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.4 fDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Theoretische Physik

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Dr. Gustav Jäger

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europ lêrdteUc Olit il tejrtfârtttoen a. profllen O prof Dr £гапэ beldrrtd)

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40 Deutle poetif 4( (Beometrie 42 Нгде|ф^е der Шеп{ф*

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tunde oon Dr. £eo 01оф. mit 7 OoUbildern

46DasH)altf>arilied

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maB« oet Ur|d>rift überlegt a. erl. ». piof Dr D Mttbof.

47 Kritymetif u. Klgebra

oon prof. Dr. ь АфаЬеП.

49 (Вйеф1(Фе Йе[ф1ф!е

ptof. Dr b. Smoboda

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52 Кот^фе ntteraturge*

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Dr ШИЛ Berneter.

68    НиННФе0(Ве(рг0фЬиф

oon Dr ШИФ Berneter.

69    ФпдЩфе £itteraturge=

1ф|фк oon prof Dr Aavl metier.

70    (ВиеФЦфе Citteratur*

aeuDubte oon prof Dr Alfred Bertfe.

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рЬрЦГаШфе. oon Dr. Шаг Kttbolpbi.

72peojeîtme (Beometrie

oon Dr. Bail Doehlemann. mit 5? jum Ceil jmeifarbigen #qnren.

73 Dölferfunöe

66 Abhebungen.

7^ Die Saufunft b. Abenb=

lanbee oon Dr. a. вфа(с». ГП1122Л!-ь.

75 Die (БгарЭДфеп Mnfte

ООП (Sari Äampraann. mit 3 Beilagen unb 39 Abbilbunqen.

87&öbere Analnfis Г:

ff event ia f гефп n n g. Bon Dr. <5rbi. ЛипГег. mit 63 ^ig.

ssfeöbere Analpftô II:

Лп1едга1гсфтшд. Bon Dr. «Srbr. Лип1ег. mit 85 ,*iigu’en.

89 AnalçtifÆe (Beometrie beo Haumes

28 Abbilbungen.

90 Ætbif

oon prof. Dr. Ш. Simon. mu

76 (ЕЬеогеЩфе Phhfit ^i:

medjanif unb Afuflif. Bon prof. Dr. ©UÛat> Ладег. mit olelen Abbilbqn.

77    CEh^oreti^e Phpfif,

Cidjt unb Wärme. Bon prof. Dr. ©liftai) Ладег. mit oielen Abbilbgn.

78    îheoreti^e Pbpfif, й :

©leftricität unô ITlagueitsmus. Bon prof. Dr. ©uftat) ЛадеГ mit oielen Abbilbgn.

79@о^фе §ргафЬепЬ

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von

Nr. 41.

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Sammlung Göschen

Theoretische Physik

II

Licht und Wärme von

Dr. Gustav Jäger,

Professor der Physik an der Universität Wien

ZK

Leipzig

G. J. Gösch en* sehe Verlagshandlung 1898

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Alle Rechte, insbesondere das Uebersetzungsr eclit von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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KRAKOW

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Akc. Nr.

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Druck und Einband Von Carl Rembold & Co. in Heilbronn

Meinem guten Kameraden

Hertha

gewidmet.

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Inhalt.

Seite

Die Lehre vom Licht.

§ 1. Geradlinige Fortpflanzung —Beleuchtung — Photometrie 8 2. Reflexionsgesetz — ebener Spiegel ....

8 3. Kugelspiegel — Gegenstands- und Bildweite — Brennpunk 8 4. Bilder von Kugelspiegeln mit kleiner Oeffnung § 5. Brechungsgesetz — Brechungsexponent — geometrisch Optik — Katoptrik — Dloptrik ....

§ G. Der Regenbogen........

§ 7. Abbildung eines Punkts durch eine brechende Kugelfläch — Brennpunkte — Brennweiten ....

11

13

16

17

19

§ 8. Bildgrösse...........

§ 9. System zweier brechender, centrierter Kugelflächen —

Linsen ..........

§ 10. Hauptebenen — Hauptpunkte.......

§ il. Biconvexe Linse..........

§ 12. Huyghens’sches Prinzip........

§ 13. Fermats Satz..........

§ 14. Interferenz...........

§15. Fresnels Spiegelversuch........

§ 16. Farben dünner Blättchen.......

§ 17. Newtons Farbenglas.........

§ 18. Wirkung dünner Blättchen bei schief auffallendem Licht

— Talbot’s Linien.......

§ 19. Beugung des Lichts .......

§ 20 Beugung durch eine Spalte......

§ 21. Beugung durch zwei Spalten — Interferenzversuche

Joung und Arago.......

§ 22. Frauenhof eis Gitter........

§ 23 Polarisation des Lichts bei der Reflexion — Gleichungen

von Fresnel........

§ 24. Doppelbrechung.........

§ 25. Elliptische und zirkulare Polarisation ....

§ 26. Polarisationsapparat — Turmalinzange — senkrecht ein

fallendes Licht........

§ 27. Schief einfallendes Licht.......

§ 28. Totale Reflexion........

§ 29. Elliptische Polarisation durch totale Reflexion .

von

24

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31

:>r-

37

40

40

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83

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Seite

§ ВО.

§ 31. § 32.

§ 38. 8 34.

§ 35.

§ 36. § 37. § 38.

Die Lehre von der Wärme.

Wärmeleitung.

Wärmemenge — Temperatur — spezifische Wärme —

Wärmekapazität........

Gleichung der Wärmeleitung in einem Stab

Stationärer Zustand ........

Wärmeleitung in einem Ring......

Die tägliche und jährliche Temperaturschwankung unter

der Erdoberfläche .    .....

Gleichung der Wärmeleitung in einem isotropen Körper — Analogie zwischen Wärme- und Flüssigkeitsströmung ..........

Gleichung der Wärmeleitung in einer Kugel Das Temperaturgefälle in der Erdrinde .

Abkühlung der Erde

91

93

07

99

101

104

105

106

ПО

§ 39. § 40.

§ 4t.

8 42. 8 43. 8 44. § 45.

8 46. 8 47.

§ 48. § 49.

§ 50. § 61. 8 52.

§ 53.

MOCCCOOOCÖCSOSO» wo

05 СЛ О» СЛ O' ;л СЛ © «O QO <1 05 СЛ JfS.

Mechanische Wärmetheorie.

Zustand eines Körpers — Zustandsgleichung idealer Gase

— absolute Temperatur.......

Umwandelbarkeit der Wärme in Arbeit und der Arbeit in Wärme — mechanisches Wärmeäquivalent — äussere und innere Arbeit — erster Hauptsatz Spezifische Wärme der Gase bei konstantem Volumen und

konstantem Druck........

Adiabatische Zustandsänderungen.....

Kreisprozess..........

Entropie — zweiter Hauptsatz......

Unabhängigkeit des zweiten Hauptsatzes von der Natur der Körper — thermisches perpetuum mobile .

Anwendung der beiden Hauptsätze.....

Verdampfungswärme — Schmelzwärme — gesättigter

Dampf — Schmelzpunkt.......

Beziehung zwischen Druck und Temperatur eines Körpers Temperaturänderung durch Dehnung.....

Die kinetische Theorie der Gase.

Die Wärmebewegung in Gasen......

Boyle-Charles’scbes Gesetz.......

Regel von Avogadro-Gesetze von Gay-Lussac und Dalton-

Geschwindigkeit der Molekelen.....

Abweichungen vom Boyle-Charles'schenGesetz — Zustandsgleichung von van der Waals.....

Kritische Temperatur — kritischer Druck — kritisches

Volumen..........

Spannungs- und Ausdehnungscoeffizient .    .    .    .

Spezifische Wärme.........

Stosszahl und mittlere Weglänge der Molekeln .

Innere Reibung .........

Wärmeleitung..........

Grösse der Molekeln.........

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130

|_l Hl    l—*■ t-- —¹ H» Hl -4-

СЛ о» СЛ tfb łfk «s* CO CO COCO 05 ülr*00 31*kf- 00 05 CO C\£>

Die Lehre vom Licht,

§ 1. Geradlinige Fortpflanzung des Lichts — Beleuchtung — Photonietrie.

In der Lehre vom Licht, der Optik, behandeln wir die ausserhalb unseres Auges liegenden Ursachen der Lichterscheinungen. Es ist hier ähnlich wie bei den Schallerscheinungen (Bd. I.). Wie wir dort als die Ursache des Schalls einen schwingenden Körper annahmen, der seine Bewegungen auf die Luft überträgt, die sie dann an unser Ohr ab-giebt, so müssen wir hier die Ursache des Lichts ebenfalls in Bewegungszuständen der kleinsten Teilchen eines Körpers suchen. Damit diese Bewegung fortgepflanzt werden kann, ist es aber nötig, die Voraussetzung zu machen, dass der ganze Raum mit einem sehr feinen Stoff, dem sogenannten Lichtäther angefüllt ist, den wir als Träger des Lichts ansehen. Auf diese Weise gelangt das Licht in unser Auge und bewirkt die Gesichtsempfindungen.

Aus dieser Auffassungsweise ergibt sich sofort, dass sich das Licht ebenso wie der Schall, wenn das Fortpflanzungsmedium überall gleichartig beschaffen ist, wegen der allseitigen Symmetrie nur gradlinig fort-pflanzen kann, wie es ja auch die Erfahrung bestätigt.

Die Lichtmenge, welche die Flächeneinheit eines Körpers von einem leuchtenden Körper erfährt, können wir die Beleuchtungstärke nennen. Ist die Lichtquelle punktförmig, so wird jede Kugelfläche, welche wir um den leuchtenden Punkt als Mittelpunkt schlagen, gleich viel Licht empfangen. Daraus geht ohne weiteres hervor, dass die Beleuchtungsstärke verkehrt proportional dem Quadrat der Entfernung des beleuchteten Körpers von der Lichtquelle sein muss.

Aber es ist auch nicht gleichgiltig, ob das Licht senkrecht oder schief die Oberfläche des beleuchteten Körpers trifft. Nennen wir den Winkel der Flächennormale mit dem auffallenden Lichtstrahl a, so ist leicht ersichtlich, dass die Beleuchtungsstärke dem cos a proportional ist, da sich ja das Licht auf einen umso kleineren Baum zusammendrängt, je kleiner der Winkel cc ist. Wir können demnach für die Beleuchtungsstärke В einer Fläche die Formel

Ccosa

r²

aufstellen, wenn r die Entfernung der Lichtquelle von der beleuchteten Fläche ist.

Die Grösse C hängt nur von der Natur der Lichtquelle ab. Hiefür lehrt nun die Erfahrung, dass auch die Menge des ausgesandten Lichts dem Cosinus des Winkels ß proportional ist, welchen der ausgesandte Strahl mit der Normalen jenes Flächenstücks ein-schliesst, von wo er seinen Ausgang nimmt. Die Be-leuchtuiigsstärke wird sich daher durch folgende Glei-

chung darstellen lassen

L cos a cos ß

г**

wobei wir L die Lichtstärke der Flächeneinheit des leuchtenden Körpers nennen können.

Durch die Wahl der Entfernung der Lichtquelle und der Neigung des auffallenden Lichts ist es leicht, eine Beleuchtung von bestimmter Stärke herzustellen. Es beruht darauf die Vergleichung der Intensitäten verschiedener Lichtquellen, die Photometrie.

§ 2. Reflexionsgesetze ebener Spiegel,

Einen sehr dünnen Lichtkegel nennt man ein Strahlenbündel. Denken wir uns den Lichtkegel unendlich dünn, so haben wir einen Lichtstrahl. Es ist vorteilhaft, diese Begriffe zur bequemen Darstellung des Gangs des Lichts einzuführen.

Trifft ein Lichtstrahl auf eine glatte Fläche, so wird er nach bestimmten Gesetzen, den Reflexi-onsgesetzen zurückgeworfen. Es sei AB (Fig. 1) eiüe Ebene.

Im Punkt О treffe ein Lichtstrahl S О auf. Wir nennen ihn den einfallenden Strahl, О den Einfallspunkt. Im Einfallspunkt errichten wir die Normale OC zur Ebene A B. Sie heisst das Einfall s 1 о t li. Der Winkel zwischen einfallendem Strahl und Einfallsloth sei es ist der Einfallswinkel.

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ß,

Figl-

(zu § 2.)

Der Reflexionswinkel ß ist der Winkel zwischen dem Einfallsloth und dem reflektierten Strahl OS'.

Es gelten nun für die Reflexion folgende Gesetze:

1.    Einfallender Strahl, Einfallsloth und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene.

2.    Der Einfallswinkel ist gleich dem Re-f lexionswi nkel,

a — ß.

Treffen demnach von einem leuchtenden Punkt S (Eig. 2) Strahlen auf eine glatte ebene Fläche А В, so

Щ.Я. (zu §

es

von S. AB ist also eine spiegelnde h lâche, ein ebener Spiegel. Ein solcher entwirft Bilder, welche dieselbe Grösse wie der G eg stand haben und

werden sie so zurückgeworfen, dass sie nach rückwärts verlängert sich alle im Punkt S' vereinigen würden. Für ein beobachtendes Auge scheinen demnach die reflektierten Strahlen aus dem Punkt S' zu kommen, ist S' ein Bild

en-

zu ihm symmetrisch liegen. Die Spiegelfläche bildet dabei die Symmetrieebene.

§ 3. Kugelspiegel — Gegenstands- und Bildweite — Brennpunkt.

Der leuchtende Piiukt S (Fig. 3J sende Strahlen auf eine polierte Kugelfläche К К'. Der Strahl S A,

Fig.3. (zu.§ 3.)

welcher durch den Mittelpunkt О der Kugel geht, nennen wir den Hauptstrahl. Jedes Loth auf die Spiegelfläche geht durch 0. Es ist daher OM das Einfallsloth für den Strahl S M. Der reflektierte Strahl M В schneidet den Hauptstrahl in B. Dort muss ein Bild des Punktes S entstehen, da alle Strahlen, welche in einem Kreis um A herum vom Radius А M auftreffen, sich im Punkt В vereinigen. In В ist demnach wiederum die Ausgangsstelle von unendlich vielen Strahlen.

Wir wollen den Einfalls- und Reflexionswinkel mit den gewohnten Buchstaben « bezgl. ß bezeichnen. Ferner seien die Winkel

A S M = Л, AOM = /ł, ABM = *

und die Strecken

AS = a, AB = b, AO = OM = r. a nennen wir die G eg e n st a n ds w ei t e, b dieBild-w e i t e. r ist der Radius der Kugel. Es gelten nun folgende Beziehungen

a= ц Л,

ß = V— il

a — ß = [л, — Л = v — [г}

daher

Л —J— V = 2 [&•

Wir setzen voraus, dass M nahe hei A liege, dass also die Winkel a, ßy Л,    v klein seien. Wir haben

dann

AM = a/î = r^ = bi»

und nach Gleichung (1)

AM,AM 2AM b~⁼ r

oder

(2)

A 1___2

a ^ b    r ’

Diese Gleichung drückt die Beziehung zwischen Gegenstands- und Bildweite aus.

Kommen die Strahlen aus dem Unendlichen, d. h. fallen auf unsern Spiegel parallele Strahlen, so

wird für a== go, b = Als parallele Strahlen kön-

nen wir die Sonnenstrahlen auffassen. Da dieselben gleichzeitig wärmen, so wird im Punkt

p = - -

eine hohe Temperatur erzeugt, weshalb dieser Punkt auch der Brennpunkt genannt wird, während p die Brennweite heisst. Mit Benutzung dieser Grösse können wir Gleichung (2) auch

Jl+Jl.JL

a b p

schreiben. Liegt der leuchtende Punkt im Mittelpunkt

der Kugelfläche, so wird a = r, mithin auch b = r. Gegenstand und Bild fallen zusammen. Für a < r ist b > r, und es wird b = oo für a = p. Befindet sich also eine Lichtquelle im Brennpunkt, so sendet der Spiegel parallele Strahlen aus. Eine solche Anordnung eignet sich dazu, das Licht auf weite Strecken hinauszusenden, ohne dass es sich erheblich zerstreut, wie es bei den grossen elektrischen Scheinwerfern geschieht.

r

Wird a noch kleiner als —, so muss b negativ

werden, das heisst: es liegt der Bildpunkt hinter dem Spiegel. Die Strahlen vereinigen sich nicht wirklich sondern nur scheinbar. Wir haben kein reelles

Bild mehr, sondern ein imaginäres, virtuelles, ähnlich, wie wir es bereits beim ebenen Spiegel kennen gelernt haben. Wir können übrigens ohne weiteres vom Kugelspiegel zum ebenen übergehen, wenn wir r = oo setzen. Es wird dann b negativ und ebenso gross wie a, in Uebereinstimmung mit dem Resultat des § 2.

Liegt der Kugelmittelpunkt wie bisher auf der Seite des Gegenstands, so nennen wir den Spiegel einen Hohlspiegel, einen concaven Spiegel, im entgegengesetzten Fall hingegen einen erhabenen oder Gonvexspiegel. Dafür haben wir r also negativ zu wählen. Es wird daher auch die Bildweite negativ, das Bild liegt hinter dem Spiegel, d. h. es ist nur scheinbar vorhanden, ein virtuelles Bild. Die grösste

to

Bildweite ist b =

für a = со . Sie ist also gleich

der Brennweite eines Hohlspiegels vom seihen Krümmungsradius.

§ 4. Bilder von Kugelspiegeln mit kleiner Oeffnung.

Wir denken uns eine leuchtende Linie S T (Fig 4). Der Punkt S hat sein Bild in B, der Punkt T in B'.

вл

Fig. 4. (an § 4J

Wir erhalten ein verkehrtes Bild В В' des Gegenstands 8 T. Das Verhältnis der Bildgrösse В В' Gegenstandsgrösse S T können wir nun leicht finden, da ja

zur

BB' OB r — b S~T ⁼"ÖS ⁼ärZTr ist. Nach Gleichung (2) haben wir

ar

2a — r

folglich

ar

BB'

2a — r

ST

2a — r

Das Bild wird also je nach der Wahl der Gegenstandsweite sehr verschieden ausfallen.

Für einen unendlich weiten Gegenstand ist es unendlich klein. Es wächst mit der Annäherung des Gegenstands. Wird a = r, so ist Bild und Gegenstand gleich gross. Für a < r ist das Bild grösser als der Gegenstand. Es wird unendlich gross und rückt in

unendliche Entfernung, d. h. es verschwindet für

so wird -g-jjf negativ, das Bild

a = lT Wird a < \

kehrt sich um. Während wir also früher ein verkehrtes Bild hatten, haben wir jetzt ein aufrechtes. Aber es ist kein reelles Bild mehr, da auch b negativ wird, es liegt hinter dem Spiegel. Das Bild ist aber grösser als der Gegenstand, wir haben einen Vergrösse-

rungsspiegel. Setzen wir r = 'oo so wird

BB/

wir haben wieder den Fall des ebenen Spiegels, für welchen Gegenstand und Bild gleich gross ist.

Wird r negativ, so liefert unsere Formel die Bildgrösse in einem erhabenen Spiegel. Das Bild steht aufrecht und ist immer kleiner, als der Gegenstand.

§ 5. Brechungsgesetz — Brcchungsexponeiit — geometrische Optik — Katoptrik — Dioptrik.

a.

Fig.5. (zu § 5.)

Fällt ein Lichtstrahl auf einen durchsichtigen Körper von glatter Oberfläche, so dringt er in den Körper ein, wird aber dabei im Allgemeinen von seinem Wege abgelenkt, er wird g e-brochen. Nennen wir analog dem Vorgang bei Spiegeln S O (Fig. 5) den einfallenden Strahl, welcher im Einfallspunkt О die Oberfläche А В des durchsichtigen

Jäger, Theoretische Physik. II.

Körpers trifft, О S' den gebrochenen Strahl, a den Einfalls-, ß den Brechungswinkel, während C D das Einfallsloth ist, so gelten folgende Gesetze:

1.    Einfallender Strahl, Einfallsloth und gebrochener Strahl liegen in einer Ebene.

2.    Das Verhältnis der Sinus des Einfalls- und Brechungswinkels ist eine konstante Grösse, also

sin a

—;-= n.

sin/?

Die Konstante n nennen wir den Brechungsquotienten oder Brechungsexponenten.

3. Nimmt das Licht seinen Ausgang auf der entgegengesetzten Seite und in entgegengesetzter Richtung, so macht es genau denselben Weg. Das heisst: wird der Strahl SO nach S' gebrochen, so wird ein Strahl S'О nach S abgelenkt.

Die Lehre vom Strahlengang bei Vorhandensein reflektierender und brechender Flächen nennt man die geometrische Optik. Diese teilt man wieder in die Katoptrik und Dioptrik ein, je nachdem man es nur mit reflektierenden oder nur mit brechenden Flächen zu thun hat.

Setzen wir den Brechung'sexponenten gleich Eins, den Brechungswinkel jedoch gleich dem Supplement des Einfallswinkels, so erhalten wir das Reflexionsgesetz. Wir werden demnach alle Resultate, welche wir für brechende Flächen erhalten, nach obigen Annahmen auf reflektierende Flächen beziehen können. Es gelten so die Gesetze der Dioptrik auch in der Katoptrik.

§ 6. Der Regenbogen.

Bekanntlich hängt der Wert des Brechungs-exponenten nicht nur von der Natur der brechenden Substanz, sondern auch von der Art des Lichts ab. Er ist für verschiedene Farben verschieden. In der Regel nehmen die Brechungsexponenten mit der Farbe in folgender Reihenfolge zu: rot, orange, gelb, grün, blau, violett. Es wird daher jed,er Lichtstrahl, der durch Brechung eine Ablenkung erleidet, gleichzeitig in seine Farben zerlegt. Darauf beruht auch die Erscheinung des Regenbogens, welche. wir im folgenden näher untersuchen wollen.

Der Kreis (Fig. 6) s stelle einen Regentropfen dar. Ein Sonnenstrahl SA treffe in A unter dem Einfallswinkel a den Tropfen.

Er wird nach В brochen, wo erteilweise nach C reflektiert, teilweise nach B' gebrochen wird. In C erleidet er wieder eine teilweise Brechung nach R und Reflexion u. s. w. Der Strahl BB' erfährt die Ablenkung

ge-

«f

\3'

Jt

.Fig.6. (zu §6.)

D = 2 а — 2 /?,

der Strahl CR die Ablenkung

D = 2 а — 2 ß-\-n — 2/?,

da die Ablenkung in B, wie aus der Zeichnung leicht zu

ersehen, ^ = 2ß ist. Ueberhaupt wachst bei jeder Reflexion im Innern des Tropfens die Ablenkung um n — 2/?, so dass ein Strahl, der nach к maliger Reflexion wieder austritt, die Deviation

D = 2 а — 2/?-|-k (n — 2 ß) = 2 а — 2 (k-j-1) —|— к л erfährt.

d 3

= 2-2 (k +1) ^=0.

(3)

Je stärker ein Sonnenstrahl gebrochen wird, desto mehr wird auch seine Farbe zerstreut. Wir werden daher das intensivste Licht im Minimum der Ablenkung haben. Dort wird jede einzelne Farbe über die übrigen dominieren, und es wird das Auge in dieser Richtung auch die entsprechende Farbe erblicken. Wir wollen deshalb den Einfallswinkel für’s Ablenkungs-miuimum suchen. Wir haben dafür die Gleichung dD ~dcT

Differenzieren wir die Gleichung sin а = n sin ß,

so erhalten wir

cos a d a = n cos ß d /?, cos« ncos£*

Dieser Wert, in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt

cos« neos ß

wir noch folgendermassen umformen können, neos ß = (k -f- 1) cos a.

Diese Gleichung quadriert, ergibt

n² — n² sin² ß = (к +1)² — (к +1)² sin² « und wegen sina = nsin/?

was

dß

da

dD

diT⁻2~ 2(k + l)

= 0,

— n².

J (k + 1)² —1 |sin²a = (k+l)2 '/(k + ir-n»

f (k+1)² —1*

sina

Setzen wir k = 0, so erhalten wir für sina einen unmöglichen Wert, jedoch für k=l, 2, 3 ... wird der Wurzelausdruck für Wasser kleiner als Eins, da n <2 ist. Wir werden demnach eine Reihe von Reg bogen erhalten, deren lichtstarkster der erste für к = 1 sein wird, da der Lichtstrahl umso mehr geschwächt wird, je öfter die Reflexionen stattfinden.

en-

4. %

■Ä

Fig. 7. (zu §6.)

Wir fragen nun nach der Form des Reg bogens und wollen uns in unserer Untersuchung auf den ersten, den Hauptregenbogen beschrän- $ ken, da sie für die weiteren, die Nebenregenbogen, ganz analog durchgeführt werden kann. Zu bemerken ist höchstens, dass für die einzelnen Regenbogen der das Ablenkungsminimum liefernde Sonnenstrahl einmal auf der oberen, das zweitemal auf der unteren Seite des Regentropfens (Fig. 7) auffällt und abwechselnd so fort.

А    .'У

A. /R

Fig. 8. (zm§Q.)

Ist AB (Fig. 8) die Erdoberfläche, und bildet der Sonnenstrahl SP mit ihr den Winkel a, dergebrocheneStrahl jedgcb d&n .Winkel e,

so ist bei einer einmaligen Reflexion D die Deviation, und es muss sein. Da aber so ist

Q g— 7t — D = 4/?— 2a.

Setzen wir <j = 0, d. h. steht die Sonne im Horizont, oder sehen wir davon ab, dass AB die Erdoberfläche sei, sondern eine zu den Sonnenstrahlen parallele Gerade, so wird um AB herum alles symmetrisch. Der Regenbogen wird also ein Kreis sein vom Oeffnungswinkel 2 (ę-j-a). Den vollständigen Kreis können wir nie sehen, wenn wir auf der horizontalen Erdoberfläche stehen, sondern höchstens einen Halbkreis bei Sonnenauf- oder Sonnenuntergang. Etwas anderes ist es jedoch auf einer hohen Bergesspitze oder vom Luftballon aus, wo der vollständige Kreis beobachtet wurde. Die Möglichkeit dazu ist auch vorhanden, wenn nicht die Sonne direkt, sondern ihr Spiegelbild in einem ruhigen Gewässer den Regenbogen erzeugt. Die Winkelsumme £-{-a beträgt ungefähr 42° Grad.

