Instrumenten nahezu gleich gestaltet ist, und das lässt schliessen, dass hier Unregelmässigkeiten nicht der beiden Feder-Barometer, sondern des zur Vergleichung benützten Quecksilber -Barometers vorliegen. Trotzdem sind diese wenigen Vergleichungen immer noch geeignet, die Teilungsfehler der beiden Instrumente Naudet und Bohne im grossen und ganzen zu bestimmen. ¹)

Was man etwa rein graphisch aus diesen Vergleichungen erhalten kann, das zeigt die Figur (S. 508) selbst auf einen Blick, wobei MN die nach der M. d. kl. Q. berechnete Ausgleichung für Naudet ist, während A B und A'B' zwei Ausgleichungen nach der M. d. kl. Q. für Bohne darstellen.

Die rechnerische Ausgleichung geht, wenn man nur eine lineare Funktion nimmt, genau nach dem Muster der Vergleichung mit ruhenden Instrumenten (s. o. Gleichungen (1) —(4) S. 503—504).

Die Resultate sind :

Instrument Naudet:

(18)

Q₀ — F₀ = — 8,27mm 4- 0,0616 (760 — Q₀)    , m = ± °-⁶³’

± 0,58    ± 0,0091

Instrument Bohne:

(19)

Q₀ — F₍₎ =    1,02™™ - 0,00765 (760 — Q₀) , m = ± 0,98’

+ 0,86    ± 0,0134

Während Naudet befriedigend ist, sind bei Bohne die mittleren Fehler zu gross; und der Anblick der Figur macht es ganz begreiflich, dass eine Gerade sich unmöglich den 7 zerstreuten Punkten anschliessen kann.

Fig. 2.

Brocken-Besteigung. Feder-Barometer Naudet und Bohne.

760-9

mm

740

720

700

680

660

_gmm

-6

nim

—Pr-

Naudet 3.    4.

O

z?

-5mm

_4mm

-3

mm

r³>j

«mniv !

•I

Bohne

is*

imm

J--1 Aiisgleiçhiilig-llüÇâL

B'

USnJeini

è,

9leichùng quadr? "^\5.

CO

Ł7I

Harzburg^,

■^1

CO

Canossa-S-

vj

Molkenh.ü?

Scharfenst

CD

CO

Pflaster-Sto

CO

00

Kl.Brocken

CO

Brocken

CO

CO

Wir machen desshalb für Bohne einen Versuch mit einer Funktion zweiten Grades:

760-Qc^²

Qo — Fo = x + z'

, 760-Qo

100

+ z"

100

Normalgleichungen :

H~ 7,000 x + 4,082 + 2,866 z” + 10,240 = 0 + 2,866 tf + 2,244 s" + 6,343 = 0 + 1,872 z" + 4,830 = 0 + 19,650.

Q,-F₀ = - 3,42 + 9,43

760 —

100

8,65

’760-g₀\2

100

(20)

+++++++⁰

r+p    CO    O    GO    IO    lO    CO    Cd

<0    <3    O*    QO    H    l-    ^

I    03    r-H    cT    O    ł—r    r-T    oT

₇/w m = V7=*

= ± 0,86’

(21)

2,96.

Der mittlere behler ist etwas kleiner geworden und, so lange keine weiteren Vergleichungen zur Verfügung kommen, kann man die Formel (20) wohl anwenden, und hiezu folgende Tabelle berechnen:

Qo = 760“™ Q₀ - F₀ = - 3,42

n.m

750

740

730

720

710

Qo — 710mm Q₀ — Fq — — 0,86’

700

690

680

(22)

670

660

Hier ist der richtige (Quecksilber-) Stand als Argument genommen, man könnte die Gleichung (20) auch so umformen, dass Fq als Argument erschiene, nämlich

760 — F₀

Qo — F₀ — — 3,10”‘™    844

100

8,65

/⁷⁶°

\ 100 /

(23)

Indessen praktisch genommen werden beide Formeln (20) und (23) nahezu dasselbe geben, und die Tabelle (22), welche zu (20) gehört, ist deswegen von allgemeinerer Bedeutung, weil sie unabhängig von der jeweiligen (zufälliger und absichtlicher Änderung unterworfener) Stand-Korrektion ist.

III. Luftpumpen- Versuche.

Buhende Vergleichungen und Bergbesteigungen eignen sich nicht zu ausgiebiger Anwendung zur Feder-Barometer-Vergleichung.

Hiezu dienen die künstlichen Luftdrucks-Begulierungen, deren sich namentlich auch die Verfertiger von Feder-Barometern bedienen.

Die Anwendung der Luftpumpe ist in Fig. 3. S. 510 angedeutet.

Unter den Becipienten R wird das zu untersuchende Feder-Barometer gebracht, und die durch Pumpen erzeugte Luftdrucks-Verminderung wird durch eine Glasröhre

Da die Temperaturen t des Feder-Barometers nur zwischen 16,7° und 15,5° schwanken, wurde die Temperatur t als konstant angenommen, und durch Ausgleichung folgende Formel gebildet:

(24)

Fig. 3.

"V\

Jl

mit der Quecksilber-Differenz h kathetometrisch gemessen. Wenn der aussen an einem gewöhnlichen Quecksilber-Barometer abgelesene Barometerstand Q’ um diese Quecksilber-Höhe h vermindert wird, so hat man den inneren Druck Q' — h — Q. Durch symmetrische Aufeinanderfolge der Ablesungen, nämlich: 1) Barometer , 2) Kathetometer h, 3) Feder - Barometer im Recipienten, 4) Kathetometer h, 5) Barometer, können kleine Änderungen während einer einzelnen Vergleichung thunlichst eliminiert werden.

Folgende Tabelle zeigt einen solchen von uns angestellten

Versuch :

Feder-Barometer

Quecksilber-Säulen

Nr.

Qo

Q₀' — h F~Qo Qo — 670

678,93™“    16,7°    68,58’

8,87

0,59

740,87™“    672,29’

740,89    679,80

740,88    686,79

740,87    695,25

740,85    702,45

740,83    709,58

740,75    716,16

740,78    724,31

740,68    731,81

740,66    740,07

++++++++++

op

OOiCn^WCOtöH P h ^ Ci P to Ol 05 ^ M OO 05 60 05 V ŁO 00 OO

F— Q₀ = 6,433 — 0,1046 (Q₀ — 670) + 0,0003 (Q₀ — 670)2 Der mittlere Fehler einer Vergleichung wurde = + 0,32’“™ gefunden.

Die Luftpumpenversuche haben den Nachteil der elastischen Nachwirkung. Jelinek teilt in „Carls Rept.“ 13. Band S. 54 folgende Resultate von Balfour Stewart, Vorstand des Observatoriums zu Kew, mit:

Stand des Instruments

Nr. 8 Nr. 9 Nr. 10 Nr. 14 Nr. 16

vor dem Versuch nach dem Versuch 18 Stunden nachher — 1,8 — 2,0 — 2,0 — 3,3

— 2,5™™ — 3,lł"w —3,1“™ — 1,0'"™ —1,3™’"

0,0

48

4 Tage

21

GO_ X O lO

4- 1,5

-4- 1,5

4-0,3

4- 1,0

4- 0,3

— 0,8

— 0,3    - 0,3

— 2,8    -1,8    —1,5

Wie man sieht, hat sich hier nach 3 Wochen wieder nahezu der alte Stand

hergestellt.

Statt der gewöhnlichen Luftpumpe empfiehlt Schreiber („ Handbuch der barometr. Höhenmess.“ S. 169—176) andere Apparate zur Erzeugung von Druckdifferenzen, wovon ein Topf, aus welchem die Luft durch ein Saugrohr mit dem Munde durch Lungenkraft ausgesaugt wird, seiner Einfachheit wegen Beachtung verdient. Schreiber berichtet, dass er 280mm Quecksilbersäule durch Saugen leicht bewältigt, aber nur 50 durch Blasen. Die Druckdifferenz in- und ausserhalb des Gefässes muss kathetometrisch in ähnlicher Weise, wie bei Fig. 1. angedeutet ist, gemessen werden.

In nachfolgender Fig. 4. ist eine solche Vorrichtung dargestellt, welche Ingenieur Kröber in Stuttgart für sich hergestellt, und in der „Zeitschr. f. Verm. 1881“, S. 318 beschrieben hat.

Fig. 4.

v;

SI

Jl

¹

Diese sachlich nicht ganz befriedigenden 7 Vergleichungen einer Brocken-Besteigung wurden von vorhandenem Material doch ausgewählt, weil sie ein übersichtliches, in sich abgerundetes Schulbeispiel bieten, und weil sie sehr gut sind, um zu zeigen, dass man bei solchen Barometer-Reisen gewärtig sein muss, nicht bloss immer glatte Resultate, sondern manchmal auch Missstimmigkeiten bis zu 1”"’¹ zu erhalten.

Eine ähnlich angeordnete, besser stimmende Vergleichsreihe vom Schwarzwald haben wir in Neumayers „Anleitung zu wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen“, 2. Auflage, Berlin 1888, S. 86—87, mitgeteilt.

Beispiele von Reisebarometer-Vergleichungen giebt Koppe in dem Buche „Die Aneroide von Jakob Goldschmid“, Zürich 1877, S. 32—40, und Hartl, „Praktische Anleitung zum Höhenmessen,“ Wien 1884, S. 59—60 und S. 66. Hiebei wird auch die elastische Nachwirkung betrachtet, von welcher bei unserem zunächst nur den formalen Rechnungsgang zeigenden Brocken-Beispiel nicht die Rede ist.

Q,

Ein gewöhnlicher Luftpumpenteller A aus Messing von 22cm Durchmesser, mit aufgekitteter geschliffener Glasscheibe, ruht auf einem Dreifuss B. Die starke Glasglocke C mit gut geschliffenem Rande kann mittelst Fett luftdicht auf den Teller gesetzt werden. In der oberen Wölbung der Glocke C befindet sich eine Stopfbüchse E zum Durchlässen einer Stange 7), welche zum Drehen und Einstellen eines in der Glocke befindlichen Goldschmid - Aneroides dient, welche aber auch zum einfachen Klopfen eines etwa hinein gelegten gewöhnlichen Zeiger-Instrumentes eingerichtet werden kann.

Von der Glasglocke G geht nach unten eine Luftverbindung durch Gummischläuche nach zwei Seiten, erstens nach dem Behälter 0 zur Änderung des Luftdrucks, und zweitens nach dem Barometer K zur Messung des Luftdrucks.

Betrachten wir zuerst den Behälter 0, so führt zu demselben ein Schlauch S, mittelst dessen die Luft durch den Mund ausgesaugt werden kann, wobei ein Hahn d zum Öffnen und Absperren dient. Ein Quecksilber-Manometer R zeigt sofort die Saugwirkung, ohne jedoch zum genaueren Messen der Druckverminderung zu dienen.

Zwischen dem Behälter 0, in welchem die Luftverdünnung durch Saugen erzeugt wird, und der Glasglocke C ist eine Schlauchverbindung Q und J, jedoch mit Zwischenschaltung eines Regulators P, der dazu dient, die Druckverminderung in 0 stetig und langsam (z B. 5mm in 1 Minute) nach G zu übertragen.

Die Messung des Druckes in C geschieht durch das Barometer K, dessen Ge-fäss durch Schläuche JJ in luftdichter Verbindung mit dem Inneren von C steht. Das Barometer K hat dieselbe Konstruktion wie unsere frühere Figur S. 473 zeigt ; wobei für den besonderen Zweck der Verbindung mit G natürlich das Gefäss in allen Beziehungen luftdicht sein muss.

Soweit wirkt das Ganze nur zur Luft Verdünnung, Luftverdichtung ist schwieriger, sie verlangt Anpressen der Glocke C an den Teller A und Einblasen von Luft durch den Schlauch S, wozu der Gummiball T dient.

Zahlreiche mit dieser Vorrichtung angestellte Versuche hat Ingenieur Kröber in der „Zeitschr. f. Verm. 1881“, S. 320—339 veröffentlicht.

Ausser den bereits beschriebenen oder zitierten Einrichtungen zur künstlichen Luftdrucksänderung für Feder-Barometer-Vergleichungen sind noch folgende Verweisungen zu machen: Vogler, „Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 51 und S. 476. Koppe, Untersuchungsstation für Aneroid-Barometer an der technischen Hochschule zu Braunschweig. „Zeitschr. d. hannov. Ing.- u. Arch.-Ver. 1884“, S. 135, ferner „Deutsche Bauzeitung 1886“, S. 231 u. 242. Schreiber, Apparate zur Prüfung von Feder-Barometern. sowie von Thermometern, „Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1886“, S. 121.

§ 142. Änderung der Stand-Korrektion.

Alle Feder-Barometer leiden an dem Übelstande, dass sie den Stand im allgemeinen nicht auf die Dauer bewahren. Namentlich die unvermeidlichen Erschütterungen, beim Feldgebrauch und auf Reisen, bringen Standänderungen hervor, welche dadurch gefunden werden, dass man die Instrumente mit einem Quecksilberbarometer vergleicht.

Es kann Vorkommen, dass ein Instrument, wenn man es nur einen Tag lang über Berge und Thäler zum barometrischen Gebrauch herumträgt, seinen Stand bis zu lmm ändert ; und es bleibt dann meist nichts übrig, als die Änderung auf die Zwischenzeit zu verteilen ; doch wird die Änderung in einem Tag im Mittel nur wenige Zehntel Millimeter betragen, und in längeren Zeiträumen werden die Änderungen sich nicht fortgesetzt häufen, sondern auch wieder sich aufheben.

Als Beispiel geben wir in der folgenden Tabelle die verschiedenen Standkor rektionen, welche die Feder-Barometer der libyschen Expedition nach und nach, bei der Vergleichung mit dem Quecksilber-Barometer, zeigten, nachdem alle anderen Korrektionen in Rechnung gebracht worden sind :

Standkorrektionen von 4 Federbarometern auf der libyschen Expedition 1873—1874.

Ort und Zeit der Vergleichung.

Naudet Goldschmid 39305.

600.

Casella

1640.

Casella

1641.

Kairo 1873, 5. Dezbr. Siut Marak Farafrah 1874,    1.    Jan.

Dachcl „

Dacliel ,

Chargeh „    25.    „

Esneh Kairo

12.

1)

20.

10.

1)

-4- 2,8mm + 2,5

4- 2,8

+ 4,5

+ 5,0

16. März

1. April

16.

+ 1,4 — 0,3

+ 0,8

+ 0,6

-4- 14,0”™ -4- 13,3 -4- 13,1 + 13,8 4- 13,2 4- 11,0

H- 5,8mm

+ 9,4

+ 8,1

O    ^ ^ ^

* lo' oT oT cT oo'

-4- 0,7

+ 1,6

-h 0,9

-4- 1,0

-ł- 0,4

Grösste Änderung .    .    .

Casella 1641., welches sich hiernach am besten bewährt hat, ist ein kleines Instrument von der Grösse einer Taschenuhr, es wurde beständig vom Professor Zittel in der Beinkleidertasche getragen. Es scheint dieses darauf hinzudeuten, dass solcher Transport kleiner Instrumente sehr vor Veränderungen schützt. Grosse und schwere Instrumente mussten bei dem Transport zu Kameel (welches hier stattfand) notwendig stark erschüttert werden.

Weitere Erfahrungs-Ergebnisse giebt Koppe, „Die Aneroide von Goldschmid, Zürich 1877“, S. 41: „Die Gesamtänderung des Instrumentes Nr. 803. betrug im ersten Jahre 2—3mm, in jedem der beiden folgenden Jahre noch nicht lmm“.

Erfahrungen über Stand-Änderungen giebt auch Hartl „Praktische Anleitung zum Höhenmessen“, Wien 1884, S. 57—62, z. B. in 3 Tagen: + 2,9mm , + 3,5mm,

3,7«m ₎    3,4»™.

Welche Art von Instrumenten die grösste Widerstandskraft gegen Erschütterungen u. s. w. haben, ist allgemein nicht zu sagen ; man kann vermuten, dass mikros kopisehe Instrumente, welche der federnden Büchse keine mechanische Arbeit zumuten, die besten sind ; indessen kommt hier alles auf die Erfahrung an.

Solange die Feder-Barometer noch so starke Stand-Änderungen zeigen, wie im Vorstehenden angedeutet ist, und so lange keine Sicherheit besteht, dass ein Instrument nicht plötzlich viel stärkere Änderungen erleidet, als man im Mittel annimmt, muss man auf Reisen immer noch ein Quecksilber-Barometer (oder vielleicht auch ein Koch-Thermometer, § 150.) mitführen.

— 5,3’«“

— 5,9""«

+ 4,6”*™

— l,2mm

§ 143. Bestimmung der Lufttemperatur.

Indem wir zunächst ein richtiges (geprüftes) Quecksilber-Thermometer als vorhanden voraussetzen, beschreiben wir dessen Anwendung zur Bestimmung der Lufttemperatur, wie man sie zur barometrischen Höhenmessung braucht.

Das gewöhnlichste Mittel zur Messung der Lufttemperatur besteht darin, dass man das Thermometer ruhig im Schatten aufhängt und dann abliest.

Im Felde hat man aber hiezu meist weder einen geeigneten Ort noch die verfügbare Zeit. Hier wird daher das Schleuder-Thermometer benützt, welches in einem

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aull. II. Bd.

33

an einer Schnur befestigten Glas-Thermometer besteht, das man rasch umschwingt (100—200 mal). Das Thermometer kommt dadurch mit vielen Luftteilen in Berührung, und nimmt deren Temperatur an.

In neuerer Zeit wird auf dem meteorologischen Institut in Berlin ein neues Mittel zur Lufttemperatur-Bestimmung angewendet, welches darin besteht, dass ein starker künstlicher Luftstrom dem Thermometer zugeführt wird. Letzteres wird zu diesem Zweck in ein System von Böhren eingeschlossen, welche infolge Ansaugens mittels eines einfachen Saugebalges die Luft mit einer Geschwindigkeit von 1,2"' in der Sekunde durchstreift. Ein Anstauen und eine abweichende Erwärmung der Luftteilchen in den Böhren wird hierdurch unmöglich. Das Ergebnis war ein durchaus befriedigendes, da bei den Versuchen im Schatten und in der Sonne genau dieselben Messungswerte sich ergaben.

So lange man solche Mittel nicht hat, ist im Felde immer noch das beste das vorher beschriebene Schleuder-Thermometer.

Das Quecksilber-Thermometer.

Es sind drei verschiedene Thermometer-Teilungen im Gebrauche, nach Celsius, Réaumur und Fahrenheit-, ihre gegenseitigen Beziehungen zeigen die Tabellen von Seite [13] des Anhangs.

Die gewöhnlichen dem Handel entnommenen Thermometer pflegen etwa innerhalb 0,5° — 1° richtig zu sein, und die Nullpunkte kann man jederzeit selbst untersuchen durch Eintauchen der Thermometer in schmelzendes Eis; die genauere Untersuchung dagegen, für die von 0° entfernten Striche der Teilung, ist eine schwierige Sache, welche der Einzelne gewöhnlich nicht selbst ausführen kann. Man verschafft sich daher zur Vergleichung der rohen Gebrauchs-Thermometer ein oder zwei feine Normal-Thermometer (R. Fuess, vorm. Greiner & Geissler, Berlin SW., Alte Jakob-Strasse 108) mit Beglaubigung der K. Normal-Aichungs-Kommission oder der II. Abteilung der physikalisch-technischen Beichs-Anstalt. Mit einem solchen Normal-Thermometer werden die Gebrauchs-Thermometer in Wasser verglichen, und die Fehler der letzteren in Bechnung gebracht.

Die Fixpunkte des Thermometers, Änderungen der Thermometerangaben.¹)

In dem Werke „ Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures“ I. 1881. Seite A. 43 finden wir folgendes: Der Nullpunkt der Thermometer ist bestimmt durch die Temperatur des schmelzenden Eises unter dem Atmosphärendruck von 760"'”'. Der Punkt 100° C der Thermometer entspricht der Siede-Temperatur des reinen Wassers unter dem Drucke einer Quecksilbersäule von 760“'" Höhe bei 0° Temperatur, unter 45° Breite, in der Meeresfläche.

Die so bestimmten Thermometergrade heissen Normal-Grade, zur Unterscheidung von den Graden nach Régnault, für welche der Punkt 100° ein anderer ist, nämlich die Siedetemperatur des Wassers unter dem Druck 760”'”' in Paris, mit Breite = 48° 50' 14” und Höhe 60™ über dem Meere. Infolge der Schwere-Beduktion (§ 136.) entspricht dem absoluten Barometerstände 760”"” (d. h. unter 45° Breite und Nullhöhe) in dem Régnault sehen Laboratorium eine Quecksilberhöhe von 759,7462”'”'. Dem Punkte 100° von Regnavlt entspricht 100,0093176 Normal-Grade. Bezeichnet man mit t die

Temperatur in Regnault-Gmden und mit r dieselbe Temperatur in Normal-Graden, so ist t = 1,000093176 t.

Für die Siede-Temperaturen als Funktion des Barometerstandes werden zwei ausführliche Tafeln gegeben, Seite A. 33—39 und Seite A. 46—48, von welchen wir einen Auszug in unserem Anhänge Seite [20] und [21] gebildet haben. Wenn r die Siedetemperatur, und B der zugehörige Barometerstand ist, so kann man B nach der Formel berechnen :

B = 760 — 27,2502 (100 — r) + 0,4140 (100 — tf — 0,0035 (100 — r)3.

Nach diesem geben wir noch die wichtigsten Erfahrungen über die Änderungen der Thermometerangaben, nach den Metronomischen Beiträgen der K. Normal-Aichungs-Kommission. (Nr. 3. 1881, Thiessen, „Vergleichungen von Quecksilber-Thermometern“, und Wiebe, „Bewegungen der Fundamentalpunkte von Thermometern“. Die ersten Untersuchungen dieser Art sind von Pernct und Marek.)

Als eigentliches Normal-Thermometer dient das Luft-Thermometer. Die verschiedenen Quecksilber-Thermometer werden im allgemeinen andere Ablesungen geben als das Luft-Thermometer, weil die Ausdehnungen der Gläser und des Quecksilbers weder gleich, noch genau proportional den Temperaturen sind, und zwar beträgt die Differenz etwa bis zu 0,2°, und ist der Rechnung kaum zugänglich.

Es ist schon ziemlich lange bekannt, dass der Eispunkt eines Thermometers nicht unveränderlich ist, sondern namentlich bald nach der Anfertigung um etwa !/₂ Grad ansteigt, und man fand auch bald, dass der Fundamentalabstand zwischen 0° und 100° weniger sich ändert, wenn die Siedepunktsbestimmung zuerst gemacht wird.

Unmittelbar nach der Anfertigung des Instruments ist der Nullpunkt sehr veränderlich, indem er ziemlich rasch etwa bis 0,5° ansteigt, was allmählich sich verzögernd, mehrere Jahre lang dauert. Man hat den Grund hievon darin gefunden, dass das Glas bei der starken Erwärmung der Anfertigung sich stark ausdehnt, und nur allmählich sich wieder zusammenzieht, oder umgekehrt, man kann sagen, die Anfertigungserhitzung hat eine Depression des Nullpunkts erzeugt, welche nur allmählich wieder vei’sch windet.

Wenn man ein solches altes Thermometer längere Zeit im Eise hält, so stellt sich ein ziemlich konstant bleibender Eispunkt nach langer Ruhe im Eise ein, welcher aber wieder heruntergedrückt wird, wenn das Thermometer heim Gebrauch in höhere Temperaturen kommt. Insbesondere entsteht eine starke Depression, wenn das Instrument zur Neuhestimmung des Siedepunktes auf 100° erwärmt wird. Man hat daher zwei Nullpunkte zu unterscheiden:

1)    Eispunkt nach langer Ruhe im Eis,

2)    Maximaldeprimierter Nullpunkt, d. h. Eispunkt unmittelbar nach dem Sieden.

Von diesen zwei Punkten hat der letztere die grösste Konstanz, und der vorher

bestimmte Siedepunkt gieht mit ihm den Fundamental-yf&.sfaw?, welcher sich ebenfalls als nahe konstant erweist. Es empfiehlt sich, zu jeder wichtigen Messung den Eispunkt jedesmal besonders zu bestimmen. (Zu Weiterem vgl. „Zeitschr. f. Meteorologie 1879“, S. 134 und S. 206.)

§ 144. Bestimmung der Luftfeuchtigkeit.

Zur Bestimmung der Luftfeuchtigkeit eignet sich für barometrische Höhen-messung am besten die von August zuerst angegebene Vergleichung des trockenen und des befeuchteten Thermometers. Die Befeuchtung eines Thermometers geschieht dadurch, dass man die Thermometerkugel mit lockerem Baumwollstoff umhüllt, und dann Wasser darüber giesst. Nach etwa 5 Minuten wird das Wasser teilweise verdunstet sein, und die Verdunstungskälte erzeugt ein Sinken des Thermometerstandes. Je trockener die Luft ist, desto rascher und heftiger erfolgt die Verdunstung, und um so mehr muss der Stand des feuchten Thermometers gegen den Stand des trockenen Thermometers zurückgehen, während hei vollständig feuchter Luft kein Wasser mehr verdunsten kann, und somit, trotz der Befeuchtung, beide Thermometer gleich hoch stehen. Es dient also die Differenz beider Thermometerstände als Feuchtigkeits- bzw. Trockenheits-Mass.

Zur Berechnung der Luftfeuchtigkeit braucht man zuerst die Spannung des gesättigten Wasserdampfes, wofür wir auf S. [20] des Anhangs eine Tafel als Auszug aus der nach Régnault neu berechneten Tafel des internationalen Mass- und Gewichts-Amtes zusammengestellt haben (vgl. S. 515)

Wenn E die Spannung des gesättigten Wasserdampfes bedeutet für die Temperatur t, welche das feuchte Thermometer zeigt, während das trockene Thermometer T und das Barometer B zeigt, so erhält man die Spannung e des in der Luft befindlichen Wasserdampfes für positives t durch die Formel:

0,48 (T- t) B

610 — t

(1)

Beispiel: Trockenes Thermometer T — 16,4°

t = 13,2° B = 735»»

Feuchtes

T — t = 3,2°

Barometer (auf 0° red.)

Die Dunstdrucktafel Seite [20] des Anhangs giebt für t = 13,2° den Wert E = 11,3, folglich:

« = 11,3

0,48 X 3,2 x 735

596,8

= 11,3 — 1,9 = 9,4»»

Für irgend welchen mittleren Barometerstand und mittleren Wert t kann man aus (1) eine Näherungsformel bilden, z. B. für B= 740, t = 10 erhält man:

e — E— 0,6 (T— t)

Dieses giebt für obiges Beispiel e == 9,4, wie die strenge Formel

Für häufigen Gebrauch bestehen ausführliche Tafeln, insbesondere „Psychrometertafeln für das 100-teilige Thermometer, nach Dr. H. Wilds Tafeln, bearbeitet von Dr. G. Jelinek. Dritte erweiterte und mit einer ausführlichen Einleitung versehenen Auflage, Leipzig 1887, von Dr. J. Hann¹¹.

Aus dieser Jelinek - Hann sehen Psychrometertafel haben wir einen kurzen Auszug gebildet, der auf S. [22] unseres Anhangs gegeben ist.

Die Anwendung dieser abgekürzten Tafel zeigt ein Beispiel:

(2)

Trockenes Thermometer T — 16,4 Feuchtes

t = 13,2

Um nicht zweifach interpolieren zu müssen, schreiben wir statt dessen:

oder

T = 16,0 t =12,8

T= 16,2 t = 13,0

es kommt nämlich hauptsächlich auf die Differenz beider Stände an, und man darf deshalb beide Stände so verändern, dass mit Erhaltung dieser Differenz der eine Stand auf 0,0° ausgeht. Damit ist die Benützung der Tafel auf eine einfache Interpolation zurückgeführt; man findet so c = 9,3 oder 9,1, was für barometrische Höhenmessung meist geneigt.

Aus dem Dunstdruck e kann man auch das Dunstgewicht berechnen; da ein

Druck 1293 Gramm wiegt, und der Wasser-

Kubikmeter Luft von 0° und 760¹

dampf die Dichte 0,623 bezogen auf Luft hat, so ist das Gewicht des in lcbm feuchter Luft enthaltenen Wasserdampfes in Grammen:

D = 0,623 X 1293 ~

760 1 hk 0,003665 T

D = 1,06

1 -t- 0,003665 T

Weil somit der Dunstdruck e ein Mass für das Dunstgewicht abgiebt, nennt man den Dunstdruck e selbst die absolute Feuchtigkeit.

Die relative Feuchtigkeit ist das Verhältnis der Spannung e des in der Luft wirklich vorhandenen Wasserdampfes zu der Spannung, welche der Wasserdampf hätte, wenn die Luft für die eben stattfindende Temperatur damit gesättigt wäre. Man erhält also die relative Feuchtigkeit, wenn man den oben ermittelten Dunstdruck e (absolute Feuchtigkeit) durch die der Tafel zu entnehmende Maximal Spannung des Wasserdampfes für die Temperatur des trockenen Thermometers dividiert.

Für das obige Beispiel giebt die Tafel Seite [20] des Anhangs mit T = 16,4° den

Spannungswert E = 13,9”*"*, also relative Feuchtigkeit =

9,4

= 0,68 oder 68 %.

Ï3,9

Da man oft in die Lage kommt, barometrische Höhen ohne besondere Beobachtungen über Luftfeuchtigkeit berechnen zu müssen, ist es von Wichtigkeit, die Mittelwerte des Dunstdrucks für verschiedene Zeiten und Orte zu kennen. Solche Mittelwerte zeigt folgende Tabelle:

Monatsmittel und Jahresmittel des Dunstdrucks.

Monat

West-

Europa

Preussen

Württem

berg

Baden

Mittel

Januar

Februar

März

April

Mai

Juni

Juli

August

September

Oktober

November

Dezember

l>- Cd CO Cd    r—* T—* 00 t>- r-H r-H

co cb 00 ©~

►—* t—*

°p JO Cd 05 CO

"bs o<i co"co <0 bsoobs coooTo

I—¹ I—‘    I—¹

Cn -a JO —*    ^¹ _oOi Ot ^

'tn'os'co'o'î—¹ co 7-* boba co os ~

CO

3

w o_œ oa ih ca -sF »o¹ co    o of co os~ 10 co

rH    1—I r—l

CO

H-*    H—¹

4^ Jin jo j-* h-¹ o    ^

CO ^ 4^ CO or o'bo H-i

Jahresmittel

Die Zahlen für „West-Europa“ sind Mittel aus den Resultaten von 30 Stationen, die Zahlen für „Preussen“ Mittel von 46' Stationen, nach Schmids Lehrbuch der Meteorologie S. 622—625. Die Zahlen für „Baden“ sind Monatsmittel für 1871—1875 von 12 Stationen, nach dem badischen meteorologischen Jahresbericht für 1875, S. 108; die Zahlen für „Württemberg“ sind die Mittel für 16 württemb. Stationen von 1867, 1872 und 1873 nach den betreffenden meteorologischen Jahresberichten von Schoder.

Die Mittelwerte in der letzten Spalte dieser Tabelle (3) haben nur die Bedeutung einer rohen Durchschnitts-Berechnung für Deutschland; diesen Mittelwerten entspricht auch die kleine Hilfstafel unten auf Seite [23] des Anhangs.

Die regelmässige tägliche Änderung des Dunstdrucks beträgt höchstens 0,5mm.

7,5mm

6,9mm

7,2“»*

7,4mm

7,2mm

Bei Vergleichung der monatlichen Dunstdrucks-Mittel mit den entsprechenden Lufttemperatur-Mitteln findet man eine deutliche Beziehung zwischen beiden. Der badische meteorologische Jahresbericht für 1875 giebt ausser den in vorstehender Tabelle (S. 517) mitgeteilten 5jährigen Dunstdrucks-Mitteln auch die Lufttemperatur-Mittel für dieselbe Zeit 1871—1875 und für dieselben 12 Stationen.

Die 12 Stationen liegen zwischen 112”“ und 1012m Meereshöhe und zwischen 47° 42' und 49° 46' Breite; die 5jährigen Mittel von 1871—1875 sind:

Monat

Januar

Februar

März

Luft-

temperatur

0,3°

Dunstdruck

Monat

4,3”*

1,2

4,0

4,4

April

7,8

Mai

11,0

Juni

15,7

10,2

Juli

August

September

Oktober

November

Dezember

Luft

temperatur

18,7°

17,2

14,8

Dunstdruck

12,2mm

8,3

3,6

-1,2

O

co' cT t> io co

'lo

Daraus wurde die empirische Formel gebildet:

(4)

e = 3,6 + 0,45 t

wobei e der Dunstdruck in Millimetern und t die entsprechende Lufttemperatur in G° ist. Der mittlere Fehler eines Wertes e ergab sich = + 0,8”*”*.

Die Änderung der Luftfeuchtigkeit nach der Höhe ist von Wichtigkeit, wenn nur an einem barometrischen Beobachtungspunkt eine Dunstdrucks-Bestimmung gemacht ist, oder wenn nur Beobachtungen eines fremden benachbarten Ortes vorhanden sind. Hann findet, dass die Änderung des Dunstdrucks mit der Höhe sehr regelmässig stattfindet, und giebt hiefür folgende empirische Formel:

P = Po

{] ~0,246 \m + 0,01569 (iooo) )

wobei p und p§ die Werte des Dunstdrucks oben und unten (in beliebigem Mass) und h der Höhen-Unterschied in Metern ist; die Formel gilt bis zu Höhen von 7800”“ („Zeitschr. d. österr. Ges. für Met. IX. Band 1874“ S. 197).

Auch die oben schon genannten Jelinek-Hann scheu Psychrometer-Tafeln geben in ihrem letzten Teile S. 92 — 102 Regeln und Tafeln zur Berücksichtigung der Luftfeuchtigkeit bei der Luftdrucks-Bestimmung in verschiedenen Höhen, weshalb auch in dieser Hinsicht auf jene wertvollen Tafeln zu verweisen ist.

§ 145. Vollständige barometrische Höhenformel.

Nachdem wir schon in § 132. S. 470 — 472 die Grundzüge der Theorie der barometrischen Höhenmessung dargelegt haben, ist es nun unsere Aufgabe, diese Theorie weiter zu entwickeln, und die vollständige barometrische Höhenformel abzuleiten.

Zu diesem Zwecke knüpfen wir an der früheren Differentialformel (10) § 132. S. 471, wieder an, nämlich:

dH

(1)

dp z/ --“--

/'<•

Die Lufttemperatur t ist mit der Höhe H jedenfalls veränderlich; da aber das Gesetz der Wärmeabnahme mit der Höhe im allgemeinen nicht bekannt ist, und da es für viele praktische Zwecke ausreichend ist, die Lufttemperatur als arithmetisches Mittel der unten und oben gemachten Bestimmungen anzunehmen, so wollen wir alles was sich etwa weiter theoretisch rechnen lässt, hier zuerst bei Seite lassen (vgl. den späteren § 152.) und bei der Integration der Differentialgleichung (1) die Grösse t als konstant behandeln.

Dagegen ist die Schwerenbeschleunigung g, welche in (1) vorkommt, mit der Höhe H veränderlich, und zwar nach (2) § 136. S. 483, entsprechend der Gleichung:

(2)

wo g₀ die Schwerenbeschleunigung in der Höhe H = 0 ist. Setzt man dieses (2) in (1), so bekommt man:

(3)

1— — dH

dp

p    p₀ 1-h st

Die allgemeine Integration giebt:

iv-l3VL lp~ M ’

wo l den natürlichen Logarithmus, log den Brigg sehen Logarithmus und M = 0,434294 dessen Modul bedeutet.

Es ist also das allgemeine Integral von (3):

__9o

Po 1 -+- st

fdp ₌

J P

logp

H~

dH = H — —

(4)

-f- Konst.

(5)

Zur Konstantenbestimmung setzen wir fest, es sollen p und P einerseits, H und H' andererseits zusammengehörige Werte sein, d. h. neben (5) besteht die zweite Gleichung:

H' 2

log P _ _ //„ gp M ~ pp 1 + s t Die Subtraktion von (5) und (6) giebt: log P — log p

H'—

(6)

₌    _9o_(

PO 1 + 6 t \

H—1P

U2 _ U'2

hiebei ist:

H— H' —

m — H' 2

= (H— H') ^1

H+H'

Man hat daher die Auflösung nach H— IV : log P— log p

H-H' =

E-+-H'

(7)

(8)

Hier ist nach früherem (Gleichung (5) § 136. S. 483): go = £/o⁴⁵ (1 — ß cos 2 <p) oder genähert

Dieses (8) setzt man in (7), zugleich setzen wir H — H' = h, ändern auch die

Bezeichnungen im letzten Faktor dahin ab, dass wir unter H nun die mittlere Höhe H-V H'

verstehen wollen. Damit wird (7) :

h = log(—)L-J- \₅

y \p) M A₀ <7₀⁴⁵

(1 + ß COS 2 q>) (l-f-et)^l-t—

(9)

Es handelt sich nun um die beiden Grössen p₀ und z/₀; wir haben dieselben schon mit dem Mariotte-Gay-Lussac sehen Gesetze in § 132., (8) Seite 471, eingeführt, und zwar ist z/₀ die Dichte der Luft von der Temperatur 0° unter irgend einem willkürlich angenommenen Drucke p₀.

Zur Vergleichung wollen wir eine andere Luftdichte z/₀⁴5 einführen, welche gewissermassen als Normal wert gelten soll, nämlich bei der Temperatur 0° und bei dem Barometerstand 0,76m, der selbst auf die Höhe Null und die Breite 45° bezogen sei. Dann besteht nach dem Mariottesehen Gesetze die Proportion:

Po

(10)

^o⁴⁵ ~ 0,76 q ^o⁴⁵

Dabei sei q die Dichte des Quecksilbers, es ist also 0,76 q die Masse einer Quecksilbersäule von 0,76’" Höhe und dem Querschnitt = 1, und 0,76 q #₀⁴⁵ das Gewicht dieser Quecksilbersäule.

Setzt man (10) in (9) so erhält man:

‘-«■»(DÏA

(\-hßcos2q>) (1 + eQ^l-f-^J

(H)

Nun handelt es sich um den Quotienten -3-rz, d. h. um das Verhältnis der

Z#₀⁴⁵

Quecksilberdichte q zur Luftdichte z/₀⁴⁵. Man hat hiefür die physikalischen Bestimmungen von Régnault. Derselbe fand das Gewicht von 1 Liter Quecksilber =■ 13,59593 Kilogramm, oder es ist die Dichte des Quecksilbers bezogen auf Wasser von grösster Dichte :

(12)

q = 13,59593²)

Um auch die Luftdichte in gleichem Masse zu bestimmen, verfuhr Régnault in Paris derart, dass er eine Glasflasche von ungefähr 10 Liter Fassung zweimal wog, das erste Mal mit Luftfüllung und das zweite Mal mit Wasserfüllung.

Die Luft war trocken und frei von Kohlensäure, hatte 760mm Druck und 0° Temperatur (oder entsprechende Reduktion). Die Wägung gab im Mittel:

(13)

Luftgewicht = 0,0127781 Kilogramm Die Wägung mit Wasserfüllung gab entsprechend:

(14)

Wassergewicht = 9,881086 Kilogramm

Hiernach ist die Luftdichte:

DP =

0,0127781

9,881086

0,00129319³)

(15)

Wir haben hier Dp geschrieben, wobei der Index P den Beobachtungsort Paris, und D die Dichte reiner Luft (ohne Wasserdampf und ohne Kohlensäure) vorstellen soll, im Gegensatz zu dem früheren Zeichen d, welches sich auf feuchte und kohlensäurehaltige Luft beziehen soll.

Wir wollen zuerst die Reduktion von Dv auf 1>₀⁴⁵ ausführen, und wir wissen hiezu, dass der Barometerstand 760“m von Paris auf die Normal-Breite 45° und die Höhe Null reduziert, (nach § 186. Gleichung (11) S. 484) folgendes giebt:

= 760 ^1 — /? cos 2 <p —

(760j>)₀45 ₌ 760 -~

oder ausgerechnet mit <p = 48° 50' und H — 60™ für Paris:

(760i<)₀⁴⁵ = 760,254.

Wenn daher das bei (13) als gewogen erwähnte Luftvolumen unter dem reduzierten Normaldrucke 760mm statt 760,254mm gestanden wäre, so würde es nach dem Mariottesehen Gesetze im Verhältnis 760: 760,254 weniger gewogen haben, d. h. man bekommt aus (18), (15) und (16) nun:

ZV⁵

(16)

760

“ 760,254

0,00129319 = 0,00129277

(17)

Nun fehlt uns nur noch die Reduktion für Wasserdampf und für Kohlensäure.

Wir betrachten zuerst denWasserdampf, der sich in der Luft befindet, für sich allein.

Wir setzen voraus, dass der Druck des Wasserdampfes durch Beobachtung eines trockenen und eines nassen Thermometers, oder auf irgend welche andere Art bestimmt worden sei (§ 144.). Die übrigen Bestandteile ausser dem Wasserdampf bezeichnen wir als trockene Luft und nehmen folgende Bezeichnungen an:

Dichte =

Trockene Luft : Druck = p' Wasserdampf:

Gemisch :

(18)

(19)

(20)

S. 985—987 des 20. Bandes der „Compt. rend.“ nachgerechnet, und für das Gewicht der in Régnaults Behälter enthaltenen Luft von 0° gefunden:

(V)    12,7794

(VI) 12,7777 Mittel 12,7784 ±0,0007

(VIII) == 12,7759 (IX) = 12,7790

(I) = 12,7757 Gramm (IV) 12,7764 Gramm (VII) = 12,7808 Gramm

(II) = 12,7800

(III) = 12,7811

Régnault giebt 12,7781.

Das Gewicht des Wassers von 0°, welches denselben Behälter füllte, fand Régnault bei 3 Versuchen:

9881,299 Gramm

9881,060 Gramm 9881,113 Gramm

Das dritte Resultat wird von Régnault ausgeschieden, das Mittel der beiden ersten ist 9881,086 Gramm, folglich das Gewicht eines Liters trockener Luft nach Régnault:

*=S>⁼¹’²⁹⁸¹⁸⁸

Diese letzteren Angaben finden sich in dem Werk von Régnault „Relations des expériences entreprises pour déterminer les principales lois et les données numériques qui entrent dans le calcul des machines à vapeur“, Paris 1847 (S. 155), wovon ein Auszug in „Roggendorffs Annalen“ 74. Band (1849) S. 202—213 gegeben ist.

Wir nehmen nun den abgerundeten Wert:

y = 1,29319

(in Übereinstimmung mit Förster, „Metronomische Beiträge“ Nr. 1 S. 5).

13596,02 Gramm

13595,99

Wenn die trockene Luft unter demselben Druck p stünde, wie das Gemisch, so wäre ihre Dichte eine andere, dieselbe sei = B, wir setzen deshalb noch bei :

Dichte = B

fingierte trockene Luft : Druck =■ p

(21)

beziehungen :

Es ist unsere nächste Aufgabe, das Verhältnis d : B zu bestimmen.

Nach dem Dalton sehen Gesetz bestehen zwischen (18), (19) und (20) die Summen

(22)

p = p'-\- e

d = d'+ d"

Das Verhältnis der Dichte des Wasserdampfes zur Dichte der trockenen Luft ist durch Versuche bestimmt worden, nämlich bei 760”*”* Druck und 0° Temperatur:

^"760 ^760

und dieses Verhältnis gilt auch wegen des Mariotte-Gay-Lussacschen Gesetzes für andere Temperaturen und andere Drücke, welche beiden Gasen gemeinsam sind; bei (l8) und (19) sind aber die Drücke verschieden, weshalb d" : d' nicht = d ist. Zur Deduktion auf gleiche Drücke hat man nach dem Mariottesehen Gesetz aus (19) und (18):

d" = 4öJ"™ ”nd

Also das Verhältnis d" i d' mit Rücksicht auf (24):

~ d

Das Dichtenverhältnis der wirklichen und der fingierten trockenen Luft ist nach (18) und (21):

und

(23)

= 0,623 = d

(24)

d"

d'

760

(25)

(26)

D

Nun besteht nur noch die Aufgabe, aus den vier Gleichungen (22), (23), (25), (26) die drei Hilfsgrössen d', d" und p' zu eliminieren. Aus (23) und (25) folgt:

d"

d> = ¹+dF= 1 +

Wenn man dieses mit (26) multipliziert, so fällt d' fort, und man hat:

⁶, d P

=    d)-p' ₌ l

\ P 1 P P

Nun ist vermittelst (22), p' = p — e zu setzen und damit p' zu eliminieren, so dass man hat:

d = 1 — (1 — d) — *)

(27)

Eine ähnliche Reduktion ist noch für den geringen Kohlensäuregehalt der Luft auzustellen. Es soll D wie bisher die Dichte reiner, trockener und kohlensäurefreier Luft bedeuten, dagegen nun d die Dichte eines Gemisches, welches ausser Wasserdampf auch noch Kohlensäure enthält. Wenn dann d' und e' dasselbe für die Kohlensäure sind, was d und e für den Wasserdampf, dann wird die Gleichung (27) sich so erweitern :

= (l“ (!-<*)--)

(28)

*) Diese Berechnung des Einflusses der Luftfeuchtigkeit wird zuerst mitgeteilt von Biot in der Einleitung der „tables barométriques portatives, Paris 1811“ S. 10—11.

Um Zahlenwerte einzusetzen, haben ivir d = 0,623 bereits in (24) gegeben, und die Kohlensäure-Dichte für den Normaldruck 760mm und 0° Temperatur ist auch physikalisch bestimmt, nämlich d! = 1,529. (Die Kohlensäure ist bekanntlich ein schiceres Gas, d. h. d' grösser als 1.)

Der Druck e' der Kohlensäure kann in der Luft als konstant angenommen werden, nämlich rund é : p = 0,0004. Setzt man diese Zahlen in (28) ein, so erhält man :

^1 — 0,377    (1 + 0,00021)

(29)

Alle diese Verhältnisse gelten, wenn die Dichten A und D zu irgend welchem gleichen Drucke p gehören, also auch wenn dieser Druck der Normaldruck (760)₀45 ist, wir können daher statt (29) auch schreiben:

1,00021

(30)

tS=(¹-⁰-³⁷⁷ )

Zusammensetzung der Schlussformel.

Wir haben zurückzugreifen auf die Gleichungen (11), (12), (17) und (30). Setzt man alles ein, und sondert die konstanten Teile mit der Bezeichnung K ah, so bekommt man :

h = Klog — (1 -1- s t) ll + 0,377    (1 +ß cos 2 ₉) fl +

(31)

0,76 13,59593    1

M Ö;Ö0129277 1,00021 Zur Übersicht stellen wir auch nochmals alle Bezeichnungen und Zahlenwerte zusammen; es ist:

wo

= 18400

(32)

h die zu messende Höhe, und zwar in Metern, weil die Quecksilbersäule 0,76 in (32) auch in Metermass genommen ist;

K = 18400 heisst die barometrische Konstante; ihre Bestandteile nach (32) sind: 0,76m die angenommene Normalhöhe einer Quecksilbersäule,

M = 0,4342945 der logarithmische Modul,

13,59593 die Dichte des Quecksilbers im Vergleich mit Wasser von grösster Dichte,

0,00129277 die Dichte der Luft unter dem Normaldruck (760)₀⁴⁵ im Vergleich mit Wasser von grösster Dichte,

1,00021 der Reduktionsfaktor für Kohlensäure;

P und p die an der unteren und oberen Station gleichzeitig beobachteten Luftdrücke in beliebigem aber einheitlichem Masse gemessen; s — 0,003665 der Ausdehnungs-Coëftîcient der Luft für 1° C; t die mittlere Lufttemperatur in C°; c der mittlere Dunstdruck;

(p) der mittlere Luftdruck ==    ^

0,377 = 1 — d, wobei d = 0,623 die Dichte des Wasserdampfes, bezogen auf Luft von gleichem Druck und gleicher Temperatur, ist; ß — 0,00265 der von der Abplattung der Erde abhängige Schwere-Coöfficient (nach Helmert) ;

die mittlere geographische Breite der beiden Stationen ;

•p

H die mittlere Höhe der Stationen über dem Meer in Metern ; r — 6870000“ der Erdhalbmesser.

In unserer Schluss-Formel (31) ist alles fortgelassen, was sich auf die Reduktion der Barometerstände auf gleiche Temperatur, auf gleiche Schwere u. s. w. bezieht, diese Reduktionen müssen vor der Anwendung der Formel oder der darauf bezüglichen Tafeln gemacht werden. Die Trennung der Barometerreduktionen von der Höhenformel ist namentlich seit Anwendung der Feder-Barometer unbedingt nötig, denn die Reduktionen für diese Instrumente kann man keinenfalls in die Formel aufnehmen und die Reduktionen für Quecksilber-Barometer, welche man früher allgemein in die Formel aufgenommen hat, z. B. die Schwerekorrektion, ist für Feder-Barometermessungen nicht gültig. Namentlich würde durch Aufnahme der Instrumentenreduktionen in die Barometerformel Unklarheit entstehen in den Fällen, in welchen an der einen Station mit einem Quecksilber-Barometer und an der anderen mit einem Feder-Barometer beobachtet ist.

Man kann die Frage nach der theoretischen Genauigkeit der Barometerformel (31) aufwerfen, und zuerst die Genauigkeit von K untersuchen.

Wenn man den Einfluss der mittleren Fehler der Régnault sehen Bestimmungen, soweit man diese Fehler aus den Übereinstimmungen der verschiedenen Einzelresultate ermitteln kann, auf die barometrische Konstante untersucht, so findet man

(32)

K — 18400 ±2

Die von Régnault veröffentlichten Beobachtungen werden wohl nicht hinreichend sein, um einen Schluss auf die wirkliche Genauigkeit von K zu bilden ; immerhin kann man beiläufig die Grössenordnung des Fehlers von K hiernach schätzen, und setzen wir sogar rund K = 18400 + 10» so folgt daraus, dass der barometrischen Höhenmessung von dieser Seite keine Genauigkeitsgefahr droht.

§ 146. Barometrische Höhentafeln.

Die vollständige Barometerformel heisst nach (31) § 145. S. 523: h = 18400 log ^ (1 + 0,003665 t) ^1 + 0,377    (1 -4- ß cos 2 ₉) ^1 + 2

ß — 0,00265

(1)

r = 6 370 000

Für die 4 Klammergrössen dieser Formel haben wir Hilfstafeln berechnet, welche im Anhang auf Seite [24], [23] und [18] zusammengestellt sind.

Wir wollen hiernach ein Zahlenbeispiel behandeln; wir nehmen dazu die 5jährigen meteorologischen Mittelwerte von 1871—1875 der zwei badischen meteorologischen Stationen Karlsruhe und Höchenschwand:

Untere Station Karlsruhe Obere Station Höchenschwand

Barometer

751,79”'„,

676,13"'"'

Luftwärme + 9,5° + 5,9°

Feuchtigkeit -+- 7,5mm ’ + 6,3’””' I

Mittel B = 713,96’””'

(2)

-I

t = + 7,7°

Die Angaben 751,79 und 676,13 sind Quecksilber-Barometerstände und zwar bereits auf 0° reduziert.

e = -t- 0,9m

Dagegen sind die Schwerekorrektionen noch nicht angebracht. Wir bedürfen hiezu der geographischen Breiten und der genäherten Meereshöhen beider Punkte, dieselben sind :

Karlsruhe

Höchenschwand

Hl = 120m H₂ = 1000“

Mittel II = 560“

n = 49° r 92 = 47° 44'

9 = 48° 22'

Was die hier mitgeteilten Höhen H über dem Meere betrifft, so sind dieselben hier nur genähert nötig (nötigenfalls vorläufig barometrisch berechnet).

Die Schwerereduktion für B und II mit der Breite giebt nach § 136. : •

(3)

B — B ß cos 2 9 — 2 ^ = B₍₎4⁵

Dieses giebt, geradezu ausgerechnet, oder mit Benützung der Hilfstafeln Seite [18] und [19] des Anhangs:

für Karlsruhe

751,79    0,28 — 0,08 = 752,04 ^

für Höchenschwand 676,13 + 0,17 — 0,21 = 676,09 )

(4)

Zur Anwendung der Formel (1) haben wir nun:

V — 752.04 p = 676,09

mm

Mittel {p) — l\A

, e = 6,9"‘“ , £ = 7,7° , 9d = 48° 22' , H=560“ (5)

Das giebt folgende Berechnung:

log 752,04 = 2.876 241 log 676,09 = 2.830 005

Differenz 0.046 236

die    Tafel    Seite    [24]    mit    £    = 7,7° giebt    log ( 1    -|-et)

„    „    „    [23]    mit    e    = 6,9 und B

„    „    [18]    mit    <p    = 48,37° giebt    log (1    + ß cos 2 9)

„    „    „    [18]    mit    II

log 0,046 236 K — 18400 log K

8.66498

4.26482

0.01209

= 714 giebt log ^1 + 0,377

0.00158

9.99987

= 560 giebt log l + ~j

0.00008

log h

2.94342

(«)

h = 877,85“

Ist die Höhe der unteren Station über N. N. gegeben, nämlich Karlsruhe = 123,0“, so ergiebt sich nun die Höhe über N. N. der oberen Station Höchenschwand = 123,0 + 877,8 = 1000,8“.

Barometrische Formeln und Tafeln für besondere Verhältnisse.

Die im Vorstehenden gezeigte ausführliche Berechnung nach der allgemeinen Formel (1), bezw. mit den allgemeinen Hilfstafeln Seite [24], [23], [18], kommt nur selten vor. Glücklicherweise machen die drei letzten Faktoren der Hauptformel so wenig aus, dass man sie für weite Gebiete und für zahlreiche Fälle als konstant be-

handeln und mit der Konstanten K zusammennehmen kann. Insbesondere für Deutschland nehmen wir in runden Zahlen :

= 50° , H = 500m

■&-TÖÖ ’ ⁹⁵

Setzt man dieses in die Hauptformel (1) ein, so bekommt man:

(7)

für Deutschland h — 18464 (log P— log p) (1 4- 0,008665 t)

(8)

Zu dieser einfachen Formel ist zuerst zu bemerken, dass die runde Annahme = nach (7), welche hier gemacht ist, oder rund e= 7mm, teilweise den wirklicher! Verhältnissen nicht entspricht, weil ein konstanter Dunstdruck e = 7mm bei niedri-Temperaturen einer Übersättigung und bei hohen Temperaturen einer grossen Trockenheit entspricht (vgl. Helmert „Zeitschr. f. Verm. 1879“ S. 269—270).

Ehe wir die Gründe entwickeln, welche dennoch für Beibehaltung der Formel (8) als Grundlage von barometrischen Höhentafeln sprechen, wollen wir eine andere Näherungsformel, nach einem schon von Laplace und Biot benützten Grundsätze, entwickeln.

In § 144. S. 518 haben wir gesehen, dass in Baden der Dunstdruck e als Funktion der Lufttemperatur t etwa durch folgende Gleichung dargestellt wird:

gen

e — 3,6,nw + 0,45 t

Damit wird, wenn man B rund = 700”™ setzt:

(9)

1 4- 0,877    = 1 4- 0,001939 4- 0,0002423 t

(10)

In ähnlicher Weise hat Hann aus Beobachtungen in den Alpen eine Beziehung hergeleitet (74. Band d. Sitzb. d. k. Akad. d. Wissensch. II. Abt. Juli 1876, Sep.-Abdr. S. 9):

1 + f(e) = 1 ■+■ 0,377 f. = 1 4- 0,00154 -+ 0,000341 t

(11)

Die Formeln (10) und (11), welche für Baden (Schwarzwald) und für die Alpen gelten, weichen nicht sehr von einander ab. Wir wollen zunächst allgemein nehmen:

1 -+- f (e) = 1 -+- 0,377 — = 1 a -+■ ß t

und wenn man dieses in die barometrische Hauptformel (1) S. 524 einsetzt, so erhält man:

(12)

h — 18400 (1 -+- e t) (1 -+- f(e)) log (....) (1 + ß cos 2q>) (I . . .)

(l-(-«*)(l    f(e)) = (l H- et) (1 -f- « + ßt)

genähert = (1 -t- a) (1 (e + ß) t)

Nun zieht man den Faktor (1 + «) in die Haupt-Konstante 18400 hinein, und nimmt t 4- ß zusammen. Indem wir nach der Formel (11) von Hann, für die Alpen, « = 0,00154 und ^ = 0,000341 einsetzen, bekommen wir aus (13) und (14):

h = 18428 (1 -(- 0,001006 t) (log P — log p) (1 4- ß cos 2 g>) (1 4- ...)

Die Berücksichtigung der Luftfeuchtigkeit hat also die Konstante 18400 auf 18428 d. h. um 0,15% erhöht, und auch den Luftausdehnungs-Coöfficienten 0,003665 auf rund 0,004 gebracht, was schon Laplace und Biot hatten. Wenn man nun auch die beiden letzten Faktoren von (15) als konstant mit dem ersten Faktor vereinigt, etwa mit <p — 50° und H = 500, so bekommt man:

h = 18423 (1 4- 0,004 t) (log B - log b)

(13)

(14)

(15)

(16)

Wenn man nun aber zur Berechnung von Tafeln übergeht, welche für möglichst viele Fälle brauchbar sein sollen, so erscheint es misslich, den Coëfflcienten 0,003665 zu verändern.

Die Vergrösserung von 0,003665 auf 0,0040 beruht auf einer Näherung, welche zwar der jährlichen Periode der Lufttemperatur und des Dunstdrucks angepasst ist, welche aber der täglichen erheblichen Änderung der Lufttemperatur bei nahezu konstantem Dunstdruck nicht folgt. Deswegen empfiehlt es sich, die theoretisch allerdings rohere Formel (8) mit dem ungeänderten Faktor (1 -+- 0,003665 t) zur Tafelberechnung aus formellen Gründen beizubehalten. Eine nach der Formel (8) berechnete barometrische Höhentafel kann man jederzeit durch Beigabe eines kleinen Korrektionstäfelchens leicht für jeden möglichen mehr oder weniger genau bekannten Fall der Feuchtigkeitsver-hältnisse einrichten ; das ist aber bei der Formel (16) nicht in gleicher Weise der Fall.

Endlich wollen wir aber noch zeigen, dass man der Formel (8) oder einer darnach berechneten Hilfstafel eine andere Feuchtigkeit in bequemster Weise dadurch unterlegen kann, dass man die Lufttemperatur t ändert, und dass damit noch eine andere Verfeinerung der Formel erzielt werden kann.

ccf «

gelten soll, so hat man den Tafel-

, oder es wird mit

einfachen Bezeichnungen :

Setzt man (12) ein, so wird:

H' = H{\ + et)(l + a + ßt — 0,00377) H' = H (1 — (0,00377 — tt) + 8t + ßt + ...)

(17)

Um dieses durch eine Temperatur-Korrektion auszudrücken, wollen wir setzen :

H' = H (1 + e (t -+- A t)) wo At = x -t- yt Nun giebt die Vergleichung von (17) und (18):

(18)

e A t ~ tx -j- ey t = — (0,00377 — a) -+- ß t 0,00377 — «

Wenn man die von Hann bestimmten Coëfflcienten a und ß nach (11) und (12) einsetzt, nämlich « = 0,00154, ß = 0,000341, nebst e — 0,003665, so bekommt man: x = — 0,608° und y = 0,093,

At = —0,608°+ 0,093 t

also nach (18):

Diesem entsprechen folgende Werte:

0°

5°

10°

15°

20°

25°

30°

At = — 0,6° —0,1°    +0,3°    +0,8°    +1,3°    +1,7°    +2,2

(19)

Wenn man also unsere Formel (8) oder die darnach berechneten Hilfstafeln so ändern wollte, dass sie den Feuchtigkeitsbestimmungen von Hann entsprechen, so brauchte man nur bei 15° — 20° mit einer um rund 1° höheren Lufttemperatur in

die Tafel einzugehen als die unmittelbare Beobachtung verlangt, und durch eine solche Abänderung der Lufttemperatur könnte man allen irgend wie im Mittel angenommenen oder wechselnden Feuchtigkeitsverhältnissen genügen.

Indessen kommen hei feineren Berechnungen noch andere Umstände hinzu.

Denken wir uns, um dieses zu erklären, Messungen in der günstigen Jahreszeit, mit t etwa 10°—20°, was das häufigste ist, so müsste man nach vorstehender Tabelle (ID) die Temperaturen um rund 1° erhöhen, ehe man die Formel (8) oder unsere darnach berechnete Tafel anwendet; und zwar würde man durch diese kleine Temperatur-Erhöhung den mittleren Feuchtigkeits-Verhältnissen für die Sommermonate gerecht werden.

Nun wurde aber durch Erfahrungen, welche wir später in § 153. ausführlich darlegen werden (Bauernfeind am grossen Miesing, Genf—St. Bernhard u. s. w.) gefunden, dass wegen Wärmestrahlung der Erdoberfläche oder aus sonstigen Gründen, gerade in den Sommertagen kleine negative Korrektionen von nahezu gleichem Betrage wie (19) an der Lufttemperatur anzubringen sind.

Diese letzteren negativen Korrektionen wirken nun den bei (19) gefundenen positiven Korrektionen gerade entgegen, und es zeigt sich hiemit, dass unsere ursprünglich

angelegte Formel (8) und die darnach be-

c

nur mit der runden Annahme ~ = -qq

rechneten Tafeln, in günstiger Weise der mittleren Feuchtigkeit und den Eigentümlichkeiten der strahlenden Wärme u. s. w. genügen.

Bei kleineren Höhen, z. B. für Topographie u. s. w. ist es überhaupt sachlich gleichgültig, ob man nach der Formel (8) oder (16), oder nach irgend einer anderen ähnlichen Formel rechnet.

Bei grösseren Höhen aber, und in allen Fällen, wo es auf Bechenschärfe ankommen soll, scheint uns (ausser der erwähnten günstigen Kompensationswirkung zwischen Feuchtigkeit und Wärmestrahlung u. s. w.) die einfache Formel (8) gegen (16) oder ähnliche, schon deswegen den Vorzug zu verdienen, weil es für die Bechenschärfe günstiger ist, den Grundstock der Hilfstafeln mit dem reinen Luftausdehnungs-Coëffi-cienten 0,003665 berechnet zu haben, und alles übrige nötigenfalls in Korrektionstäfelchen zu erledigen, als die Grundtafeln selbst auf eine Annahme zu gründen (Coefficient 0,004), welche Korrektionsberechnungen erschwert.

Die einfache Formel (8) ist allen unseren barometrischen Tafelberechnungen, im Anhang Seite [25] — [35], zu Grunde gelegt, und auch unseren als besonderes Werk im Buchhandel erschienenen Tafeln (s. Anmerkung auf Seite 529 unten).

Rohe Meereshöhen.

Man kann die barometrische Höhenberechnung in zweckmässiger Weise in Diffe-renzenform ausführen, wenn man einen fingierten Barometerstand im Meere annimmt. In Mitteleuropa ist der mittlere Barometerstand in der Höhe des Meeres etwa 762™’", wir schreiben daher die Formel (8) S. 526 in diese Form :

Nun setzt man

und

h = 18464 (1 + 0,003665 t) ((log 762 — logp) — log (762 — log P)) 18464 (1 + 0,003665 t) (log 762 - logp) = Hx 18464 (1 + 0,003665 t) (log 762 - log 1') = H₂

(20)

(21)

Folglich ist

(22)

In dem Anhang dieses Buches haben wir die Werte oder H% nur für den einen Fall t = 15° ausgerechnet, und auf S. [32]—[33] zusammengestellt.

Dagegen haben wir eine besondere umfangreichere Tafel ⁴) dieser Art berechnet

und herausgegeben, welche für alle Temperaturen von 5° bis 35° und für alle Barometerstände von 630m™ bis 765’

die Höhen Hx bzw. H₂ ebenso bequem giebt, wie

Die Anwendung soll ein Beispiel zeigen: Unterer Beobachtungspunkt P = 752,7™™

p = 720,4

Oberer

Luft L = 16 , h = 14°

Mittel t = 15°

Nun geht man in die Tafel Seite [33] des Anhangs ein, welche für t = 15° gilt, und entnimmt :

für 752,7™™    = 103,9™

„    720,4 H₂ = 474,9

}" =

171,0™

(23)

Seite [32]—[33] für den einzelnen Fall der Temperatur 15°.

Indem wir auf diese Tafeln und die ihnen beigegebenen Erläuterungen verweisen , können wir diese Rechnung nach rohen Meereshöhen als erledigt betrachten.

Dagegen haben wir zu mehr überschlägigen Rechnungen, aber für Höhen bis zu 4000™, in dem Anhang Seite [25]—[31] noch eine Tafel gegeben (welche früher in der ersten Auflage der ausführlichen Tafeln, Stuttgart 1878, enthalten war), deren Anwendung ebenfalls durch ein Beispiel gezeigt werden soll.

Unterer Beobachtungspunkt P= 714

p — 462

Da die Tafel nur von 5° zu 5° Lufttemperatur geht, nehmen wir mit t = 10°: = 714™™ Seite [30]    541™

= 462    „    [25] 4160

Oberer

mm

Luft im Mittel =8°

h r= 3619™.

(24)

Barometrische Höhenstufen.

Eine zweite Berechnungsform für barometrische Höhen erhält man durch Darstellung eines Höhen-Unterschiedes als Produkt.

Dass innerhalb massiger Grenzen die Höhen - Differenzen ungefähr proportional den Barometer - Differenzen sind (1™™ Barometer giebt ungefähr 10™ Höhe), das zeigt jede barometrische Tafel nach Meereshöhen; und eine erste Näherungsformel hiefür lässt sich rasch bilden. Man hat die Grundformel:

(25)

h — K (1 -+- e t) (log P—log p)

oder:

Differentiierung giebt:

dh = K{ l + et)

dh =

Nun kann man setzen:

ML

dP , (wo M = 0,43429)

— K (1 -+- et) — dp

dP — (P—p)    oder dp = — (P— p)

und damit bekommt man:

oder

dh = MK{l + et)

= MK{l + et) -—£

p

(26)

Diese beiden Formen sind gleich berechtigt; sie unterscheiden sich nur dadurch, dass im Nenner das erstemal P, das zweitemal p steht. Man bildet nun eine dritte,

P -+- p

Mittel-Form, welche im Nenner

hat, und indem man zugleich statt des Differen-

tials dh wieder das Zeichen h für einen endlichen Höhen-Unterschied setzt, erhält man:

,    2 M K (1 -h et)

h —-₇₎---

P-t- p

Dieses ist die gewünschte Form, denn der Höhen-Unterschied h erscheint als ein Produkt, dessen einer Faktor der Barometer-Unterschied P — p ist.

Die in den .vorstehenden Gleichungen gewählte Entwicklung mit der Wahl P + p 2

(P-p)

(27)

statt P und statt p im Nenner von (26) S. 529 ist mathematisch genügend; wir wollen aber doch noch eine zweite ausführlichere Entwicklung hier vornehmen, um auch den Fehler der Näherung zu bestimmen. Zu diesem Zweck

eines Mittelwertes

bringt man den Quotienten Form :

um den es sich im wesentlichen handelt, in folgende

P—p P 4- p

i P—P P -+- p

Wendet man auf den Zähler und auf den Nenner die logarithmische Reihe an, so erhält man :

log

= %P-!W= *[+ (fef) -j (fef) + i (fef) - •. •] L \P + p) 2 \P+pj 3 \P+p) ' ■ J

***-*•* =² »    + t (feffe • ■ ]

Dieses in (25) S. 529 eingesetzt giebt:

(28)

Lässt man hier das zweite Glied fort, so hat man wieder die frühere Näherungs-Formel (27). Andererseits stellt das zweite Glied von (28) den Fehler der Näherungs-Formel (27) vor. Dieser Fehler ist also :

z1h

Für die Genauigkeits-Schätzung ist es genügend, den Fall mit t = 0 weiter zu behandeln, und hiefür ist:

Ah =

und

h = 2MK

p—p

p+P

1 hß

12M2jf2

Die Weglassung des letzten Gliedes in (28) erzeugt also einen Höhenfehler dli, welcher mit der dritten Potenz der Höhe wächst, und folgende Beträge annimmt:

100“    500“    1000“    1500“    2000“

dh= 0,001    0, IG*    1,3“    4,4“    10,4“

also:

Ah =

= 1,296

h \3

1000

¹

Diese zur barometrischen Höhenmessung nicht unmittelbar nötigen Mitteilungen fügen wir hier bei, teils wegen ihrer allgemeinen Bedeutung, teils wegen der späteren Verwendung zum Verständnis des Koch-Thermometers (§ 150.).

²

Nach „Roggendorffs Annalen“ 74. Band (1849) S. 213 fand Régnault das Gewicht von 1 Liter Quecksilber bei 0° durch 3 Versuche:

1²1595,78

Mittel = 13595,93 Gramm.

Dieser Wert 13,59593 als Dichte des Quecksilbers bei 0° ist auch angenommen in dem Werke „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures², Tome I. Paris 1881, Seite A. 44 mit Citât: Mém. de Tac. des sc. XXL S. 162.

³

Régnault fand in Paris das Gewicht von 1 Liter trockener kohlensäurefreier Luft = 1,293187»’'. Der erste Teil dieser Bestimmung ist mitgeteilt in „Comptes rendues² Tome XX S. 975 u. ff. und im Auszug in -Poqqendorffs Annalen“ 65. Band (1845) S. 395—423.

Es haben sich jedoch daselbst mehrere kleine Rechenfehler eingeschlichen, auf welche schon wiederholt aufmerksam gemacht worden ist. Wir haben alle Zahlen von

⁴

Barometrische Höhentafeln von Jordan. 2. Aufl. Stuttgart, J. B. Metzler, 1886.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Die Näherungs-Rechnung nach der Gleichung (27) S. 530 ist hiernach etwa bis

zu 1000m Höhen-Unterschied, d. h. bei der grössten Mehrzahl aller praktischen Fälle

zulässig; über 1000”* wird die Näherung rasch unbrauchbar.

Zur Anwendung schreiben wir nun die Gleichung (27) so:

, MK (1 + et)    8019    . .

h =-lg-= —(l + ef)d£

wo nun unter B der mittlere Barometerstand und unter AB die barometrische Differenz verstanden wird.

Die unmittelbare Ausrechnung nach der Formel ist nicht bequem ; der Vorteil dieser Formel tritt aber zu Tage, wenn man den einen Faktor tabellarisch verfügbar hat. Wir schreiben :

dann ist:

Höhenstufe (A h{) — ~~ (1 4- e t) =

8019

(1 q- s t)

h = (Ahx) A B

Die Höhenstufenwerte (A h^} haben wir als Funktion von B und von t in der Hilfstafel Seite [34]—[35] des Anhangs zusammengestellt.

§ 147. Messung und Berechnung barometrischer Höhen.

Nachdem im bisherigen die Instrumente und die Theorie der barometrischen Höhenmessung beschrieben sind, auch einzelne Beispiele auf S. 525 und 529 bereits berechnet sind, kommt es uns nur noch darauf an, die Gesamtanordnung der Messungen und die tabellarische Behandlung der Höhenberechnungen zu zeigen.

Hiezu eignet sich, besser als allgemeine Worte oder Formeln, die Vorführung eines guten Beispiels, zu dem wir hiemit übergehen.

Am 6. Juli 1887 machten wir eine barometrische Aufnahme der bis zu 200“ betragenden Höhen bei Nenndorf, und zwar solcher Höhen, welche wir früher trigonometrisch oder tachymetrisch gemessen hatten, so dass die Fehler der barometrischen Messung sich nachher angeben lassen werden.

Da die Messung auf mehrere Stunden ausgedehnt werden sollte, wurde ein Standbarometer zu korrespondierenden Beobachtungen im Hotel Cassel zurückgelassen, und ein Beobachter dazu gesetzt, welcher viertelstündlich dieses Standbarometer mit innerer Temperatur, und dann noch ein im Schatten aufgehängtes Thermometer für Lufttemperatur abzulesen beauftragt wurde.

Zur Feldbeobachtung sind zwei Instrumente zu empfehlen; in unserem Falle waren deren mehrere vorhanden; unsere Mitteilung soll sich jedoch, der Übersichtlichkeit wegen, nur auf ein Instrument (Bohne) erstrecken.

Zur Feldausrüstung gehört noch ein Schleuder-Thermometer, welches etwa von halb zu halb Stunde geschwungen wird, und die nötigen Lufttemperatur-Bestimmungen liefert.

Vor dem Abgang ins Feld erfolgt die Vergleichung des Standbarometers Bq mit dem Feldbarometer B₂\ und dasselbe geschieht nach der Rückkehr vom Felde. (Vor dem Abgang werden auch die Taschenuhren verglichen, bzw. gleichgestellt.) In unserem Falle ergab sich vor der Messung B% — B₀ = — 1,37”™, und nach der Messung B₂ — Bq — — 1,51”™, also eine Änderung von nur 0,14”™, was zulässig ist, weshalb man nun das Mittel —1,44”™ = c als konstante Reduktion des Standbaro-

meters für die ganze Messungsreihe annimmt. Diese Berechnung von c = — 1,44 ist in der ersten Spalte untenstehender Tabelle ausführlich gegeben.

Es ist jedoch hiezu zu bemerken, dass in der Tabelle alle Barometer-Ablesungen bereits mit ihren besonderen Instrumenten-Korrektionen versehen, und im Falle mehrfacher Ablesung als Mittel-Zahlen eingesetzt sind.

Für die besonderen Temperatur- und Teilungs-Korrektionen u. s. w. werden in dem Stations-Beobachtungsbuch und in den Feldschreibbüchern besondere Spalten angelegt, und die darnach reduzierten und bei Wiederholungen in Mittel zusammengefassten Beobachtungen aus jenen Büchern in die (vorgedruckte) Berechnungs-Tabelle eingetragen.

Barometrische Höhenmessung hei Nenndorf, 6. Juli 1887.

Stand-

Ver-

gleich-

Stand- Beobachtungen

ung JJ 2,-Bq

Barom.

Luft

reduz.

Barom.

Feld-Beobachtungen

So

Bq -\-c

Ort und Zeit

Barom.

Luft

G + t‘2

Höhen-Berechnung

Rohe Meereshöhen

JW JW

Ho

il;+d

— JJ-2,

mm

mm

über N.N.

1,37

1,51

Mittel

757,12 757,11 757,27 757,60 757,68 758,09 758,16 758,33 758, G4

CO

O___

19,3°

19,2°

18,5°

17,2°

17,2°

16,8°

755,67

755,83

756,16

756,24

756,65

756,72

756,89

•

Hotel Cassel 2'ł 50™

Galenberg Kamm.Brunnen 3'' 49™ Schiesshütte 4'¹20™ Heisterhurg    Ah 46™

Schiesshütte    5'' 30™

Kamm.Brunnen 5'¹52™ Galenberg Hotel Cassel 6" 45™

3h 15™

6'* 25™

755,75

752,20

750,30

741,33

735,04

741,60

751,01

753,50

757,13

16,6°

15,0°

18,0°

17,5°

16,4°

15,8°

16,0°

18,2°

17,2°

18,6°

18,0°

16,8°

16,5°

16,4°

71,1

69,3

65,5

64,7

60,0

59,3

57,1

7)1

86,2

110,3

131.8

234.2

306.9

231.2 123,8

95,6

+ 15,1 125,4 + 16,9 148,7 + 20,7 254,9 + 21,5 328,4 + 26,2 257,4 + 26,9 150,7 + 29,1 124,7

17,4°

Mittel

86,2

Diesem Übertragen wird in Betreif der Stations-Beobachtungen häufig eine graphische Ausgleichung vorhergehen müssen. In unserem Falle z. B. ist die Änderung des Luftdrucks im Laufe des Nachmittags von 757,12™™ auf 758,64™™ ziemlich bedeutend; man trägt daher die Barometer-Kurve, und die Lufttemperatur-Kurve, auf einem vorgedruckten Linien-Netze auf, und entnimmt aus diesem rückwärts die Stationswerte Bq und G> für jeden gebrauchten Zeitpunkt der Feldbeobachtung.

Nachdem so die Spalten B₀ , G , B% , f₂ der obigen Tabelle ausgefüllt sind, beginnt die Berechnung, zu welcher nur wenig zu bemerken ist:

Die Stand-Beobachtungen B{) werden auf B(j -h c = Bx reduziert, die Luft-

temperaturen G und G iQ Mittel

mittel t = 17,4° gebildet.

Wenn dieses Gesamtmittel t von den Einzelwerten t nicht mehr als 1—2° abweicht, so kann man das Gesamt-Lufttemperaturmittel für die ganze Reihe als konstant gelten lassen; andernfalls rechnet man mit verschiedenen Temperaturen. Man sei hier nicht zu ängstlich; diese durch Schleuder-Thermometer erhaltenen Luftwärme-Bestimmungen sind immer von örtlichen Umständen abhängig, welche man doch nicht in

= t zusammengefasst, und auch das Gesaint-

G *+" G

Rechnung nehmen kann; z. B. um 3'* 49m hatten wir in der kühlen Schlucht des Kammerraths-Brunnens 15,0°, und um 4h 20”* an der 100"* höheren Schiesshütte 18,0°.

In unserem Falle nehmen wir für den ganzen Nachmittag von 3'* 15”* bis 6A 25m die Lufttemperatur konstant, und abgerundet t==17°. Nun schlägt man unsere barometrischen Höhentafeln (2. Auflage, Stuttgart 1886) auf, hei t = 17°, S. 39, und setzt von da die rohen Meereshöhen und H{ ein. Ist nun H₀ die bekannte festgegebene Höhe des Stationspunktes (Hotel Cassel) über N. N., so kann man für je zwei zusammengehörige rohe Meereshöhen H{ und H₂, auch die Höhe i/₂ des Feldpunktes über N. N. berechnen :

H₂ = H₀ + (H₂'~H{)

H₂ = H₂ + d, wo d — Hq — Hi

(1)

(2)

oder bequemer:

Wenn der Luftdruck im allgemeinen, also das Stem (Ï-Barometer B{) oder während der Hauer der Messung nahe gleich geblieben ist, so ist auch die hier eingeführte Differenz d nahezu konstant, und deswegen, sowie auch aus anderen Gründen, die vorstehende Rechnungsform (2) bequemer als die Form (1).

Sind so die sämtlichen Feldhöhen ausgerechnet, so hat man unter Umständen noch Reduktionen für die Instrumentenhöhe über den Fixpunkten anzubringen; in unserem Falle kommt dieses nicht vor, weil überall der Erdboden als Höhenpunkt galt, und die Instrumentenhöhe über dem Boden, etwa l”*, hier schlechthin als konstant gelten kann.

Wir können unser Beispiel (welches der Übersicht wegen, hier auf 7 Beobachtungen beschränkt vorgeführt wird) auch zu einer Genauigkeits - Betrachtung benützen, in zweifachem Sinne ; indem erstens 3 Punkte hin und her gemessen sind, und zweitens alle Punkte anderwärts trigonometrisch bestimmt sind. Folgendes ist die Vergleichung :

Punkt

Barometrische Höhenmessung

hin

her

Mittel

Trigonometr.

Messung

Fehler

Galenberg.....

Kammerraths Brunnen . Schiesshütte . . . . Heisterburg . . . .

328,4”*

125,4"*

148,7

254,9

124,7”*

150,7

257,4

125,0”*

149,7

256,2

328,4

124,3”*

148.7

252.8

326,3

-t- 0,7”*

+1,0 + 3,4 + 2,1

Mittel

+ 1»8

Dieses zufällig getroffene Beispiel kann wohl auch etwa die Genauigkeit im allgemeinen veranschaulichen, denn der mittlere Fehler solcher barometrischer Höhenmessungen beträgt in der Tliat etwa 1 — 2”*, wie in § 151. noch näher gezeigt werden wird.

Für die korrespondierenden Beobachtungen, welche in dem hier betrachteten Falle gestellt wurden, kann man, statt eines Beobachtungs-Gehilfen, auch ein registrierendes Feder-Barometer aufstellen, wie z. B. von Koppe (»Die Aneroid-Barometer“ Zürich 1877, S. 14) beschrieben wird.

Wir haben ein solches Instrument unserer Hannoverschen Sammlung gut wirkend gefunden, nur müssen die Korrektionen desselben ebenso wie bei jedem anderen Feder-Barometer bestimmt werden.

Graphische und mechanische Hilfsmittel.

Wenn man barometrische Zahlentafeln berechnet vorliegen hat, so kann man

daraus auch andere Hilfsmittel ableiten. Die Höhenstufen-Tafel Seite [34] — [35] des Anhangs kann man in Verbindung mit dem gewöhnlichen Rechenschieber benützen, und auch einen Rechenschieber besonders dazu herrichten (vgl. Koppe in der „Zeitschrift für Verm. 1874“ S. 17, und „Zeitschr. d. Hann. Ing.- u. Arch.-Vereins 1888“, Heft 6., sowie Vogler, „Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln“, Berlin 1877, S. 110.)

Als ein Beispiel rein graphischer Behandlung einer langen Messungsreihe von etwa 1000 Ablesungen erwähnen wir unsere libyschen Höhen („Physische Geographie und Meteorologie in der libyschen Wüste, von Jordan,“ Kassel 1876, S. 178—193 und Tafel IV.). Die Barom eterwerte wurden auf einem langen Linien-Netz längenprofilartig aufgetragen, für die Reise seihst und für die korrespondierenden Stationen, so dass jede Ordinatendifferenz zwischen der Reise-Kurve und der Stations-Kurve als Mass für einen Höhenunterschied diente. Die Lufttemperatur wurde hei den geringen Höhen als konstant angenommen, so dass zum Verwandeln der Ordinaten in Höhen-mass, ein Massstab genügte. In anderem Falle müsste man mehrere Höhenmassstäbe machen, oder man kann auch eine Anordnung wie die früher in der „Zeitschr. f. Verni. 1873“, S. 306—308 mit lithogr. Tafel von uns angegebene, zur Berücksichtigung der Luftwärme benützen.

