O;

«EOS®

VP

/V'-

H>lM

«y

**j

iïflfjf

.» K ri.

< E®

[il

■Ç,r • - j" kjj0mg

ES*?

WMMwÊ

tàr

&EL

L ^ tfJf.vA

KJKaFy.Ą,,

j

——»

-/>

■4*

pi

•»

K# JL

m:

jL*

tte

4<

*■.

JL-

« Ai:

r»îæ

‘'V ; i •!

;hbs!

*-.m

iff

îiiV' /J

äs

/\ÿ/|

■hhH

. ny

r%> X

v %

^XiSiäfi

ôfctSb

l<'

-l-j

Ü S *><

, ¥•''>

:-5

awbÂi

IÜ

■/

L*

§m_

f v •*

■m. -.jg

y* \

<•

XB..J Wk .

;j

*Bk?fcTvj

aS

l'-:.

-î

jm tr

•fil *HH|

jfr

i-Łj

*\vm,

"j    ifî'^r X. ’lL»

*, V 1b# ^ r V^?^«-'%•' V. J -ft '’-' jS9

Wï

ri

< • 'Â ■

CH

as

I#

i,

-ÆMZér

ty

iTÉ

mz

Ai

.Ki

ivin¹

■

* -7s

WH|

m I

F ’i

tr • .*SmZ

M JT ‘

V:

i

, -./dL

5J.

■Kmv- i

JL/

i.

ait

Wïi

^VÂ -*i. ' ^

/

i

I

îSfci

.

ii

■IL

■;

HSU

-

>

‘ ife ś

i

■V

wl

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

i

100000295809

i

K4p *

«

r

Mmm

/'

f

M§î0

' I

MPà

m

■

/

/

\

m

*

V \

\

\

r V

4 :t

/łf

■0

■-

4

l

\ ■

* k

1

.

f-

y

pV:#

» * " ■

i

ii|g

f?;-

...

*

’...

*

N>>x:

'v>x '

‘ii < ) %

I

li

IKK

m^ê

K".

..

.

.

I

\

-y-.

V

X

M

V

śxf

ïJ-\S _ _

üfe

\

X

’pwt

m

■S

i

rf -

/-/ UÂ ïr

' 4s?

J. TODHUNTER

Członek Tow. Królewskiego w Londynie

ALGEBRA

POCZĄTKOWA

Tłumaczył z angielskiego

‘Al/bu4^y

Wł. KWIETNIEWS

b. Docent b. Szkoły Głównej

WYDANIE DRUGIE OPRACOWAŁ I UZUPEŁNIŁ

STEFAN KWIETNIEWS

sm imzatetoUS J

îasar ssfcolny

Z rysuijkami w

WARSZAWA

NAKŁAD GEBETHNERA i WOLFFA

KRAKÓW —G. GEBETHNER I SPÓŁKA

Si 2 (075.3?

/

J^OSBO.TieHO I^eH3ypOK> BapmaBa, 15 OeBpans 1906 r.

MÜiîuii-niutiiirtiu

KRAKÓW

C-XJ

Drukarnia Rubie'szowskiego i Wrotnowskiogo w Warszawie.

SPIS RZECZY.

Str.

Przedmowa do pierwszego wydania Przedmowa do drugiego wydania .

Tabliczki czterech działań arytmetycznych .    .    . XI

Wstęp.................

I. Grłówne znaki (§ 1 — 12)...........

II. Czynnik. Współczynnik. Potęga. Wrvrazy .    .    .

(§13-23)...........".....

III.    Pozostałe znaki. Nawiasy (§ 24 — 30).....

IV.    Zmiana porządku wyrazów. Wyrazy podobne .

(§31-40).. . . :......‘......

V. Dodawanie (§ 41—45) •...........

VI. Odejmowanie (§ 46 — 49)..........

VII. Nawiasy (§ 50 — 53)............

VIII. Mnożenie (§ 55 — 65)............

IX. Dzielenie (§ 66 — 76)............

§ 173 - 184)..............

VIII

c_.

10

14

17

22

25

29

32

40

49

56

61

68

73

-78

Si

88

92

. 112

XXII. Zagadnienia (§ 185 - 194)..........

120

128

XXIII. Zagadnienia (ciąg dalszy, § 195 — 208).....

. 144

XXIV. Równania jednoczesne stopnia pierwszego z dwiema niewiadomemi (§ 209 — 220)

XXV. Równania jednoczesne stopnia pierwszego, zawierające więcej niż dwie niewiadome (§ 221 — 226).    . 158

, 166

XXVI Zagadnienia, prowadzące do równań jednoczesnych stopnia pierwszego, zawierających więcej niż jednę niewiadomą (§ 227 — 232)

XXVII. Nierówności stopnia pierwszego (§ 233 — 236)    .    . 177

XXVIII. Podnoszenie do potęg, a w szczególności podnoszenie do kwadratu i sześcianu (§ 237 — 255).... 182

XXIX. Wyciąganie pierwiastku (§ 256 — 285) .    .

XXX. Wykładniki - § 286 - 299).......

XXXI Ilości pierwiastkowe (§ 300 — 318). . . .

XXXII. Równania stopnia drugiego (§ 319 — 345) .... 241 XXXIII. Równania dające się sprowadzić do równań stopnia

. . 198

220 228

270

drugiego (§ 346 — 363)...........

292

XXXIV. Zagadnienia prowadzące do równań stopnia drugiego (§ 364 — 369).............

XXXV. Równania jednoczesne stopnia drugiego.....

297

(§ 370 — 379)...............

XXXVI. Zagadnienia prowadzące do równań stopnia drugiego zawierających więcej niż jednę niewiadomą. .

305

(§ 380 - 382)...............

311

XXXVII. Przedstawienia graficzne równań stopnia pierwszego (§ 383 — 387)    .............

XXXVIII. Przedstawienia graficzne równań stopnia drugiego

322

(§ 388 - 393)...............

335

XXXIX. Ułamki ciągle (§ 394 — 415).........

XL. Równania nieoznaczone stopnia pierwszego .    .    .

390

(§ 416 — 441).......

. 440

XLI. Postęp różnicowy (§ 442 — 452)

450

XLII. Postęp ilorazowy czyli geometryczny (§ 453 — 463) 444 XLIII. O logarytmach (§ 464 — 485)

505

XLIV. Procenty (§ 486 — 494) . .

518

XLV. Przemiany, przestawienia i połączenia (§ 495 — 501) 511 XLVI. Dwumian Newtona (§ 502 — 510)

527

Rozwiązania zadań

PRZEDMOWA TŁUMACZA do pierwszego wydania.

Dziełko, które podajemy w tłumaczeniu, wyszło po

raz pierwszy w r. 1863, a po raz w r. 1888. To samo już dowodzi jego praktyczności i wielkiego rozpowszechnienia w szkołach angielskich. Autor tej książki wydał szereg podręczników, obejmujących prawie całość matematyki czystej i zajmujących świecie pedagogicznym angielskim takie miejsce, jakie niegdyś we Francyi zajmowa

dwudziesty zostało odbite

ły wyborne dzieła Lacroix.

Oj cr

Nie jest ono przedstawieniem systematycznem całkowitego kursu algebry; — w szeregu podręczników tegoż samego autora, są dwa inne dzieła poświęcone temu przedmiotowi. Jest ono raczej pierwszym przewodnikiem do rachunku algebraicznego, wprowadzającym powoli i stopniowo na dobranych przykładach do zasad nauki; — autor pragnie na pieiw-szy początek zaznajomić ucznia z materyałem rachunkowym, i należy przyznać, robi to, z małymi wyjątkami, w sposób bardzo udatny. Czytelnik, który tę książkę początkową przejdzie, będzie mógł łatwo dopełnić, w razie potr e y, swoich wiadomości teoretycznych; — bardziej specvaln zieła o algebrze staną się dla niego dostępne.

Książka ta zawiera w sobie zbiór wiadomości zupełnie wystarczający do pewnych celów jak np. zawiera w sobie to wszystko, co jest potrzebne dla uczniów szkół specyahrych

i techniczny cii, wielu zakładów naukowych prywatnych i pen-syi żeńskich. Dla takich zakładów jest ona całością,, nie potrzebującą właściwie dopełnień. Może doskonale zastąpić wyborne, w zeszłym wieku napisane dzieło L'Huilliera, o algebrze; ù nas w szkołach używane do początkowago wykładu,, ale oddawna już wyczerpane z handlu księgarskiego.

W tłumaczeniu zmian żadnych nie wprowadzono. Jeżeli czytelnik opuści wszystkie paragrafy i zadania opatrzone gwiazdkami lub znaczkami, którymi odróżniono wtrącone artykuły, wtedy mieć będzie zupełnie wierne tłumaczenie oryginału. Wyjątek tylko przedstawiają niektóre zadania z tego mianowicie powodu, że autor używa w nich miar i monet wyłącznie angielskich; — otóż aby uczący się u nas mieli przed oczami rzeczy znane, miary te i monety zostały zastąpione albo miarami u nas używanemi, albo też miarami me-trycznemi, z któremi dobre zaznajomienie się jest dzisiaj rzeczą niezbędną. Również musiały uledz zmianie, lub zostały zastąpione innemi te zadania (zresztą w bardzo małej liczbie), które się odnoszą w oryginale do obyczajów zbyt wyłącznie angielskich i u nas mało znanych. Dodatki, jakie zostały w zadaniach porobione, więcej niż wynagradzają, co do liczby, zadania opuszczone. Wszystkie zadania dodane, są oznaczone gwiazdką (*).

Jakkolwiek, jak powiedziałem wyżej, dzieło stanowi samo w sobie całość zupełną i dodatków nie potrzebuje, z tern wszystkiem ze względu na potrzeby naszej młodzieży uczącej się, i brak podręczników, zadosyć czyniących różnym wymaganiom, sądziłem że należy cokolwiek plan samego wykładu rozszerzyć, nie zmieniając oryginału. Dla tego też materyał rachunkowy znacznie powiększyłem, przez dodanie pewnej liczby zadań, i wtrącenie w sam wykład paragrafów, zawie-rających niektóre wskazówki i objaśnienia, bądź to rozszerzające zakres rozwiązywanych zadań, bądź też potrzebne do uzupełnienia wiadomości teoretycznych. Ponieważ oryginał pozostał nietknięty, przeto nie można było uniknąć z tego powodu w niektórych miejscach powtarzań; — zdaniem mojem nie szkodzą one, gdyż przy początkowem uczeniu jest rzeczą prawie niemożliwą za wiele razy powtarzać. Nadto, ze względu na wymagania egzaminowe wielu naszych zakładów naukowych, na końcu książki dodałem cztery rozdziały traktujące o przedmiotach nie objętych w samem dziele, a potrzebnych u nas; są to rozdziały: I-szy o podzielności liczb, Il-gi o ułamkach ciągłych, III-ci o równaniach nieoznaczonych, i IV-ty o logarytmach. Wszystkie te dodatki nie stanowią całości i nie traktują przedmiotów wyczerpująco; są dopełnieniami, obejmującemi mniej więcej to, co w naszych szkołach bywa wykładane. Gdy wyjdzie systematyczny kurs algebry w bibliotece matematycznej prof. Baranieckiego, staną się one zbytecznemi i będą mogły być opuszczone; — tymczasem zaś sądzę, że pewien pożytek uczącym się przynieść mogą.

Do ułożenia ich przeważnie służyły mi dzieła:

Lejeune Dirichlet. Vorlesungen über die Zahlen-Theorie.

Euler. Eléments d’Algèbre.

Léfébure de Fourcy. Leçons d’Algèbre.

Todhunter. Algebra for the Use of Colleges and Schools, i niektóre inne. Do uzupełnienia zadań głównie, choć nie wyłącznie, posługiwałem się wybornym i uczonym zbiorem zadań: Heis, Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra.

Tłumacz.

PRZEDMOWA do dmo'ieo'o wydania.

Przystępując do opracowania nowego wydania tej książki, wydanej po raz pierwszy w tłumaczeniu polskiem wr. 1890, starałem się przystosować ją do programu, przyjętego przez Koło Matematyczne x). W tym celu dodałem nowe rozdziały o nierównościach i o przedstawieniu graficznem równań, korzystając z wybornego podręcznika E. BoreVa, Algebrę 2-e Cycle, Paris 1904. Nowym jest również wstęp i rozdział XIX o uogólnieniach działań arytmetycznych. Rozdział ten dla początkujących może się okazać zbyt oderwanym, to też §§ 147-153 można opuścić, należy jednak wrócić do nich przy powtarzaniu kursu.

Pozatem wprowadzone zostały niektóre drobne zmiany i uzupełnienia, jak np. wprowadzenie liczb niewymiernych (§ 271), obliczanie logarytmów przez rozwinięcie na ułamki ciągłe (§ 476) i t. p. Ponieważ jednak, ze względów praktycznych, książki nietylko nie można było powiększać, ale przeciwnie, należało ją zmniejszyć, musiałem więc poświęcić niektóre rozdziały, nie należące właściwie do kursu Algebry, mianowicie o proporcyach, o postępie harmonijnym, o syste-matach liczenia i o podzielności liczb, a także znaczną liczbę zadań. Wprawdzie brak nam dotychczas zbioru zadań alge-

') Patrz Przegląd Pedagogiczny z r. 1905 «Na 14, 15, 16.

W rozdziale o logarytmach jest mowa o tablicach Schlö-milch/a; oprócz nich można polecić natępujące tablice, wydane w języku polskim:

braicznych, ale zadania, pomieszczone w pierwszem wydaniu, i tak go nie zastąpią — nie pozostaje więc nic innego, jak ułożyć nowy.

J. Kranz. Tablice pięciocyfrowe logarytmów liczbowych i funkcyi trygonometrycznych. Kraków 1900.

A. W. Witkowski. Tablice logarytmowe i goniome-tryczne czterocyfrowe. Warszawa 1903.

Warszawa 1906.

S. Kwietniewski.

i/

■

*

:

-

-

%

Dodawanie.

CD O

12    i». i\ i& i& i

20

,r.

r.

sf)

r.

<}

.2

s9

12    3    4

5    6    7    8    9    10

Odejmowanie.

rs

odje

10

rv

6    7    8    9    10

Mnożenie.

00 CO O

I> C Ö    CO CT

00 CD O

cioooco£cîoo©

cocicoKS£î5£ï3g

dOCTOCTOCTOOÏo

^Jrf^t-^ooctocoaioso

„^fcttOO3rf^CnCi^]00CD COOO-JOiOii^COtOl—‘O

Sg.Bêgggggg

I-¹ K3 05    ül Ci -<1

to

123456789    10

Dzielenie.

10 10

n,

-J OC CD

o> o

co Ol

9 10

-3

-5

- 10

10

C3

CJ

c ~3

--4

Dodawanie.

4J

-2

10

Odejmowanie.

- 10

CM

co

p:

(SI

Mnożenie.

5    - 25 - 20 -15 -10 - 5 O

4    -20-16-12-8-4 O 4

3    -15-12-9-6-3 O 3

2    -10-8-6-4-2 O

5-4-3-2-1 O

05 GO Q

co o: co to oi

00 tO 05 O

Ol O C? O Ol

000000 00000

IO O    HO    o'    tO

rH    rH    CM    CM

■"tf 00 CM    CD    O

i-H    iH    Ol

co

CO OS 04 iO

tH

2 10

-1

4    2 O -2-4-6-8-10

6    3 O -3-6-9-12-15

8    4:0-4

8 -12 -16 -20

10    5    0    -5 -10 -15 -20 -25

5-4-3-2-1 O

co| >e. cc| cn

Dzielenie.

i -• '

O*

co Ol

ro| cc

| «O» co }

Ol I »ft —• I tft

■Q-O-=0-O-0

44

■Q-9-O

E>

-3

co I o»

-4

-5

tej tn co| 4*.

tol tn

-5

-5 -4 -3 -2-1 O

Tabliczka mnożenia Pouchefa.

lO

â J?

20 io

to

f.

3o

6o

7°

to

na

Znalazłszy punkt, odpowiadający jednemu czynnikowi, krawędzi górnej kwadratu, zaś punkt odpowiadający drugiemu — na krawędzi lewej, poprowadźmy przez pierwszy linię pionową, przez drugi — poziomą; punkt przecięcia tych dwóch linii odpowiada szukanemu iloczynowi.

Wszystkie punkty, odpowiadające iloczynom równym, są połączone liniami krzywemi, noszącemi nazwę hiperboli. Np. punkty, odpowiadające iloczynom : 4 X 5 = 20,

3 X 6    = 20, 7 4“ X 2 \ — 20 i t. d., leżą na linii krzywej

o    Z    o

oznaczonej liczbą 20.

Pomiędzy liniami wykreślonemi dla iloczynów 5, 10, 15, 20, można wykreślić linie dla iloczynów pośrednich; tak np. dla iloczynów' większych od 25 ale mniejszych od 30 dostalibyśmy hiperbole pomiędzy liniami oznaczonemi liczbami 25 i 30.

WSTĘP.

Czterech działań arytmetycznych nad liczbami całkowi-temi nczymy się doświadczalnie zapomocą jakichbądź przedmiotów, i rezultaty układamy w odpowiednie tabliczki, któ-iych części każdy umie na pamięć; części pozostałe łatwo sobie wtedy odtworzyć. Takie tabliczki są podane na początku książki.

Łączenie kilku grup w jedną i oznaczanie ogólnej liczby przedmiotów w tej nowej grupie nazywamy dodawaniem; w szczególnym przypadku, gdy każda z grup danych zawiera jednakową liczbę przedmiotów, działanie nazywamy mnożeniem.

Dodawanie i mnożenie zawsze jest możliwe, ilekolwiek przedmiotów byłoby w danych grupach.

Odejmowanie, t. j. oznaczanie pozostałej liczby przedmiotów po wyłączeniu z danej grupy pewnej określonej liczby przedmiotów, oraz dzielenie danej grupy na grupy równe; można również przedstawić zapomocą tabliczek. W załączonych tabliczkach należy szukać odjemnej i dzielnej z boku, odjemnika i dzielnika u spodu.

Doświadczenie uczy, źe odejmowanie jest zawsze możliwe do wykonania, jeżeli odjemnik jest mniejszy od odjemnej i niemożliwe, jeżeli odjemnik jest większy od odjemnej. To też

Algebra

I w tabliczce dzielenia miejsca odpowiadające dzielnikowi większemu od dzielnej są niezajęte, ponieważ działanie to można tylko wtedy wykonać, jeżeli dzielnik jest mniejszy od dzielnej lub przynajmniej równy dzielnej. Jestto warunek konieczny, ale niedostateczny, podzielność jednej liczby przez drugą jest własnością szczególną tych dwóch liczb. To też widzimy, że rezultaty dzielenia są porozrzucane na pozór bezładnie na tabliczce, a pozostałe miejsca są puste.

w tabliczce odejmowania puste są wszystkie te miejsca, które odpowiadają odjemnikowi większemu od odjemnej. Wypadkiem, w którym odjemnik jest równy odjemnej, zajmiemy się później.

Przypatrując się tym tabliczkom, możemy zrobić ciekawe spostrzeżenie, mianowicie, że w tabliczkach dodawania,, odejmowania i dzielenia rezultaty jednakowe są rozłożone wzdłuż linii prostych, których położenie jednak w każdym z tych trzech przypadków jest inne. W tabliczce mnożenia tej prawidłowości nie dostrzegamy.

na-

na-

Mierzenie wielkości sprowadzamy do liczenia, przyczem przedmiotami, jakie w tym wypadku liczymy, są jednostki miary. Jednostki te dadzą się podzielić na części, i dlatego przy mierzeniu wprowadzamy liczby ułamkowe. Liczby wyrażające wielkości, mogą wiec być ułamkowe równie dobrze jak całkowite, podczas kiedy w pierwszem znaczeniu mogły przyjmować tylko wartości całkowite. Dla odróżnienia zywamy liczby, które poznaliśmy przy liczeniu, liczbami turalnemi.

Oprócz liczb naturalnych i wprowadzonych w celu dogodniejszego mierzenia liczb ułamkowych, pożytecznie jest wprowadzić jeszcze nowy rodzaj liczb, jak to zobaczymy w następującem doświadczeniu.

Wyrysujmy odcinek linii prostej, t. j. część linii prostej ograniczoną dwoma punktami i przyjmijmy za jednostkę długości 1 centymetr. Punkty początkowy i końcowy odcin-

A i—

bez przekroczenia punktu B, zmierzymy długość odcin-

1 cm

ka niech będą A i B. Biorąc 1 cm w otwór cyrkla, i odkładając tę długość od punktu A ku B tyle razy, ile to jest możli-wem

ka A B, przyczem resztę niniejszą od 1 cm należy mierzyć np. dziesiątemi, setnemi, i t. d. częściami centymetra. Wydłużmy teraz linię prostą na prawo od B dowolnie daleko i obierzmy gdziekolwiek na tej linii punkt C. Mierząc długość odcinka AC znajdziemy odległość punktu C od A. Jeżeli punkt C będzie się posuwał wzdłuż linii, będziemy otrzymywali coraz to nową liczbę, wyrażającą jego odległość, i odwrotnie, dla każdej liczby danej można znaleść taki punkt, którego odległość od A wyrazi się tą właśnie liczbą: należy tylko wskazaną liczbę jednostek długości odciąć na linii prostej, począwszy od punktu A.

Wydłużmy teraz daną linię na lewo od punktu A i obierzmy na tern przedłużeniu jakikolwiek punkt D. Qdległość jego od A możemy zmierzyć tak samo jak poprzednio, z tą różnicą, że jednostki długości odcinać będziemy od i w kierunku odwrotnym; innemi słowami, przesuwamy ją od strony prawej ku lewej, nie od lewej ku prawej, jak poprzednio. Są więc dwa punkty na linii prostej mające od punktu A jedną i tę samą odległość. Ażeby odróżnić je od siebie, poprzedzamy liczby, przedstawiające odległości mierzone od prawej strony ku lewej znakiem — , tym samym, którego używamy przy odejmowaniu. Tak więc punkt, którego odległość od A jest 3cm, leży z prawej strony Aj punkt, którego odległość od A jest — 3cm, leży z lewej strony tegoż punktu A.

Liczby opatrzone znakiem — nazywamy liczbami ujemnemi, w przeciwstawieniu do nich nazywamy liczby o których dotychczas mówiliśmy, dodatniemi i jeżeli chcemy zwrócić szczególną uwagę na to, że są dodatnie, piszemy czasami przed niemi znak -|- .

Sam punkt A stanowi granicę pomiędzydakimi punktami, które mają od A odległości dodatnie, i takimi, których odległości są ujemne. Jeżeli jakiś punkt, poruszający się po linii prostej, będzie w danej chwili w punkcie A, wtedy dla scharakteryzowania jego położenia mówimy, że odległość jego od A jest zero (0).

Przez wprowadzenie liczb ujemnych osiągnęliśmy, ze każda liczba, bądź dodatnia, bądź ujemna, określa położenie jednego i tylko jednego punktu na linii prostej, jak to widać z załączonego rysunku.

Znaczenie, jakie nadaliśmy teraz znakowi — , da się w zupełności pogodzić z jego sposobem użycia w arytmetyce. Jeżeli mianowicie do odcinka AB, mającego np. 3 cm długości, chcemy dodać odcinek, którego długość jest 2 cm, wtedy

■I--j-1-1—

przesuwamy koniec odcinka z punktu B o 2 cm na prawo. Tak otrzymany punkt niech będzie C. Odwrotnie, jeżeli od odcinka AC chcemy odjąć długość 2 cm, wtedy przesuwamy koniec odcinka o takąż długość na lewo. Tym sposobem znak -|- oznacza przesuwanie punktu w jedną stronę, znak — przesuwanie w stronę przeciwną. Wybór, który z dwóch kierunków czyli zwrotów linii przyjmiemy za dodatni, który za ujemny, zależy zupełnie od naszej woli.

Oprócz odległości spotykamy w naturze różne inne wielkości, które dogodnie jest przedstawiać za pomocą tych

dwóch rodzajów liczb. Do takich wielkości należy czas. Lata liczymy od narodzenia Chrystusa; opisując jednak zjawiska, które dawniej zaszły, liczymy lata od tejże samej chwili w porządku odwrotnym, możemy więc określać je za pomocą liczb ujemnych. Tak np. rok 45-ty przed narodzeniem Chrystusa można nazwać rokiem — 45-tym.

Ponieważ każdą wielkość można wyrazić zapomocą liczby, a każdej liczbie odpowiada, przy dowolnie obranej jednostce długości, jakiś odcinek linii prostej; można więc każdą wielkość przedstawić zapomocą odcinka. Takie przedstawienie na rysunku, czyli graficzne, bywa nieraz bardzo pożyteczne dla łatwiejszego zrozumienia zadania, będziemy go też nieraz używali.

I.

Główne znaki.

1.    Algebra jest nauką, w której rozumujemy nad liczbami, za pomocą głosek, użytych do oznaczenia liczb, i pewnych znaków, użytych do oznaczenia tak działań wykonywanych nad temi liczbami, jako też i związków zachodzących pomiędzy niemi.

2.    Liczby mogą być albo znanemi, albo też takiemi, których znaczenie należy dopiero znaleśó, i które z tego powodu nazywają się nieznanemi lub niewiadomemi. Zazwyczaj pierwsze, t. j. znane lub wiadome, oznaczają się początkowemi głoskami alfabetu a, &, c i t. d., niewiadome zaś ostatniemi głoskami x, y, z. Me jest to jednak prawidło niewzruszone i dlatego też nie potrzebuje być ściśle zachowywane. Liczby mogą być całkowite i ułamkowe. Poznaliśmy także liczby ujemne, ale z początku zajmować się będziemy tylko dodatniemi. Wyraz ilość niejednokrotnie używa się w tern samem znaczeniu, co i wyraz liczba; wyraz całkowita jest często używany zamiast liczba całkowita.

3.    Uczący powinien się przyzwyczaić do używania głosek, oznaczających liczby i nauczyć się znaczenia znaków; dlatego też zaczynamy od wytłumaczenia najważniejszych znaków i objaśnienia ich użycia. W pierwszych ośmnastu rozdziałach przez głoski oznaczać będziemy wyłącznie liczby naturalne, później nadamy im szersze znaczenie. Przystępujący do uczenia się algebry, powinien już umieć zasady arytmetyki i rozumieć użycie najogólniejszych prawd, z któ-remi spotykamy się we wszystkich częściach matematyki, takich jak: jeżeli równe ilości dodamy do równych, otrzymamy sumy równe i t. p.

pomocą codziennego

za

Prawdy takie jak powyższa, które stwierdzamy bezpośrednio, beż żadnego rozumowania, doświadczenia, nazywamy pewnikami (axioma);prawdy i zdania zaś takie, które wyprowadzamy z pewników za pomocą pewnego szeregu rozumowań, nazywamy twierdzeniami (theo-rema).

ma

4.    Znak -j- położony przed liczbą oznacza, że ta liczba być dodaną. Tak np. a -J- b pokazuje, że liczba oznaczona przez h ma być dodaną do liczby oznaczonej przez a. Je- * żeli a oznacza 9 a b oznacza 3, wtedy a -f- b oznacza 12. Znak -(- czyta się więcej; tym sposobem a-\~b przeczytamy: a więcej b.

5.    Znak — położony przed liczbą pokazuje, że liczba ta ma być odjętą. Tak więc a — b oznacza, że liczba oznaczona przez b ma być odjętą od liczby oznaczonej przez a. Jeżeli a oznacza 9, b zaś oznacza 3, wtedy a — b oznacza 6. Znak — nazywa się znakiem mniej, i a — b wymawia się tak: a mniej b.

6.    Podobnież a -j- b -j- c oznacza, że mamy dodać b do a i następnie dodać c do tego co wypadnie; a-\-b — c oznacza, że mamy dodać b do a i następnie odjąć c od wypadku; a — ć-j-c oznacza, że należy b odjąć od a i następnie do wypadku dodać c, nakoniec a — b — c oznacza, że należy b odjąć od a, i następnie od tego co wypadnie odjąć c.

7.    Znak = oznacza, że liczby, pomiędzy któremi on znajduje się, są równe. Tak więc a=b oznacza, że liczba przedstawiona przez a jestrówną liczbie przedstawionej przez b. a-\-b — c oznacza, że suma liczb przedstawionych przez a i przez b jest równą liczbie, którą przedstawia c, tak, że jeżeli np. a oznacza 9, b oznacza 3, wtedy c musi oznaczać 12. Znak = nazywa się znakiem równości, i a=b czyta się „a równa się b“ lub „a jest równe bu.

8.    Znak X oznacza, że liczby, pomiędzy któremi on stoi, mają być przez siebie pomnożone. Tak np. a X b oznacza, że liczba, którą przedstawia a ma być pomnożoną przez liczbę, którą przedstawia b. Jeżeli a znaczy 9, b. zaś 3, wtedy a X & oznacza 27. Znak X nazywa się znakiem mnożenia i a X b czyta się va pomnożone przez b“, lub krócej „a przez b“. Podobnież a X b X c oznacza iloczyn liczb, które przedstawiają głoski a, b i c.

9.    Jednakże znak mnożenia bardzo często opuszcza się dla krótkości; tym sposobem pisze się a b zamiast a X b i ma toż samo znaczenie; pisze się także ab c w miejsce a X b X c i t. d.

Znak mnożenia nie może być opuszczonym, gdy liczby są wyrażone zwyczajnym sposobem za pomocą cyfr. Tak np. 45 nie może przedstawiać iloczynu z 4 przez 5, ponieważ 45 ma już inne, poprzednio mu nadane znaczenie, mianowicie czterdzieści piąć. Musimy przeto przedstawić iloczyn 4 przez 5 w inny sposób i wybieramy do tego sposób pisania X 4X5. Niekiedy jednak punkt jest używany w miejsce znaku X ; w uważanym poprzednio przypadku możemy napisać 4.5 zamiast 4x5. Czasami także pisze się punkt pomiędzy dwiema głoskami zamiast znaku X : tak, że a. b używa się zamiast a Xb. Lecz tutaj punkt jest zupełnie zbytecznym, gdyż a b oznacza toż samo, co a X b. Również ani punkt ani . znak X nie jest potrzebny pomiędzy liczbą przedstawioną w zwykły sposób—cyframi i liczbą przedstawioną przez głoskę: tak np. 3 a pisze się zamiast 3 X « i ma toż samo znaczenie.

10. Znak : oznacza, że liczba która przed nim się znajduje ma być podzieloną przez liczbę znajdującą się za nim. I tak a : b pokazuje, że liczba, oznaczona przez a, ma być podzieloną przez liczbę, oznaczoną przez b. Jeżeli a znaczy 8, a b znaczy 4, wtedy a : b znaczy 2. Znak ten : nazywa się znakiem dzielenia, i a : b czyta się tak: „a podzielone przez b“.

Jest jeszcze inny sposób oznaczania, że jedna liczba ma być podzieloną przez drugą; mianowicie: dzielna pisze się nad

dzielnikiem i pomiędzy nimi kreśli się linijka. Tak np. ^ używa się zamiast a : b i ma zupełnie toż samo znaczenie.

11. Głoski alfabetu i znaki, których użycie już wytłumaczyliśmy lub które w dalszym ciągu spotkamy, nazywają się, razem wzięte, symbolami algebraicznymi, ponieważ ich właśnie używamy do przedstawienia liczb, nad któremi rozumujemy, działań, które na nich wykonywamy i związków, jakie między niemi istnieją. Każdy zbiór symbolów algebraicznych stanowi to, co nazywamy wyrażeniem algebrai-cznem.

12. Podajemy tutaj kilka przykładów jako ćwiczenie na użycie tych symbolów, które były objaśnione. W przykładach tych należy znaleść wartości liczebne niektórych wyrażeń algebraicznych.

Przypuśćmy że a — X, b = 2, c = 3, d = 5, e = 6, f= 0.

Wtedy:

7 a 3 b — 2d f = 7    6 — 10 + 0 = 13 — 10 = 3.

2a&+ 8bc — ae -f d/*=4-f48 — 6-f 0 = 52 — 6 = 46.

cd

4ac ' 10he de 12    10=14—10=4.

ac

PRZYKŁADY I.

Znaleść wartości liczebne następujących wyrażeń, jeżeli:

a — 1, b= 2, c = 3, d = 4, e — 5, f= 0:

1.    9 a + 2b +3c — 2f.

2.    4 e — 3 a — 3 ć -j- 5 c.

3.    7 ae -f- 3 bc -f- 9 d — af.

4.    abcd -j- abce -f- abde -j- acde -(- bcde.

5.

4a 9 6    8 c    5d

i ~    r~^

12 a . 6 6 . 20 e 6c 'cd' de

3 bde

2 ac '

7. 7 e —}— bcd —

8.

a -j- c ] b -J- d ! c —f— c c — a

q a —j— b —|— c —|— d —|— e e — d -\- c — 6 -j- a ’

LL

Czynnik. Współczynnik. Potęga. Wyrazy.

VII.

Ba4 — 10a3ô-|-22tf262—22a/>3 + 1554 3a2 — 4ab -|- 552 + 3a4:p 4u3ó + ha2b2

xi.

1. 12 a2b2c, 1Sab2c8.

Uogólnienia działań arytmetycznych.

o —g (* + ®)-

, ciała spotkają się?

e-b

a . 10”,

Wykładniki.

Równania stopnia drugiego.

Równania dające się sprowadzić do równań stopnia drugiego.

- y,

Przedstawienia graficzne równań stopnia pierwszego.

Ułamki ciągłe.

PS)

-Pą __ +_A

4+4)+p-

3, 14159 26535 89793 23846 26133 83279 50288.

x = «Is + tl±ei=s+S' + i.

- 2, - 1, 0, 1

 r)

Postęp ilorazowy czyli geometryczny.

2

10000000

Dwumian Newtona.

10. Bachus w 6 godz., Syien w 3 godz. Równania:

Czynnik. Współczynnik. Potęga. Wyrazy.

13.    Grdy pewna liczba jest iloczynem dwóch lub ilu-kolwiek liczb, wtedy każda z tych ostatnich nazywa się czyn-nikiem tego iloczynu. Tak np. 2 X 3 X 5=30; i każda z liczb 2, 3 i 5 jest czynnikiem iloczynu 30. Albo też możemy uważać 30 jako iloczyn z dwóch czynników 2 i 15, lub jako iloczyn z dwóch czynników 6 i 5, albo jeszcze jako iloczyn z czynników 3 i 10. Podobnież 4ab możemy uważać jako iloczyn z dwóch czynników 4 i «6, lub też jako iloczyn z czynników 4a i b, albo jako iloczyn z dwóch czynników 46 i a; albo jeszcze jako iloczyn z trzech czynników 4, a i 6.

14.    Grdy liczba pewna jest iloczynem z dwóch czynników, wtedy każdy z tych czynników nazywa się współczynnikiem względem drugiego. Tak np. uważając 4a6 za iloczyn z 4 i a6, 4 nazywamy współczynnikiem dla a6, również jak i ab możemy nazwać współczynnikiem dla 4; uważając zno-wuż 4a6 jako iloczyn z 4a i z 6, nazywamy 4« współczynni-

kiem dla 5, zaś b współczynnikiem 4a. W praktyce używać będziemy wyrazu współczynnik najczęściej w pierwszem tylko znaczeniu, t. j. uważając 4 jako współczynnik ab; w tym razie wszakże, dla tern dokładniejszego wyrażenia o czem mowa, nazywać będziemy 4 współczynnikiem liczebnym. Wogó-le jeżeli jakikolwiek iloczyn składa się z jednego czynnika, wyrażonego arytmetycznie, t. j. za pomocą cyfr, i z drugiego czynnika wyrażonego algebraicznie, t. j. za pomocą jednej lub kilku głosek, wtedy pierwszy czynnik nazywa się współczynnikiem liczebnym.

15.    Grdy wszystkie czynniki pewnego iloczynu są równe, wtedy iloczyn nazywa się potęgą tegoż czynnika. Tak np. 7x7 nazywa się drugą potęgą 7; 7X7X7 nazywa się trzecią potęgą 7;7X7X7X7 nazywa się czwartą potęgą 7 i t. d. Podobnież a X ci nazywa się drugą potęgą a\ a X a X a nazywa się trzecią potęgą a\ a X a X aX a nazywa się czwartą potęgą a; i t. d. Samo zaś a nazywa si § pierwszą potęgą a.

16.    Potęga krócej oznacza się w następujący sposób: zamiast pisać wszystkie równe czynniki, pisze się ten czynnik raz jeden i nad nim liczba pokazująca ile razy on miał być powtórzony.Tak np. a² oznacza aX używasię dla oznaczenia a X a X «⁴ ma toż samo znaczenie co i fflX«X«Xfl i t. d. Zaś a¹ może być użyte do oznaczenia pierwszej potęgi a. to jest tegoż samego a; tym sposobem a¹ ma toż samo znaczenie co i a.

17. Liczba znajdująca się nad drugą liczbą, i pokazująca ile razy ta ostatnia ma być wziętą za czynnik dla utworzenia potęgi, nazywa się wykładnikiem potęgi, albo krócej wykładnikiem.

Tak np. w a³, wykładnikiem jest 3; w an , n jest wykła

dnikiem.

18. Uczący się winien bardzo starannie rozróżniać współczynnik od wykładnika. Tak np. 3 c oznacza trzy razy

po c, tutaj 3 jest współczynnikiem. Lecz c² oznacza c razy c i ten iloczyn jeszcze powtórzony razy c. To jest:

3 c — c -j- c —{— c cs=cXcXc.

19.    Potęga druga a, to jest a², nazywa się często kwadratem a, lub a podniesionem do kwadratu, potęga trzecia a, to jest a³, nazywa się sześcianem a, lub a podniesionem do sześcianu. Dla wyższych potęg niema podobnych osobnych wyrazów; ai czyta się: a podniesione do potęgi czwartej, lub a do potęgi czwartej, lub krócej a do czwartej, albo nakoniec niekiedy (choć nie zupełnie poprawnie) a cztery.

20.    Jeżeli wyrażenie algebraiczne, nie zawiera części połączonych z innemi częściami znakami + lub —, wtedy nazywa się ono wyrażeniem pojedynczem lub jednomianem. Jeżeli zaś wyrażenie algebraiczne zawiera części połączone z sobą znakami -)- lub —, wtedy nazywa się ono złożonem lub wielomianem, a te części jego, które są połączone znakami -|- lub — nazywają sią wyrazami.

I tak ax, 4zbc i 5a²c² są jednomianami; a²-\-b²— c⁴ jest wyrażeniem złożonem, i a², b² i c⁴ są jego wyrazami.

21.    Gdy wyrażenie składa się z dwóch wyrazów, wtedy nazywa się ono dwumianem,— gdy składa się z trzech wyrazów, nazywa się trójmianem; każde wyrażenie złożone z kilku wyrazów nazywa się wogóle wielomianem. Tak np. 2a-f-3ó jest dwumianem; a—2ó-j-5c jest trójmianem; a zaś a — b-\- c — d — e może być nazwane wielomianem.

22.    Liczba czynników algebraicznych nazywa się stopniem wyrazu. Tak np. a² b² c czyli a X ci X b X b Xb X e jest szóstego stopnia. Współczynnik liczebny przytem nie rachuje się wcale; 9 a² IX i a² ó⁴ są jednakowego stopnia, mianowicie siódmego.

Tym sposobem stopień wyrazu jest sumą wykładników wszystkich jego czynników algiebraicznych, przyczem należy pamiętać, że jeżeli nad głoską niema żadnego wykładnika,

wtedy należy porachować wykładnik 1, jak to było wskaza-nem w artykule 16.

23. Wyrażenie nazywa się jednorodnem gdy wszystkie jego wyrazy są tegoż samego stopnia. Tak np. 7 a³ —}— 3 a²b + -f- 4abc jest wielomianem jednorodnym, gdyż każdy wyraz jest stopnia trzeciego.

Podajemy teraz kilka przykładów dalszych na wynalezienie wartości liczebnych wyrażeń algebraicznych."

Przypuśćmy że: a — 1, b = 2, c = 3, cZ = 4, e = 5, f—0, wtedy:

b² = 4; 6³ = 8; 5⁴ = 16; 5⁵ - 32.

35² = 3 X 4 —12; 5&³ = 5 X 8 = 40; 95⁵ = 9 X 32 = 288.

= 5 ¹ =5; e* -5² = 25; 6>c = 5³ = 125.

a²bz — \ X 8 = 8; 3ó²c² = 3 X 4 X 9 = 108.

dz —|— c² — 7 oib -j- f² — 64 —j— 9 — 14_+- 0 = 59.

3c² — 4e— 10

c³ — a³

e³ + d³

e —a

= 21 — 13 = 8.

PRZYKŁADY II.

Znaleść wartości liczebne następujących wyrażeń: jeżeli a = 1; b — 2; c — 3+ = 4; e = 5; /=0.

1.    ff² + ó² + c² + ri² + e² + /'².

2.    e³ — (2³ 4-c³-&³ + «³.

3.    a&c² + ócd² — dea² + /‘³.

ą. e⁴ + 6e²ó² + ó⁴ — 4e³& — 4e&³.

a⁴-{-4a³ô-|-6a²&²-{-4aô³-j-ô⁴

a3_|_3a²&-f³«&2 + èî

7.

8.

ec + b* cb — bc *

III.

Pozostałe znaki. Nawiasy.

24.    Znak > oznacza. „większe odu, znak zaś < oznacza „mniejsze odu; tak np. a> b wyraża, że liczba oznaczona przez a jest większą niż liczba oznaczona przez &; i znowuż b <z a wyraża, że liczba oznaczona przez b jest niniejszą od liczby oznaczonej przez a. W obu przypadkach otwór kąta jest zwrócony ku liczbie większej.

25.    Pierwiastkiem kwadratowym danej liczby nazywa się taka liczba, której kwadrat jest właśnie równy liczbie danej. Pierwiastek sześcienny danej liczby jest to taka liczba, której sześcian jest równy liczbie danej: Podobnież pierwiastkiem potęgi czwartej danej liczby, jest liczba, której czwarta potęga jest równą danej liczbie i t. d.

Tak np. ponieważ 49 = 7², więc pierwiastek kwadratowy 49 jest 7; i podobnie: jeżeli a — b ², to b będzie pierwiastkiem kwadratowym a. Dalej: ponieważ 125 = 5³, przeto pierwiastek sześcienny 125 jest 5; i jeżeli a = c³, wtedy c jest pierwiastkiem sześciennym a.

26.    Pierwiastek kwadratowy z a oznacza się tak: ]/a ,

2 _

jakkolwiek może także być oznaczonym przez j/ ą . Pierwia-

Pierwiastek

K a² -f-5. ---------------—-

c²-f-e²

e² — d²

3 __

stek sześcienny z a jest oznaczony tak: f/a.

4 _

Więc: y9 = 3; j/8^=2.

Znak J/ ma być pierwszą literą zmienioną wyrazu radix, oznaczającego pierwiastek.

27.    Gdy dwie lub więcej liczb mają być przy pewnem działaniu uważane za jednę liczbę, wtedy zamykamy je w nawias. Tak np. przypuśćmy, że chcemy oznaczyć, iż suma dwóch liczb a ib ma być pomnożoną przez c: wtedy oznaczamy to w ten sposób: (a -f- b) X c, lub [a -\-b] X c; lub prościej (a -|-b)c lub \a -{- b'\ c; w każdem z tych wyrażeń cała suma a -\- b ma być pomnożoną przez c. Gdybyśmy opuścili nawias, mielibyśmy a -f bc, i w tern wyrażeniu tylJco b ma być pomnożone przez c i wypadek dodany do a. Podobnie (a-\-b— c)d oznacza, że cały wypadek a-\-b — c ma być pomnożony przez d; gdybyśmy zaś opuścili nawias, wtedy mielibyśmy a-\-b— cd, i wtem wyrażeniu tylko c ma być pomnożone przez d i wypadek odjęty od a + b.

Również {a — bĄ-c) X (<2 + e) oznacza, że wypadek a — b-\-c ma być pomnożony przez wypadek z d-\-e. To działanie może być oznaczone prosto w ten sposób (a — b-\-c) (d-j-e), podobnie jak «X b było skrócone na ab.

Podobnież (a -f- b -\-c) oznacza, że należy najprzód znaleść wypadek z działania wyrażonego przez a-\-b -j- c, i następnie znaleść pierwiastek kwadratowy z- tego wypadku.

Podobnież (ab)² oznacza ab X ab, równie jak (ab)³ oznacza a,b X ab X ab.

Podobnie jeszcze (a -\-b — c): (d -\- e) oznacza, że wypadek wyrażony przez aĄ-b— c ma być podzielonym przez wypadek wyrażony przez d -J- e.

28.    Niekiedy zamiast nawiasu kreśli się linia nad temi liczbami, które mają być uważane jako jedna liczba. Tak np. a — b Ą- c X d -\~ e używa się zamiast (a — b -\--j- c) X (d -f- e). Linia nakreślona i zastępująca nawias na-

żywa się vinculum ¹). Podobnie wyrażenie (a-\-b—c) : (dĄ-e) może być tak napisane

d-fe ’

tutaj linia nakreślona pomiędzy a-\-b — c i d Ą-e zastępuje

nawiasy.

29.    W tern co poprzedza objaśniliśmy wszystkie znaki używane w algebrze. Należy tu jeszcze zauważyć, że w wielu przypadkach wyraz znak używa się specyalnie dla oznaczenia dwóch znaków -(-i — ; tak np. w wyrażeniu prawidła na odejmowanie mówić będziemy o zmianie znaków, rozumiejąc pod tern znaki -j- i — ; podobnież w mnożeniu i dzieleniu mówić będziemy o prawidle znaków, rozumiejąc pod tern prawidło odnoszące się do znaków + i — .

30.    Podamy tutaj kilka nowych jeszcze przykładów na wynajdywanie wartości liczebnych wyrażeń:

Przypuśćmy, że a — 1, b =2, c = 3, d=5, e — 8. Wtedy:

|/2&+4e = 4—(—12 = j/l6—4k;

toż samo można inaczej napisać tak:

y (26+4c) = y (4 + 12) - y (16) = 4.

3    3    3

y~4c^2b = //12—4.1= y8 - 2.

ey 2+++C — (2d — b) j/4c —26 = 8 X 4 — 8 X 2 = 32-

— 16 - 16.

y Je—b) (2 a—“5V) = y ( 8-2) (16 — 10) =    6.

[ (e — d) (b-j-c) — (d — c) (c + a) ] (a-j-d) = [3 X 5 — 2 X

X 4] 6 = (15 — 8) 6 = 7 X 6 — 42.

J) Możnaby ją nazwać po polsku kreską, jak to robi Śniadecki, gdyby zaszła tego potrzeba.

3 _ _____

— ‘żab ~

J/c³ + 3c²5 + 3e&² + b³: ]/ a² + 62 = j^27+54+36++}/l+4—4 = ]/Ï25:1=^5.

PRZYKŁADY III.

Znaleść wartości liczebne następujących wyrażeń algebraicznych, wiedząc-że:

6i = l, b~ 2, c = 3, <^=5, e — 8:

2. c (e — d).

1. a (b —j— ej]

3. &²(a²+e²— c²);

4.

a² + c² + d2 a² + b² ’

5.    |/2& + 4^ + 5e;

6.    (a + 25 + 3c+5e—4d) (6e —5d— 4c — 3b + 2a)

7.    (3^² — 7 c²)² ;

[ J/ e+1 + 2 ] + (e — Y e ) ]/' e

+ j/b²-j-c² — żbc .

8. 6 —

— 4.

9. J/ c³—3e²« + 3ca²

IV.

Zmiana porządku wyrazów. Wyrazy podobne.

31. Gdy wszystkie wyrazy jakiegokolwiek wyrażenia algebraicznego są połączone znakiem +, wtedy obojętną jest rzeczą w jakim porządku są one napisane: tak np. 5+7 i 7 + 5 dają tenże sam wypadek, mianowicie 12. Również a -\-b i 5 + a dają tenże sam wypadek, mianowicie sumę tych liczb, które są przedstawione'głoskami a i b. Fakt ten możemy wyrazić algebraicznie w ten sposób:

a —|— b = b —j— a.

I podobnie:

a + b + ć = a + c + 5 — b + 6 + a.

Ażeby przedstawić to graficznie, odcinamy na linii prostej kolejno a, potem b, potem c; na drugiej prostej układamy te odcinki w porządku a, c, 5, na trzeciej wreszcie &, c, a. Wszystkie trzy otrzymane odcinki okażą się równymi:

li ' c

32.    Grdy wyrażenie składa się z pewnej liczby wyrazów, poprzedzonych znakiem -[- i pewnej liczby wyrazów, poprzedzonych znakiem — , wtedy możemy napisać najprzód pierwsze wyrazy w takim porządku, w jakim nam się spodoba i następnie drugie wyrazy, także w takim porządku, w jakim chcemy. Jest to widoczne z ogólnych zasad arytmetyki. Tak naprzykład:

7 —j— 8 — 2 — 3 = 8 —{— 7 — 2 — 3—7 -{- 8 — 3—2 = 8 —j— 7 —

—    3 — 2.

a~\-b — c — e — b a — c — e — aĄ-b — e — c = b-\-a —

—    e — c.

33.    W niektórych przypadkach możemy zmienić dalej jeszcze porządek wyrazów, mieszając wyrazy, które są poprzedzone znakiem — . Tak np. przypuszczając, że a równa się 10, b jest równe 6, à c jest równe 5, mamy:

a-\-b — e = ą — c-\-b =b — c-\-oą gdyż w każdym razie otrzymujemy na wypadek 11.

Lecz przypuśćmy, że a jest równe 2, b jest równe 6, a c równa się 5; wtedy wyrażenie a — c-\-b przedstawia pewną trudność, gdyż w niem wypada odjąć większą liczbę od mniejszej, mianowicie 5 od 2. Przyjmiemy tutaj, że takie wyrażenie jak a—c —J— ó>, gdy c jest większe od a, ma toż samo znaczenie co i a-\-b —c. Na teraz nie będziemy jeszcze używać takiego wyrażenia jak a-\-b — c w innem znaczeniu, jak tylko w takiem gdy c jest mniejsze aniżeli a-j-5; tym sposobem ci -j- b — c nie przedstawia żadnej trudności. Podobnież uważać będziemy —b-\-a jako mające toż samo znaczenie, co i a — b. Ilustrują to następujące rysunki:

-b

Czy od a odetniemy b, czy też do — b dodamy odcinek a, zawsze otrzymamy jedną i tę samą długość AC.

34.    Tym sposobem wartość liczebna wyrażenia algebraicznego pozostaje bez zmiany, jakikolwiek byłby porządek wyrazów, które je składają. Wypływa to, jak widzieliśmy, w części z naszych pojęć o dodawaniu i odejmowaniu, w części zaś z umowy, jakie znaczenie należy przypisywać wyrażeniu algebraicznemu, do którego ściśle biorąc, nasze zwykłe pojęcia arytmetyczne zastosować się nie dadzą.

35.    Często nam wypadnie, podobnie, jak to miało miejsce w art. 32, rozróżniać te wyrazy w wyrażeniu algebrai-cznem, które są poprzedzone znakiem -J- , od tych wyrazów, które są poprzedzone znakiem — ; i z tego powodu następujące określenie zostało przyjętem: Te wyrazy, które w wyrażeniu algebraicznem są poprzedzone znakiem -|- nazywają się wyrazami dodatnimi; te zaś wyrazy, które są poprzedzone znakiem —, nazywają się wyrazami ujemnymi, zgodnie z tern, co było powiedziane we wstępie o wielkościach dodatnich i ujemnych.

36.    Oczywiście może się przytrafić w wyrażeniu algebraicznem taki wyraz, który nie jest poprzedzony żadnym znakiem\ takim jest mianowicie wyraz pierwszy. Taki wyraz zalicza się zawsze do wyrazów dodatnich, to jest uważa się tak, jak gdyby przed nim znajdował się znak -\- . Jeżeliby w porządku wyrazów wielomianu wprowadzono taką zmianę, że wyraz, który stał z początku na pierwszem miejscu

a-\-'b — c — b -f a — c = b — c —|— a; tntaj wyraz a nie ma żadnego znaku przed sobą w pierwszem wyrażeniu, lecz w innych, równoznacznych wyrażeniach jest on poprzedzony znakiem -j- . Stąd mamy następujący ważny dodatek do określenia w art. 35: jeżeli wyraz nie ma przed sobą żadnego znaku, wtedy należy się przed nim domyślać

i nie był poprzedzony żadnym znakiem, zajął następnie inne miejsce, w takim razie przed nim należy napisać znak -}- * Naprzykład:

znaku -j- .

37. Wyrazy nazywają się podobnymi wtedy, gdy albo niczem się nie różnią od siebie, albo też gdy się różnią tylko swoimi współczynnikami liczebnymi; w przeciwnym razie nazywają się niepodobnymi. I tak: u, 4a, 7a są wyrazami podobnymi; a², ba² i 9a² są wyrazami podobnymi ab: 3 ab, 8 ab są również podobne; lecz u², ab i b² są wyrazami niepodobnymi.

38. Wyrażenie, które zawiera wyrazy podobne, może być uproszczone. Tak np. uważmy wyrażenie:

6a, — a: -j- 3 b -f 5c •— b -f 3c — 2 a: na zasadzie art. 33, to wyrażenie jest równoznaczne z wyrażeniem:

6 a — a —■ 2 a -f- 3 b — b -j- 5 c -f- 3 c.

Lecz 6« — a — 2a = 3a; gdyż jakąkolwiekby a oznaczało liczbę, zawsze jeżeli od 6a odejmiemy a pozostanie 5a, jeżeli zaś od 5 a odejmiemy 2 a, pozostanie 3 a. Podobnież 3 b — b — 2 b i 5 c —{— 3 c = 8 c. Tym sposobem powyższe wyrażenie może być przedstawione w prostszej postaci:

'6 a -j- 26 -j- 8c.

Inny przykład: weźmy pod uwagę wyrażenie a: — 3 b—4 b. Jest ono równe a 7 b. Grdyż jeżeli od pewnej liczby a mamy odjąć 3 6, a następnie od pozostałej reszty odjąć jeszcze 46, wtedy oczy wiście^otrzymamy ten sam wypadek za porno-cą jednego działania, odejmując 7 & od a\ wypływa to z pierwszych zasad arytmetyki. Więc:

a — Sb — 4 b = a — Ib.

39. Możemy teraz objaśnić znaczenie takiego wyrażenia, jak następujące:

_ 3b — 4& = — Ib.

Nie możemy odjąć Sb od niczego i następnie odjąć 4b od pozostałości, tak, że powyższe wyrażenie nie jest zrozumiałem samo przez się, będąc oddzielone od reszty pewnego zdania algebraicznego, w którem może się ono przytrafić. Lecz może być ono wytłumaczone w taki sposób: jeżeli w ciągu jakiegokolwiek działania algebraicznego mamy odjąć 3 b od pewnej liczby, a następnie odjąć 4ó od reszty, wtedy zamiast tych dwóch działań możemy odrazu odjąć 7 b.

> Jeżeli jednak wyrażenie dane stosuje się do wielkości, którym można nadawać wartości ujemne, np. do odległości, wtedy nabiera ono znaczenia bez względu na to, czy wykonywamy nad nim jakiekolwiek dalsze działanie, czy też nie.

40. Upraszczanie wyrażeń przez łączenie wyrazów podobnych, jest istotną częścią działań dodawania i odejmowania w algebrze, jak zobaczymy to w dwóch następnych rozdziałach.

Uczący się powinien zapamiętać, że podług naszych określeń następujące wyrażenia są równoznaczne z prostym symbolem a:

PRZYKŁADY IV.

Znaleść wartości liczebne następujących wyrażeń: jeżeli a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5:

1. (flĄ-b) (5—f— c) — (5 + c) (c-\-d) -\-{c-\-d) (d-f-e).

5d -j- 4e

4a + 36 4c -j- 3d 6 -j- c 6 -j- d ' a-\-d-\- e '

3. {a — 26-}-3c)² — (b — 2c-f3d)²-f (c — 2d-|-3e)².

. a⁴ — 4a³c-(-6» ²c² — 4ac³ + c4 • bi -46³c-f 6b²c² — 46c³-f c4>

5. 5 «² —f— 3 aó—2 6²— a6-}-96²— 2ab

6    ^² + 2a5 + &²

a + b

Ib².

7. J/e* + d² + ca — a².

b² + 2bc -f c² c² + 2 cd-f d*_ c —|— d

8.    J/2b² -fi c² — a.

b Ą-c

V.

Dodawanie.

41. W dodawaniu mogą się przytrafić trzy przypadki:

I. Gdy wszystkie wyrazy dane do dodania są podobne i mają ten sam znak; II. Gdy wyrazy wszystkie są podobne, lecz nie wszystkie mają ten sam znak; III. Gdy nie wszystkie wyrazy są podobnymi. Rozbierzemy trzy te przypadki kolejno.

42. I. Aby dodać wyrazy podobne, mające ten sam znak, należy dodać ich współczynniki liczebne, napisać przed sumą znak wspólny, a za nią głoski wchodzące do wszystkich wy-razów:

Kaprzy kład:

6 a -(- 3 a -f- 7 a = 16 a,

— 2 bc — Ibc — 9 bc = — 186c.

W pierwszym przykładzie Qa znaczy toż samo co i +6«, 16 a zaś toż samo co -j- 16 a. (Art. 36).

43. II. Aby dodać wyrazy podobne, nie mające jednakowych znaków, należy dodać wszystkie współczynniki liczebne dodatnie, następnie oddzielnie dodać wszystkie współczynniki liczebne ujemne; odjąć od większej sumy mniejszą i przed różnicą napisać znak sumy większej, a za nią napisać wszystkie głoski, icchodzące do wyrazów.

Naprzykład:

Z a — 3 a -|- lia -j- a — 5 a — 2 a — 19 a — 10a = 9a.

2bc — 7 bc — 3öc —{— 4-j- 5&c — 6&e=ll bc—16 bc= —bbc.

44. III. Aby dodać wyrażenia, składające się nie z samych tylko wyrazów podobnych: należy najprzód dodać wyrazy podobne na zasadzie prawideł podanych w poprzednich przypadkach i następnie dopisać pozostałe wyrazy każdy ze swoim właściwym znakiem,

Naprzykład, dodać:

4a-|-5& — 7c-\-3d] 3a — & —j— 2c —f— 59a — 26—c — d, i —a-j-3&-j-4c— 3 de.

Dogodną jest rzeczą przy podobnem dodawaniu ułożyć wyrazy w kolumny tak, że wyrazy podobne znajdują się w jednej kolumnie. Czyniąc to w powyższym przykładzie, będzie:

4 a -{- 5 & —'7 c    3 d

3 a — b -\-2c -\-hd 9 a — 2 b — c — d — a-f-3&-f-4c—3 de

15 a -\-bb — 2c -J- 4d -[- e.

ca

Tutaj wyrazy 4 a, 3 a, 9 a i —a są podobne, suma współczynników dodatnich jest 16; jeden wyraz jest ujemny, mianowicie — a, wartość jego współczynnika jest 1. Różni-pomiędzy 16 i 1 jest 15; tym sposobem otrzymujemy -f 15a z tych wyrazów podobnych; znak -j⁻ może być opuszczonym, na zasadzie art. 36. Podobnież otrzymujemy 5 o    b

— 2b -\- 3b =zhb. I tak dalej.

45. W następujących, przykładach wyrazy są już odpowiednio ustawione w kolumnach: x³ +■ 2a?² — 3x -f- 1 4 x³ + 7 x² Ą- x — 9 —2 a?³ -f x²— 9a?-j-8 -—3x³ — x² -f 10a? — 1

a² + ab -(- b² — c

3    a² — 3 ab — 75²

4    a² -f 5 ab -f 9 b2 a² — 3 ab —> 3 b²

9 x² — x — 1

9 a²

— c.

W pierwszym przykładzie, w pierwszej kolumnie mamy x³ -f- 4a?³ — 2 a?³ — 3 a?³, to jest 5a?³ — ox³, czyli zero; tego rodzaju wypadek wyrażamy zwykle mówiąc, że wyrazy Jctóre zawierają x³ wzajemnie się znoszą.

Podobnież w drugim przykładzie wyrazy, zawierające ab znoszą się wzajemnie, jak również i wyrazy, które zawierają b².

1 x² — 3 xy 3x²

+ x

4 a?²

— y² + 3x— y —2 a?² -f- 4xy -j- by²— x — 2y — 7xy — y² -\-9x — by -f- 4:1f² — 2x

12 x² — Gxy -J- 7 y² -)- 10a? — 8 y.

PRZYKŁADY V.

Dodać następujące wyrażenia:

1.    3a — 2b, 4a — 55, 7a — 115, a -(- 95.

2.    4a?² — 3y², 2a?² — 5y², -x²Ą-y², —2a?²-j-4y².

3.    x — 4a -j- b, 3x -j- 25, a — x — bb.

4.    a-\-b — c, ô —f— c — a, c Ą- a — 5, a-\-b — c.

5.    a — 2b -(- 3c — 4d, 3b — 4c-f-5^ — 2a,5c — Gd-\-

-j- 3a — 45, 7d — 4a -f-.bb — 4c.

6.    a?⁴ — 2a?³ -J- 3a?²,    a?³ -j- a?² + x, 4a?⁴ -f 5a?³, 2a?² +

-j- 3a?— 4, — 3a?² — 2a? — 5.

7.    2ab — 3aa?² -j- 2a²a?, 12ab -}- lOua:² — 6a²a?, — 8ab -|-

+ aa?³ — 5a²a?.

8.    a?³ -j- a??/² -|- a?^² — x²y — xyz — x²z,

x2y H⁻ y³ ~\~ yz² ~ xy² —y2z — xyz»

a?²£ -j- ?/²2? -j-    — a?2/£ — ?/0² — xz².

VI.

Odejmowanie.

46. Przypuśćmy, że mamy odjąć 7,-f- 3 od 12; wypadek będzie ten sam, jeżeli odejmiemy najprzód 7 od 12, a następnie od reszty odejmiemy 3; to jest otrzymany wypadek będzie: 12 — 7 —3.

Tym sposobem:

12 — (7 —(— 3) = 12 — 7 — 3.

Tntaj 7 + 3 zamykamy w nawias, gdyż mamy odjąć całą sumę 7 -)- 3 od 12; patrz art. 27.

Podobnież:

20 — (5 —|— 4 —j— 2) =20 —5 — 4—2.

Przypuśćmy dalej, że mamy odjąć b -f- c od a; wypadek będzie ten sam, jak gdybyśmy najprzód odjęli b od «, a następnie c od reszty; to jest wypadek szukany będzie: a — b — c.

Tym sposobem: a — (b -j- c) — a — b — c.

I tutaj b -j- c zamykamy w nawias, w pierwszem wyrażeniu, gdyż mamy odjąć całkowitą sumę b -j- c od a.

Podobnież:

ci — (b —|— c —|— £?) — a b c d'

Wyrazy odjemna i odjemnik używają się w algebrze w tern samem znaczeniu, co i w arytmetyce.

47. Przypuśćmy teraz, że mamy odjąć 7 — 3 od 12. Jeżeli 7 odejmiemy od 12, wtedy otrzymamy 12—7; ale wtedy odjęliśmy zbyt wiele od 12, gdyż mieliśmy odjąć nie 7, lecz 7 zmniejszone o 3. A zatem otrzymany wypadek należy nam powiększyć o 3; i tym sposobem otrzymamy:

12 _ (7 — 3) = 12 — 7 + 3.

Podobnież:

12 — (7 + 3 — 2) = 12 — 7 — 3 -}- 2.

Przypuśćmy dalej, że mamy odjąć b — c od a. Jeżeli odejmiemy b od a, wtedy otrzymamy a — b; lecz wtedy odjęliśmy zbyt wiele od a, gdyż mieliśmy odjąć niefr, ale b zmniejszone o c. Wypadek otrzymany należy zatem powiększyć o c, i tym sposobem otrzymamy:

a — (b — c) = a — b -|- c.

W podobny sposób:

a — (b -(- c — d) =a — b — c~\~ d.

48. Ostatni przykład:

a — (b-\-c — d) — a — b — cd

pokazuje nam, że jeżeli b -j- c — d odejmiemy od a, wtedy na wypadek otrzymamy a — b — c-\-d. Widzimy tutaj, że w wyrażeniu, które należało odjąć, znajduje się wyraz — ćZ, w otrzymanym zaś wypadku znajduje się odpowiedni wyraz -j- d, również w tym samym odjemniku znajduje się wyraz -j- c*, w wypadku odpowiedni mu wyraz —c\ i nakoniec w odjemniku mamy wyraz ć, a w otrzymanej reszcie znajduje się wyraz — b.

Ti tego i z innych przykładów, podanych w dwóch poprzednich artykułach, wyciągamy następujące prawidło na odejmowanie: należy zmienić znaki na przeciwne w wyrazach odjemnika i następnie wszystkie wyrazy tak odjemnej jak i od-jemnika dodać.

Naprzykład: od 4cc—3y -j- 2z odjąć: 3x— y -{- z. W tym celu należy we wszystkich wyrazach odjemnika, t. j. w 3x — y -j~ £ zmienić znaki na przeciwne; będzie:.— 3a?—|-y— z, i następnie dodać do 4# — 3y-1- 20; otrzymamy:

— 3y -J- 2^ — 3x-\~y — z~x — 2y-\- z.

Od 3x⁴ -^-öx³ — Gx² — 7x-\- 5 odjąć 2x⁴ — 2;r³-j-5;r²— 6x—-7.

Należy zmienić wre wszystkich wyrazach odjemnika znaki na przeciwne i następnie postępować jak przy dodawaniu; mieć będziemy:

3x⁴ -j- 5x³ — 6x² — 7x-\- 5 4- 2x⁴ + 2a;³ ■+ 5x² + 6x + 7

x⁴ —7 x³ — 11 x² — œ + 12.

Uczący się powinien z początku wykonywać wszystkie działania w zupełności, tak jak to pokazano wyżej; lecz stopniowo powinien przyzwyczaić się do wynalezienia ostatecznego wypadku bez rzeczywistej zmiany znaków, a dokonywaj ąc te zmiany w pamięci.

49. Widzieliśmy że:

a — (b — c) = a — b -|- c.

A zatem wyrazowi — c odjemnika odpowiada wyraz -j- c reszty. Jeżeli a, b, c, oznaczają długości odcinków linii prostej, wyrażone w jakichkolwiek jednostkach, wtedy działa-

nie powyższe przedstawi się na

rysunku jak następuje:

a-l 6

o;

c \b~ca

a-(b-c )

Można więc albo znaleść naprzód b — c i odciąć od a, albo też odciąć tylko b, a do odcinka jaki pozostanie, t. j.

a — b dodać jeszcze c. I wogóle przez odejmowanie odcinka ujemnego — c rozumieć będziemy dodawanie odcinka dodatniego -|-c, co można wyrazić w ten sposób: —(—ć) = -j- c. Z tego powodu, jeżeli spotkamy się z zadaniem tego rodzaju: od a odjąć— C] to za wypadek przyjmiemy a-\-c. Objaśnić to możemy jeszcze w podobny sposób jak w artykule 39, uważając, że podobne działania mają znaczenie nie same przez się, ale tylko w związku z innemi częściami pewnego działania algebraicznego.

Można tutaj jeszcze dodać kilka uwag, dopomagających do lepszego zapamiętania otrzymanych wypadków, i zarazem, być może, do zrozumienia przyczyn, dla których działania te w ten sposób się wykonywają.

I tak: możemy naprzykład powiedzieć, że: a — a -{- c —c; skąd wypada, że jeżeli —c odejmiemy od a, pozostanie a-\-c.

Musimy tu jeszcze zwrócić uwagę na to, że wyrazy dodawanie i odejmowanie nie zupełnie toż samo mają znaczenie w algebrze, co i w arytmetyce. W arytmetyce dodawanie zawsze pociąga za sobą powiększenie, odejmowanie zaś— zmniejszenie; lecz w algebrze po dodaniu — 3 do 5 otrzymamy sumę algebraiczną 2; po odjęciu zaś — 3 od 5 otrzymamy różnicę algebraiczną 8.

PRZYKŁADY VI.

odjąć 4a -j- 106.

,,    2 a — 2 b — 3 c.

bx¹ — Qx -j- 3.

3.    Od lx² 1 — 8x — 1 „

4.    Od 2x¹ — 2ax -}- Ba¹ odjąć x¹ — ax-j- a¹.

5.    Od lx³ — 2x¹ + 2x -f 2 odjąć 4#³ — 2x¹ — 2x —14

i od reszty odjąć 2:r³ — 8x¹ -|-Ax -j- 16.

¹

   Od 6a — 26 — c

²

   Od la + 146

VII.

Nawiasy.

50. Z powodu wielkiego znaczenia i częstego użycia nawiasu w algebrze, konieczną jest rzeczą aby uczący się znał dokładnie prawidła, odnoszące się do jego użycia, i dla tego też podajemy je poniżej.

Gdy wyrażenie wzięte w nawias jest poprzedzone znakiem, -j- , wtedy nawias może być bez żadnej zmiany opuszczony.

Gdy przed naiuiasem, zamykającym wyrażenie algebraiczne, znajduje się znak — , wtedy naivias może być opuszczony, ale przy jednoczesnej zmianie znaków na przeciwne przy wszystkich wyrazach, znajdujących się wewnątrz nawiasu.

Tak naprzykład:

a — b -f- (c — d -Ą- e) = a — b -f- c — d-\- e.

a — b — (c — d-\- e) = a — b — c-\- d — e.

Drugie prawidło już było objaśnione w art. 48; jest to właściwie prawidło na odejmowanie. Pierwsze prawidło może być objaśnione w podobnyż sposób.

51. W szczególności uczący się powinien zwrócić uwagę na następujące wyrażenia:

_|_ (_- d) = — d\ — (— d) = + d\

— e.

+ H-e) = +e; — (+e) =

Przyjmiemy je tutaj jako prawidła, które do pewnego stopnia mogą być objaśnione tak, jak w art. 39.

52. Mogą się przytrafić wyrażenia, zawierające więcej

zno-

niż jedną parę nawiasów; nawiasy te mogą być kolejno szone za pomocą prawideł poprzednich, zaczynając od zniesie nia nawiasu wewnętrznego. Tak naprzykład:

Podobnież:

a — [& — j c — (d — e) | ] = a — [b — je — d -\- e\] = a — b — c —j— d — e J ==: a — b —j- c — d —j⁻ e.

Widzimy z tych przykładów, że dla uniknięcia zamieszania pomiędzy rozmaitemi parami nawiasów, dajemy każdej parze inny kształt. Czasami w tym samym celu piszą się nawiasy tego samego kształtu, lecz różnej wielkości.

Linijka, napisana nad wyrażeniem algebraicznem, może zastąpić nawias, patrz art. 28. Tak naprzykład:

a — [b — j e—(d—e—/) j ] = a—[b — je — (d —    j ] =

= a — [b — je — d-j- e — /j] — a — [b — c-(- d—e -(-/] —

— ci — b —|— o — d —|— e — f.

53. Zalecamy uczącemu się znosić nawiasy zawsze w porządku wskazanym w powyższym paragrafie; mianowicie przez usunięcie naprzód najbardziej wewnętrznego nawiasu, następnie przez' usunięcie najbardziej wewnętrznego z pozostałych i t. d. Możemy jednak zmienić ten porządek: lecz jeżeli znosimy nawias, zawierający wewnątrz inne wyrażenie wzięte w nawias, wtedy w tem ostatniem wyrażeniu nie należy robić żadnej zmiany w znakach. Wyrażenie to bowiem musi być uważane jako jeden wyraz. I tak:

a —|— [ó —|— (c — d)~\ — a -\-b -\- {c — d) — a-\-b-\-c — d, a -f [5 — (c — d) ] = a -(- b — (e — d) = a -j- b — c -f- d: a — [7> -|- (c — d) ] = a — b — (e — d) = a — b — e -j- d. a — \b — (c — d) ] = a — 5 -j- (c — d) — a — b -\- c — d.

Również:

»

a ~\J> — I c — (d — e) | ] = a — b -\-\c — (d —e)\ = a — b —|— o — (d — e)

I w podobny sposób: d — | c — (d — e — f) | ] — ci — b —j— | c — (d — e — f) j = — a — b-\-c — (d — e — f) — a — b c — d-j- e — f — a — — b o — d-l~e — f.

Często dla dogodności w rachunku wypada dwa lub więcej wyrazów zamknąć w nawias; prawidła na wprowadzenie nawiasów wypadają bezpośrednio z prawideł na zniesienie nawiasu.

Jakakolwiek liczba wyrazów w demem ivijraèeniu może być zamkniętą w nawias, przed którym piszemy znak -J-.

Jakakolwiek liczba wyrazów w danem wyrażeniu może być wziętą w nawias, przed którym piszemy znak — , byleby znak każdego z wyrazów, zamkniętych w tym nawiasie, został zmieniony.

Tak naprzykład:

a — b c — d -j- e — a — b -f- (c — d -f- e). lub — a — b -j- c 4- ( — d -(- e), lub — a — (b — g -}- d — e), lub też — ci — b — ( — c -\- d — e).

W podobny sposób można wprowadzić w wyrażenie więcej niż jedną parę nawiasów. Naprzykład:

a — b -j- c — d -j- e = a — [5 — c d — e] =

d -f- e) ] .

= a — [ b — (c

PRZYKŁADY VII.

Uprościć następujące wyrażenia przez zniesienie nawiasów i następnie zebranie wyrazów podobnych w jeden wyraz:

1.    3a — b — (2a

&);

2.    1 — (1 — a) -1- (1 — a -J- a²) — (1 — a -j-a²—a³).

3.    a — b -j- c — (b—a + c) -j- (c— a-j-ć) — (a—c-f-ć).

4.    a — [ 2& — (3c -}- 2ô — a) ] ;

5.    2a — (3& -j- 2c) — [5b — (6c — 6&) -j- 5c — j 2a —

— (c + 2&) | J.

6.    15o? — | 4 — [3 — 5o? — (3a? — 7) ] j .

7.    x⁴ — [ 4a?³ — | 6jc² — (4a? — 1) j ] — (a?⁴ -j- 4a?³ -f-

-j- 6a?² -|- 4a? -f 1).

VIII.

Mnożenie.

55. Przypuszczamy tutaj, że czytelnik zna już z arytmetyki tę zasadniczą prawdę, że iloczyn ilukolwiek czynników zawsze pozostaje ten sam w jakimkolwiek porządku będą wzięte czynniki; tak np. 2X3X5 = 2X&X3 = = 3 X 5 X 2 i t. d. Podobnie abc — acb — bca i t. d.

Podobnie jeszcze i c (a -j- b) jest równe (a -4- b) c, gdyż każde z tych wyrażeń oznacza iloczyn, powstały z pomnożenia tych samych dwóch czynników: jeden z nich jest c, a drugi a + b.

Rozróżniamy trzy przypadki w mnożeniu, mianowicie:

I. mnożenie jednomianów; II. mnożenie wielomianu przez jednomian; III. mnożenie wielomianów. — Rozbierzemy kolejno trzy te przypadki.

56. I. Przypuśćmy, że mamy do pomnożenia 3a przez Ab. Iloczyn z tych dwóch ilości może być tak napisany: 3 X a X 4 X b, czyli: 3 X 4 X a X b\ iloczyn ten więc jest równy: 12 ab. Stąd wyciągamy następujące prawidło na mnożenie jednomianów: należy pomnożyć współczynniki liczebne i następnie dopisać głoski za tym iloczynem.

Tak naprzykład:

7a X 3 bc — 21 abc.

4a X 5 J X 3 c = 60 abc.

57. Aby pomnożyć potęgi jednej i tej samej liczby należy tylko dodać wykładniki.

Naprzykład, przypuśćmy, że mamy pomnożyć«³przez a². Na zasadzie paragrafu 16:

i:

a* — a X u X a, a² — a X

przeto:

a³ X «² = a X ci X ci X a X ci = a⁵ = a³+². Podobnie:

A X c³ — c X c X c X c X c X c X c = c⁷ = c⁴+³. W takiż sam sposób możemy się przekonać o prawdziwości tego w każdym innym przypadku.

58. II. Przypuśćmy, że mamy pomnożyć a-\-b przez 3. Mieć będziemy:

(a —j— b) X 3 — 3 («    —j—    b) a    —|—    b    —|—    a —J—    b    —J—    a -J- b —

= 3 a -j- 3Z>.

I podobnie:

(a -f— 5) X 7 = 7 (a -|— b) — 7a —|- Tb. Przypuśćmy dalej, że mamy pomnożyć a -j- b przez c. Otrzymamy:

(a -j- b) c = c {a -|- b) = ca -f- cb.

W podobny sposób mieć będziemy:

(a — b) X 3 = 3 (a — b) — Sa — Sb] 7 {a — b) = 7a — 7ć;

(a — b) c — c (a — b) = c a — cb.

Stąd wyciągamy następujące prawidło na mnożenie wielomianu przez jednomian: należy pomnożyć każdy wyraz wielomianu przez ten jednomian, przed każdym z tych iloczy-

Algebra nów napisać znak odpowiedniego wyrazu i następnie tak otrzymane iloczyny zebrać w jednę całość (dodać).

59. III. Przypuśćmy, ze mamy do pomnożenia a-\-b przez c-\- d.

Tak jak w drugim przypadku mamy naprzód:

(a —j— b) (c -f- d) = a (c —J⁻ d) —j⁻ b (c -j- d); lecz. a (c J~ d) — ac —j⁻ ad; b (c —j- d) — bc —j- bd₁ przeto:

(a —j— b) (c -j— d) = ac —[— ad —|— bc —j— bd.

Dalej przypuśćmy, że mamy pomnożyć a — b przez c-\-d. (a — b) (c —(- d) — a (c-\- d) — b (c -J- d); lecz: a (c -j- d) = ac -f- ad; b (c -|- d) — bc-\- bd-, przeto:

(a — b) (c -j- d) = ac -j-ad — (bc -}- bd) =

— ac -\- ad — bc — bd.

Podobnież, jeżeli chcemy pomnożyć a-\~b przez c — d,

będzie:

(a -j- ó) (c — d) = (c — d) (a -j- b)

= c (a -J- b) — d (a -f- b)

= ca -f- cb — (da -j- db) = ca -f- cb — da — db. Nakoniec przy mnożeniu a —b przez c —d otrzymamy: (a — b) (c — d) = (c — d) a — (c — d) b\

a że: (c — d) a — ac — ad\ (c — d) b = bc — bd; przeto (a — b) (c —d) — ac — ad — (bc — bd) — ac — ad — bc -j— bd.

Rozbierzmy teraz uważnie ten ostatni wypadek. Na zasadzie paragrafu 36 możemy powyższe wyrażenie napisać tak:’ (-j- a — b) (-)- c — d) — —ac — ad — bc -j- bd.

Widzimy z tego, że wyrazom -f- a w mnożnej i -j- c w mnożniku, odpowiada wyraz -j- ac w iloczynie; wyrazom -j- a i — d odpowiada wyraz — ad w iloczynie; wyrazom — b i —(— c odpowiada wyraz — bc iloczynu i nakoniec wyrazom — b i -— d odpowiada wyraz -J- bd w iloczynie.

Podobne uwagi można zrobić odnośnie do innych trzech wypadków; wszystkie te uwagi streszczają się krótko w następującym ważnym prawidle w mnożeniu: jednakowe znaki dają znak -j- , różne znaki dają znak — . Prawidło to nazywa się prawidłem znaków, i pod tą nazwą często do niego odwoływać się będziemy.

60. Możemy teraz dać prawidło ogólne na mnożenie wjuazów algebraicznych: należy pomnożyć każdy wyraz mnożnej przez każdy wyraz mnożnika; tam gdzie wyrazy mnożone mają znaki jednakowe należy przed iloczynem napisać znale-j-, gdzie zaś wyrazy mnożone mają znaki różne, należy przed iloczynem napisać znak — ; i tak otrzymane iloczyny dodać dla utworzenia zupełnego iloczynu.

hTaprzykład: pomnożyć 2a -j- 35 — 4c przez 3a — 45.

Będzie:

(2a -j— 3b — 4c) (3a — 45) = 3a (2a —|— 35 — 4c) — 45 (2a —j— 35 — 4ć) = 6a² -f- 9ab — 12ac —

— (Sab + 125² — 165c) = 6a² -f 9ab — 12ac — Sab — — 125² + 165c.

Jest to właśnie wypadek jaki otrzymamy stosując powyższe prawidło; możemy go uprościć i sprowadzić do takiego wyrażenia:

—j— ab — 12ac — 125“ —(— lG5c.

Możemy toż prawidło sprawdzić jeszcze i objaśnić na mnożenia, np. 6 — 3 -|- 2 przez 7 + 3 — 4; znajdziemy, że postępując podług prawidła i łącząc w jedno wypadki, otrzymamy 30; to jest 5X6, jak to możemy znaleść inną drogą.

61. Zgodnie z prawidłem, podanem w art. poprzedzającym, możemy rozszerzyć pojęcie mnożenia i na liczby ujemne, w następujący sposób:

Przez iloczyn dioóch ilości, z których jedna jest poprzedzona znakiem —-, rozumieć będziemy liczbę, jaką otrzymamy mnożąc te ilości po opuszczeniu znaku —, i poprzedzając iloczyn tym znakiem. Będzie więc:

a . (— 5) = (—«). 5 = — ab.

Przez iloczyn dwóch ilości, z których każda jest poprzedzona znakiem — , rozumieć będziemy liczbę, jaka otrzymamy mnożąc te ilości po opuszczeniu znaków. Czyli:

(— a) . (— b) = ab.

Podobnie będzie:

2« X — 4b~ — 8ab,

3 a = — 12ac

—    4c X

—    4c X — 4b =. 16bc.

Szczególne przypadki podobnych wyrażeń są:

2« X — 4 = — 8a; 2 X — 4 — — 8; 2 x — 1 = — 2.

62. Ponieważ przykłady podobne do tych, jakie podaliśmy w poprzednim paragrafie, mogą często się przytrafić, przeto musimy je uwzględnić w naszych prawidłach; z tego powodu prawidło zupełne na mnożenie da się wyrazić w następujący sposób:

Aby pomnożyć jednomiany, należy pomnożyć ich współczynniki liczebne, napisać za tym iloczynem wszystkie głoski, a znak oznaczyć na zasadzie prawidła znaków.

Aby pomnożyć przez siebie wielomiany, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu, na zasadzie prawidła na mnożenie je-dnomianów, i następnie połączyć te częściowe iloczyny dla utworzenia iloczynu zupełnego.

a —|— b a — b

63. Podajemy poniżej kilka przykładów mnożenia, w których dane wyrażenia są uporządkowane w odpowiedni sposób: a + b a —j- b

a²-\-ab —ab—b²

x²-\- 3x²

_2    _Q/V»

<Xy    O i//

a²-\-ab

4-ab Ą-IA

a?³-j-2a:²—3x

a²-\-2ab -j- b²

3a² — 4«5 -}- bb2 a² — 2aô -J- 3Ó²

a² — ab -j- b²

a 4- b

«³ — a²ô -f-ab2 -f a²b — ab² -f b³

-j-6³

3a⁴ —- 4a³fr -j- 5a²ô²

— 6a³b -j- 8a²b² — 10ab²

-f- 9a²b² — 12a&³ + 15 è⁴.

3a⁴

10a³ô -j- 22a²b² — 22ah% -(- 15ô⁴.

Dla objaśnienia działań rozbierzmy ostatni przykład: Wszystkie wyrazy mnożnej mnożymy naprzód przez pierwszy wyraz mnożnika, mianowicie przez a², zwracając uwagę na prawidło znaków; otrzymujemy tym sposobem: 3a⁴—4^azb-\-ba²b². Następnie bierzemy drugi wyraz mnożnika, mianowicie: —2ab i mnożymy przez niego wszystkie wyrazy mnożnej, zachowując prawidło na znaki, tym sposobem mieć będziemy:

— Qa³b + 8 a²b²

10aó³. Nakoniec przez ostatni wyraz mnożnika, mianowicie 3&² mnożymy wszystkie wyrazy mnożnej, pamiętając o prawidle na znaki i otrzymujemy -{- 9a²b² — — 12ab* -f 15&⁴.

Przy tern wszystkie wyrazy, które otrzymujemy, porządkujemy w ten sposób, że wyrazy podobne są ustawione w tej samej kolumnie-,'ten sposób porządkowania jest bardzo użytecznym, gdyż pozwala nam łączyć następnie wyrazy szybko i bez pomyłki dla otrzymania wypadku ostatecznego. W obecnym przykładzie ten wypadek ostateczny będzie:

3 ai —10 a³b + 22 oh² - 22 ab³ -f 15Z>⁴.

64. Czytelnik powinien zwrócić tutaj uwagę na to, że aby odrazu ułożyć wyrazy podobne w tej samej kolumnie, wyrazy mnożnej i mnożnika należy ustawić w pewnym porządku. W tym celu obieramy pewną głoskę, wchodzącą do kilku wyrazów i następnie porządkujemy wyrazy podług potęg tejże głoski. I tak: w ostatnim przykładzie obieramy głoskę a; na pierwszem miejscu mnożnej piszemy wyraz 3a², zawierający najwyższą potęgę a w całym wielomianie, mianowicie potęgę drugą; poczem piszemy wyraz—12ać, który zawiera następną potęgę a, mianowicie pierwszą, i nakoniec piszemy wyraz 5ć², niezawierający a wcale. Gdy w ten sposób postąpiliśmy z mnożną, wtedy mówimy, że mnożną uporządkowaliśmy podług potęg malejących głoski a. Mnożnik porządkujemy w podobny sposób.

Moglibyśmy także ustawić wyrazy mnożnej i mnożnika w odwrotnym porządku; w tym razie powiedzielibyśmy, że one są uporządkowane podług potęg rosnących głoski a. Obojętną jest rzeczą jaki porządek przyjmiemy; — lecz należy pamiętać o tern, że mnożna i mnożnik muszą być uporządkowane w jednakowy sposób.

65. Dajemy tutaj jeszcze kilka przykładów:

Pomnożyć 1 -j-2x — 3x² -|- x⁴ przez x³ — 2x — 2. Uporządkujemy te wielomiany podług potęg malejących głoski x. x⁴ — 3x² —}— 2a? —J— 1 x³ — 2x — 2

+ 6x³ — 4x² — 2x

-|- Gx² — 4x — 2

x⁷ — 3xb -j- 2x⁴ -j- x3 — 2x³ -J-

— 2x⁴

xT — bx°

+ lx³ + 2x² — 6x — 2.

Pomnożyć: a² ——(— c² — ab — bc — ca przez:

a -j— b —f— c.

Porządkujemy mnożną i mnożnik podług potęg malejących głoski a.

a² — ab — ac -j- b² — bc -}- c2 a —f— b —]— c

a³ — a²b — a²c -|- ab² — abc -j- ac2 — ab² — abc

a²b

-j- a²c

abc — ac²

-j- b³ — b²c -f- bc²

b²c — bc² -\- c³

a³

— 3 abc

-f b³

Ten sam przykład może być także wykonany przez użycie nawiasów w podobny sposób: a² — a (b -f- c) -f- (b² — bc -j- c²) a + (^ c)

a³ — a² (5 -(- c) -j- a (b² — bc -j- c²)

-f- a² (b    c) — a (b -J- c) (ö -}- c) -j- (& + c) (b² — bc -f- c²)

Lecz, mamy: « (b² — bc -j- c²)    — a (b c) (b -j- c)    =

= a\b² — bc    -}- c² — (b    -|- c) (b c) j =

= a\b² — bc    c² — (b² -j- 2 bc -J- c²) | =

= a \ b² — bc    -\-c² — b²    — 2 bc — c²\ —    — 3 abc\

i podobnie:

(b + c) (b² — bc + c²) = b³ + c³.

Przeto, jak wyżej znaleziono, ostateczny wypadek będzie: a³ -j- b³ -)- c³ — 3 abc.

Pomnożyć x — a,(przez x — b i przez x — c:

x² — ax

— bx-j- ab

x² — {a -j- b) x -f- ab

x% — {a -J- b) x² -j- abx ,

— cx² -j- {a -f- b) cx — abc x³ — (u —j— b —j⁻ c) ay² -j⁻ {ab —|— ac —]— bc) x abc.

Zwracamy tutaj uwagę uczącego się na to, że z każdego zadania na mnożenie, w którem mnożna jest różną od mnożnika, można zrobić dwa przykłady, biorąc początkowy mnożnik za nową mnożną, i początkową mnożną za nowy mnożnik.

Wypadek w drugim przykładzie powinien być tenże sam co i w pierwszym; i to może służyć za próbę dokładności roboty.

PRZYKŁADY VIII.

Pomnożyć:

2.    3a⁴ przez 4a⁵.

4. 3xsy²z przez 5 xh/z².

1.    2 a?³ przez 4a?².

3.    2 a²b przez 2 ab².

5.    7 x⁴y² przez 7 ?/²£⁴.

6.    4a² — 3b przez 3ab.

7.    8 a² — 9 ab przez 3 a².

8.    x²ys — y²z⁴ -j- z⁴x² przez x²y²z².

9.    2a? — y przez %y -j- a?.

10.    2a?³ -f- 4a?² -j- 8a? -(- 16 przez 3a? — 6.

11.    a?⁸ -|- x² -|- x — 1 przez a; — 1.

12.    x³—7x² -J- 5x -j- 1 przez 2x² — 4a?-j-l.

13.    a?³-|-6a?²-|-24a?-|-60 przez a'³ — 6x² -J- 12a? -(- 12.

14.    a?² — 3 aa? przez a? -j- 3 a.

15.    a² -}- 2aa? — a?² przez a² —f— 2 <xa? —(— a?².

16.    x² y² — xy -\~ x y — 1 przez x-\-y — 1.

17.    a?⁴ -j- 2x³y -J- 4a?²y² -|- 8xyz —]—16a/⁴ przez x — 2 y.

18.    a? — a przez a? -j- a i przez a?² -j- a².

IX.

Dzielenie.

66. Dzielenie w algebrze, równie jak i w arytmetyce, jest działaniem odwrotnem mnożeniu. W mnożeniu znajdujemy iloczyn, mając dwa dane czynniki; w dzieleniu zaś mamy dany iloczyn i jeden z czynników, a chcemy znaleść czynnik drugi. Ten czynnik, który chcemy oznaczyć nazywa się ilorazem.

Ten rozdział zatem jest ściśle związany z rozdziałem poprzednim, gdyż obecnie mamy niejako rozwikłać, odrobić te działania, które były tam wykonane. W dzieleniu rozróżnimy trzy przypadki, mianowicie: I. Dzielenie jednomia-nu przez jednomian. II. Dzielenie wielomianu przez jedno-mian. III. Dzielenie wielomianu przez wielomian.

67. I. Pokazaliśmy już wyżej w paragrafie 10 jak oznaczyć, że jedno wyrażenie ma być podzielone przez drugie. Naprzykład: jeżeli ba ma być podzielone przez 2c, wtedy iloraz wskazuje się tak ba:2c, lub ba ~ 2 c, lub naj-

ba

cz^ściei 27*

Tutaj dzielna lba²b = ba² X 3&;

wtedy iloraz będzie

Może się przytrafić, że niektóre z czynników dzielnika znajdują się w dzielnej; wówczas iloraz może być uproszczony za pomocą zasady już używanej w arytmetyce. Przypuśćmy naprzykład, że 15 a²b ma być podzielone przez 6 be, lba²b

6 bc

dzielnik zaś 6bc = 2c X 3&; czynnik więc 3b znajduje się zarazem w dzielnej i w dzielniku. Przeto, tak jak w arytmetyce, możemy opuścić ten wspólny czynnik i iloraz oznaczyć

ba²

lba²b

5 a²

; tym sposobem

Może się również zdarzyć, że wszystkie czynniki, znajdujące się w dzielniku, mogą być w ten sposób usunięte. Tak naprzykład przypuśćmy, że mamy 24abx podzielić przez 8ax:

24 abx_3 b X 8 ax

8ax

68. Prawidło odnoszące się do zna/cn ilorazu może być wyprowadzone z prawideł podanych w mnożeniu.

I tak naprzykład, mamy:

przez

6 bc

2c *

8 ax

= 3 b.

— 4 ah X — 3 c = 12 abc ;

więc:

12«&c —~3c

= — 4 ab.

przeto:

— 12 abc

— 4 ab

3c ;

— 12aöc

3c

— 4 ab.

I nakoniec:

Dalej:

przeto:

— 12 abc

4 ab

— 3 c,

— 12 «6c

— 3c

4 ab.

przeto:

12a5c

4ać

= 3 c;

12 abc

— 4: ab .

4 ab X 3c = 12 abc;

4 ah X — 3 c = — 12 abc ;

— 4ab X 3c — — 12 abc\

12a5c — 4 ab

Stąd widzimy, że toż samo prawidło znaków, które znaleźliśmy dla mnożenia, ma miejsce także i w dzieleniu.

69.    Z tego wszystkiego wyprowadzamy następujące prawidło na dzielenie jednomianów: Należy napisać dzielną nad dzielnikiem oddzieliwszy je linijką poziomą; jeżeli te wyrażenia mają wspólne czynniki, wtedy należy je znieść, i napisać przed całym ilorazem znak -J- , jeżeli jednomiany miały znaki jednakowe, a znak— jeżeli one miały znaki różne.

70.    Aby daną potęgę pewnej liczby podzielić przez inną potęgę tejże samej liczby, należy od wykładnika pierwszej odjąć wykładnik drugiej.

Przypuśćmy naprzykład, że mamy podzielić a⁵ przez a³.

Na zasadzie paragrafu 16:

a'³ —a X a X a X a X a az — a X a X «,

więc:

a³

aXaXaX ci xa

a X a — a² — a⁵⁻³.

Podobnież

c⁷

cXcXcXcX cXcXc c X c X c X c

W podobny sposób prawidło to może być dowiedzione i w każdym innym przypadku.

Lub też możemy pokazać prawdziwość tego prawidła w następny sposób:

Na zasadzie § 57:

c⁴. c³ = c",

przeto:

Ï) Ci

c⁷

71. Jeżeli w dzielnej znajduje się pewna potęga danej liczby, a w dzielniku wyższa potęga tejże samej liczby, wtedy iloraz może być uproszczony na zasadzie paragrafów 69 i 70. Tak np., jeżeli było 4ab² do podzielenia przez 3 c&⁵;

. Czynnik b² znaj-

wówczas iloraz byłby wyrażony przez duje się w dzielnej i w dzielniku, przeto może być opuszczony,

4:ab2 3 cb⁵

i tym sposobem iloraz żądany byłby

3 cP

; czyli:

4 ab²

3 cb⁵    Scb³'

72. II. Prawidło na dzielenie wielomianu przez je-dnomian może być otrzymane przez rozbiór odpowiedniego przypadku w mnożeniu.

I tak, mamy:

(a — b) c = ac — bc\

więc:

ac — bc

— b.

A zatem przychodzimy do następnego prawidła na dzielenie wielomianu przez jednomian: każdy wyraz dzielnej należy podzielić przez dzielnik, opierając się na prawidle podanym w pierwszym przypadku i połączyć te wypadki dla utworzenia zupełnego ilorazu. Naprzykład:

= 4 a² — 3hc -j- ac .

4 a³ — 3 abc -f a²c

73. III. Aby podzielić jeden wielomian przez drugi, należy postępować w podobny sposób, jak przy dzieleniu

w arytmetyce.

Prawidło na to działanie może być wyrażone w następujący sposób. Dzielną i dzielnik należy uporządkować podług potęg rosnących lub malejących jednej i tej samej głoski. Następnie pierwszy wyraz dzielnej należy podzielić przez pierwszy wyraz dzielnika, i ten wypadek będzie pierwszym wyrazem ilorazu. Potem należy pomnożyć cały dzielnik przez ten pierwszy wyraz ilorazu, i iloczyn odjąć od dzielnej. Otrzymamy tym sposobem pierwszą resztę, z którą należy tak postępować jak z dzielną. Działanie to należy powtarzać dotąd, dopóki na resztę nie otrzymamy 0, lub też taką resztę, której bez użycia ułamków dalej dzielić nie można.

74. Użycie tego prawidła, równie jak i objaśnienia, wykazujące zasady na których się ono opiera, pokaże się najlepiej na następujących przykładach:

a²-j- 2 ab -f- b² a -j- b + a² + ab

a² — b²' a-\-b

a-\-V + a² iji ab j a -j- b -pa² + ab a — b

dalej:

przeto:

(a, — b) X — c — — ac + bc\

a? — b² I a —

-\-ab-\-b2 + ab + b²

ab—b2 + ab ~r b²

-ab — b²

ab

Ba⁴ — 10a³ô-|-22tf²6²—22a/>³ + 155⁴ 3a² — 4ab -|- 552 + 3a⁴:p 4u³ó + ha²b²

a² — 2ab -j- 36²

— 6    —[—17 a²&² — 22a&³-|-155⁴

zz Qa*b + 8a²b² zü.10 ab*

9 a-b² —12 a&³ —[—15 64 + 9a²ô²xl2aô³ + 15^⁴

a:

Rozbierzmy ostatni przykład. Cała dzielna jest iloczynem z dzielnika przez iloraz; ponieważ zaś oba te wielomiany są uporządkowane podług potęg malejących głoski a, przeto pierwszy wyraz dzielnej jest iloczynem z pierwszego wyrazu dzielnika przez pierwszy wyraz ilorazu. Dzieląc więc ten pierwszy wyraz dzielnej 3$⁴ przez pierwszy wyraz dzielnika 3 a², otrzymamy a², — pierwszy wyraz ilorazu. Mnożymy następnie cały dzielnik 3 a² — 4 ab hb² przez pierwszy wyraz ilorazu a². Otrzymamy: 3a⁴ — 4a³&-{- ba²b²\ tak znaleziony iloczyn odejmijmy od dzielnej: otrzymamy resztę pierwszą, uporządkowaną także podług potęg malejących głoski — 6 a*b -f- 17 a²b² — 22 ab* -)-15 5⁴.

Ponieważ cała dzielna była iloczynem z całego dzielnika przez cały iloraz, a odjęliśmy od niej iloczyn z dzielnika przez pierwszy wyraz ilorazu, przeto pozostałość: — a*b -|-i t. d. będzie iloczynem z dzielnika przez wszystkie pozostałe wyrazy ilorazu.

O tej reszcie można więc toż samo powiedzieć, co i o całej dzielnej; mianowicie, że pierwszy jej wyraz —6 asb jest iloczynem z pierwszego wyrazu dzielnika 3 a², przez pierwszy z pozostałych, czyli przez drugi wyraz ilorazu. Dzieląc więc ten wyraz — 6a*b przez 3a², znajdziemy — 2 ab, jako pierwszy z pozostałych wyrazów, czyli drugi wyraz ilorazu. Postępując tak dalej wynajdziemy kolejno wszystkie wyrazy ilorazu.

lub

~qJr B'

lub wreszcie:

Bardzo ważną jest rzeczą uporządkowanie tak dzielnej, jak i dzielnika podług potęg jednej i tej samej głoski i pamiętanie, że tak samo mają być uporządkowane wszystkie reszty.

75. Może się przytrafić zarówno jak i w arytmetyce, że dzielenie nie może być w zupełności wykonane. Tak na-przykład, jeżeli dzielimy a² -j- 2 ab -|- 2 b² przez a -)- b, wtedy otrzymamy na iloraz, tak jak w poprzednim paragrafie a-\-b, lecz jeszcze pozostanie reszta b².

Taki wypadek wyrażamy w podobny sposób, jak i w arytmetyce, mianowicie możemy napisać: a² -|- 2 ab -f- 2 b²

a —j— b

a-\-b-\

b²

a-\-b ¹

to jest, że iloraz będzie a-j-b wraz z częścią ułamkową

b²

a-\-b'

W ogóle, jeżeli A i B oznaczają dwa wyrażenia, i jeżeli przez dzielenie A przez B otrzymamy iloraz ą i resztę B, wtedy ten wypadek wyraża się algebraicznie jednym z następnych sposobów:

A = q B -J- R, lub A — qB = R,

B q B‘

Należy tutaj zwrócić uwagę na to, że każda głoska może oznaczać wyrażenie algebraiczne (jednomian lub wielomian): często dogodną jest rzeczą dla jasności i krótkości oznaczyć w ten sposób jedną głoską całe wyrażenie algebraiczne.

Ułamki algebraiczne będą przedmiotem jednego z następnych rozdziałów; tutaj ograniczymy się tymi przypadkami, w których dzielenie daje się wykonać bez reszty.

76. Dalsze przykłady dla wprawy:

Podzielić: x⁷ — 5xb -f- 7 a?³ -j- 2 a:² — 6x — 2 przez

l-\-2x — 3x² -)- x ⁴.

Qx² — 4# — 2

— 2x⁴-l-2 x⁴ 4-

Uporządkujmy dzielną i dzielnik podług potęg malejących głoski x:

X¹ — 5x⁵ -j-    7x³-j-2x²— 6x — 2 x⁴ — 3x²-\-2x■-}-1

± x¹ pi 3 x⁵ 4- 2 x⁴ 4^ x³

— 2xb— 2x⁴ Qx³ -\-2x² — Qx — 2

-+- 6x³ ~t4:X² 7 2x

x³ — 2x — 2

2x²

4~

6 x² zü é x zn 2

Podzielić: a³ -\-b³ -\- c³ — 3 abc przez a -j- b -j- c. Porządkujemy dzielną i dzielnik podług potęg malejących głoski a:

a³

— 3 abc -(- b³ -j- c³ a-\-b-\-c

a³ h- a²b -+■ a²c

a² — ab — ac + b² — bc-j- c²

— a²b — a²c — 3 abc -f b³ -j- c3 a²b ip ab² pi abc

a²c

— a²c -j- ab² — 2 abc -j- b³ -j- c3 abc pi ac²

+b³

-f- ab² — abc + ac² -j- b³ -f- c3 -i- ab² b²c

— abc -j- ac² — b²c -(- c³

abc

4-

bc²

b²c

ac² -j- bc² -j- c³

4- ac² 4- J)C² 4- C³

Przy porządkowaniu dzielnej i dzielnika podług potęg malejących głoski a, takie wyrazy, jak a²b i a²c,f które mają ten sam wykładnik nad a, ustawiamy w ten sposób, że obieramy nową głoskę np. 5, i ten wyraz, który ją zawiera sta-

wiamy przed tym wyrazem, który jej nie ma; i w dalszym ciągu: z wyrazów ad² i adc, pierwszy piszemy przed drugim, gdyż on zawiera d z wyższym wykładnikiem.

Ten przykład można także wykonać z użyciem nawiasów w ten sposób:

a³

— 3 adc -f- Z)³ -j- c³ a-\-d-\-c

a³ + a² (5 4- c)

a² — a (d -(- c) -j- d² — dc -j- c²

— a² (Z> + c) — 3 adc -f P + c3 +    +    c)²

a (d² — dc -f c²) 4- Æ³ 4- c3 ±a(d² — dc 4- c²) + d³ + c³

{d -f- c)²—d² -f 2 dc + c2 d²—dc + c²

d-j-c

d³—d²cĄ-dc2 -)-d²c—dc²Ą-c%

5³ + c³

* Podzielić:

x³— {a 4- d 4- c) x² + {ad 4- ac Ą- dc) x— adc przez x — c.

x³—{a 4- d 4- c) x² 4-(ad-j-ac-\-dc) x—adc x—c

x² — {a 4- d)x 4- ad

-JrXi~7CX²

—{aĄ-d) x² -|- (ad-\-ac-\-dc)x— adc {a-\-d)x²-±{a-J{-d) cx

adx — adc + adx — ctdc

Każde zadanie na mnożenie, w którem mnożna jest różną od mnożnika, daje powód do dwóch przykładów na dzielenie; gdyż jeżeli iloczyn podzielimy przez którykolwiek z czynników, otrzymamy czynnik drugi. Z tegopowodu uczący się ze wsz}rstkich przykładów danych w rozdziale o mnożeniu, może układać przykłady na dzielenie i tym sposobem próbować dokładności swojej roboty.

I również z każdego przykładu na dzielenie, w którym dzielnik i iloraz są różne, może być ułożony drugi przykład, w którym dzielna pozostanie taż sama co i poprzednio, nowym zaś dzielnikiem będzie iloraz; wtedy na nowy iloraz powinien wypaść początkowy dzielnik.

PRZYKŁADY IX.

Podzielić:

2)    24 a⁴ć⁵c⁶ przez — 3 a?b³cA.

1) lbxb przez 3x²]

3)    4:XZ — 8x² -\-16x przez 4x.

4)    3a⁴ — 12 a³-\- 15a² przez — 3 a².

5)    — 15a³b³ — 3 a²b- + 12 ab przez — 3ab.

6)    2 x* — x² -j- 3 x — 9 przez 2x — 3.

8) a³ — 2ab² -|- b³ przez a — b.

7)    x³ — 1 przez x — 1.

9) a⁵ + 32 bb przez a -j- 2 b.

10)    x⁵ -f 2xhj -f- 3x³y² — x²y³ — 2xy⁴ — 3y⁵ przez x³ — y\

11)    x⁴ -\~ 64 przez x'² -J- 4x -f- 8.

12)    -j- 2x⁶ -f 3x⁴ -f- 2x² -|- 1 przez x⁴—2x³-\-3x²—2x-j-l. * 13) x³ — (a b -f c) x² -f - (ab -]- ac -(- be) x — abc przez

x² — (a-\-b)x-\- ab.

14)    a² (b -f- c) -f- b² (a — c) -f o² (a — b) -j- abc przez a-\-b-\~c.

15)    (x -f yf + 3 (x 4- y)² z + 3 (x -|- y) z² -f przez

(x + y)² -f 2 (x + y) z + £².

X.

Szczególne przypadki mnożenia.

y^77. Niektóre szczególne przypadki mnożenia przytrafiają się tak często w rachunku algebraicznym, że zasługują tutaj na osobną wzmiankę.

Algebra

Następujące trzy przykłady są wielkiej wagi:

a -J- b a —(- b

a —[— b a — b

a² -(- ab

+ abĄ-b²

a² — ab

— abĄ-b²

a² -j- ab — ab — b²

a² —|— 2 ör.& —j— b²

a² — 2 ab    b²

— b².

Pierwszy przykład daje wartość iloczynu (a-\-b) czyli (a -(- &)²; z niego mamy:

(a + b)² = a² -f- 2 ab -[- b².

To jest: kwadrat sumy dwóch liczb jest równy sumie kwadratów tychże liczb, więcej podwójny ich iloczyn.

Podobnie, z drugiego przykładu mamy:

(a

b)² = a² — ZabĄ-b².

To jest: kwadrat róż7iięy dwóch liczb jest równy sumie kwadratów tychże liczby mniej podwójny ich iloczyn.

Nakoniec ostatni przykład daje:

(a -j- b) {a — b) = a² — b².

To jest: iloczyn z sumy dwóch liczb przez ich różnicę, równa się różnicy kwadratów tychże liczb.

78.    Wypadki otrzymane w poprzednim paragrafie, przedstawiają przykład jednego z wielkich pożytków algebry: w samej rzeczy algebra daje nam możność dowodzenia ogólnych twierdzeń odnoszących się do liczb, a także wyrażania tychże twierdzeń krótko.

Naprzykład: wypadek (a -}- b) (a — b) = a² — b² jest dowiedziony ogólnie dla wszystkich liczb i jest wyrażony w symbolach krócej i zwięźlej, aniżeli wyrazami.

Wypadek ogólny w podobny sposób wyrażony symbolami nazywa się wzorem algebraicznym (formułą).

79.    Tutaj jeszcze możemy pokazać i objaśnić znaczenie znaku +, który powstaje z połączenia znaków -}- i — , i który jest zwany znakiem podwójnym.

Ponieważ (a —J— Z>)² = a² —J— 2 ah -f- h², a (a — b)² = a² — — 2 ab -[-ô², przeto możemy przedstawić oba te wypadki w jednym wzorze tak:

(a zh b)² — a² Hh 2 ab -f- b²,

gdzie + pokazuje, że możemy wziąć albo znak -j- albo też znak — , ale zaivsze biorąc jednocześnie albo znaki górne, albo też znaki dolne; ajnb należy czytać tak: a więcej lub mniej b.

80.    Poświęcimy kilka następnych paragrafów dla wykazania użycia wzorów paragrafu 77. Ażeby łatwiej było można do nich się odwołać, wypisujemy je razem i opatrujemy każdy osobnym numerem:

81.    Wzory te mogą się nieraz przydać i w obliczeniach arytmetycznych.

Tak naprzykład: przypuśćmy, że chcemy znaleść różnicę kwadratów 127 i 123. Na zasadzie wzoru (3) będzie:

(127)² — (123)² = (127 -f 123) (127 — 123) =250 X 4=1000.

Tym sposobem szukana liczba została znaleziona prędzej i łatwiej, aniżeli przez podniesienie do kwadratu liczb 127 i 123 i następne odjęcie drugiego kwadratu od pierw- . szego.

Dalej, na zasadzie wzoru (2):

(    ' (29)² = (30 — I)² = 900 — 60 -f-1 = 841,

przezAo znowuż kwadrat 29 został prędzej wynaleziony, aniżeli przez bezpośrednie pomnożenie 29 przez 29.

Przypuśćmy jeszcze, że mamy pomnożyć 53 przez 47. Z wzoru (3) mamy:

53 X 47 = (50 4- 3) (50 — 3) = (50)² — 3² = 2500—9=2491.

82. Przypuśćmy teraz, że chcemy znaleść kwadrat ilości 3x -{- 2 y. Oczywiście możemy dojść do tego zwyczajną

drogą, mnożąc 3x -j- 2 y przez 3x-\-2 y. Lecz możemy także otrzymać żądany przypadek i inaczej, przez użycie wzoru (1). Wzór ten ma miejsce jakiekolwiekby były liczby a i ć; możemy więc w nim podstawić 3x w miejsce a, i 2y w miejsce b. Tym sposobem będzie:

(3x    2y)² = (3x)² -[- 2 {3x X 2y) -(- (2 y)²—3 x² Ą-\2xyĄ-^y².

Uczący się może sądzić, że w tym przypadku nic nie wygrywa przez użycie wzoru, gdyż prawdopodobnie otrzymałby szukany wypadek tak prędko i pewnie zwykłem mnożeniem, jak przez użycie wzoru. Jakkolwiek w obecnym przypadku jest to prawdą, ale z czasem przekonamy się, że w bar-ziej zlożon ych przypadkach użycie wzorów oddaje wielkie dusługi.

\ 83. Przypuśćmy, że chcemy znaleść kwadrat x-\-y-\-z. Oznaczamy x + y przez a. Wtedy

x + y + z = a 4- U

i na zasadzie wzoru (1) mieć będziemy:

(a -|- z)² — a² -\-2az -f- z² = (x -\- y)² -j- 2 (x + y) z -f- £² = = x² -j- 2xy -)- y² -j- 2xz -j- 2 yz -J- z².

Stąd:

(x A-y A~ z)² — x² 4- 2 xy 4- if +- 2 xz -i- 2yz Ar z<2 —

= x² + y²-\-gt-ł-2xy + 2yz-\-2zx.

Przypuśćmy dalej, że szukamy kwadratu p — q + r — s. Czyniąc p — q równem a, i r — s równem b, będzie:

p — q -j- r — 5 = « + b.

Na zasadzie wzoru (1) mamy:

(a+-ć)² = a² -j-2a& + b² — (p—q)²-jr%(p — q) (■r—s) Ar (r—s)². Lecz opierając się na wzorze (2), możemy znaleść (p — q)2 i (r—s)².