Bilden wir den Ausdruck

dD

dn

Tn’

so erhalten wir die Reihenfolge der Farben. Wir haben nun

dß

d]5 da

, =2-3— — 4 -r——— 4 3—,

dn dn da dn dn

dD._

dn ^ dn

indem wir ß als abhängige Veränderliche von a und n einführen. Von früher her kennen wir als Bedingung

des Deviationsminimums

dß

²-⁴d^⁼⁰'

daher wird

dß

dD

dß

Den Differentialquotienten gewinnen wir aus der Gleichung

sina

sin ß =-

n

welche differenziert

dß

008,7 an

sina

na ’

ergibt. Demnach ist

àç

dD

4 sin a

dn d n

n² cos ß

Der Differentialquotient - ist negativ, d. h. mit wachsendem n nimmt q ab. Es wird also die rote Farbe den äussersten Rand des Regenbogens bilden, gegen die Mitte zu folgen dann die übrigen Farben.

Die einzelnen Regenbogenfarben sind keine reinen, sondern gemischte Farben, da ja jeder gebrochene Strahl in seine Farben zerlegt wird, somit nicht allein das Minimum der Ablenkung massgebend ist. Das hat zur Folge, dass der Regenbogen nicht aus dem gewöhnlich genannten siebenfarbigen Band besteht, sondern wir können bei einem -lichtstarken Regenbogen noch eine Reihe hauptsächlich roter und grüner Streifen beobachten.

§ 7. Abbildung eines Punkts durch eine brechende Kugelfläche — Brennpunkte — Brennweiten.

KK' (Fig. 9) sei eine brechende Kugelfläche. Es ist dies der Fall, wenn sich links von ihr etwa Luft,

K’

<£-

A\

Fig.9 ( zu § 7.)

rechts Glas befindet. Der Strahl SA, welcher gegen den Kriimmungsmittelpunkt 0 der Kugelfläche gerichtet ist, wird nicht gebrochen, da er mit dem Einfallsloth zusammenfällt. Wir nennen ihn den Hauptstrahl. Ein Strahl SM wird nach dem Gesetz sin« = nsinß gebrochen und schneidet den Hauptstrahl in B. Wir wollen unsere Untersuchung nur auf kleine Einfallswinkel ausdehnen, können dann den Sinus mit dem Bogen vertauschen und schreiben a ₌ nß.

Wir haben nun

mithin

<р + У = rnp—nx,

(p + n# = (n —1)V>.

. 2 n t о* = a sm  '•

ß2 e^x — e^x = 0,

P = Po(1+«t).

(p + n# = (n —1)V>.

Die verschiedenen Winkel können wir folgendermassen darstellen :

MA MA MA

9>==    =    FA

Wir setzen ferner

SA = a, OA —r, BAz=b

und nennen a die Gegenstandsweite, r den Krümmungsradius, b die Bildweite. Wir erhalten dann aus Gleichung (4) ohne weiteres

n—1

Es vereinigen sich also in der That alle Strahlen, welche von S ausgehen, in B. Wir haben hier ein reelles Bild.

Lassen wir S in’s Unendliche rücken, d. h. lassen wir parallele Strahlen auffallen, so vereinigen sie sich in einem Punkt, den wir Fx nennen wollen.

Es ist der hintere Brennpunkt und

nr

n 1

die hintere Brennweite. Das ist auch gleichzeitig die kleinste mögliche Bildweite. Lassen wir S näher rücken, so wird b grösser und wir erreichen schliesslich einen Punkt f1? für welchen b unendlich wird. Die Gegenstands weite ist dann

f=a

n — 1

Wir nenneu f die vordere Brennweite, fj den vorderen Brennpunkt. Die beiden Brennweiten stehen also in der Beziehung F=mf.

Wird nun a noch kleiner, so wird b negativ, d. h. die Strahlen vereinigen sich nicht mehr, wohl aber ihre rückwärtigen Verlängerungen in einem Punkt, welcher vor der Kugelfläche liegt. Wir erhalten ein imaginäres Bild.

Lassen wir r unendlich werden, so erhalten wir

eine ebene brechende Fläche. Es wird dann b = — na.

Wird r negativ, haben wir also den Krümmungsmittelpunkt О links von der brechenden Fläche, so wird auch die Brennweite negativ. Es vereinigen sich dann die Strahlen nur virtuell. Wir erhalten kein reelles Bild mehr.

§ 8. Bildgrösse.

Gleicherweise wie der Punkt S (Fig. 10) in B, bildet sich T in B' ab. Wir erhalten von dem Gegen-

F_

Fig. 10. (zu§ 8.)

stand S T das verkehrte Bild В В', dessen Grösse wir leicht finden können. Wir wollen die Bezeichnungen

8^=^, FtB=^

einführen und haben dann

ST ST А

B B' AN f >

aber auch

ST AM F

BB' BB'

Bückt also der Gegenstand aus dem Unendlichen bis in die vordere Brennweite, so wächst das Bild von der Grösse Null bis zur Grösse Unendlich. Es ist reell und umgekehrt. Rückt der Gegenstand noch näher, so wird A negativ, wir erhalten ein aufrechtes ver-grössertes virtuelles Bild. Für eine concave brechende Fläche wird r negativ. Es wird dann auch f negativ und für alle Fälle Л > f. Wir haben also dann immer ein virtuelles aufrechtes verkleinertes Bild.

§ 9. System zweier brechender centrierter Kugelflächen — Linsen.

Liegen zwei brechende Kugelflächen A und A' (Fig. 11) so, dass der Hauptstrahl der ersten durch

В'

Figli.

( zai § 9 J

den Mittelpunkt der zweiten geht, so nennt man sie centriert. Das Bild В des Punkts S, welches die erste brechende Fläche entwirft, wird für die zweite brechende Fläche zum leuchtenden Punkt und sie entwirft davon ein Bild in B'. Für die brechende Fläche А gilt nun die Gleichung

(5)

für die zweite A' analog

n/

n' —1

r/ •

Ist nun das Medium rechts von A' gleich jenem links von A, so ist n' =

a'

b'

. Ferner ist a' = AA'-— AB = e — b,

wenn e die Entfernung der beiden Kugelflächen ist. Darnach wird die Gleichung für den Strahlengang in der zweiten Fläche

r'

Wir nehmen noch an, e sei so klein, dass wir es gegenüber den anderen vorhandenen Grössen vernachlässigen können. Wir haben dann eine dünne Linse vor uns. Unsere letzte Gleichung wird jetzt

n —1 r' ’

b ^b'

was zur Gleichung (5) addiert

<-7)

= (n-

——J——

a b'

ergibt. Es ist dies die sogenannte Linsenformel.

Ist —--— positiv, so haben wir eine Sammel

linse, im entgegengesetzten Fall eine Zerstreuungslinse. Im ersten Fall vereinigen sich parallel auffallende Strahlen für welche a = со ist, in der Entfernung p hinter der Linse nach der Gleichung

p -(“-D (t-v)

und es ist p die Brennweite der Linse, weshalb wir die Linsenformel auch

-L+-L = _L

a b' p

schreiben können. Diese Gleichung hat dieselbe Form wie jene für den Kugelspiegel (§ 3), weshalb wir uns hier ihre weitere Diskussion ersparen können.

Im vorhergehenden Paragraphen fanden wir für das Verhältnis des Gegenstands zum Bild die Gleichung ST X F

i*

BB' f

Es gilt demnach für eine brechende Fläche die Beziehung А (г = f F,

(6)

welche wir auch auf mehrere brechende Flächen ausdehnen können. Für die beiden Kugelflächen A und A' (Fig. 12) haben wir also die Gleichung (6) nebst der zweiten

(?)

A' (*' = f' F',

ßr

Ft В fj AI

щелг.

(t,ui§ 9.)

wenn wir das Bild В zum Gegenstand für die zweite brechende Fläche werden lassen. Die Entfernung beider Flächen ist also

(8)

e = F + ^ + r + f'.

Wir finden den vorderen Brennpunkt des Systems, wenn nach der zweiten Brechung die Strahlen parallel laufen, also p' = go wird. Dann muss nach Gleichung (7) A' = 0 werden, während aus Gleichung (8)

P = e — F — f '

und aus Gleichung (6)

e—F—f'

folgt.

(p = A-\-î—

Und in ganz derselben Weise finden wir für die hintere Brennweite unseres Systems

Wir rechnen die vordere Brennweite von der ersten Kugelfläche aus. Sie wird also fF    e-f'

- F — f'    e—F — Г

e — F—f'*

wobei diese Brennweite von der hinteren Linsenfläche ans gezählt ist.

Wir wollen als ein Beispiel für die gewonnenen Gleichungen die planconvexe Linse behandeln. Der Krümmungsradius der vorderen Fläche sei r, für die hintere Fläche ist er demnach oo. Wir haben daun (§ 7)

nr

f ' = F' = (X,

n — 1*

f = —^r, F n — l⁷

daher

e —f'

— f'

e— F— f'

da ja e und F gegen oo wegfällt. Ferner haben wir

Ф= F'

e—F—f'

„ e — F F — e

n'f'—f-

f— -

—=œ — —.

n r n

Die hintere Brennweite ist also um — kleiner als die vordere.

§ 10. Hauptebenen — Hauptpunkte.

und Ф

Durch die Einführung der Brennweiten können wir wiederum zwei brechende Flächen wie eine einzige behandeln , und es ist leicht einzusehen, dass wir auf dieselbe Weise jetzt drei, vier u. s. w. brechende Flächen kombinieren können, vorausgesetzt, dass sie ein zentriertes System sind, d. h. dass die Krümmungsmittelpunkte der Kugelflächen alle in einer Geraden liegen. Nicht so einfach wie bei einer unendlich dünnen Linse ist aber jetzt die Konstruktion der Bilder. Zu dem Zweck führen wir den Begrifl der Hauptebenen ein. Diese haben die Eigenschaft, dass jeder Strahl,

Hauptebenen.

31

welcher durch die erste geht, in derselben Höhe auch die zweite passiert. Wir sehen wegen der allseitigen Symmetrie sofort ein, dass diese beiden Ebenen senkrecht auf dem Hauptstrahl stehen müssen. Ihre Schnittpunkte mit ihm nennen wir die Hauptpunkte.

Wir haben also zwei Ebenen von der Eigenschaft zu suchen, dass der Gegenstand in der einen congruent dem Bild in der andern ist. Wir verfolgen dabei wieder die Methode, die gestellte Aufgabe erst für zwei brechende Flächen zu lösen, da ja die Rechnung für mehrere Flächen nach demselben Schema vor sich geht. Wir haben nach dem vorhergehenden Paragraphen für das Verhältnis des Gegenstands G zum Bild В bei der ersten Brechung

für die zweite

G'

Л¹ F'

Nun ist aber der Gegenstand bei der zweiten Brechung das von der ersten Brechung gelieferte Bild, also G'= B,

folglich

G ЛЛ' FF'

B' ff'

[A,[T

(9)

uu‘ L

Da das Bild sich bei jeder Brechung umkehrfc, so ist das zweite wieder aufrecht. Soll es daher mit dem Gegenstand kongruent sein, so muss Gegenstand und Bild im Verhältnis Eins stehen. Wir haben also ЛЛ' FF'

ff'

Aus Gleichung (8) ergibt sich

(10)

[л —J- A/ = e — F — f⁷ = ó.

Multiplizieren wir diese Gleichung mit A, so erhalten wir mit Zuziehung der Gleichungen (6) und (9)

fF + ff ' = SA, fF + ff'

Ganz analog ergibt sich durch Multiplikation der Gleichung (10) mit p⁴

FF' + f'F'= Ô (i⁴, F F' + f' F'

Damit ist die Lage der beiden Hauptebenen bestimmt, doch ist es bequemer, ihren Abstand von der ersten bezgl. zweiten brechenden Fläche zu wissen. Für die erste Hauptebene ist er

ь = * + f =    + l) = I (F+f'+ e - F— f')= 6 f

Für den Abstand der zweiten Hauptebene von der zweiten brechenden Fläche findet sich gleicherweise

TT - eF/

6 ■

Es ist noch angezeigt, die Brennweiten von den

Jk

SA

Fig. 13,

( zu § 10.)

Hauptpunkten an zu zählen. Wir haben dann (Fig. 13) die vordere Brennweite

Ist links und rechts vom optischen System dasselbe Medium, so n' =

-I, folglich P = p.

Die Konstruktion des Bilds ist nun sehr einfach. Wir errichten in den beiden Hauptpunkten hx und Ht

Su

so

Da nun

e — F'

FF'

Hauptebenen, e — f '

ff/

für die hintere

F = n f, F' = n' f',

nn'ff'

n n' p.

Pl

Fig.lX (zu §10.)

(Fig. 14) die beiden senkrechten Ebenen h und H. Ein Strahl, welcher parallel zum Hauptstrahl yon T ausgeht und die erste Hauptebene in A trifft, muss in gleicher Höhe bei A' die zweite Hauptebene verlassen und dann durch den hintern Brennpunkt Pj gehen. Ein Strahl, welcher durch den vorderen Brennpunkt px geht und Jäger, Theoretische Physik. II.

in В die erste Hanptebene trifft, verlässt ebenfalls in gleicher Höhe in B' die zweite und geht dann parallel zum Hauptstrahl weiter. In T' schneiden sich beide Strahlen; es ist dort das Bild des Punkts T.

§11. Biconvexe Linse.

Die beiden brechenden Flächen einer biconvexen

Linse sollen denselben Krümmungsradius haben. Es gilt also die Beziehung

f' = F = nf.

Die Lage der ersten Hauptebene ist daher gegeben durch

e — F — f '

Ist die Linse nicht sehr dick, so können wir e gegen 2 n f vernachlässigen und erhalten

h== —

3

wenn wir, wie es bei Glas ungefähr zutrifft, n = — setzen.

h ist negativ, d. h. es liegt die erste Hauptebene \ (Fig. 15) hinter der Linsenfläche, symmetrisch dazu die

Л1

ff

CO

B, Fig. 15.

(ZTL§ li)

zweite Hauptebene H₂. Die beiden Brennweiten p und P sind einander gleich. Für das Verhältnis des Gegenstands zum Bild haben wir daher

G _ Л _ p

В — p ~ p ’

woraus folgt

Л p — p².

Wir versetzen nun unser Auge in den Punkt 0, welcher die Strecke p so teilt, dass [A = 0) -J- er.

Wir wollen die Linse als Lupe benützen. Die Entfernung des Bilds vom Auge muss also in der deutlichen Sehweite s und negativ sein. Wir haben demnach zu setzen. Darnach wird

p = 0) — s,

wobei s со, also negativ ist. Desgl. wird

p⁹

S- (0

negativ, d. h. der Gegenstand muss innerhalb der Brennweite p liegen. Unter der Vergrösserung verstehen wir das Verhältnis des Bilds zum Gegenstand

v=g

In unserm gegebenen Fall wird somit

s — CD

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass wir ein aufrechtes Bild erhalten. Je weiter wir das Auge von der Linse entfernen, desto grösser wird со, desto kleiner das Bild. Denken wir uns das Auge in der zweiten

= — p und S + P _

Hauptebene, so

was die gewöhnlich in Verwendung kommende Grössenformel ist.

§ 12. Huyghens’sclies Princip.

Wir haben das Licht nach Huyghens’ Theorie als W ellenbewegung aufgefasst. У on Huyghens rührt folgendes Princip her : Einen jeden Punkt einer Welle kann man als einen Erregungspunkt neuer Wellen betrachten. Die gemeinschaftliche Umhüllende dieser Wellen, der Elementarwellen, stellt die wirkliche Welle, die Hauptwelle, dar. Denken wir uns z. B. eine Kugelwelle, welche von einem leuchtenden Punkt ausgeht. Werden alle Punkte der Kugelfläche als Erregungspunkte neuer Wellen aufgefasst, so entstehen unendlich viele congruente Kugelwellen, deren umhüllende thatsächlich die Hauptwelle darstellt.

-Ep

Fi^.16. (zu §1Z.)

Aus diesem Princip lässt sich leicht das Gesetz der Reflexion und Berechnung ableiten. Es falle ein paralleles Strahlenbündel AB (Fig. 16) auf die Ebene ЕЕ' unter dem Einfallswinkel а. Im Punkt A' entsteht eine Elementarwelle der Planwelle A'B' und so der Reihe nach in allen Punkten der Strecke A'B". Kommt schliesslich der Punkt B' in

В" an, so haben wir als Hauptwelle A"B". Da nun A'A" _]_ A"B", A'B' J_ B'B", A'A" = B'B", so muss auch а = ß sein, womit das Reflexionsgesetz als eine Folge der Wellentheorie erscheint.

Das Brechungsgesetz können wir folgender-massen erhalten. AB(Fig.

17) sei dieTrennungsfläche zweier Medien. Im oberen sei die Lichtgeschwindigkeit c, im unteren c', und es sei c > c'. Trifft die ebene Welle CD in C' auf, so entsteht da eine Elementarwelle mit der Geschwindigkeit c'. Dasselbe geschieht der Reihe nach in allen übrigen Punkten der Strecke C'D". Während C nach C" gelangt, kommt D' nach D". Es ist daher C"D" die neue Welle. Nun ist

C'D" . sin a = D'D", C'D" . sin ß = C'C",

tr

-В

У"

Hg. 17. (zu §1Я.)

folglich

D'D"

C'C"~ йп7 ~V~n‘

Damit ist das Brechunggesetz abgeleitet, und es zeigt sich, dass der Brechungsexponent nichts anderes als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten in den beiden Medien ist.

sin а

§ 13. Fermat’s Satz.

Fermat stellte folgendes Prinzip auf: Jeder Lichtstrahl pflanzt sich so fort, dass die

zur

Zurücklegung des Wegs erforderliche Zeit ein Minimum wird. Auch dieses Princip ergiebt das Reflexions- und Brechungsgesetz in derselben Form wie das Huygens’sche. Soll das Licht vom Punkt A

/fl

E-

Rg.18,

(ZU.S13.)

(Fig. 18) ausgehend von der Fläche E F in В nach C reflektiert werden, so wird die Reflexion so von statten gehen, dass die _jp Zeit der Fortpflanzung folglich auch der Weg ABC ein Minimum wird. Nach unserer Zeichnung

ist

GH = AG . tga + HC . tgß, was durch Differentiation ergiebt ÄG.d«

HC.d/?

cos² а

cos²/?

ai)

Soll der Weg

AB + BC

[AG HC

cos a cos ß

ein Minimum werden, so muss sein Differential Null sein. Das ergiebt

A G . sin a d а cos² а

Dividieren wir Gleichung (12) durch (11), so resultiert sin а = sin ß oder a = ß. Wir erhalten also in der That das Reflexionsgesetz.

Auf ganz demselben Weg ergiebt sich auch das Brechungsggesetz. ABC (Fig. 19) stelle uns den

HC . sin ßdß

cos²/?

(12)

Strahlengang durch die brechende Ebene EF dar. Oben sei die Lichtgeschwindigkeit c, unten c'. Die Zeit

-I

Щ. 19. С (zu §13.)

с'

с' COS ß

soll ein Minimum werden, d. h. es muss das Differential

c cos а

dt = 0 sein, was

A Gi. sin «da

H C . sin ß d ß

c' cos² ß

(13)

c cos² а

ergiebt. Ferner folgt wiederum aus dem Differential der konstanten Strecke Gr H die Gleichung (11). Gleichung (13) durch (11) dividiert, ergiebt sodann

sin/?

sin cs

c' ’

oder

sines

c'

sin/?

das Brechungsgesetz. Es stimmen also die Folgerungen aus dem Hu у gens’schen und dem Fermat’schen Prinzip vollständig überein.

§ 14. Interferenz.

Nach dem früheren müssen wir das Licht als eine schwingende Bewegung des Aethers auffassen. Diese Bewegung pflanzt sich in ähnlicher Weise fort wie die Schallbewegung in der Luft. Eine befriedigende Vorstellung von der Bahn, welche die Aetherteilchen bei der Lichtbewegung beschreiben, ist jedoch bis jetzt noch nicht geliefert worden. Sicher ist nur das eine, dass die Aetherteilchen eine cyklischeBewegung machen müssen, d. h. eine solche, bei welcher sie geschlossene Bahnen durchlaufen, folglich nach einer bestimmten Zeit immer wieder eine bestimmte Lage passieren. Dieser Bewegungszustand pflanzt sich in Wellenform fort und hat die Eigenschaft, dass er nach Verlauf einer halben Wellenlänge gerade entgegengesetzte Bewegungen darstellt. Zwei gleichartige Strahlen, welche um eine halbe Wellenlänge gegen einander verschoben sind, werden daher die Aetherteilchen gar nicht in Bewegung setzen können, da die Kräfte, welche von den beiden Lichtstrahlen ausgeübt werden, gleich und entgegengesetzt sind. Das Licht muss verschwinden. Die beiden Strahlen werden sich aber in ihrer Wirkung unterstützen, wenn sie ohne Phasenverschiebung den Aetherteilchen begegnen. Wir haben hier also ganz analoge Vorgänge wie bei der Interferenz des Schalls (I. Bd. § 73) und belegen sie daher auch mit dem Namen „Interferenz des Lichts“.

§ 15. FresneFs Spiegelversucli.

Strahlen, welche mit Phasenunterschied in einem Punkt ankommen sollen, müssen ihren Weg in ver-schiedenen Zeiten zurücklegen. Dies ermöglicht eine Anordnung von Spiegeln, welche von Fresnel, dem hervorragendsten Pfadfinder auf dem Gebiet der Optik, gefunden wurde. Zwei ebene Spiegel AB und AC (Fig. 20) stossen unter einem sehr spitzigen Winkel cp

X/

Fig. 20. (zu .§15.)

in A zusammen. Der leuchtende Punkt L liege so, dass AL mit der Spiegelfläche AB den Winkel a ein-schliesst. Beschreiben wir daher mit dem Radius AL um A als Mittelpunkt einen Kreis, so liegen auf dem Kreisumfang die beiden Bilder L' und L", welche die Spiegel А В und А C von L entwerfen. Halbieren wir L'L" in E, so ist die Gerade EAF eine Symmetrie-linie zwischen L' und L". Die Strahlen, welche von den beiden Bildern L' undL" ausgehen, werden daher Interferenzerscheinungen liefern, welche zu EF symmetrisch liegen.

Wir stellen in F (Fig. 21) einen Schirm auf und fragen nun, welche Lichterscheinungen sich in einem beliebigen Punkt M zeigen werden. Wir wollen die Strecken

L'L“ -2a, EF = b, EM = y

£"

Fig. 21.

(zu §15.)

setzen. Es handelt sich also darum, den Zeitunterschied, oder was hier dasselbe ist, den Wegunterschied der beiden Strahlen L'M und L"M kennen zu lernen. Wir haben

L"M* = b² + (a + y)², ITM* =ba + (a— y)\

daher

ITS² — Ï7M² = (L" M — L' M) (L " M + L' M) = 4a y. Wir können nur mit sehr kleiner Vernachlässigung L"M + L'M = 2b

setzen und erhalten so

L"M — L'M =

Haben wir Licht von der Wellenlänge Л, so wird für alle y, wo der Gangunterschied der beiden Strahlen

.. ist, Dunkelheit eintreten, da sich dort

Л 3л ъл

2’ 2’ 2 ‘ beide Strahlen infolge der Interferenz austilgen. Es ist dies also für

(2к+1)ЬЛ

4a

(14)

der Eall, wenn к = 0, 1, 2 . . . ist.

In Wirklichkeit steht uns nun ein mathematischer Lichtpunkt nicht zur Verfügung, sondern wir müssen eine schmale Spalte LLX (Fig. 22) anwenden, durch welche wir das Licht eintreten lassen. Die Folge davon

ZJll

L'l

Fig гг

(zu §15 )

ist, dass die beiden Spiegelbilder ebenfalls eine gewisse Ausdehnung haben, so dass die Bilder des Punkts L die Gerade AF, hingegen die Bilder von lu₁ die Gerade AFt zur Symmetrielinie haben. Es kann daher Vorkommen, dass auf eine dunkle Stelle des Schirms, die von L herrührt, gerade eine lichte, durch Lj erzeugt, zu fallen kommt, so dass wir keine Interferenzstreifen wahrnehmen können. Es darf somit die Spalte LLt eine gewisse Breite nicht übersteigen. Unsere Aufgabe läuft darauf hinaus FFX möglichst klein zu machen. Es ist F Fx = A F. /?, wenn wir den L ALt = /?, setzen.

Wir haben somit ß =    , folglich

₌ àM5 AL '

wenn

Wir erzielen also eine möglichst gute Wirkung,

wir die Spiegel möglichst weit von der Spalte aufstellen und diese selbst sehr schmal machen, während wir den Winkel cp der beiden Spiegel sehr klein wählen.

Die Grösse a in der Gleichung (14) ist durch den Winkel der beiden Spiegel und ihre Entfernung vom Lichtpunkt gegeben. Da wir b und y ebenfalls messen können, so haben wir in Fresnel’s Spiegelversuch ein Mittel, die Wellenlänge A des Lichts und sodann aus der bekannten Lichtgeschwindigkeit die Schwingungszahl zu bestimmen.

§ 16. Farben dünner Blättchen.

Yon dem leuchtenden Punkt S (Fig. 23) falle ein Strahl SA auf die planparallele Platte PP'. ImPunkt

9(*

J)/,

Fig. 23. (zu §16.)

