•.

M

h!

rd

.

■r * -

I;

7    >

1!

.

«M

:

::

p

X >

- .    / r'

\

; <

-

pr

!§iü

%y

.y«

>"' -<^r;

":S.

m. -

;■

«K* .

■- *:

- X * V<

^ 7.

i - W? £■

4

*:

X -- /

'j

-

.

-

«ß- ,, ;;

* ' -iw. .

fr

•:4*

;v

S

fc,-‘

v-':

■'

*

- s

r,/.

■

m

; ja

J

r - 7

:-'S

/X V"A

. :■ ■:■

¹

K :

:

;

.-

• ; - ■/<■ -,

•b - - ^

tx ■

K

' Z

- ' "4;. - /

f; .

:

O

»Pili

mithin für d = 2 und v — 600 Kilogr. pro [j licnti

Für den in vertikalem Sinne umgedrehten Träger gel

5) Berechnung der Spannungen in den Berticalen. a)

sf'10-2

»Pili

der constrnctiven Anordnung und statischen Berechnung der

triidun- und Hochbau-Constructionen.

Zweiter Theil.

Die statische Berechnung der Wrückenconstructionen.

Erstes Heft.

Die statische Berechnung der Balkenbrücken.

Mit zahlreichen, durchgerechneten Beispielen und 9 lithographirten Tafeln.

Zum Gebrauche bei

Vorträgen uub Privatstudien über Brückenbau, sowie bei statischen Berechnungen von Brücken

bearbeitet von

Dr. Friedrich Heinzerling,

Gießen

vormals

Baurath und Professor an der polytechnischen Schule in Aachen,

ordentlicher Professor der Bau- und Jngenieurwissenschaften an der Universität und Sectionsingenieur der hessischen Ludwigseisenbahngesellschaft.

SeParatabdrnck aus irrn „Civilingenieur"» Band XVIII und XIX.

Leipzig.

Verlag von Arthur Felix. 1873.

/ät

e %,

j^gÖOTECT'

kraköw

&/i‘<bch n«®^

s

A

5

5>

>

IlM:

M-Z0623&

'

'

-

Äke. Mr.

3>£>'vC' 2M V

sm/yf

^Einleitung .

Erste Abtheilung.

Die Kräfte und deren Momente.

Erster Abschnitt.

Inhalt.

Spalte

Dritter Abschnitt.

Die Horizontalscheerkräfte und Horizontalscheerwiderstände.

I.    Die Horizontalscheerkräfte......

II.    Die Horizontalscheerwiderstände ....

III. Beziehung zwischen den Vertical- und Horizon-

talscheerkräften............

Spalte

. 30

34

37

Die Angriffs- und Widerstandsmomente.

I. Die Angriffsmomente.

1)    Die Angriffsmomente bei Einwirkung einer beliebig

gelegenen Einzellast............

2)    Die Angriffsmomente bei Einwirkung mehrerer Einzellasten.

Die Balkenbrücken.

, Zweite Abtheilung.

Erster Abschnitt.

a) bei gleichen und gleich vertheilten Einzellasten . - b) Bei ungleichen und ungleich vertheilten Einzellasten 3) Die Angriffsmomente bei Einwirkung stetig und

gleichförmig vertheilter Lasten.........

II. Die Widerstandsmomente der Brückenträger.

1)    Die Widerstandsmomente der Balkenträger mit offengebauten und geschlossenen Wandungen......

2)    Die Widerstandsmomente aufgehängter und gestützter

Brücken................

Die geschlossenen (massiven) Balkenbrücken.^

I. Die Blechbalkenbrücken und Brücken mit massiv gewalzten Balken . . x    Die Eisenbahnbrücken

Die Straßenbrücken . .

. 37

39

.    .    42

Die eingebauten Blechträger der Eisenbahubrücken . . 43 Die Schwellenträger

15

III. Die Ausgleichung der Angrif fs- und Widerstandsmomente in den Trägern eiserner Brücken . . 16

Zweiter Abschnitt.

Die Berticalscheerkräfte und Verticalscheerwiderstände der Brückenträger.

I. Die Berticalscheerkräfte.

1)    Die Berticalscheerkräfte bei Einwirkung einer beliebig

gelegenen Einzellast............

2)    Die Berticalscheerkräfte bei Einwirkung mehrerer Einzellasten.

. 44

Die Querträger eingeleisiger Eisenbahnbrücken . . 45 Die Querträger zweigleisiger Eisenbahnbrücken . 47 Die Querträger der Straßenbrücken

II.    Die Holzbalkenbrücken.

Die Straßenbrücken mit Bohlenbelag Die Straßenbrücken mit Beschotterung Die hölzernen Langschwellen eiserner Straßenbrücken . 50

III.    Die Steinbalkenbrücken.

Die Steinplattenbrücken Die Basaltsäulenbrücken

Zweiter Abschnitt.

. 47

47

50

51

. 51

17

a^Bei gleichen und^gleichvertheilten Einzellasten . b) Bei ungleichen und ungleich 'vertheilten Einzel-

- lg

Die offengebauten Balkenbrücken...........

I. Die Träger mit geraden parallelen Gurtungen

oder Parallelträger ...........52

1) Die Parallelträger nach dem System des rechtwinkeligen " Dreiecks.

52

lasten.............

3)    Die Berticalscheerkräfte bei Einwirkung stetig und

gleichförmig vertheilter Einzellasten.......

4)    Beziehung zwischen dem Angriffsmoment und der

Berticalscheerkraft.............

II. Die Verticalscheerwiderstände in den Brückenträgern ................

23

25

28

28

a)    Mit einfacher Stabreihe .'.......

Mit einfachen gezogenen oder einfachen

gedrückten Diagonalen......

Mit gekreuzten, theils gezogenen, theils gedrückten Diagonalen......

b)    Mit mehrfacher Stabreihe.......

2) Die Parallelträger nach dem System des gleichschenkeligen

Dreiecks.

IV

Spalte

a)    Mit einfacher Stabreihe

Mit Belastung sämmtlicher Knotenpunkte .    77

Mit Belastung nur der unteren oder nur der oberen Knotenpunkte.....

b)    Mit mehrfacher Stabreihe.......

IC. Die Träger mit polygonalen Gurtungen oder die

Polygonalträger............

1) -Die Polygonalträger mit einer gebrochenen und einer geraden Gurtung.............

a)    Die Polygonalträger, deren Diagonalen bei voller

Belastung die Spannung Null annehmen oder die Parabelträger a) Die Parabelträger mit gerader Felderzahl 113 ß) Die Parabelträger mit ungerader Felderzahl 119

b)    Die Polygonalträger, deren Diagonalen bei der

größten Druckbelastung die Spannung Null

annehmen.............

a) Die Polygonalträger mit nach der Mitte hin fallenden Diagonalen oder die Schwedler'schen Träger .... 122 ß) Die Polygonalträger mit nach der Mitte

hin steigenden Diagonalen.... 130

77

c) Die Polygonalträger, deren Gurtungen die gleiche Maximalspannung annehmen oder die Pauli'schen Träger.......

• Spalte

131

88

97

106

107

111

122

III. Die fortgesetzten (continuirlichen) Parallelträger.

1)    Die Momente und Scheerkräfte der fortgesetzten Parallelträger ................

2)    Die Gegendrücke der Auflager fortgesetzter Parallelträger 142

a)    Die Gegendrücke der über zwei Oeffnungen

fortgesetzten Parallelträger. a) Mit gleich hohen Stützen ß) Mit gesenktem mittleren Stützpunkte . .145

b)    Die Auflagerdrucke der über drei Oeffnungen

fortgesetzten Parallelträger. a) Mit gleich hohen Stützen. ß) Mit gesenkten mittleren Stützen . . .152

3)    Statische Berechnung der fortgesetzten (continuirlichen)

Parallelträger..............

a)    Die über zwei Oeffnungen fortgesetzten Parallel

träger ...............

b)    Die über drei Oeffnungen fortgesetzten Parallel

träger

139

143

147

155

156

. 162

Tafeln.

1—2. Die Momente und Scheerkräfte der Brückenträger.

3. Die geschlossenen oder massiven Balkenbrücken.

4—5. Die offengebauten Parallelbalkenbrücken.

6—7. Die offengebauten Polygonalbalkenbrücken.

8—9. Die fortgesetzten (continuirlichen) offengebauten Parallelbalkenbrücken.

Einleitung.

In dem als Beitrag zur Begründung einer allgemeinen Theorie und Systemkunde der Bauconstructionen im Civilingenieur, Bd. XIV und XVI, sowie im Jahre 1870 als Scparatabzug erschienenen ersten Theile dieser Grundzüge wurden die Gleichungen, welche der Construction und statischen Berechnung der Bauconstructionen zu Grunde liegen, allgemein entwickelt. Die vorliegende Fortsetzung jenes allgemeinen Theiles bezweckt die Specialisirung sowohl jener allgemeinen Theorie, wie sie zur statisch-numerischen Berechnung der einzelnen Constructionen erforderlich ist, als auch jener Systemkunde, wie man derer zur Kenntniß der verschiednen Anordnungen der einzelnen System der Brücken- und Hoch-bau-Constructionen bedarf. Indem der zweite Theil jener Grundzüge somit einen Beitrag zur Entwickelung der speciellen Theorie und Systemkunde der Bauconstructionen zu liefern bezweckt, behandelt er in getrennten Abschnitten die Constructionen des Brückenbaues und Hochbaues. Die nachfolgenden Specialformeln sind meist neu und in der Absicht, einen möglichst unmittelbaren, rasch fördernden Gebrauch in der Praxis zu gestatten, entwickelt und, um ihre Anwendung zu erleichtern, mit den durchgeführten Berechnungen zugehöriger, meist ausgeführter oder ihnen verwandter Constructionen begleitet worden.

Erste Abtheilung.

Die Kräfte unb deren Momente.

als Drehpunkt — Bl + Plj = 0, woraus B — P. 4p mithin das Angriffsmoment

Erster Abschnitt.

Die Angriffs- und Widerstandsmomente.

I. Die Allstriffsmomente.

1) Die Angriffsmomente bei Einwirkung einer beliebig gelegenen Einzellast.

Liegt die Last P rechts von dem Schnitt aß, so ist mit Bezug auf Taf. 1, Fig. 1

Hierin ist 1 > x und für

P.iHl-x) ... (4)

gleichfalls positiv und um so größer, je größer B, oder je größer 1„ d. h. je näher P dem Schnitt aß rückt.

Eine Einzellast erzeugt daher in jeder Lage für jeden Berticalschnitt ein positives Angriffsmoment, welches um so größer wird, je näher die Last diesem Schnitte rückt.

. - (1)

aM = Ax .    .

, mithin das Angriffsmoment

woraus A

- - (2)

. . (3)

Hierin ist für b als Drehpunkt Al — Pl„ — 0, 1"

= p.4-

aM = P.-^.x    .    .

positiv und desto größer, je größer A oder je größer 1„, d. h. je näher P dem Schnitt aß rückt.

Liegt die Last P links von dem Schnitt aß, so ist mit Bezug auf Fig. 2

»M == B(1 — x). .    .

2) Die Angriffsmomente bei Einwirkung mehrerer Einzellasten.

a) Bei gleichen und gleich vertheilten Einzellasten.

Da jede Einzellast das Angriffsmoment positiv macht und zur Vergrößerung desselben beiträgt, so wird das Angriffsmoment am größten, wenn sämmtliche Einzellasten (p + q) wirken. In diesem Falle ist mit Bezug auf Figur 3 für einen Schnitt in dem beliebigen mtcu Felde und b als Drehpunkt das größte Angriffsmoment

aM — Am1 — (p + q)1[(m — 1) + (m — 2) + .... 2 + 1] = Ami — (p + <1)

m(m —

(N — 1)

Hierin beträgt der Auflagerdruck die Hälfte der Gesammtlast, mithin ist derselbe für N Felder A = (p + q)-

daher das größte Angriffsmoment

2—~ ^-(p + q)

und wenn hierin m — 1 statt m gesetzt wird, für den (m — l)tcn Knotenpunkt

aMm_i — (p + .q)

aMm = (p + q)

m(N

m (m — 1)

a = (p + q)

nMm = (p + q)

m(2n —

• . (5)

• . (7)

daher

(m — 1)(N —m + 1) ,

2 "Z Bei einer geraden Anzahl von Feldern ist N = 2n,

. (6)

bei einer ungeraden Anzahl von Feldern ist 17—2 n — 1, daher

m(2n —

d.aM

dm

= (p + q) ~2

1 d.m(N — m)

dm

-m — 1; ,

2 K' ’

Wird Gleichung (5) nach m differentiirt, so ergiebt sich

= (P + q) (N — 2 mX

aMm = (p + q)

• (8)

und, wenn man diesen Ausdruck Null setzt, m =

aM

N

y, daher wenn dieser Werth eingeführt wird,

= (p + q) -g- •¹........

(9)

Für p + q = 904 Kilogr., 1 = 1 und N = 10 erhält man nach Gleichung (5)

m(N—ja)_^ _ 904

0 Mogr.,

aMm = (p + q)

m (10 — m)

N

worin für m — —— 5 der Maximalwerth von aM erhalten wurve.

= 452 m (10 — m),

für m — 3,    aM₃    —    452.3.7 —    9492    Kilogr.

„ m = 4,    aM₄    =    452.4.6 =    10848    „

„ m = 5,    aMä    =    452.5.5 =    11300    „

Werden diese Werthe aufgetragen, so ergiebt sich die der Belastung p' + q' = b (p + q) vom linken, X“ = al Darstellung der Fig. 2 auf Taf. 2.

Sind die Endbelastungen und deren Abstände von den rechten Stützpunkt, l den Abstand der übrigen N — 1 Bela-Stützpunkten von den übrigen Belastungen und Abständen stungen p + q von einander, so erhält man mit Bezug auf verschieden, siehe Fig. 4, und bezeichnet 1‘ = a l den Abstand den Stützpunkt b als Drehpunkt die Momentengleichung

—    + 2H+1“ + X]

den Abstand der Belastung p" + q" — d(p + q) vom

A(l' + Nl + K‘) — [(p' + q')(X‘‘ +Nl) + (p + q) [X" + (N - 1)1+ X“ + (N

+ (p"+ q")l"]

und hieraus, wenn der Werth von V, X“, p' + q' und p" + q" eingeführt, der gemeinschaftliche Factor p + q herausgesetzt, X im Zähler und Nenner weggelassen wird, den Auflagerdruck

b (c + N) + (c + N — 1) + (c + N — 2) +.... (c + 2) + (c + 1) + d. c .

Wird die in der Klammer enthaltene, zwischen dem ersten und letzten Gliede befindliche, Reihe summirt und reducirt, so ergiebt sich

p_±q

b(c + N) + (N-l)(c + y) + d.c]

In Bezug auf den mtcn Knotenpunkt erhält man das Angrifssmoment

aMm = A(l' + ml) — (p + q)[1 + 2 +.(m — 1)]X - (p; + q')ml und, wenn der Werth für X‘ und p' + q' eingeführt, summirt und reducirt wird,

aMm — A (a + m) z —

<p + q)++- + t>)

m Ä.

Wird der Werth von A aus Gleichung (10) eingesetzt, so entsteht

j b(c + N) + (N-l)(c + |-)

Sind die Abstände l“ und die Belastungen p' + 4\ p;' + ⁽l" an den Enden einander gleich, also a = c und b — d, so erhält man nach einiger Reduction aus Gleichung (10)

(p + q) (b +

aMm = (p + q) -j- [m(N — m) + a(N + 2 b — 1)],........

ein Werth, welcher für — 0 oder a = 0 in den durch Gleichung (5) gegebenen übergeht.

Setzt man in Gleichung (11) m — 1 statt m, so erhält man das Angriffsmoment für den (m — l)tm Lastpunkt

(p + q) ^ [■

und für a — o und b = d

aMm = (p + q) A

a + N -f- c

+ d.cj

>)]•

• (11)

und aus Gleichung (11)

aMm_t =

L j b(c + N) + (N - 1) (c +    ) + de j

-(m-

(10“)

(12)

aMm_j =s (p -(- q) i [(m — 1)(N — in -)- 1) -(- a (N + 2 b — 1)]

ein Werth, welcher für a = 0 in den durch Gleichung (6) gegebenen übergeht.

Liegt der Drehpunkt D, wie dies bei Bestimmung der    Drehpunkts von dem linken Stützpunkt bezeichnet wird, mit

Spannungen in den Bertical- und Diagonalstäben der Poly-    Bezug auf Fig. 5 und den Knotenpunkt c im mten Felde

gonalträger der Fall ist, außerhalb und z. B. links von der das Angriffsmoment Stützweite, so ergiebt sich, wenn mit lm der Abstand jenes

aM — — A lm    —)—    (p    —|—    q) [(lm    —f-    A)    —j—    (lm —2 A)    —)

(lm + M?.)]

(14)

(15)

Hierin ist für b als Drehpunkt

ANl-(p + q)A[(N- 1) + (N —2) + (p + q)

2 + 1] =0, woraus der Auflagerdruck

A =

N

Hierin bezeichnen (p + q) —^r .... (p + q) ^ die Beiträge, welche die in den Knotenpunkten

__-[(N — 1) + (N — 2) +.....2 + 1]

• (16)

1,2

die Beiträge, welche die in den Knotenpunkten m und m + 1 wirkenden Lasten zu demselben Auflagerdruck liefern. Werden die beiden letzten Beträge in den Werth von A, Gleichung (16), eingeschaltet und dieser so in Gleichung (15) eingeführt so ergiebt sich, wenn der Factor von p + q in Gleichung (N — (m + 1))    (15) zur Erleichterung der Subtraction mit N multiplicirt

und dividirt wird,

(N — 2)

v (p + q) —5s—

N — 1 wirkenden Lasten zu dem Auflagerdruck liefern, mithin (p + q) (^__!+ un^ ^    ^

(p + q)

“M == —

bis

P — l)lm + (N — 2)lm + ... (N — m)lm + (N - (m + l))lm +....21m + llm]

(P + q) [N(lm + X) + N(Im + 21) + ... N(lm + ml)].

(N — m — 1)

die Glieder (p + q)

lm bis (p + q) -JJ- lm

in der obern Reihe die Beiträge, welche die Belastungen in lm der oberen Reihe und (p + q) den Knotenpunkten (m + 1; bis N — 1 zu dem Angriffsmoment liefern. Wird die Subtraction Glied für Glied ausgeführt und hierauf summirt, so ergiebt sich das Angriffsmoment für den mtcn Knotenpunkt

Hierin bezeichnen die Glieder (p + q) (P + q)(N — m)

(N - 1)

- lm

(lm + A) bis (p + q)(lm + m)) der untern Reihe die Beiträge, welche die Belastungen in den Knotenpunkten 1 bis m;

■M„ -- iE±J)

[m (m + 1) (lm + N A) — lm(N — m) (N — (m + 1))]. und, wenn hierin m — 1 statt m gesetzt wird, das Angriffsmoment für den (m — l)tm Knotenpunkt

|m(m — l)(]m -1- NA) — lm(N — m)(N — (m — 1))].

2N

(17)

»M

_ (p + q)

2N

(18)

Aus diesen Gleichungen folgt, daß bei links von dem linken Stützpunkte gelegenem Drehpunkte die Belastungen vom lten bis mten, beziehungsweise lten bis (m — l)ten Knotenpunkt einen positiven und die Belastungen vom (m + l)tcn bis (N — l)tcn, beziehungsweise mten bis (N — l)tcn Knotenpunkt einen negativen Beitrag zu dem Angrisismoment liefern.

p (> — *i)

¹ I

und, wenn dieser Werth eingeführt wird, aM = P₁x₁ ( 1

+ P»

(I — +,)

Aus vorstehenden Gleichungen ergiebt sich daher das größte positive Angrisismoment, wenn nur die Knotenpunkte links belastet, also nur die positiven Glieder beibehalten werden. Das größte negative Moment ergiebt sich, wenn nur die Knotenpunkte rechts belastet, also nur die negativen Glieder beibehalten werden.

Man erhält mithin für den mtctt Knotenpunkt

f) + M ¹ - T>

Behalten, wie dies bei den Raddrücken von Eisenbahnzügen der Fall ist, sämmtliche Einzellasten ihre gegenseitigen Abstände, so verschieben sich auch die Schwerpunkte der beiden Lastantheile und P„ um die gleiche Größe dx, = dx„. Wird nun derselbe Schnitt beibehalten, also x constant angenommen, so ergiebt sich durch Differentiation von aM nach x, und x„

d aM

aMm max — (p + q).

m(m + 1)

aMm min = — (p + q) .

(Im + NA) . (19) (N — m)(N — m + 1)

2N

2N

lm (20)

d x,

und aus diesem ersten Differentialquotienten, wenn derselbe Null gesetzt wird, die Proportion

P,

und für den (m — l)tcn Knotenpunkt

m (m — 1)

aMm_₁max — (p + q).

aM

min ——(p + q).

(lm + NZ) .    (21)

(N — m) (N — m — 1)

2N

2N

lm. (22)

Werden sämmtliche Belastungen beibehalten, so ergiebt sich durch Subtraction der beiden in der Klammer enthaltenen Glieder für den mten und (m — l)ten Knotenpunkt beziehungsweise

aMm

aMm_!

= fr g q) [m (m — 1) X - (N - 2 m +1) lm], (24)

b) Bei ungleichen und ungleich vertheilten Einzellasten.

Bezeichnen P, und P„ die Resultanten der bezugsweise links und rechts vom Schnitt aß gelegenen Lasten, x, und x„ die Abstände ihrer Schwerpunkte vom linken Stützpunkt, so ist das Angriffsmoment mit Bezug auf Figur 6 und für den im Abstande x gelegenen Drehpunkt c aM — Ax — Px(x — xx).

Hierin ist für b als Drehpunkt

Al —P,(l —x,) + P„(1 — x„) — 0, woraus

aM

(25)

P„ 1 — x Das größte Angriffsmoment von ungleichen und ungleichvertheilten Lasten für einen beliebigen Schnitt entsteht mithin, wenn sich die Lastantheile P, und P„ zu beiden Seiten dieses Schnittes verhalten, wie die ihnen entsprechenden Tcheilstrecken der Spannweite, oder wenn die auf die Längeneinheit vertheilten Lasten beider Strecken einander möglichst gleich sind.

3) Die Angriffsmomente bei Einwirkung stetig und gleichförmig vertheilter Lasten.

Rücken gleiche Einzellasten sehr nahe zusammen, so entstehen stetig und gleichförmig vertheilte Lasten. Das Angriffsmoment für jeden Schnitt aß wird auch hier am größten, wenn zu beiden Seiten desselben volle Belastung stattfindet. In diesem Falle ist mit Bezug auf Fig. 7 und für die Belastung p 4 q pro laufende Einheit das Angriffsmoment

— (p + q)x. Y'

Hierin ist für b als Drehpunkt Al — fp + rj)I.-g- — 0,

woraus A — (p + q) mithin das größte Angrisismoment für den Schnitt aß

aM — Ax

= p + q) f x P ~ q'i "I" = ip + q) 2 ⁽¹ ~ x)'

(26)

welches den Ordinalen einer gemeinen Parabel entspricht.

Für x = 0 und x — 1 wird *M'= 0,

mithin die Parabelordinate Null.

Durch Differentiation von aM nach x erhält man

daM

= (p + q) (4-~x)

mithin, wenn dieser Werth Null gesetzt wird, für x — das relativ größte Angriffsmoment

= (p + q)y.....(27)

Für p + q = 904 Kilogr., pro lausenden Meter und 1 — 10 Meter ergiebt sich

»M

als Ordinate auf, so erhält man den Scheitel der Parabel, welche die größten Angriffsmomente repräsentirt und sich auf die bekannte, in Fig. 12, Taf. 2, dargestellte Weise con-struiren läßt.

Um diejenige gleichförmig vertheilte Last q zu finden, welche dasselbe Angriffsmoment auf die Mitte des in Fig. 8, Tafel 1, dargestellten Trägers hervorbringt, als die in seiner Mitte wirkende Einzellast p, die in den Entfernungen 1,1„.. vom linken Stützpunkt liegenden Einzellasten p, p„ ... und die in den Entfernungen 1' I".. vom rechten Stützpunkt liegenden Einzellasten pf p"... zusammen, so ist, wenn P diejenige in der Mitte wirkende Einzellast bezeichnet, welche das gleiche Angriffsmoment erzeugt, wie sämmtliche Einzellasten:

p,l, + p„l„ + ...p'l' + p''l" + ...

(28)

aM

-- 904.

100

— 11300 Kilogrmtr.

und die ihr äquivalente, gleichförmig vertheilte Last für Trägt man diesen Werth in der Mitte der Spannweite die laufende Einheit

2^_ _2p ,    4 (p, 1, + p„ 1„ +... p'P + P"l" +...)

(29)

II. Die Widerstandsmomente der Brückenträger.

1) Die Widerstandsmomente der Balkenträger mit offengebauten und geschlossenen Wandungen.

Jeder Brückenträger bildet einen Winkelhebel, dessen einer Arm von den angreifenden, dessen anderer Arm von den widerstehenden Kräften ergriffen wird, und muß ein Moment seiner widerstehenden Kräfte oder ein Widerstandsmoment entwickeln, welches dem Moment der ihn angreifenden Kräfte oder seinem Angriffsmoment mindestens gleich ist. Bezeichnen 8 und P beziehungsweise die Resultanten der in einem Schnitt aß des Trägers sich entwickelnden horizontalen Spannungen und Pressungen, welche ein Kräftepaar bilden und an den Hebelsarmen cs und cp wirken, so ist

‘M = Sc. + Pcp.....(30)

Hierin erscheinen die Horizontalwiderstände 8 und P als eine Summe von Zugspannungen Ks und Druckspannungen Kp, welche in den ihnen entsprechenden Flächenelementen dp und dfp stattfinden und proportinal mit ihren Abständen y₃ und yp von der ihrer Lage nach noch zu bestimmenden Drehaxe wachsen. Man erhält daher, wenn s und p die Zug- und Druckspannungen in den äußersten Fasern, a₃ und ap die Abstände der Letzteren von der Drehaxe, mithin

— und — die Zug und Druckspannungen in dem Einheitsabstand von dieser Drehaxe bedeuten,

— y₃ und kp — as

und für die Zug- und Druckspannungen in den Flächentheil-chen dp und dfp

dfsks — dfs.ys und dfpkp — -£-dfp.yp, (32)

worin dpys und dfpyp die statischen Momente der gezognen und gedrückten Flächentheilchen d p und d fp, bezogen auf die Drehaxe, bezeichnen. Um die Summe 8 und P der in den gezognen und gedrückten Theilen p und fp der ganzen Querschnittsfläche stattfindenden Zug- und Druckspannungen zu erhalten, hat man nur die statischen Momente m₃ und mp dieser Theile zu nehmen und erhält daher, wenn mit bs und bp die Abstände ihrer Schwerpunkte von der Drehaxe bezeichnet werden,

8 =

ag

p ba — — m₃ und P — — fpbp = — mp. (33)

as

ftp

Innerhalb der Elasticitätsgrenzen der Materialien, welche bei Bauconstructionen nie erreicht werden dürfen, kann die Zug- und Druckspannung in dem Einheitsabstand von der Drehaxe gleich, oder

as

ap

. (34)

ks =

£-yP -

ap

. (31)

gesetzt werden. Hieraus folgt wegen 8 — P

aus der Gleichung (33)

......

(35)

ms — wp — pb₃ — fpbp. . . . (36) Unter jener Voraussetzung sind mithin die statischen Momente der Flächentheile p und fp einander gleich, die Drehaxe geht durch die Schwerlinie der Querschnittsfläche

und bildet die neutrale Axe für Zug und Druck. Aus Gleichung (36) ergiebt sich

fs

bP

. - (37)

fP ~ bs '    •

d. h. es verhalten sich die Flächentheile fs und fp umgekehrt wie die Abstände ihrer Schwerpunkte von der neutralen Axe.

Für den besondern Fall, wo wie beim Schmiedeeisen s — p, folgt aus Gleichung (34), wenn mit h die ganze Höhe des Trägers bezeichnet wird,

. . (38)

a₃ — äp — L) r

d. h. daß für diesen Fall die neutrale Axe durch die Mitte des Querschnittes geht. Alsdann ist auch, wenn fs + fp = f und bs + bp = b gesetzt wird,

fs = fP = ™2~    ‘ ‘

. . (39)

einzelnen, durch Gleichung (32) dargestellten Flächenspannungen

dfs.yä und —.dfp.yp, welche beziehungsweise an

den Hebelsarmen ys und yp wirken, mithin die Momente

- - df ,ysä und -J- .dtp.yp² entwickeln. Hierin bezeichnen

die Summen t₃ und tp von dfsys² und dfp.yp² die auf die neutrale Axe bezogenen Trägheitsmomente der Flächen fs und fp, mithin ist unter Berücksichtigung der Gleichung (34) das Widerstandsmoment

WM — -

" lt- + t|.) —    - (ts + tp). .

as    0)p

(41)

und wenn mit t das Trägheitsmoment der ganzen Querschnittsfläche bezeichnet wird,

WM - — t =

as

.t.

. • (42)

und

Um das Widerstandsmoment des in Fig. 21, Taf. 2, dargestellten Elechrrägers bei einer größten Spannung von 1600 Kilogr. pro □ Cent, zu bestimmen, ergiebt sich zunächst

„ _ fl ai + 4 a2 + 4 a3 + f*a4

a₃ - "    fri    r

• • (40)

Die Bestandtheile Scs und Pcp des Widerstandsmoments WM erscheinen als die Summe der Momente aller

worin fi — 2.33 — 66 und

£, = 2(8.1 + 9.1) = 34 und a₂ — 100 — 11 + 6,38 — 95,38:

bs — bp —

a₄ — 99;

f₃ — 98.1 — 98 und

98

a3 — g — 49:

f₄ = 4.16 = 64 und

a₄ —

16

ferner

F = 4 + 4 + 4 + 4 = 66 + 34 + 98 + 64 = 262, daher 66.99 + 34.95,38 + 98.49 + 64.8

a.

262

— 57,60 Centim.,

ap — 100 — as — 100 — 57,60 = 42,40 Centim.

Das ganze Trägheitsmoment erhält man, wenn das Trägheitsmoment des gedrückten und gezogenen Theils besonders entwickelt und auf die neutrale Axe bezogen wird, aus

t = -l-[33.42>⁸ — 14.407* — 16.39H⁸ — 2.317* + 5. 54? — 4.4)7*],

= i- [2515426 — 923150 - 978608 — 61918 + 955515 — 287965] = 406433.

s = p = 1600 Kilogr. ein, so ergiebt sich 406433 — 11289807 Kilogrcentim.

mithin

Führt man diese Werthe, sowie die Spannung

1600 57,60

Andererseits liefern für das Widerstandsmoment die Gleichungen (30) und (33) den Ausdruck

"M =

welcher wegen Relation (34) übergeht in

"M =

±fbc

k AP UP VPf

-(fs bä cs + fp bp Cp) =    - (fp bp Cp + f bs cs)

WM = — fs bs cs +

as

(43)

as

ap

(44)

und dessen Klammern ebenfalls das Trägheitsmoment t der gedrückten Theils der Querschnittsfläche in deren ganzen Querschnittsfläche darstellen.    Trägheitsmoment gleich ist.

— bs durch eine Fläche f,c mit der größten Zugspannung

3-s

s und die Fläche fp mit der mittleren Druckspannung . bp,

ap

durch eine Fläche fp° mit der größten Druckspannung p ersetzen. Für diesen Fall muß

8 — bsfä — sfsc und P — — bp fp — pfpc (51) sein, woraus

Aus Gleickmng (44) folgt, daß bei gleichen Flächentheilen In den durch die Gleichung (33) dargestellten Werthen f, und fp das Widerstandsmoment um so größer ird, je von S und P läßt sich die Fläche fs mit der mittlern Zugspannung größer nicht nur die Abstände bs und bp ihrer Schwerpunkte von der neutralen Axe, sondern auch die auf dieselbe Axe bezogenen Hebelsarme c₃ und cp der Resultanten aller Spannungen und Pressungen sind, d. h. je mehr man jene Flächentheile des Querschnittes concentrirt und von der neutralen Axe entfernt anordnet, ein Umstand, welcher, insbesondere bei größeren Spannweiten, also bedeutenden Widerstandsmomenten, für den off engebauten Balkenträger spricht.

— und fpc as

tsc

a>p

Aus der Gleichung (44) ergiebt sich wegen Relation (36) und, wenn c, + cp = c gesetzt wird,

"M — — fäb„c — — fpbpc . . (45) Die Flächen fsc und fpc der größten constan-3,8    _    ap    ten Zug- und Druckspannung verhalten sich mit-

und wenn, wie bei den meisten osfengebauten Trägern, die    ,u Flächen fs und fp des Querschnitts,

Werden die Werthe von fsc und fpc in die Gleichung (45) eingeführt, so ergiebt sich das Widerstandsmoment auch WM = sfsc. c = p,fp°. c, .    . .    (53)

worin c den Abstand der Schwerpunkte der Flächen fs° und fp° bezeichnet. Die Flächen fs und fp erfahren- die durch Gleichung (31) dargestellten Spannungen k„ und kp, welche den Abständen ys und yp von der neutralen Axe proportional sind, mithin in der neutralen Axe, für welche y₈ — 0 und yp = 0 ist, verschwinden und nur in den äußersten Fasern, für welche y„ — a„ und yp — ap ist, beziehungsweise der größten Spannung s j und Pressung p gleich werden. Besitzen die Flächentheilchen dfs und dtp hier die Breiten zs und zp und die Höhe 1, so ergeben sich aus Gleichung (32) für dieselben die Spannungen

szs und pzp, worin — — —s. Stellt man die Span-P ap

nung szs im Abstande as von der neutralen Axe durch die

im Verhältniß zu ihrer Höhe sehr niedrige Gurtungen haben, toie bie Abstände bs und bp der Schwerpunkte zu der Hebelsarm c der Resultanten aller Zug- und Druck- ben Abständen as und ap der äußersten Fasern spannungen mit dem Abstande b der Gurtungsschwerpunkte DiejeT letzteren, beinahe zusammenfällt, annäherungsweise:

WM —

3>p

as

— fsbsb = -^fPbpb. . (46)

Bestehen, wie für schmiedeeiserne Träger, die Relationen (38), (39) und (40), so ergiebt sich aus Gleichung (45),

. (47)

f b    -

"M =    c = P--g- • h c

und wenn unter der oben gemachten Voraussetzung der

Abstand c der Spannungsresultanten mit dem Abstande b

der Schwerpunkte der Gurtungsflächen verwechselt werden

kann, der Näherungswerth

f b²

- P-y TT' •

. (48)

„    f

WM — 8

Breite z„ dar, so ergiebt sich die Pressung pzp = s.-³^- zp

as

— s. zp', wo Zp' — zp -a~ durch die in Fig. 11, Taf. 1, a8

dargestellte Construction gefunden wird. Stellt man die Pressung p zp im Abstande ap von der neutralen Axe durch die Breite zp dar, so erhält man die Spannung sz, —

durch eine ähn-

Sind außerdem die Gurtungen für sich so niedrig, daß der Abstand ihrer Schwerpunkte von der Entfernung ihrer äußersten Fasern so wenig abweicht, daß man ohne Nachtheil für die Construction b = h setzen kann, so ergiebt sich als zweiter Näherungswerth

s.-i.h

Durch Gleichsetzung der Werthe in Gleichung (42) und (45) erhält man, mit Bezug auf Relation (36) den Hebelsarm der Resultanten aller Spannungen und Pressungen aus

= P- 2

*-.h. . . . (49)

"LI =

aP

p . — . Z₃ — p . Z₃', wo z/ — Zp .

ap

mg

(50) liche Construction erhalten wird, sind auf diese Weise die in Fig. 10 und 11 schraffirten Flächen f,° und fp° con-woraus folgt, daß derselbe dem Quotienten aus dem struirt und deren Schwerpunkte ermittelt, so stellen diese statischen Momente entweder des gezogenen oder ; die Angriffspunkte der Resultanten 8 und P sämmtlicher Zug

= 33.0,736 — 24,29 Centim.

= 33.

57,6

und in ähnlicher Weise für den gedrückten Theil des reducirten Querschnitts

Abscissen x und — das Widerstandsmoment eines Trägers der Hängbrücken

der Stützbrücken

²/₃ [5 .57,6² — 4.47,6' 4- 3,95.45,6 — 3,6.41,6“ —1— 0,72.41,6 ]

Zs    5.57,6 — 4.47,6 + 3,95.45,6 — 3,6.41,6 + 0,72.41,6

und aus den Gleichungen (55)

WM — pfpy und WM = pfpf. . . (57)

(58)

(59)

(60)

WM — Ily

ist, so kann der Bedingung (58) in der dreifachen Weise genügt werden, daß entweder H= Hc konstant und y variabel

und Druckspannungen, mithin deren Abstände die Hebelsarme c dieser Resultanten dar.

Legt man den auf Tafel 2, Figur 21, dargestellten Träger zu Grunde, so erhält man den der größten con-stanten Zug- und Druckspannung entsprechenden „reducirten" Querschnitt durch die in Fig. 13, Taf. 1, ausgeführte Con-struction, bei welcher die größte Zugspannung szä in der Entfernung as = 57,6 Centim. von der neutralen Axe mit der Breite zs = 5 Centim. als Spannungseinheit angenommen ist. Die in dem Abstand ap — 42,4 Centim. von der neutralen Axe beflndliche größte Druckspannung ist alsdann pzp — s. Zp‘ und wird daher durch die reducirte Breite 42,4

zp — 34,80 Centim.

Annähernd lassen sich diese Abstände der Schwerpunkte der reducirten Querschnittsfläche auf graphostatischem Wege bestimmen, wenn man die Flächeninhalte jener Theilflächen bestimmt, zu dem Kräftepolhgon zusammensetzt, hieraus das Seilpolhgon ableitet und zuletzt die Durchschnittspunkte der ersten und letzten Polygonseite aufsucht, wie dies in Fig. 13, Taf. 1, gleichfalls geschehen ist.

2) Die Widerstandsmomente der Träger aufgehängter und gestützter Brücken.

Während die Träger der eisernen Balkenbrücken gleich-zeiüg einen Zug- und einen Druckwiderstand entwickeln, erzeugen die Träger der aufgehängten Brücken nur einen Zugwiderstand und die Träger der gestützten Brücken nur einen Druckwiderstand.

Bezeichnet 8 und P beziehungsweise die horizontale Com-ponente dieses Zug- und Druckwiderstandes, y deren Hebelsarm in Bezug auf eine durch den Stützpunkt a, s. Fig. 14 und 15, gelegte Horizontale, f die Pfeilhöhe, so ist für die

"M — Sy und WM — 8k, . . . (54)

WM = Py und "M = Pf. . . . (55) Bezeichnet fs und fp die lothrechte Querschnittsfläche dieser Träger, -s und p den größten zulässigen horizontalen Widerstand gegen Zug und Druck, so ist 8 — fs und P — fp, mithin ergiebt sich aus den Gleichungen (54)

"M = sfsy und "M = sfsf .    .    (56)

dargestellt. Auf ähnliche Weise sind alle übrigen reducirten Breiten der massiven und durchbrochenen Theilflächen des Querschnitts construirt und so der durch Schraffirung hervorgehobne reducirte Querschnitt erhalten worden.

Bezeichnen hierin mit Bezug auf Fig. 12, Taf. 1, z, z„ z,„.... die Breiten der einzelnen Theilflächen, a, a,, a,„.... deren Abstände von der neutralen Axe, so ergiebt sich der Abstand des Schwerpunkts dieses Theils des reducirten Querschnitts von der neutralen Axe

_    % [Z1 al² — aa⁸ + h a3ä — Z4 V + Z5 a4²]

Zi at z₂ a₂ “1“ z₃ a₃z₄a₄ -f- z§ a4 mithin, wenn z. B. für den gezogenen Theil des reducirten Querschnitts, siehe Taf. 2, Fig. l'O, die Werthe eingeführt werden:

— 45,33 Centim.

III. Die Ausgleichung der Angriffsmomente und Wider-standsmomeute in den Trägern eiserner Brücken.

Das Angriffsmoment ist eine Function der angreifenden Kräfte K nach deren Zahl, Größe, Richtung und wagrechter Vertheilung, mithin allgemein aM = f (K, x), das Widerstandsmoment ist eine Function der widerstehenden Horizontalkräfte H nach deren Zahl, Größe und lothrechten Vertheilung, daher allgemein "M — F (H, y).

Da das Angriffsmoment gegeben, und von der Abscisse X abhängig ist, das Widerstandsmoment aber zur Herstellung des Gleichgewichts gegen Drehung dem Angriffsmoment mindestens gleich'sein muß, so ändert sich auch das Widerstandsmoment mit der Abscisse x. Wird der Brückenträger so angeordnet, daß für jede Abscisse x die Relation

wM — aM stattfindet, so entstehen die Träger von gleichem Widerstand, wird der Träger dagegen so angeordnet, daß WM > aM,

so entstehen die Träger von ungleichem Widerstand. Wo nicht besondere Gegengründe vorliegen, erfordert die Oekonomie der Construction die Herstellung von Trägern mit gleichem oder möglichst gleichem Widerstand.

Da das Widerstandsmoment im Allgemeinen das Product aus einem Horizontalwiderstande H in dessen Hebelsarm y, also

. - (61) . - (62) . . (63)

oder H variabel und y = yc konstant oder H und y variabel, daß mithin

ist. Im ersten Falle ergeben sich die Träger von gleichem Widerstand mit constantem Verticalschnitt und variabler Höhe, also die Träger mit gekrümmten Rahmen (Polygonalträger, Bogenträger), im zweiten Falle die Träger von ungleichem Widerstand mit variablem Berticalschnitt und con-stanter Höhe, also die Träger mit geraden und parallelen Rahmen (Parallelträger), im dritten Falle Träger von gleichem Widerstand mit variablem Querschnitt und variabler Höhe, wobei die Wandungen aller dieser Träger geschlossene oder offengebaute sein können.

kenden Kräfte mit dem negativen Vorzeichen versehen werden, mit Bezug auf Fig. 16

• - (64)

mithin positiv und um so größer, je größer A oder je größer I„, d. h. je näher P dem Schnitt aß rückt.

Regt die Last P links von dem Schnitt aß, siehe Fig. 17, so ist die in demselben wirkende Verticalscheerkraft

= P.Al_P, .    . (65)

mithin, weil A <; P ist, negativ und um so größer, je kleiner A oder je kleiner 1„, d. h. je näher P dem Schnitt aß rückt.

Eine Einzellast erzeugt daher eine positive oder negative Verticalscheerkraft, je nachdem sie rechts oder links von dem fraglichen Schnitte liegt, und diese Verticalscheerkraft ist um so größer, je näher die Last dem Schnitte rückt.

Zweiter Abschnitt.

Die Uerticalscheerkräfte und Derticalscheermider-stände der Brückenträger.

I. Die Verticalscheerkräfte.

1) Die Verticalscheerkräfte bei Einwirkung einer beliebig gelegenen Einzellast.

Liegt die Last P rechts von dem Schnitt aß, so ist die in demselben wirkende Verticalscheerkraft, wenn alle aufwärts wirkenden Kräfte mit dem positiven, alle abwärts wir-2) Die Verticalscheerkräfte bei Einwirkung mehrerer Einzellasten.

a) Bei gleichen und gleichvertheilten Einzellasten.

Bezeichnet N die beliebige Zahl der Abstände von der Länge A, in welchen die gleichen Lasten p + q wirken, so ist mit Bezug auf Fig. 3 die Verticalscheerkraft für den mte11 Knotenpunkt bei voller Belastung

Vm = A — (p + q)m

und, wenn aus Gleichung (16) der Werth für A eingeführt und zur Erleichterung der Subtraction jede der m Belastungen q mit N multiplicirt und dividirt wird,

Vm ----- (p + q)

[(N — 1) + (N — 2) + .... (N - m) + (N — m — 1) + .... 2 + 1] —

_ (p + q) zN

N '■

Wird die Subtraction Glied für Glied ausgeführt, so ergiebt sich

Vm = -P+J-[_(l+2 4-.... + m) + (N-m-l)+ .... 2 + 1]

+ .... N

)-

und wenn die beiden so gebildeten Reihen summirt werden,

m(m + 1)

Vm __ (p + q)

(N — m) (N — m — 1)

(66)

Vm max

Hierin bezeichnet das negative Glied den Beitrag, welchen die m vom ltcn bis mten Knotenpunkte und das positive Glied den Beitrag, welchen die Di — in — 1 vom (m + l)ten bis (N — l)tm Knotenpunkte vertheilten Lasten zur Verticalscheerkraft liefern.

Werden daher die m Knotenpunkte links von q entlastet, also nur das negative Glied beibehalten, siehe Fig. 18, so erhält man das positive Maximum der Lasten q

_a_(N-m)(N-m-l), . (67)

werden die N — m — 1 Knotenpunkte rechts von q entlastet, siehe Fig. 19, also nur das negative Glied beibehalten, so erhält man das negative Maximum der Lasten q

Vm min ——. m (m + 1)    .    .    (68)

Dagegen ergiebt sich, wenn sämmtliche Belastungen p wirken, also beide Glieder beibehalten werden, nach ausgeführter Subtraction, für die Lasten p

(N — 2m — 1)

P-----    ₂----->

V — P v 1    n

und hieraus in ähnlicher Weise das positive Maximum der Lasten q

Vm =

- - (69)

woraus folgt, daß in diesem Falle die Verticalscheerkraft für

m <

N 2~~~ positiv, für m —

N — 1    .

m > —g-negativ wird.

