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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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ÜBER

RAUMFACHWERKE

NEUE FORMEN UND BERECHNUNGSWEISEN

FÜR

KUPPELN UND SONSTIGE DACHBAUTEN

VON

DR ZIMMERMANN

GEH. OBERBAURATH

MIT 3ß ABBILDUNGEN IM TEXT

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öffeatlieken Arktik*

BERLIN 1901

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN

(GROPIUS’SCHfi BUCH- UND KUNSTHANDLUNG)

Alle Rechte Vorbehalten.

BIBLIOTEKA PCIITEGHÎH8ZH

KRAKÓW

H13.U ••

Äkc. Nr.

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VORWORT.

Die in vorliegendem Schriftchen dargestellten Formen und Berechnungsweisen verdanken ihre Entstehung den Bedürfnissen einer schwierigen Aufgabe und haben zum Theil schon vor zwölf Jahren bei deren Lösung zugleich ihre erste Probe bestanden. Wenn ich sie trotzdem noch als neu bezeichne, so ist das nur so gemeint, dafs sie bisher noch nicht veröffentlicht sind. Wer sich nicht damit begnügt, seinen Gegenstand richtig zu behandeln, sondern ihn auch so klar und einfach zu gestalten sucht, dafs ihn sich der Leser mit einem Mindestmafs von Mühe aneignen kann, für den ist vom Finden zum Veröffentlichen ein weiter, beschwerlicher Weg. Wenn dann auch noch die Unruhe und die Sorgen einer alle Kräfte in Anspruch nehmenden Berufstätigkeit fortwährend davon ablenken, so können wohl Jahre vergehen, bevor man ans Ziel gelangt. So erklärt sich im vorliegenden Falle die lange Frist. Nun es hinauswandern soll, darf ich wohl dem Erzeugnifs so mancher nächtlichen Mufsestunde den Wunsch mitgeben, dafs es eine freundliche Aufnahme und nachsichtige Beurteilung finden möge!

Berlin, im Juni 1901.

Zimmermann.

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INHALTS-VERZEICHNISS.

Seite

Einleitung

Erster Abschnitt.

Das Raumfachwerk auf rechteckigem Unterbau („Reichstagskuppel“).

§ 1. Form, Stützung, Belastung und innere Kräfte des Raumfachwerkes ..................

§ 2. Die vierzig Bedingungen für das Gleichgewicht des Raumfachwerkes bei allgemeinster Belastung........

§ 3. Allgemeine Berechnung der Diagonalspannungen ....

§ 4. Allgemeine Berechnung der übrigen Kräfte......

§ 5. Einzelne Belastungsfälle.

1.    Nur senkrechte Belastung...........

2.    Symmetrische, im übrigen allgemeine Belastung . .

3.    Sonderung der Lasten. Eigengewicht und Winddruck 29

§ 6. Zahlenbeispiele..............

1.    Nur eine lothrechte Last........

2.    Nur eine wagerechte Kraft am unteren Ring

3.    Nur eine wagerechte Kraft am oberen Ring .

4.    Gleichzeitige Belastung durch mehrere Kräfte

10

12

21

24

26

32

33

36

40

43

Zweiter Abschnitt.

Das Raumfachwerk mit beliebiger Eckenzahl.

§ 7. Allgemeine Betrachtung. Der Ausschnitt als Grundeinheit.

Hauptarten des Fachwerkes............

§ 8. Bezeichnungen am mehreckigen Fachwerk......

§ 9. Gleichgewicht der Kräfte am Fachwerkausschnitt. Allgemeine Beziehung zwischen den Spannungen dreier aufeinanderfolgender Diagonalen............

46

49

§ 10. Anwendung auf einige besondere Fälle.

1.    Fach werk ohne Eckfache (Schwedlerkuppel) und gemischtes Fachwerk.......... . . .

2.    Fachwerk mit rechteckigen Mittelfachen.....

3.    Kreisfachwerk...............

§ 11. Das sechseckige Kreisfachwerk als Beispiel.

1.    Allgemeine Belastung............

2.    Einige besondere Belastungsfälle........

55

57

57

60

66

Dritter Abschnitt.

Abgeleitete Formen.

67

§12. Fach werk mit schräger Stützung. Einflufs der Stützenneigung im allgemeinen.............

§13. Berechnung der Diagonalspannungen für ein rechteckiges,

symmetrisch belastetes Fach werk auf schrägen Stützen . 71 § 14. Berechnung der Diagonalspannungen für ein mehreckiges,

beliebig belastetes Fachwerk auf schrägen Stützen .    . . 73

79

§15. Mehrgeschossige Fach werke. Laternen . .

83

§ 16. Gratfach werk...........

86

§ 17. Eingeschränkte Fachwerke im allgemeinen §18. Das Firstfach werk auf sechs Stützpunkten als Beispiel . . 89

Berichtigungen.

Auf Seite 29 ist in Gl. 81) links überall Z statt T zu setzen. „    „    30    in    der    letzten Gleichung von 83) desgl.

»    „    32    in    Gl.    91) desgl.

Einleitung.

Im Jahrgang 1897 der Zeitschrift für Bauwesen sind die ganz eigenartigen Verhältnisse in ihren Hauptlinien geschildert worden, die im Jahre 1889 Vorlagen, als der Beschlufs gefafst wurde, ein grofses Kuppeldach auf hohem Unterbau über dem Hauptsitzungssaale des Reichstagshauses zu errichten.¹) Es lag die Schwierigkeit vor, dafs die schon bis etwa zur Dachhöhe aufgeführten Umfassungsmauern dieses Saales nur eine Stärke besafsen, die wohl zum Tragen eines gewöhnlichen, mäfsig geneigten Satteldaches ausreichte, nicht aber für die Aufnahme der Last einer weiteren bedeutenden Mauermasse und einer hohen, weitgespannten Kuppel, in Verbindung mit dem sehr erheblichen wagerechten Druck, den der Wind naturgemäfs auf einen solchen Bau ausübt. Dafs der zu überdeckende Raum gerade der Hauptsaal war, verschärfte die Schwierigkeiten doppelt. Denn erstens mufsten die ohnehin schon schwachen Umfassungsmauern wegen des grofsen Lichtbedarfes noch durch Fenster von ganz gewaltigen Abmessungen weiter verschwächt werden, und dann war die Möglichkeit ausgeschlossen, die Wände durch breite Vorlagen oder sonstige Zugaben von der Innenseite her gegen den äufseren Winddruck abzusteifen.

So lag die Sache, als ich im Jahre 1889 nach einigen von anderer Seite ohne Erfolg angesteilten Versuchen damit betraut wurde, eine befriedigende Lösung dieser ungewöhnlichen Aufgabe ausfindig zu machen. Schon die erste Proberechnung zeigte, dafs die ungefähr

40 m hohen Wände des Kuppelunterbaues für sich ganz aufser Stande waren, anch nur den auf sie selbst entfallenden Winddruck auszuhalten, geschweige denn den Druck auf das Kuppeldach. Es mufste also jedenfalls darauf Bedacht genommen werden, diese Wände in irgend einer Weise wirksam auszusteifen; da dies aber unter den obwaltenden Umständen auf grofse Schwierigkeiten stiefs, so war es dringend geboten, für das Dachgerüst eine Anordnung zu wählen, bei der das tragende Mauerwerk durch den Winddruck auf das Dach möglichst wenig in Mitleidenschaft gezogen wird. In welcher Weise ich diese beiden Anforderungen erfüllt habe, ist an dem oben genannten Orte näher dargelegt. Was den Unterbau angeht, so kann es bei den dortigen Mittheilungen sein Bewenden haben, da eine ähnliche Ausführung kaum je wieder Vorkommen wird. Das Raum-facliwerk der Kuppel verdient dagegen wohl eine etwas eingehendere Erörterung, als ihm in jenem Aufsatze meines früheren Mitarbeiters Lodemann zu Theil geworden ist.

Die beim Reichstagshause ausgeführte neue Anordnung besitzt nämlich so viele Vorzüge, dafs ihre Wiederverwendung zu empfehlen ist, sobald es sich um eine Kuppel auf rechteckigem oder quadratischem Unterbau handelt, für die sich alle sonst zu Kuppelbauten verwandten Raumfach werke wenig eignen. Damit ist ihre Bedeutung aber noch nicht erschöpft; denn sie bildet den Ausgangspunkt für eine ganze Reihe von neuen Formen, die alle auf demselben Grundgedanken beruhen und nach gleichen Regeln zu berechnen sind. Es liegt z. B. sehr nahe, die zunächst für einen rechteckigen (oder quadratischen) Unterbau entworfene Anordnung auf Bauwerke von gröfserer Eckenzahl auszudehnen. Untersuchungen hierüber habe ich schon während der Bearbeitung des ersten Entwurfes angestellt und später fortgesetzt. Dabei zeigte sich, dafs die Gleichungsgruppe, die in einem gegebenen Falle die Grundlage für die Lösung der Aufgabe bildet, aus Einzelgleichungen besteht, deren jede — ganz unabhängig von der Zahl der Ecken — stets nur die Spannungen dreier aufeinander folgender Diagonalen als Unbekannte enthält. Ist das Fach werk nach einem regel mäfsigen Vieleck errichtet, so lassen sich auch diese Gleichungen so regelmäfsig und einfach gestalten, dafs man sie nach einem leicht zu merkenden Verfahren, ohne irgend welche statische Betrachtungen nöthig zu haben, unmittelbar hinschreiben kann, wie auch die Zahl der Ecken und die Art der Belastung des Fachwerkes gewählt sein möge. Die fraglichen Gleichungen bilden dann in gewissem Sinne, und zwar auch ihrer Form nach, ein Seitenstück zu den Clapeyronschen Gleichungen für Träger auf mehreren Stützen. Diese Beziehung ist um so merkwürdiger, als die Fachwerke meiner Bauart immer statisch bestimmt sind, mithin des Eingehens auf die Formänderungen zu ihrer

Berechnung nicht bedürfen. Wie günstig die Verhältnisse in dieser Hinsicht liegen, das erkennt man übrigens noch besser bei Anordnungen mit unregelmäfsigem Grundrifs, also z. ß. Kuppeln auf rechteckigem oder elliptischem Unterbau. Auch in solchen Fällen lassen sich die Grundgleichungen leicht für jede beliebige Eckenzahl und Belastungsweise ableiten. Es kann dies sogar geschehen, ohne dafs man die Gleichgewichtsbedingungen für alle Knotenpunkte aufzustellen braucht. Das allgemeine Verfahren, welches ich hierfür gefunden habe und weiterhin beschreiben werde, leistet für Raumfachwerke ähnliches wie das bekannte Rittersche Verfahren für ebene Fachwerke.

Damit wäre etwa das angeführt, was sich über die inneren Vorzüge des neuen Raumfachwerkes sagen läfst. Es besitzt aber aufser-dem auch eine Eigenschaft, die sich auf sein Verhalten gegen den Unterbau bezieht und gleichfalls von Bedeutung ist. Die Art seiner Lagerung hat nämlich zur Folge, dafs die wagerechten Auflagerkräfte die Umfassungsmauern nur in ihrer Fluchtrichtung, also in der günstigsten Weise beanspruchen, die überhaupt möglich ist. Gerade dieses Ziel war es ja, wonach ich (wie oben schon erwähnt) bei den Entwurfsarbeiten für das Reichstagshaus in erster Linie streben mufste. Bei künftig noch zu errichtenden Kuppeldächern werden die Verhältnisse wohl nicht ganz so, aber doch ähnlich liegen, da mit solchen Dächern fast immer weite Räume überdeckt werden sollen, in deren Innerem die Querwände und Decken nicht angebracht werden können, die bei gewöhnlichen Bauten schon zu anderen Zwecken vorhanden sein müssen und die Aussteifung der Umfassungsmauern gegen Winddruck nebenher mit besorgen.

Bevor wir zur genaueren Beschreibung der Bauart des in Rede stehenden Raumfachwerkes und zur Berechnung seiner Stab- und Auflagerkräfte schreiten, bleibt jetzt nur noch einiges über die gewählte Bezeichnungsweise und über die Eintheilung des Stoffes zu sagen. Es ist eine Eigentümlichkeit dieses Fach Werkes, dafs der obere und der untere Ring nicht die gleiche Eckenzahl habeu. Bei den Formen, die ich Hauptformen nennen will, hat der obere Ring stets nur halb so viel Ecken wie der untere. Es vereinfacht daher die Bezeichnung, wenn man die einzelnen Glieder des Fachwerkes so viel wie möglich auf den oberen Ring bezieht und nach der Zahl seiner Ecken beziffert. Es empfiehlt sich dann, auch das ganze Fachwerk danach zu benennen, also z. B. von einer viereckigen Anordnung zu reden, wenn der obere Ring vier Ecken hat. Der letztere hat auch noch in einer anderen Richtung eine gröfsere Bedeutung als der untere Ring. Ob das Fachwerk nach dem für regel-mäfsige Anordnungen geltenden vereinfachten Verfahren berechnet werden karm oder nicht, hängt nämlich in erster Linie davon ab,

dafs der obere Ring ein regelmäfsiges Vieleck im mathematischen Sinne ist. Der untere Ring braucht kein solches zu sein; seine Form mufs nur die Bedingung erfüllen, dafs sie durch regelmäfsige Abstumpfung der Ecken eines Vielecks von gleicher Art wie das des oberen Ringes erzeugt werden kann. Wäre der obere Ring z. B. ein Quadrat, so müfste der untere Ring ein Achteck sein, wie es entsteht, wenn man jede Seite eines Quadrats von beiden Ecken her um beliebig grofse, aber gleiche Stücke verkürzt und die Schnittpunkte durch vier schräge Linien verbindet. Wir beginnen die Darstellung mit der Untersuchung der Hauptformen und behandeln im ersten Abschnitte als Beispiel einer unregelmäfsigen Anordnung das rechteckige Raumfachwerk, wie es für die Reichstagskuppel benutzt und zum Ausgangspunkte für die anderen neuen Formen geworden ist. Wir bedienen uns dazu noch der Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte, theils der Vollständigkeit wegen, theils um den Unterschied gegenüber dem oben erwähnten weit bequemeren neuen Verfahren zu zeigen, das im zweiten Abschnitte entwickelt werden und zur Untersuchung der regelmäfsigen Fachwerke von beliebiger Eckenzahl dienen wird. Nach den regelmäfsigen und unregelmäfsigen Hauptformen sollen zum Schlufs auch noch einige andere Anordnungen besprochen werden, die man als abgeleitete Formen bezeichnen kann, da sie aus den Hauptformen hervorgehen, wenn man einzelne Glieder weg-läfst öden neue hinzufügt. Es lassen sich auf diesem Wege neue Raumfachwerke schaffen, die ihrer Wirkungsweise nach Kuppeln sind, aber eine ganz andere äufsere Gestaltung zeigen und auch anderen Zwecken dienstbar zu machen sind. Näheres hierüber findet der Leser im dritten Abschnitt. Als Beispiel möge hier nur die zweieckige oder Satteldachkuppel erwähnt werden, mit deren Hülfe man langgestreckte hohe, in das Dachgeschofs hineinreichende Räume überdecken kann.

Erster Abschnitt.

Das Raumfachwerk auf rechteckigem Unterbau. („Reichstagskuppel“.)

§ 1. Form, Stützung, Belastung und innere Kräfte des ßaumfachwerks.

Es ist wichtig, dafs man sich ein recht klares Bild von der geometrischen Anordnung unseres Raumfachwerkes verschafft, bevor zur Erörterung seiner statischen Eigenschaften geschritten wird. Wir nehmen der Allgemeinheit wegen an, dafs es über einem rechteckigen Grundrisse errichtet werden soll und bezeichnen die beiden Hauptachsen dieses Rechteckes als a-Achse und b-Achse. Dieselben Buchstaben benutzen wir zur Unterscheidung der in die eine oder die andere der beiden so festgelegten Hauptrichtungen des Raum-fachwerkes fallenden Längen und Kräfte. Ein Loth im Schnittpunkte des Achsenkreuzes bildet die senkrechte Hauptachse des Fachwerkes und möge h-Achse heifsen. Die Anordnung kann nun leicht in folgender Weise festgelegt werden: Das Fach werk besteht aus einem oberen viereckigen und einem unteren achteckigen Ring, acht die Ecken dieser Ringe mit einander verbindenden Rippen oder Sparren und vier zwischen je zwei solchen eingeschalteten Diagonalen. Der obere Ring ist ein Rechteck, dessen Mittelpunkt auf der senkrechten Hauptachse liegt und dessen Seiten nach den wagerechten Hauptachsen ausgerichtet sind. Die Länge der zur a-Achse gleichlaufenden Seiten sei a₀, diejenige der zur b-A dise gleichlaufenden b₀. Der untere Ring ist ein in Bezug auf die wagerechten Hauptachsen symmetrisches Achteck, dessen Mittelpunkt gleichfalls in der A-Achse, also lothrecht unter demjenigen des oberen Ringes liegt und von dessen Gegenseiten ein Paar in die Richtung der a-Achse, das andere in die der b- Achse fällt. Die betreffenden Seiten, die wir Mittelseiten nennen wollen, haben dieselben Längen a₀ und b₀ wie die ihnen gleichlaufenden Seiten des oberen Ringes. Die übrigen vier Seiten des unteren Ringes nennen wir Eckseiten; ihre Länge sei c. Die acht Rippen verbinden paarweise die Endpunkte der einander benachbarten gleichlaufenden und gleich langen Seiten des oberen und des unteren Ringes, bilden also mit diesen zusammen vier Rechtecke mit je zwei wagerechten Seiten aQ und b₀ und zwei geneigten Seiten. Die letzteren liegen in lothrechten Ebenen, deren wagerechte Spuren in die Richtung der wagerechten Hauptachsen fallen. Demgemäfs bezeichnen wir die Längen der Rippen oder Sparren nach ihren Richtungen im Grundrifs mit a und b, im Raume mit sa und sb. Die letzten vier Stäbe des Fach Werkes, die Diagonalen, verbinden je zwei gegenüberliegende Ecken der vorgenannten vier Rechtecke. Je nachdem sie a- oder &-Rippen verbinden, wird ihre Länge mit da oder db bezeichnet. Wir nehmen an, dafs die Diagonalen alle im gleichen Sinne steigen oder fallen, d. h. dafs sie, z. B. vom Innern der Kuppel aus gesehen, alle von links unten nach rechts oben gehen. Fafst man die Ringe als Gurte auf, so können die Rippen und Diagonalen als Wandglieder und die zwischen je zwei Rippen liegenden Tlieile der Wand als Fache bezeichnet werden. Es ist eine Eigenthümlichkeit des in Rede stehenden Fachwerkes, dafs immer ein rechteckiges Fach (Mittelfach) mit einem dreieckigen (Eckfach) ab wechselt.

ln Abb. 1 ist ein Fachwerk von solcher Anordnung in schräger

05

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Ansicht dargestellt, und zwar mit ausgezogenen Linien für die vorn liegenden, mit gestrichelten für die dahinter liegenden (durch die Kuppelfläche verdeckt gedachten) Stäbe. Die vier oberen Ecken sind mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, die acht unteren, so weit sie sichtbar, mit Aj, Bj bis AIV, BlY bezeichnet. Die Abb. 2 giebt einen Grundrifs und eine Seitenansicht des Stabgerippes und zugleich die Buchstaben, mit denen wir die verschiedenen Längen bezeichnet haben. Ferner sind auch die Winkel, die in den weiterhin folgenden Untersuchungen

eine Rolle spielen, nach einer    ^_

leicht zu erkennenden Regel mit griechischen Buchstaben kennt- r * lieh gemacht. Dabei ist zu be- Abb. 1. Schaubild des Stabgerippes, achten, dafs die Mafse und

Winkel zum Tlieil nicht in ihrer richtigen Gröfse, sondern nur in der Projection erscheinen. Es sollen also unter da und db die wirklichen Längen der Diagonalen und unter da und die Winkel verstanden werden, die ihre Richtung im Raum mit der Richtung der Rippen bildet, die sie verbinden. Die lothrechte Höhe des oberen Ringes über dem unteren nennen wir h.

Was die Stützungsweise des Fach Werkes betrifft, so wird vorausgesetzt, dafs in den acht Eckpunkten des unteren Ringes, also am Fufse der acht Rippen,

Lager angebracht sind, die nur lothrechte Drücke zulassen. Zur Aufnahme wagerechter Kräfte dienen vier weitere Lager, die an den vier mittleren Stäben des unteren Ringes an greifen und so ausgebildet sein müssen, dafs sie nur in der Richtung ihrer Stäbe auf diese einwirken können. In Abb. 1 sind die Lagerdrücke für die Vorderseite des Fachwerkes als Pfeile eingetragen. Wir bezeichnen die lothrechten Gegendrücke mit denselben Buchstaben wie die Auflagerknotenpunkte, zu denen sie gehören, und nehmen sie als positiv an, wenn sie von unten nach oben gerichtet sind. Es ist leicht zu erkennen, dafs je

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Abb. 2. Längen und Winkel der Stäbe (Ansicht in Richtung der b- Achse und von oben).

zwei unter derselben oberen Ecke (z. ß. 1) befindliche Lager mit der entsprechenden römischen Ziffer (also I) bezeichnet, aber durch die Buchstaben A und B von einander unterschieden worden sind. Die wagerechten („tangentialen“) Lagerdrücke werden mit T und den beiden Ziffern bezeichnet, die den Enden des in dem gleichen Fache gelegenen oberen Eingstabes entsprechen. Sie sollen als positiv gelten, wenn sie die Richtung haben, in der jene Ziffern wachsen. Es ist also z. B. Tx 2 ein von 1 nach 2 gerichteter wagerechter Gegendruck.

Statt der Lager im gewöhnlichen Sinne (Flächenlager) können natürlich auch Gelenkstäbe dazu dienen, das Fachwerk in der geschilderten Weise zu stützen. Sie müssen nur so angeordnet werden, dafs sie auf die Lagerpunkte lediglich Kräfte in der vorgeschriebenen Richtung ausüben. Abb. 3 zeigt eine solche Anordnung, bei der die senkrechten Drücke durch je eine lothrechte Stütze, die wagerechten durch je zwei geneigte Streben aufgenommen werden. Alle diese

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Stäbe sind gelenkig einerseits mit den Lagerpunkten des Fachwerkes, anderseits mit einer festen Unterlage verbunden zu denken. Dafs die wagerechten Lager nicht gerade in der Mitte der unteren Ringstäbe zu liegen brauchen, sondern

Abb. 3. Ersatz der Flächenlager durch Gelenkstäbe mit festen Fufspunkten.

und sogar in der Verlängerung dieser Stäbe angeordnet werden können, versteht sich von selbst. In Abb. 3 ist beispielsweise durch eine gestrichelte Linie an gedeutet, wie man die Verstrebung anordnen mufs, wenn man das Lager für A1Y zugleich zur Aufnahme des wagerechten Druckes Txx benutzen will. Ob man die Lagerung in der einen oder anderen Weise ausbildet, ist für das statische Verhalten des Fach Werkes gleichgültig, denn es ändern sich dabei nur die Spannungen in den die wagerechten Kräfte in die Lager führenden Ringstäben. Die Anbringung der Lager in der Mitte dieser Stäbe besitzt aber gewisse praktische Vorzüge. Sie bewirkt nämlich, dafs die Mitte des Fach Werkes auch bei beliebigen Wärmeänderungen genau über der Mitte des Unterbaues bleibt, und dafs die durch solche Aenderungen hervorgerufenen seitlichen Verschiebungen der senkrechten Lager möglichst klein werden. Aufserdem sind die Mitten der Umfassungswände meist besser zur Aufnahme von wagerechten in die Richtung der Mauerflucht fallenden Kräften geeignet, als die mehr nach den Ecken hin gelegenen Stellen.

Als Belastung nehmen wir zunächst in jedem der zwölf Knoten-

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punkte des Fachwerkes eine beliebig gerichtete Kraft an. An den vier oberen Knotenpunkten zerlegen wir diese Kräfte in je drei Seitenkräfte, und zwar nach drei zu einander rechtwinkligen Achsen, von denen die eine lothrecht ist, die beiden anderen in die Richtungen der Hauptachsen fallen. Demgemäfs werden die wagerechten Seitenkräfte mit dem Buchstaben W, dem Richtungszeiger a oder b und der Ziffer des Knotenpunktes bezeichnet, an dem sie an greifen. Sie werden positiv gerechnet in der Richtung nach dem Innern der Kuppel. Die lothrechte Seitenkraft wird mit P und der Knotenpunktziffer bezeichnet und positiv nach unten gerechnet. Aehnlich können auch die Kräfte in den acht unteren Knotenpunkten zerlegt werden. Dabei stellt sich aber heraus, dafs die senkrechten Antheile ohne weiteres in die Auflager übergehen, die Stäbe des Raumfachwerkes also nicht beanspruchen, und dafs die in die Richtung der Mittelstäbe des unteren Ringes fallenden Seitenkräfte durch diese sogleich den wagerechten Lagern zugeführt werden, mithin auf die Spannungen der übrigen Fachwerkstäbe ebenfalls keinen Einflufs ausüben. Diese beiden Kraftantheile können daher bei der allgemeinen Untersuchung des Fachwerkes fortgelassen werden, sodafs nur noch die rechtwinklig zu den Mittelstäben des unteren Ringes gerichteten Seitenkräfte übrig bleiben. Wir bezeichnen diese mit dem Buchstaben F, den Richtungszeigern a oder b und der Ziffer des zugehörigen oberen Knotenpunktes. Die so festgesetzten äufseren Kräfte sind als gefiederte Pfeile an ihren Angriffspunkten in die Abb. 4 eingetragen. (Da diese einen Grundrifs darstellt, konnten die lothrechten Kräfte Aj, B₁ bis Ajy, PIV und Pt bis P₄ natürlich nicht in solcher Weise sichtbar gemacht werden. Sie sind deshalb nur mit Buchstaben bezeichnet. Die wagerechten Auflagerdrücke Ti 2 bis P4 sind, um sie deutlicher hervortreten zu lassen, neben die Unterringstäbe gesetzt, in deren Richtung sie wirken.)

Ferner enthält die Abb. 4 auch die Bezeichnungen, die wir den inneren Kräften geben. Die dabei befolgte Regel ist so einfach, dafs sie mit wenigen Worten wiedergegeben Averden kann. Die Spannungen der Rippen heifsen A oder P, je nach der zugehörigen Achsenrichtung, die Spannungen der Eckstäbe des unteren Ringes C, die der Diagonalen D. Die Spannungen der Stäbe des oberen und der Mittelstäbe des unteren Ringes werden mit 0 und U bezeichnet. Die verschiedenen A, B und C können den vier Ecken des oberen Ringes zugeordnet und durch die betreffende Knotenpunktziffer kenntlich gemacht werden. Die 0 treten dagegen immer an zwei Knotenpunkten auf und erhalten deshalb die entsprechenden beiden Ziffern als Kennzeichen. Ebenso wird bei den mittleren Stäben U des unteren Ringes verfahren, wobei jedoch die (bequemeren) Ziffern der nächstgelegenen oberen Knotenpunkte benutzt werden. Hier ist aufserdem noch die Unterscheidung der zwei in ein und demselben Stabe zu beiden Seiten des wagerechten Lagers auftretenden Spannungen durch die Reihenfolge der Kennziffern bewirkt. So bezeichnet z. B. Uj ₄ die Spannung im Stabe U zwischen dem zu 1 gehörigen Punkte und dem nach 4 hin gelegenen wagerechten Lager; ZJ₄₁ dagegen die Spannung auf der anderen Seite, also zwischen dem zu 4 gehörigen Punkte und dem jetzt in der Richtung nach 1 hin folgenden wagerechten Lager. Die Diagonalspannungen D endlich, die ebenso wie die 0 immer in zwei verschiedene Knotenpunktgruppen eingreifen, sind in derselben Weise wie die letzteren beziffert.

