WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskie|

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A

W*

THÉORIE GÉNÉRALE

DU

CIMENT ARMÉ

Çffentlidian Arbeit«

PARIS. - IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS,

DU

CIMENT ARMÉ

PA K

Charles AMAR,

INGÉNIEUR DES CONSTRUCTIONS CIVILES.

Wl

ftffenüichan Arbeite«

PARIS,

GAUTH1ER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Grands-Augustins, 55.

1912

BIBLIOTEKA POLITECHH16ZB4

K_R A K Ó W

lii 3 3.Q

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.

mil-; 3

Àkc. Nr.

AVAIN T-PROPOS.

Ce travail s’adresse autant aux praticiens qu’aux théoriciens.

Nous avons essayé d’exposer et de justifier, dans cette Théorie générale, les formules générales pratiques du calcul du Ciment armé, en usage chez plusieurs constructeurs. Nous nous proposons, dans un prochain travail, de présenter, dans le même esprit, les méthodes et formules spéciales de calcul des ouvrages de toute espèce en ciment armé tels que fondations, bâtiments, toitures, murs de soutènement, ponts, réservoirs, silos, tuyaux, dômes, jetées, etc.

En présentant ce travail, nous désirons attirer l’attention de nos lecteurs sur un errement assez répandu. Il s’agit de l’usage irrationnel qu’on fait souvent de formules empiriques. Celles-ci doivent disparaître de plus en plus, au fur et à mesure que nos connaissances sur le sujet se développent pour faire place aux calculs rationnels basés sur la Résistance des Matériaux.

Certes l’empirisme a été le départ de la théorie, mais une fois celle-ci établie il est logique et nécessaire d’abandonner les anciennes méthodes qui, la plupart du temps, n’aboutissent pas à des résultats comparables. Pour faire des comparaisons justes et utiles, les ouvrages doivent être calculés d’après des méthodes et des lois rationnelles. Il ne suffit pas, en effet, qu’un ouvrage tienne pour justifier l’emploi de tel ou tel procédé empirique. C’est ce que beaucoup d’entrepreneurs, de bonne ou mauvaise foi, ne veulent pas appliquer; mais il appartient aux ingénieurs éclairés de donner la préférence, entre deux études dont les résultats peuvent être tous deux plausibles en ce qui concerne la stabilité de la construction, à celle qui offre la sécurité désirée.

En d’autres termes, il faut, dans les projets, que le coefficient de sécurité soit respecté et deux projets ne peuvent loyalement concourir que si la sécurité offerte est la même.

Charles Amar.

DU

CIMENT ARMÉ.

GÉNÉRALITÉS.

La théorie qui va suivre a pour objet l’étude des ouvrages en ciment armé, en accord avec les principes et formules de la résistance des matériaux et les prescriptions du Règlement français de 1906 sur le béton armé.

1. Charges de ruptures. Charges pratiques de travail. Coefficient de sécurité. — Suivant la composition des dosages du béton et la nature des aciers employés, les matériaux se rompent sous certaines charges qui sont les charges de rupture.

Pour la sécurité des constructions, on fait travailler les matériaux à des charges inférieures aux charges de rupture et qui constituent les charges pratiques de travail.

Le rapport entre la charge de rupture et la charge pratique de travail constitue le coefficient de sécurité.

comme

2. Hypothèses fondamentales du ciment armé. — i°On admet qu’on peut considérer les solides en ciment armé des solides homogènes, dans lesquels on peut remplacer l’acier par une quantité équivalente de béton;

2⁰ On admet, comme dans la résistance des matériaux, qu’une section plane d’un solide en ciment armé reste plane après déformation;

A.

3° On admet, bien que le béton travaille dans une faible mesure à l’extension, que le travail du béton à l’extension est nul.

3. Forces extérieures et forces moléculaires ou inté-

rieures. Travaux moléculaires.

On a vu, dans la résistance des matériaux, que dans une section plane quelconque d’un solide prismatique homogène, soumis à une flexion simple, les forces extérieures (surcharges et poids morts) donnent lieu à un couple fléchissant, dont les forces sont dans un même plan, appelé plan de flexion, et sont normales à la section et à un effort tranchant dirigé suivant l’intersection du plan de flexion et de la section.

Le couple fléchissant donne lieu, en chaque point de la section (ou unité de surface autour de chaque point), à une force moléculaire de flexion (compression ou tension). Le rapport entre cette force moléculaire et l’unité de surface autour du point constitue le travail de flexion (compression ou tension).

De même, l’effort tranchant donne lieu, en chaque point de la section, à une force moléculaire de cisaillement et à un travail de cisaillement.

La matière doit être distribuée de telle sorte que, quelle que soit l’orientation de la section choisie, les travaux moléculaires de flexion et de cisaillement ne dépassent en aucun point les charges pratiques de travail de la matière par unité de surface.

CD (fig. 2) d’un solide

4. Variation des travaux moléculaires dans un solide prismatique en ciment armé. Axe neutre. — Etant donnée une section quelconque AB ou prismatique en ciment armé, soumis à la flexion simple, il existe une ligne LN (fig. i) qu’on appelle Y axe neutre, au-dessus de laquelle toutes les fibres travaillent à la

compression et au-dessous de laquelle toutes les fibres travaillent à la tension.

On appelle surface neutre le lieu de tous les axes neutres dans le solide entier.

Fig. i à 9.

;.......M.

X:

Lx

lx

X.

Nous appellerons axe longitudinal de la pièce l’intersection de la surface neutre avec le plan de flexion. Soient :

M, moment de flexion de la section considérée en kgm; /2, distance d’un point quelconque de la section à l’axe neutre, en cm;

I, moment d’inertie de la section par rapport à l’axe neutre ; r, travail de flexion en un point quelconque de la section, en kg : cm².

On démontre, en résistance des matériaux, qu’on a

(O

Un

Il résulte de (1) que, dans une section quelconque, normale ou oblique à l’axe longitudinal et perpendiculaire plan de flexion, le travail de flexion est nul sur la fibre neutre, maximum sur les fibres extrêmes et croît propor-

au

tionnellement à la distance du point considéré à l’axe neutre.

Soient :

s, le travail de cisaillement en un point quelconque de la section en kg : cm² ;

V, l’effort tranchant dans la section considérée en kg ; P, le moment statique de l’aire hachurée (fig* 9) au-dessus de la parallèle à l’axe neutre passant par le point considéré, moment pris par rapport à l’axe neutre et en kgm.

On démontre, en résistance des matériaux, qu’on a

(2)

V (X s = T¹ •

I n

Dans le cas particulier d’une section rectangulaire de côtés a et b en centimètres, on a

(2 bis)

_V_/3 _ 6n*_ ab {2    b*~

Il résulte de (2 bis) que, dans une section quelconque, normale, ou oblique à l’axe longitudinal et perpendiculaire au plan de flexion, le travail de cisaillement est maximum sur la fibre neutre (car, en effet, le maximum a lieu lorsque la dérivée par rapport à n s’annule, c’est-à-dire pour n = o) et que le travail est nul sur les fibres extrêmes,

= o.

car pour n= s

Soit M un point quelconque à l’intérieur du solide; menons par ce point deux plans AB et CD, l’un normal, l’autre oblique à l’axe longitudinal, ces deux plans étant perpendiculaires au plan de flexion (flg. 2).

Soient :

r, travail de flexion en M dans le plan normal en kg : cm²;

Sj travail de cisaillement en M dans le plan normal en kg : cm² ;

<p, angle des deux plans ;

/', travail de flexion en M dans le plan oblique en kg : cm² ; a', travail de cisaillement en M dans le plan oblique en kg : cm².

On démontre, en résistance des matériaux, qu’on a

(3)

(4)

r'— - r(i cos2cp ) -+- s sin2<p, - r sin2<p H- s cos2cp.

*' = —

Traçons avec M pour pôle, les vecteurs rr et s' lorsque varie, c’est-à-dire lorsque la section pivote autour de M, nous aurons deux courbes à coordonnées polaires. Les figures 3, 4 et 5 représentent la variation du travail de flexion lorsque le point M se trouve en un point quelconque, sur l’axe neutre ou sur une fibre extrême du solide. Les figures 6, 7 et 8 représentent la variation du travail de cisaillement dans Jes mêmes conditions.

Ces courbes montrent que :

i° En un point quelconque du solide, il existe un plan oblique pour lequel le travail de flexion est maximum et un autre plan oblique pour lequel le travail de cisaillement est maximum;

2⁰ En un point quelconque de la fibre extrême, le travail de flexion maximum correspond à la section normale ;

3° En un point quelconque de l’axe neutre, le travail de cisaillement est maximum dans le plan normal à l’axe longitudinal et dans le plan horizontal contenant celui-ci.

On trouverait facilement que :

En un point quelconque du solide, la flexion maximum

a lieu pour tang2<p = y et que ce maximum a pour valeur rr = ^ (a* -h y/4 s² H- r~) ; le cisaillement maximum a lieu pour tang 20 =— y eta pour valeur s'—    r*;

En un point quelconque de la fibre extrême, la flexion maximum a lieu pour == ^ et a pour valeur rr = /•;

En un point quelconque de la fibre neutre, le cisaillement maximum a lieu pour <p = o et cp = - et a pour valeur s' = s.

D’autre part, dans toute direction non contenue dans le plan de flexion, il n’y a ni travail de flexion, ni travail de cisaillement.

Nous distribuerons la matière dans le solide, de telle sorte que, dans une section normale quelconque à l’axe longitudinal, les travaux de flexion et de cisaillement inaxima ne dépassent pas les limites pratiques; de cette sorte, nous serons certains qu’en aucun point du solide la limite pratique n’est dépassée; en effet, si nous considérons une section oblique quelconque, le maximum de flexion a lieu sur les fibres extrêmes, mais ce maximum, d’après ce qui précède, est inférieur à la flexion normale aux points d’intersection des fibres extrêmes et du plan oblique. De même, ce plan coupe la fibre neutre en un point où le cisaillement normal est supérieur au cisaillement maximum en ce point, dans Je plan considérée

En résumé, il suffira, en pratique, de ne considérer que les sections normales du solide et de veiller à ce que, dans ces sections, la flexion et le cisaillement ne dépassent pas les limites permises.

5. Position de Taxe neutre dans une section transversale

d?un solide en ciment armé.

Considérons un solide prismatique en ciment armé soumis à la flexion simple.

GÉNÉRALITÉS.

Soit AB une section normale à l’axe longitudinal, après déformation, elle devient CD, plane par hypothèse. Nous supposerons qu’au-dessous de l’axe neutre, le béton est

Fig. io.

Axe neutre

0,

JL

Axe des tension

B.

suffisant pour absorber toute la compression. Au-dessous de l’axe neutre, comme nous admettons que le travail du béton à l’extension est nul, nous disposerons une ou plusieurs files de barres, dont l’axe constituera Xaxe des tensions.

Soient :

A, la hauteur théorique du solide, c’est-à-dire la distance entre la fibre extrême et l’axe des tensions en cm ;

E^, le coefficient d¹ élasticité du béton, c’est-à-dire la charge en kg : cm² sous laquelle la fibre se raccourcit d’une unité de longueur;

Ea, le coefficient d’élasticité de l’acier, c’est-à-dire la charge en kg : cm² sous laquelle la fibre s’allonge d’une unité de longueur;

ni =

E

la plupart des constructeurs admettent pour

5;

valeur pratique de m, m —

/*, le travail réel du béton en kg : cm²;

R, le travail réel de l’acier en kg : cm²;

la distance de la fibre extrême à l’axe neutre.

AC représente le raccourcissement de la fibre la plus comprimée ;

BD représente l’allongement de la fibre la plus tendue.

D’après la loi de Hooke, écrivons que les allongements» sont proportionnels aux charges

AG

E//

d’où

AG =

E/,

BD

R Ea'

d’où

BD == —

Ea

D autre part, les triangles semblables AOG et BOD* donnent

OA _ AG OB ~ BD ⁷

ou

Kl

a)

r Ea

RK/, R ’

mr

Ea

OU

m r

R H- mr ’

or

cl’où

x-hy = h,

(0

mrh

R -I- mr

Remarque. — La formule (i) donne exactement, sous» les diverses hypothèses précédentes, la position de Taxe neutre, r et R étant les travaux réels du béton et de l’acier sur les fibres extrêmes. Cette formule est vraiey quelle que soit la forme du solide prismatique.

EFFORTS TRANCHANTS.

0. Théorie des efforts tranchants. — Pour qu’une section quelconque normale ou oblique à l’axe longitudinal se cisaille, il faut que toutes les fibres cèdent à la fois. Si la section prismatique est telle qu’une fibre doive travailler théoriquement à plus de la limite permise, en pratique les fibres voisines la soulageront en travaillant davantage, et la section ne se cisaillera pas. Ceci explique que les poutres peuvent être évidées sans inconvénient sous la réserve que le travail moyen de cisaillement absorbé par les parties pleines, ne dépasse pas la limite pratique du travail de cisaillement.

Il suffit donc, dans une section quelconque, que la matière, quelle que soit sa distribution, puisse absorber totalement l'effort tranchant, sans que le travail de cisaillement dépasse la limite pratique. Bien entendu, il n’en vaudrait que mieux de distribuer la matière proportionnellement à l’intensité du cisaillement.

l’effort

Dans une section quelconque du solide tranchant sera absorbé :

i° Par le béton, à raison d’un travail limite pratique de ~ r kg : cm², conformément au Règlement français de 1906 sur le béton armé; r étant la limite pratique du travail du béton à la compression en kg : cm² ;

2⁰ Par les armatures supérieure et inférieure rencontrées par la section, à raison de |R kg : cm², R étant la limite pratique du travail de l’acier à la compression en kg : cm².

Si la section est normale, ou oblique à l’axe longitu-tudinal, perpendiculaire au plan de flexion, elle rencontre toujours les armatures supérieure et inférieure de la poutre. Nous avons vu qu’il suffit de vérifier que le cisaillement est satisfait, tout le long de la poutre, dans les sections normales. Nous appellerons ce cisaillement : le cisaillement vertical.