(Verschiedene graphische Hilfsmittel für barometrische Höhenberechnung sind beschrieben von Koppe in der „Zeitschr. d. Hannov. Ing.- u. Arch.-Vereins 1888“, Heft 6.)

Anhang zu § 147.

Schrittmass hei barometrischen Aufnahmen.

Die Frage, wie man barometrisch bestimmte Höhen der Lage nach in eine Karte eintragen kann, ist im allgemeinen eine für sich bestehende, und hat mit der barometrischen Höhenbestimmung sonst nichts gemeinsam; indessen bei Schrittmassen kann man die barometrischen Differenzen so geschickt zur Reduktion auf den Horizont benützen, dass wir diesen Fall flüchtiger Aufnahme, der in Verbindung mit einem Taschenkompass sich sehr nützlich verwerten lässt, hier mit anfügen müssen.

Über das Schrittmass an sich haben wir das Nöthige schon früher in § 14. S. 35 mitgeteilt, und namentlich S. 35 die Reduktion von Schrittwerten auf die Horizontale bei verschiedenen Steigungen oder Gefällen angegeben.

Bei barometrischen Messungen hat man den Steigungs- oder Neigungswinkel des auf- oder abgeschrittenen Weges nicht unmittelbar, wohl aber mittelbar durch die Differenz der am Anfang und am Ende abgelesenen Barometerstände, welche für den vorliegenden Zweck hinreichend genau in Metermass verwandelt werden durch Multiplikation mit 11,5. Nach diesem Masse haben wir eine Hilfstafel für unseren Schritt berechnet, welche auf Seite [36] des Anhangs mitgeteilt ist, und durch ein einfaches Beispiel erläutert werden soll. Man habe 60 Schritte aufwärts gemacht, zu Anfang

752,4m™ und am Ende der Strecke 751,8m™ abgelesen, also eine barometrische Differenz = — 0,6m™ erhalten; dann ist nach S. [36] die Horizontalprojektion des zurückgelegten Weges = 36 Meter.

(Einiges weitere hierüber giebt die „Zeitsehr. f. Verm. 1884“, S. 485—488.)

§ 148. Barometrische Höhen-Einschaltung.

Ohne irgend welche barometrische Höhenformel kann man zwischen zwei fest gegebenen Punkten weitere Höhen einschalten, mittelst der Annahme, dass die Barometerstände sich nahezu proportional den Höhen ändern.

Fig. l.

-®2

II2 — 11 = bH

B — B₂ = bB

II -- B

Bx — B₂ = Ab

H₂ — Hx = AH

HX — 1I = bH'

Bx —B = bB'

Hi

Bi

Nach Andeutung der vorstehenden schematischen Fig. 1. betrachten wir drei Punkte mit den Höhen Hx , H , i/₂ und mit den Barometerständen Bx , B , B₂.

Wenn Bx , B , B₂ beobachtet, und Hx und i/₂ fest gegeben sind, so kann man den Zwischenpunkt H durch zwei Proportionen bestimmen:

Hz-H,

Bx-B₂

#2-#l

Bl — B₂

Mit kürzeren Bezeichnungen heisst dieses :

H₂ — H —

(B — B₂) oder H — Hx —

{Bi - B)

bH

AH

AB

b B oder b H' =

bB'

AH

derselbe Wert, den wir in § 146. S. 529 die baro-

Dabei ist der Quotient

metrische Höhenstufe genannt haben.

Zu weiterer Erläuterung nehmen wir sofort ein Beispiel:

AB

Punkt

Gegebene Beobachtet Höhen Barom.

11,81 SB

\ =8Ä

Berechnete

Höhen

728,9™

704,1

471,4

co co 7&- ©

cT

CO H-¹ I—¹ t—1 h-¹ j<l CO

"oo 7-* os co © o

ca CO 05 o

^ iC 00 (N CO ^ c c

»-H oa

(728,9™)

694,7

^ ^

CO O co 1-H

00 co N iO io io

257,5    21,8

= All =AB

iU¹ tu

tti ÜÏ

11,81

Statt wie hier die Einschaltung durchaus auf die Æwcfpunkte zu beziehen, kann man auch, und zwar in mancher Beziehung vorteilhafter, die Einschaltung Schritt für Schritt machen und bekommt dann folgende Anordnung:

funkt

Gegeben Beobachtet

bB

| 11,81 ô jB Berechnet . = bH H

728,9”*    704, lmm

707,0

716.4

718.4 721,2

471,4    725,9

^ o 00 ca oT ca ca ^

CO

Ń    H    ©    H    iff

~    co    co    in

co    H    <N    co    US

w OT Ol 05 <1 tO 05 OC CÛ DO Oi O CO 00 i*. O O 05 ^<1

CD

257,5    21,8    21,8

= AH

= AB

257,5 =z AH

Die bH kann man meist mit dem Rechenschieber ausrechnen.

Um diese Interpolations-Berechnung theoretisch zu untersuchen, und den dabei begangenen Fehler zu bestimmen, betrachten wir zuerst die strengen Formeln:

B\ — B₂\

Bi

H₂-H₁ = Klog^= Klog

Jß

= K log = K log

H₂-H

Bz

B-B₂

b₂

Dabei soll K auch den Faktor (1 -f- e t) u. s. w. mit enthalten, und die Lufttemperatur sei als konstant angenommen.

Mit kürzeren Bezeichnungen A B und    bB nach Fig. 1. giebt dieses entwickelt:

ab    i    (Ab\₂

b₂    2    [ b₂)

bB    1    (bB\2

2 Ą-J

= MK

f(>

bH

= Xi0S,(i₊^)=MX(

Bz

= MK

bB

Bz

1    AB

2    B2i

1    bB

2

bH _ bB AH~ AB

bH _ bB AH~ AB

1    bB \

2    B₂

1    AB J

2    ~B^J

1AB—bB

1    bB 1 AB

2    B₂ ⁺ 2

bB

~ Ab{¹⁺2 ~b^ AH& 1 z/J7 bBbB' AB*B+2 B₂ AB

■®2

(1)

Das zweite hier auftretende Glied stellt den Fehler vor, welcher begangen wird, wenn nach der Proportional-Interpolation gerechnet wird. Dieser Fehler erreicht seinen

grössten Wert, wenn in dem Produkte bBbB' beide Faktoren gleich werden, dann ist

b B bB' =    ^    ■, und damit wird der genannte Fehler:

U Li    4:

1 AH AB

8"äTT

fmax —

(2)

Es kann aber hier wieder

dB dH

B₂

MK

gesetzt werden, also

1 ( d H) 2 8 MK

Der Fehler wächst also mit dem Quadrate des Höhenunterschiedes d H der Anbindepunkte, und beträgt:

fmnx —

= 0,156

dm 2

100

für dH= 100™    200™    300™    400™    500™

fmax = 0,16™    0,6™    1,4™    2,5™    7,8™

An Bechenarbeit wird bei dieser Interpolationsberechnung im Vergleich mit der Benützung der barometrischen Höhentafeln nur dann etwas gewonnen, wenn man, bei massigen Höhen, die Interpolation mit dem Kechenschieber macht.

Man kann auch die Interpolation im Anschluss an die Benützung der barometrischen Höhentafeln machen, indem man zuerst die Höhen nach der Tafel aufschlägt und nur den An Schluss Widerspruch proportional verteilt.

In unseren ausführlichen Barometertafeln (Stuttgart 1886, 2. Auflage) haben wir auch eine Anleitung gegeben, wie man zwischen beliebig weiten Grenzen mit Hilfe der Tafel dadurch interpolieren kann, dass man die etwa gemessene Lufttemperatur zunächst unbenützt lässt, und eine solche Lufttemperatur annimmt, dass die Tafelwerte sich ohne Widerspruch in das Höhen-Intervall einfügen.

§ 149. Barometrische Höhenmessung ohne korrespondierende

Beobachtungen.

Das Bedürfnis korrespondierender Beobachtungen erhellt aus den beständigen Änderungen im Zustand der Atmosphäre.

Wenn korrespondierende Beobachtungen nicht zu haben sind, muss man auch ohne solche auszukommen suchen. Ein beliebtes Mittel ist hiezu, bei nicht sehr grossen Zwischenzeiten, das Zurückkehren auf den Ausgangspunkt, wie folgendes Beispiel, betreffend die Höhenmessung der Cheops-Pyramide mit zwei Feder-Barometern, zeigt:

Beobachtungspunkt Naudet Fuss der Pyramide Gipfel „    „

Zeit

1873 27. Nov. 3" 42™

Goldschmiä Lufttemperatur 20,5°

760,47-

747,98

748,14

759,78

761,77 749,44 749,50 761,06

Die Instrumenten - Korrektionen sind bereits angebracht, jede Angabe ist das Mittel aus 3—4 Ablesungen.

Die 8 Beobachtungen werden so zusammengestellt:

•3Ä 58™ 4* 37™

4 h 4 'Jm

Fuss

unten

761.77 760,47 761,06

759.78

mm

Mittel 760,77-

mm

19,8°

19,9°

oben

749,44

749,50

747,98

748,14

Differenz

mm

748,76-

12,01

und

Wir nehmen hiernach für die Berechnung als korrespondierend 760,77-,l™ mit der mittleren Lufttemperatur 20,0°. Der mittlere Barometerstand ist

748,76-abgerundet B = 755™™.

Nach der Tafel Seite [34] des Anhangs hat man für B = 755” die Höhenstufe = 11,40“, es ist also die Höhe der Cheops-Pyramide:

und t - 20°,

(1)

h = 11,40x 12,01 = 136,9“

Ähnlich wie das Zurückkehren auf den Ausgangspunkt wirkt in Bezug auf Ersatz korrespondierender Beobachtungen, das Weitergehen zu einem zweiten Fixpunkt.

Wenn man barometrische Höhenmessungen macht, gänzlich ohne korrespondierend6 Standbeobachtungen und ohne Rückkehr auf den Aufgangspunkt oder Abschluss auf einem zweiten Fixpunkt, so bleibt nichts übrig, als den Luftdruck während der ganzen Dauer der Messung als konstant anzunehmen. Bei kurzer Zeitdauer und ruhigem Wetter thut man das oft.

Zur Überlegung, welche Fehler dabei etwa entstehen, haben wir einen Jahrgang (1869) der barometrischen Ablesungen der Station Karlsruhe durchgegangen.

Die Ablesungen sind täglich morgens 7 Uhr, mittags 2 Uhr und abends 9 Uhr, also bei Tage in je 7stündigen Zwischenzeiten, gemacht. Die Mittel der entsprechenden Barometer-Änderungen für je 7 Stunden sind diese:

Januar

Februar

März

April

Mai

Juni

+1

co O    <M

H n" ÎJ H rT H

Juli

August

September

Oktober

November

Dezember

CO

Gesamt-Mittel

= dt 1,5““ für 7 Stunden oder

= -l- 0,2““ für 1 Stunde

(2)

Es zeigt sich, dass die Veränderungen in den Sommermonaten, während welcher am meisten gemessen wird, kleiner sind als in den Wintermonaten. Die grösste Änderung betrug + 7,9““ am 9. Dezember zwischen 7 und 2 Uhr. Im ganzen Jahre kamen 15 Änderungen, die grösser als 5““ waren, vor, und hievon fällt nur eine in die Monate April bis August.

Bedenkt man, dass die starken Änderungen an stürmischen und gewitterigen Tagen stattfinden, an welchen gewöhnlich nicht gemessen wird, so wird man die durchschnittliche 7stündige Änderung für Beobachtungstage unter 1““ annehmen dürfen, also die durchschnittliche emstündige Änderung nur etwa zu 0,1““ (entsprechend-einem Höhenfehler von 1“).

Wir betrachten noch in Kürze ein wesentlich anderes Verfahren der barometrischen Höhenmessung ohne korrespondierende Beobachtungen, nämlich die Bestimmung absoluter Meereshöhen unter der Voraussetzung, dass der Barometerstand im Meeresspiegel einen gewissen, aus irgend welchen anderweitigen Beobachtungen geschlossenen Wert habe. Am Meere selbst lässt sich der Barometerstand unmittelbar beobachten, ausserdem berechnet man den auf den Meeresspiegel reduzierten Barometerstand irgend eines Ortes, dessen Meereshöhe bekannt ist, durch umgekehrte Anwendung der Baro-meterformel. Allerdings fehlt hiebei die Kenntnis der Temperatur für die angenommene Luftsäule vom Beobachtungsort bis hinunter zum Meeresspiegel, so dass man zu einer Annahme hiezu gezwungen ist. Gewöhnlich nimmt man eine Temperatur-Zunahme nach unten von 0,5° auf 100“ an, und kann darnach die Reduktion ausführen.

Für Süddeutschland haben wir den mittleren auf das Meer reduzierten Barometerstand bestimmt durch die Ausgleichung der Barometer-Mittel und der Höhen von

B₀ = 762,56-

26 badischen und württembergischen Stationen, die in Band I. S. 61 unten erwähnt ist mit dem Ergebnis:

~ł~ 0,10™m.

Dabei ist die Schwere-Korrektion des Quecksilbers bereits in Rechnung gebracht.

Die erste wissenschaftliche Sammlung und Verarbeitung von Barometer-Beobachtungen in diesem Sinne ist enthalten in der Abhandlung von Alexander Buchan: „The mean pressure of the atmosphère and the prevailing winds over the globe“ veröffentlicht in „Transactions of the Royal Soc. of Edinburgh, Vol. XXV. April 1869“. Die beste Übersicht über diese Verhältnisse giebt: „Atlas der Meteorologie (Bergbaus physikalischer Atlas, Abteilung III.), 12 kolorierte Karten in Kupferstich mit 61 Darstellungen, bearbeitet von Dr. Julius Hann, Direktor der k. k. Zentralanstalt für Meteorologie und Erdmagnetismus in Wien. Gotha, Justus Perthes 1887“, inbesondere: Bl. VI, VII und VIII, Isobaren und Winde im Jahre, im Januar und im Juli.

Diese Darstellungen beziehen sich auf die ganze Erde ; für unser Gebiet ist die neueste Arbeit hierüber: „Die Verteilung des Luftdruckes über Mittel- und Süd-Europa, dargestellt auf Grundlage der 30jährigen Monats- und Jahres-Mittel 1851—80, nebst allgemeinen Untersuchungen über die Unveränderlichkeit der Luftdruck-Mittel und Differenzen, sowie der mehrjährigen Perioden, von Dr. J. Hann, Universitäts-Professor, Direktor der k. k. Zentralanstalt für Meteorologie und Erdmagnetismus in Wien, 1887“.

Aus diesem Werke S. 165—173 haben wir von 205 Stations-Tabellen die folgen den 6 ausgezogen, welche das Wesentliche für Deutschland enthalten:

Wahrer Luftdruck im Meeres-Spiegel, nach Hann, Periode 1851—1880 (mit Schwere-Korrektion nach § 136.).

Monat

Hamburg

Berlin

Dresden

Karlsruhe

Wien

München

Mittel

Januar

Februar

März

April

Mai

Juni

Juli

August

September

Oktober

November

Dezember

761.8

761.6

760.2

760.7

761.3

761,2

760.9

760,7

761.9

760,6

760,6

761,1

763,0

762,1

760.4

760,8

761,2

761.5

761.1

761.2

762,4

761,7

761,1

762,0

763.8

762.8

761.1

761.2

761.3

761.9 762,0

761,9

763,1

762.3

761.8

762.9

764,9

763,7

761.4

761.3

761.5

762.5

762.3

762.3

763.4

762.6

762,1

764,3

765.5 764,0

761.2

760,7

760,4

761.3

761.4

761.6

763.4

763,1

762,9

764.5

766,0

764.8 762,0

761.4

761,1

762.4

762,6

762.5

763.9

763.3

763.4

765.5

764.2

763.2 761,0 761,0

761,1

761,8

761,7

761,7 763,0

762.3 762,0

763.4

Jahres-Mittel

761,1    761,5

|762,2|

762,7

762,4

763,2

762,2

Ausserdem geben wir in nachstehender Figur S. 540 eine verkleinerte Darstellung von Hanns Isobarenkarte für Jahresmittel mit Schwere-Reduktion.

Jahresmittel-Isobaren in der Meeresfläche, nach Hann. Massstab 1: 23 000 000.

0»v.Greenwich

10«

7. II"

311

60°

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0»

20°

Ausser der jährlichen Periode hat das Barometer auch eine tägliche Periode, welche bei uns sehr unbedeutend, zwischen den Wendekreisen und auch in Nordafrika erheblich ist, wie folgende zwei Beispiele für Stuttgart und die libysche Wüste (letztere im Winter) zeigen.

Tageszeit

Stuttgart Lib. Wüste

Tageszeit

Stuttgart

Bib. Wüste

Mitternacht 0"

2"

Morgen

4*

6"

8"

10"

Mittag 12"

+ 0,13’ -4- 0,03 — 0,10 -+- 0,01 + 0,28 + 0,36 — 0,05

-4- 0,05

—    0,34

—    0,41

Mittag

12"

2"

0,02

Abend

4*

6"

+ 0,82 + 1,22 + 0,47

8"

10"

Mitternacht 12"

+ 0,02

-t- 0,21

+ 0,13

+ 0,47’

—    0,12 + 0,19 -(- 0,05

Das Barometer steht am tiefsten etwa morgens 4 Uhr und abends 4 Uhr, und am höchsten vormittags 10 Uhr und abends 9—10 Uhr. Namentlich das Vormittags 10 Uhr-Maximum ist in den Tageskurven sehr ausgeprägt.

Wenn nun z. B. Jemand nachmittags 4!/₂ Uhr in der libyschen Wüste 754,5™“ beobachtet hat, so muss er hiezu 0,7™™ addieren, um das Tagesmittel zu erhalten, weil um 41/2 Uhr der Barometerstand im allgemeinen 0,7™m unter dem Tagesmittel ist.

Wie man solche Angaben zu Höhenberechnungen benützen kann, wollen wir andeuten durch Fortschreiten von dem rohesten Verfahren bis zu den Verfeinerungen der heutigen Meteorologie.

Wenn z. B. ein Botaniker in den Alpen eine Pflanze findet, und dazu sein Feder-Barometer mit 560™m abgelesen hat, und sich dazu erinnert, dass es sehr kalt war, so kann er nach der Tafel unseres Anhanges Seite [27] sofort sagen, dass der Fundort der Pflanze etwa 2500™ über dem Meere war. Obgleich dieses Ergebnis wohl um 50™—100™ und vielleicht noch mehr unsicher ist, so ist es doch immerhin eine Höhenangabe, welche dem Pflanzen-Geographen wahrscheinlich genügt.

Als Beispiel für feinere Berechnung nehmen wir eine Bcihe von Barometerablesungen, welche der Reisende Cailliaud vom 1. Januar bis 9. Februar 1820 in der Oase Beharieh täglich dreimal gemacht hat.

Die Mittelzahlen nebst Reduktion auf das Tagesmittel entsprechend der obigen Tabelle S. 540, libysche Wüste, sind:

7A—87i    12''—U    4'¹—5''

757,3™    758,2™    757,2™

Tagesmittel

Beharieh

4- 0,7

755,5    754,9    755,2

755,2™™.

Gesamt-Tagesmittel

Was nun den entsprechenden Barometerstand im Meere betrifft, so ist derselbe für Mitte Januar = 765,2™™ und für Mitte Februar = 764,0™™, also für das Mittel vom 1. Jan. bis 9. Febr. etwa 765,1™™, dieses giebt gegen 755,2™™ eine Differenz =9,9™™. Die Höhenstufe ist hierfür = 11,1™, also h = 11 X 9,9™ = 110™. Hiernach liegt die Oase Beharieh 110™ über dem Meere.

(Weitere solche Berechnungen enthält des Verfassers „Physische Geographie und Meteorologie der libyschen Wüste“. S. 179 —199, woselbst auf S. 196 auch Näheres über das vorstehende Beispiel von Beharieh mitgeteilt ist.)

§ 150. Koch-Thermometer.

Aus der Siede-Temperatur des Wassers kann auf den Luftdruck geschlossen

werden, wie aus folgenden zur Veranschaulichung der Verhältnisse hergesetzten Zahlen hervorgeht :

Siede-Temperatur

99,5°

99.6

99.7

99.8

99,9

100,0

Barometerstand

746,5™™

749.2 751,9 754,6

757.3 760,0

Differenz = 2,7™™ für 0,1°

Ein Zehntel Grad Differenz der Siede-Tenrperatur entspricht bereits etwa 2,7"‘m Barometer, und man müsste die Temperatur auf ein Hundertel Grad genau haben, um nur 0,3mm versichern zu können; das ist nur mit besonderen, zu diesem Zweck konstruierten Thermometern und Siede-Apparaten möglich.

Die genauen Zahlenwerthe der Luftdrücke für verschiedene Siede-Temperaturen haben wir auf Seite [20] des Anhangs zusammengestellt, und zwar nach dem Werke „Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures, Tome I. Paris 1881“, Seite A. 43—48.

Aus den Angaben über die genauen Bestimmungen der Thermometer-Normalpunkte 0° und 100°, welche wir schon in § 143. S. 514—515 vorgeführt haben, sieht man, dass das Siede-Thermometer keine unabhängigen Bestimmungen des Luftdrucks giebt, denn seine Teilung ist selbst von dem Luftdruck abhängig.

Das Siede-Thermometer spielt also als Barometer dieselbe Rolle wie das Feder-Barometer; beides sind Instrumente, welche auf rein empirischem Wege nach einem Quecksilber-Barometer geteilt sind. Diese beiden Instrumente sind auch insofern unter sich verwandt, als ihre Angaben der Schwere-Reduktion nach § 136. nicht bedürfen, welche dem Quecksilber-Barometer zukommt.

Das Koch-Thermometer hat nur insofern praktische Bedeutung für das barometrische Höhenmessen auf Reisen, als man annehmen kann, dass seine Angaben mehr konstant seien als die des Feder-Barometers.

Ob aber dieses der Fall ist, lässt sich nicht allgemein sagen, und nach dem was man über die Änderungen dar Thermometer im allgemeinen weiss (vgl. § 143. S. 515), ist die Konstanz des Koch-Thermometers zweifelhaft, weshalb ein Quecksilber-Barometer zur Standkontrolle der Feder-Barometer vorzuziehen ist, und nur noch die kompendiösere Form und leichtere Transportweise des Siede-Thermometers für dieses sprechen kann.

Praktische Erfahrungen und Vergleichungen von Fuesssehen Koch-Thermometern sind mitgeteilt von Kunze in Tharand, in den „Verhandlungen der Gesellschaft für Erdkunde zu Berlin“, 1882, Nr. 9.

Kunze fand bei den Vergleichungen zweier Thermometer mittlere Fehler von + 0,0099° und + 0,0082°, was + 0,26,",', und + 0,2 1“’" entspricht.

§ 151. Genauigkeit der barometrischen Höhenmessüng.

(1)

Die theoretischen Fehlergesetze der barometrischen Höhenmessung lassen sich aus der barometrischen Höhenformel ableiten; diese Formel ist im wesentlichen: h — K (log B — log b) ( 1 -+- 61)

Die Differentiierung nach B, nach b und nach t giebt die drei Teilfehler:

(2)

MK

MK

d b (1 -h et)

(3)

(4)

dht =h e d t

Die Werte (2) und (3) sind dieselben, welche wir schon bei den Betrachtungen über barometrische Höhenstufen (§ 146.) kennen gelernt haben, und die Zahlen werte dafür erhalten wir aus der entsprechenden Hilfstafel S. [34]—[35] des Anhangs.

Wir wollen hieraus und aus S. [25]—[27] zur Übersicht einen kleinen Auszug bilden, mit dB oder d b = + 0,1““:

Höhenfehler dhn für einen Barometerfehler dB oder db = +0,1™™.

£=760 £=730 £=700 £=650 £=600 £=550 £=500 £=450

0°

10°

20°

30°

, ą ą ą y

.-T H t-4

rH

i—¹ I—¹    ■—■

DO OO    O

1,15

1,23

1,19

1,23

1,27

1,28

1,32

1,37

. in co_ co

co cq_ oo

W H M H ,

© 4o oo ’-o s

Innerhalb so weiter Grenzen (bis zu Höhen von 4000—5000™) ist allerdings dieser Fehlerwert ziemlich schwankend, zwischen 1™ und 2™ für 0,1™“; indessen wenn man im Mittelgebirge bleibt, so kann man diesen Fehler wohl als konstant, etwa = + 1,1’", für einen Barom eter fehler von 0,1'"™ annehmen.

Hiernach wollen wir setzen:

(6)

dhB = dh,, — + 1,1™ für dB oder für db = + 0,1™™

Ein ganz anderes Gesetz zeigt der von der Lufttemperatur herrührende Fehler dht nach (4); dieser ist nicht konstant, sondern wächst proportional mit der Höhe selbst. Setzt man dt = + 1° und e = 0,003665, so findet man aus (4):

(7)

dht = ± 0,003665h oder 0,3665% der Höhe Nun können wir aus den Bestandteilen (6) und (7) eine einfache theoretische Fehlerformel zusammensetzen ; da der Fehler (6) zweimal (oben und unten) vorkommt, haben wir den Gesamtfehler:

(8)

Ah = >/2 (1,1)2+ (0,003665 ^)2 _ y2,42 + 0,0000 1343 Ifi Hiernach ist zur Übersicht folgendes berechnet:

Mittlerer zu fürchtender Fehler A h einer barometrisch gemessenen Höhe h.

/t = 0™ Ah =

100

200

h- 1000™ Ab = + 4,0™'

h — 500™ Ah — + 2,4™

r-H r-H r—¹ i-H    C'd

600

700

2000

3000

7,4

11,1 14,7 18,9 22,0

Diese Zahlen (oder besser eine darnach aufgetragene Kurve) zeigen nun jedenfalls die Haupt-Fehler-Verhältnisse, nämlich, dass hei kleinen Höhen der Fehler lange nahezu konstant bleibt, mit rund 1—2™, dass der Fehler aber bei grösseren Höhen über 1000™ sehr rasch zunimmt.

Bei sehr grossen Höhen genügt das vorstehende Fehlergesetz nicht mehr. Zunächst müsste man hier den konstanten Fehlerteil stärker annehmen (vgl. Tabelle (5) s. oben), und zweitens bringen bei grossen Höhen die Lufttemperaturen häufig noch stärkere Fehler als solche für dt — + 1°.

Erfahrungs-Resultate über Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen, namentlich für Feder - Barometer mit massigem Höhen-Unterschiede, liegen in grosser Zahl vor, z. B. von Koppe in der „Zeitschr. f. Verm. 1874", S. 1—28. Derselbe findet (S. 27) aus 248 Anschlüssen an nivellierte Punkte den mittleren Fehler = + 1,6™. Ähnliche Untersuchungen werden mitgeteilt von Schoder („Hilfstafeln etc.“ S. 40—43), Bauernfeind („Beobachtungen und Untersuchungen über die Räude!sehen Aneroid-

300

800

4000

(9)

400

900

5000

500

1000

6000

Man kann aus der Zusammenfassung aller solcher Erfahrungen mit grosser Sicherheit den Schluss ziehen, dass bei Anwendung aller nötigen Sorgfalt der mittlere Fehler einer Feder - Barometer - Messung hei Höhen bis etwa 200"* nicht mehr als 1—2™ beträgt. Dieses gilt für Feder - Barometer, welche kleine relative Messungen genauer gehen als Quecksilber-Barometer, während letztere dann vorzuziehen sind, wenn es sich um grosse Intervalle und um Erhaltung des Standes handelt.

Barometer“ S. 34—52), Schreiber („Flächen-Nivellement mit Aneroid-Barometern“ S. 29—32).

Beine Einschaltungs- Messungen gehen bei massigen Höhen und massigen Zwischenzeiten mit Feder-Barometern noch geringere mittlere Fehler als 1— 2”*. Verfasser hat hei solchen Einschaltungen selbst wiederholt mittlere Fehler unter 1’“ gefunden, und von Koppe („Die Aneroid-Barometer von Goldschmid“ S. 53—54) werden für solche Fälle wahrscheinliche Fehler +0,57“ , + 0,62’“ , +0,47’“ mitgeteilt, was einem mittleren Fehler von rund + 0,8’" entspricht.

Andererseits fanden wir aber auch bei Einschaltungen starke Fehler, bis zu 10’“, wenn schroffe Wechsel, auf und ab, und wenig gangbarer Weg vorhanden war.

Die eigentümlichen Fehler-Verhältnisse für grössere Höhen werden wir in § 153. besonders behandeln.

§ 152. Unbestimmte Änderung der Lufttemperatur.

Bei der Entwicklung der vollständigen barometrischen Höhenformel (§ 145.) wurde die Lufttemperatur t als konstante Grösse in der Integration behandelt.

Obgleich das auf diesem Wege erhaltene Eesultat für die gewöhnlichen praktischen Zwecke keiner Verbesserung fähig ist, wollen wir doch eine Integration mit unbestimmter Änderung der Lufttemperatur ausführen, um den Fehler schätzen zu können, welcher bei der gewöhnlichen Annahme etwa gemacht wird.

Nach (3) § 145. S. 519 handelt es sich um folgende Integration:

'fdp₌ f 1    (

J p J 1 + fi t \

dH

(1)

wobei K' im wesentlichen die barometrische Konstante ist.

Die untere Höhe sei iZj und die obere Höhe sei J/₂ und die Mitte sei :

= H₀

(2)

Irgend eine Höhe H soll von der Mitte if₀ an gezählt sein nach der Gleichung:

(2 a)

H — _LT(j + x

Der Mittelhöhe H₀ entspreche die Lufttemperatur t₍₎, und das Gesetz der Lufttemperatur-Änderung sei :

(3)

Damit wird entwickelt:

(4)

(1 — %'A' x — e’B’ x2 — e' C X3)

wobei 8 und B' folgende Bedeutungen haben:

1 + 8 t(j

A’ und C braucht man hier nicht zu kennen.

B'= B e'A*

(5)

§ 152.

Unbestimmte Änderung der Lufttemperatur.

545

Damit wird die nach (1) zu integrierende Punktion :

2H₀

dH —

1 et

wobei B" diese Bedeutung hat:

— (1 — A" x— B" x* — C"xZ)dx

(6)

B"= e' B'-

~e' [B — e' A% — 2

(7)

A" und C" braucht inan nicht zu kennen, da sie hei der Integration fortfallen. Wenn man nämlich (6) zwischen den Grenzen x = erhält man :

+ ł

— 2 und x = H- g integriert, so

(1 — A" x — B" x² — G" x3)dx = h —

B"

B"

12

h3 = h

(8)

Die Integration auf der linken Seite von (1) ist dieselbe wie früher bei der gewöhnlichen Barometerformel, wir bekommen daher aus (1), (6) und (8):

B"

h = K' log ~ (1 -+- e£₀) ^1 +

Ho

12

(9)

Dieses ist mit der früher in § 145. S. 519 ausgeführten Entwicklung zu vergleichen , bei welcher eine konstante Lufttemperatur t angenommen war ; wir wollen nun diejenige konstante Temperatur, welche, in die gewöhnliche Barometerformel eingesetzt, den richtigen Höhenwert h ergiebt, mit x bezeichnen; dann giebt die Vergleichung von (9) mit der früheren Gleichung (9) § 145. S. 519 folgendes:

B"W , B" W

B"

1 + er = (1 + et₀) 4- ^

Nach (7) und (5) haben wir:

j = 1 •+ £ G

12 e

12

(10)

B" = e'B — fi'2^2 , £'

1 -}- £ £₀

oder = £ (1 — £ £₀)

hält man:

Setzt man dieses in (10), und bleibt bei den ersten Gliedern stehen

so er

7i²

H² e

T-to + 12B~VŻ

Nach dem angenommenen Gesetze (8) hat man:

Ah BW CW

(U)

mit x =

~~2‘ h

mit x = -)—— : Mittel :

h — *o--2

h = + 2

h + t₂

2    — H 4

Ah BW GW

BW

(12)

G h

t₂ — G = A h H—~ , genähert t₂ — £₁ = A h Die stetige Temperaturänderung werde mit n bezeichnet, d. h. :

Differenz :

(18)

= 4 + 2Ba; + 3Cæ2

Insbesondere :

mit x — —

nx = A — Bh + ^Cłfi n₂ = A + Bh-\-~Cbï

n2 — n\ — 2 Bh,

Durch (13) und (14) werden die früher unbestimmt eingeführten Coëffieienten A und B bestimmt, und man erhält damit aus (11):

T ~ *o + ² 24 1 h ~

Ebenso erhält man aus (12) :

t\ Hb O

Differenz :

(h — hr

-- 6

12

— "+

und diese beiden letzten Gleichungen (15) und (16) zusammen geben:

Wenn man also nach der gewöhnlichen Barometerformel rechnet, und nimmt, so begeht man einen Temperaturfehler:

«2 — nl

(14)

(15)

(16)

(17)

tj +

fr +    (*2 — h)²

Hier kann man noch näherungsweise t₂ —    — n h setzen, und damit wird :

n₂ — wj

8t

12

(18)

8t

12

Der entsprechende Höhenfehler ist :

8h =

^-"l ws + fl

12 ^ 12

n² h³

(20)

Nimmt man im Mittel n = 0,005, so giebt das zweite Glied in (20) für h — 1000™, nur 0,03™*); dagegen kann das erste Glied, welches sich auf die Ungleichförmigkeit der Temperatur - Änderung bezieht, stärker werden. Nimmt man z. B. = 0,004, n₂~ 0,008 und h — 1000, so giebt das erste Glied in (19) einen Temperaturfehler = 0,33° oder in (20) einen Höhenfehler = 1,22™.

Weitere Schlüsse aus den Formeln (19) oder (20) können in Verbindung mit den Eefraktionsformeln § 128. S. 460-—461, gezogen werden, wenn zweckmässig angeordnete Beobachtungen vorhanden sind.

Zu der algebraischen Funktion (3), welche dieser ganzen Betrachtung zu Grunde liegt, ist zum Schluss noch zu bemerken :

Ob eine solche Funktion zur Darstellung der Lufttemperatur-Änderung im einzelnen Falle genügt, und ob man die Funktion kennt, ist eine Frage für sich, die nicht allgemein beantwortet werden kann. Bei der Annäherung an die Erdoberfläche,

fr    h

5- und x = + -s

wird die Gleichung (3) wohl nicht genügen, was aber

damit zusammenhängt, ob die an der Erdoberfläche in üblicher Weise beobachteten Lufttemperaturen überhaupt unmittelbar zur barometrischen Höhenmessung brauchbar sind.

mit x =

-T

*) Dieses zweite Glied unserer Formel (20) wurde früher von Beye, und dann von Sohncke in Schlömilchs -Zeitschrift f. M. u. Pli. 1875“, S. 478—480, angegeben.

§ 153. Periodische Fehler der barometrischen Höhenmessung.

Man hat schon frühe erkannt, dass die Fehler der barometrischen Höhenmessung nach dem gewöhnlichen Verfahren nicht ganz unregelmässig, sondern nach gewissen Gesetzen, insbesondere der Tageszeit entsprechend eintreten. Bamond fand schon 1808 (nach Rülilmann S. 6) eine Höhe zu verschiedenen Tageszeiten so :

Tageszeit: lh Vorm.

Höhe :

Plantamour benützte 10 jährige Beobachtungen (1841 — 1850) in Genf und auf dem St. Bernhard, in Monatsmittel vereinigt, berechnete die Lufttemperaturen rückwärts aus den Barometerbeobachtungen und aus den bekannten Höhen, und verglich die berechneten Temperaturen mit den beobachteten.

In Deutschland hat zuerst Bauernfeind sich mit dieser Sache beschäftigt, und seine hier bahnbrechenden „Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen, München 1862“ veröffentlicht.

Die Untersuchung wurde hauptsächlich in der Form geführt, dass aus den anderwärts genau bekannten, nivellierten, Höhenunterschieden und den beobachteten Barometerständen, die Lufttemperaturen mittelst der Barometerformel rückwärts berechnet und mit dem arithmetischen Mittel der unten und oben beobachteten Lufttemperaturen verglichen wurden. Wir wollen eine solche rückwärts barometrisch berechnete Temperatur mit x bezeichnen und das Mittel der beobachteten Temperaturen mit f; dann handelt es sich um die Differenz % — t, welche einen ausgesprochen regelmässigen Tagesverlauf zeigte, wie aus folgendem Beispiel zu ersehen ist, welches sich auf Bauernfeinds Messungen am grossen Miesing zwischen den Stationen I. und V. bezieht; I. ist 815,36™ und V. ist 1883,53™ über dem Meere, also der Höhenunterschied h — 1068,17™ (Bauernfeind S. 9 und S. 69).

Die Beobachtungen sind an den 7 Tagen 22.—28. August 1857 angestellt, bei einer mittleren Lufttemperatur von 13,5° E = 16,8° C. Die Mittelzahlen r — t sind nach Bauernfeinds Ausgleichung (von E° in C° reduziert) die folgenden:

12Ä Mittag

3A Nachm.

9A Abend

251™

258™

254™

252™

Grosser Miesing, August 1857, h = 1068™.

Tageszeit

Tageszeit

8A Vorm.

9A

10A

1P

12A Mittag 1'* Nachm.

+ 1,8° + 1,0 + 0,3

—    0,3

—    0,9 -1,3

P Nachm.

2h

3A

4A

5"

6'* Abend

— 1,8° -M -U -0,2 + 1,0 + 2,2

Bauernfeind schloss hieraus (S. 62), dass die Thermometer bis gegen 10 Uhr morgens die Lufttemperatur zu niedrig, zwischen 10 und 4 Uhr zu hoch, nach 4 Uhr aber wieder zu niedrig angehen.

Bauernfeind leitete daraus die Eegel ab, dass die günstigsten Tageszeiten für barometrische Höhenmessungen vormittags 10 Uhr und nachmittags 4 Uhr seien.

Diese Bauernfeind sehen „Beobachtungen und Untersuchungen“ haben im weiteren sehr fördernd und anregend gewirkt. Solche Untersuchungen wurden fortgesetzt u. a. von Rühlmann („die barometrischen Höhenmessungen u. s. w.“, Leipzig 1870), welcher an einer von ihm angestellten sächsischen Beobachtungsreihe und an den von Plan-tamour (s. o.) entlehnten 6 jährigen Jahresmitteln der Beobachtungen von Genf und St. Bernhard tägliche und jährliche Perioden der barometrischen Fehler fand.

Auch hier zeigte sich im allgemeinen ein ähnliches Verhalten, wie am grossen Miesing; die Grenz-Zeiten für x — t fand Rühlmann (S. 116) im allgemeinen weiter auseinander gerückt als Bauernfeind, nämlich im Sommer von etwa 7 Uhr vormittags bis 7 Uhr nachmittags, so dass im Sommer fast den ganzen Tag über die gewöhnlichen Lufttemperaturbestimmungen eine negative Korrektion verlangen würden.

Die Hauptergebnisse hievon haben wir (nach Rühlmann S. 60 und S. 63) in folgender Tabelle zusammengestellt:

Genf— St. Bernhard, Beobachtungen 1860—1865. h = 2070m.

Jahres-Mittel.

Tagesverlauf für den Monat Juli.

Tageszeit

U+^2

hi — h

Monat

12" Mittern.

2"

4"

6" Morgen

8*

10"

12" Mittag

2"

6" Abend

8"

10"

P OO Üi CO ^ p O, + OO CD "o + + + Ö ho OT ~o

H,    °°„ t. 0°. ^

in ^ cc~ ^ io t> oo" cT oo" i> co 10

10,55°- 6,0m 9,40 — 10,7 8,80 —10,8 9,70 — 8,0

12.15    4-13,7

14.15    +24,8 15,45 +29,9 16,10 +29,1 15,70 +23,7 14,55 + 14,2 12,80 '+ 4,0 11,60 + 1,7

1111 +

O O tO 05 ^ 05 M O ^ H O lo 05 "o ~ZO "o i—* + 'ĆO + + "vr ho

Januar

Februar

März

April

Mai

Juni

Juli

August

September

Oktober

November

Dezember

1-3,7°

4,1

I—^    ‘

p p w p p p p œ œ m <1 05 V k 05 <35 to M CB 05

L i 1 +-+++- + + + + 1

O o io IO OO CO CD iß CO CD O ^ CO H W I> oT ^ H ÿ CO C<f

r—l    r—I rH

+• 1,8° + 1>1 + 0,1 -0,1 — 0,3 -1,1 -1,3 -0,7 + 0,8 + 1,2 + 1,3 + 1,7

Mittel +4,1° + 4,4° + 0,3°

Mittel 18,8° 6,4° 12,6° + 9,0m—1,2°

Hienach besteht in den Sommermonaten und in der warmen Tageszeit im allgemeinen eine negative Korrektion x— t, d. h. man muss die auf gewöhnliche Weise mit dem Thermometer bestimmten Lufttemperaturen t vermindern, um diejenigen Temperaturen x zu erhalten, welche zu richtigen barometrischen Höhenunterschieden h führen.

Nach diesem sind Untersuchungen von Weilenmann 1875, Grassi 1876 (vgl. das Litteraturverzeichnis S. 552) und Koppe zu nennen. Koppe kam in dem Buche „Die Aneroid-Barometer von Goldschmid“, Zürich 1877, S. 79 zu dem Schluss, dass für keine Tageszeit und keine Jahreszeit für verschiedene Höhen die Differenz zwischen beobachteter und berechneter Temperatur dieselbe bleibt. Weitere Resultate, vorläufiger Natur, hat Koppe in zahlreichen graphischen Darstellungen mitgeteilt.

Aus neuester Zeit haben wir in Deutschland wieder Beobachtungen von Bauernfeind, dessen fortgesetzte Untersuchungen über Refraktion bereits auf S. 466 u. S. 469 erwähnt wurden.

Aus der Abhandlung „Neue Beobachtungen über die tägliche Periode barometrisch bestimmter Höhen von Carl Max von Bauernfeind, München 1883“ haben wir von S. 27—28 folgenden Auszug berechnet :

Höhensteig — Kampenwand 16.-— 27. August 1881, h — 1080m.

Mitternacht O'¹

2A

4A

Morgens 6'¹

8A

Mittag

h-*

DO O

r — t = + 3,3° + 3,0 + 3,8 + 1)1 -1,5 — 8,2 — 3,5

Mittag

Abend

12A r — t = — 3,5°

—    3,8

—    3,0 -0,7 + 2,7 + 3,6 + 3,3

2A

4*

87i

10A

Mitternacht 12A

Die hiernach gezeichnete Kurve hat nahezu denselben Charakter wie die Kurve für Genf — St. Bernhard.

Zur theoretischen Untersuchung der Temperaturfehler übergehend, halten wir uns zunächst an unsere Gleichung (17) § 152. S. 546, welche zunächst so lautet:

(1)

h + h

£

Das letzte Glied wird wohl nie von Belang sein, da — nur = 0,0003 ist. In-

dem wir dieses letzte Glied fortlassen, und

t schreiben, haben wir:

h + h _

(2)

x — t — — 0,0833 (»?2 — nf) h

Hiebei ist t die in üblicher Weise beobachtete Lufttemperatur, x die barometrisch aus dem Höhenunterschiede h und den Barometerständen berechnete Lufttemperatur, und «₂ <lie Temperaturabnahme für die Höheneinheit, unten und oben.

Man hat häufig die so berechneten Werte x „wahre Lufttemperaturen“ genannt, was aber falsche Vorstellungen erzeugt hat, und mindestens unvorsichtig ist; es giebt für jene Werte r überhaupt keine andere Definition, als durch ihre Entstehung mit Rückwärts-Anwendung der Barometerformel, wobei x konstant gedacht ist.

Wenn man Zusehen will, ob die thatsächlich beobachteten Differenzen x — t sich durch die Formel (2) erklären lassen, so findet man zunächst das Vorzeichen befriedigend, denn die Temperatur-Abnahme w₁ unten ist im allgemeinen kleiner als w2 oben, wie unter anderem die bei Tage gemachten Refraktions-Beobachtungen beweisen ; und die barometrischen Vergleichungen am grossen Miesing und Genf — St. Bernhard gaben hei Tage im Sommer x — t negativ.

Am grossen Miesing war im Maximum x — t = — 1,4°, dabei h = 1068m, woraus man nach (2) rückwärts berechnen kann — nx = 0,016. Im Mittel ist etwa n = 0,005 und setzt man n% = 0,010 , nj = 0,002, so wird n₂ —    = 0,008 ; d. h. die Hälfte

des soeben berechneten 0,016 liesse sich etwa aus der Differenz der n erklären. Zwischen Genf und St. Bernhard ist im Juli höchstens x — t = —4,1° mit h — 2070m, dieses würde geben n₂ — Wi = 0,024.

Man kann noch versuchen, die Differenzen x — t durch Annahme von lokaler Lufttemperatur-Korrektion unten und oben A t\ und A zu erklären, d. h. zu setzen:

tj -+- A -4- t% -+- A t%

% zr -—--

•j

12

Atx-\- A

n*~n'h

12

Schon die Annahme, dass an Sommertagen wegen der strahlenden Wärme des Bodens Atx und At% beide nahezu gleich und negativ seien, erklärt einen Teil der Differenzen x — t.

Es wird möglich sein, ein Sjrstem meteorologischer Beobachtungen und trigonometrischer Höhenmessungen durch die vorstehenden Formeln in Verbindung mit den früheren Formeln S. 460—461, bzw. durch weitere Verfolgung des dadurch betretenen Weges, in Übereinstimmung zu bringen.

§ 154. Litteratur der barometrischen Höhenmessung.

Ohne, bei der grossen Ausdehnung der barometrischen Litteratur, Vollständigkeit zu erstreben, stellen wir hier die wichtigsten, namentlich neueren, barometrischen Schriften zusammen.

1805. Laplace. Traité de mécanique céleste. Tome IV. Paris 1805. S. 293—294. Erste theoretisch vollständige Barometerformel :

r — 18336 (1 + 0,002846 cos 2 IJS) (1 + Ütl 0,00375) ^1 + ^ log

Erdhalbmesser «=6366198. Dabei sind Quecksilber-Barometerstände (h) und h vorausgesetzt,

2 Mr

. deren Schwere-Korrektion in dem Zusatz -j--

a

Anmerkung zu § 136. S. 486 gezeigt wurde).

Die Laplace sehe Konstante 18336 wurde nicht theoretisch, sondern durch Vergleichung

barometrischer und trigonometrischer Höhen nach Ramond erhalten. In dem Faktor

(_*) , g

h a

0,868589

r

— 0,868589 — enthalten ist (wie in unserer

‘ + v>

welcher unserem ^1 +    entspricht, setzt Laplace die untere Meereshöhe = Null.

Die obige Formel gilt zunächst für trockene Luft; zur Berücksichtigung der Luftfeuch-

2 (t + O ,    .

-Töör¹’ wie

tigkeit ändert dann Laplace den dritten Faktor, und schreibt statt dessen nachher von Biot ausführlicher angegeben wird.

1808. Ramond. Mémoire sur la formule barométrique. Paris 1808.

1811. Biot. Tables barométriques portatives etc. avec une instruction contenant l’histoire de la formule barométrique etc. Paris 1811.

Die Einleitung giebt auf S. 10—11 die Berechnung für den Einfluss des Wasserdampfes auf die Dichte und den Druck der Luft (wie jetzt allgemein üblich und in unserem § 145. in den Gleichungen (18)—(27) gegeben ist). Der Druck des Wasserdampfes wird auf S. 13 angenommen 2,561»™ + 0,432451. Dieses entspricht unserer Formel (9) § 146. und die weitere Rechnung Biota ist eben im wesentlichen jene in unserem §146. (9)—(12) mitgeteilte. Biot erhält so den erhöhten Temperatur-Coefficient 0,0039127, welchen er auf 0,004 aufrundet, und

4 T+t 2(7’+«) nachher in dem Gliede — — =

Die Schlussformel von Biot S. 27 ist :

benützt.

X = 18334 (1 + 0,002837 cos 2 ip)

II

+ 2 log (l + ~)J

Die Höheutafeln geben auf 9 Seiten rohe Meereshöhen mit T-\-t von 1° zu 1« und II oder h von 1»»»» zu !»*»>.

1818. Gauss. Berliner astron. Jahrbuch für 1818, S. 169—172. Hilfstafel zum Höhenmessen mit dem Barometer. „Die Tafel giebt in aller Strenge den Laplace sehen Ausdruck wieder.“

1827. Belli. Giornale di fisica e chimica di Pavia, 1827. (Vgl. 1876, Grossi.)

1851. Plantamour. Résumé des observations thermométriques et barométriques, faites à l’observatoire de Genève et au Grand St. Bernhard. Genève 1851.

1862. Bauernfeind. Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen und die Veränderungen der Temperatur und Feuchtigkeit der Atmosphäre. München 1862, Formel S. 32:

h = 18404,9 (1 + 0,0026 cos 2 ip)

\}°⁹ r i°g (x _

(i + ² ~~(l + g vj (1 + 0,003665 T) X

T'—t'

5550

j -f- 0,86859 J

Die letzte Klammer setzt Quecksilber-Barometerstände B und b voraus, deren Schwere-

Korrektion, wie bei Laplace, in dem Gliede 0,86859 — enthalten ist, und für welche ausserdem

eine Reduktion für die Qwecfcstl&er-Temperaturen T' und t' beigegeben ist. Der Feuchtigkeits-

3    3

Faktor 1 q> = 1    -,

— ist wie von Biot behandelt, wird aber nicht mit den übrigen

8 Bm

Gliedern vereinigt, sondern für Psychrometer-Beobachtungen besonders berücksichtigt. Die Konstanten, namentlich 18404,9, sind, gegen Laplace und Biot, durch Benützung der Regnault-schen Bestimmungen der Luftdichte und der Quecksilberdichte u. s. w. verbessert.

Bauernfeind sehen Tafeln für logarithmische Rechnung gründen sich auf eine Umformung der obigen Grundformel.

Die

1864. Radau. „Moniteur scientifique rédigé par Quesneville, deuxième série tome I. 1864“ S. 337 u. ff. giebt rohe Meereshöhen für B₀ = 760»"“; eine entsprechende Tafel mit B₀ = 762m»» wurde nach den Radau sehen Formeln von Jelinek berechnet, und in dessen „Anleitung zur Anstellung

meteorologischer Beobachtungen“ veröffentlicht. Radau betont, dass man das Glied ^1-j-^

der vollständigen Formel in die rohen Meereshöhen aufnehmen kann; setzt man nämlich, für die Mittelhöhe, 2 H = Hl    ff₂, so ist :

h — (K) (log B — log b)

für den letzten Faktor ist hinreichend genau :

II₃ — //, = (K) (log B — log b),

h — (K) (log B — log b) -j-

folglich :

HJ — II^

Nun bestimmt man eine rohe Meereshöhe :

H = (K) (log 762 - log B)-\--(K)* (log 762 — log B)s

r

Das zweite, quadratische Glied gibt für II — 1000»» nur 0,16»».

Die Radau sehen Tafeln sind auf die alten Laplace sehen Coëffîcienten (Konstante 18336 statt 18400) gegründet, und enthalten die Schwere - Korrektion des Quecksilbers (weiche für Feder-Barometer-Messungen nicht hergehörig ist).

1870. Rühlmann. Die barometrischen Höhenmessungen und ihre Bedeutung für die Physik der

Atmosphäre. Leipzig 1870.

Die Formel 39) oder 41) S. 43 -44 ist mit der Bauernfeind sehen nahezu identisch. Die

Konstante nimmt Rühlmann — 18400,2, der kleine Unterschied gegen 18404,9 bei Bauernfeind rührt her von der Berücksichtigung der Kohlensäure der Luft. Im letzten Glied hat Rühlmann 5 Mh

2Mh

statt ——, um die Anziehung der Gebirgsschichten zwischen beiden Stationen zu be-

4 r

rücksichtigen; es ist dieses aber nicht konsequent, denn die fraglichen Gebirgsschichten be-

/•

zum

einflussen auch die Abnahme des Gewichts der Luft, welche in dem Glied

Ausdruck kommt (vgl. Helmert, math. u. phys. Theorieen der höheren Geodäsie II. S. 609). Die Rühlmann sehe Formel enthält auch, wie die Laplace sehe und Bauernfeind sehe Formel, die Schwere-Reduktion für das Quecksilber, welche für Feder-Barometer nicht gültig ist.

1871. Weilenmann. Vierteljahresschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 16. Jahrgang,

S. 388.

1872. Schoder. Hilfstafeln zur barometrischen Höhenbestimmung nebst Anleitung zur Untersuchung und zum Gebrauch der Aneroid-Barometer. Stuttgart 1872, zweite Auflage 1874. Barometrische Höhenstufen nach der Formel:

h = 15982

1873. Schreiber. Über die Verwendbarkeit der Aneroide von Naudet u. s w. Separat - Abdruck aus Carl s Repertorium, Band IX, Heft 4. München 1873.

1871. Bauernfeind. Beobachtungen und Untersuchungen über die Eigenschaften und die praktische Verwertung der Naudet sehen Aneroid-Barometer (Abh. d. k. bayer. Akad. d. Wissensch. II. CI. XI. Bd. III. Abtlg.). München 1874.

1874. Reitz. Über die Ausführung von Höhenmessungen mit dem Aneroid-Barometer-System Reitz, Hamburg 1874.

1875. Schreiber. Das Flächen-Nivellement mit Aneroid - Barometern, ausgeführt auf 5 Sektionen der kleinen Generalstabskarte des Königreichs Sachsen (Separat-Abdruck aus dem „Civilingenieur“ XXI. Band, 4.— 6. Heft). Leipzig 1875 (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1875“, S. 341).

1875. Weilenmann. Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 20. Jahrgang 1875, S. 385-442.

Über ein abgeändertes Aneroid-Barometer und Beziehung zwischen Luftdruck, Temperatur und Höhe der Atmosphäre.

1875.    Kunze. Meteorologische und Hypsometrische Tafeln. Dresden 1875.

1876.    Schmidt. Über den praktischen Wert Naudet scher Aneroide, nach den Resultaten einer Anzahl vergleichender Beobachtungen. München 1876.

1876. Jordan. Physische Geographie und Meteorologie der libyschen Wüste. Kassel 1876. S. 82,137,169.

1876. Grassi. Untersuchungen über sprungweise Änderungen von Feder-Barometern. Meteorologia Italiana 1874. Bericht hierüber von Vogler in der „Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 475—477. Grassi spricht 9 Sätze aus, darunter: 3) In den ß»Äepunkten zwischen stärkeren Druckänderungen, wo, nach irgend einer Periode der Änderung, der Druck konstant erhalten wird, entsteht ein Sprung in der Korrektions-Kurve. 4) Dieser Sprung entsteht in ähnlicher Weise in den Wende-punkten, wenn man von einer Druckverminderung zu einer Vermehrung des Druckes übergeht oder umgekehrt.

1876. Grassi. Sulla misura delle altezze mediante il barometro. Mailand 1876. (Auf S. 96 und S. 116—119 Citât Belli, 1827.)

1876.    Hann. 74. Band der k. Akad. der Wissensch. II. Abtlg. Juli-Heft. Zur barometrischen Höhenmessung. Es wird im Mittel gesetzt: 1 + 0,377 ~ = 0,00154 + 0,0001411 (s. oben § 146. S. 526 bis 527).

1877.    Koppe. Die Aneroid-Barometer von Jakob Goldschmid und das barometrische Höhenmessen. Aus dem Nachlasse des Erfinders bearbeitet von Dr. Carl Koppe ; Zürich 1877.

1877. Neumeyer, Prem.-Lieutenant, Hilfstafeln für barometrische Höhenmessung. München 1877.

1877. Jelinek. Über die Konstanten der Aneroide und über Aneroide mit Höhenskalen. Separat-Abdruck aus dem Repertorium für Experimentai-Physik und physikalische Technik. 13. Band, 1877, S. 43-93.

1877. Schreiber. Handbuch der barometrischen Höhenmessung. Weimar 1877.

1877, Vogler. Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln. Berlin 1877. S. 85—147.

1877. Vogler. Beitrag zu den Erfahrungen über Naudet sehe Aneroide. „Zeitschr. f. Verm. 1877“, S. 475—506 sprungweise Änderungen (bis zu 1 »«»«).

1879. Jordan. Barometrische Höhentafeln, erste Auflage, Stuttgart 1879. Zweite Auflage, Stuttgart 1886. Rohe Meereshöhen von 630“™ bis 765“»* mit Intervall 0,1™“, für alle Temperatur-Grade von 5» bis 35", gegründet auf die Formel h = 18464 (log 762 - log B) (1 + 0,0036651) nach (8) § 146. S. 526.

1880. Vogler. Graphische Barometertafeln zur Bestimmung von Höhen-Unterschieden, von Dr. Vogler, entworfen von Feld, Braunschweig 1880.

1881. Hartl. Über die Temperatur-Coëfficienten Naudetschev Aneroide. Mitteilungen d. k. k. militär-geogr. Instituts, I. Jahrgang, Wien 1881 (abgedruckt in der „Zeitschr. f. Yerm. 1882“, S. 45S—470).

1883. Bauernfeind. Neue Beobachtungen über die tägliche Periode barometrisch bestimmter Höhen, von Carl Max v. Bauernfeind, München 1883. (Höhensteig, Irschenberg, Kampenwand.)

1884. Hartl. Praktische Anleitung zum Höhenmessen mit Quecksilber-Barometern und mit Aneroiden von Heinrich Hartl, k. k. Major im militär-geogr. Institute. Zweite Auflage. Wien 1884.

1834. Hann. Jelineks, Anleitung zur Ausführung meteorologischer Beobachtungen. Neu herausgegeben und nmgearbeitet von Dr. J. Hann. Wien 1884.

1884. Helmert. Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie. II. Teil. Leipzig 1884.

Seite 609 : „Man bleibt . . . bei dem üblichen Entwicklungsgänge der Formel für barometrisches Höhenmessen stehen; wir verweisen insbesondere auf Jordan, „Handbuch der Vermessungskunde“, Bd. I. 1877, S. 493 Formel (33), welch letztere wir mit der kleinen Modifikation adoptieren, dass bei der Abhängigkeit der Schwerkraft von der geographischen Breite gemäss unseren Untersuchungen der Faktor 0,00265 anstatt 0,002573 angewendet wird. Doch sind wir völlig damit einverstanden, dass die Anziehung des Terrains nicht zu berücksichtigen ist (sowohl in (33) wie bei der Reduktion der Quecksilber-Barometerstände auf gleiche Schwerkraft); denn dieses entspricht ganz den auf S. 243 § 37. (Helmert) gemachten Erfahrungen. Die Formel lautet:

hi. ₂

= 18400 (1 + 0,003665 t) ^1 + --Çj

log--

P2

(1 + 0,00265 cos 2 S) |l +

Hierin sind pt und p₂ die in absolutem Masse gemessenen Luftdrücke für die Flächeneinheit an den beiden, zunächst in derselben Vertikalen gedachten Stationen, ferner sind B , H , t und e : l> bzw. die mittlere geographische Breite, mittlere Meereshöhe, mittlere Lufttemperatur in Centisimalgraden und mittleres Verhältnis des Dunstdruckes zum Barometerstand.“

1887. Reinhertz. Über die elastische Nachwirkung beim Feder-Barometer. Zeitschr. f. Instrumentenkunde, 1887, S. 153, 189.

1887. Hann. Die Verteilung des Luftdrucks über Mittel- und Süd-Europa, auf Grundlage der 30jähri-gen Monats- und Jahres-Mittel 1851—1880. Wien 1887.

1888. Koppe. Die Verfahren der Ausführung und der Berechnung barometrischer Höhenaufnahmen. Zeitschr. des Hann. Arch.- u. Ing.-Vereins, 1888. Heft 6.

Kapitel XIII.

Distanzmesser.

§ 155. Erklärungen.

Unter Distanzmesser versteht man ein Instrument, mit Hilfe dessen man von einem Standpunkt aus eine Entfernung bestimmen kann.

Ausser in dieser ersten Bedeutung wird die Benennung Distanzmesser zuweilen auch gebraucht ziir Bezeichnung eines Instrumentes, mit Hilfe dessen man eine Entfernung bestimmen kann, ohne eine im Vergleiche mit dieser Entfernung erhebliche Ortsveränderung vornehmen zu müssen.

Jedenfalls ist die Anwendung des Distanzmessers von dem Begehen der zu bestimmenden Entfernung unabhängig. Die Genauigkeit der Distanzmesser-Bestimmungen ist im allgemeinen eine geringere, als die durch unmittelbares Messen mit Messlatten u. s. w. erreichbare Genauigkeit; dagegen hat andererseits die „Distanzmessung* den Vorzug der Bequemlichkeit und raschen Ausführung.

Der Distanzmesser wird stets an dem einen Endpunkte der zu messenden Entfernung aufgestellt, und je nachdem in dem anderen Endpunkte ebenfalls ein Werkzeug, nämlich eine geteilte Latte aufgestellt werden muss, oder nicht, unterscheidet man:

Distanzmesser mit Latte,

Distanzmesser ohne Latte.

Die Latte ist ein etwa 3—5m langer hölzerner Massstab, welcher beim Gebrauch gewöhnlich vertikal gestellt wird. Die Distanzmesser mit Latte sind im allgemeinen genauer als diejenigen ohne Latte; bei den letzteren wird jedoch auf die Latte verzichtet, um das zeitraubende, und in manchen Fällen (z. B. beim militärischen Distanzmesser) gänzlich ausgeschlossene Aufstellen der Latte auf dem zu bestimmenden Endpunkt zu vermeiden.

Allen Distanzmessern mit Latte liegt das einfache Gesetz zu Grunde, dass ein Gegenstand dem beobachtenden Auge um so kleiner erscheint, je weiter er entfernt ist.

Fig. 1.

Distanz-Dreieck.

Die Entfernung wird hiebei bestimmt aus einem langgestreckten Dreieck, dessen Basis ein Stück l der Latte ist. Nach Fig. 1. besteht die Beziehung:

wenn e in analytischem Masse, oder e" entsprechend in Sekunden gerechnet ist.

Bei den Distanzmessern ohne Latte wird die Basis, ohne welche keine geometrische Distanzmessung denkbar ist, meist in das Instrument selbst verlegt, und die Basis ist dann gewöhnlich sehr klein (daher auch die geringere Genauigkeit) oder es wird eine kleine Basis durch Verstellen des Instrumentes gewonnen (vgl. die Eingangs gegebene erweiterte Definition des Distanzmessers\ wodurch man natürlich die Genauigkeit erheblich steigern kann, wobei es aber zweifelhaft ist, ob das ganze Verfahren den Namen „ Distanzmessung * verdient und nicht vielmehr als Triangulierung zu bezeichnen wäre.

D = oder =

Die Distanzmesser ohne Latte dienen fast auschliesslich militärischen Zwecken.

Ein neuer Grundsatz für Distanzmessung dürfte schwerlich noch aufzufinden sein, und die vielen „neuen Erfindungen“ auf diesem Gebiet geben, wenn sie auch als „neu und eigentümlich“ patentiert sind, doch in der Regel nur bekannte Dinge in neuen Ausführungen.

§ 156. Distanzmessung durch den parallaktischen Winkel.

Fig. 1.

Parallaktischer Winkel 6.

Wir betrachten wieder das langgestreckte nahezu gleichschenklige Dreieck Fig. 1., in welchem aus der kurzen Linie l eine grosse Entfernung D abgeleitet wird durch Vermittlung des kleinen Winkels e, nach der Gleichung :

(1)

Wir wollen verschiedene Anwendungen des hierin liegenden Grundsatzes betrachten.

1. Die Entfernimgs - Schätzungen beruhen meist auf dem Grundsatz dieser Gleichung, indem man aus der scheinbaren Winkelgrösse e eines Gegenstandes von bekannter linearer Ausdehnung auf die Entfernung schliesst.

So wird namentlich die scheinbare Höhe eines Menschen zur Entfernungs-Schätzung benutzt.

Denken wir uns nach Fig. 2. einen Mann von der Höhe H — 1,667’", in der Entfernung E, so wird er in dem Abstand e = 0,6m von dem beobachtenden Auge die scheinbare Höhe h haben, entsprechend der Gleichung:

h = E

Hiernach ist folgendes berechnet: h = 100mm

Fig. 2.

Scheinbare Höhe h.

i<-—6

---

(2)

-7K-

h = 16,7”*’"

14,3 12,5 11,1 10,0

Man kann hievon manchen praktischen Gebrauch zu Schätzungen machen, indem man z. B. die Höhen h mit den beigeschriebenen Entfernungen E nach (3), an dem Rande des Feldschreibbuchs oder an einem Bleistift u. s. w. aufträgt u. s. w.

Zu wirklichen Messungen übergehend, haben wir zuerst zu erwähnen:

E = 10m

E = 60»

E— 100» h — 10,0*™

20

30

40

50

50

33

25

20

70

80

90

100

200

300

400

500

5,0

3,3

2,5

2,0

(3)

II. Der Faden-Distanzmesser. Man hat m einem Fernrohr zwei feste horizontale Fäden ausgespannt, und betrachtet damit eine entfernt stehende lotrechte Latte. Wenn die Latte entfernt steht, so erscheint sie klein, und man sieht ein grosses Stück derselben zwischen den Fäden; kommt die Latte näher, so erscheint sie grösser und das zwischen den Fäden gefasste Stück derselben wird kleiner. Die Entfernung ist nahezu proportional dem fraglichen Lattenteil l, welcher zwischen den Fäden erscheint, und der Winkel e (Fig. 1.) ist nahezu konstant.

Dieses ist im wesentlichen der Grundsatz des Faden - Distanzmessers, dessen Theorie wir in § 157. ausführlich behandeln werden.

Dieser Faden-Distanzmesser, welcher heute eines der gebräuchlichsten Feldmess-Instrumente ist, wurde, wie es scheint, am Anfang dieses Jahrhunderts von Reichenbach in München oder Porro in Mailand erfunden.

Was an geschichtlichen Angaben hiefür zu finden war, haben wir in der „Zeitschr. des Hannov. Ing.- u. Arch.-Vereins 1884“, S. 456—457 mitgeteilt. Ein inzwischen erschienenes italienisches Werk: „Istrumenti e methodi moderni di geometria applicata per Angelo Sdlmoiraghi, Direttore dell’officina detta la filotecnica fondata in Milano dal Prof. Porro, Milano 1884“ giebt auf S. 282, nicht wie zu erwarten war, eine Originalmitteilung über Porros Erfindung, sondern beruft sich hiefür auf unsere in Deutschland gesammelten Notizen.

Nach diesem können wir Reichenbach in München als Erfinder betrachten.

Fig. 3.

Kontakt-Distanzmesser.

III. Kontakt-Distanzmesser. In Fig. 3. sind JA und J B zwei Ziellinien nach den Punkten A und B einer Latte, und es kann der Winkel A J B = e da-*    durch konstant gemacht werden, dass man das Fernrohr

r    für die Zielungen J A und JB an zwei feste Punkte

B anschlagen lässt.

fl-

C'EÏÏJL'

Statt der Fernrohr-Lagen JA und JB selbst kann man auch einen mit dem Fernrohr fest verbundenen Hebel JA' und JB' gegen zwei feste Punkte A' und B' anschlagen lassen, denn das giebt für den Winkel e dieselbe Wirkung.

Unsere Fig. 3. zeigt jedoch in den Linien JA' und JB' nicht die Anordnung für konstantes e, sondern eine von San guet in sinnreicher Weise so getroffene Abänderung, dass bei geneigten Zielungen sofort die Distanz-Eeduktion auf den Horizont erhalten wird ; es wird nämlich bei geneigter Zielung der Winkel e dadurch verkleinert, dass der Anschlag des Hebels JA' bzw. JB' stets ein Stück A'B' — c zwischen sich fasst, welches in horizontalem Sinne, in der Geraden GB'A', konstant ist. (Weiteres s. Société d’encouragement pour l’industrie nationale, Rapport par Benoit sur un instrument de géométrie pratique etc. par M. Sanguet, Paris 1866.)

IV. Der Höhenkreis als Distanzmesser. Man kann offenbar den Winkel e (Fig. 1. S. 555) durch einen Höhenkreis mit einem Fernrohr messen, wobei der Wert s als Differenz zweier Höhenwinkel erscheint.

Zur See hat man für solche Zwecke den Sextanten, den man nach Umständen auch zu Lande gebrauchen kann, oder im Binnenlande bei Fluss- und See-Aufnahmen.

Fig. 4.

Zur Berechnung der Entfernungen aus unmittelbar gemessenen Winkeln e haben wir im Anhang Seite [37] eine Hilfstafel zusammengestellt (teils nach eigenen Berechnungen, teils nach dem „Handbuch der nautischen Instrumente“ Berlin 1882, S. 347—349).

Wenn man die Höhenwinkel mit dem Theodolit

_____-----1*-

misst, so kann man auch erhebliche Neigungen a und ß streng berücksichtigen; man hat nämlich nach Fig. 4.:

h = D tang ß woraus man findet:

h -4- l = D tang a

V. Schrauben-Distanzmesser. Man kann den kleinen Winkel t, den man zur Distanzmessung braucht, auch durch eine senkrechte Schraube messen, wenn man damit eine Vorrichtung verbindet, um die Zahl der Umdrehungen und die Unterabteilungen der Umdrehungen scharf zu bestimmen.

Solche Schrauben-Instrumente hat namentlich Stampfer in Wien verfertigt, und in dem Buche beschrieben: „Anleitung zum Gebrauche der verbesserten Nivellier-In-strumente u. s. w. von S. Stampfer, Wien 1839“, dann „Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, Wien 1845, und siebente Auflage, Wien 1872“.

Die Beziehungen zwischen den Schrauben-Umdrehungen und dem Winkel e, oder auch sogleich zwischen den Schrauben - Umdrehungen und der Entfernung E muss durch Versuche mit einer Latte in bekannter Entfernung gefunden werden.

Wir haben früher eine solche Untersuchung mit einem Schrauben-Instrument der Stuttgarter technischen Hochschule durchgeführt (Konstruktion nach Koristha) ; die Latte wurde im Abstand 115,842 württb. Fuss = 33,187m vom Instrument vertikal aufgestellt und von Zoll zu Zoll (1 Zoll = 0,0286m) viermal auf und ab mit dem Fernrohr durchgegangen, und jedesmal die Schraube abgelesen. Die Ausgleichung gab für den von der Horizontalen an gezählten Winkel e die Gleichung:

(6)

852,73 n ■+ 0,015 rfi

wenn e

in Sekunden und n in ganzen Umdrehungen der Schraube gezählt ist. n = 0 entspricht der horizontalen Ziellinie. Von Seiten der Wiener Werkstätte war angegeben :

b = 854,19 n -+- 0,036 n².

Die Schraube gestattet n = 28 Umdrehungen im ganzen, n = 14 giebt 0,02 «² — 3,9". Für Distanzmessung wird es genügen zu setzen :

(?)

l = 241,53

l COS a COS ft

sin (a — ft)

Wenn es weniger um die Entfernungen als um die Höhen zu thun ist, ist dieses Verfahren ganz gut, man hat dann die zwei Gleichungen :

ltang a

tang a — tang ft

Zur Probe wird man nach diesen beiden Gleichungen rechnen.

Nach unseren Erfahrungen kann man auf diese Weise mit Vorteil sehr rasch eine Nivellierung über Berge und Thäler hinweg ausführen. Die Mühe der Rechnung kommt bei den übrigen Vorteilen nicht in Betracht.

tanga—tang ft

h_ l tang ft

tang a — tang ß

oder

(4)

(5)

l 206265 e ^    854 n

wornach eine Entfernungstabelle berechnet werden kann.

Die gewöhnlichen Schrauben-Instrumente haben nur einen kleinen Spielraum von wenigen Graden auf- und abwärts. Mechaniker Hahn hat ein solches Schrauben-In-strument konstruiert, welches Höhenwinkel bis zu 45° zu messen gestattet (s. „Zeitsclir. f. Verm. 1875“, S. 362—365).

Man kann die Mikrometerschraube auch dazu verwenden, dass man einen Faden im Gesichtsfelde des Fernrohrs auf und nieder schraubt, und dadurch auf zwei verschiedene Lattenpunkte einstellt. Dieses geschieht bei dem Meyerstein sehen Distanzmesser.

(.Hunäus, „Die geometrischen Instrumente“, Hannover 1864, S. 379 und 591,

in mehreren Ausführungen in der Hannov. Sammlung.)

Die Schrauben - Distanzmesser sind einer grossen Genauigkeit fähig, wie schon Stampfer durch Versuche gezeigt hat. Diese Genauigkeit ist aber im freien Feld kaum zu erreichen, denn das ganze Verfahren leidet an dem Übelstand, dass die Latte so ruhig gehalten werden muss, dass sie zwischen der Einstellung auf den unteren und den oberen Zielpunkt (Zielscheibe) ihre Lage nicht verändert, was von freier Hand nicht genügend zu erreichen ist. Die Distanzmessung mit der Schraube nimmt ferner sehr viel Zeit in Anspruch, und ist deswegen wenig im Gebrauch der Feld- und Landmessung.

Genauigkeits - Verhältnisse.

messern

Auch ohne die Konstruktion im einzelnen zu kennen, kann man bei allen Distanzweiche auf dem Grundsatz des parallaktischen Winkels e beruhen, über die erreichbare Genauigkeit einige allgemeine Sätze aussprechen. Jedenfalls handelt es sich entsprechend Fig. 5. um eine Gleichung von der Form :

Fig. 5.

Dis tanz-Dreieck.

E=-

(8)

wenn e in analytischem Masse gezählt ist.

Nun sind von vornherein zwei Fälle zu unterscheiden,

nämlich :

Fall 1) Winkel e konstant und Basislänge b als veränderlich gemessen.

Fall 2) Basislänge b konstant und der Winkel s veränderlich gemessen.

X.

b------->■

Der erste Fall findet statt bei dem Faden-Distanzmesser, den wir oben bei II. S. 555 nur im allgemeinen besprochen haben, und mit dem wir uns später in § 157. und § 161. ausführlicher zu beschäftigen haben werden.

Den zweiten Fall hat man bei den vorhin unter IV. und V. erwähnten Höhenwinkel- und Schrauben-Instrumenten, wenigstens innerhalb gewisser Grenzen.

Diesen zweiten Fall werden wir auch später bei Distanzmessern ohne Latte haben.

Wenn etwa e und b in den beiden unterschiedenen Fällen gleich sind, dann ist es allerdings gleichgültig, ob man den Fall 1) oder 2) annehmen will, lässt man aber von da an die Entfernung wachsen, so muss der Fall 1) in den Vorteil kommen, weil hier mit wachsender Entfernung auch die Basis 5, auf welche alles ankommt, wächst.

Alles dieses zeigt sich mathematisch, wenn man die Gleichung (8) nach b oder nach e differentiert.

Im ersten Falle hat man die Funktion (8) nach b zu differentieren, also:

Fall 1)

d F == — db

(9)

Der Lattenfehler d b ist proportional der Entfernung E selbst anzunehmen, etwa db = -±_ E 6, wo 5 der Zielfehler in analytischem Winkelmass ist. Damit giebt (9) :

Fall 1)

(10)

- E

§ 15ï. Optische Theorie des Faden-Distanzmessers.

Nachdem der Grundsatz, auf dem der Faden-Distanzmesser beruht, schon in § 156. S. 555 im ganzen angegeben ist, haben wir nun zuerst die Einrichtung des Fernrohrs näher zu betrachten, und dann die Theorie zu entwickeln.

Fig. 2.

Fig. 1.

Fadennetz des Distanzmesser-Fernrohrs.

zu differentieren, d. h. :

Im zweiten Falle hat man die Funktion (8) nach Fall 2)

Hier kann man wieder, nach (8), — =

8

unbestimmtem Vorzeichen =±d nimmt, hat man aus (11):

d E = ~h E

o

Man kann nun nach (10) und (12) allgemein aussprechen : Im ersten Falle, wenn e konstant und l veränderlich gemessen ist, wächst der Distanzfehler d E proportional der Entfernung E (und kann also z. B. in Prozenten der Entfernung E ausgedrückt werden). Im zweiten Falle, wenn l konstant ist und der parallaktische Winkel e als veränderlich gemessen wird, wächst der Entfernungsfehler dE proportional dem Quadrat der Entfernung E.

Fall 2)

(U)

setzen, und indem man d s mit

(12)

Die Einrichtung des distanzmessenden Fernrohrs unterscheidet sich von der Einrichtung eines gewöhnlichen Theodolit-Fernrohrs (s. § 41.—45. S. 118—131) P , nur dadurch, dass an Stelle eines einfachen jjyjn Fadenkreuzes (vgl. S. 119) ein Netz mit y wenigstens zwei parallelen Horizontalfäden angebracht dst. Die gewöhnlichste Form eines solchen Netzes ist Fig. 1. mit einem gewöhnlichen Fadenkreuz, wozu noch zwei Fäden ö und U parallel dem Horizontalfaden M hinzugefügt sind. Man kann mit diesen Fäden in zweifacher Weise Distanzen messen, nämlich mit dem ganzen Fadenabstand O U = p, oder mit dem halben Abstand O M — MU = !/₂ p.

Auch Fig. 2. hat im wesentlichen dieselbe Anordnung ; statt eines Mittelfadens M sind zwei Fäden M' und M" angenommen, damit keine Verwechslung der Fäden stattfinden kann.

Nach dieser Vorbemerkung über das Fadennetz gehen wir zu der optischen Theorie über, und werden den (linear gemessenen) Parallelabstand p der Fäden von Fig. 1. in den nachfolgenden Figuren 3., 4. und 5. wieder finden.

Die optische Theorie gestaltet sich verschieden, je nach der Einrichtung des Oculars, und dem entsprechend werden wir im Folgenden drei verschiedene Fälle zu behandeln haben.

I. Einfaches Fernrohr.

An derjenigen Stelle des Fernrohrs, an welcher das Bild entsteht, sind zwei parallele Fäden im Abstand p aufgespannt, welche zusammen mit dem Lattenbild durch das Okular A betrachtet werden. (Dieses Okular A geht in die Theorie nicht ein.) Wenn dann 0 das Objektiv mit der Brennweite f, und L die Latte ist, von welcher

Fig. 3.

Einfaches Fernrohr.

!*■

ein Stück l zwischen den Fäden gesehen wird, wenn ferner B und d die Abstände der Latte und der Fäden von dem Objektiv 0 sind, so hat man nach Fig. 3. zwei Gleichungen:

i ¹ i

D⁺H = J

P___

d ~ B

und

(1)

Aus diesen beiden Gleichungen ist die veränderliche Entfernung d zu eliminieren ; hiezu rechnet man :

¹ _ 1 _ 1 _ B — f d Bp d f B Bf Diese beiden Gleichungen zusammen geben:

(2)

B-f =

Hiernach ist B — f proportional l. B —/ ist der Abstand der Latte von dem vorderen Brennpunkte des Objektivs, und dieser Abstand (und nicht B selbst) ist also proportional dem Lattenabsehnitt l.

Diese Gleichung (2) gilt nicht bloss für das einfache Fernrohr, für welches sie zunächst entwickelt worden ist, sondern auch für das Ramsdensehe Fernrohr (§ 43, S. 128), weil die beiden Okularlinsen des Ramsden sehen Fernrohrs in die Distanzmesser-Theorie gar nicht eingehen, ebenso wie in Fig. 3. beim einfachen Fernrohr die Okularlinse A ebenfalls zu der Gleichung (2) nichts heigetragen hat.

II. Huyghenssches Fernrohr (Fig. 4.)

Zwischen dem Objektiv 0 und dem durch p angedeuteten Fadennetz befindet sich eine weitere Linse G (Kollektiv-Linse), welche hei den Einstellungen auf verschiedene Zielweiten einen unveränderlichen Abstand y von dem Fadennetz behält.

Fig. 4.

Huyghenssches Fernrohr (y konstant).

L'

(-.....x-------------Ą

<r

d .......

---------

Jv

Wenn die Kollektivlinse G nicht vorhanden, sondern nur das Objektiv 0 wirksam wäre, so würden die von der Latte L ausgehenden Strahlen ein Bild hei L' er-

zeugen, dessen Grösse V mit der Lattengrösse l selbst und den beiden Entfernungen d und D die Gleichung giebt:

(3)

L- L

d ~ D

Zugleich hat man, wenn f die Brennweite des Objektives ist, die Gleichung:

(3 a)

¹ , ¹ _ 1 n⁺T~ 7

Infolge des Dazwischentrittes der Kollektivlinse C kommt aber das Bild V in Wirklichkeit nicht zu Stande, sondern ein anderes Bild von der Grösse p\ die beiden Bilder V und p sind jedoch in Bezug auf die Linse G konjugiert, und geben deshalb Gleichungen von ähnlicher Form wie die vorstehenden (3) und (3a) nämlich zusammen, wenn f die Brennweite der Kollektivlinse G ist :

(4)

-,    ¹    1 i

und---!--= —;

Aus den 4 Gleichungen (3), (3a) und (4) sind die Grössen d , x und V zu eliminieren. Man eliminiert zuerst d aus (3) und (3a), und erhält:

1 ZI 1    1 D — f

d ~ V D~ f D~ Df

(5)

D-f =

Ebenso wird x aus den beiden Gleichungen (4) eliminiert:

1 _ P _ x yV y

_ f'-y

V ~ f'p -

Nun geben die Gleichungen (5) und (6) zusammen :

f'y

M-f)

(6)

D-f =

^ I--S

(7)

111. Porros Fernrohr.

Das Porrosehe Fernrohr, dessen Anordnung in Fig. 5. angedeutet ist, hat ebenso wie das Huyyhens sehe Fernrohr, zwischen dem Objektiv 0 und dem Faden-Netze L" eine

Fig. 5.

Porro s Fernrohr (a konstant, y veränderlich).

L'

L"

$ >!