Tym sposobem będzie:

(p — q-\-r — s)² — p² — 2pq -j- q² -j- 2 (pr — ps — qr-\-qs)A~ _j_ r2 — 2r5 -j- s² =

— P² t~ P¹ ~b r2 “f⁻ s² ~b 2pr + 2</s — 2ps — 2 qr — 2 pq—2 rs.

Przypuśćmy nakoniec, że mamy znaleść iloczyn p—q-(--|- r — s przez p — q — r -j- s.

Uczyńmy znowuż: p — q = a, i r — s = b\ wtedy:

P — # + r — s = a-\-b, a p — q — rĄ~s = a — b.

Na zasadzie wzoru (3) otrzymamy:

(a -\-b)(a — b) =za² — b² = (p — q)² — (r — s)²; a na zasadzie wzoru (2) mieć będziemy:

(p—q-\-r—s) (p—q—r-j-s) =p²—2pq-\-q² — (r²—2rs-|-s²) =

— P² +    — U —s² — 2pq -|- 2rs

84. Sposób użyty w poprzednim paragrafie jest łatwy, i pewną drogą prowadzi do celu, przeto zawsze takiego sposobu powinien się trzymać początkujący. Lecz po nabyciu większej wprawy, i lepszem zaznajomieniu się z przedmiotem, (może się uwolnić od niektórych części roboty. I tak np. w ostatnim przykładzie może opuścić wprowadzanie ilości a i ć, i wprost postępować w ten sposób:

V — <1 -j- r — s) (p — q — r -f- s) — \'p — q-\- (r—s) | \ p— q— — (r—s) | — (p—q)² — (r—s)² =p² — 2pq -f- q² — (r²—2rs-f-s²) =p>² — ‘Ipq + q² — r² 2rs — s² ;

albo jeszcze krócej:

('p — q-\-r — s) (p — q-r-\-s) = (p —\q)² — (r — s)² = —p² — 2pq -p q² — r² -(- 2 rs — s².

Lecz w początkach radzimy uczącemu się rozwijać działanie w zupełności, tak jak to było pokazane w paragrafie poprzednim.

85. W następującym przykładzie spotkamy użycie wszystkich trzech wzorów.

Znaleść iloczyn z czterech czynników a-f-ć-j-c, a-j-b—c, — J_|_    b-\-c — a. Weźmy najpierw dwa pierwsze czyn

niki; z wzorów (3) i (1) otrzymamy:

(a-j-5-j-c) (a-)-b — c) = (a-\-b)² — c² =a²-\-Zab-\-b² — c².

Weźmy dalej dwa drugie czynniki; z wzorów (3) i (2) mieć będziemy:

(a — b-j-c) (ô-j-c — a) = \c-\-(a— 5)j je — (a — b)J =

= c² — (a — b)²=c² — a²-\- 2 ab -4- b².

Mamy teraz do pomnożenia: a² -\- 2 ab + b² — c² przez c² — a² -(- 2 ah — b².

Otrzymamy:

(a² -j- 2 aè -j- b² — c²) (c² — a² -j- 2 aô — ô²) =

= j 2 ać -j- («² -j- ô² — c²) |j2ab — (a² -j- b² — c²) f =

— (2 ab)² — (a²-\-b²—c²)² =4za²b² — j [a²-\-b²)²—2(a²-\-b²)c*-\-

-j- c⁴ j = 4a²ô² — (a² -j- b²)² -f- 2 (a²-\-b²) c²—e⁴—

— 4 a²ć² — a⁴ — 2 a²&² — J⁴ -j- 2 a²c² -j- 2 ć²c² — c⁴ =

= 2a²b² -|- 25²c² + 2a²c² — a⁴ — ć⁴ — c⁴.

86.    Są jeszcze inne ogólne wzory, odnoszące się do-mnożenia, mniejszej wagi, aniżeli trzy wzory podane w paragrafie 80, wszakże zasługujące na wzmiankę. Umieszczamy niektóre z nich. w tym celu, aby czytelnik mógł je odnaleść łatwo, gdy zajdzie tego potrzeba; wszystkie one mogą być z łatwością wyprowadzone przez rzeczywiste wykonanie mnożenia:

{a-\-b) (a²—ab-\-b²) — a³-\-b³,

(a—b) {a²-\-ab-\-b²) — a³—ć³,

(a+b)³ =- (tt-j-J) (a²-f-2ab-\-b²) = «³—(-3a²ó>—[—Baó>²—(—ó>³,

(a—ć)³ = {a — b) (a²—2ab-\-b²) = a³ — 3a²ć-J-3ać²—ć³, c)³ = a³-j-3a² (5-j-c) -}- 3a (b-\-c)² -f- (ć-|-c)³ —

= a³-j-3a² (ć-j-e) -j- 3a (b²-\-2bc-\-c²) -}- b³ -(- 3ć²c-|-3ćc²-j-c³ ==-= a³—1-6³—(—c³—j—3a² (&-[-«) -j-3ć² (a-j-e) —[—3<?² (as—{—ö) -j- 6abc.

87.    Bardzo pożyteczne ćwiczenia na mnożenie wypadają z zadań, w których chcemy dowieść równości dwóch wyrażeń, przez pokazanie, że wyrażenia te prowadzą do tych samych wypadków ostatecznych.

Naprzykład, chcemy pokazać że:

(a—b) (b—c) (e—a) = a² (c—b) + b² (a—c) -j- c² (b—a).

Jeżeli pomnożymy a—b przez b — c, otrzymamy: ab — b² — ac —|— bc\

mnożąc dalej ten wypadek przez c — a, znajdziemy:

cab — cb² — ac² -\- bc² — a²b ab² -f- a²c — abc,

to jest:

a² {<: — b) -f- b² (a — c) -f- c² (b — a).

Inne zadanie: dowieść, że:

(a — b)² -f- (b — c\² + (c — ai² =

— 2 (c — b) (c — a) -f- 2 (b — a) (b — o) -j- 2 (a — b) (a — c).

Z wzoru (2) paragrafu 80, otrzymujemy:

(a-b)² + (b — c)² + (o-a)² =

= a² — 2 ab -(- b² -j- b² — 2 bc -j- c² -j- c² — 2 ac-\- a² — = 2 (a² -J- b² -j- c² — ab — ac — bc).

Lecz skądinąd wiemy, że:

(c — b) (c — a) — c² — ca — cb-\- ab (b — a) (b — c) — b² — ba — bc -j- ac (a — b) (a — c) ~ a³ — ab — ac + bc,

przeto:

(c — b) (c — a) -f (b — a) (b — c) 4- {a—b)(a—ć) = = a² 4- b² 4- c² — ab — ac — &c,

skąd nakoniec,

(a — b)² 4- (b — c)² 4- (e — a)² =

= 2 (c — b) (c — a) 4 2 (b — a) (b — c) 4- 2 (a — 6) (a — c).

PRZYKŁADY X.

Zastosować wzory paragrafu 80 do następujących 11 przykładów na mnożenie:

2.    (7x² — by²)².

1. (15a; -f 14y)².

4^ (2 x² — ‘óx — 4)².

3.    (x² 4- 2x    —    2)².

5.    (;x² 4- xy    4-    y~)    4-    xy — y²).

6.    (x²    Ą-    xy    y²) (ic²    —    xy 4- y²).

7.    (æ²    4-    xy    4-    y²) (a?²    —    xy — y²).

8.    (x²    4- xy    —    y²) {x²    —    xy 4- y²).

9. (x — 3)² (a:² -f 6x -f 9).

10.    (2x -j- 3y)² (4x² -f- 12xy — 9y²).

bY).

11.    (ax -j- by) (ax — by) (a²x2 Pokazać, że następujące wzory są prawdziwe:

12.    (a² -{- b²) (c² -f- d²) = (ac -j- bd)² -[- (ad — be)².

13.    (a—b) (b—c) (c—a) — bc(c—b) -|-ca (a—c) -f- ab (b — a).

14.    (a — b)² -j- b³ — a³ = 3 ab (b—a).

15.    (cl²~yabĄ-b²)² — (a²— ab-\-b²)² —\.ab (a²-j-6²).

16.    (iaĄ-b-\-cy -j- (a~\-b —c)² -)- (a—b-\-c)² -j- (b~\-c—a)² —

= 4 (a²-\-b²-\-c²).

17.    (a—by -)- (b—r)³ -|- (c—a)³ = 3 (a—b) (b —c) (c—a).

18.    \ (ax-j-by)² -j- (ay—bx)² j | (ąx-\-by)² — (a,y~\-bx)²1 =

(a⁴—è⁴) (,r⁴—y⁴).

xi.

Rozkład na czynniki.

88.    W poprzednim rozdziale poznaliśmy niektóre ogólne wzory, wypadające z mnożenia; też same wzory mogą być uważane w związku z dzieleniem, gdyż każde zadanie na mnożenie daje jedno, lub kilka zadań na dzielenie. Zastosujemy teraz znalezione wzory ogólne, do rozwiązania pytania: jak znaleść dla danego wyrażenia algebraicznego te wyrażenia, przez które ono dzieli się bez reszty, czyli innemi słowy, jak rozłożyć dane wyrażenie na czynniki, z których się ono składa.

89.    Tak naprzykład z wzoru (3), paragrafu 80, mamy: a⁴—bi= (a²-\-b²) (a²—h²) = (a²-\-b'l) (a -f- h) (a—b)

a⁸—b⁸ = (ń⁴-}-/>⁴) (ai—b⁴) = (a⁴-j-fr⁴) (a²-\-b²) (a-\-b) (a—b). Stąd widzimy, że a⁸—bs jest iloczynem czterech czynników a⁴-|-ô⁴, a²-\-b², a.-\-b i a - b. Więc a⁸—b⁸ jest podzielne przez każdy z tych czynników, lub przez iloczyn których kol wiek dwóch z nich, lub też przez iloczyn którychkolwiek trzech z nich.

Dalej jeszcze

(a2jrab-\-b²) (a²—ab-\-b²) = (a²-\-b²-\-ab) (a²-|-6²—a6) =

= (a²-{-b²)²— (ab)² — a⁴-j-2a²6²-[- 6⁴ — a^b* = a⁴-f-#²&²-{-&⁴.

Tym sposobem a⁴ -(- a²6² -j- è⁴ jest iloczynem dwóch czynników a² -f- ab -f- b² i a² — ab -\- b², jest więc podzielne przez każdy z tychże czynników.

Oprócz tych wzorów, które poprzednio podaliśmy, umieszczamy poniżej jeszcze niektóre, częstego w algebrze użycia.

90. Następujące wypadki można łatwo sprawdzić przez

dzielenie:

i tak dalej.

x — y X - y x² — y2 x — y x³ — y³

= 1,

= x-\-y,

x — y x⁴ — y⁴

x ~~ y

as² 4-^4-y²,

a?³ -f- x²y -|- £cy² -\-y ³,

I również: x² — y²

i    —- 00

x-\-y

— ;c²y -j- a??/² — y³

x* — îja .

=    — xMf xzy² — x²yz + xyx — y⁵ ;

xJry

x⁶ — y⁶

xĄ-y

i tak dalej.

Jeszcze:

x + y__.

x-\-y    ’

~Ą~=x2—xy-\-y²

— xzy -j- x²y² — xy³ -j- y⁴

g5 + yb_ ri x + y ~

i tak dalej.

Działania te możemy posunąć tak daleko jak zechcemy, a rezultaty tych działań można opisać za pomocą następujących twierdzeń:

x,n — yn jest podzielne przez x — y, gdy n oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą.

x*-- yn jest podzielne przez xĄ-y, gdy n jest liczbą parzystą.

xn -)- yn jest podzielne przez x Ą- y, gdy n jest liczbą nieparzystą.

Moglibyśmy też wyrazić słowami twierdzenia, wykazujące jaką postać ma iloraz w każdym z powyższych trzech przypadków; lecz czytelnik sam łatwo będzie w stanie zapamiętać tę postać, przez dokładne przyjrzenie się otrzymanym wypadkom, posuwając zresztą te działania dalej jeszcze, jeżeli uważać będzie to za potrzebne:

Dodamy tu jeszcze, że xn -)- yn nie jest nigdy podzielne przez x — y, i nie jest podzielne przez x -j- y, gdy n jest liczbą parzystą. J)

l) Dla uzupełnienia tego rozdziału podajemy krótki dowód wyrażonych w tekście twierdzeń.

Podzielmy xn — yn przez x — y:

Æn — yn

x — y

— xx | rn—ń/

xn_1 -|- xn~² y -j- xn—³ y² -f- ... -j- ;/n—i

xn—\ y-yn

—XX—1 ?/ZjZ.Z-n—2 y2

xn~ 2//²—yn — /;!)—2^2— yn—3 y-<

91.    Aby łatwo spamiętać powyższe twierdzenia, należy w każdym z czterech przypadków wybrać najprostszy i do niego odnieść wszystkie pozostałe. Tak naprzykład przypuśćmy, że chcemy poznać czy x⁷ — y⁷ jest podzielne przez x — V lub przez x -j- y; .wykładnik 7 jest liczbą nieparzystą, i najprostszy przypadek tego rodzaju jest x —y; — wyrażenie które jest podzielne przez x — y, ale nie jest podzielne przez x -|- y; stąd wnosimy, że x7 x — y, ale nie przez x + y. Podobnież: gdyby dane wyrażenie było x⁸ — y⁸; wykładnik 8 jest liczbą parzystą, najprostszy zaś przypadek tego rodzaju jest x² — y², wyrażenie, które jest podzielne zarazem przez x -j- y jak i przez x — y; stąd wypada, że x⁸ — y⁸ jest podzielne i przez x — y i przez x-\-y.

y⁷ dzieli się bez reszty przez

92.    Dalsze przykłady rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki:

X⁶ yG __ ^3 _j_ y(^X3 y3) —-

= \x -j- y) (x² — xy -j- y²) (x — y) (x² -J- xy -j- y²).

8è³ — 27c³=(2ć)³—(3c)³ = (2ć — 3c) j (2ć)²-|-2ćx3c-f'(3c)² j = = (26 — 3c) (4ć² -f- 6ćc + 9 c²).

4 (aö -j- cd)² — {a² 4- b² — c² d²)² =

= j2 («64- cd) 4 (a² 4- ć² — c² - d²) j \2(ab cd) — (a² 4- b² — c² — d²)

— j 2 ab 4- 2 cd 4“ u² -|- b² — c² — d² j 1 2a&4- 2cd — a² _    4.c² 4. d² j =

= {(«4- b)² — (c — d)²\\(c + d)² — (a- ć)² j =

⁼⁼    j⁻^—1—d—d) (0:—j— ó—j—d—c) (a—b—|—c—|—d) (b—|—c—[~d—a).

Z wykonanego dzielenia widzimy, że każda reszta składa się z dwóch wyrazów: jednym z nich jest stale — yn , w drugim zaś, złożonym z dwóch czynników, wykładnik przy x po każdem dzielenia zmniejsza się o 1, wykładnik przy y powiększa się o 1. Po wykonaniu więc n dzieleń, x zupełnie zniknie z tego wyrazu, a wykładuik przy y wzrośnie do w. Odpowiednia reszta po «-em dzieleniu będzie przeto yn — yn ? t. j. zero. Liczba wyrazów w ilorazie równać się będzie n. Podobnego rodzaju roznmowanie, zastosowane do każdego z wymienionych przypadków dowiedzie nam prawdziwości twierdzeń wspomnianych.

93. Przypuśćmy, że mamy do podzielenia (x² — 5xy -}- Qy²){x — 4 y) przez x² — 7 xy -\- 12 y². Moglibyśmypomnożyćnajprzód x² — bxy -j- 6y² przez x—4y i następnie iloczyn podzielić przez x² — lxy -j- 12yK Lecz rodzaj pytania nasuwa nam myśl spróbowania najprzód, czy x — 4y nie jest czynnikiem trójmianu x² — 7 xy -|- 12î/²; i w samej rzeczy znajdujemy,że x² — 7xy -)- 12y² — (x — 3y) (x — 4|/). Zatem:

a?² — 5a?î/ -j- 6y²

(x² —    —j— 6y²). (a? — 4?/)

a; — 3y

(a? — 3 y),{x — 4 «/)

i za pomocą dzielenia znajdujemy, że:

— x — 2 y.

a:² — 5aą/ -[- 6y²

PRZYKŁADY XI.

Dodać do siebie następujące wyrażenia:

1.    a    (a -(- b    — c), b (b -)- c — a), c (a -j-    c    —    b).

2.    a    (a — b    -j- c), b (b — c -)- a), c (c —    a    -|-    ó).

3.    (a-j-6) ic—(—(«—(—<?) y, (b—c) a? -J- (6 — c) y, (c—a)x-\-(b —a)y.

4.    2    (a -j— b    — c) a; -|— (n —[— b) y —J— 2

2    (a -J- c    — è) a? -(- (a -)- c) y -j- 2 Ô2,

2 (b -j- c — a)x -\-{b -f- c) y—)- 2c2.

Uprościć następujące wyrażenia:

5.    (a -(- b) (b -(- c) — (c -j- d) (d -j- a) —    {a -j- c)    (b — d).

6.    (x -j- 3)³ — 3 (x -f 2)³ -f 3 {x + 1)³    — a;³.

7    O + 6) (« + c) — (6 + d) (^ + c)

« — d

Podzielić:

8.    a?⁶ -|- y⁶ — 2 a:³?/³ przez (x — y)².

9.    a?⁶ —(— ?/⁶ —|— 2 x³y³ przez (x -j- y)².

10.    a⁸ -)- a⁴b⁴ -|- b⁸ przez (a² — ab -j- b²) (a² -)- ab -]- b²).

11.    a⁸ — b⁸-\-a²b² (a⁴—b⁴) przez (a² — ab-\-b²) (a² -\-ab-\-b²).

Rozłożyć następujące wyrażenia na czynniki:

12. x⁴ — 81.

13. x³ -j- 125.

14. a:⁸ — 256.

15. a?⁶ — 64.

XII.

Największy wspólny dzielnik.

94.    W arytmetyce ta liczba całkowita, która dzieli bez reszty drugą liczbę całkowitą, nazywa się dzielnikiem tej ostatniej; liczba całkowita, która dzieli dwie lub więcej liczb całkowitych, nazywa się ich wspólnym dzielnikiem.

W algebrze wyrażenie, które dzieli bez reszty inne wyrażenie algebraiczne, nazywa się dzielnikiem tego ostatniego; wyrażenie zaś, przez które dzieli się bez reszty dwa lub wię-cej wyrażeń algebraicznych, nazywa się ich wspólnym dzielnikiem (lub wspólną miarą).

95.    W arytmetyce największym wspólnym dzielnikiem (lub największą wspólną miarą) dwóch lub więcej liczb, jest największa liczba całkowita, przez którą wszystkie dadzą się podzielić bez reszty.

Wyrażenie: największy wspólny dzielnik, jest także używane w algebrze, lecz tutaj nie jest ono zupełnie stosowne, gdyż wyrazy: większy i mniejszy rzadko dadzą się zastosować do tych wyrażeń algebraicznych, w których nie są dane pewne oznaczone wartości na rozmaite głoski wchodzące do nich. Lepiej byłoby mówić o najwyższym wspólnym dzielniku'^ lecz zgodnie z przyjętym zwyczajem zachowamy wyrażenie: największy wspólny dzielnik (lub największa wspólna miara).

Zamiast wyrazów: największy wspólny dzielnik, często używać będziemy dla krótkości głosek: N. W. D.

Objaśnimy teraz, w jakiem znaczeniu wyrażenie N. W. D. jest używane w algebrze.

96. Mówimy, że największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej jednomianów: jest to największe wyrażenie algebraiczne, przez które one wszystkie dadzą się podzielić; okre-

sienie to stanie się zupełnie zrozumiałem po podaniu i objaśnieniu przykładami prawidła na wynajdywanie największego wspólnego dzielnika dla jednomianów.

Prawidło na wynalezienie JS/. W. D. jednomianów jest takie: należy znaleść N. W. JJ. wszystkich współczynników liczebnych za pomocąprawideł arytmetyki; następnie, do tak znalezionej liczby należy dopisać każdą głoskę, wspólną wszystkim wyrażeniom, i dać każdej głosce najmniejszy odpowiedni wykładnik, jaki ona ma w tych wyrażeniach.

97. Naprzykład: mamy znaleśó N. W. D. dla 16a⁴6²c i 20 azb²d. Tutaj współczynniki liczebne są 16 i 20, a ich N. W. D. jest 4. Głoski wspólne obu jednomianom są a i fr, najmniejszy wykładnik przy a jest 3, a najmniejszy wykładnik przy b jest 2. Tym sposobem szukany N: W. D. będzie 4a³ó².

Szukajmy jeszcze N. W. D. dla 8a²b³c²xbyzz, 12aAbcx²y'\ i 16azc²x²yi. Współczynniki liczebne są 8,12 i 16; ich W. W. D. jest 4. Głoski wspólne wszystkim wyrażeniom są: a, c, x\y\ ich najmniejsze wykładniki są odpowiednio: 2, 1, 2 i 1. Tym sposobem szukany N. W. 1). będzie 4a²cx~'y.

98. Następujące twierdzenie daje najlepsze praktyczne pojęcie o tern co rozumiemy przez największy wspólny dzielnik w algebrze, gdyż ono pokazuje znaczenie tutaj wyrazu największy. Ody dwa lub więcej wyrażeń algebraicznych podzielimy przez ich największy wspólny dzielnik, wtedy otrzymane ilorazy nie mają żadnego wspólnego dzielnika.

Weźmy pierwszy przykład paragrafu 97, i podzielmy podane tam jednomiany przez ich N. W. D., otrzymamy ilorazy 4ac i 5 bd, które nie mają żadnego wspólnego dzielnika.

Podobnież, jeżeli w drugim przykładzie paragrafu 97 podzielimy dane jednomiany przez ich N. W. D., otrzymamy na ilorazy 2 b²cxdzs, 8a²by², i 4ac²y%, które również nie mają Żadnego wspólnego dzielnika.

99.    To, co było powiedziane w poprzednim paragrafie, przy pomocy rozdziału o rozłożeniu na czynniki, daje nam w wielu razach, możność oznaczenia Ar. W. D. wielomianów. Przypuśćmy np., że szukamy N. W. D. dla 4 a² (a-\-b)² i 6ab (a²—b²). Tutaj 2a jest Ar. W. D. czynników 4 a² i 6 ab, jest czynnikiem zarazem i (a-\- b)², i a² — b² i to jedynym czynnikiem wspólnym. Iloczyn więc 2 a (a -j-b) jest N. W. D. danych wyrażeń.

Lecz ten sposób nie może być w ogólności zastosowany do jakichkolwiek wielomianów, gdyż ogólna teorya rozkładu wielomianów na czynniki o wiele przechodzi po zagranicę tych wiadomości, jakie początkujący posiada. Musimy więc do tego wyszukać innego sposobu; — i następujące określenia i prawidła zawierają inne rozwiązanie tego zadania.

100.    Największy wspólny dzielnik wielomianów możemy określić w następujący sposób. Jeżeli dwa lub więcej wielomianów zawiera potęgi pewnej głoski wspólnej, wtedy ten z czynników, dzielących wszystkie te wielomiany, w którym ta głoska wchodzi z najwyższym wykładnikiem, nazywa się ich największym wspólnym dzielnikiem.

101.    Na wynalezienie największego wspólnego dzielnika dla dwóch wielomianów mamy takie prawidło:

Niech A i B oznaczają dwa wielomiany, uporządkujmy je podług potęg malejący ch pewnej ivspôlnej głoski. Przypuśćmy, że wykładnik najwyższej potęgi tej głoski w A nie jest mniejszy, aniżeli wykładnik najwyższej potęgi tejże głoski w B. Podzielmy A przez B, następnie B przez resztę-, potem tę resztę pierwszą przez resztę drugą, — i tak dalej postępujmy dotąd, dopóki nie pozostanie żadnej reszty, — wtedy ostatni dzielnik będzie największym wspólnym dzielnikiem szukanym.

102.    Naprzykład szukajmy N. W. D. dla x² — Ax -j- 3 i 4x³ — 9x² — 15 x -j- 18. -

7 a?²—27a?-|-18 •7 a?²iji28a?+21

—a?² —j— 3 a?

4x³— 9a?²—15 a?—(—18 —4pipl6.z²-l-123?

a?² — 4a? —f— B

4a? —)— 7

a?² — 4a? -j- 3 ja? — 3 a? — 1

— a? -j- 3 -f- a? H-- 3

Więc a? —3 jest szukanym N. W. D.

103.    Prawidło, podane w paragrafie 101, opiera się na dwóch następnych zasadach:

(1)    Jeżeli P jest dzielnikiem dla A, wtedy będzie ono dzielnikiem i dla mA. Gdyż: jeżeli a oznacza iloraz z podzielenia A przez P, to A — aP, a przeto mA = maP, więc P jest dzielnikiem dla mA.

(2)    Jeżeli P jest dzielnikiem dla A i P, wtedy będzie ono dzielnikiem dla mAP-nB. W samej rzeczy: skoro Pjest dzielnikiem dla A i dla P, to możemy przyjąć, że A~aP, i B=bP. Zatem mAPz/nB = (ma + nb)P, czyli P jest dzielnikiem dla niAP~nB.

104.    Teraz dopiero możemy uzasadnić prawidło, podane w § 101.

Niech A i B oznaczają dwa wyrażenia dane. Podzielmy A przez B i oznaczmy przez p iloraz a przez C resztę. Podzielmy B przez C i oznaczmy przez q iloraz a przez D resztę. Podzielmy dalej C przez P, i przypuśćmy, że nie pozostaje żadna reszta, a r jest ilorazem.

Wtedy mamy następujące wyrażenia:

A=pB-\-C, B=qC-\-D, C—rD.

Pokażemy najprzód, że D jest wspólnym dzielnikiem dla A i B. Ponieważ C—rD, przeto D jest dzielnikiem dla (7, a zatem, podług § 103, jest także dzielnikiem dla qC, a przeto i dla qC-\-D, czyli dla B.

I dalej: ponieważ D jest dzielnikiem dla C i J3, przeto i dla pB-j-C czyli dla A. I tak D jest dzielnikiem dla A i B.

Poprzednie rozumowanie pokazuje nam, że D jest wspólnym dzielnikiem dla A i B-, pozostaje teraz dowieść, że ono jest ich największym wspólnym dzielnikiem.

Na zasadzie § 103 każdy wspólny dzielnik dla A i B, jest dzielnikiem i dla A—pB, to jest dla (7; a zatem każdy wspólny dzielnik dla A i B jest zarazem wspólnym dzielnikiem dla B i C. Podobnież: każdy wspólny dzielnik dla B i. (7, jest zarazem wspólnym dzielnikiem dla C i D. Tym sposobem każdy wspólny dzielnik dla A i B jest zarazem dzielnikiem i dla D. Lecz żadne wyrażenie wyższego stopnia aniżeli D nie może dzielić D bez reszty. A zatem D jest największym wspólnym dzielnikiem dla A i B.

105.    Widoczną jest rzeczą, że każdy dzielnik wspólnego dzielnika, dwóch lub więcej wyrażeń, jest zarazem wspólnym dzielnikiem tychże wyrażeń.

106.    Dowiedziono w § 104, że każdy wspólny dzielnik dla A i B, jest zarazem dzielnikiem i dla D: to jest: Każdy wspólny dzielnik dla dwóch wyrażeń jest zarazem dzielnikiem i największego wspólnego dzielnika tychże wyrażeń.

107.    Podamy teraz i objaśnimy przykładami prawidło, za pomocą którego można uniknąć ułamków w ilorazach i wprowadzić uproszczenia w wykonywaniu roboty. Dowodzenie tego prawidła można znaleść w obszerniejszych dziełach o algebrze.

Zanim napiszemy nowy wyraz w którymkolwiek ilorazie, możemy podzielić dzielnik, lub dzielnej przez jakiekohoiek wyrażenie, ale nie mające żadnego czynnika wspólnego z wyrażeniami, dla których szukamy największego wspólnego dziel-

Algabra nika; albo też możemy pomnożyć dzielną w któremkolwiek miejscu roboty przez każde wyrażenie, które nie zawiera w sobie czynnika wchodzącego i do dzielnika.

108. Naprzykład: szukajmy N. W. D. dla 2x² - 7x-\-b i 3 a;² — 7a?-j-4. Weźmy tutaj 2x² — 7x -[- 5 jako dzielnik; dzieląc wszakże 3 a?² przez 2x², otrzymujemy na iloraz ułamek; aby tego uniknąć, mnożymy dzielną przez 2 i następnie dzielimy.

6x²— 14:X -f- 8 2a?²— 7x-\-b — 6x² W 21æ -t- 15 3

7x-7

Jeżeli teraz przyjmiemy 7x—7 za dzielnik, a 2x²—7x-\-b za dzielną, wtedy pierwszy wyraz ilorazu będzie ułamkowym; lecz czynnik 7 znajduje się we wszystkich wyrazach tego dzielnika, opuszczamy go i dopiero wtedy dzielimy.

2x — 5

2x²—7x-\-b x—1 — 2a;² żji 2x

— bx b zjz bx ±: b

Tym sposobem otrzymamy x— 1 jako szukany N. W. D.

Tutaj należy zauważyć, że w początku działania użyliśmy drugiej części prawidła, podanego w § 107, a w dalszym ciągu tegoż działania pierwszej części prawidła. Należy używać zawsze pierwszej części prawidła, jeżeli tylko to jest mo-żliwem; w przeciwnym zaś razie drugiej części. W wypowiedzeniu prawidła użyliśmy wyrazu wyrażenie, lecz w tych zadaniach jakie najczęściej przytrafiają się w praktyce i jakie uczący się mieć tutaj będzie do rozwiązania, czynniki które mają być wprowadzone lub opuszczone będą prawie zawsze czynnikami liczebnymi, jak to miało miejsce i w poprzednim przykładzie.

dzielną.

Drugi przykład: chcemy znaleść N. W. D. dla 2 a;⁴ — 7a³ 4a² -j- a — 4 i 3a⁴ — lia;³ — 2a;² — 4x — 16. Pomnóżmy drugi wielomian przez 2, i weźmy go za

6a;⁴ — 22a³ — 4x² — 8x — 82 2a⁴ — 7a³ — 4x² -f- x — 4 — 6a⁴ ifi 21a³ + 12a² -f- 3a ip 12 3 — a³ -f- 8a² —lia— 20

Możemy pomnożyć każdy wyraz tej reszty przez — 1, zanim przyjmiemy ją za nowy dzielnik, to jest możemy zmienić w niej wszystkie znaki na przeciwne.

2 a -j- 9

2 a⁴ — 7 a³ — 4 a² -(- a -— 4 i a³ — 8 x² -}- 11 x -|- 20 — 2a⁴q= 16a³ ± 22 a² -h 40a

9 a³ — 26 x² — 39 a — 4 — 9a³ ip 72a² + 99a -+-180

46a² — 138a — 184

Tutaj 46 jest czynnikiem każdego wyrazu reszty; możemy więc przez niego podzielić też resztę, zanim użyjemy jej jako nowego dzielnika.

a³ — 8a² -{- 11 a -|- 20 a² — 3a—-4 — a³ip3a2:+: 4a

— 5 a² + 15 a -|~ 20 np 5 a² -i- 15 a +- 20

Tym sposobem a² — 3 a — 4 jest N. W. D. szukanym.

109.    Przypuśćmy, że dane wyrażenia zawierają wspólny czynnik F, widoczny na pierwszy rzut oka; wtedy można uczynić A = aF i B=bF. W tym razie na zasadzie § 106, F będzie czynnikiem N. W. D. JSTależy zatem znaleść N. W. D. dla a i b i pomnożyć go przez F- otrzymany iloczyn będzie N. W. D. dla A i B.

110.    Przypuśćmy teraz, że mamy znaleść N. W. D. trzech wyrażeń A, B i C. W tym celu znajdujemy N. W. D. którychkolwiek dwóch z tych wyrażeń, np. i i T; niech 1)

oznacza ten X. W. D., następnie wynajdujemy N. W. D. dla D i O, i ten ostatni będzie N. W. D. dla A, B i C.

Gdyż, na zasadzie § 105, każdy wspólny dzielnik dla i) i O, jest wspólnym dzielnikiem dla A, B i (7; a na zasadzie § 106 każdy wspólny dzielnik dla A, B i C jest wspólnym dzielnikiem dla D i C. Przeto N. W. D. dla D i C jest N. W. D. dla A, B i C.

111. W podobny sposób można wynaleśó N. W. D. czterech wyrażeń. Albo też: możemy znaleść N. W. U. dwócli którychkolwiek z danych wyrażeń, i także N. W. D. dwóch pozostałych wyrażeń; wtedy N. W. D. dwóch tak otrzymanych wypadków, będzie N. W. D. czterech danych wyrażeń

PRZYKŁADY XII.

Znaleść największy wspólny dzielnik następujących wy

rażeń:

2.    3ba-b³x*y⁴, 49 a²b⁴x⁴y³.

1.    16 a²b³, 20 a³b².

3.    6(x-\- l)³, 9 (x² — 1).

4.    x² -j- 2x — 120, x² — 2x — 80 by x³ — 41 x — 30, ar³ — 11 x² -j- 25a: -j- 25.

6.    x³ -j- 7x² -j- 17x -j- 15, x:1 -[- 8x² -J- 19,x -{- 12.

7.    4 (x²—x —}— 1), 3 (a?⁴ -j- x² -|- 1). k"¹-* ⁴    ^

8.    x³ — 4x² -f- 2x -j- 3, 2x⁴ — 9x³ -(-■ 12x² — 7.

9.    x⁴ — 1, 3a:⁵ -j- 2a;⁴ -|- 4x³ -j- 2 x² -j- x. - :

10. x² — k>x — 70, x³ — 39a: -j- 70, x³ — 48x -j- 7.

XIII.

Najmniejsza wspólna wielokrotna.

112. W arytmetyce ta liczba całkowita, która się da podzielić bez reszty przez inną liczbę całkowitą, nazywa się wielokrotną tej ostatniej; ta liczba całkowita, która się da

podzielić przez dwie lub kilka liczb całkowitych, nazywa się ich wspólną wielokrotną.

113. W arytmetyce najmniejsza wspólna wielokrotna dwóch lub więcej liczb całkowitych, jest najmniejszą z liczb całkowitych, które się dają podzielić przez te ostatnie liczby wszystkie. Wyrażenie: najmniejsza wspólna wielokrotna, jest także używane i w algebrze, lecz tutaj jest niezupełnie właściwe (patrz § 95). Głosek n. W. W. używać będziemy często dla krótkości, zamiast tego wyrażenia.

Objaśnimy teraz, w jakiem znaczeniu wyrażenie to jest używane w algebrze.

11-1. Mówimy, że najmniejszą wspólną wielokrotną dwóch lub więcej jednomianów nazywa się wyrażenie najniższego stopnia, które przez ivszystkie te jednomiany może byc podzielone', określenie to stanie się w zupełności zrozumiałem po podaniu prawidła i przykładów na wynajdywanie najmniejszej wspólnej wielokrotnej jednomianów.

Prawidło na wynajdywanie n. W. W. jednomianów jest

następne.

Należy znaleść za pomocą zasad arytmetyki n. W. W. dla współczynników liczebnych; następnie za tą liczbą napisać każdą z głosek znajdujących się w danych jednomianach i dać każdej głosce odpowiednio najwyższy wykładnik, jaki ona ma w tych jednomianach.

115. Przypuśćmy naprzykład, że szukamy n. W. W. dla 16a*bc i 20a³ldd. Tutaj współczynnikami liczebnymi są 16 i 20, a ich n. W. W. jest 80. Głoski, które się znajdują w tych wyrażeniach są a, b, c i d\ ich najwyższe wykładniki są odpowiednio 4, 3, 1 i 1. Tym sposobem otrzymujemy 80aćb²cd jako szukaną n. W. W.

Przypuśćmy dalej, że chcemy znaleść n. W. W. dla 8a²b³c²x⁵yzs, 12aibcx²y³ i 1 Qazczx²yi. Tutaj n. W. W. współczynników liczebnych jest 48. Głoski, które się znajdują w tych wyrażeniach, są a, b, c, x, y, z, a ich najwryższe wy-

kładniki są odpowiadnio 4, 3, 3, 5, 4 i 3. Tym sposobem n. W. W. szukana będzie: 48aib³c³xbyiz³.

116. Następujące twierdzenie daje najlepsze pojęcie o tern, co się rozumie w algebrze pod wyrazem najmniejsza wspólna wielokrotna, i pokazuje zarazem znaczenie tutaj wyrazu najmniejsza.

Gdy najmniejsza wspólna wielokrotna dwóch lub więcej wyrażeń będzie podzielona przez też wyrażenia, wtedy otrzymane ilorazy nie będą miały żadnego wspólnego dzielnika.

I tak, jeżeli weźmiemy pod uwagę pierwszy przykład § 115 i podzielimy n. W. W. przez dane tam jednomiany, wtedy ilorazy będą hb²d i 4ac, które nie mają żadnego wspólnego dzielnika.

Dalej, weźmy pod uwagę drugi przykład § 115 i podzielmy n. W. W. przez dane jednomiany; ilorazy będą 6a²cy³, 4:b²c²x'yz³ i 3ab³x³z³, a one nie mają żadnego wspólnego dzielnika.

117.    To, co było wyłożone w poprzednim paragrafie, z pomocą rozdziału o rozkładzie na czynniki daje w wielu razach możność znalezienia n. W. W. dla wielomianów. Na-przykład chcemy znaleść n. W. W. dla 4a² (a -f b j i 6ab (a-—b²). Najmniejsza wspólna wielokrotna dla 4a² i 6ab jest 12a²b Dalej zauważmy, że (a -|- b)² i a² — b² mają wspólny czynnik « —|— &; więc (a -j- b) (a -}- b) (a — b) jest wielokrotne względem (a -f- b)² i a² — b²- dzieląc zaś to wyrażenie przez (a -J- b)2 i a² — b² otrzymujemy ilorazy a — b, i u -j- ć, które nie mają żadnego wspólnego dzielnika. Tym sposobem szukana n. W. W. będzie 12 a²b (a -j- b)² (a — b).

118.    Najmniejszą wspólną wielokrotną dwóch lub więcej wielomianów można określić w ten sposób: Przypuśćmy, że kilka wielomianów zawiera rozmaite potęgi pewnej wspólnej głoski; wtedy wyrażenie najniższego stopnia względem

tej wspólnej głoski, dające się podzielić przez każdy zdanych wielomianów, nazywa się ich najmniejszą wspólną wielokrotną.

119. Pokażemy teraz jak znaleść n. W. W. dla dwóch wielomianów. Wszakże zrozumienie zupełne dowodzenia poniżej zamieszczonego przedstawia dla początkującego pewne trudności.

Oznaczmy przez A i B dane dwa wyrażenia, i przez D ich największy wspólny dzielnik. Wtedy A=aD i B=-bD, gdzie a i b nie mają żadnego czynnika wspólnego, jak to wypada z samej natury największego wspólnego dzielnika. Przeto najmniejsza wspólna wielokrotna dla a i b jest ab. A zatem wyrażenie najniższego stopnia, które jest podzielne przez

aD i bD jest abD. Lecz: abD=Ab = Ba=

AB

wynalezie-

Stąd otrzymujemy następujące prawidło na nie n. W. W. dwóch wyrażeń: Należy podzielić iloczyn tych dwóch wyrażeń przez ich N. W. D. Lub też, to samo prawidło możemy wyrazić tak: Należy podzielić jedno z danych wyrażeń przez ich N. W. D. i iloraz pomnożyć przez wyrażenie drugie.

120. Naprzykład, szukamy n. W. W. dla x² — 4a:    3

i 4a:³ — 9 x² — \bx -(- 18.

N. W. D. jest tutaj x — 3 (§ 102). Podzielmy x²—4a:-[-3 przez x — 3; iloraz jest x — 1. A zatem n. W. W. szukana jest (x — 1) (4.x³ — 9x² —15 x -j- 18), co po wykonaniu mnożenia daje: 4 a:⁴ — 13 a?³ — 6x² -f- 33 x — 18.

W. W.

Dogodniejszą jest często rzeczą przestawić n. pod postacią iloczynu wskazanego, złożonego z czynników,

aniżeli jako ostateczny wypadek, powstały przez wykonane mnożenie. Wiemy że W. W. D., w tym przypadku x 3

iloraz 4a:² -j- 3a: — 6. Stąd n. W. W. jest:

dzieli bez reszty 4a:³ — 9a:² — 15x-|-18; przez dzielenie znajdujemy na

(x

3) (x — 1) (4a:² —f- 3 a; — 6).

Jako inny przykład, przypuśćmy, że szukamy n. W. W. dla 2x- — 7 x -f- 5 i 3 x² — 7x -}- 4.

W. TT. i), jest x — 1, patrz § 108.

Przeto:

(2x² — 7 x -j- 5) : (x — 1) = 2x — 5, (3 x² — 7 x -j- 4) : (x — 1) — 3x — 4,

n. W. W. będzie więc:

(x — 1) (2 x — 5) (3x — 4).

121.    Widoczną jest rzeczą, że każda wielokrotna wspólnej wielokrotnej dla pewnej liczby wyrażeń, jest także wspólną wielokrotną dla tychże wyrażeń.

122.    Każda wspólna wielokrotnaJ dla dwóch wyrażeń, jest wielokrotną najmniejszej wspólnej wielokrotnej tychże wyrażeń.

Niecli A i B będą dwa wyrażenia, których n. W. W. jest M, i niech N oznacza jakąkolwiek inną wspólną wielokrotną. Przypuśćmy, jeżeli to jest możliwem, że W, podzielone przez M, daje na ilorazy i na resztę R. Wtedy R = N—qM. Lecz A i B są dzielnikami dla M i IV, a zatem muszą one dzielić bez reszty i R (§ 103). Ale z natury dzielenia wypada, że R jest niższego stopnia aniżeli M; tym sposobem R byłoby wspólną wielokrotną dla A i B: niższego stopnia aniżeli ich n. W. W., co podług określenia n. W. W. być nie może. Przy dzieleniu więc N przez M nie może pozostać żadnej reszty, czyli W jest wielokrotnem względem M.

123. Przypuśćmy teraz, że chcemy znaleść n. W. W. względem trzech wielomianów A, B, C. W tym celu wy-najdźmy n. W. W. dwóch którychkolwiek z nich, np. A i _B; niech M będzie tą n. W. W. wtedy n. W. W, względem Mi C będzie żądaną n. W. W. względem A, B i C.

Grdyż każda wspólna wielokrotna dla Mi C jest zarazem wspólną wielokrotną dla A, B i C na zasadzie § 121. Również: każda wspólna wielokrotna dla A i B jest wielokrotną względem J/, na zasadzie § 122; stąd każda wspólna

wielokrotna dla M i C jest wspólną wielokrotną dla A, B i C. Przeto najmniejsza wspólna wielokrotna dla M i C będzie najmniejszą wspólną wielokrotną dla A, B i C.

124.    W podobny sposób możemy znaleść najmniejszą wspólną wielokrotną i dla czterech wielomianów.

125.    Teorye największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotnej nie są niezbędnie potrzebne do następnych rozdziałów niniejszego dzieła; dlatego też jeżeli uczący się znajdzie w rozumieniu tych teoryi jakiekolwiek trudności, może je odłożyć do czasu, gdy studyować będzie teoryę równań. Za to zadania dołączone do poprzedniego i do niniejszego rozdziału muszą być starannie przerobione z powodu ćwiczeń, jakie podają we wszystkich zasadniczych działaniach algebry.

PRZYKŁADY XIII.

Znaleść najmniejszą wspólną wielokrotną względem następujących wyrażeń:

—    b)\ ²-b².

—    ó²,    — bK

1.    12 a²b²c, 1Sab²c⁸.

3. 4a(a-\-b). 6ó(a³+ó³);

5.    12 #² -f- 5x — 3,6xs-\-x²— x.

6.    x³ — 7 x — 6, x% -j- Sx² —j— 17 a? —(— 10.

7.    x*- -j- x² -|- 2x² -j- a? -f- 1, xi — 1.

8.    4a³ć²c, 6«&³c², 18 a²bc³.

9.    15 (a²b — aó²), 21 (a³ — ać²), 35 (ać² -f ć³).

10.    a;² — 1, x² -|- 1, a:⁴ -j- 1, x⁸ — 1.

11.    x² -4- 3 x -)- 2, x² -j- -ix -j- 3, x² 5x -j- 6.

XIV.

Ułamki.

126. W tym i następnych czterech rozdziałach mówić będziemy o ułamkach: przekonamy się z nich, że prawidła

na działania z ułamkami w algebrze zupełnie są podobne do tych prawideł, które już znamy z arytmetyki.

127. Przez wyrażenie y oznaczamy, że pewna jedność jest podzielona na b części równych i że takich części bierzemy a. Tutaj y nazywa się ułamkiem; a nazywa się hczni-

Tciem, b zaś mianownikiem. Tym sposobem mianownik pokazuje na ile części równych jedność została podzielona, a licznik — ile takich części bierzemy.

7.

Figura załączona przedstawia -y przy a = 3, b =

Każda całkowita, lub wyrażenie całkowite może być uważane jako ułamek, mający za mianownik jedność; tak np.

b -f c

a .

Y'iJ,JrG ==

128. Aby wyrazić ułamek w postaci liczby całkowitej z ułamkiem, czyli ilości mieszanej, używamy następującego prawidła zarówno w algebrze, jak i w arytmetyce:

Należy podzielić licznik przez mianownik tak daleko jak tylko można, i dodać do ilorazu ułamek, mający za licznik resztę, a za mianownik dzielnik.

Przykłady:

24 a

Y~ — 3 a -j—y~ • = « +

sł-fa+14_x 3    -x+2___

x²—3æ+ 4    ' x²—3^c—}-4

a² -j- 3 ab

2 ab

a -f- b

Zwracamy tu uwagę uczącego się na przejście od przedostatniego do ostatniego wyrażenia; przejście to jest w rzeczywistości przykładem na użycie nawiasu, mianowicie:

-j- ( — x -j- 2) = — (x — 2).

kowitą:

129. Prawidło na pomnożenie ułamka przez liczbę cał

Nąleży albo pomnożyć licznik albo też podzielić mianownik przez tęż całkowitą.

W rzeczy samej: niech y- oznacza jakikolwiek ułamek, a c jakąkolwiek liczbę całkowitą; wtedy będzie ~ X c = Gdyż w każdym z ułamków y

ac

b '

y jedność jest podzielona ctc

na jednakową liczbę części b; lecz w ułamku -y, c razy wię-

. ac

cej tych części jest wziętych, aniżeli w

ac

stąd y jest c razy

po

o; a

To jest dowodem pierwszego sposobu wyrażenia pra

widła.

oznacza jakikolwiek ułamek, a c jaką-

Dalej: niech

d

kol wiek liczbę całkowitą; wtedy będzie y

Cl Cl

w każdym z ułamków y i y taż sama liczba części jest

a

wziętą, mianowicie a; lecz w ułamku y każda część jest c

Cl    (l

zy większą od każdej części w ułamku y, albowiem w y jedność jest podzielona na c razy więcej części, aniżeli w y ; stąd y jest c razy większe od y .

bc

O-

. Gdyż

ra-

I to jest dowodem drugiego sposobu wyrażenia prawidła. Rozumowanie powyższe można sobie ułatwić za pomocą rysunku.

130. Prawidło na podzielenie ułamka przez liczbę cał

kowitą:

Należy albo pomnożyć mianownik przez tą całkowitą, albo też licznik podzielić przez też całkowitą.

W samej rzeczy: niech ~ oznacza jakikolwiek ułamek.

Cl

a c jakąkolwiek liczbę całkowitą; wtedy będzie : Gdyż ~ jest c razy większe od ~

a . , bo Jest

bc '

na zasadzie § 129; zatem

r—i

widła .

^ częścią ułamku

To stanowi dowód pierwszego sposobu wyrażenia pra

Dalej: niech znowu

oznacza pewien ułamek a c liczbę

ar

całkowitą; wtedy będzie - - : c = - . Gdyż —jest c razy na zasadzie § 129; a przeto -j- jest częścią

większe od

• ac

ułamka -,    .

b

I to jest dowodem drugiego sposobu wyrażenia powyższego prawidła.

131. Jeżeli licznik i mianownik jakiegokolwiek ułamka pomnożymy przez jedną i tąż samą liczbą całkowitą, wtedy wartość ułamka nie zmieni sią.

Gdyż jeżeli licznik ułamka pomnożymy przez pewną całkowitą, wtedy ułamek będzie pomnożony przez też całkowitą; wypadek ten zostanie podzielony przez tęż samą całkowitą, gdy mianownik będzie przez nią pomnożony. Lecz gdy

jakąkolwiek liczbę pomnożymy, a następnie wypadek podzielimy przez jednę i tęż sarnę liczbę całkowitą, wtedy wypadek ostateczny mieć będzie taką samą wartość, co i dana liczba.

Toż samo może być wyrażone jeszcze w ten sposób: jeżeli licznik i mianownik ułamka podzielimy przez jednę i tęż sarnę liczbę całkowitą, wtedy wartość ułamka się nie zmieni.

Oba te sposoby ustnego wyrażenia powyższej własności ułamków, są zawarte w wyrażeniu algebraicznem:

CL O/C

b    be

Twierdzenie to jest bardzo wielkiej wagi: — wiele działań z ułamkami na niem się opiera, jak to zobaczymy w następujących rozdziałach.

PRZYKŁADY XIV.

Następujące ułamki wyrazić w postaci ilości miesza

nych:

1.

36ac-j-4e

u.    -

3.

x²-j- 3a-j_2 # -f- 3

4.

-|- 1 a? — 1

Pomnożyć: 4 a²

5.

96²

przez 3ó.

6.

8(a²-j~b²) 9 (a²—&²)

przez 3 (a—&)_

Podzielić: 8x²

7.

przez 2x.

10 (a³ — b³)

3 (a -f- 5)

O.

9.

■a⁸ 4- 1

przez x² — æ -j- 1 .

XV.

Skracanie ułamków i sprowadzanie ich do wspólnego mianownika.

132.    Zastosujemy teraz twierdzenie, wyrażone w § 131 do dwóch ważnych działań: do wyrażania ułamków w najprostszej postaci czyli skracania ułamków, i do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika

133.    Prawidło na skracanie ułamków: Należy podzielić licznik i mianownik ułamka przez ich największy wspólny dzielnik.

Naprzykład: wyrazić ułamek

16 aMdc

20 a³b³d

w najprostszej po-

staci. N. W. D. licznika i mianownika jest 4a³b²; dzieląc tak licznik, jak i mianownik przez 4 a³b², otrzymamy na żądany

4    ac

5    bd

wypadek

4 ac

16a⁴b²c

jest równy

To jest: ułamek

20 ą³b³c ’

lecz jest wyrażony w prostszej postaci; a nawet mówimy, że jest wyrażonym w najprostszej postaci, gdyż już uproszczonym dalej być nie może zapomocązasad, wyłożonych w § 131.

5 bd '

Dalszy przykład: wyrazić ułamek

4x³ — 9x² —- lbx-\-18 w najprostszej postaci. N. W. D. dla licznika i mianownika jest x — 3; dzieląc i licznik i mianownik przez x — 3, otrzy-

mamy żądany wypadek:

4x² -|- 3 x — 6 W niektórych przypadkach możemy poznać, że licznik i mianownik mają wspólny czynnik, nie używając prawidła na wynajdywanie największego wspólnego dzielnika. Tak np.

(a — bj² — c² _ (■a — b -j- ć) {a — b — ć) a — b -j- c

a² — (b -j- c)²    (a -|- b -j- ć) (a — b — ć)    a -j- b -}- c

134. Prawidło na sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Należy pomnożyć licznik i mianownik każdego z ułamków przez iloczyn mianowników pozostałych ułamków.

Naprzykład: sprowadzić ułamki

kowego mianownika.

a adf b bdf

do jedna-

Tym sposobem

cbf _ e

dbf ' f fbd

adf cbf . ebd bdf ' dbf ¹ fbd

ebd

są ułamkami tycłisa-

OM

rnych odpowiednich wartości, co i ułamki

ją tenże sam mianownik bdf.

Prawidło podane powyżej w tym paragrafie, daje możność sprowadzenia zawsze ułamków do wspólnego mianownika, ale nie zawsze do najmniejszego wspólnego mianownika. Dla tego też dogodniejszą jest często rzeczą używać innego prawidła, które w tej chwili podamy, i za pomocą którego możemy ułamki sprowadzić do najmniejszego wspólnego mianownika.

135. Prawddło na sprowadzanie ułamków do najmniejszego (najniższego patrz § 95) wspólnego mianownika.

Należy znaleść najmniejszą wspólną wielokrotną względem mianowników, i przyjąć ją za mianownik wspólny; dla wynalezienia zaś nowego licznika każdego ułamka należy pomnożyć każdy z liczników przez iloraz, powstały z podzielenia mianownika wspólnego przgz mianownik, odpowiadający temuż licznikowi w danym ułamku.

.Naprzykład: ułamki , —— , sprowadzić do naj-r J    yz zx xy

mniejszego wspólnego mianownika. Najmniejsza wspólna

wielokrotna względem mianowników jest xyz, i

ax

by

cz

yz xyz ’

zx

xyz ⁵

xy

xyz

PRZYKŁADY XV.

Następujące ułamki wyrazić w najprostszej postaci:

a² -j- ab a² — ab

12 a^b²x 18a²b²y

4    (a -f- b)²

5    (a² — b²)

3.

2.

4.

x² 10x -j- 21

5.

x² -j- (a -j- b) x -|- ab

X'² —J— (a -j— c) ^ —|— ac

g x² —- (a -f- b) x-\-ab x² Ar- (c — a) x—ac

7.

x² — 2 aj; -f- a2 xz — 2 ax² -(- 2 a²# — a³ '

Następujące ułamki sprowadzić do najmniejszego wspólnego mianownika:

8.

lO

4x ’ 6x² ’ 12x3 ł

9    ¹    3    s

x -f- i ¹ 4x 4 ’ x² -

10.

ax

x — a ’ x² -J- ax —|— a²

x³ • a³ '

x²—(a-\-b)x-\-ab ’ x²— (a-j-c) x-\-ac ’ x²— (ô-j-c) x-f-ôc

XVI.

Dodawanie i odejmowanie ułamków.

136. Jeżeli mamy do czynienia bezpośrednio z pewne-mi wielkościami, np. z długościami, wtedy dodawanie i odejmowanie wielkości ułamkowych odbywa się zupełnie tak samo jak całkowitych: dodajemy je lub odejmujemy za pomocą cyrkla lub innego odpowiedniego przyrządu. Ażeby zastą-

pić to działanie rachunkiem, wprowadzamy następujące określenie dodawania i odejmowania ułamków. Sumą [różnicą] dwóch ułamków, mających jednakowe mianowniki, nazywamy ułamek, mający tenże sam mianownik, a licznik równy sumie [różnicyJ liczników ułamków danych. Wyraża się to za po-

mocą wzoru ^ + — = —^—-.

Zgodność obu działań łatwo uwidocznić za pomocą ry-

synku.

Prawidło na dodawanie i odejmowanie ułamków będzie więc: Należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, i następnie dodać lub odjąć liczniki, i podpisać pod sumą) lub różnicą mianownik wspólny.

Przykłady. Dodać    do — ■ C. Ponieważ te ułamki mają już jednakowy mianownik, przeto:

a c . a -" “i

c __    ~ł~ a — c_

~ b '

Od:

odjąć

4« — 3b 3a - 4b __ 4æ — 3b — (3a - 45)

4 a—3 b— 3a-|-4ô ab

Wszystkie działania uczący się powinien wykonywać zupełności, tak jak to jest pokazane w ostatnimp rzykładzie celu uniknięcia pomyłek.

Dodać:

c A c

——r do-y .

a-\-b a — b

Tutaj mianownikiem wspólnym będzie iloczyn z a -\-b przez a — b, to jest a² -— b².

c (a -\-b)

c (a — b) c

a + b ~~ a² -- ¥ ’ T-^ł) “ a² ~ b² '

a —|— b

Od:

Mianownikiem wspólnym jest a² — b².

a -\-b (a + b)²    a — b (a — b)²

â^b⁼⁼a¹ — F’ a -f- b ⁼ a² - - b² ’

Przeto:

a-\-b a — b (a -\-b)² — (a — b)2 a — b a -j- b

_ a² -|- 2 ab -|- b² — (a² — 2 ab -f- b²)_ 4 ab

a² — b²

Przeto

a -j- b a — b

ca — cb ca-\- cb

c (a — b) -|- c (a -f- b)

a² — b²

a² — b2 2 ca

a² — b²

Od:

x -j-1

x² — 4a;    3

odjąć

4a;² — 3^ + 2

4æ³ — 9a;² — 15a; -f-18 ’

Na zasadzie § 120, najmniejsza wspólna wielokrotna mianowników jest:

137. Niekiedy wypada nam zamienić ilość mieszaną na ułamek; jest to po prostu jeden z przypadków dodawania lub odejmowania ułamków.

Przykłady:

a -j-

X'

2 ab

a-\-b

_ — 3x -j- 4    1

5 a: + 12 — (a: — 2) _ xz x² — 3x -J- 4

2 ab

a (a -j— b ) a-\-b    ¹ a-\-b

_x-\- 3

a² -j- 3 ab a —|— b

x² — 3,r -(- 4 —(— 12 — x -j- 2 a:² — 3.r -f- 4

x³ — Gx -}- 14 a:² — 3a: —|— 4 *

138. Mogą się także przytrafić wyrażenia, w których należy wykonać i dodawanie i odejmowanie. Tak naprzy-kład, przypuśćmy, że mamy uprościć:

a²

a    ab ____

a Ą-b a² — b²    a² -J- b² '

najmniejsza wspólna wielokrotna dla mianowników będzie:

(a² — b²) (a² -J- b²), to jest a⁴ — i⁴.

a (a — 6) (a² -|- ^²) __ a⁴ — a³£> -j- a²b² — ab3 a⁴ — &⁴

a⁴ — b⁴

aft

ab (a² -|- fr²) a³5 -|- abz

" “a⁴—!⁴    ’

a²

a² (a² — 6²)_a⁴ — a²/>²

a⁴ — 6⁴

Przeto:

ab

b a² — b²    a² —{— 6²

■ a⁴ — azb -4- a²b² — abz + azb -(- abz — (a⁴ — a²b²)

a⁴ — b⁴

a⁴ — a ''b -j- a²b² — abz -)- azb -j- ab³ — a⁴ -\- a²b² Za²b²

a⁴ — £>⁴    "    a⁴ — b⁴ ’

139. W tym rozdziale pokazaliśmy, jakim sposobem można kilka ułamków połączyć w jeden.

Odwrotnie: można jeden ułamek rozłożyć na kilka ułamków, jeżeli to uważamy za potrzebne. Naprzykład:

3bc — 4ac-j- 5ćtó    3bc 4ac ₍ bab _

abc abc ' abc

abc

«-É+ .

ą b '

lO I

PRZYKŁADY XVI.

Znaleść wartości następujących wyrażeń: 2 a — b —

1.

2.

3 a — 5 b 4    '

__L    .

a — b a + b

3.

a —|— b

4.

!lax

a² — x² ‘

5.

a

~T

a-j-x

— 2 a ! 3 x (a — b) x -f- b

x² — b²

6. x —

x²

X ~j- 1

7.

xy — 2 x²

a: — y x² -(- xy -j- y

8.

T—i

CO

x — 3a

a: -f a x — a

XVII.

Mnożenie ułamków.

140. Przez iloczyn dwóch ułamków rozumiemy ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników ułamków danych. Określenie to można wyrazić za pomocą następującego wzoru:

a c    ac

b d    b<l '

W przypadku szczególnym, kiedy oba mianowniki są równe jedności, wzór ten przedstawia mnożenie liczb całkowi-CC    c    ccc

tych, gdyż — = a, — = c, — = ac ; jeżeli jeden z mianowników np. d jest równy jedności, drugi różny od jedności, wtedy otrzymamy wzór § 129 na mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą:

ac

b 'C b ‘

Określenie tutaj podane jest więc zgodne z tern, co dotąd wiemy o mnożeniu. Sposób mnożenia więcej niż dwóch ułamków łatwo z powyższego określenia wyprowadzić.

141. W § poprzedzającym pierwszy raz mieliśmy do czynienia z mnożnikiem ułamkowym. Ażeby znaczenie jego zrozumieć, zauważmy, że podług § 129

ac

bd bd ' C ’

zaś podług § 130:

©-i

s-l

:d .

d

Jeżeli więc — podzielimy na d części równych, to każda

d

z tych części będzie jeżeli części takich weźmiemy c, to Innemi słowy:

otrzymamy

ac

bd •

Jeżeli mnożnikiem jest ułamek, wtedy dla otrzymania iloczynu należy mnożną podzielić na tyle części równych, ile jedności zawiera mianownik mnożnika, i części tych wziąć tyle, ile jedności zawiera licznik mnożnika.

Mnożna może być przytem równie dobrze całkowitą jak

ułamkową.

Jeżeli oba czynniki są dane jako liczby oderwane, wtedy obojętną jest rzeczą, który z nich weźmiemy za mnożną,

(x

(x -f- 1) (4a;² -f- da; — 6)

(4.a;² — 3x -f 2) (x — 1)

\x — 1 ) (x — 3) (4 x² -\- 3 x — 6) ‘

oc —|— 1

który za mnożnik; jeżeli jednak jeden z czynników jest dany bezpośrednio jako wielkość, wtedy dogodnie jest przyjmować go zawsze za mnożną.

Na załączonym rysunku mnożną jest odcinek p, mnożnikiem ułamek ³/₄.

■*—I

142. Damy teraz kilka przykładów. Zanim wykonamy mnożenie tych czynników, których iloczyn będzie nowym licznikiem, jako też i tych czynników, których iloczyn będzie nowym mianownikiem, powinniśmy naprzód przekonać się, czy są jakiekolwiek czynniki wspólne w liczniku i mianowniku, a to w celu opuszczenia ich, przez co wypadek będzie uproszczony; patrz § 133.

Pomnożyć o przez — .

S tH

ab

b . ab

Stąd widzimy, że a . — i

. x ⁴' 5

X    X

Pomnożyć: — przez — .

y    y

są równoznaczne, tak np.

2 a? — 3

; i równie: -- (2 x — 3) =

/y» \y ry>    /v>2

\As /\    i/s

X \ 7~7 —2 J

y y y xy y²

więc

'SS H

²_X²

— ^2 *

Pomnożyć:

8c

3«

4» prZeZ 9a ■

8c 3a X 8c 2e X 12a _ 2c 9a ⁼ 4b X 9a ⁼ 36 x12a ⁼ 3b '

Pomnożyć:

3 a²

przez

4 (a² — b²)

3 a²

(a -f- b)

(a -J- b)²

4 (a² — b²)    4a [a—b) X 3a (a-j-ó) 4« (a —b)

b (a-\-b) X 3a (a -J- b) b{a-\-b)

Sab

Sab

_    , a . b , .    a . b

Pomnożyć:    j-------(- 1 przez -y -|--

O CC    u CC

a-1 a

a ¹ a-

T—i

-§h§

a-

to

2-

o-

a- a

a i a-

a²

b²    ab a² -j- b² — ab

ab ab ah

ab

a²-\-b²-\-ab    a²-\-b²—ab _{a² -\-b² ab) (a² -|-b² — ab)_

ab

ab

a²b²

(a² -(- ft²)² — a²b² a⁴ -|- ć⁴ + a²ô²

a²b²

a²è²

Albo też możemy tak postąpić:

(ł+ł+‘)(ł+l

(ł+D’=(f)'+²

a-i a

a²

6²

p- + 2+?.

a przeto:

(f+:-+‘)ił+¹

b²

b²

+‘‘+i>

b²

⁼ + ^+¹-

Oba te wypadki są jednakowe, gdyż:

a'²

b²

ai -f- ¥ -f a²b²

a²b²

sze

1 — b². j , ab

—j- ₉ i przez b 4- - .

a -f- «    ¹ 1 — «

Moglibyśmy pomnożyć przez siebie naprzód dwa pierw-czynniki, a następnie iloczyn pomnożyć oddzielnie przez b

Pomnożyć :

1 — a²

b^b²

przez

ab

i przez j--- i te iloczyny dodać; lecz dogodniej jest zamie-

ab

nić ilość mieszaną: b -j- --- na ułamek.

Tym sposobem:

h . a6 _ 6(1 — a) -j- ab

‘ 1 — a

Więc:

1 — a²

1 — b² b

__________v_v _____    (1 — a²) (1 — b²) b .

6 4- b²    a-\-a²    1 — a 6(14-6) a (1-f-a) (1—a) a

PRZYKŁADY XVII.

1.

Znaleść wartości następujących wyrażeń:

a²    b²    c²    .

2.    y—    X — X    ,    .

be    ac    ab

2 a    66c

wrX

ha²

3.

x -f 2 x — 1 x² — 1 (x -4- 2)²

4.

II-

Ol

5.

g-| »

Ci

2c

-C:

C ! —j— 6 —j— C I

XVIII.

Dzielenie ułamków.

143. Ilorazem dwóch ułamków nazywamy ułamek, którego licznikiem jest licznik dzielnej pomnożony przez mianownik dzielnika, a mianownikiem — mianownik dzielnej pomnożony przez licznik dzielnika.

Określenie to można wyrazić za pomocą wzoru: a c ad b ¹ ~d ⁼ bc ’

który przy d — 1 przedstawia znane nam już wypadki dzielenia przez liczbę całkowitą. Jeżeli ułamek — c

nazwiemy od-

wróconym względem — , to możemy prawidło na dzielenie

ułamków wyrazić w ten sposób: należy dzielną 'pomnożyć przez odwrócony dzielnik.

144. Podobnie jak w § i41 dla mnożnika, tak tutaj dla dzielnika ułamkowego łatwo dowieść następujące twierdzenie:

Jeżeli dzielnikiem jest ułamek, wtedy dla otrzymania ilorazu należy dzielną podzielić na tyle części równych, ile jedności zawiera licznik dzielnika, i części tych wziąć tyle, ile jedności z aidera mianownik dzielnika.

Rysunek załączony przedstawia rezultat z podzielenia •odcinka p przez

145. Damy teraz kilka przykładów: Podzielić: a przez — .

| tH

XT =

a-

Podzielić

46 prZ6Z & '

3a 9a 3« 4b ' Sc 4b

Sc 2c X 12«    2c

3fr X 12«    3b

przez

a² — b²

Podzielić:

ab — b²

( a + by

Wyrażenia ułamkowe złożone mogą być upraszczane przez zastosowanie prawideł poprzednio podanych, a odnoszących się do ułamków. Następne przykłady objaśnią użycie tych prawideł:

Uprościć'    ₊    _a_=I\

up    \a - b ' a + .&/ * [a -b a + b) '

a-\-b ! a — b    (a + b)² 4- (a — b)² _ 2a² -(- 2b²

a² — b² ’

a — b a -f- b

ab — b²

b²

ab — b²

a² - b²

(a -j- 6)²

('a -j- b)² ' a² — b²

ô (a — 6) (a -j- ô) (a — è)

(a — b)²

b² (a -h ô)²

b (ab)

(a — b) (a -f- b)

a -}- b a — b    (a -j- b)² — (a — b)²

4 ab

a — b a -J- b

(a — b) (a -j- b)

a² - b²

2a² -\- 2b² _    4ab    _2a²-f2b-    a²— b²

a² — b² 'a² — b²    a² — b²

a² -f b²

4ab

2 ab

W tym przykładzie z czynnikami a — b i a -j- b zostało wykonane mnożenie, i iloczyn a² — b² był użytym zamiast (a -|- b) {a — b). W ogólności jednak korzystniej jest nie wykonywać mnożenia czynników w ciągu działania, może się bowiem przytrafić sposobność opuszczenia czynników wspólnych w liczniku i mianowniku. Mnożenie takie należy pozostawić na sam koniec w ostatecznym wypadku.

Uprościć :

a -j—

1 _L 1 ' 3 — a

3 — a -J- a -j- 1 _    4

3 — a

1 + 3~

a j a —|— 1 a' 3 — a

1

o-= r X

à — a 1

3 — a 4a

3 — a 3 -f- 3a

3 -f 3 a _ 1

1 X 3 -j- 3a 3 4- 3a'

PRZYKŁADY XVIII.

1.

Podzielić:

4a²ô

bx²y

przez

2a5²

lbxy² '

2.

3a²b³c⁴

4 x²y³z⁴

przez

4a⁴6⁸c2 3 x⁴y³z²

3.

4.

5.

—-g PrZeZ ~

ar — ?/²    • x

a³ -f- 3a²a? -j- 3ax² -(- x³

x³ 4 y³

a² -j- b² 2aô — c2 c² — a² — b- 4 2aô

¹    i ¹

— przez æ 4 g

6.    5a:² —

7.

x⁴ a⁴

a?

— 2/

przez

przez

a —|— ô —|— c b -{- c — a

X² —    4 ?/²

a⁴

T przez ---

x⁴'    a x

a:²

« I a

toi to

x

przez —--1 -j-

8- 44¹4

a2 1    1

Uprościć następujące wyrażenia:

6

x — 1 -I--~

¹ x — o

9.

10.

x — 2-1--

x

{x — b) (x — c) '

n.

2a?

y²

./_ï

a?

\X-\-y x — y

x² — y² / * \a? 4 V x² — y'* J '

XIX.

¹

(x - 3) (4.x² + 3x — 6);

x -f-1

x² — 4# -J- 3 \x — 1) (a; — 3) (4a;² -|- 3a; — 6)

4a;² — 3a; —f— 2 4a;³ — 9 a;² — 15 x -f- 3 8 Przeto:

4a;² — 3a; —{— 2 x¹ — 4a; + 3    4a;³ — 9a;² — 15a; -\- 18

(x -j- 1) (4a;² —)— 3a; — 6) — (4 a;² — 3 x -f- 2) (x — 1) (x — 1) (x — 3) (4 x² -\-3x — 6)

4a;³ -f- 7a;² — 3a; — 6 — (4a;³ — 7a;² -j- 5a;    2)

(x — 1) (a; — 3) (4 x² -|- 3aî — 6)

14 x² — 8 x — 4

(x — 1) (x — 3) (4a;² + da; — 6) '

Uogólnienia działań arytmetycznych.

146. W § § 141 i 144 oznaczaliśmy odcinek linii prostej za pomocą jednej głoski (p), zastrzegając przytem, że obo-jętnem jest, czy odcinek ten mierzy się całkowitą liczbą jednostek długości, czy ułamkową. Taki sposób oznaczania wielkości jest w praktyce bardzo dogodny, choćby z tego względu, że jest znacznie prostszy, aniżeli wyrażenie ułamkowe. Później, zwłaszcza w nauce o równaniach, przekonamy się o pożyteczności tego uogólnienia.

Odtąd więc głoski oznaczać będą zarówno wielkości cał-kowite jak i ułamkowe; gdyby w danym wypadku pewnej głosce należało nadać znaczenie wyłącznie liczby całkowitej, zrobimy o tem osobne zastrzeżenie.

Ponieważ przy rozwiązywaniu zadań sposobem algebraicznym okaże się potrzeba oznaczania za pomocą głosek wielkości, które dopiero znaleść mamy, a więc o których nie wiemy, czy okażą się dodatniemi czy ujemnemi, przeto głoska będzie odtąd mogła oznaczać zarówno wielkość dodatnią jak ujemną, lub w przypadku szczególnym 0. Nieraz jednak wypadnie czynić ograniczenia pod tym względem; nie każdy rodzaj wielkości może przyjmować wartości ujemne.

147- Nauczyliśmy się już czterech działań arytmetycznych nad ilościami ułamkowemi i ujemnemi, co daje nam możność uzupełnienia tabliczek, podanych na początku książki. Przedewszystkiem jednak opiszemy w sposób możliwie ścisły te uogólnienia działań arytmetycznych, które już poznaliśmy, oraz wprowadzimy niektóre nowe uogólnienia.

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych i ułamkowych nie przedstawia żadnych trudności po tem, co się mówiło w rozdziałach poprzednich. Również łatwo jest wprowadzić

do rachunku liczbę 0. W tym celu da my następujące określenie tej liczby, zgodne z tem, co było powiedziane we wstępie, ale ściślejsze: zerem nazywamy różnicę dwóch wielkości równych. Wyraża się to następującym wzorem:

(1)

a — a = b — 6 = 0,

Z tego wypada:

a -f- 0 = a -j- h — b = a .    .    .

a — 0 — a — (b — b) = a — b -\~b — a 0 -|- 0 --- 0 — 0 = 0 . . .

(5)

+ 0 = —o.....

Liczby, jakie dotąd poznaliśmy, t. j. liczby dodatnie, ujemni*, całkowite i ułamkowe oraz zero, nazywamy ogólnie liczbami wymiernemi. Jak to wyżej widzieliśmy, działania dodawania i odejmoivania można wykonywać nad wszystkie-mi liczbami wymiernemi.

148. Mnożenie określiliśmy we wstępie, zgodnie z tem,

• ■ (1)

co wiemy z arytmetyki, jako szczególny przypadek dodawania, w którem wszystkie składniki są sobie równe. Składniki te są równe mnożnej, liczba składników — mnożnikowi. Ponieważ w § poprzednim rozszerzyliśmy już dodawanie na wszelkie liczby wymierne, więc można na tej zasadzie wykonywać mnożenie, o ile tylko mnożnik jest liczbą naturalną, bo taką tylko może być liczba składników. Pisząc mnożnik na pierwszem miejscu, mnożną na drugiem, otrzymamy: a . (— b) — — ab .

■ • (2)

ca

. (3)

C ' b b n. 0=0

Wzory (1) i (2) znamy już

poprzednich rozdziałów, wzór (3) wypada z § 147 (4). Dla iloczynu, w którym mnożnik nie jest liczbą naturalną, określenie pierwotne mnożenia nie daje żadnego znaczenia. Iloczyn taki otrzyma jednak całkiem określoną wartość, jeżeli wprowadzimy następujące określenie uzupełniające: wartość iloczynu pozostaje bez zmia-

ny, jeżeli zastąpimy mnożnik przez mnożną a mnożną przez mnożnik, czyli, jeżeli p i q oznaczają jakiekolwiek liczby wymierne

(4)

pq — qp

Określenie to jest dopuszczalne, ponieważ zależność w niem wymieniona ma rzeczywiście miejsce w przypadku szczególnym, kiedy oba czynniki p i q są liczbami naturalnemi, a więc kiedy oba iloczyny pq i qp można utworzyć niezależnie od siebie.

W ten sposób dostaniemy:

(— b). a — — ab

ac

T, ■ c “ T

0. n = 0.

Wzory te nie wyczerpują jeszcze wszystkich wypadków możliwych, wskutek czego okazała się potrzeba wprowadzenia jeszcze dwóch określeń

(— a) (— b) = ab (§ 61) i

•o-l a

g

S5J o

(§ 140)

które zresztą można zastąpić żądaniem ogólnem, ażeby wzory (1) i (2) zachowały swoje znaczenie i w tym wypadku, kiedy litery w nich zaivarte oznaczają jakiekolwiek liczby wymierne. W rzeczy samej, jeżeli tak jest, to podstawiwszy we wzorze (1) — a zamiast a, otrzymamy:

(— a) (— 6) = — [ (— a) b] = — (— ab) = ab (§ 49).

c

Podobnież, przyjmując we wzorze (2) - zamiast c, dostaniemy:

Cl

ac

o~

bd

(§ 131).

Jeżeli wreszcie zażądamy, ażeby i wzór (3) był prawdziwym dla każdej liczby wymiernej, to otrzymamy rezultat.

że jeżeli w iloczynie liczb wymiernych przynajmniej jeden z czynników jest zerem, to i wartość iloczynu jest równa 0.

I odwrotnie: jeżeli iloczyn jest równy 0, to przynajmniej jeden z czynników musi być także równy 0. Bo w przeciwnym razie oba czynniki miałyby albo znaki jednakowe, albo różne; w pierwszym przypadku iloczyn byłby dodatni, w drugim ujemny, a więc w każdym razie różny od zera, co się sprzeciwia założeniu.

Uogólnienia wymienione w tym § pozwalają nam wykonywać działanie mnożenia nad wszelkiemi liczbami wymierne mi.

149. Jeżeli dwa iloczyny dwuczynnikowe, zawierające po jednym czynniku wspólnym różnym od zera, są sobie równe — to i pozostałe czynniki są także równe.

Twierdzenie to wyraża się za pomocą wzoru: jeżeli ac — bc, c różne od 0, to a — b.

Prawdziwość tego twierdzenia dla liczb dodatnich wypływa stąd, że jeżeli a jest większe od b, to i ac jest większe od bc, jeżeli zaś a mniejsze od b, to ac mniejsze od bc; może więc być tylko wtedy ac = bc, jeżeli a — b.

Jeżeli c jest ujemne, a dodatnie, to i b musi być dodatnie, gdyż inaczej ilość ujemna ac byłaby równa ilości dodatniej 6«, co jest niemożliwe. Przyjmijmy c — — cj gdzie c' jest dodatnie. Będzie:

ac — a . (— c') — — ac'; bc = — bc'\ jeżeli ac — bc, to — ac' — — bej ac' — bc a więc, na zasadzie tego, cośmy poprzednio dowiedli, a = b.

Jeżeli c jest dodatnie, a ujemne,to i b musi być ujemne. Przyjmijmy a — — aj b = — bj będzie ac — — ac, bc — — b'c\ jeżeli ac — bc, to — a'c = — b'c, a'c = b'c, a zatem a' = bj więc też i a = b.

Jeżeli wreszcie c jest ujemne, a ujemne, to i b musi być ujemne: ac — (— aj (— cj — a!cj bc = b'c\ jeżeli ac = be, to aV = b'cj a' = bj a więc a = b.

Grdyby jednak było a = 0, to zawsze będzie aa = ba—0, jakiekolwiek wartości przyjęlibyśmy dla a i b [§ 148 (3) ].

150. Dzielenie określiliśmy pierwotnie jako rozkład na składniki równe. Określenie to możnaby było stopniowo uogólniać, podobnie jak to zrobiliśmy przy mnożeniu. Prędzej jednak dojdziemy do celu za pomocą następującego określenia, zawierającego pierwotne jako przypadek szczególny: Podzielić liczbą A przez B znaczij znaleść taką liczbą, która pomnożona przez B daje A.

Jeżeli więc A : B — C, to BC = A.

Zastanówmy się, czy zawsze można znaleść żądaną

liczbę C.

Jeżeli B nie jest zerem ale jakąkolwiek inną liczbą wymierną, wtedy istnieje tylko jedna liczba C, czyniąca zadość temu warunkowi. Bo gdyby było A : B — D, to

BD = A = BC,

a więc na zasadzie § poprzedzającego D = C. Grdyby jednak było B =z 0, to i BC = 0, jakąkolwiek wartość przyjęlibyśmy dla C, a więc niema takiej liczby C, która pomnożona przez 0 dałaby A. Dzielenie przez 0 jest niemożliwe, ponieważ jest w sprzeczności z wzörem (3) § 14S.

W szczególnym wypadku, jeżeli i A — 0, każda liczba G czyni zadość warunkowi

0 . C = 0;

dzielenie 0 przez zero nie jest więc sprzeczne z naszemi wiadomościami dotychczasowemi, ale też nie prowadzi do określonego rezultatu. Pozatem A i B żadnym ograniczeniom nie podlegają, mogą więc być jakiemikolwiek liczbami wymiernemu

Wypada z tego, że dzielenie jest zawsze możliwe i daje iloraz oznaczony, o ile tylko dzielnik jest różny od zera.

Jak znaleść iloraz w każdym przypadku poszczególnym, wiemy już z rozdziałów IX|i XVIII.

151.    Łącząc to, cośmy dotychczas mówili w tym rozdziale, możemy wypowiedzieć następujące twierdzenie.

Cztery działania arytmetyczne, t. j. dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, z wyjątkiem dzielenia przez 0, można wykonywać nad wszelkiemi liczbami wymiernemi, i rezultatem działania lub szeregu działań jest pewna oznaczona liczba wymierna.

Ponieważ jednak odejmowanie można zastąpić przez dodawanie tejże samej ilości wziętej ze znakiem przeciwnym, a dzielenie przez mnożenie przez wielkość odwrotną, przeto cztery działania arytmetyczne można w algebrze sprowadzić do dwóch: dodawania i mnożenia.

152.    Określenie ułamka jakie było podane w § 127 wymaga, ażeby zarówno licznik jak i mianownik były liczbami naturalnemi. Okazało się jednak dogodnem, każde dzielenie algebraiczne przedstawiać pod postacią ułamka. W tym celu trzeba ułamkowi nadać odpowiednie znaczenie we wszystkich wypadkach, kiedy licznik i mianownik są liczbami, mo-gącemi być dzielną i dzielnikiem. Musimy więc znaleść odpowiednią wartość dla każdego ułamka, w którym licznik jest jakąkolwiek liczbą wymierną, zaś mianownik jakąkolwiek liczbą wymierną różną od zera.

Ażeby to osiągnąć, przyjmujemy:

Cl

SC

3Q

o-

• rH

OOTj

CO

GO

l-±

Oj o

ÎS3

n.

cc

CÖO

co

ód

! zgodnie z § 131    .

. .    (3)

pa

pb

z tem uogólnieniem, że a może przyjąć wartość jakąkolwiek, zaś b i p jakiekolwiek wartości różne od zera. Wzór (3) jest więc ważny i przy p = — 1; na tej zasadzie otrzymamy znaczenie ułamka z mianownikiem ujemnym:

(- 1) « (-1) (-b)

• • (4)

• • (5)

(-1) (-a)

(—1) (—*)    » ‘ ’

, to

Jeżeli wreszcie licznik i mianownik są ułamkami i przyjmując p — bd, będzie:

ad

bc

bd .

bd .

zgodnie z § 143.

Wyczerpaliśmy tu wszelkie możliwe przypadki ułamków, gdyż ułamek z mianownikiem 0, jako nieodpowiadający żadnemu przypadkowi dzielenia, nie ma żadnego znaczenia.

Określenia mnożenia i dzielenia ułamków, podane w §§ 140 i 143 rozciągamy na. tak uogólnione ułamki.

Każdy ułamek można przedstawić pod postacią ułamka, którego licznik i mianownik są liczbami naturalnemu

153. Widzieliśmy w § 58, że jeżeli a, b, c są liczbami naturalnemi, to

. . (1).

c (a -j- b) = ac -j- bc .    .

Jest to własność zasadnicza mnożenia, na zasadzie której można mnożyć wielomiany. Przekonamy się teraz, że przy uogólnieniach mnożenia, jakie w tym rozdziale wprowadziliśmy, własność ta jest także zachowana. Widzimy to odrazu, jeżeli samo tylko c nie jest liczbą naturalną. Rzeczywiście powtórzyć (a -|- b) razy liczbę c jest to to samo, co dodać c naprzód a razy, potem b razy. Również nie sprawia żadnych trudności ten wypadek, w którym dane liczby są ujemne.

Przypuśćmy jednak, że a, b, c są ułamkami, przekonamy się, że i w tym wypadku wzór (1) jest prawdziwym, tworząc oba wyrażenia tego wzoru niezależnie jedno od drugiego.

U i &2 ““t⁻ ^1    C    —{“

c(ft + S) = c(«‘+|)

Niech będzie a =

L®

o* O

- ; wtedy

a₂ &2    a2 ^2

W liczniku ostatniego ułamka w nawiasie jest suma dwóch liczb naturalnych, ułamek ten jest więc równy

Ll-y bo C —|— (1.2 &] C cię, bo

Podobnie znajdziemy: ac -f-bc =

Oba wyrażenia są więc i w tym wypadku równe.

154. Działania nad ułamkami, w których licznik i mianownik nie są liczbami naturalnemi, objaśnimy za pomocą dwóch następujących przykładów:

Uprościć:

a.

a₂

, b •C+T

Oo

cr~

_1_- Ie

a₂ b₂

(c — a) (c — b)

(b — c) (b — a)

Drugi ułamek zawiera czynniki—a w mianowniku; czynnik ten różni się od czynnika a — b, znajdującego się w mianowniku ułamka pierwszego, tylko znakiem każdego wyrazu; na zasadzie zaś § 152 (4) mamy:

(ia

b) (a — c)

(b — c) (a — b)

(b — c) (b — a)

Również i mianownik trzeciego ułamka może być przedstawiony pod postacią, która jest dogodniejszą dla nas, gdyż na zasadzie prawidła znaków mamy:

(c — a) (c — b) = (a — c) (b — c).

Tym sposobem dane wyrażenie może być przedstawione pod postacią:

i pod tą postacią widzimy odrazu, że n. W. W. względem mianowników jest: (a — b) (a — c) (b — c).

Sprowadzając ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika, zamienimy dane wyrażenie na następujące:

a (b — c) — b (o — c) -f- c(a — b)

c) (b — c)

(a — b) (a

to jest: Uprościć:

ab — ac — ab -|- bc -j- ac — bc {a — b) (a — c) (b — c)

czyli 0.

ax

x²

Pierwsze wyrażenie można tak przekształcić:

¹ 2

=    . ax² —

ax

ax

ax²

ax

— x.

Drugie wyrażenie:

xz

1+    -2

— X“

a²

x² — a²

x² — a²,

X²

a² — x² ’

a zatem ich suma będzie:

/p3

X+a^

a²x — x³ -j- x³

a²x

x²

a² — x²

a² — x²

155. Urządzenie tabliczek czterech działań arytmetycznych nad liczbami całkowitemi (ujemnemi i dodatniemi), podanych na początku książki, jest tak proste, że objaśnień bliższych nie wymaga. Uczący się powinien sam podobne tablice wykonać. Najlepiej nadaje się do tego, jak i wogóle do rysunków pomocniczych przy nauce algebry, papier milimetrowy. Jest to papier pokryty dwoma układami linii równoległych, poprowadzonych w odległości 1 mm jedna od drugiej; linie jednego układu są prostopadłe do linii drugiego. Każda dziesiąta linia wyróżnia się większą grubością.

Przyglądając się uważnie, możemy wykryć cały szereg praw, według których liczby są rozłożone na tych tabliczkach, np.:

I. Linie, wzdłuż których leżą liczby 0, odgraniczają zawsze liczb}^ dodatnie od ujemnych.

II. Im większa jest różnica między dwiema liczbami, tern więcej leży między niemi linii, łączących liczby równe; w tabliczce dzielenia z tern zastrzeżeniem, że obie liczby powinny leżeć z tej samej strony linii wolnej od liczb.

156. Ażeby wprowadzić do tabliczek rezultaty działań nad liczbami ułamkowemi, trzeba w nich rozsunąć liczby dotychczas znalezione i ułamki, nad któremi działania mają być wykonywane, umieszczać stosownie do ich wielkości, pomiędzy odpowiedniemi liczbami całkowitemi.

W tym celu poprowadźmy dwie linie proste O X i O ) przecinające się w punkcie 0 pod kątem prostym. Wzdłuż tych prostych wypisujemy liczby całkowite, pozostawiając między niemi odległości równe dowolnie obranej jednostce długości.

Jeżeli teraz chcemy zanotować rezultat jednego z działań arytmetycznych nad któremikolwiek dwiema liczbami, np. 1 i 2, to prowadzimy z punktu 1 na prostej 0 I linię prostopadłą do O Y i z punktu 2 na OX linię prostopadłą do OX] przy punkcie przecięcia tych dwóch linii zapisujemy otrzymany rezultat działania, który na rysunku jest oznaczony literą c. Będzie więc w razie dodawania c = 1 —f— 2 = 3, w razie odejmowania e = 1 — 2 = — lit. d. Postępowanie to jest zupełnie podobne jak przy układaniu tabliczek.

W takiż sam sposób możemy zanotować rezultat działania nad jakiemikolwiek liczbami x, y, bez względu na to, czy one są całkowite czy ułamkowe. Z punktu leżącego na OFw odległości y od O wyprowadzamy prostopadłą do OYr

-1

z punktu leżącego na 0X w odległości x od 0 prostopadłą, do 0X, i obok punktu przecięcia tych prostych piszemy rezultat działania z.

Jeżeli działaniem, jakie wykonać mamy, jest dodawanie, będzie z — x -j- y, a ponieważ na załączonym rysunku

tH oj

y 4 nie, to z = - = 2 -

? y — 1 ^ , więc z = l^j jeżeli wykonywamy dziele-jr, i t. d.

PRZYKŁADY XIX.

ab

Znaleść wartości następujących wyrażeń: 00

a ~\~ b ‘

- , gdy x =

2.

x x

a b a a —|— b , gdy a =

gdy x =

a² (b—a)

g A -j-

æ -f y

CM i CO

4.

5.

ą__I__y

x -f- y ' x — y

% + y —

X —y-fl

~2 ? ê'dy y =

a -(- 1 • aô -j- 1

a:² —

! , gdy r/; =

uć -J⁻ et ać -4- 1

XX.

Równania stopnia pierwszego.

157. Gidy dwa wyrażenia algebraiczne są połączone znakiem równości, wtedy całość taka nazywa się równością. Wyrażenia same, w ten sposób połączone nazywają się stronami równości. Wyrażenie, znajdujące się z lewej strony znaku równości, nazywa się pierwszą, wyrażenie zaś będące na prawej stronie znaku równości, nazywa się drugą stroną równości.

158. Równość nazywa się tożsamościową, lub krócej ¹tożsamością, gdy obie jej strony są równe, jakiekolwiekby wartości liczebne miały głoski, które do niej wchodzą. Tak np. następujące równości są tożsamościami:

(x -j- a) (x — a) — x² — a²,

(x -j- a)² — x² -j- 2 ax -J- a²,

(x -j- a) [x² — ax -f- «²) — x² -j— a³-

to jest: twierdzenia powyższe algebraiczne mają zawsze miej-przy wszystkich znaczeniach głosek x i a. Czytelnik powinien zwrócić uwagę na to, że prawie wszystkie równości, z jakiemi miał dotąd do czynienia, były wyłącznie tego właśnie rodzaju, to jest były tożsamościami.

sce

159.    Równością warunkową lub krócej równaniem nazywa się taka równość, która ma miejsce nie przy wszystkich znaczeniach na głoski do niej wchodzące, ale tylko wtedy, gdy też głoski przedstawiają pewną szczególną liczbę, lub pewne szczególne liczby. Naprzykład: równość a? -{- 1 = 7 jest prawdziwą tylko wtedy, gdy x — 6.

160.    Ta głoska, na miejsce której ma być podstawiona pewna szczególna wartość, lub pewne szczególne wartości, aby równość miała istotnie miejsce, nazywa się ilością nieznaną lub niewiadomą. Mówimy, że ta wartość, która podstawiona w miejsce niewiadomej, czyni w samej rzeczy pierwszą stronę równania równą drugiej, zadosyć czyni równaniu. Sama zaś ta wartość nazywa się pierwiastkiem równania. Rozwiązać równanie, jest to znaleść jego pierwiastek lub pierwiastki.

161. Równanie, zawierające jednę niewiadomą, nazywa się równaniem takiego stopnia, jaki jest najwyższy wykładnik przy niewiadomej. I tak, jeżeli x oznacza niewiadomą, równanie nazywa się równaniem stopnia pierwszego, gdy x wchodzi tylko w potędze pierwszej. Jeżeli wchodzi do równania x², i wyższej potęgi nad tę niema w równaniu, wtedy równanie nazywa się równaniem stopnia drugiego lub kwadr atowem. Jeżeli wchodzi do równania x³, bez żadnej wyższej potęgi, wtedy nazywa się ono równaniem stopnia trzeciego, lub sześciennem i t. d.

Należy tu zauważyć, że w powyższych określeniach przypuszcza się, że obie stron y równania są wyrażeniami cał-kowitemi wzglądem x, to znaczy, że mianowniki ułamków, występujących wT równaniu, nie zawierają głoski x..

162.    W tym rozdziale pokażemy w jaki sposób rozwiązują się równania stopnia pierwszego. Zaczniemy naprzód od wykazania pewnych działań, które mogą być wykonane nad równaniem, bez nadwerężenia tej równości jaką ono wyraża.

163.    Jeżeli obie strony równania będą pomnożone przez jedną i tęż samą ilość, wtedy wypadki stąd otrzymane będą równe.

Wypada to z widocznej samo przez się zasady, że jeżeli równe ilości będą pomnożone przez jednę i tęż samą ilość, wtedy otrzymane iloczyny będą równe; użycie tej zasady zaraz wykażemy.

Podobnież: jeżeli obie strony równania będą podzielone przez jednę i tęż sarnę liczbę, wtedy otrzymane ilorazy będą równe.

164. Zasada wyrażona w § 163 główne znajduje zastosowanie przy znoszeniu mianowników w równaniu. W tym celu należy pomnożyć wszystkie wyrazy obu stron równania, przez iloczyn wszystkich mianowników, znajdujących się w równaniu, albo też przez najmniejszą wspólną wielokrotną tychże mianowników. Naprzykład: przypuśćmy, że mamy równanie:

00 &

= 9.

Pomnóżmy każdy wyraz przez 3X^X6; otrzymamy:

4x6x* + 3x6X«-f3x4x* = 9X3x4x6, 24:r -ty lSx -(- 12x = 648;

to jest:

podzielmy wszystkie wyrazy przez 6, otrzymamy:

4:X —3 a? —j— %x = 108.

Zamiast mnożyć wszystkie wyrazy przez 3x4x6, możemy je pomnożyć przez 12, które jest n. W. W. względem mianowników 3, 4 i 6. Tym sposobem otrzymalibyśmy od-razu: stąd:

4x -(- ?>x -j- 2x — 108; 9 x = 108;

a dzieląc obie strony przez 9, będzie:

T

12 więc jest pierwiastkiem danego równania. Możemy to sprawdzić podstawiając 12 zamiast x w to początkowe równanie. Pierwsza strona stanie się:

12 12 12

2 -j- ^ - -j- ^, to jest 4 —|— 3 —(— 2 czyli 9, a to jest zgodne z drugą stroną.

165. Każdy wyraz w równaniu może być przeniesiony z jednej strony równania na drugą, ale ze zmienionym znakiem.

Przypuśćmy np., że:

a = b — y.

Dodajmy do obu stron równania po a, otrzymamy:

to jest:

x — a -{- a — b — y -\- a, x — b — y Ar a.

Odejmijmy po b od każdej strony, będzie:

x — b = b a — y — b — a — y.

Widzimy stąd, że najprzód — a znikło na pierwszej stronie równania, a wystąpiło jako -j- a na drugiej stronie; i dalej, że -|-b znikło na jednej stronie, a wystąpiło jako — b na drugiej stronie równania. *)

’) Ściśle mówiąc, zasady wyrażone w tekście, w §§ 163 i 165, nie są widocznemi same przez się;—jakkolwiek bowiem jest widoczną prawdą, że do ilości równych można dodać równe i sumy, stąd wypadną równe, i t. d., z tern wszystkiem rozumowanie dopiero pokazuje nam, że przez wprowadzenie w postaci równania takich zmian, o jakich w tych dwóch §§ mowa, związek pomiędzy ilościami niewiadomemi i wiadomeini pozostaje bez zmiany.

166. Można zmienić znaki we ivszystkich wyrazach równania na przeciwne, i równanie się nie zmieni.

Zasada, na której polega przenoszenie wyrazów może być tak

wyrażoną:

Jeżeli do obu stron równania dodamy ilości równe, lub od oba stron równania odejmiemy ilości równe, równanie nie zmieni się, to jest jego pierwiastki pozostaną też same.

W rzeczy samej: oznaczmy przez A i B dwie strony pewnego równania, które tym sposobem będzie takie:

A = B . . . (1).

Przypuśćmy nadto, że równanie zawiera tylko jednę niewiadomą x. Dodajmy do obu stron po tej samej ilości będzie:

A -j- m = B -f- m .    .    (2).

Oczywistą jest rzeczą, że jeżeli pewna wartość x = «, zadosyć czyni równaniu (1), to taż sama wartość czyni zadosyć i równaniu drugiemu, gdyż do ilości A i B, które, podług przypuszczenia, są równe przy x — a, dodana jest jedna i taż sama ilość m. Odwrotnie, jeżeli równaniu (2) zadosyć czyni pewna wartość x — b, to znaczy się, że przy tej wartości na .r, A -+- m jest równe B -+- w. Odejmując wtedy od tych ilości równych jedną i tęż samą ilość m, otrzymamy reszty równe, t. j. będzie i A — B przy x = b. Każdy więc pierwiastek równania A = B jest zarazem pierwiastkiem równania A -f- m = = B -j- wj; i odwrotnie.

Jest to zasada, na której polega przenoszenie wyrazów z jednej strony równania na drugą.

Drugą zasadę możemy w ten sposób wypowiedzieć:

Jeżeli obie strony równania pomnożymy, lub podzielimy, przez jednę i tęż sarnę ilość, nie zawierającą niewiadomej, wtedy równanie pozostanie bez zmiany.

0 = 0.

Wystawmy sobie, że wszystkie wyrazy w równaniu są przeniesione na stronę pierwszą, tak, że równanie jest sprowadzone do postaci:

Pierwiastkiem równania będzie więc ta wartość na która

x = a.

czyni A równem 0. Przypuśćmy, że taką wartością będzie

mA = 0,

Pomnóżmy obie strony równania przez pewną ilość ?h; otrzymamy równanie:

Wypada to z § 165 przez przeniesienie wszystkich wyrazów. Tak naprzykład, w równaniu:

x — a — b — y,

przenosząc wszystkie wyrazy z pierwszej na drugą i z drugiej na pierwszą stronę, będzie:

czyli:

y — b — a — a?, a — x — y — b] do tegoż samego wypadku dochodzimy, zmieniając znaki na przeciwne we wszystkich wyrazach początkowego równania. Tenże sam rezultat otrzymamy, mnożąc obie strony równa-

1.

ma przez

167. Możemy teraz podać prawidło na rozwiązywanie jakiegokolwiek równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą:

którego pierwiastki będą też same, co i pierwiastki równania A — 0. W rzeczy samej: przy każdej wartości x — a zadosyó czyniącej danemu równaniu, czynnik A jest równy zero, więc i mA będzie także zerem. A zatem każdy pierwiastek równania A = U będzie zarazem i pierwiastkiem równania viA — 0. I odwrotnie: każda wartość na ,r, zadosyć czyniąca równaniu mA — 0, powinna jeden z czynników m lub A czynić równym zero (§ 148). Lecz jeżeli rn nie zawiera r, wtedy stać się zerem nie może; przeto drugi czynnik A powinien być równym zero; czyli że pierwiastki równania mA — 0, są zarazem i pierwiastkami równania A = 0. Rozumowanie to jednak nie stosuje się do tego przypadku, gdy czynnik m zawiera x\ może się bowiem wtedy przytrafić, że równaniu mA = 0 wskutek tego zadosyć się czyni, że czynnik m staje się zerem, że zatem przy tej wartości na r, A nie jest koniecznie równem zero. Np. gdybyśmy obie strony równania A — 0 pomnożyli przez x — 5, otrzymalibyśmy:

(x — 5) A — 0.

To równanie sprawdza się wartością x = 5; a jednak x = 5 może nie być pierwiastkiem równania A = 0.

Rozumowanie to jest wszakże dla początkującego zbyt tru-dnem, i dla tego, przy pierwszem uczeniu się o równaniach, należy wyłącznie trzymać się tekstu, odkładając cały ten rozbiór przynajmniej do czasu nauki o równaniach stopnia drugiego.

Należy naprzód znieść mianowniki, jeżeli to jest potrzebnemu następnie przenieść wszystkie wyrazy zaiuierające niewiadomą na jedne stronę równania, a wszystkie wyrazty wiadome na drugą, poczem należy podzielić obie strony równania przez współczynnik, lub przez sumę współczynników przy ilości niewiadowej, i tym sposobem otrzymamy szukany pierwiastek.

168. Podajemy teraz na zastosowanie powyższych prawideł przykłady.

Rozwiązać:

7 a? —{— 25 = 35 —(— 5 sc.

W równaniu tem niema wcale ułamków; przez przenie

sienie wyrazów mamy:

7 x — 5 x = 35 — 25,

2x — 10;

to jest:

dzielimy obie strony przez 2; otrzymamy:

10

Dla sprawdzenia należy podstawić 5 zamiast

równanie; wtedy znajdziemy, że każda strona równania

początko-

we jest równą 60.

169. Rozwiązać:

4 (3» — 2) — 2 (4» — 3) — 3 (4 — x) = 0.

Należy naprzód wykonać wskazane mnożenia; wtedy otrzy

mamy:

12» — 8 — {Sx — 6) — (12 — 3x) = 0.

Znosząc nawiasy, będzie:

12 » — 8 — 8x -j- 6 — 12 -j- 3» — 0;

łącząc wyrazy podobne:

7x— 14 = 0;

przenosząc wyraz wiadomy na drugą stronę.

7 x = 14 ;

dzieląc obie strony równania przez 7, otrzymamy.

_ o

7    '

Czytelnik powinien zawsze sprawdzić otrzymane wypadki. W powyższym przykładzie podstawiając 2 zamiast x w równanie początkowe, znajdziemy: 16 — 10 — 6, to jest 0, jak być powinno.

170. Rozwiązać:

CO iO

5x +4

10

3    28

5 - - = —- ; najmniejsza wspólna wielokrotna względem mia-O o

nowników jest iO; mnożąc całe równanie przez 10, będzie:

5 (5x + 4) — (7x -f 5) = 28 X 2 — 5 (x — 1);

to jest:

przenosząc: 25x — 7x-j-5x = 56-f-5 — 20 4 5,

25 .r -j- 20 — 7 x — 5 = 56 — 5x -j- 5,

to jest:

23x = 46 ;

skąd:

co co

= 2.

Uczący się powinien z początku wykonywać całkowitą robotę w zupełności tak, jak to jest pokazane w obecnym przykładzie, nie używając uproszczeń. Bardzo często bywają popełniane omyłki w znakach, przy znoszeniu mianowni-

7 x -f- 5

ków. W powyższem równaniu ułamek —    ^

ma być

pomnożonym przez 10; radzimy wypadek otrzymany przedstawić naprzód pod postacią — (7 x -)- 5), a następnie pod postacią — 7x — 5 w tym celu, aby zwrócić należytą uwagę na znaki.

171. Rozwiązać:

GO: i—¹

(5x4-3)

“O ł—¹

T—H

CO

lO

co

Na zasadzie § 149, powyższe równanie może być tak

napisane:

— 37 — 4x .

Pomnóżmy przez 21, będzie:

7 (5x + 3) — 3 (16 — 5 a?) = 21 (37 — 4 x), to jest: 35 x -f 21 — 48 + 15 x = 777 — 84x ; przez przeniesienie, otrzymamy:

35;c + 15;r + 84.:r == 777—21 + 48; 134 a? = 804;

to jest: skąd :

oo o

= 6.

172. Rozwiązać równanie:

6a? + 15    8a?— 10    4a?— 7

11

Należy naprzód pomnożyć obie strony równania przez iloczyn z 11, 7 i 5; tym sposobem będzie:

35 (6x + 15) — 55 (8x — 10) = 77 (4x — 7),

to jest:

210 x -f 525 — 440x + 550 = 308x — 539; przez przeniesienie wyrazów:

210 a; — 440 x — 308 a- = — 539 — 525 — 550.

Zmieniając wszystkie znaki na przeciwne:

440a? -j- 308# — 210a? = +539 + 525+550, 538a? = 1614,

1614 538

to jest: skąd :

= 3.

PRZYKŁADY XX.

1. bx -(- 50 = 4x 4“ 56;

3.    7(x — 18) = 3(x — 14);    4.

5.    72(x — 5) — 63(5 — x).

6.

2.    16x — 11 = 7x -f- 70.

16x = 38 — 3(4 — x).

« co

8.

4 = 24

CO;

9.

2x 176 — 4x

|co

O'

i-*, cc

oi H

od

il.

= x — 2.

oi co

r—I    t-H

jl Sś j co

CO H CO

^ i-i ' i-O

Oj

tH ICO

!4. 1+1

15. x — 1

2x

CO

0.

16.

x -J- 5

17.

18.

19.

3s+ 5    2.x + 7

= 16.

5x — 171.

3x

3    +10_5

= 0.

to

to

-O

05

CO co

* (7.x — 54).

10

21.    5.x - [8.x -- 3116 — 6x — (4 — 5x)} ] = 6.

22.

3x—1    13 — x 7x 11,    .

o —g (* + ®)-

to

to

I :co

4 — x .5 — x 6

“l⁻    5

+ 4 ⁼ °‘

XXI.

Równania stopnia pierwszego (ciąg dalszy).

173. Podamy teraz niektóre przykłady rozwiązywania równań stopnia pierwszego, cokolwiek trudniejsze, aniżeli zadania poprzedniego rozdziału. Czytelnik przekona się, że niekiedy korzystną jest rzeczą uwalniać równanie od mianowników tylko w części, i następnie zrobić pewne uproszczenia, zanim przystąpimy do zniesienia pozostałych mianowników.

CO

12

174. Rozwiązać równanie: x -f- 6 2x — 18

11

Pomnóżmy naprzód obie strony równania przez 12; będzie: 12 (x -j- 6)

11

— 4(2ic — 18) -j- 3(2x + 3) =

16

X 12 -f- 3x -j- 4

czyli:

12(x -f 6)

11

8x -f 72 4- 6x -f-■ 9 = 64 -f 3x + 4.

Przez stosowne przeniesienie wyrazów na drugą stronę i połączenie wyrazów podobnych, otrzymamy:

öx — 13.

12(> + ⁶) _

11

Mnożąc obie strony przez 11, wypadnie:

czyli:

1244-6) - 11(5» — 13), 12»-f 72 = 55» —143;

skąd, przez przeniesienie:

to jest:

skąd nakoniec:

72 -j- 143 = 55» — 12», 43» = 215,

215

43

= 5.

175. Rozwiązać równanie:

6x —

2» 4

16» — 15 a 5

--—-= b ^

20

GO O'

— 8»

12

15-2»

Pomnóżmy obie strony równania przez 24, będzie:

Algebra

24

czyli:

-f 48x + 16» - 15 = 154 - 165 4- 64».

144» — 320

15 — 2»

= 4.

Przez przeniesienie wszystkich wyrazów całkowitych z pierwszej strony równania na drugą, i następnie uproszczenie: 144» —432O 15 — 2»

Mnożąc teraz przez 15 — 2» obie strony, wypadnie:

przeto:

czyli:

²⁴ h-3-}

15 — 2»

-f- 48» + 16» — 15 = 24 X

10

(?-*4

144» — 320 = 4(15 — 2») = 60 — 8», 144» 4- 8» = 320 4- 60,

152» = 380,

skąd:

380

152

152

to¹ 1—*■

176. Rozwiązać równanie:

» — 5_» 4" 8

» — 7 x 4- 9

Pomnóżmy obie strony tego równania przez

(» — 7) (» -f 9),

będzie: to jest:

odejmijmy po »² od każdej strony równania:

(» 4-9) (» — 5) = (» — 7) (» 4- 3), »² 4~ 4» — 45 = »² — 4» — 21;

4» — 45 = — 4» — 21:

przenieśmy wyrazy niewiadome na pierwszą, wiadome na drugą stronę równania, otrzymamy:

czyli:

4» 4~ 4» = 45 — 21 8» = 24;

skąd:

24

8=³'

W tym przykładzie, po zniesieniu mianowników, x² znalazło się na obu stronach równania; przez odejmowanie można było uwolnić się od niego i otrzymać tym sposobem równanie stopnia pierwszego.

177. Rozwiązać równanie:

2x -j-- 3 4x -J- 5 3x -f- 3 4x -j- 4 ' 3x -f- 1

Tutaj najprzód pomnożymy obie strony równania przez 4x -f- 4, to jest przez 4(x -J- 1), będzie:

przeto:

4(2x -)- 3) = 4x -j- 5 -f-

8x -j- 12 — 4x —

4<x-j- 1) 3(x + 1) . 3x -j- 1 r    12fa: -j- l)²

b=-3^+-!    ;

12(£c-f l)2 ~ 3x -|- 1 ' ’ Pomnóżmy teraz przez 3x -f- 1; otrzymamy:

(3x -f-1) (4x —)— 7) = 12(x    l)²

12x² -f 2óx + 7 = 12ic² -f 24x + 12.

czyli:

czyli:

4x -j- 7 =

Odejmując po 12a:² od każdej strony równania i przenosząc wyrazy niewiadome na pierwszą, a wiadome na drugą stronę, wypadnie:

to jest:

26x — 24x = 12 — 7, x = 5.