Si la section est parallèle à l’axe longitudinal et toujours perpendiculaire au plan de flexion, elle ne rencontre plus les armatures supérieure et inférieure de la poutre et il y a lieu, lorsque le béton est insuffisant pour absorber l’effort total de cisaillement, d’ajouter des attaches verticales ou inclinées, à volonté, pour absorber l’excès du cisaillement total sur celui absorbé par le béton. Nous appellerons cet effort de cisaillement, le cisaillement horizontal ou glissement longitudinal.

7. Cisaillement vertical des poutres et hourdis. —

Soient :

a, section d’acier à la tension en cm² ;

s\ section d’acier, dans la partie comprimée, en cm²;

V, effort tranchant vertical dans une section quelconque normale en kg;

<2, largeur de la pièce en cm;

/^, hauteur théorique de la pièce en cm; r, travail limite pratique du béton en kg : cm²;

R, travail limite pratique de l’acierà la tension en kg: cm².

On doit avoir, d’après ce qui précède, dans une section quelconque normale à l’axe longitudinal,

OU

.s* 4- s' >

Remarque. — 11 n’y a lieu de vérifier le cisaillement vertical d’une pièce quelconque qu’aux points où l’effort tranchant est maximum et où la seclion d’acier oiïerte au cisaillement est minimum.

8. Cisaillement horizontal des poutres et hourdis. —

Soient :

H, cisaillement horizontal total de O à A en kg; cl = OA en cm ;

T = AC en kg ;

s, bras de levier du couple fléchissant en cm ;

V, effort tranchant vertical dans une section quelconque normal en kg ;

M, moment fléchissant dans la même section en kgm ;

F, force du couple fléchissant dans la même section en kg.

Fig. ii.

A! IA*

F—*■

-•—F+c£ F

eu

B B'

Soient deux sections AB et AB' normales à l’axe longitudinal et infiniment voisines. En AB, nous avons un

Fig. 19..

cb

UrffïÉf

ii B

couple de flexion M dont les forces sont F ; en A'B⁷, nous avons le couple M -f- dM et les forces F -f- cl F. La section horizontale de surface adx tend à se cisailler sous l’action de la force (F -f- dF) — F = dF. Or

t oo M

d’où

dF

IOO

dM

dx z X dx

> x étant exprimé en cm.

car V —

La limite de lorsque dx tend vers o, est ? i oo d M

dx

De O à A, la somme de ces forces élémentaires de cisaillement a pour expression

rd\_dx

~Jo —

- /'

V dx.

Or l’intégrale représente de O à A l’aire des efforts tranchants, et l’on a

T!

aire des efforts tranchants

Remarque. — Le raisonnement précédent est vrai quelle que soit la courbe des efforts tranchants V.

9. Définitions relatives aux hourdis et aux poutres. —

Nous appellerons hourdis ordinaires et poutres ordinaires, les hourdis et les poutres dont le, béton suffît à absorber la compression et dont la section d’acier est constante tout le long de la poutre ou du hourdis.

Nous appellerons hourdis symétriques et poutres symétriques, les hourdis et les poutres dont les sections d’acier en tension et en compression sont égaies.

Nous appellerons poutres dy égale résistance, les poutres dont la section d’acier en tension varie le long de la poutre, en se proportionnant à la courbe des moments fléchissants.

10. Espacements successifs des attaches verticales dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée, ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée. — Proposons-nous de déterminer les espacements successifs des attaches dans une poutre ainsi définie. Une méthode analogue pourra être appliquée pour des poutres dont les dispositions de charge et d’appui seraient différentes.

Soient :

dK, d₂-₎ dz, espacements successifs des attaches en cm;

R, travail limite pratique de l’acier à la tension en kg : cm²; nombre d’armatures à la tension dans la section normale ;

s, section du fil constituant les attaches en cm² ; z, bras de levier du couple fléchissant en cm ;

T*, effort tranchant aux appuis en kg;

<2, largeur de la poutre en cm;

r, travail limite pratique du béton à la compression en kg : cm² ;

^_ azr

Fig. i3.

d-i d.2    3

—t—i

mm

Soit CD la droite des efforts tranchants. Divisons

l’aire AOC en un certain nombre de trapèzes de surface équivalente. Si nous substituons à ces trapèzes les rectangles figurés, nous aurons absorbé le cisaillement horizontal par excès.

Au droit des ordonnées T

T₂, T₃, etc, nous allons placer une ou plusieurs attaches verticales reliant les barres des armatures supérieure et inférieure de la poutre. Nous aurons 2/2 brins d’attaches et une surface d’acier 2 ns par section, offerte au cisaillement horizontal.

Le premier espacement dK sera, d’après ce qui précède, défini par la relation

T ! d\

2 US

ad\ r

azrdx 1    1 io

IO

(Ti— f)rfi = -?

d’où

co l< o

R ns z X T ! —

Traçons l’horizontale EF telle que AE=< (_/?£■. i4). Fig. 14.

₁ Ty-t a| 6

C w;

ol

ftlł ' ^ !

^1.

U.

03

Les deux aires hachurées sont égales, nous avons donc (Tjt)di = (Ts — t)d₂ ;

d’où

(Tj — t)d[ b T₂— t ’

on trouverait de même

j _(Tj — t)d\

dz~ T₃— t ’

et ainsi de suite.

Mais les triangles semblables de la figure donnent

GE

Ti — t

T₂ — t GE — di’

Ti-* _

T₃-* GE — (di-i- d₂)’

GE

et ainsi de suite.

EFFORTS TRANCHANTS.

Posons GE = K. On peut donc écrire cjue Kdx

K — di'

K dx

K — ( d\ )

d-i —

d,=

et ainsi de suite.

Or

GE

--GE

d’où

żGE = ^ ( Tt — t) — T₁ GE -t-t GE,

d’où

Ayant déterminé K numériquement, il sera facile, avec la règle à calcul, de déterminer rapidement les divers espacements successifs, en divisant la constante KdK par les différences successives K — ^,K — (di-\-d₂)₁ etc.

En résumé, les espacements successifs des attaches sont donnés par les formules

d,=

00 1*0

R ns z

K di

dĄ =

K d\

K — ( d\ —1— d% )

avec la relation

I JS

Ti — t

Tf

Remarques. — I. En pratique, on fait K = ce qui n’a

pas d’inconvénient, puisque cela réduit légèrement des espacements successifs. En effet, rf,, par exemple, peut

s’écrire

d:i =

K dy

K. — ( d\ -+- d*L )

d\ —j— d%

K augmentant, et dn diminue.

diminue,

d\ d<z

—^— augmente

il. Si, au lieu d’attaches verticales, on dispose des barres inclinées, il suffira que la section totale hori-

S

zontale - des aciers cisaillés entre O et A satisfasse à

2

l’inégalité

aire A OC

air

2XIO

Cnl -f-'s

R.

11. Poids théorique moyen par mètre courant des attaches verticales nécessaires dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée, ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée. — Soient :

/, portée d’axe en axe de la poutre en cm; z, bras de levier du couple fléchissant en cm ; a, largeur de la poutre en cm ; s, section du fil constituant les attaches en cm² ;

S, section totale des attaches dans toute la portée en cm²; /’, travail limite pratique du béton à la compression en kg : cm² ;

R, travail limite pratique de l’acier à la tension en kg : cm² ;

T₄, effort tranchant aux appuis en kg; azr * io ⁹

7,85, densité de l’acier (kg : dm³);

<o, poids théorique moyen d’attaches par mètre courant de poutre, en kg.

ou

Ti/

air

4*

2X10

IT) I es

CC

air

c/3

10

Oll

I-H

CS

«N.

CC

OU

La section horizontale moyenne d’attaches par mètre courant sera

5 /(Tt — 2t)

ou

62,5(Ti — 21)

R^

ioo

En donnant om, io de longueur à chaque crochet des attaches, le volume d’acier sera

Z "t-i? centimètres cubes, z

62,5 X-R

Tt — 2 t

ou

2 -h 10

62,5 Tj — 2t -— X —5— x

1000    R

décimètres cubes.

Le poids cherché sera donc

z -4- io

0,0625 x 7,85 x

ou

w = 0,49 X

Z -h 10 .

- kilogrammes.

z

12. Nombre théorique de sections planes contenant des attaches dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée, ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée. — Soit, en plus des notations précédentes :

A.

N, nombre théorique de sections planes contenant des attaches.

Au droit des ordonnées T,, T₂, T₃, ..., tout le long de la portée de la poutre, nous avons N sections planes contenant des attaches. Tous les trapèzes (fig. iĄ) ayant une surface équivalente, écrivons, pour la moitié de la poutre, que la somme de leurs aires est égale à l’aire du triangle ECG. 11 vient

EG

~ (Ti — t) dv = ( T₂ — £)— ?

°r₇

EG = k

/ Th—* •2 Tt ’

d’où

s*

II

mais

d,=

8 B iiz

(§ 40),

d’où

l Ti — t

Ti

8 H Jis z ⁹

5(T i-t)

ou

5 l(T\ — O²

13. Nombre pratique de sections planes contenant des attaches dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée, ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée. —

Soit, en plus des nolations précédentes :

N, nombre pratique de sections planes contenant des attaches.

Nous avons vu (§ XII) que

SH*

jN =

or, approximativement,

d’où

N = --y •

2 d\

14. Poids pratique moyen des attaches par mètre courant de poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée, ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée. — Soit, en plus des notations précédentes :

to, poids pratique moyen des attaches par mètre courant en kg.

Nous venons de voir que le nombre total de sections d’attaches dans la poutre est

N- —f 2 d\

Le nombre moyen de section d’attaches par mètre courant sera

2dy

ou

MIS?

ioo

Dans un plan d’attaches, nous avons une section d’acier de 2ns; la section moyenne d’attaches par mètre courant sera donc

MS?

X 2 ns

ou

i oo ns

dy

Le cube moyen d’attaches par mètre courant sera par

suite

ioo ns

di

(-s + io) centimètres cubes,

ou

ns

l ocf ^Z I0) décimètres cubes,

THÉORIE GENERALE DU CIMENT ARME.

et le poids moyen d’attaches par mètre courant sera

7,85ns(z -T- io) . io d\

eu

O)

to =

o,785ns(s -t- io)

kilogrammes.

Autre expression de co. — Nous pouvons remplacer dans (i) dK par sa valeur

8 R us z 5(T t-t)’

_ 0,785 x5 /i5(^-f-io)(T₁-ł-0 5    R ns z

Tj — t z -+-10

d, =

il vient ou

W = 0,49 X

-kilogrammes

z

avec

t azr

10

15. Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément chargée, pour un groupe de sept barres. — Soient, en plus des notations précédentes :

lmi la longueur moyenne d’acier de même section en cm ;

.s*, la section de chacune des barres du groupe en cm².

Fig. j 5.

1:

La poutre d’égale résistance, librement appuyée, sera définie de la façon suivante : traçons la para-bole M = ~ (/ — x) des moments fléchissants, OX et O Y étant les axes de coordonnées. Divisons la flèche en un certain nombre de parties égales. Nous le prendrons ici égal à sept. Nous disposerons un groupe de sept barres dans la partie basse de la poutre de la façon suivante : une barre centrale 1 sur toute la portée d’axe en axe de la poutre ; les six autres barres 2, 3, 4, 5, 6, 7, deux à deux dans un même plan horizontal, auront pour longueur les cordes interceptées sur la parabole par les horizontales

Fig. 16.

c.

0 378 La ; 0. 63 S V

0.656 ly 0.756 L 0.846 U 0 926 L

passant par les points de division de la flèche (fig. 16).

Il est facile de calculer ces diverses longueurs qui sont :

barre 1 = /, barre 2 = 0,92.6/, barre 3 = 0,846/, barre 4 = 0,756 /, barre 5 = o,655/, barre 6 = o,535 /, barre 7 = 0,378/.

THÉORIE GÉNÉRALE DU CIMENT ARMÉ.

22

Les deux extrémités de chaque barre se prolongeront par des parties à 45° se terminant par des crochets qui viendront prendre appui sur l’armature supérieure {fig. 17),

Fig- 17-

7~V

!    : 0.378 t !    !

I    ^--*-*    1

i. 0.535 L i'

0.655 l

w-

0.756 L

-*>■

0.846 L 0.926 £

constituée par une ou plusieurs barres courant sur toute la portée d’axe en axe de la poutre. On prendra généralement les sept barres d’égal diamètre, mais on peut déroger à cette règle. Dans une même poutre, il pourra y avoir un ou plusieurs groupes de barres ainsi constitués.

Supposons un groupe formé de sept barres de même diamètre, évaluons la longueur moyenne d’acier de section s, par mètre courant d’une pareille poutre.

Les parties droites donnent une longueur totale de

/(i -I- 0,926 -+- 0,846-4-0,706-4- o;655 H- o,535 -ł- o, 378) = 5,096/.

Les parties inclinées à Ąo° donnent une longueur totale de

12 z =; 16,97,5.

Nous supposons l’armature supérieure placée au centre ■de compression. Nous désignons par z la distance du centre de compression à l’axe des tensions qui coïncide sensiblement avec l’axe des barres intermédiaires 4 et o.

Les crochets, en les prenant chacun d’une longueur de om,io, donnent une longeur totale de 12 x 10 — 120

De sorte que la longueur moyenne d’acier de section par mètre courant de poutre est

! 5,096 Z -4- 16,974; 120

t m —    --•

16. Poids moyen d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément chargée, pour un groupe de sept barres. —

Soit, en plus des notations précédentes :

<0, poids moyen d’acier par mètre courant de poutre en kg.

centimètres.

Nous avons vu au paragraphe précédent que 5,096 Z -4- 16,97 z -+- 120

centimètres cubes,

Le volume moyen d’acier par mètre courant sera 5,096/ -h 16,975 h- 120

ou

5,096Z -h 16,975 -t- 120

1000 Z

Si décimètres cubes

et le poids moyen d’acier par mètre courant de poutre sera

(5,096Z -4- 16,975 -h t20)7,85

1000 Z

ou

kilogrammes.

o, 00785 s 1 ( 5,096 Z -t- 16,97 5 -+-120 )

W == -:-:-»

17. Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément chargée, pour un groupe de cinq barres. — L’équation de la parabole des moments lléchis-sants est

*>x . .    ,

M — — (Z — x).

