WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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prof. Dr. S- Bauffmautt.

t6@rie£bif(¹'rt

îttnbe oonttla Biblioteka Politechniki Krakowskiej

9 DoQbilbern.

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©efcbicbte ber beutfebeu Sprane twn

28 Hltt^bitefitteratur

unb Hlittelbocbbeutfcbe ©rammatif non ptof. Dr. ©oltber.

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67    Kui'fifdteo £efebu4>

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68    Huffif<beö@efprä4>bu4>

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70    ©rie4)if4>e £itteratur=

geiebicbte non prof. Dr. Klfreb ÖJertfe.

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Samłniung <Böfcß«n.?ÄS

©. J. ©oicpeu’fcbe Derlagsbanblung, Cctp3ig.

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7\ Tbemie, Allgemeine u.

pbçütalif(be. oon Dr. îïïar Hubolpbi.

72 projeftine (geometrie

oon Dr. Sert Doebïemann. mit 57 3um (Teil 3ioetfarbigen Figuren.

TsDölfertun&e&ftÄ

56 Abbildungen.

s? ©obere Analste I:

Differentialrechnung- Don Dr. $vbv. Juuter. mit 63 ^tg.

ss&obere Analpfte II:

Jntegralreebuung. Don Dr. ^rdr. Junfer. ma «5    *«■

74 Die Baufunft b. Abenb=

89 Analçtif^e (geometrie des Aaumes

oon prof. Dr.

m.6imon.mit

lande* oon Dr. Ä. Sebafer. mit 22 Abb.

28 Abbildungen.

75 Die (grapsen ïuinfte

90 Ætbif

oon (Earl Barapmann. mit 3 Beilagen und 39 Abbildungen.

76    CEbeoretif4>e pfypftf,<4:

med?anif unb Afuftif. Don Prof. Dr. ©UÛaü Jäger, mit oielen Abbilbgn.

77    PbPftf, Cdi:

£id?t unb XDàrme. Don Prof. Dr. ©ufîao Jager, mit oielen Abbilbgn.

78    îtheoretif4»e ptmfif, <£«:

©leftridtât unb magnetismus. Don Prof. Dr. ©uftao Jäger, mit oielen Abbilbgn.

oon prof. Dr. 2Ç. Adelte.

9 \ AftrOpbpfif^Mm'^efK^

oon prof. Dr. XDalter £. IPislicenus.

92 HIatbemat.CBeograpbie

3ufamment)ânaenb entroicfelt unb mit ge» ordneten Denfübungen oerfet}en oon&urt ©eitler.

93Deutf4>e6 £eben im p.

Jal?rl?l!nbert. Aulturt)ifi.£rlâuteruuaen 3. Hibelungrnlieb u. jur Aubrun. Don

prof. Dr. Jul. Dieffenbacper. mit Dielen Abbilbgn.

79 <Botif4>e Sprad)benf=

mâler mit ©rammatif, lXeberfefcung u. ©rlàuterungen d. Dr. Hermann janften.

soStilfunbezÄ!»:

bilbgn. unb Tafeln.

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ftettige, non prof. Dr. Hermann Sd?u» bert. Jn 3u?eifarb. Drucf.

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oon prof. Dr. ID. Dotfcb.

83jnbif4>e Aeligionsmif*

fenfehaft oon prof. Dr. ildmund Ibarbp.

855Fan3öfif<be (gefegte

Don prof. Dr. 2t. Sternfeld.

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Stenographie (Syftem Sto^Scbrey) oon Dr. Amfel.

Don Jj. IU&’

1er. mit [

£id}tbrucfbeilage u. 3afylr. Abbilbgn.

95 Paläontologie, d" *«1:

9^ Photographie.

'feoerneô. mit Dielen Abbildgn.

96Betregungôfpiele

oon prof. Dr. ïtoblraufd?. mit H Abbildungen.

97 Stereometrie ÄÄ: 98©runbri0 ber Pfp^o*

pbpfif oon Dr. ©. £. Cipp*.

99 Trigonometrie

oon Dr.

©erb. Deffenberg. mit oielen $i.

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\ooSâ4>fif4>e (gef4>icf>te

oon Beftor prof. Dr. <p. Saentmel.

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mit oielen Abbittungen.

ftmtfeijung ôwf ber bierten łBorfalffcite !

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prof. Dr.&Xîemberfc.

Sammlung Göschen

Geometrisches Zeichnen

von

H. Becker

Architekt und Lehrer an der Baugewerkschule in Magdeburg

Mi t 282 Abbildungen

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«Bmcßftgftetf o« <Botf

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Zweite Auflage

Leipzig

G. J. Göschen* sehe Verlagshandlung

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Alle Rechte, insbesondere das Recht der Uebersetzung, Vorbehalten.

KD 5 13 1003.63 023

Angabe der Werke, aus^denen Beispiele entnommen sind :

Grammatik der Ornamente von Owen Jones. Handbuch der Ornamentik von Fr. Sales Meyer. Gotisches ABC von Hoffstadt.

Lehrbuch, des Zirkelzeichnens von Eggers.

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KRAKÓW

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Druck von Carl Rembold & Co. in Heilbronn.

Inhalt.

Einleitung............

I. Konstruktionen der elementaren ebenen Geometrie.

1.    Netze ....

Flachmuster als Vorbilder Fensterverglasungen Parkette ....

Plattenbeläge .

Flechtbänder . - . ‘r*-.

Mäanderkonstruktionen Bänder ....

Flechtbänder .

Rahmen- und Gitterwerko

2.    Das Quadrat

3.    Das Dreieck

4.    Das Rechteck

5.    Die Raute und das Trapez

6.    Das Fünf-, Sechs-, Neun-, Sieben- und

Achteck

7.    Der Kreis .

8.    Der Vielstrahl .

Seite

Tafel 1.

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XVI.

Fig. 127—134 XVII.

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XX.

23

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20

20

34

37

II. Kurven.

1.    Die Ellipse

2.    Die Parabel

3.    Die Hyperbel

4.    Die Spirale

5.    Die Evolvente und Evolute

6.    Die Ovale

7.    Die Cycloide

8.    Die Cissoide

9.    Die Conchoide

Figur 178 und 179

XXI.

XXII.

XXlll.

XXIV.

XXV.

III. Praktische Verwendung krummer und gerader Linien.

1. Charakteristische Bogenlinien. Der Halbkreisbogen <

Der flache Stichbogen .

Der hohe Stichbogen .

XXVI.

40

44

45

47

49

51

51

54

55

55

Der Spitzbogen.....

Der gedrückte Bogen ....

Der gedrückte Spitzbogen .

Einhüftiger (geschobener) Bogen Der Karniesbogen (Eselsrücken)

Der Hufeisenrundbogen Der Hufeisen Spitzbogen Der maurische Hufeisenspitzbogen .

Der spitze Karniesbogen .

Der gedrückte Karniesbogen

Der Sternbogen.....

„Besetzte“ Bogen.....

2. Charakteristische Ornamente. Ornamente wilder Völkerstämrae

. Tafel XXV11.

XXV111.

XXIX. XXX. . XXXI. XXX11.

Aegyptische Ornamente Assyrische und persische Ornamente Griechische, pompejianische und römische

Ornamente (klassische Kunstepoche) XXX111-XXXV1. Byzantinische Ornamente .

Maurische Ornamente .

Mittelalterliche Ornamente Dreibogen Vierbogen Fünfbogen Sechsbogen Zweischweifung Dreischweifung Vierschweifung Fünfschweifung Sechsschweifung .

Gotisches Fenstermasswerk Ornament der Renaissance

XXXV11.

XXXVlll.

XXXIX.

XL.

XL1.

XL11.

XL 111. XL1V. XLV-XLVll.

IV. Massstäbe, Verkleinerungen und Vergrösserungen.

Massstäbe Verkleinerungen . Vergrösserungen .

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Einleitung.

Das geometrische Zeichnen befasst sich mit dem Zeichnen ebener Figuren unter Anwendung der wichtigsten in der Praxis vorkommenden geometrischen Konstruktionen.

Eine ebene Figur kann geradlinig, krummlinig oder gemischtlinig sein.

Eine gerade Linie ist, je nach ihrer Lage, wagrecht (horizontal), senkrecht (lotrecht, vertikal) oder schräg. Zwei gerade Linien, welche in einer Ebene liegen, sind entweder parallel oder schneiden sich, im letzteren Falle entstehen Winkel.

Schneiden sich in einer Ebene drei oder mehrere Geraden in mehreren Punkten, so entsteht eine ebene geradlinige Figur, an welcher man Seiten, Ecken und Winkel unterscheidet.

