WYDZIAŁY POLITECHNIGZî’d KKAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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LEHRBUCH

ENDLICHEN REIHEN

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Meinen umfangreichen Verlag auf dem Gebiete der Mathematik, der Naturwissenschaften und Technik nach allen Richtungen hin weiter auszubauen, ist mein stetes durch das Vertrauen und Wohlwollen zahlreicher hervorragender Vertreter dieser Gebiete von Erfolg begleitetes Bemühen, wie mein Verlagskatalog zeigt, und ich hoffe, daß bei gleicher Unterstützung seitens der Gelehrten und Schulmänner des In- und Auslandes auch meine weiteren Unternehmungen Lehrenden und Lernenden in Wissenschaft und Schule jederzeit förderlich sein werden. Verlagsanerbieten gediegener Arbeiten auf einschlägigem Gebiete werden mir deshalb f wenn auch schon gleiche oder ähnliche Werke über denselben Gegenstand in meinem Verlage erschienen sind, stets sehr willkommen sein.

Unter meinen zahlreichen Unternehmungen mache ich ganz besonders auf die von den. Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien herausgegebene Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften aufmerksam, die in 7 Bänden die Arithmetik und Algebra, die Analysis, die Geometrie, die Mechanik, die Physik, die Geodäsie und Geophysik und die Astronomie behandelt und in einem Schlußband Geschichte, Philosophie und Didaktik besprechen wird. Eine französische Ausgabe, von französischen Mathematikern besorgt, hat zu erscheinen begonnen.

Weitester Verbreitung erfreuen sich die mathematischen und naturwissenschaftlichen Zeitschriften meines Verlags, als da sind: Die Mathematischen Annalen, die Bibliotheca Mathematica, Zeitschrift für Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, das Archiv der Mathematik und Physik, die Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereini-

die Zeitschrift für Mathematik und Physik, Organ für

gung,

angewandte Mathematik, die Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, die Mathematisch-naturwissenschaftlichen Blätter, ferner das Archiv für Rassen- und Gesellschafts-Biologie,

die Monatshefte für den naturwissenschaftlichen Unterricht aller

Schulgattungen, die Geographische Zeitschrift, Himmel und Erde, illustrierte naturwissenschaftliche Monatsschrift u. a.

gr. 8. 1908 steht

Biblioteka Politechniki Krakowskie)

Seit 1868 veröffentliche ich: „Mitteilungen der Verlagsbuchhandlung B. G. Teubner“. Diese jährlich zweimal erscheinenden „Mitteilungen“, die in 30000 Exemplaren im In- und Auslande von mir verbreitet werden, sollen das Publikum, das meinem Verlage Aufmerksamkeit schenkt, von den erschienenen, unter der Presse befindlichen und von den vorbereiteten Unternehmungen des Teubnerschen Verlags durch ausführliche Selbstanzeigen der Verfasser in Kenntnis setzen. Die Mitteilungen werden jedem Interessenten auf Wunsch regelmäßig bei Erscheinen umsonst und postfrei von mir übersandt. Das ausführliche „Verzeichnis des Verlags von B. G. Teubner auf dem Gebiete der Mathematik, Naturwissenschaften, Technik nebst Grenzwissenschaften“ 101. Ausgabe, mit eingehender systematischer und alphabetischer Bibliographie und einem Gedenktagebuch für Mathematiker, 10 Bildnissen sowie einem Anhänge, Unterhaltungsliteratur enthg Interessenten umsonsl

Leipzig, Poststr

T. Teubner.

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VU. M?. t>h _

ä'„ = A(l1 2 + 22 * + 3 s + -- + 0 *„-A(12 + 2s + 3* + ... +<«-l)8),

In ganz ähnlicher Weise wird die Existenz der unte

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(5)

(8) sein muß. Im Intervalle [ocx — 6X, xx -f- 6X\ oder in demjenigen Teile dieses Intervalles, welcher dem aufgegebenen Intervalle \a, b\ angehört, kann die Schwankung von f(x) niemals die Größe von s erreichen; ist nämlich auch — öf hx 6X, so hat man (9) f(xt + h) - f(xx + hx) = (f(x± + h)~ f(xx)) — (f(xx + hx) - f(xx))-da man nun in (8) h durch hx ersetzen darf, so ergibt sich wegen (9)

rn(x)

(12)

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VU. M?. t>h _

LEHRBUCH

DER UNENDLICHEN REIHEN

VORLESUNGEN

GEHALTEN AN DER UNIVERSITÄT KOPENHAGEN

VON

De. NIELS NIELSEN

DOZENT DES REINEN MATHEMATIK

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

I.

mUSTEKA POLiTEGflHieZIJ

KRAKÓW

ALLE RECHTE, EINSCHLIE8ZLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS.VORBEHALTEN.

Âkc. Nhr.

150J«

Vorwort.

Das vorliegende Lehrbuch ist aus einem Guß nicht entstanden.

Die eigentliche Reihenlehre wurde in der Tat schon im Frühlingssemester 1907 und zwar unter durchgängiger Anwendung der Analysis vorgetragen und lag in dieser Form schon am Schluß 1906 fertig vor.

Es zeigte sich aber, daß die Mehrzahl meiner Zuhörer von ihrem Studium der Analysis und der Funktionentheorie und den über diese Gegenstände gehaltenen Elementarvorlesungen nicht die Fundamentalhegriffe der Theorie der Zahlenfolgen und Zahlenmengen kannte.

Ich wurde daher von Studierenden aufgefordert von diesem Gesichtspunkte aus eine Elementarvorlesung über Funktionentheorie zu halten, und obgleich solche Elementarvorlesungen, meiner Anstellung nach, mir eigentlich nicht obliegen, hin ich doch der Aufforderung gefolgt.¹)

Durch sowohl mündliche als schriftliche Verhandlungen mit verschiedenen deutschen Kollegen, namentlich den Herrn Professoren G. Cantor in Halle und A. Pringsheim in München wurde ich angeregt, das schon im wesentlichen fertig redigierte Lehrbuch gänzlich umzuarbeiten und eine Reihenlehre ohne Anwendung der Fundamentaloperationen der Analysis (der Differentiation und Integration) darzustellen.

Der erste Teil des Buches ist demnach aus der Einleitung der obengenannten funktionentheoretischen Vorlesungen entstanden.

Da also die Theorie der Zahlenfolgen die einzige Grundlage der weiteren Entwicklungen des Buches sein mußte, so erschien es mir auch notwendig die Irrationalzahlen zu behandeln; dies ist in einer von den üblichen Darstellungen etwas abweichenden Form geschehen. Diese Darstellungsweise erschien mir aber natürlich, weil die zwei monotonen Zahlenfolgen, die ich als Definition einer Irrationalzahl anwende, überall da auftreten, wo es sich in der folgenden Darstellung

den Existenzbeweis einer in anderer Weise definierten Zahl

um

bandelt.

Von der Theorie der Zahlenmengen habe ich nur die abzahlbaren Mengen und das Kontinuum besprochen; diese Begriffe erscheinen mir in der Tat notwendig um den Begriff des Grenzwertes einer Funktion bzw. kontinuierlicher Variation der unabhängigen Variabein zu verstehen.

In einem elementaren Lehrbuche wie das vorliegende darf man natürlich nicht durchweg Originalitäten des Verfassers suchen. Verschiedene Kapitel sind z. B., mit Genehmigung des Verfassers, beinahe wortgetreu nach den grundlegenden Arbeiten des Herrn Prings-heim dargestellt worden.

Als mir eigentümlich darf ich vielleicht z. B. die Darstellung der Multiplikation unendlicher Reihen, auch der trigonometrischen, und die Entwicklungen des letzten Kapitels hervorheben. Durch diese letzten Entwicklungen ist in der Tat, soviel ich verstehe, die erste Grundlage einer wirklich elementaren Theorie der Dirichlet-schen Reihen, der Fakultäten- und der Binomialkoeffizientenreihen gegeben worden, indem die Bestimmung des Konvergenzbereiches dieser Reihen unmittelbar lehrt, daß die betreffenden Reihen in diesem Bereiche stets gleichmäßig konvergieren. Ich erlaube mir noch auf die letzten Aufgaben im Anhänge aufmerksam zu machen; die dort ausgesprochenen Lehrsätze sind in der Tat ohne Schwierigkeit zu beweisen, obgleich eine detailliertere Darstellung dieser Beweise im Texte mir nicht angemessen erschien.

Bei einem Lehrbuche wie das vorliegende muß es ja wohl als eine persönliche Willkürlichkeit des Verfassers angesehen werden, warum er eben diese und nicht ebenso gut auch jene Einzelheit mit genommen hat. Ich hoffe aber indessen, daß man in bezug auf die fundamentalen Fragen meine Darstellung als recht vollständig finden dürfte.

In betreff der recht zahlreichen Übungsaufgaben darf ich natürlich nicht behaupten, daß alle diejenigen, die entweder mit Quellenzitaten nicht versehen sind oder bekannte Formeln nicht behandeln, von mir herrühren, obgleich gewiß viele Originalaufgaben sind.

Bei den Queüenzitaten habe ich mich dafür bestrebt, soweit es mir nur möglich war, die ersten und wichtigsten Schriften, die den betreffenden Gegenstand behandeln, zu nennen. Ist dies mir nicht immer gelungen, oder habe ich hier und da sogar ungenau oder falsch zitiert, so hoffe ich auf Verzeihung desjenigen Lesers, der mit den Schwierigkeiten eines solchen Unternehmens vertraut ist.

Dem elementaren Charakter des Buches zufolge schien es mir nicht angemessen ein Literaturverzeichnis, wie in meinen rein wissenschaftlichen Handbüchern, zu gehen.

Es sei mir hier noch gestattet, verschiedenen Mathematikern meinen herzlichsten Dank für ihre Teilnahme bei der Ausarbeitung des Buches auszusprechen:

Herrn Professor Pringsheim nicht nur wegen seiner grundlegenden Arbeiten, die mir von meiner ersten Jugend an so wertvoll gewesen sind, aber auch für die Liebenswürdigkeit, mit welcher dieser ausgezeichnete Forscher sowohl schriftlich als mündlich über die Anordnung des Stoffes mit mir verhandeln wollte;

Herrn General Madsen, Direktor der dänischen Gradmessung, für die liebenswürdige Geduld, mit welcher er mit mir verschiedene Abschnitte durchgearbeitet hat, und für die redaktionellen Verbesserungen, die er mir vorgeschlagen hat;

Herrn H. Bohr und Herrn A. Mikkelsen-Vendsyssel für die gegenseitigen Anregungen während der Vorlesungen; von Herrn Bohr rühren ja z. B. die Paragraphen 47 und 77 her.

Endlich muß ich vor allem der Teubnerschen Verlagsbuchhandlung meinen besten Dank für das, wie immer, liebenswürdige Eingehen auf alle meine Wünsche bei der Drucklegung des Buches aussprechen.

Kopenhagen, den 23. August 1908.

Dr. Niels Nielsen.

Inhalt.

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§ 16. § 17.

§ 18. § 19.

§ 20. § 21. § 22.

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Erster Teil.

Theorie der Zahlenfolgen.

Kapitel I. Rationale Zahlen.

Absoluter Betrag einer Potenz. Aufgabe 1...........

Rationale Zahlenfolgen. Aufgaben 2—4    ............

Unendliche Dezimalbrüche. Aufgaben 5—6...........

Kapitel II. Theorie der Irrationalzahlen.

Annäherungsreihen und Grenzzahlen. Aufgabe 7........

Gleichheit und Ungleichheit zweier Grenzzahlen.........

Rechnen mit Grenzzahlen. Aufgaben 8—10...........

Sätze über Grenzzahlen. Aufgaben 11—13...........

Allgemeine Bemerkungen...................

Kapitel III. Theorie der reellen Zahlenfolgen.

Das Verhalten einer Zahlenfolge. Aufgaben 14—15.......

Das allgemeine Konvergenzprinzip für Zahlenfolgen. Aufgabe 16 .

Monotone Zahlenfolgen. Aufgaben 17—19............

Häufungsstellen einer Zahlenfolge. Aufgaben 20—22 .......

Obere und untere Grenze. Aufgaben 23—24..........

Limes superior und limes inferior. Aufgaben 25—26 .......

Hilfssatz von Abel. Aufgaben 27—28 ..............

Kapitel IV. Komplexe Zahlenfolgen.

Rechnenoperationen mit Zahlenpaaren. Aufgaben 29—32 .....

Absoluter Betrag und Charakteristik komplexer Zahlen. Aufgaben

33—35 ............................

Zahlenfolgen mit komplexen Elementen. Aufgaben 36—37 . . . . Sätze von Cauchy und Jensen. Aufgaben 38—39    ........

Kapitel V. Anwendungen auf die Elementartranszendenten.

Die Exponentialfunktion ex . Aufgaben 40—45..........

Die Funktionen cos# und sinæ.................

Die Multiplikation komplexer Zahlen. Die geometrische Reihe.

Aufgaben 46—48 .......................

Der natürliche Logarithmus. Aufgabe 49............

Potenz mit willkürlichem Exponent. Aufgaben 50—56 ......

Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Aufgaben 57—59

Kapitel VI. Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.

Konvergenz, Divergenz und Oszillation.............

Sätze über konvergente Doppelfolgen. Aufgabe 60........

Monotone Doppelfolgen....................

Analogon der Sätze von Cauchy und Jensen...........

Seite

10

13

15

18

22

23

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28

30

32

35

37

38

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45

47

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55

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62

67

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Zweiter Teil.

Reihen mit konstanten Gliedern.

Kapitel VII. Das Verhalten unendlicher Reihen.

Konvergenz, Divergenz und Oszillation. Aufgaben 61—67 . .

Methode der Reihenvergleichung. Aufgaben 87—90 Methode von Bernoulli, Nicole, Abel und Pringsheim. Aufgaben 91—97 104 Sätze von Abel, Dini und Jensen. Aufgaben 98—99 Sätze von du Bois Reymond und Dedekind. Aufgaben 100—106    111

Kapitel IX. Elementare Konvergenzkriterien.

Sätze von Cauchy, Kaabę und Kummer. Aufgaben 107—109 . .

Das logarithmische Kriterium. Aufgaben 110—113......

Reiben mit komplexen Gliedern. Satz von Weierstraß . . . .

Seite

85

89

95

97

98

102

108

CO o o

vH vH Ol tH vH vH

Kapitel X. Multiplikation unendlicher Reihen.

Sätze von Cauchy, Abel, Mertens und Cesàro. Aufgaben 114—116    122

Anderer Beweis des Satzes von Mertens Sätze von Pringsheim. Aufgabe 117 .

Satz von Pringsheim über alternierende Reihen. Aufgaben 118—120    129

Allgemeine Bemerkungen über Reihenmultiplikation

Kapitel XI. Transformation von Reihen.

Methode von Euler und Markoff. Aufgaben 121—122......

Methode von Kummer. Aufgaben 123—124...........

Änderungen der Methode von Kummer. Aufgaben 125—126 . . .

Kapitel XII. Über Reihen mit positiven Gliedern.

Ergänzung eines Satzes von Abel..............

Über die logarithmischen Kriterien...............

Typische Formen der divergenten Reihen. Aufgabe 127.....

Typische Formen der konvergenten Reihen. Aufgaben 128—130 .

Kapitel XIII. Allgemeine Kriterien von Pringsheim.

Die Kriterien erster Art....................

Die Kriterien zweiter Art...................

Vergleichung der Kriterien erster und zweiter Art. Aufgabe 131 . Reihen mit niemals zunehmenden Gliedern...........

125

126

133

136

140

143

O 05

Tji ^ iQ O

tH tH rH rH

05 CO C5 CO O O O ▼H vH tH tH

Kapitel XIV. Unendliche Produkte.

§ 64. Kettenbrüche von Lambert und Legendre. Aufgabe 144

178

cos c0s zon    ^

Ci c. cb cs cs p CO 00    05 ÜT

Kapitel XVI. Doppelreihen nach Pringsheim.

Konvergenz, Divergenz und Oszillation........

Über Zeilen- und Kolonnenreihen. Aufgabe 145    . . .

Über die Diagonalsummenreihen...........

Beispiele....................

Absolut konvergente Doppelreihen..........

Unbedingt konvergente Doppelreihen.........

Seite

.    193

196

198

201

203

205

Dritter Teil.

Reihen mit veränderlichen Gliedern.

Kapitel XVII. Zahlenmengen.

§71. Äquivalenz und Häufungsstellen ....

§ 72. Abzahlbare Mengen..........

§73. Das Liniekontinuum.........

§ 74. Das Arealkontinuum. Aufgaben 146—149

211

214

215

217

Kapitel XVIII. Funktionen.

§ 75. Der Funktionsbegriff. Aufgaben 150—152 ...........

§76. Endliche reelle Funktionen. Satz von Weierstraß. Aufgaben 153—165

§ 77. Allgemeines Konvergenzprinzip für das Kontinuum.......

§78. Anwendungen auf komplexe Variabein. Aufgabe 156......

§ 79. Stetige Funktionen. Satz von G. Cantor. Aufgaben 157—158 . . § 80. Sätze über stetige Funktionen. Aufgaben 159—162.......

220

223

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232

236

Kapitel XIX. Gleichmäßige Konvergenz.

§ 81. Gleichmäßig konvergente Fundamentalreihen. Aufgaben 163—165    238

§ 82. Gleichmäßig konvergente Reihen. Aufgaben 166—171 .

§ 83. Gleichmäßig konvergente Produkte. Aufgaben 172—173 § 84. Grenzwert von Gauß. Die Gammafunktion. Aufgaben 174—175 .    248

241

245

Kapitel XX. Trigonometrische Reihen.

§ 85. Konvergenzkriterien. Satz von Malmstén. Aufgabe 176 § 86. Rechnen mit trigonometrischen Reihen. Aufgabe 177 . § 87. Satz von Pringsheim. Aufgaben 178—179 ......

Kapitel XXI. Potenzreihen.

251

253

256

§ 88. Der Konvergenzkreis............

§ 89. Satz von Abel...............

§ 90. Satz von Frobenius. Aufgabe 180......

§ 91. Rechnen mit Potenzreihen. Aufgaben 181—182 § 92. Über die Bestimmung des Konvergenzradius. Aufgaben 183—184    269

. 260

263

266

268

Kapitel XXII. Dirichletsche Reihen und Fakultätenreihen.

§ 93. Folgerungen aus den Sätzen von Abel, du Bois Reymond und Dede-

kind. Aufgabe 185......................

§ 94. Anwendungen auf gewisse speziellere Funktionentypen. Aufgaben

186—188.....................

§ 95. Dirichletsche Reihen. Satz von Jensen. Aufgabe 189 § 96. Fakultätenreihen. Aufgaben 190—192

272

275

278

. 281

Anhang. Weitere Übungsaufgaben. Aufgabe 193—210 ,, Zusätze und Berichtigungen.......

284

ERSTER TEIL.

THEORIE DER ZAHLENFOLGEN.

Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.

Kapitel I.

Rationale Zahlen.

§ 1. Absoluter Betrag einer Potenz.

Die Menge der rationalen Zahlen ist der Inbegriff sämtlicher Zahlen, die als endliche ganze Zahlen oder als irreduzible Brüche, deren Zähler und Nenner endliche ganze Zahlen sind, indem jedoch der Nenner „Null" ausgeschlossen bleibt, dargestellt werden können.

In der elementaren Arithmetik wird gezeigt, wie man eine endliche Zahl von Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen mit einer endlichen Sammlung rationaler Zahlen ausführt. Aus diesen Rechnenoperationen leitet man dann die Sätze über Potenzen mit ganzen Exponenten ab.

Unter Division wird der Begriff „unendlich groß" eingeführt, nämlich durch Division durch „Null".

Unter Zuhilfenahme dieser elementaren Rechnenoperationen, die ja sämtlich, außer der Division durch Null, wieder zu rationalen Zahlen führen, entwickelt man auch die Binomialformel

(a -f b)n = an 4- Q)

¹6    (“) a6a +----h 6",

an~

wo a und b rational, n positiv ganz vorausgesetzt werden.

Wir haben nun zu zeigen, wie man aus diesen elementaren Rechnenoperationen eine allgemeine Theorie der reellen Zahlenfolgen entwickeln kann. Zu diesem Zwecke beginnen wir ganz natürlich damit, einige Fundamentalbegriffe zu besprechen.

Der absolute Betrag \ a \ von a wird, je nachdem a positiv oder negativ ist, durch die Gleichung

(1)

«!== + «

definiert; \a\ ist daher stets positiv, wenn a von 0 verschieden angenommen wird, also, indem wir das Ungleichheitszeichen =j= benutzen, wenn a 4= 0 ist.

Aus der Definition (1) findet man unmittelbar

\a b \ = \ a\    \ b\ -: | a + b | = 11 a \

(2)

. 10n    . J

wenn x > —- angenommen wird.

je nachdem a und b dasselbe Zeichen haben oder nicht; allgemein hat man daher

(3)

Weiter findet man

(4)

ab | = | a | • | b |, | an | = j a \n,

wo in der letzten Formel (4) n eine willkürliche ganze Zahl bedeutet.

Betrachtet man verschiedene Potenzen mit ganzzahligen Exponenten derselben rationalen Zahl a, so bestimmt man unmittelbar das Zeichen jeder einzelnen dieser Potenzen; wegen (4) hat man demnach nur denjenigen Fall zu untersuchen, in welchem a positiv vorausgesetzt wird. Man hat dann bekanntlich für ganze nicht negative n

an +² ^ an, je nachdem a ^ 1 vorausgesetzt wird.

Unter Zuhilfenahme der Binomialformel findet man aber weitere

(5)

Auskünfte über die Ungleichung (5) mit wachsendem Werte von n\ entwickelt man in der Tat für a > 1 die Potenz rechter Hand in der Identität

an == (1 + (a — l))²

nach der Binomialformel, und nimmt man nur die zwei ersten der (n -J- 1) positiven Glieder dieses Ausdruckes mit, so erhält man an > 1 + n (a — 1).

Bezeichnet nun E eine vorgegebene willkürlich große positive Zahl, so hat man wegen (6) sicher

an > E,

(6)

(?) Ji

wenn nur 'n (a — 1) > E ist, d. h. wenn

. E—l    ₁

n>E=i> a>1

(8)

angenommen wird.

Setzt man in (7) und (8) 1 : a anstatt a und e = 1 : E, findet man für a < 1

so

(9)

an < s, n >

wo s also eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe bezeichnet.

§ 2. Rationale Zahlenfolgen.

Die unendliche Sammlung rationaler Zahlen

(i)

^0?    ^2?    ' " ’f ®n)

bilden eine rationale Zahlenfolge, wenn wir ein, jedenfalls theoretisches^ Mittel besitzen um jede einzelne dieser Zahlen, z. B. an zu bestimmen³), wenn ihr Stellenzeiger n aufgegehen wird.

05

Beispiel 1. Die Zahlen l 2

2’ 3’    ’ ' ' '* « + 1 ’ ' ‘ ‘ "

bilden eine Zahlenfolge, in der man unmittelbar jede einzelne Zahl angeben kann, wenn nur der entsprechende Stellenzeiger aufgegeben wird.

So einfach ist die Sache aber im allgemeinen nicht; man muß sich vielmehr denken, daß man die Zahlen einer Zahlenfolge nur sukzessive bestimmen kann, nachdem man sämtliche vorhergehende Zahlen gefunden hat.

Beispiel 2. Die irreduziblen Brüche, die durch die Ausdrücke

+ B⁴

(3)

tH ;

2²    3²

p~⁷ p

p⁴

für positive ganze p gebildet werden können, bilden auch eine Zahlenfolge; hier sind wir aber nicht imstande die Zahl an direkt zu bestimmen, wenn der Stellenzeiger n angegeben wird; dies ist in der Tat nur dann möglich, wenn alle vorhergehenden Zahlen unserer Folge gefunden worden sind.

Beispiel 3. Die Sammlung aller möglichen rationalen Zahlen bildet eine Zahlenfolge; dies findet man, wenn man z. B. diese Zahlen so in Gruppen teilt, daß jede einzelne Gruppe diejenigen Zahlen + p : q enthält, für welche die Summe p q denselben Wert hat. Die Zahlen einer solchen Gruppe lauten z. B.

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>    >    > j i 15 P “h 9.

Die allgemeine Zahlenfolge (1) muß immer einer der folgenden Bedingungen Genüge leisten:

1. Existiert eine solche ganz bestimmte rationale Zahl a, daß es möglich ist für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe e

rH !t-

= 8.

eine positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n^> N immer

(4)

an — a j < s

ist; dann heißt diese rationale Zahl co der Grenzwert der Zahlenfolge (1), und man setzt

(5)

lim an = 03;

n = GO

diese Gleichung sagt also dasselbe aus wie die Ungleichung (4).

In diesem Falle nennt man die Zahlenfolge (1) konvergent mit dem Grenzwerte a.

Beispiel 4. Die Zahlenfolge (2) ist konvergent und hat den Grenz

wert 1.

Beispiel 5. Setzt man — 1 < a < 1 voraus, so ist die Zahlenfolge a°, a¹, a², a³, • • -, an, • • • ■

wegen § 1, (9) konvergent mit dem Grenzwerte 0; man hat also lim (an) = 0, | a j < 1.

(6)

n = oo

Beispiel 6. Ist | g [ < 1, und setzt man für positive ganze n

(7) sn = a + aq + aq² + • •

so ist die Zahlenfolge

• -f aQ ¹ = « * -— = a • ----,

^    1 — q    q — 1⁷

(8)

S1? S2> S3} ‘ ‘ ’? Sn> • * ⁻ ‘

konvergent mit dem Grenzwerte a : (1 — q), also

a

lim s. - j—;

n — co    î

(9)

denn man hat in der Tat

a ^ \a Sn~ l-q = 1—1

und (9) ist somit eine unmittelbare Folge der Ungleichung § 1, (9).

2. Wie groß die positive Zahl E auch angenommen wird, so ist es doch möglich, eine solche positive ganze Zahl JV anzugeben, daß für n > N immer

(10)

I ». I > -E

ist; in diesem Falle heißt die Zahlenfolge (1) divergent. Haben die Zahlen an von einem gewissen n an sämtlich dasselbe Vorzeichen, so heißt die Folge eigentlich, sonst uneigentlich divergent.

Im Falle der eigentlichen Divergenz setzt man auch hier

lim an = -F oo bzw. lim an ==

(11)

— oo .

Beispiel 7. Ist \a >1, also entweder a>l oder a< — 1, so ist die Zahlenfolge

a°, a¹, a⁵, a³, • • • -, an, • • •

divergent, und zwar eigentlich divergent für positive a, uneigentlich für negative.

Beispiel 8. Die Zahlenfolge (8) ist für [ q | > 1 oder q = 1 divergent-, für q = 1 hat man nämlich offenbar sn = a ■ n.

3. Die Zahl an wird für unbegrenzt wachsende n ganz und gar unbestimmt; die Zahlenfolge (1) heißt in diesem Falle oszillierend.

Wenn es dann möglich ist, zwei solche endliche Zahlen A und JB anzugeben, daß für jedes n immer A^>    ^ B ist, so sagt man,

daß die Zahlenfolge (1) zwischen endlichen Grenzen oszilliert. Wenn nicht die beiden endlichen Zahlen A und JB existieren, so oszilliert unsere Folge zwischen den Grenzen + oo.

Beispiel 9. Setzt man an == (— l)w, so ist immer a2n = + 1, a2 + „ = — 1; diese Folge oszilliert daher zwischen endlichen Grenzen.

Beispiel 10. Die Zahlenfolge (8) oszilliert für q = — 1 zwischen endlichen Grenzen; denn man hat s2n = 0, s2n + x = 1.

Beispiel 11. Die Zahlenfolge (2) oszilliert zwischen den Grenzen 0 und 4.    ^

Beispiel 12. Die aus sämtlichen rationalen Zahlen gebildete Folge oszilliert zwischen den Grenzen + oo.

4. Wenn keiner der drei vorhergehenden Fälle eintritt, und daß dies wirklich möglich ist, zeigen wir im nächsten Paragraphen, so gibt der Begriff der rationalen Zahlen kein Mittel, um unsere Zahlenfolge weiter zu behandeln.

= 1 +    +    + • • • + gn’ sn = 1 + 2 + 4 -f 8 H----2n_1,

so hat man sicher für nj> 100 sowohl 2 — sw < ^35 als s'n > 10³⁰.

3. Unter Zuhilfenahme der Binomialformel soll man die beiden Grenzwerte

s«

tH <M

vH |

lim j — = oo, [ a | > 1 ; lim (pn • np) = 0, | b | < 1

n = oo I    n = oo

herleiten, indem p eine willkürliche endliche positive ganze Zahl bedeutet.

4. Wenn eine geometrische und eine arithmetische Reihe beide dieselben zwei ersten Glieder a, und a₂ haben, indem a₂ > ax > 0

ist, so ist jedes folgende Glied der geometrischen Reihe größer als das entsprechende Glied der arithmetischen. (Jacob Bernoulli.)¹)

§ 3. Unendliche Dezimalbrüche.

1. Hein periodische Dezimalbrüche. Jeder rein periodische Dezimalbruch, der die Einheit nicht übersteigt, kann immer folgendermaßen geschrieben werden

(i)

wo a eine positive ganze Zahl kleiner als 10” bezeichnet; dieser Dezimalbruch ist demnach eine geometrische Reihe mit dem Anfangs-gliede a • 10“” und dem Quotienten 10“”; man hat daher wegen

§ 2, (9)

(2)

co =

10” — 1 '

Ist nun Aq : 10? derjenige endliche Dezimalbruch, der mit den q ersten Ziffern in (1) geschrieben wird, und setzt man q < n (p + 2) voraus, so hat man Aq    a | a

a io² “ io”(p+b    ₁₀»(p+²)

n (p +1)

10”P(10” —1) ‘

Es ist demnach möglich, so viele Dezimalstellen aus dem Bruche (1) mit zu nehmen, daß der dadurch gebildete endliche Dezimalbruch der rationalen Zahl co beliebig nahe kommt.

Ist nicht gleichzeitig a = 9 und n = 1, so ist die rationale Zahl 03 immer ein echter Bruch; für a = 9, n = 1 hat man aber

(3)

1 = 0,9999 ....

2. Gemischt periodische Dezimalbrüche. Hat a dieselbe Bedeutung wie in (1), und ist b eine solche ganze Zahl, daß 0 < b < 10** ist, so kann jeder gemischt periodische Dezimalbruch, der die Einheit nicht übersteigt, immer folgendermaßen geschrieben werden

(4)

L i _°L_ . a_ i

¹ jo n+p ¹ jq2 n+p ¹ jq3 n+p

10*

und man findet also

(5)

03₁ =

10” 5 -f g — b .

10* (10”—1) ’

in dem Spezialfalle a = 9, n == 1 ergibt sich daher der endliche Dezimalbrdch

_ + =

1) Opera Bd. I, p. 380; Genf 1744.

In der elementaren Arithmetik wird bewiesen, daß jede positive rationale Zahl in einen Dezimalbruch, der entweder endlich oder periodisch sein muß, verwandelt werden kann. Unter Zuhilfenahme der beiden Formeln (3) und (6) kann jeder endliche Dezimalbruch, darunter eine ganze Zahl mitgerechnet, als ein unendlicher periodischer Dezimalbruch mit der Periode 9 dargestellt werden. Da außerdem zwei Dezimalbrüche dann und nur dann denselben Wert haben können, wenn ihre Ziffern mit demselben Stellenzeiger gleich sind, so hat man den Satz, der schon im Prinzipe von Wallis⁶) angegeben worden ist:

I. Jeder periodische Dezimalbruch stellt eine ganz bestimmte rationale Zahl dar; umgekehrt kann jede positive rationale Zahl in eindeutiger Weise in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch, dessen Periode nicht gleich Null ist, verwandelt tverden.

3. Nicht-periodische Dezimalbräche. Wir betrachten nunmehr den Dezimalbruch

(?)

vvi i z _!_ a

io io² ‘ io³ ^ ‘ ’ '> über welchen wir voraussetzen, daß er nicht-periodisch ist; setzen wir _ ax

(8)

A.

10”

zl 4_ _* 4_ . . . 4-10 ^ 10² ^ ^

dann ist sicher für jeden positiven ganzen Wert von p

Bedeutet demnach e eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe, so ist es möglich eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für ni> N immer

(9)

10 n + p

10”

wird, indem p eine willkürliche positive ganze Zahl bedeutet.

Andererseits ist es aber nicht möglich eine solche rationale Zahl o₂ zu bestimmen, daß für nj>N immer

CJn —----- < £

² 10”'

wird; denn bei demjenigen für o₂ erhaltenen periodischen Dezimalbruch und dem nicht-periodischen Dezimalbruch (7) ist mindestens eine Ziffer mit einem angebbaren Stellenzeiger verschieden, und der absolute

Betrag der Differenz dieser beiden Dezimalbrüche kann daher nicht unter jede Grenze hinabsinken.

Der Dezimalbruch (7) ist demnach, der beiden Ungleichungen (9) und (10) wegen, ein Beispiel zum Falle 4 des vorhergehenden Paragraphen.

Wir haben aber nun zu zeigen, wie es möglich ist den Zahlenbegriff in solcher Weise zu verallgemeinern, daß wir auch Zahlenfolgen dieser Natur beherrschen können.

5.    Aus einem periodischen Dezimalbruch mit n Ziffern in der Periode werden diejenigen Ziffern, deren Stellenzeiger eine Differenzenreihe mit der Differenz p bilden, ausgenommen. Man soll beweisen, daß der aus diesen Ziffern in derselben Ordnung gebildete Dezimalbruch wieder ein periodischer wird und die Ziffernzahl seiner Periode bestimmen.

6.    Es ist zu beweisen, daß die Summe und Differenz zweier periodischer Dezimalbrüche mit bzw. n und p Ziffern in der Periode wieder als periodischer Dezimalbruch dargestellt werden kann, und daß seine Periode höchstens M Ziffern enthalten kann, wenn M kleinstes gemeinsames Vielfaches für n und p bezeichnet.

Kapitel II.

Theorie der Irrationalzahlen.

§ 4. Annäh.erungsreüien und Grenzzatden.

Um den Zahlenbegriff zu erweitern betrachten wir nunmehr zwei unendliche Folgen rationaler Zahlen

(1)

K, K K • • -, Ky ■■■ (H)

^0? h} • * mJ l-nl ‘ ' (“)> die nach einem vorgegebenen Gesetze zu bilden sind, und die den folgenden Bedingungen Genüge leisten sollen:

1. Für jedes n hat man

(2)

hn^h

n + n

2. Bezeichnet s eine willkürlich kleine, vorgegebene positive Größe, so ist es möglich eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n > N immer

n + l7

(3)

K ~ln<£

wird.

Beispiel 1. Ans einem unendlichen Dezimalbruch kann man eine Zahlenfolge (L) aus denjenigen endlichen Dezimalbrüchen , die mit 0, 1, 2, 3, . . . Ziffern des vorgelegten geschrieben werden, bilden, während man eine entsprechende Folge (H) durch Erhöhung mit einer Einheit der letzten Ziffer der entsprechenden Zahl l erhalten kann. Hier hat man daher stets

h — l = — • " n io”

Beispiel 2. Bezeichnen die an für ni> 1 positive ganze Zahlen^ während a₀ ganz und nicht negativ ist, so bilden die Annäherungsbrüche y2r+1 • &2r + i mit ungeraden Stellenzeiger des Kettenbruchs

(4)

a₀ +

«i 4

a₃ + • • '

eine Zahlenfolge (H), die entsprechenden y*r : z*r eine dazu gehörige Folge (L)‘ hier ist daher immer

//    l —

n. n

Z2n'Z2n+1

Über die allgemeinen Zahlenfolgen (1) gelten die folgenden Sätze:

I. Bezeichnen n und p ganz willkürliche Stellenzeiger, so hat man

immer

(5)

K>1

p‘

Ist nämlich n <Cp, so hat man hn^hp'> l • für w > p ist aber

II. Wird n so bestimmt, daß die Bedingung (3) erfüllt ist, so hat man für jedes positive ganze p

<    s

<    E,

(6)

K-h K- i

n+p

n+p

~ln<E K+p~ln<£-

n+p

Es ist nämlich

und

\ — h'n+p < h'n — K+p ^ \ ~ ln < £

^n+p — ü < K+p — K ^ K ~ ü < ⁶ f womit die vier Ungleichungen (6) sämtlich bewiesen sind.

IH. Es existieren nicht zwei verschiedene rationale Zahlen a und av so daß für jedes n die beiden Bedingungen

?)

Kta>: K,    K>ai> ln

befriedigt sind.

Wäre dies nämlich der Fall, so hätte man für jedes n

K~ln'L

was wegen (3) unmöglich ist.

Existiert aber nun wirklich eine solche rationale Zahl a, daß für jedes n

co .

h > a> l

n —    — n ist, so ist a der gemeinsame Grenzwert der beiden Zahlenfolgen (1); denn wegen (3) und (8) erhält man für n^>N immer

K~a<£) h~a<£^

es ist demnach

(9)

a = lim hn = lim ln.

n — co    n— co

Beispiel 3. Diejenigen nach der im Beispiel 1 gegebenen Regel gebildeten Zahlenfolgen definieren immer eine rationale Grenzzahl, wenn der Dezimalbruch ein periodischer ist. Umgekehrt kann jede positive rationale Zahl wegen § 3, I durch dies Verfahren als Grenzzahl dargesteilt werden.

Existiert aber keine solche rationale Zahl a, daß für jedes n die Bedingungen (8) erfüllt sind, so sagt man, daß die Zahlenfolgen (1) eine irrationale Grenzzahl co definieren, und wir setzen auch hier

(10)

hn> co>l

co = lim Jin = lim ln.

n — co    n = co

Beispiel 4. Unendliche nicht-periodische Dezimalbrüche und unendliche Kettenbrüche von der Form (4) definieren immer irrationale Grenzzahlen.

In den beiden obengenannten einzig möglichen Fällen sind die Zahlen hn und ln demnach obere und untere Annäherungswerte derjenigen durch die Zahlenfolgen (1) definierten Grenzzahlen, und diese Annäherungswerte geben mit wachsendem Stellenzeiger die Grenzzahl mit größerer und größerer Genauigkeit an.

Die Zahlenfolgen (1) werden daher Annäherungsreihen für ihre Grenzzahl genannt.

Beispiel 5. Die gewöhnliche elementare Methode zum Quadratwurzelausziehen mit einer vorgegebenen Zahl von Dezimalstellen gibt eine untere Annäherungsreihe für die positive Wurzel der Gleichung x² = a, wo a positiv, rational aber nicht quadratisch ist. Nach der im Beispiel 1 angegebenen Regel bilden wir dann auch die obere Annäherungsreihe, und aus unserer obenstehenden Definition der irrationalen Grenzzahl folgt dann, daß die Gleichung x² = a eine und nur eine positive Wurzel hat, wenn a positiv und rational vorausgesetzt wird.

Nach diesen Erläuterungen bemerken wir hier noch, daß die Formeln (1) und (6) unmittelbar den folgenden Satz liefern:

IY. Bezeichnen p₀, pv p₂ .. .pn .. ., q₀, qv q₂. .. qn . . . zwei willkürliche Folgen immer wachsender positiver ganzer Zahlen, und iverden aus (1) die leiden Zahlenfolgen

(H)

Pn’ ' ' '

hi’ ■ ■ ’’ v?„⁷ ' ■ '

auserwählt} so sind diese Folgen auch Annäherungsreihen und ihre Grenzzahl ist dieselbe wie die durch die Beihen (1) definierte.

7. Setzt man für n positiv ganz

¹

Diese Vorlesungen werden in dänischer Sprache ausgegeben und sind schon teilweise erschienen.

a*

²

Bedeuten x und n positive ganze Zahlen, so hat man sicher

³

Diese Definition involviert also, daß die an für jedes angebbare n

⁴

sämtlich endlich und bestimmt sein müssen.

⁵

Setzt man

⁶

De algebra tractatus, Kap. 80; 1693.

ä'„ = A(l¹ 2 + 2³ 4 + 3 s + -- + 0 *„-A(1² + 2s + 3* + ... +<«-l)⁸),

so soll man beweisen, daß die dadurch definierten Zahlenfolgen Annäherungsreihen sind und die entsprechende Grenzzahl bestimmen.

§ O. Gleichheit und Ungleichheit zweier Grenzzahlen.

Wir betrachten nunmehr zwei Grenzzahlen m und ci, die durch die Annäherungsreihen

(1)

und

K ^1; ^2> • • •; ^n’ ‘ • ■    C®)

^0 7 ^17 4? ■ • •>    • ‘ •    (^)

^"07    7 ^27 * • -7 ^«7 • • ■    (-^)

^07 17 ^27 ’ " ⁻7 ^»7 * • *    )

definiert werden; es muß dann immer einer der folgenden drei Fälle eintreff en:

(2)

Setzt man nun hn — ln = 4, h'n — l'n = ör, so ergibt die Identität (fin — ln) 4" (fin — ln) = fin — ln) 4" (fin — ln) = 4 + 4 , weil keine der Differenzen fi'a — ln) und (fin — l'n) negativ sein kann hn. — ln < 4 -f- 4 , hn — ln < 4 -|- 4 ;

(3)

weiter hat man wegen § 1, (3)

fin — K | <= (fin — ln) 4- (fin ~ ln)

! ln    ln \ 4 (fin    ln) 4~ (fin ln) y

woraus

wegen (3)

(4)

fin — K\ <24 4- 4', !ln — l'„\ < 4 4- 24' hervorgeht; die beiden Differenzen hn — h'n und ln — Vn streben daher dem Grenzwerte Null zu, wenn n über jede Grenze hinauswächst.

In ganz derselben Weise sieht man ein, daß, wenn eine der vier Differenzen

hn ln ) hn ln, hn hn, ln ln

gegen Null konvergiert, falls n über jede Grenze hinauswächst, die drei anderen dieselbe Eigenschaft besitzen.

Die beiden Grenzzahlen co und <4 werden in diesem Falle gleich groß genannt, und man setzt auch hier co — co'.

Aus der Definition der Ungleichheit zweier Grenzzahlen erhält man unmittelbar den Satz:

I.    Sind co, co' und co" willkürliche Grenzzahlen und hat man gleichzeitig co > co', co' > co", so ist auch co > co".

Wird nämlich co" durch die Annäherungsreihen (ff") und (L"), co und co' wie vorher durch (1) und (2) definiert, so hat man ln > h'n )> lh und l'n > h'ń, woraus ln > h" folgt, und demnach ist co > co

Durch die Überlegungen im Falle 3° ergibt sich ebenfalls:

II.    Sind co, co' und co" drei willkürliche Grenz zahlen, und hat man co = co', 00'*= co ", so ist auch co = co".

Beispiel 1. Die rationale Zahl a kann z. B. als Grenzzahl dargestellt werden, indem man hn == a + 10“”, ln = a setzt; durch Vergleichung mit der durch (2) definierten Grenzzahl co' hat man daher a^ co', je nachdem von einem gewissen n an a > hn oder a <iln ist; findet keine dieser Ungleichheiten statt, so hat man a = co'.

Beispiel 2. Die Zahl 0 kann als Grenzzahl dargestellt werden, indem man z. B. h’n = 2~n, Vn = — 2~n setzt; man findet daher co^O, je nachdem von einem gewissen n an ln > 0 oder hn <0 ist; findet keine dieser Ungleichungen statt, so hat man co = 0.

Man nennt die Grenzzahl co positiv oder negativ, je nachdem co 0 ist; findet keine dieser Ungleichungen statt, so hat man co = 0 . Es bleibt uns noch übrig den absoluten Betrag einer Grenzzahl

zu definieren; durch Anwendung der für rationale Zahlen eingeführten Bezeichnung setzt man | co | = co, wenn die Grenzzahl co positiv oder Null ist; für negative co wird | co | als diejenige durch die Annäherungsreihen

(5)

j    ‘ ‘ ’f ^ny

-    ^17    ^27 ' ’ ’y    ’ ' '

definierte Grenzzahl, wenn co durch die ßeihen (1) bestimmt wird, definiert.

Da unsere vorhergehenden Betrachtungen für sämtliche Grenzzahlen, also auch speziell für die rationalen Zahlen, gelten, so liegt auf der Hand, daß unsere Definitionen und Bezeichnungen in solcher Weise gewählt worden sind, daß sie direkte Erweiterungen der entsprechenden für rationale Zahlen gebrauchten, bilden.

§ 6. Rechnen mit Grenzzahlen.

Die für rationale Zahlen definierten Rechnenoperationen sind in folgender Weise für willkürliche Grenzzahlen zu erweitern:

(1)

Es seien co und co' zwei willkürliche, rationale oder irrationale Grenzzahlen, die durch die Annäherungsreihen fh₀, h1} h.₂, • • -, hn, • • •

1    l\ y 1% y * " *, ln, * * *

h₀, h\, h2,    *, hn,

li) y 11 y lï y * * "y In y

bestimmt werden; dann sind die Summe co -f- co' und die Differenz co' durch die Annäherungsreihen

h + h, hx + hx, h% -j- h%, • • •, hn -j- hn, • • •

lo -\-lo y 11 + h y h ~ł~ h y " " 'y ln + lny * * "

(2)

co —

(3)

und

(4)

K    ^1 G 7 ^2    ^2y • • •? hn lny ...

Iq ho, lx h\, lg h-£, . . ., In hn, . . .

zu definieren. Ist co -f- co' = 0, setzt man co' — — co; die Zahl — co wird daher durch die Annäherungsreihen

- I

(⁵)

2 y • • ••>

^07    ^17    ^2 7 "

definiert, und somit hat man wegen § 5, (5) für co negativ

17

" "7

Um das Produkt co • co' und den Quotient co : co' zu definieren, setzen wir vorläufig die beiden Grenzzahlen co und co' als positiv voraus; dann sind co • co' und co : co' durch die Annäherungsreihen

(7)

KK ^1J ^2 ^2) • •

lo k, 4    4 4? • •

(8)

\ ’• 4}    • 4> • •

4 : ’hi) 4 •' ^2, • •

zu bestimmen.

Die Definitionen für Produkt und Quotient können nun ganz in derselben Weise wie bei rationalen Zahlen zu denjenigen Fällen erweitert werden, wo entweder eine oder zwei der Zahlen co und co' negativ sind; man bildet in der Tat den vorhergehenden Definitionen zufolge das Produkt oder den Quotient der absoluten Beträge j co | und | co' | und bestimmt in gewöhnlicher Weise das Zeichen dieser Zahlen.

Ist co =j= 0 aber co' = 0, so hat man co : co' = oo.

Die so definierten Rechnenoperationen gelten für alle Grenzzahlen, also auch für die rationalen Zahlen; es liegt dann auf der Hand, daß die vorhergehenden Definitionen in solcher Weise gewählt worden sind, daß sie direkte Erweiterungen der entsprechenden Definitionen für rationale Zahlen sind, d. h. daß diese Rechnenoperationen, für rationale Zahlen, mit den elementaren zusammenfallen.

Weiter sieht man ein, daß sämtliche Eigenschaften der elementaren Rechnenoperationen ungeändert für das Rechnen mit willkürlichen Grenzzahlen gelten, nämlich:

(9)

1.    Das kommutative Prinzip der Addition und Multiplikation: co -\- co' = co' oo, co • co' = co' . co.

2.    Das assoziative Prinzip der Addition und Multiplikation:

(10)

( (co p co') -\- o" = co -\- (co' -f- co") = co P co' p co"

/    r\ rr    / r rr\    r r*

= co (o) • m ) = m co m .

3. Das distributive Prinzip der Multiplikation:

(ii)

co (co' + co") = coco' p co co".

Diese Prinzipe gelten ja in der Tat für sämtliche Elemente der definierenden Annäherungsreihen.

(12)

Weiter ergibt sich, daß die Gleichungen co P x = co', co • X — co', wo in der letzten co =(= 0 angenommen wird, eine und nur eine Lösung von x liefern, wenn co und co' aufgegeben sind. Setzt man

speziell g/=w, so erhält man bzw. x = 0 und x=l, und diese Lösungen sind dieselben, ob die Zabi œ rational oder irrational angenommen wird.

Bedeutet co eine willkürliche Grenzzahl, während n positiv ganz ist, so setzt man auch hier

(13)

con = co ■ co ■ co • • • • (n Faktoren); sämtliche Sätze über Potenzen mit ganzen Exponenten, die für rationale Wurzeln bewiesen worden sind, gelten daher ungeändert, wenn die Wurzeln willkürliche Grenzzahlen sind.

Die Binomialformel für (a + &)”, n positiv ganz, und die in §§ 1 und 2 entwickelten Formeln für den absoluten Betrag, für die Potenz an und für die geometrische Reihe a -f- aq + aq²-f

gelten daher auch ungeändert, wenn die Zahlen a, b und q ganz willkürliche Grenzzahlen sind.

Diese Bemerkungen erlauben uns einen sehr allgemeinen Grenzsatz über rationale Funktionen zu beweisen.

Eine ganze rationale Funktion von x oder ein ganzes Polynom in x ist ein Ausdruck von der Form

a₀xn + a₁xn~¹ -\r apxn~p -1-----b an_xx + an,

wo die Koeffizienten ap sämtlich von x unabhängig sind. Eine ganze rationale Funktion in xx und x₂ ist ein ganzes Polynom in x₂, dessen Koeffizienten sämtlich ganze rationale Funktionen in x₁ sind usw. Eine ganze rationale Funktion in xl7 x₂, x₃ • • -, xn, ist ein ganzes Polynom in xn, dessen Koeffizienten ganze rationale Funktionen in xv x₂, Xg • • -, xn_₁ sind.

Der Quotient zweier ganzen rationalen Funktionen in xvx₂,x₃ • • -, xn wird eine gebrochene rationale Funktion dieser n Größen genannt. Mit dieser Definition hat man dann unmittelbar den Satz:

I. Ist F(x₁₇ x₂, xz, • • -, xn) eine in xxx₂xz • • • xn ganz willkürliche rationale Funktion, während die cor Grenzzahlen bezeichnen, die für r = 1, 2, 3, • * •, n durch die Annäherungsreihen (IFr)) und (Ar)) definiert werden, so hat man allgemein

jF(o3₁₇ co₂, • • -, an) = lim F(hp \ hf, • • -, hf])

(14)

p = co

F(œu a₂, • • -, (Dn) = lim FQf, If, • • V?),

P = GO

vorausgesetzt, daß F(œ₁, œ₂, • ■ -, on) den Divisor „Null“ nicht enthält.

Erster Teil. Theorie der Zahlenfolgen.

18

8. Es ist zu beweisen, daß das Produkt

VïYi+Vi-

j+Vï+Vit""

mit der Anzahl der Faktoren über jede Grenze hinauswächst; dies Produkt ist durch einen ganz formalen Fehler von Vieta⁵) als Ausdruck für 2 : n angegeben worden.

9. Benutzt man die für den Kettenbruch § 4, (4) eingeführten Bezeichnungen, und setzt man, für jedes n, an = 1, so hat man die beiden Formeln

zu beweisen und dadurch für n = oo den Grenzwert von yn : zn zu ermitteln.    X

10. Für den durch a₀ = 0, an = 2 für w 1 gebildeten Kettenbruch hat man die beiden Formeln

y,—

*»-i > y.=• (h + vrr - (i - vw)

zu beweisen und für n = oo den Grenzwert von yn : zn zu bestimmen.

§ 7. Sätze über Grenzzalilen.

Als Anwendungen unserer Definitionen der elementaren Rechnenoperationen mit Irrationalzahlen haben wir nunmehr über willkürliche Grenzzahlen eine Reihe von Sätzen zu entwickeln, die für unsere folgenden Untersuchungen unentbehrlich sind.

I. Eine willkürliche positive Grenzzahl kann in einen unendlichen Dezimalbrach, dessen Ziffern von einer gewissen Stelle an nicht sämtlich Null sind, entwickelt werden.

(i)

Ist die durch die Annäherungsreihen hQ, h^, h₂,    ■) hn,

1 ? v2 >

definierte Grenzzahl co rational, so folgt der Satz unmittelbar aus den in § 3 gegebenen Entwicklungen. Ist aber œ irrational, so werden die rationalen Zahlen hn und ln in Dezimalbrüche der obengenannten Art entwickelt; ist dann Ön derjenige endliche Dezimalbruch, dessen Ziffern die für die Dezimalbrüche hn und ln gemeinsamen Ziffern sind, so ist es möglich, eine solche positive ganze Zahl N zu

' ; 4» f

bestimmen, daß ön für n N beliebig viele Ziffern enthält. Weiter hat man

KÜ». + ±,

wenn p die Zahl der Dezimalen in ön bezeichnet; es ist demnach auch

₁₀p, lim Ön = co.

n = oo

S, < <0 < ä, + A

Diesen Satz verdankt man Stolz¹).

II. Eine willkürliche irrationale Grenzzahl co kann in einen unendlichen Kettenbruch von der Form

(2)

03 = a₀ -f

«i -f

as + ' ’ ' ł

wo a₀ ganz, an aber für n ^ 1 positiv ganz ist, entwickelt iverden. Die Zahl a₀ wird durch die Ungleichungen a₀<a <a₀+ 1

bestimmt; setzt man demnach

03 = «o + -

so wird x₁ wegen (1) durch die Annäherungsreihen

X,

x, — —

¹ ca

(3)

— a₀ ⁷

lm

— a₀

— «o⁷

Um-V K

definiert, indem m so zu wählen ist, daß lm > a₀ wird. Die positive ganze Zahl a₁ wird dann durch die Ungleichungen

ax < xx < ax + 1

bestimmt usw. Aus den Sätzen über endliche Kettenbrüche in Verbindung mit den Bemerkungen in § 4, Beispiel 2 geht dann deutlich hervor, daß man wirklich durch das obige Verfahren die Gleichung (2) erhält.

III. Bezeichnen co und co' zwei willkürliche endliche Grenzzahlen, jedoch so, daß co =j= 0 ist, so kann man eine solche endliche von Null verschiedene rationale Zahl k bestimmen, daß •

(4)

kco — ca | < s

wird, indem e eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe bezeichnet.

1) Allgemeine Arithmetik Bd. I, p. 119; Leipzig 1883.

Ist co die durch. (1) bestimmte Grenzzahl, während co' durch die A nnäherungs reih en

(5)

Äo 7    ^1 7    ^2 7    ' ■ 7 hn ,

lo, 7    ^2 ; "*" 7    )

definiert wird, so multipliziert man die Ungleichungen 7cw>co>Zre mit der Zahl k = h'q\ln, dann erhält man, je nachdem k^O ist

woraus folgt:

Jlq — G)' -f-

(6)

-— • h'q ^ &C0 - Co'^ llq — co';

da nun die Ungleichungen (6) für alle endliche Werte der beiden Stellenzeiger n und q richtig bleiben, ist unser Satz damit bewiesen.

IY. Sind co und co' zwei willkürliche endliche Grenzzahlen, so daß co irrational ist, so ist es möglich, eine solche positive ganze Zahl K zu bestimmen, daß

(?)

Kco — co'— p | <C £ icird, indem p eine passende ganze Zahl ist, während e eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe bezeichnet.

Wir setzen vorläufig co positiv voraus und bezeichnen durch An : Bn einen Annäherungsbruch desjenigen Kettenbruchs ron der Form (2), welcher co darstellt; dann sind An und Bn beide positiv ganz, und es ist für jedes n

■An

(8)

<0 — W ■t>n

< JL.

^ B² ’

n

da es nun möglich ist n so groß zu wählen, daß Bn- £> 1 wird, so erhält man aus (8) durch Multiplikation mit Bn:

(9)

I A⁰³ ~ An ! <

Betrachten wir nun die negative Grenzzahl — co, während An und Bn dieselbe Bedeutung wie vorher haben, so erhält man aus (9)

I — A + A I <

es ist demnach immer möglich zwei solche ganze Zahlen An und Bn, von welchen die letzte positiv ist, zu bestimmen, daß die Ungleichung (9) richtig bleibt, wenn nur co eine endliche irrationale Zahl ist.

Betrachten wir nunmehr für ein bestimmtes n diejenige arithmetische Beihe, deren Glieder durch die Ausdrücke qBna — qAn, q willkürlich ganz, bestimmt sind, so ist die Differenz dieser Reibe für jedes endliche n von Kuli verschieden, weil co irrational vorausgesetzt wird, und andererseits ist der absolute Betrag dieser Differenz

wegen (9) kleiner als s. dieser arithmetischen Reihe darstellen oder zwischen zwei solche Glieder fallen.

Weiter muß co entweder ein Glied in

Hat man co' = qBnco — qAn, und setzt man qBn = K, qAn = p, so erhält man Kco — co' — p = 0; ist andererseits co' zwischen demselben betrachteten Glied und dem nächstfolgenden gelegen, so ist mit denselben Bezeichnungen | Kco — co'— p j < e, und damit ist unser Satz bewiesen.

Aus I. erhält man endlich den fundamentalen Satz:

V. Sind

(10)

zwei Folgen ivillhürlicher Grenzzahlen, die den folgenden Bedingungen

COn +1 ^

(H)

an +1 £ »

für jedes n genügen, wahrend es möglich ist eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n N immer

œn — œ» < £

wird, so existiert eine ganz bestimmte Grenzzahl co", die den Bedingungen

(12)

(13)

con > co"j> co;

für jedes n genügt.

Wir können uns offenbar auf denjenigen Fall beschränken, wo die Zahlen con und co; sämtlich positiv und als Dezimalbrüche dargestellt sind; bezeichnet dann hn den eudlichen Dezimalbruch, der aus den für con und con+x gemeinsamen ersten Ziffern von der nächsten Ziffer in con nachgefolgt gebildet wird, während ln als der endliche Dezimalbruch, der aus den für co'n und co'n + 1 gemeinsamen ersten Ziffern von der nächsten Ziffer in co£x nachgefolgt definiert wird, so hat man die Ungleichungen

:> hn >œn+x, co'it + l> ln > co'n, con ^ hn >ln> mn.

Die durch die Annäherungsreihen

K ; \ 1 \ f • ' ' ? 4t ’

l₀, l

4} ’ * ■ ) 4 ?

definierte Grenzzahl co" genügt dann für jedes n den Bedingungen

C0'ŁK^Ła"l^ln'ŁGin-

Dieser Satz zeigt deutlich, daß man wohl die Theorie der Annäherungsreihen mit rationalen Elementen auf solche mit irrationalen Elementen ausdehnen kann, daß man aber dadurch den Zahlenbegriff nicht erweitern kann.

11.    Es ist eine solche positive ganze Zahl K zu bestimmen, daß

l K]/~2 yw p j <^i

wird, indem p eine passende ganze Zahl bezeichnet.

so daß

12.    Definiert man die positiven Zahlen a₁a₂a₃---an-a₁ = +]/2, a₂ = ]/2-fa₁ und allgemein an= ]/2 + an_₁ ist, so hat man die für jedes endliche n gültigen Ungleichungen

2 > an+! > an, 6 + an > 4 an

zu beweisen.

13. Setzt man mit den Bezeichnungen in Aufgabe 12 für jedes n

2n + 1y2 — an    , OÄl/ö— -

GJn=—cr-an = ² ]/2-«ra,

an + 1

so ist zu beweisen, daß die dadurch definierten Zahlenfolgen den Bedingungen § 7, (11) und (12), Genüge leisten.

§ 8. Allgemeine Bemerkungen.

Weitergehende Untersuchungen über Grenzzahlen führen ganz natürlich zur Lösung der folgenden zwei Aufgaben:

1.    Man soll die Existenz einer Grenzzahl, die gewissen Bedingungen genügt, durch Herleitung von Annäherungsreihen, die diese Zahl definieren, beweisen.

2.    Man soll die Eigenschaften einer durch Annäherungsreihen definierten Grenzzahl bestimmen.

In unseren folgenden Untersuchungen haben wir mehrmals die erste Aufgabe zu lösen; die zweite ist aber im allgemeinen viel schwieriger; dies liegt auf der Hand, wenn wir nur bemerken, daß dieselbe Grenzzahl durch unzählige Paare von Annäherungsreihen definiert werden kann, während ein vorgegebenes Paar von solchen Reihen eine ganz bestimmte Grenzzahl definiert.

Wie wir in § 9 sehen werden, ist unsere Definition einer Irrationalzahl als ein Spezialfall derjenigen von G. Cantor⁶) gegebenen anzusehen.

Dedekindx) hat einen ganz anderen Weg eingeschlagen hei der von ihm gegebenen Definition, indem er sich alle möglichen rationalen Zahlen in zwei Gruppen A und B eingeteilt denkt, so daß jede Zahl in A kleiner ist als jede in B enthaltene Zahl. Wenn man dann in A keine Zahl auffinden kann, die größer ist als die übrigen, oder in B keine, die kleiner ist als die übrigen in B sich befindenden Zahlen, so schlägt er als Definition vor, daß diese Teilung in zwei Gruppen A und B, dieser „Schnitt“, eine irrationale Zahl bestimmt, die größer als jede Zahl in A, aber kleiner als jede Zahl in B ist.

Es liegt also auf der Hand, daß unsere Annäherungsreihen eine eindeutige Bestimmung der obengenannten Gruppen A und B gestatten, wenn die durch die Annäherungsreihen definierte Grenzzahl eine irrationale ist. A enthält nämlich dann alle diejenigen rationalen Zahlen, die nicht größer als die Zahlen ln sind, B aber diejenigen, die nicht kleiner als die Zahlen hn sind.

Kapitel III.

Theorie der reellen Zahlenfolgen.

§ 9. Das Verhalten einer Zahlenfolge.

Wir haben nunmehr unsere in § 2 gemachten Bemerkungen über rationale Zahlenfolgen dahin zu verallgemeinern, daß sie für jede Folge rationaler oder irrationaler Zahlen:

(1)

a₀,    , a%} * * * ?    } '

gültig sind.

Unseren vorhergehenden Entwicklungen zufolge liegt auf der Hand, daß die allgemeine Zahlenfolge (1) immer einer der drei folgenden Bedingungen Genüge leisten muß:

1. Konvergente Zahlenfolgen oder Fundamentalreihen. Es existiert eine solche endliche und bestimmte Zahl A, daß es möglich ist für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe e eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n (> N immer

(2)

A — an | < s

wird. Die Folge (1) heißt dann eine konvergente Zahlenfolge oder eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, und man setzt

A = lim an.

n = co

1) Stetigkeit und irrationale Zahlen; 1872 (dritte Ausg. 1905).

Entwickelt man die positiven Zahlen j an | in Dezimalbrüche, so erhält man den Satz:

I. Der Grenzwert einer Fundamentalreihe ist eine gewöhnliche, rationale oder irrationale Grenzzahl, die auch durch Annäherungsreihen definiert werden hann.

Beispiel 1. Annäherungsreihen, die eine endliche Grenzzahl definieren sind Fundamentalreihen mit der Grenzzahl als Grenzwert. Dasselbe gilt für diejenigen unendlichen Zahlenfolgen, die in willkürlicher Weise aus Zahlen hn und ln gebildet sind.

Was die allgemeine Fundamentalreihe (1) betrifft, so bemerken wir, daß die Differenz A — an selbst für willkürlich große n bald positiv bald negativ sein kann, und daß der absolute Betrag von A — an nicht immer mit wachsendem n abnehmen muß.

Beispiel 2. Setzt man für n^> 1

an = ¹

wo n = n ist, wenn n keine Quadratzahl bezeichnet, aber n = -j- ]/n sein soll, wenn n quadratisch ist, so hat diese Fundamentalreihe den Grenzwert 1.

Beispiel 3. Die Zahlenfolge, deren Elemente für n 1 durch die Ausdrücke

(— i)» y 2

an = ¹ +

gebildet werden, hat lauter irrationale Elemente aber den rationalen Grenzwert 1.

2. Divergente Zahlenfolgen. Wenn es möglich ist für eine vorgegebene willkürlich große positive Zahl E eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n i> N immer

an I >E

wird, so heißt unsere Zahlenfolge (1) divergent, und zwar eigentlich oder uneigentlich divergent, je nachdem die an von einem gewissen n an sämtlich dasselbe Vorzeichen haben oder nicht. Ist unsere Folge eigentlich divergent, so setzen wir auch lim an — + oo, bzw. lim an =

(4)

(5)

OO.

u = co

n = co

Die Schreibweise

lim an = A

n = oo

bedeutet daher ausschließlich, daß entweder A endlich und bestimmt oder unendlich groß mit bestimmtem Vorzeichen ist.

In betreff der Beispiele divergenter Zahlenfolgen verweisen wir

auf § 2.

3. Oszillierende Zahlenfolgen. Wenn die Zahlenfolge (1) weder konvergiert noch divergiert, so heißt sie oszillierend; die Begriffe Oszillation zwischen endlichen oder unendlichen Grenzen werden hier

ganz wie in § 2 definiert.

Dem Satze I und den Definitionen der elementaren Rechnenoperationen zufolge finden wir hier unmittelbar den folgenden wichtigen Satz:

II. Haben die Fundamentalreihen

u₀, ux, u₂, . .

V0> Vl, v2,-- - , Vn,...

die Grenzwerte U und V, so sind die Zahlenfolgen

W0 + V0 ? Ut ± V1 7 U-2 dz V-2 : ' • • ? Un =t Vn ) ' ' '

(6)

(?)

(8)

u₀ v₀, Mj r1} u₂ v₂, • • •, un vn, ■ • •

(9) auch Fundamentalreihen und ihre Grenzwerte sind bzw. U + V, UV und U : V, vorausgesetzt doch, daß in y 9) V von der Null verschieden angenommen wird.

Aus II findet man nun ohne weiteres den noch allgemeineren Satz:

III. Bezeichnet F (xx, x₂,.. ., xr) eine willkürliche rationale Funktion von xx, x₂, . .., xr, und sind uf¹) } UJ²)} . . ., ufr) die Elemente der r Fundamentalreihen mit den Grenzwerten U

so hat man allgemein

vorausgesetzt jedoch, daß F den Divisor „Full“ nicht enthält.

(10)

F(Ult ü,,..., Uj) ~ lim F «>, uf,.

n = co

14. Man soll die Zahlenfolge, deren Elemente für positive ganze n durch die Ausdrücke

1-2    2■3 ' 3•4

bestimmt werden, untersuchen.

15. Aus den beiden Zahlen a₁ und a₂ wird eine unendliche Folge üi, a₂, as, ax,. .., an ,. . .

nach dem Gesetze gebildet, daß an von n = 3 an das arithmetische Mittel der zwei vorhergehenden ist, also 2an = an_x

+ an-2'l

----+

(— l)»-l (2»+ 1)

n (n -f- 1)

(i)

man

hat dann die allgemeine Formel

«.-£ (1 - (-i)”“²) + | (2 + (-i)-²)

zu beweisen und den Grenzwert der Zahlenfolge (1) zu bestimmen.

§ 10. Das allgemeine Konvergenzprinzip für Zahlenfolgen. Man beweist nun ohne Schwierigkeit den folgenden allgemeinen Satz, der von P. du Bois Reymond¹) als allgemeines Konvergenzprinzip (für Zahlenfolgen) bezeichnet wird:

I. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Zahlenfolge

(i)

besteht darin, daß es möglich ist für eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe s eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n^>N immer

(2)

an+p an I ^ £

wird, indem p eine willkürliche positive ganze Zahl bezeichnet.

Es liegt auf der Hand, daß (2) eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenfolge (1) ist; denn wird N so bestimmt, daß für n~> N immer wird, indem A den Grenzwert der Fundamentalreihe bedeutet, so hat man

I <*»+p~ an\ ^ I «W*“ A I + ! an~ A I <

Um nun zu zeigen, daß (2) auch eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz unserer Zahlenfolge ist, geben wir eine von Null verschiedene positive Größe q an und bestimmen die entsprechende positive ganze Zahl N, so daß für n^N immer

\an+p-an\<Q

ist, welches ja der Bedingung (2) zufolge immer möglich ist. Für jedes Element der Zahlenfolge (1) erhält man dann für g > N immer

(3)

O'N — Q <C Un ~b Q-

Ist dann weiter Nt eine solche positive ganze Zahl, daß für n'^_N₁ immer

\an+p-an\<(h<\Q

1) Allgemeine Funktionentheorie Bd. I, p. 6, 260. Tübingen 1882.

ist, so hat man auch für g > Nt immer

Un₁ — 01 < «₂ < -f pj ; hat man ebenfalls für n > N₂ immer

| an+p — an ! < 02 < I 0i ^ t 0i

so ergibt sich für q > N₂

UN?. — 02 <7 % <7 aN₂ + 02 ;

dies Verfahren kann offenbar unbegrenzt oft angewendet werden.

Setzt man demnach h₀ = aN -f- q, l₀ = aN— p, und bezeichnet hq für q= 1, 2, 3, . . v, ... die kleinste der Zahlen

aNx + 01 ,    + 02? •

lQ dagegen die größte der Zahlen

• •?

°Nq + 0₂?

aN±— 0i,    02, • • -, aNq~ 0₂,

so genügen die Zahlenfolgen

(4)

q> • ••

h, 4? '?    ‘ ’ '

für jedes q den Bedingungen

\ 7>    \ +    \, lq ą- i = ^? \ ~ Iq ^ ^ •

Dem Satze § 7, Y und der Definition § 9, (5) zufolge definieren die Zahlenfolgen (4) eine ganz bestimmte Grenzzahl. Bedeutet weiter n eine willkürliche positive ganze Zahl, so ist es doch möglich einen solchen Stellenzeiger q zu bestimmen, daß alle die folgenden Elementen

a n +1? ®« + 2? ^bi + 3? * • •

der Folge (1) zwischen hq und lq liegen. Die Zahlenfolge (1) ist daher eine Fundamentalreihe mit der durch (4) definierten Grenzzahl als Grenzwert.

Aus diesen Bemerkungen kann man nun ohne weiteres die beiden anderen Sätze herleiten:

II.    Bedeutet n eine solche Zahl, daß die Ungleichung (2) für alle größeren Werte des Stellenseigers richtig ist, so hat man für # > n und r > n immer \aq — ar | < 2 s, und indem A den Grenzwert der Fundamentalreihe (1) bezeichnet, ist | A — aq \ < 2 s, indem q > n angenommen wird.

III.    Wählt man unter den Elementen der Fundamentalreihe (1) eine willkürliche unendliche Folge

aus, so ist diese Zahlenfolge wieder eine Fundamentalreihe mit demselben Grenzwerte wie die ursprüngliche Fundamentalreihe (1) selbst.

Der Fundamentalsatz I, der zuerst von Bolzano⁷), etwas später von Cauchy⁸) und Abel⁹) hervorgehoben worden ist, wurde lange Zeit hindurch als einleuchtend angenommen; erst durch eine systematische Theorie der Irrationalzahlen ist es möglich geworden diesen Satz in aller Strenge zu beweisen. Cantor¹⁰) benutzt den Satz I als Definition der Irrationalzahlen, indem dann natürlich sämtliche Elemente der Fundamentalreihe rational sind.

16. Es ist zu beweisen, daß die Zahlenfolge, deren Elemente für positive ganze n durch die Ausdrücke bestimmt werden

(— 1)»+!

vH I vH

tH I CO

an =

eine Fundamentalreihe ist, und daß ihr Grenzwert zwischen \ und | liegt.

§ 11. Monotone Zahlenfolgen. Ist für die Elemente der Zahlenfolge

(1)

immer entweder an + 1    an oder an + i    an, so nennt man diese Folge

monoton wachsend bzw. monoton abnehmend.

Alle Annäherungsreihen sind daher monotone Zahlenfolgen, die Reihen (JE) monoton wachsend, die Reihen (E) monoton abnehmend.

Uber monotone Zahlenfolgen gilt der Satz:

I. Eine monotone Zahlenfolge muß immer entweder konvergieren oder eigentlich divergieren, kann also niemals oszillieren.

Wir können uns offenbar darauf beschränken eine monoton wachsende Zahlenfolge zu betrachten; denn ändert man das Zeichen der Elemente einer monoton abnehmenden Folge, so erhält man eine monoton wachsende.

Es sei nun (1) eine monoton wachsende nicht konvergente Zahlenfolge; es ist dann dem allgemeinen Konvergenzprinzip zufolge möglich eine derartige von 0 verschiedene positive Größe g zu bestimmen, daß, wenn n eine willkürliche vorgegebene positive ganze

Zahl bezeichnet, man eine solche positive ganze Zahl nt > n bestimmen kann, daß

wird.

ani ~an> 9

né, . .

•j

Bestimmt man nun weiter die positiven ganzen Zahlen n₂, n₃, so daß immer

> 9, an, -a^>g, ...,    ~an^_^>g

ist, und addiert man diese Ungleichungen, so erhält man

anp> an+P ■ 9-

Da p aber beliebig groß angenommen werden darf, muß arn mit m über jede Grenze hinauswachsen und unsere Zahlenfolge (1) ist demnach eigentlich divergent.

wenn

nur

Eine monotone Zahlenfolge ist daher stets konvergent, an | eine gewisse endliche Grenze nicht übersteigt, wie groß n auch angenommen wird.

Die Bezeichnung monoton in dieser Bedeutung rührt von C. Neumann¹) her.

17. Es ist zu beweisen, daß die Zahlenfolge mit dem allgemeinen Glied

-j-----j--

^ 2 n

an =

—i--1--*--j--¹—

n -\- 1 ' n -\- 2 ' n 3

konvergiert, und daß ihr Grenzwert zwischen -§■ und 1 liegen muß.

18. Es ist zu beweisen, daß die Zahlenfolge

monoton abnimmt und den Grenzwert 1 hat.

19. Man hat zu beweisen, daß die beiden Zahlenfolgen mit dem allgemeinen Elemente

an =

konvergieren, und daß die erste den Grenzwert 1 hat.

1) Über die nach Kreis-, Kugel und Zylinderfunktionen fortschreitenden Entwicklungen, p. 26. Leipzig 1881.

(i)

§ 12. Häufungsstellen, einer Zahlenfolge. Die Zahl co heißt Häufungsstelle der Zahlenfolge

^i? ®2 ?    • • *7

wenn unendlich viele Zahlen der Folge (1) zwischen co — s und co + £ liegen, wie klein die positive Größe s auch angenommen wird.

Es ist sehr leicht unendliche Zahlenfolgen anzugeben, die keine Häufungsstelle besitzen können; diejenige aus den positiven ganzen Zahlen

•)

1, 2, 3,..n,...

gebildete Zahlenfolge hat z. B. diese Eigenschaft. Andererseits gilt der Satz:

I. Ist es möglich, zwei solche endliche Zahlen cc₀ und ß₀ zu bestimmen, daß für unzählige (speziell für jedes) n

an^> ß₀

ist, so hat die Zahlenfolge (1) mindestens eine Häufungsstelle.

Führen wir das aus a₀ und ß₀ gebildete arithmetische Mittel mt ein, also 2mx = <x₀ + ß₀, so müssen unendlich viele Elemente der Folge (1) entweder zwischen cc₀ und mx oder zwischen mx und ß₀ liegen, oder auch haben die beiden dadurch bestimmten Grenzpaare a₀ und mx, mx und ß₀ diejenige Eigenschaft, daß unendlich viele Elemente von (1) zwischen ihnen gelegen sind.

Jedenfalls haben wir durch dies Yerfahren zwei neue Zahlen ccx und ßx bestimmt, so daß ccx > ßx ist, und daß zwischen ccx und ßx unendlich viele der Zahlen (1) liegen; weiter hat man

<h £ «o, ßx ^ ß₀, ccx - ßx = ■a°--ßo- •

Wir führen nunmehr das aus ax und ßx gebildete arithmetische Mittel m₂ ein, also 2 m₂ = ccx -j- ßx, und bestimmen dadurch zwei neue Zahlen cc₂ und ß₂, so daß

ccx, ß₂ ßi, a₂ ß₂~    2

ist, während außerdem unendlich viele Zahlen der Folge (1) zwischen a₂ und ß₂ liegen.

Durch unbegrenzte Fortsetzung dieses Verfahrens erhält man die Annäherungsreihen:

«o? ecx, cc₂, . . ., an, . . .

ßo, ßl 7 ßz> •

die so beschaffen sind, daß für jedes n unendlich viele Zahlen der Folge (1) zwischen an und ßn liegen.

(2)

(3)

* *7

-ft

ao ßo

2²

an ßo

Die Grenzzahl co der Annäliernngsreilien (3) ist daher eine Häu-fungsstelle der Zahlenfolge (1); wie aus unserem Beweisverfahren deutlich hervorgeht, kann die Folge (1) aber möglicherweise mehrere Häufungsstellen besitzen.

Beispiel 1. Die Zahlenfolge, deren Elemente durch die Aus

drücke

a2 n

a2 n + 1

= 1 -f---¹—

^ 2«+ 1

definiert werden, hat die beiden Häufungsstellen 1 und 2 und keine anderen.