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Abb. 4. Aeufsere und innere Kräfte an den Knotenpunkten (Ansicht von oben).

Wir betrachten die Spannungen durchweg als positiv, wenn sie auf Zug wirken, setzen aber voraus, dafs alle Stäbe auch Druckkräften widerstehen können.

Um nun zu ermitteln, ob ein so angeordnetes und belastetes Stabgebilde im Gleichgewichte sein kann, und welche Spannungen dabei in den Stäben auftreten, denken wir uns die letzteren sämtlich in der bekannten Weise durchschnitten und so die inneren Kräfte in äufsere verwandelt. Wir haben dann an den vier oberen und acht unteren Knotenpunkten zusammen zwölf räumliche Gruppen von Kräften, die sich in je einem Punkte schneiden. Jede solche Gruppe liefert bekanntlich drei Gleichgewichtsbedingungen. Um diese zu finden, müssen die Kräfte auf drei beliebige Achsen bezogen werden. Wir wählen dafür am einfachsten die a-, ö- und A-Achsen. Aufserdem treten an den wagerechten Lagern noch vier Gruppen auf, die aber nur Kräfte enthalten, welche in dieselbe Linie fallen. Eine solche Gruppe liefert nur eine Gleichgewichtsbedingung. Im ganzen haben wir also deren 3 X 12 + 4 = 40. An unbekannten Kräften sind vorhanden 4 Spannungen im oberen Ring, 12 im unteren, 12 in den Wandgliedern, 8 senkrechte und 4 wagerechte Auflagerdrücke; das sind zusammen gleichfalls 40. Das Gleichgewicht ist also möglich; ob und unter welchen Bedingungen es aber wirklich eintritt, mufs noch besonders untersucht werden. Das erste Bedenken, das in solchen Fällen aufzutreten pflegt — nämlich dafs zwar die Gesamtzahl der Stabkräfte richtig, ihre Yertheilung auf die verschiedenen Knotenpunkte aber insofern hinderlich sein könnte, als vielleicht an dem einen zu viel, am anderen dagegen wieder zu wenig Stäbe angreifen —, würde sich wohl auch durch eine kinematische Zergliederung des Fachwerkes prüfen lassen. Immerhin würde aber damit die vollständige Berechnung aller Stabspannungen und Auflagerdrücke nicht entbehrlich gemacht, da man die Kennt-nifs dieser Kräfte schon zur Bestimmung der Stabquerschnitte braucht. Eine solche Berechnung, in die wir nunmehr eintreten wollen, liefert dann gewissermafsen nebenbei auch den endgültigen Beweis für die Standfestigkeit des ganzen Raumfachwerkes.

§ 2. Die vierzig Bedingungen für das Gleichgewicht des Baumfachwerkes bei allgemeinster Belastung.

1. Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte des oberen Ringes (s. Abb. 4).

Punkt 1:

P\ — o

-f Ai cos da cos a — Oi 2 — Wa i = 0

— 0₄₁ —- Wb i = 0.

1)    Ax sin a -|- B₁ sin ß -f- D₄₁ cos da sin a

2)    A₁ cos a

3)

Bx cos ß — Z)₄₁ sin da

Punkt 2:

~b A = o

+ Dl2 cos ^6 COS ß — 0₂₃ — Wb 2 = 0 A₂ cos a — Dx 2 sin öb

4)    B₂ sin ß -f- A₂ sin a -f- D₁₂ cos db sin ß

5)    B₂ cos ß

6)

— Ol 2 — w a 2 — o.

Punkt 3:

-\r Ps — 0 + As cos da COS CC— 0₃₄ — Wtt3 = 0 Ą cos ß — D₂ 3 sin da

7)    ^4₃ sin cc -f- Bs sin ß -f- D₂₃ cos d« sin a

8)    Ag cos a

9)

- 0₂s — Wb 3 — 0*

Punkt 4:

10)    _B₄ sin ß -|- Aà sin a + Z)₃₄ cos sin ß

11)    B^cosß

12)

’cH

+ A — 0

+ #84 COS cos ß — 0₄₁ — Tf₀4 = 0

o₃₄—w« 4 — o.

A₄ cos « — D₃₄ sin

Die zwölf Gleichungen enthalten je vier verschiedene A, B, D und 0, also 16 Unbekannte. Diese Zahl läfst sich am bequemsten dadurch vermindern, dafs man immer zwei zusammengehörige A und B durch ein und dieselbe dritte Gröfse ausdrückt; und zwar bietet sich als solche das zugehörige G dar, das zu A und B, wie sich weiterhin zeigen wird, in einer sehr einfachen Beziehung steht. In ganz ähnlicher Weise erhält man die folgenden Gleichungen.

13)

14)

15)

2. Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte des unteren Ringes (s. Abb. 4).

Erste Gruppe: Punkte, in denen keine Diagonale angreift. Punkt Ai'.

Ax sin a

Ax cos a + Gx cos Ya

— Cx sin Ya + U\ 4

+ Ai

+ ral = o = o.

16)

17)

18)

Punkt jBh:

B₂ sin ß

B₂ cos ß+C* cos yh

— C₂ sin yb -f- JJ₂

+ Bn

+ Vb2 = 0

= 0.

19)

20)

21)

Punkt Am:

Ab sin a

cos a -f- Gs cos Ya

— C₃ sin Ya + Uti

+ Am

+ vaS = o

= 0.

22)

23)

24)

Punkt J5iy: jB₄ sin ß

Bji cos ß -f- Gy₄ cos Yb

— (7₄ sin Yb + U±d

+ Biy

+ vbi = 0

= 0.

Zweite Gruppe: Punkte, in denen eine Diagonale angreift. Punkt Bi'.

25) Bi sin ß

+ Ą2 cos fib sin ß 26) Bx cos ß + Ci cosf₆+D₁₂ cos db cos ß — Ci sinYb +A2 sindb

27)

+ uV2

+r₆i = o

= 0.

tH

zQn

00

Punkt An'.

28) A₂ sin a

29)

30)

+ #23 cos da sin a A₂ cos cc-\- C₂ cos Ya + #23 cos óa cos a — #2 sin ya + As sin ôa

+ #23

= 0.

Punkt B xn : 31)    jB₃ sin ß

+ #34 cos db sin ß 32) B₃ cos ß + C₃ cos Yb + #34cos db cos ß

+ #m

+ ^63 = 0

33)

~0₃sin +#34 sin db

+ #34

= 0.

Punkt AIV:

34)    A± sin a

35)    A₄ cos a + 0₄ cos Ya + #4i cos cos a — C₄ sin Ya + #41 sin

Aufser den schon in den Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte des oberen Ringes enthaltenen Gröfsen treten jetzt 20 neue Unbekannte auf, nämlich die 8 Auflagerdrücke Aj bis AIV und Bi bis J?jy, die 8 Ringspannungen £7₁₄ bis Z7₄₃ und U₁₂ bis U₄₁ und schliefslich die vier Ringspannungen Gl bis C₄. An jedem der acht Punkte kommen aber in der zweiten Gleichung von diesen 20 Gröfsen nur die vier letzten vor, und zwar in der ersten Gruppe in Verbindung nur mit A und B, in der zweiten aufserdem noch mit D. Dieser Umstand liefert* das oben erwähnte Mittel zum Ersatz der acht A und B durch die vier C. Ehe dazu übergegangen wird, mögen aber des Zusammenhanges wegen die vier letzten, noch übrigen Gleichgewichtsbedingungen des ganzen Raumfachwerkes hier angeführt werden, obgleich sie zunächst für die weitere Rechnung nicht in Betracht kommen.

+ Du cos da sin a

+^iv

36)

+ #41

= 0.

37)

38)

39)

40)

3. Gleichgewichtsbedingungen für die wagerechten Stützpunkte.

Es ergiebt sich aus Abb. 4 sofort

u 12 — #2 1 -#12—0

#23 #3 2 #23—0

#34 #43 #34 — 0

#41 #14 #41 — 0.

Hierin sind alle 12 Werthe unbekannt.

§ 3. Allgemeine Berechnung der Diagonalspanuungeu.

Die in obigen Gleichungen enthaltenen Winkelgröfsen sind für die weitere Berechnung insofern ungünstig, als sie zu sehr langen

CO

rH

CO

und unübersichtlichen Ausdrücken führen. Bei der grofsen Zahl von Unbekannten hängt nun, wenn nicht die Möglichkeit, so doch die Brauchbarkeit einer allgemeinen Auflösung in hohem Grade davon ab, ob sich die mathematische Entwicklung genügend vereinfachen läfst. Ein wirksames Mittel hierzu bildet im vorliegenden Falle, wie ein Versuch lehrt, die Einführung der Stablängen an Stelle der Winkelgröfsen. Das geschieht mittels der nachstehenden Formeln, die sich leicht aus der Abb. 2 herauslesen lassen.

Für die a-Achse:

Für die b-Achse:

sin « = -

sin ß =

cos a = —

Sa

tg a —

tg- ß =

41)

^ j CH I s-

cos ya =

- = sin

COS

Yb =

sin

ïa

b„

sin da =

Ma

r.

COS Ôa —

sin ôf, = ü°

db

da

cos di =

sb

db

Damit ist aber noch nicht genug gethan; eine sehr wesentliche weitere Abkürzung und Vereinfachung der Formeln wird erreicht, indem man nicht die Kräfte selber, sondern diejenigen Gröfsen als Unbekannte betrachtet, die sich ergeben, wenn man die Kräfte durch gewisse unveränderliche Zahlenwerthe theilt. Es empfiehlt sich natürlich, für diese neuen Unbekannten besondere, kurze Bezeichnungen einzuführen. So setzen wir nun:

S3i;

615

12

db

5)

12

I)

= S«;

^ = ©23

Al _ g>,

- 4J34

63;

= »45

64;

¹⁾⁴¹ =2)

da

41-

y/-

CC

Ferner:

f0f=^

0₂

F! s F

ü,

U₂₁;

43)

— Ui g ;

a

D₂₃; T³ =lt₂₃;    = U₈2;

. Ti2

$12

r=^

O34

O34;

utl

Ü43

= U*.;

A = $34

Olt

utl

ult

f=U₁₄;

$41

Weiter:

3Ci ;

-Bi

= »i

An

= lu ;

Bu

= 33 „

44)

Aw

= 3tm; J^n = '-Sm

B\\

= 8fcv;

= 33iv.

Damit sind die 40 Unbekannten durch ebenso viele andere ersetzt. Es empfiehlt sieb, jetzt auch mit den gegebenen äufseren Kräften eine ähnliche Umwandlung vorzunehmen, indem man die folgenden neuen Bezeichnungen einführt:

Vai

Pi

= $1;

Fm

P2

= %;

Va 2

33« 2 ;

y = 33a1;

= 33*2 ;

Vb2

»-C

ir=^

Va 3

Va 4

3S«₃;

vb3

33*3 ;

— — 23 . • a —^a4’

Fm

f = 33m;

Wat

= SB.i;

— 3ö«₂;

B«s;

TF«4

ft

Bai;

UF‘=2Bm

U⁶²=2Bm

wj>-=mb3

wbi

SB»*.

15

Va

58« i

(y + 2) (y — l) (y- 2)(y + l)

152) t2

¹

Das Kuppeldach über dem Sitzungssaale des Reichstagshauses in Berlin von Lodemann, S. 511 u. f. — Der damalige Regierungs-Baumeister (jetzt Baurath) Lodemann hat mir seinerzeit bei der Ausarbeitung der Entwürfe für die Reichstagskuppel werthvolle Hülfe geleistet und später auch in freundlicher Weise die genannte Veröffentlichung besorgt, weil mir die Zeit dazu fehlte. Dafs er hierbei auf die theoretischen Grundlagen der Kuppelanordnung nicht näher ein gegangen ist, lag in der Natur der Sache, da ich die betreffenden Untersuchungen schon abgeschlossen hatte, ehe Herr Lodemann in das Reichstagsbaubureau eintrat, und da ich aulserdem beabsichtigte, diesen Gegenstand selbst einmal eingehender zu behandeln — was jetzt geschehen soll.

15

Der Nutzen dieses scheinbar etwas umständlichen und willkürlichen Verfahrens wird sogleich klar hervortreten. Es ist übrigens leicht im Gedachtnifs zu behalten, wenn man sich die Regel merkt: Die wage rechten Kräfte in der Richtung der a-Achse werden durch a, die in der Richtung der 5-Achse durch &, die lothrechten durch h und die schrägen durch die Länge der Stäbe getheilt, zu denen sie gehören. Umgekehrt sind natürlich die durch Ausrechnung der Bedingungsgleichungen erhaltenen Werthe der (mit deutschen Buchstaben bezeichneten) Unbekannten mit jenen Zahlen zu vervielfältigen, wenn man die Kräfte selbst berechnen will. Ferner ist bemerkenswerth, dafs die neu eingeführten Gröfsen Kräfte auf die Längeneinheit darstellen. Sie sollen daher auch fernerhin Kräfte genannt werden.

Wir beschreiten nun den schon früher angedeuteten Weg, indem wir die A und B durch die C oder, was auf dasselbe hinausläuft, die % und $ durch die (£ ausdrücken. Es ergiebt sich mit 41) und 42) aus den Gleichungen

14) 17) 20) 23):

26) 29) 32) 35):

^ = — 64 — 33*1; »2 = — 62 — 33*2 ; 3ts = - 63 - 33*8 ; 33₄ = — 64 — 33*4 ;

46)

33, = -6,-©₁₂-33*, t₂ = -62-3^-33*2

23₃ = -63-®₈4-33*ä

2l₄ = -64-©41-2$a4.

Setzt man dies in die (gemäfs 41) bis 45) umgewandelten) Gleichuugen 1) bis 12), so nehmen sie die nachstehende Form an:

471

2 (Si ©12 "ł"    ©41

+ ©

- 61

41 ~

©12

= — $ßi + 25« 1 + 33m 33« 1 + 2B a 1

-6,-2)

12 —

©41

~©41 =

33₆i + 2B₆

48)

—    262    ©2 3 +

-    62

©12

©12 — ©23

62-©23-“° ©12 CI

— ©1 2 —

= — $2 + 33* 2 + ' 33o 2 33* 2 + 333* 2

33* 2 + 353* 2

49)

263 — ©34 “ł⁻    ©23

+    ©23—©34

-    63

23

-©23 =

= -^3 + 33*3 + 33*3

=    33* 3 + 353* 3

33* 3 + 353* 3

Diese Gleichungen sind von grofser Einfachheit und Uebersicht-lichkeit. Ohne die in 42) bis 45) enthaltene abgekürzte Bezeichnungsweise würden sie viel verwickelter, die weiterhin folgenden Gleichungen aber noch schwerer zu übersehen sein.

Wir lösen nun die zweite Gleichung jeder Gruppe nach (£ auf und erhalten

6l=©41-©12-»«l-2B«l

51)

<5i = ©t* —D.»-aSłs-28j,

63    = ©i3 — ©34 — »«3 — 2B«a

64    = ©34-©41-»i4-2Bé4.

Wenn man diese Werthe in die eilten Gleichungen der vier Gruppen einführt, die nur von den gegebenen äufseren Kräften abhängigen Gröfsen auf die rechte Seite bringt, zur Vereinfachung die so gewonnenen Ausdrücke

52)

--+1 - 35ai + 35*i-23S«!-©! 35*2 4" 35^2 — 2äB*₂ = ©2

—    % — 35« 3 + 35*3 - 22Ba3 = ©3

-    % - 35*4 + 35a4 - 220*4 = ©₄ setzt und dann nach den D auf löst, so ergiebt sich

©12 = V2 (©1 2 + ©41 + ©l)

53)

so

cc

50)

— 264 — 2)41+    ©3 4

+    ©3 4 —©41

64 —©41 —~2)s4

64

— — ^4 + 35* 4 + 35a 4 35$ 4 + 3B* 4

35« 4 + 3®a4*

©2 3 — V2 (©23 4“ ©12 4“ ©2)

©3 4 ⁼ V2 (©3 4 4~ ©2 3 4~ ©3)

©41 — V2 (©41 4" ©34 4" ©4)-

Entfernt man jetzt die (£ aus den dritten Gleichungen der vier Gruppen 47) bis 50), indem man die Werthe aus 51) einführt, oder — noch einfacher — die dritten Gleichungen von den zweiten abzieht, so erhält man vier neue Gleichungen, in denen aufser den nur noch die 0 auftreten¹). Um diese Gleichungen möglichst einfach

L) Es zeigt sich dabei der Nutzen der vorliegenden eigentümlichen „offenen“ Schreibweise, die ich schon seit langer Zeit anwende und in meinem Buche über die Berechnung des Eisenbahn - Oberbaues (Berlin 1888) durchweg befolgt habe. Man braucht nur von jedem Gliede der zweiten Gleichungen das genau darunterstehende der dritten abzuziehen, um sofort wieder eine vollständig geordnete Gleichung zu haben. Das Verfahreu erleichtert die Rechnung sehr, bietet daher weniger Gelegenheit zu Fehlern als die übliche, geschlossene Schreibweise und Übertritt! diese weit an Uebersichtlich-keit (vgl. Seite IV u. f. des Vorwortes zu dem genannten Werke).

zu gestalten, bedienen wir uns auch hier wieder einer abgekürzten Bezeichnung für die auf der rechten Seite stehenden, nur von den gegebenen äufseren Kräften abhängigen Ausdrücke, nämlich %al-%H + Bal-SSbl=?Rl SS* 2 — 23«2 + S®4 2 — Sßa2 = ÜÎ2 35« 3 — 33& 3 + 2Ö« b — 2Bb 3 — 9îs 3S₆4-35a4 + 3S₆4-aBa4=9Î4.

54)

Damit erhalten die fraglichen Gleichungen die Form

i &

©12+-^—

'-Cr-

co

©41 + ©41 - Öl 2 = 9îi

©23 “f

d + d₀

©12 Öl 2 - ©2 3 = %2

©34-1

©23 + Ö23 — ©34 = 9Î3

©41 -f

d —J— d₀

©34 4“ ©34-©41 = ift4-

Wenn man nun hierin die £> durch ihre Werthe aus 53) ersetzt, so enthalten die vier Gleichungen aufser den gegebenen Gröfsen nur noch die vier Unbekannten £>

£)₃₄ und $)₄₁. Wir verviel-

12’ $2 8’

faltigen mit 2, bringen die von den gegebenen äufseren Kräften abhängigen Glieder auf die rechte Seite und drücken sie wiederum durch je ein Zeichen aus; und zwar, indem wir sie als algebraische Summen betrachten, durch den Buchstaben @ mit einer Ordnungsziffer, wobei zugleich die Reihenfolge dahin abgeändert werden soll, dafs die letzte Gleichung vor die drei übrigen gestellt wird. Mit

2    - (Ös - £l₄) = @₃₄

55)

2 3Î1 — (D4-Ö1) = @41

2    — (£>! - a,) = ©₁₂

2 5R₃ - (Ö₂ - ö,) = @₂₃

wird dann, wenn man nach den £> ordnet:

®84 +

$41 — ^8 4

56)

$12 +

$34 + ²

t> + K

$41 = ^41

aĄ-an

®41 — ®I2

$34 +

b -j- b

Wir haben also, jetzt nur noch vier Unbekannte in ebensoviel Gleichungen. Um diese aufzulösen, ziehen wir die erste von

00

CO

der dritten und die zweite von der vierten ab. Es ergiebt sich daraus :

57)

Fügt man dagegen die erste zur dritten und die zweite zur vierten hinzu, so erhält man die zwei Gleichungen

(a + Ct₀) (©12 + ®34) + fl • (®23 + ®4l) — V2 ß (@12 + @34) b • (S)l2 + 2)34) + Q> + b0) (®23 + ©41) = V2 b (@23 + @41)5

in denen man die zwei ^-Summen als neue Unbekannte betrachten kann. Lost man nach diesen auf, indem man zur Abkürzung die Determinante¹)

58)

setzt, so ergiebt sich 2)j 2 ~f~ 2)34 =

(a + a₀) (b -\-b₀)— ab = F

a(b + b₀)

ba

59) ■

2)23 + 2)41

b (a -{- a₀)

(@23 + @4l)

ab

2^(611 + 6.4).

Durch 57) sind die Unterschiede, durch 59) die Summen der gesuchten Spannkräfte 2) bestimmt, womit diese selbst sich in einfachster Weise berechnen lassen, sobald die Abmessungen des Fachwerkes und die angreifenden Kräfte in Zahlen gegeben sind.

Das könnte im einzelnen Falle in der Weise geschehen, dafs man zunächst aus 52) die Zahlenwerthe der £) bestimmt (die man ja ohnehin gebraucht, wenn man die £) aus 53) berechnen will), dafs man ferner die Zahlenwerthe der 9t aus 54) und dann mit diesen und den ü die 0 aus 55) berechnet. Nach Einsetzung der so gefundenen Werthe von 0 erhält man ®₁₃ und £)₂3 am bequemsten, indem man die Gleichungen der Gruppe 57) zu den entsprechenden Gleichungen von 59) hinzufügt; ferner &)₃₄ und S)₄₁, indem man die ersteren von den letzteren abzieht. Das Verfahren ist zwar sehr übersichtlich, hat aber den Nachtheil, dafs die Endergebnisse nur für den einen bei Bestimmung der 0 angenommenen Belastungsfall gelten, dafs man also bei jedem Lastwechsel die ganze Rechnung wiederholen mufs. Noch gröfser ist der Mangel, der darin liegt, dafs man dabei den An-theil der einzelnen Lasten an der Gesamtwirkung nicht erkennen

kann, worauf es bei der Untersuchung der Eigenschaften einer neuen Bauart doch gerade ankommt. Hierzu bedürfen wir nicht der zahlen-mäfsigen, sondern einer allgemeinen Auflösung jener Gleichungen, wobei auch für die 0 die allgemeinen Ausdrücke festzuhalten sind. Aus 52), 54) und 55) ergeben sich diese wie folgt:

60)

X/-

CO

CT.

@23 = &“?3 + *02-»68 + »«8-*«2 + 2(»62--»6₃) @3* = ?3-*4 + ®«Ä-»«4 + »64-»68 + 2(»a3-»«4) @41 = ?4-ft + ®64-»6l + »«i-»«4 + 2(©₆4-®6l)-Setzt man diese Wertlie in 57) und 59) ein, so entstehen daraus vier Gleichungen mit sehr vielen Gliedern, die neu geordnet werden müssen.

Diese Rechnung ist zwar ziemlich mühsam, aber nicht schwierig ; wir verzichten deshalb darauf, sie hier vorzuführen, und begnügen uns mit der Wiedergabe der Ergebnisse. Um an Raum zu sparen, wählen wir dafür die Form einer Tafel, in deren vier ersten Spalten die Ausdrücke angegeben sind, mit denen die in der letzten Spalte stehenden Unterschiede der angreifenden Kräfte vervielfältigt werden müssen, wenn man die am Kopfe aufgeführten £> berechnen will. Dabei ist zur Abkürzung gesetzt:

61)

= 9b

= 9a;

b + b₀

yab = F

a —[~ a₀

ba

= <fba

dbg

ba₀

= ⁽Pbo'> p

ao•

Hierin hat F die durch 58) gegebene Bedeutung, nämlich

Jb — (a —{— Uq) (b —j— bo) — ab.

Damit ist die Aufgabe für jede denkbare Art der Belastung ganz allgemein und in einer Weise gelöst, die an Einfachheit wohl nichts zu wünschen übrig läfst. Man erkennt aus der Tafel ohne weiteres, dafs die Diagonalspannungen, mithin auch alle übrigen Stabkräfte stets bestimmte, endliche Werthe haben, in welcher Weise das Raumfachwerk auch belastet werden möge, sofern nur F nicht Null ist; d. h. nach 58) so lange nicht a₀ und b₀ gleichzeitig Null werden, womit der obere Ring zu einem Punkt zusammenschrumpfen und das Fach werk in eine Spitze auslaufen würde. Schliefsen wir diesen Fall vorläufig aus, so ist die unbedingte Standsicherheit erwiesen. Aber auch die sonstigen Eigenschaften des Fachwerkes lassen sich entweder unmittelbar aus der Tafel ablesen, oder doch wenigstens mit ihrer Hülfe leicht ermitteln, wie in der Folge an einigen Beispielen gezeigt werden soll.

Angreifende Kräfte:

Tafel zur Berechnung der Diagonalspannungen.

Die Bedeutung der Buchstaben ergiebt sich aus Abb. 4 und den Gleichungen 42), 45) und 61).

⁼    j    ®34 =    I    ©41 =

74 (»X    -»*)

7* (»2

V4 (»3    -»4)

74 (»4    -»l)

»3)

ao

ao

<f> 4- v%z 4- % ch 4- ⁰ 76 g 4-76 —

“ 9a + ²7a6 + 7éo 7 a + ²7«6 + 76a

Ö50

9b + ² 76 « + 7„„ ~ 76 + ²76„ + 7

V4 (»al - »a2)

V4 (»a 2 - »a s) 74 (»a3 - »a 4) 7* (»a4 - »al)

V* (»61 - »6 2) 7i (»6 2 - »6 3)

V4 (»6 3 -»64) % (»6 4 - »61)

(,B8E - fVm) Vx

(tK8Ê - ⁸°Sg) 7x

(8BSE - JBSg) Vx (e*® - T"ss) Vx

O’ag - f9S5s) ‘A

„    (HSg-8?SÊ) Vx

~    (8?Sg-sî8g) Vt

(e?ag — iqm) Vi

0D(h —

9b

+ <fbo + 9b 0

~9a

9a

°°<b —

76-

ao

ao

ao

<6 —

ao

ßO

— 9b

— 9b„

9a

— 9ao

— 9b

9b

OV f i

(6 4-

°76 -

“7«

OV / i

(A +

76 —

9ba

9ba

~ ^6 + 7'6„ + 7 n+ 9ba + 9

~9a+ ffab + 9b„ 9a + 9 ab + 9b 0

9b a

7Âa

9 ab

9 ab

ao

9b + 9 b a + 9ao — 9b+ 9ba + 9

62)

7a + ²7a6 + 9b„ — 9 a + ²9ab + 7 60

+ 9bo + 9b o

— 9bo

— 9b0

9a

— 9a

— 9a

9a

9a + 9 ab + 9b o ~9a+ 9ab + <fbo

9ab

9ab

§ 4. Allgemeine Berechnung der übrigen Kräfte.

Nachdem die vier Diagonalspannungen 3) aus der vorstehenden Tafel ermittelt sind, ergeben sich die übrigen Stabspannungen und die Auflagerkräfte durch Einsetzen der 2)-Werthe in die betreffenden Gleichgewichtsbedingungen. Dabei ist, wenn unnöthige Arbeit vermieden werden soll, eine bestimmte Reihenfolge ein-zuhalten.

Zuerst sind nämlich die vier Spannungen D des oberen Ringes aus 53) zu berechnen, weil in diesen Gleichungen andere Stabkräfte als die und 0 nicht Vorkommen.

Mit den so gefundenen Werth en der D ergeben sich dann die vier Spannungen (£ in den Eckstäben des unteren Ringes ohne weiteres aus 51). Führt man die Rechnung aus, so erhält man mit Rücksicht auf 52):

®i=    v.(®4i-©i2) + v»(^i-as.i-aîM)

62    =    V*    ($i2    - $23) + V, (?2 — Sfc2 - 33ffl2)

6₃    =    Va    (©*₃    - S34) + Va (.% — 3Sa3 - 3)

64    =    Va    (©34    - 3>*i) + Va m - 23*4 - »«*)•

Diese Werthe in    die Gleichungen 46) einsetzend, findet man die

acht Spannungen % und 23 in den Rippen wie folgt:

V₂ (©12    - ©41) - V2    ($1    +    as«i - asM)

Va (©23    - ©12) - V*    ($2    +    %2~ 3S«a)

V2 (©34    — ©23)

V* (©41    - ©34) - Va    (?4    +    as₆₄ - 2U).