Die einfachste krummlinige Figur, welche überall gleiclimässig gekrümmt ist, ist der Kreis.

Um krumme Linien zu konstruieren, hat man zwei Methoden:

1.    Ermittle verschiedene Punkte und verbinde dieselben freihändig durch eine krumme Linie mit einander. Fig. 1.

2.    Bestimme verschiedene Geraden, welchen die Kurve freihändig eingezeichnet wird. Erstere sind Tangenten der Kurve. Fig. 2.

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Die Form einer Kurve ist sehr verschiedenartig. Wir denken uns die Kurve entstanden aus der Fort-bewegungeinesPunktes.V erändert derselbe bei dieser Bewegung fortwährend die Richtung und weicht von der geraden Richtung immer nach derselben Seite ab, Fig. 3, so unterscheidet man eine äussere (convexe) Seite a, und eine innere (concave) Seite i der Kurve.

Weicht der Punkt bei seiner Fortbewegung dagegen nach verschiedenen Seiten einer Geraden ab, Fig. 4, so ist a der Wendepunkt in der Richtung; die daselbst an die Kurve gezogene Tangente heisst Wendetangente.

Schneiden sich zwei Kurven, Fig. 5, so entsteht ein Doppelpunkt a.

Schneidet sich eine Kurve selbst, Fig. 6 und 7, so entsteht eine Schleife.

Wird die Schleife gleich Null, Fig. 8 u. 9, so bildet die Kurve eine Spitze. In Figur 9 ist letztere ein Schnabel,

Je mehr eine krumme Linie von der geraden Linie abweicht, Fig. 10,

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so grösser ist ihre Krümmung.

-#7.

Beim Zeichnen wag rechter Linien wird die Reissschiene mit dem festen Kopfe nuran die linke Seite des Reissbrettes fest angelegt, senkre chte Linien werden mittels des Winkeldreiecks so gezeichnet, dass man dasselbe mit einer Kathete fest an die Reisschiene legt, welche gleichzeitig fest an die linke Seite des Reissbrettes angedrückt werden muss. (Fig.ll.)

Alle Linien werden stets auf der Lichtseite der Schiene bez. des Winkels und zwar gleichmässig langsam, aber auf einen Zug gezogen, wobei der Bleistift resp. die Reissfeder senkrecht zu halten ist.

Zum Zwecke des Abstechens von Strecken wird der Zirkel mit den drei ersten Fingern der Rechten gehand-habt; sobald die Strecke abgestochen ist, wird derselbe am Kopfe gefasst und die Spitze in das Papier leicht eingedrück t.

Beim Ausziehen von Kreisen mittelst Zirkelfeder müssen die Schenkelgelenke des Zirkels stets so weit abgebogen werden, dass sowohl der freie Schenkel als der Federeinsatz genau senkrecht auf dem Papier aufstehen. Kreise zieht man stets von links nach rechts aus.

Alle Gerätschaften sind im besten Zustande zu erhalten. Man arbeite nie mit stumpfem Bleistift, oder stumpfen Zirkelspitzen! Man gewöhne sich, sämtliche Hilfsmittel in eine bestimmte Ordnung neben sich zu legen ; sehe von Zeit zu Zeit das bereits Aufgezeichnete durch, um sich vor Fehlern zu sichern.

Zu unterscheiden sind:

■12.

Eine voll ausgezogene Linie:

■13.

Eine kurz gestrichelte Linie :

Eine lang gestrichelte Linie:    ^

Eine strichpunktierte Linie :

16.

17.

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22.

I. Konstruktionen der elementaren ebenen Geometrie. *)

1. Netze, Tafel I,

nennt man die Hilfslinienverbindungen, welche man nötig hat, um geometrische Muster z. B. für Fuss-bodenbeläge, Parkette, Fensterverglasungen u. s. w. zeichnen zu können.

Liegendes Quadratnetz. Fig. 16. Trage die gleichmässige Teilung nach einer Lichtung hin auf, ziehe durch die Teilpunkte die Parallelen, schneide dieselben unter 45° mit einer Linie. Die Schnittpunkte dieser Schrägen mit den Parallelen zeigen die Teilung, nach der anderen Lichtung.

Quadratnetz über Eck. Fig. 17. Trage die Teilung auf einer Geraden auf, und ziehe von den Teilpunkten aus beiderseitig Parallelen unter 45°.

Gerades Netz mit abwechselnder Teilung. Fig. 18. Konstruktion ähnlich wie Fig. 16.

Ueber Eck gestelltes Netz mit abwechselnder Teilung. Fig. 19. Konstruktion ähnlich wie bei Fig. 17.

Dreiecknetz. Fig. 20. Dasselbe beruht auf der Konstruktion des regelmässigen Dreiecks und kann auf zweierlei Arten gelagert sein. Fig. 21 und 22.

*) Vorüb ungen siehe SammlungGöschen Nr. 39 : Zeichenschule Seite 53—63. Ueber die Eigenschaften der Figuren vergleiche Sammlung Göschen Nr. 41 : Ebene Geometrie §§ 5—14.

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Netz für maurische Ornamente. Fig. 23. Zeichne in einen Kreis ein regelmässiges Sternachteck bestehend aus zwei Quadraten, woraus sich die Einteilung ergiebt. Siehe Fig. 24.

Tafel II bietet Flachmuster vom Quadratnetz oder Dreiecknetz ausgehend als Vorbilder für Wandmalereien und Fussbodenbeläge.

Tafel III zeigt einfache geometrische Fensterverglasungen.

Tafel IV und V Parkettmuster in einfacherer und reicherer Zusammenstellung.

Tafel VI und VII Plattenbeläge. Tafel VIII, zeigt die Entstehung maurischer Flechtbänder aus dem zu Grunde liegenden Netz. Reichere Beispiele maurischer Ornamente siehe auf Tafel XXXVIII. Tafel IX bringt den „Mäand er“ (à la grecque) in seiner Entstehung aus dem einfachen Quadratnetz. Weitere Beispiele dieser in fast allen Stilarten vertretenen Figur siehe Tafel XXXV. Regelmässig verteilte Punkte durch gerade oder geschwungene Linien verbunden ergeben die sogenannten Bänder:

Tafel X zeigt einfache Bandmuster.

Tafel XI stellt Flechtbänder dar, welche entstehen, wenn mehrere Streifen sich gegenseitig durchflechten.

Tafel XII bietet Rahmen- und Gitterwerke. Diese beruhen auf der Netzeinteilung und lassen die mannigfaltigste Gestaltung zu. Verwendung finden dieselben besonders in der Bau- und Möbeltischlerei.

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Tafel VII. Plattenbelägre. Becker, Geometrisches Zeichnen.

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2. Das Quadrat.

mit seinen gleichen Seiten und Winkeln kann man auf die verschiedenste Weise in Einzelfelder teilen. Hierfür sind die Hauptanhaltslinien die beiden, die Ecken verbindenden Schrägen (Diagonalen) und die beiden, die Seitenmitten verbindenden Geraden (Transversalen).

Tafel XIII zeigt einfache Eelderteilungen des Quadrats, sowie auch reichere Ausbildungen: auf Tafel IV bis VII und XXY, XXVIII, XLI, L und LI sind verschiedene quadratische ornamentale Beispiele aus verschiedenen Stilarten ersichtlich als Eussböden, Deckenteilungen u. s. w.

3. Das Dreieck.

Die Dreiecke werden eingeteilt : I. Hinsichtlich der Seiten:

In gleichseitige Dreiecke Eig. 102, Tafel XIV mit 3 gleichen Seiten, gleichschenklige Dreiecke mit 2 gleichen Seiten Fig. 103 und ungleichseitige Dreiecke, Fig. 104, in denen alle 3 Seiten untereinander ungleich sind. Die beiden gleichen Seiten der Fig. 103 heissen Schenkel, die dritte Seite Grundseite (Basis).

II. Hinsichtlich der Winkel:

a)    in rechtwinklige Dreiecke Fig. 105, in welchen die beiden Seiten, von denen der rechte Winkel eingeschlossen wird, Katheten, die dritte Seite, welche dem rechten Winkel gegenüber liegt, Hypotenuse heisst;

b)    in schiefwinklige Dreiecke; letztere wieder in spitzwinklige und in stumpfwinklige Dreiecke.

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Tafel XIV. Dreiecke. Felderteilung der gleichseitigen Dreiecke.

Figur 103 zeigt ein spitzwinkliges, Figur 104 ein stumpfwinkliges Dreieck. Einfache öfters vorkommende Felderteilungen regelmässiger Dreiecke sind auf Tafel XIV gegeben in den Figuren 106—109.

