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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁOWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskie)

Die

Lage der neutralen Schichte

bei gebogenen Körpern und die

Druckvertheilung im Mauerwerke

bei excentrischer Belastung von

Ludwig 3Debo,

Geheimer Regierungsrath, Baurath und Professor a. D.

Sb

öffentlichen Arbeiten je

Hannover 1897.

Schmorl & von Seefeld Nachf. (C. & G. Knothe).

biblioteka нгошеш

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= 1:2,8

Ab b. 18.

1U5

Druck von Gebrüder Jänecke, Hannover.

Akc. Nr. ______AM3j 43

Vorwort.

Vor einiger Zeit hatte ich Veranlassung mich mit der Druckvertheilung im Mauerwerke, insbesondere mit der Ermittelung des Kantendruckes bei excentrischer Belastung zu befassen, welche in neuerer Zeit nach der Lehre der Biegungselasticität ausgeführt wird. Bei dem erneueten Studium dieser Lehre gelangte ich zu der Ueberzeugung, dass die als allgemein gültig angenommene Lage der neutralen Achse durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche nicht zutreffend sein könne für solche Körper, deren Zug- und Druckfestigkeit verschieden gross sind, dass vielmehr dabei die neutrale Achse sich derart verschiebe, dass die Momente der Zug- und Druckspannungen gleiche Grösse haben.

Da sich in den Lehr- und Handbüchern darüber nichts findet, so beschloss ich meine Ermittelungen bearbeiten und zu weiterer Prüfung veröffentlichen zu wollen. Nachdem ich diese Bearbeitung beschafft hatte, und mit der Ausarbeitung der Druckvertheilung im Mauerwerke beschäftigt war, erschien im Mai v. J. das 24. Heft der Mittheilungen aus dem Mechanisch-Technischen Laboratorium der Kgl. Technischen Hochschule München mit dem Berichte des Herrn Föppl über die daselbst ausgeführten Versuche über die Biegungselastizität der Steinbalken. Daraus habe ich ersehen, dass bereits früher schon Na vier die Verschiebung der neutralen Achse erwähnt, und dass de Saint-Vénant, der Herausgeber der 3. Auflage der Navier,

sehen Vorlesungen (1864), diese Theorie näher ausgeführt hat, sowie ferner, dass von Herrn Melan (Wochenschrift d. österr. Ing.- u. Arch.-Vereins, Jahrgang 1890 S. 223) die fragliche Theorie auf Betonbalken, und von Herrn Hartig (Givilingenieur, Bd. 38, 1892 S. 80) auf Steinbalken angewendet ist. Auch habe ich später noch gefunden, dass in dem Werke: „Der Portland-Cement, bearbeitet im Aufträge des Vereins deutscher Portland-Gement-Fabrikanten; Berlin, 1892“ S. 94 diese Theorie auf Betonbalken angewendet ist.

Wenngleich sonach die fragliche Theorie nicht neu ist, so will ich meine Bearbeitung derselben doch veröffentlichen, um zur weiteren Prüfung der fraglichen Theorie anzuregen, und da ich darin zu einigen Ergebnissen bezw. Ansichten gelangt bin, welche in den genannten Schriften nicht enthalten sind oder davon abweichen.

Die vorerwähnten umfangreichen, hochwichtigen Versuchsresultate des Herrn Föppl haben mich veranlasst, meiner Bearbeitung nachträglich noch eine Anzahl von Bemerkungen zuzufügen.

In dem nachfolgenden zweiten Abschnitte, betreffend die Druckvertheilung im Mauerwerke, insbesondere die Ermittelung des Kantendruckes bei excentrischer Belastung, habe ich nachgewiesen, dass die in neuerer Zeit angewendete Berechnungsweise dieses Kantendruckes kein richtiges Resultat ergiebt, und daher entsprechend abgeändert werden muss. Ich erlaube mir diesen Gegenstand zur weiteren Prüfung angelegentlichst zu empfehlen, da derselbe für das Bauwesen unverkennbar von grösster Bedeutung ist.

Inhalts-Verzeichntes.

Erster Abschnitt.

Die Lage der neutralen Schichte bei gebogenen Körpern.

Seite

§    1. Falls die Zug- und die Druckfestigkeit des gebogenen

Körpers gleich gross sind, geht die neutrale Achse durch den Schwerpunkt des Querschnitts.

Wenn aber die Zug- und die Druckfestigkeit verschieden gross sind, findet bei der Biegung eine Verschiebung der neutralen Achse statt................

§    2. Begründung des ersten Falles......................

§ 3. Begründung des zweiten Falles.....................

§    4.    Die Lage der    neutralen    Achse ist    nicht    constant,    sie

verschiebt sich bei zunehmender Belastung..........

§ 5. Gusseiserne Balken................................

§    6.    Steinbalken.......................................

§ 7. Cement- und Betonbalken..........................

§    8.    Holzbalken.......................................

§    9.    Nachträgliche    Bemerkungen    zu den    vorstehenden    Erörterungen ........................................

14

24

28

31

35

Zweiter Abschnitt.

Die Druckvertheilung im Mauerwerke bei excentrischer Belastung.

§ 10. Die in neuerer Zeit in Anwendung gebrachte Lehre der Biegungs-Elasticität auf Mauerwerk zur Ermittelung der Druckvertheilung in demselben bei excentrischer Belastung ........................................

Seite

§ 11. Fehlerhafte Berechnung der Vergrösserung der Kantenspannung der Widerlagsmauern in Folge des Gewölbeschubes ...........................................

§ 12. Die im § 10 bezeichneteBerechnungsmethode des Kantendrucks der Mauern in Folge excentrischer Belastung ergiebt in vielen Fällen, und zwar bei Mauern, welche seit langen Jahren als völlig standsicher sich erwiesen haben, ein so grosses Resultat, das weit über das zulässige Mass der Belastung hinausgeht. — An mehreren

Beispielen nachgewiesen............................

§ 13. Darin liegt ein Widerspruch und man ist vor die Alternativen gestellt:

entweder kann das Mauerwerk ohne Gefährdung einen erheblich grösseren Druck ertragen als den für zulässig anerkannten,

oder die Kantenspannung ist geringer, als die vorbesprochene Berechnungsmethode sie ergiebt.

Die erste Alternative ist zu verneinen und sonach

die zweite Alternative als gültig zu erachten.........

§ 14 Von mehreren Seiten ist die Ansicht ausgesprochen, dass die Gesetze der Biegungs-Elasticität auf Mauerwerk nicht anwendbar seien.

In Betreff des Cement-Mauerwerks, des Betons und des alten Kalkmörtel-Mauerwerks ist diese Ansicht nicht berechtigt, in Betreff des frischen Kalkmörtel-

Mauerwerkes sprechen gewichtige Gründe dafür......

§ 15. Versuchte Anwendung des Elasticitätsgesetzes auf frisches Kalkmörtel-Mauerwerk.

Anwendung auf Cement-Mauerwerk..............

§ 16. Durch die grosse Ungleichmässigkeit der Oruckver-theilung, wie sie nach der im § 10 bezeichneten Theorie sich ergiebt, würde das Mauerwerk unzweifelhaft zerstört werden. Dieser Vorgang ist bei regelrecht ausgeführten Mauerwerken nicht beobachtet.

Auch hierdurch, sowie ferner durch Beachtung des Umstandes, dass frisches Kalkmörtel-Mauerwerk kein derartig einheitlicher, elastischer Körper ist, als Eisen, Holz, Stein etc., muss man in der Ueberzeugung bestärkt.

53

55

58

61

63

Seite

werden, dass die aus der Elasticitäts-Theorie abgeleitete Druckvertheilung darauf keine Anwendung finden kann .    68

§17. Somit muss eine andere Lösung der obschwebenden Frage erstrebt werden.

Druck-Uebertragung in Folge des Mauerverbandes .    72

§ 18. Die Druckwirkung durch eine in t/₄ der Mauerstärke

74

excentrisch wirkende Kraft.........................

§ 19. Früher hat man dem Einflüsse excentrisch wirkender Kräfte auf Mauerwerk wenig oder gar keine Beachtung erwiesen, man hat angenommen, dass durch den Steinverband eine gleichmässige Vertheilung des Druckes bewirkt werde. Diese Annahme kann aber als berechtigt nicht anerkannt werden, sie steht im Widerspruche mit dem Gesetze der Schwerkraft.

Unter Berücksichtigung dieses Gesetzes, sowie der Druckübertragung in Folge des Steinverbandes und gestützt auf die vorliegenden Erfahrungen, lassen die Kantendrücke sich annähernd berechnen nach dem umgekehrten Yerhältnisse der Entfernungen des Angriffspunktes der excentrisch wirkenden Kraft von den beiden

75

Aussenkanten.....................................

§ 20. Diese Ermittelung stimmt sehr gut mit den Erfahrungsergebnissen überein.

Nachweisung davon an den im § 12 angeführten

78

Beispielen ........................................

§ 21. Bei den meisten der behandelten Beispiele ist die Druckvertheilung so beträchtlich ungleich, dass dadurch die Sicherheit erheblich beeinträchtigt wird.

Daraus ergiebt sich die Lehre, beim Entwerfen auf thunlichste Verminderung der Excentricität hinzuwirken. Demgemäss sind manche der bisher gebräuchlichen Konstruktionen zu verbessern, z. B. die Widerlager der Brücken, und die Umfassungsmauern der Gebäude ...    81

Erster Abschnitt.

Die Lage der neutralen Schichte bei gebogenen Körpern.

§ 1. Der bekannte Lehrsatz lautet: „Die neutrale Achse geht durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche des gebogenen Körpers“.

Dieser Lehrsatz ist unter der ausdrücklichen Bedingung abgeleitet, dass die Zugfestigkeit und die Druckfestigkeit des gebogenen Körpers gleich gross sind, wie solches bei Schmiedeeisen und Stahl nahezu der Fall ist.

Sind aber die Zugfestigkeit und die Druckfestigkeit des Materials nicht gleich gross, so verschiebt sich die neutrale Achse bei der Biegung, entsprechend der Belastung so, dass die Momente der Zug- und Druckspannungen gleich gross sind.

Diese Behauptung soll nachfolgend begründet

werden.

Abb. 1.

0-

Û-

0-,

*------ 4-

-не-----4-

-Ж.

dAB

§ 2. Der an beiden Enden frei aufliegende Balken А В, Abb. 1, wird durch die in der Mitte

wirkende Kraft P gebogen; das Moment dieser Kraft ist, wenn die Länge zwischen den Auflagern mit l bezeichnet wird, = P‘l.

Zwischen beiden liegt die neutrale

Durch dieses Kraftmoment werden die untern Schichten gezogen und in Folge davon ausgedehnt, verlängert, die obern Schichten aber zusammen gedrückt, verkürzt.

Schichte AB, in welcher weder eine Verlängerung noch eine Verkürzung stattfindet.

Es werde zunächst angenommen, dass das Material des gebogenen Balkens gleich grosse Zug- und Druckfestigkeit habe, wie solches beim Schmiedeeisen und Stahl nahezu der Fall ist, — und der Querschnitt des Balkens werde als Rechteck angenommen, von der Höhe h und der Breite Ъ, Abb. 2. Die neutrale Achse

Abb. 3.

Abb. 2.

Cfb

h„

h,

......Ф______J Mitte.

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K VoV'. IV.-*"*

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"T

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CC des Querschnitts gehe durch den Schwerpunkt, liege also in halber Höhe. Der Höhentheil unterhalb der neutralen Schichte werde mit liI und der obere Höhentheil mit hn bezeichnet. Für den zunächst angenommenen Fall ist h j.

In Abb. 3 ist ein Theil der Längenansicht des Balkens, zunächst der Mitte, gezeichnet; darin stellt das

Dreieck CDF die eingetretenen Verlängerungen der untern Schichten dar, und das Dreieck CE G die eingetretenen Verkürzungen der obern Schichten. Da nach demElasticitätsgesetze die Spannung proportional der Längenänderung ist, so bezeichnen die vorbenannten Dreiecke also auch die stattfindenden Spannungen. In den äussersten, von der neutralen Schichte am meisten entfernten Schichten D F und EG ist die Spannung am grössten, sie nimmt von da an in jeder Schichte allmählich ab bis zur neutralen Schichte, in welcher die Spannung = 0 ist, und zwar in geradem Verhältnisse zu ihrer Entfernung von der neutralen Schichte.

Der Flächeninhalt der beiden Dreiecke CD F und

CEG bezeichnet somit die Summe der Spannungen. Die beiden Dreiecke sind congruent.

Zugspannungen

-, und die Summe der

n-Kd

Bezeichnet man die Spannung in der äussersten Schichte FD mit Кz, und die Spannung in der äussersten Schichte EG mit Kd, so ergiebt sich die Summe der hrK

Druckspannungen

Die Summe der Zugspannungen ist vereinigt anzunehmen in dem Schwerpunkte des Dreiecks CDF.

2

Dieser Schwerpunkt liegt in Б der Höhe des Dreiecks,

о

2

also in der Entfernung ъ hT von der neutralen Schichte, о

An diesem Hebelarm wirkt die Summe der Zugspannungen, somit ist das Moment der Zugspannungen

1-1 [CO

ц.к,.

(i)

Dieses für die äusserste Vertikalschichte ermittelte Moment ist in den sämmtlichen Vertikalschichten, also durch die ganze Querschnittsbreite Ъ hindurch, vorhanden, somit ist das Gesarnmt-Zugspannungs-Moment

= \ьц.к,.

In gleicher Weise ergiebt sich das Gesammt-Druckspannungs - Moment

(2)

= \bh*-K..

3    11 d

Da vorstehend die Höhentheile h ₇ und hn zunächst gleich, und die Coefficienten Kz und Kd ebenfalls gleich gesetzt sind, so sind beide Momente also gleich gross, und zwar ist jedes derselben:

Bezeichnet man das Moment der Zugspannung als positiv, so ist das Moment der Druckspannung negativ, und die algebraische Summe derselben — 0, sie halten sich also das Gleichgewicht.

(3)

12

(4)

jP-¹

4

Darnach ergiebt sich

2 bh² • K.

(5)

P=3    *

Das ist die bekannte Formel für Balken mit rechteckigem Querschnitte, an beiden Enden frei aufliegend und in der Mitte belastet, unter der Bedingung, dass

die Coefficienten der Zug- und Druckfestigkeit Kz und Kd gleich gross sind.

Unter dieser Bedingung ergiebt sich auch für jeden anderen Querschnitt, dass die neutrale Achse durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche geht.

§ 3. Sind nun aber die Coefficienten der Zug-und Druckfestigkeit des Materials des gebogenen Körpers ungleich gross, so würde, falls die neutrale Achse im Schwerpunkte der Querschnittsfläche läge, zu beiden Seiten keine Gleichheit der Zug- und Druck-Widerstände vorhanden sein, es wäre vielmehr auf der einen Seite ein nutzloser Ueberschuss an Widerstandskraft vorhanden.

Die Gleichheit der beiderseitigen Widerstände findet nur dann statt, wenn die neutrale Schichte der Belastung entsprechend von der Schwerpunktachse nach der Seite des grossem Widerstandes sich so verschiebt, dass das Moment der Zugspannung gleich ist dem Momente der Druckspannung.

Dann ist die algebraische Summe dieser Momente wieder gleich 0, es halten alsdann die beiderseitigen Momente sich das Gleichgewicht.

Es ist gar kein Grund erfindlich, warum eine solche Verschiebung der neutralen Schichte nicht stattfinden sollte, warum dieselbe unveränderlich im Schwerpunkte verharren sollte.

Alle Biegungsversuche mit Körpern, deren Zug-und Druckfestigkeit verschieden gross sind, stimmen dahin überein, dass die Biegungsfestigkeit sich grösser ergiebt als die Berechnung nach der gewöhnlichen Formel, unter Ansetzung des kleinsten der beiden in Betracht kommenden Coefficienten. Es ist daher schon seit langer Zeit üblich gewesen, bei der Berechnung der Biegungsfestigkeit nach der gewöhnlichen Formel besondere, aus Biegungsversuchen ermittelte Coeffl-cienten in Ansatz zu bringen.

Da nun aber bei der Biegung von Körpern nur Zug- und Druckkräfte in Betracht kommen, so liegt das Bestreben nahe, darauf die Biegungsfestigkeit zurückzuführen. Bei Körpern, deren Zug- und Druckfestigkeit gleich sind, ist das durch die gewöhnliche Formel

%b№ • К 3

P =

geschehen. Für Körper aber, deren Zug- und Druckfestigkeiten ungleich gross sind, ist das nicht der Fall.

Nimmt man an, dass bei dem vorstehend im § 2, Abb. 1, 2 u. 3 behandelten Balken mit rechteckigem Querschnitte von der Länge l, der Breite b und der Höhe h die Druckfestigkeit grösser sei als die Zugfestigkeit, wie solches bei Gusseisen, Stein, Beton und Mauerwerk der Fall ist, so gestaltet sich die Ansichtszeichnung, wie Abb. 4 zeigt. Die neutrale Schichte С C

Abb. 4.

