WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Von

Pro£ Dr. Franz Hack

Mit 15 Figuren f/m

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Biblioteka Politechniki Krakowskie/

100000297995

Mathematische Bibliothek

aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschichte der Mathematik vor Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr.    226.

Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert. Nr. 47. Beiepieisammlung zur Arithmetik und Algebra von

Professor Dr. Hermann Schubert.    Nr. 48.

Algebraische Kurven von Eugen Beutel, Oberreallehrer in Vaihingen-Enz. I. Kurvendiskussion. Mit 57 Figuren im Text.

Nr. 435.

--II: Theorie und Kurven dritter und vierter Ordnung. Mit

52 Fig. im Text.    Nr.    436.

Determinanten von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groß-Lichterfelde.    Nr.    402.

Dr. Rob. Haußner.

Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. v. Prof. O. Mahler. Nr. 41. Darstellende Geometrie I mit 110 Figuren von Professor

--II. Mit 40 Figuren.

Nr. 142. Nr. 143.

Ebene und ephfirisohe Trigonometrie mit 70 Figuren von Prof. Dr. Gerhard Hessenberg.    Nr. 99.

Nr. 97.

Stereometrie mit 66 Figuren von Dr. Glaser.

Niedere Analysis m. 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer. Nr. 53.

Vierstellige Logarithmen von Prof. Dr. Hermann Schubert. In zweifarbigem Druck.    Nr. 81.

Fünfstellige Logarithmen von Prof. Aug. Adler, Direktor der k. k. Staatsoberrealschule in Wien.    Nr. 423.

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 65.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor O. Th. Bürklen. Nr. 256.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 8 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.    Nr. 309.

Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 87.

Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 146.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Fig. von Professor Dr. К. Doehlemann.    Nr. 72.

Wendenl

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium

der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. O.Th. Bürklen. Nr. 51. Versloherungsmathematlk v. Prof. Dr. Alfred Loewy. Nr. 180. Auegleiohungsreohnung nach der Methode der kleinsten Quadrate m. 15Fig.u.2Taf.v.Prof.Wilh.Weitbrecht. Nr.302. Vektoranalysis mit 11 Figuren von Privatdoz. Dr. Siegfr.Valentiner.

Nr. 354.

Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Professor Dr. Siegm. Günther.    Nr. 92.

Astronomie mit 36 Abbildungen und einer Karte von Professor Dr. Walter F. Wislicenus, neubearbeitet von Prof. Dr. Herrn. Kobold. Bd. 1.    Nr. 11.

--Bd. II. Mit Abbildungen.    Nr. 529.

Astrophysik mit 15 Abbildungen von Prof. Dr. Walter F. Wislicenus, neubearbeitet von Dr. H. Ludendorff.    Nr. 91.

Vermessungskunde von Oberlehrer Dipl.-Ing. P. Werkmeister.

2 Bändchen mit 255 Abbildungen.    Nr. 468, 469.

Nautik. Kurzer Abriß des täglich an Bord von Handelsschiffen ange-wandt.Teils d. Schiffahrtskunde m.56 Abb.v.Dr.Franz Schulze. Nr.84. Geometrieohes Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.    Nr. 58.

Sammlung Göschen

W ahrscheinlichkeits-rechnung

§ 8. Das Teilungsproblem; Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeits- und Differenzenrechnung.

§ 14. Das Wahrscheinlichkeitsintegral.

V/V

[ab]Ç+[bb]v + ... .+ [«]-<>.

§ 34. Wahrscheinliche und mittlere Lebensdauer, Wahrscheinlichkeiten für verbundene Leben.

IBibllotfyef bet 3n9cmeun»lffenfd)aften.

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W ahrscheinlichkeits-rechnung

Von

Dr. Franz Hack

Professor am Eberhard-Ludwigs-Gymnasium in Stuttgart

Mit 15 Figuren im Text

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Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1911

Kô 5 <3.2-1

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

Druck der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig.

Akc. Hr. _

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Inhalt.

Seite

I. Abschnitt. Di© Grundlehrcn.

§ 1. Die mathematische Wahrscheinlichkeit und deren unmittelbare Bestimmung; Gegensatz zwischen Wahrscheinlichkeit a priori und a posteriori . .    7

§ 2. Уollständige und zusammengesetzte Wahrscheinlich-keit; Wahrscheinlichkeit bei Wiederholung von Versuchen ...................

§ 3. Relative Wahrscheinlichkeit; Abhängigkeit von Ereignissen ..................

§ 4. Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs: unendliche Anzahl der Fälle..........

§ 5. Mathematischer Erwartungswert, mathematisches Risiko...................

II. Abschnitt. Anwendung der Grundlehren auf spezielle Probleme.

§ 6. Aufgaben zur Erläuterung der Grund formein . .    22

§ 7. Das „Jeu du Treize¹¹ und das Rencontrespiel; das Problem von Moi vre § 8. Das Teilungsproblem; Zusammenhang zwischen

Wahrscheinlichkeits- und Differenzenrechnung . .    30

§ 9. Das Problem der Spieldauer und seine Lösung durch eine Differenzengleichung § 10. Das Petersburger Problem, der moralische Erwartungswert ..............