A wird er teilweise nach C reflektiert, teilweise nach В gebrochen. Dort findet ebenfalls Beflexion und Brechung statt ; ein Teil geht nach E; der andere nach A', und das geht so fort, so dass eine Beihe von Strahlen nach oben, eine andere nach unten von der Platte weggeht. Das Auge wird daher sowohl von oben als von unten in der Platte Interferenzerscheinungen der nebeneinander verlaufenden Strahlen sehen können, welche man mit dem Namen „Farben dünner Blättchen“ belegt, da für den Fall, als vom Punkt S weisses Licht, oder sonst eine Mischfarbe ausgeht, an einer bestimmten Stelle der Platte nur Licht von bestimmter Wellenlänge, d. h. von bestimmter Farbe verlöschen wird, so dass wir dann die Mischfarbe des übrigen Lichts in der Platte sehen.

Wir wollen den Schwingungszustand des Aethers durch

.    2 ^ t

a = a sin-------

г

darstellen. Welcher Art von cyklischer Bewegung dieser Schwingungszustand a ist, wissen wir bekanntlich nicht, doch ist das für die folgenden Untersuchungen auch nicht nötig. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit sei ausserhalb der Platte c, innerhalb c'. Der Schwing-

AC

ungszustand a in A wird daher nach der Zeit —— in

in C sein, nur mit dem Unterschied, dass er dort mit geringerer Stärke auftritt, da er ja nur teilweise reflektiert wird. Wir können daher den Bewegungszustand in C

= a a sin

nennen, wobei a ein echter Bruch ist, der die Verminderung der Stärke des Schwingungszustands andeutet, oder wenn wir wollen, der das Verhältnis zwischen der neuen und alten Amplitude der Schwingung darstellt. In ähnlicher Weise können wir nun

weiter schliessen. Wir werden in C' den Zustand

AB BA'    ₌

.    2 7t I

a₂ = a' ß' ß a sin — 11—

= ее' ß* ß a sin ^t-

haben. Wir haben hier durch «' dem Lichtverlust bei der Brechung in A, durch ß jenem bei der Reflexion in B, durch ß* dem bei der Brechung in A' Rechnung getragen. Auf ganz dieselbe Weise finden wir nun weiter

c'

c'

2 AB A'C'j

c'

2лг /

= ce'/?³/?'a sin — ft-

2 7Т /

(j± = ос' ß° /?' a sin - — 11-

4 AB

c'

6 AB

A^

A"' C"'j

Es ist nun

A'C' = AC—AD, A" C" = A C—2 A D

wenn A'D das Loth auf AC ist. Wir setzen jetzt

2 л /2AB    AD\

T \ с'    c

und erhalten dann für die Summe sämtlicher о den Ausdruck

^ = a [« sin уa' ß' ß sin (cp—ę) + ce' /?' ß³ sin (у—2 у) +

+ «' ß⁴ ß⁵ sin (ç>—³ v) + • • •]•

Diese Summe wird uns also das Resultat darstellen für die Lichterscheinung, welche unser Auge in der dünnen Platte PP' im reflektierten Licht erblickt. Um die

Summierung durchführen zu können, führen wir folgende Hilfssummen ein:

S = sin (cp—гp) ~b ß² sin (cp—2 яр) -j⁻ ß* sin (cp—3 ty) -f-. .., R — cos (cp—ty) -j- ß² cos (cp—2 ty) -}- ß⁴ cos (cp—3 гр) -j- ... und bilden

R-f- —    ²f)i+ß*e(<P—³^)* + .. .=

=    (1 + ß² e~9l + ß⁴ e—²tl + ß» e-³^¹ -)----) =

= ef.<p—t)¹ (1 n -)- n² n³-{- ...), wenn wir ßie~9i — n setzen. Die geometrische Reihe hat nun eine bekannte Summenformel, wornach wir erhalten

e(9“V0i

_ 1—ß²ett

1—ß*e~W * 1—ß²e^ _e(cP-^)i—ß'eW _

R + Si = e(9P-V>)i.—h_

1—n

1—2 ß² cos гр + ß⁴

cos (cp—у) + isin (cp—1p)—ß² cos cp—iß² sin cp

wobei wir

1—2 ß² cos tp -f- /?* = N

gesetzt haben. Der imaginäre Teil der Summe ergiebt sin (cp—'ip)—ß² sin cp

somit

sin (cp—гр)—ß² sin cp

Wir wollen hier die Glieder mit den Faktoren sin^ und cosy noch trennen, erhalten somit

cos гр—ß²

sin гр

j—acos cp .ct'ß'ß

2=s, sin

Es ist also das Resultat wiederum eine schwingende

4>

2⁴ = a'/?'asin# -|- a! ß* ß² a sin (%— t/>)-(-

+ «' ß' ß“ a sin (x-2xß)-\-----

was nach dem früheren Vorgang

₂< = a'ß'b*inX-ß*ain(x + 'P)

ergiebt.

Bewegung von derselben Schwingungsdauer, aber von verschiedener Amplitude und Phase.

Wir finden das Quadrat der Amplitude der resultierenden Schwingung aus der Gleichung costfj—ß²\²

A² = a² -)- a' ß' ß

(Siehe Bd. I § 73). Dieser Grösse setzen wir die Lichtstärke proportional. Sie giebt uns also ohne weiters Aufschluss über die Intensität des reflektierten Lichts.

+ a²«'² ß⁴² ß

a sin² xf)

N² *

In ganz derselben Weise wie für das reflektierte können wir nun die Rechnung auch für das durchgehende Licht machen.

Schwingungszustand

Wir erhalten in E den

2 71

a⁴ = a ß⁴ a sin ( t— —

AB BEj

in E'

= a⁴ ß⁴ ß² a sin ^t-

ЗАВ B'E'j

c'

u. s. w. Wir führen

2я( AB r V c/

1E\

УГХ

ein und können so für die Summe sämtlicher о schreiben

Es handelt sich uns jetzt darum, die Beziehung zwischen «, ß und ß⁴ zu ermitteln. Wir benützen

dazu die Erfahrungstatsache, dass von einem unendlich dünnen Blättchen kein Licht reflektiert wird.

son

dern alles durchgeht. Für em solches wird t/; = 0, folglich

i-ß²

)•

-2 = 0 = asiny(a-|- a'ß'ß

l—2p‘ + ß*

2‘ = a sin X = a «' ß‘ sin x —^ f + 4.

Es muss somit

« 4- --=- =

n 1—ß*

J J 1—ß*    ß'

a' ß¹-4-—- = - ■ ■ , = 1

P 1 — 2 ß -[-ß l—ß*

sein. Darnach reduziert sich die vorletzte Gleichung auf a-\-ß = 0 oder

a = — ß.

Das besagt, dass sich die Amplitude bei einer* Reflexion umkehren muss. Es bleibt jedoch unentschieden, ob dies bei der äusseren oder bei der inneren Reflexion geschieht.

Jetzt können wir uns auch eine Vorstellung von dem Quadrat der resultierenden Amplitude im reflektierten und durchgehenden Licht machen. Der Ausdruck

« + a'ß'ß

costf) — ß¹

cost^~/?²^J³

_ /?*(! + ß*Y (1—CQg^)²

N²

was sich durch Ausmultiplizieren leicht finden lässt. Wir haben somit

A² _ (1 + ß²Y (1 — COS гр)² + (1 — ß²)² sin² гр _

«V²

N²

2 (1—COS гр)

Wird demnach cos гр = 1, d. i. für ^ = О, 2tf, . wird kein Licht reflektiert, für гр = лг, 3 тс . . . werden wir hingegen das Maximum der Lichtstärke erhalten.

Verfahren wir mit dem durchgelassenen Licht 2‘ genau so wie mit dem reflektierten, so finden wir für das Quadrat der Amplitude

a² (l-/?²)¹

B²

Hier kann also nie völlige Dunkelheit eintreten, wohl giebt es aber auch ein Minimum der Lichtstärke, d. i. für cos гр = 1, also für гр =    3^, ... Haben wir also

im reflektierten Licht das Maximum der Intensität, so ist im durchgelassenen das Minimum und umgekehrt. Man sagt, die Erscheinungen im reflektierten und durchgelassenen Licht sind zu einander complementar. Beide Intensitäten geben zusammen die ursprüngliche; denn es ist

A² + B² = a².

Wir haben noch zu erklären, weshalb wir die

Lichtintensität proportional dem Quadrat

der Amplitude der schwingenden Bewegung setzen.

Die Lichtstärke ist offenbar proportional der lebendigen

Kraft der schwingenden Bewegung. Aendert sich nun

der Schwingungszustand nach der Gleichung

. 2я t

er =

asm-,

г

so wird die jeweilige Geschwindigkeit der sich beproportional sein. Die lebendige Kraft ist demnach

und damit a² proportional. Da wir die Schwing

ungsdauer als unabhängig von der Intensität halten, so ändert sich der Mittelwert der lebendigen Kraft thatsächlich nur mit dem Quadrat der Amplitude.

§ 17. Newton’s Farbenglas.

Legen wir auf eine planparallele Glasplatte eine sehr flache convexe Linse (Fig. 24), so begrenzen wir damit eine Luftschicht von veränderlicher Dicke, welche

JC

Щ. 24. (zu. § IZ)

in der Mitte unendlich dünn wird. Man nennt diese Anordnung „Newton’s Farbenglas“. Eine solche Luftschicht muss nach dem vorhergehenden Paragraphen sowohl im durchgehenden als reflektierten Licht Interferenzerscheinungen zeigen. An einer bestimmten Stelle vom Radius x hat die Luftschicht die Dicke

MN=AB = R—]/R²—x²

wegenden Teilchen

da 2 л    2nt

а cos —-

dt

X²

2R’

wenn wir den Krümmungsradius R der Linse gegenüber X sehr gross annehmen. Wir erhalten für ^ — 0,2 л . . . im reflektierten Licht Dunkelheit. Lassen wir das Licht senkrecht auflallen, so wird AB = d (Fig. 23), wenn wir unter d die Dicke der Schicht verstehen, AD = ff. Mithin ist

4 л; d ^ c' % *

Wir haben demnach Dunkelheit für d = 0,

Es ist aber с'г = A⁴ die Wellenlänge des Lichts in der Platte. ~

das ist für X² = 0, >Î'R, 2A⁴ R,...

2A^ ЗЛ'

2’ 2 ’ ~2~ • e • >

Farbenglas dunkle

unserm

Wir erhalten demnach in Kreise, deren Radien sich der Reihe nach wie

0:1 : ^2:^3 verhalten. Bei Licht, welches aus mehreren

Farben zusammengesetzt ist, entstehen natürlich entsprechende farbige Ringe.

§ 18. Wirkung dünner Blättchen bei schief auffallendem Licht — Talbot’s Linien.

Auf ein Blättchen von der Dicke d (Fig. 25) falle

Ti§. 25.

(zu § 18.)

Licht unter dem Winkel a auf, welches unter dem Winkel ß im Blättchen weitergeht. In der Formel

_ ^W2A_B _ AD\

I \ c'    c /

(§ 16) wollen wir AB und AD durch Blättchendicke, Einfalls- und Brechungswinkel ausdrücken. Wir haben d = А В . cos ß₇

ferner

AD = AA'. sina = 2 AB . sin ß sina =

2d sin/? sina

cos ß

folglich

2ЛГ / 2d

\

4 71 d    о,⁴ .    .

^Tc^¹-Tslnasm/S)

2 d sin a sin ß

c' cos ß

c cos ß

)=

4 л d

(1—sin² ß) =~jr cos ß»

л'cos/?

Für xß = 0, 2    . haben wir wiederum Dunkelheit im

reflektierten Licht. Indem die Strahlen schief auffallen, erzielen wir also den Effekt, als würde das Blättchen dünner.

Wir setzen nun voraus, unser Blättchen sei so dick, dass wir nach der Formel 4 ^ d

—jj- cos ß = 2 m тс

erst für ein grösseres m Dunkelheit erhalten. Gehen wir vom roten zum violetten Licht über, so wird die Wellenlänge etwa halb so gross. Es muss daher wiederum für den Fall der Dunkelheit m sich etwa verdoppeln. Haben wir daher weisses Licht, so werden durch unser Blättchen in demselben etwa m Lichtsorten verlöschen, was wir dadurch nachweisen können, dass wir das Licht nach der Reflexion durch ein Prisma gehen lassen. Wir erhalten dann ein Spektrum mit m dunklen Streifen, welche nach ihrem Entdecker den Namen Talbot’sehe Linien führen.

§ 19« Beugung¹ des Lichts.

Fresnel machte vom Huygen’schen Prinzip folgende Anwendung. Er sagt: von allenPunkten einer Kugelwelle (Fig. 26) gelangt Licht nach dem Punkt B. Der-

Fig. 26.

(zu §19.)

selbe erscheint aber nur deshalb nicht heller, als würde er von einem geraden Strahl von 0 aus getroffen, weil die Strahlen MB, M'B u. s. w. verschiedene Wege zurücklegen, sich infolgedessen durch Interferenz gegenseitig auslöschen.

Wir denken uns auf der Kugel durch M einen Kreis gezogen, indem wir die Kugel einfach um О В rotieren lassen. Die Fläche der Kugelcalotte zwischen A und M ist dann

ferner ist

folglich

F = 2 n a² (1 — cos <p).

BM²= a² + (a + b)² — 2 a (a-{-b) cos qp= b² -f-+ 2a(a + b) (1 — cos<jp),

1 - COS (p

Wir erhalten sonach

В M² — b²

2a(a-f b)’

und analog

F'

a -j⁻ b

u. s. w. Wir setzen nun

(В M/2 — b²)

F' — F = f =    (B M'² —B M²),

f' = а^-а-ь (BM"²-ВГ)

u. s. f. Wir machen nun die Voraussetzung, dass В M' — B M = В M" — BM' = BM'"—BM" =...= p ist. Dann wird

f" = (B M'" + В M"),

Daraus folgt nun

f — 2f' + f" = 0.

DieFläche einer jeden der art i gen Kugelzone ist also gleich der halben Flächensumme der beiden benachbarten Zonen, oder es wird vom Punkt О aus durch jede Zone gerade halb so viel Licht gehen als durch ihre beiden Nachbarzonen zusammen.

Wählen wir nun die Punkte M, M', ... so, dass

MB — AB =M/B — MB = . .

so wird sämtliches Licht, welches durch M M- (Fig. 27)

geht, durch jenes, welches bei MN undM' N' passiert, aufgehoben; und so geht es über die ganze Kugelfläche fort. Also

ЛГ"

о-

Щ.27.

(zu § 19J

nur jenes Licht, welches durch den kleinen Kreis A N geht, wird in В nicht vernichtet.

erleiden also eine Ablenkung,

Der Punkt В wird also bei voller Beleuchtung nicht heller erscheinen, als wenn wir in A einen Schirm mit einer Oeflnung vom Radius A N an bringen. Yergrössern wir jetzt die Oeflnung, so wird В noch heller werden. Die Helligkeit wird jedoch bei weiterer Yergrösserung wieder schwächer, und wir werden die schwächste Beleuchtung haben, wenn die Oeflnung den Radius A M' hat. Dann wird das Licht wieder heller u. s. w. Ebenso können wir aber auch nach A einen kleinen kreisförmigen Schirm bringen. Hat er den Radius AN, so wird in В kein Licht sein, wird er grösser, so wird es in В hell. Bei weiterer Yer-grösserung wird В wieder dunkel u. s. f. Die Lichtstrahlen so oft sie nahe an der Kante eines Schirms vorübergehen. Man nennt diese Erscheinung „Beugung des Lichts.“

§ 20. Beugung durch eine Spalte.

Der Schirm О X (Fig. 28) besitze eine Spalte A A', auf welche unter dem Winkel a eine Planwelle А В fällt. Der Schirm sei gleichzeitig die Grenze

~Ä

Fig. 28.

(zu §20.)

zweier verschiedener Medien. Im oberen sei die Lichtgeschwindigkeit c, im unteren c'. Bei P haben wir den Schwingungszustand.

2 тс

a= sin — t.

In P' haben wir dann

MP'\

~^7

O' = sin ~ (t

PM

Dorthin gelangt das Licht unter dem Winkel ß zum Loth, und die gesammte Lichtmenge wird sich darstellen lassen durch

PM МРЛ

^Jdf’

t--c

wenn wir unter d f ein Flächenelement der Spalte im Punkt M verstehen, während у jener Bruchteil des Lichts ist, der in das untere Medium eindringt. Wir setzen nun OM = x, also

PM = xsina, MF=(p—x)sin/?, wobei О 0' = p ist. Ferner sei noch d f = d x d y, dann

wobei wir

2 7t

2 7t

l = y sin —

x

(*

X sin a p sin ß , x sin ß c'

Ç'

d x d y.

Integrieren wir über den ganzen Spalt, so wird aus d y einfach die Höhe h des Spalts, und es bleibt uns für die gesammte Lichtmenge L der Ausdruck

x₀ + b

x sin « p sin ß x sin ß\

■    j-d*-

c'

x. + b

= 7 h Ç sin (<p x₀

7 h Г

— mx)dx=— |cos (q>

— m x₀ — mb) —

—COS ((p-

sin(T

, , • (    mb,slnT

= 7b h sin\œ — m x₀ — -y-l

— mx₀

mb\ . mb

-xjsinT-⁼

mb

(15)

2 Ti I sin a    sin ß \

—H_m

gesetzt haben und unter b = A A' die Breite des Spalts verstehen. Die Amplitude der neuen Lichtbewegung ist also

. m b

sm 2

Sie ist eine periodische Funktion von m. Ihr Maximum hat sie für m = 0. Das ist der Fall, wenn sin a

sin a

sin ß с' П wird. Das Maximum der Beleuchtung haben wir demnach dort, wohin der Strahl nach dem Brechungsgesetz zu fallen hat.

Eür die Folge wollen , wir annehmen, dass auf beiden Seiten des Schirms dasselbe Medium, also c = c' ist. Ferner sollen die Strahlen senkrecht einfallen. Es muss somit a = 0 sein, und wir haben

2 n sin ß

Was nun die Lichtintensität für verschiedene ß betrifft, so handelt es sich um den Faktor

. (b n sin ß) sin-

b л sin ß •

Das Licht wird also durch unsere Spalte so gebeugt, dass für ß = 0 die grösste Lichtintensität vorhanden ist. Nach links und rechts nimmt sie sodann ab, bis für

Л

sm/? = T

Dunkelheit eintritt. Für grössere ß haben wir dann wieder Licht, hierauf wieder Dunkelheit u. s. w., doch da der Bogen gegenüber dem Sinus rasch wächst, so nimmt mit wachsendem ß auch die Intensität der Maxima bald ab.

§ 21. Beugung durch zwei Spalten — Interferenzversuche von Joung und Arago.

Der Schirm О O' (Fig. 29) besitze zwei parallele Spalten A A' und В В' von gleicher Breite b und

Fi^.29 (zu§21]

gleicher Höhe h. Der Zwischenraum beider Spalten habe die Breite a. Das Licht falle unter dem Winkel a auf, und wir fragen nach der Lichtmenge, welche unter dem Winkel ß unterhalb des Schirms austritt. Wir brauchen also für die beiden Spalten bloss die Formel des vorigen Paragraphs anzuwenden und zu addieren. Demnach haben wir für die erste Spalte

m b\ m x₀ ~2~ j

g= y b h sin

ßy

. m b Sln~2~

für die zweite

o* — y b h sin

— m Xo-

sin—

mh ?

indem wir bei der zweiten anstatt x₀ den Wert x₀ + a + b zu setzen haben. Die Summe beider Lichtmengen ist also

a "j" o* — y b h

m b

sm-2~

2 sin^p

— mx₀—

ma+mb mb\

*)

X cos

m a -f- m b

für die resultierende Amplitude erhalten wir . m b

sm ~y

A = 2 y b h - — ^ cos

ma-(-mb₍

Wiederum sei oben und unten dasselbe Medium

2 л sin /?

und der Einfallswinkel а = 0, also m =

Mit wachsendem Winkel ß erhalten wir wieder Maxima und

. m b

sin —

MinimaderBeleuchtung. .Jene, welche von demFactor

herrühren, nennt man die Maxima bezgl. Minima

ma-f mb

die

erster Klasse, jene des Factors

zweiter Klasse. Die Minima zweiter Klasse werden also eintreten für

m a -f m b

£ CM

das ist für

+ Л + 8Я

~ 2 (a + b)’    2 (a -f- b)? V * ’

Man nennt diese Erscheinung „Joung’s Interferenzversuch“, welche Arago dahin abgeändert hat, dass

sin ß =

er vor die eine Spalte ein dünnes Blättchen gab. Dadurch wird der Stralilengang verzögert, und die Folge ist, dass die Symmetrielinie der Erscheinung gegen die Symmetrieline der beiden Spalten verschoben ist.

§ 22. Frauenliofer’s Gitter.

Bringen wir auf einem Schirm eine Beihe gleichweit von einander abstehender Spalten an, so erhalten wir ein Frauenhofersches Gitter. Dieses zeigt Interferenzerscheinungen, welche wir nach derselben Methode wie den Joung’schen Versuch im vorhergehenden Paragraphen herleiten können. Das Gitter soll n Spalten besitzen. Wir haben somit n Gleichungen von der Form der Gleichung (15) zu addieren, welche sich nur dadurch von einander unterscheiden, dass wir in der zweiten anstatt x₀ die Grösse x₀ + a -j-b, in der dritten x₀ -f- 2 (a -f- b) u. s. w. zu setzen haben. Ferner führen wir noch die Grössen

m b    /    ,    ,4

= <P — m xo--2"> V = m (a + b)

ein und erhalten somit schliesslich das Resultat

. mb

2 — y b h m)j jsin q> + sin (ip — v) + sin (^ — 2 57) + + . . . + sin [y — (n — 1) 17] j

sm —

R + Si = e

+.©

Die Summierung dieser Reihe geschieht auf dieselbe Weise wie in § 16. Wir können schreiben ty i . (^ — *7)1, (V> — 2^)i

[f — (n — 1) «?] i

ty i 1 — e

— n^i

-*n

2(1 — cos^)

n rj i/ n rj i

2(2 e . e \e

\    , ni

2 2+2 Je \e e

2(1 cos ri)

W-4+1)

n Г]

. 2 sin 2 . — 2isin |

2(1 — cos^)

Darnach erhalten wir

«а • ( n i 2 sin sm ^ S = sln^— +    —

— cos*?

Die Amplitude des resultierenden Lichts wird nun

sinîSb -nmfa + b)

A = ybh

m_b *siQJL(A±b)*

Es ergeben sich somit wiederum Maxima und Minima erster und zweiter Klasse. Was die Sichtbarkeit

anbelangt, so wird die Intensität der Maxima zweiter Klasse um so grösser werden, je grösser n ist. Für diese Maxima haben wir nämlich

sin

m (a + b)

0,

also

m(a + b)

Es wird dann

ginnm(a_+b)

sinm+bT = ¹¹-

Ist demnach n gross genug, so werden die Maxima erster Klasse gegenüber jenen zweiter ganz verschwinden.

Erinnern wir uns, dass m = —

ist, so finden wir ohne weiteres für die Maxima zweiter Klasse

2 7i sin ß

“'“iïTb’^rFb’*

n(a + b) = B

ist die Gesamtbreite unseres Gitters. Kennen wir daher die Zahl der Linien, so finden wir aus der Breite des Gitters leicht die Grösse a -j- b. Damit ist uns die Möglichkeit gegeben, die Wellenlänge des Lichts aufs Genaueste zu bestimmen. Die Winkel, bei welchen die einzelnen Maxima auftreten, werden um so grösser sein, je grösser die Zahl der Spalten auf der Längeneinheit des Gitters ist. Ist das Licht eine Mischfarbe, so wird es durch das Gitter in die einzelnen Farben infolge der verschiedenen Wellenlängen A zerlegt. Wir erhalten ein Gitterspectrum.

§ 23. Polarisai ion des Lichts bei der Reflexion — Gleichungen von Fresnel.

Malus machte die Beobachtung, dass Licht, durch einen Turmalin betrachtet, verschiedene Erscheinungen hervorruft, je nachdem es direkt oder erst nach vorhergegangener Reflexion an einer ebenen Fläche den Turmalin passiert. Das Licht erfährt also durch die Reflexion eine Veränderung, die man Polarisation nennt. Fresnel wusste diese Erscheinung in mathematische Formeln zu fassen ; er sah sich j edoch dabei genötigt anzunehmen, dass die Aetherteilchen Schwing-un gen vollführen, welche senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung d e s L i c h t s stattfinden. Wir können von dieser kühnen Hypothese jedoch absehen, wenn wir anstatt der Schwingung eines Teilchens den Bewegungszustand der Aetherteilchen einführen. Welche Bewegung die einzelnen Aetherteilchen dabei machen, brauchen wir gar nicht zu wissen, wenn sich nur der ganze Bewegungszustand durch einen Vector darstellen lässt, welcher senkrecht auf der Fortpflanzungsrichtung ist. Auch bei dieser Annahme können wir den Weg FresnePs zur Herleitung der Polarisationsgleichungen einschlagen. Hach ihm gelten folgende Sätze:

1.    Es muss die lebendige Kraft des einfallenden Strahls gleich der Summe der lebendigen Kräfte des reflektierten und gebrochenen Strahls sein.

2.    In der Trennungsebene beiderMedien muss Continuität vorhanden sein. Das heisst: in der Trennungsebene muss die Summe der Bewegung im ersten Medium gleich der Bewegung im zweiten sein.

Wir wollen nun daran gehen, die lebendige Kraft einer Welle aufzusuchen. Wir setzen voraus^ dass unsere Licht welle einePlanwelle parallel zur yz-Ebene eines rechtwinkeligen Koordinatensystems (Fig. 30) sei. Ihre Breite sei g, ihre Höhe h. Der Bewegungszustand im Anfangspunkt sei gegeben durch

¹

äger, Theoretische Physik. II.

. 2 n t о* = a sm -'•

Jäger, Theoretische Physik. II.

Dann haben wir in der Entfernung x die Bewegung a = a sin (t

I*

dx

Pig. 30.