178. Rozwiązać równanie: x — 1 x — 2

(Ol co

Mamy naprzód:

x — 1 x — 2

{x — 1) (x — 3) — (x — 2)² _

(x — 2) (x

x — 2

X² - 4X -f- 3 — (x² — 4x -j- 4) _ _

~~~Tx^ 2) (x — 3)'

co

(N

r—I !

o:

Dalej :

(x — 4) (x — 6) — (x — 5)²

(;x — b) (x — 6)

(x — 5) (x — 6)

Więc równanie dane zamieni się na takie:

(x — b)(x — 6)

(x — 2) (x — 3 )

Zmieniając znaki na przeciwne, otrzymamy:

(;x — 2) (x — 3)

znosząc zaś mianowniki, będzie:

(x — 5) (x — 6) ’

(x — 5) (x

6) = (x — 2) (x — 3)

czyli, wykonywając wskazane mnożenia:

x² — llx -\- 30 — x² — bx -j- 6;

a przeto:

to jest: skąd:

i nakoniec:

— llx -\-bx = 6 — 30, — ßx = — 24; ßx -- - 24; x — 4.

179. Rozwiązać równanie:

0,45x — 0,75 _ 1,2    0,3x — 0,6

0,bx

0,6

0,2

0,9

Aby uniknąć pomyłek wyrazimy tutaj wszystkie ułamki dziesiętne pod postacią ułamków zwyczajnych. Tym sposobem równanie powyższe przedstawi się tak: bx , 10 /45æ    75

' "6" \ÏÔ0 _ Î0ÔJ

czyli, upraszczając ułamki:

x 5 l9x 3 3~ 20    4

10

10

(

\ 10/

CO I

Oi «

²)-

3 r

to jest:

h    x

T⁼⁶--3

Sx

3 ⁻

Mnożąc obie strony równania przez 12, będzie:

6x -f 9x — 15 = 72 — 4x -j- 8;

przenosząc wyrazy niewiadome na pierwszą, a wiadome na drugą stronę:

skąd :

19# = 72-f-8-j-15 = 95, = 5.

lO 05

180.    Mogą być równania dane do rozwiązania takie, że w nich głoski przedstawiają ilości wiadome; w takim razie ilość niewiadomą przedstawiać zawsze będziemy głoską x a każda inna głoska przedstawiać będzie ilość wiadomą.

Rozwiążemy tutaj trzy takie równania.

181.    Rozwiązać równanie:

Pomnóżmy obie strony równania przez ab\ otrzymamy:

bx -j- ax = abc\

■czyli, wyłączając x za nawias:

(a -\-b) x = abc;

dzieląc zaś obie strony równania przez a, -j- ó, będzie:

abc

a —j— b

182. Rozwiązać równanie:

a²c

(a -j- x) (ć-f x) = a {b + c) --y -f-    .

Wykonywając mnożenia wskazane, otrzymujemy:

Cl^C

ab -]-• ax -|- bx -j- x² = ab -f- ac -j—j—f-    •

ac

183. Rozwiązać:

(2x — a)2 (2x — bf

Znieśmy naprzód mianowniki; będzie:

(x — a) (2x — b)² = (x — b) (2x — a)² ;

czyli:

(.x — a) (4x² — 4bx-\- b²) — (x — b) (4x‘! — 4 ax-\- a²) Wykonywając mnożenie, otrzymamy:

4x³ — 4x² (a -j- b) + x (4ab -j-b²) — ab² = 4xą — 4x² (a + b) -j-x (4ab + a.²) — a²b.

Stąd: czyli: i dalej:

skąd:

a²c

ax -j- bx — ac -]—j- ; (a -j- b) x = ac |l j

ac (a-\-b) ■

czyli :

skąd, dzieląc obie strony równania przez a -|- b, wypada:

xb² — ab² = xa² — a²b\ x (a² — b²) — a²b — ab² — ab (a — b),

ab (a — b) a X = a² — b² = n -|- b ‘

184. Jakkolwiek następujące równanie, ściśle biorąc, nie należy do obecnego rozdziału, z tern wszystkiem podajemy je tutaj, gdyż czytelnik nie znajdzie trudności w zrozumieniu pojedynczych działań przy rozwiązaniu, i może ono służyć za wzór postępowania w podobnych przypadkach. Jest ono podobne do równań poprzednio rozwiązanych w tem, że daje także tylko jedną wartość na niewiadomą.

Rozwiązać:

f x + J/ x — 16=8.

Przenosząc pierwszy wyraz na drugą stronę, otrzymamy:

Vx - 16 =8 — 1/ a? ;

podnosząc obie strony do kwadratu:

a? — 16 = (8 — j/x)² = 64 — 16fx + x; przez nowe przeniesienie wyrazów będzie:

a? =

64+16 = 80; ]/x = 5; x = 25.

i6 y

skąd : i nakoniec.

PRZYKŁADY XXI.

1.

12

rH

lO I—¹

29

3.

3a? — 1

24 '

2a? — 5

2.

42

35

a?—3 *

iîO

a? — 3

— a? — 10

4.

rf-

— a?

10 — a?

5. a? -f-1 —

a?² -f- 3 x -j- 2

6.    a? —    3    — (3 — a?)    (a? -J- 1) =    x    (x    —    3)    —|—    S.

7.    3 _    x    _ 2 (a;    —    1) (a? + 2) =    (a?    —    3)    (5    — 2a?).

8.    (a? -j- 7) (a? -{- 1) = (a? -J- 3)-.

3a? — 1    4a? — 2 1

2a? — 1    3a? — 2    6

4a?~ — 1 7 — 16a? -j- 4a?²

10.

3 — 2a?    2a? — 5

1 — 2a?    2a? — 7

11.

3 -f    a?    ' 2 +    a?_1-f-æ ₌

3 —    a?    2 —    a?    1 — a?

12.    0,5a? — 2 = 0,25a? -f- 0,2a? — 1.

13.    0,5a; -f 0,6a? — 0,8 = 0,75a? + 0,25.

,    b-\- x

pi

T—I

0,15»-f

0,135a? — 0,225 _ 0,36    0,09» — 0,18

0,6

0.2

0.9

— b . —— = x .

T—!

zó

N GO O; O

t—i    tH yH

x — a x — b

i—

(x—a) {x—b) (»-|-2a-j-2ć) = (»-|-2a) (»-}-2b) (x—a—b).

(a — b) (x — c) — (b — c) (x — à) — (c — a) (x — b) — 0.

x.

rH CM

(a — x) (b — x) = (p -(- x) (q -j- x).

I/Jx -f J/4X — 7 = 7.

j/x + 14 -j- j/x — 14 = 14.

Y    x -j- 4 ab = 2 a — y x .

Y    x — a y x — b — 1/ a — b .

XXII.

Zagadnienia.

185. Zastosujemy teraz sposoby, wyłożone w dwócłi poprzednich rozdziałach, do rozwiązania niektórych zagadnień, i tym sposobem przedstawimy czytelnikowi przykłady użycia zasad algebry.

W tych zadaniach pewme ilości są dane, — inne zaś mające pewne oznaczone związki z temi danemi, należy wy-naleść; — ilość, którą należy wynaleść, nazywa się niewiadomą, lub nieznaną. Związki wspomniane powyżej są zazwyczaj wyrażone nie umówionemi znakami, lecz zwykłemi sposobami mówienia, w samem wypowiedzeniu zagadnienia.

Sposób rozwiązania zagadnienia może być w najogólniejszych wyrazach tak opisany: Należy oznaczyć ilość niewiadomą głoską x. i wyrazić następnie językiem algebraicznym związki, jakie zachodzą pomiędzy tąż niewiadomą i ilościami danemi; w ten sposób otrzymamy pewne równanie, z którego można znaleśe ilość niewiadomą.

zna-

186. Suma dwóch liczb jest 85, a ich różnica 27; —

leśó te liczby.

Niech x oznacza mniejszą liczbę, wtedy, ponieważ różnica pomiędzy temi liczbami jest 27, liczba większa będzie x -)- 27; a że suma obu liczb jest 85, przeto będzie:

— 85;

czyli:

stąd:

i nakoniec :

2a: -f 27 = 85;

2x = 8h — 27 = 58;

58

a? — ₂ — 2£).

I tak więc liczba mniejsza jest 29, większa zaś 29 -j- 27,

czyli 56.

187. Podzielić 50 rubli pomiędzy trzy osoby A, B i tak, aby B miała o 5 rb. więcej niż A, a C aby otrzymała t\ -

le, ile osoby A i B razem.

x -j- x —{- 5 —J- 2 a? -j— 5 — 50;

4æ-f- 10 —

4 x = 50 — 10 — 40;

Niech x oznacza liczbę rubli, zawartych w dziale osoln A, wtedy x -(-5 oznaczać będzie to, co się dostało osobie B, a 2 a? -j- 5 to, co się dostało osobie C. Całkowita liczba mbli jest 50; przeto:

to jest: czyli:

skąd:

x — 10.

Więc osoba A dostała 10 rubli, osoba B 15 rubli, a osoba C — 25 rubli.

188.

Pewną kwotę pieniędzy rozdzielono pomiędzy

3

osoby A, B i C-, osoby A i B dostały razem 17 ^ rub., osoby G i A dostały razem 151 rb; osoby zaś B i C dostały razem 12™ rb.

LJ

Znaleść ile każda z tych osób dostała?

Niech x oznacza liczbę rubli, jaką otrzymała osoba A;

wtedy B otrzymała 17    — x rubli, gdyż obie one razem do-

3    3

stały 17— rubli; podobnież osoba C dostała 15 — — x rubli;

3

gdyż A i C razem otrzymały 15 — rubli. A ponieważ B i G

tfc

razem otrzymały 12 ~ rubli, przeto mieć będziemy równanie: Z

12^ = 17|-œ+15

¹²!=³³ż

•2 =•- '4 •

Stąd widzimy, że osoba A dostała 10^- rb., B otrzymała 7 ^ rb., C zaś 5

to jest:

czyli :

skąd :

co

co

— 2 a: ;

2 x = 33

to I—^

i—¹

= 21 ;

189. Kupiec ma dwa gatunki herbaty; funt jednego gatunku kosztuje 2 rb., funt drugiego gatunku kosztuje 3 =-rb. Ile funtów powinien wziąć każdego gatunku, aby, po zmieszaniu, otrzymać 100 funtów herbaty po 2 rubli funt?

Niech x oznacza liczbę funtów pierwszego gatunku; — wtedy 100 —x będzie liczbą funtów drugiego gatunku. Wartość x funtów pierwszego gatunku jest rubli; wartość zaś

7

x funtów drugiego gatunku jest- (100 — x) rubli.

Z

Lecz całkowita wartość mieszaniny ma być przeto:

lO i<M

X 100 rubli,

bO! O»

X 100 = 2x ~l~~ (100 — x).

Znosząc mianownik 2, będzie:

czyli : to jest:

skąd:

500 — 4:X -j- 700 — 7 x, 7 x — 4x — 700 — 500; 3 x = 200,

200

CM

3“ = ⁶⁶    '

2

Więc pierwszego gatunku powinien wziąć 66 -- funt., drugie-

go zaś 33 \ funtów. o

190. Linię, długą na 2 stopy i 4 cale, podzielić na takie dwie części, aby jedna stanowiła trzy czwarte drugiej części.

Niech x oznacza liczbę cali zawartych w części większej;

wtedy —- oznaczać będzie liczbę cali drugiej części.

4

Ponieważ cała linia zawiera 28 cali, przeto otrzymamy

równanie:

skąd:

czyli:

i nakoniec:

i 3

4lX —j- 3x = 112, 7x = 112, x — 16.

x = 28 ;

Jedna część mieć więc będzie 16 cali, druga zaś 12 cali.

191. Pewna osoba ma 1000 rb.; wypożyczywszy część

rok, pozostałość zaś po 5 od sta 44 rb.; ileż

tych pieniędzy^ po 4 od sta

rok, otrzymała całkowńtego procentu i ocznego procent po 4%, a ile po 5%?

na

na

wypożyczyła na

Niech x oznacza liczbę rubli wypożyczonych po 4 od sta, wtedy 1000 — x oznaczać będzie liczbę rubli, wypożyczonych po 5 od sta. Procent roczny od pierwszej sumy

5 (1000 — x) _

100 “ ’

będzie

Ax

100

od drugiej zaś:

przeto:

44 =

4x

5 (1000 — x)

100

100

4400 - 4x -f 5 (1000 - x)\ 4400 = 4x -(- 5000 — 5 x\ x = 5000 — 4400 = 600.

skąd: czyli:

a następnie:

Więc po 4 od sta wypożyczyła 600 rb., pozostałe zaś 400, po 5 od sta.

192. Główna trudność przy rozwiązywaniu zagadnienia polega w przekształceniu warunków zagadnienia, wyrażonych językiem zwyczajnym, na język algebraiczny; — początkujący nie powinien się zniechęcać, jeżeli nieraz znajdzie się pod tym względem w kłopocie, gdyż tylko przez wprawę i praktykę może nabrać, w tern biegłości i pewności. Zrobimy tu jednę uwagę, bardzo ważną dla poczynających: to co się nazywa ilością niewiadomą, jest właściwie liczbą niewiadomą; i to powinno być wyraźnie zaznaczone przy układaniu równania.

Tak np. w drugiem zadaniu, które rozwiązywaliśmy, zaczynamy w ten sposób: niech x oznacza liczbą rubli zawartych w dziale osoby A; — początkujący często mówi niech x oznacza 'pieniądze osoby A, lub: to, co dostała osoba A; wyrażenie takie jest nieoznaczone, gdyż pieniądze osoby A mogą być wyrażone w rublach lub kopiejkach, lub też wt ułamku całkowitej sumy. Podobnież w piątem z tych zadań, które rozwiązaliśmy, zaczynamy od wyrażenia: niech x oznacza liczbę cali zawartych w części dłuższej....; tymczasem początkujący często mówi: niech x oznacza dłuższą część, lub: niech

x — jednej części; — tym sposobom wyrażania się można zrobić też same zarzuty, które były wyżej zaznaczone.

193.    Bardzo często początkujący znajdują dlatego trudność w przekształceniu zagadnienia z języka zwyczajnego na język algebraiczny, że nie mogą zrozumieć warunków, wyrażonych językiem zwyczajnym. Jeżeli wyrazom, użytym do wypowiedzenia zagadnienia, nie można nadać żadnego logicznego znaczenia, wtedy oczywiście nie można ich przekształcić; lecz często się przytrafia, że wyrazy nie są same przez się niezrozumiałe, ale zdaje się, że mają więcej niż jedno znaczenie. Wtedy czytelnik, powinien wybrać jedno-z tych znaczeń, wyrazić je znakami algebraicznemi, i wyna-leść odpowiedni wypadek. Jeżeli wypadek ten jest niemożliwy, lub niedorzeczny, wtedy należy spróbować innego-znaczenia tychże wyrazów. Lecz jeżeli wypadek jest możliwy, wtedy czytelnik może z tego wnieść, że zrozumiał prawdopodobnie wyrazy należycie; w każdym razie interesującą jest rzeczą spróbować jeszcze innych znaczeń wyrazów, w celu przekonania się, czy sposób, w jaki zadanie wyrażono, rzeczywiście pozwala na więcej niż jedno rozwiązanie.

194.    Czytelnik przy rozwiązywaniu zagadnień, podanych niżej dla ćwiczenia, znajdzie bez wątpienia znaczną liczbę takich, które można łatwo rozwiązać za pomocą arytmetyki, lub też przez proste odgadnięcie i następną próbę. To może go doprowadzić do lekceważenia siły i znaczenia algebry;— a nawet do takiego sp^v . omoc jej jest zbyteczną i niepotrzebną. Lecz musimy tu na to odpowiedzieć, że za pomocą algebry czytelnik będzie w możności rozwiązania wszystkich tych zagadnień, bez żadnego wahania się lub niepewności a nadto przekona się w dalszym ciągu, że za pomocą algebry będzie w stanie rozwiązywać takie zadania, które byłyby niezmiernie trudne, lub zupełnie niemożliwe do rozwiązania^ gdyby uciekał się do pomocy tylko samej arytmetyki.

PRZYKŁADY XXII.

1.    Znaleść liczbę, która byłaby większą od swojej piątej części o 24?

2.    Ojciec ma dziś 30 lat, a syn 2 lata; po ilu latach ojciec będzie 8 razy starszy od syna?

3.    Różnica dwóch liczb jest 14, a ich suma 48; znaleść

te liczby.

4.    Dziecko urodziło się w Listopadzie, i 10 G-rudnia miało tyle dni wieku, ile dni Listopada przeszło od początku tegoż miesiąca, do dnia jego urodzenia. Któregoż dnia Listopada urodziło się?

5.    Jeżeli do podwojonej pewnej liczby dodamy 24, to otrzymamy sumę, która o tyle będzie większą od 80, o ile sama ta liczba jest mniejszą od 100. Znaleść tę liczbę?

6. Pewna ryba ma głowę długą na 9 cali, jej ogon jest tak długi, jak głowa i połowa tułowia, tułów zaś tak długi, jak głowa i ogon razem wzięte. Jakaż jest długość tułowia i ogona?

7. Liczbę 60 podzielić na takie dwie części, aby siódma część jednej, równała się ósmej części drugiej.

S. Z dwóch rô'wnych beczek piwa wytoczono: z pierwszej 34 garnce a z drugiej 80 garncy. Wtedy w pierwszej pozostało trzy razy tyle piwa, ile w drugiej. Ileż każda z tych beczek zawierała piwa, gdy była pełną?

9.    Pewna osoba rozdała 20 ubogim 2 rs. 40 kop.: przy-•czem pewnej liczbie ubogich dała po 6 kopiejek, a pozostałym po 16 kopiejek. Iluż ubogim dała po 6, a ilu po 16 kopiejek?

10.    Ojciec jest dziś trzy razy starszy od syna; przed czterema zaś laty, ojciec był cztery razy starszy od swego syna. Ileż lat ma dzisiaj ojciec, a ile syn?

11.    Liczbę 100 podzielić na takie dwue części, aby po odjęciu trzeciej części jednej, od czwartej części drugiej, na resztę pozostało 11.

12.    Dwie osoby A i B, grające z sobą, miały przy rozpoczęciu gry: A — 72 rb.; B zaś — 52 rb. Po przegraniu pewnej liczby partyj, okazało się, że osoba ima trzy razy więcej pieniędzy, aniżeli osoba B. Ileż wygrała osoba A?

13.    Znaleść taką liczbę, ażeby jej piąta część, więcej siódma część, przewyższała sumę jej ósmej i dwunastej części, o 113.

14.    Armia przegrała bitwę, i wskutek tego utraciła je-dnę szóstą część swoich żołnierzy w zabitych i rannych, i 4000 wziętych do niewoli. Została następnie wzmocnioną o 3000 ludzi; — lecz będąc zmuszoną do cofania się, znowuż przytem straciła jednę czwartą część swego nowego składu. Po czem okazało się, że pozostało w niej 18000 ludzi. Iluż żołnierzy było z początku?

15.    Pewna partya robotników otrzymała zapłaty 5 rb. 28 kop.; połowa całkowitej liczby robotników dostała po 18 kop., jedna trzecia część tejże całkowitej liczby robotników dostała po 24 kop.; reszta zaś po 30 kop. Iluż było wszystkich robotników?

16.    Gospodarz umierając, pozostawił 550 rubli do rozdzielenia pomiędzy czterema służącymi A, B, G i D w ten sposób, aby B dostał dwa razy tyle co A, — C tyle, co B i A

razem,

dostał?

— a zaś D tyle, ile C i B razem. Ileż każdy z nich

17.    Znaleść dwie po sobie następujące liczby całkowite, takie: aby połowa pierwszej liczby dodana do piątej części tej pierwszej liczby, dała sumę równą sumie trzeciej i czwartej części drugiej liczby?

18.    Kupiec ma dwa gatunki wina kaukazkiego: jeden gatunek po 48 kop. kwarta; drugi — po 80 kop. kwarta; z tych dwóch gatunków chce zrobić sto kwart mieszaniny po 56 kop. kwarta. Po ileż kwart ma wziąć każdego gatunku?

19.    W pewnej ilości prochu strzelniczego, saletry jest o 6 funtów więcej, aniżeli wynosi połowa całej ilości prochu, siarki o 5 funtów mniej, aniżeli trzecia część, a węgla o 3 fun-

ty mniej, aniżeli czwarta część całej ilości prochu. Ileż funtów każdego z tych ciał znajduje się w tym prochu?

20. Dowodzący armią, po przegranej bitwie przekonał się, że pozostało mu zdatnych do boju o 3600 ludzi więcej, auiżeli było w połowie całej armii; rannych było o 600 więcej, aniżeli ósma część całej armii, pozostałość zaś, stanowiąca piątą część armii, była zabitych, wziętych-do niewoli lub zbiegłych. Iluż ludzi było w całej armii?

XXIII.

Zagadnienia (ciąg dalszy).

195. Podamy teraz kilka przykładów, w których przekształcenie z języka zwyczajnego na algebraiczny jest cokolwiek trudniejsze, aniżeli w przykładach rozdziału poprzedniego.

196. Liczbę 80 podzielić na takie cztery części, aby pierwsza powiększona o 3, druga zmniejszona o 3, trzecia pomnożona przez 3, a czwarta podzielona przez 3, dały na wypadki ilości równe?

Niech x oznacza pierwszą część; wtedy, jeżeli ją powiększymy o 3, otrzymamy x -(- 3, i to ma być równe drugiej części, zmniejszonej o 3; więc część druga musi być równą x -j- 6. Dalej: część pierwsza powiększona o 3, czyli x -f- 3, ma być równe części trzeciej, pomnożonej przez 3; przeto ta

. I nakoniec, ponieważ x -j- 3

część trzecia musi być

ma być równe części czwartej, podzielonej przez 3, przeto część czwarta będzie 3(x -j- 3). Suma tych wszystkich części ma być równą 80; zatem:

^±-? + 3(a: + 3) = 80,

czyli:

to jest:

Mnożąc przez 3:

2a? -)- 6 -J

. a? -j- 3 ox -f —^

^zt³ _j_ 3» -f 9 = 80;

= 80 — 15 = 65.

czyli:

skąd:

15a? -f- a? -f- 3 = 195. 16» = 192;

= 12.

192

16

Przeto szukane części są:

12, 18, 5, 45.

197. Robotnik A może wykonać pewną robotę w 9 dniach pracując sam, robotnik zaś B mógłby ją wykonać w 12 dniach: w jakim przeciągu czasu mogliby wykonać tęż sarnę robotę, pracując razem?

Niech a? oznacza szukaną liczbę dni. W jednym dniu

A wykonywa + część roboty, przeto w a? dniach może wy-

U

00

konać Q części roboty. W jednym dniu B wykonywa

y    u

00

część roboty, przeto w x dniach może wykonać — części tej-

że roboty. A ponieważ w x dniach A i B razem wykonywają całą robotę, przeto suma tych ułamków roboty musi być równą jedności; to jest:

tH

9 +12

= 1.

Mnożąc przez 36:

4zX -f- 3a? = 36,

7x = 36.

36 r 1 x = Y — °T •

198. Zbiornik wody może być napełniony wodą, wpły-wającą jedną tylko rurą, w ciągu 6 godzin; za pomocą zaś dru-

czyli:

skąd:

giej rury może być napełniony w 8 godzinach. Lecz tenże sam wodozbiór, gdy jest pełny, a obie 'rury są zamknięte, może być wypróżniony przez klapę, umieszczoną w dnie, w ciągu 12 godzin. W iluż godzinach wodozbióę napełni się, gdy obie rury i klapa są otwarte jednocześnie?

Niech x oznacza szukaną liczbę godzin. W ciągu jednej

godziny przez pierwszą rurę napełni się — część wodozbioru

00

więc w

x godzinach zostanie napełnionych ^ części zbiorni-

ka. Przez drugą rurę w jednej godzinie napełnia się

00

zbiornika, więc w x godzin: Q części tegoż zbiornika. W cią-

1

— częsc gu jednej godziny przez klapę wypływm — część zbiornika,

przeto w x godzinach wypływa — części tegoż wodozbioru.

A że w x godzinach cały zbiornik będzie napełniony, przeto mieć będziemy:

/yi    ryt    /vł

tAs    I    t

6 ‘ 8 12

Pomnóżmy obie strony równania przez 24, otrzymamy: \x -f- ?>x — ‘Ix — 24,

czyli:

5x = 24;

skąd:

•    ²⁴ A

x = r = 4

199. Niekiedy pożyteczną jest rzeczą oznaczyć przez x nie sarnę ilość niewiadomą, której bezpośrednio szukamy, ale inną ilość, z której wszakże ilość szukana łatwo daje się oznaczyć.

Przykład tego przedstawiają nam dwa następne zadania: 200. Dowódca pułku chce ustawić swoich ludzi w kwadrat pełny; lecz pokazuje się, że po ustawieniu ich w ten spo-

sob, pozostaje mu jeszcze 31 żołnierzy zbywających; aby zaś ustawić ich tak, ażeby bok kwadratu zawierał o jednego człowieka więcej, potrzebaby pułk powiększyć o 24 ludzi. Iluż ludzi jest w pułku?

Niech x oznacza liczbę żołnierzy w boku pierwszego kwadratu; wtedy liczba ludzi w całym kwadracie będzie a:², a liczba ludzi w pułku będzie x² -\- 31. Gdyby w każdym boku kwadratu było x -f- 1 ludzi, wtedy liczba żołnierzy w całym kwadracie byłaby (x -f- l)²; przeto liczba ludzi w pułku może być i tak wyrażoną: {x -j- l)² — 24.

Więc:

skąd:

(x —j— l)² - 24 = a:² + 31. x² -j- 2a -j- 1 — 24 = x¹ -j- 31.

Od obu stron równania odejmijmy po a:², będzie:

2a? —f— i — 24 — 31,

czyli:

2a: = 31 -f 24 — 1 = 54

54

skąd:

Przeto liczba żołnierzy w pułku jest (27)² -j- 31, czyli 729 + -j- 31, to jest 760.

201. Osoba A wyjeżdża z pewnego miasta, i jedzie z taką prędkością, że co 5 godzin ujeżdża 7 mil. W ośm godzin później, z tego samego miasta wyjeżdża osoba B w tym samym kierunku, i jedzie tak prędko, że co 3 godziny ujeżdża 5 mil. W jakiej odległości od miasta osoba B dogoni

osobę A?

Oznaczmy przez a; liczbę godzin, przez którą osoba A jedzie, zanim zostanie dognaną przez B\ wtedy x — 8 będzie liczbą godzin, przez którą jedzie osoba B aż do chwili spotkania. Ponieważ A przejeżdża 7 mil w ciągu 5 godzin, prze-

to jedzie ona

lx

dzie — . 5

7

— mili na godzinę, a w ciągu x godzin przeje-

O

mili na godzinę, więc

Podobnież: B przejeżdża

»O :CO

70 mil od miejsca wyjazdu.

202. Niekiedy zadania są tej natury, że wymagają znajomości nauki o proporcyi, tak jak jest ona wykładaną w arytmetyce; dwa następne przykłady są właśnie tego rodzaju. Po przerobieniu ich, zakończymy rozdział zadaniami cokolwiek trudniejszemi, aniżeli te, które były rozwiązane dotąd.

203. Liczbę 56 podzielić na takie dwie części, ażeby stosunek pierwszej do drugiej był równy stosunkowi 3 do 4.

Niech x oznacza pierwszą część, wtedy druga będzie 56 — x\ a ponieważ x ma być w takim stosunku do 56 — x w jakim jest 3 do 4, przeto będzie:

56—a?

Znosząc mianowniki, otrzymamy:

czyli:

5

— 8 godzin przejedzie — (x — 8) mil. Gdy zaś B

O

w ciągu x

dogoni A, wtedy jeden i drugi przejedzie jednakową liczbę mil. Przeto:

7x

(x — 8) — — ;

mnożąc przez 15, będzie:

czyli:

skąd:

czyli:

2d(x — 8) — 21x, 2dx — 200 = 21r; 25x — 21x = 200, 4x = 200,

i nakoniec:

200

r = 50.

4

7r 7

A że j — ■— X 50 = 70, przeto B dogonił A

na

odległości

4 x — 3(56 — x), 4x = 168 — 3x;

7x — 168,

skąd:

a następnie:

f = ₂4.

Pierwsza część jest więc 24, a draga 56 — 24, czyli 32.

Powyższy sposób rozwiązania jest najbardziej naturalny; następujący jednak jest o wiele krótszy:

Oznaczmy część pierwszą przez 3x\ wtedy część druga będzie 4%, gdyż pierwsza tak się ma do drugiej, jak 3 do 4. Suma tych dwóch części jest równą 56, przeto:

czyli:

3x -j- 4x — 56, lx = 56;

56

skąd:

Zatem część pierwsza jest 3x8, czyli 24, druga zaś 4X8, czyli 32.

204. Jedna beczka, A, zawiera 12 garncy wina i 18 garncy wody; druga beczka, B, zawiera 9 garncy wina i 3 garnce wody; ileż należy wziąć garncy z każdej beczki, ażeby utworzyć mieszaninę, złożoną z 7 garncy wina i 7 garncy wody?

Niech x oznacza liczbę garncy, jaką należy wziąć z A; wtedy, ponieważ mieszanina ma zawierać 14 garncy, przeto 14 — x oznaczać będzie liczbę garncy, jaką należy wziąć z B. Liczba wszystkich garncy, zawartych w A, jest 30, — z nich

12 jest winem; przeto wino w tej beczce stanowi

r-H ICO

całości.

A zatem w x garncach, zaczerpniętych z A, znajdować się bę-

Podobnież w 14 — x garncach, za-

dzie

12.r

30

garncy wina.

9(14 — x)

ezerpniętych z B, znajduje się czystego wina garncy. Lecz mieszanina ma zawierać 7 garncy wina; przeto:

12

12x    9(14 — x)

30

12

%x , 3(14 — x)

czyli:

skąd: i dalej: następnie: i nakoniec,

Przeto z A należy wziąć 10 garncy, a z i?, — 4 garnce.

O jakim czasie, między godziną 2-gą i 3-ią, jedna skazówka zegarka dokładnie przykrywa drugą?

Niech x oznacza szukaną liczbę minut po 2-giej. W przeciągu x minut długa skazówka przesunie się przez x podziałek cyferblatu; a że długa skazówka porusza się 12' razy prędzej niż krótka, przeto krótka przesunie się w tymże

jß

podziałek. O godzinie drugiej, krótka IZ

skazówka jest o 10 podziałek przed długą; — ta ostatnia więc, w ciągu x minut, musi przejść o 10 podziałek więcej aniżeli krótka; mieć będziemy przeto równanie:

^/j- 10;

JL Z

8.7’ -f- 15(14 — x) = 140; 8r -f- 210 — 15,r — 140; 7x = 70, x = 10.

205.

samym czasie o

czyli:

stąd:

12a; = x 120, \\_x- 120

i nakonieo

120

11

- 10

206. Zając robi cztery skoki w tym czasie, w którym chart robi ich trzy; lecz dwa skoki charta stanowią taką długość, jak trzy skoki zająca. Zając ten był oddalony na 50 swoich skoków od charta w chwili, gdy ten ostatni zaczął go ścigać; ileż skoków zrobi chart zanim dogoni zająca?

Przypuśćmy, że 3x oznacza liczbę skoków charcich;

wtedy 4x oznaczać będzie liczbę skoków, zrobionych przez zająca w tym samym czasie. Niech a oznacza w calach długość skoku zająca, wtedy 3a oznaczać będzie liczbę cali zawartą w trzech skokach zająca; — a zatem także i liczbę cali w dwóch skokach charta. Długość skoku charta w calach 3 a

będzie więc — . Dalej: liczba cali, zawartych w 3x skokach

U

charta będzie: 3x X ₀ ; liczba zaś cali, zawartych w 50—(—

—i

skokach zająca bądzie (50-|-4x)a. Stąd otrzymujemy równanie:

9ax    _ _ , . .

—~ = (ö0 -|- 4x)a.

Dzieląc obie strony przez a, będzie:

₂ —- 50 -j- 4,r,

3x = 100    8x,

x == 100.

3x

skąd:

i nakoniec:

Chart przeto musi zrobić 300 skoków.

Zwracamy tu uwagę czytelnika na to, żeśmy wprowadzili do zadania pomocniczy znak a, aby łatwiej ułożyć równanie; znak ten znikł następnie przez dzielenie z równania.

23 ruble. Ileż każdy

. 207. Czterech graczy A, B, C i D zasiadło do gry, każdy z inną sumą pieniędzy. Po skończonej grze A wygrał połowę tego, co B miał z początku, zasiadając do gry; B wygrał trzecią część tego, co miał C\ C wygrał czwartą część tego, co miał D, aD wygrał piątą część tego, co miał A] poczerń okazało się, że każdy z nich ma z nich miał, siadając do gry?

Niech x oznacza liczbę rubli, którą D wygrał od A, wtedy A miał z początku 5x; a po przegraniu do D piątej części pozostało mu 4x. Ta ostatnia ilość, wraz z tern, co A wygrał od B stanowi 23; przeto 23 — 4x oznaczać będzie liczbę rubli, którą A wygrał od B. A że A wygrał połowę tego, co miał B: więc 23 — 4% oznaczać także będzie to, co zostało B po przegraniu partyi.

I dalej: 23 — 4x razem z tern, co B wygrał od C, stanowi 23; przeto 4x oznacza liczbę rubli, jaką B wygrał od C. A ponieważ B wygrał trzecią część tego, co miał (7, zatem G miał z początku 12a?, a po przegraniu 8x.

Dalej jeszcze: 8a? razem z tein, co C wygrał od D, powinno stanowić 23; przeto 23 — 8x oznacza liczbę rubli, jaką C wygrał od D. A że C wygrał czwartą część tego, co miał Z), więc 4(23 — 8x) oznaczać będzie sumę, jaką miał D z początku, a 3(23 — 8x) to, co mu po przegraniu do C pozostało.

Ostatecznie więc 3(23 — 8x) razem z x₁ to jest liczbą rubli, jaką J) wygrał od A, stanowić będzie 23 rubli; otrzymamy przeto równanie:

skąd:

23 = 3(23 — 8x) -f a?, 23a? = 46, x — 2.

Więc gracze z początku mieli 10, 30, 24 i 28 rubli.

208. Ojciec, umierając, pozostawia pewną liczbę dzieci i majątek, który testamentem poleca rozdzielić pomiędzy nie* w następujący sposób:

Najstarsze dostaje 100 rs. i dziesiątą część tego, co pozostanie, po wzięciu tych stu rubli;

Drugie dostaje 200 rubli i znowuż dziesiątą część tego, co pozostanie;

Trzecie dostaje 300 rubli i dziesiątą część tego, co pozo

stanie;

Czwarte podobnież dostaje 400 rubli i dziesiątą część tego, co pozostanie;

I tak dalej.

Po wykonaniu woli zmarłego, pokazało się, że cały majątek został równo podzielony pomiędzy wszystkie dzieci.

Ileż było dzieci i ile rubli wynosił majątek?

To zagadnienie jest całkiem szczególnej natury, i przez to samo zasługuje na staranny rozbiór. Aby je łatwiej rozwiązać, przypuśćmy, że cały majątek wynosił 0 rubli; a ponieważ wszystkie dzieci otrzymują jednakową sumę, oznaczmy dział każdego dziecka przez x. Tym sposobem liczba Ż

dzieci będzie - . Wprowadziwszy te oznaczenia, ułożymy następującą tablicę, w celu rozwiązania zadania:

Suma

Różnice

Dział każdego dziecka

do po- iDziecko działu.

0—%x

0—3x

0—4x

1-sze

2-gie

3-cie

4-te

5-te

100-f-

—100

10

x 200 + -

x -= 300 -f ~

-x—200

10

—2 a?—300

5c=400 -j- ''

x = 500 4-

100—-P⁰⁰=o

10

10

100-

x-\-100 _₀

10

- 3x—400

10

10

—4x—500

10

100

x-\-100

10

i tak dalej.

ne

wne samo

stateczną będzie rzeczą do oznaczenia x, przyrównać którą

W ostatniej kolumnie pomieściliśmy różnice, otrzyma-przez odjęcie każdego działu od następującego. Ponieważ wszystkie działy są równe, przeto różnice powinny b}rć ró-0. A ponieważ nadto, szczęśliwym trafem, jedno i toż wyrażenie przedstawia wszystkie te różnice, więc do-

czyli: skąd:

mnożąc obie strony przez 10, znajdziemy:

1000—a?—100 = 0; 900—x — 0: æ = 900.

kolwiek z tychże różnic do zera. Tym sposobem otrzymamy równanie:

100-

x 4-100

10

0;

Dział więc każdego dziecka wynosi 900 rubli.

Podstawiając tę wartość znalezioną na a? w którekolwiek z równań trzeciej kolumny, naprzykład w pierwsze, otrzymamy:

900 = 100 +

3—100

10

skąd odrazu znajdziemy wartość na 3, gdyż:

9000 = 1000 + 3—100 9000-1000 + 100=3 3 = 8100.

czyli: albo:

£

Nakoniec liczba dzieci otrzyma się z wyrażenia —; liczba ta będzie więc równą 9.

Znaleźliśmy zatem odpowiedź zupełną na zadane pytanie taką: dzieci było 9, majątek pozostawiony był 8100 rb., a dział każdego z dzieci wynosił 900 rb.

PRZYKŁADY XXIII.

1. Statek korsarski, płynący z prędkością 10 wiorst na. godzinę, spostrzega okręt w oddaleniu 18 wiorst, i płynący z prędkością 8 wiorst na godzinę. Ileż wiorst okręt przepłynie, zanim zostanie dognany przez korsarza.

2.    Znaleść dwie liczby, których różnica wynosi 4, a różnica kwadratów tych liczb wynosi 112.

3.    24 osoby złożyły sumę 24 rubli; niektóre z tych

3    1

osób składały po rb., pozostałe zaspo 1 rb. Ileż było osób

4    o

a ile, które dały po 1D rb.?

3

które dały po

4.    Wodozbiór może być napełniony w 12 minutach wodą, wpływającą przez 2 rury; jedną rurą woda wpływają-

ca

on

może go napełnić w 20 minut; — w iluż minutach może być napełniony przez samą drugą rurę?

5.    Liczbę 100 podzielić na takie dwie części, aby różnica kwadratów tychże części wynosiła 1000?

6.    Z dwóch miast, znajdujących się w odległości 154 wiorst, wychodzą dwie osoby w jednym i tym samym czasie, i idą naprzeciwko siebie. Pierwsza przechodzi 9 wiorst w 2 godziny; druga zaś 15 wiorst w 4 godz.; kiedy one się spotkają?

7.    Kupił ktoś pewną liczbę jajek; połowę tych jajek kupował po 2 jajka za dziesiątkę, a drugą połowę po 3 jajka za dziesiątkę; sprzedał je następnie w ten sposób, że dawał 5 jajek za dwie dziesiątki i stracił na tym handlu jednę dziesiątkę. Ileż jajek kupił?

8.    Sumę 2000 rb. rozdzielono pomiędz}’ dwie osoby tak, że części otrzymane przez te osoby tak się miały do siebie, jak 7 do 9; ileż otrzymała każda z tych osób?

9.    Liczbę 100 podzielić na takie dwie części, aby kwadrat ich różnicy przewyższał kwadrat podwojonej mniejszej części o 2000?

10.    Do wodozbioru prowadzą dwie rury; pierwszą

z nich wodozbiór może być napełniony w 4₉ godzinach;

drugą w 6-ciu godzinach; u spodu wodozbioru znajduje się klapa, która może go wypróżnić w 5-ciu godzinach. W iluż godzinach będzie napełniony wodozbiór, jeżeli otworzymy obie rury i klapę?

11.    Przekupka kupiła pewną liczbę jajek po 4 grosze; sprzedała zaś połowę tych jajek po 5 groszy sztuka, a pozostałą połowę po 3 sztuki za 10 groszy i na wszystkiem zyskała 40 groszy. Ileż było jajek?

12.    Dwie osoby A i B strzelają kolejno do celu. Na każde 12 danych strzałów, osoba A trafia w sam środek 7 razy, osoba zaś B, ta też sarnę liczbę strzałów — 9 razy. Strzelając tak przez pewien przeciąg czasu, dały razem 32 celne strzały. Ileż razy każda z nich dała ognia?

13.    Dwie beczki A i B zawierają mieszaniny wina i wody; w A ilość wina jest w takim stosunku do ilości wody, w jakim jest 4 do 3; w B ten sam stosunek jest 2 do 3. Beczka A zawiera 84 garnce; ileż B musi zawierać, aby, po zlaniu zawartości obu beczek w trzecią beczkę, w tej ostatniej mieszanina była złożoną z równych ilości wina i wody?

14.    Ileż minut brakuje do czwartej, jeżeli przed trzema kwadransami było dwa razy tyleż minut po drugiej?

15.    O której godzinie między 3-cią i 4-tą jedna skazów-ka zegarka będzie ściśle na przedłużeniu drugiej skazówki?

16. Skazówki zegarka tworzą kąt prosty o godzinie 3-ciej; o jakim czasie będą następnie znowuż tworzyć kąt prosty?

17. Ma ktoś dwa kubki srebrne i jednę do nich pokrywkę. Pierwszy kubek waży 12 łutów; a jeżeli na niego nałożyć pokrywkę, wtedy razem z nią ważyć będzie dwa razy więcej, aniżeli drugi kubek. Jeżeli zaś nakryć drugi kubek, wtedy on razem z pokrywką ważyć będzie trzy razy tyle, co pierwszy. Znaleść wagę drugiego kubka i pokrywki.

18. Powietrze atmosferyczne składa się z 2-ch gazów: tlenu i azotu, pomieszanych z sobą w takim stosunku, że na 21 części, co do do objętości, tlenu, idzie 79 części azotu. Ileż

każdego z tych gazów znajduje się w pokoju długim na 4 metry, szerokim na 3 metry i wysokim na 2,5 metra?

19.    Gospodarz wiejski ma gęsi i owce — razem 432 sztuki. Ponieważ nie chce się dalej zajmować hodowlą gęsi, przeto wymienia wszystkie swoje gęsi na owce i dostaje przy tej wymianie 3 owce za każde 32 gęsi. Po tej wymianie okazało się, że jest posiadaczem stada owiec, liczącego 200 sztuk. Ileż gęsi on wymienił na owce?

20.    Pewien próżniak od 18 roku życia aż do śmierci

przespał czasu,

O

co

stracił na grę w karty,

pędził na przechadzkach,

dził siedząc w fotelu i nie myśląc o niczem, a przez cały ten tylko dwa lata pracował. Ileż lat on żył?

21. Gracz przegrał z początku ^ część swoich pienię-

Ï6 spę‘

czas

tyle kopiejek, ile przed

dzy, a potem 247 rubli, i pozostało grą miał rubli. Ileż miał pieniędzy siadając do gry?

targ pewną liczbę ja-

mu

22. Wieśniaczka przyniosła jek. Pierwszemu kupującemu sprzedała połowę wszystkich jajek i jeszcze połowę jednego jajka (nie tłukąc i nie dzieląc wszakże żadnego); drugiemu kupującemu połowę tego co jej zostało i jeszcze połowę jajka; trzeciemu znowuż połowę tego, co jej zostało i pół jajka, i tak samo czwartemu

ystkiem pozostało jej jedno jajko.

na

i piątemu. Po tern Ileż jajek przyniosła na targ?

wsz

tematyka greckiego Bio-

23. Na grobie sławnego phantes^a (jednego z twórców algebry), znajduje się napis, następny sposób liczbę lat, jaką on żył.

oznaczający w

ma

Diophantes był dzieckiem j część swego życia, ~ część

był młodzieńcem, następnie ożenił się, i przeżył w związku

część swego życia, powiększoną o 5 lat, zanim

małżeńskim

narodził mn się syn, który wszakże o 4 lat wcześniej umarł, aniżeli Diophantes, i żył tylko połowę tej liczby lat, jaką żył ojciec. Ileż lat żył Diophantes?

24. Rok śmierci króla Jana Sobieskiego wyraża się liczbą czterocyfrową, w której pierwszą cyfrą z lewej strony jest 1. Jeżeli tę jedność przeniesiemy z pierwszego miejsca na ostatnie miejsce, wtedy otrzymamy nową liczbę, która będzie o 177 większą, od cztery razy wziętej liczby, wyrażającej rok śmierci Jana Iii-go. W którym roku umarł król Jan Sobieski?

25.    W dawnych książkach znajdujemy takie zadanie: Pewna Greczynka weszła do świątyni Zeusa i prosiła

go, ażeby podwoił tę sumę pieniędzy, jaką miała przy sobie. Zeus uczynił to. Wtedy na znak podziękowania, złożyła w świątyni dwie drachmy. Z tern co jej pozostało weszła do świątyni Apollina i prosiła o toż samo. I Apollo przychylił się do jej prośby, za co znowuż w jego świątyni ofiarowała dwie drachmy. Porachowała teraz pieniądze, — i okazało się, że ma dwa razy tyle, ile miała z początku. Ileż miała, wchodząc do świątyni Zeusa?

26.    Okręt żaglowy płynął od pewnego miejsca A do miejsca B, leżącego na zachód. Gdy już się znajdował oddalony tylko na 4 mile od miejsca swego przeznaczenia, został

cofnięty przez wiatr przeciwny o^ część tej drogi, jaką przebył. Następnie po ustaniu wiatru, dalej płynął ku zachodowi;

lecz przebywszy -wał od A, wskutek działania nowego wiatru przeciwnego,

— część tej odległości, w jakiej się znajdo-

znowu został cofnięty o

część teraźniejszej odległości od A.

Gdy wiatr powtórnie ustał, okręt, przepłynąwszy ~ czę śó

tJ

ostatniej odległości od A przybył do portu. Jakaż jest odległość miasta A od i?, i ile mil okręt przepłynął?

Jak

27. Z czterech miasteczek A, B: Ci D, leżących na jednej drodze, wyjeżdżają dyliżansem pocztowym cztery osoby, i jadą do jednego miasta E. Odległość A od B wynosi 19 mil; B od C wynosi 3 mile, a C od D 5 mil. Przy opłacie należności pocztowej okazało się, że osoba, wyjeżdżająca z A zapłaciła za drogę tyle, ile trzy pozostałe osoby razem, z tego obliczyć odległość miasta D od E?

28.    Dwa ciała poruszają się, zaczynając od dwóch punktów A i B, których odległość wynosi d metrów, w tym samym JcierunJcu. Jedno z tych ciał przebywa w każdej jednostce czasu (np. sekundzie) c metrów, drugie zaś c' metrów. Kiedy i gdzie te dwa ciała spotkają się? W jakim przypadku rozwiązanie zadania jest niemożliwe?

a-

29.    Dwa ciała wyruszają w jednej i tej samej chwili z dwóch punktów A i B, których odległość wynosi d metrów, i idą w kierunkach przeciwnych. Pierwsze przechodzi c metrów, drugie zaś cf metrów w każdej jednostce czasu. W j kim czasie, i w jakiej odległości od punktów A i B te dwa

, ciała spotkają się?

ce czasu,

30. Dwa ciała wychodzą z tego samego punktu S, i oba poruszają się w tym samym kierunku. Pierwsze przebiega w każdej jednostce czasu c metrów; drugie zaś, które wyszło w n jednostek czasu później z S, przebiega w każdej jednost-c’ metrów. Po upływie jakiego czasu, licząc od wyjścia drugiego ciała z punktu S, oba te ciała spotkają się. Jaki związek powinien istnieć pomiędzy ilościami c, e' i n, aby rozwiązanie zadania było możliwem?

31.

Dwa ciała wyruszają w jednym czasie z dwóch punktów, odległych na 243 metrów w kierunkach przeciwnych;

pierwsze przebiega na minutę 5, drugie zaś 7 metrów. Po upływie jakiego czasu odległość pomiędzy niemi wynosić będzie 39 metrów?

32.    Na samym środku stawu kwadratowego, mającego długości i szerokości 10 stóp, wyrasta trzcina, wznosząca się na jednę stopę nad wodę. Jeżeli tę trzcinę przyciągniemy do środka jednego z boków stawu, wtedy ona swoim wierzchołkiem dosięgnie samego brzegu. Jak głęboki jest staw?

33.    Młoda topola, wysoka na 10 stóp, została przez wiatr złamaną w takiej wysokości, że jej wierzchołek, oparty teraz na ziemi, znajduje się w odległości 3 stóp od podstawy pnia. W jakiej że wysokości została ona złamaną? (x)

34.    Łąkę mającą 40 morgów, 8 koni objadły w ciągu 7 tygodni, tak, że została zjedzoną nie tylko trawa, jaka się z początku na niej znajdowała, ale także i ta, która w ciągu tego czasu przyrosła. Inną łąkę, mającą 50 morgów, tej samej wartości gruntu, 9 koni objadło w podobny sposób w ciągu 8 tygodni. Ileż koni może być utrzymywanych na takiej że samej łące, liczącej 60 morgów, przez przeciąg 12 tygodni? Jak wyrazić i rozwiązać podobne zadanie w sposób ogólny?

XXIV.

Równania jednoczesne stopnia pierwszego z dwiema niewiadomemi.

209. Przypuśćmy, że mamy równanie zawierające dwie ilości niewiadome x i y\ np. ?>x — 7y = 8. Nadając jakąkolwiek wartość dowolną na jednę z tych niewiadomych, możemy znaleść z tegoż równania odpowiednią wartość na drugą. Tym sposobem możemy znaleść tyle par wartości, zadosyć

(ł) Do dwóch ostatnich zagadnień, trzeba użyć twierdzenia

Pythagoresa.

czyniących danemu równaniu, ile tylko chcemy. Tak naprzy-kład, jeżeli y = 1 będzie 3# — 15, a przeto x — b\ również jeżeli ij — 2, będzie 3# — 22, skąd x = 7^; — i tak dalej.

Podobnież, jeżelibyśmy mieli inne równanie tego samego rodzaju, np. 2# -j- by = 44, i z niego możemy oznaczyć tyle wartości, ile nam się spodoba, zadosyć mu czyniących.

za-

Lecz jeżelibyśmy chcieli wynaleść te wartości, które dosyć czynią jednocześnie obu równaniom, wtedy znaleźlibyśmy, że tylko jedna jest taka wartość na x i jedna na y. Gdyż: pomnóżmy pierwsze równanie przez 5, będzie:

lbx — 3by = 40;

drugie zaś równanie przez 7, otrzymamy:

14# -j- 3by = 308.

Zatem, przez dodanie odpowiedniemi stronami tych równań: lbx — 3by -j- 14# -j- 3by — 40 -J- 308,

to jest: skąd:

29# = 348,

29

*-»**= 12.

na x ma zadosyć uczynić równą 12. Podstawmy

ona

Widzimy stąd, że jeżeli wartość obu równaniom, wtedy musi być tę wartość w którekolwiek z danych równań, np. w drugie,

wtedy otrzymamy:

czyli : skąd :

24 -f by = 44, by = 20,

V = 4.

210.    Dwa, lub więcej równań, którym mają zadosyć czynić też same wartości na niewiadome, nazywają się i óiuna niami jednoczesnemi. W obecnym rozdziale zajmiemy się równaniami jednoczesnemi, zawierającemi tylko dwie ilości niewiadome, i w których każda niewiadoma wchodzi tylko w stopniu pierwszym, i nadto jedna niewiadoma nie jest mnożoną przez drugą niewiadomą.

211.    Do rozwiązywania tych równań używa się ty

Algebra

kle jednego z trzech sposobów, które zaraz wyłożymy. Wszystkie te trzy sposoby, mają jednę zasadę wspólną — mianowicie: z dwóch równań danych, zawierających dwie niewiadome, wyprowadza się jedno równanie, zawierające tjdko jednę niewiadomą. Grdy tak postępujemy, wtedy mówimy że z tych dwóch równań rugujemy jednę niewiadomą; tę mianowicie, która do ostatecznego, jednego równania nie ivchodzi. To ostateczne równanie, zawierające tylko jednę niewiadomą, może być rozwiązane sposobem podanym w rozdziale XX; i gdy wartość na tę niewiadomą została tym sposobem oznaczoną, wtedy możemy ją podstawić w którekolwiek z równań danych, i oznaczyć w końcu wartość drugiej niewiadomej.

212. Sposób pierwszy¹). Należy pomnożyć każde z danych równań przez liczbę tale wybraną, aby, po pomnożeniu, współczynniki przy jednej z niewiadomych stały się równymi;— wtedy przez dodanie lub odjęcie tychże równań, otrzymamy równanie zawierające tylko jednę nieiviadomą.

Tego właśnie sposobu użyliśmy w artykule 209; jako inny przykład weźmy równania:

8x -j- ly — 100,

\8x — by = 88.

Aby wyrugować y pomnóżmy pierwsze równanie przez 5, t. j. przez współczynnik przy y w drugiem równaniu; drugie zaś równanie przez 7, t. j. przez współczynnik przy y w równaniu pierwszem. Tym sposobem otrzymamy:

■iOx -1- 35y = 500,

84x — 35 y = 616.

Dodając te równania, będzie:

40,r -f 84:x = 500 -f 616, czyli; skąd:

124 x = 1116 x — 9.

Podstawiając tę wartość w którekolwiek z danych równań, naprzykład w drugie, otrzymamy :

108 — 5y = 88,

to jest: skąd :

Przypuśćmy teraz, że dla rozwiązania tych równań chcemy z początku wyrugować z nich x. Jeżeli pomnożymy pierwsze równanie przez 12, a drugie przez 8, otrzymamy :

96x -j- 84y — 1200,

96x — 40?/ == 704.

20 = 5 y, iy = 4.

Odejmując następnie od pierwszego równania drugie mieć będziejmy :

84?/ + 40 y = 1200 — 704 ; 124?/ = 496, y — 4.

czyli : skąd :

mno-

Do tegoż samego wypadku moglibyśmy dojść prościej żąc pierwsze równanie przez 3, a drugie przez 2; wtedy: 24x -j- 21 y = 300,

24x — 10 y = 176.

Po odjęciu:

21 y + 10 y = 300 — 176;

czyli : skąd :

31 y = 124,

V = 4.

213. Drugi sposób (przez podstawienie).

Należy wyrazić jedną niewiadomą z jednego z dwóch równań za pomocą drugie] niewiadome], i tak znalezioną wartość podstawić w drugie równanie.

Tak naprzykład, biorąc też same równania, co w poprzednim artykule, mamy z pierwszego równania :

8x — 100 — 7 y, 100 — 7 y

skąd :

Podstawiając tę wartość na x w równanie drugie otrzymamy:

12 (100 — 7y)

— biy = 88,

czyli :

3 (100 — 7y)

by = 88 ;

znosząc mianownik:

3 (100 — 7y) — 10y = 176; 300 — 2\y — 10 y = 176; 300176 = 21y -f 10.?/; 31 y = 124, y = 4.

czyli : skąd : dalej :

i nakoniec:

Podstawiając następnie też wartość na y w którekolwiek z danych równań, otrzymamy :

.x = 9.

Albo jeszcze możemy tak postępować: z pierwszego równania mamy:

skąd :

7 y — 100 — 8x, 100 — 8x

Podstawiając tę wartość w równanie drugie, otrzymamy:

5 (100 — 8x)

12a? —

= 88;

i dalej : czyli : skąd :

i nakoniec:

8ix — 5 (100 — 8x) = 616; 84a? — 500 -j- 40a? = 616, 124,x = 500 4- 616 = 1116,

x — 9.

214. Trzeci sposób (przez porównanie niewiadomych):

Należy jedną i tęź samą niewiadomą, wyrazie za pomocą drugiej niewiadomej z J:ażdego z danych równań i tak otrzymane wyrażenia uczynić równemi.

Weźmy, jako przykład, też same dwa równania. Z pierwszego równania otrzymujemy:

100 — 7 y ₇

z drugiego zaś:

88 + 5y

12

Więc:

100 — ly

88 -f 5y

12

Znieśmy mianowniki, przez pomnożenie obu stron równania

przez 24, otrzymamy:

3 (100 — ly) =. 2 (88 + 5y),

skąd: i dalej: to jest: i nakoniec:

300 — 21?/ = 176 4- 10y\ 300 — 176 = 21y + 10 y, 31 y — 124;

V = 4.

Następnie, w podobny sposób jak pokazano poprzednio, możemy wyprowadzić, że x = 9.

Albo też można postępować w ten sposób: z pierwszego równania wynajdujemy:

100 — 8x

z drugiego zaś:

12a? — 88

stąd:

100 — 8x

12a? — 88

Z tego równania znajdziemy, że: jak wyżej: y =■ 4.

a?

== 9, a następnie tak samo

215. Rozwiązać równania:

19x — 21 y — 100;

21æ — 19 y = 140.

Równania te mogą być rozwiązane sposobami podanymi wyżej ; lecz umyślnie wybraliśmy je tutaj, aby pokazać, że sposoby te mogą być niekiedy uproszczone.

Dodając te równania, otrzymujemy:

19x — 21 y -j- 21x — 19y — 100 -\- 140,

czyli: skąd

I znowuż, przez odjęcie początkowych równań, mieć będziemy: 2 la; — 19 y — 19a: -f- 21 y =. 140 — 100,

2x -f-2y — 40, x -j- y — 20.

40x — 40 y = 240, x — y = 6.

to jest: skąd:

Ponieważ więc: x — y — 6, i x -\- y — 20, przeto, przez dodanie tych ostatnich równań, będzie:

2x = 26,

a przez odjęcie: skąd:

2 y = 14; x =13, y = 7.

216.    We wszystkich częściach algebry można znaleść szczególne przykłady, które mogą być traktowane sposobami krótszymi, aniżeli sposoby podane przez prawidła ogólne, lecz do tych skróceń uczący się może dojść tylko przez wprawę i długie ćwiczenia; i z tego powodu w samych początkach nauki nie powinien napróżno tracić wriele czasu na ich wynajdywani e.

217.    Rozwiązać równania:

12

go :

= 8;

12

— = 3.

Gdybyśmy znieśli mianowniki w powyższych równaniach, wtedy wystąpiłby w nich iloczyn xy ilości niewiadomych. Równania takie, ściśle biorąc, nie należą do obecnego rozdziału. Lecz mogą one być rozwiązane podanymi sposobami, jak to zobaczymy zaraz. Pomnóżmy bowiem pierwsze równanie przez 3 a drugie przez 2 i dodajmy tak otrzymane równania; znajdziemy:

to

24

36

-H

= 24+6;

czyli:

36

54

= 30,

= 30;

90 = 30#; x = 3.

to jest: skąd:

a następnie:

Podstawmy tę wartość w równanie pierwsze, będzie :

« cc

skąd :

= 8 — 4 = 4,

8 = 4 y,

y — 8.

a następnie: i nakoniec:

218. Rozwiązać równania:

a²x + b²y — c²,

ax + by = c.

Tutaj x i y oznaczają ilości niewiadome, inne zaś głoski czają ilości wiadome.

Pomnóżmy drugie równanie przez b i odejmijmy je stępnie od pierwszego. Otrzymamy :

a²x + bhy — abx — bhy = c² — bc, a (a — b) x = c (c — &);

ozna-

na-

czyli :

c {c — b) a (a — b) ‘

skąd:

Jr}>y = c ;

Podstawmy tę wartość na x w równanie drugie; będzie: ac (e — b) a (a — b)

skąd:    by — c —

e (c—ó)

c(a~b)—c{c—b)    c(a—c)

' a—b ⁵

i nakoniec:

c (c — a)

c (a — c) b (a — b) b (b — a) ’

Albo też wartość na y może być znalezioną w podobn}’ sposób, jak była znalezioną wartość na x !).

b Sposoby rugowania niewiadomych z dwóch równań, podane w tekście i następnie rozwiązanie tychże równań opierają się na następującem twierdzeniu:

Gdy dwa równania mająi też same pierwiastki, wtedy równanie otrzymane przez dodanie lub odjęcie ich, może zastąpić jedno, którekolwiek z danych równań,.

W samej rzeczy: uważmy dwa równania:

A — B]

C = 11-,

zawierające też same niewiadome x i y. Te pary wartości na x i y, które czynią jednocześnie A —11 i C —11, uczynią również i A-t-6Y= = B -t- 11. I odwrotnie: te pary wartości na x i y, które zadosyć czynią równaniu:

A + C = B + 11,

i jednemu z równań A — II. lub C — D, zadosyć muszą czynić i drugiemu równaniu.

Równania dane, mogą być podług tego zastąpione innemi parami równań, dogodniejszemi do rozwiązania. Mianowicie: zamiast pary równań:

A = B i C = Tl,

możemy użyć do rozwiązania takie pary:

A — B i A -+- C =B + 11

219. Oprócz powyżej wyłożonych trzech sposobów i oz wiązy wania rownan z dwiema niewiadomemi, jest jeszcze czwarty sposób, zwany sposobem Bezoufa lub francuskim. Sposób ten polega na wprowadzeniu w równania mnożnika dowolnego, nieoznaczonego, to jest mogącego przyjmować loszelkie wartości, jakie tylko nadać

zechcemy. Pokaże-

mu

my na równaniach, które już wyżej rozwiązaliśmy użycie tegoż sposobu.

Niech więc będą d

ane

równania do rozwiązania:

8x -(- 7y = 100,

12x — by = 88.

Pomnóżmy jedno z tych równań, np. pierwsze, przez ilość dowolną w, to jest taką, jakiej możemy nadawać takie wartości, jakie tylko chcemy. Otrzymamy:

8mx -j- 7my — 100m,

12a? — 5 y — 88.

Dodajmy tak otrzymane równania odpowiedniemi stronami; będzie:

8rnx -j- 12x -j- 7my — 5y = lOOm -j- 88. Wyłączając z pierwszych dwóch wyrazów pierwszej strony a?, a z drugich dwóch wyrazów y, za nawias, otrzymamy: (8m —f— 12) a? —{— (7m — 5) y — 100m -(- 88.

G=JJ i A 4- C—B-+- 1) A == B i A —C= B — 1)

'lub:

lub:

i t. d.

Oczywiście obie strony każdego z równań przed dodaniem lub odjęciem mogą być pomnożone lub podzielone przez jednę i tęż sarnę ilość, skąd możemy otrzymać skombinowane równania przekształcone w taki sposób, jaki w danym przypadku uważać będziemy za najdogodniejsze do rozwiązania. Toż samo daje się zastosować i do większej liczby równań: trzy równania mogą być zastąpione dwoma któremikolwiek z nich i trzeciem, powstałem z dodania lub odjęcia danych równań i t. d.

Równanie to bezwątpienia jest więcej złożone, aniżeli każde z równań danych; lecz ponieważ do niego wchodzi ilość dowolna m, przeto możemy ją tak wybrać, aby po podstawieniu odpowiedniej na nią wartości, jedna z niewiadomych znikła z równania, czyli została wyrugowaną. W tym celu należy tylko na m wybrać taką wartość, aby współczynnik przy tej niewiadomej, którą chcemy wyrugować, stał się równym zero. Przypuśćmy np. że chcemy znaleść wartość na x\ wtedy należy z równania wyrugować y. Podstawmy na m taką wartość aby współczynnik Im — 5 stał się zerem. Jeżeli: 7m — 5 = 0, to

7 m — 5,

a:

O'

P odstawiaj ąc tę wartość na m w powyższe równanie otrzymamy:

100. A+ 88,

(8. °₇ +12)* + (7. °

czyli;

A że:

przeto:

(⁴A + 12), + 0., = f + 88.

o • y - o,

(ę+i2)x = ™+ss.

Znosząc tutaj mianownik, będzie:

(40 -j- 84) x — 500 -j- 616, 124æ = 1116, x — 9.

czyli: skąd:

Chcąc znaleść y, należy w równaniu:

(8m -f- 12) x -j- (7m

5) y = 100m -f- 88,

podstawić zamiast m taką wartość, któraby uczyniła współczynnik przy a; równym zero. Taką wartość znajdziemy, rozwiązując równanie:

8m 12 = 0,

12

CO O l

skąd:

Podstawiając tę wartość w powyższe równanie, będzie:

5 j y = - 150 + 88,

czyli:

= — 62:

albo, znosząc mianownik i wykonywając dodawanie:

— 31y = — 124.

Lecz w tem równaniu możemy znaki w obu stronach zmienić na przeciwne, gdyż to jest równoznaczne z przeniesieniem wyrazu —- 31y z pierwszej strony na drugą, a wyrazu —124 z drugiej strony na pierwszą i zmienieniem następnie porządku stron równania; będzie: 31y =• 124;

skąd:

V = 4.

220. Moglibyśmy jeszcze każde szczególne zadanie rozwiązać za pomocą ogólnych wzorów, pokazujących wartości na niewiadome z dwóch równań takich, w których współczynniki tychże niewiadomych i ilości wiadome są oznaczone głoskami. Równania dwa, z dwiema niewiadomemi mogą być w ogólności przedstawione w tej postaci: ci‘ix +

a₂x -|- ^2y ~

gdzie av a₂, b₁, b₂, hx i k₂ oznaczają pewne dane liczby, różne w każdym szczególnym przypadku. Aby z tych równań zna-leść wartość na x, wyrugujemy z nich y. W tym celu pomnóżmy pierwsze przez b₂, drugie zaś przez ö₁; otrzymamy: axb₂x -j- bxb₂y = kxb2: a₂bxx b₂b^y — h₂bt;

Odjąwszy odpowiednie strony tych dwóch równań wypadnie:

axb₂x — a₂bxx = hxb₂ — k₂bx\ wyłączając na pierwszej stronie x za nawias, będzie:

(axb₂ — a₂b{) x — Jcxb₂ — Jc₂bx\

skąd:

x — ~hr axb₂

Ic,b, — Jc₂b{

a₂bx

Podobnież: rugując z tych równań x, otrzymamy wartość na y, która będzie taką:

ajc₂ — a₂iex ^ a₁b₂ —r a₂bx

I:

Jakkolwiek, na pierwszy rzut oka, te wartości na x i y wydają się dosyć złożonemi, wszakże nietrudno je sobie w każdym przypadku przypomnieć, przyjrzawszy się tylko sposobowi, w jaki są one z współczynników i ilości wiadomych utworzone. W samej rzeczy: zwróćmy uwagę najprzód na to, że obie wartości przedstawiają się w postaci ułamków, mających mianownik wspólny i łatwy do zapamiętania axb₂ — a₂bx, złożony tylko z współczynników przy x i y. Po-wtóre: licznik wartości na x otrzyma się z mianownika wspólnego, przez podstawienie w nim zamiast współczynników ax i a₂ przy x w dwóch danych równaniach, odpowiednio drugich stron tychże równań hx i Jc₂. Podobnież i licznik wartości na y jest w ten sam sposób utworzony z mianownika, to jest przez podstawienie w nim zamiast współczynników przy y w obu równaniach bx i b₂, odpowiednio drugich stron Tcx i Jc₂:

Skoro są znalezione ogólne wzory, wyrażające wartości na niewiadome z dwóch równań ogólnych stopnia pierwszego z dwiema niewiadomemi, wtedy możemy każdy szczególny przypadek tychże równań, rozwiązać przez proste podstawienie odpowiednich wartości w powyższe wzory. Tak np. weźmy przykład już rozwiązywany poprzednio kilkakrotnie. Dane równania są:

8x -j- 7y — 100, 12x — 5 y — 88.

Tutaj: ax = 8; ftj = 7; ^ = 100; a₂ = 12; />₂ = — 5;    == 88.

Podstawiając te wartości w znalezione wyżej wzory, będzie: 100 X — 5 — 88 X 7

.a? =

8X-5-12X7

skąd:

8 X 88 — 12 X 100 8X — 5 — 12 X 7 ;

i:

— 1116

— 40 — 84 ⁼ —124 704 — 1200 -40 — 84 — —124 ’

V — 4.

— 500 — 616

—496

1.

2.

3.

4.

PRZYKŁADY XXIV.

3a? — 4 y = 2,    7a? — 9y = 7.

10a? + 9?/ = 290,    12a? — 11«/ = 130.

3a? — 4 y

4a?--— 11

18,    3a?

2?/ = 0.

2a’ — 3 y

0.

5.

6.

₃    + x = 15,

2a? -)- 3?/

= 10 —

-I- y — 6.

5    “ *

4y — 3a? _    3a?

- + 1.

7.

8.

2 (2a? + %) = 3 (2# — %) H" 10,

4a? — 3?/ = 4 (6î/ — 2a?) H- 3.

3a; + 9 y = 2,4.    0,21a? — 0,0 6y =

0,03.

9.

18

CM

16.

a?

10.

a? — 4î/ = 7

a?

3y

r—I ! *■*)

tH i O

4a? — 5 y

by

11.

a? -j- 1

a?

CD I

12. * + |

a ¹ b

+ y

bx — ay — 0.

13.

y =o.

h C' b

14. a(x -)- y) -j- b(x — y) — 1, ci(x — y) -f b(x -j- î/)

15.

13

4a: — 5 ?/ -j- 6

19

16.

17.

6x — ày -j- 4    3.r —j— 2«/ —)— 1

₇    . a² -j- Ć²

^ + 2

5 + y —¹

« — y H-1

ax

b) x — (a + &) y-y .— s? —1    ₇

» - rli = a,h

XXV.

Równania jednoczesne stopnia pierwszego, zawierające więcej niż dwie^niewiadome.

221.    Gdy są dane trzy równania, zawierające trzy niewiadome, wtedy ż dwóch tych równań możemy wyprowadzić jedno, zawierające tylko dwie niewiadome, za pomocą sposobów, podanych w poprzednim rozdziale. Następnie z trzeciego z danych równań i jednego z dwóch pierwszych, możemy otrzymać nowe równanie, zawierające tylko dwie też same niewiadome. Tym sposobem mieć będziemy dwa równania zawierające dwie niewiadome, których wartości mogą być oznaczone sposobami podanymi w poprzednim rozdziale. Podstawiając tak znalezione wartości w jedno z danych równań, znajdziemy wartość i trzeciej niewiadomej.

222.    Rozwiązać równania:

2z = 16    .    .    .    .    (1)

7x -(- 3y

2a? -j- 5y -j- 3z ' =

• • (2)

co co

• • (3)

5a? y —J— 5^ =

Aby można było łatwo wskazywać te równania, o których mowa, oznaczamy je liczbami (1), (2), (3); i równania w dalszym ciągu otrzymywane oznaczać będziemy w podobny sposób.

Pomnóżmy (1) równanie przez 3, (2) przez 2; otrzy

mamy :

21a? -(- 9y — 6z — 48, 4a? -j- 10y 6z = 78;

dodając te równania, będzie:

2t>x -f 19y = 126    ...    . (4).

Pomnóżmy następnie (1) przez 5, i (3) przez 2, będzie: 35a? -j- 15y — lOz = 80,

10x — 2y -f- 10z — 62 ;

przez dodanie zaś:

45a? -j- 13y    - 142 .... (5).

Należy nam teraz znaleść wartości x i y z równań (4) i (5). Pomnóżmy (4) przez 9, a (5) przez 5; będzie:

22hx + 171 y = 1134,

225a? + 65 y =    710;

odejmując te dwa równania, otrzymamy:

106y - 424;

skąd:

V = 4.

25x -j- 76 = 126; 2ox = 126 — 76 = 50 x = 2.

Podstawmy znalezioną wartość na y w równanie (4); mieć będziemy:

skąd:

a następnie:

Podstawiając nakoniec wartości na a? i na y w równanie (1), będzie:

14 -f- 12 —- 2z = 16,

skąd:

10 = 2z, 0 = 5.

i następnie:

223. Rozwiązać:

(1)

& O'

rf-

. . (2)

14

(3)

Pomnóżmy równanie (1) przez 2, i dodajmy wypadek otrzymany do równania (2); — znajdziemy:

czyli:

« LO

«SS tfi-

= 2 + 24

's* co

26

(4)

Pomnóżmy równanie (1) przez 3 i dodajmy otrzymany iloczyn do równania (3); będzie:

czyli :

co «

H ! -a

îxi | CO

= 3 + 14,

r—

£•

Pomnóżmy (5) przez 4 i dodajmy otrzymane równanie do równania (4); — będzie:

= 68 + 26 ;

czyli ;

47

skąd :

= 94;

x

47 = 94:x,

i nakoniec:

47

tOj h-¹-

skąd:

x — a.

Podstawiając tak znalezioną wartość na x w równanie (5),

---=17

będzie:

skąd :

= 20 — 17 = 3,

2/ = g-.

a samo:

Podstawmy nareszcie te wartości na a: i y w równanie (1);— otrzymamy:

2+3 —

czyli:

skąd:

CO

224. Rozwiązać równania:

. • (1),

• • (2)

.a:

--b

• • (3).

Odejmijmy równanie (1) od (2); — będzie:

h-

ÎN1 i O

= 5—3

Ci : *x>

czyli:

Odejmując (4) od (3), otrzymamy:

= 2;

— = 2 . . .    (4).

2a:

czyli:    — = 1;

a

Dodając równanie (4) do równania (3), otrzymamy.

skąd:

z — 3 c.

a następnie:

Przez podstawienie wartości na a? w równanie (1) znajdziemy nakoniec: y = 2ó.

225.    W pędobny sposób możemy postępować, jeżeli liczba równań i ilości niewiadomych jest większą od trzech.

226.    Gdybyśmy chcieli rozwiązać trzy równania z trzema niewiadomemi sposobem Bezoufa (§ 219) wtedy należałoby wprowadzić do danych równań dwa mnożniki nieoznaczone. Następujący przykład najlepiej objaśni sposób postępowania:

Przypuśćmy, że chcemy rozwiązać równania: bx -j- 2y -j- 3z = 28.

8# — 3y -|- 2z ~ 15,

6x — y — 2z — 1.

W tym celu pomnóżmy pierwsze z nich przez czynnik nieoznaczony m, — drugie przez drugi czynnik nieoznaczony n, a trzecie zostawmy bez zmiany. Będzie:

bmx -}- 2my -}- 3mz = 28m,

8nx — Sny -j- 2nz — 15w,

• 6x — y — 2 z = 1.

Dodajmy teraz te trzy równania, wyłączając jednocześnie x, y i z za, nawiasy z tych wyrazów, do których one wchodzą jako wspólne czynniki. Otrzymamy równanie:

(bm -j- 8n -f- 6) x + (2m — Sn — 1) «/ —{—

+ (3w+2» —2)^ = 28w + 15»+l. . . (1) Do równania tego wchodzą oprócz wszystkich trzech niewiadomych, jeszcze dwie ilości dowolne m, n. Ponieważ te ostatnie mogą przyjmować wszystkie wartości, jakie tylko uważamy za stosowne im nadać, przeto możemy w ich miejsce podstawić takie wartości, przy których dwa współczynniki przy dwóch niewiadomych w równaniu (1) stałyby się zerami.

Podstawiając więc zamiast m i n stosownie dobrane wartości w równanie (1), otrzymamy z tegoż równania, równanie zawierające tylko jednę niewiadomą, z którego taż niewiadoma może być następnie oznaczoną. I tak przypuśćmy, że chcemy najprzód znaleść wartość na x. Wtedy zawiń podstawiamy w równaniu (1) takie wartości, przy# których współczynniki przy y i z stałyby się zerami, to jest przy których byłoby:

2 m — 3 n — 1 = 0,

3m -J- 2n — 2 = 0.

Te wartości otrzymują się przez rozwiązanie równań:

2    m — Sn = 1,

3    m -f- 2 n = 2.

Mnożąc pierwsze z nich przez 2 a drugie przez 3, wypada:

4    m — Qn — 2,

9m -[- 6n = 6;

dodając je, otrzymamy:

13 m = 8

13

skąd:

Podobnie znajdziemy, że:

13‘

n —

Podstawiając te wartości na m i na n w równanie (1) znajdziemy:

(iü+â+⁶)x

= 28 X jg -|-15 X jg -f- 1,

²²⁴-+i⁶ + i-

13 ' 13 '

czyli:

Znosząc tutaj mianownik 13 będzie:

(40 4- 8 -f 78) X = 224 -j- 15 + 13,

czyli:

126a? = 252;

252

126

skąd nakoniec

Chcąc znaleść wartość na y, należy zamiast m i n podstawić w równanie (1) takie wartości, przy których byłoby:

5m -|- 8n -[-6 = 0.

3m -j- 2n — 2=0.

Postępując podobnie jak to było pokazane przy wynajdywaniu wartości na x, znajdziemy, że:

y = 3-

Nakoniec na 0 znajdziemy wartość następną:

0 = 4.

Gdyby było danych do rozwiązania cztery równania z czterema niewiadomemi, wtedy należałoby wprowadzić do tychże równań trzy ilości dowolne; i t. d.

PRZYKŁADY XXV.

~6’

'V

1. x 3y -J- 2b = 11, 2x -(- y -j- 30 = 14, 3x -j- 2y 4- z = 11.

3. 3x — y -}- z = 17, öx -|- 3y — 2z — 10, 7x -J- ày — bz = 3. 5.    1    1 _ 1

“ 6"’

¹ =3i.

2. ox — 6y -f 40 = 15 7x -f- 4î/ — 3z = 19 —(— ?/ —j— 6^ = 46.

4. 3? —j— y —j— z = o,

3a; —    -j- 70 = 75,

9a? — II0 + 10= 0.

6. y -j- 0 = a x) z x — b x -\- y — c

¹

Sposób ten nazywają niekiedy „angielskim“.

./■

e-b

9 Równania te i podobne do nich najprościej rozwiązują się^ przez dodanie ich wszystkich, podzielenie sumy przez współczynnik wspólny przy wszystkich niewiadomych i następnie odjęcie kolejne

9.

!/

_ C>

Ci

= 3,

= 0.

co

CS j«sî psś

1,

10.

v Ą- x y -\- z = 2v -\- x = 2y z 3 v — x -f- 2 y -[- 2

v 4-    4-^4-

3 '    '5 ⁺

14

2;

19.

roi

4.

IL x -f- y = 16. y + e- = 28,

£ -(- x = 22.

12.

H--1 — ^ “h c-

a — b

ÎNJ

Cb

Ci>

każdego z danych równań od równania otrzymanego z poprzednich działań. W uważanych równaniach np. będzie z dodania ich:

2x -f- 2y + 2z — a 4* ^ + c, a 4- b 4- c

następnie:

Odejmuąc pierwsze równanie: od powyższego, otrzymamy:

-a —

i t. d.

13.    xy-\-yz + zy = 9 xyz, x)

y z    2 zx — 3 xy = — 4 xyz,

3yz — 2zx -J- xy — 4xyz.

14.    x —j— y —j— z = 3a —|— b —|— c,

x —j— y —J- t ⁼ — ci —1_ 3b -j— c, x — z — t = a -\-b — c, y -\- z — t = 3a — b — c.

XXVI.

Zagadnienia, prowadzące do równań jednoczesnych stopnia pierwszego, zawierających więcej niż jednę niewiadomą.

*227. Rozwiążemy teraz kilka zagadnień, prowadzących do równań jednoczesnych stopnia pierwszego, o więcej niż jednej niewiadomej.

CO

gdy licz

Znaleśó ułamek, który staje się równym

gdy mianow

nik zostanie powiększonym o 2, a równym

nik zostanie powiększonym o 4.

Mech x oznacza licznik, a y mianownik szukanego ułamka; wtedy z założenia mamy:

#    2    2 x

y s ’ ?/ + 4

Znosząc mianowniki, będzie:

3x — 2 y = — 6    .    .

lx — 4y = 16 . . .

Należy najprzód każde z tych równań podzielić przez

xyz i t. d.

czyli:

Mnożąc (1) przez 2 i odejmując następnie od (2), otrzymamy: 7x — 4:ij — 6x —f— 4z/ =; 16 —|— 12, x = 28.

Podstawiając wartość na x w (1) znajdziemy:

84 — 2y = — 6,

skąd:

i nakoniec:

2 y = 90, y = 45.

ü«. CC'

Szukany zatem ułamek jest:

228. Pewna suma pieniędzy była podzielona równo pomiędzy pewną liczbę osób; gdyby osób było o sześć więcej, wtedy każda otrzymałaby o dwa ruble mniej rzeczywiście dostała;

mniej, wtedy każda otrzymałaby o dwa ruble więcej. Znaleść ile było osób i ile każda otrzymała?

Niech x oznacza liczbę osób, a y liczbę rubli, jaką każda otrzymała. Wtedy xy będzie liczbą rubli, która została podzieloną. Z warunków zadania wypada, że:

+ )( — ) — w    • • •    )»

— )( + ) — xy ...    )•

aniżeli teraz

gdyby znowuż osób było o trzy

co co

CO to

tH

To

Z równania (1) otrzymujemy:

skąd:

xy + §y — 2x — 12 — xy 6y — 2as = 12 .    .    .

• • (3).

Z równania (2) będzie:

zatem:

xy + 2x — 3y — 6 = xy\ 2x — 3y = 6 .    .    .

Z równań (3) i (4) otrzymamy przez dodanie:

3// =18,

U = ⁶-

skąd:

Podstawiając wartość na 1/ w (4), będzie:

‘Ix — 18 = 6,

przeto: i nakoniec:

2x — 24 x = 12.

Więc było 12 osób i każda dostała po 6 rubli.

229. Pewna liczba dwucyfrowa jest równa pięć razy wziętej sumie jej cyfr; dodając do tej liczby 9 otrzymamy nową liczbę dwucyfrową, złożoną z tych samych cyfr, ale napisanych w odwrotnym porządku. Znaleść tę liczbę.

Niech x oznacza cyfrę, stojącą na miejscu dziesiątków, a y cyfrę, stojącą na miejscu jedności. Wtedy sama liczba będzie 10x -j- y\ i podług założenia jest ona pięć razy większą od sumy jej cyfr, przeto:

lCte -|- y — 5(x -f-y) ... (1). Jeżeli, dalej, do tejże liczby dodamy 9, wtedy otrzymamy liczbę, złożoną z tychże samych cyfr, ale napisanych w odwrotnym porządku, to jest 10y -j- x, więc:

10x -j- 2/ —{— 9 = 10y -j- x .    .    . (2).

Z równania (1) znajdujemy:

5x = 4 y    .

• • (3),

z równania zaś (2) otrzymamy:

9x -j- 9 = 9 y, x -j— 1 = y-

czyli:

Podstawiając to znaczenie na y w równanie (3), znajdziemy:

ox = 4x —j— 4, x — 4.

skąd:

Z równania zaś (3) otrzymamy:

y = 5.

Szukana zatem liczba jest 45.

230. Pociąg kolei żelaznej, po godzinnej podróży, został w drodze wskutek wypadku, zatrzymany przez 24 mi-

nuty, poczem wyruszywszy z prędkością o

większą od

poprzedniej, przybył na miejsce przeznaczenia o 15 minut za późno. Gdyby wypadek zdarzył się o 5 wiorst dalej, wtedy pociąg opóźniłby się jeszcze o 2 minuty więcej. Znaleść po-

czątkową prędkość pociągu i odległość, jaką pociąg przejechał.

Oznaczmy przez bx liczbę wiorst, jaką pociąg początkowo przejeżdżał na godzinę, a przez y oznaczmy liczbę wiorst, zawartą w całej odległości, jaką całkowicie przebył. Wtedy y—bx oznaczać będzie tę odległość w wiorstach, jaką pociąg jeszcze ma przejechać po zatrzymaniu. Tę odległość pociąg — bx

y

przebyłby w

bx

godzin, jadąc z prędkością początkową;

—bx

y

z prędkością zaś powiększoną, pociąg przebędzie ją w ' ^

godzin. Ponieważ pociąg stał przez minut 24, a spóźnił się tylko o 15 minut, przeto pozostała część drogi została przebytą w czasie o 9 minut krótszym od tego, w jakim byłaby przebytą, gdyby pociąg prędkości nie powńększył. A że 9 mi-

godziny, przeto :

y — bx

nut stanowi

to

60

y — bx

Qx

bx

• (1)

Gdyby wypadek zaszedł o 5 wiorst dalej, wtedy pociąg miałby do przebycia jeszcze y — bx — 5 wiorst. Wtedy mielibyśmy :

y — bx — 5

y — bx — 5

Qx

bx

60* *

• (2)

Odejmijmy równanie (2) od (1); będzie:

Qx

bx

60

50 = 60 — 2x]

skąd:

a następnie:

Podstawiając tę wartość my, przez rozwiązanie tegoż równania:

= 10, i samo x = 5.

na

x w równanie (1) znajdzie-

T—i Ol

231. Trzy osoby A, B i C mogą razem wykonać pewną robotę w 30 dniach; A i B wykonaliby razem tęż robotę w 32 dniach, zaś B i C wykonaliby ją razem pracując, w 120 dniach. Znaleść w jakim czasie mogłaby wykonać tęż sarnę robotę każda z tych osób, pracując oddzielnie?

Oznaczmy głoską x liczbę dni, przez którą sama osoba A wykonałaby tę robotę, głoską y liczbę dni, przez którą wykonałaby ją osoba B, i głoską 0, liczbę dni, przez którą sama osoba C mogłaby ją wykonać.

Wtedy będzie:

— + H------

X '    ■    ¹    0

rH ■

30

. .. (1)

32

120 '

. . (2)

. . (3)

Odejmując równanie (2) od równania (1), otrzymamy:

30

32

oc 1—¹

Odejmując dalej równanie (3) od (1), otrzymamy:

40 '

30

120

Przeto x = 40, a 0 = 480; przez podstawienie zaś tych wartości w którekolwiek z danych równań, znajdziemy, że y - 160.

232. Należy tu zwrócić uwagę, że dane zadanie może być często rozwiązane rozmaitymi sposobami, z użyciem większej lub mniejszej liczby głosek, służących do przedstawienia ilości niewiadomych. Aby to objaśnić przykładem, weźmy bardzo proste zagadnienie: Znaleść takie dwie liczby, aby ich suma była równą 100, i aby jedna z nich stanowiła dwie trzecie części drugiej.

Aby je rozwiązać możemy tak rozumować: Niech x oznacza większą a y mniejszą liczbę; wtedy mieć będziemy:

2x

ß ? x U — 100.

Albo też możemy postępować w taki sposób: Jeżeli przez x oznaczymy większą liczbę, wtedy 100 — x oznaczać będzie mniejszą; zatem:

2x

100 — x -----

Albo wreszcie możemy rozumować i w ten. sposób: Oznaczamy przez 3x liczbę większą; wtedy 2x oznaczać będzie liczbę mniejszą, i równanie do rozwiązania będzie:

3x -|- 2x — 100.

Rozwiązując w zupełności zadanie którymkolwiek z tych sposobów, znajdziemy, że szukane liczby są 60 i 40.

Z tego powodu czytelnik będzie prawdopodobnie w stanie rozwbązać niektóre z zadań, podanych na końcu tego rozdziału, używając tylko jednej głoski do oznaczenia ilości niewiadomej; jak również z drugiej strony, może mu się wydać naturalniejszem, użycie do rozwiązania niektórych zadań rozdziału XXIII dwóch głosek, zamiast jednej. Jako ogólne prawidło można powiedzieć, że użycie większej liczby niewiadomych, czyni rachunki dłuższymi, lecz za to ułatwia ułożenie równań i daje możność łatwiejszego śledzenia biegu roboty. Z tego to właśnie powodu jest dla początkujących ko-rzystniejszem i odpowiedniejszem.

roz

Dla uczącego się zalecamy, jako dobre ćwiczenie,

wiązanie zagadnienia § 207 za do oznaczenia czterech niewiadomych, tam wchodzących.

pomocą użycia czterech głosek

PRZYKŁADY XXVI.

1. Znaleść dwie liczby, mające takie własności: połowa

pierwszej liczby dodana do trzeciej części drugiej liczby

sta-

nowi sumę równą 32; i nadto: czwarta część pierwszej liczby dodana do piątej części drugiej stanowi 18.

2.    Kij od wędki składa się z dwóch części: stosunek długości górnej części do długości dolnej części jest równy stosunkowi 5 : 7; 9 razy zaś wzięta górna część, wraz z 13 razy wziętą dolną częścią, przewyższa 11 razy wziętą długość całego kija o 36 cali. Znaleść długość obu części kija?

3.    Dwaj chłopcy mieli po pewnej liczbie orzechów. Jeden z nich rzekł do drugiego: daj mi 5 twoich orzechów, to mieć będę trzy razy tyle co ty. Nie, odpowiedział drugi, daj mi ty raczej 2 orzechy, to mieć będę pięć razy więcej, niż ty. Ile miał każdy? Toż samo zadanie wyrazić i rozwiązać w sposób ogólny.

4.    Pewna liczba słupów jest ustawiona na linii prostej? w równych od siebie odległościach. Jeżeli do podwojonej liczby słupów dodamy odległość dwóch po sobie następujących słupów, wyrażoną w stopach, otrzymamy na sumę 68. Jeżeli od czter}^ razy wziętej odległości pomiędzy dwoma po sobie następującymi słupami odejmiemy połowę liczby słupów, otrzymamy na resztę 68. Znaleść odległość pomiędzy skrajnymi słupami.

5.    Podłoga prostokątna jest takich wymiarów, że gdyby jej szerokość powiększyć o dwie stopy a długość o trzy stopy, wtedy powierzchnia całej podłogi powiększyłaby się o 64 stopy kwadratowe; gdyby zaś szerokość jej powiększyła się o trzy stopy a długość o dwie, wtedy jej powierzchnia powiększyłaby się o 68 stóp kwadratowych. Znaleść długość i szerokość podłogi?

6.    Dwie liczby dodane do siebie dają na sumę s, podzielone przez siebie — dają na iloraz g i na resztę r. Znaleść te liczby.

7. Kapitał, oddany na pewien procent, zamienił się po upływie 8 lat wraz z procentem na sumę 6486 rb. Tenże sam

kapitał, gdyby był oddany na procent, przy stopie procentu o 1 większej, zamieniłby się po upływie lat 5 rb. Znaleść kapitał i stopę procentu?

sumę 6051 ^

na

8.    A i B są to dwa miasta, leżące nad brzegiem tej samej rzeki, w odległości 24 wiorst od siebie. Podróżny, który wyruszył z A, przebył odległość do B w 7 godzin, płynąc połowę drogi łódką w górę rzeki, i drugą połowę idąc pieszo. Z powrotem najprzód przeszedł pierwszą połowę drogi pieszo z prędkością, wynoszącą tylko trzy czwarte tej prędkości, z jaką szedł poprzednio ku B, a drugą połowę przepłynął łódką w dół rzeki z prędkością dwa razy większą od prędkości, z jaką płynął w górę rzeki, i tym sposobem przebył całą odległość w 6 godzin. Znaleść z jaką prędkością płynął i szedł początkowo od A do B.

9.    Dwa pociągi kolei żelaznej, jeden długi na 32 metry, drugi zaś na 28 metrów, jadą po dwóch torach równoległych. Jeżeli jadą w przeciwne strony, wtedy potrzebują 11 sekundy na to, aby się minąć; jeżeli zaś jadą w tym samym kierunku, wtedy prędszy potrzebuje 6 sekund na to, aby wyminąć wolniejszy. Znaleść z jakiemi prędkościami te pociągi jadą.

10.    Ma ktoś dwa gatunki srebra: jeżeli zmiesza 10 kilogramów pierwszego gatunku z 5 kilogramami drugiego,

wtedy otrzyma srebro próby 687 \ ¹) jeżeli zaś zmiesza 7^

kilogramów pierwszego gatunku z 1^ kilogramem drugiego

gatunku, wtedy otrzyma srebro 625 próby. Jakiej próby są te dwa gatunki srebra?

11.    Trzy miasta A, B i C leżą w trzech wierzchołkach trójkąta. Z miasta A do miasta C przez miasto B jest 82

:) Próba tak wyrażona odnosi się do układu metrycznego' miar i oznacza, że w 1 kilogramie, czyli 1000 gramach aliażu znajduje się 6877₂ gramów czystego srebra.

wiorsty; — z B do A przez C — 97 wiorst, i z miasta C do B przez A — 89 wiorst. Znaleść odległości od siebie tych trzech miast?

12.    Czterej gracze A, B, C i D grali z sobą cztery par-tye wista. Po pierwszej partyi wygrali A, B i C — każdy po tyle ile miał przy sobie; po drugiej partyi wygrali A, Bil) znowuż tyle, ile każdy z nich teraz miał przy sobie. Tak samo po trzeciej partyi wygrali A, Cil); a po czwartej B, Cii). Okazało się, że po tern wszystkiem każdy z nich miał po 6 rb. 40 kop. Ileż każdy z nich miał, siadając do gry?

13.    Trzy osoby A, B i C mogą wypić beczkę piwa w 15 dni; A i B razem wypijają cztery trzecie tego, co wypija C; Osoba C zaś wypija dwa razy tyle co A. Znaleść w jakim przeciągu czasu każda osoba sama mogłaby wypić beczkę piwa?

14.    Dwa ciała znajdują się w odległości d metrów. Jeżeli poruszać się będą ruchem jednostajnym hu sobie, wtedy spotkają się po m sekundach. Jeżeli zaś poruszać się będą z temiż samemi prędkościami jedno za drugiem (w jednę stronę), wtedy spotkają się po n sekundach. Znaleść prędkości, z jakiemi się poruszają?

gdy-

15.    Znaleść ułamek, który stałby się równym ^ byśmy jego licznik powiększyli o jedność, i który stałby się

równym — gdybyśmy podobnie postąpili z mianownikiem.

4

16.    Dług 1230 rb. został zapłacony papierkami 25 rub-lowemi i 10 rublowemi; pierwszych było o 17 więcej niż drugich. Ileż było papierków 25, a ile 10 rublowych?

17.    Dwóch kupców miało razem 10000 rb.; kapitał jednego i drugiego procentuje się jednakowo (to jest zysk obu od sta na rok, jest jednakowy). Pierwszy z nich po upływie trzech lat ma kapitału wraz z procentem 9900 rb.; drugi zaś już po upływde dwóch lat ma kapitału wraz z procentem

9900 rb. Pytanie: Jakiż był początkowy kapitał każdego z tycb knpców?

18.    W liczbie dwucyfrowej cyfra, stojąca na miejscu dziesiątków jest o 2 większą od cyfry, stojącej na miejscu jedności; jeżeli zaś cyfry odwrócimy, wtedy nowa liczba będzie w takim stosunku do liczby danej, w jakim jest 7 do 4. Zna-leść tę liczbę.

19.    Człowiek, który idąc zwykłym krokiem, przechodzi na godzinę 3 ^ wiorsty, wyszedł na przechadzkę; i, uszedłszy pewną odległość, przypomniał sobie, że miał załatwić w domu pilny interes. Wraca więc, biegnąc z początku z prędkością 7 wiorst na godzinę, a następnie pozostałą część drogi przechodzi zwykłym swoim krokiem w ciągu pięciu minut. Pokazało się, że od chwili jego wyjścia z domu aż do powrotu upłynęło 25 minut. Pytanie: ileż wiorst on przebiegł.

20. Zbiornik zawierający 1200 garncy zostaje napełniony wodą, wpływającą do niego trzema rurami razem J, B i C w ciągu 24 minut. Rura A potrzebowałaby sama o 30 minut więcej do napełnienia zbiornika, aniżeli rura (7; a przez rurę C wpływa o 10 garncy mniej na minutę, aniżeli w tym samym czasie przez rury A i B razem. Znaleść, w jakim czasie woda mogłaby napełnić zbiornik przez każdą rurę oddzielnie.

21.    Suma cyfr stanowiących pewną liczbę trzycyfrową równa się 9. Cyfra, stojąca na pierwszem miejscu z lewej strony równa się ósmej części liczby, powstałej z dwóch pozostałych cyfr; cyfra zaś stojąca na pierwszem miejscu z prawej strony, równa się także ósmej części liczby, powstałej z dwóch pozostałych cyfr. Znaleść tę liczbę.

22.    Dwaj cykliści jadą z prędkością jednostajną po to-rze okrągłym, którego długość wynosi 500 metrów; jeden

z nich mija drugiego co 5 minut. Następnie jeden cyklista zaczyna jeździć w kierunku przeciwnym, nie zmieniając szybkości, i spotyka się z drugim co 24 sekundy. Jakie są prędkości obu cyklistów, wyrażone w kilometrach na godzinę?

23.    Pewna suma pieniędzy została rozdzieloną pomiędzy osoby A, B i C wr ten sposób, że dział osoby A przewyższał cztery siódme części sumy działów osób B i G o 30 rb.; dział osoby B przewyższał trzy ósme części sumy działów osób C i A także o 30 rb., i nakoniec dział osoby C przewyższał dwie dziewiąte części sumy działów osób Ai B również o 30 rb. Znaleść ile każda z tych osób dostała?

24.    A i B pracując razem mogą zarobić 40 rb. w ciągu dni 6; A i C pracując razem przez dni 9, zarabiają 54 rb.; i nakoniec B i C mogą razem zarobić 80 rb. w 15 dni. Znaleść ile każda z tych osób zarabia dziennie.

25.    Ai B mogą wykonać pewną robotę, pracując razem, w ciągu dni 48; A i C toż samo mogą wykonać w 30 dni;

W ileż dni mogłaby wykonać tęż

B zaś i 6' w 26p dnia.

O

samą pracę każda z tych osób pracując sama?

26.    Pewna liczba trzycyfrowa ma następujące własności: 1-sze jest ona równą 48 razy wziętej sumie cyfr; 2-re jeżeli od niej odejmiemy 198, wtedy otrzymamy liczbę, złożoną z tychże samych cyfr, lecz w odwrotnym porządku; 3-cie suma skrajnych cyfr jest równą podwojonej cyfrze średniej. Znaleść tę liczbę.

27.    Jubiler stopił dwie sztaby srebra, ważące razem 60 kilogramów, i otrzymał srebro 812^ próby. Znaleść ile

ważyła każda z tych sztab, jeżeli wiemy, że w pierwszej na na każde 9 części srebra była 1 część miedzi, a w drugiej na każde 3 części srebra była 1 część miedzi?

XXVII.

Nierówności stopnia pierwszego.

233. Liczbą a nazywamy większą aniżeli b, jeżeli różnica a — b jest dodatnia, zaś mniejszą od b, jeżeli ta różnica jest ujemna.

Pierwszy z tych przypadków wyrażamy za pomocą

wzoru:

a > b.

drugi za pomocą wzoru:

a < b.

Będzie więc 8 > 5, ponieważ 8 — 5 = 3 jest dodatnie; podobnie 3 < 4, gdyż 3 — 4 = — 1 jest ujemne.

Określenie to jest zgodne z tern, co wiemy z arytmetyki o liczbach dodatnich, ale pozwala nam ono także oznaczyć, która z dwóch liczb ujemnych jest większa, która mniejsza. Będzie np.:

- 3 > - 5,

ponieważ różnica — 3 — (— 5) = — 3 —)— 5 = 2 jest dodatnia. Podobnie znajdziemy: 2 > — 3, — 5 < 0 i t. d.

Z powyższego widać, że jeżeli a > b, to b < a, bo jeżeli różnica a — b jest dodatnia, to b — a musi być ujemne.

Wszystkie liczby dodatnie są większe od liczb ujemnych; 0 jest mniejsze od każdej liczby dodatniej, ale większe od każdej liczby ujemnej.

Nazwijmy wartością bezwzględną danej liczby, dodatniej czy ujemnej, liczbę, jaką otrzymamy, opuszczając znak w liczbie danej; tak np. 7 będzie wartością bezwzględną zarówno dla -|- 7 jak i — 7. Otrzymamy wtedy następującą zasadę:

Jeżeli a i b są liczbami ujemnemi, to a > b wtedy i tylko wtedy, jeżeli wartość bezwzględna liczby a jest mniejsza, aniżeli wartość bezwzględna liczby b.

W samej rzeczy, niech będą a' i b' wartości bezwzględne liczb a i 5, t. j.:

a = — aj b — — b'.

Jeżeli a > b, to a — b > 0, czyli:

— a' — (— b') > 0, — a' 4- V > 0 b' — a' > 0,

a zatem a¹ < b'\ w podobny sposób można dowieść, że jeżeli a' < ó', to a > Ö.

234. Określenie podane w § 233 można objaśnić za pomocą następującego rysunku:

-V

0 BA

Ii

Na linii prostej obierzmy dowolnie punkt 0 i kierunek dodatni przyjmijmy od strony lewej ku prawej. Uczyńmy 0A — a i OjB — b\' jeżeli a > b, to punkt A będzie z prawej strony punktu i?, jakiekolwiek znaki będą miały liczby a i b. Rysunek załączony przedstawia wszystkie trzy możliwe wy-padki: obie liczby dodatnie; jedna dodatnia, druga ujemna; obie ujemne.

Można to wyrazić w następujący sposób:

Jeżeli punkt A porusza się wzdłuż linii prostej w kierunku dodatnim., to odległość jego od nieruchomego punktu 0 stale wzrasta.

235. Wzór, wyrażający, że jedna liczba jest większa lub mniejsza od drugiej, nazywamy nierównością. O nierównościach takich jak:

mówimy, że mają zwroty przechcne. Widzimy, że można przestawić obie strony nierówności, zmieniając jednocześnie ich zwrot.

Nierówność a > b oznacza, że różnica a — b jest dodatnia, co można jeszcze i tak napisać:

a — b > 0.

Oznaczywszy przez c jakąkolwiek liczbę, dostaniemy.

a c — (I) —|— c) — a — b.

Jeżeli a — b jest dodatnie, to i a -\- c — (J) -j- c) jest dodatnie, to znaczy: jeżeli

a > b,

to będzie także:

i tak samo znaleźlibyśmy:

a — c > b — c.

Podobnie z nierówności

wypadnie:

a + c < b + c a — c < b — c.

pomocą następującego twierdzenia:

Wyrazimy to za

Zwrot nierówności nie zmieni się, jeżeli do obu stron do

damy lub od obu stron odejmiemy ilości równe.

Naprzykład z nierówności

3 > —7

wypada:

czyli:

8 > —2 — 2 > — 12

Zwrot nierówności nie zmieni się, jeżeli obie strony pomnożymy lub podzielimy przez jedną i tę sarnę liczbę dodatnią; zwrot się zmieni, jeżeli obie strony pomnożymy Inb podzielimy przez jednę i tę sarnę liczbę ujemną.

Naprzykład, mnożąc obie strony nierówności 2 <4

przez 3, otrzymamy:

6 < 12,

a dzieląc je przez 8:

rf- i-¹-

to l—¹

Te nierówności mają ten sam zwrot, co i nierówność dana. Gdybyśmy jednak pomnożyli obie strony przez — 2, dostalibyśmy:

- 4 > - 8,

a dzieląc przez — 2:

- 1 > - 2,

a więc nierówności, mające zwrot przeciwny zwrotowi danej nierówności.

Ażeby dowieść tego twierdzenia, wystarcza zauważyć, że iloczyn pewnej liczby przez liczbę dodatnią ma ten sam znak co mnożna, a przez liczbę ujemną — znak przeciwny znakowi mnożnej; jeżeli więc

a > 6, a — b> 0,

czyli:

i jeżeli c jest dodatnie, będzie także;

to jest:

(a — b)c>0, ac — bc > 0, ac > bc\ jeżeli zaś c jest ujemne, będzie:

{a — b) c < 0 ac — bc < 0 ac < bc.

W razie dzielenia twierdzenie dowodzi się w takiż sam

sposób.

236. Nierównością stopnia pierwszego nazywa się nierówność, w której oprócz wyrazów wiadomych występuje niewiadoma w potędze pierwszej. Naprzykład nierówność:

¹    i 1 ¹

2    '    ' r,

jest nierównością stopnia pierwszego względem x. Rozwiązać nierówność znaczy znaleść, jakie wartości dla niewiadomej x czynią jej zadość. Wykonywa się to w-sposób zupełnie podobny rozwiązywaniu równań, należy tylko pamiętać o zmianie zwrotu przy mnożeniu albo dzieleniu stron nierówności przez liczbę ujemną.

Ażeby więc rozwiązać powyższą nierówność, znosimy w niej mianowniki, mnożąc obie strony przez 10:

10 — Re > 5x -f 12;

przenosimy wyraz niewiadomy na lewą, a wiadomy na prawą stronę:

— S)x > 2

i dzielimy przez — 9, zmieniając jednocześnie zwrot:

CD I C

Znaleźliśmy wiec, że nierówność dana ma miejsce przy każdym x mniej szem od —

PRZYKŁADY XXVII.

2. -\x — 8 > Sx — 3.

1. 3x — 3 > hx — 5.

%-x — 3 > 2x -J-3

5. Mam w dzbanku pewną ilość wina. Gdybym trzecią część tego wina zmieszał z 2 kwartami wody, to dostałbym

3.

co

4.

■więcej, aniżeli mieszając połowę wina z 1 kwartą wody. Przy jakiej ilości wina jest to możliwe?

XXVIII.

Podnoszenie do potęg, a w szczególności podnoszenie do kwadratu i sześcianu.

237.    Określiliśmy już wyżej potęgą jako iloczyn dwóch lub więcej czynników równych, i pokazaliśmy jakiego sposobu używamy do oznaczenia potęg (paragrafy 15, 16 i 17). Działanie, za pomocą którego otrzymujemy potęgi, nazywa się podnoszeniem do potęg. Podnoszenie do potęg jest więc szczególnym przypadkiem mnożenia; lecz tak często mamy z niem do czynienia, że wypada poświęcić mu rozdział oddzielny. Czytelnik spotka w nim zasady, z któremi już po części zapoznał się dawniej.

238.    Każda potęga parzysta ilości ujemnej jest dodatnią, każda zaś potęga nieparzysta jest ujemną.

Jest to bezpośredniem następstwem prawidła znaków.

Tak np.

— a X — a = a²,

— a X — a X — a = a² X — ci = — a³;

— a X — ci X — ci X — cc — — a³ X — a — a*-i tak dalej. W następnych paragrafach, skoro mówić będziemy: dać znak właściwy, rozumieć będziemy pod tym wyrażeniem znak wypadający z zastosowania prawidła, podanego w tym §.

239. Prawidło na podniesienie potęgi do potęgi. Wykładnik potęgi, do której już jest podniesiona dana ilość, należy pomnożyć przez wykładnik nowej potęgi, i ten iloczyn wziąć za wykładnik ostatecznego wypadku. Całemu zaś wypadkowi należy dać znak właściwy.

Tak naprzykład:

(_ a³)³ = — a⁹; (— a⁴)³ = — a¹².

(a²)³ == a⁶,

(a⁴)³ = a¹²;

Prawidło to jest bezpośrednim wynikiem prawidła na wykładnik, dowiedzionego w § 57. Naprzykład:

(a²)³ = a² X cl² X cl² = a² +² + ² = a² X³ — a⁶.

Prawidło dopiero co podane, bezpośrednio prowadzi do następnego:

240. Prawidło na podniesienie do jakiejkolwiek potęgi jednomiann całkowitego: Wykładnik każdego czynnika należy pomnożyć przez wykładnik potęgi i loypadkowi dać znak właściwy.

Tak naprzykład:

(.a² b³)² = a4 (iab² c³)⁴ = a⁴ ć⁸ c¹²;

a⁶ Ô⁹:

(—a² i³)³ =

(— a² i³ c⁴)'¹ = — a¹⁰ 6¹⁵ c²⁰; (2ać² c³)⁸ = 2'; a⁶ A¹² c¹⁸ = 64a⁶ b¹² c¹⁸.

241. Prawidło na podniesienie do jakiejkolwiek potęg ułamka: Należy licznik i mianownik podnieść do tej potęgi i dać wypadkowi znak właściwy.

Wypada to z paragr. 140. Naprzykład:

a²1² a⁴

¥j

a² \³

- pj

l2a²\⁴

\3b)

_ 2⁴ a⁸_16a⁸

3⁴ 1? ~ 8lF '

242. Niektóre przykłady na podnoszenie do potęg dwumianów były już podane: patrz §§ 80 i 86. Tak np.

(a -j- b)² =i a² -\- 2ab -j- i²,

(a + b)³ = a³ -f 3a² b ¥ 3ab² -f b³.

Uczący się powinien, jako ćwiczenie, znaleść czwmrtą, piątą i szóstą potęgę dwumianu a-\-b. Wypadki będą następujące: (a -f- b)⁴ = a⁴ -f- 4^³ b -[- 6a² b² -[- Aab³ -\- b⁴-

(ia -j- b)b = ab -f o ai b -j- 10a³ b² + 10a² bs -f- 5 a&⁴ -f- &⁵,

(a -(- ô)⁶ = a⁶-{- 6ab b -|- 15a⁴ b² 20a³ &³ -j- 15a² &⁴ + 6«&⁵ -f- ft⁶.

W podobny sposób znajdziemy:

(a — b)² — a² — 2ab -(- b²,

(a — by — a³ •— 3a² ó -|- 3aó² — è³,

(a

6)⁴ = a⁴ — 4a³ b -f- 6a² b² — 4abs -f- ó⁴,

" (a — by = ab — 5a⁴ b -|- 10ó³ b² — 10a² b³ -f- 5a&⁴ — ó⁵,

(a — frj⁶ — a⁶ — 6a⁵ &-{- 15a⁴ó² — 20«³ ó>³ —f- 15a² ó>⁴ — 6a bb -f b⁶. Widzimy, że w powyższym szeregu równości, przed każdym wyrazem w którym b wchodzi w potędze nieparzystej, znajduje się znak mniej; tym sposobem możemy każdą potęgę dwumianu (a—b) bezpośrednio wynaleść z odpowiedniej potęgi dwumianu (a -f- b), zmieniając znaki na przeciwne w tych wyrazach, do których wchodzi b w potędze nieparzystej.

243.    Uczący się przekona się później, że za pomocą twierdzenia, zwanego dwumianem Newton'a można otrzymać każdą potęgę dwumianu, nie wykonywając roboty mnożenia.

244.    Wzory podane w § 242 mogą być użyte w ten sposób, jaki wyłożyliśmy w § 82. Przypuśćmy np., że chcemy znaleść czwartą potęgę dwumianu 2x — 3y. We wzorze na (a — b)A podstawmy 2# zamiast a i 3y zamiast 5; tym sposobem będzie:

(2x — 3yf = (2— 4 (2xf (3y) + 6 (2a:)² (3y)² —

— 4 (2x) (3y)³ -f- (3y)⁴ = 16#⁴ — 96a:³ y -f- 216;r² y² — — 216xy³ -f- 81y⁴.