Va (©12    + ©41) -7₂    ($1    +    - as«i)

2I2 = 72 (©2 3 “j~ ©12) 72 (^2 -j“ 3S«2 ^2)

¹li2 (©3 4 4" ©23) — 72 0$3 4" SSö 3 —

SI4 = Va (©41 "f- ©34) 72 (3^4 4“ 3$a4 33ö4)-³)

Hieran reiht sich am zweckmäfsigsten die Bestimmung der acht lothrechten Auflagerdrücke bis EIV und 23j bis 23IV, die sich leicht mit den vorstehenden Werthen der % und 23 aus den Gleichungen 13), 16), 19), 22) und 25), 28), 31), 34) ergeben, wenn man diese durch Einführung der Längen für die Winkelwerthe nach

63)

64)

65)

2li =

33₂ =

913 =

«4 =

33i = —

33s =

I2 (^3 -f-    3 — 93ö 3)

³) Obige Gleichungen ergeben, wenn man die % zu den gleich bezifferten 23 hinzufügt, die Beziehungen:

«i+»i--

9f₃ + ^3 = -^23-?3;

Diese bilden nur einen anderen Ausdruck für die Gleichgewichtsbedingungen 1), 4), 7) und 10), also eine Art Rechenprobe.

^2 + ^2 — — ®i2 — ^2? E₄ + S3₄ = -^₃₄-$₄.

41) und durch Anwendung der abgekürzten Bezeichnungen 42) bis 45) dafür umformt. So erhält man:

«i =-^i = ą + ^i;    =-(ą    +    ^₁₃) = ^ + ^t

»n =-»,==€, + »62; % =-(«, + »,a) = (S, + »fl2

5fm = ~ % = €3 + 3Î »III = — (»3 + ^34) = @3 + »6 3 »IV— —»4 =€4+ »6 45 5trv= —(^4 + $>4l) = @4 + ®d4.

Die Hinzufügung der Ausdrücke in (£ (gemäls 46)) giebt nach zwei Bichtungen hin bemerkenswerthe Aufschlüsse. Erstens ist damit nämlich eine Rechenprobe ermöglicht; denn setzt man für die an einen herausgeschnittenen Auflagerknotenpunkt angreifenden Kräfte die Summe der Momente in Bezug auf denjenigen nächstgelegenen Stab des oberen Ringes als Drehachse, der dem Ringstabe des fraglichen unteren Knotenpunktes gleich gerichtet ist, gleich Null, so erhält man eine Gleichung, die nur einen Auflagerdruck und die dazugehörigen Wertlie von (£ und 23 enthält.

Beispielsweise ist für das Auflager Al nach Abb. 5:

66)

4-1

: dr->

Aï.a-(clac + Val)h=0

ßPi i\

oder

Aj

ch

val

■n

Abb. 5. Kräfte am Auf-

lagerknotenpunkt Av

was mit der ersten Gleichung der Gruppe 66) überein stimmt. Genau ebenso ist beim Auf- Zur Berechnung des Mo-lager B₁ zu verfahren, wo nur b an Stelle mentes um den Stab 4

tritt, bis 1 des oberen Ringes.

von a und 23₆₁ an Stelle von l (Die Spannung $4 ₂ der an diesem Knotenpunkt angreifenden Diagonale hat offenbar das Moment Null, da sie die Drehachse 2 — 1 schneidet.) Aehnlich findet man die Gleichungen 66) bei den übrigen Auf lager punkten bestätigt.

Zweitens folgt aus diesen Gleichungen:

Vai Vbl

2lu — 25u = 25« 2 — 35*2 =

va.

V,

2liii — 23m = 25« 3 — 25* s —

U/

Vai

rb3

3liv — 23iv —    4 —    4 =

rbi

co

D. h. die Auflagerdrticke an je zwei zu derselben Ecke des Raumfachwerkes gehörenden Stützpunkten werden einander gleich, wenn die an diesen Punkten angreifenden wagerechten äufseren Kräfte V Null sind, oder sich wie die ihnen gleichgerichteten Längen a und b verhalten; in welcher Weise die übrigen unteren, sowie die oberen Knotenpunkte belastet sind, ist gleichgültig.

Die acht Spannungen tl in den mittleren Stäben des unteren Ringes ergeben sich aus den Gleichungen 15), 18), 21), 24) und 27), 30), 33), 36), die noch durch Einführung der Längen an Stelle der Winkelwerthe nach 41) und durch Anwendung der abgekürzten Bezeichnungen 42), 43) zu vereinfachen sind. Man findet hiermit:

68)

U₃₂ — 63;

U₂3 - (5₂

— £>12

a

b ^²³

U₄₃ = <S₄;

U34 = <§s

d₀

S)₃4

^⁰ <T)

1) ⁴¹'

U₁₄ = (5i;

ll₄i — 6₄

Da die (£ in 63) bereits durch die SD ausgedrückt sind, so ist die Einführung der letzteren in die vorstehenden Gleichungen entbehrlich.

Mit Hülfe der so bestimmten U ergeben sich jetzt die vier wage-rechten Auflagerdrücke Z, indem man von den Bezeichnungen 43) Gebrauch macht, aus den Gleichungen 37) bis 40) wie folgt:

3:i2 = U₁₂-ll₂₁ = 6₁-6₂

69)

£23 = U₂₃ - U₃₂ = <S₂ - 63 -

$34 — U₃ 4 — U43 — (§₃    64

a₀

34

Will man diese % linden, ohne die 11 oder die (£ vorher zu berechnen, also unmittelbar aus den SD, so sind die folgenden Gleichungen zu benutzen, die sich aus 69) ergeben, wenn man für die (£ ihre Werthe aus 63) einführt.

70)

2i» =

©2 3 —

^34 —

©41 =

<% -J— (Xq

©12 4~ Vs (©23 4“ ©4l) 4“ V2

144 - 34 -(341 - 34,2)-(341-4441

6 + 5₀

©2s 4“ Va (©3 4 4-©12) 4- Va

[44 -44- (34 2- 33*3) - (342 - 3.4.41

Æ 4- (Xq

©34 + Va (©4i “f" ©23) 4~ Va

[»3 - »4 - (35.8 - SU - (»63 - »64)1

b -f- b₀

©41 + V2 (©12 “f“ ©34) + V2

l»4 - »1 - (»64 - »61) - (»«4 - »al)]-

Damit sind sämtliche Stabspannungen und Auflagerdrücke bestimmt. Die gefundenen, mit deutschen Buchstaben bezeiclmeten Werthe stellen zwar noch nicht diese Kräfte selbst dar; um letztere zu erhalten, braucht man erstere aber nur — wie schon früher bemerkt — mit den ihnen nach 42), 43) und 44) zugeordneten Längen zu vervielfältigen.

§ 5. Einzelne Belastungsfälle.

1. Nur senkrechte Belastung.

Es liegt nahe, zu fragen, ob die wagerechten Lager wohl auch dann in Wirksamkeit treten, wenn das Baumfachwerk nur senkrechte Lasten trägt. Um die Antwort hierauf zu geben, berechnen wir die 25 aus 62) unter der Annahme, dafs alle äufseren Kräfte aufser den Null seien. Die gefundenen Werthe führen wir in die Gleichungen 70) ein. Die dadurch entstehenden, anfänglich etwas umfangreichen Ausdrücke lassen sich sehr zusammenziehen; und wenn wir für die y wieder ihre Werthe aus 61) setzen, so erhalten wir schliefslich mit Rücksicht auf 43) und 45) die ganz einfachen Gleichungen

T₁₂ — Td 4 —

ab (2a -f- a₀)

71)

2 Fh

(Pi — P2 — Pù

ba (2b -J- b₀)

P-2 3 - ^41 -

Da aufser diesen wagerechten Kräften andere nicht vorhanden sind, so müssen sie unter sich im Gleichgewichte sein. Dafs zwei von den drei Bedingungen hierfür erfüllt sind, lassen die Gleichungen 71) ohne weiteres erkennen; denn sie ergeben für die Summen der Kräfte in der Richtung der beiden Hauptachsen (Abb. 4) richtig:

F\ 2 — ^34 — 0 und T₂% — T±₁ — 0.

2 Fh

(P\ — P2 "j- -P3 — P*)-

Um zu sehen, ob auch die Summe der Momente Null ist, wählen wir als Drehpunkt die Mitte des unteren Ringes. Dann haben TL2 und T34 die Hebelarme ¹/₂ (2 b + &₀), P₂₃ und Tsi die Hebelarme Va (2a + a₀). Bezeichnen wir zur Abkürzung den Klammerausdruck in P mit J£P, so lautet die Momentengleichung richtig:

(Ti2+T₃ 4)—~

+ (t₂₃+^—⁼

a 5 (‘2a + a₀) (2 5 + 5₀) ^ p

2 Fh

5a (2 5 + ft₀) (2a + a₀)^p

= 0.

2 Fh

Betrachten wir nun die Gleichung 71) etwras näher, so zeigt sich, dafs die T nur verschwinden, wrenn P₁ + P₃ = P₂ + Ą ist. D. h. die wagerechten Lager treten aufser Wirkung, wenn die Summe der Lasten, die in zwei sich schräg gegenüberliegenden oberen Ecken des Fachwerkes angreifen, ebenso

grofs ist wie die Summe der in den beiden anderen oberen Ecken vorhandenen Lasten. Diese Bedingung läfst sich in einfacher Weise veranschaulichen. Denkt man sich nämlich die Lasten durch loth-rechte Strecken dargestellt, die in ihren Angriffspunkten (natürlich unter Beachtung des Vorzeichens) aufgetragen sind, so besagt der vorstehende Satz, dafs die wagerechten Auflagerdrucke verschwinden, wenn die Endpunkte der vier Strecken in einer Ebene liegen. Das Fachwerk verhält sich dann gewissermafsen wie ein Balkenträger, während es einen wagerechten Schub ausübt, also mit einem Bogenträger verglichen werden kann, w^enn die angegebene Bedingung nicht erfüllt ist. Wir wollen diesen Fall etwas näher untersuchen.

T'n

41

Pi

3

Id_____

T

34

Abb. 6. Wagerechter Schub T zweier übereck angreifender Lasten.

Nehmen wir, um möglichst einfache Verhältnisse zu bekommen, P₂ = P4 = 0 an, so wird

T\ 2 = Î34 = —

ab (2aa₀)

2 Fh

(Pi+p«)

und T2S = Tu =

5« (2 5 —f— 5₀)

2 Fh

(Pi + Ps).

Setzen wir Pj und P₃ positiv, so haben die Gegendrücke der wagerechten Lager den in Abb. 6 angegebenen Richtungssinn. Nun

mufs der wagerechte Schub des Fachwerkes auch einerseits mit der Mittelkraft aus T₁₂ und P₂₃, anderseits mit der Mittelkraft aus T34 und r₄₁ im Gleichgewicht sein. Das ist nach Abb. 6 nur möglich, wenn er durch die Schnittpunkte von T₁₂ mit P₂₃ und von P₃₄ mit P₄₁ geht. Zwei übereck angebrachte, lothrecht nach unten wirkende Kräfte erzeugen also einen wagerechten Schub nach aufsen in der Richtung gegen die beiden anderen Ecken.

Wir wollen jetzt annehmen, das Fachwerk sei quadratisch. Dann folgt mit b = a und b₀ = a₀ aus 58)

h = (a -f- $₀)² — a² — a₀(2 a -j- a₀),

und die Gleichungen 71) gehen über in

a\ - p₂ + p₃ - Pù-

HON I ^12 — ^3 4 1 _ _ ß²

M T₂₃ = T₄₁f~ + 2a₀Ä

Man erkennt hieraus, dafs die wagerechten Auflagerdrücke wachsen, wenn aQ abnimmt, d. h. wenn die Seitenlange des oberen Ringes kleiner wird, und dafs sie sogar unendlich grofs werden miifsten, wenn man aQ — 0 machen, also das Fachwerk in eine Spitze auslaufen lassen wollte — vorausgesetzt, dafs nicht etwa 2P = 0 ist: denn sonst würden sich die T in der unbestimmten Form 0:0 ergeben. Was in diesem Falle wirklich eintritt, läfst sich nur durch eine besondere Untersuchung feststellen, die wir uns für später Vorbehalten.

Das quadratische Fachwerk hat aufser den Hauptachsen noch zwei weitere Symmetrie-Achsen, die in die Richtungen der Winkel-halbirenden des oberen Ringes fallen. Die in den vier Eckpunkten des letzteren angebrachten Lasten Px bis P₄ haben also in Bezug auf ein solches Fach werk eine symmetrische Lage. Man braucht daher nur noch ihre Gröfse passend zu wählen, um eine völlig symmetrische Belastung zu erhalten. Dies geschieht z. B., wenn man P₂ == P₄ = 0 und Px — P₃ annimmt. Es ist bemerkenswerth, dafs der wagerechte Schub in diesem Falle keineswegs verschwindet, wie Gleichung 72) zeigt.

Es braucht wohl kaum hervorgehoben zu werden, dafs sich an diesen Ergebnissen nichts ändert, wenn man die wagerechten Lager nicht gerade in der Mitte der Fachwerkseiten annimmt, sondern sie mehr nach dem einen oder anderen senkrechten Lager hin rückt, oder auch ganz mit einem solchen zusammenfallen läfst.

bauten in der Regel aus den Wirkungen des Eigengewichtes, der Schneelast und des Winddruckes zusammen. Das Eigengewicht ist fast immer regelmäfsig, auf die hier allein in Betracht kommenden oberen Knotenpunkte meist sogar gleich vertheilt. Bei dem Schnee ist das weniger sicher; man darf jedoch mit grofser Wahrscheinlichkeit annehmen, dafs auf allen Flächen gleicher Neigung, die ein und derselben Dachseite angehören, auch gleich viel Schnee liegen bleiben wird. Das ergiebt bei einem regelmäfsig geformten Dach entweder unmittelbar eine symmetrische Belastung, oder doch wenigstens eine solche, die durch Vereinigung mehrerer einzelner, je für sich symmetrischer Belastungen entstanden gedacht werden kann. Das Gleiche gilt in noch höherem Grade für den Winddruck, wenn man, wie dies allgemein üblich ist, von der Reibung der Luft an der Dachhaut absieht. Wäre also z. B. von einer rechteckigen Kuppel die eine Dachseite so mit Schnee bedeckt, dafs dessen Last für die Flächeneinheit in allen gleich geneigten Flächentheilen gleich grofs angenommen werden könnte, wären ferner die anderen Seiten nach demselben Gesetz, aber alle in verschiedener Stärke belastet oder vielleicht auch ganz lastfrei, und käme dazu noch der Druck eines aus beliebiger Richtung wehenden Windes, so hätte man einen sehr allgemeinen Belastungszustand, der aber dennoch insofern hierher gehört, als er sich aus lauter symmetrischen Theilbelastungen zusammensetzt. Ebenso wird die Gesamtwirkung natürlich gefunden als Summe der Wirkungen aller Theile. Es genügt daher zur Klarlegung des Rechnungsganges, wenn wir nur den Einflufs einer symmetrischen Verth eilung der Lasten in Bezug auf eine Hauptachse untersuchen. Nehmen wir hierfür die a-Achse an, so müssen zwischen den Lasten die folgenden Gleichungen bestehen:

% =% ; % =^2 ; %    =-( & -g?2 )

as.*=as.ij æ«3 = æa2; asa.-æ«4 =-(æ.i-æa2)

73)

3$ö4 =    ; 33* 3 = 33* 2 ; 33*3-—33*4 =    (SS*i — SB&2 )

38«4 = 33«i5 33«₈ = 33,25 3Sa3-2Ba4=-(SBal-Sßa2) 3B*4 = 3B*i5 38*8 = 38*2 5 38*₈-38*₄ = -(33*. - SB* 2).

Hieraus folgt, dafs die in der letzten Spalte der Tafel 62) der Diagonalspannungen stehenden Ausdrücke zur Hälfte wegfallen, und dafs die übrigbleibenden paarweise entgegengesetzt gleich werden. Das erstere hat zur Folge, dafs 74)

Oi

<M

®2 3 — ©él — 0 wird; das andere, dafs sich für $)₁₃ und S>₃₄ entgegengesetzt gleiche Werthe ergeben. Ersetzen wir aber die Diagonale S>₃₄ durch eine solche, die zu $)₁₂ symmetrisch verläuft und die wir S>₄₃ nennen wollen, dann wird

Statt die Diagonalspannungen in solcher Weise mit Hülfe der Tafel 62) zu berechnen, kann man auch auf die Gleichungen 57) und 59) zurückgreifen. Mit den durch 73) bestimmten Werthen der 23 und SS folgt nämlich aus 60):

@12 = (& - %) + (»« 1 -    2) - (»41 - % 2) + 2 (3Baï - 2S« 2)

@41=0.

75)

©12 = ©43 =

2 (a -j- a₀)

K% - &) + (»al - »a2) - (»61 ~ SS&2) + 2 (Bal - Sèa2)].

@3 4 — — @12 @23 ⁼

Damit ergiebt sich aus 57) und 59):

©12    ©34

CL —|— CLq

@12

0'

©23 - ©41 —

©12 + ©3 4 =

0.

©23 + ©3 4 ~

Die zweite dieser Gleichungen in Verbindung mit der vierten lehrt übereinstimmend mit 74), dafs <&₂₃ = <&ilz=0 ist. Setzt man in der ersten und dritten, wie vorher, — $)₄₃ an Stelle von £>₃₄, so liefern beide zusammen wieder die Gleichung 75).

Mit diesen Werthen der Diagonalspannungen ergeben sich nun die übrigen Stabspannungen und die Auflagerkräfte nach den im § 4 entwickelten Regeln. Man findet (immer unter der Voraussetzung, dafs die Diagonale S)₃₄ durch eine solche ersetzt wird, die zu 2)la symmetrisch liegt und dann auch die gleiche Spannung hat) zunächst aus 52) und 53) die Spannungen im oberen Ringe:

76) ]©23

©41

f£>lj = D₄« = 7*( S)l2 — % — aa«l+$6i-22B₀i)

= %(    S>lS-&-aS**+»a»-2äB4s)

= 72(    ©12 — & - 37, + aSai - mb0.

Durch die Vertauschung der Diagonale £>₃₄ mit S)₄₃ ändern sich die Spannungen in den das betreffende Fach umrahmenden Stäben, also besonders auch in dem zugehörigen Stabe des oberen Ringes. Um hierauf hinzudeuten, ist in vorstehenden Gleichungen 0₄₃ an Stelle von 0₃₄ gesetzt.

Aus 63) folgt ferner für die Spannungen der Eckstäbe des unteren Ringes:

/ g, = = %(- ©₁₂ + & -s*«. -as,o

jß₂ = 63 = 7a(    ©i2 + ^-^2-SSa2).

Weiter ergeben sich aus 64) und 65) die Spannungen in den Rippen:

-ii = a₄ = v»(    ©i2 - & - »«i + 37 o

78)

23i = as₄ = 7ä(— ©₁₂ - 4i - 3S₆i + »ai)

I₂ = I₃ = V*C— ©12-^2- 35a2 4- *6 2)

33₂ = 2S₃ = 7-2 (— ©₁₂ - 42 - 35₆2 + 35 „*).

Hiermit findet man die lothrechten Auflagerdrücke aus 66):

+ = Iiv = 72 (— ©12 + 4i + 3Sffli — 256i)

35a l)

79)

23i = 33iv = 72 C—©i2 + 4i + aS₆

Stu = Still = Va (    ©12 + 42 + 35a 2 — 356 2)

23h = 33hi = 72 (    ©12 + 4₂ + 356 2 — 35ß 2).

Die Gleichungen 68) liefern die Spannungen in den mittleren Stäben des unteren Ringes:

SO)

U21 - U23 - 62

— U₃ 2 = II3 4 — Î/2 ( 35l2 + ^2 —¹ 33* 2 33a2)

33ai-33*0 = <5

/ 2 (- ©i2 + ^i-33ai-33*Ol

1Iu = U₄₁= V2(-©12 + ^

u₁₂ = u

-i

-©12

a

Endlich ergeben sich die wagerechten Auflagerdrücke aus

70) zu

81)

\ und r₂₃ =

ri2 = — ©34 = — 35al + 25a2 —2Ba! + 3Ba2

T₄i = o?

was mit dem vorher aus 71) abgeleiteten Satze übereinstimmt, nach welchem die lothrechten Lasten keinen wagerechten Auflagerdruck hervorrufen, wenn FL — P₂ -j- P₃ — P₄ verschwindet. Da dies bei der jetzt angenommenen symmetrischen Belastung der Fall ist, so müssen die wagerechten Auflagerdrücke den wagerechten in der Richtung der Symmetrie-Achse auf das Fachwerk wirkenden äufseren Kräften das Gleichgewicht halten, rechtwinklig dazu aber Null sein.

Hiermit sind alle Stabspannungen und Auflagerkräfte bestimmt. Die so gefundenen Formeln sind bei der Berechnung des Kuppeldaches für das Reichstagshaus benutzt worden.

3. Sonderung der Lasten. Eigengewicht und Winddruck.

Zur Bestimmung der gröfsten Werthe, die die Stab- und Auflagerkräfte annehmen können, sind die einzelnen Lastantheile nach ihrer Herkunft zu sondern, womit man nebenbei noch den Vorth eil einer leichteren Uebersicht gewinnt. Wir trennen jetzt deshalb die Lasten in solche, die vom Eigengewicht herrühren, und in solche, die durch den Winddruck erzeugt werden.

Die Eigengewichtslasten sind in der Regel für alle vier Knotenpunkte des oberen Ringes gleich grofs. Wir nennen sie G und setzen (im Sinne der abgekürzten Bezeichnungsweise, die wir mit 42) bis 45) eingefiihrt und bisher durchweg angewendet haben):

82)

■yy-

= ®.

Dann ist in obigen Gleichungen

während alle übrigen äufseren Kräfte Null sind. Hiermit ergeben sich die Diagonalspannungen

83)

©12 — ©23 -©3 4 -©41

die Spannungen im oberen Ring:

©12 — ©2 3 — ©3 4 — ©41

die Spannungen der Eckstäbe des unteren Ringes:

©1 = 62 = 63 = 64

die Spannungen der Rippen:

3li    = 3l₂    = %    =21,    I    _

= 33,    = 33₂    = 23₃    =33,    j

0;

V2 ©;

-V*®;

die lothrechten Auflager drücke:

“ U₂1 =    1I₃ 2    =    U43    =    tti 4 I

die wagerechten Auflagerdrücke:

T₁₂ — Ï23 — ^34 — ^4

V₂©;

0.

Diese äufserst einfachen Ergebnisse hätten sich auch leicht unmittelbar aus den Gleichgewichtsbedingungen ableiten lassen.

Von dem Winddruck wollen wir annehmen, dafs er nur auf die linke Seite des Fachwerkes, also in der Richtung der a-Achse wirke. Dann haben wir als wagerechte Knotenpunktlasten nur VaX am unteren, am oberen Ring. Trägt letzterer irgend einen Aufbau, wie z. B. eine Laterne, so ist der entsprechende wagerechte Druck in Ual mit einzurechnen. Aufserdem kann aber durch diesen Druck auch ein Kippmoment hervorgerufen werden, das den vorderen

Knotenpunkt entlastet, den hinteren belastet, springenden lothrechten Kräfte in Verbindung mit dem lothrechten Antheil des Winddruckes auf die vordere Dachfläche denken wir uns

Die hieraus ent-

x,

Zi

•yy-

Ct

1-4

zu den beiden bisher mit Pi und P2 bezeichneten Lasten zusammengefafst. In Abb. 7 ist dieser Zustand dargestellt. Um die ihm entsprechenden Stabspannungen und Auflagerkräfte möglichst einfach ausdrticken zu können, benutzen wir wieder einige Abkürzungen, indem wir die nur von den Grundrifsmafsen a und a₀ abhängigen V erhältnifszahlen

ci —j— 2 d₀

-Ç

84)

ct —J— d0 3 d —J— 4 d₀

Abb. 7. Wirkungsweise des Winddruckes.

a a₀

und wie in 61)

setzen. Hiermit ergeben sich die Diagonalspannungen:

85)

©12 - ©43 -

+ ^V. + VaMai ;

die Spannungen im oberen Ring:

9i

Va

Vl

86)

©1 2 = ©43 = - ji'l - pfe - fSBal - ^-aSal

- y^Pi + y $2 + y»«! - yS8«i;

©23

©4.

«lie Spannungen in den Eckstäben des unteren Ringes:

<5i

Vl

Va

Vi

Va

¹

) F ist offenbar eine Fläche, die zu der Grundrifsfläche des Fachwerkes in einer leicht ersichtlichen Beziehung steht (vgl. Abb. 2).

²

Symmetrische, im übrigen allgemeine Belastung.

Dieser Fall ist besonders wichtig, weil er in der Wirklichkeit am häufigsten vorkommt. Die angreifenden Kräfte setzen sich bei Dach-

Va

= 33₂ =S3₈ = — 6₂;

die lothrechten Auflagerdrücke:

89)

— Stiv = — 3li Stii = 8I111 = — 2I2 35n = 35iii = — 35 2 35i = 35iy = (Sj ;

die Spannungen in den mittleren Stäben des unteren Ringes:

62

»21 — ^23 ⁼

63

— »3 2 ~ W34 =

90)

(X/i

die Spannungen in den Rippen:

3li = 2I4 =

V\

Va

V-2

Va

88)

U₁₄ = U₄1 =    6X

⁽fa

SBai;

Ui 2 —' U43 -

Die wagerechten Auflagerdrücke:

2 —    ^34 — — 35« 1 — SB« 1.

Hiernach läfst sich nun der Einflufs jeder einzelnen lothrechten oder wagerechten Last unmittelbar berechnen. Dafs man dazu nur der vier Beiwerthe CĄ,

(ps und (fa bedarf, von denen überdies der dritte nur einmal vorkommt, ist ein augenscheinlicher Beweis für die grofse Einfachheit der Kräfte-vertheilung in dem betrachteten Raumfachwerk.

91)

a-

■4-

<?

r>

8-

■a—k

T~

§ 6. Zahlenbeispiele.

Abb. 8. Grundrifsanordnung des zu den Zahlenbeispielen benutzten Fach Werkes.

Die gewonnenen Ergebnisse sollen jetzt durch einige Zahlenbeispiele veranschaulicht werden. Wir wählen dazu absichtlich eine vom Quadrat stark abweichende Anordnung und berechnen hierfür die den wichtigsten Belastungsfällen entsprechenden Spannungen und Auflagerdrücke.

33

Das Fach werk möge den in Abb. 8 dargest eilten Grundrifs haben. Dann ist

4;

a₀

8;

CI +- (Xq — 12 5

b + b₀ =

(M O 00

ab

ba

ab₀ = 24 und ba₀ — 16.

Die durch 58) und 61) bestimmten Hiilfsgröfsen werden

F = (a + a₀) (6 + b₀) — ab — 88

44

132

; <fb

33

b + b₀ 4    132

ab

12

11

132 ⁵

ba₀

ab₀ _ 3 _ 36

•fbo— ~y — n ~ 132; ,fl

Nunmehr ist die Art der Belastung festzusetzen.