Wir bemerken ausdrücklich, daß die Häufungsstellen einer Zahlenfolge nicht notwendigerweise Elemente dieser Folge zu sein brauchen. Beispiel 2. Die Zahlenfolge mit den irrationalen Elementen

hat die einzige Häufungsstelle 1, die ja rational ist.

Allgemein hat man den Satz:

II. Eine Zahlenfolge, deren Elemente sämtlich zwischen zwei endlichen Zahlen liegen, und die eine und nur eine Häufungsstelle besitzt, ist eine Fundamentalreihe mit dieser Häufungsstelle als Grenzwert; umgekehrt kann eine Fundamentalreihe keine Häufungsstelle außer ihrem Grenzwerte besitzen.

Hat die Zahlenfolge (1) nur die einzige Häufungstelle co, so muß es möglich sein für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe e eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für ni> N immer

(4)

m-£<an<co + € ist; denn wäre dies nicht der Fall, so hätte unsere Zahlenfolge mindestens noch eine Häufungsstelle, die von co verschieden ist.

Ist umgekehrt (1) eine Fundamentalreihe mit dem Grenwerte co, so gelten die Ungleichungen (4) für n > N, und diese Zahlenfolge kann daher außer co keine andere Häufungsstelle besitzen.

Sind sämtliche zwischen a und b gelegene Zahlen Häufungsstellen der Folge (1), so sagt man, daß diese Folge überall dicht zwischen a und b liegt.

Beispiel 3. Die aus sämtlichen zwischen 0 und 1 gelegenen rationalen Zahlen gebildete Folge, hat jede beliebige zwischen 0 und 1 gelegene Zahl, 0 und 1 mitgerechnet, als Häufungsstelle; diese Folge liegt daher zwischen 0 und 1 überall dicht.

20. Man hat diejenige Zahlenfolge, deren Elemente für n = 0,1,2,3,... durch die Ausdrücke

a2n + l=n

a2n

n-f-1⁷

bestimmt werden, zu untersuchen.

21. Man soll die Zahlenfolge, deren Eemente für n = 0, 1,2, «3,.. durch die Ausdrücke

n Ą-1 r    ^ ? ^4 n-j- 2    2 ^ fyi _|— J    ^4 n + 3    3    ^    ^ ? ^4    ^

bestimmt sind, untersuchen.

22. Es ist zu beweisen, daß diejenige Zahlenfolge, deren Elemente für positive ganze n aus den irreduziblen Brüchen von der Form

l² 2²    3²

n2} n² ’ n² ’ ' '

gebildet sind, zwischen 0 und 4 überall dicht liegt.

(2 n-\- l)²

§ 13. Obere und untere Grenze.

Es ist sehr leicht Zahlenfolgen anzugeben, deren Elemente zwar sämtlich zwischen zwei endlichen und bestimmten Zahlen liegen, die aber dennoch weder ein größtes noch ein kleinstes Element besitzen. Diejenige aus den zwischen 0 und 1 gelegenen rationalen Zahlen gebildete Folge hat z. B. diese Eigenschaft.

Uber solche Zahlenfolgen gilt aber der fundamentale Satz:

I. Jede Zahlenfolge a₀a₁a₂... an..deren Elemente sämtlich zwischen zwei endlichen Zahlen gelegen sind, hat sowohl eine obere Grenze G, als eine untere Grenze g; d. h. es existieren zwei endliche und bestimmte Zahlen G und g, die den beiden folgenden Bedingungen Genüge leisten:

1. Für jedes n hat man

(i)

g <,an<,G.

(2)

2. Es gibt mindestens einen Wert p von n, so daß ap> G — £

ist, und mindestens einen Wert q von n, so daß

(3)

% < 9 + «

ist, indem 8 eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe bezeichnet.

Um die Existenz der oberen Grenze G zu beweisen, bestimmen wir zwei endliche Zahlen cc₀ und ß₀, so daß a₀ größer ist als sämtliche Elemente unserer Folge, während einige dieser Elemente größer als ß₀ sind. Führen wir nun das arithmetische Mittel mx zwischen ccq und ß₀ ein, also 2m₁ = a₀-j- ß₀, so müssen jedenfalls einige Elemente unserer Folge entweder zwischen a₀ und m₁ oder zwischen mx und ß₀ liegen; im ersten Falle setzen wir ax = a₀₎ ß₁ = mx, im zweiten Falle dagegen ax = m₁, ß₁= ß₀. Durch Einführung des arithmetischen Mittels m₂ zwischen ccx und ßx, also 2 m₂ = ax -j- ßx, bestimmen wir zwei neue Zahlen a₂ und ß2} so daß a₂ größer ist als sämtliche Elemente unserer Folge, während einige dieser Elemente größer als ß2 sind: weiter hat man

a2 ~ ai} ßt ^ ßl> a2 ßs

In dieser Weise kann man augenscheinlich unbegrenzt oft fortfahren, und dadurch erhält man die Annäherungsreihen

°-o ßo

(4)

a₀₎ cc1} cc₂, . .

2n

ßo? ßi, ß₂, • •

so daß, für jedes n, an größer als sämtliche Elemente unserer Folge ist, während einige dieser Elemente größer als ßn sind. Die durch (4) definierte Grenzzahl G ist daher die obere Grenze unserer Zahlenfolge.

Wir haben bei dieser Entwicklung vorausgesetzt, daß keine der Zahlen an oder ßn für einen endlichen Wert des Stellenzeigers das größte Element unserer Folge war; ist dies der Fall, so liegt die Existenz von G auf der Hand.

¹

   Es ist, für ein gewisses w, ln > 7^; dann ist auch, für jedes positive ganze p, + p > hń + p, ra heißt in diesem Falle größer als g/, und man setzt wie bei rationalen Zahlen œ > co'.

²

   In ähnlicher Weise nennt man m Meiner als co', wenn von einem gewissen n an hn < l'n ist; hier setzt man gj < co'.

³

   Wenn keine der beiden vorhergehenden Möglichkeiten vor

⁴

handen ist, hat man also, für jedes n, hn > Vn und iin > ln.

⁵

Opera mathematica, p. 400; Leiden 1646.

⁶

Mathematische Annalen Bd. 5, p. 128; 1872. Heine im Journal für Math. Bd. 74, p. 174 f. 1872. Ch. Méray in Nouveau précis d’analyse infinitesimale, Paris 1872.

⁷

   1817. Vgl. Stolz in Mathemathische Annalen Bd. 18, p. 259; 1881.

⁸

   Analyse algébrique p. 125; 1821.

⁹

   Œuvres Bd. II, p. 197.

¹⁰

   Mathematische Annalen Bd. 21, p. 124; 1883.

In ganz ähnlicher Weise wird die Existenz der unteren Grenze g nachgewiesen.

Ist G bzw. g selbst ein Element der Zahlenfolge, so heißt diese Zahl Maximalwert bzw. Minimalwert der Folge.

Beispiel 1. Für die Zahlenfolge, deren Elemente für n = 0,1, 2, 3, . . . nach dem Gesetze

(5)

1 < s <i r

r -1- s

—---J- -

w-f-1 ' s

zu bilden sind, indem r eine bestimmte positive ganze Zahl bezeichnet, hat man G = 2, den Werten n = 0, s = 1 entsprechend, und g = 1 : r den Werten n = oo, s = r entsprechend. G ist daher der Maximalwert unserer Folge, welche aber keinen Minimalwert besitzt.

Beispiel 2. Für diejenige aus den Elementen (5) gebildete Zahlenfolge 2 — ax, 2 — a₂, 2 — aSf . . . hat man G = 2 —    , den Werten

n -- oo, s = r entsprechend und g = 0, den Werten n = 0, s = 1 entsprechend; g ist der Minimalwert dieser Folge, welche aber keinen Maximalwert hat.

Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.

Ist G bzw. g selbst ein Element der Zahlenfolge, so kann es, wie es deutlich aus den Beispielen 1 und 2 hervorgeht, eintreffen, daß die Bedingung (2) bzw. (3) nur von G bzw. g selbst, sonst aber von keinem anderen Element der Folge befriedigt wird.

Als Ergänzung dieser Bemerkung beweisen wir den folgenden

Satz:

II. Ist die obere bzw. untere Grenze einer Folge kein Element dieser Folge, so ist G bzw. g eine Häufungsstelle dieser Zahlenfolge.

Ist G nicht Element der Zahlenfolge, so liegen zwischen G und G — s, wie klein auch die positive Größe s angenommen wird, unendlich viele Elemente der Folge; denn hätte nur eine endliche Zahl von Elementen diese Eigenschaft, so wäre das größte dieser Elemente die obere Grenze der Folge, was unzulässig ist.

In ganz derselben Weise behandelt man den anderen Fall, wo g kein Element der Folge ist.

Beispiel 3. Für die in den Beispielen 1 und 2 betrachteten Zahlenfolgen ist g bezw. G Häufungsstelle der Folge.

Wenn wir in unserer folgenden Darstellung die Redensart eine positive von Nidl verschiedene Zahl benutzen, so meinen wir damit, daß die von diesen Zahlenwerten gebildete Folge nicht die untere Grenze Null hat.

Ist es nicht möglich eine solche Zahl so anzugeben, daß sie größer bzw. kleiner als sämtliche Elemente der Folge ist, so sagen wir, daß diese Folge die obere Grenze -f oo bzw. untere Grenze — oo hat.

— oo.

Beispiel 4. Die aus den rationalen Zahlen kleiner als 1 gebildete Folge hat G = 1, g =

Beispiel 5. Die aus den rationalen Zahlen größer als — 1 gebildete Zahlenfolge hat 6r = -}- oo, g = — 1.

Den Begriff obere und untere Grenze sowie den Satz I verdankt man Bolzano¹); aber zuerst durch die Vorlesungen von Weierstraß ist die fundamentale Bedeutung dieser Begriffe klar hervorgegangen.

23.    Man soll die obere und untere Grenze derjenigen in den Aufgaben zum § 12 definierten Zahlenfolgen bestimmen.

24.    Für die aus dem Ausdrucke

n = 0, 1, 2, 3,..., p = 1, 2, 3,...

an,p

Sn n -f- p ’

1) 1817. Ygl. Stolz in Mathem. Annalen. Bd. 18, p. 257. 1881.

nach der im § 2, Beispiel 3 gegebenen Regel gebildete Zahlenfolge sind die obere und untere Grenze zu bestimmen, indem allgemein gesetzt worden ist.

§ 14. Limes superior und limes inferior.

Uber die Häufungsstellen einer Zahlenfolge beweisen wir nunmehr den Satz:

I.    Jede unendliche Zahlenfolge, deren Elemente sämtlich zwischen zwei endlichen und bestimmten Zahlen liegen, hat immer sowohl eine größte als eine Kleinste Häufungsstelle.

Da die Häufungsstellen sämtlich zwischen zwei endlichen und bestimmten Zahlen liegen müssen, so beweist man ganz wie im vorhergehenden Paragraphen die Existenz zweier endlicher und bestimmter Zahlen L und l, so daß keine Häufungsstelle größer als L und kleiner als l sein kann, während mindestens eine Häufungsstelle œ den Bedingungen L oo L — s und eine Häufungsstelle co' den entsprechenden Bedingungen l co' <i l -f 8 genügt, wie klein auch die positive Zahl s angenommen wird.

Nun liegen aber zwischen gj -f- d und co — ö und ebenso zwischen oo' -j- â und a — d unendlich viele Elemente unserer Zahlenfolge, wie klein auch die positive Zahl d angenommen wird; es liegen daher auch unendlich viele Elemente unserer Zahlenfolge sowohl zwischen L -f d und L — d — £ als zwischen l -f d -j- £ und l — d; d. h. die beiden Zahlen L und l sind Häufungsstellen unserer Zahlenfolge.

Andererseits kann die Zahlenfolge aber nicht unendlich viele Elemente enthalten, die entweder größer als L + d oder kleiner als l — d sind, wie klein auch die positive Größe d angegeben wird; denn dann hätte man eine Häufungsstelle größer als L oder kleiner als l, was ja, der Definition von L und l zufolge, unmöglich ist.

Die so bestimmte kleinste und größte Häufungsstelle L oder l einer Zahlenfolge nennen wir limes superior (lim. sup.) bzw. limes inferior (lim. inf.) dieser Zahlenfolge und der Satz I kann daher auch folgendermaßen formuliert werden:

II.    Die unendliche Zahlenfolge

(i)

aQ, Uj, a₂, as, •, an,

deren Elemente sämtlich mischen mei endlichen und bestimmten

Zahlen gelegen sind, hat sowohl einen limes superior L als auch einen limes inferior l; d. h. es existieren mei solche Zahlen L und l, die den folgenden mei Bedingungen genügen:

1. Bedeutet 6 eine vorgegebene positive willkürlich kleine Größe, so ist es möglich eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für nl> N immer

(2)

an < L -f 6, an>l — 6

ist.

(3)

2. Die Ungleichungen

an> L — o, an<l -f 6

sind aber für unendlich viele Werte von n richtig, wie klein die positive Größe ö auch gewählt wird.

Beispiel 1. Für die in § 13, Beispiel 1 betrachtete Zahlenfolge

hat man

lim. snp. an = 1, lim. inf. an =

71=00

71= GO

Beispiel 2. Für die in § 13, Beispiel 2 definierte Zahlenfolge findet man

lim. sup. an = 2

7l = oo

—, lim. inf. an = 0 .

7l = oo

Kombiniert man II und § 13, II, so erhält man den Satz:

III. Hat eine Zahlenfolge, deren Elemente sämtlich zivischen zwei endlichen und bestimmten Zahlen liegen, keinen Maximalwert bziv. keinen Minimalwert, so sind lim. sup. und obere Grenze bzw. lim. inf. und untere Grenze dieser Zahlenfolge identisch.

Ist die Zahlenfolge (1) nicht konvergent, so ist es möglich, aus ihren Elementen solche auszunehmen, die Fundamentalreihen mit den Häufungsstellen der Zahlenfolge als Grenzwerte bilden; es ist also möglich, solche Stellenzeiger

zu

bestimmen, daß

Pqi Pd P2)    ’ Pm>

endlich und bestimmt wird; man hat dann immer

l < lim ap L .

m = 00 m

Hat man L^>1, so heißt die Differenz L — l das Oszillationsoder Unbestimmtheitsintervall der Zahlenfolge.

Beispiel 3. Bür die aus sämtlichen rationalen Zahlen gebildete Zahlenfolge hat man Z = + oo, Z = — oo ; das Oszillationsintervall dieser Folge ist daher unendlich groß.

Ist andererseits l = L, so ist die Zahlenfolge (1) eine Fundamentalreihe mit dieser Zahl L als Grenzwert.

Die Begriffe lim. sup. und lim. inf. sind zuerst von Cauchy¹) (la plus grande des limites) und von Abel²) (la plus petite des limites) eingeführt worden; aber zuerst durch die Arbeiten von P. du Bois Reymond³) ist die funtamentale Bedeutung dieser Begriffe deutlich hervorgegangen.

25.    Man soll lim. sup. und lim. inf. für die in den Aufgaben zum § 13 betrachteten Zahlenfolgen bestimmen.

26.    Es sind obere und untere Grenze sowie lim. sup. und lim. inf. für die Zahlenfolgen, deren Elemente für positive ganze n durch die Ausdrücke

«»-1+C-1 )”~A &» = ! + (-l)” + v

und durch ihre reziproken Werte definiert sind, zu bestimmen.

§ 15. Hilfssatz von Abel.

In seiner berühmten Abhandlung über die Binomialformel hat Abel⁴) den folgenden Hilfssatz bewiesen.

I. Ist die Folge mit lauter positiven Elementen

(i)

£lf £2> f3?    *? £ni

monoton abnehmend, und bildet man aus der Folge

(2)

®3; ‘ ’

eine neue Zahlenfolge

Sl) S2> S3? ' ' '? Sn>

(3)

indem man allgemein

(4)

Sp = ai + a2 + % + ’•• +    ap = Sp — Sp

setzt, so hat man für jedes n

*1 • 9n ^ % *1 + «2 £2 +----f- an £n < G * &n,

wo Gn und gn obere und untere Grenze der Folge sv s₂, ■ -, sn bezeichnen.

(5)

-i

Setzt man der Kürze halber

(6)

Ai = % £i + a2 £2 + • • + an £n> so erhält man wegen der letzten Formel (4)

Ai = £1 ⁵1 + £2 (S2 — S1) + £3 (S3 — S2) + ' ' * + En (Sn ~ Sn-l) t woraus nach einer einfachen Umformung hervorgeht:

l⁷) An = Ol “ £i) ⁵1 + (f2 “ «3) S2 H-----b 0»-l ~ O Sn-1 + £n Sn‘

(7) ab,

wenn

Nun hat man aber sn > 0 und, für jedes r, £r_₁ — £r > 0; die Ungleichungen (5) leiten sich daher unmittelbar aus man anstatt jeder einzelnen der Summen sp teils Gn teils gn einführt und die Identität

benutzt.

Ol ~ £ä) + O2 ~ £Ù + ' ‘ ‘ + On-1 — £n) + £n = €1

Aus (7) findet man in derselben Weise den ähnlichen Satz:

II. Ist die Zahlenfolge (1) monoton wachsend, so findet man mit denselben Bezeichnungen wie vorher für jedes n die Ungleichungen

(8)

Ol -O Gn + 9n <Än£ (£1 ~ £n) 9n + £n Gn '

In diesem Falle hat man ja in der Tat sn > 0 aber für jedes r

£r~£r-1>°-

Wir haben später in § 39 diese Abelsche Methode erheblich zu verallgemeinern.

27. Es ist der Abelsche Satz auf die Summe

Gr er

tH |(M

.p + 2

p 1 p -f- 2 p -f- 3

anzuwenden.

28. Man soll für p = oo den Grenzwert der Summe

bestimmen.

Kapitel IV.

Komplexe Zahlenfolgen.

§ 16. Reehnenoperationen mit Zahlenpaaren.

Wir haben nunmehr unseren Zahlenbegriff auf Zahlenpaare¹) von der Form (a, b), wo a und b gewöhnliche Grenzzahlen bezeichnen,

1) Ganz wie die reelle Zahl a als der Punkt der Abszissenachse mit der Abszisse a abgebildet werden kann, so bildet man das Zahlenpaar (a,b) als den Punkt der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten a und b geometrisch ab. Man vergleiche übrigens § 25.

(5)

zu erweitern. Zu diesem Zwecke haben wir vor allem durch Definition die Gleichheit oder Ungleichheit zweier Zahlenpaare festzustellen.

1. Die Zahlenpaare (a, b) und (%, bj) sind dann und nur dann einander gleich oder identisch, wenn a = a₁ und b = bt ist.

Benutzt man das gewöhnliche Gleichheitszeichen, so hat man

daher

(i)

(a, t) = (%, \)

dann und nur dann, wenn

(2)

a — al7 b = bl

und umgekehrt.

Benutzen wir auch hier das gewöhnliche Ungleichheitszeichen =(=, setzen wir also (a, b) =4= (alt bß), wenn nicht die beiden Gleichungen (2) stattfinden.

Aus diesen Definitionen schließt man unmittelbar, daß zwei Zahlenpaare, die beide einem dritten gleich sind, auch einander gleich sein müssen.

Durch Definition setzen wir noch für das Zahlenpaar (a, b) die neue Eigenschaft fest:

2. Das Zahlenpaar (a, b) ist reell und gleich a, wenn b = 0 vorausgesetzt wird, also

(a, 0) = a.

Hieraus schließt man ohne weiteres, daß derjenige durch die Zahlenpaare (a, b) gebildete Zahlenbegriff einen und nur einen Nullwert, nämlich die reelle Null

(3)

(4)

(0, 0) - 0

besitzen kann.

Die beiden Zahlenpaare (a, b) und (a, — b) heißen konjugiert.

Man nennt das Zahlenpaar go = (a,b) unendlich groß entweder a — + 00 oder a = + ⁰⁰ °der a = + 00 und gleichzeiti g b = + 00 ist; benutzt man auch hier das gewöhnliche Zeichen 00, so hat man demnach ra = 00 in den folgenden drei Fällen

wenn

ra = (+ 00, &), co = (a, + 00), co = (+ 00, + 00)

und sonst nicht.

Was nun Rechnenoperationen mit Zahlenpaaren betrifft, so sollen dieselben in solcher Weise definiert werden, daß diese Operationen in die gewöhnlichen Rechnenoperationen mit reellen Zahlen übergehen, wenn die dort vorkommenden Zahlenpaare, der Definition (3) wegen, in reelle Zahlen übergehen. Behalten wir die gewöhnlichen

Operationszeichen bei, so sind diese Forderungen durch die folgenden Definitionen erfüllt:

3. Die Summe der Zahlenpaare co = (a, b) und co' — (c, d) ist dasjenige durch die Gleichung

(6)

co -j- co — ( a -J- c, b -j- d)

definierte Zahlenpaar.

Aus dieser Definition erhält man unmittelbar den Satz:

I. Die beiden aus der Addition reeller Zahlen bekannten Grundprim ipe gelten auch für die Addition von Zahlenpaaren, nämlich

1. das kommutative Prinzip:

CD

co + co' = co' + co

2. das assoziative Prinzip:

(8)

(co + co') + co" = co -f- (co' + co") = co + co' + co".

Weiter findet man aus (6) die beiden anderen Sätze:

II.    Jedes Zahlenpaar co = (a, b) kann stets als die Summe zweier anderer, von welchen das erste die reelle Zahl a ist, dargestellt werden:

(9)

co = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b).

III.    Sind co = (a, lo) und co'=(c,d) zwei willkürliche endliche Zahlenpaare, so hat die Gleichung

(10)

co -\- x = co' oder x -j- co = co'

in x eine und nur eine Lösung, die man die Differenz zwischen co' und co nennt und als

X = C0 — CO

(11)

bezeichnet.

Setzt man nämlich x = (a, ß), so hat man wegen (6) und (10) a + a = c, b -j- ß = d, woraus folgt:

(12)

co' — co = (c — a, d —

ist in (10) co = co', so erhält man x = 0; ist co' = 0, so setzt man x = — co: es ist demnach

(13)

- (a, &) = (-»; — &)•

4. Das Produkt von co = (a, b) und co' = (c, d) ist dasjenige durch die Gleichung

(14)

coco' = (ac — bd, ad + bc)

bestimmte Zahlenpaar.

Aus dieser Definition erhält man unmittelbar die Sätze:

IY. Die aus der Multiplikation reeller Zahlen bekannten Grund-prinzipe gelten ungeändert für die Multiplikation von Zahlenpaaren, nämlich 1. das kommutative Prinzip:

03 0)' = co' co,

(15)

2. clas assoziative Prinzip:

(16)

(cogY) co" = co (co'co") = coco'co",

3. das distributive Prinzip:

(17)

co (co'-f- co") = cogY -f" coco", man unmittelbar die Gleichheit (15); ist weiter co"= (p, q), so hat man

Aus (14) findet

(coco') co" = (ac — bd, ad -f bc) ■ (p, q), woraus nach einer einfachen Ausrechnung hervorgeht:

(coco') co" = (a, b) • (cp — dq, cq -f- dp)',

aus co' -f- co" = (c p, d + q) erhält man endlich unmittelbar die Formel (17).

V.. Sind co = (a, b) und co' = (c, d) zwei willkürliche endliche Zahlenpaare, so hat die Gleichung

(18)

cox = co' oder xco = co'

für co =4= 0 eine und nur eine Lösung in x; ist co = 0 aber co' =)= 0, so hat man x = oo.

Setzt man in der Tat x = (cc, ß), so erhält man wegen (14) c = au — bß, d = aß + ba,

woraus ohne Mühe hervorgeht:

(19)

ac-\-bd

,ß =

ad — bc

cr + fe² •

Das so bestimmte Zahlenpaar x stellt den Quotienten zwischen co' und co dar und wird als

x = co : co = —

bezeichnet; man hat demnach

(P,d)

ac -\-bd ad — bc\ a²+b²> 7t² + 5²Y

ist speziell go = co'; so findet man x — 1.

Aus der Multiplikationsregel (14) erhält man noch den Satz: VI. Das Quadrat des Zahlenpaares (0₇ b) ist negativ reell und gleich — Ir.

Dadurch erhalten wir weiter

(20)

(a,b)

VII. Die Gleichung

(21)

x² = — 1 = (— 1, 0), x² = x • x, hat zwei und nur zwei Wurzeln, nämlich x = (0, + 1).

Setzt man in der Tat x — (cc,ß), so ist auch x² = (a² — ß², 2 aß), und demnach erhält man a² — ß² = — 1, 2af3 = 0. Aus der letzten dieser Gleichungen ergibt sich demnach entweder a = 0 oder ß = 0; die letzte dieser Lösungen ist indessen unbrauchbar; denn das Quadrat der reellen Zahl (a, 0) = a ist immer positiv; es ist daher a = 0 und demnach ß = + 1.

Aus (14) erhalten wir endlich:

VIII. Das Produkt zweier endlichen Zahlenpaare ist dann und nur dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Nullwerden des Produkts (a, h) • (c, d) ist nämlich

(22)

ad -f- bc = 0, ac — bd = 0; ist nun (a, b) =4= 0 also a² -f- b² 4= 0, so findet man aus (22) c = 0 und d = 0, woraus (c, d) = 0 folgt.

29.    Durch das Zahlenpaar (a, b) definiert man einen Zahlenbegriff, indem man die beiden Definitionen § 16, 1 und 3 beibehält, während 2 und 4 durch die folgenden (a, a) = a und (a, b) (c, d) = (ac, bd) ersetzt werden. Es ist zu beweisen, daß die gewöhnlichen Grundprinzipe der Rechnenoperationen auch für diesen Zahlenbegriff gelten, daß aber ein Produkt Null werden kann, ohne daß mindestens einer der Faktoren verschwindet. Gestattet dieser Zahlenbegriff eine Lösung der Gleichung x² = — 1 ?

30.    Man soll denjenigen Zahlenbegriflf untersuchen, der aus dem Zahlenpaare (a, b) gebildet wird, wenn man die Definitionen der vorhergehenden Aufgabe aufrecht hält, nur verlangt, daß die Multiplikation durch die Gleichung (a, b) • (c, d) = (ad, bc) definiert wird.

31.    Für Zahlenpaare, die die Bedingungen § 16, 1, 2 und 3 befriedigen, soll man die Multiplikationsregel (a, b) (c, d) = (u, v), wo der Kürze halber

u = aac -f- ßad -j- ybc -f- öbd, v = a± ac-{- ßx ad-\-yt bc + ^ bd gesetzt worden sind, in solcher Weise bestimmen, daß die Bedingungen

(a, b) (c, d) = (c, d) (a,b) ; (a, 0)²= a²; (a, 0) (0, b)=(0,ab) ; (0, b)²= — b2 erfüllt werden.

32. Man soll die Multiplikationsregel der vorhergehenden Aufgabe in solcher Weise bestimmen, daß die Multiplikation kommutativ, assoziativ und distributiv wird, und daß außerdem ein Produkt zweier endlichen Faktoren nur verschwinden kann, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.

§ 17. Absoluter Betrag und Charakteristik komplexer Zahlen.

Die in § 16 eingeführten Zahlen werden gewöhnlich komplex genannt; man pflegt in diesen Zahlenbegriff die Bezeichnung (0, 1 )-», (0,-1)--»; (+;)*=-1 einzuführen, und die Multiplikationsregel ergibt dann ohne weiteres

(0, ± b) - ± ib, woraus unter Anwendung von § 16, (9)

(a, + b) = a + ib, folgt, während die Definitionen der Rechnenoperationen sich nun folgendermaßen darstellen lassen:

(a -f- ib) -j- (c -j⁻ id) = et -f- c 4 i(b 4 d)

(a 4 ib) — (c 4 id) = a — c 4 i(b — d)

(a 4 ib) (c 4 id) = ac — bd 4 i(ad 4 bc)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(?)

a 4 ib

ac-\-bd — i(ad — bc)

c 4 id

c² 4 d²

Aus (4) und (6) erhält man unmittelbar den Satz:

I. Die Summe der zwei konjugierten Zahlen a 4 ib ist reell und gleich 2a, während das Produkt dieser beiden Zahlen positiv und gleich a² 4 b² ist.

Bei der komplexen Zahl x = a 4 ib nennt man a und b die reelle bzw. die imaginäre Komponente der Zahl x, und man setzt gewöhnlich

a = 91(4), b = $(#) = — 9l(*4).

Wir haben nunmehr den absoluten Betrag |#| der komplexen Zahl x = a 4 ib zu definieren, und dies soll in solcher Weise geschehen, daß wir dadurch für b = 0 den gewöhnlichen absoluten Betrag J a | der reellen Zahl a finden ; wir setzen daher

(8)

(9)

M = +Ya² 4&²;

denn dadurch erhalten wir, für & = 0, \ x\ = \a\ = Y<P-

Mit dieser Definition des absoluten Betrages gelten die in § 1 entwickelten Formeln ungeändert allgemein, man hat in der Tat die beiden Sätze:

II. Der absolute Betrag der Summe zweier komplexen Zahlen x = a + ib und y — c + id kann niemals größer als | x [ + j y | und niemals kleiner als j | x | — | y j j sein.

Aus (9) erhält man ohne weiteres (I x ! + 12/|)2== ß2 + b² + c² + d² + 2}/(a² + b²) (c² -f d²); weiter hat man wegen (4) und (9)

!x + V I² = (a + c)² + Q> + df = a² + b² -f- c² + d² + 2(ac + bd); nun ist aber immer

| ac | -j- ! bd j < -f-]/(a² + b'²) (c² + d²); denn durch Quadrierung erhält man

2j abcd | ^ a²d² + b²c²,

und dies ist offenbar richtig, weil (ad + bc)² 0 sein muß; damit sind aber die beiden fundamentalen Ungleichungen

(10)

11 XI - I y 11 ^,\x + y\<^\x\ + \y\

bewiesen.

III. Der absolute Betrag eines Produkts ist dem Produkte der absoluten Beträge der einzelnen Faktoren gleich:

Die Multiplikationsregel (6) ergibt in der Tat unmittelbar (11), wenn man die offenbare Identität

(a² + b²) (c² + d²) = (ac — bd)² -f- (ad -f- bc)²

(11)

(12)

anwendet.

Setzt man für n positiv ganz, x willkürlich komplex xn = x • x • x • • • • (n Faktoren),

so erhält man wegen (11)

(13)

00^ J = '• cc ^

• Ist r der absolute Betrag der komplexen Zahl x = a -j- ib, so ergibt sich wegen (6):

(14)

x==a + ib = r(^ + i^y,

der zu r gehörige Faktor wird die Charakteristik der komplexen Zahl x genannt; eine Charakteristik hat daher immer den absoluten Betrag 1.

Aus (14) ersieht man, daß die Gleichheit bei der höheren Grenze in (10) dann und nur dann anwendbar ist, wenn die Addenden x und y dieselbe Charakteristik haben, während die Gleichheit bei der unteren Grenze dann und nur dann anwendbar sein kann, wenn die

Charakteristiken der beiden Addenden einander gleich mit entgegengesetztem Zeichen sind.

33. Man hat die Formel

zu beweisen und die Zeichen rechter Hand zu diskutieren.

34.    Es ist zu beweisen, daß zwei konjugierte komplexe Zahlen immer Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten sind. Wie heißt der umgekehrte Satz und wie wird derselbe bewiesen?

35.    Unter Anwendung der Formel § 17, (12) soll man beweisen, daß das Produkt einer willkürlichen Zahl von Faktoren von der Form a² -j- b²c, wo a² und b² Quadratzahlen sind, während c stets denselben Wert hat, immer eine Zahl derselben Form wird. Beispiele c = 1, c = — 1.

§ 18. Zahlenfolgen mit komplexen Elementen.

Für die Zahlenfolge mit komplexen Elementen

(1)

% + ih, % +    + ihn>

werden dieselben Bezeichnungen konvergent, divergent und oszillierend, mit derselben Bedeutung wie bei Zahlenfolgen mit reellen Elementen angewendet.

(2)

Die Zahlenfolge (1) ist demnach konvergent, wenn der Grenzwert A = lim (an + ibn)

n = oo

endlich und bestimmt ist, divergent, wenn ] an + ibn\ mit n über jede Grenze hinaus wächst, und ossiliierend, wenn sie weder konvergiert noch divergiert.

Die Gleichung (2) hat natürlich dieselbe Bedeutung wie bei Zahlenfolgen mit reellen Elementen; d. h. bezeichnet e eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe, so soll es möglich sein eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n^A N immer

(3)

wird.

Beispiel 1. Die Zahlenfolge 1, x, x², x*,-'-, xn, ••• ist für x | < 1 konvergent mit dem Grenzwerte 0, für ] x \ > 1 aber divergent.

Während der Grenzwert einer reellen Zahlenfolge immer reell sein muß, so braucht der Grenzwert einer komplexen Zahlenfolge nicht selbst komplex zu sein.

Beispiel 2. Die geometrische Reihe a aq aq² ? ■ • • ist für | q | < 1 konvergent mit der Summe a : (1 — q), für | q | > 1 aber divergent.

Beispiel 3. Die Zahlenfolge mit komplexen Elementen

¹ + T’ ¹ + ¥> ¹ + hat den reellen Grenzwert 1.

Über konvergente Zahlenfolgen oder Fundamentalreihen mit komplexen Elementen gilt der Satz:

I. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Zahlenfolge (1) mit komplexen Elementen besteht darin, daß die Zahlenfolgen mit reellen Elementen

h,

0)

beide konvergieren; hat man

(?)

so ist auch

lim an = A, lim bn = B,

n — oo

n = co

(6)

lim (an + ibn) = A + iB.

U = GO

Ist die Zahlenfolge (1) konvergent, mit dem Grenzwerte A -j- iB} so hat man wegen (3) für nf> N immer

(7)

| A + iB — (an + ibn) j < £; da nun keiner der absoluten Beträge | A — an \ und | B — bn \ größer als

Ä + iB - (a. + «„) | - + V(Ä - a,)² +(B- bj

(8)

s -1>„ I <£;

sein kann, so erhält man aus (7) für n^> N immer I A ~ an\ <

d. h. die beiden Zahlenfolgen (4) konvergieren mit den Grenzwerten A und B.

Sind umgekehrt die Zahlenfolgen (4) mit den Grenzwerten A und B konvergent, so erhält man wegen (8) für n^> N immer

I A + iB — (an + ibn) \^\A — an\ + \B — bn \ <2s-,

d. h. die Zahlenfolge (1) ist konvergent und hat den Grenzwert A 4- iB.

Aus I folgert man unmittelbar, daß das für reelle Zahlenfolgen bewiesene allgemeine Konvergenzprinzip ungeändert für Fundamenta lreihen mit komplexen Elementen gilt; also:

II. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Zahlenfolge (1) mit willkürlichen komplexen Elementen besteht darin, daß es für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe s möglich ist eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n^N immer

\an+P +M

n +p

tvird, indem p eine willkürliche positive ganze Zahl bedeutet.

(9)

36. Man soll die Zahlenfolge, deren Elemente für n = 0, 1, 2, 3, • • • aus den Ausdrücken

i is

®«r + s

l<s<r

»-fl ¹ r ?    —    =

gebildet werden, untersuchen; r bedeutet eine bestimmte positive ganze Zahl.

37. Man soll die in § 15 bewiesenen Sätze dahin verallgemeinern, daß die Zahlenfolge

komplex ist.

a₀, ai} a₂, • • •, an, •

§ 19. Sätze von Cauchy und Jensen.

Uber Zahlenfolgen mit willkürlichen Elementen hat Jensen¹) den folgenden fundamentalen Satz als Verallgemeinerung eines Grenzsatzes von Cauchy gegeben:

I. Wenn die Zahlenfolge

$i, a₂, as, • • •, an,

die beiden Bedingungen :

(1)

lim | an | = oo,

n — co

und für jedes n

(2)    | «l ! + | ^2 — ai ! + i a3 — a2 \ + ‘ ’ ‘ + I an ~ °n-1 I < I an I ?

wo B eine feste bestimmte von n unabhängige Zahl bezeichnet, befriedigt, wenn außerdem die Fundamentalreihe

9h > 9h> 9' ‘ ’f 9h?

1) Tidsskrift for Mathematik (5) Bd. 2, p. 81—84, 1884. Comptes rendus Bd. 106. p. 833—836; 1888.

den Grenzwert hat, also ivenn

(3)

® = lim <pn

n = oc

endlich und bestimmt ist, so hat man immer den anderen Grenzwert:

(h

0 _ Um

71 — CG '    Ctn    /

Setzt man der Kürze halber

<PP = QP> lim Qu = °?

71= CG

so zeigt die offenbare Identität

«» = ai + 0₂ - %) + («3 -«*) + ••• + («,-

daß (4) mit dieser andern Formel

(5)

(6)

0    - lim (

71= GO ^

ai Pl 4* (a3 ~' ai) + ' ‘ ’ 4~ (an- an_ ₁

a

71

identisch wird, so daß uns nur übrig bleibt, die Richtigkeit dieser letzten Formel nachzuweisen.

Zu diesem Zwecke setzen wir der Kürze halber

«1 I + I «S“ % I + I «S“ a2 I 4-----k I an~an-l I = An

und erhalten somit wegen (2) für jedes n

(8)

die Zahlenfolge

A^, -idg> A3) ‘    An, ' ' '

ist somit monoton wachsend und divergent. Für jedes vorgegebene hinlänglich große n muß es daher möglich sein eine entsprechende positive ganze Zahl m zu bestimmen, so daß

A²m+1 >An> Ai sein muß; man hat daher wohl n > m, aber m muß jedoch mit n über jede Grenze hinauswachsen.

Da nun wegen (7) Ap+1— A = | ap+1—a \ ist, so hat man für den absoluten Betrag

(9)

ai ⁽T + (a₂ — ai)P₂ H-----Kaw~ Qn

a

71

die höhere Grenze

AL <

71 =

woraus wegen (8) folgt:

“J

(10) Mn ( I Ql | A2 + ! @2 I (A2 ~ A-d + • ” “h i Qn I (An ~~ An-]))•

Es sei nun Qrn die obere Grenze der positiven Zahlen

: Qx\>

und g'ń die obere Grenze der weiteren positiven Zahlen

\Qtn+l\> I?

dann ergibt sich wegen (10)

’> I Qn I ?

¹

   Analyse algébrique, p.p. 132, 156; 1821.

²

   Œuvres Bd. II, p. 198.

³

   Man vgl. z. B. Antrittsprogramm der Univ. Tübingen p. 3. Abhandlungen der Münchener Akademie Bd. 12, p. 125; 1876. Allgemeine Punktionentheorie Bd. I, p. 266; 1881.

⁴

   Journal für Mathematik Bd. 1, p. 314; 1826. Œuvres Bd. I, p. 222.

s-*: u

weiter hat man An Afn, Hn > An— Am, und somit erhält man

Mn

da nun der Definition der Zahlen Qn und q" wegen lim = 0, lim p" ’= 0

m = co m    n = co

ist, so ist (6) und damit auch (4) bewiesen.

Die große Allgemeinheit des Satzes I liegt auf der Hand; er ist z. B. anwendbar, falls die Zahlenfolge

fl&l,    ‘

mit positiven Elementen monoton wachsend und divergent ist.

Setzt man

(«» “ <*n-i)<Pn = K— K-i> ax<Px = K

so ergibt sich

<h<Pl+ («2— «l)^2 + • • • + {an-an-l)<Pn=K,

woraus die Formel

(b —b ’ lim    »-¹

„ = 00

(H)

= lim (-5- ,

falls der Grenzwert linker Hand endlich und bestimmt ist, hergeleitet werden kann.

Aus (11) findet man für an= n den Satz von Cauchy¹):

(12)

H. Hat die Zahlenfolge bx, &₂, b₃, • • • bn, • • • die Eigenschaft, daß lim (bn bn_f)

n = co endlich und bestimmt ist, so hat man

(13)

lim (i ’⁶») “ lim (bn~hn-x)-

w = go'*/    '    n = o©

Stolz²) hat einen andern Spezialfall des Jens en sehen Satzes gegeben, während Cesàro³) den allgemeinen Satz wiedergefunden hat. Der oben gegebene Beweis rührt von Jens en her; A. Mikkelsen-Vendsyssel⁴) hat einen andern Beweis mitgeteilt, der auch von Knopp⁵) beinahe wortgetreu gefunden und publiziert worden ist; dieser Beweis geht von der Formel (11) aus.

i + ]A

38.    Man hat den Satz § 19, I für an = Yn, cpn anzuwenden.

39.    Für positive ganze p hat man die Formel

lim

n— co

( ■&*

rH I tH

bS; M.

•6)'+-+ •

œ)

‘e 11-.

zu beweisen.

Kapitel V.

Anwendungen auf die Elementartranszendenten.

§ 20. Die Exponentialfunktion ex.

Als Anwendungen unserer vorhergehenden Theorie der Fundamentalreihen wollen wir die Zahlenfolge

(1)

s₀(x), S₁ (x), S₂(x), • • Sn0), •

wo für jedes n

gesetzt worden ist, untersuchen. Wir haben dann vor allem den folgenden Satz zu beweisen:

I. Die Zahlenfolge (1) ist für jeden endlichen Wert von x eine Fundamentalreihe; der Grenzwert von (2) heißt die Exponentialfunktion und wird als ex bezeichnet; es ist also

(2)

= ² + ^ + fv + fr + • * • +

Dem allgemeinen Konvergenzprinzip zufolge haben wir für n hinlänglich groß, also z. B. n ! x I, die DifFerenz

untersuchen; da offenbar für p^>.2 immer

zu

(3)

Sn+P(x) ~ Sn(x) =

(« + !)! ~r in -f 2)!

xn+p

(n + 2){n + 3) • • • {n p) > (n -f l)p~¹

ist, so hat man wegen (3)

ls«+,0*D-£«0*0l<

x\n + 1

(n+ 1)!

woraus durch Summation der endlichen geometrischen Reihe, die durch die entsprechende unendliche ersetzt wird, was offenbar erlaubt ist, weil sämtliche Glieder positiv sind, folgt:

(4)

n+ 1

n-1- 1 — |a;|

Es sei nun k eine solche positive ganze Zahl, daß k | x | < k -f- 1 ist; dann hat man

| x |» + 1    | x |    |*^[

kl    k-1- 1 k -f- 2

n-k

n\

k + lj ’

woraus deutlich hervorgeht, daß (1) eine Fundamentalreihe sein muß; denn k ist ja eine endliche und bestimmte Zahl.

Will man den Wert von ex annäherungsweise berechnen, so wendet man die endliche Summe Sn(x) als Annäherungswert an; die Formel (4) ergibt dann eine höhere Grenze des absoluten Betrages des so begangenen Fehlers.

Yon den elementaren Rechnenoperationen mit Fundamentalreihen liefert nur die Multiplikation ein interessantes Resultat für (1). Bei der Untersuchung der Fundamentalreihe mit dem allgemeinen Elemente

)(1 + lT ⁺ 2!    ⁺

führen wir die Multiplikation rechter Hand aus und betrachten zuerst die Glieder von der Form

x⁹ yp~9 ąl' {p — q)\

die Summe dieser Glieder wird offenbar für jedes p gleich

(6)

-«)■

xqyp 9

pi

xn

,    2 = 0, 1, 2, •• -, p, o <p£ n-

0* + y) p\

und die Summe sämtlicher Glieder (6) wird daher genau Sn(x -j- y). Es bleibt uns demnach nur übrig die Glieder von der Form

(7)

P yl

y, ą = n, n — 1, • •-, n — p + 1,    l^p^»

zu untersuchen; diese Glieder kommen offenbar sämtlich in der Differenz

(8)

+ y) - Sn(x + y)

ohne jedoch diese Differenz vollständig zu erschöpfen; in (7) kommt nämlich z. B. nur das Glied xnyn, in (8) aber sämtliche Glieder von (x -f- y)n vor.

Da nun die Glieder in (8) für positive x und y sämtlich positiv sind, so ist der absolute Betrag von (8) in diesem Falle gleich der Summe der absoluten Beträge dieser Glieder; setzt man daher allgemein a = \ x\, b = | y |, so hat man immer

I Sn{x)Sn(y) - Sn(x + y)\< S2n(a + b) - Sn(a + 6), woraus wegen I der Satz folgt:

II. Sind x und y willkürliche endliche Zahlen, so haben die beiden Fundamentalreihen

vor

£oO)£₀0), S^S^y), • • Sn(x)SJy), ■ • •

+ y)>    + y)> • • '} Sn(x + y)i

denselben Grenzwert; es ist also immer

ex.ey = ex + y.

(9)

Die Analogie dieser Formel mit einem elementaren Potenzsatze liegt auf der Hand und ist offenbar die Ursache der sonderbaren Bezeichnung ex für den Grenzwert der Fundamentalreihe (1). Diese Analogie kann indessen noch viel weiter geführt werden; aus erhält man in der Tat, indem n eine positive ganze Zahl bezeichnet:

(9)

(10)

(ex)n = e“x.

(n)

Aus der Definition (2) findet III. Ist x i 1, so hat man die Ungleichungen 1 — 2 |æ| < |e*| < 1 + 2 |a?|.

man

den speziellen Satz:

Man hat in der Tat

l„|^i + w + i|L ₊ ^! ₊ ..._eW

I«*I>1~1T

weiter ist offenbar n\ 2”~¹ und I # j” <^ | Æ I; also hat man

(12)

und

x I³

2!

3!

1 - kl (l + | + i + •• •)<|«'| <! + |*| -(i + l + î + •••),

und das Resultat (11) kann nun durch Summation der geometrischen Reihen hergeleitet werden.

Aus (1) findet man, für jedes n, Sn(0) = 1; es ist daher auch

(13)

e°=l,

und diese Gleichung ist sicher für jeden anderen Wert von x, welcher der Bedingung | x |    ^ genügt, unmöglich.

Setzt man daher in (9) y = — x, so ergibt sich die Relation

(14)

-x ¹

p •ł' - -

e* ’

also eine neue Analogie mit dem elementaren Potenzbegriffe.

Aus (11) findet man noch den wichtigen Satz:

IV. Ist die Zahlenfolge

(15)

cct, city cc₃, • • *, ccn, eine willkürliche Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte a, so ist die neue Folge

(16)

ea°, eai, e“², e“s, • • • e“» • • • auch eine Fundamentalreihe, und ihr Grenzivert ist gleich ea.

Man hat in der Tat wegen (9) und (11) für alle hinlänglich

großen n

(17) \ean+p— ean j = j ean(ean+p an— 1) j < 2e\an I • j ccn+p— Cin I,

woraus deutlich hervorgeht, daß die Folge (16) eine Fundamentalreihe sein muß, wenn dies mit (15) der Fall ist.

Ist nun weiter für n^N immer j ctn+p— an j < s, so hat man wegen § 10, II auch für n~^>N immer ja — ccn\<C2s, woraus wegen (17)

; ßa — p,an j    4c I an I

hervorgeht; die Fundamentalreihe (16) hat also den Grenzwert ea.

Wir haben noch einige Eigenschaften von ex für reelle x näher zu betrachten:

V. Sind a und h reell, und hat man a > h, so ist auch

(18)

ea > eb.

Es ist in der Tat wegen (9) ea — eb = eb(ea~b— 1); nun folgert man unmittelbar aus (2), daß ex—1 positiv ist, wenn x selbst positiv angenommen wird; aus (14) geht dann hervor, daß e~x auch positiv, für positive x, sein muß, und damit ist (18) bewiesen.

YL Für positive x hat man die Ungleichungen:

(19)

.c"

ex>—,. e~x<C

p\

wo p eine willkürliche endliche positive ganze Zahl bezeichnet.

Die erste und dritte dieser Ungleichungen sind unmittelbare Folgen der Definition (2), weil wir nur eins oder zwei Glieder der Summe rechter Hand mitgenommen haben; die zweite Ungleichung ist dann eine unmittelbare Folge der ersten, wenn man die Identität (14) anwendet.

YII. Ist x eine willkürliche endliche positive Größe, so hat man

^<1-*-•<*.

Aus der letzten Ungleichung (19) findet man unmittelbar rT->e~x, 1 - t-J— = Kl - e~x; ist weiter 0 < x < 1, so hat man wegen (2) e-*= 1 — woraus unmittelbar

(20)

, /X²    æ⁸\ . /x* x\ .

x + (2! - 3!) + (4! “ 5ï) + • • J

e~x> 1 — x

hergeleitet werden kann; denn die eingeklammerten Differenzen sind sämtlich positiv; ist aber x 1, so sind die Ungleichungen (21) einleuchtend; denn man hat dann immer e~x^>0 und 1 — x 0.

YIII. Ist x reell, und — 1<^<^ + 1 so hat man die Ungleichungen

x < ex — 1 < , x - • l — x

(21)

(22)

Man hat in der Tat

ex

1 — e~x<C x

-i + * + £(i+! +

3 ■ 4

da nun die eingeklammerte Größe rechter Hand stets positiv ist für — 1 æ <[ -f 1, so hat man eæ> 1 + x und e~x > 1 — x, also ex < 1 : (1 — x), woraus (22) unmittelbar folgt.

Die unendliche Summe rechter Hand in (2) ist von Newton¹) in die Analysis eingeführt worden; Euler²) setzt e¹=e; es ist also

e “ ² + è + à + à + ei + ' "

1)    De analysi per aequationes (1669). Opuscula Newtoni, Bd. I. p. 22—23.

2)    Commentarii Academiae Petropolitanae ad annum 1737. Bd. 9, p. 187.

40. Sind n und p positiv ganz und w>p, so findet man durch vollständige Induktion die Ungleichungen n(n — 1 )(n — 2) • • • (n —p -f-1)

>1-

P(P~ 1)

np

41. Bedeutet # eine willkürliche endliche Zahl, während n und p positiv ganz sind, so daß n >jp 2 ist, so hat man

o-o

p! | = 2 n ■ (p — 2)!

42. Ist # eine willkürliche endliche Zahl, so ist die Folge

-,

eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte ex. (Euler)⁶). 43. Ist n positiv ganz, # willkürlich endlich, so hat man den Grenzwert

lim ((1 +

44. Es ist zu beweisen, daß die Zahlenfolge in Aufgabe 42 monoton wachsend ist, wenn # positiv angenommen wird.

. 45. Man hat zu beweisen, daß die Zahl e irrational ist. (Euler)⁷).

= e~x.

Die Funktionen cos# und sin#.

§ 21.

Ans der Fundamentalreihe § 20, (1) bilden wir zwei neue mit dem allgemeinen Elemente

Sn{ix) + Sn{-ix)

2 ⁶ Sn{ix)-Sn(-ix)

X⁸

(- l)mx2rn (2 m)!

(- l)mx2 (2w-J-1)! J

----+

Ti“ sl

wo der Kürze halber 2 m = n oder 2m — n — 1 bzw. 2m -\- Î = nĄ-1 oder 2m -f- 1 = n gesetzt worden ist, je nachdem n gerade oder ungerade vorausgesetzt wird; bezeichnen nun cos# und sin# die Grenzwerte dieser Fundamentalreihen, so hat man demnach

2*

(1)

cos # = 1 —

Æ⁷

X⁶

2!    4!

----+

(- 1)"*

(2w)!

(2)

2n + 1

æs

(- 1)"«

tH

3 !    5 !    (2n + 1)!

und wegen § 20, (1) und (2) die Formeln von Euler⁸):

sm# =

woraus die weiteren Relationen

(4)

(3)

COS X =

ix i „—ix

e -f- e

sin X —

eix_-ix

eix = cos x + i sin#, e~ix = cos x — i sin x unmittelbar hergeleitet werden können.

Aus § 20, (9) erhält man wegen (4) cos (# -j- y) + i sin (# -f- y) — cos x cos y — sin x sin y + i (sin x cos y -f- cos x sin y),

woraus die Formeln

j cos (# + y) = cos x cos y — sin x sin y ! sin (# + y) = sin x cos y -f- cos x sin y

unmittelbar entfließen; weiter hat man aus der Definition der Fundamentalreihen, -welche cos# und sin# als Grenzwerte haben (6) cos (— #) = cos x, sin (— #) = — sin x, cos 0 = 1 Aus (3) ergibt sich ohne weiteres, daß cos²# -f sin²# = 1

sein muß; da nun sowohl cos# als sin# für reelle # beide reell sein müssen, hat man wegen (7) für solche Werte von # immer — 1 < cos # <, -f 1,    — 1 < sin # < -F 1.

Aus (1) und (2) findet man die beiden Ungleichungen

i ^ \x\s

-*I<T-

(5)

(7)

(8)

(9)

sm#

20

20 —

l#:²<20

sinO = 0.

(10)

12 — | X |

|*|²< 12.

Man hat in der Tat

I ^ \x ^ sm # — # <    4-

¹ = 3!

ov »

(2m + 1)!

weiter ist, für n 2, 2n(2n + 1)    20, und also hat

1 • 2 • 3 • 4 • 5 • • • 2n • (2n + 1) > 6 • 20n~l,

man

woraus folgt:

I sin # —

I /y» ! 3 /    [ /y* I 2    I /y* 1 4    \    |/v»J3

*l<iT-(¹ + i^- +w+ *••)“ 6 •

20

20 — J £c

in ganz ähnlicher Weise leitet man nun auch die Ungleichung (10) ab. Aus (3) findet man wegen § 20, IV den ähnlichen Satz:

I. Ist die Zahlenfolge

eine willkürliche Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte a, so sind die beiden Zahlenfolgen

cos cc₀, cos ax, cos «₂, . . ., cos ccn, ... sina₀, sinccj, sin a₂, . . ., sinaw, ... Fundamentalreihen mit dem Grenzwerte cos a und sin a. Ist nun weiter 0 ^ x ]/2, so hat man wegen (1)

(12)

COSÆ

Ö ₊ .

6!/ ‘

••>0;

andererseits ergibt sich aber

2⁸\

bT/ — '

••<0;

die Zahlen cc₀ = )/2, ß₀ = 2 haben daher die Eigenschaften, daß cos x > 0,    0 x ccQ, cos /3₀ < 0

ist. Zwischen cc₀ und ß₀ schalten wir zwei neue Zahlen ax und ßx ein, so daß ax ^ a₀, ßt< ßQ, ßx > ax und ßx — ax <; y (ß₀ — cc₀) ist, und so daß man

cos#

hat, usw.

>0,    0 < x ax,

cos ßx < 0

(13)

Die durch dieses Verfahren bestimmten Annäherungsreihen ßo> ßv ß% > ’ ' ' > ßn ‘ ’

«0, ccx, cc₂, • * • ; 0Cn • • haben daher die Eigenschaft, daß für jedes n

cos x > 0,    0 x <i an, cos ßn < 0

(14)

ist.

Bezeichnet nun yjr die Grenzzahl der Annäherungsreihen (13),

so ist diese Grenzzahl gemeinsam für alle diejenigen Annäherungsreihen, deren Elemente den Bedingungen (14) genügen.

Dem Satze I zufolge haben die beiden Fundamentalreihen (1 )    cosß₀, cosßx, cosß₂, • • •, cosßn,---

(1 )    cos a₀, cos ccx, cos a₂, ■ • •, cos an, ■ • •

den gemeinsamen Grenzwert cos y jc; dieser Grenzwert muß daher

gleich Null sein; denn die Elemente der Fundamentalreihe (15) sind sämtlich negativ, diejenigen von (16) aber sämtlich positiv; es ist demnach

(17)

cos

= 0.

Aus (2) findet man sin x > 0 für 0 < x 2; es ist daher wegen (7) sin ~ = -f 1,

(18)

und somit erhält man aus (5)

(19)

cos

(x ± I) = =F sina?,

in (x + f") ⁼ ± cos

woraus die beiden anderen Formelpaare

cos (a? + sr) = — cos a?, sin (a? + ri) = — sin a? cos ix -f 2jt) = cos a?, sin (a? + 2%) — sina? hergeleitet werden können; aus (20) ergibt sich speziell COS # = — 1, sinj£=0.

Ganz wie in der elementaren Goniometrie leitet man aus die anderen Formeln

(20)

(21)

(22)

(5)

sin a — sin b = 2 sin a - &

7 o • a — b . a 4- b cos a — cos b = — 2 sin —-— • sin

ab, woraus ohne Mühe die wichtigen Ungleichungen

(22 a)

(23)

(24)

• COS

a -j- b

sin a > sin &,    + ^ ^ a > & ^ —

cos a < cos &,

% 0

heryorgehen; denn man hat wegen (6) und (14) sina?>0 für 0 < x < it, und cos x > 0 für — y < x < -j- y •

Aus diesen Bemerkungen beweisen wir nunmehr den wichtigen

Satz:

II. Die drei Gleichungen

(25) cos ix + cj) = cos x, sin (a? + ca) = sin x, ex+iu> = ex sind dann und nur dann für jeden Wert von x richtig, wenn co = 2 p tc ist, wo p eine willkürliche ganze Zahl bedeutet.

Daß die Gleichungen (25) für m = 2pjc, x willkürlich, richtig sind, geht unmittelbar aus (21) und (4) hervor. Setzt man weiter o = a + ib, wo a und b reell sind, so erhält man aus der letzten Gleichung (25)

eia-b _ e-b (cos a _j_ i sin«) = 1, e~⁶cosa=l, e~⁶sina = 0; da nun für b reell immer e~b2> 0 sein muß, so hat man sina == 0, woraus wegen (22) und (23) a = pit, p ganz, und somit ergibt sich e~b = (— 1)^, so daß p gerade und b = 0 sein muß.

Aus II findet man nun ohne Mühe den folgenden Satz:

III. Die Gleichungen cos x = 0 und sin x — 0 sind dann und nur

dann möglich, wenn x — — n -f- pjt bzw. x = pn ist, wo p eine willkürliche ganze Zahl bedeutet.

Ist nämlich, z. B. cos o = 0, so findet man ganz wie vorher cos (x -fi 4m) = cos x, woraus die Richtigkeit unserer Behauptung unmittelbar hervorgeht.

Wir setzen noch wie in der elementaren Goniometrie

sin x cos#

(26)

tg# =

eix— e~ix

i(eix + e~ix)

--* +

ei3x + 1

(27)

Q,0tx —

COS X

sin x

_ i(eix + e~ix)

eix_e-ix

e^x-l

§ 22. Die Multiplikation komplexer Zahlen. Die geometrische Reihe.

Aus den Ungleichungen § 21, (23) und (24) ergibt sich, daß die Gleichungen

(1)

cos x = a,

-l<a<+1

sm® = ö,

eine und nur eine Lösung x = v₁ bzw. x = v₂ besitzen, so daß 0 vx <( n bzw. —

\x<V2< + l K ist.

Daß jedenfalls nicht mehr als eine Lösung die obengenannten Bedingungen befriedigen kann, geht unmittelbar aus den obengenannten Ungleichungen hervor; daß aber auch eine solche Lösung wirklich existiert, wird durch das gewöhnliche Verfahren bewiesen.

Betrachten wir z. B. die Gleichung cos x = a, so können wir die beiden extremen Fälle a = + 1 und — 1 übergehen; denn für diese Werte kennen wir schon alle Lösungen unserer Gleichung. Es seien dann a₀ und ß₀ zwei Zahlen, die so gewählt sind, daß 7t > cc₀ > ß₀ > 0 und cos cc₀ < a < cos ß₀ ist; ist das arithmetische Mittel mx zwischen aQ und ß₀, also 2ą = «₀ + ß₀, eine Lösung der Gleichung, so sind wir damit fertig, wenn nicht, so ist z. B. cos mx < a; dadurch haben wir die zwei neuen Zahlen ce₁ und ßx in solcher Weise bestimmt, daß a₀ > ax = mt > ßx = ß₀, cos ccx < a < cos ßx

und ax — ßx = ~ (a₀ — ß₀) ist; nun wird das arithmetische Mittel m₂

zwischen ccx und ßx eingeführt usw.

Die durch das angedeutete Verfahren bestimmten Annäherungsreihen

ist; denn die Summe der Quadrate dieser beiden Zahlen ist ja der Einheit gleich; dadurch erhalten wir die folgende Darstellung der Zahl #

(7)

# = r (cos v + i sin v) — r • e*®;

die Zahl v oder allgemeiner v -f 2pjt heißt die Phase der Zahl #. Es sei nunmehr

(8)

#i = ax + ihx = rx ■ eivi

eine komplexe Zahl; dann erhalten wir die viel bequemere Multiplikationsregel

(9)

CC₀, CClf CC₂, • ' ’j ocn,

ßot ßl’ ß%> ' ' ’> ßnJ

haben dann die Eigenschaft, daß für jedes n

cosan<a< cosßn

ist; bezeichnet v die Grenzzahl der Annäherungsreihen (2), so haben wegen § 21, I. die beiden Fundamentalreihen

cos ß₀, cos ft, cos ß₂, • • -, cos ßn, • • • cosa₀, cos<q, cosa₂, • • -, cosan, • • •

den gemeinsamen Grenzwert cos t?; andererseits ist dieser Grenzwert aber vermöge (3) auch gleich a, also hat man

cos v = a.

(2)

(3)

ao Po

Es seien nun vx und v₂ die oben angedeuteten Lösungen der Gleichungen (1); dann werden die vollständigen Lösungen dieser Gleichungen

(4)

x = (— iyv,+pit,

x = + vx 4- 2p%, wo p eine willkürliche ganze Zahl bedeutet.

Sind sowohl cos# als sin# bekannt, so ist # selbst bis auf einen Vielfaches von 2:i bestimmt.

Betrachten wir nunmehr die komplexe Zahl

(5)

r = +]/a²+

so kann man eine Zahl v so bestimmen, daß

sinv =

(6)

COS V = —

##₁ — rrxë^v+vd = rrx • (cos (v -j- vx) + i sin (v + «q));

die natürlich wegen (6) und der entsprechenden zur Zahl xx gehörigen Formeln mit § 16, (14) oder § 17, (6) identisch wird.

Für positive ganze n erhält man aus (9) die sogenannte Formel von Moivre:

(10)

(r (cos v -f- i sin v))n = rn (cos nv + * sin nv),

die jedoch auch für komplexe v gültig bleibt; durch die Formel (10) kann man ganz in derselben Weise wie in der elementaren Arithmetik die binomische Gleichung xn = a auflösen.

Als eine andere Anwendung der Formel (10) wollen wir die geometrische Reihe

(11)

\    2v    fn~ i ë^n_-

_rneinv

1 - reiv

für ein unbegrenzt wachsendes n untersuchen. Ist j r | < 1, so hat man

1 -f- rév -j- rV²® -f- r³eîS® -(-•••==

1 — r cosv -f- ir sinv

1 — 2 r cosv 4- r²

1 - reiv

woraus, indem man — v anstatt v einführt und die beiden so erhaltenen Formeln addiert und subtrahiert, folgt:

(12)

1 + r cos v -f- r²cos2v + f³cos 3«? -)----

1 — r cosv

(13)

1 — 2r cosv -f- r2 r sinv 1 — 2r cosv -j- v2 7

r sin v -f- r² sin 2v -f- ^ sin 3v Ą----

diese beiden Formeln, die man Euler¹) verdankt, sind also anwendbar für j r j < 1, gleichviel ob r reell oder komplex ist.

Ist 1, so wächst der absolute Betrag unserer Reihensumme mit n über jede Grenze hinaus; ist endlich r= 1 aber vĄ=2pit, so wird unsere Summe stets endlich aber unbestimmt; hat man

(14)    - f,

wo der Bruch rechter Hand irreduzibel ist, so hat unsere Reihensumme q verschiedene Werte je nachdem n durch Division mit q den Rest 0, 1, 2, • • -, q — 1 liefert; ist aber der Bruch (14) irrational, so kann mindestens eine der Zahlen cos nv und sinwv wegen §7, IV jedem zwischen +1 gelegenen Zahlenwerte beliebig nahe kommen

Man hat die folgenden Formelpaare zu beweisen und die Bedingungen für ihre Anwendbarkeit zu diskutieren; v ist eine reelle Zahl:

46.

cosv

cos 2 v

cos 3v

2 cosv

(2 cosv)

(2 cosv)⁸

1) Introductio in analysin infinitorum, Bd. I, § 258; 1748.

62

Erster Teil. Theorie der Zahlenfolgen, sin 2v

2cosy ¹ (2cosy)² "T~ (2cosy)³

47.    2 cos v • cos v + 2²cos²y• cos 2 y + 2³cos³y • cos3y H— = — 2 cos²y 2 cos y • siny -f- 2²cos²y • sin2y fi- 2³cos³y • sin 3 y -j— = sin2y.

48.    cosy • cosy + eos²y • cos2y 4- cos³y • cos3y 4----= 0

cosy • siny -f- cos²y • sin 2 y -j- cos³y • sin 3 y -|----= coty.

sin v

sin 3 v

-f •••== sin 2y .

§ 23. Der natürliche Logarithmus.

I. Bedeutet a eine willkürliche, endliche, positive Zahl, so hat die

Gleichung

(i)

e? = a

eine und nur eine reelle Lösung in x, nämlich den natürlichen Logarithmus x = log«; es ist demnach

(2)

gloga = a _

Daß die Gleichung (1) nicht mehr als eine reelle Lösung für x gestattet, liegt auf der Hand, weil ea:>e²' sein muß, wenn x > y ist. Daß aber wirklich auch eine Lösung existiert, wird durch dasselbe Verfahren wie in § 22 bewiesen.

Unter Anwendung der Definition (2) in Verbindung mit § 20, (9), (10) erhält man die Formeln

log (ab) = log a + log b, log ) = log a — log b, log (an) = n log a, wo in der letzten Formel n eine ganze Zahl bedeutet.

Da für a>& auch log a > log b seih muß, so hat man wegen § 20, (19) und (21) die anderen Ungleichungen

log (1 -f- x) < x < — log (1 — x),    0 < x < 1,

von welchen jedoch die erste für alle endlichen positiven x anwendbar ist.

Setzt man nun in (4) nacheinander

(3)

(4)

M*

tH ' CO

rH

so ergibt die Addition aller so erhaltenen Resultate unter Anwendung der ersten Formel (3) die Ungleichungen

(&)

los (nF) < y + r + t + " ■ +1 < losn’

von welchen wir verschiedene speziellere Sätze herleiten wollen. Erstens erhalten wir unmittelbar aus (5) das folgende Resultat,

welches zum erstenmale von Jakob and Johann Bernoulli⁹) bewiesen worden ist:

II Eie monotone Zahlenfolge, deren allgemeines Element durch den

Ausdruck

(6)

T + T + T + "’+ł

Undefiniert wird, ist divergent.

Die Summe (6) wird gewöhnlich für unbegrenzt wachsendes n als die harmonische Reihe bezeichnet.

Aus (5) findet man zweitens nach einer leichten Umformung

— log n < 1 ;

(7)    1 + log (y +    < Y + Y + J

setzt man demnach der Kürze halber

so hat man wegen (4)

-Cn =

w + l

woraus der Satz sich ergibt:

„U+iog (i

III. Eie Zahlenfolge Ct, C₂, C₃, ■ ■ -, Cn, ■ • ■ ist monoton abnehmend und konvergent; ihr Grenzwert wird gewöhnlich als die Euler sehe Konstante¹⁰ 11) bezeichnet.

Setzt man in den aus (4) erhaltenen Ungleichungen

bzw.

x < — log (1 — x) ₇ x > log (1 4- x)

so erhält man

(8)

—^ < log a — log b < °L-^,    a>b>0,

welche Formel erheblich verallgemeinert werden kann; setzt man in der Tat

log₂ (x) = log (logx), log« (X) = log (logre_x(x))₇

so erhält man erstens aus (8), wenn b^>e, also log&>0₇ angenommen wird:

log a — log b

log«

< log₂ («) ~ log₂ (&) <

log a — logö

log&

b lo gb ’

woraus wegen (8) hervorgeht:

¥i:^<lo8d“)-¹og2(⁶)< “

in dieser Weise kann man offenbar fortfahren; durch vollständige Induktion erhält man dann allgemein

(9)

a log a log₂ (a) • • • log„(a) < 1°g» + ¹ W lo§» + i (&) >

a — b

blogb\og\(b) ■ • -log„(&)7 wo man also a > b und b so groß, daß logn (b) > 0 wird, annehmen muß. Dies Beweisverfahren verdankt man Pringsheim.¹)

Nach diesen Bemerkungen über natürliche Logarithmen positiver Zahlen beweisen wir nun ohne Mühe den allgemeinen Satz:

III. Bezeichnet

(10)

a = r (cos v + i sin v) = rêv = elosrJriv eine willkürliche endliche von 0 verschiedene Zahl, so hat die Gleichung

(11)

ex = a

unendlich viele Lösungen, die eine arithmetische Reihe mit der Differenz 2 ni bilden und gemeinsam durch das Symbol Lo g a bezeichnet werden.

Setzt man in der Tat x = a ff- iß, so ergibt sich wegen (10)

und (11)

(12)

ea+iß __ gi°g r+iv^ a-\- iß = logr iv -\-2pni, a = logr, ß = v -\-2pn, wo p eine willkürliche ganze Zahl bedeutet; es ist demnach allgemein Log a = log | a [ + i (v + 2pn).

In (10) ist es immer möglich, in solcher Weise über die Zahl v zu verfügen, daß, wenn speziell a nicht negativ reell ist, immer — n < v < -f- n ist; der dazu für p = 0 gehörige Wert von Lo g a wird durch log a bezeichnet und heißt der Hauptwert dieses Logarithmus; es ist daher

(13)

(14)

log a = log | a | -f- iv, — n < v < -j- sr ; ist speziell — a eine negative reelle Zahl, so kann man nach Belieben log (— a) = log a + ni

für den Hauptwert anwenden.

Für den allgemeinen Wert findet man demnach Logu = logu -f 2pni;

1) Mathematische Annalen, Bd. 35, p. 318; 1890.

die positiven reellen Zahlen sind die einzigen, deren natürliche Logarithmen einen reellen Hauptwert besitzen: denn nur in diesem Falle hat man v = 0. Aus (|5) geht hervor, daß die für reelle Logarithmen bewiesenen Formeln (3) nicht für den allgemeinen Logarithmenbegriff aufrechterhalten werden können; es ist in der Tat z. B.

Log(«&) = Log« -f Log5 -f- 2pni.

Beispiel 1. log 1=0, Log 1 = 2pni.

Beispiel 2. log (— 1) = ± ni, Log (— 1) = (2p -f- 1) ni.

ni

ni

Beispiel 3. Aus «==e³, & = e⁴ findet man für die Hauptwerte log « + log b = log (ab)

3 ni

Beispiel 4. Setzt man aber « = e ³ , & = e ⁴ , so hat man

2 ni

log « -f- log b = log (ab) + ni.

Die obengenannten Formeln gelten also nicht einmal allgemein für die Hauptwerte der komplexen Logarithmen.

Aus der Definition § 20, (2) findet man einen Ausdruck von der

Form

(16)

ff —

1 = x{l + ~.+ ax^j ,

(17)

wo « für jeden endlichen Wert von x selbst endlich bleibt; da die Gleichung e?— 1 = 0 nur für x = 2pni möglich ist, so kann der zu x gehörige Faktor rechter Hand in (16) nur für x = 2pni, wo p eine endliche von 0 verschiedene ganze Zahl bezeichnet, verschwinden. Wenn x nicht eine Zahl dieser Form ist, erhält man daher æ = 7c(ea:— 1), & =j= 0,

oder anders geschrieben

ex-l

(18)

¹

Analyse algébrique, p. 54; 1821.

²

   Mathematische Annalen Bd. 33, p. 237—245; 1888.

³

   Rendiconti délia R. Accad. die Lincei (4) Bd. 4, p. 116; 1888. Nouvelles Annales (3) Bd. 7, p. 54; 1888. Rendiconti del Circolo mat. die Palermo Bd. 1, p. 225; 1887.

⁴

   Yorgetragen in der Kopenhagener Mathematischen Vereinigung in der Sitzung am 19. Februar 1907.

⁵

   Dissertation: Grenzwerte von Reihen bei der Annäherung an die Konvergenzgrenze, p. 14. Berlin 1907.

⁶

   Miscellanea Berolinensia Bd. 7, p. 177; 1743.

⁷

   Commentarii Acad. Petropolitanae ad annuum 1737 Bd. 9, p. 120—121.

⁸

   Man vergleiche z. B. Introductio in analysin infinitorum Bd. I, § 139;

⁹

   Jakob Bernoulli: Opera omnia, Bd. I, p. 392.

¹⁰

   Commentarii Acad. Petropolitanae, Bd. 7, p. 157; 1734—1735 (1740). Ygl.

¹¹

mein Handbuch der Theorie der Gammafunktion, p. 6—9. Leipzig 1906.

nun ist aber identisch für ?/=(= — 1

nh = 1-J/ +

r+v

woraus wegen (18) einen Ausdruck von der Form hervorgeht:

x = ef —

1—(ef — 1) + bx'²(ex— 1),    #4--2pni, jp + 0.

Ersetzt man nunmehr in dieser Formel den Faktor x rechter Hand durch den obenstehenden Ausdruck, so erhält man wegen (17)

x — ex —

(19)

wo A endlich bleibt, wenn x eine willkürliche endliche Zahl, nicht von der Form 2pni, \p\ positiv ganz, bedeutet.

Aus (19) findet

man dann unmittelbar den wichtigen Hilfssatz: IY. Bedeutet y eine endliche von — 1 verschiedene Zahl, so hat man für den Hauptwert des Logarithmus:

(20)

log(l +y) = y — y V²+ AV³,

wo A eine endliche Zahl bedeutet.

Setzt man in der Tat in (19) Æ = log(l Ą-y), so bleibt x immer endlich, wenn y endlich und von — 1 verschieden angenommen wird, und die Gleichung log (1 -f y) = 2pni, p 0, ist für den Hauptwert des Logarithmus ausgeschlossen.

Y. Ist x eine solche reelle Zahl, daß —l<x<ioc ist, so gelten die Ungleichungen

(21)

Da wegen § 20, (19) und (22) für oo x — 1 immer e* > 1 -f- x ist, so hat man auch für diese Werte log (1 + x) < x, woraus, für — oo <?/< 1, log (1 — y) < — y folgt; setzt man demnach in dieser letzten Ungleichung y = x : (1 -j- x), so ist unser Satz damit bewiesen.

Aus (9) ergibt sich der folgende Satz:

VI. Bezeichnet A₀, Ax, A₂, •

An, • • • eine divergente monoton wachsende Zahlenfolge mit positiven Elementen, so daß

lim sup —”-⁺-- = G < oo n = co An

ist, so hat man für jedes endliche positive r

(22)

J jm h>ë>r (An +1) _

n = x h)gr(An)

Aus (8) ergibt sich in der Tat, daß (22) für r = 1 richtig sein muß; durch vollständige Induktion leitet man dann unmittelbar wegen (9) die allgemeine Formel (22) ab.

Aus (20) findet man weiter:

VII. Ist a₀, ax, a₂, • • -, an, • • • eine Fundamentalreihe mit lauter von Null verschiedenen Elementen und mit dem von Null verschiedenen

Grenzwerte a, und bezeichnet Log x einen willkürlichen aber bestimmten Wert des Logarithmus, so ist die Zahlenfolge

(23)

Log «o, Log cclf Log a₂, ■ ■ -, Log ccn, • • • eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte Loga.

49. Für jedes positive ganze n hat man die Ungleichungen

(i+łr

§ 24. Potenz mit willkürlichem Exponent.

Bedeutet n eine willkürliche ganze Zahl, so hat man wegen 120,(10)

(1)

qU __ ^gLogcs __ gMLoga.

diese Identität wählen wir als Definition des Potenzhegriffes, wenn der Exponent keine ganze Zahl ist; wir setzen also, indem œ eine willkürliche reelle oder nicht reelle endliche Zahl bezeichnet:

(2)

qU> __ gioLog a

Diese allgemeine Potenz hat daher unendlich viele Werte, wenn der Exponent keine rationale Zahl bedeutet; ist diese Potenz mehrdeutig, ist also n keine ganze Zahl, so bilden die verschiedenen Werte dieser Potenz eine geometrische Reihe mit dem Quotienten

(3)

Wählt man in (2) für den Logarithmus seinen Hauptwert log a, so nennt man den entsprechenden Wert der Potenz den Hauptwert dieser vieldeutigen Zahl; es ist also für diesen Hauptwert

(4)

aw = e'° loe «•

Beispiel 1. Die Annahme x = eo == i gibt den Hauptwert

(ö)

ł = e ² ’

während der allgemeine Wert dieser Potenz

(6)

i* = e

wird, wo p eine willkürliche ganze Zahl bezeichnet.

Die elementaren Potenzsätze gelten natürlich im allgemeinen nicht für den allgemeinen Potenzbegriff (2); man hat z. B.