[zu §23.)

wenn c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichts ist. Im Punkt P denken wir uns zwei parallele Ebenen senkrecht zur x-Achse, welche um d x von einander entfernt sind. Diese schneiden aus der Lichtwelle ein Volumen ghdx von der Masse pghdx. Wir nehmen also an, die Dichte des Aethers sei q. Die Lichtbewegung wird daher in diesem Volumen eine lebendige Kraft

=i>keghdX^)

dL

besitzen, wobei к der entsprechende Proportionalitätsfaktor ist. Integrieren wir diesen Ausdruck von 0 bis Л, so erhalten wir die gesamte lebendige Kraft einer Welle. Sie ist somit

L=|kegh J(|{) dx=^V--Jcos^(t-|)dx=

О    О

__ 2re²kggha²

+ !c°s⁴„(-^!)dx =

_ я² к q g h а⁸ А

г²

Für die lebendige Kraft einer Welle im reflektierten Licht ändert sich in dem ganzen Ausdruck nichts als die Grösse a. Wir wollen sie für dieses Licht a' nennen. Im gebrochenen Licht haben wir jedoch auch eine andere Dichte q, ein anderes h und A. Wir wollen hier analog al7 \ und Ax einführen. Somit muss folgende Gleichung gelten

rc²kp gha²>î_ TT²kpgha'²^ tz² kp, \ а/ А*

г²

г²

т²

oder

(i6)

qYux*à = Q ha'²yl + çt hx ^²ЛГ Es ist nun nach Fig. 31

h : hj = cos a : cos ß,

ferner

A — cij A^ — Cj Tj

wenn c und Cj die Lichtgeschwindigkeiten oben und unten sind. Daraus folgt

-B

Fig.3L (zu §23.)

_ sina с П sin/?’

Demnach können wir die Gleichung (16) schreiben q (a² — a'²) sin a cos a = ax ² sin ß cos ß. Fresnel macht nun weiter die Annahme, dass sich die Grösse der Lichtgeschwindigkeit aus ähnlichen Elementen wie die Schallgeschwindigkeit zusammensetzt. Er schreibt daher

-fr

wobei wir unter E die Elasticität des Aethers verstehen können. Mit der Annahme, E sei für alle Körper gleich, folgt

wonach

c²

sin²«

_ £i ₌_

q sin² ß

gesetzt werden kann. Obige Gleichung der lebendigen Kraft wird somit

ci²

(a² — a'²) sin « cos « sin² ß = at ² cos ß sin a.

oder

(17)

(а² — а'²) cos a sin ß =p -f- at ² cos ß sin «.

Wir haben jetzt noch die Gleichungen der Kontinuität zu entwickeln. Wir wissen, dass der Schwingungszustand durch einen Vektor ausgedrückt werden kann, welcher senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung des Lichts steht. Wir zerlegen diesen Vector in zwei Compo-nenten, deren eine in der Einfallsebene, während die andere senkrecht dazu ist. Diese wollen wir zuerst betrachten. Sie fällt in die Trennungsebene selbst hinein, und es muss zur Aufrechterhaltung der Kontinuität der Zustand at im unteren Medium gleich der

Summe a + d im oberen sein. Daraus folgt a -j- a/ = a1? was in Gleichung (17) eingesetzt

(a — a') cos cc sin ß — (а -f" а#) cos ß sin « = 0 ergiebt, was sich weiter umwandeln lässt in a (cos a sin ß — sin a cos ß) = a sin (/? — «) = a' sin (a -f- ß),

a' = —

(18)

sin (ct — ß) a sin (а + ß)'

Es kehrt sich also die Amplitude im reflektierten Licht um. Eür die Amplitude im gebrochenen Strahl finden wir aus den Gleichungen (17) und (18)

(19)

2 cos a sin ß

ax = a

sin (а ß)'

(20)

Eür die Komponente in der Einfallsebene haben wir eine bestimmte Richtung als positiv anzunehmen. Es sei jene des Vektors a (Eig. 32). Diesen Vektor

oc\

-3

Sol,

Fig. 32.

(zui§23.)

wollen wir im Punkt M abermals in eine Komponente in der Trennungsebene AB und eine im Einfallslot MN zerlegen. Es muss also dann der Kontinuität halber a cos а — a' cos cc = ^ cos ß₎

ferner

a sin a a' sin a = ax sin ß sein. Wenn wir die Gleichungen (21) und (22) mit einander multiplizieren, so gelangen wir in Widerspruch mit der Gleichung (17). Fresnel nahm daher an, dass die Gleichung (22) den Yorgcängen in der Wirklichkeit nicht entspricht.

Dividieren wir Gleichung (17) durch Gleichung (21), so erhalten wir

(a -(- a') sin ß = ax sin a.

Wir multiplizieren diese Gleichung mit cos/?, hingegen die Gleichung (21) mit sina und subtrahieren beide von einander. Es bleibt dann

(a -f- a') sin ß cos ß — (a — a') sin a cos a = 0, woraus weiter folgt

sin 2 a — sin 2 ß sin 2 a + sin 2 ß

cos (a -f- ß) sin (a — /?) sin (a -f- ß) cos (a — /?)*

Wir erhalten sonach für die Amplitude des reflektierten Lichts, welches in der Einfallsebene schwingt

a' =

tg(a — ß)

Ätg (« + /?)’

Ferner findet sich für die entsprechende Amplitude des gebrochenen Lichts wieder aus den Gleichungen (17) und (21) leicht

a' =

(23)

at = а

4 cos a sin ß sin 2 a -f- sin 2 ß

2 cos a sin ß

.(24)

sin (a -f- ß) cos (a — ß) Wird a -j- ß =-^-, so wird tg (a -f ß) = oo , also a' = 0. Wenn wir demzufolge Licht so einfallen lassen, dass ist, so werden parallel zur Einfalls-

a~\~ ß —

ebene gehende S ch win g un g en überhaupt nicht reflektiert. Es ist für Glas dieser Winkel a etwa 57°. Man nennt ihn den Polarisationswinkel. Für den Polarisationswinkel ist also sin/3 = cos a, daher

tg«,

sin a sin a

cos а

n= ——-

Bin ß

es ist die Tangente des Polarisationswinkeis gleich dem Brechungsexponenten.

In Fig. 33 sei ЕЕ die Einfallsebene des Lichts, PP liege in der Trennungsebene der beiden Medien

Т/

Fig. 33.

(zu §23.1

und stehe senkrecht auf ЕЕ. Die Schwingungen des Lichts finden in der Geraden SS statt. OA sei die Amplitude des einfallenden Lichts. Wir zerlegen sie in die Komponenten OB senkrecht und 00 parallel zur Einfallsebene. Wir haben somit •

OB = OA sin <p, OC = OA. созф.

Nach der Reflexion verwandelt sich OB nach Gleichung (19) in

OB'—OB

sin (a — ß)

sin («+/?)

und nach Gleichung (23) OC in

__ tg (a — ß)

oc'=oc-4+^

Es ist nun OB'

cos (а — ß)

t g<P-

OB cos (a — ß)

COS (c£ -j- /?)

ÜC⁷ “OC cos (« + /?)

Es werden sich nach der Reflexion die Komponenten sonach zu einer Schwingungsrichtung ф' zusammensetzen, welche von der früheren abweicht. Wir haben nämlich

OB'

tg<p

cos (a — ß)

cos (« + /?)

OC'

Es wird also durch die Reflexion eine Drehung der Schwingungsebene oder, wie man auch sagt, der Polarisations ebene bewirkt.

Wird a-\-ß=—-,&. h. fällt das Licht unter

demPolarisationswinkelauf, so wird tg cp — — oo > das reflektierte Licht sch wingt parallel zur T r en nun g s ebene beider Medien. Das natürliche Licht, dessen Schwingungen nach allen Richtungen in einer zum Lichtstrahl senkrechten Ebene gehen, wird daher, wenn es unter dem Polarisationswinkel reflektiert wird, nur noch Schwingungen in einer Richtung, nämlich parallel zur Trennungsebene machen, es ist vollkommen polarisiert. Lassen wir nun solches Licht unter dem Polarisationswinkel in einen Spiegel fallen, aber so, dass es parallel zur Einfallsebene schwingt, so wird es überhaupt nicht mehr reflektiert.

Wir wollen jetzt eine ähnliche Betrachtung für

das gebrochene Licht anstellen. Für dieses seien die Komponenten OB, und OC,, und wir haben nach den Gleichungen (20) und (24)

2 cos a sin ß Sin (a+0) cos (a—/?)’

ob,

folglich

, OC, = OC

2 cos a sin ß

sin (a + ß)

OB, OB

OC

ОС,

Also auch bei der Brechung haben wir eine AenderungderSchwingungsrichtung. Lassen wir Licht durch eine planparallele Platte fallen, so haben wir bei der ersten Brechung

tgT^tg^p. cos (a —/?),

. cos (a — ß) = tg(p cos (a — /?),

bei der zweiten

tg? 2= cos (a — ß) = tg (p. cos² (a — ß).

Fällt das Licht durch n Platten, so haben wir tg Пп = tg?. cos2n (« — /?).

Da nun cos (a—ß) <1, so nähert sich mit wachsender Zahl der Platten jedes (p mehr jenem Winkel, für welchen tg<p2n = 0 ist, d. i. dem Winkel <p2n — 0. Man nennt eine solche Reihe aufeinander geschichteter planparalleler Platten einen Plattensatz, welcher ebenfalls die Fähigkeit hat, natürliches Licht in teilweise polarisiertes zu verwandeln, jedoch schwingt das polarisierte Licht dann in der Einfallsebene.

ern

Neumann ging nun von der Anschauung aus, dass die Dichte des Aethers in allen Körp gleich, die Elastizität jedoch verschieden ist. Man erhält sodann aus der Gleichung (16)

(a² — a'²) sin a cos a = a,² sin ß cos /?, und es stimmt dann auch die Gleichung (22) mit den

anderen überein. Führen wir unter dieser Annahme in ganz derselben Weise wie früher die Berechnung der verschiedenen Amplituden durch, so erhalten wir zwar dieselben Formeln, doch erscheinen sie bezüglich der beiden Komponenten der Liclit-scliwingung vertauscht. Das heisst, nach Neumann gelten die Gleichungen (19) und (20) für das Licht, welches in der Einfallsebene schwingt, die Gleichungen (23) und (24) für jenes senkrecht zur Einfallsebene.

§ 24. Doppelbrechung.

CL

Fig. 34, (zu §24.)

Geht ein Lichtstrahl durch eine Kalkspatli-platte, so wird er im Allgemeinen in zwei polarisierte Lichtstrahlen zerlegt, deren Schwing-ungsebenen senkrecht zu einander liegen. Huyghens erklärte diese Erscheinung wieder mit Hilfe der Elementarwellen. Diese sind im Kalkspath jedoch nicht Kugelwellen, sondern jeder vom Lichtstrahl getroffene Punkt des Kalkspaths wird zum Erregungspunkt neuer Elementarwellen, deren eine eine Kugel, die andere ein Rotationsellipsoid darstellt, deren Rotationsachse die kleine Achse der Ellipse ist und die Grösse des Durchmessers der Kugelwelle hat. Es liegt somit die Kugelwelle innerhalb des Ellipsoids und berührt es in zwei Punkten A und B (Fig. 34) Die Richtung AB nennt man die optische Achse. Sie fällt beim Kalkspath mit der Verbindungsge-

Doppelbrechung.

75

raden der stumpfen Bhomboederecken zusammen. Die Ebene, welche von der optischen Achse und dem Lichtstrahl gebildet wird, nennen wir den Hauptschnitt.

AVir denken uns den Kalkspath senkrecht zur optischen Achse ox (Eig. 35) geschliffen. Das

s'

a'

T Cr

Fig.35 zu §24

Lichtbündel SS' falle schief auf. In О entstehen sodann die zwei Elementar wellen, welche den Durchmesser, bezüglich die kleine Achse OC erreicht haben, wenn der Punkt A der Lichtwelle nach В kommt. Die Tangenten von В an die Kugel bezügl. Ellipsoid-fläche ergeben dann die zwei neuen Planwellen, welche in den Bichtungen F und G ihren Weg fortsetzen. Das Licht hat also thatsächlich eine Doppelbrechung erlitten. Würde es anstatt schief, senkrecht einfallen, so wäre keine Brechung vorhanden.

Dies ist nicht mehr der Fall, wenn wir den Kalkspath schief zur optischen Achse schleifen. Es ergibt dann Fig. 36, in welcher ox die optische Achse sein soll, zwei Wellen, deren eine ungebrochen in der Bichtung AB durch den Kalkspath geht, während die

AJ

lig,36.

( ZU § 24)

andere gebrochen wird und die Richtung AC einschlägt. Der ungebrochene Lichtstrahl, dessen Elementarwellen Kugelflächen sind, heisst der ordentliche Strahl. Er ist immer senkrecht zur Einfallsebene polarisiert. Der andere jedoch, der ausserordentliche Strahl, rührt von den Ellipsoiden her, und sein Licht schwingt parallel zur Einfallsebene. Drehen wir den Kalkspath um den einfallenden Strahl als Achse, so behält der ordentliche Strahl seine Lage bei, während der ausserordentliche sich um jenen herumdreht. Der Brechungsexponent des ordentlichen S trahis hat einen ganz bestimmten Wert, jener des ausserordentlichen ändert sich mit dem Winkel, welchen der einfallende Strahl mit der optischen Achse bildet. Man gibt jedoch in der Regel als Brechungsexponenten für den ausserordentlichen Strahl seinen kleinsten Wert an. Dieser tritt ein, wenn die optische Achse in der brechenden Fläche selbst liegt und senkrecht zur Einfallsebene ist. Wir erhalten dann den ordentlichen und

ausserordentlichen Strahl nach der Konstruktion Fig. 37, wo der kleinere Kreis der Kugelfläche angehört, wäh-

a.

Fig. 37.

(z.u §24)

rend der grössere der Aequator des Rotationsellipsoids ist.

§ 25. Elliptische uiul cirkulare Polarisation.

(Г

(7= a sin

Dieser wird zerlegt in den ordentlichen und ausserordentlichen Strahl. Ersterer ist beim Austritt aus der Platte

Wir nehmen an, ein polarisierter Lichtstrahl falle senkrecht auf eine planparallele Kalkspathplatte, deren optische Achse HH (Fig. 38) senkrecht zum Einfallslot liegt, während die Schwingungen in der Richtung PP vor sich gehen. Die Dicke der Platte sei Д; der Bewegungszustand beim Einfallspunkt sei gegeben durch 2тг t

Fig. 38. .(zu §25.)

a₀ = a sin cp sin —

2 71

letzterer

oe — a cos (p sin    --

wenn wir mit о und e die Lichtgeschwindigkeit des ordentlichen hezgl. ausserordentlichen Strahls bezeichnen. Wir wollen setzen, können sonach schreiben

o₀ = v=SLsm(p sin y, oq = £ = a, cos cp sin -(- #). führen wir noch

acos<p = p, asingpi= q ein, so erhalten wir schliesslich

I = p sin (гр + #), rj — qsin

Betrachten wir diese Grössen als rechtwinkelige Koordinaten einer ebenen Kurve, so erhalten wir für

S'— 2 7i

y=tgy.

Das Licht der beiden Strahlen setzt sich also nach dem Austritt wieder zu einer geradlinigen Bewegung zusammen, welche dieselbe Schwingungsrichtung wie das einfallende Licht hat. Ist д, = л₎ so wird £ = — p sin у, у = q sin гр,

q

p    ^ g Ф'

Es hat also die neue Schwingungsebene zur alten eine Drehung von 2

<P

erhalten. Es sei nun & =

dann

= p cos 'V', rj = q sin

- ,Hr^=i.

² ' q²

Wir haben somit als resultierenden Schwingungszustand eine Bewegung, die uns bis jetzt noch nicht vorgekommen ist. Die von uns erhaltene Kurve ist eine Ellipse, weshalb wir das Licht elliptisch polarisiert nennen. Ist die Schwingungsrichtung des einfallenden Lichts

durch(p = gegeben, d. h. bildet die Schwingungsrichtung rtiit dem Hauptschnitt einen Winkel von 45 °j so wird p = q und wir haben die Gleichung eines Kreises. Licht von einem derartigen Bewegungszustand nennt man daher zirkular polarisiertes В л

Licht. Ist & — г , so erhalten wir dieselbe Ellipse bezgl.

А

denselben Kreis, nur geht jetzt die Bewegung in entgegengesetzter Richtung vor sich.

Wir wissen, dass

ist. Für # — -гг- wird demnach

Nun ist aber— die Zeit, welche der ordentliche Strahl о

braucht, um die Platte zu passieren, die Durchgangszeit für den ausserordentlichen Strahl. Wir erhalten somit elliptisch bezgl. zirkular polarisiertes nennt ein solches Glimmerblättchen glimmer.

Licht, wenn sich die Durchgangszeiten beider

Strahlen um-^Schwingungsdauer voneinander

unterscheiden. Glimmer lässt sich in dünne Blätter spalten, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Man

- Undulations-

i-ч i^ti

§ 26. Polarisationsapparat —- Turmalinzange — senkrecht einfallendes Licht.

Um zu erkennen, in welcher Weise polarisiertes Licht beim Durchgang durch Kristallplatten geändert wird, benutzt man einen sogenannten Polarisationsapparat. Ein solcher besteht aus zwei Hauptteilen, dem Polarisator und dem Analysator. Ersterer verwandelt das natürliche Licht in geradlinig polarisiertes. Dieses Licht lässt man dann durch die zu untersuchende Krystallplatte und sodann durch den Analysator gehen, aus welchem ebenfalls linear polarisiertes Licht austritt. Der einfachste derartige Apparat ist die sogenannte Turmalinzange. Der Turmalin hat die Eigenschaft, nur Licht von bestimmter Schwingungsrichtung durchzulassen. Bringen wir daher zwischen zwei Turmalinplatten einen Krystall, so kann durch Verdrehung der Turmaline gegen einander alles erzielt werden, was man von einem Polarisationsapparat verlangt.

Es seien nun aQ = A M (Fig. 39) und oQ — A M', die beiden Schwingungen nach dem Passieren der Krystallplatte. Die Strahlen gelangen sodann durch den Analysator, der sie nur Schwingungen in der Richtung

Q Q ausführen lässt. Es könnte dies z. B. ein Spiegel sein, auf welchen die Strahlen unter dem Polarisationswinkel auffallen.

Wir haben nun nach dem

früheren

a₀ = a sin cp sin гр, crG —

= a cos cp sin (ip + &).

Vom ordentlichen Strahl entfällt

Fig. 39. (zu:$26.)

sodann auf die Richtung Q Q die Komponente vQ sin (со — (p), wenn со — cp der Winkel zwischen dem Hauptschnitt der Kry stallplatte und der Schwingungsehene des Analy- jf F sators ist. Der ausserordentliche

Strahl liefert ue cos (со — cp), und wir haben als resultierende Schwingung

о* — о© cos (w — cp) — a₀ sin (со — (p) —

= a cos cp cos ( со — cp) sin (pp -J- #) — a sin cp sin (со — cp) sin ty. Wir wollen hier die Glieder mit cos ip bezgl. sin tp als

Paktoren herausheben, erhalten somit а' = [a cos cp cos (со — cp) cos # — а sin cp sin (со — <p)] sin ty -f-+ а cos (p cos (со — cp') sin & cos Wir haben also eine schwingende Bewegung von der Form

& = A sin ty + В cos ip.

Die Amplitude J dieser Bewegung ist gegeben durch J² = А² + B²,

woraus für unsern speziellen Fall folgt J² = a² cos² cp cos² (со — cp) -f- a² sin² cp sin² (со — q>) — — 2 a² sin cp cos cp sin (со — cp) cos (со — g>) cos Fügen wir der zweiten Seite dieser Gleichung noch Jäger, Theoretische Physik. II*

— 2 a² cos cp sin cp cos (со — у) sin (со — p)

4" 2 a² cos (p sin (p cos (со — cp) sin (со — cp) hinzu, so können wir leicht finden

Я

J²= a² cos² со + a² sin 2 cp sin (2 со — 2 cp) sin² ^ .

Wir setzen nun со = 0. Man nennt das die Parallelstellung, da die Schwingungen im Polarisator jenen im Analysator parallel sind. Wir haben dann

Л₍^ = а² — a² sin² 2 cp sin²

Für со =

die gekreuzte Stellung, erhalten wir

hingegen

toi cp

Jjj. z= a² sin² 2 cp sin² -

Es ist somit

Das heisst, die Erscheinungen der Parallelstellung und der gekreuzten sind einander complementär. Уerändern wir die Lage des Hauptschnitts, so wird für die Kreuzstellung

J² = 0,

wenn

4> = 0,

wird. In diesem Fall erhalten wir also ein dunkles Gesichtsfeld. Hat der Krystall die Eigenschaft, das Licht zirkular zu polarisieren, so geschieht dies für

к Ol

und cp — Dann wird

a²

a²

J² = a² cos² o) —

a² cos 2 o) . — =

a²

a²

cos 2 w

--cos 2 w —

Es ist hier die Intensität des Lichts von der Stellung des Polarisationsapparats ganz unabhängig.

§ 27. Schief einfallendes Licht.

Durch eine planparallele Platte A B (Fig. 40.) gehe ein Lichtstrahl S C D und parallel dazu durch die Luft

JJ

Fij5.40.

(zu §27.)

der Strahl S' C' D'. Der Strahl SÜD erleidet dabei gegen S'C'D' eine Verzögerung

CD C' D'

wenn u die Lichtgeschwindigkeit in der Platte, v jene in der Luft ist. Wir können diese Verzögerung auch so darstellen

C D . cos (a — ß)

А В . cos (« — ß)

AB

П cos ß

АВГ у

r(

u cos ß sin а

V cos ß

cosfa — /Î) I cos ß

— cos а —

sin a sin ß

sin ß cos ß

А В Psin а (1 — sin²ß)

V    L s^n ^ sos ß

А В /sin a cos/?

V    \ sin ß cos/? cos«\

V /

= AB

cos «

cos ß

COS Ct

Wenden wir diese Formel auf eine doppelbrechende Platte an, so erhalten wir für die Verzögerung des ordentlichen Strahls

Z₀ = AB

/cos/? cos а

\ ⁰

für den ausserordentlichen Strahl

(cos ß⁴ cos a\

\~Ï    T-}

Ze= AB

mithin für den Zeitunterschied beider Strahlen

/cos ß⁴    cos/?\

lu о J

Ze — Z₀ = AB

Wir haben hier die Geschwindigkeit des ausserordentlichen Strahls u genannt. Diese ist gegeben, sobald der Winkel des Strahls mit der optischen Achse bekannt ist. Es lässt sich nun cos ß und cos ß⁴ als Funktion von «, sowie den Geschwindigkeiten v, о und u darstellen, wobei u wieder eine Funktion von а, e, о und v ist, sodass Ze — Z₀ für eine bestimmte Krystallplatte lediglich eine Funktion des Einfallswinkels ist, da ja die Geschwindigkeiten v, о und e konstante Grössen

2 тс

sind. Somit ist auch # = — (Ze — Z₀) eine Funktion

um

von a. Führen wir daher jetzt unser # in die Gleichung (25) ein, so werden wir mit wechselndem « auch wechselnde Intensitäten des Lichts erhalten. Blickt daher das Auge durch einen Polarisationsapparat, in welchem sich eine Kalkspathplatte befindet, so wird es eine Seli-linie geben, welche den Kalkspath senkrecht zu seinen Begrenzungsflächen durchsetzt. In dieser Richtung sehen wir dann die im vorhergehenden Paragraphen behandelten Erscheinungen. In jedem konzentrischen Kreis diese Sehlinie herum liegen Sehlinien, welche unter demselben Winkel die Platte treffen. Die Interferenzerscheinungen der Platte, welche von schief auffallenden Strahlen herrühren, werden daher kreisförmig angeordnet sein. Wir sehen somit eine Reihe konzentrischer Kreise, welche abwechselnd hell und dunkel sind, je nachdem wir # = яг, 3 я, 5 n ... oder # = 0, 2 тг, 4 n ... haben. Diese Kreise werden infolge der durcli den Winkel (p bedingten Interferenzen von einem rechtwinkeligen Kreuz radial geschnitten, welches je nach der Wahl der Winkel со und cp hell oder dunkel sein kann.

§ 28. Totale Reflexion.

Für die Brechung des Lichts fanden wir die Gleichung

sina

c'’

sin/?

welche immer einen Sinn hat, falls c > c' ist. Geht jedoch der Strahl von einem optisch dichteren in ein dünneres Medium, d. h. ist c <c', so gelangen wir schliesslich zu einem Einfallswinkel a, für welchen

sin ß = 1, ß =-^- wird. Der Strahl tritt dann nicht

mehr in das zweite Medium ein, sondern er wird für alle Winkel, welche grösser als dieser Grenzwinkel sind, vollständig reflektiert, weshalb wir diesen Vorgang „totale Reflexion“ und den Grenzwinkel a, für

71

welchen ß = — wird, den Grenzwinkel der totalen Re-flexion nennen.

sin a cos ß — cos a sin ß

sin a cos ß -f- cos a sin ß

Wir fanden für die Grösse der Amplitude des reflektierten Lichts, welches senkrecht zur Einfallsebene schwingt nach Gleichung (19) sin [a — ß) sin (a -f- ß)

Wir wollen die Substitution

f-gi

f + gi

= li+ki.

cos ß == ]/1 — sin² ß = i У sin² ß — 1 einführen. Dann haben wir a' cos a sin ß — sin a. i ^ sin² ß — 1 a ~ cos a sin ß -j- sin a. i ]/ sin² ß — 1 A\^ir erhalten somit bei der totalen Reflexion für die Amplitude der reflektierten Welle eine komplexe Zahl. Dies deutet nun Fresnel in sehr sonderbarer Weise. Er sagt: Multiplizieren wir den Schwingungszustand mit —1, so bedeutet das eine Verzögerung um eine halbe Schwingungsdauer. Ebenso können wir die Multiplikation mit ]/ — 1 als eine Verzögerung um

Schwingungsdauer auffassen. Es wird dann der Schwingungszustand nach der Reflexion

Totale Reflexion.