Null und für

m(m — 1)

Für den Knotenpunkt C ttn (m — l)tcu Felde erhält man durch Vertauschung von m — 1 mit m in Gleichung (66)

(N — m) (N — m + 1)

- (70)

(N-2m + l1 P    2    '

Vm_, max = (N—m)(N — m + 1),. (71) das negative Maximum der Lasten q

welche für m <

• - (78)

n-positiv, für m — — ~ - Null

Vm_₁min —--m(m — 1)    .    .    (72)

und bei voller Belastung durch p die Verticalscheerkraft

y . _ (p + q)

(m — 1) (m — 2)

N + 1

und für m > --    — negativ wird.

Für den (m — 2)tcn Knotenpunkt erhält man durch Vertauschung von m — 2 mit m in Gleichung (66)

(N — m -f- 1)(N — m + 2)

]• • •

und hieraus in analoger Weise das positive Maximum der Lasten q

Vm_₂ max —

(N - m + 1)(N - m + 2), (75)

welche für m <

- (74)

Vm-₂ = (N - 2 m + 3), .    . . (77)

2— Positiv, für m —    Null

das negative Minimum der Lasten q min —

Vm-₂

2^-(m — l)(m — 2),    . (76)

bie voller Belastung durch p die Verticalscheerkraft

Vm max —

Vm min ==

und

Vm_i max —

min —

(N — 2m — 1)

(N — 2m + 1) m(m P ----------2--q—N

N + 3

und für m > —2”— negativ wird.

Werden die der ständigen Belastung p und beweglichen Belastung q entsprechenden Werthe addirt, so ergeben sich die Totalwerthe

(N — rn)(N — m — 1)

2N

(78)

(79)

(N — m)(N — m + 1)

2N

-1)

Setzt man p — 204 Kilogr., q — 700 Kilogr. und N — 10, so erhält man z. B.

(78a)

(79a)

(10 — m) (9 - - m)

(9 — 2 m)

= 102(9 — 2 m) + 35(10 — m)(9 — m),

mithin für m = 0, V₀max = 918 + 3150 = + 4068 Kilogr., m = 5, V₅max = — 102 + 700 = + 598 Kilogr.

m — 6, V₆ max = — 306 + 420 — + 114    „

= 510 + 1960 = + 2470    „ m = 7, V₇ max = — 510 + 210 = - 300

in — 8, V₈ max — — 714 + 70 — — 644 rn — 9, Vg max — — 918 -s-    0    —    —    918

Werden diese Werthe für die ständige und bewegliche    sich die graphischen Darstellungen der größten verticalen

Belastung, sowohl einzeln als zusammen aufgetragen so ergeben    Schecrkräfte in Fig. 4, 7 und 10 der Tafel 2.

Vm max — 204.

+ 700.

2.10

m = 1, V, max = 714 + 2520 = + 3234    „

m — 2, V₂ max m — 3, V₃max — 306 + 1470 — + 1776 „ m = 4, V₄max = 102 + 1050 — + 1152    ,,

ir

Die mittleren, beziehungsweise dem ständigen, beweglichen und Gesammtgewichte entsprechenden Proportionalen Vp, V,, und Vp + q der größten verticalen Scheerkräfte im mtc” und (m — t)tC11 Knotenpunkte sind den später zu entwickelnden

Y _ P s (N 2 m 1)

Vp — 2 L 2

verticalen Scheerkräften der entsprechenden stetig und gleichförmig vertheilten Belastungen genau gleich und betragen für das ständige Gewicht p:

(N — 2m+ 1)

]= -|(N—2m),

(80)

für das bewegliche Gewicht q

q r (N — m)(N — m — 1)

(N — m) (N — m + 1) 1_ q

2N

(N — m)²,    . . (81)

für das gesammte Gewicht p + q

V„

= vp + vq = p.

N — 2m (N — m)2 —-+ 1

2N

(82)

Bezeichnen pt und q, die den Werthen p und q entsprechenden Belastungen für die laufende Einheit, so ist p = PjÄ und q = qtA, ferner ist NÄ = 1 und ml = x, obige Formeln substituirt, so ergiebt sich beziehungsweise

Vp- = Pi (-Y ~ x)r • •

\T    (1 - X)²

Vq' = qi 2    ' * • •

vP- + vq. = Pl (i

woraus N —

Y und m — Werden diese Werthe in

(83)

(84)

Vp' + q' =

\ .    (1-x)²

xj +    ¹~2-

(85)

Die graphischen Darstellungen    der durch die ständige,    Stützpunkte    von den    übrigen verschieden, s. Taf. 1, Fig. 4, und

bewegliche und    gesammte Belastung    erzeugten größten verti-    bezeichnet 1‘    = a l    den Abstand der Belastung p' + q' —

calen Scheerkräfte gleicher und gleichförmig vertheilter Einzel-    b(p + q) vom linken, l“ = cl den Abstand der Belastung

lasten können daher aus denjenigen gleichförmig vertheilter,    p" + q" — d(p + q) vom rechten Stützpunkt, l den Abstetiger Lasten    als ihrer mittleren    Proportionale abgeleitet    stand dieser    und der    übrigen N — 1 Belastungen p -j- q von

werden, wenn    die größte Scheerkraft am linken Auflager    einander, so    erhält    man mit Bezug auf den mten Knoten

punkt die Verticalscheerkraft

Vm = A — (p' 4- qO — (P + q) m, und wenn aus Gleichung (10) der Werth von A mit seinen, dem mtcn und (m — l)ten Lastpunkten entsprechenden Gliedern eingeführt, und das letztere Glied in seine einzelnen Glieder aufgelöst, sowie der bequemeren Subtraction wegen mit a + N + c multiplicirt und dividirt wird,

bekannt ist. Setzt man p — 204 Kilogr., q — 700 Kilogr., 1 = 10, 1 = 1, also N = 10, so ergiebt sich z. B. für m = 5

Vp — Vp- = 204 (5 - 5) = 0.

5²

Vq = Vq- = 700.

Vp + q = Vp- + q- = 0 + 875 = 875 Kilogr.

Sind die Endbelastungen und deren Abstände von dem

2.10

. = 875 Kilogr.

Vm =

[b(c+N) + (c + N—l) + ...(c + N —m) + (c + N —m—l) + ..(c+2) + (c+l) + d.c]

a + N -j- e

[b (a —|— N -f— a) -j⁻ (a -|- N —j— c) —{—.. (a -f~ -N d⁻ c)j,

mithin, wenn die Subtraction Glied für Glied ausgeführt wird,

[— a.b — (a + 1) — (a -j- 2) —... (a -}- m) + (c -f- N — m — 1) +.. (c + 2) + (c +1) + d. c].

Vm =

„P + 1

Werden die negativen, den m Belastungen links, und die positiven, den N — m — 1 Belastungen rechts entsprechenden Glieder summirt und reducirt, so ergiebt sich

Vm =

— a.b —

-(

IN + 1

a -I--g

-)+(N-m-l)(

Sind die Abstände Z', l“ und die Belastungen p' + q', p" + q" an den Enden einander gleich, also a — c und b = d, so erhält man

v — p + q

m — 2a + N

[-(

”F-)+*4 •

. (87)

ein Werth, welcher für — 0 oder a = 0 in den durch Gleichung (66) gegebenen übergeht.

Setzt man in Gleichung (86) m — 1 statt m, so erhält man die verticale Scheerkraft für den m — lten Knotenpunkt

N-m-fl

__p + q

a + N + c und für a — e und b = d

v .__E±S_

m-‘ ~ 2a + N

Vm_!

(m — 1) ( a +    + (N — m) (

c -f-

J -(- c. dj (87a) -) + a.bJ, . (88)

[— (m — 1) (a +    —a.b + (N —m) ^

— 0 in den durch Gleichung (70) man für die bewegliche Belastung q nur die positiven und

beziehungsweise negativen Glieder, für die ständige Belastung p dagegen sämmtliche Glieder beibehält. So erhält man aus Gleichung (87)

ein Werth, welcher für gegebenen übergeht.

Aus den vorstehenden Werthen für V„, und Vm_i werden die Maximalwerthe und Minimalwerthe erhalten, indem

L(N-2m-l) +

Vmmin = (N - 2m — 1) -

Vm max — -j

(₍N m 1) (

m + 1

Ni—)+» b}- • • ⁽⁸⁹>

2a + N

(90)

und aus Gleichung (88)

Vm_,max = -|- (N —2m + 1)+ 2a

(N _ 2m + 1) -

Vm_,

min —

N— m + 1

(m — 1) ( a -)—+ a.bj

•) +a.bj .

. - (91)

2a + N

Setzt man annäherungsweise b — 1, so ergiebt sich aus den vier vorstehenden Gleichungen beziehungsweise:

(92)

(N — 2 m — 1) + Vm min — -P- (N — 2 m — 1) —

Vm max —

2a + N

|(N — m)(^a +

[(m + 1) ( a +

. . (93)

(94)

und

Vm_irnax —

Vm_imin

i(N_2m + l) + ₌ _L (N - 2m + 1) -

2a+N

[(N - m + 1) ( a + N ₂ -)], . .

. . (95)

(96)

b) Bei ungleichen und ungleich vertheilten Einzellasten.

Bezeichnen P, und P„ die Resultanten der bezugsweise links und rechts vom Schnitt «ß gelegenen Lasten, so ist mit Bezug auf Fig. 20

V — A — P,

und da A aus den Beiträgen P, und P„ welche ihm die Lasten P, und P„ liefern,

1»

besteht,

v = p,-^+p„4-

So lange A > P,, mithin V positiv ist, wird A und daher V um so größer, je größer 1„ ist, d. h. je weiter die Last nach links rückt, ohne daß hierbei eine Einzellast die linken Stützpunkte überschreitet.

So lange A < P,, mithin V negativ ist, wird A um so kleiner und daher V um so größer, je kleiner 1,, d. h. je weiter die Belastung nach rechts rückt, ohne daß hierbei eine Einzellast den rechten Stützpunkt überschreitet.

Aus Gleichung (97) ergiebt sich

. (97)

r 0-1,) 1

i„

. . (98) gleichung Al — qx^l--

— 0 besteht, woraus

woraus wegen 1 >> 1, folgt, daß V sein positives Maximum erreicht, wenn nur rechts, und sein negattves Maximum, wenn nur links von dem Querschnitt sich Lasten befinden.

Die Berticalscheerkraft erreicht daher auch hier ihr Maximum, wenn eine Last am Schnitt aß liegt und zwar ihr positives oder negatives Maximum, je nachdem die Last möglichst dicht nur rechts oder nur links vom Schnitt aß wirkt.

qx

gefunden wird, das negative Maximum

qx*

. . (100)

3) Die Berticalscheerkraft bei Einwirkung stetig und gleichförmig vertheilter Lasten.

Läßt man den Abstand x des Schnitts aß von 0 bis 1 wachsen, so ergeben sich aus den Gleichungen (99) und (100) zwei gemeine Parabeln mit lochrechten Axen, wovon die erstere ihren Scheitel in x = 1 und für x — 0

, die zweite ihren

qi

die größte positive Ordinate V —

Scheitel in x — 0 und für x — 1 die größte negative

Liegt eine stetig und gleichförmig auf die Längeneinheit vertheilte Last q nur rechts von dem Schnitt aß, so wird die Berticalscheerkraft V positiv und desto größer, je größer jene Last ist. V erreicht mithin sein positives Maximum, wenn diese stetige Last vom rechten Stützpunkte bis zum Schnitt aß reicht. In diesem Falle ist

V = A,

oder, da mit Bezug auf den Stützpunkt b die Momentengleichung — 0 besieht, woraus A — qv 21 ^

qi

Ordinate V = -—-- hat, wie die in Figur 17, Tafel 2,

gegebene graphische Darstellung der größten Verticalscheer-kräfte für eine stetig und gleichförmig vertheilte Last zeigt, welche sich im ersteren Falle von rechts nach links, siehe Fig. 15, im letzteren Falle von links nach rechts, siehe Fig. 16, bewegt.

gefunden wird, das positive Maximum

(l-x)*

21 • •

Al -

x);

. . (99)

Für eine über die ganze Länge 1 stetig und gleichförmig auf die Längeneinheit vertheilte Last p ergiebt sich die Ver-ticalscheerkraft

x). (101)

welche also durch eine gerade Linie dargestellt wird, die

V = A-px = p|-px = p|j

pl

g- besitzt und auf Tafel 2,

Liegt eine stetig und gleichförmig auf die Längeneinheit vertheilte Last q nur links von dem Schnitt aß, so wird die Berticalscheerkraft negativ und desto größer, je größer jene Last ist. V erreicht daher sein negattves Maximum, wenn diese stetige Last vom linken Stützpunkt bis zum Schnitt aß reicht. In diesem Falle ist

V — A — qx

oder, da mit Bezug auf den Stützpunct b die Momenten-für x — 0, x — i und x — 1 beziehungsweise die

Ordinaten 0 und —

Fig. 14, dargestellt ist.

Wirkt die bewegliche Belastung q und die ständige Belastung p zugleich, so ergiebt sich aus der Summe der Werthe in Gleichung (101) und (99) die größte positive Ver-ttcalscheerkraft

vmax

(1 — x)

2i , worin für x — 0, Vmax — (p + q) y,

__a!

x = f, V

X 1, Vmax - P 2 '

Aus der Summe der Werthe in Gleichung (100) und (101) ergiebt sich die größte negative Berticalscheerkraft — p(-Jr — x) — <1 worin füt x = 0, V

V min

x— 2'

min - P g f

vmin —_ 9*

X - 1, Vm,n - (p "4" q) 2 ’

Setzt man bei einer Spannweite 1 — 10 Meter, p — 204, q — 700 Kilogr. pro Centim., so ist für die ständige Belastung:

Vx ----

xj — 204 (5 — x),

also für x = 0; V₀ = 1020 Kilogr., für x =    = 5,

V₅ = 0, für x = 1 = 10, Vx = — 1020 Kilogr. für die bewegliche Belastung:

q-!=:

⁴ 21

also für X — 0, V₀ max — 8500 Kilogr., für X — 2^ — 5. v₅ max — 875 Kilogr. und für x = 1 = 10, V₁₀ max — 0,

Vxmin = q.

x²

700.

x²

2.10

— 35.x²,

Vx max -

x)²

700.

(10 - x)²

2.10

also für X — 0, V₀min — 0, für x = y = 5, V₅min —

—    875 Kilogr. und für X — 1 — 10, V₁₀ min =

—    3500 Kilogr.

Für die gesammte Belastung ist

= 35(10—x)², -x) +q

also für x = 0, V₀ max = 1020 + 3500 — 4520 Kilogr., für X — y — 5, V₅max = 0 -f 875 — 875 und für x = 1 = 10, V₁₀ max = —1020 -f 0 = — 1020 Kilogr. Vx min = p (y — xj

also für X — 0, Vv min — 1020 Kilogr., für X — y — 5,

V₅min — 0 — 875 = — 875, für x — 1 — 10, V₁₀min = — (1020 + 3500) = — 4520 Kilogr.

Aus vorstehenden Werthen sind die auf Taf. 2, Fig. 14, 17 und 20 gegebenen graphischen Darstellungen abgeleitet. Bezeichnet man die Absciffe, für welche Vmln — 0 wird,

mit x„ so erhält man dieselbe aus 0 — p ^y —x,j — q woraus

Vx max —

x²

q- 2i'

—2]^- = 204 (5 — x) + 35 (10 — x)²,

woraus der Abstand

y — x, = 5 — 3,22 — 1,78 Met., siehe Taf. 2, Fig. 20, gefunden wurde.

4) Beziehung zwischen dem Angriffsmoment und der Verticalscheerkraft.

Bezieht man die Momente aller angreifenden Kräfte auf das linke Auflager, so erhält man mit Bezug auf Fig. 21, Taf. 21

aM = Gxgx + Vxx und hieraus durch Differenttation nach x d»M

= dGx.x +Vx + xdVx.

Xi

1 ~

Auf die Entfernung xx vom linken und rechten Stützpunkt aus, kann V beziehungsweise nur positiv und negativ, innerhalb der Strecke 1 — 2x, in der Mitte aber entweder positiv oder negativ werden.

Aus Gleichung (104) ergiebt sich nach einiger Reduction

xi

V—ä_

V p + q' •

. . (104»)

1 — xt

mithin verhalten sich die Strecken x, und 1 — x, umgekehrt wie die Quadratwurzeln der auf denselben ruhenden Belastungen der laufenden Einheit. Ferner ergiebt sich

Hierin ist Vx = A — Gx, mithin dVx = - dGx und wenn dies eingeführt wird,

daM xr ~dx~ — Vx- •

Die erste Ableitung des Angriffsmomentes nach X ist mithin der Verticalscheerkraft für die in Betracht gezogene Abscisse gleich.

. . (105)

II. Die Berticalwiderstiinde in den Brückenträgern.

x, = 1

J/p + q

und für 1 = 10, p — 204 und q = 700

Xj =    10.—

Das Gleichgewicht gegen lothrecht fortschreitende Bewegung erfordert, daß den in den einzelnen Verticalschnitten der Brückenträger sich entwickelnden Berticalscheerkräften V Ver-ticalwiderstände B entgegengesetzt werden, welche ihnen mindestens gleich sind, daß also deren algebraische Summe B + V = 0,

1/M + !

X 204 ⁺

= 3,22 Met.,

mithin

V = — V, .

. . (106)

sei, also auch die Berttcalwiderstände positiv (lothrecht auf-

wärts gerichtet) oder negativ (lothrecht abwärts gerichtet) sind, und daß jeder Verticalschnitt so angeordnet werde, daß

. . (107)

fei. Bezeichnet f die Fläche dieses Verticalschnitts färbte Abscisse x, v den Berticatwiderstand der Quadrateinheit des angewandten Materiales, so muß

Dritter Abschnitt.

Die Dorhontalscheerkräfte und Horiwnlalscheer-lviderstiillde.

V = fv

(108)

sein, man erhält mithin aus Gleichung (107) fv > V,. . .

woraus, wenn V und f gegeben sind, der Berticalwiderstand für die Flächeneinheit des Verticalschnitts

(109)

(HO)

v = T

oder wenn V und v gegeben sind, die erforderliche Querschnittsfläche

I. Die Horizontalscheerkrästc.

Bezeichnet man mit s und s, die größte Zugspannung, mit p und p₍ die größte Druckspannung in den um dx entfernten Berticalschnitten aß und yd, siehe Fig. 22, Taf. 1, mit fs° und fpc bte Flächen dieser größten constanten Zug- und Druckspannung, so ist für den Verticalschnitt aß nach Gleichung (53)

woraus folgt

"M

WM — sfscc — pfp'.c,

WM

(111)

= sfs= = 8 und = pfp" --- P. (112)

gefunden wird.

ment auf

Für den Verticalschnitt yd wächst das Widerstandsmo-

WM + d WM — 8,f,«o — p,f₃c,

. (113)

WM -f- d WM

=    = S -f- dS und

woraus folgt WM + dwM

= P,fPc = P + dP.

(114)

Werden die Gleichungen (113) und (114) von einander abgezogen, so ergiebt sich d WM    dWM

-Ü_L = fsc(s, — s) = dS und    = fpc(p, - p) = dP.

. (115)

Diese horizontalen Spannungs- und Druckdifferenzen in den Berticalschnitten aß und yd suchen auf jene Strecke dx die Verschiebung Hsdx im gezogenen und die Verschiebung IP d x im gedrückten Theile des Querschnitts zu bewirken, mithin erhält man

Hsdx = dS =

dwM

und Hsdx — dP =

dwM

(116)

woraus

Hs =

dwM

dx ’ c

— und Hp —

d wM 1

(117)

dwM

d x    dx

Werth gesetzt wird, die Horizontalscheerkraft

V

H³ = Hp = x

und wenn für

d aM

aus Gleichung (105) sein

(US)

Die Horizontalscheerkraft ist daher gleich dem Quotienten aus dem Hebelsarm der beiden Resultanten aller Spannungen und Pressungen in die Vertical-scheerkraft des betrachteten Querschnitts.

Wird für c aus Gleichung (50) sein Werth gesetzt,

Quotienten aus dem Trägheitsmomente der ganzen Querschnittsfläche in das Product der Vertical-scheerkraft mit dem statischen Momente des gezogenen oder gedrückten Theiles der Querschnittsfläche.

Die Werthe mä und mp der statischen Momente gelten sowohl für volle Querschnitte, bei welchen sie zwischen den Abständen as und 0, beziehungsweise ap und 0 von der neutralen Axe zu nehmen sind, in welchem Falle

Vx (a,) ₌ _VX m (aP)

IP = Hp =

so ist

. (120)

—r~ m-

t (0)

als auch für durchbrochene Querschnitte, bei welchen jene Werthe zwischen den Abständen a, und y,, beziehungsweise ap Die Horizontalscheerkraft ist daher auch gleich dem und yp von der neutralen Axe zu nehmen sind, in welchem Falle

H³ =Hp = Vx.-^-=

. (119)

(0)'

Hs = Hp =

Vx (a.)

~rm'

(y»)

Vx    (aP)

"+ mP, v

*    (yp)

• (121)

Hs = 6VX.

as² - y?

h³

Die letzte Gleichung dient zugleich zur Bestimmung der Horizontalscheerkräfte derjenigen Theile voller Querschnitte, welche zwischen den Abständen as, ys und ap, yp derselben enthalten sind.

In den äußersten Fasern, für welche ys = aä und yp — ap, wird ms = 0 und mp — 0, mithin auch II, — 0 und Hp — 0. In der neutralen Axe,für welche y, — 0 und yp — 0, nimmt m, und mp, mithin auch Hs und Hp einen größten Werth an. Im neutralen Verticalschnitt, für welchen Vx — 0, wird auch H⁸ und Hp — 0, am Auflager, für welches Vx ein Maximum wird, nimmt Hs und H> ebenfalls einen größten Werth an.

Die Horizontalscheerkräfte erreichen mithin ihr Minimum zugleich in den äußersten Fasern und im neutralen Verticalschnitt und ihr Maximum zugleich in der neutralen Axe und über dem Auflager.

Für die horizontale Scheerfuge des in Fig. 23, Taf. 1, dargestellten Rechtecks von der Breite b und der Höhe h im Abstande ys von der neutralen Axe, für welches das Träg-

die in der neutralen Schichte, für welche y„ — 0, übergeht in

Hsmax = 6VX.-^

h³

und in den äußersten Fasern, für welche ys — as, Rull wird.

Hiernach stellen die Werthe von Hs in jedem Rechteck eine Parabel dar, deren Axe mit der neutralen Axe zusammenfällt und die zur graphischen Darstellung aller Werthe von Hs dienen kann, sobald durch den Werth Hsmax deren Scheitel bestimmt ist. Auch bei den aus rechteckigen Flächen zusammengesetzten Querschnitten stellen die Hs Parabelbogen dar und läßt sich zu deren Darstellung die vorstehende Con-struction mit Vortheil anwenden, wenn man sich jedes dieser Rechtecke mit derselben Breite bis zur neutralen Axe ergänzt denkt.

Um die horizontalen Scheerkräfte des in Figur 23 der Tafel 2 dargestellten, 204 Kilogr. pro lauf. Met. wiegenden und mit 700 Kilogr. pro lauf. Met. belasteten Trägers über dem Auflager, in XU seiner

heitsmoment t —

bh³

"12

(as)

, das statische Moment

V as² —

= b.-r

ys²

m.

(y₈)

ist, ergiebt sich mithin aus Gleichung (119) die Horizontal-scheerkraft

Länge und in seiner Mitte, also für x — 0, x = -j- und

x — y zu bestimmen, für welchen bereits das Trägheitsmoment t — 406433 in Centim. gefunden wurde, ergiebt sich aus Vx —

(p + q)(y-

X = 0, V₀ = (p + q) i- = (204 + 700) ~ = 4520 Kilogr.

xj für

10

T, V l = (p + q) T = (204 + 700) 1 = 2260 „

-j-, Vj_ = (p + q) o = o.

Für den Abstand von der neutralen Axe:

1)    y    =    -(-    42,40    ergiebt sich ms —

m<

„ ms = „ ms = „ ms — h m» =

0.

33.1.41,90 = 1382,7. 33.2.41,40 = 2732,4.

2732.4    + 19.1.39,90 =

3490.5    + 3.4.37,40 = 3490,5 + 3.8.35,40 =

W I

: 3490,5.

3939,3.

4340,i.

ff

„ ms —

| 4340,i +

41,6

4833,18.

3968 +

8)    y = — 41,60

9)    y = — 46,60

tt

Ol Ol

rH

Ci

Cn ^ dO CD

to 00 QO <X>

Ol GO

> >

10)    y = — 52,60 ergießt sich m, — 5.5.55,1 — 1377,S.

11)    y = — 57,60    „

„ ms — 0.

Hieraus erhält man für den Vertiealschnitt I über dem Auflager die horizontale Scheerkraft v

H v = 4° . ms

horizontalen Schwerkräfte sind daher halb so groß als die eben gefundenen, mithin

4520

406433 ,m

und wenn die den Nummern 1) bis 11) entsprechenden statischen Momente eingeführt werden, die horizontalen Scheerkräfte

v _    4520

Hl — 406433 0 — 0.

H/ =

4520

406433 '

1382,7 = 15,38.

H₃v =

4520

406433 ‘

2732,4 = 30,39.

IV =

4520

406433

.3490,5 — 38,82.

IV =

4520

406433 *

3939,3 = 43,81.

Hjv = 0,

H/ =    7,69,

H₃v = 15,19,

H₄v = 19,41,

H₆v = 21,90,

H₆v — 24,13,

H₇v — 26,87,

H₈v = 22,06,

H₉t — 15,93,

Hiov = 7,66,

Hnv= 0,

welche in Figur 25 der Tafel 2 eingetragen sind.

Für den Vertiealschnitt III in der Mitte ist = 0,

4520

406433

.4340,1 — 48,27.

mithin auch sämmtliche horizontale Schwerkräfte = 0 (siehe Fig. 26, Tafel 2).

H,v =

4520

406433

.4833,18 — 53,75.

IV =

4520

406433

. 3968,0 — 44,13.

H₉v =

4520

406433

2865,5 — 31,87.

H,ov =

4520

. 1377,5 = 15,32.

406433

Tr v _    4520 A _ n

H“ " 406433 ° ~

welche in Fig. 26 der Tafel 2 eingetragen sind.

Denkt man sich, um die Werthe H₈T, H₉V und H₁₀T direct zu construiren, das Rechteck der untern Gurtung bis zur neutralen Axe mit derselben Breite 5 fortgesetzt, so beträgt

, mithin die demselben

4520    5.57)?

406433 *    2

92,24, welche die Lage des Scheitels der in Fig. 24 dargestellten Parabel bestimmt. Ans ähnliche Weise sind die den übrigen horizontalen Scheerkräften entsprechenden Parabeln der Figur bestimmt worden.

Für den Vertiealschnitt II in dem Abstande x = j vom Auflager, für welchen t und m, dieselben bleiben, ist V, die derselben Ordinate y entsprechenden

dessen statisches Moment

entsprechende horizontale Scheerkraft

II. Die Horizonlalscheerwiderstäude.

Das Gleichgewicht gegen wagrecht fortschreitende Bewegung im Inneren der Brückenträger erfordert, daß den darin entwickelten Horizontalscheerkräften H„ und H,, Horizontalwiderstände Hz und Hp entgegengesetzt werden, welche ihnen mindestens gleich sind, oder daß jeder Horizontalschnitt so angeordnet werde, daß

(122)    .    .    . Hz > Hz und Hp > 8p    .    .    .    (123)

sei. Bezeichnet f, und fp die Fläche eines solchen, im Abstande y von der neutralen Axe befindlichen Horizontalschnitts im gezognen, beziehungsweise gedrückten Theile eines Trägers, h den Horizontalscheerwiderftand der Quadrateinheit des angewandten Materiales, so muß

(124)    .    .    .Hz = V und Hp = t„.h.    .    .    (125)

fein, man erhält mithin aus Gleichung (122) bis (125) (126)    .    .    . I)h ^ H, und fph -- 8p    .    .    .    (127)

und wenn Hs und FIP, sowie die Stärke d, und dp des Trägers in jenen Horizontalschnitten bekannt, also f„ = 1. <1, und fp — 1 ,dp ist, den zu entwickelnden Horizontalwiderstand für die Flächeneinheit.

* = d)

Ist H., Hp und h gegeben, so erhält man die zur Entwicklung des nöthigen Horizontalscheerwiderstandes erforderliche Stärke des Trägers beziehungsweise aus

H<

und h > ^p-. . — dp

. . (128)

(129) . . d₃ >

Hs

+r

und dp >

Hp

- - (130)

y = — 57,60, ds —

Ol o

Für das Rechteck erhält man wegen ds = dp = b,

__si Vx(a/-y'j)

—    bh»

-es

Hs

b

Die Horizontalspannung in einem rechteckigen Querschnitt ist hiernach den Abscissen einer Parabel, deren Axe mit der neutralen Axe zusammenfällt, direct und der Breite des betrachteten Querschnitts indirect proportional. Die Horizontalspannung in einem aus verschiedenen Rechtecken zusammengesetzten Querschnitt besteht daher aus mehreren Parabelbogen, deren Parameter dieselben sind, und deren Axen mit der neutralen Axe zusammenfallen, jedoch an allen Stellen des Querschnitts, wo die Breiten wechseln, Absätze bilden.

Um die horizontalen Scheerspannungen des in Fig. 23, Tafel 2 dargestellten Trägers für den Berticalschnitt I über dem Auflager zu bestimmen, sind die früher ermittelten horizontalen Scheerkräfte durch die ihnen entsprechenden Breiten ds und dp zu theilen und man erhält im Abstande

°r $11 -

Denkt man sich wieder, um die vier letzten Werthe direct zu conftruiren, das Rechteck der untern Gurtung bis zur neutralen Axe mit derselben Breite 5 fortgesetzt, so beträgt nach dem frühern die horizontale Scheerkraft 92, u, mithin die horizontale Scheerspannung in der neutralen Axe

—g— — 18,45, welche die Lage des Parabelscheitels, mithin

die in Fig. 24 dargestellte Parabel bestimmt. Auf ähnliche Weise sind die den übrigen horizontalen Scheerspannungen entsprechenden Parabeln der Figur gefunden worden.

Für den Berticalschnitt II in dem Abstande x —

— 0.

vom Auflager, worin denselben Abständen y dieselben Breiten entsprechen und die horizontalen Scheerkräfte halb so groß, als die im Berticalschnitt I befindlichen sind, ergaben sich die horizontalen Scheerspannungen gleichfalls halb so groß als die ihnen entsprechenden im Querschnitt I, mithin

hi — "2~ = 0;

y = + 42,40, dp —

y =+41,40, dp — 33, ^

33, hi — ßy 15,38

0,

-ö

0,47

0,23;

33

0,47,

0,92

2    = 0,48;

y — + 40,40, dp —

33, h- = —33

30,39

0,92,

0,80;

y = + 39,40, dp —

30,39

~I9~ — 19, ** =    =

19, hg =

1,60,

2,04

1,02;

2,04,

'CT

12,94

6,47;

38,82

f— = 12,94,

14,60

7,30;

y — + 35,40, dp —

3, H5 =

43,81

Z— = 14,60,

-OS

6    10,"9

8,04;

3, r -

48,27

y — + 31,40, dp —

ö = 24,13;

1, h« =

48,27

— 48,27,

(dp _

I ds _

53,75

— 53,75,

44,13

y — — 41,60, ds —

= 44,13,

,    53,75    n„

H7 — ~ 2— — 26,87;

₈    44,13    OCJ

⁸    —    —2—    =    22,06;

8,83

^8 -

4,4i;

y = — 46,60, ds =

.    ,    44,13

V8 g

31,87

8,83,

6,37,

— ^³⁷

3,19;

3,06

1,53;

7 = — 52,60, ds —

15,32

5, ^10 —    ^

3,06,

•er

11

Werthe, welche in Figur 25 der Tafel 2 zusammengestellt sind. Für den Berticalschnitt III in der Mitte sind die horizontalen Scheerkräfte, mithin auch die horizontalen Scheerspaunungen, Null, s. Fig. 26.

ap

Vdy =

Vx

as

a₃

ap

m.dy. . . (132)

III. Beziehung zwischen de» Vertikal- und Horizontalscheer-kriisten.

Wird letzterer Werth nach der Formel j u d v — j vdu partiell integrirt, so ergiebt sich:

An einem unendlich kleinen Balkenelement abcd von der Länge dx und der Höhe dy (s. Fig. 24, Taf. 1), wirken längs der Seiten ab und cd die Horizontalscheerkraft Hdx und längs der Seiten a c und bd die Verticalscheerkraft Vdy. Das Gleichgewicht gegen Drehung um den beliebigen Drehpunkt d, für welchen Hdx an dem Hebelsarm d y und Vdy an dem Hebelsarm dx wirkt, erfordert, daß

Hdx . dy = Vdy. dx,

ap

aP

Vdy =

Vx

[(mp

— ms)y —

Jy-dmj.

(133)

as

a$

mithin auch

(131)

Die auf die Längeneinheit des Verticalschnitts wirkende Scheerkraft ist folglich der an derselben Stelle aus die Längeneinheit des Horizontalschnitts wirkenden Scheerkraft gleich.

Werden sämmtliche in dem Berticalschnitt wirkenden Kräfte summirt und wird für V aus Gleichung (131) und (121) sein Werth gesetzt, so ist für einen Querschnitt im Abstande x vom Stützpunkt, für welck-en Vx und t constant ist,

Hierin ist, da die neutrale Axe durch den Schwerpunkt des Querschnitts geht, mp — ms — 0, und da das Differential des statischen Moments dm — ydf, mithin y.dm — y² d f das Differential des Trägheitsmoments t des zwischen den Grenzen ap und a, enthaltenen, also gesammten Verticalschnitts bedeutet, die Summe sämmtlicher, auf die Längeneinheit des Lerticalschnitts wirkenden Bertiealscheer-kräfte

ap

JViy

. . (134)

a₃

also gleich der früher gefundenen Scheerkraft des ganzen Verticalschnitts.

Zweite Abtheilung.

Die Balkenbrücken.

Erster Abschnitt.

Die geschlossenen (massiven) Balkenbrücken.

I. Die Blechbalkcnbrücke».

für eine gleichförmig vertheilte Last p pro laus. Meter

pl², • - - - (136)

aM

H -GO

mithin für eine Einzellast und eine gleichförmig vertheilte Last zugleich

Die statische Berechnung der Blechträger erfolgt mittelst der Gleichung

aM

T—I jXh

P1+ -

pl². . . (137)

»M < WM,

worin das Angriffsmoment auf die Bütte der Brücke und bei Spannweiten

Das Widerstandsmoment

WM — —.t . .

as

. . (138)

von 1— 3 BÜr. auf eine Einzellast,

„ 3—15    „    „    „ gleichförmig vertheilte

hängt von dem meist angenommenen I-förmigen, zur neutralen Axe symmetrischen Querschnitt des Trägers ab, der bei Spannweiten

Last bezogen wird.

Für eine Einzellast Gr ist das größte Angriffsmoment

aM

P 1

T'T — T

Pl, . . (135)

von 1— 5 Met. meist massiv gewalzt,

„ 5—15 „ aus Platten und Winkeleisen zusammengesetzt ist und dessen Trägheitsmoment berechnet und durch den aus der Gleichung

t = i2-(BH³ - bh³). . . . (140)

2)    der aus 1 Verticalplatte und 4 Winkeleisen zusammengesetzte I-förmige, dessen Trägheitsmoment mit Bezug auf die Bezeichnungen der Fig. 2

t -- [BH³ — (B — B')h³ — (B' — b)h'³]. (141)

3)    der aus 1 Verticalplatte, 4 Winkeleisen und 2 Gurtungsplatten zusammengesetzte I - förmige, dessen Trägheitsmoment mit Bezug auf die Bezeichnungen der Fig. 3

t = ~ [BH³ — (B - B')H'³ — (B; — b)h³ - (b — b'jh'³]

(139)

erhaltenen Werth desselben controlirt wird. Werden alle Abmessungen des Querschnitts bis auf eine, gewöhnlich die Breite oder Dicke der Gurtungsplatten, angenommen, so läßt sich diese aus Gleichung (139) auch direct bestimmen.

Die gewöhnlichsten Querschnitte der Blechbalken sind:

1) der massiv gewalzte I-förmige, dessen Trägheitsmoment mit Bezug auf Taf. 3, Fig. 1

(142)

während deren neutrale Axe in ihrer halben Höhe as — ap lauf. Met., mithin für das laufende Meter jeder Tragwand

II

= -j~ liegt.

Für einen nach Figur 3 zusammengesetzten Blechträger von 11,4 Met. Länge und je 0,6 Met. Auflagerfläche, siehe

Fig. 4, dessen mechanische oder Stützweite also (11,4 —

0,6) — 10,8 Mtr., dessen ständige und bewegliche Last pro Geleise beziehungsweise 1140 Kilogr. und 7650 Kilogr. pro

4395. lös²

"M

1140

2— = 570 Kilogr.,

7650

~2

= 3825

4395

und p + q = beträgt, ergiebt sich nach Gleichung (136)

= 64079,i Mtrkilogr. (rot. 6408000 Centimkilogr.)

Wenn die Höhe des Trägers H — 100 Centim.,

mithin as — --'2

670 Kilogr. pro □ Centim. gesetzt wird, so erhält man aus Gleichung (139)

100

— 50 Zentimeter beträgt und s

50

670

.6408000 = 478209.

Das Trägheitsmoment des in Fig. 5 dargestellten Trägerquerschnitts besteht aus den Trägheitsmomenten

1)    der Verticalplatte .1.94,8® —

2)    der 4 Winkeleisen

a)    Horizontalschenkel nach Abzug des Niet

lochs 2 X 7,85 — 2 = 13,70 Cmtr. breit und 1,3 Cmtr. stark, also

J2 13,7 [947³ — 927] = 77854,

b)    Verticalschenkel

— .2.1,3 [ÖZ7³ — 79)I³] = 62587    .    140441

zusammen 211439.

70998

2.1,3 — 2,6 Cmtr. Dicke und x Centim. Breite beschafft, so beträgt deren Trägheitsmoment

--L x [ 1ÖÖ* — 947s³] = 266770,

woraus die Breite x — 21,62 Cmtr. und mit Hinzurechnung des erforderlichen Nietlochs von 2 Centim. Durchmesser zu

x — 21,62 + 2 = rot. 24 Centim. gefunden wird. Gegen die Enden des Trägers hin genügen einfache Gurtungsplatten von je 1,3 Centim. Dicke und 24 Centim. Breite. Das Trägheitsmoment V des Querschnitts mit einfachen Gurtungsplatten setzt sich zusamnwn aus dem

1)    der Verticalplatte (s. o.)    . .

2)    der 4 Winkeleisen (s. o.)    . .

3)    der 2 einfachen Gurtungsplatten

jg-. 22 [977t³ — 947s³]    . = 132254

mithin t‘ — 343693,

. = 70998 . — 140441

woraus das Widerstandsmoment

.t' =

670

as

48,7

.343693 = 4728425

erhalten wird. Um denjenigen Abstand x vom Auflager zu ermitteln, bis zu welchem dieses Widerstandsmoment, beziehungsweise der ihm entsprechende Querschnitt genügt, hat man des Trägheitsmomentes t durch 2 Gurtungsplatten von je | das Angriffsmoment für jenen Abstand x

Wird der Rest

478209 — 211439 = 266770

x²

aMx — A x — (p + q) -ä- — (p + q) -5-.

x²

— (p + q) ~2~

= WM . . . . (143)

einzuführen und erhält aMx = 4395.

10,8

-TT— .X -

W-T ⁼ 4728425,

95.1 =

d²

woraus

mithin für v — 600 Kilogr. und d — 2 die größte Nietentfernung

X = 540 + 276,4 = j

CO CM

3,u.600

gpr---= 19,8 Centim.

gefunden wird.

Die horizontale Scheerkraft eines Balkenträgers ergiebt sich aus der Formel

In der neutralen Axe des Trägers, für welche y — 0, ist das statische Moment

__ VX D3yS

worin Vx die vertikale Scheerkraft für die Abscisse x, welche am Auflager, für welches x = 0, ihr Maximum erreicht, m/ das statische Moment der zwischen den äußersten Fasern und der Ordinate y gelegenen Querschnittsfläche und t das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts darstellt.

Für die zwischen Winkeleisen und Horizontalplatte befindliche Fuge des vorbeschriebenen Blechträgers ist nach dem Früheren für x — 0

1 47 4²

1)    der Verticalplatte —' ^ ' ■

2)    der Winkeleisen

a)    Horizontalschenkel 13,7.1,3 (46,1 + 0,65) — 879

b)    Verticalschenkel 6,55.2,6 (46,1 — 3,27) — 729

3)    der Horizontalplatte 22.1,3 (47,4 + 0,65) = 1374

mithin m₀s — 4105 und die größte Scheerkraft in der neutralen Axe des Trägers 23733.4105

. = 1123

Hs = -

343693

— 283,46 Kilogr. pro □ Centim.,

V₀ = 4395.5,4 = 23733

und

t = 343693,

ferner wegen

100 - 4.1,3

= 47,4,

mys = 22.1,3 (47,4 +

mithin an der in Betracht gezogenen Stelle, für welche x = 0 und y — 47,4 Centim., die Scheerkraft für den laufenden Centim.

H* =

23733.1374,28

= 1374,23,

- — 94,895 (rot. 95 Kilogr.).

Werden die Nieten in den Abständen 1 versetzt angeordnet, deren Durchmesser mit d und deren Abscheerungsfestigkeit mit v bezeichnet, so erhält man

343693

welche hier wegen der 1 Centim. starken Verticalplatte zugleich ihrer größten Scheerspannung entspricht.

Da die größte erlaubte Scheerspannung 600 Kilogr. pro □ Centim. beträgt, so ist der Träger mithin auch gegen horizontale Abscheerung gesichert.

Die massiv gewalzten oder Blechträger einer Straßenbrücke können gleichfalls unter Zugrundelegung einer gleichförmig vertheilten Belastung, wie die vorhergehende Eisenbahnblechbrücke berechnet werden. Nimmt man die beiden, je 1 Met. breiten Trottoirs mit Menschengedränge von 360 Kilogr. pro Hs Meter, also mit 2 x 360 = 720 Kilogr. pro Meter, die 5,5 Met. breite Fahrbahn mit zwei nebeneinanderstehenden Landfuhrwerken von 5000 Kilogr. Druck pro Räderpaar in der Mitte und mit Menschengedränge hinter denselben belastet an, reducirt diese ungleichförmig vertheilte auf eine gleichförmig vertheilte Fahrbahnbelastung und ermittelt hieraus die Totalbelastung durch Verkehr, so ergiebt

sich für

Spannweiten von

7 Met.

10 Met.

15 Met.

20 Met.

25 Met.

eine Belastung der Bankette von . .

720

720

720

720

720 •

eine Belastung der Fahrbahn von . .

3230

2930

2480

2080

1980

eine Totalbelastung von

3950

3650

3200

2800

2700

Kilogr. für den laufenden Meter und die Breite von 7,5 Met. der Brücke.

Für die Breite b' der Brücke kann die Totalbelastung b' .

q. j— gesetzt werden.

q' =

Das Eigengewicht eiserner Straßenbrücken ergiebt sich bei Annahme derselben Breite und einer auf Wellenblech ruhenden 20 Centim. starken Beschotterung und schwerster Lastwagen von 9000 Kilogr. Druck pro Räderpaar oder einer doppelten Bedielung und schwerer Landfuhrwerke von 5000 Kilogr. Druck pro Räderpaar für Met. und Kilogr. beziehungsweise*)

wobei der constante Antheil das Geivicht der Fahrbahn und der variable Antheil das Gewicht der Hauptträger darstellt.

Für eine beschotterte eiserne Straßenbrücke von 10 Met. Spannweite und 7,5 Met. Breite erhält mau daher die Totalbelastung

p + q = 3600 + 42.10 + 3650 = 7670 Kilgr. pro lauf. Met.

Werden, wie bei der in Fig. 6 dargestellten Anordnung, 8 massive schmiedeeiserne Träger angewendet, so hat jeder 7700

p = 3600 + 421 und p = 1300 + 281,

9607TÖ²

iM

i'imax

derselben eine Last von tragen, mithin beträgt dessen größtes Angriffsmoment

— rot. 960 Kilogr. zu über-

Nimmt man die Höhe der Träger zu 45 Centim. an und setzt sie aus einer Berticalplatte von l,i Centim. Dicke,

2 Gurtungsplatten von 16,8 Centim. Breite und l,i Centim. Dicke, sowie aus 4 Winkeleisen von je 7,85 X 7,85 X l,i Stärke,

t = ~ [12,8 (45³ — 40/) + 3,3 (40/

— 12000 Kilogrcentim. oder 1200000 Kilogrcentim.

siehe Fig. 7, zusammen, so ergiebt sich nach Abzug der in den Gurtungen befindlichen 4 Nietlöcher von je 2 Centim. Durchmesser das Trägheitsmoment in Centim.