(7)

aw • aCOlj= a¹”+ u 1 + ² (p" +^iwi) m-

Nach diesen Bemerkungen haben wir nunmehr verschiedene Sätze über den Hauptwert der Potenz (3) herzuleiten:

I. Der Hauptwert der Potenz aw wird dann und nur dann reell, wenn a positiv und œ reell angenommen wird.

Setzt man in der Tat

(8)

a = re

iv

a = a -f- iß,

so hat man für den Hauptwert

= ß(a + iß) Ü°Sr + iv) __ ßCt log r — flv + (av + ß log r) i

oder nach einer einfachen Umformung

oP = iya . e —ßv ■ e (av + ßlog *'

(9)

woraus unser Satz unmittelbar hervorgeht; denn es ist in diesem nur dann) v = ß = 0.

Aus (9) findet man nun weiter

! aw j == ra ■ e~ßv,

Falle (und

(10)

woraus für ß = 0, also a = a

(u)

aa | = | a j “, a reell

folgt, und für v = 0, also r = a

(12)

aa + iß = aa, a positiv.

II. Ist | a j = r > 1, und bedeutet E eine vorgegebene willkürlich große positive Zahl, so ist es möglich eine solche positive Zahl Je zu bestimmen, daß für a > k immer

I-- >E

la?

(13)

wird, indem der Exponent p eine willkürliche südliche Zahl bedeutet. Setzt man nämlich p = y -f iä, so hat man wegen (11) und (12)

(14)

aa

oft

é°^°Br>clP + \logrY, + ¹

denn es ist ja r > 1 also log r > 0; ist nun p eine solche endliche positive ganze Zahl, daß pi>y ist, so hat man wegen (14)

p +1

(15)

a (log r)

(p-f 1)!

>E, a >

(P + 1)! E

(log r)

Nimmt man in (13) und (15) den reziproken Wert, und setzt man b = 1 : a, s = 1 : E, so kommt der ähnliche Satz:

II. Ist | b | < 1, und bezeichnet e eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe, so ist es möglich eine solche positive Zahl k bestimmen, daß für a > k immer

zu

aQ • btt | <C e

(16)

wird, indem der Exponent q eine tvillkürliche endliche Zahl bedeutet.

Ist in (15) q eine positive Zahl, und setzt man in dieser Ungleichung

a = e = r,

tH C/

à’ £ Eö ’ E ~ i

so erhält man e : aô > E, also

(P + 1)!

ea

woraus durch die Substitution a = log ß die wichtige Ungleichung

“CD

(17)

folgt; d bedeutet also hier eine willkürlich kleine aber angebbare positive Größe.

Aus der Potenzdefinition erhalten wir noch für den Hauptwert die Entwicklung

(1 — #)e = e?log(i-*) = 1 -f-

Qlog{l — x)

p²log² (1 — x)

1!

2!

+K- log³(l—x),

wo K eine endliche Zahl bedeutet, falls x endlich und von der Einheit verschieden ist. Wegen der Formel § 23, (20) ergibt sich dann weiter

(18)

(1 — x)Q = 1 — QX -f-

. X* + Kt • Æ³,

wo endlich ist, wenn dies mit K der Fall ist; wir bemerken noch, daß (18) auf folgende andere Form gebracht werden kann:

X- Kt x².

Ł    ¹

(19)

1 — (1 — xf

Aus § 23, YII findet man unmittelbar den ähnlichen Satz:

III. Ist cc₀ at cc₂... an... eine Fundamentalreihe mit lauter von Null verschiedenen Elementen und dem von Null verschiedenen Grenzwerte a, und bezeichnet xw einen willkürlichen aber bestimmten Wert der Potenz, so ist die Zahlenfolge

<ha> <

eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte aw.

50. Für œ = p ia, wo p eine ganze Zahl bedeutet, ist zu beweisen, daß die Phase der Potenz aw bis auf ein Vielfaches von 2jt bestimmt ist.

51. Ist (D₁, G3₂, cd

.., core,... eine willkürliche divergente Zahlenfolge, deren Elemente sämtlich von 0 verschieden sind, so hat man die andere Zahlenfolge

('+3' ('+3' ■

zu untersuchen, worin x eine willkürliche endliche Zahl bedeutet.

... eine willkürliche Fun-

ral? ^2 > œS) ■ •    ⁰⁵n>

damentalreihe mit dem Grenzwerte 0, so hat man die Zahlenfolge

52. Bezeichnet

XUl— 1    £Ca’² — 1 x’h — 1

COn

as

zu untersuchen: x ist eine willkürliche endliche von Null verschiedene Zahl.

-2 ;

53. Aus den beiden positiven Zahlen a₁ und a₂ wird eine unendliche Folge positiver Zahlen at a₂ a₃ ... an ... nach dem Gesetze gebildet, daß an von w = 3 an das geometrische Mittel zwischen ara_i und an~2 sein soll, also an=yan — ₁.an man hat dann die allgemeine Formel

ax

ßp + 2 — d₂

zu beweisen und den Grenzwert der Zahlenfolge zu bestimmen. 54. Aus der Zahlenfolge in Aufgabe 53 wird eine andere Folge ut u₂ u₃ ... un ... gebildet, indem für jedes n

* (2 + (— \)P) . a i (1 — (— \)P)

Un = I Vai a2 «3 • * • an I

gesetzt wird; es ist der Grenzwert dieser Folge zu bestimmen. 55. Für p i> 0 hat man den Grenzwert

lim

n= oo \W1 + ? /

zu bestimmen.

56. Es ist

meinen Elemente

zn

beweisen, daß die Zahlenfolge mit dem allge-

(log 2 log 3 log 4    log n)

monoton abnimmt und den Grenzwert Null hat.

(1)

§ 2o. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Bilden wir die komplexe Zahl

x = a -f- ib = r (cos v -f i sin v)

in der Ebene in den Punkt M (a, b) mit den rechtwinkligen Koordinaten a und b ab, zwischen den komplexen Zahlen und den Punkten der Ebene eineindeutig.

so

ist der dadurch definierte Zusammenhang

In unserer späteren Darstellung sprechen wir häufig über den „Punkt“ x, indem wir damit denjenigen Punkt M, in welchem x abgebildet wird, verstehen.

Bei dieser geometrischen Darstellung wird, der Relation

wegen, der absolute Betrag r von x dem von 0 bis M positiv gerechneten Radiusvektor gleich, während die Phase v von x mit dem von der positiven Abszissenachse bis zum Radiusvektor OM gerechneten Winkel zusammenfällt; denn es ist ja a — r cos v, b = r sin v.

Dadurch ergibt sich weiter, daß die von uns als Grenzwerte gewisser Fundamentalreihen definierten Funktionen cos v und sin v mit den elementaren trigonometrischen zusammenfallen.

Es seien nun x = a ib, y = a₁in den Punkten M und N, die Summe z = x + y = a + %-{-?'(& -f- bf) in den Punkt P abgebildet; dann sind O, M, P und N Eckpunkte eines Parallelogramms, so daß 0 und P entgegengesetzt sind; hieraus folgt unmittelbar der Satz:

I. Sind die beiden komplexen Zahlen a und x in den Punkten A und M abgebildet, so repräsentiert die Strecke AM den absoluten Betrag \ x — a\, und der Winkel v zwischen der positiven Abszissenachse und der geraden Linie AM ist die Phase der Differenz x — a.

Sind nun die Zahlen a, x und y in den Eckpunkten A, M und N des Dreieckes AMN abgebildet, und setzt man x —

y —

(2)

~ = r (cos v -f i sin v)

so ist r dem Verhältnis der Seiten AM und AN gleich, während die Phase v (von dem Zeichen vielleicht abgesehen) mit dem Winkel MAN zusammenfällt; es ist also

AM AN’ V

Aus dem Satze I ergibt sich der folgende:

II. Sind die komplexen Zahlen x und a in den Punkten M und A abgebildet, und dreht sich die gerade Linie AM um den Punkt A, bis sie wieder ihre ursprüngliche Lage erreicht, so wird die Phase von x — a um + 2n verändert, je nachdem diese Drehung in der positiven oder der negativen Richtung vorgenommen wird.

Setzt man a = 0, so wird Log x demnach um + 2%i geändert, wenn x einer geschlossenen Kurve folgend den Punkt 0 umkreist; durch diese Bewegung wird die allgemeine Potenz x⁰³ mit e2 multipliziert.

Bekanntlich kann man auch in einfacher Weise die Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch illustrieren; wir verzichten aber auf eine solche Darstellung, die für unsere spätere Darstellung ohne Bedeutung ist.

Wir sagen, daß die komplexe Zahl ein Kontinuum K durchläuft, wenn der entsprechende Punkt das Kurvenstück K oder den Areal K durchläuft.

(3)

= Z_ MAN

7t W

Um die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen noch weiter zu erleuchten lösen wir die folgende Aufgabe:

Es ist derjenige Bereich der Ebene zu bestimmen, in welchem | x² — a² | < b² wird, indem a und b reelle Strecken bezeichnen.

Setzen wir x — £ -f- irj, also

x² = £² — rf + 2%r]i,

so ergibt sich

(|² — if — a²j² -j- 4 !²1?² < &⁴;

der gesuchte Bereich wird demnach das Innere der Cassinischen Ellipse

(|² + rf) ² - 2a² (|² - 7?²) = 5⁴ - a⁴.

57. Es sind diejenigen Bereiche der Ebene, in welchen

(1)

j y'i — x²

<1

ist, zu bestimmen.

58.    In welchem Bereiche der Ebene muß die komplexe Zahl x abgehildet werden, wenn die geometrischen Reihen

1 — X + (1 — X) X -f- (1 — X) x² -f- (1 — x) xz + ...

1    x-1 (x-iy (x-iy

X '    X*    x³    ' x* '    " "

beide konvergieren sollen, und welche Summe haben diese Reihen?

59.    Zwei komplexe    Zahlen    x und    y sind    durch    eine der

Gleichungen

(1) x = y² + y, (2) Æ² = y, (3) x = y², (4) x²y = 1 verbunden; man hat in jedem Falle den geometrischen Ort von y zu bestimmen, wenn immer x = 1 it ist, also wenn x eine gerade Linie durchläuft.

Kapitel YI.

Über zweifach unendliche Zahlenfolgen.

§ 26. Konvergenz, Divergenz und Oszillation.

Ist die Zahl a in solcher Weise von dem Zahlenpaare (j), q), wo p und q ganze nicht negative Zahlen bezeichnen, abhängig, daß wir ein, jedenfalls theoretisches, Mittel besitzen um a zu bestimmen, wenn sowohl p als q aufgegeben werden, so sagen wir, daß diese Zahlen

ap,0 °PA ap,2 ••• ap,n •••

eine zweifach unendliche Zahlenfolge oder eine Doppelfolge bilden; diese wird der Kürze halber durch (a ) bezeichnet.

Die einfachen Zahlenfolgen

ap,0 ap, 1 ap,2    ap,n •••

aQ,q ai,q a2 ,q ’** an,q

a0,0 ai,l a2,2    ap,p •••

die Diagonalfolge von (a> ) genannt wird.

Ganz wie bei einfachen Zahlenfolgen haben wir hier drei verschiedene Fälle zu untersuchen, nämlich:

deren erste bzw. zweite Stellenzeiger denselben festen Wert haben, bilden die Zeilen- bzw. Kolonnenfolgen der Doppelfolge (a ), während die Folge

1. Konvergente Doppelfolgen. Es existiert eine solche endliche und bestimmte Zahl A, daß es möglich ist für eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe s zwei solche ganze positive Zahlen P und Q zu bestimmen, daß für p P und qi>Q immer

(1)

I A ~ an,P I < £

wird. In diesem Falle heißt die Doppelfolge (ap,?) konvergent mit dem Grenzwerte A, und wir setzen

(2)

= A.

aM 00

Es ist also wohl zu beachten, daß in (2) sowohl p als q in ganz willkürlicher Weise voneinander unabhängig über jede Grenze hinaus wachsen sollen.

2. Divergente Doppelfolgen. Wenn E eine vorgegebene willkürlich große positive Zahl ist, und es möglich ist zwei solche positive ganze Zahlen P und Q zu bestimmen, daß für p P und g > Q

lim

P= ». 2 =

immer

! %, I > E

wird, so heißt die Doppelfolge (a^) divergent.

Sind die a fürp P und qi>Q sämtlich reell und entweder stets positiv oder stets negativ, so ist unsere Zahlenfolge eigentlich divergent, und wir setzen lim

p= co , q =

(3)

(4)

⁼ + 00 bzw- lim ap,i ⁼

OO    p= CC , q= GO

— OO .

3- Oszillierende Doppelfolgen. Die Folge (a ) heißt oszillierend, wenn sie weder konvergiert noch divergiert.

Ganz wie in § 18 erhalten wir hier den. Satz:

I. Die notivendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Doppelfolge (cc + i/S ) mit komplexen Elementen besteht darin, daß die beiden Doppelfolgen    und (ßPjt/) mit reellen Ele

menten konvergieren; hat man lim

P = °°> 2 =

(5)

so ist auch

00

= cc, lim ß

p = go, q = oo

= ß,

(6)

Mm (“r,i + »An) “ “ + *ß-

p = oo , q = co

Wir können uns daher auf Untersuchungen von Doppelfolgen mit reellen Elementen beschränken. Als allgemeines Konvergenzprinzip für Doppelfolgen gilt dann der folgende Satz von P rings-heim¹) :

II. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Doppelfolge (ap, q) besteht darin, daß es für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe s möglich ist entweder 1. zwei solche positive ganze Zahlen P und Q zu bestimmen, daß für pi> P und g Q immer

(7)

ia,

-««!<*

wird, indem r und s willkürliche ganze nicht negative Zahlen bezeichnen, oder 2. eine solche positive ganze Zahl m zu bestimmen, daß für p m immer

(8)

I ^p + r,p + s    ap,p l ^ £

wird, indem r und s willkürliche ganze nicht negative Zahlen bezeichnen, oder 3. eine solche positive Zahl m zu bestimmen, daß für p^>m und q^>m immer

(9)

!“«-»

wird. Diese drei Bedingungen haben genau dieselbe Tragweite.

Der Beweis dieses Satzes ist demjenigen in § 10 für einfache Zahlenfolgen geführten ganz ähnlich.

Über Doppelfolgen müssen wir uns hier darauf beschränken in den zwei folgenden Paragraphen die ersten Untersuchungen von Pringsheim¹) beinahe wortgetreu darzustellen; wir bemerken aber, daß dieser ausgezeichnete Forscher später seine Untersuchungen erheblich verallgemeinert hat²), und daß auch F. London³) hier etwas bedeutendes geleistet hat.

77i, m

§ 27. Sätze über konvergente Doppelfolgen.

Wenn die Doppelfolge (a ) konvergiert, so darf man doch keineswegs schließen, daß ihre Kolonnen- bzw. Zeilenfolgen auch konvergieren; man darf also gar nicht schließen, daß

lim aM, lim aM

p = go    q = co

für endliche Weide von q bzw. p existieren.

Beispiel 1. Setzt man für p und q positiv ganz, «>0 und /3>0

(i)

so hat man offenbar

p = co , q = cc

1)    Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 27, p. 104—112; 1897.

2)    Mathematische Annalen Bd. 53, p. 289—321; 1900.

3)    Ebenda, p. 322—370.

während man für g = 1, 2, 3, . . .

lim sup a = + -¹-

P= CD

P= GO    2

und für p = 1, 2, 3, . . .

lim inf aM = -    lim sup aM =

j = co    p    q = cd

erhält, so daß keiner der Grenzwerte (1) in diesem Falle existiert. Andrerseits hat man aber den Satz:

4fc-

I. "FFeww dïe Doppdfolge (a ) entweder konvergiert oder eigentlich divergiert, und wenn man für q = 0, 1, 2, 3 ...

(2)

lim inf = \, lim sup ap>q = Lq

p— CO    p= CD setzt und für p — 0, 1, 2, 3 .. .

(3)

lim inf ap^q = 2', lim sup ap>q = Lq,

q = co

so hat man immer

(4)

lim lq = lim Lq = lim = lim L'p = lim a .

P — CD

q — cd

q = cd

p — cd

p— cd , q — cd

Ist (a ) erstens konvergent, so hat man mit den gewöhnlichen Bezeichnungen

\ap,g-41 < e, P^P, <1>Q,

woraus speziell für die Zahlen (2) hervorgeht:

d. h.

lim lq = lim Lq = H.

q — cd

q = cc

Ist zweitens die Doppelfolge (a ) mit einem bestimmten Vorzeichen divergent, so hat man entweder ap > G oder appq <—6r für p = P, q^Q, woraus für qf> Q immer

lq>G, Lq>Gbzw.lq<-G, Lq<-G folgt, und damit ist unser Satz bewiesen; denn dieselben Betrachtungen bleiben noch für l'p und L^ gültig.

Hat man speziell lq = Lq für qff^Q bzw. lp = Lp für p > P, so ergibt sich wegen I:

II. Ist lim a für p = oo, q — oo und lim aM für p = oo, qif^Q bzw. lima für q= oo, pi>P endlich oder unendlich groß mit bestimmtem Vorzeichen, so hat man

(5)

,r

lim (lim appq) = lim apq bzw. lim (lim ap>q) = lim ap

î = ® i>= a> ’    = co, 2 = co’    p = co q=<x> ’ p = cc, q = cc

Demnach, ergibt sich, daß die Existenz (endlich oder unendlich groß mit bestimmtem Vorzeichen) von

(6)

lim %,q, hm apa(q>Q), lim apJp ^ P)

<*>, 9 = co p = co    n = GO

allemal diejenige von.

CO

p = go q — cd

und zugleich die Beziehung

(8)

lim (lim    lim (lim apJ

q = co p = go

lim (limaft8) = lim (lim a )

2 = GO p = CO

p = 00 Ç = GO

mit sich zieht.

Hieraus folgt, daß limap5 für p == oo, q = oo nicht existieren kann, wenn die Grenzwerte (7) beide existieren und voneinander verschieden sind.

Beispiel 2. ap^q = q bzw. für jedes p

p und q positiv ganz; hier ist für jedes

woraus

folgt:

P + l’

lim ®pf2 — i, ümaM =

P = CO    9 = GO

lim (lim aft2) = 1, lim (lim aft2) = 0.

9 — co p = GO    p — co 9=00

0,

Unsere Zahlenfolge kann daher weder konvergieren noch mit bestimmtem Vorzeichen divergieren, was auch leicht unmittelbar zu verifizieren ist.

Aus der Beziehung (8), welche ja die Existenz der beiden letzten Grenzwerte (6) implizite voraussetzt, ist es aber keineswegs gestattet auf die Existenz von lim a für p = oo, g=oo zu schließen.

Beispiel 3. ap>q =

Hier hat man für jedes p bzw. für jedes q hm aA4 — 0 bzw. lim apq = 0,

p = co

2) Pi Q.    0,1, 2,. ..

9 = co

und dennoch kann lima für p = oo, q = oo nicht existieren, weil V — C1 ganz    gar unbestimmt wird; man hat aber für jedes

p und q

o <; «A2 < 1.

p+i

Beispiel 4. ap,q = ^

Hier ist auch für jedes p bzw. für jedes q hm apq = 0 bzw. lim ap>q = 0,

9 = oo

i + (P — g)

p, g = 0, 1, 2,. . .

P = GO

und dennoch ist

= 2P + ¹.

60. Es sind für die beiden Doppelfolgen

pq

p²q²

ß'Pt2 p³ -j- q³

(lp,q pZĄ-ą*’

die verscbiedenen oben betrachteten Grenzwerte zu untersuchen.

§ 28. Monotone Doppelfolgen.

Die Doppelfolge (a ) heißt monoton und zwar wachsend oder abnehmend, je nachdem für sämtliche ganze nicht negative Zahlen r und s immer

¹

Mathematische Annalen Bd. 53, p. 291; 1900.

(i)

% + r,, ₊ , - %, > ⁰    S 0

ist; für diese Doppelfolgen, die den gewöhnlichen einfachen monotonen Zahlenfolgen ganz ähnlich sind, gilt der Satz:

I. Bleiben die absoluten Beträge | a \ stets unter einer endlichen Zahl g, so stellen die Ausdrücke

(2)

lim aM, lim apą,

p — co    q = co    p = co , q — co

und zwar die beiden ersten für alle q bzw. für alle p durchaus bestimmte Zahlen vor, und es bestehen die Beziehungen:

lim ap,q = lim (lim = lim (lim ap,q)-

q=co p— co

Es sei erstens (a ) wachsend, dann erhält man aus (1) insbesondere, für alle r

(3)

p = co , q = co

p — co q = co

ap + r,q    a'p,g ^

d. h. die Kolonnen- und Zeilenfolgen der Doppelfolge (ap>i) bilden monoton wachsende einfache Zahlenfolgen, und die Existenz der zwei ersten Grenzwerte in (2) ist eine unmittelbare Folge des Satzes § 11,1.

Wäre nun der dritte Grenzwert (2) nicht endlich und bestimmt, so müßte, wie groß auch p und q angenommen werden, zu dem Gliede a^q stets ein Glied a ₊

existieren, so daß

2 + *i

ap+n>q+si ~ ap+q = a

wird, wo a eine vorgegebene, möglicherweise sehr kleine, aber von Null verschiedene positive Größe bezeichnet; ganz wie in § 11 zeigt man dann, daß diese Annahme mit der Voraussetzung |ap>2j <g im Widerspruch stehe.

Der dritte Grenzwert in (2) muß demnach auch endlich und bestimmt sein. Wäre nun zweitens (a ) monoton abnehmend, so ist die Doppelfolge (— ap ) monoton wachsend, und damit ist unser Satz, wegen § 27, I vollständig bewiesen.

Spezieller ergibt sieb:

II. Ist die Doppelfolge (ap^) monoton, so zieht jede einzelne der drei Gleichungen

(4)

lim aP,? = A> lim (lim aP,₉) = A> lim (lim % q) = A

P— « > 2 = ⁰⁰    q=z cc p= cc    p= ao 5 = 00 *

die beiden anderen nach sich, jedenfalls wenn A endlich ist.

Aus jeder dieser drei Gleichungen erhalten wir in der Tat für jedes p und q

ao,o ^    < A oder a₀₎₀ > ap>q > A,

je nachdem (ap^) wachsend oder abnehmend ist; in beiden Fällen müssen also sämtliche absoluten Beträge |a | unter einer endlichen Zahl bleiben, und II. ist somit eine unmittelbare Folge von I. Weiter hat man den Satz:

III. Ist die Doppelfolge (aPj^) monoton, und konvergiert ihre Diagonalfolge mit dem Grenzwerte A, so ist die Doppelfolge (a ) selbst konvergent mit demselben Grenzwerte A; es ist also immer

(5)

n = co

lim an,n = lim %,q = A-00, q= qo

Wir können uns offenbar auch hier auf monoton wachsende Doppelfolgen beschränken, bedeutet n dann die größte der Zahlen p und q, so hat man stets:

aM £ ann £ A,

und III. ist eine unmittelbare Folge von I.

Bleiben die absoluten Beträge \a | der Elemente einer monotonen Doppelfolge nicht sämtlich unter einer festen Grenze, gibt es also zu jeder noch so großen positiven Zahl G Zahlenpaare (p,q), für welche 'j a > G wird, so können nur die folgenden zwei Fälle eintreten:

1. Die Doppelfolge (aÄ}) ist wachsend, dann müssen die ap für hinlänglich große p und q sämtlich positiv sein, so daß also ap, & wird, d. h.

(6)

lim ap = + 00.

p = co , q = co

Wegen II. haben wir dann auch

lim (lim apJ = + oo, lim (lim ap>q) = + oo.

p= CO q — co    q = co p= co

2. Die Doppelfolge (ap)q) ist abnehmend, dann ist die Folge (— ap ) wachsend, und somit haben wir den folgenden Satz bewiesen:

IV. Ist die Doppelfolge (a ) monoton, so zieht jede einzelne der Gleichungen (4) die beiden anderen nach sich, auch wenn A die Bedeutung -J- oo oder — oo hat.

§ 29. Analogon der Sätze von Cauchy und Jensen.

Pringsheim hat ein Analogon des Cauehyschen Grenzsatzes § 19, II gegeben; es liegt auf der Hand, daß wir durch das Jensen-sehe Verfahren diesen Pringsheimschen Satz wie folgend verallgemeinern können:

I. Bleiben die absoluten Beträge <pp>g\ der Elemente der Doppelfolge (cp ) stets unter einer gewissen endlichen Größe g, während die Doppelfolge (g>p q) mit dem Grenzwerte <P konvergiert, und die unendliche Zahlenfolge

(i)

Ch i (Xg    ^ • • •

außer den in § 19, I angegebenen Bedingungen noch die untenstehende Bedingung (4) befriedigt, so hat man

(2)

(P = lim

CTlTo,ra + (CT2-al) <Pl+ («» + 1 — g»)yw, 0

71 = 00

a» + i

Setzen wir nämlich für alle p und q

Ip,i ®    Qp,2>

so ist die Doppelfolge (p ) mit dem Grenzwerte 0 konvergent, während die absoluten Beträge | q | für alle Zahlenpaare (p, q) unter einer gewissen endlichen Größe bleiben, und anstatt der Gleichung (2) haben wir die folgende

(3)

0 = lim

n — oo

aiQo,n + (a2 — al) ?1, n - 1 H-----(an+l~an) $n, 0

an + 1

zu beweisen.

Teilen wir nun für jedes n die Summe rechter Hand in (3) in die drei anderen

Kn =

ßn =

al QO, n + («₂ — CTi)gi,rç-l "I-----(ap + l — ap)Qp,n-p

an + 1

(Ip + 2 ®p + l)    + 1, ra — p — 1 ~h    (In — q + 1    g» — q)Qn — q,q

Yn =

an +1

(an - g + 2 an - g + l) - q +1, q - 1 ~l~ ' ' ' 4~ (an +1    an) P«, 0

Kapitel YI. Über zweifach unendliche Zahlenfolgen. § 29. so haben wir offenbar den anderen Grenzwert

lim (an + ßn + yn)

n~ oo

zu bestimmen.

Bezeichnen demnach (4 obere Grenze der Zahlen |

Ql,n — 117 • • ’t Qp,n—p l^i> + l,n — p — 11; l?2> + 2,

I Qn — 2 + 1,2“ 11; ! Qn — 2 + 2,j — 2 I? • * ’7 i^«,oi

so hat man ganz in derselben Weise wie in § 19:

n

Qn » Qn »

77

77

BA

| O'» | <C Qn ‘

77

77

n-p-2 I? •

77

77

n +1

< Qn * B,

y»

)•

verfügt man daher wie in § 19 in solcher Weise über p, daß -4| + i ^ An+1 < A% ₊ 2 während q mit n unendlich groß werden soll, so hat man für n > N

Bq'.

la»l <    <

JLP+ 1

OS

lA.l<b

denn in \an\ ist Bç>'n stets endlich, in \ßn\ haben sämtliche Zahlen p ₆ den Grenzwert Null; weiter soll die Zahlenfolge (1) so beschaffen sein, daß für jedes n ein solches q existiert, daß

(4)

n = oo

— 2 + 1 1

4. + 1

q = oo

wird; es ist dann auch für n^N immer |yn \ < s: 3, und damit ist unser Satz bewiesen.

Setzt man an = n, so entfließt der Satz von Pringsheim¹); wir machen ausdrücklich auf das elegante Be weis verfahren Pringsheim s aufmerksam; man vergleiche z. B. den von Borei²) gegebenen Beweis.

Aus I. findet man noch den folgenden Satz:

II. Sind die beiden Zahlenfolgen

• • • tn

<Po<Pi <P* • • • 9>* • • •>

Fundamentalreihen mit den Grenzwerten 0 und W, so hat man mit der Zahlenfolge (1) den Grenzwert

(5) 0W = lim

n — oo

an +1

ein-

Man hat in der Tat nur in I. allgemein q>p zuführen; setzt man in II. an = n, so entfließt der Satz yon Cesàro³); man vergleiche § 43.

,n-p

= <PPt

n —p

ZWEITER TEIL.

REIHEN MIT KONSTANTEN GLIEDERN.

\

Kapitel VIL

Das Verhalten unendlicher Reihen.

§ 30. Konvergenz, Divergenz und Oszillation. Aus der unendlichen Zahlenfolge

(1)

%,    ^2’ U3)    ’ '?    > '

bilden wir eine neue unendliche Zahlenfolge

(2)

⁵0>    ⁵2> ⁵3> ’ ‘ * "> Sn’.....>

indem allgemein für jedes n

Sn — U0 "t U1 + U2 “t“ M3 + • • * + Un

(3)

gesetzt wird.

Ist in (3) n eine endliche Zahl, so heißt die Summe rechter Hand eine endliche Reihe: läßt man aber in dieser Formel den

Stellenzeiger n über jede Grenze hinauswachsen, so entsteht die unendliche Reihe

n = co

(4)

n = 0

Wenn kein Mißverständnis daraus entstehen kann, schreiben wir auch häufig anstatt (4) kürzer U un.

Die Zahlen un heißen die Glieder, die Summen sn für endliche n Partialsummen der unendlichen Reihe (4).

Die unendliche Reihe (4) heißt konvergent, divergent oder oszillierend, je nachdem die unendliche Zahlenfolge (2) konvergiert, divergiert oder oszilliert.

Die Frage über das Verhalten einer vorgelegten unendlichen Reihe kann bisweilen dadurch beantwortet werden, daß man die entsprechende Partialsumme sn in geschlossener Form darstellen kann.

Dies ist z. B. mit der geometrischen Reihe und mit der Reihe von E. Schröder⁴) und J. Tannery⁵) eine endliche und bestimmte Zahl, die die Summe der unendlichen Reihe (4) genannt wird.

Beispiel 1. Die geometrische Reihe a + aq -f- ag,2 + ag⁶ + -- -ist für [ ą | < 1 konvergent mit der Summe

i — q'

Beispiel 2. Die Reihe von Schröder und Tannery ist für | x | 4= 1 konvergent und hat, je nachdem | x | > 1 oder j x | < 1 angenommen wird, die Summe

s =

: s = + 1, s —    1,

(5)

14-x*

Sn— 1 _ x2

2x⁴

2x*n

der Fall; aus (5) findet man in der Tat durch vollständige Induktion den geschlossenen Ausdruck:

(6)

>“ + l

».=

-1 +

2x

2W + 1

-2n + l

₉n + 1 X¹

*="⁺¹

Solche Reihen, deren Summe in geschlossener Form dargestellt werden konnte, wurden in früheren Zeiten „summierbar“ genannt; dieser Begriff ist aber wohl von dem modernen Begriffe der Summier-barkeit einer Reihe (man vergleiche § 34) zu unterscheiden.

Nach diesen Auseinandersetzungen haben wir nunmehr die folgenden allgemeinen Bemerkungen über das Verhalten einer unendlichen Reihe hervorzuheben:

1. Konvergente Reihen. Hier ist der Definition zufolge

s = lim sn

(7)

n = co

(8)

wie dies deutlich aus der Formel (6) hervorgeht.

2. Divergente Reihen. Hier wächst | sn j mit n über jede Grenze hinaus.

Beispiel 3. Die geometrische Reihe für \q |>1 oder q == 1. Beispiel 4. Die harmonische Reihe

Beispiel 6. Für | x | = 1 und x=f=l oszilliert die Reihe (6) zwischen unendlichen Grenzen; setzt man in der Tat

q = 2n, x = cosqp -f- i sin cp = eiff>,

so erhält man wegen (6)

2cosgcp • etqip

_ 1 cos 23)p -}- * sin 1 — cos 2^gp — i sin 2$p Eine genaue Definition der Konvergenz einer unendlichen Reihe ist schon im J. 1811 von Fourier¹) gegeben worden; dieser Mathematiker hat auch einen strengen Beweis²) der Konvergenz einer gewissen speziellen Reihe geliefert.

Wenden wir nunmehr das allgemeine Konvergenzprinzip auf die unendliche Zahlenfolge (2) an, so haben wir die Summe

Sn+p — Sn = Un + 1 + un + 2 + • —f- Un+p = RnfP

(9)

i-

2 sin^qp •

= i cot (2"<p).

zu untersuchen. Die Summe (9) wird gewöhnlich als das Restglied der unendlichen Reihe (4) bezeichnet.

Aus der Definition (9) des Restgliedes erhalten wir unmittelbar

den Satz:

I. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der unendlichen Reihe (4) besteht darin, daß es für eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe e möglich ist, eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n^>N immer

< £

(10)

\R

n,p !

wird, indem p eine willkürliche positive ganze Zahl bedeutet. Setzt man in (10) speziell p = 1, so erhält man

(ii)

lim un == 0

n — co

als eine notwendige ober keineswegs hinreichende Bedingung für die Konvergenz der unendlichen Reihe (4). Die harmonische Reihe, die ja divergiert, genügt in der Tat der Bedingung (11).

Sind die Glieder un der Reihe (4) positiv, so ist die Zahlenfolge (2) monoton wachsend; aus § 11 erhält man daher unmittelbar den Satz:

II. Eine Reihe mit positiven Gliedern kann niemals oszillieren; sie muß also immer entweder konvergieren oder divergieren und zwar eigentlich.

1)    (1811) Mémoires de l’Institut Bd. 4, p. 314—315; 1819—20 (1824) Œuvres Bd. I pp. 156, 221.

2)    Mèm. de l’Institut Bd. 4, p. 274—279.

Sind die Glieder un der Reihe (4) komplex, und setzt man allgemein un = un fl- iu'ń, so entfließt unmittelbar aus § 18 der Satz:

III. Die Reihe mit komplexen Gliedern £ (un fl- iu'ń) ist dann und nur dann konvergent, wenn die beiden Reihen mit reellen Gliedern £ un und £ u'ń konvergieren, und es ist in diesem Falle

71 = CG

71= CG

71 = CG

(13)

^(Un fl- iu'ń) = ^ Un + j‘^u".

71 = 0

n = 0

Beispiel 7. Aus (11) folgt unmittelbar, daß die Reibe x fl- ]/2 x² fl- ]/3 x³ fl- • • • fl- yn xn fl- •••. niemals für    konvergieren kann; ist |#|<1, so erhält man

für das Restglied

(12) \ Rny^]/nĄ-l-\x\n + 1 Ą-Yn + Z -|^|w + 2fl-----(- ]/n+~p-\x\n +p]

bedeutet nun G die obere Grenze der Zahlen

_ n + q

yn + q-\x | a , 2 = 1, 2, 3, • • • -,p, so ist wegen § 24, (16) G sicher endlich und man erhält aus (12)

n +1

G-\x\~*~

n+1 /    I¹! I²! i p | \

\Rn,p\<G-\x\~* \1 fl-1x% I fl-1^21 fl— I[J<

1 — \X2

unsere Reihe ist somit für | x | < 1 konvergent.

Eine strenge Definition der Konvergenz einer Reihe ist beinahe gleichzeitig auch von Cauchy¹) und Abel²) ausgesprochen worden.

61.

62.

y A. tg/*')-A. cot

2* ë \ 27    2”

î = 1

si*V+f-7^ =

— cot X .

cos

2n — 1

2m + ¹

a? . x

cos— sin i-—

2" + 1

63.    Wenn eine der beiden Reiben £ un und £(un — un+1) konvergiert, so bat man zu untersuchen, inwieweit die andere aucb konvergiert.

64.    Satz von Cauchy³): Sind die Glieder der Reibe

% +    -j- u₃ -f- u₄ fl- • • • fl- u fl- • • •

« = l sin

1)    Analyse algébrique, p. 125; 1821.

2)    Journal für Mathematik Bd. I; 1826. Œuvres Bd. I, p. 221; hier findet man auch die Bedingung (10).

8) Analyse algébrique, p. 135; 1821.

positiv und monoton abnehmend, so ist diese Reihe und die folgende

ui +P»p+ P\- +----h Pn%n H----,

wo p eine bestimmte positive ganze Zahl bedeutet, gleichzeitig konvergent oder divergent.

den vorhergehenden Satz (am ein-

man

65. Mit Cauchy⁷) soll

fachsten für p = 2) auf die Reihe

+ — + — + — H----

2“    3“    4“

anwenden.

66.    Wenn die n sämtlich positiv sind, und für jedes p immer 0 < ap < «p + 1 ist, so konvergiert die Reihe

a~n1 -f- a~n2 -f- a~n* + ••••-(- a~np -f • • • •

ap) > 0 ist.

immer, wenn lim inf n > 1 und lim inf (a

67.    Mit denselben Voraussetzungen divergiert die Reihe in Aufgabe 66 immer, wenn lim. sup. n < 1 und lim sup (« ₊1 — a■ ) endlich ist.

§ 31. Bedingte und unbedingte Konvergenz.

Wenn die aus den absoluten Beträgen der Glieder der Reihe

(1)

uo -f- ui "H u2 + '•■• + un + ‘ ‘ ’ ’ gebildete neue Reihe mit positiven Gliedern

(2)

uo ⁷ + I % I + I u2 i + ’ ’ ' + I u n I + ' ‘ ■ ‘

konvergiert, so muß die ursprüngliche Reihe (1) auch selbst konvergieren; man hat in der Tat für den absoluten Betrag ihres Restgliedes

I -R«,? I ź I “»+i⁷ +1 “»+i I + —H».

(3)

+p b

und die Summe rechter Hand in (3) ist eben das Restglied der konvergenten Reihe (2).

Wenn die Reihe (2) konvergiert, so heißt die ursprüngliche Reihe (1) absolut konvergent.

Reihen, deren Glieder von einem gewissen endlichen Stellenzeiger an sämtlich reell sind und dasselbe Zeichen haben, können daher nur absolut konvergieren.

Daß aber auch konvergente Reihen existieren, die nicht absolut konvergieren, ist leicht einzusehen; unter den einfachsten Reihen

dieser Art ist wohl die von Brouncker⁸) eingeführte Reihe hervorzuheben:

(4)

60 = —

- -f - — • à ‘ 5

daß diese Reihe wirklich konvergiert, liegt auf der Hand; denn man hat für ihr Restglied

(— 1 > 7?    =    ⁸

V ; n,p n _|_ ! n 2

da aber die aus den absoluten Beträgen der Glieder in co gebildete Reihe die harmonische Reihe ist, so liegt auf der Hand, daß (4) nicht absolut konvergieren kann.

Bei konvergenten Reihen stellt sich ganz natürlich die Frage ein, ob man die Reihenglieder in willkürlicher Weise umordnen darf ohne die Summe der Reihe zu ändern; wie wir bald zu zeigen haben, bleibt die allgemeine Antwort dieser Frage eine verneinende.

Eine Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn ihre Summe von der Anordnung der Reihenfolge ihrer Glieder unabhängig ist.

Mit diesen Definitionen ist es nunmehr sehr leicht, den folgenden von Dirichlet⁹) herrührenden Satz zu beweisen:

I. Eine absolut konvergente Reihe ist auch immer unbedingt konvergent.

Ist die Reihe (1) absolut konvergent, und setzt man

Sn = U0 + % +% + •*• + Un ,

Srn — % fi" + U₂ -f- • « • • -f- Um,

wo die u[L dieselben Glieder wie die up sind, aber nur in willkürlicher anderer Weise geordnet, so hat man offenbar

(5) sm — Sm —    + Ur^ -)---- + Urg — (tl^ + Up^ • • • + Up), wo die ur diejenigen Glieder in sn, die nicht auch in s'm, die u'p diejenigen Glieder in s'm, die nicht auch in sn Vorkommen, bezeichnen; die Stellenzeiger r sind demnach sämtlich kleiner als n -{-1, die p dagegen sämtlich größer als n.

Es seien nun (n — q) die kleinste der Zahlen r, (n -f- s) die größte der Zahlen p- dann ergibt sich wegen (5)

k = q + s

\Sn~S'm\<2)\Un

da nun sowohl q als s mit n über jede Grenze hinaus wachsen müssen¹⁰), und da die Reihe (2) konvergiert, so muß es möglich sein, zwei positive ganze Zahlen N und M zu bestimmen, so daß für n N, m M immer

I Sn    j £

wird, und damit ist unser Satz bewiesen.

Der Satz von Dirichlet gibt also eine hinreichende Bedingung für die Anwendung des kommutativen Prinzips der Addition auf eine Summe mit einer unbegrenzten Anzahl von Addenden; daß aber diese Bedingung auch eine notwendige ist, wenn die Glieder unserer Reihe in willkürlicher Weise angeordnet werden sollen, geht deutlich aus dem folgenden von Riemann¹¹) herrührenden Satz hervor:

II. Wenn die Reihe (1) wohl homergiert, aber nicht absolut, so hann man unbegrenzt oft ihre Glieder so anordnen, daß wenigstens entweder die reelle oder die imaginäre Komponente der so erhaltenen Summe einer beliebigen vorgegebenen Größe gleich wird.

Setzt man allgemein un = u'n + iu'f, so kann die nicht absolute Konvergenz der Reihe (1) davon herrühren, daß nur eine oder keine der Reihen mit positiven Gliedern K | u'n | und U \ u” j konvergiert.

Da wir im allgemeinen nur über eine der Komponenten der Reihensumme beliebig verfügen können, so beschränken wir uns auf eine Reihe mit reellen Gliedern, diese Glieder können somit nicht sämtlich, von einem gewissen Stellenzeiger an, dasselbe Zeichen haben; denn in diesem Falle müßte unsere konvergente Reihe absolut konvergieren.

Bezeichnen a die positiven, — ßq die negativen Glieder unserer Reihe, so müssen die beiden Reihen

(6)

ao + ai + a2 + ^3 ~b ' ' ' '

CO

~ ßo ßi ß% A$ "P

divergieren, denn wären sie beide konvergent, so müßte unsere vorgelegte Reihe absolut konvergieren; wäre aber eine der Reihen (6) und (7) konvergent, die andere divergent, so müßte die vorgelegte Reihe divergieren. Andererseits hat man aber wegen der Konvergenz der vorgelegten Reihe

(8)

lim an = 0, lim ßn = 0.

n = oo

71 = OO

Es sei nun a eine willkürlich vorgegebene, z. B. positive Größe, welche die Summe unserer Reihe nach Vertauschung der Glieder darstellen soll; dann bezeichnen wir durch

TlJ    ^3f ' ' ’t rnl

eine Folge mit positiven Gliedern, die den Grenzwert 0 hat.

Weiter nehmen wir aus der Reihe (6) in willkürlicher Weise mt -j- 1 Glieder aus, so daß

(Aß = cc₀ + ax -|- • • • • +    ^ co -j" tx

(9)

wird, und dann aus (7) rx + 1 Glieder, so daß

(Ą)⁼ ßi ß% ‘ ‘ ßrxßß Tl r2 wird, dann hat man offenbar

(10) (Aß) — (Bß = «0 + -f-----k aß —ß0 — ß[-----ßß^co — t₂.

Aus der Reihe (6) nimmt man nun wieder die Summe (Aß) =    +1 ~k U-mx _j_ 2 “k ' * * “f- ttrn₂ ßß ^2 “k ^3

usw.

Wenn nun die dadurch gebildete Reihen summe (11) (Aß — (Bß + (Aß — (Bß -k * • • -b (Am) <i » + t2m_x,

vielleicht außer anderen Gliedern, sicher die p ersten Glieder von (6) und die q ersten Glieder von (7) sämtlich enthält, und man dafür Sorge trägt, daß sowohl p und q mit m über jede Grenze hinauswachsen, so hat die Summe unserer so um geformten Reihe offenbar den Wert œ.

Der Satz II zeigt unmittelbar, daß I umgekehrt werden darf; also:

III. Eine unbedingt konvergente Beihe muß auch absolut konvergieren.

Die beiden Begriffe absolute und unbedingte Konvergenz sind somit identisch; die nicht absolut konvergenten Reihen heißen auch bedingt konvergent.

Beispiel 1. Aus der Brounckerschen Reihe (4) bilden wir eine neue, indem wir stets zwei positive und dann ein negatives Glied ausnehmen; für die Partialsumme der so erhaltenen Reihe ergibt sich dann

(12) y (—¹---1--—

v }    \4s — 3 ^ 4s — 1

s — zn    . s=n — :

Setzt man aber nun der Kürze halber

p—n

¹ +1 + 1 + ... ₊ i = 2. y¹-

1    ‘ 2 ' 3 '    ‘ n    2p

so hat man offenbar

+ "•

ï ⁺ - + isb

¹--1--¹

n-\- 1    n-\- 2

¹ — + —

2*3

für die Partialsumme con der Reihe (4) erhält man daher den Ausdruck

a2n ~ an ~

n an — Y

(13)

(- ly-¹²

P = 1

woraus hervorgeht:

= _ ¹__i__^_

n -j- 1 n -f- 2

S — 71 — 1

oder auch:

2w 4- 2s 4- 1

s = 0

S — 71-1

2 ft —|— 2 s -4- 1

5 = 0

und somit ergibt sieb wegen (12):

= ß>4» — 2 *

±-) = 2 s)

tH IN

œ2 77 + a*7l>

5=1

woraus, indem a die Reihensumme (4) bezeichnet, folgt:

(14)

H M-

vH lO

tH 11>

+ +ri

iH |<0

Beispiel 2. Die Glieder der Reihe

(ł + ł) + (-

tH |n

+ i) + (i + 4)⁺ (“I + £) + ' "

können so umgeordnet werdeii, daß die reelle Komponente der so erhaltenen Summe einer willkürlichen Zahl gleich wird; die imaginäre Komponente dieser Summe behält aber ungeändert ihren Wert 2.

Die erste Unterscheidung der beiden Begriffe bedingte und unbedingte Konvergenz rührt von Cauchy¹²) her; Ohm¹³) und Schlö-milch¹⁴) haben speziellere, Pringsheim¹⁵) allgemeinere Untersuchungen über Wertänderungen der Summen bedingt konvergenter Reihen angestellt. Borei¹⁶) hat Gliedervertauschungen, bei denen

die Summe einer bedingt konvergenten Reihe ungeändert bleibt, untersucht.

68.    Wenn man aus den Gliedern einer bedingt konvergenten Reihe eine willkürliche unendliche Anzahl ausnimmt, so erhält man wieder eine unbedingt konvergente Reihe.

69.    Wenn die Reihe 2Xun unbedingt konvergiert, so hat SuPnn, wo die Exponenten pn sämtlich positive ganze Zahlen sind, dieselbe Eigenschaft.

70.    Bildet man aus einer unbedingt konvergenten Reihe eine andere, indem man ihre Glieder in willkürlicher Weise, doch niemals unendlich oft, wiederholt, so erhält man eine neue unbedingt konvergente Reihe.

71.    Wenn die obere Grenze von [ hn | endlich ist, und 2Jun unbedingt konvergiert, so hat die neue Reihe 2Jknun dieselbe Eigenschaft.

72.    Wenn die Reihe 2Jun unbedingt, Uvn aber nur konvergiert, so hat man den Grenzwert

Hm (unv₀ +un_lVl + --- + npvn_p H----+ u₀v J = 0.

TO = CO    '

73.    Ist die Zahlenfolge mit positiven Elementen

¹

   Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 27, p. 123; 1898.

²

   Leçons sur les séries divergentes, p. 88—90. Paris 1901.

Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Iieihen.

³

Darboux Bulletin (2) Bd. 14, p. 114—120; 1890.

⁴

   Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 22, p. 184; 1876.

⁵

   Brief nach Weierstraß. Monatsberichte der Berliner Akademie 21. Februar 1881. Weierstraß Werke Bd. II, p. 232.

⁶

Oszillierende Reihen. Hier wird sn für unbegrenzt wachsendes n ganz und gar unbestimmt.

Beispiel 5. Für | # | = 1 aber q=t= 1 oszilliert die geometrische Reihe zwischen endlichen Grenzen, wie wir schon in § 22 gesehen haben.

⁷

Loc. cit. p. 137.

⁸

   Philosophical Transactions 13. April 1668.

⁹

   Abhandlungen der Berliner Akademie 1837. Werke Bd. I, p. 318.

¹⁰

   Die Umordnung der Reihenglieder ist unter allen Umständen in solcher Weise vorzunehmen, daß, wenn in der Gleichung un = uin.n eine bestimmte Zahl bedeutet, m dieselbe Eigenschaft hat und umgekehrt.

¹¹

   Göttinger Abhandlungen Bd. 13, p. 13, 1867. Werke, p. 235 (2. Ausg.).

¹²

   Analyse algébrique 1821 (bei Multiplikation von Reiben).

¹³

   De nonnullis seriebus summandis. Antrittsprogramm Berlin 1839.

¹⁴

   Zeitschrift für Math, und Physik Bd. 18, p. 520; 1873.

¹⁵

   Mathematische Annalen Bd. 22, p. 455—503; 1882.

¹⁶

   Darboux Bulletin (2) Bd. 14, p. 97 ; 1890.

(1)

6*0, 6*i, 6*2, ‘    6*w,

eine beliebige Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte 0, so daß die Reihe 2Jan divergiert, so kann man jedoch aus (1) unendlich viele unendliche Zahlenfolgen

a/₀> axp * ‘ *> ain> ' ' ‘

auswählen, so daß die Reihe 2ax konvergiert. Beispiel an = O + l)-¹, aXn = X-P, p>2, Xn > 0.

74.    Divergiert die Reihe mit positiven Gliedern ZJdn~x, während die Zahlenfolge mit positiven Elementen X₀ Xt X₂, • • •, Xn, ■ • • einen endlichen lim sup hat, so divergiert auch die Reihe 2J(dn -+- Xn)~\

75.    Es ist die Reihensumme

T-l | T—ł

ta| t-*

tH I

tH j CO

CC | I-Ł

cn| hl

vH

M-

tH

zu bestimmen.

76. Wenn keine einzige der Zahlen un den Wert —1 hat, so müssen die beiden Reihen mit positiven Gliedern

n = oo

n = co

M = 0

gleichzeitig konvergieren oder divergieren.

§ 32. Sätze über absolut konvergente Reihen.

Aus den Gliedern der unendlichen Reihe

(1)

uo + ui + u2 + • • • + un -f- • • • kann man unbegrenzt oft unendlich viele, endliche oder unendliche, Reihen bilden:

(A)

(A)

(A)

(A) so daß diese Reihen zusammen jedes einzelne Glied der Reihe (1) ein und nur einmal enthalten, und zwar so, daß die Gleichheit un — a für ein endliches n nur dann stattfindet, wenn sowohl p als q endlich sind, und umgekehrt.

Eine solche Einteilung der Reihenglieder un kann z. B. erhalten werden, indem man in (A₀) sämtliche Glieder un, für welche n durch 2 teilbar ist und keine andere vereinigt; in (At) nimmt man dann diejenigen der zurückgebliebenen un, deren Stellenzeiger durch 3 teilbar sind, in (A₂) diejenigen der noch zurückgebliebenen, deren Stellenzeiger durch 5 teilbar sind usw.

Wenn auch die Reihe (1) konvergiert, so wissen wir doch im allgemeinen gar nichts über das Verhalten der einzelnen Reihen (An). Ist z. B. (1) die Brounckersche Reihe und bildet man die Reihen (An) nach dem soeben angegebenen Verfahren, so divergieren sämtliche Reihen (An).

Andrerseits gilt aber der folgende Satz:

I. Ist die Reihe (1) absolut konvergent mit der Summe s, so konvergiert nicht bloß jede einzelne Reihe (An) absolut, sondern bezeichnen s₀, s1} s₂, • • -, sn, • • • die Summen dieser Reihen, so hat man

(2)

s — s₀ -j- Sj -f- s₂ -J- s₃ + • • • -j- sn -j- • • •.

Setzt man weiter für jedes n

(3)

dn “ a0,n + °l,n-l + a2,n-2 H----+ an,0>

so ist ebenfalls

(4)

s —    4"    -f- d₂ + • • • 4~ dn + • • •.

Bezeichnet R^ das Restglied der Reihe (Ap), also

■Bf = «».» + ! + %

so hat man

R{n ! ^ i Um | + | U

(5)

m +1

wo um dasjenige Reihenglied ans (1) mit dem kleinsten Stellenzeiger, welches in R^ vorkommt, bezeichnet. Da die Summe rechter Hand in (5) aber das Restglied einer konvergenten Reihe mit positiven Gliedern £\un\ darstellt, liegt die absolute Konvergenz der Reihe (A ) auf der Hand.

Betrachten wir nunmehr die Summe

$n = S0 + S± + S₂ + • • • + Sn,

und ist m der größte Stellenzeiger, für welchen u₀, u1} u2f • • -, um sämtlich in Sn Vorkommen, so hat man sicher

j s — $ J    | u

woraus die Gleichheit

s = lim Sn

TZ — GO

deutlich hervorgeht. Weiter setzen wir

p — n

r = oo

p = GO

d'n = I %,n

p = 0

-p \>

I?

alsdann ergibt sich

4~ H~ d% 4~ • • • ~t~ dn Sp ~t~ Si -f- $2 4~ • • • ~ł~ sn s, woraus die absolute Konvergenz der Reihe (4) deutlich hervorgeht. Setzt man endlich

so + si + s2 + * • • + sn = d₀ + dt -f d₂ + • • • + dn -j- rn,

so ist rn eine unendliche Reihe mit dem allgemeinen Gliede 1 4" ... 4" a0,p + n> P ~    ' ‘ '5

ap, n + ap

es ist also sicher

-1,n-

| T*w j <C drn + 1 + 4 + 2 4' ^b + 3 -|----;

woraus die Formel (4) unmittelbar hervorgeht, weil die Reihe mit positiven Gliedern Udń konvergiert.

§ 33. Addition und Subtraktion unendlicher Reihen. Sind sn und tn Partialsummen der konvergenten Reihen

(1)

S == U0 + U1 H“ U2 + • ' ⁻ + Un + • • • t = v₀ + V1 + va +----1- vn 4----?

und bezeichnen

Pu P-17 Pzi ’ ' '•> Pm) ' ' ' 9l;    #3}    * ■? Qmi

zwei unendliche Folgen beständig wachsender positiver ganzer Zahlen, so stellt die Zahlenfolge

(2)

* Sp‘2 —    , J Spm ~    ⁷

sicher Fundamentalreihen mit dem Grenzwerte s + t dar.

Die Frage über die Darstellung als unendliche Reihe des Grenzwertes der Fundamentalreihe (2) wird unmittelbar durch den folgenden Satz beantwortet:

I. Wenn die Reihen Eun und Evn beide konvergieren, so haben die neuen Reihen E(un + vn) dieselbe Eigenschaft, und es ist immer

n = co

n = co

n = co

(3)

»» = 0

»i = 0

»i = 0

Die Summe einer endlichen Anzahl absolut konvergenter Reihen ist wieder eine absolut konvergente Reihe. Wenn aber nur eine einzige der zu summierenden Reihen bedingt, die übrigen unbedingt konvergieren, so wird die Summe dieser Reihen auch nur bedingt konvergent.

Daß andrerseits die Summe mehrerer bedingt konvergenter Reihen unbedingt konvergieren kann, geht aus dem Beispiele

tH [ CO

rH -rH

rH |<n

T-ł CO

2-.“ï

i j. i. 4- - + -__— + — +    4- —

1 ' 4² ' 2 ' 4⁸    3 ' 4⁴ ^    ' 4⁶ deutlicli hervor; denn die beiden Summanden konvergieren nur bedingt, ihre Summe aber unbedingt.

77. Wenn Eancosnx und Ebnsinnx beide konvergieren, so sind die folgenden vier Reihen Ean cos (nx + a), Ean sin (nx + cc) auch konvergent, wenn a endlich ist.

Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Eeihen.

§ 34. Sogenannte Summierbarkeit von Reihen.

Als eine direkte Verallgemeinerung des Begriffes Konvergenz einer unendlichen Reihe hat man in der neuesten Zeit den Begriff Summierbarkeit einer Reihe eingeführt.

Setzt man der Kürze halber für positive ganze p

(1)

Sp = U1 + W2 + • ' ⁻ + Up,

und ist der Grenzwert

(2)

lim

n — co

2±-*) = 5

endlich und bestimmt, so heißt die unendliche Reihe

ui + u2 4" U3 + ' ‘ ' + u n ~ł~ ' ' '

summierbar mit der Mittelsumme S.

Daß nun wirklich die Summierbarkeit als eine direkte Verall-

(3)

gemeinerung der Konvergenz anzusehen ist, geht aus dem Satze § 19, I deutlich hervor. Konvergiert nämlich die Reihe (3) mit der Summe s, so ist

(4)

s = lim sn

n = co

endlich und bestimmt; setzt man daher in der Formel § 19, (4) an = n, so erhält man wegen (2)

(5)

oder als Lehrsatz:

I. jEine konvergente Heike ist auch summierbar, und ihre Mittelsumme ist ihrer Summe im gewöhnlichen Sinne gleich.

Daß aber andrerseits die Summierbarkeit viel allgemeiner ist als die Konvergenz, liegt auf der Hand; die oszillierende Reihe

1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1-*

(6)

ist z. B. summierbar mit der Mittelsumme Weiter gilt der Satz:

II. Eine eigentlich divergente JReihe kann niemals mit einer endlichen Mittelsumme summierbar sein.

Divergiert die Reihe (3) zu + oo, so müssen die Partialsummen von einem gewissen Stellenzeiger an sämtlich positiv sein; bezeichnet weiter Gr eine vorgegebene willkürlich große positive Zahl, so ist es möglich, eine solche positive ganze Zahl p zu bestimmen, daß für ni>p immer sn > G wird. Bezeichnet dann An den in (2) vorkommenden Bruch, so hat man identisch

(1)

Kapitel VII. Das Verhalten unendlicher Reihen. § 34.

«!+«» + ••• + »,

A-

da nun G größer als die absoluten Beträge der negativen sq angenommen werden darf, so hat man sicher für n 4p

CD

Divergiert die Reihe (3) zu — oo, so divergiert 2J(— u ) zu -f- oo, und damit ist unser Satz bewiesen; denn in (7) bezeichnet p ja eine feste Zahl, wenn G angegeben ist.

Durch die Jensensche Formel § 19 (4) kann man unmittelbar den Begriff der Summierbarkeit verallgemeinern, z. B. wenn man die an sämtlich positiv wählt, so daß die Zahlenfolge %>    • • •, (in> ’ ‘ ’

monoton wächst und divergiert.

Der Begriff der Summierbarkeit einer Reihe lag schon in den von Leibniz¹), Lagrange²) und anderen über die Reihe (4) gemachten sehr unklaren Bemerkungen verborgen. Frobenius³) hat zum ersten Male den Begriff klar auseinander gesetzt, während Cesàro⁴) die ersten allgemeinen Anwendungen dieses Begriffes gegeben hat; Knopp⁵) hat soeben die Definition etwas modifiziert.

Die fundamentale funktionentheoretische Bedeutung der Summierbarkeit geht z. B. deutlich aus den Untersuchungen von Fejér⁶) hervor.

78.    Wenn x kein Multiplum von 2 7t bezeichnet, so ist die Reihe

1 -f cosx -j- cos 2x -f cos 3x + cos4x -f- • • • summierbar mit der Mittelsumme

79.    Man soll die Summierbarkeit der geometrischen Reihe

3 71 i

ni

2 ni

cl -f- exe ® -f* de ® -f- de ® -f- • • • für positive ganze q untersuchen.

80.    Setzt man der Kürze halber

s'n = % -f 2u₂ -j- 3% • • • -f nun,

1)    Epistola ad Christ. Wolfium: Acta eruditorum Bd. 5, Supplem.

2)    Mèm. de d’Institut Bd. 3 (Rapport sur le mém. de M. Callet).

3)    Journal für Mathematik Bd. 89, p. 262—264; 1880.

4)    Darbous Bulletin (2) Bd. 14, p. 114—120; 1890. Napoli Rendiconti 28. Oktober 1893.

5)    Palermo Rendiconti Bd. 25; 1908.

6)    Comptes rendus 3. Februar 1908.

so ist die Bedingung

lim 71 = GO

notwendig für die Konvergenz der Reihe 2hin.

81. Für die Summe

S"

- 4- - -f --1 ' 2 ~ 3

TS : M.

hat man den Mittelwert

«i+«,+

82. Für die Summe

1    . l

SP 2 log 2 ⁺ 3 log 3

p log p

hat man den Grenzwert

lim

-i

71 = CC

Kapitel VIII.

Konvergenz und Divergenz gewisser Reihen.

§ 35. Satz von Leibniz über alternierende Reihen.

Über Reihen mit alternierenden Gliedern hat Leibniz¹) den folgenden Satz gegeben:

I. Wenn die positiven Zahlen un monoton atmehmen und dem Grenzwerte 0 zustreben, so konvergiert die alternierende Reihe

Uq — U-y -j~ U% — Mg -f" U^ — • • •.

(1)

Es ist in der Tat

± -ß*lP=-«w-**»+* + **n+3— + (- iy-xun+p< uH+1.

Beispiel 1. Bedeutet m eine positive ganze Zahl, so konvergieren die Reihen

v⁽—1)P_1

4 7p ’

%?(-! )P

l°gP

beide bedingt.

Es ist aber wohl zu beachten, daß die oben gegebene Bedingung für die Konvergenz der Reihe (1) zwar hinreichend, keineswegs aber notwendig ist.

1) Brief nach Johann Bernoulli, 10. Januar 1714. Werke (herausgegeben von Gerhardt) Bd. 3, II, p. 926.

Beispiel 2. Die Reihe

rH jiO

tH J GO

---^ +J-

¹ y2 yi

ist bedingt konvergent, obgleich die absoluten Beträge der Glieder nicht monoton abnehmen.

Beispiel 3. Die Reihe

___1__i__1____

x 4- 1 x 2 ‘ x 3 x -f à ‘ ist für endliche x, die nicht negativ ganz sind, bedingt konvergent.

Ist x > — 1 vorausgesetzt, so kann man direkt den Lehrsatz I anwenden ; für x < — 1 setze man — j? < æ < — p + 1; dann werden die Nenner von x p an sämtlich positiv, und der Satz I ist dann wieder anwendbar. Ist endlich x komplex, x = a -f- iß, so hat man

x-\- n

a-j-n — iß

(«4-«)²+ ß² ’

und somit ergibt sich

(2)

(-

p = o0

-s^(—i Y ¹(cc+p) Zj (cc+py + ß*

p = l

p= CO

+ tß'2^r+w+ßi'

Die letzte Summe kann unmittelbar nach dem Satze I behandelt werden; denn wenn p so groß gewählt ist, daß a    0 wird, so

werden die absoluten Beträge der Glieder abnehmend, dasselbe gilt auch für die erste Summe, wenn nur

(3)

a+P

(«-hpy+ß²

(a+p+iy + ß²

gemacht werden kann. Da die beiden Nenner positiv sind, erhält man aus (3) (u + p) (« + p 4- 1) > ß², und die Ungleichung (3) ist demnach sicher für p 4~ <x > ; ß j immer richtig.

83. Man soll die Divergenz der Reihe

tH tH

—4= + — —4 + -

y 2    ³    i/4    ⁵

nachweisen.

84. Für n ganz und größer als 1 divergiert die Reihe

— + —---¹- + —    +    —--

W/-    fl/-    ^ /—    fl/—    fl /- fl/-

yi y3    j/2 y 5    y7    yï

85. Man soll die Divergenz der Reihe

nachweisen.

y^+i

-L ...

86. Setzt man für positive a

₌ 1___l_ _i_

4“

<?“ i«    2“ ' 3“

so ist zu beweisen, daß 6a mit a monoton wächst und für a = oo den Grenzwert 1 bat.

§ 36. Methode der Reihenvergleichung.

Die Frage über Konvergenz und Divergenz einer vorgelegten Reihe kann bisweilen dadurch beantwortet werden, daß man die Reihe mit einer bekannten vergleicht, und zwar unter Zuhilfenahme der beiden folgenden Sätze:

I. Wenn die Glieder der beiden Reihen Hun und 2vn von einem gewissen n an sämtlich positiv sind, und zwar so, daß die un mit wachsendem n ihren Quotienten nach nicht langsamer abnehmen, speziell nicht größer sind, als die vn, so konvergiert die Reihe 2Jun sicher, wenn dies mit Uvn der Fall ist.

Setzt man in der Tat

Un = anVn,    + 1 =    + 1 V% + 1 , ■ • •

so ergibt die Ungleichung

Un + 1 ^ Vn +1

Un

Vn

daß an+1 <[ an sein muß, woraus

un+1 + un+2 H-----j- vn+p£an • (vn+1 + vn+2 + • • • vn+p)

hervorgeht, und damit ist unser Satz bewiesen.

Beispiel 1. Da

ns ^ (n — 1 )n’    s(s -f 1)    (s s + l)

- S = 1

ist, so konvergiert die Reihe

S = oo

S = 30

s= 1

Der Satz I kann noch dahin verallgemeinert werden, daß die Reihe 2un sicher unbedingt konvergiert, falls die | un | mit wachsendem n ihrem Quotienten nach nicht langsamer abnehmen als die positiven vn, und die Reihe Hvn noch konvergiert.

II. Wenn die Glieder der beiden Reihen 2Jun und 2Jvn von einem gewissen n an sämtlich positiv sind, und zwar so, daß die un mit wachsendem n ihren Quotienten nach nicht schneller abnehmen, speziell nicht kleiner sind, als die vn, so divergiert die Reihe 2Jun sicher, wenn dies mit Uvn der Fall ist.

Man findet in der Tat mit denselben Bezeichnungen wie vorher

un +1 + un + 2 H-----b vn+p^> an • (yn+1 + vn+2 H-----h vn+p).

Beispiel 2. Die Reihe

j_ !    ¹ i ¹

]/l'2T]/2-3T]/3-4

ist divergent; denn es ist für positive ganze n

> —-—

"w-1-1

~\/n(n -(-1)

Beispiel 3. Satz von Cauchy¹);

III. Die Reihe mit positiven Gliedern 2Jun konvergiert oder divergiert, je nachdem

(1)

lim sup i Yun | < 1

oder

ist.

n = co

lim inf | }/un | > 1

71 = GO

Im ersten Falle ist es nämlich möglich eine solche positive Zahl X anzugeben, daß für w N immer

(2)

i + i’

wird; im zweiten Falle findet man mit denselben Bezeichnungen

(3)

I VUn I > 1    ^ 7 Un > (1 +    •

In (2) nehmen die un rascher ab als die Glieder einer konvergenten geometrischen Reihe; in (3) wachsen die un aber rascher als die Glieder einer divergenten Reihe.

87.    Für die Reihen mit positiven Gliedern 2Jun und £vn gilt von einem gewissen n an die Beziehung un— un+1<j, vn — vn+1 ; darf man hieraus schließen, daß die Reihe 2un konvergiert, wenn man weiß, daß 2Jvn diese Eigenschaft hat? Beispiel un = l-\-n-s, vn = n~\

88.    Man soll die Divergenz der Reihe

2 • 3 ' 3 • 4 ' 4-5

nachweisen.

89.    Es ist zu beweisen, daß die Reihe (— l)”⁻¹ sin bedingt konvergiert.

90.    Man hat für jedes endliche x die Divergenz der beiden Reihen

cos

nachzuweisen.

1) Analyse algébrique, p. 133; 1821.

§ 37. Methode von Bernoulli, Nicole, Abel und Pringsheim. Jakob. Bernoulli¹) und Nicole²) haben durch einige Beispiele ein Verfahren, daß in dem folgenden Satz gipfelt, angegeben:

I. Die Zahlenfolge

(1)

«07 «17 «2 7    ' '7 «m7

und die unendliche Reihe mit dem allgemeinen Gliede

Un + 1 ⁼ «w    «« + 17 «0 ⁼ «0

sind gleichseitig konvergent, divergent oder oszillierend. Für die Partialsumme sn hat man in der Tat

Sn = U0 + Ul + * * * + Un = «0 ~ ««7    ⁵0 = «07

woraus umgekehrt der Ausdruck

(2)

(3)

(4)

«» S0 Sn7 «0 S0

hergeleitet werden kann; damit ist unser Satz aber bewiesen.

Konvergiert nun z. B. die Zahlenfolge (1), so hat man wegen (3) lims„= o₀— lim an,

(5)

n— co

n = oo

während die Konvergenz der Reihe wegen (4) das ähnliche Resultat

lim an=s₀— lim

(6)

liefert.

n— co

n— co

Um dies Verfahren anwenden zu können kommt es also darauf an die einzelnen Reihenglieder in Differenzen von der Form (2) zu zerspalten.

Der Satz I kann auch folgendermaßen ausgedrückt werden.

II. Wenn die Zahlenfolge (1) divergiert, und wenn kein einziges ihrer Elemente den Wert Null hat, so konvergiert die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

(7)

Un =

an + l~an

an

an + l

anan+l

Aus II findet man nun ohne Mühe den weiteren Satz, den man in seiner Vollständigkeit Pringsheim³) verdankt:

III. Wenn die Zahlenfolge (1) mit lauter positiven Elementen monoton wachsend und divergent ist, so konvergiert die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

1)    Opera Bd. I, p. 389, 523.

2)    Histoire de l’Académie (Paris) 1727, p. 257—268.

3)    Mathematische Annalen, Bd. 35, p. 329; 1890.

an+l-an?

(8)

immer, wenn der Exponent q positiv angenommen wird.

Da q >• 0 vorausgesetzt wird, so konvergiert die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

Vn

< + i~<

nun hat man aber

— g» _ a« + i~aw

wo un das Reihenglied (8) bezeichnet, während der Kürze halber

(9)

Vn

¹~⁽ln

'Un,

<2

n

®«+i

gesetzt worden ist.

Nun kann die obere Grenze der Zahlenfolge

ff»+1

dn + 2,

niemals die Einheit übersteigen; die obere und untere Grenze 6r und g der anderen Zahlenfolge

l — o?

1 — q y

im

ün + 3,

deren Elemente sämtlich positiv sind, sind daher wegen § 24 (19) immer endlich bzw. größer als 0, und man hat nun wegen (9)

vn>g-un,

woraus für jedes p

vn+i+vn+2 + --- + vn+p^g(u

+ Un + 2 H-----b Un + p)

folgt, und damit ist unser Satz bewiesen, weil g > 0 ist.

Spezialfälle des Pringsheimschen Satzes kommen mehrmals in der Literatur vor; hier erwähnen wir einige von Abel¹) betrachtete Spezialfälle:

Setzt man an= n, und beachtet man die Ungleichung

un

(w+ 1)1 + ? '

(n + 1 )vfi

so erhält man den von Cauchy²) gefundenen spezielleren Satz: IV. Eie unendliche Reihe

1)    Œuvres Bd. II, p. 198.

2)    Analyse algébrique, p. 137; 1821.

- ¹--1--¹—j—¹    ----

(10)

D + P    21 + ^    31 + P    41 + P

konvergiert für q > 0, divergiert aber für q <i 0.

Für q — 0 ist die Reihe (10) die harmonische, also divergent; sie muß daher um so mehr für negative q divergieren.

Aus (8) findet man den anderen Satz von Abel:

V. Ist 2Jun eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, und ist sn = uo + ui + ‘ ' ’ + un> so konvergiert die Reihe Uun ■ sn~¹~a, wenn a positiv ist.

Setzt man in der Tat sn= an, so ist un = an—aM_1; während s»s»-i<s*+e ist.

Setzt man in § 23 (9) a = n + 1, b = n, so entfließen für hinlänglich große n die Ungleichungen

n logn logä (n) ■ • • logr(n)

(n -fi 1) log in -f-1) logg (n +1) • • • logr (n -f-1) (logr + x (n + 1))¹ + ?    (logr + L{n +1))?

lQgr + l(n)

+ i>

(logr + 1(w + l))?

woraus der neue Satz hergeleitet werden kann:

YI. Die unendliche Reihe mit dem allgemeinen Gliede

au

n log n log₂ (»)••• logr _ ± (n) (logr (n))¹ + ?

konvergiert für q > 0, divergiert aber für q ff 0.

Dieser Satz war schon Abel¹) bekannt, wurde aber von ihm selbst nicht publiziert; er scheint zum ersten Male von Betrand²) veröffentlicht zu sein.

Der Satz YI kann übrigens dahin verallgemeinert werden, daß die positive ganze Zahl r nicht denselben Wert für sämtliche Reihenglieder zu haben braucht, sondern sie kann vielmehr mit n variieren, vorausgesetzt, daß sie für jedes n endlich bleibt.

Setzt man nämlich in (11) rn anstatt r und q positiv, so sind die positiven Glieder dieser Reihe nicht größer als diejenigen der konvergenten Reihe, für welche r konstant ist und den Maximalwert von rn hat; ist aber q 0, so sind die positiven Glieder unserer Reihe nicht kleiner als diejenigen der divergenten Reihe, für welche r konstant ist und mit dem Maximalwert von rn zusammenfällt.

Diese Reihen mit veränderlichem r liefern demnach Beispiele von konvergenten oder divergenten Reihen, deren Glieder, die nach einem einfachen Gesetze zn bilden sind, sämtlich positiv sind aber in willkürlicher Weise zu- und abnehmen mit wachsendem Stellenzeiger.

Der Satz VI gestattet uns noch weiter eine sonderbare Konvergenzbedingung, die in der älteren Reihenlehre vorkommt, abzufertigen*, man hat in der Tat behauptet, daß die Reihe mit positiven Gliedern 2Jun dann und nur dann konvergieren könnte, wenn

(12)

lim (n • un) = 0

wäre.

n = Qo

Daß diese Bedingung nicht notwendig sein kann, liegt auf der Hand; setzt man in der Tat

wo in den zwei ersten Definitionen n nicht quadratisch sein darf, so konvergiert die Reihe 2Jun sicher wegen IV, und dennoch hat man für gewisse n

lim (n ■ un) = 1, lim (n • mJ = oo ;

71 = CO

71= 00

der Grenzwert (12) existiert somit nicht in diesem Palle, und doch ist unsere Reihe konvergent.

Daß die Bedingung (12) auch nicht hinreichend sein kann, bewies Abel¹) durch die Reihe (11) für r — 1, q = 0; denn die Glieder dieser divergenten Reihe genügen doch der Bedingung (12).

Als weiteres Beispiel wollen wir noch den für a > 0 und a + ß > 1 gültigen Grenzwert

)]-°

(13)

lim

71= CG \JYh

herleiten; ist l<A<!w, so hat man offenbar für d positiv und a

_ .    ¹    <* A . ¹—-

na-r?    nd na~⁶-r^ nS ra+^~⁰’

woraus

r = ti

na' 2 r‘9<nä ' 2r°‘+li~ä

r = 1

folgt; wählt man nun ô so klein, daß auch a -f- ß ]> 1 + d wird, so folgt (13) unmittelbar aus dem Satze IV.

91.    Wenn die positiven Glieder der unendlichen Reihe Uun monoton abnehmen, so konvergiert diese Reihe sicher, wenn lim (n un) = 0 für n — oo ist, und wenn außerdem diese andere Reihe 2Jn(un—un+1) konvergiert.

92.    Wenn die Reihe mit reellen Gliedern Zun konvergiert, und die Zahlenfolge

uv 2m₂, 3%,

einen Grenzwert hat, also entweder konvergiert oder eigentlich divergiert, so hat man diesen Grenzwert zu bestimmen.

93. Es ist die für x 4= 0 gültige Formel

g _1_____________________

x -j- 1 ‘ 0» -f- l)(2x -j- 1)    (2x -f- l)(Sx -|- 1)

zu beweisen (Jakob Bernoulli³)).

94. Man soll die unendliche Reihe

ai    i

ai +¹

a₂

a₃

(«1 -f- 1) («2 + !)    (ai + !) (a2 + !) (as ~h !)

untersuchen.

95.    Für positive a und ß und a + ß > 1 hat man den Grenzwert

~ l ,__l__

_nt ■ li» ⁺ (n — 1)“ • 2^

«*

96.    Für « > 1 und a -f- ß > 2 konvergiert die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

lim

n = co

= 0.

(ot —

-i/)'

97. Setzt man der Kürze halber, wie

ripJ

n,p

= Mn + 1 -hWn + 2 + * ‘ * + U

so behauptete Euler⁴), daß die Reihe Uun dann und nur dann konvergieren könnte, wenn für n^>N immer | B'n [ < p ist-, mit Pringsheim³) soll man unter Anwendung der Reihe § 37 (11) für r = 1, q = 0 nach weisen, daß diese notwendige Bedingung keine hinreichende sein kann, wenn p endlich gehalten wird.

§ 38. Sätze von Abel, Dini und Jensen.

Unter Zuhilfenahme seines Grenzsatzes § 19, I hat Jensen einen sehr allgemeinen Reihensatz hergeleitet.

Es sei in der Tat 2Jun eine willkürliche konvergente Reihe, während die Zahlen an den beiden Bedingungen § 19 (1) und (2) genügen, d. h.