Mitte

г~

i~~4......"1

U-Л

h,

Г®

ist nach der Druckseite verschoben, die beiden Dreiecke C D F und CFG sind verschieden gross, aber ähnlich. Der Höhentheil hI der Zugseite ist grösser als der Höhentheil hn der Druckseite. Die äusserste Zug-

Spannung F JD werde wieder mit Kz, und die äusserste Druckspannung mit Kd bezeichnet. Dann ergiebt sich das Moment der Zugspannung

(ß)

= \ък-к,

(7)

und das Moment der Druckspannung _ _ h 7>² . 7Г

g 0 пп л d

Diesen beiden Momenten hält das Moment der

biegenden Kraft ^ Pdas Gleichgewicht, somit er-

z z

giebt sich die Gleichung

d)

‘ P.j-g»*}•*.)⁺G

also

к

Das Zugmoment und das Druckmoment sind gleich gross, also ist

P-l =

(8)

-b h² К =-hh² •К

g ° ¹¹1 z — nII лd’

daraus folgt

hj ‘ Kz — h²i ■ Kd,

(9)

also verhält sich

h*:h* = K.:K

I II    dz

zi

(10)

in Worten ausgedrückt:

Die Quadrate der Höhentheile }it und hn verhalten sich umgekehrt wie die Zug- und Druckspannungen Kz und KcV Oder nach der Wurzelausziehung

(И)

кг-лп-уъ-.утг„

das ist in Worten ausgedrückt:

Die Höhentheile hx und hn verhalten sich umgekehrt wie die Quadratwurzeln der Spannungswerthe Kz und Kd.

Da das Zugmoment und das Druckmoment einander gleich sind, so folgt aus der vorstehenden Gleichung 8

P-l =

ъЪЩ-Кя

(12)

so wie auch

(13)

P.l = ^bhl-Kd

für den an beiden Enden frei aufliegenden, in der Mitte belasteten Balken.

Der Werth von hI ergiebt sich wie folgt: hI—h — hn

hj = h —

1+ J/й'7i

oder auch:

1 + J/w

).n

(13)

1 -|-\/n — 1 + ]/ n

• h ¹)

(14)

Vn

i + Y n

Sind die Zug- und Druckfestigkeit gleich gross, ist also das Verhältniss von Кz:Kd= 1:1, die Ver-hältnisszahl n — 1, so ergiebt die vorstehende Formel d. h. die neutrale Achse liegt in halber Höhe, sie geht also durch den Schwerpunkt des rechteckigen Querschnitts, wie vorstehend im § 2 abgehandelt ist.

Die vorstehend S. 6 in Abb. 4 gezeichneten beiden Dreiecke bezeichnen wiederum die Summe der Spannungen, wie solches vorhin Seite 2 in Betreff der Abb. 3 erwähnt ist, und zwar bezeichnet das Dreieck CE G der Druckseite die Summe der Druckspannungen, und das Dreieck CD F die Summe der Zugspannungen. Die beiden Dreiecke sind verschieden gross, aber ähnlich. Beispielsweise angenommen, die Druckfestigkeit sei 4 mal so gross als die Zugfestigkeit, so ist n — 4, so ist also das Verhältniss von hn: hj— 1 : ]/4 = 1 : 2, die Seiten der Dreiecke verhalten sich also wie 1 :2, demnach EG : FD = 1: 2. Die Flächen der beiden Dreiecke verhalten sich wie 1:4. Da nun aber nach vorstehender Annahme die Druckfestigkeit 4 mal so gross ist als die Zugfestigkeit, so sind die Producte aus Fläche CE G mal Druckfestigkeit 4 if = Fläche CD F mal Zugfestigkeit АГ, und somit die Momente zu beiden Seiten gleich gross.

§ 4. Die Lage der neutralen Achse ist dem Vorstehenden nach abhängig von dem Verhältnisse zwischen der Zug- und der Druckspannung des betreffenden Materials.

Dieses Verhältniss ist nun aber von Beginn der Belastung bis zur Maximalbelastung an der Bruch-grenze nicht constant. Bei Beginn der Belastung ist das Verhältniss wie 1:1, die neutrale Achse geht dann also durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche, an der Bruchgrenze ist das Verhältniss am grössten, die Verhältnisszahl n hat an dieser Grenze den höchsten Werth; zwischen diesen beiden Grenzen tritt mit der Belastung eine Steigerung der Verhältniss-zahl n ein. Daraus folgt, dass die Lage der neutralen Schichte ebenfalls nicht constant ist, dass diese vielmehr bei Beginn der Belastung in der Schwerpunktachse liegt, und mit zunehmender Belastung sich verschiebt, so dass an der Bruchgrenze das grösste Maass der Verschiebung stattfmdet.

Zum Nachweise der Richtigkeit dieser Behauptung will ich zunächst das Verhalten eines gusseisernen Balkens mit rechteckigem Querschnitte, an beiden Enden frei aufliegend und in der Mitte belastet, darlegen, unter Bezugnahme auf vorstehende Zeichnung Abb. 4.

Für Gusseisen ist von Herrn Landsberg, Handbuch der Architektur, die Statik, Seite 53, angegeben:

kg auf 1 qcm

Festigkeits-Goefficient (an der Bruchgrenze) für

Zug 1250 bis 1450, setze.................

Desgleichen für Druck 7500 bis 8000, setze. ...    7800

Beanspruchung an der Elasticitätsgrenze für Zug 660

Desgl. für Druck..............

Zulässige Beanspruchung für Zug

Desgl. für Druck..............

Darnach ist also zwischen Zug und Druck das Verhältniss vorhanden:

bei der zulässigen Belastung..............

an der Elasticitätsgrenze.................

an der Bruchgrenze......................

bei der Belastung Null ist das Verhältniss, wie

vorstehend sich ergeben hat..........

Die letzten Ziffern dieser Verhältnisssätze, 1, 2, 2,7, 5,8 sind die vorhin mit n bezeichnete Verliältniss-

1350

1800

250

500

1:2

1 :2,7 1 :5,8

1:1

zahl. Dieselbe ist also nicht constant, sondern sie wird mit steigender Belastung grösser. Das Maass der davon abhängigen Verschiebung der neutralen Schichte ergiebt sich wie folgt.

Die Entfernung der neutralen Schichte von der äussersten Schichte der Zugseite, also das vorhin mit ht bezeichnete Maass berechnet sich nach der vorstehenden Gleichung

für die zulässige Belastung (n — 2), hT ..    = 0,58 h

für die Elasticitätsgrenze (w = 2,7), hx...    =0,62h

= 0,70 h

für die Bruchgrenze (n = 5,8), hz

Die Zunahme der Verhältnisszahl der Druckspannung zur Zugspannung ist nach Ausweis der vorstehenden Gleichung 12

P 3

83 h²

allein abhängig von dem Produkte Щ • A", da die übrigen Factoren dieser Gleichung constant sind. Dieses Produkt ergiebt sich für die vorstehenden Fälle: für die zulässige Belastung 0,58² - 250kg. für die Elasticitätsgrenze 0,62² • 660 kg..    =251 h²

= 662 /г²

für die Bruchgrenze 0,70² • 1350 kg Die Zunahme der Verhältnisszahl der Druckspannung über das anfängliche Maass 1 hinaus steht im geraden Verhältniss zur Belastung P, sie ergiebt sich

83

für die zulässige Belastung • 4,8.... =0,6

UU и

für die Elasticitätsgrenze für die Bruchgrenze....

CM

662

•4,8

= 1,8

= 4,8

2*

Somit ergiebt sich nun das Verhältniss der Zugspannung 1 zur Druckspannung:

= 1:1

für den Anfang der Belastung

für die zulässige Belastung 1 : (1 -f 0,6) .. = 1 :1,6

¹

Das ist die von Herrn Melan mitgetheilte Formel in der Wochenschrift des österr. Ingenieur- und Architekten-Vereins Nr. 24 vom 13. Juni 1890.

für die Elasticitätsgrenze 1 : (1 + 1,8) für die Bruchgrenze 1 : (1 -f- 4,8)

= 1:2,8

= 1:5,8

Die Berechnung der Druckspannung nach den vorstehend gefundenen Yerhältnisszahlen und den vorhin S. 10 angegebenen Coefficienten der Zugspannung ergiebt :

für die zulässige Belastung Druck 250 • 1,6 = 400 kg für die Elasticitätsgrenze Druck 660 • 2,8 = 1848 kg für die Bruchgrenze Druck 1350*5,8 ... =7800kg.

Die von Herrn Landsberg mitgetheilten, vorstehend S. 10 angegebenen Druckspannungen betragen:

500, 1800 und 7800 kg/qcm.

Der erste dieser Sätze, 500 kg, weicht von dem vorstehend zu 400 kg berechneten erheblich ab, wogegen der zweite Satz, 1800 kg, mit dem zu 1848 kg berechneten ziemlich gut übereinstimmt. Nun ist zu berücksichtigen, dass die Angabe von Landsberg, 500 kg, nur bezeichnet die zulässige Beanspruchung des Gusseisens auf Druck, nicht aber den bei der Biegung stattfindenden Druck gegenüber dem Zuge von 250 kg/qcm. Immerhin ist noch eine weitere Prüfung auf die Richtigkeit des vorstehend behandelten Gesetzes vorzubehalten.

Für Kiefernholz ist in der vorhin angezogenen Quelle, Handbuch der Architektur, Seite 53 von Herrn Landsberg angegeben:

zulässige Belastung .... an der Elasticität.sgrenze an der Bruchgrenze....

kg/qcm Zug Druck

80 60

290 220 820 410

Darnach ist also zwischen Druck und Zug das Verhältniss

1 :1,33 1 :1,32

1:2

für zulässige Belastung., an der Elasticitätsgrenze an der Bruchgrenze ....

Also auch in diesem Falle ist das Verhältniss zwischen Druck und Zug nicht constant, sondern es wächst die Verhältnisszahl n vom Anfänge der Belastung bis zur Bruchgrenze von 1 auf 2.

Das Maass hiv die Entfernung der neutralen Schichte von der äussersten Kante der Druckseite berechnet sich nach der Gleichung

K= (1_i + ]/ï)'â

= 0,53 h = 0,60 h

für die zulässige Belastung (n — 1,33) .... — 0,53 h für die Elasticitätsgrenze (n — 1,32) für die Bruchgrenze..............

Der mittlere Satz 0,53 h zeigt keine, dem vorhin behandelten Gesetze entsprechende Steigerung. Darnach ist anzunehmen, dass die vorstehende Angabe von 220 kg Druck und 290 kg Zug an der Elasticitätsgrenze nicht zutreffend ist. Bei Annahme des Druckes von 220 kg / qcm muss der entsprechende Zug auf 320 kg erhöht werden ; damit die gesetzmässige Steigerung stattfinde. Dann stellt sich das Verhältniss von Druck zu Zug wie 1 : 1,45, und lin: Ьг — 1 : ]/1,45 = 1:1,2, und dann ergiebt sich hn — 0,55 h.

Nach dieser Berichtigung ergiebt sich das Product

K-Kd

für die zulässige Belastung für die Elasticitätsgrenze .. für die Bruchgrenze.......

16,80 Л2 66,0 Л2 147,6 A²

und darnach die Steigerung der Verhältnisszahl der Zugspannung über das anfängliche Maass 1 hinaus:

für die zulässige Belastung • 1

für die Elasticitätsgrenze • 1 ..

für die Bruchgrenze..............

somit das Verhältniss der Druckspannung 1 zur Zugspannung :

für den Anfang der Belastung für die zulässige Belastung 1 : (1 —f- 0,11) —1:1,11 für die Elasticitätsgrenze 1 : (1 -f- 0,45) . . = 1:1,45 für die Bruchgrenze 1 : (1 -f- 1)

Nach diesen Verhältnisszahlen berechnet sich die Zugspannung gegenüber den vorhin angegebenen Coefficienten der Druckspannung: für die zulässige Beanspruchung 60-1,11 = 67 kg für die Elasticitätsgrenze 220-1,45

für die Bruchgrenze 410-2.......

Der erstere Satz ist auch hier wieder etwas zu klein, und daher dasselbe zu bemerken wie vorhin beim Gusseisen.

= 0,11

= 0,45

= 1,0

= 1:1

= 1:2

= 320 kg = 820 kg

§ 5. Gusseiserne Balken.

In früherer Zeit bis zu den sechziger Jahren, ehe man grössere gewalzte Eisenbalken hatte, wurden

Abb. 5. gusseiserne Balken, nach nebenstehendem ~”p Profile Abb. 5, bestehend aus Mittelrippe, Unter- und Oberrippe, in ausgedehntem Maasse angewandt, zu Deckenkonstruktionen, Brücken, u. s. w.

Hodgkinson hat in den vierziger Jahren Versuche mit gusseisernen Balken, an beiden Enden frei aufliegend und in der Mitte belastet, angestellt zur Ermittelung des besten Verhältnisses zwischen der Ober- und Unterrippe. Dabei hat er gefunden, dass der Bruch der Oberrippe und der Unterrippe zugleich erfolgte bei dem Verhältnisse von 1 :6, also entsprechend dem Verhältnisse der Zugfestigkeit zur Druckfestigkeit des Gusseisens, und darnach stellte er die Regel auf, die Oberrippe müsse sich zur Unterrippe verhalten wie 1: 6.

Gegen dieses Verhältniss haben die Ingenieure Stephenson und Brunnei entschieden Widerspruch erhoben, mit der Begründung, dass bei jenem sehr erheblichen Unterschiede der Ober- und Unterrippe ein fehlerfreier Guss nicht möglich sei. In dieser Rücksicht dürfe nach ihrer Ansicht das Verhältniss der beiden Rippen nur angenommen werden wie 3:5.

Bei dem hier ausgeführten Gusse von Balken, deren Oberrippe sich zur Unterrippe verhielt wie 1: 3, erwies sich der von Stephenson und Brunnei angeführte Umstand als völlig berechtigt. Um der ungleich-massigen Zusammenziehung bei der Abkühlung entgegen zu wirken, befreit der Giesser zunächst die starke Unterrippe vom Formsande, während die Oberrippe noch bedeckt gehalten wird, trotzdem aber tritt bei dieser eine raschere Abkühlung, und in Folge davon eine grössere Zusammenziehung ein, als bei der starken

Unterrippe. In Folge davon entsteht eine convexe Krümmung nach Abb. 6. Die übermächtige Unterrippe

Abb. 6.

wirkt der Zusammenziehung der Oberrippe entgegen, so dass diese sich nicht so weit zusammenziehen kann, als es ohne jenes Hinderniss geschehen würde; die Moleküle können sich daher nicht völlig dicht aneinander lagern, sie bleiben auseinandergezerrt. Bei der später eintretenden Zusammenziehung der Unterrippe erfolgt nun eine entgegengesetzte Krümmung nach Abb. 7, aber die vollständige Zusammen-

Abb. 7.

ziehung kann auch nicht erfolgen, da solche durch die verzerrte Oberrippe verhindert wird. Es entstehen also durch die angeführten Vorgänge in dem Balken höchst ungünstige Spannungen, wodurch die Tragfähigkeit erheblich beeinträchtigt wird.

Dieser Uebelstand stellt sich um so grösser heraus, je mehr Ober- und Unterrippe in der Stärke verschieden sind, und somit ist das von Hodgkinson empfohlene Verhältniss von 1 : G entschieden verwerflich. Es ist sodann auch erkannt, dass dieses an der Bruchgrenze vorhandene Verhältniss für die Baupraxis nicht als massgebend erachtet werden kann. In der Baupraxis darf die Inanspruchnahme nur bis zur zulässigen Beanspruchung stattfinden, und an dieser Grenze besteht, wie vorstehend bereits angeführt ist, zwischen der Zug- und der Druckfestigkeit das Verhältniss 1: 2 bezw. 1 :1,6.

Bei dem zu Anfang der fünfziger Jahre von mir ausgeführten Bau der Hannoverschen Baum-woll - Spinnerei und Weberei in Linden bei Hannover sind die

Abb. 8.

12

rt

54 cm.

na

SP

Z5

Decken des Spinnereigebäudes aus gusseisernen Balken mit zwischengespannten Ziegelgewölben von 3 m Spannweite hergestellt. Die Balken haben eine Länge von 7,5 m, und in der Mitte das vorstehend, Abb. 5, dargestellte Profil, welches in einfachen, der Berechnung zu Grunde zu legenden Linien nebenstehend, Abb. 8, mit beigeschriebenen Maassen in cm angegeben ist. Der Querschnitt ist = 253,5 qcm. Der Schwerpunkt S desselben liegt 21 cm über der untern Kante der Unterrippe (Zugrippe).

Die zulässige Beanspruchung angenommen nach Landsberg S. 53

Zug K_. — 250 kg/qcm Druck Kd — 500 kg/qcm.

Die neutrale Schichte zunächst durch den Schwerpunkt £ gehend angenommen, ergiebt sich nach der S. 7 angegebenen Gleichung 8

P-l =

(lbÆK) ₊ (lbIl4.Kd)

worin hj=21 cm und hn = 33 cm sein würden, die Werthe

ibTm-K = 1919 t und 3 1 1 z

$KK-Kd = 3524 t.

In dem obern Dmcktheile ist also ein erheblich grösserer Widerstand vorhanden als in dem untern Zugtheile, davon ist aber nur ein dem untern Zugtheile gleicher Theil in Ansatz zu bringen, somit ist der Gesammtwerth

P -1 = 2 • 1919 t = 3838 t.

Wird nun aber die Lage der neutralen Achse so angenommen, dass die Momente der Zug- und Druckspannungen gleich sind, so kommt dieselbe von der Unterkante der Zugrippe 27 cm entfernt zu Hegen, es ist alsdann hz = 27 cm und hn = 27 cm, und die Berechnung ergiebt alsdann

«о

Abb. 9.

14 4

bTJĄ' К = 26501 und

11    Z

4

-h h² • К

g °и ,lii lvd

= 26501

zusammen also

P-l = 53001.

—na

fJK*

g Zur Vergleichung mit dem vor-stehend behandelten Balken der Hannoverschen Baumwoll-Spinnerei habe ich das nebenstehende Profil, Abb. 9 gezeichnet und berechnet, wobei die Höhe dem ersten gleich, und der Querschnitt nahezu gleich ist, die Oberrippe und Unterrippe " aber dem Vorschläge von Stephenson und Brunnei gemäss im Verhältnisse von 3 : 5 stehen.