Divisons la flèche en cinq parties égales et, adoptant une disposition de barres, analogue à celle du paragraphe 15, on trouverait facilement que les diverses longueurs de barres sont :

barre 1 = /, barre 2 = 0,8951, barre 3 = 0,775/, barre 4 = o,633 I, barre 5 = o,4481.

Nous supposerons le groupe formé de cinq barres de même diamètre s< centimètres carrés.

Les parties droites donnent une longueur totale de

/( 1 -4— 0,895    0,775 -4- 0,633 -f- 0,448) = 3,75i /.

Les parties inclinées à 45° donnent une longueur totale de

8 \J'IZ = I I ,3l2 3.

Nous supposons l’armature supérieure placée au centre de compression. Nous désignons par z la distance du centre de compression à l’axe des tensions qui coïncide sensiblement avec l’horizontale passant par le milieu de la distance de centre à centre des deux rangées de barres.

Les crochets, en les prenant chacun d’une longueur de om,io, donnent une longueur totale de 8 x 10 = 8ocm. De sorte que la longueur moyenne d’acier de section s{ par mètre courant est

3,751 / -+- 11,31'iz -4-80

18. Poids moyen d’acier d’une même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée* uniformément chargée, pour un groupe de cinq barres. —

Nous venons de voir que pour un groupe de cinq barres de même section sK

/,« =

centimètres.

Le volume moyen d’acier par mètre courant de poutre

sera

s i centimètres cubes,

3,75iZ-hii,3i2£-h8o

ou

3,751 / -h 11,3i2£ -+- 80

10001

décimètres cubes

et le poids moyen d’acier par mètre courant de poutre sera

(3,761 / -ł-11,3i23 -h 80)7,85

ou

0,00785 $!( 3,761 / -ł-11,312^-4-80). .. co = ----—--j--kilogrammes.

19. Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée, pour un groupe de sept barres. — L’équation de la parabole des moments fléchissants est, OX et OY étant les axes de coordonnées,

m=M

M=^!.

i=l/«i?

TABLE DES MATIÈRES.

)•

o I 's

Ix — x² —

m=M

si nous admettons que le moment maximum est^-* 11 est

facile de voir que les intersections de cette courbe avec l’axe des x sont à une distance de o,o53 / des appuis.

Les moments négatifs maxima ont lieu aux appuis et seront absorbés par des aciers disposés à la partie supérieure de la poutre. Ces aciers pourront être de section constante ou de section décroissante, à partir des appuis où la section d’acier nécessaire est égale au quart de celle au milieu de la poutre, car la valeur du moment négatif

26

THÉORIE GÉNÉRALE DU CIMENT ARMÉ.

n^2

maximum est • Quant à la longueur de ces barres négatives, on la prend pratiquement égale à 0,06 /, ce qui dépasse légèrement la longueur théorique de o,o53 L

Fig. 18.

°l

W-

0.338 Ç ! 0.478 L

0.585 l

0.676 l

0.755 L

0.828 l

0.053^

0.0^3 L

Pour ce qui est des fers à la tension, nous diviserons la flèche comprise entre l’axe des x et le sommet de la parabole en un certain nombre de parties égales, ici sept. Nous disposerons ces barres suivant le même principe qu’au paragraphe 15. Il est facile de calculer les longueurs interceptées sur la parabole parles horizontales passant par les points de division de la flèche. Ces longueurs sont :

barre 1 = /, barre 2 = 0,828 barre 3 = 0,755/, barre 4 = 0,676/, barre 5 = o,585 l, barre 6 = 0,478b barre 7 = o,3381.

Nous supposerons le groupe formé de sept barres de même diamètre.

Fig. 19.

0.06 t

/barre /négative

Les parties droites donnent une longueur totale de /(i-f- o,828-h o,755 -H o,676 h- o,585 -+- o,478 H-o, 338) = 4,66/.

Les parties inclinées à Ą5° donnent une longueur totale de

16 y/‘iz = 16,97-s.

Nous supposerons l’armature supérieure placée au centre de compression. Nous désignons par z la distance

Fig. 20.

barre négative

• It

du centre de compression à l’axe des tensions qui coïncide sensiblement avec l’axe de la rangée de barres intermédiaires.

Les crochets, en les prenant chacun d’une longueur de on‘,io, donnent une longueur totale de 12 Xio=im,20.

Enfin les barres négatives ont pour longueur totale 2 x o, 06 / = o, 12/, et comme leur section est j s,,

la longueur équivalente d’acier de section s{ est ^2 / ₀i*

4

o,o3 /.

De sorte que la longueur moyenne d’acier de section sf par mètre courant de poutre est

4,66/ 4- 16,97* 4- 120 4- o,o3 /

ou

lm

4,69/-4-16,97*4-120

20. Poids moyen d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée, pour un groupe de sept barres. — Nous venons de voir que pour un groupe de sept barres de même section sK

+    Z£±I22 centimètres.

Le volume moyen d’acier par mètre courant de poutre

sera

centimètres cubes

4,69/ 4-16,97* 4- 120

ou

4,69/ 4-16,97* 4-120

1000/

décimètres cubes,

et le poids moyen d’acier par mètre courant de poutre sera

(4,69/4-16,97* 4- i2o)7,85st 1000/

ou

^    0,0078551(4,69/4- 16,97* 4- 120)

21. Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée, pour un groupe de cinq barres. — On trouverait facilement que les longueurs des

parties droites sont :

barre 1 = /, barre 2 = 0,800 /, barre 3 = 0,692/, barre 4 = o,566/, barre 5 = 0,458/.

Les parties droites donnent une longueur totale de / ( 1 -4“ o,800 -H o,69*2 -f- o,566 “+■ o,458) = 3,546/.

Les parties à 45° donnent une longueur totale de 8 sJ'LZ — I I ,3l2z.

Les crochets donnent une longueur totale de 8 x 10 = 80 centimètres.

de

Enfin, les barres négatives donnent une longueur totale

o,o3 /,

d’où

Z/« —

( 3,546 / —ł— 11,31'iz H— 80

22. Poids moyen d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée, pour un groupe de cinq barres. — On trouverait facilement que

CD =

o,00783Sj (3,546 / -h 11,3i2Z -h 80)

CALCUL DES HOURDIS.

23. Calcul des hourdis ordinaires. — Soient :

jp, la distance de la fibre extrême à l’axe neutre en cm; z, le bras de levier du couple fléchissant en cm ;

A, la hauteur effective du hourdis en cm ;

, le rapport des coefficients d’élasticité de l’acier et du béton ;

F, la force du couple fléchissant en kg;

M, le moment du couple fléchissant en kgm; s, la section d’acier à la tension en cm² ; r, le travail réel du béton à la compression en kg : cm²;, R, le travail réel de l’acier à la tension en kg : cm².

Dans un hourdis ordinaire, d’après le paragraphe 5, la position de l’axe neutre est donnée exactement par

(O

rnrh

R -h m r

Écrivons, d’autre part, que le travail de la partie comprimée est égal à celui de la partie tendue, nous aurons

iooy r

*2

=iR,

OU

(2)

5oyr = s R.

Le moment fléchissant M donne lieu à un

couple

fléchissant F, ayant pour bras de levier z, distance entre le centre de gravité de la partie comprimée et l’axe des tensions et tel que

(3)

iooM

Le bras de levier du couple fléchissant a pour expression en centimètres

(4)

z = h--y.

Enfin, la section d’acier nécessaire à la tension sera donnée par

(5)

laß

En résumé, les cinq formules exactes relatives à un hourdis définissant les cinq inconnues y, z, r, F, s peuvent se grouper comme suit

(>)

mrh

y    K -h mr *

(2)

boy r =±= s R

(3)

* = h-\y:

(4)

ioo M

(5)

Remarque. — En place de (2) on peut aussi écrire la formule équivalente

5o y² — ms (h —y),

(2 bis)

en égalant les moments statiques des portions tendues et comprimées par rapport à l’axe neutre.

24. Hauteur économique des hourdis ordinaires. —

Soient, en plus de la notation du paragraphe 23 :

7,85, densité de l’acier (kg : cm³) ; a, prix du m³ de béton ;

(3, prix du kg d’acier.

Le prix du mètre carré de hourdis varie avec son épaisseur théorique et la quantité d’acier, carie cintrage est toujours le même et la portion au-dessus de l’axe des tensions a une épaisseur constante.

Nous avons donc à chercher le minimum jle l’expression

P — -x 1 X 1 X a -b

100

g

— x 10 x7,858, 100    '    ¹

ou

P =--h 0,78553.

100    ‘

Dérivons l’expression du prix par rapport à z, il vient

dP a dh    ' b ds

-T- 5=- x -7- 4-0,780ß — •

dz 100 dz -    ‘ dz

Des formules du paragraphe 23 on tire

100M

d’où

Rz ’

ds

100M

dz

d’autre part,

ou

ou

d’où

* = h--y,

_    mrh

3(fi + wi/’j _ A(3 R 4- 2 mr) 3( R -H mr) }

j _ 3(R + mr)

3R + 2 mr

dh _ 3 ( R -4- mr)

dz 3R + 2W/’

Remplaçons les dérivées par leurs valeurs dans l’expression de la dérivée du prix et annulons cette dérivée, alors P passera par un minimum.

On a donc

3 ( R H- mr)    o, 785 X 100 M ß __

100

3 R 4- 2 mr    R s² ~ °’

OU

3 Ra(R H- mr)z² = 7800M ß(3 R H— 2/nr),

ou remplaçant z en fonction de A, il vient

OU

3Ra(R + mr)A²(3R 4- 2mr)²

9(R + mr)²

= 7850M ß(3 R 4- 2 mr),

Ra/i²(3R + 2 mr)

3 (R -h mr)

— 7850M ß,

d'où

5oy m(h — y)

ou

(8)

d’où

/l2 =

a355o(R .4- mr) ß \T

R (3 R H- 2mr)y.

et

h=j

23 55o( R -+- mr) ß M

R ( 3 R -h 2 mr)oi.

25. Formules théoriques des hourdis ordinaires. —

Des formules du paragraphe 23 lirons la valeur de s en fonction des données.

Eliminons F entre (4) et (5), il vient

(6)

i oo M

Eliminons z entre (3) et (6), il vient

i oo M

(*-Hr

ou

(7)

3oo M

* ⁼ (3A-^)K' Eliminons r entre (i) et (2); on tire de (1) R y 4- mry = mrh,

ou

m(h — yY

on tire de (2)

sh

5o y² = ms ( h — y). Eliminons y entre (7) et (8), de (7) on tire 3 RsA — B = 3ooM,

A.

OU

2 R s h — 3oo M

Rs

portons cette valeur dans (8), il vient

ou

ou

5o(3 R sA — 3oo M )²

= ms ^A

3 RsA — 3oo M

Rs

45(o(RsA — 100M)² = R/ns²(3ooM — 2RsA),

(9)

225 ( RsA — ïooM)² = Rms²(i5oM — RsA).

En résumé, les formules théoriques des hourdis ordinaires économiques peuvent s'écrire

h=V

23 55o( R -+- mr) ß

R(3 K + 2mr) a

M,

225 (RsA — iooM)² = Rm.s²(i5oM — R$A), F = sR,

100 M

y = 3 (A — z),

boy'

Dans ces formules, r est la valeur réelle du travail du béton.

26. Formules pratiques du calcul des hourdis en usage chez plusieurs constructeurs. — La détermination de la section d’acier par la formule (9) étant compliquée, plusieurs constructeurs se contentent, en pratique, en renonçant à la condition d’économie, de déterminer h par la condition d’utiliser convenablement la matière en faisant travailler le béton et le métal à leur maximum, c’est-à-dire à leur limite pratique.

Ils admettent donc r et R comme fixés. Calculons, dans ces conditions, s et h en fonction des données. Reportons-nous aux formules du paragraphe 23.

/l=i/

De (2) on tire

5o yr

remplaçant^ par sa valeur tirée de (1), il vient

5o mr² h

R( R 4- mr )

centimètres carrés.

Si l’on désire s en mm², on emploiera la formule

5ooo mr² h S = R(H + rar)

millimètres carrés.

D’autre part

5o y 7' = s R — F =

3ooM

3/i — y

ou

5oyr(3h — y) = 3oo M ; remplaçons^ par sa valeur tirée de (1)

5omr²A/₀₇ mrh \    _    ..

•5-( 3Ä — 0- = 3ooM,

R 4- mr \    R -f- mr J

5o mr² /i²(3R 4- 2 mr) = 3ooM(R 4- mr)²,

ou

ou

/*² =

3ooM( R 4- mr)2 5o m/*² ( 3 R -4- 2 mr ) ’

ou

6( R mr)²

mr²(3 R 4- imr)

M centimètres.

En résumé, les formules pratiques dtij calcul des hourdis ordinaires sont

h=y

6( ii. 4- mr y

mr²(3 R 4- imr)

M centimètres,

centimètres carrés,

5o mr² h

R( R 4- mr)

centimètres,

mrh

R 4- mr

F = 5 R kilogrammes,

100 M    . ,

z = —=—centimètres, r

Dans ces formules, r représente la valeur limite pratique du travail du béton.

Remarques. — I. Dans un hourdis, calculé suivant les formules pratiques précédentes, le béton absorbe exactement la compression en travaillant à sa limite pratique car F = sR = 5oyr. Il n’y a donc pas lieu, dans ce cas, de vérifier que le béton suffit à absorber la compression.

II. Les formules pratiques des hourdis ordinaires conduisent à des valeurs de s et h qu’on augmente toujours, en pratique; la première à cause des dimensions commerciales des fers, la seconde pour avoir un chiffre rond de centimètres comme épaisseurdu hourdis. Soient S et H les valeurs adoptées définitivement.

Les inconnues y, .3, r, F seront alors définies par les formules

mr H

y ~ K mr ⁹ * = h — 3

F == SR,

00 yr = SR,

ie métal travaillant toujours à sa limite pratique R.