(1)

lim | an | = oo,

n = oo

(2) |Oi | + |«8-«il+ | «8 — 0*1+ • • • +| «*-«„_! |<-B.|«J, wo B eine feste von n unabhängige positive Konstante bezeichnet, so hat man, indem man § 19,1 auf s₁s₂s₃ ...sn anwendet und bemerkt, daß sn— sn_₁ = un ist:

(3)

lim (

n — oo '

«i u₁ + a₂ u₂ + • • •

an

+ an Un'\j _ Q

(4)

Setzt man demnach für jedes n

«»«» = axux + a₂u₂ H-----b anun, lim an = 0

n = oo

so ist auch

an-lan-l = aiUl + a2U2 + ‘ ’ ' + an-lUn-l>

woraus nach Subtraktion von (4) und Division durch an:

(5)

Un =

^n Kn ®n — lan — l

an

folgt; da nun die Reihe Uun jedenfalls nur dann konvergieren kann, wenn an mit unbegrenzt wachsendem n dem Grenzwerte 0 zustrebt, so hat man, wenn man in (5), für jedes n, un = 1 setzt, den Satz von J ensen:¹)

I. Wenn die Zahlen an den beiden Bedingungen (1) und (2) Genüge leisten, sonst aber ganz willkürlich sind, so ist die Beihe

71 = GO

(6)

2-

— «n-1

71 = 1

«*

immer divergent.

Aus diesem Satze kann man nunmehr unmittelbar verschiedene andere interessante Folgei’ungen über Reihen herleiten.

Ist 2Jun eine willkürliche divergente Reihe mit positiven Gliedern, so genügen die Partialsummen

Sn = U1 + U2 + US + ’ ' ‘ + Un

den beiden Bedingungen (1) und (2); man hat ja in der Tat S1 + 0*2 Sl) + (,S3 Ss) + ' ‘ ’ + (Sn Sn-1) ⁼ $n

und brau eilt also nur B > 1 anzunehmen; da nun sn—sn_₁—un ist, so erhält man aus I den spezielleren Satz von Dini:⁵)

II. Ist Bun eine willkürliche divergente Beihe mit positiven Gliedern, so divergiert auch die Beihe

n — co

00

2~’

Sn

Sn =    -f- % -f • • • -(- Un .

Aus dem Dini sehen Satze folgt unmittelbar ein anderer, der von Abel⁶) herrührt; es ist in der Tat für cci> 0

Sn ^ Sn-1 ^ Sn- 1 ,

woraus der Abel sehe Satz hervorgeht:

III. Ist 2Jun eine willkürliche divergente Beihe mit positiven Gliedern, und wird cci>0 vorausgesetzt, so divergiert auch die Beihe

Un

un

gl“« bn- 1

n = oo

(8)

y Un

s⁵““'

Es sei endlich Uun eine willkürliche konvergente Reihe mit positiven Gliedern; dann darf man in (6)

=    «*n+i>0

In =

un +1 + un + 2 H----

einführen, und somit entfließt der weitere Satz von Dini:⁷)

IY. Ist Eun eine willkürliche konvergente Beihe mit positiven Gliedern, so divergieren immer die Beihen

n — go

n = oo

(9)

'S? *n < X^ Un

Rn--\    Bn ’

n = 1 «    n = l n

p=co

K~2jUr.

98. Mit den Bezeichnungen in § 38 (9) hat man die Reihe

n = co

%

= 1 ⁷⁴

in denjenigen Fällen zu untersuchen, wo die ursprüngliche konvergente Reihe mit positiven Gliedern Uun 1) die Reihe für e, 2) die geometrische Reihe Uqn, 0 < q < 1, 3) die Reihe

Un

-2

ist.

99. Man hat die Reihe in Aufgabe 98 in demjenigen Falle zu untersuchen, wo für jedes n, un = e~na, a reell, angenommen wird.

§ 39. Sätze von du Bois Reymond und Dedekind.

Als Verallgemeinerung desjenigen in § 15 dargestellten Hilfssatzes von Abel haben wir die folgenden zwei Sätze, die beinahe gleichzeitig von P. du Bois Reymond⁸) und Dedekind⁹) gefunden worden sind:

I. Es seien aQa₁a₂ • • l₀W •••&„••• zwei unendliche Folgen willkürlicher komplexer Zahlen, die nur denjenigen Bedingungen genügen, daß die leiden Reihen

n= co

71 = CO

(1)

2jan<

n = 0

konvergieren, so konvergiert auch die Reihe ZJanbn.

Setzt man der Kürze halber

n,p ~ an + l^n + l “1“ ⁽U + 2^» + 2    ’ " ‘ 4" an+p^n+p

Sn=== a0 +    + tt2 + ‘ ‘ ’ + an, Sw + 1 — Sn = an +1 1

so hat man unmittelbar

n,p ⁼ (Sn + 1    Sti)^n +1    (Sn + 2    S« + l)^ra + 2 + * ’ ’ 8" (Sn

woraus nach einer einfachen Umschreibung folgt:

q = p-l

^n+p — l) ^n+p ?

(2)

n,p (ßn+p^n+p

*A+»)+ 2s»₊,(-b

n+q

2 = 1

Da nun die erste Reihe (1) konvergiert, so hat man für jedes n

¹

   Œuvres Bd. II, p. 200.

²

   Journal de Mathématiques. Bd. 7, p. 98; 1842.

³

   Opera Bd. I, p. 522.

⁴

   Commentarii Academiae Petropolitanae, Bd. 7, p. 152—153; (1734—1735)

⁵

   Sülle serie a termini positivi, p. 9. Annali Univ. Toscana. Bd. 9; 1867.

⁶

   Œuvres, Bd. II, p. 198.

⁷

   loc. cit. p. 7.

⁸

   Neue Lehrsätze über die Summen unendlicher Reihen, p. 10.

Programm, Freiburg 1871.

⁹

   Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie § 101, 3. Aufl. 1879.

(3)

wo A eine endliche positive Zahl bedeutet; daher muß die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

Sm(Pm ^m + l)

absolut konvergieren, weil dies mit der zweiten Reihe (2) der Fall ist; für nj>N hat man daher immer

q—p—l

(4)

2 S« + q(b

- I,

) <T-

I 2 = 1

Aus der Identität¹ 2)

Antritts-

-K) = h-K

(Po —    + (^1 — ^2) ^----+ (pn

schließt man nun weiter, daß die Reihe linker Hand absolut konvergieren muß, wenn man n über jede Grenze hinauswachsen läßt; denn dies ist ja nur die Forderung über die zweite Reihe (1); die Zahl bn muß daher für n = 00 einem endlichen und bestimmten Grenzwerte zu streben; d. h. die Zahlenfolge

^0 ? ^1 ; ^2 ) "    7

-1

muß eine Fundamentalreihe sein. Da die Folge

S0’ Sl> S2> * ' * Sn1 ' ‘ ’) Sn = a0 + % + °2 + * * * +

auch wegen der Konvergenz der ersten Reihe (1) eine Fundamentalreihe ist, so müssen die beiden Zahlenfolgen mit den allgemeinen Gliedern snbn und snbn + 1 denselben Grenzwert haben; es ist demnach auch für n>N immer

! ^n+p^n+p $nPn +1 ! "^ 2 ;

und, somit, indem p eine willkürliche positive ganze Zahl ist, für n^>N immer | B | < d. h. die Reihe Eanbn ist konvergent.

man nun auch unmittelbar den folgen-

Aus (2) und (3) findet

den Satz:

II. Es seien aQa₁a₂ • • • an ■ • •, b^b^b^    zwei unendliche

Folgen willkürlicher komplexer Zahlen, die nur den drei folgenden Bedingungen genügen:

(5)

lim bn = 0

n = co

die Beihe El bn — bn+1 j ist konvergent, und die Beihe Ean oszilliert zwischen endlichen Grenzen; dann konvergiert die Beihe Zanbn.

Der vorhergehende Beweis ist ungeändert anwendbar, wenn man nur bemerkt, daß wegen (5) die Zahlenfolge mit dem allgemeinen Elemente snb

eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte 0 ist.

100. Für a > 0 und a -f- ß > 1 konvergiert die unendliche Reihe mit dem allgemeinen Gliede

₍-ir

(tV ⁺

v+-+

n>2.

101. Wenn 2J\an — an+1\ konvergiert, und liman = 0 für n= oo ist, so konvergieren die beiden Reihen Eancosnx und Eansmnx immer, wenn x kein Vielfaches von 2it ist.

n⁰¹

(n —

102.    Es ist zu beweisen, daß die Reihe

2log2 3 log3    4 log4

x-\- 1 X -f- 2    ' X -f- 3

für jeden endlichen Wert von konvergiert.

103.    Wenn die an von x sämtlich unabhängig sind, und die Reihe

(— l)n n logw

x, der nicht negativ ganz ist,

__i____-A__L a»

x-\-l ' x-\- 2 ' x-\- 3

für einen endlichen Wert von x konvergiert, so konvergiert sie für jedes endliche x, das nicht negativ ganz ist. Wie verhält sich diese Reihe für einen solchen Ausnahmewert von x?

104. Es ist zu beweisen, daß die beiden Reihen mit positiven Gliedern

x-\-n

71 = 00

71 = GO

^7 cos*nx    STI sin²wæ

n ’    n

71 = 1

71 = 1

divergieren.

105. Wenn sowohl Ean als E | bn — bn+1\ konvergieren, so konvergiert auch die Reihe EaJ)?, p positiv ganz. (Jensen.)³ 4)

konvergiert, und lim bn = 0 für n = oo ist, so konvergiert die Reihe E{— V)nbvn, p positiv ganz (Jensen.)³)

106. Wenn die Reihe E\ bn—b

Kapitel IX.

Elementare Konvergenzkriterien.

§ 40. Sätze von Cauchy, Raabe und Kummer.

Kummer²) hat den ebenso merkwürdigen wie fundamentalen Satz gefunden:

I. Die Beihe mit positiven Gliedern Eun ist immer konvergent, wenn es möglich ist eine solche Zahlenfolge mit positiven Elementen

<Po> <Pi> <Pz> %>'••» <Pn ' • • zu bestimmen, daß für nj>N immer

(1)

(2)

un

wird.

un + 1

- <Pn +

Da die Glieder un sämtlich positiv sind, ergibt sich wegen (2)

<PnUn

Tn+l^n+l

- cpn + 1un+1^ aun+1

~ CPn + 2Un+2 ^ aUn + 2

<Pn + p-lUn+p-l    IPn+p^n +p~= ^^n+p »

woraus durch Addition hervorgeht:

(3)

<PnUn~ <Pn+pUn + p> « * K + l + Un + 2 + * * ' + Un + p) •

Da nun die Summe rechter Hand in (3) positiv ist, so muß die Differenz linker Hand offenbar dieselbe Eigenschaft besitzen; es ist daher für jedes p

(4)

Un + \ + W„ ₊ 2 + • ' • +    " '

die Reihensumme linker Hand muß daher endlich sein, wie groß auch p angenommen wird, und daraus folgt unmittelbar die Konvergenz unserer Reihe, weil sie nicht oszillieren kann.

Kummer⁵) hat auch den folgenden Divergenzsatz aufgestellt:

II. Die Reihe mit positiven Gliedern Eun ist immer divergent, wenn man die Zahlenfolge (1) mit positiven Elementen so bestimmen kann, daß für n > N immer

- <Pn+x < 0

(5)

<Pn *

un + l

wird, und wenn die Reihe El : (pn außerdem divergiert. Aus (5) erhält man in der Tat unmittelbar

un +1

d. h., daß die Glieder der Reihe Eu-n ihren Quotienten nach langsamer abnehmen als diejenigen der divergenten Reihe El : cpn.

Die von Kummer geforderte weitere Bedingung über die Zahlen

folge (1):

lim (<PnUn) = ⁰

n — go

ist also, wie Dini⁶) zum ersten Male bewiesen hat, nicht notwendig. In §56 beweisen wir, daß wir auch im Kummerschen Kon-

vergenzkriterium nur solche Zahlenfolgen (1) zu benutzen brauchen, für welche die Reihe 2J 1 : cpn divergiert.

Aus den Sätzen I und II leitet man nunmehr verschiedene ältere aber viel speziellere Konvergenz- und Divergenzkriterien unmittelbar ab.

Setzt man in der Tat in (2) und (5) cpn = 1, so erhält man den Satz von Cauchy:⁷)

III. Die Reihe mit positiven Gliedern Zun konvergiert oder divergiert, je nachdem

(6)

un

lim inf

n= co Un + x

> 1 oder lim sup

3t

<1

n = co

ist.

un +1 =

Ist die Zahlenfolge mit dem allgemeinen Glied un : un+1 konvergent mit dem Grenzwerte 1, so wird der Satz von Cauchy hinfällig; in diesem Falle setzen wir in (2) und (5) <pn= n und erhalten dann unmittelbar den folgenden von Raabe⁸) gefundenen, von Duhamel⁹) aber wiedergefundenen Satz:

IY. Hat man für die Reihe mit positiven Gliedern Zun eine Entwicklung von der Form:

(7)

Wn

U,+1

so konvergiert oder divergiert unsere Reihe, je nachdem a > 0 oder u < 0 ist.

Dieser Satz wird unbrauchbar für a = 0; über diesen Fall hat Raabe¹⁰) den folgenden Hilfssatz gegeben:

V. Hat man für die Reihe mit positiven Gliedern Zun eine Ent-wicklung von der Form

(8)

'U'n

un +1

-¹⁺ł+„A

endlich ist, während Ö eine willkürlich kleine, aber angebbare,

wo a

positive Zahl bezeichnet, so divergiert die Reihe Zun immer.

Setzt man in der Tat in (5) (pn = nlogn, so divergiert die

ist, indem wir der Kürze halber

(2)

Reihe U1 : cpn und man findet wegen (8) n log n •

un +1

(n + 1) log (n + 1) =

woraus

= (» + !) log n — (w + 1) log (n + 1) +

= -(n+ l)log(l +^-) +

a lo gn

un <Pn

un +1

hervorgeht, und der Ausdruck rechter Hand ist hier für n hinlänglich groß negativ und hat für n = oo den Grenzwert — 1, wie dies deutlich den Formeln §23, (20) und §24, (17) hervorgeht.

— <Pn +1

aus

107.    Es ist die Divergenz der Reihe 2Jn n nachzuweisen.

108.    Konvergenzsatz von Gauß¹): Wenn die Reihe mit positiven Gliedern 2Jun eine Darstellung von der Form

un

np -j- ai n%>    1 + • • • + aP

un + l

np + 6X nv

wo p eine positive ganze Zahl bedeutet, gestattet, so konvergiert oder divergiert diese Reihe, je nachdem al — bx > 1 oder ax — b₁ <1 1 ist.

109. Man hat die Reihe

«(« + !)•/? Qg-f-1)

1 • ² • 7 (.7 + D

1 • 2 • 3 • y (y + 1) (y 4- 2)

für reelle cc, ß und y zu untersuchen.

§ 41. Das logarithmische Kriterium.

In demjenigen Falle, wo der Satz von Raabe versagt, hat man das sogenannte logarithmische Kriterium:

I. Die Reihe mit positiven Gliedern Uun konvergiert oder divergiert, je nachdem

(1)

lim inf

n = oo

logwty

logv (»)

> 0 oder lim sup

log (1 : UJ

n = cc

logr {n)

<0

Ün = V, ■ n log n log₃ (») ... logr_ ! (n)

gesetzt haben.

1) Disquisitiones generales circa seriem infinitam etc. § 16. Comment. Gotting. 1813. Werke Bd. III.

Bezeichnet nämlich an für ein bestimmtes n den in (1) verkommenden Bruch, so hat man wegen (2)

log un -f log n + log₂ (n)-\-----b logr (n) = - an logr (n),

woraus

(3)

^ _ _____

n n log n logg (n).. . logr _ x (n) (log (w) ) i + «« hervorgeht, und unser Satz ist demnach eine Folge des in § 37 gegebenen spezielleren Satzes YI.

Dies Konvergenzkriterium war schon Abel¹) bekannt, ist aber von Bertrand²) wiedergefunden worden; es ist jedoch zu bemerken, daß de Morgan³) etwas früher einen ähnlichen Satz gegeben hat.

Wie Bertrand⁴) bemerkt, kann der Satz I auch folgendermaßen ausgesprochen werden:

II. Wenn in dm folgenden Ausdrücken

Vn + 1

(4)

log n I n

Un

Un + 1

log, (») (log n (n (

“*

Un + 1

kr die erste der Zahlen k bedeutet, die nicht für n = oc dem Grenzwerte 1 zustrebt, so konvergiert oder divergiert die Heike mit positiven Gliedern 2un, je nachdem kr > 1 oder kr < 1 ist.

Ist schon lim k₀ =4= 1 für n = oo, so fällt der Satz II mit demjenigen von Raabe zusammen.

Es sei nun aber lim kr + i = 1 für n = oo nicht der Einheit gleich, dann hat man wegen (4)

p = r

Un + 1

_i ₊ l+ y_¹__

n    n log n log*, (») • • • log^ (n)

n log n logg (%)••• logr + x(w) ?

1)    Œuvres Bd. II, p. 201.

2)    Journal de Mathématiques Bd. 7, p. 42; 1842.

3)    Differential and integral calculus; London 1839.

4)    loc. cit. p. 43.

während (3) diesen anderen Ausdruck

(6)

nn + 1

/l , M dog (n-j- 1) log₂ in 4-1) V ' n / log n    log₂ (n)

logr (n -j- 1)

logr («)

loSr + i(n + DV+ a» logr + ! (n)    /

liefert; aus der Formel § 23, (20) findet man aber

(7)log(»+l)-log» + log(l + L) -log#.(l    ),

wo a für unbegrenzt wachsendes n stets endlich bleibt; durch dasselbe Verfahren erhält man dann wegen (7)

log₂ (»+!)= log₂ (») (l +

n log n log₂ (n)

wo ß auch für unbegrenzt wachsendes n endlich bleibt.

ln dieser Weise kann man nun beliebig oft fortfahren; dadurch erhält man durch vollständige Induktion die allgemeine Formel

(8) logp (»+!) = log p (n) (l +

n log n log₂ (n) • • • log^ (n)

wo A für unbegrenzt wachsendes n stets endlich bleibt.

Aus    (8) findet man aber wegen § 24, (18)

____¹ + an__.

n log n log₂ (n) ■ ■ • log^ (n) '

setzt man demnach in (8) nacheinander p. = 1,2, 3, ■ -■, r und in (9) p — r + 1, so ergibt die Multiplikation aller so erhaltenen Gleichungen in Verbindung mit (6)

r    a°g,(»+i)\

W V log In) J

¹+an

(10)

Un + 1

p = r

_₁₊i+ y_

n    n log n log₂ (n) • ■ ■ log^ in)

¹ + an    .03

n log n ' log,. ₊₁ (»)

woraus wegen (5) das gewünschte Resultat

lim (1 -f aH — kr +1) = 0

(H)

n — oo

hervorgeht; die Sätze I und II sind somit identisch.

Das logarithmische Kriterium ist auch von Bonnet¹), Bofclnia-kovsky²) und v. Paucker³) untersucht worden.

1)    Journal de Mathématiques Bd. 8, p. 73—109; 1843.

2)    Wahrscheinlichkeitsrechnung (Russisch) St. Petersburg 1846. (Zitat nach v. Paucker).

3)    Journal für Mathematik Bd. 42, p. 138—150; 1851.

Wir können nickt die vorhergehenden elementaren Kriterien verlassen ohne auf den außerordentlich elementaren Charakter der Sätze von Cauchy, Raabe und Bertrand ausdrücklich aufmerksam zu machen; die Anwendungen dieser Sätze setzen ja stillschweigend voraus, daß die Reihenglieder eine monoton abnehmende Zahlenfolge bilden, während dies bei dem Kummerschen Satze nicht der Fall ist.

Nun haben wir aber gesehen, daß bei Reihen mit positiven Gliedern, wie bei unbedingt konvergenten Reihen überhaupt, die Anordnung der Reihenglieder eine ganz willkürliche ist!

Dies ist aber noch nicht alles: setzt man nämlich mit Prings-

heim¹)

₌ (§r

U2n

M2»tl

_ (ir

2w+ 1 ’

: dennoch

so konvergiert diese Reihe, und es ist immer un > un hat man

lim

n = oo U2n

= 1, lim ~2 n + 2 = 0 00 U2n + 1

so daß keiner der obengenannten drei Sätze auf diese Reihe anwendbar ist.

Wir haben daher später (in Kapitel XIII) eine allgemeine Theorie der Reihen mit positiven Gliedern zu entwickeln.

Über das logarithmische Kriterium vergleiche man übrigens § 52. Die allgemeine Theorie der Konvergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern ist von Di ni²) und P. du Bois Reymond³) angebahnt, von Pringsheim⁴) entwickelt worden; man vergleiche auch das Lehrbuch von Borei⁵).

110. Es ist zu beweisen, daß die Reihe

n = co

na

^(w + 1)

wo a und ß reell sind, konvergiert oder divergiert, je nachdem ß > 1 oder ß 1 ist. (Raabe⁶) und Bertrand⁷).)

1)    Mathematische Annalen Bd. 35, p. 310; 1890.

2)    Sülle serie e termini positivi. Pisa 1867. Annali Univ. Toscana Bd. 9; 1867.

3)    Journal für Mathematik Bd. 76, p. 61—91; 1873.

4)    Mathematische Annalen Bd. 35, p. 297—394; 1890.

5)    Leçons sur les séries à termes positifs Paris 1902.

6)    Journal de Mathématiques Bd. 6, p. 87; 1841.

7)    Ebenda, Bd. 7, p. 52; 1842.

111. Setzt man der Kürze halber X (n) = konvergiert oder divergiert die Reihe

vH I tH

ŁO H*

n = Qo

2e

je nachdem a > 1 oder a 1 ist.

112. Wenn die Zahlen px p₂ p₃ ... pn ... von einem gewissen n an der Bedingung

p) ——• -

A lo%Pn+B’

wo A und B feste, von n unabhängige Konstanten bezeichnen, Genüge leisten, so konvergiert oder divergiert die Reihe 2p~a, je nachdem a 1 oder ce < 1 ist (Bonnet¹¹)).

113. Sind die pn dieselben Zahlen wie in Aufgabe 112, so konvergiert oder divergiert die Reihe

^pjogpjog^pj... iogr(pn) (iogr+1 (pjy >

je nachdem ce 1 oder a < 1 ist. (Bonnet¹²)).

§ 42. Reihen mit komplexen Gliedern. Satz von Weierstraß.

Die Sätze von Cauchy und Raabe lassen sich ohne Schwierigkeit auf unbedingt konvergente Reihen mit willkürlichen komplexen Gliedern erweitern.

Aus dem Cauchyschen Satze erhalten wir unmittelbar:

I. Die Reihe mit willkürlichen Gliedern 2 un ist unbedingt konvergent, wenn

(1)

lim. inf.

un

h*

ist.

n — oc

un +1

Aus dem Raabeschen Satze erhalten wir in ähnlicher Weise den folgenden:

II. Hat man eine Entwicklung von der Form

(2)

un

y -j-tÆ

un +1

so ist die Reihe mit willkürlichen Gliedern £ un unbedingt konvergent für u > 1.

Aus (2) erhält man in der Tat

-+V¹+v + £«

un +1

woraus wegen §24, (18) folgt:

un

un + l

Andererseits bemerken wir ausdrücklich, daß wir kein allgemeines Mittel zur Untersuchung bedingt konvergenter Reihen besitzen. In diesem Zusammenhang haben wir aber den folgenden Satz von Weierstraß¹) zu beweisen:

III. Besteht die Entwicklung (2), so konvergiert die Reihe £ (— 1)” un für a positiv, während die Reihe mit positiven Gliedern S | u2 n — u2 n ₊₁ konvergiert oder divergiert, je nachdem a > 0 oder u < 0 ist.

Betrachten wir zuerst die Reihe mit positiven Gliedern, so hat man erstens wegen (2)

7 -j- iä

+ iß +

Un U2n uin+l

IH

weiter ergibt die Identität

(3)

.1

2 n-j-p    2 n

4n²    8w³

₊ ...

p < 2n

dann nach einer einfachen Division

(4)

U2n + 1

endlich ist

U2n+3

U2 n +1 __    n +1 ₄ U2n + 2

M2« + 3 W2n + 2 W2n + s’

woraus

wegen (2) und (3)

« + iß j____

n

U2n + l _ J _j_

W2n + 3

hervorgeht, und demnach erhält man aus (4)

U2n~U2n + l

1 -j- cc -f- iß

U2n + 2 U2 n + 3

1) Journal für Math. Bd. 51; 1856. Abhandlungen aus der Funktionenlehre, p. 220. Werke Bd. I, p. 185.

Die Reihe 2 \ u2n — w2m+11 ist daher wegen II konvergent für a > 0 aber divergent für u <1 0.

Was nun die Reihe 2 (— l)n un betrifft, so hat man

p = 2n + 1

2 (~¹)pup⁼    ip+i)

p = 2n 2 (“ X)P up⁼ 2 (utr~ u*p + i) +

p = 0    fi = 0

es liegt uns daher nur ob zu beweisen, daß lim un für n = oo gleich Null ist.

Da a > 0 vorausgesetzt wird, so hat man wegen (2)

&>0; .

Un

un +1

setzt man demnach in diese Ungleichung nacheinander n + 1, n + 2, ..., n -f p anstatt n, so erhält man durch vollständige Induktion, indem man die so erhaltenen Gleichungen multipliziert:

i_y

n ~h P + 1/ ’

!> 1 +h (» + 1 ' » + 2

un

' un+p + l ¹

da nun hier n eine bestimmte positive ganze Zahl ist, während p beliebig groß angenommen werden darf, so divergiert die Reihe rechter Hand für unbegrenzt wachsendes p, d. h. um muß für m = oo den Grenzwert 0 haben.

Über Reihen mit komplexen Gliedern vergleiche man die Abhandlung von Pringsheim¹).

Kapitel X.

Multiplikation unendlicher Reihen.

§ 43. Sätze von Caucby, Abel, Mertens und Cesàro.

(i)

Sind sn und tn Partialsummen der zwei konvergenten Reihen 5 = uo "h % -j- u₂ + • • • + un -f- • ■ • t — vq + vi + vi + * • • P vn -p •

und bezeichnen

Poi Pd P%> • • -yPmy • • •

Q-Oi’Q-l) Ö2 7 • • •} Qm) ' • •

1) Archiv der Mathematik und Physik (3) Bd. 4, p. 1—19; 1903.

zwei unendliche Folgen beständig wachsender positiver ganzer Zahlen, so ist die Zahlenfolge

(2)

'*Vo^'Jo⁷ ’ Pi ^2i * ' " ' ⁷

sicher eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte s ■ t.

Die Frage über die Darstellung als unendliche Reihe des Grenzwertes der Fundamentalreihe (2) hat Cauchy¹³) durch den folgenden Satz beantwortet:

I. Wenn die zu multiplizierenden Heiken (1) leide unbedingt konvergieren, so hat man für ihr Produkt die Reihenentwicklung:

(3)

st = w₀ + wx -f w₂ -4-----F wn 4----,

wo der Kürze halber für jedes n

(4) wn = u₀vn + u₁vn_₁ + • • • + %Vn_p H-----F K-lVl + UnVo

gesetzt worden ist.

Um die Caunhysche Produktreihe (3) näher zu untersuchen betrachten wir die Partialsumme

(5)

— wo “F -F w₂ H-----f-

beachtet man nun, daß das Glied up in Sn durch v₀, vlf ■ • -, vn_p und mit keinem anderen Gliede vq multipliziert vorkommt, so hat man offenbar

(6)

— Uofi + UxK-X + ' • * + U'Jo-

Ist nun Hun unbedingt, die Reihe Svn aber nur konvergent, so setze man

tn-p = t + Ön-p> P = ty 1, 2, . . •; m, m < 2 < m + 1 und erhält somit aus (6)

(7)

|    = * ' Sm + (M0    + UX ^n-X + ‘ • ' + Um^n-m)

1    +    ‘    + UJo) 5

es seien dann dn und Gn die oberen Grenzen der Zahlen |ów | und !tn_m_,l\\ dann hat man offenbar wegen (7)

(8)

I I    — tSm I ^    ' ( IU0 I + \Ux \ + ‘ * * + i Um ! )

1    + @n{\Um + l\ + ‘ • ⁻ + kJ)-

Da die Reihe 2J\ up konvergiert, so ist der zu gehörige Faktor rechter Hand in (8) stets endlich, während der zu Gn gehörige Faktor das Restglied einer konvergenten Reihe darstellt; dasselbe gilt für dn, während Gn für jedes n endlich bleibt; man hat daher den

lim S„ = s • t

Grenzwert

n = oc

oder den Satz von Mertens¹⁴), der denjenigen von Cauchy als Spezialfall enthält:

II. Die Cauchysche Produktformel (3) ist sicher dann anwendbar, wenn die zu multiplizierenden Reihen beide konvergieren und zwar mindestens die eine unbedingt.

Den obenstehenden Beweis verdankt man Jens en¹⁵); Cauchy hat seinen Satz bewiesen durch ein Verfahren analog mit demjenigen, welches wir in § 20 bei der Multiplikation von e? und ey angewendet haben.

Die Formel (6) gibt uns aber weitere Auskünfte über die Cauchysche Multiplikationsregel; setzt man in der Tat in dieser Formel nacheinander n — 1, n — 2, . . ., 2, 1, 0 anstatt n, so ergibt die Addition aller so erhaltenen Gleichungen:

Tp— 71

(9)

n ’ SP^n-P’

P= 0

woraus wegen § 29, II hervorgeht

(10)

lim

Si ~4~ ffg ~f- ff» -f- • • • -f- Sn

n = oo d. h. der Satz von Cesàro¹⁶):

III.    Wenn die beiden zu multiplizierenden Reihen (1) nur konvergieren, so ist die Cauchysche Produktreihe (3) immer summierbar mit der Mittelsumme st.

Da eine konvergente Reihe auch summierbar mit ihrer Summe als Mittelsumme ist, so ergibt sich unmittelbar aus III der folgende Satz von Abel¹⁷):

IV.    Wenn die beiden zu multiplizierenden Reihen (1) konvergieren, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Anwendbarkeit der Cauchyschen Multiplikationsregel, daß die Produktreihe (3) auch konvergiert.

114. Es ist zu beweisen, daß die beiden Reihen

V t—łr ¹ V?

^ na ’

n=1

(- iT"¹

w = 1

für a-f-/3>l, a>0 und/3>0 nach der Cauchyschen Regel multipliziert werden dürfen.

115. Setzt man der Kürze halber

sa =

- + — + 1“ 2“

na

so hat man die folgende von Euler¹) herrührende Formel

SaSß — Sa + ß + Ca,ß + Cß,cc>

wo der Kürze halber

n — oo

(n —if

gesetzt worden ist, zu beweisen. 116. Setzt man der Kürze halber

4 + 4-

<4* =

(-

l)"-¹

1“ 2“

3“

na

so hat man die beiden Produkte sa<5[S und ßa<3s für a > 1 in ähnlicher Weise wie dasjenige in Aufgabe 115 zu entwickeln.

§ 44. Anderer Beweis des Satzes von Mertens.

Da die von Abel gegebene notwendige und hinreichende Bedingung für die Reihenmultiplikation sehr umständlich bei den Anwendungen ist, da weiter der von Jens en für den Merten sehen Satz gelieferte Beweis unauflöslich mit der unbedingten Konvergenz einer der zu multiplizierenden Reihen verbunden ist, so haben wir hier die Multiplikationsregel von einem anderen Gesichtspunkte aus zu untersuchen.

Zu diesem Zwecke gehen wir von der Fundamentalreihe § 43, (2) aus, indem wir pn = qn = n setzen, was ja offenbar für die Allgemeinheit unserer Methode ohne Belang ist; betrachten wir nun das Produkt sntn, so erhalten wir ohne weiteres

(i)

sJn — Sn + Rn>

1) Correspondances math, et phys. Bd. I, p. 191 (1743). Novi Commentarii Acad. Petrop. Bd. 20, p. 184; (1775) 1776. Ygl. mein Handbuch der Theorie der Gammafunktion, p. 47. Leipzig 1906.

wo der Kürze halber

(2)

— JEup(vn + vn_x + vn_₂ + ■•• + «„

p=1

-p +1

gesetzt worden ist. Denn die Summe Sn enthält alle die Produkte upvq, für welche p -j- q n ist und keine andere, während Kn die übrigen in sntn yorkommenden Produkte upvq enthält.

Aus (1) findet man aber unmittelbar den Satz:

I. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Multiplihation nach der Cauchy sehen Kegel der zwei honvergenten Keihen 2Jun und 2Jvn besteht darin, daß

(3)

lim Rn = 0

ist.

n — oo

Als erste Anwendung dieses Satzes wollen wir nunmehr durch denselben den Satz von Mertens beweisen; zu diesem Zwecke setzen wir die Reihe 2\un\ als konvergent voraus, und es sei weiter

m = ^ oder m = --₂—,

je nachdem n gerade oder ungerade ist; dann erhalten wir aus (2)

p = in p = n

(4)

R.-2+2-

p=\p=m+l

Es seien nun ön die obere Grenze von

\Vn + Vn-1 +----H Vn

-p+1\>

p = 0, 1, 2, . . ., m

und G die obere Grenze von

k + Vn_t + • • • + Vn_p+J, p = m+ 1, m + 2, .. ., n; dann hat man wegen (4)

\Kn\ < dn • (kl + |us| + • • • + |wÄl)

+ ^ ‘ (Kn + ll + l*Wal H----+ \Un\)>

woraus die Bedingung (3) unmittelbar folgt, weil die Reihen U vn und 2J\um| beide konvergieren; denn dn ist obere Grenze des absoluten Betrages des Restgliedes in 2Jvn’, G ist immer endlich, und der zu G gehörende Faktor ist ein Restglied der Reihe 2J\un\.

§ 45. Sätze von Pringsheim.

Was die Multiplikation nach der Cauchy sehen Regel zweier nur bedingt konvergierender Reihen betrifft, so hat Pringsheim¹⁸)

¹

   Es wird natürlich vorausgesetzt, daß b₀ eine endliche und bestimmte

²

Zahl bezeichnet.

³

   Tidsskrift for Mathematik (5), Bd. 2, p. 69; 1884.

⁴

   Journal für Mathematik, Bd. 13, p. 172; 1835.

⁵

   loc. cit. p. 172.

⁶

   Sülle serie a termini positivi, p. 6. Annali Univ. Toscana, Bd. 9; 1867.

⁷

   Analyse algébrique, p. 134; 1821.

⁸

   Journal von Ettinghausen und Baumgartner, Bd. 10; 1832. Journal für Mathematik, Bd. 11, p. 309—311; Journal de Mathématiques, Bd. 6, p. 85—88; 1841.

⁹

   Journal de Mathématiques, Bd. 4, p. 214—221; 1839.

¹⁰

   loc. cit.

¹¹

   Ebenda, Bd. 8, p. 81; 1843.

¹²

   loc. cit. p. 83.

¹³

Analyse algébrique, pp. 147, 283; 1821.

¹⁴

   Journal für Mathematik Bd. 79, p. 182—184; 1874.

¹⁵

   Tidsskrift for Mathematik (4) Bd. 3, p. 95—96; 1879. Nouv. Corresp. Math. Bd. 5, p. 430—432; 1879.

¹⁶

   Darboux Bulletin (2) Bd. 14, p. 114—120; 1890.

¹⁷

   Journal für Mathematik Bd. 1; 1826. Œuvres Bd. I, p. 225.

¹⁸

Mathematische Annalen Bd. 21, p. 327—378; 1883.

sehr allgemeinen Satz gefunden, von welchem wir insbesondere den folgenden Spezialfall hervorheben:

I. Die Ca uchy sehe Multiplikationsregel bleibt noch dann anwendbar, falls die beiden zu multiplizierenden Reihen Z un und Zvn bloß konvergieren, während außerdem die Reihe mit positiven Gliedern

k + vi\ + k + *>«[ + k +    —

konvergiert, und es noch möglich ist eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für ni>N immer gleichzeitig

( )    \U0V2n "1“ U2V2n-2 + ' ' ‘ + U2nVo\ ^ £

( )    \UlV2n-l + U3V2n-3 + ‘ ’ * + U2n-lVl I < E

werden, indem e eine vorgegebene, willkürlich kleine, positive Größe bezeichnet.

einen

(1)

CU CO

Der im vorhergehenden Paragraphen entwickelte Beweis läßt sich beinahe wortgetreu hier anwenden; hei unseren Untersuchungen über das Bestglied

(4)

Rn — ^ Us(Vn + Vn-1 H---- + Vn

-s + l

S = 1

haben wir aber hier die beiden Fälle, wo n gerade oder ungerade ist, für sich zu untersuchen.

Setzt man der Kürze halber

(5)

œr = V2r + V2r + U

so ergibt sich unmittelbar aus

p = 2n

(4)

~^2 n V2n '    Us    U2sV2n-2s~^

(6)

+    (U2p + U2p + l) (©n-l + ©«-2 + * ' • + ©«-„B

P = 1

sondert man in der Tat in (4) zuerst diejenigen Produkte aus, die v2n enthalten, so fehlt für gerade p in den zurückbleibenden Produkten genau das Glied upvSn_ um den zu up gehörigen Faktor in eine Summe von Zahlen eor umzuformen.

Da nun n so groß gewählt werden darf, daß sowohl j u2 n als \v2n\ unter jede angebbare Größe hinabsinken, so ist dies auch wegen (2) mit den beiden ersten Summen rechter Hand in (6) der Fall. Was endlich die letzte Summe in dieser Formel betrifft, so kann sie genau mittels des in § 44 entwickelten Verfahrens behandelt werden, weil die Beihe Zcon unbedingt konvergiert.

Man hat daher für n > N immer

(?)

n — 2p

Weiter findet man aus (4) in ganz ähnlicher Weise

—    U2p + lV2

(8)

n—p + \J’

P = 1

woraus durch dasselbe Verfahren wie vorher für n > N immer

(9)

\R

2« + l

folgt; damit ist aber unser Satz bewiesen.

Ganz in ähnlicher Weise ergibt sich, daß die Bedingung (1) durch die Konvergenz der Reihe

r = oo

(10)

2 I Vrp + Vrp +1 H----+ V(

r -f l)p — 1

ersetzt werden kann, während die Bedingungen (2) und (3) gleichzeitig durch die p(p — 1) folgenden

s = n— 1

ei)

n — s)p —

Y(»<

für n^> N vertreten werden, indem

r = 0, 1, 2,. .., p — 1, q = 1, 2, 3,.. ., p — 1

zu setzen ist.

Diese Sätze von Pringsheim sind später von A. Yoß¹) und Cajori²) untersucht worden.

Pringsheim³) hat den noch allgemeineren Fall untersucht, in welchem die in (10) und (11) auftretende positive ganze Zahl p nicht konstant ist sondern mit dem Stellenzeiger (in (10) r) variiert.

117. Es ist die Formel

n = oo

n = oo

² • 2 n .....(l + 2 + • • • + n~-.l)

n = 1

zu beweisen.

1)    Mathematische Annalen Bd. 24, p. 42—47 ; 1884.

2)    American Math. Soc. Bull. (2) Bd. 1, p. 180; 1895.

3)    Encyklopädie der math. Wissenschaften Bd. I, p. 97.

§ 46. Satz von Pringsheim über alternierende Reihen.

Mit Pringsheim¹) bemerken wir, daß die in §45 entwickelten Bedingungen zwar hinreichend aber nicht notwendig sind, und das es wohl als unmöglich bezeichnet werden muß, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen aufzustellen, die zwei willkürliche konvergente Reihen befriedigen müssen, um nach der Cauchy sehen Regel multipliziert werden zu können, die Bedingungen § 43, IY und § 44,1 natürlich ausgenommen.

Für Reihen mit alternierenden Gliedern hat Pringsheim²) aber den folgenden Satz bewiesen:

I. Sind die beiden Zahlenfolgen mit positiven Elementen aLa₂a:i . . . an . . . und bl b₂ b₃ .. . bn . . . monoton abnehmend und konvergent mit dem Grenziverte 0, so bilden die Beziehungen

r=n    r=n

(1)

hm    =lim [K- 2ar)=°

n-Qo \    / n= co \    /

r=0    r=0

die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Anwendbarkeit der Cauchy sehen Multiplikationsregel auf das Produkt der beiden konvergenten Beihen 2J(—l)nan und 21 (—1 )nbn.

Wenden wir den Satz § 45, I an, so ist die Bedingung § 45, (1) offenbar erfüllt, weil sie nichts anders aussagt, als daß die Reihe Hvn konvergiert; es bleibt uns also nur übrig die beiden anderen Bedingungen § 45, (2) und (3) zu untersuchen; diese beiden Bedingungen können aber hier durch die folgende

(2)

«<An + a\\n-l + ' • • + a2nb0 < £

für niA N ersetzt werden.

Nun hat man aber offenbar

%\n + aiJ>

+ •    ■ • + an\    < K(ao + «i +    «₂ + • *    • + «„)

^n + l^n-l +    an + ^n-2 H-----Ł*    < an(Po + \    ^

die Bedingungen (1) sind somit hinreichend; daß aber diese Bedingungen notwendig sind, liegt auf der Hand; es ist in der Tat offenbar

a₀bn + albn_₁ + • —b anb₀ > an(b₀ + bx + b₂ + • • • + bn)

aoK + «i&n-l + • • • + an\ > bn(a0 +    + «2 + • • ' + a»)‘

1)    Mathematische Annalen Bd. 21, p. 340; 1883.

2)    loc. cit. p. 363.

Wären also die Bedingungen (1) nicht erfüllt, so könnte die Cauchy-sche Produktreihe nicht konvergieren.

Mit Pringsheim¹) heben wir noch den spezielleren Satz hervor:

II. Eine hinreichende aber nicht notwendige Bedingung für die Multiplikation nach der Gauchyschen Hegel der beiden alternierenden Reihen im Satze I besteht darin, daß die Reihe

(3)

konvergiert.

Aus der Konvergenz der Reihe (3) folgt nämlich, daß für jedes p und n^N immer

a A + aA + a2^2 + • • • + anbn + * * •

an + A + l + °n + 2K + 2 H-----k an+pK+p

sein muß, und es ist um so mehr für n^> N immer

(4)

bn+p(an +1 + an + 2 + * * * + an+p) < £ an+p(^n +1 + K + 2 + ' * ’ + bn+p) < E.

Da die an und die bn monoton abnehmen, so ist es möglich für

ein aufgegebenes n eine solche positive ganze Zahl P zu bestimmen, daß für p^Ł P immer

bn+p <C. bn, ttn+p < an

wird: dann ist aber auch

<KK-q, an+p<anan_q,

n +p

und somit erhält man für n > N immer

(ö){

K +pA + a2 + • • • + an) < bn(aA + a₂b₂ + --- + «A) < £

°n +pA + \ H----+ K) < an(aA + aA + • • • + anbn) < £,

weil die Reihe (3) konvergiert; durch Addition von (4) und (5) erhält man aber die Bedingungen (1).

Daß die Konvergenz der Reihe (3) aber keine notwendige Bedingung ist, wird durch das Beispiel

(⁶)

n f/n log n

gezeigt; in diesem Falle divergiert sicher die Reihe

an    n log n 5

andererseits ist aber die Bedingung (1) erfüllt. Setzt man in der Tat

p = n

¹. .y -¹

~[/n\ogn j/p logp

so ist

und daher hat man

y2 log 2

===<1+4=

y 2’

(?)

An <

p = n

1--V-L<.. a

y n log n    y%i    y log n¹

denn es ist, für n positiv ganz, immer

+ —— -j--— + • • • -f--7= < 2 "j/w.

1/1    y-2    l/3    ~ '    r

]/%

Für n = 1, 2 verifiziert man unmittelbar diese Ungleichung; um die vollständige Induktion durchführen zu können, benutzen wir die andere Ungleichung

•2

yV& -{-1 " yn -j— 1 -j— j/w

Aus (7) folgt aber, daß die Reihe

= 2 (]/n + 1 - ]/n).

n = oo

(-

y

■^8 ]/«logn

nach der Cauchysehen Multiplikationsregel quadriert werden darf, obgleich die entsprechende Reihe (3) divergiert.

In diesem Zusammenhang haben wir noch späterer Anwendungen wegen den folgenden Hilfssatz zu beweisen:

HI. Konvergiert die Reihe (3), und setzt man der Kürze halber für jedes n

(8)

An = a0bn + ai bn + l + a2K + 2 + • ' ⁻ + apb

so ist die Zahlenfolge mit positiven Elementen

A0J Al’ A2j ‘ ' ■; Ani '•

monoton abnehmend und konvergent mit dem Grenziverte 0.

Es liegt auf der Hand, daß die Zahl An für jedes n endlich ist; denn die Glieder der Reihe (8) sind sämtlich positiv und nicht größer als die der konvergenten Reihe (3) ; daß auch für jedes n

An> A

n+p

(9)

(10)

n +1

ist, folgt unmittelbar aus der für jedes n richtigen Ungleichung bn < b Es bleibt uns also nur übrig, den Grenzwert der Zahlenfolge (9) zu bestimmen. Da die Reihe (3) konvergiert, so ist es möglich, eine solche positive ganze Zahl P zu bestimmen, daß für pj>P immer

(H)

wird; da die bn monoton abnehmen, bat man daher auch für jedes positive ganze n

IN» (V)

(12)

ap +l^n + p + l "t" ap + 2^n + p + 2 “b * * '    5

nun verfügen wir über die ganze Zahl n in solcher Weise, daß bn < bp wird: dadurch erhalten wir um so mehr

bn+r <\K, ⁰

woraus für hinlänglich großem hervorgeht:

(13) a₀bn + «A₊₁ + • • -%K+P <\(P>A + <°i H----%hp) <|*

Bestimmt man nun p so, daß die beiden Bedingungen (11) und (13) befriedigt werden, und ist N eine solche Zahl, daß bN < bp ist, so hat man aus (12) und (13) für n^N immer

(14)

An < £,

womit unser Satz bewiesen ist.

Es leuchtet ein, daß die entsprechende Zahlenfolge mit dem allgemeinen Gliede

(15)

— han + han+i + • • • + bpan+p + • • •

genau dieselbe Eigenschaft wie (9) hat.

118.    Man soll den Sat § 46, I auf die Reihe in Aufgabe 117 anwenden.

119.    Es sei <Pi,    ' • ' <Pn ' ’ ' eine Zahlenfolge mit positiven

Gliedern, die monoton und divergent ist, so daß

lim l0Än ₌ o

n = oo Cpn

lim

____T«__₌ Q

log« log₂ («)

ist; dann kann man die beiden alternierenden Reihen

n — oo

(- I)"“¹

71 = 1

nach der Cauchy sehen Regel multiplizieren.

120. Satz von Pringsheim¹). Bedeutet q eine willkürlich kleine angebbare positive Größe, so ist die Konvergenz der Reihe

71 = 00

^ («A)¹⁺*

die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die

1) Mathematische Annalen, Bd. 21, p. 365; 1883.

alternierenden Reihen des Satzes § 46,1 nach der Cauchyschen Regel multipliziert werden dürfen.

§ 47. Allgemeine Bemerkungen über Reihenmultiplikation.

Sind die beiden zu multiplizierenden Reihen Eun und Evn unbedingt konvergent, so konvergiert nicht bloß die Cauchy sehe Produktreihe Ewn unbedingt, sondern diejenige Reihe, die man aus ihr erhält, indem man an Stelle eines jeden up und vq ihre absoluten Beträge I up | und v einführt, ist auch konvergent und hat die Summe

(1)

C2⁷1 un I) • (21 v«l).

Bezeichnen daher p₀ptp₂ • • • pn • • • und qQq₁ q₂ • • • qn •• • zwei willkürliche unendliche Folgen beständig wachsender positiver ganzer Zahlen, so ist die Reihe

(2)

“*««.+ MpA, + •••+'*%>. Vln+ ■ ■ '

unbedingt konvergent, und die Summe der absoluten Beträge der Glieder dieser Reihe kann niemals größer als das Produkt (1) sein. Nach diesen Bemerkungen beweisen wir nunmehr den Satz:

I. Sind die beiden Reihen Eun und Evn unbedingt konvergent und enthalten die beiden Zahlenfolgen, jede mit lauter verschiedenen Elementen

Po-PliV • -Pm- • •>    * -ffm* * •

außer der Null sämtliche positive ganze Zahlen so geordnet, daß, wem N eine vorgegebene willkürliche positive ganze Zahl bezeichnet, es möglich ist, eine solche positive ganze Zahl M zu bestimmen, daß für m ^ M immer prn -f- qm> N ist, so hat man immer

n — oo

n = oc

m — oo

(3)

Betrachtet man nämlich die Partialsumme

Sm = Up₀V<J₀ +    + • • • + »pmV9m,

und enthält sie sämtliche Produkte urvs, für welche r + s <[ nx ist, aber kein einziges Produkt urvs, für welches r + s > n₂ ist, und setzt man

w'p = I u₀vp I + I upvp_x I 4----+1 upv₀1,

so hat man offenbar

g = n₁    n = n₂

^Wq~Sm £ ^ W'n.

I 5 = 0

In diesem Falle stellt die Cauchy sehe Multiplikationsregel also nur eine einzige der unzähligen Formen der unbedingt konvergenten Produktreihe (3) dar.

Wenn die Cauchysche Multiplikationsregel zwar anwendbar ist, aber mindestens eine der zu multiplizierenden Reihen nur bedingt konvergiert, so bleibt die Formel (3) nicht mehr allgemein gültig; wir können in diesem Falle nur sagen, daß die Cauchysche Regel jedenfalls eine der möglichen Formen der Produktreihe liefert.

Der Satz von Abel kann natürlich nicht dabin erweitert werden, daß wir behaupten dürfen, die Formel (3) bleibe richtig, wenn nur die Reihe rechter Hand konvergiert; auch der Satz von Cesàro kann hinfällig werden, wenn wir die Cauchysche Produktreihe verlassen.

Nach H. Bohr, der allgemeine Untersuchungen²) über diese Frage angestellt hat, betrachten wir die Produktreihe

(4)

Ü?«0 (J'SO “ ^0 +    + ö2 H----+ wn + • • •?

wo allgemein

®« = W2n- 1 + W2n

gesetzt worden ist; die Formel (4) ist dem A bei sehen Satze zufolge richtig, wenn die Reihe rechter Hand konvergiert.

Da in œn das Glied up mit der Summe v2 ziert vorkommt, so hat man für die Partialsumme

ra₀ = w₀,

n —p —

1 + V2

n —p

multipli

den Ausdruck

(5)

&n = Wo4n + UAn-l +    * * + Upt

wo der Kürze halber

2« -

p + • • • + «4*4»

4 = vo +    + v₂ + • • • + Vn

gesetzt worden ist; aus (5) erhält man daher

p = n — 1

&p — »2p(*o + 44----+ 4

n— 2 p

) + ^ u2P+i(*i + 44-----b4

n — 2p —

p = 0

Setzen wir nun

V2p-l =    V2p ~

a₁a₂a₃    \b₂b₃

monoton abnehmend sind und beide den Grenzwert 0 haben, so ist

wo die an und bn sämtlich positiv sind, so daß die beiden Zahlenfolgen

S2n-1 an1 S2 n    4n-1 —    4» ⁼ 0

und

71 = 00

71 = 00

=^Vn-0.

n = 0

In diesem Falle hat man weiter wegen (6)

P = 71

n—p + 1/ 7

offenbar

‘ ‘ ’ + &n ” ^+ &₂ + ⁻woraus unmittelbar folgt:

(?) (ai + a2 + ' • ' + aj (bx + b₂ + *---b &*) > *&o H~ *&i + ‘ ‘ ‘ +

und indem 1 m <. n angenommen wird, erhält man:

(8) <ß₀ + ßj + • • • + £in > («i -f a₂ + • • • + aTO) + &₂ 4-----f

Es sei nun weiter speziell a > 0, ß > 0 und 0^=1,    ar = r¹⁻“ — (r— l)¹⁻“,    = 1,    6r= r¹⁻/* — (r — l)¹⁻/*;

dann hat man wegen § 24, (19)

,.1 + ur

1-/3

r'+p >

wo k und ft' immer endlich sind, woraus

lim an = lim bn = 0

r?

71= 00

71=00

hervorgeht; weiter hat man für positive ganze r

a\ + a2 ~h • • • + ar = rl~ay bx + b.₂ -f- • • • -f- br — r¹~^, woraus wegen (7) und (8)

(9)

(10)

Æo ~F ~l-----h

>&r'~

folgt, indem man in (8) m in solcher Weise bestimmt, daß

w i i \    ^ n    i i \

- + 1    m > 2, n — m + 1 ;>

wird.

Aus (10) ergibt sich dann unmittelbar, daß die Produktreihe (4) in diesem Falle nur dann summierbar mit der Mittelsumme 0 ist, wenn a -f- ß > 1 angenommen wird; hat man nämlich cc -f ß < 1, so

Kapitel XI.

Transformation von Reihen.

i

§ 48. Methode von Euler und Markoff.

Wenn von der unendlichen Reihe

(1)

⁵ = U0 "t U1 + M2 "t ' ' * + Un U ’ ‘ ' •

bekannt ist, daß sie konvergiert, so reicht dies im allgemeinen für die theoretischen Anwendungen dieser Reihe aus; ganz anders verhält sich aber die Sache, wenn die Reihensumme s durch Ausrechnung der einzelnen Glieder annäherungsweise berechnet werden soll. In diesem Falle kommt es vor allem darauf an, daß die Reihe rasch konvergiert, d. h. daß die Reihenglieder ihren absoluten Beträgen nach stark abnehmen.

Beispiel 1. Die Reihe von Gregory¹), im allgemeinen von Leibniz²) genannt,

1 l.l

a=I~3+ 5

(2)

7+9“’

ist zwar konvergent, aber so langsam, daß man nach Poncelet³) ungefähr 50000 Glieder ausrechnen muß, wenn der so begangene Fehler nicht 0,0001 übersteigen darf.

Beispiel 2. Um die Reihensumme

(3) mit 14 richtigen Dezimalstellen zu berechnen, muß man nach Kummer⁴) mehr als 10 Millionen Glieder mitnehmen.

Beispiel 3. Um die Catalansche Konstante⁵) G mittels der

1) Rrief nach Collins vom 15. Februar 1671. Commercium epistolicum,

p. 79—80.

ergibt sich

lim (ao +    + •

n = « \    n

• .-I-£i

n) = oo,

und nimmt man a -f- ß = 1 an, so ist für jedes n immer

-----h

1>

>1

2)    Brief vom 17. August 1676. Werke, Bd. I, p. 117.

3)    Journal für Mathematik, Bd. 13, p. 17; 1835.

4)    Journal für Mathematik, Bd. 16, p. 211; 1837.

5)    Memoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies, p. 33—50. Mém. couronnés et de sav. étrangers de Belgique, Bd. 33; Mém. de l’Acad. de St. Pétersbourg. Bd. 31, Nr. 3; 1883.

Reihenentwicklung

(4)

G=

i²

J_ , ¹ _ 1 4- ¹

3² ^ Ó² 7² ' 9²

mit 26 richtigen Dezimalstellen berechnen zu können, muß man nach Bresse¹) mehr als 1080 Billionen Glieder ausrechnen.

Es liegt demnach auf der Hand, daß eine annäherungsweise Berechnung der drei angegebenen Reihen durch direkte Anwendung dieser Reihen als praktisch undurchführbar bezeichnet werden muß. Will man eine solche Berechnung möglich machen, muß man daher die vorgelegten Reihen in stärker konvergierende umformen.

Solche Reihentransformationen sind schon von Stirling²) und Euler³) angegeben worden; in der neuesten Zeit hat Markoff⁴) die Eulersche Methode erheblich verallgemeinert und zwar in fol

gender Weise:

Es seien für p — 0, 1, 2, • • -, n und q = 0,1, 2, 3, • • -, m die (n + 1) (m + 1) Größen A und JBp q in solcher Weise definiert, daß für jedes p und q

(5)

A_. — A

= Il — B

p, s + i

p +1 > ii

ist; dann hat man erstens für ein bestimmtes q, indem man in (5) nacheinander p = 0, 1, 2, •••,»— 1 einführt und sämtliche Gleichungen addiert

p,i

p, <i

(6)

0,2

-A

n, 2

= ^0,2 +    -----\-G,

n-1, 2

=2^

r, q’

woraus, indem man in (6) q — 0, 1, 2, • ■ • m — 1 setzt und addiert, hervorgeht:

2 = in -1

co

0, 2

2C-

2 = 0

Aus (5) findet man in ähnlicher Weise die mit (6) analoge

Formel

(8)

P,S>

und somit hat man auch

r — n — 1

(9)

r, 0

= n — 1    p — n — \ q = m — l

2X=2 2«

r=0    p=0    q=0

P,Q ’

_____ r = 0

1)    Comptes rendus, Bd. 64, p. 1141; 1867.

2)    Methodus differentialis. London 1730.

3)    Institutiones calculi differentialis, p. 281 ff.; 1755.

4)    Differenzenrechnung, p. 178—180; 1896.

138

^weiter Teil. Reihen mit konstanten Gliedern, woraus wegen (7) die neue Identität

r — m — 1

2 Ar -2Ar =2B..° -2b

r = 0

hervorgeht, und demnach ergibt sich unmittelbar der folgende Satz von Markoff:

I. Wenn die beiden Grenzwerte

S — 71 — 1

(10)

4=0

s,m

r = m— 1

(in

A - lim

n = oo, m = oo r _ Q

2*.

s,m

m = 00, 71 = OO s==0

endlich und bestimmt sind, so hat man

r = oo    s = oo

(12)

2\r=2B:°+A-B’

s = 0

vorausgesetzt, daß jedenfalls eine der in (12) vorkommenden unendlichen Reihen konvergiert.

Um nun aus (12) die Eulersche Formel herzuleiten, setzen wir mit Markoff:

(13)

J.

Pli

2>

B    = —=M.

3>»2    1—cc’

wo = a , A¹aq = aq+1 — aq und allgemein

s=p

(14)

-2⁽- iy{ps)aP

gesetzt worden ist; aus (14) ergibt sich dann ohne Mühe die Identität

(15)

A*⁺¹ai = APaq+1 - 4*ar

Die Annahmen (13) liefern ohne weiteres die beiden Differenzen

A. - A

3». 2

p+G?

3». 2

3>,2 + l

die offenbar wegen (15) einander gleich sind, und demnach erhält man wegen (10)

q = 711 — 1

q = m— 1

2»a-(AS2

Anaq • cfl =

p = 71 — 1

« 2(Aß"- JPa° - i

p —71 — 1

s ■2(ïW)PjPa^

für m — oo; n = oo ist diese Formel ohne Berücksichtigung der entsprechenden Bedingungen (11)

erste genaue Untersuchung dieser Transformation rührt aber Poncelet¹) her.

Mit Fuler²) wollen wir die Formel (16) auf die Gregorysch Reihe (2) anwendeu; wir haben dann

von

Euler angegeben worden; die

von

«î-

2g+ 1

einzuführen; aus (15) finden wir nun weiter ohne Mühe

- (- l)p •

woraus wegen (16) folgt:

q — m — 1

2 = 0 p = n — 1

(2g + 1) (2g -f- 3) - - - (2p + 2g + 1) *

20 + 1

(- !)” 2

(2g -f- 1) (2g -f- 3) • • • (2g -f- 2 n -j- 1)

-Î2

1 -2-3 ■ • ■ p 1 ■ 3 • 5 • • ■ (2p + 1)

(— 1)

1-2-3 ■ •-p

p =0

(2 m -f-1) (2 m + 3) • • • (2 m -}- 2p -)-1)

Nun hat man aber

(2g + l)(2g + 8)...(2g+2n+l)

q = oo

1-2-3 ■■■n

2n -f-1

(2g -J— 1) (2g -{— 3) - • • (2g -j- 2w — 1)

1-2-3 - - - jp

(2 m + 1) (2 m 3) • • • (2 m -(- 2p -J- 1)

p — co

'+2

p=i

da die Reihen rechter Hand in diesen Ungleichungen für jedes m und n konvergieren, so hat man schließlich die Identität

q = oo

1-2-3 ■ ■-p

2»i-)-l

(2m -j- 3) • • • (2m + 2p -j- 1)

p = oo

(-lf

2^ + 1

=12

g!

1 • 3 • 5 • 7 • • • (2g -f 1)

1)    Journal für Mathematik ßd. 13, p. 1—54; 1835.

2)    Institutiones calculi differentialis, p. 295; 1755.

121.. Es ist die Formel

q = oo    p = oo

y(— i)g ₌ y _i .

q    p

5 = 1

zu beweisen (Euler³)). 122. Man hat die Formel

W =00    p = oc

x -j- n

(— if ₌ y_p!__l

^2' £c(a; + 1) • • • (x +4?) 2i> +1 p = o

zu beweisen, und denjenigen Bereich der #-Ebene, in welchem sie anwendbar ist, zu bestimmen.

§ 49. Methode von Kummer.

Dem bei seinem Konvergenzsatze angewandten Be weis verfahr en folgend, hat Kummer⁴) eine Reihentransformation, die in den folgenden Satz gipfelt, angegeben:

I. Wenn die unendliche Reihe

(1)

S ~ U0 4" % + ^2 “h ' ‘ ' 4“ un + • ⁻ *

konvergiert, und die Zahlenfolge

(2)

ß0,    ß2, ' • ', an) " • •

so bestimmt ist, daß erstens die Zahlenfolge

(3)

«0 U0,    ^2 ; • * "> °~n ^n) ' ' *

konvergiert, und daß zweitens die andere Zahlenfolge a₀, a₁, a₂, ... an, ... mit dem allgemeinen Gliede

¹

loc. cit. p. 364.

²

Man vergleiche auch Stieltjes in Nouvelles Annales d. Math. (3), Bd. 6,

³

   loc. cit. p. 294.

⁴

   Journal für Mathematik Bd. 16, p. 206—214; 1837.

(4)

«.+i

m# einem von Null verschiedenen Grenzwerte A konvergiert, so hat man

p = oo

(5)

p = 0

wo to den Grenzwert der Fundamentalreihe (ß) bezeichnet.

Aus (4) erhält man in der Tat für jedes p

apup ~ apup ap+iup+\)

woraus, indem man p = 0, 1, 2, . . ., n einführt und sämtliche Glei-clmngen addiert, hervorgeht :

P = 71

(6)

a0 U0 an + lUn + l7

2vp=

p = 0

dividiert man demnach (6) mit A, und subtrahiert man die so erhaltene Gleichung von der folgenden

U0 + U1 + U2 + ' ' ■ Un = Sn7

so hat man für jedes n

a0U0 an +lUn + 1

p = o

woraus die Formel (5) unmittelbar hergleitet werden kann, wenn man die positive ganze Zahl n über jede Grenze hinauswachsen läßt.

Die durch die Kumm ersehe Transformation erhaltene Verstärkung der Konvergenz ist in dem der Null zustrebenden Faktor

¹ A

zu suchen; die von Kummer geforderte Bedingung

(?)

k» = lim (anun) = 0

71 = 00 ist somit auch nicht hier notwendig, kann aber doch häufig ohne Schwierigkeit erfüllt werden.

Die Kumm er sehe Transformation mit der nicht notwendigen Bedingung (7) ist später von Ledert wiedergefunden und in einer Abhandlung von Catalan¹) publiziert worden.

Da die Zahlenfolge (2) nur den beiden oben angegebenen Bedingungen zu genügen hat, so liegt auf der Hand, daß die Kumm ersehe Transformation eine sehr allgemeine ist.

Wir wollen die Gregory sehe Reihe § 48, (2) durch die Formel (5) transformieren und setzen zu diesem Zwecke an = 1 ; dadurch ergibt sich

o=0, an= 1 -f-

2n+l

d = 2, 1 -

A 2n+l>

und somit finden wir

(8)

q = oo

-c(-i)⁸

Zi‘äs+i

71 = 00

-ł+2

(-I)""¹

4 n² — 1

71 = 1

Wenden wir die Methode noch einmal an, indem wir nun

«» =

2n -j- 1 2 n — 1

setzen, so erhalten wir

« =    an = ² •

4 m² -f- 1

(-lf2

4m² — 1 ⁷

(4 m² — 1)

und dadurch die neue Formel

(9)

2g+ 1

= 1-

n = oc

»•2

(4 m² — 1)

ï = 0

Weiter setzen wir

2m + 1 2m — 3

und erhalten dann in ähnlicher Weise

(10)

q = oo

2g + l

n = oo

+ 24.^

(-i)”"³

(4 m.² — l)² (4m² — 9)

₉ = 0

Da die Reihe rechter Hand in (17) auch alternierend ist, so bemerken wir mit Catalan³), daß der durch die vier ersten Glieder dieser Reihe erhaltene Annäherungswert mit einem Fehler kleiner als dem fünften Gliede

99 • 33 • 91

< 0,00003

behaftet ist.

Um die große Biegsamkeit der Kumm ersehen Transformation noch deutlicher hervorzuheben, schreiben wir

n =oc

(~if

2 n -|-1

n = oo

-'-2

(-if¹

2»-F 1

und setzen demnach

(-o—¹

2 m -f- 1 ⁷

dadurch erhalten wir

«« =

und die Entwicklung

2w — l⁷

co = 0

71 = 00

(ii)

(-1)”"³ 2m -f- 1

n — oo

0*1 M-

(-O”"³

(2m + 1)(2m + 3)

weiter setzen wir

Un =

(-i)”"⁴

(2w + l)(2«-f-3)’ und erhalten somit in ähnlicher Weise

ttn -

2n -j- 3

n = oo

( !)” ~~ ¹

n = oo

(-If"⁴

~~ 30 + ² ’ 2

n = 1

woraus wegen (11) das schließliche Resultat hervorgeht:

n-1

(2n + l)(2» + 3)

(2 n + l)(2w + 3)(2n + 6)

71 = 00

(12)

(-l)w

71 = 00

2n-fl

»■2

n- 1

(2w-f-l)(2w + 3)(2w + 5)

123. Setzt man

(—l)w_1    2w —1

— (2n — Ip’ a» ~ 2n—3 ’

so hat man für die Catalansche Konstante § 48, (4) die Entwicklung von Ledert⁴)

71 = 00

(2 m — l)(2w + 1)² (2 n + 3)

G- +4-2

71 = 1

124. Man soll die unendliche Reihe    zum wiederholten Male

transformieren, indem man stets u₀ = 0, an = n setzt.

§ 50. Änderungen der Kummerschen Methode.

Ledert⁵) hat eine Umformung der Kummerschen Transformation angegeben, indem er den folgenden Satz bewiesen hat:

I. Mit denselben Bezeichnungen und unter denselben Voraussetzungen wie in § 49, I hat man die Entwicklung :

p = oo

71 = 00

(1)

^Un = u₀ +

a₁ Ux

«i

n = 0

Ordnet man in der Tat die Summe

a)ap+liip+⁴‘

(2)

p = n

-2(é

a^)aP+lUP + ¹

nach den 1 : an, so hat man

Sl =    +

«1

an +1 Un +1

an+1

ist aber wegen § 49, (4)

nun

ccl li l    or» u₂

av ar ’

Kpup ap + iup + i apupi ui

woraus wegen (2) und (3) folgt:

p = n

« W-

p=i

a^)aP + lMP + 1

a« + lUn +1

an + j

und somit ergibt sich die Formel (1) unmittelbar, wenn man in (4) n über jede Grenze hinauswachsen läßt.

Um diese Transformation auf die Reihe von Gregory § 48, (2) anwenden zu können, setzen wir

(-1 f-⁶

“n =

u₀ = 0, un

woraus

an 2n + l’ a    A 2

hervorgeht, und somit erhält man die Formel

n = oo

(-1)™

n = oo

2w -f-1

-î+k-2

w = 0

Die Reihe rechter Hand wird nunmehr durch die Annahmen

2n +1 a =-—

n — 1

transformiert, und somit ergibt sich die Entwicklung von Ledert⁶):

(— 1)”    19

2n -f-1 “ 24

u₀ = 0, un =

( ₁)W _ 1

%(w -f-1)(2w + 1)⁷

(5)

n—oo

n = oo

05 |<N

(-i)”"⁶

125.    Man soll die unendliche Reihe Un~² unter den Annahmen u₀ = 0, an = w und demnach die so erhaltene Reihe unter den Annahmen m₀ == 0, ccn = w + 1 transformieren.

126.    Man hat die unendliche Reihe

M.

___¹__[_ ¹---¹--{_ .. .

£C + 1 ‘ æ + 2    æ-f-3 '

indem man u₀ = 0,    = 1 einführt, zu transformieren.

Kapitel XII.

Über Reihen mit positiven Gliedern.

§ 51. Ergänzung eines Satzes von Abel.

lim (un ■ n) = 0

Durch die in § 37 wiedergelegte, weder notwendige noch hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe mit positiven Gliedern K un, nämlich

71 = 00

angeregt bewies Abel¹) einen Satz, der folgendermaßen von Prings -heim²) ergänzt worden ist:

(i)

I. Es gibt keine divergente Zahlenfolge mit positiven Elementen 9’o? 9h> 9h? 9*37 • • •} <Pn> • • v

so daß die Beziehung

(2)

lim sup (cpn • a ) = G < oo

71=00

eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe mit positiven Gliedern K an bildet. Vielmehr kann man zu jeder beliebigen vorgelegten Zahlenfolge der Art (1) die Glieder jeder konvergenten Reihe K an (mit positiven Gliedern) so anordnen, daß der lim sup in (2) den Wert oo annimmt.

Zerlegen wir in der Tat die aus den Reihengliedern an gebildete Zahlenfolge in zwei andere

r r r

a0> ai> a2> ’

rr    77    77

a₀, a₁₇ a₂, . .

(3)

(4)

dann sind die beiden Reihen mit positiven Gliedern Kań und Kań sicher konvergent. Bezeichnet weiter

(5) eine monoton abnehmende Zahlenfolge mit positiven Elementen, so ist es möglich, eine solche unendliche Folge immer wachsender positiver ganzer Zahlen

(6)

n₀, n1} n₂, ..., nx, ... zu bestimmen, daß für jedes k immer

(7)

a\ > —-—

* = s^(pn

wird; denn die Zahlenfolge (1) ist ja divergent.

1)    Journal für Mathematik Bd. 3, p. 80; 1827. Œuvres, Bd. I, p. 401.

2)    Mathematische Annalen Bd. 35, pp. 344, 357; 1890.

Bestimmen wir nun eine Reihe mit positiven Gliedern Uun so = a[ aber = a'j für p =)= nx + P ist, so ist diese Reihe 2Jun konvergent und hat dieselbe Summe wie die vorgegebene Nan, weil sie aus jener durch Umordnung der Reihenglieder gebildet worden ist. Es ist aber

daß u

nx+p

verfügt man daher über die Zahlenfolge (5), so daß sie den Grenzwert Null hat, so hat für unsere 2Jun der lim sup <pn u +p den Wert oc.

Weiter haben wir den Satz:

II. Es gibt keine Zahlenfolge mit positiven Elementen

9^0? 9^11 9^2, • • •> 9°n> • • > von der Beschaffenheit, daß die Beziehung

limin%„a )-ÿ>0

(8)

(9)

(10)

n — oo

eine notwendige Bedingung für die Divergenz der Beihe mit positiven Gliedern 2J an bildet. Vielmehr kann man für jede Zahlenfolge der Art (9) die Glieder einer divergenten Beihe Nan mit positiven schließlich verschwindenden Gliedern so anordnen, daß der lim inf in (10) den Wert Null hat.

Da lim an — 0 für n = oo ist, so liegt es auf der Hand, daß die Zahlenfolge (9) jedenfalls divergieren muß, wenn die Bedingung (10) erfüllt werden soll; man kann daher die Folge (6) so bestimmen, daß die entsprechende Folge

(H)

VnJ Vnf <Pn₂’ ' '    9n/

die den Grenzwert Null hat, monoton abnehmend wird. Weiter zerlegen wir die aus den Reihengliedern an gebildete Zahlenfolge in die zwei anderen (3) und (4), so daß die Elemente in (3) für jedes k der Bedingung

(12)

«;<

cp

nX

genügen, indem die monoton abnehmende Zahlenfolge (5) so gewählt wird, daß sie den Grenzwert Null hat.

ist, so folgt allgemein

lim (n ■ an) = 0, lim (n • an+p) = 0,

n = oo

Weiter setzen wir wie vorher u +p = a[ und u{, = a" für Q H= % dann ist wegen (12)

(13)

“ ⁰

und der lim inf in (10) hat demnach auch den Wert Null'

Über diese Verhältnisse beweisen wir noch mit Pringsheim³) den folgenden speziellen Satz:

III. Wenn die divergente Zahlenfolge mit positiven Elementen (1) monoton wachsend ist, während die positiven Glieder der Reihe Ean monoton abnehmen, so ist die Beziehung

lim (9>nO “ ⁰

(14)

n = oo

dann und nur dann eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe 2Jan, wenn

(15)

Vn

lim sup — r n

n — oo

endlich ist.

Konvergiert die Reihe Ean, so ist für n^N und für jedes p

immer

woraus speziell für p = n folgt:

na2n < an+1 + an+2 + • • + o>n+p < 2na2n < 2«;

da außerdem

(2n + l)a2n+1£

■%na2n<( 2+~)s

n — oo

indem p positiv ganz ist, woraus wegen (15) die Bedingung (14) sich als notwendig für die Konvergenz der Reihe Ean ergibt.

Wenn aber die Zahlenfolge mit dem allgemeinen Gliede cpn : n divergiert, so zeigen wir nach Pringsheim⁷ 8) durch das folgende Beispiel, daß die Bedingung (14) nicht notwendig für die Konvergenz der Reihe 2Jan sein kann.

Es seien a > 1, r > 0, s > 0, während mn die größte positive

ganze Zahl, die anr+s nicht übersteigt, bezeichnet; bilden wir dann die Glieder einer Reibe Sun aus den Ausdrücken

*+i

Ł+ł

(16)

i+—•

nra"r+S’

nranr +

wo n sämtliche positive ganze Zahlen durchlaufen soll, so besitzt diese Reihe die folgenden Eigenschaften:

1.    Die Glieder dieser Reihe bilden eine monoton abnehmende Zahlenfolge mit dem Grenzwerte 0.

2.    Die Reihe konvergiert für r > 1, ist aber für r<^ 1 divergent; für die Summe con der mn Glieder in (16) hat man in der Tat

2m.

nr an

nr

mn

>-■

nr

woraus die Konvergenz oder Divergenz der Reihe Uup deutlich hervorgeht, je nachdem r > 1 oder r <[ 1 angenommen wird.

3. Bezeichnet Nn den Stellenzeiger des letzten in (16) vorkommenden Gliedes in 2Jupf so ist

(17)

lim (Nn log Nn ■ u ) = oo.

n = oo

Da die Anzahl der in (16) vorkommenden Reihenglieder jedenfalls nicht kleiner als anT+s— 1 sein kann, so hat man

Nn>anV+s, log Nn > nr+s log a,

woraus unmittelbar hervorgeht:

(18)

so ist

Nnlog Nn-uN>n'-loga.

4. Bezeichnet Mn den Stellenzeiger des ersten Gliedes in (16),

(19)

lim (IM, log Jf„ •«) = <).

n = oo    n

Man findet in der Tat wie vorher

Mn£l+ a'r+3+ a*r+s + • • • + a^)r+

woraus, indem a > 1 ist, und wenn man anstatt der Summe rechter Hand sämtliche Glieder der geometrischen Reihe mit dem Anfangs-gliede 1 und dem Quotienten a einführt, folgt:

= K-a(n~Vr+s,

Mn<

n ^

wo K für jedes n endlich und von Null verschieden bleibt; es ist demnach auch

logMn = {n— l)r+s ■ L,

wo L dieselbe Eigenschaft wie früher K. besitzt; dadurch erhält man aber schließlich, indem P stets endlich bleibt,

(n -i)r+°    a(n~1)r + 1

(20)

MnlogMn - uMn< P ■

nr

an

und daraus folgt unmittelbar die Gleichung (19).

Es existieren daher konvergente Reihen mit positiven immer abnehmenden Gliedern 2Jun, für welche

lim sup (n log n • un) = oo

71 = 00

und wegen § 37, VI divergente Reihen mit positiven stets abnehmenden Gliedern £un, für welche

ist.

lim (n log n • un) = 0

n = oo

§ 52. Über die logarithmischen Kriterien.

Aus den Formeln § 51, (18) und (20) geht deutlich hervor, daß konvergente und divergente Reihen existieren, für welche sämtliche in § 41 entwickelte logarithmische Kriterien versagen.

Um diese Verhältnisse weiter aufzuklären und eine nicht ganz genaue Bemerkung von Bonnet in helles Licht zu stellen, setzt Pringsheim¹)

e₀ = e° = l, ex =    .. ., en = en~x

so daß für den iterierten Logarithmus

logr(0 = e„-r> r<U sein muß; es sei demnach die positive ganze Zahl an in solcher Weise definiert, daß an = m ist, wenn em < n < em + 1 vorausgesetzt wird; diese Zahl an bleibt daher konstant, wenn n sich zwischen zwei Grenzen von der Form em und em + x bewegt, und wächst um eine Einheit, wenn n den Wert em + 1 überschreitet; hieraus folgt, daß an mit n über jede Grenze hinaus wachsen muß.