Der Flächeninhalt beträgt = 253 qcm. Der Schwerpunkt liegt von der Unterkante der Unterrippe 25,7 cm entfernt. Die Lage der neutralen Achse entsprechend der Bedingung, dass die Momente der Zug- und Druckspannungen gleich sind, ergiebt sich in der Entfernung von der Unterkante der Unterrippe zu 30 cm, so dass also hj = 30 cm und hn = 24 cm ist. Darnach ergiebt die Berechnung

bj 7г| • К = 27101 und

= 2710 t

zusammen also

P-l — 54201

also 1201 mehr als das vorige Profil.

rS

Abb. 10.

—na

Sp.

Ferner habe ich zur Vergleichung das nebenstehende Profil Abb. 10 ] л herangezogen. Dasselbe hat die gleiche Höhe und nahezu dieselbe Querschnittsfläche ; Ober- und Unterrippe sind dabei aber gleich angenommen. Die Querschnittsfläche = 254 qcm, der Schwerpunkt derselben liegt in halber Höhe, also 27 cm von der Unterkante entfernt. Die neutrale Achse liegt, bei Gleichheit der Zug- und Druckspannungen, von der Unterkante der Unterrippe = 33,7 cm entfernt, so dass also y 7^= 33,7 cm und hn — 20,3 cm ist.

54 cm

Darnach berechnet sich

%ЪТЖ*К = 2714 t und 3 1 1 z

I bn hjx- Kd = 27141

zusammen also

P-I = 5428 t

also nahezu derselbe Betrag wie für das letzte der vorhin behandelten Profile.

Abb. 11.

co[

1Z\

-na

Sp

54 cm

Zh

22V*

Noch etwas günstiger stellt sich das nebenstehende Profil, Abb. 11, bei dem ebenfalls Oberund Unterrippe gleich sind. Dasselbe hat 253,5 qcm Querschnittsfläche. Der Schwerpunkt liegt in halber Höhe, die neutrale Achse aber ist, unter der Bedingung der Gleichheit der Zug- und Druckmomente, von der Unterkante der Unterrippe = 33,7 cm entfernt, so dass also hI = 33,7 cm und hn— 20,3 cm ist.

Es berechnet sich

hj Щ • Kz = 27701 und | MA •*, = 2770 t

zusammen also

P -1 = 55401

Für den Guss ist das Profil mit gleich starker Unter- und Oberrippe am günstigsten. Einestheils weil dabei eine gl eich massige Abkühlung statt-

findet, und somit das Verziehen verhindert wird, und anderntheils weil dann die Unterrippe weniger klobig wird, somit das Entstehen von grobkrystallinischem Gefüge

NÇ^yV

Abb. 12.

_________ к**«a    und von hohlen Blasen

:W⁷    . ' 1 im Innern verhindert

J wird, wie solches bei zwei Balken der Hannoverschen Spinnerei, welche bei den Versuchen absichtlich zerbrochen wurden, nach nebenstehender Abb. 12 sich gezeigt hat.

Für die Herstellung des Profils gusseiserner Balken findet sich als Regel aufgestellt : dasselbe so anzuordnen,

dass der Schwerpunkt in ~ der Höhe von der Unter-

o

kante der Zugrippe liege. Diese Vorschrift führt aber auf ganz unzweckmässige Profile, ist daher entschieden verwerflich.

Die Ergebnisse der beiden letzten Rechnungen in Betreff gusseiserner Balken mit gleich starker Oberund Unterrippe sind in der That im hohen Grade überraschend. Von jeher ist es gebräuchlich bei gusseisernen Balken die Unterrippe stärker als die Oberrippe herzustellen, in der Meinung, dass solches durch die verschiedene Grösse der Zug- und Druck-Goefficienten geboten sei. Es ist daher das Verlangen gerechtfertigt, durch praktische Versuche den Nachweis über die Richtigkeit oder Unrichtigkeit des vorstehenden Ergebnisses zu führen.

Die beiden Profile haben die beigesetzten Maasse in cm und den gleichen Querschnitt von 13,76 qcm. Das Ergebniss der Belastungsversuche ist folgendes : Gusseiserner Balken, Abb. 13 mit schwacher Oberrippe und starker Unterrippe, im Verhältnisse von 2,25 : 7,05.

Belastung P in der Mitte.

Durchbiegung in der Mitte a.

Eigenlast auf 200 cm

Länge = 22 kg, davon in der Mitte wirkend

11,0 kg 46,0 kg

Abb. 13.

2,45

*

Abb. 14.

44

л CTp§

0Й

I'

0,8

4,5

Ich habe zu dem Zwecke zwei gusseiserne Versuchsbalken nach nebenstehenden Profilen Abb. 13 und Abb. 14, je 200 cm Tragweite giessen lassen, und solche in der Mitte belastet.

zu rechnen.........

Hebel mit Waageschale

Zusammen... 57,0 kg

Dadurch Durchbiegung а Bei Belastung von

= 0,4 mm

365 kg, Durchbiegung. 673 kg, Durchbiegung. 708 kg, Durchbiegung. 735 kg, Durchbiegung.

— 2,9 mm = 5,6 mm = 5,8 mm = 6,1 mm

= 3,5 mm

Nach der Entlastung bis auf 365 kg, Durchbiegung bis auf 57 kg Durchbiegung . = 0,85 mm

242 kg

Die zulässige Beanspruchung (К = 250 kg u. Kd = 500 kg/qcm) beträgt................

an der Elasticitätsgrenze {Kz = 660 kg und Kd = 1800 kg/qcm) ......................

700 kg

Gusseiserner Balken, Abb. 14.

11,4 kg 46,0 kg

Oberrippe und Unterrippe von gleicher Stärke. Eigenlast auf 200 cm Länge — 22,7 kg, davon in der Mitte wirkend zu rechnen Hebel mit Waageschale.......

zusammen. .. 57,4 kg

Dadurch Durchbiegung a Bei Belastung von

0,4 mm

327 kg, Durchbiegung 694 kg, Durchbiegung 726 kg, Durchbiegung

2,1 mm 4,4 mm 4,7 mm

Nach der Entlastung bis auf

327 kg, Durchbiegung

2,2 mm

257 kg

und bis auf 57,4 kg Durchbiegung 0,7 mm Die zulässige Belastung (АГ — 250 kg/qcm und Kd — 500 kg/qcm) beträgt

750 kg

an der Elasticitätsgrenze (Kz = 660 kg und Kd = 1800 kg/qcm)......................

Die Durchbiegungen des letzteren Balkens Abb. 14 haben sich also geringer ergeben, als die Durchbiegungen des ersteren Balkens Abb. 13, und daraus folgt, dass die Tragfähigkeit des Balkens Abb. 14 günstiger ist als die Tragfähigkeit des Balkens Abb. 13. Dieses Resultat bestätigt demnach die vorstehenden Rechnungs-Ergebnisse, und giebt die Berechtigung, bei der Herstelsung gusseiserner Balken von dem althergebrachten Profile mit ungleicher Unter- und Oberrippe abzugehen und beide Rippen gleich stark auszuführen. Man gewinnt dadurch nicht nur an Tragfähigkeit, sondern entgeht den vorerwähnten grossen Uebelständen, die sich beim Gusse von Balken mit ungleichen Rippen unvermeidlich herausstellen.

§ 6. Steinbalken.

Für natürliche Steine ist nach Bauschinger annähernd anzunehmen :

die Zugfestigkeit=20 der Druckfestigkeit;

der Druck -

die Biegungsf estigkeit =

festigkeit.

Diese Angaben sind ermittelt aus Bruchversuchen, sie gelten also für die Bruchgrenze.

Für Bauausführungen ist als zulässige Beanspruchung anzunehmen:

1 1

auf Druck — bis der Druckfestigkeit

und auf Biegung 4 bis^ der Biegungsfestigkeit, о 4

Nach dem von Bauschinger bei natürlichen Steinen ermittelten Verhältnisse der Zugfestigkeit zur Druckfestigkeit von 1:26 ist also bei Steinen ein noch viel grösserer Unterschied vorhanden als beim Gusseisen.

Zu Anfang der Belastung ist das Verhältniss von Zug- und Druckspannung wie 1:1.

Für die Zwischenstufen, zulässige Belastung und Elasticitätsgrenze, sind die Zug- und Druckspannung meines Wissens noch nicht durch Versuche ermittelt, wie es beim Gusseisen und Holz der Fall ist.

Es ist aber höchst wahrscheinlich, dass auch bei den Steinen ein gleiches Verhalten stattfmdet wie beim Gusseisen, nämlich dass das Verhältniss von Zug- zur

25 —

Druckfestigkeit je nach der Belastung sich verändert und dass die Steigerung der Verhältnisszahl n in geradem Verhältnisse zur Belastung stattfindet, wie solches vorstehend im § 4 für Gusseisen und Holz ermittelt ist.

Unter dieser Voraussetzung findet dann also auch hier eine entsprechende Verschiebung der neutralen Schichte statt. Diese liegt bei der Belastung Null im Schwerpunkte der Querschnittsfläche und erlangt die äusserste Verschiebung an der Bruchgrenze.

Betrachten wir beispielsweise einen Sandsteinbalken mit rechteckigem Querschnitte, von 30 cm Breite, 60 cm Höhe, 200 cm freier Länge, an beiden Enden frei aufliegend und in der Mitte belastet.

Die Druckfestigkeit betrage = 600 kg/qcm, und die Zugfestigkeit 23 kg/qcm, so dass also das Verhältniss der Zugfestigkeit zur Druckfestigkeit ist wie 1:26.

Bei diesem Verhältnisse an der Bruchgrenze ergiebt sich der Höhentheil der untern Zugseite h, = 50 cm, und der Höhentheil der oberen Druckseite hn — 10 cm.

Somit nach Gleichung 12 (S. 8):

p_ 8 ъ • *f. K

3 l

P=

8 • 30 • 50² • 23 kg

3-200

23000 kg.

Unter der Annahme, dass die Zugspannung im geraden Verhältnisse zur Belastung steht, und dass die Steigerung der Verhältnisszahl n gleichfalls in geradem Verhältnisse zur Belastung stattfinde, was beides durch Versuche noch zu prüfen ist, ergiebt sich folgende Tabelle :

1 +6,5 =7,5

CO

Belastung

Auf 1 qcm Zug Druck

Verhältniss von

•• Kd

1:    1 + 8 = 9

to

CD

1 + 13 =14

tH

со

I 1 + 19 =20

IO

CO

1+25 =26

Wird nun die zulässige Belastung zu

т-h

der Biegungs

festigkeit P angenommen, so ergiebt sich für diesen Fall, da nach vorstehender Tabelle dafür die Zugbeanspruchung 6 kg und die Druckbeanspruchung 45 kg/qcm, also das Verhältniss 1:7,5 beträgt, die Entfernung der neutralen Schichte von der Unterkante der Zugseite, + = 44 cm und somit hn = 16 cm.

Nach diesen Sätzen berechnet sich die entsprechende Belastung nach der Formel

р_8'Ъ_Щ.к

3 l

4600 kg.

Das ist aber weniger als ~ der vorberechneten ßiegungsfestigkeit von 23000 kg. Hiervon beträgt

_ 8 • 30• 44- • 6kg

3-200

— = 5750 kg. Daraus ergiebt sich, dass die Ansätze

der vorstehenden Tabelle nicht ganz zutreffend sind. Eutweder steht die Zugspannung nicht in geradem Verhältnisse zur Belastung, oder das Verhältniss zwischen Zug- und Druckfestigkeit ist ein anderes als angesetzt worden. Die Aufklärung durch Versuche muss also Vorbehalten bleiben. Für das angesetzte Verhältniss ist die grössere Wahrscheinlichkeit der Richtigkeit vorhanden, und daher vorerst eine entsprechende Abänderung der Coefficienten К und Kü anzunehmen.

7,4 kg

Die vorstehende Gleichung für АГ gelöst, ergiebt P-S-l 8 bhj

und darnach Kd — 7,5 • 7,4 kg — 56 kg. Unter Ansatz dieser Coefficienten ergiebt sich die zugehörige Belastung zu ^-23 000 kg.

Der Druck-Coefficient Kd = 56 kg erreicht noch

nicht das zulässige ^ der Druckfestigkeit, welches ^

600

= 60 kg beträgt, ist also völlg zulässig.

2 ъ • h²

Nach der gewöhnlichen Formel P = - —r— • K, er-

ô L

giebt sich, unter Ansetzung des Coefficienten К nach

Bauschinger’s Angabe zu — • 600 kg = 100 kg

P=

2 • 30 - 60².100 kg

3-200

= 36000 kg,

das ist also erheblich mehr als vorhin die Gleichung 12 ergeben hat = 23000 kg. Um Uebereinstimmung zu erhalten, muss der Coefficient К zu ^ der Druckfestigkeit

600

= —q— = 66 kg gesetzt werden.

i/

§ 7. Cement- und Betonbalken.

Für Cementmörtel und Cementbeton ist nach

= 160 kg/qcm,

Bauschinger anzunehmen: Mörtel aus 1 Thl. Cement und 3 Thl. Sand, 3 Monat alt die Druckfestigkeit

051 Hi

die Zugfestigkeit = bis der

CO! Н*

18 kg/qcm,

Druckfestigkeit, setze

die Biegungsfestigkeit — ^ der Druckfestigkeit.

Für Betonbalken sind dieselben Sätze anzunehmen. Nach Weisbach und Andern ist die zulässige

Beanspruchung auf Biegung für Steinbalken zu ~ bis ~

der Biegungsfestigkeit anzunehmen. Die gleiche Annahme erscheint auch für Cement- und Betonbalken als angemessen.

Also auch bei diesen Körpern sind die Zug- und Druckfestigkeit verschieden, und deshalb ist auch hierfür bei der Belastung ein gleiches Verhalten anzunehmen, wie vorhin für Gusseisen- und Steinbalken erörtert ist.

Untersuchen wir einen Cement- oder Betonbalken von denselben Dimensionen, wie im vorigen § für den dort behandelten Steinbalken angenommen waren, von rechteckigem Querschnitte, Breite = 30 cm, Höhe 60 cm, freie Länge 200 cm, an beiden Enden frei aufliegend, in der Mitte belastet.

Nach den vorstehend angegebenen Coefficienten /v, = 18 kg/qcm und Kd = 160 kg/qcm ergiebt sich das Verhältniss von 1 : 9 und darnach das Verhältnis der Höhe des Drucktheiles hu zur Höhe des Zugtheiles /i1 wie 1 : ]/9 = 1:3, demnach der Höhentheil hu —15 cm und der Höhentheil hL = 45 cm, und zwar an der Bruchgrenze.

Somit nach Gleichung 12 (S. 8)

■K =

z

P=~

8 • 30 • 45'² • 18 kg

3 • 200

P = 14500 kg.

TH

P ange-

Wird die zulässige Belastung zu

nommen, so ergiebt sich bei gleichem Verfahren, wie für den im vorigen § behandelten Steinbalken, folgende Tabelle:

Belastung

Auf 1 qcm Zug Druck

Verhältniss von

: Ka

Kd

tH

4,5

13

1+2 = 3

18

160

Nach diesen Ansätzen für die zulässige Beanspruchung auf Biegung, berechnet sich die Belastung:

К : К. = 1: 3

2 d

Darnach hn — 0,37 h und hl = 0,63 h also hu = 22,2 cm und hl = 37,8 cm, demnach

P; =

8 • 30 • 37,8² • 4,5 kg

3-200

= 2570 kg,

2 • 30 - 60² • 40 kg

3-200

~ P ist aber = 3600 kg,

sonach ergiebt sich auch hier wieder, wie vorhin beim Steinbalken, die berechnete Belastung geringer als

Um diesen Betrag zu erhalten, müssen die

Coefficienten gleichfalls erhöht werden, und zwar К = 6,3 kg/qcm und Kd = 19 kg/qcm.

Der Coefficient der zulässigen Druckspannung darf

aber nicht mehr als der Druckfestigkeit betragen, damit man 10 fache Sicherheit gegen Druck habe. Es muss also dieser Coefficient К₍ zu

▼H

P.

160

= 16 kg fest

gestellt werden, und dann ergiebt sich К — 5,3 kg. Dann ergiebt sich

8 • 30 • 37,8² - 5,3 kg

3-200

3030 kg.

Demnach darf die zulässige Belastung nicht mehr als 3030 kg betragen.

Wie vorstehend angegeben, ist von Bauschinger der Coefficient für die Biegungsfestigkeit an der Bruchgrenze zu ^ der Druckfestigkeit bezeichnet.

Unter

Anwenduug der gewöhnlichen Formel ergiebt sich darnach

p_2b ■ h²

3~T

т-4

=14400 kg

das stimmt also fast ganz genau mit der vorhin ausgeführten Berechnung nach Gleichung 12 überein, und spricht entschieden für die Dichtigkeit dieser Be-rechmmgsweise d. h. für die Verschiebung der neutralen Achse.

Bei dem Monier - Gement- oder Betonbalken wird durch die Einlagerung von Eisendraht oder Eisenstäben in dem untern Zugtheile ein erheblich grösserer Widerstand gegen Zug geschaffen, als der Gement besitzt, so dass also bei diesem Balken die neutrale Achse entsprechend nach unten sich verschiebt, und somit eine erheblich grössere Biegungsfestigkeit gewonnen wird. Die Berechnung nach der vorbesprochenen Methode soll späterer Behandlung Vorbehalten werden.

Es wird übrigens durch das Verhalten des Monier* Balkens auch wiederum die stattfindende Verschiebung der neutralen Achse bestätigt.

Die Biegungsverhältnisse bei Mauerkörpern, welche hauptsächlich bei Gewölben, so wie bei excentrischer Belastung der Mauern in Betracht kommen, sind zweckmässiger in dem nachfolgenden zweiten Abschnitte im Zusammenhänge mit der Druckvertheilung im Mauerwerke abzuhandeln.