Du fait de ces deux modifications de s et A, examinons ce qui se passe au point de vue delà compression.

Supposons d’abord que h seul augmente et que l’on conserve la section calculée. Nous avons sR = F, donc F reste constant : or

ou,

F = 5o yr —

5o mr² k

K mr

SK

5<> mh

Il *

Mis

5 o mh

si h augmente, le second membre augmente, donc le

CALCUL DES HOURDIS.

premier aussi et par suite r diminue. Or

r = --»

30/

r diminuant, y augmente, l’axe neutre baisse.

Supposons maintenant que h soit constant et que s augmente seul.

On a

s augmentant, F augmente; or

5o mh

F augmentant, le dénominateur — H- ™ diminue, d’où r augmente, mais

mrh

mh

mr

--h m

r augmentant, baisse encore.

— diminue, d’ou y augmente : l’axe neutre

Donc Vaxe neutre réel est toujours plus bas que

où r et R

mrh

R -h mr ’

Vaxe neutre pratique déduit de y ==

représentent les travaux limites pratiques.

Lesdeux effets précédents se produisent simultanément, il en résulte au total une augmentation de F et une augmentation ou une diminution de r, avec une augmentation de la surface comprimée. Ne sachant pas si la limite pratique de r n’est pas dépassée, il y a lieu de vérifier la compression.

III. On peut se donner arbitrairement h et faire

travailler l’acier à sa limite pratique R. Il peut alors se présenter deux cas : le béton suffit ou ne suffit pas à absorber la compression.

S’il suffit, les cinq équations du paragraphe 23 définiront les cinq inconnues y, z, /*, F, s.

S’il ne suffit pas, il J a lieu d’ajouter de l’acier à la compression.

La section d’acier s! en cm² nécessaire sera définie par la relation

F — 5o y r

r" étant le travail du béton au centre de gravi té de l’emplacement qu’occupe l’acier, en kg : cm² et nous avons pour définir /•"

_ = y~-f.

ou

r,

r*

/étant la distance de la fibre la plus comprimée à l’axe des aciers de compression. Le béton travaille alors à sa limite pratique r.

Pour trouver £, écrivons que la somme des moments des composantes du béton et de l’acier comprimé par rapport à l’axe neutre est égal au momentde la résultante.

En appelant x la distance du centre de gravité de la partie comprimée ou centre de compression à l’axe neutre, nous aurons

= (ioojk -4- ris') x,

„    i oo r²

ms (y — f) + 2 —-—

d’où

,/    -,    200 y²

(y — /) h—j—

ioo^ -ł- rns

et

z = h — y x — h — y -h

îooy' -h ms'

h(\ooy -+- ms') — ioojr² — ms'y -+- ms'y — ms'f -h    —

ioo^k -h ms'

ms' (h — f) -h ioo h y — '

loo y -h ms'

Écrivons, d’autre part, que les moments statiques des parties comprimées et tendues par rapport à l’axe neutre sont égaux

5o y*?ns'(y — f) = ms {h — y).

En résumé, les six formules définissant les six inconnues y', s, r", F, s, s¹ sont

5oy*-h ms'(y — f) = ms(h — y),

100 v²

ms'{h — y) -+- lOoAy--^—

r,

100M

R’

s' =

F — 5o y r

mr"

27. Formules pratiques des hourdis symétriques. — Il

peut arriver que s' soit plus grand que s. Dans ce cas, on adopte un hourdis symétrique et l’on recommence le calcul en négligeant complètement le béton, tant à la compression qu’à la tension.

Dans ce hourdis symétrique, les sections s et s' sont

dz

égales, et le bras de levier du couple fléchissant est pris égal à la distance des armatures.

Les formules se réduisent alors à trois équations à trois inconnues z, F, s :

z = h -/>

loo ivr

s’=s =

La hauteur de ce hourdis sera définie par la condition économique.

28. Hauteur économique des hourdis symétriques sans attaches. — Dans ces hourdis, la section d’acier doublant pour obtenir le minimum du prix, nous avons à chercher le minimum de l’expression

h*

p_ —+1,57^,

dans laquelle s est la section d’acier d’une des armatures en cm².

Dérivons par rapport à z et annulons la dérivée pour avoir le minimum du prix

a dh    ds

- x ~T~ -ł- ¹ ,$7 ß —

100 dz    ' dz

Or, on déduit du paragraphe 27 qu

dz ~

= o.

dh

dz

et que

100 M

“TF“’

d’où

ds

100M

Rz* ’

d’où, en portantles valeurs des dérivées dans l’expression

de la dérivée du prix

100

i ,57 x 100M ß Rz* ⁼

o,

OU

a R2² = i5 700 ß M, ^ _ i57ooßM

aR

(A-/)² =

15700 ß M

-r:-y

15 700 ß

29. Hauteur économique deshourdis symétriques parfaitement encastrés avec attaches. — Soienl :

to, poids d’attaches moyen par mètre courant de hourdis en kg;

y, prix du kg d’attaches;

charge par m- courant de hourdis en kg;

T₄, effort tranchant aux appuis en kg; a = ioocm, largeur du mètre courant de hourdis;

azr

portée d’axe en axe du hourdis en cm.

Les autres notations restant les mêmes que précédemment, nous avons à chercher le minimum de l’expression

ha

p __ .-4- j 57^3 —|— WY. IOO    ‘    ‘

Annulons la dérivée de P par rapport à z

a dh r 0 ds du

-X 77--h¹,57$ß -j- + yt

100 dz    dz dz

* = h —fi

Or,

d’où

dz

dh

dz

100M

"RT'

ri i    diÙ

rL val uons -7- • dz

Les Lourdis sont assimilables à des poutres de largeur a = 100

Nous avons vu (§ 14) que le poids pratique mojen d’attaches par mètre courant de poutre a pour expression

Z -h IO

, T, - t CO = 0,49 X pj— X

Mais ici, nous nous contenterons pour les crochets de 4c,nau lieu de iocm, de sorte que

10 = 0,49 X

d’où

ds

100M dz ⁼ ~ "ÏÏ^~

T \ — t z 4- j -5— x-;

Ia    Z

d’autre part

100 zr

10

t azr

10

= io zr.

Écrivons T{ en fonction de M. Nous avons

Tf =

pi

1 x 100

Le hourdis étant parfaitement encastré, on a

12 x 100 x 100

ou

eL ¹ - Tl

200    600    600 ?

d’où

T,=

600 M

r~*

de sorte que

600 M

— io^r

10 = 0,49 X

<3 4-4

X -

et

du)

dz

0,49 X 600 M Y z — (z 4)

0,49 X ior

RI

*²

ou

d<x>

dz

/1176 M ⁼ “ \ Riz²

4,9r

Portons les valeurs de ces trois dérivées dans 1 expression de la dérivée du prix, on a

ï ,57 fi X 100 M

100

R z²

1176 M y

Riz²

ou

57M1$ -4- 1176IV1 y _ a    4,9rY _

Riz*    ”    ~

Ra —

100

100 R

49° r'[

d’où

z'²

_ ( 157 /ß -h ï 176y) x f°°M. /(Ra — 490^7 )    ³

or

d’où

= h-f,

A=\/-

100(157 /ß -s-1176 y)

/(Ha — 490 ry)

Remarque. — L’expression précédente peut se simplifier si l’on néglige les crochets. On a alors

(0

M + /•

tu = 0,49 X

— = o,49 x

6OO

s l~

-10,8/’

d’où

dtu

_ 4,9^

dz    R

et

dP

dz 100

57 ß M 4,9''Y

H _0’

R^²

ou

57^M _ a 4,9^T _

R^²

Ra —

100

100 R

z² =

i570oßM

R a — 490/’y

et

(2)

'-y/

15 700 ß

R a — 49° r Y

M+/.

30. Hauteur économique des hourdis symétriques librement appuyés avec attaches. — Dans les formules (1) et (2) précédentes, il suffit de multiplier M par le

pn

rapport

8 x 100 x 100

12

pl²

^ dans ]e terme provenant

12 X 100 X IOO

de —r- ; et l’on trouvera dz

(3)

ioo( 1S7 /[3 -I- 17647)

/(Ra — 490/-y)

M +/,

si l’on tient compte des crochets, et

(4)

i 5 700 ß

R a — 490 /'y

si Ton néglige les crochets.

31. Résumé des formules économiques des hourdis. —

i° Hourdis ordinaires, h =

2355o ( R -h- ß R(3 R -f- 2/nr)a

2° Hourdis symétriques encastrés ou libres sans 16700 ß

M;

attaches, h =

i/ Ra

M +/;

3° Hourdis symétriques encastrés ou libres avec attaches, h ==

10700 ß Ra — 490 /’Y

M+/;

32. Calcul des hourdis s’appuyant sur quatre côtés. —

Il n’existe pas, jusqu’à présent, de théorie satisfaisante du calcul des hourdis s’appuyant sur quatre côtés.

Dans ces hourdis, on dispose des barres principales dans les deux sens et à angle droit, et voici les formules

que le Règlement français de 1906 sur le béton armé recommande :

i° Hourdis s’appuyant sur un rectangle et parfaitement encastré. — Soient :

Mn moment fléchissant suivant une des portées, en kgm; M₂, moment fléchissant suivant l’autre portée, en kgm;

/₁, portée correspondant à M₄ en mètres ;

/₂, portée correspondant à M₂ en mètres; p, poids mort et surcharge uniformément répartie en kg : cm² ;

s{, section d’acier correspondant à en cm² ; s₂, section d’acier correspondant à M₂ en cm² ;

On a

l\

B|=£üx

et

12

î\

Les hauteurs théoriques du hourdis correspondant à M1 et M₂, c’est-à-dire hx et A₂, ainsi que les sections d’acier st et s₂ se détermineront par les formules ordinaires des hourdis. On prendra, parmi les valeurs ht et A₂, la plus grande et l’on disposera un réseau de barres de section s{ par mètre courant dans le sens correspondant à M{, et de section s₂ par mètre courant dans le sens correspondant

à M₂.

2⁰ Hou/dis s'appuyant sur un carré et parfaitement encastré. — Dans ce cas, les portées sont les mêmes dans les deux sens, ainsi que les moments et les sections de barres, et l’on a

M=^!.

36

Remarque I. — Si les hourdis sont simplement appuyés, les formules deviennent

i° rectangle :

Ml = 4i 8

M,«£3

I -H 2

iV

T\

2° carré :

24

w -£2.

Remarque II. — Si le hourdis est partiellement encastré, les formules deviennent

i ° rectangle :

IO

I -f- 2

l\’

77

2° carré :

M = f.

3o

33. Calcul des hourdis à la charge concentrée. — Le

Règlement français de 1906 sur le béton armé autorise à substituer à la surcharge concentrée la même surcharge

uniformément répartie sur un rectangle de côtés e et e -f- ^

définis comme suit :

Soient :

e, somme des épaisseurs du hourdis, de la chaussée et de la largeur de la jante en mètres ;

/, portée d’axe en axe du hourdis en mèlres;

P, charge concentrée en kilogrammes ;

On trouverait facilement les formules dérivant du résultat de cette substitution et qui sont :

CALCUL DES HOURDIS.

i° hourdis simplement appuyés :

OU

CL ht

loi

0,25 p 7

2° hourdis partiellement encastrés :

00

■M -0

ou

-t- e

3° hourdisparfaitement encastrés :

CL |00

l*"-» |<ro

ou

M = o,125 P

Remarque. — On ne doit pas oublier, dans le calcul des hourdisà la charge concentrée, d’ajouter aux moments précédents les moments dus à la charge morte.

CALCUL DES POUTRES.

34. Calcul des poutres ordinaires. — Soient en plus des notations précédentes :

O, aire de la partie comprimée en centimètres carrés (dans le hourdis seulement);

travail du béton à la compression dans la fibre inférieure du hourdis en kilogrammes par centimètre carré ;

compression, en

b, largeur du hourdis intéressée à la centimètres.

Fig. 2i.

_______A

_B’

Considérons une poutre ou élément de plancher comme le montre la figure 21. La position de Taxe neutre est encore donnée par la formule

(0

mrh

R -h nir’

puisque l’établissement de cette formule est indépendant de la forme de la section du solide prismatique; r et R sont les valeurs réelles du travail du béton et de facier.

Supposons que l’axe neutre tombe en dehors du hourdis, ce qui est le cas général. Ecrivons que le travail de la partie tendue est égal à celui de la partie comprimée, en négligeant la surface doublement hachurée.

CALCUL DES POUTRES.

49

Nous avons

be(r -h r')

Or 6e = O, d’où

(2)

r h- r'

û(r + 0

Les triangles semblables AO B et A'OB' donnent

d’où

‘iy — e

Oll

<3)

r -4- r'

r.

Calculons le bras de levier z du couple fléchissant z = h —/,

or

/= —

AA' 2 A'B'h-AB _ e 2 r'+r 3 A'B'+AB ~ 3 r’ + r■’

or

r' =

d’où

2(y — e)

r -h r

(.r —g)

-H r

₌ f 2 (y — e)H-7 _ e 3 y — 2 e 3 (r — <0+7    ³ 27 —

(4)

(5)

et

z — h — —

3 27 — e

On a aussi

100 M

Ce

En résumé, pour définir les six inconnues y, z% /’, r7 F, s d’une poutre, nous avons le groupe de relations

(0

mrh

H -h mr⁷

(2)

û(r -f- r')

= s R,

(3)

r r'

27

r,

(4)

(5)

z = h~ 3

tooM

(6)

Remarque. — En place de (2), on peut aussi écrire la formule équivalente

(2 bis)

Û(V— )=ms(h— y).

lo I

qu’on obtient en égalant les moments statiques, par rapport à l’axe neutre, des parties tendues et comprimées.

35. Hauteur économique des poutres ordinaires partiellement encastrées. — Soient en plus des notations précédentes :

a,    largeur de la poutre en centimètres ;

b,    saillie de la poutre en centimètres ;

co, poids mojen pratique d’attaches par mètre courant de poutre en kilogrammes;

y, prix du kilogramme d’attaches;

S, prix du mètre carré de cintrage ;

R, travail limite de l’acier en tension en kilogrammes par centimètre carré ;

r, travail réel du béton à la compression en kilogrammes par centimètre carré ;

distance du centre de compression à la fibre la plus comprimée, en centimètres;

g, distance de Taxe des tensions à la fibre extrême inférieure de la poutre en centimètres ; e, épaisseur réelle du hourdis en centimètres;

/, portée d’axe en axe de la poutre en centimètres.