Andererseits läßt sich aber zeigen, daß an, von einer jedesmal anzugebenden Stelle ab, langsamer zunimmt als der iterierte Logarithmus \ogr(n) für einen beliebig groß vorgeschriebenen Wert von r.

Bezeichnet nämlich s eine gewisse positive ganze Zahl, und bestimmt man n so, daß

er+s<n<er+s+1, un = r + s

ist, dann ergibt sich

logr (n) > logr (er + s) = e*l

und demnach erhält man

logr(w)

es

(1)

r + s ⁷

wo der Bruch rechter Hand offenbar, wie groß r auch angenommen wird, ohne Grenze mit n (und s) wachsen muß.

Wir setzen nun allgemein

(2)

Lr{n) = nlognlo^n) logj(w) . .. logr(w) und bilden die unendliche Reihe mit dem allgemeinen Gliede

(3)

Lan(P)«$

dann ist offenbar, wie groß die positive ganze Zahl r auch angenommen wird,

(4)

n = cc

lim (Lr(n) • mj = 0 lim (Lr (:n) (logr (n))a aj = oo, u > 0 ;

n = oo

denn es ist in der Tat wegen (3)

Lr(ri)con =

iogr + i(w) logr + 2(n) ■ ■ • lo(») • ag

Lr(n) (logr(rc))ffG>B =

__(logr(w))g_ _

logr + i(»)logr+2(») • • • loga(w) • a-l

Die durch (3) bestimmten Reihenglieder reagieren somit auf keines der logarithmischen Kriterien.

Um die Reihe Ucon zu untersuchen, sammeln wir diejenigen ihrer Glieder, für welche an denselben Wert m hat, es ist also für diese Glieder immer em<n < em + 1; definieren wir demnach die positiven ganzen Zahlen a und b so, daß

a — l<em<a, b<em+1<b + l

ist, so hat man daher

71 =

n mr    Jj (n)

Ob 171 X '

Setzen wir demnach in die Ungleichungen § 23, (9)

- log»₊₁(*) si ^ log«₊₁(» + 1) - log„₊₁(»)

nacheinander a, a + 1, a + 2, • • -, l anstatt n, so ergibt die Addition aller so erhaltenen Relationen

n=a

Lrn(a) —    + l (em + i    +1 (.em “ł“

n = b

Lr (a) —    l(^m + l)    + l(ßm) ⁼ ^ ?

setzt man daher wegen (5)

so ist die Zahlenfolge

2œn=

Sm

m) * *

ó\, d₂, d₈, . . ., d eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte 1: da nun

n = oo    n = oo .

V    'ST» ⁶m

^ 0,1    mr

sein muß, so erhalten wir das Ergebnis:

Die Reihe Acon konvergiert oder divergiert, je nachdem r > 1 oder r <11 angenommen wird.

Von den beiden Reihen

71 = CO

71 = 00

(6)

-Ł (w)a

ri = 2    "

à LanW«l + Q '

divergiert somit die erstere und konvergiert die zweite schwächer als jede in § 37 betrachtete logarithmische Hilfsreihe.

Weiter erkennt man aus dem Gange des letzten Beweises ohne weiteres, daß die Divergenz bzw. Konvergenz der betreffenden Reihen erhalten bleibt, wenn man den Faktor an durch Lr(ccn) bzw. A-(cÜO°gr(cO)?> Q > 0, ersetzt; das heißt, von den beiden Reihen

71 = 00

71 = 00

^ ^    W Lr (“*) ’ ^ -LUn (*») Lr (ccn) Q-Ogr{aJf *

ist die erste divergent, die zweite konvergent, wie groß man auch r als positive ganze Zahl fixieren mag. Hierbei kann man nun wiederum noch den festen Index r durch einen mit ccn in derselben

Weise, wie an mit n, allmählich zunehmenden ßa.n ersetzen, welcher schließlich über alle Grenzen hinauswachsen wird, wenn auch langsamer, als jeder beliebig oft iterierte Logarithmus von an. Die resultierenden Reihen

(8) 2-

- 2-

, ÿ>0

divergieren bzw. konvergieren, usw. in infinitum.

Die entsprechenden Glieder eines solchen korrespondierenden Paares dieser divergenten und konvergenten Reihen unterscheiden sich immer nur durch den letzten Faktor und können somit, da man die Zunahme dieses Faktors ins Unbegrenzte verlangsamen kann, einander unbegrenzt genähert werden.

§ 53. Typische Formen der divergenten Reihen.

Nachdem wir durch die Entwicklungen der beiden vorhergehenden Paragraphen diejenigen Schwierigkeiten, die wir bei unserer Untersuchung über Konvergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern zu überwinden haben, näher kennen gelernt haben, wollen wir nunmehr typische Formen solcher Reihen näher betrachten, und zwar fangen wir mit den divergenten Reihen an.

Wenn die Reihen 2Jun und 2Jvn mit positiven Gliedern und den Partialsummen sn und tn beide divergieren, so sagen wir, daß die erste schwächer divergiert als die zweite, wenn

(1)

lim sup — < 1

oo    n

ist; diese Bedingung ist sicher erfüllt, wenn immer un<Cvn ist; dies ist aber gar nicht notwendig.

Bezeichnen p und q willkürliche endliche positive ganze Zahlen, so kann die Bedingung (1) auch durch die folgende

(2)

<1

lim sup

Sn—SP

ersetzt werden; denn die beiden endlichen Zahlen sp und t sind ja offenbar für die Bedingung (1) ohne Belang.

Nach diesen Vorbemerkungen beweisen wir nunmehr den folgenden allgemeinen Satz von Pringsheim¹): wo in (6) r eine endliche sonst aber beliebige positive ganze Zahl bedeutet, und diese Beihen divergieren um so schwächer, je langsamer An mit n über jede Grenze hinauswächst.

Betrachten wir zuerst die Reihe (4), so ist offenbar für ihre Partialsumme (?) sn= (A,- A₀) + tA₂ - Af) + ■ ■• + (A und damit ist unser Satz für die Reihe (4) bewiesen. Was nun die Reihe (5) betrifft, so folgt ihre Divergenz unmittelbar aus den Sätzen von Di ni und Abel § 38; denn es ist ja in der Tat wegen (7)

(8)

An + 1    Sn “f~ Aq ,

und demnach hat man auch

Un

(3)

Kapitel XII. Über Reiben mit positiven Gliedern. I. Bezeichnet

§ 53.

153

Aq , A^ , A 2 , • • •, An , . . .

eine willkürliche monoton wachsende divergente Zahlenfolge mit positiven Elementen, so divergieren die Heilten mit dem allgemeinen Gliede

- A

(4)

w. = A

(5)

un

n + l

■A-n + 1 An

un =

-A-n +1 Afi

A,

(6)

~A

-A

AAJ

AloëA loSr An) • • • l°ër AJ ’

-A

sn + A Sn

4 >

₁ + Al

Sn

wo der letzte Faktor rechter Hand stets positiv bleibt und dem Grenzwerte 1 für n = oo zustrebt.

Um endlich auch die Reihe (6) zu untersuchen, leiten wir aus § 23, (9) unmittelbar die Ungleichung

(9)

Un    +1 (An +1)    +1 CA)

ab, und damit ist unser Satz vollständig bewiesen.

Pringsheim¹) bemerkt noch, daß die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

(10)

n+l

AAn + l)

nicht zn divergieren braucht; man hat in der Tat für r = 1

'    -^n + V

und die Reihe £con wird somit sicher konvergieren, wenn dies mit £v der Fall ist; setzt man aber z. B.

(H)

log A

n +1

= log A

so ergibt sich

71 = 00

71 = 00

und die entsprechende Reihe £con ist somit konvergent.

Aus (8) schließt

man umgekehrt, daß das allgemeine Glied einer divergenten Reihe mit positiven Gliedern auf die Form (4) gebracht werden kann, so daß die An von n — 1 an sämtlich eindeutig bestimmt sind, während A₀ beliebig angenommen werden darf; am einfachsten setzt man daher a₀ = 0.

Daß die Reihe £u'n schwächer als £un und £u„ noch schwächer als £u'n divergiert, liegt auf der Hand.

vorgelegten divergenten Reihe mit positiven

aus einer

Es sei nun £un eine willkürliche vorgelegte divergente Reihe mit positiven Gliedern; dann bestimme man vermöge (8) die Zahlen An und bilde die entsprechenden Reihenglieder uh und u'ń\ die letzte dieser Reihen kann in derselben Weise behandelt werden, usw. in infinitum. Wir haben also nachgewiesen, daß es theoretisch möglich ist,

Gliedern andere solche Reihen, die unendlich viel langsamer divergieren, zu konstruieren. Daß aber die hierfür nötigen partiellen Summationen praktisch undurchführbar sind, liegt auch auf der Hand.

127. Mit den vorhergehenden Bezeichnungen hat man zu beweisen, daß für 0 < p < 1, die Reihe mit dem allgemeinen Gliede vn = A% + 1 — Al} die zwar langsamer als die Reihe £un, doch stärker als Uuh divergiert. (Pringsheim¹)).

§ 54. Typische Formen der konvergenten Reihen.

Wenn die Reihen s — 2Jun und t = 2Jvn mit positiven Gliedern und den Partialsummen sn und tn beide konvergieren, so sagen wir,

daß die erstere dieser Reihen langsamer als die zweite konvergiert, wenn

(1)

lim inf

71 = 00

S — Sn

t —

f>¹

ist; diese Bedingung ist offenbar erfüllt, wenn immer un vn ist, doch ist diese letzte Annahme gar nicht notwendig.

Uber konvergente Reihen gilt der Satz von Pringsheiin¹):

I. Bezeichnet

(2)

• •?

-A-ni • * *

eine beliebige monoton wachsende divergente Zahlenfolge mit positiven Elementen, so konvergieren die Beihen mit dem allgemeinen Gliede

(3)

~A

(4)

Un

Al

-Ai

n

rr

Un ⁼⁼

-A

A®

n

(5)

Vn =

n+1

-A

LMn + l)^Mn+l) '

Vn =

-A

eQAn + i ’

in (4) und (5) q positiv angenommen wird, und diese Beihen

wenn

konvergieren, mit festgehaltenem q, um so schwächer, je langsamer An mit n über jede Grenze hinauswächst.

Aus (3) ergibt sich in der Tat unmittelbar für die Partialsumme

sn der Ausdruck

woraus

CO

ï)⁺",+(i

A, A

s = lim = Ą-

« nao    U 0

±_\ =____¹

n+l)    •    ^

p = 00

folgt, und somit hat man

(8)

= s-sn

P = 1

Ganz in derselben Weise behandelt man die Reihe Eun, wählend die Konvergenz der Reihe 2Juń' schon in § 37, III nachgewiesen worden ist; setzen wir der Kürze halber

¹

Mémoire sur la transformation des séries, p. 4. Mém. cour, et de

²

savants étrangers de Belgique Bd. 33. 1865

³

loc. cit. p. 9.

⁴

   Zitierte Abhandlung von Catalan, p. 20.

⁵

   Zitierte Abhandlung von Catalan, p. 7.

⁶

Zitierte Abhandlung von Catalan, p. 10.

⁷

   loc. cit. p. 341.

⁸

   loc. cit. p. 349.

(9)

so haben wir wegen (4)

(10)

Un =

§ 23, (9)

Was die Reihe 2Jvn betrifft, so ergibt sich wegen der Formel

Lr-Mn ₊ d-^Mn ₊ ^ + Q woraus unmittelbar folgt:

(11)

lo«r(4n + l)loeMJ⁹

l°gr(Än)

so daß vn von derselben Form wie uń ist, wenn man nur anstatt An selbst einfübrt.

Für die Reihe Ev'n haben wir endlich wegen § 20, (19) für

(12)

’7l + 1

~An

-4.

A '

Aus den Formeln (6) und (8) leuchtet ein, daß man umgekehrt die Glieder einer willkürlichen konvergenten Reihe mit positiven Gliedern in der Form (3) darstellen kann. Versucht man aber An aus der Rekursionsformel

'n + l

Aï

Un =

n + l

zu bestimmen, so wird der Endausdruck für An nicht nur äußerst kompliziert, sondern er hängt insbesondere von dem willkürlich bleibenden Anfangswerte A₀ in so verwickelter Weise ab, daß nicht recht ersichtlich ist, ob überhaupt oder für welche Wahl von A0 der resultierende Ausdruck An die verlangte Eigenschaft besitzt, stets mit n monoton über jede Grenze hinauszuwachsen.

Setzt man aber in (3) An = JBl, so erhält man wegen (3)

(13)

î» B

K + l-K    Bn + l-Bn

J3?

n

1-S.’ Bn + lBi ’

Es ist der Mühe wert, einige der im Satze I gegebenen Resultate in den in der Reihenlehre gewöhnlich gebrauchten Bezeichnungen auszudrücken; erstens beweisen wir den Satz von Di ni¹):

II. Bezeichnet £un eine beliebige konvergente Reihe mit positiven Gliedern, und bezeichnet Rn ihr Restglied, also

Rn^Un + l + Un + 2 + Un + 3 H---->

alsdann konvergiert oder divergiert die Reihe

y Vi

n = 0    n

(14)

(15)

n = oo

je nachdem q < 1 oder q 1 angenommen wird. Aus (3) und (4) ergibt sieb

woraus wegen (8)

Un = Un ■ A\-9,

Un =

Wn

+ Un + l + Un + 2-l----)* Ç

hervorgeht, und die Konvergenz der Reihe (15) für q < 1 liegt auf der Hand. In § 38, IV haben wir mit Dini die Divergenz der Reihe

n = oo

'ST) Un +1 22

n^O n

nachgewiesen.

Da nun die Reihe (15) sicher für q = 1 divergiert, so muß sie um so mehr für q > 1 divergieren, weil Rn den Grenzwert Null hat.

Zweitens leiten wir aus (5) und § 53, (8) unmittelbar den ähnlichen Satz ab:

IH. Ist Uun eine beliebige divergente Reihe mit positiven Gliedern, und bezeichnet sn ihre Partialsumme, also

(16)

Sn = U0 + U1 + U2 + • • ' + W >

dann konvergiert die Reihe

Un

n — oo

^0 Lr(8n)l0gr(8nf

(17)

sicher für positive q.

Kehren wir nun zu den allgemeinen im Satze I behandelten Reihentypen zurück, so liegt auf der Hand, daß die Reihen 2Juj und Uun beide schwächer als Uun konvergieren müssen, daß aber der Quotient der beiden Glieder un und uf wegen (10) stets end

lich bleibt.

Uber die beiden anderen Reihentypen Evn und Ev'n können wir aber nichts allgemeines sagen. Es kann z. B. eintrefiFen, daß die

Reihe 2Jvn stärker als 2Jun konvergiert; ist der Einfachheit halber r = 1, und nimmt die Zahlenfolge (1) so rasch zu, daß von irgend einer Stelle n ab

ist, so konvergiert diese Reihe 2Jvn stärker als Eun. Wir beweisen aber den Satz:

IV. Ist die Zahlenfolge (2) so beschaffen, daß

(18)

lim sup -¹

n = oo

endlich ist, so konvergieren die Reihen mit den allgemeinen Gliedern

!-('

N //

■ nn,

(19)    =

A₊iA

Wn

rr

(20)

Wn

-A

Lr(An)logf(An)’

Wn =

An + 1 An

für positive ç und zwar um so schwächer, je langsamer An mit n über jede Grenze hinauswächst.

■An + l *

Daß die Reihen Ewn und Eiv'n beide konvergieren, liegt auf der Hand, weil Uu„ diese Eigenschaft hat, und der Quotient : An für jedes n endlich bleibt; für die Reihe Ewf' wird die Konvergenz unter Zuhilfenahme der (12) entsprechenden Ungleichung nachgewiesen. Es bleibt uns demnach nur übrig die Reihe Ewjj zu untersuchen.

Aus der Ungleichung § 23, (8) ergibt sich

-1,

log A

-logAA^r¹

n

und somit ist auch

lim

log A

oc !og A

= i;

in dieser Weise kann man wegen § 23, (9) unbegrenzt fortfahren, und die Konvergenz unserer Reihe 2Jw„ ist hiermit nachgewiesen.

Es liegt dann auch auf der Hand, daß die Reihen Evn und Ewjj schwächer und schwächer konvergieren, je größer r gewählt wird, und daß diese Reihen für jedes beliebige positive ganze r schwächer als die übrigen Reihentypen konvergieren müssen.

Aus dem Satz II folgt, daß man aus einer beliebigen vorgelegten konvergenten Reihe mit positiven Gliedern andere bilden kann, die unendlich langsamer konvergieren.

Wir leiten noch ans III und*§ 53, I den folgenden Satz her¹): IVa. Ist 2Jun eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, die sämtlich endlich sind, und bezeichnet sn ihre Partialsumme, ist also

(21)

sn — wo + ui + %+'*• + wn,

dann konvergiert oder divergiert die Reihe

71 — 00

(22)

sri    Un +1

Ä Lr (Ä*} l0^(Sn)? ? je nachdem p > 0 oder q <j() angenommen wird.

128.    Ist 2Jun eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, die durchweg unter der Einheit liegen, so konvergiert für positive p die unendliche Reihe (Pringsheim²))

71 — 00

^ [(1 — ui) (1 — ui) ■ ■ • (1 — unj\Q

129.    Ist ZJdn eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, die nicht ins unendliche wachsen, so konvergiert für positive p die unendliche Reihe (Pringsheim)³)

71 — 00

[(1 d₀) (1 + dx) ■ • (1 -f-

130. Wenn die Reihe mit positiven Gliedern üun konvergiert, und man weiß, daß die Reihe

71 = 00

Un

Rn=Un + l + Un + 2 + Un + 3+ ' * ‘

n = 0

direkt nach weisen?

divergiert, wie kann man dann die Divergenz der anderen Reihe 2Jun:R

Kapitel XIII.

Allgemeine Kriterien von Pringsheim.

§ 55. Die Kriterien erster Art.

In den folgenden Untersuchungen, die ausschließlich Reihen mit positiven Gliedern umfassen, wenden wir stets die folgenden Bezeichnungen an:

1)    Man vergleiche Dini loc. cit. p. 9.

2)    loc. cit. p. 330.

3)    loc. cit. p. 334.

1.    A, At, A₂, A₃, • • -, An, — *

bezeichnet eine monoton wachsende divergente Zahlenfolge mit positiven Elementen.

2.    2dn bezeichnet eine divergente Reihe mit positiven Gliedern.

3.    Ukn bezeichnet eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern.

4.    Uan ist eine zu untersuchende Reihe mit positiven Gliedern. Nach diesen Vorbemerkungen formulieren wir folgendermaßen das Kriterium erster Art:

I. Die Beihe 2Jan ist divergent oder konvergent, je nachdem .

co

ist.

lim inf ^ = g > 0

⁰⁰ n

a

lim sup ~

n = oo n

= G < oo

(A)

Sämtliche Kriterien erster Art lauten daher wie folgt:

-j- • an = g > 0 : Divergenz

lim inf -j

n = oo A

n +1

A A

lim sup -r-n    • a>n

»=°° n +1 n

= G < oo : Konvergenz

und, indem q > 0 ist

(B)

lim inf -j

» = 00 A

«+i

lim sup .

n — co ^

n +1 ^n + 1

-j- ' an = 9 > 0 : Divergenz

• an = G < oo : Konvergenz.

Das Konvergenzkriterium (B) stellt für q < 1 eine Verbesserung des entsprechenden Kriteriums (A) dar, während das Divergenzkriterium in (B) als schlechter als dasjenige in (A) enthaltene anzusehen ist.

Legen wir nunmehr der Zahlenfolge 1. die Beschränkung auf, daß

(2)

< oo

lim sup —j

n = oo

also endlich sein soll, so erhalten wir das Kriterium:

n_ . - • an = g > 0 : Divergenz

(C)

lim inf -?

« = oo A

lim sup -j

n = co

• an = G < oo : Konvergenz,

Kapitel XIII. Allgemeine Kriterien von Pringsheim. § 55. wo natürlich q positiv sein muß; weiter ergibt sich

L (A )

lim inf r v_ . • an = g > 0 : Divergenz

(D)

» = ao    n +1    n

= G < oo : Konvergenz,

(A ) log? (A)

lim sup - - .    --z-• a

n= ®    n + l~n wo q positiv sein muß.

Durch die Annahme (2) werden in der Tat aus (C) nur diejenigen divergenten Reihen, deren Glieder schließlich ohne Grenze wachsen, und diejenigen konvergenten Reihen, die stärker als jede geometrische Reihe konvergieren, ausgeschlossen.

Um diese letzte Bemerkung aufzuklären setzen wir An = qn, q > 1, und erhalten somit

n 4-1

ą-1

« I

•'ö I

Für die spezielle Wahl An = b erhält man aus (D) das gewöhnliche logarithmische Kriterium § 41, I, das in dieser Form von Bonnet gegeben worden ist.

Wir lassen nun wieder die Voraussetzung (2) fallen, so daß die Zahlenfolge 1. ganz willkürlich ist; aus § 54, (5) erhalten wir dann den Satz, nachdem wir das Zeichen von q geändert haben:

II. Die Reihe 2an divergiert oder konvergiert, je nachdem von einem gewissen n an

QAn

(3)

i >g-e V<G-e

(s°^0)

0<0)

ist, wobei g und G endliche positive von Null verschiedene Zahlen bedeuten.

Da nun für a>b>0 auch log a > log b ist, so erhält man aus (3)

(4)

lim inf

log

n-¹-!

- > 0 : Divergenz

7Ï + 1

71= 00

(4 a)

log

lim sup

n = »

A

— < O : Konvergenz,

n +1

Kiel s en, Lehrbuch der unendlichen Reihen.

11

= lim sup ------ < 0 : Divergenz

lim sup

n = co

162

Zweiter Teil. Reihen mit konstanten Gliedern, woraus nach einer leichten Änderung das neue Kriterium folgt: ,    A —A

n +1

log

log-*

(E)

log

A —A

n + l

log

lim inf

n = oo

= lim inf

-— > 0 : Konvergenz.

»4-1

Fordert man wieder, daß die Bedingung (2) erfüllt sei, so erhält man die folgenden zwei von Di ni²) herrührenden Kriterien:

' Dg

log

,    A , — A

n + l

(F)

(G)

lim sup

n = oo

lim inf

n = co

= lim sup - _ n _ ₁ < 0 : Divergenz

11 = GO

log

J. — A

n + l

= lim inf

n = oo

log

n l > 0 : Konvergenz.

yd

log

lim sup

n = co

log

L (A) a

r \ nJ n

(Än)

< 0 : Divergenz

log

n+l

lim inf

n — co

log

L (A ) a

r \ n>_n

(\)

> 0 : Konvergenz.

Aus (F) erhält man für An = n das Kriterium von Cauchy § 40, II, während dieselbe Annahme aus (G) das logarithmische Kriterium von Bertrand § 41, I liefert.

Wir wollen noch hier ein anderes Konvergenzkriterium erwähnen; die Reihe Zan ist in der Tat sicher konvergent, wenn

lim inf — > 1

71 =

oder

lim inf log > 0

ist.

Man kann auch diesem Kriterium folgende Form geben:

Bedeutet

ist; dividiert man positive Zahl

diese letzte Ungleichung durch die endliche,

=Zh*’

p — o

so erhält man die neue Konvergenzbedingung

lim inf

n = go

>0,

2h

woraus unter Anwendung des Konvergenzkriteriums (E) der interessante Satz von Pringsheim hervorgeht:

III. Die Reihe 27 an ist sicher konvergent, wenn eine solche nicht oszillierende Zahlenfolge

9h? 9h? 9h? ’ ’ '? 9h? mit positiven Elementen existiert, daß

log

(H)

lim inf

p — n

oc    7

2vn

>0

^0? -®1? •®2? " ' '? Ą? ' * *

eine willkürliche (konvergente oder divergente) monoton wachsende Zahlenfolge mit positiven Elementen, und setzt man in (H)

9>n = Bn+l ~    S0 tat man

(IT)

lim inf

(-

> 0 : Konvergenz .

71 + 1

§ 56. Die Kriterien zweiter Art.

Das Kriterium zweiter Art lautet:

I. Die Reihe 27 an konvergiert oder divergiert, je nachdem von einem gewissen n an

(1)

an _ an±l < 0 oder h _ %+l > Q

ist.

li

Diese Bedingungen sagen in der Tat nur, daß

Vfci

oder

an + 1    \ +1

^ Ti

n

ist; d. h. daß die Glieder an, ihren Quotienten nach, langsamer als die dn bzw. rascher als die kn ahnehmen.

Das Kriterium zweiter Art lautet daher:

< 0 : Divergenz

(J)

n> N

> 0 : Konvergenz ;

Tc a    Tc

v n n + 1    n+1

das so erhaltene Konvergenzkriterium kann indessen in merkwürdiger Weise umgeformt werden, indem wir mit dem Restglied

n + 1

der konvergenten Reihe 2JJcn multiplizieren; dadurch erhalten wir in der Tat

(2)

bedeutet demnach

n

K ' “»+i

B ^

—*+ł > 1 • Je ,    ’

n + 1

(3)

źl₀, Xlf ■ • -,

eine willkürliche monoton abnehmende Zahlenfolge mit positiven Elementen, so ergibt sich wegen (2) l B

n 7__

Tc a

n    n + 1

Da nun dem Dinischen Satze § 38, IV zufolge die Reihe 2J hn : Bn divergiert, so muß die Reihe ZJ dn, wo allgemein

(4)

n+1    n+1

>K-

(5)

Je

gesetzt worden ist, sicher auch divergieren, und das Kriterium (J) lautet demnach:

1    ( < 0 : Divergenz

> 0 : Konvergenz.

lim sup | l lim inf {dn an+1

Es liegt auf der Hand, daß dies Kriterium um so wirksamer ist, je langsamer die Reihe U dn divergiert.

Aus (2) leiten wir noch den merkwürdigen Satz ab:

II. Im KummerscJien Konvergenzkriterium § 40, I braucht man

(K)

nur solche Zahlenfolgen q)Q, <px, cp₂, • • -, cpn} • • • zu verwenden, für welche die entsprechende Reihe 2J1 : cpn divergiert.

Wir verfügen nunmehr über die Zahlenfolge A₀, Ax, A₂, • • An, • • • so, daß

(6)

A

lim sup —⁺¹

n = oo -A

d. h. endlich ist, und setzen allgemein

(7) d = A

-K

-^r ( Ai + l)

<tn

A (Ai +1)

L₀ (a) = a

(8)

an

«n+l

_ JL

■

an

4r) a*+i 4r)+i

aus (K) erhalten wir demnach die folgende Skala von Kriterien zweiter Art

(L)

lim sup lim inf lim sup lim inf

I | < 0 : Divergenz J ( > 0 : Konvergenz < 0 : Divergenz > 0 : Konvergenz.

Ar)

Hier liegt aber die Verbesserung der Kriterien für wachsendes r nicht so unmittelbar auf der Hand wie bei den Kriterien erster Art, sondern muß für sich untersucht werden.

Betrachten wir zuerst X„ und X(0>, und erinnern wir uns an den

n    n '

Ausdruck

du

n+l

i⁽⁰⁾__

A>n

an

an + l

ti -f" 2

so ergibt die Elimination des Quotienten an : an + 1 zwischen Xn und die Beziehung

= — 1 + K^-n+A

(9)

denn es ist ja 1 : d

Ist nun entweder lim sup Xn < 0 oder lim inf Xn > 0, d. h. liefert das Anfangskriterium (L) (mit Xn) eine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz der Reihe    so wird, für n = oo,

X— + oo, und X^n gibt somit dieselbe Auskunft wie Xn selbst gleichsam in vergrößertem Maßstabe.

Ist dagegen entweder lim inf Xn = 0 oder lim sup Xn = 0, so versagt das Anfangskriterium mit Xnj ist aber entweder lim inf (XnAn+1)^>l oder lim sup (XnAn+1) < 1, so gibt doch das folgende Kriterium

eine Entscheidung, und hierin liegt die Verbesserung, welche das Kriterium mit X^ liefert. Wenn endlich lim inf Xn < 0 und lim sup Xn > 0 ist, so versagt auch das Kriterium Xn\

Betrachten wir nun weiter das allgemeine Kriterium (L), so ist

-^r    + l)    r (^~n -f 2)

" °Wi ~~

-^r (An +1)    + 1 (^» +1) an    (^~n + 2) ^°§r +1 (^n + 2)

iG)_

*n

Kn

(r + 1)

*n

woraus durch Elimination des Quotienten an : an + 1 folgt:

^+1,-logr+1(A+I)^-

Mén+0

(log/- +1 (A-n + 2) logr +1 (An + l));

n-f-1

und somit ergibt sich wegen der Formel § 23, (22) lim (A£ + ¹) - logr + 1 (An + 1) XV>) = - 1

(10)

n — co

die ja mit (9) ganz analog ist und in ganz derselben Weise diskutiert werden kann.

Hiernach besitzt die Skala (L) folgende Eigenschaften:

1.    Wenn irgend ein Kriterium der Skala eine Entscheidung liefert, so gilt das gleiche von allen folgenden Kriterien.

2.    Versagt irgend ein Kriterium in der Weise, daß die Kuli als lim inf oder lim sup zum Vorschein kommt, so hann das folgende Kriterium eine Entscheidung liefern.

3.    Resultiert für ein Kriterium lim sup > 0 oder lim inf < 0, dann versagt die ganze Skala.

Hieraus geht insbesondere deutlich hervor, daß man keineswegs von irgend einem bestimmten Anfangskriterium ausgehend durch hinlängliche Fortsetzung der betreffenden Skala immer zu einer Entscheidung gelangen muß. Vielmehr erscheint die Möglichkeit einer solchen Entscheidung definitiv ausgeschlossen, sobald der Fall 3. eintritt.

Es kommt also hierbei sehr wesentlich auf eine passende Wahl des Anfangskriteriums an. Daß es im übrigen auch hier wieder für jede beliebige Reihe £ an ein solches Kriterium geben muß, welches eine unzweideutige Entscheidung liefert, läßt sich leicht zeigen.

Sei nämlich £an divergent, und bestimme man die An aus den

Gleichungen an+1 = A so ist 2J dn sicher divergent, und man erhält

An~An

n +1

— An, und setzt man dn+x = {A

n +1

n +1,

-1

An +1

An An — 1 A

~An

~An

also Divergenz.

Konvergiert aber Ean, so bestimmt man die An aus den Gleichungen

setzt man demnach

so ergibt sich

An

A~n A~n

-l

an+i =

dn + 1 =

An An

AnAn

A.

-1

-1

A~n

n-1-1

An ’

~An

A„

n

An

An

An An +1 An

= 1,

also Konvergenz.

Selbstverständlich ist auch hier durch diesen Existenzbeweis für die wirkliche Feststellung der Divergenz und Konvergenz einer beliebig vorgelegten Reihe absolut nichts gewonnen, da ja zur Bildung der obigen Kriterien die Beschaffenheit der fraglichen Reihe bekannt sein muß.

Setzt man in (L) speziell An — n — 1, also dn = 1, so entfließen die elementaren Kriterien von Cauchy, Raabe und Bertrand; aus den vorhergehenden allgemeinen Bemerkungen über die Skala (L) liegt auf der Hand, daß diese speziellen Kriterien nur dann anwendbar sind, wenn die Zahlenfolge an : an+1 entweder seinen lim sup oder seinen lim inf gleich 1 hat.

Man kann andere Kriterien dieser Art erhalten, wenn man in die Formeln (1)

~An, 9>⁰

7-    _ rJ p~QAn +1 J _ A

Kn~~ anC    > Un ~

und dn eQAn + 1, q 0, anstatt dn einführt; dadurch ergibt sich in der Tat, wenn für n^>N:

_ < dn

an + X    dn + i

(11)

an

ßdn + 1

Divergenz für q <[ 0 Konvergenz für q > 0,

woraus, indem man logarithmiert und mit dn + x dividiert, das neue Kriterium folgt:

(M)

lim sup ( lim inf I ^n +1

— • log

dn+i an j< 0 : Divergenz dnan +1 l > 0 : Konvergenz ;

hier unterliegt die Zahlenfolge A₀, Alf A₂, • • An ■ • • keinerlei anderer Bedingung als positive Elemente zu besitzen und monoton wachsend und divergent zu sein.

Ist aber die Bedingung (6) erfüllt, so darf man in (11) g dn anstatt gdn + 1 als Exponent anwenden, und das Kriterium (M) nimmt folgende neue Gestalt an:

(N)

lim sup | i j dn +1 an j < 0 : Divergenz lim inf ( dn ö dn an +1 ( > 0 : Konvergenz,

woraus in gewöhnlicher Weise das folgende Kriterium hergeleitet werden kann:

(0)

lim sup f Lr (Aw + 1) lim inf

*n

•log

< 0 : Divergenz dn + iLr (An +1) an +11 > 0 : Konvergenz.

dn Lr {An) %

Setzt man in (N) An = n — 1 also dn = 1, so entfließt das Fundamentalkriterium von Cauchy § 40,'!I, während das Kriterium(0) in diesem Falle Analogien des Bertrandschen liefert*, für r = 0 ergibt sich der Ausdruck

nan

n • log

da nun wegen § 23, (20)

lim (n • log—=

w=oA

ist, so ergibt sich das Kriterium von Schlömilch:

an I < 1 : Divergenz an + 1 (> 1 : Konvergenz.

(12)

lim sup lim inf

n ■ log

Aus (M) kann

man noch einen interessanten Satz herleiten; setzt man in der Tat Jcn = Dn+1 — Bn, und ist g > 0, so konvergiert auch die Reihe

man hat daher für die Reihe 2Jan sicher Konvergenz, wenn

. eQkn + l

an

> — an + l K + l

K + l

also, indem man logarithmiert und zur Grenze übergeht, wenn

K + l an Kan +1

ist. Kombiniert man aber (13) mit dem Konvergenzkriterium (M), so ergibt sich der Satz:

(13)

lim inf —^ k . .

n — co n + 1

• log

>P>0

III. Ist q)₀, cply (p₂ • • • cpn . . . eine nicht oszillierende Zahlenfolge mit positiven Elementen, so konvergiert die Beihe Xan, wenn

4)    lim inf (p

T—I

n = cc

• l°g

Vnan

>0

§ 57. Vergleichung der Kriterien erster und zweiter Art.

Um die Tragweite der bisher entwickelten Kriterien zu beurteilen, beweisen wir zuerst die folgenden Sätze

I. Bezeichnet a₀ a₁ a₂ ■ • • an • • • eine willkürliche Zahlenfolge mit positiven Elementen, während die Folge

<Po,    <Pn,

ebenfalls mit positiven Elementen divergiert, so haben die zwei Zahlenfolgen mit dem allgemeinen Elemente

von

Pringsheim:

(1)

(2)

u — w •

n 'r n

an

Wn + l)

Vn = <Pn+l • l0g

an<Pn

an + l

sowohl denselben lim sup als denselben lim inf. Aus den Definitionen (2) erhalten wir

an +1 *Pn + 1

(3) un = cpn+1 -\ev»+* — 1) ,

Vn = <Pn +1 •

es seien demnach erstens die zwei Größen B = lim sup un,

log(1 + ^);

A = lim inf un

n = co

beide endlich; alsdann ist es für eine vorgegebene, willkürlich kleine, aber von ISTull verschiedene positive Größe s möglich eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n~f>N immer

A — s <un<B + s

(4)

n = ec

(5)

sein muß, woraus wegen (3) folgt:

log ^1 +    < Vn < <Pn + l * l°g (! +

<Pn+1 •

Da nun A und B beide endlich sind, während die Zahlenfolge (1) divergiert, so hat man von einem gewissen n an immer

I-B + *]< <Pn + l>

und somit ergibt sich wegen § 23, (21)

A — S <Vn<B + £■

\A — g|< (p

n + 1?

<Pn +1

(6)

i-f

CO

Setzt man demnach

A'— lim inf vn,

n = go

TA - lim sup vn,

n = co

so hat man wegen (6), weil s beliebig klein ist, und die Zahlenfolge (1) divergiert

(8)

A!>A,

B' < B.

Sind umgekehrt die beiden Zahlen A' und B' endlich, so erhält man mit denselben Bezeichnungen wie vorher für n^> N immer

woraus wegen (3)

Ä — s < vn < B' + e,

A’~ s,

<Pn +1 •

e<pn + ₁— 1J < un < cp

hervorgeht, und die Ungleichungen § 20, (22) liefern demnach die beiden anderen

A' — s < un <

woraus

<Pn+l

(9)

A^A', B£B'

folgt, und die Vergleichung von (8) und (9) liefert unmittelbar A = A', B=B'.

Ist nun zweitens z. B. A — — oo, so müssen unzählige der un negativ mit beliebig großem absolutem Betrage sein; die erste Formel (3) zeigt dann, daß auch unzählige der vn negativ sein müssen; es ist also sicher wegen (7) Ä negativ; wäre nun weiter j A' j endlich, so hätte wegen der ersten Formel (3) j A ( auch dieselbe Eigenschaft. Es ist daher A' = — oo. In derselben Weise sind die

anderen möglichen Fälle zu behandeln, und damit ist unser Satz vollkommen bewiesen.

II. Ist die Zahlenfolge (1) mit einem positiven Grenzwerte konvergent, so besitzen die un und vn von einem gewissen n an stets gleiches Vorzeichen, und die aus diesen Zahlen gebildeten Folgen sind gleichzeitig konvergent, divergent oder oszillierend.

Ist nämlich co der Grenzwert der Fundamentalreihe (1), so dividiere man in (2) un, vn, cpn und cp daß wir nur den Fall co = 1 zu betrachen haben; es ist daher wegen (3)

Vn = log (* + Un)>

durch co; daraus ergibt sich,

(10)

«, - <fn - 1,

woraus unser Satz unmittelbar folgt.

Aus I ergibt sieb nun ohne weiteres das folgende Resultat:

III. Das Kummersche Konvergenzkriterium § 40, I und das Konvergenzkriterium § 56, (14) liefern, wenn die Zahlenfolge (1) divergiert, ganz gleiche Resultate. lindes gilt für lim dn = 0, das nämliche von den Kriterien (K) und (N).

Weiter vergleichen wir die beiden Kriterien (E) und (N), in

dem wir

Vn

setzen, so daß die Reihe 2J(pn~x also als divergent vorausgesetzt wird, was ja, wie wir gesehen haben, gestattet ist; wir setzen demnach

log —-—

__*Pn an

(H)

= <Pn + l ■ !0g

<Pnan

Vn + ian + l’

P=*

Mit den Bezeichnungen (7) erhalten wir auch für n^> N immer

B'+s m <Pn +1 ’

setzen wir demnach in diese Ungleichungen nacheinander n + 1, n 2, ..., n + p — 1 anstatt n, so ergibt die Addition aller so erhaltenen Resultate

9>* +1

-<log

y » an

<3pK + l<*m + l

q = n+p

q — n+p

(12)    f<log

q=n+1 ÿ

⁽Cnan

’Pn+p an+p

es ist aber identisch

log

9>„ an

= log

Wn+p an+p

dividieren wir daher in (12) mit

tyn+p ®n+p

+ log (<Pn O;

q = n + p

(13)

9>8

2 = 0

und setzen wir der Kürze halber

q = n+p

q = n+p

q = n + l

so erhalten wir wegen der Definition von tn+p

(14)

{Ä — e) • Q <tn+p< {B' + e) Q

n,p •

ergibt sich wegen (14)

so

(16)

a A', ß JB'.

Wenn daher die Zahlenfolge v₀vxv₂ ... vn .. . entweder konvergiert oder eigentlich divergiert, so hat diese andere t₀txt₂ ... tn .. . dieselbe Eigenschaft, und es ist in diesem Falle

(17)

lim tn = lim vn,

n = oo

Da nun n eine endliche Zahl ist, und da die aus (13) für p = oo erhaltene Reihe divergiert, so hat man

= l;

lim Q

setzt man daher

p — oo

n,p

(15)

a = lim inf tn

n — oo

ß = lim sup tn,

n — oo

n=oo

wo also der lim vn existieren soll, d. h. endlich und bestimmt oder unendlich groß mit bestimmtem Vorzeichen sein muß.

Setzt man speziell (pn= 1, d. h.

Vn = log

an

-•log—, n ° an ’

an+l

so hat man die in § 19, (13) entwickelte Formel von Cauchy: lim Yan = lim

(18)

n = oo

n — oo

wo also der letztere Grenzwert existieren muß.

Da aber in (18) der erstere Grenzwert sehr wohl existieren kann,

%

ohne daß dies mit dem letzteren der Fall zu sein braucht, so liegt auf der Hand, daß wir die soeben entwickelte Schluß weise nicht umkehren dürfen, um aus a und ß Auskünfte über Ä und !>' zu erhalten außer denjenigen in (16) gegebenen.

Wenden wir nun den Satz I an, so ergibt sich der folgende andere:

lila. Divergiert die Zahlenfolge (1), und liefern die aus un und vn in (2) gebildeten Kriterien zweiter Art, (K) und (M), bezüglich der Reihe 2Jan eine Entscheidung, oder versagen sie in der Weise, daß Null als lim sup oder lim inf zum Vorschein kommt, so gilt das gleiche von dem aus tn in (11) gebildeten Kriterium erster Art (E). Dagegen kann (E) eine bestimmte Entscheidung liefern, wenn (K) oder (M) versagen, weil lim inf < 0 und lim sup > 0 ist.

Über die Vergleichung' der logarithmischen Kriterien wir auf die Arbeit von Pringsheim.³)

verweisen

131. Ist mit den obigen Bezeichnungen lim un = lim vn = lim tn = q, so hat man lim (<pnan) = 0 oder lim {cpnan) = oo, je nachdem q positiv oder negativ ist. (P. du Bois Reymond.⁴))

§ 58. Reihen mit niemals zunehmenden Gliedern. Während wir die in § 55 anfangs gegebenen Bedingungen 1., 2. und 3. ungeändert beibehalten, so ändern wir 4. dahin, daß die positiven Glieder der zu untersuchenden Reihe Uan monoton abnehmen sollen; weiter setzen wir

d — — Je = —

an T) >    V

un

(1)

Kn’

diese reziproken Werte treten in der Tat häutig in unseren folgenden Untersuchungen auf.

Obgleich wir im allgemeinen nicht aus den von einem gewissen n an gültigen Beziehungen

“ an+i    K

«» - «.+i >dn~d

schließen dürfen, daß die Reihe 2Jan divergiert bzw. konvergiert (man betrachte z. B. an = 1 -f- n~z, hn = n~⁴), so lassen sich jedoch Kriterien, welche auf die Beschaffenheit von (an—uM + 1) beruhen, durch folgende einfache Betrachtungen ableiten:

Aus der Identität

ao "b ai “b "b ‘ ‘ d“ an ~ ao d- nan d⁻ \S~ai — fls) 4 2 (ß₂ — %) d-----b

¹

Sülle serie a termini in positivi, p. 7. Annali Univ. Toscana Bd. 9; 1867.

²

loe. cit. p. 14.

³

   Mathematische Annalen Bd. 35, p. 377—379; 1890.

⁴

   Journal für Math. Bd. 76, p. 68; 1873.

+ (»—!) K-x~aJ\

folgert man in der Tat ohne weiteres:

1.    Die Reihe Uan divergiert sicher, wenn dies mit 2Jn(an— an+1) der Fall ist.

2.    Die Reihe Uan konvergiert sicher wenn lim (ii • an) = 0 für n = 00 ist, und wenn außerdem die Reihe Un(av — an+1) konvergiert.

Hieraus ergibt sich dann unmittelbar das Kriterium:

dn

lim inf {an — an+1) = g > 0 : Divergenz,

(P)

lim sup 7^ (an — un+1) = Gr < 00: Konvergenz,

Kn

d. h. ein Kriterium erster Art für die Reihe Xn(an — an+l).

Führen wir nun weiter die Differenz der reziproken Reihenglieder

¹ = M

an + l

an

-Mn

n

ein, so erhalten wir den Satz:

I. Ist von einem, gewissen n an immer

£G(D

(2)

— Dn),

-K)> 9 >°,

so divergiert oder lionvergiert die Reihe 2Jan.

Setzt man in der Tat in (2) nacheinander n -f- 1, n -f- 2 . . ., n + ^-/anstatt n ein, so ergibt die Addition aller so erhaltenen Relationen :

M„+P-Mn

setzt man daher

1 £0(d.+p-d.), Ikff (K„+P~K)-,

Mn

A = AB~I)

Mn

so erhält man unmittelbar wegen (1)

'n+p

¹ + Adn+p’

'n +p

9    ¹ + Btcn

+P

da nun A und B feste Konstanten bezeichnen, weil n endlich ist, xvährend d

Grenzwerte Null zustreben, so ist unser Satz damit bewiesen.

Aus (2) erhält man unmittelbar das Kriterium

n+p

und Je

für unbegrenzt wachsendes p beide dem

(Q)

lim sup lim inf

JA.

Mn + 1~Mn

-Dn

~Mn

-K

= 6r < oo : Divergenz

= g > 0 : Konvergenz.

renz D

Hier sind die Dn und die Kn ganz beliebig gewählt worden; wir erhalten aber um so wirksamere Kriterien, je schneller die Diffe-— Dn bzw. je langsamer die Differenz Kn+1—Kn mit n

wächst.

Um ein wirksames Anfangskriterium zu erhalten, setzen wir voraus, daß die Differenz Dn+1 — Dn h > 0 für jedes n ist, und wir setzen

-x

Dn A

_ _ / An +

An ~ \ An

Kapitel XIII. Allgemeine Kriterien von Pringsheim. § 58. Da weiter lim Dn = oo sein muß, so hat man daher

(3)

lim

An +1

Setzt man demnach, für q > 0

A¹**

*» = 2

so hat man identisch

-2,

- DnAl

K₊1    =    (P.+l- D.) + D,(Al₊₁ - Al)

woraus, indem man

setzt:

(4)

<ln

An

-, also lim qn = 1

71 = 00

B-n +1

Qi—¹

(-D„₊₁-Z>„)2g

Q.n

r;

da nun aber wegen § 24, (19)

lim

oo Cin

ist, so bleibt der Bruch linker Hand in (4), für jedes n, endlich und von Null verschieden.

(R)

Man kann daher das Kriterium (Q) folgendermaßen formulieren:

-*n

lim sup

Mn + l

~Vn

= G < oo : Divergenz,

lim inf

,i/

= g > 0 : Konvergenz

Setzen wir nunmehr für positive ganze r

Ar (x) = log x • log₂ (x) • log₃ (a?) .. . logr (x), und führen wir die Zahlenwerte

DW = -r « A

An ArW

«+i

-A*

= A (Aj

OP-

A (A) l°Sr (AJ

An

= DnJr(An)log*r(An)

ein, so hat man erstens identisch

AA,- Ar> = 4-(A₊₁)(A₊₁--»„) + V.(Ą(A.₊₁)~ Ą(An)),

woraus

(5)

Ar (An +1)

(Pn +1    7?w) Ar (Am)

A- (-4«)

Dn + i

w, r

-Ą,

folgt, indem der Kürze halber

(6)

P..... = I)

A? (An +1)

n₉r

Ar (An)

gesetzt worden ist.

Aus der Identität Ar (x) = logr (x) Ar_₁ (x) erhält man aber wegen (6), indem man die Definition von Dn anwendet,

Är-\(An + x) . loër (A» + l) ~ logr (Än)

Ar (An)

worin aber wegen § 23, (9) und (22) die beiden Faktoren rechter Hand verschwinden müssen, und demnach ist

n₉r

n, r— 1

An +1

-K

•A;

lim (Pm,r— Pn,r-i) = 0.

71=00

Für r — 1 findet man direkt

lim P

71 = 00

n, 1

= lim -7

n = oo A

A»

An

log (An + l) — lQg An

log An

und demnach ist auch allgemein lim Pn r = 0 für n = oo, so daß (5) diesen anderen Grenzwert liefert (lim inf (Dn+1 — Dn) > 0):

(7)

lim

DJU- Dir»

n = oo (Pn +1 DJ Ar (AJ

= 1.

Zweitens hat man identisch

aus der Formel Dff = Dn - Ar (An) ergibt sich daher

mi-xp

Pn + 1 — DJ Ar (An) log⁽; (An)

= (■

logr (An +1)

logr (An)

)•

PP₊X~D{nr)

(Dn + 1 DJ -^r (-^m)

Dn

logr (An + l) — logr (Än)

logr (An)

Da der letzte Summand rechter Hand auch folgendermaßen geschrieben werden kann:

y-

Dn + \

logr (An +1)

An____\0gr(An + 1) — l0gr(An) m V logr (An)_

Dn (Afl +1 AJ logr (AJ    logr (An +1) 1

logr (An)

so verschwindet dieses Glied offenbar für n = oo ; und wegen (7) ergibt sich daher:

(8)

Kr)+i~Kp

lZ Pn + 1- DJ Ar (.An,) log? (AJ

bzw. Dn, so

Setzt man daher in (R)D^₊₁ und D$ anstatt D erhält man wegen (7) und (8) das andere Kriterium

Mn+1

(Dn + 1~Dn) Ar (An)

__Mn +1

(ï>n + 1 —DJ Ar (AJ loSr (AnT

Die Divergenzkriterien (R) und (S) gelten offenbar noch, wenn man im Nenner für q ^ 0 den Faktor bzw. logr(HJ" hinzufügt; nach dieser Änderung erhält man, wenn man logarithmiert und durch log An bzw. logr + 1(Äw) dividiert, die beiden anderen Kriterien:

yA) <0: Divergenz,

> 0 : Konvergenz.

'j < 0 : Divervenz,

~ > 0 : Konvergenz.

(S)

(T)

lim sup

lim inf

~Mn

lim sup log lim inf

lim sup log ^ lim inf

log An

-Mn

= 6r < oo : Divergenz,

= g > 0 : Konvergenz (e> *>)•

(Dn +1 DJ Ar (An)

loEr + l(AJ

Die so entwickelten Kriterien nehmen ihre einfachste Gestalt an, wenn man An — n, also Dn — n setzt.

Hat man speziell, für jedes n, an > an+1, so ist die Zahlenfolge

M₀, M1} Mit • ■ -, Mn, • • -,

monoton wachsend und divergent; mau kann also überall

M?

x n

an

M.

Mn

Mn + j

-Mn

~Mn

Jjkr) =

»    Jf

Mn Ar (MJ

Mn + 1Ar(Mn) log*(MJ

setzen.

-Mn

Nun konvergiert oder divergiert die Reihe Kan offenbar, je

nachdem

lim sup = G < oo

n = oo n

lim inf ^n + i _ g    q bzw.

ist, woraus die Kriterien hervorgehen:

lim sup (Mn+1 — Mn) = 6r < oo : Divergenz, lim inf (Mn+1 — Mn) Mn~Q = g > 0: Konvergenz.

71 = 00

(V)

lim sup

-Mn

(V')

Ar(MJ

= G < oo : Divergenz,

lim inf

Mn +1

-Mnj

Ar (Mn) logr (MJP

= g > 0 : Konvergenz

(W)

Durch die gewöhnliche Methode findet man daher wie vorher:

~Mn)

lim sup ) log (Mt lim inf ) log Mn

lim sup log /-^n + l — M;n e{ Ar{Mn)

lim int

logr + lÄ)

< 0 : Divergenz, > 0 : Konvergenz.

^    < 0 : Divergenz,

~ > 0 : Konvergenz.

uns

Die übrigen Kriterien für Reihen mit niemals zunehmenden Gliedern, die Pringsheim in § 10 seiner Abhandlung gibt, würden ihrer mehr funktionentheoretischen Natur wegen, hier viel zu weit führen.

Kapitel XIY. Unendliche Produkte.

§ 59. Konvergenz und Divergenz. Aus der unendlichen Zahlenfolge

(1)

i ai, ^2 ? a3,    ■, ^nf

bilden wir eine neue

(2)

Po, P\, Pi, Po, ‘ ' ’, P

indem wir für jedes n

(3)

Pn = «0% «2 «3 • • • an

setzen. Wächst in (3) n über jede Grenze hinaus, so entsteht ein unendliches Produkt; dies heißt konvergent, wenn 1. die Zahlenfolge (2) konvergiert, und 2. der Grenzwert dieser Zahlenfolge nicht gleich Null ist. Ein nicht-konvergentes unendliches Produkt heißt immer divergent. Außer der allgemeinen Konvergenzbedingung

(4)

p willkürlich positiv ganz, wird also hier noch gefordert, daß für jedes n

(5)

I P,\>9

ist, wo g eine bestimmte endliche positive Größe bezeichnet.

Mit diesen Definitionen beweisen wir nun ohne Mühe den Satz: I. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz des obengenannten Produktes besteht darin, daß es für ein vorgegebene willkürlich kleine aber von Null verschiedene positive Größe s mög-lieh ist eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n~^> N immer

Pn

(6)

wird, indem p eine willkürliche positive ganze Zahl bezeichnet.

Ist nämlich erstens das Produkt konvergent, und dividiert man (4) durch die endliche von Null verschiedene positive Zahl | Pn | , so entfließt (6); diese Bedingung ist daher sicher notwendig.

Ist nun zweitens die Bedingung (6) erfüllt, und bestimmt man für ein aufgegebenes s eine entsprechende positive ganze Zahl n, so ist Pn ¹ = A eine von Null verschiedene positive endliche Zahl; denn wir setzen natürlich voraus, daß kein an, für n endlich, weder Null noch unendlich groß sei. Multipliziert man aber (6) mit j Pn | = A, so ergibt sich

p, I < Äs, A(1 - «) < I Pn+p | < A(1 + «)•

+i ’

Die erste der Ungleichungen (7) ergibt aber unmittelbar (4), die zweite dagegen (5). Setzt man in (6) p = 1, an+Ł == 1 + so ergibt sich | wM+1 | < £ für n^> N- also:

II. Eine notwendige aber keinestvegs hinreichende Bedingung für die Konvergenz des oben betrachteten unendlichen Produktes besteht darin, daß, wenn man

(8)

<*>n = ¹ + Un

setzt, lim un = 0 für n = oc sein muß.

Wir betrachten daher in unseren folgenden Untersuchungen ausschließlich die Form (8) für den Faktor an, und das unendliche Produkt wird allgemein als

p = oo

(9)

(1 + uf) (1 + uf) (1 + uf) • • • — J Jl (1 + Up),

p=i

wenn kein Mißverständnis möglich ist,

oder kürzer als 77(1 + up) bezeichnet.

Daß diejenige in II ausgesprochene notwendige Bedingung i allgemeinen nicht hinreichend sein kann, geht deutlich hervor, man speziell un = + 1: n einsetzt, dann hat man in der Tat

im

wenn

p=i

p = 2

die entsprechenden unendlichen Produkte sind daher beide divergent, indem das erste gegen oo, das zweite gegen 0 divergiert.

12

Für das Partialprodukt

— (1 + uf) (1 +%)••• (1 + un)

ergibt sieh die Rekursionsformel

(10)

PW ⁼ (1 + Un) P»-l ⁼ Pn-1 + Un P»_l j setzt man demnach in (10) nacheinander n — 1, n — 2, ■ ■ - , 3, 2, 1 anstatt n, und addiert man sämtliche so erhaltene Gleichungen, so ergibt sich die Reihenentwicklung

p = n

(ii)

s-1 7

TT o + uP) — i u, p

p = l

wo der Kürze halber P₀ = 1 zu setzen ist.

Die Formel (11) gestattet uns ein Produkt in eine Reihe zu verwandeln: es ist indessen ebenso leicht die Reihensumme

(12)

Sn = U0 + U1 + U2 + • • ' + Un

in ein Produkt umzuschreiben. Aus der Identität

i i up _ Sp

Sp — l    Sp — 1

ergibt sich nämlich unmittelbar die Produktentwicklung

p = n

(13)

p = l

Natürlich sind diese beide Formeln (12) und (13) im allgemeinen nicht praktisch anwendbar, weil wir weder die Partialprodukte Pn noch die Partialsummen sn in einfacher Form bestimmen können; da diese beiden Formeln aber für jedes n gelten, so entfließt der Satz:

III.    Läßt man in (11) oder (13) n über jede Grenze hinaus-wachsen, so werden die in jeder dieser Formeln eingehenden unendlichen Reihen und Produkte gleichzeitig konvergieren oder divergieren, wenn die betreffende Reihe nur nicht mit der Summe Null konvergiert.

Cauchy¹), der die erste Grundlage der exakten Theorie der unendlichen Produkte gegeben hat, gibt den folgenden Satz, der uns später sehr nützlich sein wird:

IV.    Die notwendige und hinreichende Bedingung für Konvergenz des Produktes IT (1 Ą- up) besteht darin, daß die unendliche Reihe 2J log (1 -f- un) konvergiert, nnd es ist dann immer log TI (1 + un) = 2J log (1 -j- u) für alle nj>N.

woraus, indem die gs sämtlich ganz sind:

(14)

^Oog C¹ +Un + s) + ²Vs*i) = l0g(%T-) = log (1 + ä)

4=1    n

folgt. Da nun lim log (1 -)-    = 0 ist, und da die Reihe in (14) kon

vergiert, so ist immer qs = 0, und somit ergibt sich wegen § 23, (20)

s=p

|^log(l +ww+s)|<|d|

■K, n^N,

4=1

da nun K endlich und von Null verschieden ist, so konvergiert die Reihe 27 log (1 -f- up).

Ist umgekehrt diese Reihe konvergent, so hat man

n^N,

^log (l + wM + s) = d,

woraus

Sei erstens das Produkt Tl (1 -f un) konvergent; dann hat mit den gewöhnlichen Bezeichnungen

n + p

man

1+*,

d\<£,

wegen (14)

n±P = ed - 1 + d . Kx

hervorgeht, worin K± für unbegrenzt abnehmendes ó dem Grenzwerte 1 zustrebt; dies ist aber genau die Bedingung (6) und somit konvergiert auch das Produkt 77(1 -f- u ).

132. Man hat die beiden Formeln

71= CO

17 (¹

nitt 4- 1;)    ’    /1

rH CO

00

w ns — 1 n* 1

zu beweisen.

133. Man soll den Wert des unendlichen Produktes

71= 00 n u+p) n = 0

bestimmen und die Bedingung seiner Konvergenz angeben.

§ 60. Absolut oder unbedingt konvergente Produkte.

I. Sind die Zahlen un von einem gewissen n an sämtlich reell mit demselben Vorzeichen, so konvergiert das unendliche Produkt 77 (1 -f- un)

dann und nur dann, wenn 1. die Beihe 2 un konvergiert, und 2. keine einzige der Zahlen un den Wert — 1 hat.

Ist für q^> n immer uq 0, so ergibt sieb auch 1 -f uq e(l<1, und wir erbalten ohne Mübe die Ungleichungen

s=p

1 + J»„₊. <J7(! + «»+s) < /” +1 + “* + 2 + " '⁺

,s = l

woraus deutlich hervorgeht, daß die Reibe und das Produkt gleichzeitig konvergieren oder divergieren; im Falle der Divergenz divergiert das Produkt nach oo.

Ist andererseits für ą > n immer uq 0, so setzen wir — uq anstatt uq, und das neue u wird somit entweder positiv oder Null: da nun n so groß angenommen werden darf, daß immer uq < 1 wird, so findet man ohne Mübe die beiden anderen Ungleichungen

s = p

S=p

¹ -]>jUn ₊ s <TI V ~ + J <

5=1

Hi¹ + un + s)

s = 1

die erste wird in der Tat durch vollständige Induktion bewiesen, während die letztere unmittelbar aus der Umgleichung 1 — uq < 1 : (1 + u^) hervorgeht.

Damit ist unser Satz aber vollständig bewiesen.

Konvergiert das Produkt mit lauter positiven Faktoren77(1 -f- un ), so konvergiert auch diejenige Reihe, die aus der Summe rechter Hand in § 59, (11) gebildet wird, wenn man anstatt jedes einzelnen un den absoluten Betrag ! un j einführt.

Denken wir uns daher alle diese Multiplikationen ausgeführt und heben wir aus den so gebildeten Gliedern eine willkürliche unendliche Anzahl heraus, so bilden diese Glieder eine absolut konvergente Reihe; denn die Summe der absoluten Beträge dieser Glieder kann nicht größer als die Summe der absoluten Beträge sämtlicher Glieder rechter Hand in § 59, (11) sein.

Daraus folgt nun unmittelbar, daß in diesem Falle das Produkt IT (1 -f- un) auch konvergiert, wenn keine einzige der Zahlen den Wert — 1 hat.

Wenn IT (1 -f- un j) konvergiert, und stets un 4=—1, so heißt das Produkt IT (1 + un) absolut konvergent; aus I findet man dann unmittelbar den Satz:

II. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die absolute Konvergenz des Produktes H( 1 -f- un) besteht darin, daß 1. die Beihe

£un absolut konvergiert, und daß zweitens keine einzige der Zahlen un den Wert — 1 hat.

Ist die in I und II eingehende Reihe 2J un unbedingt konvergent, während das Produkt 77 (1 -J- un) gegen Null divergiert, weil gewisse der Zahlen un den Wert — 1 haben, so ist dasjenige Produkt, welches man aus 77 (1 -)- un) bilden kann, indem man sämtliche Faktoren Null wegläßt, absolut konvergent.

Das unendliche Produkt 77(1 + uj heißt unbedingt konvergent, wenn sein Wert ungeändert bleibt, wenn man seine Faktoren in willkürlicher Weise umordnet. Ist 77(1 + wJ unbedingt konvergent, so hat die Reihe 2Jlog (1 -fuf) offenbar dieselbe Eigenschaft.

Um unbedingt konvergente Produkte näher zu untersuchen, beweisen wir zuerst den Hilfssatz:

III. Wenn keine einzige der Zahlen un den Wert — 1 hat, so sind die beiden Heiken mit positiven Gliedern U | log (1 -f- u ) | und U\un\ gleichzeitig konvergent oder divergent.

Eine notwendige Konvergenzbediugung ist jedenfalls lim un = 0 für n = oo; aus § 23, (20) ergibt sich daher die Beziehung

Zs,

I log (1 + Un + s) ! = I Un

wo die positive Zahl Ks für n hinlänglich groß dem Werte 1 beliebig nahe kommt. Setzt man aber in dieser Formel s — 1, 2, 3, ... p, so ergibt die Addition aller so erhaltenen Gleichungen

•= JP

s=p

S = p

S= 1

s-1

wo K und k bzw. obere und untere Grenze der Zahlen Ks bezeichnen ; da nun aber K und k beide endlich und von Null verschieden sind, so ist unser Satz damit bewiesen.

Aus II und HI ergibt sich nun der folgende Satz von Dini¹):

IV. Die Begriffe absolute und unbedingte Konvergenz eines unendlichen Produktes sind identisch.

134. Sind die Zahlen x und y reell ohne negativ ganz zu sein, so hat man

. (x + 1) (x + 2) • • • (x + n)

n=t (y + P (y + 2) • • ■ (y + »)

je nachden x^y angenommen wird.

1) Annali di Matematica (2) Bd. 2, p. 35; 1868.

135.    Es ist zu beweisen, daß das unendliche Produkt IIcos(anx) für alle endlichen x unbedingt konvergiert, wenn erstens die Reihe U\an\² konvergiert, und wenn zweitens keine einzige der Zahlen anx ein ungerades Vielfaches von tc ist.

136.    Wenn 9Î(æ) > 1 ist, während^? sämtliche Primzahlen 2,3, 5, 7 durchläuft, so hat man die von Euler²) gefundene Formel

n — oo

137. Ist 91 (x) > 1, während p sämtliche Primzahlen durchläuft, so hat man das Gesetz zu bestimmen, nach welchem die Koeffizienten an in der Entwicklung

zu bilden sind.

§61. Über bedingt konvergente Produkte.

Das unendliche Produkt 77 (1 -f- un) heißt bedingt konvergent, wenn es zwar konvergiert, das entsprechende Produkt mit positiven Faktoren 77(1 -f- \un\) aber divergiert; da die Reihe 27log (1 -f uf) in diesem Falle auch nur bedingt konvergieren kann, so hat man den Satz:

I.    Die Faktoren eines bedingt konvergenten Produktes können unendlich oft so umgeordnet werden, daß entweder sein absoluter Betrag oder seine Phase einen willkürlichen vorgegebenen Wert annimmt.

Die Glieder der entsprechenden bedingt konvergenten Reihe 27 log (1 -j- un) können in der Tat unendlich oft umgeordnet werden, so-daß jedenfalls entweder die reelle oder die imaginäre Komponente einen willkürlichen vorgegebenen Wert annimmt; die reelle Komponente dieser Summe stellt aber den Logarithmus des absoluten Betrages, die imaginäre Komponente die Phase des unendlichen Produktes dar. Übrigens wissen wir nicht viel über bedingt konvergente Produkte; wir beweisen aber ohne Mühe den folgenden Satz:

II.    Das unendliche Produkt 77 (1 -f un) ist bedingt konvergent, wenn die Peihe 2Jun bedingt, die Beihe 27 u² aber unbedingt konvergiert. Divergiert die erste dieser Bethen, während U\un\² konvergiert, so ist das vorgelegte Produkt auch divergent.

Da 2 un konvergiert, so hat man wegen § 23, (20) log (! + «Ü = w» - Kn^n,

(1)

wo Kn für große n dem Werte j sehr nahe kommt', es ist daher auch für alle positive ganze p

s=p

s=p

s=p

(2)

n + s)

,v = l

s = l

woraus der. Satz unmittelbar entfließt. Cauchy³) hat denjenigen Fall unseres Satzes II gegeben, in welchem die un sämtlich reell sind.

konvergent, während 2u'ń divergiert, so ist das

Setzen wir nun in II un = u'n -f- iu'ń, und sind die beiden Reihen 2\u'n\ und 2\u'n⁴ Produkt 77 (1 -f- un) ebenfalls divergent aber jedoch so, daß sein absoluter Betrag endlich und bestimmt ist, während seine Phase unendlich groß wird; der Beweis ist dem folgenden für den Satz von P rings heim⁴) ganz ähnlich:

III. Wenn die Elemente der beiden reellen Zahlenfolgen

(3)

uo, U\, u2, . . ., Un, ...

(4)

rf r/ rr    rr

U₀, M \ y M 2 y •    •    • y M fl y ...

alle von einem gewissen n an dasselbe Zeichen haben, so kann das unendliche Produkt 77 (1 + un + iuf), wenn es überhaupt konvergiert, nur unbedingt konvergieren.

Setzen wir vorläufig u'n = 0, so ergibt sich wegen (1) log (1 + iu'n) = iu'n + u"r?Kn;

ist nun das Produkt 77(1 + iu'f) konvergent, so müssen sowohl sein absoluter Betrag als seine Phase endlich und bestimmt sein und somit müssen die beiden Reihen 2 u'n und 2u'ń⁴ konvergieren; denn die Glieder dieser beiden Reihen haben von einem gewissen w an dasselbe Vorzeichen. Unser Produkt kann daher in diesem Falle nur unbedingt konvergieren, wenn es überhaupt konvergieren soll.

Aus der Identität

1 + U'n -f iu"n = (1 + Un) (l +

ergibt sich unmittelbar

(5)

77(1 + u'n + iu'n) = 77(1 + Un) • 77 (l +

iun \

1 -\- u fi) ⁷

soll nun das Produkt linker Hand in (5) konvergieren, muß jedenfalls seine Phase endlich und bestimmt sein; da das erste Produkt rechter Hand reell ist, so muß das letzte Produkt rechter Hand konvergieren, d. h. daß die Reihe 2Ju"n konvergieren muß, weil die Glieder dieser Reihe von einen gewissen n an dasselbe Vorzeichen haben, und der Divisor 1 -f- u'n von einem gewissen n an positiv sein muß. Soll auch der absolute Betrag des Produktes linker Hand in (5) endlich und bestimmt sein, so muß auch das erste Produkt rechter Hand, und somit auch die Reihe 2Ju„ konvergieren.

Soll also das vorgelegte Produkt wirklich konvergieren, so müssen die beiden Reihen 2Ju'n und ZlUn unbedingt konvergieren; die Reihe 2J(u* -f- iu'ń) und somit auch das Produkt II(1u'niu„) sind also auch unbedingt konvergent.

138. Man soll das unendliche Produkt

p = 00

J7(‘ + T5?)

untersuchen.

139. Es ist zu beweisen, daß das Produkt

p— 00 p = 2

für 1    | bedingt konvergiert.

Kapitel ÄV.

Unendliche Kettenbrüche.

§ 62. Definitionen. Entwicklung in einer Reihe.

Der endliche Kettenbruck

K — a₀-\-

«1 ■+

a2 + • .

wird der Kürze halber als

Bd. 44, 413—416;

• M

v '

bezeichnet; für den Annäherungsbrnch mit dem Stellenzeiger p, der als yp : zp bezeichnet wird, erhalten wir daher den Ausdruck

(1)

«2

(2)

<N! <N

« ')

sodaß für p = n

(3)

K = Vn

sein muß.

Für die ersten Annälierungsbrüche findet man direkt

Vi ₌ %    \

woraus

y± ₌ a2 Vi + \ y0 «* + &2 2₀ ’

durch vollständige Induktion die allgemeingültige Formel

% «0

al

(4)

y_A ₌ apy/>-i + bpyp_ ₂

Vî-i + V?

-2

hervorgeht: denn 2/p ₊ i:^, + 1 wird offenbar erhalten, wenn man

aus dem Ausdruck für yp : zp anstatt die Summe ap + bp + 1 : ap+1 einführt, während sämtliche vorhergehende aq und bq ungeändert bleiben.

Die Formel (4) ist als der Inbegriff der beiden anderen

yP = aPyP~i + \yp-i,

aufzufassen-, eliminiert erhält man

zp-%zp-i + bpzp

man a aus diesen beiden Gleichungen, so

-2

(5)

ZpVp-1    bp {yp_₁3p_ ₂ Zy~\2/p-2) 7

Vp*p-1

da nun    2/₀ = ist, so erhält man

gültige Formel

aus

(5) die allgemein-

(6)

^-1 - *PyP-1 = (-    ■ • • k

Dividiert man weiter die Formel (6) durch 8    so ergibt sich

(-1 f-'W-.-bp

(7)

yv

Vp-1

^-1

V*-i

woraus, indem man nacheinander p — 1, p — 2, ... 2, 1 anstatt p einführt und sämtliche Gleichungen addiert, hervorgeht:

^1    _ _^2 _j_ L ^2 ^8

*1*2 ^ *2*8

(8)

. Vo

*0*1

----+

**-l

diese Formel kann somit dazu dienen, den Annäherungshruch yp’Zp als eine Summe darzustellen.

Läßt man in (1) n über jede Grenze hinaus wachsen, so entsteht ein unendlicher Kettenbruch; dieser heißt konvergent, divergent oder oszillierend, je nachdem die aus den Annäherungsbrüchen gebildete Zahlenfolge

(9)

Vsl &

Zi

Vt    Vn

Zn’”'

Z,’

konvergiert, divergiert oder oszilliert.¹)

1) Es ist aber wohl zu beachten, daß der Kettenbruch sehr gut konvergieren kann, obgleich einige der ersten z verschwinden, so daß die entsprechenden Näherungsbrüche sinnlos werden.

Die Frage über das Verhalten eines unendlichen Kettenbruches stellt eine Eigentümlichkeit dar, welche bei den unendlichen Reihen und Produkten nicht gefunden werden kann. Sind in der Tat sämtliche Glieder der Reihe Xun endlich und sämtliche Faktoren der Produkte II (1 + un) endlich und von Null verschieden, so hängt das Verhalten der Reihe oder des Produktes ausschließlich von den sehr entfernten Gliedern oder Faktoren ab, während es gleichgültig bleibt, ob man die ersten Glieder und Faktoren durch willkürliche andere, die den oben angegebenen Bedingungen nur genügen, ersetzt. Ganz anders verhält sich die Sache bei einem Kettenbruch; es sei z. B. K der aus (1) für n = oo erhaltene unendliche Kettenbruch konvergent, während man

4 Lp'

i⁵ Lp-

»•") “a + Z

— K’

/3 + 0

ersetzt, so ist dieser Kettenbruch auch konvergent außer für A — K.

Ein Kettenbruch heißt regulär, wenn sämtliche Zahlen bp den Wert + 1 haben; der reguläre Kettenbruch

(10)

K= a₀ A

a’⁺ä,⁺'"

wird kürzer als

K    (üq ;    } @'2 ? ^3 ? ’ ’ ’)

(ii)

bezeichnet.

Wir können hier nieht näher auf die Frage über Konvergenzkriterien für unendliche Kettenbrüche eingehen, sondern müssen uns darauf beschränken, auf die Abhandlungen von Pringsheim¹) und Pa dé²) zu verweisen.

140. Für positive ganze n hat man die beiden endlichen Kettenbrüche

(°;

(n—l)² (n — 2)²

2²

(°-

(n — l)⁴    (« — 2)⁴

2 n — 1’    2 n — 3’    2 n — 5 ⁷

2⁴

M-

rH

zu bestimmen.

1)    Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 28, p. 295—324; 1898. Bd. 35, p. 359—380; 1905.

2)    Annales de 1’ Ecole Normale (3. Bd.) 24, p. 341—400; 1907.

141. Es ist

beweisen, daß ein positiver irreduzibler Bruch stets in einen ganz bestimmten endlichen Kettenbruch

zu

(«0 5 ai7 %7    • * * 7 an)

entwickelt werden kann, wenn at a₂ . . . an_₁ sämtlich positiv ganz sind, während a₀ und an ganze Zahlen bezeichnen, die nicht kleiner als 0 bzw. kleiner als 2 sein dürfen.

§ 63. Verwandlung einer Reihe in einen Kettenbruch.

Wie schon Euler¹) gezeigt hat, kann man wegen der Formel § 62, (8) die Summe

(1)

sH = % — u₂ + «4 — w₄ -\-----f- (- 1 )n-xun

in einen Kettenbruch verwandeln; setzt man in der Tat:

M2 •••&!,

*p- XZp

zozi

= M17

*1 Z2

so erhält man aus den Ausdrücken für un_₁ und un die Beziehungen

*»-i

(3)

Zn-2bn

Un

Zn

n —17

Zn

KUn-1

woraus

wegen § 62, (4) folgt:

(4)

Un-X~Un

Zn — KZn

-2

Zn

'Un-1 =

anZn- 1

Zn

* Un-V

Setzt man demnach in (4) n — 1 anstatt n, so erhält man durch Multiplikation der beiden so erhaltenen Gleichungen

Zn-2an-Xan

K_1 - wj (un

woraus wegen (3)

-2

- Un~x)

Zn

• Un _ X un - 2 7

(P)

an-XanUn-2Un

K_2— «*—l) K-l -“»)

hervorgeht; diese Formel ist offenbar für n^>3 anwendbar, und wir haben somit nur bt und b₂ zu bestimmen.

Aus #₀ = 1 und = % ergibt sich wegen (2)

(6)

^ Wj ,

woraus sich unter Anwendung der Identitäten z₂ = a₂ + b₂,    &₂ =

£#^2w2 ergibt:

¹

Analyse algébrique, p. 562, 1821.

²

Introductio in analysin infinitorum § 306; 1748.

³

   Analyse algébrique, p. 562; 1821.

⁴

   Mathematische Annalen, Bd. 33, p. 119—154, 1884.

(?)

1) Introductio in analysin infinitorum Bd. I, § 368; 1748.

IAj^ Wg V/.2 îIq

Führt man nunmehr diese Ausdrücke für die Zahlen bp in den Kettenbruch yn : zn ein, so ergibt sich, daß die Zahlen a sämtlich durch Division ausfallen; nach einer einfachen Umänderung erhält man daher für jedes n

*. — (°i “

Un-2Un

(8)

U1 - Ui ’

Läßt man endlich in (1) und (8) die positive ganze Zahl n über jede Grenze hinauswachsen, so erhält man unmittelbar den Satz:

I. Wächst n über jede Grenze hinaus, so werden die aus (1) erhaltene unendliche Reihe und der aus (8) hervorgehende unendliche Kettenbruch gleichzeitig konvergieren, divergieren oder oszillieren.

142.    Man hat die Funktionen ex, cos x und sina: in unendliche Kettenbrüche zu entwickeln.

143.    Es ist die unendliche Reihe

(- ir

*    _i_    * sfe_L_

x 4- 1 'x 2 ' x 3

in einen Kettenbruch zu verwandeln; für x = 4 erhält man

4----

•>

dadurch den Kettenbruch von Brouncker.