4. Das Rechteck.

Das Rechteck mit 4 rechten Winkeln und ungleichen Seiten wird auch Oblong oder Rechtangel genannt. Diese Figur wird am häufigsten dem Schmuck von Wänden, Decken, Fussböden, Füllungen zu Grunde gelegt. Die Felderteilung ist dabei, wie Tafel XV zeigt, sehr verschieden, da der Längenunterschied der beiden Seitenpaare die verschiedensten Verhältnisse bedingen kann. Bald nähert sich das Rechteck der Quadratform, bald erscheint es sehr langgestreckt.

5. Die Raute und das Trapez.

Ein gleichseitiges Viereck mit paarweise ungleichen Winkeln heisst Raute. Die Fig. 117—119 auf Tafel XVI geben die Raute und gewöhnliche Teilungen derselben.

Das Trapez ist ein ungleichseitiges Viereck (Fig. 120, Tafel XVI); hat es ein paar paralleler Seiten (Fig. 121), so heisst es Parallel trapez. Fig. 122 ist ein sogenanntes symmetrisches Trapez. Die Fig. 123—126 sind gewöhnliche Felderteilungen des symmetrischen und des Paralleltrapezes.

6. Fünf-, Sechs-, Neun-, Sieben- und Achteck.

Zeichne ein Fünfeck in einen Kreis von gegebenem Halbmesser. Fig. 127.

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Strecke D₃S nach dem Umfange des Kreises. Diese Länge ist die Seite des Fünfeckes, oder 5mal im Kreisumfang enthalten.

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Errichte ein Fünfeck über einer gebenen Strecke als Seite. Fig. 128.

Beschreibe von den Endpunkten der gegebenen Strecke, M und Mj, aus mit der gegebenen Strecke als Halbmesser 2 Kreisbogen, welche sich in S und in Sl schneiden. Mit derselben Zirkelöffnung beschreibe aus S, Bogen durch M und durch M1? welcher in A und in B die aus M und Mj beschriebenen Kreisbogen und in C die Verbindungslinie SSt schneidet. Ziehe von

A durch 0 und von B durch C Gerade bis zum Schnitt mit den Kreisbogen in D und E. Mit der Zirkelöffnung MM, mache von D und von E aus einen Kreuzschnitt in F, so ergeben die Verbindungslinien FD, DM,, M,M, ME, EF das verlangte Fünfeck.

Zeichne ein Sechseck in einen Kreis von gegebenem Halbmesser. Figur 129.

Setze mit der Zirkelöffnung MM, (also mit dem Halbmesser) in beliebigem Punkte des Kreises, hier in Mt ein und beschreibe einen Kreisbogen, welcher den Kreis in M₂ und in M₃ schneidet; mit derselben Zirkelöffnung bestimme, wie in der Figur angegeben, die übrigen Punkte des Sechseckes.

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Zeichne ein Neuneck und ein Fünfzehneck in einen Kreis von gegebenem Halbmesser. Figur 130. Zeichne in den Kreis ein Dreieck und ein Fünfeck derart, dass beide Figuren mit einer ihrer Ecken auf demselben Punkte des Kreisumfanges, hier in D Zusammentreffen. Ziehe die Gerade DG durch

Die Strecke E G ist die gesuchte Seite

den Mittelpunkt des Kreises, durch M, bis auf die Linie AB.

des Neuneckes: Dieselbe ist 9mal im Umfang des Kreises enthalten. In der Entfernung A C enthält diese Konstruktion zugleich den 15. Teil des Kreisumfanges oder die Länge einer Seite des umschrie* benen Fünfzehneckes.

Zeichne ein Siebeneck in einen Kreis von gegebenem Halbmesser. Figur 131.

Trage den Halbmesser des Kreises auf einen beliebigen Teil seines Umfanges, hier von A nach B, mache von diesen beiden Punkten mit beliebiger Zirkelöffnung

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einen Kreuzschnitt in C und verbinde diesen Punkt mit dem Mittelpunkt M, wobei die Linie AB in D geschnitten wird. Die Strecke DM ist der 7. Teil des

Kreisumfanges, oder die gesuchte Seitenlange des Siebeneckes.

Errichte einSiebenecküber einergegebenen Strecke als Seite. Eig. 132.

Verlängere die gegebene Strecke AB und trage auf derselben die Strecke AB von A nach C. Mit der Zirkelöffnung CB mache von C und von B aus einen Kreuzschnitt in K, mit derselben Zirkelöffnung einen solchen in Kt und zwar von C und von K aus. Verbindet manB mit Kt und A mit K, so schneiden sich die Linien in S. Macht man nun von A und von B aus mit der Zirkelöffnung BS einen Kreuzschnitt in M, so ist der so gefundene Punkt der Mittelpunkt des Kreises und die Strecke AB der 7. Teil seines Umfanges.

Zeichne ein Achteck in einen Kreis von gegebenem Halbmesser. Fig. 133.

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Becker, Geometrisches Zeichnen.

gleichen die vier rechten Winkel teilend, die Linien EF und GH durch M. Die Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis gehen die 8 Ecken des Achteckes.

Errichte ein Achteck über einer gegebenen Strecke als Seite. Figur 134.

Schlage mit beliebiger Zirkelöffnung von A und von B, den Endpunkten der gegebenen Strecke aus die Kreuzschnitte C und D, verbinde dieselben durch eine Gerade, welche AB in E schneidet; beschreibe mit der Zirkelöffnung EA von E aus einen Kreisbogen nach F, setze in F ein und beschreibe von hier aus mit der Strecke FB einen Kreisbogen durch die von G durch D gezogene Gerade, welche in M geschnitten wird: dies ist der Mittelpunkt des dem Achteck um beschriebenen Kreises und die Strecke AB ist der 8. Teil seines Umfanges.

Bei den Felderteilungen der Vielecke bilden die Verbindungslinien der Seitenmitten (Transversalen) oder die Verbindungslinien der Ecken (Diagonalen) oder beide zusammen die Hilfslinien. Die Fig. 135—142 der Tafel XVII geben einfache Felderteilungen verschiedener Vielecke, reichere Beispiele sind auf den Tafeln XXXII, XXXIV, XXXVI, XXXVII, XXXVIII vorhanden.

7. Der Kreis.

Eine gebogene Linie, deren sämtliche Punkte gleich weit von einem Punkte, ihrem Mittelpunkte (M), entfernt sind, heisst Kreis. Fig. 143. Die Verbindungslinie eines beliebigen Punktes der Kreislinie mit dem Mittelpunkt (MH) heisst Halbmesser (Radius). Verlängert man den Halbmesser über den Mittelpunkt hinaus (nach D) bis zum Schnitt mit dem Kreis, so erhalten wir den Durchmesser (Diameter). Alle Halbmesser und alle Durchmesser eines Kreises sind untereinander gleich lang. Jeder Durchmesser teilt den Kreis in 2 gleiche Halbkreise, 2 aufeinander senkrecht stehende Durchmesser teilen den Kreis in 4 Quadranten. Eine beliebige, die Kreislinie schneidende gerade Linie nennt

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Sehne (Chorde).

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man Sekante (SSj), sie teilt die Kreislinie in zwei Kreisbogen, das innerhalb der Kreislinie liegende Stück der Sekante (S₂S₃) nennt Eine die Kreislinie in einem Punkte berührende Gerade ist die Tangente (TTJ.

Die Fläche, welche durch die Sekante S₂S₉ abgeschnitten wird, und zwar die nach aussen gelegene,

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Teilungen des Kreises.

heisst Kreisabschnitt (Segment), die durch HM und durch HjM abgeschnittene Fläche heisst Kreisausschnitt (Sektor).

Der Kreis wird meist durch gebogene Linien oder durch Gerade und Kreisbogen zusammen in Felder geteilt. Die Tafeln XVIII und XIX behandeln einfache Teilungen des Kreises, auf den Tafeln XXX, XXXI, XXXIII, XXXIV, XXXVII, XXXIX, XLV sind die verschiedensten Beispiele gegeben, die mannigfaltigen Kreisteilungen aus der Gotik sind unter XL bis .XLIV ausführlich behandelt.

8. Der Yielstrahl.

Tafel XX bringt Gestalt und Konstruktion verschiedener Vielstrahlformen. In der Yerzierungskunst tritt diese Figur meist als Gerippe für sternartige Gebilde, Rosetten u. s. w. auf.