27,i³) + l,i. 27,i³] = 40561,

nnthm das Widerstandsmoment 40561

woraus

(145)

WM '£=• 670.

= 1208000 Kilogrcentim.

Erhalten die Straßenträger die vorstehenden Abmessungen, so erscheinen sie mithin ausreichend stark.

Nach Art der Berechnung selbstständiger Blechbalkenbrücken erfolgt auch diejenige der zwischen offengebaute Tragwände eingebauten Blech träger, unter welchen die zur Brücken-axe beziehungsweise senkrecht und parallel angeordneten Quer-und Längsträger zu unterscheiden sind.

Bei Eisenbahnbrückeu haben die Querträger entweder ein oder zwei Geleise und demnach entweder zwei oder vier Längsträger zu unterstützen, welche die Querschwellen mit den Fahrschienen aufnehmen. Um die zweckmäßigste Entfernung der Querträger oder Länge 1 der Schwellenträger zu bestimmen, bezeichne Q das Gewicht eines Querträgers, 8 das Gewicht der Schwellenträger für den laufenden Meter Brückenbahn und B das Gewicht eines von Querträger zu Querträger reichenden Theils der Brückenbahn, so ist

22,5

Beträgt für eine eingeleisige Eisenbahnbrücke mit je zwei Schwellenträgern Q — 550 Kilogr. und 8 — 90 Kilogr. pro lauf. Biet., so ist

1 -

550

90

— 2,466 oder rot. 2,5 Met.

Für einen Schwellenträger von 2,5 Met. Länge, welcher 3 Querschwellen aufnimmt, s. Fig. 8, wird das Angriffsmoment am größten, wenn das Treibrad der Locomotive über seiner Mitte steht. Beträgt dessen Gewicht 8000 Kilogr. und das Gewicht des Schwellenträgers sammt Belag und Horizontalverband 190 + 450 + 35

675

2,5

2,5

so ist nach Gleichung (138) 8000.2,5

— 270 Kilogr. p. lauf. Met.,

B = 81 +

• - (144)

Das Gewicht der Brückenbahn wird ein Minimum, wenn

dB = s - -5- = o,

dl

521100 =

270.2/

= 5211 Meterkilogr.

Wählt man zur Herstellung des Schwellenträgers 4 Winkeleisen von 8,5 Centim. Schenkellänge und 1,2 Centim. Stärke, eine Berticalplatte von 1,2 Centim. Stärke und der Höhe x, siehe Figur 9, so ist, wenn Alles in Kilogr. und Centim. ausgedrückt wird, nach Gleichung (140) und (142) wenn die beiden Nietlöcher mit berücksichtigt werden,

"M

! x° [~W |¹⁸'2 (xS -<x- ²'⁴)³) + 3,« ((x - ²'⁴)³ - (x - ¹⁷)S) + M (x

17/J-3,6 (x-2.4,8)=],

*) Bergt. Laißle und Schübler, der Bau der Brückenträger. Stuttgart 1869, Seite 111.

woraus sehr nahe x = 30,5 Centim. gefunden wird.

Ist der Schwellenträger 190 Centim. lang und hat nur

2 Querschwellen sammt der Fahrbahn von je 214 Kilogr. Gewicht aufzunehmen, so ergiebt sich dessen größte Anspruchnahme, wenn die mit 8000 Kilogr. belastete Treibaxe über einer Querschwelle steht, siehe Fig. 10. In diesem Falle beträgt der Druck im nächsten Auflager

³/₄.8000 + 214 = 6214 Kilogr.

v2 (l7.26³-- 14.24³ — 2.10⁸) - 2^ .3.2® + 3.2.1/) = 7734,

und das Angriffsmoment unter der belasteten Schwelle

aMmax = 6214.

190

,    — 295165 Kilogrcentim.

Das Trägheitsmoment des in Fig. 11 dargestellten Querschnitts ist

mithin das Widerstandsmoment

WM = s.

7734

der beiden Schwellenträger von einander 1,9 Met., also von

4,8 — 1,9

13

den Enden des Querträgers je

und wenn dasselbe dem Angriffsmoment gleichgesetzt wird, im ungünstigsten Falle die Spannung der äußersten Fasern 295165 7734 ~

s = 13.

— 496 Kilogr. pro □ Centim.,

welche zulässig ist.

Der Querträger einer eingeleisigen Eisenbahnbrücke erfährt die größte Anspruchnahme, wenn die Treibräder der Locomotive sich, nach Fig. 15, direct über demselben befinden. Uebt jedes derselben einen Druck von 8000 Kilogr. aus und beträgt die Länge desselben 4,8 Met., der Abstand

— 1,45 Met.,

ferner das halbe Gewicht je zweier mit dem Querträger verbundener Schwellenträger 190 Kilogr., das Gewicht der auf den letzteren ruhenden Last der Fahrbahn 450 Kilogr. und des Horizontalverbandes 35 Kilogr., so ist das an der Befestigungsstelle des Schwellentrügers wirkende ständige Gewicht 190 + 450 + 35 = 675 Kilogr. Nimmt man das gleichförmig vertheilte Gewicht des Querträgers zu 710 Kilogr.,

= 148 Kilogr. pro laufendes Met. an, so

710

mithin zu

ergiebt sich, mit Bezug auf Fig. 12,

4,8

aM

= (8000 + 675) 1,45 + 148.

4/

— rot. 13005 Kilogrmet.

Nimmt man den Querträger 48 Centim. hoch an und setzt ihn aus 4 Winkeleisen nebst einer Verticalplatte von der zuvor angegebenen Stärke, ferner aus zwei 1,2 Centim. starken Gurtungsplatten von der Breite x zusammen, so muß, wenn

Alles in Kilogr. und Centim. ausgedrückt wird,

WM — 1300500 Kilogrcentim. werden und man erhält mit Berücksichtigung der 8 Nietlöcher, s. Rg. 13

1300500 ==

580

24

l/TF |(x ~~ 4)(4g3 ~ ⁴⁵/) + 14,2 (45/ — 43/) + 3,6(43/ — 28/) + 1,2.28/

2(-l . 3,6.2³ + 3,6.2. 19/) - 2 ( 1,2.2³ + 1,2 • 2. j ],

woraus nahe x — 18 Centim. gefunden wird und die Breite jeder Gurtungsplatte der Breite der beiden Winkeleisen sammt der zwischen ihnen befindlichen Verticalplatte oder 2.8,5 + 1,2 — 18,2 Centim. mindestens gleichzusetzen ist.

Die horizontale Scheerkraft zwischen Gurtungsplatte und Winkeleisen ergiebt sich mit Bezug auf die früheren Bezeich

nungen aus

Vx. msy

710

— 9030 Kilogr. be-

worin Vx = 8000 + 675 + ^ trägt. Mit Berücksichtigung der 6 Nietlöcher erhält man

12

[l4,2 (48³ - 43/) + 3,6 (43,2

und für y — 22,8

mys =

28/) + 1,2.28,6® — ^ 14,2.2,4.22,8 + 3,65.3,6 ^ 17,95 -+

3,6.2³

j2~ +2.3,6. 17,95äJ — 51271 Centim.

daher für den laufenden Centimeter die Scheerkraft 9030.1036,8

H.

51271

— 182 Kilogr.

^f-) = 1036,8,

Werden die Nieten der Gurtungsplatten und Winkeleisen einander gegenüber angeordnet, so ergiebt sich

o d2

2-⁷¹ ~4~-v,

182.e =

202

eines Schwellenträgers . . der Fahrbahn — 2.214

428

7,5

mithin für d = 2 und v — 600 Kilogr. pro [j licntiut. die größte Nietentsernung

2.3,14.600    £>A    _

—--------182--⁼ ^0,6 Cenüm.

Auch der Querträger einer zweigeleisigen Eisenbahnbrücke wird am meisten in Anspruch genommen, wenn das Treibrad der Locomotive sich direct über demselben befindet. Uebt dasselbe einen Druck von 8000 Kilogr. aus, während die Lanfräder einen Radstand von 380 Centim. haben und mit 4000 Kilogr. belasten, beträgt die Länge des Querträgers 7,5 Met., ihr gegenseitiger Abstand 190 Centim., und der Abstand je zweier zusammengehöriger Schwellenträger 2 Met., während sie je 202 Kilogr. wiegen und je zwei Querschwellen mit je 214 Kilogr. Belastung durch den Oberbau aufnehmen, siehe Figur 14 und 15, so besteht der Druck in jedem Schwellcnträgeranschluß aus dem Gewicht

der Locomotive 2 (4000. ~ + 2000.    = 7000 Kilogr.

______rr_

zusammen 7630 Kilogr. Dieser Druck erzeugt im Mittel des Querträgers ein Angriffsmoment

7630(2.3,15 — 2,75 — 0,75) — 30520 Kilogrmet.

Das aus dem Eigengewichte des Querträgers, welches 1820 Kilogr. beträgt, herrührende Moment ist 1820.-/- = 1705 Kilogrmet.,

mithin für Quadratcentimeter und Kilogramm

= 3052000 + 170500 = 3222500 Kilogrcentim. Der in Figur 16 dargestellte Querschnitt des Querträgers hat ein Trägheitsmoment in Centim.

daher ein Widerstandsmoment wM = s.

v2 [13,8.95³ - 1,8.92,? — 8,4.90/ - 2,6.76,8*1 = 250648,

durch Eigengewicht und Fahrbahn die Räder zweier Fuhrwerke über demselben stehen.

250648

47,5    '

und, wenn dieses dem Angriffsmoment gleichgesetzt wird, im ungünstigsten Fall in den äußersten Fasern eine Spannung

3222500

250648

.47,5 — 608 Kilogr. pro □ Centim.,

welche noch zulässig erscheint.

Der Querträger einer Straßenbrücke erfährt die größte Anspruchnahme, wenn außer der ständigen Belastung

aM

= 5000 (375 — 125) +

Befinden sich über einem solchen Querträger von 7,5 Met. Länge im Abstande von je 1,25 Met aus der Mitte die Räder zweier Fuhrwerke, deren Druck 5000 Kilogr. pro Räderpaar beträgt, während sein Eigengewicht zu 810 Kilogr. und seine Belastung durch die aus Langschwellen und Bohlenbelag bestehende Fahrbahn zu 1550 Kilogr. angenommen werden kann, so beträgt mit Bezug auf Figur 17 für die Mitte des Trägers das Angriffsmoment:

(810+ 1550). 750

= 1471250 Centim.

Für den in Figur 18 dargestellten Querschnitt des Querträgers ergiebt sich mit Berücksichtigung der Nietlöcher das Trägheitsmoment in Centimeter

t= *

mithin das Widerstandsmoment WM = s.

₁₂ (l7.60* — 13,6.57,6* — 2,4.44*) - 2    .3,4.2*+ 2.3,4.25/j = 63604,

weite mit 1, deren bewegliche Belastung mit Q und deren ständige Belastung mit E bezeichnet wird,

63604

30

und wenn dieses dem größten Angriffsmoment gleichgesetzt wird, die in den äußersten Fasern des Querträgers stattfindende Spannung

(Q + E) -Q- — n.p.

bh²

. . (146)

30.1471250 S —    63604

welche noch zulässig erscheint.

= 690 Kilogr.,

Hierin ist, wenn y das Gewicht der kubischen Einheit des Holzes und f das Gewicht für die laufende Einheit Brückenbahn bezeichnet,

E = n b h 1 y + fl

und wenn dieser Werth eingeführt und nach Q aufgelöst wird,

bh²

— (ubhy + f)l . (147)

II. Die Holzbalkenbriicktn.

Besteht die Brücke aus n freiaufliegenden Holzbalken von der Breite b und der Höhe h, so ist, wenn deren Spann-

Q = -g"nP-

Wenn die Belastung für die Quadrateinheit q genannt wird, so ist für die Breite B der Brücke

(-5-nh⁸y + f),    (148)

6.7.?

(Bq + f). (149)

h³ -

.h² =

.h² =

_6.7_. 8,5²_ 5.8.6.750000

bh²

. . (150)

— 0,44 Met.

0,44.5000 2.750000.0,25

= 0,i2 Met.

6.7.?

(Bq + f). (151)

.h² =

5.12.n.p

Behält man alle früher gewählten Zahlenwerthe bei, so ergiebt sich hieraus

h³ —

400 Kilogr.

2200

60

90

240

-2500

aM

Q 8 n .p.bh² 1    , ,    .

q—-ßj — -g Bp    -g-(nbhy + t),

mithin, wenn der Querschnitt der größten Tragfähigkeit an-

5

genommen oder b = yh gesetzt wird,

5.8. n. p. h⁸ 1 q —    7.6.8?

woraus, wenn nach Potenzen von h geordnet wird,

6 P.y 5.3.n.p

6 8^.1000 ¹    8 ' 750000

und nach gehöriger Reduction

h³ - 0,072 h² — 0,04,

woraus mit hinreichender Annäherung h = 0,4 Met. und 5

—. 0,4 = 0,285 Met. oder rund 0,3 Met. gefunden wird.

Wählt man einen Bohlenbelag und nimmt an, daß die Bohlen über einem Balken gestoßen, d. h. als an einem Ende freiaufliegen, am andern Ende festgehalten sind, siehe Fig. 21, so ist die in der Mitte concentrirte Belastung¹)

, 1

°I P

woraus die Dicke

2.p.b P -gefunden wird. Nimmt man das Gewicht P eines schwersten Wagenrads zu 5000 Kilogr. und die Breite der Bohlen zu 0,25 Met. an, so ist, da die freiliegende Weite

B — 6.0,3 _ 4 — 1,8

beträgt, die Stärke des Bohlenbelags

"=-H/

Werden die Enden der Balken mit den Auflagern verankert, siehe Fig. 22 und 23, so ist in Gleichung (146) nur 3

12 = %, — statt 8 zu setzen. Hierdurch geht Gleichung (149) in die folgende über

h3_ jL.iä

12 p

Bestehen die Balken aus Tannenholz, welches bei mäßigen Erschütterungen und möglichst langer Dauer mit 75 Kilogr. Druck pro □ Centim. beansprucht werden kann und im durchnäßten Zustande 1000 Kilogr. pro Knbikmet. wiegt, so ist für die in Figur 19 uud 20 dargestellte Brücke mit der Spannweite von 8,5 Met. und der Breite von 4 Met. bei 6 Straßenträgern, wenn q — 560 Kilogr. pro □ Met. angenommen wird und f mit Einschluß der Brüstung 80 Kilogr. pro laufendes Meter beträgt, nach Einsetzung dieser Werthe (4.560 + 80),

-|-.0,072h² — -|-.0,04, woraus mit hinreichender Annäherung die geringeren Ab-Messungen h — 0,35 Met. und b = -y-. 0,35 — 0,25 Met. gefunden werden.

Für Straßenbrücken mit Beschotterung ändert sich nun der Werth von f, während die Berechnung der Balkenstärken ähnlich durchgeführt werden kann. Bei der in Fig. 24 dargestellten Anordnung beträgt das Gewicht von 5 □ Met. eichene Bedielung von 8 Centim.

Stärke ä 80 Kilogr......

5 Hj Met. Beschotterung von 20 Centim.

Stärke..........

2 lauf. Met. Saumschwelle ls/₂₀ Centim.

stark a 30 Kilogr.......

2 □gyZet. eichene Bedielung pro □ Bieter

45 Kilogr..........

2 lauf. Met. Geländer inet Verstrebung ä 120 Kilogr........

zusammen 2990 Kilogr.,

mithin f — rot. 3000 Kilogr.

Hierher gehört auch die Berechnung der hölzernen Lang-schwellen eiserner Straßenbrücken. Liegen die eisernen Querträger der in Figur 17 dargestellten Brücke 185 Centim. von einander, so erfahren die tannenen Langschwellen die

größte Anspruchnahme, wenn ein Karrenrad von

Kilogr. Gewicht über der Mitte ihrer freiliegenden Weite steht. Sieht man von deren Eigengewicht, und wegen der zu ihrer Befestigung erforderlichen Verschwächung durch Bolzenlöcher, von deren Continuität ab, so ergiebt sich deren größtes Angriffsmoment — -j-.2500.186 — 116250 Kilogrcentim.

Wählt man Langschwellen von 15 Centim. Breite auf 25 Centim. Höhe, so ergiebt sich deren Widerstandsmoment

. - (152)

l.a₉ '

.15.25'.8 = 1562,5. s,

mithin die größte Spannung ihrer äußersten Fasern 116250 1562,5

welches, selbst bei bedeutenden Erschütterungen und für möglichst lange Dauer, noch zulässig erscheint.

WM —

P = 8s.

. . (156)

— rot. 74 Kilogr. pro □ Centim.,

l.as '

mithin unter übrigens gleichen Umständen das Doppelte der concentrirten Last Q. Auch die Spannweite läßt sich dann bei hinreichender Länge und Homogenität der Steine entsprechend vermehren.

III. Die Steiiibalkenbrücken.

Da die Steinbalkenbrücken, siehe Fig. 25 und 26, nur geringe Spannweiten zulassen, so ist die Stärke der Steine meist nach der Belastung Q durch ein schwerstes Wagenrad in deren Mitte zu bemessen. Bezeichnet t das Trägheitsmoment und as den Abstand ihrer am meisten in Anspruch genommenen Zuglamelle, so ist

Q = 4s.

Zweiter Abschnitt.

Die ossengebauten Balkenbriicken.

Die offengebauten Träger der eisernen Balkenbrücken sind theils solche mit je zwei geraden, unter sich parallelen Gurtungen oder Parallelträger, theils solche mit polygonalen Gurtungen oder Polygonalträger.

Ist der Querschnitt der Steinplatte ein Rechteck von der

Breite b und Höhe h, so ist

bh²

as

-, mithin

bh²

q₌₌4s._t_

(158)

und hieraus entweder

-Hb.-

Q, . . . . (154)

oder

1 = 4s.

bh²

. . (155)

Für Sandsteinplatten von 0,5 Met. Breite, 0,2 Met. Dicke und 5 Kilogr. Zugfestigkeit pro Quadratcentimeter, erhält man bei einem Raddruck von 3000 Kilogr. die größte zulässige Spannweite

6Q • •

I. Die Träger mit geraden parallelen Gurtungen oder Parallelträger.

Die Parallelträger sind entweder solche, deren Stäbe theils senkrecht, theils geneigt, also nach dem System des rechtwinkligen Dreiecks, oder solche, deren Stäbe sämmtlich geneigt und in diesem Falle nach dem System des gleichschenkligen Dreiecks angeordnet sind. Beide Trägergattungen enthalten diese Stabreihe entweder einfach, wenn ein Verticalschnitt außer den beiden Gurtungen nur einen Stab trifft, und sind dann Parallelträger mit einfacher Stabreihe oder mehrfach, wenn ein Verticalschnitt außer den beiden Gurtungen mehr als einen Stab trifft, und sind dann Parallelträger mit mehrfacher Stabreihe.

— 22,2 Centim.

1 --- 4.5.

— rot. 25 Centim.

— rot. 70 Centim.

und

50.20'

6.3000

Für Basaltsäulen von den in Figur 27 und 28 dargestellten Querschnitten, für welche s — 20 Kilogr. pro □ Centim. gesetzt werden kann,²) ist beziehungsweise t — 7888 und 27400, ag — 8,775 und 12,47, mithin bei demselben Raddruck die größte zulässige Spannweite beziehungsweise 4.20.7888 3000.8,775 4.20.27400 3000.12,47

Befinden sich Steinplatten-Durchläffe unter hohen Dämmen, in welchem Falle ihre Belastung P als gleichförmig vertheilt angesehen werden kann, so ergiebt sich

1) Die Parallelträger nach dem System des rechtwinkligen Dreiecks.

a) Mit einfacher Stabreihe.

Ist ein solcher Träger mit N Feldern von der Länge X und mit der Höhe h in jedem untern Knotenpunkt mit dem ständigen Eigengewicht p und mit dem beweglichen Verkehrsgewicht q beschwert, so ergiebt sich nach dem Früheren die größte Anspruchnahme der oberen und unteren Gurtungsstücke bei voller Bcrkehrsbelastung, die größte Anspruchnahme der Vertical- und Diagonalstäbe bei der vollen Belastung des links oder rechts von dem betrachteten Stab befindlichen Trägerstücks, während der übrige Theil des Trägers von der beweglichen Belastung frei bleibt.

Führt man durch das beliebige mte Feld des Trägers den verticalen Schnitt ab, siehe Tafel 4, Figur 1, und ersetzt die in demselben stattfindenden Spannungen der oberen

Pni—1!

m-1

aMm

— (p + q) 2ir • m(N - ™)- • (¹⁵⁷)

einen constanten und das

und untern Gurtung beziehungsweise durch die äußeren Kräfte Xm und Zm und wählt als Drehpunkt von X,„ den auf der unteren Gurtung in der Entfernung ml vom linken Auflager gelegnen Punkt Dm, in welchem sich der mitdurchschnittene untere Gurtungstheil und Diagonalstab schneiden, als Drehpunkt von Z,„ den auf der obern Gurtung in dem Abstande (m — 1) l vom linken Auflager befindlichen Punkt siehe Figur 2, in welchem sich der mitdurchschnittene obere Gurtungstheil und Diagonalstab schneiden, so bildet h den Hebelsarm jener äußeren Kräfte X,„ und Zm, Xm h und Zmh deren Widerstandsmoment. Bedeutet aMm das auf den Drehpunkt Dm und aMm_, das auf den Drehpunkt D bezogene Angriffsmoment, so ist

Xmh + aMm — 0, Xm — —

mithin, wenn aus Gleichung (5) der Werth für ftM,„ eingeführt wird, die Druckspannung

xm =

worin der Factor (p + q)

Product m(N — m) einen variablen Werth besitzt. Wird m — 1 statt m gesetzt, so ergiebt sich die Druckspannung des (m — l)teu oberen Gurtungsstücks

Xm_, = ~ (p + q)-^-(m — 1)(N - m + !)• (168)

Bildet man die Differenz der Druckspannungen im mten und (m — l)ten Felde der oberen Gurtung, so ergiebt sich

xm - Xm_, = - -₂*h- (p + q) (N — 2 m + 1), (159)

worin ~(v + q) einen constanten und N — 2 m + 1

einen variablen Factor bezeichnet; man erhält z. B. für eine gerade Zahl N — 2n von Feldern

n+1

2n — 1

2n

2n — 2m + 1 =

2n — 1

2n - 3

— (2n —3)

— (2n — 1)

Für die Spannung in der unteren Gurtung ergiebt sich

folgt

Zm = - X

Zin+l — (P + q) “gjj

Die Zugspannung des (m — l)ten unteren Gurtungsstücks erhält man, wenn in Gleichung (160) m — 1 statt m gesetzt wird,

Die Unterschiede der Druckspannungen in den oberen Gurtungsstücken nehmen daher von der Mitte nach den Enden hin zu wie die Reihe der ungeraden Zahlen. Sie entsprechen mithin den Ordi-natendifferenzen einer Parabel von der Spannweite 2n 1.

und der Pfeilhöhe X„ — — (p + q) . n² welche die

Druckspannung der oberen Gurtung in deren Mitte darstellt und aus Gleichung (157) erhalten wird, wenn darin m gesetzt wird. Die Stärken der oberen Gurtungsstücke lassen sich daher auf die in Figur 3 dargestellte Art durch Construction erhalten.

riablen Werth besitzt. Aus dieser und aus Gleichung (158) . . (161)

Die Zugspannung des unteren Gurtungsstückes ist also der Druckspannung des (m — l)tcn oberen Gurtungsstücks numerisch gleich.

Im (m + l)ten Felde ergiebt sich analog

m(N — m) — — Xrn.

— Zmh + aMm_! — 0 und Zm —

aMm_!

h '

mithin, wenn aus Gleichung (6) der Werth für aMm geführt wird, die Zugspannung

Zm = (p + q) Yis (m — 1) (N — m + 1). . (160) worin nur das Product (m —1) (N — m + 1) einen va-

ein-

— (p + q) -gY" (m — 2) (N — m + 2), (162)

mithin die Differenz:

zm - Zm_! = (P + q) (N - 2m + 3). (163)

Nimmt man wieder eine gerade Zahl N = 2n von Feldern an, so erhält man für

2n + 1

2n — 1

2n — 3

— (2n —5)

— (2n — 3)

. . (164)

Die Unterschiede der Zugspannungen in den unteren Gurtungsstücken nehmen daher von der Mitte nach den Enden hin ebenfalls zu, wie die Reihe der ungeraden Zahlen. Sie entsprechen mithin den Ordinatendifferenzen derselben Parabel, weshalb sich die Strecken der unteren Gurtungsstücke auf die in Fig. 3 dargestellte Art durch Construction erhalten lassen.

Führt man durch den beliebigen m,en Verticalstab den Schnitt cd, s. Taf. 4, Fig. 4, ersetzt die in den 3 durchschnittenen Stangen stattfindenden Spannungen durch die äußeren Kräfte X,„, Zm und Vm, wovon jede der beiden ersteren horizontal, die letztere vertikal aufwärts wirkt und berücksichtigt nur das Gleichgewicht gegen lothrechtes Fortschreiten, so bleiben jene Horizontalspannungen X,„ und Zm außer Betracht, während die Verticalspannung Vm der in dem mtc" Knotenpunkt herrschenden größten Verticalscheerkraft gleich und entgegengesetzt, mithin nach Gleichung (106)

S3.n — — Vm

sein muß.

Man erhält mithin nach Gleichung (78) die größte Druckspannung

33m min — — Vm max = —

isörd

tzj

CM

äs

lO

und nach Gleichung (79) die größte Druckspannung

33m max — — Vm min —

(166)

spannung

Setzt man in diesen Formeln (m — 1) statt m, so ergiebt sich für den (m — l)tcn Verticalstab die größte Druck

95m-imin — — Vm_!max =--(N — 2m + 1)--(N — m)(N — m + 1) .    .

und die größte Zugspannung

2Sm-imax = — Vm_imin —--1- (N —2m+ 1)+-^ m (m — 1)......

. - (167)

(168)

Verticalspannung Ym. herrschenden größten Verticalscheerkraft gleich, mithin muß

— 0 oder Ym — -g-

Die vorstehend berechneten Spannungen der Vertical-stäbe gelten für Brücken mit kleinen Spannweiten, also mit im Verhältniß zur beweglichen Last geringer ständiger Belastung. Bei Brücken mit größeren Spannweiten, also mit einer im Verhältniß zur beweglichen Last größeren ständigen Belastung, ist zu berücksichtigen, daß das Eigengewicht p pro Knotenpunkt nicht ausschließlich am unteren Endpunkte der Verticalen, sondern mit einem bestimmten Antheile «p am oberen und nur mit dem Reste von p (1 — «) an dem unteren Endpunkte wirkt. Jener Antheil a p übt in dem vorstehenden Falle, wo die Gesammtlast p + q am Fuße der Verticalen wirkend angenommen wurde, einen Druck auf die letztere aus und muß deßhalb bei jeder berechneten Spannung der Verticalen

Vm max — «p statt V„> max und Vmmin — a p „ S5mmin

gesetzt werden. Wird die Fahrbahn oben liegend, also die ganze ständige Belastung p und bewegliche Belastung q per Knotenpunkt ursprünglich am oberen Endpunkte der Verticalen wirkend angenommen, so ist der zuvor erwähnte Antheil «p der ständigen Belastung an deren unterem Endpunkte, also

_Y — 4- V i

-L m • ^    v m—1

auf Zug wirkend anzunehmen, mithin bei den zuvor ermittelten Spannungen der Verticalen

33m max + « p statt 33m max und V,n min + « p „ Vm min zu setzen. In beiden Fällen bezieht sich die erwähnte Veränderung der Spannungszahlen nur auf diejenigen der Verticalen und bleibt, da alsdann die für die Spannungen der Gurtungen und Diagonalen gemachten Voraussetzungen eintreten, ohne Einfluß auf die Spannungszahlen der letztgenannten Constructionstheile.

Führt man durch den mtcn Diagonalstab den Schnitt ab, siehe Taf. 4, Fig. 5, ersetzt die in den 3 durchschnittenen Stangen stattfindenden Spannungen durch die äußeren Kräfte Xm, Zm, Ym und zerlegt die letztere in ihre wagrechte

l

Componente Ym. -j- und in die abwärts wirkende lothrechte

Componente Ym. so kommt, wenn man nur das Gleichgewicht gegen lothrechtes Fortschreiten berücksichtigt, die ~ der in dem (m — l)ten Knotenpunkt

(169)

C3-, Pu

mul-

sein. Wird der Maximal- und Minimalwerth von Vm_i aus Gleichung (78a) und 79a) eingeführt, so erhält man die größte Zugspannung

Ym max —

h-[i<N

und die größte Druckspannung

Ym min =

— 2m + 1) 4—(ß — m)(N — m + 1)

ir [t (N

. - (170)

(171)

Dre Grenzspannungen des Diagonalstabes im mten Felde lassen sich folglich aus den Grenzspannungen des (m — 1 )ten

Verticalstabs finden, indem man dieselben mit —

tiplicirt. Tritt also, wie hier in dem oberen (m — l)ten Knotenpunkte, wo der mte Diagonalslab und (m — l)te Vertical-stab sich treffen, keine neue Belastung hinzu, so besitzen dieselben Verticalspannungen von gleicher Größe und entgegengesetztem Vorzeichen.

Für den m Frgur 6 dargestellten Träger mit N = 8 Feldern von h — 2,5 Met. Höhe und l — 2,5 Met. Weite, dessen untere Knotenpunkte mit der ständigen Last p = 1750 Kilogr.*) und der beweglichen Last q — 5600 Kilogr.,**) also mit der gesammten Last p + q = 7350 Kilogr. beschwert sind, ergeben sich aus den vorstehenden Formeln die nachfolgenden Spannungen.

1) Die Spannungen X in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (157)

~ (p + q)'2Fm(N - m)>

• Xm =

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ist für alle Felder Xm — — 7350. ^'⁵

2.2,5

Für IN    ^    1    ist X,    =    — 3675.1.7    = - 25725    Kilogr.

m (8 — in) — — 3675. m (8 — m).

2) Die Spannungen Z in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (160) Zm = (p + q) ~ (m — 1) (N — m + 1).

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ist Zm = 7350.

2,5

2.2,5

(in — 1) (8 — m +1) = 3675 (rn — 1) (9 — in).

*) Das Eigengewicht vorstehender Brücke (kleine Oeffnung der Brücke über den alten Rhein bei Griethausen) beträgt nämlich bei

10580 Kilogr. 6390    „

3040    ,,

2 Tragwänden zu 5290 Kilogr........

9 Querträgern zu 710    .......

16 Schwellenträgern zu 190    ......

einer Fahrbahn mit je 3 Querträgern pro Feld, mit Bohlenbelag und Schienen sammt Befestigungs-

Mitteln zu ............

einem Horizontalverband unter der Fahrbahn zu .

mithin sür jeden Knotenpunkt einer Tragwand 27770

7200

560

Zusammen 27770    „

= 1735, rot. 1750 Kilogr.

**) Werden 2 Tenderlocomotiven von 37500 Kilogr. Gewicht und 8,5 Met. Länge als größte Belastung angesehen, so entfällt nämlich für jeden Knotenpunkt einer Tragwand 37500.2,5 8,5 . 2

2.8

----- 5514, rot. 5600 Kilogr.

0 Kilogr.

Für rn --- 1 ist Z, = + 3675.0.8 =

3) Die Spannungen V in den Verticalständern nach den Formeln (165) und (166). a) Berechnung der Maximalspannungen nach der Gleichung (166).

Vm max — —

(N — 2m — 1) +    - m(m + !)•

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so erhält man

Vmmax — — 875 (7 — 2m) + 350.m(m + 1).

b) Berechnung der Minimalspannungen nach der Gleichung (165).

+ (N-m)(N-m-l).

Vm min —

§-(N-2m-U

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so erhält man

Vmrnin = — 875(7 — 2m) — 350.(8 — m)(7 - m).

ticalen, so ist jeder der zuvor berechneten Spannungen der Werth — 583 Kilogr. hinzuzufügen, also z. B. für rn — 5

V₆ max= 13125 — 583 = 12542 Kilogr. statt

V₅max = 13125 Kilogr. und V₅min —    = + 525

— 583 — — 58 Kilogr. statt V₅ min — + 525 zu setzen.

Wie man hieraus ersieht, kehren die Maximal- und Minimalspannungen der Verticalen in der zweiten Hälfte des Trägers mit entgegengesetzten Zeichen wieder.

P-i co

583

Wirkt ein Dritttheil der ständigen Last 2

am oberen und — 1067 am unteren Ende der Ver4) Die Spannungen Y in den Diagonalen nach den Formeln (170) und (171). a) Berechnung der Maximalspannungen nach der Gleichung (170)

d-V

Ym max =

h [|- (N - 2m + 1) + (N - m)(N - m + 1)]

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt und d = h /2 gesetzt, so ist

min.

Ym min =

b) Berechnung der Minimalspannungen nach der Gleichung (171) TT ["i"(N 2m + 1) —    - 1)] -- - 4- V„.

max

und wenn obige Zahlenwerthe eingeführt werden,

Ym min = jA 2 [850(9 — 2 m) — 350. m (m — 1)] = — ]Z 2 . Vm_., max.

Für rn = 1 ist Yjmin = /2 .(+ 875.7 — 350.1.0) = + /2~. 6125 = + 8661 Klogr.

Wie man sieht, kehren auch hier die Maximal- und Mini- j Diagonalen enthalten, diese letzteren mit den entgegengesetzt steigen-malspannungen der Diagonalen in der zweiten Hälfte des den, nur gezogenen Diagonalen vertauscht und in allen Feldern, Trägers mit entgegengesetzten Zeichen wieder. Alle hier be- welche theils gedrückte, theils gezogene Diagonalen enthalten, die rechneten Spannungszahlen sind in Fig. 7 zusammengestellt, entgegengesetzt steigende, nur gezogene Diagonale eingeschaltet wird.

Der Parallelträger mit nur gedrückten Diagonalen entsteht daher, wenn in allen Feldern, welche nur gezogene Diagonalen enthalten, diese letzteren mit den entgegengesetzt steigenden, nur gedrückten Diagonalen vertauscht und in allen Feldern, welche theils gezogene, theils gedrückte Diagonalen enthalten, die entgegengesetzt steigende, nur gedrückte Diagonale hinzugefügt wird.

Liegt die Brückenbahn oben, siehe Figur 10, sind also die oberen Knotenpunkte belastet, so bringt dies, wie ein Blick

Werden in dem so berechneten Systeme nur die gezogenen oder nur die gedrückten Diagonalen und die ihnen entsprechenden nur gedrückten oder nur gezogenen Verticalen beibehalten, so erhält man die in Figur 8 und 9 dargestellten Parallelträger nach dem System des rechtwinkeligen Dreiecks mit unten liegender Fahrbahn und nur gezogenen oder nur gedrückten Diagonalen.

Der Parallelträger mit nur gezogenen Diagonalen entsteht daher, wenn in allen Feldern, welche nur gedrückte

und bei seiner vollständigen Entlastung

— VN--P- = 0 und VNmax —--P- = — 875 Kilogr.,

Aus dem so vervollständigten Schema, Figur 10, lassen sich in einer, der oben angegebenen Methode ganz analogen, Weise die in den Figuren 13 und 14 dargestellten Parallelträger mit oben liegender Brückenbahn und nur gezogenen oder nur gedrückten Diagonalen mit den ihnen entsprechenden nur gedrückten und nur gezogenen Verticalen ableiten.

Ist die Brückenbahn mit den Verticalstäben zwischen deren Kopf- und Fußende verbunden, so bringt diese Anordnung gleich der vorhergehenden keine Aenderung in der Berechnung, weder der Gurtungen noch der Diagonalen, hervor, dagegen nehmen die Berticalstäbe oberhalb der Brückenbahn die Spannung der Verticalen mit angehängter und unterhalb der Brückenbahn die Spannung der Verticalen mit aufgesetzter Brückenbahn an. Werden diese, früher entwickelten Spannungen der Berticalstäbe ihrem oberen und unteren Theile beigeschrieben und dieselben Spannungen der Gurtungen und Diagonalen eingetragen, so entsteht das Schema in Figur 15, aus welchem wieder, in der früher angegebenen Weise, sowohl der Parallelträger mit nur gezogenen Diagonalen und nur gedrückten Verticalen, siehe Figur 16

P + q _

2    '2h

als auch der Parallelträger mit nur gedrückten Diagonalen und nur gezogenen Verticalen, siehe Figur 17, abgeleitet werden kann.

Denkt man sich das Schema in Figur 6 in horizontalem Sinne umgedreht und so auf das Schema in Fig. 6 gelegt, daß sich sowohl die Gurtungen, als die Endständer decken, so entsteht der Parallelträger mit gekreuzten Diagonalen, dessen Gurtungen und Berticalständer, als die sich deckenden und vereinigten Theile, Spannungen annehmen, die der algebraischen Summe jener Spannungen gleich sind, welche sie in getrenntem Zustande erfahren. Werden für den zusammengesetzten Träger dieselben oder ähnliche Belastungen beibehalten, wie für die Knotenpunkte der getrennten Träger,

so hat jeder der letzteren die Hälfte P q- dieser Belastungen pro Knotenpunkt zu übertragen. Die Spannung im mten Felde der oberen Gurtung des zusammengesetzten Trägers bildet daher die halbe Summe der durch Gleichung (157) und (158) dargestellten Spannungen Xm und Xm_t der getrennten Träger und beträgt

(174)

Xm =

Vm min —

bore

(N - 2m + 1) - -JL (N - m)(N - m + 1)

(172)

^-(N — 2 m -f- 1) + m (m — 1).........

linken Endständers ergiebt sich aus Figur llv V₀ + A = 0 oder 23₀ = — A, mithin, wenn der größte, bei voller Belastung und der kleinste, bei vollkommener Entlastung eintretende Auflagerdruck eingeführt wird,

V₀min — — (p + q) — — 7350.4 — — 29400 Kilogr.

V₀max = — p^= — 1750.4 = - 7000 Kilogr.

Die Grenzspannungen des rechten Endständers erhält man bei seiner vollen Belastung aus Fig. 12

!—= — 3675 Kilogr.

Vm max —

__P

(173)

Auf diese Weise ergiebt sich, wenn obiges Beispiel beibehalten wird, für welches diese Werthe bereits berechnet sind, aus dem Schema in Fig. 7 sofort das Schema in Fig. 10 für alle zwischen den Stützpunkten befindlichen Theile des Trägers. Die der neuen Belastungsweise entsprechende Spannung des

- V„

— 0 und VNmin — —

auf die Figuren 1, 2 und 5 lehrt, eine Aenderung in der Berechnung der Spannungen weder der Gurtungen, noch der Diagonalen hervor. Dagegen kommt durch den schrägen Schnitt in Figur 4, wie ein Blick auf diese Figur lehrt, bei Berechnung der Spannungen in den Verticalen die Belastung des m*⁶" Knotenpunktes in Wegfall und nur noch

die Belastung des (m — l)tcn Knotenpunktes in Betracht. Man erhält mithin für den mtCR Berticalstab dieses Parallelträgers dieselbe Spannung, wie für den (m — l)tm Berticalstab des zuvor betrachteten Parallelträgers, mithin aus den Gleichungen (167) und (168) die Grenzspannungen des beliebigen mten Berticalstabes

n- [m (N — m) + (m — 1)(N — m + 1)|

Ebenso bildet die Spannung im mte" Felde der unteren Gurtung des zusammengesetzten Trägers die halbe Summe der durch Gleichung (160) und (161) dargestellten Spannungen Zm und Zm+1 der getrennten Träger und beträgt

(175)

2— .-gy- [(m — 1)N — m -J- 1) + m (N — m)] — — Xm,

Die Spannungen der oberen und unteren Gurtung sind daher in jedem Felde numerisch gleich, nur von entgegengesetztem Vorzeichen.

Die größte Druckspannung im mten Verticalstab des halbirteu Trägers mit links steigenden Diagonalen beträgt nach Gleichung (165)

Vm min — —

(176)

(N - 2m - 1) - -₂qr (N — m) (N — m — 1),

Die größte Zugspannung im mten Verticalstab des halbirten Trägers mit rechts steigenden Diagonalen beträgt Vm max — — Vm min r daher

(177)

Vm max —

so hat alsdann jeder Verticalstab die Last

nach oben P + q

p-t-g

spannung +    ₂

P-y-q. Die Spannung im linken und

Mithin beträgt die Totalspannung des mten Vertical-stabes Vm min + Vm max — 0, wenn man die Hälfte der ganzen Last in den oberen, die andere Hälfte in den unteren Knotenpunkten angreifen läßt. Liegt die Brückenbahn unten,

p + q

zu übertragen und erfährt die Zugspannung +

Liegt die Brückenbahn oben, so hat jeder Verticalstab die Last -P +JL nach unten zu übertragen und erfährt die Druck-

spannung —    . Liegt die Brückenbahn in der Mitte,

so erfährt jeder Verticalstab in seinem oberen Theile die Zug-

und in seinem unteren Theile die

Druckspannung —

rechten Endständer ergiebt sich aus der Summe der Spannungen in den halbirteu Trägern, mithin bei untenliegender Brückenbahn

V₀ min — —

(p + q) N

p + q _ (p + q) (N — l)

. - (178)

bei obenliegender Brückenbahn

V"₀ min — —

(179)

(p+q) N p + q _ (p + q) (N + 1)

2    2    4    2    2

welche bei zwischenliegender Brückenbahn beziehungsweise dem oberen und unteren Theile des Berticalstabes entsprechen.

Die Spannungen der Diagonalen ergeben sich aus den Gleichungen (170) und (171), wenn darin y statt p und | statt q gesetzt wird,

Ymmax = -A- [—(N — 2m + 1) + (N — m)(N — m + l)j,

Ymmin — [y (N — 2m + 1) — yy m (m — 1)J......

Werden die für den oben berechneten Träger gewählten Abmessungen und Belastungen beibehalten und eingeführt, so ergiebt sich die Spannung in den Gurtungen aus Gleichung (174)

7350

2 ' 2.2,8

(180)

(181)

Xm = —

2,5

[m (8 — m) + (m — 1) (9 — in) — — Zm,

daher für m = 1, X, = — 3675. y (1.7 + 0.8) = — 12863 Kilogr. und Z, = + 12863 Kilogr.

„ Z₂ = + 34913    ,.

m = 2, Xä = — 3675.

(2.6 + 1.7) = — 34913

m — 3, Xz ==— 3675.y (3.5 + 2.6) =

— 49613

„ Z₃ = + 49613    „

m = 4, X₄ = — 3675.4-(4.4 + 3.5) = — 56963 Kilogr. und Z₄ = + 56963 Kilogr.

u

— 56963

— 27563

„ Z₅ = + 56963    „

„ Z₆ = + 49613    „

„ Z₇ — + 34913    „

„ Z₈ = + 27563    „

Die Spannung sämmtlicher Verticalen mit Ausnahme p + q _ 7350

V₀min =

der Endständer ergiebt sich zu

= 3675

7350    7    ₁₀₀„₀

—g—.-g- — — 12863 Ktlogr.,

Kilogr , welche bei unten liegender und oben liegender Brückenbahn beziehungsweise positiv und negativ, bei zwischenliegender Brückenbahn positiv im oberen und negativ im unteren Theil zu nehmen ist.

Die Spannung in den Endständern ist alsdann bei untenliegender Brückenbahn

bei obenliegender Brückenbahn 7350 2

V₀ min = —

= — 16537 Kilogr.,

woraus sich auch diejenige bei zwischenliegender Brückenbahn ergiebt.

Für die Diagonalen sind die oben berechneten Spannungszahlen nur zu halbiren, es ergiebt sich mithin

Y,max = + 18190    Kilogr. und Y, min = + 4331 Kilogr.

Werden die soeben ermittelten Spannungszahlen zusammengestellt, so ergeben sich die Figuren 18, 19 und 20, welche den Parallelträgcr mit gekreuzten Diagonalen und unten-, oben- und zwischenliegender Brückenbahn darstellen.

371

371

gers ergeben sich aus den zuvor entwickelten Gleichungen (157), (160), (165) und (166), (170) und (171). Die Spannungszahlen des in Figur 30 dargestellten Trägers, für welchen

-J- und p' + q' = (p + q), sind wie folgt ab-

b) Die Parallelträger nach dem System des rechtwinkligen Dreiecks mit mehrfacher Stabreihe.

zuleiten.

Zerlegt man den in Figur 31 dargestellten Träger mit doppelter Stabreihe in die beiden, durch Figur 29 und 30 dargestellten Träger mit einfacher Stabreihe, so ergeben sich die Spannungszahlen des ersteren aus denjenigen der beiden letzteren.

Führt man durch das mte Feld den Schnitt ab, siehe Fig. 21, so ergiebt sich mit Bezug auf die Bezeichnungen der Figur für den mtcn Knotenpunkt D als Drehpunkt

Xm h + aMra = 0 und X„, = —    . aMm

und wenn aus Gleichung (12) der Werth für *Mm eingeführt wird, die Druckspannung im mtc" Felde

Die Spannungszahlen des in Figur 29 dargestellten Trä-

Xm = — (p + q) [m (N — m) + a (N + 2 b — 1)].......