§ 64. Kettenbrüche von Lambert und Legendre. Bezeichnet a eine willkürliche endliche Zahl, die weder Null noch negativ ganz ist, so ist die Reihe

æ⁴

(1) (p{a,x) = 1 +

æ²

1! cc ' 21 a (a-fl) T 3! cc (a1) (a-f 2)

für jedes endliche x unbedingt konvergent; setzt man in (1) a -f 1 anstatt a, so erhält man durch Subtraktion

oder

qp (a,a?) - qp(a + 1,    = -

(“ 4" D

1 ! a (a -f- 1) (a -f- 2)

+ • ' ‘}

(2)

<p(a, #) — <jp(a + 1, x) = Setzt man demnach

£C²

a (a -J- 1)

• ç? (a -j- 2, a?).

(3)

z²

so erhält man wegen (2)

(a, æ) =

ec ip (a 1, x) ’

woraus man in ganz formaler Weise den unendlichen Kettenbruch

(4)

a;²

xs

herleitet.

’ ai 4-1'    «4-2»

•)

Um nun in aller Strenge die Richtigkeit der Formel (4) nachzuweisen, leiten wir für die Zähler und Nenner der ersten Annäherungsbrüche die folgenden Ausdrücke

Vi ~ x } y2 ~ (a    y3 — i) ■+■ 2) x² -f- x⁴

*i = «>    ^2 = a + 1) + x², % = a (a + 1) (a -f 2) + 2 (a -f 1)æ²

-2

direkt ab. Die Rekursionsformeln yn = (cc + n-l) yn_x + x²yn_₂, zn = (a + » - 1)    + æ²^

ergeben dann allgemein

(5)

-2 s

(a-\-s)x2s,

wo der Kürze halber

Cp(a) = a{a + 1) ... (cc + p — 1), C₀ (a) = 0

gesetzt worden ist, während yn aus ^n_₁ gebildet wird, indem man a +1 anstatt a einführt und mit x² multipliziert.

Aus (5) erhält man nach einer einfachen Umformung

(6)

zn = a(a + 1) (a -f 2) ... (cc + n — 1) • .Fn(a, æ)

wo der Kürze halber

F„(a,x)~l +£

00

(n — s) (n — s — 1)... (n — 2s -f- 1)

(a -{- n — 1 ) {cc-\~n — 2)... (cc n — s) xis

s ! a (cc -j- 1) .. . (cc -J- s — 1)

gesetzt worden ist; dadurch erhält man aber für jedes n:

yn _ x² Fn -1 (a +1, x)

Zn

In (cc, X)    ’

so daß uns nur übrig bleibt das Verhalten der Summe Fn(cc, x) für unbegrenzt wachsendes n zu untersuchen, indem a weder Null noch negativ ganz angenommen wird.

Bezeichnet us das allgemeine Glied unter dem Summenzeichen in (7), so hat man

(8)

Us

(:n — s) (n — s — 1 -f- a) (s -(- 1) (cc -{- s)

US+1

(n — 2s) (n — 2s — 1)

setzt man demnach |a|<is— 1 und |#²|<s-j-l voraus, so hat

man

wegen (8)

(9)

I Us + 1

£+.1 — 2s —1    \x\'

r>l;

denn es ist offenbar unter diesen Voraussetzungen

\n — s— 1 + a\ ^>n — s - 1 — \a\>n — 2s, |a + s| >s— \a\    1.

Aus (9) gebt aber deutlich hervor, daß die aus (7) für unbegrenzt wachsendes n erhaltene unendliche Reihe für alle endliche \x\ absolut konvergiert.

Es sei nun n sehr groß; während s eine solche positive ganze Zahl bedeutet, die z. B. jf^wj nicht übersteigt, also s \ Ÿn\î setzen wir dann

A-

(n — s)(n — s — !)...(» — 2 s 1)

(a -f- n — 1) (a -f- n — 2)... (a -f- n — s)

-n(¹

o: -j-n —

i).

so erhalten wir wegen § 23, (20)

p = S

\logA,\<2 jlog(l

« + s — a -f- n —

— P— |«

wo dp für unbegrenzt wachsendes n dem Grenzwerte 1 zustrebt; da nun s<^|]/w| ist, so erhält man dadurch

|3, — |

! K n\ — \a\

I log Al <ä-

wo d obere Grenze der dp bezeichnet.

Setzt man daher As = 1 -f- e a so hat man lim en s = 0 für n — oo,

woraus

lim Fn(a, x) = cp(a,x)

n = 00

folgt, woraus das Ergebnis entfließt:

Der Kettenbruch (4) Iconvergiert für unbegrenzt wachsendes n gegen xp(a,x), wenn x und a endlich sind, so daß a jedoch weder 0 noch negativ ganz ist, während x nicht so gewählt werden darf, daß cp (a, X) = 0 wird.

Aus dem Kettenbruche (4), welchen man Legendre¹) verdankt, und der später in etwas anderer Form von Bessel²) wieder gefunden worden ist, kann man einen Kettenbruch für tgx herleiten.

Setzt man in der Tat in (1) a = ^ und ^ x anstatt x, so erhält

{b ) = ¹ + fi + fr + ■••

in ganz ähnlicher Weise ergibt sich

man

<P

ex e- x

x²

T'V

(î a = ?( + î! ₊ îf ₊.a_ .

\2> 2)    2 \ ^ 3! ^ 5! ^ /

ßX - ß-X

woraus wegen (4) nach einer einfachen Umformung folgt: e x — e — ex-j- e~

X (A. X X2 X2 xi

* ⁼ \ ’ T’ T⁷ T⁷ T⁷

und somit ergibt sich, indem man ix anstatt x einführt

— x³ —x3 5 ⁷

(10)

—X²    \

K⁷ ■ ■ 7 •

*8* “ (°i ?>    3

Die beiden Kettenbrüche (10) und (11) rühren von Lambert¹) her und haben in den ältesten Untersuchungen über die Natur der Zahl n eine nicht unwichtige Rolle gespielt. Wir bemerken ausdrücklich, daß Lambert seine Kettenbrüche in aller Strenge²) hergeleitet hat.

(11)

144. Man hat den regulären von Euler³) herrührenden Kettenbruch

1,6,10, 14, 18,22,...)

herzuleiten.

Kapitel X VI.

Doppelreihen nach Pringsheim.

§ 65. Konvergenz, Divergenz und Oszillation.

Aus der unendlichen Doppelfolge (up<q) bilden wir eine neue unendliche Doppelfolge (£    ), indem wir für jedes p und q

U0,0 + U0,l + U0,2 + • • • + W0j2

+ Ul,0 + Ul,l + Ul,2 H----+ Ul,q

1)    Spl = < + W₂₎₀ + W₂,1 + M2,2 + • • • + U2,q

1)    Histoire de l’Académie de Berlin 1768, p. 265—322.

2)    Man vergleiche Pringsheim in Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 28, p. 325—337; 1898.

3)    Introductio in analysin infinitorum Bd. I, § 381; 1748.

Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.

13

Wächst hier in ganz willkürlicher Weise sowohl p als q über jede Grenze hinaus, so entsteht eine unendliche Doppelreihe; diese heißt konvergent, divergent oder oszillierend, je nachdem die Doppelfolge ($ ) diese Eigenschaft besitzt. Konvergiert die Doppelreihe mit der Summe S, ist also

setzen.

(2)

S = lim S

p = oo, q = oo IV? *

so setzt man auch der Kürze halber

(3)

Die einfach unendlichen Reihen

n = oo

(4)

(5)

^Up,n = Up, 0 + Up,l + * ' * + up,n 4----

n — oo

2k, = u0}2 + Uhq -I-----1- u 4----

n = 0

heißen die Zeilen- bzw. Kolonnenreihen der Doppelreihe; falls sie konvergieren bezeichnen wir ihre Summen mit sp bzw. t.

Setzt man für jedes n

Wn = U0,n + Ul,n-t 4-----^ Up

(6)

,n-p

+----1" Un,0>

so heißt die Reihe

n = oo

X,Wn = W0 + W1 + W2 + • •

n = 0

die Diagonalsummenreihe der vorgelegten Doppelreihe; falls die Reihe (7) konvergiert, bezeichnen wir ihre Summe mit w.

Aus der Definition (1) ergehen sich unmittelbar die Beziehungen

$0,2 = M0,0 + “0,1 + U0,2 + • • • + U₀,q

1 = “o,2 + Ul,q + ^2,2 4-----f" Up,q>

wo in der letzten q 1 sein muß; in ähnlicher Weise erhält man

Sp,o = uo,o + “1>0 4" “₂,o 4----

= Upf0 4- UP)1 4-    +* • • “p,2>

(7)

(8)

(9)

■ + wn + ---

p,i

p,i-

P-hl

wo in der letzten p 1 zu setzen ist.

Hieraus ergibt sich weiter für p^>l bzw. q^> 1

M0,0 ~ $0,0? Up,0 ~ Sp₎₀ $i>_l,0> W0,2 ⁼ $0,2    $0,2-1

(10)

P,1

und allgemein sowohl für p^> 1 als q^> 1

" SM ~ Sp,q-1 - (# ^p-1,3-1    ^P,2    ($

(H)

-s

Konvergiert nun unsere Doppelreihe, so erhält man aus (9), ganz wie für einfach unendliche Reihen, die folgende notwendige aber keineswegs hinreichende Bedingung

p,i-

(12)

lim

p — oo, q = oo

UP, 'l

— 0:

man hat also speziell für p = q für die Glieder der Haupt diagonale einer konvergenten Doppelreihe

(13)

lim u

= 0.

n — oo

Aus der Bemerkung § 27 anfangs auf die Doppelfolge (Spq) angewandt, erhält man hier den Satz:

I.    Eine Doppelreihe kann wohl konvergieren, ohne daß eine einzige ihrer Zeilen- bzw. Kolonnenreihen für irgend einen endlichen Stellenzeiger zu konvergieren braucht.

Aus (11) erhält man daher auch:

II.    Eine Doppelreihe kann wohl konvergieren, ohne daß ein einziges ihrer Glieder dem Grenzwerte Null zustrebt, wenn der eine Stellenzeiger ohne Grenze ivächst, während der andere endlich bleibt.

Beispiel 1. Setzt man für alle p und q

P,i

(-l)* + g (i i JA a>i

a 4-1 \aP ' aV’ ^    ’

so ist die entsprechende Doppelreihe konvergent mit der Summe 0; man findet aber wegen (10) für q 1 bzw. p ^ 1

U0,9 ⁼ (“ ¹)2    +

a + l)’ up,o (    1)P {aP a + l)

und für alle anderen Elemente

uo,o

Hier hat man daher

⁼ (~ ¹)P+? {Ep +    •

lim|wpi0|= Hm K,J = YTTÎ

q = oo

p — oo

und allgemein für willkürliche endliche q bzw. p

lim KJ Hm K₂| = ^-

p = oo    q = oo

Ganz wie in § 30 ergibt sich, daß wir uns auch hier auf Doppelreihen mit reellen Gliedern beschränken dürfen.

13

(1)

§ 66. Über Zeilen- und Kolonnenreiben. Setzt man für q = 0, 1,2, ..., n lim S

p = oo

P,ü

= T

9’

so hat man wegen § 65, (9)

n = oo

n = oo

(2)

n,q

71 — 0

wo in der letzten Gleichung q = 1, 2, 3, . . ., n sein darf; aus derselben Formel erhält man umgekehrt für q — 0, 1, 2, 3, . . .

n= p

(3)

p,i

und daher hat man für q = 0, 1, 2, ..., w

71 = 00

71 = 00

71 = 00

(4)

lim S

p = oo

71 = 0

n = 0

falls die (w -f- 1) ersten Zeilenreihen sämtlich konvergieren. Setzt man in ähnlicher Weise

(5)

lim S

q = oo

P,1

= Sp,

so erhält man ganz entsprechende Resultate, und somit entfließt der Satz:

I.    Sind die (n + 1) ersten Grenzwerte Tq bzw. Sp endlich und bestimmt, so konvergieren auch die (n + 1) ersten Zeilen- bzw. Kolonnenreihen, und umgekehrt.

Die Existenz und Endlichkeit sämtlicher Grenzwerte Tq bzw. Sp ist daher identisch mit der Konvergenz aller einzelnen Zeilen- bzw. Kolonnenreihen. Aus § 27, I entfließt nun der folgende Satz:

II.    Eine Doppelreihe kann zwar konvergieren, ohne daß eine einzige Zeilen- oder Kolonnenreihe mit endlichem Stellenzeiger zu konvergieren braucht. Es kann dann aber immer nur eine endliche Anzahl dieser Reihen entweder divergieren oder zwischen unendlichen Grenzen oszillieren, sondern es muß das Oszillationsintervall aller Zeilen- oder Kolonnenreihen von einem bestimmten n an beliebig klein werden.

p = n q = in \

ĘĘ--)

p = 00 q = 00

lim

= lim flim s X

= 00    \ q = 00    y

(®) 2 2 *v=

V = 0    $ = 0

so hat man wegen § 27, II den Satz:

III. Ist außer der Doppelreihe ZJ2Jupjÿ = S jede einzelne Zeilenreihe oder jede einzelne Kolonnenreihe konvergent, so konvergiert auch die Reihe der Zeilenreihensummen bzw. diejenige der Kolonnenreihensummen gegen die Summe S, d. h. es ist

P = °° 9J= °°    9 = °° P = °°

CO

Beispiel 1. Für die Doppelreihe § 65, Beispiel 1 ist für q^> 1

(— i)g + g ci -(-1

8^-8

(JL _±_ a ~l~ D.

\aP -■ a 1 /’

P, 2-1

die erste Zeilenreihe wird daher in den Grenzen + 1 : (a -J- 1), die (jl + l)te für qj>\ in den Grenzen + ci~q oszillieren; analoges gilt für die Kolonnenreihen.

Setzt man der Kürze halber

P,9

22u™=s isw- 2

Ans § 27, II ergibt sich noch die folgende Ergänzung des Satzes III:

IV.    Ist die Doppelreihe 2J2Ju mit konvergenten Zeilen- bzw. Kolonnenreihen eigentlich divergent, so gilt das gleiche für die Reihe der Zeilenreihensummen bziu. Kolonnenreihensummen.

Aus IV und den zum Satze II in § 27 gemachten Bemerkungen ergibt sich dann weiter:

V.    Auch wenn alle Zeilen bztv. Kolonnenreihen konvergieren, und wenn sowohl die Reihe der Zeilenreihensummen als auch diejenige der Kolonnenreihensummen gegen dieselbe Summe S konvergiert, so kann die betreffende Doppelreihe nichtsdestoweniger divergieren, und zwar allemal uneigentlich, oder oszillieren. Dies muß der Fall sein, wenn die Reihen der Zeilen- und die der Kolonnenreihensummen gegen verschiedene Werte konvergieren.

Beispiel 2. Setzt man für alle p und q

P,9

so hat man für alle q bzw. alle p

Hat man durchweg w 0, so ist die Doppelfolge ($ ) eine monoton wachsende; aus den Entwicklungen des § 28 erhält man daher:

stets unter einer endlichen Zahl

p,i

lim $„ „ = lim = 0

p=°=

lim (lim SpJ = lim (lim SpJ = 0,

q = oo p = oo

während S — U2Jup^ nicht existiert; denn die Doppelreihe oszilliert. Beispiel 3.

hier hat man

p — oo q = oo

p,i

q ~ oo

p,i

P +1    .

P + <l + i⁷

lim (limąj = 1, lim (lim SpJ = 0.

p = ao q = oo

q =oo p = oo

VI. Ist upq 0, und bleibt S

g, so konvergiert die Doppelreihe 2JZlup^ gegen eine bestimmte Summe S. Zugleich konvergiert jede Zeilen- und jede Kolonnenreihe, und die Reihe der Zeilen- bzw. Kolonnenreihensummen konvergiert gleichfalls gegen die Summe S.

VII. Ist up,q 0, so zieht jede einzelne der drei Gleichungen

p = oo q = oo

q = oo p — oo

(8)

q — 0 p = 0    ~

die beiden anderen nach sich. Dies gilt auch noch, wenn -f oo an die Stelle der Zahl S tritt.

145. Es ist die Doppelreihe mit der Partialsumme

o ₌ /P+l\g+1 °AÎ \p-f 2/

zu untersuchen und ihre einzelnen Glieder u zu bestimmen. (F. Arndt.³))

§ 67. Über die Diagonalsummenreihen.

Über die in § 65, (7) definierte Diagonalsummenreihe Z!wn gilt

der Satz:

I. upq 0, so müssen die Doppelreihe 2JEup^ und die Diagonalsummenreihe Zwn entweder beide mit derselben Summe konvergieren oder gleichzeitig beide divergieren.

Da die Summe der (n + 1) ersten Glieder von 2Jwn keine Zahl up,q> fiir welche p Ą- q^> n und nicht alle upq, für welche p -f- q — n enthalten kann, da weiter die Summe der 2n -j- 1 ersten Glieder von 2Jwn alle Glieder für welche p -f- q — n und noch andere enthält, so hat man für n 1 immer

(1)

.5 = 0

s = 0

Konvergiert nun die Doppelreihe 2J2Jup.q mit der Somme S, so ist Sn>n ^ S, und die Reihe mit positiven Gliedern 2Jws ist demnach konvergent; schreibt man daher die Beziehungen (1) wie folgt

■« = 2w

(2)

n,n

0<S,

so ergibt sich unmittelbar

n — oo

Konvergiert andererseits die Reihe Ewn, und ist S ihre Summe, so hat man wegen (2)

n,n

lim jSL „ = S

n — oo

woraus

vermöge § 28, (5) hervorgeht:

= S.

p = oo q — oo

Divergiert aber eine der Reihen ZZJup,q und Bwn, so muß die andere wegen (1) dieselbe Eigenschaft besitzen.

Kombiniert man nun die Sätze I und § 66, VII, so ergibt sich: II. Ist up q 0, so sieht jede einzelne der vier Gleichungen

p = oo q = 00    g = 00 P = oo

(3) 22%, - S, 2«. = s, 2    =    “ s

5=0 p = 0

p = 0 5=0

die drei anderen nach sich, gleichgültig, oh S endlich oder unendlich groß ist.

Über das Verhalten einer beliebigen Doppelreihe ZZup<q zu ihrer Diagonalsummenreihe £wn beweisen wir nunmehr den folgenden Satz:

III. Besitzt die konvergente Doppelreihe ZZupq = S diejenige

Eigenschaft, daß die einzelnen Zeilen- bzw. Kolonnenreihen entweder konvergieren oder zwischen endlichen Grenzen oszillieren, so kann die Biagonalsummenreihe Ewn nur entweder konvergieren oder oszillieren. Im ersteren Fall ist dann noch Ewn = S; im zweiten Falle ist aber die Beihe Ewn mit der Mittelsumme S summierbar.

Da die Doppelreihe konvergiert, so hat man mit den gewöhnlichen Bezeichnungen für pit P, q^Q immer

(4)

ią,*-si<o i«y <\s\ + «.

Aus den Voraussetzungen über die Zeilenreihen erhält man unmittelbar für alle endlichen q aber für jedes p, also auch für p = oo

(5)

In ähnlicher Weise

wo g₁, eine endliche positive Zahl bedeutet, findet man für alle endlichen p aber für jedes q, also auch für q = oo

(6)

IĄJ <»!>

wo g₂ ebenfalls eine endliche positive Zahl bedeutet.

Es sei nun g eine solche positive Zahl, die von keiner der drei Zahlen \S\ + s, gx und g₂ überschritten wird, dann bestehen alle drei Beziehungen (4), (5), (6), sobald man die höheren Grenzen durch g ersetzt; man hat demnach schließlich für alle p und q also auch für p = oo bzw. q = oo oder p = oo und q = oo

CO

I SpJ<9-

Da die Partialsumme der Reihe Ewn:

Wm = w₀ + w₁ + --- + wm

sämtliche Glieder up, q, für welche p + q m ist, und keine andere enthält, und da wegen § 65, (9)

up,o F Up,l + ' ' ' + Up, q $p,q

ist, so erhält man unmittelbar

=Sm,o +    —1,1 H----+ $0>,m — ($m — 1,0 +    — 2,1 H-----H    >

woraus, indem man m = 1, 2, 3, ... n einführt und noch die Identität

W = 8 yy o wo,o

an wendet, die Relation hervorgeht:

n-p,p

(8)

Der Ungleichung (7) wegen darf man den Satz § 29, I für an = n anwenden, und es ergibt sich dann

(9)

lim Wo “I⁻ 1U “I⁻ ' ‘    ~Wn

n — oo

= S:

d. h. die Reihe Ewn ist mit der Mittelsumme S unsummierbar. Konvergiert aber Ewn mit der Summe W} so hat man wegen § 34, I

w= s.

Es bleibt uns also noch übrig zu zeigen, daß die Reihe Ewn niemals eigentlich divergieren kann, daß also

lim wn = + oo bzw. lim wn =

n = ool

nicht sein kann; dies folgt unmittelbar aus § 34, II. Andererseits kann aber wohl die Reihe Ewn möglicherweise zwischen unendlichen Grenzen oszillieren.

— oo

n — oo

§ 68. Beispiele.

Die Ergebnisse des vorhergehenden Paragraphen werden illustriert, wenn wir allgemein

(1)

up,i    vp + q    vp + q +1

setzen, indem die Reihe Evn konvergieren soll. Für die Zeilenreihen-bzw. Kolonnenreihensummen finden wir unmittelbar die Ausdrücke

v Tt~ v

(2)

weiter hat man wegen (1)

p = m

(3)

d. h. unsere Doppelreihe ist konvergent mit derselben Summe wie die einfache Reihe Evn.

Für das allgemeine Glied der Diagonalsummenreihe wn hat

man hier

(4)

wM = 0 + l)(vn-vn+1),

woraus

(Ö)

y'«-,,=( Ev„ i - (»+

folgt; die Reihe Ewn ist daher dann und nur dann konvergent,

wenn nvn für n = oo einem endlichen und bestimmten Grenzwerte zustrebt; d. b. es muß notwendigerweise

(6)

lim nvn = 0

n = oo

sein, wenn die Reibe Ewn konvergieren soll; man hat daher in diesem Falle

p = OO

p = oo

(7)

Beispiel 1:

₌__₌    (— l)”

V'n (w-f- 1)2; Vîl    (n -)- 2) log (n -f- 2)

Ans (5) und (6) folgt aber unmittelbar, daß die Reibe Ew in keinem Falle eigentlich divergieren kann.

Es bleibt also nur die Möglichkeit offen, daß

(8)

l = lim inf (nv J =}= lim sup (nvn) — L

n = oo

n = oo

ist; in diesem Falle oszilliert die Reibe Ewn vermöge (5) zwischen den Grenzen

p = 00

p = oo

(9)

y,vp - l’ zvp

— I.

p = 0

Beispiel 2. vn= (— l)n : (n + 1), ?= — 1, L = + 1, 27wra==log2 die Grenzen (9) werden also hier log 2 — 1 und log 2+1.

Beispiel 3. vn = (— 1)” (w + l)⁻^, l = — oo, Z = -f oo; oszilliert zwischen den Grenzen -f- oo und — oo.

Beispiel 4. Ist EEu — S eine solche konvergente Doppelreihe, daß die Reihe Ewn auch konvergiert, also die Summe S hat, und ersetzt man die beiden ersten Zeilen in unserer Doppelreihe für alle q durch u₀,q -j- vq, — vq, wo die Zahlenfolge

v₀ vx vs... vn...

ganz beliebig ist, so ist diese neue Doppelreihe auch mit der Summe S konvergent. Bezeichnen w'n die Diagonalsummen dieser neuen Doppelreihe, so hat man

(10)

(11)

m>ó=»o + »o,    +    *»^1;

daher ist auch

(12)

erstens die Zahlenfolge (10) konvergent mit dem Grenzwerte V, so divergieren die beiden ersten Zeilenreihen Doppelreihe, und die entsprechende Diagonalsummenreihe Uw'n konvergiert zwar, aber mit der Summe S -f- V, also mit einer anderen Summe als die Doppelreihe seihst; dies ist z. B. für vn = 1 der Fall.

Ist nun

unserer neuen

Ist zweitens die Zahlenfolge (10) eigentlich divergent, so hat die Reihe Uw'n dieselbe Eigenschaft.

Die Diagonalsummenreihe Uw'n verliert also hier tatsächlich die im Satze § 67, I ausgesprochene Eigenschaft, weil die zwei ersten Zeilenreihen der entsprechenden Doppelreihe divergieren.

§ 69. Absolut konvergente Doppelreihen.

Die Doppelreihe UUup,q heißt absolut konvergent, wenn die aus den absoluten Beträgen | «    | ihrer Glieder gebildete Doppel

reihe UU j u | konvergiert; wir haben also hier vor allem zu beweisen, daß die erstere Reihe konvergiert, wenn die zweite diese Eigenschaft besitzt.

Werden die folgenden Summationen über dieselben Werte von p und q ausgedehnt, so hat man sicher

¹

   Eléments de géométrie p. 288 (11 Ausg.) Paris 1817.

²

   Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 31—33. Ygl. mein Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, p. 37; Leipzig 1904. Der dort gegebene von Schlömilch herrührende Beweis ist nicht ganz einwandfrei. Man vergleiche übrigens die Abhandlung von Perron: Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 35, p. 483—504; 1907.

³

Grunert Archiv Bd. 11, p. 319; 1848.

und somit ist auch

I •£«*,! ^-21 «Ml>

P + r,q + S

q | — Sp + r, P+-S Sp, q ?

WO Sr

P, 2

die Summe der absoluten Beträge [ u bezeichnet.

j der in S.

Die Doppelreihe UUu ist daher

m,n

P,1

vor-

kommenden u sicher konvergent, wenn dies mit U U | u j der Fall ist.

771,71

Die absolut konvergenten Doppelreihen sind den konvergenten Doppelreihen mit positiven Gliedern sehr ähnlich; insbesondere gilt der Satz:

1. Ist die Doppelreihe UUup,q=S absolut konvergent, so konvergiert auch absolut 1. jede einzelne Zeilen- und Kolonnenneihe, 2 die Reihe der Zeilen- und Kolonnenreihensumme, und es ist

p = oo q = oo    q = co p = co

(1)

p = 0    q — 0    g = 0 p = 0

wenn

3. die Diagonalsummenreihe Uwn und zwar auch dann,

man sie als eine einfache Reihe mit den in ihr enthaltenen Gliedern up,q auffaßt, und es ist auch hier

n = co

(2)

z zu»*~

n = 0

Da die Doppelreihe 2727 | up,q j konvergiert, so müssen den Sätzen § 66, VI und § 67, I zufolge sämtliche im Satze I erwähnten Reihen absolut konvergieren. Es handelt sich also nur noch darum zu zeigen, daß diese Reihen sämtlich die Summe S haben müssen. Die Gleichungen (1) sind aber unmittelbare Folgen des Satzes § 28,

(4) während (2) direkt aus § 67, III hergeleitet werden kann.

Der Satz I läßt sich ohne weiteres in folgender Weise umkehren bzw. verallgemeinern:

II. Von den vier Gleichungen

71= CO

(3)

zieht jede einzelne die drei anderen nach sich, wenn die in der Voraussetzung auftretende Reihe noch honvergent bleibt, wenn man anstatt jedes u den entsprechenden absoluten Betrag | u | einführt.

Aus der letzteren Annahme folgt nämlich wegen § 66, VII, daß die Doppelreihe 2727 j u | konvergiert, daß also die Doppelreihe 27 up>q absolut konvergiert, und II folgt dann unmittelbar aus I.

In II ist offenbar der folgende, von Cauchy¹) herrührende Satz als Spezialfall enthalten:

III. Konvergieren alle Zahlen der Doppelfolge (m ), und hat die entsprechende Doppelreihe 2727m^? die Eigenschaft, daß ihre Zeilenreihensummen eine konvergente Reihe mit der Summe S bilden, so konvergieren sämtliche Kolonnenreihen und die Reihe ihrer Summen ist ebenfalls mit der Summe S konvergent, falls die vorausgesetzten Konvergenzeigenschaften bei Vertauschung der u mit ihren absoluten Beträgen erhalten bleiben.

§ 70. Unbedingt konvergente Doppelreihen.

Die konvergente Doppelreihe UUup^ heißt unbedingt konvergent, wenn jede durch Einordnung der Glieder daraus hervorgehende Doppelreihe gegen dieselbe Summe konvergiert, wie die ursprüngliche.

Dabei betrachten wir dann und nur dann die Doppelreihe 2JUvri aus UUuptq durch Umordnung der Glieder hervorgegangen, wenn jedem Gliede up,q ein ihm gleiches v entspricht und umgekehrt. Es muß also jedes Glied, das in der Doppelfolge (up q) an einer bestimmten endlichen Stelle erscheint, auch in der Doppelfolge (vr,s) e^ne bestimmte endliche Stelle einnehmen und umgekehrt.

Mit dieser Definition gilt der Satz:

I. Jede absolut konvergente Doppelreihe ist auch unbedingt konvergent.

hat man

Setzt man npi==vrs und ist UUup,q absolut konvergent, so Z2\vm\-A,

wo A endlich und bestimmt ist; jede begrenzte Doppelsumme aus den vr t | bleibt daher stets unter A, und somit konvergiert die Doppelreihe 2J2J |    |, d. h. die Doppelreihe 272^ konvergiert

dem Satze § 67, III ergeben sich dann die beiden

unbedingt ; aus Beziehungen    «

n = co

2 (U<)’n + Ul,n-1 + * ' + Un,o) — 22JUp,i

(1)

71 = CO

2 (®o,» + üi,»-i + --- + v«,o)= ££vr

n = co

Jede dieser einfach unendlichen Reihen ist absolut konvergent, auch wenn man die up q bzw. vr,s als Reihenglieder auffaßt; da die eine dieser Reihen durch Umordnung der Glieder der anderen gebildet ist, so hat man

ZZuM-2Zvrt,

Um den Satz I umkehren zu können bemerken wir zuerst, daß jede unendliche Zahlenfolge

(2)

sich, auf unendlich viele Arten als eine unendliche Doppelfolge anordnen läßt, am einfachsten etwa in folgender Weise:

Die Zeile mit dem Stellenzeiger 0 heiße

U-y, U±, Uq , . .., Un2, ...

diejenige mit dem Stellenzeiger n aber

Uni ą. 2 , Un² + 3 ; • • •} ^/(² + w 7 •••

Bezeichnet nun 8 die Summe aller derjenigen Glieder dieser Doppelfolge, welche den p ersten Zeilen und den q ersten Kolonnen angehören, so hat man speziell

r = ri¹

(3)

S„,,= NM»'

r—1

Wenn nun

lim S = oo bzw. lim 8    — — oo n = co

oder auch

n^n")

lim inf Ä =)= hm sup 8

TZ = QO

so ist sicher, daß für p = oo, q = oo keinen bestimmten Grenzwert haben kann, und daß die aus unserer Zahlenfolge in der oben angegebenen Weise gebildete Doppelreihe unter keinen Umständen konvergieren kann.

Nach dieser Vorbemerkung beweisen wir nunmehr den Hilfssatz:

II. Eine konvergente Doppelreihe, ivelche nicht absolut konvergiert, läßt sich stets durch Umordnung der Glieder divergent machen; sie kann also keinesfalls unbedingt konvergieren.

Ist die zu betrachtende Doppelreihe 2J2Ju , so muß die entsprechende Diagonalsummenreihe

(4)

^ (U0,n + Ul,n- 1 + • • • + W„,₀)

sowohl positive als negative Glieder in unbegrenzter Anzahl enthalten, und die Reihe der positiven und diejenige der negativen Glieder in (4) müssen beide divergieren; denn sonst wäre ja die Reihe (4) entweder absolut konvergent oder eigentlich divergent. Die positiven Glieder in (4) werden als

ax, a₂, a₃, ..., an, ... (A)

die negativen als

(B)

b±,    b%,    ^3?*

bezeichnet.

(10)

^»2p) n2p=^    &

ist.

Nun entnehme man der Reihe (A) so viele positive Glieder, daß ihre Summe 1 ausfällt und füge nötigenfalls noch so viele ebensolche Glieder hinzu, daß ihre Anzahl eine Quadratzahl n2 wird. Ordnet man dann diese n₁² Glieder nach dem oben angegebenen Verfahren zu einem quadratischen Schema Qx, so hat man

(5)

Sni,ni ^ 1.

so viele negative Glieder

Jetzt füge man zu der Summe S aus der Reihe (B), daß die Summe aller so erhaltenen Zahlen — 1 wird, und nötigenfalls weitere negative Glieder, bis die Anzahl sämtlicher mitgenommenen Glieder wiederum eine Quadratzahl n 2 {nx-\- l)² wird. Durch Verlängerung der einzelnen Zeilen und Kolonnen in Q± erhält man dadurch ein neues quadratisches Schema Q₂ mit n₂ Gliedern, und es ist

»l. %

(6)

Sn₂, n₂ ^    1-

In analoger Weise bildet man aus Q₂ durch Hinzufügung von positiven Gliedern ein neues Schema mit n² Gliedern und so daß

(7)

wird, alsdann durch Hinzufügung von negativen Gliedern das Schema mit n ² Gliedern, und so daß

(8)

S„t

wird.

Durch dies Verfahren erhält man das Schema Q Gliedern, so daß

2p—1

mit n²

2p-l

(9)

2p —17 n2p-l

wird, und darnach Q2p mit ri\p Gliedern, so daß

Sn

Bei unbegrenzter Fortsetzung dieser Methode entsteht also aus den Gliedern von 2J2Jupq eine zwischen den Grenzen -f- oo und — oo oszillierende Doppelreihe, und damit ist II bewiesen.

Aus II findet man nun weiter:

III. Jede unbedingt konvergente Doppelreihe ist auch absolut hon-

vergent, so daß die Begriffe absolut und unbedingt konvergente Doppelreihen identisch sind.

Als Beispiele bedingt konvergenter Doppelreihen erwähnen wir solche konvergente Doppelreihen, bei denen irgend eine Zeilen- oder Kolonnenreihe divergiert oder bei denen die Diagonalsummenreihe divergiert.

Wir erwähnen noch, daß Pringsheim²) auch Konvergenzkriterien für Doppelreihen angegeben hat, und leiten die Aufmerksamkeit auf die Arbeiten über Doppelreihen von Stolz³) und London⁴) hin.

DRITTER TEIL.

REIHEN

MIT VERÄNDERLICHEN GLIEDERN.

Kapitel XVII.

Zalilenmengen.

§ 71. Äquivalenz und Häufungsstellen.

Eine Sammlung reeller Zahlen bildet eine reelle Zahlenmenge⁵), wenn wir ein, jedenfalls theoretisches, Mittel besitzen, um zu entscheiden, ob eine vorgelegte Zahl der Menge angehört oder nicht.

Beispiel 1. Eine willkürliche Zahlenfolge a₀ a₁ a% ... an ... ist eine Zahlenmenge.

Beispiel 2. Sämtliche rationale zwischen 0 und 1 gelegene Zahlen bilden eine Zahlenmenge.

Beispiel 3. Die Sammlung aller zwischen 0 und 1 gelegenen Zahlen bildet eine Zahlenmenge.

Wenn die Definition der Zahlen einer Menge auch so beschaffen ist, daß sie dasselbe Element der Menge mehrmals gehen kann, so ist dennoch jedes dieser Elemente ein und nur einmal mitzurechnen.

Beispiel 4. Die Menge aller rationalen Zahlen wird durch die endlichen ganzen Zahlen und die irreduziblen Brüche, deren Nenner nicht Null ist, vollständig erschöpft.

Eine Zahlenmenge heißt endlich, wenn sie nur eine endliche Anzahl von Elementen enthält; im anderen Falle heißt die Menge unendlich; hier haben wir ausschließlich Mengen der letzten Gattung zu betrachten.

Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn es

möglich ist, zwei endliche Zahlen A und B, A > II, anzugeben, so daß kein Element der Menge größer als A und keins kleiner als B ist; sonst heißt die Menge nicht - abgeschlossen.

Beispiel 5. Die rationalen zwischen 0 und 1 gelegenen Zahlen

bilden eine abgeschlossene, sämtliche rationale Zahlen aber eine nicht-abgeschlossene Zahlenmenge.

Jede abgeschlossene endliche Menge hat sowohl ein größtes als ein kleinstes Element; dies findet im allgemeinen nicht bei unendlichen Mengen statt.

Beispiel 6. Die aus den zwischen 0 und 1 gelegenen rationalen Zahlen gebildete Menge hat weder ein kleinstes noch ein größtes Element.

Ganz wie in § 13 beweist man aber den Satz:

I. Jede abgeschlossene unendliche Zahlenmenge hat soivohl eine obere Grenze G als eine untere Grenze g; d. h. es existieren zwei endliche und bestimmte Zahlen G und g, die den beiden folgenden Bedingungen Genüge leisten:

(i)

1.    Für jedes Element a der Menge hat man a < G, a^>g.

(2)

2.    Die Menge enthält mindestens ein Element a, so daß a > G — s

ist, und außerdem mindestens ein Element a", so daß

(3)

a" < g + e

ist, indem s eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe bedeutet.

Ist G bzw. g ein Element der Menge, so heißt G bzw. g Maximal- oder Maximalwert der Menge.

Wenn die Elemente der Menge wohl sämtlich endlich sind, aber so, daß man keine Zahl angeben kann, die größer bzw. kleiner als alle diese Elemente ist, so sagt man, daß diese Menge die obere Grenze + oo bzw. die untere Grenze — oo hat.

Beispiel 7. Die Menge aller positiven rationalen Zahlen hat die obere Grenze -j- oo die untere Grenze 0, während die Menge aller negativen rationalen Zahlen die obere Grenze 0 und die untere Grenze — oo hat.

Die Zahl œ heißt Häufungsstelle einer Menge, wenn unendlich viele Elemente der Menge zwischen œ -j- s und co — e liegen, wie klein die positive Größe e auch angenommen wird; ganz wie in § 12 beweisen wir den Satz:

II. Jede unendliche abgeschlossene Zahlenmenge hat mindestens eine Häufungsstelle.

Die aus den Häufungsstellen einer Menge A gebildete neue Zahlenmenge Ä heißt die aus A abgeleitete Menge. Die Menge A

liegt überall dicht zwischen a und ß, wenn ihre abgeleitete Menge A' sämtliche Zahlen x, die der Bedingung a < x < ß genügen, enthält.

Beispiel 8. Die Menge aller zwischen 0 und 1 gelegenen rationalen Zahlen liegt überall dicht zwischen 0 und 1; die Menge aller zwischen 0 und 1 gelegenen Zahlen ist mit ihrer abgeleiteten Menge identisch.

Ganz wie in § 13 finden wir nun weiter den Satz:

III. Ist die obere bzw. untere Grenze einer abgeschlossenen Menge nicht selbst ein Element dieser Menge, so ist G bzw. g Häufungsstelle dieser Menge.

Wie in § 14 beweist man noch den folgenden Satz:

IY. Die zu einer abgeschlossenen Menge A gehörige abgeleitete Menge hat immer sowohl ein größtes als ein Jcleinstes Element L und l; die so bestimmten Zahlen L und l heißen limes superior und limes inferior der ursprünglichen Menge A.

Die Zahlen L und l genügen daher den folgenden Bedingungen:

1. Wie Mein die positive Größe 6 auch angenommen wird, so hat die Menge A dennoch nur eine endliche Zahl von Elementen a, so daß

a> L -\- <3,    a <Cl — 6

ist.

2. Andererseits sind aber die Ungleichungen von unendlich vielen Elementen der Menge befriedigt, wie Mein die positive Größe ö auch angenommen wird.

Weiter findet man

Y. Hat eine abgeschlossene unendliche Menge leinen Maximal-bzw. Minimalwert, so sind die obere Grenze und limes superior bzw. untere Grenze und limes inferior dieser Menge identisch.

Zwei Zahlenmengen A und H heißen äquivalent, wenn jedem Element in A ein ganz bestimmtes Element in H entspricht und umgekehrt. Enthalten die Mengen mehr als ein einziges Element, kann eine solche Zusammengehörigkeit stets in mehr als einer W eise hervorgebracht werden.

Die Äquivalenz zwischen A und B wird kurz durch das Symbol A ~ B bezeichnet.

Aus der Definition ergibt sich unmittelbar der Satz:

VI. Hat man A~C und B~C, so ist auch A~B.

Zwei endliche Zahlenmengen sind dann und nur dann äquivalent, wenn sie gleich viele Elemente enthalten.

§ 72. Abzahlbare Mengen.

Eine Menge heißt abzahlbar, wenn sie mit der Menge der positiven ganzen Zahlen äquivalent ist, also wenn ihre Elemente als eine Zahlenfolge geordnet werden können; man hat daher den Satz:

I. Zwei willkürliche abzahlbare Mengen sind stets äquivalent.

Die Menge A heißt Teilmenge der anderen Menge _Z5, wenn sämtliche Elemente von A in B enthalten sind; mit dieser Definition hat man den Satz:

II. Jede unendliche Teilmenge einer abzahlbaren Menge ist selbst

abzahlbar.

Durchlaufen wir die gegebene Menge

(i)

... das

und bezeichnen wir mit api=b±, ap^ = b%, ..., ap^=b erste, zweite ... mte ... Element der Menge (1), welches der Teilmenge angehört, so wird die Teilmenge

^27 ^37 • •'7 ^W7 •

(2)

• ’t

also eine abzahlbare Menge.

Aus I und II erhält man nun weiter unmittelbar den Satz:

III. Ist A eine unendliche Teilmenge der abzahlbaren Menge B, so hat man stets A^B.

Die Vereinigungsmenge Aj-B der zwei Mengen A und B ist diejenige aus den Elementen in A und den davon verschiedenen Elementen in J5; die Vereinigungsmenge der drei Mengen A, B und C kann daher durch

(3)

(A + B) + C = A + (B+ C)=A +B+C

definiert werden, und das assoziative Prinzip ist somit für diese symbolische Addition anwendbar. Unter Zuhilfenahme von (3) bildet man nun auch ohne Mühe die Vereinigungsmenge einer willkürlichen Anzahl von gegebenen Mengen.

Beispiel 1. Ist A die Menge aller positiven rationalen Zahlen, B die Menge aller positiven Quadratwurzeln der Elemente in A, C die Menge aller positiven Biquadrat wurzeln der Elemente in A, so wird A -f- B gebildet, indem man zu den Elementen in A die irrationalen Elemente in B hinzufügt, und A -f B -f C wird erhalten,

wenn man liinzufügt.

Kapitel XVII. Zahlenmengen. § 72, 73. zu A -f- B die Biquadratwurzeln von nicht-Quadratzahlen

Beispiel 2. Ist A eine Teilmenge von B, so hat man A -f- B = B. Uber Yereinigungsmengen haben wir den folgenden Satz von G. Cantor¹):

IV. Sind die einzelnen Elemente der unendlichen Folge

(4)

4,«; • • •

abzahlbare Mengen, so ist ihre Vereinigungsmenge auch abzahlbar. Es seien in der Tat

(5)

•••> «Aî, •••

sämtliche Elemente in Ap, die nicht in irgendeiner der vorhergehenden Mengen Ax, A₂, A₃, ..., Ap_₁ Vorkommen, dann ist die Menge (5) entweder endlich oder abzahlbar; für p = 1 ist (5) eine unendliche Menge.

Die Elemente der aus (5) und den analogen Mengen gebildeten Menge werden nun z. B. in folgender Weise

(6)

®l,l5 ®h,2; a2,l5 ttl,3> ^2,2; tt3,l7 ®1,4; a2,3’ tt3,2? ^4,15

geordnet, so daß man in jeder einzelnen Gruppe sämtliche Elemente ap₎₃ mit derselben Indexsumme p + q vereinigt.

Bezeichnen wir demnach die Elemente (6) als

(7)

ur, ..

; ^2 ’ ^3 ; • • • ;

so ist sicher, daß die endliche aus den N ersten Elemente in (7) gebildete Menge sämtliche Elemente ap von (6), für welche p + q < n ist, enthält, wenn angenommen wird. Damit ist unser Satz aber bewiesen; denn die Menge (7) ist eine Zahlenfolge, also abzahlbar.

§ 73. Das Liniekontinuum.

Diejenige Zahlenmenge, deren Elemente sämtliche zwischen a und b gelegene reelle Zahlen sind, heißt das zwischen a und b gelegene Liniekontinuum und wird durch das Symbol [a, b\ bezeichnet. Man sagt, daß die Zahl x das Liniekontinuum [a, &] oder das Intervall [a, h] durchläuft, wenn x sämtlichen Elementen dieses Kontinuums gleichgesetzt werden darf. Es muß dann in jedem einzelnen Falle

angegeben werden, ob die Enden a und b des Intervalles mit-gerechnet werden sollen oder nicht.

I. Zwei willkürliche Kontinuen sind immer äquivalent.

Setzen wir zuerst die Zahlen a, b, c und d als endlich voraus, und setzen wir noch

(i)

so sind x und y durch diese Gleichung eindeutig verbunden, und wenn x das Kontinuum [«, b] durchläuft, muß y gleichzeitig das Kontinuum [c, di] durchlaufen und umgekehrt; man hat daher

[a, b] ~ [c, d]‘, setzt man noch in (1) c = 0, d = 1, so erhält man

[a, b] ~ [0, 1].

Um nun auch die Äquivalenz

[0, 1] ~ [0, oo]

herzuleiten, bemerken wir, daß    l^j <—» [0, 2]

weiter xy — 1, so erhalten wir auch |^0,    <—>[2, oo], und damit ist

(4) bewiesen.

Die Kontinuen sind Zahlenmengen ganz anderer Natur als die abzahlbaren Mengen; man hat in der Tat den folgenden fundamentalen Satz von G. Cantor¹):

II. Das Kontinuum ist nicht abzahlbar.

Den beiden Formeln (3) und (4) zufolge können wir uns darauf beschränken das Kontinuum [0, 1] zu betrachten. Dem Satze § 7, I zufolge kann nun jedes einzelne Element des soeben genannten Kontinuums in eindeutiger Weise als ein unendlicher Dezimalbruch

0,Whh • • • - ,

wo die Ziffern von einem bestimmten Platze an nicht sämtlich gleich Null sind, dargestellt werden.

Nach diesen Vorbereitungen wollen wir nunmehr den Cantor-schen Satz antithetisch beweisen. Denken wir uns in der Tat das Kontinuum [0, 1] abzahlbar, so können seine Elemente als eine Zahlenfolge

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

ist; setzen wir dann

»*i, m%, 0*8, * • •

1) Journal für Mathematik, Bd. 77, p. 260; 1873. Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 5; 1879.

Kapitel XVII. Zahlenmengen. § 74. geordnet werden, wo nach (5), für p = 1, 2, 3, • • •

mp = ⁰’ap,lap,2«p,8 ••‘‘W

Wir bestimmen demnach für jedes p eine Zahl a , so daß nur ap + aP,P ^5 ⁽^e unendlich vielen Dezimalbrüche

a = 0,aytt₂a₂

die sicher dem Kontinuum [0, 1] angehören, sind daher nicht in

weil

die beiden Dezimalbrüche a und mp ihre pte Ziffer verschieden haben. Dies ist aber mit unserer Annahme, daß die Zahlenfolge (6) sämtliche Elemente unseres Kontinuums enthalten sollte, im Widerspruch. Das Kontinuum ist demnach nicht abzälbar.

Diesen eleganten Beweis verdankt man G. Cantor¹).

Es liegt auf der Hand, daß das Kontinuum [a, &] stets unbegrenzt viele abzahlbare Teilmengen, nämlich z. B. alle aus den zwischen a und h gelegenen rationalen Zahlen gebildeten unendlichen Mengen, enthalten muß.

Um die Natur des Kontinuums in noch helleres Licht zu stellen fügen wir den folgenden Satz von G. Cantor²) hinzu:

III. Wird aus dem Kontinuum K eine willkürliche abzahlbare Menge N ausgenommen, so ist diejenige aus den in K zurückbleibenden Elementen gebildete Menge Kt mit dem Kontinuum K selbst äquivalent.

Da K — K -f N ist, so kann K± weder abzahlbar noch endlich sein; denn dann müßte das Kontinuum K auch abzählbar sein. Ist nun Ny eine solche abzahlbare Menge, daß Kx = Ny + K₂ ist, so hat man K = (N + Ny) -f- K₂, nun ist aber K₂ ~ K₂ und Nx ~ N 4- Ny also ist auch K ^ Kv

Beispiel. Die Menge aller zwischen 0 und 1 gelegenen irrationalen Zahlen ist mit dem Kontinuum [0, 1] äquivalent.

(7)

ist.

(8)

der Folge (6)

zu

finden; denn man hat für jedes p, ra =}= m

p’

§ 74. Das Arealkontinuum.

Man sagt, daß das Zahlenpaar (u, v) ein Arealkontinuum A durchläuft, wenn die Punkte mit den rechtwinkligen Koordinaten u und v das Areal A in der wv-Ebene vollständig ausfüllen; die Be-

1)    Jahresbericht der deutschen Mathematiker - Vereinigung, Bd. 1, p. 76; 1892.

2)    Journal für Mathematik, Bd. 84, p. 254; 1877.

grenzungslinien des Areals A heißen auch die Grenzen des Areal-kontinuums.

Über diese Kontinuen gilt der folgende Satz von G. Cantor⁶):

1. Ein willkürliches Arealkontinuum und ein willkürliches Liniekontinuum sind immer äquivalent.

Dem Satze § 73; I zufolge können wir uns offenbar darauf beschränken, dasjenige Arealkontinuum zu betrachten, das wir erhalten, wenn u und v jedes für sich das Liniekontinuum [0, 1] durchlaufen. Es liegt dann auf der Hand, daß die aus den dadurch gebildeten Zahlenpaaren (u, 0) und (0, v) gebildeten Zahlenmengen mit dem Liniekontinuum [—2, 0] äquivalent sein müssen. Es bleibt uns daher nun übrig zu beweisen, daß das vom Zahlenpaare (u, v) für ' 0 < u 1 und 0 < v 1 gebildete Arealkontinuum mit dem von der Zahl x, indem 0 < x 1 vorausgesetzt wird, gebildeten Liniekontinuum äquivalent ist.

Zu diesem Zwecke entwickeln wir die drei Zahlen u, v und t in unendliche Dezimalbrüche, deren Ziffern von einem bestimmten Platze ab nicht sämtlich gleich Null sind-, wir setzen

PP

CH

05

wo ap und bq diejenigen einzelnen Ziffern bezeichnen, die weder selbst Null sind noch einer Ziffer Null nachfolgen. Kommen aber in den Dezimalbrüchen eine oder mehrere nacheinander folgende Ziffern Null vor, so sollen diese Ziffern Null mit der nachfolgenden von Null verschiedenen Ziffer ein a oder bq bilden.

Ein eindeutiges Zusammengehören des Zahlenpaares (u, v) und der Zahl x kann nun dadurch erhalten werden, daß die Zahl

(2)

x — 0, a₁b₁a₂\a₃b₃ • • • anbn • • •

dem Zahlenpaare (1) entspricht und umgekehrt, indem auch im letzten Falle der Dezimalbruch (2) ganz wie (1) aufzufassen ist.

Beispiel 1. Demjenigen aus u = 0,234234 • • -, v = 0,030303 . . . gebildeten Zahlenpaare (u, v) entspricht die Zahl x = 0,2033034032 Beispiel 2. Der Zahl x = 0,301301 • • • entspricht das durch u = 0,333 • • •, v — 0,010101 • • • bestimmte Zahlenpaar (u, v).

Diesen Beweis verdankt man J. König⁷).

Unser Arealkontinuum ist also dem Liniekontinuum [— 2, 1] und folglich auch dem Liniekontinuum [0, 1] äquivalent. Es ist demnach möglich eine ein-eindeutige Verbindung zwischen den Punkten einer geradlinigen Strecke mit der Länge 1 und den Punkten, die im Innern oder auf dem Perimeter eines Quadrates mit der Seite 1

liegen, anzugeben.

Die komplexe Zahl x = u + iv bildet eine komplexe Zahlenmenge, wenn die Komponenten u und v jede für sich eine gewöhnliche Zahlenmenge bilden; diese komplexe Menge ist dann und nur dann endlich, wenn die beiden entsprechenden reellen Mengen diese Eigenschaft haben.

Die aus der komplexen Zahl x gebildete Menge ist dann und nur dann abgeschlossen, wenn die aus u und v gebildeten gewöhnlichen reellen Mengen es sind.

Die Zahl œ = a -f- iß heißt eine Häufungsstelle der aus x — u + iv gebildeten Menge A, wenn unendlich viel Elemente x der Menge A der Bedingung

I CO — X | < £

genügen, wie klein auch die positive Größe s angenommen wird. Ganz wie in § 18 beweisen wir hier den Satz:

I.    Die Zahl œ = a -f- iß ist dann und nur dann Häufungsstelle der aus x = u + i v gebildeten komplexen Zahlenmenge X, wenn a oder ß Häufungsstellen der aus den entsprechenden Komponenten u und v gebildeten reellen Mengen U und V sind.

Aus § 71, II ergibt sich dann unmittelbar der ähnliche Satz:

II.    Eine unendliche abgeschlossene komplexe Zahlenmenge hat mindestens eine Häufungsstelle.

Beispiel 1. Ist die Menge U endlich, aus den Zahlen ala.₂---an bestehend, und ist b eine Häufungsstelle der Menge V, so sind die n Zahlen a₁ + ib, a₂ + ib, • • • an + ib sämtlich Häufungsstellen der Menge X.

Beispiel 2. Ist Null eine Häufungsstelle der Menge V, so hat die komplexe Zahlenmenge eine reelle Häufungsstelle.

Sind die beiden Mengen ü und V abzahlbar, so hat die komplexe Menge X dieselbe Eigenschaft. Durchläuft (u, v) ein Kontinuum K, so sagen wir, daß x = u -f- iv ebenfalls K durchläuft.

146. Welches Zahlenpaar (u, v) entspricht bei der oben angegebenen Verbindung der Zahl x = 4:ll, und welche Zahl dem Zahlenpaare (§-, f₂)?

147.    Es ist zu beweisen, daß bei der oben angegebenen Verbindung die rationalen Zahlen x solchen Zahlenpaaren (u, v) entsprechen, für welche sowohl u als v rational sind.

148.    Bezeichnen die einzelnen Elemente der unendlichen abzahlbaren Folge

A1} Aa, A₃, • • -, An • • •

gewöhnliche Liniekontinuen, so ist ihre Vereinigungsmenge dem Linienkontinuum [0, 1] äquivalent.

149. Aus der Zahlenfolge axaaa₃ ■ • ■ an • • • wird ein Kontinuum mit unendlich viel Dimensionen, ganz wie das Arealkontinuum aus dem Zahlenpaare (u, v) gebildet. Es ist zu beweisen, daß dies Kontinuum dem Liniekontinuum [0, 1] äquivalent ist. (G. Cantor¹).)

Kapitel XVIII.

Funktionen.

§ 75. Der Funktionsbegriff.

1. Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen. Wenn die reelle Zahl y in solcher Weise von der anderen reellen Zahl x abhängt, daß man ein, jedenfalls theoretisches, Mittel besitzt um y zu bestimmen, wenn x auf gegeben wird, so heißt y eine reelle Funktion der reellen Veränderlichen x-, diese Abhängigkeit wird allgemein durch eine Gleichung von der Form

(1)

y = f(x)

ausgedrückt; y heißt hier die abhängige, x die unabhängige Variabele.

Da man imstande sein soll y zu bestimmen, wenn x aufgegeben wird, so liegt auf der Hand, daß sowohl y als x endlich angenommen werden müssen; wenn dies nicht der Fall ist, so müssen besondere Definitionen durch Grenzübergänge hinzugefügt werden.

Beispiel 1. Die ganze rationale Funktion wten Grades

(2) y = aQxn + axxn~x H-----|- apxn~P H-----H an_₁x + an,

wo die reellen Koeffizienten ap also sämtlich von x unabhängig sind, ist für jeden endlichen Wert von x eine Funktion dieser Größe.

Beispiel 2. Die gebrochene rationale Funktion

(3)

_ ai) x ~j~ ai x __ ~F~ • • • ~k apx p ~t~ • • • -j- an- 1 x -f~ an

b₀xm + bxxm~¹ + .. . + bqxm~* + ... + bm_tx + bm

folgt das Verhalten unserer Funktion

so

ist als Funktion für jeden endlichen Wert von x definiert, die nur dem Nenner den Wert Null nicht gehen; wird zwar der Nenner Null, der Zähler aber nicht, unmittelbar aus der Definition von oo.

Beispiel 3. Die Funktionen e®, cos x und sin x sind für endliche reelle x reelle Funktionen dieser Variabelen.

Beispiel 4. Der natürliche Logarithmus log x ist für endliche positive x eine reelle Funktion von x.

Bei diesem Beispiele ist das Verhältnis so einfach, daß y für sämtliche in Betracht kommenden Werte von x nach demselben Gesetze zu bestimmen ist. So einfach ist die Sache im allgemeinen natürlich nicht; wir müssen uns vielmehr denken, daß y nach verschiedenen Gesetzen zu bilden ist für jeden einzelnen Wert von x.

Beispiel 5. y = co (x), wo co (x) — -f-1 für rationale aber co (x) = — 1 für irrationale Werte von x, ist eine reelle Funktion von x.

Die soeben betrachteten speziellen Funktionen sind sämtlich definiert, wenn x ein gewisses Intervall durchläuft ; dies ist natürlich im allgemeinen auch nicht der Fall. In der Zahlentheorie kommen z. B. häufig Funktionen vor, die nur für ganze Werte der Variabein definiert sind.

Beispiel 6. Der Möbius sehe¹) Faktor g(n), der so definiert ist, daß g(n) = 0 ist, wenn n durch ein Quadrat größer als 1 teilbar ist, aber g(n) = + 1, je nachdem n ein Produkt einer geraden oder ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist.

2. Beeile Funktionen zweier reeller Veränderlichen. Wenn die reelle Zahl y in solcher Weise von dem Zahlenpaar (u,v) abhängt, daß man y bestimmen kann, wenn sowohl u als v aufgegeben sind, so heißt y eine reelle Funktion der zwei reellen Veränderlichen u und v oder des Zahlenpaares (u, ®); man setzt in diesem Falle

(4)

V = (w>*0-

Ganz dieselben Bemerkungen über nicht endliche Werte gelten natürlich ungeändert hier.

Beispiel 7. Die rationalen Funktionen der beiden reellen Variabein u und v.

3. Funktionen einer komplexen Veränderlichen, x = u -j- iv, und bezeichnen cp(u,v) und t\>(u, v) reelle Punktionen des Zahlenpaares (u, v), so heißt die komplexe Zahl

¹

Analyse algébrique p. 541; 1821.

²

   Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 27, p. 141—152; 1897.

³

   Mathematische Annalen Bd. 24, p. 154—171; 1884.

⁴

   Ebenda Bd. 53, p. 359—370; 1900.

⁵

Der Grund zur Mengenlehre ist von G. Cantor gelegt worden; von ihm rühren sämtliche in den folgenden Paragraphen entwickelten Sätze außer vielen anderen her; nur über die fundamentalsten habe ich die Quellenzitate hinzugefügt.

⁶

   Ebenda.

⁷

   Schönflies im Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 8, p. 23, 1900.

Setzt

man

(5)

eine Punktion der komplexen Variabein x == u -f iv, und wir setzen auch hier kürzer

(6)

y = f(x)-

Verschwindet die Punktion y>(u,v) mit v, ist also ip (u, 0) = 0, so heißt y eine reelle Funktion der komplexen Variabelen x.

die Koeffizienten a und bq sämtlich

wo

Beispiel 8. Die Punktionen e?, cos#, sin# und die rationalen Funktionen (2) und (3), reell sind, sind reelle Funktionen der komplexen Variabelen x.

Beispiel 9. Sind die Koeffizienten ap und bq nicht sämtlich reell, so sind die rationalen Punktionen (2) und (3) nicht reelle Funktionen von x.

Beispiel 10. Der allgemeine Logarithmus Log# ist eine nicht reelle Funktion von #.

Jede der acht ersten der oben betrachteten speziellen Funktionen hat diejenige Eigenschaft, daß nur ein einziger Funktionenwert jedem einzelnen der möglichen Werte von # entspricht. Solche Funktionen heißen eindeutig.

Beispiel 11. Ist f(cc) eine eindeutige, so ist y = l/f{x) eine in # w-deutige Funktion.

Beispiel 12. Der allgemeine Logarithmus Log # ist eine unendlich vieldeutige Funktion von #.

150.    Es ist diejenige durch die Summe der geometrischen Reihe sin² # sin² # cos² # + sin² # cos⁴ # + sin² # cos⁶ #-}-•••

definierte reelle Funktion von # zu untersuchen.

151.    Die Funktionen f(x) und cp(x) sind in solcher Weise definiert,

daß immer cp (#) = 3 # -f 2 ist, während f(x) = 2 x — 1 für #<1 und /’(#)== 6 —5# für #    1 ist; man hat # aus

der Gleichung /'(#) = <p(x) zu bestimmen.

152.    Die Funktionen f(x) und <p(#) sind so definiert, daß immer

/*(#) = + Ÿ 4# -f- 1 ist, während cp(#) == 4 # — 7 für #    - und

8

und cp (#)==# -f 1 für # ^ — zu setzen ist; man hat # aus der Gleichung /'(#) = cp (#) zu bestimmen.

§76. Endliche reelle Funktionen. Satz von Weierstraß.

Die reelle Funktion f(x) heißt endlich im Intervall [a,b], wenn diejenige von sämtlichen Funktionswerten, indem x das Intervall \a, b] durchläuft, gebildete Zahlenmenge eine abgeschlossene ist; obere und untere Grenze G und g dieser Zahlenmenge heißen auch obere und untere Grenze der Funktion f(x) im Intervall \a, b\.

Aus § 71, I erhalten wir dann unmittelbar den Satz:

I.    Ist f(x) eine im Intervall [a, b], die Endwerte mitgerechnet, endliche Funktion, so hat f(x) in diesem Intervalle sowohl eine obere als eine untere Grenze G und g.

Die Differenz T) = G — g heißt die Schwankung der Funktion f (x) im Intervalle [a, b].

Als ein wichtiges Supplement des Satzes I hat Weierstraß den folgenden in seinen Vorlesungen mitgeteilt:

II.    Hat die im Intervalle [a, b], die Endwerte a und b mitgerechnet, endliche Funktion f (x) in diesem Intervalle obere Grenze G und untere Grenze g, so existieren in \a, b), die Endwerte ebenfalls mitgerechnet, mindestens ein solcher Wert xx von x, daß f (x) im Intervall [xx — s, xx + e] die obere Grenze G hat, und mindestens ein solcher Wert x₂ von x, daß fix) im Intervalle [x₂ — e, x -f- e] die untere Grenze g hat, indem e eine willkürlich kleine positive Größe bezeichnet.

Ist a < b und bedeutet m₁ das arithmetische Mittel zwischen a und b, ist also 2ą = a + &, und bezeichnen endlich Gx und G2 die oberen Grenzen von f{x) in den Intervallen \a, mf] und \mt, b\, so muß mindestens eine dieser Zahlen Gx und G₂ gleich G sein, denn wäre sowohl Gx <C G als G₂ < G, so könnte G nicht die obere Grenze von fix) in [a, b] sein.

Es sei nun \ax, bx] dasjenige der beiden Intervalle [a,    und

[m i, b], in welchem fix) die obere Grenze G hat, oder ein willkürliches von ihnen, wenn sie beide diese Eigenschaft besitzen; dann führen wir wieder das arithmetische Mittel zwischen at und bx, also 2mä = ax + bx, ein; usw.

Die durch die so erhaltenen Annäherungsreihen

(1)

b, bx, b₂, • • •, bn, ■ • •

a, ax, a ₂, • • •, an, definierte Grenzzahl ist demnach eine der Zahlen xx.

In ganz ähnlicher Weise wird die Existenz der Zahl x₂ nachgewiesen.

Wir bemerken aber ausdrücklich, daß die Zahlen G und g im allgemeinen, nicht Funktionenwerte von f(x) sind; d. h., es existiert im allgemeinen keine solche Zahl x, daß a <ix & und f(x) = G oder f(x)=g ist.

Übrigens liegt auf der Hand, daß der Satz II noch richtig bleibt, wenn x nur eine Zahlenmenge, die überall dicht im ganzen Intervalle [a, h] liegt, z. B. die rationalen Zahlen dieses Intervalles durchläuft.

im

Beispiel 1. Ist x rational, so hat die Funktion sin

Intervalle [— jt ]/2, -f- 7t ]/ 2] obere Grenze -f-1 und untere Grenze — 1, und dementsprechend hat man xx = 7t]/2, x₂ = — jz]/2.

Beispiel 2. Mit denselben Bezeichnungen hat die Funktion tg    in demselben Intervalle obere Grenze -f- oo und untere

Grenze — oo.

Die reelle Funktion (p (ii, v) heißt endlich im Kontinuum A, wenn diejenige von sämtlichen Funktionen werten, indem der Punkt (u, v) das Areal A durchläuft, gebildete Zahlenmenge eine abgeschlossene ist; obere und untere Grenze G und g dieser Menge heißen auch obere und untere Grenze der Funktion cp(u,v) im Kontinuum A.

Der Satz II hat hier das folgende Analogon:

III. Hat die im Kontinuum A, die Begrenzung mitgerechnet, endliche Funktion cp(u,v) in diesem Kontinuum obere Grenze G und untere Grenze g, so existiert in A, die Begrenzung ebenfalls mitgerechnet, mindestens ein solches Zahlenpaar (ux, vf), daß cp(u,v) für ux — s <. u <^u± s und vx — « <i v <C ^ -)- £ die obere Grenze G hat, und mindestens ein solches Zahlenpaar (u₂, v₂), daß cp (u, v) für u₂ — £ u < u₂ -|-£ und v₂ — s v ^v₂ -j- £ die untere Grenze g hat, indem s eine willkürliche kleine positive Größe bedeutet.

Hat man nämlich für jedes dem Kontinuum A angehörige Zahlenpaar (u, v) immer a <^u <ib und a v < ß, so führen wir die beiden arithmetischen Mittel mx zwischen a und b und gx zwischen a und ß ein; dadurch bestimmen wir die Zahlen ax und bt, ccx und ßx, so daß cp(u,v) in denjenigen Teil von A, für welchen ax<^u <^bt und ax < v ßx ist, die Funktion cp(u,v) die obere Grenze G hat, usw.

Bezeichnen nun ux und vx die Grenzwerte der beiden Paare von Annäherungsreihen

158. Man soll im Intervalle [1, 2] obere und unter Grenze die Funktion y = Qx² — 17æ + 12 bestimmen.

154.    Die Funktion &(x) ist so definiert, daß &(x) = x² + 2 für x^>l aber Q (x) = 6 — 2 x² für x<fl ist; man hat die obere und untere Grenze dieser Funktion im Intervall [0, 2] zu bestimmen.

155.    Hat man im Intervalle \a — b, a -f- &], die Endwerte mitgerechnet, für die reelle Funktion f (x) immer j f(x) — f(a) j < k, so kann die Schwankung von f(x) im obengenannten Intervalle den Wert 2 h nicht übersteigen.

§77. Allgemeines Konvergenzprinzip für das Kontinuum.

Bei unseren vorhergehenden Bemerkungen über den Funktionsbegriff haben wir nur solche Funktionswerte in Betracht gezogen, die aufgegebenen Werten der unabhängigen Veränderlichen entsprechen. Hier haben wir vor allem zu definieren, was darunter zu verstehen ist, daß eine reelle Funktion f(x) der reellen Variabelen x einem Grenzwerte A zustrebt, wenn x entweder wachsend oder abnehmend sich kontinuierlich einer bestimmten Zahl a mehr und mehr annähert oder kontinuierlich, positive oder negative Werte durchlaufend, gegen oo wächst.

Wir können uns dann auf denjenigen Fall beschränken, wo x immer wachsend sich dem Zahlenwerte a mehr und mehr annähert, indem die übrigen Fälle in ganz ähnlicher Weise behandelt werden können. Zu diesem Zwecke führen wir die folgende Definition ein:

Die Funktion f (x) hat einen Grenzwert A, indem x immer wachsend dem Zahlenwerte a zustrebt, wenn es möglich ist für eine vorgegebene willkürlich kleine aber von Null verschiedene positive Größe s eine solche von Null verschiedene positive Zahl d zu bestimmen, daß für a — d x <C a immer

(1)

\ A - /'(¥) | < «

ist; A wird dann der Kürze halber durch f (a — 0) bezeichnet.

Von dieser Definition ausgehend beweisen wir nun den folgenden

15

V)    ‘ ‘ ‘

CL, CL±, a%, • • , CLn, • • •

ß’ ßl> ßz> ’ ' '> ßn) ' ' ‘

cc, a1} cc%, • • •, an, • • •

so hat das Zahlenpaar {u₁, vf) die gewünschte Eigenschaft.

(2)

(3)

ß — cc

ßn an    ₂n

Nielsen. Lehrbuch der unendlichen Reihen.

fundamentalen, dem allgemeinen Konvergenzprinzip für Zahlenfolgen ähnlichen Satz:

I. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von f(a — 0), also dafür, daß f(x) einen Grenzteert A hat, wenn x wachsend dem Zahlenwerte a zustrebt, besteht darin, daß es möglich ist für eine vorgegebene willkürlich kleine aber von Null verschiedene positive Größe s eine solche positive von Null verschiedene Größe d zu bestimmen, daß, wenn x und y beide dem Intervall [a — d, a) anhören, immer

(2)

I f(x) - /'(</) I < e

ist.

Daß diese Bedingung notwendig ist, liegt auf der Hand; denn aus der Identität

f 0) - f(y) = A ~ f{y) — (A— f{x))

erhält man wegen (1), wenn der Grenzwert A existieren soll

I f(?) - f(y) I < I A - f(y) | + \ a - f{x) | < 2 £ ;

daß aber (2) auch hinreichend ist, beweisen wir folgendermaßen:

Es seien    > * • • > £n > • • • eine willkürliche Reihe

positiver Zahlen, so daß diese Zahlenfolge den Grenzwert 0 hat, dementsprechend bestimmen wir die anderen positiven Zahlen

ö₁>ö₂>ö₃>-->än>-

so daß immer | f(x) — f(y) | < sn ist, wenn x und y beide dem Intervall \a — dn, a\, den End wert a — dn mitgerechnet, anhören. Da nun die Zahlen a — ôn, a — ôn +1, a — ân+2, • ■ ■ sämtlich dem Intervalle [a — ôn, a] anhöi'en, so ist die Zahlenfolge

(3)

f(a - d\), f(a — d₂), f(a — ds), • • - ,

dem allgemeinen Konvergenzprinzip für Zahlenfolgen zufolge, eine Fundamentalreihe. Bezeichnet A den Grenzwert der Fundamentalreihe (3), so haben wir noch zu beweisen, daß f(a — 0) existiert, und daß A=f(a — 0) ist.

Wird eine willkürlich kleine positive Größe s aufgegeben, bebestimmen wir ein solches sn, daß 2    < s ist; für alle x, die dem

entsprechenden Intervalle [a — dn, a) angehören, haben wir daher

A — fix) | <; | A — fi a - dn) I + I fia — ân) - f{x) | <2sn<s, woraus die Gleichheit A = fia — 0) unmittelbar folgt.

Durch den folgenden Satz II zeigen wir nunmehr den Zusammenhang zwischen dem kontinuierlichen Grenzübergange und dem durch eine Fundamentalreihe erhaltenen Grenzübergange:

II. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f (x) einen Grenzwert f(a — 0) hat, besteht darin, daß für jede monotone Fundamentalreihe

(4) mit dem Grenzwerte a die entsprechende Zahlenfolge

(5)

fOo), fM, fM, • • - , f{xn), • • •

selbst eine Fundamentalreihe ist.

Daß diese Bedingung notwendig ist, folgt unmittelbar aus der Definition des Grenzwertes f(a — 0); ist nämlich s eine willkürlich kleine vorgegebene positive Größe, und bestimmt man das Intervall [a — Ó, a\, so daß, wenn x diesem Intervalle anhört, immer

| f{a — 0) - f{x) | < £

ist, während x$ die erste Zahl der Folge (4) bezeichnet, die im Intervalle \a — d, a\ liegt, so hat man für n^N immer

| f(a - 0) - f(xn) | <£,

woraus unmittelbar folgt, daß die Zahlenfolge (5) eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte f(a — 0) sein muß.

Es sei nun

(6) eine andere monotone Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte a, so daß die Zahlenfolge

C0

f(yo); f(yi), f(y?> • • fW. • • •

auch eine Fundamenta lreihe ist, dann beweisen wir, daß diese beiden Fundamentalreihen (5) und (7) denselben Grenzwert haben müssen.

Wäre dies nämlich nicht der Fall, so bilden wir die monotone Zahlenfolge

(8)

Xm₀) yn₀, Xinp 2/n,’ Xmp Vn^1

deren Elemente abwechselnd aus (4) und (6) gewählt sind; dies ist offenbar in unzähliger Weise möglich; die Zahlenfolge (8) ist somit auch eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte a, während die entsprechende Zahlenfolge

(9) keine Fundamentalreihe sein kann; dies ist aber mit unserer im Satze II ausgesprochenen Voraussetzung in Widerspruch.

15

Sämtliche Fundamentalreihen (5) müssen daher denselben Grenzwert A haben; es bleibt daher nur noch übrig zu beweisen, daß f(a — 0) existiert, und daß außerdem f(a — 0) = A sein muß.

Dies folgt nicht unmittelbar daraus, daß sämtliche Zahlenfolgen

(5) Fundamentalreihen mit demselben Grenzwerte sind; denn es könnte ja möglich sein, daß diejenigen Zahlen d, die für ein vorgegebenes s für die verschiedenen Zahlenfolgen (5) bewirken, daß | A — f(%n) | < £ wird, wenn xn dem Intervalle [a — d, a\ angehört, die untere Grenze 0 haben, was ja unserer Definition des Grenzwertes f(a — 0) zufolge nicht zulässig ist.

Die Gleichheit A — f(a — 0) kann indessen antithetisch folgendermaßen bewiesen werden: Wäre A =j= f(a — 0), so existiert eine solche Zahl s, daß in jedem Intervalle [a — d, a\, wie klein die positive Größe â auch angenommen wird, solche Werte von x aufgefunden werden können, daß für sie | f(x) — A | s ist. In dieser Weise bestimmen wir sukzessive eine monotone Fundamentalreihe

(10)

*₀ <    <**< *s <••*<*»<•■• *

mit dem Grenzwerte a, so daß für jedes n immer

\f{zn)-A\>s

sein muß.

Hieraus folgt aber, daß die der Fundamentalreihe (10) entsprechende Zahlenfolge nicht eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A sein kann; dies ist aber mit unserer Voraussetzung im Widerspruch, und demnach hat man

A = f{a — 0).

Der Satz II, der uns späterhin sehr nützlich sein wird, gestattet uns also, wenn wir zu untersuchen haben, ob f (a — 0) existiert, anstatt der kontinuierlichen Variation von x diejenige Zahlenfolge (5), die einer ganz willkürlichen monotonen Fundamentalreihe (4) mit dem Grenzwerte a entspricht, zu untersuchen. Durch dies Verfahren kann man bisweilen auch diesen Grenzwert finden, wenn er existiert.

Der Satz II gestattet uns noch ohne weiteres sämtliche für Fundamentalreihen bewiesene Sätze auf die Funktion f(x) überzuführen, wenn x kontinuierlich dem Zahlenwerte a zustrebt. Die in § 9, II gegebenen Sätze über Rechnenoperationen mit Fundamentalreihen sind z. B. wortgetreu zum Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen zu benutzen, vorausgesetzt, daß diese Grenzwerte existieren.

Als weitere Anwendung beweisen wir noch den Satz:

III Wenn f(x) für y < z < a der Bedingung f(y}N f(z) genügt, und wenn außerdem f (x) stets endlich bleibt, wenn x dem Intervalle \a — d, a] angehört, wo d eine von Null verschiedene positive Größe bedeutet, so existiert f{a — 0) immer.

Bildet man nämlich eine willkürliche monotone Zahlenfolge (4), und gehören ihre Elemente xn für nf>N, sämtlich dem Intervall \a — d, a] an, so wird die entsprechende Zahlenfolge (5) monoton wachsend und ist demnach eine Fundamentalreihe, weil die absoluten Beträge ihrer Elemente stets endlich bleiben.

Wenn fix) einen bestimmten Grenzwert hat, indem x abnehmend dem Zahlenwerte a kontinuierlich zustrebt, so wird dieser Grenzwert als f(a -f- 0) bezeichnet.

Hat man f{a-f 0)4= f(ß ~ 0), so heißt die Differenz f(a + 0) — — f (a — 0) der Sprung der Funktion f(x) für x = a, und x = a heißt eine Sprungstelle der Funktion fix). Hier wird natürlich ausdrücklich vorausgesetzt, daß f (a + 0) beide endlich und bestimmt sind.

Die obenstehende Entwicklung rührt von H. Bohr her; schon P. du Bois Reymond¹) hat dem Prinzipe nach Untersuchungen dieser Art angegeben.

§ 78. Anwendungen auf komplexe Variabein.