§ 8. Holzbalken.

Die Biegungsverhältnisse von Kiefernholzbalken sind bereits vorstehend, S. 13 u. f. dargelegt.

Ich habe nun noch einige vergleichende Belastungsversuche ausgeführt mit einem Fichtenholzbalken und einem durch Eisen verstärkten Fichtenholzbalken, worüber ich nachfolgend berichten will.

Der Holzbalken hat 9 cm Höhe, 8 cm Breite und 200 cm freie Länge, ist an beiden Enden frei auf liegend und in der Mitte mittelst Hebel belastet.

Abb. 15.

An*

CSJ

•b

Der Holzeisenbalken ist nach nebenstehendem Profile, Abb. 15, an der obern Seite durch eine Eisenschiene

g von 8 cm Breite und 2 cm Höhe ver-oî stärkt. Einschliesslich dieser Eisenschiene ist, wie beim Holzbalken, die Höhe 9 cm, die Breite 8 cm und die freie Länge 200 cm. Die Eisenschiene ist mit dem Holze durch 9 stählerne Keilpaare und 10 Stück Schraubbolzen von 1 cm Durchmesser nach Art der verdübbelten Träger verbunden. Durch die Schraubbolzen ist die Breite auf 7 cm vermindert, so dass also zur Vergleichung mit dem Holzbalken die Belastungen nach dem Verhältnisse von 7:8 zu erhöhen sind.

Die Durchbiegungen sind mittelst eines Fühlhebels mit 10 fâcher Uebersetzung gemessen.

Die Durchbiegungen haben sich ergeben:

I. beim Holzbalken:

Eigengewicht auf 200 cm Länge 8,6 kg, davon in der Mitte wirkend zu rechnen der Hebel mit Waageschale.......

8 cm

4,8 kg, .    51,0 kg,

zusammen

Dadurch Durchbiegung

55,3 kg. 1,0 mm.

Bei Belastung von

129 kg die Durchbiegung 194 kg die Durchbiegung .... 461 kg die Durchbiegung .... 657 kg die Durchbiegung ....

3,8 mm, 5,7 mm, 10,2 mm, 14,8 mm.

Nach der Entlastung bis auf

55,3 kg...........

0,0 kg...........

1,7 mm, 0,7 mm.

Nach der gebräuchlichen Formel P —

2 b h²

ergiebt sich: die zulässige Belastung 2 • 8 • 9² • 60 kg

3 • 200

129 kg

an der Elasticitätsgrenze

2 • 8 • 9² • 220 kg

3-200

475 kg.

Nach der vorstehend aufgestellten Theorie ergiebt sich die zulässige Belastung ., an der Elasticitätsgrenze Die Durchbiegung bei der zulässigen Belastung von

1 P-P

= 139 kg, = 513 kg.

129 kg berechnet sich nach der Formel a —

16 3 Т-E⁴

Trägheitsmoment T

12 486,

Elasticitäts-Coefficient E = 120000 kg,

1 • 129 • 2003 16 • 3 • 486 • ;120000 Bei dem Versuche hat sich diese Durchbiegung zu 3,8 mm ergeben.

Die Belastung an der Bruchgrenze berechnet sich nach der gebräuchlichen Formel, unter Ansatz von 410 kg/qcm Zugfestigkeit

2 • 8 • 9² • 410 kg ~    3-200

II. Beim Holz-Eisenbalken (die Eisenverstärkung oben).

Eigengewicht auf 200 cm Länge 32 kg, davon in der Mitte wirkend zu rechnen der Hebel mit Waageschaale......

= 0,37 cm = 3,7 mm.

= 885 kg.

16,0 kg, 50,0 kg,

dadurch die Durchbiegung

zusammen....    66,0 kg,

............. 1,7 mm.

III. Derselbe Holz-Eisenbalken (in umgekehrter

1,5 mm.

Lage, also die Eisenverstärkung nach unten). Eigengewicht wie vor 66 kg, dadurch die Durchbiegung

Nach der vorstehend aufgestellten Theorie, Gleichung 12, berechnet sich für den letzteren Holz-Eisenbalken :

320 kg, 1005 kg.

die zulässige Belastung . an der Elasticitätsgrenze

Für den ersten Holzeisenbalken II ergeben sich noch etwas grössere Beträge.

Die Vergleichung des Verhaltens des Holz-Eisenbalkens mit dem Holzbalken ergiebt also, dass die Tragfähigkeit des Holz-Eisenbalkens ganz erheblich grösser ist als die des Holzbalkens.

Läge die neutrale Schichte in diesen 3 Fällen constant im Schwerpunkte des Querschnittes, also in dessen halber Höhe, so würde die Tragfähigkeit des Holz-Eisenbalkens nur ebenso gross sich ergeben, als die Tragfähigkeit des Holzbalkens. Da solches aber nicht der Fall ist, so ergiebt sich daraus wiederum, dass eine Verschiebung der neutralen Schichte stattfindet.

Der Holz-Eisenbalken II ist im Verhalten ähnlich einem Steinbalken, und der Holz-Eisenbalken III ähnlich einem Monier-Gementbalken.

§ 9. Nachträgliche Bemerkungen zu den vorstehenden Erörterungen.

Zu den nachfolgenden nachträglichen Bemerkungen finde ich mich veranlasst durch die von Herrn Föppl ausgeführten Versuche über die Biegungselasticität der Steinbalken, veröffentlicht in den, im Mai v. J. erschienenen Mittheilungen aus dem Mechanisch-Technischen Laboratorium der K. Technischen Hochschule zu München, 24. Heft.

Diese umfangreichen, höchst mühseligen Versuche sind mit grösster Sorgfalt ausgeführt worden, und muss die technische Welt dafür dem Herrn Föppl zu wärmstem Danke sich verpflichtet fühlen, da die Erforschung der Wahrheit auf diesem Gebiete nur durch die sorgfältigsten, genauesten Versuche gelingen kann.

Durch die erstem Versuche ist die Navier’sche Annahme, dass bei der Biegung die Querschnitte eben bleiben, nahezu bestätigt.

Die folgenden Versuche betreffen die fragliche Verschiebung der neutralen Schichte nach der Druck-

9 t Belastung gebrochen, einige grössere kry stalli nische Nester.

Seite, so wie die Zug- und Druckfestigkeit der untersuchten Steinbalken.

Die Biegungsversuche sind ausgeführt an rechteckigen Granit- und Sandsteinbalken von 20 cm Breite, 30 cm Höhe und 150 cm Länge zwischen den Auflagern, an beiden Enden frei, die Belastung in der Mitte.

Der zuerst untersuchte Granitbalken ist schon bei

Die Druckfläche enthielt

Die Durchbiegung betrug nahe vor dem Bruche 0,4 mm (S. 5).

Der zweite Granitbalken (S. 13 u. f.) ist bei 12 t Belastung gebrochen.

Die Dehnungen und Verkürzungen sind als nahezu gleich beobachtet. Bis zu 101 Belastung hat sich eine Verschiebung der neutralen Schichte nicht gezeigt. Erst bei 121 Belastung ist eine geringe Verschiebung der neutralen Schichte nach der Bruchseite eingetreten.

Bei den spätem Versuchen sind nun zwar etwas grössere Verschiebungen der neutralen Schichte nach der Druckseite hin beobachtet, und zwar 13,7 mm, 9 mm u. s. w., aber längst doch nicht entsprechend der von Melan, Hartig und in dem Vorstehenden behandelten Theorie. Darnach berechnet sich die Verschiebung für den untersuchten Granitbalken, bei Ansatz einer Zugfestigkeit zu 58 kg/qcm, und einer Druckfestigkeit von 1260 kg/qcm, zu 97 mm.

Demnach wird durch die Föppl’schen Versuche die vorgenannte Theorie nicht bestätigt.

Die Druckfestigkeit des vorbezeichneten Granits hat Herr Föppl ermittelt (S. 24) zu 1260 kg/qcm und an 2 andern Versuchsstücken aus demselben Balken zu 1130 und 1240 kg/qcm.

Zur Ermittelung der Zugfestigkeit des Granits hat Hr. Föppl zunächst 5 Stücke von 7,45 X 7,45 cm bezw. 7,42 X 7,13 cm und 9,84 X 7,91 cm Querschnitt untersucht. Bei dem ersten Stücke ist der Bruch nahe an der Einspannstelle erfolgt, somit die Ermittelung der Zugfestigkeit aus diesem Versuche nicht statthaft. Das zweite Stück hat nur die Zugfestigkeit von 42,5 kg/qcm ergeben.

Das dritte Stück ist wieder nahe der

Einspannstelle gebrochen. Diese 3 Stücke waren aus gelbem Granit entnommen. Das vierte, aus blauem Granit entnommene Stück hat 51,4 kg/qcm Zugfestigkeit ergeben und das fünfte Stück ist wieder an der Einspannstelle gebrochen.

Ferner sind von Herrn Föppl 11 Zugversuche an Granitstücken von der Form, wie sie bei Gementproben mittelst des Michaelis’schen Zerreissapparats üblich sind, ausgeführt, wobei sich die Zugfestigkeit (S. 34) zu 53 bis 63 kg/qcm, im Durchchnitt zu 57,5 kg/qcm ergeben hat. Diese Versuche stimmen sehr gut untereinander überein, und dürften als nicht viel von der Wahrheit abweichend zu erachten sein.

Herr Föppl ist nun aber auf Grund seiner Versuche zu der Ueberzeugung gelangt, dass die Zugfestigkeit ganz erheblich grösser sei, als die Versuche an kleinen Stücken ergeben. Er ist der Ansicht, dass dieselbe doppelt so gross, ja noch höher anzunehmen sei. Er zweifelt zwar nicht an der Gültigkeit des in allen Gebieten der Physik angewandten „Gesetzes der proportionalen Widerstände“ (S. 40), macht aber geltend, dass es wohl ziemlich zweifellos sei, dass durch die Bearbeitung von Steinkörpern stets eine gewisse Lockerung der Oberflächenschichten eintritt, wodurch kleinere Versuchskörper den grossen gegenüber im Nachtheile sind.

Dieser Einwand ist ohne Zweifel berechtigt und daher räthlich, die kleinen Versuchskörper nicht in der gewöhnlichen Weise mittelst Meissei zu bearbeiten, sondern mittelst der Diamantsäge herzustellen. Dann wird sich vermuthlich ein etwas höherer Werth heraussteilen, aber doch längst nicht ein doppelt so grosser. Denn nimmt man an, dass bei den vorbesprochenen, mit dem Michaelis’schen Apparate zerrissenen Stücken die beiden ausgerundeten Flächen auf 2 mm Tiefe völlig aufgelockert waren, so dass also die Breite des Querschnittes um 4 mm vermindert worden, was doch wahrscheinlich sehr reichlich gerechnet ist, so erhöhet sich die Zugfestigkeit von 57,5 kg auf etwa 68 kg/qcm. Die beiden ebenen Seitenflächen dieser Versuchsstücke waren mittelst der Säge hergestellt, so dass also dabei eine Auflockerung nicht stattgefunden hat.

Herr Föppl hat ferner noch die vollen Balken von 20 X 30 cm Stärke Zugversuchen unterworfen, dabei aber nicht die Balken zum Bruche gebracht, sondern die Zugfestigkeit aus den bei den Biegungsversuchen beobachteten Dehnungen berechnet. Daraus haben sich nun allerdings erheblich höhere Werthe ergeben als aus den direkten Zerreissversuchen, und Herr Föppl spricht seine Ansicht dahin aus, dass dadurch der bestandene Widerspruch zwischen der Biegungsfestigkeit und der Zugfestigkeit gehoben sei.

Es wirft sich in dieser Beziehung die Frage auf: ob die bei den Biegungsversuchen beobachteten Dehnungen und Verkürzungen als völlig richtig zu erachten sind? — Bei der geringen Länge der Versüchsbalken von 1,5 m, und der geringen Durchbiegung von 0,4 bezw. 0,5 mm an der Bruchgrenze, sind die Formänderungen, die Dehnungen und Verkürzungen so verschwindend klein, dass ungeachtet der allergrössten Vorsicht, welche bei den fraglichen Versuchen unverkennbar stattgefunden hat, Irrungen, und somit auch Täuschungen nicht ausgeschlossen sind. Es ist in dieser Hinsicht hervorzuheben, dass bei dem S. 13 beschriebenen Biegungsversuche bis zu 10 t Belastung eine Verschiebung der neutralen Schichte nicht beobachtet ist, während bei allen späteren Versuchen eine sehr merkliche Verschiebung gefunden ist.

Es dürfte sich empfehlen, die Biegungsversuche an Balken von grösserer Länge, etwa 3 m, mit Hebelbelastung zu wiederholen, um stärkere Formänderungen zu erlangen.

Sollte durch fernere Versuche sich das Resultat der jetzigen Versuche bestätigen, dass gar keine oder eine nur geringe Verschiebung der neutralen Schichte stattfmdet, so wird die von Melan, Hartig und vorstehend behandelte Theorie der starken Verschiebung der neutralen Schichte verworfen werden müssen. Man muss alsdann von der Zurückführung der Biegungsfestigkeit auf die Zug- und Druckfestigkeit Abstand nehmen, und zu dem althergebrachten Verfahren zurückkehren, wonach die Biegungsfestigkeit nach der gewöhnlichen Formel, aber unter Ansatz besonderer, durch Biegungsversuche ermittelter Biegungs-Goefficienten ermittelt wird.

Es muss aber hervorgehoben werden, dass die fragliche Theorie der starken Verschiebung der neutralen Schichte Resultate liefert, welche mit den Versuchen sehr gut übereinstimmen, und darum einen hohen Grad der Wahrscheinlichkeit für ihre Richtigkeit hat. In den vorstehenden Erörterungen ist bereits die Zu-treffendheit für Gusseisen-, Beton-, Stein-und Holzbalken

nachgewiesen, und ebenso zeigt sich auch in Betreff der von Herrn Föppl geprüften Granitbalken eine sehr gute Uebereinstimmung, wie die folgende Berechnung ergiebt : l Länge,

= 150 cm, = 20 cm, == 30 cm.

Ъ Breite h Höhe

58 kg/qcm. = 1260 kg/qcm.

Die Zugfestigkeit, nach den Versuchen mit dem Michaelis’schen Apparate К .. =

Die Druckfestigkeit Kd

Demnach ist das Verhältniss der Zugfestigkeit zur Druckfestigkeit wie 58:1260 = 1: 21,72.

Darnach hn :h₁ = 1 : ]/21,72 = 1 : 4,66. hn -j- /q = h = 30 cm,

somit ergiebt sich

hn = 5,3 cm, hl = 24,7 cm.

Demnach

4-20

P==

3-150

zi[(K-Kd) + w-KĄ

[^(5,3² • 1260) + (24,7² ■ 58)1

P— 12583 kg.

Gebrochen ist der Balken bei 12000 kg.

Also auch in diesem Falle erweist sich die in Frage stehende Theorie der starken Verschiebung der neutralen Schichte als zutreffend.

Die von Herrn Föppl ausgesprochene Ansicht, dass durch Annahme der von ihm an den ganzen Balken vermeintlich gefundenen erheblich grösseren Zugfestigkeit der bestandene Widerspruch zwischen der Biegungsfestigkeit und der Zugfestigkeit gehoben sei, ist nicht

zutreffend. Denn selbst wenn die Zugfestigkeit 150 kg/qcm betrüge, ergiebt sich kein mit der Wirklichkeit übereinstimmendes Resultat.

In diesem Falle hätte man dann nämlich einen Körper, dessen Zugfestigkeit Kz 150 kg/qcm und dessen Druckfestigkeit Kd 1260 kg/qcm betrüge.

Das Verhältniss von Zug- zu Druckfestigkeit in dem vorbezeichneten Falle wäre

Kz : Kd = 150:1260 = 1: 8,4

Demnach somit ist

hu = 7,7 cm, hj — 22,3 cm,

demnach die Biegungsfestigkeit nach der vorstehenden Formel

£(7,7² • 1260) + (22,3² • 150)J = 26000 kg.

4-b

3-1

Dieser Balken würde also erst bei 26 000 kg brechen, der geprüfte Balken ist aber bei 12000 kg gebrochen.

Demnach ist also durch die Annahme von 150 kg/qcm Zugfestigkeit der Widerspruch nicht gehoben, sondern er bleibt vollständig bestehen. Alle Biegungsversuche mit Körpern, deren Zugfestigkeit geringer ist als ihre Druckfestigkeit, haben übereinstimmend ergeben, dass die Biegungsfestigkeit grösser ist, als die Berechnung ' nach der gewöhnlichen Formel unter Ansatz des Coef-ficienten der Zugfestigkeit ergiebt-

Bei Annahme der Zugfestigkeit zu 150 kg wird der Balken bei 12000 kg Belastung brechen, wenn auch die Druckfestigkeit 150 kg/qcm beträgt. Für diesen

Fall ergiebt die gewöhnliche Navier’sche Formel das richtige Resultat:

P— ~

2Ъ - h²

2 • 20 • 30² • 150

3-150

= 12000 kg.

Diese Formel ist, wie wiederholt hervorgehoben werden mag, unter der ausdrücklichen Annahme abgeleitet, dass Zugfestigkeit und Druckfestigkeit des betreffenden Materials gleich gross seien. Für diesen Fall hat sich ergeben, dass die neutrale Achse durch den Schwerpunkt des Querschnitts geht, da in diesem Falle das Moment der Zugspannungen gleich ist dem Momente der Druckspannungen.

Bei Körpern aber, bei denen die Zug- und Druckfestigkeit ungleich gross sind, findet Letzteres nur dann statt, wenn eine entsprechende Verschiebung der neutralen Achse angenommen wird.