24

ao

11    132*

1. Nur eine lothrechte Last Pi (s. Abb. 4 u. 8).

Aus Tafel 62) ergeben sieb mit vorstehenden Zahlen werth en und mit Rücksicht auf 42) bis 45) die Diagonalspannungen:

44 -f 24 + 36 $

Dl 2

db

' — ^12 -

132

da

= 2)

23 - -

132

— 44 + 24 + 36 9ß

di

34 -

132

Du

da

= $41 =

33 + 24 + 24 %

132

104 P 132 Mi

15    Pj 132 Mi

16    P, 132 Mi 81_ P1 132 Mi

Die Hiilfsgröfsen O in 52) sind Null bis auf    Hiermit

und mit den vorstehenden Werth en der % ergeben sich aus 53) die Spannungen im oberen Ring:

Ol ₂

104 — 81

13 -

132

528 \ P1 132 J 4h

23 -

15 + 104

132

D‘3 4

_i

34 —

/>(

16 — 15

132

Ou

r=D

41 -

505 Pi 132 87» 89 P 132 8?»

1 P

132 87» 65 P Ï32 8Ä

Die Spannungen in den Eckstäben des unteren Ringes werden jetzt am bequemsten aus 51) berechnet, worin die 93 und 9S bei der hier angenommenen Belastung Null sind. Man findet

ol « <31 « <31 «    «

6i =

(Sa =

63 =

64 =

— 162 -f 505 Px

132

208 — 89 I\

132

30 — IP,

132

32 + 65 Px

132

343 P 8 A ~    132 8A

119 Px 8h~ Ï32 8A

³¹ Z¹ — il _

8 A 132 8h~    ³² ~ b

8h ~    132 8h ~ ⁴³

r=Ul4

— U21

Uai

U-

32

Diese Gleichungen ergeben nach 68) auch die Werthe der auf der rechten Seite stehenden vier Spannungen in den mittleren Stäben des unteren Ringes. Die vier übrigen finden sich mit a₀ : a — 2 und b₀ : b — 3 wie folgt:

343 — 2.208 P,

f = U₂₃ =

'3 4 _ 14    -

--U34-

uSi

73_ Pj 8A —    132 8A

119 + 3.30 Pj _    209 Px

8A —    Ï32 8A

95 Px 8A —    132 8A

97 + 3 . 162 Pj _    583 Px

132 8Ä‘

132

132

31 — 2.32 Pj

132

132

Zur Berechnung der Spannungen in den Rippen werden am besten die Gleichungen 46) oder 66) benutzt, in denen die 58 bei der hier angenommenen Belastung verschwinden. Man findet mit Rücksicht auf 42):

«b p?| i?

33₂ = - Os

a*

63

343 P 132 8A 119 Pj 132 8 A 31 P 132 8A 97 P, 132 8A

•yy-

(Ji

c~

ferner:

®i =

__ 343 — 208 P

2l₂ =

551 Pj 132    8 h ~    132 8h

89 P

23₃ =

«4 =

—    119 -f- 30 Px

132    8h ~

31 — 32 Px _

132    “8h ~~ ~ 132 8h

—    97 —f— 162 Px _    65 Px

4328Ä*

132 8A

132 8h 1 Pi

Die lothrechten Auflagerdriicke sind nach 44) und 66) aus den schon berechneten (Î zu ermitteln. Man erhält

Ai Bi

= % =33, =6X =

Au _ Bn h ~ ~ h A in Pu ,

= 2li, = 33n = 6o =

343 P, 132 8h 119 Pj 132 8 h

Stil, = 33m = 63 = -

31 Px

132 8h

A ,v    Ptv

— 31 iv = 35iv = 64 —

97 Pj 132 8Ä

Die wagerecliten Auflagerdriicke ergeben sich mit den zuvor gefundenen 11 aus 43) und 69):

rl\.

2-12 —

P23

f- = 2₂₃ =

P34

= 2₃4 =

T,i

—    73 — 119 Pj

132    8h

209 + 31 P, 132    8 h

—    95 — 97 P,

132 8h 583 — 343 P,

192 P

132 8h 240 Pj Ï32 8A 192 Pj 132 8/t

240 Pj

132 8A

132 8h

Hiermit haben wir alle Stabspannungen und Auflagerkräfte so weit bestimmt, dafs ihre Zahlenwerthe mit Leichtigkeit berechnet werden können, wenn die bisher noch allgemein gelassenen Gröfsen h und Pj, d. h. die Höhe des Fachwerkes und die lothrechte Last im Knotenpunkte 1, in Zahlen gegeben sind. Als Probe für die ganze Rechnung sollen die Bedingungen des Gleichgewichts zwischen

der Last Pj und den Auflagerkräften dienen. Die Summe der loth-rechten Gegendrücke ist nach obigem richtig ₀ 343 + 119 — 31 + 97 Pt 132    8~

Dafs die Summe der wagerechten Kräfte für beide Achsenrichtungen Null ist, erkennt man aus den gefundenen Werthen ohne weiteres, wenn man beachtet, dafs T₁₂ und P₃₄ sowie T23 und T41 nach der Annahme in Abbildung 4 in entgegengesetzter Richtung positiv gerechnet worden sind. Es bleibt daher nur noch die Mo-mentenbedingung übrig. Das Moment für die lothrechte Mittelachse ist allgemein

(r₁₂ + t,₄) '2hĄK + (T₂₃ + r₄₁)

2 a +- (Xq

d. h. im vorliegenden Falle

— 4.2.192 10

132

2.2.240 161 P₃

Tj

132

7680

7680

132

0.

132

Auch diese Probe stimmt also.

An den Ergebnissen des vorliegenden Zahlenbeispieles ist be-merkenswerth, dafs im oberen Ringe keineswegs durchweg Druckspannungen herrschen, wie man von vornherein vermuthen könnte, sondern dafs vielmehr die beiden Stäbe, die die unbelasteten Knotenpunkte verbinden, auf Zug beansprucht sind; ähnlich bei den Rippen-Spannungen J₃ und A₄. Bei den Unterringspannungen C₃,

Ui ₂, U₃₂ und U₃₄, tritt die entgegengesetzte Erscheinung hervor, dafs diese Theile Druck erleiden. Am meisten fallen aber die negativen Auflagerdrücke Am und Bm ins Auge. Zur Erleichterung der Uebersicht sind die Vorzeichen sämtlicher Kräfte in die Grundrifszeichnung Abbildung 9 an ihren Stellen eingetragen.

2. Nur eine wagerechte Kraft Val am unteren Ring (s. Abb. 4 u. 8).

Aus Tafel 62) ergeben sich für diesen Fall mit den obigen Zahlenwerth en der Htilfsgröfsen (f die Diagonalspannungen:

FF

S~Ä

44

f+<4

F. F

h+

Abb. 9. Vorzeichen der Stabspannungen und Auflagerkräfte bei Belastung mit Pi.

CO

-1

db

12 —

^ = 3)

da

23 — —

¹⁾³⁴ = 3)

<4

34 —

X»

■ł 1

da

= ©« = -

44 -f- 36 SSai_    80 Vai

132 16 J_Vąi 132 16

132 16

57 ra 1

132 16 ‘

132

33— 24 5Bal _

132 r ”

—    44 -j- 36 3Sai _

~~132    4    “

—    33 — 24    __

132 T “

Es kommt dabei in Betracht, dafs nach 45) $8aX — Val:a, und dafs im vorliegenden Falle a = 4 angenommen ist. Die Gröfsen D in 52) sind wiederum Null bis auf =— $al Damit ergeben sich nach 53) die Spannungen im oberen Ring:

2h = d

12 ~ V2 (

80 -j- 57    528 \ Foi

1 HT

132

132

%=»>•

= ‘/«(

— 9 + 80

132

34 —

V.(

132

•I I

41 — V2 (

57 — 8

132

+ »)tc! ⁹ + • ) ,. + ° ) 16

F«i

F₀i

391 Val 132 32 U Val 132 32 l]_Va1 132 32

_49_ fo1

132 32 '

ln 51) sind die 33 und 3S Null bis auf $8ßl = Fä1 :4. Die Spannungen in den Eckstäben des unteren Ringes werden daher:

ł-*-C

f-«. = (-

114 + 391

132

160 — 71

132

— 18 + 17

132

— 16 — 49

132

îosc'i ’a\ _ 132 J 32 ^ Fgl 7 32 ^ Va 1

7 32

+ °)

Va 1

“32" “

551 V a i

132 32

89 Vai

132 32

H,4 =

Ls

J_ Fal -132 32

65 Va i

132 32

— U43 —

Auch hier haben wir die aus 68) folgenden vier Werthe der Spannungen in den mittleren Stäben des unteren Ringes auf der rechten Seite hinzugefügt. Für die übrigen vier Ringspannungen findet man mit aQ:a = 2 und &₀:& = 3 aus jenen Gleichungen die Werthe:

CO

CC

oCr.

ce

R11 — Il — U1 2

— 551 — 2 . 160 Val

<(

132

32

—²³ — 11 b - Ü2:l

U₃ 4

132

32

= «8 4

132

32

b _U41

65 — 3 . 114 Fai

871 Lj 132 32 143 Vgi 132 32 31 Vąi 132 32 407 Val 132 "32 '

132

In den Gleichungen 4G) sind alle SB, aufser SBßl =Vai : 4, Null. Man erhält die Spannungen in den Rippen wie folgt:

551    1056\ Va\

132    132 J 32

32

= si, = (

505 Val

132 32 89 Val 132 32

i_2ti

132 32 65 F.i

132 32

Ferner:

Bi

= 2Si =

551 — 160

Vai

391 Val

132

32

132 32

A'2

— 89+18

Val

Sa

132

32

= 33.3 -

Fal

132

32

n_ Val 132 32" 17 Fo1 132 32

49 F«i

65— 114

ai

— 314 =

132 32

32

132

Die lothrechten Auflager drücke sind nach 66) zur Hälfte den Rippenspannungen entgegengesetzt gleich, zur Hälfte stimmen ihre Werth e mit denen der G überein. Man findet daher:

505 ya 1 Ï32T2 89 Va 1 132 32

Ai

Sa

= f&

= «1~-

§!§ sis

~32 Va 1

®n ⁼⁼ —    =

i^ïîî — s)+ —_—_____L Jj?.¹ ~ J?¹!! — sp _(x ___A Yjl ¹

A An A 132 32 A ~    — ^ “    132 32

_w _ex _    ^ Asl

“ '¹IV-^₄-“Ï32 32 *

//

y _m _ ,vv _    65 Va 1 _

IV

IV

«*r>

CO

Die Gleichungen 69) liefern mit den für die 11 gefundenen Werthen die wagerechten x4uf lagerdrücke :

^12

— = ^12 =

^23 g*

T ~ ^23 =

^34 _ cv ___

a ~ ^34 -

^41 _ __

b ~ ^⁴¹ "

— 871 — 89 Vai

132

32

143 + 1

Vai

132

32

31 + 65 Vgj

132

32

— 407 + 5+ Vca

132

32

960 VaX 182 32 144 Vai 132    32

96 Vai 132    32

144 Va\ 132 32 •

Hiermit sind auch die durch die wagerechte Last Fftl hervorgerufenen Stabspannungen und Auflagerkräfte sämtlich bestimmt. Die mit letzteren anzustellende Probe ergiebt für die lothrechte Richtung die Kraftsumme

505 — 501 + 2 (89 — 1 — 65) = 0.

Für die Richtung der b-Achse ist die Kraftsumme T₂₃ — T4 offenbar ebenfalls Null. Für die a-Achse lautet die Summen gl eich ung nach Abb. 4 mit obigen Werthen der T (da a — 4 ist):

a 1=0.

Vai+T₁₂-T3i

960 + 96 132.8

Das Moment für die lothrechte Mittelachse ist mit a = 4 und

b = 2:

= val

3 + (T₁₂ + ^34) 3 + (T₂s + Î41) 3

[» +

— 960 + 96

144 + 144

132.8

132.16

8] = 0.

±>⁺

A

H-

t /- J}+

-^r- +

Abb. 10. Vorzeichen der Stabspannungen und Auflagerkräfte bei Belastung mit VaV

Es sind also alle vier Auflagerbedingungen richtig erfüllt.

Bemerkenswerth ist, dafs zwei Oberringstäbe und fünf Auflager Zug erhalten, während drei von den vier Eckstäben und fünf von den acht Mittelstäben des unteren Ringes auf Druck beansprucht sind. In Abb. 10 sind die Vorzeichen aller Stabspannungen und Auflagerkräfte wiederum zusammengestellt.

4-*

CO

3. Nur eine wagerechte Kraft Wal am oberen Ring (s. Ab b. 4 u. 8).

In derselben Weise wie früher finden wir aus Tafel 62) die Diagonalspannungen :

D\ 2

— ©12

As _ Ç7N

— ^23

di

44 -f 12 + 36 Bai __

132

12

Wal

9+ Wal 132 “ 8 12 Wal

da

132

I)

— CT)

<4 “ ⁰³⁴

®41

— 44    12 + 36 Ba 1_

132

;CC

_u — ah —

da ~ ®⁴¹ ”

12

2B

132

132    8

12 W+

132    8

Hierin ist nach 45) SBßl = Wal : a = Wal : 4. In 52) sind die Gröfsen D Null bis auf = — 2SBßl = — JVal : 2. Damit erhält man aus 53) die Spannungen im oberen Ring:

Oi 2

Oii=.V*C

°|i=D₂3 = %(■

. =£>>* = ’/.( + = £>.. = 7. (■

O34

92 — 12    528

132

— 12 + 92

132

4—12

132

— 12 + 4

132

' 8

+- 0 ) w

132

0)

Wal

h o)"'

fll

448 Wai

132 16

80 Wal

132 16 8 Wqi 132 16 J+ Wąi 132 16 *

In 51) verschwinden die Gröfsen SB und SB mit Ausnahme von 3Bal == Wal:L Die Spannungen in den Eckstäben des unteren Ringes ergeben sich deingemäfs wie folgt:

— 24 + 448

132

-(

184 — 80

132

528 \ Wa ! _    104 Wai    ui4t

J 16 ~    132 16 =Un= b

\Wąi

) 16

CO o

-C

24 + 8

132

+ ")

-C

132

+ °)tï

Wa 1

TT _ “ 132 16 Fal

104 Wal    (ĄJ

132 16 = U2i = a

16 Fai

— ll₃₃

16 Wai 132 16

= U43

Die auf der rechten Seite hinzugefügten Werthe der Spannungen in vier mittleren Stäben des unteren Ringes entsprechen den Gleichungen 68). Diese liefern weiter mit aQ: a — 2 und b₀ : b = 3 die übrigen vier Spannungen im unteren Ringe:

Käs?

₌ _ 472 Wal

16    Ï32 16

176 Wal 132 16 32 Wai 132 16 88 Wal 132 16 '

Die Berechnung der Spannungen in den Rippen aus den Gleichungen 46), in denen alle 33 Null sind, ergiebt

104 Wal 132 16 104 Wai 132 16 16 Wal 132 16 16 Wai 132 16 ‘

=* Ul2 =

^ = 1*34 =

T““*."

Sa

B₂

sb

As

Sa

Bi

— 104 — 2 . 184 Wai

132

104 -f 3 . 24 Wai _

132

16

16 — 2 ; 8

Wal

132

16

-    16 -f 3 . 24 Wai

132

16

= a₃ = - 6s =

— = as₄ = - 64 = -

Ferner:

Bi

sb

= »i =

104 — 184 Wai

132

16

A₂

— 104 -f 24 Wai

Sa

132

16

= 23s =

16 — 8

Wal

132

16

80 Wat 132 16 80 Wal 132 16 8 Wal 132 16 8 Wąi 132 16 '

16 + 24 Wal 132

In 66) verschwinden alle 33; die lothrecliten Auflagerdrücke ergeben sich daher ohne weiteres aus den schon berechneten (£. Man findet also:

Ai

Sa

16

Ai

An

m ^ a

fq ki

— Stxi = 33n = 62 =

Am ®5_am = am_6₁_

Aiv -Biv

— SllV = 33lV = ©4 =

104 Wai 132 16 104 Wai 132 16 16 Wal 132 16 16 Wal 132 16

4-

io

ur-

Die Gleichungen 69) ergeben schliefslich die wagerechten Auflagerdrücke :

^12

— = ^12 =

— 472 — 104 Wai

182

16

^23

176 + 16 Wai

576 Wal 132 16 192 Wai

132

16

Ts

$3 4: -

32 — 16 Wai .

132

16

^4

■ü — y = b ^⁴¹

88 + 104 TTal

132 16 48 Wal 132 16 192 TT«i

132 16

Damit sind alle durch die wagerechte Last Wal erzeugten Stabspannungen und Auflagerkräfte gefunden. Wir wollen auch in diesem Falle zur Probe die Gleichgewichtsbedingungen für die letzteren Kräfte aufstellen. Dafs die Summe der lothrechten Drücke Null ist, ergiebt sich augenscheinlich, da alle Werthe paarweise einander entgegengesetzt gleich sind. Ebenso ist die Bedingung für die wagerechten Kräfte in der Richtung der b-Achse erfüllt. In der a - Richtung wirken (mit a — 4) die Kräfte Wal+ T\ 2    Ts 4

132

16

= ( > +=^r>-

= 0.

Das Moment für die lothrechte Mittelachse ist mit a — 4 und

b=2:

Wai. B + (Ti2 + T₃₄) 5 + (T₂₈ + Ti08 — 576 — 48

= wĄs +

132.4

5 -f

192 -f 192

132.8

•]

rrr 0.

Die Auflagerbedingungen sind demnach alle erfüllt.

'+■

‘+v+    .

Auf lager drücke, wie schon früher hervorgehoben. Die Spannungen in den Rippen sind paarweise theils gleich, theils entgegengesetzt gleich. In Abb. 11 sind diese

Bei diesem Belastungsfalle ist bemerkenswert!], dafs zwei von den vier Diagonalspannungen gleich grofs sind. Dasselbe gilt von den Oberringspannungen. Die Spannungen in den Eckstäben des unteren Ringes sind einander paarweise entgegengesetzt gleich; ebenso die lothrechten

Abb. 11. Vorzeichen der Stabspannungen und Auflagerkräfte bei Belastung mit WaV

Ergebnisse zur besseren Veranschaulichung ebenso wie in den. beiden früher behandelten Fällen zusammengestellt.

4. Gleichzeitige Belastung durch mehrere Kräfte.

Nach der eingehenden Vorführung des Rechnungsganges für drei verschiedene Arten von Einzellasten brauchen wir wohl nicht noch durch Zahlenbeispiele zu zeigen, wie die Stabspannungen und Auflagerkräfte zu linden sind, wenn mehrere Lasten zugleich wirken; denn es handelt sich dabei immer nur um Einsetzung der Werthe der Hülfsgröfsen (f in die Tafel 62) und Zusammenziehung aller Glieder, die ein und dieselbe angreifende Kraft enthalten. Wir wollen aber die Frage noch kurz erörtern, wie die gesuchten Gröfsen bei Vorhandensein mehrerer Lasten aus den schon für jede einzelne derselben berechneten Werthen zusammengesetzt werden können. Dafs dies möglich sein mufs, ist ja selbstverständlich; es kann sich also nur darum handeln, die dabei zu beachtenden Regeln kennen zu lernen.

ln erster Linie kommt für die fragliche Aufgabe in Betracht, dafs die Wirkung, die eine gegebene Kraft auf einen bestimmten Stab ausübt, nur von der gegenseitigen Lage beider, nicht aber von der Art ihrer Bezeichnung abhängen kann. Es mufs also z. B. eine Kraft Wal (s. Abb. 4) auf die Diagonale D₂₃ genau ebenso einwirken wie eine gleich grolse Kraft Wa3 auf die Diagonale D₄₁. Daraus folgt, dafs bei gleichzeitiger Wirkung von TFal und Wa3 die Spannung D4l gleich der Summe derjenigen Spannungen sein mufs, die Wal allein in D₄₁ und Z>₂₃ erzeugen würde. Es gilt aber offenbar auch die Umkehrung: die Spannung, die Wal und Wa3 zusammen in £>₂₃ erzeugen, ist gleich der Summe der Spannungen, die Wal allein in D2? und D₄₁ erzeugt. Beide Kräfte zusammen rufen also in den beiden Diagonalen gleiche Wirkungen hervor. Dasselbe läfst sich für jedes andere Stabpaar beweisen, dessen einer Stab gegen die eine der angreifenden Kräfte dieselbe Lage hat wie der andere gegen die zweite Kraft. Sind die beiden Kräfte nicht gleich, so ändert sich an dieser Schlufsfolgerung nur wenig. Beispielsweise würde eine beliebig grofse Kraft Wa3 auf die Diagonale D41 dieselbe Wirkung ausüben wie eine ebenso grofs gedachte Kraft Wa t auf die Diagonale Xf>r Tritt nun aber ein anderes Wa, mit Wa3 zusammen auf, so entsteht in D4 4 eine Spannung, die der Summe aus den beiden Spannungs werthen gleich ist, welche man erhält, wenn man D₄₁ mit letzterem und i>₂₃ mit ersterem Werthe von Wai berechnet.

Wendet man denselben Gedankengang auch auf die Kräfte Px und Va f an, so ergiebt sich, dafs alle unter 1 bis 3 für die Belastung der Ecke 1 gefundenen Ergebnisse in der geschilderten Weise sofort auf den Fall übertragen werden können, dafs die Ecke 3 belastet ist. Damit ist dann natürlich auch der Einflufs einer gleichzeitigen Be-lastimg dieser beiden Ecken zu bestimmen. Dagegen läfst sich eine solche Uebertragung auf die Ecken 2 und 4 nicht ohne weiteres ausführen, weil diese beiden eine wesentlich andere Lage gegen das Fachwerk haben als 1. Es rührt das von der (willkürlichen) Annahme her, die wir im § 1 hinsichtlich der Richtung der Diagonalen gemacht haben. In dieser Erkenntnifs liegt auch das Mittel zur Beseitigung der fraglichen Lücke.

l,

Abb. 12. Spiegelbild der Anordnung in Abb. 8.

■yy-

Ci

Kehrt man nämlich die Richtung der Diagonalen um und verlegt man gleichzeitig die drei Kräfte P,, Va t und Wa t von den in Abb. 8 gewählten nach den in Abb. 12 dargestellten Angriffspunkten, dann stellt die letztere Anordnung ein Spiegelbild der ersteren dar; es treten daher in beiden dieselben Kräfte nur in entgegengesetzter Reihenfolge auf. P, V und W müfsten jetzt nach der Bezeichnungsweise der Abb. 4 die Ziffer 4 erhalten, also P₄, Va 4 und Wa 4 genannt werden. Vorbehaltlich der Bestimmung des Einflusses der geänderten Diagonalenrichtung gelten mithin die unter 1, 2 und 3 gefundenen Formeln ohne weiteres auch für den Fall der Belastung des Knotenpunktes 4. Unter dieser Bedingung lassen sie sich dann aber auch auf die Ecke 2 übertragen. Die Aenderung der Diagonalenrichtung hat bekanntlich nur die Folge, dafs sich das Vorzeichen der Diagonalspannung umkehrt, und dafs in den das betreffende Fach umrahmenden Stäben Spannungen von der Gröfse der gleichgerichteten Seitenkräfte der Diagonalspannung hinzutreten. Der Zuwachs ist eine Druck- oder Zugspannung, je nachdem die Diagonale in ihrer neuen Lage Zug oder Druck erhält.

Alle bisher betrachteten Belastungsweisen erstreckten sich nur auf Kräfte, die lothrecht oder in der Richtung der a-Achse wirken. Auf Kräfte in der fr-Richtung lassen sich die obigen Ergebnisse nicht übertragen, da die Aenderung der Achsenrichtung die gegenseitige Vertauschung der Werthe #, a₀ mit fr, b₀ bei der Berechnung der Hülfsgröfsen cp erfordert. Nur wenn das Fach werk quadratisch ist, gelten die für die eine Achse gefundenen Ergebnisse natürlich auch für die anderen.

Da man bei derartigen Uebertragungen leicht Fehler begehen kann, so ist besondere Vorsicht nötliig. Etwaige Zweifel beseitigt man am schnellsten mit Hülfe der Tafel 62). Auch läfst sich bei Anstellung von Gleichgewichtsproben mit Nutzen von dem Um-

c-Cr>

OS

stände Gebrauch machen, dafs die Spannungen der Eckstäbe des unteren Ringes von Aenderungen der Diagonalenrichtung nicht be-einflufst werden.

Als Beispiel möge die Ermittlung einiger Spannungen für den im § 5 unter 3 angenommenen, durch Abb. 7 erläuterten Belastungsfall dienen, wobei jedoch (um nicht zu viel Raum aufwenden zu müssen) P₂ = 0 gesetzt werden soll. Die Last im Knotenpunkt 1 ergab für das in Abb. 8 dargestellte Fachwerk die unter 1 aufgeführten Diagonalspannungen. Nehmen wir nun noch eine gleiche Last im Knotenpunkt 4 an, so findet man für dieselben Diagonalen nach den vorher entwickelten Regeln andere Spannungs-werthe. Wir setzen beide Reihen nachstehend unter einander und ziehen sie zu der dritten Reihe zusammen, die dann den Eiaflufs der gleichzeitigen Wirkung beider Lasten darstellt:

©2 3

©12

104

©34

©41

15

16

81

Pl

132

132

132

132

16

15

104

81

132

132

132

132

88

Pi

X 4 h '

Ebenso verfahren wir jetzt mit der wagerechten Kraft VaV Es ergiebt sich mit den unter 2 gefundenen Zahlenwerthen:

©23

132

132

©12

©34

©41

80

57

132

co ci

132

132

80

57

132

132

132

132

88

88

132

132

Dasselbe Verfahren auf die wagerechte Last Wa giebt mit den Zahlenwerthen unter 3:

XXX

R*

angewandt, er-

2:;

©34

©41

92

12

12

co

132

132

132

12

92

12

132

132

132

132

88

88

132

132

xWal

x 8

X

x 8

r.

rjQr>

Beachtet man nun, dafs wir früher ^₄₃ = — ^₃₄ eingeführt haben, und dafs für die der ganzen Rechnung zu Grunde liegende in Abb. 8 dargestellte Anordnung, wie oben schon gezeigt wurde,

= Val: 4 und t = Wa t : 4, sowie (fa = 44:132 ist, so ergiebt

58« i

sich die UebereinStimmung zwischen diesen Zahlenreihen und der Gleichung 85) in § 5. Das Verfahren läfst deutlich erkennen, wie die bei Annahme einer symmetrischen Belastung eintretende Vereinfachung der Wirkungsweise der Lasten zustande kommt. Für den praktischen Gebrauch ist aber die Rechnung nach den in § 5 entwickelten Formeln sicherer und bequemer.

Zweiter Abschnitt.

Das Raumfachwerk mit beliebiger Eckenzahl.

§ 7. Allgemeine Betrachtung. l)er Ausschnitt als Grundeinheit.

Hauptarten des Fachwerkes.

fv/paarweise gleich und abwechselnd symmetrisch sind. Ein solcher " , Theil werde kurz Ausschnitt und der Winkel seiner Begrenzungs-

Wenn man das im ersten Abschnitt behandelte rechteckige Fachwerk daraufhin untersucht, ob sich eine Gruppe von Stäben bilden läfst, durch die seine wesentlichen Formeigenschaften in dem Sinne bestimmt sind, dals man nur eine Reihe solcher Gruppen zusammenzusetzen braucht um das vollständige Fachwerk zu erhalten, so findet man, dafs dies in der That möglich ist. Denkt man sich nämlich durch die beiden Hauptachsen zwei lothrechte Ebenen gelegt, so zerschneiden diese das Fachwerk in vier Theile, die einander

ebenen Eckwinkel genannt. Jeder Ausschnitt enthält ein Eckfach und zu dessen beiden Seiten je ein halbes Mittelfach. In Abb. 4 (Seite 9) sind die vier Ausschnitte wie die zugehörigen Eckpunkte des oberen Ringes, also mit den Ziffern 1 bis 4 bezeichnet, ln derselben Weise kann man sich auch jedes mehreckige Fachwerk aus so viel Ausschnitten zusammengesetzt denken, wie Ecken vorhanden sind. Dabei ergiebt sich aber nur dann eine geschlossene Anordnung, wenn die Ausschnitte zwei Bedingungen erfüllen. Erstens mufs nämlich die Summe ihrer Eckwinkel = 360° sein. Die Eckwinkel müssen also kleiner werden, wenn die Zahl der Ausschnitte wächst. Diese müssen ferner so gestaltet sein, dafs sie in der Reihenfolge ihrer Zusammensetzung an einander passen. Im übrigen können die Stäbe eines jeden Ausschnittes ganz beliebige Längen haben.