1    3

= -g- und b = -j-, mithin, wenn diese Werthe eingeführt werden, Xm = — (p + q) -g^- jm (N — m) +

Bei der vorstehenden Anordnung ist a =

(182)

Y und annäherungsweise 0 — 1, so erhält man

(P + q) 2 h [ m (N Für die untere Gurtung ergiebt sich in demselben Felde nach Figur 22

Setzt man a —

Xm =

-m) +

N^]

(184)

-l.aM h

mithin, wenn aus Gleichung (14) der Werth für aMm_₁ eingeführt wird, die Zugspannung im mtcn Felde

Zm = (p + q) ^ [(m - 1)(N - m + 1) + a(N + 2b - 1)]    .    .

1    3

2    und b = -J- JU setzen ist,

Zm = (p + q) | (m — 1) (N — m + 1) +

Setzt man a — ~ und wieder annäherungsweise b — 1, so erhält man Zm — (p + q) 2 h £ (m — 1) (X — m + 1) 4"

und da wieder a ==

— Zmh + *Mm_i — 0 und Zm —

. . (185)

(186)

N+1-)

2 J

(187)

Durch die Gleichungen (183) und (186) sind die Spannungen der Gurtungsstücke in den N—1 mittleren Feldern bestimmt. Die Spannungen in dem Feld 0 ergeben sich aus

o 2

X₀.h +AA' = OunbX₀ = — A,

mithin erhält man, wenn aus Gleichung (10a.) der Werth von A eingeführt wird,

X₀ =

zusehen, die Spannungen in dem N + lten Felde die Werthe Xn+i — 0

(189»)

und

Zn + i —

(p + q) -y- (b +

N— 1

. (190)

^-(P + q)(b + ^-2-^-) . (188)

und wenn a = -i- und b = 1 gesetzt wird,

während Z₀ = 0 wird. Dagegen erhalten, wie leicht ein-

93mmax — — Vmmin —--|-(N — 2m — 1) +    ^

X„ =

- (189)

mithin, wenn a = -g- und b = 1 gesetzt wird,

(N + 1)

2 h ’    2

Führt man durch den mten Verticalstab den Schnitt c d, siehe Figur 24, so ist $m der verticalen Scheerkraft Vm für den mten Knotenpunkt gleich und entgegengesetzt, mithin, wenn deren Werth beziehungsweise aus Gleichung (90) und (89) eingeführt wird,

Zn + i

= (P + q) öl

• - • (191)

Vm min = — Vm max —--£- (N — 2m — 1) —

q.

2a + N

Die vorstehenden Formeln gelten für m = 0 bis m — N, für den ersten Verticalstab ergiebt sich aus Fig. 27

V₀ + A = 0 und V₀ = — A,

mithin, wenn der Werth von A aus Gleichung (10a) eingeführt wird,

aP-)+H- ■

[(N — m - 1) (a + N~—) + a.bj (193)

Für den letzten Verticalstab ergiebt sich aus Figur 28 — VN+1 + 0 = 0 unb Vn+i = 0. . (195)

[m(a +

- (192)

N —1 x 2 )'

waö zugleich den Akinimalwerth bezeichnet, und woraus sich der Maximalwerth für q — 0 ergiebt.

V» =

— (P + q) (b +

. (194)

Führt man durch das mte Feld den Schnitt ab, siehe

Fig. 23, so ist die verticale Componente Ym.

der verticalen Scheerkraft für den (m — l)tm Knotenpunkt gleich und direct entgegengesetzt, mithin, wenn deren Werth aus Gleichung (91) und (92) eingeführt wird,

von Ym

5*

Ym max — ~ (N

— 2m + 1) +

Ym min —

li

(N — 2m + 1) —

((m — l)(aH--2~) + a.bj, . .

-j + a.bj. . (196)

2a + N

worin annäherungsweise b = 1 gesetzt werden kann. Für das Feld 0 ergiebt sich ans Figur 25

y-^7 + a =

0 und Y₀ — -g

mithin, wenn der Werth für A aus Gleichung (10a) eingeführt wird,

-jp (P + cl) (k 4--2—)' " (108)

Y₀ =

3m N + lte“ Felde erhält man für die Länge d„ der Diagonale nach Figur 26 den numerisch gleichen, aber entgegengesetzten Werth

Yn+i — —

(P + q) (b + —g⁻"“)■ • C¹") Erhält der betrachtete Parallelträger mit 8 Feldern von

. . (197)

je '2,5 Met. Höhe und Weite, welcher die ständige Last 1750 Kilogr. und die bewegliche Last 5600 Kilogr. pro Knotenpunkt zu tragen hat, eine doppelte Stabreihe, also 16 Felder von je 2,5 Met. Höhe und 1,25 Met. Weite, so trägt er bei derselben Gesammtbelastung per Knotenpunkt die Last 875 Kilogr. und 2800 Kilogr. und läßt sich in zwei einfache Systeme zerlegen, wovon das erstere dem früher betrachteten geometrisch gleich ist und statisch nur durch halb so große Spannungszahlen von demselben abweicht, welche in Fig. 29 zusammengestellt sind.

Das zweite System von der in Fig. 30 dargestellten Form hat 7 Felder von 2,5 Met. Weite in der Mtte, 2 Felder von 1,25 Met. an den Enden und erfährt nach den vorentwickelten Formeln die nachstehenden Spannungen.

1) Die Spannungen in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (184).

-, p = 875 Kilogr. und q — 2800 Kilogr. eingeführt, so ist allgemein

Werden die Werthe N = 7, a =

r—I

Xm = - 3675. 2,5

[m (7 — m) + 4].

2.2,5

Im ersten Endfelde beträgt die Spannung nach Gleichung (189)

X₀ = — 1837,5.4 = — 7350 Kilogr., im letzten Endfelde beträgt die Spannung nach Gleichung (189a)

Xs = 0. ³

Für m = G ist Zti = + 1837,5(5.2 + 4) = + 25725 Kilogr. „ m = 7 „ Z₇ = + 1837,5 (6.1 + 4) = + 18375    „

Im ersten Endfelde beträgt die Spannung

Z₀ = 0,

. im letzten Endfelde beträgt die Spannung nach Gleichung (191)

Z₈ = + 1837,5.4 = + 7350 Kilogr.

3) Die Spannungen V„ in den Verticalständern nach den Formeln (192) und (193). a) Berechnung der Maximalspannungen nach der Gleichung (192), welche für b — 1 übergeht in:

_ -P-(N_2m_1) |

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ergicbt sich

Vm max — —

Vm max —

2a + N

(m + 1) -j--

875

2800

(m + ly.

2— (6 — 2 m) +

pr    m    =    0    ist    V₀ max =    —    437,5.6    +    175. 1    =    —    2450    Kilogr.

Die Blaximalspannung tut linken Endständer ergicbt sich aus Gleichung (194), wenn darin q = 0 und b = 1 gesetzt wird,

2.8

ff

V₀ = — i (N + 1) = - 437,5.8 = — 3500 Kilogr., während sie im rechten Endständer nach Gleichung (195) den Werth 0 annimmt.

b) Berechnung der Minimalspannungen nach Gleichung (193), welche für b = 1 übergeht in:

2T+r<N -“)(* +

-P_(N_2m- l)-Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich:

Vm min — —

Vm min — —

875

2800

(7 - m)³.

2~(6 — 2 m) —

Für    m    =    0    ist    V₀min    =    - 437,5.6    —    175.49    =    -    11200 Kilogr.

2.8

ff

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

75

76

Die Maximalspannung im linken Endständer er giebt sich aus Gleichung (194), wenn darin b = 1 gesetzt wird, V„ = — (p + q) -⁽^-+ü = _ 3675.4 = - 14700 Kilogr., während sie im rechten Endständer nach Gleichung (195) den Werth 0 annimmt.

4) Die Spannungen Y,„ in den Diagonalen nach den Formeln (196) und (197). a) Berechnung der Maximalspannungen nach der Gleichung (196), welche für b = 1 übergeht in:

Y. Vm_! min.

Ym max —

h [{- (N - 2m +1) +

-q (N —

2a + N

Werden die obigen Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich:

N^)]

Ym max —

/2    (8 - 2m) + -|"°r (⁸ - m)²] = “ V² -Vm-imin.

Für m =    1    ist    Y, max = 1,414 (4-    437,5.6    +    175.49)    — +    1,414.11200    =    +    15837 Kilogr.

n m =    2    „    Y,max = 1,414 (-s-    437,5.4    +    175.36)    — +    1,414. 8050    =    +    11388 „

„ m =    3    „    Y₃max = 1,414(+    437,5.2    +    175.25)    = +    l/4U. 5250    =    +    7424 „

Die Maximalspannung in der Diagonale des linken Endfeldes ergiebt sich aus Gleichung (198), wenn darin b — 1 und d; = Y2,s' + 1,25“ — 1,25 ]/5 — 1,25.2,236 — 2,79 gesetzt wird,

N + 1 _ 2,79

.3675.4 = + 16405 Kilogr., während sie in der Diagonale des rechten Endfeldes nach Gleichung (199) einen negativen Werth annimmt.

2,5

Y,max =Ä (p + q) --

b) Berechnung der Minimalspannungen nach der Gleichung (197), welche für b — 1 übergeht in:

— V h m

Ym min =

J-[-f (N-Sm+l)-

2a + N

Werden die obigen Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich:

_i max.

Ym min =

2800

2.8

m ² J = - Y 2 ,Vm

—i max.

8«r m = 1 ist Yjrnin = 1,414 (-s- 437,5.6 — 175. 1) = + 1,4U. 2450 = + 3465 Kilogr.

Die Dkinimalspannung in der Diagonale des linken Endfeldes nimmt nach Gleichung (198) einen positiven Werth an, diejenige in der Diagonale des rechten Endfeldes ergiebt sich aus Gleichung (199), wenn darin b = 1 und d' — 2,79 gesetzt wird,

3675.4 = — 16405 Kilogr.

Yr min = —

N + 1

2,5

Werden diese Spannungszahlen zusammengestellt, so ergiebt sich das Schema in Figur 30. Durch Bereinigung der beiden, in Figur 29 und 30 dargestellten Systeme und, indem man die Spannungen der sich deckenden Gurtungsstücke sum-mirt, ergeben sich die Spannungszahlen des in Figur 31 dargestellten Schema's, woraus in der früher angegebenen Weise die beiden, in Fig. 32 und 33 dargestellten Träger mit unten liegender Fahrbahir hervorgehen, deren Diagonalen beziehungsweise nur Zugspannungen und Druckspannungen annehmen.

Ein Träger von derselben Systemform mit obenliegender

- V» =

erfährt. Hieraus lassen sich nun in der früher angegebenen Weise die beiden in Figur 35 und 36 dargestellten Träger mit nur gezogenen und nur gedrückten Diagonalen bei oben liegender Brückenbahn sofort ableiten.

Werden die Träger mit mehr als zweifacher Stabreihe in ebensoviele einzelne Systeme zerlegt, als Stabreihen vorhanden sind, so lassen sich dieselben in analoger Weise gesondert berechnen. Für 'diejenigen derselben, deren Endfelder kürzer als die Mittelfelder sind, lassen sich, wenn jene einander gleich sind, wie im vorhergehenden Falle, die in den Formeln

(12)    und (14) enthaltenen Angriffsmomente und die in den Formeln (87) und (88) gegebenen Berticalscheerkräste, wenn sie einander nicht gleich sind, die in den Formeln (11) und

(13)    enthaltenen Angriffsmomente und die in den Formeln (86) und (87a) gegebenen Berticalscheerkräste benutzen.

2) Die Parallelträger nach dem System des gleichschenkligen Dreiecks.

a) Mit einfacher Stabreihe.

Brückenbahn erfährt in seinen Gurtungsstücken und Diagonalen dieselben Anspruchnahmen. Die Spannungen in den Berticalstäben ergeben sich aber wie früher sofort, da in dem System Figur 29 und 30 jeder mte Berticalstab die Spannung des (m — l)tcn, d. h. jene Verticalspannung annimmt, welche bei der Belastung ihrer oberen Endpunkte nunmehr der verticalen Spannungseomponente der mtcn Diagonale entspricht. Aus diese Weise ergiebt sich das in Figur 34 dargestellte Schema, dessen linker Endständer die dein größten Auflagerdrucke entsprechende Spannung

2.iP-+⁽l⁾ .Ä- = - 2. ⁷³|-.-| = 29400 Kilogr.

die größte Anspruchnahme der oberen und unteren Gurtungsstücke bei voller Verkehrsbelastung, die größte Anspruchnahme der geneigten Stäbe bei der vollen Belastung des links oder rechts von dem betrachteten Stabe befindlichen Trägerstücks, während der übrige Theil des Trägers von der beweglichen Belastung frei bleibt.

Führt man durch das beliebige mtc Feld des Trägers, siehe Tafel 5, Figur 1, den Schnitt ab und ersetzt die in demselben stattfindenden Spannungen der oberen und unteren Gurtung beziehungsweise durch die äußeren Kräfte Xm und Zm und wählt als Drehpunkt von X„, den auf der unteren Gurtung in der Entfernung (2 m — 1) A vom linken Stützpunkte gelegenen Punkt D ₁, in welchem fisch der mit durchschnittene Gurtungstheil und Diagonalstab chneiden; als-Drehpunkt von Z,„ den auf der oberen Gurtung in dem Abstande 2mA vom linken Stützpunkte befindlichen Punkt Dm, in welchem sich der mitdurchschnittene obere Gurtungstheil und Diagonalstab schneiden, so bildet h den Hebelsarm jener äußeren Kräfte Xm und Zm, Xmh und Zmh deren Widerstandsmoment. Bedeutet aM , das auf den Drehpunkt Dm_! und aM,„ das auf den Drehpunkt Dm bezogene Angriffsmoment, so ist

X,„ h + aMm._, — 0 und Xm —

Die Träger dieses Systems sind entweder in allen Knotenpunkten der oberen und unteren Gurtung, siehe Tafel 5,

Fig. 1, oder in den Knotenpunkten nur der oberen oder nur der unteren Gurtung belastet.

Ist ein in allen Knotenpunkten belasteter    Träger mit    mithin, wenn aus Gleichung (6)    der Werth für aM

N Feldern von der Länge 2 A und der Höhe    h in jedem    worin nur 2 N statt N und 2 m statt m zu setzen ist, eingeführt

Knotenpunkt mit vem ständigen Gewichte p und    dem beweg-    wird, die im mtc" Felde herrschende    Druckspannung der oberen

lieben Gewichte q beschwert, so ergiebt sich nach dem Früheren    Gurtung

X. = -(p + q> 1 <2m- ‘><2N -2m+1>

aM

1.

(200)

A

worin der Factor (p + q) ₂j-

einen constanten und das

Product (2 m — 1) (2 N — 2 m + 1) einen variabel« Werth besitzt.

mithin, wenn aus Gleichung (5) der Werth für aMm, worin nur 2N statt N und 2 m statt m zu setzen ist, eingeführt wird, die im mtett Felde herrschende Zugspannung der unteren Gurtung

Für die untere Gurtung erhält man mit Bezug auf

A 2 m (2 N — 2 m)

Figur 2

. (201)

— Zmh + aMm — 0 und Zm —

aMm

Zm — (p + q) j“.

worin nur das Product 2 m (2 N — 2 m) einen variabel« Werth besitzt.

Setzt man in den Gleichungen (200) und (201) m — 1 statt m, so erhält man für das (m — l)tc Feld beziehungsweise

Xm_i — — (p + q) (2m — 3) (2N — 2m + 3)

= + (p + q) ₂Yi2m — 2)(2N - 2m + 2).....

Bildet man die Differenz der Druckspannungen der oberen Gurtung im (m — l)ten Felde, so erhält man

(202)

und

(203)

21

(204)

Xm — Xm_! = — (p + q) —g- (N — 2m + 2),

21

worin (p + q) —einen konstanten und N — 2m + 2 einen variablen Factor darstellt. Bei einer geraden Zahl X — 2n von Feldern wird für

2n

2 n — 2 m + 2 = 2n 2 n — 2    4

— 2    —4

— (2 n — 4) — (2 n —

CM

Die Unterschiede in den Druckspannungen der oberen Gurtungsstücken nehmen daher von der Mitte nach den Enden hin zu, wie die Reihe der geraden Zahlen.

Bildet man die Differenz der Zugspannungen der unteren Gurtung im mkn und (m — I st-» Felde, so ergiebt sich

Zm    Zm—i

und bei einer geraden Zahl N = 2n von Feldern wird für

2X

= Cp + q) -^-(N — 2 m + 1)

(205)

2 n — 2rn + 1 —

2n — 1

2n —3

— (2 n — 3)

(2n — 1)

m—2

d V

— V in—2

— 0 und Ym¹ —

~h

Die Unterschiede in den Zugspannungen der unteren Gurtungsstücke nehmen daher von der Mitte nach den Enden hin zu, wie die Reihe der ungeraden Zahlen.

Die Unterschiede in den Druck- und Zugspannungen der oberen und unteren Gurtungsstücke entsprechen mithin den Ordinatendifferenzen einer Parabel von der Spannweite 2 ii + 1 und der Pfeilhöhe

Z„ = (p + q) — n⁴,

welche aus Gleichung (201) erhalten wird, wenn darin N — 2 n und m = n gesetzt wird. Die Stärken der oberen und unteren Gurtungsstücke lassen sich daher auch auf die in Fig. 3 dargestellte Art durch Construction ableiten.

Führt man durch den links steigenden Stab des (m — l)tcu Feldes den Schnitt ab, siehe Fig. 4, und ersetzt die in den 3 durchschnittenen Stangen stattfindenden Spannungen durch die äußeren Kräfte Xm, Z,„_, und Ym_i, so wirkt jede der beiden ersteren horizontal, während die letztere sich in eine |

X

horizontale Componente Ym_, ^ und in eine vertikale Com-

ponente Vm — Ym. -jj zerlegen läßt. Berücksichtigt man nur

das Gleichgewicht gegen lothrechtes Fortschreiten, so bleiben

X

jene drei Horizontalkräfte Xm, Zm_i und Ym. ^ außer

Betracht, während die Berticalspannung Ym>. ^ der im

Schnitt cd herrschenden größten Verticalscheerkraft V gleich und entgegengesetzt, mithin

-Y-'-T + v sein muß. Die Verticalscheerkraft besteht aus dem burcB das ständige Eigengewicht hervorgebrachten, durch Gleichung (77) dargestellten und dem von dem beweglichen Gewicht herrührenden, durch die Gleichungen (75) und (76) dargestellten größten positiven und größten negativen Antheil. Man erhält mithin im mfen Felde für den linkssteigenden Stab die größte Zugspannung

(2N —4m + 3)

Ym¹ max = A | p und die größte Druckspannung

YJmin = As p

Führt man durch den rechtssteigenden Stab des mtcn Feldes den Schnitt es und ersetzt die in den 3 durchschnittenen Stangen stattfindenden Spannungen durch die äußeren Kräfte Xm, Zm und Ymr, so ergiebt sich zufolge einer, der obigen analogen Betrachtung

J + Vm_, = 0 und Ymr = - A V Führt man den von dem ständigen Gewicht hervorge-

+ q-

(2N — 2m + 1) (2N — 2m + 2)

4N

. . (206)

(2N — 4m -t- 3)

(2 m —2) (2 m q    4N

=i)

(207)

Yv

" "d

brachten, durch Gleichung (73) dargestellten und den von der beweglichen Belastung herrührenden, durch die Gleichung (71) und (72) dargestellten größten positiven und größten negativen Antheil von Vm_i in die Gleichung.ein, so ergiebt sich, wenn in jenen Gleichungen wieder 2N statt N und 2 m statt m gesetzt wird, für den rechts steigenden Stab im mten Felde die größte Zugspannung

y..—

(2N —4m + 1)

P ---2--------

Werden statt der linkssteigenden Stäbe des betrachteten Parallelträgers rechtssteigende, und statt der rechtssteigenden Stäbe linkssteigende angeordnet, siehe Fig. 7, so erscheint derselbe nur lothrecht umgedreht und erfährt in allen seinen Theilen die numerisch gleichen, aber hinsichtlich ihres Vorzeichens entgegengesetzten, Spannungen. Multiplicirt man daher die vorstehenden Gleichungen mit — 1, so ergeben sich die Spannungen des durch Fig. 7 dargestellten Trägers und

und die größte Druckspannung

Ymr min = A £

Ymr min — —

s (2N —4m + 3)

P--2---

2 m (2 m — 1)

4N

(208)

(2N —2m)(2N —2m +1) ] q    4N    J"

zwar die Druckspannung in der oberen Gurtung Z 2 m (2 N — 2 m)

. (209)

. . (210)

Xm = — (p + q)

die Zugspannung in der unteren Gurtung

= (P + q) ~y die größte Druck- und Zugspannung in dem rechtssteigenden Stabe des mtcn Feldes

Zm

X (2m— 1)(2N — 2m + D

(2N —2m + l)(2N —2m + 2)

, (211)

- - (212)

Ymr max -    —

d r

ttLp

(2N —4m + 3)

(2m—2) (2m —1)1 ⁴    4N    J'

(213)

endlich die größte Druck- und Zugspannung in dem linkssteigenden Stabe des mtCtt Feldes

„ 2m (2m— 1) -]

⁴ 4N J.....

(2N —2m)(2N —2m+ 1)

IVmin = 4[P (2N 4m + l) — 4m + 1)

(214)

Ym>rnax = — [p ⁽™--₂

4N

]. . .

- • (215)

Das hervorragendste Beispiel dieser Anordnung giebt Brücke über den Trent bei Newark, deren 4 Tragwände die 78,96 Met. lange, zweigeleisige, in Figur 6 dargestellte je 14, aus gleichseitigen Dreiecken bestehende Felder besitzen.

Hiernach findet sich

die Länge der Dreiecksseite ä — 21 = -Azjsl — 5,64 Met.,

die Höhe der Tragwand h = d- — Z² = Z 2² — 1 — Z / 3 =

5,64

g—. 1,73 Met.

Das ganze Eigengewicht der Brücke beträgt 589000 Kilogr., mithin

,    589000"

das Eigengewicht pro Tragwand — -—^—

— 147500 Kilogr., daher

das Eigengewicht pro Knotenpunkt p —

147500

2.14

= rot. 5270 Kilogr.

83

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

84

Rechnet man das ganze Verkehrsgewicht eines Geleises zu 259000 Kilogr. so ergiebt sich

259000

das Verkehrsgewicht für jeden Knotenpunkt einer Tragwand q —

und das Totalgewicht für jeden dieser Knotenpunkte p + q = 9900 Kilogr.

Das Gewicht der Fahrbahn beträgt 25000 Kilogr., mit-

25000

hin kommt davon auf jeden Knotenpunkt f — —— = rot. 900 Kilogr. Die verücalen Hängstangen, welche die

2.28

— rot. 4630 Kilogr.,

gleichmäßige Berthcilung der Belastung auf die oberen und unteren Knotenpunkte bewirken sollen, haben daher die Last q + f = 4630 + 900 = 5530 Kilogr.

zu übertragen und erfahren also die Spannung + 5530 Kilogr.

Die einzelnen Theile dieser Tragwände erfahren

1) die Spannungen X in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (200) Xm = — (p + q) y^-(2m — 1)(2N — 2m + 1).

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich:

Xm = — 9900. ^ ^ ₇₃ (2 m — 1) (29 — 2 m).

Für m =    1    ist    X,    =    —    2861,26.    1.27    =    — 77254    Kilogr.

2) die Spannungen Z in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (201) Zm = (p + q) 2m(2N — 2m),

oder, wenn obige Zahlenwerthe eingeführt werden,

Zm — 9900. --g ^ - 2 m (28 — 2 m).

Für    m    =    1    ist    Zt    =    +    2861,26.    2.26    =    +    148786 Kilogr.

3) die Spannungen Y in den linkssteigenden Stäben nach den Formeln (206) und (207). a) Berechnung der Maximalspannungen nach der Formel (206) ^r[p.(2N-4m + 3)+-glr (2N - 2m + 1) (2N-2m+ 2) ],

(29 — 2 m) (30 —2 m)j.

Ym'max — und, wenn die Zahlenwerthe eingeführt werden, Ym* max —

4630

^[5270 (31 -4m) +

lO

GO

rt

tt

rt

tr

tt

tt

tt

rt

tr

= + 3046,24.27 + 95,58.27.28 = + 154507 Kilogr.

1 ist Y

max

(M CO ^ iQ

O GO

O Ol

Ym'min — und wenn die Zahlenwerthe eingeführt werden, Ym¹ min —

b) Berechnung der Minimalspannungen nach der Formel (207) d |^p(2N-4m + 3)

2N

(2 m — 2)(2m — 1)J,

^[5270(3! -4m)

4630

(2 m 2) (2 m 1)J.

giir    m    =    1    ist    Y ,'min    =+ 3046,24.27    —    95,58 . 0. 1    =    +    82249 Kilogr.

„ m = 12 „ Y₁₂*min =—3046,24.17 — 95,58.22.23 = — 103708 „    m    =    13    „    Yig*min    = — 3046,24.21    —    95,58.24.25    =    —    121320

„    m    =    14    „    Yu*min    = — 3046,24.25    —    95,58.26.27    =    -    143254

28

rt

tr m =

rt

tr

tr m =

co Tt* lO ZO

rt

tt

rt

rt

5772

tr

tt

tr

tt

rt

rt

tr

tt

Hiermit sind die Spannungen sämmtlicher Stücke des Trägers bestimmt, wie sie in Figur 6 zusammengestellt sind. Eine Berechnung der Spannungen in den rechts steigenden Stäben nach den Formeln (208) und (209) liefert für dieselben Stäbe auch dieselben Resultate.

Werden nämlich die obigen Zahlenwerthe in diese Formeln eingeführt, so ergiebt sich

■ s— 5270 (29 — 4 m) +    . 2m (2m —

lg- [ö270(29 -4m)+ —~(28 — 2m)(29 - 2m)J

Ymr max —

1,73

i>]

Ymr min — —

und z. B. für m = 1 !Y'max

—    3046,24.25    +    95,58. 2.1    --—    75965    =    Y₁₄‘max,

(Y / min    =    —    3046,24.25    .—    95,58.26.27    =    -    143254    =    Y₁₄'min,

j Yurmax    =    +    3046,24.27    +    95,58.28.27    =    +    154507    =    Y₁‘max,

( Y₁₄' min    =    +    3046,24.27    —    95,58. 0. 1    =    +    82249    =    Y.'min.

Denkt man sich den Träger in vertikalem Sinne umgedreht, wodurch die Brückenbahn nach oben zu liegen kommt, so erfahren die sämmtlichen Bestandtheile desselben die numerisch gleichen, nur hinsichtlich des Vorzeichens verschiedenen Spannungen, welche in Fig. 7 zusammengestellt sind.

Xm. h + A(2m — 1)X — (p + q) [1 + 3 + ... (2m — 3)] X — 0,

~ -P + 9* eingesetzt, die letzte Reihe summirt und durch h dividirt wird,

y <p + <i)    <2m    ')’].....

und die Momentengleichung von Zm für den Drehpunkt Dm

— Zm h + A2m X — (p + q) [2 + 4 + ..(2m — 2)] X — 0, woraus, wenn derselbe Auflagerdruck eingesetzt, die Reihe summirt und durch h dividirt wird,

Zm = -£T (p + q) m (N — m).........

Für den linkssteigenden Stab im mten Felde ergiebt sich mit Bezug auf die Bezeichnungen der Figur 4

- Ymi.A + Vm_( = 0, daher Ym> = A.y

und wenn der Maximal- und Min'malwerth von Vm_₄ aus den Gleichungen (78a) und (79a) eingeführt wird, beziehungsweise

m — 14

woraus, wenn der Auflagerdruck A —

Xm = —

Wird der durch Figur 6 dargestellte Träger nur in seinen oberen Knotenpunkten belastet, so erhält man mit Bezug auf die Bezeichnungen der Figur 1 die Momentengleichungen von Xm für den Drehpunkt D m_t

(216)

(217)

und

Ym‘max — A JA (N — 2m + 1) +    (N — m) (N — m + 1) j

2irm(m-1)].....

. - (218)

Ym'min = 4[t(N

Für den rechtssteigenden Stab im mteM Felde ergiebt sich, mit Bezug auf Fig. 5, analog

y.-A + v

mithin erhält man dieselben Werthe nur mit entgegengesetzten Vorzeichen, nämlich

[f(N _ 2m + 1) + gl- (N - m)(N - m + 1) ]    . .

[-§- (N — 2m + 1) — -JL m(m — 1)]........

Ymr min — —

Ymr max — —

Cr⁻ Pu

m-1

— 0, daher Ymr — —

Da das Eigengewicht theils in den oberen, theils in den unteren Knotenpunkten angreift, so ist die Spannung jedes links steigenden Stabes noch unt diejenige zu vermehren, welche durch den an seinem Fuße wirkenden, z. B. ntcn Antheil des Eigengewichts hervorgebracht wird und mithin

d p

h’T beträgt.

(219)

. . (220)

(221)

Für den nur in vertikalem Sinne umgedrehten Träger gelten die vorstehenden Formeln mit umgekehrten Vorzeichen.

Wird der durch Figur 6 dargestellte Träger nur in seinen unteren Knotenpunkten belastet, so erhält man mit Bezug auf die Bezeichnungen der Figur 1 die Momentengleichung von X„, für den Drehpunkt Dm_t

Xm.h + A(2m — 1) 1 — (p + q) [2 + 4 +.. (2m - 2)] 1 = 0,

89

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

90

woraus, wenn der Auflagerdruck A — fp + q) ^ eingeführt, die Reihe summirt und durch h dividirt wird,

g- (P + q) s-y(2m — 1) — m (m — l)j,.......

Xm = -

(222)

und die Momentengleichung von Zm für den Drehpunkt Dm

- Zmh + A2m A - (p + q) [1 + 3 + ..(2m - 1)] = 0,

woraus, wenn wieder derselbe Auflagerdruck eingeführt, die Reihe summirt und durch h dividirt wird,

(223)

Zm =

(p + q) m (N — m).........

Für den linkssteigenden Stab im mten Felde ergiebt sich mit Bezug auf die Figur 4 — Ym¹. ij- + Vm_, = 0 und hieraus Ym> = ™. V

Hierin ist

Vm_i — A — q(m — 1) und A

2N

[(2N — 1) + (2N — 3) + ... 3 + 1].

Wird dieser Werth eingeführt und das dem mtCR und (m l)teu Lastpunkt entsprechende Glied eingeschaltet, so ergiebt sich

Vm_, —

_ p +• q

2N

f(2N — J) + (2N — 3) + ..(2N — (2m — 3))-f-(2N — (2m — 1)) + .... 3 + 1] =

2N

(2N

■f 2N

+ 2N)

2N

[_1_3 —(2m —3) + (2N — 2m + 1) + .... 3 + 1] =

(224)

[— (m — l)² -f- (N — m + l)²].

Für das Eigengewicht gelten beide Glieder, deren Summe (N — m + l)² — (m -- I)² — N(N — 2m + 2) ist. Für das Verkehrsgewicht gilt nur das positive Glied, toenn Vm_i ein Maximum, und nur das negative Glied, wenn Vm_i ein Minimum werden soll, mithin erhält man

2N

Ym'max = |[|(N-2m+2)+Jf(N-m+ l)²] .    .

. Ym'min = A [-|- (N - 2m + 2) - -±- (m - l)²].....

Für den rechtssteigenden Stab im mtcn Felde ergiebt sich mit Bezug auf die Figur 5

•T + Vm

. . (225)

(226)

Ymr

— 0, woraus Ymr — —

Wird in Gleichung (224) m + 1 statt m gesetzt, so ergiebt sich

Vm = P ±1

2N

[— m² + (N — m)²],

und wenn hieraus wie oben der Maximal- und Minimalwerth abgeleitet wird,

Ym'min —    [--1- (N — 2m)--^L- (N — m)²j

4[-t(n-²“)+w “’} • ■

Ymr max —

(227)

. . (228)

¹

Vergl. Heinzerling, d. angr. u. widerst. Kräfte der Brücken-und Hochbauconstructionen. Berlin 1867. S. 60.

²

Bergt. Deutsche Bauzeitung. Be.rlin 1870. Seite 305 ff.

³

Die Spannungen in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (187). Werden die obigen Werthe eingeführt, so ist allgemein

Zm - 3675 .    [(m — 1) (8 - m) + 4] = — X

Für m — 1 ist Z, = + 1837,5(0.7 + 4) = + 7350 Kilogr. „    m    =    2    „    Z₂    =    +    1837,5 (1.6    +    4)    =    +    18375    „

„    m    =    3    „    Z₃    =    +    1837,5 (2.5    +    4)    =    +    25725    „

„    m    =    4    „    Z₄    =    +    1837,5(3.4    +    4)    =    +    29400    „

„    m    =    5    „    Z₅    =    +    1837,5 (4.3    +    4)    =    +    29400    ,,

⁴

n — 1

Für den in vertikalem Sinne umgedrehten Träger gelten nur der unteren Knotenpunkte der Träger entwickelten

die vorstehenden Formeln mit umgekehrten Vorzeichen.

Die vorstehend für eine Belastung nurderoberen oder welchen die bewegliche Belastung die ständige bedeutend überwiegt.

Formeln gelten für Brücken von geringen Spannweiten, bei

91

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

Dagegen sind die Träger von Brücken mit größerer Spannweite und einem Eigengewichte, welches die bewegliche Belastung entweder erreicht oder selbst übertrifft, durch das Eigengewicht in ihren oberen und unteren Knotenpunkten zugleich und durch das Berkehrsgewicht je nach der Lage der Fahrbahn entweder nur in ihren oberen oder nur in ihren unteren Knotenpunkten belastet. Man hat in diesem Falle die früher ermittelten Spannungen, welche durch die in allen Knotenpunkten des Trägers wirkenden Belastungen

^r[p(2m-l)(2N-2m + l) + q J (2m - 1)(N - 1) - 2(m - l)² j],

aus den Gleichungen (201) und (217) die Maximalspannung in den unteren Gurtungsstücken

A(2p + q)m(N-

92

in seinen einzelnen Theilen hervorgerufen werden, nur auf die ständige Belastung p, die Spannungen, welche durch die entweder nur in den oberen oder nur in den unteren Knotenpunkten wirkenden Belastungen hervorgerufen werden, nur auf die bewegliche Belastung q zu beziehen und deren Summe zu bilden. Auf diese Weise erhält man für einen Träger mit oben liegender Fahrbahn aus den Gleichungen (200) und (216) die Minimalspannung in den oberen Gurtungsstücken

Xm =

. (229)

tri

|~-. 2 m (2 N — 2 m) + qm(N — m)J ferner aus den Gleichungen (206), (207) und (218), (219) die Grenzspannungen in den linkssteigenden Stäben

Zm —

m), .    .

. . (230)

YJmax = -jL|-E_(2N —4m + 3) + -jL- (N —m)(N —m+ l)j . . Ym'min — -jj- j^|-(2N — 4m -f- 3)

. . (231)

m (m - 1) ],    ........

endlich aus den Gleichungen (208), (209) und (220), (221) die Grenzspannungen in den rechtssteigenden Stäben

Ymrmax = -j-[--1-(2N — 4m + 1) + -JL- m(m — l)j........

Ymrmin = -j|- [- £ (2N - 4m + 1) - -JL (N - m) (N - m + 1)].....(234)

(232)

(233)

Das bedeutendste Beispiel dieser Anordnung bieten die Träger des Eisenbahnviaducts bei Crumlin, wovon jeder 9 aus gleichseitigen Dreiecken bestehende Felder und eine Länge von rund 45 Met. besitzt.

Hiernach ist

45

die Länge der Dreiecksseite d = 21 = -g- = 5 Met.

die Höhe der Tragwand h — ]Ad² —    — A,yr2² — 1 = X/IT — 2,5.1,73 Met.,

Das Eigengewicht zweier, zu einer Oeffnung und einem Geleise gehöriger Träger nebst Fahrbahn beträgt 71000 Kilogr., mithin

71000    ßl.r

—2— — 35500 Kilogr.,

35500

das Eigengewicht pro Knotenpunkt p — —— 1972 Kilogr.

Das der Berechnung jener beiden Tragwände zu Grunde gelegte Verkehrsgewicht betrug 150000 Kilogr., mithin

150000 2.18

das Eigengewicht einer Tragwand

das Verkehrsgewicht per Knotenpunkt q —

Die einzelnen Theile dieser Tragwände erfahren hiernach folgende Spannungen:

— 4166 Kilogr.

1) Die Spannungen X in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (229)

Xm =

2^-|p(2m-l)(2N-2m + l)+q|(2m-l) (N — 1) — 2(m — l)² (].

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich: Xm =

2.1,73

[ 1972(2m — 1) (19 — 2m) + 4166 j (2m - 1)8 — 2 (m — l)² jj.

93

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

94

Für m =    1    ist    Xj    =    —    570.    1.17    —    1204(    1.8    —    2 .    0)    =    —    19322 Kilogr.

ff

ff

ff

ff

ff

ff

2) Die Spannungen Z in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (230)

Zm

— + -j^ (2 p + q) m (N — in).

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich

Z₀ = + ~~ (2.1972 + 4166) m (9 — m).

Für rn    = 1    ist    Z,    =    +    4688.1.8    =    +    39504    Kilogr.

3) Die Spannungen Y in den linkssteigenden Stäben nach den Formeln (231) und (232). a) Berechnung der Maximalspannungen nach der Formel (231)

Ymlmax —

A- [p(2N - 4m + 3) + JL (N - m) (N - m + l)j

und wenn die Zahlenwerthe eingeführt werden, Ym* max —

~ [ 1972 (21 — 4m)

4166

(9 — m)(10 — m) J.

ff

„ m = 9 „ Y₉’max = — 1140.15 + 268.0.1 = — 17100 „

b) Berechnung der Minimalspannungen nach der Formel (232)

-A-[p(2N-4m + 3) _ JLm(m-l)],

Ym' min —

und wenn die Zahlenwerthe eingeführt werden,

Ym' min —

^[1972(21 -4m)

4166

. m (m —

1140.17 — 268.1.0 = 1140.13 — 268.2.1 = 1140. 9 — 268.3.2 = 1140 . 5 — 268.4.3 = 1140. 1 — 268.5.4 = 1140. 3 — 268.6.5 =

19380 Kilogr. 14284    ..

8652

2484

4420

11460

Eine Berechnung der Spannungen in den rechtssteigcnden Stäben nach den Formeln (233) und (234) liefert für dieselben Stäbe auch dieselben Resultate.

Werden die obigen Zahlenwerthe in dieselben eingeführt, so ergiebt sich nämlich:

4166    .1

9—m(m - 1)J

166 ,1

9    9 m) (0 m) J,

Ymr max —

Ymr min —

und z. B. für rn — 1

[- 1972(19 - 4 m) +

_ 1972(19 -4m) -Y/max = — 1140.15 + 268.1.0 = — 17100 = Y₉'max.

Y/min = — 1140.15 — 268.8.9 = — 36396 = Yg'min.

4- 1140.17 + 268.9.8 — + 38676 = Yj'max.

f Y₉r max —

m = 9 | Y/ min = + 1140.17 — 268.0.1 = + 19380 ----- Y.'min.

Sämmtliche zuvor berechnete Spannungszahlen sind in Figur 8 zusammengestellt.

Für einen Träger mit auf die oberen und unteren Knotenpunkte vertheiltem Eigengewicht und unten liegender Fahrbahn ergeben sich in analoger Weise aus den Gleichungen (200) und (222) die Minimalspannungen in den oberen Gurtungsstücken

l[|-(2m-l)(2N-2m + l)+Ag₍2m-l)N-aus den Gleichungen (201) und (223) die Maximalspannungen in den unteren Gurtungsstücken

Zm =    £-£-.2m (2N — 2m) + qm (N — m) j =    (2p + q) m (N — m), . . . . (236)

aus den Gleichungen (206), (207) und (225), (226) die Grenzspannungen in den linkssteigenden Stäben

Ym'rnax = -jl|jL(2N - 4m + 3) + ^(N - m + 1)*] . . . .

Ym'min = ^ [y (2N — 4m + 3)--(m — l)² j,.....

aus den Gleichungen (208), (209) und (227), (228) die Grenzspannungen in den rechtssteigenden Stäben

Xm = —

2m(m-l)jj,

. . (235)

(237)

(238)

Yn/min = 4 [-    (2N - 4m + 1) _ (N - m)*]

Ymrmax = Y ['

(2N -4m + l) + ^- m*l

(239)

(240)

Für einen Träger mit untenliegender Fahrbahn und denjenigen des Crumlinviaducts gleichen Abmessungen und Belastungen ergiebt sich die Zusammenstellung der Spannungszahlen in Figur 9.

Xm = — der unteren Gurtung:

m (N — m), . (241)

b) Die Parallelträger nach dem System des gleichschenkeligen Dreiecks mit mehrfacher Stabreihe.

Zm = Y    ['—2— (2m-1)-(m -1 .)»]. (242)

Werden mehrere, z. B. zwei, Systeme mit einfacher Stabreihe, siehe Figur 10 und 11, .combinirt, so entsteht das in Figur 12 dargestellte System mit mehrfacher, hier zweifacher Stabreihe.

Für das erste System, Figur 10, gelten die Gleichungen (217) und (216), (218) und (219), (220) und (221), worin

Für das zweite System gelten die Gleichungen (222) und (223), (225) und (226), (227) und (228), daher für das mte Feld der oberen und unteren Gurtung der Werth (222) und (223); die Spannungen in den Gurtungen des

combinirten, mit

stems ergeben sich aus der Summe der Spannungen der sich deckenden Gurtungstheile. Für die linke Hälfte des mten Feldes der oberen Gurtung ergiebt sich also:

pro Knotenpunkt belasteten Sy-

IT UIti> "2" P und q zu setzen ist, mit umgekehrten Vorzeichen, daher ist für das mte Feld der oberen Gurtung

-    Mp) [ (m - 1) (N — m + 1) + |-(2m-l)-m(m-l)J ----

-    ~ Y q)[(N-2m + l)(m - 1) + y (2m - 1) ],    .....

und für die rechte Hälfte desselben

Xmr = - y ⁽JL+_9) |m (N - in) + y (2m - 1) -

_ A (P +„⁽l) |m(N _ 2m 4- 1) + y (2m — 1) J

X™‘ = -h

m (m —

»]-

. (243)

(244)

Für die erste Hälfte des mtCR Feldes der unteren Gurtung erhält man ebenso

7i_i (P + ll) s (N — 1) m ~~ h 2 L 2

und für die zweite Hälfte desselben

(2 m — 1) — (m — l)² + (m — 1) (N — m + l)j, . . . (245)

z .    * (P + q)s(N-l)

m ~ h 2 L 2

Für den rechtssteigenden Stab im mten Felde des 1. Systems erhält man aus Gleichung (218), wenn wieder statt p und

(246)

y statt q gesetzt wird,

Ymrmin = 1(N - 2m + 1) - ^(N - m)(N - m + 1)], . . .

Ymrmax = A|- Z(N-2m + l) + yL-m(m-l)], . für den linkssteigenden Stab tot mtcn Felde desselben Systems aus Gleichung (220)

Ym'max — ^ [y (N — 2m -f 1) + (N — m) (N — m + 1)J

und aus Gleichung (219)

.und aus Gleichung (221)

. • (247)

(248)

(249)

Ym'min = ^ ^ - (N — 2m + 1) — m(m — 1)J Für den linkssteigenden Stab im mte” Felde des 2. Systems erhält man aus Gleichung (225), wenn wieder statt

OhKM

(250)

p und statt q gesetzt wird,

YJmax = ^ [I (N - 2m -f 2) + -JL- (N - m -f 1)»],

Ym'min = ^ (N — 2m + 2) — (m — 1)²J, für den rechtssteigenden Stab desselben Feldes aus Gleichung (227)

(251)

und aus Gleichung (226)

(252)

Ym'min = ^ [— (N — 2m) — -+L (N — m)² ] ,

a[-f(N-2m) + w“’]

zusammen einschließlich des Oberbaues 174890 Kilogr. wiegen Das erste Beispiel dieser Anordnung zeigt die zweige- : und für eine Verkehrsbelastung von 158438 Kilogr. pro Geleisige Brücke über die Lahn bei Niederlahnstein, deren    leise oder Tragwand berechnet worden sind. Nimmt man 6

zwei Tragwände eine Länge von 140' 10" rhn. oder sehr statt 6x/a Felder an und behält jene Abmessungen und Benähe 44 Met. mit je 6x/z Feldern und nahe unter Winkeln lastungen bei, so ergiebt sich von 53° zur Horizontalen geneigten Zwischenstäben, besitzen,

und aus Gleichung (228)

Ymrmin —

welche in dem combinirten Systeme dieselben bleiben.

44

die Länge der Dreiecksseite d = 2A = -g- — 7'/₃ Met.,

die Höhe der Tragwand h = A.tg 53° — Z. 1,33 Met.,

174890

das Eigengewicht einer Tragwand = —^— — 87445 Kilogr.,

das Eigengewicht pro Knotenpunkt

das Verkehrsgewicht pro Knotenpunkt -+ =

mithin das Gesammtgewicht pro Knotenpunkt -p—^ = 20490 Kilogr.