Fig. 22.

ou

Le prix d’un mètre courant de poutre ordinaire peut s’écrire :

ioo

I un

—xio x 7,85 ß -+- (*>y -t- S îoo    ¹    ‘ ioo

ab a

bî>

IOOOO

-+*o,7855i3 -t- wy +

Annulons la dérivée de P par rapport à z pour avoir le minimum du prix

IOOOO

ol”'

db

ds

r/to

= O.

Or

j pourrait être déterminé exactement en fonction de z, mais cela conduirait à des calculs complexes et sans utilité pratique. Nous admettons que, approximativement, on a toujours

f+g—e= o,

db

de sorte que

d’autre part

dz 1 ;

ioo M

“Tr“'

d’où

ds

ioo M

dz

z R²

Nous avons vu aussi (§ 14) que

w = 0,49 X

TJ — t Z H- IO

avec

t azr

io

Or,

T,=

pl

•i X IOO

pi²

10 X IOO X IOO

pl_ l _ T,/. ~ X 5oo 5oo ?

200

d’où

Ti =

5oo M

et, par suite,

5oo M

azr

w = 0,49 X

IO

Z -1- 10

d’où

dio o,49X5ooM

dz

/R

t¹

z*

o,49ar

io R

ar

245M 10 -7F-x--o,o49-f

245oM

ar

/R^2

+ 0,049— •

Portons toutes ces dérivées dans l’expression du prix, il vient

10 000

78,5 {3 M

2400 M y 0,049 ar y

R3 ²

R(aaH-20o8) — fâoar'f _ 78,5 ß M / -h 2400 M y "    “    /Ri»

10 000 R

et

^ __ 780000 ß M / h- 24 oooooo M y ZR(aa 4- 2008)— 490 a/'y /

et, comme nous supposons que 5 = /;,

^    / 780000 3 /-h 24 300 000 y

y /R(aa-4-2008 )— 490a/*y/

Remarque. — L'expression précédente peut se simplifier, si l’on néglige les crochets. On a alors

°i49 (

azr\ 10 /

OU

aa

10000

o,o4gary

R ⁺ 5o

_ 78,5 ß M / -h 24 5o M y

" nu* ’

ou

ôooM

o,49(Ti— t) co= -s- =

et

du    , ar

dï =-0’°-i9-R ;

d’où

o,°49ary

10000

R s²

ou

et

78,5ßM _ R-3²    “

aa

10000

o,o4g«ry 8

785000 ßM

R (a a -h 2008 ) — 490 «/*y

et, comme z = b approximativement,

= i /    785 000 ß    M

y R(aaH-20o8) — Ąyoary

36. Hauteur économique des poutres ordinaires, librement appuyées. — Ces poutres ne diffèrent des poutres

THÉORIE GÉNÉRALE DU CIMENT ARMÉ.

54

ordinaires partiellement encastrées que par l'expression de dans laquelle il suffit de remplacer M par ]a

valeur

8 x ioo x ioo

ou

25 M.

IO X IOO X ioo

Gela revient à multiplier, dans le résultat final, le coefficient 245ooooo y par i,25 et la formule devient

^ _    /785oooß/ -h ‘245ooooo x r ,25 y ^

y /R(aa -+- 200 ô) — Ągoaryl ’

OU

^ _    / 78 )000 ß L h- 3o 6-25 000 y ^

y /R(aa + 200 5 ) — 490 ctr y l

Remarque. — L’expression précédente peut se simplifier si nous négligeons les crochets ; nous avons alors, comme dans la remarque précédente,

dix)

ar

dï=~⁰’⁰⁴⁹^’

expression indépendante de M.

Nous arrivons donc au même résultat que dans le paragraphe précédent, c’est-à-dire à

b =./ ~85<;°°'⁶—_ m.

y K(aa + 2000) — ąC)oar^(

37. Formules théoriques des poutres ordinaires. — Dans les formules du paragraphe 34, nous donnerons h et R; h par la condition que la poutre soit la plus économique, et R égal à la limite pratique du travail de l’acier. Cherchons à déterminer la position exacte de la fibre neutre définie par y directement en fonction des données.

Eliminons rr entre (2) et (3), il vient

(7)

= sK.

Q ( 2 y — e )

-¹-r

CALCUL DES POUTRES.

Éliminons F entre (5) et (6), il vient

(8)

tooM

(9)

Éliminons s entre (7) et (8), il vient Qj/i y—e) r _

Eliminons z entre (4) et (9), il vient 200 M y

3 h( 7. y — e) — e(3y —

2e)

il ( 2 y — e ) r

(2y — e)

ou

(10)

200 M y

Qr

= 3/1(2 y — e) — e (3 y — 2e).

Eliminons r entre (1) et (1 o), il vient R y -f- mry = mrh,

ou

et

¹ m(h — y)

200 M y

r~ Q[3h{2y — e) — e(3y — 2e)]’

ou

R Q(6h y — 3 eh — 3ey -y 2e²) — 200 M mh -+- 3 R Q eh — 2 R Qe²

200 M mh -I- 3 R il eh — 2 R Q e²

En résumé, les formules théoriques des poutres ordinaires, permettant de calculer les six inconnues y, z, /*,

F, s, peuvent s’écrire

<11)

200 M mh h- 3 R 0 eh — 2 R Ü e2 ( j R il h — 3 R il e 4- 200 M m ’

<I2)

E.r

m(h—y)

et

(2)

il

/’ -f- r'

= sR,

(4)

e 3y — le

z — h — — -

3 2y — e

(:>)

ioo JM

CD

38. Formules pratiques du calcul des poutres ordinaires, en usage chez plusieurs constructeurs. — La formule (i i) du paragraphe précédent est trop compliquée. En pratique, plusieurs constructeurs lui substituent la formule (i), dans laquelle r et R sont les limites pratiques de travail. Les formules pratiques du calcul des poutres ordinaires deviennent alors

0)

mrh

y ~ K -+- mr¹

(4)

(5)

. e 3 r — 2 e

z — h — — ->

3 2 y — ê

ino M

(6)

ł |cd

(3)

r r'

La formule

(2)

reste vraie, mais est superflue. Ces cinq équations permettent de déterminer les cinq inconnues jk, s, F, s, / Examinons quelles sont les consécpiences de la substitution de ces formules pratiques aux formules théoriques.

Comme il ne s’agit ici que de poutres ordinaires, il est évident que le travail réel du béton est inférieur ou égal à

CALCUL DES POUTRES.

la limite pratique du travail. S’il est égal, l’axe neutre réel et l’axe pratique coïncident, et les formules précédentes sont alors rigoureuses ; s’il est inférieur, il en résulte que :

mh

; r augmentant,

i° L’axe neutre pratique est plus bas que P axe neutre réel. En effet, de (i) on tire y = ~

--h m

^ diminue et y augmente, la libre neutre baisse.

2° Le travail moyen pratique du béton est supérieur au travail moyen réel. — En effet, de (3) on tire

r -H r' ( e \

2    ~ V    2y)r’

r augmentant et diminuant, puisque y augmente, ( i — — \ augmente; donc, pour ces deux raisons, le

\    ² y /

second membre augmente et par suite —-— augmente.

3° La section d’acier pratique est supérieure à la section d’acier théorique. — En effet, dans la formule (2), r r'

—-— augmentant, s augmente.

4° L’effort de compression pratique est supérieur à l’effort de compression réel. — En effet, dans la formule (6), s augmentant, F augmente.

5° Le bras de levier pratique du couple fléchissant est inférieur au bras réel. — En eff et, dans la formule (5), F augmentant, ^ diminue.

11 résulte de ce qui précède que l’emploi de la formule simple y =    où l’on remplace /* et R par les valeurs

limites pratiques, se justifie, en pratique, car, en ce qui concerne l’acier, elle conduit à une section d’acier supérieure à celle qui est nécessaire; en ce qui concerne la compression, on admet un effort plus grand que l’effort réel et un travail mojen de béton supérieur au travail réel : pour ces deux raisons, les calculs pratiques de la compression sont justifiés.

En résumé, les formules pratiques des poutres ordinaires sont

mrh

H -h ni r’

z=k-ï ioo M

e 3 y — 2 e

'iy—e

F ==

S-R’

r -f- r'

rr

avec la formule économique

b-i/    783000(3    ~

y R(aa-4-20oo) — Ągoary

Remarques. — I. Tableau des z. — Admettons les formules pratiques précédentes, lorsque le coefficient de sécurité estadoptéet, par suite, les limites pratiques de travail, y se présente sous la forme y = R h, R étant une constante numérique. On pourra alors facilement établir un Tableau des z, lorsque l’épaisseur de e du hourdis varie et avec les différentes hauteurs de poutres. On aura recours à ce Tableau, établi une fois pour toutes, pour le calcul pratique et rapide des poutres. Ce Tableau et les formules (5) et (6) permettront de déterminer rapidement s.

II. Tableau des hauteurs économiques. — La formule économique se présente aussi sous R étant une autre constante. On établira également, une fois pour toutes,

la forme 5 = ^RM,

un

Tableau permettant, à une seule

inspection, de voir quelle est la hauteur économique correspondant à un moment donné.

En appliquant les formules

III. Compression. pratiques du calcul des poutres, il peut arriver que le béton ne suffise pas à absorber la compression. Dans ce cas, on doit ajouter des fers additionnels à la compression et tels que, le béton travaillant à sa limite pratique, le reste de l’effort de compression soit absorbé par cet acier additionnel.

La section s' d’acier additionnel est donnée par la formule

r -h r'

s'=-

ni/"

centimètres carrés,

r" étant le travail du béton à l’emplacement qu’occupe l’acier, et l’on a pour définir r,r la relation

r" =

y—f

f étant la distance en centimèlres de la fibre la plus comprimée à l’axe des aciers de compression.

Si l’axe neutre tombe dans le hourdis, on ne considère naturellement à la compression que la portion du hourdis au-dessus de lui.

La largeur b du hourdis, travaillant à la compression, est prise égale aux trois quarts de la distance d’axe en axe des poutres, suivant la portée du hourdis, ou au tiers de la portée d’axe en axe de la poutre, si cette quantité est inférieure à la précédente, d’après le Règlement français de 1906 sur le béton armé.

IV. Formules des poutres, lorsque le hourdis ne suffit pas à la compression. — Dans les formules théoriques et pratiques précédentes, nous avons négligé la

partie doublement hachurée (fig. 21). Si nous tenons compte, d’autre part, du fer additionnel à la compression, les formules se modifient comme suit:

Pour trouver le z exact, écrivons que la somme des moments des composantes du béton et de l’acier, par rapport à l’axe neutre, est égal au moment de la résultante.

Soit x la distance du centre de compression à l’axe neutre, nous pouvons écrire

be

(y- )

N5 I

(y — g)⁸

-+- ms'(h —f)

d’où

— [mf+ be -h a (y — e)]#,

z — h — y -\- x

= h —y-h

be(y— j

(y — e)¹

•2

+ ms'(h—J)

ms' -h be -h a(y — e)

Nous pouvons écrire, d’autre part, qué les moments statiques, par rapport à l’axe neutre, des parties tendues et comprimées, sont égaux

(y-eY

be (y —    )

-h a

+ ms'(y-f) = ms (h — y).

De sorte que, en résumé, le groupe de formules à employer pourra s’écrire

be

{y- )

•2

H- ms'(h -/)

ms' -+- be -t- a (y — e)

-h a

(y — e)²

H- ms'(y —f) = ms (h — y),

r,

r h- r'

ion M

et

fJr= y—f

r,

s' =

mr"

r»₌ y ~e

<iy

r,

avec la formule économique.

Ces huit équations permettront de déterminer rigoureusement les huit inconnues y, s, r', r", rw, F, s, s\ le béton sur la fibre la plus comprimée travaillant à sa limite pratique r.

39. Formules pratiques des poutres symétriques. — Il

peut arriver que la section s', précédemment calculée, se trouve supérieure à la section s. 11 peut aussi arriver qu’il n’existe pas de hourdis en béton armé à la compression, dans ces cas, on adopte une poutre symétrique.

Pour calculer cette poutre, on néglige le béton tant à la compression qu’à la tension, et le bras de levier du couple fléchissant est pris égal à la distance des armatures. Les formules pratiques des poutres symétriques sont alors

= h -f,

loo M

s'

40. Hauteur économique des poutres symétriques partiellement encastrées. — Ces poutres ne diffèrent des poutres ordinaires, partiellement encastrées, qu’en ce que la section d’acier s a doublé. Il suffit donc, dans le résultat (§ 3o), de doubler le coefficient de j3, ce qui conduit à la formule

/ i 570000 ß / -f- 24 5oo000 y ^ y /R(aa -f- 2008)— 49oaryl

62

THÉORIE GÉNÉRALE DU CIMENT ARMÉ.

Remarquons toutefois que cette formule est rigoureuse, alors que, dans le cas des poutres ordinaires, elle n’était qu’approximative. En effet, nous avons

b = z-+-f-h g — e;

Fig. 23.

____

g, e étant constants

ici ^ == 1, alors que (§ 35) / était variable et que nous

avions supposé qu’approximativement f + g — ć = o, ce qui nous avait conduit à la même dérivée.

Remarque I. — Si nous négligeons les crochets, un raisonnement analogue au précédent nous conduira à la formule plus simple

nous

avons rigoureusement

b = |7_là"o00(4_M.

y R(aa-4-2008) — 490ary

Fig. 2 4-

Ni

Remarque IL -subsiste (fig. 24).