Durch die Föppl’schen Versuche ist nun festgestellt, dass bei Körpern der letzteren Art die neutrale Achse nicht unabänderlich im Schwerpunkte verharret, sondern dass eine Verschiebung derselben eingetreten ist. Das ist schon ein sehr wichtiges Ergebniss. Zwar ist bis jetzt die Verschiebung viel geringer, als nach der fraglichen Theorie sich ergiebt und es bleibt somit weitere Aufklärung noch übrig.

Herr Föppl erhebt gewichtiges Bedenken gegen die von Melan und Hartig gemachte Annahme, dass die Verschiebung der neutralen Schichte constant so stattfmde, wie sie an der Bruchgrenze sich ergiebt. Dieses Bedenken muss ich theilen, und ich habe in meiner vorstehenden Abhandlung bereits dargelegt, dass die in spannungslosem Zustande im Schwerpunkte liegende Achse sich der stattfindenden Belastung entsprechend verschiebt, so dass die Momente der Zug-und Druckspannungen zu beiden Seiten der neutralen Schichte gleich sind.

Von den untersuchten Sandsteinbalken ist der eine (S. 5) bei der Biegung unter 1,95 t Belastung gebrochen. Die Zugfestigkeit beträgt nach S. 30 etwa 12,2 kg/qcm, die direkte Druckprobe ist laut S. 31 nur bis zu 33,3 kg/qcm fortgesetzt, aber nicht bis zum Bruche gebracht, so dass die Druckfestigkeit nicht bekannt geworden, und somit die Berechnung nach der obigen Formel nicht thunlich ist.

Die Dehnungen und Verkürzungen haben sich bei den Versuchen der Granit- und Sandsteinbalken theils ganz gleich gross, oder doch nur wenig von einander abweichend erwiesen. Das ist ein sehr auffälliges Resultat. Die beiden Dreiecke, welche in den vorstehenden Figuren die Dehnungen und Verkürzungen darstellen, sind unter einander ähnlich, und somit ergiebt sich für den Granitbalken die Verkürzung der äussersten

Faser nur zu

der Dehnung der äussersten Faser.

4,bb

Es muss auch als sehr wahrscheinlich erscheinen, dass bei einem Materiale, dessen Druckfestigkeit 22 mal grösser ist als seine Zugfestigkeit, das Maass der Verkürzung erheblich geringer ist als das Maass der Dehnung. Es dürfte also auch in dieser Hinsicht eine weitere Prüfung nöthig sein.

Bei den Dehnungen und Verkürzungen hat sich nahezu Proportionalität ergeben, und zwar bis zur Bruchgrenze.

Die Elasticitätsgrenze ist nicht ermittelt.

Herr Föppl spricht in seiner Abhandlung sich dahin aus, dass auch bei Gementkörpern die Zugfestigkeit in Wirklichkeit erheblich höher sei, als die Zerreissversuche ergeben. Dazu ist zu bemerken, dass bei Gementkörpern eine Auflockerung der äusseren Kruste nicht stattfmdet, dass vielmehr die Festigkeit der äusseren Schichte grösser ist als die der inneren Theile, da die Erhärtung von Aussen nach Innen fortschreitet. Demnach ist bei starken Gementkörpern die durchschnittliche Festigkeit geringer, als bei kleinen Stücken.

Zweiter Abschnitt.

Die Druckvertheilung im Mauerwerke bei excentrischer Belastung.

§ 10. In neuerer Zeit wird die Lehre der Biegungs-Elasticität nicht nur auf Gewölbemauerwerk, sondern auch zur Ermittelung der Druckvertheilung im Mauerwerke in Folge excentrischer Belastung angewandt.

Winkler hat sich in einem Vortrage über die Stützlinie im Gewölbe, gehalten im Architekten-Verein zu Berlin am 17. März 1879 (siehe „Deutsche Bauzeitung“ 1879 S. 117 u. f.) in dieser Beziehung ausgesprochen wTie folgt: „Die Versuche haben immer mehr und mehr bestätigt, dass das Steinmaterial innerhalb derjenigen Beanspruchungen, welche es in der Praxis erfährt, als vollkommen elastisch anzusehen ist, wie andere feste Körper. Namentlich haben die Versuche von Bau-schinger mit dem Festigkeits-Apparate und die Beobachtungen Köpke’s an bestehenden Bauwerken die Zulässigkeit der Elasticitätsgesetze auf Steinmaterial zur Gewissheit erhoben. In neuerer Zeit findet in der That auch die auf diesem Gesetze beruhende Gewölbe-Theorie immer mehr Anklang. Ich selbst habe bereits in meinem Buche über Elasticität und Festigkeit (1867) hiervon Gebrauch gemacht u. s. w.“

Demgemäss, also unter Anwendung der Elasticitätsgesetze , hat Herr Landsberg im Handbuche der Architektur von Durm u. s. w. im 1. Bande, zweite Hälfte „Die Statik der Hochbau - Konstruktionen“, 2. Auflage sowohl die Gewölbe-Theorie als auch die

Dmckvertheilung in Stützen in Folge excentrischer Belastung und auch durch Gewölbeschub ausführlich abgehandelt. In Betreff der Druckvertheilung hat derselbe zunächst (S. 85 u. f.) die Druckvertheilung in Körpern behandelt, welche Druck und Zug aufnehmen können (Stützen aus Eisen und Holz), und darnach in Körpern, welche nur Druck aufzunehmen vermögen (Mauerwerk).

Es ist daselbst bemerkt, dass Stützen aus Mauerwerk keinen mit Sicherheit in Rechnung zu ziehenden, bemerkenswerthen Zugwiderstand leisten.

Wenngleich zur Erlangung eines völligen Verständnisses auf das Studium der angegebenen Quelle hingewiesen werden muss, so will ich doch wegen der daran zu knüpfenden Betrachtungen einige Resultate daraus in gedrängter Kürze hierher setzen.

1) Druckvertheilung in Querschnitten, welche Druck und Zug aufnehmen können.

|P

Abb. 16.

Aufriss

vP yP

Im Punkte E des Pfeilerquerschnitts J J (Abb. 16) wirke excentrisch die Kraft P in der Entfernung £ von der Pfeilerachse und senkrecht zum Querschnitt J J. Es wird nichts geändert, wenn man im Schwerpunkte О zweiKräfte anbringt,

Z-r

Grundriss welche je gleich und zu P parallel sind, aber entgegengesetzten Sinn haben. Dadurch ergiebt sich

als Wirkung der excentrischen Kraft P: eine im Schwerpunkte 0 angreifende Kraft P und zwei (in Abb. 16 durch einen Bogen verbundene) Kräfte P, welche zusammen ein Kräftepaar mit dem Momente M = Pl bilden; das Moment dreht im vorliegenden Falle nach links. Durch die Kraft und das Kräftepaar werden im Querschnitte die folgenden Beanspruchungen hervorgerufen. Die im Schwerpunkte angreifende Kraft vertheilt sich gleichmässig über die Querschnittsfläche F; sie erzeugt in allen Theilen desselben einen Druck für

P

die Flächeneinheit = p- Das Moment P£ würde,

wenn es allein wirkte, nach den Gesetzen der Biegungs-elasticität in den verschiedenen Abständen von der wagerechten, senkrecht zur Kraftebene durch О gelegten Achse (Abb. 16, Grundriss) verschiedene Spannungen erzeugen, welche sich für irgend einen Punkt C im

Abstande z von der erwähnten Achse zu N₂ =

M-z yji - ergeben. In letzterem Ausdruck ist T das Trägheitsmoment des Querschnittes J J für die Achse Y Y. Da es sich bei den hier zu betrachtenden Konstruktionen hauptsächlich um Beanspruchungen auf Druck handelt, so sollen Druckspannungen als positive, Zugbeanspruchungen als negative Spannungen eingeführt werden.

Die gesammte Spannung im Punkte C ist demnach

Л7 ЛТ I ЛТ P . M-z P P$z F — N₁ + N₂ — -p Ą jt — p H p—

oder

N=~

(i ₊ ^)

Für eine gegebene Kraft P mit gegebenem Angriffspunkte E kann die Spannung sämmtlicher Querschnittspunkte durch vorstehende Gleichung ermittelt werden.

Man braucht nur für 0 alle Werthe von

to fco

z — — bis 0 = + y einzuführen und die zugehörigen Grössen von N zu berechnen. Von der Spannungsvertheilung erhält man ein klares Bild, wenn man in jedem Punkte des Querschnittes die Spannung als Ordinate aufträgt und die Endpunkte dieser Ordi-naten verbindet. Da bei den gemachten Annahmen die Entfernung y des beliebig gewählten Punktes C gar nicht in der Gleichung vorkommt, so folgt, dass die Spannung N unabhängig von y ist ; alle in gleichem Abstande 0 von der Y Y- Achse liegenden Punkte erleiden also gleiche Spannung. Demnach genügt es, die Spannungen aller Punkte aufzusuchen, welche auf einer zur Kraftebene parallelen Linie des Querschnitts liegen und diese nach beliebig gewähltem Maassstabe aufzutragen. Die 0-Werthe sind die Abscissen, die Spannungen N sind die Ordinaten; die Vertheilung findet nach dem durch die obige Gleichung bestimmten Gesetze statt.

In dieser Gleichung sind N und c die einzigen Veränderlichen; beide kommen nur in der ersten Potenz vor. Daraus folgt, dass die Verbindungslinie der Endpunkte der Ordinaten N eine Gerade ist: die Gerade obiger Gleichung. Diese Linie ist bekannt, wenn zwei Punkte derselben bekannt sind. Demnach kann man sie leicht auffinden, indem man z. B. für

В    в

die beiden Endwerthe 0 = — ^ und 0 = -f- — die

u    Ci

Werthe von N ausreclmet und aufträgt. Man erhält etwa die Darstellungen in Abb. 17. Die positiven Werthe von N sind nach oben, die negativen nach unten abgetragen; die ersteren bedeuten Druck, die letzteren Zug. Wenn alle Ordinaten auf der obern Seite der Abscisse liegen, so findet nur Druck statt (Abb. 17 a) ; sonst hat man im Querschnitt theils Druck, theils Zug. Die Grenze, an welcher der Wechsel von Druck zum Zug stattfindet, ist die Nulllinie, gewöhnlich neutrale Achse genannt. Die von der Abscisse und der Geraden der obigen Gleichung eingeschlossene, in Abb. 17 schraffirte Fläche wird als Druckfigur bezeichnet.

Abb. 17.

a)

2) Druckvertheilung in Querschnitten, welche nur Druck aufzunehmen vermögen. (S. 89 u. f.)

Die für die Druckvertheilung unter 1 entwickelten Gesetze gelten auch für Konstruktionen, welche nur Druck aufnehmen können, so lange die Kraft eine derartige Lage hat, dass im ganzen Querschnitt wirklich nur Druckspannungen auftreten, so lange also die Kraft innerhalb der Kernpunkte liegt.

Wenn daher z. B. beim rechteckigen Querschnitte die Kraft im inneren Drittel liegt, so kann die Lage der Nulllinie, sowie die Druckvertheilung genau so ermittelt werden, wie vorhin gezeigt ist.

Wenn aber die Kraft den Querschnitt ausserhalb der Kernpunkte schneidet, so fällt die Nulllinie in den Querschnitt, und es würden an der einen Seite derselben Zugspannungen entstehen, falls das Material dieselben aufnehmen könnte.

Da dieses nach der

Annahme hier nicht möglich ist, so wird auf diesem ganzen Querschnittstheile kein Uebertragen von Spannungen stattfinden können; die ganze Spannungsübertragung findet auf der Druckseite der Nulllinie statt. Man nennt diesen Theil des Querschnitts den wirksamen Querschnitt. Die Form und Grösse des wirksamen Querschnitts und die grösste in demselben stattfindende Spannung wird für den rechteckigen Querschnitt in folgender Weise ermittelt.

Die Entfernung des Angriffspunktes E der excentrisch wirkenden Kraft P von der nächsten Kante sei c ; dieses Maass ist auf derGrund-linie von R ab 3fach abzutragen, daraus er-giebt sich der Punkt К der Nulllinie. Der wirksame Querschnitt ist also P₇ = 3 с b. Wenn sich der Druck P gleich -massig über die Fläche Fz vertheilte, so wäre die Druckspannung für

Ab b. 18.

Aufriss

iE

Grundriss

1-

die Flächeneinheit gleich

; der wirklich stattfindende

2    P

3    bc

als wenn P sich gleichmässig vertheilte. Die Druckfigur in diesem Falle wird also erhalten, indem man

Maximaldruck ist N

3b c

d. h. doppelt so gross,

nach beliebigem Maassstabe N

max

2P

von R aus

3b c

nach U aufträgt, und den Punkt U mit К verbindet. Die lothrecht schraffirte Fläche giebt die Druckfigur.

3) Die Druckvertheilung in den Widerlagsmauern der Gewölbe. (S. 261 u. f.)

Abb. 19.

'"T" '

'r—i

i—Tf-------

____Je____

V«

Ei Y ⁶'

fl *

Die Widerlager-Stützlinie ist in der gewöhnlichen Weise zu bestimmen. In Abb. 19 ist H der Horizontalschub des Gewölbes, G die Schwerlinie des halben Gewölbes einschliesslich

; R,

dessen Belastung, R die Es ist

Resultante der beiden Kräfte H und G.

und V — G. Die Resultante R wirkt in A h

auf den Kämpfer. In diesem Punkte wirkt also der Horizontalschub jff, in der Höhe r über der Sohle ; somit ist das Moment des Horizontalschubes = H • r.

Die vertikale Kraft V = G wirkt in der Entfernung e von der rechtsseitigen Mauerkante.

G₁ ist das Gewicht der Widerlagsmauer und deren Belastung, wirkend in der Schwerlinie dieses Gewichtes. Die Linie der Resultante R ist zu verlängern bis zu der Schwerlinie G₇; in dem Schnittpunkte К zerlegt sich die Resultante R in die beiden Seitenkräfte, aus denen sie entstanden ist, H und G. Das Gewicht G addirt sich zu dem Gewichte G,, so dass in der Schwer

linie nunmehr das Gewicht G -f- G₁ wirkt ; aus diesem vereinigten Gewichte G -f G₂ und H ergiebt sich die Resultante Ry, welche die Sohle JJ in dem Punkte 2£ schneidet, in der Entfernung £ von der Schwerlinie Gr Die Entfernung des Punktes E von der linken Mauerkante J = X,

G, G (d — e) — Hr G + G,

Wenn sich für x ein negativer Werth ergiebt, so bedeutet dies, dass die Kraft R₁ den Querschnitt links von der Aussenkante der Mauer schneidet, dass also Kippen eintreten muss.

Nach Auffindung des Schnittpunktes E kann die grösste Spannung an der äussern linken Mauerkante nach den vorhin unter Nr. 1 und 2 angegebenen Formeln berechnet werden.

Abb. 20.

Ist x — \ d, also q = „ d, so er-D    о

giebt sich die Druckfigur Abb. 20; darnach ist der Druck an der rechtsseitigen Mauerkante = 0 und an der J linksseitigen Mauerkante doppelt so gross, als wenn das Gewicht G, G gleichmässig über den Querschnitt JJ vertheilt wäre.

Ist aber X — d, so ergiebt sich

Abb. 21.

die Druckfigur Abb. 21, wonach der Kantendruck links doppelt so gross ist, als wenn das Gewicht (r, -f- G J gleichmässig über die linksseitige Fläche

3

JK (= — der ganzen Querschnittsfläche JJ) vertheilt wäre, und 2²/₃mal so gross, als wenn das Gewicht G₂ -j- G gleichmässig über die ganze Fläche JJ vertheilt wäre.

Damit will ich die vorhin bezeichnete Anführung einiger Resultate aus dem Landsberg’schen Werke ab-schliessen.

§ 11. In einem, vor einiger Zeit zur Kenntniss-nahme mir zugegegangenen Gutachten hat der betreffende Sachverständige die Vergrösserung der Kantenspannung einer Widerlagsmauer mit hoher Ueber-mauerung in Folge des Gewölbeschubes berechnet nach der Biegungs - Elasticitäts - Formel

M-__z

Darin bedeutet N₂ die Vergrösserung der Spannung an der äussern Kante; M das Biegungsmoment; 0 die Entfernung der äussern Kante von der Schwerpunktsachse; T das Trägheitsmoment.

Das ist also die Formel, welche abgeleitet ist für einen Stab, welcher an einem Ende fest eingespannt ist und an dessen freiem Ende eine Kraft biegend einwirkt (siehe nebenstehende Abb. 22 und vergl. Landsberg a. a. O. S. 64).

Abb. 22.

H*.

тп

-fer

Ln

Es ist mir mitgetheilt, dass dieses Verfahren in neuerer Zeit üblich sei. Das Moment M ist angesetzt = H -h.

Nun ist aber doch unbestreitbar, dass durch die Uebermauerung oberhalb H die Widerstandsfähigkeit der Widerlagsmauer wesentlich erhöhet wird, wodurch sodann die Kantenspannung N sich vermindert.

Abb. 23.

~sr

i-i-

m'-

Lj

ГсГХ

Durch folgende Darlegung wird solches bewiesen. Die nebengezeichnete Mauer, Abb. 23, habe zunächst die Höhe Л, und auf das obere Ende wirke der Horizontalschub H, von solcher Grösse, dass die Resultante R von H und dem Gewichte der Mauer G durch die linke Kante der Mauer schneide, so dass also die Grenze des Gleichgewichts vorhanden sei. Wird nun die Mauer um das Doppelte der Höhe erhöhet, so dass also das Gewicht 2 G beträgt, so schneidet die Resultante R: der beiden Kräfte H und 2 G die Sohle bei E, in der Mitte zwischen J und der Schwerachse G. Rei noch weiter gehender Erhöhung der Mauer nähert sich der Schnittpunkt noch entsprechend weiter der Schwerlinie, so dass also die

Entfernung- des Punktes E von G, in vorstehender Gleichung S. 47 mit £ bezeichnet, entsprechend kleiner, und die Entfernung J E, in vorstehender Gleichung S. 50 mit c bezeichnet, entsprechend grösser wird. Dadurch vermindert sich entsprechend der Werth der Druckspannung der äusseren Mauerkante.