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1. Die Ellipse

ist eine ebene, krumme in sieb zurückkehrende Linie von der Eigenschaft, dass die Summe der Entfernungen eines beliebigen Punktes derselben von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, stets dieselbe Länge giebt. In beistehender Figur 163 sind P und P Punkte

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der Ellipse und B und BA die Brennpunkte. Punkt M, welcher die Entfernung der beiden Brennpunkte halbiert, heisst Mittelpunkt der Ellipse, jede durch denselben laufende gerade Linie schneidet die Ellipse in 2 Punkten und das von den Durchschnittspunkten begrenzte Stück wird im Mittelpunkt halbiert. Eine Sehne, welche auf diese Art durch den Mittelpunkt geht, heisst Durchmesser oder Achse. In der Figur ist A A die grosse und At At die kleine Achse. Die Endpunkte der grossen, sowie die der kleinen Achse sind die Scheitelpunkte der Ellipse; eine gerade Linie von einem Brennpunkte nach einem Punkte der Ellipse, z. B. B P, heisst Pahrstrahl, Leitstrahl (radius vector).

Um eine Ellipse zeichnen zu können, muss man entweder die Länge beider Achsen, oder die Länge der grossen Achse und die Lage der Brennpunkte auf derselben kennen.

Konstruktionen von Ellipsen. Tafel XXI.

Gegeben sei die Länge beider Achsen.

A.    Figur 164.

Trage auf der Kante eines Papierstreifens von dessen Endpunkt S aus die Strecke SSt = der halben grossen Achse A A sowie die Strecke S S₂ = der halben kleinen Achse AtAx ab. Zeichne die senkrecht aufeinander stehenden und sich gegenseitig halbierenden beiden Achsen. Bewegst du nun den Papierstreifen derart über das Achsenkreuz, dass S₂ stets auf der grossen, St stets auf der kleinen Achse liegt, so beschreibt Punkt S die zugehörige Ellipse, von welcher sich beliebig viele Punkte leicht fixieren lassen.

Auf diesem Verfahren beruht die Konstruktion des Ellipsenzirkels.

B.    Figur 165.

Schlage mit A M (halbe grosse Achse) als Halbmesser aus Aj einen Kreisbogen, so ergeben die Schnitte dieses Kreisbogens mit der grossen Achse die Brenn-

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Auf dieselbe Art sind beliebig viele weitere Punkte der Ellipse zu gewinnen, welche freihändig mit einander verbunden werden.

C.    Figur 166.

Beschreibe um M als Mittelpunkt je mit der halben grossen Achse und der halben kleinen Achse als Halbmesser Kreise. Ziehe beliebige Halbmesser, z. B. MKt K, ziehe M S parallel zur kleinen Achse A₁ A, und Kt S parallel zur grossen Achse A A, so ergiebt der Schnittpunkt der beiden Geraden S einen Punkt der Ellipse; weitere Punkte derselben sind auf dieselbe Art zu bestimmen.

D.    Figur 167.

Zeichne mit der grossen und der kleinen Achse als Seiten das Hechteck R Rt R₂ R₃. Ziehe die Mittellinien dieses Rechtecks, welche die grosse und die kleine Achse der Ellipse darstellen. Teile AM und ARj in eine beliebige Anzahl (hier 5) gleicher Teile, verbinde die beiden Enden der kleinen Achse, A1? A1? mit den Teilpunkten, so ergeben die Schnittpunkte je zweier sich entsprechender Verbindungslinien oder deren Verlängerungen, P, P1? P₂, Punkte der Ellipse. Rechteck R Rx R₂ R₃ heisst das der Ellipse umbeschriebene Rechteck.

Fig. 168. Konstruktion der Ellipse mittelst acht

Punkten. Projiziere das Quadrat mit seinen Transversalen und Diagonalen als Bechteck, so wird der eingeschriebene Kreis eine Ellipse.

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denen sich eine der Ellipse ähnliche gebogene Linie zusammensetzt. Die Einsatz

Eig. 169. Beschreibe zwei Kreise, von denen jeder durch den Mittelpunkt des anderen geht. Verbinde die beiden Mittelpunkte mit den Kreuzungspunkten der Kreise. Diese Geraden trennen die vier Bogenstücke einander ab, aus

punkte sind S, Sj, S₂, S₈.

2. Die Parabel

erhalten wir in der Schnittlinie eines Kreiskegels mit einer Ebene, welche einer Mantellinie desselben parallel ist (siehe big. 170). Die Entfernung IB eines beliebigen

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Punktes I der Parabel von einem festen Punkte B, dem Brennpunkte, ist gleich einem Abstande IG von einer festen geraden Linie, Leitlinie oder Directrix (hier KL) genannt. Diese Linie steht auf der Achse senkrecht lind ist von dem Scheitel S der Parabel eben so weit entfernt, wie der Scheitel vom Brennpunkt B. Jeder Punkt der Parabel hat von der Leitlinie dieselbe Entfernung wie vom Brennpunkte. Eine andere gerade Linie, welche zur Leitlinie parallel läuft und vom Brennpunkte nur halb so weit absteht, heisst Scheiteltangente, sie berührt die Parabel im Scheitel S.

Tafel XXII Fig. 171:

Zeichne eine Parabel, wenn die Breite AB und die Pfeilhöhe SC gegeben sind.

Teile je die halbe Breite AC und CB in eben soviel gleiche Teile wie AF, ziehe durch die Teilpunkte aus Gr, H, J, K Parallelen zu SC, verbinde D mit S und E mit S, so sind die Schnittpunkte von DS und ES mit den durch G und H gezogenen Parallelen, L und M, Punkte der Parabel.

3. Die Hyperbel.

Wie die Parabel, gehört auch die Hyperbel zu den Kegelschnitten. Dieselbe entsteht, wenn eine Ebene einen Kreiskegel (Doppelkegel) so schneidet, dass sie zwei Mantellinien parallel geht (Fig. 172, Tafel XXII).

Die Hyperbel ist eine krumme Linie, auf welcher alle die Punkte liegen, welche von 2 festen Punkten Entfernungen haben, deren Unterschied gleichbleibend ist.

In Figur 172 heissen die festen Punkte, B und Bj die Brennpunkte, M ist der Mittelpunkt, AA₁ ist die Achse (Hauptachse), A₂ Aa ist die „imaginäre“ Achse, S und St sind die Scheitel.

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Tafel XXII Fig. 173 :

Gegeben sei die Hauptachse AAj mit den Brennpunkten B und Bj und den Scheiteln S und Sj.

Beschreibe mit beliebigem Halbmesser um B und um Bj Kreisbogen (BG = B₁1) und um dieselben Punkte Kreisbogen mit dem Halbmesser BG + SSj. Hie Scheitelpunkte je zweier Kreisbogen GH JK sind Punkte der Hyperbel.

4. Die Spirale.

Die Spirale (Schneckenlinie, Schlangenlinie) ist eine krumme Linie, welche um einen festen Punkt unendlich viele Umläufe macht und in demselben entweder ihren Anfang nimmt, oder sich in unendlich vielen, immer enger werdenden Umläufen um denselben windet, ihn aber nie erreicht.

Die archimedische Spirale Tafel XXIII, Figur 174:

Teile den Kreis in eine Anzahl gleicher, hier 12, Teile und in eben so viele Teile einen Halbmesser dieses Kreises. Durch die Teilpunkte des Kreises ziehe Halbmesser, durch die Teilpunkte des Halbmessers konzentrische Kreise. Du erhältst nur die Spirale, indem du jeden Schnittpunkt eines Halbmessers und Kreises immer mit dem Schnittpunkt des nächstfolgenden Halbmessers und Kreises verbindest.

Die ionische Schneckenlinie Fig. 175:

Teile die gegebene Höhe der Schnecke in 8 gleiche Teile, beschreibe um die Mitte des fünften Teilstückes mit einem halben Teile als Halbmesser einen Kreis? welcher das Auge der Schneckenlinie heisst. In diesen

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Kreis zeichne (siehe Nebenfigur) ein auf der Spitze stehendes Quadrat, ziehe darin die Mittellinien 1 bis 3 und 2 bis 4, teile letztere in 6 gleiche Teile und beschreibe um 1 mit 1 bis A (Endpunkt der Höhe) den Kreisbogen bis zum Schnitt mit der Verlängerung der Linien 1—2, nämlich bis B, um Punkt 2 mit Halbmesser 2 bis B einen Kreisbogen bis zum Schnitt mit der Verlängerung der Linie 2—3, nämlich bis C, um Punkt 3 mit Halbmesser 3 bis C den Kreisbogen bis zum Schnitt mit der Verlängerung der Linie 3—4, nämlich bis D, und so fort immer einen Kreisbogen um die Zahl bis zum Schnitt mit der Verlängerung der Verbindungslinie dieser Zahl mit der nächst höheren Zahl.