Si e = oy la formule précédente

41. Hauteur économique des poutres symétriques librement appuyées. — Ces poutres ne diffèrent des poutres ordinaires, librement appuyées, qu’en ce que la section d’acier a doublé; la formule économique est donc

b 1/    ¹ 370000 ß/ -h 3° 626000 y ^

y l R(aa -b 2008) —

Remarque I. — Si nous négligeons les crochets, la formule se simplifie comme précédemment et devient

b =4/_'⁵?ooot>ß_m.

y R ( a a -h 200 8 ) — 49° ar T

Remarque II. — Si e = o, la formule précédente subsiste (fig. 24).

42. Formules pratiques des poutres d’égale résistance. —

Ces formules sont exactement les mêmes que celles des poutres ordinaires (§ 30), mais la section ainsi calculée est celle où le moment fléchissant est maximum. Répétons ces formules

(>)

(4)

(5)

mrh R -h mr e 3 y

100M

(6)

(3)

r -h r'

I\b

S!

et

(2)

û(r + r')

qui est vraie mais superflue.

THÉORIE GÉNÉRALE DU CIMENT ARMÉ.

64

Les longueurs des parties droites sont pour : i° Poutre d’égale résistance librement appuyée, uniformément chargée avec un groupe de sept barres :

/,    0,926/,    0,846/,    0,706/,    o,655/,    o,535 /,    0,378/;

2° Poutre d’égale résistance librement appuyée, uniformément chargée avec un groupe de cinq barres :

/,    0,890/,    0,775/,    o,633/,    0,448/;

3° Poutre d’égale résistance partiellement encastrée, uniformément chargée avec un groupe de sept barres :

/,    0,828/,    0,7 55/,    0,676/,    o,585/,    0,478/,    o,338    /;

4° Poutre d’égale résistance partiellement encastrée, uniformément chargée avec un groupe de cinq barres :

/,    0,800/,    0,692/,    o,566/,    0,458/.

La longueur des barres négati ves, à chaque appui, pour les poutres partiellement encastrées, est 0,06 /, à partir de i’axe de l’appui.

43. Hauteur économique des poutres d’égale résistance librement appuyées, uniformément chargées avec un groupe de sept barres. —Nous admettons que le cisaillement vertical est satisfait aux appuis et que les bras inclinés à Ąo° absorbent le cisaillement total horizontal, de sorte qu’il n’y ait point besoin d’attaches verticales supplémentaires.

Le prix par mètre courant de poutre d’égale résistance a pour expression

ab y.

H- ü) ß -h — • ‘ JO

„a b    G 2 6 3

10000

P = - X - x i X a + w 3 H--=

100    100    100

Annulons la dérivée par rapport à z

10000

-N)- + s

5o/ dz v

^=°’

Admettons approximativement que f + g — e = o, il

vient

OU

Or

a a -4- 2000 \ db

IOOOO

= O.

b=z-hf+g — e.

dz

d’autre part, on a, d’après le paragraphe 16,

o, 007 85 s i ( 5,096 / -f-16,97 z -t- 120)

(jj —    -;--- f

mais

ot

100M

~rT’

d’où

Si =

100M

et

7 Rz

0,00785 x 100M(5,096/ -ł— 16,97^ -f- 120) 7 R iz

o, 112 r M ( 5,096 / -f-16,97 z -4- t 20 )

₌ __ : ,

ru =

d’où

doj _ o, 1121 M

z x 16,97 — ( 5 ,096 / -t- 16,97 z -f- r 20 )

dz

O,I[2IM

Ris*

(5,0961 -h 120).

La condition économique peut donc s’écrire

a cil -h 2008

10000

Riz'¹

(5,096/ -f-120) = o,

ou

1 o 000 x o, 1121 M ß ( 5,0961 -4- 120 ) (aa h- 2008)R/

1121 ß ( 5,096 / -1- 120) ^

(aa h- 2000)R/

A.

et, comme approximativement nous avons admis que z = br on a

l 121 ß(5,096/-h 120 ) M (acl 2008) K/

Remarque. — Si nous négligeons les crochets, nous avons

tu =

Riz

( 5,096 /    16,97 s),

d’où

dw o,ri2iM

dz

RI

z x 16,97 — ( 5,096 i -h 16,97 z )

°.vî~,:>: m

Rz*

et la condition économique peut s’écrire or a-f-2000    0,5712 M0

d’où

IOOOO

R*²

= 0,

6712 ß

d’où

H(aa + 2008)

b-v

57 12 ß

R(aa + 200 8 )

M.

44. Hauteur économique des poutres d’égale résistance librement appuyées, uniformément chargées avec un groupe de cinq barres. — Comme au paragraphe 43, le prix est minimum lorsque

du)

dz ^ dz

(acc -h 2008) db

--' X

IOOOO

or

db

dz

et

tu =

0,00785S] (3,75i / -h 11,3i2£ H- 80)

(§ 18).

Or,

Si =

iooM 20 M 5 R s ~ R 5 ’

CALCUL DES POUTRES.

d’où

o, 107 M( 3,701 Z-+-ii,3i2zh-8o)

W “    R/l    ;

d’où, par comparaison avec le paragraphe précédent pour éviter les transformations intermédiaires,

1670(3,7511 -4- 80 )

[aa -h 2008 ) R /

M.

Remarque. — Si nous négligeons les crochets, nous

avons

O) =

o, 167 M

Riz

(3,701/ -+- u ,3i2z),

rbü

o, 157M x 3,7^1 /

dz

Riz*

°j1⁸⁸9 m

R z*

et

5 889 ß

M.

4o. Hauteur économique des poutres d’égale résistance partiellement encastrées, uniformément chargées avec un groupe de sept barres. — Comme au paragraphe 43, le prix est minimum lorsque

(aa -h 2000) db

-L x

10000

d(s)

or

db

dz

et, d’après le paragraphe 20,

(0 =

0,007805p 4,69/ -+- iß,97-s -4-120) #

d’où, par comparaison avec le paragraphe 43,

I 12 1 ß (4.69/ -h I‘20)

(«a-t- 2 (jo 8 ) R /

M.

Remarque. — Si nous négligeons les crochets, nous

avons

Riz

46. Hauteur économique des poutres d’égale résistance partiellement encastrées, uniformément chargées avec un groupe de cinq barres. —Comme au paragraphe 43, le prix est minimum lorsque

(aa 2008) db

IOOOO

du

dz^'^dz °’

or

ć/s

ot, d’après le paragraphe 22,

0,007 85 S| (3,546/ -f- 1 r ,312-2 -h 80)

o) = ---7-;

or

Si =

20IY1

"r7?

d’où

0,117 IM W = H zl

(3,546/ -+-11,312s -f- 80) ;

d’où , par comparaison avec le paragraphe 43

bW-

1370(ô,546 /

80 )

(aa + 200 3 ) R /

M.

(3,546/h-80),

dto

o, 157M x 3,546/

dz

Riz*

0^5567 R z*

ol, par comparaison avec le paragraphe 43,

b=i/__m

Y R ( a a h- 200 8 ; J *

CALCUL DES POUTRES.

47. Résumé des formules économiques des poutres :

i° Poutres ordinaires appuyées ou encastrées

b = ,/    7»3'»ooß M .

y R(aa-h20o8) — 490 ary ’

2⁰ Poutres symétriques appuyées ou encastrées

y/ R ( a a -i- 200 ô )

5° Poutres d’égale résistance partiellement encastrées avec sept barres

⁶=V

_^ZLm;

R(aa + 200 8 )

6° Poutres d’égale résistance partiellement encastrées avec cinq barres

i=l/«i?

y R(aa + 200 o )

Remarque. — De la comparaison des deux premières formules il résulte que, en pratique, la hauteur économique d’une poutre symétrique est égale à la hauteur économique de la poutre ordinaire supportant le même moment, multipliée par y/2. De telle sorte qu’il suffira d’établir un seul Tableau de poutres économiques pour ces deux cas, celui des poutres ordinaires, par exemple..

48. Hauteurs de poutres noyées dans un mur en ciment armé. — Il arrive qu’on peut profiter de l’existence d’un mur en ciment armé pour y noyer une poutre. Le béton et le cintrage n’intervenant plus dans le prix de la poutre il y a théoriquement intérêt à ce que celle-ci soit la plus haute possible.

En effet, soient :

largeur du mur en cm;

A, poids d’acier par m² du muren kg.

Cet acier est de même prix que celui des attaches et l’expression du prix d’un mètre courant de poutre, noyée -dans le mur, peut s’écrire

P = 2 S ß -h ( 0) — As)ï*

La poutre est prise ici symétrique, parce qu’on la suppose au-dessus du plancher et qu’il n’existe, par conséquent, pas de hourdis à la compression.

Or

100 M

LU

et

Z -h [O

On voit de suite que, si 5 augmente, s diminue, m aussi,

car

10

w = 0,49 x

(t-^)

et se compose de deux facteurs qui diminuent, de plus (—A z) diminue. Pour ces trois raisons, lorsque ,5 augmente, le prix diminue.

Dans la pratique, on peut définira par la condition, par -exemple, que le poids des attaches soit équivalent au

poids des armatures du mur, supprimées par le lait de la substitution de la poutre au mur. On a alors

•OU

ou

ou

ou

T — azr

10 [ z -1- I o \

—(— )"Ai-o,49^T,—    + 10) =

o,49 x

\Rz*,

(0,49Ti — o,o49<^^r)(^ -1-10) = ÀR^²,

s²( AR 4- 0,0 i9«r) — 2(0,49Tj— 0,49ar) — 4,9Ti = °>

(ÀR -i- o,o49«r)s²— o,49(Tl — ar)z — 4>9Tt = o.

Remarque. — Si nous négligeons les crochets, nous avons

o,4o(T,-^)

= Aj,

ou

°,49ti= -s(AR -+- 0,049«;-)

et

o.49Ti

AR h- o,o49«/‘

49. Moments négatifs dans les hourdis et les poutres. —

i° Hourdis parfaitement encastrés et uniformément chargés. — Lorsqu’un hourdis repose sur une construction en ciment armé (mur, poteau ou poutre), on peut le considérer comme parfaitement encastré. En prenant ox et oy comme axes de coordonnées, la parabole des moments fléchissants a pour équation

M = - p ( Ix — x² — — \ 2 V    12/

Traçons cette courbe (fi g. 25). On trouverait faci-

THÉORIE GÉNÉRALE DU CIMENT ARMÉ.

72

lement que le moment maximum a lieu au milieu du bourdis et a pour valeur que le moment aux appuis a pour valeur et qu’enlin la courbe coupe l’axe des x en deux points situés à 0,10/ des appuis.

Fig. 25

O.

010 \l

Il j a donc lieu, dans ces bourdis, de relever les barres» principales (ftg- 26) à partir d’une distance pratique de o, 12 Z de l’axe de l’appui.

Fig. 26.

•s

0.12 L

-8!

2° Hourdispartiellement encastrés et uniformément chargés. — Certains auteurs considèrent que le bourdis, même reposant sur une construction en ciment armé, n’est que partiellement encastré etle calculent avec un moment

maximum au centre de * Dans ce cas, l’équation de

la parabole est

M = -p (Ix — x⁴² —

ï \    '20 /

Traçons cette courbe (fig. 27). Le moment aux appuis Fig. 27.

/i

Éx

■gis

a pour valeur et la courbe coupe l’axe des x en deux

points situés à o,o53 /d es appuis.

Il y a donc lieu, dans ces hourdis, de relever les barres

ig. 2⁰.

////////////.

lu

0.06 L

Si

ce I

M

■Si

si

principales {fig- 28) à partir d’une distance pratique de 0,06 l de l’axe de l’appui.

3U Poutres ordinaires ou d'égale résistance uniformément chargées. — Les mêmes formules que pour les hourdis s’appliquent, mais, au lieu de relever les barres aux appuis, nous trouvons plus pratique de conserver les barres à la tension droites tout le long de la poutre, et

d’ajouter des barres négatives additionnelles pour absorber les moments négatifs. Ces barres seront placées dans la partie supérieure de la poutre et seront horizontales.

De plus, nous ferons entrer en ligne de compte comme barres négatives :

a.    L’armature supérieure;

b.    Les trois quarts des barres principales ou secondaires du hourdis, sur la longueur d’application des charges, sur la poutre considérée, et qui sont parallèles aux armatures de la poutre; il y aura naturellement lieu, lorsque les barres principales du hourdis seront parallèles à la poutre, de réduire de 25 pour ioo leur section qui est utilisée à absorber leurs propres moments négatifs, en tant qu’appartenant au hourdis et de n’utiliser que les ^5 pour loo restants comme section négative dans la poutre;

c.    Des barres négatives additionnelles, s’il y a lieu, pour compléter la section nécessaire à l’absorption totale des moments négatifs et sur une longueur définie par la parabole de moments fléchissants.

Remarques. — 1. Pour toute autre disposition d’appuis et déchargés, on calculera la longueur et le diamètre des barres négatives en s’inspirant des memes principes que ci-dessus et en accord avec la courbe des moments fléchissants correspondants.

IL Les hourdis et les poutres symétriques ne nécessitent pas naturellement de barres négatives additionnelles.

50. Adhérence. — Les barres à la flexion tendent à glisser dans leur gaine de béton, sous l’action des efforts de flexion. Le frottement du béton sur la périphérie de de ces barres tend à s’opposer à ce glissement.

On appelle adhérence entre deux sections l’effort total horizontal, entre ces deux sections, qui tend à s’opposer au glissement de la barre. Le Règlement français de 1906 sur le béton armé indique une valeur de yq de r kg : cm², pour l’adhérence, à la surface périphérique du métal, r étant la limite pratique de travail du béton à la compression en kg : cm².

11 convient de vérifier que l’adhérence est satisfaite le long des barres à la flexion.

Soient F et F' les efforts de flexion en deux sections quelconques de la barre, distantes de l cm; F — Ff représente l’effort de glissement de la barre. Soit tt le périmètre de la barre. On doit avoir

Dans les poutres partiellement encastrées, il convient particulièrement de vérifier l’adhérence des barres négatives dans les appuis.

De même, la longueur d’ancrage dans les poutres en porte à faux sera définie par la condition d’adhérence.

Lorsque l’adhérence n’est pas satisfaite, on y remédie en multipliant le nombre des barres, tout en leur conservant la même section totale. Quelquefois, l’on peut être conduit à ajouter des barres supplémentaires pour que la condition d’adhérence soit satisfaite.