87

о⁴ = a' sin

— a ^ fl sin

— к cos

a (li-)- ki) sin-

2 л t

^ t \    .    2 jz t

- =asin-(t—г>)

Z J    Z

wenn wir

h = cos

2 jz 'O'

-, к — sin

z

2 Tz O'

setzen. Es folgt somit, dass a' = a

ist, da ja jetzt die neue Amplitude durch a'² = a² (h² + k²)

bestimmt ist, ferner

h* + k² = l

aus

p- g²

folgt.

f⁹ + g

k= Mi

f² + g:

Für die Amplitud

des reflektierten Lichts, welches in der Einfallsebene schwingt, haben wir nach Gleichung (23) a/_tg(« —/9)

tg (a ~hß)

sin (a — ß) sin (a _|_ /9) *

cos (a -j- ß) _

= (h + ki)._

cos (a — ß) cos a cos ß — sin a sin ß

= (h + ki)

= (h + kihT^l =

= (h + к i) (r + s i).

cos a cos ß sin a sin ß sin a sin ß — cos a. i l^sin² ß — 1

sin cc sin ß -j- cos a. i }/sin² ß_1

1 — mi

Die Phasendifferenz der Lichtkomponenten senkrecht und parallel zur Einfallsebene ist daher durch r -)- s i bestimmt. Nennen wir sie <5, so wird 2 71 ô

2 71 ô

r = cos-, s = sin

г    г

Auch hier folgt wie oben

a' = a.

Es entsprechen also unsere Formeln insofern thatsächlich der Wirklichkeit, als aus ihnen die Totalreflexion folgt, doch werden wir sofort noch weitere Konsequenzen kennen lernen, die alle durch das Experiment erhärtet sind.

§ 29. Elliptische Polarisation durch totale Reflexion.

a — a sin

Wir wollen annelimen, dass das einfallende Licht 2 71 t

mit der Einfallsebene den Winkel cp bildet. Dann sind die beiden Komponenten senkrecht und parallel zur Einfallsebene

i — о sin cp, rj = g cos 9,

folglich, wie wir im vorhergehenden Paragraphen erfahren haben, nach der Reflexion

2 ti

|'=a sin cp sin-^-(t—#),

2 71

r\⁴ — a cos cp sin —(t — # — (5).

Wird 6    so setzen sich die beiden Komponenten

zu einer Schwingung zusammen, welcher die Gleichung

''ч

/2

a² sin² cp

?'!-.....₌ !

a² cos² cp

entspricht. Wir haben somit elliptisch polarisiertes Liclit. Dies wird zu cirkular polarisiertem, wenn (p ist.

X

Wird nun ô = —, so wird r =

4

der Gleichung

cos

0. Aus

1-ini

linden wir

1 + mi

r -f si

l² —m2 r==~l* + m* '

Soll demnach r = о werden, so muss 1 = m sein. Wir linden daher nacli Gleichung (26)

sin a sin ß = cos a]/sin² ß — 1

oder

sin² et sin² ß = cos² a (sin² ß — 1).

Bier können wir sin ß durch a und den Brechnungs-exponenten n aus der Gleichung sin а

sin ß

ersetzen, wenn wir den Brechungsexponenten beim Gang des Lichts aus dem dünneren in’s dichtere Medium n

nennen.

Es lässt sich nun leicht die Gleichung

n² + l

sin⁴ а

2n²

sin² а — —

2n²

und somit auch

sin² а —

n² + l

(n² + l)a

2 n²

herleiten. Soll also a einen reellen Wert haben, so

4nä

16 n⁴

muss

(n* + l)4 i

16 n⁴ / 2n

y- sein. Daraus folgt aber ein

Brechungsexponent, welcher so gross ist, dass nur beim Diamant durch eine einmalige Totalreflexion elliptisch polarisiertes Licht zu erhalten wäre. Wir können aber die Phasendifferenzen summieren. Lassen wir daher einen Lichtstrahl anstatt einmal, zweimal total reflek-

z

tieren, so dass jedesmal eine Phasendifferenz ô — ——-

о

entstellt, dann erhalten wir ebenfalls elliptisch polarisiertes Licht, Dies geschieht im Fresnel’schen Parallelepiped ABCD (Fig. 41), dessen Winkel a

ff

a.

ff

ff

cc

-ff

(Г

Jtj

oc.

ff

Eig.4L (zu§£9.)

so geschliffen sind, dass sie einer Phasendifferenz z

^    — entsprechen. Ein hei G senkrecht eintretender

о

geradlinig polarisierter Lichtstrahl wird daher hei Hin der Richtung HP als elliptisch polarisierter austreten. Geht die ursprüngliche Schwingung unter einem Winkel von 45° zur Einfallsebene GEE vor sich, so erhalten wir einen cirkular polarisierten Strahl.

Es eignet sich ein derartiges Parallelepiped viel besser zur Erzeugung cirkular polarisierten Lichts, als

der sogenannte HJndulationsglimmer. Da in letzterem

Wärmemenge.

01

der Gangunterscliied des ordentlichen und ausserordentlichen Strahls -^-Schwingungsdauer ausmachen soll, so

lässt sich die Cirkularpolarisation nur für eine bestimmte Farbe genau herstellen, indem ja die Wellenlänge mit der Farbe sich erheblich verändert, während die Aenderung des Brechungsexponenten nur eine sehr geringe ist.

Die Lehre von der Wärme.

Wärmeleitung.

§ 30. Wärmemenge — Temperatur — spezifische Wärme — Wärmekapazität.

Wie wir die Schall- und Lichterscheinungen auf blosse Bewegungserscheinungen zurückgeführt haben, so thun wir es auch mit den Erscheinungen der Wärme. Wir fassen die Wärme als Be weg un g der kleinsten Teilchen eines Körpers, als Molekularbewegung auf. Für die Bahnen der Molekeln gibt es keine bevorzugte Richtung, sie sind nach allen Richtungen gleichförmig verteilt. Der Schwerpunkt des Körpers bleibt also in Ruhe, und da die Bewegung der einzelnen Molekeln sinnlich nicht wahrnehmbar ist, so ist für die Sinnesorgane auch der ganze Körper in Ruhe. Die Gesamtenergie der Molekeln nennen wir seine Wärmemenge. Bringen wir zwei Körper zur Berührung, so wird ein Energieaustausch stattfinden. Von jenem Körper, welcher Energie an den andern abgibt, sagen wir, er besitze

die höhere Temperatur. Nach willkürlichem Mass messen wir die Temperatur mit dem Thermometer und nennen die Ma s s einh ei t einen Temperaturgrad. Die Wärmemenge, welche die Gewichtseinheit eines Körpers um einen Grad erhöht, ist dessen specifisclie Wärme c. Diese kann sich mit der Temperatur ändern, wir werden sie daher besser durch

dQ

C~ du

definieren, wenn wir unter Q die Wärmemenge und unter u die Temperatur verstehen. Die Wärmemenge, welche wir demnach einem Körper zuführen, wird gleich dem Produkt aus seinem Qewicht, spezifischer Wärme und Temperaturerhöhung sein. Das Produkt aus der spezifischen Wärme und dem Gewicht ist die Wärme-kapacität des Körpers.

Die Erfahrung lehrt, dass verschieden temperierte Körper, sich selbst überlassen, ihre Temperaturen aus-gleichen. Dies geschieht entweder durch Leitung oder durch Strahlung der Wärme. Im erstem Fall müssen die Körper einander berühren, und es gibt direkt der eine Energie an den andern ab. Es ist dies die Kegel, wenn verschiedene Punkte ein und desselben Körpers verschiedene Temperatur besitzen. Im zweiten Fall ist der Träger der Wärme der hypothetische Lichtäther, und es lehrten die Untersuchungen, dass Liclit-und Wärmestrahlen sich physikalisch von einander gar nicht unterscheiden.

Die im folgenden gegebene Theorie der Wärmeleitung wurde von Fourier begründet und ausgearbeitet.

§ 31. Gleichung- der Wärmeleitung in einem Stab.

Wir halten das eine Ende eines dünnen Stabs beständig auf der Temperatur a, das andere auf der niedrigeren Temperatur b. Es strömt dann durch den Stab Wärme von a nach b. Je grösser der Temperaturunterschied a — b ist, desto mehr Wärme wird in der Zeiteinheit durch einen Querschnitt des Stabs fliessen. Machen wir die Voraussetzung, der Stab gebe nach aussen keine Wärme ab, was freilich in Wirklichkeit nur angenähert erreicht werden kann, so muss durch jeden Querschnitt des Stabs in derselben Zeit dieselbe Wärmemenge W gehen. Wir wollen sie daher proportional der Zeit und dem Temperaturunterschied setzen. Sie wird ferner noch proportional dem Querschnitt des Stabs q und schliesslich von der Länge 1 des Stabs abhängig sein, so dass wir für die durch den Querschnitt gehende Wärmemenge

W = q t (a — b) f (1)

erhalten.

Teilen wir unsern Stab in gleiche Teile von der Länge A und sei in der Entfernung A von a die Temperatur at, in der Entfernung 2 A a₂ u. s. w., so muss die Gleichung

w = q t (a — a,) f (Л) = q t (a, — a₂) f (X) = ... gelten, woraus folgt

a a^ — at a₂ * * *

Es fällt also von a nach b die Temperatur linear ab. Wir können daher ganz allgemein schreiben W = q t (M N — M' N') f (M' M)

(Eig. 42). Da aber

ist, so wird

W = q t G. M M' f (M M') = q t G y f (y), wenn wir M M' == y einführen. Wir können nun yf(y) = k, also

f(y) =

setzen, wornach

"W = q t k' -

wird. Die Constante к nennen wir die Wärme-leitungsfähigkeit; es ist die Wärmemenge, welche in der Zeiteinheit durch die Querschnittseinheit heim Temperaturgefälle Eins geht, wobei wir unter dem

— b

-4— verstehen.

MN — M' N'

M M'

Ж'

-ж

Fig.42. (zu §31)

Temperaturgefälle die Grösse

Das lineare Temperaturgefälle in unserm Stab ist nur für den Fall eines stationären Zustands vorhanden. In allen andern Fällen können wir daher unsere Gleichung nur für ein sehr kurzes Stück dx des Stabs benützen, für welches wir das Gefälle als linear an-d u fallen.

nehmen. Auf der Strecke d x soll die Temperatur um a — b

Anstatt —i— haben wir demnach —

zu setzen. Das negative Vorzeichen rührt davon her, dass die Wärme immer entgegen der Richtung der Temperaturzunahme fliesst. Das Temperaturgefälle

wird ferner nur für eine kurze Zeit

als konstand anzusehen sein. Während dieser Zeit fliesst dann durch den Querschnitt des Stabs die Wärmemenge

(27)

W = — qrk^A

¹ d x

Ein sehr kurzes Stabstück von der Länge | sei durch die Querschnitte M und M' begrenzt. Es strömt dann in der Zeit т durch den Querschnitt M die Wärmemenge, welche durch Gleichung (27) gefunden wird, ein, durch M' die Menge

kftiY

fix

W' = — qr

aus. Es bleibt daher in unserm Stabelement die Wärme W—W' zurück und erhöht die Temperatur um ö. Das Volumen des Stabelements ist q |, das spezifische Gewicht sei s, die spezifische Wärme c. Dann ist sein Gewicht q£s und seine Wärmekapacität q | s c. Es besteht somit die Gleichung

W — W' = q i s c Ô.

Die Temperaturerhöhung per Zeiteinheit könnten wir d u

schreiben, daher für die Zeit г

s=rtT-mithin

W — W' - q | s c r.

für einen Zeitpunkt oder für eine unendlich kleine Zeit г können wir die Wärmemenge W als eine Funktion von X ansehen, wenn wir mit x die Entfernung eines Punkts des Stabs vom Anfangspunkt bezeichnen. Dann ist

aw

w<=w+_l(

folglich

W — W' = —

dxl = q,kl

0²U

d^'

Wir erhalten somit die Gleichung

J.    Su    Ы:д*П

qlscy^ r = q*kf^-₂.

Wir lassen jetzt die Bedingung, dass der Stab nach aussen keine Wärme abgibt, fallen und nehmen an, dass die abgegebene Wärme der Temperaturdifferenz zwischen Stab und Umgebung und der Oberfläche proportional sei. Ist p der Umfang, so ist p | die Oberfläche des Stabelements und h p | (u — а) г die nach aussen abgegebene Wärme, wenn wir a die Temperatur der Umgebung nennen. Da es nun ganz gleichgiltig ist, wo wir den Nullpunkt der Temperaturscala anbringen, so können wir von Fall zu Fall а = 0 annehmen. Es bleibt uns dann für die nach aussen abgegebene Wärmemenge der Ausdruck hpfur. Die im Stabelement verbleibende Wärme ist daher

W — W' — h p I u r, was uns die Gleichung

du    d²u

hp|u г

qlsc^^q.kl^

ergiebt, welche sich reduciert auf

— u qsc

du_ к d²u h p

dt s c d X²

oder

d² u

0t = m dl?

nu.

(28)

k

Die Grösse m = —

nennt man die Temperatur-

leitungsfähigkeit oderauch das thermometrische Leitungsvermögen, h die äussere Wärmeleitungsfähigkeit.

Es darf also das Temperaturleitungsvermögen nicht mit dem Wärmeleitungsvermögen verwechselt werden. Während z. B. die Wärmeleitungsfähigkeit der Gase gegenüber jener der Metalle sehr klein ist, haben sie doch ziemlich dasselbe Temper aturleitungs vermögen. Das heisst, es gleichen sich verschiedene Temperaturen in Gasen ebenso rasch aus wie in Metallen.

§ 32. Stationärer Zustand.

Bleibt jeder Punkt unseres Stabs auf konstanter Temperatur, so nennen wir diesen Zustand stationär. Es ist also dann

dt

u =0.

und Gleichung (28) wird d² u dx² '

Eine Lösung dafür ist

Jäger, Theoretische Physik. II.

u =

Darnach wird unsere Gleichung

ß² e^x_— e^x = 0,

folglich

Wir erhalten also zwei Werte für ß, welche wir zusammenfassen können in

xFs + Bexl//5.

u = Ae“

Unser Stab sei nun sehr lang. Die Temperatur soll aber für ein unendlich grosses x nicht unendlich werden. Dann ist В = 0 zu setzen, und es bleibt

xFï.

u = A e ~

Für x = 0 sei u = u₀. Folglich wird А = u₀. Haben wir zwei Stäbe mit derselben Anfangstemperatur, so ist für den einen

u = n₀ e

-xFï,

für den andern

u' = u₀e

Für zwei Punkte gleicher Temperatur muss somit

x]/-= X'

\ m

sein. Es ist nun

n    hp n' __ h' p'

q' k'*

m    qk’ m'

Geben wir daher den Stäben kongruente Form und gleiche Oberflächenbeschaffenheit, so ist h p_h' p'

fl' ’

fl

und wir erhalten

k' __ X'²

was uns die Möglichkeit liefert, die Wärmeleitungsfähigkeiten von Stäben verschiedenen Materials zu vergleichen.

§ 33. Warmeleitung in einem Ring.

Setzen wir in Gleichung (28)

У e - nt,

so nimmt sie, wie leicht zu finden, die Form

dt m дX²

an. Das ist aber die Form der Wärmeleitungsgleichung ohne Wärmeabgabe nach aussen, welche wir schreiben können

(29)

du    d²u

dt ~ m dH*'

Es wird demnach in vielen Fällen genügen, die Lösung für die Gleichung (29) zu kennen, weil diese mit ent multipliziert, sodann die Lösung für (28) ergiebt. Eine Wurzel der Gleichung (29) ist

(30)

u — e a    Æ x.

Dieser Wert, in die Gleichung eingesetzt, gibt

a = m ß\

Soll die Temperatur mit derZeit nicht ins Unendliche

wachsen, so muss a negativ sein. Wir wollen a = — y schreiben, wonach wir

ß }in — ± i };y

erhalten, was sich in das partikuläre Integral

il)

sin x

u = e — Уfc |A cos X

zusammenfassen lässt. (Bd. I § 10.)

Wenden wir diese Formel auf einen Stab an, welcher zu einem Hing zusammengebogen ist, so dass sich Anfangs- und Endpunkt berühren, und legen wir in eine beliebige Stelle des Bings den Anfangspunkt der Abscissen, so muss in den Punkten x, x +1, x + 21,... die Temperatur ein und dieselbe Grösse haben, wenn 1 der Umfang des Bings ist. Daraus folgt, dass

= 2    4 7Г, 6 n . . .

sein muss, wonach

l²

4 n² m 16я²т 36тг*т F⁻’

wird. Wir haben somit als allgemeine Lösung

4 k* 7i* m t /

T⁵ |^Ak

к =oo

u ⁼⁼ 2 e~ к = о

cos

2 ктгх

-j- Bk sin

2 ктсх

)■

Die Konstanten A und В lassen sich berechnen, sobald für t = 0 die Temperatur durch u = f (x) gegeben ist (Bd. I § 85). Die höheren Glieder unserer Summe nehmen mit wachsender Zeit sehr rasch ab. In der Praxis genügt es daher, sich auf

2tix

u = A₀ + e

zu beschränken. Es ist dies die Temperatur der Ab-

Aj cos

4 л²mt / lS. (

scisse X. Gegenüber liegt der Punkt x + — mit der

А

Temperatur

2^x

— A. cos

Die Summe beider liefert

u + u' = 2 A₀,

die Differenz

4 7l*mt /

A. cos

u — u' = 2 e

Es nimmt also die Differenz der Temperaturen zweier gegenüber liegender Punkte geometrisch mit der Zeit ab, woraus wir die Grösse des Exponenten, somit auch die Temperatur- und Wärmeleitungsfähigkeit bestimmen können.

§ 34. Die tägliche und jährliche Temperaturschwankung unter der Erdoberfläche.

In der Lösung der Gleichung (29), welche durch Gleichung (30) gegeben ist, ist eine der beiden Konstanten a und ß vollständig willkürlich. Wir wollen deshalb a imaginär, also a = ai wählen. Wir haben dann

+ i/ai

Ym’

ferner

und

= Ae

t/ai=]/r +i]/- -p=(fï'+¹ fï) 4- B e a 1 ‘ -    +Щ ₌

^ ł/^S+i(at+xb^ )-4-B e ~xb^H + ¹(at— x Ьаат).

a i t -j-

SS

Es lässt sich also u als periodische Funktion bei richtiger Wahl der Anfangszeit in folgender Weise darstellen

u = Ce

Für den Anfangspunkt x = 0 erhalten wir somit u₀ = C sin a t.

Unsere Lösung gilt also für einen Stab, der nach aussen keine Wärme abgibt und an dessen Anfangspunkt die Temperaturänderung eine harmonische Schwingung darstellt.

Denken wir uns ein Prisma, welches von der Erdoberfläche senkrecht in die Tiefe geht, so haben wir den Fall verwirklicht, dass nach aussen keine Wärme abgegeben wird, da wegen der gleichen Verteilung der Temperatur in einer horizontalen Ebene keine Wärmehe wegung stattfindet. Die tägliche und jährliche Temperaturschwankung an der Erdoberfläche können wir in erster Annäherung als eine harmonische auffassen, können daher unsere Lösung auf die Temperaturänderung unter der Erdoberfläche beziehen. Wir finden in jeder Tiefe eine periodische Temperaturänderung, jedoch wird die Amplitude mit wachsender Tiefe immer kleiner, so dass wir etwa 28 m tief unter der Erdoberfläche die Temperaturschwankung überhaupt nicht mehr wahrnehmen, sondern jahraus jahrein eine konstante Temperatur, nämlich die mittlere Jahrestemperatur haben. Hat zu einer bestimmten Zeit t die Temperatur an der Erdoberfläche den Wert Null, so muss at = n7P sein. In der Tiefe x wird diese Temperatur erst nach der

Zeit S eintreten, welche sich daraus bestimmt, dass dann n я ist. Wir finden somit ad =

j = )/2ma.

Das können wir die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wärme welle nennen. Nennen wir analog die Schwingungsdauer so haben wir a = folglich

u = Ce

X |/jL

m T sin

(31)

Es ist also die Fortpflanzungsgeschwindigkeit eine Funktion der Schwingungsdauer, und zwar wird sie um so grösser, je kleiner die Schwingungsdauer ist. Es pflanzen sich deshalb die täglichen Aenderungen viel rascher in die Tiefe fort als die jährlichen. Dafür nimmt aber die Amplitude der letzteren mit der Tiefe viel langsamer ab.

Die Gleichung (31) gibt uns die Mittel an die Hand, nach zwei Methoden die Wärmeleitungsfähigkeit d e r E r d e zu bestimmen, einmal aus der Abnahme der Amplitude mit der Tiefe, das zweite Mal aus der Verzögerung des Maximums bezgl. des Minimums der Temperatur. In der Tiefe x' ist die Schwankung der Temperatur

à* — 2 C e m z ?

<5'

(х" —

woraus sich m bestimmen lässt.

Das Maximum der Temperatur haben wir in x' zur Zeit t', wenn

x'

2rct'

x»l/^

! m г

= 0,

in der Tiefe x"

6" = 2 С е

X"

folglich

desgl. in x" nach der Zeit t" für 2^t"

woraus sich ergibt

Dieselbe Formel erhalten wir für die Wanderung des Minimums, und wiederum ist es leicht, aus dieser Gleichung die Temperaturleitungsfähigkeit m und somit auch die Wärmeleitungsfähigkeit der Erde zu finden.

§ 35. Gleichung der Wärmeleitung in einem isotropen Körper — Analogie zwischen Wärme- und Fliissigkeits-strömung.

Denken wir uns aus einem isotropen Körper ein Volumelement    herausgeschnitten, so können wir

für die drei Richtungen parallel zu den Koordinatenachsen dieselbe Ueberlegung machen, welche wir über die Wärmeströmung nach einer Richtung (§ 31) anstellten. Der Unterschied ist dann nur der, dass dem yplumelement nicht диг von einer Seite, sondern von drei Wärme zu- und gleicherweise abgeführt wird. Die Gleichung (29) erweitert sich daher auf

(32)

д X² ^ d f ^ d z*[

Für den stationären Zustand wird sie

a²u a²u a²u

д X2 + d y2 + d z² “ a Dieselbe Gleichung fanden wir (I. Bd. § 62) für die stationäre Strömung einer Flüssigkeit mit dem Geschwindigkeitspotential u. Wir können daher alle speziellen Fälle stationärer Wärmeströmung in einem isotropen Körper, der nach aussen keine Wärme abgibt, auf die stationäre Bewegung einer idealen Flüssigkeit und umgekehrt übertragen, wenn wir Temperatur und Geschwindigkeitspotential, Temperaturgefälle und Strömung s gesch windigkeit mit einander vertauschen.

§ 36. Gleichung der Wärmeleitung in einer Kugel.

Wenden wir die Gleichung (32) auf eine Kugel an, in welcher die Wärmeströmung nur radial vor sich gehen soll, so muss in jeder konzentrischen Kugelschale die Temperatur konstant sein. Verlegen wir den Ursprung des Koordinatensystems in die Mitte der Kugel, so wird X² -f- y² -f- z² = r² die Gleichung einer konzentrischen Kugelfläche, ferner

a²u a²u aau_a²u    2 au_ 1 a²(ru)

д X² ‘ д y² ‘ d z² д г²    г д г    г d r²

(Bd. T. § 67.) Wir können daher Gleichung (32) schreiben

a(ru) a²(r u) = m ’

dt

(S3)

da ja bei der partiellen Differentiation von r u nach t r als konstant anzusehen ist. Wir erhalten also für die Kugel dieselbe Gleichung der Wärmeleitung wie für den Stab, der nach aussen keine Wärme abgibt, wenn wir u durch r u und x durch r ersetzen. Es tritt hier dieselbe Analogie auf wie für die Fortpflanzung einer ebenen und einer Kugelwelle (Bd. I. §§ 68 u. 69).

§ 37. Das Temperaturgefälle in der Erdrinde.

Als eine Lösung der Gleichung (33) fanden wir

im § 33

|a cos r j/- +Bsinr|/^-j.

ги = е-П

Für r = 0 soll die Temperatur einen endlichen Wert behalten. Dann muss A = 0 sein, und es bleibt uns

u = Be-7b

(34)

sinr

Die Wärmemenge, welche durch die Flächeneinheit der Kugeloberfläche in der Zeiteinheit geht, können wir auf zweierlei Art ausdrücken. Sie ist erstens gleich

—    ferner gleich hu (§ 31). Wir haben somit

= hu

oder

wenn wir

37 + nu = 0,

(35)

9Г\ Я*

setzen. Doch gilt diese Gleichung nur für die Ober-

Das Temperaturgefälle in der Erdrinde, fläche der Kugel, d. h. für г = p, wobei also p der Kugelradius ist. Wir können finden. Wir erhalten dafür

Gleichung (34)

aus

eç> I

= Be-yt

[il

cos г I/— sin r

\ m

i'j.

ra '

SN

Setzen wir hier, sowie in der Gleichung (34) r = p, so gestaltet sich Gleichung (35) folgendermassen

(yjrC0Sg]/m

\    Q

sin p

>n)

e² /

sin^

0,

-f nB e—

welche sich leicht verwandeln lässt in

oder

sin e j/ ^ (n Q—1) + Q I / i cos Q |/ - = 0

BN

1-П p

Setzen wir p |/    = x, so vereinfacht sie sich noch zu

tgx =

BN

(36)

1—n p‘

Diese letzte Gleichung können wir nun sehr leicht auf graphischem Weg lösen, wenn wir sowohl tgx als auch

j in ein rechtwinkeliges Koordinatensystem eintragen,

Wir wollen eine Anwendung davon auf unsere Erde machen. Es wird somit q sehr gross, also -— eine kleine negative Zahl. Es ist daher die Kurve

^    1—П(>

eine Gerade, welche vom Ursprung O (Fig. 43) aus-

37t

if

Fig. 43.