Die Entwicklungen des vorhergehenden Paragraphen sind beinahe wortgetreu auf die Funktion

(1)

f{x) = cp(u,v) + iijj(u,v)

der komplexen Veränderlichen x = u 4- iv überzuführen; zu diesem Zwecke haben wir die folgende Definition anzuwenden:

wenn es

Null verschiedene positive Größe s eine solche von Null verschiedene positive Zahl ó zu bestimmen, daß für | x — a | < ô immer

Die Funktion f(x) hat einen Grenzwert A, wenn die komplexe Zahl x, gewissen Bedingungen genügend, dem Zahlenwerte a zustrebt, möglich ist für eine vorgegebene, willkürlich kleine aber von

(2)

| f(x) -Ä\<£

wird.

Was die obengenannten Bedingungen, denen x genügen soll, betrifft, so können sie z. B. darin bestehen, daß diese komplexe Zahl x eine gewisse durch a gehende Kurve durchlaufen soll, oder sich nur in einem gewissen Winkel mit dem Scheitel a bewegen soll.

I. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f(x) einen Grenzwert hat, wenn x, gewissen Bedingungen genügend, dem Zahlenwerte a zustrebt, besteht darin, daß es für eine vorgegebene willkürlich Meine aber von Null verschiedene positive Größe s möglich ist, eine solche von Null verschiedene positive Zahl Ô zu bestimmen, daß für \a — # | < d, \a — y | < d immer

(3)

f(?) - f(y) I < *

wird, indem natürlich sowohl x als y den obengenannten Bedingungen genügen.

II. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f (x) einen Grenzwert hat, ist, wenn x, gewissen Bedingungen genügend, dem Zahlenwerte a zustrebt, daß für jede beliebige Fundamentalreihe

(4)

Xq, x1} x₂, xs, . . ., Xn, . . .

die den Grenzwert a hat, und deren Elemente sämtlich den obengenannten Bedingungen genügen, die entsprechende Zahlenfolge

(5)

f(*«)» fOl), /'Os)> • • -, fix.), ■ • •

selbst eine Fundamentalreihe ist.

Es liegt dann auf der Hand, wie man die reelle Funktion der zwei reellen Yeränderlichen u und v zu behandeln hat, wenn das Zahlenpaar (u, v) dem festen Zahlenpaare (a, b) zustrebt.

Beispiel 1. Um die Funktion f(x) = ex für x == 0 zu untersuchen, setzen wir x = u + iv und erhalten somit

u — iv

x = iU+Y*’

woraus folgt:

(6)

Läßt man nun x gegen die Kuli konvergieren, so daß diese Zahl der Achse der positiven Zahlen folgt, so hat man v = 0, u > 0 , somit ergibt sich wegen § 20, (19)

— 71

CD

«■»Vi

unsere Funktion wird demnach stärker unendlich als eine willkürliche Potenz von 1 : u.

Folgt x andererseits der Achse der negativen Zahlen, ist also v = 0, u < 0, so hat man

(8)

/'(— u) <n\un,

so daß unsere Funktion rascher dem Grenzwerte Null zustrebt als irgendwelche Potenz von u.

Folgt x der Achse der rein imaginären Zahlen, ist also u = 0, so hat man immer | fix) | = 1, während die Phase unserer Funktion unendlich groß wird; die beiden Komponenten von f(x) sind demnach in diesem Falle unbestimmt.

Durchläuft x die gerade Linie mit der Gleichung v = au, so erhält man wegen (6)

(9) ist nun u positiv, bewegt sich also x im ersten oder vierten Quadranten, so wächst \f(x)\ über jede Grenze hinaus, während dieser absolute Betrag der Null zustrebt, wenn u negativ angenommen wird, also wenn x sich im zweiten oder dritten Quadranten bewegt.

Folgt x dem Kreise mit der Gleichung

u² v² — 2 au — 0,

so erhält man wegen (6)

(10)

fix) = e2a • (cos-----isin

¹ \ /    \    2 au

M.

2 (#«/’

hier ist demnach der absolute Betrag \f(x)\ konstant, während die Phase unserer Funktion für u = 0 unendlich groß wird.

Durchläuft x endlich die Parabel v² = pu, so hat man

(io

f(x)=eP+u(

cos

Vp

(P -\-u)Yu

— i sin

Vp

{p-{- u)]/u

hier hat [ fix) \ daher den Grenzwert ep, während die Phase von f(x) unendlich groß ist.

Beispiel 2. Um die rationale Funktion

f(x) _a₀xn    -----1- an-ix -f ««

g(%)

b₀xp -\-bxxn~¹ -\-----\-bp-ix-\-bp

für j x j = oo zu untersuchen, bezeichnen wir durch

(12)

x₀ xy x₂, • • •; xr, . . .

eine willkürliche divergente Zahlenfolge und erhalten somit für jedes r

f(Xr)

g{Xr)

₌    a"+ai'(i)+'"+ar(i)

io+bi G)⁺" '⁺h G)

woraus für n = p der Grenzwert

(13)

folgt, während man allgemeiner erhält

= {0 loo,

I m

« ! ff(x)

je nachdem n^p vorausgesetzt wird.

Beispiel 3. Setzt man f(x) = (x — af(p(x), g(x) — (x — a)ptp(x), wo die beiden Funktionenwerte cp (a) und ^ (a) endlich und bestimmt sind, und wo außerdem ^ (a) =j= 0 ist, so hat man

lim /M ₌ TM . x = a g{x) 'ipia)

(14)

(15)

Bezeichnet in der Tat

lim

/y»    /y»    /y*    /y¹

^0J '"ly °°2i • • •?    ’ * * •

eine willkürliche Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte a, so hat man für jedes r

f\ocr) _ <p(xr)

(j(Xr) _ ^(Xr) ’

156. Es sind die Funktionen cos

(1)’ sin (1) und (ł)

ganz

wie ex in § 78, Beispiel 1 zu untersuchen.

§ 79. Stetige Funktionen. Satz von G. Cantor.

Die reelle Funktion f (x) der reellen Veränderlichen x heißt stetig für x = a, wenn f(a -j- 0) == f(a — 0) endlich und bestimmt ist; in ähnlicher Weise heißt die Funktion f(x) der komplexen Veränderlichen x stetig für x = a, wenn f(x) demselben endlichen und bestimmten Grenzwerte f (a) zustrebt, in welcher Weise man auch x gegen a konvergieren läßt.

Aus den Sätzen § 77, II und § 78, II ergibt sich daher auch die folgende Definition:

Die Funktion f(x) der reellen oder komplexen Veränderlichen x

heißt stetig für x = a, wenn es für eine vorgegebene willkürlich Meine aber von Null verschiedene Größe e, möglich ist eine solche positive von Null verschiedene Zahl 6 zu bestimmen, daß für \ h\ ^6 immer

(1)

ist.

| f(a + h) — f (a) | < e

(2)

In ganz ähnlicher Weise heißt die reelle Funktion cp (u, v) der zwei reellen Veränderlichen u und v stetig für das Zahlenpaar (a, b), wenn mit denselben Bezeichnungen wie vorher immer cp (a + h, b -f- k) — cp (a, b) | < s

ist, wenn sowohl | h |    6 als j k j 6 angenommen wird.

Wenden wir die gewöhnliche geometrische Darstellung an, so ist die Ungleichung (1) befriedigt für sämtliche Zahlen a -f- h, die im Innern oder auf der Peripherie eines Kreises mit dem Mittelpunkte a und dem Radius <3 liegen, während (2) für sämtliche Zahlenpaare (a + h, b k), die im Innern oder auf dem Parimeter eines Quadrats mit dem Mittelpunkte ( a, b) und den Seiten 2 6 parallel mit den Koordinatenachsen abgebildet werden, richtig ist.

Beispiel 1. Die Funktionen 0e, cos# und sinx sind für jeden beliebigen endlichen Wert von x stetig.

Beispiel 2. Die Funktion cotx ist für jeden beliebigen endlichen Wert von x, der nicht von der Form p% ist, stetig.

Aus den Definitionen ergibt sich unmittelbar der folgende

Lehrsatz:

I. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die

Funktion

(3)

f(x)= cp (u, v) -f- ick (u, v)

der komplexen Veränderlichen x = u -j- iv für den Wert x = a + ib stetig ist, besteht darin, daß die reellen Funktionen cp(u,v) und eje (u, v) beide für das Zahlenpaar (a, b) stetig sind.

Setzt man in der Tat h == a + iß, x = a + ib, so hat man

wegen (3)

(4)

f(x -F h) — f{x) = (p (a + a, b + ß) — cp {a, b) + i (ck {a + a, b + ß) — cp {a, &));

es seien nun dann hat man für

cp(u,v) und ri (u, v) für das Zahlenpaar (a, b) stetig;

(5)

ß\<,e

immer

(6) \cp(a + cc,b + ß)-cp{a,b)\<e, \ck(a + cc, b + ß)-ck(a,b) | < s,

woraus wegen (4) und (5) folgt:

fix + h) — fix) j < 2 e

Bedingung ist demnach hinreichend; hat man

unsere

für | h | <; <?;

aber umgekehrt für j h |    6 immer | f{x + h) — fix) \ < £, so folgen

die Ungleichungen (5) und (6) unmittelbar, so daß unsere Bedingung auch notwendig sein muß.

Die Funktion fix) heißt stetig im Kontinuum A, wenn sie diese Eigenschaft besitzt, indem die Yariabele x das Kontinuum A durchläuft. Entspricht x einem Punkte der Begrenzung von A, so muß in der Ungleichung

(7)

| fix + h)- fix) \<s, j h | <; 6

h so bestimmt werden, daß die Zahl x Ah dem Kontinuum A oder seiner Begrenzung angehört.

Durchläuft nun x das Kontinuum A, so hängt die Zahl 6 im allgemeinen sowohl von £ als von dem betrachteten Werte von x ab; über dieses Verhältnis hat man den folgenden Satz von G.Cantor²):

II. Ist fix) stetig, wenn x das Kontinuum A und seine Begrenzung durchläuft, so existiert für jede vorgegebene von Null verschiedene positive Zahl £ eine solche von Null verschiedene positive Zahl 6, daß die Ungleichung (7) für jeden dem Kontinuum A oder seiner Begrenzung an-gehörigen Wert von x richtig ist, wenn nur Ji N 6 angenommen wird.

Dem Satze I zufolge können wir uns auf reelle Funktionen einer oder zweier reellen Veränderlichen beschränken; der Kürze halber beschränken wir uns daher auf denjenigen Fall, wo die reelle Funktion fix) stetig bleibt, wenn die reelle Variable x das endliche Intervall [a,U\, die Endwerte a und b mitgerechnet, durchläuft.

Es sei dann 6{x, i) obere Grenze für diejenigen Zahlen 6, die so beschaffen sind, daß j fix -f- Ji) — f(x) J < £ wird, wenn h \ <j <5 und a x b angenommen werden; dann hat man also, für diesen bestimmten Wert von x, 0 < 6 < 6 ix, f). Diese obere Grenze (?(^,s), die immer existieren muß, weil kein 6 größer als das ganze Intervall b — a sein kann, ist eine Funktion von x, wenn diese Variable das Intervall [a, b] durchläuft. Bezeichnet nun l die untere Grenze dieser Funktion, so ist l eine endliche und nicht negative Zahl, und es existiert dem Satze § 76, III zufolge ein solcher Wert x, von x im Intervall \a, b~], daß o(x, e) für diejenigen Werte von x, welche dem Intervalle [pcx — x, xx + x\ in dem x eine willkürlich, kleine positive Größe bezeichnet, angehören, wirklich die untere Grenze l hat.

Da f(x) auch für x = xx stetig ist, so existiert eine von Null verschiedene positive Zahl 6X, so daß für — 6X h    -f- 6X immer

¹

Allgemeine Funktionentheorie, p. 260; Tübingen 1882.

²

Der Satz ist von Heine, nicht von Cantor selbst publiziert worden.

(8) sein muß. Im Intervalle [ocx — 6X, xx -f- 6X\ oder in demjenigen Teile dieses Intervalles, welcher dem aufgegebenen Intervalle \a, b\ angehört, kann die Schwankung von f(x) niemals die Größe von s erreichen; ist nämlich auch — öf hx 6X, so hat man (9) f(xt + h) - f(xx + hx) = (f(x± + h)~ f(xx)) — (f(xx + hx) - f(xx))-da man nun in (8) h durch hx ersetzen darf, so ergibt sich wegen (9)

(10)

| f{xi + /^) — f{xx + hx) | < £.

Für sämtliche Werte von x, die den beiden Intervallen [«,&] und \xx— \öx, xxJrjö₁] angehören, hat man demnach immer

(11)

\ fix -\- Ji)    fix) ( <C.s,    \ h <A H~ ?

denn unter diesen Voraussetzungen über x und h liegen sowohl x als x + 1% im Intervalle [xx — 6X, xx + 6X]- für alle diese Werte von x hat man daher 6 ix, s) 6X, und da die untere Grenze l für 6ix, e) diesem Werte x entspricht, so hat man ebenfalls lA\⁶x-

wenn nur

Die Ungleichung j fix + h) — fix) \<s ist demnach für sämtliche x, die den Bedingungen a <x<fb genügen, richtig,

\h\<l angenommen wird, wo also l von Null verschieden ist, wenn dies ~mit s selbst der Fall ist, und damit ist unser Satz bewiesen.

Man sagt auch häufig, daß fix) in A und auf seiner Begrenzung gleichmäßig stetig ist. Es ist aber wohl zu beachten, daß die Stetigkeit im Innern von A nicht gleichmäßig zu sein braucht, wenn f (x) nicht auch auf der Begrenzung von i stetig ist.

Beispiel 3. Die Funktion fix) = ist für 0 < x < 1 stetig; man hat in der Tat

fix + h) — fix) — x _|_ h x

h\<x-\x + h\ -s an-

woraus

\fix + h)-fix)\<e folgt, wenn genommen wird; da nun das positive x willkürlich klein angenommen werden darf, so liegt auf der Hand, daß diese Stetigkeit nicht gleich-

mäßig sein kann.

157.    Man hat für reelle x die beiden reellen Funktionen tg (sin x) und (cos#)

zu untersuchen.

158.    Es ist die reelle Funktion (— 1 -j- 3# — 2 x²) ² für reelle x zu untersuchen.

§ 80. Sätze über stetige Funktionen.

Über stetige Funktionen haben wir die folgenden Sätze zu

beweisen:

I. Bezeichnen yxy^y^. . . yn Funktionen von x, die sämtlich stetig sind, wenn x das Kontinuum K durchläuft, so ist eine willkürliche rationale Funktion dieser n Größen auch eine in x stetige Funktion, wenn x das Kontinuum K durchläuft, vorausgesetzt, daß die untere Grenze des absoluten Betrages des eventuellen Nenners nicht für diese Werte von x gleich Null ist.

Um diesen Satz zu beweisen, haben wir offenbar nur die folgenden drei speziellen Funktionen zu untersuchen:

1. cp(x) = af(x) + ßg(x), wo a und ß endliche Konstanten bezeichnen; es ist daher

y(x + h) — (p(x)= a (f{x + h) — f(x)) + ß(g(x + h) — g(x))-

es sei nun dann hat man

| f(x + h) — f(x) | < x, |g(x + h) - g(x) j < r für \h\<c>-,

| rp(x + h)—cp(x) < (| a j -f \ß\)x < £,

_£_.

ist nun hier s gegeben, so kann man x und demnach auch 6 bestimmen, so daß für | h |    6 immer | cp (x -f h) — (p (x) j < e wird.

2. cp(x) = f(x) ■ g(x). Aus der Indentität

cp(x + Ä) — (p(x)= if(x + h) - f(x))(g(x + h) — g(x)) + f(x)(9ix + ä) - g(x)) + g(x)(f(x + h) - f(x))

ergibt sich mit denselben Bezeichnungen wie vorher, indem x < 1

ist,

cp(x + h) — (p(x) I < X² + X ■ I g(x) I + x • \f(x) | < (2A + l)r,

wo A die größte der oberen Grenzen für \f(x)\ und \g(x)\ bezeichnet, indem A das gegebene Kontinuum K durchläuft; es ist daher

t<

2A + l'

(p(x A h) - cp(x) j < s,

0 verschieden, wenn dies mit e der Fall ist; denn A ist immer endlich; wird s aufgegeben, kann man somit r und dann auch <5 bestimmen.

Hier ist x von

Durch Kombination von

1. und 2. ergibt sich, daß jede ganze rationale Funktion der n Größen yxy%yz • • • yn eine im Kontinuum K stetige Funktion von x sein muß.

3. q>(x) = bezeichnet B die untere Grenze von | f(x) |, indem x

das Kontinuum K durchläuft, so hat man

rp ix + h) — (p (x) - —

f(x + /Q — f{x) -\-h) ’

und demnach ergibt sich mit denselben Bezeichnungen wie vorher

<p(x + h) — cp(x) | <

x<e-B\

Da nun B nicht Null ist, so kann man, wenn e aufgegeben wird, x und demnach auch 6 bestimmen.

Damit ist unser Satz I vollkommen bewiesen.

Beispiel 1. Da f(x) = x eine für alle endliche x stetige Funktion sein muß, so hat jede beliebige ganze rationale Funktion von x dieselbe Eigenschaft, während eine gebrochene rationale Funktion in x für alle endliche x, für welche die untere Grenze des absoluten Betrages des Nenners nicht gleich Null ist, stetig bleibt.

II. Ist y =• fix) stetig für x = a und z = cp(y) stetig für y = b = f(a), so ist z = Fix) = rp (fix)) stetig für x = a.

Setzt man in der Tat y -f- h = f(a + Ji), z + l — cp (b + F), so ist auch z + 1= F(a + Ä); da nun rp stetig ist, so hat man für i h ; <1 6 immer |Z[<«; da aber auch f stetig ist, so kann man x so bestimmen, daß für | h | < x immer j k | < 6 wird. Es ist demnach für h <C x immer 11 \ <C £.

Über reelle Funktionen gelten die Sätze:

III. Ist die reelle Funktion fix) stetig ohne konstant zu sein, wenn x das Intervall [a, b~\, die Endwerte a und b mitgerechnet, durchläuft, so hat fix) in diesem Intervalle immer sowohl einen Maximal-als einen Minimalwert ; es existiert also mindestens eine solche Zahl x, in diesem Intervalle, daß

f(?i) ~ f(x) ^ ⁰7

a <ix <5

und zugleich mindestens eine solche Zahl x₂ in [a, b\ daß

f(x₂) — f(x) F 0

a ^ x ^ b.

Dem Weierstraßschen Satze § 76, III zufolge existiert mindestens eine Zahl xx in \a,b], so daß f(x) im Intervalle [xx — x, xi + rL wie klein die positive Zahl t auch angenommen wird, die obere Grenze G hat, indem G die obere Grenze von f(x) im ganzen Intervalle [a, b] bezeichnet. In jedem dieser willkürlich kleinen Intervalle [xt — r, x₁Jr x\ existiert demnach mindestens eine Zahl x, so daß G — f(x) < s ist, wie klein auch die positive Zahl s angenommen wird; es ist daher f{xf) = G\ denn sonst könnte die Funktion f(x) für x — xt nicht stetig sein.

Der Satz III ist von Weierstraß in seinen Vorlesungen mitgeteilt worden. In ganz ähnlicher Weis findet man den analogen Satz:

IV. Ist die reelle Funktion cp(u, v) stetig ohne konstant zu sein, ivenn das Zahlenpaar (u, v) das Arealkontinuum A, seine Begrenzung mitgerechnet, durchläuft, so hat q>(u,v) in diesem Kontinuum sowohl einen Maximal- als einen Minimalwert.

159.    Ist die reelle Funktion f(x) im Intervalle [a,b] stetig, und sind die Funktionenwerte f(u) und /"(/3) verschieden, wo a und ß dem Intervalle [a, b] anhören, so enthält das Intervall [cc, ß\ mindestens einen solchen Zahlenwert y, daß f(y) = A wird, indem A einen willkürlichen zwischen f(cc) und f(ß) gelegenen Zahlenwert bezeichnet.

160.    Welchen Satz erhält man durch Kombination der vorhergehenden Aufgabe mit dem Weierstraßschen Satze § 80, III?

161.    Bezeichnet A ein willkürliches endliches Kontinuum, welches den Wert x = 0 nicht umschließt, so ist ein willkürlicher Wert von Log x eine in A stetige Funktion von x.

162.    Man hat die Stetigkeit der willkürlichen Potenz xw zu untersuchen.

Kapitel XIX.

Gleichmäßige Konvergenz.

§ 81. Gleichmäßig konvergente Fundamentalreihen.

Wir setzen über die Zahlenfolge

(1)

/ÔO), fiW), f,0), • ■ -,    ■ • -,

deren Elemente Funktionen von x sind, voraus, daß sie stets konvergiert, wenn x das Kontinuum K durchläuft; der Grenzwert dieser Fundamentalreihe wird durch F (x) bezeichnet. Wenn es dann möglich ist, für eine vorgegebene, willkürlich kleine positive Größe s eine

solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für nj> N immer

(2)

F(x)-f(x)\<s

wird, welchen Wert von x im Kontinuum K man auch an wendet, so sagt man, daß die Fundamentalreihe (1) im Kontinuum K gleichmäßig zu seinem Grenzwerte F(x) konvergiert.

Bei der gleichmäßigen Konvergenz hängt also die positive ganze Zahl N allein von e, nicht aber von x ab.

Es sei nun p eine willkürliche positive ganze Zahl, dann hat man wegen (2) auch für nff^N immer

aus der Identität

F(x) -fn+p(x) I <*;

fn + P(X) - fn(x) = F(KX) - fn(x) ~ (F(X) ~ fn+PiX))

ergibt sich dann

(3)

I fn+P(x) - fn(X) I < ²    n^N,

während p jede beliebige positive ganze Zahl bezeichnen kann. Beispiel 1. Setzt man für jedes n

/y»    rp 3

fn(x) “ ¹ + ÏT + 2Ï ----

xn

n\ ’

so liât die entsprechende Zahlenfolge (1) den Grenzwert e und ist gleichmäßig konvergent in einem willkürlichen endlichen Kontinuum. Beispiel 2. Ist für jedes n

£(*) = ¹ - ïïtt>

so hat die entsprechende Zahlenfolge (1) den Grenzwert 1 und ist gleichmäßig konvergent, wenn x ein willkürliches Kontinuum durchläuft, wenn dies Kontinuum so beschaffen ist, daß in ihm j x | nicht die untere Grenze 0 haben kann. Ist dies der Fall, so ist unsere Zahlenfolge nicht gleichmäßig konvergent.

Über gleichmäßig konvergente Fundamentalreihen gilt der wich

tige Satz:

werden; bestimmt man demnach 6 so, daß für | h |    6 immer

W>| r»

fn(x + h) - fjx) | <

ist, so erhält man aus der Identität

F(x + fi) — F(x) = (Fix -f- h) — fn (x + h)) +

+ (fnF + h:> ~M) ~ (F(x) - fn(xj),

die für | h |    6 gültige Ungleichung

I F(x -j- h) — F(x) | < s.

In diesem Zusammenhang betrachten wir die Funktion f(x, a), über welche wir voraussetzen, daß

f(a, a) = lim f(x, a)

endlich und bestimmt ist, wenn a ein gewisses Kontinuum K durchläuft ; die positive Zahl 6, die so beschaffen ist, daß für | x — a | ö immer, für ein bestimmtes a,

(4)

l/T®, «) “ fix, a)| <£

wird, hängt im allgemeinen außer von s auch von a ab. Ist aber die Ungleichung (4) für dasselbe 6 richtig, welchen Wert von x man in K auch wählt, so sagt man, daß f(x, a) gleichmäßig gegen seinen Grenzwert f(a, a) konvergiert, wenn a das Kontinuum K durchläuft.

Beispiel 3. Sind x und a positiv, und ist g die untere Grenze von a, so konvergiert die Funktion

gleichmäßig gegen die Kuli mit x, wenn nur g > 0 angenommen wird. Man hat in der Tat, weil a und x positiv sind,

p    2a²

« >-£T'

wenn x 2as angenommen wird, und also um so mehr, wenn x<^2ge ist, woraus die gleichmäßige Konvergenz für g^> 0 deutlich hervorgeht.

Ist aber g = 0, so ist die obengenannte Konvergenz nicht mehr gleichmäßig.

163. Man soll die Zahlenfolge f'-^ix), f\(x), • • -, fn(x), • • ., wo allgemein

.y

W) = x~

fn(x) = X + -

zu setzen ist, je nachdem x rational oder irrational ist, für reelle x untersuchen.

Vqj V\} Vï: * ' '} Vn7 * ‘ '

164. Sind die yn sämtlich Funktionen von x, so daß die Fundamentalreihe

in einem Kontinuum K gleichmäßig konvergiert, und ist F(x) in K stetig, so ist die Zahlenfolge

%)> F(yi)> %); • • -, F(yn), • .. eine im Kontinuum K gleichmäßig konvergente Fundamentalreihe.

165. Sind die yr s sämtlich Funktionen von x, so daß diejp Fundamentalreihen

Vr,o; Vr,l’ Vr,2’ * * ’) Vr,nl

r = 1, 2, 3, • • p, sämtlich in einem Kontinuum K gleichmäßig konvergieren, und ist cp(xt, x₂, • • • xp) eine rationale Funktion ihrer p Variabein, so hat man die Zahlenfolge

<P0> Vu Vît) ‘ ' ') Wn} ' ' ’)

wo allgemein cpn = <p(yltn, y2n, • • -, yp>n) gesetzt worden ist, zu untersuchen.

§ 82. Gleichmäßig konvergente Reihen. Die unendliche Reihe

(1)

s(x) = uQ(x) + ux(x) + u₂(x) H-----b un(x) 4----,

deren Glieder Funktionen von x sind, ist gleichmäßig konvergent im Kontinuum K, wenn die aus den Partialsummen

sn(x) = uQ(x) + ut(x) + u₂{x) H-----f- un(x)

gebildete Zahlenfolge

s₀(», Si(®), s₂(x), • • -, sn(x), ■ ■ • in K gleichmäßig konvergiert. Führt man das Restglied

<i=p

(2)

n,p

O) = Sn+p(x) - Sn(x) =2 Un + q(X)

2 = 1

der Reihe (1) ein, so hat man wegen § 81, (3) den Satz:

I. Die unendliche Reihe (1) ist dann und nur dann im Kontinuum K gleichmäßig konvergent, wenn es für eine vorgegebene ivülkürlich kleine positive von Null verschiedene Größe e möglich ist, eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für nf> N, indem p eine beliebige positive ganze Zahl bezeichnet, immer

(3)

\K,p(x)\<£

wird, welchen Wert aus K man auch für x einsetzt.

16

Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Beihen.

Beispiel 1. Die unendliche Reihe

cos Sx

cos %x

COS OC |    — _ _

~~ÎJ~ H 2*2

ist für jeden endlichen reellen Wert von x gleichmäßig konvergent; denn es ist

s=p

cos (n -f- s) x

(n-\-s)²

S=p    s=p

— (n -f- s)²    (n -\- s — 1) (n -(- s) —

9=1

Beispiel 2. Aus der offenbaren Identität

{px-\- l)((p -j- l)x -f 1)    px-\- 1    (p-\-t)x-\-l

findet man für die unendliche Reihe

⁽⁴)    x + 1 ⁺ (x + l)(2x + l)~r (2x + l)(8x + 1)

die Summe s{x) = 1, während man für die Partialsumme und das Restglied die Ausdrücke

» Rn(.X)

(n -f- 1) x -f- 1

= s(x) ~ sn{x)

(n -f- 1)* + 1

findet. Aus diesen Bemerkungen ergibt sich, daß die unendliche Reihe (4) in jedem Kontinuum, für welches die untere Grenze für | x | nicht 0 ist, gleichmäßig konvergiert; für x = 0 ist die Konvergenz unserer Reihe unendlich langsam; man hat z. B.

{n + l) 2 ’

es liegt aber auf der Hand, daß unsere Reihe (4) auch für x = 0 mit der Summe 1 konvergiert.

Beispiel 3. Bezeichnet Gn die obere Grenze von | un(x) |, indem x das Kontinuum K durchläuft, und konvergiert die Reihe mit positiven Gliedern 2JGn, so ist die Reihe (1) in diesem Kontinuum K gleichmäßig konvergent.

Der Begriff gleichmäßig konvergente Reihen ist beinahe gleichzeitig von Stokes² 3) und Seidel²), am klarsten bei dem letzten, eingeführt worden; aber zuerst durch die Vorlesungen Weierstraß’ ist die fundamentale Bedeutung dieses Begriffes in helles Licht getreten.

Denken wir uns, daß die Glieder un(x) der Reihe (1) im Kontinuum K für jedes n stetige Funktionen sind, so ist sicher jede einzelne Partialsumme auch eine in K stetige Funktion von x\ aus §81, I finden wir daher unmittelbar den folgenden Satz:

II. Sind die Glieder un(x) der unendlichen Reihe (1) sämtlich in x stetige Funktionen, wenn x das Kontinuum K durchläuft, und ist außerdem die Reihe (1) in diesem Kontinuum gleichmäßig konvergent, so ist die Reihensumme s(x) eine in K stetige Funktion von x.

Cauchy⁴) behauptete, daß s(x) eine im Kontinuum K stetige Funktion von x sei, wenn die einzelnen Reihenglieder in K stetig sind, und die Reihe (1) außerdem konvergiert, wenn x dies Kontinuum durchläuft; schon Ab el⁵) bemerkte, daß diese Behauptung im allgemeinen nicht richtig sein kann; aber erst viel später hat Cauchy⁶) die Richtigkeit dieses Einwandes erklärt.

Wenn die Reihenglieder un (x) sämtlich in K stetig sind, während dies mit der Reihensumme s(æ) nicht der Fall ist, so kann die Reihe (1) sicher in K nicht gleichmäßig konvergieren.

Die Reihe (4) ist nicht in einem Kontinuum, welches den Wert x = 0 enthält, gleichmäßig konvergent; ihre Summe ist aber doch in diesem Kontinuum stetig.

Beispiel 4. Die Reihe

s(x) = x + x{l — x) -f x{l — xf + x(l — x)z 4- • • •

ist sicher für 0 x < 2 konvergent; das Restglied ist

= (1 — x)n;

RrXX)

x • (1 — x)n 1 — (h — X)

für 0 < x < 2 ist unsere Reihe daher gleichmäßig konvergent mit der Summe s(x) = 1; für x = 0 konvergiert diese Reihe aber unendlich langsam; man hat z. B.

also bei hinreichend großen n von 1 beliebig wenig verschieden; für x = 0 hat unsere Reihe die Summe 0. Die Reihensumme s (x) ist demnach für x == 0 (wo die Reihe nicht gleichmäßig konvergiert) imstetig.    -

166. Es ist zu beweisen, daß die unendliche Reihe

71 = 00

f(x) = 1

x⁶(xs -{- 2⁴)(x⁴ -(- 4⁵) • • • (x⁵ -f- (2n — 2)⁵)

(2«)!

71 = 1

für jeden endlichen Wert von x gleichmäßig konvergiert.

für jeden endlichen Wert, der weder Null noch negativ ganz ist, gleichmäßig konvergiert, und daß für positive a,x willkürlich endlich,

lim f(x + a) = 0

a= + oo

167. Man soll beweisen, daß die unendliche Reihe

3w-j-l\

2 /

n= oo

f(x)

(’niy^x -f

n=o (2« -f- l)lx*(x -f l)² • • • (x -f- n)

ist.

168. Es ist zu beweisen, daß die durch die unendliche Reihe in Aufgabe 167 definierte Funktion f(x) der Fundamentalgleichung

f(x) — f(x + 1) = —„

genügt; dadurch soll man endlich für f(x) diese andere Entwicklung

fi.^) xi "k (æ _j_ ^2 “ł" (x 2)²

herleiten (Catalan)¹).

169. Man hat für reelle x die unendliche Reihe

n=oo

f(x) = ^ (nxe

— nx¹

— (» -f l)xe~(n + Vx2)

ZU

zu untersuchen und das Restglied Rn(x) z. B. für x = n betrachten (Darboux).²)

170. Man soll die unendliche Reihe s(x) — Uun(x) und ihre Summe untersuchen, indem un(x) durch die Ausdrücke

Un(X) = (1 — X)xn, Un(X) = (1 + »)(— xf

von n = 0 an zu definieren ist, je nachdem x rational oder irrational ist.

171. Die periodische Funktion a(x) mit der additiven Periode -f- 1, also a(x + 1) = cc(x), wird so definiert, daß a(x) — x für 0 <ix ^ ist, während u(x) = x — 1 für <C x <il zu setzen ist. Man hat zu beweisen, daß die Funktion

/•/ \ cc(x) .

f\x) = 12 + 2

a (2 x)    a(ß x)    cc(4 x)

3ä unstetig ist für x = (2p + 1) : (2n), wo dieser Bruch irredu-

1)    Mémoire sur la transformation des séries, p. 18. Mém. couronnés et de sav. étrangers de l’Acad. de Belgique Bd. 33; 1865.

2)    Annales de l’Ecole Normale (2) Bd. 4; 1875.

ziebel ist, und die Sprünge der Funktion für diesen Wert von x zu bestimmen. Wie verhält sieb diese Funktion für jeden andern reellen Wert von x? (Riemann)⁷).

§ 83. Gleichmäßig konvergente Produkte. Das unendliche Produkt

n=oo

(1)

F(X) =77 i⁷ + Un(X))>

n = 0 ;

dessen Faktoren Funktionen von x sind, heißt gleichmäßig konvergent im Kontinuum K, wenn die aus den Partialprodukten

r=n

(2)

r=0

gebildete Zahlenfolge

(3)

P₀(x), l\\:r), P.Jxj, • • -, PJx), • • •

in K gleichmäßig gegen ihren endlichen und von Null verschiedenen Grenzwert P (x) konvergiert.

Betrachten wir nunmehr die anendliche Reihe

71 = CO

(4)

L (fl?) = ^ log (1 + un (x) ) = log P (x) + 2qni,

n = 0

so sind die Partialsummen Ln(x) dieser Reihe für jedes n mit den Partialprodukten (3) durch die Gleichungen

(Ö)

Ln 0*0 = log Fn 0) + 2rsti, Pn (x) = e Ln&

verbunden, woraus der folgende Satz ohne Mühe entfließt:

I. Pas unendliche Produkt (1) ist in einem Kontinuum K dann und nur dann gleichmäßig konvergent, wenn die unendliche Beihe (4) auch in K gleichmäßig konvergiert.

Ist nämlich die Reihe (4) in K gleichmäßig konvergent, und setzt man

L 0) = Ln 0) + Qn {x),

Qn (x) I <    indem x das Kontinuum K

so ist für n~^>N immer durchläuft, und wir erhalten somit wegen (4) und (5)

P(x) = eL*(x) + (x) = Pn (x) e'n {x) ,P(x)~ Pn (x) = P(x) ■ (1 - e~^x]) 5

da nun P (x) endlich ist, und da e ~ '^n ^ seinem Grenzwerte 1 gleichmäßig zustrebt, wenn n über jede Grenze hinauswächst, indem x

das Kontinuum K durchläuft, so ist das Produkt (1) in K gleichmäßig konvergent.

Ist umgekehrt das Produkt (1) in K gleichmäßig konvergent, und setzt man

P0) = Fn(%) (! + <*»(«))

6n (x) | < s, indem x das Kontinuum

so ist für n N immer durchläuft, und man hat

L 0) = Ln 0) + log (! +    6*0 ) + ² o.ni ;

da nun log (1 -f- 6n{%)) seinem Grenzwerte 0 gleichmäßig zustrebt, so ist auch die Reihe (4) in K gleichmäßig konvergent.

Speziell findet man den folgenden Satz:

II. Ist die Reihe mit positiven Gliedern 2J ! un (x) j in einem Kontinuum K gleichmäßig konvergent, so konvergiert das unendliche Produkt (1) auch in K gleichmäßig, wenn keine der Funktionen un (x) den Wert — 1 annehmen kann, indem x das genannte Kontinuum K durchläuft.

Aus der Identität

log (1 + Un (X) ) =Un(X)‘K,

(6)

wo kn zwar mit x variiert, aber so daß die Zahlenfolge kQ, kl} k

eine Pundamentalreihe mit dem Grenzwerte 1 ist, indem x das Kontinuum K durchläuft, ergibt sich ohne Mühe

log (1 + un+s (x)) £ G ■ Jÿ⁷1 un+s(x) j,

S = 1

indem G die obere Grenze der absoluten Beträge der Zahlen (6) be zeichnet; damit ist unser Satz aber bewiesen.

Aus dem allgemeinen Satze § 81, I finden wir hier speziell:

III. Sind sämtliche Funktionen un (x) in einem Kontinuum K stetige Funktionen von x, und konvergiert außerdem das Produkt (1) gleichmäßig in K, so ist der Wert P (x) dieses Produktes eine in K stetige Funktion von x.

Als erstes Beispiel betrachten wir das unendliche Produkt

n = oo

71—1

aus der Entwicklung

2 n²

xs

6 ns

■zn,

wo Kn stets endlich, bleibt, wenn x nur endlich angenommen wird, ergibt sich wegen (7)

71 = CO

x*

2 n³

71 — 1

4- xS ■ A"") • -r nS ,

es ist demnach

rp —    /y» *5

zu setzen.

Dem Satze II zufolge ist das unendliche Produkt (7) gleichmäßig konvergent für alle endlichen x, die nicht negativ ganz sind, und die Funktion P (x) ist für alle diese Werte eine in x stetige Funktion. Ist x negativ ganz, und läßt man aus (7) den Null werdenden Faktor weg, so ist das so erhaltene Produkt auch für diesen Wert von x konvergent.

Die Funktion P (x) verschwindet offenbar für negative ganze Werte von x aber sonst für keinen anderen endlichen Wert von x.

Aus II haben wir noch den spezielleren Satz herzuleiten:

IV. Konvergiert das Produkt II (1 4 | un j ) mit positiven Faktoren, so ist das andere unendliche Produkt il (1 4 un • x) für jeden endlichen Wert von x gleichmäßig und unbedingt konvergent, außer wenn es gegen Null divergiert; das letzte Produkt stellt aber für alle endlichen x eine in x stetige Funktion dar, und es gilt eine Entwicklung von der Form

71 = cc

(8)

JT J (1 4 un • %) — 1 4 x 4 A₂ x² 4 -A3 æ⁸ 4 • * •>

n = 0

wo die Reihe rechter Hand für jeden endlichen Wert von x gleichmäßig und unbedingt konvergiert.

Wenden wir nämlich die Formel § 59, (10) an und führen wir die Rechnungen rechter Hand aus, so werden die zu den verschiedenen Potenzen von x gehörigen Koeffizienten durch Reihen dargestellt, die sicher konvergieren, wenn man anstatt jedem un seinen absoluten Betrag | un | einführt. Nehmen wir nun sämtliche Potenzen von x bis zu xn aus, so haben wir aus dem ausgerechneten Produkte sämtliche vom Partialprodukte Pn herrührende Glieder und außerdem noch andere Glieder mitgenommen. Da nun die übrigbleibende Summe mit unendlich wachsendem n gegen Null konvergiert, selbst wenn man jedes Glied durch seinen absoluten Betrag ersetzt, so ist unser Satz damit bewiesen.

16*

172. Ist | a [ > 1, so hat man die folgende von Euler⁸) her rührende Formel:

n — oo

p = oo

(- 1 ?a?

p-1

n = 1

173. Setzt man | a | < 1 und | x | < 1 voraus, so hat man die folgende von Euler⁹) herrührende Formel:

n = oo

11 1 — anx

p = 00

a?

—[ (1 — a)(l — a⁹)--- (1 — ap)

§ 84. Grenzwert von Gauß. Die Gammafunktion.

Als eine Anwendung der vorhergehenden Entwicklungen über gleichmäßig konvergente Produkte wollen wir den speziellen Satz beweisen:

I. Setzt man für positive ganze n

(i)

1⁸2 • 3 ■ • ■ (w 1) • nx x (x -)-1) • • • (x -f- n — 1) ’

so ist die Zahlenfolge

(2)

für alle endlichen x, die nicht 0 oder negativ ganz sind, gleichmäßig konvergent; der Grenzwert dieser Zahlenfolge heißt die Gammafunktion und kann auch durch das unendliche Produkt

n = oo

(3)

wo G die Eulersche Konstante bezeichnet, dargestellt werden. Schreiben wir der Kürze halber

r.(*)-A

(4)

ßxlogn

und setzen wir

(5)

C. -

rH tH

also

+ +S + -- + ;At-1osw’

G = lim Gn,

INO I M-

n = oo

so ergibt sich, wenn wir ans (4) log n wegen (5) wegschaffen

ep

r „ p

K(*) =

— 77

x    11 i MX

v) — i 1 H--

*    p

und unser Satz ist demnach eine unmittelbare Folge des im vorhergehenden Paragraphen über das unendliche Produkt § 83, (7) entwickelten.

Dadurch finden wir noch unmittelbar den Satz:

II. Die Gammafunktion ist für jeden endlichen Wert von x, der jedoch weder Null noch negativ ganz sein darf, eine in x stetige Funktion, und sie verschwindet für keinen endlichen Wert von x.

Setzt man in (1) x -j- 1 anstatt x, so erhält man

r.(*+ i)-

1-2-3 ■■■ (n — 1 ) • n • nx

nx

(x -f- 1) (x -j- 2) • • • (x -j- n)

• r„(aO,

woraus der neue Satz entfließt:

III. Die Gammafunktion genügt der Fundamentalgleichung

(?)

r(x + 1) = x • T (x).

Da nun für jedes n immer

ist, so hat man ebenfalls F (1) = 1 und daraus allgemeiner wegen

(7), indem n eine positive ganze Zahl bezeichnet:

(8)

r (n) = 1 • 2 • 3 ... (n — 1) = (n — 1) !

Für den allgemeinen Binomialkoeffizienten

(VH-¹⁰)

» (1 — aQ(2 — x)... (n — x)

1 • 2 • 3 • 4 ... n

erhalten wir wegen (1) den Ausdruck

(9)

_<•_ ly.—î_

\ n )    ^    > r, (1 — x) ’

der uns später nützlich sein wird. Der Grenzwert

(10)

r(x) = lim

" 1 • 2 • 3 • • • (n — 1) • nx ~

— lim rn(x)

n = co

rührt von Gauß¹⁰) her, während die Produktentwicklung (3) beinahe gleichzeitig von Schlömilch¹¹) und Newman¹²) gefunden worden ist.

Wir haben schon bemerkt, daß für x = 1 sämtliche Elemente der Zahlenfolge (2) den Wert 1 annehmen; allgemeiner gilt der Satz:

IV. Für endliche reelle x, ganze Werte Meiner als 2 ausgeschlossen, ist die Zahlenfolge (2) immer monoton und zwar wachsend für x > 1 oder — 2n -j- 1 >æ>-2m, n positiv ganz, sonst aber *immer abnehmend.

Es ist in der Tat

¹

Sind die Elemente fn(x) der Fundamentalreihe (1) für jedes n in x stetige Funktionen, wenn x das Kontinuum K durchläuft, und ist die Zahlenfolge (1) in K gleichmäßig konvergent, so ist ihr Grenzwert Fix) auch eine in K stetige Funktion von x.

Gehören x und x + h beide dem Kontinuum K an, und bedeutet s eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe, so ist es möglich, eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für nj>N immer

²

   Transactions of the Cambridge pkil. Society, Bd. 8, p. 533; 1848.

³

   Abhandlungen der Münchener Akademie Bd. 7; 1848. Ostwalds Klassiker Nr. 116 (1900).

⁴

   Analyse algébrique, p. 131; 1821.

⁵

   Journal für Mathematik Bd. 1; 1826. Œuvres Bd. 1, p. 224.

⁶

   Comptes rendus Bd. 36, p. 454—459; 1853.

⁷

Göttinger Abhandlungen 1867. Werke, p. 242.

⁸

   Introductio in analysm lnnmtorum Bd. I, § 306; 1748.

⁹

   loc. cit. p. 313.

¹⁰

   Comment. Gotting. Bd. 2, p. 25—26; 1812. Werke Bd. III, p. 145.

¹¹

   Grunert Archiv Bd. 4, p. 171; 1844. Analytische Studien, I, p. 45; 1848.

¹²

   Cambridge and Dublin math. Journal Bd. 3, p. 57—60; 1848.

rn(x)

und also ergibt sich wegen § 24, (18)

r,(*)

x (x -j- 1)

rn+1(?)

wo hn für alle n endlich bleibt; durch Ausrechnung erhält man daher

(11)

r.{x)

r„₊₁«

X (x —■ 1)

l,

n³ 7

wo ln hinwiederum für alle n endlich bleibt; es ist demnach für hinlänglich große n der Quotient linker Hand in (11) größer als 1 oder kleiner als 1 je nachdem 1 >:r>0 oder nicht angenommen wird.

Für hinlänglich große n haben aber die Tn (x) alle dasselbe Vorzeichen, und damit ist unser Satz also bewiesen.

174.

175.

Für ganze, nicht negative n hat man den Grenzwert lim 0 -f- n) T (x) = ~~

x — — n

Wenn y weder Null noch negativ ganz ist, und zwei der Zahlen a, ß und y feste bestimmte Werte haben, während die dritte in solcher Weise variiert, daß immer 9Î (y — a — ß) > 0 ist, so ist die unendliche Reihe

“ (« + *) • ß (ß + R

1 • 2 • y [y + 1)

unbedingt und gleichmäßig konvergent; ist aber 9Î (y — cc — ß) < 0, so kann diese Reihe niemals konvergieren, wenn sie wirklich unendlich sein soll.

Kapitel XX.

Trigonometrische Reihen.

§ 85. Konvergenzkriterien. Satz von Malmstèn.

Unter den trigonometrischen Reihen müssen wir uns auf den folgenden Typus

(1)

y ao + ^ (P'n cos n x + bn sin nx)

n — 1

wo die Koeffizienten an und bn sämtlich von x unabhängig sind, beschränken. Da die allgemeine Frage über Konvergenz oder Nichtkonvergenz der Reihe (1) überaus große Schwierigkeiten darbietet^ so müssen wir uns hier auf den folgenden Satz, der in speziellerer Form von Malmstèn¹) gegeben worden ist, beschränken:

I. Wenn die Koeffizienten an die beiden folgenden Bedingungen befriedigen: 1. lim an = 0 für n = oo, 2. die Beihe £ \ an —an+1 \ ist konvergent, so ist jede einzelne der beiden Heiken £ an cos nx und £ ancos nx in jedem Intervalle \2p% —-    2p% Ą- <5\, wop eine will

kürliche ganze Zahl bezeichnet, während 6 eine willkürlich kleine von Null verschiedene positive Zahl ist, gleichmäßig konvergent.

Die Konvergenz der beiden obengenannten Reihen ist eine unmittelbare Folge des Satzes § 39, II5 denn die beiden Reihen £ cos nx und £ sin nx oszillieren zwischen endlichen Grenzen, wenn x =j= 2p% ist. Um die gleichmäßige Konvergenz dieser Reihen in helleres Licht zu stellen, wollen wir unseren Satz folgendermaßen beweisen: Betrachten wir die Kosinusreihe, und multiplizieren wir das Restglied

Rn,p O) = an₊1 cos (» ■+1) x 4- an₊₂ cos (n+2) x Ą-----b an +p cos (n +p) x

(2)

durch 2 sin x, so erhalten wir unter Anwendung der Identität 2 sin \x cos mx = sin (m + x — sin (m — Ÿ) x den folgenden Ausdruck

2 BnjP (x) sin -\x = — an+x sin (n + Ą)x + an+p sin (n + p + -¹-) x +

- an+s+i) • sin (n + s + i) xf

* = 1

. woraus der Majorant wert folgt:

s = p — 1

in ix I <; I a» ₊ ! I + I an+p I + y'

•V = 1

1) Nova Acta Upsalensis Bd. 12, p. 255; 1844.

Den beiden Voraussetzungen über die Koeffizienten an zufolge ist es für ein vorgegebenes willkürlich kleines s möglich eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n~j> N immer die Summe rechter Hand in (3) kleiner als e wird; ist außerdem

2 ą% a<Cx<^(2 q-\-2) 7t — a,

so hat man auch

I sin

> sin a y

und somit ergibt sich wegen (3)

(4)

Rn,P(x) I < — a ;

2 sin —

womit unser Satz für die Kosinusreihe bewiesen ist.

Ganz in derselben Weise kann man die Sinusreihe behandeln. Malmstèn betrachtete nur denjenigen Fall, wo die Zahlenfolge ax a₂ a₃ ... an ... monoton abnehmend mit dem Grenzwerte Null war.

Setzt man in den oben betrachteten Reihen x + % anstatt x, so leuchtet ein, daß die beiden Reihen E (— l)ra an cos n x und E(—1)” an sin nx unter denselben Voraussetzungen wie vorher in jedem Intervalle von der Form (2 p — 1) tc a x (2 p + 1) % — a gleichmäßig konvergieren. Diese Reihen können übrigens auch direkt behandelt werden, indem man das Restglied mit 2 cos x multipliziert.

Unter Anwendung der in § 42 gegebenen Entwicklungen leitet man nunmehr unmittelbar aus I den folgenden spezielleren Satz, den man Weierstraß¹) verdankt, ab:

II. Existiert für die Koeffizienten an eine Entwicklung von der

Form

(5)

cc + iß

• * •)

an +1

wo a positiv ist, so konvergieren die beiden Eeihen 2J an cos nx und E an sin n x gleichmäßig in jedem der Intervalle 2 p7t a x <( (2 p -f- 2) % — a.

Aus diesen Entwicklungen geht unmittelbar hervor, daß die durch die Reihensumme (1) definierte Funktion der reellen Ver-

änderlichen x im allgemeinen nicht für x = 2 p it bzw. x = (2 p -j- 1) % stetig sein kann.

176. Es ist zu beweisen, daß, wenn der reelle Winkel 6 kein Vielfaches von 2 n ist, die Reihensumme

ei2e

eine

■±x + 2X 3X    "ü nx

SR (s)

immer eine in x stetige Punktion sein muß, wenn positiv ist.

§ 86. Rechnen mit trigonometrischen Reihen.

Es liegt auf der Hand, wie man eine endliche Anzahl trigonometrischer Reihen von der Form § 85, (1) addiert oder subtrahiert, und daß das so erhaltene Resultat immer als eine Reihe derselben Form dargestellt werden kann. Über die Multiplikation zweier trigonometrischen Reihen gilt der Satz:²)

I. Wenn die Koeffizienten der vier trigonometrischen Reihen

n = co

fi 0*0 ⁼ ^ an cos n x, f₂ (x) = ^ bn cos n x

(1)

n = 1    n = 1

n — co    n = oo

9l 0*0 =]>jan Sln n X’ 02 0*0 = ^ K Sln n X

n — 1

die beiden folgenden Bedingungen befriedigen : 1. daß

p = n

(2)

n—p

lim V | apb

n = co

p = 1

ist, und 2. daß mindestens eine der vier Reihen mit positiven Gliedern

71 = 00

n = oo

(3)

y]'\^n±an ₊ l\, y,\hn±h

71 + 1

71 = 1

konvergiert, so sind die vier Produkte

71 = 1

(4)

fi 0*0 fi 0*0; fi 0*0 02 0*0; U 0*0 02 0*0; 9i 0*0 02 <»

nach der Cauchyschen Midtiplikationsregel zu entwickeln, wenn die zu multiplizierenden Reihen beide konvergieren für den betrachteten Wert von x, und wenn dieser kein Vielfaches von n ist.

Betrachten wir zuerst die beiden Kosinusreihen fx (x) und f₃ (x),

und setzen wir voraus, daß die Reihe £ | bn — b schreiben wir das Restglied § 44, (2) in der Form

| konvergiert, so

(5)

Bn = ^ as cos sx ■ (bn cos n x -f bri_x cos (n — 1) x + • • •

■ cos (n — s + 1) x).

-S +1

Um das Verhalten dieses Restglieds für unbegrenzt wachsendes n zu untersuchen, multiplizieren wir die Gleichung (5) mit 2 sin 4 x und erhalten dann wegen § 85, (2)

2 sin \ x Bn — A — B + C,

wo der Kürze halber

(6)

Ä = V sin

(n + 4) x • ^ as cos sx

(7)

B-Ta.b,

-* + i

• cos sx sin (n — s + 4) %

(8)

C = ^ as cos sx ■ (U}

+ ün

-2

s = 1

gesetzt worden ist, und wo in (8) die U folgende Bedeutung haben Um - (K - bm+x) sin (m + 4) x.

Bedeutet nun s eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe, und beachtet man, daß die beiden Reihen fx (x) und f₂ (x) konvergieren, so ist es offenbar möglich eine solche positive ganze Zahl Nx zu bestimmen, daß für n^> Nx immer

Ml<l

(9)

(10)

wird. Wegen (7) und (2) ist es aber möglich eine solche positive ganze Zahl N₂ zu bestimmen, daß für n^>N₂ immer

(H)

*\<l

ist. Weiter ist wegen (9) und (4) die Reihe £ \Um\ konvergent; durch dieselben Überlegungen wie in den beiden Paragraphen 44 und 45 ergibt sich daher, daß es auch möglich ist eine solche positive ganze Zahl Ns zu bestimmen, daß für n^> N₃ immer

l°l<5

(12)

sein muß.

Ist nun N die größte der drei Zahlen N1} N₂ und Ns, so hat man für w > N immer

(13) und damit ist dieser Fall unseres Satzes bewiesen.

konvergent, so multipliziert man

Ist die Reihe 2J \ bn —|— b

71 -f- 1

die beiden Seiten in (5) mit 2 cos ^ x, und die obenstehende Entwicklung gilt auch in diesem Falle.

Ganz in derselben Weise werden die übrigen der Produkte (4) behandelt.

Da nun außerdem das Restglied Rn in (5) in den ap und bq symmetrisch sein muß, so ist unser Satz hiermit vollständig bewiesen.

Wir haben also eine Entwicklung von der Form

(14)

fi (x) f% (x) = ^2 + V₃ + F₄ +----b Vn + • • •

gefunden, wo der Kürze halber

s = n — 1

Vn = ^ asbn_s cos sx cos (n — s) x

S = 1

gesetzt worden ist; wir können indessen sehr leicht diesen Ausdruck für Vn, und zwar unter Zuhilfenahme der elementaren Identität 2 cos sx cos (n — s) x = cos nx -b cos (n — 2s) x, umformen. Setzen wir noch

(15)

Wn = ai bn-l H"* a2 K-2 H-----b an-1 &

so ergibt sich in der Tat (¹⁶) F, - i w. cos nx + i • V' («A_,+ ®„_A) cos (» - 2s) *,

s = 1

wo der Strich nach dem Summenzeichen rechter Hand angibt, daß für ein gerades n das letzte Glied zu halbieren ist.

In ganz ähnlicher Weise finden wir die beiden anderen Formeln

(17)

/i(*)ftW - VI + n + K + ••• + K +

(18)

9i (x) 9$ (x) — P2 + F3 + F4 + • • • + F« + • •

wo der Kürze halber

^ n — 1 = 2

⁽¹⁹) F;    sin +    ^ (cisbn_s- bsan_s) sin (n - 2 s) x

<ï

(20) F"= - i»„cos nx + }- ■ V'(<ts b,_,+ h a„_J cos in-2s) x

* = 1

gesetzt worden sind, und wo der Strich nach dem Summenzeichen in (20) dieselbe Bedeutung wie in (16) hat.

Aus den in § 46 entwickelten Sätzen ergibt sich ohne weiteres der folgende merkwürdige Spezialfall unseres Satzes I:

II. Wenn die beiden Zahlenfolgen mit positiven Elementen

ai a₂ a₃ • • • an • • •, bx b₂ b₃ • • • bn • • ■

monoton abnehmend mit dem Grenzwerte Null sind, so können die Produkte (4) nach der Cauchyschen Multiplikationsregel ausgerechnet werden, falls das Produkt der beiden alternierenden Reihen 2J (— l)nan und 2J (—1)” bn diese Eigenschaft besitzt.

177. Mit denselben Bezeichnungen wie in § 86 gelten die Formeln

n = oo

bn sin nx

n = oo

an cos nx \ ■ I    bn cos nx

\ f n — co    \ / n = oc

)-(Ea’sii‘ nx){E

/ ' n = 1    J \n = 1

n — co

w =co

^ansinnx )•( ^

n = 1    /    = 1

bn cos wir

n = oo

⁼z

wn cos nx

/ m = oo    \ / nj=ac

+{2a»msnx)iZ

\n= 1    / \n — 1

bn sin n x

n ex oo

=    sin nx.

§ 87. Satz von Pringsheim.

Mit Pringsheim betrachten wir denjenigen Spezialfall unseres Satzes § 86, II, für welchen die Reihe mit positiven Gliedern

(i)

ai bxp a₂b₂ + as b-à + • • • + anbn +

konvergiert; dieser Fall bietet ein besonderes Interesse dar, indem wir unter Zuhilfenahme der in § 46 entwickelten Formeln beweisen wollen, daß die Konvergenz der Reihe (1) eine hinreichende Bedingung dafür ist, daß die im Satze § 86, II betrachteten Produkte hinwiederum in trigonometrische Reihen entwickelt werden können, indem wir einfacher Weise die Glieder der Produktreihen nach cos nx bzw. sin nx ordnen.

Schreiben wir in der Tat die Reihe § 86, (14) folgendermaßen

(2)

fi 0*0 fi 0*0 “ (^2 + V₃ + F₄ + • • • + Vn) + Iin,

so enthält die eingeklammerte Summe rechter Hand sämtliche Produkte ap bq, für welche p -f- q <, n ist, und keine anderen; setzen wir daher der Kürze halber

AL

— bx cip₊± + b₂ ap + 2 + •• • -f- br ap + r Bpn — ax bp +1 -f- a₂ bp + 2 4- • • • -J- ar bp +

wo für ein aufgegebenes p die Zahl r so zu bestimmen ist, daß p-\-2r = n oder p-\-2r = n — 1, je nachdem n—p gerade oder ungerade ist, so ergibt sich

p = n

(3)

pn

r>

(4)

^ VP = AL,n + i • ^K + AL,n + B's,n) COS SX.

Führen wir nunmehr die in § 46 betrachteten Reihen Aq — aq +1 \ -(- aq + 2 b₂ -j- • • • -f- aq + sbs-\- • • •

Bq = \+tat + &î + 2a2 + • ’ • + bq + sas + • * *,

also speziell

A₀ — B₀ =    + «2^2 + • • • + aqbq + • • •

ein, und setzen wir der Kürze halber

p,n

■p,n

A;,n = Ar, — a:

Bp>n = Br, - Bn

5 = oo

—    br+s ttp +

s = 1 s — 00

⁼    +s +r+s)

so

ergibt sich aus (2) und (4), daß

s = n

(5)

fl 0*0/20*0 = A + 2 • ^(w* + As -j- R,) cos sa? -f Rń,

wo der Kürze halber

(6)

K = R, - A'₀,„+ BZ.)

COS SX

gesetzt worden ist, sein muß.

Ist nun n—p ungerade, so enthalten die ersten Glieder der beiden Reihen Ap>n und Ap + i,n den Faktor br+es ist demnach in diesem Falle

Apt n ^> Ap -f-1, n }

ist aber n—p gerade, so enthält das erste Glied in Ap>n den

Faktor br + 1, das erste Glied in Äp + i,n aber den Faktor hr, und es ist demnach hier

Ap>n A* -Ap + l,n brQ/p + r Ą. i;

setzen wir also, je nachdem n — p ungerade oder gerade ist

^p, n ^ 7 ^p, n    ^r ®p + r +1 >

so ist immer

(7)

4" —4"

p +1, n

+ Up, n Z> 0,

und weiter hat man

(8)

alf* + a2,n H----+ an,n S W

Nach diesen Vorbereitungen haben wir nunmehr das Restglied U'n in (6) zu untersuchen; bedeutet s eine vorgegebene willkürlich kleine positive Größe, so ist es möglich eine solche positive ganze Zahl iVj zu bestimmen, daß für n > immer

it“-| m

\K\ <

An < J

sind; denn Un und A'0>n sind ja Restglieder zweier konvergenter Reihen; weiter setzen wir

COS SX

V-n (pC) ASj n

und erhalten somit

s-n-l

2 sin | • vn(x) =^?(A"n — A"+hn) sin (s+^x + A"

— An

woraus, indem wir noch die Reihe

6 = 7t—1

sin

<0*0 =^\»sin(s+v);r

«=i

einführen, die neue Gleichheit folgt:

s = n — 1

(9)

2 sin ~vn(x) + vn(x) =^?(A''n 6=1

+ A"„ sin (n + ^jx

-Ä

s + 1, n

n,n Sm

+ as>n) sin (s -f

A' • X

— An sm—

da nun wegen (8) \vn(x) \ <wn + l ist, während A''n — A"+1>n + as>n > 0 sein muß, so erhalten wir aus (9)

6+1 ,n

i² sin | • vn(x) [ <; wn+1 +    - AZ

Kapitel XX. Trigonometrische Reihen. § 87. oder, was offenbar dasselbe ist

2sin | • vn(x)

2wn ₊1 -f- 2Ai>n’j

ist demnach x kein Vielfaches von 2 ft, so ist es möglich, eine solche positive ganze Zahl Nn zu bestimmen, daß für n N₂ immer

(10)

COS SX <

Ä=1

wird. Ganz in derselben Weise sehen wir, daß es auch möglich sein muß, eine solche positive ganze Zahl Ns zu bestimmen, daß für w N₃ immer

(11)

I K[n cos SX < j

wird.

Sei nun N die größte der Zahlen N1} JV₂ und V₃, und ist x kein Vielfaches von 2ft, so hat man demnach für n^> N immer

\K\<*,

und somit haben wir die Formel

n = oo

(12)

cos nx

bewiesen.

Ganz in derselben Weise findet man die ähnlichen Entwick

lungen

71 = 00

(13)

(14)

t\(x)g₂(x) = j    “ An + Bn) sin nx

71 = 1

71 = 00

gx(x)g₂{x) = A₀ + -^?(An + Bn- wn) cos nx,

71 = 1

und die Anwendbarkeit unserer Methode auf das Produkt

cos nx + an sin nx)) • QJ(6W cos nx + b'n sin nx)) liegt auf der Hand. Bemerkt man noch die Identität

71 = 00

71 = 00

cos a x ■

^ (an cos nx + an sin nx) + sin ax • ^ (an sin nx — dn cos nx)

71 = 1

71 = 1

71 = 00

= ^ (an cos {nx + ax) + dn sin {nx + ax)),

und setzt man px und rx anstatt x und ax, so entfließt der Satz von Pringsheim:¹)

I. Sind die aus an, an, bn und b'n gebildeten Zahlenfolgen monoton abnehmend mit den Grenzwerten Null, und konvergieren die vier Reihen mit positiven Gliedern

2*nK> J2anK, 2anhm 2a'nK,

so läßt sich das Produkt der beiden trigonometrischen Reihen

n = oo

a₀ + ^ (an cos (np + r)x ± an sin (np + r)x)

n=l n = oo

b₀ + ^ (bn cos (np -f- r)x + b'n sin (np -j~ r)x)

n = l

nach der Cauchy sehen Multiplikationsregel bilden, und die so erhaltene Produktreihe kann wieder durch Umordnung der Reihenglieder direkt in eine gewöhnliche trigonometrische Reihe verwandelt werden.

Dieser Satz gilt natürlich doch nur im allgemeinen nach Ausschließung gewisser spezieller Werte von x.

Wir bemerken aber ausdrücklich, daß die obengenannte Produktreihe vielleicht sehr wohl durch andere Methoden in eine gewöhnliche trigonometrische Reihe verwandelt werden kann, selbst wenn eine formale Umformung der Reihe nicht gestattet ist.

178.    Mit den Bezeichnungen des § 87 konvergiert die Reihe Z wn cos nx.

179.    Man hat den Pringsheimschen Satz auf das Quadrat der Reihe

sina; sin2a: , sin 3a:    sin4a; ,

2    '    3    i    r ⁻ ’

anzuwenden.

Kapitel XXI.

Potenzreilien.

§ 88. Der Konvergenzkreis.

Sind die Koeffizienten an sämtlich von x unabhängig, so heißt die unendliche Reihe

(x) = a₀ -f- axx -(- a₂x² -j- • • • + anxn -f- • • • 1) Mathematische Annalen Bd. 26, p. 165; 1885.

eine Potenzreihe in x\ über diesen Reihentypus gilt der folgende Satz, der im wesentlichen von Cauchy¹) herrührt:

I. Per Konvergenzbereich einer Potenzreihe ist immer das Innere eines gewissen Kreises K mit dem Mittelpunkte in x = 0; in diesem Bereiche konvergiert die Beihe unbedingt, und mit der untenstehenden Bedingung (4) auch gleichmäßig, während ihr Verhalten auf der Peripherie dieses Kreises sehr verschieden sein kann.

Dieser Kreis K heißt Konvergenzkreis, sein Radius B Konvergenzradius der Potenzreihe. Ist spezieil B = oo, so heißt unsere Reihe beständig konvergent; ist aber B = 0, so konvergiert die Reihe nur für den einen Wert x = 0. In unserer folgenden Untersuchung schließen wir diese beiden extremen Fälle aus.

Es sei nun q ein solcher Zahlenwert, daß die Reihe iß (p) konvergiert, wir haben dann erstens zu beweisen, daß die Reihe iß(#) gleichmäßig und absolut konvergiert, falls nur \x\ < \q\ angenommen wird: setzen wir in in der Tat

n = oo

n = oo

? c*o=2*anXn⁼2anQït ' (f Y >

n = 0

s=p

so ergibt sich für das Restglied in iß(#) der Ausdruck I s = i>

« | Q,

5=1

Bezeichnet demnach A die obere Grenze der positiven Zahlen \an+sQn+s\ s =    2, 3, . . .,p, so ist A sicher endlich, weil die

Reihe iß(p) konvergiert; aus (2) ergibt sich dann

s=p

(3)

\x\ < \q\.

5= 1

Es sei nun weiter ó eine willkürlich kleine von Null verschiedene positive Zahl, dann erhalten wir für

(4)

\x\    \q\ — d

wegen (3) den anderen Majorant wert

2W'⁺i -Crin) *

5=1

woraus

deutlich hervorgeht, daß die Reihe iß (x) unbedingt und

1) Analyse algébrique; 1821.

gleichmäßig konvergiert, falls die Bedingung (4) erfüllt ist, und die Reihe $ß(p) konvergiert. Eigentlich haben wir jedoch nicht die Konvergenz der Reihe $ß(p) vorausgesetzt, sondern nur, daß die obere Grenze A der absoluten Beträge dieser Reihenglieder eine endliche Zahl ist.

Nehmen wir nun weiter an, daß die Reihe $ß(p) nicht konvergiert, so kann die Reihe $J3(a;) für |a;|>|p| nicht bloß nicht, selbst nur bedingt, konvergieren, sondern ihre Glieder können nicht sämtlich endlich sein; denn wäre dies der Fall, so müßte die Reihe ^3 (g) unbedingt und gleichmäßig konvergieren.

Hiermit ist unser Satz aber vollkommen bewiesen.

Eine Potenzreihe kann also nur höchstens auf einer Linie, der Peripherie des Konvergenzkreises, konvergieren ohne absolut konvergent zu sein; setzt man für die Punkte dieser Peripherie x = B-eie, so erhält man

71 = 00

(5)

■JßfAV'M -    ' an Rn (cos n 0 -f- i sin n 0)

n= 0

und unsere Potenzreihe ist demnach in eine trigonometrische Reihe verwandelt worden.

Das Verhalten der Reihe (5) bietet daher so überaus große Schwierigkeiten dar, die man noch keineswegs zu überwinden vermocht hat; namentlich Pringsheim³) hat wichtige Untersuchungen über diese schwierige Frage angestellt.

Beispiel 1. Die geometrische Reihe 1 -f- x -J- x⁴ -f- xz ■+• • • • oszilliert zwischen endlichen Grenzen überall auf der Peripherie seines Konvergenzkreises, außer im Punkte x — 1, wo die Reihe divergiert.

Beispiel 2. Die Reihe ^    ^ + ‘ * • mit dem Konvergenzradius 1 konvergiert unbedingt und gleichmäßig auf der ganzen Peripherie seines Konvergenzkreises.

71    271    3 71

wo n eine positive

Beispiel 3. Die Reihe — + — -f - -f • ganze Zahl bedeutet, ist bedingt konvergent auf der Peripherie seines

2 p ni

Konvergenzkreises, außer in den Punkten x = e ⁷¹ , wo die Reihe divergiert.

Beispiel 4. Ist die Zahlenfolge a₀ata₂ ... an .. . monoton abnehmend mit dem Grenzwerte Null, so konvergiert die Reihe Zanxn überall auf der Peripherie ihres Konvergenzkreises außer vielleicht für x = -f- 1. Man erhält offenbar einen allgemeineren Satz unter Anwendung von § 85, II.

Beispiel 5. Die Reihen, die wir als Definitionen der Funktionen e*, cos x und sin x gewählt haben, sind beständig konvergente Potenzreihen.

Beispiel 6. Konvergiert das Produkt TI (1 -J- |wj), so kann das andere Produkt mit veränderlichen Faktoren JZ (1 -f- unx) in eine beständig konvergente Potenzreihe verwandelt werden.

§ 89. Satz von Abel.

Wenn die Potenzreihe ^3(V) = Zanxn in einem Punkte co der Peripherie ihres Konvergenzkreises konvergiert, wie verhält sich dann diese Reihensumme zu der im Innern des Konvergenzkreises in x stetige Funktion    Daß diese Frage nicht ohne weiteres be

antwortet werden kann, liegt auf der Hand, wenn man bloß bemerkt, daß $ß(#) im Innern des Konvergenzkreises unbedingt, im Punkte co aber vielleicht nur bedingt konvergiert.

Zur Beantwortung dieser Frage haben wir den folgenden Satz von Abel, der später von Stolz verallgemeinert worden ist:

I. Konvergiert die Potenzreihe (x) = ZIanxn im Punkte co der Peripherie ihres Konvergenzkreises, so stellt die Peihensumme ^S(co) genau denjenigen Funktionenwert dar, welchem die stetige Funktion (x) zustrébt, wenn die Variable x vom Innern des Konvergenzkreises ausgehend in den Punkt co ausrückt und zwar einem Wege folgend, der die untenstehende Bedingung (10) befriedigt.

Ist r der Konvergenzradius, co = rei0 der Punkt auf der Peripherie des Konvergenzkreises, und setzt man

+ • • • + «,+f°’n+r - *„(■»),

(!)    *, “ a, + i<a"⁺    +

n+ 2

so ist es, weil die Reihe ^3(oo) konvergiert, für eine vorgegebene, willkürlich kleine aber von Null verschiedene positive Größe £ möglich eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n > N immer, für jedes p,

|s„l <£

(2)

wird; aus (1) erhält man weiter

n -t-r _

kann demnach wegen (3) auch folgendermaßen geschrieben werden

n,p

oder nach einer einfachen Umformung

(5)

(6)

GH¹-3 (*+*■£)

+ v(fP-

Setzt man demnach

CÛ — x    ,    ,    .    .    \

—-— = a (cos cp -j- t sm cp),

so ist p < 1, während cp den Winkel zwischen der geraden Linie xco und dem durch œ gehenden Radius des Konvergenzkreises bezeichnet; aus (6) erhält man unmittelbar

(?)

und das Restglied der Potenzreihe $ß(#)

4 = p

s=p

(4)

S-Ax) ~y]an ₊ ^n + ‘=2j«-,₊,a

n,p

4=1

= 1 — a cos cp — ia sin cp, p² = 1 — 2a cos cp + a²,

woraus wegen (2) und (5) folgt:

1^0)1 < Qn + 1( 1 + ? + P² + • • ■ + Qp~²) cce + £- pn+p oder nach Summation der geometrischen Reihe, indem p < 1 ist

(8)

-/-¹

• CCS + £

(9)

Aus der letzten Gleichung (7) erhält man nun weiter

«    ₌    1+ e .

i — q 2 cos cp — a ’ der Quotient a : (1 — p) kann somit niemals unendlich groß werden, wenn a seinem Grenzwerte Null zustrebt, wenn nur

lim inf J cos cp ! > 0

ist, oder was offenbar dasselbe ist

(10)

(H)

lim sup \cp\ <y •

Ist diese Bedingung (10) erfüllt, so hat man wegen (8)

*(*+!),

wo K eine endliche positive Zahl bedeutet.

Da die in JRnp(x) vorkommende ganze Zahl n als endlich anzu-

sehen ist, so kann man auch eine solche von Null verschiedene positive Größe 6 bestimmen, daß für |co — x\ < <? immer

s = n

¹

Journal für Mathematik Bd. 51; 1856. Abhandlungen aus der Funktionenlehre p. 220; 1886. Werke Bd. I, p. 185.

²

Annali di Matematica 1907.

³

Mathematische Annalen Bd. 25, p. 419 — 426; 1885. Sitzungsberichte

⁴

der Münchener Akademie Bd. 25, p. 337—364; 1895 Bd. 30, p. 37—100; 1900, Bd. 31, p. 505—524; 1901,

(12)

•s = 0

wird. Da nun offenbar

^(®) - ^0*0 = 2a*a‘ ~2asXS + R«,p(œ) ~ AJ*),

»• = 0

also auch

l?0) — $0*01 ^ 2a*ßf ~2a»X° + \En,p(œ)\ + \En,p(.X)\

6 = 0

sein muß, so hat man offenbar wegen (2), (11) und (12) für Ico —x | < (3 immer

|f(ra)-Sß(*)|<a(ir₊3)

und damit ist unser Satz bewiesen.

Den obenstehenden Beweis verdankt man Stolz¹): er hat jedoch den Satz nicht ganz genau formuliert, indem er fordert, daß diejenige Kurve, welcher x folgt um in den Punkt ra einzurücken, in diesem Punkte den Konvergenzkreis nicht berühren darf; diese Bedingung ist aus zwei Gründen unzulässig: 1. x kann dann keiner Kurve folgen, die in œ eine bestimmte Tangente nicht besitzt; 2. die Bedingung (10) braucht nicht erfüllt zu sein, wenn die obengenannte Kurve den Konvergenzkreis im Punkte tu nicht berührt.

Die Bedingung (10) tritt deutlich in einem von Pringsheim²) gegebenen Beweis unseres Satzes hervor; diese Bedingung sagt also aus, daß, wenn der Weg für x vorgeschrieben ist, es möglich sein muß, zwei kleine Sehnen durch tu zu ziehen, so daß der Weg in dem von diesen Sehnen gebildeten stumpfen Winkel vollständig gelegen ist.

Abel³) bewies nur denjenigen Spezialfall des Satzes I, in welchem x dem durch tu gehenden Radius des Konvergenzkreises folgt. Dieser Spezialfall ist später in anderer Weise von Dirichlet⁴) bewiesen worden.

1)    Zeitschrift für Math, und Physik Bd. 20, p. 370; 1875, Bd. 29, p. 127; 1884. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik Bd. II, p. 137.

2)    Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 27, p. 347ff. 1897.

3)    Journal für Mathematik Bd. I; 1826. Œuvres Bd. I, p. 229.

4)    Journal de Mathématiques (2) Bd. 7, p. 253—255; 1863. Werke Bd. II, p. 303—306.

§ 90. Satz von Frobenius.

Die erste Anwendung des Begriffes Summierbarkeit einer Reihe die wir überhaupt kennen, rührt von Frobenius¹) her und gibt eine interessante Verallgemeinerung des soeben bewiesenen Abelschen Satzes; wir wollen hier den Satz von Frobenius in ähnlicher Weise

verallgemeinern, wie es Stolz mit dem Abelschen getan hat:

I. Wenn die Potenzreihe ^(x) = £anxn für x=œ zivar nicht honvergiert, sondern summierbar mit der Mittelsumme s ist, so hat diese Potenzreihe den Konvergenzradius [o|, und die Mittelsumme s stellt denjenigen Funktionenwert dar, welchem $ß(#) zustrebt, wenn die Variabele x vom Innern des Konvergenzlvreises ausgehend in den Punkt co einrückt und zivar einem Wege folgend, der die Bedingung § 89, (10) befriedigt

Setzt man der Kürze halber

(1)

sn_₁ = a₀ + a₁co -f- a₂œ² + • • • + an-Wn

und bezeichnet e eine vorgegebene willkürlich kleine von Null verschiedene positive Größe, so ist es möglich eine solche positive ganze Zahl n zu bestimmen, daß, wenn

s0 ~f~ si ~t~ s2 H 4~ sn + k-1 _

n-\-k

gesetzt wird, für k = 0, 1, 2, 3, • • • immer

Kl <£

wird. Aus (2) erhält man weiter ohne Mühe

so + si +    + • • • + sn+k_₁ = (n -F k)s -f- (n -f- k)rk

so + si + Ss + ’ ' ' + Sn+k = (w + ft+l)s + (w-F&-j- l)rj und somit durch Subtraktion

= s + (» + k + l)rt+1 - (n + k)rk-in ganz ähnlicher Weise erhält man

= s + (n + k)rk -{n + k-1 )rk woraus wegen (1) und (4) folgt:

(⁵) an+kG>n+k = (n + k -f 1 )rk+x — 2(n + k)rk + (n 4- k - 1 )rk_v Die Potenzreihe

(2)

(3)

(4)

n = oo

71 = 00

s + rt

-1?