Daraus ergiebt sich, dass die Berechnung des Kantendruckes bei Widerlagsmauern in der vorerwähnten

Weise nach der Formel N₂

nicht zulässig ist.

Dieselbe ist aber auch deshalb unzulässig, weil darin das Eigengewicht der Widerlagsmauer, welches doch in Betreff der Standfähigkeit eine hochgewichtige Rolle spielt, ganz ausser Berücksichtigung bleibt.

Die Berechnung muss daher nach der vorstehend S. 51 u. f. bezeichneten Weise erfolgen.

§ 12. Die vorstehend im § 10 bezeichnete Berechnungsmethode des Kantendruckes der Mauern in Folge excentrischer Belastung ergiebt nun aber in vielen Fällen, und zwar bei Mauern, welche in den üblichen, durch die Erfahrung bewährten Stärken ausgeführt sind und sich seit langen Jahren als völlig standsicher erwiesen haben, einen so grossen Kantendruck, welcher weit über das als zulässig erachtete Maass der Belastung von frischem Mauerwerk hinausgeht. Ich will das durch einige Beispiele zeigen.

1) Bei einer gewölbten Eisenbahnbrücke, kon-struirt nach den früher bei der hannoverschen Eisenbahn-Verwaltung, sowie bei den preussischen Eisenbahn-Verwaltungen bestandenen Vorschriften, nach welchen hunderte von Brücken mit bestem Erfolge ausgeführt sind, 12 m Spannweite, Höhe vom Fundament bis zum Kämpfer 6,0 m, Pfeilhöhe 2,0 m, Ueberschüttung über dem Scheitel 1,3 m, Stärke der aus Bruchsteinen in Kalkmörtel ausgeführten Widerlagsmauer 5,0 m. Die gleichmässig vertheilte Belastung beträgt 3,36 kg/qcm. Die Resultante schneidet die Sohle in der Entfernung von der äussersten Mauerkante = 1,0 m. Das ist also der Punkt E der vorstehenden Abb. 19. Darnach berechnet sich der äusserste Kantendruck

= 11,2 kg/qcm.

max

ЗЬ с

Die als zulässig erachtete Belastung von Bruch-stein-Kalkmörtel-Mauerwerk ist aber nur 5 kg/qcm, also ist die berechnete Spannung 2³/₅ mal so gross.

2) Brücke der hannoverschen Eisenbahnen : Spannweite 9,1 m, ganze Höhe von der Fundamentsohle bis zur Bahnkrone 9,0 m, Höhe von der Sohle bis zum Kämpfer 6,0 m, Pfeilhöhe des Flachbogens 1,5 m, Stärke der Bruchstein-Widerlagsmauer 4,0 m. Die gleichmässig vertheilte Belastung beträgt 2,9 kg/qcm. Die Resultante schneidet die Sohle in der Entfernung von der

äusseren Kante = -F der Mauerstärke. Der äusserste 5

9,7 kg/qcm,

max

Kantendruck berechnet sich 2 P 3 b • c

also ebenfalls erheblich über das zulässige Maass von 5 kg/qcm hinausgehend.

3) Bei einer Hochbau-Gewölbe-Konstruktion von 4,4 m Spannweite, Höhe bis zum Kämpfer 4,85 m, Pfeilhöhe 1,11 m, Uebermauerung über dem Scheitel 1,1 m, Stärke der Bruchstein-Widerlagsmauer 2,0 m, die gleichmässig vertheilte Last ist 2,4 kg/qcm. Die Resultante schneidet die Sohle in 0,4 m Entfernung von der äussersten Kante. Die Spannung der äussersten = 8,0 kg, also auch weit über das zulässige Maass von 5 kg/qcm hinausgehend.

Kante berechnet sich zu N

4) Bei einer Gebäude - Umfassungsmauer von 4 Geschossen je 3,5 m hoch, im 1. Geschosse = 77 cm stark, im 2. = 64 cm, im 3. = 51 cm, im 4. = 38 cm, die Absätze in der üblichen Weise nach innen vor

tretend, von Mauerziegeln in Kalkmörtel ausgeführt, berechnet sich, ohne Berücksichtigung der Gebälkelasten, der äussere Kantendruck an der Sohle in Folge excentrischer Belastung zu

max

N — 3,38 kg/qcm,

und an der Innenkante = 0.

Die Spannung von 3,38 kg ist nun zwar noch erheblich geringer als die zulässige, aber die grosse Ungleichheit des Druckes, an der äussern Kante 3,38 kg, an der innere Kante = Null, ist offenbar im hohen Grade bedenklich, weil dadurch eine ganz ungleiche Zusammendrückung des Mauerwerks, und eine sehr ungleiche Belastung des Bodens unter der Sohle veranlasst wird.

5) Bei einer aus Bruchsteinen in Kalkmörtel ausgeführten Thurmmauer von 5 Geschossen, das 1. Geschoss über Sockel 2,5 m stark, 8,4 m hoch, das 2. 2 m stark, 8,5 m hoch, das 3. 1,5 m stark, 9,6 m hoch, das 4. 1,0 m stark, 9,0 m hoch, das 5. 0,75 m stark, 5,0 m hoch, berechnet sich die äussere Kantenspannung zu N = 13,30 kg/qcm, und an der inneren Seite auf 30 cm Breite = 0. Zu den vorstehenden 13,30 kg kommt sodann noch in Folge Gewölbeschub hinzu 2,07 kg, so dass die ganze Spannung an der äussern Kante sich berechnet zu 15,37 kg/qcm, also weit über das zulässige Maass hinaus.

6) In den von mehreren Sachverständigen erstatteten Gutachten, betreffend den Einsturz eines im Bau begriffenen Thurmes, ist eine Kantenspannung von bezw. 20, 15, 13 kg/qcm nach der vorbesprochenen Methode berechnet. Das Mauerwerk war aus bossirten Sandbruchsteinen und Kalkbruchsteinen in Kalkmörtel ausgeführt, und es hat zur Zeit des Einsturzes die gleich-massig über die Grundfläche vertheilte Belastung in der Basisfuge 8,58 kg/qcm betragen. Der eine Sachverständige, eine anerkannte Autorität im Gebiete der Baumechanik, bemerkt zu der berechneten Spannung von 15 kg/qcm, dass diese Spannung durchaus keine ausserge wohnlich hohe sei. Daraus ist zu entnehmen, dass dieser Sachverständige auch in andern Fällen ähnlich hohe Spannungen berechnet hat, und er eine Gefährdung durch diese Spannung bei ausgeführten Bauwerken nicht gefunden hat.

§ 13. In der That haben viele, viele Bauwerke, bei denen ähnlich grosse Kantenspannungen, wie die vorhin angegebenen, nach der vorbesprochenen Berechnungs-Methode sich berechnen, durch die Erfahrung als völlig sicher sich erwiesen.

Der in den vorstehenden Fällen bezeichnete grosse Kantendruck geht aber weit über das als zulässig erachtete Maass der Beanspruchung hinaus, man befindet sich also vor einem Widerspruche, und ist vor die Alternative gestellt:

entweder kann das Mauerwerk ohne Gefährdung einen erheblich grösseren Druck ertragen, als den für zulässig anerkannten;

oder die Kantenspannung ist geringer, als sie nach der vorbesprochenen Berechnungsmethode sich ergiebt.

In Betreff der ersten Alternative ist hervorzuheben, dass die geltenden Sätze des zulässigen Druckes von Mauerwerk nach sorgfältigen, umfassenden Erfahrungen ermittelt, daher als richtig anzuerkennen sind.

Zwar scheint es auf den ersten Blick, dass der dabei angenommene 10 fache Sicherheitsgrad sehr wohl ermässigt werden könne ; es ist aber zu berücksichtigen, dass dieser hohe Sicherheitsgrad auf altes Mauerwerk, in welchem der Mörtel völlig steinartig erhärtet ist, sich bezieht. In frischem Mauerwerke, und insbesondere in frischem Kalkmörtel-Mauerwerke ist ein so grosser Sicherheitsgrad längst nicht vorhanden. Beim Vermauern poröser Steine (poröse Ziegel, poröse Sandsteine etc.) verliert allerdings gleich nach dem Vermauern der Mörtel den breiigen Zustand, da die porösen Steine dem Mörtel den grössten Theil seines Wassers entziehen, aber er ist zwischen den Fingern noch leicht zerreiblich; erst nach dem Austrocknen wird die Masse fester, bleibt aber doch noch längere Zeit leicht zerbrechlich und zerreiblich.

Die in den Mittheilungen der Königl. tech. Versuchsanstalten zu Berlin, 2. Jahrg. 1884 mitgetheilten Zer-drückungsversuche haben ergeben:

1)    Mauerwerks-Würfel aus gewöhnlichen Mauerziegeln in Kalkmörtel (1 Thl. Kalk, 2 Thl. Sand), 3 Monate alt wurden vollständig zerdrückt durch 73—83 kg/qcm;

2)    Der Kalkmörtel für sich durch 12,5 kg/qcm.

Diese Versuche sind für starkes Mauerwerk

nicht gültig, da die Erhärtung des Mörtels in starken Mauern viel langsamer vor sich geht, als in kleinen Versuchsstücken. Demnach beträgt das Zerdrückungs-gewicht in starken Mauern erheblich weniger als 70 kg/qcm, und somit ist bei einer als zulässig angenommenen Belastung von 7 kg/qcm nach 3 Monaten noch längst keine 10 fache Sicherheit vorhanden.

Ganz besonders ungünstig ist das Verhalten des Kalkmörtels in Bruchsteinmauerwerk aus dichtem Gestein, z. B. dichtem Kalkstein, oder Granit, Syenit etc. Solches Gestein ist so wenig porös, dass es dem Mörtel nur sehr wenig Wasser entziehen kann. Wenn nun auch der Mörtel für solches Mauerwerk recht steif, d. h. mit möglichst wenig Wasser bereitet wird, so bleibt derselbe im Innern starker Mauern doch lange Zeit hindurch weich, also nachgiebig.

Bei dem eingestürzten westlichen Thurme der hiesigen evangelischen Garnisonkirche betrug zur Zeit des Einsturzes am 25. Juli 1893 die Belastung über dem Sockel 8,58 kg/qcm. Bei dem gleichen östlichen Thurme waren zu dieser Zeit bereits so erhebliche Risse, Verdrückungen und Ausbauchungen eingetreten, dass der Abbruch als geboten erachtet werden musste. Die Belastung dabei war ebenso wie bei dem westlichen Thurme. Diese Thürme waren aus Kalkbruchsteinen und quaderartig bossirten Sandsteinen in Kalkmörtel aufgeführt. Das 1. Geschoss war am 5. April 1892 begonnen, hatte also zur Zeit des Einsturzes ein Alter von 15 ²/₃ Monaten. Der Mörtel in den untern Schichten war noch leicht zerreiblich.

In meiner Schrift „Die Festigkeit der Baumaterialien, Hannover 1891“, habe ich S. 54 angeführt, dass bei einem in hiesiger Gegend ausgeführten Bau von Eisund Bier-Lagerkellern das bei nassem Wetter in Kalkmörtel aufgeführte Ziegelmauerwerk schon bei einer Belastung von 4 bis 5 kg/qcm, und frisches, in

Kalkmörtel ausgeführtes Bruchsteinmauerwerk bei 3 bis 3,5 kg/qcm nachzugeben begann.

Die Belastung von Mauerwerk darf aber nicht grösser sein, als dasselbe bei der Ausführung völlig sicher zu ertragen vermag, und somit muss man, unter Berücksichtigung des Vorstehenden, in der Ueber-zeugung bestärkt werden, dass die Vorschrift der Bau-Abtheilung des Königl. Preussischen Ministeriums der öffentlichen Arbeiten vom 16. Mai 1890 über die zulässige Belastung von Mauerwerk, und zwar:

kg/qcm

Kalksteinmauerwerk in Kalkmörtel Gewöhnliches Ziegelmauerwerk in Kalkmörtel. .    7

12

Ziegelmauerwerk in Gementmörtel Bestes Klinkermauerwerk in Gementmörtel ... 14—20 Mauerwerk aus porigen Steinen, je nach der

3-6

Festigkeit derselben..............

als völlig berechtigt anzuerkennen ist.

Somit ist die vorhin aufgestellte erste Alternative zu verneinen und darnach die zweite Alternative als gültig zu erachten, nämlich dass bei excentrischer Belastung von Mauerwerk die Kantenspannung geringer ist, als die vorbesprochene Berechnungs-Methode sie ergiebt.

§ 14. Von mehreren Seiten ist die Ansicht ausgesprochen, dass die Gesetze der Biegungs-Elasticität auf Mauerwerk nicht anwendbar seien, insbesondere nicht auf frisches Kalkmörtelmauerwerk. Diese Ansicht ist in Betreff des Gementmauerwerks als berechtigt nicht anzuerkennen.

Der Cement-Beton hat bekanntlich einen höheren Grad der Biegungsfestigkeit. Man wendet ihn in ausgedehntestem Maasse zu Deckenkonstruktionen an, wobei also die Biegungsfestigkeit in Anspruch genommen wird.

= 160 kg/qcm = 18 kg/qcm

Wie im § 7 angegeben, ist für Gement und Cement-Beton nach drei Monaten anzunehmen: die Druckfestigkeit Kd die Zugfestigkeit K„. .

Bei zunehmendem Alter erhöhen sich diese Werthe.

Die Biegungsfestigkeit beträgt etwa */₄ der Druck

festigkeit.

Ebenso oder doch ähnlich ist das Verhalten des Gementmörtel-Mauerwerks.

in

Bei altem Kalkmörtel-Mauerwerke welchem der Mörtel steinhart geworden, ist unbestreitbar ein hoher Grad der Zugfestigkeit, und somit auch ein hoher Grad der Biegungsfestigkeit vorhanden.

Erheblich ungünstiger ist das Verhalten des frischen Kalkmörtel-Mauerwerks. Dasselbe hat nach 3 Monaten, ja auch nach 12 Monaten nur einen geringen Grad der Zugfestigkeit, und somit also auch nur einen geringen Grad der Biegungsfestigkeit.

Meines Wissens ist die Zugfestigkeit derartigen Mauerwerks durch Versuche noch nicht ermittelt, und deshalb die Bitte an die Versuchsanstalten berechtigt, im Interesse der Wissenschaft als auch wegen des hohen Werthes für die Baupraxis, durch Versuche die Zugfestigkeit von Kalkmörtel-Mauer werk zu ermitteln. Diese Versuche müssen an in Kalkmörtel vermauerten Steinen ausgeführt werden, und nicht mit blossen Kalkmörtelstücken, weil bei diesen der Festigkeitsgrad geringer ist als bei dem Mörtel der Steinfugen. Auch müssen die kleinen Versuchs-Mauerstücke, von Mauerwerk zunächst 3—12 Monate umschlossen gehalten werden, um dieselbe Beschaffenheit zu erlangen, welche in starken

Mauern vorhanden ist. Würden die kleinen Versuchsstücke ohne weiteres der freien Luft ausgesetzt werden, so würden sie einen höheren Festigkeitsgrad ergeben, als er in starken Mauern vorhanden ist.

Die Zugfestigkeit der Steine beträgt nach Bau-schinger etwa */26 der Druckfestigkeit. So gross ist die Zugfestigkeit von 3 bis 6 Monate alten Kalkmörtel-Mauern gewiss nicht. Vorläufig mag angenommen werden, dass die Zugfestigkeit von solchem Mauerwerke etwa der Druckfestigkeit beträgt.

Die Druckfestigkeit von gewöhnlichem Kalkmörtel-Ziegelmauerwerk ist = 70 kg/qcm, demnach ist die Zugfestigkeit bis auf Weiteres zu 2,0 kg/qcm anzunehmen.

§ 15. Unter diesen Annahmen, und unter der vorläufigen Annahme, dass das Elasticitätsgesetz auf frisches Kalkmörtel - Mauerwerk angewandt werden könne, sowie unter Beachtung des Umstandes, dass bei der Biegung von Mauerwerk eine Verschiebung der neutralen Achse stattfmdet, wie solche vorhin im 1. Abschnitte für solche Körper nachgewiesen ist, bei denen die Druck- und Zugfestigkeit verschieden gross sind, ergiebt sich für Kalkmörtel-Ziegelmauer-werk, 3 bis 6 Monate alt, Folgendes:

Die Druckfestigkeit ist anzunehmen zu 70kg/qcm; die Zugfestigkeit vorläufig zu 2,0kg/qcm; das Ver-hältniss der Zug- zur Druckfestigkeit ist darnach 1:36 (an der Bruchgrenze).

Die zulässige Belastung ist anzunehmen zu 7 kg/qcm.

Die in einem vorliegenden Falle vorhandene, gleich-massig vertheilte Belastung betrage 3 kg/qcm;

die zulässige Beanspruchung auf Biegung ist anzunehmen zu ]/4—Vs der Biegungsfestigkeit.

Darnach ergiebt sich folgende Tabelle (vergl.

§§ 6 u. 7):

In Anspruch- Auf 1 qcm kg Zug Druck

nähme auf

V erhäl tniss von

Biegung

К*

к,

гЧ    г-H llO

2,0

0,5

0,4

70

1:

1+35 = 36

м4 = 10

3,2

35

Für die beispielsweise angenommene gleichmässig vertheilte Belastung von 3 kg/qcm ergiebt sich das Ver-hältniss von Zug zu Druck wie 1:8, also das Ver-hältniss der Entfernungen der neutralen Achse von den Aussenkanten der Mauer bezw. auf der Druckseite und der Zugseite, hn : h, — 1 : ]/8 = 1: 2,8, also + = 0,26 h und hj — 0,74 h, wenn man die Stärke der Mauer mit h bezeichnet (der leichtern Vergleichung halber mit der Bezeichnung im 1. Abschnitte).