5. Die Evolvente und die Evolute.

Denkt man sich einen Faden, der um einen Kreis, z. B. eine Fadenrolle, gelegt ist, unter straffer Spannung abgewickelt, so beschreibt jeder Punkt des Fadens, z. B. der Endpunkt desselben, eine krumn^e Linie, Kreisevolvente genannt; der Kreis heisst dann die Evolute der Evolvente. Jede Tangente der Evolute (des Kreises) heisst Normale der Evolvente.

Zeichnung der Evolvente (Fig. 176):

Teile den Umfang des Kreises in eine bestimmte Anzahl (hier 12) gleicher Teile; lege in den Teilpunkten Tangenten an den Kreis und mache dies den entsprechenden Längen des Kreisumfangs gleich, so erhältst du in den Endpunkten der Tangenten tt, t₂, t₃, t4 Punkte der Evolvente.

Becker, Geometrisches Zeichnen.

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6. Die Ovale (Eilinie), Fig. 177,

ist eine krumme Linie von der Form eines Eies. Man zeichnet dieselbe, indem man um M einen Kreisbogen beschreibt und DMt und DM zieht. D und Dl sind die Mittelpunkte der Bogen DE und D₁ F ; Mt ist der Mittelpunkt für den Bogen E F.

7. Die Cycloide (Radlinie).

Rollt ein Kreis auf einer geraden Linie entlang, so beschreibt ein beliebiger Punkt seines Umfanges eine krumme Linie, Cycloide, Radlinie; rollt ein Kreis auf der äusseren Seite eines festen Kreises, so beschreibt ein beliebiger Punkt des rollenden Kreises eine E p i -cycloide, rollt der Kreis dagegen auf der inneren Seite eines festen Kreises, so beschreibt ein beliebiger Punkt des rollenden Kreises eine Hypo cycloide.

Zeichnung der Cycloide.

A) nach Fig. 178: Teile den rollenden Kreis in beliebig viele (hier 8) gleiche Teile, mache T-I, I-II, II-III und so fort auf der Linie T T gleich den Teilen des Kreises T-l, 1—2, 2—3 und so fort, ziehe durch M und durch die Teilpunkte 1, 2, 3, 4 und so weiter Parallele zu TT, errichte die Senkrechte IMt, IIM2 und so weiter auf TT und beschreibe mit MT um Mj M₂ M₃ und so weiter die Kreise, dann sind T, C,, C₂ u. s. w. Punkte der Cycloide.

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B) nach Fig. 179. Trage auf TT die Teile T-I,

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8. Die Cissoide (Epheulinie), Fig. 180.

Ziehe im Kreise M den Durchmesser TjT, nimm auf der Kreislinie einen beliebigen Punkt p an, ziehe Tp und verlängere diese Linie bis zum Schnitt mit der Tangente des Kreises in q. Trage auf T q von T aus die Strecke p q = T m ab, so ist Punkt m ein Punkt der Cissoide. Punkt n dieser Kurve erhältst du in dem Schnittpunkt des in M auf TtT errichteten Lotes mit der Kreislinie; Punkt o derselben Kurve in dem Schnitt des von p auf TxT gefällten Lotes mit der Verlängerung der Verbindungslinie von T mit dem Schnittpunkt des Kreises und des von m auf TAT gefällten Lotes.

9. Die Conchoide (Muschellinie), Fig. 181.

Zieht man von einem Punkte P Strahlen, welche eine Gerade T T durchschneiden, und trägt man von den Durchschnittspunkten auf den Strahlen nach beiden Seiten der Geraden eine Strecke T S ab, so erhalten wir Punkte der Conchoide. Dieselbe wird z. B. bei Verjüngung der Säulenschäfte angewendet. PPj (senkrecht auf T T) ist die Achse, s und Sj sind die Scheitel und TT ist die „Asymptote“.

III. Praktische Verwendung krummer und gerader Linien.

1. Charakteristische Bogenlinien.

Bogen sind TJeberdeckungen von Oeffnungen auf Stützmauern oder Pfeilern. Nach der Gestalt der Stirnlinie unterscheidet man (Tafel XXVI):

Der Halbkreisbogen Fig. 182. Die Verbindungslinie der Bogenanfänge, die Kämpferlinie fällt mit dem Durchmesser zusammen.    |

Der flache Stichbogen, Fig. 183.

Der hohe Stichbogen, Fig. 184.

Der Spitzbogen (gotischer Bogen) Fig. 185—187. Bei Fig. 185 liegen die Mittelpunkte in den Bogen-

anfängen K und K1? bei Fig. 186 in den Mitten zwischen M — K und M — K

bei Fig. 187

der

überhöhte Spitzbogen, liegen die Mittelpunkte von M entfernt um die Diagonallänge des über M K oder über MKt errichteten Quadrates.

Der gedrückte Bogen, Zeichnung A, Fig. 188. Teile die Kämpferlinie KKt in 4 gleiche Teile. Die Punkte 1 und 3 dienen als Mittelpunkte für den Anfangsbogen. Konstruiere über 1 und über 3 nach unten ein gleichseitiges Dreieck; dessen Spitze S ist der Mittelpunkt für den Schlussbogen.

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Tafel XXVI. Bogenlinien.

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Zeichnung B, Fig. 189 :

Trage eine beliebige Strecke, aber kleiner als die Bogenhöhe (Stichhöhe) von K und von gegen M zu einwärts nach Punkt 1 und 3, ferner aus dem Scheitel S abwärts nach Punkt 2, verbinde 2 mit 1 und mit 3 und errichte über deren Mitten Senkrechte, deren Durchschnittspunkt den Mittelpunkt für den Schlussbogen giebt, die Anfangsbogen werden aus 1 und aus 3 beschrieben.

Zeichnung C, Fig. 190:

Beschreibe aus M mit der Pfeilhöhe M S einen Kreisbogen, welcher die Linie KK in s und schneide, lege sK als Ss₂ und Ss₃ auf den Linien SK und SKj auf, in der Mitte von s₂K und Sg^ errichte je eine Senkrechte, deren Schnitt mit der Kämpferlinie die Mittelpunkte für die Anfangsbogen ergiebt, während ihr gegenseitiger Schnittpunkt den Mittelpunkt des Schlussbogens bildet.

Der gedrückte Spitzbogen (Tudorbogen).

Zeichnung A, Fig. 191: Tafel XXVII.

Teile die Kämpferlinie in 4 gleiche Teile, die Punkte 1 und 3 sind die Mittelpunkte des Anfangsbogens. Beschreibe von M aus mit Halbmesser KM nach unten einen Halbkreis, setze in Punkt 1 ein und schlage mit Halbmesser 1—3 einen Bogen, welcher jenen Halbkreis in m treffe, ebenso setze in Punkt 3 ein und schlage mit Halbmesser 3—1 einen Bogen, welcher jenen Halbkreis in m₁ treffe, m und nij sind Mittelpunkte für die beiden Schlussbogen.

Zeichnung B, Fig. 192:

Teile die Kämpferlinie KKt in 4 gleiche Teile,

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Einhüftiger (geschobener) Bogen. Zeichnung A, Fig. 193:

Halbiere die Kämpferlinie KKt in M, errichte in M eine Senkrechte zur Horizontalen und mache die Strecke MS = KM. Fälle von Punkt S eine Senkrechte auf KKj, ziehe Wagrechte aus K und aus Kx, wo diese die Senkrechte schneiden, in m und in mt, liegen die Mittelpunkte für die Bogenstücke.

Zeichnung B, Fig. 195 :

Lege an der Höhe KH ein Quadrat an und zeichne in dieses ein Achteck. Numeriere die von HK abgewandten Ecken des Achtecks von oben nach unten der Keihe nach mit 1, 2, 3, 4; so ergiebt Punkt 1 den Mittelpunkt für den Bogen von H bis bt, Schnitt mit der Verlängerung der Linie 2 bis 1; Punkt 2 den Mittelpunkt für den Bogen von bis b₂, Schnitt mit der Verlängerung der Linie 3 bis 2; Punkt 3 den Mittelpunkt für den Bogen von b₂ bis b₃; Punkt 4 ist Mittelpunkt für den Schluss des einhüftigen Bogens von b₃ bis zum Kämpferlinienpunkt Kt.

Der Karniesbogen (Eselsrücken), Fig. 194:

Errichte aus K und Kt den Spitzbogen KCKj, trage auf der Höhe MC die Strecke MH = MK ab, ziehe von K und von Kt Linien durch H, welche den Spitzbogen in 1 und \ schneiden und trage die Strecke K und Kx 1 auf die Verlängerungen dieser Geraden bis m und nij ab; in m und inx sind die Mittelpunkte für die Schlussbogen gefunden.