Enfin, lorsqu’il s’agit de barres à la compression, les efforts F et F' sont ceux qui s’appliquent réellement à ces barres, déduction faite de la partie de la compression absorbée par le béton.

CALCUL DES POTEAUX.

51. Définitions relatives aux poteaux. — Soient :

h, hauteur d’un poteau en cm;

<2, sa plus petite dimension transversale en cm.

Nous appellerons poteaux courts les poteaux tels h <

que - S 20.

Nous appellerons poteaux longs les poteaux tels que - > 20.

Nous appellerons section fictive du poteau la section de béton fictive équivalente, obtenue en substituant au métal M fois sa section en béton.

Nous appellerons axe neutre de flexion, la ligne dans la section transversale du poteau, au-dessus de laquelle toutes les fibres, soumises à la flexion seulement, travaillent à la compression et au-dessous de laquelle toutes les fibres soumises à cette même flexion seuler travaillent à la tension.

Nous appellerons axe neutre de flexion et compression la ligne dans la section transversale du poteau, au-dessus de laquelle toutes les fibres, soumises à la fois à la flexion et à la compression directe, travaillent à la compression et au-dessous de laquelle toutes les fibres,, dans les mêmes conditions, travaillent à la tension.

Nous appellerons plan neutre de flexion le lieu des axes neutres de flexion tout le long du poteau.

Nous appellerons axe longitudinal du poteau le lieu des centres de gravité des sections transversales, le long de la colonne, lorsque celle-ci est soumise à une charge concentrique.

Nous appellerons du même nom l'intersection du plan de flexion avec le plan neutre de flexion, lorsque le poteau est soumis à une charge excentrée.

52. Formules théoriques du calcul des poteaux. —

Soient :

N,    charge pratique limite appliquée au poteau en kg;

O,    section fictive du poteau en cm-;

section des barres longitudinales en cm²; section transversale du béton en cm² ;

1, moment d'inertie de la section fictive par rapport à Taxe neutre de flexion ;

Fig. 3o

Fig. 29

}-

Ia, moment d’inertie de la section d’acier par rapport à l’axe neutre de flexion;

moment d’inertie de la section de béton par rapport à l’axe neutre de flexion;

m, rapport entre les coefficients d’élasticité de l’acier et du béton ;

7', travail pratique limite du béton à la compression en kg : cm² ;

M, moment de flexion dû à la charge excentrée en kgm;

e, excentricité de la charge par rapport à l’axe longitudinal en cm ;

c, distance de la fibre la plus comprimée à l’axe neutre de flexion en cm ;

v₀ distance d’un point quelconque de la section transversale à l’axe neutre de flexion en cm ;

/•₀, travail total en ce point en kg : cm²;

distance de l’axe neutre de flexion à l’axe neutre de flexion et compression en cm;

V', volume des armatures transversales ou obliques par unité de longueur de poteau en cm³ ;

V, volume du béton dans l’unité de longueur du poteau en cm³ ;

nt\ coefficient variable avec l’écartement des armatures transversales ;

d, distance des armatures transversales en cm;

On a dans les poteaux les relations générales suivantes :

ü == Q₆-h(/n — i)Qa, > I = J b “H ( JW- — r)Eł

Ne 100 ’

,.₀₌n±^ = n

12    1001

L’axe neutre de flexion et compression est défini par

- ICJ

ey

i oo J

O,

ou

IOO

^=-07

En ce qui concerne la valeur numérique de m', le Règlement français de 1906 sur le béton armé indique :

Pour d = l a

pour d — a

m = 8.

Si le poteau est fretté :

Pour d = | a

pour d = \ a

m' — 32.

i° Poteaux courts chargés concentriquement :

a.    Poteaux en béton seul

N = Çîf)7\

b.    Poteaux à armature longitudinale seulement

N = [Q^-b (m —\)Qa\r,

ou

N = ûr.

c. Poteaux à armatures longitudinale et transversale

/    V'\

N = Cl r ( i -b m' — J •

2° Poteaux courts chargés excentriquement : a. Poteaux en béton seul

ev

Cl b    ioo \b

b. Poteaux à armature longitudinale seulement

-ICÎ

ev

[OO 1

c.

Poteaux à armatures longitudinale et trans-

versale

7’

-b mf

y)

ev

Cl

100 I

3° Poteaux longs chargés concentriquement. Formule de Rankine. — Soient, en plus des notations précédentes :

/•', charge pratique de travail du béton, réduite pour éviter le flambage, en kg : cm²; p, rayon de giration minimum dans la section transversale de béton;

/r, coefficient numérique variant avec le mode d’appui du poteau.

En supposant l’axe longitudinal parfaitement rectiligne, la formule d’Euler est

rilb r ilbh'L kiz^Eb\b

Or lb = Qb p², d’où

&b

ou

r' =

rh²

kiz'¹ E^p²

et

rQb

rh:¹

kir² E^p²

Remarque. — Pour un poteau articulé à ses deux extrémités k = i.

Pour un poteau libre à une extrémité, encastré à l’autre, k= 2 approximativement.

Pour un poteau encastré à ses deux extrémités, k = Ą.

a. Poteaux en béton seul

/A²

k n² E₆p²

En résumé, les formules théoriques générales des poteaux sont

Çi = (m — i)ûa» I = \b “H ( ni I ) Ia't

8f

CALCUL DES POTEAUX.

b. Poteaux avec armature longitudinale seulement

rh²

k tc² E^p²

c. Poteaux avec armatures longitudinale et transversale

rh²

k TT² E^p²

4° Poteaux longs chargés excentriquement. — Il y a lieu de tenir compte à la fois de l’excentricité et de la formule de Rankine.

a. Poteaux en béton seul

rh²

—) ( soi/,/ V

/iTT² E^p²

b. Poteaux avec armature longitudinale seulement

Qb

rA²

At:² E^p²

c. Poteaux avec armatures longitudinale et transversale

'(

[ -h m

;)

- la

1 H-

rA²

kr>'² E^p²

Ne

ioo

A.

et

,'⁰=N(Ś=tTS)’

lOO I

^ ⁼ lir

avec les formules spéciales :

i° Poteaux courts chargés concentriquement avec armatures longitudinale et transversale

► l>

2° Poteaux courts chargés excentriquement avec armatures longitudinale et transversale

<\<

-(

[Cl -

ev

joo J

3° Poteaux longs chargés concentriquement avec armatures longitudinale et transversale

V'

rh² *

A-7T²Ë^p²

4° Poteaux longs chargés excentriquement avec armatures longitudinale et transversale

(ïï ⁺ t£î) (

rh¹

k tu² E/,p²

53. Formules pratiques du calcul des poteaux. — Ln

pratique, les poteaux sont à armatures symétriques. Pour les poteaux à charge excentrée, nous négligerons, comme pour les poutres symétriques, le béton tant à la compression qu’à la tension dues à la flexion produite par la force •excentrée. De sorte que l’axe neutre de flexion coïncide avec l’axe de symétrie du poteau, perpendiculaire au plan de flexion.

Les formules générales des poteaux, appliquées aux poteaux carrés et ronds, deviennent :

Poteaux carrés à barres longitudinales disposées sur un can e concentrique au poteau. — Soient :

Fig. 3i.

or, côté du poteau en cm;

Z>, distance d’axe en axe des barres en cm; <x>, section totale d’acier en cm².

On a

Q — a²-h (m — i)to, f = I/;-h (m — i ) ia î

or

I«

SP..

CS

to | O

ü>£2

d’où

O) Ö²

P²=--

a²

ou

a⁴ -4- 3 ( m — i ) w b²

Ne

12

ioo *

,.= n(1±

IOO I

q7~’

ev₀

IOO I /

a⁴

Q?²= — = «²p²>

d’où

¹ 12

Poteaux ronds à barres longitudinales disposées sur un carré concentrique au poteau. — Soient :

Fig. 32.

■y

a,    diamètre du poteau en cm ;

b,    distance d’axe en axe des barres en cm ; co, section totale d’acier en cm².

On a

12 =

tz a⁴

—    —iiu),

I = (m — i)Ia,

TT#⁴

tl) &²

⁼ T;

r    W

O — 2

d’où

TT a⁴

ou

( m — i) w b²

-4-’

tz a> -ł- 16 ( m — i ) o) b'1 -—-)

64

Ne

64

ioo’

ei’o

ioo I

ioo I Qe ’

d’où

c — - j 2

.    _ „ 7ia⁴ 7ra²p²

'=“p’=-(ir ⁼ -i :

«2

P²=76-

Poteaux carrés à barres longitudinales disposées sur un cercle concentrique au poteau. — Soient en plus des notations précédentes :

Fig. 33.

‘•n?

bK et b2-j diamètres de deux cercles concentriques au poteau et interceptant une couronne équivalente à w.

On a

o = «² -t- ( m — i)w,

I = 16-4- (ra — i)I«,

u=“⁴

\a =

64

d’où

a'r Tz(b\ — b\)

12

64

( m — i),

OU

16a⁴ -f- 3 ( m — i ) tt {b \ — b\)

192

Ne

100 *

'■•-"G,

ev₀

1001 / ’

s.

no

51*

Poteaux ronds à barres longitudinales disposées sur un cercle concentrique au poteau.

Fig. 34.

v\

On a

ira⁴

i> =

l —

ira⁴

64

Ne M

100⁹

d’où

I ± ev'°

12 I uo I

100I 12 e ’

Ci

5-.I ®

résumé, les formules pratiques, donnant les charges limites que peuvent supporter les poteaux, deviennent :

i° Poteaux courts carrés et ronds chargés concentriquement avec armatures longitudinale et transversale

N = Qr

<i<

)-

2° Poteaux courts carrés et ronds chargés excentriquement avec armatures longitudinale et transversale

rl i -h m '

N = ~t~-,

/i    ^ \

112    ioo J /

3° Poteaux longs charges concentriquement avec armatures longitudinale et transversale :

a. Poteaux carrés

>i>

£2 r I i -h m '

ta r

k^Ef,

()■

i H- m

V'

iG r

k Ti² K b

4° Poteaux longs chargés excentriquement avec armatures longitudinale et transversale :

a. Poteaux carrés

<\<

b. Poteaux ronds

■i

( Troi)

- ta

12 r

A⁻tu² Eb

()■]

b. Poteaux ronds

Dans ces formules Q et I varient, conformément à ce qui précède, selon que le poteau est carré ou rond, et selon que les barres longitudinales sont disposées sur un carré ou sur un cercle concentriques au poteau.

CALCUL DES PIEUX.

54. Calcul des pieux. Formules du battage. — La portion d’un pieu à l’air libre, dans un terrain très mou ou dans l’eau, se calcule exactement avec les mêmes formules que pour les poteaux. Toutefois, le pieu doit, en plus, résister au battage et, pour cela, il faut qu’il puisse supporter une charge équivalente au batlage et fournie par la formule du battage, dont il sera question plus loin.

Quant à la longueur d⁾ancrage dans le sol, elle dépend naturellement de la nature des terrains traversés, et sa détermination théorique n’a aucun intérêt. En pratique, on effet, on détermine la longueur d’ancrage, en battant un pieu d'essai à refus, c’est-à-dire dans des conditions telles que l’enfoncement du pieu, sous certaines conditions de poids de mouton et de hauteur de chute, ne dépassa pas une certaine valeur donnée, d’avance, au bout d'un certain nombre de coups de mouton.

Pour un pieu de 35cm de diamètre, par exemple, l’enfoncement au bout des dix derniers coups de mouton

ne doit pas dépasser tombant d’une hauteur de im,20.

cm

,5, le mouton pesant il, 5 et

Formule du battage. — Il existe plusieurs formules de battage des pieux. Nous adopterons celle de Saunder, qui est d’une application facile et donne d’excellents résultats.

Soient :

P, poids du mouton en kg;

H, hauteur de chute en m ;

<?, enfoncement dû au dernier coup de mouton, en m;

N, charge statique équivalente à l’effet du mouton en kg.

La formule de Saunder est

(0

PH

8e

Remarques. — I. Pour calculer un pieu, on déterminera donc la charge de battage N, on la comparera à la charge que doit supporter le pieu en tant que support et l’on calculera le pieu par les formules exposées au paragraphe 52, avec la plus grande de ces charges.

II. Etant donné un pieu, on peut se proposer de fixer les conditions de battage. Dans la formule (i), on pourra, par exemple, se donner N égal à la charge de sécurité que la construction pourrait exercer sur le pieu, puis se donner deux des trois autres éléments P, H, e et déterminer le troisième. On s’arrangera naturellement pour que les valeurs de P, H, e ainsi définies restent dans les limites pratiques.

III. Il J a lieu également, lorsque les pieux sont longs, de s’assurer qu’ils résisteront à la flexion produite, en les manœuvrant, sous leur propre poids.

CALCUL DES MURS.

00. Calcul des murs en ciment armé. — On adopte en pratique, pour les murs en ciment armé, une arma-

Fig. 36.

Fig. 35.

ture toujours la même, quel que soit le mur, soit un quadrillage de fers horizontaux et verticaux de même diamètre et écartés horizontalement et verticalement de la même quantité.

Lorsque les murs sont minces, c’est-à-dire jusqu’à i5cm d’épaisseur, on emploie généralement une armature simple centrale (fig- 35).

Lorsque les murs sont épais, c’est-à-dire au delà de 15cm d’épaisseur, pour éviter les fissures, il convient d’employer une armature double {fig» 36).

11 y a lieu de déterminer, pour un mur encastré dans deux poteaux, quelle est la condition pour que le mur se supporte de lui-même, suivant qu’il est à armature simple ou à armature double.

i° Murs à armature simple. — Soient :

e, épaisseur du mur en cm;

A, hauteur du mur en cm ;

/, portée du mur d’axe en axe des poteaux en cm; s, section du fer de l’armature en cm- ; d₇ distance verticale entre deux barres consécutives de l’armature en cm ;

R, travail limite du métal en kg : cm² ; o, densité du béton (kg : m³);

M, moment fléchissant du mur dû à son poids propre, en kgm ;

M', moment résistant du mur à la flexion en kgm.

a. Supposons d’abord que Vaxe du mur coïncide avec une barre horizontale de Varmature.