Die nebenstehende Abb. 24 stelle vor den Vertikal-Durchschnitt eines Mauerpfeilers AB CD aus Ziegeln in Kalkmörtel, mit rechteckiger Grundfläche. Die Mittellinie FF ist die Schwerpunktachse. Bei der vorstehend angenommenen Belastung von 3 kg/qcm ist nach der vorstehenden Ermittelung die ver-B schobene neutrale Achse HH von der linken Druckseite = 0,26 h ent-

, Abb. 24.

D E'H F G

!—H—4ll —

fernt.

Wirkt nun die excentrische Last G in dem

Punkte E, in der Entfernung HE, links von der neutralen Achse HH, so ist diese Entfernung HE der Werth ç der früher angegebenen Formel, da die neutrale Achse HH die Drehachse ist, nicht aber die Mittellinie FF.

Folgendes Beispiel zeigt den grossen Unterschied der beiden fraglichen Berechnungs - Methoden. Der Mauerwerkspfeiler Abb. 24 habe die Stärke h — 100 cm und die Breite 100 cm, also die Grundfläche —10 000 qcm. Die excentrische Kraft G = 30000 kg. wirke bei E in der Entfernung von A = 20 cm. Die Drehachse H H ist nach der vorstehenden Ermittelung von A entfernt = 0,26 h — 26 cm, also ist E H — £ = 6 cm. Darnach berechnet sich die Yergrösserung des Kantendrucks bei A nach der Formel

30 000 • 6 • 26

0,33 kg.

14 093 000

(Das Trägheitsmoment T, bezogen auf die Achse HH, ist

2    ф

¹⁰⁰ •¹⁰°³-.    100 • 100 • 24².)

1.u

Die Vergrösserung des Kantendrucks bei A beträgt also nach vorstehender Berechnung 0,33 kg/qcm, somit der ganze Kantendruck 3 -f- 0,33 = 3,33 kg.

Dagegen ergiebt sich für das vorstehende Beispiel der ganze Kantendruck nach der im § 10, Seite 50, Abb. 18 angeführten Methode zu 3*/з X 3 kg = 10 kg/qcm.

Greift die excentrisch wirkende Kraft G in der neutralen Achse HH, oder in einem Punkte zwischen H und der Mittellinie F an, so ist ein Drehmoment nicht vorhanden, und findet dann also eine Ver-grösserung des Kantendruckes über die gleichmässig vertheilte Belastung nicht statt.

Nach meiner Ueberzeugung, die ich nachfolgend näher begründen werde, ist das Elasticitätsgesetz auf frisches Kalkmörtel-Mauerwerk nicht anwendbar, und daher das vorstehend ermittelte Resultat als richtig nicht anzuerkennen.

Für einen in Gementmörtel ausgeführten Pfeiler von 1,0 m Stärke und 1,0 m Breite stellt sich die Berechnung wie folgt:

Die Druckfestigkeit ist anzunehmen zu 160 kg und die Zugfestigkeit zu 18 kg/qcm (an der Bruchgrenze), also das Verhältniss der Zug- zur Druckfestigkeit wiel : 9.

Die zulässige Belastung ist anzunehmen zu 12 bis 13 kg/qcm.

Die gleichmässig vertheilte Belastung betrage beispielsweise 4 kg/qcm.

Darnach ergiebt sich folgende Tabelle (vergl.

§§ 6 u. 7.):

Inanspruchnahme auf Biegung

Auf 1 qcm kg

Zug Druck К    К.

z    а

V erhältniss von

Kd

Goi >—¹ —ai i—¹ Oil i-¹ Cni i—‘ (4^! H-¹

hs +    83 ha +    +

18 160

4,5

3,6

2,6

2,25

1:

13

1 + 8 = 9 1+^ = 3

9,3

1 + it = 2³/₅

4,5

1 + ^ = 2 V3 1 + 1 = 21/7 1 + 1 = 2

Für die angenommene gleichmässig vertheilte Belastung von 4 kg/qcm ergiebt sich das Verhältniss von Zug zu Druck wie 1:2, also das Verhältniss der Entfernungen der neutralen Achse von den Aussenkanten der Mauer bezw. auf der Druckseite und der Zugseite hu :hj = 1 : V 2 =1:1+7 also +/= 0,4 h und h₁ = 0,6 h.

Wirkt nun die excentrische Last G in der Entfernung AE (Abb. 24) = h — 20 cm, so ist die Entfernung dieses Angriffspunktes von der neutralen Achse HH = $ = 20 cm, und sonach berechnet sich die Ver-grösserung des Kantendruckes bei A 40000 -20-40

G-ï-z

9333000

= 3,4 kg,

Dazu

= 4,0 kg gleichförmig vertheilt = 7,4 kg/qcm.

Dagegen ergiebt die im § 10 Seite 50 angeführte Methode 3*/з X 4 kg = 13 x/₃ kg/qcm.

Derselbe Betrag ergiebt sich auch für Kalkmörtel-Mauerwerk, falls dabei die gleichmässig vertheilte Belastung 4 kg/qcm beträgt.

Ist die gleichmässig vertheilte Belastung eine grössere, so berechnet sich nach der vorbezeichneten Methode auch ein noch grösserer Kantendruck. Bei einer gleichmässig vertheilten Belastung von 5 kg/qcm ergiebt sich der Kantendruck in den vorstehend behandelten Beispielen zu Зх/з X 5 kg = 16²/₃ kg/qcm, und bei einer gleichförmig vertheilten Belastung von 6 kg/qcm berechnet sich der Kantendruck zu Зг/₃ X 6 kg = 20 kg/qcm.

§ 16. Einen solch grossen Druck, welcher weit über das Maass der zulässigen Belastung hinaus geht, kann das Mauerwerk, besonders das frische Kalkmörtel-Mauerwerk nicht ertragen.

Abb. 25.

A El

Ausserdem kommt sodann noch in Betracht die grosse Ungleich-mässigkeit des Druckes, welche nach der dreieckigen Druckfigur (Abb. 25) innerhalb der Mauerstärke sich ergiebt.

Ist der Angriffspunkt der excentrisch wirkenden Last G inE von der Kante

77 der Mauerstärke entfernt, so ist о

1600

Abb. 26.

4öm

3

der wirksame Querschnitt А С — ^

der Grundfläche А В, und es ergiebt sich darnach der Kantendruck bei А zu 3 % mal der über die ganze Grundfläche AB gleichmässig vertheilten Belastung. Wird diese nun zu nur 2 x/₂ kg/qcm angenommen, so beträgt der Kantendruck bei А = 8 kg/qcm.

1 cbm Ziegelmauerwerk wiegt 1600 kg, also ein Prisma von 1 qcm Grundfläche und 1,0 m Höhe

— kg. Demnach beträgt

10000

die Höhe eines Mauerwerkskörpers, der an seiner Sohle einen Druck von 8 kg auf das qcm ausübt, 48 m.

Um sich nun eine richtige Vorstellung von der fraglichen Druckwirkung zu machen, habe ich in der nebenstehenden Abb. 26 die vorermittelte Höhe von 48 m nach demselben Maassstabe aufgetragen, nach welchem die Stärke der Mauer А В = 5m gezeichnet ist. Das Dreieck A CAj bezeichnet die Druckfigur. Darnach ist an der linken Aussenseite der Mauer der volle Druck von 48 m Höhe vorhanden, von da nimmt der Druck stark ab bis (7, woselbst der Druck = 0 ist. In dem rechten Theile der Mauer CB soll ein Druck nicht vorhanden sein.

Darnach ist also in der Mauer eine ganz erheblich ungleiche Druckwirkung vorhanden, so dass dieserhalb das in Kalkmörtel ausgeführte Mauerwerk nicht standfähig ist. In Folge des so sehr ungleichen Druckes ist die Zusammendrückung gleichfalls erheblich ungleich, so dass die Steine zerbrochen werden, und somit eine solche Zerklüftung entsteht, dass der Einsturz unzweifelhaft eintreten muss.

Abb. 27.

V/.

Die Erfahrung hat gelehrt, dass wenn Mauern von erheblich verschiedener Höhe mit einander im Verbände ausgeführt sind, an der Anschlussstelle die eingreifenden Steine abgebrochen werden und eine vollständige Trennungsfuge entsteht. Das höhere Mauerwerk wird in Folge des grösseren Druckes stärker zusammen gepresst, auch der Erdboden unter demselben stärker gepresst, als bei dem niedrigeren Mauerwerke. Das ist z. B. der Fall bei dem Anschlüsse der Kirchenmauern an die Thürme, sowie beim Anschlüsse der Gebäudemauern an hohe Schornsteine u. s. w. Daraus hat sich die Lehre ergeben, Mauerwerke von erheblich verschiedenen Höhen nicht mit einander im Verbände auszuführen, sondern die niedrigen Mauern in einen Falz der höheren Mauern eingreifen zu lassen, wie Abb. 27 zeigt.

Erheblich gefährlicher ist die stark ungleiche Druckwirkung innerhalb der Stärke ein und derselben Mauer ; es entstehen drei abgetrennte Lamellen, welche mehr oder weniger zertrümmert werden, so dass der Einsturz erfolgen muss.

Dieser Vorgang ist nun aber bei regelrecht ausgeführten Mauerwerken nicht beobachtet. Bei den Widerlagsmauern grösserer Brücken z. B., in denen in Folge des Gewölbeschubes eine stark excentrische Druckwirkung stattfmdet, hat man bei regelrechter Ausführung des Mauerwerks die vorbezeichnete Zerstörung nicht gefunden. Wenn das Mauerwerk regelwidrig, im Innern z. B. aus Bruchsteinen als sogen. Füllmauerwerk ausgeführt ist, dann haben sich freilich Zerstörungen ergeben, diese sind dann aber die Folge der schlechten Ausführung. Bei regelrecht ausgeführtem Mauerwerke hat sich in Folge der stattfindenden excentrischen Druckwirkung eine derartige Zerstörung nicht gezeigt.

Darnach muss man also auch aus diesem Grunde in der Ueberzeugung bestärkt werden, dass die fragliche Theorie der Druckvertheilung für frisches Kalkmörtel-Mauerwerk keine Gültigkeit hat.

Diese Theorie hat unzweifelhaft Gültigkeit für Schmiedeeisen und Stahl, da bei diesen Materialien die neutrale Achse durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche geht; bei Gusseisen, Holz, Stein- und Gementkörpern ist die Verschiebung der neutralen Achse in Berücksichtigung zu ziehen, auf frisches Kalkmörtel-Mauerwerk kann aber, nach meiner gewonnenen Ueberzeugung, die so modificirte Theorie nicht angewandt werden.

Das frische Kalkmörtel-Mauerwerk ist kein derartig einheitlicher, elastischer Körper, als die anderen vorgenannten Körper. Der Kalkmörtel bleibt lange Zeit hindurch zerreiblich, verschieblich, quetschbar; er wird unter starkem Drucke in sich zusammengedrückt, in die Poren der Steine und Zwischenräume hineingepresst und auch aus den Fugen herausgequetscht, auch vermindert sich in Folge des Austrocknens sein Volumen. In Folge dieser Vorgänge tritt eine erhebliche Höhenverminderung, das sogen. Setzen, ein. Nach Aufhören des Druckes kehrt das Mauerwerk nicht in den früheren Zustand zurück Körpern. Wirkt ein starker Druck auf einen kleinen Theil der Oberfläche, so vertheilt sich der Druck in Folge des Steinverbandes in das umgebende Mauerwerk. Das Verhalten des frischen Kalkmörtel-Mauer-werks bei starker Belastung ist also ein wesentlich anderes als das Verhalten der übrigen vorgenannten Körper, und sonach ist es erklärlich, dass die Biegungs-Theorie und die daraus abgeleitete Druckvertheilung auf frisches Kalkmörtel-Mauerwerk keine Anwendung finden kann.

wie bei elastischen

Demnach kann die vorhin im § 15 versuchte Anwendung jener Theorie auf solches Mauerwerk, und das daraus gewonnene Resultat als richtig nicht anerkannt werden.

Man kann sich der Erkenntniss nicht verschliessen, dass durch eine grosse, stark excentrisch wirkende Kraft eine stärkere Spannung veranlasst wird, als jenes Resultat ergeben hat. Zwar ist nicht zu bestreiten, dass in Folge des Mauerverbandes eine Uebertragung des Druckes, und somit eine Vertheilung desselben stattfindet, aber es muss höchst unwahrscheinlich erscheinen, dass diese Wirkung eine so grosse ist, als es nach jenem Resultate der Fall sein müsste.

§ 17. Somit muss eine andere Lösung der obschwebenden Frage erstrebt werden.

Zunächst will ich Einiges bemerken in Betreff der eben erwähnten Druck - Uebertragung in Folge des Mauerverbandes.

Wirkt auf eine Mauer von grösserer Länge AB, Abb. 28, ein stark belasteter Pfeiler C D, so muss unter demselben ein Unterlagsquader,oder ^eine gusseiserne Unterlagsplatte angewandt werden, von solcher Grösse, dass der Druck auf das Mauerwerk nicht über das zulässige Maass hinausgeht. In Folge der starken Pressung entstehen alsdann ab und an Trennungsfugen CE und DF, und zwar bei Ziegelmauerwerk etwa unterm Winkel von 45°, und bei Bruchsteinmauerwerk unterm Winkel von 60°. Nach diesen Linien CE und DF findet also die Druckübertragung statt, so dass an der Sohle E F eine gleichmässige, oder doch eine nahezu gleichmässige Druck-vertheilung entsteht. Ist der Druck bei CD ein sehr grosser, das Steinmaterial leicht zerbrechlich oder die Vermauerung schlecht ausgeführt, so entstehen alsdann vertikale Trennungsfugen C G und D Fl, wobei die verbandmässig durchgreifendenSteine durchbrochen werden. Andernfalls aber ist das Verhalten so wie vorhin angegeben.

Abb. 28.

Abb. 30.

Abb. 29.

D    С*——

Darauf gründet sich auch die Erbreiterung der Fundamente, Abb. 29 und Abb. 30. Dadurch wird

der Druck AB auf die grössere Grundfläche CD übertragen und somit auf die Flächeneinheit des Erdbodens ein geringerer Druck gebracht als bei MB vorhanden ist.

Durch diese, im Bauwesen von jeher in ausgedehntester Anwendung stehende, und bewährt befundene Anordnung ist unzweifelhaft erwiesen, dass das Mauerwerk die Eigenschaft besitzt bis zu einem gewissen Grade den darauf wirkenden Druck in Folge des Mauerverbandes zu übertragen.

Abb. 31.

Mt.....T

A4

\ч

Abb. 32.

§ 18. Die vereinigte Schwerlinie einer excentrisch C wirkendenRraftundder,Abb. 31 im Querschnitt gezeichneten Mauer AB CD, habe ihren Angriffspunkt bei E in der Entfernung DE — ¹ji der Mauerstärke DC, so würde nach der im § 10 unter Nr. 2 beschriebenen Theorie в der Kantendruck bei A sich ergeben zu

— ^, das ist2²/₃mal 3 b c

so gross als der über die ganze Grundfläche А В gleich-massig vertheilte Druck.

max

-L

Ist nun in Abb. 32 der gleichmässig vertheilte Druck A BGH, so ergiebt sich die Druckfigur nach der vorstehenden Formel zu AJK, worin AK das 2²/₃fache des gleichmässig vertheilten Druckes AH ist.

Denkt man sich nun die Mauer in der Mitte nach FF durchschnitten, so wirkt dann die Kraft P bei E mitten auf die linke Hälfte, und es ist dann der Druck an der Sohle A F gleichmässig vertheilt, doppelt so gross als die über die ganze Mauer AB gleichmässig vertheilte Kraft. Die in Abb. 32 gezeichnete Druckfigur ist AFLM.

In diesem Falle also, in welchem die Kraft auf die Hä 1 fte der Mauer AB CD wirkt, beträgt der Kantendruck bei A nur das 2 fache des gleichmässig auf die ganze Mauer AB vertheilten Druckes, während nach der vorbezeichneten Theorie der Kantendruck bei A das 2²/₃ fache des gleichmässig vertheilten Druckes betragen soll. Das muss als höchst unwahrscheinlich erscheinen.

In der ungetheilten Mauer, Abb. 31, findet die Druckvertheilung nach den Linien EO und ERQ statt. Bis zur Linie OR ist die Druckvertheilung nach links und nach rechts gleich ; von da an hört aber die Verkeilung nach links auf, nach der rechten Seite hin schreitet aber die Druckvertheilung bis Q fort. Dadurch wird die Spannung bei О bis zu einem gewissen Grade vermindert, so dass also die Spannung bei А geringer wird als das Doppelte des gleichmässig über die ganze Grundfläche AB vertheilten Druckes.

§ 19. Früher hat man dem Einflüsse excentrisch wirkender Kräfte auf Mauerwerk wenig oder gar keine Beachtung erwiesen, man hat angenommen, dass durch den Steinverband eine gleichmässige Verkeilung des Druckes an der Sohle bewirkt werde. Diese Annahme kann aber als berechtigt nicht anerkannt werden, sie steht mit dem Gesetze der Schwerkraft entschieden im Widerspruche.

6*

Dieses Gesetz giebt Veranlassung zu folgender Erwägung.

CL

Abb. 33.