Die einzelnen Theile des ersten Halbträgers erfahren hiernach folgende Spannungen:

87445

2.6

= 7287 Kilogr.,

158438

2.6

= 93203 Kilogr.,

1) Die Spannungen X in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (241)

A (p + q)

Xm = -

Werden obige Werthe eingeführt, so erhält man

Xm = -

• tr

m (N — m).

. 20490. m (6 — m).

„    m    =    6    „    X₆    = —    15406.'6.0 =

0 Kilogr.

tr

tr

rt

rt

2) Die Spannungen Z in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (242)

Z” ⁼ -2TT ⁽"L4rÄ) [(N - 1) (2m - 1) - 2 (m - 1)3.

(253)

(254)

101

Heinzerling, Berechnung ver Brucken- und Hochbauconstruetionen. Werden obige Werthe eingeführt, so erhält man

102

Zm =    204901⁵ (2m - 1) - 2 (m - 1)1.

Für    rn    ---    1    ist    Z,    -----    7703(5.    1    —    2.    0)    ----    7703. 5    ---    38515    Kilogr.

3) Die Grenzspannungen Yr in den rechtssteigenden Stäben nach den Formeln (247) und (248). a) Berechnung der Maximalspannungen nach der Formel (248)

Ymrmax —    2 (N 2m + 1) + ^

m (m —

Werden obige Werthe eingeführt, so ergiebt sich Ymr max —

43203    ,

—g-m (m —

A/- 7287(7 - 2») +

Pt    m    =    1    ist    Y/max    ---    —    5479.5    +    1654,5.1.0    =    —    27395    Kilogr.

b) Berechnung der Minimalspannungen nach der Formel (247)

Ymrmin = i (N — 2m + 1) — (tf — m) (N — m + 1) J.

Werden die Zahlenwerthe eingeführt, so erhält man

|— 7287 (7 — 2m) —    (6 — m) (7 — m) j.

Für    m    -----    1    ist    Y/min    =    —    5479.5    —    1654,5.5.6    =    —    77030    Kilogr.

Die Spannung der beiden Endständer ist Null.

Die einzelnen Theile des zweiten Halbträgers erfahren folgende Spannungen:

Yn/ min --- -r

1,33

1) Die Spannungen X in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (222)

Xm = -

m (m —

Werden die Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich

Xm = -

1,33

20490 [3 (2 m — 1) — m (m — 1)J.

103

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

104

gür    m    =    1    ist    X,    =    —    15406(3.    1    —    1.0)    =    —    15406.3    --- —    46218 Kilogr.

„    m    =    2    „    X₂    =    —    15406(3 .    3    —    2.1)    =    —    15406.7    = —    107842

11

m = 3 „ X₃ = — 15406(3 . 5 — 3.2) = — 15406.9 = — 138654 „    m    =    4    „    X₄    =    —    15406(3 .    7    —    4.3)    =    —    15406.9    ----- —    138654

„    m    =    5    „    X₅    =    —    15406 (3.9    —    5.4)    =    —    15406.7    = —    107842

„ m = 6 „ X₆ = — 15406(3.11 — 6.5) = — 15406.3 = — 46218 2) Die Spannungen Z in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (223)

m (N — m).

7 _ * (p + q) zm — h

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so erhält man

— 20490.m (6 — m).

Zm — 1^3

gilt    m    =    0    ist    Z₀ =    15406.0.6 =

„    m    ==    1    „    Zj =    15406.1.5 -----    77030

„    m    =    2    „    Z_, =    15406.2.4 =    123248

„    m    =    3    „    Z₃ =    15406.3.3 =    138654

„    m    =    4    „    Z₄ =    15406.4.2 ----    123248

„    m    =    5    „    Z₅ =    15406.5.1 ---    77030

„    m    =    6    „    Z₆ =    15406.6.0 ==

0 Kilogr.

11

11

ii

11

3) Die Spannungen Y> in den linkssteigenden Stäben nach den Formeln (225) und (226). a) Berechnung der Maximalspannungen nach Formel (225)

(225)

Y.'max = i. (N - 2m + 2) + -JL_ (N - m + 1)>]......

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ist Ym'max -----

13203

^[7287 (8 - 2m, +

gilt m = 1 ist Yj'max ----- + 5479.6 + 1654,5.36 = + 92436 Kilogr.

ir

b) Berechnung der Minimalspannungen nach Formel (226)

und nach Einführung der Zahlenwerthe

Ym'min = ^ [y (N — 2m + ²) — "Zy (m — !)²]

13203 .    ]

—-(“-d²!

w [7287 (8 - 2m) -

gür m    =    1 ist    YVmin    =    +    5479.6    —    1654,5.    0    =    +    32874    Kilogr.

„ m    =    2 z,    Y₂]min    =    +    5479.4    —    1654,5.    1    =    +    20262    „

„ m    =    3 „    Y₃¹min    —    +    5479.2    —    1654,5.    4    —    —    4340    „

Ym¹ min —

105

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

106

Für m    -----    4    ist Y₄'min =    — 5479.0 —    1654,5. 9    =    — 14891    Kilogr.

„ m    =    5    „ Yj’min =    — 5479.2 —    1654,5.16    =    — 37430    „

„ m    =    6    „ Ye'min ---    — 5479.4 —    1654,5.25    -----    — 63297    „

Die Spannung der beiden Endstücke folgt ausV₃ + A — 0, gestellt, wie dies in Figur 10 und 11 geschehen ist, und dann worin A

(p + q) N

2    — 20490.3, mithin ist

V, ----- 61470 Kilogr.

Werden die Spannungszahlen beider Systeme zusammen- : reit Gurtungsstücke:

zu dem Träger mit doppelter Stabreihe, siehe Figur 12, com« binirt, so ergeben sich durch Addition der Spannungen aller sich deckenden Gurtungstheile die Spannungen der 12 obe-

— 46218, — 123248, —184872, — 231090, — 261902, — 277308, — 277308, — 261902, — 231090, — 184872,

— 123248, — 46218

und die Spannungen der 12. unteren Gurtungsstücke:

+ 38515, + 115545, +177169, + 223387, +254199, + 269605, +269605, + 254199, + 223387, + 177169,

+ 115546, + 38515,

während die Spannungen der Diagonalen dieselben bleiben und diejenigen der beiden Endständer — 61470 Kilogr. betragen.

Um die Spannungen in den Gurtungsstücken direct zu finden, hat man die Gleichungen (243) und (244) für die oberen, die Gleichungen (245) und (246) für die unteren zu benutzen und erhält nach Einführung der Zahlenwerthe für die linke und rechte Hälfte der oberen Gurtungsstücke beziehungsweise:

20490

XJ ----- -

1,33

[(7 — 2 m) (m — 1) + 3 (2m — 1)]

Xmr = —

20490

- [(7 — 2m) m + 3 (2m — 1)J.

gut    m    =    1 ist    X₄>    ---    —    15406.(5.0    +    3.1)    =    —    15406. 3    =    —    46218    Kilogr.

Für die linke und rechte Hälfte der unteren Gurtungsstücke erhält man nach Einführung der Zahlenwerthe

[y (2 m — 1) — (m —    1)2    + (m — 1)    (7 — m)J

[y (2 m — 1) — (m —    lf    + m (6 — m) J.

Für rn ---    1 ist    Z,'    -----    15406(2,5.1 — 0 + 0.6)    =    15406. 2,5    ------ 38515    Kilogr.

Für Träger mit doppelter Stabreihe und größerer zur statischen Berechnung des Crumlinviaducts verwandt Spannweite, bei welchen das Eigengewicht bedeutender wird worden sind, und alsdann auf die oberen und unteren Knotenpunkte vertheilt anzunehmen ist, ist die Rechnung in derselben Weise zu führen, jedoch sind zur Berechnung der Spannungen in den einzelnen Stücken der beiden einfachen Systeme die Formeln 200—209 und 210—215, sowie 222—224 zu benutzen, von welchen die ersteren, um ihre Anwendung zu erläutern, bereits

Zm> ---

Zmr -----

20490

1,33

20490

1,33

1,33

II. Die Träger mit polygonalen Gnrtungcn oder die Polygonalträgcr.

Die Polygonalträger sind entweder solche mit je einer gebrochenen, gewöhnlich oberen, und je einer geraden, gewöhn-

lich unteren, Gurtung ober solche mit je zwei, gewöhnlich symmetrisch zu einer wagrechten Axe angeordneten, gebrochenen Gurtungen.

1) Die Polygonalträger mit einer gebrochenen und einer geraden Gurtung.

den verticalen Schnitt a b, s. Taf. 6, Fig. 1, ersetzt die in demselben stattfindenden Spannungen der oberen und unteren Gurtung und des Diagonalstabes beziehungsweise durch die äußeren Kräfte Xm, Zm und Ym und wählt als Drehpunkt von Xm den auf der unteren Gurtung in der Entfernung ml vom linken Auflager gelegenen Punkt Dm, in welchem sich der mitdurchschnittene untere Gurtungstheil und Diagonalstab schneiden und für welchen der Hebelsarm von Xm Rull ist, so bildet die Normale x,„ den Hebelsarm der Spannung Xm und Xm xm deren Widerstandsmoment. Bedeutet aMm das demselben entsprechende, auf den Drehpunkt Dm bezogene Angriffsmoment, so ist

*    i

Xm xm + aM = 0, woraus Xm =---. aM,

Ist ein solcher Träger mit N Feldern von der Länge 1 und mit der Höhe f in seiner Mitte an jedem Knotenpunkt mit dem ständigen Eigengewicht p und mit dem beweglichen Verkehrsgewicht q beschwert, so ergiebt sich nach dem Früheren die größte Anspruchnahme der oberen und unteren Gurtungsstücke bei voller Verkehrsbelastung, die größte Anspruchnahme der Verfieal- und Diagonalstäbe bei der vollen Belastung des

links oder rechts von dem betrachteten Stabe befindlichen und wenn der Werth von Trägerstückes, während der übrige Theil des Trägers von der beweglichen Belastung frei bleibt.

Führt man durch das beliebige mtc Feld des Trägers und von ”M aus Gleichung (5) eingeführt wird,

Om

xm

. . (255)

m(N —

Om

m (N — m)

. . (256)

(p + q)

Xm = — — • (p + q)

worin entweder xm oder -jjm- für jede Polygonalsorm besonders zu bestimmen ist.

Wählt man als Drehpunkt von Zm den auf der oberen Gurtung in der Entfernung (m — 1)1 vom linken Auflager gelegenen Punkt Dm_i, in welchem sich der mitdurchschnittene und wenn der Werth von obere Gurtungstheil und Diagonalstab schneiden, s. Fig. 2,

Taf. 12, so bildet die durch Dm_i gehende Verticale zm den und von aM

tim

Hebelsarm der Spannung Zm und Zmzm deren Widerstandsmoment. Bedeutet aMm-i das demselben entsprechende, auf den Drehpunkt v m-1 bezogene Angriffsmoment, so ist

— .aM

— Zn, zm + »Mm-! = 0, woraus Zm —

m—1

Zm

m—1

Zm

(257)

Zm — —— (p + q)

C-l)(K^m + »).1=iJ_(p + q)

worin hm_! für jede Polygonform besonders zu bestimmen bleibt.

aus Gleichung (6; eingeführt wird, (m — 1) (N — m + 1)

>    - (258)

Moment. Bedeutet aMm_i das demselben entsprechende, auf den Drehpunkt Dm bezogene Angriffsmoment, so ist

Wählt man als Drehpunkt den auf der unteren Gurtung in der Entfernung Im vom linken Stützpunkt gelegenen Ym> yra' + aMn,_i — 0, woraus Ym> — —

Punkt Dm, in welchem sich die beiden mitdurchschnittenen Gurtungstheile schneiden, s. Fig. 3, Taf. 12, so bildet ym den und wenn der Werth von aMm_, aus Gleichung (18) ein* Hebelsarm der Spannung Ym und Ym ym deren Widerstands- geführt wird,

1 (p + q) ym¹ ■    2 N

Ym‘ = -

-.“Mm-!

y.=

worin

y™

und aus lra + in k = hm.

hm    hm—1

lm

= ¹{k

hm

[(Im + Nl)m(m - 1) - lm(N - m) (N - m + 1)1

gilt gleichzeitig das in der Klammer enthaltene positive und negative Glied, deren Subtraction den in Gleichung (24) enthaltenen Klammerwerth liefert, während für das Verkehrsgewicht q eines Knotenpunktes die Weglassung des negativen Gliedes dem positiven und die Weglassung des positiven Gliedes dem negativen Maximum von Ym entspricht. Bildet man die Summen aus jenen vom Eigengewicht und diesen von der Verkehrsbelastung herrührenden Antheilen von Ym, so ergiebt sich die größte Zugspannung

mj, • - (260)

- h

daher für jede Polygonform besonders zu bestimmen sind. Für das Eigengewicht p, welches in alle.'n Knotenpunkten wirkt,

m—1

Ym'rnax —

|-g- ^ lm (N — 2 m + 1) — 1 m (m — l)j

2N

(N — m) (N — m + 1) J.    . (261)

und die größte Druckspannung

Ym'min —    (lm (N — 2m + 1) — Am (m — l)j--(lm + N A) m (m — 1) j. . . (262)

Führt man durch den beliebigen mten' Verticalstab den Stützpunkt gelegenen Punkt Dm, in welchem sich die beiden Schnitt cs 6, s. Fig. 4, und ersetzt die in den drei durch- mitdurchschnittenen Gurtungstheile schneiden, so bildet lm + mA schnittenen Stangen stattfindenden Spannungen durch die den Hebelsarm der Spannung Vm und —Vm(lm + mA) äußeren Kräfte Xm, Zm und Vm, wovon die letztere loch- deren Widerstandsmoment. Bedeutet aMm das demselben recht aufwärts wirkt und wählt als Drehpunkt den auf der entsprechende, auf den Drehpunkt Dm bezogene Angriffsmo-imteren Gurtung in derselben Entfernung lm vom linken ment, so ist

— Vm (Im -f- in A) -)— aMm = 0, woraus X m =

und wenn der Werth von aMm aus Gleichung (17) eingeführt wird,

__(p + q)

L + mA • 2N

Für den Antheil, welchen das in allen Knotenpunkten des negativen Gliedes dem positiven und die Weglassung des wirkende Eigengewicht p zu der Verticalspannung Vm liefert, positiven Gliedes dem negativen Maximum von Vm enspricht. gilt gleichzeitig das in der Klammer enthaltene positive und Bildet man mit Benutzung von Gleichung (23) die Summe negative Glied, während für den von der Verkehrsbelastung dieser beiden Antheile an der Verticalspannung V„, so er-q eines Knotenpunktes herrührenden Antheil die Weglassung giebt sich die größte Zugspannung

j^|- ^m (m + 1) A — lm (N —

Vm max —

L + mA

»M

Vm =

[■m (m + 1) (lm + NA) — lm(N — m) (N — m — 1)].

Im + m A und die größte Druckspannung:

2m —

!)) H—2lT m (m + !) (L + N A)J. . (263)

Vmmin —

n fm(m + 1)A — lm(N—- 2m — l)j

lm + mA

Für die rechtssteigenden Diagonalen erhält man mit Bezug auf Fig. 5 — Ymr. ym + aMm_! — 0, woraus Ymr —

^-lm(N —m)(N —m — 1)J. (264)

ym

m—1,

mithin, wenn der Werth von aMm_! aus Gleichung (18) eingeführt wird,

Ymr _    ¹ (p + q)

ym

2N

[m(m — 1) (lm + N A) — lm (N — m) (N — m -f 1)],

und hieraus wie früher

Ymr max = —

y™

Ymr min — —

ym

worin

|^-|-^m(m — 1)A — lm (N —2m + 1)^ +m(m — 1) (lm + NA)j . . (265) [~i“(m<m — !)* — lm (N — 2m + l)j lm (N — m) (N — m + 1)J, . (266)

= l{-.

lm

hm

y™

— (lm + (m — 1) A) -g-^7 •

»)

und

zu setzen ist.

Für die zugehörigen Verticalen ergiebt sich mit Bezug auf Fig. 6

und wenn der Werth von aM

Vm =

und hieraus, wie früher

VmOm + mA) + aMm_! — 0, woraus Vm — — aus Gleichung (18) eingeführt wird, _ p + q

lm + mA •    2 N

L + mA

.»M

m—1

[— m (m — 1) (L + N A) + L(N — m) (N — m + 1) J

111

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

112

[--2~(m(m — V* — L(N —2m + l)j —— 1) (lm + NX)J . (267)

• [“ "1" (m (m - 1) X - lm (N - 2 m + 1)) + lm (N ~ m) (N - m + 1)J. (268)

Die Formeln für Ym‘, Ymr und Vm gelten für beide Hälften des Trägers. Bezieht man sie aus den entgegengesetzten Stützpunkt, indem man

Vmrnin =

Vm max —

lm + ml

Wb b

-f™ N / statt lm

den Auflagern. Ist die Ferm des Polygonalträgers so zu bestimmen, daß einzelne Glieder desselben bei gewissen Belastungszuständen eine vorgeschriebene Spannung annehmen, so ist lm aus dieser statischen Bedingung abzuleiten, woraus sich für m + 1, m -f- 2... statt m die Werthe von lm+1 .. ermitteln lassen. Vergleicht man zwei aufeinander

m+2 •

folgende Höhen hm und hm+1, so erhält man die Proportion

— m

oder — m + 1 „ m — 1 setzt, so bleiben die Formeln dieselben.

Ist die Form des Polygonalträgers gegeben, also h

ha... hn, siehe Fig. 7, bekannt, so ergeben sich aus Glei- Bildet man das Product dieser aufeinander folgenden Ver-chung (260) für m = 1, 2...N— 1 nach und nach hältnisse, so ergiebt sich für eine gerade Zahl N = 2n von die Abstände lm der aufeinander folgenden Drehpunkte von > Feldern

hm

rt :

__L + l

hm + 1    lm + 1 "+" (m -}- 1)1

. (269)

hm    hm + i

hm + 1

m+2

hg—i _ (lm+i ~t~ ml) (Im+'i + (m + 1) 1) ... (ln -f- (g — 1) 1)

hn    (lm+i *f" (m ~h 1) 1) (lm+2 + (m -f- 2) 1) ... (ln -f- n Zj    hg

hm

. (270)

und für eine ungerade Zahl N = 2n — 1 von Feldern hm h

hm+i hm+₂    hn_i    (lm+i + (m + 1) 1) (lm+2 + (m + 2) 1) • • • • (lg—i + (n—1)1)    h

woraus sich die Höhe aller gleichweit entfernten Berticalstän-der, mithin die Gurtungsform des Trägers ergiebt.

Um die von derselben abhängigen Werthe xm, zm, ym und lm + ml zu bestimmen, sollen

1)    die parabolischen Träger, deren Diagonalen bei voller Belastung die Spannung Null annehmen, oder

2)    die Schwedler'schen Träger, deren Diagonalen bei der größten einseitigen Belastung nie Druckspannung, also höchstens die Zugspannung Null annehmen,

3)    die Träger, deren Diagonalen gleiche Maximalspannungen annehmen, nach Ritter,

4)    die Pauli'schen Träger, deren Gurtungen bei voller Belastung gleiche Maximalspannungen annehmen, betrachtet werden.

m +1

hg—2 _ (lm + 1 + ml) (lm+2 ~t~ (rn ~t~ 1) 1)

(ln—i + (n — 2) 1)    _ hm

n—1

; • (271)

— Alm + q [(lm + 1) + (L + 21) -}- • • • •

(lm + (m — 1) 1] = 0.

Wird für den Auflagerdruck sein Werth A -----

(N-l) 2—1

gesetzt, und die Reihe in der Klammer summirt, so erhält man —2— L — [(m — 1)L +

und hieraus für eine beliebige Zahl N von Feldern m(m — 1)    ,

~ N — 2m + 1    •

und wenn m + 1 statt m gesetzt wird,

(N-l)

m(m — 1)

lj = 0

lm

. . (273)

,    — m(m + l) ,

m+1 — N —2m —1    "    '

- (274)

a) Die Polygonalträger, deren Diagonalen bei voller Belastung die Spannung Null annehmen oder die Parabelträger.

Setzt man, unter Annahme einer vollen Belastung, in den allgemeinen Gleichungen für die Spannungen der Diagonalen Ym¹ — 0 und Ymr — 0, so ergiebt sich

m—1    0,

mithin für den um lm vom linken Auflager entfernten Drehpunkt

»M

(272)

Bildet man nach Gleichung (269) das Verhältniß der Höhen zweier aufeinander folgender Vertikalständer, so ergiebt sich, wenn zugleich aus der Formel (274) für lm+i sein Werth eingeführt und reducirt wird,

hg,

m(N — m)

- (275)

hm+i (m + 1) (N — m — 1)

In den vorstehenden Gleichungen (273), (274) und (275) ist N — 2u entweder eine gerade oder N = 2 n — 1 eine ungerade Anzahl von Feldern, wonach wir den Parabelträger mit gerader Felderzahl und den Parabelträger mit ungerader Felderzahl unterscheiden.

113

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

114

«) Der Parabelträger mit gerader Felderzahl.

Setzt man in den Gleichungen (273) und (275) N = 2n, so ergiebt sich der Abstand

lm =

ferner das Verhältniß

m (m — 1)    ,

2 (n - m) + 1    •

. . (276)

lim

hm + i

m(2n — m)

(m 1) (2 n — m — 1)

. (277)

und aus Gleichung (270), wenn die Werthe lm+1, lm+2, .... 1„ eingeführt werden, die Proportion

m (2 n — m)

hm

h„

n²

. . (278)

Wird der Werth von lm aus Gleichung (276) und der Werth von hm_t aus Gleichung (280) in die Gleichung (259) für ym eingeführt, so ergiebt sich v — m(m — !)(²¹¹ — m)(2ii — m H- 1) _h^ ,

7m —    nä(2n —2ro-H)    ⁻ dm ⁽^8b)

und wenn dieser Hebelsarm, sowie der Werth für lm und N =2n, in die Gleichung (261) und (262) eingesetzt und reducirt wird, die Maximalspannung

Ym max

und die Minimalspannung

Ymmin = — n

welche den Ordinate» einer Parabel mit der Pfeilhöhe h„ entspricht. Hieraus folgt

hm -

und wenn darin (m — 1) für m gesetzt wird,

(m — 1) (2 ix — m + 1)

m(2n — m)

n⁸

. . (279)

- - 4-<;!:    •    . • ^

E7-    ■ •    ■ (2 8)

Hierin bildet der Factor    von dm eine Con-

dm

oo

n²

• hn. (280)

Wird der Werth von h,n aus Gleichung (279) in die Gleichung (255) eingeführt, so ergiebt sich der Hebelsarm von Xm:

stante, mithin ist die größte Zug- und Druckspannung im mten Diagonalstab unabhängig von der ständigen Belastung und gleich dem Produkt aus dieser (konstanten in seine Länge.

Entnimmt man aus Gleichung (276) den Werth von lm, so ergiebt sich

L + mÄ =

m(2n — m)

m (2 n — m)

2 n — 2m + 1 und wenn dieser Hebelsarm, sowie der Werth für Im und N = 2n in die Gleichungen (267) und (268) eingesetzt und reducirt wird, die Maximalspannung

. (289)

.1, . . (281)

Xm —

worin die Länge des mtm Gurtungsstückes aus

= /(hm - hm_₁)²"+I5 . . . (282) gefunden wird. Führt man den Werth von xm aus Gleichung (281) in Gleichung (256) ein, worin N = 2n zu setzen ist, und reducirt, so erhält man die größte Druckspannung im mtcn oberen Gurtungsstückc

n²

Xm min = — -

Om

n²

0m

Vmmax = p + (ni-⁴-¹⁾⁽²^~m + 1) q und die Minimalspannung Vm min = p — v

(m — 1) (2n — in — 1)

4xi

. (290)

■q.    (291)

aT (P + q)-^.. - (283)

n²    1

Hierin bildet der Factor -g- (p + q) ^

- — C von

Werden die Antheile, welche die bewegliche Belastung zu dieser Maximal- und Minimalspannung eines Berticalstabes liefert, addirt, so ergiebt sich dessen Gesammtspannung bei der vollen Belastung:

(292)

Om eine constante Größe, mithin ist die größte Druckspannung im in**" oberen Gurtungsstück gleich dem Product aus dieser (konstanten in seine Länge.

Wird der Werth von hm-i aus Gleichung (280) in die Gleichung (257) für zm eingesetzt, so ergiebt sich der Hebelsarm

Vm = p + q Für den Parabelträger der eingeleisigen Eisenbahnbrücke über die Brahe bei Czersk*) mit 1 = 2nl = 25 Met. Spannweite und 2n = 10 Feldern, also l — 2,5 Met. Feldbreite und hn = 3 Met. Pfeilhöhe, s. Fig. 8, Taf. 6, welcher in jedem Knotenpunkt mit p = 1875 Kilogr. **) Eigengewicht und mit q = 6250 Kilogr. ***) Verkehrsbelastung, also mit der Totallast p + q = 8125 Kilogr. beschwert ist, ergeben sich folgende Spannungszahlen.

(m — 1) (2n — m + .1) ^

. (284)

und wenn derselbe in Gleichung (258) eingeführt wird, die größte Zugspannung im mtm unteren Gurtungsstück

n² .    X

"2"(p + qj xr

Die Zugspannung in jedem unteren Gurtungsstück ist mithin constant und gleich dem Product Leus derselben Constanten C in seine Länge.

Zm —

n²

Zm max —

. . (285)

*) Vergl. Ztschr. f. Bauw. Berlin 1861 und Heinzerling, Brücken in Eisen. Lpzg. 1870. S. 315.

**) Die Brücke über die Brahe bei Czersk besitzt eine Spannweite von 81' rhld. — 25,43 Met. und ergab nach der Ausführung ein Eigengewicht von 911 Pfd. pro lauf. Zoll oder 1451 Kilogr. pro lauf. Meter.

***) Bei Berechnung der Brücke wurden 30 Centn, pro lauf. Fuß oder 4779 Kilogr. pro lauf. Met. angenommen.

115

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

116

1) Die Spannungen X in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (283)

Xm --

n²

— -gir (p + q).om.

Werden die Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich

Xm =

25.8125

2.3

om = — 33850. oro,

und die Länge der aufeinander folgenden Gurtungsstücke aus:

om —

)A + [^f(2n-2m + 1)]" = J/ 2 4 +    (11 - 2 m) J = J/ 6,25 + 0,0144(11 -

2 m)²

Für m = 1, Oj = /6)25 + 0,0144.81 — 2,723m = o₁₀°

//

tf

= x₉

= X

tt

tf

2) Die Spannung Z in der unteren Gurtung nach Formel (285)

n²

2hn

(p + q) l

Gurtung:

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich die für alle Felder gleiche, größte Zugspannung der unteren

25

2.3 '

8125.2,5 = 84625 Kilogr.

3) Die Spannungen Ym der Diagonalen nach den Formeln (287) und (288)

Ym = + —Jy—. q. dm.

4hn

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ergiebt sich

yT= ±    .6250.dm = ± 2604.dm

und die Längen der aufeinander folgenden Diagonalen aus

d„* =

Y 2,5

— 1) (2n — m -f- 1)]*

+ £-Jr-(m— 1) (11—m) J — /6,25 + 0,0144 (m— l)² (11

— m)³.

Für m == 2, d₂l = /6,25    0,0144. 1.81 — 2,723m — d^¹

m = 3, d₃l — y6,25 + O,0i44 . 4.64 — 3,152m — d₉!

tf

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

117

118

ff

m = 4, Y₄ = ± 2604.3,549 ----- ± 9242    „

= Y».

ff

m = 5, Y₅ = + 2604.3,813 — + 9929    „

ff

m == 6, Y₆ = ± 2604.3,905 = ± 10169    „    .

4) Die Spannungen V in den Berticalen nach den Formeln (290) und (291). a) Die Maximalspannungen nach Formel (290)

Vmmax

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ist

= P +    + l)(2n — m 4- 1).

6250

Vm max — 1875 +

mithin die größten Zugspannungen in den Berticalen

4.5

(m + 1) (2 n — m + 1) — 1875 + 312,5 (m + 1) (2 n — m + 1),

----- V₈ max = V₇ max — V(i max

Vm min = p —

Werden obige Zahlenwerthe eingeführt, so ist

6250

b) Die Minimalspannungen nach Formel (291) rr(m — l)(2n — m — 1).

Vmmin ----- 1875 — •

4.5

(m — 1) (2 n — m — 1) — 1875 — 312,5 (m — 1) (2 n — m — 1),

mithin die größten Druckspannungen in den Berticalen,

für    IN    —    1,    Vjmin    —    1875 — 312,5.0.8    = +    1875    Kilogr. — Vgmin

„    = Vs min

= V- min = Vginin

ff

Werden die so ermittelten Spannungszahlen zusammen-

unshmmetrische Träger.

Sollen die Diagonalen nur Zugspannung annehmen, gestellt, so ergiebt sich der in Figur 9, Taf. 6, dargestellte so sind dieselben zu zwei in jedem Felde oder gekreuzt anzuwenden und nur deren positive Spannungszahlen beizube-

halten, wobei die Spannungen der zur Mittellinie symmetrisch liegenden Diagonalen die gleichen Functionen haben, mithin einander numerisch gleich sind. Den größten Zugspannungen der Diagonalen entsprechen die größten Druckspannungen der Verticalen, welche letztere außerdem unter der vollen Belastung der Brücke, wobei die Diagonalen ohne Spannung sind, die Last p + q = 8125 Kilogr. auf die parabolische Gurtung zu übertragen, mithin die derselben entsprechende Zugspannung auszuhalten haben.

Werden die so gewonnenen, sowie die Spannungszahlen der beiden Gurtungen, welche nicht größer werden können, mithin unverändert bleiben, zusammengestellt, so ergiebt sich das in Fig. 10 dargestellte Schema.

Sollen nur gedrückte Diagonalen angewandt werden, so ergiebt sich in analoger Weise der in Fig. 11 dargestellte Träger, bei welchem die Spannungen der Gurtungen wieder dieselben bleiben und die Berticalen nur die oben ermittelten größten Zugspannungen annehmen, in welchen die soeben erwähnten, bei der vollen Belastung entstehenden Zugspannungen von + 8125 Kilogr. enthalten sind.

Die in Fig. 12 und 13 dargestellten Träger mit einfachen, zur Mittellinie symmetrischen Diagonalen erleiden in den letzteren, sowie in ihren Berticalen bei zur Mittellinie gleicher Lage abwechselnd die früher ermittelten, in Fig. 9 eingetragenen Zug- und Druckspannungen, während die mittlere Berticale einen Druck nicht erfährt, mithin nur jene größte Zugspannung + 8125 Kilogr. annehmen kann.

Durch lothrechte Umkehrung der Figuren 9, 11 und 12, ergeben sich beziehungsweise die in Fig. 14, 15 und 16 dargestellten Träger mit unterer polygonaler Gurtung, bei welchen sich nur Zug in Druck verwandelt, mithin alle Spannungszahlen numerisch dieselben bleiben und nur die Vorzeichen wechseln. Auf ähnliche Weise würde man durch lothrechte Umkehrung der Figuren 10 und 13 zwei weitere Träger mit den zugehörigen Spannungszahlen erhalten haben.

mithin, wenn int Nenner der Gleichung (294) m + 1 mit n — 1 vertauscht wird,

m (2 n — m — 1) n(n — 1)

welches den Ordinalen einer Parabel mit der Höhe h„_, der beiden größten Verticalen entspricht. Hieraus folgt die Höhe der mten Berticalen

hm

n—1

hm -

m (2 n — m — 1)

n(n-l)

. . (295)

hn-i . . (296)

und wenn darin m — 1 für m gesetzt wird, die Höhe der (m — l)ten Verticalen

(m — 1) (2n — m) , n(n-l)

Wird der Werth von hm aus Gleichung (296) in die Gleichung (255) für xm eingeführt, so ergiebt sich der Hebelsarm

hm—1

-1-

(297)

m(2n — m — 1)    h„_t 5

Xm - >    “T7    •    • A. .

n (n 1)    om

worin die Länge des mten Gurtungsstückes aus

(298)

Qm = /(hm -hö-,)ä+> .    . . (299)

gefunden wird. Führt man den Werth von xm aus Gleichung (298) in Gleichung (256) ein, worin N = 2n — 1 zu setzen ist und reducirt, so erhält man die größte Druckspannung im oberen Gurtungsstück

n(n-l)

Xm min — —

Hierin bildet der Factor

(P + q) ,°™ • (SCO)

An—1

n(n-l)

(p + q)

hn—1

— C von pm eine constante Größe, mithin ist die größte Druckspannung im mtc;1 Polygonstück gleich dem Product aus dieser konstanten in seine Länge.

Wird der Werth von hm_x aus Gleichung (297) in die Gleichung (257) für zrn eingeführt, so ergiebt sich der Hebelsarm:

ß) Der Parabelträger mit ungerader Felderzahl.

Setzt man in den Gleichungen (273) und (275) N — 2n — 1, so ergiebt sich der Abstand

lm =

_ (m — 1) (2 n — m) ,

m ~ " n(n-l)

unb, wenn derselbe in Gleichung (258) eingeführt wird, die größte Zugspannung im unteren Gurtungsstück

. (301)

und die Proportion

m(m — 1)    :

2 (n — m j~ Z *

. . (293)

Zm max —

-Hn-i)

(P + q) jp-

fln-1

. . (302)

hm

m(2n — m — 1) hm+i _ (m + l)(2n — m — 2)'

, (294)

Das Product der aufeinander folgenden Verhältnisse ist

hm-hl    hn—2

hm+2    h„—i    h„—i

hm

hm

Die größte Zugspannung in jedem unteren Gurtungsstück ist mithin constant und gleich dem Product aus derselben konstanten C in seine Länge. Wird der Werth von lra aus Gleichung (293) und der aus Gleichung (297) in die Gleichung

hm + l

Werth von h (259) für ym eingeführt, so ergiebt sich:

ym =

m (m — 1) (2n — m)(2n — m — 1)    hn_t .

n(n — 1) (2n — 2m)    ' dm

(303)

und wenn dieser Hebelsarm, sowie der Werth für lm und N = 2n — 1 in die Gleichungen (261) und (262) eingesetzt und reducirt wird, die Maximalspannung n(n- 1)

2(2n — 1) q- hn—i

Ym max —

und die Minimalspannung Yro min — —

ein,

. (304)

Werden die Antheile, welche die bewegliche Belastung zu dieser Maximal- und Minimalspannung eines Verticalstabes liefert, abbitt, so ergiebj sich dessen Spannung bei der vollen Belastung

Vm = p -f- q.....(309)

n (n — 1)

2(2n — ]) -q hn_x*

. (305)

n(n — 1)

2(2n — 1) -qh eine Constante, mithin ist die größte Zug- und Druckspannung des urt-n Diagonalstabes unabhängig Bon der ständigen Belastung und gleich dem Product aus dieser konstanten in seine Länge.

Entnimmt man aus Gleichung (293) den Werth von lm, so ergiebt sich

Hierin bildet der Factor

von dm

b) Die Polygonalträger, deren Diagonalen bei der größten Druckbelastung die Spannung Null annehmen.

n—1

Setzt man unter Einwirkung der größten Druckbelastuug, s. Taf. 7, Fig. 1, in der allgemeinen Gleichung Ymmin — 0, so ergiebt sich

in (2 ii — in — 1) .

2 (n — in)

und wenn dieser Hebelsarm, sowie der Werth lm und N — 2n — 1 in die Gleichungen (267) und (268) eingesetzt und reducirt wird, die Maximalspannung

lm + ml —

. (306)

Vmmax = p + und die Minimalspannung Vmmin = p —

(m + 1) (2n — in)

2(2n — 1)

.q (307)

(in — l)(2n — in — 2)

aMm_,

(310)

-- 0.

Dieses Angriffsmoment nimmt zwei verschiedene Werthe an, je nachdem die Diagonalen nach der Mitte hin fallen oder steigen.

“M

a) Die Polygonalträger mit nach der Mitte hin fallenden Diagonalen oder die Schwedler'schen Träger.

In diesem Falle sind die dem linken Auflager zunächst gelegenen m — 1 Knotenpunkte mit der vollen Belastung p + q, die übrigen N — m Knotenpunkte nur mit dem Eigengewichte p beschwert anzunehmen, es ergiebt sich mithin aus Gleichung (18)

.q. (308) |

[(p + q) m(m — l)(lm + NA) — plm(N — m) (N — m + 1) j,

2(2 ii — 1)

daher aus der Bedingung (310)

(p + q)m(m — 1) (lm + N1) — p lm (N — m) (N — m + 1) — 0,

wenn der Werth von ]m+i aus Gleichung (313) eingeführt wird,

woraus der Abstand des mtcn Drehpunktes vom linken Auflager

(p -j- q) m (in — 1) N pN (N — 2 m -s- 1) —- q in (in — 1)

und wenn Zähler und Nenner durch p.m(m — 1) N bi« vidirt wird,

lm =

l (311)

m (N — m) (N + (m + 1) -3-)

(m + 1) (N — in — 1) (n + m -ä-j

Bildet man das Product der aufeinander folgenden, durch Gleichung (270) gegebenen Verhältnisse und führt die Werthe von lm+i, lm+2 gerade Zahl bl — 2 n der Felder

lm+1

(313)

5- + 1

P

-r-.L (312)

± _L

p ‘ N

Setzt man in Gleichung (312) m + 1 statt m, so ergiebt sich

-3- + 1

,__p

m+1 — N — 2m — 1 _

m (m + 1)

lm =

N — 2m + 1

m(m — 1)

h,

1„ ein, so ergiebt sich für eine

2m(2n — m) (2 + y)

2n

(2n + m±)

,    . (314)

--5-.1.    (313)

q_ JL

p * N

Bildet man nach Gleichung (269) das Verhältniß der Höhen zweier aufeinander folgenden Verticalständer, so ist,

mithin die Höhe des mten Verticalstabes

m (2 ii —

hm —

->(* + *)

n (2n + m

• hn, . (315)

123

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

124

wodurch die Form des Schwedler'schen Trägers mit gerader Felderzahl bestimmt ist.

Für eine ungerade Zahl N = 2n — 1 der Felder erhält man

m(2n —

hm —

m(2n —m —l)^2n —1 +^-(n —l)j

«(*—»>(

mithin die Höhe des mtcn Verticalstabes m_l)(₂n-l + ^-(n-l)l

n(n — 1) (2n — 1 +

hm

h„-i

(316)

2n —

n—1

(317)

Für i — 0 ergiebt sich aus Gleichung (315) und (317) d. h. wieder die Formengleichung des gleichförmig belasteten

oder parabolischen Trägers mit gerader und beziehungsweise ungerader Felderzahl.

Löst man Gleichung (313) nach dem Verhältniß -9-hin auf, so ergiebt sich

N |(m + 1) (N — m — 1)    --m(N — m) j

m(m + 1)|N — m — (N—m — l)-ß

beziehungsweise

und

und wenn

,    m(2n — m) ,

hm —    ' ----5----- .h„

hm ------

h,n

hm+l

n²

m (2 n — m — 1)

n(n — 1)

JL —

.h

hm ]

m-f- 1 -J

(318)

— 1 gesetzt und reducirt wird,

ticalständers an, so ergiebt sich aus Gleichung (315) der Ver-ticalständer in der Mitte

q _ N(N — 2m — 1)

m(m + 1)

Für einen Träger mit z. B. — 10 Feldern ergiebt sich

. . (319)

h„ =

n |2n + m-ä-j

q _ 10(9 — 2 m)

m(m + 1)“~ '

. . (320)

m (2n —

"> (² + f)

,hmmax (321)

Setzt man

rn — 4, so ergiebt sich für

“5

rn — 3 rn — 2 m = 1

r rr

" " h₄

_q_ __ 25 ~ 3

_i _9__

"    " hg    ' P —

Wird der Werth — — in Gleichung (320) einge-P *

< l, wird der Werth

h5

9- — -4- in dieselbe Gleichung eingeführt, so ergiebt sich

P • &

-h- < 1 unb für m = 4,    < 1, wird

h₄    "5

der Werth -9,-35 eingeführt, so ergiebt sich für m ^- < 1, für m =

n3

t ft

r tr

und z. B. für n — = 3 Met.

— 3 und h$ max

h. - ⁵⁽¹⁰₃ + ³₅;;fM, = 2,e79 nt

Wird dieser Werth in Gleichung (315) eingeführt, so erhält man

ff ff u n3

für m = 1, h₁ —

19.5V,

~ 5(10 + 1.3Vs)

.2,679 — 1,93 Met.

führt, so ergiebt sich für rn — 4,

für m = 3,

= 2,

h₄

3,    < 1, für m = 4,

< 1, mithin abnehmende Höhen der Verticalständer. Nimmt man eine bestimmte Höhe hmmax des größten Ver-

„ m = 2, hg =

2.8.5V,

- 5(10 + 2.3'/,)

. 2,679 — 2,74    „

3.7.51/3

. 2,679 — 3,00    „

mithin, wenn die mittlern Stäbe auf die größte Höhe abgeglichen werden, also h₅ = h₄ = h₃ = 3 Met. gesetzt wird, den Träger mit der gewünschten Pfeilhöhe.

Auf diese Weise ergiebt sich bei 10 Feldern, also für

aus Gleichung (315)

„ m = 3, h₃ =

“ 5(10 + 3.31/3)

n = 5, hn = 1 und — —

hm —

mithin für

m (10 — m) (2 +

5(l0 + m.i-)

.1,

125

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

126

m = 1, h₄ =

1.9.2.5

5.10.5

— 0,428 Met.

32

1 — 4 Met., die Pfeilhöhe hn — 4 Met., die Belastung

m — 2, h₂ =

2.8.2,5

5.11

= 0,727    „

m = 3, h₃ =

3.7.2,5 5.11,5

— 0,913    „

,    ,    4.6.2,5

m = 4, h₄ = -------- '    —

5.12

— 1,000 „

per Knotenpunkt durch Eigengewicht p — rot. 6000 Kilogr., durch Verkehr q — 8000 Kilogr., woraus ~-

Dies Belastungsverhältniß liegt zwischen und ~ woraus folgt, daß

_ 5.5.2,5

x    hn hn_j

und zwar nach Gleichung (321)

— 1,000 „

m = 5, h₅ =

Stellt man diese, sowie die den Belastungsverhältnissen 5    25    35

= -g-, -g- und -j- entsprechenden Höhen der Verti-calen zusammen, so ergeben sich für

5.12,5

h„ =

⁴(⁸ + 8-r) ,

-~i ,— 4

3.5(2+4)

— 0,96.4 = 3,84.

Man erhält durch Einführung dieser Werthe in Gleichung (315) m(8 —

_a_ ₌

hi

h₂

h₃

h₅

bm —

₄(8 + m.i-)

. 4.0,06 — 4,8.

IN (8 — m)

12 + 2m

0,43

0,73

0,91

1,00

1,00

Für m = 1 ist h₄ = 4,8.

1.7

12 + 2

= 2,4 Met.

0,60

0,89

1,00

1,00 I 0,93

Für IN — 2 ist h₂ — 4,8.

2.6

12 + 4

— 3,6 Met.

25

0,81

1,00

1,00

0,92

0,81

in — 3 „ h₂ = 4,8

3.5

'12 + 6

= 4,o    „

35

1,00

1,00

0,91

0,78

0,67

m = 4 „ h₃ = 4,8.

4.4

12 + 8

— 3,84 „

mithin die in Fig. 2, 3, 4 und 5 der Tafel 7 dargestellten Formen des Schwedler'schen Trägers.

Beispiel. Es betrage die Spannweite 1 — 32 Met., die Zahl der Felder N = 8, mithin die Feldlängc l —

wofür 8 Met. gesetzt wird.

Mit Hilfe dieser Werthe ergeben sich die Längen der Gurtungsstücke

om — /4² + (hm — hm_i)²

und der Diagonalen

dm — ]/4² + hm_!².

Für    m    =    1    ist    O,    —    /4² +    (2,4 — O)³    -----    4,644    Met.,

m).-r— =

•hm

d₂ = /4² + 2,4² = 4,644 Met. d₃ — Yp + 3)e² — 5,381    „

d₄ — j/4² + 4²    — 5,657

k . m (N —

Für m = 1 ist X, min — — 7000.1.7

Xm min — —

— 7000. m (8

\ om

-™) +7*

94815 Kilogr.

m = 2 „ X₂min = — 7000.2.6.-

3,6

97440

Für m = 3 „ X₃ min —

m = 4 „ X₄ min —

—    7000.3.5.-^1 = _ 105000 Met. 4

—    7000.4.4.4-4

= — 112000

2) Die Maximalspannungen in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (258) P    — 1)(N —m + 1) r— ₌ 7000.(m — 1)(N —m + 1)—i-

*    "vL—1    “m—1

7000.1.7.-4-7000.2.6.4-7000.3.5.4 = 105000

4

Zm raax =

Für m — 2 ist Z₂ max —

m = 3 „ Zz max —

m ----- 4 „ Z₄ max —

2,4

3,6

81663 Kilogr. — Z, max.

93333

Für m

3) Die Maximalspannungen in den Diagonalen, a) Berechnung der Werthe lm und ym nach Formel (260) und (259)

lm = 4 f-r—4--m) und ym --- (L + 4m)

\ nm — nm_i    /    um

= 2 ist 1₂ = 4(^1 - 2) = 4 Met., y₂ = ( 4 + 4.2)    = 6,2 Met.