Der Hufeisenrundbogen. Fig. 196.

S Sx ist die gegebene Spannweite. Schlage aus S mit der Hälfte der Spannweite den abwärts gerichteten Yiertelkreis, lege an S Sx in S ebenfalls abwärts einen Winkel von 30 Grad, dessen unterer Schenkel die senkrechte Mittellinie in m schneidet. Aus Punkt m beschreibe den Halbkreis K-nij-Kj und aus mx mit mxS den oberen Halbkreis.

Der Hufeisenspitzbogen. Fig. 197:

Teile S Sx in 3 gleiche Teile, ziehe durch 1 und durch 2 Senkrechte, trage auf der Senkrechten in 2 von 2 aus die Strecke 2 bis 3 = ¹/₆ S Sx, ebenso von 2 aus die Strecke 2 bis 4 = der Strecke 1—3. Beschreibe aus 4 mit Halbmesser 4 bis S und aus 5 dem entsprechenden Punkt auf der in 1 errichteten Senkrechten mit Halbmesser 5 bis Sx Kreise, die sich in 6 treffen, ziehe durch 6 eine Wagrechte, welche die Senkrechten in m und in mx schneidet. In m und mx sind die Mittelpunkte der oberen Bogenstücke gefunden.

Der maurische Hufeisenspitzbogen. Fig. 198.

Teile S Sx in 6 Teile, Punkt 2 und 3 sind die Mittelpunkte der Bogenstücke von K und von Kx nach C.

Der spitze Karniesbogen. Fig. 199, Tafel XXVIII:

Zeichne über K Kx ein gleichseitiges Dreieck, ziehe die Senkrechten Km und Kx mx sowie durch S, die Spitze des gleichseitigen Dreiecks, die Wagrechte mm,. M, Mitte der Kämpferlinie K Kx, ist der Mittelpunkt für die beiden unteren, m und mx

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sind die Mittelpunkte für die beiden oberen Kreisbogen. Die Linien Mm und MmA trennen die oberen und unteren Kreisbogen.

Der gedrückte Karniesbogen. Fig. 200.

Teile KK, in 4 gleiche Teile und beschreibe mit der Länge 1 bis K aus 1 und aus 3 Viertelkreise. Mache 4 bis m gleich 1 bis 4 gleich 5 bis ml und beschreibe mit demselben Halbmesser aus m und aus lUj Viertelkreise, welche in S Zusammentreffen.

Der Sternbogen. Fig. 201.

Mache die Senkrechte K m gleich Kj nij = beliebig; beschreibe aus m und aus m₁ Kreisbogen mit m K und mit mt K1} welche sich in S treffen.

„Besetzte“ Bogen.

Die „Besetzung“ der Bogen ist sehr verschieden, die Figuren 202 und 203 sind „besetzte gotische Spitzbogen“. Die Zeichnung ergiebt sich aus der Figur.

2. Charakteristische Ornamente.

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Fin Ornament kann entweder aus Punkten und Linien zusammengesetzt sein, dann heisst es metrisches Ornament“, oder Gebilden der Pflanzen und Tierwelt, wie auch dem menschlichen Körper nachgebildet sein.

Das geometrische Ornament entsteht dadurch, dass nach den Gesetzen der Reihung (Wiederkehr), Symmetrie (das ist die entgegengesetzte Lage ähnlicher Gebilde in Bezug auf eine mittlere Achse) oder der Proportion (Verhältnis der Teile) Punkte und Linien zu Figuren verbunden werden.

Das geometrische Ornament ist das älteste; dies beweisen die Verzierungen an den Waffen und Gerätschaften der wilden Völkerstämme. Der Hang zur Verzierung, den Owen Jones einen „mächtigen Instinkt“ nennt, fehlt bei keinem Volke, so nieder auch seine Kultur stehen mag.

Die folgenden Tafeln geben Beispiele von Verzierungen aus den verschiedensten Zeiten und von den verschiedenen Völkern.

Tafel XXIX.

Ornamente wilder Völkerstämme.

Fig. 204. Geflochtenes Stroh von den Sandwich-

Inseln.

„    205. Leinenzeug. Sandwich-Inseln.

„    206—209. Holzschnitzereien von den Südsee-

und Freundschaftsinseln.

„    210. Schnitzerei von Tahiti.

Tafel XXX.

Aegyptische Ornamente.

Die Figuren 211 bis 216 sind Malereien von Wänden, Grabdecken und Gerätschaften aus den verschiedensten Gegenden Aegyptens.

Tafel XXXI und XXXII.

Assyrische und persische Ornamente.

Fig. 217 und 218. Von einer Säulenbasis in Perse-polis.

„    219.    Gemaltes Ornament aus Nimrud.

„    220.    Glasur. Nimrud.

„    221.    Schnitzerei. Konyunjik.

„    222.    Aus einem persischen Manuskript.

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72 Praktische Verwendung krummer und gerader Linien.

Tafel XXXIII, XXXIY, XXXV, XXXYI. Griechische, p omp e j ianis che und römische Ornamente (Klassische Kunst).

Fig. 223—228, 230—234, Bemalung griechischer Thongefässe. Mosaikfussboden aus Pompeji.

Fig. 229, 246—251. Desgl. aus Sizilien.

„ 235. Yon der Kassettendecke der Propyläen.

Athen.

„ 236. Flachrelief. Pom.

„ 237. 238. Mosaiken aus Pavenna.

„    239—245. Einfache und mehrstreifige Mäander.

Tafel XXXYII.

Byzantinische Ornamente.

Fig. 252. 254. Marmorpflaster. Pom.

„ 253. Flachrelief. Yenedig.

Tafel XXXYIII.

Maurische Ornamente.

Fig. 255. Täfelwerk aus der Alhambra.

Die Mauren befolgten stets die Regel, dass die Konstruktion verziert, die Yerzierung aber nie eigens konstruiert werden soll; deshalb treten die maurischen Ornamente nie aus dem architektonischen Rahmen heraus, vielmehr ist der konstruktive Gedanke bis in die äussersten Einzelheiten durchgeführt. In der Yerzierung der Oberflächen entspringen alle Linien einem Mutterstamme; jedes Ornament ist bis an seinen Zweig und an seine Wurzel zu verfolgen. Die Xetzzeichnung für die maurischen Ornamente ist auf Tafel I in Fig. 23 und 24 gegeben.

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XXXIX bis Tafel XLIV.

Mittelalterliche Ornamente.

Fig. 255, 257. Aus einem Manuskript des 10. Jahrhunderts. 256. Wandmalerei aus dem 14. Jahrhundert.

Die Figuren 258 bis 269 der Tafeln XL bis mit XLIV behandeln die Konstruktion gotischer Verzierungen. Die Ornamente sind in der Gotik nur Nebensache, die Grundformen sind die Hauptsache. Der Kern der gotischen Werke besteht in der Konstruktion der Grundformen, welche geometrischen Gebilden entnommen sind. Diese letzteren gehen in der Kegel durch das ganze Werk hindurch, so dass alle einzelnen Glieder nach dem Ganzen und das Ganze nach den Gliedern sich richten muss. Sogar die aus der Pflanzenwelt entnommenen Verzierungen gründen ihre Konstruktion auf dieselben Kreisteilungen oder auf dieselben Vielecke, welche den geometrischen Verzierungen zu Grunde gelegt wurden.

Dreibogen (Dreipass). Fig. 258.

Konstruiere die Sechsteilung des Kreises und verbinde die Teilpunkte. Die Durchkreuzungspunkte der Linien des Dreiecks und der Sechsteilung ergeben die drei Mittelpunkte.

Yierbogen. Fig. 259.

Die Zeichnung beruht auf 3 ineinander über Eck gestellten Quadraten.

Fünfbogen. Fig. 260.

Die Zeichnung ergiebt sich aus 3 ineinander gestellten Fünfecken.

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Tafel XLI. Zweischweifuiig. Dreiscliweifung.

Sechsbogen. Fig. 261.

Konstruiert sich aus 2 in einander über Eck gestellten Sechsecken und dem Inkreis des innersten Sechsecks.

Zweischweifung. Fig. 262.

Diese Zeichnung beruht auf der Vierteilung des Kreisdurchmessers.

Ornamente der Renaissance.

79

Dreischweifung, Fig. 263.

Die Zeichnung ergiebt sich aus 2 in einander über Eck gestellten gleichseitigen Dreiecken und aus den Verbindungslinien ihrer Winkel.

Yierschweifung, Fig. 264, Tafel XLII, beruht auf 3 in einander über Eck gestellten Quadraten.