*n

Wirkt auf die, Abb. 33 im Querschnitt gezeichnete Mauer AB CD, in deren Mitte F die Last P, so vertheilt sich bekanntlich der Druck gleich-massig über die Grundfläche AB; auf jede Einheit (jedes q qcm) kommt ein gleich grosser Druck, und somit ist also auch В der Kantendruck bei A und В ebenso gross.

4P*

Denkt man sich die Sohle AB nur an den beiden Endpunkten A und В unterstützt, dazwischen aber frei, so kommt auf jedes der beiden Enden der Druck von ¹/₂ P. Diese Drücke verhalten sich also wie die Hebelarme AF:BF— 1:1. Dasselbe Verhältniss ist bei dem über die ganze Grundfläche AB vertheilten Drucke hinsichtlich des Druckes auf das qcm an den beiden Kanten A und В vorhanden.

P Abb. 34.

D Ew_F

Wirkt nun aber nach Abb. 34 c die Last P excentrisch bei E in der Entfernung von J/₄ der Mauerstärke von der äussern Kante AP, wie im vorstehenden § 18 abgehandelt ist, so kommt dann auf die Enden der frei G gedachten Sohle bei A der S Druck von ³/₄ P und bei В der В Druck von J/₄ P, nach dem umgekehrten Verhältnisse der beiden Hebelarme AE und BE.

Es kann nun wohl angenommen werden, dass auch die Einheitsdrücke bei der durchweg unterstützten Sohle А В an den Kanten A und В ungefähr, annähernd in dem gleichen Verhältnisse von 3 :1 stehen werden, unter Berücksichtigung der ausgleichenden Einwirkung der Druckvertheilung durch den Steinverband. Darnach ergiebt sich der Kantendruck auf die Einheit bei A zu dem 1V₂ fachen, und bei В zu dem ł/₂ fachen des gleichmässig vertheilten Druckes. Eine streng mathematische Ermittelung wird in diesem Falle nicht zu erreichen sein, weil sich die Einwirkung des Steinverbandes auf die Druckvertheilung nicht genau feststellen lässt. Man wird sich also, gestützt auf die vorliegenden Erfahrungen, mit einer ungefähren, annähernden Feststellung begnügen müssen. Ich werde nachfolgend nachweisen, dass die vorstehende Annahme recht gut mit den Erfahrungen stimmt.

P Abb. 35.

D El

Die nach dem Vorstehenden sich ergebende ungefähre Druckfigur ist in der Abb. 34 mit AB ST bezeichnet. AB GH bezeichnet den gleichmässig vertheilten Druck, und AJK die Druckfigur, nach der im § 10 C bezeichneten Theorie.

Ë FJ

Wirkt die Last P nach der Abb. 35 in der Entfernung von */₅ der Mauerstärke von der äusseren Kante AD, so ist das Verhältniss der beiden G Hebelarme AE : BE — 1 : 4. s Dem Vorstehenden gemäss ergiebt sich alsdann der Kanten-I druck auf die Einheit, bei A zu 1³/₅, und bei В zu ²/₅ der

gleichmässig vertheilten Belastung, und die ungefähre Druckfigur zu AB ST. — AB GH bezeichnet den gleichmässig vertheilten Druck und AJK die Druckfigur nach § 10.

Wirkt die Last P in Abb. 36 in der Entfernung von ]/₃ der C Mauerstärke von der äusseren Kante AD, so ist das Ver-hältniss der beiden Hebelarme AE : BE =1:2. Darnach er-giebt sich der Kantendruck auf die Flächeneinheit, bei A zu 1J/3 und bei В zu ²/₃ des gleich-massig vertheilten Druckes, und die ungefähre Druckfigur zu s/ AB ST. — AB GH bezeichnet den gleichmässig vertheilten Druck, und AB К die Druckfigur nach § 10.

§ 20. Die vorstehend erörterte Ermittelung der Kantendrücke von Mauern bei excentrischer Belastung, und zwar nach dem umgekehrten Verhältnisse der Entfernungen des Angriffspunktes der excentrisch wirkenden Kraft von den beiden Aussenkanten, stimmt sehr gut mit den Erfahrungsergebnissen überein, wie vorhin bereits bemerkt wurde. Es soll solches nun an den im § 12 angeführten Beispielen nachgewiesen werden.

P Abb. 36-

D El F

²/₃P

v₃p

Da ко

Zu 1. Widerlager einer gewölbten Eisenbahnbrücke aus Bruchsteinen in Kalkmörtel. Die Resultante schneidet die Fundamentsohle in der Entfernung von 1,0 m von der äusseren Mauerkante, also in der Mauerstärke. Der gleichmässig über die Grund-

fläche vertheilte Druck ist 3,36 kg/qcm. Darnach ergiebt sich der Druck an der äusseren Kante zu

g

рг X 3,36 kg = 5,3 kg/qcm, also nur wenig über die bei

Bruchsteinmauerwerk in Kalkmörtel zulässige Belastung von 5 kg/qcm hinaus.

Die Berechnung nach der § 10 bezeichneten Theorie ergab 11,2 kg/qcm.

Der Druck an der Innenkante ergiebt sich zu X 3,36 kg — 1,34 kg/qcm.

Zu 2. Widerlager aus Bruchsteinen in Kalkmörtel einer Eisenbahnbrücke. Die Resultante schneidet die

der Mauer-

Fundamentsohle in der Entfernung von

stärke. Der gleichmässig über die Grundfläche vertheilte Druck ist 2,9 kg/qcm. Darnach berechnet sich

g

der Druck an der äussern Kante zu X 2,9 = 4,6 kg/qcm,

also noch etwas weniger als die zulässige Belastung von 5 kg/qcm. Die Berechnung nach § 10 ergab 9,7 kg.

• 2,9 kg

2

Der Druck an der Innenkante ergiebt sich zu ^

= 1,16 kg/qcm.

Zu 3. Widerlager aus Bruchsteinen in Kalkmörtel einer Hochbau-Gewölbe-Konstruktion. Die Resultante

schneidet die Fundamentsohle in — der Mauerstärke.

5

Der gleichmässig über die Grundfläche vertheilte Druck ist 2,4 kg/qcm. Darnach ergiebt sich der Druck an der äussern Kante zu l³/₅ X 2,4 kg = 3,8 kg/qcm, also auch weniger als die zulässige Belastung von 5 kg/qcm. Die Berechnung nach § 10 ergab 8,0 kg.

2

Der Druck an der Innenkante ergiebt sich zu - • 2,4 kg = 0,96 kg/qcm.

Zu 4. Gebäude - Umfassungsmauer von Mauerziegeln in Kalkmörtel, 4 Geschosse, je 3,5 m hoch ; im 1. Geschosse 77 cm stark, im 2. Geschosse 64 cm, im 3. Geschosse 51 cm, im 4. Geschosse 38 cm; die Absätze nach innen vortretend. Das ganze Gewicht auf 1 m Länge beträgt 8,06 cbm je 1600 kg = 12 896 kg, somit kommt auf 1 qcm der Sohle 1,7 kg gleichmässig vertheilter Druck. Die Schwerlinie des Profils ist an der Sohle von der Aussenseite 31 cm, und von der Innenseite 46 cm entfernt. Demnach verhält sich der Druck an der Aussenkante zu dem Drucke an der Innenkante wie 46:31, und darnach berechnet sich der Druck an der Aussenseite zu 2,0 kg, und der Druck an der Innenseite zu 1,4 kg/qcm. Die Berechnung nach § 10 ergiebt an der Aussenseite 3,38 kg und an der Innenseite Null.

Zu 5. Thurmmauer aus Bruchsteinen in Kalkmörtel, wie im § 12 unter Nr. 5 beschrieben. Daselbst ist bereits angegeben, dass nach § 10 der äussere Kantendruck einschliesslich Gewölbeschub zu 15,37 kg/ qcm und an der Innenseite auf 30 cm Breite zu 0 sich berechnet, also sehr weit über das zulässige Maass hinaus.

Das ganze Gewicht auf 1 m Länge beträgt 65,15 cbm je 2100 kg = 136815 kg, sonach kommt gleichmässig vertheilter Druck auf je 1 qcm der Sohle 5,47 kg. Die Schwerlinie des Profils ist von der Aussenseite 113 cm und von der Innenseite 137 cm entfernt. Darnach verhält sich der Druck, im umgekehrten Verhältnisse stehend, an der Aussenkante zu 6,0 kg und an der Innenseite zu 4,94 kg/qcm (ohne Gewölbeschub).

In Betreff dieses Thurm-Mauerwerks ist zu bemerken, dass dasselbe nicht gewöhnliches Bruchstein-Mauerwerk ist, sondern in den unteren Geschossen grösstentheils aus lagerhaft bossirten Sandsteinquadern mit einer durchschnittlich 60 cm starken äusseren Verblendung aus lagerhaften Kalkbruchsteinen besteht. Dieses Mauerwerk hat selbstverständlich einen grösseren Grad der Tragfähigkeit als gewöhnliches Bruchstein-Mauerwerk.

§ 21. Die vorstehende Nachweisung ergiebt, dass bei den vorgeführten Beispielen der äussere Kantendruck in Folge der excentrischen Kraftwirkung theils garnicht, theils nur wenig über das zulässige Maass der Inanspruchnahme des Mauerwerks hinausgeht.

Es ergiebt sich daraus aber auch, dass die Druck-vertheilung im Mauerwerke, und somit auch auf den Erdboden unter dem Fundamente in den meisten der angeführten Beispiele sehr beträchtlich ungleich ist. Dadurch wird aber unverkennbar die Sicherheit beeinträchtigt, und deshalb muss man als geboten erachten, die Excentricität thunlichst zu beschränken. Das führt zu verschiedenen Abweichungen von den bisher üblichen Konstruktionen.

Die Wiel e rlags-mauern derBrücken sind demgemäss nicht so wie Abb. 19, sondern so wie nebenstehende Abb. 37 zeigt, anzuordnen. Die Stärke der Mauer ist oben, in der Kämpferlinie, so weit, als in Rücksicht auf das Gleiten zu-Jg lässig, zu beschränken, sodann nach aussen eine kräftig-ausladende Abtreppung, so wie eine starke Abtreppung der Fundamentmauer herzustellen. Dadurch wird erreicht, dass die Entfernung der äusseren Kante A von dem Punkte E, in welchem die Stützlinie die Fundamentsohle schneidet, erheblich grösser, und somit die Excentricität erheblich vermindert wird.

Abb. 37.

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In den vorbesprochenen Beispielen Nr. 1 und 2, in denen die Entfernung AE nur J/₅ der Mauerstärke beträgt, lässt sich unschwer, und mit nur geringem Mehraufwande an Mauerwerk, die Entfernung AE auf v₃ bringen, so dass alsdann der äussere Kantendruck nur das Р/з fache des gleichmässig vertheilten Druckes beträgt.

Dieses Profil, Abb. 37, ist bereits von mehreren Baumeistern angewandt, in Erkenntniss des Umstandes, dass dabei die Kippungskante A weiter hinausgeschoben und dadurch der Widerstand gegen Kippen vergrössert wird.

Die Umfassungsmauern der Gebäude werden bekanntlich in ausgedehntestem Maasse so her-

gestellt, wie Abb. 38 zeigt ; die Geschossemauern sind nach aussen in derselben Vertikalebene, so dass die Mauerabsätze ganz und gar nach der innern Seite vortreten. Dadurch ergiebt sich ein excentrischer Druck.

Abb. 38.

Abb. 39.

In statischer Hinsicht ist offenbar das Profil, Abb. 39 günstiger, wonach die oberen schwächeren Mauern mitten auf die darunter stehenden gestellt sind, oder strenger genommen, nur soviel von der Mitte ab weichen, dass unter Mitberücksichtigung der Gebälkelast die centrische Druckwirkung stattfindet.

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Für die erstere Anordnung wurden mehrere Gründe geltend gemacht, die aber mehr oder weniger hinfälligsind. Früher war es allgemein üblich unter der Balkenlage eine sogen. Mauerlatte anzuwenden, welche auf dem lj₂ Stein starken Mauerabsatze ihr Auflager findet,

so dass eine Schwächung der Mauerstärke dadurch nicht herbeigeführt wird. Ist ein Mauerabsatz nicht vorhanden, oder ist er geringer als % Stein, so muss auf die Anwendung der Mauerlatte verzichtet werden, weil andernfalls die in das obere Mauerwerk eingreifende Mauerlatte dasselbe in unzulässiger Weise schwächen würde, da das Holz zusammentrocknet und somit dem Mauerwerke keine Unterstützung gewährt. Die Mauerlatte erleichtert das Verzimmern und das Verlegen der Balkenlagen, und vertheilt den Druck der Balkenköpfe, was besonders über den Bögen der Thüren und Fenster günstig ist. Dennoch ist man in neuerer Zeit mehr und mehr von der Anwendung der Mauerlatten abgekommen; man hat durch die Erfahrung erkannt, dass sie sehr wohl entbehrlich sind ; das Verzimmern und Verlegen lässt sich mit Hülfe von Maasslatten bewirken, über den vollen Mauerpfeilern ist die Druckvertheilung der Balkenköpfe nicht nöthig und über den Bögen der Thüren und Fenster wendetman zur Druckübertragung eiserne Balken an, oder bewirkt die Ueberdeckung dieser Oeffnungen allein durch eiserne Balken. Sonach sind die Mauerlatten entbehrlich und man lässt sie um so lieber fort, da sie der leichteren Zerstörung durch Fäulniss und Schwamm unterworfen sind.

Für die in Abb. 38 gezeichnete Anordnung, die Mauern aller Geschosse aussen bündig zu stellen, wird weiter angeführt, dass dadurch in den oberen Geschossen an nutzbarem Raum gewonnen wird. Dieser Vortheil muss aber der Erreichung grösserer Standsicherheit des Gebäudes geopfert werden.

Weiter ist zu Gunsten der in Abb. 38 gezeichneten Anordnung und gegen die in Abb. 39 dargestellte An-

Ordnung anzuführen, dass durch die äusseren Mauerabsätze das Eindringen von Wasser befördert wird. Diese Gefahr ist aber durch zweckmässige Konstruktionen, als Quaderabdeckung mit Falz oder Metallabdeckung, oder Abdeckung von glasirten Ziegeln in Cement vermauert, etc. zu verhindern, wie denn äussere Mauerabsätze durch vortretende Sockelmauern, aussen vortretende Geschossmauern, vortretende Gurt- und Brüstungsgesimse schon bisher in ausgedehntem Maasse hergestellt sind. Das Yortreten der Sockelmauern, und bei höheren Gebäuden auch das Yortreten der unteren Geschossmauern wird schon durch das ästhetische Gefühl gefordert, und ist daher bei vielen Bauwerken ausgeführt.

Somit sind äussere Mauerabsätze nicht in dem Grade bedenklich zu erachten, wie es von einigen Seiten behauptet ist. Es ist übrigens keineswegs geboten, das Profil in äusserster Strenge, wie Abb. 39 anzuordnen.

Werden z. B. bei einem 4 Geschosse hohen Gebäude je 3,5 m hoch, im Erdgeschosse 77 cm, in den oberen Geschossen bezw. 64, 51 und 38 cm stark, — in den 3 Obergeschossen die Mauern aussen bündig gestellt (wie in Abb. 38), so ergiebt sich dann an der Basis des 1. Obergeschosses eine Excentricität von 5Ч2 cm, also die Entfernung von der Schwerlinie: der Aussenseite = 26 lj₂ cm und der Innenseite = 37% cm, — also nach dem umgekehrten Verhältnisse der Druck an der Aussenseite zu dem lJ/₅ fachen und an der Innenseite zu dem ⁴/₅ fachen des gleichmässig vertheilten Druckes. Dieser Druckunterschied ist für das Mauerwerk zulässig. Lässt man nun die Mauer des

Erdgeschosses nach aussen 12 cm vortreten, so ist in dieser Mauer keine Excentricität des Druckes vorhanden.

Liegt nun aber gegen das Vortreten der Mauer des Erdgeschosses ein gewichtiger Grund vor, oder ist diese Mauer auch nur 64 cm stark, so lässt sich durch angemessene Vorsprünge des Sockels, bezw- der Grundmauer oder der Fundamentabsätze jedenfalls erreichen, dass an der Sohle des Fundamentes keine Excentricität, sondern eine gleichmässige Vertheilung des Druckes an der Sohle der Fundamentmauer und auf das Erdreich unter derselben vorhanden ist. Auf den letztem Umstand, die gleichmässige Vertheilung des Druckes auf den Erdboden, ist besonders grosser Werth zu legen, denn da der Widerstand der meisten Bodenarten geringer ist, als der Widerstand des Mauerwerks, so wird durch einen ungleichen Druck auf den Boden ein ungleiches Eindrücken in denselben, und in Folge davon die Zerklüftung des Mauerwerks, sowie das Verschieben, das Ausweichen des Fundamentes veranlasst.

Diesem Verhalten ist bisher nicht die nöthige Beachtung zugewandt. Man hat eben früher angenommen, dass der ungleiche Druck, der durch die Mauerabsätze entsteht, durch den Verband völlig, oder doch nahezu völlig ausgeglichen werde, so dass an der Fundamentsohle ein gleichmässiger Druck auf den Erdboden stattfinde. Es ist aber vorstehend dargelegt worden, dass diese Ansicht eine irrige ist, und dass daher der excentrischen Druckwirkung im Bauwesen die sorgfältigste Beachtung im Interesse der Sicherheit muss zugewandt werden.

Das Ausweichen der Umfassungsmauern findet in der Regel nach aussen statt, da dem Ausweichen nach innen die Scheidewände, sowie die Verstrebung durch die Decken entgegenwirken. Daher ist es räthlich, dass an der Fundament sohle die Entfernung der Aussen-kante von der Schwerlinie etwas grösser angenommen wird, als die Entfernung der Innenkante, so dass also eine massige Excentricität nach Innen stattfmdet.

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