■ 245. Łatwo się przekonać, że można podniesienie do potęgi wykonać w rozmaity sposób. Tak naprzykład: przypuśćmy, że chcemy znaleść szóstą potęgę (a -f- b). Możemy ją znaleść przez wykonanie kilkakrotne mnożenia przez (a-\~b). Albo też możemy najprzód znaleść sześcian (a -4- b) i następnie sześcian ten podnieść do kwadratu, gdyż kwadrat wyrażenia (a -f- b)³ jest (a -j- b)⁶. Albo nakoniec możemy najprzód

znaleść kwadrat (a -j- b), i następnie otrzymany wypadek podnieść do sześcianu, gdyż sześcian wyrażenia (a -f- bj² jest (a -f b)⁶. Podobnież ósmą potęgę (a + b) można znaleść podnosząc do kwadratu wyrażenie (a -f- &)⁴, lub podnosząc do potęgi czwartej (a -j- b)². I t. d.

246.    Niektóre przykłady podnoszenia do potęg trój-mianów już były dane przedtem; patrz §§ 83 i 86. Tak np.

(a b -J- c)² =■ a² -j- b² -f- c² -f- ‘lab -]- 2bc -|- 2ca\

(a + b -f c)³ - a³ -f b³ -f- c³ -f 3a² (b + c) + 3b² (c -f a) + X 3c² (a -j- b) -j- 6abc.

Wzory te mogą być użyte w taki sposób, jaki był wytłumaczony w § 82. Tak np. przypuśćmy, że chcemy znaleść (1 — 2a: -|- 3x²)². We wzorze na (a b -j- c)² podstawmy 1 zamiast a, — 2x zamiast b, i 3x² zamiast c. Otrzymamy: (l-2x-\- 3x²)² = (I)² -f (_ 2x)² + (3x²)² 4- 2 (1) (— 2x ) -f + 2 (- 2x) (3x²) 4- 2 (1) (3x²) = 1 -j- 4a:² -f 9a:⁴ — 4x — — 12a:³ -)- Qx² =1 — 4x 4 10a:² — 12a:³ -(- 9a:⁴. Podobnież mieć będziemy:

(1 __ 2æ 4- 3a:²)³ = (1)3 4. (_ 2a:)³ 4- (3a:²)³ 4-4-3 (1)2(— 2a: 4- 3a:²) + 3 (—2^)²(1 -f 3a:²) 4- 3(3a:²)²(l—2x) -[-4- 6 (1) (— 2a?) (3a:²) =

= 1 — 8a:³ -f 27a:⁶ -|- 3 (— 2a: -f 3 x²) -f 12a:² (1 + 3a:²) -f 4- 27a:⁴ (1 -- 2a?) — 36a:³ ==

=1— 6a: 4- 21a:² — 44a:³ -|~ 63a:⁴ — 54a:⁵ -(- 27a:⁶.

247.    Widoczną jest rzeczą, że kwadrat jakiegokolwiek wielomianu można znaleść za pomocą jednego z trzech następnych prawideł:

1-sze. Ponieważ np.

( a -|- b 4- c + d )² = a² -|- b² -}- c² 4-    4” 2ab -j- 2.ac -j- 2ad -}-

4- 2bc 4" 2bd 4- 2cd,

przeto możemy powiedzieć, że: kwadrat jakiegokolwiok luielo-mianu jest równy sumie kwadratów pojedynczych wyrązów,

więcej sumie podwójnych iloczynów tychże wyrazów branych po dwa.

2- re. Ten sam wypadek możemy wyrazić w tej postaci: (a -f- b -j- c -j- d)² — a² 2a (b -[- c + d) -(- b² -(- 25 (c -j- d) -f-

c² -j- 2cd -(- d²,

co prowadzi do następnego prawidła: kwadrat jakiegokolwiek wielomianu jest równy sumie kwadratów pojedynczych wyrazów, więcej podwojony iloczyn każdego wyrazu przez sumę tych wyrazów, które po nim następują.

3- cie. Również widoczną jest rzeczą, że można ten sam kwadrat:

(a -f- b -j- c -j- d)²

wyrazić i w ten sposób:

(a -f- b -j- c -]- d)² — a² 2ab -\-b²-\-ei(a-\-b)c-\-c²-\-+ 2 (a -}- b -f- c) d -|- d²;

czyli: kwadrat wielomianu jest równy sumie kwadratów pojedynczych wyrazów, więcej podwójny iloczyn każdego wyrazu przez sumę tych wyrazów, które go w wielomianie poprzedzają*

248. Zastosujemy teraz wyłożone powyżej zasady do podnoszenia do kwadratu i do sześcianu liczb, wyrażonych arytmetycznie za pomocą cyfr.

A. Podnoszenie do kwadratu.

Kwadraty liczb jednocyfrowych są podane w tabliczce

mnożenia.

Są one:

1² = 1, 2²=:4, 3² = 9, 4² = 16,

5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81.

Kwadrat liczby złożonej z jednej cyfry znaczącej i ilukolwiek zer znajdziemy, podnosząc do kwadratu liczbę wyrażoną cyfrą znaczącą i dopisując do wypadku dwa razy więcej zer, aniżeli było w danej liczbie. Tak np.

(30)² = 30 X 30 = 900,

(400)² = 400 X 400 = 160000,

(8000)² - 8000 X 8000 - 64000000.

I w ogólności liczbę złożoną z jednej cyfry znaczącej z ilukolwiek zerami, możemy napisać tak:

a . 10",

gdzie a oznacza wartość tej cyfry, a n liczbę zer. Podnosząc do kwadratu, otrzymamy:

à². 102w,

co wyraża nam ogólnie zasadę podaną wyżej. Tęż sarnę zasadę oczywiście można zastosować i do każdej liczby, złożonej z ilukolwiek cyfr znaczących, po których następuje pewna liczba zer. W celu podniesienia do kwadratu takiej liczby, należy podnieść do kwadratu tę liczbę, jaka z niej będzie otrzymaną przez opuszczenie zer, i do znalezionego wypadku, dopisać dwa razy większą liczbę zer, aniżeli było w danej liczbie.

249. Podnoszenie do kwadratu liczb wielocyfrowych najdogodniej odbywa się na zasadzie.wzoru służącego za podstawę do podnoszenia do kwadratu i wielomianów, mianowicie wzoru na podnoszenie do kwadratu dwumianu. Wiemy że:

{a-\-bf = a² + 2a& + ć²,    .    .    (1)

za nawias:

lub, wyłączając z dwóch ostatnich wyrazów b

(a —|- ó)² = a² -j- (2a -j- b)b .    .    (2)

Wzór ten w obu postaciach zarówno często się używa.

Weźmy najprzód pod uwagę liczbę dwucyfrową, np. 57, i podnieśmy ją do kwadratu; będzie:

₍57)² = (50 + 7)² = 50² + 2.50.7-f 7²,

lub, podług wzoru (2):

(57)² = (50 + 7)² = 50² + (2.50 4- 7). 7. Działanie w praktyce rozkładamy w ten sposób: Podług pierwszego wzoru:

5Q² = 2500

2.50 .

to

700

49

(57)² -    3249

Podług drugiego zaś:

50² = 2500 107.7 = 749

(57)² = 3249

Widzimy, że drugi sposób rachowania prowadzi prędzej do celu. Toż samo stosuje się i do podnoszenia do kwadratu liczb wielocyfrowych.

250. Weźmy dalej jako przykład: (386)².

I tutaj możemy uważać tę liczbę jako trójmian 300 -f- 80 + 6, który należy podnieść do kwadratu. Podług§ 247, będzie: (386)² - (300 -f80 -f- 6)² = 300² -f 2.300.80 4- 80² -f--f- 2.380 -. 6 + 6².

Wypadek ten wyrazić można słowami w następny sposób. Kwadrat liczby trzycyfrowej jest równy: kwadratowi setek, więcej podwójnemu iloczynowi z setek przez dziesiątki, więcej kwadratowi dziesiątków, więcej podwójnemu iloczynowi z setek i dziesiątków przez jednostki, więcej kwadratowi jedności.

Działanie w praktyce rozkłada się w następny sposób: 300² = 90000 2.300.80= 48000 80² =    6400

3.380 . 6 =    4560

6²=    36

(386)² = 148996.

Lecz możemy także znaleść z czego się składa kwadrat liczby trzycyfrowej, stosując do tej liczby bezpośrednio wzór (2). W rzeczy samej mamy:

(386)² = (380 -f 6)² = (380)2 _j_ (₂.380 -f 6). 6.

A że:

(380)2 = (300 -j- SO)² = 3002 _j_ ₍₂.300 -f 80). 80, przeto, podstawiając tę wartość w poprzednią równość, znajdziemy:

(386)2 = 300² -f (2.300 -f 80) . 80 + (2.380 -j- 6). 6. Wyrażenie to nie trudno daje się wyrazić słowami; przy obliczeniach zaś praktycznych, czyni rachunki znacznie prostszymi, i nie wymagającymi żadnych robót na boku. Obliczenie tego wyrażenia wykonywa się w następny sposób:

300² = 90000 *    680.80 = 54400

766 . 6 =    4596

(386)2 ₌ 148996.

Podobnież możemy postępować i z cztero — pięcio — i t. d. cyfrowemi liczbami. Naprzykład: przypuśćmy, że mamy podnieść do kwadratu 8279. W tym celu stosujemy kilkakrotnie wzór (2); będzie, najprzód:

(8279)2 ₌ (8270 -f 9)² = (8270)² -f (2.8270 -f 9). 9. Lecz dalej mamy:

(8270)2 = (8200 + 70)2 — (8200)² -f (2.8200 -f 70) 70; i znowuż:

(8200)2 = (8000 + 200)2 = 8000² -f (2.8000 + 200). 200. Podstawiając ostatnio znalezione wyrażenie w poprzednie, a tę zaś wartość na (8270)², jaką z tego podstawienia otrzymamy, w wyrażenie pierwsze, mieć będziemy:

(8279)2 = 8000² + (2.8000 + 200) 200 -f (2 .8200 + 70) 70 + + (2.8270 + 9). 9.

W wyrażeniu tem widzimy już jasno ogólne prawidło, podług którego tworzą się kwadraty liczb ilukolwiek cyfrowych. Obliczenie dokonywa się w ten sposób:

8000² = 64000000 16200.200= 3240000 16470. 70 = 1152900 16549 .    9 =    148941

(8279)² = 68541841.

Tak samo postępując znajdziemy, że:

(43786)² = 40000² -f (2.40000 -f 3000). 3000 +

-f (2.43000 + 700) 700 +

+ (2.43700 + 80) 80 -f (2.43780 + 6) . 6; i rachunek układa się w podobnyż sposób:

40000²= 1600000000 83000.3000 = 249000000 86700 .    700 =    60690000

87480.    80 =    6998400

87566.    6 =    525396

(43786)² = 1917213796.

zera na

Często przy wykonywaniu tego rachunku opuszczają końcu otrzymywanych kwadratów i iloczynów, tak jak to ma miejsce i przy mnożeniu liczb. Tak np. w ostatnim przykładzie rachunek może być ułożony w ten sposób:

40000² = 16 ........

83000.3000 = 249 ......

86700.    700 =    6069....

87480.    80 =    69984 . .

87566.    6 =    525396

(43786)2 = 1917213796.

Dla uniknięcia wszakże łatwych pomyłek przy tym sposobie prowadzenia rachunku, początkujący lepiej zrobi wypisując wszystkie zera.

251. Ułamki zwyczajne, podług prawidła podanego w § 241 podnoszą się do kwadratu, przez podniesienie do kwadratu osobno licznika i osobno mianownika. Przy podnoszeniu do kwadratu całkowitej z ułamkiem, należy najprzód tęż całkowitą włączyć w ułamek i następnie stąd otrzymany ułamek, podnieść do kwadratu. Naprzykład:

(83)²

(15)²

10² = 100

(83)² = 80² + (2.80 4- 3). 3, (15)² = 10² + (2.10 -j- 5). 5. 80² = 6400

163.3 == 489

25.5 = 125

(83)² — 6889,

(15)² = 225,

stąd:

(4f

6889

225

= 30

139

252. Aby ułamek dziesiętny podnieść do kwadratu należy albo zamienić go na zwyczaj ny i następnie znaleść kwadrat otrzymanego ułamka zwyczajnego: albo też podnieść do kwadratu liczbą otrzymaną przez opuszczenie w nim przecin-Jca, i w znalezionym kwadracie odciąć na dziesiętne dwa razy więcej cyfr, aniżeli było w danym ułamku.

W rzeczy samej; przypuśćmy, że mamy podnieść do kwadratu 0,006; będzie:

(0,006)² = 0,006 X 0,006 = 0,000036.

Podobnież:

(2,5)² = 2,5 X 2,5 = 6,25.

253. Do tej nauki o podnoszeniu do kwadratu można dołączyć jeszcze następujące uwagi:

1-sze. Ponieważ wszystkie części, z których się składa kwadrat liczby całkowitej są zakończone zerami, z wyjątkiem kwadratu jedności, przeto ostatnia cyfra kwadratu jakiejkolwiek całkowitej, będzie zawsze taką, jaką jest ostatnia cyfra (kwadratu jedności tejże liczby. A że kwadraty liczb jedno-

cyfrowych są zakończone na cyfry 1, 4, 5, 6 i 9, przeto kwadraty liczb jakichkolwiek mogą być zakończone tylko temi cyframi. Kwadrat więc, nie może być zakończony na żadną z tych cyfr: 2, 3, 7 i 8. Podobnież: jeżeli kwadrat jest zakończony zerami, to liczba tych zer mnsi być parzystą.

2- re. Kwadrat liczby większej od jedności, jest większy od tejże liczby; kwadrat zaś liczby mniejszej od jedności, jest mniejszy od liczby podnoszonej do kwadratn.

3- cie. Ponieważ:

(a -f l)² = a² -f 2a + 1,

przeto, mając już wiadomy kwadrat jakiejkolwiek liczby a, łatwo można znaleść kwadrat liczby o jedność od niej większej, przez dodanie do tegoż kwadratu podwojonej tej liczby i jedności.

Tak np. skoro wiemy, że:

(15)² = 225,

(17)² - 256 + 32 + 1 = 289,

Podobnież może być użytecznym i wzór:

(a — l)² — a² — 2 a + 1.

Np., wiedząc że: 100Ö² = 1000000, znajdziemy:

(999)2 ₌ (₁₀oo - l)² = 1000000 — 2000 + 1 = 998001.

i t. d.

to (16)² = 225 4-2.15 + 1 = 225+ 30+1 = 256; i dalej:

B. Podnoszenie do sześcianu.

254. Podług określenia sześcianem danej liczby nazywamy iloczyn, który otrzymamy, biorąc tę liczbę za czynnik . trzy razy.

Sześciany liczb jednocyfrowych, są następne:

1³ = 1,

3³ = 27, 5³ = 125,

2³ = 8,

4³ = 64,

. 6³ = 216,

7³ = 343,

8³ = 512

9³ = 729.

Sześcian każdej liczby, złożonej z jednej cyfry znaczącej i ilukolwiek zer znajdujemy, podnosząc do sześcianu liczbę, wyrażoną tą cyfrą znaczącą i dopisując do tego sześcianu trzy razy więcej zer, aniżeli ich było w danej liczbie. Np.:

(60)³ - 60 X 60 X 60 = 216000,

(400)³ = 400 X 400 X 400 = 64000000.

I w ogóle: oznaczając przez a jakąkolwiek liczbę jednocyfrową, — liczbę, złożoną z jednej cyfry znaczącej i ilukolwiek zer możemy wyrazić tak:

a . 10”,

gdzie n oznacza liczbę zer po tej cyfrze znaczącej. Podnosząc to wyrażenie do sześcianu, otrzymamy:

O . 10”)³ = a³ . 10:iw;

a równość ta zawiera zasadę podaną wyżej.

Oczywiście, że taż sama zasada daje się zastosować ifdo tego przypadku, gdy liczba jest złożoną z kilku cyfr znaczących i ilukolwiek zer. Wtedy w celu podniesienia tejże liczby do sześcianu, należy podnieść do sześcianu liczbę otrzymaną przez opuszczenie zer, i do tego wypadku dopisać trzy razy więcej zer, aniżeli ich było w danej liczbie.

255. Podnoszenie do sześcianu liczb, złożonych z ilukolwiek cyfr, opiera się na wzorze, dającym nam sześcian dwumianu a + b. Znaleźliśmy wyżej, że:

(« _j_ b)³ = a³ + 3a²b -f 3ab² -f ¥ . . (1)

Wzoru tego możemy bezpośrednio użyć do podnoszenia do sześcianu jakiejkolwiek liczby dwucyfrowej. Np. przypuśćmy, że chcemy znaleźć (37)³. Będzie:

(37)³ = (30 + 7)³ = 30³ + 3.30².7 -f 3.30.7² -f- 7³.

Działanie wykonywa się w następny sposób:

30³ - 27000 3.30².7 = 18900 3.30.7² = 4410 7³ -    343

(37)³ = 50653.

Lecz zazwyczaj, w celu dogodniejszego wykonania rachunków nie używamy wzoru na (a -f ó)³, ale przerabiamy go dalej, na dogodniejszą do obliczeń postać, w następny sposób:

Z trzech wyrazów ostatnich wyłączmy najprzód b za nawias, otrzymamy:

(a -j- />)³ = a³ -f |3a² + 3ab -f b²\b\

następnie z dwóch ostatnich wyrazów, zawartych w nawiasie, wyłączmy także b za nawias; będzie:

(a -f bf = a³ + | 3a² -j- (3a -f b) b\b . . . (2).

I pod tą postacią najdogodniej jest używać wzoru na podnoszenie do sześcianu liczb, wyrażonych cyframi.

Pokażemy na przykładach jego użycie. Weźmy najprzód tęż sarnę liczbę dwucyfrową, i podnieśmy ją do sześcianu. Stosując wzór (2), mamy:

(37)³ = 30s -f ) 3.30² -f (3.30 -f 7) . 7|. 7. Oznaczymy dla krótkości współczynnik 3.30² 4" (3.30 -|- 7) . 7 przez A; wtedy będzie:

(37)³ = 30³ -\-A .7.

Działania rozkładają się w trzy kolumny w taki sposób: Obliczenie współczynnika A.

I) 3 . 30 = 90

II) 3 • 30² = 2700 97. 7 = 679

A = 3379

3.30 4- 7 = 97

III) 30³=27000 A. 7 =23653

d7³ =50653.

Zadajmy sobie dalej podnieść do sześcianu liczbę trzycyfrową, np.: 483. W tym celu rozkładamy ją najprzód na 480 i 3, i stosujemy do tak otrzymanego dwumianu wzór (2) Będzie:

(483)³ = (480 + 3)³ = 480³ +

+ 13.480-+ (3.480+ 3). 3 j. 3.

Lecz:

więc:

480 = 400 + 80;

(480)³ - (400 + 80 )³ = 400³ +

+    .400² + (3.400 + 80) 80j . 80.

Podstawiając tak znalezioną wartość we wzór poprzedn będzie:

(483)³ = 400³ + j3.400² + (3.400 + 80). 80j . 80 +

+ J3.480² + (3.480 + 3) .3+ 3.

Oznaczając tak jak poprzednio:

3 . 400² + (3 . 400 + 80) . 80, przez A,

3.480² + (3.480 + 3) . 3, przez B,

możemy napisać;

(483)³ = 400³ + A . 80 + B . 3.

Rachunek rozkładamy w ten sposób: Obliczenie współczynników + i B.

II) 3 . 400² = 480000 1280 . 80 = 102400)

I) 3.400 = 1200

80

A = 582400 80² =    5400.

3.400 + 80 = 1280 2 . 80= 160

3.480 = 1440

3.480² = 691200 1443.3 =    4329

B = 695529

3.480 + 3 = 1443 Ostateczne wypadki:

III) 400³ = 64000000 A . 80 = 46592000 B . 3 =    2086587

(483)³ = 112678587

W pierwszej kolumnie sposób tworzenia rozmaitych części jest widoczny: gdy do 3.400 -j- 80 dadamy podwojone ośm-dziesiąt, otrzymamy .

3.400 + 3.80 = 3 . (400 + 80) = 3.480.

(a 4- b)² — a² -f- 2ab 4- b²,

3 (a -j- b)² — 3a² 4- 6ab    3ó²,

3 (a -j- by = 3a² 4 3ab -J- b2 -|- 3ab 4- b²

W drugiej kolumnie sposób utworzenia 3 . 480² z części poprzednio już znalezionych, wymaga objaśnienia. Ponieważ. 480 możemy rozłożyć na 400 i 80, przeto 3 . 480² = 3. (400 -b 80)². W celu znalezienia, jakim sposobem użyć poprzednio już otrzymanych części do obrachowania powyższej ilości, weźmy pod uwagę ogólne wyrażenie 3 (a + b)². Ponieważ: przeto: czyli:

b²,

albo:

3 (a -f b)² = 3a² -f (3a -f- b)b -f- (3a 4- b)b 4- b².

Stosując to wyrażenie do danego przypadku, widzimy, że:

3.480² = 3.400² + (3.400 4- 80) . 80

4- (3.400 -f 80) . 80

4- 80²'..

ozna-

A że: 3.400² 4* (3 • 400 4" 80)80 jest to ilość, którą czyliśmy przez A; (3.400 4" 80)S0 jest znowuż ilością napisaną powyżej A w drugiej kolumnie, przeto jeżeli dopiszemy pod A S0² i następnie dodamy liczby, zawarte w trzech ostatnich wierszach, tym sposobem otrzymanych, znajdziemy 3.480². Te trzy wiersze, które należy dodać w celu znalezienia 3.480², są w drugiej kolumnie zakreślone klamrą. Inne części rachunku objaśniają się same przez się. Gdybyśmy jeszcze mieli podnieść do sześcianu liczbę 5284, wtedy rozumowanie podobne do tego, jakiego użyliśmy w poprzednim przykładzie, pokazałoby nam, że:

(5284)³ = 5000³    + [3.5000² -f (3    . 5000 -f 200) 200]    200 -j-

-f- [3 .    5200² -+ (3    . 5200 + 80) 80]    80 -f

+ [3 .    5280² + (3    . 5280 + 4) 4]    4.

Oznaczając dla skrócenia współczynniki przy 200, 80 i 4 głoskami A Bi C, będzie:

(5284)³ - 5000³ + A . 200 -+- B . 80 + 'G . 4. Rachunek znowuż rozkłada się w trzy następujące kolumny:

Obliczenie współcz. A, B i C.

II) 3 . 5000² = 75000000 15200 . 200 - 3040000 A = 78040000 200² =    40000

3 . 5200² = 81120000 15680.80 = 1254400 B = 82374400 80² =    6400

I) 3 . 5000 =

3.5000 + 200 = 15200 2 . 200 =    400

3.5200 = 15600

80

3.5200 -j- 80 = 15680 2.80 = 160

3 . 5280² = 83635200 15844.4 =    63376

3 . 5280~= 15840

C = 83698576.

3.5280 + 4 = 15844

Obliczenie ostateczne:

III) 5000³ = 125000000000 A . 200 = 15608000000 B . 80 =    6589952000

334794304

(5284)³ = 147532746304

Rachunki w ten sposób wykonywane nie prowadzą bez wątpienia prędszą drogą do podniesienia do sześcianu liczby danej, aniżeli zwyczajne mnożenie; z tern wszystkiem należy nam się dobrze z nimi zaznajomić, gdyż odgrywają one ważną rolę przy działaniu odwrotnem: wyciągania pierwiastku.

Aby podnieść do sześcianu ułamek, należy oddzielnie podnieść licznik i oddzielnie mianownik, (§ 241). Przy podnoszeniu całkowitej z ułamkiem należy tęż całkowitą włączyć w ułamek i postępować podobnie, jak to było wskazane przy podnoszeniu do kwadratu.

Nakoniec ułamek dziesiętny podnosi się w ten sposób, że podnosi się do sześcianu liczba, otrzymana przez opuszczenie przecinka w ułamku, i w znalezionym sześcianie odcina się trzy razy więcej cyfr na dziesiętne, aniżeli ich było w danym ułamku. W rzeczy samej:

(0,08)³ = 0,08 X 0,08 X 0,08 = 0,000512 (3,7)³ = 3,7 X 3,7 X 3,7 = 50,653.

PRZYKŁADY XXVIII.

Znaleść: 1.    (2 \x²y³zi)³,

4an³

2.    (— 2 x²y²z³)³.

3.

aa

4. (a + b) ³ (a — ć)³;

5.    (1 + x)³ — (1 — x)⁵.

7.    (1 + x + x²)².

6.    (1 + X)⁴ (1 — X)⁴.

8.    (1 + 2C + x-)³.

Podnieść do kwadratu następujące liczby:

9.    48, 99, 301, 425/999, 8354, 8355, 9999, 13579.

10.    4y, 23**, 0,145; 0,00729; 8,9387; 89,387; 893,87.

11.    Wiedząc że: 5248² = 27541404 znaleść 5243² i 5252².

Podnieść do sześcianu następujące liczby:

13 i

12.    59; 99; 512; 748; 999; 5298; ₂ j 7> ; 0,087; 0,00315;

9.3591.

XXIX.

Wyciąganie pierwiastku.

256. AVyciąganie pierwiastku jest działaniem odwro-tnem podnoszeniu do potęgi; mianowicie nauka o wyciąganiu

pierwiastku podaje sposoby znalezienia jakiegokolwiek pierwiastku z danej liczby, lub z danego wyrażenia.

Zaczniemy obecny rozdział od podania trzech twierdzeń, będących prostym wnioskiem z prawidła znaków; następnie rozbierzemy kolejno wyciąganie pierwiastków z jednomia-nów, wyciąganie pierwiastków kwadratowych z wielomianów i z liczb, i wyciąganie pierwiastku sześciennego z wielomianów i z liczb.

257.    .Pierwiastek parzystej potęgi z liczby dodatniej ma

dwie wartości: jedną dodatnią, drugą ujemną.

Tak np. a X a — a² i — a X — a> — a², przeto pierwiastek kwadratowy z a² jest albo a albo — a, czyli albo -j- a, albo — a.

258.    Pierwiastek potęgi nieparzystej z jakiejkolwiek ilości, ma ten sam znak co i dąna ilość..

Tak np. pierwiastek sześcienny z a³ jest a, pierwiastek zaś sześcienny z —az jest — a.

259.    Ilość ujemna nie może mieć pierwiastku potęgi parzystej.

Tak np. ilość— a² nie ma pierwiastku kwadratowego, gdyż jeżeli jakąkolwiek ilość pomnożymy przez nią samą, otrzymamy zawsze na wypadek ilość dodatnią.

Fakt ten, źe ilość ujemna nie ma pierwiastku potęgi parzystej wyraża się samem nazwiskiem takiej ilości. Pierwiastek potęgi parzystej z ilości ujemnej nazywa się ilością niemożliwą, lub częściej ilością urojoną.

260. Prawidło na znalezienie pierwiastku jakiegokolwiek stopnia z jakiegokolwiek jednomianu całkowitego. Na leży podzielić wykładnik każdego czynnika przez wykładnik pierwiastku i przed wypadkiem napisać znak właściwy. Tak np:

j/l6a²b⁴ = y4²a²b⁴~zt 4ab²;

3    3

= — 2 n²ó³c⁴:

j/—8a⁶¥c¹² = j - 2W'c¹²

4___ 4____

j/256x⁴y⁸ —|/4⁴,-r⁴?/⁸ = + 4 xiy².

261. Prawidło na wyciąganie pierwiastku z ułamka: Należy znaleść pierwiastek licznika i pierwiastek mianownika osobno, i napisać znak właściwy przed wypadkiem.

Tak np:

rs-r

.2 a

W _

8'-7;⁴ “

?<

v

27 a* 64Ó³

3;V

3«²

4³/>:i 4Ö '

262. Przystępujemy teraz do wyłożenia sposobu wyciągania pierwiastku kwadratowego z wielomianów.

Pierwiastek kwadratowy z a²-j- 2ab -j- b² jast a Z>; i rozważanie sposobu, w jaki a -}- b pochodzi z a² Ą- 2ab b2 doprowadzi nas do ogólnego prawidła na wyciąganie pierwiastku kwadratowego z jakiegokolwiek wielomianu.

Y a² -f 2ab -f- b² = a -f-. b.

a²

2a -f b 2ab -f- b2 2ab -f b²

Uporządkujmy najprzód wyrazy podług potęgjednej głoski np. a; wtedy pierwszym wyrazem będzie u²; je- . go pierwiastek kwadratowy jest a i to będzie pierwszym wyrazem szukanego pierwiastku.

Odejmijmy jego kwadrat, to jest a², od danego wyrażenia, i podpiszmy resztę 2ab -j- b². Podzielmy 2ab przez 2u; iloraz będzie b, i to będzie drugim wyrazem pierwiastku. Do podwojonego wyrazu pierwszego dodajmy wyraz drugi: otrzymamy 2a -f- b; pomnóżmy to ostatnie wyrażenie przez wyraz drugi, to jest b] otrzymane 2ab-\-b² odejmujemy od reszty.

I to w obecnym przypadku kończy całe działanie.

Grdyby było więcej wyrazów, wtedy należałoby z a -j- b tak samo postępować, jak przedtem postępowaliśmy z «; kwadrat tego wyrażenia, to jest:

a² -j- 2ab -j- b² już został odjęty od wielomianu danego, tym sposobem należy tylko resztę podzielić przez 2 (a -(- b) dla otrzymania nowego wyrazu pierwiastku. Aby otrzymać nowy odjemnik, należy pomnożyć sumę z 2 {a -|- b) i nowego wyrazu, przez ten nowy wyraz.

263. Przykłady:

1.

V 4x² -f- 12xy -j- 9y² — 2x -f 3z/

—    4x²

4x 3y 12xi/ 4- 9z/²

—    12 xy Hb 9 y²

2.

V 4x⁴ — 20x³ -j- 37 x² - 30./: - f- 9 = 2x² — 5x+ 3 — 4x⁴

4x² — 5x — 20a?³ -f- 37a:² — 30x -f- 9 zp 20x³ zt 2bx²

4x² — 10x -}- 3 i 12x² — 30x -J- 9 -h 12a:² zp 30x zt 9

Î.2xy³ -p = x² — 2xy -j- 3y²

3. V x⁴ — 4x³y —|—10x-y2 — x⁴

2x² — xy — 4x³y -f-10x²y² — 12xy³ -p 9y4 zp 4x³y + 4x²y²

2x²—4xy -|- 3y² |    6x²y² — 12xy³ -j- 9y⁴

— 6x²y² zp 12ry³ + 9y⁴

4. V x⁶ ~p 4x:> — 10x³ -f- 4x -P 1 = x³ -j- 2x² — 2x — 1 — x³

2x³ -P 2x²    4a;⁵ — 10x³ + 4x -f 1

j — 4a:⁵ + 4x⁴

2x³ ~p 4a:² — 2x — 4x⁴ — 10x³ ~p 4x -f 1 zp 4x⁴ bp Sx³ + 4x²

2x³ ~p 4x² — 4x — 1    - 2x³ — 4x² -p 4x -p 1

zp 2x³ zp 4x² dz 4x dz 1

264. Wyżej była zrobiona uwaga, że każdy pierwiastek, którego wykładnik jest parzysty, ma znak podwójny; patrz § 257. Tak np. pierwiastek kwadratowy z a² ~P 2ab -j--(r- b² jest a -j- b, lub — a — b. W rzeczy samej przy wyciąganiu pierwiastku kwadratowego z a² + 2ab -f- b², zaczynamy działanie od znalezienia pierwiastku z a². Lecz ten pierwiastek może być a lub — a. Jeżeli weźmiemy to ostatnie, i poprowadzimy działanie, jak było pokazane przedtem, wtedy dojdziemy do wypadku — a — b. Taż sama uwaga może być zrobioną w każdym podobnym przypadku. Weźmy np. ostatnie zadanie z § 263. Tutaj zaczynamy działanie od wyciągnięcia pierwiastku kwadratowego z a?⁶; — pierwiastek ten może być a;³, lub — xz. Jeżeli przyjmiemy ostatnią wartość i prowadzić będziemy działanie jak wyżej, otrzymamy wypadek ostateczny: — x³ — 2x² -{- 2x -f- 1.

265. Pierwiastek potęgi czwartej jakiegokolwiek wyrażenia, może być znaleziony przez wyciągnięcie pierwiastku kwadratowego z pierwiastku kwadratowego. Podobnież: pierwiastek potęgi ósmej może być znaleziony, przez wyciągnięcie pierwiastku kwadratowego z pierwiastku potęgi czwartej, i tak dalej.

266. Poprzednie zbadanie sposobu wyciągania pierwiastku kwadratowego z wielomianów algebraicznych da nam możność wytłumaczenia prawidła na wyciąganie pierwiastku kwadratowego z liczb.

Pierwiastek kwadratowy ze 100 jest 10; pierwiastek

kwadratowy z 10000 jest 100; pierwiastek kwadratowy z 1000000 jest 1000; i t. d. Stąd wypada, że pierwiastek kwadratowy z liczby mniejszej od 100, musi się składać tylko z jednej cyfry, pierwiastek kwadratowy z liczby, zawartej pomiędzy 100 i 10000

z dwóch cyfr; pierwiastek kwadratowy z liczby zawartej pomiędzy 10000 i 1000000 — z trzech cyfr, i tak dalej. Jeżeli więc nad każdą drugą cyfrą danej liczby, zaczynając od miejsca, na którem stoją jedności, napiszemy punkt, wtedy liczba punktów pokaże nam liczbę cyfr w pierwiastku kwadratowym z tejże danej liczby. Tak np.

pierwiastek kwadratowy z 4356 składa się z dwóch cyfr; — pierwiastek kwadratowy z 611524 jest złożony z trzech cyfr.

2(V7. Przypuśćmy, że chcemy znaleść pierwiastek kwadratowy z 3249.

/ 3249 = 50-|-7

2500

100 + 7 749

749

Najprzód oznaczmy właściwe cyfry punktami podług podanego prawidła; okazuje się, że szukany pierwiastek składać się będzie z dwóch cyfr. Niech a -j- b oznacza ten pierwiastek, gdzie a jest wartością cyfry, stojącej na miejscu dziesiątek, a b wartością cyfry stojącej na miejscu jedności. Stąd widać, że a musi być największą liczbą dziesiątek, której kwadrat jest mniejszy od 3200; taką liczbą jest 50. Odejmijmy a², to jest kwadrat 50, od danej liczby; — wtedy resztą będzie 749. Podzielmy tę resztę przez 2a, to jest przez 100; iloraz będzie 7: i to jest wartością b. Wtedy (2a -j- b)b, czyli 107 X 7, to jest 749, jest liczbą, którą należy odjąć od reszty; a ponieważ teraz nie pozostaje żadna reszta, przeto wnosimy stąd, że 50 -j- 7, czyli 57, jest szukanym pierwiastkiem kwadratowym.

Powiedzieliśmy wyżej, że a jest największą liczbą dziesiątek (czyli największą wielokrotną względem dziesięciu), której kwadrat jest mniejszy od 3200. W rzeczy samej: bezpośrednio widoczną jest rzeczą, że a nie może być większą wielokrotną względem dziesięciu. Ale nie może być także i mniejszą; — gdyż, jeżeliby to było możliwem, aby liczba dziesiątek była mniejszą, np. gdyby była x, wtedy x-\-b byłoby mniejsze od a, zatem i kwadrat z x -j- b byłby mniejszy od a², więc x-\-b mniejsze od prawulziwego pierwiastku kwadratowego.

Gdyby pierwiastek składał się z trzech cyfr, wtedy niech a oznacza setki, a b — dziesiątki. Znalazłszy a i b jak wyżej, uważajmy dalej setki razem z dziesiątkami jako nową wartość a, i wynajdźmy nową wartość na b jedności.

268. Zera mogą być przy wykonywaniu powyższego • ■działania opuszczone dla krótkości i całe działanie można wyrazić za pomocą następnego prawidła:

Nad każdą drugą cyfrą, zaczynając od cyfry, stojącej na miejscu jedności napiszmy kropką; tym sposobem cała liczba zostanie podzielona na kolumny. Następnie znajdźmy największą liczbę, której kivadrat jest zawarty w pierwszej kolumnie: będzie to pierwsza cyfra pierwiastku. Kwadrat jej odejmijmy od pierwszej kolumny, i do reszty dopiszmy kolumnę drugą. Podzielmy tak otrzymaną ilość, opuszczając w niej ostatnią cyfrę, przez podwojoną, znalezioną dotąd część pierwiastku i dopiszmy iloraz i do pierwiastku i do dzielnika. Pomnóżmy następnie dzielnik wraz z tern, co było dopisane, przez część pierwiastku ostatnio znalezioną, i odejmijmy znowuż iloczyn od całej reszty. Jeżeli w liczbie' danej będzie jeszcze więcej kolumn do złożenia, wtedy całe działanie musi być dalej w ten sposób prowadzone.

Ÿ 3249 = 57

107

25

-sl -o

(X> CD

269. Przykłady:

Wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczb: 132496 i 5322249. Ÿ132496 = 364-

02

CD

co

Ol 02

^ co

72412896

12896

Y 5322249 = 230 7.

43132

129

4607132249

32249

W pierwszym przykładzie, po znalezieniu pierwszej cyfry pierwiastku i dopisaniu do reszty drugiej kolumny, otrzymujemy 424; podług prawidła dzielimy 42 przez 6, dla otrzymania następnej cyfry pierwiastku; z podzielenia wypada 7, i to byłoby drugą cyfrą. Lecz mnożąc 67 przez 7, otrzymujemy na iloczyn 469, co jest większą liczbą, aniżeli 424. To pokazuje, że druga cyfra nie może być 7, ale jest mniejszą.. Próbujemy 6 — ponieważ próba się udaje, przeto 6 jest właściwą cyfrą. Ten przykład pokazuje, że niekiedy wypada próbować kilka liczb przy oznaczaniu pewnej cyfry.

W drugim przykładzie powinien czytelnik zwrócić uwagę na to, że jedna cyfra pierwiastku wypadła zero.

270. Nie z każdej liczby całkowitej dodatniej można wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, t. j. nie każdą można rozłożyć na dwa czynniki równe. Wszystkie liczby, z których można wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, np. 1, 4, 9, 16 i t. d., znajdziemy na tabliczce mnożenia wzdłuż jednej z przekątnych. Pierwiastkiem jakiejkolwiek innej liczby, np. 2, 5 lub 8 nie może być nietylko liczba całkowita, ale też żaden ułamek. Bo gdyby pierwiastkiem liczby całkowitej n był jakiś ułamek, który po usunięciu z licznika i mianownika czynników wspólnych, przyjąłby postać * , to musiałoby być:

a²

— n.

Ale a i b nie mają czynników’ wspólnych, przeto a² nie może

nie może być liczbą

być podzielne przez b², i wyrażenie

całkowitą. Jeżeli więc n nie jest kwadratem pewnej liczby całkowitej, to pierwiastku z niego wyciągnąć nie można.

Często jednak należy rozwiązywać zadania w rodzajn następującego: znaleść bok kwadratu, którego powierzchnia, wynosi 60 metrów kwadratowych. 60 nie jest kwadratem zupełnym żadnej liczby całkowitej, a zatem, jak już wiemy, napróżnobyśmy także szukali i takiego ułamka, którego kwadrat byłby równy 60. AVezmy kwadrat, którego bok jest równy 7 m.; powierzchnia jego będzie 49 m. kwadr.; kwadrat, mający bok długości 8 m. będzie miał 64 m. kw. powierzchni; pierwszy będzie o 11 m. kw. zamały, drugi o 4zawielki. Biorąc więc bok kwadratu szukanego równym 7 lub 8 m. popełnimy pewien błąd.

AV miernictwie praktycznem jeżeli mówimy, że kwadrat ma 60 m. kw. powierzchni, to wyrażamy przez to, że mierzymy tylko metry całkowite, że więc powierzchnia kwadratu jest większa od 59,5 ale mniejsza od 60,5 m. kw.; gdybyśmy chcieli zaznaczyć, że i dziesiąte i setne części metra są zmierzone, napisalibyśmy 60,00, co oznacza, że wielkość ta jest większa od 59,995 ale mniejsza od 60,005; w praktyce więc zadanie będzie rozwiązane, jeżeli znajdziemy bok kwadratu, którego powierzchnia różni się od powierzchni danej o wielkość mniejszą od połowy najmniejszej jednostki, użytej do mierzenia.

I tak, jeżeli mierzymy powierzchnie z dokładnością do 1 m. kw., to obie licz-by: 7,74 i 7,75 będą w zupełności odpowiadały warunkom zadania, gdyż ich kwadraty: 59,9076 i 60,0625 różnią się od 60 mniej aniżeli o 0,5. Długość boku

znaleźliśmy przytem z dokładnością do metra.

271. AVogóle działanie wyciągania pierwiastku określimy w ten sposób.

h-i

Wyciągnąć pierwiastek stopnia})⁹⁰ z a z dokładnością do

Ou

znaczy znaleść taki ułamek ażeby.

X \p

'x+l\p

W przykładzie powyżej rozpatrywanym jest a = 60,

= 7,74 czyli x — 774, n — 100.

Pomnożywszy powyższą nierówność przez np, znaj

dziemy:

xp < npa < (x -j- 1)L

Zadanie więc rozwiążemy w taki sposób: pomnożymy liczbę daną a przer np i znajdziemy największą liczbę całkowitą, której pta potęga jest mniejsza od npa.

W danym przykładzie mnożymy 60 przez n² — 10000, co daje 600000; największą liczbą całkowitą, której kwadrat jest mniejszy od 600000, będzie 774.

Powyższe określenie przedstawia jednak tę niedogodność, że sam pierwiastek nie jest tutaj ściśle oznaczony, co utrudnia wypowiadanie twierdzeń ogólnych o pierwiastkach. Ażeby tę niedogodność usunąć, wprowadzamy nowy rodzaj liczb. Podobnie jak dla uogólnienia odejmowania i dzielenia okazała się potrzeba wprowadzenia liczb ujemnych i ułamkowych, tak samo i tutaj wprowadzamy liczby takie, których potęgi mają być ściśle równe liczbom danym. Liczby takie, dla odróżnienia od używanych dotychczas, nazwiemy niewy-

3    __    _

miernemi. Odtąd więc wyrażenia takie jak V2, K60, KO,4 będą miały dla nas wartości całkiem oznaczone, i znajdziemy sposoby wyrażania ich za pomocą ułamków z każdem żąda-nem przybliżeniem, biorąc n odpowiednio wielkie*).

p_

*) Błąd jaki popełniamy biorąca : n zamiast y a, t. j. różnica x : n, jest mniejsza od 1 : n, ponieważ:

■c v_ x ,

47 < V a < V I ’

a że 1 cznie

:m jest tern mniejsze, im większe ??, przeto obierając n dostate-wielkie, uczynimy błąd tak małym, jak tylko zechcemy.

Graficznie ilość niewymierną można przedstawić tak samo za pomocą odcinka, jak ilość wymierną. Wogóle nie można rozstrzygnąć, czy ^ długość odcinka danego wyraża się wymierną czy niewymierną liczbą jednostek, gdyż nigdy nie możemy mierzyć z bezwzględną ścisłością. Ale nieraz sam sposób, w jaki odcinek powstał, wymaga, ażeby długość jego uważać za niewymierną. Naprzykład w trójkącie prostokątnym, w którym obie przyprostokątne są równe jedności, przeciwprostokąt-na nazasadzie twierdzenia Pytagorasa będzie równa:

1/12 —1—12 = j/ 2 ,

a zatem będzie niewymierną względem przyprostokątnycli.

I)

Jako drugi przykład weźmy trójkąt równoramienny ABC, mający przy wierzchołku kąt 36°, a więc przy podstawie 72°. Poprowadźmy dwusieczną AD kąta BAC. Trójkąty ADB i CAD są równoramienne, a zatem BD = AD — AC. W ten sposób odcięliśmy więc na ramieniu trójkąta odcinek równy podstawie. DC jest mniejsze od AC, ponieważ leży w trójkącie CAD naprzeciwko kąta mniejszego. W podobny więc sposób możemy, prowadząc dwusieczną kąta ADC(=72°), odciąć na AC odcinek AD — DC i t. d. Działanie to nie skończy się nigdy, a zatem boki AC i BC są niewspółmierne. Jakąkolwiek więc obralibyśmy jednostkę długości — zawsze długość przynajmniej jednego z nich wyrazi się liczbą niewymierną.

272. Prawidło na wyciąganie pierwiastku kwadratowego z ułamka dziesiętnego wypada z § 268. Należy tu jednak zauważyć, że przy podnoszeniu do kwadratu ułamka dziesiętnego otrzymujemy zawsze parzystą liczbę cyfr dziesiętnych w kwadracie, że zatem nie można dokładnie wyciągnąć pierwiastku kwadratowego z żadnego ułamka dziesiętnego, który w najprostszej swojej postaci, ma nieparzystą liczbę cyfr dziesiętnych.

Pierwiastek kwadratowy z 32,49 jest jedną dziesiątą częścią pierwiastku kwadratowego z 100 X 32,49, — czyli z 3249. Podobnież: pierwiastek kwadratowy z 0,003249 jest jedną tysiączną częścią pierwiastku kwadratowego z 1000000 X 0,003249, czyli z 3249. Stąd możemy wyprowadzić następne prawidło na wyciąganie pierwiastku kwadratowego z ułamka dziesiętnego:

Należy oznaczyć kropką każdą drugą cyfrą danej liczby poczynając od cyfry, stojącej na miejscu jedności, i idąc tak na lewo, jak i na prawo od niej. Następnie wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z całej liczby, jakby z całkowitej i oddzielić na dziesiętne w otrzymanym wypadku tyle cyfr, ile było odznaczonych kolumn w części dziesiętnej danej liczby.

Zwracamy, tutaj szczególną uwagę uczącego się na znaczenie słów: poczynając od cyfry, stojącej na miejscu jedności.

273.    Przy wyciąganiu pierwiastku kwadratowego z liczby całkowitej, jeżeli otrzymamy jeszcze resztę, doszedłszy do cyfry stojącej na miejscu jedności, to reszta ta jest znakiem, ża dana liczba nie ma pierwiastku, dającego się dokładnie wyrazić. Możemy jednak oznaczyć go z takim stopniem przybliżenia, jak tylko chcemy, przypuszczając, że na końcu danej liczby znajduje się przecinek, dopisując za nim jakąkolwiek parzystą liczbę zer i prowadząc dalej działanie. Tym sposobem otrzymaną część dziesiętną pierwiastku należy dodać do znalezionej już poprzednio części całkowitej.

Podobnież, jeżeli ułamek dziesiętny nie ma pierwiastku kwadratowego, dającego się dokładnie oznaczyć, wtedy możemy do niego dopisać zera, i dalej prowadzić działanie, posuwając przybliżenie tak daleko, jak chcemy.

274.    W podanym niżej przykładzie, wyciąganie pier-

14

Algebra

wiastku kwadratowego z 0,4 jest doprowadzone do siedmiu cyfr dziesiętnych.

I 0,4000

36

— 0,6324555

rH

00

w

05 O' CO O

1262 3100 2524

12644)57600

|50576

1264851702400

(632425

1264905 6907500 6324525

12649105 67297500 63245525

4051975

275. Jak z liczb, podobnie i z wyrażeń algebraicznych niezawsze można wyciągnąć pierwiastek kwadratowy dokładnie. Niekiedy wypada nam rozwiązać zadanie tego rodzaju: znaleść cztery wyrazy pierwiastku kwadratowego z 1 — 2x.

X²

V 1 — 2x = 1 — x —

2 — x\— 2x

2 _ 2x — —

2\+x²±xz±

to &

CO

2 — 2x — x² —

-I- x% + ad di

ôxi x:>    x⁶

4 __ ₄

Tym sposobem otrżymaliśmy jeszcze na resztę — -

ca

oc

-----po znalezieniu czterech wyrazów pierwiastku

u 4:

kwadratowego z 1 — 2x. Z tego wypada, że:

(*

- 5C--;

qr* 3 \ 2

= 1_2x+ ₄

5x⁴

+ s'"b

-i

Przechodzimy teraz do sposobu wyciągania pierwiastku sześciennego z wielomianów.

Pierwiastek sześcienny z a³ -j- 3a²b -f- 3ab² -j- b³ jest ■a -f b; zastanawiając się tutaj nad sposobem, w jaki a -p b zostaje utworzone z a³ -f- 3arb + 3ab² -|- b³, dojdziemy do ogólnego prawidła na wyciąganie pierwiastku sześciennego z każdego wielomianu.

Uprządkujmy najprzód wyrazy podług potęg jednej i tej

Va³'-f 3 a²b + 3ab² + b³ = a + b — a³

3a²    3\a²b -f 3ab² -f- b³

— 3«²/> ± 3ab² ± b³

samej głoski a; wtedy pierwszym wyrazem będzie a³, a jego pierwiastkiem sześciennym będzie a: — i to jest pierwszy wyraz szukanego pierwiastku. Odejmijmy następnie sześcian tego wyrazu pierwszego, czyli a³, od całego wyrażenia i dopiszmy resztę : 3a²b -|- 3ab² -|- b³. Podzielmy 3a²b przez 3a²: — ilorazem będzie 6, i ono stanowi drugi wyraz szukanego pierwiastku. Odejmijmy dalej 3a²b-\-3ab²-\-b3 •od reszty, i tym sposobem cały sześcian a -f- b zostanie odjęty. To właśnie kończy działanie w obecnym przypadku.

Gktyby było więcej wyrazów, wtedy należałoby postępować z a -f- b tak, jak postępowaliśmy podrzednio z a; sześcian tego wyrażenia, to jest a³ -(- 3a~b -\-3ab² -j- 6³, był już odjęty od danego wielomianu, należy więc podzielić resztę przez 3(a -j- b)² dla wynalezienia nowego wyrazu, i tak dalej.

277. Przy wyciąganiu pierwiastku sześciennego z bardziej złożonych wielomianów, a równie i z liczb, dogodną jest rzeczą rozłożyć rachunki działania, pokazanego w poprzednim paragrafie, w trzy kolumny jak następuje:

V ćt¹—3«²6-j-3«6² -j- 6¹ —a-^-b

3a²b 3ab²-f I?

3a²b 4- 3ab- -f- b¹

(3« -(- 6)ó 3aa -f 3ab -y- 6² \

a¹

3a+6; I 3a'²

Objaśnienie:    Znajdujemy najprzód pierwszy wyraz

pierwiastku, to jest a; następnie piszemy a¹ pod danem wyrażeniem w trzeciej kolumnie i odejmujemy je. Piszemy potem 3a w pierwszej kolumnie, a 3a² w drugiej; — dzielimy 3a²b przez 3a², i otrzymujemy iloraz b. Dodajemy b do wyrażenia pierwszej kolumny; mnożymy następnie to, co otrzymamy w tej pierwszej kolumnie, przez b, iloczyn piszemy w drugiej kolumnie, i dodajemy go do tego, co już w tejże kolumnie się znajduje, otrzymujemy 3a²-\~ 3ab-\-b². Mnożymy to ostatnie wyrażenie przez 6; otrzymujemy 3a²6 -}--)- 3ab² -\- 6³, który to iloczyn należy umieścić w trzeciej kolumnie i odjąć Tym sposobem dokończyliśmy działanie odejmowania (a -)- 6)³ od wyrażenia danego. Grdyby było więcej wyrazów, wtedy należałoby toż samo działanie prowadzić dalej.

278. Przy wykonywaniu tego działania w dalszym ciągu, należy dodawać do liczby pierwszej kolumn}⁷ taką liczbę, aby po dodaniu otrzymać potrojoną częśćpierwwstku, już znalezioną. W tym celu postępujemy tak: mamy już w pierwszej kolumnie 3a    6; umieszczamy 2b pod b i do-

^a~\~ Jjy dajemy; — wtedy otrzymamy 3a -|- 36, czyli po-

trojoną część już znalezioną. Nadto, do liczb drugiej kolumny wypada nam dodać taką liczbę, aby otrzymać potrojony kwadrat tej części pierwiastku, która już jest znalezioną. To znowuż wynajdujemy w ten sposób:

w drugiej kolumnie mamy już (3a -J- b) b a pod tą liczbą 3a² -f- 3ab -|- ö²;— umieśćmy jeszcze b² poniżej i dodajmy liczby zawarte w trzech ostatnich wierszach, wtedy otrzymamy. 3a² -j- 6ab -|- Sb², co jest właśnie trzy razy wziętym (a -J- b)², czyli potrojonym kwadratem znalezionej już części pierwiastku.

279. Przykład: Wyciągnąć pierwiastek sześcienny z wyrażenia:

8xö — 36x⁵ -f 102a:⁴ — 171x³ -f 204x² — 144x -f 64.

Działanie:

I) Sx² — Sx — Sx

Sx² —9.x-j- 4

(Sa -j- b) b v 3a² -|- 3ab b²1 + 6²)

Sa- 4" -f 3b²

II) 12a:⁴

—Sx (Sx² — 3jt)| 12a:⁴ — 18a:³ -4- Sx²\

Sx²

12a:⁴ — 36a:³ -j- 27a:²

III)

4 (Sx² — 9a: + 4)

12a;⁴ -- 36a;³ -j- 51a:² — 36a: 4- 16

V 8a?H—36a:³ -f 102a:⁴—171a:³-)- 20 la:² — 144a: + 64=2.x²- 3x+4 — 8x⁶

- 36.x⁵ -h 102a:⁴—17 lx³-(-2Ô4.r ²-144x-j-64 Zfi36x⁵ziz 54x⁴^p 27a:³

48x⁴—144x³—|—204x²—144x—(-64 — 48x⁴^144x³-i~204x²^ 144xH~64.

Pierwiastek sześcienny z 8x⁶ jest 2x²; i to będzie pierwszym wyrazem szukanego pierwiastku: podpisujemy 8xG pod da-nem wyrażeniem w trzeciej kolumnie i odejmujemy ten wyraz.

Następnie umieszczamy potrojone 2x² w kolumnie pierwszej, a potrojony kwadrat 2x² w kolumnie drugiej; to jest piszemy 6x² w pierwszej, a 12x⁴ w drugiej kolumnie. Dalej dzielimy — 36x⁵ przez 12x⁴, i otrzymujemy tym sposobem iloraz — 3x, który będzie drugim wyrazem pierwiastku.

Następnie dopisujemy tenże wyraz do pierwszej kolumny, i to wyrażenie, które teraz znajdować się będzie w pierwszej kolumnie, czyli 6x² — 3x, mnożymy przez — 3x, tak znaleziony iloczyn umieszczamy pod wyrażeniem, będącem w drugiej kolumnie i dodajemy go do tegoż wyrażenia: — otrzymamy tym sposobem 12x⁴ — 18aP -j- 9x². Mnożymy dalej to ostatnie wyrażenie przez — 3x, podpisujemy je pod resztą w trzeciej kolumnie i odejmujemy. Otrzymamy wtedy w trzeciej kolumnie resztę; a część pierwiastku już znaleziona będzie 2x² — 3x. Teraz należy w kolumnie pierwszej i drugiej wykonać rachunki, pokazane w § 278. W tym celu podpisujemy podwojone — 3x to jest — 6x, w pierwszej kolumnie,, i dodajemy te dwa wiersze;—otrzymujemy przez to 6x² — 9x, i to stanowi potrojoną część pierwiastku już znalezioną. Podobnież podpisujemy kwadrat — 3x, czyli 9x², w drugiej kolumnie, i dodajemy trzy ostatnie wiersze w tejże kolumnie;

—    otrzymujemy 12.r⁴ —36x³ -j- 27x², i to jest potrojonym kwadratem tej części pierwiastku, która już jest znalezioną.

Po wykonaniu tych działań dzielimy resztę, znajdującą się w pierwszej kolumnie, przez wyrażenie poprzednio otrzymane, i w ten sposób znajdujemy 4, jako ostatni wyraz pierwiastku; z nim znowuż postępujemy tak jak z poprzednimi. Mianowicie: dołączamy ten wyraz do pierwszej kolumny, i mnożymy tak otrzymane wyrażenie w tejże kolumnie, to jest: 6x² — 9x -J- 4; przez 4; iloczyn umieszczamy pod wyrażeniem będącem w drugiej kolumnie, dodajemy go do tegoż wyrażenia: otrzymujemy w ten sposób: 12x⁴ — 36r³ -j- 51x²—

—    36x -j- 16; mnożymy to ostatnie przez 4, podpisujemy iloczyn pod resztą w trzeciej kolumnie i odejmujemy go. Ponieważ teraz nie pozostaje żadnej reszty, przeto wnosimy stąd, że 2x² — 3x -(- 4 jest szukanj^m pierwiastkiem sześciennym.

280. Wyłożony poprzednio sposób wyciągania pierwiastku sześciennego z wyrażeń algebraicznych prowadzi naa

do podania sposobu wyciągania pierwiastku sześciennego z jakiejkolwiek liczby.

Pierwiastek sześcienny z 1000 jest 10, pierwiastek sześcienny 1000000 jest 100; stąd wypada, że pierwiastek sześcienny z liczby mniejszej od 1000 jest jednocyfrowy; pierwiastek sześcienny z liczby, zawartej pomiędzy 1000 i 1000000 składa się z dwóch cyfr, i t. d. Jeżeli więc nad każdą trzecią cyfrą danej liczby, napiszemy punkt, zaczynając od cyfry, stojącej na miejscu jedności, wtedy liczba punktów pokaże liczbę cyfr w pierwiastku sześciennym.

Tak naprzykład pierwiastek sześcienny z 405224 składa się z dwóch cyfr, a pierwiastek sześcienny z 12812904 składa się z trzech cyfr.

Przypuśćmy, że chcemy wyciągnąć pierwiastek sześcienny z 274625.

Il-a kol.

10800 __

925 Y274625 = 60 + 5 216000 58625 58625

III-cia kol.

I-a kol.

180 -f 5

11725

Oznaczmy najprzód punktami odpowiednie cyfry, podług prawidła; — pokazuje się z tego, że pierwiastek składać się będzie z dwóch cyfr. Niech a -|~ b będzie szukanym pierwiastkiem, gdzie a oznacza wartość cyfry, stojącej na miejscu dziesiątków, a b wartość cyfry, stojącej na miejscu jedności. Wtedy a musi być największą wielokrotnością dziesięciu, której sześcian jest mniejszy od 274000; — jest to 60. Podpisujemy sześcian 60, to jest 216000, w trzeciej kolumnie pod daną liczbą, i odejmujemy go od tejże liczby. Umieszczamy potrojone 60, to jest 180, w pierwszej kolumnie, i potrojony kwadrat 60, to jest 10800, w drugiej kolumnie. Resztę, otrzymaną w trzeciej kolumnie, dzielimy przez liczbę, będącą

w drugiej kolumnie, to jest dzielimy 58625 przez 10800; otrzymujemy stąd 5, i to jest wartością b. Dodajemy 5 do pierwszej kolumny i mnożymy tę sumę przez 5, to jest mnożymy 185 przez 5; otrzymujemy z tego 925, co umieszczamy w drugiej kolumnie i dodajemy do liczby, która już się tam znajduje. Tym sposobem znajdujemy 11725; co mnożymy przez 5, umieszczamy iloczyn w trzeciej kolumnie i odejmujemy. Reszta jest 0, zatem 65 jest szukanym pierwiastkiem sześ

ciennym.

Zera na końcu mogą być dla krótkości poopuszczane, i całe działanie ostatecznie przedstawiać się będzie w ten sposób:

185

108

925

Ÿ274625 = 65

11725

216

58625

58625

281. Przykład. Wyciągnąć pierwiastek sześcienny z liczby 109215352.

I-a kol.

Il-gą kol.

48

8891

III-cia kol.

F109215352 = 478

1418

5689

64

49

6627

45215

39823

11344

674044

5392352

5392352

Po otrzymaniu dwóch pierwszych cyfr pierwiastku, mianowicie 47, obliczamy pierwszą i drugą kolumnę, sposobem, wyłożonym w § 278. Mianowicie umieszczamy podwojone 7 pod liczbą pierwszej kolumny, i dodajemy oba wiersze, co nam daje 141.; następnie podpisujemy kwadrat 7 pod liczbami drugiej kolumny i dodajemy trzy ostatnie wiersze, co zno-

wuż daje 6627. Dalej działanie jest prowadzone jak poprzednio. Pierwiastek sześcienny jest 478.

Przy wykonywaniu działania, odnoszącego się do tego przykładu, mogło się wydawać, że drugą cyfrą pierwiastku jest 8 lub nawet 9; lecz przez próbowanie każdej z nich, okazuje się, że one są zbyt wielkie. Podobnie jak i przy wyciąganiu pierwiastku kwadratowego może się czasami przytrafić, że wypada nam próbować zbyt wielkich cyfr, szczogól-niej przy oznaczaniu pierwszych cyfr pierwiastku.

282. Przykład. Wyciągnąć pierwiastek sześcienny z 8653002877.

1200

3025)

3 _____

Y 8653002877 =2053.

6153

123025

25

126075

18459

12625959

653002

615125

37877877

37877877

W tym przykładzie uczący się powinien zwrócić uwagę na zero, które się otrzymuje jako jednę z cyfr pierwiastku.

283. Jeżeli pierwiastek ma pewną liczbę cyfr dziesiętnych, wtedy sześcian mieć będzie trzy razy więcej tychże cyfr; z tego powodu w liczbie, mającej cyfry dziesiętne i wyrażonej w najprostszej postaci, liczba tychże cyfr dziesiętnych powinna być wielokrotną względem trzech, jeżeli dana liczba jest dokładnym sześcianem. W pierwiastku, zatem, sześciennym z takiej liczby, liczba cyfr dziesiętnych będzie trzy razy mniejszą, aniżeli w danej liczbie. Stąd, jeżeli liczba dana, z której chcemy wyciągnąć pierwiastek sześcienny, zawiera ułamek dziesiętny, wtedy oznaczamy punktem cyfrę, stojącą na miejscu jedności, i każdą trzecią cyfrę licząc w prawą i lewą stronę od tejże cyfry jedności, i następnie postępujemy tak, jak przy wyciąganiu pierwiastku z liczby całkowitej. Liczba punktów, napisanych nad częścią dziesiętną danej liczby, pokaże nam liczbę cyfr dziesiętnych w piarwiast-ku sześciennym.

284. Przykład. Wyciągnąć pierwiastek sześcienny z 14102, 327296.

LO| 00 ^

t o h-i

' tH

to IO

i—¹ O¹ Ü»

O Ol o

Y 14102,327296 = 24,16.

7236

1728

O ' Ol OC I-I LO Ol ^ LO

721

173521

278327

173521

174243

43416

17467716

104806296

104806296

285. Jeżeli dana liczba, czy to będzie całkowitą, czy też ułamkiem dziesiętnym, nie ma dokładnego pierwiastku sześciennego, wtedy możemy do niej dopisać zera i oznaczyć pierwiastek sześcienny z przybliżeniem do jakiegokolwiek stopnia.

W następującym przykładzie jest wykonane wyciąganie pierwiastku sześciennego z 0,4 do czterech cyfr dziesiętnych:

CIO o

o -o

h 0,400... = 0,7368.

l—i ZO i

to o

15339

343

22088

15987

13176

1614876

36)

1625088

176704

162685504

57000

46017

10983000

9671256

1311744000

1301484032

10259968

PRZYKŁADY XXIX.

Znaleść wartość następujących wyrażeń:

1. K9 cMK

2. V8a³b³.

3. V— 64 a³b⁶.

4.

25a²6²

49c⁴

5.

_ 216a³&9 125c⁶ ‘

Znaleść pierwiastki kwadratowe następujących wy

rażeń:

6.    16a² -1- 40ab -f 256².

9xA — 24^c² —]—

•    4a?² — 12» -f 9~ '

10. a:⁶ — 12^c⁵. —|— 60a:⁴ — 160a:³ -f 240æ² — 192a: + 64.

7. 49a⁴ — 84a²6 -f 366².

9. xi — 4a?³ —|—    —|— 4.

wyrażeń:

Znaleść pierwiastki stopnia czwartego z następujących

11.    16a:⁴ — 9Qx³y -(- 216x²y² — 216aą/³ -j- 81y⁴.

12.    \x⁴ — 2{a -f- b)x³ -f-(«² -|- 4ab -|-b²)x²—'lab(a-\-b)x-\-a²b²\². Znaleść pierwiastki kwadratowe następujących liczb:

14.    15129.

16. 4981,5364.

13.    1156.

15. 3080,25.

Wyciągnąć pierwiastki kwadratowe z każdej z następnych liczb do pięciu cyfr dziesiętnych:

17. 0,9.

19. 347,259.

Znaleść pierwiastki sześcienne następujących wyrażeń:

20.    x³ — 3a:² (a + b) -j- Sx (a -j- b)² — (a -f- b)³.

21.    x⁶ — 3aa:⁵ -|- 5a³a:³- — 3ahx — a⁶.

Znaleść pierwiastki sześcienne z następujących liczb:

24. 0,220348864.

22. 19683.

18.    129.

23. 2628072.

XXX.

¹

a + 36

Wykładniki.

286. W paragrafie 16 określiliśmy znaczenie wykładnika; i stosownie do tego określenia, wykładnik dotąd miał dla nas znaczenie zawsze liczby naturalnej, t. j. dodatniej •-i całkowitej. Rozszerzymy teraz określenie wykładnika, nadając znaczenie wykładnikowi ułamkowemu i wykładnikowi ujemnemu.

287. Jeżeli m i n oznaczają jakiekolwiek liczby całkowite i dodatnie, wtedy:

am X Q,n — a łn_tn.

Prawdziwość tego twierdzenia była już pokazaną w paragrafie 57, lecz nie będzie zbytecznem powtórzyć tutaj to dowodzenie:

m razy, na zasadzie § 16; an = a X a X a X.....n razy, na zasadzie § 16;

przeto:

amXcin —aX ci X a X • . . . X « X « X « X.....mn razy,

czyli, na zasadzie paragrafu 16:

am x an = am + " .

Podonież, jeżeli p jest także liczbą całkowitą i dodatnią: am X an X cip = am + n + p\

i tak dalej.

288. Jeżeli m i n są liczbami całkowitemi i dodatnie- # mi, a m jest większe od n, wtedy mamy, na zasadzie § 287:

am- n X an _ am - n + n — am.

skąd:

am

an

To również było już dowiedzione w paragrafie 70.

289. Ponieważ wykładniki ułamkowe i wykładniki ujemne nie były dotąd określone, przeto możemy je określić w taki sposób, w jaki tylko chcemy; i najdogodniejszą rzeczą będzie nadać tym wykładnikom takie określenie, że przy nich zasadniczy związek am X = cim +• n zawsze mieć będzie miejsce., jakiekolwiekby były m i n.

Naprzykład: przypuśćmy, że chcemy poznać znacze-me a .

Podług przypuszczenia powinno być:

a X ci = a¹ — a.

IC.—

Przeto a musi być taką liczbą, która pomnożona przez siebie samą powinna dać na iloczyn a; lecz pierwiastek kwadratowy

z a jest podług określenia taką liczbą; — zatem a musi mieć toż samo znaczenie co i pierwiastek kwadratowy z a, to jest

i

a — Va.

■i

Dalej: przypuśćmy, że chcemy poznać znaczenie a . Podług przypuszczenia powinno być:

k + i + ł

= a¹ = a.

Stąd wypada, tak jak poprzednio, że a musi mieć toż samo

k 3^_

znaczenie, co i pierwiastek sześcienny z a, to jest: a =Va.

Dalej jeszcze przypuśćmy, że chcemy poznać znaczenie a .

Podług przypuszczenia powinno być:

X ci X a — ft³;

a — y a³.

przeto:

Te przykłady dają uczącemu się pojęcie o tęm, co należy rozumieć przez jakikolwiek wykładnik ułamkowy; z tern wszystkiem podamy w dwóch następnych paragrafach ogólne określenie tegoż wykładnika.

290. Znaleść jakie ma znaczenie a , gdzie n jest jakąkolwiek liczbą całkowita, i dodatnią.

Na zasadzie przypuszczenia:

ci X a X a X . • . • n czynników =

n n n

-j- .... w wyrazów

= a¹ — a-

przeto a musi mieć toż samo znaczenie, co i pierwiastek potęgi n-tej z a, to jest:

a — V a.

291. Znaleśćjakie ma znaczenie a , gdzie m i n są ja-kiemikolwiek liczbami całkowitemi i dodatniemi.

Na zasadzie przypuszczenia:

ci X ci X ci X • • -. n czynników =

m m    ■

- ■■ + —» -f- — -f- .... w wyrazów

ss

przeto a

musi być pierwiastkiem potęgi n z am

czyli:

Stąd widzimy, że a oznacza pierwiastek potęgi ?ztej z a podniesionego do potęgi mt0j; to jest w wykładniku ułamkowym licznik oznacza wykładnik potęgi, a mianownik wykładnik pierwiastku.

292. Podług powyższego znamy znaczenie każdego wykładnika dodatniego czy to całkowitego, czy też ułamkowego; pozostaje nam teraz znaleść znaczenie wykładnika od-

jemnego.

Naprzykład: chcemy poznać jakie ma znaczenie a ². Podług założenia:

a³ X a ~² = a³ ~² = a¹ = a

przeto:

Podamy teraz określenie w ogólności.

293. Znaleść znaczenie a~n, gdzie n jest jakąkolwiek liczbą dodatnią całkowitą lub ułamkową.

Podług założenia, jakiekolwiekby było m, powinniśmy mieć:

am X a~n = am ~~ n •

Przypuśćmy, że m jest dodatnie i większe od n; wtedy

będzie:

am — n X an — am.

am

skąd:

an

a m

Aby wypadek ten dogodnie wyrazić słowami, określimy najprzód znaczenie wyrazu odwrotny. Pewna ilość nazywa się odwrotnością drugiej, gdy iloczyn tych dwóch ilości jest

lub ilością

równy jedności. Tak np. x jest odwrotnością ^ odwrotną względem ~ .

Podług tego a~n jest odwrotnością lub ilością odwrotną względem a". Wypadek ten możemy przedstawić pod jedną z trzech następujących postaci:

ą-n =

an ’

an =

an x a~n = 1 •

294. Z tego znaczenia, jakie nadaliśmy wykładnikowi ujemnemu wypada, że cim : an = am~n i w tym przypadku, gdy w jest mniejsze od n: równie jak i w tym, gdy m jest większe od n. W rzeczy samej: przypuśćmy że m jest mniejsze od n\ wtedy:

am : an —

an

an

— — am

Przypuśćmy teraz, że m — n: wówczas am : an jest oczywiście = 1, a am~n= a°. Ten ostatni symbol nie był jeszcze rozważany i nie otrzymał żadnego określenia; tym sposobem możemy mu nadać takie znaczenie, jakie najnaturalniej przedstawia się samo. Dla tego możemy powiedzieć, że a° — 1.

295.    Aby ustanowić zupełną teoryę wykładników, należałoby podać dowodzenia niektórych twierdzeń, wychodzących poza obręb niniejszego dziełka. Lecz te twierdzenia są tak prostymi wnioskami z określeń i własności ułamków, że czytelnik nie znajdzie żadnych trudności w zastosowaniu ich w tych przypadkach, które mogą mu się przytrafić. Z tego powodu pozostawiamy zupełny wykład obszerniejszym dziełom o algebrze, a tutaj podamy tylko niektóre przykłady.

296.    Jeżeli min są liczbami całkowitemi dodatniemi, wtedy wiemy, że: (am)n =. amn (patrz § 240).

Toż samo mieć będzie miejsce, gdy m i n nie będą liczbami całkowitemi dodatniemi. ISTaprzykład:

( łV

\a ) — a

W rzeczy samej: niech (a*f = x.

Wtedy podnosząc obie strony do potęgi 4«ej będzie: a = a:⁴; następnie zaś pod-

nosząc obie strony tej równości do potęgi trzeciej, otrzymamy:

12

a — x¹²; przeto x — a , co właśnie było do pokazania.

297. Jeżeli n jest liczbą całkowitą i dodatnią, wiemy, że: an X bn — (ab)n. Toż samo mieć będzie miejsce, gdy n nie jest liczbą całkowitą i dodatnią.

■g-    -3-    b

Naprzykład: a X b = (ab) . Gdyż jeżelibyśmy obie strony podnieśli do potęgi trzeciej: wtedy z jednej i drugiej otrzymalibyśmy ab] tym sposobem każda z nich jest pierwiastkiem sześciennym z ab.

W podobny sposób mieć będziemy:

a X b X c X • • • = (ubc . . . .) .

Przypuśćmy teraz, że tych ilości a, b, c . . . . jest m, i że wszystkie one są równe a; wtedy z powyższej równości będzie: czyli:

t n_\ m n_

\y a) = Vam

Stąd wypada, że aby pierwiastek potęgi n-tej z a podnieść do potęgi w, należy tylko ilość podpierwiastkową podnieść do potęgi m, pozostawiając resztę bez zmiany.

298. Ponieważ ułamek może przyjąć rozmaite postaci, nie zmieniając wszakże swojej wartości, przeto łatwo przedstawić pod rozmaitemi postaciami i ilość z wykładnikiem ułamkowym nie zmieniając jej wartości. Tak naprzykład:

2    4

4    T 6 • T •

—przeto możemy wnieść, że a =a 1 tak jest

ponieważ ~

w rzeczy samej. Gdyż podnosząc obie te ilości do potęgi szóstej, znajdziemy z jednej i z drugiej a⁴, czyli każda z nich jest pierwiastkiem potęgi szóstej z a⁴.

299. Dajemy teraz kilka przykładów działań algebraicznych, do których wchodzą wykładniki ułamkowe i ujemne.

15

Algebra

2    3    1

ï T ï

Pomnożyć: abc przez abc.

przeto:

03 CO

n- co

►H CO

t—I !CO

co’ioi

rH T-l

-H |cc

CM ICO

T“i

2    3 1    112

¥ ï T    '‘î '3 ï

«4 X « ô c

3    2 ï ¥

Podzielić: a? î/ przez x y .

o|«<j

i—i ! h-»

toi CO

CO ,'CH

hO\ M-

t-H !

CM :CO

tH CO

fcC I—

3    2    11

T "3" 'S U

przeto:

x y : x ij

Pomnożyć: x-\- x \ x

«j—

TT

przez: x -j- x

Ce —

x -\-x a? -f4 -j- 1

"I

wji;

ccj *♦—

Wj4-

4.

x -J- 2a? 4-1 —

t +¹ T

Tutaj mamy najprzód: x X x =- x —x ; następnie:

“"T

1    1    2    1

ir    ¥    y    ir

æ    = a?⁰ = 1 i tak dalej.

Podzielić:

tq—

x — 3 x y 4-3 x y — y

i T5~

przez: a? — 2a? y -j- y

■g⁻

— 2/

ł “i

— x -f- 2 x y

H- x y

-ł

ł -i

i ~~ł

-ł

ł -ł

i -ł

-\-x y

+ 2æ y

-ł

-hy

PRZYKŁADY XXX.

Znaleść wartości następujących wyrażeń:

tc —

_ _ _1_

1.    9    ;    2. (100) T; 3.    (1000) ;    4. (81)    .

5.    (u-²)-³,

Pomnożyć:

8.    -{- x² -J- 1 przez x~ ⁴ — a;⁻² -j- 1.

6.    Va~~ ³;

i

7. a X a X a .

9.

_ ï    i

?    ~ s

a    -f-a    -J- 1 przez a

Podzielić:

-ł

— 1.

13.

x —4 -j- 4x .

XXXI.

Ilości pierwiastkowe.

300. Gdy pierwiastek pewnej liczby nie może być dokładnie oznaczony, wtedy nazywa się on ilością pierwiastkową i przedstawia szczególny przypadek tego, co w matematyce nazywamy w ogólności ilością niewymierną.

Tak np. następujące ilości są pierwiastkowemi:

CM ICO

I-th

hM ooj

yi

Podobnież jeżeli pierwiastek wyrażenia algebraicznego nie może być oznaczony bez użycia wykładników ułamkowych, wtedy i on także nazywa się ilością pierwiastkową.

Tak naprzykład następujące ilości są pierwiastkowemu

Va,

Va² -\-ab -j- b²,    Va², Va,³ -|-è³.

Prawidła na działania z ilościami pierwiastkowemi, wypływają bezpośrednio z zasad, wyłożonych w poprzednim rozdziale; rozdział niniejszy jest prawie całkowicie zastosowaniem tych zasad do przykładów liczebnych.

301.    Liczby lub wyrażenia algebraiczne mogą się przedstawić pod formą pierwiastkową, nie będąc w rzeczywistości pierwiastkowemi. Tak naprzykład: V9 jest wyrażone pod postacią pierwiastkową, lecz nie jest w rzeczywistości ilością pierwiastkową, gdyż V9 = 3. Podobnież Va² -f- 2ab -|- b2 jest tylko pod postacią pierwiastkową, nie będąc w rzeczywistości ilością pierwiastkową, gdyż Va²-j- 2 ab -j- b²— a- -f b.

302.    Często wypada ilość wymierną przedstawić pod postacią ilości pierwiastkowej oznaczonego stopnia: w takim razie należy daną ilośó podnieść do potęgi takiej, jaki jest

wykładnik ilości pierwiastkowej, i nad tąż potęgą napisać znak pierwiastku.

Naprzykład:

3 = V& = V9;    4 — VI³ = j/64; a = Pa⁴;

3__

a -f- b — V (a + b)³.

303.    Iloczyn z ilości wymiernej przez ilość pierwiastkową może być wyrażony pod postacią ilości całkowicie pierwiastkowej w ten sposób: należy najprzód ilość wymierną wyrazić pod postacią pierwiastkową, i następnie pomnożyć przez daną ilość pierwiastkową (patrz § 297). Naprzykład:

3 VI = V9 x = VÏ8;

2 VI = V8 X VI = V32; a Vb = Va² X y à = V a²b.

304.    I odwrotnie: ilość całkowicie pierwiastkowa może być wyrażoną w postaci iloczynu z ilości wymiernej przez pierwiastkową, jeżeli można wyciągnąć pierwiastek z jednego z czynników ilości podpierwiastkowej.

Tak np.:

F32 = VÏ6X2 — VI6 X VI = 4 VI; VÏ8 = V~8X6 = VWx V6 = 2 J/6 ;

VaJ¥ = V a³ X VU = a VU.

305. Ilość pierwiastkowa ułamkowa może być zamienioną na równoważne jej wyrażenie, w którem mianownik będzie wymierny. Tak naprzykład:

fs-f

3 X_2 8X2

6 _V 6

16 ⁼ 4 ’

3X9

to I—¹

V18

306. Ilości pierwiastkowe, nie mające tego samego wykładnika pierwiastku, mogą być przekształcone na równoznaczne ilości takie, w których wykładniki pierwiastków będą jednakowe (patrz § 297). Naprzykład, weźmy pod uwagę

15 i Vn.

Ol

t-H

t—H

^ 125;

I 6_

5 =5

= l/& =

| 6__ 6 ___

(11) =(11) =^(11)*==^121.

307.    Możemy tutaj wskazać jedno z zastosowań poprzedniego paragrafu. Przypuśćmy, że chcemy poznać co jest

3_

większe \5 czy fil ? Jeżeli sprowadzimy obie te ilości do jednakowego wykładnika pierwiastku, przekonamy się że pierwsza jest większą, gdyż 125 jest większe od 121.

308.    Ilości pierwiastkowe nazywają sią podobnemi wtedy, gdy mają też same czynniki pierwiastkowe, albo też gdy mogą być sprowadzone do takiej postaci, że do nich wchodzić będą też same czynniki pierwiastkowe.

Tak np. 41' 7 i öV 7 są ilościami pierwiastkowemi po-

są także ilościami pierwiastkowemi

3_ 3___

dobnemi; 5^2 i 4fl6 podobnemi, gdyż:

3    3

4VÏ6 = 8!'2.

309. Aby dodać lub odjąć ilości pierwiastkowe podobne, należy dodać lub odjąć ich współczynniki i przypisać do wypadku współczynnik pierwiastkowy.

Naprzykład.

Vl2 -f J'75 — 1⁷48 = 213 = 513 — 4l⁷ 3 =

(2 —f— 5 — 4)^3 = 3V~3)

CM 'CO

F12    1    4 1

'2    '4    3

310. Aby pomnożyć jednomiany pierwiastkowe, takie, które mają tenże sam wykładnik pierwiastku, należy pomnożyć oddzielnie czynniki wymierne i czynniki pierwiastkowe. Tak naprzykład:

41/5 X 71/6 =281/30; 2tTX 3^2 = 61/8 = 6X2 = 12.

3 12 X V3 — 3V 6:

311. Aby pomnożyć jednomiany pierwiastkowe, w których wykładniki pierwiastków nie są jednakowe, należy je najprzód sprowadzić do jednakowego wykładnika i potem postępować jak wyżej.

3_

Naprzykład: pomnożyć 41/5 przez 2i 11. Na zasadzie

306 mamy:

to = J/125;

przeto żądany iloczyn będzie:

CM CO

64 X 12

27

111 = l'12l;

81425 X 121=8^15125.

312.    Mnożenie wielomianów pierwiastkowych wykonywa się w podobny sposób, jak każde mnożenie wielomianów algebraicznych.

Naprzykład:

(61/ 3f— 51/ 2') X (2 V 3~-j- 3J/ 2 ) = 36 -{- 18I⁷~6~

— 10V~6 — 30 = 6 + 8 V~6.

313.    Dzielenie przez jednomian pierwiastkowy wykonywa się w podobny sposób jak mnożenie przez jednomian pierwiastkowy. Wypadek z takiego dzielenia może być uproszczony na zasadzie § 305.

Nap rzy kład: 3h"2: 4l/y=

31/ 2

4 ^“3“ ~

~1/Y = -1/⁶

4f 3 4f 9

V~6

4 J/ 5 : 2 |/ll

4V 5 __ 21 125 2411 łl2l

125

121

125 X (ll)4 121 X (ll)⁴

2(/1830125

11

Zwracamy uwagę uczącego się, że powyższe przekształcenia, dokonane na zasadzie § 305, dają nam ostateczne wypadki pod postacią najdogodniejszą do liczebnych zastosowań; tak naprzykład, jeżeli chcemy znaleść przybliżoną wartość liczebną wyrażenia

3 V 2 :4 J/ 3,

wtedy najprościej dochodzimy do wypadku wyciągając pierwiastek kwadratowy z 6 i dzieląc otrzymany wypadek przez 4.

314. Dzielenie przez wielomian pierwiastkowy w jednym tylko przypadku ma znaczenie praktyczne, w tym mianowicie: gdy dzielnik jest sumą lub różnicą dwóch ilości pierwiastkowych stopnia drugiego, czyli zawierających pierwiastki kwadratowe. Takie dzielenie ostatecznie wykonywa się za pomocą ważnego działania, które polega na przekształceniu ilorazu, mającego mianownik pierwiastkowy, na takie wyrażenie, w którem mianownik jest wymiernym. Weźmy jako przykład ułamek:

5 ]/ 2 -f 2 V 3

jeżeli licznik i mianownik tego ułamka pomnożymy przez 5 V 2 — 2f 3 , wtedy wartość ułamka nie zmieni się a mianownik stanie się wymiernym. W rzeczy samej:

4(5 V~2 — 2 1 3)

(5 V 2 -f 2 V 3 ) (5 I 2 — 2 i 3)

V 3 4- V 2 _ (b 3 -f b 2 ) (2 b 3 + b 2) _ 2b"3- y 2    (2 b'3 — l/2) (2 blT+ b2) —

- __⁸+³ ÏJl _⁸+3 y~6

10

12 — 2

315. W ogólności gdybyśmy mieli ułamek, którego licznik jest jakikolwiek m, a mianownik sumą dwóch ilości pierwiastkowych stopnia drugiego:

a y b -)- c y d ’

wtedy w celu zamiany tego ułamka na taki, w którym mianownik byłby wymierny, należy jego licznik i mianownik pomnożyć przez różnicę tychże samych ilości pierwiastkowych, których suma stanowi mianownik.

W rzeczy samej, postępując tak otrzymamy:

(a y b — c y d)

a y b -J- c y d

Podobnież:

4(5 V 2 — 2 1/3) _ 10 b 2 — 4 b 3

50 — 12

19

(a y b + c y d) (a yb — c yd)

(<a V b — c y d)

a²b — c²d

Nowy mianownik a²b — c²d znajdziemy albo wykonywaj ąc wprost mnożenie (a V b -f- c V d ) (a V b — c V d ), albo też możemy odrazu napisać wypadek na tej zasadzie, że iloczyn z sumy dwóch ilości przez ich różnicę, równa się różnicy kwadratów tychże samych ilości (patrz § 77).

Gdyby w mianowniku była różnica dwóch ilości pierwiastkowych stopnia drugiego, wtedy należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez sumę tych ilości, których różnica stanowi mianownik. Np.:

(aV b ~l~ cV d)

ni

(a y b — c y d) (a y b -j- c y d)

(ay b -j- e y d)

a²b — c²d

316. W przypadku gdyby w mianowniku był trójmian pierwiastkowy, możnaby również ułamek taki zamienić na ułamek z mianownikiem wymiernym, tylko działanie byłoby dłuższe. Następny przykład pokazuje, jak w podobnych przypadkach należy postępować, aby uwolnić mianownik od ilości pierwiastkowych.

Niech będzie dany ułamek:

i a-4- y 5+y 7 ’

chwilę y 3 -f- b 5 jedną głoską s;

który chcemy przekształcić na ułamek z mianownikiem wymiernym. Oznaczmy na

wtedy dany ułamek przedstawi się pod postacią:

s -f y y '

Aby tutaj uwolnić się od ilości pierwiastkowej w mianowniku, należy licznik i mianownik pomnożyć przez s — b 7 ; czyniąc to będzie:

s-f y 7 (s+y 7) (s — y 7)    §² —7

Podstawmy teraz zamiast s jego wartość, to jest K 3 -f- V 5; wtedy ułamek ten zamieni się na następny:

V3 + Vb- 17

(F3—{— VY)² — 7 ’

a że:

(V 3 + y 5)² = 3 + 2 blö —j— 5 = 8 —2 blö,

(podług wzoru na (a -J- b)²), przeto powyższy ułamek będzie:

V 3 4- V 5 — VJ _ V 3 + VY — V 7

8 + 21/ 15 — 7

i + 2 Vïè

Zamiast więc ułamka danego, w którym mianownik był trójmianem pierwiastkowym, otrzymaliśmy ułamek, którego mianownik jest dwumianem; możemy przeto uwolnić się od ilości pierwiastkowych sposobem podanym wyżej, i ostatecznie otrzymać ułamek z mianownikiem wymiernym. Mnożąc mianowicie licznik i mianownik ostatniego ułamka przez 1 — 2 115, będzie:

v~3 + VY — VY _ (V~3 + V 5 — VY) (1—2 VYbj

(1 + 2 115) (1 — 2 V 15)

1 + 2 \ Î5

V 3 + VY — VY—6 VY— 10 V 3 + 2 t⁷lÖ5 ï — 60 _ 9 V 3 — 5 V 5 — V 7 + 2 V10b — 59

59

_ 9 1/3 + 51/ 5+ 1/7 — 2 V 105

Temu więc ostatniemu ułamkowi równa się ułamek dany:

W podobny sposób, przez dwukrotne powtórzenie działania mnożenia licznika i mianownika przez jednę i tęż sarnę ilość, możemy każdy ułamek, którego mianownik jest trójmianem pierwiastkowym, zamienić na ułamek z mianownikiem wymiernym.

317. Pokażemy teraz jak znaleść pierwiastek kwadratowy z dwumianu, którego jeden wyraz jest ilością pierwiastkową stopnia drugiego. Przypuśćmy naprzykład, że chcemy znaleść pierwiastek kwadratowy z 7 + 4 V 3 . Ponieważ:

(la? + J/y)² = a:-{-^/ + 2 Vxy,

przeto widoczną jest rzeczą, że jeżeli znajdziemy na x i y takie wartości, któreby zadosyć czyniły warunkom:

x y = 7^

2 V xy — 4 V 3 , wtedy pierwiastek kwadratowy z 7 -(- 4 ł⁷ 3 będzie równy ha: -j- F y. Całe działanie możemy ułożyć w ten sposób:

Przypuśćmy, że:

^7 + 4 V3 =]/x -\-Vy

podnieśmy obie strony tej równości do kwadratu, będzie: 7    4 V 3 — x -f- y -(- 2 Zxy.

Przyjmijmy, że

wtedy będzie:

2    = 4 h3.

Podnieśmy znowuż do kwadratu obie strony każdego z tych. dwóch ostatnich równań, i odejmijmy je następnie; otrzymamy:

{x -j- ijf — 4xy = 49 — 48 — 1,

czyli:

skąd:

(x — yY = 1, x — y — l.

Ponieważ x -j- y — 7, i a? — y = 1, przeto będzie: x — 4, y = 3.

Otrzymamy więc:

^7 — 4 y 3" = l⁷4 -f K 3 = 2 -f K3. Podobnież znaleźlibyśmy:

K 7—4^3 =2 — 1/3.

318. Rachunkiem podobnym do powyżej pokazanego moglibyśmy znaleść i ogólne wyrażenie na

a + V b ;

pokażemy jednak tutaj jeszcze inny sposób wyprowadzenia tych. wyrażeń ogólnych.

Jeżeli jakąkolwiek ilość podniesiemy do kwadratu i następnie z tego ostatniego wyciągniemy pierwiastek kwadratowy, wtedy otrzymamy początkową ilość; — dwa te działania wzajemnie się zniosą. Na tej zasadzie mamy:

czyli:

Vx -j- V y = Y(Vx -j- V y )⁴

Podobnież:

Vx -f- Vy — ]/x + y 2 V xy .    ...    (1)

V x — V y = j/(]/x — V y )⁴

czyli:

— 2 Vxy .... (2)

Dwie te równości są tożsamościowe, to jest mają miejsce przy wszelkich znaczeniach na x i y\ — mieć więc będą miejsce i wtedy gdy uczynimy:

x ■=. a -f- V b,

Dodając odpowiedniemi stronami te ostatnie dwie równości, będzie:

x -f- y = 2a; xy — a⁴ — b.

mnożąc zaś je:

Podstawiając teraz te wartości na x, y, x -f- y i xy w równości (1) i (2), otrzymamy:

y a -j- V b -i- f/a — V b = J/ 2a-I-2 V a⁴ — b ,

Ÿ a -(- V b — \/ a — V b = J/ 2a — 2 Va⁴ — b .

Przez dodanie odpowiedniemi stronami tych dwóch równości znajdziemy: przez odjęcie zaś drugiej równości od pierwszej będzie:

2 ) a — VJ '=Y 2 a + 2 I ~a² - b — j 2a - 2 I a² — b. Dzieląc tak pierwszą, jak i drugą równość przez 2 otrzymamy:

f a -j- 1 &

j 2a -f 2 V~a^b f/ 2a — 2 V~a²—T

]/ 2a — 2 V a² — b

Podprowadzając zaś mianowniki 2 pod znaki pierwiastku:

2a + 2 V a² — b

2« — 2 Va² — b

i skracając następnie każdy z ułamków, znajdujących się na drugich stronach równości, otrzymamy ostatecznie dwa wzory:

a -f- V a² — b

y a -f- V b =

a — Va² — b

a -j- I a² — b

a — Va² — b

Równości te są tożsamościami, to jest mają miejsce przy wszystkich znaczeniach na a i b. Chcąc je zastosować, należy w każdym szczególnym przypadku podstawić zamiast a i b odpowiednie wartości. Tak np. jeżeli dane wyrażenie będzie:

y 7 + 4 V3 ,

które już wyżej rozważaliśmy, wTtedy należy najprzód 4 podciągnąć pod znak pierwiastku, otrzymamy:

j 7 -f- I 48,

i następnie w pierwszym z ostatnich wzorów podstawić 7 zamiast a i 48 zamiast b. Znajdziemy:

i nakoniec:

/ 7 + 4 F 3 = 2 + 1/3.

sze

z-

7 + y 49 — 48

7 — V 49 — 48

// 7+^48 =

7 4- V 7² — 48

7 — V 7- - 48

Lecz jakkolwiek te wzory zawsze dają się zastosować jakie-kolwiekby a i b miały znaczenia, z tem wszystkiem nie zaw-dogodną jest rzeczą używać ich, gdyż wyrażenia na drugich stronach tych równości są w ogóle bardziej złożonemi, aniżeli na pierwszych stronach. W jednym tylko przypadku korzystnem jest; ich użycie, wtedy mianowicie, gdy na drugich stronach zginą znaki pierwiastkowe pod pierwiastkiem. Ten wypadek mieć będzie miejsce wtedy, gdy ilości a i b będą takie, że a² — b będzie zupełnijm kwadratem. Wtedy bowiem la² — b będzie mógł być znaleziony dokładnie, i ilości pierwiastkowej pod znakiem pierwiastku nie będzie.

Weźmy jeszcze jako przykład:

y 8—2 Vi&

Najprzód podprowadzamy współczynnik 2 pod znak pierwiastkowy; będzie:

y 8—V60.

Tutaj: a² — b = 8² — 60 = 64 — 60 = 4, jest zupełnym

kwadratem; dogodną jest więc rzeczą użyć wzoru na J a — V b. Stosując ten wzór otrzymamy:

y S -160 =

8-fl8² — GO

8 — V 8² — 60

8+^4

i nakoniec:

Ÿ8- 21/15 = J/ 5— Y 3.

PRZYKŁADY XXXI.

Uprościć:

1) 3 V 2 -j- 41 8 — I 32;

3    3    3

2) 2J/T+5I32—1/108;

3)    8“

O 2    //16

Pomnożyć:

4)    1 —|—U 3 —V 2 przez V 6 — Y 2.

5)    fs-y V Y przez: p= + p==.

Uczynić wymiernymi mianowniki następujących ułam

ków:

6)

3-f J/~2~

2 I 2 '

7)

J/"3 -f Y 2 KIT— K 2

8)

2J/5+ Y 3 3J/ö~-f 2F 3

=4

Wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z następujących

wyrażeń:

9)    14 + 6Y 5.    10) 4 —J/l57

Uprościć:

11)

// 7—41/3'

13) Va³ - P b*-f ( Pm Y -f    a

IV i)

Wykonać działania:

14) (Vm — im—n) (Vm-\-Vm

n).

15.

W następujących wyrażeniach wprowadzić współczynnik pod znak pierwiastkowy.

16) öV 4;

17)    \ a\ Va.

Uczynić wymiernymi mianowniki w następujących

ułamkach:

18)

1 + 2^3

19)

I x -f V ij ’

Znaleść czemu się równa:

²⁰> j y a",

21)

22)

ZU/«.

XXXII.

¹

.

²

2

³

   . 3

10. x — y przez x — y .

3.

x — xy Ą- x y — y przez x — y .

Znaleść pierwiastki kwadratowe następujących wyra

żeń:

⁴

y a -f V b = ]/ 2a -f 2 V'a⁴ — b -f' J/ 2a — 2 V a⁴ — b ;

Równania stopnia drugiego.

319.    Równaniem stopnia drugiego nazywamy takie równanie, które zawiera kwadrat ilości niewiadomej, ale nie zawiera wyższej potęgi tejże ilości.

320.    Równanie stopnia drugiego nazywa się czystem wtedy, gdy zawiera tylko kwadrat ilości niewiadomej. Rów-

nanie stopnia drugiego nazywa się wtedy zupełnem, gdy, oprócz kwadratu niewiadomej, zawiera także niewiadomą w stopniu pierwszym. Tak naprzykład: równanie 2x² = 50 jest czystem równaniem stopnia drugiego; równanie zaś 2x² —    -(- 3 — 0 jest zupełnem.

321. Na rozwiązanie czystego równania stopnia drugiego można podać następujące prawidło:

Należy najprzód znaleść wartość na kwadrat niewiadomej sposobem podanym na rozwiązywanie równań, stopnia pierwszego^ następnie przez wyciągnięcie pierwiastku kwadratowego znajdą się wartości na niewiadomo

Naprzykład: rozwiązać równanie:

x-

-!3 , ü!

3    '10

— 5

Znieśmy najprzód mianowniki przez pomnożenie obu stron równania przez 30; będzie:

10 (x² — 13) -f 3 (x- — 5) = 180 ;

13#² = 180 -f 130 -f 15 = 325;

325

skąd:

= 25.

x- =

13

i następnie:

Wyciągając z obu stron pierwiastki kwadratowe, otrzymamy:

x = Hz 5.

W tym przykładzie postępując najprzód tak, jak przy rozwiązaniu równań stopnia pierwszego znaleźliśmy, że x² jest równe 25. Stąd wypada, że samo x jest taką liczbą, która podniesiona do kwadratu, daje na wypadek 25; czyli x jest pierwiastkiem kwadratowym z 25.

W arytmetyce takim pierwiastkiem jest 5, lecz w algebrze pierwiastek ten ma dwa znaczenia —j— 5 i — 5, (patrz § 257). Zatem x może mieć wartość -f- 5 lub — 5; każda z tych ilości zadosyć czyni równaniu, i to wyrażamy pisząc:

x = H- 5.

322. Stąd widzimy, że równanie czyste stopnia drugie-

go ma dwa pierwiastki, jednakowe co do liczebnej wartości, ale różniące się znakiem. Jeżeli chcemy dwa te pierwiastki oddzielnie i wyraźnie napisać, wtedy rozróżniamy je w ten sposób, że jeden z nich oznaczamy przez xXl drugi zaś przez x₂] tym sposobem będzie:

xx — -j- 5; x.₂ — — 5.

W ogóle, gdyby było do rozwiązania równanie:

ax² -j- c — 0,

wtedy, przez przeniesienie c na drugą stronę, byłoby najprzód:

ax² — — e,

następnie:

X-

a przez wyciągnięcie z obu stron pierwiastku kwadratowego: czyli, pisząc oddzielnie oba pierwiastki:

xl —

Natura tych pierwiastków zależy od ilości znajdującej się pod

znakiem pierwiastku, to jest od — —Najprzód należ}⁷⁻ tu

zwrócić uwagę na to, że nie zawsze ta ilość jest ujemną, jakkolwiek w ogólnym wzorze znajduje się znak —. Znak ten powstał z przeniesienia c na drugą stronę równania, i wyraża tylko to, że na tej drugiej stronie c ma znak przeciwny temu, jaki miało, gdy było na pierwszej stronie. Zatem — c oznaczać będzie tylko wtedy ilość ujemną, gdy c na pierwszej

stronie było dodatnie,*) i ułamek---— będzie dodatnim wte

dy, gdy c na pierwszej stronie jest ujemne; w przeciwnym zaś

razie ułamek ten jest ujemnym. Gdy

c

— jest ilością dodatnią, wtedy J/--— , a zatem i wartości na xx i x₂ albo

mogą być dokładnie wyrażone za pomocą liczby całkowitej lub ułamka, (co mieć będzie miejsce wówczas, gdy--— bę

dzie zupełnym kwadratem), albo też obie te wartości pozostaną niewymierne.

c

Gdy — będzie ujemne, wtedy wartości na x będą

Gj

niemożliwe, czyli urojone. (§ 259).

Objaśnimy to, co było powiedziane wyżej, kilkoma przy

kładami:

Z równania

5x- — 45 = 0.

otrzymujemy,

5x² = 45, x² = 9,

x.i :— -— 3.

4x² — 25 = 0. Wtedy: 4x² = 25,

skąd: x = + 3; czyli pisząc oddzielnie oba pierwiastki: x₁ = 3;

Drugie równanie:

skąd:

x² —

LO

CO O'

inakoniec:

*) Gdyż w przeciwnym przypadku przez zmianę wszystkich znaków w calem równaniu, otrzymalibyśmy równanie, w którem pierwszy wyraz byłby dodatni.

Gdyby było równanie: lx² — 21 = 0: wtedy pierwiastki jego byłyby niewymierne:

xx — i 3 , x₂ — — V 3. Przypuśćmy jeszcze, że mamy równanie:

3x² -f 12 = 0.

Chcąc je rozwiązać, mamy najprzód:

3x² = —- 12,

= — 4,

to jest:

x₁ =

»O KM

to ca

następnie: a stąd:

A że niema takiej ilości dodatniej lub ujemnej, któraby podniesiona do kwadratu dała na wypadek ilość ujemną—4, przeto w tym przypadku x nie może być oznaczone w liczbach dodatnich lub ujemnych: i to wyrażamy mówiąc, że x jest urojone. Przeciwnie zaś w pierwszym przypadku wartości na x nazywamy rzeczywistemi. Często w matematyce ilości urojone wyrażamy symbolicznie następującym sposobem: Ponieważ: -— 4 = 4 X — 1, przeto:

1—4 = I

X — 1 ,

I — 4 =I4X<    -

czyli:

¹ r-H

V - 4 = 21 -    1 .

to jest:

Tutaj V — 1 jest właśnie znakiem lub symbolem ilości urojonej: zwykle oznaczamy go w rachunkach głoską i. Wprowadzając to oznaczenie mieć będziemy następujące wartości na x:

xx = 2«; x₂ = — 2 i.

W rozbieranym przypadku równanie niema rozwiązania w liczbach dodatnich i ujemnych. Lecz uważając 2i jako ilość nowego rodzaju, i nadając głosce i znaczenie takie, że *² = — 1, możemy się przekonać łatwo, że przy tych warun-

kach 2i zadosyć czynić będzie danemu równaniu: 3x²-\-12—0. Przez wprowadzenie zatem znaku ilości urojonej, rozwiązanie czystego równania stopnia drugiego, staje się zawsze możli-wem; — tylko w pewnych przypadkach rozwiązanie to będzie rzeczy wistem, w innych zaś urojonem.

W ogólności ilość urojona V — a² może być w ten sposób wyrażona:

Ponieważ:

— a² = a² (— 1)

więc:

czyli:

V — a² =V a² . (— 1)

V~^ä^= VT² .

albo:

)/    __    q;2 - ß ]/    _ ^.

Wprowadzając i zamiast V — 1, będzie V — a² = ai.

323. Ażeby móc uważać wszystkie liczby dodatnie za kwadraty pewnych liczb, wypadło nam wprowadzić liczby niewymierne. Podobnie i tutaj, ażeby móc jeszcze i liczby ujemne uważać za kwadraty pewnych liczb, czynimy nowe uogólnienie, wprowadzając liczby, które nie są ani dodatnie, ani ujemne, i które dlatego — niezupełnie właściwie — nazwano urojonemi.

Charakterystyczna różnica pomiędzy liczbami rzeczy-wistemi i urojonemi polega na tern, że każda liczba rzeczywista a jest równa, większa lub mniejsza od drugiej liczby rzeczywistej b, zależnie od tego czy a — b jest 0, dodatnie czy ujemne; ale różnica dwóch liczb urojonych

ai — hi — (a — b) i

jest też liczbą urojoną, a więc ani dodatnią ani ujemną; liczba ai nie jest więc ani większą ani mniejszą od bi, chociaż nie jest jej równa.

Liczby rzeczywiste przedstawialiśmy na lini prostej OX zwykle w ten sposób, że punkty odpowiadające liczbom większym leżały na prawo od punktów, przedstawiających licz-

by mniejsze; liczby urojone przedstawimy więc za pomocą takich punktów, które nie leżą względem siebie na prawo ani na lewo. W tym celu prowadzimy prostą O F prostopadłą do 0X i wypisujemy wzdłuż niej. w odstępach równych jednostce długości, liczby urojone i, 2i, Si... nad osią 0X a — i,

31 -

Zl~

-3 ~2 -1

-i --2i -

— 2i, — 3i... pod osią. Proste OX i OT nazywają niekiedy osią rzeczywistych i osią urojonych.

ozna-

Ilość urojona V—u = i 1 a może byc ułamkowa lub niewymierna, zależnie od tego, jakim jest ! a. Punkt Pnp.

cza

iO Ol

i.

W dalszym cia,gu, o ile nie zrobimy odpowiedniego zastrzeżenia, przez litery oznaczać będziemy tiylko ilości rzeczywiste; jedynie litera, oznaczająca niewiadomą w równaniu, przedstawiać może równie dobrze wielkość urojoną\ jak rzeczywistą.

324. Przechodzimy teraz do rozwiązania równań zupełnych stopnia drugiego.

Cl

Jeżeli x -j- pomnożymy przez też sarnę ilość, otrzy

mamy:

= x² -[- ax -f-

(•'■ • 2)(x + 2r)=ł + ²f +

Widzimy więc, że x- -}- ax -}-

jest zupełnym kwadratem,

gdyż jest to kwadrat ilości x -j-mian x² -(- ax staje się kwadratem zupełnym przez dodanie to jest przez dodanie kwadratu połowią współ-

Stąd wypada, że dwu-

a²

do niego

czynnika przy x. Fakt ten stanowu główną podstawę rozwiązania równania zupełnego stopnia drugiego. Objaśnimy to kilkoma przykładami.

Weźmy np. x~ -j- 6x] tutaj połową współczynnika przy x jest 3; dodając do tego dwumianu 3², otrzymamy x² 4--j- 6x -|- 3², a to jest (x -(- 3².

lO CM

x² — tutaj połową współczynnika przy x jest —    ,

dodając ~) » czJ]i ( y) ’ otrzymamy x² — 5x -f- |-|-J ,

5\²

a to jest

■i

11.

5.

WIC

12.

x —4 x -\-2x -\-4:X —\x -j- x .

4x.    ,    .2

X² —

-p~ ; tutaj potową współczynnika przy x jest — _ ; ö    D

dodając

OU LO

otrzymamy x² —

^ + (g)²,atojeSt(x-|)

x² —

^ ; tutaj połową współczynnika przy a: jest — ^ ;

dodając (— | j , czyli | ^ J co znowuż jest równe ja? —

otrzymany a;²

t+(- r

CO GO

3 \²

8/ '

Działanie objaśnione tymi przykładami, nazywa się dopełnieniem do kwadratu.

325. Prawidło

na

rozwiązanie równania zupełnego *

stopnia drugiego jest następne:

Należy najprzód równanie przyprowadzić do takiej postaci, aby na pierwszej stronie były tylko wyrazy zawierające niewiadomą, i aby współczynnik przy x² był równy 1] następnie

dodać do każdej strony równania kwadrat polowiy współczynnika przy x i wyciągnąć z obu stron pierwiastek kwadratowy.

Przekonamy się z przykładów następujących, że prawidło to prowadzi nas do takiego punktu, z którego bezpośrednio już możemy otrzymać wartości na niewiadomą.

326. Rozwiązać równanie:

x² — 10.r -)- 24 = 0.

Przenosząc wyraz wiadomy 24 na drugą stronę, będzie: x² — 10x — — 24;

, otrzymamy:

dodając do obu stron równania po j

x² — 10x 4- 5² = — 24 -f 25 = 1. Wyciągnijmy teraz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania; znajdziemy:

x = albo 5 —{— 1, albo 5 — ; x₁ =6; x₂ = 4.

rH

skąd:

Łatwo się przekonać, że każda z tych wartości zadosyć czyni danemu równaniu, i zalecamy uczącemu się sprawdzać zawsze otrzymane wartości przez podstawienie ich w dane równanie.

327. Rozwiązać:

3x² — 4x — 55 = 0.

Przenosząc wyraz wiadomy na drugą stronę:

3x² — 4x = 55 dzieląc przez 3 obie strony równania, otrzymamy:

x² —

4x 55

y⁼y;

dodając do obu stron po | “ j :

T+("f

CU co

55

~y ⁺

wyciągając pierwiastki kwadratowe:

169

13

skąd:

CU co

13

—f— -------•

— 3 ’

czyli:

xt - 5; x₂ =

11

328. Rozwiązać:

2x² -j- 3x — 35 =: 0.

Przenosząc wyraz wiadomy na drugą stronę:

*2x² + 3x= 35,

dzieląc następnie przez 2:

₀ , 3x 35

x +Y

17

i dodając I —

3 \²

, otrzymamy:

₌ 35    9

2 "r" 6

Wyciągając teraz pierwiastek kwadratowy z obu stron, będzie:

₀ . 3x i 3 \²

x+t+(t)

tH

16

X -j-

IZ.

skąd:

329. Rozwiązać:

x² — \x — 1 = 0.

Przez przeniesienie wyrazu wiadomego, będzie:

x² — 4cX = 1;

dodajemy teraz do obu stron równania 2²; otrzymamy: x² — 4:X -f- 2² — 1 -\- 4 = 5,

skąd, po wyciągnięciu pierwiastku kwadratowego znajdziemy:

x — 2 = ± V~&,

a następnie:

x — 2 -t- V 5.

Tutaj pierwiastek kwadratowy z 5 nie może być znaleziony dokładnie; — w każdym razie za pomocą sposobu podanego w §§ 273 i 274 możemy oznaczyć wartość przybliżoną tegoż pierwiastku do takiego stopnia, do jakiego chcemy, a tern samem i wartość na x może być oznaczoną z takim stopniem przybliżenia, z jakim chcemy.

330. W przykładach dotąd rozwiązanych znajdywaliśmy zawsze dwa różne pierwiastki równania stopnia drugiego; są jednak pewne przypadki, w których otrzymujemy w rzeczywistości jeden tylko pierwiastek. Weźmy jako przykład równanie: x² — 14ai -f- 49 = 0; przez wyciągnięcie pierwiastku kwadratowego z obu stron równania będzie x — 7 = 0 skąd x = 7. Jednak dla wielu powodów uznano za stosowne mówić i w tym przypadku, że równanie stopnia drugiego ma dwa pierwiastki równe.

331. Rozwiązać:

x² — 6x -f 13 = 0.

Przenosząc wyraz wiadomy na drugą stronę, będzie: x² — 3x = — 13;

dodając po 3² do obu stron:

x² —    —{— 3² = —- 13 —j— 9 = — 4.

Wyciągając z obu stron pierwiastek kwadratowy, otrzymamy: czyli:

Lecz — 4 nie może mieć żadnego pierwiastku kwadratowego dodatniego lub ujemnego, więc żadna liczba rzeczywista nie może czynić zadość danemu równaniu.

Pierwiastki te mogą być przedstawione pod taką postacią, jak pierwiastki §'322; mianowicie, ponieważ:

I - 4 = Vé. (- 1) =21 — 1 = 2»,

x = 3 -h 2 i,

przeto:

lub, pisząc oddzielnie oba pierwiastki:

xl = 3 ~\- 2», x₂ = 3 — 2?.

Liczby takie, będące sumami liczb rzeczywistych i urojonych nazywami liczbami zespolonemi, albo także urojonemi.

332. Rozwiązać równanie:

tH

co

to

Znieśmy tu najprzód mianowniki, przez pomnożenie obu stron równania przez 4 (x² — 1), to jest przez najmniejszą wspólną wielokrotną względem mianowników. Otrzymamy:

2 (x -f 1) + 12 = a:² — i.

Przenosząc wyrazy zawierające niewiadomą na pierwszą, a wyrazy wiadome na drugą stronę:

x² — 2x — 15;

dodając po 1² do obu stron:

x² — 2x + 1 = 15 + 1 = 16; a wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron będzie: x — 1 = zh 4, x — 1 di 4; xx — 5; a;₂ = — 3.

333. Rozwiązać równanie:

2x 3a; — 50 _ 12x -f 70 15 >■ 3(10 + œ)

Pomnóżmy obie strony równania przez 570, to jest przez najmniejszą wspólną wielokrotną liczb 15 i 190; będzie:

190 (Sx — 50)

10 -j- x

skąd:

czyli:

76a: -f~

190    '

- 3 (12x -j- 70);

skąd:

190 (Sx — 50) 10 + x

— 210 — 40a;,

a następnie:

190 (Sx — 50) = (210 — 40a:) (10 + x),

czyli:

570a; — 9500 = 2100 — 190a; — 40a;²,

i dalej:

40a;² -}- 760a; = 11600; dzieląc zaś obie strony równania przez 40:

x² -f- 19a;    290.

119\²

3521

Dodajmy teraz do obu stron po | —I ; otrzymamy: x² + ldx + |~)² = 290 -f =

a wyciągając z obu stron pierwiastki kwadratowe, będzie:

x -f

19

39

skąd:

x— —

2 ⁼ - 2

19    39

2 ± 2

xx — 10; ;r₂ = — 29. 334. Rozwiązać równanie:

£C + 3

i nakoniec:

#+2

—    3 2x — 3

—    2 x — 1

Znosząc mianowniki otrzymamy:

{x -f 3) (x — 2) (x — 1) -j- {x — 3) (x -f 2) (x — 1) =

= (2# — 3) (a; —J— 2) (x — 2),

skąd przez wykonanie wskazanych mnożeń:

xs — 7x -j- 6 -(- x% — 2x² — hx -f- 6 = 2x³ — 3,-r² — 8oj -j- 12;

a następnie:

' x² — 4x — 0.

Dodając do obu stron równania po 2², będzie:

aj? — 4x -f 2² = 4,

wyciągając zaś pierwiastki kwadratowe, znajdziemy: x — 2 = -f- 2.

Stąd nakoniec:

czyli:

x = 2 + 2, ajj = 4; rc₂ — 0.

Działanie zawarte w ostatnich wierszach podaliśmy dla tego, aby przedstawić rozwiązanie równania w ten sam sposób, w jaki rozwiązywaliśmy poprzednie przykłady; — lecz rozwiązanie w tym przypadku może być znalezione prościej.

W rzeczy samej: równanie x² — 4x = O może być tak napisane: x (x — 4) = 0; i ponieważ pierwsza strona jest iloczynem z dwóch czynników, który ma być równym zero, przeto widocznem jest, że musi być albo x — 4—0, lnb x =. 0; czyli albo x = 4, albo też x = 0. (§ 148.)