Wollte man nun von dieser Freiheit in der Formgebung vollen Gebrauch machen, so würde man imstande sein Stabgebilde zu entwerfen, die bei denkbar allgemeinster Anordnung doch wesentlich dieselben statischen Eigenschaften besitzen wie das früher behandelte Fachwerk. In Abb. 13 ist beispielsweise ein solches, ganz willkürliches Stabnetz mit siebeneckigem oberen und vierzehneckigem unteren Ring im Grundrifs dargestellt. Es erscheint nur als eine geschlossene Kette aus 21 Dreiecken, deren freie Seiten die Ringe und deren zusammenfallende Seiten die WTandglieder bilden. Welche der letzteren man hierbei als Diagonalen und welche man als Rippen betrachten will, ist gleichgültig; auch ist es nicht nöthig, dafs die Ringe ebene Vielecke sind. Ein so allgemeines Stabwerk den weiteren Betrachtungen zu Grunde zu legen, hätte jedoch keinen Zweck, da

nr

jsr

il

solche Anordnungen in der Wirklichkeit nicht Vorkommen und da die Unbestimmtheit der Form die Lösung der Aufgabe immerhin etwas erschweren würde. Es genügt deshalb darauf hinzuweisen, dafs sich auch derartige willkürliche Stab werke nach dem weiterhin entwickelten Verfahren berechnen lassen.¹)

VU

VI

Abb. 13. Siebeneckiges Raumfach werk allgemeinster Form.

Um nun für diese Entwicklung eine bequemere Grundlage zu gewinnen, nehmen wir jetzt an, beide Ringe seien ebene, wagerecht liegende Vielecke. Die Form des oberen Ringes sei eine ganz beliebige, die des unteren eine solche, wie sie sich ergeben würde, wenn man an einem Vieleck-von gleicher Eckenzahl, dessen Seiten denen des oberen Ringes parallel sind, die Ecken abschneidet und die benachbarten Schnittpunkte durch gerade Linien mit einander verbindet. TJeber die Art dieser Abschrägung setzen wir nur voraus, dafs für jede Ecke die beiden Abschnitte einander gleich seien, oder, anders ausgedrückt, dafs die Abschnitte mit den die Schnittpunkte verbindenden Eckseiten gleichschenklige Dreiecke bilden. Derartiger Dreiecke sind natürlich so viele vorhanden, wie der obere Ring Ecken hat. Wir bezeichnen diese wie früher fortlaufend mit deut-

JL

Abb. 14. Fünfeckiges Raumfachwerk mit ebenen Ringen, ebenen Parallelvierecken als Mittelfachen und gleichschenkligen Dreiecken als Eckfachen.

sehen Ziffern, die Spitzen der zugehörigen Abschrägungsdreiecke mit den entsprechenden römischen. Zum Schilds nehmen wir noch an, dafs der wagerechte Abstand der gleich gerichteten Seiten des oberen und unteren Ringes überall derselbe ist. Abb. 14 zeigt als Beispiel ein fünfeckiges Fachwerk der durch die vorstehenden Annahmen gekennzeichneten Art. Mau ersieht daraus, dafs eine solche Anordnung, bei der die Mittelfache nicht Rechtecke, sondern willkürliche Parallel Vierecke sind, trotz der sonstigen einschränkenden Voraussetzungen immer noch einen hohen Grad von Allgemeinheit besitzt und grofse Freiheit in der Formgebung, der Vertheil un g der Lager usw. gewährt.

Wir werden deshalb zuerst die Berechnung eines derartigen Fachwerkes vorführen.

Abb. 15. Sechzehneckiges Eaumfach-werk mit rechteckigen Mittelfachen.

QO

Hieraus ergeben sich dann ohne weiteres auch die Regeln für die Berechnung des Fachwerkes mit rechteckigen Mittelfachen, das offenbar nur einen besonderen Fall der vorigen Anordnung darstellt und seiner gröfseren Einfachheit wegen meist vorgezogen werden wird. Dafs auch diese Form noch eine sehr vielseitige Anwendung gestattet, zeigt Abb. 15, die den Grundrifs einer danach gebildeten, länglich runden sechzehneckigen Kuppel (mit Weglassung der Diagonalen) darstellt. Die Gleichheit der Fachlängen ist übrigens nicht notli-wendig, sondern in Abb. 15 nur als Beispiel gewählt.

'00

Noch wesentlich einfacher läfst sich natürlich die ganze Betrachtung und ebenso der Gang der Rechnung gestalten, wenn die Grundrifsform des Fachwerkes eine solche ist, dafs sie einem Kreise eingeschrieben werden kann. Dann werden die Ausschnitte einander gleich, wenn alle Oberringstäbe dieselbe Länge erhalten, d. h. wenn der Oberring ein regelmäfsiges Vieleck im mathematischen Sinne bildet. Dies ist der in der Wirklichkeit am häufigsten vorkommende Fall, den wir deshalb eingehender behandeln werden.

§ 8, Bezeichnungen am mehreckigen Fachwerk.

Im ersten Abschnitt war als Grundform des Fachwerkes ein Rechteck angenommen. Deshalb wurde auch die Bezeichnung der Stablängen und der Kräfte so gewählt, dafs sie dieser Form (insbesondere durch Einführung der zwei Hauptachsen a und b) Rechnung trug. Das pafst natürlich nicht mehr auf ein Fachwerk, dessen Grundform ein Vieleck ist. Wir sind daher genöthigt, die bisherige Bezeichnung abzuändern, wollen aber doch so viel wie möglich davon beibehalten. Demgemäfs werden die Ecken des oberen Ringes wie früher fortlaufend von 1 bis n beziffert. Die Ecken des unteren Ringes erhalten eine doppelte Bezifferung, und zwar nach der Regel, dafs immer je zwei mit demselben oberen Eckpunkt durch Rippen verbundene untere Ecken die Nummer dieses Punktes als ersten Zeiger führen, an zweiter Stelle dagegen als unterscheidendes Merkmal die Ziffer des ersten Zeigers des ihnen jeweilig nächsten, vorausgehenden und folgenden Eckpunktes. Diese Bezeichnungsweise stimmt genau mit derjenigen überein, die wir im § 1 für die Spannungen der mittleren Stäbe des unteren Ringes eingeführt haben. Die Höhe des oberen Ringes über dem unteren nennen wir A, wie bisher; a sei der wagerecht gemessene, s der schräge Abstand der Ober-ringstäbe von den gleich gerichteten Unterringstäben. Die Längen dieser Stäbe und der Diagonalen bezeichnen wir wie früher mit den Buchstaben a und d, fügen aber jetzt bei beiden als Unterscheidungsmerkmal immer die Ziffern der unteren Knotenpunkte hinzu, von denen die Diagonalen ausgehen. Die Ziffern geben dann offenbar zugleich die Nummern der beiden Ausschnitte an, zu denen der betreffende Stab gehört. Die Bezeichnung der übrigen Stablängen braucht hier noch nicht festgesetzt zu werden. Einige Hülfslinien und Winkel werden weiterhin bei Abb. 16 besprochen werden.

Was die Kräfte betrifft, so können die früheren Bezeichnungsregeln unverändert beibehalten werden für die lothrecliten Lasten P, die Spannungen D der Diagonalen, 0 der Stäbe des oberen, U und C derjenigen des unteren Ringes, sowie für die wagerechten Auflagerkräfte. Bei den früher mit A und B bezeichneten Spannungen der Rippen und den lothrechten Lager drücken hat dagegen die Unterscheidung nach den Achsenrichtungen a und b jetzt keinen Sinn mehr. Es soll deshalb fernerhin der Buchstabe A nur noch für die Auflagerdrücke, für die (meist bogenförmigen) Rippen dagegen der Buchstabe B benutzt werden, und zwar in Verbindung mit den beiden Ziffern des zugehörigen unteren Knotenpunktes. Die wagerechten äufseren Kräfte waren früher nach den Achsenrichtungen a und b zerlegt worden; auch hierfür mufs also eine neue Festsetzung getroffen werden. Wir zerlegen die an den unteren Knotenpunkten an greifen den Kräfte F in je zwei Seitenkräfte, deren eine in die Richtung des benachbarten mittleren Ringstabes fällt, während die

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Abb. IG.

Bezeichnungen am mehreckigen Fach werk.

andere rechtwinklig dazu gerichtet ist. Die erstere Seitenkraft wird von diesem Stabe unmittelbar aufgenommen und in das zugehörige wagerechte Lager geführt; sie kommt also (wie schon im § 1 bemerkt) für die Berechnung der übrigen Stabspannungen nicht weiter in Betracht. Die andere Seitenkraft bezeichnen wir mit den beiden Ziffern des Knotenpunktes, an dem sie angreift. Für die in den oberen Knotenpunkten wirkenden Kräfte W könnten zwei verschiedene Arten der Zerlegung in Betracht kommen, nämlich entweder nach den Richtungen der beiden zu demselben Ausschnitt gehörenden V,

■yy-

CT®

oder nach der Richtung der beiden Stäbe des oberen Ringes, die im Angriffspunkte der W zusammenstofsen. Beim rechteckigen Fachwerk stimmen diese zwei Zerlegungsweisen überein; bei einer mehreckigen Anordnung ist das aber offenbar nicht mehr der Fall. Da die Rechnung, wie ein Versuch lehrt, sich bei der zweiten Art der Zerlegung wesentlich einfacher gestaltet, so soll diese gewählt und die Richtung einer jeden Seitenkraft durch Beifügung der Ziffern des Knotenpunktes, in dem sie angreift, sowie desjenigen, nach dem sie hinzielt, bezeichnet werden. Die im Punkt 2 angreifende, nach 3 gerichtete Kraft heifst also W₂ 3, dagegen die in 3 angreifende, nach 2 gerichtete W₃₂.

In Abb. 16 ist als Beispiel hierzu ein die Ecken 2 und 3 umfassender Theil eines Fachwerkes mit den daran wirkenden Kräften im Grundrifs dargestellt. Dabei sind nicht nur die eben erörterten Bezeichnungen angewendet, sondern noch einige andere, die wir zu den folgenden Entwicklungen gebrauchen. Zunächst sind die mittleren Seiten des unteren Ringes bis zum gegenseitigen Schnitt verlängert. Die so erhaltenen, schon im § 8 besprochenen Punkte sind mit römischen Ziffern bezeichnet, wie dort angegeben; die Eckabschnitte mit a und den entsprechenden deutschen Ziffern. Ferner sind von den oberen Eckpunkten Lothe auf die Seiten des unteren Ringes gefällt. Die die Mittelseiten treffenden haben voraussetzungsgemäfs alle die gleiche Grundrifslänge a, mithin auch den gleichen Neigungswinkel a gegen die Ebene dieses Ringes. Den gegenseitigen Abstand der Fufs-punkte je zweier von demselben oberen Eckpunkte ausgehenden Lothe bezeichnen wir mit c, den von ihnen im Grundrifs eingeschlossenen Eckwinkel mit 2«, die Grundrifslänge der nach den Mitten der Eckseiten gerichteten Lothe mit e, immer mit Hinzufügung der betreffenden Ecknummer. Den Winkel, den eine Diagonale mit der Richtung der zu ihrem Fache gehörigen Lothe bildet, bezeichnen wir wie bisher mit dem Buchstaben d und den beiden Ziffern der fraglichen Diagonale.

§ 9. Gleichgewicht der Kräfte am Fachwerkausschnitt. Allgemeine Beziehung zwischen den Spannungen dreier auf einander folgender Diagonalen.

Wenn man bei der Abtrennung eines Ausschnittes von dem (irgendwie belasteten und eine beliebige Zahl von Ecken besitzenden) Fachwerk an den durchschnittenen sechs Stäben deren Spannungen D, 0 und U als äufsere Kräfte angebracht denkt, so müssen diese mit den übrigen auf den Ausschnitt einwirkenden Kräften im Gleichgewicht sein. Als solche sind vorhanden eine lothrechte Last P, zwei untere und zwei obere wagereehte Kräfte V und W, sowie zwei lothrechte Auflager drücke A. In Abb. 17 sind alle Kräfte mit Ausnahme der lothrechten beispielsweise für einen Ausschnitt 2 sichtbar gemacht. Wir benutzen nun zur Aufsuchung der Beziehungen zwischen diesen Kräften die bekannte Regel, dafs die Summe der Momente einer im Gleichgewicht befindlichen Kräftegruppe für jede beliebige Achse des Raumes Null sein mufs. Nimmt man als eine solche Drehachse die lothrechte Gerade an, die durch den Schnittpunkt II der beiden Unterringspannungen U₂₁ und U23 geht, so verschwinden nicht nur diese Kräfte aus der Rechnung, sondern auch alle diejenigen, welche die Richtung der Drehachse haben, also die beiden Auflagerdrücke A₂₁ und A₂₃, die Last P₂ und die lothrechten Seitenkräfte der beiden Diagonalspannungen D, ₂ und D₂₃. Von letzteren hat D₁₂ in der Richtung des zugehörigen Ob erringst abes die wagerechte Seitenkraft D₁₂ sin à₁₂, in der Richtung des Lothes auf den Unterringstab die geneigte Seitenkraft Dl 2 cos ät 2. Diese läfst sich wieder in eine nicht weiter in Betracht kommende lothrechte und in eine wagerechte Seitenkraft Di2 cos Ą₂ cos a zerlegen. Es braucht das natürlich nicht gerade im oberen Eckpunkte zu geschehen; die Zerlegung kann vielmehr in jedem beliebigen Punkte der Diagonale vorgenommen werden.

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Abb. 17. Kräfte und Hebelarme am Fachwerkausschnitt.

aus

cos

Wählen wir dazu den unteren Endpunkt, so fällt die Seitenkraft D₁₂ sin ö₁₂ fort, da sie die Drehachse schneidet, und es bleibt nur noch die Seitenkraft P₁₂ cos Ą₂ cos a übrig. Ihr Hebelarm ist ai2 -f- a₂, wie man aus Abb. 16 ersieht. Die Spannung der zweiten Diagonale hat eine wagerechte, die Drehachse schneidende Seitenkraft in der Richtung von U23 und eine geneigte D₂₃ cos ^₂₃ (in der Richtung des Lothes vom Punkt 2 auf den Unterringstab Z7₃₃), die sich wiederum in eine lothrechte, kein Drehmoment erzeugende und in eine wagerechte Seitenkraft D₂₃ cos ^₂₃ cos a mit dem Hebelarm a₂ zerlegen läfst. Alle übrigen Kräfte sind an sich wagerecht, und ihre Hebelarme sind Abb. 17 unmittelbar zu ersehen. Beachtet man nun, dafs cos a — a : s, d₁₉ = s : di ₂, cos d₂₃ = s:d₂₃ ist, so kann man die fragliche

Gleichgewichtsbedingung leicht in der nachstehenden Form anschreiben :

aa₂

Dl2 +

D23 “h u (Oi 2 — O23) — a₂ (F21 — F₂₃)

^(%2 + «2)

^2 3

91)

Oi

-f- a (TF₂i — W₂₃) — 0.

Wählt man dagegen zur Aufstellung der Momentengleichung die durch die beiden Auflagerpunkte gehende wagerechte Gerade, so verschwinden die Kräfte A₂₁, A₂₃, D₂₃, U₂₁, U₂ 3, F2l und F₂₃ gänzlich, und von den übrigen die in die Richtung der Drehachse fallenden oder diese schneidenden Seitenkräfte. Wir zerlegen D₁₂ wieder genau ebenso wie vorher im unteren Endpunkte der Diagonale. Dann fallen die beiden wagerechten Seitenkräfte fort, da sie die Drehachse schneiden, und es bleibt nur die loth-rechte Seitenkraft D₁₂ cos sin a übrig mit dem Hebelarm ai2 sin s₂ (s. Abb. 16). Die Spannungen 0₁₂ und 02S der Oberringstäbe und die gleichgerichteten wagerechten Lasten W₂₁ und W₂₃ schliefsen mit der rechtwinklig zur Drehachse durch den Knotenpunkt 2 gelegten wagerechten Geraden II2 den Winkel 90° — € ein. Alle diese Kräfte werden also in der Richtung der Drehachse und rechtwinklig dazu zerlegt, indem man sie mit cos f₂ und sin f₂ vervielfältigt. Die in die letztere Richtung fallenden Seitenkräfte haben sämtlich den Hebelarm h. Die lothrechte Last P₂ hat nach Abb. 17 den Hebelarm e₂. Da nun, wie leicht ersichtlich, sin a = h:s, cos dl2 = s:d12 und sin s₂ — ¹/₂ c₂ : a ist, so erhält man die zweite Momentengleichung in der Form

92)

As + %-a (Ol2 + 0₂₃) + eaP₃ + ÿ (Wn + 1F₃₃) = 0.

cii 2 ei₂Ji di2 2 a

Theilt man 91) durch a und 92) durch c₂h: 2a, so ergiebt sich

As

93)

(% 2 "1“ aï)

di2

f a₂

Ą3

d₂₃

ai2

I)

12

+ o₁₂ — 0₂₃ —

+ 0..+ 0.. —8

%-(.V*i-Vtà-QVn-w,à

Co

-(Wn + W₃₃).

^12

Fügt man die zweite Gleichung zur ersten, so erhält man 94) (2 a^+aj^ + a.

&23

Dies gilt für den Ausschnitt 2, den wir ganz willkürlich unserer Betrachtung zu Grunde gelegt haben. Es ist klar, dafs wir für jeden beliebigen anderen Ausschnitt genau die gleiche Rechnung hätten anstellen können, und dafs wir dabei auch hätten zu demselben Ergebnis kommen müssen, nur mit dem Unterschiede natürlich, dafs an die Stelle der in 94) enthaltenen Längen und Kräfte die ent-

di 2

d₂₃

f 2 0₁₂

1)

«2

05

sprechenden, zu jenem anderen Ausschnitt gehörigen Gröfsen getreten wären. Für den Ausschnitt 3 hätte sich also ergeben:

^2 3

95) (2 a₂₃ + a₃)

^2 3

f»3^ + 20₂3 = -2gp₃ + |(F₃₂- 73₄)-21Fs,

Man sieht das leicht ein, wenn man erwägt, dafs die gleichartigen, zu verschiedenen Ausschnitten gehörigen Gröfsen — abgesehen von dem überall gleichen a und h — sich bei der gewählten Bezeichnungsweise nur durch ihre Bezifferung unterscheiden, und zwar so, dafs alle Ziffern um eine Einheit zunehmen, wenn man von einem Ausschnitt zum folgenden übergeht.

Wir ziehen jetzt die zweite Gleichung der Gruppe 93) von der ersten ab und erhalten -^2 3

■®12

²    = 2g P, + f (F₂₁ — F2S) + 2TF₂₃.

Fügt man nun dies zu 95), so gelangt man zu dem folgenden wichtigen Ergebnifs:

I" (a2 + ^ a2 8 “ł" as)

96) a₂

d₁₂

^2 3

^12

97)

2 (

+ 2    (*F2S-TF₈₂) +-^(F„-F,₄).

Wir haben also hiermit eine ganz allgemeine Beziehung zwischen den Spannungen dreier auf einander folgender Diagonalen eines irgendwie belasteten Baumfachwrerkes mit beliebiger Eckenzahl gefunden. Dabei ist hinsichtlich der Form dieses Fachwerkes nur vorausgesetzt, dafs die Mittelfache ebene Parallelvierecke von gleicher Höhe und Neigung, und dafs die Eckfache gleichschenklige Dreiecke sind, wie bei dem in Abb. 14 dargestellten Beispiel.⁵)

Der Werth dieses Ergebnisses liegt darin, dafs man für jedes derartige Fach werk nach Formel 97) ohne weiteres so viele Gleichungen anschreiben kann, wie das Fachwerk Diagonalen hat, und dafs die Gleichungen nur die Spannungen der letzteren als Unbekannte enthalten. Sind diese bestimmt, so ist die Aufgabe im wesentlichen gelöst; denn mit den D ergeben sich die 0 sofort aus den nach 95) oder 96) zu bildenden Gleichungen, und sodann die übrigen Stab-

^2 3

e2

*3

c3

⁵) Es ist vielleicht nicht überflüssig, nochmals hervorzuheben, dafs das hier entwickelte Verfahren — wie schon im § 7 bemerkt — auch auf Fachwerke allgemeinster Form anwendbar ist. Für ein Fachwerk der im ersten Abschnitte behandelten Art, bei dem die Eckfache nicht gleichschenklig sind, gestaltet sich die Rechnung nach diesem Verfahren trotzdem äufserst einfach. Man gelangt so auf viel kürzerem Wege als dort zu den im § 3 nach dem bisher gebräuchlichen Verfahren entwickelten Gleichungen 56).

Spannungen und die Auflagerdrücke aus den Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte. Ferner umfafst aber das gefundene allgemeine Ergebnifs selbstverständlich auch die durch Vereinfachungen verschiedener Art entstehenden Sonderfälle. Wir wollen hierauf etwas näher ein gehen.

§ 10. Anwendung auf einige besondere Fälle.

Es ist lehrreich und erleichtert das Verständnifs der allgemeinen Gleichung 97), wenn wir jetzt untersuchen, welche Aenderungen sie bei der Anwendung auf einfacher gestaltete Fachwerke erleidet.

1. Fachwerk ohne Eckfache (Schwedlerkuppel) und gemischtes Fachwerk.

Denkt man sich bei dem in Abb. 14 dargestellten Fachwerk die Eckabschnitte des unteren Ringes immer mehr verkleinert, bis sie schliefslich ganz verschwinden, so fallen die beiden zu demselben oberen Eckpunkt gehörigen Rippen in eine zusammen, und es entsteht die Form der (eingeschossigen) Schwedlerkuppel. Mit aj =■ «2 = a₃. . . = 0 nimmt unsere Gleichung 97) die folgende Form an:

_ . J>3-!

²³ <^2 8

Hiernach sind die Spannungen der Diagonalen der einzelnen Fache jetzt unabhängig von einander, sodafs eine jede für sich aus der nach vorstehendem Muster ohne weiteres anzuschreibenden Gleichung berechnet werden kann. Ferner ist bemerkenswerth, dafs die wagerechten Kräfte V ganz verschwunden sind. Den inneren Grund hierfür sieht man leicht ein, wenn man beachtet, dafs die zu derselben Ecke eines Fachwerkes der allgemeineren Art gehörigen beiden loth-rechten Lager, die bisher rechtwinklig zur Richtung der mittleren Stäbe des Untergurtes frei beweglich waren, in dem Augenblicke zu festen Lagern werden, wo sie zusammenfallen. Die in den betreffenden Knotenpunkten angreifenden V können dann auf andere Stäbe als die des unteren Ringes offenbar keine Wirkung mehr austiben.

Wir wollen nun die Gleichung 98) dadurch einer Prüfung unterziehen, dafs wir die Diagonal Spannung D₂₃ für ein solches Fachwerk unmittelbar aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen. Denkt man sich zu diesem Zwecke den in Abb. 17 dargestellten Ausschnitt 2 der obigen Annahme gemäfs abgeändert, so läfst sich die Spannung 023 leicht in der Weise berechnen, dafs man die Summe der Momente in Bezug auf den Unterringstab I—H gleich Null setzt. Als wirksame Kräfte treten dann nur 0₂₃, P₂ und TF₂₃ auf, da 0₁₂ die Richtung der Drehachse hat und alle anderen Kräfte diese schneiden. Die Richtung von 0₂₃ und TF₂₃ bildet mit dem Loth auf die Drehachse im Grundrifs den Winkel 90° — 2s₂; die wirksame Seitenkraft beider ist also

98)

=f(

“ -f-

'V,

ą) + » 28 - »'32.

(0₂₃ + W₂₃) sin 2s₂ = 2 (0₃₃ + IT₂₃) sin s₂ cos s₂ mit dem Hebelarm ä, während P₂ am Hebelarm a wirkt.

Da nun

sin €₂ — ₀~² und cos e₂ =    ? also 2 sin s₂ cos s₂ — —

“ Cb    C<2

ist, so lautet die fragliche Momentengleichung, wenn wir 0₂3 gleich auf die linke Seite bringen:

O23 — —

99)

a e₂

h c₂

p₂-w₂₃.

Aehnlich ist nun bei dem Ausschnitt 3 vorzugehen, wobei man die Abb. 16 benutzen kann, indem man sich die Eckfache zu Null geworden denkt. Wir wählen jetzt als Drehachse den Unterringstab III—IV und denken uns die Spannung der Diagonale Z)₂₃ nach den Richtungen des Oberringstabes und der Rippe 3 —III zerlegt. Dann schneidet die in letztere Richtung fallende Seitenkraft die Drehachse, während die andere, die die Gröfse D₂₃ a₂₃ : d₂₃ hat, mit der Oberringspannung ö₂₃ und der wagerechten Last W₃₂ zusammenfällt. Diese drei Kräfte bilden mit dem Loth auf die Drehachse im Grundrifs den Winkel 90° — 2e₃; ihre wirksamen Seitenkräfte, die wieder am Hebelarm h wirken, sind also ganz ähnlich wie vorher durch Vervielfältigung mit 2 sin s₃ cos €₃ = c₃ : e₃ zu berechnen. Aufserdem ist nur noch P₃ am Hebelarm a wirksam; alle anderen Kräfte schneiden die Drehachse oder fallen in ihre Richtung. Die Momentengleichung, die wir jetzt alsbald nach D₂₃ auf lösen, lautet daher:

a,,^ =

d₂

I ±P.-o,.-w„.

Setzt man nun hierin für 0^ den Werth 99), so ergiebt sich in der That auch auf diesem Wege die Gleichung 98), deren Richtigkeit mithin nachgewiesen ist.

Wir hatten oben zunächst angenommen, dafs sämtliche Eckfache beseitigt werden sollen. Man kann aber natürlich ebenso gut nur ein solches oder auch einzelne in beliebiger Auswahl unterdrücken, ohne dafs dadurch die geringste Schwierigkeit herbeigeführt wird. Es sind eben in den nach 97) gebildeten Gleichungen nur diejenigen Werthe der a gleich Null zu setzen, deren Ziffern mit den Nummern der beseitigten Eckfache übereinstimmen. Damit ist die Aufgabe, eine aus Theilen einer Kuppel nach Schwedler und eines Fachwerkes nach meiner Bauart auf irgend eine Weise zusammengesetzte, willkürlich belastete Anordnung zu berechnen, ganz allgemein gelöst. Diese Lösung schliefst selbst verständlich auch die Entscheidung der besonderen Fragen ein, die an solche Anordnungen gestellt werden können. Dafs diese statisch

I)

bestimmt sind, folgt aus Gleichung 97) ohne weiteres; ob sie auch standsicher sind, hängt davon ab, ob die zu der Gruppe sämtlicher gemäfs 97) zu bildender Gleichungen gehörige FöppIsche Determinante einen von Null verschiedenen Werth hat oder nicht.

2. Fachwerk mit rechteckigen Mittelfachen.

Bei rechteckigen Mittelfachen fällen die Rippen mit den von den oberen Ecken auf die Mittelstäbe des unteren Ringes gefällten, in Abb. 16 u. 17 gestrichelt angegebenen Lothen zusammen. Man findet leicht, dafs in diesem Falle das Loth auf die Eckseite beispielsweise für den Ausschnitt 2 die Grundrifslänge e₂ — a cos s₂ hat. Da ferner ¹/₂c₂ — a₂ cos s₂ ist, so hat der in Gleichung 97) auftretende Ausdruck 2e₂ : c₂ jetzt den Werth a : a₂. Aehnlich ist 2e₃ : e₃ = a : a₃. Sonst ändert sich durch die Annahme rechteckiger Mittelfache nichts. Wir erhalten also für diesen Fall die neue Grundgleichung:

a'l fl

ai 2

100)

+ «(F*1 ~r*s)

+ 2(w₂₃-w₃₂) + ^(r3i-rSi).