= ⁴(^-3) = 28 „ y₃ = (28 + 4.3)

m — ⁴ t, h = ⁴    4) “

3,6

5,38

= 26,76    „

00

74

(00 +4.4) ^057    1,4142 "

QO

b) Berechnung der Maximalspannungen nach Formel (261)

Ym max —

Jm

Für rn — 2 ist Y₂max

rn — 3 „ Y₃ max —

rn — 4 „ Y₄max =

rn ----- 5 „ Y₄max —

[ 3000 (lm(9 — 2m) - 4m (m — 1)) + 5001.. (8 — m) (9 — m) j.

4.2.1) + 500 . 4.6.— 19355 Kilogr. —L- [3000(28.3 — 4.3.2) + 500.28.5.öj — 22425    „

[3000 (00 .1 —4.4.3) + 500.00 .4.5 J — 18385    „

[3000(qo.-1-4.5.2)+ 500.00 .3.4] =

^-[3000 ( 4.5-

4243

Vm max —

lm + m. 4

Für w ----- 1 ist Vj max —

4) Die Grenzspannungen in den Verticalen. a) Berechnung der Maximalspannungen nach Formel (263)

[3000(m(m + 1)4 —lm(7 — 2m)) +500m(m + 1)(lm + 8.4) j.

.2.4 — 0.5) + 500.1.2( 0 + 8.4)j — + 14000 Kilogr.

0+1.4

[3000(1

Für m = 2 „ V₂ max =

m — 3 „ Vz max —

Vm min =

[3000(2.3.4— 4.3) + 500.2.3( 4 + 8.4)J = + 12000 Kilogr.

ß) Die Polygonalträger mit nach der Mitte hin steigenden Diagonalen.

Bei dieser von Ritter, anstatt der zuvor betrachteten, vorgeschlagenen Lage der Diagonalen sind die dem linken Auflager zunächst gelegenen m — 1 Knotenpunkte mit dem Eigengewicht p, die übrigen N — m Knotenpunkte mit der vollen Belastung beschwert, anzunehmen, siehe Taf. 7, Fig. 8, es ergiebt sich mithin aus Gleichung (18)

^|-[pm(m — l)(lm + NA) — (p + q)lm(N — m) (N — m + l)j, . . . (322)

4 + 2.4

28 + 3.4

Für m — 1 ist V) min —

m = 2 „ V₂ min —

m — 3 „ Vgmin.—

m — 4 „ V₄min —

0 + 1.4

4 -f- 2.4

28 + 3.4

co +4.4

Werden die hier ermittelten Spannungszahlen zusammengestellt, so ergiebt sich die Darstellung in Fig. 7, Taf. 7, woraus sich wieder der Sch wedle r'sche Träger mit oberer gerader und unterer polygonaler Gurtung unmittelbar ableiten läßt, indem man die zu den einzelnen Gliedern gehörigen Spannungszahlen mit — 1 multiplicirt.

Mm-!

daher zufolge der Bedingung Ym min — 0

p. m (m — 1) (lm + N A) — (p + q) lm (N — m) (N — m + 1) — 0, woraus der Abstand des Drehpunktes für das mte Feld vom gefunden wird. Setzt man in dieser Gleichung (m + 1) statt linken Auflager    m, so erhält man

lm =

pm (m — 1)N. A

(N — m) (N — m + 1) (p + q) — m (m — 1) p

lm + 1 -

N.A

, (324)

und wenn Zähler und Nenner durch pm(m — 1) biet* dirt werden,

lm =

N.A

(N — m) (N — m + 1)

m (m — 1)

(i + 1)

bin

bm + l

(N — m) (N — m — 1) |_q_ ₊ ^

Bildet man nach Gleichung (269) das Verhältniß der Höhen zweier aufeinander folgenden Berticalständer, so ist, wenn der Werth von lm+i eingeführt wird,

m) [n + (N — m — 1) -S-)

(m + 1) (N — m — 1) (n + (N — m) -ä-)

nnthin die Höhe des mten Verticalstabes

m (2 n —

n(2n + (2n — m) -3-j

Für eine ungerade Zahl N = 2n — 1 der Felder erhält man

m(m + 1)

(323)

m (N —

(325)

Bildet man das Produkt der aufeinander folgenden, durch Gleichung (270) gegebenen Verhältnisse und führt die Werthe von lm+i, lm+2 gerade Zahl N = 2 n der Felder

m (2n —

ln ein, so ergiebt sich für eine

hm -

+1+1).

. (327)

bm

h„

. (326)

131

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

132

m (2 n —

hn-l

mithin die Höhe des mten Verticalstabes

m — 1) ( 2n — 1 + n-2-)

_2_PjL

n (n — 1) ( 2 n — 1 + (2n — m — 1)-2-)

(328)

hm -

m(2n — m - 1) (

n (n —

*>(

2n — 1 + (2n — m

-K)

hn

(329)

Für q = 0 ergießt sich aus Gleichung (327) und (329) beziehungsweise

hm--

m(2n —

und wenn hierin aus Gleichung (5) der Werth von aMm eingeführt wird, die Spannung

X =

und

- —- (p + q)

m(2n — m — 1) n(n — 1)

b- h. wieder die Formgleichung des gleichförmig belasteten oder parabolischen Trägers mit grober und beziehungsweise ungerader Felderzahl.

Setzt man in Gleichung (327)

q

¹)    — = Qo oder p = 0, so ergiebt sich

n ' h°'    ’    •

b. h. die Form des Dreiecksträgers.

In allen Fällen, wo, wie bei Brücken mit kleinen Spannweiten, die ständige gegen die bewegliche Belastung zurücktritt, nähert sich daher die Gurtungsform dieser Träger einer Geraden und erscheint also vorzugsweise für Brückenträger mit größeren Spannweiten oder mit einer, die bewegliche übertreffenden, ständigen Belastung geeignet.

2)    2 u — m statt m, so ergiebt sich wieder die Gleichung (315) des Schwedler'schen Trägers mit gerader Felderzahl.

Die statische Berechnung dieser Träger kann übrigens analog derjenigen des vorhergehenden Trägers ausgeführt werden.

11IIL —

hm —

hn—1 ,

. . (330)

c) Die Polhgonalträger, bereit Gurtungen die gleiche Maximalspannung annehmen, oder die Pauli'schen Träger.

Um die Gurtungen eines Polygonalträgers mit gleichem Querschnitt, also möglichst bequem, herstellen zu können, ist die Form desselben so zu wählen, daß sie die gleiche größte Spannung annehmen, welche bei voller Belastung p + q jedes Knotenpunktes eintritt.

Bezeichnet X jene eonstante Spannung in der oberen Gurtung des Trägers mit N Feldern von der gleichen Länge l, xm deren Hebelsarm in Bezug auf den Drehpunkt D der beiden mitdurchschnittenen Glieder, s. Fig. 10, Taf. 7, so ergiebt sich für das m* Feld die Gleichung Xxra + aMm = 0,

welche für die meist ungerade Zahl N = 2n — 1 von Feldern in

— — (p + q)

m(2n — ni — 1)

l (332)

und für das Mittelfeld mit der Pfeilhöhe h„_,, wofern ber' Hebelsarm xm — h₁₁__₁ und m = n wird, in die eonstante Minimalspannung

Xmin c —-

n (n — 1)

(p + q) -r- - (333)

iin—i

übergeht. Wird dieser Werth in Gleichung (332) eingeführt, so ergiebt sich der variable Hebelsarm im mten Felde m (2 n — m — 1)

(p + q)    (334)

und aus einer einfachen Proportion in demselben Felde, mit der Länge

Xm — —

^ H--(hm

-hm-,)² . . (335) des oberen Gurtungsstückes, die Höhe des mtm Vertiealständers

hm - Xm

Om -

J/p + l-(hm

— hm_, )²

yl

welche mithin gefunden wird, wenn die Höhe des (m — l)tcn Vertiealständers bekannt ist.

Wird der leichteren Substitution halber quadrirt und nach Potenzen von hm geordnet, so ergiebt sick

4 A² + hm—, 2 4k² — xm²

hm² + h,n .

2. hm—,. xm“

41- — Xm²

— Xm².

(337)

und wenn nach hm aufgelöst und der Kürze halber

X,„²

gesetzt, wird,

hm—1 ■

4 k² — xn,²

. . (338)

und xln² .

4;.² + h„_,2 ~ 41² — xm²

= B . . (339)

hm = — A + /B + A*.

Im ersten Felde ist h ersten Verticalen

. . (340) — 0, daher die Höhe der

133

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

134

2Z

h. — x, —    -    ..........

/ 4 Z- — x,:

Akit Hilfe der Gleichung (334) ergiebt sich hieraus die Höhe des zweiten, aus dieser die Höhe des dritten u. s. f. bis zur Höhe h„_i — h„ der beiden mittleren Verticalständer und somit succesive die Form des ganzen Trägers.*)

Beispiel: Eisenbahnbrücke über den Rhein bei Mainz, kleine Oeffnung. Beträgt die Stützweite 36 Meter, die Pfeilhöhe 5 Meter, die ständige Belastung 1560 Kilogr. pro Meter, die bewegliche Belastung 4780 Kilogr. pro laufenden Met. Geleise, die Felderzahl 2 n — 1 — 9, so ist

-9- — ⁴ Met., p = —g—

Für m = 1 ist A = 0, B =

• (341)

4780.4

= 9560 Kilogr. und p + q = 12680

q =

Kilogr. pro Knotenpunkt eines Trägers, mithin nach Gleichung (333)

Xmin« = —

°§- (p 4- q) • 4- = — ⁸ (p + q).

Wird dieser Werth in Gleichung (334) eingeführt, so ergiebt sich

m (9 — m)

= 3120 Kilogr.,

4    ⁶⁴ + °

/64 — 2²

xm —

mithin für m = 1,

Xm — 2,

und nach Gleichung (340) successive

hm — 2,065, 3,56,    4,53,    5,00, 5,00.

2,    3,    4,    5,

3,5,    4,5, 5,0, 5,o,

daher h₄ = 2. —= — 2,065 Met.

güt m = 2 ist A =

2,065.3,5²

64 — 3,5'

— 0,488, B — 3,5² .

64 + 2,065²

64 — 3,s²

— 16,158

daher h., — — 0,488 + /I6,i58 +- 0,238 = 3,56 Met.

IN — 3 „ A =

3,561.4,5

64 — 4,5²

— 1,648, B = V •

64 -3,56i

64 — 4,5²

— 35,49

m = 4 „ A = -5

daher h₃ = — 1,648 + /35,49 + 1,648² — 4,531 Met.

4,533.52 64 —

daher h₄ = — 2,906 +- /54,m + 8,444 — 5,00 .Met. --- 3,137, B = 52.-6^'^

52 -- 2,9058, B = 52.^-

— 54,197

5,008.52

64 — 52

— 57,103

daher h₅ — — 3,ist + |-A57,i03 + 9,84i = 5,00 Met.

*) Zur annähernden Bestimmung der Form des Pauli'schen Trägers giebt Winkler (vergl. dessen Borträge über Brückenbau, Heft 2, S. 13) die Formel:

woraus sich die in Fig. 14, Taf. 7, dargestellte Form ergiebt.

+)’]'

h-4h..p(,-4)[₁₊₂Jv₍

worin h die Trägerhöhe im Abstand x von dem einen Ende, h₀ die mittlere Trägerhöhe und 1 die Spannweite bezeichnet. Bildet nämlich die Tangente an den Punkt (x, y) mit dem Horizonte den Winkel ct,

so ist nach Gleichung (26) das Angriffsmoment x (1 — x), mithin

sec äs

Um in der unteren Gurtung die zur Vernichtung jedes Horizontalschubes über dem Stützpunkt nothwendig gleiche constante Spannung

ZmaxC - XminC

ctkn

die constante Spannung C —

~ 2y = h₀ wird, C =

so ergiebt sich y = 2h₀ (l--seca und da hierin seca -----

= !+ tg²« = 1 +    -

Wird annähernd sec« = l gesetzt, so ist y — 2h₀. |i--

x(l-x)

2y

und wenn für x =

qP

——. Wenn man diesen Werth einführt,

8h₀

zu erzeugen, bedarf es des in Fig. 11, Taf. 7, dargestellten selbstständig fungirenden Systems mit rechtssteigenden Diagonalen, für welches sich nunmehr auf demselben Wege, wie die durch Gleichung (332) dargestellte Druckspannung Xminc, die derselben numerisch gleiche Zugspannung

» + »> -tT'

^maxC -

n (n — 1)

. (342)

y 1 + tg² a ist, sehr nahe 86C tt

und hieraus = 2h„. -i-(i — 2^, daher, wenn dieser Werth

eingeführt wird, sec« = 1 + 2 (l - 2 durch dessen Substitution sich der obige Werth oon h = 2y ergiebt.

und aus Gleichung (334) der Werth

rgiebt, welche für m — 1...5 dieselben Werthe zm und hm liefert.

Zur Berechnung der Grenzspannungen in den links-

(343)

— Xm

steigenden Diagonalen dienen die allgemeinen Gleichungen (261) und (262), worin nur die Werthe lm und y,„ zu bestimmen bleiben.

Zunächst ergiebt sich aus Fig. 12, Taf. 7, leicht der Abstand lm des Schnittpunktes der beiden mitdurchschnittenen Gurtungsstücke vom Stützpunkt

Im

hm

— ml —

und hieraus, da

dm¹ =

hm    hm—i

|/a² +^(h„ + hm-₁)ä, . (345)

hm

-)

die Länge der linkssteigenden Diagonalen im mtEn Felde ausdrückt, der Hebelsarm von Ym>

xm + (m — 1) A)² + hm-i² d ₍₃₄₆₎

y m¹ -

Zur Berechnung der Grenzspannungen in den rechts-steigenden Diagonalen dienen die allgemeinen Gleichungen (265) und (266). Da hierin die Werthe lm und ym wieder aus Gleichung (344) und (346) zu entnehmen, mithin dieselben sind, so ergiebt sich Ym> max — — Ymrmin und Ym¹ min — — Ymv max.

(344>

dm¹

Die Grenzspannungen in den zugehörigen Verticalen ergeben sich aus den Gleichungen (263) und (264), worin nur noch der wagrechte Abstand lm des Schnittpunktes der beiden mitdurchschnittenen Gurtungsstücke vom Stützpunkte zu bestimmen bleibt. Zunächst besteht mit Bezug auf Fig. 13, Taf. 7, die Proportton

lm — (lm ~t~ niA)

h¹ + h₀

und hierin

hm

und

h° = lm-

= lm--

ho

hm    hm—i

hm

Für die Grenzspannungen der zugehörigen Verticalen gelten wieder die Gleichungen (267) und (268) nur mit entgegengesetzten Vorzeichen. Da aber hierin auch der Abstand ]m derselbe bleibt und alle numerisch gleichen positiven und negativen Grenzspannungen gleichzeitig wirken, so erzeugen sie in allen Verticalen die Spannung Null und es bleibt diesen nur die Aufgabe, die Totallast jedes Belastungspunktes der Fahrbahn zur Hälfte auf die obere und zur Hälfte auf die untere Gurtung zu übertragen, wodurch der Vertical-ständer in seinem über der Fahrbahn liegenden Theile die Zugspannung

Vm = +

. . (348)

daher

.2 A

h» + h₀ = lm.-

m+ 1

und in seinem unter der Fahrbahn liegenden Theile die Druckspannung

und wenn dieser Werth in die obige Gleichung für 1„, eingeführt, reducirt und nach L aufgelöst wird, jener Abstand erfährt.

2 hm

Vm = - -P-⁺-q

. . (349)

Für den obigen, hinsichtlich seiner Form bestimmten Träger ergeben sich

mj. . . (347)

Hh

1) die Minimalspannungen in den oberen Gurtungsstücken nach Formel (333)

lm =

hm—1

5.4.4

(p + q) = — 8.12680 = — 101440 Kilogr.

2) die Minimalspannungen in den unteren Gurtungsstücken nach Formel (342)

(p + q) = + 8.12680 = + 101440 Kilogr.

Xmin° — -

Zmaxe — “j"

2.5

5.4.4

2.5

3) die Grenzspannungen in den linkssteigenden Stäben nach den Formeln (261) und (262). a) Berechnung der Werthe lm, dm' und ym nach den Formeln (344), (345) und (346).

Für m = 2 ist 1, = 4 (

3,56

3,56 — 2,06

2)= 1,49; d₂> =

y4? + ~ (3,56 + 2.06 j²

= 4,89;

y₂ = 3,5.

/(1,49 + 1.4)² + 2,065²

4,89

— 4,165 Met.

137

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

138

4,53

4,53 — 3,56

ys = 4,5.

m = 5 „ 1₅

J4 =

= 4f_5_

V 5 — 5

5,83; dg¹ -----    4³ + -j- (4,53 -f- 3,56)- —

—    11,37 Met.

4) — 22,54; d₄* = |/4² + -i- (5,00 + 4,53)²

—    28,oo Met,

]/^ + -j- (5,oo + 5,oo)²

³) =

5,69;

V(5,93 + 2.4)² + 3,56*

5,69

— 4,53

_    /(22,54 + 3.4)² +~+i?

= 6,22;

6,22

»)-

00;    d₅‘ =

= 6,40;

y. = 5, L (°° + 4-4)' + 5,00* _

6,40

1,28

Met.

b) Berechnung der Maximalspannungen in den linkssteigenden Diagonalen nach der Formel (261)

1) 4) +531.1m (9 —m) (10 - m) ].

2.1.4)    + 531. 1,49.7.8] = + 10990 Klogr.

3.2.4)    + 531. 5,93.6.7] = + 11593    „

4.3.4)    + 531.22,54.5.6] = + 12661 — 5.4.4) + 531. co.4.5

Ymlmax —

Für m = 2 ist Y

—' s 1560 ( (10 — 2m)L

ym l V

kiimo<6

Jl560 (4 Jl560 (2 [ 1560 (0 . oo

max

m = 3 „ Yg¹ max —

Für m = 4 ist Y₄] max —

m = 5 „ Y,-¹ max —

— m (m —

. 1,49 —

11,37

28,00

. 5,93 —

. 22,54 —

= + 13594    „

c) Berechnung der Minimalspannungen in den linkssteigenden Diagonalen nach Formel (262).

Ym¹ min — —— s1560 s( 10 — 2 m) lm

ym L X

. Für rn --- 2 ist Y₂j min =

m = 3 „ Yg¹ min —

m = 4 „ Y₄] min —

m = 5 „ Y₅j min —

— m (m — 1) 4 j — 531 (lm + 9.4) m (m — 1)J.

4^-^ 1560(6.    1,49    — 2.1.4) — 631 ( 1,49 +    9.4)2.1    ]=    —    9207    Ktlogr.

4) Berechnung der Grenzspannungen in den rechtssteigenden Stäben nach Gleichung (265) und (266).

a) Berechnung der Maximalspannungen nach Gleichung (265)

£1560 | m (m — 1) 4 — lm (10 — 2 m) ^ -f- 531. m (m — 1) (lm + 9.4)J.

j^l 60(2.1.4— 1,49.6) + 531.2.1 ( 1,49 + 9.4)] = + 9207 Kilogr. ^1560(3.2.4 — 5,93.4)+ 531.3.2( 5,93 + 9.4)] = + 11788    „

Ymr max =

ym

Für m = 2 ist Y/max =

m = 3 „ Y₃r max =

4,165

Ol

11,37

. ¹ s1560 (4.3.4 - 22,54.2) + 531.4.3 (22,54 -+-9.4; ] = +- 13485 Kilogr. 28,oo L    J

^1560(5.4.4 — oo .0) + 531.5.4(ao +- 9.4) j = -f- 13594    „

b) Berechnung der Minimalspannungen nach Gleichung (266)

- 1560 (m (m - 1)4 — lm (10 — 2m) j — 531 lm (9 — m)(10 — m) .

1660(2.1.4 — 1,49.6) —

m = 3 „ Yg¹“min = —^ 1560(3.2.4 — 5,93.4) —531. 5,93.6.7 j

Jl560 (4 [l560 (5

03    [

Für m = 4 „ Y₄r max —

m — 5 „ Y₅r max —

Ymr min —

7m L

Für m = 2 ist Y/ min —

ff

m = 4 „ Y₄r min —

= 5 „ Y/min =

531. 1,49.7.8J = - 10990 Kilogr.

= - 11593

rr *

28,oo

.3.4_ 22,54.2) — 531.22,54.5.6

.4.4 — oo .0) — 531. co.4.5

J = — 12661

= - 13594

5) Berechnung der Spannungen in den Berticalen. a) Oberhalb der Fahrbahn

V == +- -P + 9 -v m    r 2

= +- ¹²^— = +- 6340 Kilogr.

b) Unterhalb der Fahrbahn 12680

P+JL ₌ _

-— = — 6340 Kilogr.

Die so berechneten Werthe sind in Fig. 15 zusammengestellt.

Ax +- A2 +-.... An + 1 G„ — 0.........

Aj L +- A₂ (L lj) +- . . . . Aq [L    0, +“ +™ ■ • . ■ ln— l)]    On S»    0'

Aus diesen Gleichungen ergeben sich die Gegendrücke des m‘=-' und m +- lten Auflagers

= Gn — (Aj +- A₂ -f- .... Am -f- Am-j-2 +- .... An+i) .

III. Die fortgesetzten (continuirlichen) Parallelträger.

1) Die Momente und Scheerkräfte der fortgesetzten Parallelträger.

Werden die Parallelträger über mehr als eine Oefsnung fortgeführt und derart zusammen gesetzt, daß sie zusammenhängende Ganze bilden, so sind dieselben allgemein als elastische Balkenträger mit n Oeffnungen und n +- 1 Stützpunkten zu behandeln.

Bezeichnet man mit

Am + x

Ij lz lz... ln die bekannten, aufeinander folgenden Spannweiten, mit

Ax A₂... A₆₊₁ die unbekannten, aufeinander folgenden Auflagerdrucke, mit

Gn das bekannte Totalgewicht der u Trägertheile, mit gn den bekannten Abstand ihres Schwerpunktes vom n +- lten Auflager,

so erhält man, wenn noch 1, +- L + • • • • ^ — L gesetzt wird, mit Bezug auf Taf. 8, Fig. 1, die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen gegen lothrechtes Fortschreiten und gegen drehende Bewegung

. (350) .    (351)

(352;

Am —

Y— ,,    . , ,    —j--[Gngn—(AXL+- A„(L — lx) +. ... Am_x(L — lx k ....1

(353)

L — vi +    ' ' ^m-1)    n

Am + i (L — lj — .... lm) + ••• • A„(L li — • • • . ln-l)Jr.....

wenn die Gegendrücke der übrigen Auflager zuvor ermittelt sind. Nimmt man hierzu die Gleichung der elastischen Linie zu Hilfe*), so lassen sich die n + 1 Winkel bestimmen, welche deren Tangenten über den Stützpunkten mit dem Horizont einschließen. Da sich außerdem bei der Integration für jede Oeffnung zwei Constanten bestimmen lassen, so erhält man 4n + 2 Unbekannte, nämlich n + 1 Auflagerdrucke,

Abscissenaxe bilden muß. Indem diese beiden Bedingungen für jeden zwischenliegenden Stützpunkt zweimal, sowohl für die eine als für die andere angrenzende Oeffnung, in Betracht kommen, erhält man die noch fehlenden 4n Gleichungen, welche zur Bestimmung sämmtlicher angreifenden (äußeren) Kräfte hinreichen.

Führt man zur Ermittelung der widerstehenden (inneren) Kräfte einen Schnitt durch die mtc Oeffnung und bezeichnet mit

Gx das Totalgewicht des Trägers vom ersten Stützpunkt bis zu jenem Schnitte, mit

gx den Abstand seines Schwerpunktes von jenem Schnitte, so ist mit Bezug auf Figur 2, wenn der Ursprung in dem mte" Stützpunkt angenommen wird, das Angriffsmoment für die Abscisse x

n + 1 Tangentenwinkel über den Stützen und 2 n Jntegrationsconstante,

zu deren Bestimmung außer den 2 obigen allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen noch 4n Gleichungen erforderlich sind, welche sich aus den beiden Bedingungen ableiten lassen, daß die elastische Linie durch sämmtliche Stützpunkte gehen und über jedem derselben einen gewissen Tangentenwinkel mit der

aMx Aj (lj + lg + .... lm—i    x) -f- A₂ (1₂ + 1₃    . lm—i + x) + • • • • Am_t (lm—i + x) + Am x — Gx gx (354)

und da demselben das Widerstandsmoment mindestens gleich der Abscisse x die verticale Scheerkraft sein muß,    vx = A, + Aä + .... Am — Gx. . (355)

Zerlegt man, um auch Hier die Beziehung zwischen der verticalen Scheerkraft Vx und dem Angriffsmomente »Mx auf* -zufinden, das Gewicht Gx in denjenigen Gewichtsantheil G', welcher den ersten m — 1 Oeffnungen angehört, und den Abstand g' seines Schwerpunktes von der mten Stütze besitzt, sowie in den zweiten, noch übrigen Gewichtsantheil Gx", welcher der Strecke x angehört und den Abstand gx" seines Schwerpunktes von der mtcn Stütze besitzt, so verwandelt sich, wenn der mte Stützpunkt als Drehpunkt gewählt wird, mit

*MX > aMx.

Untersucht man in allen Oeffnungen die Angriffsmomente aMx bei den ungünstigsten Belastungszuständen für eine hinreichende Anzahl von Abfassen, so erhält man die ihnen entsprechenden erforderlichen Widerstandsmomente, welche nach den für jeden speciellen Fall maßgebenden Umständen die durch Gleichung (42) bis (49) dargestellten Werthe annehmen können.

Mit Bezug auf Figur 2, Taf. 8, ergiebt sich nun für den durch die mte Oeffnung geführten Berticalschnitt mit Bezug auf Fig. 3, Taf. 8, das Angrisismoment in

aMx = A₁(l₁ + ....lm-,, + A₂(l₂ + l₃ + .... lm_,) + .... Am_i.    - G'g' + Gx" gx" + Vx.x, (356)

woraus man durch Differentiation nach x erhält    nach x ist mithin auch bei den fortgesetzten (conti*

daMx

— d Gx" .x + Vx + x d Vx.

dx

nuirlichen) Parallelträgern der verticalen Scheerkraft für die in Betracht gezogene Abscisse gleich.

In Folge der gedachten Zerlegung von Gx ergiebt sich aus Gleichung (355)

Vx = At + A₂ + ... ,Am - G' - Gx", woraus das Differential

Für den mindestens gleichgroßen, der Berticalscheerkraft entgegenwirkenden Berticalwiderstand gelten die durch Gleichung (106) bis (111) dargestellten Werthe.

dVx = -dGx",

und wenn man diesen Werth in die vorletzte Gleichung einführt, die Beziehung d *MX

Ebenso gelten für die in den fortgesetzten Parallelträgern sich entwickelnden Horizontalscheerkräste und zu erzeugenden Horizontalwiderstände die beziehungsweise in den Gleichungen (112) bis (121) und (122; bis (130) enthaltenen Beziehungen.

= d Gx". x + Vx — x d Gx" = Vx (357)

dx

erhalten wird.

Die erste Ableitung des Angriffsmomentes

*) Ueber die Ableitung der Gegendrücke der Auflager aus den Biegungsmomcnten der continuirlichen Träger vergl. die Theorieen von Mohr, Ztfchr. d. Arch. u. Jng.-Ver. für Hannover. Hannover 1860, und von Winkler, Zeitschr. des österreichischen Architekten- und Jngenieurvereins. Wien 1870.

2) Die Gegendrücke der Auflager fortgesetzter Parallclträger.

Bezeichnet man mit

p die Pressung j

die Spannung ) in der äußersten Faser für die

Flächeneinheit,

as i

den Abstand der

aP I

neutralen Axe,

t gespanntesten, Faser von der ( gepreßtesten

143

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

144

t das Trägheitsmoment des Trägerquerschnittes, q den Krümmungshalbmesser der neutralen Axe, m den Elasticitätsmodul des Trägermaterials, so ist, wenn der Kürze halber mt = s gesetzt wird, nach Gleichung (42) und mit Bezug auf Figur 4, Taf. 8, das Widerstandsmoment

-m = J-.t =    ₌ ^i

äp

Da für sehr kleine Biegungen q —

»8

— = aM. (358)

d-y

angenommen wer-

1)    volle Belastung der ersten und zweiten Oeffnung,

2)    volle Belastung der ersten, Entlastung der zweiten Oeff

nung,

3)    Entlastung der ersten, volle Belastung der zweiten Oeff

nung.

Bezeichnet man mit

1, die Spannweite der ersten Oeffnung,

dx²

den kann, so erhält man:

9» n

so ergeben sich, mit Bezug auf Fig. 5, Taf. 8, für die erste und zweite Oeffnung nachstehende Gleichungen:

. . (359)

a) Erste Oeffnung. Man erhält, wenn der Ursprung in A angenommen wird, für den Schnitt aß nach Gleichung (359)

d²y

a) Die Auflagerdrucke der über zwei Oeffnungen fortgesetzten Parallelträger.

«) Mit gleich hohen Stützpunkten.

Die in der nachstehenden Entwickelung zu Grunde gelegten drei Belastungsfälle*) sind:

dx²

woraus durch Integration

_d^_ Ax,²

dx, ~    2

= As, -

q,x,²

. . (360)

+ Const.'

dy

— tang cp, daher Const.' — «tg cp —

Ax,²

Für x, — 1, wird

qA³

Al.²

, daher

dx,

Die zweite Integration ergiebt, da Const." für x, = 0 auch y, — 0 wird,

Al,² , q, l,⁸    . Ax,»

-j- x, +    x, + —g²-

qA

Al,² ,

= £tS<P--2    +    6

e.y — ctgyx, —

q,x.

q>x,⁴

24

(361)

(362)

b) Zweite Oeffnung. Man erhält, wenn der Ursprung in C angenommen wird, für den Schnitt yd nach Gleichung (359)

s _Ü£.

dx,,²

- dy _ Cx„²

' dx„    2

q,,x„²

(363)

--q>/X»--Qonst.'

c 1 4    m ²

^---^--«tg cp, woraus

dy _ q„l„³ _ CI,,²    Cx„²    q,,x„³

dx„    6    2    2

Die zweite Integration ergiebt, da für x„ — 0, auch y,, — 0 wird,

Für x„ — 1„ wird

dy _

dx„

— — tg <p, daher Const.' — —-g

6--£tSfP-

(364)

_ q» if'J

• x„ —

_ Cx„³

2 ‘x" 6

ci„:

q„x„⁴

24--«tgyx,,,

(365)

Setzt man x, = I, in Gleichung (362) und x„ = 1, in Gleichung (365), für welche beiden Werthe y — 0 und der Winkel, den die Tangente mit der Abscissenaxe bildet, — <p wird, so läßt sich die Unbekannte tg cp eliminiren und man erhält

(366)

ci„² _ jAL ,

~~ 8 ⁻¹~ 8

ai; , _~-

3^3

*) Ueber die Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise continuirlicher Träger, vergl. Winkler a. a. O.

Die allgemeine Gleichgewichtsbedingung gegen Fortschreiten im verticalen Sinne ist

A + B + C = q, 1, + q„ 1„ . . .

Al,--9^7 = Cl„---g

Ails den Gleichungen (366), (367) und (368) ergeben sich:

und gegen Drehung um B ist:

(367)

q„V

(368)

[q"

(31/ + 41,1„)

. (1, + 1„)

j-

(1/ + 1„(51,+ 41„)

br (1; + l„)

1/ (lf + I„) _

') + q„ b, (

(369)

Ir (41, + 51„) + 1

+ 1,/

-)]■ • ■

. . (370)

q„-

(41,1„+-31,/)

(1/ + l,r)

— q„

l,³

. (371)

Für den Fall, worin die Entfernungen der Stützpunkte einander gleich sind, also 1, —1„ — 1 ist, gehen vorstehende Formeln über in

A — 2ß q,' 9',)i • - - (372) ß = -^-.10(9,+ q„); . . . (373)

br 0; + l„) J

Für den Fall, wenn sowohl die Entfernungen der Stützpunkte, als auch die Einheitsbelastungen einander gleich sind, also auch q, = q„ = q ist, so findet man:

A = 0 = ³/₈ql .... (375)

und

10

ß = -^qi

(376)

c = -Jq (⁷ q» — 9')-    -

- - (374)

a) für die Oeffnung AB und A als Ursprung:

~ A)¹'2x' + Ax,:

Setzt man die für tg rp gefundenen Werthe in Gleichung (362) und 365), so erhält man die Gleichungen für die Biegungscurve, nämlich

_3l

y' ⁼ 17

b) für die Oeffnung CB und C als Ursprung:

und

(377)

y» =

- c) V x„ + 0 x„. - v} . .

. . (378)

ß) Mit gesenktem mittlerem Stützpunkte.

Liegen die Stützen nicht gleich hoch, sondern nur die beiden äußeren, während die mittlere um die Tiefe a gesenkt erscheint, s. Fig. 6, Taf. 8,' so lassen sich die vorstehend entwickelten Gleichungen benutzen, nur hat man in die Gleichung (362) für x — 1', y — — ff und in die Gleichung (365) für x = 1" ebenfalls y = — ff einzuführen. Auf diese Weise erhält man aus Gleichung (362):

— 6. ff = -j-

q, V

q, • 1/

Al,³

24

A 1 3

+ - ₆— + etgq>b

_ _3i1L _ Ai.»

woraus:

tg9> = —

+ etgyl,,

— -}- JlI (—

s \ e

q,l,

1,

(379)

Aus Gleichung (365) ergiebt sich

— 6.ff

_ qrf 4/¹ % b*

Cl„³

cv

24

21__L

2^6

— e tg cp. x

woraus:

— q» V---_ etgcp\

g i br (q„i„ c ^

X⁺    6    3 )

tgg> —

III

(380)

io

Aus Gleichung (379) und (380) ergiebt sich nun:

Al,

CV

—-'    -i—^

3^3

ea (■

1, 4-1„

U,

1,,

(381)

Hierzu die zwei Bedingungsgleichungen (367) und (368), so erhält man:

1 s / 31/ + 4U, \

"8 1, + 1„ )

1,2 + 1„ (51, + 4l„) l/(lf + U

a = -:

b-tM

— q„

Seal

n -I

1, (1, + 1 „)

1,21

. . (382)

3e<j(l, + 1„)

12] 2

V *„

. . (383)

c = -t.

C / 41,1„ + 31„2

I M 1, + 1,

i,³

1„ (1, + 1„)

o

\\T'

(384)

über in:

Sind 1, — 1„ — 1, so gehen vorstehende Formeln

a jg (^q,* q„) “f⁻(q, + q,,)]

B = -+-

3 ea

1» '

. (385)

und

' + • (386) . (387)

r — 1 (?q„— q,) -i—ji •

Sind 1, — 1„ — 1 und q, — q„ — q, so erhält man A = C = ql +    . . (388)

10    ,    6« o /

-g-qi    j—•

Aus. vorstehenden Gleichungen, welche aus zwei Abtheilungen, deren erste von a abhängig ist, bestehen und mit den aus dem Träger mit 3 gleich hohen Stützpunkten entwickelten übereinstimmen, deren zweite von a abhängig und für A und C positiv, für B negativ ist, ergiebt sich, daß die Auf-

[(¥

lagerdrucke innerhalb gewisser Grenzen, welche besonders von der Elasticität des Materials und der Form des Trägers abhängen, regulirt werden können. —

Sollen z. B. älle Drücke auf die Stützen gleich sein, so sind die sich entsprechenden Werthe von A, B und C einander gleich zu setzen und die Verhältnisse zwischen 1, 1„ q und a zu suchen, welche sich hieraus ergeben.

Für den. Fall, wo die Stützweiten und Belastungen beider Felder einander gleich sind, erhält man

6«<7

und

(389)

woraus man findet:

y>⁼ o«

für den Theil BC mit dem Coordinatenanfange in C

A^ 1,2x + Ax³ -j^k. _ c) l„2x + Cx³

7 ql1 a — 72.«

Setzt man die in Gleichung (379) und (380) für tgq> gefundenen Werthe beziehungsweise in die Gleichungen (362) und (365),' so ergiebt sich für den Theil A B mit dem Coor-dinatenanfange in A

H

— 7p-X,

(390)

(391)

^ ⁼ 67

Liegt endlich die Zwischenstütze B höher als die Endstützen, so ist die Größe a negativ in die vorstehenden Gleichungen einzuführen.

T*¹]

(392)

b) Die Auflagerdrucke der über drei Oeffnwngen fortgesetzten Parallelträger.*)

a) Mit gleich hohen Stützen.

Die der nachstehenden Entwickelung zu Grunde gelegten fünf Belastungsfälle sind:

- r.x. .    .    .

1)    volle Belastung der drei Oeffnungen,

2)    volle Belastung der beiden Seitenöffnungen, Entlastung

der Mittelöfsnung,

3)    volle Belastung der Mittelöffnung, Entlastung der bei

den Seitenöffnungen,

4)    volle Belastung der Mittel- und einer Seitenöffnung,

Entlastung der anderen Seitenöffnung,

5)    volle Belastung einer Seitenöffnung, Entlastung der

Mittel- und anderen Seitenöffnung.

Bezeichnet man mit

*) Ueber die Auflagerdrucke von Trägern mit mehr als drei Oeffnungen, vergl. u. A. Schmidt, Zusammenstellung von Formeln ic. in Allg. Bztg. 1867, S. 138 ff.

1, 1₂ lj die Spannweiten der ersten, zweiten und dritten Öffnung,

q i q₂ q₃ die Belastungen der ersten, zweiten und dritten Öffnung,

so ergeben sich mit Bezug auf Figur 7, Taf 8, für die erste, zweite und dritte Öffnung nachstehende Gleichungen:

a) Erste Öffnung. Man erhält, wenn der Ursprung in A angenommen wird, für den Schnitt aß, nach Gleichung (359)

däy 6l dl?

woraus durch Integration:

‘■ik= J^L-SlzL + c°™'-- w

Für x, — I, >vird ^    — tg cp.,, mithin ist

Const. —

q.x?

AI? ,    .

+ etg cpi

und wenn ihr Werth in Gleichung (393) eingeführt wird,

q.V

dy _ Ax

£'~dx? ”    2

q.x?

, q.i,

'1_ 6

Al?

2    + stS?2

(394)

Wird nochmals integrirt und berücksichtigt, daß für x, = 0, y == 0 wird, mithin die Constante verschwindet, so erhält man

AxjL _ q»xi⁴

£y = 6

Da für x, — 1, y = 0 wird, so erhält man:

24

x,l

Al²

xi--+ x, etg cp.

(395)

q, l]

.    Al,²

etgcp, = —g-

und wenn dieser Werth in Gleichung (395) eingeführt wird, die Gleichung der Biegungscurve:

- A) l,² Xl + AV-^-. V ]•

. (396)

(397)

b) Zweite Öffnung.

Man erhält, wenn der Ursprung in B angenommen wird, für den beliebigen Schnitt yd

«•    = A(l, + x₂) + Bx₂ — q, 1, (^- + x₂)

q₂x₂²

(398)

Durch Integration erhält man

— A l,x₂ -s

q. l,

B. x₂²

Ax?

x₂²

---f- Const.

Da für x₂ — 0, 7*y- — tg <p₂ wird, so ist Const. = e tg cp₂, und wenn dieser Werth eingeführt wird,

L. -y-

d x₂

Durch nochmalige Integration, wobei zu berücksichtigen ist, daß für x₂ = 0, y — 0 wird, mithin die Constante verschwindet, erhält man:

dx₂

2--h

2—-x₂

Ai . Ax? = A1, x₂ H--^

Bx?

qti

qi x__

2 ² 2

. X₂

^_ + £tgy₂. . . (399)

A1, x₂²

2--h

AV_ ,

6^6

Bx? _ _q, V

<l22l--7 x₂£tgy₂. . (400)

Wird der Werth von etgcp ans Gleichung (396) eingeführt, so erhält man die Gleichung der Biegungscurve im zweiten Felde

[(

³¹i3l) 1,²x₂ + 31, (

£-) x2² +(A + B

— qi ii)x₂³ —

q„ x₂

-].    . (401)

y2 = "67 c) Dritte Oeffnung.

Nimmt man den Ursprung in D an und vertauscht in Gleichung (397) 1, mit 1₃, x, mit x₃, q, mit q₃ und A mit D, so ergiebt sich die Gleichung der Biegungscurve in der dritten Oeffnung

D) 1₃²x₃ + Dx₃³--^-x₃⁴ j

[(^

Setzt man in Gleichung (400) x₂ — 1₂, so wird y₂ = 0 und man erhält daraus

⁷³ ~

io*

151

152

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen.

- -3^ -    ^ + *tgcp,,

. Al/ . Bl/

6 i" 6    6

und wenn der Werth von etg<jp₂ aus Gleichung (396) substituirt wird,

Ml , AU

3^2

Wird hierin 1, mit 1₃, q, mit q₃ und A mit D vertauscht, so ergießt sich:

Dl/ , BL/

6 6

Die allgemeine Bedingung für das Gleichgewicht der Kräfte gegen lothrecht fortschreitende Bewegung ergiebt

A + B + C + D = q, 1, + q₂1₂ + q₃13.........

das Gleichgewicht gegen drehende Bewegung, in Bezug auf die dritte Stütze als Drehpunkt, erfordert, daß A(l, + la) + Bl, - Dl₃ = qi 1,    + 1₂) + ^

Aus den vorstehenden vier Gleichungen lassen sich die vier Auflagerdrucke bestimmen und man erhält allgemein:

A1.1

Dl/ P1₃12 3    "t"    2

Al/ . Bl/

6 ^ 'T~6~ 8

9i ii 1/

4313I/

q₃ i₃²4

24

q-2 1/

= 0.

. (403)

24- = 0. . . (404)

(405)

(406)

2q, 1/(31,1₂ -f- 31, 1₃    31/ -f~ 41₂1₃) — q₂1₂³ (1₂ —f— 21₃) —(— q₃1₂1₃

41, (41,1₂ —f— 41j J₃ + 41₂ J₃ -f- 31/)

6 q, 1,²1₂ -f~ 4 q,1,1/ -j- q₂1/ -f- 3 q, 1/ — 4 A (3 4 1₂ -j- 1/ ~t~ 2 I/)

(407)

41/

. . (408)

O — q, 1, + qg la + q₃1₃ — (A + B + D), A (1, + 1₂) + Bl₂ — q, I, ^1₂ + -g-j

-z__1    q₃ i₃²

2    '    2

q₂l/

(409)

1₃

(410)

Werden die beiden Endfelder einander gleich, so wird 1₃ — 1, und aus vorstehenden Formeln ergiebt sich:

_ 2 q, 1/ (31/ + 71,1₂ + 31/) - q₂1/ (21, + 1₂) + q₃1,³ lg 41/21, +1/(21, +31.)

ß _ 6q, 1/1₂ + 4 q, 1,1/ + q₂l₂³ -f- 3 q, 1,³ — 4 A (31,1₂ lg² ~f~ 21,²)

. - (411)

41/

• - (412)

C — 2 qt lj + q₂1₂ — (A + B + D).    . '

A(l, +l₂) + Bl₂-q,l₁ (l₂ + A)

(413)

qgig

1;

(414)

Liegen die Stützen in gleicher Entfernung, so ist 1, — 1₂ — 1, --- 1 und man erhält A = -±-(26qi-3q₂ + q₃),. . . (415)

(13^i -f- 11 q-2    2 q₃), . . (416)

A = D = -^-Iq, .... (419)

11

60

B = C = -^-lq, • .

. . (420)

C — .0q (— 6q, + 33 q₂ + 39 q₃), . (417)

00“ (9i—3q₂ + 26 q₃).    . . (418)

Werden endlich auch die Belastungen einander gleich, also q, — qg — q₃ — q, so ergeben sich die Auflagerdrucke

ß) Mit gesenkten mittleren Stützpunkten.

Liegen die Stützen nicht gleich hoch, sondern nur die erste und vierte, während die zweite Stütze um die Tiefe <7, und die dritte Stütze um die Tiefe a.z gesenkt ist, s. Fig. 8, Taf. 8, so erhält man für

a)    die erste Oessnung', wenn der Ursprung in A angenommen wird,

_ , dyi _ Ax    Ji?i

- AXi r

b)    die zweite Oeffnung, wenn der Ursprung in A angenommen wird,

- e.d8y»

dx₂²

— Ax, + B(x₂ — 1,) —

(2x, — I.)--(x, — l,)⁴,

c) die dritte Oeffnung, wenn der Ursprung in D angenommen wird,

- £A²1s

dx₃²

Werden diese Gleichungen integrirt und dabei berücksichtigt, daß für x, — 1 — tgy₃ und y4 = — cr₂, für Xz = 1₃,    —

1i^-0i+1₂K _ <h¹l_(31i(ll + 212) + 4V)+ ^

= Dx,

q₃ x₃

dy₂

X4 — la' “dx

i, = tgy₂ und y, = — <t„ für — tgy₃ und y₃ = — ffi werden, so ergiebt sich

S(

1,1₂

24

24

und

•(

I3 °1 - (ll +" I3)

^ Qi ~f~ ^3) (lg + 21₃)^

-    . (422)

q₂J2³

) — q₃ l₃ ^ 31₃ (2 J₂ + 1₃) -f- 41₂² j

Die allgemeine Bedingung für das Gleichgewicht der Kräfte gegen lochrecht fortschreitende Bewegung ergiebt

A +- B -{- C + D = q, 1, + q₂1₂ + q₃1₃,.........

ti"

24

— I)

(423)

und gegen drehende Bewegung, in Bezug aus die zweite Stütze als Drehpunkt,

qi li⁴ _ q₂l₂⁴

Al, +C1₂-D(1₂ + 1₃) =

OM—?'