(zu§37.)

geht, mit der x-Achse einen sehr kleinen Winkel bildet und für positive x unterhalb der x-Achse liegt. Wo diese Gerade die zweite Kurve У — tgx

schneidet, dort ist immer eine Wurzel der Gleichung (36). Wir erhalten somit unendlich viel Werte für x und somit auch für y. Die Gleichung (34) verwandelt sich daher in eine unendliche Reihe. Das erste Glied fällt ganz weg, weil dafür x = 0, also auch у — 0 ist. Die nächste Wurzel von x liegt nahe bei яг, die zweitnächste nahe bei 2 л u. s. w. Sie werden sich also nahezu verhalten wie 1:2:3..., folglich die Werte der у nahezu wie 1:4:9... Das heisst, die höheren Glieder unserer unendlichen Reihe nehmen mit wachsender Zeit sehr rasch ab, so dass wir uns nach einiger Zeit lediglich auf die Gleichung

l/n

I m

sinr

beschränken können.

Wir wollen nun xt — л—s setzen, wobei e sehr klein ist. Aus dieser Ursache können wir aber dann ABC (Fig. 43) als ein recht winkeliges Dreieck auffassen und

AB = BC

setzen. Somit wird

1-nę

¹¹ Ç

und

Уь- -'-('--h)

xi

<5/

7i =m-T»

(г

indem wir die anderen Glieder vernachlässigen können. Führen wir die Tiefe z ein, so wird r = e—z,

und es soll z gegen £ ebenfalls eine kleine Grösse sein. AVir haben dann

sinr

l/—=

1 m

“"“(r²) f¹

ч    \

.-У-

= sin

’’(‘“T'H'-irrHK” (z+i) =f(a + ^)

—)=

= sin ~~

da wir wegen der Kleinheit von —

Q

den Sinus mit dem

Bogen vertauschen können. Wir erhalten demnach weiter

sinr

i/—

\ m

7 (г +

wenn wir z gegen p vernachlässigen, was hier erlaubt ist. Somit wird schliesslich

Bj 71

e* (1 + nz).

ne²

Es muss also die Temperatur von der Oberfläche gegen das Erdinnere mit der Tiefe linear zunehmen. Die Erfahrung lehrt, dass die Temperaturzunahme für 30 m etwa 1° C. beträgt.

§ 38. Abkühlung der Erde.

Für ein konstantes r wird nach Gleichung (34) die Temperatur lediglich eine Funktion der Zeit, welche für unsere Erde die Form

Ш

u — Ae Qa

annimmt. Setzen wir für die Zeit t = 0 die Tem

peratur u = u₀, so wird А = u₀ und

ш 7Г²

--rr*

u = u₀ e

du

mv²u₀

dt

>e

m n*

da wir wegen des grossen ç⁹ e    = i setzen kön-

nen.

Die Temperatur unter der Erdoberfläche muss demnach mit der Zeit abnehmen, doch geschieht dies ungemein langsam.

at Ъе-

Da u₀ der Ueberschuss über die Temperatur der Umgebung der Erde ist, so müssten wir, um

so

rechnen zu können, die Temperatur des Weltraums kennen. Aber selbst wenn diese den absoluten Nullpunkt, d. h. — 273⁰ C. erreicht hatte, würde

klein, dass die Temperatur der Erdrinde erst in vielen Millionen Jahren um 1° sinkt.

Die Wärmemenge, welche durch die Oberflächeneinheit der Erde in der Zeiteinheit ausgestrahlt wird,

Wir können dieselbe berechnen, da wir

ы-kfî.

dr

sowohl ~^ kennen, als auch die Wärmeleitungsfähigkeit

к der Erde (§ 34) bestimmbar ist. Es ergibt sich daraus, dass jährlich eine Wärmemenge aus dem Innern , der Erde zur Oberfläche strömt, welche imstand ist, eine Quadratmillimeter dicke Eisschicht zu schmelzen. Es kommt diese Wärmemenge somit im Vergleich zu der von der Sonne gespendeten Wärme gar nicht in Betracht. Ob es daher im Innern der Erde kalt oder heiss ist, für die Lebensbedingungen auf der Oberfläche ist das völlig belanglos.

Mechanische Wärmetheorie.

§ 39. Zustand eines Körpers — Zustandsgleichung idealer Grase — absolute Temperatur.

Wir

Wir fassen die Wärme als Bewegung der kleinsten Teilchen der Körper auf. Zu einem gegebenen Zeitpunkt wird daher jedes Teilchen eine bestimmte Lage und eine bestimmte Geschwindigkeit besitzen, nennen dies den Zustand des Körpers. Um ihn zu kennen ist es nicht nötig, den Zustand jedes einzelnen Körperteilchens zu wissen, sondern bloss die Mittelwerte der den Zustand bestimmenden Grössen, da ja die thermischen Erscheinungen, welche wir an einem Körper wahrnebmen, durch das Zusammenwirken der kleinsten Teilchen hervorgebracht werden. Der Zustand eines Körpers ist sonach in un-serm Sinn bestimmt durch seine Temperatur, sein Volumen, seine Gestalt und die auf ihn wirkenden äusseren und inneren Kräfte. Soweit diese verschiedenen Grössen voneinander abhängig sind, lassen sie sich in Gleichungen fassen, und jene Gleichung, welche alle den Zustand bestimmenden Grössen untereinander verbindet, nennen wir die Zustandsgleich-u n g des Körpers.

Diese ist z. B. für ideale Gase durch das Boyle-Charles’sche Gesetz

pv = p₀v₀ (1 + et)

gegeben. Das heisst, der Zustand eines Gases ist vollständig durch sein Volumen v, seine Temperatur t und dem Druck p, unter dem es sich befindet, gegeben. Benutzen wir das hundertteilige Thermometer, so ist

“ ” 273-

— 273° C., so wird

Verlegen wir daher den Nullpunkt auf

= RT,

PV = p„v₀a(-^+t) = p₀v₀«T

In der Form

(37)

pv = RT

wollen wir das Boyle - Charles’sche Gesetz künftig benutzen und

T=t +

die absolute Temperatur nennen.

§ 40. Umwandelbarkeit der Wärme in Arbeit und der Arbeit in Wärme — mechanisches Wärmeäquivalent — äussere und innere Arbeit — erster Hauptsatz.

R. Mayer hat zuerst bestimmt ausgesprochen, dass Arbeit in Wärme und Wärme in Arbeit verwandelt werden kann und dass einer Calorie

— d. i. jene Wärmemenge, welche ein Kilogramm Wasser von 0° auf 1° C. erhöbt — ein ganz bestimmter Arbeitswert zukommt.

daher das mecha-

Die experimentellen Untersuchungen haben gelehrt, dass einer Calorie rund 425 mkg entsprechen, welche Zahl man nische Wärmeäquivalent nennt.

ver-

r en

Führen wir einem Körper Wärme zu, so wird im Allgemeinen seine Temperatur und seine Gestalt ändert. Es muss daher eine Arbeit aufgewandt werden, um die inneren Kräfte zu überwinden und die Energie der kleinsten Teilchen zu erhöhen. Man nennt dies die innere Arbeit oder die Vermehrung der inne-Energie, welche auf Kosten der Wärme erzeugt

Jäger, Theoretische Physik If.

wird. Ferner ist Arbeit zur Ueberwindung der äusseren Kräfte notwendig, welche wir analog die äussere Arbeit nennen. Es wird sich daher die unendlich kleine Wärmemenge dQ, welche wir einem Körper zuführen, in einen Teil dU zerlegen lassen, welcher die Temperaturerhöhung und die innere Arbeit bewirkt, und einen zweiten, der die äussere Arbeit dK leistet. Um diese Arbeit in Wärmemass zu bekommen, haben wir sie durch das mechanische Wärmeäquivalent E zu dividieren oder mit dem reciproken Wert desselben, dem

Hl»-

zu mul-

calorischen Arbeitsäquivalent A =

(38)

tiplizieren. Sonach erhalten wir nach dem Satz von der Erhaltung der Energie die Gleichung dQ = dU + AdK; welche man gewöhnlich den ersten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie nennt.

§ 41. Spezifische Wärme der Gase hei konstantem Volumen und konstantem Druck.

Steht ein Körper unter keiner äusseren Kraft als einem konstanten, senkrecht zu seiner Oberfläche wirkenden Druck p, wie es etwa der Luftdruck ist, so wird die zugeführte Wärmemenge dQ lediglich eine kleine Volumsänderung her Vorbringen. Jedes Oberflächenelement dct> legt dabei einen Weg <Sn zurück. Die äussere Arbeit, welche geleistet wird, ist sonach gleich dem Produkt aus der Kraft pdo> in den Weg <5n, die Gesamtarbeit also

dK — J’p<Sndü> = pJ’,sndö>:=pdv,

da ja JtSndû) nichts anderes als die Yolumsznnahme dv des Körpers ist. Es verwandelt sich daher die Gleichung (38) in

dQ = dU + Apdv.

(39)

Die innere Arbeit wird im Allgemeinen ebenfalls eine Funktion der Temperatur des Drucks und des Volumens sein. Da aber eine dieser drei Grössen wegen der Gleichung (37) immer durch die beiden andern bestimmt werden kann, so genügt es U = f(v,T)

zu setzen, wonach

di

di

dU = ^dv + äTdT

wird.

Es hat nun schon Gay-Lussac gezeigt, dass ein , wenn es sich ohne äussere Arbeitsleistung ausdehnt, seine Temperatur nicht ändert. Es leistet daher ein Gas bei der Volumsveränderung auch keine innere Arbeit, d. h. es muss die Grösse

Gas

di

7Г- = 0

dv

sein. Setzen wir schreiben

Cb ! Cb

c+-i

= c, so können wir Gleichung (39)

(40)

dQ = cdT + Apdv.

Wir wollen voraussetzen, dass sich unsere Gleichung auf die Masseneinheit Gas bezieht. Führen wir die Wärme bei konstantem Volumen zu, so ist dv —0,

<1Q

folglich jTp = c die spezifische Wärme bei konstantem Volumen.

ergieht

Die Differentiation der Zustandsgleichung (37)

pdv + vdp — BdT.

(41)

Dadurch können wir Gleichung (40) in

d Q = (c + A B) d T — Avdp verwandeln. Nehmen wir eine Wärmeausdehnung bei konstantem Druck vor, so wird dp = 0, folglich

dQ

jTp — c 4" AB — C.

Dies ist also die spezifische Wärme des Gase bei konstantem Druck.

§ 42. Adiabatische Zustandsänderungen.

Verändern wir den Zustand eines Körpers, ohne dass ihm Wärme zu- oder abgeführt wird, so nennen wir dies eine adiabatische Zustandsände

rung. Für eine solche muss also in Gleichung (40) d Q = о

werden. Dividieren wir dann die Gleichung noch durch pv = KT, so ergibt dies

c d T Adv

ET

oder

cdT , ARdv

Durch Integration erhalten wir

с 1T + А В1V ='G.

Zu Beginn des Prozesses sei diese Gleichung

с 1T₀ + А В1 v₀ = G.

Durch Subtraktion beider Gleichungen folgt

= 0,

T    V

vo

с 1 Tn—b А В1 —

xo

was wir schliesslich noch umwandeln können in oder

1.

Beachten wir noch, dass

C — c = AR,

so bleibt uns schliesslich

(42)

wenn wir das Verhältnis der spezifischen Wärmen и nennen. Diese Gleichung besagt somit, dass durch Kompression eines Gases seine Temperatur erhöht, durch Ausdehnung erniedrigt wird.

Auf ähnliche Weise können wir auch die Be

ziehung zwischen Druck und Volumen bei einer adiabatischen Zustandsänderung eines Gases finden. Er-

p d V + V d p

setzen wir in Gleichung (40) d T durch aus der Gleichung (37), so wird

d Q = (pdv + vdp)-fApdv =

= (c + AR) p d v+c у dp_ Cpdv + cvdp

Cpdv-|-cvdp = 0 sein, was durch p v dividiert

für eine adiabatische Aenderung muss wieder d Q = 0, also

dv

ergibt. Durch Integration finden wir wie früher

CI — + cl -Ł— 0.

oder

vo

Po

Po

wenn wir a die Dichte des Gases nennen. Diese Formel mussten wir benutzen, um die Scha llgeschwindig-keit in der Luft zu finden (Bd. I § 66).

§ 43. Kreisprozess.

Lassen wir den Zustand eines Körpers verschiedene Aenderungen durch mach en, bis er wieder den Anfangszustand erreicht,

To

Po

Ps

Pz

Vo

PL

Vl.

PL

а: я' & c'

Fi^.44.

(zu §43.)

so nennen wir das einen Kreisprozess. Können die Veränderungen auch in entgegenge-setzterRichtung ablaufen, so ist es ein umkehrbarer Kreisprozess. Einen solchen wollen wir an einem idealen Gas vornehmen. Wir stellen

den Zustand der Masseneinheit des Gases durch einen Punkt in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem dar (Fig. 44), dessen Abscisse das Volumen, während die Ordinate den Druck darstellt. Die Kurve, welche wir für eine konstante Temperatur dabei erhalten, nennen wir eine Isotherme. Bei einem idealen Gas ist sie pv = konst.,

also eine gleichseitige Hyperbel.

Der Punkt A sei der Anfangszustand des Gases hei der Temperatur T₀, dem Druck p₀ und dem Volumen v₀. Das Gas dehne sich jetzt isotherm, d. h. bei konstanter Temperatur T₀ aus bis zum Zustand В mit den zugehörigen Grössen T₀, p , vt. Für diesen Vorgang ist also dF = o, daher nach Gleichung (40) d Q — Apdv.

Die gesamte Wärme Q₀, welche wir auf dem Weg von A nach В in unser Gas hineinstecken, wird also nur zur Arbeitsleistung verwendet, und es ist

Q₀=aJ pdv =

ART₀

— = ART 1 Тц (43)

Vq

V    v₀

da ja p v = BT₀ ist.

Wir nehmen nun eine adiabatische Ausdehnung vor. Bei dieser wird somit der Zustand von В längs einer adiabatischen Kurve bis C vorrücken. Wir führen also Wärme weder zu noch ab. Das Gas kühlt sich daher von der Temperatur T₀ auf TL ab, und wir haben nach Gleichung (42)

Wir komprimieren nun das Gas isotherm, haben somit eine Wärmemenge

Q, = ART, 1 —

V-2

Zuzuführen. Diese Wärmemenge erscheint aber, da v₃<v₂, negativ, es wird in Wirklichkeit dem Gas Wärme entzogen. Die Kompression wird längs CD so lang fortgesetzt, bis die Isotherme die durch den Punkt A gezogene Adiabate inD schneidet. Von dort aus komprimieren wir dann weiter adiabatisch, langen also wieder beim Ausgangspunkt in A an. Für den letzten Vorgang gilt die Gleichung и-l

к-l

T1=V°

Multiplizieren wir die Gleichungen (44) und (45) miteinander, so finden wir v₁ v₃ = v₀ v₂ oder

V3

T

0*

(45)

Zl _ v2

Daher ist

vo

V3

= ART₁1Vs = — AETj l-¹

V2

V0

was mit Gleichung (43) vereinigt ergibt

Qo. _ Qi

wo also das negative Vorzeichen sagt, dass eine dem Gas entzogene Wärmemenge ist. Pechnen wir hingegenjedeMenge positiv, so ist die in Arbeit umgewandelte Wärme Q₀—Qx. Sie entspricht in Fig. 44 der Fläche ABCD, da ja die Flächen ABB'A', BCC'B' u. s. w. die geleistete bezgl. aufgewendete Arbeit bei den einzelnen Vorgängen des Kreisprozesses darstellen.

Yon der Wärmemenge Q₀, welche bei der Temperatur T₀ in das Gas hineingesteckt wird, wird also nur der Teil Q₀—Qt in Arbeit verwandelt, während die Wärmemenge Qt bei der Temperatur Tx wieder abgegeben wird. Da sich der Kreisprozess beliebig wiederholen lässt, so haben wir hier eine sogenannte kalorischeMaschine vor uns, welche Wärme in Arbeit verwandelt. Doch ist es nur der Bruchteil

Qo-Q,

T ’

X0

welcher wirklich von der gesamten aufgewendeten

Qo

Wärme in Arbeit verwandelt wird. Je grösser dieser Bruch ist, desto besser wird die Wärme ausgenützt.

T-T,

den ökono-

Man nennt daher die Grösse

mischen Koefficienten der Maschine, arbeitet mithin umso ökonomischer, je grösser der Temperaturunterschied T₀—Tt ist.

Diese

§ 44. Entropie — zweiter Hauptsatz.

Es ist nicht nötig, einen Kreisprozess einfach längs der früher gewählten Isothermen und Adiabaten vor sich gehen zu lassen, sondern es kann dies längs jeder beliebigen geschlossenen Kurve geschehen, indem die Gleichung (40) ja nichts anderes als die Summe aus einem adiabatischen und einem isothermen Vorgang enthält, welche bei der graphischen Darstellung eine geometrische Summe wird. Je nach der Fläche der geschlossenen Kurve wird daher das Integra] der Gleichung (40) verschiedene

Werte annehmen können. Dividieren wir die gesamte Gleichung durch die absolute Temperatur T; so erhalten wir

dQ cdT Aßdv

Integrieren wir nun diese Gleichung zwischen zwei Punkten der Kurve, welche den Grössen T₀, v0 und Tx, Vj entsprechen, so wird

Гт

Jol

^+AEl\ 0 v0

Es ist also ganz gleich giltig, auf welchem Weg wir von dem einen zum andern Punkt gelangen, da das Integral nur vom Anfangsund Endwert abhängig ist. Für jede geschlossene Kurve ist daher

dQ

(46)

— o.

Man pflegt daherein vollständiges Differential zu nennen. Wir wollen

dQ

setzen, wonach wir erhalten

J ^-=s+c.

Clausius nennt S die Entropie des Gases. Wir werden später sehen, dass wir dieselben Ueberlegungen auf jeden beliebigen Körper anwenden können.

Die Gleichung (46) ist der Inhalt dçs zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie, den wir etwa folgendermassen formulieren können:

Rechnen wir die zu geführte Wärme positiv, die entzogene negativ, so ist die Summe aller unendlich kleinen Wärmemengen, jede dividiert durch ihre jeweilige Temperatur für einen umkehrbaren Kreisprozess gleich Null.

Bei jeder adiabatischen Zustandsänderung ist dQ = 0, es wird daher d. h. die Entropie bleibt constant, weshalb man die adiabatischen Vorgänge auch isentro-p i s c h e nennt.

§ 45. Unabhängigkeit des zweiten Hauptsatzes von der Natur der Körper — thermisches perpetnnm mobile.

Wie wir durch einen umkehrbaren Kreisprozess Wärme in Arbeit verwandeln können, so lässt sich auch Arbeit in Wärme umsetzen, sobald wir den Prozess entgegengesetzt durchlaufen. Gleichzeitig wird eine gewisse Wärmemenge auf höhere Temperatur gebracht. Wie ein Gas können wir auch jeden anderen beliebigen Körper zwei isotherme und zwei adiabatische Kurven durchlaufen lassen und somit einen umkehrbaren Kreisprozess herstellen. Umgrenzen die Kurven eine Fläche von derselben Grösse wie der Kreislauf eines Gases, so leisten beide Prozesse dieselbe Arbeit. Lassen wir sie daher entgegengesetzt vor sich gehen, so heben sie sich in ihrer Wirkung auf. Aber es wäre noch die Möglichkeit vorhanden, dass die Wärmemengen, welche von tieferer auf höhere Temperatur und umgekehrt be-fördert werden, verschieden sind. Das widerspricht aber dem Erfahrungssatz, dass es noch niemals in der Natur beobachtet wurde, dass Wärme ohne vorhandene anderweitige Energieänderung von selbst zu höherer Те mperatur aufsteigen kann. Es muss daher auch für unsern zweiten Kreisprozess wie für das Gas die Gleichung

Qo __Qt

t~-t"

gelten. Schon Carnot sprach aus, dass bei der durch die Wärme hervorgebrachten Arbeit nur die Temperaturen, nicht aber die dazu verwendeten Körper massgebend sind.

Wäre es möglich, dass Wärme von selbst zu höherer Temperatur aufsteigt, so könnte ein beständiger Wärnie-kreislauf ohne Arbeitsleistung hergestellt werden, indem ja durch Leitung oder Strahlung die Wärme wieder auf ihre ursprüngliche Temperatur sinken würde. Man hätte dann ein sogenanntes thermisches per-petuum mobile. Aber dieses ist ebenso unmöglich wie ein mechanisches.

Der zweite Hauptsatz hat in der von uns gegebenen Form die Voraussetzung einer willkürlichen Temperatur, indem wir ein ideales Gas als thermometrische Substanz benützten. Hätten wir ein anderes Temperaturmass gewählt, so würden wir auch eine andere Form des zweiten Hauptsatzes erhalten haben. W. Thomson machte daher den Vorschlag, den zweiten Hauptsatz direkt zur Temperaturdefinition zu benützen, da dann das Temperaturmass von einer thermometrischen Substanz

völlig unabhängig wird. Willkürlich bleibt jedoch wiederum die Wahl der Form der Temperaturfunktion, und es darf die Annahme der sogenannten absoluten Temperatur nur als eine Folge der Gewohnheit angesehen werden.

§ 46. Anwendung der beiden Hauptsätze.

Wir lernten den ersten Hauptsatz in der Form dQ = dU + Apdv

kennen. Hier ist die Grösse dU ebenso ein vollständiges Differential wie das Differential der Entropie Es zeigt sich nämlich in der Erfahrung, dass

die Wärmemenge, welche wir einem Körper lediglich zur Aenderung seines Zustands abgesehen von der äusseren Arbeitsleistung zuführen müssen, nur vom Anfangs- und Endwert des Zustands abhängig ist, hingegen völlig unabhängig von den Zwischenzuständen.

Wir machen nun die Annahme, der Zustand eines Körpers sei durch die Temperatur T und das Volumen V vollständig bestimmt. Die beiden Differentiale der inneren Energie und der Entropie sind sonach Funktionen von T und v und ebenso die dem Körper zugeführte Wärmemenge dQ. Wir wollen deshalb dQ^adT + ßdv

setzen, wobei « und ß Funktionen von T und v sind. Betrachten wir die Gewichtseinheit des Körpers, so ergibt sich ohne weiters, dass a die spezifische Wärme bei constantem Volumen ist, da dann dv = 0 wird. Jedes vollständige Differential d F, das eine Funktion von T und v ist, können wir schreiben

ЗЖ 0N_ d²¥ dT~dTdv'

und es folgt

d¥

д¥

dF=^dT+^ dv = MdT + Ndv

Demnach können wir aus

d TJ = d Q — Apdv = adT + (/? — Ap)dv

die Folgerung ziehen

da_d (ß — Ap)

dv

-All

dT

(47)

Ferner haben wir

“dT + ^-dv,

und wiederum gilt

oder

¹ J_a__ 1 T dv~~ T

da d ß    ß

dv d T T’

Ans den Gleichungen (47) und (48) erhalten wir

2?

N.

(48)

ß = AT

folglich

.    (49)

dQ = adT + A T-^ dv.

d Q = y d T + *7 d p

Stellen wir den Zustand als Funktion der Temperatur und des Drucks, also durch F und p dar, so können wir

setzen, wobei also y die spezifische Warme bei konstantem Druck ist. Wir haben dann

4T+^äp),

d U == d Q — A p d v = d Q — Ap

da wir jetzt y als Funktion von T und p auffassen müssen. Aus

dU-(r-Ap|^)dT + (,-Ap ^)dp

finden wir

CD CD

führen wir die Differentiation durch, so ergibt sich

a²v

cd i cd

V_    a²v

Г — Ap3p0T

d v\

ат

-Ap

oder

8 рЭГ

ду

d y д V]

А 0Т 8Т

(50)

Wir haben nun weiter

folglich

Cd

P (⁷f) ~ ат (т ):

1 ду __ 1 д V __

t ap⁻ t ат *’

y dq rj

Р~ат t

und aus den Gleichungen (50) und (51) 1 = -AT

Cd çd

(51)

ат’

d Q =f y d T — ATjj dp.

Analog diesem Vorgang ist es nicht schwer für be-

(52)

liebige Variable, welche den Zustand bestimmen, die entsprechende Gleichung herzuleiten.

§ 47. Verdampfungswärme — Schmelzwärme — gesättigter Dampf — Schmelzpunkt,

— = — +    ---—) X = u' + (u — u') X,

a s \ a s /

Wir haben in einem geschlossenen Gefäss die Masseneinheit eines Körpers teilweise in flüssigem, teilweise in dampfförmigem Zustand. Das Gewicht des Dampfs sei x, das der Flüssigkeit also 1 — x. Das Volumen V des Gefässes ist demnach 1 —x

wenn s und о das spezifische Gewicht der Flüssigkeit bezgl. ihres gesättigten Dampfes ist. Es ist u' also das sogenannte spezifische Volumen der Flüssigkeit, u jenes des Dampfs. Wir wollen nun eine Verdampfung der Flüssigkeit bei konstanter Temperatur vornehmen. Dann wird d T = 0 und Gleichung (49)

dp

dTv

(u — u') d x.

dQ=AT

Nennen wir die Verdampfungswärme r, so wird d Q — r d x,

daher

dp

(53)

r = AT^(u-u').

“ zu finden, wenn die übrigen

Diese Formel können wir benützen, um z. B. die Dichte des gesättigten Dampfes

Grössen bekannt sind.

Diese Gleichung gilt nun ebenso für einen festen Körper und seinen Dampf, wieetwafür

Beziehung zwischen Druck u. Temperatur eines Körpers. 129

Eis und dem dabei befindlichen Wasserdamf. Sie gilt für die Schmelzwärme eines Körpers, wenn wir r damit bezeichnen, unter p den Flüssigkeitsdruck beim Schmelzpunkt, unter u und u' das spezifische Volumen des flüssigen bezgl. festen Körpers verstehen. Schreiben wir z. B. die Gleichung

Эр_ r

ЭТ — AT(u-u')’

und bedenken wir, dass das Volumen des Wassers kleiner als jenes des Eises ist, so finden wir ^negativ. Das heisst, mit wachsendem Druck erniedrigt sich der Schmelzpunkt und umgekehrt. Wir können die Gleichung (53) auch anwenden, wenn sich ein Körper durch Temperaturerhöhung bezgl. Druckver-minderung in seine chemischen Bestandteile zerlegt. Es ist dann p einfach der Dissociationsdruck, r die Dissociations wärme u. s. w.