Es ist zu beachten, dafs bei der jetzigen Annahme die Längen der Eckabschnitte %, a₂, a₃ usw. nicht mehr ganz beliebig gewählt werden können, sondern durch die Gröfsen der Eckwinkel bedingt sind, da nach Abb. 16 z. B.

a₂ = a tg f₂

ist. Daraus folgt, dafs die Eckabschnitte alle gleich grofs werden, wenn der Eckwinkel € für alle Ausschnitte denselben Werth hat. In diesem Falle vereinfacht sich die Grundgleichung ganz wesentlich. Die Un Veränderlichkeit des Eckwinkels kann in zweierlei Weise zu Stande kommen. Sie läfst sich z. B. bei einem länglich runden Fachwerk, wie es in Abb. 15 dargestellt ist, durch eine passende Wahl der Fachlängen al2, a₂₃, a3i usw. erreichen; und zwar müssen diese wachsen, wenn man von einem Punkte stärkster Krümmung nach den Stellen mit flacherer Krümmung hin fortschreitet. Ist das Fachwerk einem Kreise eingeschrieben, so werden alle Eckwinkel gleich, wenn die Fachlängen einander gleich sind, also wenn der obere Ring ein regelmäfsiges Vieleck im mathematischen Sinne ist. Ein derartiges Fachwerk selbst ein regelmäfsiges zu nennen, wäre aus naheliegenden Gründen nicht zweckmäfsig; wir wählen deshalb dafür den bezeichnenderen Namen Kreisfachwerk.

3. Kreisfachwerk.

Nehmen wir zunächst den Grenzfall an, dafs es sich um eine Anordnung ohne Eckfache, also eine eingeschossige Scliwedler-kuppel handle, so gilt hierfür die Gleichung 98), natürlich mit den

58

§ 10

entsprechenden Vereinfachungen. Diese bestehen erstens darin, dafs alle Stäbe des Unterringes und alle Diagonalen gleiche Länge erhalten; wir setzen demgemäfs al2 = a₂₃ — a₃₄ = . . . = au und d12 — d₂₃ — d₃₄ — ... = d. Ferner sind die e und c für alle Ecken gleich, sodafs die unterscheidenden Ziffern wegfallen können. Hiermit geht 98) über in

£>23

ae

auc\lT

Als zweiter Fall möge angenommen werden, dafs Eckfelder von durchweg gleicher Gröfse vorhanden seien. Wir setzen demgemäfs a₂ = a₃ = a₄ = . . . = ax und benutzen im übrigen die soeben eingeführten Bezeichnungen. Damit erhält die Grundgleichung 97) die neue Form:

«1    + 2 (ö, + au)D-^ + a,

102)

101)

?) +

»32

du

du

2^(Ą-P₃) +^(Vn-V,₃)

+ 2 (W₂₃ — W₃₂) -f- —Jt (V₃₂ — F₃₄).

Wir theilen mit ax und setzten nach dem Vorbilde 4er im ersten Abschnitt angewandten Bezeichnungsweise :

D\ 2

— ©12 ;

^2 3

— ©23 ;

Dsi = ©34 • •

Pi

103)

= ft ;

= »t, ;    = *₂₈ ;

CI

a ' — ®²¹ ’

W₁₂

Vl2

Fs 2

Ps

F34

vt

— *32 ; —

= *34 • •

= 3343 -.

clx

= 284,5

w₂₃

at

- 2B23?

w3i

at

= 3034 • • ■

W₂₁

= »115

W₃₂

ax

=. 2B32 ;

W₄₃

ax

= »₄₃ . . .

Damit erhält man statt 102) die einfacher geformte Gleichung: at + at

a e OT j c

+ 2    (aB₂₃-aßS2)+»₈₂-»34.

Sie gilt für jede beliebige Länge ax des Eckabschnittes mit Ausnahme von ax = 0. Wählt man ax so, dafs die Mittelfache

$₁₂ + 2

104)

Rechtecke werden, so wird (wie unter 2 gezeigt) 2e : c — a : au und damit, wenn man die Fachlänge jetzt aQ nennt, die Grundgleichung für diesen Fall

®X2 + 2

105)

+    2    (2S₂₃-^32)    +    ^32-^34.

Wir wollen dies zur Probe auf ein quadratisches Fachwerk anwenden. Da für ein solches der Eckwinkel 90° und ax — a ist, so ergiebt sich, wenn wir zur Abkürzung

106)    ^2 “ ^3 + ä>21—3^2 3 + 3S32 — ®3 4+ 2 (3®2 3 — 2Ï&3 2) = @2 3

setzen

$12 + ²-$2 3 + $3 4 “ ®2 3.

Läfst man das im ersten Abschnitt behandelte rechteckige Fachwerk ebenso in ein quadratisches übergehen, so wird b — a und b₀ = aQ. Dann stimmt die letzte Gleichung der Gruppe 56) genau mit der liier gefundenen überein, da die rechts stehende Gröfse <8>₂₃

in beiden Fällen dieselbe Bedeutung hat. Der Unterschied zwischen 106) und der zweiten Gleichung der Gruppe 60) ist nämlich offenbar nur ein solcher der Bezeichnungsweise (vgl. § 8).

Wir wollen nun noch zeigen, wie man den Bau der Grund-

!<—------%-----af—

-    —l;

■Va

-4236^2

32

3«r a

%₃)

Abb. 18. Gedächtnifsregel zur Berechnung der Diagonalspannungen.

gleichungen

veranschaulichen und ihre einzelnen Glieder dem Gedächtnifs einprägen kann. In Abb. 18 ist als Beispiel ein aus den Abschnitten 2 und 3 bestehender Theil eines Kreisfachwerkes mit rechteckigen Mittelfachen im Grundrifs dargestellt. Die an ihm wirkenden äufseren Kräfte sind soweit beigefügt, wie sie in der betreffenden Gleichung — in diesem Falle 105) — auftreten, und zwar mit den ihnen zukommenden Vorzeichen und Beiwerthen. Dazwischen stehen

(durch einen gestrichelten Kreisbogen mit einander verbunden) die drei Glieder der linken Seite von 105) in derselben Ordnung wie die drei Diagonalen, auf die sie sich beziehen. Diese einfache Gedächtnifsregel bedarf wohl keiner weiteren Erklärung.

60

§ 11. Das sechseckige Kreisfachwerk als Beispiel.

1. Allgemeine Belastung.

Das Fachwerk möge rechteckige Mittelfache haben und in ganz beliebiger Weise belastet sein. Abb. 19 stellt ein solches Fachwerk mit den daran wirkenden äufseren Kräften im Grundrifs und in der Seitenansicht dar. Die Bezeichnungen entsprechen den im § 8 erörterten Kegeln.

Die sechs Gleichungen für die Diagonalspannungen haben hiernach die Form 105). Da die Behandlung einer solchen Gleichungsgruppe natürlich an sich schon eine etwas mühsame Sache ist, so müssen wir auf thunlichste Abkürzung bedacht sein.

Wir bezeichnen deshalb den achtgliede-rigen Ausdruck auf der rechten Seite mit nur einem Buchstaben , und zwar nach dem Vor bilde der Gleichungen 60) mit Diese Wahl empfiehlt sich besonders deswegen, weil die durch 60) bestimmten @ in der That nur Sonderwerthe der hier auftretenden, allgemeineren Ausdrücke sind. Wie dort, so unterscheiden wir auch hier die einzelnen @ durch Hinzufügung zweier Ziffern, als welche sich die Zeiger der in ihnen enthaltenen beiden Werthe von $ darbieten. Es ist also

Zs

fi

fi

lÇ

i_Kii

IA

71 F

Z*

Ks

fi

X, i

6,

fi

fi

45

K-

K,

—₍»—/i

! fis

V i AA

fis

a-o    —i—,'aó

'A A'’ A'

Abb. 19. Diagonalspannungen und äufsere Kräfte am sechseckigen Kreisfachwerk.

©12= (“)² (?! - 8₂) + »1« '- *12 + *21 - *23 + 2 (»,2 - ®₂₁)

©28 = (-“)² (*2 ~ ?₃) + *21 ~ *23 + *32 ~ *34 + 2 (2B₂₈ ~ ^32)

107)

@34 = ( “ )² (SP, - 84) + *32 - *34 + *43 - *45 + 2 (®34 - *$43) @45 = (")² (*4 - *5) + *43 - *45 + *s4 ~ *56 + 2 (»4, ~ «54) @56 = (- J (*5 - ?₆) + *54 - *56 + *65 ~ *61 + 2 (*$56 - 2B„₅) ©61 = (~)² (*6 - *1) + *65 -*61 + *16 -*12 + 2 (»6 1 - «1,).

Weiter setzen wir zur Abkürzung 2 ~1~ a°

108)

= <P-

109)

Um diese Gleichungen nach den 2) aufzulösen, fügen wir die vierte zur ersten, die fünfte zur zweiten und die sechste zur dritten hinzu; ferner ziehen wir die vierte von der ersten, die fünfte von der zweiten und die sechste von der dritten ab. So ergeben sich die neuen Gleichungen

(^61 4 ^34) + ⁽f 12 4 ^45) + (£>23 + ®56)⁼⁼®12 + ®45 HO) (®12 + ^45) + V (®23 + %e) 4 (^34 4 ^Gl) ⁼ ^23 + ^56 (®23 4 ®5f0 + V (^34 4 ®6l) + (^45 + ®12) ⁼ ®34 4 ®61

und

Betrachten wir nun hierin die Summen und Unterschiede der als neue Unbekannte, so ist die Auflösung der sechs Gleichungen 109) auf die getrennte Berechnung der drei Summenwerthe aus 110) und

der drei Werthe der Unterschiede aus 111) zurückgeführt. Das vereinfacht zwar die Sache erheblich, erfordert aber immer noch sehr umfangreiche Rechnungen, wenn man nicht auf weitere Abkürzungen Bedacht nimmt. Wir schreiben deshalb die Gleichungen nochmals in einer anderen Form an, indem wir die Summen und Unterschiede der £) mit G und d> diejenigen der @ mit 2 und J bezeichnen und diesen Buchstaben zur Kennzeichnung der einzelnen Werthe je zwei Ziffern beifügen. Nach welcher Regel letzteres geschehen ist, ergiebt sich leicht durch einen Vergleich mit 110) und 111). Wir erhalten so

°36    ~f~ °25 — ^14

112)

°14 <Pa25 °36 — ^2 5

°25    <jP°3 6 + CTi4 = ^36 und ähnlich

113)

— ^36 <fdi 4 “f~ ^25 = ^14 ^14 ~h ⁽f ^25 "j“ ^36 — ^25 ^25    (fd3₆    dl4 = ^36*

<!’

Jetzt bietet die Auflösung keine Schwierigkeiten mehr. Bezeichnet man die Nennerdeterminante der ersten Gruppe mit Na, die der zweiten mit Wo, so erhält man

114)

CM

T—I

/ Na=<p³ —    —    — l)²(y + 2)

i iVrf=y³—3y — 2 = (y + l)² (y — 2).

115)

Nach den Regeln der Determinantenlehre folgt hiermit aus 112):

~25

0*14 •    = (cp — 1) [(cp + 1) 21A

<*2S •    = (cp — 1)[

Ö36 • Na=z(cp— 1)[

^14

^3ß] ^3ß]

^25 -jr (fP ~h V ^3ß]-

Ebenso ergiebt sich aus 113):

1 d₁₄.    =    (ÿ    +    l)    [(<jp —    l) ^i4

116)    | ^25 * typ ⁼ (<jP    4"    1) [     ^14"h(^    —    1)^25

(^36 •    =    (cp    -f-    1)    [    +    ^14

^25

~b ^3g]

^25 (ty — !) ^ae]*

Die vor den eckigen Klammern stehenden Gröfsen heben sich gegen die nach 114) in Na und Nj enthaltenen gleichen Werthe. Wir bezeichnen die übrig bleibenden Ausdrücke zur Abkürzung mit besonderen Buchstaben, indem wir 117) (cp—l)(cp-\-2) = Oi und (cp -[- 1) (cp — 2) = 0₂ setzen. Dann ergeben sich die G und d aus 115) und 116), indem man auf beiden Seiten mit vorstehenden Werthen theilt. Die ge-

suchten 2) findet man hierauf als die halben Summen und Unterschiede je zweier gleich bezifferter er und J wie folgt:

©12}

1/2 +

®45

± V2

©2

118)

®²³1_| 1/2 K

©5 6

i/ I ⁽L

,s U₂

®3 4

®61 i

(    ^14 — -^25 — ~3o)]

(    ^14+^25-^36)]

~ 2 5 + 0^ (— ^14 + *?25 ~~ ^3 6)J 0 (    ^14 +^25 +^36)J

(    ^14    ^2 5 "4~ ^3 6)^

0^ (-^14 + ^25 + ^3e)J-

^14

^25 -

©1

©2

©1

0/™ ~

In diese Gleichungen hat man nun für die 2 und J die aus 110) und 111) folgenden Summen und Unterschiede der @ und hierauf deren Werthe aus 107) einzusetzen. Damit sind dann die sechs Diagonalspannungen % als Functionen der äufseren Kräfte bestimmt. Das ist aber leichter gesagt als gethan; denn man geräth dabei in aufserordentlich weitläufige und schwer zu übersehende Entwicklungen, wie der Leser bei einem Versuche sehr bald bemerken wird. Wir müssen deshalb darauf verzichten, die Rechnung im eiuzelnen vorzuführen und uns mit der Wiedergabe der Ergebnisse in der folgenden, nach dem Muster von 62) angeordneten Tafel 122) begnügen. Selbst hierzu ist aber noch die Einführung einer Reihe abkürzender Bezeichnungen erforderlich, die so zu wählen sein werden, dafs sie sich leicht merken und den Gang der Rechnung möglichst klar hervortreten lassen.

Demgemäfs sollen die Bei werthe der allgemein mit p, diejenigen der $ mit v und die der SB mit w bezeichnet und diesen Buchstaben als weitere Unterscheidungsmerkmale Ziffern angefügt werden. Wir setzen

V,

7»

<;:>i

<(

(ff¹ — 2) (<f + 1)

=p 1

'Ol

Cf — 1

*(£>’[

(<V — 2) (<U“b *)

(</•---’)(</ H) I

= Pv

05.

4-

ferner

120)

V2

9.

(y + 2) (y-i)J

?+¹

1/2 Lv t ¹    ('/ r 2) (</ — 0 J

= vi

= v₂

V2

(9 + ²) <SP ~ !) _

= «'s 5

und schliefslich noch

<p +¹

<p —¹

(?>+ 2)(y-l) ' (9>-2)(y+l)

— wx

¹

) Obige Behauptung stützt sich nicht etwa nur auf theoretische Erwägungen, sondern auch auf ausgeführte Berechnungen. Es ist sogar möglich, die Diagonalspannungen eines solchen Fachwerkes mit nicht ebenen Ringen durch allgemeine Formeln auszudrücken, die sich freilich sehr umfangreich gestalten.

121)

(y + 2) (y — l) (y- 2)(y + l)

(9 + V(9- 1) ' (SP-2)(V + 1)

[= ^4.

(9 + ²) (y — x)    (9 —■²) (y + !)

Die hierin auftretende Gröfse (f ist durch 108) bestimmt, nämlich

«1

₉ = 2 ⁰¹ * a° .

Die Bedeutung von a, a₁ und a₀ ergiebt sich aus Abb. 19. Im übrigen ist zur Erläuterung der Tafel 122) nur noch zu bemerken, dafs sie die Werthe angiebt, mit denen die in der letzten Spalte aufgeführten äufseren Kräfte vervielfältigt werden müssen, wenn man die am Kopfe stehenden Diagonalspannungen berechnen will. Die fetter gedruckten Buchstaben sollen die Kegel andeuten, nach der sich die Bei werthe beim Fortschritt von einer Diagonale zur anderen verschieben.

Diejenigen Leser, die es vielleicht als eine Lücke empfinden, dafs wir die langwierige Umformung der Gleichungen 118) beiseite gelassen haben, können sich von der Richtigkeit unserer Rechnung leicht durch probeweise Einsetzung der Tafelwerthe in die Gleichungen 109) überzeugen. Es ist ganz lehrreich zu sehen, wie in der That die Beiwerthe aller auf der rechten Seite einer solchen Gleichung nicht vorhandenen äufseren Kräfte zu Null werden, wenn man mit Hülfe der Tafel 122) den auf der linken Seite stehenden Ausdruck bildet und für die p, v und w ihre Werthe aus 119) bis 121) einführt.

Wir wollen zum Schlufs nicht unterlassen, darauf hinzuweisen, dafs die Tafel 122) auch für ein Fachwerk gilt, dessen Mittelfache keine Rechtecke sind. Es ändert sich dann nur

-sy

33

122) Tafel zur Berechnung der Diagonalspannungen eines sechseckigen Kreisfachwerkes.

Die Bedeutung der Buchstaben ergiebt sich aus Abb. 19 und den Gleichungen 103), 108) und 119) bis 121).

Angreifende Kräfte:

»4

»6

(»16 - »») (»21 - »2 3) (»32 - »34)

(»43 - »45)

(»54 - »56) (»65 - »6l)

(SB» - ©21) (®₂₃-®:j2) (2§₃₄-2B₄₃)

(©45 - ©54) (©56 - ©65) (©61 - ©16)

©5 G -

©45 =

©34 —

©12 —

— P\

Ps

—P2

— Pz

Pi

Vi

V‘2

v₂

— vs

Vl

— w*

- Wy

IV₂

²cn —

—

IVy

Ps

P2

H — -d —

— P 2 ~Ps

—    P2

—    2h

— 2h

Pi

— Pi

Pi

— Pi

Pi

'd

— Pi

Pz

Pi

— Pi

P%

Hl

— Pi

Pi

— 2h

2h

Hl

—    P2

—    2h

la

v₂

V₂

Vi

Vi

zm>

—    Wy

—    W'S

Wy

Ÿ'Ql —

V₂

— Vs

la

IV ₂

- IV4

— IVz

f0l —

²m —

²a —

Vi

Vi

Vi

— Vs

V₂

- Wy

— ™S

IV y

²a —

V₂

V₂

²Ù% —

Wy

f0l -—

²cn —

fM —

Vi

— v₃

V-2

— vs

fcn — ²m> —

w₂

die Bedeutung der Gröfsen p, v und w insofern, als man in 108) au statt a₀, und in 119) an Stelle von ¹/₂ a² : a\ zii setzen liât ae:axc. Dafs dem so ist, erkennt man leicht aus einem Vergleich von 105) mit 104).

2. Einige besondere Belastungsfälle.

Es würde zu weit führen, wenn wir hier eine vollständige Untersuchung auch nur der wichtigsten Belastungställe anstellen wollten. Wir überlassen es dem Leser, sich die ihm etwa wünschenswert i scheinenden weiteren Aufklärungen selbst zu verschaffen, was ja mit Hülfe der Tafel 122) sehr leicht zu bewirken ist. Um aber die Art ihres Gebrauches doch wenigstens an einigen Beispielen zu veranschaulichen, wollen wir zwei besondere Fälle kurz behandeln.

Zuerst möge eine symmetrische, lothrechte Belastung angenommen werden. Setzt man in Abb. 19

so ergiebt sich aus Tafel 122), dafs die Beiwerthe der für die Diagonalspannungen S)₃₄ und £G1 aus je zwei entgegengesetzt gleichen Th eilen bestehen, dafs also

2)o 4 — 5)(; i = o

wird. Die übrigen vier Diagonalspannungen nehmen die folgenden Werthe an:

®12 -

(Pi —Ps) iü    —    (Pi    “hPÙ ^2    "f- (P2 -\~P$)    ^3

$23 = — (Pi + Pi) $1    +    (Pl    + Pi) ^2    — (Pl —Pi)    %

$45 = (Pi + Pi) i'l    —    (Pl    + Pi) ^2    + (Pl —Pi)

$5 0 = — (Pl —Pi) $1    +    (Pl    +Pi) ^>2    - (Pi +Pi)    %■

Wie vorauszusehen war, ist also &₁₂ = — £>5G und $>₂₃ — — Setzt man nun für die p ilire Werthe aus 119), so folgt

^1 2 ⁼    ®56

(f-\

fM)?1

^23 —    ^4 5

9—1 V+l

AM ■)*.+AM

T-1¹T+l

Dies gilt für eine Belastung, die zur wagerechten Achse des Grundrisses in Abb. 19 symmetrisch ist. Wenn auch noch in Bezug auf die lothrechte Achse Symmetrie bestehen soll, so mufs

% = i

sein, und damit ergiebt sich aus vorstehenden Gleichungen:

©1 2 —    ©23 — ©4 5 —    ©5 G —

- &).

Ersetzt man die Diagonalen £)₂3 und £)₅₆ durch ihre Gegendiagonalen, so werden alle vier Spannungen gleich; was auch einleuchtet, da das Fachwerk dann nicht nur hinsichtlich seiner Belastung, sondern auch in Bezug auf seine räumliche Anordnung zweiachsig symmetrisch ist.

Als zweiten Fall wollen wir annehmen, dafs das Fachwerkdurch die am oberen Ringe an greifenden wagerechten Kräfte auf Verdrehung beansprucht sei, wie es etwa ein treten könnte, wenn eine auf dem Fachwerk angebrachte Laterne durch einen Wirbel sturm erfafst würde. Wir setzen in Abb. 19

und

3B₁₂ = SS.2S = 2B₃₄ = 2B₄₅ = 2ß₅₀ = 2BC1 = 2B 2B₂₁ = 2B₃₂ = 2043 = 2S₅4 = 2BC5 = 2S₁₆ = 0.

Dieser Belastungszustand ist in Abbildung 20 der gröfseren Deutlichkeit wegen nochmals besonders dargestellt. Damit ergiebt sich aus Tafel 122), dafs alle Diagonalspannungen gleich grofs werden. Bezeichnet man ihren gemeinschaftlichen Werth mit £>, so wird

S> = \Wi +    - ² (t€7₃ + W₄)] SB.

Die Einsetzung der w aus 121) liefert

2 cp

Abb. 20. Verdrehende Kräfte am oberen Ring.

SB.

(<jP H- 2) (y — 1)

In allen diesen Gleichungen hat (f nach 108) den Werth (f — 2    -f- a₀) : al, während die Bedeutung

der übrigen Gröfsen aus 108) und Abb. 19 hervorgeht.

Dritter Abschnitt.

Abgeleitete Formen.

§ 12. Fach werk mit schräger Stützung. Einflufs der Stützen-neigung im allgemeinen.

Im § 1 wurde vorausgesetzt, dafs in den Eckpunkten des unteren Ringes des rechteckigen Fach Werkes Lager angebracht seien, die nur lothrechte Drücke zulassen. Wir haben diese Annahme auch im zweiten Abschnitt für das mehreckige Fach werk stillschweigend beibehalten. Das ist nicht etwa geschehen, weil das Fachwerk einer solchen Stützung nothwendig bedürfte, sondern nur, Aveil sich die Rechnung dabei etwas einfacher gestaltet als bei Annahme einer

es

§12

allgemeineren Stützungsweise, und weil es keine Schwierigkeit bietet, aus den für die lothrechte Stützung gewonnenen Ergebnissen nachträglich auch den Einflufs einer schrägen Stützung abzuleiten. Um dies nun durchzuführen, können wir uns die schrägen Lagerdrücke in ähnlicher Weise durch Gelenkstäbe ausgeübt denken, wie es im § 1 bei den lothrechten Drücken geschah und in Abb. 3 (Seite 7) veranschaulicht ist.

Geht man wieder von dem rechteckigen Fachwerk aus, so tritt an Stelle der vorerwähnten Anordnung eine solche, wie sie Abb. 21 im Grundrifs und Querschnitt zeigt. Die allgemeinste Art der Stützung ergiebt sich, wenn man annimmt, dafs die Stützen gegen alle drei Hauptachsen schräg gestellt seien : in Abb. 21 ist bei zwei Stützen eine derartige Lage durch gestrichelte Linien an-gedeutet. Zerlegt man dann aber diese Stützendrücke nach der Richtung jener drei Achsen, so zeigt sich, dafs die in die Richtung der mittleren Stäbe des Unterringes fällenden Seitenkräfte von diesen Stäben unmittelbar in die wage- a\ rechten Lager geleitet werden, also auf die übrigen Th eile des Fachwerkes keine Wirkung ausüben können. Man darf daher zur Abkürzung der Untersuchung die schrägen Stützen von vornherein rechtwinklig zu den mittleren Stäben des unteren Ringes annehmen, ohne dafs dadurch die Allgemeinheit der Ergebnisse beeinträchtigt wird. Eine solche Richtung der Stützen ist in Abb. 21 durch die ausgezogenen Linien dargestellt und soll den weiteren Betrachtungen zu Grunde gelegt werden. Bei dieser Annahme stimmt der Neigungswinkel einer jeden Stütze mit demjenigen der Ebene überein, die man durch sie und den zugehörigen mittleren Unterringstab legen kann, und die wir Stützungsebene nennen wollen.

-i-

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?«

ra-üv^r4rax

<a

■Ą-----*-

!"

rżą L

Abb. 21. Rechteckiges Fach werk mit schräger Stützung.

Vergleicht man nun die Wirkungsweise der lothrechten und der schrägen Stützung, so zeigt sich, dafs bei der ersteren die in den Lagerknotenpunkten des Fachwerkes angreifenden lothrechten Kräfte vollständig von den Lagern oder den sie vertretenden Gelenkstäben aufgenommen und ohne irgend welche Einwirkung auf das Fachwerk in den Unterbau geführt werden, während die geneigten Stützen natürlich nur die in ihre Richtung fallenden Antheile jener Kräfte aufnehmen und ohne Beeinflussung des Fach Werkes ableiten können. Zerlegt man also die in den Auflagerknotenpunkten angreifenden lothrechten Kräfte nach der Richtung der zugehörigen Stützen und nach der wagerechten Richtung, so wirken die wagerechten Seitenkräfte als äufsere Kräfte am unteren Ring des Fach Werkes. Sie treten also zu den dort schon vorhandenen wagerechten Lasten, die wir bisher mit V bezeichnet haben, hinzu (s. Abb. 4, S. 9). Hieraus folgt, dafs alle bisher abgeleiteten Formeln auch für den Fall der schrägen Stützung gültig bleiben, wenn man die Bedeutung der V in dem Sinne ändert, dafs darunter nicht mehr die unmittelbar gegebenen wagerechten Lasten, sondern die Summen aus diesen und den hinzutretenden, durch die schräge Stützung erzeugten wagerechten Schüben der lothrechten Lasten verstanden werden. Damit hierbei aber nicht Verwechslungen entstehen, bezeichnen wir diese an Stelle der Gröfsen V zu setzenden Summen fernerhin mit F'; dann kann V seine bisherige Bedeutung behalten.