)• ■ •

. . (424)

= [408] —6k

= [409]—6 £

Aus diesen 4 Gleichungen lassen sich die Gegendrücke A, B, C und D durch Elimination bestimmen. Die Ausdrücke, welche man für dieselben erhält, bestehen wieder aus je einer Abtheilung, welche von den Ordinalen a und o‘ abhängt, und aus je einer Abtheilung, welche von denselben unabhängig ist und mit den gleichnamigen Werthen in Gleichung (407), (408),

(409) und (410) vollkommen übereinstimmt. Bezeichnet man die letzteren Abtheilungen beziehungsweise mit [407], [408],

[409] und [410], so erhält man:

[407] + 6e[

sc, [1,1, (1, (21, + 3 la)+V) + 1, (1, + 4) (1J31, + 3 4) + 21, (1, +1,))]

L    l.VI,(41,1,+41,13+441,+31,*)

[«»[U[1^+1.(34+213)]+!,(4+1»)[21,(4+ii)+i«(a4+8i^]]-«i[Gi‘+U.)P,C8¹₁+8i,)+i.*]+i,],E4(si, +2i,)+2i₁(i,+uiTj (42?) [410] + 6s [

Liegen die beiden mittleren Stützen gleich hoch, so ist <7, = <r₂, daher

ß £

A = [407] +

^3 °l p2 (3^1 + 2 lg) + 2I3 (lx + 1₂)J - lj Oy, [lg² + I3 (31₂ -f- 21₃)]

li² j‘2^3 (41i 1₂ H“ 41x 1₃ + 41₂ 1₃ + 3 1₂³j

—ö*[((li*+4 4)P»,+i»(*l»+2l.)]+li*

(425)

[²4(4+4)+4(24 + 34)l1j (426)

1, o₂ [21, (1₂ -f- 1₃) +-1₂ (2 lg —31₃)] — 1₃ <7, [L² +-1, (21,    31₂)]

1₂13⁴ [41,1₂ +- 41, i₃ +- 41₂1₃ +- 31₂²)

]■ •

. (428)

li²L

<7 (21₃ (1₂ -)- I3) li 1₂)

41i I2 + 41t 1₃ + 41₂1₃ + 31₂

r>

ß = [408J + -

1,21.2 I

r(

2 1₃²0i + I2) + l₂².(21₃ — li) + 31j 1₂ (1₃ — lx) — 2^³

" 41,4 + 41,1₃ +41₂1₃ + 3L/

C = [409] —

6 € CF

1112 h J2 h

21,²(1₂ + 1₃) + 12²(21, - 1₃) + 31.2 13(1, - 1₃) - 2I3³

4 li I2 + 41,1₃ + 41₂1₃ + 31.₂‘²

D = [410] +

6e

I    1 2

II    *3

0 (2 li (1, + 1₂) — 1₂1₃)

4 li 1₂ + 4 \i 1₃ + 41₂1₃ +31

. (429) . (430) - (431) .... (432)

•> ■

Liegen die mittleren Stützen gleich hoch und sind außerdem die Endselder gleich, so ist für I, — 1₃

6s ö

WVW '

6sff

"TOW' '

6s(7

l₁»(21v+31t) '

6s(7

WVFW' '

Liegen die mittleren Stützen gleich hoch und sind alle Felder gleich, so ist für 1, — 1.₂ = 1₃ = 1

A = D =

A — 00 ß*6 qi — 3q, + q₃| +

6s <7

. (437)

A = [411] +

B - [412] —

C = [413 ] -

D — [414] +

- (433)

• (434)

. . (435)

. (436)

3V(1, +21,)-1,³

B —    [13qi    11 62 2q₃J —

C - 20

[— 2 q + 11 q, + 13 q₃] —

D — OO' hl — 3 q, + 26 q₃] —

•q +

51,2(1, +2U +v (61, + 1,)

41,(21, +31,)    q

Sind alle drei Felder gleich belastet und gleich, sowie die Senkung der Zwischenstützen gleich, so ist

6sö

'M³™' •

41, (21, + 31₂)

A — D — 0,4 ql +

. . (443)

6 sff

öl³ '

(438)

6s a

ol₃

6stf

öl₃ •

(439)

. (440)

Sind alle drei Felder gleich belastet, also q, — q, — q₈ = qr ferner 1, — 1₃ und ff, — a, so werden die Gegendrücke der beiden äußersten und der beiden mittleren Auflager gleich, nämlich 6s<r

P(21, + 31,)'

(441)

6sö

(442)

V(21₃ + 31,) läge, welche von großem Einfluß auf die Materialspannungen in dem Träger sind, zu bringen, und in demselben zu erhalten, seltener oder, wo dies geschieht, vorzugsweise als Gitterträger über 2 bis 3 Oeffnungen ausgeführt.

B == C = 1,1 ql +

6 sff

51³ ‘    •

. . (444)

Sollen bei gleicher Belastung, gleichen Endfeldern und gleich hohen Mittelstützen die Auflagerdrucke gleich sein, so sind die Werthe (441) und (442) einander gleich zu setzen und man erhält

a) Die über zwei Oeffnungen fortgesetzten Parallelträger.

a _ qli [V + I, 1,(21, +31,) +l,³]

24 s

(445)

Sind außerdem die 3 Stützweiten einander gleich, so erhält man für einen gleichen Gegendruck der Auflager die Senkung der beiden Mittelslützen

ff = -7q!l 24s

. . (446)

3) Statische Berechnung der fortgesetzten (conti-nuirlichen) Parallelträger.

Die fortgesetzten Parallelträger werden wegen der Schwierigkeit, ihre Stützpunkte in die beabsichtigte gegenseitige Höhen-

aM, — — A (1 — x) + g

woraus durch Differentiation:

daM,

dx

Es bezeichne

1 die gleiche Entfernung der Stützpunkte, p die ständige q die bewegliche g = p + q bte ganze aM, das Angriffsmoment V, die verticale Scheerkraft

Belastung pro Längeneinheit,

in der Entfernung x vom mittleren Stützpunkt,

A, B, C den Gegendruck in dem linken, mittleren und rechten Stützpunkte.

Erster Belastungsfall. Wenn der Träger über beide Oeffnungen mit dem Gesammtgewichte belastet wird, so ist nach Gleichung (375) und (376)

A = -|-gl = C und B - Agi

und mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Figur 9, Taf. 8,

(1 - x)² _ JL/Ji

' ~ 2 \ 4

Qo, cn

>)

— g(l-x) = g(x —

Für X — 0 ist aM, = g.i- und V, — 4-gl,

max    o    max O

f1 ist = 0,

t-ix+4 . .

---V„ daher V,-§^l-x).    .

. - (447)

. (448)

16'-gT und V,

4l ist ¹ Mj = - ⁹

ö    min

X — I ist aM₁ — 0 und V, —

= 0,

Für x =

3    ,

8~ g ‘

Wird in vorstehenden Ausdrücken p statt g gesetzt, so ergeben sich die entsprechenden Werthe für die Belastung des Trägers nur durch das Eigengewicht.

Zweiter Belastungsfall. Wenn der Träger nur über eine Oeffnung mit dem Gesammtgewicht g belastet wird,

so ist

y₆ (7g — P). B = (g + p)l uni? C = ~ (⁷ P ~ und mit Rücksicht auf die Bezeichnungen in der Figur 10, Taf. 8, für die

‘M₂ = — A (1 — x) + g

a) mit g belastete Trägerhälfte

; (i - x)²

—    L ( g + p

-    2 V 8g

9g + P

8g

•Ix + xä), . .

- (449)

woraus durch Differentation:

daM₂

dx

= A — g (1 — x) =--(9g + p)l + gx = — V₂, mithin

V, =-^-(9g + P)l-gx.......

x = 0 ist aM₂ = jg (g + p)P und V^ =    (9 g + p) 1,

x=^±'E.|ift»Mä =

9g + P

(450)

ir

ff

o,

ff

16 (■

rr

-(V)

x = 1 ist aM₂ = 0 und v₂ = — -L (7g - p)l.

1 i aM

5— und V₂ — 0,

8g

b) mit p belastete Trägerhälfte.

Wird in den Gleichungen sub a) p statt g und g statt p gesetzt, so ergiebt sich

P_/PL+K .12 2 V 8p

jq- (9 p + g) 1 — p x.

9p + g

8p

- Ix + x¹j,

(451)

- (452)

Für x = 0 ist aM₃ max = yg- (p + g)l² und V₃max — yg- (9 p + g) 1,

= 0,

= o,

„ x == 1 ist ¹ M₃ = 0 und V3 = — -jg- (7p—g) 1.

Die hier erhaltenen allgemeinen Werthe von aM und V sind auf Taf. 8 in Figur 11 und 12 zusammengestellt. Beispiel. Bei der Eisenbahnbrücke über die Mosel bei Coblenz¹) s. Taf. 9, Fig. 1 bis 13, beträgt annä-

159

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructioncn.

hernd die Spannweite 1 = 43 Met., die Belastung j> = 1900 Stiegt., q — 3200 Kilogr. und g — 5100 Kilogr. pro lauf. Meter, daher ergiebt sich mit Bezug auf die vorhergehenden Belastungsfälle:

g- .43    - 10,75 und x =    1 = -g-43

⁵:i^-.x + x²) — 2550(462,25 — 53,75 x + x²),

160

— 26,875.

-*(■

V, = g(-

aM

lO GO

xj = 5100 (

.43 — x

— 5100 (26,875 — x),

(g + p) 1    7000    43    _

°    -- ------5- — 7,38 und X — —T-

9g H- p

47800.43

' 8 — 5100 ’ 8

16

16.5100

— 25,19,

aMä

47800.43

7000

8.5100

.43' —

47800.43

8.5100

• x + x² j —

— 2550 (317,23 — 50,377 x -f- x²),

v2 = 3g- (9g + p) — gx =

_ _ (P + g) J__

‘ 8    1900 ' 8

7000    43

16

— 5100x = 128462,5 — 5100.x,

M₃

— - 19 80 und X - ^ (9p+ g) ,43 22200 ° —    ' UIt6 16' p ~ 16' 1900

22200.43 8.1900 "

= 31,30,

7000

8.1900

.43'-

X + X²)

22200.43

— 950 (851,51 — 62,8 x x²),

— 1900 x = 59662,5 — 1900.x.

V₃ =    (9p +g) — px =

Werden vorstehende und einige laufende Werthe von x eingeführt, so ergiebt sich nachstehende

16

Tabelle der Angriffsmomente aM und Verticalkräfte V.

aM,

V,

aM

V₂

aM

V₃

7.38

10

1178737

557175

306102

63112

10,75

15

19,80

20

25

25,19

26,875

30

31,401

35

40

303450

535398

542512

654075

655783

663000

638137

600827

494700

223762

137062

111562

99424

86062

82237

60562

36082

35062

808936

230392

9562

8593

43

15938

23078

41438

66938

82238

220677

277338

544221

734896

740290

808834

808936

801694

749904

710455

574448

239539

128462

102962

90824

77462

73637

51962

27482

26462

808935

534384

420384

307334

277372

127784

4265

962

8600

24538

31677

50038

75538

90838

88815 91086 — 108281

—    126834

—    127728

—    115415

—    57465

59662 50162 45640 . 40662 39237 31162 22049 21662 12162 11801

8600

2662

6838

—    16338

—    22038

Bezeichnet

f den wirksamen Querschnitt einer Gurtung in □ Centim., b den Abstand der Gurtungsschwerpunkte, h den Abstand ihrer äußersten Fasern,

8 — p die zulässige Anstrengung für den Q Centim. der Gurtungen,

so ist nach Gleichung (150)*) das Widerstandsmoment des Trägers *) Vergl. Civilingenieur. Bd. XIV, Sp. 392.

b-

"M = sf-r-, n

mithin, da dasselbe dem Angriffsmoment mindestens gleich werden muß, jener Flächeninhalt

f =

Horizonte einen Winkel von 45° bilden, gewählt, so ergiebt sich nach Gleichung (265)*), worin m — 2 zu setzen ist, deren Spannung oder Pressung

8 =

. aM.

s.b²

Wird im Mittel b — 3,68°°, h — 3,86m und s = 730000 Kilogr. pro □ Met. gesetzt, so ist für □ Met.

2 / 2

also, wenn deren Querschnitt mit q und seine Anspruchna hme pro □2)Zet. mit s bezeichnet wird,

3,86

7300000.3,es'²

. aM = 0,000000039 aM,

2/2.8    2 / 2.7300000

mithin für □ (Sentim.

= 0,0000000484 . V,

mithin für □Sttet. f — 0,00039.aM.

Die Querschnittsflächen einer Gurtung in □ Sentim. werden mithin durch Multiplication der obigen, in Meter-kilogr. ausgedrücktem Angriffsmomente mit dem Factor 0,00039 erhalten.

Wird ein doppeltes Gittershstem, dessen Stäbe mit dem

q — 0,000484 . V,

woraus folgt, daß die erforderlichen Querschnitte der Stäbe in □ Seit tim. durch Multiplication des Factors 0,ooo484 mit den berechneten Verticalkräften erhalten werden.

Werden die so ermittelten Werthe von f und q nach Abscissen geordnet zusammengestellt, so ergiebt sich nachstehende

Tabelle der Querschnitte der Gurtungen und Gitterstäbe.

Erforderlicher Querschnitt der Gurtung in □cm- Erforderlicher Querschnitt der Gitterstäbe in □cm-

Abscissen

in

Meter.

für gleichmäßige Belastung

für einseitige Belastung

für gleichmäßige Belastung

für einseitige Belastung

p = 1900k8g = 5100 k« p = 1900 k8g=5100k8p= 1900 k* g = 5100k& p = 1900k«jg—5100k«

O iO O O iO m O £2    «i⁻ O th iO O CO

a>

L"- CO ^

316

209

164

120

108

50

35

36

42

49

50

45

22

CO

OOOOCOCOt— COOODCOOt^-iOOO ■f—^ v—( V—t oi I "• OQ OO

CO co CO Ol !M ^

TT

M o CD

GO CO

CM

t> ^ CO (M O O O O ^    70

00

rfJk. W M) m

OK)hmCOO^^CO

Hieraus erhält man die auf Taf. 9, in Fig. 5 und 6,    12 und 13 diejenige der unteren Gurtung , während Figur

7 und 8 enthaltene graphische Darstellung der erforder- 11 Austheilung bcr 4 Sorten Gitterstäbe in der fraglichen Qucrschnittsflächen der Gurtungen und Gitterstäbe, in wand zeigt, deren Querschnitte in den Figuren 14, 15, 16 welche letztere zugleich die ausgeführten Querschnittsflächcn und 17 dargestellt sind. der Gurtungen und Gitterstäbe eingetragen sind. Die Fi- j —-guten 9, 10 enthalten die Anordnung der oberen, die Figuren

*) st. a. O. Sp. 411.

11

b) Die über drei Oeffnungen fortgesetzten Parallelträger.

Zur Ermittelung der größten Angriffsmomente und Ver-ticalkräfte werden drei gleiche Oeffnungen und folgende vier Belastungsfälle zu Grunde gelegt.

Erster Belastungsfall. Der Träger ist über alle drei Oeffnungen mit dem Gesammtgewicht g belastet.

In diesem Falle beträgt nach Gleichung (419) und (420) der Auflagerdruck:

4    , _ n p _ 11

10 ® D, B jq

1) Für die erste Oeffnung erhält man mit Bezug auf Figur 13, Taf. 8, das Angriffsmoment

“M, = Ax —

gl = c.

(453)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird, die Verticalkraft daM,

dx

= A-gx = g(-±l-x)

— 0. X — -är- 1.

und für V

10

= V„ . (454)

Für x ^ 0 ist aMj = 0 und V, = ^ gl,

4

-Tp 1 ist aM, max —

g-

. P und Vj = 0,

" * — 10

„ X — 1 ist aM, = — gP und v, = — ~ gl.

2) Für die zweite Oeffnung erhält man das Angriffsmoment

»M₁ = Ax+ß(x-l)-g^ = -}/^P-3.k + x*), .    .

100

. . (455)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird, die Verticalkraft

d aM,

-j-- = A + B-gx

und für V, — 0, x — Für x — 1 ist “M, — — g.

3

„ x = -g-1 ist aMj max =

„ x = 21    „ aM

/ 31 x

= g(-2--X) =

JL i 2

Vx

(456)

P

-jq und V, g -50 und V, — 0,

= «T'

= ~ glö und Vx = - gT.

Zweiter Belastungsfall. Der Träger ist über die beiden Seitenöffnungen mit g und über die mittlere Oeffnung mit p belastet.

Der Auflagerdruck beträgt

11

A = 20 (9g — P) = D/ B = 2Q (g + p) 1 = C.

1) Für die erste Oeffnung erhält man mit Bezug auf Fig. 14, Taf. 8, das Angriffsmoment

1

q ^-= 2ö (9g - p) x — g-^- . . .

aM₂ — Ax —

(457)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird, die Verticalkraft

daM₂

dx = A - gx = 2Ü (9g - p) - gx = V,......

(⁹ - f>

Für x — 0 ist aM₂ = 0 unb V₂ =    (9g — p),

— ist aM₂max = göO”g" (⁹ g    P)² und V₂ — 0,

und für V₂ = 0, x = -g—

9g-

. . (458)

Für x — I ist aM₂ = — -gg- (g + P) und V₂ =--- (11g — p).

2) Für die zweite Oeffnung erhält man das Angriffsmoment

— Ax + B(x — I) — gl (x--— p( X y ¹ ) = — -^-(g + 21p) + j plx —-|-x²

und wenn diese Gleichung differentiirt wird, die Verticalkraft daM₂

(459)

dx

= A + B — gl — p(x — 1) == P (y 1 — x j = V₂ .    .

und für V₂ = 0, x = -|-1.

Für x — I ist aM₂ —--- (g + p) und V

„ x = ~ ist aM₂max —--^-(2g — 3p) und V₂ = 0,

_ pl

■> —

. . (460)

l²

x = 21 ist aM₂ =---2Ö (g + p) und V₂ = —

Pl

Dritter Belastungsfall. Der Träger ist über der mittleren Oeffnung mit dem Gesammtgewicht g und über den Leiden Seitenöffnungen mit p belastet.

In diesem Falle ist durch Vertauschung von g mit p und von p mit g in den vorhergehenden Gleichungen der Auf

lagerdruck:

111

2Q“ (g + P) = C-

1) Für die erste Oeffnung erhält man mit Bezug auf Fig. 15, Taf. 8, das Angriffsmoment

= Ax —p^-= -^-(9p —g)x —

A — i (9 p — g) = D und B —

«M.

px²

(461)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird, die Verticalkraft

d«M,

dx = A — px =    (9p — g) — px = V, . .

und für V₃ = 0, x = jq-(9

Für x — 0 ist aM₃ — 0 und V₃ = ~ (9p — g),

..    1 ⁹P —g

"    20 ‘ p

„ X = 1 ist aM₃ =--gjjy (p + g) und V₃ = — -g-j- (11 p — g).

ist aM₃ max —

L)

p /

l²

800 p

. . (462)

(9 p — g)² und V₃ — 0,

2) Für die zweite Oeffnung erhält man das Widerstandsmoment

(x - 1? _ ,

= Ax + B(x — 1) — pl ^x —

und wenn diese Gleichung differentiirt wird,

daM,

*M,

g- 2

= A + B — pl — g (x — 1) = g (~ 1 — x) = und für V₃ = 0, x =

Für x — 1 ist aM₃ = — -20 (P + g) unb V3 = g ~2>

dx

V* . .

. . (464)

u*

31

l²

Für x — -g— ist sM₃max =--^ (2p — 3g) und V₃ = 0

„ x = 21 ist aM₃ —--~~ (g + P) und V₃ =

Vierter Belastungsfall. Der Träger ist über die erste Seitenöffnung und Mittelöffnung mit g, über die andere Seitenöffnung mit p belastet.

In diesem Falle ist der Auflagerdruck

-Sy

60 (72g~6p)'

A = “60 (²³S + P)' B = -jQ-(12g —p) =-

C = ~W(27s + ³⁹P)' D = W(26P - 2g).

1) Für die erste Oeffnung erhält man mit Bezug auf Fig. 16, Taf. 8, das Angriffsmoment

sf- -l«²⁸*+?>•--¥

aM₄ = Ax —

(465)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird, die Berricalkraft

daM₄

— A — gx — -₆-ö- (23g + p) — gx = V₄ . .

und für V₄ = 0 ist x = ~(23 +

Für x — 0 ist aM₄ — 0 und V₄ — -^y (23 g + p),

_ 1

" x ~ 60

„ x = 1 ist aM₄ = —    (7 g — p) unb V₄ = —    (37 g — p).

dx

. . (466)

(²³+ih‘

aM₄ max =    (23 g + p)J und V₄

= 0,

2) Für die zweite Oeffnung erhält man das Widerstandsmoment aM₄ — A x + B (x — 1) —

gx2 2 —

l²

--60 (72g —6p) +

60

(95 g — 5p)x —

gx²

. . (467)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird, die Verticalkraft

d aM₄

dx = A + B — gx = -gQp (95g — 5p) — gx = V₄ .

. • (468)

«»MÜ,V. = 0i[tx = i(95-5i). gür X 1 ist aM₄ —--Io (7 g — p) unb V₄ =    (7 g — p),

[^l95g-&p)r-i<12g-p⁾

aMt max — -5—

⁴    2g

rr

60 (⁹⁵ - ⁵t) ist

„ x == 21 ist aM₄ —---(S + 2p) und V₄ =--(5g + p).

Fünfter Belastungsfall. Der Träger ist über die erste Seitenöffnung mit p und über die Mittelöffnung und die letzte Seitenöffnung mit g belastet.

In diesem Falle ist der Auflagerdruck

A =    (26p — 2g), B =^7r(27g + 39p),

C =    (72g-6p), D = w(23g + p).

1) Für die erste Oeffnung erhält man mit Bezug auf Fig. 17, Taf. 8,

aM₅ — Ax--^2

PXi =4 (26p 2g)x

px²

(469)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird,

daMs

dx

— A — px — gö"(26p — 2g) — px = V₅

(2S-P-S.).

und für V₅ = 0 ist x = -gQ

Für x — 0 ist aM₅ = 0 und V₅ —    (26 p — 2 g),

(26 —    ist aM₅max ----- ¹^26p ~ 2g)-'

60

7200.p

und V₅ — 0,

x = 1 ist aM₅ = — -gö (4P + 2g) und Vz ------ >öö- (34p + 2g).

2) Für die zweite Oeffnung ist:

(470)

aM₅

= A x + B (x — 1) — p 1 (x

(x — l)²

2) g 2

— w(57g + 9p) ⁺ i(5p+85g)x-T-x2(⁴⁷i)

und wenn diese Gleichung differentiirt wird d aM₅

. . (472)

dx = A + B — P¹ — g<x —D = ßö(85g + 5p) —gx = V₅ .    .

und fÜT V = 0 ist x = ^ (85 + 5^).

Für x — 1 ist <M₅ —--(4p + 2g) und V₅ — ~ (25g + 5p),

J_(₈₅ + ö|) ist aM₅ max = ~ (i^+⁸|gl? - (5g + 9p)) und V₅

„ x = 21 ist aM₅ = — 4) (⁷g - P) und V, = — ”(35g — 5p).

Oeffnung 71,46 + 4,54 — 76 Met. und das ständige Gewicht**) p — 3000 Kilogr. pro lfd. Met., während das bewegliche Gewicht***) q — 4000 Kilogr. pro lauf. Met. jedes Geleises angenommen wurde.

Die vorstehenden Zahlenwerthe sind in die zuvor entwickelten Gleichungen für x, aM und V einzuführen.

ff

= 0,

Die hier erhaltenen allgemeinen Werthe von aM und V sind auf Tafel 8, Figur 18 und 19 zusammengestellt.

Beispiel. Bei dem in der Linie Hall-Crailsheim der Württembergischen Staatsbahn erbauten Viaduct über das Kocherthal,*) siehe Taf. 9, Fig. 18 bis 32, beträgt die lichte Weite jeder der drei Oeffnungen 71,46 Meter, die Dicke der Mittelpfeiler 4,54 Met., daher die Stützweite 1 jeder Erster Belastungsfall.

2) Erste Oeffnung:

⁼ F;1 = TÖ'76 = 30'⁴' x = jjj 1 = Jq-76 = 60,8 unb x = 1 = 76 Met.

Schienen sammt Belag

2340

= 390

*) Vergl. Klein, Samml. eiserner Brückenconstructionen. Stuttgart 1871. Lfg. 7 u. 8. S. 44 ff.

**) Das Eigengewicht jedes Brückenträgers von der Länge 1 = 76 Met. beträgt

a) der Eisenconstruction

120000

2 X 3 X 76 b) der Schwellen und 6 Met. langen

- ----- 2630 Kilogr.

zusammen = 3020 Kilg. rot. 3000 Kilg. ***) Als Verkehrsgewicht wurde eine im Dienststande befindliche württembergische Güterzugslocomotive schwerster Klasse von 56000 Kilogr. und 13,8 Met. Länge zwischen den Buffern zu Grunde gelegt, mithin pro laufenden Meter eines Geleises    •

56000

13,8

— rot. 4000 Kilogr.

aM

V,

(i-1 = x)x = ^(l .76 —x)x = 3500(60,8 - x) x, = g (₁₀ 1 - x) = 7000 (A.76 -x) = 7000 (30,4

_ _g

— 2

— x),

daher für x — 0, aM

„ x — 30,4, aM, — „ x = 76,

2) In der zweiten Oeffnung ist

x — 1 = 76 Met., x —

0 Klgmet. und V₁ — 212800 Kilogr.

3234560 »M, — — 4043200

tt

„ Vt =

tr

„ V, = 319200    „

CO |<M

1 =4-.76 = 114 unb x = 21 = 2.76 = 152 Met.

aMt =

vx

“«(

CO |(M

Cf

31x + x² ) = - 3500 ^ .762 = 7000 (J-.76 — x) — 7000(114

— 3.76.x+ X²) = — 3500 (12707,2

— 228 x + x²)

daher für x = 76, aM₁ — — 4043200 Klgmet. und Vj — 266000 Kilogr.

1010800

„ x — 114, aMt —

tt

V, =

tr

Zweiter Belastungsfall. 1) Erste Oeffnung:

1 9g — p 76 9.7000 — 3000 x — —.    20'    7000

(9.7000 - 3000)x -    2

= JL (9 g — p) — g x — ^ (9.7000 — 3000) — 7000.x == 228000 — 7000.x,

20x

228000 Kilogr. 0

„ V₂ = — 304000    „

20'

aM₂ = 2ö(9g — p)x —

V₂

daher für x — 0,

„ x — 32,57, aM₂ — ,i x = 76,

aM

= 32,57 und.x — 1 — 76 Met.

7000

.x² = 228000 x — 3500.x².

0 Klgmet. und V₂ —

„ V₂ =

3713143 aM₂ — — 2888000

x = 1 = 76 Met., x = |l= |-.76 = 114 Met., und x = 21 = 2.76 — 152 Met.

-gj(g + 21p) + lpls-|-** = - §(7000 + 21.3000) + !

= — 20216000 + 342000 x — 1500 x².

3000    .76 - x) = 3000(114-

daher für x = 76, aM₂ = — 2888000 Klgmet. und V₂ = 114000 Kilogr.

„ x = 114, aM₂ = — 722000

2) Zweite Oeffnung:

Va = P (t¹ -x) =

x),

„ V₂ =

tr

3000.76.x —

3000 z

Dritter Belastungsfall.

1) Erste Oeffnung:

___L ⁹p — g

X —    20 ' p

76    9.3000 — 7000

20 '

3000

- 25,333 und X — 1 — 76 Met.

^0.x² — 76000 x — 1500 x*.

‘M, -- -^-(9P — g)x — -|-x²=    (9.3000

V₈ = JL(9p —g) —px    (9.3000 — 7000) - 3000.x = 76000 - 3000X,

— 7000) x —

aMs =

daher für x — 0,

„ X — 25,33, *M, =

0 Klgmet. und Vz —

„ X = 76,

962666 aM, ---- — 2888000

rt

„ V₃ =

rt

rt

„ V, = — 152000

rt

2) Zweite Oeffnung:

x = 1 = 76 Met., x = — 1 = 114 Met., und x — 21 — 152 Met.

12    Ho-    7si²    H

aM, =_iQ(p + 21g) +-J-ig.x --S-.x* = - U (3000 + 21.7000) + -f-• 76.7000.x -

2    .x² = — 43320000 + 798000 x — 3500 x*

7000

wi

-^1 —

= 4000

(t-

76 —

x) = 7000(114 — x),

daher für x — 76, aMs — — 2888000 Klgmet. und V, — — 266000 Kilogr.

2166000

rt

x = 114, aMs =

rt

„ V, =

Vierter Belastungsfall. 1) Erste Oeffnung:

X — 60

aM₄ =    (23 g + p) x —

(23+f) = gx² _ _76

76

60

/    3000)

V³⁺7ÖÖöJ

— 29,66 und X — I — 76 Met.

7000

₆₀ (23.7000 + 3000)x — -i^p.x² = 207733x — 3500x*.

76

V* = Qö (23g + p) — gx = daher für x — 0,

„ x — 29,66, „ x = 76,

60

(23.7000 4- 3000) — 7000x = 207733 = 7000.x,

207733 Kilogr.

aM₄ —

0 Klgmet. und V₄ —

3082357 *M₄ = — 4428292

rt

„ v₄ =

rt

rt

„ V₄ = — 324267 ' „

2) Zweite Oeffnung: x = 1 = 76 Met., x = -gL

3000

I²

aM₄ ------go (⁷²g - ⁶P) + 6Ö (95g — ⁵P) x —

j — 117,62 und X — 21 ----- 152 Met.

s x²    76²

=—    (72.7000 — 6.3000) +

7000

76

(95.7000 - 5.3000) X —

7000

² = — 46785567,6 4- 823290.x — 3500x²,

76

V₄ =    (95g — 5p) — gx = -jjß- (95.7000 - 5.3000) — 7000x = 823290 — 7000.x,

daher für x = 76, aM₄ ----- - 4428292 Klgmet. und V₄ = 291333 Kilogr.

1634200    „

rt

x — 117,62, aM₄ —

„ V₄ =

rt

Fünfter Belastungsfall. 1) Erste Oeffnung:

60

26 — 2.

7000

3000

*M₆ -- -l-(26p-2g)x - P^= ^ (26.3000- 2.7000) x-

— 27,02 und x — 1 — 76 Met.

3000    ,

- x²

— 81066. x — 1500. x²,

76

V₆ = ~(26p — 2g) - px =-^-(26.3000 = 2.7000) — 3000.x = 81066 - 3000.x.

76

Zweite

Oeffnung

daher für x — 0, aM₅ —

„ x = 27,02, aM₅ = — 1095282 „ X = 76,

0 Klgmet. und Vö —

aM₅ = — 2502984

2) Zweite Oeffnung:

x — I — 76 Met., x —

rr

ff

76

„ V₅ =

tr

„ V₅ = — 146934

/e, . . 3000X (85 + 5-7Ö0ö)

(⁸⁵ + ⁵f)

l²    1    s '    76²

aM₅ = --ßo (57g + 9p)+ w (5p + 85g)x - -§-.x* = - w (57.7000 + 9.3000)

60

60

= 110,38 Met.

76

+ -^(5.3000 + 85.7000)x — ^.x² --- — 41009600 + 772662,6x - 3500.x²

V₅ = JL. (85g + 5p) — gx = ™ (85.7000 + 5.3000) — 7000.x = 772662,6 — 7000.x,

daher für x — 76, aM₆ — — 2502984 Klgmet. und V₅ — 240667 Kilogr.

„ x — 110,38, aM₆ max = 1634200 Werden die so erhaltenen Werthe von aM und V zusammengestellt, so ergiebt sich für beide Träger zusammen folgende

Tabelle der Angriffsmomente und Verticalkräfte.

Erster Belastungsfall.

Zweiter Belastungsfall

t!

„ V₅ =

ff

dritter Belastungsfall

Vierter Belastungsfall

Fünfter Belastungsfall

aM,

aM₂

V₂

aM₃

V₃

aM₄

V₄

aM₅

V₆

30,4

0 212800 0

3234560    0 32,57    3713143

—4043200 - 319200 76

76    —4043200    266000 76

114    1010800

0 228000 0

0 25,33 —2888000 — 304000 76

—2888000 0 114    — 722000

114000    76

0 114

0    76000    0

Ö 207733    0

81066 *

0    29,66    3082357

—2888000 — 152000 76    —4428292 — 324267 76

962666

0 27,02

1095282 —2502984 — 146934

2888000 — 266000 76    —4428292    291333    76    —2502984    240667

0 117,62    1634200

2166000

0 110,38    1634200

Aus den hier für die angegebenen Abscissen bestimmten Werthen von aM ergiebt sich die in beit. Gurtungen entwickelte Gesammtspannung

mithin für die in der Gurtung je eines Trägers herrschende Horizontalkraft

aM

Hx =

aMx

H* = -tr

und wenn die durchschnittliche Entfernung der Gurtungsschwerpunkte b — 6 Met. gesetzt wird,

= 4-m

Hx

12 '

Werden diese Horizontalkräfte aus den zuvor berechneten Angriffsmomenten mittels Division durch 12, und die Ver-ticalkräfte je eines Trägers aus den zuvor berechneten Verti-calkräften beider Träger durch Halbirung bestimmt, so ergiebt sich nachstehende

Tabelle der Horizontalkräfte und Verticalkräfte eines Trägers.

Erster Belastungsfall

Zweiter Belastungsfall

Dritter Belastungsfall

Vierter Belastungsfall

Fünfter Belastungsfall

H₂

V₂

H*

V₂

Ha

V₃

iH₄

V₄

H₅

V₅

76

0    174000    0

106400    0

0 31,57    309429

336934    —159600 76    — 240667 j—162000 76

30,4    269547

38000

0    103866    0

40533

0 25,33    80223

240667    — 76000

29,66

76

256859 — 369024    162133    76

0    27,02    91274

208383    — 73467

Zweite

Oeffnung

76    336933

114    84233

133000    76

0    114

— 240667 60167

57000    76

0 114

240667 —133000 76    — 369024    145666    76

0 117,62    136167

208583 !    120333

180500

0    110,30    136167

Werden die so erhaltenen Werthe von H und V aufgetragen , so ergeben sich die auf Taf. 9, in Fig. 23 und 24, 25 und 26 enthaltenen Darstellungen, in welchen letzteren noch die ausgeführten Querschnitte der Gurtungen und Gitterstäbe eingetragen sind. Fig. 27 stellt die Austheilung der Gitterstäbe in der Tragwand dar, deren 4 verschiedene Querschnitte aus Fig., 29, 30, 31 und 32 ersichtlich sind. Fig. 28 giebt den Gurtungsquerschnitt über der Mitte eines Pfeilers.

Sq -

mithin die gesammte Anspruchnahme

sk = sp + sq = 320 + 427 — 747 Kilogr. wofür rund 780 Kilogr. gesetzt wurde. Hiernach ergiebt sich die Querschnittsfläche jeder Gurtung

F = H

780

□ Gentim.,

Bezeichnet man die Querschnittsfläche einer Gurtung mit F, mit s die größte zulässige Anspruchnahme pro Quadrateinheit, so ist die Horizontalkraft H = sF.

Wird nach Gerber s so bestimmt, daß erst nach Aufbringen der 3 fachen Verkehrslast die Clasticitätsgrenze erreicht wird, an welcher die Anspruchnahme 1600 Kilogr. pro □ Gentim. beträgt, so hat man

sP + ßsq = 1600 Kilogr.

und da wegen p — 3000 Kilogr. und q — 4000 Kilogr. Sp _ 3

Sq

4'

so beträgt

sP =

1600

~ = 320 Kilogr.

Sx. _ /2".Vx _ _Vx_ s ~ 4.760 ~ 2150

fs =

welche aus Stehblechen, Winkeleisen und Gurtungsblechen hergestellt wurde.

Die in den Gitterstäben entwickelte Gesammtspannung ist Sx = Px = ^Vx.

und da für die vier Stabsysteme m — 4 zu setzen ist, wird

a _ p _ y

X - ^ V X*

Bezeichnet man mit f die Querschnittsfläche der Stäbe einer Tragwand, mit s und p deren Anspruchnahme auf Zug und Druck pro Quadrateinheit, so ist

8X = sfs und Px — pfp,

woraus entweder, wenn die Anspruchnahme, z. B. s = 760 Kilogr. und p — 500 Kilogr. pro □ Gentim. gegeben ist die Querschnittsfläche

Px = /2~. Vx ⁴ Vx 4.500

, oder fp —

1414

oder, wenn die Querschnittsfläche zuvor bestimmt wurde, die Anspruchnahme

Sx _ /2~. Vx

Px /2 . Vx t t>der p p i p

ip    ^ • ip

gefunden wird. Sind für die verschiedenen Abscissen die darstellen, wie dies mit den Horizontal- und Berticalkräften Querschnittsflächen F der Gurtungen und f der Stäbe er- bereits geschehen ist. Siehe die Figuren 25 und 26 der Tafel mittelt, so lassen sich dieselben graphisch in ähnlicher Weise 9 und die zu ihnen gehörigen Maßstäbe.

4.fä

Druckfehler.

Spalte 15.    Zeile 2    v.    u. lies    fPp statt fp.

„    15.    Zeile    3    v.    u. lies    fss statt fs.

18. Zeile 13 v. u. lies p + q statt q.

„    29. Zeile 18 v. o. lies (112) statt (113).

„    37.    Zeile    2    v.    u. lies    P statt G.

„    44.    Zeile    6    v.    o. lies    7670, rund 7700 Kilogr. statt 7670 Kilogr.

„    44. Zeile 11 v. u. lies (137) statt (138).

„    49.    Zeile    16    v.    o.    lies    im Nenner    1    statt l².

„    50.    Zeile    15    v.    o.    lies    nur statt nun.

„'    51. In Formel (154) lies h ----- statt b -----

„    126.    Zeile    12    v.    o.    lies    h₃ statt h₂.

„    126.    Zeile    13    v.    o.    lies    h₄ statt h₃.

„    126.    Zeile    14    v.    o.    lies    4 statt 8.

Tafel 6. Fig. 8 lies:

statt:

t-t ö

1,92 2,52

1,6 2,1

dv

3,00

2,5

cf

T-l ©

Druck von A. Th. Engelhardt in Leipzig.

> KX

Taf 1

I)p HELXZERLING, GRl'NBZl.GE DER BRÜCKEN-UND H 0 C'HBAU -C ONS TRUG TIONEN.

.9 'SS

Fig. 13

AB

Fi 9. 21

.9

- 9

A't^

-’-4-h

-T—sjf—

Sa

.C

_v

--

i_

L-lT-

.! "

J-.

T:X

:ii

:-tr,

i_,;

I¹

ms

j, • WcutraZe I A:r.e

/js------->:--^---A-----fj|--------

9 V

-    ~9‘St

—    9 'U

urj St

<i-k

?"

äh

_x

Zd

⁵⁵

.1

-h

-■ä

v!

is

liith.Anst v.Stemmet z YBonieiaami, Meissen.

b-X

k-

Fig.lß.

-vc-----x-------- l------

pa

-<

VY

----Z--yr—

K—--«------*-------

->

7-ye-

-xT

H~a

PS

zz\hd

Fjd o/j

Fig.23.

------av-------^

sA

4a

J£dc+

•cc^

iZ P

L

.'-Vx.

r-

"C c

«z,

"v

'X

XL

ps

Fig,7.

.r

-^— 1

Yp

■*-X

Pfl

c<?

l-X

■zC

r-

r»

i_:.

r.-4

Fig.10.

f Iv,

>

hL.„,

I*.

AS

Kl • Kli

^ ^ X — >->-

<9

X-X

⁽i jv rjr

-J

-c

— >-

X"

r*

9*

mm

ö"

>■

m X-

Äp

_m

X»

NO

AB

B&8.

p-

16-----

K------

a\ 7 Z Jtb rii + 1

*--V-

T--------

NsJV

av •

Fici 3.

aA

m X-------4

4----

.9

X'

Fi 6. if).

-X—1

—>•

........>

AC//• JT

<9

k------yiu-

2 nt tn+1

>-

FigAO.

cf

/ 4-Z// •’ ui

z?

tv

H--—

k------d?-----4

«d

üf

c4

r„

Fig 9

VC----

__AAsba-le ____A c

"V '    sx_s

Figl4:

-------4

X/^_.AL.A

L    \n

.y

Fig. 15.

--------h

YY

1\

#A

R .X

^ Ä» X

->--v

P?

KS

jrh Js'

<9

3^-/ Y

-e#

*OQ

l+mf'iu n / j 's--------yju------. ■*

c5

R JX

Kg 5

Tp>

' /+«/ j /MZ

>-

'if A

AA

XX

Verla g von Arthur Felix iuLeipzig.

>; '

*w

:

f

■

" ", ■

■

x

■ i

%

>

*

*

. ,,

z

«

Taf. 2.

(V=(p +p ™A_/p)X-(.wi + looj 6‘"s— äisz.Im(10-m) eff = -3L. 0 10 —    0 mtrKg.

7Z3Z

v//    =    55Z.1.    9    =    -000

L    ,    -    -0L L .0    -

,    JT -    -3L. J.    7    -    .--.-L

m. — 5    ,    AI    —    ff5z. 5.    C    =    10863

£ - ui

11500    „

Für dss-io+rps dmsfs—~{r i fü t9-* —hi') —o ist m-Js =(p+i//(sX-90i gf 7l3uoAg.

4

J[_ - 55Z 5. 5 =

-- 1OZ(0-Zru)

7/7 -j⁻, 7^= 10z .-1- -10+Kg.

m = 0 , ls= rot - J=-3oo „ nv= 7 / 45- IOZ — 5= — 5iO „ rtv-8 , Ts- 10Z.-7--715 „ 77?-,7 , Ts= IOZ.-9= —9/6 „

JA,

=zo5.⁹~Zm m — o , Ts. ioz.o = + .913 Kg.

777. = / , 7^= 101 7— + 7it „

L / (s— 101-5= + 510 „

3 , lg loz.3 = +306 „

T , m 10Z.1- + ioz „

Für 07-777 z. zof ^ (Tss Ts)- ^

z/Bfürm=5, lq 7ioz — iozf = o.

A-Z m. —/

Isp.

7W (K^M4^dL7oo/r°^J(9-miL35(io-in.J(0-in) Js= 35. 10. ff =. 3150 Kg.

1 , Jf= 35. ff. 8 - Z5Z0 „

TW - zr Ts= 35. 8. 7 = 1960 „ 777.= 3, m= 35. 7.6 = 7v70 ^ 7^(7 „

. F= 3.5. S 3 =

⁷ y

3 <5. 5.    8 = 700 „

tu— ff

m — 5, Ts =

ffZO „ L -    Z10 „

35. Z 1 =    70 i>

m, = 6, Ts= 35- ff- 3 = 35. i

Kt. — 7, Vs-

nt - ⁸ ( Ts-

m.— 9 , Jf= 35 . 1

Tür.X =-ml >At hsls+Ts)- Ts ti. .JS fiir ttv^Sj sz (tojo 1700SsSjUf.

Imue^pK-f-'+sJ' mK-VjALlOZ(B-Zm)+i5(iO-m.p»- tu).

777 = 0, Ts = 9/8 + 3150 = +    5068 Kg

1,    Js=    715    +Z5Z0-    +    3    *35    „

771 =    Z ,    ff —    510    ~+    i960 —    +

m —    3,    Ts =    306    +    15-70 -    +

Tn =    5,    Ts =    /OL    +    1050 =    /-

Z570 „ 177ff „ 11571, „ 598 „ Itff * 300    „

655 „

£>18    4

777 = 5, Ts = 10Z + 700 = -t TU=6, Ts = 306 + 5zo = + 510 + Z10 = +

m.~7, V₇ =

m - = 8, Ts =715 +    70 = +

rn = 9, Ts = 9i8 -+ 0 Für x - m.Z ist Ü Pf, + Ts) = ls z.B. für m - 5, % (115Z + 80z / = 875Kg.

“Jl-Ju -(p+sf*=(p +sj .r -(p + ,f)K(pH/)(l-xf£

d'iits~-=(p+7)7fp⁺lljc'° wtx-t uudcll-(p+<])i z

Für je-n und x=l ist As- o „ »-I i.AAs=g+psl.mssumoIrj

G-A -p-r -pr-px =P (T- x)

Fnroc-o ist TAps - Zßi-Ajy = 10ZoKg.

,, .r,At ist K=fi

„ x=t ist FZ -pt _ — Mü s = -1020 Kg.