Fünfschweifung. Fig. 265,

beruht auf 4 in einander über Eck gestellten Fünfecken.

Sechsschweifung*. Fig. 266,

beruht auf 2 über einander über Eck gestellten Dreiecken.

Fig. 267, Fig. 268 und Fig. 269 der Tafeln XLIII und XLIV sind gotische Fenstermassvverke, deren Zeichnung aus den Figuren unmittelbar ersichtlich ist.

Ornamente der Renaissance.

Tafel XLV, XLVI und XLVII. Fig. 270. Tauschierung einer Rüstuog, „    271.    272. Nielloornamente.

„    273.    Elfenbeineinlage.

„    274.    Holzeinlage.

„    275.    Holzdecke.

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Tafel XLIII. Gotisches Fenstermasswerk.

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Tafel XLYI. Holzeinlage.

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Tafel XLVII. Ilolzdecke.

IV. Massstäbe, Verkleinerungen_und Vergrösserungen.

1. Massstäbe.

Die Massstäbe, welche gewöhnlich unter die Zeichnungen gesetzt werden, bestehen aus einer Linie, welche so eingeteilt ist, dass sich auf ihr die der Zeichnung zu Grunde gelegten Längenmasseinheiten genau in demselben Verhältnisse verkleinert vorfinden, wie an der Zeichnung.

Fig. 27f> der Tafel XLVII1 zeigt einen Massstab von 10,₀₀m in 1 : 100 der natürlichen Grösse (0,01ra des Massstabes = l,00m der Wirklichkeit).

Für genaues Abgreifen mit dem Zirkel dient der sogenannte „Transversalmassstab.“ Fig. 277.

Bei demselben sind 5,₀₀m im Verhältnis 1:50 der natürlichen Grösse gezeichnet (0,02m des Massstabes = l,00m der Wirklichkeit).

Konstruktion desselben :

Nach Antragung der 6 Teile im gewählten Verhältnis teile die obere Strecke OG^ in 10 gleiche Teile, die Breite des Massstabes (BG) ist beliebig, teile dieselben ebenfalls in 10 gleiche Teile und ziehe Senkrechte durch 0, 1, 2, 3, 4, 5. Teile G₂ bis 10 ebenfalls in 10 gleiche Teile und ziehe die schrägen Linien wie Fig. 277 angiebt.

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2. Verkleinerungen.

A. Mittelst Strahlung*.

Die Fig. 278 a der Tafel IL soll verkleinert

werden und zwar um 4~, um ~ und um

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Nehme auf der Grundlinie G G Punkt P beliebig an und verbinde mit demselben alle auf der Mittellinie (Höhe) MH liegenden Punkte der Figur. Teile die Strecke MP in 2 Teile und errichte die Mittellinie

H bis teile M P in 3 gleiche Teile und errichte die

Ziehe durch die von

Höhen H bis und H bis

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den aus P gezogenenStrahlengeschnittenenPunkte dieser Höhen Wagrechte, verbinde die Endpunkte der entsprechenden Wagrechten in der zu verkleinernden Figur mit P, so entstehen die verlangten Verkleinerungen.

B. Mittelst des verjüngten Massstabes (Fig. 279 a). Zeichne die verlangte Höhe HjH,. In der Linie G G ist ein Massstab der natürlichen Grösse in cm und mm gegeben. Ziehe vom beliebig gewählten Punkt P die Strahlen Pa, P₉, P₈ und so fort, bis P₃₀. Mache auf der Linie G G die Strecke a bis d gleich der Höhe der gegebenen Figur (279 a), ziehe dP, mache a bis e auf der Linie G G = der verlangten Höhe = Ę Hj, ziehe e f parallel a P und Gt Gx durch f parallel zu G G. Hierdurch ist auf GŁ GL der „verjüngte“ Massstab entstanden und jede Strecke aus der gegebenen Fig. 279 a, * z. B. HJ wird auf G G gemessen und zwischen den gleichen Strahlen auf Gt Gj erhält man dann das entsprechend verkleinerte Mass.

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Fig. 280 a der Tafel IL sei ^ zu verkleinern.

Zeichne das rechtwinklige Dreieck a08, worin die Kathete 08 = G Gr der Fig. 280a. Teile 08 in 8 gleiche Teile, verbinde den 5. Teilpunkt mit a und ziehe zu 0 8 beliebig viele Parallelen. Zeichne GjGj in beliebiger Lage (Fig. 280b) und zwar in der Länge 0 bis 5 der Kathete in Fig. 280c. Jedes Mass der gegebenen Figur ist nun so zu übertragen, dass man in A a0 8 diejenige Parallele sucht, welche demselben gleich ist. Das zwischen den Linien a bis 0 und a bis 5 liegende Stück dieser

Parallelen beträgt sodann des betreffenden Masses.

So ist beispielsweise

lij hl (in d a08) = hh₁ (in der gegebenen Figur)

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hj hj (in d aO 8) =-g^hjh^h^^in der verkleinerten Figur).

3. Vergrösserungen.

A. Mittelst Hilfskreises.

Fig. 281 der Tafel L beliebig zu vergrössern :

Schlage einen Kreis mit beliebigem Halbmesser, sämtliche Radien, Sehnen und Tangenten ziehe parallel zu den betreffenden Linien der gegebenen Figur, wodurch die Vergrösserung entsteht.

B. Mittelst Aelinlichkeitsdreiecke.

Figur 282 a der Tafel L :

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Ziehe durch den Fusspunkt H der zu vergrössern-den Figur eine beliebige Gerade, trage auf dieser von H aus die verlangte Höhe = HHt ab. Nun wird die Höhe

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die neue Figur dadurch gewonnen, dass von diesem Punkt eine Senkrechte auf H H gefällt und bis zum Schnitt mit H Hj verlängert ist, in dem betreffenden . Schnittpunkt eine Senkrechte auf H Hj errichtet wird ; auf dieser muss der betreffende Punkt in der neuen Figur liegen. Nun ist aber noch die Breite zu ermitteln.

Zu diesem Behuf lege den Winkel HHHj an die Grundlinie der alten Figur mit Spitze in H an. Fälle von dem zu übertragenden Punkt eine Senkrechte auf die Grundlinie der alten Figur, verlängere dieselbe bis zum Schnitt mit dem andern Schenkel des angelegten Winkels. Nimm die Strecke von H bis zu diesem Schnittpunkt in den Zirkel und schlage, indem du in H ein-setzst, herüber nach der Grundlinie der neuen Figur, welche eine auf HHj in H errichtete Senkrechte bildet. Errichte nun im Schnitt dieses Bogens mit der neuen Grundlinie eine Senkrechte auf dieser; so giebt der Schnittpunkt dieser Senkrechten mit der vorher zu H ETj gezogenen Senkrechten die Lage des zu übertragenden Punktes in der neuen Figur an. Durch Ueber-tragung genügend vieler Eckpunkte der alten Figur und entsprechende Verbindung derselben entsteht die neue vergrösserte Figur.

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Statur: (§3 ift gerabegu erftaunlidj, mie të ber tiihmlichftbefanute Verlag ermöglicht, für fo enorm billige greife fo uorgnglith auê* geftattete SScrfcbcn gu liefern. S)aê öorliegenbe 93äiibd)en bringt in tnapper firtb Oerftänbltd)er gorm ba§ 3$iffenêmertefte ber Mineralogie pm Wuêbrud. Saubere Slbbilbungen erleichtern ba£ SBerftanbniê.

©tobuê: ©3 ift erftanulid), mie oicl biefe fleine ftartcnïunbc bringt, ohne cm Klarheit %u oerlieren, mobei noch gu berüdfid)tigen ift, bûfc oiele Slbbilbttngeu ben SRaunt ftar! beengen. SSortrefflid) mirb bie Slartenprojeftionëlehre unb bie topographie gefdjilbert.

^ationalgeitg.: (B ift Uë jept in ber beutfdien Süteratnr mot)! uod) nicht bagemefen, bah ein Seinmanbbanb non faft 300 ©eiten in oorgüglicher trucf* unb ^apierauêftattung gu einem ÿreiê 31t hüben mar, mie ihn bie „Sammlung ©öfchen" in ihrem ueueften Mmbe, Mag

oiuu/ v v»/c|ujiu|ic ocr ocut|Ujću ültterntur für beu betrüg non fticjc ad)t-$ig Pfennige ber bentfdjen Sefermelt bietet.