>1

•>;

L\

----

V    py ------

k---CL---3*

d--------------5k-

Kollektivlinse G eingeschaltet, welche aber nun einen konstanten Abstand a von dem Objektiv behält, so dass beim Einstellen auf verschiedenen Zielweiten der Abstand y Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

gegen das Fadennetz sich ändert (während heim Huyghens sehen Fernrohr umgekehrt y konstant und a veränderlich war).

Für die Theorie haben wir nun wieder zwei Paare von Gleichungen:

und i

Linse 0 gieht:

V _ l ~d~D

(8)

Linse C giebt:

J- = *- und

d — a y

(9)

Aus diesen 4 Gleichungen sollen die Grössen V, d und y eliminiert werden. Wir eliminieren zuerst d aus (8):

d V D f 1)

Df

(10)

Ebenso wird y aus (9) eliminiert:

_ d — a -+- f

y ~ p(d — a) ~ f    d — a~ f (d — a)

(11)

!_r__

V p d — a + f

Um hieraus d zu entfernen, hat man aus der zweiten Gleichung von (8) :

Df

D-f

Damit wird der Nenner von (11) so geformt:

Df

a + f' =

D-f

Nun gehen (10), (11) und (12) zusammen:

!>(/•+f-a) +/>-f)

D-f

(12)

D — f—

ff

D-f

p D (f -h f — a) + f (a — f)

f(a-n

ff' 1

f+f' — a f + f — a p

(18)

Um nun die Gleichungen (2), (7) und (13), welche wir für unsere drei Fälle

I., II. und III. gefunden haben, unter einen Gesichtspunkt zu bringen, wollen wir noch statt der Entfernung D, welche von der Latte zu der Objektivmitte gezählt ist,

Fig. 6.

E = D ö , D —f—E — c. ------------Q------------

= E~c

TU

eine Entfernung E von der Latte bis zu der Fernrohrmitte einführen, d. h. nach Fig. 5. und Fig. 6:

wobei 5 etwa gleich der halben Fernrohrlänge oder meist rund 5 = 0,5 f gesetzt werden kann. Damit bekommen wir :

I. Einfaches Fernrohr (2)

E=b + f +

(14)

II. Huyghens sches Fernrohr (7) E — 8 -f- f+

(15)

, f(a-n , ff' f+r—a^f+r-

-Ï (16)

III. Porro sches Fernrohr (13)

Diese drei Gleichungen haben eine gemeinsame Form:

E = c -{-kl

Hiezu muss man den Konstanten c und k für die drei betrachteten Fernrohr-Konstruktionen folgende Bedeutungen geben :

(17)

I. Einfaches u. Ramsden sches Fernrohr c = ö + f — 1,5 f , k =

II. Huyghens sches Fernrohr

]—S

(18)

=    ((19)

c ⁷ 5 -t- f — 1,5 f , k f+f-a'

Betrachten wir zuerst die Werte c, so sind diese:

1) für das einfache (und Ramsden sehe) und 2) für das Huyghens sehe Fernrohr = 6 -j- f, d. h etwa = 1,5 f, in runder Zahl etwa = 0,5 Meter;

gq-n f+f’—a

gemacht werden; z. B. bei den von Starke in Wien hergestellten Fernrohren ist (nach einer Mitteilung von Tinter, in der „Zeitschr. d. österr. Ing.- und Arch.-Yereins 1873“, Heft III): f— 345”™, f— 126™”*, a = 237”™, Ô = 163,7mm womit in der That nach (20) c = 0 wird.

III. Porro sches Fernrohr

3) bei dem Porro sehen Fernrohr ist c = 6

und das kann = Null

Hierin, d. h. in c = 0, besteht die Haupteigenschaft des Porro sehen Fernrohrs. Man hat denjenigen Punkt, von welchem aus die Entfernungen E den Lattenabschnitten l proportional sind, den anallatischen Punkt genannt; und das Porro sehe Fernrohr hat also den Vorzug, dass der anallatische Punkt in der Fernrohr-liegt. Im übrigen jedoch, d. h. in Hinsicht auf Schärfe des Fernrohrbildes und Genauigkeit der Distanzmessung hat das Porro sehe Fernrohr keinen Vorzug vor dem Huyghens sehen oder Ramsden sehen Fernrohr.

Anmerkung.

Man kann die Theorie des Porro sehen Fernrohrs, welche wir in den vorstehenden Gleichungen (8) — (13) mit Fig. 5. unmittelbar entwickelt haben, auch mittelbar begründen, wenn man die Sätze über die Haupt- und Knotenpunkte für zwei Linsen, nach § 42. S. 125, als bekannt voraussetzt.

Wenn in Fig. 7. S. 564 zwei Linsen mit den Brennweiten f und f Zusammenwirken, so dass die Latte l ein Bild p liefert, so bestehen die Haupt- und Knotenpunkte H und H’ welche mit den eingeschriebenen Massen folgende zwei Gleichungen liefern :

d -t- v D + u

und

I) + u~ f"

(21)

Wenn man hieraus d + v eliminiert, so erhält man:

_    ___ D + u—f"

d-\-v    (D-\-u)p    f" D -f- u f"(D-\-u)

f"

(22)

D -f- u — f" = -— l P

Dahei haben nach S. 125, f" und u folgende Bedeutungen :

f"

ff,

af

f+f'-a

U f+f'-a

(23)

Fig. 7.

c—d—^ <-----------3—

-------^ <-------

-------D—

—->

L-

H'_H

<------d+v-

----->

u+D

Setzt man dieses (23) in (22), so erhält man dieselbe Gleichung wie vorher (13). Die Grösse f" nach (23) wurde früher (S. 125) die „äquivalente Brennweite“ des Systems der Linsen f und f genannt; und in Hinsicht auf die Konstante k wirkt in der That das Porro sehe Distanzmesser-Fernrohr wie ein einfaches Fernrohr mit der einzelnen Brennweite f".

§ 158. Bestimmung der Konstanten des Faden-Distanzmessers.

Nach der im vorigen § 157. entwickelten Theorie handelt es sich immer um eine Gleichung von der Form :

(1)

E = c + kl

Nach Andeutung von Fig. 1. ist E die Entfernung der Latte von der Fernrohrmitte, und c ist eine kleine konstante Länge von höchstens lm ; l ist das zwischen den

Fig. 1.

Kt~

E-c

Distanzmesserfäden erscheinende Stück der Latte, und k ist eine Multiplikations-Konstante, welcher man am besten einen runden Zahlenwert, z. B. k = 100, geben wird.

Wir werden uns nun mit der Bestimmung der Konstanten c und k der Gleichung (1) beschäftigen, und zwar mit drei verschiedenen Fällen:

I. Bestimmung der Additions-Konstanten c.

Wenn man die optischen Verhältnisse eines Distanzmesser-Fernrohrs kennt, so ist die Bestimmung von c leicht zu machen. Für ein einfaches Ramsdensches und

Huyghens sches Fernrohr ist c = fĄ-b (nach (18) und (19) § 157. S. 563), wo f die Brennweite des Objektivs, und b etwa die halbe Fernrohr-Länge ist, d. h. sehr nahe b = 0,5 f, also c = 1,5 f.

Die Objektiv-Brennweite f kann man jedenfalls für diesen Zweck hinreichend genau dadurch bestimmen, dass man mit der Objektiv-Linse ein scharfes Sonnenbild erzeugt, und dessen Abstand f von der Linse auf lcm genau misst. Oder beim Ramsden-schen Fernrohr hat man einfach das Fernrohr auf unendliche Entfernung einzustellen, dann ist der Abstand des Faden-Netzes vom Objektiv gleich der gesuchten Brennweite f. Bei unseren Hannoverschen Tachymetern mit Huyghen sehen Okularen ist cm , b = 19cm, also c = 57cm.

Kann man sich darauf verlassen, dass man ein richtiges Porrosches Fernrohr hat, so ist c= 0, und das ist der einfachste Fall.

Wenn man aber über die optische Natur des Fernrohrs etwa nicht im klaren ist, wenn man z. B. nicht sicher ist, ob ein angeblich Porro sches Fernrohr wirklich seinen analytischen Punkt in der Fernrohrmitte hat, dann muss man c und k gemeinsam bestimmen, wie wir nachher beim Fall III. zeigen werden.

/•= 38'

II. Bestimmung der Multiplikations-Konstanten k.

Wenn man die Linsen-Brennweiten und alle Dimensionen des Distanz-Fernrohrs genau wüsste, so könnte man nach den Formeln (18) , (19) , (20) § 157. S. 563 die Konstante k in jedem Falle berechnen ; das wäre aber nicht genau, und ist nur etwa zur Klar-machung des Zusammenhangs zwischen k , f,f , p u. s. w. zum Unterricht zu empfehlen.

Die praktische Bestimmung von k geschieht immer durch Vergleichung unmittelbar gemessener Entfernungen E mit den entsprechenden Distanzmesser-Angaben, wie in Fig. 1. angedeutet ist.

In der nachfolgenden Tabelle wird ein Zahlen-Beispiel hiezu gegeben, für das Hannoversche Instrument I., mit c = 0,57m. Die Anordnung wurde nach Fig. 1. gemacht, d. h. zuerst c = 0,57m von der Instrumentenmitte nach vorn ab gesetzt und E—c in runden Zahlen, = 50'”, 100”*, 150”*, 200m mit Messlatten abgemessen.

Auf der so eingeteilten Geraden wurde die Distanzlatte fünfmal hin und her geschickt, und dabei je viermal unabhängig abgelesen.

k—

'r

Fig. 1.

-E-c

E—c

Latten-Ablesungen

Mittel

100 l

(1) ! (2) I (3)    (4)    (5)

E—c

50

100

150

°iO

cT r-T r-T C<f

H o co d-

. o o o o Sisomo o'-^'r-Tca

bwob s o o o o

tjHOK

toy-* j-* o ow obs o o o o

ÜT O '—‘CO

* o

o o o

Ol DO DO O

0,5010 1,0020 1,0006 1,0006 1,5014 1,0009 2,0048 1,0024 Summe Mittel 1,0015

—    5 25 + 9 81 + 6 36

—    9 81

59

223

100

Die hier durchgeführte Berechnung von k erklärt sich nahezu von selbst; besondere Begründung ist nur vielleicht nötig für die Bildung des einfachen Mittels aus

; man könnte nämlich vielleicht daran denken, dass verschie-

den vier Werten

100 1

E—c

dene Gewichte nach den verschiedenen Entfernungen zu nehmen wären, allein das ist nicht der Fall; allerdings die l seihst haben für verschiedene Entfernungen mittlere

Fehler proportional den Entfernungen E—c, allein die Quotienten sind wieder gleichgewichtig.

oder

100 z

E—c

Gelegentlich haben wir auch noch eine Genauigkeitsberechnung in obiger Tabelle

1001

heigefügt, und finden daraus den mittleren Fehler einer Bestimmung von

E—c

niy

/ OOQ

= y g- = 8,6 letzte Einheiten, d. h. = + 0,00086

(5)

und den mittleren Fehler des Mittels 1,0015:

M = Ä = 0,0004,

V4

also Mittel = 1,0015 + 0,0004.

Die Umkehrung gieht:

k = 99,85 + 0,04

Dieses letzte Ergebnis lässt sich in Worten so aussprechen:

Die Konstante ist k = 99,85, und nach dem mittleren Fehler zu urteilen, etwa innerhalb der Grenzen 99,81 und 99,89 unsicher bestimmt; die Konstante ist also kleiner als 100, denn die Abweichung von 100 beträgt 0,15 oder etwa das Fierfache des mittleren Fehlers 0,04. Es war Seitens des Mechanikers beabsichtigt gewesen, k = 100 zu machen, und diese Absicht ist also nicht völlig erreicht worden.

Welche Hilfsmittel man hat, um die Konstante k = 99,85 auf den runden Wert k = 100 zu stimmen, werden wir im folgenden § 159. kennen lernen.

(6)

III Gemeinsame Bestimmung von k und c.

Wenn man, aus Unkenntnis der optischen Einrichtung des Fernrohrs, die kleine Konstante c nicht selbständig bestimmen kann, so muss man sie mit k zusammen durch eine Ausgleichung mit zwei Unbekannten nach der M. d. kl. Q. ermitteln, wobei wieder eine Keihe von Latten-Ablesungen l für gegebene sicher gemessene Entfernungen E als verfügbar angenommen werden soll.

Dabei besteht nach (17) § 157. S. 563 die Gleichung:

E = c + kl

Die Multiplikations-Konstante soll nahe = 100 sein, wir wollen deshalb setzen k — 100 + y und zugleich c — x, also:

E = x + (100 + y) l    oder 0 = x + l y + 100 l — E.

Dieses kann sofort zu einer Fehlergleichung benützt werden:

v = x + 1 y + (100 1 — E) v = a » + 6 «/ + 4

, b = l , A = 100 ^ — JE7

oder

(7)

(8)

(9)

(Das Absolutglied ist hier X genannt, weil das sonst von uns für das Absolutglied einer Fehlergleichung gebrauchte Zeichen l hier bereits für die Beobachtung an der Distanzlatte gebraucht ist.)

Die Gleichung (9) kann insofern als Fehlergleichung gelten, weil X=\00l — E alle Eigenschaften einer Beobachtungsgrösse hat; allerdings ist zunächst l selbst die Beobachtung an der Distanzlatte; jedoch kann 100 Z auch als Beobachtungsgrösse gelten, indem sofort die Lattenwerte als Distanzen (lcm = 1») gezählt werden, und die Werte E als anderweitig fehlerfrei gemessen zu betrachten sind. Die übrig bleibenden Fehler v werden hiedurch auch als Entfernungsfehler gezählt.

Was die Gewichte p der Fehlergleichungen (9) betrifft, so sind dieselben zu

nehmen;

(H)

weil der mittlere Fehler einer Latten-Ablesung proportional der Entfernung E, also hinreichend genau auch proportional dem Lattenwert l ist.

Aus (10) und (11) kann man die allgemeine Form der Normalgleichungs-Coëfficienten bilden:

(n = Anzahl der Beobachtungen)

[paa] = [)₂ J [pa&] = [ ) J

[p bb] — n

Nach Ausrechnung dieser Coëfficienten hat man die zwei Gleichungen aufzulösen; [paa)x + [pab\y -\-[paX~\ = 0 \p a b] x -j- [p b &] y -f- [p b A] = 0

Alles Weitere soll an einem Beispiele gezeigt werden:

Ein Tachymeter, sogenanntes Instrument „Cleps“ (das wir in § 163. näher beschreiben werden), wurde auf 7 gut mit Messlatten abgemessenen Entfernungen E zwischen 25» und 300» geprüft, indem eine Distanzlatte in jeder Stellung von zwei Beobachtern je 4fach abgelesen wurde. Die Yergrösserung des Fernrohrs ist 25fach. Die Entfernungen E sind von der Instrumenten-Mitte an gezählt. Folgende Tabelle giebt die Beobachtungsmittel beider Beobachter, und das Gesamtmittel Z.

Instrument Cleps Nr. 3625. 10. März 1888.

Num.

Entfernung Beobachter

Latten-Ablesungen

Beobachter Mittel

100 l-E

J.

P.

-J O) ii ^ 05 CO J-»

25»

50

100

150

200

250

300

0,2502»

0,5002

1,0012

1,5018

2,0042

2,5090

3,0044

0,2500»

0,4998

1,0000

1,5015

2,0000

2,5025

3,0075

0,2501»

0,5000

1,0006

1,5016

2,0021

2,5058

3,0060

r-H O CO CD *—* OO O

O H Cd iO CO

o" o o o o cT o

O    O    O    O    j->    f*.    05

h    h    to    4^    b    b    b

h->    os    oi    tf».    o    o    o

Ehe wir weiter gehen, machen wir die Bemerkung, dass der Beobachter J. im allgemeinen eine grössere Ablesung / hat, als der Beobachter P. Solche kleine konstante persönliche Fehler können bei dieser optischen Faden-Distanzmessung wohl Vorkommen.

Die Weiterrechnung geht mit den Mitteln l, wie folgende zweite Tabelle zeigt:

Num. p

X pab paX pbb pbX pXX

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

§ § § qąąq

to + i-i o o cT o

T—H

io o o o o ® o W lO O IO O ^ o

O O H H N cf so

+ + + 44-+ +

r-4    O    CO    CO    r-4    00    O

o    o    o    r-n    ca    ao    co

o    o    o    o    o    o    o

o O O l> O O CO o q q cd »o ^ co Tf (N H O O o" o"

o o © o o o o “o o "o o “o b i—¹■

<1 ÎO Ot 05 O <3>

o    o    o    o    o    o    o

DO    CO    T-»    '*->■    o    O    O

O    CO    O    *    G*    O    4+

Summen: 21,96

8,90    0,50    7,00    0,74

0,122

Normalgleichungen :

21,96 x + 8,90 y + 0,50 =0 7,00 y 0,74 = 0 0,122

Die Auflösung giebt: x = -(- 0,041 + 0,021

y=— 0,158 + 0,038

Jfc = 100 + y = 99,842 ± 0,038 Die Distanz-Formel heisst also jetzt:

E — 0,04“ + 99,842 l

[A X . 2] =

0,025 ~[pvv\

,/0,025

m=y-5-=

+ 0,070

(12)

(13)

Der kleine Wert von c = x — 0,04“ mit dem sehr kleinen mittleren Fehler + 0,02“ beweist, dass das Instrument allerdings genügend anallatisch ist, und dass man für alle praktischen Zwecke genügend c = 0 setzen kann.

Als weiteres praktisches Eesultat von allgemeinem Interesse nehmen wir den mittleren Fehler nach (12), m = + 0,070“. Das ist der mittlere Distanzfehler auf 100“ Entfernung (für das Gewicht p — 1). Indessen gilt dieser mittlere Fehler für eine Vergleichung, welche selbst das Mittel aus 8 Einzelablesungen war; es wird also der mittlere Fehler einer Distanzmessung

(14)

m₁ = 0,070 Y8 = + 0,20“ auf 100“ oder wir können sagen, der mittlere Fehler einer Distanzmessung mit diesem Instrument beträgt + 0,2 % der Distanz.

Als Eechenprobe und zum formellen Abschluss der vorstehenden Ausgleichung kann man auch noch die übrigbleibenden Fehler v berechnen nach der Formel:

v = 0,041 + 99,842 l — E

wo l die beobachteten Latten-Abschnitte und E = 25“ , 50“ ... 300“ die gegebenen Entfernungen sind. Die hiernach berechneten 7 Werte v sind:

v = + 0,01    —0,04    —0,06    —0,04    —0,06    +0,22    +0,17

und weiter giebt dieses [pvv\ — 0,024, was mit [A X . 2] — 0,025 nach (12) aus der Elimination genügend stimmt.

Anmerkung. Wie schon oben bei (10) S. 567 angedeutet wurde, ist die vorstehende Ausgleichung richtig, insofern X =100/ — E als Beobachtungagrösse gelten kann. Rein theoretisch bildet man aber die Fehlergleichungen dadurch, dass man die vorhandene Beziehung zwischen den Unbekannten und der Beobachtung nach letzterer auflöst, d. h. man hätte aus (7) S. 566 zu bilden :

-^ + 1# = «/ +(0,01+</')£

v = af + Ey 4- (0,01 E — l)

Verfährt man hiernach und löst nachher wieder nach E auf, so bekommt man praktisch genommen dasselbe, was unsere mehr anschauliche Ausgleichung nach (9) , (10) und (11) gegeben hat.

§ 159. Abstimmung des Distanzmessers auf k — 100 u. s. w.

Im vorigen § 158 haben wir gesehen, wie die beiden Konstanten c und k be stimmt werden können für die Gleichung :

(1)

E — c -h kl

ln unseren Beispielen S. 565 und S. 567 war k sehr nabe — 100, und dieses war nicht Zufall ; man gebt gewöhnlich darauf aus, k — 100 oder vielleicht auch = 50 oder = 200, oder sonst zu einer runden Zahl zu machen.

Ehe wir die verschiedenen Hilfsmittel betrachten, welche man hat, um k = 100 zu machen, oder allgemeiner, um die jeweilige Multiplikation mit k zu ersparen, müssen wir zuvor noch einiges über die kleine Konstante c sagen.

I. Die Additions-Konstante c.

1)    Die Konstante c beträgt im Mittel etwa 0,5™, wohl höchstens 1,0™, und deswegen ist es in vielen Fällen angezeigt, diese kleine Konstante schlechthin zu vernachlässigen. Das geschieht z. B. unbedingt bei topographischen Aufnahmen im Massstab 1 : 25 000 bis zu 1 : 5 000, weil in so kleinen Massstäben sich eine Länge von 0,5™ bis 1,0™ überhaupt nicht mehr darstellen lässt. Je grösser aber der Massstab der Aufnahme wird, um so weniger darf man c vernachlässigen.

2)    Man kann c zum Teil berücksichtigen, zum Teil vernachlässigen, indem man c aus der Formel (1) zwar fortlässt, aber dafür k etwas verändert, d. h. man setzt:

E — c +- k l

= [1c+r)l =

k' l

(2)

wo

V = k + -f *)

(3)

*) Man kann hiezu auch eine theoretische Rechnung anstellen: Wenn man die Änderung k — k' so bemessen will, dass die entsprechende Fehlerquadratsumme [/> v u]

ein Minimum wird, mit p =

(2

und v = c-\-(k — k')l, so muss genommen werden:

k'—k

-fl]

deren Reciprokensumme = |”- J

wenn n die Anzahl der in Betracht kommenden l ist, ist. Mit der unteren Grenze l — und mit der oberen Grenze l = l» kann man setzen :

Nun wird man, um möglichst bequem zu rechnen, nicht etwa k = 100 machen

wollen, sondern k’ = 100, und das kann man machen für irgend einen Mittel wert von l, z. B. für l = 0,5m entsprechend einer mittleren Entfernung von 50™. Sei weiter c = 0,5’", so wird nach (3) :    K

k ' — 100 = k +

oio

= k+ 1,0

(4)

(5)

oder k — 100 — 1,0 = 99,0

Dieses ist ein sehr einfaches Mittel; man stimmt (in der nachher anzugebenden Weise) den Distanzmesser auf k = 99,0 ab, und lässt dafür die kleine Konstante c fort.

3)    Man lässt den ursprünglichen Wert k bestehen, schlägt aber jeder Ablesung in Gedanken die Konstante c zu.

4)    Wenn man die Distanzmessungen auf einem Massstab abgreifen und in eine Karte eintragen will, was meist der Fall ist, so schaltet man in dem Massstabe das kleine Stück c ein, wie in Fig. 1. angedeutet ist. Man hat dann z. B. AB = 36,0™ + c.

Fig. 1.

Massstab 1 : 1000 mit der Konstanten c.

⁼'ä'0

DO

10 ! 00

10 Z0 30    40    50

k-

36,0+c

V-.

5) Wenn man eine Distanzlatte mit einem bestimmten Nullpunkte hat, auf welche immer ein Faden eingestellt wird, so kann man die Konstante c in der Lattenteilung dadurch berücksichtigen, dass man den Latten-Nullpunkt um ein kleines Stück c    c

j verschiebt, so dass der erste Lattenteil um — kleiner wird als alle übrigen. Z. B. für

k — 100 und c = 0,5m müsste man den ersten Lattenteil um 0,5cm kleiner machen als die folgenden. Dieses Hilfsmittel war früher viel im Gebrauch, z. B. bei den Münchener Distanzlatten ; wenn man jedoch überhaupt keine besonderen Distanzlatten hat, sondern gewöhnliche Nivellierlatten mit metrischer Teilung an wendet, so ist die Nullpunktsverschiebung störend, zumal man dadurch gezwungen wird, überhaupt den einen Faden immer auf einen bestimmten Punkt zu stellen.

II. Die Multiplikations-Konstante k.

Um die Multiplikation k l so bequem als möglich zu machen, kann man darauf ausgehen, k = 100 zu machen ; es giebt jedoch auch noch einige andere Hilfsmittel, welche wir nachher kennen lernen wollen.

Ui] =

Q 434 (foflf h —¹°9 h )

z. B. mit l₂ = 3,0 und Zj = 0,2 giebt dieses =

k'— k — 2,7 c, = 1,3, wenn c = 0,5 ; und man müsste k' = 101,3 für k = 100 nehmen, um innerhalb der Grenzen Zj = 0,1 und Z₂ = 3,0, d. h. innerhalb der Distanzen 10m und 300™ die Weglassung von e möglichst unschädlich zu machen. Mit gutem Erfolge gelingt dieses nur innerhalb ziemlich enger Grenzen.

0,477 — ( — 0,699)

0,434

= 2,7, also

1) Stimmung des Fad en-Abstandes, so dass k — 100 wird. Nach (18), (19), (20) § 157. S. 563 ist k jedenfalls abhängig von dem Parallel-Abstande p der Fäden (vgl. Fig. 1. § 157. S. 559), und wenn man diesen Abstand p veränderlich und durch Richte-Schrauben stimmbar macht, so hat man allerdings damit ein Mittel in der Hand, um k innerhalb gewisser Grenzen auf jeden beliebigen Wert, also auch k = 100 zu bringen. Man kann das ganz versuchsweise thun ; man stellt nämlich eine Latte in die Entfernung E—c = 100”*, und stimmt dann mit den Richteschrauben der Parallelfäden, den Abstand p so, dass gerade ein Lattenstück 1”* = 100cm zwischen den Fäden erscheint.

Beim einfachen und Pamsdenschen Fernrohr hat man kein anderes Hilfsmittel, um k = 100 zu machen, dagegen beim Huyghens sehen und Porrosehen Fernrohr hat man ein feineres Mittel, zu dem wir nun übergehen.

2) Stimmung der Linsen-Abstände, so dass k = 100 wird. Wir betrachten zuerst ein Huyghenssches Fernrohr, für welches nach (19) § 157. S. 563 die Gleichung gilt:

(■-fl

(6)

Dabei ist y der Abstand zwischen dem Faden-Netze und der Kollektivlinse

(vgl. Fig. 4. S. 560).

Diesen Abstand y, welcher im Laufe der Distanzmessung selbst konstant bleiben muss, kann man nun zur Stimmung von k sehr fein benützen. Die hiezu nötige Ein-

2. f f bedeutet das Kollektiv und N N die Ebene

richtung des Okulars zeigt Fig. des Fadennetzes; es ist also y der erwähnte Abstand des Faden-

Fig. 2.

Huyghens sches Distanzenmesser-Okular. Veränderung von y zur Stimmung für k = 100.

netzes vom Kollektiv. Das Okular O hat bei s den nötigen Spielraum zur Einstellung auf deutliches Sehen des Fadennetzes NN. Auch y hat einen Q Spielraum von 2 — 3mm, wobei der mit dem Fadennetz ver- 2 | bundene Zeiger J auf einem kleinen in Halbmillimeter geteilten Massstab M M verschoben bezw. eingestellt wird; oder es wird die Veränderung von y auf M M unmittelbar gemessen.

Nun macht man bei verschiedenen Stellungen des Zeigers J die ^

Bestimmung der Konstanten k in der Weise, wie früher in § 158. S. 565 angegeben wurde.

Als Beispiel geben wir für E—c = 100™, die Latten-Ablesungen l (als Mittel aus je mehreren Einzel-Ablesungen) :

f-----y----->

|®1

dt

TW

d I io

(Hannov. Sammlung.)

Zeiger J Lattenwert l

E—c _ 100 l ~ f

3,0 = 1,5™- 4,0 = 2,0™”* 5,0 = 2,5”*”* 6,0 = 3,0”*”* 1,025”*

= 97,5

l,010m

0,992™

0,976™

(7)

= 99,0

= 100,8    = 102,4

Man sieht, dass k — 100, oder l = 1,000"¹ zwischen die Zeigerstellungen J — 4,0 und 5,0 fallen würde, uud die Einschaltung giebt hiefür :

0,010

0,018

J= 4,0 +

1,0 = 4,56

(8)

Nun stellt man den Zeiger auf /=4,56, macht etwa damit einen Probe-Versuch, und wenn genügend genau l — l,000m erhalten wird, so stellt man den Zeiger J, und damit das Fadennetz N N mit einer hiezu vorhandenen Schraube fest und hat damit den Distanzmesser auf k = 100 gestimmt.

Nachher, d. h. im Laufe der Messungen, darf natürlich nun y nicht mehr verändert werden ; und das etwa für verschiedene Augen weiter nötige Einstellen des Okulars O auf deutliches Sehen des Fadennetzes N N geschieht nur mit dem Spielräume hei s.*)

Wenn man den Distanzmesser nicht auf k — 100, sondern etwa auf k = 99,5 abstimmen will (um c damit näherungsweise zu berücksichtigen) so hat man nach (7) zu stellen:

J ~⁼ 4,0 -j—

0,5

1,8

1,0 = 4,28

(9)

Die Einstellungen des Zeigers J auf dem kleinen Massstab M M muss man hei der Anordnung von Fig. 2. durch Drücken von freier Hand machen. Unsere neueren Instrumente haben eine feinere Einstell-Vorrichtung mit einer Schraube, deren geteilter Kand auch die Zeigerwerthe für y schärfer giebt.

Beim Porro sehen Fernrohr wird die Stimmung auf k — 100 nach demselben Grundsatz wie beim Huyghens sehen Fernrohr gemacht, nur handelt es sich bei Porro nicht um die Änderung des Abstandes y zwischen Fadennetz und Kollektiv, sondern um Änderung des Abstandes a zwischen Objektiv und Kollektiv, denn es ist nach (20) § 157. S. 563:

ff

k~f+r-

(10)

a p

Die Porro sehen Fernröhre haben daher für die Änderung von a eine ähnliche Einrichtung, wie für y in vorstehender Fig. 2. Alles wird durch Versuche, nötigenfalls wiederholte Versuche, erreicht.

3) Ein weiteres Hilfsmittel, zwar nicht k selbst — 100 zu machen, aber doch die Multiplikation zu ersparen, besteht in der Anlage eines verzerrten Massstabes zum Abstechen der Entfernungen.

In Fig. 3. S. 573 haben wir einen solchen Massstab gezeichnet, für den ganz zufälligen unrunden Wert k = 73,16. Statt einen Wert l mit 73,16 zu multiplizieren und das Produkt auf einem gewöhnlichen Massstab abzumessen, misst man l selbst auf dem Massstab mit der Einheit 73,16 ab, was offenbar zu demselben Ziele führt. In Fig. 3. ist ausserdem auch die kleine Konstante c ebenso wie in Fig. 1. S. 570 berücksichtigt.

4) Man kann auch die Distanzlatte selbst, statt nach gewöhnlichem Masse, nach

der Masseinheit

- teilen, und kann dann mit einem Distanzmesser, der die Konstante k IC

*) Es giebt zahlreiche Distanz-Fernröhre mit Huyglienssehen Okularen, bei welchen das Okular O ohne Spielraum s fest eingesetzt ist, und die Einrichtung zum deutlichen Sehen durch willkürliches Verschieben des Fadennetzes in Längsschlitzen bewirkt werden soll. Dieses ist verkehrt und giebt leicht Distanzfehler von 1 — 2%.

hat, geradezu Entfernungen ablesen. Hat z. B. ein Distanzmesser k — 66,67, so muss an der Latte 1,5“ = 100“ Entfernung genommen werden.

Fig. 3.

Distanzmesser-Massstab 1 : 1000 für die Konstante k — 73,16.

700™ SO 80    70    60 SO ÇO JO 20    10

gern

Dieses im Grundgedanken einfache Mittel wurde früher sehr allgemein angewendet, es ist aber von allen vorhandenen Hilfsmitteln das beschwerlichste. Man kann die Lattenteilung hiezu für ein einzelnes Instrument ganz versuchsweise machen, indem man die Latte auf 100m, 200“ u. s. w. gemessene Entfernung stellt (mit Rücksicht auf die Konstante c) und dann die Teilstriche ein weist. Besser aber wäre es, die Konstante k zuerst mittelst einer gewöhnlichen Latte zu ermitteln, und die Teilungseinheit dann genau zu berechnen.

5)    Die Multiplikation mit k kann auch mit dem Rechenschieber gemacht werden, worüber später in § 164. in Verbindung mit der Reduktion auf den Horizont, das Nötige gesagt werden soll.

6)    Auch Hilfstafeln, welche man zur Distanz- und Höhenberechnung bei geneigten Zielungen benützt, können zugleich auch die Werte k und c eines besonderen Instrumentes berücksichtigen.

Unsere „Hilfstafeln für Tachymetrie, Stuttgart, J. B. Metzler, 1880u, geben in der Einleitung die nötige Anleitung hiezu.

§ 160. Geneigte Ziellinien.

Die im bisherigen beschriebene Distanzmessung beruht auf der Annahme, dass die Ziellinien nach der Latte nahezu horizontal sind, und dabei wird die Latte selbst vertikal gestellt.

Wenn man es mit geneigten Zielungen zu thun hat, wird zuerst die Frage entstehen, wie man dann die Latte stellen soll? Es sind zwei Arten der Lattenstellung im Gebrauch: 1) Lattenstellung rechtwinklig zur Ziellinie, und deswegen bei geneigten Zielungen schief, und 2) Lattenstellung lotrecht (vertikal).

1) Schiefe Lattenstellung, rechtwinklig zur Ziellinie (Fig. 1. Seite 574).

(1)

Wenn die Ziellinie den Winkel a mit der Horizontalen macht, so wird der Lattenablesung l die schiefe Entfernung E' entsprechen nach derGleichung:

E' = k l

und die wagrechte Entfernung E findet sich daraus:

E — E' COS a — kl COS a

2) Lotrechte Lattenstellung (Fig. 2.).

Das Stück l der lotrecht gehaltenen Latte entspricht einem Lattenwert V rechtwinklig zur Ziellinie, wobei ist:

V = 1 cos a

Zu diesem Lattenwert l' gehört eine schiefe Entfernung E' :

E' — kl' —kl cos a

Die schliesslich verlangte wagrechte Entfernung E ergiebt sich hieraus: E—E' cos a = kl cos² a

(3)

(⁴)

(5)

Da lei die Entfernung für wagrechte Ziellinie ist, hat man für eine Ziellinie mit der Neigung a nach (4) und (5) nun die zwei Verfahren, dass die Latten-Ablesung l bei schiefer Lattenstellung mit cos a und bei lotrechter Lattenstellung mit cos² a zu multiplizieren ist, um die Reduktion auf die Wagrechte zu erlangen.

Fig. 2.

Lotrechte Lattenstellung.

Fig. 1.

Schiefe Lattenstellung.

Ri

zE----------^

.4.

Als Hilfsmittel zur Erlangung einer gewissen Lattenstellung hat man für lotrechte Stellung (Fig. 2.) eine Dosen-Libelle, angehängtes Lot, oder auch nur Augen-mass; für die schiefe Stellung, rechtwinklig zur Ziellinie (Fig. 1.), dagegen hat man ein kleines Diopter oder auch nur ein Zielbrettchen, welches in mittlerer Instrumentenhöhe an der Latte rechtwinklig angebracht ist; der Lattenträger muss nun an Abhängen stets die Latte so neigen, dass er, durch das Diopter zielend, das Distanzmesser-Fernrohr sehen kann.

wenn

Wenn wir die beiden hier beschriebenen Lattenstellungen (Fig. 1. und Fig. 2.) vergleichen wollen, so haben wir zuerst zu sagen, dass die schiefe Stellung (Fig. 1.) zu theoretisch genaueren Ergebnissen führt als die lotrechte Stellung (Fig. 2.) angenommen wird, dass zwischen der wirklichen Latten Stellung und der Stellung, welche die Latte haben soll, in beiden Fällen gleiche Abweichung besteht.

Wir werden dieses durch die nachfolgenden Entwicklungen (17) und (18) S. 578 und S 579 ausführlicher zeigen; es ist aber wohl auch ohne Rechnung leicht zu begreifen, wenn die Latte ebenso scharf in ihrer schiefen Stellung (Fig. 1.) erhalten werden kann, als man eine Latte lotrecht halten kann, dass dann die unvermeidlichen Schwankungen bei Fig. 1. weniger schädlich sind als bei Fig. 2.

Allein diese Annahme wird meist nicht zutreffen ; die schiefe Lattenstellung wird im allgemeinen fehlerhafter sein als die lotrechte, und jedenfalls ist die lotrechte Stellung für den Lattenhalter viel bequemer.

In vielen Fällen, Topographie u. s. w., stellt man die Latte ohne besondere Richtemittel schlechthin auf den Boden, wie sie gerade steht, d. h. ungefähr lotrecht ; und dann ist die Rechnung jedenfalls nach Fig. 2. zu führen.

Betrachtet man andererseits die genauesten Fälle, nämlich Lattenhaltung mit einem Stativ oder wenigstens mit 1 oder 2 Streben, welche neuerdings für schiefe Stellung empfohlen werden, so sieht man, dass solche Streben u. s. w. nötig sind, wenn die Neigung einigermassen bedeutend wird, um die Latte überhaupt noch zu halten; wenn man Streben und ähnliche Hilfsmittel zugleich mit einer Dosen-Libelle anwendet, so kann man die lotrechte Stellung so genau erreichen, dass ihr Fehler verschwindend wird.

Je mehr man aber das ganze Verfahren durch solche Hilfsmittel verfeinert, umsomehr muss man fürchten, an Handlichkeit und Bequemlichkeit, welche hier so sehr wichtig sind, zu verlieren.

Die lotrechte Lattenstellung (Fig. 2. S. 574) mit mehr oder weniger scharfen Versicherungsmitteln der Lotrichtung, ist zur Zeit die in der Praxis am meisten gebräuchliche.

Genauere Reduktions-Formeln.

Die Reduktions-Formeln (2) S. 573 und (5) S. 574 beruhen in mehr als einer Beziehung auf Näherungen, und obgleich diese Näherungen fast immer zulässig sind, müssen wir doch, um ein sicheres Urteil zu haben, die schärferen Formeln hier entwickeln.

Bei schiefer Lattenstellung (Fig. 1. S. 574) kommt zu dem Hauptgliede F = kl cos a noch ein kleiner Wert z sin a hinzu, wenn z der untere Lattenteil, vom Boden bis zum Mittelfaden, ist, indem um diesen Betrag +zsina der obere Lattenteil sich aus der Lotrechten gegen das Instrument hin oder davon weg bewegt, wenn Hh « die Zielneigung ist, man hat also für die Distanzformel c -+- kl:

(6)

E = (c -+- kl) cos a + z sin a

Bei lotrechter Lattenstellung verlangt die kleine Konstante c der Distanzformel eine besondere Behandlung; wenn nämlich für wagrechte Zielung eine Gleichung gilt E — c + kl, so gilt für geneigte Zielung:

(?)

E = C COS a 4- kl COS² a

Fig. 3.

Da auch der Faktor cos² a nur auf einer Näherung beruht, gehen wir mit Fig. 3. zu der Entwicklung einer schärferen Formel über.

In Fig. 3. ist angenommen, dass die Mittel-zielung den Höhenwinkel a habe, und dass der distanzmessende Winkel = e sei; dann ist der

Höhenwinkel für die obere Ziellinie = a -+- und

[0C_

der Höhenwinkel für die untere Ziellinie =

und das giebt, mit den übrigen in Fig. 3. eingeschriebenen Bezeichnungen :

= i tang ^cc h—2“^ — tang ^ct

1= E-

,    B

tang a 4- tang y

s

— tang a tang y

G    G

2 tang y -f- 2 tang² a tang y

jE

s

tang a. — tang y

1 -i- tang a tang ~

1= 2 E

£

1 — tang² a tangl y tang y

cos²

CC    fi

1 — tang² a tang¹² y

= y cotg y cos² a ^1 — tang² a tang² * j

Wenn a = 0 ist, soll E=kl sein, also:

cotg y

E = kl cos² a ( 1 — tang² a ( ^

1 \²

E—kl cos²« —

sin² a

rs)

Das zweite Glied stellt Mer den FeMer vor, welcher begangen wird, wenn man bei dem ersten Gliede kl cos² a stehen bleibt. In etwas anderer Form geschrieben ist dieses Fehlerglied:

sin² a

4 fc2

Für k — 100 und E — 100“ berechnet man hiernach :

= 20° = 40° = 60°

8 E — 0 8E — 0,0003“

8E — 0,001“

8 E = 0,002“

Diese Fehler sind so klein, dass man das zweite Glied der Gleichung (8) nie zu berücksichtigen braucht.

Einfluss eines Aufstellungsfehlers der Latte.

Unter Bezugnahme auf Fig. 4. Seite 577 betrachten wir wieder eine Distanzmessung mit einer Neigung a der Mittelzielung. Wenn hiebei 2 s der distanzmessende

Winkel ist, so sind die Neigungen der beiden äusseren Ziellinien bzw. a -+- *

Die Latte sei gegen die Vertikale um den Winkel 8 rückwärts geneigt.

und a —

T'

Bei richtig vertikal stehender Latte sei die Ablesung am unteren Faden — zl und am oberen Faden = s₂, und bei schief stehender Latte liabe man unten z<f und oben Zn'.

Wir betrachten nun das Dreieck mit den drei Winkeln 8 , y und y, und finden:

y =z 90° — I a +

2“

(9)

Z₂ sin y _

z₂    sin y

COS a 4-

(10)

Da t und 8 klein sind, entwickelt man nach dem Taylor sehen Satze:

/ 6 82 cos a 1--— tang a —

COS a +

= COS a —

2“

sin a —

s²

COS a —

"8,

entsprechend : cos    — 8 j j = cos a ^1 — ^ — ôj tang « —

DO| !»

— à) tangu-

-8

CO |

^    — S j tang² aj

DO ! ?»

Fig. 4.

Lattenschtefe ,V

1.

ö-\

UvN"

K5lm\ \

N-

ft

.5k.

Wenn man diese beiden Klammern mit Vernachlässigung höherer Glieder ausmultipliziert, so findet man :

*2

§2    g    g

— 8 tang « -f- ^----S + S² tang² a--—8 tang² a

Hieraus mit Zusammenfassung des vierten und des sechsten Gliedes:

8²

z₂ — z₂ — z₂8 tang a + z₂ ^ + z₂ 8² tang² a Nun gilt eine ganz ähnlich gebaute Gleichung auch für die untere Ziellinie;

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

*2

{•: b

⁰²2cos2«

(ii)

man braucht nur

T

für z{ und zu haben, d. h.:

c    c

— an Stelle von — zu setzen, um die entsprechende Gleichung

52

ei

z{ = z₁ — z₁ d tang « -(- Z\ ^ -j- z 1 d² tang² n z₁ g

(12)

Bei der gewöhnlichen Art der Beobachtung kann man annehmen, dass für den Oberfaden in (11) S. 577 und für den Unterfaden in (12) die Lattenschiefe d dieselbe sei; denn wenn auch die Latte während der Messung etwas schwankt, so kann man doch immer einen Faden auf einen scharfen Punkt, etwa auf 1,000™ der Latte stellen, und hier festhalten, während man am anderen Faden abliest.

Nun kann man die Gleichungen (11) und (12) abziehen, und wenn man

dabei setzt:

so bekommt man :

z2, — Z\ = ¹

z₂' — z{ T

(13)

52

T — l — Id tang a-\-l Q + l d² tang² « — (^ -f- z₂) Im letzten Gliede kann man setzen:

D — Je l cos² « — cos² a und

2 COS²cc

z\ + z2 _

(14)

damit wird :

~! ~

62

= 1 — d tang n -\- ^ d² tang² n —

(15)

Aus l und aus V wird die richtige Entfernung 1) und die falsche Entfernung D'

berechnet :

D — kl cos² a , J)' = k V cos² «.

Man hat daher auch aus (15):

jy

82

Zd

— d tang cc —1—^—t⁻    tang² cc — ^

Ô²

D' — D — D d tang a -ł- D -    + D d² tang² a — zd

u

Dieses ist die Fehlerformel, auf welche wir ausgegangen sind; dieselbe gilt jedoch nach Fig. 4. S. 577 zunächst nur für aufwärts geneigte Ziellinien, d. h. « positiv, und für rückwärts geneigte Latte, d positiv.

Um auch andere Fälle zu berücksichtigen, kann man (16) so schreiben:

/>

(16)

82

(17)

D' — D = + D d tang « -f- (D + D d² tang² a) -±_z d

Die beiden mittleren Glieder bleiben stets positiv ; der Fehler D’ — D wird also im allgemeinen nicht gleich wahrscheinlich positiv oder negativ, sondern vorwiegend positiv sein, d. h. die falsche Distanz D' wird leichter zu gross sein als zu klein.

Dieses würde nicht hindern, aus (17) auch einen mittleren Fehler zu berechnen (vgl. Band I. § 6. S. 14), der mittlere Gesamtfehler hat aber hier weniger praktische Bedeutung als die nähere Betrachtung der mittleren Teilfehler, von denen der erste D d tang a in (17) am bedeutendsten ist.

Wir wollen jedoch zuerst das letzte Glied +28 in (17) betrachten; dieses ist die Vor- oder Rückwärts-Neigung desjenigen Lattenpunktes, der in der Mittelhöhe z nach (14) von der Mittelfaden-Zielung getroffen wird. Wegen der Kleinheit von d wird dieses letzte Glied zd sehr wenig ausmachen.

Auch die zwei anderen Glieder zweiter Ordnung in (17), welche den Faktor 52 haben, sind sehr klein, und es bleibt nur das erste Glied D 8 tang « von Belang übrig. Indessen bieten auch noch die anderen Glieder Interesse; wenn man nämlich « — 0 setzt, so wird:

52

(18)

(D' — D)₀ = B g ±z5

Dieses ist auch der Fehler, welcher an der Entfernung E' in Fig. 1. S. 574 begangen wird, wenn nun mit 5 derjenige kleine Fehlerwinkel bezeichnet wird, welchen die Latte in Fig. 1. S. 574 gegen ihre zur Mittelzielung rechtwinklige Soll-Stellung macht.

Wir haben also in den Formeln (18) und (17) die theoretische Fehlerbestimmung für die beiden Lattenstellungen schief zur Ziellinie und lotrecht, und da zeigt die Vergleichung von (18) und (17) auf einen Blick, dass die schiefe Stellung mit Formel (18) die günstigere ist, weil das Hauptglied D8 tang a von (17) in (18) fortgefallen ist.

Allein, wie wir schon ohne Rechnung auf Seite 574 bemerkt haben, gilt dieses nur dann, wenn die Lattenrichtungs-Unsicherheiten 5 für beide Fälle (17) und (18) dieselben sind, und das wird im allgemeinen nicht der Fall sein.

Betrachten wir nach dieser Vergleichung zwischen (18) und (17) nun die Gleichung (17) für sich, so braucht man nur das Hauptglied 1)8 tang a auszurechnen, weil dieses die anderen weit überwiegt; dasselbe giebt, in der angedeuteten Näherung, den Distanzfehler D' — D = D 8 tang a oder 100 5 tang a in % von D.

Hiernach ist folgendes Täfelchen zur Übersicht berechnet:

Distanzfehler D' — D wegen Lattenschiefe.

Lattenschiefe

Neigung der Ziellinie a

0°

5°    10°    20°    30° | 45°

1 : 100

1:50

1:25

1° 34' 1° 9'

2° 18'

OOO^o

^ ^ 'ćo °

- = <>    ^

i O    O O    r-l

₀ cd ca co

o~ o r-T ca

O O O O r-T CN

ST

Der hier angenommene letzte Wert 8 = 1:25 oder rund 2° kann etwa die Unsicherheit der Lattenaufstellung von freier Hand, ohne Richte-Hilfsmittel, bedeuten, und der erste runde Wert 5 = 1:100 oder 0°34' wird wohl immer noch grösser sein, als der Aufstellungsfehler mit Dosen-Libelle, aber Haltung von freier Hand.

Wendet man ein Latten - Stativ oder Streben an, so kann man die Lotstellung so genau machen, dass der Einfluss von 8 verschwindend wird.

§ 161. Genauigkeit des Faden-Distanzmessers.

Das Grund-Fehlergesetz für die Distanzmessung zwischen zwei festen Fäden haben wir bereits in § 156. als Fall 1) behandelt; es lautet nach (10) S. 558:

(1)

8E = — E

(4)

b    = 0,00086 Y5 = ± 0,00192 = ± 0,192 o/₀

Dieses ist sofort der mittlere Fehler einer Distanzmessung in Teilen der Entfernung, denn wegen k — 100 ist 100 l = E, und E—c kann hier —E gesetzt werden, und es gilt E — c oder E hiebei als fehlerfrei ; die Gleichung (4) kann also so geschrieben werden:

(5)

b E der mittlere Fehler der gemessenen Entfernung E, s der distanzmessende (parallaktische) Winkel und b der mittlere Zielfehler für beide Fäden ist. (Für einen

Faden wäre also entsprechend üj — S : )/2.)

Statt e wollen wir in (1) die Multiplikations-Konstante k einführen, k = 1 : e,

Ô E — k b E

Hier ist ü in analytischem Masse zu nehmen ; nimmt man als Grenzfall b = 1"; d. h. in der Formel ü = 1" : 206 265", und setzt man zugleich k — 100, so wird nach (2):

>f=20^5 = ⁰-0006 oi“⁰-⁰⁵°/«-

Wenn es also gelingt, den Zielfehler an beiden Fäden zusammen auf 1" herunter zu bringen (also an einem Faden nur 1 : ^/2 = 0,7"), und wenn man die Konstante k — 100 nimmt, so kann man Distanzmessungen auf etwa 0,05 % genau machen.

Wie wir nachher sehen werden, ist das die äusserste, je zu erreichende Geil auigkeitsgrenze.

Aus den zwei Formeln (1) und (2) sieht man auch, dass es für die Genauigkeit günstig ist, die Konstante k klein, oder den Gesichtswinkel e gross zu machen.

Der am meisten gebrauchte Werte k = 100 und e — 0° 34' 23" ist hauptsächlich wegen der bequemen Multiplikation mit der runden Zahl k — 100 beliebt. Für kürzere Entfernungen könnte man wohl noch k — 50 (mit t = 1° 8' 45") anwenden, was im Vergleich mit k= 100, doppelte Genauigkeit gäbe.

Nach diesen allgemeinen Betrachtungen zu Genauigkeits - Versuchen übergehend, können wir eine schon früher bei der Bestimmung von k in § 158. (2) bis (6) S. 566 angestellte Berechnung mittlerer Fehler hier nochmals benützen. Wir haben dort in (5)

100 l E — c

+ 0,00086 hatte. Dabei ist aber zu beachten, dass eine solche Bestimmung das arithmetische Mittel von 5 Einzelablesungen war; wir müssen daher, wenn wir allgemein durch Vorsetzen des Zeichens b einen mittleren Fehler bezeichnen, hiernach setzen:

wo

also :

(2)

(3)

S. 566 gefunden, dass der mittlere Fehler einer Bestimmung von

den Wert

= + 0,00192 oder 0,192%

JIj

Ein ähnliches Neben-Ergebnis hat uns auch die Ausgleichung in (14) § 158. S. 568 für das Porro-Fernrohr Fig. 3. § 163. geliefert, nämlich ebenfalls einen mittleren Fehler von 0,20’" auf 100“, und nach diesen zwei Versuchen können wir schon mit einiger Zuverlässigkeit sagen, dass ein Faden-Distanzmesser, mit k — 100, die Entfernungen mit einem mittleren Fehler von etwa 0,2 % oder 1 : 500 giebt.

Eine andere Art von Genauigkeits-Bestimmungen erhalten wir dadurch, dass wir die Zielung auf dieselbe Latten Stellung mehrfach wiederholen. So liessen wir zu einem Genauigkeitsversuche auf einer von 30“ zu 30“ abgemessenen 300“ langen Geraden, die Latte fünfmal hin- und hergehen, und lasen bei jedem Hin- oder Hergang alle 10 Lattenstellungen unabhängig ab. Z. B. für D = 120“ wurde folgendes erhalten:

Die Mittelwerte 8 l sind quadratische Mittel, z. B. das erste :

= ± 0,52.

^/0,50²    0,552 ₊ 0,452 ₊ 0,582

81

D — 120™ Hingang l = 1,685™ v — — 1,4™« ^2 — 1,96 1,683 1,685 1,685 1,680 Mittel 1,6836

Hergang

Hingang

Hergang

Hingang

+ 9,6 -1,4 -1,4

-f- 3,6

0,36

¹’⁹⁶ 81

1,96

12,96

-r-t

= ±2,19

(6)

19,20

Dieser Versuch mit je 10 Lattenstellungen, und teils 5fachem, teils 4fachem Hin- und Hergang wurde an 4 Tagen unabhängig wiederholt, so dass die in der nachfolgenden Tabelle (7) angegebenen 40 Werte m erhalten wurden. Das Fernrohr (Karlsr. Sammlung Nr. 15) hatte 25 fache Vergrösserung. Der oben beispielshalber ausgerechnete Wert 81 = + 2,19™™ erscheint in folgender Tabelle, unter III mit D = 120™, wodurch auch alles andere genügend erklärt ist.

0,0

Nr.

Mittlerer Latten-Ablesungsfehler 8 l

Mittel

II

III

IV

81

Dm

mm

mm

ri ei m 10 ® i> 00 o5 d

05 DO bû w h m M c^^MOoołDOOOo:

0000000000

0,50

1,00

0,58

2,06

0,41

5,00

2,50

5,78

18,15

8,17

oooo^-j<iaT o)p do o

OCo'j^'i^'i^VlOo'DO'o'cn

^Oi<ltOOOCOCDCO<lCn

lOOOOOcocai-Ho'ca

-rf O OO r-H^ iO t—^ rH lO O ^

oot-dcd^^cdcdoc^

T—I CQ

OOOCOt-hOOI>t-<C^OGO 10 10I>05COH(MCCC010 Or-Tod'cdioododoo

cd cd

t-H

±0,52

1,00

1,99

2,51

4,88

5,90

6,45

8,75

11,55

9,49

0,0177

0,0167

0,0221

0,0209

0,0325

0,0328

0,0307

0,0365

0,0427

0,0316

Es ist nun augenscheinlich, dass die Quotientenwerte ^ nicht konstant sind, sondern mit wachsendem D seihst zunehmen. Dieses ist eine bekannte Erscheinung, welche sich durch manches erklären lässt, z. B. durch Luftzittern und dadurch, dass die Lattenfelder (Latte Fig. 3. S. 376), welche hauptsächlich auf Entfernungen bis zu 100"* berechnet sind, bei 200™ und 300™ undeutlich werden, u. s. w.; auch Schwankungen der von freier Hand gehaltenen Latte können mitwirken. Mag nun der Grund liegen wo er will, für die Verhältnisse unserer der Praxis entsprechenden Versuche besteht das Wachsen des Zielfehlers.

Wir haben die Quotienten in der letzten Spalte der Tabelle (7) durch folgende Anschlussformel dargestellt:

8 lmm Dm

= 0,0148 + 0,00826

(8)

oder für 8 l und D in Metern :

81

Sekunden :

Multipliziert man dieses mit q", so bekommt man den mittleren Zielfehler in

bl

= b = 8,05"+ 1,70"

100

(10)

Multipliziert man (9) mit k = 100, so erhält man den mittleren relativen Distanzfehler für k =100:

bD

± == 0,00148 + 0,000826

ÏÔÜ

(H)

Nach (10) und (11) berechnet man zur Übersicht die folgende Tabelle:

Entfernung

Zielfehler

Distanzfehler für k = 100

100

bD

0™

+1

50

100

200

300

± OT OO^ +

co' CO + co 00

• ą ą ą ą

■ O O O r-H

+1

o o p o p O H 03 CO ÜT

(12)

Der Zielfehler b gilt für beide Fäden, man hätte also für einen Faden nur 3,0 :1/2 = 2,1"

Nach diesen eigenen Versuchen zitieren wir noch zwei Versuchsreihen von Helmert und Stambach.

Helmert hat in der „Zeitschr. für Verm. 1874“, S. 325—334, 1875, S. 359—362 und in der „Zeitschr. des österr. Ingenieur- und Architekten-Vereins 1875“, S. 154—157, Genauigkeitsuntersuchungen mit einem Tachymeter von Starke mitgeteilt. Dieser Tachymeter hat die Porrosche Konstruktion, Fernrohr nur 29cm lang, 35mm Objektivöffnung, 30 fache Vergrösserung, Konstante k = 200, die Neigung der Ziellinien gegen den Horizont betrug im Mittel 6°, die Distanzen waren zwischen 30“ und 550™, die Kesultate werden schliesslich zusammengefasst in der Formel :

1 (_R_Y

60 (,100/

wobei alle Masse in Metern genommen sind. Das konstante Glied 0,20 wird durch Lattenschwankungen erklärt. Dieser Formel entsprechen folgende Zahlenwerte:

D = 50™ b D — ± 0,45™ = ± 0,9 °/₀ von D

Stambach teilt in der „Zeitschr. für Verm. 1875“, S. 183 — 188, 13 Versuche mit, angestellt mit einem Instrument von Kern mit 24 fâcher Vergrösserung und der Konstanten k — 99,54. Die Entfernungen waren zwischen 42m und 103’“ und die Zielneigungen mit einer Ausnahme zwischen 0° und 10°. Nachdem die ursprünglich mit k = 100 berechneten Distanzen auf k = 99,54 reduziert waren, ergab sich ein durchschnittlicher Distanzfehler von 0,18 % oder ein mittlerer Fehler von 0,25 % (nach Helmerts, Neuberechnung, „Zeitschr. für Verm. 1875“, S. 360).

u. s. w.

100m

200’“

300m

400™

(b D)2 = 0,20 +

±1,2 -

± 2,1

(13)

(14)

Die im vorstehenden mitgeteilten Genauigkeitsangaben beziehen sich auf Instrumente, welche in optischer Beziehung nahezu gleichwertig sind, welche sich aber durch die Grösse der Konstanten k unterscheiden.

Nach (2) ist der mittlere Distanzfehler proportional k. Wir reduzieren hiernach die teilweise mit verschiedenen k gefundenen mittleren Fehler auf die Konstante k — 100, und erhalten folgende Zusammenstellung:

Beobachter

Distanz D

Mittlerer Fehler bD

Konstante k

100

Helmert

Stambach

Jordan

100™

(15)

~t~ 0,25™

± 0,25™

± 0,23™

Man findet also in Übereinstimmung, dass für kleinere Entfernungen von etwa 100™ und mit Anwendung der Distanzmesser-Konstanten k = 100, der mittlere Distanzmesser-Fehler + 0,25™ oder i/₄ °/₀ der Entfernung beträgt. Hiebei ist eine nur geringe Neigung der Ziellinien gegen den Horizont vorausgesetzt.

Wenn die vorstehenden Mittelwerte als der Praxis entsprechend angesehen werden können, so ist doch unter günstigen Umständen die Faden-Distanzmessung einer noch erheblich grösseren Genauigkeit fähig, wie schon daraus geschlossen werden kann, dass der Zielfehler auf 300™ Entfernung nach unserer Tabelle (12) 8 = + 8,2" oder für einen Faden = 8,2 : ]/2 — + 5,8" für ein Fernrohr mit 25 fâcher Vergrösserung entschieden zu gross ist, wenn man es mit klarer Luft und scharfen, festen Zielpunkten zu tliun hätte.

Wir haben hier eine schöne Yersuchreihe zu erwähnen, welche B. Wagner in der „Zeitschrift für Vermessungswesen 1886“, S. 49—60, S. 81—90 und S. 97—104 veröffentlicht hat. Das Fernrohr hatte 27™™ Öffnung, 34c™ Brennweite, Ramsden sches Okular mit 25 fâcher Yergrösserung, Konstante A: = 100. Die Latte war in Decimeter und Centimeter geteilt, und hatte für den einen Faden eine scharfe Null-Marke. Die Latte wurde rechtwinklig zur Ziellinie gestellt, und in jeder Stellung durch zwei Streben gestützt. Im allgemeinen wurden die „günstigsten äusseren Umstände“ aufgesucht. Eine ausführlich vorgelegte Versuchsreihe giebt 24 Ablesungen auf wechselnde Entfernungen zwischen 97™ und 103™, woraus der mittlere Zielfehler b = + 1,29" berechnet wird. Solcher Versuche sind 18 angestellt, mit Entfernungen zwischen 50™ und 500™, und aus allem zusammen ergab sich ein mittlerer Zielfehler:

b = -+- 1,18" oder 8₄ = 1,18 : ]/2 = 0,8" für 1 Faden.

Der mittlere Distanzmessungs-Fehler für 100™ Entfernung ist hiernach für A = 100 , bD= 10000 X 1,18 : q" = 0,057™ oder 0,057 %. Dieses ist nur etwa i/4 des mittleren Fehlers nach Helmert, Stambach, Jordan [s. o. (15)], und das scheint in Verbindung mit früherem, zu folgendem allgemeinem Ausspruch zu berechtigen:

Die Faden-Distanzmessung ist einer grossen Genauigkeit fähig. Der mittlere Fehler kann auf 0,05%— 0,1 o/₀ herabgebracht werden, aber nur, wenn die „günstigsten äusseren Umstände“, Feststellung der Latte durch Streben*), u. s. w. und ein sehr guter Beobachter vorhanden sind.

100™

100™

± 0,50m ± 0,25 ± 0,23™

200

100

100

*) Eine Latte mit einer Strebe ist in dem späteren § 163. Fig. 7. S. 597 dargestellt.

Unter mittleren Verhältnissen (z. B. ohne Streben) hat man in der Ebene auf etwa 0,25o/₀ mittleren Fehler zu rechnen, und im Gebirge mit steilen Zielungen, wenn man die Lattenstellung einem gewöhnlichen Gehilfen ohne besondere Überwachung überlässt, steigt der mittlere Entfernungsfehler wohl auf 1 o/₀.

Anhang.

Scharfe Einstellung des Okulars.

Eine Nebenfrage soll zum Schluss noch beantwortet werden, nämlich die Frage, ob eine ungenaue Einstellung des Okular-Auszuges einen merklichen Fehler an der Distanzmessung hervorhringen kann?

In Folge der bedeutenden sogenannten Akkomodation des Auges kann man nämlich wohl eine Lattenablesung machen, wenn auch das Fadennetz nicht genau denjenigen Abstand vom Objektiv hat, den es nach der Theorie haben sollte.

Setzen wir ein einfaches Fernrohr voraus, so gilt nach (1) § 157. S. 560 mit Fig. 3. S. 560 die Gleichung:

PdD

Dabei ist d der Abstand des Fadennetzes vom Objektiv ; und eben dieses d soll nach der vorstehenden Überlegung mit einer gewissen Einstellungs- Unsicherheit behaftet sein, welche mit + 8d bezeichnet sei. Durch Dilferentiieren von (16) findet man:

—

l-=

(16)

81 =

(17)

Hiebei ist genähert D = kl, also auch 8 D = k8l, das giebt :

8 T) p8d ₇

D ~

Weiter kann man genügend genau d = f setzen, und dann ist d : p = f : p = k, und indem 8 l als + genommen wird, hat man dann :

81)

(18)

(19)

Um die Unsicherheit + 5 d der Okular-Einstellung zu bestimmen, haben wir einen Versuch in der Weise angestellt, dass die Okular-Röhre mit einer Millimeter-Teilung versehen wurde, deren Stellung an einem Zeiger z jedesmal abgelesen wurde, wenn eine Latteneinstellung gemacht war. Die Latte wurde hiezu auf einer abgemessenen Geraden 5mal hin und her geschickt, und die Mittel der je 5 Zeiger-Ablesungen sind in folgender Tabelle als beobachtet z' aufgeführt, während die zuhörigen z durch Ausgleichung erhalten sind.

Ent

fernung

Okular-Auszug

1)

z'

Ent

fernung

Okular-Auszug

z'

lO

0*00*00000

HH(M(MCOCOCOC5

o CO 00    1-^ ^ io

co HàCoô'oT o ^ io

H r-i T-I H (N Cd (N

o 05 Tc do h^-o 03 qo

+I+++++I

oooooooo 7-* T-i ctt to ~co ro

io O lO iO io IO IO OOOOOOO 8 IM O OO H l> O u rtHHIMSJIMCC

26,5mm

26,3

27,3

27,0

27,1

27,5

27,8

27,4

dododcpodccododc

00-5 0-vl-a050Sffl

I +1++1lf

Ô3    NHU5 05

oooooooo

Die hier sogleich mit aufgeführten Werte z wurden durch eine Ausgleichung gewonnen, welche auf die Formel führte:

oder z — 520,7

492,4 D

D ⁺ 520,7 — z ~ 492,4

Dieser Ausgleichung entsprechen auch die in der Tabelle eingesetzten übrigbleibenden Fehler v, deren Quadratsumme = 1,81 ist. Da jeder als beobachtet eingeführte Wert z' das Mittel aus 5 gleichartigen unabhängigen Einzel-Einstellungen ist, haben wir den mittleren Fehler einer solchen Einstellung:

D — 492,4

1,81

= 0,80’

Setzt man dieses in (19) ein, und nimmt dazu in runder Zahl die Objektivbrennweite = 300"™, so wird :

bD

D — + 0,0027 oder rund 0,3 o/₀.

Dieses ist ein Fehlerbetrag, welcher neben den übrigen Fehlern nicht zu vernachlässigen ist. Man kann diesen Fehler unschädlich machen, wenn man vor jeder Latten-Ablesung die Okular-Auszugsteilung auf die ausgeglichenen Werte z scharf ein-stellt. Unsere bisherigen Versuche haben eine Wirkung in dem erwarteten Sinne gezeigt. Entscheidende Versuche wären noch zu machen.

§ 162. Distanzmesser ohne Latte.

I. Basislineal mit zwei Fernröhren.

I. Das einfachste, seit Jahrhunderten immer wieder von Zeit zu Zeit versuchte Prinzip eines Distanzmessers ohne Latte ist das Basislineal mit zwei Fernröhren. Dieses ist in Fig. 1. angedeutet; AB = b ist das Basislineal, F der entfernte Punkt, dessen Entfernung E bestimmt werden soll, und zwar durch den Winkel e, den die zwei Ziellinien AA' und BB' gegeneinander bilden ; oder es ist e der Winkel zwischen A A' und der Parallelen A A" zu B B'.

Aus b und e berechnet man:

Fig. i.

A, i B'

bezw.

(1)

Das Fehlergesetz hiefür haben wir bereits in (12) § 156. S. 559 j entwickelt, nämlich:

f i?² bezw.

(2)

b......*

Setzt man hier als Grenzfall 5 = 1” und b — lm so bekommt man :

Fehlerverhältnisse für b = lm und 5 = 4- 1".

Entfernung

Parallaxe

Mittlerer Fehler

F«

100

50™

100

200

500

1000

2000

5000

1° 8'45” 34' 23” 17' 11” 6' 52” 3' 26” 1' 43” 0' 41”

GC CO H O O Cn i—* CO    ¹

OO rO

t“H CM H

^ 00

rr Oj CO t> Cd <o CO © C* ^    ^

o © o cT cT © c<T

CO

Wenn man nun die hier gemachte Annahme, dass der mittlere Parallaxenfehler nur b = -4- 1” sei, erfüllen könnte, so wäre das ganze Verfahren für viele Zwecke ein sehr gutes; z. B. eine Entfernung von 1000m ohne Entsendung einer Latte oder irgend welche Vorbereitungen, durch einfaches Zielen, mit einem mittleren Fehler von rund 5m oder 0,5 % zu bestimmen, das wäre für Feld- und Landmessung, für militärische und viele andere Zwecke höchst willkommen, auch nur die Hälfte oder ein Viertel dieser Genauigkeit zu erreichen, wäre schon wertvoll; und solche theoretische Fehler-Überlegungen scheinen seit Jahrhunderten bis heute die „Erfinder“ von Parallaxcn-Distanzmessern mit zwei Fernröhren geleitet zu haben.

Die älteste uns bekannt gewordene genauere Nachricht hierüber betrifft das „Fantometrum Paceccianum seu instrumentum novum pro elicienda ex una statione äistantia loci inaccessa, erfunden vom Grafen Pacecco ob Ucedos“, beschrieben von P. Mayer, Mannheim 1767.    (S. Johann Tobias Maeyer, „Gründlicher und ausführ

licher Unterricht zur praktischen Geometrie“. Göttingen 1816. IL S. 331 und Netto, „Handbuch der gesammten Vermessungskunde“, Berlin 1820. I. S. 213.)

Dieses Pantoinetrum besteht aus 2 im Abstand von 1—2m verbundenen Fernrohren.

Ferner ist hiebei zu erwähnen ein Distanzmesser von Breithaupt vom vorigen Jahrhundert; derselbe besteht aus einer als Basis dienenden Schiene von lm Länge, deren jedes Ende ein Fernrohr trägt. (Dieses Instrument befindet sich im Gewerbemuseum in Kassel.) Aus neuerer Zeit kann genannt werden Hermanns und Kürten Entfernungsmesser, für ganz Preussen patentierte neue Erfindung (s. „Zeitschr. für Verm. 1876“ S. 443 u. 455).

Eine zusammenfassende Mitteilung über solche und andere Instrumente gab Schell, „Distanzmesser mit der Basis an dem Instrumente“,. Wiener Sitzungsberichte 75. Band. S. 145—161, Abdruck in Carls Repertorium 1878. S. 455—470.

Nach Rosliiewicz hat Starke ein Instrument mit 1,518” langem Basislineal und 2 an dessen Enden angebrachten Fernrohren mit Mikrometerschrauben konstruiert. Die Konstanten wurden aus Versuchsmessungen bestimmt. Genauigkeit:

mittlerer Fehler

± 1,9»= 1 : 263 7,7 = 1 : 130 30,8 =1 69,2 = 1 123,0 = 1 192,2 = 1

Distanz

500”

1000

2000

3000

4000

5000

05

43

33

26.

Vor kurzem hat sich auch ein solches Instrument von Cerebotani gezeigt, bei welchem die Parallaxe e durch eine an sich nicht unzweckmässige Hebel-Übersetzung gemessen wird. Wir haben hierüber in der „Zeitschrift f. Yerm. 1884“, S. 389—396 berichtet.

Diesem Instrumente wurde eine wissenschaftliche Untersuchung zu Teil, über welche in der „Zeitschrift für Instrumentenkunde, 1886“ S. 77 und S. 125 berichtet wurde (vgl. auch „Zeitschrift f. Yerm. 1886“ S. 129 und S. 214).

Die zwei Fernröhre mit 20 fâcher Vergrösserung im Abstand von lm bilden mit einem Stahlgestell einen Apparat von 17,5 Kilogramm Gewicht. Der mittlere Parallaxenfehler wurde 8 = + 2,5" gefunden.

Diese Versuche und Berechnungen sind insofern von Wert, als sie die Anschauung bestätigt haben, dass auf diesem Weg für Feld- und Landmessung nichts zu gewinnen ist.

II. Theodolit mit excentrischem Fernrohr.

Der Theorie nach zu der soeben beschriebenen Gattung gehörend, aber praktisch doch verschieden, ist der Theodolit mit excentrischem Fernrohr zu nennen, denn damit kann man, das Fernrohr durchschlagend und in zwei Lagen messend, die Parallaxe bestimmen, welche zu der zweifachen Excentricitäts-Basis gehört. Z. B. in Fig. 2. S. 167 hätte man 2 rp und 2 %\> als Parallaxen für die beiden Zielpunkte A und B. Wenn man einen guten Theodolit mit bedeutender Excentricität des Fernrohrs ohnehin hat, kann wohl der Fall eintreten, dass man ihn so zu gewissen Zwecken mit Vorteil brauchen kann. Die Fehlertheorie ist dieselbe wie oben bei (1) bis (3).

III. Reflexions-Distanzmesser.

Ein Haupt-Übelstand des Basislineals mit zwei Fernrohren, nämlich die unbedingt feste Aufstellung, kann vermieden werden, wenn man die zwei Lichtstrahlen, welche von dem fernen Punkte nach beiden Basis-Endpunkten gehen, durch Reflexion vereinigt, ebenso wie es beim Spiegelsextanten oder dem Winkelspiegel geschieht.

Dieser Gedanke wurde im Jahre 1802 von dem k. k. Oberlieutenant Fallon in der „Monatlichen Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde“, Gotha 1802, 6. Band, S. 246 — 252 dargelegt, und seit jener Zeit haben Verschiedene hiernach Versuche angestellt (s. „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 217 u. ff.).

Wir geben das mathematische Prinzip und die Beschreibung eines Versuchsmodells in den umstehenden Fig. 2. und Fig. 3. S. 588.

In Fig. 2. ist L die 1 Meter lange Basisschiene, auf welcher eine Alhidade A mit grossem Spiegel S angebracht ist. Der Drehpunkt der Alhidade befindet sich in der Mitte von S. Rechts ist ein Fernrohr F auf der Schiene L rechtwinklig befestigt, und vor demselben ist der kleine Spiegel s ebenfalls fest auf L und schief gegen die Fernrohr-Richtung angebracht. Ein entfernter Punkt P sendet Licht sowohl auf den grossen Spiegel S, und von da durch doppelte Reflexion auf dem Wege PSsF in das Fernrohr F, als auch direkt über den kleinen Spiegel s hinweg in das Fernrohr F. Oder kurz : die ganze Einrichtnng ist diejenige des gewöhnlichen Spiegelsextanten. Die Alhidade A hat eine Armlänge r, gemessen von dem Drehpunkt in S bis zu der Teilung, auf welcher die Drehung abgelesen wird (am rechten Ende von Fig. 2., wo eine gewöhnliche Brems- und Mikrometer-Vorrichtung nebst Lupe angedeutet ist). Das Ganze ist m Schwerpunkt bei Q unterstützt.

7v

«K*

Fig. 3.

Theorie des Reflexions-Distanzmessers.

B'

<*■-------- r

Fig. 2.

Reflexions-Distanzmesser.

(Hannov. Sammlung.)

_ -"f B | to - i

\s

ßi

4------»i

■Oö:

-Ÿ.

Betrachten wir nun Fig. 3., welche zum Teil dieselben Bezeichnungen wie Fig. 2. wieder enthält, so wird es sich darum handeln, eine Beziehung zwischen der zu messenden Entfernung E und der Ablesung n — i an der Alhi-dade herzustellen.

Ist die unmittelbare Alhidaden-Ablesung = n, so führen wir mit der Differenz n — i sofort auch die Ablesung i ein, welche der Alhi-dadenstellung für unendliche Entfernung E entspricht, oder kurz: i ist der Wert, den man beim Sextanten den Indexfehler nennt.

Für unendlich grosses E nimmt der linksseitige Lichtstrahl die Lage B ' S an, und der Alhidadenarm, welcher sich mit dem Spiegel S dreht, habe liiefür die Lage S B, während S A zu SP gehört. Die beiden Alhidadenlagen SB

und SA schliessen also den Winkel -4- ein,

welchen auch die beiden Spiegel S und s miteinander bilden, denn für unendliche Punktentfernung, d. h. für den linksseitigen Strahl B' sind beide Spiegel S und s parallel. Dass aber

.6

der Spiegelwinkel, welcher mit bezeichnet

ist, wirklich die Hälfte der Parallaxe e ist, (wie vom Sextanten bekannt ist), kann unmittelbar aus der Figur 3. eingesehen werden, nämlich:

a -l- 2 y -I- (180° — 2/9) = 180°

Y + 90° + y 90° — ß = 180°.

Ist nun b die Länge des Basislineals, r die Länge des Alhidadenarms, n — i die vom Indexfehler befreite Alhidadenablesung und E die zu bestimmende Entfernung, so hat man :

und

also :

(4)

2 (n — i)

Damit ist das Prinzip mechanisch und mathematisch genügend dargelegt. Einige Versuche über Genauigkeit haben wir in der „Zeitschr. für Venn. 1887“, S. 225 und S. 561 mitgeteilt, vgl. „Zeitschr. für Instrumentenkunde 1888“, S. 143.

IV. Okular-Auszug des Fernrohrs.

Es ist schon mehrfach der Versuch gemacht worden, die Okular-Verschiebung eines Fernrohrs zum Distanzmessen zu verwenden. Es ist anzuführen :

Distanzmesser von Emsmann. Foggendorffs „Annalen“ 124. Band (1865), S. 337—343

und Carls „Bepertorium der physikalischen Technik“ I. Band, S. 242—247.

Distanzmesser von Merz. Carls „Bepertorium“ I. Band (1865), S. 248—251.

Veranlasst durch Begutachtung eines hierauf bezüglichen Patentgesuches, und um zugleich den Einfluss der Okulareinstellung auf die Faden-Distanzmessung zu untersuchen, haben wir den am Schluss von § 161. S. 585 erwähnten Versuch gemacht, aus welchem sich ergab, dass die mittlere Unsicherheit einer Okular-Einstellung = + 0,8““ war.

Wenn man die Grösse d des Okular - Auszuges zur Messung einer Ziel weite D benützen will, so hat man hiezu die Gleichung:

¹ 1 _ _1

D ⁺ ~d 7

Wenn man nach D und nach d differentiiert und die Änderungen mit + b D und Hh 8 d bezeichnet, so bekommt man :

bD bd

Man kann wohl genähert d — f setzen, also ist :

bl) = +

Z>2

— d'2

b d.

bD

L>2

(5)

Der mittlere Fehler bd wurde oben = + 0,8”™ gefunden, bei Zielpunkten von verschiedener Beleuchtung wird man aber wohl eine noch grössere Unsicherheit der Einstellung bekommen, wir nehmen deswegen in runder Zahl bd = + l"¹"¹ — 0,001“. Nimmt man hiezu ein möglichst langes Fernrohr, d. h. f — 1“, so wird:

D \2

AD = 0,001 I) 2 = 10

100

(6)

womit berechnet wird: Gemessene Entfernung Mittlerer Fehler

50“    100“    200“    300“    400“

AD = 0,025“ 0,1“ 0,25“    10“    40“    90“    160“

D = 5™

10“

Um das Prinzip der Okularverschiebung für Distanzmessung brauchbar zu machen, müsste man ein Fernrohr mit sehr grosser Brennweite (10ra—50,il) konstruieren, wobei die Brennweitenlänge durch zahlreiche Reflexionen in kleinem Raum untergebracht werden könnten.

V. Distanzmesser in weiterem Sinne.

Man hat häufig für militärische und andere Zwecke kleine Grundlinien von etwa 50— 100”‘ mit Bändern u. dergl. gemessen und darauf eine Art von Triangulierung gegründet.

welcher etwas kleiner als 90° ist. (Das Prisma

Von Mess-Einrichtungen dieser Art erwähnen wir hier das Bauernfeind sehe Distanzmessungs-Prisma, welches in Bauernfeinds „Elemente der Vermessungskunde“

6. Aufl. 1. Band S. 192 und S. 395 beschrieben ist. Dieses Prisma ist nahezu rechtwinklig gleichschenklig, hat aber nicht einen Winkel von 90° zwischen den gleichen Schenkeln, sondern einen Winkel hat also nahezu die Form unserer Fig. 2. S. 11.) Die Anwendung dieses Prismas zur Distanzmessung besteht darin, dass ein langgestrecktes gleichschenkliges Dreieck gebildet wird, dessen Basis unmittelbar gemessen oder abgeschritten wird, und dessen beide Basiswinkel gleich dem genannten Winkel sind. Zwischen der Basis und den Langseiten des Dreiecks besteht ein konstantes Verhältnis (etwa 1:100), folglich bekommt man die Langseiten sofort als das entsprechende Vielfache der Basis. Übrigens kann man solche mittelbare Distanz-Bestimmungen viel freier mit gewöhnlichen Winkel-Messinstrumenten, z. B. mit Spiegelsextanten machen, indem man rasch eine Art von Triangulations-Messung ausführt und für die Berechnung eine Tabelle anlegt. Ein passend zugerichteter Rechenschieber dürfte sich noch mehr als eine Tabelle empfehlen.

Kapitel XIY.

Tachymetrie.

§ 163. Tachymeter-Theodolite.

Unter Tachymeter versteht man einen Theodolit, welcher ausser der Einrichtung zum Messen von Lagewinkeln und Höhenwinkeln noch mit einem Distanzmesser und mit einem Kompass versehen ist. Da es bei einem „Tachymeter“ weniger auf grosse Genauigkeit, als auf „schnelle Messung“ ankommt, so sollen die einzelnen Teile eines Tachymeters weniger fein, als vielmehr kräftig und handlich gearbeitet sein. Z. B. genügt es häufig, wenn die Kreisteilungen und die Libellen einzelne Minuten noch angeben. Manche Tachymeter-Theodolite leisten in Bezug auf Winkelmessnng so viel als ein gewöhnlicher guter Theodolit, und machen dann die Anschaffung eines solchen neben dem Tachymeter überflüssig; ob dieses nützlich ist, kommt auf die Umstände an.

Da wTir die Theodolitmessungen im allgemeinen bereits früher in Kapitel VI. S. 134—186 beschrieben haben, haben wir jetzt unter Vorführung verschiedener Tachymeter auf S. 591—594 nur noch das zu behandeln, was diese Instrumente von gewöhnlichen Theodoliten unterscheidet, oder sonst besonders ausgeprägt ist.

Fig. l.

Einfacher Tachymeter mit Höhen-Sektor und Büchsen-Kompass. (Massstab 1:5, Fernrohrlänge =50«».)

.

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1-53

S-..'

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isi

(Karlsruher Sammlung.)

Dieses Instrument wurde mit Benützung der Bestandteile einer Reichenbach-schen Kippregel für unsere Karlsruher Sammlung konstruiert. Das Untergestell U hat die gewöhnliche Theodolit-Anordnung mit doppeltem Vertikal-Axensystem. Das 50™* lange Fernrohr hat 48c™ Objektiv-Brennweite, 39"'™ Öffnung, Huyghemsches Okular mit 30facher Vergrösserung. Die Fäden sind fest. Die Distanzmesser-Konstante ist = 71,29. Das Fernrohr F kann wegen seiner Länge nicht unmittelbar durchgeschlagen werden; es wird aber mit Ausheben aus den Lagern ausnahmsweise durchgeschlagen. Der Höhenkreisbogen HH ist mit dem Fernrohr fest verbunden, geht mit ihm auf und nieder, ein Nonius unten an dem Bogen giebt Ablesung von Zenit-Distanzen auf etwa 1' genau, ohne Lupe. Die Alhidaden-Längs-Libelle L muss bei jeder Höhenwinkel-Messung einspielen. Zum allgemeinen Einstellen ist eine Dosenlibelle in der Mitte angebracht. Der Indexfehler des Höhen-Ne/ctors kann durch Durchschlagen nicht eliminiert oder bestimmt werden, sondern verlangt besondere Behandlung nach Fig. 5., Fig. 5 a oder Fig. 6. (S. 595—596).