V* = '2anG)n' («>)”

muß datier dem Konvergenzsatze § 36, I zufolge für \x\ < |o| konvergieren; da aber $ß(ra) nicht konvergiert, so kann (x) für \x\ > |o| auch nicht diese Eigenschaft besitzen; der Konvergenzradius unserer Potenzreihe ist demnach genau gleich jco|.

Aus (1) findet man nun identisch

p = n+ k

2 VP = Sn    ⁺ 2aP XP + 2 a'n+pXn + P>

p-\

woraus unter Anwendung von (4) und (5) hervorgeht:

p = n + k

2*ap^ = s + (w + ³)~ nro +2%(xV ~ ^ +

(6)

p — 0

+^l(n+P + ²)rp

+i

2(n +p) rp + (n +p - 1) rp_J •

t p=i

Sucht man demnach in der letzten Summe rechter Hand den

jenigen Koeffizienten auf, mit welchem rp multipliziert vorkommt, so findet man für 2 <[ p <i Je — 1 den Ausdruck

{'S

rp(nJrV)(~)'*r-'

für p = 0, p = 1 bzw.

nr₀ •

(T²

n+ 1

und für p = Je 1, p = Je bzw. (n + Je + 1) rk

/x\n+k \ra/ ’

(n + Je) rk(l — 2

55 ! 3

71 -f* Je — 1

Nach diesen Erörterungen finden wir demnach wegen (6) den neuen Ausdruck:

CD

+ (n + k + l) rk+1 (I)

wo der Kürze halber

(8) O (.) - -V (»' - *■) + (» + !>, (l - g)²) —o (1 - (f )"⁺¹)

p = 0

gesetzt worden ist.

Setzt man nun wie im vorhergehenden Paragraphe

- = Q, co s

so ergibt sich für die Summe

¹

Journal für Mathematik Bd. 89, p. 262—264; 1880.

²

— ~ = a (cos cp + i sin <p) —

(9)

-zo+p)',-®

der Majorantwert

i Rn(x) I ^ u² *    + 1 • £ • x"¹ (w +i>) ^<a²f(l + 2p -f 3p² + 4p³ -f----)

p=i

oder was offenbar dasselbe ist

(10)

I -B. (*) I < « • (TZ^js = « ' (2^Ą. <

wo K endlich bleibt, wie groß auch Jo angenommen wird.

Da n eine endliche Zahl ist, so leuchtet ein, daß man a = 1 — j

so klein wählen kann, daß auch

\G(x)\<e

wird. Damit ist unser Satz aber bewiesen.

Holder¹) hat später eine ganze Reihe ähnlicher Sätze gegeben*, von späteren Arbeiten auf diesem Gebiete erwähnen wir z. B. diejenigen von Knopp²).

180. Es ist der Satz von Frobenius auf die Reihe 1- -f- x cos cp -{- X² cos 2cp -\- x³ cos 3 cp -f- • • • für x = 1 und cp 4= 2pit anzuwenden.

§ 91. Rechnen mit Potenzreihen.

Aus den Sätzen über Addition und Subtraktion unendlicher Reihen ergibt sich unmittelbar der Satz:

I. Die Summe einer begrenzten Zahl von Potenzreihen ist wieder eine Potenzreihe, und ihr Konvergenzradius ist mindestens dem kleinsten der ursprünglichen Konvergenzradien gleich.

Wenn ein einziger der Konvergenzradien der gegebenen Potenzreihen Meiner als die übrigen ist, so ist er genau Konvergenzradius der Summe; sonst kann es aber wohl eintreflfen, daß der Konvergenzradius der Summe größer wird als alle diejenigen der einzelnen Summanden; dies trifft z. B. für die Summe der beiden Potenzreihen

e*. —

1 A; - (è - 4** + (r ~l)* + (47 - 4** + • • • •

ein.

1)    Mathematische Annalen Bd. 20, p. 535—549; 1882.

2)    Doktordissertation Berlin 1907. Palermo Rendiconti Bd. 25; 1908.

In ganz ähnlicher Weise erhält man die Multiplikationsregel:

II. Das Produkt einer begrenzten Zahl von Potenzreihen ist wieder eine Potenzreihe und ihr Konvergenzradius ist mindestens dem kleinsten der ursprünglichen Konvergenzradien gleich.

Von den beiden Potenzreihen, die die Funktionen cosa:-(l— x) und ex • (1 — x)~x darstellen, hat die erste den Konvergenzradius oo, die zweite den Konvergenzradius 1; das Produkt ist aber eine beständig konvergente Potenzreihe.

Für die beiden Potenzreihen

n — 'S)

n — oo

(i)

n = 0

hat schon Cauchy¹) die Produktreihe

n = co

(2)

fix) g0) =2(a₀K + aiK-i +■■■■ + an_₁b₁ + anb₀) xw

n — 0

angegeben; aus dieser Multiplikationsregel (2) hat Abel seinen in § 43 entwickelten Satz IV hergeleitet. Es seien nämlich die beiden Reihen Kan und 2Jbn konvergent, dann ist dem Satze § 89, I zufolge

(3)

f{l) = Zan, g( =

und die Produktreihe (2) ist sicher für j#|<l konvergent; konvergiert nun auch diese Reihe für x = 1, so ist ihre Summe genau f(l)g(l), und damit ist der Satz bewiesen.

181. Für positive ganze n hat man das Produkt der beiden unendlichen Reihen

S = oo

n-\- s —

2(

zu entwickeln und dadurch die Summe der ersten dieser Reihen zu bestimmen.

182. Es ist die Formel

/ n = oo    \ 2

(2    )

n = oo

~²'S (ł+.i+i+-"+dn)

zu beweisen und zu diskutieren.

1) Analyse algébrique, p. 156; 1821.

§ 92. Über die Bestimmung des Konvergenzradius.

Da der Konvergenzradius einer Potenzreihe nur von den Koeffizienten der Reihe abhängt, so ist derselbe bestimmt, wenn diese Koeffizienten aufgegeben werden. Eine solche Bestimmung des Konvergenzradius von den Koeffizienten aus bietet aber so große Schwierigkeiten dar, daß wir diese Aufgabe noch keineswegs gelöst haben; ja wir dürfen wohl behaupten, daß wir noch nicht viel mehr wissen als Cauchy der die ersten Regeln zur Bestimmung des Konvergenzradius einer vorgelegten Potenzreihe angegeben hat.

Wir haben hier die beiden von Cauchy gegebenen Sätze in verallgemeinerter Form darzustellen:

I. Ist l lim sup der unendlichen Zahlenfolge

(i)

ax

V<h\> \ V<h\,    \V<*n\, •••,

so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe

(2)

(cc) = a₀ -f ax x + a₂ x² -f • • • -f- an xn + • • •

gleich' 1 : l.

Setzt man | x | < 1 voraus, so kann man | x | <1 1 : (A -f- d) annehmen, indem d eine willkürlich kleine von Null verschiedene positive Größe bezeichnet. Wählen wir demnach die andere positive Zahl d, sodaß 0 < dt < d ist, so ist es dem Satze § 14, II zufolge möglich eine solche positive ganze Zahl N zu bestimmen, daß für n~> N immer

(3) wird; dadurch erhält man aber für nf>N immer

<1,

! Van xn ! ^

und unsere Potenzreihe (2) ist daher dem Satze § 36, III zufolge sicher für | x j < 1 : X konvergent.

Ist andererseits | x | > 1 : A, so setze man | % |    1 : (A — â), wo

ö dieselbe Bedeutung wie vorher hat; wählt man demnach dt so, daß 0 < d₁ < d, so hat man dem Satze § 14, II zufolge für unzählige n

I.VÏI >*-».;

dadurch erhält man aber

V », *• ! >

>i;

X — d1 X — â

unsere Potenzreihe (2) kann daher für \x\^>l:X nicht konvergieren; denn unendlich viele ihrer Glieder wachsen ihren absoluten Beträgen nach über jede Grenze hinaus.

Die Potenzreihe ^3 (x) hat daher den Konvergenzradius 1 : L hervorgeht, und die Potenzreihe (2) ist demnach für x < 1 : L konvergent.

Nehmen wir andererseits \ x\ ^l \ (l — d) an, und ist 0 <    < d,

so hat man für n^>N

an + 1

und also ist auch

an + 1

>1,

«, ₊ i^ + 1

an

Ist die Zahlenfolge (1) eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, so hat die Potenzreihe (2) den Konyergenzradius 1 : A. In dieser spezielleren Form ist der Satz I worden.

von

Cauchy¹) gegeben

II. Bezeichnen L und l lim sup und lim inf der Zahlenfolge

<h\

«2

an + 1

«1 ’ \ «₂

so hann der Konvergenzradius der Potenzreihe (2) nicht größer als 1 : l und nicht Meiner als 1 : L sein.

Mit denselben Bezeichnungen wie vorher nehmen wir erstens j x !    1 : (L + d) an, und bestimmen wir die Zahl dlf so daß 0 <    < d

ist; dann hat man für ni>N immer

an

an + 1

an

<C L +

woraus

an ₊ læn + 1\

an +1

an

■X <

anxn

so daß die Potenzreihe (2) niemals für | x | > 1 : l konvergieren kann.

Der Satz II ist nicht von demselben Wert wie I, weil er keine Bestimmung des Konvergenzradius liefert außer wenn L = 1, also wenn die Zahlenfolge (4) eine Fundamentalreihe ist oder eigentlich divergiert; in diesem Falle haben wir speziell:

III. Ist die Zahlenfolge (4) eine Fundamentalreihe mit dem Grenzwerte A, so hat die Potenzreihe (2) den Konvergenzradius 1 : A.

Dieser Satz rührt von Cauchy²) her, während man Pincherle³) den allgemeineren Satz II verdankt.

Sind die beiden Zahlenfolgen (1) und (4) Fundamentalreiben, so müssen sie den Sätzen I und III zufolge denselben Grenzwert haben; diese Tatsache ist in der Cauchyschen Formel § 19, (13) enthalten, wenn man nur dort einsetzt.

Wir bemerken aber ausdrücklich, daß die Zahlenfolge (1) sehr wohl konvergieren kann ohne daß dies mit (4) der Fall ist, während (1) immer konvergieren muß, wenn (4) diese Eigenschaft besitzt.

Bedeutet z. B. d (n) die Anzahl der Divisoren in ca, so ist d (n) = 2, wenn n eine Primzahl bezeichnet; in diesem Falle ist

lim ] y 'dUÎS = 1,

n = oo    y

während das Verhalten der entsprechenden Zahlenfolge (4) ganz unbekannt ist; weil die Anzahl der Primzahlen unendlich groß, kann d(n) für beliebig große n den Wert 2 annehmen, für die Nachbarwerte aber vielleicht beliebig groß werden.

183.    Man hat den Konvergenzradius der Potenzreihe 2J bestimmen.

184.    Es ist der Grenzwert

xn

nlogn

zu

zu beweisen.

lim ]7A = 0

n = co Y VI !

Kapitel XXII.

Dirichletsche Reihen und Fakultätenreihen.

§ 93. Folgerungen aus den Sätzen von Abel, du Bois Reymond

und Dedekind.

Um gewisse andere Reihenformen mit veränderlichen Gliedern zu untersuchen haben wir vor allem einige Anwendungen der in den §§ 15, 39 gegebenen Sätze zu entwickeln.

Aus den Abelschen Sätzen § 15, I, II erhalten wir den folgenden:

I. Wenn die Zahlenfolge a₀ a₂ • • • an • • • eine monotone Fundamentalreihe ist, wenn außerdem die Reihe Efn(x) gleichmäßig konvergiert, indem x ein Kontinuum K durchläuft, so ist die Reihe 2J an fn (x) ebenfalls in K gleichmäßig konvergent.

Wir können uns offenbar auf denjenigen Fall beschränken, wo die an positiv sind; denn sonst hätten ja die — an diese Eigenschaft; setzen wir nun für p — 1, 2, 3, 4, ■ • •

Sp = fn + l 0) + fn + 2 0) + • • * + fn+p 0) = Ap + i Bp>

wo Ap und Bp reell sind, so ist sp das Restglied der gegebenen Reihe    es sei nun die gegebene Zahlenfolge monoton ab

nehmend, G'n und g'n obere und untere Grenze der Ap, G" und g" obere und untere Grenze der Bp, indem x das Kontinuum durchläuft; dann ergibt sich wegen § 15, (5), indem noch für jedes m

gesetzt worden ist,

fra 0») = «*, + * ßra

(1)

an + \9n ^ ^w + l^re + l "b an+2 an + 2 “b ’ ' * ^ an +1 ^n an+1g';£an+1ßn+1 + an+2ßn+2 + •••<: an+1

und damit ist unser Satz bewiesen, weil G’n und G" gleichmäßig gegen Null konvergieren, wenn n ohne Grenze wächst, und x das Kontinuum K durchläuft; denn das Restglied der Reihe 2Jan fn (x) ist ja

®n+p fan+p *b * ßn+p) ’

p = l

Ganz in derselben Weise wird der andere Fall, wo die an monoton wachsen, unter Zuhilfenahme von § 15, (8) behandelt.

Aus § 39, I ergibt sich der folgende Satz:

II. Wenn die Reihe mit konstanten Gliedern 2Jan konvergiert, wenn die Reihe mit positiven Gliedern 2 \fn(x) — fn+1(x)\ gleichmäßig konvergiert, indem x ein Kontinuum K durchläuft, und wenn schließlich f₀(x) endlich und bestimmt ist in diesem Kontinuum, so ist die Reihe 2Janfn(x) auch in K gleichmäßig konvergent.

Setzt man in der Tat für jedes m

so hat man für das Restglied R (2) den Ausdruck

n,p

der Reihe 2Jan fn (x) wegen § 39,

q=p-l

(2) Rn,p=(.Sn+pfn+p(x)-Snfn + 1(x)) +^Sn + q(fn + q(x) - fn + q + 1(x)).

Es sei nun A obere Grenze der positiven Zahlenfolge I so ! f ! si ! 7 I ⁵2 I >

dann ergibt sich

q = p-l

q—p — i

(3) R₁=-\^sn+q(fn+q~f

0*)r

2 = 1

Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.

18

aus den Voraussetzungen folgt dann unmittelbar, daß es möglich ist, eine solche positive ganze Zahl N± zu bestimmen, daß für n Nt immer

(4) wird. Aus der Identität

]£(fp - fp + l(X))=fo(X)-fn + l(z) p = 0

und der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe 2J | fn (x) — fn+1(%) schließt man, daß die Zahlenfolge

/*o0), fx(x), f₂(x),    ..., fn(x), ...

eine im Kontinuum K gleichmäßig konvergente Fundamentalreihe sein muß. Weiter hat man identisch

&)Sn+pfn + p(?)-Snfn + x(x) = (Sn+p-Sn)fn+p(x)+Sn(fn+p(x)-fn + x(x)y,

bedeutet daher G obere Grenze sämtlicher Zahlen    indem x

das Kontinuum K durchläuft, so hat man immer

1 (ßn+p Sn + l)fn+piX) I ^ ^ * I Sn+p    Sn + 1 l>

und es ist demnach möglich eine solche positive ganze Zahl N₂ zu bestimmen, daß für n    immer

(6)

I (*»+, ~ Sn)fn₊p(X) I < T

wird, welchen Wert von x im Kontinuum K man auch einsetzt. Endlich hat man, der Definition der Zahl A zufolge

Sn(fn+p(X) ~ fn + lO)) \£Ä'\ fn+p(X) ~ fn + lO) I »

und es ist demnach möglich die positive ganze Zahl JSfB so zu bestimmen, daß für n^Ns immer wird, indem x das Kontinuum K durchläuft.

Bedeutet nun N die größte der drei Zahlen Nx, V₂ und N₃, so ist demnach für n i> N immer

I -^n,p ! ^ £>

indem x das Kontinuum K durchläuft.

185. In wieweit gilt der Satz § 93, II, wenn die an auch im Kontinuum K Funktionen von x sind?

§ 94. Anwendungen auf gewisse speziellere Funktionentypen.

Setzt man in § 93, II f₀(x) = 1 und allgemein für n^> 1

fn(p) =

a (a -f- 1) ■ ■ • (a -j- n — 1)

x (pc -f- 1) • • • (x -}- n — 1)*

so ergibt eine einfache Ausrechnung

(1)

a (a 1) . • • (a. -j- n — 1) x {x -f- 1) • • • (x -j- n) ’

ist nun a = a' -f ia", x = u iv, und u a' -f d, wo d eine willkürlich kleine, aber von Null verschiedene positive Größe ist, so hat man erstens für positive ganze p> — u die Ungleichung

r„(« 0

• nia"

\x + P\^\u + P\^L\a’ + à + p\ und unter Zuhilfnahme der Zahlenfolge § 84, (2) a( a -f- 1) • • • (o: -J- n — 1)

+ ¹) •• •(«' + n~ 1) _ Ui(“)

woraus wegen (1) hervorgeht:

/»0*0 -

u (cc' ■■((*' + n—l) rn(cc')

‘ rw(«)

x (x + 1) • • • {x -f- n)

• nia",

und somit erhält man, indem k endlich ist:

(2) !/■„(*)-/Ud*)!<4-

a ' (a ' -f- 1) • • (ce ' -j- n — 1)

_ Fntl .

(«' + d)(«' + Hl) ••■(«' + * + »)|* rn(a) ’

nun ist aber auch

a ' (a ' -f- 1) • • • (a ' -j- n — 1)

rn(«' + S)

(a ' -j- â) (a ' -f- ô -f- 1) • • • (a ' -j- â -j- n)

W)

n -J- d -f- cc ' nl + à ’

woraus schließlich wegen (2) folgt:

\fn(p)    »

wo obere Grenze der Kn endlich ist; damit haben wir also den folgenden Satz bewiesen:

I. Konvergiert die Reihe 2J an, und ist a eine willkürliche endliche Zahl, die weder Null noch negativ ganz ist, so ist die Reihe

n = oo

(3)

u (a -f- 1) • • • (a -j- n — 1)

x (x -f-1) - - - (£c —(— n — 1)

n = 1

gleichmäßig konvergent, wenn 91 (x — a) > 0 ist, und x weder Null noch negativ ganz angenommen wird.

Ganz in derselben Weise finden wir den analogen Satz:

II. Konvergiert die Reihe £ an, und ist a eine willkürliche endliche Zahl, die jedoch weder Null noch negativ ganz sein darf, so konvergiert die Reihe

n = oo

(4)

«0 +]>j an '

x (x -f 1) • • • (x -j- n — 1)

71 = 1

cc (cc -f- 1) • • • (cc -)- n — 1)

gleichmäßig für alle endlichen x, die der Bedingung ïR(x — a) < 0 genügen.

In diesem Zusammenhang haben wir noch teilweise nach Jens en⁴) den folgenden speziellen Satz zu beweisen:

III. Konvergiert die Reihe £ an, und bezeichnet

^n) • ’ •

(5)

A₀, X1} X₂,

eine monoton wachsende divergente Zahlenfolge mit positiven Elementen, so konvergiert die Reihe

(6)

^    _L 'h _J_ . . . _L an I . . .

'l x I 3 x I n x I    i o x f

An    A-j    An

gleichmäßig für alle endlichen x, die der Bedingung 3î(æ;) > 0 genügen. Setzt man in der Tat x — a -f iß und

* K ¹

so hat man für jedes n

vn =

K’*“⁴ KVf

P = n- 1

p-n-l

X , Vn 1 a + iß    ja + ifi f

0    n + i

K₊x

und die beiden unendlichen Reihen £un und £ vn, von welchen die erste für a > 0 positive Glieder hat, sind somit für a > 0 konvergent. Weiter hat man

Vn

-fir)

— a — iß

Un

setzt man nun der Kürze halber

log

^n + l\ k

~ & (/ n

so hat man demnach auch

_e~Qn (« + *ß)

vs- = X-'ß-

oi    n

un

e ~Qn «_e ~Qn (« 4 iß)'

1 _ e~Qn«

woraus, falls a und qh beide positiv sind, folgt:

CO

Vn

<1 +

| 1 — e~i(!nP |

Un —

e^a —

1 =1 +

Es ist nun

¹ ~e ^Qn = ² sini ßQn . (sinip„/3 - i cos ±Qnß), und, da ß und Qn reell sind,

|1 —er*fi9n\ = |2sin|/3pJ<;pM- |/3|; dadurch ergibt sich aber wegen (7)

Kl < (i + ~)un-

(8)

Aus der Ungleichung (8) kann man aber noch wichtigere Resultate herleiten; erinnert man sich nämlich an die Gleichung x — a -{-iß, und bezeichnet b die obere Grenze von | ß |, a die untere Grenze der positiven Zahlen cc, so hat man wegen (8) für jedes n

I P— ⁰⁰

P — CG

P= GO

es ist aber

P = CG

2up

— < 1 n CC = o a

\ + l    **71 + 1

und somit erhalten wir schließlich

(9)

P — CG    p— CO

+

p — n + 1

womit unser Satz vollständig bewiesen ist.

186. Man hat die Entwicklung von Nicole¹) und Stirling²)

n= cg

1    1    a (cc -|- 1) • • • (« + n — 1)

x — cc x '    x(x -f- 1) • • • 0» + n)

ra = 1

herzuleiten, und zu beweisen, daß die Reihe rechter Hand für 9fî(# — cc) > 0 unbedingt und gleichmäßig konvergiert.

1)    Histoire de l’Académie (Paris) 1727, p. 257—268.

2)    Methodus differentialis. London 1730.

187. Es sind die beiden Formeln

i__ y

x-j-n

p~n

■ n

—' X(X+ !)• --{x+p)    \p) ’

■0’

n\

x+p

p = 0

wo n positiv ganz ist, zu beweisen.

188. Durch Transformation der einzelnen Glieder unter Zuhilfenahme der beiden, in der vorhergehenden Aufgabe entwickelten Formeln hat man zu untersuchen, ob man die eine der beiden in Aufgabe 122 betrachteten unendlichen Reihen in ganz formaler Weise aus der anderen herleiten kann.

§ 95. Diriehletsehe Reihen. Satz von Jensen.

Wenn die Koeffizienten an sämtlich von x unabhängig sind, und wenn die Zahlenfolge mit positiven Elementen

(1)

^0? ^1) ^2’    ‘ '•) ^n ’

monoton wachsend und divergent ist, so nennen wir die unendliche Reihe

(2)

D 0) =

fco

eine Diriehletsehe Reihe; über diese Reihenform gilt der Satz:

I. Der Konvergenzbereich der Dirichl et sehen Reihe D(x) ist der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der Form 9t (x) > X, wo ŹL eine reelle Zahl bezeichnet, bestimmten Halbebene, ln diesem Bereiche konvergiert die Reihe stets gleichmäßig.

Ist in der Tat D(u), wo a eine endliche Zahl bedeutet, konvergent, und nimmt man 9t(# — a) > 0 an, so hat man wegen (2)

n = oo

m-2 -i-

sy> — A    91

SR LP

-a ’

und unser Satz ist demnach eine unmittelbare Folge von § 94, III.

Ist X =— oo, so heißt die Reihe D(x) beständig konvergent, ist andererseits X = -f oo, so konvergiert unsere Reihe überhaupt nicht für endliche x.

Der Satz I (ohne die Gleichmäßigkeit der Konvergenz) rührt

von Jensen⁵) her, ist aber erst viel später durch eine Arbeit Cahen⁶), der ihn wiedergefunden hat, allgemein bekannt geworden.

von

Über die allgemeine Reihe (2) hat Jensen⁷) noch den folgenden Satz gefunden:

II. Der Bereich der absoluten Konvergenz der Beihe I)(x) ist der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der Form 91 (x) > X', wo X' eine reelle Zahl bezeichnet, bestimmten Halbebene.

Ist a wie vorher eine endliche Zahl, und ist D(a) unbedingt konvergent, so hat man für 91 (x — a) = pi> 0

\ ! . A

5“ I lP ’

*n I An

womit unser Satz bewiesen ist. Beispiel 1. Die Reihe

n = co

(4)

V C-i)"

konvergiert für 9Î (x) > 0 und zwar immer bedingt; es ist demnach für diese Reihe 2 = 0, X' = + oo.

Setzt man in (2) a₀ = 0 und Xn = n, so entsteht die zuerst, und zwar von Dedekind⁷) betrachtete Dirichletsche Reihe

(5)

« an    a

nx

®0) = ^ + ^+# ⁺ '" + J

über diese speziellere Reihe gilt der Satz:

III. Die Breite des Streifens der bedingten Konvergenz kann für eine Beihe ® (V) niemals die Einheit übersteigen, es ist demnach für diese Beihe stets

(6)

X' — X < 1.

Dieser Satz folgt unmittelbar aus dem anderen, der einleuch

tend ist:

IY. Ist a eine endliche Zahl, und sind sämtliche Glieder der Beihe £)(«) endlich, so ist die Beihe 5£)(V) sicher unbedingt konvergent für 97 (# — a) > 1.

Beispiel II. Für die Reihe, die Riemannsche Zetafunktion,

v. l . l . l . 1 . sW = pF + g* + 3* + 4* + * ' •

hat man A = A' = 1 ; diese Reihe kann demnach niemals bedingt konvergieren; denn sie konvergiert nicht für x = 1 -\-iß.

Beispiel 3. Für die Reihe

—---L _j_ JL

jx    <^x » ga?

(8)

— 4- — 4* ^ 5a

hat man A = 0, A' — 1.

Bei der Beantwortung der Frage über Konvergenz oder Nichtkonvergenz einer vorgelegten Dirichletschen Reihe braucht man nur reelle Werte von x in Betracht zu ziehen.

Über Dirichletsche Reihen vergleiche man noch die Abhandlung von Pringsheim⁸)-

189. Man hat die beiden Konvergenzbereiche derjenigen Reihe SD (x), für welche an = (— 1 )”_1 ist, außer wenn n eine Quadratzahl ist — in diesem Falle hat man an = 1 — zu bestimmen.

§ 96. Fakultätenreihen.

Sind die Koeffizienten an sämtlich von x unabhängig, so heißt die unendliche Reihe

n = oo

(i)

a0) - Fl

n \ an

x {x -{- 1) • • • (x -j- n)

n — 0

eine Fakultätenreihe erster Art; eine solche Reihe kann die Eigentümlichkeit darbieten, daß sie überall in einem Bereiche, der die Werte x = 0, — 1, — 2, • • • einschließt, außer natürlich in diesen Punkten, konvergieren kann.

Der Konvergenzbereich der Reihe kl (x) wird daher als derjenige Bereich aufgefaßt, in welchem diese andere Reihe

(2)

Sl (x)

n = oo

r(x)

-2

an

r(x -j- n -j- 1)

konvergiert.

Schon Jensen⁹) hat bemerkt, daß diese Reihen den Dirichletschen sehr ähnlich sind, indem er die beiden folgenden Sätze (ohne die gleichmäßige Konvergenz) ausgesprochen hat.

I. Der Konvergenzbereich der Fakultätenreihe Sl(x) ist die unendliche, durch eine Ungleichung von der Form 9î(æ) > A, wo A eine reelle Zahl bezeichnet, bestimmte Halbebene. In diesem Bereiche konvergiert die Reihe stets gleichmäßig (außer in den eventuell dort gelegenen Runhte x = 0, — 1, — 2, • • •).

II. Der Bereich der absoluten Konvergenz der Reihe £i(x) ist die unendliche, durch eine Ungleichung von der Form 9t(æ) > X', wo X' eine reelle Zahl bezeichnet, bestimmte Halbebene.

hat man

Ist a eine endliche Zahl, und konvergiert die Reihe £l(ci)

so

(3)

x (x -f- 1) • • • (x -j- n)

an

a (cc -f- 1) • • • (a -f- n)

a (a -f- 1) • • ■ (a -J- n) x (x -f-1) • • ■ (x + n) ’

und der Satz I ist eine unmittelbare Folge von § 94, I.

Um auch den Satz II zu beweisen, schreiben wir folgendermaßen die Formel (3):

__ U +1 (æ) _ __

a(a + l)---(a + n) rn + 1(u)    **-« ’

ist nun Sl{a) unbedingt konvergent, so hat die Reihe £i(x) dieselbe Eigenschaft, wenn 91 (x —a) ^ 0 ist.

Jensen bemerkt noch, daß auch die Binomialkoeffizientenreihe oder die Fakultätenreihe zweiter Art

(4)

n ! a,L

x (x 1) ■ . • (x 4- n)

71=00

71 = 00

(5)    93 (x) =^jan(X n ¹)= «0    <*n •

(x — 1) (x — 2) - • • (x — n)

71 = 1

wo die Koeffizienten an sämtlich von x unabhängig sein sollen, den Dirichletschen Reihen ähnlich sind, indem er auch die beiden folgenden Sätze (ohne die Gleichmäßigkeit der Konvergenz) ausgesprochen hat:

III. Der Konvergenzbereich der Binomialkoeffizientenreihe 93(æ) ist der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der Form 9t ix) > X, tvo X eine reelle Zahl bezeichnet, bestimmten Halbebene. In diesem Bereiche konvergiert die Reihe stets gleichmäßig.

wo

IV. Der Bereich der absoluten Konvergenz der Reihe Ü8(æ) ist der endliche Teil einer durch eine Ungleichung von der Form 9Î(^) > X', X' eine reelle Zahl bezeichnet, bestimmten Halbebene.

Ist a eine endliche Zahl, und konvergiert die Reihe 5B(a), so

hat man

(1 — x) (2 — x) • • • (n — x)

— o) (2 — a) ■ • ■ (n — a.)’

und unser Satz III ist eine unmittelbare Folge von § 94, II.

(6)

»*•

CU) =

«*•

/«-l\ G

l n ) ‘ (1

Aus (6) findet man weiter

(7)

«»

rn( i-«)    i

rn(i — x) n*-«>

und damit ist auch der Satz IY bewiesen.

Die Analogie der Dirichletschen Reihen *£)(%) und der beiden Arten von Fakultätenreihen Sl(x) und 33(a?) kann noch viel weiter verfolgt werden; erstens beweisen wir die Sätze:

Y. Wenn a eine endliche Zahl bedeutet, und die Glieder der Reihe Si(a) bzw. 33 (a) sämtlich endlich sind, so konvergiert die Reihe Sl(x) bzw. 33 (x) sicher unbedingt, wenn — a) > 1 angenommen wird.

YI. Die Breite des Streifens der bedingten Konvergenz kann für eine Reihe £l(x) oder 33 (x) niemals die Einheit übersteigen.

Diese beiden Sätze sind unmittelbare Folgen der Formeln (4) und (7). Zweitens beweisen wir den folgenden Satz von Landau¹):

YII. Die beiden Reihen

n = oo

n = oo

(8)

x (x -f-1) • • • (x -f- n)

sind gleichzeitig konvergent, und dasselbe gilt für das andere Reihenpaar

n — oo

n — oo

(9)

(- D”«,

nx

n = 1

Wir haben nur diesen Satz für reelle x zu beweisen; in diesem Falle leuchtet ein, daß die Reibe &(x) in (8) und diese andere

71=00

71 = 00

(10)

®2<»    (n + Vf    n* ' i¹ + w) +

n = 0

gleichzeitig konvergieren; denn der von Null verschiedene und stets endliche Faktor

ist monoton mit wachsendem w; weiter hat man

71 = 00

(w + lf

' fn+i(x),

n = 0

und somit ergibt sich wegen § 84, IY, daß die Reihen £l(x) und 3)(æ)

1) Sitzungsberichte der Münchener Akademie Bd. 36, p. 157 ff. 1906. In dieser Abhandlung beweist Landau Verallgemeinerungen der oben gegebenen von Jensen ausgesprochenen Sätze.

gleichzeitig konvergieren müssen; denn der von Null verschiedene und stets endliche Faktor Tn(x) bildet eine monotone Zahlenfolge. In ähnlicher Weise findet man

n = oo

¹

   Analyse algébrique, p. p. 143, 152; 1821.

²

   Analyse algébrique, p. 152; 1821.

³

   Lezioni sulla teoria délia funzioni analiticbe. Bologna 1899—1900.

⁴

Tidsskrift for Mathematik (5) Bd. 2, p. 70; 1884.

⁵

   Tidsskrift for Mathematik (5), Bd. 2, p. 70; 1884.

⁶

   Annales de FEcole Normale (3), Bd. 11, p. 85; 1894.

⁷

   In Diriehlet: Vorlesungen über Zahlentheorie.

⁸

   Mathematische Annalen Bd. 37, p. 38—60; 1890.

⁹

   Tidsskrift for Mathematik (5) Bd. 2, p. 71; 1884.

nx

rn{ t-xy

®(»)=>

n — 0

woraus die gleichzeitige Konvergens der beiden Reihen $8(æ) und ®₁(^r) unmittelbar folgt.

190. Es sind die Koeffizienten der Reihe

7l=oo n = 0

zu bestimmen, wenn die Funktion 33(x) gegeben ist, und man weiß, daß diese Reihenentwicklung möglich ist und konvergiert für 9d(V)    1.

191. Man hat die für 9d(;r)> 1 gültige Entwicklung

!-(% VCVMVMV)--

herzuleiten.

192. Unter welchen Bedingungen können zwei Fakultätenreihen erster Gattung dieselbe Funktion darstellen?

Anhang.

Weitere Übungsaufgaben.

193.    Es ist zu beweisen, daß immer eine rationale Zahl zwischen zwei verschiedenen irrationalen gelegen ist.

194.    Wie verhält sich die reelle Zahlenfolge aQax a₂ ■ • • an ■ • -, wenn ihre abgeleitete Menge endlich ist, und lim (an — an+1) = 0 für n — oo ist?

195. Wenn die reelle Zahlenfolge d₀ d₂ • • • dn ■ • • die beiden Bedingungen

lim sup dn < oo

n — oo

lim inf dn > 0

n = go

befriedigt, während die un sämtlich positiv sind, so sind die Reihen 2Jun und 2Jun ön gleichzeitig entweder beide konvergent oder beide divergent.

196. In wie weit gilt der Satz der vorhergehenden Aufgabe, wenn die Zahlenfolge d₀ dt d₂ • • • dn • • • komplex ist?

197.    Wenn die Reihe mit reellen Gliedern Eun konvergiert, so hat man die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz des unendlichen Produktes 77 (1 + un) anzugeben.

198.    Ist a eine primitive Wurzel der Gleichung vP = 1, p positiv ganz, und setzt man un = an • n~ ", wo co positiv ist, so konvergiert oder divergiert das unendliche Produkt 77 (1 + un), je nachdem p œ > 1 oder p a < 1 ist.

199.    Wenn die unendliche Reihe 2Jan unbedingt konvergiert, und wenn g<\%\ A 6r, wo G endlich und #>0 ist, vorausgesetzt wird, so ist das unendliche Produkt

71 = 00

7T —

11 14- xUn

n-0

immer gleichmäßig und unbedingt konvergent, außer vielleicht für x = 1.

a₂

-)>

wo die am und sämtlich positiv sind, immer konvergiert, wenn

lim sup > 1,

Ti — oo an

lim inf (ax • a₂ • • • aj > 0

n = oo angenommen wird.

203.

Sind die an und bn sämtlich positiv, so konvergiert der Kettenbruch, wenn die obere Grenze der Zahlenfolge b^ b₂ b₃ • • • bn • • • die Einheit nicht übersteigt, und wenn außerdem entweder die Zahlenfolge a₀ at a₂ ■ ■ • an ■ ■ ■ mit dem Grenzwerte 1 monoton abnimmt, oder wenn

lim sup an > 1

n — oo

200.

201.

202.

Anhang. — Weitere Übungsaufgaben.

285

Es ist zu beweisen, daß der reguläre Kettenbruch (a₀; al7 %,•*•), wo a₀= 1 und für n^> 1 immer

2 (2W — 1)

gesetzt wird, in solcher Weise oszilliert, daß er nur zwei endliche Werte mit der Differenz

annehmen kann.

Man hat den regulären Kettenbruch (aQ- a1} a₂, • • •), wo a₀= 0 und allgemein für positive ganze Stellenzeiger n 1

~n~ ’    n +1 ⁼ ^» + i)»(w_pa)

a2n

ist, zu untersuchen.

Es ist zu beweisen, daß der unendliche Kettenbruch

angenommen wird.

204.    Wenn U\an — an + 1\ konvergiert, und wenn 2Jun (x) im Kontinuum K gleichmäßig konvergiert, so ist U an un (x) auch in K gleichmäßig konvergent. Beispiele: Sätze § 39, I und § 93, I.

205.    Wenn 2\ an — an + 1 j konvergiert, wenn lim an = 0 für n = oo ist, und wenn außerdem U un (x) stets zwischen endlichen Grenzen oszilliert, wenn x das Kontinuum K durchläuft, so ist 2Jan un (x) in K gleichmäßig konvergent. Beispiele: Satz von Malmstén § 85, I und Satz § 39, II.

206.    Wrenn 2J an zwischen endlichen Grenzen oszilliert, und wenn, indem x das Kontinuum K durchläuft, w₀ (x) endlich und bestimmt, lim un (x) = 0 für n — oo ist, und die Reihe 2\un(x)—ww + 1(ir)j gleichmäßig konvergiert, so ist 2anun(x) auch in K gleichmäßig konvergent. Beispiel: Satz § 39, II.

207.    Wenn 2 | an [ konvergiert, und wenn 2un(x) im Kontinuum K gleichmäßig konvergiert, so ist die entsprechende Cauchysche Produktreihe auch in K gleichmäßig konvergent.

208.    Wir setzen die beiden Reihen 2 an un (x) und 2bnvn(x) im Kontinuum K als konvergent voraus und bezeichnen für alle n durch gn und g'n obere Grenze in K von j un (x) | und

n-fl :

I vo ([x)    (#) H-----k vn (x) ! ; wenn dann die Reihe 2 \ bn — b

konvergiert, wenn

2iaPb

lim

⁰⁰ p = 0

ist, und wenn außerdem die oberen Grenzen G und G' der aus gn und gn gebildeten Zahlenfolgen endlich sind, alsdann dürfen 2 an un (x) und 2 bn vn (x) überall in K nach der Cauchyschen Regel multipliziert werden. Beispiele: Sätze § 86, I, II.

209. Wenn mit den Voraussetzungen in der vorhergehenden Aufgabe die beiden zu multiplizierenden Reihen 2anun(x) und 2bnvn(x) in K gleichmäßig konvergieren, so ist die Produktreihe ebenfalls in K gleichmäßig konvergent.

210. Wenn a endlich ist, und die Dirichletsche Reihe D (a) oder die Fakultätenreihe ß (a) oder die Binomialkoeffizientenreihe 93 («) zwischen endlichen Grenzen oszilliert, so konvergiert die entsprechende Reihe D{x), & (cc) oder 93 (x), wenn nur 91 (x — «)> 0 vorausgesetzt wird.

Zusätze und Berichtigungen.

(! — *)&

anstatt n >

(1-e) a

(Ï — a) s

Seite 4, Formel (9) steht n >

Seite 12, § 5, I steht hn+p>K Seite 51 unmittelbar nach Formel (4) steht (^rqyp) anstatt

Seite 109. Die Herleitung der Formel (3) ist im Texte etwas zu kurz skizziert:

Setzt man

n+p

anstatt l

n+p

>K

n+p ‘

ai sl ~t~ (as — a2) s2 4~ • • • ~ł~ (an — an -l) sn -1

an

so hat man der Identität sp — sp_₁ — up wegen

a2 u2 ~f~ as us ~t~ • • ' ~l~ an-iun-i

An

n

an

F Sn-1J

Anhang. — Zusätze und Berichtigungen, und demnach findet man

ai -f oä tt₈ -|-----an un

Sn-1 + Un A

,an

woraus die Formel (3) unmittelbar hervorgebt.

Seite 172. Zur Formel (18): Setzt man an = n, wo n keine Quadratzahl sein darf, aber ani = n, so hat man

an

An

lim | Yan | = 1, lim sup

an+1

n = oo

n = oo

an

oo, lim inf

+l

0.

n — oo

Seite 272, § 92 Schluß; man vergleiche die vorhergehende Bemerkung.

Seite 275, Formel (2). Die im Texte nicht näher definierte Zahl Tc hat die folgende Bedeutung:

Jc =

(« + *)(«+* +!)••• (a-M+g-l)

x(x -f- 1) • • • {x -\-p —1)

BIBLIOTEKA POUTECHOZîy

KRAKÓW

Druck von B. G. Teubner in Leipzig.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

H. Jt 14.-

Nielsen, Dr. Niels, Dozent der reinen Mathematik an der Universität Kopenhagen, Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen. [XIV u. 408 S.] gr. 8. 1904. Geh.

Der erste Teil gibt, größtenteils nach früheren Arbeiten des Verfassers, die systematische Theorie der Zylinderfunktionen, welche als Lösungen zweier Fundamentalgleichungen definiert werden, und einiger aUgemeineren Funktionen, die späterhin von großer Bedeutung werden. Außer den gewöhnlichen Zylinderfunktionen der ersten und zweiten Art /»’ (x) und yv (x) werden noch zwei Funktionen der dritten Art, nämlich II^ (x) — jr (x) -j- i Yv (x) und HJ' (x) — Jv (x) — i Yv (x), eingeführt. — Der zweite Teil gibt eine neue, bisher noch nicht publizierte Theorie der bestimmten Integrale mit Zylinderfunktionen. Die altbekannten Resultate werden, nebst vielen anderen, durch allgemeine Methoden, in welchen die AT-Funktionen eine wichtige Rolle spielen, hergeleitet. Zahlreiche asymptotische Reihen werden entwickelt ; u. a. wird der merkwürdige Satz bewiesen, daß die Quadratsumme (/>’ (x))² -j- ( Y¹' (a;))² in der ganzen unendlichen x-Ebene, außer in x — 0, einen endlichen Wert hat; für r — + 1 gewinnt man dadurch die altbekannte Identität cos² x -j- sin² x — 1 als einfachsten Fall. — Der dritte Teil entwickelt, nach früheren Arbeiten des Verfassers, eine Theorie der Entwicklungen analytischer Funktionen in Reihen, die nach Zylinderfunktionen fortschreiten, d. h. Reumann sehe und Kapteynsche Reihen und verschiedene andere.—Der Vierte Teil behandelt die Darstellung willkürlicher Funktionen durch Zylinderfunktionen, d. h. Reihen von Schlömilch und Fourier nach Dini und Integrale von Neumann und Hankel. Nach früheren Arbeiten des Verfassers wird hier gezeigt, daß die Schlömilchschen Reihen sämtlich Nullentwieklungen gestatten. — Der Theorie folgen ein Anhang mit Hilfsformeln und Zusätze und ein ausführliches Literaturverzeichnis über Theorie und Anwendungen der Zylinderfunktionen.

Handbuch der Theorie der Gammafunktion. [Xu. 326 S.]

, gr. 8. 1906. In Leinwand geb.

n. Jt. 12 . —

Dies Handbuch versucht eine Gesamtdarstellung der bis jetzt bekannten Eigenschaften und Anwendungen der Gammafunktion und verwandter Funktionen, in strenger und doch möglichst elementarer Form zu liefern.

Der erste Teil des Buches gibt, ohne Zuhilfenahme bestimmter Integrale, sondern ausschließlich durch Anwendung der Theorie analytischer Funktionen, eine elementare Entwicklung der Eigenschaften von T (x) und verwandter Funktionen, indem 1 ' (x) mittels seiner Differenzengleichung definiert wird.

Im zweiten Teile wird eine ziemlich vollständige Theorie der beiden Eulerschen und der durch Gammafunktionen ausdrückbaren bestimmten Integrale sowie ihrer

i, : .    r

Integrale

Anwendung zur Herleitung der Reihen von Stirling, Kummer und Lerch gegeben; ebenso werden die beiden Mellinschen Umkehrprobleme und ihre Anwendung auf gewisse Funktionengattungen behandelt.

Der dritte und letzte Teil untersucht die reziproken Gammafunktionen als Entwicklungsfunktionen durch eine Darstellung der von Schlömilch, Jensen, Pincherle und vom Verfasser ausgebildeten Theorie der Fakultätenreihen; hier findet sich wohl zum ersten Male eine Würdigung der Methoden, die Stirling über solche Reihen angedeutet hat.

Das Buch enthält endlich ein möglichst vollständiges Verzeichnis der reichen Literatur über die behandelten Theorien.

- Theorie des Integrallogarithmus und verwandter

Transzendenten. [VI u. 106 S.] gr. 8. 1906. Geh. n. Jt 3.60.

Das Buch versucht eine systematische Untersuchung des Integrallogarithmus, dem seit dem Erscheinen der Bücher von L. Mascheroni (1796) und J. Soldner (1809) des verflossenen Jahrhunderts wohl zahlreiche Abhandlungen, aber kein zusammenfassendes Buch gewidmet ist. Als Ausgangspunkt der Betrachtung ist die Schlömilchsche Bemerkung genommen, daß der IntegraUogarithmus und die Krampsche Transzendente als Spezialfälle in der später als Prymsche Q-Funktion bezeichneten Transzendenten enthalten sind. Es ist so gelungen, die schon bekannten, sowie verschiedene neue Eigenschaften des Integrallogarithmus in systematischer Weise herzuleiten.

Badnnann, Professor Dr. Paul, in Weimar, Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen. [Xu. 151 S.] gr. 8. 1892. Geh.

n. Jt. 4.—

Cesàro, Dr. Ernesto, weil. Professor an der Kgl. Universität Neapel, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung. Mit zahlreichen Übungsbeispielen. Nach einem Manuskript des Verfassers deutsch herausgegeben von Dr. G. Kowalewski, Professor an der Universität Bonn. Mit 97 Figuren im Text. [IV u. 894 S.] gr. 8. 1904. In Leinwand geb. n. Jt 15.—-

Niels Nielsen, Lehrbuch der unendlichen Reihen.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

von Dantscher, Dr. Victor, Professor an der Universität Graz, Vorlesungen über die Weierstraßsche Theorie der irrationalen Żabien. [VI u. 79 S.] gr 8. 1908. Geh. n. Jt. 2.80, in Leinwand

n. 1 3.40.

Der Verfasser hat sich entschlossen, seine an der Grazer Universität wiederholt gehaltenen Vorlesungen über die We iers trafi sehe Theorie der irrationalen Zahlen zu veröffentlichen, um den Studierenden Gelegenheit zu geben, auch diese Theorie, die in den Lehrbüchern meist nur andeutungsweise berücksichtigt wird, genauer kennen zu lernen.

Das Fundament bildet die Lehre von den additiven Aggregaten aus unendlich vielen positiven rationalen Zahlen, deren Einführung durch das Verfahren der Wurzelaus-ziehung nahe gelegt wird. Die Hauptrolle spielt dabei die Entwicklung der Gleichheits-orklärung; aus ihr ergibt sich naturgemäß die Unterscheidung zwischen konvergenten und divergenten additiven Aggregaten; auf die er Steren werden die vier Bechnungs-operationen im Gebiete der rationalen Zahlen ausgedehnt und gezeigt, daß es konv.-addit. Aggregate gibt, deren Rte Potenz zwar nicht identisch sein kann mit einer vorgegebenen rationalen Zahl (welche nicht selbst Rte Potenz einer solchen ist), ihr aber doch nach der aufgestellten Gleichheitserklärung gleich ist, so wie der periodische Dezimalbruch 0.9 = 1 ist.

Die Ausdehnung der Theorie auf addit. Aggregate, deren Glieder nicht mehr pos. rat. Zahlen sind, vollzieht sich ohne Schwierigkeit.

Den Schluß bildet die Untersuchung der multiplikativen Aggregate, welche nach Weierstraß durch additive erklärt werden.

GenoceM, Dr. jur. Angelo, weiland Professor an der Universität Turin, Differentialrechnung undGrundzüge der Integralrechnung, herausgegeben von Giuseppe Peano. Autorisierte deutsche Übersetzung von Professor Dr. G. Bohlmann in Berlin und A. Schepp, weiland Oberleutnant a. D. in Wiesbaden. Mit einem Vorwort von Dr. A. Mayer, Professor an der Universität Leipzig. [VII u. 399 S.] gr. 8.    1899. In Leinwand geb.

Lagrange, Joseph Louis, mathematische Elementar-Vorlesungen. Deutsch von Dr. H. Niedermüller, weil. Oberlehrer am Nikolaigymnasium zu Leipzig. [IVu. 116 S.] gr. 8. 1880. Geh. tl.JC. 2.40. Reichel, Geheimer Regierungsrat, Dr. Otto, Professor an der Kgl. Landwirtschaftlichen Hochschule zu Berlin, Vorstufen der höheren Analysis und analytischen Geometrie. Mit 30 Figuren im Text. [X u. 111 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb.

In vorliegender Arbeit ist jegliche der natürlichen Zahlenreihe nicht angehörende Art von Zahl aufgefaßt als rein „formales“ Gebilde, d. h. als eine ZeichenzusammensteUung, welcher nach den bis zu ihrem ersten Auftreten hin gegebenen Erklärungen keine Zahl mehr entspricht, obschon sie in einer Form erscheint, wie wenn sie eine Zahl bedeutete; auf die in diesem Sinne ausgeführte Festsetzung dos Begriffs folgt dann die Festsetzung des Gebrauchs. Als Kichtschnur gilt dabei, daß der Gebrauch der neuen Zahlart sich demjenigen der älteren Zahlarten nach Möglichkeit anzupassen hat. Insbesondere für das Irrationale ist von diesem Gesichtspunkt aus eine strenge Theorie entwickelt; diese wird dann in eine Beziehung zur Lehre von den Vektoren gebracht und benutzt, um die für viele Studierende einmal vorhandene Kluft zwischen niederer und höherer Mathematik in möglichst befriedigender Weise zu überbrücken; wobei noch hervorzuheben ist, daß dem Leser gewisse ermüdende Betrachtungen der sogenannten algebraischen Analysis (die besser durch die kürzeren Methoden der höheren Analysis zu ersetzen bleiben) erspart werden konnten.

Schoenflies, Dr. Arthur, Professor an der Universität Königsberg i. Pr., die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. 2 Teile.

I. Teil. A. u. d. T.: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. VIII, 2. Mit Figuren im Text. [VI u. 251 S.]

n. Jt 8 . —

A. u. d. T.: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, der Ergänzungsbände. II. Band. Mit 26 Figuren im Text. [X u. 431 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. Jt. 12.—

Vorstehender Bericht über die Mengenlehre enthält in seinem ersten Teile in 3 Abschnitten: 1. Die allgemeine Theorie der unendlichen Mengen. 2. Die Theorie der Punktmengen.

3. Anwendungen auf Funktionen reeller Variabler. Dabei nimmt in den beiden ersten Ab-

geb.

n.

Jt. 12.—

n. Jt. 2.40.

gr. 8. 1900. Geh.

H. „

Verlag von B. G Teubner in Leipzig und Berlin.

schnitten die Darstellung die Form eines Lehrbuches an, weil der Verfasser nur so hoffen konnte, bei einem in seinen Einzelheiten noch wenig gekannten Gebiete, sich in den Teilen, die die Anwendungen enthalten, knapper und doch verständlich aus drücken zu können.

Der zweite Teil ist vorzugsweise den geometrischen Anwendungen gewidmet. Insbesondere hat hier derjenige Teil, der im Mittelpunkt der Analysis situs steht, und in dem die geometrisch invarianten Eigenschaften der geometrischen Gebilde zum Ausdruck kommen, eine zusammenhängende Darstellung erfahren. Außerdem enthält dieser Teil Nachträge zum ersten Teil. Im übrigen ergibt sich der Inhalt aus folgenden Kapitelüberschriften: 1. Allgemeine Mengensätze. 2. Die geordneten Mengen. 3. Punktmengensätze. 4. Die gestaltlichen Grundbegriffe. 5. Die geometrischen Invarianten der Analysis situs. 6. Die stetige Kurve. 7. Die Kurvenmengen und der Funktionalraum.

Schröder, Dr. E., weiland Professor an der Technischen Hochschule zu Karlsruhe, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für Lehrer und Studierende.

I. Band: Die sieben algebraischen Operationen. [X u. 360 S.] gr. 8. 1873. Geh.

- der Operationskreis des Logikkalkuls. [VI u. 37 S.]

n. Jt. 1.50.

gr. 8.    1877. Geh.

- Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte

Logik). 3 Bände.

I. Band. Mit vielen Figuren im Text. [XII u. 717 S.] gr. 8.

1890. Geh.

n. Jl. 16.—

II.

II.

1.    Abteilung. Mit vielen Figuren im Text. [XV u. 400 S.] gr. 8. 1891. Geh.

2.    Abteilung. Herausgegeben im Aufträge der Deutschen Mathematik er-Vereinigung von Dr. E. Müller, Professor an der Oberrealschule zu Konstanz. Mit einem Bildnis

n. Jl. 12.—

E. Schröders nnd Figuren im Text. [XXIX u. 206 S.]

gr. 8.    1905. Geh.

n. Jl. 8 . —

III.

III.

A. u. d. T.: Algebra und Logik der Relative. Mit vielen Figuren im Text. In 2 Abteilungen I. Abteilung. [VIII u. 649 S.] gr. 8. 1895. Geh.

II. Abteilung (Schluß). (In Vorbereitung.)

n. Jl. 16.—

n. Jl 3.60.

Simon, Dr. Max, Professor am Lyceum und Honorarprofessor an der Universität Straßburg i. E., Methodik der elementaren Arithmetik in Verbindung mit algebraischer Analysis. Mit 9 Textfiguren. [VI u. 108 S.] gr. 8.    1906. Geb.

Die vorliegende Schrift bezweckt, den Studierenden die Ziele des arithmetisch-algebraischen Unterrichts der neunklassigen höheren Schulen zu zeigen und sie anzuleiten, den zusammenfassenden Überblick auf der obersten Stufe methodisch zu geben. — Die Schrift zerfäUt in zwei nebeneinander herlaufende Teile: die Entwicklung des Zahlbegriffs vom Zählen an bis zu den komplexen Zahlen und die Auflösung der algebraisch auflösbaren Gleichungen. Der Begründung des Begriffs und der Bechnungsregeln der Irrationalzahlen ist besondere Sorgfalt gewidmet, der Verfasser hat sich dabei wesentlich an die Georg Cantorsehe Methode gehalten, weil sie s. E. wesentliche Vorzüge vor der Dedekindschen und Weierstraß sehen besitzt. Eine geringfügige Modifikation ist durch die Auffassung des Verfassers vom Grenzbegriff als einer Kategorie, d. h. eines irreduzibeln Grundvermögens der Vernunft bedingt. Die ganze Entwicklung wird beherrscht von der Ausbildung des Eunktionsbegriffs, dessen zentrale Stellung im Unterricht der Verfasser schon seit mehr als 20 Jahren betont hat.

n. Jl. — . 80.

Stolz, Dr. 0., weil. Professor an der Universität Innsbruck, Größen und Zahlen. Rede bei Gelegenheit der feierlichen Kundmachung der gelösten Preisaufgaben am 2. März 1891 zu Innsbruck gehalten. [30 S.] gr. 8. 1891. Geh.

Stolz, Dr. 0., und Dr. J. A. Gmeiner, Professor an der Universität Innsbruck, theoretische Arithmetik. 2. umgearbeitete Auflage ausgewählter Abschnitte der „Vorlesungen über allgemeine Arithmetik“ von 0. Stolz. [IX u. 402 S.] gr. 8. 1902. In Leinw. geb. n. Jt. 10.60.

ver

Vorstehendes Buch ist die Neubearbeitung ausgewählter Abschnitte der „Vorlesungen über allgemeine Arithmetik“ von O. Stolz, die der „theoretischen Arithmetik“ angehören, wobei unter diesem Namen von den Verfassern die Lehren von den reellen und von den gemeinen komplexen Zahlen in Verbindung mit dem Nachweise,, daß es außer den genannten keine Zahlen gibt, mit denen nach denselben Kegeln gerechnet werden kann, wie mit den reellen Zahlen, standen werden.

n. Jt. 20.—

Veronese, Dr. Giuseppe, Professor an der Universität Padua, Grundzüge derGeometrie von mehrerenDimensionenundmehreren Arten geradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt. Mit Genehmigung des Verfassers nach einer neuen Bearbeitung des Originals übersetzt von A. Schepp, weiland Oberleutnant a. D. in Wiesbaden. Mit zahlreichen Figuren im Text. [XLVII u. 710 S.] gr. 8. 1894. Geh.

Vivanti, Dr. G., Professor an der Universität Messina, Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen. Umarbeitung unter Mitwirkung des Verfassers deutsch hrgb. von Dr. A. Gutzmer, Professor an der Universität Halle a. S.    [VI u. 512 S.] gr. 8.

1906. In Leinwand geb.

n. Jt. 12.—

Der Verfasser hat, einer Anregung des Herausgebers folgend, für die deutsche Ausgabe seiner 1901 erschienenen „Teoria delle funzioni analitiehe“ nicht nur die beiden ersten Teile — Elemente der Mengenlehre und Allgemeine Theorie der analytischen Eunktionen — mehr oder weniger großen Änderungen und Ergänzungen unterworfen, sondern insbesondere den dritten Teil — Ergänzungen zur Theorie der analytischen Funktionen — fast ganz neu gefaßt. So ist z. B. die neuere Theorie der ganzen Funktionen zu einer wahren Monographie des Gebietes geworden, in der die Ergebnisse der neuesten Untersuchungen systematisch und einheitlich entwickelt werden. Ebenso ist die Literatur ergänzt und die Bibliographie der Mengenlehre eingefügt worden. — Das große Interesse, das sich an die neueren funktionentheoretischen Untersuchungen, insbesondere über die ganzen Funktionen, knüpft, läßt hoffen, daß die vorliegende deutsche Umarbeitung den Kreisen der Mathematiker nicht unwillkommen sein werde.

n. Jt. 9.60.

Weber, Dr. Heinrich., u. Dr. Joseph Wellstein, Professoren an der Universität Straßburg i. Eis., Encyklopädie der Elementar-Mathe-matik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. In 3 Bänden, gr. 8. I. Band. Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von Heinrich Weber. 2. Auflage. Mit 38 Textfiguren. [XVHI u. 539 S.] 1906. In Leinwand geb.

II.

HI.

Elemente der Geometrie. Bearbeitet von Heinrich Weber, Joseph Wellstein und Walther Jacobsthal. 2. Auflage. Mit 251 Textfig. [XII u. 596 S.] 1907. In Leinw. geb. n. JL 12.— AngewandteElementar-Mathematik. Bearbeitet von Heinrich Weber, Joseph Wellstein und Bud. H. Weber (Heidelberg). Mit 358 Fig. im Text. [XIII u. 666 S.] 1907. In Leinwand

geb.

n. Ji. 14.—

Das vorliegende Werk wendet sich in erster Linie an die gegenwärtigen und künftigen Lehrer an höheren Schulen, an die Studierenden der Mathematik unserer Hochschulen. Es beansprucht nicht, wie die große Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, das Material allseitig zu erschöpfen, nach der historischen und literarischen Seite hin vollständigen Aufschluß zu geben. Es will eine Verbindung herstellen zwischen der höheren Mathematik und der Mathematik der Schule, indem es einerseits dem Studierenden ein Führer ist, wo er der Auffrischung und Ergänzung früher erworbener Kenntnisse bedarf, andererseits dem Lehrer ein Wegweiser, um das im Studium der höheren Mathematik Erworbene der Vertiefung und Bereicherung des Unterrichts nutzbar zu machen. Besonderes Gewicht ist auf die wissenschaftliche Ausgestaltung der allgemeinen Grundlagen gelegt.

Verlag von B. G. TEUBNER in LEIPZIG und BERLIN.

Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften

mit Einschluß ihrer Anwendungen.

Herausgegeben im Aufträge der

Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien,

sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen.

In 7 Bänden zu je 6—8 Heften, gr. 8. Geheftet und in Halbfranz geb.

Bisher erschienen:

in Halbfranz geb. # 22. —

t. Arithmetik und Algebra, 2 Teile, red. von W. Frz. Meyer.

I. Teil. [XXXVIII u. 554 S.]    1898 — 1904.

Geh. # 17. —, in Halbfrz. geb. #. 20.— n. Teil. [X u. S. 555—1197] 1900—1901. Geh. ü,H. 19.

II. Analysis, 2 Teile, red. von H. Burkhardt und W. Wirtinger.

I. Teil.    Heft:    1.    [160    S.]    1899.    # 4.80;

2/8. [240 S.] 1900. # 7.50; 4. [160 S.] 1900. # 4.80; 5. [199 S.] 1904. #6.

6. [57 S.] 1906. # 1.60.

JX Teil Heft: 1. [175 S.] 1901. # 5.20. III. Geometrie, 3 Teile, red. von W. Frz. Meyer.

I. Teil. Heft: 1. [220 S.] 1907. # 6.40.

2. [168 S.]    1907. # 5.—

II. Teil.    Heft:    1.    [160    S.]    1903.    # 4.80;

2. [96 S.] 1904. #. 2.80; 3. [199 S.] 1906. # 5.60.

III. Toü.    Heft:    1.    [183    S.]    1902.    #5.40;

2/8. [256 S.] 1903. # 6.80.

IV. Mechanik, 4 Teilbände, red. von F. Klein und C. H. Müller.

I. Teilband (IV, 1, 1) [XVI u. 691 S.] 1901— 1908. Geh. # 20.40, in Halbfranz geb. #. 24.—

II. Teilband (IV, 1, 2) Heft: 1. [152 S.]    1904.

# 4.40

III.    Teilband (IV, 2, 1) [XI u. 493 S.]    1901—

1908. Geh. #. 17.60, in Halbfranz geb. # 20.60.

IV.    Teilband (HI, 2, 2) Heft: 1. [124 S.] 1907.

#. 3.60. 2. [186 S.] 1907. .#5.20.

V. Physik, 3 Teile, red. von A. Sommerfeld.

I. Teil- Heft: 1.    [160 S.]    1903.    .#4.80;

2. [159 S.] 1905. #4.80; 3. [172 S.] 1906. #5 20; 4. [121 S.] 1907. #3.60. II. Teil. Heft: 1.    [280 S.]    1904.    # 8

2. [104 S.] 1907. # 3.—

VI. 1 : Geodäsie und Geophysik, 2 Teilbändo, red. von Ph. Furtwängler und E. Wiechert.

Heft: 1.    [116 S.] 1906. #. 3.40.

2. [127 S.] 1907. #3.60.

VI. 2: Astronomie, red. von K. Schwarzschild.

Heft: 1.    [193 S.]    1905.    # 5.80.

2. [139 S.] 1908. # 4.—

In Vorbereitung:

vn. Geschichte, Philosophie, Didaktik. [In Vorbereitung.]

Encyclopédie des sciences mathématiques

pures et appliquées.

Publiée sous les auspices des Académies des sciences

de Göttingue, de Leipzig, de Munich et de Vienne

avec la collaboration de nombreux savants.

Édition française,

rédigée et publiée d’après l’édition allemande sous la direction de Jules Molk, professeur à L’université de Nancy.

En sept tomes, gr. 8. Geheftet.

VOl. II,

Tome I:

Paru: Tome I: VOl. I, fase. I. [160 pag.] 1904. J! 4.— faSC. II. [167 pag.] 1907. A. 4.20. fase. III. [158 S.]    1908. A 5.—

faSC. I. [237 pag.] 1907. A. 6.80. Tome I: VOl. III, faSC. I. [96 pag.] 1906. A. 2.40. faSC. II. [96 pag.] 1908. A 2.40. Tome I: VOl. IV, faSC. I. [160 pag.] 1906. A. 4.—

Durch die günstige Aufnahme veranlaßt, welche die deutsche Ausgabe dieses monumentalen Werkes in Fachkreisen gefunden bat, und auf vielfache Anregungen hat sich die Verlagsbuchhandlung entschlossen, die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften in Gemeinschaft mit der Firma Gauthier-Villars in Paris auch in ' französischer Sprache erscheinen zu lassen. Das Werk wird, wie schon die erste Lieferung zeigt, seitens der deutschen Bearbeiter viele Änderungen und Zusätze erfahren, und auch die französischen Mitarbeiter, sämtlich Autoritäten auf ihren Gebieten, haben eine gründliche Umarbeitung vorgenommen. Zum ersten Male dürfte somit wohl hier der Fall eingetreten sein, daß sich bei einem so großen Werke die ersten deutschen und französischen Fachgelehrten zu gemeinsamer Arbeit verbunden haben.

VERLAG VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG UND BERLIN.

Repertorium der höheren Mathematik (Definitionen, Formeln, Theoreme,

Literaturnachweise) von Ernst Pascal, ord. Professor au der Universität Pavia. Autorisierte deutsche Ausgabe von weil. A. Sch epp in Wiesbaden.

Auflage. In 2 Teilen. Analysis und Geometrie. I. Teil: Die Analysis. Herausgegeben von P. Epstein, (ca. 700 S.] gr. 8. 1909. In Lnwd. geb. ca. n. JC 12.— [Erscheint im Januar 1909.] II. Teil: Die Geometrie. Herausgegeben von H. E. Timerding, [ca. 800 S.] gr. 8.    1909. In Lnwd. geb. ca. n. JC. 14.— (Erscheint Ostern 1909.]

Der Zweck des Buches ist, auf einem möglichst kleinen Kaum die wichtigsten Theorien der neueren Mathematik zu vereinigen, von jeder Theorie nur so viel zu bringen, daß der Leser imstande ist, sich in ihr zu orientieren, und auf die Bücher zu verweisen, in welchen er Ausführlicheres finden kann. Für den Studierenden der Mathematik soll es ein „Vademekum“ sein, in dem er, faßt, alle mathematischen Begriffe und Resultate findet, die er während seiner Studien

2. neubearb.

gOi:

hat

kurz zusammensich angeeignet

oder noch aneignen will. Die Anordnu

mg der verschiedenen Teile ist bei jeder Theorie fast immer dieselbe: zuerst werden die Definitionen und Grundbegriffe der Theorie gegeben, alsdann die Theoreme und Formeln (ohne Beweis) aufgestellt, welche die Verbindung zwischen den durch die vorhergehenden Definitionen eingeführten Dingen oder Größen bilden, und schließlich ein kurzer Hinweis auf die Literatur über die betreffende Theorie gebracht.

VOCabulaire Mathématique, français-allemand et allemand-français. Mathematisches Vokabularium, französisch-deutsch und deutsch-französisch. Enthaltend die Kunstausdrücke aus der reinen und angewandten Mathematik. Von Professor Dr. Felix Müller. [XV u. 316 S.] Lex.-8. 1900/1901. In Leinw. geb. n. JC. 20.— Wurde in 2 Lieferungen ausgegeben: I. Lieferung. [IX u. 132 S.]    1900. Geh. n. M. 8.—

II. Lieferung. [S. IX—XV u. 133—316.] 1901. Geh. n. JC. 11.—

Das Vokabularium enthält in alphabetischer Folge mehr als 12000 Kunstausdrücke aus der reinen und angewandten Mathematik in französischer und deutscher Sprache und soll in erster Linie eine Ergänzung der gebräuchlichen Wörterbücher für die beiden genannten Sprachen sein. In dem zweiten deutschfranzösischen, Teil sind, ebenso wie im ersten, die zu einem und demselben Hauptworte gehörigen zusammengesetzten Kunstausdrücke unter diesem Hauptworte vereinigt. So sind unter dem Artikel „Kurve“ 449 Kunstausdrücko zusammengestellt, in denen dieses Wort vorkommt. Jedem Adjektivum sind diejenigen Hauptwörter in Klammern beigefügt, die mit ihm zu einem Kunstausdruck verbunden werden. Da das Vokabularium zugleich als Vorarbeit zu einem Mathematischen Wörterbuche dienen soll, so sind zahlreiche Nominalbenennungen aufgenommen, deren Anführung aus rein sprachlichem Interesse überflüssig erscheinen dürfte. Z. B. Gaußsche Abbildung (einer Fläche auf eine Kugel) (Gauß 1827) [inf. Geom.] représentation de Gauss; Clairauts Satz (über die geodätischen Linien auf Umdrehungsflächen) (Clairaut 17,33) [inf. Geom.] théorème de Clairaut. Aus den beigefügten Zusätzen ist zu orsehen, daß das Vokabularium mehr bietet, als der Titel erwarten läßt.

Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, von Moritz cantor.

In 4 Bänden I. Band. Von den ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. 3. Auflage. Mit 114 Figuren im Text und 1 lithogr. Tafel. [VI u. 941 S.] gr. 8. 1907. Geh. n. JC. 24.—, in Halbfranz geb. n. JC 26..— II. Band. Vom Jahre 1200 bis zum Jahre 1668.    2. verb. und verm. Auflage. Mit 190 Figuren im Text.

[XII u. 943 S.] gr. 8. 1900. Geh. n. JC. 26.—, in Halbfranz geb. n. JC. 28.— III. Band. Vom Jahre 1668 bis zum Jahre 1758. 2. verb. und verm. Auflage. In 3 Abteilungen. Mit 146 Figuren im Text. [X u. 923 S.] gr. 8.    1901. Geh. n. JC 25.—,

in Halbfranz geb. n. JC. 27.— IV. Band. Vom Jahre 1759 bis zum Jahre 1799. Herausgegeben unter Mitwirkung der Herren V. Bobynin, A. v. Braunmühl, F. Cajori, S. Günther, V. Kommereil, G. Loria, E. Netto, G. Vivanti und C. R. Wallner von M. Cantor. Mit 100 Figuren im Text. [VI u. 1113 S.] gr. 8.    1908. Geh. n. JC 32.—, in Halb

franz geb. n. JC. 35.—

„Einen hervorragenden Platz unter den neueren Veröffentlichungen über die Geschichte der Mathematik nimmt die zusammenfassende Darstellung ein, die uns Moritz Cantor geschenkt hat.

Mit rastlosem Fleiß, mit nie ermüdender Geduld, mit der unverdrossenen Liebe des Samml der auch das scheinbar Geringe nicht vernachlässigt, hat Moritz Cantor dies kolossale Material gesamm kritisch gesichtet, durch eigene Forschungen ergänzt, nach einheitlichen Grundsätzen und einheitlichem Plan zu einem Ganzen verschmolzen, und indem er in seltener Unparteilichkeit bei strittigen Fragen, deren die Geschichte der Mathematik so viele hat, auch die abweichenden Ansichten zu Wort kommen ließ, hat er ein Werk geschaffen, das die reichste Quelle der Belehrung, der Anregung für einen jeden ist, der sich über einen geschichtlichen Fragepunkt Kat holen, der an der Geschichte der Mathematik mit-

(Aus den Göttingischen gelehrten Anzeigen.]

Mathematische Unterhaltungen und Spiele, von Dr. w. Ahrens in

Magdeburg. [X u. 428 S.] gr. 8.    1901. In Leinwand geb. n. JC. 10.—

Scherz und Ernst in der Mathematik. Geflügelte und ungefiügeite Worte.

Von Dr. W. Ahrens in Magdeburg. [X u. 522 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. JC 8.—

„Der Verfasser der „Mathematischen Unterhaltungen“ hat uns mit einem neuen, überaus fesselnden und originellen Werke überrascht, welches man als einen mathematischen „Büchmann“

horistischen Bemerkungen auch längere Briefe und Aus-das Buch nicht aus der Hand legen,

auch

ers,

eit,

arbeiten will....“

bezeichnen könnte, wenn es nicht neben api

einandersetzungen brächte. Beginnt man zu lesen, so möchte man

bis man zum Ende gelangt ist, und dann werden viele wieder von vorn beginnen. Jedem wird es Neues bringen, möge er noch so belesen sein . . . gerade das vorliegende Buch gibt einen tiefen Einblick in das Hingen der Geister, und manchem wird durch manche kurze, treffende Bemerkung ein Licht über ganze Gebiete der Wissenschaft aufgehen. . . . Ein alphabetisches Sach-Namenregister erleichtert die Orientierung.“    (Prof. Dr. Holzmüller.)

und

VERLAG VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG UND BERLIN.

Encyklopädie

der Elementar-Mathematik.

Ein Handbuch für Lehrer und Studierende von

Dr. Heinrich Weber

und Dr. Joseph Wellstein,

Professoren an der Universität Straßburg i. E.

In drei Bänden, gr. 8. In Leinw. geb.

I.    Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Weber. 2. Auflage. Mit

38 Textfiguren. [XVIII u. 539 S.]    1906. n. 1 9.60.

II.    Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und W. Jacobsthal. 2. Auflage. Mit 251 Textfiguren. [XII u. 596 S.]    1907. n. Je. 12.—

III.    Angewandte Elementar-Mathematik. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und R. H. Weber (Rostock). Mit 358 Textfiguren. [XIII u. 666 S.] 1907. n. <,Ä14.—

Das Werk verfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen' wissenschaftlichen Standpunkt zu stellen, von dem aus er imstande ist, das, was er später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen und damit den Wert dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu erhöhen. — Das Ziel dieser Arbeit'ist nicht in der Vergrößerung des Umfanges der Elementar-Mathematik zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein elementares Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht faßlichen Darlegung der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst als für den Lehrer und Studierenden bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen auch eine für den praktischen Gebrauch nützliche, wohlgeordnete Zusammenstellung der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

. . Zwei Momente müssen hervorgehoben werden, die dem Buche das Gepräge verleihen. Das eine Hegt darin, daß die grundlegenden Fragen der Geometrie eine eingehende Behandlung erfahren, in einem Umfange, wie er in zusammenfassenden Werken sonst nicht anzutreffen ist... . Das zweite Moment ist in dem Umstande zu erblicken, daß die Verfasser es nicht darauf angelegt haben, eine pragmatische Vorführung des übKehen Vorrats an geometrischen Sätzen, Konstruktionen und Kechnungen zu geben, sondern daß es ihnen mehr darum zu tun war, an ausgewähltem Material die wissenschaftlichen Methoden der Geometrie zur Geltung zu bringen und überall auf die Grundfragen einzugehen. Ist so die theoretische Seite, namentlich in einigen Abschnitten, stark zum Ausdruck, gekommen, so ist doch auch auf die praktischen Bedürfnisse Rücksicht genommen, die freilich erst mit dem dritten Bande ihre endgültige Befriedigung finden sollen; doch ist dafür an verschiedenen Stellen, so in der Trigonometrie und in der analytischen Geometrie schon vorgearbeitet worden. ... So darf der Inhalt des zweiten Bandes der „Encyklopädie der Elementar-Mathematik“ als ein sehr reichhaltiger bezeichnet werden, der über die Grenzen dessen, was an der Schule geboten werden kann, erheblich hinausführt, der aber auch — und das ist noch wichtiger und offenkundig der Hauptzweck des Werkes — eine Vertiefung des geometrischen Wissens vermittelt. Jüngere Lehrer der Mathematik werden das Buch gewiß oft und mit Nutzen zu Kate ziehen, namentlich wenn sie im Unterrichte zu prinzipiell wichtigen Fragen kommen, um sich über die leitenden Gedanken zu orientieren.“

der verschiedenen

Eines verdient noch besonders hervorgehoben zu werden: das ist die reiche Ausstattung mit schönen, sehr instruktiv gezeichneten Figuren. Der schwierigen Vorstellung Formen sphärischer Dreiecke kommen die stereographischen Bilder der Euler’schen, Möbius’schen und Study’schen Dreiecke sehr zu statten.“    (Zeitschrift für das Realschulwesen.)

„ . . . Daß ein Hochschullehrer von der Bedeutung des Verfassers die Elementar-Mathematik von höherer Warte aus behandelt und mustergültig darstellt, ist selbstverständlich. Jeder Lehrer, jeder Studierende muß das Werk, welches nicht nur in methodischer,-sondern auch in systematischer Hinsicht von Bedeutung und daher eine wichtige Erscheinung der elementaren mathematischen Literatur ist, besitzen und studieren.“    (Zeitschrift für lateinlose höhere Schulen.)

„...Die Encyklopädie will kein Schulbuch im gewöhnlichen Sinne des Wortes sein, ist aber zur Vorbereitung auf den Unterricht, namentlich in den oberen Klassen, den Lehrern der Mathematik dringend zu empfehlen, welche die bezüglichen Originalarbeiten nicht alle selbst studiert haben, sich aber doch orientieren wollen, wie vom Standpunkte der modernen Wissenschaft die Begriffsbildungen, Methoden und Entwicklungen der Elementar-Mathematik zu gestalten sind.“    (C. Färber im Archiv der Mathematik und Physik.)

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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