§ 48. Beziehung* zwischen Druck und Temperatur eines Körpers.

ydT = AT^

Nehmen wir eine adiabatische Zustandsänderung durch Aenderung des Drucks vor, so können wir die Gleichung (52) benützen, wenn wir d Q = 0 setzen. Es bleibt dann

d p.

Hl

Es ist nun

nichts anderes als v (5, wenn wir unter

ô den Ausdehnungscoeffizienten des Körpers verstehen. Wir können daher schreiben

y d T = ATvrSdp.

Jäger, Theoretische Physik II.

7, A, T V sind ihrer Natur nach positive Grössen, <5 kann jedoch sowohl positiv als auch, wie z. B. beim Wasser zwischen 0° und 4 e C. negativ sein. Im ersteren Fall wird sich daher mit wachsendem Druck die Temperatur erhöhen, im andern jedoch erniedrigen.

§ 49. Temperaturânderung durch Dehnung.

Pdl.

Ein Stab von der Masse Eins und der Länge 1 wird durch ein angehängtes Gewicht P gedehnt. Führen wir dem Stab die Wärme d Q zu, so verlängert er sich um d 1. Das Gewicht sinkt und leistet dabei die Arbeit Die Wärme wirkt also diesmal nicht einer

äusseren Kraft entgegen, sondern im selben Sinn. Wir haben deshalb nach dem ersten Hauptsatz dU = dQ + APdl.

Die Wärmemenge Q werde als Funktion von T und P dargestellt. Es ist sonach

dQ = ydT-|-îydP.

Benützen wir nun die Eigenschaft der vollständigen

dQ

Differentiale d U und -jjp wie früher, indem wir

dl

dl---

0T

setzen, so finden wir leicht

dl

dT + ^pdP

(54)

<г = АТ

dl

гг

für eine adiabatische Dehnung erhalten wir somit

dl

0 = ₇dT + AT^ dP

dl

Y ist die spezifische Wärme bei konstantem Zug ^

=Л 1,

wenn wir mit A den Ausdehnungskoeffizienten bezeichnen. Wir haben somit

dP

dT =

АТЛ

Da in der Regel A positiv ist, so kühlt sich bei der Dehnung der Stab ab. Bei gespanntem Kautschuk ist A negativ. In der That erwärmt sich eine Kaut-schnkschnur bei der Dehnung und kühlt sich mit abnehmender Spannung ab.

Aus Gleichung (54) erhalten wir

dl

dT

dl — ^dT

d\

dP =

dP

folglich

dQ = ydT+^f(

dl

dl — .....dT.

dT

dP

Bei konstanter Länge wird d 1 = 0 und

dl

dT.

/    0T\

dQ = (y —^-^y)

dP

Es ist daher die spezifische Wärme bei konstanter Länge

dl

AT

r' = y — 4j};=y

(dL

dl

7 — AT/l²Elq,

dl

indem 5T —Eq

(Bd. I § 86), wenn q der Querschnitt

des Stabs und E der Elasticitätsmodul ist. Bei Metalldrähten und vielen anderen Körpern zeigt sich, dass das Produkt A T Л² E1 q so klein ist, dass man es in der Kegel gegen y vernachlässigen, das Verhältnis der spezifischen Wärmen also gleich Eins setzen kann.

Die kinetische Theorie der Gase.

§ 50. Die Wärmebewegung in Gasen.

D. Bernoulli, vorzüglich aber R.Clausius entwickelten eine Theorie, welche direkt eine Vorstellung jener Bewegung der kleinsten Teilchen gibt, die wir Wärme nennen. Vollständig entwickelt ist diese Hypothese für Gase, und man fasst die ganze Anschauungsweise unter dem Namen „mechanische“ oder „dynamische“, in der Regel aber „kinetische“ Theorie der Gase zusammen. Nach ihr stellt man sich im gasförmigen Zustand die Molekeln vollständig von einander getrennt und in geradliniger Bewegung begriffen vor. „Die Bewegungsrichtungen sind für ein ruhendes Gas über die Gesamtheit der Gasmolekeln im Raum gl eich -mässig verteilt, so dass sich nach jeder Richtung des Raums gleich viel Molekeln bewegen. Da man den Molekeln eine gewisse Ausdehnung zuschreiben muss, so sind natürlich Zusammenstösse derselben nicht ausgeschlossen. Damit aber der Zustand des Gases unverändert bleibt, ist erforderlich, dass die Molekeln infolge der Zusammenstösse weder in ihrer Durchschnittsgeschwindigkeit noch in ihrer Durchschnittsbewegungsrichtung eine Aenderung erfahren. Um dieser Bedingung Genüge zu thun, ist es am bequemsten, die Molekeln als vollkommen elastische Kugeln von gleicher Grösse und gleicher Masse anzusehen. Für deren Zusammenstoss gilt dann das Gesetz von der Erhaltung der gemeinsamen Bewegungsgrösse als auch der kinetischen Energie, und entsprechend dem Zustand vor dem Stoss ist auch nachher die Bewegung der Molekeln nach jeder Richtung des Baums gleich wahrscheinlich.

Es genügt in den meisten Fällen, und es vereinfacht die mathemathische Behandlung bedeutend — thatsäehlich wurde es anfangs von Seite der Forscher auch stets so gepflogen, und wir werden uns im folgenden ihnen darin anschliessen — wenn man allen Molekeln eine bestimmte Geschwindigkeit zuschreibt. Dies ist aber nur ein Mittelwert aus allen möglichen Geschwindigkeiten, welche nach einem bestimmten Gesetz über die Molekeln verteilt sein müssen.“

§ 51. Boyle-Cliarles’sches Gesetz.

Ein Gas, welches sich in keinem Gefäss befindet und keiner äusseren Kraft, wie etwa der Schwere unterworfen ist, muss sich nach der kinetischen Theorie immer weiter zerstreuen. Befindet es sich aber in einem allseits geschlossenen Gefäss, so ist die Folge davon, dass von den Molekeln beständig Stösse auf die Gefäss-wand ausgeübt werden. Indem diese wegen der grossen Zahl der Molekeln sehr rasch auf einander folgen, bewirken sie den Eindruck eines kontinuierlichen Drucks. Damit dieser, sowie der ganze Zustand des Gases konstant bleibt, ist es nötig, dass ebensoviel

Molekeln von der Wand in das Gas zurückfliegen als gegen die Wand stossen. Es wird dies am leichtesten erfüllt, wenn wir annehmen, die Gasmolekeln werden von der Wand nach den Reflexionsgesetzen zurückgeworfen, was ja bei vollkommen elastischen Kugeln und einer absolut starren Wand thatsächlich der Fall ist.

„Wirkt auf einen Körper eine Kraft, so ist das Mass derselben die Bewegungsgrösse, welche in der Zeiteinheit auf den Körper übertragen wird. Stösst eine Molekel von der Masse m mit einer Geschwindigkeitskomponente u senkrecht gegen die Wand, so hat sie nach dem Stoss ebenfalls senkrecht gegen die Wand die Geschwindigkeit — u. Es muss also während des Stosses auf die Molekel ein Gegendruck von der Grösse m u ausgeübt werden, welcher sie vollständig zur Ruhe bringt, ferner muss ein weiterer Gegendruck m u vorhanden sein, welcher ihr die Geschwindigkeit — u erteilt. Der Gegendruck, welchen also die Molekel von der Wand empfängt, lässt sich durch die Bewegungsgrösse 2 m u darstellen. Denselben Druck hat aber auch die Wand nach dem Gesetz der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung von der Molekel zu erleiden.“

Eine Molekel besitze die Geschwindigkeit c mit den Komponenten |,    £. Es ist also

la + v² + fa — °a*

In der Yolumeneinheit seien Molekeln vorhanden von der Geschwindigkeitskomponente |. Es werden daher f solcher Molekeln gegen die Flächeneinheit einer Wand fliegen, welche senkrecht zur x-Achse steht. Nj £ Stösse erhält davon die Wand in der Sekunde und

N₁£.2m| = 2N₁m |²

ist daher die Bewegungsgrösse, welche die Wand empfängt. Bilden wir die Summe über sämtliche Molekeln, so erhalten wir den Druck

p = 22 Nj m f =    m rf = 22 Nj m f:2,

da wegen der gleichen Verteilung es ebensoviel gleich grosse rj und J als J geben muss. Es ist demnach ^2Nj m(|² + ^² + n_2mc² ^лт

Ueberlegen wir nun, dass die Hafte der Molekeln positive, die andere negative f u. s. w. besitzt, so fliegen gegen die Wand, wenn N die Zahl sämtlicher Molekeln in der Volumeinheit ist, Molekeln. Es ist daher 2 N, = y, folglich

(55)

Nmc'

3 •

Enthält unser Gefäss vom Volumen v n Molekeln,

so ist N =

folglich

Pv =

n m c²

(56)

p v = RT

kennen gelernt haben. Da für eine bestimmte Gasmenge die Zahl n der Molekeln als auch die Masse m einer

Dies ist der Inbegriff des Boyle-Charles’schen Gesetzes, welches wir nach Gleichung (37) in der Form

luten Temperatur sein.

Molekel konstant ist, so muss c² proportional der absolu c²

—g— ist die kinetische Energie

einer Molekel und —^— jene des ganzen Grases. Das

ist gleichzeitig die im Gas enthaltene Wärmemenge.

§ 52. Regel von Avogadro — Gesetze von Gay-Lussac und Dalton — Geschwindigkeit der Molekeln.

Es lässt sich zeigen, dass für Gase von gleicher

Temperatur die lebendige Kraft der Molekeln gleich ist. Wir haben deshalb die Gleichung m c²

mi °,J    ,

2

wenn m und c dem einen, mA und cx dem andern Gas angehören. Stehen daher Gase von gleicher Temperatur auch unter demselben Druck, so muss K m c² N. m c,²

P=-g----

daher

N = Nj = ...

sein. Gase unter gleichem Druck haben bei derselben Temperatur in gleichen Räumen gleich viel Molekeln. Es ist dies Avogadro’s Regel, welche hier als eine Folge der kinetischen Gastheorie erscheint.

Nach Gay Lussac stehen zwei eine chemischeVerbindung eingehende Gas mengen, bezogen auf gleichen Druck und gleiche Temperatur, untereinander sowie zur Menge der Verbindung in Verhältnissen, welche durch einfache ganze Zahlen dargestellt werden. Es folgt dies unmittelbar aus Avogrados Regel und Daltons Theorie, nach welcher die Molekeln einer chemischen Verbindung aus ganzen Zahlen von Atomen der sie bildenden Elemente bestehen.

Haben wir mehrere Gase in einem Gefäss, deren Molekelzahlen in der Volumeinheit N1? Na, . . . sind, so ist die Gesamtzahl der Molekeln in der Volumeinheit N = N₁ + N₂ + . . . und der Druck

P=|Nk =

N₁k+|N₂k + ..

• — Pi + P2 + • • • >

wenn wir mit p1? p₂ . . . die Drucke bezeichnen, welche die einzelnen Gase für sich im Gefäss erzeugen würden. Es ist der Gesamtdruck eines Gasgemenges gleich der Summe der Partialdrucke der einzelnen Gase, ein Gesetz, welches Dalton fand.

Setzen wir Nm = (>, so haben wir unter q die Masse der Volumeinheit, d. i. die Dichte des

q c²

Gases zu verstehen. Wir haben sonach p = ^ oder

Q

Da aber Druck und Dichte eines Gases bestimmbar ist, so ist uns damit auch die Geschwindigkeit der Gasmolekeln gegeben. Wir finden so für Sauerstoff 461 m, Stickstoff 492 m, Wasserstoff 1844 m. Diese Zahlen gelten für die Temperatur des schmelzenden Eises, und sie wachsen proportional der Wurzel aus der absoluten Temperatur. Wir haben es sonach mit Geschwindigkeiten zu thun, welche jene der Geschosse unserer modernen Feuerwaffen zum Teil weit übertreffen.

§ 53. Abweichungen тот Boyle-Charles’sclien Gesetz — Zustandsgleicliung von van der Waals.

Nach dem Boyle-Charles’schen Gesetz muss mit wachsendem Druck das Volumen des Gases beständig kleiner werden, bis es bei unendlich hohen Drucken schliesslich Null wird. Dasselbe musste man auch bei endlichen Drucken erreichen, wenn die Temperatur bis zum absoluten Nullpunkt sinkt. Die Erfahrung lehrt jedoch, dass man Gase nur bis zu einer gewissen Grenze komprimieren kann, wie gross man auch den Druck wählt. Wir erklären uns das so, dass wir uns die Molekeln nicht als Massenpunkte, sondern, wie wir bereits früher annahmen, als kleine vollkommen elastische Kugeln auffassen. Ist nun das Gas so stark komprimiert, dass die Molekeln einander berühren, so füllen sie den ihnen zu Gebote stehenden Kaum aus und lassen sich nicht weiter zusammendrücken. Das besagt, dass infolge des Volumens der Molekeln, der Bewegung einer einzelnen nicht der ganze Gefäss-raum zur Verfügung steht. Der Einfluss des Mole-kular-Volumens auf das Boyle-Charles’sche Gesetz konnte bis jetzt strenge noch nicht ermittelt werden. Es genügt jedoch, für nicht zu hohe Drucke das Volumen v um eine konstante Grösse b zu vermindern, welche sich als das vierfache Molekularvolumen ergiebt. Das heisst: das Volumen, welches die Molekeln wirklich mit Materie ausfüllen, entspricht in seinem vierfachen Wert der Grösse b. Die Zustandsgleichung verändert sich dadurch in

n m c²

(57)

P (V — b) =

Wir müssen aber noch einen zweiten Einfluss in Bisher nahmen wir nämlich an,

Rechnung ziehen, dass die Molekeln gar keine Kräfte auf einander aus

üben. Diese Annahme ist jedoch sehr willkürlich. Es liegt im Gregenteil nahe, den Molekeln Anziehungskräfte zuzuschreiben, da ja sonst ein Verflüssigen der Grase und ein Ueberführen in den festen

Zustand bei abnehmender Temperatur kaum denkbar wäre. Wir haben von den Kräften anzunehmen, dass sie nur dann wirksam sind, wenn die Molekeln einander sehr nahe kommen. Damit ist die Möglichkeit gegeben, dass bei einem Zusammentreffen von mehr als zwei Molekeln eine Konstellation eintritt, bei welcher zwei Molekeln dauernd zusammen bleiben und eine sogenannte Doppelmolekel bilden. Durch die Anziehungskräfte wird also die Gesamtzahl der sich als Einzelindividuen bewegenden Molekeln verringert, was nach Gleichung (56) einer Verminderung des Drucks gleich kommt. Auch diese Abweichung vom Boyle-Charles’schen Gesetz ist er-fahrungsgemäss vomVolumenabhängig. Sie verschwindet bei sehr grosser Verdünnung des Gases. Für diesen Fall haben wir also anzunehmen, dass nur einfache Molekeln vorhanden sind. Das gilt auch für sehr hohe Temperaturen, was ohne-weiters verständlich ist. Mit wachsender Temperatur nimmt die Energie der Molekeln zu und erschwert so die Vereinigung zu Doppelmolekeln. Die Zahl der Molekeln in einem verdünnten Gas von hoher Temperatur sei n₀. Verdichten wir es allmählich, so treten die Abweichungen auf, welche mit abnehmendem

Volumen und sinkender Temperatur immer stärker ins Gewicht fallen. Wir werden daher die Zahl der jeweilig vorhandenen Molekeln durch darstellen können. Wird v und T genügend gross, so kann gegen Eins vernachlässigt werden, d. h. wir merken keine Abweichung vom Boyle-Charles’schen Gesetz, während mit abnehmendem v und T auch n, wie es die Erfahrung verlangt, immer kleiner wird. Demnach erhalten wir aus Gleichung (57)

p (v — b) =

По тс’Л    k\

3 [L    vT/'

Es ist zu bemerken ; dass sowohl b gegen v als auch

к

—pp gegen Eins klein sein muss, da wir sonst nicht so

einfache Funktionen voraussetzen können. Es ist somit die Annahme

к n₀ m c²

n₀ m c²

p = 3 (v — b)_ 3 r T

erlaubt, wobei wir höhere Glieder nicht in Betracht

ziehen.

c²

7p ist eine konstante Grösse; wir können daher

к n₀ m c2 3 T

setzen und die Gleichung in die Form

(p + (V — b) = R T

(58)

bringen. Dies ist die Zustandsgleichung der Gase, welche zuerst von van der Waals jedoch mittels

anderer Erklärungsweise aufgestellt wurde. Sie ist umso wertvoller, als sie noch für viel höhere Drucke, als man nach der theoretischen Betrachtung glauben sollte, giltig ist, ja von van der Waals selbst auch für dio Verflüssigung der Grase angewandt wurde. Sie zeichnet sich durch Einfachheit aus, da sie in die Zustandsgleichung idealer Gase nur die zwei neuen Konstanten a und b einführt.

§ 54. Kritische Temperatur — kritischer Druck — kritisches Volumen.

Wir können die Gleichung (58) in die Form pv⁸-(pb + ET) v² + av — ab — 0 bringen. Sie ist somit bezüglich des Volumens v eine Gleichung 3. Grads. Eine solche hat drei Wurzeln, von welchen entweder alle reell, oder eine reell und die beiden andern imaginär sein können.

JP Л

-z

-T

G Ж Ж ZT Rg.45. tzn § 54.)

Wir veranschaulichen uns dies am besten durch die graphische Darstellung (Fig. 45), indem wir die Volumina als Abscissen, die Drucke als Ordinaten in ein rechtwinkeliges Koordinatensystem eintragen. Thun wir das bei verschiedenen Temperaturen, so erhalten wir eine Schar von Isothermen. Bei tiefen Temperaturen, für welche die Kurven ein Minimum bei E und ein Maximum bei F haben, erhalten wir drei mögliche Werte des Volumens, wenn wir innerhalb des Druckunterschieds EF eine zur v-Achse parallele Gerade ziehen. Diese schneidet die Kurve in drei Punkten, welche die drei Wurzeln der Gleichung ergeben. Es lassen sich aber nicht alle dreiWurzeln realisieren. Zwischen E und F haben wir nämlich einen labilen Zustand, indem bei wachsendem Druck auch das Volumen wachsen soll, was nicht ausführbar ist. Sondern, wenn wir das Gas komprimieren, beginnt es sich beim Punkt G zu verflüssigen. Wir haben dann gleichzeitig zweierlei Zustände, den flüssigen und gasförmigen, und die Strecke B G = C H veranschaulicht den Druck des gesättigten Dampfs. Während wir also von G an das Volumen weiter verkleinern, bleibt der Druck konstant. Es verläuft die Volumsänderung längs der Geraden CB. In В ist aber nur noch Flüssigkeit vorhanden. Es muss dann für weitere Volumsverminderungen der Druck gleich beträchtlich steigen.

Es wäre verfehlt, nach dem Bisherigen zu glauben, dass das Stück BC der Kurve völlig wertlos sei. Bei der nötigen Vorsicht ist es möglich, den Punkt C zu passieren, ohne dass Verflüssigung eintritt. Wir haben

dann einen übersättigten Dampf. Dasselbe geschieht beim umgekehrten Durchlaufen der Kurve im Punkt B. Wir sprechen dann von einer überhitzten Flüssigkeit.

Je höher die Temperatur wird, desto mehr nähern sich die Punkte B, J und C, bis sie schliesslich zusammenfallen. Für diesen Punkt sind somit alle drei Wurze 1 n der Gleichung gleich gross. Steigern wir die Temperatur noch mehr, so erscheint nur noch eine reelle Wurzel. Die Temperatur der drei gleichen Wurzeln nennt man die kritische Temperatur. Sie ist nämlich die Grenztemperatur, für welche die Verflüssigung eines Gases noch möglich ist. Gleicherweise nennen wir auch das Volumen und den Druck, welcher dem Punkt der drei gleichen Wurzeln entspricht, das kritische Volumen und den kritischen Druck.

Die Maxima und Minima der Kurven sind durch

ns na

die Gleichung ~ = 0 gegeben. Nach Gleichung (58) haben wir also

P+-2

a 2 a (v — b)

V³

= 0.

(59)

Es ist das die Gleichung der Kurve KE LFM, welche die Minima bezgl. Maxima der Isothermen verbindet. Sie hat wieder ein Maximum, welches gleichzeitig der kritische Punkt ist. Wir erhalten sonach das kri

tische Volumen Vj, wenn wir für Gleichung (59) setzen. Dies ergibt

Cb Cb

Ai >

6 a (Vj — b)

4a

V,⁴

daher vx = 3b.

Die Gleichungen (58) und (59) lassen jetzt mit Hilfe des Werts vt auch den kritischen Druck

a

Pl = 27b*

und die kritische Temperatur

8a

27b R

T,=

ermitteln.

Machen wir die kritischen Werte zur Einheit, d. h. setzen wir

P nV\ 27 b'2 n'

T = tT₁ =

8a

27b Hr’

so verwandelt sich die Zustandsgleichung in

(⁷¹ + ^2) (3® — 1) — 8*.

Es haben alle Körper dieselben Isothermen, wenn wir als Masseinheiten des Drucks, des Volumens und der Temperatur deren kritische Werte nehmen.

§ 55. Spannungs- und Ausdehnungskoeffizient.

Pv = Poyo(l + “t)> so wird bei konstantem Volumen v₀

Schreiben wir das Boyle-Charles’sche Gesetz in der Form

P = Po(¹+«t).

und wir nennen « den Spannungskoeffizienten.

vernachlässigt werden und wir erhalten а p = «.

Роу2

Der Umstand, dass für Wasserstofïgas a verschwindend klein ist, macht dieses Gas geeignet zur Bestimmung des idealen Spannungskoeffizienten a.

10

Spaimimgs- und Ausdehnungskoeffizient.

145

Lassen wir hingegen den Druck konstant, so heisst analog in der Gleichung

v = v₀ (1+ at)

a der Ausdehnungskoeffizient. Für ideale Gase sind somit diese beiden Koeffizienten identisch, nicht aber für wirkliche Gase.

Wir

wollen daher den Spannungskoeffizienten mit ap

P-Po

Pot ’

V — V

den Ausdehnungskoeffizienten mit « v = ——^ 0 zeichnen. Nach Gleichung (58) ist

be-

(P + ^)(v-b) = RT = RI(l + «t),

wenn wir К =273 К setzen. Gleicherweise ist

(Po + уг) (v — b)=R

1*

Subtrahieren wir beide Gleichungen voneinander, so

daher

(p — Po) (v — b) = R, <* t = (p₀ + -,■) (v — b) « t, P — P*

ap =

= (14

) a-

1\У

Für ein bestimmtes Volumen ist also der Spannungskoeffizient eine konstante Grosse, doch ist er immer grösser als sein idealer Wert. Erst wenn das Volumen v gross wird, kann

P₀t

Jäger, Theoretische Physik II.

Nicht so einfach wie der Spannungskoeffizient lässt sich der Ausdehnungskoeffizient «v finden. Wir müssten zu diesem Zweck v und v₀ aus Gleichungen vom 3. Grad bestimmen und würden so zu sehr komplizierten, unübersichtlichen Ausdrücken kommen. Für bestimmte Grenzen der Temperatur und des Drucks lassen sich jedoch Vereinfachungen einführen, so dass die Ausdrücke handlicher werden. Für Wasserstoff z. B. wird, da a = 0 gesetzt werden kann

vo

mithin av<C£p* Bei anderen Gasen findet das Gegenteil statt.

§ 56. Spezifische Wärme.

c²

Die in einem Gas enthaltene Wärmemenge ist die gesamte kinetische Energie der Molekeln. Wir betrachten die Masseneinheit des Gases, für welche um = 1 ist. Sonach wird nach Gleichung (56)

rv=3

und die im Gas enthaltene kinetische Energie c 3

Y⁼Tpv-

Bekanntlich ist

°²o

°² —°²o (1+a t),

daher

I— die Zunahme der gesamten Energie des

Gases bei einer Temperaturerhöhung um 1° C. Lassen wir dabei keine Volumsänderung ein treten, so ist

c²o«a

У⁼~2

die spezifische Wärme bei konstantem Volumen, wenn A das kalorische Aequivalent der Arbeit ist. Bei konstantem Druck gilt für das Gas v= v₀(l +«t).

Die Zunahme für einen Grad ist v₀ a, wobei die äussere Arbeit p v₀ « zu leisten ist. Das entspricht der Wärmemenge A p v₀ a. Um diesen Wert ist also die spezifische Wärme bei konstantem Druck T grösser als jene bei konstantem Volumen. Es ist somit

Ae> i A —2--f A p v₀ a

& д c2o

3 A“ 2

Г ==

Ac\a Ac‘²₀« _

und

In Wirklichkeit ist aber nur für wenig Gase, den sogenannten einatomigen, wie z. B. für den Quecksilberdampf das Verhältnis der spezifischen

5

Wärmen -r-. Das rührt davon her, dass wir bei den о

meisten Gasen die Molekeln nicht als Kugeln von vollkommen glatter Oberfläche auffassen dürfen, sondern als kompliziertere Gebilde. Demzufolge besitzen sie nicht nur eine fortschreitende Bewegung, sondern auch eine drehende, sowie eine innere Bewegung, wie z. B. Schwingungen der die Molekeln bildenden Atome. Wir haben daher einen Unterschied zwischen der Gesamtenergie H und der Energie der fortschreitenden Bewegung К der Molekeln zu machen. Für die Masseneinheit des Gases ist

к-

о²

с о

Аа f

hingegen

со²

wobei к von jenem Teil der Energie herrührt, der nicht in der fortschreitenden Bewegung liegt. Ferner ist

5 A a ca₀

₂-°+k-

r = y + Apv₍₎o=3 Aus diesen Gleichungen findet man leicht

Bi*

Г    2

7⁼¹+-8-

Ueberlegen wir, dass muss, so folgt

WB

zwischen Null und Eins liegen

1 <-----<

was sich ausnahmslos in der Erfahrung bestätigt.