B ist ein oben aufgesetzter Büchsen-Kompass, etwas hochbeinig gestellt, wegen der Erhebung des Fernrohrs F.

Fig. 2.

Tachymeter mit Höhenkreis und Büchsen-Kompass. (Fernrohrlänge =38«», Durchmesser des Horizontalkreises =18«»).

TI

mm

ul

■ J lg

Fo

Bi

PI

iE

V⁵

L“

(Hannov. Sammlung; Mechaniker Randhägen.)

Das ganze Untergestell dieses Instrumentes ist dasselbe,. wie hei dem gewöhnlichen Theodolit Fig. 1. S. 141. Das Axen-System ist doppelt, mit Hemmung und Mikrometer sowohl bei F als bei E. Der Höhenkreis ist mit dem Fernrohr fest verbunden, und hat eine besondere Libelle L mit Hebel V und Einstellschraube M, wie schon beim Höhenwinkelmessen S. 414—415 angegeben wurde. Zum allgemeinen Horizontalstellen ist in der Mitte eine Dosen-Libelle angebracht. Das Fernrohr ist ziemlich lang, um gute Distanzmessung zu erhalten; Brennweite = 38<m.

Das Huyghem sehe Okular F₀ mit 20facher Vergrösserung hat die Einrichtung zum Stimmen der Konstanten k, welche schon in § 159. Fig. 2. S. 571 beschrieben wurde. Oben ist ein Büchsen-Kompass aufgesetzt wie bei Fig. 1. S. 591.

Der Höhenkreis giebt an zwei Nonien mit Lupen 30" abzulesen, der Horizontalkreis 20", so dass man auch kleine Triangulierungen mit dem Instrumente machen kann.

Fig. 3.

Tachymeter Cleps nach Porro. (Fernrohrlänge = 35™).

( ii

BSSfe.

fl

ILi

ftMO

ÆÊ

OS

E>

I*

II

(Hannov. Sammlung.)

Dieses italienische Instrument hat die Eigentümlichkeit, dass der Horizontalkreis und der Höhenkreis beide sehr klein sind; sie haben nur Durchmesser von 5™* und sind in den viereckigen Kasten eingeschlossen, welcher bei <1> und 0 Okular-Öffnungen für die etwa 25fach vergrössernde Mikroskope hat, mit denen jene zwei Kreischen abgelesen werden. Das Mikroskop <I> wirkt hiebei auf den Horizontalkreis durch Prismen-Reflexion. Die Kreise sind unmittelbar in Zehntel-Centesimalgrade geteilt, und werden mit einem Faden nach Zehnteln hievon, also 0,01° (=0,54'), schätzungsweise abgelesen (vgl. die früheren Bemerkungen S. 132 und S. 152 unten). Diese kleinen Kreise gehen so eine gute Genauigkeit, aber nur bei guter Beleuchtung. Das Fernrohr hat «lie Porro sehe Konstruktion und ist in Bezug auf die Instrumentenmitte anallatisch.

Fig. 3 a.

Das Gesichtsfeld hat fünf Fäden, wie nebenstehende Fig. 3 a. zeigt. Bei 100™ Zielweite sieht man ab = aj = 100e™, aax = bbx = 60em , aj = 40em, es ist also k — 100 für ab und für «j bx, und k = 250 für b.

Ui

In dem unteren cylindrischen Teile des Instrumentes befindet sich eine durchgehende cylindrische Röhre, welche einen Röhren-Kompass enthält. (Einiges Weitere hierüber s. „Zeitschr. f. Yerm.

1888“, S. 152—155).

38

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

li'

co

Fig. 4.

Schiebe-Tachymeter nach Kreuter, bzw. Wagner.

jäj

ifa'

‘jhm

f. i

sH

(Hannov. Sammlung; Mechaniker Ertel & Sohn, bzw. Meyerstein.)

Fig. 4 a.

:A

B'

Dieses Instrument wirkt zunächst als Theodolit mit gewöhnlichem Horizontalkreis. Das Fernrohr ist mit Distanzfäden versehen, und wird mit einer Latte EL gebraucht, welche nach Fig. 4a. jeweils rechtwinklig zur Ziellinie JA' gestellt wird.

Die Neigungen der Ziellinie werden nicht an einem Höhenkreis, sondern an der lotrechten Teilung C des Tachymeters gemessen ; und ausserdem sind an dem Tachymeter noch zwei Distanz-Teilungen, eine

schiefe Teilung A und eine wagrechte Teilung B vorhanden, und man kann mit den drei Teilungen A , B und C, welche den Geraden JA' , JB' und B'A' von Fig. 4 a. S. 594 entsprechen, unmittelbar am Tachymeter die Entfernungen und Höhen einstellen, bzw. ablesen, in folgender Weise:

Man habe mit dem Distanzmesser an der Distanzlatte A! L die schiefe Entfernung a abgelesen, dann stellt man diese auf der schiefen Tachymeter-Fernrohr-Teilung A ein, indem man die lotrechte Teilung G mit ihrer Kante bis zu dem Striche a heranschiebt. Dann kann man an den Teilungen B und G (Fig. 4. S. 594) zwei Masse JB und BA (Fig. 4 a. S. 594) ablesen, welche den Naturmassen JB' und B'A' proportional sind, also verjüngt gemessene Horizontal-Entfernung und Höhe sind.

Höhen-Sektor.

Wenn man ment einen ganzen Höhenkreis, sondern wie bei dem Tachymeter (Fig. 1. S. 591) nur einen Höhenio</m hat, so kann man den Indexfehler nicht durch Durchschlagen bestimmen oder eliminieren.

Man kann dann etwa wie beim Nivellier - Instrument S. 349 und S. 350 verfahren, indem man dabei den Nonius des Höhenbogens auf 90° stellt.

Fig. 5.

Messung von A nach B.

Oder kann man gegenseitige Höhenwinkel messen, wie in Fig. 5. und Fig. 5 a. angedeutet ist.

Man wählt hiezu zwei Festpunkte A und B aus (etwa 100“ von einander entfernt). Man stellt das Instrument über A auf, misst die Instrumentenhöhe ab, und überträgt diese Höhe ^ auf einem Stab in der Höhe ki = i\ nach B. Dieses wird mit Vertauschung von ...

A und B wiederholt, wobei wieder k₂ = i₂ sein muss. Hat man nun Kz im ersten Falle die Zenit-Distanz

~w/

W0⁰⁰'

i000//l

mm

k,

Fig. 5 a.

Messung von B naeh A.

z₁ nach der Marke kj gemessen, und im zweiten Falle die Zenit-Distanz z₂ nach der Marke k₂, so muss sein :

Z} -t- z₂ — 180°

und der hier etwa sich zeigende Widerspruch ist der doppelte Indexfehler. Wenn

s₂ = 91° 2'

man z. B. findet:

= 88° 46'

gj + ^₂ = 179° 48' = 180° — 12' oder es ist die Summe zx -4- z₂ um 12' zu klein, und jede einzelne Zenit-Distanz ist um 6' zu klein, also die Index-Korrektion = + 6', weshalb nun so zu rechnen ist:

von A nach B

so ist:

Gemessene Zenit-Distanzen :    = 88° 46'

Verbesserung :

Verbesserte Zenit-Distanzen: Höhenwinkel:

+ 6'

88° 52' 4- 1° 8'

von B nach A z₂ = 91° 2'

6'

91° 8'

1° 8'

Zu noch weiterer Verdeutlichung ist Fig. 6. gezeichnet, wobei die Höhen i\ , /t-'i , *2 > &2 von Fig. 5. und Fig. 5 a. sämtlich als gleich angenommen sind.

Fig. 6.

Gegenseitige Zenit-Distanzmessung.

y-;

0/mw

W'

Will man den Indexfehler nicht in Rechnung bringen, sondern wegschaffen , so rechnet man die vom Indexfehler befreite Zenit-Distanz aus, und stellt dann den Nonius so, dass er, während das Fadenkreuz den betreffenden Zielpunkt deckt, und die Libelle einspielt, jene verbesserte Zenit - Distanz zeigt. Im Falle des vorstehenden Beispiels hat man, während das Instrument in B steht, den Nonius so zu stellen bzw. zu verschieben, dass er die berechnete wahre Zenit-Distanz 91° 8' zeigt.

Obgleich man sich in dieser oder auch noch in manch anderer Weise wohl helfen kann, wenn man nicht einen Vollkreis, sondern nur einen Sektor für die Höhenwinkel hat, so ist doch der Sektor mit der Unmöglichkeit, den Indexfehler jederzeit zu bestimmen , eine dauernde Quelle von Widerwärtigkeiten, weshalb ein Vollkreis wie in Fig. 2. S. 592 jedenfalls zu empfehlen ist.

Distanz - Latten.

Im Anschluss an die Tachymeter-Theodolite beschreiben wir sogleich auch die zugehörigen Distanz-Latten, welche auf Seite 597 in Fig. 7., 8. und 9. abgebildet sind.

Zunächst kann jede Nivellierlatte Fig. 7. S. 597 (vgl. die frühere Fig. 3. S. 376) geradezu als Distanzlatte verwendet werden. Wenn die Distanzmesser-Konstante k = 100 ist, so zählt 1 Centimeter der Latte = 1 Meter Entfernung u. s. w. Da jedoch die NivellierlsAtm gewöhnlich nur bis 50™ Entfernung, höchstens bis 100™ Entfernung gebraucht werden, die Distanzlatten dagegen bis 200—300"“, und in der Topographie sogar bis 600™, so ist die Felder-Einteilung oder Bezifferung doch bei Distanzlatten häufig anders zu wählen als bei Nivellierlatten. Den entschiedensten Gegensatz zur Nivellierlatte zeigt die Distanzlatte Fig. 8. S. 597, welche hei der topographischen Abteilung der Landes-Aufnahme im Gebrauche ist; dieselbe hat keine Bezifferung, sondern nur Felder - Einteilung nebst zwei roten Querstäben R und R', welche das Hauptmass 100™ angeben. Die Gesamtlänge dieser Latte ist 3”', sie wirkt also (mit k = 200) bis 600m Entfernung, und die Entfernung zwischen den Fäden wird an den Feldern abgezählt.

Diese Latten werden lotrecht gebraucht. Die Latte Fig. 7. S. 597 hat schon als Nivellierlatte eine hinten anzuschraubende Dosen - Libelle zum Vertikalstellen; bei der Topographie wird die Latte Fig. 8. S. 597 ohne ein solches Hilfsmittel schlechthin von freier Hand lotrecht gestellt.

Endlich zeigt noch Fig. 9. S. 597 die Einrichtung zum Schiefstellen einer Latte nach einer Mitteilung von Helferich in der „Zeitschr. f. Verrn. 1880“, S. 252. Mit Hilfe des Diopters cd zielt der Latten träger nach dem Instrument, und stellt mit der Strebe a h die Latte so schief fest, dass die Ziellinie c d des Diopters das Tachymeter-Instrument treffend erhält.

Fig. 1.

Nivellierlatte als Distanzlatte für k = 100.

Fig. 8. Distanzlatte mit Felder-Teilung ohne Bezifferung k = 200.

Massstab

1 :5 der natürl. Grösse.

Fig. 9.

Distanzlatte für die Stellung rechtwinklig zur Ziellinie.

cd Diopter, rechtwinklig zur Latte, ab Strebe zum Feststellen. Massstab etwa 1:10 der natürl. Grösse.

ift

ft

ft

cz

50cm = 100m Entfernung

Ci

a.

<-5cm

icm

Topogr. Abteilung der Landes-Aufnahme.

fHannov. Sammlung.)

10-20

Zielscheibe. Zur Ausrüstung der Latte gehört noch eine Zielscheibe von etwa cm Durchmesser, welche jeweils in der Instrumentenhöhe i an der Latte ange-

schraubt wird, wie in Fig. 10. mit z = i angedeutet ist. Auf diese Scheibe wird jedesmal der Mittelfaden des Fernrohrs eingestellt, ehe der Höhenwinkel a abgelesen wird, welchen man zur Höhenberechnung braucht.

Fig. 10.

Instrumentenhöhe », Zielscheibe in der Höhe z.

Z=l

im

öc

■-H

Jr

Wenn nun Hx die Höhe des Instrumenten-Fusspunktes ist (etwa Hx über N. N.), und H die Höhe des Latten - Fusspunktes, so hat man nach Andeutung von Fig. 1. zuerst allgemein:

11 — Hl + a tang a -h i — z, wenn aber z = i genommen wird, so ist einfacher:

(1)

(2)

(3)

kommt, kann man immer bei diesen beiden Höhenwinkeln « besonders dafür sorgen, dass sie nahezu gleich werden, oder man kann sie ausnahmsweise getrennt messen.

Wenn man hier einführt, dass die horizontale Entfernung a selbst nicht unmittelbar, sondern durch den Faden-Distanzmesser bestimmt wird, so hat man nach (5) § 160. S. 574:

a — kl cos² a

also:

a tang a = kl cos a sin a = Damit wird die vorhergehende Gleichung (2):

H= Hi~\- }^kl sin 2 a

k l sin 2 «

(4)

Vergleichungen verschiedener Tachymeter.

Die verschiedenen Vorzüge und Nachteile der auf Seite 591, 592, 593 und 594 dargestellten vier Tachymeter-Instrumente werden sich nur im Zusammenhang mit den im nächsten § 164. zu beschreibenden Hilfsmitteln für Distanz-Reduktion und Höhenbestimmung endgültig vergleichen lassen; indessen einige Gesichtspunkte zu solcher Vergleichung werden sich auch jetzt schon gewinnen lassen.

Da die Frage des Höhen -Sektors oder Höhen - Vollkreises bereits oben S. 595 erörtert ist, ist zwischen unseren zwei Instrumenten Fig. 1. S. 591 und Fig. 2. S. 592 kein wesentlicher Unterschied mehr; nur etwa die besondere Libelle L für den Höhenkreis ist bei Fig. 2. S. 592 als günstig hervorzuheben, und zugleich bei Fig. 3. S. 593 und Fig. 4. S. 594 als fehlend zu erwähnen, denn die bei diesen zwei letzteren Instrumenten auf dem Fernrohr selbst fest angebrachte Libelle ist für Höhenwinkel nicht ebenso gut wie die unten feste, bzw. mit besonderer Einstellschraube versehene Libelle.

Der Kompass ist in Fig. 1. S. 591 und Fig. 2. S. 592 als aufgesetzter Büchsen-Kompass angeordnet; bei Fig. 3. S. 593 ist ein Röhren-Kompass beigegeben, und bei Fig. 4. S. 594 fehlt der Kompass. Einen Kompass halten wir bei allen „ Tachymeter “-Instrumenten für nötig. Der Röhren-Kompass von Fig. 3. S. 593 giebt zwar die einzelne Ablesung schärfer als der Büchsen-Kompass; im ganzen kommt man aber über eine Genauigkeit von etwa 0,1° bei solchen Instrumenten doch nicht hinaus; weshalb uns der gewöhnliche Büchsen-Kompass, wobei alles offen liegt, lieber ist als der mehr komplizierte Röhren-Kompass. Das hängt noch damit zusammen, dass der Röhren-Kompass nur mittelbar, zum Orientieren des Horizontalkreises gebraucht werden kann, was immer einige Zeit in Anspruch nimmt, und nur bei sehr vielen darauffolgenden Zielungen sich lohnt; dagegen bei wenigen Zielungen, etwa bei nur je zwei in einem Zuge, liest man viel besser geradezu an der Nadel selbst ab, was man braucht, statt vorher den Kreis zu orientieren und dann am Kreise abzulesen. Auch für die Prüfung der Magnetnadel ist die volle Büchsen-Teilung von 0°—360° günstiger als die nur wenige Grade umfassende Teilung eines beigegebenen Röhren-Kompasses.

Die Kreis-Ablesungen sollen bequem auf einen Blick geschehen. Wir haben daher bei Fig. 1. S. 591 grobe Teilungen, ohne Lupe, auf etwa 1' genau; bei Fig. 2. S. 592 sind wir zur Lupe zurückgekehrt. Die Teilungen sind aber doch so kräftig, und die Lupen mit so grossem Gesichtsfeld, dass die Ablesungen, auch im Dunkel des Waldes u. s. w., rasch und bequem gehen.

Die feinen Kreischen des italienischen „Cleps“-Instrumentes Fig. 3. S. 593 können nach unserer Ansicht keine Vorteile bieten; zudem werden sie hei schwacher Beleuchtung, im Walde u. s. w., kaum ahzulesen sein.

Der Schiebe-Tachymeter Fig. 4. S. 594 unterscheidet sich wesentlich von den drei vorhergehenden. Der Gedanke, die Entfernung und dip Höhe an zwei Massstäben geradezu zum Ausdruck zu bringen, ist von zwei Seiten nahezu gleichzeitig verwirklicht worden, wie aus zwei Schriften zu ersehen ist:

1)    Patentiertes Quotier- Instrument für generelle Aufnahmen, in koupiertem Terrain, von Franz Kreuter, Ingenieur, Wien 1874,

2)    C. Wagners Tachygraphometer, beschrieben von Tinter in der „Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1876“, Heft V—VIII; desgleichen mitgeteilt von 0. Fennel in der „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 57—77.

In folgender Fig. 11. haben wir den Oberteil des Fennel-Wagner sehen Tachymeters bzw. Tachygraphometers, nach der Mitteilung in der „Zeitsehr. f. Verm. 1878“, S. 59 dargestellt. Dieser Oberteil kann entweder auf ein theodolitartiges Untergestell gesetzt werden und giebt dann eine Einrichtung ähnlich wie Fig. 4. S. 594 oder, er kann auf dem Messtisch gebraucht werden.

Obgleich die Einrichtung im ganzen schon bei Fig. 4. S. 594 beschrieben wurde, geben wir zur Übersicht hier zu Fig. 11. nochmals die theoretische Fig. 12.

Fig. ll.

Wagner-Fennel s Tachygraphometer.

jjh

U'<|]

Mi

gMIS

i ™ Fig. i2.

Fig. 12.

entspricht der    Ziellinie JA'A

„    der    Horizontalen J B' B

„    der    Vertikalen B'A'

„    der    Ablesung l oder JA = kl.

Fig. 11.

i Lineal A A'

Lineal B B'

\ Massstab T>F Entfernung A b

Als Instrumenten - Erklärung ist zu Fig. 11. noch zu bemerken)

b ein Nonius zum Einstellen der Distanz-Teilung auf AA.

a ein mit b beweglicher, zugleich drehbarer, Nonius zum Anschlägen an den Höhenmassstab D E.

CD E Projektionswinkel, mit Höhen-Massstab DE, welcher der Höhe nach verschiebbar ist und bei d auf bestimmte Höhe gestellt werden kann. Wenn A A parallel BB ist, so zeigen die Nonien a und d gleich.

c Nonius zum Ablesen der horizontalen Entfernung an dem Lineal BB. f Verbindungsstück zwischen dem Projektionswinkel G DE und dem Lineal BB.

g eine Hülse mit Spiralfeder -Spannung zum Niederdrücken einer Nadel und Einstechen der Entfernung auf den Messtisch.

Die Vergleichung der Schiebe - Tachymeter mit den Kreis-Tachymetern scheint sich so zu stellen:

Der Schiebe - Tachymeter, welcher geradezu die Horizontalentfernung und die Höhe an einer horizontalen und an einer vertikalen Teilung abzulesen gestattet, hat den Vorzug der Unmittelbarkeit und Anschaulichkeit und des Wegfalls von Berechnungen.

Andererseits ist es ein Übelstand, dass man dabei die Latte unbedingt schief, rechtwinklig zur Ziellinie stellen muss. Mag man unter Umständen diese Stellung ihrer selbst willen wählen, so ist doch gegenüber den Kreis-Tachymetern, bei welchen man in der Latten-Stellung freie Hand hat, der Zwang schiefer Stellung misslich (vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 76).

Wenn auch für die Einzellattenpunkte die Höhenskale ausreichend ist, so wird man mit einem solchen Instrument doch oft in Verlegenheit kommen, wenn man zu Anschlüssen, auf weitere Entfernungen u. s. w., trigonometrische Höhen messen will; für solche Zwecke müsste das Instrument, um allgemein brauchbar zu sein, einen Höhenkreis neben den Schiebeskalen doch haben.

Die Feld - Arbeitszeit wird durch die Schiebeskalen zu sehr in Anspruch genommen, denn es geht im Felde rascher und bequemer, einen Höhenwinkel an einem kräftig geteilten Kreise auf P abzulesen, als eine Entfernung einzustellen und dann noch zwei Skalen abzulesen.

§ 164. Verschiedene Hilfsmittel für cos²« und */₂ sin2«.

Für lotrechte Lattenstellung hat man nach (5) § 160. S. 574 die Gleichung:

(1)

a — kl cos² a

wo a die horizontale Entfernung, « der Neigungswinkel, l das an der lotrechten Latte abgelesene Stück und k die Distanzmesser-Konstante ist. Nennt man den Höhenunterschied h, zwischen der Fernrohrmitte und dem Zielpunkte des Mittelfadens an der Latte, so ist:

h =. a tang a = kl cos a sin a

h — kl sin 2 a

Die zwei Funktionen cos² a und

sin 2 « sind es nun, welche uns zu beschäf-

tigen haben, und wir haben die verschiedenen Hilfsmittel kennen zu lernen, welche man zum raschen Ausrechnen der Formeln (1) und (2) hat.

Graphische Hilfsmittel.

Zur Bestimmung von l cos² a haben wir in Fig. 1. ein von uns konstruiertes Strahlen-Diagramm.

Fig. 1.

Strahlen-Diagramm für l cos² a (alte Teilung).

is°

10°

Atli cos¹7Z°

15°

Von einem Punkte A aus sind verschiedene Strahlen A — 0° , A — 5° , A —10° u. s. w. gezogen, jedoch nicht unter den Winkeln 5° , 10° u. s. w., welche den Strahlen beigeschrieben sind, sondern unter gewissen anderen Winkeln, welche so bestimmt werden: Wenn an einem Strahle AB ein Winkel « beigeschrieben ist, so sei der wirkliche Winkel BAX = x bestimmt durch die Gleichung:

(4)

cos x — cos² a

dann ist BG — AB cos x = AB cos² a. Dieses giebt folgende Anwendung: Man nimmt A B = l in den Zirkel, sticht B auf dem Strahle mit der Bezifferung a fest, dann beschreibt man mit dem linken Zirkelfuss einen flachen Bogen, welcher bei C berührend an A Y anliegt. Damit kann man BG abnehmen, ohne den eigentlichen Berührungspunkt G zu kennen, und damit hat man das gesuchte BG = l cos² a.

Die Beziehung zwischen a; und a ist durch die Gleichung (4) grundsätzlich bestimmt; da jedoch a und x kleine Winkel sind, ist die Gleichung (4) zur Ausrechnung nicht geeignet; eine schärfere Rechnung bekommt man, indem man setzt:

(5)

dann ist

1 — cos x — 1 — cos² a 2 sin² —- = sin² a, also : sin ~ — S^n a

² y 2

Zum scharfen Aufträgen der Strahlen rechnet man wohl besser noch tangx aus, wie folgende zwei Täfelchen zeigen :

cos x = cos² a für alte Teilung :

tang x

tang x

tang x

O o OC *3 a Ol 4* 03 DO H■ ©

Ol ff*. CO t—‘ o Ol CO

^- © oi o

Ol

so

7° 4'

8    29

9    53 11 18

I—* I—‘

ff*. CO

42

0,0000

0,0247

0,0494

0,0742

0,0990

0,1240

0,1491

0,1743

0,1997

0,2254

0,2513

10°

11

12

13

14

15°

16

17

18

19

20

14° 6'

15    30

16    55 18 18 19 42

21° 5'

0,2513

0,2775

0,3040

0,3308

0,3581

0,3857

0,4138

0,4424

0,4715

0,5012

0,5315

20°

21

22

23

24

25°

26

27

28

29

30

27° 59'

34° 47'

0,5315

0,5625

0,5942

0,6267

0,6601

0,6944

0,7296

0,7659

0,8033

0,8420

0,8819

cos x = cos² a für neue Teilung :

tang x

j tang x

tang «

© © oo oi or r^coco

0° 0

7° 07“

8    48

9    89

11 30

CM ^

T—1

71

11

0,0000    10°    14° 11

28°    05”    0,4715

29    42    0,4982

30    80    0,5254

32    16    0,5531

33    53    0,5814

34°    89”    0,6104

36    24    0,6400

37    59    0,6703

38    94    0,7013

40    28    0,7332

41    61    0,7659

Hiernach lässt sich das Strahlen-Diagramm Fig. 1. S. 602 gross und scharf auftragen (bzw. lithographieren), dazu ist auch der nötige Massstab beizugeben.

Auch die Höhen kann man graphisch bestimmen, denn der Gleichung h — ci tang a entspricht einfach ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und h und dem Winkel a. Da jedoch die Höhenwinkel a meist Mein sind, und die Höhen h meist verhältnismässig genauer gewünscht werden als die Entfernungen o, so pflegt man die Zeichnung für h = a tang a mit überhöhten Werten h anzulegen.

So ist die nachfolgende Zeichnung Fig. 2. S. 604 mit lOfacher Überhöhung gemacht.

Wenn hiernach in Fig. 2. S. 604, OA = a eine Horizontal-Entfernung ist, zu welcher ein Höhenwinkel a gehört, so erhält man den Wert 10 O A tanga, wenn man in der Ordinate von A hinauf geht bis zu dem Strahl, welcher die Bezifferung a trägt, d. h. von A nach B, und damit ist:

AB = 10 O A tang 4° 55'.

Diesen Längenwert kann man auf der linkseitigen Teilung von Pig. 2. in einen Zahlenwert Umsetzern

Fig. 2.

Strahlendiagramm für h = a tang a.

Wagrechter Massstab 1:2500, Höhenmassstab 1:250. Überhöhung 10 fach.

5204-

510 -

///

//

pö

500

20°    15°

71

10°    9°    8° _7°

WM/mŁ

77//.

r7/

1/

6°

y;

5°

////I

4°

• 3°

2°

1°

0°

Man kann hiebei auch die Instrumentenhöhe i und die Zielhöhe z berücksichtigen und zugleich die Höhen über N. N. bestimmen.

Man hat hiezu nach Fig. 10. und Gleichung (3) § 163. S. 598:

H — (Hi -\- i — z)-\- a tang a Man rechnet zuerst Hi -f- i — z aus und trägt es im Punkte P Fig. 2 auf, und wenn dann noch PQ = a tang a (bezw. = 10 a tang a) gemacht wird, so giebt Q in Fdg. 2. offenbar geradezu die nach (6) zu bestimmende Höhe H über N. N. entsprechend der Angabe H\ über N. N. Dass man hiebei z konstant haben kann, haben wir schon bei (1) und (3) § 163. S. 598 erwähnt.

Bei dem soeben beschriebenen Verfahren mit Fig. 2. ist vorausgesetzt, dass man die imgerechten Entfernungen a zur Verfügung habe. Wenn dieses nicht der Fall ist,

(6)

sondern die Lattenahlesungen l selbst benützt werden sollen, so kann die nächste Zeichnung Fig. 3. benützt werden.

Fig. 3.

Strahlendiagramm für h — ,/₂ kl sin 2 «.

Wagrechter Massstab = 1 : 100, Höhenmassstab = 1 : 20, Überhöhung — 5 fach

Dt

10°

(f°

15--

A>°

70

10-—

6°

5°

A°

5--

[3°

,2°

1°

50

100

Das Diagramm Fig. 3. giebt die Funktion i/₂ «« 2 a in der Weise, dass z. B. wird:

A B = 1/2 O A sin 2x6° 30'

jedoch mit 5 fâcher Überhöhung. Man nimmt also die unmittelbar abgelesene Distanz OA in den Zirkel, sticht dieselbe auf dem Strahl 6° 30' ab, entnimmt dann, ebenfalls mit «lern Zirkel, unter Befahren eines kurzen Bogens, die Höhe AB, welche man auf dem seitlich angebrachten Höhenmassstab entweder geradezu abmessen, oder wie in Fig. 2. sofort zu der Standpunkts-Konstanten if, + i — z graphisch addieren kann.

Wenn die Multiplikations-Konstante k des Distanzmessers nicht = 100, sondern irgend eine nicht runde Zahl ist, so nimmt man OA von einem entsprechend abgeänderten Massstab ab, oder man kann auch k in den Höhenmassstab verlegen.

Wenn man das Diagramm Fig. 3. auf stärkere Neigungen, bis zu 20°, an wenden Avili, so muss man auf starke Überhöhung des Ordinatenmassstabes verzichten, während das erste Diagramm Fig. 2. S. 604 jede beliebige Überhöhung haben kann.

Ein graphisches Hilfsmittel von allgemeiner Bedeutung, welches sich auch auf den vorliegenden Fall anwenden lässt, sind Schichtentafeln.

l sin 2 a giebt

Eine Anwendung hievon auf die Funktionen l cos² a und

Vogler „Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln, Berlin 1877“ S. 156 und S. 158 mit Tafel V. und Tafel VI.

Wir haben Voglers zweite Schichtentafel in nachfolgender Fig. 4. verkleinert dargestellt. Um z. B. ^

l sin 2 « für l = 200m und « = 15° zu bestimmen, sucht

Fig. 4.

Voglers Schichtentafel für — «/ = 1 , x — a.--- ar

7 si« 2 et

a.=0

5°    10° 15° 20° 25° 30°

₀m

10

7/7

50

in

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WO

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15 Om

i.

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1.

ionm

250

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iw

300

77!

;//r

C5

lOO¹

man links y = l = 200“ und oben x = a = 15°; von den so erhaltenen zwei Punkten fährt man parallel x und y zusammen, auf den Punkt P. Dieser Punkt P liegt auf

• der Schichtenlinie h = 50m, folglich ist

l sin 2 a =

200 sin 30° =;50,0m.

In dieselbe Klasse von Vorrichtungen wie die Diagramme gehört auch das in Fig. 5. S. 607 verkleinert dargestellte Schiehehrett von Ingenieur Teischinger („Zeitschr. des österr. Ing.- und Arch.-Vereins 1883“, Heft 4, „Zeitschr. für Instrumentenkunde 1884,“ S. 92 — 95 und „Zeitschr. des Hannov. Ing.- und Arch.-Vereins 1884“, S. 462, und 1885, S. 215.)

Für irgend einen Punkt B ist:

x = B C = l cos² a , B D — y = v h =

CO

l sin 2 a.

Dabei ist v ein willkürlich angenommenes Überhöhungsverhältnis für y (in Fig. 5. ist v = 4)

AB — ]/x² y² — l cos² a "|/l v² tang² a tang X A B = ^ = v tang a.

Fig. 5.

Teischingers Schiebebrett.

a =0° 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9°

=33

250m

10°

200m

........15Q™

145.5 D

WÏWmW7\

15°

100m

20°

(J

50m

Höhen Ç

10m

20m i 3üm 40m

26,5

(Hannov. Sammlung.)

Um z. B. für « = 10° und l = 150° die Horizontalentfernung x und die Höhe y zu bestimmen, sucht man den Punkt B auf dem Schnitt des Strahles für 10° und der Kurve für 150°, projiziert B parallel x und y (mit einer Reisschiene) und hat damit A I) = x , DB = y.

I. Bo garithmische, Rechenschieber.

Nachdem ivir schon in § 31. S. 92 — 94 den gewöhnlichen Rechenschieber beschrieben haben, mit welchem man Produkte a b, Quotienten a : b und auch Werte ab : c u. s. w. ausrechnen kann, ist es klar, dass man einen solchen Schieber auch für l cos² a , 0,5 l sin 2 « u. s. w. einrichten kann.

Der erste solche Schieber wurde von Prof. Wild in Zürich 1843 konstruiert (Mechaniker Kern in Aarau), 22cm lang. Porro und Moinot, später Werner, machten 50cm lange Schieber, welche auf Metall, Holz und Papier ausgeführt wurden. Nach einem Werner sehen Schieber (von Ostlieimer in Wien, Papier auf Holz) unserer

Ci

1000

■Bfc

-3^

1000

*3

cc =15°

005

CS

o<

OOS

K—

,    sin 2 er, 0    logj-sin2(L,

I<=log[lO(jsin2ą)]

^£a>

'C.

_vq

CS

s—

a*

C5

300    400

150    200

— CS u

h»

-ÏS

-v

Fig. 6.

Tachymetrischer Rechenschieber von Werner. (Der Länge nach auf ein Drittel verkürzt.)

WO

50

Latten-Ablesung

20

15

10

-XN rg_^_

"cA "““S-

vO '^i    ç\»

*0 x

o i' Q--

150    200

«SB

■■'il⁵

ri

(Oft)

cos

g¹

00

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ÏN

30    40

_<a

«3

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~}1

cosza

60 70 80 90

100

Oï

30

20 Horizontal-Enffernung. 50

'M

•S

=o

CS

15

10

Sammlung, haben wir die vorstehende Fig. 6. angefertigt. Dieselbe zeigt die richtige Breite, aber nur ein Drittel der Länge, und die wichtigsten Teilstriche.

Der Hauptkörper (das Lineal) hat zwei übereinstimmende Teilungen A und A', genau ebenso wie der gewöhnliche Schieber (S. 92), d. h. die Teilungen A und A' geben die Logarithmen der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4 . . . oder 10, 20, 30, 40 . . . oder 100, 200, 300, 400 . . . 1000. Zwischen diesen Teilungen A und A' bewegt sich der Schieber, welcher in obenstehender Zeichnung etwas nach links herausgezogen dargestellt ist. Der Schieber hat zwei Teilungen, oben B für i/₂ sin 2 « und unten C für cos² a. Als Nullpunkt und Einstellpunkt der beiden Schieberteilungen gilt der Punkt Z (mit zwei Pfeilen), welcher die cos² «-Teilung bei « = 0°, und die l/₂ sin 2 «-Teilung bei « = 5° 46' trifft. Letzteres hat seinen Grund darin, dass 1/2 sin 2 (5° 46') = 0,1 ist; benützt man also den Zeiger Z

wie wenn er bei 1,0 stünde, so bekommt man stets 10 (i/₂ sin 2 «) statt 1/2 s'n 2 a, was aber insofern gleichgültig ist, als die Stellung des Decimal-Kommas ohnehin besonderer Überlegung überlassen ist. (Ein zweiter Zeiger Z' steht bei 0° 34', weil 1/2 sin 1° 8' = 0,01.)

Beispiel: Man wünscht 150 cos² 15° und i/₂ 150 sin 2 (15°). Man stelle den Strich Z des Schiebers auf 150 des Lineals (oben und unten), dann liest man unten bei 15° ab: 140 und oben bei 15° liest man 375, das man aber in 37,5 verwandelt, d. b. man hat für l = 150 und a = 15° gefunden : l cos² a = 140 und i/₂ l sin 2 a — 37,5.

Wenn man noch eine Multiplikations-Konstante k dabei bat, so dass man ausrechnen soll : k 1 cos² a und i/₂ k l sin 2 a, so bringt man einen besonderen Zeiger Z" an, so dass ZZ" = log 100 — logk, wie in Fig. 6. S. 608 mit k = 75 zu sehen ist. Man benützt dann überall diesen Zeiger Z" wie vorher den Zeiger Z (oder Z').

II. Zahlen-Tafeln.

Es ist schon mehrfach versucht worden, die Funktionen l cos² a und l/₂ Z sin 2 a für verschiedene Werte von Z und von « in Zahlentafeln darzustellen; die meisten Tafeln dieser Art verlangten aber Einschaltung oder Zusammensetzung.

Die ausführlichsten, bis jetzt vorhandenen Tafeln sind die von uns herausgegebenen „Hilfstafeln für Tachyinetrie von Dr. W. Jordan, Stuttgart, J. B. Metzler, 1880“. 243 Seiten für die Entfernungen von 10™ bis 250™ in dreierlei Abstufungen, wie aus den Probeseiten zu ersehen ist, welche wir zur Veranschaulichung des ganzen, auf Seite [40] — [43] des Anhangs abgedruckt haben. Bei kleinen Entfernungen braucht man offenbar die Höhenwinkel weniger genau als bei grossen Entfernungen ; bei kleineren Entfernungen kommen aber viel grössere Höhenwinkel vor als bei grossen Entfernungen. Die Tafeln haben deswegen folgende Einrichtung:

von 100™ bis 175™ von 0° bis 20°

von 10™ bis 100™

Höhenwinkel a Intervall z/ «

von 0° bis 30°

von 175™ bis 250™ von 0° bis 10°

3'

2'

1'

Der Gebrauch der Tafeln ist nun höchst einfach, wenn z. B. Z = 175™ und a = 11° 20' vorliegt, so giebt die Tafel (Probeseite Seite [42] des Anhangs) 175 cos² a = 168,2™ und 175 (i/₂ sin 2 «) = 33,72™.

Es fragt sich nun, welche Genauigkeit die Tafeln geben, wenn ohne Interpolation immer nur nach dem nächstliegeoden l oder a gerechnet wird. Hiezu haben wir die nachstehenden 4 Täfelchen gebildet, welche die Differenzen je zweier aufeinander folgender Tafelwerte a oder h in Hinsicht auf Z und « geben. (Die folgenden 4 Täfelchen geben also gewissermassen die 4 Differentialquotienten von a und h nach Z und a.)

Bestimmung der Genauigkeit der Hilfstafein für Tachymetrie. Änderung des Tafel wertes a = 1 cos² a

für z/Z

für z/ a

50™    100™    150™    200™ I 250™

50™    100™    150™    200™    250™

PPr'.^r

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Mittel di — 0,95™ ,

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CO

Cn

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CG CO LO iO

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CO

o ®~ cT

da

y0,252 + 0,062 = 0,26™.

co

©

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Verschiedene Hilfsmittel für cos² a und i/₂ sin 2 «. Änderung des Tafelwertes h = i/₂ l sin 2 a :

für dl

für d a

50™

100™    150™    200™    250™

50™ ! 100™    150™    200™    250™

in O

© OO C— 03 CO © ©

©©’©©' ©

© OO O CO © © T-^CO ©'©©©©'

ppp o

OOHOO

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OOOP-

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OOO

0°

10

20

30

0,04™

0,04

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0,03

0,02

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0000 00 “00 oiac-j

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⁰ °~CL © ©’ ©

oop

Mittel di = 0,15™ ,

di

Mittel da = 0,06»* y0,042 + 0,0152 = + 0,04™

= 0,04™

da

0,015™

Die Entfernungen l sind hiebei gleichförmig verteilt: 50™, 100™, 150™, 200"', 250™, die Höhenwinkel ungleichförmig : 0°, 5°, 10°, 20°, 30°, weil die starken Neigungen, wenn sie überhaupt Vorkommen, seltener sind, als die Neigungen zwischen —10° und -f- 10°.

Wenn nun in einer Gruppe eine durchschnittliche Differenz zweier aufeinander folgender Tafelwerte = d ist, so kann man den mittleren Fehler für Vernachlässigung

aller Interpolationsrechnung, nahe =

setzen, weil

der grösste hiebei mögliche

Fehler ist. Da ferner die Fehler-Einflüsse für dl und da unbestimmte Vorzeichen haben, so kann der mittlere Gesamtfehler für Eingang nach zwei Argumenten ohne Inter-

polation, — j/^ di j + ^

gesetzt werden, und in diesem Sinne haben wir aus

dem obigen :

Mittlerer Entfernungsfehler = + 0,26™ Mittlerer Höhenfehler

= + 0,04™

Damit ist bewiesen, dass es ein grosses Gebiet von Fällen und Anwendungen giebt, in welchen diese Genauigkeit teils vollauf genügt, teils hinreichend und genügend ist. Namentlich der mittlere Höhenfehler von + 0,04™ ist für Feldpunkte ohne Festlegung immer ganz genügend.

Wenn der mittlere Entfernungsfehler Hh 0,26™ für Pläne in grossem Massstab (1:1000 oder 1:500) zu gross sein sollte, so hat man ein sehr einfaches Mittel, um den Hauptfehlerteil, welcher von l selbst herrührt, fast ganz unschädlich zu machen: man schlägt nämlich den Überschuss von l über die nächste ganze Zahl auch an l cos² « im Kopfe wieder zu, was nicht wohl als Interpolations - Rechnung betrachtet werden kann.

Die bisherige Beschreibung des Gebrauchs der tachymetrischen Tafeln bezieht sich auf den einfachen Fall, dass in der Formel c-tkl die Multiplikations-Konstante k = 100 und die Additions-Konstante c = 0 sei; man kann jedoch, mit einer einfachen Umrechnung der Kopfüberschriften, die Tafeln auch für beliebige andere Werte c und k einrichten; dieses ist in der den Tafeln beigegebenen Erläuterung näher beschrieben, und die Umrechnung ist für die Fälle c = 0 und c = 5, sowie k = 99,0 bis 101,0 in der am Schlüsse der tachymetrischen Tafeln beigegebenen „Korrektionstafel“ mitgeteilt.

Was über die Genauigkeit der tachymetrischen Tafeln früher für k = 100 und c = 0 gesagt worden ist, gilt auch noch nach der Umrechnung für irgend welche andere c oder ]c (k nahezu = 100), sofern man nur immer mit dem nächstliegenden l oder « in der Tafel eingeht.

In Betreff der Genauigkeit im ganzen könnte noch eine Vergleichung mit den übrigen Hilfsmitteln (Diagrammen, Rechenschiebern u. s. w.) angestellt werden. Wir unterlassen das aber hier, weil dabei zu viele Nehenumstände mit in Frage kommen, und weil die Rechenschieber, Diagramme u. s. w. leicht deswegen an Genauigkeit überschätzt werden, weil man deren Fehler nicht so scharf angeben kann, wie die Fehler im Gebrauche gedruckter Tafeln.

Schluss-Vergleichung.

Nachdem über die tachymetrischen Haupt-Instrumente bereits am Schlüsse von § 163. S. 601 Einiges zur Vergleichung gesagt worden ist, können wir jetzt, mit Zuziehung der verschiedenen Hilfsmittel für cos²a und —sin2a, welche mit und neben

den Haupt-Instrumenten gebraucht werden, die Vergleichungen etwas allgemeiner fassen.

Jedoch lassen sich die gegenseitigen Vorzüge und Nachteile der verschiedenen tachymetrischen Verfahren nicht wohl unter einen Gesichtspunkt bringen. Ausser der Genauigkeit und Geschwindigkeit ist der Umstand von Gewicht, oh der Apparat mit dem Theodolit bzw. mit einem Kompass, oder mit dem Messtische in Verbindung gebracht werden soll, und in letzterem Falle, oh die Zeichnung der Horizßntalkurven im Felde oder erst später im Zimmer geschehen soll.

Die Höhen im Felde auszurechnen, auf den Messtisch zu schreiben, und dann nach Massgahe dieser Höhenzahlen und des Anblicks der Natur die Kurven endgültig im Felde zu zeichnen, ist ein Verfahren, welches von Vielen als Ideal gepriesen wird, während nach unseren Erfahrungen der zweckmässigste Vorgang darin besteht, dass man die Punkte im Felde gut auswählt, für unregelmässig wechselnde Bodenformen nach Augenmass Kurven im Handriss zeichnet, die endgültigen Linien aber später zu Hause nach Profilen konstruiert (vgl. den späteren § 170.). Bei dieser Anschauung verlieren nun alle diejenigen Hilfsmittel, welche dazu dienen sollen, die Horizontal-Entfernungen und Höhen im Felde selbst zu gewinnen, an Bedeutung; insbesondere dürfte die Ausrechnung der Höhen über N. N. im Felde selbst, von zweifelhaftem Werte sein. Oft hat man die Höhen über N. N. der Standpunkte im Felde noch nicht, oder doch nur genähert (z. B. vor dem Abschlüsse eines Zuges), und dann unterlässt man das Ausrechnen der Höhen im Felde am besten ganz.

Von den graphischen Hilfsmitteln haben wir das Diagramm für cos² a (Fig. 1. S. 602) lange angewendet, sowie auch das Höhen-Diagramm (Fig. 2. S. 604).

Die logarithmischen Rechenschieber (welche durch Wild und Moinot in die Tachymetrie eingeführt wurden) haben wesentlich zur Verbreitung dieses Messverfahrens selbst beigetragen, und in der That sind diese Schieber in mancher Hinsicht ein gutes Hilfsmittel für den fraglichen Zweck.

Als störenden Umstand haben wir jedoch immer die Ungleichförmigkeit der cos²-Skale empfunden. Zwischen 0° und 5° kann man kaum interpolieren; man hat hier immer das Gefühl, dass die Reduktion zwar kaum von Belang ist, dass man aber auch nicht im stände ist, die kleine Reduktion wenigstens richtig anzubringen.

Unbequem ist auch der Umstand, dass hei Winkeln unter 0°30' die ins Unendliche auslaufende Teilung für die Höhen versagt, weshalb man für diese häufig ge-

brauchte Stelle eine Aushilfe mit sin a    braucht. Auch das Stellen des Decimal-

?

Kommas (z. B. ob eine Ablesung 248 in 24,8™ oder in 2,5™ umzusetzen ist) enthält eine gewisse Unbequemlichkeit und wohl auch eine Fehlerquelle.

Seit Herausgabe der Hilfstafeln für Tachymetrie (vgl. Anhang Seite [40]—[43]) haben wir im allgemeinen die übrigen Hilfsmittel nicht mehr benützt, sondern die Tafeln ausschliesslich angewendet.

Indessen kann es bei solchen Vergleichungen kein objektives Urteil geben, wie z. B. aus einer Controverse hierüber in der „Zeitschr. d. Hannov. Ing.- u. Arch.-Vereins 1885“, S. 215—224 hervorgeht; persönliches Gutdünken wird oft den Ausschlag geben.

Wer sich ein eigenes Urteil bilden will, wird am besten selbst vergleichende Versuche anstellen.

§ 165. Der Kompass.

Der Kompass ist ein Instrument, mit welchem man absolute Richtungen bestimmen kann. Der Hauptbestandteil desselben ist die Magnetnadel, d. h. ein magnetisch gemachter Stahlstab, welcher, in der Mitte frei schwebend aufgehängt, in horizontalem Sinne sich in eine gewisse Richtung stellt.

Wir beschreiben hier verschiedene Formen des Kompasses, welche in der Feld-und Landmessung gebraucht werden.

I. Her Büchsen-Kompass.

In den Tachymeter-Zeichnungen von § 163. Fig. 1. S. 591 und Fig. 2. S. 592 sind oben aufgesetzte Büchsen-Kompasse angedeutet. Das cylindrische Gehäuse eines solchen hat einen Durchmesser von 10cm—15cm und eine Höhe von 1,5™*; in der Mitte befindet sich eine vertikale Spitze, auf welcher die Magnetnadel (aus einem Stahlstab bestehend) mittelst eines Achat-Hütchens schwebend aufgehängt ist. Am Rande des Gehäuses befindet sich eine Teilung in ganze Grade, deren Bezifferung (im Gegensatz zur Bezifferung eines Theodolits) nicht von links nach rechts, sondern von rechts nach links geht; dieses giebt wachsende Ablesungen für die Drehung des Instrumentes von links nach rechts.

Zur Schonung der vertikalen Nadelspitze und des die freie Aufhängung vermittelnden Achat-Hütchens besteht eine Ausrückung der Magnetnadel, wodurch die Berührung des Hütchens mit der Spitze immer aufgehoben werden soll, wenn das Instrument nicht zur Messung gebraucht wird.

Diese Ausrückung kann verschieden angeordnet sein; beispielshalber zeigt Fig. 1. eine zweckmässige Anordnung der Ausrückung, welche Mechaniker Hahn in der „Zeitschr. f. Verm. 1875“, S. 188 mitgeteilt hat. Durch Drehung der Mutter dd wird das Nadelhütchen mittelst des Bügels ee schön senkrecht gehoben.

An einem Kompass-Instrument dürfen keine Eisenteile angebracht werden; die Federn können (statt aus Stahl) aus gehämmertem Messing oder Neusilber bestehen. Auch das Stativ ist in dieser

Fig. 1.

Ausrückung der Magnet-Nadel.

AK

sis il

7e litt

Beziehung besonders zu behandeln, doch braucht man nicht gar zu ängstlich zu sein, z. B. haben eiserne Fussspitzen desselben, da sie etwa 1,5’" unter dem Instrument symmetrisch gegen dessen Mitte sich befinden, wenig Einfluss.

Die Prüfung eines Büchsen-Kompasses bezieht sich zuerst auf die Empfindlichkeit der Nadel; man bringt bei feststehendem Instrument die Nadel durch Annähern von Eisen zum Schwingen, und sieht zu, ob sie immer wieder dieselbe Ruhelage (auf etwa 0,2° genau) einnimmt. Ist dieses nicht der Fall, so kann der Fehler an ungenügender magnetischer Kraft oder an Reibung in der Aufhängung liegen, und kann entsprechend verbessert werden.

Von grosser Bedeutung ist die nach allen Seiten symmetrische Anordnung der Aufhängevorrichtung. Man macht die hierauf bezügliche Untersuchung gemeinsam mit der Prüfung, ob das Instrument genügend eisenfrei ist, und zwar dadurch, dass man mit dem Kompasse die Azimute verschiedener Strahlen peilt, deren gegenseitige Winkel man ausserdem mit einem Theodolite misst, es sollen dann die Azimut-Differenzen mit den Theodolit-Winkeln übereinstimmen. Wenn der Kompass mit einem Theodolit unmittelbar verbunden ist, wie bei unseren Tachymetern (Fig. 1. und Fig. 2. S. 591—592), so gestaltet sich diese Untersuchung sehr einfach, indem man mit Hilfe der Limbus-Teilung des Theodolits den Kompass etwa von 10° zu 10° oder von 20° zu 20° durch den ganzen Kreis dreht, und zusieht, ob die Nadel hiebei immer denselben Winkel durchläuft

Wir geben im Folgenden ein Beispiel einer solchen Untersuchung, wodurch zugleich noch auf einen andern Umstand aufmerksam gemacht wird. Wenn man nämlich bei gut horizontal gestelltem Instrument den Kompass vorsichtig dreht, so bleibt die Nadel fast ganz ruhig, und gestattet sofort Ablesung, sobald die Drehung beendigt ist; die Reibung der Nadel in der Aufhängung hat aber einen konstanten Fehler in der Einstellung der Nadel zur Folge, welchen man alsbald bemerkt, wenn man die Drehung im umgekehrten Sinne vornimmt.

Die Zahlen der folgenden Tabelle wurden dadurch gewonnen, dass die Tlieodolit-Alhidate auf 0° , 20° , 40° . . . der Theodolit-Teilung eingestellt wurde, die entsprechenden Ablesungen an der Nadel sind mit I bezeichnet. Nachher wurde die Aufeinanderfolge umgekehrt, indem der Theodolit auf 360° , 340° , 320° . . . eingestellt wurde, wobei die Nadel-Ablesungen II sich ergaben. Die Nadel-Ablesungen sind an beiden Nadelenden gemacht, es sind jedoch der Übersichtlichkeit wegen sofort die Mittel eingesetzt.

Limbus

Nadel I

Nadel II II—I

Limbus

Nadel I

Nadel II

TI—I

0°

14,3°

20

34,0

40

53,8

60

74,4

80

94,1

100

120

140

160

113,9

133.3 153,6

174.4

H-* h—¹ H-^    H-*

^ 5°    ^    ^    5^

'Li'co + 'boco'éoooo'to II

O !

+++++++++

o^oooooicooo^coco

o'i-Ti-TocTocToo

180°    193.7°

194,1

DO DO DO ^ DO O

260

280

300

320

340

213.8

233.9

253.9 273,8 294,1

CO (M OO

214.2

234.5 254,9

274.5

294.2

314.5 333,7 354,1

+ 0,4° + 0,4 + 0,6 +1,0 + 0,7 + 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,3

Mittel 3,91°

4,45°

+ 0,54°

Die Differenz der Ablesungen bei der Vor- und Rückdrehung beträgt also 0,54°, oder der konstante Trägheitsfehler der Nadel beträgt 0,27°, während der mittlere unregelmässige Ablesungsfehler höchstens +0,1° sein kann.

Man soll daher die Vorsicht anwenden, bei wichtigen Zielungen stets zweifach abzulesen, mit verschieden drehenden Einstellungen.

Beobachtung der Schwingungen mit der Nadel.

Es giebt noch ein Mittel, sich von regelmässigen Trägheitsfehlern der Nadel möglichst unabhängig zu machen, nämlich die Beobachtung der Sa.de\-Schwingmigen. Wenn die Nadel beim Schwingen die aufeinander folgenden äussersten Stellungen zeigt:    , 6j , a₂ , b₂ , a₃ , b₃ . . ., so berechnet man die Ruhestellung x nach

den Formeln :

__+ 2 a₂ + 6₂

T~

oder

_ a\ + 2 bl + «2

“T'    4

d. h. man nimmt das Mittel dreier aufeinander folgender Ausschläge, zählt jedoch den mittleren doppelt.

Während bei feinen Wägungen diese Methode unentbehrlich ist, weil dort der schwingende Körper sehr langsam oder gar nie zur Ruhe kommt, ist bei Kompassen für tachymetrische Aufnahmen, deren Nadeln ziemlich bald still stehen, das Verfahren der Schwingungs - Beobachtung unverhältnismässig zeitraubend und mühsam, und es dürfte hier das Ablesen der ruhenden Nadel bei gehöriger Vorsicht, wegen des konstanten Einstellfehlers, genügend sein.

Die Excentricität der Nadel wird durch Ablesen an beiden Enden eliminiert» wie beim Theodolit.

II. Der Röhr en-Kompass.

Die Magnetnadel braucht nicht notwendig ein kreisrundes, büchsenartiges Gehäuse, mit einer ganzen Teilung von 0° bis 360° zu haben; es genügt eine Teilung von wenigen Graden ; wenn nur deren Mittellinie ungefähr in der Richtung des magnetischen Meridians liegt.

Dieses hat auf die Konstruktion des Röhren-Kompasses geführt, in dessen Längs-Achse die Magnet-Nadel schwingend aufgehängt wird, wobei die Stellung der Nadel gegen die Teilung durch eine an dem einen Röhren-Ende befindliche Okular-Öffnung beobachtet wird.

In Fig. 3. S. 593 ist im unteren Teile ein solcher Röhren-Kompass von aussen zu sehen ; man dreht den Unterteil samt dem Kompasse mit feinen Einstellschrauben, bis die Nadel auf einen gegebenen Strich einspielt, und dann hat man auch den Horizontalkreis, an dem weiter abgelesen wird, nach einem bestimmten Azimute orientiert.

Einiges weitere hierüber, und Vergleichung mit dem gewöhnlichen Büchsen-Kompasse haben wir schon in § 163. S. 599 gegeben.

III. Der Stock-Kompass.

Für manche Zwecke kann man mit Vorteil den in Fig. 2. S. 615 gezeichneten Stock-Kompass anwenden, der zwar nicht so genau wie die im bisherigen beschriebenen Theodolit-Kompasse, aber dafür sehr bequem ist.

Das Zielen nach einer Geraden a b geschieht mittelst des Diopters A B. Bei G befindet sich eine Ausrückung. Die Ablesungen werden auf einzelne Grade genommen.

Die Anwendung dieses Werkzeuges zur Aufnahme von Kompass-Zügen mit dem Messband und mit Höhenwinkeln werden wir in § 166. besonders behandeln.

Auch zu flüchtigen Aufnahmen ist der Stock-Kompass in der Anordnung von Fig. 2. ein vortreffliches Hilfsmittel (vgl. hiezu den späteren § 171. S. 643).

Fig. 2.

Der Stock-Kompass. (Kreisdurchmesser =12 cm.)

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(Hannov. Sammlung.)

IV. Der Taschen-Kompass.

Noch weniger genau als der Stock-Kompass, dafür aber überall anwendbar, ist der in Fig. 3. gezeichnete Taschen-Kompass.

Man findet solche Kompasse allenthalben im Handel, sie haben aber fast immer eine unbequeme Teilung von 2° oder 1°. Die beste Teilung für einen Taschen-Kompass ist von 10° zu 10°, denn einzelne Grade kann man von freier Hand doch nicht bestimmen, und wenn man nur auf 10° oder etwa auf 5° abliest, so sind viele Striche nur störend.

Fig. 3.

Taschen-Kompass (natürl. Grösse).

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Die Taschen - Kompasse haben meist einen besonderen Strich bei etwa 15° Nord-West, welcher zum Einstellen auf die Missweisung dienen soll. Da aber die Missweisung an verschiedenen Orten verschieden ist, z. B. in Deutschland zwischen 14° und 6°, so liegt in jenem Missweisungs-Strich die Gefahr, dass er auch an Orten benützt wird, wo er nicht passt; und deswegen lässt man lieber den genannten Strich ganz fort, und bringt die Missweisung nachher in Rechnung.

Die Teilung ist so angeordnet, dass von Nord nach Ost-Süd-West-Nord mit 0°, 90°, 180°, 270°, 360° durchlaufend gezählt wird.

Die gewöhnliche Anwendung des Taschen-Kompasses ist diese: Man hält den Kompass in freier Hand, lässt die Nadel auf 0° und 180° einspielen, und zielt mit

-§

to Ijj

(Hannov. Sammlung.)

freiem Auge über die Teilung hinweg nach dem Zielpunkt, dessen Richtung man haben will, z. B. in Fig. 3. ist angenommen, dass man eine Ziellinie BA habe mit der Peilung 140°.

Dieses Verfahren erscheint auf den ersten Blick sehr roh, man wird sich aber nach einigen Versuchen überzeugen, dass man damit auf etwa 5°—10° genau peilen kann.

Missiveisung der Magnetnadel.

Die Richtung, nach welcher die Magnet-Nadel zeigt, z. B. in Berlin jetzt etwa 10° westlich von Nord (Azimut 350°), ist nach Zeit und Ort veränderlich. Der Winkel, welchen die Magnetnadel-Richtung, der sogenannte magnetische Meridian, mit dem astronomischen Meridian eines Ortes macht, heisst die „Missweisung“, dieselbe wird von Nord nach Westen oder nach Osten gezählt.

Die magnetische Missweisung ist veränderlich, und nimmt jetzt jährlich um

etwa 7' ab

In der nachfolgenden Fig. 4. geben wir ein Übersichts-Kärtchen der Linien gleicher magnetischer Missweisung für den Anfang des Jahres 1880, für Europa, als Auszug aus der Merkator-Erdkarte der Linien gleicher magnetischer Missweisung, welche von der deutschen Seewarte Abteilung II. herausgegeben, und in den „Annalen der Hydrographie und maritimen Meteorologie“, VIII. Jahrgang, 1880, Heft VII. veröffentlicht wurde.

Zahlreiche Angaben der magnetischen Missweisung hat Neumayer gesammelt und veröffentlicht in „Bergbaus’ Physikalischer Atlas. Herausgegeben von Prof. Dr. Hermann Berghaus. V. Abteilung „Erdmagnetismus“. Gotha, Justus Berthes 1887.

Unser Kärtchen Fig. 4. S. 617 kann nur zur allgemeinen Übersicht dienen; für weitere Zwecke haben wir im Folgenden eine Zusammenstellung von solchen Punkten gemacht, deren Missweisung gut bestimmt ist, nach dem „Segelhandbuch für die Ostsee“, herausgegeben von dem Hydrographischen Amte der Kais. Admiralität. I. Teil, I. Heft, Berlin 1878, Dietrich Reimer, S 49, und „Segelhandbuch für die Nordsee“ u. s. w. Berlin 1884, S. 49; mit Zufügung von noch einigen Punkten im Binnenlande.

Magnetische Missweisung, westlich, für die Mitte des Jahres 1890 jährliche Abnahme = 7,5'.

Karlsruhe Kiel

Königsberg Kopenhagen Leipzig London (Kew)

Memel München Paris

Auf Grund zahlreicher Vergleichungen und Einschaltungen haben wir die Übersichtstafel der Missweisung für Deutschland gebildet, welche im Anhänge Seite [39] mitgeteilt ist. Dieselbe mag wohl etwa innerhalb 0,5° zutreffen; wenn grössere Genauigkeit gewünscht wird, ist besondere Untersuchung nötig, am besten die Missweisung durch Messung besonders zu bestimmen.

Aachen

Berlin

Danzig

Dresden

Flensburg

Hamburg

Hannover

Helder

Helsingfors

14° 0' 10 10 8 6 10 14 12 30 12 0 12 20 15    3

3 13

12° 40' 12    5

6    17

11 0 11 2 17 45 6 27 10 57 15 34

Petersburg (östl ) — 0° 18'

11 11

9 26

12    27 9 39

Rostock

Stettin

Stuttgart

Swinemünde

Travemünde

Ulm

Wien

Wilhelmshafen

Eine solche Bestimmung für Hannover haben wir in der „Zeitschr. d. Hannov. Ing. u. Arch.-Vereins 1886“, S. 162 mitgeteilt, westliche Missweisung — 12,8° für Mitte 1886.

Die magnetische Missweisung ist fortgesetzter Änderung unterworfen ; die jährliche Abnahme der westlichen Missweisung beträgt etwa 7,5'.

Fig. 4.

Linien gleicher magnetischer Missweisung für 1880,0.

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-1-3/0° -K;.;) -Mio?

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von 0 Greenwich 10

Für den Landmesser ist noch von Wichtigkeit die tägliche Änderung, weil man bei einer Aufnahme die Missweisung konstant anzunehmen pflegt. Es wird genügen, hiefür ein Beispiel, München, nach Lamont vorzuführen:

Täglicher Gang der magnetischen Missweisung in München.

20

30

40

Tageszeit

Sommer Winter

Tageszeit

Sommer : Winter

Mitternacht 0,!

Morgen

10

CtOCOWCOhm

r-H i-H O O t—4 CO

Mittag

Abend

Mittag 12    -f-    -j-

+ bedeutet hiebei westliche Abweichung,

Mitternacht bedeutet östl.

t t—t    1—¹

DOOCOCi^DOCO

Ib <x> co o i—i

+ 3'

Abweichung vom

Tagesmittel.

Die grösste tägliche Änderung beträgt hiernach im Sommer 9', im Winter 5'. Auch kommen hiezu noch unregelmässige Änderungen bei Gewittern u. s. w. ; indessen sind diese Schwankungen doch immer noch so klein, dass man sie bei tachymetrischen Messungen neben den Messungsfehlern selbst vernachlässigt.

Abweichung von der Goordinaten-Axe.

Während die im bisherigen besprochene magnetische Missweisung oder Abweichung von dem magnetischen Meridian für allgemein geographische Zwecke gebraucht wird, ist es für den Feld- und Landmesser meist wichtiger, die Abweichung von der jeweiligen X-Axe seines Coordinaten - Systems zu kennen, welche gewöhnlich nahezu nach Norden, aber nicht genau nach Norden gerichtet ist (Meridian-Konvergenz der X - Axe).

Hiezu ist nichts weiter nötig, als dass man mit dem Kompass-Instrument auf einen oder mehrere Strahlen peilt, deren trigonometrische Azimute man aus der Triangulierung oder aus der Zugmessung kennt.

Wir nehmen hiezu ein Beispiel für den Tachymeter Fig. 2. S. 592 von der Aufnahme hei Springe, 1883, Standpunkt Siek:

Zielpunkt

Nadel

Nadel

Mittel

rn

Trigonom.

Azimute

Abweichung m — a

Springe

Warte

II

134,2°

134.2

284,5

284,5

I 287,8 | 288,1

315,9

316.3

313,9°

314,1

104,3

104,6

107,9

108,2

135,9

•    136,3

134,10°

121,21°

— 12,89°

284,48

288,00

316,10

271,43

275,10

303,12

— 13,05

— 12,90

— 12,98

Tappensoole

9,4

9,7

189,5 I 189,4 J

9,50

356,78

—12,72

Mittel —12,91°

Nach dieser Bestimmung kann man für das benützte Instrument und für jene Zeit die an der magnetischen Nadel gemachten Ablesungen m auf trigonometrische Azimute a zurückführen durch Subtraktion der Abweichung 12,9°.

Die so bestimmte Abweichung besteht ihrem Hauptteile nach aus der eigentlichen magnetischen Missweisung; es wirken aber auch noch verschiedene andere Umstände ein, nämlich 1) eine etwaige zufällige Abweichung des Durchmessers 0°—180° der Kompass-Teilung von der Zielaxe des Fernrohrs, und 2) eine Abweichung der geometrischen Axe der Nadel, an welcher die Ablesung stattfindet, von der magnetischen Axe der Nadel. Die magnetische Axe, d. h. die Linie, welche sich in den magnetischen Meridian legt, fällt nämlich nicht immer genau mit der geometrischen Mittellinie der Nadel zusammen, sondern macht, infolge unsymmetrischer Beschaffenheit der Nadel oder unsymmetrischer Behandlung bei der Magnetisierung, im allgemeinen einen kleinen Winkel mit der geometrischen Axe.

Wenn eine Kompass-Aufnahme sich völlig an eine trigonometrische Messung anschliesst, so braucht man die oben genannten Bestandteile der magnetischen Ab-weichung m — a von der X-Axe, nicht zu trennen; dieses ist auch nicht nötig, wenn mehrere Kompass-Instrumente zusammen bei einer Aufnahme gebraucht werden, denn man hat dann nur diese Instrumente unter sich oder mit einem gemeinsamen Orientierungs-Azimut zu vergleichen; wenn man aber den Kompass zur Bestimmung der absoluten magnetischen Missweisung benützen will, oder wenn man mit Hilfe einer anderweitig bekannt gewordenen Missweisung eine Aufnahme nach dem astronomischen Meridian orientieren will, so muss man den Zielaxen-Fehler und die Konvergenz zwischen der magnetischen und der geometrischen Axe der Nadel bestimmen.

Zur Bestimmung der wahren magnetischen Missweisung braucht man entweder ein astronomisch bestimmtes Azimut oder die Meridian-Konvergenz eines zum Anschluss geeigneten trigonometrischen Azimutes.

Die astronomische Messung mit der Sonne oder dem Polarstern ist beschrieben in des Verfassers „Grundzüge der astron. Zeit- und Ortsbestimmung“, Berlin 1885, §17. und § 28. Bestimmungen der magnetischen Deklination durch trigonometrische Azimute und Meridian-Konvergenz giebt. Hammer, „Verlauf der Isogenen im mittleren Württemberg“, Stuttgart 1886. Wir wollen auf solche Bestimmungen hier nicht weiter eingehen.

§ 166. Kompass-Züge.

Wenn man ein theodolitartig festaufgestelltes Instrument mit einem Kompass hat, so kann man damit Polygon-Züge messen, ebenso wie mit einem Theodolit; der Unterschied besteht zunächst nur darin, dass man am Kompass die Stellung der Nadel, und am Theodolit die Stellung der Alhidade gegen den Limbus ahliest.

Vergleicht man weiter, so ergieht sich für den Kompass der Nachteil, dass er eine einzelne Ablesung höchstens auf ein Zehntel Grad = 6' genau gieht, während der einfachste Theodolit mit Leichtigkeit noch V abzulesen gestattet; die Theodolit-Genauigkeit ist in der einzelnen Ablesung mindestens lOmal so gross als die Kompass-Genauigkeit.

Wenn dennoch der Kompass in der Feld- und Landmessung angewendet wird, und noch nicht zu den veralteten Werkzeugen gerechnet werden darf, so müssen demselben andere Vorteile zukommen; und das ist in der That der Fall, es ist die im Vergleich mit dem Theodolit viel günstigere Fehler-Fortpflanzung.

Diese Verschiedenheit ist begründet in dem Umstand, dass der Kompass absolute Azimute liefert, während mit dem Theodolit Azimute nur durch Vermittlung von Winkeln übertragen werden können.

Die Richtkraft des Erdmagnetismus wirkt ebenso allgemein auf die Magnetnadel wie die Richtkraft der Erdanziehung (Schwere) auf die Blase einer Wasserwage ; und deswegen ist auch das Fehlergesetz des Kompass-Zuges dasselbe wie bei einem Nivellierungs-Zug.

Um zunächst die einfachsten Fehlergesetze zu untersuchen, betrachten wir in Fig. 1. einen nahezu geradelinigen Kompass-Zug mit lauter gleichen Strecken s.

Fig. 1.

L = ns

■o-

— o.-

—O'

O-

Jede einzelne Strecke werde in ihrer Richtung mit einem mittleren Fehler + e gemessen, welche einen Querabweichungsfehler +ss für eine Strecke giebt. Dann setzt sich die Querabweichung q des Endpunktes der ganzen Linie L so zusammen :

2 = + SS + S«-(-... + S6

und die mittlere Querabweichung am Ende wird:

(1)

q — V(« e)² (s ft)² -+-... (s f)² = Ÿn (s s)2 q — s e Ÿ n

Es ist aber:

also:

(2)

q — e Y L s

Zur Vergleichung wollen wir die Fehlerformel für einen Theodolit - Zug hersetzen; dieselbe ist, wenn nun mit eT der mittlere Winkelfehler eines Theodolit-Zuges bezeichnet wird, nach (10) S. 329:

I CO i

(3)

In der Fehlerformel (2) für den Kompass-Zug steht )/ s im Zähler, in der Formel (3) für den Theodolit-Zug steht y a im Nenner, d. h. beim Kompass-Zug wächst der Fehler q proportional der Quadratwurzel der Zielweite s, beim Theodolit-Zug wächst dieser Fehler umgekehrt proportional derselben Wurzel.

Daraus folgt:

Beim Kompass-Zuge sollen die Zeitweiten s möglichst klein gemacht werden (während sie beim Theodolit-Zug möglichst gross zu machen sind, vgl. S. 329).

Wir gehen deswegen bei Kompass - Zügen nach Umständen mit den Streckenlängen s bis zu 20 Meter herunter.

Man kann diese Vergleichungen kurz so zusammenfassen:

Der Theodolit-Zug ist im einzelnen sehr genau, er hat aber ungünstige Fehler-Fortpflanzung und muss deswegen lange Seiten haben; dagegen ist der Kompass-Zug im einzelnen ungenau, er hat aber günstige Fehler-Fortpflanzung, und muss mit kurzen Seiten angelegt werden.

Ausser der günstigen Fehler-Fortpflanzung in den Richtungsfehlern hat der Kompass-Zug noch einen zweiten Vorteil gegenüber dem Theodolit-Zug, nämlich den, dass auch die bei Theodolit-Messungen so sehr schädlichen Gentrierungs - Fehler (vgl. S. 318—319) beim Kompass-Zug fast unschädlich sind, denn sie bleiben unvergrössert an der Stelle, wo sie begangen wurden

Die innere Verschiedenheit beider Arten von Zügen zeigt sich auch darin, dass man beim Kompass-Zug jede Streckenrichtung nur einmal zu messen braucht, während man beim Theodolit-Zug jede Strecke zweifach, vorwärts und rückwärts, nehmen muss. Wenn man nicht, etwa der Probe wegen, dennoch jede Strecke vorwärts nnd rückwärts mit dem Kompass beobachtet, so kann man den fraglichen Umstand in zweifacher Weise ausnützen, nämlich:

1) Man macht sogenannte Sprungstände, d. h. man überspringt jeden zweiten Brechungspunkt und beobachtet auf jedem Standpunkte je eine Strecke rückwärts und eine vorwärts.

2) Man beobachtet jede Strecke einmal nur vorwärts, und das hat die grosse Annehmlichkeit, dass man es immer nur mit einer Strecke zugleich zu thun hat.

Ein zweiter Vorteil besteht hiebei darin, dass man die Zug-Punkte überhaupt nicht abzustecken braucht.

Indem wir durch diese Betrachtungen zu den Messungen selbst geführt werden, haben wir über solche Züge, bei denen der Kompass theodolitartig auf dem Stative aufgestellt ist (wie bei Fig. 1. und Fig. 2. S. 591 und S. 592), und bei welchen die Entfernungen geradezu mit Messlatten, Messband oder Kette gemessen werden, wenig zu sagen. Man verfährt im wesentlichen wie bei der Theodolitmessung ; nur kann man bei der Centrierung an Schärfe etwas nachlassen.

Solche Züge mit Kompass und Kette waren früher in Norddeutschland sehr gebräuchlich, sie bildeten die Grundlage ausgedehnter Feldmark-Aufnahmen, und haben sich oft später bei der Nachmessung mit dem Theodolit überraschend genau erwieser, was eben durch die günstige Fehler-Fortpflanzung, verbunden mit Sorgfalt in der Behandlung seitens der Feldmesser, erklärlich ist.

Nach diesem ist die Zugmessung mit dem Tachymeter in dem Sinne zu betrachten, dass die Richtungen an dem Kompass und die Entfernungen an dem Distanzmesser abgelesen werden. Hier drängt sowohl der Kompass als der Distanzmesser zu kurzen Zielweiten. Geht man in der Zielweite nicht über 50“, so kann man damit im Verhältnis zu der geringen Arbeit, namentlich im Gebirge, vorzügliche Ergebnisse erzielen. Die Höhen bekommt man hiebei mit. Im einzelnen ist die Ausführung diese: Man lässt die Distanzlatte (Fig. 1. S. 597) vorausgehen, nimmt bei jeder Aufstellung derselben das Azimut am Kompass, die Distanz zwischen den Distanzfäden, dann misst man seine eigene Instrumentenhöhe i mit einem zu diesem Zwecke mit zu führenden Massstab, stellt den Mittelfaden auf den Teilstrich in der Höhe i an der Latte (i etwa = 1,4“) und liest dann den Höhenwinkel am Höhenkreis ab.

Will man zur Versicherung alle Messungen auch rückwärts machen, so lässt man eine zweite Latte nachfolgen, und geht dann nie weiter, bis die Ablesungen für Entfernung, Höhenwinkel und Azimut hin und her stimmen.

Eine besondere Art von Kompasszügen mit Bandlängen von 20“ werden wir in § 168. besonders behandeln, dagegen hier noch die nötigsten Fehlergesetze entwickeln.

Ausgleichung eines geradegestreckten Kompass-Zuges zwischen zwei Fest-Punkten.

Es soll zuerst der einfachste Fall angenommen werden, dass der Zug gleich

seitig sei.

Wenn ein solcher (nahezu) geradliniger und gleichseitiger Zug von einem Festpunkt ausgeht, und in einem zweiten Festpunkt einmünden soll, so hat man beim Eintreten eines Abschluss-Widerspruches eine Richtungs-Ausgleichung zu machen, welche bei gleich langen Seiten lediglich in einer Drehung des ganzen Zuges ohne Formveränderung besteht (während ein Theodolitzug nach S. 339 eine Biegung verlangt). Die Richtigkeit der erwähnten Drehung ergiebt sich sofort, wenn man bedenkt, dass eine am Abschluss auftretende Querabweichung als Summe von » einzelnen Abweichungen s e auftritt, welche als unabhängige Fehler mit gleichen Gewichten betrachtet werden können. Die Längen-Ausgleichung in der Richtung des Zuges selbst, von der hier nicht die Rede ist, geschieht durch Proportionalverteilung des Fehlers nach S. 29.

Nun gehen wir zu dem allgemeineren Fall ungleich langer Seiten s über.

Ein nahezu geradlinig gestreckter Bussolenzug habe

die Seiten Sj', s₂\ ss' . . . s„', sn" . . . s₃", s₂", Si".

Alle Azimute sind gleich genau mit dem mittleren Fehler + e gemessen. An dem Brechungspunkte zwischen der Seite s„' und der Seite s„", hat man eine mittlere Querabweichung, welche von dem Anfangspunkt der Seite s₁' her berechnet, folgenden Wert hat:

(4)

A' = 1/(*,' 5)2 + (s₂' 5)2 + (V 5)2 + . . . = e Y[s' s']

Wenn dagegen der Zug im umgekehrten Sinn durchlaufen wird, so erhält man von der anderen Seite her rechnend:

(5)

A" = e Y[s" s"]

Wenn nun der Zug an zwei Festpunkte angeschlossen ist, nämlich an den Anfangspunkt der ersten Seite s{ und an den Endpunkt der letzten Seite s₁", so wird im allgemeinen ein Widerspruch w entstehen, der an jedem beliebigen Punkte zur Anschauung gelangen kann, also auch an dem oben betrachteten Grenzpunkt zwischen Sn und s„". Um diesen Widerspruch zu verteilen, betrachtet man die zwei unabhängigen Messungen mit den mittleren Fehlern A’ und A" nach (4) und (5), oder mit Gewichten p' und p", welche den Gleichungen genügen:

(6)

-, = [s' S'] und \ = [$" s"]

p    p    J

Nach den Gesetzen für das arithmetische Mittel von zwei Beobachtungen mit den Gewichten p' und p" bekommt man eine Fehlerverteilung mit v' und v", wobei v' -t-v" — iv ist, und im einzelnen:

v'

~ p" 1

p    p"

setzt wird:

Mit Einsetzung von (6) giebt dieses, wenn zugleich [s' s'] -t- [.<?" ,<?"] = [ss] ge-

[s" s"l ^^ w

v'

” [•*]

[s s]

Nun kann man den Drehungswinkel für die Strecke s» bestimmen. Wir schreiben hiezu die erste Formel (7) für v', welches dem Endpunkt von s„' zukommt, ausführlicher, nämlich mit Auflösung der Summe im Zähler, jedoch nun mit Weglassung der Accente an den s:

v'

(8)

Für den Aw/aw^spunkt der Strecke hat man eine ähnliche Formel:

V'n-l —

[ss]

(9)

Der Drehungswinkel für die Strecke s„ ist daher:

en =

V' — V'n

ir

(10)

[ss]⁵"

Der Drehungswinkel jeder Seite ist also der Seitenlänge s selbst proportional. Wenn alle Seiten s gleich lang sind, so sind auch die Drehungswinkel gleich, oder es wird der ganze Zug ohne Formveränderung gedreht, wie schon oben angegeben wurde.

Nach der Ausgleichung ist der mittlere Fehler des Brechungspunktes zwischen den Seiten s„' und s„" in der Richtung quer zum für das arithmetische Mittel (Band I. S. 25):

Sn

Zuge, nach den allgemeinen Formeln

T^iVy^EïV'⁸'⁸'¹'⁸"⁵"¹

Wenn hier alle Seiten einander gleich = s werden, so wird dieses:

■, W „ j/rfrf7 n + n ’

Diese Formel zeigt, dass nach der Ausgleichung die mittlere zu fürchtende Querabweichung in der Mitte des Zuges am grössten wird; daselbst wird mit n' = n":

(H)

(12)

Mmnx - ₂

(13)

§ 167. Strahlen-Zieher.

Um die mit dem Kompass (oder auch mit dem Theodolit) genommenen Richtungs-Peilungen unmittelbar zu Papier zu bringen, bedarf man eines Strahlen-Ziehers, welcher zum raschen und genauen Zeichnen eingerichtet ist.

Man hat solche Strahlen-Zieher in verschiedenen Formen ; die einfachste Form

zeigt Fig. 1.

Fig. l.

Strahlen-Zieher von Hornplatte oder Karten-Papier.

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Der Mittelpunkt C des Halbkreises Fig. 1. wird mit einer Nadel auf dem Punkte der Zeichnung befestigt, von welchem die Strahlen ausgehen sollen. Ist GX die Abscissen-Richtung, so liegt CB in dem Azimut 53° u s. w. Längs der Kante A G B kann man zugleich einen Massstab anbringen.

Das Einstecken einer Nadel durch eine Hornplatte oder Karten-Papier Fig. 1. bringt immer Ungenauigkeiten und andere Misslichkeiten mit sich, zu deren Abhilfe die Mittelpunkts-Vorrichtung Fig. 2. zu empfehlen ist, welche Ingenieur Teischinger in der „Zeitschr. f. Verm. 1883“, S. 48 beschrieben hat.

Fig. 2.

Mittelpunkts-Vorrichtung von Teischinger.

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GÛ

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Die Vorrichtung besteht aus zwei Teilen, dem Axen-Cylinder A und der Platte B.

Man beginnt damit, den Mittelpunktsstift C mit seiner Nadel senkrecht auf den Punkt des Planes zu stechen, welcher als Strahlen-Centrum gelten soll ; dann schiebt man den Axcylinder A über C, und drückt ihn mit seiner unteren Plantsche und den dort hervorragenden drei feinen Nadeln in das Papier ein, die Platte B mit dem daran angeklebten Strahlen-Zieher Fig. 1. wird dann über A geschoben.

Eine zweite Form des Strahlen-Ziehers zeigt Fig. 3., welche von Professor Lorber in der „Zeitscbr. f. Verm. 1881“, S. 371 mitgeteilt ist.

Fig. 3.

Strahlen-Zielier von Lorber.

(Massstab 1 : 5.) ü Z.

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Das mit einer abgeschrägten Kante versehene, den Halbkreis in Bügelform übergreifende, 0,5m lange Lineal fasst die Axe des Halbkreises von oben. Nun denke man diese Axe über einen bestimmten Punkt der Zeichen-Ebene centriert, was ohne Nadelstich geschieht, die Linealkante in die Nullrichtung der Azimute gelegt (oder auch etwa in die 90°-Richtung, je nach der Bezifferung), dann liegt der mit einem Längen-Massstab versehene Durchmesser des Halbkreises stets in dem Azimut, welches der rechts am Lineal angebrachte Zeiger oder Nonius anzeigt. Die Genauigkeit ist auf V berechnet.

Einen ebenfalls auf grosse Genauigkeit angelegten „Alhidaden- Transporteur“ hat Professor A. Nagel im „Civilingenieur“ 24. Band, 1878, 4. und 5. Heft, mit Tafel XIII. beschrieben.