Zwracamy jeszcze uwagę uczącego się na to, że po zniesieniu mianowników w powyższym przykładzie 2x³ znalazło się na obu stronach równania, i z tego powodu mogło ono być usunięte z równania przez odejmowanie, przez co równanie wypadło stopnia drugiego.

335. Każde równanie stopnia drugiego może być sprowadzone do postaci x² -\- px -\- q = 0, gdzie p i q są liczbami wiadomemi, całkowitemi lub ułamkówemi, dodatniemi lub ujem-nemi.

Grdyż równanie stopnia drugiego, podług określenia, nie zawiera wyższych potęg ilości niewiadomej nad drugą. Przenieśmy wszystkie wyrazy równania na pierwszą stronę i jeżeli potrzeba, zmieńmy wszystkie znaki na przeciwne, tak, aby wyraz zawierający kwadrat niewiadomej był dodatni:—wtedy dzieląc wszystkie wyrazy równania przez współczynnik przy niewiadomej w stopniu drugim otrzymamy równanie powyższej postaci.

Naprzykład: przypuśćmy, że mamy równanie:

7x — Łx² = 5.

Będzie najprzód:

7x — AlX² — 5 = 0.

następnie:

\.x² — 7x -j- 5 = 0; dzieląc obie strony równania przez 4:

x² —

i*

7

4»« =

W tym więc przykładzie p —---

336. Rozwiązać równanie:

x² -f- px -f 0. — 0.

Przez przeniesienie wyrazu wiadomego mamy:

x² -f- pa? = — q.

I 7) ^

Dodajmy P°( ₉ | do obu stron; otrzymamy:

2 px _f_

p² _p² — 4g

«+ 4

Wyciągnijmy z obu stron pierwiastki kwadratowe; będzie:

bp² — 4g 2~ T“ 2

skąd: x —

i P

bp-—4g —p ±bp²- 4g

co można też tak napisać:

— (Z-

337. Tym sposobem otrzymaliśmy wzór ogólny na pierwiastki równania stopnia drugiego x² -j- px -j- q = 0, mianowicie x musi być równe:

— p —bp² — 4g

lub

— p -f-Kp² — 4q

Z tych wzorów ogólnych wyprowadzimy teraz kilka bardzo ważnych wniosków, które na zasadzie § 335 odnosić się będą do każdego równania stopnia drugiego.

338.    Równanie stopnia drugiego nie może mieć wiącej niż dwa pierwiastki.

Widzieliśmy bowiem, że pierwiastek musi być równym jednej z dwóch znalezionych powyżej wartości.

339.    W równaniu stopnia drugiego, w którem wszystkie wyrazy są przeniesione na jedną stroną, a współczynnik przy niewiadomej w stopniu drugim jest równy jedności, suma pierwiastków jest równą współczynnikowi przy drugim wyrazie ze znakiem przeciwnym, iloczyn zaś tychże pierwiastków jest równy wyrazowi ostatniemu.

Gdyż niech będzie dane równanie:

x² -j- px -j- q = 0; wtedy suma pierwiastków będzie:

lp² — 4 q

to jest —p.

— V “h f PŁ — 4g

Iloczyn zaś tychże pierwiastków jest:

— P -f^p² — 4q

— p — Vp² — 4 q

ic

co jest równe: czyli:

p* — Cr —

<1-

340. Paragraf poprzedni zasługuje na szczególną gę; przedstawia on bowiem bardzo dobry przykład i natury ogólnych wypadków algebry i zarazem sposobów, jakimi do tych ogólnych wypadków dochodzimy. Uczący się powinien

wszystkich przykładach równań

uwa-

sprawdzić te twierdzenia na stopnia drugiego dotąd rozwiązanych.

Tak np. weźmy zadanie § 327; równanie tam podane może być przedstawione pod postacią:

4.x    55

pierwiastki jego są: 5 i —

TT = °-

^ •suma ich wynosi^-, iloczyn zaś 3

55

341. Rozwiązać równanie:

ax² + bx -f- c = 0.

Przenosząc wyraz wiadomy na drugą stronę, mamy:

ax² -j- bx = — c\

dzieląc całe równanie przez ą, będzie:

2 ! &

xl h--x =---- ;

u

dodając do obu stron równania po :

b² — 4 ac

x2 + TX + (2«)

b²

4 a²

Si i Ci

4a-

Wyciągnijmy teraz pierwiastek kwadratowy z obu stron równania, będzie:

, à X+ 2«

I b² — 4ac

2a

przeto:

2a

342. Wzory ogólne, podane w § § 336 i 341 mogą być użyte do rozwiązania jakiegokolwiek równania stopnia drugiego. Weźmy jako przykład równanie: 'Sx² — 4x — 55 = 0: podzielmy obie jego strony przez 3, będzie.

.. 4x

X¹ —

8=°-

Uczyńmy teraz we wzorze £ 336, który daje wartości pierwiastków równania x² -|-px -j- q = 0, p — — ^

otrzymamy po wykonaniu działań pierwiastki danego równania.

55

iq = - 3

Lecz dogodniejszą jest rzeczą użyć wprost wzoru § 341, tym sposobem bowiem unikamy ułamków. Ponieważ dane równanie jest: ?>x- — 4x — 55 = 0, przeto we wzorze, dającym wartości pierwiastków równania ax² -j- bx -f- c = 0, należy uczynić a — 3, b = — 4, i c = — 55. Wykonywając te podstawienia w wyrażeniu:

— b zt I b² — 4ac

miećpędziemy takie wartości na x:

4 H- b!6 + 660

, czyli:

4 ± V 676

to jest

albo: 5 i —

11

343. Oznaczając przez x₁ i x.₂ oba pierwiastki równa* ' nia: a?² -f px —|—    = 0, możemy napisać:

— <1,

— <1-

x₂ =

Podobnie jak w równaniu czystem, i tutaj natura tych pierwiastków zależy od ilości, znajdującej się pod znakiem pier-

V²

wiastku w obu tych wyrażeniach. I tak jeżeli ilość: ^ — q

jest dodatnią, wtedy oba pierwiastki mieć będą wartości rzeczywiste■, i ponieważ jeden z nich jest sumą, a drugi różnicą tych samych ilości, przeto w tym przypadku będą one zawsze

p²

nierówne. Jeżeli znowuż ilość -

4

— q jest ujemną, wtedy obie

wartości na x₁ i x₂ będą urojone; wyrazić je można za pomocą 1 — 1, lub iy sposobem podanym w §§ 322 i 331. A że w obu wartościach na xv i x₂ pod znakiem pierwiastku znajduje się jedna i taż sama ilość, przeto zawsze jednocześnie te wartości będą albo obie rzeczywiste, albo obie urojone: przypadku, w którym jeden pierwiastek równania x²-\-px-<rq=0 byłby rzeczywistym a drugi zespolonym, być nie może (przy p i q rzeczywistych).

344. Przy zachowaniu tychże samych oznaczeń, własności pierwiastków równania stopnia drugiego dowiedzione w § 339, mogą być tak wyrażone:

X\ + x₂ = —p; xxx₂ = q.

"Własności te mają częste i ważne zastosowania.

Pokażemy dwa z nich:

Najprzód na zasadzie tych własności można ułożyć równanie stopnia drugiego, którego pierwiastki są dane. Tak np. przypuśćmy, że chcemy napisać takie równanie stopnia drugiego, którego pierwiastkami byłyby liczby 5 i 3. Równanie to będzie miało taką postać: x² -|- px -j- q — 0, gdzie zamiast p i q należy podstawić odpowiednie liczby. Ponieważ, podług własności przytoczonej wyżej, suma pierwiastków równania jest równą współczynnikowi przy x, wziętemu ze znakiem przeciwnym, przetop powinno być takie, aby było:

o -j- 3 = pi

skąd:

I dalej: ponieważ trzeci wyraz q pierwszej strony, powinien być równym iloczynowi pierwiastków, przeto będzie:

• q — 5.3 = 15.

Jeżeli więc utworzymy równanie takie:

p — — 8.

x² — 8.r -j- 15 — 0,

to jeden jego pierwiastek będzie 5 drugi zaś 3. Uczący się powinien się o tern przekonać przez bezpośrednie rozwiązanie równania.

Gdybyśmy chcieli ułożyć równanie takie, którego pierwiastkami byłyby 3 i — 3, wtedy mielibyśmy:

p — — (3 — 3) = 0; q — 3 . — 3 = — 9,

i żądane równanie byłoby:

czyli:

x² -j- 0 . x — 9 = 0 x² — 9 = 0.

Gdyby pierwiastki równania miały być równe byłoby:

i 0, wtedy

rH CO

t-H CO

(1 =

tH CO

X o - 0.

i równanie szukane przedstawiłoby się tak:

x² —

rH CO

x -j- 0 = 0,

czyli:

3x² — x — 0.

W podobny sposób należałoby postępować w każdym innym

przypadku.

Po wtóre: wymienione własności służą do prostego wiązania zadania następującego, które często przytrafia się w algebrze. Mając daną sumą i iloczyn dwóch liczb, znaleść te liczby.

roz-

Przypuśćmy np. że chcemy znaleść dwie liczby, których suma równałaby się 10, a iloczyn 21. Gdybyśmy ułożyli takie równanie, w którem współczynnik przy x byłby równy — 10, a ilość wiadoma q byłaby równą 21, to jest równanie

takie:

x² — 10x —}— 21 = 0.

wtedy na zasadzie własności pierwiastków równania stopnia drugiego, suma pierwiastków tegoż równania równałaby się 10, iloczyn zaś byłby równym 21. Pierwiastki zatem jego bytyby szukanemi liczbami. Rozwiązując to równanie znajdziemy:

x₁ — 7; x₂ = 3.

Szukane liczby są więc 7 i 3.

I w ogólności: chcąc rozwiązać takie zadanie: znaleść

iloczyn n, nale-

dwie liczby których suma byłaby równą żałoby ułożyć równanie:

m, a

i równanie to rozwiązać; wtedy jeden z jego pierwiastków byłby równym jednej z liczb szukanych, drugi zaś stanowiłby drugą liczbę. Pierwiastki tego równania^są:

czyli:

•ri =

m I m² — 4w

m — I m² — 4w

zawie-

Powyższe wzory nie tylko dają nam rozwiązanie/uwa-żanego zadania we wszystkich przypadkach, ale nadto rają w sobie i rozwiązanie takiego zadania .Daną liczbą podzielić na taicie dwie części, aby iloczyn ich był równy n. Widoczną jest rzeczą, że zadanie to sprowadza się bezpośredr nio do poprzedniego, gdyż suma tych dwóch szukanych części jest równą danej- liczbie m, i iloczyn ich jest wiadomy n. Części te zatem są dane jako wartości x} i x<₂ wyżej znalezione.

za-

Do tegoż samego wypadku dojdziemy, rozumując w ten sposób: Oznaczmy jednę z szukanych części głoską x\ — wtedy druga część będzie m — x. A że podług warunków dania, iloczyn tych części ma być równy n, przeto otrzymamy równanie:

x (m — x) — n, mx — x² = n\

czyli:

albo, zmieniając znaki na przeciwne.

x² — mx = — n.

Równanie to daje też same wartości na'a? jakie znaleźliśmy poprzednio, mianowicie;

xx —

x₂ —

Biorąc x₁ jako pierwszą część, znajdziemy, że druga m — x będzie równą ~

za pierwszą część, znajdziemy, że druga będzie równą:

Wogóle więc można odpowie-

— n , to jest x₂ ; biorąc znowuż x2 4

m²

—--n, to jest x₁.

dzieć na dane pytanie, że xx i x₂ przedstawiać będą dwie kane części liczby m, których iloczyn jest

Użycie powyższych wzorów objaśniają następne przy-

szu-

n.

kłady:

takie dwie części, aby iloczyn

Liczbę 10 podzielić na ich był równy 16.

Rozwiązując równanie: x² — 10x + 16 = 0, znajdziemy:

xx = 5 + 125 — 16 = 8, = 5 — 3 = 2.

x₂

AVięc jedna z szukanych części jest 8 druga zaś 2.

Tęż sarnę liczbę 10 podzielić iloczyn ich był 24.

Równanie do rozwiązania będzie:

x² — 10x —J— 24 = 0,

na

takie dwie części aby

które rozwiązując, znajdziemy szukane części 6 i 4.

Gdybyśmy jeszcze tęż sarnę liczbę 10 chcieli podzielić takie dwie części, których iloczyn byłby 25, wtedy wiązując równanie:

na

roż

x² — 10# —(— 25 = 0,

znaleźlibyśmy, że szukane części są 5 i 5. Lecz gdybyśmy chcieli też sarnę liczbę 10 podzielić na takie dwie części, których iloczyn byłby większym od 25, np. 26, wtedy rozwiązując równanie: x² — 10,5? -j- 26 = 0, znaleźlibyśmy na xx i x2 wartości zespolone:

i i 5 — i,

co pokazuje, że nie można liczby 10 podzielić na takie części, któreby zadosyć czyniły temu warunkowi, aby iloczyn ich tworzył 26. Z tego widzimy, że jakąkolwiek liczbę 10 można podzielić na takie dwie części rzeczywiste, których iloczyn może być bardzo rozmaity, z tem wszystkiem iloczyn ten nie może być większym od pewnej granicy: — taką granicą jest tutaj 25.

Do tegoż samego wypadku dochodzimy, rozbierając ogólne równanie, rozwiązujące nam to zadanie we wszystkich przypadkach, mianowicie: x² — mx -|~ n — 0. Pierwiastki tego równania, jako to widzieliśmy, są:

LO S toj s

<***    J 5

Są one rzeczywiste dotąd, dopóki ilość pod znakiem pier-wiastkowym —- —n nie jest ujemną, czyli dopóki n nie jest

. Największą więc wartością na n mo-

m²

większe od

I r))l \ 2

że być 1-^-1 . Stąd wyprowadzamy taki wniosek: największy

iloczyn z dwócli części stanowiących daną liczbę, jest wtedy, gdy obie te części są równe, to jest gdy każda jest połową danej liczby.

345. Jeżeli wyrażenie tego rodzaju jak: 3x²—15#-}-18 przyrównamy do zera, wtedy otrzymamy równanie, w któ-rem x może mieć tylko dwa znaczenia, będące pierwiastkami tegoż równania. Lecz jeżeli uważamy wyrażenie powyższe 3x² — 15,r -)- 18 samo w sobie, wtedy x może w niem przyjmować wszelkie znaczenia, jakie tylko chcemy mu nadać, i wtedy wyrażenie takie nazywamy trójmianem stopnia drugiego. W ogóle wyrażenie tej postaci ax² -j- bx -j- c, w któ-rem a, b i c oznaczają pewne dane liczby stałe, a x liczbę mogącą się dowolnie zmieniać, nazywa się trójmianem stopnia drugiego. Trójmian ten ma ważną własność, którą tutaj poznamy.

staci: a

Wyrażenie ax² + bx -j- c można przedstawić w tej poją:² -f- r— x-\——j . Oznaczywszy tutaj dla krótkości

jedną głoską p, a jedną głoską q, będzie:

ax² -j- bx -\-c = a (;x² -j- px -{- q).

Ponieważ a jest liczbą stałą, przeto wszystkie własności rozważanego trójmianu ax² -f- bx.-\- c, zależeć będzie od wyrażenia x² -\- px -j- q. To ostatnie zatem bierzemy pod uwagę. Wyrażenie x² -j- px -f- q nie zmieni się, jeżeli do niego

dodamy i odejmiemy po otrzymamy tym sposobem:

p²

p²

x² -}- px -j- q — x²    px -f- q -j- ^

p²

Lecz trójmian x² -f~px

stanowi zupełny kwadrat dwu-

mianu x -f-

IO

. Będzie więc:

x² -j- px + q = \x -j- ^ |

p²

czyli:

x² -j- px -j- q =

Jeżeli zaś zwrócimy uwagę na to, że wyciąganie pierwiastku kwadratowego i podnoszenie do kwadratu są działaniami od-

q będziemy mogli napisać

p²

wrotnemi, wtedy zamiast --

ji/p²    \²

Iy ----q 1 . Wprowadzając tę zmianę w wyrażenie powyższe otrzymamy:

Stąd widzimy, że trój mian x² -j-px -[- q może być przedstawiony pod postacią różnicy dwóch kwadratów. Lecz na zasadzie § 77 wiemy, że różnica kwadratów dwóch ilości jest równą iloczynowi z sumy tychże ilości przez ich różnicę; to jest oznaczając dwie ilości głoskami v i u mamy:

V² — u² = (v — u) (v -(- u).

możemy w podobny

I \²    •» , 2    ²

Wyrażenie więc \x-\- - -j — lj/__

sposób zamienić na iloczyn, biorąc x -\-

to 'S

zamiast v i

—q zamiast u. Czyniąc to znajdziemy że:

x² -f- px + q =

= (*+a

(*+f+^R

Lecz jeżeli trój mian x² -j- px -|- q przyrównamy do zera, otrzymamy równanie stopnia drugiego:

a:² + px -j- q = 0,

którego pierwiastki są:

x₁ —

x₂ =

— 1-

P_ _ 1/P²

2    \ 4

Porównywaj ąc te piarwiastki z ilościami znaj duj ącemi się w powyższych nawiasach widzimy, że:

₊Yi

— o-

- X2 —

Podstawiając te wartości zamiast ilości zawartych w nawiasach, otrzymamy:

x² -f- px -(- q — (x — xL) (x — x₂).

Równość ta jest tożsamością, to jest ma miejsce przy wszystkich wartościach na x. Wyrazić ją można słowami tak: Trójmian stopnia drugiego x2, -j- px -]- q jest równy iloczynowi dwóch czynników stopnia pierwszego: jednym z tych czynników jest x mniej jeden pierwiastek równania otrzymanego przez przyrównanie danego trójmianu do zera; drugi zaś — jest toż samo x mniej drugi pierwiastek tego samego równania. Podług tego trójmian ax²-\-hx -|- c może być tak wyrażony:

ax² -j— bx —J- c — a (x xj) (x    xj)-

1-szy przykład: trójmian 3x² — löx --j- 18 rozłożyć na dwa czynniki stopnia pierwszego.

Będzie:

3x² — l&x —|— 18 = 3 (x — xj) (x — x₂), gdzie xx i x₂ będą pierwiastkami równania:

lub:

3x² — lox -j- 18 = 0, x² — bx -[- 6 = 0.

268

Rozwiązując to równanie, otrzymamy:

xx — 3; x₂ — 2.

zatem:

3x² — 16x -j- 18 = 3 (x — 3) (x — 2), o czem łatwo się można przekonać, przez bezpośrednie mnożenie, co uczący się powinien zrobić.

2-gi przykład: Trój mian 6x² — hx — 6 rozłożyć na dwa czynniki stopnia pierwszego.

Będzie:

6x² — 5x — 6 — 6 (x — £Cj) (x — x₂),

gdzie xx i x₂ są pierwiastkami równania:

6x² — 5x — 6 = 0.

Rozwiązując je znajdziemy:

xx — —

’ X2 — 2 ’

więc:

6x² — hx —

czyli:

6x² — 5x — 6 = (3x -f 2) (2x — 3).

3-ci przykład: Trójmian: x² — 8a? -j- 16 rozłożyć na dwa czynniki stopnia pierwszego.

Będzie:

x² — 8x -f- 16 = (x — xx) (x — x₂), gdzie xx i x₂ są pierwiastkami równania:

x² — 8x —{— 16 = 0.

Z rozwiązania tegoż równania mieć będziemy:

xx — 4 i x₂ = 4:

zatem :

^2 _ 8a. + 16 _    _ 4) (x __ ₄) ₌ (X _ 4^

co i bezpośrednio jest widocznem.

I0x 34 rozłożyć na

4-ty przykład: Trójmian: x2 dwa czynniki stopnia pierwszego.

Będzie:

x² -j- 10x + 34 — (æ — xx) (x gdzie xx i x₂ znajdziemy rozwiązując równanie:

Stąd

x² -f 10x -f 34. - 0. xx — — 5 -(- ^25 — 34

x₂ — — 5 —V— 9.

A że: przeto:

V--9 — 3V^1 = 3i, xx — — 5 -|- 3i, x₂ = — 5 — 3 i.

Trójmian więc dany nie może być rozłożony na czynniki rzeczywiste stopnia pierwszego. Jednak możemy i w tym razie napisać:

x² -|- 10x —(— 34 =    —j— 5 — 3i) (x + 5 -\~ 3«),

uważając —5 —j— 3z i —5 — 3i jako ilości zespolone, nad któremi działania podobne i w podobny sposób mogą być wykonywane, jak nad ilościami rzeczywistemi, przyjmując tylko, że i² = — 1. Przez wykonanie działań wskazanych i z uwzględnieniem ostatniego warunku, t. j., że i² = — 1: znajdziemy w samej rzeczy, że wypadek na drugiej stronie jest równy pierwszej stronie równości. W rozbiór bliższy wszakże działań z ilościami urojonemi wchodzić tutaj nie będziemy, pozostawiając to obszerniejszym dziełom o algebrze.

PRZYKŁADY XXXII.

1. 2 {x² — 7) + 3 (x² — 11) — 33. ₀ x² — 24 , x² — 37 5

4. 2a;² — 1 = 5x -}- 2.

⁶- x+^Ł₃

- = 8.    3.    a:² — 3x -j- 2 = 0.

— 5.

5.    4 (x² — 1) = 4x — 1.

²¹ 5 — = 6y.

7    ¹x+5■

2(a:²-

10. (x -j- 10)2 = 144 (100 — x2).

• 2a: — 1 ^ Sx — 1_bx — Il

x -\-l    x-f-2 x — 1

14# — 9 x²—3

8æ — 3 x -j-l"

13.    «2^2 — 2 asx -j-a⁴ — 1=0.

14.    JL+    : \

a    b x

11.

— 1)    4 (a:-j-l)    8

12. x —

15. (a -(- bx) (b — ax) -J- (b -j- ex) (c — bx) -j-—)— (c —f— ax) (a — ex) = 0.

16.

(a -J- ó — 2a:)²

(« + ⁶)²’

17. Wyrażenia: x² — l|.r -(- 1;    a:³ -f- 16a:² + 21a: rozłożyć

na czynniki stopnia pierwszego.

XXXIIT.

Równania dające się sprowadzić do równań stopnia drugiego.

346.    Są pewne równania, które nie będąc wdaściwie równaniami stopnia drugiego, dają się jednak rozwiązać sposobem dopełnienia do kwadratu.

Podamy tutaj dwa przykłady takich równań.

347.    Rozwiązać równanie: a:⁶ — 7a:³ = 8.

/ 7 \2

Dodajmy do obu stron równania po J ; będzie:

wyciągając z obu stron pierwiastki kwadratowe otrzymamy: xs —

to

skąd:

x³ —

tO' CD

, to jest: x³ = 8, lub: x³ = — 1.

2 —

Nakoniec przez wyciągnięcie pierwiastku sześciennego znajdziemy: x = 2, lub x — — 1.

348. Rozwiązać równanie:

x² -f 3.« -f 3 b aj* _|_ 3x — 2 = 6.

Odejmijmy od obu stron równania po 2 będzie:

-|- 3x — 2 -f- 3 1/ x² -(- 3x — 2 = 4.

Wtedy na pierwszej stronie równania otrzymaliśmy dwa wyrażenia: V x² -3x — 2 i x² -j- 3x — 2, z których ostatnie jest kwadratem pierwszego.

Możemy teraz pierwszą stronę dopełnić do kwadratu.

W tym celu dodajmy do obu stron po | ^ ) '■> mieć będziemy:

-24-3 V'x² + Sx - 2 + f~~) =4+ - = Wyciągając pierwiastki kwadratowe z obu stron, będzie: b a:² 3x — 24 I —

x² 4- 3x

CD

skąd:

b a:² -j- 3x — 2 = —

CO KM

tO KM

czyli:

V x² 3x — 2 — 1 lub = — 4.

Przyjmijmy najprzód, że:

V x² 4- 3x — 2 = 1.

Podnieśmy obie strony do kwadratu; będzie:

x² 4- 3x — 2 = 1.

Lecz to jest zwyczajne równanie stopnia drugiego, które rozwiązując, znajdziemy:

Przyjmijmy powtóre, że:

V X² -I- 3# — 2 - — 4.

Podnosząc obie strony do kwadratu, mieć będziemy: xl —|— 3x — 2 — 16.

To jest znowuż równanie stopnia drugiego, które rozwiązując znajdziemy:

x — 3, lub x — — 6.

Tym sposobem otrzymaliśmy ostatecznie cztery wartości na#, a mianowicie:

3,    — 6

— 3 ± V 21

Musimy tutaj zrobić ważną uwagę, odnoszącą się do tych wartości. Przypuśćmy, że chcemy rozwiązania sprawdzić. Jeżeli zamiast .r podstawimy 3, wtedy znajdujemy, że x² -j- 3x — 2 — 16, a więc: V xl -|- 3x — 2 — H- 4. Jeżeli weźmiemy wartość -f- 4, wtedy dane początkowo równanie nie będzie sprawdzone; — jeżeli zaś weźmiemy wartość — 4, wtedy będzie ono sprawdzone. Podobnież jeżeli dalej podstawimy x — — 6, wtedy przyjdziemy do tegoż samego wypadku. Można było przewidzieć oba te wypadki gdyż wartości x'— 3, lub x — — 6 były znalezione ż równania

V xl -j- 3x —

= — 4, które to równanie było znowuż otrzymane z równania początkowego. Grdybyśmy teraz uczy-— 3 ± V~2T

nili x =

wtedy mielibyśmy x² + 3x — 2 = 1, początkowe równanie będzie sprawdzone, gdy weźmiemy

V x² -j- 3x — 2 = -\- 1. Znalezione wartości sprawdzają więc dwa następujące równania:

x² -j- 3x — 3 V x² -f 3x — 2 = 6,

i:    x² 3x 3 V x² -f- 3x — 2 = 6,

należą tylko do drugiego

przyczem wartości 3 i —6 należą tylko do pierwszego równania, wartości zaś ³ ± V 21

równania.

349. Mogą się przytrafić takie równania, które należy, po odpowiedniem przeniesieniu wyrazów, raz lub kilka razy podnieść do kwadratu, zanim zostaną one sprowadzone do równania stopnia drugiego. Podamy na takie działania dwa przykłady.

350. Rozwiązać równanie:

2x — V x² — 3x — 3 = 9.

drugą, a 9 na

na

Przenieśmy wyraz zawierający pierwiastek pierwszą stronę równania; — będzie:

2x — 9 = V x² — 3x — 3; podnieśmy obie strony do kwadratu; otrzymamy-:

4:X² — 33x —81 = x² — 3x — 3; przenieśmy wszystkie wyrazy na pierwszą stronę:

3x² — 33a; -f- 84 = 0,

czyli, po podzieleniu wszystkich wyrazów przez 3:

x² — llx -J- 28 = 0.

Rozwiązując to równanie otrzymamy: x = 7 lub x = 4. Wartość 7 zadosyć czyni danemu równaniu: wartość 4 należy do równania 2x -j- ^ x² — 3x — 3 = 9.

351. Rozwiązać równanie:

\x _j_ 4 _|_ V2x + 6= V8x -f- 9.

Algebra.

Podnieśmy obie strony do kwadratu; będzie:

x -j- 4 -j- 2x -j- 6 -j- 2 K(a: -j- 4) (2# -j- 6) == 8x -j~ 9; przenieśmy następnie wyrazy równania tak, aby na jednej stronie została tylko ilość pierwiastkowa sama, na drugiej zaś reszta wyrazów; — po zrobieniu uproszczeń będzie:

2 V(x -j- 4) (2x -f- 6) = 5x — 1.

Podnieśmy znowuż obie strony do kwadratu; otrzymamy:

4 (x -f- 4) (2% -j- 6} = 25x² — \0x + 1?

to jest:

Przenosząc zaś wszystkie wyrazy na pierwszą stronę będzie:

Sx² -)- 56a: —[— 96 = 25a?² — lOa? -j- 1.

17a?² - 66x — 95 = 0.

“SI CD

— druga zaś —

Rozwiązując to równanie znajdziemy, że x = 5, lub x — — r.. Wartość pierwsza, t. j. 5, zadosyć czyni danemu równaniu; należy do równania:

/2x -j- 6 — Vx + 4 = V8x -f- 9, które przez dwukrotne podniesienie do kwadratu prowadzi do tegoż samego równania, co i równanie dane.

352. Z poprzednich przykładów widać, że w tych przypadkach, w których należy podnosić do kwadratu, aby równanie sprowadzić do zwykłej postaci, — nigdy nie jesteśmy bez próby pewni, czy znalezione wartości na niewiadome są w samej rzeczy pierwiastkami danego równania.

G-dybyśmy np. mieli rozwiązać równanie:

\ x² —|— —f— 1 —}— 1 = a?,

to, postępując w podobny sposób, jak poprzednio, otrzymalibyśmy:

skąd:

Vx² -j-x -j- 1 = x — 1 x'² + x -j- 1 = (x — l)² = x² — 2x -[- 1, 3x — 0, czyli x = 0.

Wartość ta jednak nie sprawdza danego równania, a zatem metoda wskazana, w tym wypadku, do celu nie prowadzi ¹).

353.    Niekiedy się przytrafia, że rozwiązanie równania danego, może być ułatwione przez wprowadzenie pewnego uproszczenia, dającego się dostrzec na pierwszy rzut oka.

Następne dwa przykłady objaśnią, jakiego rodzaju są te uproszczenia.

354.    Rozwiązać równanie:

x -f- 4

x — 4 x -(- 4

9 -j- x 9 — x

każdej stronie równania do jednako-

Sprowadźmy ułamki na wego "mianownika, otrzymamy:

(x 4- 4)² — (x — 4)²_(9 -f* x)² — (9 — x)²

x² — 16

~    8Ï=^

x) Można to wytłomaczyć w taki sposób: jeżeli równanie A == B,

w którern A i B są jakiemikolwiek wyrażeniami algebraicznemi za-wierającemi ,r, podnosimy do kwadratu:

A² = B²,

to znaczy, że zamiast równania

rozwiązujemy równanie:

A² — B² = 0.

To ostatnie można jednak tak napisać:

(.A + B) {A — B) = 0.

Ażeby to równanie miało mi

iejsce, wystarcza, aby jeden z czynników A -f- B lub A — B był równy 0, widoczną więc jest rzeczą, że wszystkie pierwiastki równania danego czynią ostatniemu zadość. Nie można jednak odwrotnie wnosić, że pierwiastki równania

A² — B² = 0

czynią zadość danemu, gdyż można natrafić na takie wartości x, które jedynie pierwszy czynnik, A H- B: czynią równym 0.

x² — 16    81 — x²’

4 (81 — x²) = 9(x² — 16), 13x² = 324 -f 144 = 468, x² — 36, x = -+- 6.

lQx

36x

czyli:

Widoczną jest rzeczą teraz, że x — O jest pierwiastkiem równania. Aby wynaleść inne pierwiastki dzielimy obie strony przez 4xj będzie:

x²

16 81 —

skąd: i dalej: to jest: i nakoniec:

Tym sposobem widzimy, że równanie dane ma trzy pierwiastki: 0, 6 i — 6.

355. Rozwiązać równanie:

xs — 7xa² -j- 6a³ = 0.

Tutaj także jest widocznem, że x — a jest pierwiastkiem równania. Równanie to możemy przedstawić w tej postaci:

x³ — a³ — la² (x — a).

Aby wynaleść inne pierwiastki podzielmy obie jego strony przez x — a. Znajdziemy:

x² -j- ax a² = la².

Rozwiązując to równanie, które jest stopnia drugiego, otrzymamy x = 2a, lub x = — 3a. Stąd widzimy, że równanie dane ma trzy pierwiastki, a mianowicie: «, 2a, — 3a.

Ł) Jest to równanie tej postaci: Ax = czyli

Ax — J>x — 0, albo x (A — B) = 0.

Jednym pierwiastkiem tego równania jest więc x = 0, pozostałe znajdziemy, kładąc A — B — 0, czyli:

A = B.

35(». Podamy tu jeszcze najgłówniejsze przypadki, w których, równania innych stopni mogą być bezpośrednio sprowadzone do równań stopnia drugiego.

Do równań stopnia drugiego mogą być najprzód sprowadzone wszystkie równania tak zwane trójwyrazowe.

Pod tym wyrazem rozumiemy równania stopnia parzystego takie, w których po przeniesieniu wszystkich wyrazów na pierwszą stronę i zrobieniu wszelkich redukcyi, znajdować się będą tylko trojakiego rodzaju wyrazy: wyraz zawierający niewiadomą w stopniu parzystym, wyraz zawierający niewiadomą w stopniu dwa razy mniejszym od poprzedniego i wyraz wiadomy. Przykład takiego równania mamy w § 347. Inne przykłady: 3x⁴ — 2x² -{-9 = 0 jest równaniem trójwy-razowem stopnia 4-go; xs -{- hxi — 3 = 0, jest równaniem trójwyrazowem stopnia 8-go, w § 347 znajduje się przykład równania trój wyrazo weg o stopnia 6-go i t. d. Ogólna postać takiego równania jest:

ax2n -{- bxn —{— c = 0.

Rozwiązanie takich równań odrazu sprowadza się do rozwiązania równania stopnia 2-go przez uczynienie xn = y. Wtedy: x2n = y², i równanie dane zamieni się na następne:

ciy² -\-by    c = 0.

Rozwiązując to równanie znajdziemy wiadomym sposobem

A że xn = y, więc x — My. Stąd

y wyciągnąć pierwiastek y otrzymaliśmy dwie wartości,

dwa pierwiastki yl i y₂. widzimy, że po rozwiązaniu równania ay² -j- by -j- c = 0, należy tylko z wartości znalezionej na

stopnia n. A ponieważ na

n_    w_

przeto: x — albo Vyv albo też x = Vy₂- Jeżeli więc jesteśmy w stanie wynaleść pierwiastek potęgi n z y{ i y₂, wtedy możemy otrzymać i wartości na x.

Jako przykład tego rodzaju równań weźmiemy równanie trój wyrazowe stopnia 4-go.

Rozwiązać równanie:

ad — 13x² —|— 36 = 0-

Czyniąc: x² = y, skąd: x⁴ = y², otrzymamy z powyższego równania:

y²~ 13+-36 = 0. Rozwiązując to równanie znajdziemy:

Stąd: a zatem:

l/i = 9; 2/2 = ⁴-x² = 9, lub: x² = 4; x = -+- + lub: x — + Cd. Otrzymamy więc na a: następne cztery wartości:

xx = 3, x₂ = — 3, x₃ — 2, a:₄ = — 2. Rozwiązać równanie:

x⁴ — 12a:² —f— 16 = 0-

Uczyńmy a:² = y, wtedy: x⁴ = ?/², i równanie powyższe zamieni się na:

y² - 12«/+ 16 = 0,

skąd:

. y, = 6 + 120,

y₂ = 6 — 1 20.

A zatem:

lub:

x² = 6 -f j/20,

a-² = 6 — b20.

Wartości więc na x otrzymamy wyciągając pierwiastki kwadratowe z powyższych wyrażeń, i tym sposobem znajdziemy następujące cztery wartości na x:

Xl = l 6 -f- V20,

x₂ — — J 6 -[- V 20,

x₃=y 6 —y 20,

æ₄ =

- y 6 — 120.

Wartości te przedstawiają się pod postacią wyrażeń rozbieranych w § 318, i mogą być przekształcone za pomocą wzorów tam podanych. Używając wzoru:

Ÿa + Vb=y“

-j- V a² — b

₊ j/a

Va² — b

-do przekształcenia wartości na xx, otrzymamy:

xx — V 5 -|- 1.

Podobnież znajdziemy:

x₂ — — h 5 — 1, x₃ = V 5 — 1, xx — — V 5 -f- 1.

357. Przez podobne podstawienie, jakiego użyliśmy do rozwiązania równania trój wyrazowego, można niejednokrotnie rozwiązywać i równania innego rodzaju, do których wchodzą wyrażenia pierwiastkowe, lub wykładniki ułamkowe. Tak np. przypuśćmy, że dane jest równanie:

v x    x — 1 = 0.

6___

Uczyńmy: V x

3___

= y, w

ści w równanie dane, będzie:

tedy: V x — y²\ podstawiając te warto-

y² + % — 4 = o,

skąd:

?/i — U y‘i —

A że V x — y, przeto na x otrzymamy dwie następne wartości:

= 2/i⁶ = i; — yf = 4096, z których pierwsza czyni zadość równaniu danemu.

358. Powtóre: do równań stopnia drugiego mogą być sprowadzone równania symetryczne stopnia trzeciego, czwartego lub piątego.

Pod wyrazem równanie symetryczne rozumiemy równanie takie, w którem, po przeniesieniu wszystkich wyrazów

pierwszą stronę, zrobieniu wszelkich uproszczeń, i uporządkowaniu wyrazów podług potęg malejących głoski x, otrzymamy na pierwszej stronie wielomian całkowity taki, że współczynniki wyrazów równooddalonych od wyrazów skrajnych są równe i ze znakami jednakowemi lub przeciwnemi, gdy wielomian jest stopnia nieparzystego; gdy zaś wielomian jest stopnia parzystego, wtedy współczynniki wyrazów równooddalonych od wyrazów skrajnych są równe i z jednakowemi znakami ¹).

na

Tak np. równanie:

3x² -j- 2x —3 = 0, 3a:² — 2x -f 3 — 0,

lub:

jest symetrycznem stopnia drugiego; równanie:

axi -|- bxz -f- ex² -j- bx -j- a = 0 jest równaniem symetrycznem stopnia czwartego i t. d.

359. Weźmy najprzód pod uwagę równanie symetryczne stopnia trzeciego:

axs -}- bx² -j- bx -)- a = 0.

Z pierwszego i ostatniego wyrazu możemy w niem wyłączyć za nawias a, z drugiego i trzeciego bx\ będzie:

a (x³ -f- 1 ) -\- bx {x 1) — 0.

Ponieważ:

(x³ + 1) : (x -f- 1) = x² — x -J- 1,

(patrz § 90), przeto, wyłączając na pierwszej stronie (x -}- 1) za nawias, otrzymamy:

(x -j- 1) [a (x² — x -)- 1) -|- bxJ = 0.

To ostatnie równanie pokazuje nam, że x powinno mieć taką wartość, aby iloczyn z dwóch czynników x T 1 i a(x²— x -f t)-f-

ax¹ -j- bx³ —bx — a — 0.

~\-bx był równym zero. Lecz aby iloczyn z dwóch czynników stał stal się zerem, dostatecznem jest aby jeden z czynników był zerem. Wartości więc narr, zadosyć czyniące powyższemu równaniu będą takie, przy których albo:

x 1

albo:

a (x² — x -j- 1) -f- bx — 0.

Pierwsze równanie daje nam pierwszą wartość na mianowicie:

«i = — i;

z rozwiązania zaś drugiego równania, które można napisać tak:

ax² — (a — b) x + a = 0, otrzymamy dwa inne pierwiastki:

a — b -j- Vb² — 2ab — 3a²,

2u

X3

a — ć — Vb² — 2ab — 3a².

W podobny sposób można rozwiązać równanie:

ax⁸ -J- bx² — bx — a = 0, wyłączając x — 1 za nawias ze strony pierwszej.

Przez pomnożenie licznika i mianownika wartości na x% przez a — b -(- Vb² — 2ab — 3a², można się przekonać, że pomiędzy x₂ i xz istnieje taki związek:

0C<2 ——    •

360. Pokażemy teraz jak można rozwiązać równania symetryczne stopnia czwartego przez sprowadzenie ich do równań stopnia drugiego.

Ogólna postać takich równań jest:

axA -J- bx³ -}- ct? bx a = 0.

Podzielmy obie strony tego równania przez x² ²) i z wyrazów, mających jednakowe współczynniki, wyłączmy te współczynniki za nawias. Będzie:

= 0.

a(x2+^) + h(x+^) + c

Uczyńmy teraz:

• - (1),

xĄ--— y .    .

x

wtedy podnosząc obie strony równania (1) do kwadratu otrzymamy:

t-H

= y\

skąd:

= y²- 2

• • (2).

W równaniu więc danem możemy podstawić y² — 2 zamiast

x² -j- ~

i y zamiast x -j-

przez co mieć będziemy:

X

a (y² — 2) -}- by -}- c = 0.

Równanie to jest stopnia drugiego; — rozwiązując je znajdziemy dwie-wartości na y: mianowicie y₁ i y₂. Biorąc zamiast y w równaniu (1) kolejno y₁ i y₂, otrzymamy z tego równania dwa równania następne:

xJr~=-y^

xĄ-

t'

Każde z nich jest równaniem stopnia drugiego, i da dwie wartości na x. Tym sposobem otrzymamy cztery wartości na x zadosyć czyniące danemu równaniu.

być zerem.

O tych pierwiastkach, jakkolwiek ostatecznie nie oznaczyliśmy ich, możemy zrobić tęż sarnę uwagę, jaką zrobiliśmy o pierwiastkach równania symetrycznego stopnia trzeciego. Mianowicie nie trudno się przekonać, że jeżeli pewna

. . 1

ilość m zadosyć czyni temu równaniu, wtedy i ^

także zado-

syć czynić będzie temuż równaniu, czyli innemi słowy: jeżeli m jest pierwiastkiem równania:

ax⁴ -j- bx³ -|- cx² -f- bx -j- a — 0,

wtedy i ^ będzie także pierwiastkiem tegoż samego równania. W rzeczy samej: jeżeli m jest pierwiastkiem powyższego równania, to:

ami -(- ów³ -|- on² + bm -j- a — 0.

Lecz podstawiając

zamiast x w wielomian:

ax⁴ -j- bxz -f- cx² -\-bx-1- a, znajdziemy, że wartość tego wielomianu będzie:

a -\-bm-\- cm² -j- bm³ 4- «m⁴

co jest równe zero z tej przyczyny, że licznik tego ułamka jest zerem podług przypuszczenia.

361. Nakoniec weźmy pod uwagę równanie symetryczne stopnia piątego:

ax⁵ 4 bxi cxz -)- cx² -f bx -j~ a — 0, ax⁵ — bxA 4- cxz — cx² + bx — a = 0.

Równania te można rozwiązać w ten sposób: Nąjprzód leży wyłączyć z wyrazu pierwszego i ostatniego a, z drugiego i piątego &, z trzeciego i czwartego

a (xb -f-1) -|- b (aj⁴ 4 x) 4- c (x³ -f x²) — 0, ci(xb — 1) — b O⁴ — x) -f- c {x³ — x²) = 0.

lub:

na-

lub:

c za

nawias; będzie.

Następnie w równaniu pierwszej postaci można wyłączyć (x -f- 1) za nawias, a w równaniu drugiej postaci (x — 1) za nawias. Przyrównywając ten czynnik do zera otrzymamy jeden pierwiastek równania. Pierwiastek ten będzie w pierwszym przypadku równym — 1, w drugim zaś 1. Pozostanie z każdego równania równanie symetryczne stopnia czwartego, które należy rozwiązać sposobem podanym wyżej.

362. Jeszcze jednej postaci równania stopnia czwartego dają się łatwo rozwiązać za pomocą równań stopnia drugiego.

Są to równania, które można sprowadzić do takiej po

staci:

(;x² -f ax)² -|- p (,x² -j- ax) -J- q = 0.

Czyniąc wdedy y = x² -f- ax, otrzymamy równanie:

+ ? = 0,

z którego oznaczymy dwie wartości na y\ następnie zaś zrównania y —x² ~\~ ax znajdziemy i wartości na x: wartości tych będzie cztery.

W praktyce aby poznać czy równanie stopnia czwartego da się sprowadzić do powyższej postaci, należy dwa pierwsze jego wyrazy dopełnić do kwadratu (§ 324). Np. przypuśćmy, że mamy równanie:

ad - 12ad 4- 49a;² — 78a: -j- 40 = 0.

Dwa pierwsze wyrazy: x⁴ — 12x³ uważamy jako dwa pierwsze wyrazy kwadratu dwumianu, i dopełniamy je do kwadratu zupełnego przez dodanie (6x)²; — oczywiście tenże sam kwadrat należy od wielomianu odjąć. Czyniąc to, otrzy

mamy:

czyli:

a⁴ — 12x³ + {<dxf — 36x² -|- 49æ* — 78x -j- 40 == 0.

Czyniąc teraz:

(x² — Qx)² -j- 13 (;x² — 6x) —{— 40 = 0.

y — x² — Qx

y² -f- 13y -j- 40 — 0, = — 5, y 2 = — 8.

otrzymamy:

skąd:

Następnie rozwiązując każde z dwóch równań:

x² —    = — 5,

i:

£c² — 6# — — 8, znajdziemy wartości na x, które będą takie:

«i=5;    a?₃ = l; ^₃ = 4;    a;₄ = 2.

363. Podamy tu jeszcze kilka przykładów rozwiązania takich równań, które nie należą do żadnej z powyższych ka-tegoryi, a jednak przez szczególne podstawienie, lub przekształcenie dadzą się sprowadzić do równań stopnia drugiego.

Na nieszczęście nie można dać ogólnych zasad takich podstawień i przekształceń w przypadkach więcej złożonych: wprawa jedynie, nabyta przez przerabianie znacznej liczby zadań, może nasuwać odpowiednie sposoby i przekształcenia prowadzące do celu.

Rozwiązać równanie:

{a -j- x) -}- 6 (a — x) — 5 (a² — x²) .

Przenieśmy drugą stronę na pierwszą i wyłączmy ze wszyst-

i

kich wyrazów (a² — x²) za nawias. Otrzymamy:

(a² — x²)

J {ci —|— x)

{a — x)

— 5 = 0.

(a²—x²)

{a²—x²)

zerem.

Lecz aby iloczyn z dwóch czynników był równym zero potrzeba, aby jeden z tychże czynników stał się

i

Czynnik pierwszy: {a² — x²) przyrównany do zera da-

je wartość na x równą +a; lecz widoczną jest rzeczą, że ta wartość nie sprawdza danego równania, gdyż podstawienie a zamiast x nie czyni pierwszej strony równą drugiej. Pierwiastki zatem równania danego mogą być otrzymane tylko z przyrównania drugiego czynnika do zera, to jest z równania:

(a —j- x')

cd to

7+6

(ia — x)

2.

-5 = 0.

(a² — x²)

(.a² — x²)

A ponieważ a² — x² = (a -{- x) (a — x), przeto powyższe równanie może być tak napisane:

(ia — x)

-5 = 0,

(a -j- x) (a — x)

{a -f- x) (a — x)

a drugi

czyli skracając pierwszy ułamek przez (a -j- x)

przez (a — x) , otrzymamy:

«i-

(a -J- x)

{a — x)

(a — x)

(a -f x)

■co można i tak napisać:

Czyniąc tutaj:

’a -f- x ß — x

-5 = 0.

= y,

otrzymamy:

skąd:

«+j-b=o-

y- — 5tj+ 6 = 0.

Rozwiązując to równanie stopnia drugiego, mieć będziemy:

V\ ⁼ ^5 V2 ~

Podstawiając teraz kolejno każdą z tych wartości w równanie (1), otrzymamy:

) = 2, lub: (-

)    \a

= 3.

U/ —j— a?

a — X/

= 8; skąd xx =

a.

Aby rozwiązać pierwsze z tych równań, podnieśmy obie jego strony najprzód do sześcianu; znajdziemy: a —j— x a — x

Podobnie podnosząc obie strony drugiego równania do sześcianu i rozwiązując otrzymane stąd równanie, mieć będziemy drugą wartość na a a mianowicie:

x₂ =

co h»

a.

Inny przykład. Rozwiązać równanie: x + 2 (a + b) V 3 (a² —|— b²) -f x + lOaft = 0.

Uczyńmy:

I 3 (a² -j- b²) -j- x = y, wtedy: x — iy² — 3 (a² -f- fr²), i podstawmy te wartości w dane równanie. Będzie:

y² -f 2 (a -f- b) y + 10ab — 3 (u² + b²) = 0. Rozwiązując to równanie otrzymamy:

yx — — (a -j- b) -j- V {a    b)² — 10ab    3a? -j- 36²,

czyli:

Podobnie:

yx — — a — ó + 2« — Ib — a — 3 b. y₂ — b — 3 a.

Podstawiając te wartości kolejno w równość:

x    = y² — 3 (a² -|- b²),

znajdziemy:

czyli:

xi    = y!² — 3 (u² 4- b²), xx — (a — 3ó)² — 3a² — 3 b²,

albo:

xx — — 2a² — 6ab -j- 6b². x₂ — (b — 3a)² — 3 (a² + b²), x₂ = — 2 b² — 6ab -f- 6a². Trzeci'przykład. Rozwiązać równanie:

I podobnie: skąd:

v x -}- a — V x — a = m.

Podnieśmy obie strony tego równania do potęgi trzeciej. Na zasadzie wzorn:

(a — ó)³ = a³ — 3a²b -j- 3ab² — ó³,

czyli:

(a — b)z — a³ — bs — 3ab (a — b),

3___, 3_ 3 ______

(x-\-a) — (x — a) — 3 V x² — a² [V x -j- a — V x — a] = m3 czyli, upraszczając i podstawiając m zamiast

otrzymamy:

będzie:

V x -j- a — V x — a,

2a — 3m V x² — a² = m³,

skąd:

3mV x²

i:

a² =z 2a — w³, 2 a — m³

— a² =

Podnosząc teraz obie strony do potęgi trzeciej i przenosząc a2 na drugą stronę znajdziemy:

2a — m³\³

skąd nakoniec:

2a — m³\³

Następujące zadanie, jako wymagające wykonania pewnych działań z ilościami urojonemi, właściwie przechodzi za-

kres tej książki. Ponieważ jednak działania te są bardzo proste, i ilości urojone występują tylko przechodnio, znikając z ostatecznych wypadków, przeto dla przykładu rozwiążemy i to zadanie.

Rozwiązać równanie.

V x . V x² — 1 — 2x V x² — 1 = 0,25. W tym celu uczyńmy:

¹

Wszakże gdy wielomian jest stopnia parzystego i w nim brak średniego wyrazu, będzie on symetrycznym i wtedy, gdy współczynniki wyrazów równoodalonych od wyrazów skrajnych będą równe i ze znakami przeciwnemi, np:

²

Można to zrobić, ponieważ ;c w danem równaniu nie może

V x . V x² — 1

- y,

skąd:

xV x2, — 1 = y².

Podstawiając te wartości w równanie dane mieć będziemy:

y — 2 y² = 0,25,

czyli:

2 y² — y— —

.4 '

Przez rozwiązanie tego równania otrzymamy:

y-i-

to jest:

y\ =

1—I 'TT!

y 2

co można i tak napisać (§ 322):

X ⁽¹ +l)-

ł<‘-

*)■

Z równania warunkowego:

J/ .z .

x'* — 1 — y

przez podniesienie do potęgi czwartej, otrzymamy:

x⁴ — X² — y⁴ ;

A że y ma dwie wartości yx i.y₂, przeto dla znalezienia x mieć będziemy dwa równania

a-² =    (1 -f i) J ,

² = [- (I-«')]⁴.

(    ) ⁼ 256 ’ za® Ponieść 1 -f- iA o potęgi czwartej

podnieśmy je ûaj przód do kwadratu i następnie kwadrat znaleziony znowuż podnieśmy do kwadratu. Będzie:

i:

Lecz

x⁴ —

T—I I —fi’

(1 -f i) ² = 1 2i -f i².

Lecz ponieważ podług § 322 i² = — 1; przeto:

(1 + i)² = 2*;

a następnie:

(1 -f- i)⁴ — U² = - 4. W podobnyjsposób znajdziemy:

(1 — i)4 = _ 4.

Oba więc powyższe równania zamienią się na następne:

x⁴ — x² = —

r.

Czyniąc tutaj x² — u, będzie:

cc

skąd:

rH ICC

czyli:

15 .

12.    a?³ — a?² -j- a? — 1=0.

Następnie zaś:

Ï-Vl 5

t-H TT

8 ± V 60 .

czyli:

Każdy z tych czterech pierwiastków może być przekształcony za pomocą wzoru na f a -h V b , gdyż a² — &, równe tutaj 8² — 60, jest zupełnym kwadratem. To przekształcenie jednak pozostawiamy czytelnikowi.

PRZYKŁADY XXXIII.

1. ,?c⁴ — 13x'² + 36 = 0.

3.    a?⁴ — 2a?³ -j- x² = 36.

4.    x⁴ — 4a?² — 2 V x⁴ — 4a?² -j- 4 = 31.

5.    J'⁷ a;-j- 8 — V x 3 = V x.

2. a? —J— V x —f— 5 = 7.

6.    2a? Va-j- x² -(- 2a?² = a- — a.

x-j-V 12 aL — x x — V 12a² — x

7.

8.

rH

a? -f- 7 9. a?³ -f- 3aa?² z= 4a³.

a? -j- 1

= 0.

10.

21 — V x

21 — V x

Vx

= 2*.

11. V x -f- V x = 20.

13.    2a;⁴ — 3a:³ ~ x² — 3a? + 2 = 0.

14.    12a?⁴ -f. lia?³ — 146a?² + llæ + 12 = 0.

XXXIV.

Zagadnienia prowadzące do równań stopnia drugiego.

3Ö4. Znaleść dwie liczby, których suma jest równą lo7 i których iloczyn jest równy 54.

Niech x oznacza jednę liczbę; — wtedy 15 — x będzie drugą liczbą: — podług drugiego warunku ma być:

' x (15 — x) = 54.

Stąd, po odpowiedniem przeniesieniu:

x² — lox = — 54;

i dalej:

2 i- , /15 \²    . 225

:² — lox + ( ^ j    ,

4'

Wyciągając pierwiastki kwadratowe:

15

skąd:

15

tOl CC

czyli:

x = 9, lub x — 6.

Biorąc x — 9, otrzymujemy 15 — # = 6; jeżeli znowuż weźmiemy x = 6, otrzymamy 15 — x — 9. Dwie te więc liczby szukane są 6 i 9. I jakkolwiek równanie stopnia drugiego daje dwie wartości na x. tutaj jest w rzeczywistości jedno tylko rozwiązanie. ¹)

3(>5. Wydał ktoś pewną liczbę rubli na zakupienie towaru, który następnie sprzedał ze stratą za 24 ruble. Przy sprzedaży stracił tyle rubli od sta, ile go kosztował towar. Ileż kosztował ten towar?

Niech x oznacza liczbę rubli wydanych na towar; wtedy x — 24 oznaczać będzie liczbę rubli straconych. Podług wa-

ranków zadania strata od sta wynosi tyle rubli, ile kosztował towar, zatem x od sta; więc wyraża się ułamkiem ceny towaru. Równanie przeto będzie takie:

100

X“ — lOCKr = - 2400.

skąd:

za-

Rozwiązując je znajdziemy, że x = 40 lub x = 60 Stąd wypada, że wydana liczba rubli była albo 40, albo też 60: — i każda z tych liczb zadosyć czyni wszystkim warunkom gadnienia.

366. Sumę 144 rb. rozdzielono pomiędzy pewną liczbę osób tak, że każda z tych osób otrzymała też sarnę liczbę rubli. Gdyby było o dwie osoby mniej, wtedy przy takim podziale,* . każda dostałaby o jednego rubla więcej. Znaleść ile było osób.

Oznaczmy przez x liczbę osób; wtedy to

144

każda z nich wyrazi się przez ■— rubli. Gdy było x — - oso-

ruble. Zatem, pod-

U

co otrzymała

144

by, wtedy każda z nich dostałaby -ług warunków zadania będzie:

144 _144

x — 2 x

Znosząc mianowniki:

skąd:

144a? = 144 (x — 2) -j— x (x 2), a² _    = 288.

że x

Rozwiązując to równanie stopnia drugiego znajdziemy, = 18, lub x = — 16. Stąd wypada, że osób było 18, gdyż to jest jedyna liczba, która zadosyć czyni malunkom zadania.

pyta się, czy można jakiekol-mianowicie

Czytelnik bezwątpienia wiek znaczenie nadać drugiemu pierwiastkowi,

— 16; aby na to pytanie odpowiedzieć, rozwiążemy inne zagadnienie, ściśle związane z tem, które dopiero co rozwiązaliśmy.

367. Suma 144 rb. była rozdzieloną równo pomiędzy pewną liczbę osób; gdyby było o dwie osoby więcej, wtedy każda otrzymałaby o jednego rubla mniej. Ileż było osób?

Oznaczmy przez x liczbę osób. Wtedy, rozumując tak jak wyżej, otrzymamy równanie:

144 _ 144

x -J- 2 x

x² -j- 2x — 288,

-l;

czyli:

a rozwiązując je, znajdziemy:

x — 16, lub x — — 18.

W poprzedniem zagadnieniu otrzymaliśmy jeden pierwiastek, dający odpowiedź na pytanie, mianowicie 18, i jeden pierwiastek, nie należący do zagadnienia, mianowicie —16; i w teraźniejszym zagadnieniu otrzymaliśmy także jeden pierwiastek należący do zadania, mianowicie 16, i drugi, nie należący do niego, mianowicie —18.

368. Przy rozwiązywaniu zagadnień przytrafia się często, jak to miało miejsce w § 366, że otrzymujemy wypadki, które nie dadzą się zastosować do zagadnienia. Pochodzi to stąd, że algebraiczne wyrażenie ma znaczenie ogólniejsze, aniżeli język zwykły, i tym sposobem równanie, będące właściwie przedstawieniem warunków zagadnienia, może być zastosowanem i do innych warunków. Zresztą uczący się z doświadczenia przekona się, że zawsze można wybrać ten pierwiastek, który należy do zagadnienia rozwiązywanego. Nadto w wielu przypadkach możliwą jest rzeczą, przez stosowną zmianę warunków zagadnienia, ułożyć nowe zagadnienie, odpowiadające temu pierwiastkowi, który nie należał do zagadnienia początkowego.

Przykład tego mieliśmy w § 367; podamy tutaj jeszcze inne zadanie tego samego rodzaju.

369. Kupił ktoś za 24 ruble pewną liczbę kóp jajek. Grdyby za tęż sumę dostał o 4 kopy więcej, wtedy cena jednej kopy byłaby o 30 kop. niższą. Znaleść cenę jednej kopy.''

Niech x oznacza liczbę kopiejek, wyrażającą cenę jednej kopy. Wtedy    będzie liczbą kupionych kóp. Grdy

by cena jednej kopy była o 30 kopiejek niższą, wtedy za tęż

2400 . , T

sumę pieniędzy 24 rb. możnaby kupić    kop. ljecz, po

ie byłaby o 4 większą od pierwszej, zatem otrzy-

dług warunków zagadnienia, liczba kupionych kóp w tym drugim raz mamy równanie:

—+ 4. x

2400 _2400

x — 30

stąd:

2400.« == 2400 (x — 30) + 4« (x — 30),

czyli:

2400« = 2400« — <2000 -f- 4«²    120«.

Przenosząc wyrazy niewiadome na pierwszą stronę, jąc znaki i robiąc wszystkie uproszczenia, otrzymam}.

«² sox = 18000.

zmienia-

dwie wartości: 150 i 120.

Z tego równania znajdujemy

Zatem jedna kopa kosztuje 150 kop. Moglibyśmy dalej leść, że 120 kop. jest odpowiedzią na następne zagadnienie, kupiono za 24 rb. pewną liczbę kóp jajek; gdyby za tęż sarnę sumę otrzymano o 4 mniej; wtedy cena jednej kopy y a y o 30 kop. wyższą. Znaleść ile kosztuje kopa?

na «

zna-

PRZYKŁADY XXXIV.

takie dwie części, aby iloczyn

1. Liczbę 60 podzielić na ich był 864.

2.    Suma dwóch liczb jest 60, suma zaś ich kwadratów jest 1872 — znaleść te dwie liczby.

3.    Znaleść dwie liczby, których różnica jest równą 6, i których iloczyn jest 720.

4.    Znaleść liczbę, która dodana do swojego pierwiastku kwadratowego, dałaby na sumę 210.

5.    Zbiornik może być napełniony wodą, wpływającą dwiema rurami w ciągu 4 godzin: znaleść w ilu godzinach mógłby być zbiornik napełniony przez każdą z tych rur oddzielnie, jeżeli jedna rura napełniłaby go o 6 godzin prędzej aniżeli druga.

6.    Bok kwadratu ma 110 cali długości; znaleść długość i szerokość prostokąta, którego obwód jest o 4 cale dłuższy od powierzchni kwadratu a powierzchnia o 4 cale mniejszą od powierzchni kwadratu.

7.    Dwóch posłańców Ai B wysłano w tej samej chwili do miejsca odległego o 90 wiorst; pierwszy przebywał o jednę wiorstę więcej na godzinę aniżeli drugi i wskutek tego przejechał całą odległość o godzinę prędzej aniżeli drugi. Znaleść po ile wiorst na godzinę przebywał każdy.

8.    Dwaj podróżni wychodzą jednocześnie z tego samego punktu i jeden idzie ku północy z prędkością 4| wiorst na godzinę, a drugi ku wschodowi z prędkością 6 wiorst na godzinę. Po ilu godzinach odległość pomiędzy nimi będzie 30 wiorst?

9.    Dwa ciała poruszają się ruchem jednostajnym po ramionach kąta prostego: jedno z prędkością c metrów, drugie zaś z prędkością cl metrów na sekundę, przyczem oba wyszły jednocześnie z wierzchołka kąta prostego. Po ilu sekundach odległość pomiędzy nimi będzie cl metrów?

10.    Za domem znajduje się plac ogrodzony, mający długości 70 metrów i szerokości 52-’- metra. Właściciel domu chciałby plac ten zasadzić kwiatami, żona jego zaś wolałaby

zamienić go na trawnik. Aby życzeniom obojga w równej mierze zadosyć uczynić, polecono ogrodnikowi założyć na środku placu trawnik prostokątny, którego obwód jest wszędzie jednakowo oddalony od ogrodzenia, i którego powierzchnia byłaby równą powierzchni pozostałej części ogrodu. Jakaż będzie długość i jaka szerokość trawnika?

11. Dwie osoby A i B wychodzą z miasta M do miasta R z tą samą prędkością, ale osoba A wcześniej wyszła aniżeli B. Przy trzecim słupie milowym przed miastem R, osoba A

mija stado gęsi, które szło przed nią z prędkością ^ mili na

godzinę. W pół godziny potem taż sama osoba A spotyka

stado owiec, idących w tym samym kierunku z prędkością ^

mili na godzinę. Osoba B dogania gęsi w miejscu polożonem

mili przed miastem R; owce zaś na 10 minut przed Z

na 2

dojściem do drugiego słupa milowego przed miastem R. Pytanie z jaką szli prędkością podróżni A i B?

XXXV.

Równania jednoczesne stopnia drugiego.

370.    Przedstawimy tutaj kilka przykładów rozwiązania równań jednoczesnych stopnia drugiego. Rozbierzemy szczególniej dwa przypadki, najczęściej przytrafiające Oę w praktyce, i podamy prawddło na ich rozwdązanie. V* obu tych przykładach są dane dwa równania z dwiema niewiadomemu Ilości niewiadome zawsze oznaczone będą głoskami x i y.

371.    Przypadek pi er io szy. Przypuśćmy że jedno z iów-nań danych jest stopnia pierwszego, a drugie jest stopnia drugiego.

Prawidło: Z równania stopnia pierwszego należy wyna-leść wartość na jedną z niewiadomych. Wartość tą Mora hądzie wyrażoną za pomocą drugiej niewiadomej, podstawić w równanie stopnia drugiego.

Naprzykład: Rozwiązać równania:

Sx -j- Ay — 18; bx² — 3xy = 2.

Z pierwszego równania będzie:

18 — 3x

= 2,

podstawmy tę wartość w równanie drugie; otrzymamy: _ „ 3x (18 — 3x)

DX*---

2Cte² — 54a: 4- 3x² = 8. 29.«² — 54,-r = 8.

skąd:

i następnie:

Z tego równania stopnia drugiego znajdujemy: x — 2, lub 4    .

— --g-; a podstawiając te wartości w wyrażenie na y, otrzy-

mamy y = 3, lub

267 58 ‘

372. Rozwiązać równania:

3x² -f-bx — 8y = 36, 2x² — 3x — 4y = 3. Jakkolwiek tutaj żadne z danych równań nie jest stopnia pierwszego, z tern wszystkiem możemy z nich wyprowadzić równanie stopnia pierwszego.

Grdyż pomnożywszy pierwsze równanie przez 2 a drugie przez 3, otrzymamy:

6x² -f- 10.z — 16y = 72,

Sx² — 9x — 12 y — 9.

Odejmijmy równanie drugie od pierwszego, będzie:

czyli:

10x — 16y -f 9x + 12y = 72—9, 19a: — 4 y = 63.

Z tego równania mamy:

19x — 63

co podstawiwszy w pierwsze z danych równań otrzymamy:

skąd:

3x² + 5x — 2 (19x — 63) = 36. Przekształcając to równanie otrzymamy w dalszym ciągn: 3xJ — 33ic + 90-0, x² — lia: —(— 30 = 0.

Z tego równania znajdziemy, że x = ö lub 6; a następnie przez podstawienie kolejne tych wartości w wyrażenie na y

3

znajdziemy, że y — 8, lub y = 12 —.

313. Przypadek drugi. Gdy wyrazy zawierające ilości niewiadome w każdem równaniu stanowią wyrażenie jednorodne stopnia drugiego (patrz § 23).

Prawidło: Należy uczynić y — vx i następnie podstawić tę wartość w oba równania: wtedy przez podzielenie ich od-powiedniemi stronami, otrzymamy równanie, z którego można oznaczyć v.

Naprzykład: Rozwiązać równania:

x² -|- xy -j- 2y² ~ 44;    2x‘¹ — xy -+ y² = 16.

Uczyńmy y — vx i podstawmy tę wartość na y w oba równania: otrzymamy:

x² (1 -J- v -f- 2>v²) = 44, x² (2 — v +- v²) = 16.

Dzieląc odpowiedniemi stronami te równania, będzie:

1    —-ł? —j— 2v²_44_11

2    — v v² 16    4

Stąd:

i następnie: dzieląc zaś całe równanie przez 3, wypadnie:

V²-ÖV + 6 == 0.

4 (1 + v -f 2v²) = 11 (2 — v + v²\

3v² — lbv + 18 = 0;

Z tego równania otrzymamy v — 2, lub v = 3. W równanie a;² (1 -j- v -)- 2v²) = 44, podstawmy 2 zamiast y, znajdziemy a? = + 2; a że y = y#, przeto otrzymamy: y — + 4. Podstawmy dalej w tern samem równaniu 3 zamiast y; mieć bę

dziemy z niego: a; = H- V 2. A że: y — yj;, zatem y—-+^>Z 2. Lub też moglibyśmy postępować i tak:

Pomnóżmy pierwsze z danych równań przez 2, będzie: 2x² -j- 2xiy -j- 4y² = 88;

drugie zaś równanie jest:

2x² — xy -j- y² — 16.

Przez odjęcie tych równań znajdziemy:

3xy -j- 3y² = 72, y² = 24 — xy.

czyli:

I dalej pomnóżmy drugie równanie przez 2 i odejmijmy od niego równanie pierwsze; będzie:

12

skąd:

Stąd, przez mnożenie:

3x² — 3 xy = — x² — xy — 4.

x²y² = (24 — xy) (xy — 4), 2 x²y² — 28 xy = — 96.

czyli:

Rozwiązując to równanie otrzymamy: xy — 8, lub xy = 6. Podstawiając pierwszą wartość w dane równanie, otrzymamy:

aP -f 2y² =, 36, 2a:² -f y² = 24.

Stąd znajdziemy x² i y². W podobny sposób można wziąć drugą wartość na xy i następnie wynaleść x² i y².

374. Rozwiązać równania:

2x² -j- 3xy    y² = 70; 3x² -)- xy — y² = 50.

Uczyńmy: y = vx, i podstawmy zamiast y tę wartość w oba równania; będzie:

x² (2 -j- 3y v²) — 70; x² (6 -j- v — u²) = 50.

Dzieląc odpowiedniemi stronami te dwa równania, otrzymamy:

375.    Oprócz równań należących do tych przypadków, które dopiero co rozważaliśmy, mogą się przytrafić równania, które jakkolwiek nie dadzą się pod żaden z nich podciągnąć, wszakże mogą być rozwiązane sposobami szczególnymi. Jakiego użyć w tym celu sposobu w każdym przypadku, może nas nauczyć tylko wprawa i doświadczenie. Podamy tutaj kilka tego rodzaju przykładów.

376.    Rozwiązać równania:

x 4" y = 5; x% -[- y³ — 65-

Przez dzielenie otrzymamy:

x³ 4-1/³    65

5’

+ y

czyli:

2 -\-3v -f- v² __ 70 _

6 -j- v — v²    50 —    ’

5 (2 + 3v -f v²) = 7 (6 + v — v²),

12v² + 8u — 32 = 0,

3i?² -f 2v — 8 = 0.

Z tego równania znajdziemy v lnb v —

3

Podstawmy w równanie x² (2 -f- 3v -|- v²) = 70, -i zamiast

3

f, wtedy otrzymamy x ■=. Hb 3. A ponieważ y = vx, więc 2/ — dz 4. Wartość v — — 2 nie może tutaj być zastosowany gdyż prowadzi do niemożliwego wypadku x² X 0 = 70. W rzeczy samej: równania, z których wartość na v była wynalezioną, mogą być tak napisane:

x² (2 -f- v) (1 -f- v) — 70, X² (2 4- v) (3 — v) = 50.

Z nich widzimy, że wartość na v: znaleziona z równania 2 -j- v — 0, nie daje się tutaj zastosować, może być tylko:

1 -\-v __ 70 _

3 — v 50

skąd:

i następnie: czyli:

— 2.

b- iO

skąd: v =

~r CO

x² — xy 4~ y² ~ 13.

Z tego równania, połączonego z równaniem x -[- y = b,

żerny znaleźć Æ i y tak jak w pierwszym przypadku. Albo też możemy uzupełnić rozwiązanie w ten sposób:

x -f- y — 5.

podnieśmy obie strony do kwadratu:

x² -|- 2xy -j- y² = 25    .    .    .    (1)

A że nadto:

- • (2)

x¹ — xy -|- y² = 13, przeto odejmując (2) od (1), będzie:

a następnie: skąd:

3 xy — 12, xy = 4,

4tcy = 16 .... (3)

Odejmijmy (3) od (1); otrzymamy:

x'Ł — 2xy -|- y² = 9;

wyciągnijmy z obu stron tego ostatniego równania pierwiastki kwadratowe, będzie:

x — y = ±3.

Należy teraz znaleśó x i y z równań stopnia pierwszego:

x -f- y = 5, i x — y — + 3.

Równania te dają takie wartości na a? i y\

'C «

lub: a: =

377. Rozwiązać równania:

lub: y = .*)

a;² -J- ijl = 41; xy — 20.

*) Grdy już otrzymaliśmy wartość ua ,ry, można także dokoń-czyć rozwiązania z dwóch równań:

X + y = 5, i xy = 4,

Mianowicie: równania te dają nam

opierając się na zadaniu § 344. sumę i iloczyn ilości szukanych; pierwiastki więc równania:

n² — bu -j- 4 = 0

będą szukanemi ilościami.

Równania te mogą być rozwiązane tak, jak równania w drugim przypadku (§ 373), albo też można je rozwiązać w sposób dopiero co pokazany. Gdyż z nich możemy odrazu wyprowadzić:

x² -j- y² -[- 2 xy — 41 -f- 40 = 81, x² -j- y² —^xy = 41 — 40 — 1: wyciągając więc pierwiastki kwadratowe otrzymamy: x + y = + 9, i x — y = ± 1;

stąd ostatecznie znajdziemy:

x = + 5, lub: x — + 4, y — + 4, lub: y = + 5.

378. Rozwiązać równania:

a?²-f xy y² — 19,    #⁴ -}- x²?/² + ?/⁴ = 133.

19

czyli:

Tym sposobem mamy teraz do rozwiązania dwa równania: x² -f- xy -|- y² = 19, cc² —    -[- y² = 7.

Z podzielenia jednego równania przez drugie mamy: xi -f x²y² -f y⁴ ₌ 133 a:² -f- 34/ -j- ?/2 Æ² — ^4/ + !/² = 7.

Dodając i odejmując kolejno dwa te równania otrzymamy: x² -f- y² — 13, xy ~ 6.

Postępując dalej tak, jak w § 377, znajdziemy że:

x =    3, lub: x — 4- 2.

y = ± 2;

lub: y — + 3.

379. Rozwiązać równania:

x — y — 2; a?⁵ — ?/ = 242.

Dzieląc drugie równanie przez pierwsze, otrzymamy:

tO

3?⁵ — î/⁵    2 2

« — y ~~

czyli:

a?⁴ -f a;³?/ -f a?²//² -j- xyz -j- yx — 121,

x⁴ + 2/⁴ + xy (.x² -f- V²) + %²y² — 121 . . . (I) x — y = 2-

to jest:

Lecz:

przeto, podnosząc obie strony do kwadratu; mieć będziemy

skąd:

(2)

a:² — 2 xy + y² — 4, x² -(- y ‘l = 2a:y -f- 4

Podnosząc obie strony tego ostatniego równania do kwadratu, otrzymamy:

a;⁴ -j- 2a:²y² + ?/⁴ = 4a:‘-?/² -|- 1 Qxy -(- 16, x⁴ -j- y⁴ — 2x-y² -}- 16xy --J— 16    . .

• (3)

przeto:

Podstawiając wartości na x² y² i x⁴ -f- y⁴, wzięte z równań (2) i (3), w równanie (1), mieć będziemy:

2x'²y² -f- 16xy —{— 16 —|— xy (2xy —{— 4) —{— x²y² — 121,

bx²y² '-f- 20xy = 105, x²y² -j- 4xy — 21.

skąd: czyli:

Z tego równania otrzymamy:

xy — 3, lub: xy — — 7.

Weźmy xy — 3; z tego równania, połączonego z równaniem x — y — 2, znajdziemy x — 3, lub: x — — 1, a następnie: y = 1, lub y = — 3. Gdybyśmy wzięli: xy — — 7, wtedy przekonalibyśmy, że wartości na æi y byłyby urojone.

PRZYKŁADY XXXV.

1.    x — y = 1;    a:² — xy y² = 21.

2.    x —(- y — 7 (x — y)\ x² --j- y² —. 100.

Ixy 2x

0.

4.

3.    4a: — 5y — i; 2a:² — xy -(- 3y² —|— 3a5 — 4?/.= 47. a: . y

15

ï2 + iô_æ_ÿ;

5.    3a: -)- 2y — bxy, lbx — 4y = 4a:y.

6.    a:y = a: -J- ax — by. .

7.    x² + xy — 28; xy — y² — 3.

8.    x² -j- xy — 6y² — 21; xy — 2y² = 4.

xĄ-y i x — y _

x — y ' x-\-y

9.

+ y² = 90.

10.    x -|- y = 9; a?³ -f- ?/³ = 189.

11.    x² -f- xy -j- y² = 37; æ⁴ -|- x²y² -f- î/⁴ = 481.

12.    x² -j- y² — 34; x² — y² -f- Vx² — y² — 20.

13.    x²yz — a\ xy²z — ô; xyz¹ = c.

14.    3yz -|- 2zx — 4xy — 16; 2yz — 3zx + xy = 5;

4 yz — zx — 3 xy — 12.

XXXVI.

Zagadnienia prowadzące do równań stopnia drugiego zawierających więcej niż jednę niewiadomą.

380. Znaleść liczbę dwucyfrową, mającą następujące własności: 1-sze, suma kwadratów dwóch cyfr, z których składa się liczba, jest równą samej tej liczbie powiększonej o iloczyn tychże cyfr; 2-re jeżeli dodamy 36 do tej liczby, wtedy otrzymamy nową liczbę dwucyfrową, złożoną z tych samych cyfr, lecz napisanych w odwrotnym porządku.

Niech x oznacza cyfrę stojącą na miejscu dziesiątków, a y cyfrę, stojącą na miejscu jedności. Wtedy sama liczba wyrazi się tak: 10x -j- y; jeżeli zaś cyfry odwrócimy, będzie liczba 10y -j- x. Więc podług warunków zagadnienia, mieć będziemy równania:

x² .+ y² = xy -f- 10x —[— 2/ .... ( 1)

\0x y ~j- 36 = 10y -f- x .    .    .    . (2)

Z równania (2) mamy:

9y ■— 9x -f 36, ty — x -j- 4.

przeto

Podstawiając tę wartość w (1), otrzymamy:

skąd:

x² -j- (x -f- 4)² = x (x -f- 4) + 10x -f- x -(- 4, x² — 1 x —j— ₁₂ = 0.

Z tego równania znajdziemy:

a zatem:

x — 3, lub: x — 4; y — 7, lub: y ~ 8.

Szukana liczba musi więc być albo 37, albo też 48. Każda z tych liczb zadosyć czyni wszystkim warunkom zagadnienia.

381. Pewna osoba wychodzi z miejsca położonego u samego spodka góry, z zamiarem dojścia do szczytu. Drugą połowę odległości do szczytu przechodzi z prędkością o pół wiorsty mniejszą na godzinę, aniżeli pierwszą połowię tejże

odległości, i dosięga szczytu w 5-^- godzin. Ze szczytu scho-

3

dzi na dół w ciągu 3 — godz., przyczem idzie z prędkością jednakową, i o jednę wiorstę na godzinę większą, aniżeli w pierwszej połowie wstępowania na górę. Znaleść: odległość od spodka góry do jej szczytu — i różne prędkości, z jakiemi ta osoba szła?

Niech 2x oznacza liczbę wiorst od spodka do wierzchołka, y zaś liczbę wiorst, jaką ta osoba przechodzi na godzinę, podczas pierwszej połowy wchodzenia na górę. Przeto pierw-

oc

szą połowę drogi przebyła w godzin —, drugą zaś w godzin Z warunków zadania będzie:

y-->

2a? =

iO

i podobnież:

to I—¹

1-1 CM

• (1)

CO

y H~1

Z równania (2) otrzymamy:

• • (2)

przeto:

Z równania (1) będzie:

ar(2ÿ"4)⁼¥2/(ÿ_ i)

15 (y + 1) (M/ — 1) = 44y (2?y — 1),

28y² — 8% + 15 = 0.

skąd: czyli:

Z tego równania otrzymujemy: y — 3, lub y =

. Wartość 5

— nie ma tutaj zastosowania, gdyż y podług warunków 28

28

za-

tH CM

Zatem: y — 3, a następnie: x =.

dania jest większe od

Odległość przeto od spodka góry do szczytu jest 15 wiorst.

382. Zakończmy ten rozdział rozwiązaniem zagadnienia następującego:

Znaleść dwie takie liczby, aby ich suma, iloczyn i różnica ich kwadratów były równe.

Oznaczmy większą z tych liczb głoską x, mniejszą zaś głoską y. Wtedy podług warunków zagadnienia powinno być: x -f- y — xy — x² — y².

Aby rozwiązać te równania, wyprowadzamy najprzód z równania x -J- y = xy wartość na x\ będzie:

X —    -    ,

y — i

skąd:

x -j- y = —---h y = —-—

y-1^y y—1

i:

xy =

y²

Ponieważ różnica kwadratów tych liczb ma być równą temuż samemu, czemu się równa suma i iloczyn, przeto będzie z jednej strony:

x² — y² =

Lecz ponieważ .r =

y²

y — -

tem z drugiej strony otrzymamy:

y²

2 «/+ ¹

, za-

a:²

— */² =

— y⁴ + 2y³

y² —    + 1 '

Porównywając tę wartość na x² — y² z napisaną powyżej, otrzymamy:

y²

— yiJr 2*/³

r-H

?/² — 2«/ -J- 1

y = 0 czyni zad osy ć temu równaniu i daje również x — 0; ażeby znaleść pierwiastki różne od zera, dzielimy równanie znalezione przez y² (co możemy zrobić, gdyż y już nie może być zerem); będzie:

— y² 4- 2w

YZ^W+T ’

znosząc mianownik:

y — 1 = — 2/² + 2y, czyli: ij² — y = 1. Stąd otrzymamy na y takie wartości:

rH Ol

+¹ - ^y !

a ograniczając się na wartości dodatniej:

i -t- r 5 •" = 2 '

Wartość zaś na x będzie na zasadzie równania:

taką:

a¹ =

y — i ’ l+jOT V~ô — 1 '

Aby mianownik w tem ostatniem wyrażeniu uczynić wymiernym, pomnóżmy licznik i mianownik przez V 5 -f- 1, otrzymamy ostatecznie:

3 4-1^5

Większa zatem z szukanych liczb jest

1 + Vb

3-j-|/5

mniejsza zaś

Liczby te czynią zadosyć warunkom zagadnienia, gdyż:

3 4- Vb ,1 + I 5

x-\-y=    ₂

= 2 4- V 5,

a:?/ =; 2 + Vb . x² — y² = 2 + Vö .

Rozwiązanie tegoż samego zagadnienia można uczynić prost-szem, wychodząc z równania: x 4- y — x² — ?/², którego obie strony mogą być podzielone przez x + y. Wskazujemy tu tylko tę drogę, pozostawiając czytelnikowi rozwinięcie całego rozwiązania.

PRZYKŁADY XXXVI.

1. Iloczyn dwóch liczb jest równy 6 razy wziętej ich sumie, suma zaś ich kwadratów jest 325; znaleść te liczby.

2.    Różnica dwóch liczb pomnożona przez różnicę ich kwadratów stanowi 32, suma zaś tychże liczb pomnożona przez sumę ich kwadratów wynosi 272; znaleść te liczby.

3.    Różnica dwóch liczb jest 3, a różnica ich sześcianów jest 279; — znaleść te liczby.

4.    Powierzchnia pewnego prostokąta wynosi 300 stóp kwadratowych; drugi prostokąt, którego powierzchnia jest także 300 stóp kwadratowych, jest o 8 stóp krótszy a o 10 stóp szerszy aniżeli pierwszy. Znaleść długość i szerokość każdego z tych prostokątów.

5.    Dwa pociągi wyjeżdżają w jednej i tej samej chwili z dwóch miast i oba jadą ruchem jednostajnym naprzeciwko siebie. Gdy się spotkały, wtedy jeden z nich przejechał o 108 wiorst więcej, aniżeli drugi. Jeżeli dalej jechać będą z temiż samemi prędkościami, wtedy pierwszy przebędzie pozostałą część drogi w 9 godzin, a drugi w 16 godzin. Znaleść odległość pomiędzy temi dwoma miastami i prędkości z jakiemi pociągi jadą.

6.    A i B są to dwa miasta odległe od siebie na 18 wiorst i leżące na tym samym brzegu rzeki. Podróżny udaje się z A do B i przebywa tę odległość w czterech godzinach, płynąc łódką pierwszą połowTę drogi, a idąc pieszo drugą połowę. Z powrotem pierwszą połowę drogi idzie pieszo z taką samą prędkością jak przedtem, drugą zaś płynie łódką; lecz ponieważ teraz płynie z wodą, przeto przepływa o lj wiorsty na godzinę więcej, aniżeli w przeciwną stronę i odbywa całą drogę w 3| godzinach. Znaleść z jakiemi prędkościami szedł

i płynął.

7. Dwa naczynia sześcienne mają razem objętości 407 centymetrów sześciennych. Wysokość jednego z nich dodana do wysokości drugiego, daje na sumę 11 centymetrów.

Znaleść objętość każdego z tych naczyń.

8. Na przestrzeni 1732,5 metra przednie koło powozu robi o 165 obrotów więcej aniżeli tylne. Gdybyśmy powię-

kszyli obwód każdego koła o 0,75 metra, wtedy na tej samej przestrzeni przednie koło zrobiłoby o 112 obrotów więcej aniżeli tylne. Znaleść długość obwodu każdego z kół.

9.    Po obwodzie placu mającego kształt trójkąta prostokątnego biegną dwaj chłopcy. Wybiegli oni z wierzchołka kąta prostego w przeciwnych hierunhach wzdłuż boków trójkąta, i biegną z prędkościami, których stosunek równa się 13 : 11. Po raz pierwszy spotykają się w samym środku przeciwprostokątnej; poraź drugi zaś w odległości 20 metrów od wierzchołka kąta prostego, na jednej z przyprostokątnych. Znaleść podług tych danych długości trzech boków, ograniczających plac.

10.    Bachus znalazł Sylena śpiącego przy dzbanie wina; skorzystał z tej okoliczności i pił wino przez dwie trzecie części tego czasu, przez który Sylen wypróżniłby cały dzban. Gdy Sylen obudził się, wypił resztę, którą zostawił Bachus. Gdyby obaj razem pili od początku, wtedy wypiliby o 2 godziny prędzej, ale Bachus wypiłby tylko połowę tego wina, które zostawił Sylenowi. W jakim czasie każdy z nich sam wypróżniłby dzban?

XXXVII.

¹

Porównaj § 344.

Przedstawienia graficzne równań stopnia pierwszego.

383. W celu uwidocznienia wypadków działań arytmetycznych nad dwiema wielkościami użyliśmy sposobu (§ 156) polegającego na tern, że każdą parę liczb x, y, nad któremi mieliśmy wykonać działanie, przedstawiliśmy za pomocą pewnego punktu, leżącego na płaszczyźnie rysunku w odległościach x i y od prostych O Y i 0X przecinających się pod kątem prostym, i przy tak znalezionym punkcie wypisywaliśmy wypadek działania z. Jeżeli dla x i y będziemy

przyjmowali coraz to inne wartości, wtedy punkt odpowiedni będzie przyjmował coraz to inne położenie na płaszczyźnie. Wypadek działania z może przytem albo zmieniać się, albo też pozostawać bez zmiany.

Zastanówmy się nad pytaniem, w jakich warunkach wypadek dzielenia: pozostaje bez zmiany.

Rzut oka na tabliczkę dzielenia każe przypuszczać, że wszystkie punkty, dla których iloraz y : x jest jeden i ten sam, leżą na pewnej linii prostej, przechodzącej przez punkt 0. Dowiedziemy geometrycznie, że tak jest w istocie.

Dla łatwiejszego wyrażenia się wprowadzamy nazwy następujące. Proste 0X i O Y nazwiemy osiami spółrzędnych;

p.

w szczególności 0X osią odciętych, 0 Y osią rzędnych. Odległość BP = OA = x nazwiemy odciętą punktu P, zaś .4P =

= OB — y rządną tegoż punktu; odciętą i rzędną nazywamy także współrządnemi punktu P. Rzędna jest dodatnia, jeżeli punkt P leży nad osią odciętych; ujemna, jeżeli P leży pod osią. Odcięta jest dodatnia dla punktów leżących z prawej strony osi rzędnych, i ujemna dla punktów leżących z lewej strony.

Niech będą P i Q dwa punkty, dla których ilorazy y : x mają jednę i tę sarnę wartość a jna rysunku przyjęto a będzie więc:

AP

OA

Połączywszy punkty PiQ z punktem 0. liniami prostemi otrzymamy dwa trójkąty prostokątne GAP i OCQ, które, jak to widać z powyższej proporcyi, są podobne; a więc:

Z AOP= Z COQ;

z czego wypada, że prosta padnie na OP. To znaczy, że wszystkie 'punkty, dla których stosunek rządnej do odciątej jest jeden i ten sam, leżą na tej samej linii prostej przechodzącej przez O.

I odwrotnie, przez podobne rozumowanie znaleźlibyśmy, że dla wszystkich punktów leżących na prostej, przechodzącej przez O stosunek rządnej do odciątej jest jeden i ten sam.

Twierdzenie to możemy wyrazić jeszcze inaczej. Jeżeli y ’.pc = a, to y == ax\ a zatem wszystkie punkty; których spół-rżądne czynią zadość równaniu:

y — ax,

leżą na prostej; i odwrotnie: spółrżądne wszystkich punktów prostej OP czynią zadość temu równaniu. Dlatego też równanie to nazwiemy równaniem prostej OP.

Jeżeli punkt P przesuwać będziemy wzdłuż prostej OP od strony lewej ku prawej, to obie spółrzędne będą się zwięk-

s?;ały nieustannie; przy przesuwaniu punktu P w stronę przeciwną obie spółrzędne będą się stawały coraz mniejsze.

Me uciekając się do pośrednictwa punktu P można powiedzieć, że jeżeli w równani u y = ax wielkość zmienna x wzrasta, to i zmienna y wzrasta; jeżeli x maleje, to i ij maleje. Gdybyśmy jednak za a przyjęli jakąkolwiek liczbę ujem-

LO 1-^

ną, np. —

, to przekonalibyśmy się, że przy wzrastaj ącem

x, y maleje, przy malej ącem x y wzrasta (por. tabliczkę dzielenia).

384. Poprowadźmy prostą MQ równoległą do OP, i przedłużmy AP do przecięcia N z prostą MQ. Z równole-głoboku OPNM widać, że PN = OM. Niech będzie OM — b, wtedy rzędna punktu N będzie większa o b, aniżeli rzędna punktu P. Będzie więc

y — nx -j- b

równaniem prostej MN. 1A ponieważ każde równanie stopnia pierwszego z dwiema zmiennenti można sprowadzić do po-

wyższej postaci, więc też każde takie równanie można przed-staivié za pomocą linii prostej.

ISdech będzie np. dane równanie:

2 y — x — 2;

przenosząc x na drugą stronę i dzieląc przez 2 dostaniemy:

^*+i.

Podstawiając w tern równaniu zamiast x kolejno dowolnie obrane wielkości, otrzymamy odpowiednie wartości dla y:

X --

. -2, -1,0, 1,2,...

y - • •

Punkty: .    .

0,

rH

to o:

7\...

S.

R.

-2

\B

Obierając dowolnie jednostkę długości, np. 1 cm., i przyjmując tak znalezione x, y za społrzędne, dostaniemy szereg punktów PQJRST... leżących na linii prostej.

Przypuśćmy, że jest dane jeszcze drugie równanie: — 2x — -2- .

Znajdziemy podobnie jak poprzednio:

-2,-1,

A JL

' 2 ’ 2 ’ ’

to i-*.

r⁻¹

Q, K- ......

Proste PT i dU5 przecinają się w punkcie którego odciętą jest — 1, a rzędną . Wartości te czynią zadość

równaniom obu prostych; a zatem, ażeby znaleść spółrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, należy, uważając zmienne x, y za niewiadome, rozwiązać równania obu prostych względem tych niewiadomych.

I rzeczywiście, rozwiązując równania:

2 y — # =2

y——2x — ^

₁ 1

-1, y = y

385. Mech będą dwie proste dane za pomocą równań: axx -j- bpy =

«a³⁷ + &2 y =

spółrzędne ich punktu przecięcia będą (patrz § 220):

_^1^2    ^2^1

«jè-2 - Ugèj

axk₂ — a₂^i

«Ä — «2Ôl''

Ułamki te będą pozbawione znaczenia jakiejkolwiek nych nam liczb, jeżeli ich mianownik będzie zerem, to jest jeżeli:

a-ybt^

Punkty: .    ... A,

dostaniemy a; =

bO I—i

2’

ze zna-

skąd, dzieląc obie strony przez b.b₂:

a₂

, ~~K

W tym wypadku nie można znaleść punktu przecięcia danych prostych; ale też łatwo przekonać się, że proste, wyrażone przez takie równania, nie przecinają się wcale, czyli że są równoległe. W tym celu rozwiązujemy równania dane względem y:

Ponieważ:

«i Jc1 y X -j- jY b i

⁽h X _l h b.₂    ^ b₂

* V

więc obie proste są równoległe do prostej

ax

a zatem są równoległe między sobą.

Gdyby oprócz mianowników i liczniki także były zerami, dostalibyśmy w podobny sposób:

a₁

O oh

?5-

Z jednego równania można więc otrzymać drugie, dzieląc je przez współczynnik liczebny równy powyższemu stosunkowi. W tym wypadku wszelkie wartości, czyniące zadość jednemu równaniu, zadawalniają także i drugie; oba równania przedstawiają więc jednę i tę sarnę linię prostą.

Przypuszczaliśmy dotąd, że żaden z współczynników nie jest zerem. Gdyby jednak np. współczynnik przy y był zerem, to otrzymalibyśmy równanie tej postaci:

» i—«

wymagające, ażeby odcięte wszystkich punktów prostej miały jednę i tę sarnę wielkość. Własność tę ma prostopadła do

h

osi 0X poprowadzona na odległości — od punktu 0. Podo

bnie równanie:

by = Jc

przedstawia prostą prostopadłą do OK, czyli równoległą do 0X.

386. Na zasadzie tego, co było wyłożone w tym rozdziale, można każde dwa równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomemi rozwiązać sposobem graficznym: należy wyrysować proste, odpowiadające tym równaniom, znaleść ich punkt przecięcia i zmierzyć cyrklem spółrzędne tego punktu. Ale w wielu zadaniach można uniknąć układania równań i wogóle wszelkiego rachunku, a rozwiązywać je wyłącznie przy pomocy rysunku.

Rozwiążmy następujące zadanie:

Pociąg pospieszny wychodzi ze stacyi A o godz. 6 m. 10 i przychodzi do stacyi C, nie zatrzymując się w drodze, o g. 7 m. 00. Pociąg osobowy wychodzi z C o g. 6 m. 00 i przychodzi do A o g. 7 m. 25, zatrzymawszy się na stacyi B od g. 6 m. 24 do g. 6 m. 34. Kiedy i na jakiej odległości od A pociągi się spotkają, jeżeli odległość B od A wynosi 34 wiorsty, a C od A 50 wiorst?

P,

Ruch każdego pociągu uwidocznić trzeba w ten sposób, ażeby z figury można było odczytać, w jakiej odległości od stacyi początkowej A pociąg znajduje się w każdym dowolnie obranym czasie. W tym celu wypiszmy 0    12 3

minuty wzdłuż osi odciętych w równych odległościach, a za rzędną w każdej chwili przyjmiemy odcinek pro-porcyonalny do odległości pociągu od stacyi A. Końce rzęd~

nych utworzą pewną linię, która będzie prostą, jeżeli ruch będzie jednostajny, gdyż w tym wypadku stosunki rzędnych do odciętych będą równe, — a mianowicie: równe prędkości pociągu; — trójkąty OPI, OQ2, 0R3,... będą podobne, z czego wypada, że punkty PQR .. leżą na linii prostej. Dosyć jest więc wiedzieć, o której godzinie pociąg wyszedł z jednej stacyi i o której przyszedł na następną, ażeby móc tę linię wykreślić.

Na rysunku załączonym, przedstawiającym bieg pociągów, o których mowa w zadaniu, jednej minucie odpowiada

AT

li

Al

r,u0

G'°

6²⁰

G³⁰

(P°

-,00 —f 10 ~fZO ~30

'lii

długość 1 mm. na osi 0X, a jednej wiorście długość 1 mm. na osi OT. Bieg pociągu pospiesznego idącego z A do C jest przedstawiony za pomocą linii MN] pociąg osobowy, idący w przeciwnym kierunku, daje linię łamaną PQRS\ odcinek

QR równoległy do OX odpowiada dziesięciominutowemn postojowi tego pociągu na stacyi B. Punkt przecięcia T linii MN i PQR8 odpowiada tej chwili, w której odległości obu pociągów od A są równe, t. j. kiedy one się spotkają. Wystarcza więc zmierzyć obie spółrzędne punktu T, ażeby zna-leść czas i miejsce spotkania. Czyniąc to, znajdziemy, że spotkanie nastąpiło o godz. 6 min. 40 na odległości 30 wiorst od stacyi A.

387. Rozwiążemy toż samo zadanie za pomocą ra

chunku.

Pociąg pospieszny przebywa 50 wiorst w 50 minut, prędkość jego wynosi więc 1 wiorstę na minutę. A ponieważ on wyrusza o 6¹⁰, zatem w x minut po godz. 6-ej odległość jego y od A będzie:

(1)

y — x — 10

Równanie to przedstawia bieg pociągu od 6¹⁰ do 7⁰⁰, a zatem jest prawdziwe, jeżeli:

(la)

10 < x < 60

Dla pociągu osobowego znajdziemy w podobny sposób,

wiorsty na mi-

że prędkość jego na nutę, skąd:

2

odstępie GB wynosi —

O

(2)

50 — i/ = — x J 3

a ponieważ ruch ten trwa od 60n do 6²⁴, więc równanie to jest prawdziwe tylko wtedy, jeżeli:

. • (2“)

0 < x c 24 .    .

W czasie postoju na stacyi B będzie:

y = 34 . . .• . (3i 24 < x < 34 . . . (3a)

Ponieważ nie wiemy z góry, na którym odstępie nastąpi spotkanie, musimy więc kolejno kombinować równanie (1) z równaniami (2), (3) i (4), przyczem takie tylko pierwiastki będą stanowiły rozwiązanie zadania, które czynią zadość odpowiedniej nierówności (2°), (3a) albo (4“) i nierówności (1®)

Z równań (1) i (2) otrzymamy x = 36, które nie zada-walnia nierówności (2®), z czego widać, że pociągi nie mogą się spotkać na odstępie GB (x — 36 jest odciętą punktu T⁷, w którym spotykają się proste PQ i MN).

Podobnie z równań (1) i (3) znajdziemy x = 44, niezgodne z nierównością (3®); a zatem pociągi nie spotkają się na stacyi B (rozwiązanie tych równań daje punkt przecięcia U prostych QB, i MN).

Wreszcie z równań (1) i (4) otrzymamy x=40, co czyni zadość zarówno nierówności (4“) jak (1®); a zatem pociągi spotkają się na odstępie BA o godz. 6⁴⁰; odległość punktu spotkania od A znajdziemy z równania (1) równą 30, jak to już znaleźliśmy sposobem graficznym, który prościej i prędzej doprowadził nas do celu.

PRZYKŁADY XXXVII.

1. Przedstawić graficznie, przyjmując 1 cm. za jedność, przebieg zmiennej y, jeżeli

1 ,

2~+ ’

a x zmienia się od — 2 do -\- 2.

2. Jaka jest forma ogólna równań prostych, wykreślonych na tabliczkach dodawania i odejmowania, jeżeli odstępy między liczbami są na obu osiach jednakowe?

21

i wreszcie na odstępie BA:

! (85 -34 < x c 85    .    .    .    (4®)

x) .

• (4)

Algebra

3. Znaleśó punkt przecięcia prostych, których rów

nania są:

x — 3y — 7,

3x — y = 1.

4.    Znaleśó graficznie, o jakich godzinach i minutach jedna skazowka zegarka zakrywa drugą. Na rysunku niech jednej godzinie odpowiada długość 18 mm. na osi i jednej podziałce minutowej długość 1 mm. na osi OY.

5.    0 jakich godzinach i minutach jedna skazówka zegarka stanowi przedłużenie drugiej?

6.    Gdzie leżą wszystkie punkty, dla których

1 < x <r 3 y < o ?

7. Gdzie leżą wszystkie punkty, dla których — 6 < x < 0

0 <r y < 1 —

I', 9 TX?

8. Przedstawić graficznie bieg pociągów, podług załączonego rozkładu, oraz oznaczyć czas i miejsce ich spotkania?

Przych. Odch.

Przy eh. Odch. Wiorsty S t a c y e 00 Warszawa Pruszków 28 Grodzisk

7⁴⁰    :    41 Ruda Guzowska

52 Radziwiłłów 62 Skierniewice

8⁴⁰

₈17

757

8¹⁹ Î 15

8°°

₈33

721

706

v 900

745

8³⁴

XXXVIII.

Przedstawienia graficzne równań stopnia drugiego.

388. Widzieliśmy, że jeżeli nad dwiema wielkościami x i y wykonamy dodawanie, odejmowanie lub dzielenie, i je-

żeli będziemy zmieniali cc i y w ten sposób, żeby wypadek działania pozostał bez zmiany, to wszystkie punkty, dla których x i y będą spółrzędnemi, znajdą się na linii prostej. Zastanówmy się teraz, jakie jest położenie wzajemne wszystkich punktów, dla których iloczyn spółrzędnych będzie jeden i ten sam, t. j. dla których

xy — ic,

gdzie k jest liczbą stałą.

Jest to równanie stopnia drugiego, gdyż takim jest stopień wyrażenia, będącego na pierwszej stronie równania.

Przypuśćmy naprzód, że k—1, to jest szukamy takich punktów, dla których

1.

xy =

Rozwiązując to równanie względem y znajdziemy, w jaki sposób y zależy od x:

Zauważmy, że y ma zawsze ten sam znak, co a?, i że wartość bezwzględna y jest tem większa, im mniejszą jest wartość bezwzględna x, i odwrotnie.

na

Obierzmy dowolnie jednostkę długości i odetnijmy

osi OX :

O A — 1,    OB = 2, 0C= 4

OE = 1, OD = i,

0El = — i, 0D¹ = --4, OA¹ = —1, OB¹^— 2, 0(7' = —4 Odpowiednie rzędne będą:

ER = 4, DQ = 2, AM = 1, BN = i, GB = | E'R'=— 4, D¹Q¹= —2,    C¹Pl=~i;

Poprowadźmy linie RQNMP i R¹QxN¹MlPx] spółrzęd-ne punktów obu tych gałęzi czynią zadość równaniu

= 1,

dlatego też uważamy je za jedną linią krzywą; krzywa ta

otrzymała nazwę hiperboli ¹). Ponieważ obie spółrzędne każdego punktu tej hiperboli mają znaki jednakowe, więc hiperbola leży całkowicie w dwóch ćwiartkach przeciwległych płaszczyzny i nie może przecinać osi spółrzędnych.

AT

Cr

B' A'D’e'O

P'

EDA B

N'

iW

(V

Hiperbolę można przedłużyć w czterech kierunkach zawsze tak daleko jak na to pozwalają rozmiary rysunku, przy-czem przedłużenia te zbliżają się ciągle do osi. Przypuśćmy, że za jednostkę przyjęliśmy 1 cm, a grubość linii wyrysowanej jest | mm. czyli cm., wtedy dla x — 20 dostaniemy y — a zatem punkt odpowiedni będzie oddalony od osi tylko o szerokość paska, przedstawiającego linię. Dla większych odciętych rzędne będą jeszcze mniejsze, a zatem, po-

*) Linia krzywa, o której mowa w tekście, nie jest jedynym przypadkiem hiperboli.

cząwszy od tego punktu, hiperboli nie można odróżnić od osi odciętych. Podobnie te części hiperboli, na których leżą punkty mające x c — 20, y > 20 lub y < — 20 nie dadzą się odróżnić od osi spółrzędnych.

I wogóle, jeżeli grubość linii wyrysowanej wynosi

długości przyjętej za jednostkę, wtedy począwszy od czterech punktów leżących na odległościach n jednostek od O, linia będzie się zlewała z osiami spółrzędnych; punkty te leżą tern dalej od O, im cieńszą linię rysujemy. Na linii matematycznej, której grubość jest o, niema takiego punktu, któryby leżał na osi, ale zawsze można znaleść taki punkt na osi, którego odległość od hiperboli jest mniejsza, aniżeli dowolnie obrany, choćby jaknajmniejszy odcinek d: w tym celu należy

tylko odciąć na osi odległość > W skróceniu wyrażamy

to w ten sposób: osi spółrzędnych są styczne do hiperboli w nieskończoności.

Zamiast wyrazu nieskończoność używamy w algebrze

znaku co.

Wracając do równania

możemy powiedzieć, że jeżeli x jest dodatnie i zbliża się do 0, to y zbliża się do nieskończoności ze strony dodatniej, czyli -j-oo; jeżeli x jest ujemne i zbliża się do o, wtedy y zbliża się do nieskończoności ze strony ujemnej, czyli — oo. Odwrotnie, jeżeli x zbliża się do -j-°° lub — oo, wtedy y zbliża się do 0 ze strony dodatniej lub ujemnej.

389. Przypuśćmy teraz, że w równaniu:

xy —■ k

k — ■— 1, czyli:

y~ —

W tym wypadku znak y będzie zawsze przeciwny znakowi x, a zatem linia przedstawiona przez powyższe równanie będzie leżała całkowicie w dwócb pozostałych ćwiartkach

Br

płaszczyzny, kształt jej jednak nie różni się od poprzednio rozpatrywanej. Obracając płaszczyznę dokoła osi OX lub ÖY, można jednę hiperbolę położyć na drugą.

Niech będzie teraz h równe jakiejkolwiek liczbie dodatniej n², gdzie a —    będzie:

a²

y —

co można w teu sposób napisać:

Jeżeli jednostkę długości przyjmiemy a razy mniejszą aniżeli w § 388, to otrzymamy tę sarnę hiperbolę, którą tam rozpatrywaliśmy. Niech będzie np. a = 10;

K²' ⁼ 1

10*

przy jednostce długości = 1 mm. jest równaniem tej samej krzywej, co i równanie:

Dla x = 5 mm. czyli 0,5 cm., do-

przy jednostce = 1 cm. staniemy w pierwszym przypadku y — 20 mm., w drugim y — 2 cm., czyli jedno i to samo.

Grdyby k było ujemne, a więc — k dodatnie, kładąc

k — — a², gdzie a = -j- V — k, dostaniemy :

Równanie to przedstawia tę sarnę krzywą, co i równanie

y = —

przy odpowiednio dobranej jednostce długości.

390.

Jak wiemy , dwie linie proste równoległe nie przecinają się, jakkolwiek dalekobyśmy je wydłużyli; pomimo to mówimy , że dwie proste równoległe pi zßcincijci się w nieskończoności. Zdaniem tym wypowiadamy w skłóceniu fakt następujący.

8 i T. w ten

Niech będzie odcinek PQ równoległy do prostej AB. Poprowadźmy PO i QB prostopadle do AB, oraz przez punkt P linię prostą, której przecięcia z QP i AB oznaczymy przez Jeżeli prostą PT będziemy obracali dokoła punktu P sposób, żeby punkt S zbliżał się nieograniczenie do Q, wtedy punkt T będzie się oddalał do nieskończoności.

W rzeczy samej, z trójkątów podobnych PQS i TOP

wypada:

OT: 0P = PQ : QS,

czyli :

OT. QS = OP. PQ;

czyniąc zaś OT = æ, = y, OP . PQ = k², znajdziemy:

xy = lc².

Jeżeli więc x zbliżać się będzie do 0, y będzie się zbliżać do oo .

G-dyby punkt 8 zbliżał się do Q z przeciwnej strony, wtedy punkt T oddalałby się również w przeciwną stronę prostej AB do nieskończoności.

Zauważyć jeszcze można, że jeżeli grubość linii na rysunku wynosi x — — jednostek długości, i mierzymy z dokładnością do -i-, wtedy odcinka PQ nie można odróżnić od

tych wszystkich odcinków PS, których przedłużenia przeci-

—nic²

Jc² lc²

nają prostą AB w odległości od O większych od—=

(z obu stron punktu 0), gdzie lc² jest liczbą jednostek powierzchni w prostokącie OPQP.

391. Mech będzie dane jakiekolwiek równanie stopnia drugiego, np.:

— x² -f 2x -j- 1 = 0    .    .    .    .    (1)

Rozpatrujmy naprzód trójmian, znajdujący się z lewej strony, i oznaczmy go przez y.

y — x² -j- 2# -j- 1 .    .    .

Ażeby poznać, jak zmienia się y, w zależności od x, obliczmy y dla kilku różnych wartości x, np.:

- 1,

— 2,

• (2)

1,    , 3;

x —

y =

Przyjmując x i y za spólrzędne, otrzymamy szereg punktów, które połączone dają pewną linię krzywą, zwaną parabolą; równanie (2) jest równaniem tej paraboli.

2,

— 2.

-1

-2

-2

Widzimy, że wykreślona krzywa przecina w dwóch punktach oś odciętych; są to punkty, dla których y = o; odpowiednie odcięte dostaniemy więc, rozwiązując równanie (1):

x=l±V~2

= 1 + y~2;    = i — y2:

czyli:

xx

Wyciągając pierwiastek z 2 z dokładnością do 0,1 dostaniemy:

xx = 1 -j- 1,4 = 2,4 ; x.₂ = 1 — 1,4 = — 0,4; co sprawdzić można na rysunku.

392. Mech będzie dany trójmian stopnia drugiego, który oznaczymy przez y:

• (1)

y — ax² + bx -j- c; .    .

rozpatrzymy, w jaki sposób zmienia się y w zależności od x. W tym celu wyłączamy z prawej strony a za nawias;

będzie :

a dodając i odejmując w nawiasie

b²

4a² '

4 a²

a[x'iJr2Łx+(Ł)

czyli:

b² — 4 ac

4 a²

• • (2)

rażeniu ( x -f _

\ 2a

Z prawej strony równania x występuje jedynie w wy-b \2

, kiedy ono się staje zerem. Zet

, które jest zawsze dodatnie, z wyjątkiem Jeżeli a>o, iloczyn

a(a:+^)2jest

więc zawsze dodatnim albo zerem; jest on

ujemnym albo zerem, jeżeli a < o. Wypada stąd, że, jeżeli a > o, y przyjmuje wartość możliwie najmniejszą, czyli mini-b

mum,. przy x = —

— ; jeżeli zaś a < o, wtedy y przyjmuje ZCl

wartość możliwie największą, czyli maximum, również przy

2a ’

"Wyrażenie x -j- — wzrasta razem z x\ jeżeli ono jest

/ & \²

dodatnie, wtedy ! x + I

jednak a; —|— ~ < o, wtedy wartość jego bezwzględna (§ 233)

Lid

, / & \2 zmniejsza się, gdy wartość względna wzrasta; ( x -j- ^

zmniejsza się więc przy rosnącym x, jeżeli x -f- ^

I b \²    ’;r.

Iloczyn a I # -j- — 1 zmienia się w

I b \²

ny sposób, ⁰⁰ ( * + ^ ) ■

datnie czy ujemne.

Tablicę zmian, jakim wartość trójmianu podlega w różnych przypadkach, podajemy na str. 332.

393. Nieraz pożytecznie jest wiedzieć, bez wykonywania rachunku, jaki znak ma trój mian stopnia drugiego przy danej wartości x. Jeżeli b² — ac c o (pierwiastki urojone), wtedy we wzorze (2) § 392 wyrażenie zawarte w nawiasie jest dodatnie dla każdego x, a zatem trójmian ma ten sam znak, co i współczynnik a. Toż samo ma miejsce i wtedy, jeżeli

6² —4ac (pierwiastki równe), z wyjątkiem x

wartość trójmianu jest zero.

Przypuśćmy teraz, że b² — 4ac > o; w tym razie trójmian, przyrównany do zera, daje dwa pierwiastki rzeczywiste różne. Oznaczmy przez x₁ pierwiastek mniejszy, przez x2 większy, i rozłóżmy trójmian na czynniki stopnia pierwszego (§ 345):

wzrasta również razem z x; jeżeli

ten sam lub odwrot-

stosownie do tego, czy a jest do-

K>

kiedy

maximum

ÛKC² + fa + c

o -t- xq -\-zxn

& \² 4ae — 5²

— co;

rosnące;

4 ac — 6²

maximum

b\²

b\ ²

6² — 4ac

2a

by

wz

— + a?

/y

co :

ujemne rosnące;

malejące;

malejące;

0 ; ujemne malejące; — oo

minimum

4«c — b²

rosnące;

-i- oo

H- co ; dodatnie malejące; 0 ; dodatnie rosnące; -+- oo

minimum

i- oo ; dodatnie malejące; 0 ; dodatnie rosnące; oo

minimum

— co ; ujemne rosnące;

00

0 ; dodatnie rosnące; -h oo

ax² -j— kx -1— c — a (oc- X] ) (X xj).

Rozpatrywać będziemy osobno przypadki, w których x jest mniejsze od xx, zawarte między xx i x₂ i większe od x₂.

1°. Jeżeli:

X < Xy,

X < x₂,

oba czynniki x — x₁ i x — x₂ są ujemne, ich iloczyn dodatni, a zatem trójmian ma ten sam znak, co a.

2°. Jeżeli:

to tern bardziej:

xj x

wtedy x — xx jest dodatnie, x — x₂ ujemne, ich iloczyn ujemny, a zatem trójmian ma znak przeciwny znakowi a.

3°. Jeżeli:

x > x₂,

co a.

wtedy oba czynniki x — x.₂ są dodatnie, ich iloczyn również dodatni, a zatem trójmian ma znak ten sam Wypada stąd następujące twierdzenie:

za-

na,

Trójmian stopnia drugiego ma ten sam znale, co współczynnik drugiej potęgi zmiennej, z wyjątkiem tego przypadku, w którym trójmian, przyrównany do zera, daje dwa pierwiastki rzeczywiste różne, a wartość, jaką nadajemy zmiennej, jest warta między tymi pierwiastkami.

Zmienność trój mianu jest przedstawiona graficznie

war-

str. 334. Odcięta O A jest tutaj równa — ^ przy tej

tości dla x trójmian przyjmuje wartość najmniejszą lub naj-

4ac — k²

większą. Odpowiednia rzędna AS jest równa

PRZYKŁADY XXXVIII.

■i-x², przyjmując za jedno-

Li

1. Wykreślić parabolę y = stkę długości 1 cm.

.V

AS'

œ>0; 4 ac — 6²>0

4 ac — 6²    .    .

——>0; minimum dodatnie, pier-wiastki urojone.

o> 0 4 ac — b" — 0 minimum zero, pierwiastki równe.

Xa

Al" X

4ac — b²

S

stki OM' i OM".

<0; maximum ujemne, pier-■ia,

n>0 4ac — 6S< 0

minimum ujemne, 2 pierwia-o<0 4 ac — 6²>0 4oc — 6S

wiastki urojone.

Y,

f)

AI/

M"

4ac — 6²

a < 0; 4ctc — 6² = 0 maximum zero, pierwiastki równe.

a<0; 4ac — 6²<0

>0; maximum dodatnie, 2 4o

pierwiastki OM' i OM".

2.    Wykreślić tę sarnę parabolę przy jednostce długości = 1 mm.

biorąc za jednostkę

3.    Wykreślić krzywą x = -Ł-y²

U

długości 1 cm.

4.    Wykreślić parabolę ^/=40000x², biorąc za jednostkę długości 1 metr.

5.    Wykreślić parabolę y — —0,004x, biorąc za jednostkę długości 0,1 mm.

6.    Wykreślić hiperbolę xy=—2 oraz prostą æ-J-2y— — — 1, biorąc 1 cm. za jednostkę długości. Obliczyć i zmierzyć spółrzędne punktów przecięcia.

t—I ‘iO

7.    Toż samo dla paraboli y = - -x² i prostej y = 2x-\-

-\- 10 przy jednostce długości równej 1 mm.

8. Znaleść graficznie i za pomocą rachunku pierwiastki równania:

y = %x² — 5x -(- 3.

9. Obrawszy dogodne osi spółrzędnych, znaleść równania krzywych, wykreślonych na tabliczce mnożenia Pouchet’a.

XXXIX.

Ułamki ciągłe.

394. Pod nazwiskiem: ułamek ciągły rozumiemy wyrażenie tej postaci:

-f-Jh

a\ + • • • •

Lecz ponieważ w zastosowaniach ważnymi są jedynie takie ułamki ciągłe, w których liczniki b₂, b₃, bA... są wszystkie równe 1, przeto w dalszym ciągu wykładu tylko

tego rodzaju ułamki ciągłe rozważać będziemy. Tym sposobem nazwą: ułamek ciągły oznaczać będziemy wyrażenie:

sposób:

a4 + • • ' *

Słowami opisać możemy tego rodzaju wyrażenie w ten

Ułamek ciągły jest to wyrażenie, składające się z całkowitej z ułamkiem, którego licznikiem jest jedność, a mianownikiem znowuż całkowita z ułamkiem, którego licznikiem jest jedność, a mianownikiem całkowita z takimże ułamkiem i t. d.

Pierwsza całkowita ax może być równą 0.

395. Każdy ułamek zwyczajny, którego licznik i mianownik są pierwszemi względem siebie, może być zamieniony na ułamek ciągły. Objaśnimy to na następującym przy-

1103

kładzie: Weźmy ułamek

Odłączając z niego całkowitą, otrzymamy:

216 887 '

Wartość ułamka wchodzącego do drugiej strony powyższej równości nie zmieni się, jeżeli licznik i mianownik jego podzielimy przez 216; czyniąc to będzie:

1103 887

887 ‘

1103

887

₍887|

1216/

czyli, odłączając znowuż całkowitą z ułamka niewłaści-887

weg° 2T6 :

1103

887

4 + 23 '

Wartość ostatniego ułamka w powyższem wyrażeniu nie zmieni się, gdy licznik i mianownik tego ułamka podzielimy przez 23; wykonywaj ąc to, otrzymamy:

1103

887

— ¹ + 4 ₊ i

PS)

216

czyli, po wyłączeniu całkowitej z ułamka niewłaściwego

1103

887

⁼¹+T+T

23 *

Dzieląc znowuż licznik i mianownik ostatniego ułamka przez licznik 9, i postępując ciągle jednakowo podług powyższych wskazówek, otrzymamy szereg następujących równości, z których ostatnia rozwiązuje nam w

= l + \-

zupełności zadanie:

1103

887

|rH |'05 |lO

2 + 1___

t—i lO

1 +1

stawiony pod postacią wyrażenia, które nazwaliśmy ułamkiem ciągłym. Oczywiście tenże sam sposób może być zastosowany do każdego ułamka zwyczajnego.

Gdy ułamek zwyczajny zamieniamy na ułamek ciągły, wtedy często mówimy, że ułamek zwyczajny rozwijamy na ułamek ciągły.

ułamek ciągły, spostrzeżemy,

do rozwinięcia ułamka

ża działanie to jest zupełnie takie samo, jak działanie, za pomocą którego znaleźlibyśmy największy wspólny dzielnik dla liczb 1103 i 887. W samej rzeczy: rozkładając w zwykły sposób wspomniane działanie, otrzymamy:

Rozpatrując bacznie całe działanie, które posłużyło nam 1103

na

887

tH

Ostatecznie więc:

= i + l

1103

887

4-fi

skąd widzimy, że ułamek zwyczajny

1103

887

został przed-

4    9 12    1    1

1103

887

216 23    9    5    4

887

864

to

T—i

216    23

OS

Ol

r-H

Gdybyśmy chcieli rozwinąć na ułamek ciągły ułamek dziesiętny lub peryodyczny, wtedy należałoby najprzód każdy z tych ostatnich zamienić na ułamek zwyczajny, skrócić go, i potem postąpić jak pokazano wyżej.

pomocą liczby całkowitej.

za

396. Z ilości ułamkowych lub niewymiernych można otrzymywać ułamki ciągłe w sposób następujący: przypuśćmy, że chcemy oznaczyć wartość pewnej ilości z, która nie może być wyrażoną Wtedy najprostszy sposób dojścia do celu będzie następujący: wynajdźmy najprzód taką liczbę całkowitą a₁, któraby najbardziej zbliżała się swoją wartością do x, będąc wszakże od niego mniejszą. Wówczas x — ax będzie równe ułamkowi mniejszemu od jedności, a zatem ——będzie większe

= x₁ ; ponieważ xl jest

od jedności. Przypuśćmy, że-- ^

większe od jedności, przeto możemy znaleść nową liczbę całkowitą a₂, jak można najbardziej zbliżoną do xx, i mniejszą

> 1.

od xl . Wtedy znowuż xx — a₂ < 1, a zatem

Oznaczmy---

x₁ — a₂

dziemy nową liczbę całkowitą a₂, zbliżającą się najbardziej do x₂ i mniejszą od niego. Tym sposobem będzie: x₂—

będzie od jedności większe. Oznaczywszy tę

przez x₂ ; wówczas w dalszym ciągu znaj-

więc:

00 2    $2

ostatnią ilość przez x₃, wynajdziemy następnie nową liczbę całkowitą ai, najbardziej zbliżoną do x₃ i dalej tak samo postępować będziemy. Z tego widoczną jest rzeczą, że tak postępując powoli wyczerpiemy ilość x i to w sposób najprostszy i zarazem najprędszy, gdyż używamy tu ciągle tylko liczb całkowitych, z których każda zbliża się jak można najbardziej do ilości szukanej.

xx — a2

x₂ , przeto:

xi

dalej skoro:

Ponieważ:

x — ax

■■ ■■ dL ^

przeto: x — ax =

- , a stąd:

xx

xx

I podobnie: ponieważ:

= x₃, więc:

XQ

— H~ ~ 5

*t/3

również:

i tak dalej. Podstawiając teraz kolejno znalezione wartości, otrzymamy:

i ¹    i ¹

X —    —j— —- — (Xx —j—

Xx

flf₂ + 1

«3 -f- 1

«3    +    1

XĄ

czyli ostatecznie:

, 1

a-2 H⁻ 1

OC — Cl^ —J— —

«3    1

Ułamki — , —

ai “b • • •

— ... nazywają się ułamkami cząst-

a?)    a ₂

kowymi lub ogniwami ułamka ciągłego, ich mianowniki a₂ , az ? ^4 • • • • mianownikami cząstkouiymi lub mianownikami ogniw.

a%

«2 » a₃ . . . . wypa-one są dodatnie; i takie tylko ułamki ciągłe

Ze sposobu otrzymania wartości a1 da, że¹ wszystkie w następstwie rozpatrywać będziemy. Należy tu jednak nadmienić, że mogą być ułamki ciągłe, w których ułamki cząstkowe nie wszystkie są dodatnie. Rozważanie wszakże takich ułamków ciągłych nie należy do zakresu niniejszego rozdziału, tembardziej, że tylko takie ułamki ciągłe, jakie bierzemy pod uwagę, mają praktyczne znaczenie.

397. Liczba tych działań, które prowadzą do oznaczenia ilości «i , a₂ , a₃ , . . . może być ograniczoną lub nieograniczoną. Przypadek pierwszy mieć będzie miejsce wtedy, gdy jedna z liczb, xx , x₂ , x₃ . . . . wypadnie wprost równą całkowitej. Całe działanie oczywiście na niej zostanie zakończone. Ułamek ciągły otrzymany wtedy składać się będzie z ograniczonej liczby ogniw i nazywa się ułamkiem ciągły skończonym. W przeciwnym razie, gdy żadna z liczb xx , x xz ... . nie będzie całkowitą, ułamek ciągły będzie nieskoń-

czonym.

398. Przykład rozwinięcia pierwszego rodzaju, to jest na ułamek ciągły skończony, mieliśmy w § 395. I w ogólności nie trudno dowieść, że ułamek zwyczajny może być zawsze rozwinięty na ułamek ciągły skończony. W rzeczy samej:

Jest to

przypuśćmy, że dany ułamek zwyczajny jest .

więc ta wartość, którą w § 396 oznaczyliśmy przez x. Oczywistą jest rzeczą, że liczbą całkowitą, najwięcej zbliżoną do wartości tego ułamka, będzie iloraz powstały z podzielenia A przez B ; oznaczmy go przez a₁, resztę zaś pozostałą z tego

dzielenia przez r₁. Wtedy będzie: ~ — ax = Ilość ta,

B

którą w § 396 oznaczyliśmy przez xx, będzie tutaj:-—, i po-

r\

nieważ 1\ jest resztą z takiego dzielenia, w którem dzielnikiem było B, przeto rx < B. Wartość całkowita, najbardziej zbliżona do xx otrzyma się znowuż przez dzielenie B przez r₁ ; oznaczmy iloraz z tego dzielenia przez a₂, a resztę pozostałą

ilość

Jß

przez r.₂. Wtedy: — = a₂ -f-

r2

»a .

skąd:--a₂ — —

ri

więc, którąśmy oznaczyli w § 396 przez x₂, będzie tutaj widocznie —. Powtarzając powyższe rozumowanie, widzimy,

ri

ri

ri

r2

że najbliższą wartością całkowitą tego ostatniego ułamka będzie iloraz powstały z podzielenia rx przez r₂. Oznaczając go

r3_.

przez a₃ i resztę z dzielenia przez r₃, będzie

r2

skąd:

r2

ilość więc x₃ będzie równą —. I tak

V3

dalej powtarzamy ciągle toż samo działanie. Oczywistą jest rzeczą, że działanie, które służy do oznaczenia xx, x₂ . . . . i ax, a₂, a₃ . . . , jest takie samo, jak działanie, jakie należy wykonać, aby wynaleść największy wspólny dzielnik dla A i B] możemy je więc przedstawić w ten sposób:

ci₃ —

r2

a₂

as

a₄

r,

r2

r3

AViemy zaś, że tak postępując przyjdziemy w końcu do takiej reszty rn , która w poprzedniej rM_i mieścić się będzie całkowitą liczbę razy + x; wtedy to całe działanie będzie

A

ukończone. Ułamek więc przedstawi się pod postacią takiego ułamka ciągłego:

■ß — d

an~\~ 1

-f-1

399. I odwrotnie: każdy ułamek ciągły skończony może być zamieniony na ułamek zwyczajny. Ogólny i zarazem najdogodniejszy sposób takiej zamiany będzie pokazany później; tutaj objaśnimy na przykładzie możliwość takiego p kształcenia ułamka ciągłego na ułamek zwyczajny.

rze-

Weźmy ułamek ciągły:

2 + 1___

2+1

Ostatni z ułamków cząstkowych, mianowicie

należy

do mianownika przedostatniego ogniwa, t. j. do 1. Włącza-

. Zamiast więc 1 +

jąc 1 + w ułamek, otrzymamy

możemy w mianowniku napisać

lO TH

Będzie zatem:

= 2+1

czyli :

2 + 4 5 '

4

I w tern wyrażeniu ułamek ostatni — należy do mia-

⁵    4

nownika poprzedniego ogniwa t. j. do 2. Włączając 2 + --

14    °

w ułamek, otrzymamy-^-. Zatem będzie:

O

czyli:

= 2 + 1

14

1 ++

5

Włączając i tutaj ułamek jy z całkowitą 1 w ułamek, otrzymamy :

= 2 + 1    , czyli: =2 + 1

3 + 1

2 + 1

3+14

19

I dalej: tenże sam ułamek ciągły równać się będzie: > czyli: 2+i?,

19

i nakoniec po włączeniu tej ostatniej całkowitej z ułamkiem w ułamek:

161

— 71 *

za-

Oczywiście, ten sam sposób postępowania możemy stosować w każdym przypadku, a nawet i do ułamka ciągłego skończonego wyrażonego pod postacią ogólną:

«2+1

ai +1_

«3 +.

««+ 1

a-n 1

Wyrażenie jednak ogólne, jakiebyśmy tą drogą otrzy-

tembar-

roz-

trudności.

wości zamiany każdego ułamka ciągłego skończonego

mali, byłoby zbyt zawiłe; i dlatego opuszczamy je, dziej, że później poznamy dogodniejszą drogę do znalezienia wypadku ostatecznego, a sposób wskazany wyżej, oprócz wlekłości rachunku, nie przedstawia żadnych szczególnych W każdym razie sposób ten dowodzi nam możli-

na ułamek zwyczajny.

400. Ułamki ciągłe nieskończone powstają z rozwinięcia wyrażeń niewymiernych. Że ilość niewymierna, będąc rozwiniętą na ułamek ciągły, nie może dać ułamka ciągłego

skończonego, wypada to bezpośrednio z powyższego. Grdyby bowiem ilość niewymierna mogła się równać ułamkowi ciągłemu skończonemu, wtedy zamieniając go odwrotnie na ułamek zwyczajny, otrzymalibyśmy, że ilość niewymierna jest równą ułamkowi zwyczajnemu, co jak wiemy jest niemożliwe.

Sposoby wszakże rozwijania ilości niewymiernych na ułamek ciągły nie są tak proste, jak sposób, który podaliśmy wyżej dla ułamków zwyczajnych Każdego rodzaju ilość niewymierna wymaga osobnego sposobu do oznaczenia mianowników ax , a₂ , n₃ . . . . ułamków cząstkowych. Tutaj pokażemy tylko jak rozwinąć na ułamek ciągły ilość niewymierną pierwiastkową stopnia drugiego, czyli pierwiastek kwadratowy z liczby, która nie jest zupełnym kwadratem.

Weźmy jako przykład I 17 ; zwracając uwagę na oznaczenia, przyjęte w § 396 będzie x = V17. Liczba całkowita, która najbardziej zbliża się do V17, będąc od niego mniejsza, jest 4; to zatem, co jest oznaczone w powołanym wyżej paragrafie przez ąx, jest tutaj równe 4. Będzie więc: x—ax —

=V 17

4 , a ilość , która w § 396 jest oznaczona przez xx, •

czyli —-—, x—ax

—• Aby znaleść liczbę cał

jest tutaj xx

kowitą, najbardziej zbliżoną do ilości xx, zamieńmy to ostatnie wyrażenie na ułamek z mianownikiem wymiernym przez pomnożenie licznika i mianownika przez l l7~-}-4 (patrz § 315). Otrzymamy :

Vl7 -f- 4

xx =

y i7 -f 4

y 17 — 4 _ (VÏ7 - 4) (V17 + 4) ~~ 17 — 16 ’

czyli:

x₁ = V 17+4.

Ponieważ I 17 jest równy 4 więcej ilość mniejsza od jedności, przeto wartością całkowitą, najbardziej zbliżoną do x, będzie tutaj 8. Przeto a₂ = 8. Mamy dalej:

xx — a₂ = Vl7 + 4 — 8= V17 - 4, skąd:

y i7—4

x.j =

X1 - a2

Zamieniając to ostatnie wyrażenie na ułamek z mianownikiem wymiernym, znajdziemy, że:

K17 + 4

-    17 — 16

= 1/17+4.

Najbliższa wartość całkowita tego wyrażenia jest zno-wuż 8, czyli będzie a₃ = 8. I dalej otrzymamy:

_ a₃ = VÏ7 + 4 — 8 = VÏ7 — 4,

skąd:

X3 ~~

V17 — 4:

= VÏ7 + 4,

a następnie: ai = 8, i x₃ — a₄ znowuż = \ 17 — 4.

I tak dalej. Widzimy z tego, że działanie to nigdy się

nie skończy, a także i to, że wartości na x₁, x₂, x samem i wartości na a₂, a₃, a₄ . . . są ciągle też same. Powtarzając więc rozumowanie § 396, otrzymamy:

a tern

X = y 17. = 4 + = 8+1

xx

x₂

x₂ — 8 —j— y i7 = 4 +\

i t. d., skąd:

8+1

8 + ...

Do tegoż samego wypadku moglibyśmy dojść jeszcze i takim rachunkiem: Ponieważ I 17 jest zawarty między 4 i 5, przeto możemy powiedzieć, że on jest równy 4 więcej pe-

wien ułamek właściwy (rozumiejąc tutaj pod wyrazem ułamek właściwy wogóle ilość mniejszą od jedności), który ozna-

¹⁻¹ !

czymy przez

. Będzie więc:

VÏ7 = 4 + ~ •

Aby znaleść ilość xl, przenieśmy 4 na pierwszą stronę i zmieńmy porządek stron, otrzymamy:

- VÏ7 — 4,

skąd:

xx =

y i7—4

W tym ostatnim ułamku uczyńmy mianownik wymiernym, będzie:

x₁ = y 17 -}- 4.

A ponieważ y 17 jest równy 4, więcej pewna ilość mniejsza od jedności, przeto:

x₁ —

W celu znalezienia x₂, weźmy znowuż pod uwagę

równość:

y 17 -j- 4 = 8 4- ¹ ;

z niej otrzymamy:

rH

= y 17 — 4,

a następnie:

x₂ —

Będzie więc znowuż:

gdzie x₃ możemy w podobny sposób oznaczyć tak, jak powyższe wartości. Będzie więc:

xx

VÏ7 = 4 -f- — ,

gdzie:

xx

x₂ ’

gdzie:

X.

skąd ostatecznie:

Ki 7 = 4 -f i

8 4-1

8 4- 1

I m² 4- 1, gdzie

m oznacza

401. Jako drugi przykład weźmy ogólne wyrażenie jakąkolwiek liczbę całkowitą. Tutaj x — V m² -)- 1. Liczba całkowita najwięcej zbliżona do wartości tego pierwiastku i od niego mniejsza-jest m, będzie przeto: ax — m, skąd:

x — ax = V w² -|- 1 — m, a następnie:

££]_= —

x — a₁

Zamieniając ostatni ułamek na ułamek z mianownikiem wymiernym, do czego dochodzimy przez pomnożenie obu jego wyrazów przez Vm‘² -f- 1 -j- w, otrzymamy:

xx —

(V m² 4-1 — wî) (Vm² 4- 1 “K

czyli:

a?! = K w³ 1 -j-

w.

Ponieważ zaś liczbą całkowitą, najwięcej zbliżoną do Vm² -j- Ï jest m, przeto liczbą całkowitą najbliższą xx, będzie 2m. Jest więc:

a₂ = 2m, a następnie:

x] — a₂ = V m² -}- I -f- m — 2m = m² -[- I — m.

Skąd:

x₂ =

^ m² -j- 1 — m

Powtarzając w dalszym ciągu toż samo rozumowanie} znajdziemy ostatecznie:

2m-j-1

Na zasadzie powyższego wyrażenia możemy odrazn rozwijać na ułamki ciągłe wszystkie ilości pierwiastkowe, w których pod znakiem pierwiastku znajduje się liczba całkowita, równa kwadratowi zupełnemu (m²) powiększonemu o 1. Przykład poprzedni odnosi się właśnie do tego przypadku, gdyż: y\7 = y 16^-1 = K4²-j-l. Tutaj więc: m = 4. W podobnym przypadku będą jeszcze: l! 10 = J/3² -j- 1; K26 = Kö² + 1; J/37 = /62+1 i t. d.

402. Jako dalszy przykład weźmy J/42. Liczbą całkowitą, najwięcej zbliżoną do wartości tego pierwiastku jest 6, przyjmując więc też same oznaczenia, których już tyle razy używaliśmy, będzie % = 6, a następnie: x — ax = 142 — 6,

y———T • Zamieniając ten ułamek

na

skąd: x₁ —-

x — ax

ułamek z mianownikiem wymiernym, otrzymamy:

J/42 -f 6

(J/42 — 6) (142 -f 6)

xx —

J/42 + 6 _ 142 -f 6 42 —36 ”

Aby znaleść liczbę całkowitą najwięcej zbliżoną do x₁, zwróćmy uwagę na to, że V42 jest równy 6 więcej pewna ilość, mniejsza od jedności, zatem J/42    6 jest równe 12 wię

cej pewna ilość, mniejsza od jedności. Jeżeli teraz ^42 -|- 6 podzielimy przez 6, otrzymamy na iloraz 2 więcej pewna ilość mniejsza od jedności.

J/42 — 6

Zatem liczbą całkowitą, najbardziej zbliżoną do-g-

będzie 2, czyli a₂ — 2. Dalej będzie:

V42 — 6

J/42 -j- 6    ₀ _

6    2 _    6

skąd:

J/42 — 6

x₂ =

a?i — a ₂

Czyniąc mianownik wymiernym w tym ostatnim ułamku, otrzymamy:

6 (J/42 -j- 6)

6 (J/42 + 6)__

(J/42 — 6) (J/42 + 6)

Liczbą całkowitą, najbliższą a?₂ będzie tutaj 12; przeto:

= J/42 -f 6.

a₃ = 12, a następnie:

J/42 + 6 — 12 = J/42 - 6,

skąd:

“ J/42 — 6'

<*3

Powtarzając poprzednie rozumowanie i rachunek, znaj

dziemy że:

*3— a, J/42 — 6’

— 2;    #4 —

skąd: a₅ = 12, i t. d.

I tutaj widzimy, jak w przykładach poprzednich, że działanie nigdy się nie skończy, gdyż na żadną z ilości x nie otrzyma-

my wprost wartości całkowitej. Szukany ułamek ciągły nieskończony będzie:

m=⁶+di

12 + 1

2+1

12 4-1

to

Podobny rachunek zastosowany do wyrażenia Vm² -j- m

da nam:

V m² + m = m -j——

2m+1

2+1

2 m -j- . . .

Powtórzenie tychże samych rozumowań w następnych przykładach pozostawiamy czytelnikowi:

1)    1/48, tutaj będzie: ax =6, a₂ = 1, a₃ = 12, a₄ = 1,

«5 = 12 i t. d. skąd:

K48 = 6 + 4^

12 + 1

12 + • • • •

1+1

2m+l

1+1

3) J 47 = 6 -J- I

ö+i

i+i

12+1

1+1

5+1

1+1

Ułamki ciągłe, otrzymane w poprzednich rozwinięciach, są nie tylko nieskończonymi, ale nadto takimi, że w każdym z nich mianowniki ogniw powtarzają się w tym samym porządku. Tak np. w rozwinięciu I 37 powtarza się mianownik 12; w rozwinięciu 142 powtarzają się mianowniki 2 i 12; w rozwinięciu Viï powtarzają się mianowniki 1, 5, 1, 12 i t. d. Tego rodzaju ułamki ciągłe nieskończone nazywają się peryo-dycznymi. Zbyteczną niemal rzeczą jest dodawać, że nie są one jedynymi ułamkami ciągłymi nieskończonymi; oprócz nich są jeszcze ułamki ciągłe nieskończone i nieperyodyczne.

Ułamki ciągłe peryodyczne powstają zawsze z rozwinięcia ilości pierwiastkowych stopnia drugiego. Dowiedziemy w dalszym ciągu wykładu, że ułamek ciągły peryodyczny może być zawsze zamieniony na ilość pierwiastkową stopnia drugiego, gdyż jest on równym jednemu z pierwiastków równania stopnia drugiego. Można dowieść dalej, że i odwrotnie ilość pierwiastkowa stopnia drugiego daje w rozwinięciu zawsze tylko ułamek peryodyczny. Dowiedzenie tej drugiej części, podane po raz pierwszy przez Lagrange’a, przechodzi po za ramy niniejszej książki. Inne ilości niewymierne dają rozwinięcia nieskończone i nieperyodyczne.

403. Poznawszy sposoby otrzymywania ułamków ciągłych, zajmiemy się teraz ich własnościami. Przypuśćmy, że

23

Algebra

mamy ułamek ciągły jakikolwiek (t. j. skończony lub nieskończony):

ai “h ' ‘ • '

Jeżeli, zaczynając od a₁, weźmiemy jakąkolwiek liczbę ułamków cząstkowych, i na ostatnim z nich zatrzymamy się, wtedy otrzymamy pewien ułamek ciągły skończony. Ułamek ten możemy zamienić na ułamek zwyczajny; wykonawszy tę zamianę otrzymamy ułamek, który nazywać będziemy redli/dem lub przybliżeniem danego ułamka ciągłego.

Tak np. zamieniając ułamki ciągłe skończone:

ai "I⁻

a.₂

lub

aÆ

r—i !

a2~t~ 1

lub ax -f- ^

a^Ą-l

a: i

fh +1

«4

ny «i + —

«2

i t. p. na ułamki zw}mzajne, otrzymamy różne przybliżenia czyli redukty danego ułamka ciągłego. Dla odróżnienia jednego reduktu od drugiego, oznaczamy każdy dodaniem do wyrazu „przybliżenie“ lub „redukt“ liczby porządkowej, pokazującej ile ogniw ułamka ciągłego wchodzi do składu tegoż przybliżenia. I tak: przybliżeniem pierw szem będzie a1 (w razie, gdyby w ułamku ciągłym pierwszej całkowitej nie było, będziemy pisać jako pierwsze przybliżenie 0); przybliżeniem ćlrugiem będzie ułamek zwyczajny, powstały z zamiana ułamek; przybliżeniem trzeciem ułamek zwy-

czajny, powstały z zamiany:

ć?2 -j⁻1

ai

i t. d. ; i w ogólności przybliżeniem n-tem będzie ułamek zwyczajny, powstały z ułamka:

Cl~2 —j— 1

«S+-

'+1

an.

Każde przybliżenie oznaczać będziemy w ten sposób: P    ,    ...

— ; dla pokazania zaś, o którem przybliżeniu jest mowa, przy

liczniku P i mianowniku Q pisać będziemy u dołu wskazówkę, wyrażającą miejsce, jakie przybliżenie zajmuje w szeregu wszystkich przybliżeń. Mianowicie: przybliżenie pierwsze

P

będzie: -P, przybliżenie drugie:

przybliżenie trzecie:

P,

4’

To ostatnie będziemy pisać

niekiedy dla .skrócenia bez wskazówek dolnych tak: Tym sposobem będzie:

(f

P,

1 P₃

Qi

«1Î

Q₂

Q»

«a

i t. d. ; w ogólności:

klnb J =

«2+¹

u₃ +• 1

404. W § 399 był pokazany sposób, jakim każdy z tych ułamków ciągłych może być zamieniony na ułamek zwyczajny. Możemy go tutaj bezwątpienia zastosować i otrzymać

: P_2_ P$

Q₂ ’ Q, Qn

. Lecz sposób ten jest długi, a na-

dewszystko używając go, nie łatwo odkryć związek, jaki za-

. P

chodzi pomiędzy rozmaitemi przybliżeniami

wartości

q- . Dlatego też

to podamy tutaj inny sposób wynajdywania wszystkich przybliżeń.

Przybliżenie pierwsze, jak wiemy, jest takie:

Przybliżenie drugie otrzyma się, włączając w wyraże-całkowitą z ułamkiem w ułamek. Będzie więc:

aia2 H~ 1

Q*

— ai

a₂

Cl 2

(1).

Przybliżenie trzecie otrzymamy ze zwinięcia ułamka

ciągłego:

ai 4"

«3

Różni się ono od poprzedniego tern, że dobrane zostało jeszcze jedno ogniwo

które należy do mianownika a₂.

Zamiast więc wykonywać zamianę tego ułamka na zwyczajny możemy także powiedzieć, że przybliżenie to otrzyma

P    .1

się z przybliżenia poprzedniego j podstawiając iv niema₂-\-

a₃ ’

Q,

zamiast a₂. Ta uwaga jest zasadniczą i służy do wynalezienia związku pomiędzy następującemi po sobie przybliżeniami. Będzie więc:

a₃

«3

Mnożąc licznik i mianownik ułamka, będącego na drugiej stronie równości, przez a₃, w celu pozbycia się mianownika, i znosząc nawias otrzymamy:

Cl^Cli^Cl^ —j— d-y —f— Cl₃

Qz

a₂a% -f- 1

a wyłączając a₃ z dwóch wyrazów licznika za nawias, będzie:

-fj _(aia2 ~ł~, 1) as ~f~ ai

Q₃    à₂a₃ -j- 1

Jeżeli teraz porównamy ten wypadek z wartościami P P

przybliżeń:™!i przekonamy się, że przybliżenie trzecie

¹

wogóle przybliżenie n-te:

• • (2),

czyli:

a₂a₃ -j- 1

-Ol hs

w lii

«s

Cl 2 —j— 1

[a2 ~f“

a₂ +

-Pą __    +_A

Q₃ Q₂a:i + Qi gdyż ilość a₂ -f- 1 w liczniku jest równa P₂ , a₁ jest licznikiem przybliżenia pierwszego, a więc = Pl ; a₂ w mianowniku jest mianownikiem przybliżenia drugiego, t. j. Q₂ , nako-niec 1 jest mianownikiem przybliżenia pierwszego.

Gdybyśmy chcieli z tego przybliżenia otrzymać następnie przybliżenie czwarte, to jest:

H*

Qa

ch

a3 -f-1

wtedy należałoby we wzorze (2) podstawić n₃ -J-a₃. Czyniąc to znajdziemy:

zamiast

4+4)+p-

0₂(«₃ + ^) + 0‘

znosząc nawias w liczniku i mianowniku drugiej strony, będzie:

Pi

mnożąc zaś licznik i mianownik tego ostatniego ułamka przez a₄, otrzymamy:

^ 4 __ (P'2az ~ł~ -fi) a4 ~ł~ P2

Qi {Q‘2az ~j~ Q\) ai "j⁻ Q‘ź

Jeżeli zwrócimy uwagę na to, że podług wzoru (2):

i wartości te podstawimy w równość powyższą, wówczas otrzymamy ostatecznie:

P4_ P‘Sai -f~ P-2

P‘2a,A “T Pa — P-z i a Q->as Qi = 0

Qi    Qza 4 -j~ Q>

Widzimy z tego, że przybliżenie czwarte jest ułamkiem, którego licznik jest równy licznikowi przybliżenia trzeciego,

. . (3)

pomnożonemu przez mianownik ułamka cząstkowego czwartego, więcej licznik przybliżenia drugiego; mianownik zaś jest równy podobnie mianownikowi przybliżenia trzeciego, pomnożonemu przez mianownik ułamka cząstkowego czwartego, więcej mianownik przybliżenia drugiego.

Tak samo jak znaleźliśmy przybliżenie czwarte, moglibyśmy znaleść i przybliżenie piąte; — mianowicie należałoby w równości (3) podstawić aA -j- " zamiast ax i postępować

as

jak wyżej. Otrzymalibyśmy wtedy:

3l _ pta5 rh P'l Q-0 Qia:, 4- ^3 ’

skąd okazuje się, że licznik i mianownik piątego przybliżenia w podobny sposób jest utworzony z wyrazów przybliżeń: czwartego i trzeciego, a także i mianownika ogniwa piątego, jak był utworzony licznik i mianownik przybliżenia czwartego z wyrazów przybliżeń trzeciego i drugiego i z mianownika ogniwa czwartego. Możemy więc zapytać się, czy ten sposób tworzenia się każdego przybliżenia z dwóch poprzednich i z mianownika ostatniego ogniwa, na którym zatrzymujemy się, jest ogólny, t. j. czy daje się zastosować do wszystkich przybliżeń? Aby na to pytanie odpowiedzieć, użyjemy tutaj tego sposobu rozumowania, który nazywamy induJccyą matematyczną. Mianowicie: weźmy pod uwagę ułamek ciągły:

a., -f- 1

a% -j- .

an — l+l

a fi 1

an + 1 “1“ • ■ • •

Pn — 2    Pfi — 1

Qn — 2    Qn

i przypuśćmy, że pomiędzy przybliżeniami:

, (z których pierwsze odpowiada mianownikowi a,, _ ₂,

. Pn ¹ Qn

drugie «M_i, trzecie zaś mianownikowi a„) zachodzi taki związek, jaki widzieliśmy np. dla przybliżeń drugiego, trzeciego i czwartego, to jest, że:

p,

___an ~ł~ Pn — i

Qn — i an -j- Qn — 2

• • (4)

czyli innemi słowami, przypuśćmy, że Pn i Q,n są utworzone podług takiego prawa:

Pn - Pn — 1 Mn ~j⁻ J- n — 2 1 Qn - Qn — 1    ~j~    — 2 •

mnożąc zaś licznik i mianownik drugiej strony przez anĄ. będzie:

Pn + 1 Qn + I

(Pn — 1 4" P» — 2) ft« -f 1 4“ P« — 1 ((?« — l ftn 4“ V« — 2) ft« + 1 4“ Qn — 1

Jeżeli teraz zwrócimy uwagę na to, że podług założenia:

Pn — 1 ft« 4- Pn — 2 P n j 1 Ç«

otrzymamy ostatecznie:

Pn+ 1

(?« + 1

Dowiedziemy, że tenże sam związek zachodzić będzie P P

n ’ TT * TY + ¹ ? to jes4 że i następne przy-

- { n — 1    tn    ' x n ~|- 1

bliżenie będzie utworzone podług tegoż samego prawa. W tym

Pn 1 Qn + 1

tworzy się przez dobranie do tej części ułamka ciągłego, jeszcze ogniwa--

pomiędzy

celu należy tylko zwrócić uwagę na to, że przybliżenie

z której powstało

Qn

ft« -j- i

że zatem przy-

bliżenie

P

-L- n

Qn -j- 1

w mem a„

otrzymamy z przybliżenia -y-, podstawiając -- zamiast «, . Będzie więc^

ft« -f- J

Pn

_+J; _

Qn + 1

Pn-

la„ -f-

\ ' £

Qn-

an +1

I -f- Pn _ O ■4“ Qn — 2

skąd, znosząc nawiasy w liczniku i mianowniku:

Pn — 1 ft« -f 1

Pn + 1

Pn — 1 an "j⁻ P» — 2 4“

Qn

Qn — 1 ft« + Qn — 2 4“

Qn

Pn ft« + 1.4~ Pn — 1 ft« +14~    —1

a ta ostatnia równość pokazuje nam, że podług tegoż samego

prawa jest utworzone przybliżenie

Qn 4- 1

—-¹ z przybliżeń

P„

Q«

i mianownika an _|_ i .

Skoro zaś widzieliśmy, że podług tego prawa było utworzone przybliżenie piąte, przeto na zasadzie dowiedzionego twierdzenia w tenże sam sposób będzie utworzone i przybliżenie szóste, przeto podług tegoż samego prawa będzie utworzone i przybliżenie siódme i t. d., t j, że znaleziony powyżej sposób tworzenia się kolejnych przybliżeń jest ogólny. Możemy zatem powiedzieć, że:

Licznik każdego przybliżenia, zacząwszy od trzeciego, jest równy licznikowi przybliżenia poprzedzającego, pomnożonemu przez mianownik tego ogniwa, na którym się zatrzymujemy, więcej licznik przybliżenia przed-poprzedzającego; mianownik jest także w ten sam sposób związany z mianownikami dwóch przybliżeń poprzedzających i mianownikiem ogniioa, na. którym się zatrzymujemy.

Np. Niech będzie dany ułamek zwyczajny:

winąwszy go na ułamek ciągły (sposobem podanym w § 395), znajdziemy:

¹ Qn

151

347'

Roz-

151

347

3*

Przybliżenia kolejne tego ułamka ciągłego będą:

—i- = 0 =

t-¹ o

p₂

Q2

P₈_P₂.3 + P₁_1.3 + 0_3

“4 “ % • 3+q; ~ 2.3+1 ~ y

P₄ 3.2-J-l 7

P₇ _ 47 . 3 -f 10 _ 151 O, ~ 108.3 + 23 — 347‘

Ostatnie przybliżenie jest równe wartości ułamka danego, jak powinno być.

Jako drugi przykład weźmiemy rozwinięcie, dane wy

żej V 42 .

V 42 = 6 + i

12 + 1

12+....

Przybliżenia kolejne tego ułamka ciągłego będą:

Pi 6

Qi

P₂

,,+_13 4 2 2 ’

CM

P₈ _ 13.12_+6_ 156 + 6_ 162 4 — 2 . 12 + 1 ~ 24 + 1~~ 5 ’

P₄ _ 162.2-j-13    33

4 ~ 25 .2-4- 2 ~ 52 ’

i tak dalej;—tu oczywiście szereg tych przybliżeń nigdy się nie skończy. Każde z nich możemy wziąć za przybliżoną

wartość V 42; zobaczymy później, jak oznaczyć stopień przybliżenia w każdym przypadku.

405. Wiedząc, w jaki sposób tworzą się przybliżenia, poznamy teraz główne ich własności.

Najprzód, widoczą jest rzeczą z samego sposobu tworzenia się przybliżeń, że, z wyjątkiem dwóch pierwszych, licznik każdego przybliżenia jest większy od licznika przybliżenia poprzedzającego, i mianownik każdego przybliżenia jest większy od mianownika przybliżenia poprzedzającego. Gdyż:

Pn-\-1 - i- n &tt-f-1 —j⁻ ln—1 ;

a ponieważ wszystkie liczby wchodzące do tej równości są dodatnie, i jest conajmniej równe jedności, przeto: Pn+i>Pn.

400. Różnica pomiędzy dwoma po sobie następującemi przybliżeniami jest równą ułamkowi, którego licznikiem jest jedność wzięta ze znakiem -)- lub — , a mianownikiem iloczyn z mianowników tychże przybliżeń.

Na przykładach § 404 własność ta oczywiście sprawdza się. I tak weźmy przykład ostatni, w nim:

Po 13

= -jr~, przeto:

u

P,    13 _ 6    13-12    1

Qi    2" 1

Pi

CO tH

Q'2

1.2 2 *

Podobnie:

P₂

162 _ 13    324 — 325

25    2

50

50’

i t. d.

Przechodząc do wyrażeń ogólnych łatwo widzieć, że w ułamku ciągłym:

ai + 1_

az ~b-

'. + 1

a„ -j- 1

P,

Aby znaleść różnicę pomiędzy trzeciem i drugiem przybliżeniem, zauważmy najprzód, że:

P2 P3 Q2    P2 ^3.

mianownik tej różnicy jest więc iloczynem mianowników tych dwóch przybliżeń. Wartość licznika P₃ $₂ — P2 $3 możnaby wynaleść, podstawiając zamiast P₂, Q₂, P₃ i $3 ich wartości, wyrażone za pomocą , a₂ i a₃. Lecz aby uniknąć zbyt rozwlekłych rachunków, możemy tak postąpić: Ponieważ, podług prawa tworzenia się przybliżeń:

Pg = _P₂ n₃ -j— Pj ; Q₃ = Ö2 P Q

przeto podstawiając te wartości w wyrażenie P₃ Q₂ — P₂ Q₃, otrzymamy:

P3 Ö2 — P2 Q3 — (Pa a3 P Pi) Q-2 — (Qi a3 P Qi) Pg?

czyli:

P3Ö2-P₂^3 = Pl^-P2Ö

A że:

Pi = at ; P₂ = »1 «2 P 1 Ql —- 1 j Q’2 —— ®2 7

więc:

P3 ^2 P2 Ö3 - a2 (®l ^2 P -    !•

Skąd wypada, że

Pg

_2__

Q'2 Q2

W podobny sposób moglibyśmy znaleść, że różnica:

P₄ P₃ _ P 1 Qt Qt Q3 '

Dowiedziemy teraz, że licznik różnicy pomiędzy dwoma któremikolwiek przybliżeniami jest ilością stałą, co do swojej

liczebnej wartości. W tym celu weźmy trzy którekolwiek po sobie następujące przybliżenia:

— i -P« • Pn -4-1

n -j- 1

Q.~\ ’ &¹ Q

odpowiadające mianownikom:

dn — 1 ? dn 1 dn _|_ i ,

i znajdźmy najprzód różnicę pomiędzy

P n ^ Pfi -)-1

On On + 1 P P

n    ¹ n

On Q,n

Qn —

i jr-, a następów

nie pomiędzy

. Będzie:

Pn On

- Pn — 1 O i

On — 1 On

i dalej:

P    P

-Ł- fl    -1-

On

Pn On 4- 1

^ n -f 1

On -f 1

Lecz ponieważ, podług prawa tworzenia się przybliżeń,

On

mamy:

On + 1 — On dn i Qn — \ (§ 404)

Pn -f- 1 — Pn dn _j_ i —|— Pn

przeto:

Pn

On Pn On -f 1 - (-^ n du -)- 1 —J⁻ Pn — l) On

l n {0,n d'n -f- 1 | On — l) j

czyli:

On t n On -f- 1 - ^ n — 1 On 1 11 On

n + 1

A że licznik różnicy poprzedniej był:

— i-

Pn On — 1 Pn — 1 On

przeto:

On Pn On-(-1 (Pn On — 1 Pn — I Qn )•

M n -f- 1

Ta równość pokazuje nam, że licznik różnicy pomiędzy dwoma przybliżeniami: (n -(- l)-tem i n-t&m jest równy co do swojej liczebnej wartości licznikowi różnicy pomiędzy przybliżeniem w-em i (w — l)-em, a tylko ma znak przeciwny.

A że te przybliżenia są jakiemikolwiek w szeregu wszystkich przybliżeń, przeto możemy stąd wyprowadzić wniosek, że licznik różnicy dwóch następujących po sobie przybliżeń jest stały co do swojej liczebnej wartości; znak tylko w nim kolejno się zmienia. Lecz widzieliśmy wyżej, że licznik różnicy pomiędzy np. trzeciem, i drugiem przybliżeniem jest —1, więc we wszystkich różnicach licznik ten jest także =1, tylko znak przed nim może być -j- lub — , stosownie do miejsca, jakie zajmują uważane przybliżenia w szeregu wszystkich przybliżeń. Mianowicie: licznik różnicy pomiędzy drugiem a pierwszem przybliżeniem jest -f- 1; licznik różnicy pomiędzy trzeciem i drugiem przybliżeniem jest — 1; licznik różnicy pomiędzy czwartem i trzeciem przybliżeniem będzie zno-wuż —J— 1, i t. d. Wogóle więc licznik różnicy pomiędzy dwoma przybliżeniami po sobie następującemi będzie wtedy — 1, gdy odejmujemy od przybliżenia porządku nieparzystego przybliżenie poprzedzające; w przeciwnym razie licznik ten jest -f- 1. Wyrazić to możemy w ten sposób:

• • O)-

Qn

(— 1) « + 1 W ii Wn -f- 1

Dość (—1)"

4- 1

służy tutaj do oznaczenia znaku różnicy; liczebna wartość jej jest zawsze 1: ponieważ ilość ujemna, podniesiona do potęgi parzystej, daje wypadek dodatni, a podniesiona do potęgi nieparzystej daje wypadek ujemny, przeto znak przy (—1)” + Ł będzie wtedy jeżeli n-\- 1 będzie parzyste, a — wtedy, gdy n -j- 1 będzie nieparzyste.

Znosząc mianownik w równości (1), otrzymamy inne wyrażenie tej samej własności:

Pn + 1 Qn-PnQn+>=(- 1) " + ¹ .... (2).

407. Jako bezpośredni wniosek z powyższej wypada własność następująca:

Licznik i mianownik każdego przybliżenia są liczbami pierwszemi wzglądem siebie.

W rzeczy samej: przypuśćmy, że największy wspólny

Pn

dzielnik dla licznika i mianownika przybliżenia - jest d.

Wtedy i ilość Pn _|_ i Qn — Pn Qn +1 musi być pod zielną przez d, gdyż Pn i Qn są osobno podzielne przez d. A że:

Pn + 1 Qn — Pn Qn + 1 = (— 1) " + ¹ , przeto i druga strona powyższej równości musi być podzielną przez d. Lecz wartość tej drugiej strony jest Hh 1, stosownie do tego czy n -j- 1 jest parzyste lub nie, więc i d nie może być różne od 1.

408. Całkowita wartość x ułamka ciągłego

Cr

4-

Cin "j“-*»

jest zawarta pomiędzy dwoma 'po sobie następujacemi przybliży

żeniami, t. j. jeżeli jest większą od przybliżenia to będzie

Pn Ą-1

Q n 4- 1

mniejszą od przybliżenia następnego

Qn

, i odwrotnie.

Do tego wniosku przychodzimy, zastanawiając się nad tern, z czego się składa każde przybliżenie. Pierwsze przybliżenie jest a₁: jest ono widocznie mniejsze od całkowitej wartości ułamka ciągłego x, gdyż opuszczamy tutaj część

Drugie przybliżenie powsta-

a‘> ~r 1

dodatnią

a% +.....

rH .

a₃ -j- 1

ło z a} —|— ^ : jest ono większe od całkowitej wartości x ułam-ka ciągłego, gdyż tutaj opuszczamy część

którą należy dodać do samego mianownika a₂, aby otrzymać wartość x. Biorąc a₂ zamiast prawdziwego mianownika, bierzemy mianownik za mały, a więc wartość ułamka, powsta-

łego z a₁ -f- 1

a₂

będzie za wielką w porównaniu do x. I t. d.,

rozumowanie to możemy rozciągnąć do wszystkich następnych przybliżeń.

Lecz toż samo twierdzenie dowiedziemy innym sposobem. W tym celu zachowajmy dla głoski x toż samo znaczenie jak dotąd, t. j. uczyńmy:

a2Jr-

G<n “j⁻ 1

oznaczmy dalej przez

■ Pn

Q,n — 1 Qn

an + 2 “h • • • • ?

dwa po sobie następujące

Pn- 1

Qn - 1

. Jeżeli się okaże, że te różnice w każdym przypad-

przybliżenia, i postarajmy się znaleść różaice x —

IX -

Pn

ku mają znaki przeciwne, wtedy twierdzenie będzie dowiedzione, gdyż z tego wypadnie, że jeżeli x będzie np. większe Pn-

Pf

wtedy toż samo x będzie mniejsze od

nie. Aby znaleść wspomniane wyżej różnice, wyrazimy najprzód x pod taką postacią, pod jaką przedstawiają się wszystkie przybliżenia.

Na zasadzie prawa tworzenia się przybliżeń mamy:

od

Qn — 1

Qn

*, i odwrot-

Pn -|- 1 Pn + 1 ~j⁻ d n — 1

Qn +

Qn Cln -j- 1 "j⁻ Qn — 1

Gdybyśmy chcieli z tego przybliżenia otrzymać przybliżenie następne, wówczas należałoby w niem zamiast an_|_ i

. Lecz, gdybyśmy zamiast an +

podstawić anĄ-\-\- ——

podstawili:

w wyrażenie na

l n -f- 1

Q"n + 2 + 1

Qn + 1 + 1 —j~

+ 3 “)- • • • i

to jest ten ułamek ciągły, jaki otrzymamy, biorąc wszystkie ułamki cząstkowe danego ułamka ciągłego od an +1 aż do końca, wtedy oczywiście z przybliżenia - otrzymalibyś-

C« + ł

my całkowitą wartość ułamka ciągłego.

Jeżeli więc uczynimy:

■r—

-f- 3 —[~ ....

wtedy podstawiając y zamiast an +1 w wyrażenie na

n -f- 1

Qn -f-

otrzymamy wartość całkowitą ułamka ciągłego. Zwracamy uwagę czytelnika na to, że ilość y ma takież samo znaczenie, co i xn w § 396. Będzie zatem:

Pny ~\~ Pn —

Qny -t⁻ Qn —

To bardzo ważne wyrażenie służyć nam będzie nietylko

. . (1)

Pn

s la^

do znalezienia szukanych różnic x —

nadto w wielu innych przypadkach.

Wyraziwszy tak x, poszukajmy teraz różnic wymienionych wyżej. Będzie:

Qn

ale

Pn—1 _ Pny -f- Pn

Qn-1 ’

Qn— i Qu y “I⁻ Qn

skąd, po zrobieniu redukcyi wyrazów podobnych i wyłączeniu y za nawias z wyrazów pozostałych:

• -(2)

( Pn On—1    J- n—1 Qn) y

On—1 {Qny ““p On—1 )

Qn ’

Podobnie dla znalezienia różnicy x — yr- , podstawmy

zamiast x jego wartość z równości (1). Otrzymamy:

Pn Pny ~}~ Pf

Qn

czyli, sprowadzając ułamki drugiej strony tej równości do jednakowego mianownika:

ïn On—\ \j ~p J n

Pn—1

* On

On—1

Pn—1 On y    Pn—1 On— 1

-1

( QnV ~p On—l) Qn

Qn    Q„y -f~ Q

postępując zaś z drugą stroną powyższej równości tak samo,

Pn

jak postępowaliśmy przy x —

znajdziemy ostatecznie:

. . . (3)

Pn Pn— 1 Qn Pn Qn— 1

Qn Qn ( Qny “P Qn—l)

Porywnywając z sobą drugie strony równości (2) i (3), widzimy, że one koniecznie mają znaki przeciwne. Gdyż mianowniki ich są dodatnie, również jak i ilość y, znajdująca się w liczniku drugiej strony równości (2); znaki zatem drugich stron tych równości zależą od ilości: Pn Qn-1 — Pn—i On i Pw_i Qn — Pn Qn—i. Widoczną zaś jest rzeczą, że ilości te mają znaki przeciwne.

Jeżeli więc x --

Pn-1

On—1

jest dodatnie, t. j. jeżeli x>

Pn—1

Qn-l

Pn

wtedy x —~ musi być ujemne, t. j. musi być x <

Qn

wrotnie jeżeli x < te często wyrażają w ten sposób:

Qn—1 ’

Pn

On

; i od-

Pn

wtedy będzie: x . Nierówności

On

fie 406,

albo będzie:

P,

Qn—l

Qn

— albo też:

Qn— 1

P

J- n

Ponieważ podług własności dowiedzionej w paragra

P« Q,n—1    ' Pn— 1 Qn - (    1) W j

przeto równości (2) i (3) mogą być tak napisane:

w—1

(- l)wy

Qn— I (Qn y ~\~    l)

. . (4)

P„

Qn

(- Dr¹

(4?m y ~ J— —i )

Gdybyśmy chcieli, na zasadzie tych równości, znaleść wartość różnicy pomiędzy x i któremkolwiek przybliżeniem, wtedy w jednej lub drugiej równości należałoby zamiast n podstawić odpowiednią liczbę. Tak np. chcąc znaleść, jaki znak ma różnica pomiędzy x i przybliżeniem pierwszem, leży albo w równości (4) uczynić n — 2, albo w równości (5) uczynić n =. 1. I jedna i druga równość pokazuje, że ta

Podobnie czyniąc w ró-

na~

P,

różnica jest dodatnią, więc x > wności (5) n — 2, lub w równości (4) n — 3, wypada, że ró-

Qi'

p₂

p

żnica pomiędzy x i ² jest ujemną, czyli że x <

Q₂

Wypada stąd, że w ogóle: x jest większe od każdego przybliżenia porządku nieparzystego a mniejsze od każdego przybliżenia porządku parzystego.

409. Też same równości (4) i (5) pokazują nam zarazem i następującą własność ułamka ciągłego:

Każde przybliżenie jest bliższe całkowitej wartości ułamka ciągłego, aniżeli przybliżenie poprzedzające.

Q₂

i t. d.

AV rzeczy samej: druga strona równości (5), paragrafu 408, wyrażającą różnicę pomiędzy x i któremkolwiek przybliżeniem, jest mniejszą co do swojej liczebnej wartości (t. j. bez względu na jej znak) od drugiej strony równości (4), wyrażającej różnicę pomiędzy x i przybliżeniem poprzedzającem.

Gdyż y jest większe od 1, i Qn

1 , '.

> 77-, skąd 1

mniejsze od Qn ;

y

Qn

przeto —

V« —

Qn — 1 (Q n y -f~ Qn — l)

Q n (Q n y “j⁻ Qn — l)

Jest więc: x -

Pn

Qn

Qn

(po opuszczeniu zna-

ku), czyli: różnica pomiędzy x i przybliżeniem w-tem jest mniejszą liczebnie od różnicy jjomiędzy x i przybliżeniem po-przedzającem. Tworząc więc coraz dalsze przybliżenia ułamka ciągłego, zbliżamy się coraz bardziej do jego całkowitej wartości.

Przybliżenia porządku nieparzystego są mniejsze od tej wartości, przybliżenia zaś porządku parzystego większe od niej. Gdybyśmy przefo oddzielnie ugrupowali przybliżenia nieparzyste i oddzielnie parzyste w dwa następujące szeregi:

PA P₃    P,

Qi ’ Q s ’ &......’

P₂

Q.2 ’    ’ Qe

wtedy ułamki pierwszego szeregu zbliżałyby się coraz bardziej do x rosnąc, wyrazy zaś drugiego szeregu zbliżałyby się ciągle do x malejąc; samo zaś x jest zawsze zawarte pomiędzy dwoma odpowiednimi wyrazami tych dwóch szeregów.

410. Różnica pomiędzy całkowitą wartością ułamka ciągłego, a jakiemkolw i ek przybliżeniem, jest mniejszą liczebnie od ułamka, którego licznikiem jest jedność, a mianownikiem ilo-

czyn z mianownika uważanego przybliżenia i mianownika następującego.

A także: różnica pomiędzy całkowitą wartością ułamka ciągłego a jdkiemkolwiek przybliżeniem jest mniejszą od ułamka, którego licznikiem jest jedność, a mianownikiem kwadrat z mianownika uważanego przybliżenia.

W rzeczy samej: jeżeli weźmiemy dwa przybliżenia po

Pn    Z > j4-l

Qn    Q n-(-1

sobie następujące

wtedy całkowita wartość ułamka ciągłego x jest zawarta pomiędzy temi przybliżeniami; a więc różnica pomiędzy x i któremkolwiek z nieb jest, liczebnie biorąc (t. j. bez względu na znak), mniejszą od różnicy pomiędzy samemi przybliżeniami, czyli

Pn

Qn Qn-\-1 Qn

Lecz

( — 1 ) «+¹

Pn+1

QnĄ-1

gdzie licznik (—l)w+1 jest równy + 1 stosownie do tego, czy w-j-ljest parzyste czy też nieparzyste.

Zwracając zatem uwagę tylko na licznika, która jest równą 1, mieć będziemy:

Pn

Qn    Qn Q n -f-

liczebną wartość tego

Pn

Qn Qnrf-1

Qn

W tej nierówności zawiera się pierwsze wyrażenie różnicy pomiędzy wartością całkowitą ułamka ciągłego a któremkolwiek przybliżeniem.

Jeżeli teraz zwrócimy uwagę rżenia się przybliżeń:

na

to, że ze sposobu two-

Qn Q «-(-1 ł

wtedy, mnożąc obie strony tej nierówności przez Q,„ wypadnie, że i :

Qn < Qn Q n+1 • *

jest mniejszym od ułamka gdyż przy równych licznikach drugi ma mianownik mniejszy. A że: x —

Ułamek przeto

% n Q n-j-1

n jest mniejsze od

rH

będzie:

Qn Qn-f-1 '

przeto tembardziej

a; cP

Q„»

i to jest drugim sposobem wyrażenia różnicy pomiędzy x i wartością ułamka ciągłego.

Należy tu jednak zaznaczyć, że pierwszy sposób daje daleko dokładniejszą granicę błędu, jaki popełniamy, biorąc zamiast x którekolwiek przybliżenie, aniżeli drugi; za to drugi sposób jest do rachunku dogodniejszy, gdyż nie wymaga obliczenia wartości mianownika przybliżenia następującego.

Wartości przybliżone względem x, otrzymane z ułamków ciągłych przez oznaczenie różnych przybliżeń tegoż ułamka ciągłego, mają jeszcze tę własność, że, przy równym stopniu przybliżenia , są wyrażone w najprostszych liczbach. Mianowicie: można dowieść, że jeżeli jakikolwiek

ułamek

411.

os : 'S

nie wchodzący do szeregu przybliżeń

Q’

bardziej

Pn

się zbliża do a:, aniżeli którekolwiek przybliżenie

dy ułamek ten musi być wyrażony większemi liczbami, aniżeli toż przybliżenie; przynajmniej mianownik tego ułamka musi być większym od mianownika uważanego przybliżenia. Tę własność przybliżeń wyrazić możemy w następujący sposób:

V

Jeżeli jakikolwiek ułamek-— zbliża się więcej swoją wartością do x (t. j. do całkowitej wartości ułamka ciągłego), ani-

Qn

wte-

żeli przybliżenie wtedy mianownik s tego ułamka musi

■Z n

byc iviqkszym od mianownika Qn-

jest

W rzeczy samej: zauważmy najprzód, że skoro

Pn    Y

więcej zbliżone do a?, aniżeli-y.—, to tembardziej -będzie wię-

'dn    S

cej zbliżone do x\ aniżeli przybliżenie poprzedzające

Ponieważ zaś x jest zawarte pomiędzy dwoma po sobie na-

więcej do x, aniżeli każde z nich, przeto ten ułamek być także zawartym pomiędzy

Pn-1 • Pn

Qn

-1

Qn

Qn—i

musi

Różnica więc

mu-

pomiędzy ułamkiem i któremkolwiek z przybliżeń

si być, liczebnie biorąc, mniejszą od różnicy pomiędz}^ same-mi przybliżeniami, t. j. powinno być :

Pn—I ^ Pn    Pn—1

Q,n—1    Qn    Qn 1

Sprowadzając ułamki na pierwszej stronie powyższej nierówności do jednakowego mianownika, i mając wzgląd na to, czemu się równa różnica pomiędzy dwoma przybliżeniami po sobie następującemi, otrzymamy:

^ Q « - 1 S Pyl - 1

Qn Qn

S Qn — 1

Lecz ponieważ r, s, Pn _ i i Qn

są liczbami całkowite-mi, przeto i ilość r Qn _ i — s Pn _ ! musi być także liczbą całkowitą, zatem co najmniej równą jedności. Aby więc ułamek na pierwszej stronie mógł być mniejszym od ułamka na drugiej stronie nierówności napisanej wyżej, powinno być:

& Qn — 1 ^ Qn Qn skąd: s > Qn .

y

I tak jeżeli ułamek — jest bliższym całkowitej wartoś-

ci x ułamka ciągłego, aniżeli przybliżenie

P»

Qn

to przy naj -

mniej mianownik jego s musi być większym od mianownika Qn . Ze wszystkich zatem wartości ułamkowych przybli-

p .

n jest najprostszym.

4-12. Ta własność nadaje szczególną cechę i zarazem znaczenie przybliżeniom, które tutaj należy nam wyjaśnić. Wartość przybliżoną pewnej ilości x, której dokładnie nie znamy, lub jej dokładnie wyrazić nie możemy, przedstawiamy zwykle w postaci ułamka. Możnaby sądzić, że im większy jest mianownik tego ułamka, tern większy jest stopień przybliżenia i tern ułamek ten jest bliższym oznaczonej ilości. Bardzo często w rzeczy samej ma to miejsce; że tak jednak nie jest w ogólności, pokazuje następujący przykład. Weźmy

5    3

pod uwagę trzy ułamki: --- , -y

7    4

jednakowego mianownika, otrzymamy:

żonych do x w równym stopniu, ułamek

Qn

Sprowadzając je do

to i to

24

28 ; C° P°'

kazuje, że ułamek

CO

jest zawarty pomiędzy ułamkami ^

war-

i „ . Otóż może się przytrafić, że pewna ilość x, której

tość przybliżoną chcemy oznaczyć, jest zawarta wprawdzie

5    6    3

pomiędzy ^ i ~-, ale zarazem jest daleko bliższą —, aniżeli

każdego z ułamków skrajnych. W takim razie, wyrażając wartość przybliżoną ilości x za pomocą ułamków z mianownikiem 7, otrzymujemy przybliżenie dalsze od prawdziwej wartości, aniżeli za pomocą ułamka z mianownikiem 4. Może

się więc niekiedy przytrafić, że oznaczając wartość przybliżoną pewnej ilości, otrzymamy przy ułamku z mniejszym mianownikiem wyższy stopień przybliżenia, aniżeli przy ułamku z większym mianownikiem.

Własność przybliżeń ułamka ciągłego, dowiedziona wyżej, pokazuje, że przy użyciu ułamków ciągłych dla oznaczenia wartości przybliżonych, ten przypadek miejsca mieć nie może; każde przybliżenie jest ze wszystkich ułamków, mających ten sam lub mniejszy mianownik, najwięcej zbliżoną wartością x.

413. Gdy wartość przybliżoną jakiejkolwiek ilości niewymiernej mamy już wyrażoną w ułamku dziesiętnym, wtedy możemy tę ilość niewymierną rozwinąć na ułamek ciągły przez rozwinięcie tego ułamka dziesiętnego. W tym celu znajdujemy najprzód dwie wartości przybliżone, pomiędzy któremi dana ilość jest zawartą. Zwykle wartość przybliżona jest podaną w ten sposób, że prawdziwa wartość jest od niej większą. Dodając więc do ostatniej cyfry ułamka dziesiętnego przybliżonego jedność, otrzymamy dwa ułamki, pomiędzy któremi dana ilość jest zawartą. Aby nie wyjść po za te granice, które w ten sposób znajdziemy, należy oba te ułamki dziesiętne zamienić na ułamki ciągłe, i zachować w otrzymanym ułamku ciągłym tylko te ogniwa, które są wspólne w obu rozwinięciach

Objaśnimy to przykładem. Przypuśćmy, że chcemy zamienić na ułamek ciągły stosunek okręgu koła do średnicy, oznaczany w rachunkach zwykle głoską tt. Wiemy, że stosunek ten jest niewymierny; Ludolph znalazł przybliżoną wartość tegoż stosunku, wyrażoną w trzydziestu pięciu cyfrach dziesiętnych następnych:

3, 14159 26535 89793 23846 26133 83279 50288.

Późniejsi matematycy posunęli stopień przybliżenia jeszcze dalej. Rachunek, w którym wszystkie cyfry tutaj przytoczone, są uwzględnione, ciekawi mogą znaleść w pierwszej nocie Lagrange’a do drugiego tomu algebry Eulera (str. 318 i następne). Tutaj ograniczymy się tylko pierwszemi dziesięcioma cyframi dziesiętnemi.

Zachowując przeto te dziesięć cyfr, mamy na wartość przybliżoną n:

3, 14159 26535.

Dodając do ostatniej cyfry jedność, znajdziemy, że prawdziwa wartość na tt, jest zawartą pomiędzy dwoma ułamkami:

31415 926 535 . 31 415 926 536

10 000 000 000 ¹ 10 000 000 000 '

na

Oba te ułamki zamieniamy sposobem podanym w § 395, ułamki ciągłe przez postępowanie takie, jakiego używamy przy wynajdywaniu największego wspólnego dzielnika. Z ułamka pierwszego mamy taki szereg ilorazów:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 6, 2, 13, 3, 1, 12, 3;

z drugiego zaś:

3, , 15, 1, 292, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 45, 1, 1, 8.

Zachowując tylko ilorazy wspólne tym dwóm ułamkom, otrzymamy takie rozwinięcie ilości tt na ułamek ciągły:

■ = 3 + r+l

15-f 1

292 + 1

!+•••

o-

Tworząc przybliżenia tego ułamka podług prawideł p danych poprzednio, znajdziemy następujące wartości przybliżone:

yj    P? _ 22 ą _ 333 P* _ 355

113

~Qi ~    ; Q₂~ 7 ; Q₃ — 106 ’ Q₄

P₅ _ 103993 P₆ __ 104348 P₇ _ 808341 0₅~ 33102’ Q₆~ 33215 ’ ^“ 66317 '

Każdy z tych ułamków zbliża się do prawdziwej wartości 7c tak daleko, jak żaden inny ułamek z mianownikiem takim samym lub mniejszym.

22

Przybliżenie drugie --- było wartością znalezioną zupełnie inną drogą przez Archimedesa. Wartość ta jest większą

22

od tu; różnica pomiędzy % i ^ jest mniejszą, jakwiemy z§411,

od

7 X 106    742 '

- 355

Ułamek jest stosunkiem Adryana Mecyusza. Jest JL Xo

on również większym od prawdziwej wartości 7u; ale jest daleko więcej przybliżonym do tu, aniżeli liczba Archimedesa,

gdyż różnica pomiędzy

. 355 71 1 113

jest mniejszą od

113X33102 ’

to jest od

3740526 '

333

zawarty pomiędzy liczbą Archimedesa

i liczbą Mecyusza, nie jest wcale prostszym od tego ostatniego, jest jednak daleko mniej dokładnym, gdyż błąd jaki popełniamy, biorąc ten ułamek zamiast tu, jest zaledwie rnniej-

Ułamek

106

Zresztą można porównać te liczby z sobą

szym od

11978 ‘

w łatwy sposób, zamieniając je na ułamki dziesiętne i porów-nywając tak otrzymane ułamki dziesiętne z liczbą Ludolpha. Znajdziemy:

22

333

Y = 3,142... ; ~    3,14150... ;

CO : tH

= 3,1415929...

skąd widzimy, że liczba Archimedesa daje już 3-cią cyfrę błędną, liczba zaś Mecyusza dopiero 7-mą.

414. Pokażemy teraz sposób wynajdywania całkowitej wartości ułamka ciągłego peryodycznego. Okaże się, że ta całkowita wartość jest zawsze jednym z pierwiastków równania stopnia drugiego, którego współczynniki są wymierne. Zaczniemy od przykładów liczebnych.

Przypuśćmy, że mamy ułamek ciągły peryodyczny:

* ⁼⁵+ł+l

10+1

10 + ... do nieskończ.

Oznaczmy przez y całą tę część ułamka ciągłego, która się zaczyna od pierwszego peryodu, to jest uczyńmy:

y = 2-K

Wtedy widocznie będzie: x — 5 +

10 + ... do nieskoiïcz.

10 4-1

x _⁶?/ +¹ .

skąd:

21y+ 2

10ÿ+l '

Wynajdując wartość nayz równania pierwszego będzie:

x —

podstawiając ją. w równanie drugie, otrzymamy:

²¹5 + ²

10

Mnożąc licznik i mianownik drugiej strony tego równania przez x — 5, mieć będziemy:

11 -f-2sc

21-|-2(:c —5)    ____

10 4"x — &    5 -j- x

skąd, znosząc mianowniki:

lîx 4- 2æ² — 55 — 10x — 54^) po wykonaniu zaś redukcyi:

2a:² = 60, czyli: x² — 30.

Widzimy z tego, że ostatecznie dla oznaczenia x przyszliśmy do równania stopnia drugiego w najprostszej postaci. Stąd otrzymamy:

x = K3O,

wyrażenie, które łatwo sprawdzić przez bezpośrednią zamianę na ułamek ciągły.

a za-

W podobny sposób postępować będziemy dla dowiedzenia w ogólności, że ułamek ciągły peryodyczny przedstawia jeden z pierwiastków równania stopnia drugiego, tern, że zawsze taki ułamek daje się sprowadzić do wyrażenia pierwiastkowego stopnia drugiego. W tym celu weźmy pod uwagę ułamek ciągły peryodyczny:

x = a₁ 4-

rH ,

a₂ -j- 1

ł>i + 1

an 4- 1

6, + l

^m4'^

w którym mianowniki ax , a₂ . . . an przedstawiają część nie-peryodyczną, t. j. nie powtarzającą się, mianowniki zaś b b₂ . . . bm część peryodyczną, złożoną z m ogniw, powtarzających się, z temiż samemi mianownikami i w tym samym porządku do nieskończoności. Uczyńmy:

b₂-j-.

b₂ —j— . . . do nieskończ.

wtedy mieć będziemy:

a-2 -j- •

(1) a? = ą +

i także:

(2 ) y = />, -f

bm “f“l

Jeden i drugi z tych ułamków ciągłych należy zamienić na ułamek zwyczajny, wówczas otrzymamy dwa równania, z których wyrugowawszy ?/, znajdziemy równanie, zawierające tylko jednę niewiadomą x i służące do ostatecznego znalezienia tejże niewiadomej. Aby w najdogodniejszy sposób wynaleść odpowiednie wyrażenia, w⁷eźmy przybliżenie (n -|~ l)-sze w ułamku danym i podstawmy w niem y zamiast

wtedy mieć będziemy całkowitą wartość ułamka ciągłego t. j.:

. . . (3)

x _ P » y Pn — l

QnV -j⁻ Qn

W podobny sposób, biorąc w ułamku (2) przybliżenie (m -|- l)-sze otrzymamy całkowitą wartość ułamka ciągłego (2), to jest y. Będzie zatem:

(4)

Pm y “h Pm-\

Qm y ~}~ Qm — 1

Oznaczając z równania (3) wartość na y i podstawiając ją w równanie (4), otrzymamy, po zniesieniu mianowników i sprowadzeniu do najprostszej postaci, równanie stopnia drugiego, z którego znajdziemy x. Rachunku tego wykonywać tu nie będziemy, gdyż jakkolwiek z ogólnej postaci tego równania można wyprowadzić niektóre ważne wnioski, wszakże robić tego nie będziemy, przechodziłoby to bowiem zakres niniejszego dziełka. W każdym szczególnym przypadku prościej jest bezpośrednio używać równań (3) i (4) w celu znalezienia równania ostatecznego, aniżeli odwoływać się do postaci ogólnej tego równania, o którem mowa.

na

Rachunki wykonane w tym paragrafie pokazują nam. że każdy ułamek ciągły peryodyczny daje się wyrazić za pomocą jednego pierwiastku równania stopnia drugiego o współczynnikach wymiernych. Lecz pozostawałoby teraz dowieść, że i odwrotnie każda ilość pierwiastkowa niewymier-stopnia drugiego daje się zawsze rozwinąć na ułamek ciągły peryodyczny. Dowodzenie to jednak, podane po raz pierwszy przez Lagrange’a, przechodzi po za obręb tego rozdziału. Nie mniej rozbiór pytania, jaki związek mieć będzie drugi pierwiastek równania stopnia drugiego, powstałego z wyrugowania y z równań (3) i (4) z danym ułamkiem ciągłym peryodycznym, także do naszego zamiaru nie należy.

czyli:

Qn

V m .

Ale mianownik każdego przybliżenia, począwszy od trzeciego, jest przynajmniej o jedność większy, aniżeli mianownik przybliżenia poprzedzającego, skąd:

Qn ^ n — 1 ,

a zatem : czyli :

m.

n ^ .1 -f V

Osiągniemy więc w każdym razie żądaną dokładność, jeżeli tylko obliczymy więcej niż 1 -{- \' m przybliżeń; w rzeczywistości trzeba obliczyć znacznie mniej przybliżeń, gdyż zwykle różnica pomiędzy jednym mianownikiem Q a następnym wynosi więcej niż 1. Wystarcza zresztą uczynić

• • (2)

415. Twierdzenia podane w § 408 dają nam możność obliczenia ilości niewymiernej z taką. dokładnością, z jaką tylko chcemy, jeżeli znamy rozwinięcie tej ilości na ułamek ciągły.

W rzeczy samej, jeżeli chcemy pewną ilość niewymierną

to należy, roz-

winąwsz}?- ją na ułamek ciągły, obliczyć takie przybliżenie

oznaczyć tak, ażeby błąd nie przewyższał —,

YYl

Pn

Qn

ażeby

Qn

(1)

—¹— < A

Qn Qn-j-l

dokładność żądana będzie wtedy osiągnięta, chociażby ^

•Cn

było większe od .

aniżeli Qn².

Wzoru (2) używamy, jeżeli łatwiej jest obliczyć Q n+\

Przypuśćmy, że chcemy znaleść V 2 z dokładnością do tPoo- Ponieważ l/2 = l/l²-{-l, więc, używając wzoru podanego w § 403, znajdziemy :

Przybliżenia kolejne tego ułamka będą:

Pj_ 1 P₂_ 3^    Ą-i⁷ r₅_« P, 99

Q, ~l,Q₂—2’Qs—6’Qi —12’ ~QS ~ 29’ Qs 70’

Ponieważ 70² = 4900 > 1000, więc szóste przybliżenie wypełnia warunek żądany; ale już piąte przybliżenie wystarcza, gdyż :

29 X 70 = 2030 > 1000.

tO

ułamek dziesiętny, dostaniemy

Zamieniając więc

trzecią cyfrę dziesiętną dobrą, lub co najwyżej o 1 zamałą, gdyż ułamek ten różni się od 1 2 mniej aniżeli o 0,001. Będzie tym sposobem V 2 = 1,414.

Przybliżenia można uzmysłowić za pomocą rysunku.

na

“Ig

o

n 43 23

M S ^ £

ci _ Pd £ £ ^ O „O ._

3 e "

^    Cb

CTQ * |

p "jon p m to 5' O H-«--

“ O Q_,

*2. g- o 2. o O P £

N P g

ÎZJ £ &

p 2' P _ © ag

jTflg g.

N-’ O

oj o- -r-I ctq 3

B o CĄ

«S. g: *

co P q

y ° 3

e2. £2.<<

odcinamy długości, wyrażone przez znalezione przybliżenia. Przekonamy się, że punkty odpowiadające przybliżeniom nieparzystym leżą wszystkie z lewej strony punktu V 2 ; przybliżenia parzyste znajdą się z prawej strony tegoż punktu. Przytem otrzymywać będziemy punkty, leżące coraz bliżej tego punktu.

Poleca się wykonać ten rysunek na dużym arkuszu papieru milimetrowego , przyjmując za jednostkę długości 250 mm.; można będzie oznaczyć pięć pierwszych przybliżeń. Odległość pomiędzy punktami, oznaczającymi piąte i szóste

250

203o< g mm-’ coiuż Przechodzi gra

przybliżenie, wyniosłaby

nice dokładności rysunku.

Drugi sposób przedstawienia przybliżeń daje nam tabliczka dzielenia. Ilorazy równe leżą na jednej prostej, przechodzącej przez początek spółrzędnych ; ilorazy zbliżone

xVF~

li

znajdą się na prostych, leżących blizko siebie, chociażby ich liczniki i mianowniki znacznie się różniły.

Poprowadźmy prostą y — x V 2 *) i, przyjmując liczniki P za rzędne, mianowniki Q za odcięte, oznaczmy punkty, odpowiadające znalezionym przybliżeniom. Będą one leżały bliżej wykreślonej prostej, pod prostą dla przybliżeń

coraz

nieparzystych, nad prostą dla parzystych. Przy wykonywaniu większego rysunku dogodnie jest przyjąć 2 cm. za jed

nostkę długości.

PRZYKŁADY XXXIX.

ciągłe: a)

1) Następujące ułamki zwyczajne zamienić na ułamki 1769 5537 ‘

t>- (iO

445

c)

612

2)    W otrzymanych ułamkach ciągłych w poprzedniem zadaniu oznaczyć wszystkie przybliżenia.

3)    Następujące ułamki dziesiętne zamienić

na ułamki

ciągłe.

6) 0, 9 7 5 3 1, c) przyjmując, że:

a) 1, 2 3 4 5,

V2= ,4142.

4) Znaleść wartości następujących ułamków ciągłych:

b > ²+qx

tH

4+1

2+1

3+1

7+1

2+1

1+1

celu obieramy jakiekolwiek x i budujemy trójkąt, Przeciwprostokątna tego ]/ 2; przyjmując ją za rzędną,

!) W .tym

w którym obie przyprostokątne są równe trójkąta będzie równą ]/ r² -t- x² — znajdziemy punkt leżący na szukanej prostej.

X.

5) Następujące ilości pierwiastkowe rozwinąć na ułam

ki ciągłe:

a) V 11;    b) V 45; c) V 59.

6)    Znaleść 8-me przybliżenie 131.

7)    Znaleść wartości następujących ułamków ciągłych peryodycznych:

a) 1 + 1

1+1

!>) 1 + 1

3+1

2+1

2+1

1+1

3+1

2+...

2 + ....

o) T

i—¹

*)    *+ ö

;rH

2+1

3+1

1+1

2+—

2+1

1+...

8) Następujące wyrażenia pierwiastkowe rozwinąć na ułamki ciągłe:

9) Dowieść, że jeżeli:

V43, V61.

p p P"

Q ' Q' ’ Q

y, oznaczają trzy ja-

kiekolwiek po sobie następujące przybliżenia, wtedy będzie:

(.P" -P) Q' = (Q" — Q) P'.

10)    Dowieść, że:

(-1)*

Pn

_₌ii+ i___J__

Q n Ql Q\ Q‘> Q‘I Qs Qs    Qn.— lQn

11)    Znaleść wartości następujących ułamków ciągłych, wyrażone bezpośrednio za pomocą a:

1) «[ -j--; 2) a₂ -j-

«2

(Z.j —J— 1

«3

; 5)    —

»2 -f-1

; 6) «₄ -f-

rH .

«3+1

«4

«1

Wartości otrzymane porównać, mianowicie 1) z 2) ; 3) z 4) ; 5) z 6).

12) Poprzednie pytanie uogólnić, mianowicie znaleść związek ogólny pomiędzy wartościami ułamków ciągłych:

i 2) cin —j—

«2+1

«3 +•

«w—1—[—1

Cl fi_2    j—

'.+1

««—1 + 1

fini

«3 + 1

«2+J_

(ly

13)    Stosunek miesiąca synodycznego, wynoszącego 29,530588 dni, do roku słonecznego zwrotnikowego, mającego dni 365, 242 22, wyrazić w prostszych liczbach.

14)    Znaleść równanie, którego pierwiastkiem jest ułamek ciągły:

1+7

1+1

1 + •••>

obliczyć wartość tego ułamka z dokładnością do Jqqq > i

czyć znalezione przybliżenia na prostej przy jednostce długości = 25 cm.

spółrzędne, przy jednostce długości = 25 mm.

oraz na

i ozna-

płaszczyznie, przyjmując Pi Q za

XL.

Równania nieoznaczone stopnia pierwszego.

416. Widzieliśmy w nauce o równaniach, że jedna ilość niewiadoma jest w zupełności oznaczoną za pomocą jednego równania, że dwie ilości niewiadome są oznaczone za pomocą dwóch równań, trzy ilości niewiadome za pomocą trzech równań, i t. d. W ogóle mówiąc, oznaczenie pewnej liczby ilości niewiadomych wymaga tylu równań, ile jest niewiadomych.

Gdy więc zadanie jest tego rodzaju, że z jego warunków możemy ułożyć mniej równań, aniżeli jest niewiadomych, wtedy z tych równań oznaczyć wartości niewiadomych nie można.

Gdyby np. były dwa równania, a trzy niewiadome, wówczas z nich moglibyśmy oznaczyć wartości tylko dwóch niewiadomych; na jednę zaś niewiadomą moglibyśmy nadać wartość dowolną. Nadając jakąkolwiek wartość na tę trzecią niewiadomą, otrzymalibyśmy dwa równania, zawierające tylko dwie niewiadome; z nich zatem możnaby było oznaczyć te dwie niewiadome. Lecz ponieważ na trzecią niewiadomą możemy nadać jakąkolwiek wartość, przeto podstawiając zamiast tejże trzeciej niewiadomej inną wartość, znajdziemy, wogóle mówiąc, i inne wartości odpowiednie na dwie pozostałe niewiadome: — dla każdej wartości trzeciej niewiadomej, znajdziemy inny układ wartości dwóch pozostałych niewiadomych. Liczba więc wszystkich rozwiązań takiego układu równań będzie nieskończenie wielką. I taki właśnie układ równań nazwano: równaniami nieoznaczonemi. Wogóle równania są nieoznaczone wtedy, gdy liczba równań jest mniejszą od liczby niewiadomych. AVowczas nadając wartości dowolne na tyle niewiadomych, ile ich jest więcej aniżeli równań, otrzymamy równania, z których można oznaczyć po-

zostałe niewiadome. A że każdemu układowi wartości na te niewiadome, które zależą od naszej woli, odpowiada pewien układ pozostałych niewiadomych, przeto na wszystkie niewiadome otrzymamy nieskończenie wiele odpowiedzi.

ne

zawsze

zadosyć czynią, przeto nauka o rozwiąza

niu

Gdyby nie było innych warunków, którym rozwiązania tych równań zadbsyć czynić powinny, wtedy nic więcej nad to, co powiedziano wyżej, nie byłoby do dodania. Każde da-zadanie podpadałoby pod ogólną naukę o równaniach bądź to pierwszego, bądź to drugiego, bądź innych stopni, stosownie do stopnia równania, do których toż zadanie doprowadziło. Lecz rozwiązania takich równań poddają się w tej części algebry, która się niemi zajmuje, jeszcze temu warunkowi, aby one były liczbami całJcowitemi. Wskutek tego za rozwiązanie równania nieoznaczonego, lub układu równań nieoznaczonych, uważać będziemy tylko liczby całkowite, zadosyć czyniące danemu równaniu. I ponieważ rozwiązać równanie nieoznaczone jest to wynaleść te wszystkie liczby całkowite, które niu równań nieoznaczonych nosi odrębną cechę od innych części algebry i właściwie stanowi część osobnej gałęzi matematyki, zwanej: „teoryą liczb“.

Rozwiązania równań nieoznaczonych ograniczają się niekiedy jeszcze warunkiem tym, że powinny być dodatnie. Ten ostatni warunek ścieśnia tak dalece liczbę rozwiązań, że niekiedy tylko jedno z nich, a nawet czasami żadne nie odpowiada danemu zadania.

Równania nieoznaczone, podobnie jak oznaczone, dzielą się na równania stopnia pierwszego, drugiego i t. d. Pod względem liczby niewiadomych, może być albo jedno równanie jakiegokolwiek stopnia z dwiema niewiadomemi, lub z trzema, i t. d., albo też mogą być dwa równania z trzema, czterema i t. d., niewiadomemi; trzy równania z czterema lub większą liczbą niewiadomych, i t. d. Tutaj ograniczymy się tylko równaniami stopnia pierwszego, przedewszystkiem

w tym przypadku, gdy dane jest jedno równanie z dwiema niewiadomemu

417. Jako prosty przykład, objaśniający na czem polegają rozwiązania zadań tego rodzaju, weźmiemy zadanie następujące:

Znaleść dwie liczby, których suma równa się dziesięciu.

Oznaczając jednę z tych liczb przez x drugą zaś przez y, otrzymamy równanie do rozwiązania:

x -f- y = 10.

Z tego równania mieć będziemy:

x = 10 — y.

Dla'kazdej wartości obranej na y znajdziemy stąd odpowiednią wartość na x\ lecz wartości jednej i drugiej niewiadomej są ograniczone tym warunkiem, że mają być tylko całkowite. Możemy więc uczynić:

y równem albo 0, albo 1, albo 2, albo 3, i t. d. i stąd otrzymamy odpowiednie wartości na x. Czyniąc tak: = ~ 1, ,

11, 12...

-1,-2...

tO GO

GO to

Cl t—i

o- co

H Oli

Ol

ca ca

znajdziemy:

Wartości więc x i y całkowite, czyniące zadosyć danemu równaniu, są zawarte w tych dwóch szeregach liczb. Z tych szeregów widzimy, jak dalece warunek, aby rozwiązania były nietylko całkowite ale i dodatnie, zmniejsza liczbę tychże rozwiązań, gdyż rozwiązania dodatnie są tylko takie:

U,

a:

y= 0,1, 2, 3, 4, 5, ,7,8,9,10; x — 10, 9, 8, 7, 6, 5, , 3, 2, 1, 0.

Jeżelibyśmy zaś z tych rozwiązań wyłączyli 0 i 10, to liczba rozwiązań jeszcze bardziej zmniejszyłaby się i właściwie byłoby tylko pięć odpowiedzi różnych na pytanie, jakie to są dwie liczby, których suma równa się 10?

418. Nie trudno również wynaleść wszystkie rozwiązania równania tego rodzaju:

5x 4- y — 28.

Należy tylko rozwiązać je względem tej niewiadomej, przy której współczynnik jest równy jedności. Będzie:

y = 28 — hx.

0, 1, 2, 3,4,5,    6,    7,    8,    9,    10...

Dla każdej wartości całkowitej na x, wypadnie także całkowita wartość na y. Czyniąc więc: x =

otrzymamy:

y = 28, 23, 18, 13, 8, 3, - 2, - 7, - 12, - 17, - 22...

Widoczną jest rzeczą, że i w tern zadaniu liczba rozwiązań dodatnich jest ograniczoną; mianowicie jest ich tylko sześć:

0, 1, 2, 3,4,5,

V = 28, 23, 18, 13, 8, 3.

W sposób podobny do powyższego można zawsze rozwiązać takie równanie stopnia pierwszego z dwiema niewia-domemi, w którem współczynnik przy jednej niewiadomej jest równy jedności, t. j. równania postaci:

x + by — Jc, lub: x — by — Jc.

Wtedy rozwiązując to równanie względem niewiadomej, przy której współczynnik jest jednością (w równaniach przytoczonych wyżej: x), i podstawiając na drugą niewiadomą y kolejno wszystkie liczby całkowite, wynajdziemy i odpowiednie wartości całkowite na x.

ax -j- by = Jc,

Tych bardzo prostych sposobów nie można oczywiście użyć we wszystkich przypadkach do rozwiązania równania ogólnego:

którem się teraz zajmiemy.

419. Możemy przyjąć, że wszystkie trzy liczby a, b i Jc., będące współczynnikami w napisanem wyżej równaniu, nie mają, razem wzięte, żadnego wspólnego dzielnika: w przeciwnym bowiem razie, dzieląc obie strony tegoż równania przez największy wspólny dzielnik liczb a, b i Jc, otrzymalibyśmy ostatecznie równanie takie, w którem współczynniki a, b i le, byłyby pierwszemi względem siebie. Gdyby tylko dwa współczynniki a i b miały jakikolwiek wspólny dzielnik, którego nie ma le, w takim razie nie trudno się przekonać, że równanie nie może być rozioiązane w liczbach całkowitych. W rzeczy samej: przypuśćmy, że a i b mają wspólny dzielnik d, który w k nie mieści się bez reszty. Wtedy, oznaczając iloraz z podzielenia — głoską a', iloraz zaś: ~głoską b', byłoby a~a'd,

i b — b'd. Podstawiając te wartości za « i & w dane równanie: ax 4- by = k .    .    .    .    (1)

byłoby:

a'dx + b'dy — k,

dzieląc zaś obie strony przez d, wypadłoby:

nie jest

Skoro le nie jest podzielne przez d, wtedy

liczbą całkowitą; żadne więc liczby całkowite, podstawione zamiast a? i y w to równanie, nie mogą uczynić pierwszej strony równą drugiej. Wszystkie zatem przypadki, w których dwa współczynniki a i b nie są pierwszemi względem siebie, są wyłączone przy poszukiwaniu rozwiązań całkowitych równania (1). Równanie to przedstawiać nam będzie przykład równania, które rozwiązane w liczbach całkowitych być nie może.

Gdyby którykolwiek ze współczynników a lub b osobno i druga strona równania k miały jakikolwiek wspólny dzielnik d, wtedy równanie mogłoby być sprowadzone do prostszej postaci. Aby pokazać, jak wówczas należy postąpić, przypuśćmy, że np. b i le mają wspólny dzielnik d; tym sposobem będzie: b — db' i k=z die¹, gdzie b' i le’ są liczbami całkowite-mi, powstałemi z podzielenia b i le przez d. Uczyńmy dx'. Gdybyśmy byli w stanie znaleść, czemu się równa x', wtedy mnożąc każdą z otrzymanych wartości na x przed d, otrzymamy odpowiednią wartość na x. Podstawmy napisane powyżej wartości na b, k i x w równanie dane (1); mieć będziemy:

adx' + b'dij — k'd,

z którego, przez podzielenie wszystkich wyrazów^ przez d, otrzymamy równanie prostsze:

ax' + b'y — k.

Np. gdyby było równanie:

2öx -|- 18y = 102,

tedy, ponieważ 18 i 102 mają wspólny dzielnik 6, uczyńmy:

=■ 6xr, i podstawmy tę wartość za x. Otrzymamy:

25.6x'    18iy == 102.

Podzieliwszy wszystkie wyrazy przez 6 otrzymamy równanie prostsze, aniżeli dane:

2bx' + 3 y — 17.

war-

Wynalazłszy z tego równania x' i y, należy tylko wartości xf pomnożyć przez 6, a znajdziemy odpowiednie tości na x.

ra-

Widzimy z powyższego, że tylko takie równania wypada nam wziąć pod uwagę, w których trzy liczby a, b i k zem, a nadto dwie a i b są pierwszemi względem siebie.

420. Załóżmy więc, że w równaniu:

• • (1)

ax -b by — k .    .

ajdźmy wartość na jedne z niewia-

liczby a i b mają za największy wspólny dzielnik 1; dowiedziemy najprzód, że w tym przypadku rozwiązanie îô'wna-nia (1) jest zawsze możliwe, to jest, że: gdy a i b są piei wsze-fni względem siebie, zawsze można znaleśc takie liczby całkowite, które równaniu (1) zadosyc czynią.

zn

Aby tego dowieść,

domych równania (1), np. na y, wyrażoną za pomocą drugiej niewiadomej x. Będzie:

o*

k — ax

• • (2)

Wystawmy sobie teraz, że za x podstawiamy kolejno wszystkie liczby całkowite, poczynając od 0 i idąc przez liczby dodatnie i ujemne. Oczywiście nie wszystkie te liczby odpowiadać będą równaniu, gdyż nietylko x ma być całkowite, ale także i y. Z pomiędzy więc wszystkich wartości na x, tylko te wybrać nam należy, przy których ułamek na drugiej stronie równania (2) staje się liczbą całkowitą, to jest przy których licznik jest podzielny przez mianownik. Że to jest zawsze możliwe, gdy a i b są pierwszemi względem siebie, wypada z następującego rozważania:

Nie trudno się przekonać, że jeżeli dwie liczby a i b są pierwsze względem siebie, wtedy tworząc szereg liczb:

l.a; 2.a; 3.a; . . (b— 2) a\ (b — 1) a . .    . (3)

nie otrzymamy w nim ani jednej liczby, któraby była podziel-ną przez b. Gdyż aby którakolwiek z tych liczb, np. ma była podzielną przez b, potrzeba aby m było podzielne przez b, co być nie może; liczba bowiem m jako wzięta z szeregu:

1,2, 3,4 .    .    .    (6-2), (5-1),

jest mniejszą od b.

Dzieląc zatem kolejno każdą z liczb szeregu (3) przez b, otrzymamy z każdego dzielenia pewną resztę. Można dowieść, że pomiędzy temi resztami, nie ma dwóch reszt równych, czyli innemi słowami, że wszystkie one są różne. W rzeczy samej: wybierzmy z szeregu (3) dwie liczby którekolwiek ma i na, i przypuśćmy, jeżeli to być może, że reszty pozostałe z podzielenia każdej z tych liczb przez b są równe. Oznaczmy tę wspólną resztę przez r, ilorazy zaś przez q i q'. Wtedy byłoby:

ma — qb -f- r; na = q'b -f- r.

będzie:

Odejmijmy odpowiedniemi stronami te dwie równości,

(m — n) a = (q •— q') b; dzieląc zaś obie strony przez b:

= a — ⁽f-

zno-

Lecz q i q' są liczbami całkowitemi, więc i ich różnica jest także całkowitą, zatem i pierwsza strona równości powyższej powinna być całkowitą, to jest (m — n) a powinno być podzielne przez b. A ponieważ a jest pierwsze względem b, przeto m — n powinno dzielić się bez reszty przez b. Lecz to jest niemożliwe, gdyż każda z liczb m i n, jako wzięta z szeregu: 1, 2, 3... (b — 2) i (b — 1), jest mniejszą od b, więc i ich różnica m — n, jako mniejsza od b, nie może być wielokrotną względem b. Z tego więc wypada, że wszystkie reszty, pozostałe z dzielenia liczb szeregu (1) przez b, są ? ózne. Każda z tych reszt jest mniejszą od b, liczba ich jest b 1, gdyż szereg (3) zawiera liczb b — 1; reszty te przeto są wuż liczbami:

1, 2, 3, 4 . . . (b — 2), (b — 1); które oczywiście mogą wypadać w bardzo rozmaitym porządku.    . .

Podstawiając zatem kolejno w wyrażenie na drugiej

stronie równania (2) zamiast x liczby:

(4) . . . 0, 1, 2, 3, 4.    2) i (b — 1),

przez b tęż sarnę przez b. Przypuśćmy, że zamiast x podstawimy pewną liczbę czas oznaczając iloraz z podzielenia

rn z

am

musimy koniecznie pomiędzy temi liczbami natrafić na jedn ^ ale tylko na jedną, taką, która da na resztę z podzielenia ax ilość, jaką daje Je, będąc podzielone także to mieć będzie miejsce wtedy, gdy szeregu (4). Wów-przez b głoską q,

a resztę głoską r, otrzymamy:

Ponieważ zaś &, podzielone przez b, daje tęż sarnę resztę r, przeto możemy uczynić:

k ~bq' -f r,

gdzie q' jest ilorazem z podzielenia k przez b.

Lecz wyrażenie na y, dane przez równanie (2), gdy w niem x uczynimy równem m₁ zamieni się na takie:

k — am

Podstawiając tutaj zamiast k i am napisane powyżej wartości, będzie:

_ W + r — (bq -f r) ■’    b

czyli:

y — o¹ —

a to jest liczbą całkowitą, gdyż q i q' są liczbami całko wite-mi. Widzimy więc z tego, że gdy a i b są pierwszemi względem siebie, można zawsze znaleść taką liczbę, i to tylko jedną, mniejszą od b, która podstawiona zamiast x w dane równanie, czyli, co na jedno wychodzi, w równanie (2), uczyni y całkowitem. I to nam pokazuje możliwość rozwiązania danego równania w przypadku rozbieranym.

Podstawienia na x zaczynamy od 0, chcąc objąć i ten przypadek, w którym k jest podzielne bez reszty przez b; gdy jednak to nie ma miejsca, możemy podstawienia te odra-zu zacząć od 1.

421. Gdyśmy już znaleźli jednę taką wartość w, która podstawiona zamiast x w równanie (2) daje i wartość na y także całkowitą, nie trudno znaleść i inne rozwiązania całkowite. W tym celu należy tylko zwrócić uwagę na to, że liczba m jest taką, przy której iloczyn am podzielony przez b, daje na resztę r, — ilość taką sarnę, jak i Æ podzielone przez b. Lecz jeżeli am podzielona przez b daje na resztę r, wtedy podstawiając zamiast m liczbę m ~j- b, otrzymamy iloczyn

a (m -f- 6) = am -\- ab, który podzielony przez b da tęż sarnę resztę r, gdyż b mieści się w ab całkowitą liczbę a razy. A zatem wartość na x równa m -f- 6, uczyni w równaniu (2) i y całkowitem. Podobnież: dodając do powyższej wartości m-\-b jeszcze raz b, otrzymamy liczbę mĄ~ 26, która podstawiona zamiast x w wyrażenie ax, da iloczyn a (m -j- 2b) = am-\-2ab taki, że reszta z podzielenia tego iloczynu przez b będzie zno-wuż r; a zatem i liczba m -}- 26, podstawiona w równanie (2), uczyni i y całkowitem. I tak dalej: biorąc zamiast x w ogóle liczbę: m -j-pb, gdziep oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą, i podstawiając ją w równanie (2), otrzymamy i odpowiednią wartość na y całkowitą.

Podług tego, co było dotąd powiedzianém, nie trudno wynaleść ogólne wyrażenia na x i y, czyniące zadosyć danemu równaniu (1), lub, co na jedno wychodzi, równaniu (2).

W rzeczy samej: wartości rówmej m na y, równa q' — q. Oznaczmy tę ostatnią ilość jedną głoską n. Jeżeli za x podstawimy w równanie (2) m -f- 6, wtedy

odpowiada wartość

na y otrzymamy:

k — a(mĄ-b) k — am — ab V = ^ b

a że: przeto:

k — qrb -J- r; ani = qb -j- r\

— (qb -\- r) — ab

czyli:

y — q' — q — °,

i nakoniec:

y = n — a.

podstawimy m -f- 26, wtedy po-

Podobnież: jeżeli na x dobny rachunek do powyższego pokaże nam, że:

y — n — 2 a.

I w ogólności, gdy w równaniu (2) uczynimy: x=m-\-pł), otrzymamy na y wartość:

y — n — pa.

Widzimy z tego, że wartości na x i y są zawarte w dwócli następnych szeregach liczb:

x = m, m -(- b, m -f- 2b . . . . m -|-pb .... y = n, n — u, n — 2a .... n —pa .... gdzie odpowiadające sobie wnrtości na dwie niewiadome znajdują się jedna pod drugą.

Ogólne wyrażenie przeto na liczby całkowite, przedstawiające wartość niewiadomej x jest: x = m -\-pb, a zaś ogólne wyrażenie liczb, przedstawiających wartości na y jest: y —n — pa, gdzie m i n są to dwie pierwsze wartości, które zadosyć czynią równaniu (1), a p jakakolwiek liczba całkowita.

Zbyteczną rzeczą jest dodawać, że przyszlibyśmy do tych samych wniosków, gdybyśmy zaczęli rozwiązanie od znalezienia wartości na y.

Gdyby dane równanie było postaci:

ax — by — k,

wtedy otrzymalibyśmy z niego:

•    ax —- k

'J- h '■

rozumowanie zupełnie podobne do powyższego pokazałoby nam, że zawsze możemy znaleść na x taką liczbę całkowitą m, mniejszą od b, którą gdy podstawimy w wyrażenie na y, otrzymamy z niego także wartość całkowitą i równą n\ i dalej, że taka liczba mniejsza od b jest tylko jedna; nakoniec że wszystkie wartości całkowite, zadosyć czyniące temu równaniu, będą zawarte w wyrażeniach:

x — m -j- pb; y — n -j- pa.

Gdybyśmy jednak zamiast zacząć rozwiązanie od wynalezienia wartości na tę niewiadomą, przy której współczyn-

nik ma znak ujemny (jak tutaj na y), zaczęli od wynalezienia wartości na x, otrzymalibyśmy:

j . l + %

i wtedy należałoby cokolwiek zmienić rozumowanie, dla pokazania, że rozwiązanie w liczbach całkowitych jest i w tym razie zawsze możliwe. Oznaczmy iloraz powstały z podzielenia h przez a głoską s, resztę zaś głoską r. Przeto r < a. Podstawiajmy kolejno zamiast y liczby:

1, 2, 8, 4 . . . . a 2, a 1 ;

wtedy wiemy, że reszty z podzielenia by przez a wszystkie będą różne, a więc będą wszystkiemi liczbami, mniejszemi od a. Możemy zatem zawsze wynaleść taką liczbę n pomiędzy liczbami, zawartemi w szeregu od 1 do (a — 1), że iloczyn bn, powstały z podstawienia tej liczby zamiast y w wyrazie óy, po podzieleniu przez a da resztę r' równą różnicy pomiędzy a i r. Innemi słowami: możemy zawsze wynaleść pomiędzy resztami ostatniemi taką, która będąc dodaną do r da na sumę a. Oznaczmy odpowiedni iloraz z podzielenia bn przez a głoską s'. Wtedy będzie:

Tc — as Ą- r, bn — as' -j- r'\ ■

skąd:

Jc -|-bn — a (s -f s) + r + r'

A że r -j- r' — a, przeto:

x = «Is + tl±ei=s+S' ₊ i.

Dodając a do tej pierwszej wartości na y, to jest do n, otrzymamy nową liczbę n -}- a, która uczyni i x całkowitem i równem s -)- s' -f- 1 b. Iw ogóle: dodając a powtórzone ilekolwiek razy p do n, otrzymamy taką wartość na y, która uczyni i x całkowitą.

2G

Algebra.

422. Objaśnimy teraz powyższe rozumowanie na kilku przykładach, liczebnych.

Weźmy najprzód równanie:

8x + 15 y — 127,

Współczynniki 8 i 15 są pierwszemi względem siebie; rozwiązanie zatem jest możliwe.

Z tego równania otrzymamy:

127 - 15*/

x ==.---— .

Ponieważ przy dzieleniu 127 przez 8 otrzymujemy na resztę 7, przeto powinniśmy odszukać 'taką liczbę, która podstawiona zamiast y w iloczyn 15y, dałaby następnie przy dzieleniu przez 8 na resztę także 7. Taką liczbą jest 1. Podstawiając w powyższe wyrażenie na x jedność zamiast y, otrzymamy:

= 14.

127 — 15 . 1    112

Dwie więc wartości: y— 1, i x=14i, podstawione w równanie dane, zadosyć mu czynią. Aby znaleść inne odpowiedzi, zwróćmy uwagę na to, że jeżeli zamiast y podstawimy w iloczynie 15y jedność powiększoną o ośm, wtedy otrzymamy iloczyn, który podzielony przez 8 da także na resztę 7, a zatem uczyni 127 — Idy podzielnem przez 8. W rzeczy samej, będzie:

=•— 1.

127 - 15.9

Para więc wartości: x —— 1, y = 9, także zadosyć czyni danemu równaniu. Podstawiając dalej zamiast y liczbę 1 -j- 2.8= 17, również uczynimy różnicę 127 — lby podziel-ną przez 8; i w istocie:

128

— —16;

127 — 15.17 .127 — 255

czyli dwie wartości: x = •— 16, y=17 zadosyć czynią równaniu danemu. W ogóle podstawiając zamiast y liczbę tej postaci: 1 —{— 8p, uczynimy różnicę 127 —15y podzielną przez 8, gdyż będzie:

112 — 15 .Sp

= 14 — 15p.

127-15 (l + 8p)

tJb - ~    “

Wszystkie więc liczby całkowite tycb postaci: x = 14 — 15 p,

y= i+ ⁸Pi

gdzie p oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą, będą zadosyć czynić danemu równaniu. Liczby zawarte w powyższych wyrażeniach są takie:

1,    2,    3,    4,    5, . . .

—1, —16, -31, -46, ....

9,    17,    25,    33.....

P= o, x = 14,

y= i,

Oczywiście oba te szeregi liczb możemy posunąć w lewą stronę, podstawiając za p wartości całkowite ujemne. Różnica pomiędzy następującymi po sobie wyrazami w szeregu pierwszym, przedstawiającym wartości x, jest — 15, (t. j. współczynnnik przy y w równaniu danem, wzięty ze kiem —), różnica zaś w drugim, przedstawiającym tości y, jest 8 (t. j. współczynnik przy x).

Gdyby szło o wynalezienie wartości nie tylko całkowitych, ale i dodatnich, zadosyćczyniących danemu równaniu, wtedy powyższe dwa szeregi pokazują nam, że byłoby tylko jedno rozwiązanie, mianowicie a? = 14, y = l. We wszystkich innych rozwiązaniach, jedna tylko z liczb jest dodatnią, druga zaś jest ujemną. Gdybyśmy mieli na widoku rozwiązanie np. takiego zagadnienia: kupował ktoś gruszki i jabłka,

jednę gruszkę 15 kop.;

zna-

war-

jedno jabłko płacił 8 kopiejek, wydał na całe kupno 1 rs. 27 kop.; ileż kupił jabłek a ile giu- *

za

za

szek? wtedy, oznaczając przez x liczbę jabłek, a przez y liczbę gruszek, otrzymalibyśmy równanie :

-f lhy = 127,

które, jakkolwiek nieoznaczone , dałoby nam jednę tylko odpowiedź: x — 14, y = 1, gdyż liczby kupionych gruszek i jabłek muszą być całkowite i dodatnie.

Jako drugi przykład weźmy równanie:

9x -j- 25y = 81.

Ponieważ współczynnik przy x i druga strona równania mają wspólny dzielnik 9, przeto, czyniąc y — 9y' i podstawiając w równanie, sprowadzimy je do prostszej postaci.

(§ 419.)

Gdybyśmy jednak nie chcieli użyć tego uproszczenia

i próbowali rozwiązać bezpośrednio równanie dane, wtedy otrzymalibyśmy:

x= -

81 — 25//

Ponieważ reszta pozostała z dzielenia 81 przez 9 jest zero, przeto i za y powinniśmy podstawić taką liczbę, któraby uczyniła iloczyn 25y podzielnym przez 9. Taką liczbą będzie najprzód 0, a następnie każda liczba wielokrotna względem 9.

Rozwiązania więc będą:

18, 27 .... 9p.

U — 0,    9,

» = 9,—16,—41, .... 9—25p.

Trzeci przykład: Dane równanie:

19x — 7y = 50.

Otrzymujemy najprzód:

19x — 50

Ponieważ 50 podzielone przez 7 daje na resztę 1, przeto szukamy takiej liczby całkowitej, któraby podstawiona zamiast x w iloczynie 19x przy dzieleniu przez 7 dała tęż sarnę resztę. Taką liczbą jest 3; co znajdujemy podstawiając za x kolejno liczby całkowite, zaczynając od jedności. Stąd otrzymamy:

= 1.

19.3 — 50    57 — 50

Liczby więc 3 i 1 zadosyć czynią danemu równaniu. Rozumowanie, jakiego użyliśmy już kilkakrotnie, pokazuje że rozwiązania będą zawarte w dwóch następnych szeregach liczb:

.... 3 + 7py .... 1 + 19p.

Gdybyśmy zaczęli rozwiązanie od wynalezienia wartości na x, wtedy otrzymalibyśmy:

= 3, 10:

= 1, 20,

OT to

00

50 -j- 7 y

iloraz 2 i ną resztę 12. Odszu-

50 podzielone przez 19 daje kujemy na y takiej liczby, dla której iloczyn 7y, podzielony przez 19 dałby na resztę 7, to jest tyle, ile potrzeba dodać do reszty 12 aby otrzymać 19. Taką wartością na y jest 1. 1 odstawiając tę wartość za y w wyrażenie na x, będzie.

50 + 7.1    57;    ₃

na

x =

Znaleźliśmy więc też same rozwiąząnia co i poprzednio. Czwarty przykład: Mamy równanie.

V2x — 25 y = 0.

19

19

z niego otrzymujemy:

0+25y_25î/ x— 12 12

Widzimy z tego, że y = 0 i w ogóle każda liczba po-dzielna przez 12, podstawiona zamiast y, zadosyć czym temuż równaniu. Biorąc więc:

y = 0, 12, 24, 36 ... . x = 0, 25, 50, 75 ... .

i w ogóle:

V = 12p,

x = 25p,

otrzymamy rozwiązania.

423. Rozumowania i objaśnienia, zawarte w dwóch poprzednich paragrafach, pokazują wprawdzie możliwość rozwiązania równania: ax -f- by = Jc w liczbach całkowitych, w tym przypadku, gdy a i b są pierwszemi względem siebie, lecz właściwie nie stanowią sposobu bezpośredniego rozwiązania tegoż równania. Nie możemy bowiem nazwać sposobem rozwiązania równania odszukanie niewiadomej, przez kolejne podstawianie liczb, zaczynając od jedności, podobnie jak takiego sposobu postępowania nie nazwalibyśmy rozwiązaniem i równań oznaczonych. Zajmiemy się teraz wyłożeniem sposobów, prowadzących bezpośrednio albo do wyrażenia w ogólnej postaci liczb całkowitych, zadosyć czyniących danemu równaniu, albo też do wynalezienia dwóch liczb całkowitych, które podstawione zamiast x i y w dane równanie, zadosyć mu czynią. W tym ostatnim przypadku, mając już znalezione dwie takie liczby, łatwo odszukać rozwiązanie ogólne.

Podamy tutaj dwa sposoby rozwiązania równania nieoznaczonego ax -(- by = Tc] jeden z nich moglibyśmy nazwać: sposobem dzielenia kolejnego, drugi zaś za pomocą ułamków ciągłych.

424. Pierwszy z tych sposobów, który prowadzi do wynalezienia ogólnych wyrażeń na niewiadome, objaśnimy najprzód przykładami liczebnęmi.

1-szy przykład: Rozwiązać równanie:

2x    3y = 25.

W tym celu wynajdźmy z tego równania wartość na tę niewiadomą, przy której współczynnik jest mniejszy, ]ak tutaj na X] będzie:

25 — 3 y

Odłączmy z tego ułamka całkowitą, co nie tylko w tym przypadku, ale zawsze będzie możliwe, gdyż w mianowniku będzie liczba mniejsza od współczynnika przy niewiadomej znajdującej się w liczniku. Otrzymamy:

x = 12

Ponieważ x powinno być całkowitem, przeto na y należy wybrać takie liczby całkowite, któreby uczyniły drugą stro-

nę całkowitą. A że: 12 przy każdej wartości całkowitej

y jest samo przez się całkowitem na y, zatem powinniśmy wy-

brać tylko takie wartości na

miałby wartość całkowitą, zresztą jakąkolwiek. Czyniąc więc:

y, przy których ułamek — —

gdzie p oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą, otrzymamy stąd:

y = 1 —

a podstawiając tę wartość w wyrażenie na x, będzie:

x — 11 + 3p.

Czyniąc:

p = . otrzymamy:

«/ = •••

X ==:-.■

. . _4, -3, -2,-1, 0,

1, 2, 3, 4,....

7,

Ol Ol

co cc

t-H

Wyrażenia 1 — 2p i 11 -j- 3p są ogólnemi wartościami na te dwie niewiadome.

2-gi przykład: Rozwiązać równanie:

3x — 8y = 43.

Wynajdujemy wartość na x, gdyż przy niem współczynnik jest niniejszy; będzie:

43 + %

Z ułamka na drugiej stronie wyłączamy całkowitą; ponieważ 43 podzielone przez 3 daje na iloraz 14 i resztę 1, a 8 podzielone^przez 3 daje na iloraz 2 i resztę 2, przeto:

» = 14 -f- 2y -f 1    2y-

Aby wartości na x były całkowite, powinniśmy na y

byłby cał

1 _i_ 2 y

wybrać takie liczby, przy których ułamek ——~—

kowitym. Uczyńmy więc: gdzie p' oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą. Otrzymamy stąd:

3p’ — 1    , , p' — 1

2~    +—ST-

Ta ostatnia równość pokazuje, że aby y było całkowite, powinniśmy nap' tylko takie liczby całkowite wybierać, przy

pf — 1

których ułamek -—-— byłby całkowitym. Czyniąc więc jesz-

U

eze:

p'—i

gdzie p jest jakąkolwiek liczbą całkowitą, będzie:

p’ — 2p -j- 1.

Z tej ostatniej równości widzimy, żep' powinno być postaci 2p -j- 1, czyli powinno być zawsze nieparzyste. Podstawiając tę wartość za p' w wyrażenie na y, otrzymamy:

y = 1 + 32?;

a przez podstawienie wartości na y i na p' w wyrażenie na x, wypadnie:

czyli:

x = 14 -f- 2 (3p + 1) + 2p + 1, x — 17 -\- 8p.

Podstawiając teraz kolejno za p wszystkie liczby całkowite zaczynając od 0 do -j- oo i do — co, otrzymamy wszystkie liczby całkowite, czyniące zadosyć danemu równaniu. Wartości te są zawarte w następującej tablicy:

0,    1,    2,    3,    4.

9, 17,    25,    33,    41    ....

-5,-2, 1,    4,    7.....

-2, -1,

jące wartościom dodatnim na

3-ci przykład. Rozwiązać równanie:

Widzimy z tej tablicy, że równanie dane ma nieskończenie wielką liczbę rozwiązań nie tylko całkowitych, ale i dodatnich. Mianowicie wszystkie wartości na x i y, odpowiadają, zaczynając od 0, są dodatnie.

31œ -f 2iy = 1770.

Przy rozwiązaniu tego równania zwracamy uwagę czytelnika na pewne uproszczenie, którego często można użyć, i które znacznie ułatwia rachunki, przez sprowadzenie zadania do liczb prostszych.

Zaczynamy, jak zwykle, działanie od wynalezienia wartości na tę niewiadomą, przy której współczynnik jest mniejszy. Będzie:

1770 — Six V —    21    '

W dalszym ciągu odłączamy całkowitą z tego ułamka; otrzymamy:

rem licznik: 2 (3 — bx) byłby podzielnym przez 21. A że czynnik 2 jest pierwszym względem 21, przeto potrzeba, aby 3 — bx było pod zielne przez 21, t j. aby ułamek

—2j~~ — P' (całkowitej).

Przez opuszczenie czynnika 2 w liczniku, pierwszego względem mianownika 21, cały ułamek został uproszczonym i sprowadzonym do liczb mniejszych. Tego rodzaju uproszczenia można zawsze użyć; mianowicie jeżeli przy rozwiązywaniu równania sposobem kolejnego dzielenia, napotkamy taki ułamek, w liczniku którego będzie czynnik pierwszy względem mianownika, to czynnik ten można zawsze opuścić.

Wprowadzając powyższe oznaczenie do wyrażenia na y,

będzie:

czyli:

ci    ,    6 — 1

y — 84 — x -)---

21

y = 84 — x -J-

2 (3 — bx)

21

Aby wartości całkowitej na x odpowiadała z tego wyrażenia wartość całkowita na y, potrzeba x wybrać takie, przy

którem ułamek

2 (3 — bx)

21

byłby całkowitym, t. j. przy któ-

y = 84 — x -f 2p'

Z równania zaś: —

21

■= p\ otrzymujemy:

3 — 21p'

czyli:

, . 3 — p'

- ip + —f)- •

był całkowitym. Czyniąc więc

Aby wartość na x wypadła całkowitą, potrzeba p' tak 3_

wybrać, aby ułamek ——

O

3 —p'

będzie:

x — — 4p' -J- p, p' = 3 — 5p.

Podstawiając wartość na p' w wyrażenia na x i y, otrzymamy ostatecznie:

i:

x = — 12 ~f- 21p, 102 — 31p,

jako ogólne wyrażenia na liczby całkowite, zadosyć czyniące danemu równaniu. Czyniąc:

2, - 1

0, 1

2,

3,

4,

P = * • • • mieć będziemy:

x — . . , . — 54, — 33, — 12, 9, 30, 51 y=.....    164,

dwa szeregi liczb, zawierające wszystkie rozwiązania.

Gdyby szło o rozwiązania tylko dodatnie, wtedy wTi-docznie byłyby trzy odpowiedzi: x — 9, 30, 51; y = 71, 40, 9. 4-ty przykład: Rozwiązać równanie:

12x -j- 17y — 479.

Wynajdując wartość na x, otrzymamy:

72

133,    102, 71, 40, 9, — 22

479 — 17y

12

= 39-,, ₊ U^

^ _ ö?/

Uczyńmy dalej:    ^

będzie:

x = 39 — y -\-p‘

i nadto:

11 — 12p'

Czyniąc znowuż: otrzymamy:

i:

y = 2 — 2p' -p" 1 —5p"

1 — p"

Ponieważ —--Ł

ma być całkowite, przeto:

i —p"

2 ' ~

gdzie p jest jakąkolwiek całkowitą; skąd:

p" = 1 — 2p.

Podstawiając tę wartość w pf, y i x, otrzymamy ostatecznie ilości x i ?/, wyrażone bezpośrednio za pomocą p. Wyrażenia te będą:

x = 30 -j- 17p, y = 7 — 12p.

Czyniąc p kolejno równe wszystkim liczbom całkowitym, otrzymamy wartości odpowiednie na x i y.

-2,-I/O,    1,    2,....

-4, 13,30, 47,    64,..,.

y =

Można się łatwo przekonać, że wartości znalezione na x i y zad osy ć czynią danemu równaniu przy wszystkich znaczeniach na p. Należy tylko podstawić te wartości w równanie: 12a? -j- 17y = 479. Otrzymamy:

31,    19, 7, -5, -17......

12 (30 -f 17p) -f 17 (7 - 12p) =

= 360    12.17p -f 119 — 12.17p = 479.

Ponieważ wyrazy zawierające p znoszą się same przez się na pierwszej stronie równości, przeto wartości na x i y czynią zadosyć danemu równaniu przy jakiemkolwiek p.

Z szeregów liczb, napisanych wyżej, widzimy, że dane równanie ma tylko dwa rozwiązania całkowite i zarazem dodatnie, mianowicie: albo x = 13, y — 19; albo też: x — 30,

V = 7.

425. Przykłady rozwiązane w paragrafie poprzednim objaśniają dostatecznie, na czem polega sposób wynalezienia ogólnych wyrażeń całkowitych na x i y. Możemy sposób ten opisać w ogólności tak:

Niech będzie dane równanie:

■ • (1)

Gdyby współczynnik przy jednej z niewiadomych był równym jedności, wtedy odrazu rozwiązalibyśmy je, wynajdując wartość na tęż niewiadomą i podstawiając kolejno za drugą niewiadomą wszystkie liczby całkowite. Należy nam przedewszystkiem rozebrać ten przypadek, w którym a i b są różne od 1. Wiemy już z poprzedniego, że rozwiązanie w liczbach całkowitych jest tylko wtedy możliwe, gdy a i & są pierwsze względem siebie.

Niech więc będą a i b różne od 1 i pierwsze względem

siebie; przypuśćmy nadto, że b < a. Wy najdźmy z równania (1) wartość na tę niewiadomą, przy której współczynnik jest mniejszy; jak tutaj, podług naszego przypuszczenia, na y. Będzie:

• • (2)

a resz-

Podzielmy a przez b] oznaczmy iloraz z tego dzielenia przez q a resztę przez r. Gdyby k było także większe od 6, wtedy podzielmy Ic przez b i oznaczmy iloraz przez ni, tę przez n. Wtedy:

a = bą -j- r; Æ = bm -f- n.

Podstawiając te wartości za a i Jc w równanie (2), otrzymamy:

n — rx

bm —|— n — (fcg -j-r)x __ bm — bqx

czyli:

, n — rx

— Qx + ----1-•

Podług założenia szukamy na a: i y wartości całkowitych. Lecz nadając na x jakąkolwiek wartość całkowitą, otrzymamy na część m — qx wartość także całkowitą; aby więc i y było całkowite, potrzeba wynaleść takie wartości

byłby całkowitym. Dla

^2 7*CC

na x, przy których ułamek —-tego też czynimy:

n — rx

oznaczając przez p' jakąkolwiek liczbę całkowitą. Z tej ostatniej równości wypada:

'(3)

rx -\-bp' ~n

Całe zadanie sprowadza się więc właściwie do rozwiązania równania (3), prostszego od równania danego, gdyż b, które było mniejszem od a, jest tutaj współczynnikiem większym, a n nie jest większe od h.

Grdyby r było równem 1, wtedy zadanie byłoby już rozwiązane. Jeżeli r >1, wówczas znajdźmy znowuż z tego równania wartość na x, przy którem współczynnik jest mniejszy od b; będzie:

(4)

n — bp'

Oznaczając iloraz, powstały z podzielenia b przez r, głoską q' i resztę głoską /; iloraz zaś z podzielenia n przez r głoską m\ a resztę głoską n', mieć będziemy jak wyżej:

m'r -|- n' — (q'r -j- r') p' m'r — q'rp' n' — r'p'

r    ’

czyli:

x — m' — q'pf -j-Ponieważ zaś x i p' mają być całkowite, przeto tę ostat-

n' — r'p'

nią liczbę należy tak wybrać, aby wyrażenie

n' — r' p'

było

liczbą całkowitą. W tym celu uczyńmy:

n' — r'p'

= P",

gdzie p" oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą. Stąd:

r'p' -j- rp" — n'

(5)

i zadanie znowuż jest sprowadzone do rozwiązania równania prostszego, niż poprzednie, gdyż rf < r. Gdyby tutaj wypadło r- — 1, wtedy rozwiązanie byłoby skończone. Lecz jeżeli 1, wówczas znowuż wynajdźmy wartość na p' (współczynnik bowiem przy niem jest mniejszy); będzie:

n' — rp"

pr =

i odłączmy całkowitą z tego ułamka, co zawsze da się zrobić, gdyż r>r'. ^^prowadzając też same oznaczenia co i poprzednio, t. j. oznaczając przez m" i n" iloraz i resztę z podzielenia n' przez r', a przez q" i r,f iloraz i resztę z podzielenia r przez r\ otrzymamy:

p'= m"— q" p" -j-

n" — r" p"

Czynimy znowuż:

n" — rn p

skąd wypada równanie:

(6)

r" p" -f- r' p,r = n", którem kończyłoby się rozwiązanie, gdyby ? było lównem 1. Gdyby ono było rożnem od 1, wtedy dalej postępowalibyśmy tak samo jak poprzednio dotąd, dopóki jedna z îeszt. >, i , > •. niewypadłaby równą 1. To nastąpić koniecznie musi; gdyż, podług założenia, liczby a i b są pierwszemi względem siebie,

a reszty: r, r', r" i t. d. są otrzymane z takiego działania, jakie wykonalibyśmy, gdybyśmy chcieli znaleśó dzieleniem największy wspólny dzielnik dla a i b. Przypuśćmy więc, że już reszta r" jest równą 1; co możemy uczynić, liczba działań bowiem niema tutaj żadnego wyływu na bieg rozumowania Wtedy z równania (6) otrzymamy:

p" — n" — r'p,

gdzie znaczki nad p"' opuściliśmy, jako już dalej niepotrzebne. Jeżeli teraz weźmiemy pod uwagę wyrażenia poprzednio otrzymane:

y = m — q x -f p', x = m' — q'p' -j- p’’, p’ = m" — q"p"-\- p, i:    p"— nr—r' p,

i podstawimy wartość na p" w wyrażenie na p', następnie wartości na pr i p" w wyrażenie na x i nakoniec wartości na x i p' w wyrażenie na y, wtedy wyrazimy obie wartości na x i y za pomocą jednej ilości ostatniej p, która oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą. Rachunku tego nie wykonywamy tutaj, gdvż nie prowadzi on do wzorów, mających znaczenie praktyczne. Najlepiej w każdym przypadku sposobem wskazanym postępować tak, jak robiliśmy w przykładach rozwiązanych w poprzednim paragrafie.

426. Zastosujemy jeszcze zasady podane wyżej do rozwiązania kilku zagadnień.

1-sze. Liczbą 100 podzielić na takie dwie części, aby jedna z nich podzielona przez 5 dała na resztą 2, a druga podzielona przez 7 dała na resztą 4.

Ponieważ pierwsza z tych części, będąc podzielona przez 5, ma dać w reszcie 2, przeto ta pierwsza część powinna być tej postaci: bx -f- 2, gdzie x oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą. I dalej: ponieważ druga część, będąc podzielona przez 7, ma dać na resztę 4, przeto musi być ona na tej po-

staci: 7y -f- 4.    01)ie te części razem wzięte powinny stano

wić 100. Będzie więc równanie:

-j- 2 -J- 7y -f- 4 = 100, czyli: hx -f- Ty — 94.

Następującym rachunkiem, który tu wykonywamy, bez objaśnień, znajdujemy ostateczne wyrażenia na a? i y:

⁹4-7^ ₌ i    4-%

5    J 1    5

i0    . 2(2—y)

= 18 — y +    ₅    ;

V    er

b =Pi y = z-hp,

x = 16-[- 7p.

Tym sposobem ostateczne wyrażenia są:

x = 16 -\~ 7p\ y — 2 — 5p. P = .... — 3, — 2, — 1,

2,    9,

17,    12,    7,

1, 2.... 23, 30 .... -3,-8 ....

Czyniąc: otrzymamy:    x = .... — 5,

y =

Ponieważ natura pytania wymaga oczywiście odpowiedzi nietylko całkowitych, ale i dodatnich, przeto powinniśmy z tych wartości na x i y te tylko wybrać, które dają dwie części szukane dodatnie, a zatem wartości tylko dodatnie na x i y. Tych wartości jest trzy:

tO JJ2

2, ,1

Przy pierwszej z nich x = 2, y = 12, część pierwsza szukana: bx -[- 2 — 12, część druga 7y -j- 4 = 88; przy drugiej: x — 9, y = 7, część pierwsza: hx -f- 2 = 47, część druga: 7y _4 — 53; nakoniec przy trzeciej: x = 16, y = 2, część pierwsza: bx -f- 2 = 82, część druga: 7y -f 4 = 18.

za

427. Zagadnienie. Handlarz kupował konie i woły : konia płacił 141 rubli, za wołu zaś 99 rb.; kupił tyle koni

i tyle wołów, że za woły zapłacił o 18 rb. więcej, aniżeli za konie. Ileż kupił koni a ile wołów?

Oznaczmy liczbę kupionych wołów głoską a?, a liczbę kupionych koni głoską ij. Wtedy za konie zapłacił 141y, a za woły 99x. Ponieważ woły kosztowały o 18 rb. więcej, aniżeli konie, przeto:

(1)

99x — 141y -f-18, czyli 99x — 141 y = 18.

W celu rozwiązania tego równania, zauważmy najprzód, że wszystkie wyrazy jego mogą być podzielone przez 3; wykonajmy to dzielenie, przez co równanie się upraszcza. Będzie:

33a? — 47 y = 6.

Ponieważ 33 i 6 mają wspólny czynnik 3, przeto równanie można dalej uprościć (§ 419) czyniąc:

(2)

V — 3 w.,

gdzie u jest nową niewiadomą. Podstawiając tę wartość w równanie, otrzymamy :

33.r — 47.3w — 6;

dzieląc teraz całe równanie przez 3, będzie:

(3)

llx — 47 u — 2.

Z tego ostatniego równania otrzymujemy najprzód: 2 4- 41u

X — -—L---

czyniąc zaś: mamy :

czyli :

= 4 u-{-

² +3m _ ,

11

x — 4u -J- p\

11V — 2    q f i

o ,    ,    2 (p'—1)

u = 3/ + g .

11

11

2p'— 2

Ponieważ 2 jest pierwsze względem 3, przeto czynimy:

~=P, skąd:

i dalej :

u — 3p' -j- 2p, p' = 3p -J- 1.

Przez kolejne podstawiania, znajdziemy ostatecznie: u = 11 p -J- 3, x = 47p -j- 13.

Podstawiając zaś tę wartość na u w równanie (2) otrzy-

mamy :

ij = 33p -j- 9.

Czyniąc teraz w ty cli wyrażeniach kolejno: p = 0,    1,    2,

otrzymamy wartości na x i y :

x = 13,

y = 9,

Oczywistą jest rzeczą, że zagadnienie może mieć tylko odpowiedzi dodatnie; wyrażenia, znalezione wyżej pokazują, że odpowiedzi tych jest nieskończenie wiele,—najmniejsza z nich: kupiono wołów 13, koni 9.

428. Zagadnienie. Znaleść taki ułamek, któryby od-355 ÏÏ3

to o

O u-

, 154 ..... ., 108.....

dał na różnicę ułamek, mający za licz-

jęty od ułamka nik 1 a za mianownik iloczyn z mianowników tych dwóch

ułamków.

a mia-

Oznaczając licznik szukanego ułamka przez x, nownik przez ?/, mieć będziemy równanie:

355 x _

IÏ3 ~~ y ~ 113y '

Zniósłszy mianowniki otrzymamy:

355y — 113x = 1.

Rozwiązując to ostatnie równanie sposobem wielokrotnie wskazanym, znajdziemy następujące wartości na æ i y: x = 855p — 22, y = 113p — 7.

0, 1, 2.

-    732, — 377, — 22, 333, 688

—    233, — 120.

— 2,

Podstawiając za p jakiekolwiek liczby całkowite, dodatnie lub ujemne, otrzymamy nieskończoną liczbę wartości na x i y całkowitych, z których biorąc pierwszą za licznik, a odpowiednią drugą za mianownik, mieć będziemy nieskończoną liczbę ułamków, zadosyć czyniących żądanym warunkom. I tak : gdy: wtedy:

7, 106, 219

skąd:

co

732 377 22 333 68

233’ 120 ’ T ’ 106 ⁵ 219......

Zwracamy uwagę czytelnika na trzeci i czwarty z napisanych ułamków: należy porównać te wypadki z ułamkami w § 413.

429. Widzieliśmy w § 421, że jeżeli mamy jedną parą wartości, które, podstawione w równanie dane zamiast x i y, sprawdzają je, wtedy możemy odrazu napisać ogólne wyrażenia na obie niewiadome, a tern samem icynaleść wszystkie rozwiązania.

Jakkolwiek zasada ta wypływa bezpośrednio z rozumowań w paragrafie powołanym wyżej, to wszakże ze względu na jej ważność, dowiedziemy jej tutaj inną drogą.

Przypuśćmy więc, że mamy już dwie liczby A i B, które podstawione zamiast x i y odpowiednio, zadosyć czynią równaniu:

(!)■

ax -J- by = k

ma-

aA 4- bB = k.

Aby dowieść, że stąd możemy natychmiast napisać ogólne wyrażenia na x i y, zauważmy, że podług założenia my najprzód:

Odejmijmy tę równość od równania:

ax

+ bV —

otrzymamy:

— aA -{- by — bB = 0, ax — aA — bB — by,

ax

czyli:

wyłączając zaś na pierwszej stronie a, a na drugiej b za nawias, będzie:

skąd:

a (,x — A) — b (B — y),

b (B — y)

(2)

Ponieważ A jest liczbą całkowitą i x ma być także całkowite, przeto i druga strona powinna być całkowitą, czyli: b (.B — y) powinno być podzielne przez a. A że b jest pierw-szem względem a, przeto B — ij samo przez się powinno być podzielne przez a. Należy zatem y wybrać takie, aby było:

(3)

= Pi

B — y

gdzie p oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą.

Podstawiając tę wartość w równanie (2), otrzymamy: x — A = bp,

skąd:

x = A -J- bp. Z równania zaś (3) znajdziemy:

y — B — ap.

(4)

(5)

Czyniąc tutaj kolejno:

— 2,-1, 0, 1, 2, 3.....

A — 2b, A — b, A, A -J- b, A -f- 2&, A -f- Sb.... B -f 2a, B-\-a,B,B — a,B— 2a, B— Sa....

mieć będziemy: x =

V —

A to dowodzi twierdzenia podanego wyżej.

Gdybyśmy toż samo rozumowanie zastosowali do rów

nania:

ax — by — h.

otrzymalibyśmy na wypadki ostateczne:

x = A -j- bp,\ y = B-\- ap, I

skąd rozwiązania wszystkie byłyby zawarte w szeregach następujących:

P = x =

(6)

- 2, - 1, 0, 1

A-2 b, A — b,A,A-j- b, A -f 2 b, A -f 36....

B — 2a, B — a, B, B + a, B-\- 2a, B 3a....

430. W tym przypadku, w którym zagadnienie rozwiązywane może mieć tylko odpowiedzi dodatnie, należy we wzorach (4), (5) i (6) poprzedniego paragrafu wybrać tylko takie wartości na p, przy których x i y wypadłyby dodatnie. Przy jakich znaczeniach na p, x i y będą dodatnie można zna- . leść rozumowaniem następuj ącem!

1-sze. Gdy dane równanie jest:

ax -J- by = &,

w którem a i b są dodatniemi, wtedy z nich wypada: x — AĄ- bp, y — B — ap.

Wyłączając na drugiej stronie pierwszej równości b, na drugiej stronie drugiej równości a za nawias, będzie:

x— b

— A

Te ostatnie wyrażenia pokazują, że aby wartość na x była dodatnią, należy p wybrać takie aby było:

A

p > — — , (gdj^ż b jest dodatnie).

Również, aby wartość na y była dodatnią, należy p wybrać takie, aby było:

Tym sposobem oznaczyliśmy dwie granice, pomiędzy któremi p powinno być zawarte, aby i cc i y wypadły dodatnie. Stąd się pokazuje, że liczba rozwiązań dodatnich w tym przypadku będzie ograniczoną; nawet bazdzo łatwo może się przytrafić, że nie będzie ani jednego rozwiązania dodatniego. 2-ie. Grdy dane równanie jest:

ax — by — Jc,

wtedy wartości na cc i y są dane wzorami:

x = A -j- bp, y = B-\- ap.

Wartości te można przedstawić w podobny sposób, jak w poprzednim przypadku, tak:

.....r)

»=°(p—t\

Aby x było dodatnie, potrzeba aby było:

A

aby znowuż y było dodatnie, należy-wybrać takie p, aby:

p >--

¹    a

s¹-®

Biorąc więc p większe od większej z tych liczb: B

— , otrzymywać będziemy wartości

na cc i y dodatnie.

Liczba zatem rozwiązań dodatnich będzie w tym pizypadku nieograniczoną.

pomocą linii prostej

431. Równanie stopnia pierwszego z dwiema niewia domem i można zawsze przedstawić (§ 884). Wynajdując rozwiązania całkowite takiego równania, oznaczamy na prostej takie punkty, których obie spół-rzędne są liczbami całkowitemu Jeżeli nadto

za

wymagamy,

aby rozwiązania były dodatnie, wtedy uwzględniamy tylko takie punkty, które leżą w ćwiartce płaszczyzny, zawartej między dodatniemi częściami obu osi. Liczba rozwiązań dodatnich może więc być tylko wtedy nieograniczona, kiedy część linii, leżąca w tej ćwiartce, jest nieograniczona, t. j. jeżeli prosta przecina jednę oś w jej części dodatniej, drugą w ujemnej. Liczba rozwiązań dodatnich jest napewno ograniczona, jeżeli prosta przecina obie osi w ich częściach dodatnich, lub obie w ujemnych; w tym ostatnim przypadku niema ani jednego rozwiązania dodatniego.

Naprzykład równanie:

Sx -f- 2y = 5,

roz-

jak to łatwo znaleść podług § 430, ma tylko jedno wiązanie dodatnie: x — 1, y — 1, z czego można wnosić, że prosta, przedstawiająca to równanie, ma tylko jeden taki punkt P, w którym obie spółrzędne są całkowite i dodatnie.

Podobnie znajdziemy, że prosta:

2 y — & = 2

ma nieskończony szereg takich punktów. Ta prosta jest wykreślona na str. 315. Druga prosta, tamże rozpatrywana:

czyli:

2 y + 4x = — 3,

niema wcale punktów, dla których obie spółrzędno byłyby dodatnie; ale ona niema także punktów, dla których obie spółrzędne byłyby całkowite, ponieważ współczynniki przy x i y mają czynnik wspólny 2, którego niema wyraz stały — 3 (por. § 419 ).

432. Własności przybliżeń ułamków ciągłych podają nam łatwy sposób wynalezienia jednej pary liczb całkowitych, które podstawione w dane równanie zamiast x i y, zadosyć mu czynią. Wiemy zaś z paragrafu 429, że gdy jednę taką parę liczb całkowitych znamy, wtedy możemy odrazu napisać wyrażenia ogólne, i tym sposobem wynaleść wszystkie rozwiązania. Pokażemy teraz to zastosowanie teoryi ułamków ciągłych do rozwiązania równania nieoznaczonego: ax -by = Jc ... . (1).

ułamek ciągły, i

na

W tym celu rozwińmy ułamek ~

wynajdźmy wszystkie przybliżenia tegoż ułamka ciągłego.

ostatnie zaś bę-

Przedostatnie przybliżenie niech będzie dzie oczywiście równe danemu ułamkowi zwyczajnemu ^ . Znajdźmy następnie różnicę pomiędzy -j- (czyli przybliżę-

t. y

niem ostatniem) i —-,

Podług własności przybliżeń, dowiedzionej w § 406, różnica ta jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest -f lub — jedność, a mianownikiem iloczyn z mianowników tychże przybliżeń. Będzie więc:

bQ

czyli znosząc mianowniki:

a . Q — b . 1J = + 1.

Pomnóżmy teraz obie strony tego równania przez k, wzięte z takim znakiem, aby po wykonaniu mnożenia wypadło na drugiej stronie k z takim znakiem, z jakim wchodzi do drugiej strony równania (1).

Zrobiwszy to otrzymamy:

a . Qk — b . Pk = k.

(Znaki opuszczamy tutaj, dla nierozróżniania zbyt wielu przypadków).

Tę ostatnią równość możemy tak napisać:

a . (Qk) -}- b . (—Pk) = k.

Porywnywając ją z równaniem (1), widzimy, że toż równanie zostaje sprawdzone przez podstawienie w niem zamiast x i y odpowiednio: Qk i — Pk. Dwie te liczby przeto stanowią pierwszą parę rozwiązań, i możemy przyjąć, że:

A = Qlq B = - Pk.

Mając zaś te wartości, możemy wynaleść wszystkie roz

wiązania.

433. Przykład. Weźmy równanie, rozwiązane już w § 424, przykład 4-ty:

Ułamek

-o to

12x + 17y = 479. zamieńmy na ułamek ciągły; będzie:

O l ! O-

Znajdźmy wszystkie przybliżenia; otrzymamy:

-o to

OO to

0 i

1 ’ 1 ’

Weźmy teraz różnicę pomiędzy całkowitą wartością ułamka ciągłego i przedostatniem przybliżeniem; będzie:

— 1

17.7    ~~ .17 . 7’

12

17

-O O⁷

12.7-17.5

84 — 85

skąd:

17.7

12.7 — 17.5 = — !.

Pomnóżmy obie strony tej ostatniej równości przez —479; otrzymamy:

12 . (—7.479) + 17 . (5.479) = 479. Porównywając tę równość z danem równaniem widzimy, że liczby: zadosyć mu

A = — 7 X 479 = — 3353, i B = 5 X 479 = 2395.

7X479 i 5x479, podstawione zamiast x i y, czynią. Możemy więc przyjąć, że:

Ogólne wyrażenia zatem na * i y będą:

x = 17 p — 3353 ; y = — 12p ~j- 2395.

Podstawiając za p kolejno 0, 1,2....    1, — 2,... .otrzy

mamy wszystkie rozwiązania.

Porównywając wyrażenia otrzymane obecnie z wyrażeniami na x i y, znalezionemi w § 424, wydaje się, że tości, jakie wyrażenia te przedstawiają, są różne. Czyniąc tu bowiem:

war-

0,

1, 2, 3, ... .

V = • • x = . .

y = • •

Lecz różnica ta jest tylko pozorną, gdyż dosyć jest podstawić za p liczbę dostatecznie wielką w wyrażeniach: x = 17 p - 3353 , i y = — 12 p + 2395, aby otrzymać też wyrazy, które są napisane jako rozwiązania równania danego w § 424. Mianowicie: jeżeli uczynimy p = 197, wtedy otrzymamy: x — —4, y — 31; to jest też same liczby, od których zaczęliśmy pisać rozwiązania w wymienionym tyle razy paragrafie. Łatwo wyrażenia x = 17p — 3353 i y = _12p -}- 2395 przerobić na wyrażenia: x = 30 -f-17p, i y =

otrzymujemy:

same

tO CO

CO CO

CO CN

7 — 12p. W tym celu należy tylko zwrócić uwagę na to, że: 3353 = 17 . 199 — 30, i 2395 = 12.199 -f 7. Jeżeli te ostatnie wartości podstawimy w wyrażenia powyższe, otrzymamy: x = 17p — 17 X 199 + 30 = 17 (p — 199) -f 30, y = —12p + 12 X 199 -f- 7 = —12 (p —199) -f- 7. Podstawiając zamiast p — 199 w powyższych wyrażeniach jednę głoskę, oznaczającą jakąkolwiek liczbę całkowitą, otrzymamy wyrażenia § 424.

434. Gdyby dane zadanie prowadziło do równania, zawierającego więcej niż dwie niewiadome, lub gdyby były dwa równania z trzema niewiadomemi i t. d , wtedy zasady wyłożone poprzednio mogą być zastosowane do tych przypadków, jak to się pokaże z rozwiązania następujących zadań:

Zadanie. Rozwiązać w liczbach całkowitych dwa

równania:

• • (!)•

2x -f Uy — 7z = 341,

10x -j- Ay 9z — 473. "

Wyrugujmy z tych dwóch równań x. W tym celu pomnóżmy pierwsze równanie przez 5 i następnie odejmijmy od niego równanie drugie; otrzymamy:

66y — 44z = 1232 , dzieląc zaś obie strony przez 22, będzie:

3y — 20 = 56 .. .. (2)

Oczywistą jest rzeczą, że te wartości całkowite na y i z, które zadosyć czynią równaniom danym, muszą zadosyć czynić i równaniu (2); stosując do tego ostatniego znane sposoby, otrzymamy:

y = 2p, z = 3p — 28.... (3)

Gdyby więc było dane do rozwiązania równanie (2), wtedy powyższe wyrażenia zawierałyby odpowiedź zupełną na pytanie. Lecz wartości na y i z nietylko powinny być całkowite same, ale nadto jeszcze takie, aby przy nich i war-

tość na x wypadła całkowita; i z tego powodu za p można wziąć nie każdą liczbę całkowitą. W celu znalezienia odpowiednich wartości na p, podstawmy wartości na y i z z równości (3) w jedno z równań danych (1), np. w pierwsze; otrzymamy: i z tego równania znajdźmy wszystkie wartości całkowite na x ip, które zadosyć mu czynią. Postępując znanymi spo

sobami, znajdziemy:

x = 69 -f- 7p', p = 1 — 2p',

gdzie p' oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą. Podstawiając teraz wartość za p w równanie (3), wyrazimy ostatecznie wszystkie trzy niewiadome x, y i z za pomocą liczby całkowitej dowolnej pr. Mianowicie będzie:

x — 69 -j- 7p'\ y = 2 — 4p'; ^ = — 25 — 6p'.

Czyniąc w tych wyrażeniach p' równem kolejno wszystkim liczbom całkowitym od 0 do -j- co i — co, otrzymamy wszystkie rozwiązania całkowite danych równań.

435. Gdybyśmy nadto chcieli znaleść nietylko wartości całkowite ale i dodatnie, wtedy należałoby wybrać tylko takie wartości na p', przy których jednocześnie byłoby:

CD b-

7p' > — 69, skąd: p' > — 9

tO t-¹

4p' < 2    , skąd: p' <    ,

— 25, skąd: p' < — 4-^

6p' <

Widzimy stąd, że jedyne wartości na p', które czynią zadosyć powyższym warunkom, są. p —    5,    0, i,    8,

na

i _ 9. Podstawiając je w wyrażenia na x, y i 2, otrzymamy te ostatnie ilości wartości następujące:

x = 34, 27, 20, 13, 6; y = 22, 26, 30,34, 38;

5, 11, 17, 23, 29.

Gdyby dane były trzy równania z czterema niewiadomemi, lub cztery równania z pięcioma niewiadomemi, lub wogóle ilekolwiek równań, w których liczba niewiadomych byłaby o jedność większą od liczby równań, wtedy w podobny sposób postępując, jak w przykładzie paragrafu poprzedniego, wyrazilibyśmy wszystkie niewiadome za pomocą jednej liczby całkowitej dowolnej p, liczba tylko działań jakie należałoby wykonać, byłaby większą.

436. Jeżeli jest jedno równanie z trzema lub większą liczbą niewiadomych, lub wogóle jeżeli jest danych m równań z ni -\- n niewiadomemi, wtedy stopień nieoznaczoności (jeżeli się tak można wyrazić), będzie jeszcze większy. Gdyby np. było dane jedno równanie z trzema niewiadomemi, wtedy do wyrażenia ogólnego każdej z niewiadomych potrzeba dwóch ilości dowolnych, całkowitych; w przypadku jednego równania z czterema niewiadomemi potrzeba będzie trzech ilości całkowitych dowolnych, i t. d. Wynalezienie takich wyrażeń ogólnych nie przedstawia żadnych szczególnych trudności; następujący przykład pokazuje, jak w takich razach należy postępować:

Rozwiązać równanie:

• • (1)

I0x -j- 9z/ -f Iz = 58 . . w liczbach całkowitych i dodatnich. Znajdźmy wartość na tę niewiadomą, przy której współczynnik jest najmniejszy, jäk tutaj na z. Będzie:

58 — 9 y —, l(br

a odłączając całkowitą:

. 2 — 2y — 3% y-xĄ--J--

Aby wartość na z wypadła całkowita, potrzeba aby ułamek na drugiej stronie ostatniego równania był całkowitym. Uczyńmy przeto:

2 — 2 y — 3x

= îh

gdzie p oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą. Otrzymamy stąd:

2 — 3x — 7p

A że i nłamek

,    o x~\rP

— 1 — x — 3p--2— •

~ powinien być także równy liczbie

2

całkowitej, przeto:

xń:JP = p'. skąd: æ =

— V + ²p'-

Podstawiając tak znalezioną wartość w wyrażenie na ij, i tę ostatnią wraz z wartością na a? w wyrażenie na z, otizy-y ostatecznie wyrażenia wszystkich trzech niewiadomych dwóch liczb całkowitych dowolnych p i //• Będą

mam za pomocą one takie:

3p\ z= 7 -f- 4p -|-p' • • (2).

— P + 2p'; y — 1 — 2^)

Podstawiając za p i // wszystkie liczby całkowite, dodatnie i ujemne, znajdziemy rozwiązania.

437. Do wyrażeń ogólnych można także dojść i mną ogólnem równaniu:

drogą, którą wskażemy

na

by cz “H H"

ierającem n niewiadomych:    y, z . .

Najprzód należy tu zauważyć, że jeżeli wszystkie współczynniki: a,b,c...m mają jakikolwiek wspólny dzielnik, to i Jc musi być podzielne przez tenże sam dzielnik, inaczej rozwiązanie równania liczbach całkowitych jest niemożliwe (« 419) Podzieliwsz obie strony równania przez największy wspólny dzielnik dla a, b, c. . . m i h, otrzymamy równanie, w którem współczynniki a, b, c. ..m 1 k są pierwszenn wzg ę-dem siebie; lecz może się przytrafić, że albo współczynniki a b c...ni, po dwa brane, mają jeszcze wspólne dzielniki,

zaw

ax

. v.

albo też, że przynajmniej dwa z nich są względnie pierwsze-mi. Ten ostatni przypadek jest najczęstszym i o nim tylko tutaj mówić będziemy. Przypuśćmy więc, że dwa współczynniki a i b nie mają żadnego wspólnego dzielnika. Przenosząc na drugą stronę równania (1) wszystkie wyrazy, z wyjątkiem tych dwóch, które mają za współczynniki a i b, otrzymamy:

ax -\-by = Ic — cz — du — ... — mv. Uczyńmy dla krótkości:

M =Jc — cz — du — ...— mv,

będzie:

ax -f- by = M... (2).

Na zasadzie tego co było powiedzianem w § 432 możemy zawsze znaleść dwie liczby Ai B takie, że będzie: aA -f- bB — 1;

mnożąc zaś obie strony tego ostatniego równania przez M, otrzymamy:

a . AM -|- b . BM = M . . . (3)

Odejmując równanie (3) od równania (2) będzie:

a \x — AM) -|- b (y — BM) z=z 0.

Stosując do tego równania rozumowanie § 429, otrzymamy na ogólne rozwiązanie:

x = AM-|- bw ; y = BAI — aiv, gdzie w oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą. Podstawiając teraz w te wyrażenia zamiast M jego wartość, znajdziemy ostatecznie:

• • (4).

x = A (k — cz — du — ... — mv) -f biv y = B (le — cz — du — ... — mv) — aw Tu niewiadome x i y są wyrażone za pomocą ilości całkowitej dowolnej w i (n — 2)-ch niewiadomych 0, u . . . v, które mogą także przyjmować dowolne znaczenia całkowite.

Dla objaśnienia powyższego sposobu, weźmy równanie rozwiązane w poprzednim paragrafie:

10x + 9y -fi 7z — 58.

Ponieważ 10 i 9 są pierwsze względem siebie, przeto: 10% + 9y = 58 — 7z = M.

Dalej znajdujemy, że:

10 . 1 + 9 . (— 1) = 1,

10 . (M) + 9 . (—M) = M,

skąd:

i następnie, jako rozwiązania danego równania:

x = M + 9 tu, y — — M — 10w>,

czyli, podstawiając zamiast Hf jego wartość:

• • (5).

x = 58 — Iz + 9 w y = — 58 + 72; — 10w W wyrażeniach tych z równie jak i w mogą przebiegać wszelkie wartości całkowite dodatnie i ujemne.

pierwszy rzut oka

z wzo-

Z porównania wyrażeń (5) z wyrażeniami na a; i y poprzedniego paragrafu możnaby sądzić na że one dają zupełnie inne rozwiązania, gdyż są innej postaci. Gdybyśmy jednak napisali wszystkie odpowiedzi podług jednych i drugich wzorów, przekonalibyśmy się, że one zawierają też same liczby, tylko w innym porządku. Tak np. rów (5) przy w =0 mamy rozwiązania:

x — 58 5 y = — 58 ; z = 0; też same liczby otrzymamy z wzorów (2) § poprzedniego, czyniąc: p = — 8 i p'= 25. Gdybyśmy we wzorach (2) § 436 uczynili p — 0, p' — 0, wtedy byłoby:

x — 0,y = l,z — 7-

Też same wartości mieć będziemy z wyrażeń (5), jeżeli uczynimy z — 7, w — — 1. I tak dalej. -Możnaby ziesztą ogólne wyrażenia na niewiadome przedstawić jeszcze pod

inną postacią, i zawsze otrzymalibyśmy z tych wyrażeń też same rozwiązania.

Rozbiór innych przypadków rozwiązania tego rodzaju równań, mianowicie gdy pomiędzy współczynnikami a, b, ..., m nie ma dwóch pierwszych względem siebie, musimy pozostawić dziełom obszerniejszym.

438. Gdybyśmy chcieli oznaczyć, jakie wartości należy nadać na te ilości dowolne, które wchodzą do wyrażeń ogólnych na niewiadome, aby wartości wszystkich niewiadomych wypadły dodatnie, również gdybyśmy chcieli z góry oznaczyć liczbę rozwiązań dodatnich danego równania on niewiadomych, wtedy natrafilibyśmy na zadanie bez porównania trudniejsze od rozwiązywanego w poprzednim paragrafie. Bez wątpienia, w wielu przypadkach szczególnych, na to zadanie można dosyć łatwo odpowiedzieć; lecz ogólne zadanie jest trudne i związane z zadaniem o rozkładaniu liczb całkowitych na składniki. W przypadku jednego równania z trzema niewiadomemi:

ax -j- by -|-cz — Æ,

najłatwiejszym sposobem wynalezienia rozwiązań dodatnich zdaje się być taki. Z danego równania mamy:

ax -{- by — Jc — cz.

W tern ostatniem równaniu podstawiajmy za z kolejno: 1, 2, 3, . . i t. d.

i wynajdźmy przy każdem podstawieniu odpowiednie wartości całkowite i dodatnie na x i y. Otrzymamy tym sposobem wszystkie żądane rozwiązania.

Rakoniec zastosowanie równań nieoznaczonych do rozwiązania zadań, odnoszących się do reguły mieszaniny, czytelnik znajdzie dobrze wyłożone w wybornem dziele St. Kram-sztyka: „Arytmetyka handlowa“, str. 224 § 101.

439. Jakkolwiek rozwiązywanie równań nieoznaczonych stopnia drugiego już do nas nie należy, jednakże podamy tutaj kilka najprostszych zadań tego rodzaju, pokazujących, jak w takich przypadkach należy postępować.

Zadanie I-sze. Znaleść takie dwie liczby, których iloczyn, dodany do ich sumy, wynosiłby 79.

Oznaczając przez x i y liczby szukane, mamy podług warunków zadania:

(1 )...xy -j- x -j- y = 79, skąd: 79 -- x ä-fl ’

a następnie: y — — 1 -J-

80

x, czyniące

na

Ta ostatnia równość pokazuje nam, że x powinno być takie, aby x-\-l było jednym z dzielników liczby 80. Wynajdując wszystkie dzielniki tej ostatniej liczby znajdziemy, że one mają takie wartości: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80; więc otrzymamy wszystkie wartości całkowite zadosyć danemu równaniu, przyrównywając x-\- 1 kolejno do każdego z tych dzielników. Tym sposobem otrzymamy następującą tablicę, zawierającą wartości, rozwiązujące równanie (1):

dzielniki . . .

1, 2, 4, 1, 3, y = 79, 39, 19,

x ==• 0,

P¹ ^ P'

O os t-

I—¹ to

o 05 co

co

O Oł r-ł

GO O-

Ponieważ zaś rozwiązania w drugiej połowie powyższych szeregów powtarzają się, przeto mamy właściwie pięć różnych rozwiązań danego zadania:

jedna liczba = 0, 1, 3, 4, 7 = 79, 39, 19, 15, 9/

druga „

440. W podobny do powyższego sposób można wiązać w ogólności równanie:

roz-

z niego otrzymamy najprzód:

y (x —|—■ ć) ⁼⁼ b    cix,

— ax-\-h x + b ¹

a następnie:

skąd, odłączając całkowitą, wypadnie:

y — ci - j-

ab —j— k x-\-b

To ostatnie wyrażenie pokazuje nam, że x -\- b powinno być dzielnikiem liczby ab -(- k. Jeżeli więc rozłożymy liczbę ab -f^na iloczyn dwóch czynników mn} i ostatnie równanie (2) napiszemy w tej postaci:

y = _ a -f-

mn

x-\ b ’

wtedy, czyniąc: x ~\~b — m, skąd: x — m — b, otrzymamy y — — a-\-n, czyli: y = n — a.

Dla każdego zatem sposobu rozłożenia liczby ab -f- k na iloczyn dwóch czynników min znajdziemy dwie wartości na a; i dwie wartości na y. Z tych rozwiązań jedno będzie:

x = m — b, y — n — a; drugie zaś otrzymamy, czyniąc:

x -j- b = n, skąd: x = n — b, y — m — a.

Rozłożenia zaś liczby ab -f- k na dwa czynniki m i n łatwo się znajdują, jeżeli już mamy liczbę tę rozłożoną na czynniki pierwsze.

441. Gdyby przy iloczynie niewiadomych xy znajdował się jakikolwiek współczynnik różny od 1, wtedy należałoby podany wyżej sposób postępowania zmienić. Mianowicie: przypuśćmy, że dane równanie do rozwiązania jest: axy = bx -f- cy -f k,... (1).

Wtedy:

bx —j— k

Pomnóżmy obie strony tego ostatniego równania przez «;

będzie:

ay —

ax — c

skąd, przez odłączenie całkowitej:

ay = b -f

bc -j- ak ax — c

Z wyrażenia, znajdującego się na drugiej stronie tej równości, wyprowadzić możemy wniosek, że ax — c powinno być dzielnikiem liczby bc -f- ak. Jeżeli więc licznik bc -j- ah przedstawimy pod postacią iloczynu dwóch czynników ww, wtedy x należy tak wybrać, aby ax — c było równe jednemu z tychże czynników t. j.

ax — c —

m, lub = n.

czynniku m, wtedy

Jeżeli zatrzymamy uwagę naszą z równości pierwszej wypada, że x powinno nadto czynić dosyć warunkowi:

na

ża

rn -j- c

a więc m -j- c powinno być podzielne przez a, zatem z czynników, na które można rozłożyć liczbę bc -j- ah, te tylko należy wybrać, które po dodaniu do nich c, dadzą liczby po dzielne przez «. Objaśnimy to przykładem:

Niech będzie równanie

hxy = 2.£ -f- 3y + 18 ;

stąd najprzód:

2« -j⁻ 18

y 5.T — 3 ’

a następnie:

10x + 90

96

3“ = 2 +

Należy więc teraz znaleść te dzielniki liczby 96, które

bx —

5x — 3

dodane do 3 dadzą sumy podzielne przez 5. Wynajdując wszystkie dzielniki liczby 96, otrzymamy:

1, ²> ³, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96; z nich tylko trzy, mianowicie: 2, 12, 32 mają powyżej przytoczoną własność; te trzy zatem dzielniki mogą być tutaj użyte. Jeżeli więc:

1.    hx — 3 — 2, wtedy: hy — 50,

skąd: x = 1; y = 10;

2.    hx — 3 = 12; wtedy: hy = 10,

skąd: x — 3; y — 2;

3.    hx — 3 =± 32; wtedy: hy — 5,

skąd: x = 7, y = 1.

Ponieważ-nie jest naszem zadaniem wykładać teoryę równań nieoznaczonych stopnia 2-go, przeto na tych najprostszych przypadkach ograniczamy powyższą wzmiankę.

PRZYKŁADY XL.

b) 17x -j- 23y = 183; d) 123x -j- 567 y — 5028.

1)    Rozwiązać "następujące równania: a) 8x -j- 6hy — 81; c) 13æ-|-19y = 1170;

W tych samych równaniach znaleść wszystkie odpowiedzi dodatnie.

b) 19x — hy = 119.

2)    Rozwiązać równania: a) 9x — 11 y — 8;

3)    Rozwiązać równania:

19

a) y = 13 + ^ (15 —a?); cj 3x — 5y —|— 1 ;

b) 91x — 221 y;

73x -[- 17 _ h8y — 56

21

4) Rozwiązać następujące układy dwóch równań z trzema niewiadomemu nadto znaleść rozwiązanie dodatnie:

(c) a? -}- 2/ —j— 2^ = 17, x -j- 3y --j- 4:2 =28.

5) Rozwiązać następujące równanie z trzema niewiadomemu 3a? 4- by -j- Iz — 67.

6) Liczbę 200 rozłożyć na takie dwie części, że pierw-nich podzielona przez 6 da na resztę 5, a druga podzie-

sza z

łona przez 11 da na resztę 4.

7)    Znaleść ogólne wyrażenie na liczby, które będąc podzielone przez 3, 5, 7 dadzą na odpowiednie reszty 2, 4, 6.

8)    Znaleść ułamek mający tę własność, że jeżeli każdy z jego wyrazów powiększymy o 3, wtedy otrzymamy ułamek

00

(a) x -f- 3y + bz = 44, 3x -f- by -(- 7z = 68;

(b) x -[- 2y -f- 3z — 50, 4:X — by — 6z — — 66;

równy -

9) Ma ktoś kule ołowiane dwojakiego rodzaju; kul pierwszego rodzaju ma 50 sztuk i każda z nich waży 1,* łu-

O

ta, każda kula drugiego rodzaju waży 2^ łuta, i tych kul po-

siada on 25 sztuk. Ileż kul jednego i drugiego rodzaju powinien wziąć, aby ulać 40 kul, z których każda ma ważyć

po 1^- łuta?

10)    Ogrodnik ma mniej niż 1000 drzew do posadzenia. Jeżeli je sadzić będzie rzędami tak, że w każdym rzędzie znajdować się będzie 37 sztuk, wtedy pozostanie mu 8 drzew; jeżeli zaś sadzić je będzie rzędami po 43 w rzędzie, wtedy pozostanie mu 11 drzew. Ileż ma drzew?

11)    180 rubli rozdzielono pomiędzy pewną liczbę mężczyzn, kobiet i dzieci w ten sposób, że każdy mężczyzna dostał 24 rb., każda kobieta 21 rb., i każde dziecko 9 rb. Iluż było mężczyzn, ile kobiet i ile dzieci?

XLT.

Postęp różnicowy.

442.    Szereg liczb tworzy wtedy postęp różnicowy, czyli arytmetyczny, gdy każda z nich jest równa poprzedniej, powiększonej lub zmniejszonej o jednę i tęż samą ilość, zwaną różnicą lub wykładnikiem postępu.

Tak np. następujące szeregi tworzą postępy różnicowe:

2, 5, 8, 11, 14.....

20, 18, 16, 14, 12.....

a, a -j- b, a -j- 26, a -[- 36, a -j- 46.....

Różnicę, czyli wykładnik w postępie znajdujemy, odejmując którykolwiek wyraz od następnego. W pierwszym szeregu wykładnikiem jest 3, w drugim — 2, w trzecim b.

443.    Mech a oznacza wyraz pierwszy postępu różnicowego, b zaś jego wykładnik. Wtedy drugim wyrazem będzie a-j-6, trzecim a -j- 26, czwartym a -f- 36 i tak dalej. Przeto w ogólności n-ty wyraz będzie a -\- (n — 1) b.

444.    Szeregi tego rodzaju spotykaliśmy już przy rozwiązywaniu równań nieoznaczonych.

W rzeczy samej, w §421 widzieliśmy, że jeżeli równaniu: ax -|-by = k

czynią zadosyć wartości x = m, y = n. wtedy wszystkie rozwiązania równania danego wyrażają się za pomocą dwóch następujących szeregów:

x = rn, m -{- 6, m -J- 26, ... . m -\-pbr . . . y = n, n — a, n — 2a, ... . n —plP^. . .

Wartości wiąc na x tworzą postąp różnicowy, którego pierwszym wyrazem jest m, a wykładnikiem b (t. j. 'współczynnik przy y w da nem równaniu); wartości zaś na y stanowią tat że postąp różnicowy, którego pierwszym wyrazem jest n,

a wykładnikiem naniu, wzięty ze znakiem —).

a (it. j. współczynnik przy x w da,nem rów-

445. Mając dany wyraz pierwszy i wykładnik postępu arytmetycznego, znaleść sumę danej liczby wyrazów tegoż postępu.

Niech a oznacza wyraz pierwszy, b wykładnik, n liczbę wyrazów, l wyraz ostatni i s sumę wyrazów. Wtedy:

s =a -f- (a -j- b) -j- (a -f- 2b) -j- . . . . -j- l.

Oczywiście otrzymamy tęż sarnę sumę, pisząc szereg w odwrotnym porządku; będzie:

s = l+(l — b) + (l — 26) + .... 4- a.

Dodając tak znalezione wyrażenia, mieć będziemy:

n wyrazów;

czyli:

skąd:

A że:

2s — (l -j— a) —(l -j- a) —|- . . .

2s =n (l —|— a\

s — G ~f~ a) •

l — a -f- (n — 1) b .    .    . (2),

• • (1).

■ (3).

przeto:

Zastosujemy teraz równania, znalezione w tym rozdziale, do rozwiązania niektórych zadań, dotyczących postępów

Równanie (3) daje wartość na s, wyrażoną za pomocą ilości, które podług zagadnienia były dane. Równanie (1) daje dogodne wyrażenie na S) — z niego otrzymujemy następujące twierdzenie: suma wyrazów postępu arytmetycznego jest lówną iloczynowi z liczby wyrazów przez połowę sumy wyrazów skrajnych.

różnicowych.

446. Znaleść sumę 20 wyrazów postępu:

1, 2, 3, 4. . . .

Tutaj a = 1, 6 — 1, n — 20; przeto:

20

s =    (2 + 19) = 10X21 = 210.

Li

447. Znaleść sumę 20 wyrazów szeregu: 1, 3, 5, 7.. ..

Tutaj a = 1, b — 2, n — 20, zatem:

20

20

5 = — (2 + 19 X 2) = — X 40 = 20² -

448. Toż samo zadanie w ogólności da się tak wyrazić: Znaleść sumę n wyrazów postępu:

1, 3, 5, 7 ... .1,

stanowiącego szereg liczb nieparzystych, zaczynając od 1. Na zasadzie wzoru (2) § 445 mamy:

Z = l + 2(«.—l) = 2w —1,

będzie więc:

czyli:

Tutaj :

s — n².

449. Znaleść sumę 11 wyrazów postępu:

20, 18, 16.....

a = 20, b - — 2, n = 11

przeto:

» = y ² X ¹⁰) = y <⁴⁰ - ²⁰> = ¹¹ g 20 450. Znaleść sumę 8 wyrazów postępu:

¹ J_ i _1_

12 ’ 6" ’ 4" ’ y ' ‘ "

¹ ; 1 “ = 12’ i =

= 110.

Tutaj :

= 8.

przeto:

451. Ile wyrazów postępu:

15, 12, 9.. . .

należy wziąć, aby suma ich była równą 42?

Tutaj

s = 42, a = 15, b = — 3;

42 = “ |30 — 3 (n — l)\—~ (33 - 3rc).

Mamy więc n znaleść z tego równania stopnia drugiego: wiązując je otrzymamy: n — 4, lub n~ 7. Postęp żądany jest 15, 12, 9, 6, 3, 0, — 3, i z niego widzimy, że zarówno otrzymujemy sumę 42 z czterech jego pierwszych wyrazów jak i z siedmiu wyrazów.

452. Pomiędzy dwie liczby, 11 i 23 wstawić pięć liczb średnich arytmetycznych.

Tutaj należy otrzymać postęp arytmetyczny, złożony z siedmiu wyrazów, zaczynający się od 11 a kończący się nń 23. Będzie więc w tym przypadku: a = 11, l — 23, n — l\ równanie przeto (2) § 445 da nam:

przeto:

roz-

23 = 11+66,

6 = 2.

skąd:

Cały postęp będzie przeto: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.

PRZYKŁADY XLI.

Znaleść sumę następujących szeregów:

9 wyrazów.

12 wyrazów.

1. 100, 101, 102

2- 2,a|-. 6-g"

3.

11

nych.

15 wyrazów.

6 ‘ '

4.    Pomiędzy 12 i 20 wstawić 3 średnie arytmetyczne.

5.    Pomiędzy — 1 i 5 wstawić 8 średnich arytmetycz-

2” ’    3

6.    Wyraz pierwszy postępu arytmetycznego jest 5, wyraz piąty zaś 11: znaleść sumę 8 wyrazów.

7.    Suma pięciu liczb, stanowiących postęp arytme-a suma kwadratów tychże liczb jest 55.

tyczny, wynosi 15, Znaleść te liczby.

8.    Jeżeli suma n pierwszych wyrazów postępu arytmetycznego jest zawsze n² (jakiekolwiek byłoby n), znaleść wyraz pierwszy i wykładnik.

9.    Wyraz stojący na miejscu p w postępie różnicowym równa się r, wyraz stojący na miejscu q w tymże samym postępie jest równy u, liczba zaś wszystkich wyrazów jest n. Znaleść wykładnik, wyraz pierwszy, wyraz ostatni i sumę wyrazów tegoż postępu.

10.    Mam tyle orzechów, że z nich mogę ułożyć trójkąt równoboczny pełny. Dostałem następnie jeszcze tyle orzechów, ile już miałem, i z nowej tej ilości orzechów ułożyłem kwadrat pełny, którego bok zawierał tyle orzechów, ile ich zawierał bok trójkąta. Po takiem ułożeniu wszystkich orze1 chów, okazało się, że pozostało mi jeszcze 20 orzechów. Ileż miałem orzechów z początku?

11.    Pewna osoba rozpoczyna grę na takich warunkach, że w razie wygrania partyi, odbiera z banku 14 razy wziętą stawkę. Na pierwszą partyę stawia 1 rb., którego przegrywa, na drugą 2 rb., które także przegrywa, na trzecią 3rb., które również przegrywa, i t. d., na każdą następną partyę powiększa stawkę o jednego rubla. Po pewnej liczbie partyi wy-gry wa w końcu, i to tyle, że to co wygrała wynosiło ściśle taką sumę, jaką we wszystkich partyach do banku wniosła. Ileż partyi grała?

XLII.

Postęp ilorazowy czyli geometryczny.

453. Szereg liczb, z których każda równa się poprzedniej, pomnożonej przez pewien czynnik stały, nazywa się postępem ilorazowym czyli geometrycznym. Ten czynnik stały nazywa się wykładnikiem postępu.

Podług tego określenia następujące szeregi liczb są postępami geometrycznymi:

1, 3, 9, 27, 81.....

1,

tOi t-A

oo t—*•

rH

’ 4 ’ "    ’ 16.....

u, ar, ar², ar³, ar⁴.....

Wykładnik w postępie można znaleść przez podzielenie któregokolwiek wyrazu przez bezpośrednio poprzedzający go. W pierwszym przykładzie wykładnikiem jest 3, w drugim

, w trzecim r.

454.    Niech a oznacza wyraz pierwszy postępu geometrycznego, a r wykładnik; wtedy drugim wyrazem będzie ar, — trzecim ar² — czwartym ar³ i tak dalej; w-tym wyrazem będzie arn ~¹. ’

455.    Znaleść sumę danej liczby wyrazów postępu ilorazowego, gdy są wiadome wyraz pierwszy i ivyMadnilc postępu.

Niech a oznacza wyraz pierwszy, r wykładnik, n liczbę wyrazów, a s sumę wyrazów. Wtedy:

s — a —j— ar -j— ar² -{- ar³ -}-•••• +    »

skąd:

-j- ar”⁻¹ -(- arn.

sr = ar -f- ar² -j- ar3 Przez odjęcie pierwszej równości od drugiej otrzymamy:

skąd:

sr — s — arn — a, a (rn — 1) r — 1

(1).

s =

Jeżeli l oznacza wyraz ostatni, wtedy mieć będziemy.

I — arn~l . ■ ■ rl — a r — 1

Równanie (1) daje wartość na s, wyrażoną za pomocą tych ilości, które podług wysłowienia zadania są wiadome. Rów-

(2),

i:

. . . . (3).

nanie (3) daje tęż sarnę wartość, wyrażoną w dogodniejszej postaci do rachunku w niektórych przypadkach.

Zastosujemy teraz te równania do rozwiązania niektórych zadań, odnoszących się do postępów ilorazowych.

456. Znaleść sumę 6 wyrazów szeregu; 1, 8, 9, 27 ... . Tutaj a = 1, r — 3, n — 6, przeto:

— = 364.

_ 3⁶ — 1_ 729 —

S “ 3^1 ~ 3 — 1

3, 9, —27...

457.    Znaleść sumę 6 wyrazów szeregu 1,

Tutaj; a — 1, r — — 3, n = 6; przeto:

_ (_ 3)6 _ i 729 —1 -3 — 1

458.    Znaleść sumę 8 wyrazów szeregu 4, 2, 1, ^ .... Tutaj: a = 4, r =

= — 182.

1-1 103

, n — 8; przeto:

255

to l-A

64

CM T—1

255

‘32 *

459. Znaleść sumę 7 wyrazów szeregu: 8, —4, 2, —1

Tutaj a = 8, r = — i, n= 7; przeto: — 1

[b r.

tOi M-

128

129

16

■>1 CO

4-

460. Wstawić trzy liczby średnie geometryczne pomiędzy 2 i 32.

Tutaj należy nam znaleść postęp ilorazowy, zawierający pięć wyrazów, zaczynający się od 2, a kończący się na 32. W zadaniu tern więc: a = 2, l — 32, n — 5; na zasadzie równania (2) § 455:

32 = 2r*, r⁴ = 16 = 2⁴, r — 2.

czyli:

skąd:

Żądany szereg jest więc: 2, 4, 8, 16, 32.

Wartość na s, znalezioną w § 455, możemy napi-

401.

sać tak:

a ( 1 —■ rn)

s = —:j---•

1 — r

Przypuśćmy, że r jest mniejsze od jedności. Wtedy im większe będzie n, tern mniejsze będzie rn: i, biorąc n dostatecznie wielkie, możemy uczynić rn tak małem, jak tylko chcemy ¹). Opuszczając rn, otrzymamy:

1 — r

Wypadek, otrzymany wyżej, możemy wyrazić w ten sposób: W postępie geometrycznym, w którym wykładnik jest liczebnie

5 Przypuśćmy, że chcemy uczynić r* < A. Oznaczmy y =7,

1 1

a zatem powinno być — <: A, czyli </n > y. Zauważmy, że:

j- = 1 H- q H- (f -+- • • . . -4- qn — ¹ > »,

<ln — 1

<1 —

gdyż każdy z tych n wyrazów, z wyjątkiem pierwszego, jest 1. Stąd, wypada:

<jn — 1 > n (7 — 1), ąn > 1 + » (7 — 1).

czyli:

Wystarcza więc uczynić:

1 -+- n (7 — 1) >

a rozwiązując tę nierówność względem u:

1— A

czyli, podstawiając zamiast 7 jego wartość y :

r (1 —

.l(l-r) •

mniejszy od jedności, możemy wziąć zawsze dostateczną liczbą wyrazów tak, że suma ich bądzie sią różnić tak mało, jak tylko

chcemy od •

462, Naprzykład: weźmy szereg: 1,

tO h-±

... Tu-

1    Cl

taj a = 1, r — — przeto -—-- = 2. Biorąc dostateczną liczbę wyrazów tego szeregu, możemy sumę ich uczynić tak mało różniącą się od 2, jak tylko chcemy. I w rzeczy samej:

jeżeli weźmiemy cztery wyrazy, otrzymamy na sumę 2 —

4’

jeżeli weźmiemy ■piąć wyrazów, wtedy suma ich będzie: 2 —

jeżeli sześć wyrazów, wtedy suma będzie 2 — ^ i tak dalej.

Wypadek powyższy wyraża się niekiedy dla krótkości w następujący sposób: suma nieskończonej liczby wyrazów te-yo szeregu jest 2, lub jeszcze krócej suma wyrazów do nieskończoności jest 2.

463. Ułamki peryodyczne przedstawiają nam przykład tego, co nazywamy postępem geometrycznym nieskończonym. Tak np. 0,3242424 .... oznacza toż samo, co:

3    24    24    24

10 ' 10³    105 i

3

Tutaj wyrazy po ^ tworzą postęp geometryczny, którego

a wykładnikiem —jy₂-.

10⁷

Stąd

pierwszym wyrazem jest: możemy powiedzieć, że suma nieskończonej liczby wyrazów

10³

1. \ ₊ . . 24 qt)> toJest:

24 /

tego szeregu jest: —1

3    24

tość całego ułamka peryodycznego będzie -j

990'

Przeto war-

W praktyce możemy najprościej znaleść wartość ułamka peryodycznego w ten sposób:

5 = 0,32424 .....

105 := 3,2424

10005 = 324,2424 .....

stąd, przez odjęcie drugiej równości od trzeciej, będzie:

Niech: wtedy:

(1000 — 10) 5 = 324 — 3 = 321,

CO i O)

i następnie:

Każde inne zadanie może być rozwiązane w podobny sposób.

5 =:

PRZYKŁADY XLII.

Zsumować następujące postępy:

do 6 wyrazów.

.... do 12 wyrazów.

... do nieskończoności.

1. 1, 4, 16

2. 1, F2, 2, 21/2

3. 1, —

tH

2 ²

’ 3

Znaleść wartości następujących ułamków peryodycz-

5.    0,151515......

6.    0,28131313 .....

Wstawić 4 średnie geometryczne pomiędzy 5-^- i

O

4.    6, —

nych:

7.

do nieskończoności.

40 4-

8. Suma trzech wyrazów postępu geometrycznego jest 21; suma kwadratów tychże wyrazów jest 189; znaleść te wyrazy.

9. W postępie ilorazowym wyraz pierwszy a = ^

O

wyraz ostatni l — 1024, liczba wyrazów n — 14; znaleść sumę wyrazów s i wykładnik r.

Algebra

29

10.    Znaleść sumę x° -}- x⁸ y -f^⁷ y² +

+ xy⁸

11.    Opowiadają, że grę w szachy wynalazł Sessa Ebu Daher, dla zabawy pewnego króla w Indyach, nazwiskiem Shehran. Ten ostatni, chcąc wynagrodzić odpowiednio wynalazcę za grę, która mu się bardzo podobała, pozostawił jemu samemu wybór nagrody. Wynalazca za całą nagrodę prosił tyle pszenicy, ile wypadnie, jeżelibyśmy położyli na pierw-szem polu szachownicy 1 ziarno, na drugiem 2 ziarna, na trzeciem 4 ziarna, i tak dalej aż do ostatniego 64 pola, zawsze na każde następne pole kładąc dwa razy więcej ziarn pszenicy, aniżeli ich było na poprzedniem. Królowi wydała się to zbyt mała nagroda. Okazało się jednak po obliczeniu, że taka nagroda o wiele przechodziła możność króla. Jakaż była ilość żądanej pszenicy?

XLIIL

O Logarytmach.

4(>4. Zastanawiając się nad działaniami algebraiczne-mi, przychodzimy do przekonania, że każde z tych dzjałań prowadzi także do działania odwrotnego. Następujące rozważanie bliżej tę rzecz objaśni:

Wystawuny sobie 3 liczby a, h i c, które są z sobą w pewnym związku. Rozbierzmy też takie pytanie: Jakiemi działaniami, wykonanemi na dwóch z tych liczb, możemy otrzymać liczbę trzecią? Najprostszem z tych działań jest dodawanie; otóż może się najprzód przytrafić, że liczba np. c powstaje z dodania dwóch pozostałych liczb a i ć, tak że będzie:

a -f- b = c.

Gdybyśmy teraz, w przypuszczeniu, że c jest sumą dwóch liczb a i b, chcieli znaleść z wiadomej tej sumy c i jednego ze składników, np. b, drugi składnik a, wńedy przyszli-

byśmy do działania odwrotnego dodawaniu, t. j. odejmowania. Mielibyśmy mianowicie:

b.

a =- c

do pojęcia

nas

I ponieważ a -f- b = b -j- a, przeto toż samo działanie * (odejmowanie), które nas prowadzi do znalezienia a z wiadomych c i b, doprowadzi nas i do znalezienia b z wiadomych c i a. Innemi słowy: dodawanie ma tylko jedno działanie odwrotne: odejmowanie. Przypadek, w którym b byłoby większe od c w równości: a = c — b, doprowadzi liczb ujemnych.

Następnym sposobem połączenia dwóch z liczb a, b i c, w celu otrzymania trzeciej, jest mnożenie. Mianowicie: liczba np. c może powstać przez pomnożenie dwóch liczb a i b, t. j.:

•    ab = c.

Gdybyśmy odwrotnie z wiadomego iloczynu ci jednego z mnożników, np. b, chcieli znaleść mnożnik drugi a, wtedy doszlibyśmy do działania odwrotnego mnożeniu, mianowicie

dzielenia; byłoby wówczas a —

I tutaj, ponieważ porządek czynników nie zmienia wielkości iloczynu, t. j. ponieważ ab — ba, przeto toż samo działanie (dzielenie) służyłoby i do znalezienia czynnika b z wiadomego iloczynu c i drugiego czynnika a. Mnożenie ma więc także tylko jedno odwrotne działanie, mianowicie dzielenie. Rozważanie tego przypadku, w którym b nie mieści się całkowicie w c, prowadzi nas do pojęcia liczb ułamkowych.

Nakoniec, jedna z tych liczb, np. c, może być wypadkiem podnoszenia do potęg; mianowicie: liczba c może być równą jednej z pozostałych liczb, np. a, podniesionej do potęgi, której wykładnikiem jest druga liczba b. Tym sposobem: ah = c. W tej równości a jest pierwiastkiem, c potęgą, b zaś wykładnikiem tej potęgi.

Gdybyśmy teraz odwrotnie, z wiadomej potęgi c chcieli znaleść liczbę a lub b, wtedy natrafilibyśmy na dwa zupełnie różne działania, z tego mianowicie powodu, że ah nie jest wcale równe ba. Jeżeli z wiadomej potęgi c i wykładnika b chcemy znaleść pierwiastek a, wtedy przychodzimy do jednego działania odwrotnego względem podnoszenia do potęg, mianowicie: wyciąganie pierwiastku. Rozwiązanie różnych przypadków w tern działaniu prowadzi nas do rozróżnienia ilości rzeczywistych i urojonych; wymiernych i niewymiernych.

Lecz jeżeli chcemy w inny sposób odwrócić zadanie o podnoszeniu do potęg i zadajemy sobie pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść jednę z liczb danych a, aby otrzymać drugą liczbę daną c, wtedy natrafiamy na zupełnie innego rodzaju działanie od poprzedniego, działanie, które oddzielnego nazwiska nie otrzymało. Aby odpowiedzieć na to pytanie, przychodzimy do rozważania równań, w których niewiadoma jest wykładnikiem. Oznaczając! tę niewiadomą, jak zwykle, głoską x, wypadnie nam w tym razie rozwiązać równanie:

ax — c.

Podnoszenie więc do potęg ma dwa działania odwrotne: jedno z nich jest wyciąganiem pierwiastków; drugie, nie mające oddzielnego nazwiska, prowadzi nas do równań wykładniczych, i jak to zaraz zobaczymy, do logarytmów.

465. Jakkolwiek nie będziemy tu wykładać sposobu rozwiązania równań wykładniczych, z tern wszystkiem pokażemy najprzód główne własności wyrażenia wchodzącego do takich równań i nazwanego w matematyce wyrażeniem ivy-Madnięzem. Wyrażenie to jest takiej postaci: ax, gdzie a oznacza jakąkolwiek liczbę stałą, różną od zera i jejności, a x może przybierać wszelkie wartości: całkowite, ułamkowe lub niewymierne, dodatnie lub ujemne.

Wystawmy sobie, że podstawiamy kolejno w wyrażenie ax zamiast x wszelkie liczby, zaczynając od — co aż do -f-co,

przechodząc przez wszystkie stopnie wielkości. Wtedj*- otrzymamy taki szereg wartości:

Przy:    x == — oo..... — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4, .... -j-co . . . . (1)

będzie: ax — ——

a°° .... (2)

aoo    av a ? ai a2\ ß4 ••••

na

a oznacza

Jakkolwiek a w ogólnem wyrażeniu może mieć znaczenie dodatnie lub ujemne, to wszakże dla celu, jaki mamy widoku, potrzebny jest tylko ten przypadek, gdy liczbę dodatnią, zresztą jakąkolwiek, i ten też tylko przypadek rozpatrywać będziemy.

W szeregu (2) wyraz 1, odpowiadający znaczeniu x=0, jest niezależny od tej wartości szczególnej, jaką może mieć a; lecz pozostałe części tegoż szeregu w zupełności zależą od wartości a. I pod tym względem należy rozróżnić dwa przypadki: gdy a > 1 lub gdy a < 1.

1-sze. Gdy a > 1. Szereg (2) przedstawia wtedy szereg liczb rosnących od lewej strony w prawą; nie trudno się przekonać, że liczby te, w miarę tego, jak x powiększa się nieograniczenie, wzrastają także nieograniczenie, tak że przy x = oo i ax ma wartość nieskończenie wielką. W rzeczy samej: jeżeli a > 1, wtedy możemy przyjąć że a = 1 + Jc, gdzie h oznacza pewną ilość dodatnią.

Ponieważ: (1 -j- Je)² = 1 -J- 2& -f- k², przeto: (1 -f h)² > > 1 —f— 2k, gdyż suma 1 -j- 2Jc jest widocznie mniejszą od 1 -j- 2k -j- k². Lecz mnożąc obie strony tej nierówności przez ilość dodatnią 1 -J- otrzymamy: (1 -J- Tc)³ > (1 —(-27r)(l -\-Tc). A że:. (1 -|- 2Tc) (1 -f- Tc) = 1 —j— 3Tc-\~ 2P, przeto iloczyn (1—{—2Tc) (1 -f- Tc) > 1 -}- 3Æ; więc tembardziej:

(1 + Tc)³ > 1 + 3Tc.

Powtarzając toż samo rozumowanie, znajdziemy, że: (1 -j— ^)⁴ 1 4Tc\ i wogóle przez nietrudną indukcye otrzymamy ostatecznie nierówność napisaną wyżej:

(3).

(1 -{- Tc)x > 1 -j- kx

Ta nierówność pokazuje nam, że jakkolwiek k byłoby małe, możemy zawsze znaleść na x ilość 'dostatecznie wielką taką, że (1 -j- k)x będzie większe od każdej ilości, jaką zechcemy pomyśleć ¹). Tak np. gdyby k = 0,001 i gdybyśmy chcieli znaleść, przy jakich wartościach na x wyrażenie (1 -f- 0,001)* będzie większe np. od 1000, wtedy należałoby tylko rozwiązać nierówność:

1 -f 0,001a: > 1000,

z którejby wypadło: x > 999000, co pokazuje, że przy x > 999000 ilość (1 -j- 0,001)* > 1000, a tembardziej przy większych wartościach na x. I toż samo odnosi się do każdej innej wartości na h.

Możemy zatem z tego wyprowadzić wniosek, że jeżeli a > 1, wtedy wyrazy szeregu (2), zaczynając od wyrazu środkowego 1, będą powiększać się nieograniczenie, tak, że wartości x — oo , odpowiadać będzie wartość ax = oo . Przeciwnie zaś, zaczynając od tegoż samego wyrazu 1 w lewą stronę, wyrazy będą maleć tak, że jeżeli x zbliża się do — oo.

wtedy a~x =r=; zbliża się nieograniczenie do zera.

W uważanym zatem przypadku a większego od 1, wartości x = 0 odpowiada ax — 1, wartości x — co odpowiada ax — co, i wartości x — — oo odpowiada ax — 0.

2-re. Gdy a < 1, wówczas wyrazy szeregu (2), zaczynając od wyrazu średniego 1 w prawą stronę, będą się ciągle zmniejszać, i to nieograniczenie, tak, że dla x — oo , odpowiednia wartość: ax = 0. W rzeczy samej: gdy a < 1, wtedy

— będzie > 1. Możemy więc uczynić:= 1 -j- k, gdzie k

1

i następnie ax = -^-r    .

oznacza pewną ilość dodatnią. Stąd będzie: a —

A że, jak to widzieliśmy w poprzednim ustępie niniejszego paragrafu (1 -f- k)x, zaczynając od x dostatecznie wielkiego, rośnie nieograniczenie, tak że staje się większe od

wszelkiej ilości, mogącej się pomyśleć, więc ——^^

- , czyli o*,

staje się mniejszem od wszelkiej ilości mogącej się pomyśleć, czyli dąży nieograniczenie do 0 i przy x — oo staje się zerem. Odwrotnie, zaczynając od wyrazu 1 w lewą stronę, wyrazy szeregu (2), rosną i to nieograniczenie, tak że przy

Gdyż -i- = 1 + It i t. d.

x — — co , ax = cxj .

466. W następstwie przyjmiemy, że a > 1 jest zarazem całkowite; ten jeden bowiem przypadek ma dla nas znaczenie praktyczne. Czyniąc to przypuszczenie, zobaczymy teraz, jakim sposobem możnaby odpowiedzieć na pytanie: czemu się równa wykładnik tej potęgi, do której należy podnieść daną liczbę a, aby otrzymać inną daną liczbę c; innemi słowami, jak wynaleść x z równania;

ax — c.......(1).

Przypuszczamy tu nadto, że i c jest całkowite.

za-

roz-

W celu rozwiązania tego równania podstawiajmy miast x kolejno wszystkie liczby całkowite, zaczynając od 0. Może się przytrafić, że dojdziemy do takiej liczby całkowitej, która zadosyć uczyni równa,niu (1); wtedy zadanie będzie wiązane. Lecz zazwyczaj takiej liczby całkowitej nie znajdziemy, zawsze jednak dojdziemy do takiej liczby w, że pod-

stawiając ją zamiast

równanie (1), będzie: am < c,

podstawiając zaś zamiast x następną liczbę całkowitą m-j-1, otrzymamy wypadek większy od c, czyli:

am+1 > c.

x będzie za-

na

Wtedy oczywiście prawdziwa wartość wartą pomiędzy m i rn + 1, czyli równać się będzie m więcej pewna ilość mniejsza od 1. Możemy więc uczynić:

a“ ’

oznaczając zaś dla krótkości ilość -- głoską 0, będzie:

ax' =d]

nakoniec podnosząc obie strony do potęgi xn otrzymamy:

(3)'

~ a........

Czyniąc tu kolejno: xL = 0, 1, 2, 3... i t. d. przyjdziemy znowuż do takich dwóch po sobie następujących liczb mt i m₁ —J— 1, że: dm' < a,

a:

()“> +¹ > a.

Wartość więc X₁ będzie zawartą pomiędzy liczbami m i mx -f-1; możemy zatem uczynić:

(4)

czyli:

a . a = c,

skąd:

m -f

X =: m

æi

(2)

Podstawiając tę wartość za x w równaniu (1), otrzymamy:

= C,

x₁ = ml -j------- ,

Podstawiając dalej tę wartość na x₁ w równanie (3), mieć będziemy:

= a,

czyli:

()m< . dx* = a.

skąd:

A x2 ₌ a

Orn₁ ‘

Czyniąc dla krótkości ~

dm'

tego równania do potęgi x₂, otrzymamy:

— fi i podnosząc obie strony

fx° = à........(5)

Z tego równania przez kolejne podstawianie zamiast ;r2 lcz całkowitych 0, 1, 2, ... . znajdziemy w dalszym ciągu dwie liczby po sobie następujące m₂ i m₂ + 1 takie, że bedzie: fm* < d; f™* +1 > d.

Wtedy możemy uczynić: x₂ = m₂-\~ —

to prowadzić będziemy dotąd, dopóki albo się ono nie skończy, albo też dopóki nie dojdziemy do żądanego stopnia przybliżenia. Podstawiając teraz wartość na xL w równanie (2>, następnie wartość na x₂ i t. d., wyrazimy ostatecznie wartość na x w postaci ułamka ciągłego:

, 1

x — m -4--

m

i t. d., działanie

“f“¹-

m2Jr•••

x, odpowiadająca równaniu (1), będzie wymierną, wtedy ułamek ten wypadnie skończony; w przeciwnym razie będzie on nieskończonym, lecz czenia coraz to większej liczby ogniw możemy tak daleko zbliżyć się do istotnej wartości na x, jak tylko chcemy.

467. Po objaśnieniach, danych w poprzednich paragrafach, możemy przystąpić do określenia logarytmu i wyłożenia głównych jego własności. Widzieliśmy, że można

Jeżeli wartość na

z ozna-

zaw-

sze znaleść wmrtośćna x taką, która zadosyć uczyni równaniu:

a* = N.

gdzie a oznacza pewną stałą ilość dodatnią, a W jakąkolwiek liczbę.

W tem równaniu a nazywa się zasadą, Nliczbą a x jej loganjtmem. To jest:

Logarytmem liczby Nprzy zasadzie a nazywamy wykładnik x tej potęgi, do której należy podnieść zasadę, aby otrzymać liczbę daną.

Podług tego określenia wartość logarytmu pewnej liczby zależy od zasady; zbiór logarytmów wszystkich liczb, obliczonych przy. pewnej zasadzie, nazywa się układem logarytmów przy tejże zasadzie.

Dla oznaczenia logarytmu przyjmiemy takie znakowanie:

x = Loga N,

które czyta się tak: x równa się logąrytmowi liczby Nprzy zasadzie a.

U spodu trzech liter początkowych wyrazu Logarytm pisać będziemy, jako wskazówkę, ilość oznaczającą zasadę. W przypadkach, w których niema żadnej wątpliwości co jest zasadą, oznaczenie zasady w wyrażeniu Loga N jest zbyteczne i zazwyczaj opuszcza się. Wtedy powyższe wyrażenie pisać będziemy tak: Log N, czytając Logarytm N.

468. Z powyższego określenia logarytmu i z uwagi na szeregi (1) i (2) § 465 wypada bezpośrednio:

1.    Że logarytm 1 jest przy każdej zasadzie równy 0.

2.    Że logarytm zasady jest zawsze równy 1.

3.    Że przy zasadzie większej od jedności logarytmy liczb większych od jedności są dodatnie, logarytmy zaś liczb mniejszych od jedności są ujemne.

4.    Że w tym przypadku, gdy a > 1, logarytm nieskończoności jest liczbą nieskończenie wielką dodatnią, logarytm zaś zera jest liczbą nieskończenie wielką ujemną.

5.    Że przy zasadzie mniejszej od jedności, logarytmy liczb większych od jedności są ujemne, logarytmy zaś liczb mniejszych od jedności są dodatnie.

W dalszym ciągu wykładu rozważać będziemy wyłącznie ten przypadek, w którym a > 1. Używając więc oznaczeń, wskazanych w poprzednim paragrafie, możemy włas- * ności dopiero co wymienione wyrazić tak:

6. Naköniec, że w tym samym przypadku, gdy a < 1, logarytm nieskończoności jest liczbą nieskończenie wielką ujemną, a logarytm zera jest liczbą nieskończenie wielką dodatnią.

1)    Loga 1 = 0,

2)    Loga a = 1,

3) - Loga oo = oo, 4) Loga O = — oo.

469. Główne własności logarytmów są następujące: 1-sza. Logarytm iloczynu równa się sumie logarytmów

czynników.

x, ,r₁, x₂.... są oznaczone rych a jest zasadą:

W rzeczy samej: niech będzie danych ilekolwiek liczb: N, Nv N₂ oznaczmy dla krótkości głoską a? logarytm liczby N przy pewnej zasadzie u, podobnie — Loga A^j, Podług określenia logarytmu wartości następującemi równaniami, w któ-

ax = N

aXi = iVj

ax* = A⁷2

Pomnóżmy odpowiedniemi stronami te wszystkie rów

nania; będzie:

ax . ax' . a³'"- . . . . = A . Nx . AT₂ • • .

= N. A" . óć₂. . .

ax -f x, + x₂ +

Ta ostatnia równość pokazuje nam, że zasadę a potrze-ba podnieść do potęgi * + *, + ą + -, aby otrzymać ilo-N .    . N₂ ... ; z określenia więc logarytmu wypada, ze:

czyli:

czyn

Logg, {N. JV-, . Ar₂....) -— x -j- Xy —|- x₂ —j— . . . , czyli (1) Loga (N. Ä\ .N₂...) = Loga N-j- Loga JSj -j- Loga N₂ -{- ...,

a równość ta wyraża nam własność, której chcieliśmy dowieść.

2-ga. Logarytm ilorazu jest równy różnicy pomiędzy lo-garytmem dzielnej i logarytmem dzielnika.

Niech będą dane dwie liczby N i Nu które należy podzielić w ten sposób, że N jest dzielną, a Nx dzielnikiem. Dowiedziemy, że:

Log a lw) = Log„ N - Log„ N,

1*

(2)

W tym celu oznaczmy dla krótkości głoską x logarytm liczby N przy pewnej zasadzie «, głoską zaś xx logarytm liczby Nx przy tejże samej zasadzie. Wtedy x i xt wypadną z równań: (§ 467)

ax = N- ax' = Nv

Podzielmy obie strony pierwszego z tych równań przez odpowiednie strony równania drugiego; otrzymamy:

ax — xt —-

■

Podług

Ta ostatnia rowność pokazuje, że należy a (zasadę) podnieść do potęgi x — xn aby otrzymać iloraz określenia więc logarytmu, x — xx jest logarytmem liczby przy zasadzie a, czyli:

xi 5

a że: x — Loga N; x₁ = Loga Nl , przeto ostatecznie:

JST — Loga Nx.

L°9a    = Loga

3-cia. Logarytm potęgi jest równy iloczynowi logarytmu liczby podnoszonej do potęgi przez wykładnik potęgi.

To jest: jeżeli przez a oznaczymy pewną zasadę logaryt-mów, wtedy:

Loga {Np) = p . Loga N... (3)

W rzeczy samej: oznaczmy dla krótkości głoską x, lo-garytm liczby N przy zasadzie a; wtedy x wypadnie z równania:

ax = N.

będzie:

Podnieśmy obie strony tego równania do potęgi p\

{ax)p Np, czyli: (§ 239)

apx _

Ta ostatnia równość pokazuje nam, że jeżeli zasadę a podniesiemy do potęgi px, wtedy otrzymamy liczbę Np. Więc px jest logarytmem liczby Np przy zasadzie a, czyli:

Log a {Np) =px, albo: Log a {^p) —p Log a N

4-ta. Logarytm pierwiastku, jest równy ilorazowi, p>o-wstałemu z podzielenia logarytmu liczby, z której wyciągamy pierwiastek, przez wykładnik pierwiastku.

— • Loga N. q

To jest: Loga {V N)

LogaN

W rzeczy samej: jeżeli przez x oznaczymy logarytm liczby N przy pewnej zasadzie a, wtedy toż x będzie określone równaniem:

ax = N.

Wyciągnijmy pierwiastek potęgi q z obu stron tego równania; otrzymamy:

V ax = VN, czyli: (§ 260).

X

a¹ = ŸN.

Ta ostatnia równość pokazuje, że liczby V N przy zasadzie to jest:

jest logarytmem

Loga\ŸN} = £ LogĄP 17) = ^ '

lub nakoniec:

Loga N . . . (4).

470. Własności logarytmów, pokazane w paragrafie poprzednim, są wielkiej wagi, i one to są przyczyną, dla której dzisiaj każdy rachunek, cokolwiek dłuższy, wykonywa się za pomocą logarytmów. Łatwo to zrozumiemy, jeżeli wystawimy sobie, że przy pewnej danej zasadzie mamy już obliczone logarytmy wszystkich liczb i ułożone w tablice w ten sposób, że jedna kolumna zawiera same liczby, druga zaś .odpowiednie im logarytmy. Gdybyśmy chcieli znaleść iloczyn ilukolwiek czynników, wtedy moglibyśmy iloczyn ten wyna-leść tak: odszukalibyśmy najprzód w tablicy logarytmy wszystkich czynników oddzielnie, następnie dodalibyśmy logarytmy: na zasadzie własności pierwszej § 469 suma tychże logarytmów byłaby równą logarytmowi iloczynu. Odszukawszy następnie w tablicy liczbę, odpowiednią temu ostatniemu logarytmowi, mielibyśmy żądany iloczyn. Tym sposobem mnożenie zostałoby sprowadzone do działania tego samego rodzaju, ale prostszego, mianowicie do dodawania. Podobnież na zasadzie drugiej własności, zamiast dzielić dwie liczby dla znalezienia ich ilorazu, moglibyśmy odszukać w tablicy loga-rytmowej najprzód logarytm dzielnej, potem logarytm dzielnika, następnie odjąć od pierwszego logarytm drugi, i otrzymalibyśmy logarytm ilorazu. Liczba, wzięta z tablicy, odpowiadająca temu ostatniemu logarytmowi, byłaby szukanym ilorazem. W podobny sposób podnoszenie do potęgi moglibyśmy sprowadzić do mnożenia logarytmu przez wykładnik potęgi; wyciąganie zaś pierwiastku do dzielenia logarytmu

liczby, z której chcemy wyciągnąć pierwiastek, przez wykładnik pierwiastku.

Uważając więc dodawanie, mnożenie i podnoszenie do potęg za działania jednego rodzaju, odejmowanie zaś, dzielenie i wyciąganie pierwiastków za działania drugiego rodzaju, możemy powiedzieć, że za pomocą logarytmów działanie każdego rodzaju zostaje sprowadzone do działania tegoż samego rodzaju, ale prostszego.

Z tego widzimy, jak wielką uwagę dla ułatwienia i skrócenia rachunków arytmetycznych mają tablice logarytmowe, zawierające 1 ogarytmy wszystkich liczb przy obranej z góry zasadzie. '

471. Logarytm każdej liczby, jak to wypada bezpośrednio z samego określenia, zależy od zasady. Otóż może się przytrafić potrzeba przejścia z jednego układu logarytmów do drugiego, to jest wypada rozwiązać zadanie: jakim sposobem, mając już obliczone logarytmy wszystkich liczb przy jednej zasadzie, znaleść logarytmy tych liczb przy innej zasadzie. Do rozwiązania tego pytania przyjdziemy przez następne rozumowanie:

Przypuśćmy, że już mamy obliczone logarytmy liczb przy zasadzie u; logarytm więc pewnej liczby N jest nam wiadomy. Chcemy zaś znaleść logarytm tejże samej liczby N przy innej zasadzie ó; czyli mamy: LogaN, szukamy zaś: LoqbN. Uczyńmy dla krótkości y = LogbN; wtedy y należy oznaczyć z równania:

bv = N.

Biorąc logarytmy obu stron tego równania przy zasadzie u, otrzymamy:

V Logab = LognN,

skąd:

LoJ„b L°S°N’

albo:

LogiN =

(!)•

Log.b Lo%N Ta równość pokazuje nam, że aby otrzymać logarytm liczby N przy nowej zasadzie b, należy tylko logarytm tejże samej liczby przy zasadzie dawnej a pomnożyć przez czynnik stały dla całego nowego układu logarytmów i równy ułamkowi, ktorego licznikiem jest jedność, a mianownikiem logarytm zasady nowej (b), wzięty przy zasadzie dawnej (a). Ten uła-

me!

Logab

przez który należy pomnożyć logarytmy wszystkich liczb przy zasadzie a, aby otrzymać logarytmy tychże li» -zb przy zasadzie b, nazywa się modułem.

Dwa są główne układy logarytmów, używane w rachunkach. Jeden, którego zasada oznacza się przez e, nazywa się układem naturalnym; drugi którego zasada jest 15, nazywa się układem zwyczajnym. Pierwszy nazywają jeszcze układem logarytmów Nepera (od nazwiska pierwszego wynalazcy logarytmów, który wyłożył swoje pomysły w dziele ogło-szonem w roku 1614 pod tytułem: Mirifici Logarithmorum canonis descriptio); drugi zaś układem logarytmów Briggsa (od nazwiska profesora w Oxfordzie, który odpowiednie tablice logarytmów ogłosił pierwszy w r. 1624 pod tytułem: Arith-metica logarithmica).

Zasada logarytmów naturalnych, która, jak to powiedzieliśmy wyżej, oznacza się we wszystkich rachunkach przez e, jest liczbą niewymierną i wyrażoną szeregiem nieskończonym:

Obliczając wartość przybliżoną tej ilości znajdziemy, że: e = 2,718281828.... Jest to więc ilość, której logarytm naturalny jest równy 1. Jakkolwiek zasada ta jest niewy-

mierną, to wszakże logarytmy liczb łatwiej przy niej obliczają się, aniżeli przy innej zasadzie. Jakim sposobem to być może, i za pomocą jakiego rozważania przychodzimy do takiej zasady logarytmów, wykładać tn nie będziemy, przechodzi to bowiem zamiar, jaki założyliśmy sobie w tym rozdziale. Wspomnimy tylko, że w teoretycznych rachunkach prawie wyłącznie natrafiamy

logarytmy naturalne.

na

Podług przyjętego wyżej sposobu pisania logarytmów, należałoby logarytm naturalny jakiejkolwiek liczby Wpisać tak: Loge W. Lecz w tym razie opuszczać będziemy wskazówkę e, a za to pierwszą literę L pisać będziemy małą. Wyraźnie więc: log W należy rozumieć tak: logarytm naturalny W.

Drugim głównym układem logarytmów, jest ten układ, w którym za zasadę przyjęto 10. Jego to wyłącznie używamy w rachunkach praktycznych, gdyż posiada on pewne szczególne własności, które zaraz poznamy i które pochodzą z tego, że w nim zasadą jest taż sama liczba, jaka służy za podstawę zwykłego sposobu liczenia, to jest 10. Tablice logarytmowe, zwykle używane, zawierają właśnie takie logarytmy, i z tego powodu nazywają jeszcze logarytmy zwyczajne: logarytmami tablicowymi.

Przy oznaczaniu ich wypadałoby używać takiego sposobu znakowania: Logxo W; lecz i tutaj wskazówkę 10 opuszcza się i pisze się wprost: Log N. W dwóch więc tych układach logarytmów: naturalnym i zwyczajnym, zasada przy pisaniu opuszcza się; w innych przypadkach należy ją zawsze pisać.

Widzieliśmy na początku tego paragrafu, jakim sposobem przejść od jednego układu logarytmów do drugiego. Stosując równanie (1) do przejścia od logarytmów naturalnych do logarytmów zwyczajnych, mamy:

Log K —

log 10

log iV,

czyli logarytm zwyczajny jakiejkolwiek liczby jest równy jej logarytmowi naturalnemu, pomnożonemu przez ułamek, którego licznikiem jest 1, a mianownikiem logarytm naturalny 10. Ponieważ znaleziono za pomocą rachunków,' których tu przytaczać nie możemy, że log 10 = 2,302 585 092..., przeto

tog 10 ⁼ 0>434 294 481.... Tę ostatnią ilość oznacza się zwykle głoską M, i ją to specyalnie nazywamy modułem logaryt-mów. Jest więc:

(2)

gdzie:

Log N ■= M log N M = 0,434 ....

To ostatnie równanie (2) daje nam możność znalezienia logarytmu zwyczajnego, skoro logarytm naturalny pewnej liczby jest już wiadomy.

Odwrotnie, gdybyśmy chcieli z logarytmu zwyczajnego odnaleść logarytm naturalny liczby, wtedy z równania (2) otrzymalibyśmy:

A że: M =

stąd:

hgN= t LogN.

przeto: 1 = log 10 — 2,302... M

log 10

log N — 2,302 . . . Log N

(3).

472. Wychodząc z równania: 10* — N, otrzymujemy a logarytmy całkowitych potęg 10 takie wartości:

Log 1 = 0; Log 10 — 1; Log 100 = 2; Log 1000 = 3; . . . i w ogóle: Log 10m = m.

Również, ponieważ:

10-¹ =

i—*■

¹ — 01- 10 —² —

= 0,01; 10-³ =

= 0,001; i w ogóle: 10 ~m =

10m

przeto:

L°g 0,1 =— 1; Log 0,01 = — 2; Log 0,001 = — 3 . . . i t. d., w ogóle: Log ~jÿm

= — m.

wszyst-

To są jedyne logarytmy wymierne; logarytmy kicli liczb pozostałych są niewymierne.

zaraz

473. Logarytmy niewymierne mogą być wyrażone tylko w przybliżeniu. Przybliżona wartość każdego logaryt-mu wyraża się w ułamku dziesiętnym; im większej liczby cyfr dziesiętnych, dokładnie oznaczonych, użyje się do wyra-zenia jej, tym stopień przybliżenia będzie większy. Oznaczone tak wartości przybliżone logarytmów liczb całkowitych układają się następnie w tablice, których sposób użycia poznamy.

zn

man-

Każdy logarytm składa się z dwóch części: całkowitej, aJdującej się przed przecinkiem, i cyfr dziesiętnych. Część całkowita logarytmu nazywa się jego cechą, część dziesiętna zaś: manty są. Tak np., gdy czytamy, że Log 5137=3,7107096, to w nim 3 jest cechą, pozostała zaś część ułamkowa jest mantysą. W tablicach zazwyczaj są pomieszczone tylko tysy; cechy są opuszczone, gdyż z samego wejrzenia na daną liczbę łatwo ich się domyśleć. W rzeczy samej nie trudno pokazać, że cecha logarytmu zawiera zawsze w sobie tyle jedności, üe jest cyfr w części całlcowitej danej liczby, mniej jedna. Odyż skoro: Log 1=0, Log 10=1, przeto logarytmy wszystkich liczb większych od 1, a mniejszych od 10, czyli jednocyfrowych w swojej części całkowitej, będą większe od 0, a mniejsze od 1. Wyrażać się więc będą tak: 0 i część dziesiętna. Cechą ich zatem będzie 0. Podobnie: ponieważ Log 10 = 1, Log 100 = 2, przeto logarytmy wszystkich liczb większych od 10, a mniejszych od 100, wyrażać się będą tak:

1 z ułamkiem dziesiętnym, czyli cechą ich będzie 1 i t. d. Wogóle, jeżeli jakakolwiek liczba N zawiera rn cyfr w swojej części całkowitej, wtedy liczba ta jest większą od 10m~¹, a mniejszą od 10™. Logarytm jej przeto będzie większy od

¹

Toż samo wynika z przypiska na str. 447.

2

Log (10m_1), czyli od m — 1, a mniejszy od Log (10“), czyli od m. Jego część całkowita zatem, czyli cecha, będzie m — 1.

Np. Log 3, Log 8 ---, Log 3, 4928 mieć będą za cechę 0.

O

Log 39; Log 39,4; Log 84,56 mieć będą za cechę 1.

Log 729; Log 729,6; Log 999,35 mieć będą za cechę 2. Log 4973; Log 4973,86 i t. p., mieć będą za cechę 3 i t. d.

474. Mając już dany logarytm zwyczajny jakiejkolwiek liczby, nietrudno znaleśó logarytm liczb dziesięć, sto, tysiąc i w ogólności 10“ razy większej lub mniejszej od liczby danej.

W rzeczy samej: przypuśćmy, że oznaczamy głoską N jakąkolwiek liczbę, i że logarytm tej liczb}’, Log N, jest znany. Chcemy zaś znaleść: po 1-sze Log (lOJV), Log (1007V), Log (lOOON)... i w ogólności Log (10“M); lub po 2-gie,

LoĄ\o) ’ L°⁹ (ido) ’ Loff {ms) ’1 w ogó,e: Log (i3 ■

Co do 1-ego. Ponieważ logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników, przeto będzie:

Log (10 N) =z-Log M-j- Log 10 = Log N -f- 1 Log (100 N) — Log N -J- Log 100 = Log —j— 2 Log (1000 N) = Log N-[- Log 1000 = Log N3 i t. d.

Log (10mN) = Log N -(- Log (10m) = Log N -(- m.

Z powyższych równości czytamy, że aby otrzymać Log (10iV), należy do Log N dodać 1; czyli wprost cechę logaryt-mu iVpowiększyć o jedność; podobnie aby znaleść Log (100iV), należy do cechy Log JSl dodać 2 i t. d., w ogólności, aby znaleść Log (10m . N) należy do cechy Log N dodać m.

Co do 2-go. Ponieważ logarytm ilorazu jest równy różnicy pomiędy logarytmem dzielnej i logarytmem dzielnika, przeto:

Loq l 10

= Log N — Log 10 = Log X — 1

Log

N-

100

— Log N — Log 100 = Log N — 2,

Log

= Log N — Log 1000 = Log N — 3,

1000,

i w ogóle:

/ N \

Log [    = Log N — Log 10m = Log N —

lN\

Stąd czytamy, że aby znaleśó Log i— j, należy od cecliy

logarytmu liczby N odjąć 1; aby znaleść Log | ^qq j > należy od cechy logarytmu liczby N odjąć 2, i t. d., wogóle aby leść Log    ? należy od cechy logarytmu liczby N od

jąć m. AVięc: logarytmy liczb, różniących się tylko liczbą zer na końcu, lub położeniem przecinka, mają jednakowe manty-sy, a różnią się tylko cechami.

Te własności, opierające się na tem, że za zasadę loga-rytmów służy taż sama liczba, która jest zarazem podstawą systemu liczenia, dają możność znalezienia logarytmów wielu liczb z wiadomego logarytmu jednej tylko liczby przez prostą odmianę cechy. Tak np. z tablic znajdujemy, że:

Log 2587 = 3,4127964.

Na zasadzie pierwszej z dwóch powyższych własności

m.

zna-

będzie:

Log 25870 = 4,4127964; Log 258700 = 5,4127964 i t. d.; na zasadzie zaś drugiej własności:

Log 258,7 = 2,4127964; Log 25,87 = 1,4127964;

Log 2,587 = 0,4127964.

475. Ponieważ ułamek jest ilorazem, przeto dla znalezienia logarytmu ułamka odejmujemy logarytm mianownika

od logarytmu licznika. Oznaczywszy jakikolwiek ułamek

przez

będzie:

L°g (~r) = L°gp — Lov l

Jeżeli ułamek będzie niewłaściwy, t. j. jeżelip>#, wtedy i Log p > Log q, powyższe wyrażenie da nam wartość dodatnią na Log . Lecz gdy ułamek jest właściwy, wówczas p < (/, Logp < Ljog q, i z wyrażenia: Log p — Log q

otrzymamy wartość ujemną na Log

. Że logarytmy

ułamków właściwych (przy zasadzie większej od jedności) są ujemne, wypada to zresztą z tego, co było powiedziane w § 468.

Logarytmy ułamków dziesiętnych wynajdują się w podobny spęsóbjak logarytmy ułamków zwyczajnych, t. j. przez odjęcie logarytmu mianownika od logarytmu licznika.

Lecz z powodu wielkiej wagi w rachunkach praktycznych i częstego zastosowania, pomówimy tu osobno o różnych sposobach wyrażenia logarytmów ułamków dziesiętnych. Weźmy jako przykład ułamek: 0,2587. Ułamek ten mo-

Podług

żerny napisać z mianownikiem wyraźnym tak:

2587 10Ö0Ö'

zasady, służącej do znalezienia logarytmu ułamka, będzie:

Log 0,2587 = Log 2587 — Log 10000 = 3,4127964 — 4; czyli, wykonywając odejmowanie na drugiej stronie:

Log 0,2587 = — 0,5872036.

Podobnie znaleźlibyśmy:

Log 0,02587 = Log 2587 — Log 100000 = — 1,5872036;

' Log 0,002587 = — 2,5872036; i t. d.

I tutaj widziiùy, jak przy liczbach większych od jedności, że logarytmy tych ułamków dziesiętnych, które się różnią

tylko położeniem przecinka, mają jednakowe mantysy; różne cechy stanowią całą różnicę pomiędzy tymi logarytmami. A nawet przypatrując się sposobowi otrzymywania tycli lo-garytmów możemy ustanowić takie prawidło: Logarytm ujemny ułamka dziesiętnego ma za cechę tyle jedności, ile jest w tym ułamku zer pó przecinku przed pierwszą cyfrą znaczącą; za mantysę zaś cyfry, otrzymane przez odjęcie wszystkich cyfr manty sy logarytmu licznika od 9, z wyjątkiem ostatniej cyfry z prawej strony różnej od zera, otrzymanej przez odjęcie od 10 tejże cyfry manty sy logarytmu licznika.

Gdy więc:

to:

Log 2 = 0,3010300;

Log 0,2 = — 0,6989700;

Log 0,02 = — 1,6989700;

Log 0,002 = — 2,6989700;

Log 0,0002 = — 3,6989700; i t. d.

Lecz logarytmy ułamków rzadko używają się w tej postaci; zazwyczaj nadajemy im inną, daleko dogodniejszą do rachunku, i wskutek tego prawie wyłącznie używaną. Weź-

sam Log 0,2587. Jest on, jak

my jeszcze raz pod uwagę tenże wiemy, równy 3,412 7964 — 4. Możemy tę różnicę tak przed

stawić:

Log 0,2587 = 3 +. 0,412 7964 — 4,

Log 0,2587 = —- 1 -j- 0,412 ^964.

Tutaj logarytm ten został przedstawiony jako dwóch wyrazów, jednego ujemnego, drugiego dodatniego; mianowicie część całkowita jest ujemną, część zaś ułamkowa dodatnią. Zgodzono się pisać razem obie te części, odznaczając część ujemną znakiem mniej, napisanym u goi y w ten sposób:

czyli:

suma

Log 0,2587 = 1,412 7964.

Pisząc w< ten sposób logarytm ułamka dziesiętnego, mó-cechę ujemną, a mantysę dodatnią.

wimy, że ma on

i t. d.

Podobnie postępując znaleźlibyśmy;

Log 0,02587 = 3 -f 0,4127964 — 5 = 2,4127964, Log 0,002587 = 3 + 0,4127964 — 6 = 3,4127964,

Ten sposób pisania logarytmu ułamka dziesiętnego jest przeważnie używany; i my go w dalszym ciągu wyłącznie używać będziemy. "Widzimy z powyższych przykładów, że w logarytmie ułamka dziesiętnego, mającym cechę ujemną, a mantysę dodatnią, cecha ujemna zawiera tyle jedności, ile jest zer przed pierwszą cyfrą znaczącą w ułamku, włączając w to i zero na całkowitą; manty sa zaś jest równa mantysie licznika. Możemy się przekonać za pomocą następującego rozumowania, że to prawidło jest ogólne: Przypuśćmy, że mamy pewien ułamek dziesiętny właściwy p, przed pierwszą cyfrą znaczącą którego znajduje się k zer, włączając w to i zero na całkowitą. Pomiędzy przecinkiem więc i pierwszą cyfrą znaczącą jest k -r- 1 zer. Przypuśćmy dalej, że mantysa logarytmu tej liczby całkowitej, jaką otrzymamy, opuszczając w danym ułamku przecinek, jest m. Na zasadzie własności, dowiedzionej w § 474, gdziekolwiekbyśmy umieścili przecinek w tej liczbie, zawsze mantysa logarytmu otrzymanej liczby pozostanie taż sama t. j. m. Posuńmy przecinek w danym ułamku w prawą stronę tak, aby pierwsza cyfra znacząca stała się całkowitą; przez takie przesunięcie przecinka powiększyliśmy ułamek 10* razy; nowa liczba będzie więc równą 10k.p>, mantysą w jej logarytmie będzie m, cechą zaś będzie 0, gdyż jedna tylko cyfra będzie w całkowitej (§ 473). Zatem:

Log (10*. p) = 0, m , czyli Log (10*) -J- Log p = 0, m, i dalej: k Log 10 -j- Log p — 0, m , skąd Log p = 0,m — k, czyli: podług użytego sposobu pisania:

Log p> = k, m .

Tym sposobem, mając tablice, zawierające logarytmy wszystkich liczb całkowitych, możemy odrazu bez żadnego rachunku napisać logarytm każdego ułamka dziesiętnego, z cechą ujemną i mantysą dodatnią.

Gdybyśmy mieli dany logarytm całkowicie ujemny ułamka dziesiętnego i chcieli go przekształcić na logarytm z cechą ujemną, a mantysą dodatnią, wtedy należałoby tak postępować: Weźmy jako przykład logarytm poprzednio „ znaleziony:

Log 0,02587 = — 1,5872036.

Logarytm ten możemy napisać w ten sposób:

Log 0,02587 = — 1 — 0,5872036 .

Wartość tego logarytmu oczywiście nie zmieni się, gdy do niego dodamy 1 i odejmiemy 1 ; będzie wtedy:

Log 0,02587 = -1-1 + 1 — 0,5872036. Wykonajmy dodawanie w dwóch pierwszych wyrazach, a odejmowanie w dwóch drugich; otrzymamy

Log 0,02587 = — 2 -f 0,4127964 , czyli: Log 0,02587 == 12,4127964,

to jest to, co znaleźliśmy inną drogą. Gdyby znowuż zaszła potrzeba zamiany logarytmu z cechą ujemną a mantysą dodatnią na logarytm całkowicie ujemny, wtedy otrzymalibyśmy żądany wypadek przez wykonanie tego odejmowania, które właściwie jest wskazane w logarytmie, napisanym pod tą

postacią.

Tak np. przypuśćmy, że:

Log 0,002587 = 3,4127964

potrzeba przerobić na logarytm całkowicie ujemny. Zwróćmy tylko uwagę na to, że:

Log 0,002587 = — 3 + 0,4127964 = 0,4127964 - 3 ; wykonajmy wskazane odejmowanie; otrzymamy:

Log 0,002587 = — 2,5872036 ,

jak poprzednio.

Jest jeszcze jeden sposób wyrażania logarytmów ułamków dziesiętnych, dosyć często używany w pewnych rachunkach, za pomocą tak zwanego dopełnienia do 10. Przykład najlepiej objaśni na czem przekształcenie takie polega. Weźmy 1 ogarytm liczby już tyle razy uważanej:

Log 0,002587 — 374127964 ;

oczywiście pozostanie on bez zmiany, jeżeli do niego dodamy 10 i odejmiemy 10. Czyniąc to otrzymamy:

Log 0,002587 = -3-f0 4127964 + 10 — 10 , czyli: Log 0,002587 = 10 - 3 -f 0,4127964 — 10 , albo jeszcze: Log 0,002587 = 7 -j- 0,4127964 — 10 , i nakoniec: Log 0,002587 = 7,4127964 - 10 .

W praktyce ustalił się zwyczaj opuszczania — 10 , i pisania samego dopełnienia logarytmu; t. j. powyższy logarytm pisze się tak:

Log 0,002587 = 7,4127964 .

Oczywiście zawsze należy w takim logarytmie, napisanym pod postacią całkiem dodatnią, domyśleć się odjemni-ka — 10.

W podobny sposób otrzymalibyśmy:

Log 0,2587 = 9,4127964 — 10 Log 0,02587 = 8,4127964 — 10 Log 0,0002587 = 6,4127964 — 10.

Chcąc z logarytmów tak wyrażonych przejść do logarytmów z cechą ujemną i mantysą dodatnią, należy tylko odjąć 10 od odpowiedniej cechy, nie zmieniając mantysy, i różnicę ujemną napisać na miejscu cechy.

’ Nakoniec: chcąc -z logarytmu całkowicie ujemnego przejść do dopełnienia, należy tylko do niego dodać 10 i odjąć 10.

Grdyby w wyjątkowych wypadkach cecha ujemna była większą od 10, wtedy bierze się dopełnienie do 20, lub do 30, lub w ogóle do takiej wielokrotnej 10, która będzie bezpośrednio większą od cechy danego logarytmu.

476. Zadanie. „Obliczyć logarytmy liczb całkowitych od 0 do 10 z mantysą dwucyfrową.

Wyprowadzenie najdogodniejszych wzorów, służących do obliczania logarytmów, przechodzi zakres tej książki; musimy więc posiłkować się znanym nam już z § 466 rozwinięciem logarytmu na ułamek ciągły. Obliczymy w ten sposób Log 5, Log 7 i Log 9; mając je, łatwo już będzie znaleść logarytmy liczb pozostałych.

Niech będzie:

x — Log 5, czyli 10* = 5.

Ponieważ:

czyli:

więc:

10° < 5 < 10¹, 10° < 10* < 10\

0 < £c'< 1;

czyniąc zaś x = —, dostaniemy: x₂

a ponieważ:

= 5, czyli bx- — 10; 5¹ < 10 < 5²,

1 < a?₂< 2,

= 1+ — x₃

więc:

skąd znajdzienny, podsta-

czyli można przyjąć x2 wiając tę wartość na x₂ w poprzednie równanie.

b+Xi = 10, czyli 5.5*³ =10,

skąd:

2*3 = 5.

a podnosząc obie strony tej równości do potęgi x₃, otrzymamy:

Podobnie jak poprzednio, znajdziemy:

2² < 5 < 2³

uczynimy więc x₃ = 2 -}- —, skąd:

5 \x*

— 2.

Podnosząc ułamek

2².2*¹ = 5, czyli ( 4 5

— kolejno do potęg drugiej, trze-

ciej i czwartej, znajdziemy:

I 5 \³    125

64 ’

ot

625

256

widzimy więc, że:

•>

I j <²<

dlatego też uczynimy x₄ = 3 -f- —; podstawiając zaś tę war-

xh

tośó w poprzednie równanie, znajdziemy:

10 Ir*

*s

= 2,

skąd wypadnie:

125

Z tego, cośmy dotąd znaleźli, otrzymamy następujący ułamek ciągły:

* ' 1+1

2+1

3+1

którego przybliżenia kelejne będą (§ 404):

0 i 2    7 _ 7a:₅ + 2

o:

T ’ 1 ⁵ 3 ’ 10 ’ 10av+

, popeł-

Biorąc zamiast x czwarte przybliżenie, t. j. — nimy błąd mniejszy od

— 0,01 (§ 410), a zatem dokładność żądana będzie osiągnięta; moglibyśmy się jednak przekonać, postępując podobnie jak poprzednio, że x₅ > 3 (ściślej. 9 <C x₅ < 10), a zatem mianownik piątego przybliżenia'

10x₅ -f 3 > 30,

skąd wnosimy, że błąd powyższy jest mniejszy także od

; wiadomość ta będzie nam

później potrzebna. Rozwińmy w podobny sposób x == Log 9. W równa-

10.30 ~ 300

niu 10* = 9 przyjmujemy x =

,skąd:

9*= = 10.

a zatem x2 równanie, znajdziemy:

; podstawiając tę wartość w powyższe

10\*3

U) = 9;

podnosząc zaś ułamek ^ do coraz wyższych potęg, znajdziemy,

; fi§v<(r

skąd a?₃ = 20 -j . Otrzymamy więc ułamek ciągły:

xi

X 1-fl

20+1

xA

Przybliżenia kolejne tego ułamka będą:

1 20 ; x ; 2i’

ł-¹ o

a ponieważ kwadrat mianownika trzeciego przybliżenia jest 441 > 100, więc żądaną dokładność osiągniemy, biorąc

Log 9 = %

to: to

W podobny sposób jeszcze znajdziemy:

L0(J ⁷=î+ï

5+1

2+1

co daje następujące przybliżenia:

1    5    1

’ 1 ’ 6 ’ Ï

r—I' CO

ponieważ (13j² > 100, więc czwarte przybliżenie jest wystarczające.

Mając już logarytmy tych trzech liczb, z łatwością znajdziemy pozostałe.

Ponieważ 2 = 10 : 5, więc Log 2 = Log 10 — Log 5—1 3

a uwzględniając możliwy błąd:

10    300 < Log ² < 10 + 300'

a ponieważ 4 = 2² i 8 = 2³, więc Log 4-2 Log 2 i Log 8 = 3 Log 2, skąd, mnożąc powyższą nierówność przez 2 i 3:

2 r „ 6+2

10    300 < j0(J < ÏÔ+ 300’

10    300 < Log 8 < 10

— Log 5=1 —

10“'

co

co o

n’

a zatem Log 4 =-

co no

Log 8 —

cg

10’

z błęd em m n i ej szym od

r-t O

Dalej: ponieważ 3² — 9, więc Log 3

IC

Log 9 —

O tH

= i wreszcie Log 6 = Log 2 -f Log 3 = ~ -j- 10 Nie trudno się przekonać, że i tutaj granice dopuszczal-

21

163 210'

nych błędów są zachowane. Znaleźliśmy więc, dołączając znane logarytmy liczb 0, 1 i 10:

lii ¹

Log 0 = — oo, Log 1

L°g ⁴⁼j(j5 Lo9 ⁵ =

9

Log ⁸⁼⁼l(j’ L°g ⁹ ^ 21

r—i

20

163

210

Log 7 -

, Ijog 10 = 1.

tH : CO

Zamieniając wreszcie powyższe wyrażenia na ułamki dziesiętne, otrzymamy następującą tabliczkę, w której cyfry, stojące na drugim miejscu po przecinku, nie mogą się różnić od prawdziwych więcej niż o 1.

Log N ± 0,01

— oo 0,00 0,30 0,48 0,60 0.70 0,78 0,85

0,90 0,95    ’

1,00

477. Tablice logarytmowe zawierają logarytmy tylko liczb całkowitych; widzieliśmy bowiem poprzednio, że do odszukania logarytmów liczb całkowitych sprowadza się wynalezienie logarytmów i liczb ułamkowych.

z samego wejrzenia

Ponieważ nadto cechy są zawsze łatwe do napisania na daną liczbę, przeto cechy zazwyczaj

w tablicach logarytmowych opuszczają się. Tablica więc logarytmów zawiera z jednej strony liczby całkowite, z drugiej zaś strony mantysy logarytmów tychże liczb.

Jedne tablice od drugich różnią się najprzód liczbą tych liczb całkowitych, których logarytmy sa zamieszczone; po-wtóre stopniem przybliżenia, czyli liczbą cyfr dziesiętnych, do których mantysy są dokładnie obrachowane. Pod tym względem rozróżniają tablice małe i wielkie. W małych tablicach znajdują się logarytmy, obliczone do 4, 5-ciu lub 6-ciu cyfr dziesiętnych, wszystkich liczb całkowitych od 1 do 20000 najwyżej. W wielkich tablicach mantysy są obliczone przynajmniej do 7-miu cyfr dziesiętnych dokładnych, i w nich zawarte są logarytmy przynajmniej pierwszych 100000 liczb. Do szkolnego użytku zupełnie wystarczają tablice małe; przypuszczamy, że w rękach czytelnika znajdują się tablice logarytmów pięciocyfrowych Schlömilcha (Fünfstellige logarith-mische Tafeln, Braunschweig, Vieweg) lub takież tablice Lalande a, wydane przez Dupuis, lub wyborne tablice Hoüel’a, (Tables des logarithmes à cinq décimales. Paris, Mallet Bachelier) i t. p. Ze względu na duży i wyraźny druk, nie męczący oczu, oddajemy pierwszeństwo tablicom Schlömilcha, i o nich ciągle mówić tu będziemy, jakkolwiek w wielu częściach tablic lepszy układ mają tablice Lalande’a — Dupuis, i Hoüel’a.

Pierwsza część tablic Schlömilcha zawiera logarytmy wszystkich liczb od 1 do 10909; zawartość innych części albo objaśnia się samym tytułem, albo też do naszego przedmiotu nie należy. Pierwsza strona pierwszej części jest podzielona na 4-ry główne kolumny, z których każda cieńszą linijką jest ' jeszcze podzielona na dwie kolumny; nad jedną znajduje się litera N (numerus, liczba), nad drugą litera L (logarithmus). Pierwsza z tych dwóch kolumn zawiera liczby od 1 do 100, druga mieści w sobie w tych samych wierszach logarytmy tychże liczb. Tak np. obok liczby 79 widzimy 1,89763; to

znaczy że: Log 79 = 1,89763. Ostatnia cyfra jest podkreśloną z tego powodu: wiemy, że logarytmy wszystkich liczb, z małymi wyjątkami są niewymierne; mantysy ich zatem są tylko przybliżone. Istotna wartość logarytmu 79 nie jest taką, jak napisano wyżej, ale cyfry za piątą idą do nieskończoności, i te ostatnie cyfry, zaczynając od szóstej, są opuszczone. Otóż jeżeli pierwsza z opuszczonych cyfr, czyli szósta, wynosi mniej niż 5, wtedy one po prostu się opuszczają; jeżeli zaś wynosi ona 5 lub więcej, wtedy przy opuszczaniu ich ostatnia cyfra zatrzymana powiększa się o jedność, a na znak, że ten właśnie przypadek miał miejsce, ostatnia cyfra zachowaną podkreśla się. W powyższym przykładzie więc było: Log 79 = = 1,89762....; lecz pierwsza z następujących po 2 cyfr była albo 5, albo 6... albo 9; ponieważ ona została opuszczoną wraz z następującemi, przeto dla zmniejszenia błędu napisano 3 zamiast 2. I rzeczywiście, w większych tablicach możemy znaleść, że w tym logarytmie cyfra następująca po 2 jest 7. ^

Taż sama uwaga odnosi się do wszystkich podkreślali w całej tablicy.

ona

mów liczb.

(partes proportionales, części proporcyonalne); znaczenie jej i użytek zaraz poznamy.

W tym wierszu, gdzie jest litera £, znajdują się jeszcze cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Każda z tych cyfr jest ostatnią cyfrą liczby, której trzy pierwsze znajdują się w kolumnie pierwszej z nagłówkiem Przykłady najlepiej objaśnią, jak wyszukiwać logarytm którejkolwiek z liczb, znajdujących się w tablicach.

Przyhład: Znaleść Log 276.

Każda z następnych stronnic jest podzielona na 4-ry kolumny. Nad pierwszą jest litera N (numerus); zawiera kolejne liczby od 100 do 1090. Na początku drugiej jest litera L (logarithmus), która się odnosi i do trzeciej kolumny. Obie te kolumny zawierają mantysy pięciocyfrowe logaryt-Nakoniec nad czwartą kolumną są litery P. P.

Algebra

Wiemy najprzód, że cecha tego logarytmu jest 2, gdyż liczba zawiera trzy cyfry. Co się tycze mantysy, to odszukujemy w kolumnie pierwszej tej liczby 276; obok niej w drugiej kolumnie pod cyfrą 0 znajdujemy: 44091. Jest to manty sa logarytmu tejże liczby. Będzie więc: Log 276=2,44091.

Gdybyśmy chcieli znaleść Log 2760, wtedy logarytm szukany różniłby się od znalezionego wyżej tylko cechą, i mielibyśmy:

Log 2760 = 3,44091.

Z tego logarytmu jeszcze byłoby:

Log 27,6 = 1,44091; Log 2,76 = 0,44091

Log 0,276 = 1,44091; Log 0,0276 = 2,44091 i t. d.

Przykład. Znaleść L/og 2765.

Tej liczby niema w kolumnie, nad którą znajduje się głoska W; ale znajdujemy w niej najprzód liczbę 276. W kolumnie zaś trzeciej, w szeregu nad którym znajduje się cyfra 5 (ostatnia danej liczby 2765) i w tym wierszu, gdzie jest w pierwszej kolumnie 276, znajdujemy trzy cyfry 170; są to trzy ostatnie cyfry mantysy logarytmu 2765. Dwie pierwsze cyfry 44 znajdują się w kolumnie bezpośrednio leżącej pod literą L. Te dwie pierwsze cyfry dla tego zostały opuszczone, że powtarzają się one w znacznej liczbie logarytmów liczb po sobie następujących; dla oszczędzenia więc miejsca w tablicach drukują się tylko przy pierwszej z tych liczb; w następnych zaś opuszczają się. Tym sposobem dwie cyfry 44 odnoszą się do mantys wszystkich logarytmów, zawartych w następnych wierszach, aż do miejsca, od którego dwie pierwsze cyfry mantysy będą 45, jak w tej części tablicy, którą mamy przed oczyma, do liczby 282. Logarytm szukany będzie więc:

Log 2765 = 3,44170.

Należy tu jeszcze wspomnieć, że te same dwie pierwsze cyfry 44 odnoszą się także do tych trzech ostatnich cyfr

w wierszu poprzednim, przed któremi znajdują się gwiazdki: 012, 028, 044, 059 i 075.

za-

Dalsze przykłady wprost wypisujemy bez.objaśnień, lecając wszakże czytelnikowi wyszukanie wszystkich tych logarytmów:

Log 2758 = 3,44059; Log 2819 = 3,45010;

Log 2823 = 3,45071; Log 2868 = 3,45758;

Log 354,7 = 2,54986; Log 35,47 = 1,54986;

Log 0,3547 = 1,54986; Log 0,003547 =~3,54986;

Log 8318 = 3,92002; Log 83,18 = 1,92002;

Log 0,8318 = 1,92002.

rozsze-

478. Użycie tablic logarytmowych byłoby bardzo ograniczone, gdybyśmy mogli logarytmy tych tylko liczb otrzymywać, które się bezpośrednio w tychże tablicach znajdują. Zobaczymy jednak, że każdą tablicę można niejako rzyć i otrzymać z niej logarytmy liczb, nie znajdujących się w niej bezpośrednio, i to z takim stopniem przybliżenia, z jakim cała tablica jest obliczona, pod warunkiem wszakże, że te liczby nie przechodzą po za pewną granicę. Pokażemy teraz właśnie, jakim sposobem można dojść do takiego wtrącenia do tablicy nowych liczb.

W tym celu musimy najprzód zastanowić się nad pew-nemi własnościami, jakie mają różnice pomiędzy logarytma-mi dwóch po sobie następujących liczb w tablicy. Zauważmy najprzód, że na zasadzie drugiej własności głównej logarytmów różnica pomiędzy dwoma logarytmami może być zawsze przedstawioną jako logarytm ilorazu. Weźmy trzy liczby całkowite następujące po sobie w postępie arytmetycznym, którego wykładnikiem jest r:

IV, W+r, W-f-2r;

nie trudno się przekonać, że:

• • • (i) •

N -j- r ^ N -J- 2r

Należy tylko sprowadzić te dwa ułamki do jednakowego mianownika, i będzie z ułamka znajdującego się na pierwszej stronie nierówności (1):

(N + r)² _ iV² -f- 2Nr -f r2 N(N-f r) ~    N(N+r) ⁵

z ułamka zaś znajdującego się na stronie drugiej:

N(N-f 2r) _ N44- 2Nr N (Nr) N(N-\-r)

Ponieważ zaś widocznie:

N²4- 2Nr + r²

N (N -f r)

N² + 2 Nr N (N 4- r) ’

przeto i nierówność (1) jest tym sposobem dowiedzioną.

Jeżeli teraz weźmiemy logarytmy obu stron nierówności (1), otrzymamy:

Log (Ar4~ r) — Log N > Log (N 4 2r) — Log (N 4- r). . . (2)

Pierwsza strona tej nierówności pokazuje, o ile powiększa się logarytm pewnej liczby iV, jeżeli tę liczbę powiększymy o pewną ilość r; druga zaś strona podobnie pokazuje przyrost, jakiego doznaje logarytm liczby N-j- r, gdy ją zno-wuż powiększymy o toż samo r. Własność różnic pomiędzy logarytmami, zawartą w nierówności (2), możemy tak wyrazić:

Jeżeli liczby powiększają się o równe ilości, wtedy tym równym przyrostom liczb, odpowiadają przyrosty logarytmóio ciągle zmniejszające się ¹).

Gdybyśmy uczynili w powyższych nierównościach r= 1, wtedy liczby N, N4~ 1, iVr4~ 2 tworzyłyby szereg liczb naturalnych, to jest takich, jakich logarytmy są pomieszczone

*) Poleca się wykreślić linię krzywą y — Loy x i sprawdzić tę własność na rysunku.

w tablicach logarytmowych. Różnice: Log (A-j- 1) — Log N, Log {N-(-2)—jLog (Ar-|-1), byłyby różnicami pomiędzy logarytmami po sobie następującymi w tablicach (i dlatego często nazywane różnicami tablicowemi)\ własność wyrażona przez nierówność (2), zastosowana do różnic tablicowych, pokazuje że:

Log (N 1) — Log A > Log {N ~f 2) — Log (Ar-|- 1), to jest, że różnice tablicowe po sobie następujące tworzyć muszą szereg malejący. Łatwo to sprawdzić: tworząc czy to za pomocą tablicy Schlömilcha, czy też jakiejkolwiek innej, różnice logarytmów kolejnych, znajdziemy, że im bardziej posuwać się będziemy w tablicy do coraz to większych liczb, tern odpowiednie różnice będą mniejsze. I jeżeli w pewnych częściach tablic znajdziemy, że różnica następna jest równą, lub nawet niekiedy większą od różnicy poprzedniej, to pochodzi to tylko z tego, że każdy logarytm w tablicy jest oznaczony w przybliżeniu, do 5-u cyfr dziesiętnych, z opuszczeniem cyfr dalszych.

doprowadzi do wprowadze-

479. Przechodzimy teraz do drugiej własności różnic pomiędzy logarytmami, która nas nia do tablicy liczb jakichkolwiek. Własność ta polega na tern, że jakkolwiek różnice pomiędzy logarytmami stają się coraz mniejsze, to wszakże w miarę powiększania się liczb, różnice te różnią się od siebie coraz mniej; czyli ciągle dążą do tego, aby stać się równemi.

Aby pokazać tę własność różnic pomiędzy logarytmami, weźmy pod uwagę oddzielnie wyrażenia, stanowiące dwie strony nierówności (2) § 478, mianowicie: Log (N-\-r)— Log N i Log (A -[- 2r) — Log (A-j- r). Pierwszą z tych ilości oznaczmy głoską d, drugą zaś głoską d₁. Będzie więc:

d₁

d = Log (A -f r) — Log N= Log    ) ,

= Log (N -f- 2r) — Log (A-j- r) — Jjog |

A -f 2r \ .¥ -f- r ) ‘

^    _I y _2\7 |

Jeżeli zaś ułamki: —Y— i --—"■ sprowadzimy do

jednakowego mianownika, jak to uczyniliśmy w poprzednim paragrafie, otrzymamy:

d = Log

dl — Log

Y ( N —j— r) j ’ Y² -f 2Yr 1

a^y+ttJ • ■

• • (1)

• • (2)

Odejmijmy teraz od równości (1) równość (2); będzie:

Y² + 2 At A⁷(Y -4- r)

d —    = Log

Y²-j-2Yr-f r2 -V (Y 4- V)

a że różnica logarytmów jest równa logarytmowi ilorazu, przeto:

d —d₁ — Log

Y² fi- 2Nr -f- r²

Y²-f"2ŸF~~.

czyli:

d] Lo^\¹ + Y² + 2Yr] •

• (3)

Ponieważ w ułamku

licznik jest stały, a mia-

r2

Y²--j-2AV

nownik w miarę powiększania się liczby Y ciągle się powiększa, przeto widoczną jest rzeczą, że ułamek ten, a zatem i całe wyrażenie na drugiej stronie równości (3), ustawicznie się zmniejsza. Jeżeli w wyrażeniu (3) zamiast r podstawimy jedność, wtedy d i dx wyrażać będą różnice tablicowe. Równanie (3) pokazuje, że różnica pomiędzy dwiema różnicami ta-blicowemi jest mniejsza od takiejże różnicy poprzedzającej.

Innemi słowy: różnice pomiędzy różnicami tablicowemi ciągle maleją w miarę posuwania się coraz dalej w tablicy.

Jako przykład weźmy kilka po sobie następujących logarytmów w tablicy s i e d m i o cy fr o w ej :

Z wypisanych powyżej liczb widzimy: 1-sze że różnice d pomiędzy dwoma po sobie następującymi logarytmami stają się coraz mniejsze, i po 2-gie że różnice d — d₁ pomiędzy niemi także maleją.

Jeżeli więc posuwać się będziemy w tablicy siedmiocyf-rowej, przechodząc do coraz to większych liczb, wtedy, ponieważ różnica pomiędzy różnicami tablicowemi dwóch następujących po sobie logarytmów staje się coraz to mniejsza, dojść musimy do takiej części tablicy, w której taż różnica będzie

mniejszą od

10000000

Log 306 zzz 2,4857214 Log 307 = 2,4871384 Log 308 = 2,4885507 Log 309 = 2 ,4899585

cl

s 0,0014170 | 0,0014123 0,0014078

| 0,0000047 | 0,0000045

czyli od jednostki dziesiętnej siódmego rzędu. Wówczas w tej części tablicy, przy równych przyrostkach liczb, i odpowiednie przyrostki logarytmów przedstawiać się będą jako ilości równe; gdyż logarytmy obliczone są dokładnie do siedmiu cyfr dziesiętnych, a różnice pomiędzy różnicami wyrażać się będą dopiero co najwyżej w ósmych cyfrach dziesiętnych. Toż samo oczywiście stosuje się i do tablic, zawierających mniejszą liczbę cyfr dziesiętnych; w nich wcześniej nastąpi ta równość przyrostków.

480. Z poprzednich rozumowań wypada więc, że jeżeli pomiędzy dwie liczby następujące po sobie w tej części tablicy, w której już różnice pomiędzy dwoma następującymi po sobie logarytmami są równe, wstawimy liczby, z których każda następna równa się poprzedniej, powiększonej o jeduę i tęż sarnę ilość mniejszą od 1, np. o 0,1, wtedy różnice tablicowe pomiędzy logarytmami, odpowiadającymi tym liczbom, będą tern bardziej równe. Stąd wyprowadzamy ten ważny wniosek:

W tej części tablicy, w której clwie różnice tablicowe po sobie następujące są równe, przyrostkom liczb równym, lecz mniejszym od jedności, odpowiadają równe przyrostki logaryt-mów, lub wyrażając się krócej, różnice pomiędzy liczbami są 'proporcyonalne do różnic pomiędzy odpowiednimi logarytmam?.

Rozumowania poprzednie pokazują, że wniosek ten jest tylko przybliżonym; ale stopień przybliżenia jest taki sam, z jakim są obliczone tablice logarytmowe.

481. Możemy teraz pokazać, jakim sposobem znaleść z tablic logarytm takiej liczby, która bezpośrednio w tablicach nie znajduje się.

1-sze. Przypuśćmy, że chcemy znaleść logarytm licz

by 4385,3.

W tablicy Schlömilcha znajdujemy logarytmy liczb

4385 i 4386. Mianowicie:

Log 4385 = 3,64197, Log 4386 — 3,64207;

różnica pomiędzy nimi = 0,00010.

Liczba dana jest. o 0,3 większa od liczby 4385; gdybyśmy znaleźli, o ile się powiększa logarytm liczby 4385 wtedy, gdy sama liczba powiększa się o 0,3, wówczas dodając tę ostatnią ilość do logarytmu: 3,64197, otrzymalibyśmy logarytm żądany. Ponieważ przy powiększeniu liczby 4385 o 1 logarytm w tej części tablicy powiększa się o 0,00010, przeto, oznaczając przez x to powiększenie, jakiego dozna tenże logarytm wtedy, gdy liczbę powiększymy tylko o 0,3 na zasadzie paragrafu poprzedzającego możemy ułożyć następną proporcyę:

x : 0,00010 = 0,3 : 1 0,00010.0,3

skąd:

= 0,00003.

Przyrostek logarytmu więc, odpowiadający przyrostkowi liczby równemu 0,3 jest 0,00003. Dodając go do Log 4385,

czyli do 3,64197, otrzymamy 3,64200 jako logarytm liczby 4385,3. Będzie więc:

Log 4385,3 = 3,64200.

Ponieważ wszystkie logarytmy w całej tablicy są obliczone do pięciu cyfr dziesiętnych, a zatem i różnice pomiędzy nimi są zawsze wyrażone w częściach stu tysiącznych, przeto zazwyczaj mianowniki, zera i przecinki opuszczają się przy obliczaniu tych przyrostków, pamiętając wszakże, że mamy tu do czynienia z częściami stutysiącznemi, że zatem to, co przedstawia się w ostatecznym wypadku jako liczba całkowita, jest częścią stutysiączną. Podług tego więc powyższa proporcya tak się napisze:

skąd:

x : 10 = 0,3 : 1; x = 3.

na

zn

W pelu ułatwienia wynajdywania takich logarytmów, które się nie znajdują w tablicy, umieszczona jest w niej na każdej stronnicy kolumna z napisem nad nią P. P., to jest: „części proporcyonalnew. W tej kolumnie dla każdej z różnic tablicowych, przytrafiających się na danej stronnicy, są już obliczone przyrostki logarytmów, odpowiednie różnym przyrostkom liczb. Tak np. na stronnicy 13 tablic Schlömilcha w kolumnie P. P. znajdujemy jako nagłówki napisane dwie liczby 10 i 9. Są to różnice tablicowe pomiędzy logarytmami tej stronnicy, z opuszczeniem mianowników. Pod nagłówkiem 10 z lewej strony napisane liczby są przyrostkami liczb, z opuszczeniem w nich mianowników 10; więc: 1 oznacza 0,1; 2 oznacza 0,2 i t. d., z prawej zaś strony linii pionowej odpowiednie przyrostki logarytmów. Wprost 3, oznaczających 0,3, ajdujemy 3,0; i to jest przyrostkiem logarytmu, odpowiadającym przyrostkowi liczby 0,3, wyrażonym w częściach stutysiącznych.

2-gi przykład. Przypuśćmy teraz, że chcemy znaleść logarytm liczby 4385,37. Wynajdujemy z tablic Log 4385 =

= 3,64197; różnicę pomiędzy następnym i tym logarytmem możemy znaleść na pamięć, nie wypisując drugiego 1 ogary t-mu: będzie to znalezione w poprzednim przykładzie 10; następnie z proporcyi:

x: 10 = 0,37 : 1

otrzymujemy: x = 3,7.

W tej wartości na .r całkowita 3 oznacza stutysiączne części; 7 zaś części milionowe. Ponieważ używane przez nas tablice dochodzą tylko do części stu tysiącznych, przeto milionowe opuszczamy; — ale ponieważ jest ich więcej, aniżeli połowa stu tysiącznej, zatem cyfrę zatrzymaną 3 powiększamy o 1. Na odpowiedni przyrostek logarytmowy otrzymamy tym sposobem 4. Dodając go do Log 4385, znajdziemy w końcu:

Log 4385,37 = 3,64201.

Moglibyśmy proporcyi powyższej nie układać, mając przed oczyma kolumnę P. P. Poprawkę logarytmową dla 0,3 mamy w niej bezpośrednio napisaną; jest ona 3. Co się zaś tyczy 0,37, to ponieważ 0,37 = 0,3 -f- 0,07, przeto do powyższego przyrostku 3, należy dodać jeszcze przyrostek, odpowiadający 0,07. Jakkolwiek nie mamy go bezpośrednio w tablicy, to wszakże mamy tam przyrostek, odpowiadający 0,7; — jest on 7. Dla 0,07 będzie więc on 10 razy mniejszy, t. j. będzie =0,7. Dodając tę ostatnią ilość do 3, otrzymamy na całkowity przyrostek 3,7, z którym należy postąpić tak, jak było pokazane wyżej. Rachunek sam zwykle rozkładamy w następny sposób:

Log 4385    = 3,64197

0,3 .. .

0,07 ....    0,7

Log 4385,37 = 3,64201.

3-ci przykład. Znaleść Log 3059,4. Wykonywamy tu całą robotę bez żadnych objaśnień:

Log 3059 = 3,48558 Log 3060 = 3,48572

14

różnica pomiędzy liczbami .... różnica tablicowa. x : 14 = 0,4 : 1;

x — 5,6 — 6 (z dostatecznem przybliżeniem). Log 3059,4 = 3,48564.

Lub, z użyciem kolumny „części proporcyonalne“:

Log 3059 = 3,48558 0,4 ._. _ . . 5,6 Log 3059,4 = 3,48564.

Czytelnik sam obliczy podług powyższych wzorów następujące logarytmy, które podajemy dla wprawy:

Log 1387,2 = 3,11214; Log 2743,8 = 3,43835;

Log 5129,4 = 3,71007; Log 8976,5 = 3,95310.

482. Zasady wyłożone w poprzednim paragrafie dają nam możność wynalezienia logarytmu jakiejkolwiek liczby. Następne przykłady najlepiej rzecz wyjaśnią:

1- szy przykład. Znaleść logarytm liczby 24567.

Liczby tej w tablicach nie znajdujemy, gdyż rozciągają

się one tylko do 10909. Lecz sposobem, wyłożonym poprzednio, możemy znaleść logarytm liczby 2456,7, otrzymanej przez odcięcie przecinkiem jednej cyfry, tak, że to co pozostało przed przecinkiem znajduje się w tablicach. Postępując znanym sposobem, otrzymamy:

Log 2456,7 = 3,39035.

A ponieważ liczba dana 24567 jest 10 razy większą od 2456,7, przeto logarytm jej mieć będzie tęż sarnę mantysę, cechę zaś większą o 1. Znajdziemy zatem ostatecznie:

Log 24567 = 4,39035.

2- gi przykład. Znaleść logarytm liczby 3,5786. Jakkolwiek dana liczba jest zawarta pomiędzy 3 i 4, to

wszakże nie będziemy brali tutaj logarytmu 3 i dodawali do

niego przyrostku proporcjonalnego do 0,5786, gdyż w tej części tablicy różnice tablicowe są dalekie od równości, a zasada proporcjonalności przyrostków liczb do przyrostków lo-garytmów dopiero wtedy może być stosowaną, gdy różnice tablicowe są równe (§ 480). Przez przesunięcie przecinka w prawą stronę o trzy cyfry, otrzymamy liczbę 3578,6, której logarytm mieć będzie tęż sarnę mantysę co i logarytm liczby 3,5786, i której część całkowita 3578 przypadać będzie w tej części tablicy, do której z większem przybliżeniem można zastosować zasadę części proporcjonalnych. Ponieważ Log 3578 = 3,55364, różnica tablicowa jest 12, a przyrostek loga-rytmowy, odpowiedni przyrostkowi liczby 0,6 jest 7,2, przeto otrzymamy:

Log 3578,6 = 3,55371 .

A zatem ostatecznie będzie:

Log 3,5786 = 3,55371 — 3 , czyli Log 3,5786 = 0,55371.

W ogóle przy wynajdywaniu logarytmu liczby, nie znajdującej się bezpośrednio w tablicy, należy zawsze zacząć dzia- . łanie od umieszczenia przecinka w niej w ten sposób, aby z lewej strony na całkowitą była odciętą największa liczba, jaka znajduje się jeszcze w tablicy.

3-ci przykład. Znaleść logarytm liczby 879357.

Odcinając przecinkiem z lewej strony największą liczbę, jakiej logarytm znajduje się w tablicach, otrzymamy 8793,57.

Dodając do logarytmu liczby 8793, to jest do 3,94414 poprawkę odpowiednią ułamkowi 0,57, która jest 3 (dokładniej 2,85), mieć będziemy na szukany logarytm:

Log 8793,57 = 3,94417 .

Log 879357 = 5,94417 .

Lecz gdybyśmy teraz chcieli znaleść logarytm liczby 879358, lub Log 879359, wtedy postępując tak jak wyżej,

i wynajdując poprawkę bądź to odpowiednią 0,58, bądź też odpowiednią 0,59, otrzymamy na nią znowuż toż samo 3 (w pierwszym razie 2,90, w drugim 2,95), skąd mieć będziemy: Log 879358 = 5,94417,

Log 879359 = 5,94417 .

Grdybyśmy w liczbie 879357 po za ostatnią cyfrą 7 dopisali jakiekolwiek cyfry, wtedy one oczywiście jeszcze mniej miałyby wpływu na poprawkę, jak cyfra 7, i zawsze otrzymalibyśmy dla takiej liczby logarytm napisany wyżej. Te przykłady prowadzą do uwagi, że przy użyciu tablic, w których logarytmy są obliczone z przybliżeniem do pięciu cyfr dziesiętnych, nie można, w ogóle mówiąc, oznaczyć w sposób pewny mantysy logarytmów liczb, zawierających więcej niż pięć cyfr znaczących. Cyfry znajdujące się w liczbie danej po za piątą cyfrą, rachując ku stronie prawej, mają wpływ na dalsze cyfry mantysy, ale nie na piątą.

znaczenia.

Stąd przy wykonywaniu działań nad liczbami za pomocą logarytmów pięciocyfrowych, użycie w tychże liczbach więcej niż pięciu cyfr znaczących nie prowadzi do wypadku więcej przybliżonego, aniżeli wtedy, gdy zachowujemy w liczbie tylko pięć cyfr. Na tę okoliczność należy zwracać uwagę, aby nie przeciążać ani liczb użytych do działania, ani też ostatecznych wypadków zbytecznemi cyframi, nie mającemi w rzeczywistości żadnego

Musimy tutaj ograniczyć się na tej wzmiance, nie wchodząc w bliższy rozbiór tej kwestyi, związanej z ogólnem pytaniem o znaczeniu stopnia przybliżenia przy rachunku loga-rytmami, pytaniem przechodzącem znacznie po za zakres niniejszego dziełka. Możemy tutaj tylko postawić jako ogólną zasadę (wszakże nie bezwzględnie prawdziwą), że przy rachunku, wykonywanym za pomocą jakichkolwiek tablic loga-rytmowych, liczby użyte powinny w swoich częściach znaczących zawierać najwyżej tyle cyfr, ile ich jest w mantysach

logarytmów. Użycie większej liczby cyfr nie prowadzi do wypadków dokładniejszych, ani też rachowanie większej liczby cyfr w ostatecznym wypadku nie daje wartości więcej przybliżonej do prawdziwej.

4-ty przykład. Znaleść Log 0,0041587.

Podług zasad wyłożonych wyżej, będzie:

= Log 41587

Log 0,0041587 = Log

41587

10000000

Log 10000000 = Log 415S7 — 7.

A że na logarytm 41587 znajdujemy:

Log 41587 = 4,61896,

przeto:

Log 0,0041587 = 4,61896 - 7, co możemy ostatecznie wyrazić jednym z trzech sposobów: albo jako logarytm całkowicie ujemny:

Log 0,0041587 = — 2,38104,

albo jako logarytm z cechą ujemną, a mantysą dodatnią:

Log 0,0041587 = 1T,61896, albo nakoniec za pomocą dopełnienia do 10:

Log 0,0041587 = 7,61896 - 10. '

483. Pokażemy teraz, jak rozwiązać zadanie odwrotne, to jest jak znaleść liczbę, której logarytm jest wiadomy. Oczywiście pytanie nie przedstawia żadnej trudności, gdy manty-sa danego logarytmu znajduje się w tablicach.

1-szy przykład. Znaleść liczbę A,'której logarytm jest równy 3,75488.

Podług zadania: Log N = 3,75488.

Wynajdujemy najprzód w tej części tablicy, to Mór ej są logarytmy liczb czterocyfrowych, tę stronicę, na której są dwie pierwsze cyfry mantysy, t. j. 75; następnie w odstępie pomiędzy 75 i 76 wyszukujemy na tej samej stronnicy trzech ostat-

nich cyfr, t. j. 488. Znajdują się one w tym wierszu, w którym w pierwszej kolumnie jest liczba 568, i w tej kolumnie, nad którą jest ostatnia cyfra liczby 7. Szukana więc liczba:

N — 5687 .

Gdyby było Log N = 1,75488, wtedy szukając w taki sam sposób, znaleźlibyśmy też same cyfry, z których się składa liczba JV, mianowicie 5687. Lecz nie byłaby to liczba żądana, gdyż zawiera cztery cyfry całkowite: tymczasem cecha logarytmu jest 1, t. j. o dwie jedności mniejsza od 3. Liczba szukana jest więc sto razy mniejsza od 5687, czyli:

N = 56,87.

Podobnie, gdyby było:

Log N= 5,75488,

wtedy znaleźlibyśmy, że:

N= 568700.

Nakoniec jeżeliby dano:

Log N = 1,75488,

wówczas N byłoby ułamkiem dziesiętnym, mającym przed pierwszą cyfrą znaczącą jedno zero (gdyż cecha jest — 1), włączając w to i całkowitą; cyfry zaś znaczące tego ułamka stanowią liczbę całkowitą, której logarytm ma za mantysę 75488. Otrzymalibyśmy więc:

N= 0,5687.

2-gi przykład. Wiedząc, że Log N= 1,62798, znaleść liczbę N.

Przy wyszukiwaniu liczby odpowiedniej danemu loga-rytmowi z początku nie zwracamy nigdy uwagi na cechę, ale tylko na mantysę; i jakkolwiek tutaj cecha jest 1, co pokazuje, że część całkowita liczby mieć będzie tylko dwie cyfry, to wszakże szukamy tejże mantysy zawsze w tej części tablicy, która zawiera logarytmy liczb czterocyfrowych. Może się

bowiem przytrafić, że mantysy tej niema w części tablicy, zawierającej małe liczby (jak w tablicy Schlömilcha mniejsze od 100), a jednak znajduje się ona w części tablicy, zawierającej logarytmy większych liczb. Nadto gdyby się okazało, że tej mantysy niema wcale w tablicy logarytmów, wtedy dla wynalezienia odpowiedniej liczby trzeba będzie użyć zasady proporcyonalności przyrostków liczb do przyrostków logarytmów, zasady, która jak już wiemy daje się zastosować tylko do tej części tablicy, która obejmuje logarytmy liczb największych.

Mantysy logarytmu danego w tym przykładzie nie znajdujemy na pierwszej stronnicy tablic, zawierającej logarytmy liczb dwucyfrowych, znajduje się ona jednak pomiędzy man-tysami, odpowiadającemi liczbom czterocyfrowym, mianowicie odpowiada ona liczbie 4246. A że cecha danego logarytmu jest 1, przeto szukana liczba będzie:

N= 42,46.

3-ci przykład. Wiedząc, że Log 3,51140, znaleść

liczbę N.

W tablicy nie ’ znajdujemy mantysy 51140; są tylko mantysy 51135 i 51148, pomiędzy któremi mantysa logarytmu danego jest zawartą. Odpowiadają one liczbom: 3246 i 3247; to jest:

Log 3246 = 3,51135,

Log 3247 = 3,51148.

Ponieważ dany logarytm 3,51140 jest zawarty pomiędzy logarytmami 3,51135 i 3,51148, przeto i liczba szukana N będzie zawierać się pomiędzy liczbami 3246 i 3247, to jest równać się będzie liczbie 3246 więcej pewna ilość mniejsza od jedności, którą oznaczmy przez y. Tym sposobem będzie:

N = 3246 -f- y.

Aby wynaleść y, użyjemy tutaj tej zasady, że różnice pomiędzy liczbami są proporcyonalne do różnic pomiędzy lo-

garytmami (§ 480). Różnica tablicowa tycli logarytmów, pomiędzy którymi dany logarytm jest zawarty, jest 0,00013, czyli 13 (§ 481, przykład 1-szy), i tej różnicy odpowiada różnica pomiędzy liczbami równa 1 (3247 — 3246). Logarytm dany 3,51140 jest większy od logarytmn mniejszego ze znajdujących się w tablicy 4,51135 o 5; i tej różnicy pomiędzy lo-garytmami odpowiada różnica pomiędzy liczbami równa y. Będzie więc:

y : 1 = 5 : 13,

e •

= 0,38 . . . = 0,4.

skąd:

V 13

Liczba szukana więc N = 3246 -j- 0,4 czyli: N = 3246.4.

4-ty przykład. Wiedząc że Log N = 2,78410, znaleść

liczbę N.

Gdybyśmy znaleźli liczbę, której logarytm miałby za cechę 3, a mantysę tęż same co i logarytm dany, to jest której logarytm byłby 3,78410, wtedy przez proste posunięcie przecinka o jednę cyfrę w lewą stronę otrzymalibyśmy z tej liczby i liczbę W.

Mantysy 78410 nie znajdujemy w tablicy; są tylko man-tysy 78405 i 78412, pomiędzy któremi zawiera się mantysa logarytmu danego. Pierwsza mantysa odpowiada liczbie 6082, druga zaś liczbie 6083. Będzie więc:

Log 6082 = 3,78405,

Log 6083 = 3,78412.

Różnica tablicowa pomiędzy tymi logarytmami jest 7; odpowiada ona różnicy pomiędzy liczbami 1. Różnica pomiędzy logarytmem danym 3,78410 i logarytmem mniejszym ze znalezionych jest 5. Oznaczając więc przez y przyrostek liczby, odpowiadający przyrostkowi logarytmu równemu 5, będzie:

y = Y = °’⁷-

skąd:

Liczba więc, której logarytm jest 3,78410 jest równą 6082 —j— 0,7, czyli: 6082,7. Zatem liczba szukana łabędzie:

N = 608,27.

5- ty przykład. Wiedząc, że Log N— 3,57545, znaleść N. Wynajdźmy liczbę, której logarytm ma tęż sarnę man-

tysę 57545, a ceclię 3; to jest liczbę, której logarytm jest 3,57545. Wtedy przez proste przesunięcie przecinka, znajdziemy liczbę N. Mianowicie będzie: liczba, której logarytm jest 3,57545 jest 3762,3; liczba szukana zatem: N= 0,0037623.

6- ty przykład. Wiedząc, że Log N— — 1,41736, znaleść N.

Gdy dany jest logarytm ułamka całkowicie ujemny, należy najprzód przekształcić go na logarytm z cechą ujemną i mantysą dodatnią, sposobem podanym wyżej, gdzie była mowa o logarytmie ułamków. W teraźniejszem zadaniu otrzymamy:

Log N= — 1,41730 = — 1 — 0,41736 =—1—1+1— — 0,41736 = 2,58264.

Postępując następnie tak, jak w przykładzie poprzedzającym, znajdziemy:

N = 0,038251.

484. Podamy na zakończenie tego rozdziału jeszcze kilka zadań, aby pokazać zastosowanie tablic.

Zadanie 1-sze. Następujące mnożenie wykonać za pomocą logarytmów:

x = 12 X 0,042 X 0,82683.

W tym celu bierzemy logarytmy obu stron; będzie: Log x = Log 12 + Log 0,042 -f Log 0,82683; następnie rachunek układamy w ten sposób:

Log 12 = 1,07918, Log 0,042 = 2,62325, Log 0,82683 = 1,91742.

Log x =. 1,61985;

stąd:

x = 0,41673.

Przy dodawaniu logarytmów, z których jedne są całkowicie dodatnie, inne zaś mają cechę ujemną i mantysę dodatnią, należy po skończeniu dodawania mantys wykonać uważnie dodawanie algebraiczne cech, 0 uwzględnieniem ich znaków.

Tak właśnie w przykładzie powyższym dodawanie zostało wykonane.

Zadanie 2-ie. Obliczyć za pomocą logarytmów wy

rażenie:

67,2 793 '

Biorąc logarytmy obu stron, otrzymamy:

czyli:

Log x — Log 67,2 — Log 793, Log x = 1,82737 — 2,89927.

Logarytm więc x wypada ujemny, jak być powinno, gdyż x jest mniejsze od 1. Wykonywaj ąc odejmowanie, znajdziemy:

Log x = — 1,07190.

W celu wynalezienia x należy logarytm ten przekształcić na logarytm z cechą ujemną i mantysą dodatnią Lecz zazwyczaj przy wykonywaniu odejmowania odrazu przekształcamy wypadek ostateczny na logarytm takiej postaci. W tym celu do odjemnej dodajemy najmniejszą liczbę całkowitą taką, ażeby od tej sumy można było odjąć odjemnik, i następnie od wypadku tęż sarnę liczbę całkowitą odejmujemy. Oczywiście przez to wypadek ostateczny wartości swojej nie zmieni. Tak np. w zadaniu, które rozwiązujemy, będzie:

Log x — 1,82737 - 2,89927 = 2 + 1,82737 — 2,89927 — 2= = 3,82737 — 2,89927 - 2 = 0,92810 — 2 = — 2 -f 0,92810,

czyli:

Log x — 2,92810.

Zazwyczaj działanie układa się tak:

— 2-j-2

Log 67,2 = 1,82737 Log 793 = 2,89927 jLo(7 a? = 2,92810.

Stąd otrzymamy: a; = 0,084742.

Zadanie 3-cie. Znaleśó wartość:

0,0843 0,0064 '

Będzie najprzód:

Log x — Log 0,0843 — Log 0,0064. Log 0,0843 = 2,92583,

Log 0,0064 = 3,80618,

• Log x = 1,11965 x —13,172.

Następnie:

stąd:

Przy wykonywaniu odejmowania logarytmu 3,80618 od logarytmu górnego, należy pamiętać, że logarytm ten składa się z dwóch wyrazów: ujemnego — 3 i dodatniego 0,80618. Aby więc go odjąć, powinniśmy znaki zmienić na przeciwne; zatem mantysę dolną odjąć od mantysy górnej, ale cechę dolną dodać do cechy górnej: tym sposobem otrzymamy powyższy wypadek.

Zadanie 4-te. Znaleśó wartość:

x — (0,0587)³.

Biorąc logarytmy obu stron, mamy:

dalej:

Log x = 3 Log 0,0587, Log x = 2,76864 X 3,

Przy wykonywaniu mnożenia należy pamiętać o tern, że właściwie mamy do pomnożenia: (— 2 -|- 0,76864) przez 3. Otrzymamy:

skąd:

Log x = 4,30592; x = 0,00020226. Zadanie 5-te. Znaleść wartość:

x = J/0,00345.

Biorąc logarytmy obu stron, otrzymamy:

Log x —

rH ->1

Log 0,00345,

czyli:

Log x = y X 3,53782 = ³t5|⁷⁸²

Przy wykonywaniu dzielenia tego logarytmu przez 2 napotykamy na trudność z tego powodu, że cecha jest ujemna i mantysa dodatnia, a cecha nie jest całkowicie podzielną przez 2. Aby uniknąć tej trudności należy albo zamienić lo-garytm na całkowicie ujemny, albo też, nie zmieniając jego wartości, przemienić go w zupełności dzieliła się przez dwa. Gdybyśmy użyli pierwszego sposobu, wtedy należałoby następnie znaleziony loga-rytm znowuż przekształcić na logarytm z cechą ujemną i man-tysą dodatnią dla znalezienia x. Aby nie wykonywać tego podwójnego przekształcenia, zazwyczaj postępujemy tak: do cechy ujemnej dodajemy tyle jedności ujemnych, ile potrzeba, aby tę cechę uczynić podzielną przez mianownik; jak tutaj dodajemy — 1; aby zaś logarytm nie zmienił się, dodajemy do jego mantysy tyleż jedności dodatnich. Będzie więc:

— 3 + 0,53782    - 4 -f 1,53782 _

na

taki, w którymby cecha ujemna

Log x —

Stąd:

= — 2 + 0,76891 = 2,76891. ^ = 0,058737.

Zadanie 6-te. Znaleść wartość:

■x = J/0,0004687 .

Mamy:    Log x

_ Log 0,0004687 _ 4,67089

Ponieważ cecha nie dzieli się bez reszty przez 3, przeto, postępując sposobem wskazanym wyżej, do logarytmu

4,67089 dodajemy — 2 -J- 2; będzie więc: — 6-f- 2,67089

Log x

= — 2 -f 0,89030 = 2,89030;

skąd:

x = 0,077678.

Zadanie 7-me. Obliczyć wartość:

1,53

x = (0,082)

Stąd mamy: Log x — 1,53 X Log 0,082 — 1,53 X 2,91381.

W przypadkach podobny cli temu, jaki mamy przed oczyma, gdzie wypada logarytm z cechą ujemną i mantysą dodatnią mnożyć przez wyrażenie złożone (tutaj przez 1,53), najdogodniejszą będzie rzeczą, dla uniknięcia pomyłek, zamienić najprzód logarytm na całkowicie ujemny, następnie wykonać mnożenie, i potem, przeszedłszy znowuż do logarytmu z cechą ujemną i mantysą dodatnią, znaleść ostateczny wypadek. W obecnym przypadku mieć będziemy:

Log x = 1,53 X (— 1,08619),

stąd, wykonywając mnożenie:

i nakoniec:

Log x = — 1,66187 = 2,33813, x = 0,021783.

485. Za pomocą tablic logarytmowych można także rozwiązywać równania wykładnicze w niektórych szczególnych przypadkach. Równanie wykładnicze postaci:

ax — b,

gdzie a i b są danemi liczbami, może być zawsze rozwiązane. W tym celu należy wziąć logarytmy obu stron tegoż równania; będzie: x Log a — Log b,

skąd:

Log b

/y» ——    ''

lAS -⁻    y    •

Log a

Tak np. przypuśćmy, że mamy do rozwiązania równanie: (0,826)* = 2,88.

Biorąc logarytmy obu stron otrzymujemy: x Log 0,826 = Log 2,88,

skąd:

Log 2,88 _ 0,45939 Log 0,826 — —0,08302 '

Ponieważ mamy tutaj wykonać dzielenie przez Log 0,826, przeto musimy wyrazić logarytm ten pod postacią lo-garytmu całkowicie ujemnego. Oczywiście dzielenie wskazane 0,45939 przez — 0,08302 możemy znowuż wykonać za pomocą logarytmów; lecz ponieważ liczby ujemne nie mają logarytmów, przeto wykonywamy działanie tak, jak gdyby wszystkie dane liczby były dodatnie, a następnie przed wypadkiem piszemy znak właściwy. Wykonywając wskazane dzielenie, znajdziemy ostatecznie:

x — — 5,5335.

Można jeszcze za pomocą logarytmów rozwiązywać równania z niewiadomą, wchodzącą do wykładnika, nieco wiącej złożone, jak podane wyżej; niektóre z takich równań podajemy w zadaniach. _

PRZYKŁADY XLIII.

6561

1) Czemu się równać będą logarytmy liczb: 9, 81, 729 if ’ 243 przy zasadzie 3?

rH CO

2)    Czemu się równać będą logarytmy tychże samych liczb przy zasadzie a) 9; b) ^ ?

O

27

9

3)    Czemu się równać będą logarytmy liczb:    ,

zo izo

625

^ przy zasadzie: a) , b) ?

O    o

4)    Pomiędzy jakiemi liczbami całkowitemi są zawarte logarytmy liczb: 5, 10, 32, 82, 215, 713, 1295, gdy za zasadę układu logarytmów przyjmiemy a) 6; b) 9?

5)    Znaleść logarytmy następujących wyrażeń:

a) Log

- (p .J. g)*    '

b) Log

r+ï

-Va—b.

c) Log

bpj/*i

6)    Wiedząc, że logarytmy naturalne liczb: 2, 3, 10 są: 0,69314718 ; 1,09861229 ; 2,30258509, znaleść logarytmy zwyczajne tychże liczb’.

7)    Znaleść z tablic logarytmy następujących liczb: •1889 ; 18,89 ; 188900 ; 0,01889 ; 4345 ; 4345,1 ;

4345,2 ; 4345,3 ; 43450 ; 43451 ; 43452 ; 0,052173.

8)    Z następujących równań znaleść wartość na x, bez użycia tablic:

a) Log x = 2 ; b) Log x — 3 ; c) Log x = 0,5;

2 ;(°dpow

d) Log x = —

• jqgf); e) Log x=Log a — Log 5; f) Log x = n Log a-\- n Log ó; g) Log x = 3 Log 18 —

iLo#¹² ; (ê) -

na-

Obliczyć za pomocą tablic logaiytmowych wartości stępujących wyrażeń:

memi:

20) Log x -j- Log y = 2 ; 5a:² — 3y- — 1925.

(Z pierwszego równania należy najprzód znaleść xy

i t. d.)

XLIV.

Procenty.

na

4,3956 X 0,73654 11.563    ’

3390 X4,347^ . lg)

4    --■-

’ ^ 1/    "4“ y 31 ;

5_

(Należy najprzód obliczyć 1^31, liczbę stąd otrzymaną dodać do 1,84 i t. d.)

Rozwiązać następujące równania:

16) (0,35) * — 54,8 .

17)    4æ + ² = 60 ; (należy wziąć logarytmy obu stron; podstawić zamiast Log 4 i Log 60 ich wartości z tablic; otrzymamy równanie stopnia pierwszego).

18)    10<⁵ -    («-*> = 100 ; 19) ab = Vc] 20) 8²* — 9.8*+

-f- 20 = 0 ; (oznaczywszy: 8* przez y i podstawiwszy w dane równanie, otrzymamy równanie stopnia 2-go i t. d.)

Rozwiązać następujące równania z dwiema niewiado-

9) 8,759 : 0,05764 ; 10) 11) (8,0952)—³ ;    12) (

13814

14)

y 0,47 y

00 H-¹

486. Procentem nazywamy wynagrodzenie, płacone za użycie wypożyczonych pieniędzy. Pieniądze wypożyczone nazywamy kapitałem. Sumę kapitału wraz z procentem, należnym za pewien przeciąg czasu, nazywać będziemy sumą, którą zamienia się dany kapitał po upływie tegoż czasu, albo krócej sumą.

Procent może być dwojaki: prosty i złożony. Grdy procent rachuje się zawsze od samego kapitału początkowego, wtedy nazywamy go prostym; lecz jeżeli procent należny, w chwili gdy przypada jego wypłata, dołączamy do kapitału i w następstwie procent rachujemy od całej sumy, wtedy nazywamy go złożonym.

Stopą procentu nazywamy kwotę, płaconą za użycie pewnej oznaczonej ilości pieniędzy przez pewien oznaczony czas. W praktyce tą ilością pieniędzy jest zwykle 100 rb., a czas jeden rok. Grdy więc mówimy, że stopa procentu jest 4 od sta (4°/₀), to znaczy, że za użycie 100 rubli przez ciąg jednego roku płacimy 4 rb. W teoryi dogodną jest rzeczą, jak to zaraz zobaczymy, używać osobnego znaku dla oznaczenia procentu od jednego rubla za jeden rok.

487. Z7ialeść sumę, na którą się zamieni dany kapitał po upływie danego czasu przy procencie prostym.

Niech K oznacza liczbę rubli, zawartą w kapitale, n liczbę lat,.r procent od jednego rubla za jeden rok, wyrażony w ułamku rubla, i M sumę szukaną, wyrażoną w rublach. Ponieważ r jest procentem od jednego rubla za rok, przeto Kr jest procentem od K rubli za rok, a n Kr jest procentem od K rubli za n lat; będzie więc:

M — K-\- nKr = K (1 -}- nr).

Z równania M—K (1 -j- nr), można znaleść jednę z czterech ilości M, K, n, r, gdy trzy inne są dane. I mianowicie:

M—K

M—K

—— ; n 1 -f- nr

488. Znaleść sumę, na którą się zamieni dany kapitał, po uphywie danego czasu przy procencie złożonym.

Niech K oznacza liczbę rubli kapitału, n — liczbę lat, r — procent od jednego rubla za rok, wyrażony w ułamku

Kr

Kn

rubla, i M — liczbę rubli, zawartą w szukanej sumie. Oznaczmy nadto przez R sumę, na którą się zamieni jeden rubel po upływie jednego roku; wtedy R — 1 -j- r. Zatem KR będzie sumą, na którą się zamieni K rubli w ciągu jednego roku. Więc suma, na którą się zamieni KR rubli wciągu także jednego roku, będzie KRR, czyli KR²; to ostatnie zatem wyrażać będzie sumę, na którą się zamieni K rubli w ciągu dwóch lat. Podobnież suma, na którą się zamieni KR² rubli w ciągu roku będzie: KR²R, czyli W5³; i to będzie sumą, na którą się zamieni kapitał K rubli po upływie trzech lat.

Postępując dalej tym samym sposobem znajdziemy, że suma na którą się zamieni kapitał K rubli, po upływie n lat będzie KRn, więc:

M = KRn.

Sam procent za przeciąg tych n lat wynosi:

KRn — K — K (Rn — 1).

końcu danego czasu, jest to ten

489.    Wartość teraźniejsza, czyli obecna, pewnej sumy, mającej być wypłaconą na kapitał, który wraz ze swoim procentem za uważany przeciąg

czasu

zamieni się na tęż sumę. Przy oznaczeniach powyżej przyjętych, K jest wartością teraźniejszą sumy M.

Dyskontem (potrącenie procentu) nazywamy wynagrodzenie za wypłacenie sumy należnej przed tym terminem, w którym ona miała być wypłaconą.

ma-

Z określenia wartości teraźniejszej wypada, że dług, jący być zapłaconym w pewnym oznaczonym terminie, jest w zupełności pokryty przez wypłacenie wcześniej jego warto-ści teraźniejszej, odpowiedniej chwili, w której następuje wypłata. Stąd dyskonto jest równe różnicy pomiędzy sumą płatną w oznaczonym terminie, a jej wartością teraźniejszą.

490.    Znaleść wartość obecną sumy płatnej na końcu danego czasu i dyskonto.

Niech K będzie liczbą rubli, wyrażających wartość teraźniejszą, n liczbą lat, r procentem od jednego rubla za jeden rok, wyrażonym w ułamku rubla, M liczbą rubli, oznaczających sumę należną, i D dyskontem. * Nadto niech będzie:

R = 1 -j- r.

Wtedy:' przy procencie prostym:

M = K (1 -f nr), § 487;

skąd:

Mnr

1 Ar nr Przy procencie złożonym:

1 -|-nr '

M = KRn

skąd:

7 ) ; D =.M — K = Rn ’

§488;

M (.Rn — 1)

Rn

491.    W praktyce zwykłą jest rzeczą zamiast dijskonta tak określonego, jak było tutaj wyżej podane, brać procent od całej sumy, wypłaconej przed terminem. Tak naprzykład,

płacący otrzyma

przy procencie prostym, zamiast

Mnr 1 -f nr

Mnr jako wynagrodzenie za natychmiastową wypłatę.

492.    Na początku każdego roku do kasy wnosimy na procent K rb.; znaleśc, na jaką sumę zamienią się wszystkie wniesione raty po upływie n lat przy procencie złożonym.

podobnież trzecia rata K, oddana na

— i.

Oznaczmy przez M szukaną sumę, r procent roczny od jednego rubla, wyrażony w ułamku rubla, i nakoniec uczyńmy R = 1 -f- r. Oczywistą jest rzeczą, że rata K, oddana na początku pierwszego roku do kasy, pozostanie na procencie przez przeciąg n lat; podług wzoru § 488 zamieni się więc na sumę KRn\ takaż sama rata K, oddana do kasy na początku drugiego roku, pozostanie na procencie n — 1 lat, zamieni się więc na sumę KRn początku trzeciego roku, pozostanie na procencie przez n — 2 lata, zamieni się przeto na sumę KRn~²; i tak dalej; — ostat-

nia rata K, oddana na początku w-tego roku, zamieni się końcu tegoż roku na sumę KR. Całkowita więc wartość złożonych rat po upływie n lat będzie sumą wyrazów postępu ilorazowego:

na

KR-

czyli będzie:

M = WR" -j- KRn

KRn, KRn -¹, KRn ~²

-f KRn~² +

-J- KR.

Na zasadzie wzoru (1) § 455 otrzymamy ostatecznie:

KRn +¹ — KR

czyli

M KR.

Rn — 1

493. Znaleść, jaką ratą należy płacić rocznie, aby umorzyć w przeciągu n lat kapitał wypożyczony i jego procenty złożone.

Przypuśćmy, że dzisiaj zaciągamy pożyczkę Krubli, którą chcemy umorzyć w ciągu n lat, przez wypłacanie równych rat na końcu każdego roku. Oznaczmy procent od jednego rubla na rok, wyrażony w ułamku rubla, przez r, przez a — ratę roczną, i uczyńmy R = 1 -j- r. Wtedy kapitał K oczywiście zamieni się po upływie n lat na sumę KRn; suma wszystkich rat rocznych, wraz z ich procentami złożonymi, powinna równać się KRn. Stąd otrzymujemy równość:

KRn = aRn -¹ + aRn~² + . . . .

Rn — 1 a R — 1 '

^-j- aR —|— fl,

KRn =

czyli:

Z równości tej znajdziemy z łatwością a. Taż sama równość służyć będzie i do rozwiązania innych jeszcze zagadnień, odnoszących się do rocznych wypłat.

494. Do rozwiązywania zadań na procenty składane mogą być używane tablice logarytmowe. Podług § 488 główny wzór na procenty składane jest:

M = K. R",

gdzie K oznacza kapitał początkowy, M sumę na którą on zamieni się po upływie lat n, R zaś jest równe 1 -f- r; gdzie r jest procentem od jednostki kapitału za jeden rok. Biorąc logarytmy obu stron, otrzymamy:

Log M = Log K-\- n Log R , ... ( 1) równanie, które daje nam odpowiedź na te wszystkie pytania, jakie się odnoszą do wzoru głównego. Mianowicie: równanie (1) bezpośrednio daje nam odpowiedź na to pytanie: na co się zamieni dany kapitał K po upływie n lat przy procencie składanym po 100 r od sta na rok. Gdyby było wiadome M, R i n, a szukane K, wtedy otrzymalibyśmy:

(2)

Log K = Log M — n Log R.

Gdyby były wiadome M, K i n, a szukana stopa procentu, wtedy mielibyśmy:

Log R =

Log M — Log K

. . . . (3)

Za pomocą tego wzoru znaleźlibyśmy R to jest 1 -|- r; odejmując od znalezionej wartości 1, i mnożąc wypadek przez 100, otrzymalibyśmy procent od sta na rok.

Nakoniec gdybyśmy chcieli znaleść n z wiadomych M, K i R, wtedy byłoby:

• • ■ (4).

Lor/ M — Log K U = Log R

Należy jednak zwrócić uwagę tutaj, że przy pomocy tablic logarytmowych pięciocyfrowych, tylko zadania o procentach składanych z małemi stosunkowo liczbami mogą być ściśle rozwiązane. Większa część zadań, odnoszących się do

o zna-

procentów składanych, wymaga tablic logarytmowych cznie większej liczbie cyfr dziesiętnych: tu należą np. zagadnienia o umarzaniu pożyczek. Zagadnienie, często zadawane, na jaką sumę zamieniłby się jeden grosz, oddany na procent składany w roku narodzenia się Chrystusa do daty obecnej, które teoretycznie rozwiązuje się bardzo prosto za porno-

cą wzoru (1), wymaga do ścisłego obliczenia umiejętności obrachowania logarytmów do znacznej liczby cyfr dziesiętnych, i następnie z wiadomego logarytmu wynalezienia mej liczby. Rachunki takie przechodzą po za obręb wykładu początkowego.

sa-

PRZYKŁADY XLIV.

1.    Na jaką sumę zamieni się kapitał wynoszący 17500 rb. przy procencie złożonym 4°/₀ po upływie 36 lat?

2.    Jaki kapitał zamieni się po upływie 10 lat, przy pro-na sumę 14595 rb.?

cencie składanym 4^°/

3.    Na jaki procent trzeba wypożyczyć kapitał 36740 rb.

ażeby on zamienił się po 15 latach

4.    Po ilu latach kapitał 17190 rb., przy procencie skła-60177 rb.?

na

79000 rb.?

danym 4f% zamieni się na

5. Po ilu latach potroi się kapitał przy procencie skła

danym 4|°/₀?

6.    Na początku każdego roku do kasy wnosimy 125 rb.; znaleść, na jaką sumę zamienią się wszystkie wniesione raty po upływie 12 lat przy procencie złożonym h°/₀?

7.    Znaleść, jaką ratę należy płacić rocznie, ażeby rzyć w przeciągu 25 lat kapitał 10000 rb. i jego procenty zło żonę przy stopie procentu 4l°/₀?

umo-

XLV.

Przemiany, przestawienia i połączenia.

495. Przemianami (waryacyami) nazywamy różne sposoby, jakimi może być ustawiany pewien zbiór przedmiotów. Tak naprzykład przemianami z trzech głosek a, b, c, raz, będą: ab, ba, ac, ca, bc, cb.

ycli przedmiotów, różniące się tyl-

branych po dwie

Połączenia tych

na

sam

ko porządkiem, w którym są one ustawione, nazywają się przestawieniami (permutacye).

Tak np. z trzech głosek u, b, c przestawienia będą: abc, acb, bac, bca, cba, cab.

496.    Połączeniami w ściślejszem znaczeniu tego wyrazu (kombinacyami) są takie ustawienia pewnego zbioru przedmiotów, w których nie zwracamy uwagi na porządek, w jakim stoją obok siebie przedmioty.

Tak naprzykład z trzech głosek a, b, c (oznaczających pewne przedmioty), branych po dwie na raz, połączenia będą ab, ac, be; zbiory ab i ba, będące różnemi przestawieniami dwóch przedmiotów a i b, tworzą jedno połączenie (jedną kom-binacyę) , podobnież zbiory ac i ca także tworzą jedno połączenie, również be i cb ¹).

497.    Liczba przemian (waryacyi) z n przedmiotów, branych po r na raz, jest równą:

(n — r -j- 1).

n (n — 1) (n — 2)

Niech będzie n głosek a, b, c, d

przedstawiających tyleż przedmiotów. Znajdziemy najprzód liczbę przemian z tych głosek, branych po dwie na raz. W tym celu umieśćmy a przed każdą z pozostałych głosek; otrzymamy tym sposobem n — 1 przemian,,w których a znajduje się na pierwszem miejscu. Umieśćmy następnie b przed każdą z pozostałych głosek; otrzymamy tym sposobem n — 1 przemian, zaczynających się od b. W podobny sposób znajdziemy n—1 przemian, z których każda zaczyna się od c. I tak dalej. Więc wszystkich przemian z n głosek, branych po dwie na raz, będzie: n (n •— 1). Znajdziemy teraz liczbę przemian z tych n głosek, branych po trzy na raz. Pokazaliśmy dopie-

G Głoski, służące do oznaczenia przedmiotów łączonych nazywają się w tej części algebry, którą zajmuje się niniejszy rozdział, elementami,

ro co, że z n głosek możemy utworzyć n (n — 1) przemian z których każda zawiera po dwie głoski; zatem z n — 1 głosek b, c, d

mian, biorąc te głoski po dwie na raz.

(w — 1) (n — 2) przemian ż głosek b, c, d.....umieśćmy

następnie głoskę a przed każdą z tych przemian; otrzymamy tym sposobem (n — 1) (n — 2) przemian, zawierających po trzy głoski, i w których a znajduje się na pierwszem miejscu. Podobnież będzie (n — 1) (n — 2) przemian, zawierających po trzy głoski i zaczynających się każda od b. Podobnież tyleż będzie takich przemian, zaczynających się od c. I tak dalej. Ostatecznie więc wszystkich przemian z n głosek, branych po trzy na raz, będzie: n (n — 1) (w—2). Z rozważania tych i tym podobnych przypadków możnaby się domyślać, że liczba przemian z n głosek, branych po r na raz, będzie:

(n — r-f-1) ;

możemy utworzyć (n — 1) {n — 2) prze-

Utworzywszy te

n (n — 1) (n — 2)

i pokażemy, że tak jest w rzeczy samej. Przypuśćmy bowiem że już jest wiadome, iż liczba przemian z n głosek, branych po r — 1 na raz, jest:

n(n — 1) (n — 2) .... j n — (r — 1) -f- 1| ;

dowiedziemy, że podobny wzór wyrażać będzie i liczbę prze-

G-dyż z n — 1 głosek

głosek, branych po

możemy podług założenia utworzyć: (n 1)

s n_i — (r — 1) -f- 1 j przemian, każda po

f_1 głosek; — umieśćmy a przed każdą z tych przemian,

a otrzymamy tyleż przemian, zawierających po r głosek, i za-

Podobnież taka sama będzie liczba

mian z n

r na raz.

b, c, d

(■n — 2)

czynających się od a. przemian, zawierających par głosek, i zaczynających się od b. I jeszcze takaż sama będzie liczba przemian, zabierających po v głosek, i zaczynających się każda od c. X tak oalej. Ostatecznie więc liczba przemian z n głosek, branych po r

na

raz, będzie:

n (n — 1) (n — 2).....(n — r -f 1).

Jeżeli zatem wzór ten ma miejsce, gdy bierzemy po r—1 głosek na raz, to mieć on będzie miejsce i wtedy, gdy bierzemy po r głosek na raz. Lecz ponieważ widzieliśmy, iż ma on miejsce wtedy, gdy bierzemy po trzy głoski naraz, przeto wypada z powyższego dowodzenia, że ma on miejsce i wtedy, gdy bierzemy po cztery głoski, a zatem ma miejsce i wtedy, gdy bierzemy po pięć głosek na raz, i tak dalej. Zatem jest on ogólnym.

498. Z tego wzoru wypada, że liczba przestawień z n głosek, to jest liczba przemian z n głosek, branych wszystkie na raz, jest równą n (n — 1) (n — 2).....3.2.1.

1 często

oznacza się tak: jn, lub też n\ (n z wykrzyknikiem); tym sposobem znak |n, lub n\ oznacza iloczyn szeregu liczb naturalnych od 1 do w włącznie. Symbol wkmożna czytać tak: fakultet n.

Dla krótkości iloczyn n (n — 1) (n — 2)

499. Każde połączenie (kombinacya) z r przedmiotów daje Jr lub r! przestawień (permutacyi).

Gdyż podług § 498 te r przedmiotów może być przestawionych w |r różnych sposobów.

5U0. Liczba połączeń (kombinacyi) z n przedmiotów, branych po r na raz, jest:

n (n — 1 ) (n — 2).....(n — r -j- 1)

r!

Gdyż liczba przemian z n przedmiotów, branych po ma raz, jest n (n — 1) (n — 2) . . . . , (n — r -j- 1) na zasadzie § 497; każde zaś połączenie (kombinacya) tworzy r! przestawień podług § 499, przeto liczba połączeń musi być równą:

(n — r -j- 1)

n (n — 1) (n — 2)

rl

ni

rl (n— r)\

nie zmieniając, rozumie się, swojej wartości.

501. Znaleść liczbą przestawień (permutacyi) z n przed-miotôiv, które nie wszystkie są różne.

wchodzą każda raz tylko jeden.

Niech będzie danych n głosek: i przypuśćmy, że w tych n głoskach a wchodzi p razy, b wchodzi q razy, c wchodzi r razy, pozostałe zaś d, e Wtedy liczba przestawień (permutacyi) z tych głosek będzie:

n\

p\ ql rl

a zo-

Zatem:

W rzeczy samej: oznaczmy liczbę szukaną tych przestawień głoską N. Grdyby w któremkolwiek z tych przestawień p głosek a zostało zmienionych na p nowych głosek, różnych od siebie, wtedy, nie zmieniając położenia żadnej ' z innych głosek, moglibyśmy utworzyć z tego jednego przestawienia pl przestawień różnych: gdyby więc p głosek stało zamienionych na p nowych i różnych głosek, wtedy liczba wszystkich przestawień byłaby: N X pl• Podobnież, gdyby q głosek b zostało zamienionych na q nowych i ioż-nych od siebie głosek, wtedy całkowita liczba pi zestawień, jaką teraz moglibyśmy otrzymać, byłaby N X pl X ql • I je_ żęliby r głosek c zostało również zamienionych na r nowych i różnych od siebie głosek, wtedy całkowita liczba przestawień byłaby: N X pl X ql X rl . Lecz ta liczba musi być równą liczbie przestawień z n głosek różnych (§ 498), to jest nl. N X p! X Qf X r! = n! ; a stąd:

n!

p! q! r! ’

I w takiż sam sposób można postępować w każdym innym podobnym przypadku.

PRZYKŁADY XLV.

1.    Z oddziału, zawierającego 24 ludzi, ile można utworzyć oddziałów małych po 6 ludzi?

2.    Znaleść ile można utworzyć przestawień (permu-tacyi) ze wszystkich liter, stanowiących wyraz Sulejów?

3.    Znaleść ile można utworzyć połączeń (kombinacyi) z liter wyrazu: ^granitowyL\ branych po cztery na raz?

4.    Z dwudziestu spółgłosek i pięciu samogłosek ile można utworzyć wyrazów, z których każdy byłby złożony z dwóch spółgłosek i jednej samogłoski w ten sposób, że samogłoska zajmuje w każdym z nich środkowe miejsce?

5.    Osada łodzi, składająca się z ośmiu wioślarzy i jednego sternika, ma być wybraną z pomiędzy dwunastu osób, z których dziewięć może tylko wiosłować, a trzy mogą sterować, ale nie mogą wiosłować. Znaleść iloma sposobami osada może być utworzoną z tych dwunastu osób.

6.    Na płaszczyźnie obieramy n punktów a, b, c.....

w ten sposób, że żadne trzy z nich nie leżą na jednej linii prostej, i łączymy je z sobą po dwa liniami prostemi ab, ac, be.... Linie te przecinają się z sobą w nowych punktach A, B, C.... Znaleść liczbę N tych ostatnich punktów przecięcia.

7.    Ile może być liczb dziesięciocyfrowych takich, których wszystkie cyfry są różne?

Uwaga. Biorąc pod uwagę jakikolwiek wyraz, zdanie, lub wiersz, w ogóle jakiekolwiek wyrażenie, i tworząc z głosek, stanowiących to wyrażenie, wszystkie przestawienia (per-mutacye), otrzymywać będziemy nowe układy głosek, z których jedne mieć będą w pewnym języku znaczenie, inne zaś będą bez żadnego znaczenia, a nawet nie będą mogły być wymówione. Zwykle pierwsze nazywają anagramami względem początkowego wyrażenia. Niektóre anagramy mają sławę historyczną. Tak np. z wyrazów „Révolution française“ po " upadku Napoleona za restauracyi, ułożono anagram: „La

France veut son roiu. Z nazwiska: „Frère Jacques Clémentu (zabójcy Henryka III-go), złożono: „C'est Venfer qui m'a créé Jeden z najpiękniejszych przykładów takich anagramów, mający związek z naszą historyą, stanowi przedmiot zagadnienia następującego:

na napisanie wsz szu można napisać cztery takie permutacye, i gdyby nie całego arkusza zmieściło się 40 wierszy?

8. Gdy młody Stanisław Leszczyński powrócił za życia ojca do Leszna z długiej podróży za granicą, wówczas w tern mieście zgromadziła się cała rodzina Leszczyńskich w celu powitania przyszłej głowy możnego domu. Ówczesny Rektor szkoły jezuickiej w Lesznie, Jabłoński, chcąc przyczynić się do uświetnienia uroczystości, urządził dyalog, odegrany przez uczniów, po którym 13 uczniów, przebranych za bohaterów, odtańczyło balet. Każdy z nich miał na tarczy jednę z liter stanowiących wyrazy: ,, Domus Lescinia“, złotem wymalowaną. Po każdej figurze baletu tańczący ustawiali się w ten sposób, że litery na tarczach tworzyły anagramy z wyrazów powyższych. I tak po pierwszym balecie czytano na tarczach obok siebie ustawionych: „Domus Lescinia“; po drugim tarcze tak się ustawiły, że czytano: „ades incolumis“. Po trzecim: „omnis es lucida“; po czwartym: „lucida sis omen ; po piątym: „manę sidus loci“; po szóstym: ,,sis columna Dei , i nakoniec po siódmym: „I! scande solium“ (idź, wstąp na tron; jak wiemy, sprawdziło się to później). Znaleść 1-sze, ile może być wszystkich przestawień (permutacyi) z liter: „Domus Lescinia“: 2-re przypuszczając, że na utworzenie każdej nowej permutacyi powyższych głosek, chłopcy potrzebowali tylko i minuty, w jakim przeciągu czasu wyczerpaliby te wszystkie permutacye; i po 3-ie ile papieru potrzebaby było ystkich permutacyi, gdyby w jednym wierna stro

XLYI.

Dwumian Newtona.

502. Widzieliśmy już, że (x -}- a)² = x² -j- 2xa -j-i że (x -j- a)³ = x% -j- 3x²a -j- 3xa² + a³; przedmiotem teraźniejszego rozdziału będzie wynalezienie ogólnego wyrażenia na (x -}- a)M, gdzie n jest jakąkolwiek liczbą całkowitą i dodatnią.

503. Przez wykonanie mnożeń znajdziemy:

(x -j- a) (x -f- b) = x² -f- (a -\-b) x -j- ab,

(x —j— a') (x —f- b) (x —|—c)⁼⁼ x^—J— (u-|-b'^-c)x^ —J— (ab—[-ca')x—j—abc

(x -j- a) (x~f- b) (x    c) (x d) = xA -\- (a-\-b -\- c-j- d) x³ -f-

-j- (ab -j- ac -f- ad -f- bc -|- bd -(- cd) x² -j--j- (abc -j- bcd -j- cda -j- dab) x -j- abcd.

Rozważając otrzymane wypadki z tych mnożeń, dochodzimy do wniosku, że są one utworzone podług następujących prawideł:

I.    Liczba wyrazów, znajdujących się z prawej strony znaku równości, jest o jedność większą od liczby mnożonych dwumianów.

II.    Wykładnik przy x w pierwszym wyrazie jest równy liczbie mnożonych dwumianów, a w każdym innym wyrazie wykładnik przy x jest o jedność mniejszy, aniżeli tenże wykładnik w wyrazie poprzedzającym.

III.    Współczynnik wyrazu pierwszego jest równy jedności; współczynnik wyrazu drugiego jest sumą drugich głosek mnożonych dwumianów; współczynnik wyrazu trzeciego jest sumą iloczynów drugich głosek mnożonych dwumianów, branych po dwie na raz; współczynnik wyrazu czwartego jest sumą iloczynów drugich głosek mnożonych dwumianów, branych po trzy na raz; i tak dalej; — ostatni

wyraz jest iloczynem wszystkich drugich głosek mnożonych dwumianów.

Pokażemy teraz, że te prawidła są ogólne, to jest mają miejsce, jakakolwiek byłaby liczba mnożonych dwumianów. W tym celu przypuśćmy, że one mają miejsce dla iloczynu, powstałego z pomnożenia n — 1 dwumianów: to jest przypuśćmy, że mamy n — 1 czynników x-\-u, x-\-b} x~f-c, . x -f- k, i że:

+ pxn~² -j-

(x -j- li) = X

(x + a) (x -f- b) (x -f- c)

-j- qxn~³ -j- rxn~⁴ -\-

gdzie:

p ==. sumie głosek a, b, c,.....k\

q = sumie iloczynów z tychże głosek, branych po dwie na raz;

r = sumie iloczynów z tychże głosek, branych po trzy na raz;

u = iloczynowi tych wszystkich głosek. Pomnóżmy obie strony tej równości tożsamościowej przez nowy czynnik (x -f-l), i uporządkujmy iloczyn na drugiej stronie podług potęg głoski x. Będzie:

(x -j- a) (x -f- b) (x -f- c).....{x + k) (x -j- l) — xn -j-

- -f {p + l) x”-¹ + (q + pi) xn-² -f + (r + Q]j) X>1~³    .......-\- ul.

Lecz:

p Ą-l = a + b -\- c .....-|- & -|- l — sumie

k) —

wszystkich głosek a, b, c, . . . . &, q-\-pl = q-\-l (a-{~b-\-c-\-

b, c,

sumie iloczynów wszystkich głosek a, k, l, branych po dwie na raz;

) = sumie

iloczynów wszystkich głosek a, b, c . . .

. . . .Jc,l, branych po trzy na raz;

ul — iloczynowi wszystkich głosek.

Stąd, jeżeli te prawidła mają miejsce, gdy mnożymy n — 1 czynników, wtedy to, co było wyżej powiedziane, pokazuje nam, że mają one miejsce i wówczas, gdy pomnożymy n czynników. Lecz widzieliśmy, że one mają miejsce przy tworzeniu iloczynu z czterech czynników: przeto podług nieb jest utworzony i iloczyn z pięciu czynników i tak dalej: mają one więc miejsce w ogólności.

Wypadek ogólny z pomnożenia n czynników dwumien-nych napiszemy dla krótkości w ten sposób:

(x + a) (x -f- b) (x -f- c)

(x -|- k) [x -j- l) — xn -|- Pxn~l -j--f Qxn~² -f- Rxn~3 Na drugiej stronie powyższej równości P oznacza sumę głosek a, b, c,.....k, l, których liczba jest n\ Q oznacza sumę

iloczynów z tychże głosek, branych po dwie na raz: — liczba

tych iloczynów jest—

podobnych iloczynów, i tak dalej. Patrz § 500.

Przypuśćmy teraz, że każda z głosek b, c,. je się równą a. Wtedy pierwsza strona powyższej równości zamieni się na (x -f- a)n. P zamieni się na na, Q zamieni się n (n — 1)

1.2

dalej. Będzie więc ostatecznie:

; R jest sumą

+ V.

n (n— 1) (n— 2)

1.2.3

k, l, sta-

na

«², R zamieni się na

n (n — 1) [n — 2)

1.2.3

a³, i tak

(x -{- a)n = xn -f- nax'‘

n (n — 1)

1 .2

a²xn~² -j-

n (n — 1) (n — 2)

1.2.3

n (n — 1) (n — 2) (n — 3)

" 1.2.3.4 ~

a⁴ic"-⁴ +.... + a”.

504. Wzór, który teraz otrzymaliśmy, nazywa się dwumianem Newtona, od nazwiska wielkiego matematyka angielskiego, który go pierwszy w tej postaci ogólnej podał. Szereg na drugiej stronie znaku równości nazywa się rozwinię-

ciem dwumianu (x -f- a)n, a gdy zamiast (x -(- a)n piszemy ten szereg, mówimy, że (x -f- à)n rozwijamy.

Zwracamy tutaj uwagę na to, że twierdzenie powyższe zostało dowiedzione w tym tylko przypadku, gdy n jest liczbą całkowitą i dodatnią, a sposób, jakiego do dowiedzenia użyliśmy, przedstawia nam przykład indukcyi matematycznej.

505. Weźmy jako przykład (x -)- a)⁶. Tutaj n = 6.

6.5.4

n (n — 1)

1.2

■1.2

= 15;

n(n — 1) (n— 2)

1.2.3

1.2.3

= 20:

n (n — i) (w — 2) (n — 3)

1.2.3.4

6^5.4.3 172.3.4

= 15;

n (n — 1) (n — 2) (n — 3) (n — 4) 1.2.3.4.5

6.5.4.3.2

= 6;

przeto:

(x -]- af = x* -f- 6ax⁵ -j-15a²x⁴ -j- e10azxz Ą-lba^Ą-Qa:'x+a\ Przypuśćmy dalej, że chcemy znaleść rozwinięcie (b2 _j-cy)⁶] w tym celu należy tylko podstawić b² zamiast x i cy zamiast a w poprzedniej równości. Otrzymamy:

(b² + cy)⁶ = (b²)⁶ + Qcy(b²Y + 15(q/)²(ć²)⁴ -f 20(cy)z(b²)z -f + lb(cy)\b²)² + Q(cyfb² + (cy)⁶ =

— b¹² + 6cybw -{- Ibchfb⁸ -j- 20 chfb⁶ -f--J- 15cV&⁴ + 6cby⁵b² -f c⁶y⁶.

Jako dalszy przykład zadajmy sobie, znaleść rozwinięte (x_cy . należy w tym celu we wzorze § 503 podsta

n (n — 1)

wić — c zamiast a; otrzymamy:

c²xn ~² —

(X — ć)n = xn — ncx

n — 1

n(n — 1) (n — 2)

1.2.3

czxn ~³ -j-.....

Podstawmy teraz w rozwinięciu (x-j- a)n jedność (1) zamiast a?, znajdziemy:

(1 4-a)n == 1 -j-na-f

n (n — 1)

a²-\

n(n—1) (n—2)

1.2.3

az

506. Dwumian Newtona można zastosować także do rozwinięcia wyrażeń, zawierających więcej niż dwa wyrazy. Przypuśćmy naprzykład, że chcemy rozwinąć (1 -j- 2x - x²)⁴. Uczyńmy y — 'ix — x²-, wtedy mieć będziemy:

{14- 2x — X²)⁴ = (1 4“ y)⁴ = 1 + 4y -j- 6y² -[- 4y³ -f- V*, czyli: (1 -f 2x — x²)⁴ = 1 + 4 (2x — x²) -f 6 (2x - x²)² +

-f- 4 (2x — x²)³ -f- (2x — x²)⁴.

Lecz:

(2x — x²)² = (2a:)² — 2 (2x) x² -(- {x²)² = 4a;² — 4x³ -f- a:⁴; (2# — x²)³ — (2a?)³ — 3 (2a;)². a:² -f- 3 (2x) (x²)² — (a:²)³ — =z8x³ — 12a?⁴ -f- 6x⁵ — a?⁶;

(2# — x²)⁴ — (2x)⁴ — 4 (2x)³x²-\-Q (2a?)²(a?²)² — 4 (2a) (x²)³ -j--f- (a?²)⁴ = 16x⁴ — 32a:⁵ -j- 24a?⁶ — 8x⁷ -j~ x⁸. Podstawiając te wartości w powyższe wyrażenie i robiąc wszystkie uproszczenia, otrzymamy ostatecznie:

(1 -j- 2a? — x²)⁴ = 1 -f 8a: -j- 20a² -f 8a:³ — 26a:⁴ — 8a:⁵ -f -j- 20a;⁶ — 8a:⁷ -j- xs.

507. W rozwinięciu (1 + x)n współczynniki wijrazów równooddalonych od wyrazu pierwszego i ostatniego są sobie równe.

W samej rzeczy: współczynnik wyrazu stojącego na miejscu r od początku rozwinięcia (t. j. takiego, przed którym

n{n—l){n—2).... (n—r+2) _

a ponieważ równość ta jest prawdziwą przy każdej wartości na a, przeto możemy w niej napisać x zamiast a, i będzie: n[n-V^

1.2

(1 -j- x) ” = 1 -(- nx -f

n(n—1) (n — 2)

1.2.3

a?³-j-....

znajduje się wyraz ó w (r—1), jest:

pomnożywszy licznik i mianownik tego wyrażenia przez (n — r -j- 1)!, otrzymamy:

n\ (r — 1)! (n — r+1)!

Wyraz, stojący na miejscu r od końca rozwinięcia, znajduje się na miejscu (n — r -f- 2)-giem, licząc od wyrazu pierwszego; jego współczynnik jest więc:

\n — (n — r -f- 2) -j- 2}

n(n — 1 ) (n — 2)

to jest:

n(n — 1) (n — 2)

(n — r 1)!

po pomnożeniu licznika i mianownika tego ułamka przez (r — 1)! zamieni się on na:

n\

(r — 1)! (n — r-j-1)! ’

a to jest wyrażenie współczynnika, znalezionego poprzednio.

508. Suma wszystkich współczynników w rozwinięciu dwumianu (1 -j- x)n jest równa 2 n .

Jeżeli bowiem we wzorze:

n(n — 1) o

(1 -f- x)n =1 -\-nx-J-

n(n — 1) (n — 2) ~TT2T3 *

uczynimy x = 1, otrzymamy:

2« = 1 -f- n -f

n{n—1) , n(n — 1) {n — 2) lT2.3~

1.2

n(n — 1) (n — 2) (n — 3)

509. Dotąd, mówiąc o rozwinięciu dwumianu (x -J- a)w, przyjmowaliśmy, że n oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą i dodatnią. Lecz wzór Newtona może być zastosowany do rozwinięcia (x Ą- a)n i w tym przypadku, gdy n jest ułamkiem dodatnim, lub ilością ujemną, całkowitą lub ułamkową. Czytelnik w obszerniejszych dziełach o algebrze znajdzie zupełny rozbiór dwumianu Newtona, w zastosowaniu do jakiegokolwiek wykładnika. Uważamy jednak za ćwiczenie poży-

teczne, podać uczącemu się sposoby otrzymania niektórych wypadków, w razie wykładnika ułamkowego lub ujemnego, z wzoru ogólnego. W tym celu przyjmiemy, jako rzecz wiadomą, że jakiekolwiek byłyby x, a i n, będzie zawsze:

(x + a)n — x n -f- naxn ~¹ -f-

n(n —1)

1.2

a%xn~³ -j-

n(n — 1) (n — 2)

1.2.3

n(n — 1) (n — 2) (n — 3)

Lecz w tym przypadku, gdy n nie jest liczbą całkowitą i dodatnią, szereg na drugiej stronie znaku równości staje się nieskończonym.

510. Jako przykład weźmy rozwinięcie (1 -j- y)L W tym celu we wzorze § 509 podstawmy 1 zamiast x, y zamiast a, i i- zamiast n. Będzie:

n(n — 1)

W™¹)

n(n — 1) (n — 2)

1.2.3

to I-¹

LO h-*-

1.2.3

16'

(ł-H

n{n — 1) (n — 2) (n — 3)

128 ’

i tak dalej. Zatem:

(1 -j-y)* = l + -i-2/

co! i-*

r.

128

yiJr ■ • • ••

— 4

Jako inny przykład weźmy (1 -J- y) . Tutaj we wzorze § 509 należy podstawić:! za y zamiast a, i— | zamiast w. Otrzymamy:

1. n(n— 1)    3 _ n(n — 1) (n — 2)

2~’ 1 . 2 ~~

1.2.3

16

n(n — 1 ) (n — 2) (n — 3)

35

—q ; i tak dalej. Przeto: 128

a+y) ^⁼    \y+^y*yi ~ ■

Jako dalszy przykład rozwińmy (1 -f- y) m- Tutaj na-

m zamiast n.

leży podstawić: 1 zamiast x, y zamiast a, i —

Będzie:

n — — m;

n(n — 1)_m (ni -j-1) _

m(m -|- 1) (ni -j- 2)

1.2.3

n(n — 1) (n — 2) _

1.2.3    —

n(n — 1) (n — 2) (n — 3) m(m -(- 1) (ni 2) (m -j- 3) _

TT2.3.4

1 . 2 .    .4

co

i tak dalej.

Tym sposobem otrzymamy:

(1 + y)~m — 1 — my -f-

m (ni 4- 1) o _

1.2 ~ ■'

m(m 4-1) (w+ 2) łj3 ”1 .2.3

m(m-fi) (m4-2) (m + 3)_

TT2T“a. 4

= 1? wtedy będzie:

ni

Jako szczególny przypadek uczyńmy

(i _|_ y)^ i = i — y 4- y² — y³ + y" —.....

Ten sam wypadek otrzymamy, dzieląc 1 przez 1 + 2/-

Bozwińmy jeszcze (1 -f- 2:r — z²)'² podług potęg rosnących głoski x. W tym celu uczyńmy 2x — x² — y, otrzymamy:

( i -f- 2x — ^²)'J — (i+ y) =

y~b²+Ły!l

= 1 -f- —■ (2x — x²)--(2x — x²)²    (2x — x²)³ —

—    (2a? — x²)⁴ +......

Wynajdźmy następnie wartości na (2x—x²)², (2x—x²)i... podstawmy w powyższe wyrażenie, i zróbmy wszelkie reduk-cye; otrzymamy ostatecznie:

CO |(M

xi 4-

(1 + 2x— X²f = 1 —J— — X² \ x³ —

PRZYKŁADY XLV1.

1.    Napisać trzy pierwsze i trzy ostatnie wyrazy rozwinięcia: (a — x)¹³.

2.    Rozwinąć: (1 — 2y)⁷.

3.    Rozwinąć: (1 — 2x -f x²)⁴.

4.    Drugi wyraz w rozwinięciu (x -f- y)n jest 240, trzeci 720, a czwarty 1080; znaleść, czemu się równają x, y i n.

5.    Rozwinąć: (1 — 2x)~ ł.

—10

6. Rozwinąć do pięciu wyrazów (a — 3b) 3 ; pokazać, wtedy czwarty wyraz tego rozwinięcia

i—l i lO

że gdy a — 1 i b =

no

jest większy, aniżeli wyraz trzeci i wyraz piąty, oso^j wzięte.

Rozwiązania zadań.

I. 1. 22. 7. 39. 8.    9.

ts p i i,

26.    3. 89. 4. 274. 5. 10. 0.    6.

5.

7.

81. 3. 94. 4. 81. 5. 21. (>.

7. 5.

3.

8. 6. 238.

7. 144. 8.

tH

9.    2.

2.    2.    3. 72. 4.    16. 5.    5. (>.

5.

IV.    1.    3.

7. 8.    2.

V.    1. 15a — 96.    2. 3a;² — 3y² 3. 3x — 3a — 26.

4. 2a -j- 26.    5. — 2a-j-26+2<i    6. 5a⁴-{- 4a³+3a;²-{-2a— 9.

7. 6a6 — 9a²a -j- 7aa² -f- aa³.

VI. 1. 3a + 46.    2. 4a-f-2c.    3. 2a;² — 2a; — 4.

4. Jx² — aa; -j- 2a².    5. 3a;³ -j- 4a; -f-16,a:³ -j- 8a;².

# VII. 1. a.

5.    4a — 166 — 2c. 6. 7x + 6.

7.

2. a -f- a³.

8. a;³ -j- if -(- z% — 3xyz.

3. — 26 + 2c.    4. 3c.

7. —8a;³ —8a;.

VIII. 1. 8a;⁵.

3. 4a³6³.

5. 49xiyizi.

7. 24a⁴ — 27a³6.

9. 2a;² -J- 3a;?/ — 2?/².

12. 2a:⁵ — 18a⁴ -f- 39a³ — 25a² -\- x 1.

2. 12a⁹. .

4. lôa⁷?/⁵,?³.

6. 12a³6 — 9a6².

8. a⁴?/⁵*'² — a²?/⁵,?⁶ + a⁴?/V*.

11. a;⁴ — 2a -}- 1.

10. 6a⁴ — 96.

13. a?⁶ -f 1008a; + 720.

15.    a⁴    4a³a? -j- 4a²a?² — a?⁴.

16.    a;³ + #³ -{- 3xy — 2a; — 2î/ —]— 1.

17.    a?⁵ — 32#⁵.

IX. 1. 5xl

14. x³ — 9a-x.

18. a?⁴ — «⁴.

2. — 8 a²b²c².

4. — a² -j- 4a — 5. 6. x² -J- x -j- 3.

3. x² — 2a; -f- 4.

5. 5a²b² -f ab — 4.

7. a?⁵ ~j~ xi -f- x³ -f- x² -]- x -j- 1.    8. a² -f- ab — b².

9. a⁴ — 2a³b -|- 4a²5² — 8ab³ -j- 165⁴.

10. x² -f- 2xy -f- 3y².

12. a;⁴ -j- 2a?³ + 3a;² -f 2a? -f 1.

14. a (b -f c) — bc.

11. a?² — 4a? -J- 8.

13. a? — c.

15. .a? -f y + z.

X. 1. 225a?² -f- 420a?# + 196#².

2. 49a?⁴ — 70a?²#² -f- 25#⁴. 3. a?⁴ -f- 4a?³ — 8a; -J- 4.

4.    4a?⁴ — 12a;³ — 7 a:² -j- 24a? -j- 16.

5.    x⁴    -j- 2a?³# -j- a?²#²    —- y⁴.    6. a?⁴ -j- a?²#² -f- #⁴-

7.    a?⁴    — a?²#² — 2a?#³    — #⁴.    8. a?⁴ — x²y² -j- 2a;#* —    #⁴-

9. a?⁴ — 18a?² -f 81.    10. 16a?⁴ -f- 96a?³# -f- 144a?²#² — 81#⁴.

11. a⁴x⁴ — b⁴y⁴.

XI. 1. «² -j-5²-f e².    2. a² -\-b² c².

3. 25 (a; -j- #). 5. b² - d².

4. 2 (a -j~ b -j- c) (a? -j- y -f- *)•

6. 6.

8. (a;² -j- xy -f- #²)².

10. a⁴ — a²b² -f- 5⁴.

12. (.a? - 3) (a?+ 3) (a?²-f 9).

7. a -{- b -f- c -j- d.

9. (a?² — a:# -f- #²)².

11. a⁴ — 5⁴.

13.    (x -j- 5) (a?² — 5a; -f- 25).

14.    (x — 2) (a? -f 2) (a?² -f 4) (x⁴ -j- 16).

15.    (x — 2) (a? + 2) (a?² + 2a? -f- 4) (a?² - 2a? -f 4).

2. 7a²5³a?³#³.

4. a? — 10.

6. x -}- 3.

9. a?²+ 1.

7. a?² — x -j-1.

10. a?-f 7.

XII.    1. 4a²5².

3. 3 (a? —j- 1).

5. a?² — 6a? — 5.

8. x² — x — 1.

XIII.    1. 36«W.

4. (a -f ô) (a³ — ô³).

3. 12ah (a³ -f b³}.

5.    x (2x + 1) (3x — 1) (4x -)- 3).

6.    (x² -|- 3x -f- 2) (x — 3) (x -J- 5).

7.    (x² -4 x -J- 1) (x² -f- 1) (x -f-1) (x — 1).

1). 105aè² (a -J- b) (a — b').

11. (x -j- 1) (x -j- 2) (x -j- 3).

2. 4cic —j—.

fj

4. x³ +    -f- x -4-1 -f- —

x —

8 (a² + b²)

b* + '

(x³ — 1) (x -f 1)

x² + l

o 4 (a-|- &)■

5 (a — ô) '

8. 36a³b³c³.

10. x⁸ — 1.

XIV.

4x

1. 3X + y .

5.

7.

*.

7.-

4a²

c-

4x

3?/'

XV. 1.

₈    2 (a — b)

3 (fl'-f- b)" ‘

2 a²x

3 y

2.?+.

a — b

x + 7 x — 5 x — a

x² — flx 4- fl-

9x2 (S* 12.x³

a (x² 4- flx 4- ft2)

10.    --~5--ï

x³ — aA

. . 11.

X 4“ C

4 (x — 1 )

4 (x² — 1) ’ • ' ’ x — c

(x — fl) (x — />) (x — c) ’

XVI. 1.

6a — Qb — c

2a

a² -f 2ab — b2 a²-b2 2x²

0.    2    1 ‘

X² — 1

. 3.

7.

IC

4.

4a

x³ — y³

"• ■a²- b² ’

5. JL^lh ô.)..

x² — b-48a³

<S* ₍*2 Zlâ»(**-9fl») ’

XVII. 1.

2. 1,

3.

(x — 1) (x 4- 2)

a²6²

Ł a² — b²‘

(a — c)² — 6²

O.

abc

6ay

₀    9c²x²

l6"aV ‘

Algebra

a -(- x

' y'

(:x² -j- a²) (xP -]-a⁴)

„ a -l- b — c o. ------ .

c —f— a — b

7.

6. ox — 1.

x- -j- ax -f- a²    x

8.    - .    9. —

ax

10.

x² — «²

x (a + b -j- c) — bc

XIX. 1.

. 2. 0. 3.

iCl

.    4. 2

Ol

XX. 1.

8. 96.    9. 24.

P 40

15. 1

O«: H—

21. 5.

7. 1.

5. a.

O'

9    3. 21.    4. 2.    5.

1 0.    11. 6.    12. 5.    13. 1.    14. G.

to •

(j. 6.    7. 2.

.    16. 11.    17.

to

2.

4.

to i M-

. 18. 1

rH CO

.    19. 10.    20. 12.

1.

2. 8.    3. — 7.    4. 16.    5. 5.    6. 7.

8.1.    9.2.    10. —1.    11.^.    12.20.    13.3.

14. 5.    15. a — b. 1(>. a-\-b.    17. 2(a-\-b).    18. c.

20. 4. 21. 50. 22. (a — b)*.    23. a.

,j5^52.

11. 24,

19.

ab—pg

aÿ-b-yp + g \

XXII. 1. 30. 2. 2. 3.

¹⁻¹ co'

31. 4.

6. 36, 27.    7. 28, 32, 8.

76.    12. 21.

150, 250.    17.

XXIII. 1. 72.    2. 12, 16. 3. 8, 16. 4. 30. 5. 55, 45.

iss»

o'e.

9. 8.

36, 12.

40.    14. 30000.    15. 24.    16. 50

18. 75,-25.    19. 18, 3. 3.    20.

O ł-L

6. po upływie 18-^- godz. 7. 60. 8. 875, 1125.    9. 20. 80.

10. 5. _

17 '

11. 240.    12. 24.    13. 60.    14. 25.    15. 49—

11

min. po trzeciej. 16. 32— min. po trzeciej.

17.    drugi 16 łut,, pokrywka 20 łut.

18.    6,3 metrów sześciennych tlenu i 23,7 metr. sześć, azotu.

19.    256. 20. 50. 21. 300. 22. 63. 23. 84 lata. 24. 1696. 25. 3 drachmy.

26.    A jest oddalone od B na 100 mil. Okręt przebył ll9~ m.

27.    7 mil.

28. po

d

v- jednostek czasu spotkają się. Niemożliwem

C ô

29.

jest rozwiązanie, gdy d jest różne od 0 i c' = c. -j—— jednostek czasu.

nc'

- jednostek czasu.

30.    po

31.    po upływie 17 lub 23 }

32.    12 stóp.

c' —

minut.

11

34. 8.

33. w wysokości 4 stopy.

XXIV. 1.10,7. 2 20,10. 3. 2, —3. 4.    ,2. 5.10,

; 0,2.    0. 3, 2.    10. 03, 14.

14.    ¹ ,

a b

a-fi a(b-{-1) ab-1-1 ’ ab A 1 '

1, 3.    2. 3, 4, 0.    3. 4, 0/ 5. 4. 5, - 5, 5.

5.    0. 4, 9.    7. 2.....

rH 03

1. 8.

to

11. 3, 2.    12. a, b. 13.

15. 7, 8.    16.

XXV. 1.

t-; o i oi

ab-c

a‘²bc

a² 4- b² ’ cfi-Ą-b²' (a -[- b\ -g- (a b).

CC .

0.

. _2    3

°m 3 ’ 4

6. x =

4 ’ 5 ' i- (ó + c) i t. d. 0. x = a, y = b, z = c.

11. 5, 11, 17.

12. « =

— n), i t d.

8. x = y =

abc

ab bc -f ca 10. v = 3, æ = 4, y = 5, 0 = 2. _ y = f;² — tt², 2 = a² — ó².

to

t-H

13. a; =    » V — 3 > ² ~

5- a -f & + c, y= — a-\-b 3

a -f & f c.

14. ic = u

c, z =

a — & -f >c,

XXVI. i. 24, 60. 2. 45, 63. 3. 4, 8.

4.    słupów 24, odległość pomiędzy dwoma najbliższymi 20 st.,

pomiędzy skrajnymi (24 — 1)20.

5.    14, 10.    «.    i'..

i-j-¹    <i H-¹

8.    idzie 4 wiorsty na godz., a płynie 3 wiorsty na godz. z po

czątku.

9.    54,90 kilometrów na godz.

, 937

O

7. 4700 rb., 4--$.

10. 562-^

60 kop., C 6 rb. 80 kop., D 13 rb. 20 kop.

13. 70,42,35. U. :    ^    15*.

2 mn    2mn    15

10. 40, 23.    17. 4500, 5500.    18. 42.    19. ^ wiorsty.

- . 23. 150, 120,

11. 37, 45, 52.    12. A 2 rb., B 3 rb.

20. 90, 72, 60. 21. 324. 22. 40

to M.

34

90.    24. 3

GC LO

rb.

cr-

rb.

25. 120, 80, 40.    26. 432.

27. 25, 35.

XXVII. 1.    < 1.    2. x < —

.    3. x < — 2

20

J47 ‘

5. Jeżeli ilość wina jest mniejsza od 1 kwarty. XXVIII. 1. Sx^fz¹-. 2. —8x⁶y⁶z⁹. 3. -

64a?³

27y* '

4. a,; — 3a⁴b² -j- 3a²b⁴ — b⁶.    5. 2(5a? -f- 10#³ + x⁵).

0. 1 — Łx² -j- 6,r⁴ — 4x⁶ -j- xs. 7. 1 -f- 2x + 3x² -j- 2,r³ -f- x⁴. 8. 1 -j- 3x -)- 6x- -j- 7xs Qx⁴ -f- 3xb -)- x⁶.

XXIX. 1. 3a²b². 2. 2ab.    3. — ±ab². 4.

5 ab

5.

6ab³

oc²

. 6. 4a A- ob. 7. 7a² — 6b. 8. 10. x% — 6x² -f- 12x — 8.

7c² * 3x² — 4:

2x— 3 11. 2x— 3 y.

13. 34.    14. 123.    15. 55,5.

17. 0,94868.    18. 11,35781.    10. 18,63488.

22. 27.    23. 138.

12. x² — (a -f- b) x + ab.

16. 70.58.

20. x — a — b. 21. x² — ax — a².

24. 0, 604

XXX. 1.    .    2. ¹

10 '

3. 100.

27.

5. a⁶.

0. a“¹ .

7. «12.

8. «9 + 1+ *- ⁴.

0. a- ¹ — 1.

1    1    1

■6"    TF    s

10. x +x y -\-x y

.    11. x-\-y.

12. x — 2«: —j— x .

13. x — 2#    .

XXXI.

5. 2 +

»O

1. 7V2.    2. 9h.    3.

y 6.    6.44- y 2.    7.5+2 1/6.    8.

lO

4. 2+21/2—2 y3. 24 — J/15

33

%3+Vb.    10+!+

11.2 +1/3.    12. FlO.

16. I/5ÖO 1+ 1/3"

15. y + x.

14. n.

y J y a⁷ = y a¹ (§296).

13. a + ni.

17.

18.

10.

}/x³-\-x²yy—xy—yy y ² — y

mr-\-ns

20. a ~«7~₌₌

(jwr -f- ns

21. 2a. 22. a.

XXXII. 1. ±4.    2. ±7.    3.1,2.

4. 3.-i

5.

DO! CO

tO l-¹

.    6. 4.    7. 44,- 2. 8. 3,

10. — 10, 9

11. 5.    1

12. 2

OJ LO

0. 3, — 5. -, 0.    13. « +•— .

14. + y ab. XXXIII.

5. 1.

15. •+ 1. 16. 0, a + b.

1. ± 2, ± 3. ^ 2. 4.    3.

6. “

3, — 2.    4. + 3.

7. 3a².

8. 0, + 5.

9. a, -2a,—2a.    10. 196, 49.    11. 256.

-1 ± I -.3

12. 1, V—l

13. 2,

XXXIV. 1. 36, 24.    2. 36, 24.    3. 30, 24.    4. 196.

5. 6, 12. 6. 126, 96.    7. 10, 9 w. 8. 4. 9.

10. 52—

m dług., 35 m. szer.

14. 3

00 i ł-»

I c² +~c,a

11.

- mili lub

^ mili na godzinę.

3. 4, —

XXXV. 1. 5, - 4; 4, —5.

S: 3«

2. ±8; ±6.

13 ’

13 '

4. 6, 0; 5, 0.

tO : CO

0.

«• -⁺-,0;    .

a ’    b

8. ± 9; ± 4. 9. ±9; ±3.

12. H⁻ 5: ~f- 3.

a -f b

0.

5* -g- , 0; - -

7.±4, ±fL; ±3.

10. 5, 4; 4, 5.

4 _

13. x ■=. a '.y (abc) ; i t. d. 14. Hz lj dz 2; Hz 3.

XXXVI 1. 10, 15.    2. 5, 3.    3. 7, 4.    4. 20, 15 dla

pierwszego. 5. 756, 36, 27.

0. 4-^- w. idzie na godz., 4— w. przepływa pod wodę.

Ł    u

7.    343 centym, sześć, i 64 cent. sześć.

8.    3 metry 4.2 metra.

9.    100, 80, 60 metr. Oznaczając przez x przeciwprostokątną,

przez y i z przyprostokątne, równania będą:

± V 2 '

11. Hz 4, ziz 3; zfc3, H~ 4.

y- + *²; (y + -    -i—

to H-*.

to I—¹

= 13:11;

tO H"l

x -f z -f 20j : ( x -f y — 2oj — 13:11.

10. Bachus w 6 godz., Syien w 3 godz. Równania:

CC

?5

cs

4. a)

972

157 ’

CM ICO

«S

J-*

rH

rH

r co

GCI tO H 1^

rH CM

H-*

to

=ss| H

CM ICO

CM ICO

ŁOI I-¹

OC: to « l<sg

CO CM

tO H-A

to oc

to i—¹

r r-

r tH

CO ^ csf

CM rH

i—¹ O' -to ^ ^

rH rH Ot) _ CO

K tO LO

t—*■

rH

Ol

>o

i—¹

•H

to

to

05

; 6)

421

157

; c)

421

59 '

b) 6, 1, 2, 2, 2,1,12...;

5. a) 3, 3, 6, 3, 6... ;

c) 7, 1, 2, 7, 2, 1, 14.

6.

1520

273 *

7. a) V 3 ; b) J/ ~ ; c) pierwiastek dodatni równania x² 4-

ą. 2x — 2 = 0; d) pierwiastek dodatni równania 7x² — Sx — — 3 = 0.

8. 6, 1, ,

7, 1

11. Jeżeli wartość -f- -

CO CO

i,

, 1,

10 (M

CO rH

rH CO

CM rH

1—¹

a₂ -f- 1

, a poprzednie

to:

przybliżenie oznaczymy

as "b 1

= Y i d-

L 3

bliżenie poprzedzające przez

JJr

Qn— 1

wtedy wartość ułamka 2)

będzie

Pn

Ą_i

. Gdyż Pn = P„_i -j- Pn—2 Pn—2

Pn-1

-—    -j-

— an -f⁻

Pn—1

Pu—2i

a że:

przeto:

-Pfi—1    ł n- '1 ^ ti—1    i^ n—3 ,

i ii—3

Pn-2 ’

P*-2

skąd:

Pn

- Q>n ~f"

i t. .

. ZL,

i, 1    ²

12 ’ 25 ’ 37

CO

S ⁰⁰

11    19    334

13 ’    35 ’ 4131 '

CO

14. x¹ — x — 1

= 0; j ,

(O

tO 00

lO CO

00 10

XL. 1. a) x = 2, y = 1; c) a? = 90, y = 0; a) x = l,y — 5; a) a; = 2, y — 17; e) x = 2, y = 1;

b) x = 4, y — 5;

d) a? = 4, y — 8.

//) a? = 11, y — 18. b) x = 17, y = 7; d) x = 145, y = 203.

4.    a) x — 1, 2, 3; y — 6, 4, 2; £ = 5, 6, 7.

&) a; = 7, y = 8, 0 = 9; c) niema rozwiązań.

5.    x — 15, y — 3, z — 1 i t. d..

6.    185, 15; 119, 81; 53, 147.    7. 105 p -f- J 04.

8.

Ol: tO

¹ 13

11. Mężczyzn: 1, kobiet: dzieci:

. . . 9. 45, 30, 15; 4, 12, 20.    10. 785.

OO ^ 1-^

1, ,

(M (M O

OO ÇT» to

co co 10

t\0 tO CI'

15, v 1, 1 ,

XU. 1. 936. 2. 139 --.    3. - 115.    4. 14, 16, 18.

rH Ol

tH :CO

6. 82.

7. 1, 2, 3, 4, 5.

8. 1, 2.

». b == —

r(q — 1) — u (p — 1)

Q — P

u (n — p) — r (n — q) q — p

2 (qr

s = —

— pu) -}- (n -f- 1) O — r)

10. 210.

11. 27.

5.

XLII. 1. 1365.    2. 63(^2 f 1).    3.

CO

4.

33 '

6.

557

1980 '

7. 8, 12, 18, 27.

8. 3, 6, 12.

æ¹⁰ — y10 x —y

11.    18,446,744,073,709,551,615 ziarn. Dla wyrażenia tego

w korcach można przyjąć, że kilogram pszenicy ma około 20,000 ziarn, a korzec waży 100 kilogramów.

XLI11.    ». 0,015196.    10. 0,27999.    11. 0,001885.

12.    1,0218.    13. 0,6789.    14. 0,7699.    15. 1,3987.

21. x — 20; ij = 5.

». 's = 2047-X-

= 2. 10.

XLIV. 1. 71819 rb. 2. 9398 rb. 10 kop. 3. 5,24%-4. Po 27 latach. 5. 24,959.    (>. 2089 rb. 7. 674 rb. 23 kp.

XLV. 1. 134596. 2. 5040. 3. 126. 4. 1900. 5. 27.

6. ~ n (n — 1) (n — 2) (n — 3).

7. 10! — 9! = 3265920. $

1. a¹³ — 18anx -j- 78a¹¹x²... - 78a²x^ -f 13 oxVi — x¹³.

2. 1— 14y-f-84y² — 280y³ + 560?/⁴ — 672y⁵ + 448y⁶—128y⁷.

XLVI.

Algebra

34*

3.    1—- Sx -j- 28a?² — 56a?³ -)- 70a?⁴ — 56a?⁵ + 28a?⁶ — 8a?⁷ -|- a?⁸.

4.    a? = 2, y = 3, n=5.

5.    l-|-2a?-f 4a?³ + 8a?³ + ....

10    13    16

6.    a -4- 10a ~s b -f 65a~ T b² +

4940

. 3

1040

19

K— a~3 Z>³ +

3

22

a 3 Z»⁴.

mUlIEIt MUUttHHH

KRAKOW

KONIEC.

/x

*

y—a——w» »

ŒüJ

M

* v4«j, /;

.

i.

W 1* 7 •' -

%i i Ï

mjà ¹

fl

â

>>

li

•f

7

%

Ü

•>

-, I

.

tik

%

u •:h

Mi

'

• jRLflfr

/

sMmr:

iv

>%•»

p

1

w. /

\

•%

i

■

V

f

u

ilf HttI

■

3&f

...    • V. <.-.v -- .    --■    .■    K.^    -

yr'-\X

.V*'-

:

•r'

N,.

.

»

:>•

4ÿ

SU Ms

K

V¹

x-1-

m

\

'

'vT

/

;],

y

4

i;fc

>

Ü

'

V

'

J .

:

&

.y

•/ •

■

'■> 4>

■ '"v '

4.4^ -    'Æ~ v,%. ■■’

«11» 4

' . ■

-

. v m m vt^o -

m

4

f;

'

■J'    .

■

j*

/; '

J f»

.

• '

ms-

- >:

, /MM}

«

;

■

»

; ■ ■

à

-

%

-r

#

;•

:

;s

I

i

.

MH

i

.

V ■

-

'

'

;

'•« ‘l '•

*    ' f

m

'

/M;

• '•)

rf

iS:

...

EX

mmmm

:-Æâ

'■'ß*&

; •}«

II

N®

BIBLIOTEKA GŁÓWNA f Politechniki Krakowskiej

fci,

* Jm

■lüft

CM

f«?

P:7

Vv'

i-

[Æ

giV

v*4

ài»!

»1

I¹"'

9f.

i*'V

Sg^<»

mm

-ri

W' *

■M

k>.

' -y

iWÇ:

f?-..

5P?*!

:?

y’

K;

Ï;S

■•y

» ÏÎJ

*'3

Biblioteka Politechniki Krakowskie)

R

il

flïgSr

■il

ii

100000295809

«p

Éælâàî:!

••■v-

É

r: i

|ü

«£

kl* • V-TT< »

’Vv

z*

=*. •

.•33

.■

mm

kl⁷''’

■<*

iL.V>