On peut considérer le mur comme constitué par une série de poutres symétriques, satisfaisant à la formule

T\/T _ S R Z

o u JM =-

,    , i    iooM

IOO

generale s =

On peut donc écrire

IOO

.. s R Z\ Mi =--,

m₂ =

S R^2

IOO

M₃ =

sRz3 -»

IOO

M„ =

IOO ’

d’où, en additionnant,

IOO

= -( Z\ z% -ł- z$ -+- ... zn ) ;

d’autre part,

*1 — o,

Z<2 = 2 ü? = ( 2 4- O ) d,

ZZ = 4 d = ( 3 -4- 1 ) d,

= 61/ = (4 -+- 2)d,

Z;i= ( n -h n — 2 ) d — 2 (11 — 1 ) d = h ;

d’où, én additionnant les termes de cette progression arithmétique,

or

2 77ć£ — 2 d = /i,

d’où

<id

d’où

h h id

2<i

et, par suite,

s R h

M =--7—-Ah 4-2d).

100 4 d

D’autre part, le mur étant considéré comme partiellement encastré, le moment fléchissant du à sa charge propre a pour expression

pl²

10 x 100 x 100

et, pour que le mur se supporte de lui-même, il suffit qu’on ait

ou

ou

M'JM

h ._    . .

-x —j( A -42d)>

100    4 dK

Pl²

10 x 100 x 100

l><

sR/i(/i4- 2d) fi5o t

pd

b. Supposons maintenant que l’axe du mur xy tombe au milieu de deux barres d'armature.

On a alors

z i= d = i d, z ₂ = 3 d = ( 2 -+- i ) d, z₃ = 5d = (3 -4- 2)d, Zi¥ = yd=(/l-\-3)d,

d’où

ou

dà

ou

lâ

[/' dS

2 5oo ooo s R h-hid

d’où

mais

P = ix — x — x 8 =

ioo ioo

eh 8

10 000

5R h ( h -t- ’id) i5o x ioooo

ehàd

zu — (fi -t- n — i) d = (cin — i) d = h ;

7i ;

or

2 nd — d — h,

d’où

h -4-

~Td~’

d’où

(h-hdy

4d

et

m'= — xX-;

4 d

ioo

d’autre part

^²

IO x ioo X 100 eo h

/*

10 ooo

IO x ioo x 100

' On doit avoir

5 R    (h-4- dY > eo h

/2

IOO

10 000

10 X 100 X IOO

eh

2 5ooooo$R

1%

dl

OU

eh

2 500 000 5 R

dl

(h + dy

X r-7-->

2° Murs à armature double. — Il suffit dans les formules précédentes de remplacer a par 2 a, car le moment fléchissant n’a pas changé et le moment résistant a doublé. On a donc

a. L’axe xy du mur coïncide avec une barre d’arma-

ture

lû

v/

dl

b. L’axe xy du mur tombe au milieu de deux barres d’armature

1%

5 0000005 R

dl

^ ₍h + d)* eh

Remarque. — S’il arrive, pour un mur donné, que le moment fléchissant est supérieur au moment résistant, on fera supporter la différence M — M' à une poutre placée sous le mur.

Para

graphes.

JO

Formules.

mrh

ahr

io

TABLE DES FORMULES PRATIQUES.

jC =

aire des efforts tranchants

•>

8    R/15 2

Kd{

K — dx ?

= II

avec

Position de l’axe neutre dans une section prismatique d un solide en ciment armé.

Cisaillement vertical des poutres et hourdis.

Cisaillement horizontal des poutres et hourdis.

Espacements successifs des attaches dans unepoutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée.

Para

graphes.

13

16

18

20

TABLE DES FORMULES PRATIQUES (suite).

Formules.

azr

10 z 4- 10

Tt

w = 0,49

w _ 0,007 855i(5,096/ -h I 6,97 ^ -h I‘2p)

w _ 0,007855,(3,751 /-f- I I,3l2S -4- 80)

₀₎ __ 0,0078/)sx (4,691 -f- 16,97 z -H 120)

Nombre pratique de sections planes contenant des attaches dans une poutre ordinaire ou

symétrique, librement appuyée ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée.

un

Poids pratique moyen des attaches par mètre courant de poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée.

moyen d’acier par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément chargée pour groupe de sept barres.

Poids

Poids

moyen d’acier par mètre courant de poutre cTégale résistance, librement appuyée, uniformément chargée pour un groupe de cinq barres.

Poids moyen d acier par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée pour un groupe de sept barres.

Para

graphes.

22

26

TABLÉ DES FORMULES PRATIQUES (suite).

Formules.

0,007 85(3,546 / -4- 11,3125 -h 80)

6( R -h mr)²

5 o m/’² A

fa

fa

mrh

fa

<o

i oo M

fa

IM ooi

7- v = *

fa | fa

«c

h ==

K fa *

Poids moyen d’acier par mètre courant de poutre d’égale _ résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée pour un groupe de cinq barres.

Formules pratiques des hourdis ordinaires en usage chez plusieurs constructeurs.

Formules pratiques des hourdis symétriques.

Para

graphes.

31

31

TABLE DES FORMULES PRATIQUES {suite).

Formules.

r7_m

IV

çj oo£çi

»=/

15-7 oo ß R a — 49ory

ST CS

IM

6(K + mr)²

mr²(3 R -h mr)

h,

5o mr² h

H ( K H- m r )

's

JIV

c h- i

G ( K -H m r )²

5 o /?? /'² h=i

ou

Hauteur économique des hourdis symétriques encastrés libres sans attaches.

sur

Hauteur économique des hourdis symétriques encastrés ou libres avec attaches.

Formules des hourdis parfaitement encastrés, reposant les quatre côtés d’un rectangle.

Para

graphes.

32

33

M,

TABLE DES FORMULES PRATIQUES (suite).

Formules.

6( R -h m/’)²

mr*( 3 R mr)

to

y\=y

/•'M' + H)« = s yfuiuoç

i-t

d -h -

to i «

ICO

Oh

IO

<N

M = 0,20 P

M = o j 125 P

Formules des hourdis parfaitement encastrés reposant sur les quatre côtés d’un carré.

Formules des hourdis à la charge concentrée : i° appuyés.

2° partiellement encastrés.

3° parfaitement encastrés.

Para

graphes.

38

39

Lf

Lf

TABLE DES FORMULES PRATIQUES (suite).

Formules.

mrh

K h- mr’

ko

100M

Ä-/,

100M

I!

«c

785000 p_M

aa + 200 8 ) — 490 ar Y

<-W«î

M.

1 570000

R(<za -+- 2008) — 49° Y

Formules pratiques des poutres ordinaires et d’égale rési-tance.

Formules pratiques des poutres symétriques.

Hauteur économique des poutres ordinaires appuyées ou encastrées.

Hauteur économique des poutres symétriques appuyées ou encastrées.

Para

graphes.

Lf

47

47

47

48

50

TABLE DES FORMULES PRATIQUES (suite).

Formules.

5712 ß

R(aa + 2008)

588₉ ß

g

CS

+•

5257 ß

R(àa + 2008)

5567 ß

R ( a a -h 200 8 )

o,49Ti

AK -j- o,049a/*

tu lr

Vil

II.

û — Qb -h (m — i)Qa,

I — Ib-h (m — i)Ia,

001

« ICi

IOO I

II

II

"O

<>

Hauteur économique des poutres appuyées d’égale résistance avec sept barres.

Hauteur économique des poutres appuyées d’égale résistance avec cinq barres.

Hauteur économique des poutres partiellement encastrées d’égale résistance avec sept barres.

Hauteur économique des poutres partiellement encastrées d’égale résistance avec cinq barres.

Hauteur des poutres noyées dans un mur en ciment armé.

Formule de l’adhérence.

Formules pratiques des poteaux.

Para

graphes.

53

es

es

es

v)-

TABLE DES FORMULES PRATIQUES (suite).

Formules.

N = Qr|i + m'4

V'

v)

Qr(^

ev

j ooi

>l>

(;)•

J ZI

kiz*Eb

Qv)

>\>

12/’

■c

Att²E^

l6/'

h Tc² E

H- ni

-h I

)[

ev

JOOI

VQ

Charge limite des poteaux courts carrés ou ronds, chargés centriquement avec armatures longitudinale et transversale.

Charge limite des poteaux courts carrés et ronds, chargés excentriquement avec armatures longitudinale et transversale.

con

Charge limite des poteaux longs, chargés concentriquement armatures longitudinale et transversale :

avec

a. poteaux carrés.

b. poteaux ronds.

Charge limite des poteaux longs, chargés excentriquement avec armatures longitudinale et transversale :

a. poteaux carrés.

Para -graphes.

54

55

SS

>l>

,6r (£)*]

k re² E t,

TABLE DES FORMULES PRATIQUES (suite et fin).

Formules.

I -f-

PH

8e

]( -

JOOI

:i 5oo ooo s R h -h 2 d

dï

j(p+y) yyoooooçs

eh

d§

5 ooo ooo s R h “j. d

dï

5 0000005 R (h-hd)*

eh

QP

b. poteaux ronds.

Formule du battage des pieux.

fi 57

57

Formules des murs à simple armature :

a. axe du mur coïncidant avec une armature.

b. axe du mur au milieu de deux armatures.

0)

0)

(fl

0)

s-

fo

a. axe du mur coïncidant avec une armature.

b. axe du mur au milieu de deux armatures.

N. B. — Voir la signification des lettres dans les paragraphes correspondants.

BIBLIOTEKA POLITECHBICZBA

KRAKÓW

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Pages.

TABLE DES MATIÈRES.

GÉNÉRALITÉS.

Charges de rupture, charges pratiques de travail, coefficient

de sécurité............................................

Hypothèses fondamentales du cim mt armé..................

Forces extérieures et forces moléculaires ou intérieures. Travaux moléculaires.....................................

Variation des forces moléculaires dans un solide prismatique

en ciment armé.......................................

Position de l’axe neutre dans une section transversale d’un solide en ciment armé.................................

EFFORTS TRANCHANTS.

Théorie des efforts tranchants.............................

Cisaillement vertical des poutres et hourdis..................

Cisaillement horizontal des poutres et hourdis...............

Définitions relatives aux hourdis et aux poutres.............

Espacements successifs des attaches dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée ou parfaitement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée.......

Poids théorique moyen par mètre courant des attaches verticales nécessaires dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée.. . . Nombre de sections planes contenant des attaches dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités -et uniformément chargée..............................

CO O O (N

(N

VJ

Nombre pratique de sections planes contenant des attaches dans une poutre ordinaire ou symétrique, librement appuyée ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités et uniformément chargée..........................

Poids pratique moyen des attaches par mètre courant d’une poutre ordinaire ou symétrique librement appuyée, ou parfaitement ou partiellement encastrée à ses deux extrémités

et uniformément chargée...............................

Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément chargée, pour un groupe de sept barres.............

Poids moyen d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément

chargée, pour un groupe de sept barres...................

Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément chargée, pour un groupe de cinq barres............

Poids moyen d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, librement appuyée, uniformément

chargée, pour un groupe de cinq barres.......4............

Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée,

uniformément chargée, pour un groupe de sept barres......

Poids moyen d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée, pour un groupe de sept barres.............

Longueur moyenne d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément chargée, pour un groupe de cinq barres..........

Poids moyen d’acier de même section par mètre courant de poutre d’égale résistance, partiellement encastrée, uniformément ^chargée, pour un groupe de cinq barres.............

Pages.

18

*9

20

23

23

24

25

28

28

CALCUL DES HOURDIS.

Calcul des hourdis ordinaires.............................

Hauteur économique des hourdis ordinaires.................

Formules théoriques des hourdis ordinaires..................

Formules pratiques du calcul des hourdis ordinaires en usage

chez plusieurs constructeurs............................

Formules pratiques des hourdis symétriques................

29

3i

33

34

Pages.

Hauteur économique des hourdis symétriques sans attaches... Ąo Hauteur économique des hourdis symétriques parfaitement

encastrés avec attaches................................

Hauteur économique des hourdis symétriques librement

appuyés avec attaches.................................

Résumé des formules économiques des hourdis..............

Calcul des hourdis s’appuyant sur quatre côtés...............

Calcul des hourdis à la charge concentrée....................

4i

44

44

44

46

CALCUL DES POUTRES.

Calcul des poutres ordinaires..............................

Hauteur économique des poutres ordinaires partiellement

encastrées ...........................................

Hauteur économique des poutres ordinaires librement

appuyées.............................................

Formules théoriques des poutres ordinaires.................

Formules pratiques du calcul des poutres ordinaires en usage

chez plusieurs constructeurs............................

Formules pratiques des poutres symétriques.................

Hauteur économique des poutres symétriques partiellement

encastrées............................................

Hauteur économique des poutres symétriques librement

appuyées.............................................

Formules pratiques des poutres d’égale résistance............

Hauteur économique des poutres d’égale résistance, librement appuyées, uniformément chargées, avec un groupe de sept

Hauteur économique des poutres d’égale résistance, librement appuyées, uniformément chargées, avec un groupe de cinq

Hauteur économique des poutres d’égale résistance, partiellement encastrées, uniformément chargées, avec un groupe de

sept barres...........................................

Hauteur économique des poutres d’égale résistance, partiellement encastrées, uniformément chargées, avec un groupe

de cinq barres........................................

Résumé des formules économiques des poutres..............

Hauteur des poutres noyées dans un mur en ciment armé......

Moments négatifs dans les hourdis et les poutres............

Adhérence.............................................

^Ci

06 Oi Ô H '<±

O <C

CALCUL DES POTEAUX.

Pages.

Définitions relatives aux poteaux.........

Formules théoriques du calcul des poteaux. Formules pratiques du calcul des poteaux..

7⁵

76

82

CALCUL DES PIEUX.

88

Calcul des pieux. Formule du battage

CALCUL DES MURS.

90

Calcul des murs en ciment armé Table des formules pratiques . .

FIN DE LA TABLE DES MATIERES.

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