Ferner sind hier zu erwähnen der „ Distanzentransporteur“ von Dr. Otto Decher in München, ausgeführt von Er lei & Sohn in München, und „Der geodätische Tachy-graph von Schlesinger, Wien 1877“ sowie „Zeitschr. f. Verm. 1878“, S. 281.

Bei allen diesen Anordnungen wird der Mittelpunkt des Teilkreises centrisch über den Punkt der Zeichenebene gebracht, von welchem die Strahlen ausgehen sollen; und diese Centrierung ist dabei massgebend.

Fig. 4.

Strahlen-Zieher ohne Centrierung. (Massstab 1 : 4.)

Im Gegensatz hiezu ist bei unserem in Fig. 4. gezeichneten, seit Jahren benützten Strahlen-Zieher, auf Centrierung überhaupt verzichtet, ebenso wie auch bei den gewöhnlichen hölzernen Schiebe-Dreiecken, mit denen man rechte Winkel (und 45°, 30°,

60° u. s. w.) abschiebt, der Scheitel des Werkzeugs nicht auf den Scheitel des zu zeichnenden Winkels gelegt wird, sondern die Kanten parallel verschoben werden. So brauchen auch die beiden Zieh-Kanten E und E' des Lineals

von Fig. 4. nicht durch den Mittelpunkt G des Halbkreises zu gehen.

Eine Besonderheit ist der Hilfsbogen BI) mit dem Mittelpunkt A ; dieser Bogen B D und der um A drehbare Ansatzarm L E dienen nämlich dazu, um die magnetische Missweisung zu berücksichtigen. Hat man z. B. 12° westliche Missweisung, so stellt man den Zeiger Z auf 12° der kleinen Teilung BD, und dann steht der Halbmesser 12° der Halbkreisteilung rechtwinklig auf LE’.

Im Übrigen ist die Anwendung diese: Wir denken uns die Zeichnung auf einem Reissbrett befestigt, und eine gewöhnliche Reissschiene giebt die Haupt-Richtung von links nach rechts (Azimut 90°). Legt man die Kante LI' an diese Reissschiene an,

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Ci:

05

"V-

(Hannov. Sammlung.)

nun

und stellt den Arm GE z. B. auf 40° und 220°, wie in Fig. 4. angenommen ist, so hat jede an der Kante E oder E’ gezogene Gerade das magnetische Azimut 40° oder 220°, je nachdem man die Richtung von C nach dem Arm E E' oder rückwärts gelten lassen will.

Um die Kante E oder E' an einen gegebenen Punkt der Zeichnung zu bringen, schiebt man das Werkzeug längs der Reissschienenkante L L', oder man verschiebt die Reissschiene selbst mit sich parallel.

Vergleicht man die im vorstehenden beschriebenen Vorrichtungen zum Strahlen-Ziehen, so wird man die Cmfner-Einrichtungen Fig. 1.—3. dann vorziehen, wenn von jedem Punkte sehr viele Strahlen ausgehen; andernfalls nimmt das genaue Centrieren zu viele Zeit weg, und Fig. 4. ist dann besser. Wenn man also fortlaufende Züge

40

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Au fl.

II. Bd.

aufzutragen hat, wie z. B. die Bandzüge von § 168., so ist jedenfalls das freischiebende Werkzeug Fig. 4. bequemer. Es ist auch der oft vorkommende Fall zu berücksichtigen, dass in einer Zeichnung ein zweifelhafter Punkt nachgemessen werden soll ; das ist mit Centrierung umständlich, mit Abschieben nach Fig. 4. leicht.

Für flüchtiges Aufträgen, z. B. von Aufnahmen mit dem Taschen - Kompass Fig. 3. § 165. S. 615, ist auch das Abschieben nach Fig. 4. oft noch zu umständlich ; in diesem Falle nehmen wir einen kleinen Halbkreis von der Form Fig. 1. S. 623, und zeichnen auf quadratisch liniertes Papier, welches allenthalben die Kante A B orientiert anzulegen, und Peilstrahlen zu ziehen gestattet.

§ 168. Messband-Züge mit dem Stock-Kompass und mit Freihand-Höhenwinkelmessung.

In Wäldern mit dichtem Unterholz, im Gebüsch, überhaupt überall, wo die Durchsicht gehemmt ist, kann man mit gutem Erfolge, namentlich zur Höhenaufnahme für Horizontalkurven, Kompass-Züge anwenden, deren Seiten sämtlich gleich lang, nämlich 1 Stahlbandlänge = 20™ (schief gemessen) sind, deren Azimute mit dem Stock-Kompass auf etwa 1 Grad genau bestimmt werden, während die Neigungen gegen den Horizont mit einem Höhengradbogen gemessen werden.

Da das Messband schon früher (S. 17) und der Stock-Kompass in Fig. 2. § 165. S. 615 genügend beschrieben sind, kommt es jetzt darauf an, die verschiedenen Höhenivinkel-Messinstrumentchen kennen zu lernen, welche für solche Zwecke geeignet sind. Dieselben müssen in freier Hand angewendet werden, und die Höhenwinkel auf etwa 0,1°—0,2° genau geben.

Wir geben im nachfolgenden die Zeichnung und Beschreibung für mehrere solche Freiliand-Höhenwinkelmesser.

I. Zugmaier-Sichlers Höhenwinkelmesser.

Ein erstes solches Werkzeug haben wir bereits früher auf S. 18 abgebildet und beschrieben, wir geben jedoch zu der dort (S. 18) mitgeteilten inneren Ansicht nun noch in nachfolgender Fig. 1. S. 627 eine äussere perspektivische Darstellung.

Die Teilung wird bei T durch ein Glasfenster beleuchtet, ausserdem ist noch eine Öffnung bei B angebracht zu folgendem Zweck : Wenn der Kreisbogen im Innern schwingt, so muss man zum Ablesen bei T warten, bis er nahezu zur Buhe gekommen ist ; man kann allerdings durch den Knopf, welcher oben an Fig. 1. angedeutet ist, die Schwingungen hemmen ; allein man kann dann nicht beliebig mehr oder weniger von neuem schwingen lassen. Hiezu dient die Öffnung bei B (welche beim Nichtgebrauch durch einen Schieber verschlossen werden kann). Während die rechte Hand das Instrument ans Auge hält, kann man nun mit einem Finger der linken Hand hei B hineingreifen, anhalten, auf oder ab, schwach oder stark anstossen u. s. w., und dadurch die Messung beschleunigen und verfeinern.

Auch an den übrigen ähnlichen Freihand-Höhenmessern (Fig. 2. und Fig. 6.) sind solche Öffnungen B angebracht, und erst nach dieser Verbesserung wurde die gewünschte Handlichkeit und Genauigkeit erzielt.

Was die Genauigkeit betrifft, so haben wir für dieses Instrument, welches zuerst in der „Zeitschr. f. Venn. 1872“, S. 214, und 1873 S. 114 beschrieben wurde,

dort S. 115 einen Versuch mit 10 Doppelmessungen mitgeteilt, welcher einen mittleren Messungsfehler = + 0,07° oder = + 4' ergab. Dass diese Genauigkeit bei ruhigen Verhältnissen erreichbar ist, hat sich inzwischen durch langen Gebrauch bestätigt.

Fig. l.

Zugmaier-Siekiera Höhenwinkelmesser.

Äussere Ansicht (Kreisdurchmesser = 16 cm).

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^-/Vannov.

V-

N.

(Hannov. Sammlung.)

II. Bandhagens Höhenwinkelmesser.

Der Grundgedanke dieses hübschen Instrumentchens ist derselbe wie hei dem vorhergehenden ; ein Kreisbogen schwingt im Innern einer cylindrischen Kapsel. Die Teilung liegt aber diesesmal auf der diesseitigen cylindrischen Fläche des Kreisbogens bei T, und wird durch eine Lupe 0' abgelesen, neben welcher das Zielrohr OA sich befindet. Man hat also beim Gebrauch abwechselnd in die Lupe 0' und in das Ziel-Okular 0 zu schauen, und denjenigen Strich der Teilung T zu bestimmen, welcher sich neben dem Horizontal- A faden des Zielrohres O A zeigt.

Die Teilung T giebt ganze Grade, Zehntel werden geschätzt.

Die Öffnung bei B hat denselben Zweck, wie die Öffnung B in Fig. 1.

Die Genauigkeit dieses Instruments ist ungefähr dieselbe wie die des soeben beschriebenen In-

Fig. 2.

Bandhagens Höhenwinkelmesser. Kreisdurchmesser = 7,5 cm, Länge O A = 13 cm.

r-

v,

Q'o

Vj/i.

MM

(Hannov. Sammlung.)

struments Fig. 1. Man hat bei guter Beleuchtung einen * mittleren Fehler von etwa ein Zehntel Grad.

Zur Vergleichung ist zu bemerken, dass Fig. 2. kleiner und handlicher gemacht werden kann als Fig. 1.; Fig. 1. muss eine Länge von etwa 15cm haben, weil man die Teilung mit blossem Auge abliest, und in grösserer Nähe die Teilung für die meisten Augen undeutlich wird. Dagegen gestattet bei Fig. 2. die Lupe 0' die Wahl jedes beliebigen Massverhältnisses.

III. Höhcnwinlcelmesser von Tesdorpf.

Nach einem sehr schönen Grundgedanken, welcher auch schon anderwärts früher verwertet worden ist, konstruiert Mechaniker Tesdorpf in Stuttgart Instrumente, deren eines im wesentlichen in Fig. 8., 4. und 5. gezeichnet ist.

Fig. 3.

Tesdorpfs Höhenwinkelmesser (Länge 16 cm).

hj ’L

.    S| ,/    smw    L.TESDORPF ⁴-

Sf

n | "    ____STUTTCTAftT j .

(Hannov. Sammlung.)

In Fig. 4. ist OA die Ziellinie im Innern eines Rohrs, welches bei S einen schiefen Spiegel enthält, der die linke Hälfte des Rohres ausfüllt, und die rechte Hälfte frei lässt (s. die Gesichtsfeldzeichnung Fig. 5.). Der Spiegel S reflektiert das Bild der Blase B einer Libelle L L, welche oben angebracht ist, und beim Gebrauche einspielt.

Fig. 4.

Darstellung des Prinzips zu Fig. 3.

-4.

Fig. 5.

Gesichtsfeld.

Man sieht dann in dem Gesichtsfeld Fig. 5. links die Blase im Spiegel S, und rechts den Zielpunkt A. (Es ist also etwas Ähnliches wie bei Wagners Freihand-Nivellier-Instrument, das wir bereits auf S. 856 beschrieben haben.)

Die Handhabung ist nun diese: Man fasst das Instrument Fig. 3. am Griff f mit der rechten Hand, und zielt mit dem Faden g im Rohr nach dem jeweiligen Ziel-punkt. Gleichzeitig hält die linke Hand den geränderten Knopf c, und dreht denselben so, dass das Bild der Blase links vom Zielpunkt erscheint. Die Blase wird natürlich nie ganz ruhig werden; wenn jedoch die Empfindlichkeit passend gewählt ist, so fühlt man doch bald, in welcher Stellung man den Knopf c mit der linken Hand anhalten muss.

Ist dieses geschehen, so kann man noch die Bremsschraube b anziehen, und dann das Instrument in beliebige bequeme Haltung bringen, um die Teilung mit dem Index oder Nonius d abzulesen. Am besten ist es, die Bremsschraube b gar nicht zu benutzen, sondern dem Knopf c so viel allgemeine Reibung zu geben, dass die Alhi-dade d während der kurzen Dauer vom Zielen bis zum Ablesen stehen bleibt.

Die Teilung hi giebt ganze Grade, und Zehntel-Grade am Nonius. Zur Veranschaulichung der Genauigkeit geben wir von einem Versuche 10 unabhängige Messungen eines Höhenwinkels :

2,3°

2,2°

t-H

2,3°

2,0°

2,15°

2,2°

P³ P³

Wenn man hieraus in üblicher Weise den mittleren Fehler berechnet, so findet man für eine Messung:

m = ± 0,13°

oder rund etwa ein zehntel Grad, was auch sonstigen Erfahrungen entspricht.

IV. Prismen-Höhenwinkelmesser.

Nach einem auch bei Kompassen häufig angewendeten Grundgedanken kann man einen fernen Zielpunkt und eine Kreis-Teilung gemeinsam sichtbar machen durch ein Prisma, welches in Fig. 6. die Stellung P vor dem Fernrohr 0 hat.

Fig. 6.

Prismen-Höhenwinkelmesser. (Kreisdurchmesser —6<>m, Länge = 17c»».)

(Hannov. Sammlung.)

Die Hypotenusen - Ebene des Prismas P hat eine Neigung von 45° gegen die Ebene der Kreis-Teilung T und gegen die Absehlinie OA, und ist daher im Stande, wie ein ebener Spiegel die Teilung T in das Fernrohr 0 zu reflektieren.

Die Öffnung B hat denselben Zweck wie die Öffnungen B bei Fig. 1. und Fig. 2. S. 627.

Wenn wir nach dieser Beschreibung der Höhen Winkelmesser zu der Beschreibung der Zugmessung selbst übergehen, so haben wir über die Legung des 20 Meter langen Messbandes und über die Anwendung des Stock-Kompasses Fig. 2. § 165. S. 615 nur noch so viel zu sagen, dass der Stock des Stock-Kompasses zugleich als hinterer Messbandstab dient.

Um die Zielhöhen für die von freier Hand zu nehmenden Höhenwinkel richtig zu bestimmen, führt man eine Zielscheibe von etwa 25c™ Durchmesser, in Augenhöhe des Beobachters an einem Stabe befestigt, mit, welche stets dem Höhenmesser gegenüber sich befindet. (Die Zielscheibe darf nicht von Eisen sein wegen der Nähe des Kompasses.)

Den Indexfehler eines Höhenmessers kann man durch Hin- und Herinessen zwischen zwei Punkten, oder sonstwie, bestimmen, und mit geeigneten Richte - Schrauben an dem Instrumente auch wegschaffen.

Indessen kann man den Indexfehler nie so genau wegschaffen, als man im Mittel aus vielen Zielungen messen kann; auch kommen leicht konstante Zielfehler vor, welche sogar auf- und abwärts verschieden sein können. Es ist deswegen das allerbeste, jede Strecke vor und zurück zu beobachten, und für die Berechnung das Mittel zu nehmen. Diese Doppelmessung erhält man leicht, wenn der Höhenmesser frei getragen wird. Während zwei Bandzieher das Band strecken und zugleich der hintere Stabhalter das Azimut mit dem Kompass nimmt, kann der mit dem Höhenbogen versehene Beobachter zuerst von oben nach unten und dann, nachdem er herunter gekommen ist, von unten nach oben die Neigung nehmen. Dabei wird zugesehen, ob die Differenz hin und her genügend (innerhalb 1°) stimmt, und nötigenfalls nach

gemessen.

Zur Berechnung der Züge braucht man für jede Bandlänge l die Horizontalprojektion l cos a und den Höhen-Unterschied l sin a. Diese Werte für l = 20 sind in der Hilfstafel Seite [38] des Anhanges gegeben.

Zur weiteren Veranschaulichung geben wir in der auf S. 631 stehenden Tabelle ein kurzes, jedoch völlig durchgerechnetes Beispiel.

In Betreff der Höhen-Genauigkeit lässt sich folgende Schätzung machen: Für 20 Meter schiefe Entfernung und einen Höhenwinkel a hat man einen Höhen-

20

cos ad a, für einen Winkelfehler da in

Unterschied 20 sin a mit einem Fehler

57,3

Graden; dieses giebt mit da — i/ö⁰ einen Höhenfehler von etwa 0,07m. Bei einem Zug von 50 Bändern (nahezu 1 Kilometer horizontale Länge) beträgt hiernach der mittlere zu fürchtende Fehler des Höhen-Unterschiedes zwischen dem Anfangspunkt

und dem Endpunkt:

0,07™ ]/50 = 0,5™.

Diese Genauigkeit haben wir in Wirklichkeit auch ungefähr erreicht, wie aus einem in der „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 12—13 von uns gegebenen Nachweise über 25 solcher Züge mit zusammen 13 Kilometer Länge und rund 2000™ Höhe zu ersehen ist. Im Durchschnitt fand sich hiebei:

für einen Zug von 533™ oder 27 Bändern Länge und von 78™ Höhe: Höhen-Anschlusswiderspruch = -±_ 1,24™.

Bei der Fehlerverteilung kommt also auf 1 Band nur:

1 24

—— — 0,046™ oder rund 5C™.

Messband-Zug mit Kompass-Azimuten q> und Höhenwinlceln a.

Beobachtung

Berechnung nach Seite [38]

Länge

l sin a verbessert

Punkt Kompass-Azimut

<p

Höhenwinkel l cos a

l sm a

mit Verbesserung

Höhe Punkt über N. N.

(0)

(1)

309°

(2)

312

(3)

314

(4)

312

(5)

318

(6)

323

(7)

311

(8)

318

(9)

302

(10)

286

(H)

290

(12)

(13)

(14)

(15)

CO Oi CO to

o o o oo h-‘ co

20”*    + 7,2°    19,9”*

2,51“

0,63-e

■j

O CO 05 + ►—» CO

179,20

(0)

+•    JO    O    JO    J35    J35    -3    +.    JSS    JO

<i    o    oo    w    ce    "sa    b    œ    Vi

oo^œ-joooHOMmo

i    i    i    i    i    i    i    i    i    i    i

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+ <=> 1—1 OS CO CU

L L

+• JO S CO <1 05 Oi 05 ^ 05 Cfl "-3 05 OO W 03 W W ffl Ol <1 03

O- r-H CO Cd

O r-H

00 00 OO OO 00

r*H rH r-H t—h t-H

(1)

(2)

(3)

(4)

298,0”*

288,0- -4-77,12 —1,54 +76,83 —1,58

187,83

192.44 199,42 205,81 212,37 219,71 229,25 240,08 249,69

254.45

75,25

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(H)

(12)

(13)

(14)

(15)

soll

+ 75,58 75,25

+ 75,25

Fehler

0,33

Die Höhen über N. N., 179,20”* und 254,45”* des Anfangspunktes und des Endpunktes, sind fest gegeben. Der Höhen-Widerspruch 0,33”* wird auf die 15 Bänder verteilt, und giebt auf ein Band 2™, ausnahmsweise 3™*.

(Fortsetzung von Seite 630.)

Dadei ist zu bedenken, dass in dem Anschlusswiderspruch auch die Fehler der anderwärts trigonometrisch oder teilweise auch nur tachymetrisch bestimmten Anschlusspunkte mit enthalten sind.

Bedenkt man weiter, dass die so erhaltenen Einzelhöhen nur auf 0,1™ abgerundet in der Karte eingeschrieben werden, dass es gar nicht möglich wäre, die Punkte in Wäldern, Gebüsch u. s. w. auch nur auf 0,1”* Höhe genau später wieder zu finden, so erscheint das Ergebnis mit Rücksicht auf die grosse Geschwindigkeit, (für 500”* Länge nur etwa 1 Stunde Zeit), ein sehr günstiges.

Setzlatten-Züge.

Man kann auch die schon früher S. 355 erwähnte Setzlatte zur Aufnahme von langen Zügen benützen ; man kann als Setzlatte auch eine gewöhnliche 5m lange Messlatte mit darauf befestigter Libelle nehmen, während die Höhen an einer lotrecht gehaltenen zweiten Messlatte oder Nivellierlatte abgelesen werden. Die Azimute für die einzelnen Teile des Zuges erhält man durch den Stock-Kompass, mit welchem man je-weils streckenweise durch einige Baken die einzuhaltende Richtung voraus absteckt und peilt, so dass eine Kompass-Peilung stets für mehrere Setzlattenlagen gilt.

Die Züge mit der Setzlatte gehen in Betreff der Höhen grössere Genauigkeit als die Züge mit dem Messband und dem Höhenbogen, sie sind jedoch mühsamer zu messen als die Bandzüge.

Das Aufträgen der Züge mit den horizontalen Seitenlangen l cos a und mit den Kompass-Peilungen geschieht mit dem Strahlenzieher Fig. 4. § 167. S. 625.

Da die Ausgleichung eines Kompass-Zuges mit gleichen Seiten nach S. 621 eine Drehung ohne Formveränderung verlangt (abgesehen von den Längenmessungs-Fehlern), so thut man am besten daran, den Zug zuerst auf Pauspapier aufzutragen und dann mit Einpassung zwischen die gegebenen Endpunkte auf den Plan überzutragen. Der Anschluss wird, wenn die Kompass - Peilungen nur durchschnittlich auf etwa 1 Grad genau sind, doch immer noch so stattfinden, wie es bei einer Horizontalkurven-Aufnahmo im Gebirge nötig ist.

Solche Kompass-Züge bilden eine wesentliche Ergänzung der gewöhnlichen Tachymetrie, sie sind fast das einzige Mittel zur guten Horizontalkurven-Bestimmung in dichten Wäldern und Gebüsch, ohne Durchhauen von Messungslinien.

§ 169. Tachymetrische Aufnahmen.

Nachdem alle Einzelgeschäfte, welche unter der Bezeichnung „Tachymetrie“ zusammengefasst werden, bereits ausführlich behandelt sind, bleibt nur noch die Aufgabe, den Zusammenhang und die Aufeinanderfolge dieser Geschäfte anzugeben.

Es handelt sich darum, eine Anzahl von Punkten zu bestimmen, welche als Standpunkte des tachymetrischen Theodolits dienen, und von denen aus jeder Punkt, dessen Aufnahme wünschenswert erscheint, durch Distanz-Messung, Azimut-Messung und Höhenwinkel-Messung bestimmt wird.

Bestimmung der Tachymeter-Standpunkte.

Um die Tachymeter - Standpunkte zu gewinnen, kann man eine der genaueren Methoden, nämlich Triangulierung und trigonometrische Höhenmessung, regelrechte Polygonalmessung und Nivellierung anwenden; oder aber die einzelnen Standpunkte unter sich selbst nur tachymetrisch verbinden. Dieses sind die beiden äussersten Fälle, welche aber in der mannigfaltigsten Weise gegenseitig verknüpft werden können, so dass nach Umständen mehr oder weniger Mühe auf die Festlegung der Tachymeter-Standpunkte verwendet, und entsprechend mehr oder weniger Genauigkeit erzielt wird.

Ein Kleintriangulierungsnetz mit gleichzeitiger trigonometrischer Theodolit-Höhenmessung wird kaum so eng zu legen sein, dass man damit alle nötigen Tachymeter-Standpunkte erhielte ; wenn aber das Netz ziemlich eng ist, so kann es genügen zur Bestimmung der Hauptstimäpunkte, worauf Nebenstandpunkte selbst wieder tachymetrisch an diese Hauptpunkte angebunden werden.

Ein Polygon-Zug als Grundlage empfiehlt sich namentlich dann, wenn es sich nur um Aufnahme eines Flächenstreifens von 200—500m Breite für einen Eisenbahnoder Strassenbau-Entwurf handelt. Ob man dabei die Höhen nivellieren oder durch Höhenwinkel bestimmen will, hängt hauptsächlich von dem Betrag der Höhen-Unterschiede ab; im Flach- und Hügellande ist das Nivellieren am Platz, im Gebirge aber ist dasselbe zu mühsam, und man misst dann die Höhenwinkel aller Strecken (am besten hin und her) gleichzeitig mit der Horizontalwinkelmessung.

Dabei ist es sehr angenehm, wenn man für jede Messung die Zielhöhe z gleich der Instrumentenhöhe i nehmen kann. Die Längenmessungen für solche Züge macht man nicht mit Messlatten, sondern nur mit dem Stahlband. Sind die so gemessenen schiefen Längen = s und die mit dem Theodolit gemessenen Höhenwinkel = «, so hat man also s cos a für die horizontalen Entfernungen, und s sin « für die Höhen, auszurechnen.

In steilem und unwegsamem Gelände ist aber oft auch das Stahlband noch zu beschwerlich, so dass man für die Streckenmessung zum Distanzmesser greifen muss; und dann misst man den Zug mit dem Tachymeter-Theodolit. Wenn man hiebei alle Distanzen vor- und rückwärts nimmt, und die Übereinstimmung sofort im Felde kontrolliert, und nötigenfalls verbessert, so bekommt man immer noch ein gutes Resultat, denn solche Basiszüge erhalten nochmals eine Verbesserung durch die Ausgleichung zwischen zwei Fixpunkten. Wenn man kleine Seiten (unter 100m) nimmt, so ist es Tätlich, die Kompass-Azimute beizuziehen, oder sogar allein zu nehmen, denn ein langer Zug mit vielen Strecken macht wegen der nötigen genauen Centrierungen hei Theodolitmessungen viele Mühe, und bei kurzen Seiten ist gerade der Kompass am Platz, Wenn man alle Strecken vor- und zurückpeilt, und die Azimute dabei im Felde kontrolliert, und nötigenfalls verbessert, so schliesst ein solcher Kompass-Zug meist sehr befriedigend ab.

Man kann zwar solche grundlegende Züge gleichzeitig mit der Klein-Messung machen, es ist aber doch besser, sie zuerst für sich zu behandeln, die Standpunkte zu verpflocken, und erst wenn man sich von genügendem Anschluss überzeugt hat, die Einzeläufnahme zu beginnen.

Durch Verbindung aller dieser Mittel kann man wohl erreichen, dass jeder Basispunkt in der Lage auf 0,5”* — l,0m, und in der Höhe auf etwa 0,1*" zuverlässig festgelegt wird.

Wenn man die Basispunkte nicht zum voraus planmässig bestimmt und ver-pflockt, sondern die Tachymeter-Standpunkte unter sich selbst nur tachynietrisch zusammenhängt, und dann gewöhnlich nicht verpflockt, so soll man jedenfalls alle Verbindungen je zweier Standpunkte in Distanz, Azimut und Höhe gegenseitig messen, und die Kontrollen im Felde selbst bilden, um nicht Gefahr zu laufen, durch einen Fehler in der Verbindung zweier Standpunkte die ganze Arbeit, welche auf einem fehlerhaften Standpunkt oder auf mehreren Standpunkten, gemacht ist, zu verlieren.

Grundsätze für die Auswahl der Einzel-Punkte.

Insofern man für die Lattenpunkte im Felde freie Wahl hat, soll man sich an folgende zwei Regeln halten :

I. Es sind alle Punkte aufzunehmen, welche die Formen der Erdoberfläche charakterisieren.

II. Die Punkte sollen in Zügen nach der Richtung des grössten Gefälls ungeordnet werden.

Hiezu erinnern

Von diesen zwei Regeln ist die erste die wichtigere. Zu ihrer Begründung hat man die Aufgabe der Höhen-Aufnahme geometrisch zu definieren, wir uns, dass eine krumme Linie in der Ebene als aufgenommen gilt, wenn so viele Punkte derselben in einem Plan festgelegt sind, dass der Verlauf der Linie daraus erkannt, also dieselbe von freier Hand durch die Punkte gezogen werden kann.

Entsprechend muss eine Fläche als aufgenommen gelten, wenn so viele Punkte derselben, und zwar hauptsächlich die die Höhenverhältnisse charakterisierenden, durch

Grundriss und Höhe festgelegt sind, dass der Verlauf der Fläche daraus ersehen, und insbesondere die Höhe eines nur im Grundriss gegebenen Punktes durch Einschaltung gefunden werden kann. Hieraus folgt von selbst, dass jede Brechungslmie der Erdfläche, in welcher also Unstetigkeit des Gefälls stattfindet, durch eine genügende Anzahl von Punkten aufgenommen sein muss, ferner sind charakteristische Punkte auf Kuppen und in Thälern u. s. w. unbedingt zu nehmen.

Die zweite der beiden oben angegebenen Regeln, nämlich die Punktanordnung nach dem grössten Gefall zu treffen, ist in gewissem Sinn in der ersten mit enthalten, denn wenn keine anderen besonders ausgezeichneten Punkte da sind, so wird die Erdfläche am besten durch Profile nach dem grössten Gefälle charakterisiert. Indessen zeigt sich der Hauptwert unserer zweiten Regel bei der nachfolgenden Konstruktion der Horizontal-Kurven (vgl. den folgenden § 170).

Handriss.

Der Zusammenhang der Punkte muss durch einen Handriss ersichtlich gemacht werden. Derselbe enthält einen nach Augenmass gemachten Grundriss des aufzunehmenden Feldes, mit eingeschriebenen Nummernpunkten, welche den Nummern des Feldschreibbuchs entsprechen. Die Führung des Handrisses, die Auswahl der Punkte und entsprechende Anweisung des Lattenträgers ist die Hauptsache des ganzen, welche deshalb der leitende Ingenieur übernimmt, während die Ablesungen am Instrument einem Gehilfen überlassen werden. Die Übereinstimmung der Nummerierung im Handriss und im Feldschreibbuch ist von Zeit zu Zeit, etwa bei jedem 5. oder 10. Punkt, durch Zuruf oder Zeichen zu sichern. Nach einiger Übung kann ein Ingenieur zwei (vielleicht sogar drei) Lattenträger beschäftigen.

Verwickeltere Formen, namentlich solche, welche schwer von einem Standpunkt überschaut werden können, z. B. Gebäudegruppen, oder Formen, bei denen es sich nicht lohnt, alle einzelnen Punkte tachymetrisch aufzunehmen, kann man durch Einzelmasse im Handriss selbst aufnehmen. Häufig genügt hiezu Abschreiten, und für die Richtungen ein Taschenkompass.

Der Handriss soll ausser dem Lageplan und den Nummernpunkten noch nach Augenmass gezeichnete Horizontalkurven enthalten, welche als „Leitkurven“ bei der endgültigen Kurven-Konstruktion (§ 170.) dienen; ausserdem können steile Böschungen, Raine u. s. av. durch Schraffierung hervorgehoben werden.

Der Handriss wird nach Augenmass, thunlichst nach richtigen Verhältnissen, und orientiert, Nord oben (nicht nach der Bequemlichkeit des jeweiligen Standpunktes orientiert), gezeichnet. Zu diesem Zwecke dient die Orientierung nach dem Kompass des Tachymeters, ausserdem ein kleiner Taschenkompass, den der Handrissführer ohnehin zu kleinen Lokalzeichnungen, nebt Schrittmass benutzt (s. o.).

Die Nummerierung der Punkte, im Handriss und im Feldschreibbuch übereinstimmend, wird am besten konsequent durchlaufend gemacht, also (1), (2) . . . (113), (114) . . . Man ist zwar oft versucht, auf einer Station wieder neue Nummerirung anzufangen, oder auf einzelnen Stationen Litterierung (a) (b) (c) . . . anzuwenden ; das ist aber nicht Tätlich, weil sonst dieselbe Nummer auf dem Plan wiederholt vorkäme, was zu Irrtümern führen würde.

Was die Zahl der aufzunehmenden Punkte betrifft, so ist es natürlich sclnver, eine allgemeine Angabe zu machen, doch kann man in runder Zahl 500 Punkte auf 1 Quadratkilometer als ausreichend für Eisenbahnvorarbeiten im Gebirge angeben.

Fig. 1.

Handriss einer tachymetrischen Aufnahme.

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Feldschreibbuch einer tachymetrischen Aufnahme (zu Fig. 1.).

Punkt Latte Azimut Nr. I (Nord)

Höhenkreis

Höhen- Horizontalwinkel Distanz l cos² a

Höhen- I Höhe Differenz über V₂ l sin2a\ N. N.

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merkungen.

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00

Standpunkt (112) 80° 30'— 8' +9° 38'

80° 20'_ ₈' +9° 48'

80° 23'-g’ +9° 45'

82° 50'-8’ +7° 18'

83° 28'_ ₈' +6° 40'

86° 26'_₈' +3° 42'

87° 29'_ 8' + 2° 39'

89° 2'-s' +1° 6'

90° 35'_8' — 0°27'

91° 40'- ₈' — 1°32'

27,0m

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bo cuoo'co'o cooo cuoo co

-i

Index -Korrektion des Höhen -Kreises = — 8'.

Magnetische Abweichung 12,9°.

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen gehen wir in Fig. 1. S. 635 einen kleinen Handriss einer tachymetrischen Aufnahme und den zugehörigen Auszug aus dem Feldschreibbuch.

Die Ablesungen an dem Höhenkreis erfolgen nach Zenitdistanzen, z. ß. 80° 30', welchem ein Höhenwinkel -f- 9° 30' entspricht, wenn kein Indexfehler zu berücksichtigen ist. Man macht natürlich im allgemeinen den Indexfehler = Null; es kommt aber doch nicht selten vor, dass man in der Ausrechnung einen Indexfehler zu berücksichtigen hat, wie in dem Falle unseres Beispiels, wo die Index-Korrektion = — 8' ist.

Die Horizontal-Distanzen l cos² a und die Höhen i/₂ l sin 2 a werden aus unseren tachymetrischen Tafeln aufgeschlagen (vgl. S. 609 und Anhang Seite [40] bis [43]). Alles Übrige erklärt sich wohl von selbst.

Wenn man nach den Angaben des Feldschreibbuchs die 10 Punkte (113) bis (122) von dem Punkte (112) aus konstruiert, so wird man finden, dass man ungefähr ein Bild wie Fig. 1. S. 635 erhält, das aber, wie natürlich, sich mit dem nur nach Augen-mass entworfenen Handriss Fig. 1. S. 635 nicht deckt.

§ 170. Konstruktion der Horizontalkurven.

Die Aufgabe der Höhenaufnahme wurde in § 169. S. 633—634 so definiert: Es sollen so viele die Erdoberfläche charakterisierende Punkte aufgenommen werden, dass dadurch der allgemeine Verlauf der Erdoberfläche bestimmt wird, und andere Höhenpunkte durch Einschaltung gefunden werden können.

Wenn eine vollständige Aufnahme nach dieser Erklärung vorliegt, so handelt es sich noch um die bildliche Darstellung der krummen Erdoberfläche; und diese Aufgabe wird hier gelöst durch Zeichnung der Linien, nach welchen die Fläche von einer Reihe horizontaler Ebenen geschnitten wird, d. h. von Horizontalkurven.¹)

Eine Horizontalkurve hat die Eigenschaft, dass ihre Tangenten-Richtung überall horizontal ist, die Kurve selbst kann jedoch nur dann als in einer horizontalen Ebene liegend bezeichnet werden, wenn von der Erdkrümmung abgesehen wird.

Wenn man eine genügende Zahl gut ausgewählter Punkte hat, so kann man immer die Horizontalkurven konstruieren, sie werden jedoch mit den unvermeidlichen Ungenauigkeiten der Interpolation behaftet sein, die vermieden würden, wenn die Kurven auf dem Felde selbst ausgesteckt und aufgenommen werden könnten.

Die unmittelbare Aufsuchung der Kurven auf dem Felde mittelst des Nivellierinstruments, und nachherige Aufnahme, ist aber eine so mühevolle Arbeit, dass es ganz unmöglich ist, dieses Verfahren im grossen anzuwenden; und die Praxis ist auch längst über derartige unglückliche Versuche hinweggeschritten.

vor, denn wenn man

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Allein auch abgesehen von der Arbeit selbst stellen die unmittelbar aufgenom-Kurven durchaus nicht das Ideal einer Höhenaufnahme irgend welchen Gebrauch von der Aufnahme machen will, so muss man die charakterisierenden Höhenpunkte, Kuppen, Thalschnitte u. s. w. doch haben, und gerade solche wichtige Punkte drücken sich in den Kurven oft ungenügend aus. Auch bekommt man bei der unmittelbaren Kurven-Aufnahme viel zu wenig Fixpunkte, an denen bei

späterer Erweiterung der Aufnahme, gründlicherer Behandlung einzelner Teile oder Revision, wieder angeschlossen werden kann.

Nach dieser Nebehbetrachtung kehren wir zu der Konstruktion der Kurven nach Massgabe gut ausgewählter Höhenpunkte zurück; und zwar setzen wir voraus, dass die Höhenzahlen aller aufgenommenen Punkte in den Plan eingeschrieben sind, und dass ausserdem für die sehr ungleichförmig verlaufenden Teile, z. B. Schluchten u. s. w., Leitkurven nach Augenmass in dem die Aufnahme begleitenden Handriss eingezeichnet sind.

Die Kurven-Konstruktion ist eine Aufgabe der darstellenden Geometrie, sie besteht in der Einschaltung von Höhen zwischen die unmittelbar gemessenen Höhenpunkte.

Das beste Hilfsmittel hiezu besteht in der Konstruktion von Profilen, welche durch die aufgenommenen Punkte gehen. Hiezu sind Netze horizontaler und einiger vertikaler Linien (vgl. Fig. 1. S. 638) als Vorbereitung nötig, man kann hiezu Millimeterpapier oder auch gewöhnliches schwachblau quadriertes Schreibpapier nehmen. Das Netz hat auf geeignete Überhöhung der Profile Bedacht zu nehmen, da man aber in der Überhöhung ziemlichen Spielraum hat, so kann ein und dasselbe Netz auch für verschiedene Massstäbe des Plans verwendet werden. (Überhöhung 5—lOfach.)

zusammen zur Konstruktion des durch sie gehenden Profils, das man aus freier Hand durch die ihnen entsprechenden Punkte legt. Zieht man dann in dem Profil die den runden Höhen, z. B. 305m, 310“, 315“ u. s. f. entsprechenden Horizontalen, so liefern deren Schnitte mit der Profil-Linie Punkte, welche als Punkte der Kurven sofort mit dem Zirkel in die Karte übergetragen werden. Die Zweckmässigkeit der Regel, dass die Profile möglichst nach dem grössten Gefall zu legen sind, zeigt sich bei der Konstruktion darin, dass sie in diesem Falle die meisten Punkte durch gute Schnitte liefern. Hat man die nötige Anzahl von Kurvenpunkten in der Karte, so verbindet man sie von freier Hand mit Benützung etwaiger auf dem Felde gezeichneter Leitlinien, und der Erinnerung an die Anschauung der Bergformen bei der Aufnahme, wobei kleine Abweichungen von den konstruierten Punkten geboten sein können, um flüssige Linien zu erhalten.

Benützt man zu einem Profil nur zwei Punkte, so ist man genötigt, dasselbe geradlinig anzunehmen; wenn dagegen drei oder mehr Punkte im Grundriss in einer geraden oder in einer nicht stark gekrümmten stetigen Linie liegen, was bei der Auswahl der Punkte auf dem Felde anzustreben ist, so benützt man diese Punkte

Ein Beispiel einer solchen Kurven-Konstruktion zeigt die umstehende Fig. 1. S. 638. Der Massstab der Horizontalaufnahme ist 1 :2500, die Überhöhung der Profile ist lOfach. Die durch kleine Kreuze und beigeschriebene Zahlen bezeichneten Punkte sind unmittelbar aufgenommen

Man beginnt etwa mit der Konstruktion des Längen - Profiles des nördlichen Weges, indem man die Höhenpunkte 307,U, 312,3 und 316,7 in das Netz einträgt, und damit die Profil-Linie von freier Hand durchzieht. Die Abstände der Punkte A und B von der vertikalen Netz-Linie trägt man vom Höbenpunkt 312,3 in der Karte nach links und rechts, und erhält damit die Punkte A und B, in welchen die Kurven (315) und (310) den Weg schneiden. Ebenso verfährt man mit dem nördlichen Böschungsrand, der durch die Höhenpunkte 309,4, 313,8, 316,2 und 316,7 bestimmt ist, sowie mit dem zweiten Weg, und den übrigen Böschungsrändern.

Da die Punkte 303,7, 307,9, 313,8 und 316,2 schön in einer Geraden in der Richtung des grössten Gefalls liegen, worauf bei der Aufnahme Bedacht genommen

wurde, so kann man durch sie ebenfalls ein Profil legen, welches die Schnittpunkte der drei Kurven (305), (310) und (315) mit dem Grundriss des Profils giebt.

Netz-Linien auf Pauspapier.

Wenn das Parallel-Liniennetz auf dem unteren Teile von Fig. 1. auf Pawspapier gezeichnet, bzw. gedruckt ist, so kann man die Profil-Konstruktion und das Einstechen der Kurvenschnitte manchmal bequemer durch Herumschieben auf dem Plane machen.

Fig. l. *)

Konstruktion der Horizontalkurven.

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Ein auf Pauspapier-Netze gegründetes, anderes Verfahren der Kurven-Konstruktion hat Ingenieur Wagner in der „Zeitschr. f. Verni. 1886“, S. 145 angegeben, in dem jedoch die Grundriss-Geraden als schiefe Linien (Hypotenusen) in dem Parallelen-Netz auf treten, weshalb das Verfahren sich immer nur auf je zwei Punkte erstrecken kann.

*) In dem unteren Teil

„ ,    ,    Fig- 1- sollten noch einige Vertikal-Linien gezogen

sein, z. B. durch die Punkte 317,5, 316,7 u. s. w. ; man möge diese Vertikal-Linien nachtragen.

von

Verschiedene Kurven-Formen.

Wenn man nur die allgemeinsten geometrischen Begriffe richtig inne hat und sich stets erinnert, dass eine und dieselbe Horizontalkurve sich nicht selbst berühren kann, so wird es nicht schwer sein, auch bei verwickelten Flächenformen das richtige zu treffen. Man findet aber häufig Kurven-Karten mit geradezu unmöglichen Formen, wie z. B. die in nachstehender Fig. 2. gezeichneten, welche einer kritischen Besprechung in der „Zeitschr. f. Verm. 1880“, S 61 entlehnt sind.

Fig. 2.

Unmögliche Kurvenformen.

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b.

c.

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Ein Beispiel richtiger Horizontalkurven-Zeichnung zeigt Fig. 3. S. 640. (Dieses Beispiel ist einer grösseren Aufnahme vom Herbst 1872 entnommen, zu Eisenbahn-Vorarbeiten im Schwarzwald gehörig; die eingeschriebenen Punkte Sommerbühl, Ober-sommerbülil und Galgen entsprechen den Punkten S, S' und G des schon früher auf S. 289 mitgeteilten trigonometrischen Netzes.)

Von den auf S. 640 eingeschriebenen Punkten wollen wir die drei Sattelpunkte bei 505,0, 503,5 und 552,2 noch besonders betrachten. Andere Formen als die an diesen drei Stellen gezeichneten, können nicht Vorkommen, namentlich ist das oben in Fig. 2a. und 2 b. oder 2c. gezeichnete, nach aussen concave Viereck unmöglich.

Man kann sich über den Kurven-Verlauf auf Sattelflächen am besten dadurch Bechenschaft geben, dass man die einfachste stetige, theoretisch bestimmte krumme Fläche betrachtet, welche einen Sattel hat, und das ist das hyperbolische Paraboloid. Denkt man sich diese Fläche zweiter Ordnung so gelegt, dass sie einem natürlichen Gebirgssattel entspricht, so kann sie von einer horizontalen Ebene nur nach einer Hyperbel geschnitten werden. Diese Hyperbel geht allerdings in einem besonderen Falle in zwei sich schneidende Gerade (Asymptoten) über, und diesem Grenzfall entspricht eine sich selbst schneidende ooförmige Kurve, wie z. B. auf S. 640 bei dem Sattelpunkte 505,0 auf Sommerbühl.

Besondere Hilfsmittel zur Kurven-Konstruktion.

Das beste Verfahren der Kurven-Konstruktion ist die Profil-Zeichnung ²), welche in dem Beispiele von S. 638 veranschaulicht ist. Der Hauptvorzug besteht hiebei darin, dass mehr als zwei Punkte zusammen benützt werden können, wodurch Krümmungen der Erdfläche berücksichtigt und zugleich die Punkte selbst kontrolliert werden können.

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Fig. 3. (Massstab 1:5000.) Höhen-Abstand der Kurven = 5m-

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Zur Bestimmung der Kurvenschnitte zwischen nur je zwei Punkten sind zahlreiche Verfahren und Hilfsmittel ersonnen worden ; das einfachste ist ein Strahlen-Diagramm; beschrieben u. A. als in Württemberg gebräuchliches Hilfsmittel, von Haas „Über Höhenaufnahmen 1:2500 und 1:25000 u. s. w. Stuttgart, Wittwer 1878“, S. 117; ferner der „ Metrostroph“, ein Hilfsmittel für die Konstruktion von Horizontalkurven, von F. H. Reitz, Zeitschr. f. Verm. 1877, S. 31; „Interpolations-Massstab zur Konstruktion von Horizontalkurven von Wehn“, Zeitschr. f. Verm. 1880, S. 227; „Horizontalkurvenzeiger von Schmeling“, Zeitschr. f. Verm. 1881, S. 106; „C. Wagners Interpolationstafel für Horizontalkurven, Zeitschr. f. Verm. 1886, S. 145; „Proportional-Massstab zur Konstruktion von Höhenkurven, von Hammer“, Zeitschr. f. Verm. 1888, S. 214; „Verhältnis-Massstab zur Herstellung von Höhenkurven, von Vosyka“, Zeitschr. f. Verm. 1888, und „Hilfsinstrument zur Konstruktion von Höhenkurven, von Rödder“, Zeitschr. f. Verm. 1888.

Aus diesen zahlreichen Hilfsmitteln und Versuchen ist zu ersehen, dass das Bedürfnis der Kurven-Einschaltung zwischen je zwei Punkte, auch neben dem allgemeinen Hilfsmittel der Profil-Konstruktion mit beliebig vielen Punkten, besteht, und ferner, dass die Proportional-Einschaltung sehr verschiedenartig gemacht werden kann. Es handelt sich immer um eine Proportion mit der Auflösung :

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und dazu kann namentlich auch der Rechenschieber benützt werden, der an einer ab geschrägten Kante zugleich einen Millimeter-Massstab trägt.

Allgemeine Bemerkungen.

Nach Erlangung einiger Erfahrung kann man die Kurven zum Teil, namentlich in flachem Gelände, nach Schätzung zeichnen, indem man beständig die Höhenzahlen, und deren Differenzen unter sich und gegen die runden Kurvenhöhen im Auge behält; zum Mindesten soll man aber einige Haupt-Profil-Züge wirklich konstruieren.

Ganz besondere Sorgfalt ist zu verwenden auf Brechungslinien der Erdfläche, deren Profile besonders herauszuzeichnen sind. Die Unstetigkeiten der Horizontalkurven an solchen Stellen müssen klar hervortreten, und sind eher zu übertreiben als abzurunden, damit die Zeichnung einen bestimmten Charakter bekommt. Namentlich gilt dieses beim Schnitt der Kurven mit Wegen, Bächen, Böschungsrändern etc. An solchen Stellen muss man die Erdoberfläche möglichst in geometrische Körper, Prismen, Kegel etc. zerlegt denken, und bei der Konstruktion alle Mittel der beschreibenden Geometrie anwenden. Die Behandlung solcher Stellen giebt den besten Massstab für die Brauchbarkeit des Ganzen. Wenn hier die Kurven allein den Charakter nicht genügend wieder geben, so kann durch einige Schraffierungen nachgeholfen werden.

Die Kurven - Konstruktion kann nicht wohl mit Erfolg von einem andern Ingenieur ausgeführt werden als von dem, der die Aufnahme gemacht hat, weil die Erinnerung der angeschauten Bergformen hier wichtig ist. Nach der Konstruktion ist es unter Umständen nützlich, nochmals mit der Zeichnung in der Hand das Feld zu begehen, und nötigenfalls den Charakter der Bergformen durch kleine Korrekturen deutlicher auszudrücken; man kann aber auch dabei Gefahr laufen, das, was gründlich konstruiert ist, durch augenblickliche falsche Auffassung wieder zu zerstören.

Wenn die Konstruktion vollendet ist, muss die Übersicht der Kurven gewahrt werden durch stärkeres Ausziehen derjenigen Kurven, welche runden Höhenzahlen entsprechen, oder Anlegen von Farbenbändern.

41

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Die eingeschriebenen Höhenzahlen sind auch nach Herstellung der Kurven durchaus nicht überflüssig, wenigstens dann nicht, wenn die Karte nicht bloss zum Anschauen, sondern technischen Zwecken dienen soll. Will man der Übersichtlichkeit wegen, oder aus Mangel an Raum bei Verkleinerung der Karte, nur einen Teil der Zahlen aufnehmen, so sind möglichst viele Fixpunkte (Marksteine, Strassensteine u. s. w.) auszuwählen.

Bei der Verwendung einer Höhenkarte zur Anfertigung eines Strassen- oder Eisenbahn - Entwurfs zeigt sich die Nützlichkeit eingeschriebener Höhenzahlen neben den Kurven mannigfach: Man benützt gerne bei der Konstruktion des Längen-Profils solche Zahlen ausser den Kurven ; werden Ergänzungsaufnahmen nötig, so braucht man die Zahlen der Fixpunkte zum An binden der Nivellierungen.

Der Schichten-Abstand der Karte soll, wenn ausser den Kurven noch Zahlen vorhanden sind, nicht sehr klein genommen werden (beim Massstab 1:2000 bis 1:5000 nicht kleiner als 5 Meter). Es giebt Karten, welche sogar in flachem Felde so mit Kurven überladen sind, dass es schwer wird, sich zurecht zu finden, und dass man bei Verwendung der Karte für Ingenieur-Zwecke bei weitem nicht alle Kurven verwerten kann.

Es hängt dieses damit zusammen, dass niemand mit gutem Erfolge Höhen-Aufnahmen und Kurven-Konstruktionen machen kann, der nicht die spätere technische Verwertung derselben (namentlich für Ingenieur-Zwecke) kennt.

Überhaupt ist die Kurven - Konstruktion durchaus nicht eine mechanische geometrische Arbeit, sie erfordert vielmehr Kenntnis der Bergformen und geometrisches Verständnis der Eigenschaften stetiger und unstetiger krummer Flächen.

Wenn eine Karte in wesentlich kleinerem Massstab als dem bisher voraus gesetzten (etwa 1:2000 — 1:5000) ausgeführt werden soll, z. B. eine topographische Karte (1:25000) oder geographische Karte (etwa 1:500 000), so muss teilweise in anderer Weise verfahren werden, und namentlich die Übersicht (durch Farben) gewahrt werden; und es muss der Zweck, dem die Arbeit dienen soll, wohl im Auge behalten werden ; im wesentlichen jedoch werden die entwickelten Grundsätze immer massgebend sein

Die Reduktion der Klein-Aufnahmen in 1:2500 auf den Massstab 1:25 000 einer topographischen Karte erfordert eine gewisse Generalisierung, und darf deswegen nicht bloss mechanisch ausgeführt werden. Um bei dieser Generalisierung den landschaftlichen Charakter nicht zu verfehlen, muss man in erster Linie diesen aufzufassen in der Lage sein, wozu einige geologische Kenntnisse erforderlich sind.

Je kleiner der Karten-Massstab ist, desto weniger gelingt es, durch Kurven die Bergformen zum Ausdruck zu bringen. (Verfasser hat in der Bearbeitung einer „Übersichts-Höhenkarte von Baden und Württemberg“ im Massstab 1:400 000 (Stuttgart 1871 und Karlsruhe 1878) seine Ansicht über die Behandlung solcher Karten ausgesprochen.)

§ 171. Flüchtige Aufnahmen.³)

Im Anschluss an die Tachymetrie können wir noch einige Bemerkungen machen über flüchtige Aufnahmen, namentlich durch Abschreiten und Kompass-Peilen, indem solche kleinere Aufnahmen in der Tachymetrie oft als Nebenarbeiten Vorkommen.

An Werkzeugen setzen wir zunächst nichts voraus als einen Taschen-Kompass oder Stock-Kompass nach § 165. Fig. 2. und Fig. 3. S. 615.

Zu dem Schrittmass, über welches schon in § 14. S. 84—35 das nötige gesagt wurde, erwähnen wir noch mit Beziehung auf nebenstehende Fig. 1. den Schrittzähler.

Figur 1.

Schrittzähler, natürliche Grösse.

Ein solches Instrument von Taschenuhr-Form wird durch die Erschütterung des schreitenden Menschen in Bewegung gesetzt und registriert diese Erschütterungen durch ein Uhr-Zählwerk.

Unser Instrument Fig. 1. zählt bis zu 25 000 ; der grosse Zeiger zählt die einzelnen Schritte, der kleine Zeiger rechts zählt die Hundert und der kleine Zeiger links zählt die Tausend; Fig. 1. zeigt z. B. :

44 -f- 600 + 19 000 oder 19 644.

Man wird natürlich kein solches Instrument in Gebrauch nehmen, ohne sich vorher von der richtigen Wirkung überzeugt zu haben.

Für unser Instrument fanden wir Überzahlungen von etwa 1—2%.

Auch wenn man Schritte in Gedanken zählt, ist das Anhängen und zeitweise Ablesen eines solchen Schrittzählers immerhin nützlich zur Sicherung gegen grobe Zählfehler (+ 100 Schritte).

Bei vielen kurzen Strecken lohnt sich jedoch das Ablesen des Schrittzählers und Subtrahieren nicht; in solchem Falle zählt man einfacher in Gedanken.

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(Hannov. Sammlung.)

Nach diesen Vorbemerkungen ist es klar, dass man durch Schreiten und Kom-pass-Peilen kleine Aufnahmen machen kann.

Als Beispiel hiefür nehmen wir die Oase Farafrah, welche vom Verfasser am 1. Jan. und 12. März 1874 im wesentlichen so aufgenommen wurde (s. Fig. 2. S. 644).

Sowohl das Dorf (Gassr) als auch der Palmenwald wurden je in einem Polygon umschritten, dabei die Schrittzahlen und Kompass-Peilungen der Polygonseiten aufgeschrieben, und die Einzelheiten durch Handrisszeichnung nach Augenmass aufgenommen. Diese Einzelheiten können auch nach dem ersten Umschreiten nochmals vervollständigt werden, und in der Zeichnung durch weitere örtliche Peilungen und Schrittmasse versichert werden.

Die Kompass-Peilungen sind in diesem Falle nur mit dem Taschen-Kompass Fig. 3. § 165. S. 615, also nur auf 5° —10° genau gemacht. Jetzt würde ich (nach inzwischen gemachten Erfahrungen) für solchen Zweck unbedingt den Stock-Kompass Fig. 2. § 165. S. 615 anwenden, welcher Peilung auf 1° giebt, und auch insofern angenehm ist, als er, einmal in den Boden gestossen, beide Hände zum Zeichnen u. s. w. freilässt.

In Fig. 2. S. 644 sind die Schrittmasse auf jeder Geraden durchlaufend, wie bei Kataster-Handrissen, eingeschrieben. Die Kompass-Peilungen sind durch Pfeilspitzen mit beigeschriebenem Azimut angedeutet. Einzelne örtliche Schrittmasse sind durch

Fig. 2.

Aufnahme der Oase Farafrah. Durch Abschreiten und Kompass-Peilen. (Massstab 1 : 5000.)

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beigesetzte Striche (z. B. —60— und —83— als Gebäude-Abmessungen der Sauyah) von den Massen des grundlegenden Polygons unterschieden. (Übrigens enthält die Fig. 2. nicht alle wirklich aufgeschriebenen Masse, von denen ein Teil der Übersichtlichkeit wegen weggelassen ist.)

Das Dorf (Gassr) hat folgendes Umfangs-Polygon, mit Anfang an der südöst

lichen Ecke:

179 Schritte mit Richtungs-Peilung 270°

221

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190°

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Der Palmenwald hat mit Anfang an der nordöstlichen Ecke folgende Masse :

195°

235°

330°

(— 188 -f- 438) = 250 Schritte mit Peilung

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Diese beiden Polygone hängen unter sich zusammen durch die Linie 188 Schritte mit 195°, und die schiefe Bindung 330 Schritte mit 260°.

Nach diesen Massen kann man auf dem Zeichenbrett mit dem Strahlen-Zieher Fig. 4. § 167. S. 625 und mit verjüngtem Massstab, den Polygon-Rahmen aufzeichnen; die dabei auftretenden Schlussfehler muss man nach Gutdünken verteilen, feste Regeln giebt es hiefür nicht. An den festen Polygon-Rahmen kann man nun alle Handriss-Notizen anschliessen.

Das bisherige bezieht sich auf Aufnahmen in der Ebern. Im Gebirge haben wir als einziges Mittel der Längen-Messung für solche Zwecke das Schrittmass mit Barometer-Differenzen gefunden, worüber in § 147. S. 534 mit der Hilfstafel Seite [36] des Anhangs, schon das nötigste gesagt wurde.

Ohne hier weiter darauf einzugehen, bemerken wir nur, dass wir mit solchen einfachen Hilfsmitteln, nach verschiedenen Versuchen, in Wäldern und an Abhängen Aufnahmen machten, welche nach Lage und Höhen teilweise genauer sind als die offiziellen Karten in 1: 25000.

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Kapitel XV.

Der Messtisch.

§ 172. Konstruktion des Messtisch-Apparates.

Der Messtisch dient zur unmittelbaren Übertragung von Winkeln von der Natur auf eine Zeichnungs-Ebene.

Zu der Aufnahme mit dem Messtisch sind zwei getrennte Instrumente erforderlich, der eigentliche Messtisch, und der Messtischaufsatz oder die Kippregel. Zur

Horizontalstellung des Tischblattes dient eine Libelle, gewöhnlich eine Dosen-Libelle von geringer Empfindlichkeit (V—2').

In Fig. 1. und Fig. 2. haben wir einen Messtisch und eine Kippregel dargestellt.

Die Messtischzeichnung Fig. 1. ist einer Mitteilung von Fennel in der „Zeitschr. f. Venn. 1878“, S. 59 entnommen, und gehört zu dem Fennel - Wagner sehen Tachy-graphometer, den wir schon früher in § 168. S. 600 beschrieben haben. Das in Fig. 1. gezeichnete Instrument kann aber sehr wohl auch ira allgemeinen als Repräsentant eines guten Messtisches dienen; es zeigt das hölzerne Stativ, dann das theodolitartig gebaute messingene Zwischen-Gestell und die hölzerne Tischplatte, welche horizontal gestellt, und grob und fein gedreht werden kann.

Eine Besonderheit ist noch vorhanden in den beiden unter dem Tisch angebrachten Rollen, welche zur Aufnahme von Zeichenpapier dienen.

Fig. l.

Messtisch von Fennel.

(Massstab etwa 1:7, d. h. s/, der Kippregel Fig. 1.)

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Nach diesem betrachten wir die in Fig. 2. dargestellte Kippregel.

Dieselbe wurde mit Benützung der Bestandteile eines Ertel sehen Instruments nach Angabe des Verfassers von Mechaniker Siekier in Karlsruhe konstruiert. Auf dem Lineal A A erhebt sich eine metallene Säule, welche die horizontale Axe des Fernrohrs FF trägt. Mit dieser Fernrohraxe fest verbunden ist ein Höhengradbogen, welcher somit der auf- und niedergehenden Bewegung des Fernrohrs folgt, und dessen Teilung an dem Nonius N abgelesen werden kann. Zum feinen Einstellen des Fernrohrs im Sinne der Höhe dient die Schraube S.

Für den Zweck der Höhenwinkelmessung hat das Instrument eine Libelle L-, dieselbe ist fest verbunden mit dem Nonius N, und zwar vermittelst des Rahmens R und mittelst der Schraube S' ein wenig drehbar. Wenn nun das Fernrohr auf einen

Zielpunkt eingestellt ist, so wird vor dem Ablesen des Höhenwinkels durch die Schraube S' die Libelle L zum Einspielen gebracht. Man wird nun durch eine Ablesung den richtigen Höhenwinkel erhalten, vorausgesetzt, dass kein Indexfehler vorhanden ist ; jedenfalls aber bekommt man auf diese Weise die Höhenwinkel unabhängig von der Horizontalstellung des Tisches, auf welche man sich für Höhenmessungen niemals verlassen darf.

Der Höhenkreisbogen ist nach Zenitdistanzen beziffert. Da man hiebei nicht auf die äusserste Genauigkeit ausgeht, so ist die Teilung so stark gemacht, dass man sie ohne Lupe bei jeder Stellung der Kippregel auf dem Tisch bequem ablesen kann. Man erhält auf diese Weise die Winkel noch auf eine Minute genau. Wenn diese Genauigkeit nicht ausreicht, so ist es besser, statt der Kippregel den Theodolit zu nehmen, als die erstere weiter zu vervollkommnen.

Fig. 2.

Kippregel mit Höhenbogen und Libelle. (Massstab etwa 1 : 5, Fernrohrlänge = 50e»».)

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(Karlsr. Sammlung.)

Eine zweite Libelle L' ist unten quer zur Fernrohrrichtung angebracht; sie dient dazu, dass auch die Horizontal-Axe des Fernrohrs unabhängig von der jeweiligen Tisch-Neigung stets horizontal erhalten werden kann; was mit der Schraube S" erreicht wird.

Das Fernrohr hat dieselbe Konstruktion wie das Fernrohr des Tachymeter-Theodolits Fig. 1. § 163. S. 591. An Richte-Vorrichtungen hat die Kippregel Schrauben an der unteren Querlibelle L', wodurch diese Libelle parallel der horizontalen Fern-rohraxe gestellt werden kann; auch die Schraube S" kann als eine Art von Korrektionsschraube betrachtet werden, denn es soll damit die Axe der Libelle L' parallel der Linealebene und Tischebene gestellt werden, doch wird, wie schon erwähnt, diese Schraube S” auch selbständig gehandhabt, um unabhängig von der Tischebene die Libellenaxe L und die ihr parallele Drehaxe des Fernrohrs genau horizontal zu machen.

Streng genommen ist ferner nötig eine Korrektionsvorrichtung am Okular des Fernrohrs zur Richtigstellung des Fadenkreuzes, da aber dieser Umstand bei einer Messtischaufnahme von wenig Belang ist, so wurde im vorliegenden Falle auf Faden-kreuz-Richteschrauben verzichtet.

§ 173. Prüfung und Berichtigung der Kippregel.

Die Prüfung und Berichtigung der Kippregel für Horizontal-Messungen erstreckt sich auf folgende zwei Fragen :

1)    Ob die Zielaxe rechtwinklig zur horizontalen Axe ist;

2)    ob die horizontale Axe parallel der Tischebene (Linealebene) ist, oder ob die horizontale Axe genau horizontal ist, vorausgesetzt, dass die Tischebene genau horizontal ist.

Die Untersuchung geschieht ebenso wie beim Theodolit (§ 51. S. 154).

Wenn das Fernrohr nicht durchgeschlagen werden kann, so kann der Zielaxen-Feliler nicht untersucht werden, zuweilen lässt sich jedoch, wenigstens mittelst Lösung der Axenverbindung ausnahmsweise durchschlagen. Wie schon am Schluss des vorigen § 172. bemerkt ist, kann man auf sehr genaue Kichtigstellung der Zielaxe bei der Kippregel verzichten.

(Das Bückverlängern einer Geraden darf aber dann nie durch Durchschlagen, sondern muss durch Drehen des ganzen Instruments um 180° erzielt werden, weil gerade beim Durchschlagen der doppelte Zielaxen-Fehler sich zeigt.)

Zur Untersuchung der Frage 2) ob die horizontale Axe parallel der Tischebene ist, verfährt man wie bei dem Theodolit, S. 156—157 a) b) oder c), nachdem man zuvor den Tisch selbst mit der Dosenlibelle horizontal gestellt hat. Die Libelle L' von Fig. 2. S. 647 ist dabei nicht erforderlich, sondern die Schraube S" ; und wenn man die Berichtigung ausgeführt hat, so stellt man nachträglich die Libelle L' (welche selbst streng genommen entbehrt werden kann) mit ihren eigenen Korrektionsschrauben horizontal.

Es wird zuweilen behauptet, es müsse die Zielaxe des Fernrohrs sich in die Linealkante, oder wenigstens in eine hiemit parallele Gerade projizieren, dieses ist aber überflüssig, denn ein kleiner Winkel zwischen der Fernrohr-Projektion und der Linealkante hat nur zur Folge, dass die Zeichnung bei orientiertem Tisch um diesen kleinen Winkel gegen die Natur verdreht ist; das ist aber für die später von dem Tisch abgenommene Zeichnung gleichgültig.

Es genügt, das Fernrohr so genau dem Lineal parallel zu stellen, als man es von freiem Auge beurteilen kann.

Was die Berichtigung der Kippregel in Bezug auf die Höhemvinkelmessung betrifft, so gilt hier alles ebenso, wie bei dem Tachymeter Fig. 1. S. 591, dessen Höhenkreisbogen-Untersuchung auf S. 595 gelehrt worden ist.

Wenn man aber an einer Kippregel die besondere bewegliche Libelle L mit der zugehörigen Schraube S', so wie in Fig. 2. S. 647, nicht hat, so ist der jeweiligen Konstruktion entsprechend zu verfahren. Jedenfalls darf man sich auf die Horizontalstellung des Tisches unter keinen Umständen für die Höhenwinkelmessung verlassen, sondern man muss eine besondere Libelle in irgend welcher Anordnung hiefür haben. Wir betrachten den Fall, dass eine Libelle mit dem Fernrohr fest verbunden ist (wie bei dem Nivelliertheodolit S. 851). In diesem Falle wird die Libellenaxe der Zielaxe des Fernrohrs parallel gestellt durch die Nivellierprobe Fig. 4. S. 349 oder Fig. 5. S. 350 ; dann wird jeder Höhenwinkel erhalten durch zivei Ablesungen am Kreisbogen, von denen die eine nach erfolgtem Einstellen des Fernrohrs auf den Zielpunkt, und die andere bei einspielender Libelle gemacht wird. Die Differenz beider Ablesungen giebt den Höhenwinkel.

§ 174. Anwendung des Messtisches.

Der Messtisch heisst orientiert, wenn er so aufgestellt ist, dass ein Punkt der Zeichenebene, welcher das Abbild eines Feldpunktes sein soll, vertikal über letzterem liegt, und dass eine (durch jenen Punkt gehende) Gerade der Zeichenebene parallel einer entsprechenden Geraden des Feldes ist (abgesehen von einem kleinen Winkel zwischen der Linealkante und der Horizontalprojektion der Fernrohr-Axe), die Orientierung des Tisches wird auf Grund einer ersten Schätzung durch Versuche erreicht; es ist hiebei sehr bequem, wenn das Tischblatt auf dem Stativkopf ein wenig verschoben werden kann, damit die letzte feine Centrierung genau und rasch geschehen kann.

Nachdem der Tisch orientiert ist, betrachten wir das Einschneiden. Man versteht darunter die Aufgabe, die Kippregel so zu stellen, dass die Linealkante durch das Abbild des Standpunktes oder Zielpunktes geht, und dass der einzuschneidende Punkt (Zielpunkt oder Standpunkt) am Fadenkreuz des Fernrohrs erscheint, ferner Ziehen einer Linie längs der so gestellten Linealkante. Das Einschneiden wird erreicht durch abwechselndes Drehen (beim Schauen ins Fernrohr) und Parallelverschiebcn des Lineals (beim Schauen auf den Tisch).

Verschiedene Aufnahmsverfahren.

1)    Aufnahme durch Strahlen. Es werden von einem Standpunkt aus Punkte eingeschnitten, und deren gemessene Entfernungen auf den Schnittlinien eingetragen. Dieses Verfahren wird namentlich dann angewendet, wenn das Kippregel-Fernrohr zum Distanzmessen eingerichtet ist, und man nennt es dann zuweilen Messtisch-Tachymetrie.

2)    Die Aufnahme eines Polygonzuges wird ebenso wie mit dem Theodolit aus-geführt, sie ist aber wegen der verhältnismässig bedeutenden Arbeit der Orientierung des Tisches sehr unbequem und zeitraubend.

3)    Vorwärts-Einschneiden (Fig. 1.) auf Grund der unmittelbar gemessenen oder auf anderem Wege erhaltenen Basis A B.

Fig. 1.

Vorwärts-Einschneiden.

Fig. 2.

Seitwärts-Einschneiden.

Fig. 3.

Rückwärts-Einschïuiden.

fco

6—

fcs

4)    Seitwärts-Einschneiden (Fig. 2.) mit vorläufiger Orientierung in P. Seitwärts-Einschneiden ist im allgemeinen günstiger als Vorwärts-Einschneiden,

es ist nämlich innerhalb des um A mit dem Halbmesser A B gezogenen Kreises Vor-wärts-Einsehneiden günstiger, ausserhalb des Kreises ist Seitwärts-Einschneiden günstiger (vgl. Band I. S. 309).

5)    Rückwärts - Einschneiden oder Pothenotische Bestimmung ⁴) (Fig. 3.). Die

drei Punkte ABC sind auf dem Tisch gezeichnet, es soll ein vierter Punkt P, über welchem der Tisch aufgestellt wird, ebenfalls auf den Tisch gebracht werden.

Es giebt verschiedene Arten der Auflösung dieser Aufgabe, von denen wir die wichtigsten hier vorführen.

a)    Es wird auf dem Tisch ein Stück Pauspapier ausgebreitet und befestigt dann werden von einem Punkt des Tisches, welcher in der Vertikalen des zu bestimmenden Feldpunktes liegt, nach vorläufiger Centrierung die drei gegebenen Punkte eingeschnitten. Nachdem das Pauspapier gelöst ist, verschiebt man es so auf dem Tisch, dass die drei auf ihm gezogenen Strahlen durch die Abbilder der gegebenen Punkte gehen, worauf der gesuchte Punkt auf den Tisch durchgestochen wird. In dieser Weise können auch mehr als drei gegebene Punkte benützt werden.

b)    Anwendung des Stand-Peilers (Fig. 4.). Um einen Punkt auf die Karte zu bringen, welcher durch Winkelmessung gegen drei gegebene Punkte (pothenotisch) festgelegt ist, bedienen sich die Seeleute, welche in solchem Falle die Winkel mit dem

Fig. 4.

Stand-Peiler.

ä.

Sextanten messen, eines einfachen Werkzeuges, welches drei Arme unter beliebigen Winkeln gegenseitig zu stellen gestattet. Zu Land bei Messtisch-Aufnahmen kann man ein solches Werkzeug auch anwenden. Man kann auch mehr als drei Strahlen gleichzeitig verwerten, indem man dieselben, wenn sie nicht alle passen wollen, wenigstens möglichst anliegend macht und dann den Scheitelpunkt durchsticht.

(Hannov. Sammlung.)

Entsprechend haben wir auch das in Fig. 4. veranschaulichte Werkzeug merarmig gemacht.

Hat man die Winkel in Gradmass gegeben, so stellt man die Arme auf dem Rand des Kreises ein. Sind die Strahlen graphisch auf dem Tisch gezogen, so ist das Einstellen der Arme ein wenig gehindert, weil der Mittelpunkt zwar zum Durchstechen eingerichtet, sonst aber nicht zugänglich ist. Man kann aber dann auf den Tisch einen Kreis mit dem Halbmesser der Instrumentenscheibe ziehen und damit die Scheibe nebst den Strahlen einpassen.

Unser Instrument hat eine Teil-Scheibe von 15°'" Durchmesser und Armlängen von 34cm. Zum Gebrauch auf dem Messtisch und zu ähnlichen Zwecken dürften übrigens meistens kleinere Dimensionen am Platze sein.

c)    Lösung durch fehlerzeigende Dreiecke. Nachdem der Tisch vorläufig durch Schätzung, oder mit Hilfe eines Kompasses orientiert worden ist, schneidet man die drei gegebenen Punkte so ein, dass die Linealkante durch die Bilder der Punkte geht. War die Orientierung nicht streng richtig, so erhält man ein fehlerzeigendes Dreieck ahc (Fig. 5. S. 651). Nachdem der Tisch ein wenig gedreht worden ist, wird man lösungen der sogenannten pothenotischen Aufgabe“ von Professor Dr. G. D. E. Weyr in Kiel, „Annalen der Hydrographie und maritimen Meteorologie“, Heft IX (September) 1882.

ein zweites fehlerzeigendes Dreieck a' b' d (Fig. 5.) erhalten, und die drei Verbindungslinien der einander entsprechenden Punkte aa' , bb' , cc' beider fehlerzeigender Dreiecke werden sich in einem Punkte p schneiden, welcher als gesuchter Punkt genommen wird.

Fi«. 5.

Fig. 6.

OL'

7>

Wenn die fehlerzeigenden Dreiecke nicht weinander liegen, wie bei Fig. 6., so ist anzustreben, dass sie den gesuchten Punkt p zwischen sich fassen, wie in Fig. 5. Dagegen ist Fig. 7. womöglich zu vermeiden, nötigenfalls durch Anstellen eines weiteren Versuchs.

Zur Verhütung von Täuschungen dient der Lehmann sehe Satz : Der gesuchte Punkt p liegt innerhalb oder ausserhalb des fehlerzeigenden Dreiecks, je nachdem der zu bestimmende Punkt P innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks A B C der gegebenen Punkte liegt.

Bei Aufsuchung der entsprechenden Punkte der fehlerzeigenden Dreiecke hat man zu beachten, dass je zwei entsprechende Punkte der fehlerzeigenden Dreiecke und zwei gegebene Punkte auf einem Kreise liegen.

Besonderer Fall des fehlerzeigenden Dreiecks (Fig. 8. und Fig. 9.). Wenn der zu bestimmende Punkt mit zweien der gegebenen Punkte in einer Geraden liegt (Fig. 8.),

Fig. 8.

Fig. 7.

C‘

p a'

Fi g. 9.

cc

\c'

o-

■O

’P_

,c

so erhält man kein eigentliches fehlerzeigendes Dreieck, sondern zwei (nahezu) parallele Gerade, welche von einer dritten Geraden geschnitten werden. Das Resultat zweier Versuche und die Art der Verbindung der erhaltenen Schnittpunkte zeigt Fig. 9.

Statt dreier Schnittlinien erhält man hier in Fig. 9. nur deren zwei, ad und cd, weil die Schnittpunkte b und b' (welche in A und ü liegen) nicht verwendbar sind.

Auch wenn P nahezu auf der Geraden A C liegt, hat man es in der Praxis mit dem beschriebenen Falle zu thun.

6) Die Aufgabe der zwei unzugänglichen Punkte (vgl. die früheren Figuren 1. und 2. S. 255). Wenn zwei Punkte p₂ und p₄ als Bilder von P₃ und P₄ auf dem Tisch gezeichnet sind, und die Bilder zweier anderer Punkte Pl und P₂ durch Aufstellen des Tisches über diesen bestimmt werden sollen, so nimmt man zwei Punkte Pi und p₂ auf dem Tisch beliebig an, und betrachtet sie als Bilder von Px und P₂. Ein auf der Basis p{ p₂ durch Vorwärts-Einschneiden bestimmtes Viereck p{ p₂ p{ p₄' wird dem zu bestimmenden ähnlich sein , man kann also letzteres durch Übertragen der Winkel des ersteren an die Seite ps p₄ bestimmen. Die Winkelübertragung geschieht mit Pauspapier, dem gewöhnlichen Zirkel, oder sonstigen graphischen Hilfsmitteln.

7) Rückwärts-Einschneiden mit Messung einer Entfernung (Fig. 10.). Die zwei Punkte A und B sind auf dem Tisch gezeichnet, der Punkt P soll bestimmt werden durch Messen der Entfernung B P und Rückwärts-Einschneiden über A und B.

Fig. 10.

Bei kleiner Entfernung PB, welche unmittelbares Messen mit Messlatten gestattet, kommt diese ß    Aufgabe oft vor. Man löst sie mittelbar durch

-p    vorläufige Orientierung, Beschreiben eines Kreis

bogens um B und Rückwärts-Einschneiden. Fällt der Schnitt der Strahlen A P und B P nicht auf den Kreisbogen, so wird die Orientierung entsprechend verbessert. Fällt ein zweiter Schnitt wieder nicht auf den Kreisbogen, so zieht man die Verbindungslinie beider Schnittpunkte und nimmt den richtigen Punkt da an, wo sie den Kreisbogen trifft. Den Kreisbogen selbst zu ziehen ist nicht durchaus nötig.

¹

»Zur Geschichte der Horizontalkurven oder Isohypsen“, von Licha, s. „Zeitschr. f. Verm. 1880“, S. 37 und 484.

²

Die Profil-Zeichnung als Hilfsmittel für Konstruktion der Horizontalkurven ist, soweit die Vergleichung mit anderen Veröffentlichungen zeigt, zuerst in unserer ersten Auflage 1873, S. 242, in dieser Form ausgeführt und ins richtige Licht gesetzt worden. Ein in allen Einzelnheiten durchgeführtes Beispiel unseres von 1869—1881 in Karlsruhe eingeführten Verfahrens geben die „Übungsblätter zum Plan- und Terrain-Zeichnen, 11 Blatt mit kurzer Anleitung zum Gebrauch, von Dr. M. Doll, 1888, Verlag von J. Veith, Karlsruhe“. Blatt 7, 8, 9, 10, 11: Konstruktion der Horizontalkurven.

³

Eine ausführlichere Darstellung dieses Gegenstandes haben wir gegeben in dem Werke: „Anleitung zu wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen“ heraus-• gegeben von G. Neumayer, zweite Auflage, Berlin 1888, S. 41—113.

⁴

Hiebei ist eine Abhandlung zu erwähnen, welche zugleich als Nachtrag zu der pothenotischen Litteratur S. 251—252 zu betrachten ist, nämlich: „Konstruktion zu einer Küstenaufnahme u. s w. nebst Beiträgen zur Geschichte der geometrischen Auf-

§ 175. Allgemeine Betrachtung der Messtisch-Aufnahmen.

Die Genauigkeit der Messtisch-Zeichnung an und für sich ist dieselbe wie die jeder anderen feinen Zeichnung, und wenn man die Zeichnung des Lageplanes als Endziel einer Aufnahme betrachtet, so kann man zu der Anschauung kommen, dass eine gute Messtisch-Aufnahme alles biete was überhaupt wünschenswert sei.

Nimmt man an, dass ein Punkt durch einen Nadelstich auf 0,1"“'* sicher bestimmt ist, so ist durch zwei solche, 30cm von einander entfernte Punkte, eine Richtung auf

0,1

800

206265 Y2 = 97" genau bestimmt.

Die Genauigkeit der Messtisch-Aufnahme wird aber beeinträchtigt durch die Schwierigkeit der Horizontalstellung des Tisches und der damit zusammenhängenden Richtigstellung der horizontalen Axe der Kippregel. Diese Fehler kommen hauptsächlich bei stark geneigten Zielungen in Betracht, während sie hei nahezu horizontalen Ziellinien fast ohne Einfluss sind.

Wir schliessen hieraus, dass in der Ebene ein Winkel mit dem Messtisch so genau gemessen werden kann, als er überhaupt gezeichnet werden kann, dass aber hei steilen Ziellinien sehr bedeutende Fehler erzeugt werden, dass also im steilen Gebirge eine gewöhnliche Messtisch-Aufnahme in Bezug auf die Winkelmessung nicht viel besser ist als eine Kreuzscheiben-Aufnahme in der Ebene.

Wir wollen nun eine Vergleichung anstellen zwischen der Tachymetrie, welche wir in § 169. S. 632—635 beschrieben haben, und dem entsprechenden Aufnahme-Verfahren mit dem Messtisch, welches man wohl auch Messtisch-Tachymetrie nennt.

Alle früher in § 169. beschriebenen tachymetrischen Arbeiten, welche sich auf die Aufnahme der Einzelpunkte beziehen, lassen sich ebenso wie mit dem Theodolit, auch mit der Kippregel ausführen. Die Kippregel muss dann ein distanzmessendes Fernrohr und einen Höhenkreisbogen haben. Statt die Strahlen-Azimute am Limbus des Theodolits, oder an dem Kompass abzulesen, zieht man auf dem Messtisch die Strahlen selbst an der Linealkante aus, und sticht die Distanzen ein. Was die Bestimmung der Standpunkte betrifft, so wird man mit dem Messtisch im allgemeinen anders verfahren als mit dem Theodolit, denn man hat bei der Messtisch-Aufnahme die verschiedenen Einschneide-Methoden zur Verfügung, welche bei der Theodolit-Tachy-metrie weniger Anwendung finden. Umgekehrt lässt sich Polygonzug-Messung zwar auch mit dem Messtisch machen, sie ist aber hier sehr schwerfällig.

Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass eine vollständige Handriss-Zeichnung, wie sie bei der Theodolit-Tachymetrie nötig ist, beim Messtisch wegfällt, weil die endgültige Zeichnung auf dem Tisch selbst entsteht; nur bei verwickelten Formen, welche teilweise durch Einzelmasse aufgenommen werden, ist, auch neben dem Messtisch, ein Handriss nötig. Auch Horizontalkurven, von freier Hand gezeichnet, welche bei der späteren Konstruktion als Leitkurven dienen, finden auf dem Tischblatt selbst ihre Stelle. Ja man kann sogar, wenn man will, auf dem Messtisch die endgültigen Horizontalkurven sofort im Felde konstruieren.

Da die aufgenommenen Punkte auf dem Messtisch sofort in richtiger Lage eingezeichnet werden, so hat man in Bezug auf die Punkt Verteilung den grossen Vorteil vor der Theodolit-Tachymetrie, dass man nicht so leicht entweder zu viel oder zu wenig Punkte nimmt, und dass man über den Stand der Arbeit immer vollständig im Klaren ist.

Vom theoretischen Standpunkt betrachtet ist deswegen die Messtisch-Tachymetrie gegen die Theodolit-Tachymetrie im Vorzug, letztere hat aber andererseits den grossen praktischen Vorzug, dass sie rascher von statten geht. Der Messtisch ist im Vergleich mit dem Theodolit ein ungemein schwerfälliges Instrument, sowohl was den Transport und die Aufstellung, als auch was die Arbeit auf der Station selbst betrifft.

Die meisten Messtisch-Vorzüge werden durch ein Opfer an Zeit erkauft, es ist aber die Feldarbeitszeit erheblich teurer als die Zimmerarbeitszeit, und deswegen ist es nicht zweckmässig, Arbeiten im Felde zu machen, wie das Einstechen der Distanzen und Scharfzeichnen der Formen, welche man ebenso gut oder besser im Zimmer machen kann.