*ßraft. Schulmann: (Sin SPleifterftücf furzen unb bünbigeu, unb bod) flarett unb rielfagcnben 31u£bruif§ trie bie ^eutfdje Vitteraturgefd)id)te" bon $rof. SJR. ®od) ift aud) bie rorliegenbe „$)eutfd)e ©efdjidjte im Mittelalter"*

SRatur: Sn ber ©Ijcntie bon Dr. Sïlein empfängt ber Sdjiiler faft mel)r, trie er alê Anfänger bebarf, minbeftenê aber fo riel, bafj er ba3 STBiffenêmürbigfte afê unentbehrliche ©runblage gum SSerftänbniffe ber (Sternie empfängt. . .

$unft f. 3(1 le (rond&eu):    Slimmid) behanbelt in feinem

23äitbd)en, „geichenfchule" benannt, in fuapper, ferttiger, farf)ltrf)= âielbenmfêter gorm baê treite ©ebiet be£ bilbmäfhgeit geidjnenê nnb SCRaïenê. . . . ©leid) nufebringenb unb in rekhftem SORafje bilbenb für Serrer, Spüler unb Siebhaberfünftier, möd)te id) baê toirfltdj oor$itgtid)e 2Serf mit marnten anerfennenben ^Borten ber ©in* führung in ©d)ttle, §au3 unb SBerfftatt zugänglich rnadjen. $)ie 31u3* ftattung ift babei eine fo rornehme, baf? mir ber ^Sreiê bon 80 Pfennigen für baê gebunbene SBerf ron 138 Seiten fl. 8° trirflid) ladjerlicf) billig erfĄeint. $Ricl)t meniger alê 17 tafeln in £oit*, garben* unb ©olbbrutf, fotrie 135 SSoll* unb ^ejtbilbcr iüuftrieren beit entwerft gefunben Sehr* gang biejer geidjenfchule in fcinfnl)lcnbcr 2öeife.

Sd)tnäb. äRerfur: ^Srof. ©. SRaljlcr in Ulm legt un§ eine ‘SarfteKung ber ebenen ©cometrie ror, bie biê zur 31u§nteffung be§ ^reifeê einfd)lief$lich geht. 23efonbere Sorgfalt ift ber 31uêmahl unb 31norbnung ber giguren zu teil getnorben, bereu faubere 31u£führung in 2 garben angenehm berührt.

©lobu§: £ocrnc§, llrgcfdjidjte. $)er bema()rtegorfdjer auf ror* gefd)id)tlid)cm ©ebietc giebt t)ier iu fnappfter gorm bie lehrreiche Qu* fammeufteüung beê ’SBiffenêmerteften ber Urge[d)id)te. S5ortrefflid) ge* eignet zur ©infüljntng unb juin Ueberblirf.

Jahresberichte ber©efd)id)t§tniffenfd)aft: §ommel, auf bem ©ebiet ber altorientalifdjen ©efd)id)te eilte anerfauutc Autorität, behanbelt in biefem 33änbd)eit bie morgen!änbifdje ©efehiepte mit großer ©enauigfeit unb triffenfd)aftlid)er ©rünblidjfeit in fnappfter gorm. ’&aS flehte 33üd)leiit muß marm empfohlen trerben.

SpZör- 8tg. men j eit.): ,,^ic Pflanze" non I)r.©* Bennert fönneu mir beftenS empfehlen, gn fürzefter, fnappefter, feljr flarcr unb oerftänblidjer gorm meif} feiu sÄerfaffer alléê SSiffenëmertefte über ben inneren unb äußeren 33au unb über bie Seben^rerriĄtungen ber ^ßflan^e ^ur 31nfd)auung %u bringen, mo^u feine gau^ rartrcfflid)enf felbftge= jeidjneteu ^ejtabbilbnùgcn au^erorbentliĄ biel beitragen Reifen.

SS e i m a r f Ą e 3 e i t g. : SŚaltljarilieb* SCRit biefer Ueberfebttitg mirb un§ eine t)oĄmillfommeue unb ron Sitteraturfreunben längft er^ feinte ©abe geboten. . . . SSon einer guten Ueberfe^ung ift 51t rer* langen, baü fie, fiun- unb ^ugleiĄ mbglid)ft wortgetreu, ofyte ^em Ur* te^t, trie ber beutjcfien Sprache ©emalt auàutïjun, ben ©eift beê Originale

Tl Cl r lull' Il IlyTTTTitrt    ii. ■ mjimw j «i ■ j|ja

ßat 211tßof in mcifterßaftcr 20cife ocrftanben.

flatter f. b. bapr. ©pmn.-©cßulm.: ©moboba, QJried). ®e= ftßicßte. ëd)on ber 9lûtne unb ber fRuf beS $8erfafferS bürgt bafür, baß mtr uicßt etmabloß eine trodene Compilation bor unS ßaben, überall geigen fid) bie ©puren felbftänbiger Arbeit

sßraft. 6d)ulmann: ©epfert, ©cßitlprajiS. (SS mirb in gc= braugter ^arftcllung ein reifer , moßlbnrdjbadjter, ben neneften päbagogifdjcn S3eftrebuugen gercdjt mcrbcuber Sußalt geboten unb für ben, ber tiefer einbringen mill, ift geforgt bureß rckßßaltige öitteratur-uaeßmeife.

3eitfdf)r. f. b. SRealftßulm.: (SS mar ein glüdlitßer ©ebanfe ber rührigen SßerlagSßanblung, bie 21bfaffung beS ber (Sinfüßrung in bie 21ritßmctif nnb Algebra bienettbeu 93änbd)enS ißrer „©ammlung" bem ßoeßgeaeßteten gad)- nnb ©cßttlmanne sfkof. Dr. ©djubert gu übertragen .... $)er SBerfaffer mußte bie ©eßmierigfeiten mit großem (SJeftßicf §u bemältigen, inbem er burd) einen ftreng ft)ftcmatifd)cn 51uf= ban beS aritßmetifißen SeßrgebäubeS ber gaffungSfraft beS Anfängers möglicßft Sftecßnung trug nnb babei nur baS §auptfäd)licße inS $luge faßte. — gformelfamntlnug nnb tJïcpctitorium ber Matßentatif bon $rof. £ß. Kurilen .... ®ie bureß reinen $>rutf nnb gefcßntatfoolle SluSftattuug fid) auS^eicßneitbe „Sorntclfammlung" mirb infolge ißreS reichen biclfeitigeu ^nßaltcS, ißrer ^medentfprcdjenben Slnorbmtng nnb orientierenben ŚUebernng als &ad)fcßlagebucß borpglicße ^ienfte leifteu.

©ren^boten: SaS $rentbmort im Śeutfdjen bon Dr. SKub. Cleinpaul. (Sin leßrreidjeS äöiid)lein, bas in feinen engen Sßänben .... eine gfülle bon ©pradjbelcßrmtg bietet, bie jeben feffeln muß, ber nur einigermaßen baS SBebürfuiS füßlt, fid) über ©praeßbinge Slufflärung $u berfebaffen. $)er SBerfaffer ßat fid) fd)on burd) gaßlreicße bolfStümlicße 93ücßer über bie ©praeße unb ißr ßebeu befannt gemacht, er ßat eine auSgebreitete, fixere CeitntniS ber ëprad)- unb SSortgefcßicßte, bat mit 21uSbauer auf biefem (Gebiete gefammelt unb meiß feinen ©toff immer gefeßieft gu gruppieren unb bor^utragen. . . .

©taatSau feiger: S)ie Diöinifrf)e Sitteraturgefdjidjte ift eine geiftbolle glän^enbe Arbeit. (Sinfenber ßat btefelbe bon Einfang bis (Snbe mit größtem ($enuß burdjgelefen unb babei 51rt unb (Sntmidlung beS römifeßen ©cßrifttumS unb bamit beS römifeßen (MfteSlebenS über-ßaupt beffer unb grünbli^er berfteßen gelernt, als burd) mandjeS biel-ftünbige UniberfitätStotleg ober bidleibige ^anbbüdßer.

$fteteorol ogif d) e 3 e^f dt)rif’t: är ab ert ßat in ber Meteorologie feine fdjmierige Aufgabe bortrefflicß gelöft. ÿn allen gragett bertritt er beit neneften unb iepten ©tanbpunft.

©djmeiäerifcße Seßrer^eitung: SBer bie ^erfpeftibe bon grepberger unb baS ©cometrifcße geidjnen bon S3eder burdßgeßt, mirb feine $*eubc baran ßaben. ©o biel für fo menig (55elb mirb moßl !aum anberSmo geboten. 5Die Qlluftrattonen finb fattber unb ejraft. ^)er 5:ejt ift fnapp unb flar unb aueß ba, mo er meßr au-beutet als auSfüßrt, anregenb.

(ß. 3* (BofcÇen’fcÇe (Perfage^anbfung, Êetpîtg.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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