§ 57. Stosszalil uml mittlere Wegläiige der Molekeln.

Wir betrachten die Molekeln als kleine Kugeln vom Durchmesser o. Alle sind nach den verschiedensten Bichtungen des Baums in geradliniger Bewegung begriffen. Es muss sich folglich ereignen, dass eine Molekel mit anderen zusammenstösst. Die Zahl der Zusammenstösse, welche eine Molekel in der Sekunde erfährt, wollen wir berechnen. Wir denken uns zu dem Zweck erst alle Molekeln in Buhe bis auf eine, welche sich mit der Geschwindigkeit c bewegt. Stösst sie mit einer anderen zusammen, so ist die Entfernung der Mittelpunkte beider gleich dem

Durchmesser a einer Molekel. Wir werden also denselben Effekt erreichen, wenn wir uns die ruhende Molekel als Punkt, hingegen die sich bewegende als eine Kugel vom Radius о denken. Eine solche Kugel hinterlässt als Spur einen Cylinder vom Querschnitt n o’² und der Länge c per Sekunde. In der Sekunde fegt unsere Kugel also einen Raum я^с ah. In diesem Raum befinden sich N tz а² c Gasmolekeln, falls N die Zahl der Molekeln in der Volumeinheit ist.

Fig. 46. (zu §57.)

Z = N*<r*c

ist daher die Zahl der Zusammenstösse, welche die wandernde Molekel erfährt.

Dieselbe Betrachtungsweise können wir für den Fall festhalten, dass alle Molekeln in Bewegung sind, nur haben wir dann anstatt c die mittlere relative Geschwindigkeit r einzusetzen, welche eine Molekel gegenüber den andern hat. Bilden die Bewegungsrichtungen zweier Molekeln den Winkel #

г² = c² -f с² — 2 с² cos # = 2 с² (1 — cos &).

(Fig. 46), so ist die relative Geschwindigkeit г gegeben durch

Die Zahl sämtlicher Geschwindigkeiten sei N. Sie verteilen sich gleichmässig nach allen Nichtungen des Naums. Wir können sie uns zum Zweck der Nechnung als Nadien einer Kugel vorstellen, welche gleichmässig verteilt die Kugeloberfläche treffen. Auf die Flächen-

einheit der Kugel gehen demnach    solcher Na

dien. Auf einer Kugelzone 2 n c² sin # d & liegen die Geschwindigkeiten, welche mit der Kichtung OA den Winkel & einschliessen. Ihre Zahl ist

2 N c² sin # d # N .

---ö-= —sm vdi>

4 л c²    2

und ihre Gesamtsumme

-g- sin # d # у 2 с² (1 — cos &) = c N sin # d # j/^

ft - & 2"d Г

Л    л

|-di» = 4cNsms|-

cos

= c N sin # sin

Bilden wir nun durch Integration die Summe über die ganze Kugelfläche und dividieren wir durch die Gesamtzahl N der Geschwindigkeiten, so erhalten wir die mittlere relative Geschwindigkeit. Diese ist somit

TO

r = 4 c J sin2 о

toi $3

cos

toi *>

Es ist demnach die Zahl der Zusammenstösse einer Molekel in der Sekunde

n a² c.

z=fN

Dividieren wir den Weg c, welchen die Molekel in der Sekunde zurücklegt, durch die Zahl der Zusammenstösse, so erhalten wir die mittlere Weglänge, d. i. den Weg, welchen die Molekel im Durchschnitt zwischen zwei Zusannnenstössen zurücklegt,

4 N л; a² *

§ 58. Innere Reibung.

Bewegen sich zwei einander berührende parallele Gasschichten mit verschiedener Geschwindigkeit, so übt die schnellere auf die langsamere eine Beschleunigung, diese auf jene eine Verzögerung aus. Es wird somit Bewegungsgrösse von der schnelleren an die langsamere Schichte abgegeben, u. z. wird durch die Flächeneinheit der Schichte die Bewegungsgrösse

(60)

ß=—

’'di

per Sekunde getragen. Das heisst, R ist die Kraft, welche die schnellere Schichte auf die Flächeneinheit der langsameren ausübt. Wir bezeichnen diese Kraft mit dem Kamen „innere Reibung“ (SieheBd.I.§64).

du

7j nennen wir den Reibungskoeffizienten, ist

das Geschwindigkeitsgefälle senkrecht zur Bewegungsrichtung der Gasschichte. Verstehen wir unter z die Ordinate eines recht winkeligen Koordinatensystems, so bewegen sich die Schichten parallel zur xy-Ebene. Den Vorgang der inneren Reibung der Gase nach der kinetischen Theorie zu erklären läuft also darauf hinaus,

die Möglichkeit des Transports von Bewegungs-grosse parallel zur z - Achse nachzuweisen.

Die Bewegungsrichtung der Gasschichten sei parallel zur x-Achse. In der Volumeinheit des Gases seien n

Molekeln von der Geschwindigkeit parallel zur x-Achse und £ parallel zur z-Achse. Durch die Flächeneinheit der xy-Ebene wird sonach in der Sekunde die Bewegungsgrösse

E = 2 n m £' £

getragen, wobei sich die Summe über alle möglichen Werte von £' und £ erstreckt. Die Molekeln, welche die X y - Ebene mit der Geschwindigkeit £ passieren, kommen aus verschiedenen Schichten. Die aus der Tiefe — z stammen, haben die Geschwindigkeit

diz>

f' = l + u

wobei sich | auf die Wärmebewegung, u — z auf

die Bewegung der Schichte als Ganzes bezieht. Es ist somit u die Geschwindigkeit der Schichte in der xy-Ebene. Für die Eeibung haben wir also

du

z £•

<rrr

E = 2 n m

Die Summen 2 n m | £ und 2 n m u £ verschwinden wegen der gleich grossen Anzahl positiver und negativer | und £. Es bleibt also nur

d^nmfz,

wobei wir ^-^als konstant ansehen. Ist der Weg, welchen die Molekel nach ihrem letzten Zusammenstoss in m

(Fig. 47) bis zum Passieren der xy-Ebene zurücklegt, r, so besteht die Proportion

? : c = z :

daher

'' Г

Z    c

da wir die Tiefe negativ zählen müssen, können wir schreiben

Darnach

1 du

ß = _7 aï*nmff r-

771

Fig, 47. (zu§58.)

Der Mittelwert von r ist aber für alle f eine konstante Grösse und zwar gleich der mittleren Weglänge Я₎ weshalb

R = —

du c dz

gesetzt werden kann. Nun ist

2 n m f:2 = p

gleich dem Druck des Gases, so dass wir leicht nach Gleichung (60) für die Grösse des Reibung ko efficient en

^nmf²

s-

p Л Ninci

’? = — = —Г~

erhalten, wenn wir den Wert von p aus Gleichung (55) benützen.

Führen wir in Gleichung (61) den Wert der mittleren Weglänge

4 N тс а²

ein, so ergibt dies

Die rechte Seite dieser Gleichung ist frei von der Zahl der Molekeln in der Volumeinheit, d. h. die innere

Reibung eines Gases ist von dessen Dichte oder, was dasselbe ist, vom Druck unabhängig. Dieses überraschende von Maxwell gefundene Resultat bestätigt sich thatsächlich innerhalb sehr grosser Druckgrenzen.

Aber noch einen anderen merkwürdigen Aufschluss gewährt uns die Theorie der inneren Reibung. Wir wissen, dass Nm = () die Dichte des Gases ist, somit finden wir nach Gleichung (61)

3 rj

я = —.

(>c

Die Geschwindigkeit der Molekeln ist uns bereits bekannt (§ 52), der Reibungskoeffizient und die Dichte sind experimentell bestimmbare Grössen. Wir können somit den Zahlenwert der mittleren Weglänge

angeben und damit auch die Stosszahl einer Molekel. So finden wir für

Stosszahl

Weglänge

Wasserstoff 0 0000 1855 cm 9480 Millionen.

Sauerstoff

Stickstoff*

Kohlensäure

1059 „    4065

4735

5510

Es beziehen sich diese Zahlen auf den Druck einer Atmosphäre und die Temperatur 0° C.

§ 59. Wärmeleitung.

Haben wir parallel zur z-Achse eines rechtwinkeligen

Koordinatensystems ein Temperaturgefälle    so

fliesst beständig von oben nach unten Wärme durch die X y-Ebene. Für die Flächen- und Zeiteinheit ist diese W ärmemenge

dT

k dz’

wenn wir к die Wärmeleitungsfähigkeit nennen. Nach unserer Auffassung ist nun W nichts anderes als eine Energiemenge, welche von oben nach unten getragen wird, und wir können deren Grösse genau so finden, wie den Wert der transportierten Bewegungsgrösse im vorhergehenden Paragraphen. Es trägt jede passierende Molekel durch die x y-Ebene die Wärmemenge

/ dT \

m у ( T₀ -f- zj, indem m die Masse einer Molekel, у die

dT

spezifische Wärme bei konstanten Volumen und z die Höhe jener Schichte bedeutet, aus welcher die Molekel kommt. Dabei haben wir vorausgesetzt dass die Temperatur

T = T° + diz sei. T₀ ist also die Temperatur in der x y-Ebene. Wir brauchen somit in den Formeln für die innere Beibung nur m durch m у und u durch T zu ersetzen und haben unmittelbar die Formel für die Wärmeleitung

q с А у

к = V У»

Es bestellt demnach zwischen dem Reibungskoeffizienten und der Wärmeleitungsfähigkeit die enge Beziehung

Ferner folgt, dass auch die Wärmeleitungsfähig-keit vom Druck des Gases unabhängig ist, und schliesslich haben wir auch in der Wärmeleitung ein Mittel den Zahlenwert der mittleren Weglänge kennen zu lernen.

§ 60. Grösse der Molekeln.

Komprimieren wir ein Gas durch sehr grosse Druckkräfte auf das kleinste mögliche Volumen, so können wir annehmen, dass die Molekeln den Raum V der ihnen zur Verfügung steht, völlig mit Materie ausfüllen. Ist das ursprüngliche Volumen Eins, die darin

3

enthaltene Molekelzahl N, so wird, da — N я a³ das achtfache Molekularvolumen ist

T N я а³.

О

Diese Gleichung erlaubt mit Hilfe des Werts der mittleren Weglänge

:>

Л 4N* о²’

den Durchmesser einer Molekel <r = 8 Y Л

zu finden. Dieses überraschende Resultat verdanken wir L о Schmidt. Er fand auf diesem Weg für

44.10“ ⁹ cm

Wasser Kohlensäure 114

$lefdjl)ÏOêT £ragobîcn. 2)eutfdje 3lad)bichtung bon £) S to a I b ЗЯ a r b a d). 8e. ЗЯ. 5.—. ©eb. ЗЯ. 6.—.

SBeruatjS, ШфаеГ, 6d)rifteu sur Slrittî unb SitteraturgefĄiĄte.

2 Sänbe. ©г. 8*. à ЗЯ. 9.—. ^it feinem ßtebhbb. à ЗЯ. 10.20.

3 Sbc.

23et)Cr, ^rof. Фг. <£., $>eutfd)e    Sljeoretifc^ratt. ^anbbncb

ber beutfdben 2)idE|tïunft. 3iad) ben Wnforberungen ber ©egenhmrt.

2. 9lnfl. ©r; 8o. ЗЯ. 15.—. ©eb. ЗЯ. 19.—.

—    £>ie £ed)uif ber £>id)tfunft. Anleitung gu Sers* unb ©trophenbau unb gur Ueberfe^uugSïunft. 2. 9IufI. ©r. 8°. ЗЯ. 3.—. ©eb. ЗЯ. 4.50.

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©djönaid) = (Saroliitlj, хщ (£mU non, $tdjtnngen. 4. ад.

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©ев. ал. 6.-.

©tanffer = SBent. ©ein fieben, feine ^Briefe f feine ©cbidjte.

SDargeftettt bon Otto brapm. Oftab. ЗЛ. 4.50. ©eB. ЗЛ. 6.—. $ifdjer=<$dnnernngen. STeuperungeu unb SSorte bon She grapan. ©in Beitrag ^ur biographie Sr. £1). bifcperê. 2. Slufl. 1889. SDÎit biffer» borträt in IHcptbrucf. Oftab. ая. 3.-. ©eB. ЭЛ. 4.—.

Siegler, *ßrofeffor Фг. Ф^еоЬ., $>ie grngcn ber ©djnhefornt.

gioölf borlefungen. 1891. Oftab. ЗЛ. 2.50.

—    $>ie foliale §rage eine fittlidje grage. 5. ад. 1895. oftab ал. 2.50. ©ев. ал. з.-.

—    ФпЗ ©ef©ine pfpcpol. Unterfucpung. 2. aiufl. 1893. ©r. Oftab. ал. 4.20. ©ев. ал 5.20.

—    s#otmenbigfeit nnb SBereĄtignng ЬеЗ 9ïedgt)mnafinmê.

bortrag, gepalten in ber SDelegiertenberfammtung b. alïgem. btfcp. ÎHeaU fcpurntannerbereinê 5U berlin am 28. аЯага 1894. ©r. Oftab. ЗЯ. —.50.

—    griebrid) ЭДепЬог $ifdjer. bortrag, gepalten im herein f. taft и. SSiffenfcpaft £u Hamburg. 1893. ©r. Oftab. ая. 1.20.

—    Фег bentfdje ©tnbent am ($nbe be£ 19* ^fjrïjnnbertê.

borlefungen, gepalten im hJinterfcmefter 1894/95 an ber tafer=2BirpeIm§* Uniberfität 51t ©trapburg. 6. Slufl. 1897. Oftab. tat. ЗЛ. 3.50.

gatnmfung (Bôfdjen. SÄS

80 pf.

*    © J. ©1пфепЧфе Dcrlags^anblung, Ceijtfig.

\оз lüccbjclfimbc ecorj tSuiit.

ОШ Dielen Formularen.

m <Defterrei4>. ©е{ф!ф1е I.

Don b‘V Urjeit bis |526 oon prof. Dr. £гаиз V. Äroncö.

^озФейет @e^фiфte II

Don |5ZÓ bte зиг ©egemuart do.. piof. Dr. ^гапз b. Kvones.

Ш©е(ф1ф1еЬ. îïïalewY.

von prof. i)r. XU&. mutier.

ООП prof. Dr.

IP. Koppen.

poti ©berühret

Kob. Steril.

^бЗогШтМфаи

prof. Dr. Kb. §фшарраф.

107 (Befd}i<pte b. tlïalerei I.

»on prof. Dr. Ki$. illutber

i os @efфiфte b. malerei II.

Don prof. Dr. Х;ф ШЗДе*.

109 ФеЁфгф1е b.ttlalereilll

pon prof. Dr. Xufc. mutter.

ООП

m&littwlehre цбКиф^гипд

ЦбР1йЩ{ oonDr.'bansetegmann.

{\7 ©шеф^феФгаптаШ

' ’ Formenlehre Don prof. Dr. ТЬап» Oldfcci?.

U9ÄgenfunbeDr®Ä.

И2о1»атоте1фге

Don rnuftf* bireftor К. IbûlOT. Ши Dielen Złote nbetfpielen.

<БеГф1ф1е ber alten u.

цо@еГф1ф1еЬ.Ша1егеНУ.

Don prof. Dr. Kufc mutl?er.

тШекШегИфеи Ulufit oon Dr. X. Hiobie*. ШП 3at|ir. Kbbilbungen urb ITlufifbetlagen.

Urteile ber greffe über „Sammlung (Щфеи".

9?ad) ben Bot»

3)eutfd)e Sebrerjeitg., SBerliit:    _

lieqenbew SBSnbcften ftefren roir nicht an, bie даще Sammlung aufg änqeleqentlichfte nicht allein sunt (ЙеЬгаиф in Oberen Schulen, fonbern audi aut 6el6ftbetefrrang ąu empfehlen. ~

g; а t и r :    ift gerabeju erftaunlich, rote t§ ber rühmlichft betami te

SSertaq ermögtict)t, für fo enorm billige greife fo oorjüglid) nuis» aeftattete 28ertd)cu *u liefern. ®ad Borliegenbe ЭЗапЬфеп bringt in fnatroer unb BerftdnbliĄer gorm bad SBiffenêroertefte ber SHineralogic îum Üluêbrud. баиЬеге Slbbtlbungen erleichtern bad Serftdnbnid.

Siationaljeitg.: ®d ift bid jeçt in ber beutftben Sitterotur ittobl nurt) nirf)t bageroefen, bafi ein Seinroanbbanb Bon foft 300 ©eiten in Borjüglidjer ®rucf» unb Sßapieraudftattmtg 31t einem $reid ju tjobeit mar, roie ihn bie „(Sammlung ©öidjeti" in ihrem neuejten SBanbe, 3Äaj ftodfa 05cid)id)tc Der bcutfdjen Sitteratur für bert betrag ton fage ari)t,yg Pfennige ber beutfehen Sefermelt bietet.

Vraft. S d) u Ï m a n n : ©in 9Xlcifterftücf für seit ttttb bünbigen, ltnb borf) finrctt imb ttielfngenben 2lu3brntf3 mie bie „ФеиНфе SitteraturgefĄiĄte" ton fßrof. ЗЯ. ftodj ift аиф bie tortfegenbef,2>eittfdje (Mâjtajte im Viittelalter"*

sJc' a t it r : Su ber El)ernte ton Dr. ftlein empfangt ber Schüler faft mehr, mie er a(3 Anfänger bebarf, minbeften3 ober fo tiel, baff er ЬаЗ 35iffeti$mürbijgfte al3 unentbehrliche ©runblage junt SSerftônbniffc ber ©l)nitie empfängt. . .

ft и n ft f. 21И e (Шпфеп): ft. ft i mm iĄ behonbelt in feinem $Bänbd)cn, „3 e i ch e n f ф uleM benannt, in fnapper, ferniger, fachlich* Siclbcnnißtcr Jornt ЬаЗ mette ©ebiet ЬеЗ bilbmäfjigett 3eid)nen3 unb galette. . . ©leid) nufcbringenb unb in reichftem ЭДабе bilbenb für Öehrer, Schüler unb Siebhaberlünftler, möchte ich ЬаЗ wirflidj tor^üglidje 2öcrf mit marmen onerfennenben SBorten ber ®in-führung in Schule, §au3 unb SSerfffott zugänglich machen. $ie ЯиЗ-ftattimg ift habet eine fo oomehme, ba& mir ber Vrei3 ton 80 Pfennigen für ЬаЗ gebunbene Söerf ton 138 Set ten H. 8° mirflich lächerlich billig erfebemt. Mid)t meniger al3 17 tafeln in $on-, färben- unb ©olbbruef, fomie 135 Voll- unb $ejtbilbet iHuftrieren ben angerft gefnube» Sehr* gang Meier 3eid)eu{d)ule in fctufühlenber Vßetfe.

Schm ab. hierfür: Vrof. ©. Zahler in Ulm legt un3 eine Sarftellintg ber ebenen (Geometrie tor, bie bi3 zur 2lu3meffmtg ЬеЗ ftrcifc3 etnfdüicfjlid) geht. Vefonbere Sorgfalt ift ber 2lu3mahl unb ?(norbitung ber giguren zu teil geraorben, beren faubere 2lu$führung in 2 Farben angenehm berührt.

© l o b и 3 : фосгпеЗ, Urgcfdjichte. Фег bemährte Sorfcher auf »or-gcfd]id)tlid)cm Gebiete giebt hier in fnappfter gorm bie lehrreiche gu* fammenftettung ЬеЗ 2öiffen3merteften ber Urgejd)ichte. Vortrefflich geeignet zur Einführung unb zunt Ueberblict.

Sahr e§berichte ber ®efchicht3miffenf chaft: Rommel, auf bent ©ebiet ber altorientalifchen ©efd)ichte eine anerfannte 2lutorttät, behanbelt in tiefem Vanbdjen bie morgenlänbifche ©efd)id)te mit großer ©enauigfeit unb miffenfchaftlicher ©rünblichfeit in fnappfter gorm. ФаЗ fleme Vücblein muh roarm empfohlen merben.

Spzgr. Stg. (SBtffenfdj.Seti.): „ШPflanze" ton Dr.E-Bennert föttncit mir beften3 empfehlen. Sn fünfter, tnappefter, fehr Hörer unb tcritnuMtd)er gorm roetfe fein Verfaffer айеЗ VHffeusmertefte über ben inneren unb äußeren Vau unb über bie Seben$terrid)tuncjen ber Vflanze Zur 2lufd)amtng zu bringen, mozu feine ganz tortrefflichen, felbftgc* Zeidjitcteu îcçtabbilbungen aufjerorbeutlid) tiel beitragen helfen.

2£eimarfd)e 3e11g.: $ШаШ)агШеЬ. 90Ш btefer Ueberfefcung mirb utt3 eine hocbroillfommene unb ton Sitteraturfreunben längft er-fehnte Eabe geboten. . . . Von einer guten Ueberfefcung ift z» »erlangen, baü fte, ftttn* unb zugleich niöglid)ft mortgetreu, ohne bem Urtext, mie ber beutfetjen Sprad;e Eeraalt aitzuthun, ben ©eift be3 Ongtnal3 flor unb ungetrübt mieberfpiegele. Bieter Serberung geregt p werben, 4at 2Utt)ot tu meifterhafter 3ä3cifc ocrftanben.

Blätter f. b. bapr. ©ьтп.^фи1го.: Smoboba, ©Неф. ©e« {Ąidjte. Schon ber 9tame unb ber 9tuf bei ^Serfaffer^ bürgt bafür, bag mir nid)t etroa blog eine trodene Kompilation öor uni haben, überall geigen рф bie ©puren felbjtünbiger Arbeit.

fßraft. S фи 1 mann: ©epfert, ©d)ulpra£t3. El rotrb tu ge* bräugter $>arftellung ein reifer, tnol)lburd)bad)terf ben neueften päbagogtfdjen Seftrebungen geregt merbenbcr    geboten unb

für ben, ber tiefer einbringen mill, ift geforgt Ьигф reichhaltige ßitteratur-пафгаеНе.

Seitfchr. f. b. StealfĄulm.: El mar etn glüdltther ©ebanfe ber rührigen SSerlaglhanblung, bie Mbfaffitng bei ber Einführung in bte 51rMjmetif unb Algebra bienenben ЗЗапЬфеи! ihrer „Sammlung" bem hodigeachteten 5аф- unb 6фи1шаппе fßiof. Dr. ©djubert p über* tragen .... Фег SBerfafjer mugte bie 6фш1еггд!ейеп mit grogem ©efd)id p bemältigen, inbem ет Ьигф einen ftreng fpftematifthen 9lnf* bau bei arithmetischen öthrgebaubel ber gaffunglfraft bel fSnfangerl möglkhft Meinung trug unb babei nur bal $auptfüd)lid)e inl 'Лиде fagte. — Jormelfammlung unb tfiepetitorium ber ЯНафетаМ non *£rof. öürflen .... Фк Ьигф reinen Фгud unb gefфmadtюlle $lueftattitng йф аи^егфпепЬе „Sormclfammlung" mirb infolge ihrel тфсл niclfeitigen ₄>nhaDeó, ihrer pcrfentfp^cnben ЗДпогЬпипд unb oricuticrcnbcn ©lieberung all 'Йаф|ф1адеЬий) оогрдИфе *5)ienfte leiften.

©ren^boten: Фа1 Jrembmort im Феи1{феп non Dr. fńub. Kleinpaul. Ein lehrreiche^ Ййф1еш, bal in feinen engen ÎBünben .... eine Sülle non ©pradjbelchrung bietet, bie {eben feffeln mug, ber nur einigermagen bal 'Eebürfnil fühlt, ИФ über ёргафЫпде 'Äufffärung p Oerfchaffen. Фег ^erfaffer hat ftch 1Фоп Ьигф рр1тфе ооШйтйфе Шфег über bie Sprache unb ihr lieben befaitnt gemacht, er hat eine aulgebreitete, йфеге ftenntnil ber ©ргаф«» unb 28оНде{ф^1е, hat mit 91uibauer auf biefem ©ebtete gefammelt unb meig feinen Stoff immer де|фШ p gruppieren unb oorptragen. . . .

Staat lan*eiger: Фге Üiomifdje ßitteratnrgefihid|te ift eine geiftoolle glänpnbe Arbeit. Einjenber hat biefelbe oon Anfang bil Eitbe mit grögtem ©enug ЬигфдеИеп unb babei 2lrt unb Eittroidlung bei römifchen Sфriftft^ml unb bamit bei г0т!|феп ©eifteélebenl überhaupt beffer unb grünblüher oerftehen gelernt, all Ьигф тапфе! Diel-ftünbige Unioerfttätlfolleg ober bttfleibige йаиЬЬйфег.

9)Жеого1одНфе 3e'tfd)rift: Xrabert hat in ber mieten-rnlogie feine fdjmierige Aufgabe Dortrefflict) gelöft. 3n allen fragen üertritt er ben neueften unb lebten itanbpuuft.

©фте^егмфе 8ehrer^eitung: 2öer bie fßerjpeftioe Don Srel?berger unb baé ©comctrifdje Зе^пС11 bon ^3eder ЬигфдеЬ1, mirb feine Sreube baran haben. So Diel für fo menig ©elb mirb mohl faum anberêmo geboten. &ie SHaft^attonen finb fauber unb epft. Фег ift fnapp unb flar unb аиф ba, то er mehr an* beutet all aulführt, anregenb. _

—вГЗГвоГсбеп’Г^е (PerfagoßaniPung, Êttpgtg.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

1-301451

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298035

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