Die Messtischarbeit ist in hohem Grade von der Witterung abhängig, bei Sonnenschein braucht man einen Sonnenschirm, bei feuchtem Wetter schon leidet das Papier der Tischplatte not; dagegen kann man mit dem Tachymeter-Theodolit im Sonnenschein und bei feuchtem Wetter ohne Schirm, bei schwachem Regen noch unter dem Schirm arbeiten.

Die Theodolit-Tachymetrie liefert die Hauptresultate in Zahlen, wornach jederzeit eine Neukonstruktion der Aufnahme gemacht werden kann, während die Messtisch-Resultate nur auf dem vergänglichen Zeichnungspapier haften.

Der Messtisch ist namentlich bei älteren Praktikern und Empirikern geschätzt, welchen die trigonometrischen Berechnungen Schwierigkeiten verursachen.

Alle diese Verhältnisse gegeneinander abzuwägen, kann nur Sache der fortschreitenden Erfahrung sein.

Der Messtisch hat bei den Kataster- Aufnahmen dem Theodolit das Feld räumen müssen. Wenn man das langsame, aber stetige Verdrängen des Messtisches in der Vergangenheit betrachtet, kann man auch für die Zukunft auf noch erheblich weitere Beschränkung der Messtischaufnahmen, auch für Topographie, schliessen.

§ 176. Litteratur über Tachymetrie, Messtisch und Verwandtes.

1813. Erfindung und Einführung des Faden-Distanzmessers in Bayern, nach Mitteilung von Steppes, Zeitschr. des Hannov. Ing.- u. Arch.-Vereins 1884, S. 456. Am 22. Mai 1813 liefert Uhrmacher und Mechaniker Benedict Liebherr in Landshut 6 Distanzmesser. Am 26. Mai 1813 werden ebenfalls 6 Distanzmesser geliefert von Joseph Liebherr, Mechaniker in München, welcher mit Reichenbach und Utzsćhneider 1804 die „mathematische Werkstätte“ gegründet hatte. Ein Schreiben Joseph Liebherrs vom 11. Nov. 1813 behandelt den Distanzmesser als eine neue Sache und spricht von einer zweijährigen Erprobung der Vorteile des Instruments.

1822. „Memorial du dépôt général de la guerre, imprimé par ordre du ministre; tome IV, année 1826. Paris 1828“, pag. 70—77 und planche 2. Rapport sur la stadia : L’idée de mesurer les distances au moyen d’un micromètre n’est pas nouvelle. Ce moyen aurait sans doute depuis longtemps, remplacé la chaine, si jusqu’à ce jour un mode simple et économique d’application du principe n’eut manqué. Un ingénieur italien (?) en a trouvé un, il y a quelques années. Son procédé consiste à viser sous un angle constant, une mire graduée.

Auf Seite 457 daselbst wird die Reduktion l cos² a für die lotrecht stehende Latte erläutert, auch wird ein Täfelchen der Werte 100 cos² a mitgeteilt. Ausserdem wird das nebenstehende Diagramm Fig. 1. zur Reduktion beigegeben. Es ist hierbei:

BC= AB cos a , BC=AB’ , B'C'=AB' cosct,

B’C' — AB cos² a,

das heisst es soll die Reduktion cos² a = cos a X cos a durch zweimalige graphische Reduktion mit cos cc gewonnen werden.

Fig. 1.

30"

20°

also :

10°

A 30°

0°

1832. Der Distanzmesser nach seiner Theorie und Einrichtung, sowie die Anwendung desselben in der Topographie. Karlsruhe, Druck und Verlag von Ohr. Th. Gross.

Fig. 2.

1850. Decher. Über den Reichenbach sehen Distanzmesser. Dinglers polyt. Journ 1850, Band 116, S. 29-51.

d₂

Die Latte hat ungleichförmige Teilung nach der Gleichung (vgl. Fig. 2.):

V.

JL ₌₍tf₃_o,2)tM

2    ' ²    ’ ’ cos*<f>

■B

Die horizontale Entfernung ist:

<i.

1853. Steinheil. Dinglers polytechnisches Journal 1853, Band 129, S. 408—413 (l cos a).

1856. Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde, erste Auflage, München 1856, Bd. I. S. 333 — 355, Theorie des Reichenbach sehen Distanzmessers, und in Band II, Anhang, S. 13—23, Tafeln zur Reduktion der Entfernungen auf den Horizont, bei aufwärts und abwärts geneigtem Fernrohre.

Die Latten - Teilung ist gleichförmig, die Reduktion entspricht Fig. 3. und folgenden Gleichungen:

e — dkh ,    e₀ — e cos²e

21 — h

Fig. 3.

ÜJ

—.c.

Co

~-a i

1)

.r

sin 2 6 —

e'= e coss £ cos (m t).

1865.    Moinot. Lever de plans à la stadia. Notes practiques pour études de tracés par Moi not, ingénieur civil chargé des études du réseau central de la compagnie d’Orléans. Periguenx, 1865.

1866.    San guet. Société d’encouragement pour l’industrie nationale. Rapport sur un instrument de géométrie pratique destiné à mesurer les distances, présenté sous le nom de longimètre par M. Sanguet. 1866.

1868. Tafeln zur Berechnung relativer Höhen, herausgegeben von der Direktion der Domänen und Forsten des Kantons Bern 1868.

1871. Bauernfeind. Ein Apparat zur mechanischen Lösung der nach Pothenot, Hansen u. A. benannten geodätischen Aufgaben. München 1871.

1871. Heuser. Die Aufnahme des Terrains mit dem Distanzmesser, bei Eisenbahn-Vorarbeiten, insbe. sondere die Methode von Moinot-, Zeitschr. d. Hannov. Ing.- u. Arch.-Ver. 1871, S. 445 — 464.

1873. Jähns. Der Vielmesser, ein neues Feldmess-Instrument, konstruiert und beschrieben von Ing. R. Jähns. Preuss. Patent vom April 1873, s. Deutsche Bauzeitung vom 6. März 1875.

1873. Tinter, ff. Starkes Tachymeter, mit einer Tafel. Zeitschr. des österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1873. Separat-Abdruck. Wien 1873.

1873. Werner. Die Tachymetrie und deren Anwendung bei Trace-Studien, von C. Werner, Kommissär der k. k. General-Inspektion der österr. Eisenbahnen. Wien 1873.

1873.    Stück. Distanz- und Höhen-Messung ; Formeln und Tabellen behufs Aufnahme und Höhen -Berechnung. Hamburg 1873.

1874.    Kreuter. Patentiertes Quotier-Instrument für generelle Aufnahmen in koupiertem Terrain, von Ing. Franz Kreuter. Wien 1874. Ferner: Das neue Tacheometer aus dem Reichenbach sehen mathematisch-mechanischen Institute Ertel & Sohn in München, ein Universal-Instrument für alle Feldarbeiten des Ingenieurs, von Franz Kreuter. Brünn 1876; und zweite umgearbeilete und verbesserte Auflage, Brünn 1888.

1875.    Helmert. Der Einfluss der schiefen Stellung der Latte bei Distanz-Messungen u. s. w. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1875, S. 154—157.

1875. Erede. La celerimensura cogli strumenti comuni, tavole di k sen a , k cos a , tang a , cotg a , tavola di riduzione all’ orizzonte (k cos² «) e tavola altimetriche (k tang a). Pistoia 1875.

1875.    Schütze. Tabellen zur Berechnung der Singerteufen (sinus) und Sohlen (cosinus) für Winkel von 5' zu 5' u. s. w. von C. A. Schütze, Berggeschworenen. Quedlinburg.

1876.    Mareks & Balke. Das Terrain-Relief, seine Aufnahme mittelst distanzmessender Winkel-Instrumente u. s. w., unter Beifügung einer Tabelle kurz dargestellt durch Mareks <£• Balke. Selbstverlag der Verfasser. Berlin.

1876. Tinter. C. Wagners Tachygraphometer. Zeitschr. d. österr. Ing.-u. Arch.-Ver. 1876. V.—VIII. Heft.

1876. Wagner. Wagners. Tachymeter (Tachygraphometer), mitgeteilt vom Mechaniker O. Fennel zu Kassel, in der Zeitschr. f. Verm. 1878, S. 57 — 77, und Die Wagner-Fennelschen Tachymeter des mathem.-mech. Inst, von Otto Fennel in Kassel. Kassel 1880.

1876. Koten-Tafeln für die entfernungmessende Kippregel. Berlin, 1876. Beilage zu der „Instruktion für die Topographen der topographischen Abteilung der königl. preussischen Landes-Aufnahme“, Berlin 1876.

1877. Sedlaczek. Der Distanzmesser, erfunden und konstruiert von Ernst Schneider. Wien 1877.

1877. Schlesinger. Der geodätische Tachygraph und der Tachygraph-Planimeter u. s. w. W’ien 1877.

1877.    Vogler. Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln. Berlin 1877. Tafel V. für l cos² at Tafel VI. für */* i sin 2 a.

1878.    Nagel. Alhidadentransporteur, Civilingenieur, 1878, 24. Band, 4. u. 5. Heft. Separat-Abdruck 8. 9—13 und Tafel XIII.

1878. Pesek. Graphische Tafeln zur Bestimmung der Produkte cos² « und */₃ sin2 «. Mitteilungen des Arch.- u. Ing.-Vereins für Böhmen 1878, S. 71, und Zeitschr. f. Verm. 1878, S. 286.

1878. Tichy & Starke. Das neue Tachymeter nach Patent Tichy & Starke. Wochenschr. des österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1878, Nr. 44. und Nr. 46.

1878. Fennel. Wagners Tachymeter (Graphometer). Zeitschr. f. Verm. 1878. S. 57—77.

1878. Szcepaniak. Universal-Nivellier-Instrument als Tachymeter. Wien 1878.

1879. Dörgens. Entfernungsmesser. D. K.-P. Nr. 9924 vom 23. Febr. 1879 und D. K.-P. Nr. 9925 vom 18. April 1879. ■

1880. Klinkerfues. Entfernungsmesser. D. R.-R. Nr. 12 477 vom 1. Juni 1880.

1880. Klein. Über die Genauigkeit des Faden-Distanzmessers. Wochenschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1880 S. 117.

1880. Paschwitz. Beschreibung des Telemeters Paschwitz. Patent, Kissingen.

1880. Rinaldo. Tavola numerica della riduzione all’ orizonte delle distanze lette sulla stadia, da 0» 15' a 40® sessagesimali, compilata per cura dell’ Ingegnere Agronomo Bassi Rinaldo; 1880.

1880.    Jordan. Hilfstafeln für Tachymetrie, von Dr. W. Jordan, Professor am Gr. Polytechnikum zu Karlsruhe. Stuttgart, 1880.

1881.    Schell. Die Terrain-Aufnahme mit der tachymetrischen Kippregel von Tichy & Starke. Wien 1881.

1881.    Friedrich. Das optische Distanzmessen und dessen Beziehung zur direkten Längenmessung. Von Forstrat Joseph Friedrich; Wien 1881.

1882.    Decher. Rechenschieber für Vermessungs- und Bau-Ingenieure, zur Berechnung tach y metrischer Aufnahmen und barometrischer Höhenmessungen, nach den Angaben Dr. Dechers ausgeführt durch die Teilwerkstätte von Th. Beck, Mechaniker zu Strassburg. München 1882.

1882.    Weyer. Konstruktion zu einer Küsten-Aufnahme im Vorbeifahren n. s. w. nebs‘ Beiträgen zur Geschichte der geometrischen Auflösung der sogenannten pothenotischen Aufgabe. Annalen der Hydrographie u. s. w. Heft IX. Sept. 1882.

1883.    Teischinger. Apparat zum graphischen Rechnen für die speciellen Zwecke der Tachymetrie. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1883, Heft IV, und Zeitschr. für Instrumentenkunde 1884, S. 92—95.

1883.    Königliche Eisenbahn-Direktion (linksrheinische) Köln. Anleitung zur Ausführung von Terrain-Aufnahmen für spezielle Eisenbahn-Vorarbeiten mit vorzugsweiser Benutzung des Tachymeters. Köln 1883.

1884.    Jordan. Die Methoden der Tachymetrie; geschichtliche und vergleichende Übersicht. Zeitschr. d. Hannov. Ing.- u. Arch.-Vereins 1884, S. 453—480.

1884.    Snlmoiraghi. Aperçu sur les nouveaux tachéomètres dits les clebs. Milano 1884.

1885.    Teischinger. Die Hilfsmittel der Tachymetrie, insbesondere deren Leistungsfähigkeit in der Praxis. Zeitschr. d. Hannov. Ing.- u. Arch.-Vereins 1885, S. 215—224.

1885. M. Jean Meyer. Memoire sur la stadia topographique et son application. Paris 1885.

1886. Lorber. Über den Einfluss und die Grösse der Lattenschiefe bei Distanzmessungen und über die Genauigkeit von Schrauben-Distanzmessern. Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1886, S. 365—377.

1886. Schreyer. Magnetische Beobachtungen im Königreich Sachsen. Progr. No. 511. Ereiberg.

1886.    Hammer. Über den Verlauf der Isogenen im mittleren Württemberg. Stuttgart.

1887.    Brough, Tacheometry, or rapid surveying, by B. H. Brough, instructor in mine surveying at the royal school of mines. London 1887.

Fortlaufende Litteratur-Angaben über Distanzmesser, Tachymetrie, Messtisch u. s. w. enthalten die Bände der Zeitschrift für Vermessungswesen:

1875,    Seite

1876,

201.

„ 380, 383.

„ 447, 449, 450. „ 327, 328, 330. „ 408, 409, 411. „ 479, 482, 483.

Kapitel XVL

Abstecken von Linien.

§ 177. Abstecken von langen geraden Linien.

Kurze gerade Linien werden durch Einrichten und Einweisen mit freiem Auge abgesteckt, wie bereits in § 3. S. 4 gezeigt worden ist. Da man eine Gerade durch fortgesetztes Einrichten neuer Stäbe beliebig weit verlängern kann, so kann man auch hiernach das Abstecken sehr langer gerader Linien lediglich von freiem Auge machen.

Statt solcher jedem Feldmesser geläufiger Geradsteckungen auf kürzere Entfernungen und mit biosem Auge, wollen wir nun Geradrichtungen mit dem Theodolit betrachten, wie sie beim Strassen- und Eisenbahnbau, bei Grundlinienmessungen u. s. w. auf Entfernungen bis zu 10 Kilometer und noch weiter, Vorkommen.

Wir wollen im Anschluss an Fig. 1. die verschiedenen hiebei gebräuchlichen Verfahren zunächst unterscheiden, wobei die beiden Endpunkte A und B fest gegeben und abgesteckt seien.

Fig. 1.

OO

I. Einweisen von A oder B nach G.

II. Einrichten von C aus nach A und B.

III. Allmähliches Einweisen von A nach a, b, C u. s. w. Diese Verfahrungsarten können auch unter sich verbunden werden.

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

I. Einweisung von den Endpunkten A oder B aus.

Dieses Verfahren scheint auf den ersten Blick das einfachste, man hätte dabei z. B. in A einen Theodolit aufzustellen und nach B einzustellen. Wenn nun das Verfahren überhaupt möglich sein soll, so müssen A und B beide auf natürlichen oder künstlichen Anhöhen sich befinden, und man wird den Zwischenpunkt C von A aus in der Tiefe sehen. Also kippt man den Theodolit in A von B nach C nieder und weist C, woselbst ein Gehilfe stehen muss, mit Fahnenwinken, mit Heliotropen, oder bei Nacht mit Lampenzeichen u. dergl. allmählich ein, gerade so wie man es auf kurze Entfernungen mit Handwinken thut.

(1)

Das ist aber eine sehr umständliche Sache, weshalb wir uns damit nicht weiter befassen, sondern zu besseren Methoden übergehen. Jedenfalls sollte man nicht den Punkt C endgültig einweisen, sondern wenn ein vorläufiger Punkt C in der Nähe von C gefunden ist, die noch nötige Querverschiebung C C aus dem genau zu messenden kleinen Winkel B AC nebst der Entfernung A C = a ableiten, d. h. man hat nach Fig. 2.:

II. Einrichten von C aus nach A und B.

Man denke in Fig. 2. einen Punkt C in der Nähe von C vorläufig bestimmt, was wohl mit den einfachsten Hilfsmitteln, Kreuzscheibe, Prismenkreuz u. s. w. (vgl. S. 5 und S. 10) erreichbar ist, wenn A und B von C aus sichtbar sind.

Fig. 2.

nr

qj

l-a

I J-CD

OCD

Nun stellt naan in C einen Theodolit auf, misst den Winkel A CB genau, und sieht zu, ob er = 180° oder grösser als 180° oder kleiner als 180° wird. In Fig. 2. haben wir angenommen, der Winkel ACB sei = 180° — y, und daraus ergiebt sich, dass C in dem angezeichneten Sinne aus der Geraden ACB herausgerückt ist, und es handelt sich darum, die Einrückung C'C = q zu berechnen. Man braucht dazu vor allem den genau gemessenen Winkel y, und dann noch, jedoch nur genähert, die beiden Entfernungen C'A = a und C'B = b, deren Summe a -f- b auch = AB zu setzen ist. Man bekommt nun die Formel für q am einfachsten, wenn man den Flächeninhalt des langen schmalen Dreiecks ACB zweifach ausdrückt:

2 A A G B = (a -)- b) q = a b sin y

also

(2)

ab. ,

a -h

a -F b q

-v sin y oder =

Damit kann der Punkt C abgesteckt werden.

Die hiezu nötigen Entfernungen a und b wird man je nach Umständen sich wohl genähert verschaffen können, z. B. aus einer topographischen Karte, durch Abschreiten, Gehzeit u. s. w. Je kleiner der Knickungswinkel y ist, desto weniger genau braucht man die Entfernungen a und 5; jedenfalls kann man im Falle ungenügender Entfernungen das ganze Verfahren wiederholen, und ein zweites kleineres q bestimmen, was auch aus anderen Gründen nützlich ist.

Dieses Verfahren des i?wcfcw;«Y£s-Einrichtens von Zwischenpunkten C, das dann zwischen A und G, sowie C und B u. s. f. beliebig fortgesetzt werden kann, ist dem Vorwärts-Einweisen von A oder B nach G unbedingt vorzuziehen ; zunächst aus praktischen Gründen, denn das Messen eines Winkels in G nach A und B ist offenbar viel leichter als das Einweisen mit Fahnen u. s. w. auf weite Entfernung. Das Rück-wärts-Einrichten ist aber auch theoretisch genauer (ebenso wie allgemeiner ein Funkt im Innern eines Dreiecks genauer rückwärts, pothenotisch, als vorwärts, von den drei Ecken, eingeschnitten wird).

Zur theoretischen Genauigkeits-Vergleichung zwischen Ein weisen und Einrichten hat man die beiden Formeln (1) und (2) zu differentiieren ; setzt man dabei den Winkel-messungs-Fehler = Hh b, und bezeichnet man den mittleren Fehler von q mit dq so hat man :

(3)

(4)

für Vorwärts-Einweisen dq± = +

für Rückwärts-Einrichten dq^^=

Hier ist d q{ immer grösser als d q%, für den besonderen Fall der Mitte, mit a — b hat man :

(5)

dq,= a

Q

In der Mitte ist also das Rückwärts-Einrichten doppelt so genau als das Vorwärts-Einweisen von einem Punkte A oder B aus.

III. Allmähliches Einweisen A . a .b . ..

Es giebt viele Fälle, in welchen man nur einzelne kurze Zielungen nehmen kann, z. B. in der Ebene bei Sonnenschein, wegen Undeutlichkeit der Bilder, heim Durchhauen von Wäldern, hei Absteckungen in Tunneln u. s. w. Es bleibt hier nichts übrig, als ein geradliniges Polygon mit Brechungswinkeln von 180° zu bilden.

Ein Theodolit stehe in A (Fig. 3.) und soll nach dem Endpunkt B gerichtet sein. Nun weist man einen nahen Punkt a ein, stellt dort den Theodolit auf, zielt

OS»

v>

i I

ÓP

Ocr

9°

oa cp

CO

-6<o

coo

zurück nach A und verlängert die Gerade a A vorwärts nach ab, und zwar durch Drehen der Alhidade um 180° mittelst der Kreisteilung, und nicht durch Durchschlagen des Fernrohrs, weil gerade beim Durchschlagen der doppelte Zielaxen-Fehler des Fernrohrs zu Tage tritt (vgl. S. 154 c) Fig. 5.), oder auch mit zweifachem Durchschlagen nach Fig. 6. S. 154.

Da man einen Winkel genauer messen als einweisen kann, so empfiehlt es sich, im einzelnen so zu verfahren : man weist den Punkt a von A aus vorläufig ein, misst dann mit zwei Fernrohrlagen und mit Ablesung an zwei Nonien, in üblicher genauer Weise, den Horizontalwinkel zwischen den Zielpunkten B und a, und wenn dieser Winkel nicht 0° 0' 0" sich ergiebt, so verbessert man die Lage von a entsprechend; wenn z. B. der Horizontalwinkel BAa — 0° 0' 15" erhalten würde, und die Entfer-

nung A a = 200“ wäre, so hätte man den vorläufig eingewiesenen Punkt a um 15

200 = 0,015”* nach links zu verschieben.

Ebenso weist man von a aus zuerst

206265

den Punkt b vorläufig ein, misst dann den Winkel A ab in aller Schärfe, und wenn er nicht genau 180° 0' 0" wird, so verbessert man nach Massgabe der Abweichung von 180° 0' 0" und der Entfernung a b die Lage von b. Die Entfernungen von A a , ab ... braucht man natürlich hiebei nur genähert zu kennen.

Dieses Verfahren mag sich auch in solchen Fällen empfehlen, in welchen man auf etwmal weiter sehen und einweisen könnte ; denn alles Einweisen auf kurze Entfernungen, welche noch Zurufe und gewöhnliches Handwinken gestatten, ist unverhältnismässig sicherer und bequemer als das zeitraubende Einweisen auf Kilometer-Weiten.

Genauigkeit. Andererseits ist allerdings die theoretische Genauigkeit dem fortgesetzten Einweisen mit kurzen Strecken nicht günstig. Es kommen hier die Fehlergesetze der Zugmessung in Betracht, welche wir schon in § 98. S. 328 — 329 entwickelt haben. Eine Absteckung von der Gesamtlänge L mit Einzelzielweiten s, mit einem mittleren Winkelfehler e hat näherungsweise einen mittleren Querfehler q zur Folge nach der Gleichung (10) S. 329 :

*=w/^ = ⁰'⁶⁷⁷l/

Diese Gleichung sagt zuerst, dass der Fehler umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der Zielweite s wächst, dass man also möglichst lange Zielweiten s wählen soll.

». N

(6)

Weiter giebt diese Gleichung (6) für irgend welche Verhältnisse eine Fehlerschätzung. Wir wollen beispielshalber den Gotthardtunnel mit rund 15 000m Länge in Absätzen von je 500’" von beiden Seiten her abgesteckt denken. Für die eine Hälfte ist also L = 7500m, s = 500’" und e wollen wir zunächst rund = 1" annehmen; setzt man dieses in die Formel (6) so bekommt man :

L = 7500”* , s = 500”* , e = ±l" , q = ± 0,081”*

Die Absteckung von der anderen Seite her giebt ebensoviel Fehler zu fürchten, der mittlere zu fürchtende Widerspruch beim Durchschlag ist also + 0,081 ]/2 =+ 0,115”*.

Dieses soll nur ein mathematisches Beispiel sein ; ob die Winkelgenauigkeit + 1" in solchem Falle erreichbar ist, und ob die Zielweite s = 500”* nützlich wäre, das sind technische Fragen, welche nur im einzelnen Falle beantwortet werden können. Würde man im vorigen Falle die Zielweiten erheblich kürzer, etwa s = 200”* + 1" lassen, so würde q = +0,128”* und g]/2 = +0,182”'.

Wenn bestimmte Erfahrungen vorliegen, aus denen etwa eine Beziehung zwischen der Zielweite s einerseits und dem mittleren Winkel-Einweisfehler oder dem Zeitaufwand andererseits sich hersteilen liesse, so könnte daraus in Verbindung mit der Theorie der Gleichung (6) eine günstigste Zielweite berechnet werden.

nehmen,

(7)

Ausgleichung eines Abschluss-Widerspruchs.

Wenn eine streckenweise abgesteckte Gerade einen fest gegebenen Abschlusspunkt nicht genau erreicht, sondern um einen Betrag w links oder rechts von dem festen Punkte ankommt, so ist das, theoretisch betrachtet, ein Fehler von gleicher Art wie die Coordinaten-Abschlussfehler der gewöhnlichen Polygonzüge ; und über die Ausgleichung und Verteilung eines solchen Fehlers gilt daher dasselbe wie bei jenen Zügen

Bei einer Absteckung in freiem Felde kann man einen solchen Fehler nachträglich verteilen, und dadurch die Gerade wesentlich verbessern, bei Tunnelabsteckungen wird das allerdings oft nicht möglich sein, indem zum Ausgleichen des Durch-schlag-Widerspruchs nur kurze Teile nach beiden Seiten verfügbar sein werden.

Von solchen praktischen Fragen hier absehend, haben wir die Fehlerverteilung zu benützen, welche in Fig. 2. S. 339 dargestellt wurde, nämlich die Biegung der Geraden AB' in die Kurve A B" mit einem Wendepunkt; allerdings wird man häufig statt dieser Biegung zur Vereinfachung eine einfache Drehung, d. h. Verteilung im Verhältnis der Entfernungen anwenden. Wenn man jedoch eine solche Geradabsteckung genau nach den theoretischen Regeln ausgleicht, so hat man nach der Ausgleichung nur noch sehr kleine mittlere Fehler, entsprechend der Gleichung (34) S. 337, d. h.

= 0,354 fachen Betrag des Endabschlussfehlers.

Über die langen Geradabsteckungen der Grundlinienmessungen der Landesaufnahme bei Göttingen und Meppen, welche von Oberst Schreiber im wesentlichen nach Fig. 2. angeordnet wurden, sind in der „Zeitschr. für Verm. 1880“ S. 383, und 1883 S. 581 Mitteilungen gemacht.

Ferner ist hier anzuführen : Nagel, „Bestimmung von Zwischenpunkten langer gerader Linien“, „Civilingenieur“ 26. Band, 1880, 2. und 3. Heft.

in der Mitte nur den

j/8

§ 178. Abstecken von Kreisbögen. Übersicht der Methoden.

Entsprechend der Absteckung einer Geraden gilt ein Kreisbogen als abgesteckt, wenn so viele Punkte desselben durch Stäbe bezeichnet sind, dass der Verlauf des Bogens dadurch bestimmt ist, und weitere Punkte des Bogens ohne umständliche Rechnung oder Konstruktion eingeschaltet werden können.

Die vorliegende Aufgabe kommt namentlich vor bei Ausführung von Eisenbahnen und Strassen etc. und hiebei bringt es die Natur der Entwurfs-Arbeiten mit sich, dass die Bestimmungsstücke eines Bogens auf dem Felde sehr häufig zwei Tangenten und der Halbmesser sind. Wenn nämlich ein Entwurf in einer Karte gezeichnet ist, dessen Axen-Linien aus einzelnen Kreisbögen mit berührenden Geraden besteht, so lassen sich alle Geraden desselben unmittelbar ins Feld übertragen, und die bei der Zeichnung angewendeten Bogenhalbmesser sind in Zahlen bekannt.

Damit haben wir das erste und wichtigste Verfahren:

I. Beginn mit der Tangenten-Absteckung und darauffolgende Anlegung berührender Bögen.

Alles hiezu Erforderliche ist in theoretischer und praktischer Beziehung sehr einfach, denn das Übertragen der Geraden von dem Plan ins Feld nach Massgabe irgend welcher in der Nähe der Geraden gelegener Fixpunkte ist nicht nur sehr bequem, sondern giebt auch, indem mehr als zwei Bestimmungspunkte für eine Gerade ins Feld gebracht werden, für diese Geraden selbst genügende Proben, dagegen kann die Lage der Bögen selbst unter Umständen unsicher werden. Wir betrachten deshalb auch noch ein anderes Verfahren:

II. Beginn mit der Bogen-Absteckung, und darauffolgende Anlegung berührender Geraden.

Diese beiden Verfahrungs-Arten lassen sich auch unter sich verbinden, und eine lange Linie, welche aus vielen Geraden und Bögen besteht, wird im allgemeinen in einzelnen Teilen nach dem Verfahren L, in anderen Teilen nach II. behandelt werden.

Man unterscheidet hiebei die Absteckung der Hauptpunkte und dann Absteckung der Einzelpunkte. Die Einweisung der Einzelpunkte ist grossenteils unabhängig von der Bestimmung der Hauptpunkte oder der Hauptrichtungen, an welche sich diese Einzelpunkte anschliessen sollen.

Wir werden im Folgenden zuerst den am häufigsten vorkommenden Fall I., Kreisbogen-Absteckung nach Massgabe zweier gegebener Tangenten und des gegebenen Halbmessers, ausführlich behandeln, und zwar mit Trennung der Absteckung der Hauptpunkte und Absteckung der Einzelpunkte.

§ 179. Absteckung der Hauptpunkte, wenn zwei Tangenten und der Halbmesser gegeben sind.

Fig. 1.

Hauptpunkte T, M, T'.

Nach Andeutung von Fig. 1. sind zwei Gerade SN und SN' im Felde abgesteckt; dieselben sollen durch einen berührenden Kreisbogen TMT' verbunden werden, und zu diesem Zwecke sollen zunächst die beiden Berührungspunkte T und T' sowie die Bogenmitte M im Felde bestimmt werden.

Man stellt auf dem Schnittpunkte S der beiden Geraden einen Theodolit auf, und misst den Winkel NSN' — a, welchen die Geraden bilden. Mit diesem gemessenen Winkel a und mit dem aus den Entwurfs-Arbeiten bekannten Halbmesser r wird die Berechnung gemacht.

Zuerst betrachtet man den halben Centriwinkel bei G, welcher TCS—T'GS=y in Fig. 1. eingeschrieben ist:

// N

NI

/X

Damit berechnet man trigonometrisch:

Tangente ST oder ST'=zrtangy

(1)

(2)

Mit diesem Masse S T oder S T' kann man die beiden Berührungspunkte T und T' von S aus einmessen.

Zur Festlegung der Bogenmitte M fällt man die Senkrechte MA auf die eine Tangente, und hat hiezu:

Abscisse TA = r siny Ordinate AM — r — r cos y

Ausserdem kann man den Scheitelabstand SM berechnen:

SM= SG — MC = —

Endlich auch die Bogenlänge:

COS y

Bogenlänge TM — MT' —U.

Zahlen - Beispiel.

Es sei gegeben r = 420”* und gemessen: a = 128° 58' 26"

folglich: ~ = 64° 26' 43"

90°

= 25° 33' 17"

log r log sin y

2.623 249 9.634 853

log r log cos y

2.623 249 9.955 290

log r sin y

2.258 102

log r cos y log ¹-

COS y

2.578 539

2.667 959

r sin y = 181,18

r cos y = 378,91 r = 420,00

-r- = 465,54

COS y

r tang y = 200,82

r = 420,00

r — r cos y = 41,09 ,

Zur Bogenlänge hat man:

y = 25° 33' 17" oder y = 1533' 17" y"= 91997"

COS y

log r

Erg. log q" log y"

r y" log

r = 45,54

2.623 249 4.685 575 4.963 774

2.272 598

r y" __

187,33

Man hat also nun nach den Formeln (2)—(6): Abscisse TA = 181,18“

Ordinate AM — 41,09“

Tangente ST = 200,82“ (7) Scheitelahstand SM — 45,54“ Bogenlänge TM = 187,33“ (8)

damit kann man die Punkte T , T' und M ahstecken.

Die Bogenlänge TM wird zunächst nicht gebraucht; wir haben dieselbe aber sogleich hier mitberechnet, weil sie später, nach Absteckung der Einzelpunkte, als Probe beim Durchmessen (und Numerieren) der ganzen Linie benützt werden soll.

Umformung der Grundformeln.

Wenn y ein kleiner Winkel ist, so kann man die vorstehenden Formeln zum Teil dadurch in eine bessere Form bringen, dass man den halben Winkel J. einführt

u

nach der goniometrischen Formel:

Damit wird zunächst (4):

1 — cos y = 2 sirfi J.

u

(9)

Ferner giebt (5):

Ordinate AM = r — r cos y = 2 r sin²

u

2 sirfi ^    2 sin ~ cos sin

u    i Ł L

(10)

1    _ 1 — cos y

COS y

COS y

COS y

COS y COS

also :    Scheitelahstand :    S M — r

(cos--1 j = v tang y tang

(U)

Aus (2) und (3) bildet man auch noch:

SA = /ST — AT — r tang y — r siny — r tang y (1 — cos y)

Gegen-Abscisse :

(12)

S A = 2 r tang y sin% --

Wir wollen auch nach diesen Formeln die Rechnung für das vorhergehende Beispiel durchführen :

r = 420”*

log 2 log r

log sin ^ log sin ~ log A M

AM = 41,087”*

a = 128° 53' 26"

y = 25° 33' 17"

0.301 030 2.623 249

9.344 713

9.344 713

1.613705

log 2 r sin² | log tang y

1.613 705

9.679 563

,    -J- = 12° 46'38,5"

u

log r

log tang y log tang ^

2.623 249 9.679 563

9.355 602

log S A

1.293 268

log SM

1.658 414

S A = I = 19,646”*

u

Diese Ergebnisse (13) stimmen mit den früheren (7) und (8) überein, innerhalb der in beiden Fällen eingehaltenen Rechenschärfe von 0,01”* und 0,001”*.

Man kann die Formeln (10) , (11) und (12) auch unmittelbar geometrisch deuten,

wenn man nach der nachfolgenden Fig. 2. den Winkel | einzeichnet.

(Die Formel (11) ist in Bauernfeinds „Elementen der Vermessungskunde“, 6. Aufl. II. Band, S. 57, (59) angegeben. In der „Zeitschr. f. Verm. 1882“, S. 244 wurde von Schrenk auf die Nützlichkeit dieser Formel hingewiesen.)

SM = 45,542m    (13)

Zmschen-Tangenten.

Wenn der Scheitelabstand SM sehr gross wird, oder wenn die Bogenmitte M sich nicht gut durch rechtwinklige Coordinaten gegen die Haupttangenten bestimmen lässt, so empfiehlt sich das Legen einer Zwischentangente MS' (bzw. S'MS", wenn in Fig. 2. der Punkt symmetrisch zu S' mit S" bezeichnet wird).

Zieht man entsprechend GS', so wird der Winkel

rcs'=s'CM = -t

Fig. 2.

wenn, wie bisher, GTM=y

genannt wird.

Betrachtet man nun den Bogen TM' M für sich, mit der Mitte M, so überzeugt man sich, dass hiefür dieselben Formeln gelten wie im Vorhergehenden für den Bogen TMT' (Fig. 1. S. 662), wenn man nur

JO

S'

überall \ an Stelle des früheren y setzt.

u

nämlich für Fig. 2. :

Man hat

Tangente S' T = SM = r tang

u

Abscisse TA = r sin ^

u

Ordinate AM' = r — r cos

u

Scheitelabstand S'M

(2*)

(3*)

(4*)

(5*)

cos

oder mit Einführung von

2 r sin² ~

4

Scheitelabstand S’ M' = r tang tang -|-Gegen-Ahscisse S' A = 2r tang | sin² -j-

Ordinate

AM' =

(10*)

(11*)

(12*)

Diese Gleichungen (2*) bis (12*) entsprechen den früheren (2) bis (12) auf

S. 662—663.

Wenn man will, kann man in dem Punkte M' (Fig. 2. S. 664) abermals eine Tangente legen, und die zugehörigen Formeln erhält man, wenn man in den vorstehenden Formeln (2*) bis (12*) überall -jj- an Stelle von setzt.

§ 180. Unzugänglicher Tangentenschnitt.

Es kommt oft vor, dass der Schnittpunkt S der beiden zuerst abgesteckten Tangenten nicht zugänglich ist ; sei es, dass er in Wasser, in einen Wald, an einen steilen Bergabhang u. s. w. fällt, oder auch nur, dass dieser Schnittpunkt zu weit entfernt, oder unbequem fällt ; in allen diesen Fällen kann man durch eine Yerbinduug A B (Fig. 1.) zwischen den beiden Tangenten, den Schnitt S ersetzen.

Man braucht nur die Entfernung A B und die Winkel <jd bei A und tp bei B zu messen, und kann dann berechnen :

a = ip tp — 180°

y = 90°

~ oder y = 180°

2

stn a

Damit ist die Aufgabe auf die vorhergehende zurückgeführt.

sin tp

SB =

AB_ sin a

sin g>.

Fig. 1.

Nachdem so der Grundgedanke unserer Aufgabe an Fig. 1. klar gemacht ist, wollen wir die weitere Ausführung an einem Zahlenbeispiel mit der zugehörigen Fig. 2. S. 666 zeigen.

Es sind in Fig. 2. die beiden Geraden NA und N'B abgesteckt, und es soll ein berührender Bogen von 300™ Halbmesser angelegt werden. Es ist nicht möglich, den Schnitt S der Geraden zu benützen, dagegen kann eine Gerade A B durchgesehen und mit Latten gemessen werden. Man soll erhalten:

(1)

Entfernung AB = 278,14™

und die zwei Winkel in A und B :

NAB

129° 26' 35"

ABN' — tp = 116° 23' 25"

(2)

= <P =

Nun beginnt die Berechnung im Felde, welche wir für diesen oft vorkommenden Fall in aller Ausführlichkeit hersetzen :

(3)

2.484 098 9.952 205

2.484 098 9.887 761

log A B log sin a

2.444 263 0.039 835

129° 26' 35" «j» = 116° 23' 25"

q> + ^ = 245° 50' 0"

65° 50' 0"

2.444 263 9.960 165

180° — ip = A = 50° 33' 25" 180° — i/, = JB = 63° 36' 35" 65° 50' 0"

180° 0' 0"

log A B Erg. log sin «

log (AB : sin a) log sin B

log (AB : sin a) log sin A

log A S 2.436 303 AS= 273,09m

log B S 2.371 859 BS = 235,43™

Fig. 2.

(Massstab 1 : 10 Ö00, l'm = 100m.)

V,

-o

Ci

P=*—-

w\

ss

» SS/'

°=

fU

rC-

CO

CO

OT

W/ s A

s_

Mit dem Winkel a macht man nun im wesentlichen wieder die frühere Berechnung von § 179:

65° 50' 0"

edi a R

32° 55' 0”

90°

= 57° 5' 0" ,

log r

2.477 121

log tang y

0.188 866

r = 300”* , -J- = 28° 32' 30"

u

2.477 121 9.735 517

log r

log tang y

log r tang y

2.665 987

ST — r tang y = 463,43m

log r tang 2.212 638 PT = PM = r tang?- = 163,17    (4)

u

Nun kann man alle zur Absteckung erforderlichen Masse zusannnensetzen :

ST = 463,43™ SA — 273,09

SU= 463,48’“

SB = 235,43

AT= 190,34“ TP— 163,17

BU = 228,00“ UQ = 163,17

(5)

AP = 27,17“

BQ= 64,83“

(6)

Die so erhaltenen vier Hauptmasse 27,17“, 190,34“, 64,83“, 228,00“ schreibt man in Fig. 2. übersichtlich ein, und nun beginnt die Absteckung, indem man von A und B diese Masse in der richtigen Weise mit Messlatten oder dem Messband hinausmisst.

Wenn P und Q eingemessen sind, so wird die Verbindung PQ abgesteckt, und ebenfalls gemessen, wodurch die Probe entsteht, dass PQ = 2mal 163,17“ = 326,34“ sein muss. Hiedurch wird auch die Bogenmitte M im Felde bestimmt.

Alles Übrige ist ebenso wie schon in § 179. gezeigt wurde.

Wenn man etwa noch den Bogen-Viertels-Punkt M' von P aus abstecken will,

so stellt man in P den Theodolit auf, setzt den Winkel TPC = 90°---- =61°27'30''

u

ab, und berechnet dazu die Entfernung:

r tang tang = 41,50“ Damit kann der Punkt M abgesteckt werden.

PM' =

(?)

Einschaltung eines Hilfspunktes C (Fig. 3. S. 668).

Es kann Vorkommen, dass der Tangentenschnitt S selbst nicht zugänglich ist, und dass man auch nicht zwei passende Punkte A und B auf den Tangenten findet, zwischen welchen zusammen gesehen und gemessen werden kann ; dann ist es vielleicht möglich, einen dritten Punkt C (Fig. 3.) so einzuschalten, dass das Dreieck ACB durch zwei Seiten AC und BC und den eingeschlossenen Winkel bei C bestimmt werden kann.

Man kann dann mit Hilfe dieses Dreiecks ABC die Aufgabe auf die vorhergehende Aufgabe von Fig. 2. S. 666 zurückführen.

Die weitere Ausführung dieses Grundgedankens soll an einem Zahlen-Beispiel gezeigt werden, welches der Fig. 3. S. 668 entspricht.

Es sind die Geraden A P und B Q im Felde abgesteckt ; dieselben sollen durch einen berührenden Bogen TMT' vom Halbmesser r = 450“ verbunden werden, und dazu sollen zunächst die drei Punkte T , M , T' abgesteckt werden.

Da 4B unmittelbar nicht gemessen werden kann, ist ein Punkt C gewählt, und es wird gemessen:

(8)

(9)

die zwei Seiten AC = h — 276,28“ , B C — a — 304,52“ die drei Winkel PAC = v = 134° 18' 20" , C B Q = y = 137° 55' 18"

(10)

ACB = C= 132° 7' 12"

Man beginnt damit, das Dreieck ACB aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel aufzulösen, wozu man sich am besten der Mollweide sehen Gleichungen bedient :

=    1° 14' 12”

c = 530,96

(13)

T\

''ir'

NX/

yjr'

A\

WA

B

BH

S'

Die Ausrechnung, deren Logarithmen wir hier nicht hersetzen, giebt:

G = 132° 7' 12”

a — 304,52 b = 276,28

a + b = 580,80 a — b — 28,24

— 66° 3'36”

90°

~Y~    2

= 23° 56'24”

tang

(ia — b) cos

sin

(a — b) cos

(H)

(a -+- b) sin —

Q

(a + b) sin y

oder c

A —B cos 2

(12)

Fig. 3.

Massstab 1 : 10 000 (Ie»» = 100m.) r = 450m.

\2

A — 25° 10'36"

B— 22° 42'12”

Es folgt nun die Berechnung des Dreiecks ABS, dessen Winkel mit A’, B’ und S bezeichnet werden sollen.

Nach (9) Nach (13)

= 134° 18' 20" = 25° 10'36"

ta «

137° 55' 18" 22° 42' 12"

(P — A

A'

109° 7'44" 70° 52' 16"

ty — B

115° 13' 6" B' = 64° 46'54"

(14)

44° 20' 50"

Dabei ist

A'A-S+B’

180°.

Nun ist die Aufgabe völlig auf den Fall von Fig. 2. S. 666 zurückgeföhrt, indem der jetzt mit S bezeichnete Winkel dem früheren Winkel a von Fig. 2. S, 666 entspricht. Wir geben deshalb nur noch die Hauptergebnisse, wobei r = 450m ist:

A S = 687,20“

, = 90°-! = 67°49'35"

ST = ST'=rtangy= 1104,11“

AN = 114,40“

A T— 416,94“

(15)

BS = 717,65“

,    ^- = 33° 54'47,5"

u

, NT= NM = rtang -£- = 302,54"

,    BN' = 83,95™

,    B T = 386,49“

Berechnung mit Coordinaten. Statt das Hilfsdreieck AGB aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel aufzulösen, kann man auch alles nach Coordinaten berechnen. Wenn man A zum Ursprung eines Coordinatensjstems, und AP zu der positiven x-Axe eines solchen Systèmes nimmt, so stellt AGB einen Zug vor, den man in üblicher Weise (vgl. S. 298—299) nach Coordinaten berechnen kann, die Resultate sind:

Azimute

{A G) = 134° 18' 20" {CB) = 86° 25'32" (BQ)= 44° 20'50"

Punkt

0,00“ + 197,71“ -+- 501,64“

0,00“

—192,98“

— 173,99“

Aus den Coordinaten von A und B berechnet man das Azimut und die Ent-

fernung von A nach B‘.

(18)

A B = c = 530,96“

Da man nun die Azimute (A S) und (B S) bzw. (A P) und {B Q) aus der Zugsberechnung hat, und auch das Azimut {AB) bzw. {BA) soeben bestimmt wurde, kann man auch die Winkel A' und B' ableiten:

{A B) = 109° 7'43"

{A S) = 180° 0' 0"

{AB) = 109° 7' 43"

{BA) = 289° 7'43" {B S) = 224° 20' 50"

(19)

A'= 70° 52'17"

B'= 64° 46'53"

Dieses (18) und (19) stimmt mit dem früheren (13) und (14), und die übrige Rechnung (15), (16), (17) bleibt ungeändert.

Diese Coordinaten-Berechnung deutet zugleich an, dass die Verbindung der Tangentenpunkte A und B in Fig. 3. auch durch mehr als einen Zwischenpunkt C gemacht werden kann ; man könnte einen Zug mit beliebig vielen Zwischenpunkten zwischen A und B anlegen, und daraus die Entfernung A B und alle nötigen Winkel berechnen. Wenn z. B. zwischen A und B ein gut gebahnter, aber mehrfach gebrochener Weg besteht, so könnte es sich wohl empfehlen, auf diesem Wege einen scharfen Polygonzug anzulegen (mit sorgfältigster Centrierung), und dadurch eine etwa anderwärts mögliche aber schlecht zu messende Verbindung durch eine Gerade AB zu ersetzen.

Im allgemeinen aber sind natürlich Zwischenpunkte möglichst zu vermeiden.

Fig. 4.

TL

0-

Überstumpfer Centriwinkel.

Wenn der abzusteckende Bogen grösser als ein Halbkreis wird, wie in Fig. 4. angenommen ist, wobei der Centriwinkel 2 y grösser als 180°, also y grösser als 90° ist, so bleibt doch das im vorstehenden beschriebene Absteckungs-Verfahren mit den dazu gehörigen Formeln im wesentlichen bestehen.

2T

IVI

Parallele Tangenten.

Wenn dagegen der Bogen ein Halbkreis mit dem Centriwinkel 180° ist, was bei parallelen Tangenten eintritt, so wird die im bisherigen beschriebene Behandlung der Absteckung unmöglich, wie leicht einzusehen ist. Wir werden diesen Fall in § 186. weiter behandeln.

§ 181. Absteckung der Einzelpunkte nach rechtwinkligen

Coordinaten.

Man wendet die Methode der rechtwinkligen Coordinaten in zweifacher Weise an, nämlich erstens mit gleichen Abscissen-Unterschieden, und zweitens mit gleichen Bogenlängen.

Wir werden diese beiden Fälle im Folgenden zuerst getrennt behandeln, und dann gegenseitig vergleichen.

I. Rechtwinklige Coordinaten für Rreispunkte mit gleichen Abscissenunterschieden.

Fig. 1.

Fig. 2.

AB’ = B’C' = C’D’ = D’E’.

D,

B‘

B' C D' E‘

Aus Fig. 1. entnimmt man die Gleichung:

y = BB' = AB = CA — CP y — r — ]/r² — æ²

Hat man hiernach für einen gegebenen Halbmesser r und beliebig gewählte Abscissen x die Ordinaten y berechnet, so kann die Absteckung nach Andeutung von Fig. 2. S. 670 stattfinden.

Obgleich dabei die Abscissen x willkürlich sind, nimmt man doch meistens dieselben in arithmetischer Reihe, so dass dann die Bogen - Abstände AB , BC , CD und D E in Fig. 2. S. 670 ungleich werden.

Was die Berechnung der y für gewisse x betrifft, so kann man geradezu die Formel (1) S. 670 anwenden, oder man kann dieselbe so schreiben:

(2)

y = r — 1/(r -+- x) (r — x)

Endlich kann man für solche Werte x, welche im Verhältnis zu r verhältnismässig klein sind, die Formel (1) auch in eine Reihe entwickeln:

a:²

y?'²—£c² = r j/ i

£C²

7*2

Ix² la:4 2 r² 8 r⁴

Durch Zusammenfassung mit (1) S. 670 erhält man hieraus:

7*2

= 1-

æ²V/₃

7*2

a?²    a:⁴

2 r 8 r³

Die weitere Fortsetzung dieses Verfahrens giebt:

a:² xi sc⁶ ₍    5 r⁸ 7 r¹⁰

y = 2r ⁺ 8t3 + ÏÔT* ⁺ 1287? ⁺ 256r9 Für viele Zwecke genügt es, nur das erste Glied von (8) anzuwenden, d. h. zu setzen:

(3)

4- ...

(8a)

a:²

» = 27

(4)

Diese Näherungsformel (4) kann man auch so auffassen, dass sie an Stelle des flachen Kreisbogens einen flachen Parabelbogen setzt. (Die Formel (4) entspricht auch

nï

, welche wir früher für trigonometrische

der Korrektion für die Erdkrümmung,

Höhenbestimmung in (4) S. 426 bestimmt haben.)

Die Reihe (3a) ist, sobald man mehr als zwei oder drei Glieder braucht, nicht mehr bequem; namentlich dann nicht, wenn man darauf ausgeht, die letzte Ziffer scharf zu erhalten.

Eine für viele Zwecke ausreichende Tafel der Ordinatenwerte y für gleichförmig wachsende Abscissen x haben wir im Anhang auf Seite [44]—[46] gegeben. Solche Tafeln sind schon wiederholt berechnet und herausgegeben worden.

Die ausführlichste solcher Tafeln ist die von uns berechnete und herausgegebene : „Kreis-Coordinaten für 200 Radien von Jordan, Leipzig, Teubner, 1881“.

II. Rechtwinklige Coordinaten für Kreispunkte mit gleichen Dogen-Abständen.

In Fig. 3. S. 672 sei b eine Bogenlänge und q> der zugehörige Centriwinkel, dann ist für den Halbmesser r :

(5)

(p =

Die hiezu gehörige Abscisse x und die Ordinate y findet man nach Fig. 3: x = r sin g>

(6)

(?)

y = r — r cos q> oder y =2r sin²

Die Winkel <p lässt man hier meist in arithmetischer Progression wachsen, und dann erhalten die Punkte auf dem Kreis gleiche Bogen-Abstände, wie in Fig. 4. angedeutet ist.

Fig. 4.

Fig. 3.

AB — B C = CD — DE.

A Ä B' C D'

Auch für diese Verhältnisse sind wiederholt Tafeln berechnet worden, namentlich das älteste Werk dieser Art:

, Handbuch zum Ahstecken von Kurven auf Eisenbahn- und Wege-Linien, von

H. Kröhnke, Civilingenieur und bestalltem Landmesser“. Leipzig, Teubner, erste Auflage 1851, und spätere Auflagen.

Vergleichung der Verfahrungsarten I. und II.

Zur Vergleichung der Absteckungen mit gleichen Abscissen - Unterschieden und mit gleichen Bogenstücken ist zu bemerken, dass die gleichen Abscissen-Unterschiede bequemer sind, weil hiebei nur die Ordinatenwerte im Auge behalten werden müssen, indem die gleichförmig fortlaufenden Abscissen (z. B. von 20m zu 20m) sich von selbst ergeben. Die gleichen Bogen-Abstände der Punkte haben dann Wert, wenn man die einzelnen abgesteckten Punkte sofort zur endgültigen Verpflockung und Numerierung des Bogens brauchen kann. Dieses ist aber sehr selten der Fall, weil im allgemeinen kein Punkt der Numerierung und Verpflockung mit dem Bogen-Anfang oder Bogen-Ende zusammenfällt. Die gleichen Bogenstücke haben bei der Absteckung den Vorzug, dass man die Stetigkeit mit dem Auge besser verfolgen kann, doch ist dieses auch bei gleichen Abscissen-Unterschieden noch genügend der Fall.

§ 182. Absteckung der Einzelpunkte durch Peripheriewinkel.

Der Satz von der Gleichheit der Peripheriewinkel, welche auf gleichen Bögen stehen, lässt sich in zweifacher Weise zur Bogen-Absteckung verwenden.

I. Ahstecken mit feststehendem Instrumente (Theodolit).

II. Ahstecken mit wanderndem Freihand-Instrument (Sextant, Prismenkreis u. s. w.).

I Abstecken durch Peripheriewinkel von einem festen Punkte A aus (Fig. 1.).

Wenn in Fig. 1. die Punkte ABC D E unter sich gleichen Abstand haben, so sind auch die Peripheriewinkel, welche die Sehnen AB AG AD AE unter sich bilden, einander gleich; und wenn AT eine Tangente in A ist, so ist auch noch der Winkel B AT den Peripherie winkeln gleich. Wenn a der gemeinsame Wert dieser Winkel, und s der zugehörige konstante Sehnenwert ist, so hat man nach Eig. 1.:

Fig. 1.

Konstante Peripheriewinkel a mit dem gemeinsamen Scheitel A.

i,E

oC

/V'

yfß

2r

(1)

Hiernach ist folgende Tafel berechnet, wobei s = 20 angenommen ist, entsprechend der gewöhnlichen Messbandoder Ketten-Länge von 20™.

Peripheriewinkel a für die Sehnenlänge 20.

CO 00 O <M

t—IrHr-HT—I i—I rH (M (M

H®eOH

<m rt* ^ ca

OO Oi lO T—<

tc to ino) o co

Tt«    cq    id> eo

co co ca ca

240

250

260

280

300

320

340

350

i—» t—» i—* i—¹ co cc co co

SS w    i—¹1—¹ ro

DO CO -a OS

17"

360

33

15

48

37

27

14

380

400

450

500

550

600

650

T—* f-H T—I t—I rH rH O O

b a t> ^ cd o co co

COCd tO (M ^COh io

b o io co oo cq o oi

CO CO CM rH    iO io

Um nun hiernach einen Bogen z. B. vom Halbmesser 380™ abzustecken, stellt man einen Theodolit in A auf, orientiert nach der Tangente A T, dreht um den Winkel 1 ° 30' 29" nach links, und misst mit dem 20-Meter-Band von „4 an den Punkt B ein, dann wird die Richtung AG mittelst des doppelten Winkels TAG — 2a — 3°0' 58" eingewiesen, und BG — 20m abgemessen u. s. f.

Eine ausführliche Tafel der Sehnenwinkel und der Vielfachen derselben ist im Anhänge Seite [47] —[49] gegeben; die dabei angewendete Abrundung auf Minuten giebt genügende Genauigkeit.

Wir haben hiebei für die Sehne s eine runde Zahl 20™ angenommen; man kann aber auch umgekehrt für den Peripheriewinkel « eine runde Zahl, z B. a = l° oder a = 30' etc. nehmen, und den zugehörigen Sehnenwert nach (1) berechnen, nämlich:

s = 2 r sin a

43

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Eine hiezu gehörige Hilfstafel ist im Anhang Seite [50] gegeben. Man entnimmt z. B. daraus, dass man einen Bogen vom Halbmesser r = 500m mit drei verschiedenen Centriwinkeln ahstecken kann, nämlich :

1)    mit    a— 2°    und    s —    34,900™

2)    mit    a — 1°    und    s =    17,452m

3)    mit    a = 30'    und    s =    8,727m

Um hiernach bequem ahzustecken, muss man sich ein Bandmass oder eine Kette oder dergleichen von veränderlicher Länge herstellen, was keine Schwierigkeiten verursachen kann. Nötigenfalls kann man sich für diesen Zweck wohl auch einer guten, mit Öl getränkten, Hanfleine bedienen, welche man an zwei Stäben in richtiger, für den einzelnen Fall gut abgemessener Länge befestigt.

II. Abstecken durch Peripheriewinkel mit wanderndem Instrument.

Fig. 2.

Konstante Peripheriewinkel mit der gemeinsamen Sehne AB.

n\

Wenn A und B in Fig. 2. zwei feste Punkte sind, so bekommt man irgend welche weitere Punkte P, Q ..., welche mit A und B auf einer Kreisperipherie liegen, wenn man diese Punkte so bestimmt, dass die Strahlen nach A und B einen konstanten Winkel ein-schliessen. Für den Kreishalbmesser r be-

a(/\^

rechnet man diesen konstanten Winkel a durch die Formel :

AB

(3)

sin a = _

2 r

wo AB die Sehnenlänge zwischen A und B ist.

Hat man in A eine Tangente TAT, so kommt dort der Winkel a = T'AB unmittelbar zum Vorschein.

Um diese theoretischen Beziehungen zur Absteckung verwerten zu können, braucht man ein leicht versetzbares Winkeimess-Instrument, am besten ein Freihand-Instrument. Ein solches Instrument (Arkograph) wurde von Pockels in der „Deutschen Bauzeitung 1875“ S. 22 beschrieben. Dasselbe ist wie ein Winkelspiegel gebaut (vgl. unsere frühere Fig. 1. und 2. S. 6), nur mit dem Unterschiede, dass die beiden Spiegel gegen einander beweglich sind.

Da Reflexions-Winkelmess-Instrumente für andere Zwecke, namentlich für seemännische Beobachtungen, allgemein im Gebrauche sind, nämlich Spiegel - Sextanten, Prismenkreise u. s. w., so braucht man für die oben beschriebenen Kreis-Absteckuugen keine besonderen Instrumente zu bauen; denn der gewöhnliche Sextant oder Prismenkreis eignet sich vorzüglich zu dem angegebenen Zweck.

(Ausführliche Beschreibung dieser Instrumente findet man in des Verfassers „Grundzüge der astronomischen Zeit- und Orts-Bestimmung, Berlin 1885“, S. 154 u. ff.)

Für Landmesser, welche eines jener bekannten seemännischen bzw. astronomischen Instrumente nicht haben, ist ein kleines Prismen-Instrument zu empfehlen, welches, nach Angabe von Dr. Decher, von Reinfelder & Hertel in München unter dem Namen Prismentrommel geliefert wird (mit einer Schrift: „Die Prismentrommel“, ein Tascheninstrument zum Abstecken von Kreisbögen, München 1882).

OL Np

d...

Wir geben in Fig. 8. die äussere Ansicht dieses Instrumentchens, wozu nur bemerkt wird, dass die Reinfelder - Hertel sehe Anordnung keine Kreis-Teilung hat; die in Fig. 3. mit T bezeichnte Teilung, welche an dem Zeiger Z abgelesen wird (nur auf 1°, mit Schätzung von 0,1°) wurde von uns nachher zugefügt, und soll weniger zum eigentlichen Winkelmessen, als dazu dienen, dass man irgend eine Einstellung wenigstens näherungsweise bezeichnen und wiederherstellen kann.

Fig. 3.

Prismentrominel (Durchmesser = 6™').

IIJ

Im übrigen haben wir zwei rechtwinklig gleichschenklige Prismen, ein oberes Q und ein unteres P, welche durch die Schraube H gegen einander gedreht werden können.

(Hannov. Sammlung, Mechaniker Reinfelder <f- Hertel.)

Zu der Theorie des Instrumentes übergehend, können wir bemerken, dass ein besonderer Fall desselben, das Bauernfeind sehe Prismenkreuz, welches zum Abstecken von gestreckten Winkeln (180°) dient, bereits früher in Fig. 3. und 3 a. S. 10 von uns behandelt worden ist.

Früher in § 6. S. 9 haben wir bewiesen, dass die Hypotenusen-Ebene eines gleichseitig rechtwinkligen Prismas für den Ein- und Austritt eines Lichtstrahls an den Katheten - Ebenen wie ein ebener Spiegel wirkt, welcher einen Strahl unter gleichen Winkeln einfallen und austreten lässt.

Fig. 4.

Pi

l<-

a'

ttllD \N.

^av" \\

\ \N

p₂

p₂

Nach diesen Vorbemerkungen liefert uns die vorstehende Fig. 4. S. 675 folgende

Theorie :

Zwei Prismen P P\l\ und QQ1Q2 sind übereinander gestellt, wobei die Hypotenusen P₁ P₂ und Qj Q₂ unter sich den Winkel */' bilden. Von zwei entfernten Punkten L und R fallen Lichtstrahlen auf die Prismen, und zwar trifft der linke Strahl L das untere Prisma P, und der rechte Strahl R das obere Prisma Q. Die Strahlen L und R erleiden (entsprechend dem vorhin citierten Gesetze von Fig. 1. und Fig. 2. S. 9) durch die Prismen Brechungen und Reflexionen (die in Fig. 4. S. 675 nicht im einzelnen angegeben sind) und treten in der Richtung A gemeinsam aus, so dass ein in A befindliches Auge die beiden Punkte L und R in Deckung sieht.

Der Winkel, welchen die beiden von ferne herkommenden Strahlen L und R bilden, sei = y, und der Winkel der beiden Hypotenusen - Ebenen ist = xp ; dann handelt es sich darum, zu zeigen, dass y das doppelte von xp ist.

Hiezu betrachten wir den Weg Lp A des linkseitigen Strahls, welcher im Innern des Prismas nicht wirklich, sondern fingiert ist, jedoch nach der früheren Fig. 1. S. 9 so, dass er der wirklichen Ablenkung entspricht, so dass die beiden Winkel a, welche die Strahlen Lp und pA mit der Normalen pp' zur Hypotenuse bilden, gleich sind. Ebenso verhält es sich beim andern Prisma mit ß und ß.

Nach diesem wird es keine Schwierigkeit mehr haben, aus Fig. 4. S. 675 die Gleichungen zu lesen:

9D + 2a-f-2^ = 360° oder

360° — (2 a + 2ß) a' = 90° — a , ß' — 90° — ß

xp = a' + ß' = 180° — (a-{- ß) — y .

Nachdem so bewiesen ist, dass der Prismenkreis oder die Prismentrommcl Fig. 3. S. 675 zur Winkelmessung, bzw. Winkelabsteckung in freier Hand, ähnlich wie das Prismenkreuz oder wie der Winkelspiegel, gebraucht werden kann, ist auch einzusehen, wie nun ein Kreisbogen nach Fig. 2. S. 674 ahgesteckt werden kann.

Das einzig missliche dabei ist nur, dass alle diese Verhältnisse nur für die Ebene gelten. Auf Gebirgsboden, wo es sich um die Horizontalwinkel zwischen verschieden geneigten Zielstrahlen handelt, kann man Reflexions - Instrumente nicht anwenden.

Für solche Fälle möchten wir am liebsten eine süddeutsche Kegelkreuzscheibe (vgl. die frühere Fig. 1. S. 5) anwenden, welche mit Teilung von etwa 2' Genauigkeit versehen ist (sog. „Gradscheibe“) oder besser noch, welche mit zwei fest einstellbaren Zielspalten zu versehen wäre.

Im Gebirge könnte man eine solche Einrichtung oft brauchen, weniger zur endgültigen Absteckung, als zur vorläufigen Aufsuchung eines zu bahnenden Weges, auf den dann die endgültige Kurve zu liegen kommt.

§ 183. Einrückungs-Yerfahren und Niiherungsformelu.

Unter Einrückungen versteht man solche, bei beschränktem Raum nützliche Absteckungs-Verfahren, bei welchen man sich möglichst wenig weit von dem Bogen entfernt, und, nach jeder Abweichung von dem Bogen, wieder möglichst nahe an denselben heranrückt.

1) Das einfachste Einrückungs-Verfahren besteht darin, dass man mit einem Winkelmess-Tnstrument ein regelmässiges Polygon absteckt, dessen Seiten Sehnen oder Tangenten des Kreises sind; diese Methode wird namentlich bei Kurventunneln angewendet.

2) Durch rechtwinklige Coordinaten werden zunächst von der Tangente A T aus zwei Punkte B und C abgesteckt (Fig. 1.), und zwar so, dass die Abstände AB und BG gleich sind. Wenn also A B = B C = 6 die Bogenlänge ist, so hat man nach § 181. (6) und (7) S. 672:

Fig. 1.¹) Einrückung.

<P =

A B ' = r sin <p = x

B' B = 2r sin2

C'C= 2 r sin²

'S cal

-, ⁽¹⁾

r;

A C — r sin 2 q>

Es handelt sich nun darum, die neue Tangente B" C in C zu bestimmen, und hiezu braucht man nur den kleinen Abstand B' B". Betrachtet man

!r/yl

A ¹ B'B" G' T

B' B" : y — x : r B' B" = X y

das rechtwinklige kleine Dreieck B B' B", so erkennt man, dass näherungsweise die Proportion besteht:

(2)

also :

Hat man auf diese Weise den Punkt B" gefunden, so benützt man die Tangente B" C T' ebenso weiter wie vorher die Tangente AT.

3) Noch mehr auf Näherung als das vorhergehende Verfahren, beruht die in Fig. 2. angedeutete Einrückung mit kurzen Strecken b und kleinen Abweichungen y.

Fig. 2.

Näherungs-Einrückung.

Wir betrachten die unter sich gleich abstehenden Punkte ABCD, deren gegenseitiger Abstand AB = b so klein sei (etwa = 20“), dass man die Ordinate y^ des Punktes B nach der früher in (4) § 181. S. 671 angegebenen Näherungsformel entwickeln kann, nämlich :

b¹

2/0 = 27

(3)

yo

Auch die Ordinate von C, in Bezug auf die Tangente in A als Abscisse, wird noch so berechnet, nämlich:

Ordinate von G —

Nun lässt sich vollends einsehen, dass der in der Fig. 2. mit y bezeichnete Abstand des Punktes G von der Sehne A B, die Hälfte der soeben berechneten Ordinate von G ist, d. h :

(fa=2L2=4%

2 r    r

62

(4)

y = ²2A> = —

z. B. mit 6 = 200m und r — 480m hat man :

y₀ = 0,417“

womit sich die ganze Absteckung durch aufeinander folgendes Einrücken ausführen lässt.

y = 0,833“

Man macht dieses am besten mit dem Messband, dabei stellt man den einen Bandstab in A auf, spannt das Band in der Tangentenrichtung aus und rückt um y₀ — 0,417’" gegen B herein. Nachdem das Band um seine Länge weiter gezogen ist, steht der hintere Stab in B und der vordere zuerst in der Verlängerung von A B, worauf er um y — 0,833"' hereingerückt wird. Das konstante Stück y = 0,833m kann man auf einem Stocke bezeichnen, um die Messlatte nicht jedesmal anlegen zu müssen.

Dieses Verfahren geht ungemein rasch von statten, nahezu mit derselben Geschwindigkeit, wie das gewöhnliche Messen, denn das Einrücken macht fast keine Mühe, und da man keinen andern Weg als den abzusteckenden Bogen selbst zu begehen hat, so ist das Verfahren in Wäldern, Kornfeldern etc. von hohem Wert.

Natürlich ist aber die Fehlerfortpflanzung eine ungünstige, es gelten hiefür die schon früher für Polygonzüge entwickelten Gesetze, und zwar ist nach (8) S. 328 der mittlere Querfehler nach n Einrückungen :

v*-y

wenn nun s e = e den mittleren Fehler einer Einrückung bedeutet. Setzt man dieses e = + lcm, so findet man

Zahl der Einrückungen n —    5

Mittlerer Fehler

10

20

4- 18cm

+ 52cm.

q = Hh 6C"‘

Hiernach ist zu beurteilen, ob das bequeme aber ungenaue Einrückungs-Verfahren im einzelnen Falle anzuwenden ist.

Verschiedene Näherungs formein.

Wenn es sich um Abstecken von Bögen handelt, deren Länge verhältnismässig klein ist gegen den Halbmesser, oder wenn es nicht darauf ankommt, dass der abgesteckte Bogen genau ein Kreis bogen ist, so hält man sich häufig an die einfache Näherungsformel (4) § 181. S. 671, nämlich:

xl

(6)

hiernach :

y~Tr

Die Pfeilhöhe eines flachen Bogens von der Länge l und dem Halbmesser r ist Pfeilhöhe h = Y

8r

(7)

Die Pfeilhöhe wächst also mit dem Quadrat der Bogenlänge.

Hiemit kann man zwischen je 2 Punkte eines Bogens, welche den Abstand l haben, einen weiteren Punkt einschalten, sofern der Halbmesser r bekannt ist.

Auch wenn der Halbmesser nicht bekannt ist, lässt sich ein Kreisbogen abstecken durch Anwendung der auf die Näherungsformel (7) gegründeten sogenannten „ Viertelsmethode¹¹.

Fig. 3.

Viertelsmethode.

xh

Um über der Sehne A B (Fig. 3.) einen flachen Bogen von der Höhe CD — h zu konstruieren, nimmt man 1 /₄7t als Pfeilhöhe für die Sehnen AC und CB u. s. f.

Sind also drei Punkte ABC eines Kreises ge-5 \ geben, so kann man weitere Punkte einschalten, ohne den Halbmesser zu kennen.

Ferner lässt sich hiemit über jeder Sehne A B ein Bogen von beliebiger Pfeilhöhe h abstecken.

T>

(3)

§ 184. Verschiedene Bestinmmngsarten für Kreisbögen und Tangenten.

Nachdem in den bisherigen § 179. bis § 188. im wesentlichen solche Absteckungen behandelt worden sind, bei welchen zuerst die Tangenten und dann die Bögen ins Feld gebracht werden, gehen wir nun, entsprechend der in § 178. S. 661 unter II. gemachten Einteilung, zunächst zu dem entgegengesetzten Verfahren über, wonach zuerst die Bögen abgesteckt und dann die Geraden berührend angelegt werden.

I. Es sind zwei Punkte A und B im

Fig. l.

Felde abgesteckt, es soll ein Bogen von gegebenem Halbmesser durch diese Punkte geführt werden. (Fig. 1.)

Man kann diese Aufgabe auf verschiedene

Art lösen:

Iß

1) Das zuerst sich darhietende Verfahren gründet sich auf den Satz der konstanten Peripheriewinkel. Man stellt in A einen Theodolit auf, richtet denselben zuerst auf B ein, und weist mit fortgesetztem Drehen um einen konstanten Winkel ö weitere Punkte G , D u. s. w. ein. Wenn hiebei der Sehnenabstand BC = CD = s ist und der Halbmesser = r, so hat man nach (1) § 182. S. 673:

Sn

sin S =

(1)

2) Wenn in Fig. 2. die zwei Punkte A B gegeben sind, so kann man auch mit einem wandernden Winkelmess- Instrument auf dem Kreise herumgehen, und so die Punkte G , D u. s. w. mit dem konstanten Winkel a abstecken. Um den Wert dieses Winkels zu bestimmen, muss man die Sehne AB messen, und hat dann für einen Halbmesser r:

AW-

aC

Fig. 2.

S/

)b

sin a — sin d =

AB

(2)

<P

1)

damit kann man auch die Tangenten abstecken, wie in Fig. 2. durch A T mit dem Winkel B A T = d angedeutet ist.

Wenn das Messen der Sehne AB nicht unmittelbar angeht, so kann man einen Hilfspunkt Q (Fig. 2.) annehmen und durch Messung der Entfernungen QA und QB, sowie des Winkels AQB = tp, die Entfernung AB mittelbar bestimmen nach der Formel :

AB = y~QH2 + Q Bi - 2 Q A x Q B cos y

3) Näherungs Verfahren. Wenn man, nach Andeutung von Fig. 3. S. 680 einen Punkt Q gefunden hat, welcher nahezu auf dem Kreise liegt, so kann man von hier aus einen Kreispunkt P bestimmen in folgender Weise:

Man misst den Winkel ip genau, und sieht zu, ob er dem Winkel y gleich ist, wobei y in Fig. 3. dieselbe Bedeutung hat wie a in (2) S. 679, nämlich:

sin y —

(4)

AB

Differenz t :

Der genau gemessene Winkel <p gebe gegen diesen berechneten Winkel y die

Dann berechnet man:

y — cp — s

(5)

sin e sin y

In gleicher Weise könnte man auch einen Punkt P' auf Q A bestimmen.

QP=AQ

(6)

Fig. 3.

Fig. 4.

IB

’B

ŸXF

T'

ht

Auch die Tangenten-Richtung in P kann man auf diesem Wege finden, denn es ist nach Fig. 4.:

BP

A P

sin ß = —-g sin y

Hat man so den Winkel a oder ß bestimmt, so kann man damit die Tangente TFT' in Fig. 4. anlegen.

sin a —

Aä"*'

(V

II. Es ist (nach Andeutung von Fig. 5.) eine Gerade AB und ein ausserhalb derselben liegender Punkt C im Feld abgesteckt; es soll ein Bogen von gegebenem

Halbmesser r so gelegt werden, dass er die Gerade berührt, und durch den gegebenen Punkt geht. Es kommt zuerst darauf an, den Berührungspunkt T zu bestimmen. Hiezu fällt man von C eine Senkrechte CD auf die Tangente AB; und wenn man TD = x setzt, so besteht die Gleichung:

r² = (r — yf- -+- æ2 wonach man berechnet:

Fig. 5.

TD — x , D C= y

T H DB

x — y y (2 r — y) = D T

(8)

damit kann der Punkt T von D aus abgesteckt werden.

Wenn das unmittelbare Fällen der Senkrechten CD oder das Messen von DT nicht tlmnlich ist, so kann man einen Hilfspunkt H nehmen, und nach Andeutung Fig. 5. das rechtwinklige Hilfsdreieck HCD durch Messung der Hypotenuse HC und des Winkels CHD — a bestimmen, wornach ist:

HD = HC cos a

von

CD = HC sin a — y

Darauf lässt sich die Formel (8) anwenden, und das Einmessen der Strecke HT = x — HI), von H aus, bestimmt den Berührungspunkt T.

III. Anlegen der Tangenten. Wenn in der soeben beschriebenen Weise die Kreisbögen ganz oder teilweise vor den Geraden abgesteckt sind, so entsteht noch die Aufgabe, die Geraden nachher berührend anzulegen. Diese Aufgabe kann lediglich empirisch gelöst werden, wie in Fig. 6. angedeutet ist.

Fig. 6.

Gemeinsame Tangente TT'.

P'

6t'

man

Wenn nach Fig. 6. zwei Bögen im Felde bereits abgesteckt sind, und eine gemeinsame Tangente TT' gesucht ""'wird, so überzeugt man sich zuerst, an welchen Stellen T und T' ungefähr die Berührungen stattfinden werden; daselbst steckt die Bögen sehr dicht, etwa von 5m zu 5m, bei scharfen Krümmungen nötigenfalls von 2m zu 2m ab, und weist die Gerade AB durch Probieren von A oder B aus, vielleicht auch mittelst eines Theodolits von einem Zwischenpunkte C aus, ein.

P' T = y PP' (2 r — PP')

Q' T=VQ</ (2r -QQ')

Wenn man nicht nur die Tangentenlagen selbst, sondern auch die Berührungspunkte genau haben will, so kann man die Ordinaten benachbarter Punkte benützen, d. h. man berechnet :

womit der Punkt T doppelt bestimmt ist.

¹

Nach Bauernfeind „Elemente der Vermessungskunde“, 6. Aufi. II. Bd., S. 63.

§ 185. Absteckung nach einem allgemeinen Coordinatensystem.

Bei den kleinen Beispielen, die wir im bisherigen behandelt haben, wurden rechtwinklige Coordinaten nur in Bezug auf einzelne Tangenten als Hauptaxen u. dergl. benützt; man kann aber eine zusammenhängende Trassierungs-Arbeit mit Vorteil auch an ein allgemeines Landesvermessungs-Coordinatensystem anschliessen.

Teils um dieses zu zeigen, teils um auch in anderer Beziehung noch ein zusammengesetztes Beispiel vorzuführen, geben wir in der nachstehenden Fig. 1. S. 682 die Absteckung des Pfaffensprung-Kehrtunnels der Gotthardbahn bei Wasen, nach einer Mitteilung: „Über die Bestimmung der Absteckungs-Elemente für die sieben Kehrtunnels der Gotthardbahn, von Dr. C. Koppe*, Separatabdruck aus der „Eisenbahn“, Band XIII, Nr. 6. und 7. vom 7. und 14. August 1880. Das dabei benützte Coordinatensystem ist das schweizerische, mit dem Coordinaten-Ursprung Bern, mit x nach Süden, -+- y nach Westen, und entsprechender Azimut-Zählung von Süd über West (vgl. das badische System, S. 186, Fig. 2.).

Die nachstehende Fig. 1. S. 682 zeigt zunächst den Verlauf der Trasse im allgemeinen: die offene Bahn kommt nördlich von Flüelen her zu der Tunnelmündung Q. Die Linie QNMP ist Tunnel, und von P wendet sich die Bahn wieder offen nach Süden, dem Gotthard zu.

Die Tunneltrasse, mit der wir uns hier beschäftigen wollen, besteht aus drei verschiedenen Bögen:

Q N mit dem Halbmesser r = 280™ t NM „    „    „ r = 500™

(1)

r — 300™

MP „

Zur weiteren Bestimmung dienen die Tangenten in Q und P, welche sich in W schneiden; und auf diesen Tangenten sind zwei Punkte E (in der Nähe des Eingangs) und A (in der Nähe des Ausgangs) fest bezeichnet.

Fig. 1.

Pfaffensprung-Kehrtunnel der Gotthard-Bahn bei Wasen.

Massstab 1 :10000 (1™ - 100cm).

.^-^^300) ''

~V

SP

eo-

in

\A

__________

O s

N § cm

X=+25000

.84.30

y=-89500

40l,hr,J

y=-90000

Die drei Punkte W , E und A sind durch eine Triangulierung an das allgemeine Coordinatensystem angeschlossen, und haben folgende Coordinaten :

—    90259,848™

—    89838,163

—    90041,229

(2)

+ 25095,146™ -h 25139,362 + 24740,765

Die Punkte Q und P sind durch Einmessen auf den Tangenten WEQ und WAP bestimmt, mit den Massen:

AP= 228,73m

(3)

EQ = 84,30"'

Dadurch ist alles bestimmt, und die Rechnung kann beginnen.

Man berechnet aus den Coordinaten von W , E und A nach (2) S. 682 zuerst die zwei Azimute und den Tangentenwinkel:

Winkel E WA = 64° 18' 55,2"

(4)

Azimut (WE) — 84° 0'50,7"

Azimut (WA) = 148° 19' 45,9"

Mit diesen Azimuten und den zwei gemessenen Längen EQ und A P nach (3) berechnet man auch die Coordinaten von Q und P:

—    89754,323

—    89921,138

4- 25148,153 4- 24546,097

Da Q G als Halbmesser rechtwinklig auf der Tangente Q W steht, und gleiches bei P stattfindet, erhält man aus (4) auch die Azimute von Q und P nach den Mittelpunkten, nämlich:

(5)

(6)

Azimut (ÇC₂₈₀) = 174° 0'50,7" mit Q C₂₈₀ = 280“ Azimut (PC₃₀₀) = 58° 19' 45,9" mit PC₃₀₀ = 300”' Dieses führt auch auf die Coordinaten der beiden Mittelpunkte :

—    89725,123

—    89665,814

4- 24869,680 4- 24703,607

^280 ^300

Hieraus wieder Azimut und Entfernung von C₂go nach C300 :

(9)

(10)

(C₂₈₀ O₃oo) = 160° 20' 49,3"

Entfernung C₂₈₀ C₃oo =- 176,346 Nun hat man in dem Dreieck C₂₈₀ C₃₀o C500 alle drei Seiten gegeben, man kann daher auch die Winkel dieses Dreiecks berechnen:

Azimut

dl)

(12)

Gm C280 = 176,346    =    a    ,    s — a=    121,827

500 — 300 =    C₃oo C₅oo = 200,000    =    6    ,    s — b=    98,173

500 — 280 =    C₂₈₀ C500 — 220,000    =    e    ,    s — c =    78,173

298,173

2 s = 596,346 s = 298,173

Nach bekannten Formeln giebt dieses weiter berechnet:

(13)

a = Winkel C₅₀₀ = 49 ° 22' 15,2" ß = 59 23 59,2 y = 71 13 45,6

180° 0' 0,0"

Azimut (C₃₀₀ C₂₈₀) = 340 ° 20' 49,3" — y — — 71° 13' 45,6" 269° 7' 3,7" 58° 19' 45,9"

Mit diesen Winkeln und den Azimuten (7) , (8) und (11) berechnet man weiter: Azimut (C₂₈₀ C300) =    160° 20' 49,3"

4-ft =4- 59° 23'59,2"

(C280C500) = (NC₂₈₀) =    219° 44' 48,5"    {CmC₅₀₀) = (MCd00) =

nach (7) (Q C₂₈₀) =    174 ° 0' 50,7"

nach (8) (PC₃₀₀) =

Winkel C₃₀₀ =

Nun haben wir in (13) und (14) die Centriwinkel der drei Tunnelbögen, mit denen man dann auch die Bogenlängen berechnen kann, wie folgende Zusammenstellung zeigt:

Bogen Mittelpunkt

^280 ^500 ^300

QN

NM

MP

Centriwinkel Halbmesser Bogenlänge 280"*

500ra 300™

45° 43' 57'8" 49° 22' 15,2" 149° 12' 42,2"

223,492™

430,842™

781,271™

244° 18' 55,2"

1435,605™

Die Summe der drei Centriwinkel giebt die Rechenprobe, dass sie mit dem Tangentenwinkel nach (4) S. 683, nämlich 64° 18' 55,2" auf 180° stimmen muss, was hier der Fall ist.

Nun hat man am Tunnel - Eingang bei Q die Tangenten-Richtung QE und ebenso beim Ausgang PA. Im Innern des Tunnels hat man die Halbmesser, Centriwinkel und Bogenlängen, und damit kann die Absteckung gemacht werden.

§ 186. Verschiedene Wahl der Bestimmungs-Punkte und Bestimmungs-Tangenten.

Die Bestimmungs-Punkte für eine abzusteckende Gerade wählt man natürlich möglichst an den Endpunkten der Geraden.

Weniger einfach ist die Frage zu beantworten, in welcher Weise die Bestimmungs-Punkte oder Bestimmungs-Tangenten für die Absteckung eines Kreisbogens zu wählen sind, damit die unvermeidlichen Fehler dieser Bestimmungen möglichst wenig Einfluss auf die Bogen-Absteckung erlangen.