+ Vm^=A-alKxB *    ¹ zL

Für ;r,= o ist +Vma.r -    = 700As = off00Kg.

= ~=ff ist + / 7/7Z7.Z; - f/jy — 700 -A - <77o Kg.

n X= t — 10 ist +lAncis-,— O

±S2-f»—ri

l

-    -A-ga5 = ^7^

Fürx-o ist -Vn

.r,= /-5 ist Aynrr.c = — (jl = - 700 jy= -875 K'j 71 x=l=10 Ist-llruLC =- — /^-= — 7t>ojy= -SSOoKg.

+ Vmax -p f X-X) ⁺ 9 t,si '

FüvX=0 ist+Vmtuc =p⁷{+ tk - 1p+7)i- 9°5ic = 5SZOKc/ „ -T = j    js(. Frn,t.r - y4 = 700. ~ =875Ay.

„ X-J.-J+=10— 3/ZZ=<f, 7<7 7>f + Vmax - 0

71    ist tTlr/oje =-pjr — ZOOtt = — tOZOAtJ.

liim»

' -Fff066

816-

Df HEINZERLING, GRUND ZÜGE DER BRÜCKEN-UND HO CHBAUCON STR.U C TIONEN.

A 10 8/+ff

+ 71,300

aamGg

Grosste AngAiffsm omcnte.

___As/0

LEI

1/1’ L

_510

-h Z/0

■■■■n-HrtHii

! 11 !! in! II! I liilll i I I I Mi I !

_ 1.960

-q    7- /<7.?    I

Verticccl s cheerkräftc \der ständig en Belastun <]

JsaaS,tai der |{ GssfssZ^ . 7E^.

— lux.

Az^AAzg

— +_700

— 1050 ~~~

- soff#

— 3Z3Ö'-

-8.901/

MM

£*

TUT

-Zff70'

- 700

- 1570 ~    -

VerticaZscheerkvästi der beweglichen (Belastung.

FffiSl

As:;AJlff

- //3X

- 1776

Verticalschetrkrästej der geui 'zrn Bela.shing Figj IX

+ 11\300

.........---aiaBiP®“

Grösste

Kleinste

+ 108 ff 8

+ 10858

El

+■ 7Z3Z.

*'• tZiZZt,«,X-MS- i:

I................    i'jH llll'.i

■ vq im ui o uz sjj ig f) u jr s q ff s o a s)

+ ff/Z

— IOZO

978 -

•fJJ'

-Z83S

OOSF -

lUflUö -{>»<•-■

Fifr ob = 0 üft>— JAnax — jos = Zo5 .j? — /ozoAg.

-L- 0" ist — 1/tuioc = —y-js — — 700.    = -875Kg.

„ a'^.jcA 3‘ZZ, (St — Km nur - 0

/y x=l-10 ist-Jönetxk-pjr-y4=-(f)+<j//j[=-d⁰5F-55lO

Kf

Aus - m».r' = P/7-1C)- yf7= O erg iebt sich;:

¹⁰    =3,Z%

im

ll II INI

-10Z0 » 90-

rttithirv -jy - off = 5— 3, HZ — 1, 7S rrvtr

(laerschnittoflächt F-ZJI+Z (3.1 +9.1)+98.1+5.16’-ZSzO rmtv.

-3500

-36S1

\as-^l(M50i03,M.Jt+i0.l)Si- 64,aJ“J1,6cmtr

«-. = 700-.17,(1 -5Z,5 cntlr.

^^Träijhätinnomtnt t*jrlxiMt/+-i( +0,5-16.39,5-33!A+ 5.57,3-551,6]*

rticalsdicerbraft V-tptq>(sx).Für -r=o, y und 4 ist.-

Fy=(p+f)y =905. S*S5lo, s+fJJ)y =90i£,S=ZZ6o und Ff =0 * *

Für Ouerachnittl.

3°

0,57

0,91    (60

40- (3,05

15,6

16,0,9 58,37

53, 75

9 ff,13 6,33

Zf >

J,O0

TUT

751.9 ~

Ot/I +

— LL-S

-Z8S1

801, -

-zok

Fi öl 14,

Ve, v tica7.sch.ee.vkrcif te da\ ständig cn, H ela slteng.

Jsaasstab    z^,,ooK„.

e«z sffo

-73/5

Offs +

- izffo

Fig 17. + 87o

Uj/ff

dr/26‘0

— 56o

- 77/ff

zo

JL

-----j------^ Abstand ü.nadralaiA\

(Schltrkraft U/ y! ms

^ Sobrer.iponmmg S £ Ke

.33

33

33    19

i*

<5

---1-----

llorixmtalc

:;>-

um

Tfhoitei

____

«#

ss'?+

30,39

58, 27

Si 's?

9 9, 13

31,81

15, 3%

<z m und w P * P

+ 53,io

sxn-i

Z73Z,5

3430,J

3930,3

5350,1

5033,18

Si)(i 3,0

ZS (iS, 5

S’UVL

+51,00

+50//O

+30, io

+35, 5o

+ 31,50

- i(1, So

— 5Z,6o

- 37,6'o

Xiith .An st v. Steinmetz & B ornem ann,Aleifs en

•-ll

nö.z5:L

Ll

9t£~

- /-s

j Ver ticals cheerkrdfte fl er he weg! ich en Belastung. Flg.j20.

-8Li--------

-8 75

---------ffL /,------

Ve.rticalsoheerkrdfte, dergctn’senBeJcostiirig.

Grösste.^

Kleinste

Grösste.

Kleinste.

+ Z8JZ.

+ z/zs

Grösstes, mittlere, nnd kleinste ^ Horizontal*chcerlzräfte

j-dbfn-e ss ungen ) Kir ti-fte, / tnnvtr=5 Kg

LL.

-Ma-assteöb der

Kg.

YZ

ME

-, . ir ~± ff,9 5    0

r\i—Vf 70    ----

rir-

\i

f/H// ' se'w 7

\

\

:/'W/ ._

fc

gm___

oo'rz

7t

-i&terK

1 ir ,<*

!; i*

Ü ^

I?

I'

ii.

4/^

(Aräste J mmtr-TKg.

MM

+ 5offi

ff

ff (ff +

sZßSff

+918

°r

ülil

-tffOöff

m#

Z,95

X^o------------^

37,07"/

Or-

i\-------

________\Z

3\-

ff\-'

S^iii

+ 10ZO

I. Gleiche, zünd gleichrveit end,, fernte (EinheiletStern.

Kg.l.

I«---M>L--s-----gi-TTljX

k----

AÄ

'< ffupy, <j\, <f\, q\, (]/y y + q

' 'ff ' <P ' >P > <P ' <P > ’P ip > -A i/’

XX XXXXX XXX

\pg--.f05Xgp.KnpK

jf---777 A---»fi-------ßT-Tlt) /L--------.

^4 M M ¥ vA M M

p.So+KgpKip. MTzTTtTTirTl

-----------f-zFA-----

Fl&³

Kg. 5.

(AT-mißs--

s    gui-jgh

av

\b

Jtnim_

ff lff fff

Fl8fi

Fiö.8.

o

-----(cV-ip A---

'/nooXg.p Knp.JAp

Xs— y^Kti---J

-<—-    x,y y/ \9 sd sä s.9

Ip Ip Ip Ip Ip l? Ip Ip

sV-m)/L —

<—mA-sk

17min.

i? U ls—^

Iff je je Ip Ir ffP lp Ip lP

.— ----

Fx^.9.

7j

TV,

a.

s 70oXj/pKn/\

IT Gleichförmiger und stetig oer„ theilte fj cts len

Fi 3.11.

l-oc---------

ff'

^ i--—tc—4—

w+pmfypl⁷? JL

-X-ff------k—SC

\p=Mg.p.l™

+3500

Fi d.13

-----3P-7 ""

'5F9M

------

----JC

ot\

+ 5 5Z0

\gs5oo

H-

at

____L-at— -------

700Xy.p. I VvJi¹

-1 •

> 1

Fig.16.

Tig.18.

•*—-a?—■JfV

-----Z--eT-----

-$jc— <r—5fV

CO

y.looK.c/.pir' fff, p.MOKgp.ir

<1

Fig.19.

■—>

■k—-v?--------4

—sz£----------k

-1-----------⁴

-0,S3

p+a=905Kq.

pVO I

Ixvm

o/?z, (60

5Z,5o

H I

=1-J

23.

0,05

■k.

S»

«i

ti

u,m

/ff

r-

Abc*/.

_Keutvcile

6,73

;os

09 ‘iS

<°AS>

>,05

k------

°>\

iT

Verla6 von ArflvurFelix inL eip zig.

Taf. 3.

*-------^ W'

Ci

Sk

r,

‘O"•JO

<---------Ü

53

-i

ii

to

Fig. 18.

- f7—- J)

■*‘4

- -x

kM

8x8*'1f%    .

0*0 *■ /

i!

hif—jilk-jM

flP (LN.

i__

- -l -9 X------

'^2 §TI

smSSS

•ü\

—7^

-----

TTl

—x---

-T*-

LitluVast.v. Steinmetz &■ BoruemaniuE eifsen.

ff

OC

‘6p tz—— 6h ^

--------^ /-

Fig. 10.

ei - -

Fig. 17.

->

Fig. 28.

»-

- Y—

T“'I

r--------

jf--------

l!r-------

üu

!j I

HEIXZERLLVir, DIE GESCHLOSSENEN (.MASSIVEN) BALKENBRÜCKEN.

in «v V⁴ <

'CJO

•H

f-

pa o?

T.......

PQ 'PQ

1...

%°r*

_i

in

fr------

183*7,33. 1,3

------00/----

—-sie-----

-----e'u-

------rfa

— vife -

-----Y

<*

•I

-■4-

e;

- -6=1 -

Y- -

<d

"T

-k

Fig. 2 7.

-11,

Fig. Ff.

1x1630 kg.

<■

.4

■n

-----se---

-----t'l'6-----

— - -ff'Oß----

8 r*’

£° * i

T~

4 7J

i*------

18*7,8x1.3

S^s

--------1

------_*!

---XL

<ÖO O⁴-:

7630

______E

z™--

S 1 es i

5'

Fig. 15.

K

!%

iyo

-j

W* 1,3

Ösfom

Gnom

--

'<6p

PM

T"

ji

S

«ov

F ig.26.

»-tz/74    ±.(>,3- ^46-,

JT

ft

■foi 000(f

1000 hg.

r.-zr-i

Fig.25.

c.~.

\\\\V’

CO

Fig. 13.

L-

X—

X⁻'⁻

S/3^8/3^-

^------»I

rS^-lr⁻

c4

550

dl

$8

ps

—-rt -- Y

- w -->!

Fig. 12.

i-

■II

:;i

JLc.

----86

------4H------

äv ___

----2T&

V

’Gd

E

'-de

MH

\------

p------sf------>    .

:<■-------------V

xsl

-3,8s~

4-

-r

I»»¹

afeXä

...

'M

⁻6'C"

e»

S¹

'cüo

^ I?r____

El!

M.

Fi 0.22.

Fiö.23.

Verleg von Arthur Felix in. Leipzig.

.

■

: «

' ■ , - - /; : . . .

*

X

' V

*

.

*

Taf. 4

jg

0O//6Z-

8L9C-

SZLSZ-

0066Z—

8198-/

- 257X5

■b⁶

+ZS 7X3

y L57L.7

— 237X3

X\

*2-

a)

+ 1X863

- 1x863

/Z

VX

y 7L-r>K-

9L99+    8/99 -

8ZL8Z ~

8LOS/ /

'SZLSZ/

8Z/9/

Bl

?L06£ —

SZL8Z-

SZLSZ/

CLO«/ +/

8L98Z

00/1/+ -

+ ZS 7ZS

-X37X5

+ t/'noo

— 257X3

96

y 1+700

— 89100

•ix

+ Z57Z5

-1257X3

y 95/00

»»>

+ 39913

7/6fZ ~

8L0 6/-

8Z/S/ +

SLoei/ 819 CZ

SZ/.8/ / 8*8+/

stiel -

8L06/ /

mir///

8L99 /

Fi 6 20.

/Z

9L9£-

-551X5

A-

*/

+ 11100

+ S3/X5

-99/00

•s»

+ 557X3

87,168-

y 19100

- 98/00

+ 55/Z5

f/Z'W -

9j

+19613

- 19613

fl

x<

+ 1/96/3

9L9C+ _ 8/99/'

ez/r/ -

8L8L /

9L8L/

stsr-/

9L9L-

mr/-/

■/«//

8L8L +/

81971

»7

tO

- 58800

+ 551X1)

T-<

>5

•cc

■di

-531X3

*5=

0088S +

-55/Z5

°L

+ S&800

—58900

-fm -

—X-

•ofcs

—X-

-58800

z'

Zz

A°z

Fio.15.

szsr-

8ZSS/

9L8L-,

—X-

Fi o 16.

z§

ob

y 55/25

t—

+ 58800

/\

SZ/88 +

-S31Z5

+ 38800

_58800

+ SS/Zo

_ äMW

szrr-

SL9L--/

'04r^~

00

y 56963

- 36963

\Sv

X-

# \

l.pigg-

—X-

%

&

*7

ffl

8L9L +

8X99 y

'X

8L9VZ

67/66 +

- 651Z»

-sN

vA

o"c

+ 56963

8Lae ~

■Jj

Fig.32.

's

nee/

SL8L —

SZS -

SUU -J

SL8L-

sz/r/-/

•zm /

8L8L +

8199 +

+36963

- 551 ZS

- 99100

-s.

+ 351X5

-55/25

*\

K.

P/

+%moo

7/

//

+ 99/00

— 99/00

-Ä

«e-

y ,/<>'Z25

8/961 ~

z®

+ 19613

9L9? -

HEINZERLING. DIE OFFENGEBAUTEN BALKENBRÜCKEN.

Fig.il.

«7

szLsr -

Ti

/•//>»/ -

sz/ei /

7 ns -wn -

8L99-

yy/r^—

M06(-y

SLOS/Z

Z2-/Z/ Z

8199/

2Z

-7-

+ XS7Z5

- 1)7 ZS

+ 11/00

-99/00

x

xy

+ X57X3

— 19/00

x

xy

+ 257X5

- X57ZS

y 99/00

81688 ~

«3r

zZ

+39913

Fiö,19.

,0

, +1/96/3

8ZL8Z-

SL06L /

'2L9G-

£ X/0 -rzLi'ö -/

XL<W~

yzisz-/

s?

8L9S/

Zp

-z.

+ ZS 7X3

-Z57Z5

7/

n,6

z7

#/

+ 237X5

- 1X863

d-

z)

y ZZZ'Z.y

ooe/jz -

:VzX'

?mff -8ZL8Z-

POOL ~

SZLSZ-

OOQ6Z-

8087/ ~

Fi ol2

VN

Tf

\L

i;

-=>3

lA '

<? gifi,    .    «■ - y/y    ^ ,11,

Vy•/    X⁵*^-;    2,5    'X 3?"^ 2,5

\7

cq

6«;

+X57Z5

6ZL63 ~

Z,5m

sz/ez -

fS

Z,J‘

- 99/00

9L9C ~

e-

+ 39913

9L9C ~

LCi

-Z9Z13    -31X33 -Io1X3 -17173    -53X88    -56.963    -38800    -58800 \ -,56800    -53800    -56963    -53Z88    -17775 -5o1Z5 -31X38    —ZOZ13

'2-

X:

Z\

z9

</

$

X/

Z¹!

-iS

zz

r ,öX

OOZ/

10/8//

y<P

ooz///.

«rrr-

0808

+X0X13    + 7330

'//

9999-

08Z9

OQ8Z-

899/-

Q8c8-

080«-

‘8986-

W/2T -

+101X5 +17775 +53X88    + 56963 \ + 56963    +33X88    +17773 +I08ZS +31X38

y 7Jv7»    +X0X/.1 +31X38

m.

Fig.33.

1 ,F

-01X38 -306X6 -1/7773 -53Z88 - 5696s \ - 36963 - 53X88 - 37773

e.

.0,

WZ// /

⁷9996/

0908/

'9999/

'0SZ9/

«rer/,

orzs±

9999/

8996/

oout /

pt/y./ /

OOL/il /

•%?

+.

H-

i.

—3r

:Sb-x-

-ZflZ/3

SX.

090g/

9999/

ZMX6 +3/X33 ZZ0ZJ3

OOfffi! -

»V\.

7

-31X38

OOL ///.-

von/ -

088LZ

OOZ///.

Hx

zzzz^-Zl 8//ZS8-

V.9Z -

OSU+

00L-,

</

/XOZ13

8886//

Z-

-V

?«m+

999'-/

+36963    +33X38 +97773

zt

-86,963

%

otm-/

oos?,—/

£9.9/ +

mr-/

-33X88,

z⁹

-36963

+ 87773 /foW +31Z38

0808//

iS

«5

%l %-ix

\

I

- *777«> IX-£3Zff#yyM9G<3

X-,

Z'/OLZS +87773 +33X3S    +36963 > zsggoo +3ßgoo

vO

>k

co>

'C-C

)y-,sesoo/ y-öggoo/'

9999

08Z8

Sa

-36963

-Ö3Z8S

Ä--

\l

ZF

»2

■?

/33X38    +36933

+309X3 + 87773

■ OO -7t—

PH

%ß/

+ 97775 + 90lz5    +31X38

3 ..K

vor9 //

XX

09XS+/

OOSZ//

‘<1

+58800    +58800    +56963    +53X88

+ 58800

Lith Anst.v.Steinmetz&Horneinann. Meissen.

ifX

ö«// 7

r/m/y

OOL///-

+ 7330    + X0X/3 Z3/X3S

9 .p

2 J/

«/sey

OO«// - ■*•

um/-

- X0X13 A- 31X33

<#

/.

X-

,d>

+ 7350

- 7350

Xfop

ootez -

00/// -

E*

8ZL8Z-

+X37Z3

» ztj§6®

+ 137X5

2s+z

[\

«um/ ezto /

SL06L ~

8ZL8X /

CLoei / £‘L,or /

Iig.26.

Fiö.28.

z- z-

> /U63

pß

OOL/// +

Z^tz

ES-/ y

- 7.7«

•7.

y 13375

ZV

+ 99/00

s,:

+X57X3

_ Z57Z5

Ss

+ 99/00

*<»

fes

+ 11/00

Fig.25.

8L06/ / 8199/

W/ -

8L06V /

mir/ / mp/'

* biPC

2„

Fi 0.27

Xs

— 1x863

8866+

- 7Ä777

zv/z// y

+ X37X3

08CL - r/xoz - «mr -

#°

/w

,w

+55/X3

- <757-2,7

-5=

+55/X5

^26°

X/¹

8⁵

86/88 +

SüLL'

seer/

oszs/

9989 /

9986/

OOUI +

ooL// /

+ 10lX3    +97775    +.73X88    +56963    +58800

+ 20X13 +31X38

—

k\ sn .vx^v- vvxvc^.Xsn

’3

+.

C98Z/ /. ' x>

00 7// X

8996/, ⁷

'S

<(

X ' '"d<

KZ

X xra|

zXLzx

l>-y

‘«s

8Z/9/-/

8X8/

8L8L ~

SV/9//

yzsv-

>x

X'»

r>

v-

0908/

Z»¹

0608 +

/i

C9C9 + 89« —

- Z37Z3

tz

Fig.5.

m7,

VUIJQV.IVJ

I -s !> «ohX-

h\z,5m'

pl1750k

y5600^

Fiö. 7.

- 551X3

ob

«M

8L8L / 879V ~

+58800

- 53800

<-\ ZA vYr

+551X5

- 55/X5

°b

\A.

+ ,78800

- 531X3

/m

+33800

A¹

«’S

.x'

+ 39 Io 0

/S9!V+ rav- ⁷

--7\

Fig.8.

87,99 ~

—X-

mö.9.

V?

8L8L/

—X-

Fiö 10.

merz

9L9L ~

-n

Fig.22.

oä

FiP.24.

v2

— X7568

Et

08^8 + OOL~

/OS'8P+

OOL-

Zv

f-

»A

'OC

r¹⁻!

://

- 58800

*%«■

+Ö5/ZÖ

00888 ~

+ 551X5

- 65/X5

+58800

- 38800

Yß

+ 3o/Z3

c-c

//

ezerz

8L8L ~

8L8C ~

AA

Fi g.29.

mr +

£99/ -

- 7¹*

—-X

Fi^.oü.

X'

— z,9'/

y xfloo

so

•OO-'“'

/.

rzirt /

9Z8 ~ 9Z/V/ ~

r*ä

-Z

C99/~.

td'

V- 77.863

008« + 0088 ~

,6»

/■oogz+

899/ +

sw: -

- Z9900

»>v

+Z37X3

-3

,w

£99//

7 «rer-

- 551X5

z!

■h'/MOO

-551X5

F

zX

+ 99ioo

00/(1 ~

-X

=5-

+ 55 /Xo

— 351X3

,6®

VI

u X

z> r

TPU

.9

Yz/«

X⁴ 2. v

ZVZ¹ -

z-zvrv -

8Z/S/

8L06/ /

zl

001+1/ —

9Ä

z%9⁶

+ Z57ZJ

00/1/1J~

y Z57X5

- X37Z5

+ H/oo

Jr

+ S//OO

k acs

- X7363

oO

v⁸y

/- zmz//

OOL + oeze-

6°

7 Ey / 9W -

9L9V 7

9L06/ ~

i 1/ t M ¹ /X

+ X37X3

R-

*>

ex’

ä7

R. 5n

y//

—XXo3o

«96sj -

#y

+ 1X863

— 777X0

i»

+ 18373

's«99~

+ fo//%3 + 37773    +33X38    +36963 l +33300    +33300    +3696.3

0908-

-m%

!>

Z'Z^Z' -

8L061- —

2LOG/ -

8XL8Z /

9U9 ~ 8ZL9Z ~

,/Z

ar-

pxm -

zW

257X5

?)

+ X57X5

T\

enez-

si

a;

7    Z    K

<Za    ,<ZA

89881 —

üO

C98Z/ ~

— 18373

-73 oO

jf.

08Ci +

/CM-

/ 7330    +X0Z13    +3/Z33

OOZ// -

x

OOLg/ ~

998LZ ~

voll Ariluir Felix inLeipziö

Verlag

/'

: ;

*

-66—.

—..........

<

'

l

t

'

.

- ;

-

.

'

\

t

M-

Taf. 5.

rn

oitty-

01 t/t,9 -

+r

-91330

.# X%

*-Sr

1.93760

095176 —

*?

138515

-16X38

•5n

-L

sisas y

//x

--

4: -

■h.91330

—:(r

0605' —

1 77030

,”tb

1.93760

- .93760

6°

S»'

1 /00I39

AV

11*8101 —

<>v

31

»3°

— 8901Z

//

§'

+ 8901Z

— /ZZZ.V3

186381

- 86381

.ts'

- 75578

'/

1 75578

Fi 6 10

ch

- /J<MX

y 6563z

•;>

- 6.763Z

//

M- i W

1130951

166091 +

-13865Z

XX

%

fit

F16.11

6‘

11X3X18

— 5X138

-x

//

-V

\X

v¹

K/

-15X138

_ / 33X18

VA

V/

—138651

XAp

%

«t

1138651

17X3X18

F10 ir.

~Ü;

_ Z77308    _ x8t90Z - L?/0S0    -/8187Z -JZ57H

<s

3*5

<6,

«fc

so

e#

;> ¹

1175515

09t tu 1

tZ'i3387

■hZOotio.l +Z51799

Lith.Ansiv.Steiranetz&Borneniarai, Meissen

+395ol

— JÄsX

"S

//

1 100139

o*8tOI —

HEINZ ERLING, DIE (^ENGELAUTEN BALKENBRÜCKEN.

<x

tx£61 -

'"icB

\»

1 193ZZ

<5

— 77030

//

<5-

OSOLL 1

«S

T

138515

8189* ~

-:tf

- tZ3Zl8 - t81ö7Z - 23/090    - ‘.IhtOOZ _ 9.77308

'4P

X,

t>"

>*

-*<

—-:|r-

-5(5---

CX

>N

:xl *

- 517.916

•3<>

<#•

Yio.y

.X

cx

csj

_ 33S0S6

c5

c<

— 169376

<PX

6*2

<=■>

<'<?

%X

>"

-A⁶

- 16X18

Xf

f»

1385/5

ot* ta

oLt/tp -

Lä°

W'

OS'Ji'+

°s-

ot

x>#

OCSi' +

*%

51J

yfyri¹-

's

>6fl

fit

1560807

1 51936X

1S/SOX7

%<

:BX

oxjv—

.ÄZ

;i

1.757916

—.1 1936z

— S/Sozl

’ii

<r

-O»

+ J3JOo6‘

08S8~

A°

|0->

-4

Xv*$

-I

.lJ-p

<wy

•0X5

_ 4^/^SS

X>

y- I37S0Z

- asiäoz

^x

»crr -

y-189376

tx

'<Ü0

r»

9?

-A 1Z1Z06

so

■zC

OVff+

1 377687

— 317647

OCPS—

105

1«?

* / lij )>,!»'/

rO

«X

— 3Z90H

3?

oft

7*067,31

_. jXj N

4f<

EL-7-

.X

137163/

- zi Hst

öpiy —

»!?■

<s"

-rti

•CX> <X

— ZlliOö

'X.

1Z11595

■z

h=*

*f

■V

«X

o;:i‘>r+

y - ->

«X

Ar-

> H376S

—1*876S

Cx

»m⁻—

«.x

I-

fX

!*f

- 7 7ZS*

i't '"

r ¹

st--"

>T\

/*•

5°)

4x

tj'.-riL 1

<-

X r-<5

Verlag von Arthur Felix m Leipzig.

'

■

■

I

..

♦

/

<s

-

*. '

fl»

Taf. 6.

C\>

V/

+ 86625

+80625

-80625

7*

+ i)V

-8062.5

X'/

's 9°

60

27/8 ■

218/

7/8

iiM ,

ZZr ,A-

?/ i

!)‘!

11

/,

^7/

>>

0/80/ + 7/2—

27908 +

./,

+85625

0/2/)/ +

7/2-

- 80625

Zw,

-80625

-8.6625    -86625

+ 89

0/801 —

rz

2/i

»r

j«

<-zZ

i/y_

902 7

pj

HELXZERLINCr, GRUND ZUGE DER BRÜCKEN- UND HOCHBAU- CONSTRUCTLONEN.

oO

•o'C

pl/875 2,5    7/1/875 6,5    PA/875 2,5

(f y6250    (j +6Z- 70    (/ y6250

PA./875 2,5 j 7/62,50

Ti o.lä.

-80727

80727

Z.

IW

C?\

/'Z

£y

-3. -

°L

v\x

+80625

+8662.5

-80625

e>

*X

V,

8*

0/2o/~

7L8// + 2181 —

Zig// +

278/ ~

7/8H-

27968 -

\t

27908~

xz

\M=

\ +-

xx

+80625

/f

6087/ + U8X-

kx

27,908 +

Z 8087/ +

ui/y. -

+ 80625

-80625

-V

+ 85505

-86625

7L8U —Z

Z

7L8// ~

-80625

\Ä

IS

Lith.Anst v. Steimnetz & Boi'uennnm , Meilsen.

xz

=b

nn +

6'osr.t-

w+

*,/

J+$Z ~

8087/ +

Fi d.13.

o°

S9

27008 +

+ 80628

53-

xx

+ 8562,7

Hd.ii

27.908 ~

-80625

*3-

xx

-A 85727

::zn: + tr-tv/ -

7.------

Fid.l,).

-86625

<Y

\    8087/ ~

//27 + 60ß7/~

xx

+ 85727

-86625

17181 ~

4. .,/

0Z

Fig. 16.

- 80625

92909~

9⁹;

5:

«3

-A

17/!:/-

%\

I§*

«Si

xx

!§

H87 ~ 6087/ +

__tm + \

\    8087/ -

3!

'7

xz

ii

+80625

'l

«3

2/8/ -

7/8// +

e-,

S»

+80625

-8062,5

«S

tz

-86625

X^l

+ 8.75/75

2/8/ ~

7/8H +

27908~

U8Z + 8087/-

"6.

k>

+8550,7 ~~

w 4 5“

_,2‘l__XM

^/tt

iXXs <4^

z’³ Vst 1875 2,5 806250

\j61

K-

<s--------

ec

-2lO

f:

71---K---

-z'

zZ l

\V'j

W— _r^__ J AVVi

<2

x/

+ 80625

?<

6r

+86625

—80625

- sw +

\™ Sfr¹

-85625

j¹ Xx

I <

L ^

288/ + oL8n -

+ 27

°;Q

7/2 — Ol 80/ +

^ 8(ß$l

\>

>x’

+ 80625

+86625

Z/£' -

0/80/+

0/20/ ~

\ö/2o7-

+86625

- 86625

■t-5

- 86625

\fi

Zu

— 8062.5

-88 6 ZS

'Z/f

ä\

Ol'

+8562,7

27969 ~

II

ff :;:7z

+86625

87968 -

vv

=b

zu- +

ofco/ -

C?

2kl8 -/

V/

//

[27t8i

+85625

- 8/670

**e

+ 8062.5

ze

+80625

re

CN

KS⁶

,rCiX

—

0/20/ +

f/f%

z/2 -

m»+

+ 85625

+85625

%X

7=

+ 85625

?/# X

+ 86625

><

o//:ot +

+ 85625

r/f*/ ~

Z/81 / + z

2/8/ ~

2XIX +

,V¹'¹

+ 80625

7/85505

*»5

+ 86626

5s-

+ 80625

H8z-

<W*/-A

U8Z-27/8 /

6097/+

z e lfZ

71

K^.7.

-80727

so'

6⁹

\/ü!

\ Z ^ I

_hQ

Fi d.9.

27968 +

£'Z/£' -

>7/s:i +

Fi o.io.

-80727

*-r

(iVZeA

fZ

+866Z5

£7/2 —

27/8+

Kl

>Q

IO

CA

mDO

'\

60

fA

<x’

-88727

+80625

- 80727

*95

szxh

279/8 +

Hg. 11.

- 80727

aO

- 8872 7

s-

+85625

L7^ /2^/f/ •/-'%x    /

+80625

//87 -

t/8Z -

PH

stow? +

2718 +

-A

l5

27909+

- 8550p.

+ 8'//in.:

+60625

8/8/ ~

2L8I-

I----"ZI----■*--

«!

»i zz)

•z

v-j

"K"

!z

AS

X>

2718 +

5L-

J, Z .-ei

zi r

iÄg

■60

\Nf\r

s4 *W.

-x

^>\ xz

7/2 -

0/20/ +

+ 85625

aa

\\ a<Ä

1AÄ

7IV-

27/8 +

2Z968 +

x    Z/a

"%,> s

+80625

lA

~o

pH

«o\ 'V

+ 80625

f-:

«sr

^2

>2

'O-O

HL?/,

'W

1%

+ 80625

0%

+ 806Z5

UP

+ 80625

+80625

+ 86625

Verlad vonArtluirFelix inLeipmo .

%

V

I

m

■

' N . Äw ' - "" •'    ••"    •    •    •

Taf. 7.

-tÜ

*c

^*4o

Sh

ff

Fig.5.

fi

+ 8/663

ooo/,/ +

*?/ X

=)

=1

1-81663

Fidl3.

^Jß/66o

s.

x>

yyyy -y»y<Y/ -z

~/o/66o

•m

:________i%__.

ßioW/60

~Wi6iWL°

/tf'o

X-

v-\

183333

ooss-

OOSOI +

0I15/01 —

«ft

I#

Xi

+ ioi6ßo

Lith An st .v. Steinmetz & iß ornemaim, MetC s en.

WO /

H6.4.

|X

— 11ZOOO

*\ Z

f 105000

N-iX

HEINZERLING , GRÜND ZU GE DER BRÜCKEN-UND HOCHBAU-C ONSTRUC T10NEN.

Fig.3.

£°'"*

■-9S-

e(

rM

P

-K

$—4

tS'o

,sZ/G

Z-

Wo

ß'o

u'o

Wo

/ß'o

16’O

Wo

~/x

<*

— 11ZOOO

X\

XX

ÄV \

00 SS -

ooso/ +

#

‘V/

yyy? -

ODO'/./ +

ff

+ 105000

+88833

Kgl-

s4,

--------*-

_____s>

6,ooj

CO

CG

5,003

t§

Ti

•oö

Fi §15.

1550

— 101

-f loißßo

yX

Ifl

\i/

oß ß/oi

_-/0l660

x#l

%l

Ix

I#

+10/650

+ 10155₀

<a

+ 8/6‘ßa

\ ooo/// +

fc

x<r-

+ 8/66.3

<s

-X-

■cC

Fi Lll,

ii™

ciL

<?k

cv!

'_ -tTk I iZV

Pth

<s

1C\

rX

<6

<-6. r

Co

------X-

-Üf~

«ä-

-si

rti'

■-*-

__ toißJW

,550

_ /o

Zx? -§

^ '"''/io

<k

AZ*

TW

vj*

<s

»>

\d

XL'*

\A

6>Z

yy j¹

SS'ß

-oc

rTj

'iO

\\r<~\

'' w

ÄT?

's

Zx

V.

XwY

1-

zXE

.<K

Verlag von Arthur Felix in Leipzig. .

i

(

*

X

'•

\

i

>

■

■

. .

/

'

Taf. 8.

zxo

Xx

-----X-16(1 PS)

^zrZL^-typ¹

-h^S-P)

X\

- To^f-W)

"•------

4L%(M^>

4-y^A—i

I-----al

—>--bL->

«t

entlastet"

/X

,-v

Fid.lt

-y^

steh

; i

-—2/ 6 !    __<^ypa

/■'

V /z 'xX / /

vv

-----

cjjp

X A^' <#v

Fio.l^.

\.

\\

\\

xw

00

-kf&sf)—

o.:z

l)f HEIXZEHLJXti, GRÜNDZÜGE DER BRÜCKEN- UND HOCHBAUC0NSTRUCTI0NEN.

Kg.9.

Kg-5.

,'Az

Ax0/A

TT,

xMV/

Ä

\\ rt'/

f-

(d-hfe-

Vx i 1/lf

W : l/l

\\

-T

('

Ti

1 Xx

«• %

r, %    %

\x

■V

FlO. ]()

('

Fig.6.

XX

k—

f»

-----*—

h-------

„ yz=:r-:::-::

zi

__-ZZ........ ^

fx

—ZT

7,

Figlä-

' 'S' "    - O X<3»

</    *7'; s» r Aev>. ^Sr

M»

%>xx<

;:j|^;;k^ M

**if li    >X^i'y

X o" ob

o

\2-

AfeZr'

'ä

AC

BA

■-+—

XX“

./

ZT

X»

-Xz,

z-:

zZ

/y

//

,.'X

r-

Aü^XrxX-- —v

p^orrr

mp

Frg.19.

V/

//

7/

(1

->•'

4------xdfy-p^

r----vttd'--—-.----■_

X⁻"--------zoO-fj

1)

<>

---

hith.Aust.v. Steinmetz ft Bornemann,Meissen.

VpTJ

------- 4 - -4- - '

-4

-----

zr

»Y

rr

«y.

—Är-

Zx

fiw/?____

i ----A -----AT“";'—cw7

WY

",

A-

4 FiöAL 1 o

z::t:

A

zx

------4

"\;V

A.

v-

, Figo-

x^-

7-

YV

t-x ->

-----M---------#i

»*

e------5-----4-------7>-------»k--------r-

XX

Xx

Jy

—ln-i-----h

XX

FiP.15.

Fio.14.

VT?!!

Cpl

py

x?

xx

lef

</

K-----------SF--------->!

*c

-7-----.*------1----

Zz

fdWf

f -------7------^------X

(ßz-dygf^ 0 :--i (ß-d₆)°\

ZV

Ss

<F

■ZT

k-J5

i*---------# — -------«|

Ä“

Ö‘

Figl«.

4^    \~p

K-iC-—4 ^

k-

fl) A

xrpM

9z

ZZ

A

-x

ZT

ZT

—4.-----

A'

A,

xx---V

CU

G’^— f

Fig.4.

//

//

Fi <3.7.

//

k-

XX

.U

XX“

0/

9,

/>

9z

Fio.8.

Aa

Verlad von Arthur Felix in 1 einai£>

»

*

/

'

V

■

%

.

■-

.

Taf. 9.

• ipu <t‘£1

mir-Key. 1200000

\ 1/00000

i 1000000

00000s i

l_7OOOOO

00000g i

I --,00000

L4ooooo

l 300000

L200000

I 100000

03 in/r.

- 3 0000

OQOOQl W

200000

SOoDcmtr.

hOoDcndr.

<5j

Cü

lil

MXL

E;

J

27/ JL

i 'S

i i

<5

£

-+

lOODcmir.

ki

no mir

tLü

V9 O env

\x

zW » 2-r»

/, 7

2,Zrm

2,2cm

1,3

sx

27QDcf.\u.

J6;>A

1,3 cm

Df HEINZERLING, GRUNDZÜGE DER BRÜCKEN- UND HOCHBAUCONSTRUCTIONEN.

d re i Stä tzerr

23,0    29,3

Fi<5.7.

(I

üfßooe ~~X ■

x.

'''x.

319 ü cm ^ 319 O cm

Tr ä g er

22,3

17,7

-A-äigJA

bOßcm

m'.fi

UM (joW

,2sm

01

27017 cm.

Iffll

<><!

lil 1] Jl'lPi':

lil lllll

: li'i    ------------X-7|XjX_. _

Mi'lllilil ' ....................................

.y

ipffi

/,J'W

,;^X;

2,2°™

2/Jt7om

n Ht

XX

tOOOcni I

ii

4,1

ZMG

■ ■ y*z7,„,

\ZOOOcm

I \ xX

X X , \ 'S

X,

IUJOOOI

* 1113 Q OO !

A,AZ‘

/ZA 7/'

./

30

20

70

ra

»-I

- XwT'Xc De cJistiiche

1,3 CJn

Z8 t9 20    21 2Z 23

7X~    7\ TA 7X“

XX V x X X ' *X »X <x x ³X

--------*|

2,2 <v"'-

iii i ii i I—j 'mhunpiinj u.ip /a-fymipsaviiQ jip .in/ qvys&vvfs

n ”'

Lj

100 urm

r«,8.

Fio 9.

ö

2.X'" A”

2,4

1,3 cm

2/ “ ffi Q7

ijL

WWM«W8W^E

430”

_^—-—7

. I-    i

4X «>4 4'x

2,2°”

2XrJn'

Xy

,L_

Z/Z2

t/

0.9 Cf"

Z#™, ,cm 1.3”* 2jL

2,2^

z,scm

lö

•g

■S

S:

<7

s

HF

JI4EP

5 : r X— 5 > ^100Ocm'\

2-ZZ7

i<

zz

Xxy

2,2 «*-•

sdifivaj, s-jp

ahsögPT

-L,L

2'-'”

z,zr,n

ri

2""

7/ ctr/ je l) ecks tu ehe

— - 2,2^' -

2 2"« 2,2 ""

2,2

IW

z,<7

-xFiXlO.

o

2Z

—'$-----------

i itioL / -aitoL *1

2/m

^ 7 «%..

— Lanqt Deckstüch*

2,2r"‘

2.2”””

1,7 cm

1-47⁷” 2,3”"*

13

Z2

x^Fi^Xil. 4x

W, X    Q

PFl

2."«

vy.yss/sVsi-t777p;z:»’i ...7——wzvzw.i    in^-

2,2'™    2,2'"' z/trm 2,2"" 2,2,m

za

71

/s

7\

>-> XX

2 ""

x⁷Jr 2Y™²-

r::

Zcm

S f 7 S_9

\ zx x\ /\ / \ x\ Y V y v v

X x / x / xx / \ / \ z

< zvx y* x* x> >4j

z \ X X

\ A

zcirv

2Z"'«

4]

!!!

Ii/J 'Z'z

.fu A u.    .....jMwzmw p /

2,2 zvzz

■<

3t,Zc"^

2,M

ii?

2,-7

ÜS

I /,7°®

!k-----------KurxeJietk-Stiicke^L—

1,7.^

S-

woJPZ

tpipi*

\/

11

..

' "V:

f\

es

■*

-U- I -i-i— I ^ l l I_L____I.. I I g-

•’V’lsipn.iqp *npiip$⁵cf'tzn'fy typ unjq»yfspvjsK%

. A¹—'    Z ¹ - , ¹    ^1 I '    ' ’    '_I_7

ti| ■Hl}>pi>nyj,up j punpsifhif) vrp ,in/ qrqssrrvjyp

||

fci \

ZW I

!S

-j-----fjv

V/X

XX,

x V Xx

v V

xxe.

iS

hn

■ 60

■z-Z

6G

<6

•s'

10,3

FLA14.

'k—i3CHV—4

Nr. 3.

X.

—X——Ix

i

MW

a—>

wo

S.

x.,

- \/\

>x

Sä

\\

's

</-

z>

WM

. / \ / An /\ ,

X >

> x*z / w \ /

XV

<—13,3—>

^.....T

30

Xe

f v/xzpzpm

i

s,ßcm

I •FAT

Xiith.Anst.v. Steinmetz. Pu B ornemann ,3Meissen

FLAZL.

<3>

'S.

- /J

<-

V----13 PH—7!

Jlr. Z

Ml.

=;=

LQpOpX

•>.

'X.

TM

TT=

VV

:-V

ZW

AM

77X

"ix

?z

"7_ r.

!!

=M

SE

y:

xz

i< x V

X-X¹

. /\ . X . x /\*v ■

if

387n

jl

<—fo-a.

V

-13, Z--+

ii

o'W

e<<

■CG

TT- ~

WW

vz

r-h

mmm

vVX

eO

■cG

‘2X

so

EJ

E-

-X?

"CÖ

Fi 0.27.

ii

/•

v^y

>exi.

M

X V

s / \

X M >S'X

..... '.

^ 1/L.6—>

's

^vV y.l

#y

X Z

XV ix

X/ V \

A'

Fio.oO.

</'

//' Sf:

/ z.

~E

¹ t/ i?

X'x

:e

.x

mm

z X

v/^\-

,>

x4xxz

NV'"<S'\

76 mir.

Belastiingsfälle fies Trägers czuf 3 JtlJbtzerv.

FiS¹-

II.

FLA 2^1111111111111111111111111111111111111

Fig.4j

4M

-r

XTr-4. ,/M

iSEESx4M3t

ii

»j-44 -j—

-f-

— im£6 jy -|

x—-

Fig.5.

Fi». 6. MxE.s-Ls»»

BeJfL.stimcfsfälle des Trägers erz/ff stützen

FLA 19.

If

FLA LI.

- X-------

Fiö. Z3.

-^XÜiK

vier Stützen,.

x>

:i

WW i

Jn v

zz-z

///

RI

FioXL.

o

—-*-------

MMB

/ \z \

\ Ä\ >

/VSj

V

z\ x\

»,6

#V,.7

i i

____

...

Ri

i?

Fi6.Z9.

ö

MW

;iv

zzzpg

$E

vz

\ }\ / /\<j. x X x >•

\ / \ z

AX

/z

\\

z-

ft

r:

\\

l.\

. x X„>:

X;Z \.

z \    /'

Hy

•\

\x

"1

z V

YV

F10.I8.

07.011

XXSx

/ IX xs

,

IX

/ w/ \,

X A >

>F

01

ii

rmi

WOOOOKcj.

D-

S2. -.

II

>:

xz

nf *

«ifit

—[-----L I t* 1 —t~ —■t-- 1 -

uj/rii rvyjnijcj ujp ?tJV'L Hl nf ,JO i'i,/ 'W    <*vj qMjVVWjp

-=t=i-

-00000

p?

H3000

vrp uns q r>]S‘.v*»jp

- -i-si

Verlag von Arthur Felix in 1 eipzig.

ii JW¹

/

. •

■

X

i

—

t

*■-**?*•

1

>

X

/

.

z

mxm

.

,

-

'

t

r

V

(

'

\

.

r •

.

\

♦

»

¹

Die 4 Stromöffnungen dieser Brücke besitzen je 137 Fuß rhld, (42,99 Met.) Stützweite. Für eine ihrer Tragerwände beträgt das Eigengewicht 1200 Psd. und Las Verkehrsgewicht 2000 Pfd., mithin die Gesammtbelastung 3200 Psd. für den laufenden Fuß rheinisch. Vergl. Hartwich, Erweiterungsbauten der rheinischen Eisenbahn, Abth. 3.

sf'10-2

cP

r.j

>

. >

■

POLITECHNIKä KflAKOWSKA

BiRimrFflTÄ r.f.nwMA

Biblioteka Politechniki Kmkowskiej

1

111-306396

rT«

.

Bn. 524. 13. IX. 54

B¹

»♦> '

"

M

“1

iSfj

Bl

.: «7

i

I

L' 41

■«¹ s

SjLl

m

■* . *

.

II

' « .

*>

Ltju

⁵

ELI

M

HM

9ß*

fi*-

: ■ ,

&

L

-

Nr.

F£jr^

^ v

Mt:

r

inm

*r

,

-

-

3r

■

M

Jt-

W:

tZÄte

.Jjp

,

1. *

W^W.-r.

;

UVWM

MMxMN

-r i

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

• i

y ■

P*g

1

100000300683

m

■

JL

Km 3

t?

M

^ ■»

Bl

s»