Um nun die V' zu berechnen, hat man zuerst die lothrechten Lasten für die Auflagerknotenpunkte zu ermitteln. Als solche wirken selbstverständlich die Auflagerdrücke des Fachwerkes, die wir im § 1 mit Aj bis A1V und Pj bis PIV bezeichnet haben (s. Abb. 4). Aufser-dem müssen aber jetzt auch die etwaigen lothrechten Antheile der auf die Lagerpunkte einwirkenden äufseren Kräfte berücksichtigt werden, die wir füll er aufser acht lassen konnten, weil sie bei loth-rechter Stützung keine Wirkung auf das Fach werk ausübten. Wir wollen diese neu hinzukommenden Kräfte mit dem Buchstaben P bezeichnen und in derselben Weise durch die Richtungszeiger a und b und die Ziffern 1 bis 4 von einander unterscheiden wie die in den gleichen Punkten angreifenden Kräfte V. Wird nun noch angenommen, dafs die Stützung ebenso wie das Fachwerk selbst in Bezug auf die beiden Hauptachsen symmetrisch angeordnet sei, und wird die in die Richtung der a-Achse fallende Grundrifslänge der geneigten Stützen mit a\ die in die Richtung der b- Achse fallende mit b\ die Höhe der Stützen mit h‘ bezeichnet, so sind alle zur Berechnung der wagerechten Schübe F' erforderlichen Unterlagen gegeben. Am einfachsten findet man die Werthe der F', indem man sie als Gegendrücke des Fachwerkes betrachtet und als Bedingungen für das Gleichgewicht der schrägen Stützen die Summe der Momente für die

unteren Enden der letzteren gleich Null setzt. So erhält man z. B. nach Abb. 21 u. 22 für den Knotenpunkt Ia

(— Vai ~f“ Va i) h¹ -(- (Pa i -f- Ai) al = 0,

wodurch die gesuchte Gröfse V^t bestimmt ist. Die Auflösung ergiebt

a‘

rß'₁ = r0l + ~(Pal + jI).

Es empfiehlt sich, diese Gleichung noch etwas umzugestalten; denn in den Formeln, die wir früher für den Fall der lothrechten Stützung abgeleitet haben, treten nicht die Kräfte selbst auf, sondern die durch die Gleichungen 42) bis 45) eingeführten, mit deutschen Buchstaben bezeichneten Gröfsen, welche Kräfte auf die Längeneinheit bedeuten. Die Benutzung der früheren Ergebnisse wird erleichtert, wenn wir hier dieselbe Bezeichnungsweise an wen den. Dies kann ohne weiteres geschehen, da sich die Gleichung für F'x offenbar auch in der Form

f Val

val

Pa,

a h f J? a i * A j \

V h h'

(^ai + ao

h¹ a aï h h¹ a

schreiben läfst. Hierin sind nur die — übrigens nach dem Muster der $ und in 45) gebildeten — Bezeichnungen 3$^ und neu.

Verlängert man die Richtungen der schrägen Stützen nach oben, bis sie die durch die Ecken des oberen Ringes gehenden Lothe schneiden, und bezeichnet man die Höhen der so erhaltenen Schnittpunkte über dem unteren Ring (die für die beiden Hauptachsenrichtungen nicht gleich grofs zu sein brauchen) mit ha und hb wie dies in Abb. 21 für die Richtung der a-Achse ausgeführt ist, so findet man leicht, dafs

123)

= a&i = as.i +

.±.

Abb. 22.

Gleichgewicht der Kräfte an einer schrägen Stütze.

V b

, und ähnlich JjT ⁼ ^

sein mufs. Damit wird die Gleichung für ÜBJ t noch etwas einfacher

124)

Kl = %al+r OPal + äl).

In derselben Weise kann man alle übrigen berechnen. Wie dann die so gefundenen Ausdrücke weiter zu verwerthen sind, läfst sich am bequemsten an einem Beispiel zeigen,

§ 13. Berechnung der Diagonalspannungen für ein rechteckiges, symmetrisch belastetes Fachwerk auf schrägen Stützen.

Wir wählen diesen Belastungsfall, weil er für die Zwecke der Anwendung vorzugsweise in Betracht kommt und dabei einfacher zu behandeln ist, als der Fall einer allgemeineren Belastung.

Zunächst sind die SB' zu berechnen. Setzt man zur Abkürzung

125)

-— — ct und

ha

hl

= 6,

so erhalten die nach dem Muster von 123) aufzustellenden Gleichungen die Form

SSa'i = 3Sal + a + 8ti )

126)

3$a 2 — SSa2 Ct    %l)

^i = as6i + B(^i + »i)

aSö/2 = %2 + B(^2+®n).

Hierin sind die Auflagerdrücke Stl9 Stn, ÜBj und 23n nicht bekannt. Um sie zu bestimmen, mufs man die vier Gleichungen 79) aus §5 heranziehen. Da in diesen die Diagonalspannung £>₁₂ auf-tritt, die ihrerseits wieder von den SB ' abhängt, so ist auch noch die Gleichung 75) zu benutzen. Im ganzen sind also neun Gleichungen und ebensoviel Unbekannte vorhanden, mit deren Berechnung die Aufgabe gelöst ist. Als Endziel wählen wir die Ableitung einer allgemeinen, von den übrigen Unbekannten freien Formel für die Diagonalspannung.

Setzt man die SB' aus 126) an Stelle der SB in 79), so erscheinen die Auflagerdrücke 2(j bis 2tIV und SBj bis SBIV auch auf der rechten Seite dieser Gleichungen. Wir bringen überall die Grüfse, die der links stehenden gleich ist, auf die andere Seite, und fassen der Abkürzung wegen alle Glieder, die nur gegebene äufsere Kräfte enthalten, zu einem einzigen mit K bezeichneten Ausdruck zusammen. So ergiebt sich mit leicht verständlicher Unterscheidung der verschiedenen K:

(l - Vs ct)    = -    Vs ©12 - Vs Ï)    SSt    +    Kat

(i - Vs a) Stil    =    Vs ©iS - Vs b    23ii    +    Ka2

(l - Vs 6) »I    = -    Vs ©is - Va a    &    +    Kb

( 1 - Va 6) 35„    =    Va ©1 a - Va a    Stu    +    Kb 2.

Wenn man die zweite von der ersten und die vierte von der zweiten Gleichung abzieht, die Unterschiede der K kurz mit JK bezeichnet und neu ordnet, so folgt:

Va 6 <ßi — ®n) — —    2 V ^Ka

(i - Vs«)ot: - sy +

Vs « («i - Sin) + (t - Vs «) (»i - SBn) = -    + JKb.

Wir fügen die zweite Gleichung zur ersten hinzu und ziehen sie davon ab. Dadurch ergeben sich zwei neue, für die Auflösung etwas bequemere Gleichungen :

(ft - ftT) +

(1 _ a) («! - 3ln) - (1 - b) (ft - fti) = leicht:

127)

(ft - fti) = ~ 2 ft₂ +    + JKb

s/Ka — J Kfr

Hieraus findet man nach den Regeln der Determinantenlehre

[(2 — b) JKa - b JKb] [ -n JEa + (2-a)JKb\

cT—li

ft-

-a-b

Es sind nunmehr auch in der Gleichung 75) an Stelle der & die durch 126) bestimmten 23' zu setzen. So ergiebt sich eine Gleichung für ft₂, die aus zwei wesentlich verschiedenen Theilen besteht. Sie enthält nämlich erstens die unmittelbar gegebenen äufseren Kräfte ft 23 und 225; diesen Theil von ft₂ wollen wir zur Abkürzung mit ft2 bezeichnen. Ferner enthält sie aber auch die Auflagerdrücke Slj, ?ln und ft, fti, die selbst Functionen von ft₂ sind. Es wird nämlich

[acą-^-bcąfą,)].

©12 - ©12 “f"

2 (a -f- a o)

Setzt man in diese Gleichung die durch 127) bestimmten Wertlie ein, so enthält sie nur noch die Unbekannte ft₂. Mit Beseitigung der nur zur Abkürzung der Zwischenrechnungen eingeführten Gröfsen /ÉKa und JKb läfst sich die Gleichung dann auf die nachstehende Form bringen:

128) ft

a [(1 ~ 6) (ft - ft) + « (fti ” ft₂) “ * (ft x - ft ₂)]

2 (1 — B)æ + (2 — a — b) a₀

* [(*« i “ ft 2) “ (ft i ~ ft ₂) + (2 - a - b) (®a> - ®a2)].

2 (1 — b) a -f- (2 — a — b)

In dieser Formel wird der Einflufs der Stützenneigung durch die Gröfsen a = h : ha und b = h: hb zum Ausdruck gebracht, welche nach Abb. 21 das Verhältnifs der Tangenten der Neigungswinkel der Rippen und der zugehörigen Stützen darstellen. Die Gleichung 128) gilt für alle von Null verschiedenen Neigungswinkel der letzteren mit Ausnahme des Falles, dals sämtliche Stützen dieselbe Neigung haben wie die von ihnen getragenen Rippen; denn es würde dann n = b = 1 und damit im allgemeinen ft₂ = oo werden.¹) Stimmt

die Neigung der Stützen nur auf zwei von den vier Seiten des Fachwerkes mit der der Rippen überein, ist also nur ct=l oder b = 1, so behält die Gleichung 128) ihre Gültigkeit. Ist ö = 1, so ist die Diagonalspannung unabhängig von der Gröfse der in den oberen Knotenpunkten angebrachten lothrechten Lasten ^ und $ß₂. Ist a = 0, so werden die in den unteren Knotenpunkten angreifenden lothrechten Lasten und ^a2 wirkungslos; ist b =0, so tritt dasselbe für die entsprechenden Lasten ^ t und ₂ ein. Ist a = b = 0, so sind alle Stützen lothrecht, und geht Formel 128) richtig in die für diesen Fall geltende Gleichung 75) über.

Wir haben schon im Eingang des § 12 hervorgehoben, dafs nichts im Wege stehen würde, den Einflufs der Stützenneigung von vornherein bei Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte des Fachwerkes zu berücksichtigen. Wenn wir dies im ersten Abschnitt gethan hätten, so wären wir unmittelbar zu der allgemeineren Lösung gelangt, welche die Gleichung 128) (allerdings nur für symmetrische Belastung) darstellt, und hätten daraus leicht die besonderen, auf die lothrechte Stützung bezüglichen Ergebnisse ableiten können.²) Wir wollen jetzt auch dieses Verfahren durch ein Beispiel erläutern.

§ 14. Berechnung der Diagonalspannungen für ein mehreckiges, beliebig belastetes Fachwerk auf schrägen Stützen.

Es gelten auch für diesen Fall die allgemeinen Betrachtungen des § 12. Wir fänden dort, dafs bei schräger Stützung die am unteren Ring angreifenden wagerechten Kräfte V* nicht mehr unmittelbar gegeben, sondern Functionen der lothrechten Auf lagerdrücke A sind. Berechnet man die letzteren zunächst nach den Regeln für lothrechte Stützung, und setzt man dann für die V‘ ihre Functionswerthe in M, so ergeben sich ebenso viele Gleichungen, wie Gröfsen A vorhanden sind. Diese können mithin jedenfalls auf solche Art bestimmt werden. Das Verfahren ist aber schon bei dem rechteckigen Fachwerk mit symmetrischer Belastung ziemlich unbequem, wie das im § 13 vorgeführte Beispiel zeigt. Mit der Zahl der Ecken wächst auch die der aufzulösenden Gleichungen; und bei unregel-mäfsiger Anordnung und Belastung des Fachwerkes wird die Rechnung immer verwickelter. Es treten daher mit zunehmender Eckenzahl bald sehr grofse Schwierigkeiten ein, die bewirken, dais das theoretisch zwar ganz richtige Verfahren doch für die Anwendung nahezu unbrauchbar wird.

Um nun womöglich einen besseren Weg zur Lösung der Aufgabe zu finden, wollen wir an § 9 anknüpfen und uns die Frage stellen, ob sich nicht vielleicht bei der Untersuchung des Gleichgewichtes der Kräfte an einem beliebigen Fachwerk-ausschnitte die schrägen Stützendrücke ebenso von vornherein ausschalten lassen, wie es im § 9 mit den loth-rechten Auflagerdrücken geschehen ist. Da das dort benutzte Momentenverfahren hierfür nur ein Hülfsmittel, nämlich die Wahl der Drehachsen darbietet, so hängt die Entscheidung der Frage davon ab, ob es gelingt, zwei verschiedene Achsen zu finden, in Bezug auf welche sowohl die schrägen Stützendrücke, als auch die Unterringspannungen U keine Momente ausüben. Eine nähere Prüfung zeigt, dafs dies in der That unter allen Umständen möglich ist. Denn als eine solche Achse haben wir erstens die im § 9 schon benutzte, durch beide Auflagerpunkte, gehende wagerechte Gerade, die selbstverständlich bei jeder beliebigen Richtung der Stützendrücke der gestellten Bedingung entspricht. Es bleibt daher auch die im § 9 für diese Achse ermittelte Momentengleichung für den jetzt vorliegenden Fall in Gültigkeit. Zweitens läfst sich noch eine andere Gerade angeben, die stets von den vier auszuschaltenden Kräften geschnitten wird. Jeder Stützendruck bestimmt nämlich mit der zugehörigen Unterringspannung U eine Ebene, die wir im § 12 Stützungsebene genannt haben. Jede in einer solchen Ebene liegende Gerade schneidet die Richtungen dieser beiden Kräfte; folglich mufs die Gerade, in der sich zwei zu demselben Ausschnitt gehörige Stützungsebenen schneiden, ihrerseits von allen vier in diesen Ebenen liegenden Kräften geschnitten werden. Sie stellt mithin die gesuchte zweite Drehachse dar; und da eine solche Schnittgerade immer vorhanden sein mufs, wie auch die Stützendrücke gerichtet sein mögen, so ist klar, dafs das im § 9 zur Berechnung der Diagonalspannungen eines Fachwerkes mit lothrecliter Stützung benutzte Verfahren auch bei ganz beliebiger Stützenrichtung anwendbar bleibt.³)

Wir wollen die Aufgabe jedoch nicht in solcher Allgemeinheit weiter behandeln, sondern sie, um zu möglichst übersichtlichen Ergebnissen zu gelangen, durch die Annahme etwas einschränken, die zu demselben Ausschnitt gehörigen Stützungsebenen seien gleich geneigt. Das hat zur Folge, dafs sich die betreffenden Stützendrücke nicht kreuzen, sondern schneiden, und dafs ihr Schnittpunkt zusammen mit demjenigen der Unterringspannungen II die Lage der in Rede stehenden Drehachse in einfacher Weise bestimmt. Nach den Annahmen, die wir im § 7 über die gleichschenklige Eckabschrägung des Fachwerkes gemacht haben, mufs nämlich der Schnittpunkt je zweier auf denselben Ausschnitt wirkender und gleich geneigter Stützendrücke lothrecht über der Halbirungslinie des zugehörigen Eckwinkels liegen; diese Linie stellt also den Grundrifs der fraglichen Drehachse dar. Ihre Lage im Raume ist bestimmt, sobald die Höhe irgend eines Punktes über der Ebene des unteren Ringes gegeben ist.

Wir wählen dazu den Schnittpunkt der Drehachse mit dem Loth durch den oberen Eckpunkt und bezeichnen seine Höhe über jener Ebene mit h und der Ziffer des Ausschnittes, also z. B. mit h2 für den Ausschnitt 2, den wir der weiteren Entwicklung zu Grunde legen wollen. Da dieses Lotli die Ebene des Unterringes im Abstand a vom Schnitte dieser und der Stützungsebenen trifft, so ergiebt sich I12 als Product aus a und der Tangente des Neigungswinkels der letzteren Ebenen. Damit läfst sich dann auch der Neigungswinkel der Drehachse leicht berechnen, da ja der wagerechte Abstand des Fufspunktes der Höhe 7?₂ vom Punkt II der Drehachse durch die Abmessungen des Fachwerkes bestimmt ist. Bezeichnet man den fraglichen Winkel mit a und der Ecknummer, also im vorliegenden Falle mit av so ergiebt sich aus dem in Abb. 23 dargestellten Grundrifs und Schnitt

h₂

129)

taug ß₂ =

a₂ sin e₂ + e₂

Was die Art der Belastung betrifft, so behalten wir die Annahmen des § 9 sämtlich bei, indem wir uns nur an jedem Fachwerkausschnitt diejenigen Kräfte hinzugefügt denken, die nach den im § 12 dargelegten Gesichtspunkten den Einflufs der Stützenneigung zum Ausdruck bringen. Es sind das erstens die wagerechten Seitenkräfte der Stützendrücke, von denen wir auch hier annehmen, dafs sie rechtwinklig zu den mittleren Stäben des unteren Ringes wirken; und ferner die in den unteren Knotenpunkten an greifenden lotlirechten Lasten P. Diese erhalten jetzt als Zeiger die beiden Ziffern des betreffenden Knotenpunktes, genau so wie die lothrecht en Seitenkräfte A der Stützendrücke und die am unteren Ring wirkenden wagerechten Lasten V.

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun dazu übergehen, die Momentengleichung für die in Rede stehende Drehachse aufzustellen. Das nächstliegende wäre, sämtliche Kräfte nach der Richtung

dieser Achse und rechtwinklig zu ihr zu zerlegen, die Hebelarme der in die letztere Richtung fallenden Seitenkräfte zu berechnen und damit das Ge-samtmoment in der gebräuchlichen Weise zu bestimmen. Man kann aber das letztere auch aus den Momenten für zwei beliebige Achsen

setzen, die sich auf der yorgeschriebenen Drehachse schneiden und mit ihr in derselben Ebene liegen, wobei

ganz nach der gleichen Regel zu verfahren ist wie bei der Zusammensetzung von Kräften. Dem-gemäfs wird, wenn man als zwei solche Achsen das Loth im Punkt II und den Grundrifs der eigentlichen Drehachse wählt und die betreffenden Momente mit Mx und M₂ bezeichnet, das gesuchte Moment

zusammen-

bekanntlich

TO

-V-

V,

'«A

*7

■<% z

$7%

*-----^,4™

Vs

<----feĄ2

%

Abb. 23. Kräfte am Fachwerkausschnitt bei schräger Stützung.

M — Mx sin cc₂ -f- M₂ cos a₂ = 0

oder

130)

Mx

m₂

tang cc₂

= 0.

Das Moment M\ stimmt bis auf ein Glied, welches den jetzt hinzutretenden Einflufs der wagerechten Seitenkräfte der Stützendrücke darstellt, mit dem ersten in § 3 berechneten Moment überein. Da diese Seitenkräfte die Gröfse A₂₁ a : h₂ undA₂₃a:Ä₂, und die Hebelarme a₂ haben, so ergiebt sich

a a₂

131)

Mx = M‘ -

Hierin soll M' den auf der linken Seite der Gleichung 91) stehenden Ausdruck bezeichnen.

Für das Moment M₂ um die wagereclite Drehachse II — 2 (s. Abb. 23, Grundrifs) kommen die folgenden Kräfte und Hebelarme in Betracht. Die lothrechten Seitenkräfte A₂₁ und A₂₃ der Stützendrücke wirken aufwärts, die lothrechten Knotenpunktlasten P₂₁ und P₂₃ abwärts am Hebelarm a₂ cos f₂. Die Diagonalspannung D12 denken wir uns in ihrem unteren Endpunkte nach der Richtung des Unterringstabes und rechtwinklig dazu zerlegt. Die in erstere Richtung fallende Seitenkraft schneidet die Drehachse, hat also kein Moment. Die zweite Seitenkraft D₁₂cosdi2 zerlegen wir wiederum in eine wagerechte, die Drehachse gleichfalls schneidende, und in eine senkrechte Seitenkraft P₁₂ cos ₂ sin a, die rechtwinklig zur Drehachse gerichtet ist und am Hebelarm (a₁₂ + «2) cos £2 nach abwärts wirkt. Die Diagonalspannung P₂₃ ist ganz in derselben Weise an ihrem unteren Endpunkte zu zerlegen. Die allein wirksame, senkrecht nach oben gerichtete Seitenkraft P₂₃ cos d₂₃ si11 a wirkt am Hebelarm a₂cosf₂. Die Oberringspannungen 0₁₂ und 0₂l und die gleichgerichteten äufseren Kräfte W₂₁ und W₂₃ haben rechtwinklig zur Drehachse die Seitenkräfte (0₁₂ + IU₂₁) cos f2 ^ach links, und (0₂₃ -f 1U₂₃) cos s₂ nach rechts wirkend, beide am Hebelarm h. Mit cos d₁₂ sin a = h : dl2 und cos d₂₃ sin a = h : d₂₃ ergiebt sich hiernach das Moment

M₂ = \a₂ (A₂₁ — A₂ 3)

— li ( (X\ 2 ci₂ )

132)

Di 2

— % (P21 — P23) P23

—    d₂

—    h (W₂₁— W₂₃)] cos s₂. Th eilt man dies gemäfs 130) mit tanga₂, so erscheint rechts der

Beiwerth cos e₂ : tang cc₂. Nach Abb. 23 ist aber

— A (Oi2 — O23)

di ₂

COS €2 =

mit Rücksicht auf 129) ist also

COS f2 tang a₂ h₂ ’

Bezeichnet man nun den von A₂₁ und A₂₃ freien Theil des Klammerausdruckes in 132) vorübergehend kurz mit X, und setzt man den eben gefundenen Werth von M₂ : tang a₂, sowie auch denjenigen von Mx aus 131) in 130) ein, so wird

M = Ml--p (An-A.₂₂)

a₂ sin s₂ + e₂

h₂

X = 0.

Die beabsichtigte Ausschaltung der Auflagerdrücke ist hiernach in der That erreicht. Theilt man jetzt noch durch a und ersetzt man M‘ und X durch ihre Werthe aus 91) und 132), so ergiebt sich nach einigen Umformungen die Gleichung

(ai 2 4“ a%) f" a2 ^ ^12

a12    o-₂₃

133)

134) a₁2 •

Pii) + aJ (räl - FS3)]

-    (W₂₁ - W₂₃).

Dies tritt an die Stelle der ersten Gleichung der Gruppe 93) im § 9. Die zweite Gleichung dieser Gruppe bleibt, wie oben schon bemerkt wurde, auch jetzt gültig. Sie lautete

bj

/^2 ” A

+ Ol2 + °S3 — — 2P2

(W2l + w.2!t).

Mit diesen beiden Gleichungen ist nun wieder ganz so zu verfahren, wie im § 9 mit den Gleichungen 93). Wir fügen die letzte zu der vorhergehenden hinzu und erhalten

(2 al 2 + “s)    + a2 + ² °12--2 P-

h.

135)

-2ir₂₁.

Dieselbe Gleichung für den Ausschnitt 3 aufgestellt würde lauten

(2«23 + «₃) ^ + «3 ÿ₄⁴ +20î$--2 | J P₃ H- ^ h [I*- (032 - 034) + “ <F»* ~ T 34>]

-2TT₈₃.

Ä2_Ä[|j(031-0₂3) + ?(^₁-n₃)]

136)

137)

Zieht man 134) von 133) ab, so ergiebt sich

abi+a^-²⁰^ ²

^+

7^2

+ 2TT₂₃.

Fügt man dies zur vorhergehenden Gleichung hinzu, so wird schliefslich

«4;=+(a,+s«,,+•+-, ^ ;=²

⁺ A:i

) + 2 (» 23-» 32)

^3)+5(r*l-r33)]

J>3 4) + ( ' s 2 — ¹ 3 4) J •

*3    ³

Diese Gleichung tritt an die Stelle von 97), wenn die Stützen geneigt sind. Sie geht in 97) über, wenn h₂ = h₃ ... = 00

wird, d. h. wenn die Stützen lothrecht angeordnet werden. Sie läfst sich sehr vereinfachen bei gleicher Neigung aller Stützen, sowie für die im § 10 eingehend erörterten, besonderen Arten von Fach werken. Nach den dort gegebenen Beispielen wird der Leser das im Bedarfsfälle leicht selber ausführen können.

§ 15. Mehrgeschossige Fachwerke.

Wir haben bisher immer nur das eingeschossige Fachwerk in Betracht gezogen. Da bei gröfseren Bauten die Anordnung mehrerer Geschosse häufig nicht zu umgehen ist, so wollen wir jetzt untersuchen, wie ein solches zusammengesetztes Fach werk aus dem eingeschossigen entsteht und wie man es berechnet.

Die älteren Raumfach werke, so z. B. die nach Schw edler benannten Kuppeln, setzen feste Stützpunkte voraus und haben oben

-3r

-tèl-

Abb. 24. Grundrifs einer dreigeschossigen Kuppel auf achteckigem Unterbau.

und unten Ringe von gleicher Eckenzahl. Durch diese beiden Umstände wird der mehrgeschossige Aufbau sehr erleichtert, da der obere Ring eines Geschosses ohne weiteres als unterer Ring des darüber liegenden benutzt werden kann. Unser Fachwerk verlangt dagegen eine in gewissem Sinne bewegliche Stützung und weist im oberen Ring stets nur halb so viel Ecken auf wie im unteren. Es ist daher nicht möglich, zwei gleich gestaltete und nur in ihren Abmessungen verschiedene eingeschossige Fachwerke dieser Art unmittelbar zu einem zweigeschossigen zusammenzufügen. Die Aufgabe läfst sich aber in anderer Weise lösen. Wenn man nämlich ein eingeschossiges Fach werk nach dem im § 12 beschriebenen Verfahren auf schräge Stützen stellt, so bilden die letzteren zusammen schon ein zweites Geschofs, das wir Stützengeschofs nennen wollen; und benutzt man als Fufspunkte der Stützen die Eckpunkte des

-iO

oberen Ringes eines darunter liegenden weiteren Fachwerkes, so hat man noch ein drittes Geschofs usw. Natürlich müssen die beiden Ringe, zwischen denen das Stiitzeugeschofs liegt, dieselbe Zahl von Ecken haben. Ein mehrgeschossiges Fachwerk unserer Bauart setzt sich also zusammen aus eingeschossigen Fachwerken oder Fachwerkgeschossen und dazwischen geschalteten Stützengeschossen. Es endet oben natürlich immer mit einem Fachwerkgeschofs; die untere Begrenzung kann entweder ein ebensolches, auf Flächenlagern ruhendes bilden oder ein Stützen-geschofs auf festen Stützpunkten. In Abb. 24 ist als Beispiel der Grundrifs einer dreigeschossigen Kuppel (in zwei etwas von einander abweichenden Formen je zur Hälfte) dargestellt. Es ist angenommen, dafs das Untergeschofs auf 16 allseitig beweglichen Flächenlagern ruht und durch 8 wagerechte Lager festgehalten wird. (Die Stützflächen der letzteren sind in Abb. 24 durch kurze Striche angedeutet). Die Diagonalen sind als gekreuzte Zugbänder gedacht und durch schwächere Linien gekennzeichnet. In der unteren Hälfte der Abbildung sind alle Fachwerk-Mittelfache Rechtecke; in der oberen sind die Mittelfache des Obergeschosses so gestaltet, dafs jede Rippe mit ihrer Stütze in dieselbe lothrechte Ebene fällt. Die Anordnung läfst sich selbstverständlich in mannigfaltiger Weise abändern. Es ist bemerkenswerth, dafs man das Stützengeschofs als Theil einer Schwedlerkuppel auffassen kann, deren Fache abwechselnd mit und ohne Diagonalen ausgeführt sind. Diese leeren Fache sind in Abb. 24 mit dem Buchstaben F bezeichnet.⁴)

Was nun die Berechnung eines solchen Fach Werkes betrifft, so ist klar, dafs auf das Obergeschofs die früher entwickelten Regeln ohne weiteres angewendet werden können. Danach ergeben sich die Stabspannungen und die lothrechten und wagerechten Stützendrücke als Functionen der auf dieses Geschofs einwirkenden äufseren Kräfte. Die Stützendrücke werden durch die Rippen und Diagonalen des Stützengeschosses auf die Knotenpunkte des oberen Ringes des Untergeschosses übertragen und verbinden sich mit den dort angreifenden äufseren Kräften. Da hiernach die Belastung des Untergeschosses bekannt ist, so läfst sich jetzt auch dieses nach den früher gegebenen Regeln berechnen. Man hat also nur von oben nach unten fortschreitend immer wieder ein und dasselbe Verfahren an-zu wenden.