Den richtigen Halbmesser wird ein abgesteckter Bogen immer hinreichend genau bekommen, denn diesen Halbmesser legt man der Absteckung unmittelbar als genaue Zahlen-Angabe zu Grunde; auch Längenmessungen und Winkelmessungen können im Felde immer genügend genau ausgeführt werden; dagegen können die von dem Plan ins Feld übertragenen bestimmenden Punkte und Tangenten, womit wir uns hier beschäftigen, verhältnismässig viel fehlerhafter sein. Es entsteht daher die Frage, welche Abweichungen stattfinden zwischen zweien Kreisbögen, deren Halbmesser gleich sind, welche aber verschiedene Lage haben.

Die grösste Abweichung findet statt auf der Central - Linie beider Kreise, und sie ist gleich dem Abstand der beiden Kreismittelpunkte. Wir werden deshalb zuerst die durch fehlerhafte Lage der bestimmenden Punkte oder Tangenten erzeugte Ver Schiebung des Kreismittelpunktes hier untersuchen.

Es kommt dabei wesentlich auf den Tangenten winkel an; denn wenn dieser = 0 ist, d. h. wenn die Tangenten parallel sind, versagt die Absteckung von den Tangenten aus völlig, Avie Avir schon am Schlüsse von § 180. S. 670 eingesehen haben.

Dieses führt dazu, zunächst die Verdrehung einer bestimmenden Tangente zu

untersuchen.

Nach Andeutung \Ton Fig. 1. S. 685 seien SA und SB zwei Tangenten, zwischen welchen ein Bogen vom Halbmesser r berührend angelegt werden soll.

Wenn die linksseitige Tangente S A zwar durch den richtigen Punkt T geht, aber um den kleinen Winkel b verdreht ist, so dass sie statt HS die Lage H'S' bekommt, so Avird dadurch der Kreismittelpunkt M doch nicht erheblich ungenau bestimmt, wie schon daraus zu ersehen ist, dass in Fig. 1. eine sehr übertrieben grosse Verdrehung angenommen werden musste, um die Mittelpunkts-Verschiebung MM' überhaupt in einer Figur deutlich darstellen zu können.

Um die Mittelpunkts-Verschiebung MM' durch Rechnung zu bestimmen,

Fig. 1.

Fig. 2.

Verdrehung einer Tangente um den Winkel «'—a —

J\A

M'

/B

TW

R'

ry

\ 90°.

'yT

Cs

S'

\«

betrachten wir das verschränkte Viereck T T’ M' M, welches bei T' rechtwinklig ist. Dieses Viereck wurde in Fig. 2. besonders gezeichnet.

Hierin ist MT = M' T = r, und der Winkel MM' T' ist hinreichend genau = 90 ⁰ — a (eigentlich =90° — a' = 90°—-(ct -+- ö)); wenn man daher das Viereck auf die Seite M' T' projiziert, so erhält man:

M M’ cos (90° — a) + M T cos b = M’ T oder mit M T = M’ T' = r und M M' — m:

m sin a r cos b = r

— (1 — COS b) sm a

Wenn man cos b = 1

— 2 sirfl &

setzt, so erhält man:

m = 2 r - sm² ~ sm a

Setzt man z. B. 5=1°, ferner a = 90° und r — 500™, so erhält man:

(1)

m — 0,076m

Die Mittelpunkts-Verschiebung m ist also hier verhältnismässig sehr klein.

Nur wenn a ein sehr spitzer Winkel ist, wird die Verschiebung in beträchtlich, und wenn a = 0 wird, so wird sogar m = oo, womit die schon vorher erkannte That-sache bestätigt wird, dass bei parallelen Tangenten SA und SB die ganze Bestimmung unbrauchbar wird.

Wichtiger als die Verdrehung einer Tangente um den Berührungspunkt, ist die

Parallelverschiebung (Fig. 3.). Der Einfluss einer solchen Parallelverschiebung ist leicht zu beurteilen, denn man überzeugt sich, dass in diesem Falle die Mittelpunkts-Verschiebung MM' gleich ist der Verschiebung SS' des Tangentenschnittes, und zwar, sowohl wenn nur eine Tangente eine Querverschiebung hat, als auch wenn beide Tangenten solche Querverschiebungen erfahren haben. Wenn u und v die Querverschiebungen beider Tangenten sind, so erhält man nach Fig. 3. die Verschiebung

SS' als Diagonale eines Parallelogramms,

Fig. 3.

Parallelverschiebungen der Tangenten.

\j

M;

tl    V

dessen Seiten bzw. —— und ■-—- sind, und sm a    sin a

dessen Winkel = a ist, es ist deswegen:

V"

Mj

MM' = SS' =

Yu² -f- v² -+- 2 u v cos a

(d)

sin a

Wenn man hier, als besonderen Fall,

\    //77

'$!//

v = u setzt, und dabei 1 + cos a = 2 cos² “

berücksichtigt, so geht der Ausdruck (3) nach einiger Reduktion über in:

MM' — ——

. a

sm

(4)

\ //

V'

'oc

wie sich auch unmittelbar einsehen lässt.

Da sowohl sin «, als auch sin , im

allgemeinen kleiner als 1 ist, und nur sin 90° nicht kleiner als 1 ist, so folgt aus (3) und (4),

dass die Tangenten-Verschiebungen u und v im allgemeinen vergrössert auf die Mittelpunkts-Verschiebung übergehen, und da mit « = 0 die Verschiebung MM' = oo wird, so wird man abermals darauf hingeführt, keinen sehr spitzen Tangentenschnitt zuzulassen.

Fig. 4.

Ersatz-Tangenten SC und SC'.

IR

\T

T'i

Wenn daher, entsprechend Fig. 4., zwei Tangenten AB und A'B', welche sich unter spitzem Winkel schneiden würden, als Bestandteile der Trasse abgesteckt werden müssen, so soll man dennoch diese Tangenten nicht als Bestimmungsstücke für den Bogen nehmen, sondern zwei andere Tangenten S G und S G' nehmen, welche nicht selbst Bestandteile der Trasse werden sollen, welche sich aber unter günstigem stumpfem Winkel schneiden. Die Tangenten AB und .A'/i' sind in diesem Fall nachher anzulegen (wie in § 184. Fig. 6. S. 681 gezeigt wurde).

Wir gehen über zu dem Fali, dass ein Kreis durch zwei Punkte bestimmt wird, und überlegen, wie diese Punkte liegen müssen, wenn die Kreisbestimmung gut sein soll.

Wir betrachten zu diesem Zwecke im Anschluss an Fig. 5. und Fig. 6. den Fall, dass einer der beiden Bestimmungs-Punkte sich von B nach B’ verschiebt; und wir denken die Verschiebung BB’ in zwei Teile u und v zerlegt, wovon u in der Geraden A B und v rechtwinklig hiezu liegt.

Fig. 6.

Fig. 5.

Kreisbestimmung durch zwei Punkte A und B, mit Verschiebungen u , v.

/V

-z

' tole

~7v

Die Mittelpunkts-Verschiebung ist nach Fig. 6.:

MM! — e — r e

wobei s bestimmt wird durch:

(5)

(6)

a 8 = a -t- e , e = 6 + (a — a)

Hierin ist 8 die Verdrehung der Geraden AB, entsprechend der Querverschiebung v, also mit AB = a:

(7)

Der zweite Teil von (6), die Differenz (a — a), kann als Differential von « berechnet werden; es ist zuerst:

cos a —

Dieses giebt differentiiert :

— sin a da.

CO ÄI

-s a

(a — a) = da —

2 r sin a    2r sin a

(8)

Man hat also jetzt aus (6) , (7) und (8):

_ v    u

a 2 r sin a

Hiebei ist --- = r sin ą>

, sin « = cos q> , also e — re nach (5) :

(9)

2 cos

Wenn u und v als mittlere Verschiebungen mit unbestimmten Vorzeichen -t-eingeführt werden, so erhält man auch die mittlere Verschiebung e durch die Gleichung :

1 t'² COS² q> -+- M² sirfl q>

sin² w cos² <p

2 sin <p

c² =

n²

4 sirfi a>

4 COS² <30    4

(10)

ï)l

V2

Setzt man + u = + v — +    , so wird :

nfi cos² 9) + sin² »i2 8 sin² <f> cos² ip

Dieses gilt für die Verschiebung eines Punktes B (Fig. 6. S. 687).

Werden beide Tunkte, A und B, verschoben, so wird statt (9) zu setzen sein: 1 / -+- v •+■ v' ■+- u •+■ u' e = ~2

und dieses giebt, weiter behandelt, statt (11) die Gleichung:

e² =

sin cp

2 sin 2 qi

cos Cp

(H)

(12)

sin 2 ip

Hier ist + m die mittlere Verschiebung (nach irgend welcher Richtung) der Punkte A und B, und e die entsprechende Verschiebung des Kreismittelpunktes.

Man sieht aus (12), dass e im allgemeinen grösser als m ist. dass sich also die Punktunsicherheiten von A und B auf den Mittelpunkt M vergrössert übertragen. Nur in einem Falle wird e — m, wenn 2 = 90° , <p = 45°.

Die Absteckung eines Kreises aus zwei gegebenen Punkten A und B wird also dann am günstigsten, wenn die beiden Punkte einen Quadranten zwischen sich fassen.

Die Formeln (4) und (12), welche bzw. den Einfluss fehlerhafter Lagen bestimmender Tangenten und bestimmender Punkte angeben, haben gleiche algebraische Form, es lässt sich daher hiernach nicht angeben, ob es im allgemeinen nützlicher ist, Tangenten oder Punkte vom Plan in das Feld zu übertragen; da aber die Übertragung einer Tangente wegen der Versicherung durch mehrere Tangentenpunkte genauer ausgeführt werden kann, als die Übertragung eines Punktes, so ist doch die Kurvenbestimmung durch Tangenten nicht ohne besondere Gründe zu verlassen.

Zusammenfassung der Ergebnisse von § 186.

Wenn ein Kreisbogen durch zwei Endtangenten bestimmt wird, so sollen diese sich nicht unter einem spitzen Winkel schneiden; ist der Schnittwinkel erheblich kleiner als 90°, so muss eine andere Bestimmungsart, etwa nach Fig. 4. S. 686, gewählt werden.

Bei den bestimmenden Tangenten kommt es hauptsächlich auf die Lage in der Nähe der Berührungsstelle an, Verdrehungen der Tangenten haben wenig Einfluss auf die Lage des Bogens.

Die Bestimmung eines Bogens durch zwei Tangenten ist im allgemeinen der Bestimmung durch zwei Punkte vorzuziehen; werden zwei Punkte gewählt, so soll ihr Bogenabstand möglichst nahe ein Quadrant sein.

Eine Untersuchung über den Fehler - Einfluss der Kreis - Tangenten wurde von Helmert mitgeteilt in der „Zeitschr. des Hannov. Arcli.- u. Ing.-Vereins, Band 21, 1875,“ Heft 3. (Über die günstigste Wahl der Kardinalpunkte bei dem Abstecken einer Trasse.)

§ 187. Übergangskiirven.

Ein aus Geraden und Kreisbögen zusammengesetzter Linienzug ist weder eine stetige Kurve, noch überhaupt eine flüssige, den Ansprüchen des Eisenbahn - Betriebs genügende Linie. Ein Hauptübelstand dabei ist die Unmöglichkeit, am Übergang des

Wenn w die Spurweite der Bahn ist, so hat man sin a = kann hinreichend genau = 1 gesetzt werden; damit giebt die Gleichung (1):

, und cos a

Bogens in die Gerade die richtige, der Krümmung entsprechende Überhöhung des äusseren Schienenstrangs herzustellen. Diesem Übelstand wird dadurch abgeholfen, dass zwischen die Gerade und den Kreisbogen eine beiderseits berührende Kurve eingeschaltet wird, welche sich mit der Krümmung Null an die Gerade anlegt, und mit stetig wachsender Krümmung den Übergang zu der Krümmung des Kreisbogens vermittelt; dadurch wird erreicht, dass die Bahn in jedem Punkte eine der Krümmung entsprechende Überhöhung des äusseren Schienenstranges erhalten kann.

Um eine Beziehung zwischen der Überhöhung z des äusseren Schienenstrangs und dem Krümmungs - Halbmesser R der Bahn zu finden, betrachten wir in Fig. 1. den Querschnitt der Bahn, nebst einem darauf laufenden Räderpaar. Die Schienen seien A und B, und zwar ist B um z über A erhöht, so dass die Neigung « gegen den Horizont entsteht.

Wenn M die Masse des Fahrzeugs ist, so ist das nach unten wirkende Gewicht — Mg,    —!-

wobei g die Beschleunigung der Schwere ist.

Wenn ferner v die Fahrgeschwindigkeit ist, so ist die nach aussen horizontal wirkende Centri-M*²

Fig. 1.

Mo²

-t-W

->!

M

. Durch Projektion der Kräfte Mg und    auf die Richtung

AB bekommt man die Bedingung des Gleichgewichts:

Mv ²

—COS a = M g Sin n

fugalkraft —

ib

(1)

f'2

₌ 9±

(2)

Nun wird die Bahnkurve im Grundriss betrachtet, und auf ein rechtwinkliges Coordinaten-System x , y bezogen, dessen x-Axe die Tangente ist, an welche sich die Kurve berührend anlegen soll, und dessen Ursprung der Berührungspunkt zwischen der Tangente und der Kurve ist.

In der nachher zu benützenden Fig. 2. S. 691 ist AKB die fragliche Kurve; wir denken uns A als Coordinaten - Ursprung, die Tangente AQ als x-Axe und die Ordinaten y rechtwinklig hiezu.

Es wird nun zur weiteren Bestimmung der Kurve die (willkürliche) Annahme gemacht, dass die Überhöhung z des äusseren Schienenstrangs, vom Berührungspunkt A der Kurve mit der Geraden an gezählt, gleichförmig wachse, d. h.

(3)

z : s = 1 : n

wo s die Kurvenlänge vom Berührungspunkt an gezählt, und 1 : n das Steigungs-Verhältnis ist.

Zugleich machen wir aber die weitere Näherungs-Annahme, die Kurve soll so flach sein, dass die Bogenlänge s gleich der Abscisse x angenommen werden kann, d. h. wir schreiben statt (3) die neue Gleichung:

44

Jordan, Handb. d. Vermessungskunde. 3. Aufl. II. Bd.

Für eine so flache Kurve hat auch der Krümmungs - Halbmesser R eine sehr einfache genäherte Formel, nämlich :

(5)

d²y

d £C²

Zur Begründung der bei (4) und (5) gemachten Näherungen ist daran zu erinnern, dass die genauen Ausdrücke für s und II bekanntlich sind:

S=fV¹⁺{dxj‘d*

d² y

d æ²

es ist deshalb in (4) und (5) gemeinsam die Annahme gemacht ^    =

Aus (2) , (4) und (5) erhält man:

re re

0.

(6)

d*y₌ 9 x

d £C² n tv v²

Man setzt nun zur Abkürzung :

Damit wird (6):

nwv²

= <1

(?)

d² y _ x d a:² q

Dieses ist die Differentialgleichung der Übergangskurve.

(8)

Wenn man diese Gleichung zweimal integriert, und bedenkt, dass für x = 0

sowohl y = 0 als auch

= 0 sein soll, so erhält man :

re re

a:²

“2 q

0)

(10)

y = (Tq

Die Konstante q, welche nach (7) namentlich von der Fahrgeschwindigkeit v abhängt, bestimmt die Übergangskurve vollständig; einige Zahlen werte hiefür sind berechnet mit «7 = 1,5”* und o = 9,81”*, wie folgende Tabelle zeigt:

1: 100

1: 200

1:400

1 : 500

1: 1000

■y = 20”* u = 50”* in 1 Sekunde.

2= 6116 q = 38226

q = 12232 g = 76 453

q= 24465 q = 152905

Il II

30 581 191131

q = 61162 q = 382263

Ein häufig benützter Wert ist q = 12 000.

Je grösser q, desto flacher und länger wird die Übergangskurve.

Ohne auf die besonderen Verhältnisse des Eisenbahnbetriebes näher einzugehen, nach welchen die Wahl der Konstanten q im einzelnen Falle zu treffen ist, behandeln wir die rein geometrischen Verhältnisse mit Beziehung zu der nachstehenden Fig. 2. Seite 691.

In Fig. 2. ist A KB die Übergangskurve, welche in A die Gerade GA berührt und andererseits in B einen Kreis vom Halbmesser r berührt. Es soll jedoch nicht bloss gewöhnliche Berührung stattfinden, sondern die Kurve AB soll in A und in B Berührung zweiter Ordnung (Oskulation) haben, d. h. der Krümmungs-Halbmesser der Kurve soll in A der Geraden entsprechend, = oo sein, und in B soll der Krümmungs-Halbmesser = r sein.

Fig. 2.

Übergangskurve A KB.

j*

v£

A'

MT=r

MT=r+v

x'

C,

C/

y'

H ?

^-------Ct —----- :------- - CI----“——^

1=2 tt

b=4V

Der allgemeine Ausdruck für den Krümmungs - Halbmesser ist mit der bei (5) eingeführten Näherung, nach (8):

_ JL (B y x dx2

Im Punkte A, mit x~ 0, giebt dieses B = oo, wie es nach dem Kurvengesetz immer der Fall ist; und im Punkte B, dessen Abscisse = l gesetzt werden soll, giebt die Bedingung 11 — r nun folgende Gleichung :

± = r

(11)

oder

Die Ordinate 6 des Punktes B ist zunächst vermöge der Kurvengleichung:

(12)

(13)

, Z3 6q

und wenn man hier (12) berücksichtigt, so hat man:

(14)

₆_ s²

⁶ ~ 6 r3

Es handelt sich ferner um die Lage des in B berührenden Kreises '£' BC mit dem Mittelpunkte M.

% ....................

haben wir :

Üb ergangskurven.

Da die Kreis - Tangente in B zugleich Tangente der Übergangskurve ist,

§ 187.

h. nach (9) und dann nach (13) :

tang g> = ^

Z2 3 b

= b:

(15)

In dieser letzten Form spricht diese Gleichung einen Satz aus, welcher lautet: )ie Suhtangente HF des Punktes B ist ein Drittel der Abscisse AF—l. (Dieser Satz gilt für jeden Kurvenpunkt.)

Nachdem somit g> bestimmt ist, können wir auch die in Fig. 2. S. -691 eingeschriebenen Kreis-Coordinaten x' y' angeben, nämlich:

(16)

x' = r sin g> und y' — r — r cos q>

Da jedoch g> klein sein soll, darf man setzen:

l-

sin qi = tang q> —    ,

COS (fi

-V'-W-

1 /Z2\2

(17)

Dieses in (16) gesetzt, giebt zuerst mit Rücksicht auf (12):

(18)

af-y ¹² —

*“l2

dann der zweite Teil von (16) und (17) mit Rücksicht auf (13):

y' =

(19)

q U Z3 _ 3 21 4 g² ~ Sq~ 4 b

Nach (18) und (19) ist also die Lage des Punktes T' so bestimmt, dass er im Sinne der Abscissen die Entfernung A F halbiert und aus diesem Grunde ist noch

a = eingeschrieben.

Im Sinne der Ordinaten hat man wegen (19):

(20)

T T' — b — y' = A-b = v

Dieser Wert v spielt bei den Absteckungen eine Hauptrolle, wir können nach (14) auch dafür schreiben:

2²

(21)

Endlich kann man noch zeigen, dass auch das Stück TT' — v durch die Kurve selbst in dem Punkte K halbiert wird, denn es ist T K als Ordinate zu der Abscisse

a = ~ nach der Kurvengleichung :

l \3

~2

Z3 1

48Vq~~2V

Einige Zahlenwerte für die Hauptformeln der vorstehenden Entwicklung haben wir in der Hilfstafel auf Seite [51] des Anhangs zusammengestellt.

TK —

6q

(22)

Hauptaufgabe für die Anlage einer Übergangskurve.

Nach Andeutung von Fig. 3. sind zwei Gerade SG und SG abgesteckt, welche durch einen Kreisbogen vom Halbmesser r mit Übergangskurven verbunden werden sollen.

Fig. 3.

Kreisbogen mit Übergangskurven.

r,'

J7T

J)

VF

Nach den vorstehenden Entwicklungen bekommt man folgenden Gang der Berechnung und der Absteckung, den wir zugleich durch ein Zahlen-Beispiel erläutern:

1) Man entscheidet sich für einen bestimmten Wert q als Konstante der Formel

V 6 q ‘

(vgl. oben Gleichung (7) und die Tabelle (7*) S. 690) und dann ist mit dem Halbmesser r des anzuschliessenden Kreises sofort auch die Länge l der Übergangskurve bestimmt, nämlich nach (12) S. 691:

Entweder wählt man q nach den Forderungen des Eisenbahnbetriebs

Es kann auch umgekehrt Vorkommen, dass man sich zuerst für die Länge l entscheidet, und bei gegebenem r die Konstante nach vorstehender Gleichung bemisst. Wir wollen beispielshalber annehmen:

und

damit wird:

q = 12 000

r = 300

Kurvenlänge l

12 000

300

40™

= a = 20m

2) Man berechnet die Parallelverschiebung der Tangenten nach (21) S. 692:

24 r3

3) Man macht die Absteckung der Tangenten - Punkte T (Fig. 3.) mit einem Halbmesser r + v statt r, indem man sich zuerst einen Bogen TD T (Fig. 3.) vom Halbmesser r H- v angelegt denkt.

4) Man nimmt a —

Seiten ab, damit bekommt man die beiden Punkte A und F (Fig. 3. S. 693). Ferner berechnet man nach (14) :

= 4 v = 0,889”*

t-

<1-

694

misst man, wie sonst, den Winkel a, derselbe werde a — 82° 50' 0”,

also = 41° 25' 0''

2"

y = 90° —” = 48° 35' 0".

Hiezu wird berechnet:

ST=(r+®) tany y = 300,222”* tang 48° 35' 0” ST = 340,336”*

damit können die beiden Punkte T abgesteckt werden.

= 20m und misst diesen Wert von T aus nach beiden b — ff—

24 r³

womit der Punkt B, d. h. der Übergangs-Berührungspunkt zwischen der Übergangskurve und dem Kreisbogen abgesteckt werden kann.

5) Man steckt die Übergangskurve selbst ab, avozu man die Coordinaten x und y

as³

entweder nach der Kurven - Gleichung y = — berechnet, oder aus einer hiezu berech-

6q

neten Hilfstafel entnimmt (vgl. S. [51] des Anhangs). Im Falle unseres Beispiels hat man:

x — 0

y — 0    0,002™    0,014”*    0,047”*    0,111”*    0,217”*    0,375”*    0,595”*    0,889”*

Die Abscissen x sind hiebei von A an in der Bichtung MG gezählt.

5”*

10”*

15”.

20”*

25”*

30”*

35”*

40”*

6) Man steckt den Kreisbogen ab mit den rechtwinkligen Coordinaten, für r = 300™, wobei man jedoch die Ordinaten sämtlich um v = 0,22”* vergrössert. Die Abscissen x sind von T an in der Richtung TS gezählt, also: x — 0m (Übergangskurve) x = 10 (Übergangskurve)

x — 20    y =    0,67    +    0,22 =    0,89”* Avie bei der Übergangskurve mit x = 40”*

Statt die Ordinaten um v — 0,22 zu vergrössern, kann man natürlich auch die Abscissen-Axe um 0,22 verschieben, und dann die Kreisordinaten für r = 300”* selbst abtragen.

§ 188. Litteratur über Linien-Absteckung und Verwandtes.

I. Linien-Absteckung im allgemeinen.

1851. Kröhnke. Handbuch zum Abstecken von Kurven auf Eisenbahnen und Wegelinien. Erste Auflage, Leipzig 1851, und spätere Auflagen.

1865. Heyne. Das Tracieren von Eisenbahnen. Erste Auflage 1865, vierte Auflage Wien 1872.

1872. Helmert. Die Übergangskurven für Eisenbahngeleise, mit Kechnungsbeispielen und Tafeln Aachen 1872.

1873. Winckel. Handbuch zum Abstecken von Kurven. Berlin 1873.

1873.    Knoll. Taschenbuch zum Abstecken der Kurven an Eisenbahnen und Strassen. Stuttgart 1873-

1874.    Sarrazin und Oberbeck. Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen und Übergangskurven. Berlin 1874. Vierte Auflage, Berlin 1888.

1874.    Hanhard und Waldncr. Tracierungs-Handbuch für die Ingenieur-Arbeiten im Felde. Berlin 1874.

1875.    Helmert. Über die günstigste Wahl der Kardinalpunkte bei dem Abstecken einer Trace. Zeitschr. d. Hannov. Ing - u. Arch.-Vereins 1875, Heft 3. S. 337—348.

1875.    Pockels. Der Arkograph, Spiegel-Instrument zum Abstecken von Kreisbögen. Deutsche Bauzeitung, 9. Jahrgang, 1875, S. 22—24.

1876.    Becker. Die Absteckung von Strassen- und Eisenbahnkurven. Wien 1876.

1877.    Dörflinger. Absteckung der Kehrtunnel bei Wasen. Zeitschr. f. Verm. 1877, S. 526—533.

1879.    Elb. Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen und Übergangskurven. Wilhelmshaven 1879,

1880.    Koppe. Über die Bestimmung der Absteckungs-Elemente für die sieben Kehrtunnels der Gotthardbahn, von Dr. C. Koppe. Separat-Abdruck aus der „Eisenbahn“, Band XIII, Nr. 6 und 7 vom 7. und 14. August 1880.

1881.    Jordan. Kreis-Coordinaten für 200 Radien. Leipzig 1881.

1882.    Decher. Die Prismentrommel, ein Taschen-Instrument zum Abstecken von Kreisbögen, ausgeführt in der optischen Anstalt von Reinfelder & Hertel in München.

1885. Gysin. Peripberiewinkel-Tafeln in alter Teilung zum Abstecken von Eisenbahn- und Strassen-kurven, Liestal 1885, und Tafeln zum Abstecken von Eisenbahn- und Strassenkurven in neuer Teilung. Liestal 1885.

1888. Launhardt. Theorie des Trassierens. Heft II : Die technischen Trassierungen der Eisenbahnen. Hannover 1888.

II. Tunnel-Absteckungen.

Rheinische Eisenbahn.

Mitteilungen von Obergeometer Winckel über drei Tunnel-Absteckungen der Rheinischen Eisenbahn; Zeitschr. f. Verm. 1873, S. 249—254:

1)    Mettericher Tunnel 410™ lang, in einer Kurve von 377m Halbmesser. Absteckung eines in den Kreis einbeschriebenen Polygons von 53™ Sehnenlänge und 1,04™ Pfeilhöhe. Durchschlag-Widerspruch = 6C™.

2)    Friedrich-Wilhelms-Tunnel 328™ lang, in einer Kurve von 339™ Halbmesser. Durchschlag-Widerspruch = l,5cm.

3)    Philippsheimer Tunnel 260™ lang, in einer Kurve von 339™ Halbmesser. Durchschlags-Widerspruch = 0,4™.

Ernst August-Stollen im Harz.

Nach einer Mitteilung von Koppe in der „Zeitschr. f. Verm. 1876“, S. 377 betrug bei 9 Durchschlagen der Fehler im Mittel nur 2,3C™, wobei die Ausdehnung der, erforderlichen Theodolit-Messungen für einen Durchschlag im Mittel etwa 4000™ betrug. Im Anschluss hieran ist auch anzuführen :

Nagel. Über Tiefenlotungen. „Civilingenieur“ 24. Band, 1878, 8. Heft. Separat-Abdruck S. 20. Schmidt. Das Problem der Schachtlotung und seine Lösung mit schwingendem Lote. Jahrbuch für das Berg- und Hüttenwesen im Königreiche Sachsen auf das Jahr 1882, S. 145—161.

Der Mont-Cenis-Tunnel (vgl. S. 697).

Die Absteckung der Axe des Mont - Cenis - Tunnels wurde in den Jahren 1857 bis 1858 ohne Triangulierung, mit Hilfe eines hochgelegenen Observatoriums unmittelbar ausgeführt, wie in der Zeichnung von S. 697 angedeutet ist.

ï. K-

&irk svaisvft

696

YÄ

innellänge wurde durch Triangulierung bestimmt, und die Höhen über *rg hinweg nivelliert.

Weiteres giebt ein „ Rapport sur le percement du grand tunnel des alpes par M. Conte, ingénieur en chef des ponts et chaussées* in den „Annales des pontes et chaussées, 4e série 1863“ 1er semestre, S. 1—51 mit Tafel 37—41. Auszug hieraus s. „Civilingenieur“ 1863, neue Folge 9. Band, S. 341—370 und Tafel 24—26.

Der Durchschlag des Mont-Cenis-Tunnels erfolgte am 26. Dezember 1870; über die dabei gefundene Abweichung ist nichts bekannt geworden.

Der Gotthard-Tunnel (vgl. S. 697).

Dieser grösste bis jetzt ausgeführte Tunnel hat nahezu 15000”* Länge. Die Durchbohrung geschah vom September 1872 bis Februar 1880. Die Absteckung wurde durch Triangulierung bestimmt. Folgendes sind die wichtigsten Nachweise hiefür:

1870. Gelpke. Bericht über die Bestimmung der St. Gotthard-Tunnel-Axe, von O. Gelpke, eidgenössischer Ingenieur. „Civilingenieur“ 16. Band (1870) S. 143—168. Dreiecksnetz mit einer 1450,44 m langen Grundlinie bei Andermatt. Mitteilung von 20 Originaldreiecken.

1875. Koppe. Bestimmung der Axe des Gotthard - Tunnels. Ausgeführt in den Jahren 1874/1875 von C. Koppe, Geometer der Gotthardbahn; mit einer Dreiecksnetz-Karte. Zeitschr. f. Verm. 1876, S. 369—444.

1876. Koppe. Bestimmung der Axe des Gotthard - Tunnels. Nachtrag (Berichtigung) zu S. 390—394 des vorigen. Zeitschr. f. Verm. 1876, S. 86—90.

1876. Koppe. Trigonometrische Höhenmessung zur Tunnel - Triangulation. Zeitschr. f. Verm. 1876, S. 129—145.

1876. Helmert. Diskussion der Beobachtungsfehler in Koppe s Vermessung für die Gotthard-Tunnel-Axe. Zeitschr. f. Verm. 1876, S. 146—155.

1876.    Koppe. Bestimmung der Axe des Gotthard-Tunnels. Zeitschr. f. Verm. 1876, S. 353—382.

1877.    Pestalozzi. Die Absteckung der Axe des Gotthard-Tunnels. Vortrag, gehalten in der X. Sitzung des Züricherischen Ing.- u. Arch.-Vereins vom 23. Februar 1877, von S. Pestalozzi, Ingenieur (mit einer Beilage, enthaltend die Triangulierungs - Netze von Gelpke und von Koppe). Siehe „Die Eisenbahn“, Schweizerische Zeitschr. f. Bau- u. Verkehrswesen, VI. Band 1877, Nr. 12 und Nr. 13, S. 89—91 und S. 97—99.

1878.    Dolezalek. Hilfsmittel für die Eichtungsangabe im Gotthard-Tunnel. Zeitschr. des Arch.- und Ing.-Vereins zu Hannover, Band 24, 1878, Heft 2. S. 185—194.

aus

1880. Koppe. Die Absteckung der Axe im Gotthard-Tunnel, von Dr. C. Koppe. Separat-Abdruck der „Eisenbahn“ Band XXII, Nr. 8, vom 20. Februar 1880.

1880. Gelpke. Die letzten Kichtungs-Verifikationen und der Durchschlag am grossen St. Gotthardt-Tunnel. Zeitschr. f. Verm. 1880, S. 101—116, 137—148, 149—163.

1880. Dolezalek. Der Durchschlag und die Bichfcungsbestimmung des Gotthard-Tunnels. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1880, S. 317—320.

Der Durchschlag des Gotthard-Tunnels geschah am 28. Februar 1880, mit einer um 7,6 Meter kleineren Länge als erwartet wurde, d. h. die beiderseitigen Stollen trafen bereits zusammen, als man noch 7,6 Meter dazwischen zu haben glaubte. In der Höhe stimmte der Durchschlag auf 0,05 Meter und in der Richtung bei erster Messung auf 0,49 Meter, bei zweiter Messung auf 0,33 Meter. („Zeitschr. f. Verm. 1880“ S. 157, 159, 161 und „Zeitschr. d. Ing.- u. Arch.-Vereins zu Hannover 1880“, S. 318.)

§ 188.

Litteratur über Linien-Absteckung und Verwandtes.

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Mont - Cems.

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St.Gotthard.

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97.

Nachtrag zu § 73. und zu

In der Zwischenzeit seit dem Druck von § 73. sind die Neubestimmungen der Landes - Anfnahme für die zwei Hannoverschen Hauptpunkte Ägidius und Wasserturm bekannt geworden.

Die neuen rechtwinkligen Coordinaten beziehen sich auf den Ursprung Celle, und die gegenseitige Umformung der alten und neuen Coordinaten geschieht durch ähnliche Formeln, wie die schon in § 61. S. 196 (19) und (20) angegebenen.

In nebenstehender Figur bedeuten x , y die alten Coordinaten mit dem Ursprung Göttingen, und x' , y' die neuen Coordinaten mit dem Ursprung Celle, und die entsprechenden Formeln sind:

+X

Celle+y’.

p--------- '

-Sr

\ W^s

Aeg.

Gött ngen

±y

y' — (y — b)— m' (y— V) + n'(x—a) , x'—{x — a)— ri (y — b) — m'(x — a) y — y' b m y' — n x'

x = x' -i- a -p nÿ H- mx'

Dazu gehören folgende Zahlenwerte: v sine — — n , log n = 7.276 353 — sin e —

, log m — 6.511 994

logn'= 7.276 070    - cos e =

V

1 — m! , logm!=. 6.516 593 a = + 121 937,460”*

b = + 9346,099”*

Weiteres hierüber s. „Zeitschr. f. Vermessungswesen 1888“ S. 305—310.

Nach den vorstehenden Formeln sind die folgenden, zu § 73. S. 234 gehörigen Coordinaten berechnet:

y'

x'

1. Agidius Helmstange

—    23 271,813”*

2.    Wasserturm, Flaggenstange . . — 25 538,488

25 537,808

3.    Techn. Hochschule Hauptturm S.    — 24 709,778

„    „    südöstl. Turm SO.    — 24 667,098

,    „    Eisenplatte E.    — 24 655,721

»    „    „ S'.    —24    709,921

.    —26 398,919

.    — 26 824,250

.    — 25 852,643

.    — 24 750,641

.    — 23 545,576

.    — 23 722,921

.    — 24 008,651

. — 24 049,898 12. Rathaus-Turm in Linden .    .    .    — 24 597,348

—    25 273,930

14. Katholische Kirche, Turm .    .    .    — 24 897,076

—    24 583,972

16. Zuckerfabrik, Schornstein .    .    .    — 24 947,309

—    24 158,298

Pfeiler .    .

10.    Neustädter Turm .

11.    Waterloo-Säule

13. Martins-Turm

15. Zionkirche, Turm

17. Christus-Turm

—    28 308,395”*

—    29 071,474

—    29 071,058

—    26 868,341

—    26 852,031

—    26 879,835

—    26 871,990

—    26 910,911

—    29 301,629

—    30 494,325

—    29 868,898

—    28 046,915

—    27 866,305

—    28 114,280

—    28 628,324

—    28 688,837

—    28 710,901

—    28 926,178

—    29 163,511

—    30 199,501

—    26 989,669.

Anhang. / :V-

a*

Nr.

A. n h a n g.

Hilfstafeln.

Seite

Reduktion für Wärme-Ausdehnung oder für kleine Massstahsfehler . . Reduktion schiefgemessener Längen auf den Horizont, L — Leos a . .

Verwandlung der Sexagesimalteilung in Centesimalteilung.....

Verwandlung der Centesimalteilung in Sexagesimalteilung.....

Division von Winkelsummen durch 4............

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

m-[8]

Hilfstafeln zur Berechnung mittlerer Nivellierungsfehler Trigonometrische Höhenmessung. Erdkrümmung und mittlere Refraktion .    [9]—[12]

Barometrische Höhenmessung. Barometer- und Thermometer-Teilungen .    .    .

„    „    Reduktion des Quecksilber-Barometers .    . [14]—[16]

[13]

Capillardepression

Schwere-Reduktion

[17]

[18]—[19]

Spannung des Wasserdampfes u. s. w. .    . [20]— [23]

Ausdehnung der Luft durch die Wärme .    .

Rohe Meereshöhen.........

[24]

Barometrische Höhenstufen......

Schrittmasse mit Barometer-Differenzen .    .

[25]—[33] [34]—[35]

[36]

Distanzmessung durch den parallaktischen Winkel..........

Berechnung von Messband-Zügen mit Höhenwinkeln, 20 cos a und 20 sin « Magnetische Missweisung, für die Mitte des Jahres 1890

Tachymetrische Tafel........

Rechtwinklige Coordinaten für Kreisbögen .

Peripheriewinkel für die Sehnenlänge 20m .

Sehnenlängen für gegebene Peripheriewinkel Übergangskurven .........

[37]

[38]

[39]

[40]—[43] [44]—[46] [47] - [49]

[50]

[51]

Mass-Vergleichuug

[52]—[55]

[2]

Anhang.

. Nr.

Reduktion für Wärme-Ausdehnung oder für Meine Massstabsfehler.

Wärme-Ausdehnung eines Massstabes von 1 Meter Länge.

Messing

Eisen

Tannenholz

c°

mm

c°

mm

c°

mm

K c°

mm

c°

nun

c°

mm

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0,36

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0,41

0,43

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0,49

0,51

0,53

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Reduktion für eine Mass-Änderung n.

Gemessene Länge oder Höhe

1 Latten-Meter

= 1 ™-t-n    2™    4™    5™    6™    8™ 10TO 20™    30m 40™ 50™ 100™

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Reduktion schiefgemessener Längen auf den Horizont. L—Lcos

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Verwandlung der Sexagesimalteilung in Centesimalteilung.

Grade.

00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

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48.8..    50,0..    51,1..

60,0.. 61,1.. 62,2..

71.1..    72,2..    73,3..

82.2..    83,3..    84,4..

93.3..    94,4..    95,5..

104.4..    105,5.. 106,6..

115.5..    116,6.. 117,7..

126.6..    127,7.. 128,8..

137.7..    138,8.. 140,0..

148.8..    150,0.. 151,1.. 160,0.. 161,1.. 162,2..

171.1..    172,2.. 173,3..

182.2..    183,3.. 184,4..

193.3..    194,4.. 195,5..

204.4..    205,5.. 206,6..

215.5..    216,6.. 217,7.. Minuten.

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000617 000926 003704 004012 006790 007099 009877 010185 012963 013272 016049 016358

001235 001543 001852 002160 002469 002778 004321 004630 004938 005247 005556005864 007407 007716 008025¹ 008333 008642 008951 010494 010803,011111 011420 011728 012037 013580 013889:014198 014506 014815 015123 016667 0169751017284 017593 017901 018210

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201

231

262

293

S. 175.)

Verwandlung der Centesimalteilung in Sexagesinialteilung.

Grade.

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90 54 99 54 108 54 117 54 126 54

135 54 144 54 153 54 162 54 171 54

1° 48' 10 48 19 48 28 48 37 48

46 48 55 48 64 48 73 48 82 48

91 48 100 48 109 48 118 48 127 48

136 48 145 48 154 48 163 48 172 48

2° 42' 11 42 20 42 29 42 38 42

3° 36' 12 36 21 36 30 36 39 36

47 42 56 42 65 42 66 36 74 42 75 36 83 42 84 36

92 42 93 36 101 42 102 36 110 42 111 36 119 42 120 36 128 42 129 36

137 42 138 36 146 42 147 36 155 42 156 36 164 42 165 36 173 42 174 36

48 36 57 36

4° 30' 13 30 22 30 31 30 40 30

49 30 58 30 67 30 76 30 85 30

94 30 103 30 112 30 121 30 130 30

139 30 148 30 157 30 166 30 175 30

5° 24' 14 24 23 24 32 24 41 24

50 24 59 24 68 24 77 24 86 24

95 24 104 24 113 24 122 24 131 24

6° 18' 15 18 24 18 33 18 42 18

51 18 60 18 69 18 78 18 87 18

96 18 105 18 114 18 123 18 132 18

140 24 141 18 149 24 150 18 158 24 159 18 167 24 168 18 176 24 177 18

7° 12' 16 12 25 12 34 12 43 12

52 12 61 12 70 12 79 12 88 12

97 12 106 12 115 12 124 12 133 12

142 12 151 12 160 12 169 12 178 12

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0'32,4" 5 56,4 1120,4 16 44,4 22 8,4 27 32,4 32 56,4 38 20,4 43 44,4 49 8,4

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l'37,2" 7 1,2 12 25,2 17 49,2 23 13,2 28 37,2 34 1,2 39 25,2 44 49,2 50 13,2

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29 9,6 34 33,6 39 57,6 45 21,6 50 45,6

2'42,0" 8 6,0 13 30,0 18 54,0 24 18,0 29 42,0 35 6,0 40 30,0 45 54,0 51 18,0

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4'19,2"

9 43,2 15 7,2 20 31,2 25 55,2

31 19,2 36 43,2 42 7,2 47 31,2 52 55,2

4'51,6" 1015,6 15 39,6 21 3,6 26 27,6 31 51,6 37 15,6 42 39,6 48 3,6 53 27,6

Sekunden.

0,0000

0,0010

0,0020

0,0030

0,0040

0,0050

0,0060

0,0070

0,0080

0,0090

0,000" 0,324” 3,240    3,564

6,480    6,804

9,720 10,044 12,960 13,284 16,200 16,524 19,440 19,764 22,680 23,004 25,920 26,244 29,160 29,484

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26,892

30,132

1,296"

4,536

7,776

11,016

14,256

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27,216

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6,156

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15,876

19,116

22,356

25,596

28,836

32,076

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0324" 0,0648" 0,0972" 0,1296" 0,1620" 0,1944" 0,2268" 0,2592" 0,2916" (vgl. S. 1 und S. 175.)

Tafel zur Division von Winkelsummen durch 4.

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85'    8' 45"

8' 47,5"

8' 50"

36

37

9 15

38

9 30

9 20

9 35

39

9 45

9 50

8' 52,5"    8' 55"

40'    10' 0"    10' 2,5"    10' 5"    10' 7,5    10' 10"

0' 12,5" 0 27,5 0 42,5 0 57,5 1 12,5

1' 27,5" 1 42,5

3' 57,5"

4    12,5 4 27,5 4 42,5

8' 57,5"

9    12,5 9 27,5 9 42,5 9 57,5

10' 12,5" 10 27,5 10 42,5

10    57,5

11    12,5

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Hilfstafeln zur Berechnung mittlerer Nirellierungsfehler.

I. Vs (s in Kilometern).

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0,02

0,03

0,10

0,33

0,46

0,56

0,64

0,71

0,78

0,84

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,14

1,19

1,23

1,27

1,31

1,35

1,38

1,42

II.

0,14

0,17

0,35

0,47

0,57

0,65

0,72

0,79

0,85

0,91

0,96

1,01

1,06

1,10

1,15

1,19

1,23

1,27

1,31

1,35

1,39

1,42

Vs

0,36

0,48

0,57

0,66

0,73

0,79

0,85

0,91

0,96

1,01

1,06

1,11

1,15

1,20

1,24

1,28

1,32

1,35

1,39

1,42

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25.3    28,5 31,6 17,9 20,1 22,4

14.6    16,4 18,3

12.6    14,2 15,8

11.3    12,7 14,1

10.3    11,6 12,9 6 10,8 12,0 9 10,1 11,2 4 9,5 10,5 0 9,0 10,0

O GO 00 00

b Ci ^ co ci o "o Po bc Po

44.3    50,6 56,9 63,2

31.3    35,8 40,2 44,7

25.6    29,2 32,9 36,5

22.1    25,3 28,5 31,6 19,8 22,6 25,5 28,3

18.1    20,7 23,2 25,8

16.7    19,1 21,5 28,9

15.7    17,9 20,1 22,4

14.8    16,9 19,0 21,1 14,0 16,0 18,0 0,0

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Hilfstafeln zur Berechnung mittlerer Nivellierungsfehler.

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III.

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6mm

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8,0

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5,7

5,0

1,4

4,0

3,6

3,3

3,1

2,9

3,0

2,5

2,4

2,2

2,1

2,0

30,0

22,5

18,0

160,0 I 250,0

80,0 i 125,0 53,3 i 83,3 40,0    62,5

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6,4

6,0

5,6

5,3

5,0

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4,5

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17,8    31,1

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1,2

1,8

1,7

1,1

1,6

1,0 1,6

0,9

1,5

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Erdhalhmesser = r

Trigonometrische Höhenmessung.

Erdkrümmung und mittlere Refraktion.

log r — 6.80489. Eefraktions-Coüfficient k =

0,13.

Ent

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Erdkrtiramung

Eefraktion

Eeduktion

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Diff.

aVc

Diff.

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Eefrakt

Winkel

Ent

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13

14

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hm

16

17

18

19

20

hm

21

22

23

24

25

hm

26

27

28

29

30

km

30

40

50

60

km

70

80

90

100

ZJl CO CO I—¹¹

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6 000

7    000

8    000 9 000

10 000

11000 12 000 18 000

14    000

15    000

16 000

21000 22 000 28 000

24    000

25    000

26 000

27    000

28    000 29 000

Trigonometrische Höhenmessung.

Horizontkorrektion    «² > 1°g r — 6.80489 , k — 0,13

als Funktion dei Entfernung a.

0,000

0,068

0,273

0,61

1,09

1,70

2,45

3,34

4,36

5,52

6,82

8,25

9,82

11,52

13,36

15,34

17,45

19,70

22,09

24,61

27,27

30,06

32,99

36,06

39,27

42,61

46,08

49,70

53,45

57,33

61,35

100

0,001

0,082

0,30

200    300

0,003

0,098

0,006

0,115

400

0,011

0,134

500 | 600

0,017

0,153

700

800    900

0,33

0,36

0,39

0,43

0,025 0,033 0,044 0,055 0,175    0,197: 0,221 0,246

0,46    0,50    0,53    0,57

0,66    0,70

0,74

0,79

0,84

0,88

0,93

0,98

1,04

1,15

1,20

1,26

1,32

1,38

1,44

1,51

1,57

1,64

1,77

1,84

1,91

1,99

2,06

2,14

2,21

2,29

2,37

^ LD CO 00

2,54

3,44

4,47

5,65

6,95

8,40

9,98

11,70

13,55

15,54

17,67

19,93

22,33

24,87

27,54

30,35

33,30

36,38

39,59

42,95

46,44

50,06

53,83

57,73

61,76

2,62    2,71

3,53

4,58

5,77

7,09

8,55

2,79

2,88

2,97

3,06

3,15

3,25

7,23

8,70

7,37

8,86

17.89    18/11 20,17 20,40 22,58 22,83 25,13 25,39 27,82 28,09

30,64 30,93 33,60 33,90 36,69 37,01 39,92 40,25 43,29 43,64 m j m 46,79 47,15 50,44 50,81 54,21    54,60

58,12 ! 58,52 62,17 62,59

3,83

4,93

6,15

7,52

9,02

10,65

12,42

14,33

16,38

3,94

4,04

5,04

6,28

7,66

9,17

5,16

6,41

7,80

9,33

10,82 10,99 12,61    12,79

14,53 14,73 16,59    16,80

4,15

5,28

6,55

4,25

5,40

6,68

7,95

8,10

© r-H 03 CO iO

1—I r—! H f—« T—I

9,49

9,65

11,17 11,34 12,98 13,17 14,93 15,13 17,02 17,23

18,34

20,64

23,08

25,66

28,37

18,56

20,88

23,33

25,92

28,65

18,78

21,12

23,58

26,19

28,93

vi

31,22

34,20

37,33

40,59

43,98

47,51

51,18

54,98

58,92

63,00

40,92 41,25 44,33 44,68

19,01 19,24 19,47 21,36 21,60 21,84 24,84 24,09 24,35 26,46 26,73 27,00 29,21 29,49 29,78

32,40 32,69 35,44 35,75 38,61 38,94 41,93 42,27 45,38 45,73

32,10

35,13

38,29

41,59

45,03

47,87

51,55

55,37

59,33

63,42

48,23

51,93

55,76

59,73

63,83

48,60

52,31

56,15

60,13

64,25

48,96 49,33 52,68 53,06

56.54    56,94

60.54    60,94 64,67 65,09

Logarithmische Korrektion für die mittlere Meereshöhe ^    ^

U+ H'

Tr

11+H'

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

2000

3000

4000

5000

0.00000

0.00007

0.00014

0.00020

0.00027

0.00034

0.00001

0.00007

0.00014

0.00021

0.00028

0.00035

0.00001

0.00008

0.00015

0.00022

0.00029

0.00035

0.00002

0.00009

0.00016

0.00022

0.00029

0.00036

0.00003

0.00010

0.00016

0.00023

0.00030

0.00037

0.00003

0.00010

0.00017

0.00024

0.00031

0.00037

0.000040.00005 0.000110.00012 0.000180.00018 0.00025 0.00025 0.00031 0.00032 0.000380.00039

0.000050.00006

0.000120.00013

0.00019;0.00020

0.00026:0.00027

0.000330.00033

0.000390.00040

log a I 0

2.0

2.9

3.0

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.90

3.91

3.92

3.93

3.94

3.95

3.96

3.97

3.98

3.99

4.00

4.01

4.02

4.03

4.04

4.05

4.06

4.07

4.08

4.09

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

Trigonometrische Höhenmessung.

1 _ 7>

Horizontkorrektion    0,2 » l°9 r = 6.80489 , k = 0,13

als Funktion von log a.

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00

0,01 0,01

0,02

8    9 Diff.

0,03    0,04

0,04

0,07

0,11

0,17

0,27

0,43

0,68

1,08

1,71

2,71

4,30

4,50

4,72

4,94

5,17

0,05

0,07

0,11

0,18

0,28

0,45

0,71

1,13

1,79

2,84

4,32

4,52

4,74

4,96

5,20

5,42    5,44

5,67

5,70

0,05

0,07

0,12

0,19

0,30

0,47

0,75

0,06

0,09

0,15

0,24

0,37

0,49    0,52

0,78    0,82

1,18    1,24

1,88

2,98

1,30

1,97    2,06

3,12    3,26

0,59

0,94

1,49

2,36

3,75

O CTC 03 tO I—‘ H-*

H-*

DO

5,94

5,96

6,22

6,25

6,51

6,82

7,14

7,47

7,83

8,20

8,58

8,99

9,41

9,85

10,32

10,80

11,31

11,85

12,41

12,99

13,60

14,24

14,91

15,62

16,35

6,54

6,85

7,17

7,51

7,86

8,23

8,62

9,03

9,45

9,90

10,37

10,85

11,37

11,90

12,46

13,05

13,66

14,31

14,98

15,69

16,43

4,44

4,65

4,87

5,10

5,34

5,47

5,49

5,52

5,72

5,75

5,78

5,99    6,02

6,27 | 6,30 6,57    6,60

6,05

6,33

6,63

5,59

5,86

6,13

6,42

6,72

10,08 10,13 10,56 10,61

7,04

7,37

7,72

8,08

8,46

8,86

9,28

9,72

10,18

10,66

11,16

11,68

12,23

12,81

13,42

14,05

14,71

15,40

16,13

16,89

10,22 10,27 10,71 10,75

11,21 11,26 11,74 11,79 12,29 12,35 12,87 12,93 13,48 13,54

14,11 14,18 14,78 14,85 15,47 15,55 16,20 16,28 16,97 17,05

CO COCOCOCOCO CO CO ^ ^ xO ^ ^ iO    lO CO CO CO CO CO CO I> I> I>

Höhen-

Trigonometrische Höhenmessung.

(log r = 6.80380 k = 0,16) Entfernung a in Kilometern.

Näherungswerte h — a tang a 4

o o o o o o

o o o o o o

t^owooiq

2 | 4 1 6 1 8- j 10 112 14 1 16 | 18 | 20 1 22 1 24 | 26 1 28 30 | 32 | 34 [ 36 38 40

in

in

O CO CC o

13

11

20

19

12 24 15 30

29

37

46

0° 30' 0° 35' 0° 40' 0° 45' 0° 50' 0° 55'

18 36 21 42 24 48 27 54 29 59 32 65

55

64

72

81

90

99

1° 0' 1° 5' 1° 10' 1° 15' 1° 20' 1° 25'

35 71 38 77 41 83

44

89

47

94

50

100

o    oooooo

T-H cm cm cm cm cm c

05 05 05 05 05 05 W    tOtOCODOCOtO

ooooooo    oooooo

o^otnowo Sqqqwo qqqjqqo wqwqwo

53

106

56 112 59 118

61

64

67

123

129

135

4    7    10    13    17 21 26 32 38 45 52 59 68 76 86 95 106

16    21    27    33    40 48 55 64 73 83 93 104 114 126 138 151 164

28    36    44    54    64 74 85 96 108 121 134 147 160 175 191207 223

39    50    62    74    87 100 114 128 143 159 175 191 207 225 243 262 281

51    65    79    95    110 126 143 160 178 297 215 235 253 274 296 317 338

63    79    97    115    134 152 172 192 213 234 256 278 300 324 348 373 396

m m m \ m \ m m m »    » m ,    . m m m m m m

74 94 114 135 157 179 201 224 248 272 296 321 347 373 401 427 454 86 109 132 156 180 205 230 256 2831310 337 365 393 423 452.482 512 97 123 149 176 203 231 259 288 318 347 377408 440 472 504 537 570 109 138 167 1971227 257 289 320 353 385 418 452 486 52l 556 592 629 121 152 184 217 250 284 318 352 388 4231459 496 533 570 609 648 687 132 167 202 237 273 310 347 385 423|460 500 539 579 620 661 703|745

297 336 376 416 457 498 540 583 626 669 714 7581803 320 362 405 448 492 536 581 626 672 719 766 814 862 343 388 434 480 527 574 622 670 719 768 818 869 920 367 415 463 512 562 612 663 714 766 818 871 924 978 390 441 492 544 597;650 703 757 812 867 923 980 413 467 521 576 632 687 744 801 859 917 976

324 380 437 493 550 608 666 725 785 845 905 342 401 460 519 579 640 701 763 826 888 952 359 421 483 545 608 672 736 801 866 932 999 506 571 637 704 77l|839 907 976 529 597 667 736 806:877 948 552 624 696 768 841 914 989

107 144 181 219 258 116 156 196 237 278 125 167 210 254 299 134 179 225 272 319 142 191 240 289 339 151 202 254 307 360

vi m m

160 214 269 168 226:283 177 237 298 186 249 313 377 441 195 261 327 394 462 203 273 342 412 482

70 141 212 284 356 429 502 576 73 147 221 296 371 446 522 599 76 153 230 307 385 463 543 622 79 158 238 319 400 481 563 646 82 164 247 331 414 498 583 669 85 170 256 342 429 516 604 692

650

676

702

729

755

781

725 800 254 832 783 864 812 896 841 928 870 960

8761952 911 990

946

981

966

VI

88

91

94

176

182

265

188

273

96

99

102

CM CM

T—! T—H

193

282

199

291

205

800

308

354 444 533 624 715 366 458 551 645 739 3771473 568 665 762 389!487 586 685 785 401 502 603 706 809 412 517 621 726 832

807 900 833 929 860*958 886 988

992

912

938

DO DO

317

222

326

228

334

234

343

240

352

246

361

369

424 532 435 545 447,560 458*574 470 589 482 604 493;618

639

656

747

674

767

788

856 965 879 991

902

691 808 926 708*828 949 726,849 972 743 869 996

Verwandlung von Barometer- und Tliermoineter-Teilungen.

I. Barometer-Teilungen.

Verwandlung von Pariser Linien und Pariser Zollen in Millimeter.

1 Pariser Linîe = 2,255829 Millimeter, 1 Pariser Zoll — 27,069948 Millimeter.

Par. L.

mm

mm

mm

DO CO CO

280

290

300

310

320

330

340

563,96 566,21 568,47 570,72 572,98 586,52 588,77 591,03 593,28 595,54 609,07 611,33; 613,59 615,84 618,10 631,63 633,89 636,14 638,40 640,66 654,19 656,45 658,70 660,96 663,21

676,75 679,00 681,26 683,52 685,77 699,31 701,56 703,82 706,07 708,33 721,87 724,12 726,38 728,63 730,89 744,42 746,68 748,94 751,19Î 753,45 766,98 769,24 771,49 773,75 776,01

mm

mm

ic't^'cTcd"iO' 00 o'CO io'oo

D^ O Cd ^ O GO rH CO O L-

577,49 579,75 600,05 602,31 622,61 624,86 645,17 647,42 667,73 669,98

690,28 692,54 712,84 715,10 735,40! 737,66 757,96 760,21 780,52 782,77

582,00 584,26 602,56 606,82 627,12 629,38 649,68 651,93 672,24 674,49

694,80 697,05 717,35 719,61 739,91 742,17 762,47 764,73 785,03 787,28

Par. L.

,00    ,01    ,02 I ,03

,04

05    ,06    ,07

,08    ,09

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25    = 300 = 676,75

26    = 312 = 703,82

H ...

27"    324"'    = 730,89«™

28    336    =: 757,96

29    348    = 785,03

II. Thermometer-Teilungen.

Vergleichung zwischen Celsius, Béaumur und Fahrenheit.

Temperaturunterschiede.

Temperaturen.

+ 100°

+ 50

+ 80°

+ 40

+ 40

+ 30

+ 20

+ 32 + 24

+ 10

+ 16

10

17,78

20

— 8 —14,22 — 16 — 24

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^ Cd r-H H

++++++++ II

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O rfi» C OO 00 CO <1 M 05    ^

AB AF AG AB

0,44

0,89

1,83

1,78

2,22

2,67

8,11

3,56

4,00

O O-HCdC0^i0C0I>00

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Reduktion des Quecksilber-Barometers auf 0°

ohne Rücksicht auf die Ausdehnung des Massstahes — 0,000180 B t.

Barometerstand B in Millimetern.

600

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Si-

CQ

Reduktion des Quecksilber-Barometers auf 0°

für Messingskale mit der Normaltemperatur 0°, —0,000162 B t.

Barometerstand B in Millimetern.

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co

co

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Reduktion des Quecksilber-Barometers auf 0°

für Messingskale mit der Normaltemperatur 0°, zugleich mit einer Gefäss-Korrektion

und das Durchmesserverhältniss 1:10. — (0,000162 B t — 0,01 (B — 750)).

für den Normalstand 750’

Barometerstand B in Millimetern

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24,0°

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25,5

26,0

26,5

Capillardepression in Barometerröhren

als Funktion des inneren Köhrendurchmessers und der Kuppenhöhe.

Kuppen

höhe

Innerer Durchmesser der Glasröhre in Millimetern

CO

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Kuppen

höhe

mm

mm

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0,25

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0,55

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0,70

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1,60

1,65

1,70

1,75

1,80

log

Schwere-Reduktion.

log (1 + ß cos 2 g>) mit ß = 0,00265 nach Helmert.

SU

log

log

55555 55555

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0.001149 0.001 149 0.001 147 0.001 143 0.001 138

0.001 132 0.001 124 0.001 115 0.001105 0.001 093

0.001 080 0.001 066 0.001 050 0.001 033 0.001 015

0.000 996 0.000 975 0.000 953 0.000 930 0.000 906

0.000 881 0.000 855 0.000 827 0.000 799 0.000 770

0.000 739 0.000 708 0.000 676 0.000 643 0.000 609 0.000 575

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31

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41

42

43

44

45°

46

47

48

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53

54

55°

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59

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0.000 394 0.000 355 0.000 317 0.000 278 0.000 239

0.000 200 0.000 160 0.000 120 0.000 080 0.000 040

0.000 000 9.999 960 9.999 920 9.999 880 9.999 840

9.999 800 9.999 761 9.999 722 9.999 683 9.999 644

9.999 606 9.999 569 9.999 532 9.999 495 9.999 459 9.999 524

35

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65°

66

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70°

71

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74

75°

76

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78

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9.999 424 9.999 390 9.999 356 9.999 323 9.999 291

9.999 260 9.999 229 9.999 200 9.999 171 9.999 144

9.999 117 9.999 092 9.999 068 9.999 044 9.999 023

9.999 002 9.998 983 9.998 964 9.998 947 9.998 931

9.998 917 9.998 904 9.998 892 9.998 881 9.998 873

9.998 865 9.998 859 9.998 854 9.998 851 9.998 849 9.998 848

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(-t)

mit r = 6 370 000Bt

log

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400

500

500"'

600

700

800

900

1000

0.000 068 0.000 082 0.000 095 0.000 109 0.000 123 0.000 136

14

13

14

14

13

1000"'

1100

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1300

1400

1500

0.000 136 0.000 150 0.000 164 0.000 177 0.000 191 0.000 205

M    •■'f CO TT¹ Tt*

^ !    i—I H r-H r-H r—I

do

⁴⁵ = g (1 -f- ß cos 2 9>) ^1 +    ,

£o⁴⁵

r/o45 — 9,80596    , ß = 0,00265.

Auf 5—6 Logarithmenstellen genau kann man annehmen :

1 — ß cos 2 <p =

= B{1 — ßcos2g,)(l—

und 1

Für Höhen über 1500“ kann man annehmen log ^1 -t- 10    10 log ^1 -1-

Breite

Schwere-Reduktion des Quecksilber-Barometers.

T) 7 r

2J₀⁴⁵ — B = — ß B cos 2qj — 2-, mit ß — 0,00265 nach Helmert.

r = 3700000’“.

Barometerstand Bmm (und Höhe Hm über dem Meer)

760’““ 750mm 740’“'“ 730’

(0“) (115™) (230'") 1(345'“) (460’") (575“)

720’

710'“’“

700’“’“

(690'“)

690-

680"‘m 670'““ 660'“’“

(805'“) (920'“) (1035™) (1150”']

1,01

0,95

0,88

—1,02 —1,03 0,96    0,97

0,90    0,91

0,82

0,84

0,85

0,75

0,77

0,79

—0,69

—0,71 —0,72

0,62

0,64

0,66

0,56

0,58

0,59

0,49

0,51

0,53

0,42

0,44

0,46

—0,35

—0,37

-0,39

0,28

0,30

0,33

—0,00—0,03 —0,05 + 0,07+0,04 +0,02 +0,14 +0,11 +0,08 + 0,21 +0,18 +0,15 + 0,28 +0,25 +0,22

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0,35

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+ 0,17

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0,66

0,72

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—    0,05— 0,07 — 0,09 — 0,12

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+ 0,08 + 0,05 + 0,03 + 0,00

S.

Spannung des gesättigten Wasser dampf es

ausgedrückt in Normal-Barometer-Höhen, d. h. bei 0° Temperatur des Quecksilbers, 13,59593 Dichte des Quecksilbers, 45° googr. Breite, im Meeresspiegel. (Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures. I. Seite A. 33—38.)

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36.33    36,54 36,74

38.43    38,65 38,87 40,64 40,87 41,09 42,96 43,19 43,43

32,99 33,18 34,92 35,12 36,95 i 37,16 39,08 j 39,30 41,32 ! 41,55 43,67 43,92

Wenn T die Angabe des trockenen Thermometers, t die Angabe des feuchten Thermometers, B der Barometerstand und E der Dunstdruck für das feuchte Thermometer t, nach obiger Tafel ist, so erhält man den Dunstdruck e in der Luft durch die Formel :

0,48 (T—t)B

610 — t

oder genähert e = E — 0,6 (T — t)

Spannung des gesättigten Wasserdampfes

ausgedrückt in Normal-Barometer-Höhen, d. h. hei 0° Temperatur des Quecksilbers, 13,59593 Dichte des Quecksilbers, 45° gcogr. Breite, im Meeresspiegel. (Traveaux et mémoires du bureau international des poids et mesures. I. Seite A. 38—39

und A. 46—48.)

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450.47

468.32

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525.47

545.76 566,71

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657,40

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mm

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568,85

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612.91

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659,81

684,37

mm

436,60

454,00

471,96

490,52

509,69

529,48

549,90

570,98

592,74

615,19

638,35

662,23

686,87

mm

438,32

455,77

473,79

492,41

511,64

531,49

551,98

573,13

594,95

617,47

640,70

664,66

689,37

440,04

457,54

475,63

494,31

513,60

533,51

554,07

575,28

597,17

619,76

643,06

667,10

691,89

mm

441,76

459,33

477,47

496,21

515,56

535.54 556,16 577,44

599.40 622,06

645,43

669.54

694.41

mm

mm

443,49 445,23

461.11    462,91 479,32 481,17

498.12    500,03 517,53 519,50

537,57 539,61 558,26 560,36 579,61 581,78 601,64 603,88 624,37 626,68

647,81 650,20 672,00 674,45 696,93 699,47

mm

446,97

464,71

483,03

501.95 521,48

541,65

562,47

583.96 606,13 629,00

652,59

676,92

702,02

mm

448,72

466,51

484,89

503,87

523,47

543,71

564,59

586,14

608,38

631,32

654,99

679,40

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712.27    712,53

714.85    715,11 717,44 717,70

720,04 720,30 722,65 722,91

725.27    725,53 727,89 728,15 730,52 730,78

733.16    733,42 735,81 736,07

738.46    738,73

741.13    741,39 743,80 744,07

746,48 746,75

749.17    749,44

751.86    752,13 754,57 554,84

757.28    757,55

760,00 760,27

762.73    763,00

765.47    765,74 768,21 768,49 770,97 771,24

773.73    774,01

0,000° 0,001°

0,00mn* 0,03

mm

mm

708,67

711,24

713,82

716,41

719,00

721.61 724,22 726,84

729.47

732.10

734,75

737.40 740,06 742,73

745.41

748,09

750,78

753.48 756,19 758,91

761,64

764,37

767.11 769,86

772.62 775,39

mm

707,64 707,90 708,15 708,41 710,21 710,47 710,72 710,98

712.79    713,05 713,30 713,56 715,37 715,63 715,89 716,15 717,96 718,22 718,48 718,74

720,57 720,83 721,09 721,35 723.17 723,44 723,70 723,96

725.79    726,05 726,32 726,58 728,42 728,68 728,94 729,21 731,05 731,31 731,58 731,84

733,69 733,95 734,22 734,48 736,34 736,60 736,87 737,14 739,00 739,26 739,53 739,79 741,66 741,93 742,20 742,46 744,33 744,60 744,87 745,14

747,02 747,28 747,55 747,82 749,71 749,97 750,24 750,51 752,41 752,67 752,94 753,21 755,11 755,38 755,65 755,92 757,82 758,10 758,37 758,64

760,55 760,82 761,09 761,36

763.28    763,55 763,82 764,10 766,02 766,29 766,56 766,84 768,76 769,04 769,31 769,59 771,52 771,80 772,07 772,35

774.28    774,56 774,84 775,11

0,002°! 0,003° 0,004° 0,005° 0,006° 0,05mm| 0,08mm 0,llmm 0,13mm 0,16

mm

708,92

711,50

714,08

716.67 719,26

721,87

724,48

727,10

729,73

732,37

735,01

737.67 740,33 743,00

745.67

748,36

751,05

753,76

756,47

759,18

761,91

764,65

767,39

770,14

772,90

775.67

0,007°

0,19

mm

mm

709.18 711,76 714,34

716.93 719,52

722,13

724.74 727,37 729,99

732.63

735,28

737.93 740,59 743,26

745.94

748.63 751,32 754,03

756.74 759,46

762.18 764.92 767,66 770,42

773.18

775.95

0,008°

0,22

ut a

mm

709.44 712,01 714,60

717.19 719,78

722.89 725,00 727,63 730,26

732.90

735,54

738.20 740,86 743,53

746.21

748.90 751,59 754,30 757,01 259,73

762,46

765,19

767,94

770,69

773.45

776.22

O L-CD Ci

o o

Genäherte Bestimmung des Dunstdrucks

aus den Angaben des trockenen und des feuchten Thermometers (streng gültig für 755,nm Barometerstand.

Feuchtes

Thermometer 0 °

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Trockenes Thermometer

10° 11° 12°I18°I14° 15°|16° 17° 18°' 19° 20°

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Qmm

Luftfeuchtigkeit.

log ^1 -l- 0,377

Logarithmische Korrektion zur barometrischen Höhenmessung. Dunstdruck e

Diff.

^WtWl

5 mm

ßmm

8m™

Qmm

llmm

Omm

580 0.00085 590 00083 600 00082 610 00080 620 00079

0.00113

00111

00109

00107

00105

0.00141

00139

00136

00134

00132

0.00169

00166

00163

00161

00158

0.00197

00194

00190

00188

00184

0.00225

00222

00218

00214

00210

0.00253

00249

00245

00241

00238

0.00281

00277

00272

00268

00263

0.00309

00304

00299

00294

00290

0.00337

00332

00326

00321

00316

28

28

27

27

26

630 0.00078 640 00076 650 00075 660 00074 670 00073

0.00104

00102

00100

00099

00098

0.00130

00127

00125

00123

00122

0.00155

00153

00151

00148

00146

0.00181

00179

00176

00173

00171

0.00207

00204

00201

00198

00195

0.00233

00230

00226

00222

00220

0.00259

00255

00251

00247

00244

0.00285

00281

00276

00272

00268

0.00311

00306

00301

00296

00292

26

25

25

24

24

680 0.00072 690 00071 700 00070 710 00069 720 00068

0.00096

00095

00093

00092

00091

0.00120

00118

00116

00115

00113

0.00144

00142

00140

00138

00136

0.00168

00166

00163

00161

00159

0.00192

00190

00186

00184

00182

0.00216

00213

00210

00207

00204

0.00240

00237

00233

00230

00227

0.00264

00260

00257

00253

00249

0.00288

00284

00280

00276

00272

24

24

23

23

23

0.00067

00066

00065

00064

00064

0.00090

00088

00087

00086

00085

0.00112

00110

O O O

»—H t-H r⁻⁻*

0.00134

00133

00131

00129

00127

0.00157

00155

00153

00150

00148

0.00179

00177

00174

00172

00170

0.00201

00199

00196

00193

00191

0.00224

00221

00218

00215

00212

0.00246

00243

00240

00236

00233

0.00268

00265

00261

00258

00255

22

22

22

22

22

Mittelwerte

gültig für Deutschland.

(1+0.377 I)

Monat

Dunst-

Druck

Barometerstand B

600™« 650™"* 700

mm

750«™

y—¹ H GO r—¹ GC GO xr ÇO l> O

0.0011 0.0010 0.0011 0.0010 0.0013 0.0012 0.0016 0.0015 0.0021 0.0020 0.0027 0.0025

0.0010

0.0010

0.0010

0.0014

0.0018

0.0023

0.0009

0.0009

0.0011

0.0013

0.0017

0.0022

Juli.....

August . . . September . Oktober . . . November . . Dezember . .

11,5    0.0031 0.0029

11,7    0.0032 0.0029

9.3    0.0025    0.0023

7.4    0.0020    0.0019

5,1    0.0014    0.0013

___4,3    0.0012    0.0011

Jahresmittel 7,2    0.0020    0.0018

0.0027 0.0025 0.0027 0.0025 0.0021 0.0020 0.0017 0.0016 0.0012 0.0011 0.0010 0.0009 0.0017 0.0016

,0

Ausdehnung der Luft durch die Wärme.

log (1 + 0,003665 t).

Logarithmische Korrektion zur barometrischen Höhenmessung.

,1

,2

,3

,4

,5    ,6

,7

,8

Diff.

,9

für

0,1°

—    9° 19.98543 9.98527 9.98510 9.98494

—    8 9.98708 9.98691    98675    98658

98871    98855    98839    98822

99034 99018 99002' 98985 99197 99181 99164 99148

9.99359 9.99342 9.99326 9.99310 99520 99504 99488 99472 99680 99664 99648 99632

—    1 9.99841 99825 99809 99793

—    0 0.00000 9.99984 9.99968 9.99952

— 4°

+ 0° 0.00000 0.00016 0.00032 0.00048 00159 00175 00191    00206

00317 00333 00349 00364 00475 00491 00506 00522 00632 00648 00663 00679

0.00789 0.00805 0.00820 0.00835 00945 00960 00976 00991 01100 01116 01131    01147

01255 01270 01286 01301 01409 01425 01440 01456

9.98477

98642

98806

98969

99132

9.98461 9.98444 98626 98609 98790 98773 98953 98937 99116 99099

9.99294 9.99278 99455 99439 99616 99600 99777 99761 9.99936 9.99920

0.00064

00222

00380

00538

00695

9.98428

98593

98757

98920

99083

9.99262

99423

99584

99745

9.99904

0.00080

00238

00396

00554

00710

0.00851

01007

01162

01317

01471

9.98411

98576

98740

98904

99967

9.98395 17 98560 17 98724 16 98888 17 99051 17

9.99245 9.99229 99407 99391 99568 99552 99729 99713 9.99888 9.99872

9.99213 16 99375 16 99536 16 99697 16 9.99856 16

0.00095

00254

00412

00569

00726

0.00867

01022

01178

01332

01486

0.00111 0.00127 00270 00286 00428 00443 00585 00601 00742 00757

0.00143 16 00301 16 00459 16 00616 16 00773 16

0.00882

01038

01193

01348

01502

0.00898 0.00913 01053 01069 01209 01224 01363 01379 01517 01532

0.00929 16 01085 15 01240 15 01394 15 01548 15

10°

11

CM CO

l—ł H H

0.01563 0.01579 0.01594 0.01609 01716 01732 01747 01762 01869 01884 01900 01915 02021    02037    02052    02067

02173 02188 02203 02218

0.01625

01778

01930

02082

02234

0.01640

01793

01945

02097

02249

0.01655 0.01671 0.01686 01808 01823 01839 01961    01976    01991

02112 02128 02143 02264 02279 02294

0.01701 15 01854 15 02006 15 02158 15 02309 15

15° 0.02324 0.02339 0.02354 0.02369 02475 02490 02505; 02520 02625 02640 02655 02670 02774 02789 02804 02819 02924 02938 02953 02968

20° 0.03072 0.03087 0.03102 0.03117 03220 03235 03250 03264 03368 03382 03397 03412 03515 03529 03544 03559 03661 03676 03690 03705

16

17

18

19

21

22

23

24

25° 0.03807 0.03822 0.03836 03953 03967 03982 04098 04112 04127 04243 04257 04271 04387 04401 04415

26

27

28

29

0.03851

03996

04141

04286

04430

0.02385

02535

02685

02834

02983

0.02400

02550

02700

02849

02998

0.03131

03279

03427

03573

03720

0.02415 0.02430 02565    02580

02715 02730 02864 02879 03013 03028

0.03146

03294

03441

03588

03734

0.03866

04011

04156

04300

04444

0.03161

03309

03456

03603

03749

0.03880

04026

04170

04315

04459

0.02445

02595

02745

02894

03042

0.03176

03323

03471

03617

03764

0.03191

03338

03485

03632

03778

0.02460 15 02610 02760 02909 03057 15

0.03205

03353

03500

03647

03793

15

15

15

14

14

30°    0.04530 0.04545

0.04559

04702

04845

04987

05128

0.04573

04716

04859

05001

05143

0.04588

04731

04873

05015

05157

0.04602

04745

04887

05029

05171

0.03895 0.03909 04040, 04054 04185] 04199 04329] 04343 04473 04487

0.04616 0.04631 04759 04773 04902 04916 05043] 05058 05185| 05199

0.03924

04069

04214

04358

04502

0.04645

04788

04930

05072

05212

0.03938 15 04083 15 • 04228 15 04372 15 04516 14

0.04659

04802

04944

05086

05227

14

14

14

14

14

mm

450

451

452

453

454

455

456

t>OOC5 iO io iO

460

461

462

463

464

465

466

467

468

469

470

475

476

477

478

479

480

481

CM CO ^

485

486

487

488

489

490

491

Barometrische Höhentafel.

H = 18464 (1 + 0,003665 t) {log 762 — log B)

00    50

Lufttemperatur t 100 I 150 j 200

4223 4301 4378 4206 4283 4360 4188 4265 4342 4170 4247 4323 4153 4229 4305

4135 4211 4286 4117 4193 4268 4100 4175 4250 4082 4157 4232 4065 4139 4214

4047 4121 4195 4030 4104 4177 4012 4086 4160 3995 4068 4142 3978 4051 4124

3960 4033 4106 3943 4016 4088 3926 3998 4070 3909 3981 4052 3892 3963 4035

3875 3946 4017 3858 3928 3999 3841 3911 3981 3824 3894 3964 3807 3877 3946

3790 3859 3929 3773 3842 3911 3756 3825 3894 3739 3808 3877 3723 3791 3859

3706 3774 3842 3689 3757 3825 3673 3740 3807 3656 3723 3790 3639 3706 3773

3623 3689 3756 3605 3672 3738 3590 3656 3721 3573 3639 3704 3557 3622 3687

3541

3605 3670 3524 3589 3653 3508 3572 3637 3492 3556 3620 3475 3539 3603 3459 3523 3586

250

30°

Differenz für 1 mm bei 150

Differenz für 10

4456

4437

4418

4400

4381

4362

4344

4325

4307

4288

4270

4251

4233

4215

4197

4178

4160

4142

4124

4106

4088

4070

4052

4034

4016

3998

3981

3963

3945

3927

3910

3892

3875

3857

3840

3822

3805

3787

3770

3753

4533 4610 4688 4514 4591 4668 4495 4572 4649 4476 4552 4629 4457 4533 4609

4438 4514 4590 4419 4494 4569 4400 4475 4551 4382 4457 4532 4363 4437 4512

4344 4418 4325 4399 4307 4380 4288 4361 4270 4342

4251 4323 4232 4305 4214 4286 4196 4267 4177 4249

4159 4230 4141 4211 4122 4193 4104 4174 4086 4156

4068 4137 4050 4119 4032 4101 4014 4082 3996 4064

3978 4046 3960 4028 3942 4009 3924 3991 3906 3973

3888 3955 3871 3937 3853 3919 3835 3901 3818 3883

3718

3701

18,8

18,8

18,7

18,7

18,6

18,6

18,6

18,5

18,5

18,4

15,5'

15,4

15,4

15,3

15,2

15,2

15,1

15,0

15,0

14,9

14,8

14,8

14,7

14,6

14,6

14,5

14,5

14,4

14,3

14,3

14,2

14,1

14,1

14,0

14,0

13,9

13,8

13,8

13,7

13,G

13,6

13,5

13,5

13,4

13,3

13,&

13,2

13,2

13,1

13,0'

13,0

12,9

12,9

12,8

12,T

12,7

mm

495

496

497

498

499

500

501

502

503

504

505

506

507

508

509

510

511

512

513

514

515

516

517

518

519

520

521

522

523

524

525

526

527

528

529

530

531

532

533

534

nO CO t> CO Ol o

CO CO CO CO CO ^ iO lO 4-0 iO lO iO

00 |

3459

3443

3427

3411

3395

3379

3463

CO CO CO

3299

3283

3267

3251

3236

3220

3204

3188

3173

3157

3142

3126

3111

3095

3080

3064

3049

3033

3018

3003

2987

2972

2957

2942

2926

2911

2S96

2881

2866

2851

2836

2821

2806

2791

2776

2761

Barometrische Höhentafel.

H = 18464 (1 + 0,003665 t) (loq 762 — log B)

Lufttemperatur t

50

100

150

200

250 |    300

Differenz für 1 mm bei 150

Differenz für io

3523

3506

3490

3473

3457

3441

3424

3408

3392

3375

3359

3343

3327

3311

3295

3279

3263

3247

3231

3215

3199

3183

3168

3152

3136

3120

3105

3089

3073

3058

3042

3027

3011

2996

2980

2965

2949

2934

2919

2903

2888

2873

2858

2842

2827

2812

3586

3569

3553

3536

3519

3502

3486

3469

3453

3436

3420

3403

3387

3371

3354

3338

3322

3305

3289

3273

3257

3241

3225

3209

3193

3176

3161

3145

3129

3113

3097

3081

3065

3050

3034

3018

3619

3632

3713

3776

3615

3598

3581

3564

3548

3531

3514

3497

3480

3464

3447

3430

3413

3397

3380

3364

3347

3331

3314

3298

3282

3265

3249

3233

3216

3200

3184

3168

3152

3136

3120

3104

3087

3071

3002    3056

2987

2971

3040

3695

3678

3759

3840

3661

3741

3822

17,1

12,7

3644

3723

3706

3804

3786

3768

17,1

17,0

17,0

17,0

12,6

12,6

12,5

12,4

3626

3688

3609

3592

3575

3558

3541

3524

3507

3490

3473

3456

3439

3422

3406

3389

3372

3355

3339

3322

3305

3289

3272

3256

3239

3223

3206

3190

3174

3157

3141

3125

3109

3671

3750

3653

3636

3618

3601

3584

3566

3549

3532

3515

3498

3481

3464

3447

3430

3413

3396

3379

3362

3345

3328

3311

3295

3278

3261

3244

3228

3211

3195

3178

3162

3732

3715

3697

3679

3662

3644

3626

3609

3591

3574

3556

3539

3522

3504

3487

3470

3453

3435

3418

3401

3384

3367

3350

3333

3316

3299

3282

3265

3248

3231

3215

16,9

12,4

16,9

16,9

16,8

16,8

16,8

16,7

16,7

16,7

16,6

16,6

16,6

16,5

16,5

16,5

16,4

16,4

16,4

16,3

16,3

16,3

16,2

16,2

16,2

16,1

16,1

16,1

16,1

16,0

16,0

16,0

12,3

12,3

12,2

12,2

12,1

12,0

12,0

11,9

11,9

11,8

11,7

11,7

11,6

11,6

11,5

11,5

11,4

11,3

11,3

11,2

11,2

11,1

11,1

11,0

11,0

10,9

10,8

10,8

10,7

10,7

2956

3024

3008

3092

3076

3145

3060

3129

3113

3198

3181

3165

15,9

15,9

15,9

15,8

10,6

10,6

10,5

10,5

2940

2925

2992

3044

2909

2976

3028

3096

2894

2878

2863

2961

2945

2929

2913

3012

2996

2980

2964

3080

3148

15,8

10,1

3063

3047

3031

3015

3132

3115

3098

3082

3065

15,8

15,8

15,7

15,7

15,7

10,4

10,3

10,2

10,2

10,1

mm

540

541

542

543

544

545

546

547

548

549

550

551

552

553

554

555

556

557

558

559

560

561

562

563

564

CJT C7T CJT CT* ÜT Oï Ci Ci Ci Ci O 00 -O Q C/T

570

571

(M CO L'- 1- I>-iOiO

575

576

577

578

579

580

581

582

583

584

585

00

Barometrische Höhentafel.