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In manchen Fällen empfiehlt es sich, das Stützengeschofs nicht auf ein Facliwerkgeschofs zu stellen, sondern es innerhalb eines solchen anzuordnen, wie dies das Beispiel in Abb. 25 zeigt. Hier sind die acht Stützen des oberen Geschosses in die Mittelfache des unteren eingeschaltet. Der untere Ring des ersteren liegt in derselben Ebene, wie der obere des letzteren, und die Stäbe beider Ringe fallen zum Theil zusammen. Die wagerechten Auflager drücke

des oberen Geschosses gehen daher unmittelbar in das untere über. Die lothrechten Auflagerdrücke werden durch die Stützen gleich auf den unteren Ring des unteren Geschosses übertragen. Will man die Ringstäbe nicht auf Biegung beanspruchen und die Stützen auch nicht unmittelbar auf das Mauerwerk lagern (was in manchen Fällen wohl zulässig sein würde), so kann man in die durch die Rippen und die Stützen gebildeten Theilfache Diagonalen einzigen, wie in Abb. 25 für eine Seite des Fachwerkes durch gestrichelte Linien angedeutet ist. Diese Diagonalen können dann zugleich die Hauptdiagonalen des Faches ersetzen. Die Anordnung besitzt gegenüber der in Abb. 24 dargestellten manche Vorzüge. Sie ermöglicht nämlich erstens den Aufbau eines mehrgeschossigen Fachwerkes aus Einzelfachwerken von gleicher Art, wodurch die Berechnung vereinfacht und die Ausführung von Bauwerken mit vorgeschriebener Grundrifsform erleichtert wird. Sie bietet ferner in den die Mittel-fache des Untergeschosses theilenden Stützen ein oft willkommenes Mittel zur Verminderung der Fettenstütz weite.⁹) Sie empfiehlt sich

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A_V._

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Abb. 25. Zweigeschossige Kuppel auf rechteckigem Unterbau (v. Reichstagshaus in Berlin).

⁹) Will man auf diesen Vortheil verzichten, so kann man die

besonders für viereckigen Grundrifs und ist deswegen beim Bau der Kuppel des Reichstagshauses in Berlin angewendet worden.

Nach den Regeln für die Ausbildung der Geschosse sind auch die Aufbauten zu behandeln, die man Laternen oder Dachreiter zu nennen pflegt. Da der obere Ring feste Stützpunkte darbietet,

Abb. 26. Eingeschossige viereckige Laterne.

Abb. 27. Dreigeschossige Laterne mit achteckigem Unter- und viereckigem Obergeschofs.

so kann das Laternengeschofs als „Schwedlerkuppel mit lothrechten Rippen“ ausgebildet und berechnet werden. Abb. 26 zeigt hierfür ein einfaches Beispiel. Wenn der den Abschlufs bildende Helm vier

Stützen auch schräg von den oberen zu den unteren Lagerpunkten führen. Sie bilden dann mit den Mittelstäben des oberen und unteren Ringes ein Sprengwerk, für das besondere Diagonalen nicht erforderlich sind, weil schon die Diagonalen des Untergeschosses gegenseitige Verschiebungen der beiden Ringe verhindern. Bei der Reichstagskuppel ist noch ein etwas anderer Weg ein geschlagen. Dort wurden die Stützen (gewissermafsen als Nebenrippen) bis zum unteren Ring so herabgeführt, wie es Abb. 25 zeigt. Von ihren Kreuzungspunkten mit der vorletzten Fette wurden dann Streben nach den Lagerpunkten des Untergeschosses geführt, die mit dem zwischen den Stützen liegenden, als Querriegel dienenden Theil der Fette und dem Mittelstabe des unteren Ringes gleichfalls ein den letzteren entlastendes Sprengwerk bilden.

Sparren hat, so ist er bekanntlich einfach statisch unbestimmt. Läfst man die (als Zugbänder gedachten) Diagonalen in einem Fach des Laternengeschosses weg, so wird die Anordnung statisch bestimmt. In Abb. 27 ist eine Laterne dargestellt, die sich aus einem achteckigen Stützengeschofs mit den leeren Fachen F⁷, einem viereckigen Fach-werkgeschofs und einem offenen Obergeschofs zusammensetzt. Die Brustwehr ist wieder als Fach werk mit lothrechten Rippen auf festen Stützpunkten gedacht. Die Rippen sind nach oben verlängert, sodafs sie als eingespannte Stiele wirken, und durch den viereckigen Fufs-ring des Helmes mit einander verbunden. Die hierbei auftretende mehrfache statische Unbestimmtheit kann wegen der geringen Bedeutung, die das Geschofs für den ganzen Bau hat, aufser acht bleiben ; die Beanspruchungen der einzelnen Th eile und die Einwirkung auf das darunter liegende Geschofs sind dann leicht näherungsweise zu berechnen. Es lassen sich noch mancherlei andere Formen für derartige Laternen angeben, das würde uns aber etwas abseits von unserer eigentlichen Aufgabe führen; wir begnügen uns deshalb mit den vorstehenden Beispielen.

§ 16. Gratfachwerk.

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Abb. 28. Gratfachwerk zur Kuppel Abb. 25.

•yy-

00

Das in Abb. 25 dargestellte Fachwerk überdeckt den Unterbau insofern nicht vollständig, als es nach unten mit einem Achteck endet. Um die hierdurch an den vier Ecken des Unterbaues entstehenden Lücken zu schliefsen und der Dachfläche die gebräuchliche Form eines Klostergewölhes geben zu können, sind die Ecken der oberen Ringe beider Geschosse mit den Ecken des Unterbaues durch besondere Gratsparren zu verbinden. ln Abb. 25 sind diese mit gestrichelten Linien in den Grundrifs eingetragen. Die unteren Enden der Sparren werden zweckmäfsig durch Fufsfetten mit den nächsten Auflagerknotenpunkten verbunden. Eine unzulässige Einwirkung auf das Fachwerk ist durch verschiebliche Anschlüsse zu vermeiden. Bei gröfseren Kuppeln werden aber die Gratsparren (besonders im Untergeschofs) so lang, dafs es sich empfiehlt, sie nicht nur an den Enden, sondern auch in einigen Zwischenpunkten zu stützen. Denkt man sich diese Punkte gelenkig, so entsteht bei Anbringung von je zwei Stützen ein räumliches Fachwerk, das wir Gratfachwerk nennen wollen. In Abb. 28 ist ein solches für die

G*

''JOn

Ci-

linke untere Ecke der Abb. 25 dargestellt, wobei die angrenzenden, zum Hauptfachwerk gehörigen Stäbe mit gestrichelten Linien angegeben sind. Das Gratfachwerk hat zwei Knotenpunkte, von denen aus je zwei Stützen nach den Fufsfetten des Hauptfach Werkes gehen. Die beiden Knotenpunkte sind durch einen Gratstab mit einander verbunden; ein zweiter Gratstab geht von dem oberen Knotenpunkt des Gratfachwerkes zum oberen Eckpunkt des Untergeschosses des Hauptfachwerkes. Die Spannungen, die in den Gratstäben und Stützen durch die an den Knotenpunkten angreifenden Kräfte erzeugt werden, lassen sich leicht berechnen, wenn man bei dem unteren Knotenpunkt anfängt. Da nämlich in diesem Punkte nur drei Stäbe Zusammentreffen, so ergeben sich deren Spannungen durch einfache Zerlegung der Knotenpunktlast nach ihren drei Richtungen. Die Spannung des Gratstabes wirkt nun auf den nächst höheren Knotenpunkt zusammen mit der dort vorhandenen Last als bekannte äufsere Kraft, sodafs die Spannung der beiden zugehörigen Stützen und des folgenden Stabes wieder durch blofse Zerlegung nach den drei Richtungen ermittelt werden kann. Die Spannung des obersten Gratstabes tritt schliefslich am oberen Eckpunkt des Untergeschosses des Hauptfachwerkes zu den sonstigen, dort angreifenden äuiseren Kräften hinzu.

Die Zerlegung einer Kraft im Raume nach drei gegebenen Richtungen ist zwar eine bekannte, theoretisch sehr einfache Sache, wirkliche

Cr

Ga

/\

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Die

Durchführung geht aber doch j nicht ganz so leicht von statten , wie man wohl könnte.

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glauben Das zeichnerische

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X....... 4________x______

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Abb. 29. Kräfte am Gratfachwerk.

Verfahren insbesondere hat sich bei der Bearbeitung des Gratfach Werkes der Reichstagskuppel als recht unbequem und wenig genau erwiesen. Es verdient daher m. E. die rechnerische Ermittlung den Vorzug. Um dem Leser die Mühe der Ableitung zu ersparen, geben wir nachstehend die zu einer solchen Berechnung nöthigen Formeln.

Für die in Abb. 29 links im Grnndrifs und Aufrifs dargestellte Lage der drei Stäbe ist zu setzen:

139) 4 = [a2 (pl 4" ßb) 4“ A₂ (ßl 4“ ea)\ Al + [% bx — Ca^h] A₂*

Alle in dieser Gleichung auftretenden Gröfsen sind Längen, die aus Abb. 29 entnommen werden können. Unter g, ga und gh sollen dagegen nicht die in der Zeichnung erscheinenden, sondern die wirklichen Längen der drei Stäbe verstanden werden, um deren Spannungen G, Ga und Gb es sich handelt. Zerlegt man die gegebene äufsere Kraft zunächst nach den drei rechtwinkligen Achsen a, b und h (§ 1) in die Seitenkräfte X, Y und Z, so wird

140)

— — ~~7 [ (Ai 4” eb) ^ X 4“ (ai 4" °a) Ai F 4- («i Ai — eaeb)Z] 9    *

—    [(A1A2 — A₂Ai) X + (eah₂ 4” %Ai) F(fl₂Ai 4“ e«A₂)^]

Ga

— —7 [(0&A2 4" Mi)    4~ (®iA₂ — ß₂Ai) F 4" (^1A₂ 4“ fyß₂)^]*

9h J

In der Regel werden die Gratstäbe und Stützen so angeordnet sein, wie auf der rechten Seite der Abb. 29 dargestellt. Dann ist ea — eb — 0, und die Formel 139) wird etwas einfacher:

/I — — £$2^1 4- Ml] Ai 4- ci\ bxli₂.

Ebenso vereinfachen sich auch die Gleichungen 140) wie folgt:

axhx Yaib₁Z]

141)

142)

(2 __i_

9 ~

₌.L[(blhi~b₂hl)X+

Mi X +

9a

Mi Y+a^biZ]

<*b

Mi X4-(aiA₂ — Mi)

¹9b J

Zur weiteren Rechnung braucht man auch die Seitenkräfte von G, Ga und Gb nach den drei Hauptachsen. Diese sind — vom Vorzeichen abgesehen, das am besten im einzelnen Falle ermittelt wird — in der Richtung der

a-Achse b -Achse A-Achse

far G :

a₂-

yi Ga •    ^1

n Gi- ea

9b 9b

Ga

e6

Ga

9b

Bei Einsetzung der entsp rech enden Längenmafse gelten alle diese Gleichungen für jeden beliebigen Knotenpunkt des Gratfachwerkes. Zum Schlufs ist noch zu bemerken, dafs positive Werthe von G, Ga und Gb Zugspannungen bedeuten.

§ 17. Eingeschränkte Fach werke im allgemeinen.

Im zweiten Abschnitt sind wir vom viereckigen zum vieleckigen Fachwerk aufgestiegen. Umgekehrt läfst sich die Eckenzahl natürlich auch vermindern; es leuchtet aber ein, dafs man nicht unter drei Ecken herabgehen kanu, ohne die Grundlagen zu verlassen, auf denen sich unsere bisherigen Annahmen und Schlufsfolgerungen aufgebaut haben. Um zu erkennen, was eintritt, wenn der obere Ring zu einer Linie oder einem Punkt zusammenschrumpft, mufs man daher be-

h\

ct a-h—y

i/

2,

-t-a

v-

Abb. 30. Uebergang zum Firstfachwerk auf sechs Stützpunkten.

Abb. 31. Uebergang zum Firstfachwerk auf acht Stützpunkten.

sondere Untersuchungen anstellen. Bevor wir hierzu schreiten, möge der Uebergang vom vollständigen zum eingeschränkten Fachwerk an einigen Beispielen im allgemeinen erläutert werden.

Denkt man sich das in Abb. 2 (Seite 6) dargestellte rechteckige Fachwerk in der Weise verändert, dafs die Längen zweier gegenüberliegender Stäbe des oberen Ringes und ebenso die der zugehörigen Diagonalen und Mittelseiten des unteren Ringes stetig und gleichmäfsig abnehmen, so gelangt man zu eiuer Anordnung, wie sie Abb. 30 für den Fall darstellt, dafs die Verkürzung in der Richtung der b-Achse vorgenommen wird. Dabei behalten offenbar alle im ersten Abschnitt entwickelten Regeln ihre Gültigkeit; es können also z. B. die Diagonalspannungen eines solchen langgestreckten Fachwerkes ohne weiteres mit Hülfe der Tafel 62) berechnet werden. Zu einer ähnlichen Anordnung etwas allgemeinerer Art gelangt man, wenn die Mittelfache nicht Rechtecke, sondern Parallelvierecke sind, wie Abb. 31 zeigt. Die Diagonalspannungen sind für diesen Fall nach Gleichung 97) zu berechnen. Setzt man die Verkürzung weiter fort, bis bQ — 0 wird,

so entstehen die in Abb. 32 u. 33 dargestellten Anordnungen, für die sich der Name zweieckiges oder Firstfachwerk empfehlen dürfte.⁵) Der äufseren Form nach können diese Fach werke als Verbindungen des Satteldaches mit Theilen eines Zeltdaches auf-gefafst werden. Durch Hinzufügung von Gratsparren oder Gratfachwerken nach § 16 läfst sich der Dachfläche leicht die Gestalt eines Walmdaches geben. Bei Abb. 33 kann dies auch dadurch erreicht werden, dafs man nach § 10, 1 den Eckabschnitten des unteren Ringes die Gröfse Null giebt. Die Zahl der Stützpunkte vermindert sich hierbei auf vier. Die Mittelfache können bei gröfserer Länge durch

cc

i~a

a.±—

-------<*-d-j-

Stützpunkten.

Abb. 32. Firstfachwerk auf sechs Abb. 33. Firstfachwerk auf acht Stützpunkten.

i—a

a.

r JM

OM-

Stützpunkten.

Abb. 34. Helmfachwerk auf vier Abb. 35. Helmfachwerk auf acht Stützpunkten.

Einfügung von Zwischenrippen getheilt werden, deren Schub durch Zugbänder oder Streben abzufangen und in die Auflager überzuführen ist (wie wir bei Besprechung der Abb. 25 im § 15 näher dargelegt haben). So ausgestaltet wird das Firstfachwerk zur Ueber-deckung langgestreckter und hoher, in das Dachgeschofs reichender Räume (Festsäle u. dgl.) in manchen Fällen mit Vortheil zu verwenden sein. Auch als Brückenpfeiler würde es sich benutzen lassen.

Die Einschränkung kann nun weiter getrieben werden, indem man das Firstfach werk in der Richtung der a -Achse verkürzt, bis a₀ = 0 geworden ist; man gelangt so zu den in Abb. 34 u. 35 veranschaulichten, allgemein bekannten Formen, die im vorliegenden Zusammenhänge als eineckige Fach werke zu bezeichnen sein würden, aber ihrer Yerwendungsweise entsprechend besser Zeltoder Helm fachwerke genannt werden.

Es fragt sich jetzt, ob und unter welchen Bedingungen etwa die für die allgemeineren Anordnungen geltenden Gesetze auch auf die eingeschränkten Fachwerke angewendet werden dürfen. Eine unmittelbare Uebertragung wäre natürlich nur zulässig, wenn bei dem Grenzübergang von kleinen Werthen von b₀ und aQ zu Null keine Unstetigkeit einträte. Eine solche liegt aber zweifellos vor, wenn das Fach werk durch die mit der Einschränkung verknüpfte Aende-rung der Stab- und Knotenpunktzahl statisch unbestimmt wird. Durch Auszählung ergiebt sich leicht, dafs dies bei den in Abb. 32 bis 35 dargestellten Fach werken in der That der Fall ist. Wir haben nämlich

Unbekannte

Lagerdrücke senkr. : wagerecht :

für

Gleichgewichtsbedingungen:

8    X 3 + 2 = 26 10 X 3 + 4 = 34

5X3

9    X 3 + 4 = 31

Es ist also bei allen vier Fachwerken je eine überzählige Unbekannte vorhanden. Eine erschöpfende Untersuchung nach den bekannten Regeln für statisch unbestimmte Gebilde würde zwar keine besonderen Schwierigkeiten bieten, aber doch aus dem Rahmen des vorliegenden Schriftchens fallen. Wir wollen statt dessen die Frage in Betracht ziehen, ob man nicht die statische Bestimmtheit wieder hersteilen kann, ohne die Brauchbarkeit der Fach werke zu beeinträchtigen. Eine nähere Prüfung ergiebt, dafs dies beim Firstfacli-werk am einfachsten durch Beseitigung eines passend gewählten Stabes, z. B. einer Diagonale zu erreichen ist; oder auch, indem man die beiden Diagonalen als Zugbänder ausbildet, da dann immer nur eine von ihnen in Wirksamkeit tritt. Ferner läfst sich aber zeigen, dafs dieses Fachwerk bei den in der Wirklichkeit vorkommenden Belastungen selbst dann wie eine statisch bestimmte Anordnung berechnet werden kann, wenn man die Diagonalen drucktest macht oder vier Zugdiagonalen anbringt. Die statische Unbestimmtheit wird nämlich, soweit die Wirkung der äufseren Kräfte in Betracht kommt, dadurch behoben, dafs sich die Spannungen der Diagonalen für beide Mittelfache gleich grofs ergeben. Sie bleibt (jagegen bestehen hinsichtlich des Einflusses unrichtiger Ablängung

Abb.

32

33

34

35

= 15

CD 00'^ 00

oder ungleicher Erwärmung einzelner Stäbe; die hierdurch erzeugten zusätzlichen Spannungen sind natürlich nur mit Berücksichtigung der Formänderungen zu ermitteln. Das Helmfachwerk kann durch Verminderung der Zahl der wagerechten Lager von vier auf drei statisch bestimmt gemacht werden. Im übrigen sind seine Eigenschaften so bekannt, dafs wir uns damit nicht weiter zu beschäftigen brauchen.¹¹)

§ 18. Das Firstfachwerk auf sechs Stützpunkten als Beispiel.

Nach den Ausführungen im § 17 könnten wir jetzt die Stabspannungen und Auflagerkräfte des Firstfachwerkes aus den für das

24

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Abb. 36. Kräfte am Firstfach werk.

vollständige Fachwerk geltenden Gleichungen ableiten. Einfacher und übersichtlicher ist es aber, die gesuchten Gröfsen unmittelbar durch die Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte zu bestimmen. Um abzukürzen, verfahren wir dabei wie im § 3; wir benutzen also nicht die Winkel gröfsen, sondern gleich deren nach 41) durch die Längen ausgedrückte Werthe, sowie die Bezeichnungen nach 42) bis 45). Der Belastungszustand sei so, wie in Abb. 36 an-

n) vgl. Hacker: Ueber Fachwerk im Raume; Zeitschrift für Bauwesen 1888, Seite 50. Ferner Müller-Breslau: Beitrag zur Theorie des räumlichen Fach Werkes; Centralblatt der Bauverwaltung 1892, Seite 257.

gegeben. Statt der Diagonale D₃₄ denken wir uns deren Gegendiagonale Z>₄₃ angebracht. Das Fach werk ist dann symmetrisch in Bezug auf die «-Achse. Die unteren Knotenpunkte mögen (wie im ersten Abschnitte) mit den Buchstaben der in ihnen angreifenden Auflager drücke bezeichnet werden. Dann gestaltet sich die Rechnung wie folgt.

1. Gleichgewichtsbedingungen für die beiden oberen Knotenpunkte (s. Abb. 36).

Punkt 1:

143) St₁ + 33₁ + 334 33:-33₄

144)

145)    21:

-£>

Punkt 2:

147)

148) a₂

= -?i

28« 1-

= -&

= 2Bi2

=f 28« 2-

2. Gleichgewicbtsbedingungen für die Knotenpunkte des unteren Ringes (s. Abb. 36).

Punkt At:

149)    -21

150)    21: + 6, + 6*

-61+64

+ % = 0 = — SS

151)

0.

Punkt Au:

¹

) Mit a = b — 1 wird nämlich der Nenner des Bruches, der nach 128) den Werth von ft ₂ angiebt, Null. Nur wenn der Belastungszustand zufällig ein solcher ist, dafs gleichzeitig auch der Zähler dieses Bruches verschwindet, wird ft₂ nicht = oo, sondern = 0:0. Das Fachwerk befindet sich dann in einem unsicheren (1 abilen) Gleichgewichtszustand,

²

) In dem Erläuterungsberichte zum Entwurf der Kuppel für das Reich stagshaus in Berlin habe ich thatsächlich diesen Weg eingeschlagen. Da ich das Obergeschofs der Kuppel als Fachwerk auf geneigten Stützen auszuführen beabsichtigte, so mufste ich die Formeln für eine solche Anordnung ohnehin entwickeln. Damit ergab sich ganz von selbst auch die Lösung für das lothrecht gestützte Untergeschofs.

³

) Dies gilt offenbar auch für den Fall, dafs die Unterringspannungen U sich nicht schneiden, sondern kreuzen; also für ein Fachwerk mit windschiefem unteren Ring.

⁴

) Eine solche Anordnung ist offenbar nur möglich, wenn das betreffende Stützengeschofs eine gerade Anzahl von Fachen hat; diese Bedingung ist aber auch stets erfüllt, weil der hierfür mafs-gebende untere" Ring eines Fachwerkes meiner Bauart immer eine gerade Zahl von Seiten besitzt.

⁵

) Die erstere Bezeichnung knüpft an die auf Seite 3 eingeführte und bisher festgehaltene Art der Zählung der Ecken an. Es ist nicht zu verkennen, dafs diese sich für Fachwerke mit linien- oder punktförmigem Oberring weniger eignet, da man hier die Eckenzahl lieber nach der Form des unteren Ringes benennen wird.

+ 3tn =    0

= -»«2 + 2₂3 —    0*

152)    t₂

154)

153)    2I₂ + 6₂+6₃

-62+63

Punkt BT:

155)    23

156)    23x+6

157)

a₀

QG} Q

12

12

+ 23i -    0

= -%b

+ xtj 2    :    0.

Punkt Bu:

158)    25₃

159)    23₂+ 60

+ ©11 —    0

= ~%2

160)

-6

-\-U2i -

0.

§ 18

91

Punkt jBm:

161)    S₃

162)    $3

163)

4" 63

-63

4“ 35ni —    0

= -$bS

4- U34 —

0.

Punkt -BIV:

164)    23₄

165)    23₄

166)

+ 64

-64

+    2)43+⁰

= — 34,4

4"    ®43

+ V®43+«43 -d

0.

3. Gleichgewichtsbedingungen für die wagerecliten Stützpunkte in der Mitte der Unterringstäbe U (s. Abb. 36).

GO

16 )    U₁₂ - U₂₁ — £₁₂ = o

16 )    U34 — U43 — $34 = 0.

Um nun hieraus die Diagonalspannungen zu berechnen, fügen wir 146) zu 153), ziehen 159) und 162) davon ab und lösen nach 212 auf. So ergiebt sich zunächst

169) SI2 — — V2 (©12 4" ®43 + ^2 +    — 35^2 — SSö3).

(®i 2 4" 2)43) 4~ 2 D = — 3^2 — 33a2 4“ 33^6 2 —|— SS* 3 — 2₂-

170)

Mit diesem Werthe von 2I₃ folgt dann aus 148) : d —|- 2 A-o

Ferner verdoppeln wir 145), fügen 156) und 165) hinzu, und ziehen 143) und 150) davon ab. Das Ergebnifs ist

171) ®₁₂ + ©43 — 2£>=    $l4-»al — »*l-»64 4-2»«!.

Fügt man nun 171) zu 170), so erhält man für die Summe der Diagonalspannungen den Werth

172) ©12 + ®43 =

2 (a 4- a₀)

[OPi - $2) + (35», - 35.2) -    ! + 35m)

+ (»62 + »68) + 2(»«i-S8«a)].

Hiermit ergiebt sich aus 171) die Spannung 0 des Firststabes d 4~ ^ ^0

173) £) = —

4 (a 4" «0)

[% 4- »«1 - (»61 + $64) 4- 2 2B«,1

p$2 4“    2 —    2 4“ »6 3) 4” ^    2 I*

4 (a 4- a₀)

Während wir also für die Diagonalen infolge der statischen Unbestimmtheit des Fachwerkes nur die Summe der Spannungen mittels

der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen finden konnten, läfst sich 0 ohne weiteres daraus berechnen. Um nun auch für die einzelnen Diagonalspannungen bestimmte Werthe zu erhalten, kann man (wie schon im § 17 ausgeführt wurde) die eine Diagonale weglassen; dann ergiebt sich die Spannung der anderen gleich der rechten Seite von 172). Oder man kann die beiden Spannungen gleich annehmen; dann wird eine jede von ihnen halb so grofs. Die letztere Annahme entspricht der Wirklichkeit, wenn die Belastung des Fachwerkes entweder symmetrisch zur et-Achse, oder doch so beschaffen ist, dafs man sie in zwei Theile zerlegen kann, von denen der eine zur a- Achse, der andere zur b-Achse symmetrisch ist.¹) Die thatsächlich vorkommenden Belastungen erfüllen diese Bedingung in der Regel wenigstens näherungsweise. Im vorliegenden Falle sind die wagerechten Kräfte ÜB die einzigen, die eine Unsymmetrie herbeiführen könnten, da alle übrigen in der «-Symmetrieebene liegen. Wenn also (s. Abb. 36)

£$4 = % und æ₃ = 3S2 ist, so werden die Diagonalspannungen 175) S)₁₂ = &₄₃ =

174)

2 (a -f- a₀)

[(& - %) + (35.1 -    2) - 2 (*6l - *6 2) + 2 (SB„i - SBoa)].

Entspringen die Kräfte SS nur aus dem Winddruck, so sind sie für die eine Seite des Fachwerkes Null, für die andere gleich grofs. Sie verschwinden dann ganz aus den Gleichungen für die £) und 0. Nachdem diese beiden Spannungen so bestimmt sind, ergeben sich alle übrigen Stabspannungen und die Aufiagerkräfte leicht aus den Gleichungen 143) bis 168).

Bei Betrachtung von 172) und 173) wird dem Leser aufgefallen sein, dafs die Gröfsen SS₆₁ und S$6 2 in diesen Gleichungen nicht Vorkommen. Eine nähere Prüfung läfst erkennen, dafs die in den oberen Knotenpunkten wirkenden, quer zur Firstlinie gerichteten Kräfte in der That keinen Einflufs auf die Diagonalen und den Firststab ausüben können, und dafs auch die Stabspannungen 2t₄, und die Auflagerdrücke 2Ij, 2Cn davon unabhängig sind. Es erklärt sich das daraus, dafs 2$6i schon durch die Stabspannungen ÜBI? ÜB₄, (£j, (£₄, lt4 2, ll₄₃, die lothrechten Auflagerdrücke 23j, ÜBIV und die wagerechten Auflagerdrücke £₁₂, £34, &₄i im Gleichgewicht gehalten wird; ähnliches gilt für 2B₆₂. bbe Gröfse der durch und 3B₆₂ er" zeugten Stab- und Lagerkräfte ergiebt sich aus den Gleichungen 143)

"CO

CO

bis 168) am einfachsten, wenn man alle übrigen äufseren Kräfte, sowie die von und unabhängigen Spannungen Stj, 2l₂, $)₁₂, £>₄₃, £) gleich Null annimmt.

Hiermit ist das statische Verhalten des Fach Werkes und der Gang der Rechnung vollständig klargestellt. Die Anwendung auf einzelne Belastungsfälle ist so einfach, dafs es der Vorführung von Beispielen wohl nicht bedarf. Es wird dem Leser keine Schwierigkeiten machen, auch das nach Abb. 3.3 angeordnete Firstfach werk in ähnlicher Weise zu berechnen.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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) Der zweite Theil erzeugt nämlich überhaupt keine Diagonal-spannungen.