H = 18464 (1 + 0,003665 t) (ilog 762 — log B)

Lufttemperatur f

50    100    150    200 I 250    30«

2761 2812 2746 2797 2732 2782 2717 2767 2702 2752

2687 2737 2673 2722 2658 2707 2643 2692 2629 2677

2614 2662 2600 2647 2585 2633 2571 2618 2556 2603

2542    2588

2527

2513

2574

Differenz für 1mm hei 150

Differenz für io

2498

2559

2868

2847

2832

2817

2801

2786

2771

2756

2741

2725

2710

2695

2680

2665

2650

2635

2620

2913 2964 2898 2948 2882 2932 2867 2916 2851 2900

2835 2885 2820 2869 2804 2853 2789 2837 2773 2822

2758 2806 2743 2790 2727 2775 2712 2759 2697 2744

3015

2998

2982

2966

2950

2934

2484

2544

2530

2470

2455

2515

2500

2605

2590

2575

2560

2682 2728 2666 2713 2651 2697 2636 2682 2621 2666

2606

2441

2427

2486

2546

2591

2651

2413

2398

2384

2370

2356

2342

2328

2314

2300

2286

2471

2457

2531

2516

2501

2442

2428

2414

2399

2385

2371

2356

2342

2328

2272    2313

2258

2244

2230

2216

2202

2188

2175

2161

2146

2133

2120

2486

2472

2457

2442

2428

2413

2399

2384

2370

2355

2299

2285

2271

2257

2243

2229

2215

2200

2185

2172

2158

2576

2561

2546

2636

2620

2605

2590

2531    2574

2516

2501

2486

2471

2456

2441

2426

2412

2397

2382

2367

2353

2559

2544

2529

2514

2499

2483

2468

2453

2438

2423

2408

3065

3049

3032

3016

3000

2983

2918    2967

2902    2951

2886

2870

2854

2838

2822

2806

2791

2775

2759

2743

2728

2712

2934

2918

2902

2886

2870

2854

2837

2821

2805

2789

2774

2757

2696    2742

2681

2665

2650

2634

2618

2603

2588

2572

2557

2541

2526

2511

2495

2480

2465

2726

2710

2694

2678

2662

2647

2631

2615

2599

2584

2568

2553

2537

2522

2283

2269

2254

2240

2225

2212

2197

2338

2394

2450

2506

2379

2434

2491

2323    2364

2419

2404

2309

2294

2280

2265

2251

2236

2349

2334

2319

2305

2290

2275

2389

2374

2359

2345

2329

2314

2475

2460

2444

2429

2414

2399

2384

2368

2353

I> CD CO CD CO    ^^COCOCO qqWWH    Ir-^OO OOC^C^O 00 CO CO 00    F^F-t^COCO CO CO IO

io io io »o    io io »o io io    io    lo    io io io    io iO iß io    io    io io    io    io iO    »c ^    Tr«    ^    *rri*rt|'^Tr'^r    "rr    '"r    ^ '■ńt    tt -^r    -rr*    "rr tt*

H t—I H    r-H t-H    t-H r-H t-H H f-H    H    r—I    t-H »-H t-H    i—-* H H H    r—1    t-H f-H    t—I    r-H t-H    t-H t-H t—<    t—I    r—i    i—t r—I ł—t r-H H    r-H    t—i    r-H H    r—t    r-H t-H    t—h    t—!    r— H

10,1

10,1

10,0

10,0

9,9

9,9

9,8

9,8

9,7

9,6

9,6

9,5

9,5

9,4

9,4

9,3

9,3

9,2

9,2

9,1

9,1

9,0

9,0

8,9

8,9

8,8

8,7

8,7

8,6

8,6

8,5

8,5

8,4

8,4

8,3

8,3

8,2

8,2

8,1

8,1

8,0

8,0

7,9

7,9

7,8

7,8

mm

585

586

587

588

589

590

591

592

593

594

595

596

597

598

599

600

Oj 07) Oi

000

CO DO M

804

605

606

607

608

609

610

611

612

613

614

615

616

617

618

619

620

621

622

623

624

625

626

627

628

629

630

Barometrische^ HölientafeJ.

H = 18464 (1 -ł- 0,003665 t) (ilog 762 —

Lufttemperatur t

00 |    50 |

2120

2106

2092

2079

2065

2051

2038

2024

2011

1997

1984

1970

1957

1943

1930

1917

1903

1890

1877

1863

1850

1837

1824

1810

1797

1784

1771

1758

1745

1732

1719

1706

1693

1680

1667

1654

1641

1628

1615

1602

1590

1577

1564

1551

1538

1525

100 |    150 |    200 j 250 j 300

Differenz für 1mm bei 150

Differenz für 10

2158

2145

2131

2117

2103

2089

2075

2061

2048

2034

2020

2006

1993

1979

1965

1952

1938

1925

1911

1898

1884

1870

1857

1844

1830

1817

1803

1790

1777

1763

1750

1737

1724

1710

1697

1684

1671

1658

1645

1632

1619

1606

1593

1579

1566

1553

2197

2183

2169

2155

2141

2236

2222

2207

2193

2179

2275

2260

2246

2231

2216

2314

2299

2284

2269

2254

7,8

7,7

7,7

7,6

7,6

2127

2113

2098

2085

2070

2164

C>0 DO CO DO

I—‘ r-¹ 1—¹ I—*

2202

2187

2173

2158

2144

2239

2225

2210

2195

2180

7,5

7,5

7,4

7,4

7,3

2056

2042

2029

2015

2001

1987

1973

1959

1946

1932

1918

1904

1891

1877

1863

1850

1836

1822

1809

1795

1782

1768

1755

1741

1728

2093

2079

2065

2050

2036

2129

2115

2100

2086

2072

2165

2151

2136

2122

2107

7,3

7,2

7,2

7,1

7,1

2022 2057 2008 2043 1994 2029 1980 2014 1966 2000

2092

2078

2063

2049

2034

7,0

7,0

6,9

6,9

6,8

1952

1938

1986

1972

2020

2005

1924

1910

1896

1882

1868

1855

1841

1827

1813

1799

1786

1772

1758

1714 1745 1701 ! 1731 1688 I 1718 1674 1704

1661

1690

1957

1943

1929

1915

1901

1887

1873

1859

1845

1831

1817

1803

1789

1775

1761

1747

1734

1720

1991

1976

1962

1948

1933

1919

1905

1890

00 00 ÖD 00 00

r—< H H ri H

1805

1791

1777

1763

1749

6,8

6,7

6,7

6,6

6,6

6,5

6,5

6,4

6,4

6,4

6,3

6,3

6,2

6,2

6,1

6,1

6,0

6,0

5,9

5,9

1648

1635

1677

1706

1621

1663

1608

1650

1692

1735

1595

1636

1679

1721

1581

1623

1665

1609

1651

1637

1707

1693

1679

1665

5,8

5,8

5,7

5,7

5,6

5,6

(vgl

S. 529.)

mm

630

631

632

633

634

635

636

637

638

639

Ci Ci Ci Ci

645

646

647

648

649

650

651

652

653

654

655

656

657

658

659

660

661

662

663

664

665

666

667

668

669

00

i—‘ ł—‘    »

dt Cn Oi

1487

1475

Barometrische Höhentafel.

Il = 18464 (1 -+- 0,003665 t) (log 762 — log B)

50

Lufttemperatur t

10 öl” 150    200~ |    ‘25 o 30 ö~

1553 1581 1609 1540 1568 1596 1527 1555 1582 1515 1542 1569 1502 1529 1556

1462 1489 1516 1450 1476 1503 1437 1463 1489 1424 1450 1476 1412 1438 1463

1399 1425 1450 1387 1412 1437 1374 1399 1424 1362 1387 1412 1349 1374 1399

1337 1361 1386 1324 1349 1373 1312 1336 1360 1300 1323 1347 1287 1311 1334

1275 1298 1321 1263 1286 1309 1250 1273 1296 1238 1260 1283 1226 1248 1271

1213 1236 1258 1201 1223 1245 1189 1211 1232 1177 1198 1220 1165 1186 1207

1152 1173 1195 1140 1161 1182 1128 1149 1169 1116 1136 1157 1104 1124 1144

1092 1112 1132 1080 1100 1119 1068 1087 1107 1056 1075 1094 1044 1063 1082

673

674

675

Differenz für 1mm bei 150

Differenz für io

i>* ^ O h CO 04 H m ZO ZO

1-H r—l f—'

1596

1583

1542 1569 1529 1556 1516 1542 1502 1529 1489 1515

1476 1502 1463 1488 1450 1475 1436 1461 1423 1448

1410 1435 1397 1421 1384 1408 1371 1395 1358 1382

1345 1368 1332 1355 1319 1342 1306 1329 1293 1315

1280 1302 1267 1289 1254 1276 1241 1263 1229 1250

1216 1237 1203 1224 1190 1211 1177 1198 1165 1185

1152 1172 1139 1159 1126 1146 1114 1133 1101 1120

1088 1107 1076 1095 1063 1082 1051 1069 1038 1056 1026 1043

1596

1582

1569

1555

1541

1527

1514

1500

1486

1473

1459

1446

1432

1419

1405

1392

1378

1365

1351

1338

1325

1311

1298

1285

1271

1258

1245

1232

1218

1205

1192

1179

116G

1153

1139

1126

1113

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1087

1074

1061

1553    13,2

1539    13,2

1525

13,2

1511    13,2

1498    13,1

1484    13,1

1470    13,1

1456

1442

13,1

13,1

1429    13,0

1239

1225

1212

1199

1185

1172

1159

1145

1132

1119

1106

1092

1079

4^^ OX *-*>+.*.    C" W CA C* WWtnOrW h

c'icnœœ^i    -aoooococo    © o i—¹t-i dîccoîm^    woi

12,8

12,7

12,7

12,7

12,7

12,7

12,6

12,6

12,6

12,6

12,6

12,6

12,5

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mm

675

676

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678

679

680

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682

683

684

685

686

687

688

689

690

691

692

693

694

695

696

697

698

699

700

701

702

703

704

705

706

707

708

709

710

711

712

713

714

715

716

717

718

719

720

00

Barometrische Höhenta

H — 18464 (1 -+- 0,003665 i) (log 76!

Lufttemperatur t

50

972 990 960 978 949 966 937 954 925 942

COHOOO T—( o o o-O Ci 00 00

866

854

843

831

819

808

796

784

773

761

750

738

726

715

703

692

680

669

658

646

635

623

612

601

589

578

567

555

544

533

522

511

500

488

477

466

455

o oo cd

882

870

858

846

834

822

810

799

787

775

763

752

740

728

716

705

693

681

670

658

646

635

623

(MHÛ HOOO CO CO

577

566

554

543

531

520

508

497

486

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a. K. fi

Werein

-----für 1mm !

100    150 |    200 I 250 |    300 bei 15» I

)ifferenz für io

1008

996

983

971

959

946

934

922

910

898

886

873

861

849

837

825

813

801

789

777

765

753

741

729

717

705

694

682

670

658

646

635

623

611

599

588

576

564

553

541

529

518

506

494

483

471

1026

1013

1001

988

976

963

951

938

926

914

901

889

877

864

852

840

827

815

803

791

779

766

754

742

730

T—1 O O t> L'- CD

682

670

658

646

634

622

610

598

586

574

562

550

539

527

515

503

491

480

1043 1061 1031 1048 1018 1035 1005 1022 993 1010

980

967

955

942

929

917

904

892

879

867

854

842

829

817

805

792

780

767

755

743

730

718

706

694

681

669

657

645

633

621

608

596

584

572

560

548

536

524

512

500

488

997

984

971

958

945

933

920

907

894

882

OOH^CiCD

806

793

781

768

755

743

730

718

706

693

681

668

656

643

631

619

606

594

582

570

557

545

533

521

509

496

3,6

3,5

3,5

3,4

3,4

3,3

3,3

3,3

3,2

3,2

3,1

3,1

3,0

3,0

3,0

2,9

2,9

2,8

2,8

2,7

2,7

2,7

2,6

2,6

2,5

2,5

2,5

2,4

2,4

2,3

2,3

2,2

2,2

2,2

2,1

2,1

2,0

2,0

2,0

1,9

1,9

1,8

1,8

1,7

1,7

1,7

mm

720

721

722

723

724

725

726

727

728

729

730

731

732

733

734

735

736

737

738

739

740

741

742

743

744

745

746

749

750

751

752

753

754

755

756

757

758

759

760

761

762

763

764

765

00 |

455

443

432

421

410

05 00 05 CO CO CO

377

366

355

344

333

322

311

300

289

278

267

257

246

235

224

213

202

192

181

170

159

148

138

127

117

106

95

85

74

64

53

42

32

21

10

—10

—21

—31

tq

. CO CM O 05 GO O I ö CD lO ^ (M H

io I S ^    ^ ^ ^

•406

395

384

373

362

350

339

328

317

306

295

284

272

261

250

239

228

217

206

195

184

173

162

151

140

130

119

108

97

86

75

65

54

43

32

21

11

—11

—21

-32

Barometrische Höhentafel.

184641(1 Hb 0,003665 t) (log 762 — log B)

Lufttemperatur t

Differenz für 1mm

100    150    200    250    300 bei 150

Differenz für io

471

460

448

437

425

414

402

391

379

368

357

345

334

323

311

300

289

277

266

255

243

232

221

210

199

188

176

165.

154

143

132

121

110

99

88

77

66

55

44

33

22

11

-11

-22

—33

480    488

468

456

444

433

421

409

398

386

375

363

351

340

328

317

305

294

282

271

259

248

236

225

214

202

191

179

168

157

146

134

123

112

101

89

CO ^ 03 L- CO lO ^

440

428

417

405

393

381

369

358

346

334

322

311

299

287

275

264

252

241

229

2L7

206

194

183

171

160

148

137

125

114

102

91

78    79

67

68

56    57

45

45

33    34

22    23

11

11

—11 —11 —22    —23

—33    —34

496

484

472

460

448

436

424

412

400

388

376

364

COtOtOOS W 050505 CiOOOOi—¹    L5 ^ Ol

ŁO 4^ 05    OP O IC

O 00

256

245

233

221

209

198

186

17-1

162

151

139

127

116

104

92

81

69

58

46

35

23

11

— 11

—23

—34

505

NOCO

456

443

406

394

CO CO CO Cn GO OO O DO

IO CO CO CO CO

321

309

297

285

273

261

249

237

225

213

201

189

177

165

153

141

129

118

106

94

82

70

59

47

35

23

12

—12

—23

—35

D—

t-T r-T t-T 1-T t-H t-H t-H r-H

I>    CO    CO    CO    CO CO    CO    io    io    io    lO    io    IC    rf!    ^    ^    ^    ^ CO    CO    CO_ CO^    CO^ CO^

t-H t-H    r—i    i—i    H    y— r—¹    r—«    r-H    r-H    t-h    r-H    t-h    t—i    r-H    r-H    r—I    r—i    r—'    t—I    —^ t-h    r"*“    r-H    i"H r-H tHI    t—i    t-h

r-H t—H    r-H    r—I    r-H    H r-H    r-H    t-H

o-l <n oa c<; t-h^

t-H t-H t-H    t-h t-H r-H i-H r-H t-H

t-H t-H t-H    t-H i—I r-H r-H l-H t-H

t—¹ t—* i—‘ 'h-* 'h-‘ 'h-*

Ol 0105 05 -a

wo ^ CO CO    CO^Cl O^T-H^r-^    r-H^OOOC^    OCOCO^D^C^    t-CO CO àO io    COO^^T- ^

t-T t-T t-T t-h t-T    t-T —T r-T r-T r-T    r-T rH~ r-T cT o    ooooo    ooo'ocT    cTocTocT ooo'ocT

0,1

0,0

0,0

-0,0

-0,1

-0,1

B ,0

mm

675    1025,6

676    1013,1

677    1000,6

Barometrische Höhent

H = 18464 (1 + 0,003665 t) (ilog 762 —

t = 15°

,1 ,2

,3

,4

,5

q.a- £

Nr..................

uËfoffirein

,6    ,7

,8

Diff. ,9 für

1 mm

1024,3 1023,1 1021,8 1020,6 1019,3 1018,1 1016,8 1011,8 1010,6 1009,3 1008,1 1006,8 1005,6 1004,3

Probeseite der ausführlicheren Höhentafelr

(vgl. S. 529.)

Ci O Ci Ci Ci

CD co CD ©

900,0

887.6 875,3 863,0

850.7

838.4 826,2 814,0 801,7

789.5

777,4

765,2

753,0

740,9

728,8

716,7

704.6

692.6

680.6 668,5

üt cn üi t—¹ CO CO

en (X

911,1

00 CO 00

713,1

701,0

689,0

676.9

664.9

1015,6 1014,3 12,53 12,51 12,50 12,48 12,46

1003,1

990.6 978,1

965.6

© CD CD ©

Ci <1 00 o

708,3

696.2

684.2

672.1

660.1

Ci Ci

cn <1 CO C O 0° O OT

bccooH

s—‘ t—¹ r—* >—» H—¹

'o o o © ©

CO CO OT <1 00

C^COiOCDOO OrHCOCOOO t>* in co* r-T cT    co ^ oT cT

CO p- O IO CO (M HOOiCO lO lO iO iO lO lC    ^ ^

Tji iß oo ©_    H«.«!-q'

od co rit c4 r-T oT t> *o co <m

OOt-OiO^ (SHOOOO 10 10*0 10 10 io lO

11,91

11,85

IO

11,83

11,82

11,80

11,78

11,77

Barometrische Höhentafel.

H = 18464 (1 -f- 0,003665 t) (log 762 — log B) t = 15°

B ,0    ,1    ,2

,3

,5

,6    ,7

,8

,9

für

lmm

mm

in

720

721

722

723

724

725

726

727

728

729

730

731

732

733

734

735

736

737

738

739

740

741

742

743

744

PO PO PC PO PO    pc to po po co    co co co co co    co    co co    ^

OHDOCO^    OI <1 00 CD O    HDOCCC^Ci    <1    00 CD    O    PO    w ^    Üi Ci    <1

JC>COCnOS<l    JD JDJO OO JO*    JJS JX> JD J-⁴ JO    ^    OijsJ    co    I—■⁴    jOj^    OS <1    CD

PDCi o'VcO    'co Vl'po lo    Vl'pOOOCo'cD    'br'î-^'bo'tfe.'î-⁴    bo ^    DO CP    OS

^ ^ ^ ^ co 4^ en OS c° en OS 00 bs'co'oVi 4^

J—⁴

CS 00

HOCSOOC^

^ co co co

DCO CD O

~ CD rO CO

co co co

t—* PO CO VT OS ^COT po JD J—4 'bs 'h-⁴ os PC oc

co co

PO PO PO PO PO DO CO

co ^ or as oo cd o

OO^ÇD^JSO^

⁴ bs "o br

PO PO PO O H-⁴ PO h-⁴ DOJWJ^JJS

b-⁴ br 'cD bo bj

360,6 359,5 349,0 347,9 337,5 336,3

268.4    267,3 257,0 255,9

245.6    244,4 234,1 233,0

222.7    221,6 211,3 210,2 200,0 198,8

474,9

463,2

451,5

CO    CD 1—4 OhOJID'

cd ^ co* *-T oT oocD'io'co'oi' o' cT i>^ zo ^

HODOOCO    LO ^ CO <N »—i    OOOC^COuO

r^^fCO^OCO    CO CO CO CO CO    CO(N

243.3 231,9

220.4 209,1 197,7

745

746

747

748

749

750

751

752

753

754

755

756

757

758

759

760

761

132,0 130,9 120,8 119,6 109,5 108,4

98,2

97,1

87,0    85,9

186,3

175,0

163,6

152,3

141,1

129,8

118,5

107,3

96,0

84,8

11,1

473.8    472,6 471,4 462,0 460,9 459,7

450.3    449,1 448,0

438.6    437,4 436,3

426.9    425,8 424,6

415.3    414,1 412,9

403.6    402,4 401,3

391.9    390,8 389,6

380.3    379,2 378,0

368.7    367,6 366,4

357.1    356,0 354,8 345,6 344,4 343,3 334,0 332,9 331,7

322.5    321,3 320,2 311,0 309,8 308,7

299.4    298,3 297,1

287.9    286,8 285,7

276.5    275,3 274,2 265,0 263,9 262,7

253.6    252,4 251,3

242.1    241,0 239,8

230.7    229,6 228,4 219,3 218,2 217,0

207.9    206,8 205,6

196.5    195,4 194,3

185.2    184,1 182,9

173.8    172,7 171,6

162.5    161,4 160,3

151.2    150,1 149,0

139.9    138,8 137,7

458,5

4*46,8

435,1

423,4

411.8 400,1 388,5

376.9 365,3

353,7

342,1

330,6

319,0

307,5

296,0

284.5 273,0

261.6 250,1

238,7

227,3

215,9

204,5

193,1

181,8

170,5

159,1

147,8

136,5

128,6

117,4

106,1

M H H

O co

126,4

115,1

103,9

125,3

114,1

102,8

469,1

422,3

11,75

11,73

11,72

11,70

11,68

375.7    11,62 364,1 11,60

352,5 11,59 341,0 11,57

329.4    11,56

317.9    11,54 306,3 11,53

CD

94,9 93,8 92,7 83,7 82,6 81,4

91,5

80,3

69,1

57,9

46,8

35,6

24,5

762

10,0

763

0,0 - 1,1 —11,1 —12,2 —22,2, —23,3

20,0    18,9

8,9    7,8

_ 2,2 — 3,3 —

—13,3 —14,4 -15,5 —16,6 --24,4 —25,5 —26,6 —27,7 -Probeseite der ausführlicheren (vgl. S. 529.)

i> o'iî'

16,7

5,6

- 5,5

15,6    14,5

13,3

4,4

3,3

2,2

6,7 — 7,8 ,7 —18,9 ,8 —29,9

t—» to

ł-L| OO <3

— 8,9 —20,0 —31,0

-rf    h oi ©    im    © oo    œ w ciï    juhoht-

ci oo rC'§?    co    o œ © S § co    ^ ©4 g" o    oT    co" *o -ejT co'    cÎh ©"hm"

HMHMH    HHMMM H h-⁴    ►—» h-i    H—⁴    H—⁴    ►—*    f—* H—⁴    t—⁴ I—⁴ t—⁴ I—» I—⁴    ⁴ h-⁴    S-⁴    i—⁴

HHHHH    >—⁴    !—⁴    H—⁴    •—⁴    ⁴    H-⁴    H-⁴    >—⁴ t—⁴    H-*    H-⁴    ⁴    h—⁴    >—⁴    —>    ⁴ t—⁴ H-⁴    •—⁴    H-⁴    ⁴    t—⁴    >—⁴    t—⁴

o o i—* i—' T—‘    Io 'co'to co toho ©sco ©s'oses os co'^V-'V    cn

•acootoos    coosotojco    o    h    q oj    <hoowm    w o óo    ©    m

[34]

Anhang.

Barometrische Höhenstufen.

Höhendifferenz A hi für die Barometerdifferenz \mm. à h, = ⁸⁰J⁹ (1 + 0,003665 t)

Mittlerer Barometerstand B in Millimetern

760

755

750    745    740    735    730    725

720    715

710

5°

10,36

10,40

10,43

10,47

10,51

10,43

10,47

10,50

10,54

10,58

10,55

10,59

10,63

10,67

10,71

10,62

10,66

10,70

10,74

10,78

CO> O- 00 C5

10,74

10,78

10,82

10,86

10,90

10,82

10,85

10,89

10,93

10,97

10,86

10,90

10,94

10,98

11,02

11,06

11,10

11,14

11,18

11,22

10,93 11,01 10,97 11,05 11,01 11,09 11,06 11,13 11,10 11,17

11,14 11,21 11,18 11,26 11,22 11,30 11,261 11,34 11,30 11,38

11,09

11,13

11,17

11,21

11,25

— 5°

11,29

11,34

11,38

11,42

11,46

0°

O    O    O    O    0    0

wof-tco    o—iotcO't¹    vocct^ooc5

HrlHHH    HHHHH    (N f)    N IM (M 05 C3    CO Ol 03 CO ÎO CO    CO CO CO

10,94

10,98

11,01

11,05

11,09

11,13

11,17

11,21

11,25

11,29

11,32

11,36

11,40

11,44

11,48

11,52

11,56

11,60

11,63

11,67

11,71

11,75

11,79

11,83

11,87

11,90

11,01

11,05

11,09

11,13

11,17

11,20

11,24

11,28

11,32

11,36

11,40

11,44

11,48

11,52

11,56

11,59

11,63

11,67

11,71

11,75

T-H i—i H    t—' r-*

O O CD 00 00 <1 00 ^ H <1 CO 0

11,08 11,16 11,23 11,31 11,12 11,20 11,27 11,35 11,16 11,24 11,31 11,39 11,20 11,28 11,35 11,43 11,24 11,31 11,39 11,47

11,28 11,36 11,43 11,51 11,32 11,40 11,47 11,55 11,36 11,43 11,51 11,59 11,40 11,47 11,55 11,63 11,44 11,51 11,59 11,67

11,48 11,55 11,63 11,71 11,52 11,59 11,67 11,75 11,55 11,63 11,71 11,79 11,59 11,67 11,75 11,83 11,63 11,71 11,79 11,87

11,39

,43

11,59

11,63

11,67

11,71

11,75

11,79

11,83

11,87

11,91

11,95

11,67 11,75 11,83 11,91 11,71 11,79 11,87 11,95 11,75 11,83 11,91 11,99 11,79 11,87 11,95 12,03 11,83 11,91 11,99 12,07

12,06| 12,15: 12,23 3lj

11,99

12,03

12,07

12,11

12,15

(vgl.

1—⁴ i—⁴ >—⁴ H-* H-* I—⁴

Ul to CO JO DO CO CO

12,19

12,23

12,27

12,31

12,35

531.)

11,26 11,34 11,42 1 50 11,30 11,38 11,46 1 54 11,34 11,42 11,50 1 58 11,38 11,46 11,54 1 63 11,43 11,51 11,59 11,67

11,47 11,55 11,63 11,71 11,51 11,59 11,67 11,75 11,55 11,63 11,71 11,79 11,59 11,67111,75 11,83 11,63 11,71 11,79 11,87

11,67 11,75 11,83 11,91 11,71 11,79 11,87 11,96 11,75 11,83 11,91 12,00 11,79 11,87 11,96 12,04 11,83 11,91 12,00 12,08

11,95 12,04 12,12 11,99 12,08 12,16 12,04 12,12 12,20 12,08 12,16 12,25 12,12 12,20 12,29

12,16 12,24 12,20 12,28 12,24 12,32 12,28 12,37 12,32 12,41

12,28 12,36 12,45 12,54 12,32 12,40 12,49 12,58 12,36 12,44 12,53 12,62 12,40 12,48 12,57 12,66 12,4    12,53 12,61 12,70

12,4    12,57| 12,651 12,74

5°

10°

11

12

13

14

15°

16

17

18

19

11,87

11,91

11,95

11,99

12,03

12,07

12,11

12,16

12,20

12,24

12,33

12,37

12,41

12,45

12,49

00

20°

21

22

23

24

25°

26

27

28

29

30°

31

32

33

34

5°

O r-1 co cc ^

CÛ 00 <1 Ci Ol

I—* t—l I—l I—l I—l

CO DO h O

u5(oi>ooo;

r-H i-H r—• r-H

700

11,25

11,29

11,33

11,37

11,41

11,46

11,50

11,54

11,58

11,62

11,67

11,71

11,88

11,92

11,96

12,00

12,04

12,08

12,13

12,17

12,21

12,25

20° 12,30

25° 12,51

30° 12,72

34    12,88 35° 12,93

Barometrische Höhenstufen.

Höhendifferenz A hx für die Barometerdifferenz lmw*. ^ (1 + 0,003665 t)

A hx =

Mittlerer Barometerstand B in

Millimetern

690

680

670

660

650    640

630

620

610

600

SO

11,41

11,45

11,49

11,54

11,58

11,62

11,66

11,71

11,75

11,79

11,83

11,88

11,92

11,96

12,01

12,05

12,09

12,13

12,18

12,22

12,26

12,30

12,35

12,39

12,43

12,47

12,52

12,56

12,60

12,64

12,69

12,73

12,77

12,81

12,86

12,90

12,94

12,99

13,03

13,07

13,11)

11,58 11,75 11,62 11,79 11,66 11,84 11,71 11,88 11,75 11,93

11,79 11,97 11,84 12,01 11,88! 12,06 11,921 12,10 11,97 12,14

12,01

12,05;

12,io;

12,14

12,18

DO DO CO DO DO

odcokTcoU

05 DO GO CO CD

12,23 12,41 12,27 12,45 12,31 12,50 12,35 12,54 12,40 12,58

12,44 12,63 12,48 12,67 12,53 12,71 12,57 12,76 12,61 12,80

12,66 12,85 12,70' 12,89 12,74 12,93 12,79 12,98 12,83 13,02

C-Ntooio 00 c^c^o o c-î cnT od eo cc

r—¹ r-* *■—< —— r—i

13,07

13,11

13,15

13,20

13,24

13,09 13,29 13,13 13,33 13,18 13,37 13,22 13,42 13,26 13,46) 13,31 13,50

11,93

11,97

12,02

12,06

12,11

12,15

12,19

12,24

12,28

12,33

12,37

12,42

12,46

12,51

12,55

12,60

12,64

12,68

12,73

12,77

12,82

12,86

12,91

12,95

13,00

13,04

13,09

13,13

13,17

13,22

13,26

13,31

13,35

13,40

13,44

13,49

13,53

13,57

13,62

13,66

13,71

t—r—¹    ‘

co co co do

12.29

12,30

12,85

12,39

12,44

12,48

12,50

12,54

12,59

12,64

12,68

12,70

12,74

12,79

12,84

12,89

12,90

12,95

13,00

13,05

13,10

13,12

13,17

13,22

13,27

13,32

iO CO CI

12,34 12,53 12,38 12,58 12,43 12,62 12,47 12,67 12,52 12,71

12,56 12,76 12,61 12,81 12,65 12,85 12,70 12,90 12,74 12,94

12,79 12,99 12,83 13,04 12,88 13,08 12,92 13,13 12,97 13,17

13,01 13,22 13,06 13,27 13,11 13,31 13,15 13,36 13,20 13,40

13,24 13,45 13,29 13,50 13,33 13,54 13,38 13,59 13,42 13,63

13,47 13,68 13,51 13,72 13,56 13,77 13,60 13,82 13,65 13,86

13,69 13,91 13,74 13,96 13,78 14,00 13,83 14,05 13,87 14,09 13,92! 14,14

12,73

12,78

12,82

12,87

12,92

12,93

12,98

13,03

13,08

13,12

13,15

13,19

13,24

13,29

13,34

13,36

13,41

13,46

13,51

13,56

CO DO

12,96

13,01

13,06

13,10

13,15

13,17

13,22

13,27

13,31

13,36

13,39

13,44

13,49

13,54

13,58

13,61

13,66

13,71

13,76

13,81

O OO <1 O OT

13,20

13,24

13,29

13,33

13,38

13,43

13,47

13,52

13,57

13,61

13,66

13,71

13,75

13,80

13,85

13,89

13,94

13,99

14,03

14,08

14,13

14,17

14,22

14,27

14,31

14,36

13,41

13,46

13,50

13,55

13,60

13,65

13,69

13,74

13,79

13,83

13,88

13,93

13,98

14,02

14,07

14,12

14,17

14,21

14,26

14,31

14,36

14,40

14,45

14,50

14,55

14,59

CO CO CO CO CO

13,88

13,93

13,97

14,02

14,07

14,12

14,17

14,22

14,27

14,31

14,36

14,41

14,46

14,51

14,56

14,61

14,66

14,70

14,75

14,80

14,83

13,85

13,90

13,95

14,00

14,05

14,10

14,15

14,20

14,25

14,30

14,35

14,39

14,44

14,49

14,54

14,59

14,64

14,69

14,74

14,79

14,84

14,88

14,93

14,98

15,03

15,08

DO

15°

16

17

18

19

20°

21

22

23

24

25°

26

27

28

29

30°

31

32

33

34

35₀

[36]

N r.

Anhang.

Reduktion v. Schrittweisen auf Meter durch Barometer-'

'    '    / V

I. Aufwärts.

izen.

Schritt-

zahl.

Barometer-Differenz A B

mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm j mm mm mm mm mm mm mm 0,0 —0,1 —0,2 —0,3 —0,4 —0,5 —0,6 —0,7 —0,8 —0,9 —1,0 -1,1 —1,2 —1,3 —1,4 —1,5 —1,6

10

15

20

12

15

25

30

19

35

23

40

27

31

45

50

35

55

38

60

42

46

65

70

50

54

75

80

58

62

85

90

65

95

69

100

73

77

18 16 14 12 22 20 18 16 26 24 22 20 30    28    26    24

14    8

19    17

22 20

27 25 30 28 35 32 39    36

19

29

32

37

40

45

48

53

56

60

27

31

II. Abwärts.

Schritt

zahl.

mm

0,0

mm

+ 0,2

mm

Barometer-Differenz d B

mm

mm

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65

68

72

76

mm

mm

mm

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14

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12

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14

15

16

17

18

19

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245.6

229.2

214.9

202.2

191,0

180.9

0« 20'

21

22

23

24

25

26

27

28

29

171,9

163.7 156,3

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143.2

137.5

132.2

127.3

122.8

118.5

0» 30'

31

32

33

34

114,6

110,9

107,4

104,2

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35

36

98,2

37

95,5

38

92,9

39

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44

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45

78,1

46

76,4

47

74,7

48

73,1

49

71,6

70,2

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52

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53

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54

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210.5

198.3

187.5

177.8

169.1

161.1

153,9

147.3

141.3

135.7 130,6

125.8

121.3 117,2

113,4

109,7

106,3

103,1

100,1

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94,6

92,1

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87,4

85,2

83,2

81,2

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77,5

75,8

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71,1

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68,3

67,0

65,7

64,4

63,3

62,1

61,0

60,0

58,9

57,9

Distanzmessung durch den parallaktischen Winkel.

30"

6875

2292

1375

982

764

625

529

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362

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50"

Diff. für 10"

5157

2003

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737

607

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448

397

356

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290.5 267,9

548.5

231.8

217.1

204.2

192.8

182.5

173.3

165.1

157.5

150.6

144.2

138.4

133.1

128.1

123.5

119.2

115.2

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Berechnung von Messband-Zügen mit Höhenwinteln.

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10,36

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7,00

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10,45

10,75

11,04

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11,61

11,90

12,18

12,45

12,72

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13,51

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2,99

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11,95 11,98 12,23 12,26 12,50 12,53 12,78    12,80

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13,82 13,84

14,07 14,09

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9,97

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11,15

11,44

11,73

12,01

12,29

12,56

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37° I 38° i 39°

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Magnetische Missweisung, westlich, für die Mitte des Jahres 1890.

Geographische Länge, von Ferro gezählt.

27° | 28° | 29» | 30°    31° | 32° i 33° : 34° j 3bj

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14°20' 15°20' 16°20'

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24°

CO

CM

CM

CM

Cl

Geogr.

Breite

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6°20' 7°20' 8°20' 9°20' 10°20' 11°20' 12°20' 13°20'

Geographische Länge, von Grenmvich gezählt.

So

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4°20' 5°20'

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16,8°

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55° 0' 54 30 54    0

53 30 53    0

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50° 0'

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O O O O CO CO

2°20'

Jährliche Abnahme der Missweisung = 0,125°

Jahr:    1888    1889    1890    1891    1892    1893    1894    1895    1896    1897    1898    1899    1900

Tafel-Reduktion:    +0,3°    +0,1°    0,0°    —0,1°    —0,3°    —0,4°    -0,5°    —0,6°    —0,8°    —0,9°    —1,0°    —1,1°    —1,3°

(vgl. 616—617.)

0'

3'

6'

9'

12'

15'

18'

21'

24'

27'

30'

33'

36'

39'

42'

45'

48'

51'

54'

57'

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30'

33'

36'

39'

42'

45'

48'

51'

54'

57'

16,93

17,01

17,09

17,17

17,25

17,34

17,42

17,50

17,58

17,66

17,74

17,82

17,90

17,98

18,06

18,14

18,22

18,30

18,38

18,46

20°

O'

3'

6'

9'

12'

15'

18'

21'

24'

27'

30'

33'

36'

39'

42'

45'

48'

51'

54'

57'

31,82 31,88 31,95 32 02 32,08

32.15

32,21

32,28

32,34

32,41

32,47

32,54

32,61

32,67

32,73

32,80

32,86

32,93

32,99

33,06

1°

1,73

1,81

1,90

1,99

2,07

2,16

2,25

2,33

2,42

2,50

2,59

2,68

2,76

2,85

2,94

3,02

3,11

3,19

3,28

3,37

Tachymetrische Tafel.

99 (V2 sm 2 «)

2°    3°    4°    5°    6°    T°~

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05 Ci 05 Ci Ci    d 03 Ci Ci    03    Ot Ot    OrjOr    Ot    O* V* pi JOT O*

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11°    12°    13°

18,94 19,02 19,10 19,18 19,26

19,34 19,42 19,50 19,58 19,66

19,74 19.82 19,90 19,98 20,05

20.53 20,61 20,68 20,76 20,84

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22,09

22,16

22,24

22,32

22,40

21°

22°

23°

33,12

33.19

33.25

33.31 33,38

33,44 33,51 33,57 33,63 33,70

33,76 33,82 33,89 33,95 34,01

34,07 34,14

34.20

34.26

34.32

34,39

34,45

34,51

34,57

34,63

34,70

34,76

34,82

34,88

34,94

35,00

35,06

35,12

35,18

35,25

35,31

35,37

35,43

35.49

35,55

35.61

35.67

35.73 35,79 35,85

35,91

35,97

36,02

36,08

36,14

36,20 36,26 36,32 36 38 36,44

36,50

36,55

36.61

36.67

36.73

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8°    9°

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15°    16°    !    17°    !    18° I 19°

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27,75

27.82

27.89 27,97

28,04

28,11

28,18

28,25

28,32

28,39

28,46

28,53

28,60

28,67

28,74

28.82

28.89 28,96 29,03

25°    26° [ 27°

24°

36,79

36,84

36,90

36,96

37,07

37,07

37,13

37,19

37,24

37,30

37,36

37,41

37,47

37,53

37,58

37,64

37,70

37,75

37,81

37,86

37,92

37,97

38,03

38,09

38,14

38,20

38.25

38,31

38,36

38,41

38,47

38,52

38,58

38,63

38,69

38,74

38,79

38,85

38,90

38,95

39,01

39,06

39,11

39,17

39,22

39,27

39,32

39,38

39,43

39,48

39,53

39.58

39.64

39,69

39,74

39,79

39,84

39,89

39,94

40,00

40,05

40,10

40,15

40,20

40,25

40,30

40,35

40,40

40,45

40,50

40,55

40,60

40,65

40,70

40,75

40,79

40,84

40,89

40,94

40,99

9"

12o

12» 30'

130

130 30'

14°

14» 30'

99,0

99,0

98,9

98,8

98,5

98,2

97,9

97,5

97,1

96,6

96,0

95,7

95,4

95,1

94,7

94,4

94,0

93,6

93,2

92,8

29,10

29,17

29,23

29,30

29,37

29,44

29,51

29,58

29,65

29,72

29,79

29,86

29,93

30,00

30,07

30,13

30,20

30,27

30,34

30,41

15o

30.48

30.54

30.61

31,08    19° 30'

31.15 31,22 31,29 31,35    2I0

31,42    21» 20'

31.49

31.55

31.62

31.69

31.75

15« 30'

92,4

28°    29°

41,04

41,09

41,13

41,18

41,23

41,28

41,32

41,37

41,42

41,47

41,51

41,56

41,61

41,65

41,70

41,75

41,79

41,84

41,89

41,93

16»

91,9

16» 30'

18« 30'

20"

20« 20' 20» 40'

21« 40'

22«

22" 20' 22« 40' 23«

23« 20' 23» 40'

41,98    24"

42,02    24« 20'

42,07    24® 40'

42,12 42,16

42,21 42.25 42,30 42,34 42,39    26« 40'

42,43    ²⁷⁰

42,47 42,52 42,56 42,61

42,65 42,69    29»

42,74    29» 20'

42,78    29« 40'

42,83    30«

25«

25« 20' 25« 40'

26«

26» 20'

27« 20' 27» 40'

28»

28» 20' 28» 40'

91,5

91,0

90,5

90,0

89,5

89,0

88,5

88,0

87,4

87,0

86,7

86,3

85,9

85,5    •

85,1

84,7

84,3

83,9

83,5

83,0

82,6

82,2

81,8

81,3

80,9

80,4

80,0

79,5

79,1

78,6

78,1

1 /,<

77,2

76,7

76,2

75,7

75,2

74,7

74,3

Tachymetrische Tafel.

100 (i/o sin 2 «)

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7,02

7,07

7,13

7,19

7,25

7,30

7,36

7,42

7,48

7,53

7,59

7,65

7,71

7,76

7,82

7,88

7,94

7,99

8,05

8,11

8,17

8,22

8,28

8,34

8,40

8,45

8,51

8,57

8,63

8,68

8,74

8,80

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8,97

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9,08

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9,25

9,31

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9,65

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9,83

9,88

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10,00

10,05

10,11

10,17

10,22

10,28

10,34

10,40

10,45

10,51

10,57

10,62

10,68

10,74

10,79

10,85

10,91

10,96

11,02

11,08

11,13

11,19

11,25

11,30

11,36

11,42

11,47

11,53

11,59

11,04

11,70

11,76

11,81

11,87

11,93

11,98

12,04

12,10

12,15

12,21

12.27

12.32

12.38 12,43

12.49

12.55

12,00

12,60

12.72 12,77 12,83 12,88

12,94

13,00

13,05

13,11

13,17

13,22

13.28

13.33

13.39 13,45

13.50

13.56 13,61 13,07

13.73

13.78

13.84

13.89

13.95

14,01

14,06

14.12

14.17

14.23

14.28

14.34

14.40 14.45 14,51 14,56

14,02

14,67

14,73

14.79

14.84

14.90

14.95 15,01 15,06

15.12

15.17

15.23

15.28

15.34

15.40

15,45

15,51

15,56

15,62

15,67

15,73

15,78

15,84

15,89

15,95

16,00

16,06

16,11

16,17

16,22

16,28

16,33

16,39

16,44

16,50

16,55

16,61

16,66

16,72

16,77

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16,88

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14°

15°

16°

17°    18°

19°

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19,00 19,05

19.11 19,16 19,21

20,60

20,66

20,71

20,76

20,81

22,18

22,23

22,28

22,34

22,39

22,44

22,49

22,54

22,60

22,65

23,47

23,52

23,58

23,63

23,68

23,73

23,78

23,83

23,88

23,93

23,99

24,04

24,09

24,14

24,19

25,00

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25,10

25,15

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25,25

25,30

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25,65

25,70

26,50

26,55

26,59

26,64

26,69

26,74

26,79

26,84

26,89

26,94

26,99

27,04

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90,1

89,8

89,4

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Anhang.

Taehymetrische Tafel

175 (i/o sin 2«)

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12°

9,15

9,25

9,35

9,45

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13°

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14°

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18.19

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19,09

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130

130 20' 13" 40'

140

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16"

16° 20’ 16" 40'

170

17« 20' 17" 40'

18«

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190

19" 20' 190 40'

156,5

155,8

155,2

20"

154,5

Tachymetrische Tafel,

176 (yo sin 2 a)

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3°    4°

5°

6°

7°    8°

9°

176 COS² a

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9,15

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0» 30'

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176,0

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25,29

25,34

25,39

25,43

25,48 25,53 25,58 25,63 25,68

25,73 25,78 25,83 25,88 25,92

25,97 26,02 26,07 26,12 26,17

26,22 26,27 26,32 26,36 26,41

26,46 26,51 26,56 26,61 26,66

26,71 26,75 26,80 26,85 26,90

26,95 27,00 27,05 27,10 27,14

27,92

27,97

28,02

28,07

28,12

28,17

28,21

28,26

28,31

28,36

28.41

28.46 28,50 28,55 28,60

28.65

28.70

28.75 28,80 28,84

28,89

28.94 28,99 29,04 29,09

29,13

29,18

29,23

29,28

29,33

29,37

29.42

29.47 29,52 29,57

29,62

29.66

29.71

29.76 29,81

29,86

29,91

29.95 30,00 30,05

1»

lo30'

175,9

175,9

2o

2» 30'

175,8

175,7

3o

3o 30'

175,5

175,3

40

4o 30'

175,1

174,9

5o

5o 20' 5» 40'

174,7

174,5

174,3

6o

6o 20' 60 40'

174,1

173,9

173,6

70

7» 20' 7° 40'

173,4

173,1

172,9

8o

1 o 20' 8o 40'

172,6

172,3

172,0

9o

90 20'

9° 40'

171,7

171,4

171,0

IO«

170,7

Rechtwinklige Coordinaten für

ocen

Ab-

On    4^ 03 03    DO DO I—¹‘ I-*

O Ot O Ot O    Ci O Cn O 3i ; SCISSe

WOOHCO CS crr

§§§§2

Cd Cd Cd Cd O ₀    CO    O,

co ¹    cT

1—1 co

I co co oo oo i-i r- o ^5 j| cc^co^cdŁO^ a^⁽—L co i ! o i-T co" cd~ o~    co co

•—i co

₀ J

■rt* o r-T c<f io oo

13,54

20,64

40,00

Halbmesser

45    50    55    60

0,28    0,25

1,13    1,01

0,23

0,92

65

Ab-

scisse

2,57

4,69

7,58

11.46

16,72

24,38

45,00

2,30

4,17

6,70

2,08

3,77

6,01

0,21

0,19

0,84

0,77

1,91

1,75

3,43

3,15

5,46

5,00

10,00    8,90    8,04

14,29 12,57 11,27 20,00 17,25 15,28 28,21 23,38 20,31 50,00 | 32,09 | 26,83

7,34

10,23

13,77

18,10

23,47

05 DO COJ35    ’    f

obsbtbsdj    05^0 05b]b-*    li <~‘

‘OOOTGCot    dodooodooo

Ctt 4*. 4*. 03 03 DO DO 1—¹ i—* OWOCnO    WOWOW

Ab

scisse

Halbmesser

-dl co CO DO    HH‘ h-1

Ol '00 -^1 C ^    CD cn i CO Oz ^ JO    O j <1

bbüibb ^b cnb/co    Do'^a'bt'aiH-¹ ■ ⁰⁷

o o 00 O H 000^101 c> cc to <1 <1

80    85

90 !    95

100 110

0,16    0,15

0,63 !    0,59

0,14

0,56

1,42

1,33

1,26

2,54

2,39

2,25

4,01

5,84

8,06

10,72

13,86

17,55

21,91

27,08

33,36

41,27

52,16

3,76

5,47

7,54

10,00

12,89

16,26

20,19

24,79

30,23

36,78

45,00

3,54

5,15

7,08

9,38

12,06

15,17

18,76

22,92

27,75

33,43

40,25

CO 03 CO CO I—* K- l—‘

aOOlH¹ -3    i—‘    OO    CT5    03 J>0 I <2<

05 dj do bo "ot    CO    CO    00    05 OO    03 b-¹ i—¹ Ot i—‘

O-q COW    DO    CO    03    OO 05    Ot 03 CO 03 03

0,13    0,11

0,50

0,46

1,13

1,03

2,02

3,18

4,61

6,33

8,35

1,83

2,88

4,17

5,72

7,53

10,70    9,63

13,40    12,02

O Cd -f 00 CO HNCDCDh o !! i—i 05 co co oo Cd oo c~ 05 Cd j cTo'Ö'r-n'cd' odio'cd'oo'o'

i—i    i—i

o O O — CO lOOMJOtf U3 ! — tf O CD w CO o lO CO ^ Cd o" cT d t-T ci cd~ io~ co oo o

1—1    H

0 05C-WM    —i O h -tf o

o ! Hcoooinv looocooo £5 i o o o t-T co co od o"

fI    T—I

Ab

scisse

CJV ^ CO CO fOtOMM OÓiOCnO Cu O Oi O Cn

16,48    14,74

20,00 17,80 24,01 , 21,26 28,59 | 25,15 33,86 J 29,53

13,35

16,08

19,13

22,53

26,33

12,75    12,21    55

15,34 14,67 60 18,23 17,42 65 21,44 20,46 70 25,00 23,82 75

Ab

scisse

Halbmesser

140 ! 150    160    170    175    180    190 ! 200    210 ! 220

Ab

scisse

12,52

17,34

60 13,51 70    18,76

80 25,11 i 23,11 90 32,76 i 30,00 100 42,02 i 38,20

110 53,40 48,02 120 67,89 60,00 130 88,04 75,17 140 140,00 96,15 150,00

35,10 32,52 31,39 30,33

9,72

13,36

17.66

22.67 28,45

150

43,81

54,16

66,73

82,54

104,32

40,39 38,89 37,52 49,58 47,62 45,84 60,46 57,85    55,50

73,56 70,00 66,86 90,00 | 84,86 | 80,50

35,08

42,69

51,44

61,55

73,38

32,97 31,11 29,47 40,00    37,66    35,61

48,01    45,08    42,52

57 7 i 53,48 ' 50,29 67 1 ] 63,03 59,07

o o o o o

HC3 CO ^ lO

1—« r—I ł-H i—< r—4

Rechtwinklige Coordinaten für Kreisbögen.

Ab

scisse

co

co

240    250    260

180 86,82 81,25 190 100,39 93,37 200 116,42 107,34

Ab-

scisse

430

440

Halbmesser

270    280    290    300    310

320

Ab-

scisse

OltOpCi 4^. to *-*0 0

0,18

0,72

1,61

2,87

4,50

6,50

8,89

19,20

25.50    24,42 23,42 30,68 29,35 28,13 36,46 34,83! 33,36 42,88 40,91 | 39,13 50 00 47,63 45,50

57,91    55,06 52,51

66,70 63,28 60,24

76.51    72,38 68,75

87.52    82,52 78,17 100,00 93,87 88,62

11,67

14,86

18,47

22.51 27,02 32,01

37.51 43,57

50,22

57.51

65.52 74,33 84,04

-i jb. ^ oo oi jno © _o -■a colonie Ao'^j'ar'biT-* to K> W 00 -0    4»- ^0 Os

21,67

25,99

30,77

36,03

41,81

48,13

55,05

62,62

70,91

80,00

16,03 100

19.50    110 23,35 120 27,60 130 32,25 140 37,33 150

42,87 160 48,89 170 55,42 180

62.51    190 70,20 200

Halbmesser

10 0,12

100 11,79

110 14,31 120 17,08 130 20,12 140 23,43 150 27,01

160 30,88 17ii 35,03 180 39,49 190 44,25 200 49,34

210 54,77 220 60,54 230 66,68 240 73,21 250 80,14

0,11

0,45

1,02

1,82

2,85

4,11

5,60

7,33

9,30

11,51

13,97

16,68

19,64

22,87

26,36

30,12

34,17

38,50

43,14

48,08

53,35

58,95

64,90

71,22

77,92

-aołojww ^^cocots pokimmh m    !

or co ooj-o j>o co jo os jo oijss* p co h-i _cc> oc 4*. co o jo j 'bocoro'^'o 'öoo'inco't-    "to "o 7-* 7^. o -t o 7^- 7-* i¹ ₀

CO 4^- CO    h-‘ c© 00 Oc LOSSOW Crc -3 00 CO CO 00 O    I—¹

460    470

480

500    550

600

Ab-

scisse

cT O O H (M ccT iO 1> CO H CO iO

25,14

28.72

32.57 36,68 41,07 45,75

50.73 [ 56,02

61,63

67.57 73,87

H CO    t>    lO CO Tt* TT 00 (M CO 00 (M t> CM O —¹¹

00<N00«> C-    <0 00 00 HO iO CD H <o o

dooVw co ird cd ocf cT co od h oo h~ io o ^ oT^ o in <m~

H    CM CO CC ^ ^

0,10

0,42

0,94

1,67

2,61

3,76

5,13

6,71

8.51

0,10    0,09

0,40 I 0,36 0,90    0,82

0,08

0,33

0,75

1,60

2,51

3,61

4,92

6,44

8,17

10,53 10,10

12,77    12,25

15,24 14,61 17,94 17,20 20,87 20,00 24,04 i 23,03

53.39    51,00 58,69 56,04 64,31 61,37 70,24 66,99

1,46

1,33

2,28

2,09

3,28

3,01

4,47

4,10

5,85

5,36

7,41

6,79

9,17

8,39

11,11

13,25

15,58

18,12

20.85

23,79

26,93

30,29

33.86 37,65

41,67

45,92

50,40

55,13

60,10

10,17

12,12

14,25

16.56 19,05

21,73

24,59

27,64

30,88

34,31

37,95

41,79

45,83

60,09

54.56

7,74 100

9,38 110 11,17 120 13,13 130 15,26 140 17,54 150

20.00

22,62

25,42

28,39

31,58

O CO OC -1 OS

o o o o o

34,86 210 38,36 220 42,05 230 45,93 240 50,00 250

46]

Anhang.

Rechtwinklige Coordinaten für

K«

Nr.

Ab-

scisse

330 !

Halbmesser

840 ! 350    360    370    380 ! 390 ¹ 400

410 ! 420

Ab

scisse

90 12,51 100 15,52

110 18,87 120 22,59 130 26,68 140 31,17 150 36,06

160 41,38 170 47,16 180 53,41 190 60,19 200 67,51

0,15    0,14

0,14

0,59

0,57

0,56

5,34    5,18

7,28

7,07

9,55 I 9,27 12,13 : 11,77 15,04    14,59

18,29

21,88

25,83

30,16

34,88

40,00

45.55

51.56 58,04 65,05

0,14

0,54

1,25

1,22

0,13

0,53

1,19

0,13

0,13

2,23

3,49

2,17

2,11

5,04

6,87

9,00

3,39

4,90

6,68

8,75

11,43    11,11

14,17    13,77

17,74    17,22    ¹ 16,73

56,^6    54,22    | 52,51

62.77    60,67    : 58,71

3,30

4,77

6,50

8,52

10,81

13,39

16,27

19,44

22,93

26,73

30,86

35.33 40,15

45.34 50.91 56,89

Halbmesser

0,51

1,16

2,06

3,22

4,64

6,33

8,29

10,53

13,04

15,83

18,92

22,30

25,99

30,00

34,33

39,00

44,02

49,41

55,19

0,50

1,13

2,01

3,14

4,53

6,17

8,08

10,26

12,70

15.42

18.42 21,71 25,30 29,19

33,39

37,92

42,79

48,01

53,59

60

70

80

90

100

110

150

700

750

800

900

1000

1500    2000    2500 I 3000 [ 5000

10

0,07

0,07

20

0,29

0,27

30

0,64

0,60

0,03

0,13

0,30

0,03

0,02

0,10 0,08 0,23    0,18

0,02 0,01

0,07    0,04

0,15

0,09

40

50

1,14

1,79

1,07

1,00

0,89

0,80

0,53

0,40

0,32

0,27

0,16

1,67

1,56

1,39

1,25

0,83

0,63

0,50

0,42

0,25

8SSI0S o o o o o

•    rH Cvl CO ^ lO

-qv

60

2,58

2,40

2,25

70

2,00

1,80

1,20

0,90

0,72

0,60

0,36

60

80

3,51

4,59

3,27

4,28

90

5,81

5,42

3,07 I 2,73 4,01    3,56

5,08    4,51

2,45

1,63

1,23

0,98

0,82

0,49

70

3,21

2,13

1,60

1,28

1,07

0,64

80

4,06

100

7,18

6,70

6,27

5,57

5,01

2,70

3,34

2,03

2,50

1,62

1,35

0,81

90

2,00

1,67

1,00

100

110

120

8,70

130

140

150

10,36

12,18

14,14

16,26

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

18.53 20.96

23.54 26,28 29,18

32,24

35,47

38,86

42,43

46,17

42,89 ! 40,07    |    35,42 | 31,75    20,98    j 15,69

2,42

2,88

3,38

3,92

4,50

5,13

5,79

6,49

7,23

8,01

8,84

9,70

2,02

2,40

2,82

3,27

3,75

4,27

4,82

5,40

6,02

6,67

7,36

8,08

10,60 ; 8,83 11,55    9,62

12,53    10,43

1,21

1.44

l’,69

1,96

2,25

2,'5 6

2,89

3,24

3,61

4,00

4,41

4,84

5,29

5,76

6,25

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

Peripheriewinkel « für die Sehnenlänge s -- 20

sin a =

o Bogen

100

120

140

Halbmesser

150    160    !    180 I 200

220

122° 36' 128 21 134    5

139 50 145 34

151 18 157    3

162 47 168 31 174 16

132° 12' 136 59 141 46 146 32 151 19

156    6

160 53 165 40 170 26 175 13

O Ol

143    8

147 14 151 20 155 25

159 31 163 37 167 43 171 48 175 54

139

71

153° 57' 156 33 159    9

161 46 164 22

166 58 169 35

172 11 174 47 177 24

o Bogen

tO CO OT 05 ~3 CO <D>

«5 00 ~3 05 «yt^COCOl—‘O

Bogen £

5 44 11 29 17 13 22 57 28 42

34 26 40 10 45 55 51 39 57 24

47

34

14 20

19

23 54

28 41 33 28 38 14

43

47 48

4    6

8 12 12 17 16 23 20 29

24 35 28 40 32 46 36 52 i 40 58

Halbmesser

240    ! 250    260    280    300

2 52 5 44 8 36 11 28 14 20

17 12

DO DO CO DO 00 Ol DO o

O 00 Ci

2 36 5 13 7 49 10 25 13    2

15 38 18 14 20 51 23 27 26    3

io oo c ca cn^ostoi—¹ o

DO CO 4** Oi Ci 00 CD

175 13 175 25 177 37 177 42

e—I ►—* I—¹¹ t—*

Ci Oi Oi Ol

47

22

40

153° 33' 155° 26' 155 45 157 29 157 57 159 32 160 10 161 35 162 22 163 38 164 34 165 40

166 46 167 43 168 59 169 46 171 11 171 49 173 23 173 52 175 35 175 54 177 48 177 57

157° 5' 158 59 160 54 162 48 164 43 166 38

168 32 170 27 172 22 174 16 176 11 178    5

320    |    340

158° 31' 159° 47' 160 18 161 28

162    6    163    9

163    53 164 50 165 40 166 31 167 28 168 12

169 15 169 53

171    3    171    34

172    50 173 16 174 38 174 57 176 25 176 38 178 13 178 19

350

Bogen g

160° 21' 161 59 163 38

176    44 178 22

r-⁻

(M H O Ci CO I>

0D OC -Cl Ci Ol ^ CO DOM O

OMMco^oiai

X U- o hN DO

DO OI CO ►—¹¹ ^ DO O Ci CO O “^3 CO

O Ci 4^ IO

4^ CO •—¹ Oi CO oi 00 O CO Ol 00

oo i—¹ oo cs co i—* co co t—*

tK H O <1 Ol tO

CO

00 05 CO

CM

COCOOOrH^ l>

1 55 3 49 5 44 7 38 9 33 11 28

I—Ł ■¹ 1—l

DOhO

<1 ÜT CO

M M tO

Ci DO -<] DO

Ol

OI

1 47 3 35 5 22

7    10

8    57 10 45

12 32 14 20

16    7

17    54 19 42 21 29

1 41 3 22

6 44 8 26

10

00 CO iO CO T—i Ci

CCHIOCOH ^

h co ^ C OO Ci

11 48 13 29

15    10

16    51 18 32 20 13

11 28

13    6

14    44 16 22 18 1 19 39

03 CO 'T¹ lO CD o-ooc;

O 1-H (M

r-H t-H r—<

(vgl-

[48]

Anhang.

Nr.

Peripheriewinkel « für die Sehnenläi

,    .    s

sm a =

Sls^ein V*

«Ml

5 © B°gen

Halbmesser

360    |    380

400    450

500    !    550

600

650

00 t>

SO    lO CO C3 H    OOOOI>CO

H    t-H t-H t-H t-H r-•    t-H

148° 10' 149 45

151    21

152    56 154 32

160    54 162 29

168    51 170 27

149° 50'

151° 21' 152 47

154° 32' 155 48

161    54 163 25

164 55 166 26 167 56

169    27

170    57

158    31

159    57 161 23 ,162 49 164 15

160 54 162 10

163    27

164    43 166 0

157° 5'159° 10'

158    14 160 12

159    22 161 15

160    31 162 17

161    40 163 20

162    49 164 22

163    57 165 25

165    6    166    27

166    15 167 30

167    24 168 32

^ ,-h Oä SO »O io ^ CO

O H 03 CO ^ CO CO T CO CD

r-H T—I t-H t-H h

162° 22'

163    15

164    8

165    1 165 54

165 40

167    6

168    32

169    58 171 24

168    32 169 35

169    41 170 37

170    50 171 40

171    59 172 42

173    7    173    45

171

172

CO

L- I> O

H r-H t-H

11

57

50

43

i—*    ‘ — ►—*

O    t—¹ CO cc

CO CO 4^ Cn

176    49 178 24

176    59 178 30

172 50

174    16 174 47

175    25 175 50

176    34 176 52

177    42 177 55

178    51 178 57

O HCOCO^ IO SO I> 00 Oi

1 36

3    11

4    47 6 22 7 58

9 33

11

12 44

14    20

15    55

17 31

19

20 42

22    17

23    53

25 28

27

1 30

4 31

7 32

1 26 2 52

4    18

5    44 7 10

1 16

2    33

3    49

6 22

CO iO 00

O CO

t-H t-^

0 57

0 53

9    3

10 33

8 36

10

12

13 34 15    5

11 28 12 54 14 20

5    17

6    10

7    56

8    49

CD t> 00 O

16 35

18

19 36

21

15 45

17    11

18    37

20

22 37

21 29

9 42

10    35

11    28 12 20 13 13

tOHM

O so 00

24    8

25    38

28 39    27

30    15 I 28 39

31    50    30 10

(NCO-tfiO CD I> 00 Ci O

t-H i—! r-H i—i    H riH H(J1

Peripheriewinkel « für dié Sehnenlänge s = 20.

s

sin a —    '

S oo o o Bogen

700

163° 38'

164    27

165    16

166    5 166 54

Halbmesser

750 I 800 1    900

1000

1500 I

2000

2500

Bogen

164° 43'    165° 41'    167° 16'    168° 32'    172° 22'

167 47 168 32 169 49 170 501173 53

174° 16' 174 33

174    51

175    8 175 25

175° 25' 175 39

175    52

176    6 176 20

en

^ 00(M

r-* rH r-H

168    32 169 15 170 27 171 24)174 16

1—»    ¹ r—

«o ^3 «o «^

39

25

48

175 42

175    59

176    17 376 34 176 51

176 34

176    47

177    1 177 15 177 29

O (Ji CO [> *-0 LO HT CO CM

(Mi—It—!»—I H    r-H r-H r—I i—I

03 -J 00 eo O

172    22    172    50    173 38 174 16 176 11

HH HH «Cl -O «Cl «Cl

16 174 51 176 34 54 175 25 176 57 33 175 59 177 20 11 176 34 177 42

177    8

177 25

177    42

178    0 178 17

177 42

177    56

178    10 178 24 178 37

OOXC-ÎO

CO CO 4n en

178 34

178    51

179    8 179 26 179 43

178    51

179    5 179 19 179 32 179 46

00 00 00 00 0 0 00

►fn 05 CO I—L O

1—¹ CO 05 4*. 03 <33 O 00 35

CO CO 10 CO CO H 10 CO H

OHHtNCO

DitOHMO

TT Ci CO CO CM CO TT H iO

0 23 0 46

1 32 1 55

0 17 0 34 0 52

1 26

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05 Cn CO 05 00 05 -J 1—* on

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00

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CÎC.OO

6 7 6 30

6    53

7    15 7 38

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00

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00 33 0

rH rH Ml

100

120

140

150

160

180

200

220

240

250

260

280

300

320

340

350

360

380

4o0

420

440

450

460

480

500

520

540

550

560

580

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

1200

1400

1500

1600

1800

2000

2500

3000

3500

4000

5000

Sehnenlänge s für den Péri

s = 2 r sin a.

a = 5°

17,431

20,917

24,404

26,147

27,890

31,376

34,862

38,349

41,835

43,578

45,321

48,807

52,293

55,780

59,266

2°

6,980

8,376

9,772

10,470

11,168

12,564

13,960

15,356

16,752

17,450

18,148

19,544

20,940

22,336

23,732

24,430

25,128

26,524

27,920

29,316

30,712

31,410

32,108

33,504

34,900

36,295

37,691

38,389

39,087

40,483

a = 1° | a

9,075

9,773

10,471

11,170

11,868

12,217

12,566

13,264

13,962

14,660

15,358

15,707

16,056

16,754

17,452

18,150

18,849

19,198

19,547

20,245

20,943

22,688

24,433

26,179

27,924

29,669

31,414

33,160

34,905

41,886

i> od oo oo oT oT oT oT ■

SJ-

30' j a = 20' j a = 15'

100

120

140

150

160

180

200

220

240

250

260

280

300

320

340

350

360

380

400

420

440

450

460

480

500

520

540

550

560

580

6,981

7,563

8,145

8,727

9,308

9,890

10,472

11,054

11,635

13,963

16,290

17,453

18,617

20,944

23,271

10,472 11,344 12,217 13,090 13,962

14,835 15,708 16,580 17,453 20,944

24,434 26,180 27,925 31,416 34,906

43,633    29,089

52,359    34.906

61.086    40,724

69,812    46,542

87,265 I 58,177

10,472

12,217

13,090

13,963

15,708

17,453

21,817

26,180

30,543

34,906

43,633

00 04

ttNOOCO ^ iO CO l> oo T—    iO^^CO

od oo oT    r-^ oT o~ cc oT

1—I T—

O

00

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

1200

1400

1500

1600

1800

2000

2500

3000

3500

4000

5000

Ordinate y =

æ³

Abscisse —

Anhang.

Übergangskurven.

Krümmungshalbmesser R — —

Abscisse

æ ; 4000 12000 18000 25000 40000 x 4000 12000 18000 25000 40000

0,000 0,000 0,002 0,001 0,014 0,009 0,047 0,031 0,111    0,074

0,217 0,145 30 | 1,125 0,375 0,250 0,595 0,397 0,889 0,593 1,266 0,844

1,736 1,157 2,311    1,541

3,000 ! 2,000

10

15

20

25

35

40

45

50

55

60

65

70

OCCWW O 00 CO 03 O CO O ^ CO 00 o o o o_ o_    oq_,—i -n-,oo,c3

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Q iß

t—‘ tO tO ^ GO a W05 O Cb O O X § CO O O -1 o o u

oo

oo

oo

co

Länge der Übergangskurve oder Abscisse ihres Endpunktes

l = 2 a = —

Verschiebung der Tangente oder Verkürzung des Kreishalbmessers

q²

24 î-3

Kreis-halbm. r

4000 12000 18000 25000 40000

Kreis-lialbm. r

4000 12000 | 18000 j 25000 40000

150

200

150

250

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

550

600

650

700

OOOO-J O* O cn O O

900

200

250

300

320

340

360

380

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K. /y""

Mass-Vergleichung.

ÛÇfrksn rein

Meter mass und Pax-iser Mass.

1 Meter .

1 Meter .

1 Meter .

1 Millimeter 1 Millimeter

log

2.646    6938-125 9.710 1800-700 0.488 3313 8.567 5126

9.646    6938

Par. Linien 0,513 074 074 Toisen 3,078 444 4 0,036 941 3 0,443 296

1,949 036 310 7 Meter 0,324 839 4 0,027 069 9 2,255 829 063 Millimeter

= 443,296

Pariser Fuss Pariser Zoll

Par. Linien

1 Toise = 6Par .Fuss = 864Par.Linien = 1 Par.Fuss = 12Par.Zoll = 144P.Lin. = 1 Pariser Zoll =12 Pariser Linien = 1 Pariser Linie.......=

Meter

Meter

0.289 8199-300 9.511 6687 8.432 4874 0.353 3061-875

Deutsches Reich.

Die ursprünglich nur für den Norddeutschen Bund bestimmte Mass- und Gewichtsordnung vom 17. August 1868 (Bundesgesetzblatt von 1868 Nr. 28, S. 473) wurde durch Artikel 80, I., 11 der Verfassung des Deutschen Reichs vom November 1870 zur Mass- und Gewichtsordnung des Deutschen Reiches erhoben.

Die Grundlage des Masses und Gewichtes ist das Meter mit decimaler Teilung und Vervielfachung.

Als Urmass gilt bis auf Weiteres derjenige Platinstab, welcher im Besitze der Königlich Preussischen Regierung sich befindet, im Jahre 1863 durch eine von dieser und der Kaiserlich Französischen Regierung bestellte Kommission mit dem in dem Kaiserlichen Archive zu Paris aufbewahrten Mètre des Archives verglichen und hei der Temperatur des schmelzenden Eises gleich 1,00000301 Meter befunden worden ist.

Ältere deutsche. Maasse.

Preussen.

1 Preussischer (RheinländischerFuss) 139,13 1 Preussischer (RheinländischerFuss)

1 Preussische Q.-Ruthe ....

1 PreussischerMorgen ( 180Q.-Ruthen)

0,313 853 497 0,026 154 5 2,179 538 2 3,766 242 0 0,376 624 2

14,184 578 6 0,255 322 4

Par. Linien

Meter

Meter

Millimeter

Meter

Meter

Q.-Meter

Hektar

log

2.143 4207-851 9.496 7269-726 8.417 5457 0.338 3645 0.575 9082 9.575 9082 1.151 8164 9.407 0890

1 Meter .

1 Meter .

1 Millimeter 1 Meter .

1 Q.-Meter 1 Hektar .

1 Hektar .

=    3,186 199    957    Preuss.    Fuss    0.503    2730-274

= 3 Morgen 164,99 Ruthen

Preuss. Zoll

Pr. Linien Pr. Ruthen

1.582 4543 9.661 6355 9.424 0918

Pr. Q.-Ruth. 8.8481836 Pr. Morgen 0.592 9110

1 Bayrischer Fuss......

1 Bayr. Fass ( = Bi ₀ Buthe = 10 Zoll = 100 Linien).....

1 Q.-Buthe

Bayern. = 129,38

Par. Linien

log

2.111 8671*468

=    8,518177

1 Tagwerk (= 40 Q.-Buthen) . . = 34,072 709 1 Décimale (= 4 Q.-Buthen) . . = 34,072 709

0,291 859 164 1 Meter

Q.-Meter

Ar

Q.-Buthen

9.465 1733-343 0.930 3467 1.532 4067 1.532 4067

Hannover.

1 Hannov.Fuss( = 12Zoll = 144Linien)=: 0,292 094 7 1 Hannoversche Buthe (= 16 Fuss) =    4,673 514 8

1 Hannoversche Q.-Buthe . . .    = 21,841 74

1 Hannover. Morgen ( = 120 Q.-Buth.) — 26,210 09

Meter

Meter

Q.-Meter

Ar

9.465 5236 0.669 6436 1.339 2872 1.418 4685

Sachsen.

1 Sächsischer Fuss    . . .

1 Sächsischer Fuss    . . .

1 Elle = 2 Fuss ....

1 Feldmesserruthe ....

1 Strassenruthe.....

1 Q.-Buthe (Feldmesserruthe)

1 Acker = 300 Q.-Feldmesserruthen = 55,342

= 18,447

Par. Linien

Meter

Meter

Meter

Meter

Q.-Meter

Ar

2.098 7717 9.452 0779 9.753 1079 0.632 9632 0.656 19 1.265 93 1.743 05

Württemberg.

1 Württemberg. Fuss (= l/₁₀ Buthe

= 10 Zoll = 100 Linien) .    =    0,286 490 3

=    8,207 67

1 Morgen (= 384 Q.-Buthen) . . = 31,517 45 1 Achtel ( = 48 Q.-Buthen) . . = 3,939 68

Diese Zahlen stützen sich auf die Massordnung vom 30. November 1806, wo-1 Fuss = 127 Pariser Linien sein soll (= 0,2864903 Meter). Der Württembergischen Landes-Triangulierung liegt aber ein anderer Fuss zu Grunde, nämlich :

1 Württemb.Landesvermessungsfuss = 126,97

1 Q.-Buthe

Meter

Q.-Meter

Ar

Ar

9.457 1099 0.914 22 1.498 55 0.595 46

Par. Linien

9.457 0073-071

Der Horizont der Württembergischen Triangulierung ist 844 Pariser Fuss = 274,16™ über dem Meer. Man hat daher zur Verwandlung von Landesvermessungsfussen im Vermessungshorizont inMeter im Meereshorizont den Beduktions-Logarithmus 9.456 9886-5.

=    0,286 422 616 1 Meter

Baden.

1 Bad. Fuss ( = l/₁₀ Buthe = 10 Zoll = 100 Linien) ....

1 Q.-Buthe........—

1 Morgen (= 400 Q.-Buthen) .    .    =

co

Oi co o

::

Meter

Q.-Meter

Ar

9.477 1218 0.954 2425 1.556 3025

Hessen-Darmstadt.

1 Fuss = 0,25“.    1 Klafter = 2,5“.    1 Morgen = 400 Q.-Klafter = 25 Ar.

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Kurhessen.

1 Kurhessischer Ńormalfuss = 0,287 70™.    1 Kurhessische Katasterruthe = 3,988756 95™.

1 Kurhessischer Acker = 150 Q.-Ruthen = 23,87 Ar.

Sachsen- Weimar.

1 Fuss = 0,28198™.    1 Ruthe = 16 Fuss = 4,5117™.    1 Acker = 140 Q.-Ruthen

= 28,497 Ar.

Mecklenburg.

1 Mecklenburger Fuss = 129 Pariser Linien — 0,29100195™.    1 Ruthe — 16 Fuss

= 4,656 031 2™.    1 Morgen = 300 Q.-Ruthen = 65,036 Ar.

Oldenburg.

1 Oldenburger Fuss = 0,295 8790™.    1 Ruthe — 18 Fuss = 5,3258™.    1 Jück = 160

Q.-Ruthen = 45,383 Ar.

Nassau.

1 Nassauer Werkfuss = 0,3™.    1 Feldruthe = 10 Feldfuss = 5™.    1 Morgen = 100

Q.-Ruthen = 25 Ar.

Braunschweig.

1 Fuss = 126,5 Pariser Linien = 0,285362 4™. 1 Ruthe = 16 Fuss = 4,565 798 0™. 1 Feldmorgen = 120 Q.-Ruthen — 25,02 Ar. 1 Waldmorgen = 160 Q.-Ruthen = 33,35 Ar.

Österreich.

1 Wiener Klafter......

1 Fuss ( = !/₆ Klafter).....

1 Österr. Postmeile = 4000 Klafter

1 Q.-Fuss.........

1 Q.-Klafter (=36 Q.-Fuss) .    .    .

1 Joch (= 1600 Q.-Klafter) .    .    .

= 1,896 484 = 0,316 080 = 7,585 936 — 0,099 907 = 3,596 652 = 0,575 464 2 Hektare

Meter

Meter

Kilometer

log

Q.-Meter

Q.-Meter

0.277 9491-829 9.499 7979 0.880 0092 8.999 5959 0.555 8984 9.760 0183

1 Meter .    .

1 Kilometer 1 Q.-Meter . 1 Q.-Meter . 1 Ar .    .    .

1 Hektar .

= 0,527 291 6 Wiener Klafter -    0,131823

= 10,009 310 = 0,278 036 = 27,803 639 = 1,737 727

Östr. Postmeile

Q.-Fuss Q -Klafter Q.-Klafter Österr. Joch

9.722 0508-171 9.119 9908 1.000 4041

9.444    1016

1.444    1016 0.239 9817

Die vorstehenden Reduktionszahlen sind in § 4. des österr. Mass-Gesetzes vom 16. Juli 1871 als für den Verkehr gültig bestimmt. Das amtliche Vermessungswerk „Die astronomisch-geodätischen Arbeiten des K. K. militär-geographischen Instituts in Wien, I. Band, Wien 1871“ sagt auf S. 188 folgendes:

Zur Verwandlung der Wiener Klafter in Meter diente der von W. Struve aus den im Jahre 1850 zu Pułkowa ausgeführten Massvergleichungen hervorgegangenen Logarithmus 0.277949P463. Nach diesem Vorgang hat man bei trigonometrischen Arbeiten anzunehmen:

0.277 0491-463

1 Wiener Klafter = 1,896 483 840 Meter

England und Nordamerika.

log

1 Englische Yard ( = B engl. Fuss)

1 Toise 1 Meter

.*)

=    0,914 391 80 Meter

= 405,346 22

2,131 51116 Yard

Par. Linien

1 Square Mile = 640 Acres .

=    1,093 623 11 Yard

=    0,304 797 27 Meter

Centimeter

Meter

Meter

Kilometer

Ar

9.961 1323-228

2.607    8261-274 0.328 6876-108 0.038 8676-790 9.484 0110-7 0.404 8298

1.303    5550

2.303    5550 0.206 6450

1.607    1100 0.413 2900

Q.-Kilometer

Der Englische Fuss ist auch in Bussland und Nordamerika im Gebrauch.

*) Diese Eeduktionszahlen (nicht die Logarithmen) sind die Eesultate der neuesten Untersuchungen, mitgeteilt von Clarke, in dem Werk: Comparions of the standards of length of England, France etc. London 1866 S. 250. (Auszug hieraus s. Vierteljahresschrift der Astr. Gesellschaft. 1868. S. 260.)

Dadurch wird die frühere Beduktionszahl ersetzt, nämlich 1 Meter = 3,280 874 63 engl. Fuss, oder 1 Toise = 6,394 543 78 engl. Fuss, welche auf S. 745 der Ord. trig. survey, principal triangulation, angegeben ist.

Russland.

1 Eussischer Fuss = 1 englischer Zoll = 0,304 797 27 Meter 1 Eussische Saschen = 7 Fuss . . = 2,133 580 89 Meter

9.484 0110-7 0.329 1091-1

Dänemark.

1 Dänischer Fuss = lPreussischerFuss = 139,13

Par. Linien

=    0,313 853 50 Meter

2.143 4208 9.496 7270

Schweden.

1 Schwedischer Fuss = 1/6 Faden . =    0,296 901 04 Meter

9.472 6117

Meilen-Maasse.

1 Geographische Meile (i/₁₅° d. Äq.) =    7,420 438 54 Kilometer

1 Französische Lieue 0/25° d. Äq.) = 4,452 26

= 1,609 33 =    7,585    94

—    7,532 48

=    1,066    79

= 4,8

= 0,134 763 Geogr. Meilen

—    55,062 908 Q.-Kilometer = 0,018 161 Geogr. Q.-Meilen

1 Englische Meile 1 Österreichische Meile

1 Preussische Meile {— 200 Euthen) 1 Eussische Werst (= 3500 Fuss) .

1 Schweizer Stunde......

1 Kilometer.........

1 Geographische Q.-Meile .    . .    .

1 Q.-Kilometer........

1 Seemeile = V4 geographische Meile = 1 Äquator-Minute .    .    .

•n

0.870 4295-7 0.648 5808 0.206 6450 0.880 0092 0.876 9382 0.028 0791 0.681 2412 9.129 5704 1.740 8591-4 8.259 1408-6

=    1,855 110 Kilometer

0.268 3696

Seite 18.

21.

27.

95.

SI. a- P

Nr.

Berichtigangen und Nachträge.

Achte Linie von unten statt S. [2], lies: S. [8].

Vierzehnte Linie statt S. [1], lies: S. [2].

In der Tabelle (10) bei I. statt 2,60, lies: 2,39.

Zur iaiwifóschen Rechenmaschine, vgl. „Zeitschr. f. Verm. 1887“, S. 226 und S. 593.

Bei (21) statt ₉ = 5° 30', lies: Vo = 5° 30'.

Statt xa — -4- 64524,94, lies: xa = — 64524,94.

Fünfte Linie von unten statt S. [5], lies: 'S. [6].

Rechts unten statt y = 15521,52, lies: y — —15190,78.

Bei (6) ist zuzusetzen : +17.

In Fig. 3. sollen G und G in einer Vertikalen untereinander liegen.

Fig. 4. statt Massstab etwa 1:0000, lies : 1:6.

Fig. 9. statt Latten, lies: Latte.

Nach (1) statt k = 18464, lies: K = 18464.

Am Schluss von § 151. statt starke Fehler, lies: einzelne starke Fehler.

Zu § 154. Ein sehr ausführliches Litteratur-Verzeichnis zur barometrischen Höhenmessung hat Professor Kunze in der „Zeitschr. für Verm. 1879“, Ergänzungsheft Seite (1) bis (116) veröffentlicht.

„    552.    1876. Hann, statt 0,00154, lies: 1 -+- 0,00154.

.    576.

„ 579.

„    [14] und [15] unten, statt

»    173.

„    205.

„ 210. „ 239. „ 298. »    320.

Sechste Linie von unten statt 2e, lies: e der distanzmessende Winkel. In der Tabelle (19) statt 1°34', lies: 0°34’.

und , lies :

556

556

und

617'

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