§ 11. Geometrische Wahrscheinlichkeit; das Nadelproblem und andere Beispiele

10

13

18

26

34

37

Seite

III. Abschnitt. Das Gesetz der großen Zahlen.

§ 12. Die Stirlingsche Formel für n

46

oo

§13. fe~x2dx und verwandte Integrale о

49

§14. Das Wahrscheinlichkeitsintegral § 15. Das Theorem von Bernoulli §16. Folgerungen aus dem Theorem von Bernoulli, das Gesetz der großen Zahlen ........

. 52 . 55

59

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeit auf Grund der Erfahrung.

§ 17. Wahrscheinlichkeit der Ursachen; Beispiele hierzu 63 § 18. Stetig veränderliche Ursachen § 19. Das Theorem von Bayes § 20. Wahrscheinlichkeit zukünftiger Ereignisse ...    72

§21. Empirische Wahrscheinlichkeitsbestimmung ...    74

67

69

V. Abschnitt. Theorie der Beobachtungsfehler.

§ 22. Einteilung der Beobachtungsfehler; wahre und

scheinbare Beobachtungsfehler ........

§ 23. Das Fehlergesetz auf Grund des arithmetischen

Mittels (Gauß)...............

§ 24. Hilfssätze über bestimmte Integrale......

§ 25. Die Begründung des Fehlergesetzes durch Bessel 85 § 26. Genauigkeitsmaß; wahrscheinlicher, durchschnittlicher und mittlerer Fehler..........

§ 27. Genauigkeit einer Beobachtungsreihe; theoretische

und wirkliche Fehlerzahl...........

§ 28. Die Hauptaufgaben der Methode der kleinsten

Quadrate..................

§ 29. Fehlerverteilung in der Ebene........

77

79

83

87

90

93

Seite

VI. Abschnitt. Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik.

§ 30. Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.............

31.    Die Dispersionstheorie von Lexis ......

32.    Die Konstruktion der Sterblichkeitstafeln . . . 107

33.    Ausgleichung und endgültige Gestalt der Sterblichkeitstafeln

105

WÜ00ÛO5

105

111

§ 34. Wahrscheinliche und mittlere Lebensdauer, Wahrscheinlichkeiten für verbundene Leben . .

. . 116

Anhang. Zahlentafeln.

I. Werte von 0(y)

-rJ

0

dt

121

II. Sterblichkeitstafel

122

Literatur.

A. Wahrscheinlichkeitsrechnung überhaupt.

J. Bertrand, Calcul des probabilités. Paris 1888.

H. Bruns, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre Leipzig 1906.

E. Czub er, Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. 2. Auflage, 2 Bände. Band L Leipzig 1908.

N. Herz, Wahrscheinlichkeits-und Ausgleichungsrechnung. Sammlung Schubert. Leipzig 1900.

H. Poincaré, Calcul des probabilités. Paris 1896.

В. Ausgleichungsrechnung.

E.    Czub er, Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig 1891.

F.    Helmert, Die Ausgleichung-^rechnung nach der Methode der

kleinsten Quadrate. 2. Auflage. Leipzig 1907.

C. Statistik und Versicherungswesen. E.Blaschke,V orlesungen über mathematische Statistik. Leipzig 1906. C. L a n d r é, Mathematisch-Technische Kapitel zur Lebensversicherung. 3. Auflage. Jena 1905.

Über das ganze Gebiet und dessen Literatur siehe ferner die einschlägigen (nicht für den Anfänger bestimmten) Artikel der: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. I. Band 2. Teil. D. 1, 2, 4 a, 4 b. Leipzig 1900—1904.

Die in dem vorliegenden Band der Sammlung Göschen als bekannt vorausgesetzten Ergebnisse der algebraischen Analysis und Infinitesimalrechnung finden sich fast ausnahmslos in den Bänden 53, 87 und 88; die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate ist in Band 302, die Versieh erungsmathematik in Band 180 eingehend behandelt.

I. Abschnitt,

Die Grundlehren.

§ 1. Die mathematische Wahrscheinlichkeit und deren unmittelbare Bestimmung; Gegensatz zwischen Wahrscheinlichkeit a priori und a posteriori.

1. Über das Eintreffen eines Ereignisses E oder das Vorhandensein eines Tatbestandes sei bekannt, daß unter m möglichen Fällen deren g [g < m) das Eintreffen von E bedeuten oder, wie man gewöhnlich sagt, dem Ereignis E günstig sind; man bezeichnet dann den echten Bruch

— als die mathematische Wahrscheinlichkeit

w =

von E. Ob E in einem Einzel fall wirklich stattfindet, wissen wir nicht-, darüber entscheidet nach der üblichen Ausdrucks weise der Zufall (vgl. § 21), selbst dann, wenn w noch so nahe an 0 oder 1 liegt.

Sind z. B. in einer Urne 7 Kugeln, worunter 5 weiße und 2 schwarze, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel gleich ⁵/₇.

Ist g = 0 , so wird w = 0 ; ist g = m, so wird w = 1 ; die Zahlen werte w — 0 und w — 1 bezeichnen also die Unmöglichkeit und die Gewißheit; von Wahrscheinlichkeit kann man hier genau genommen nicht mehr sprechen, da dem Zufall kein Platz mehr übrigbleibt.

Ist g = \m, also w = \, so kann E ebensowohl ein treffen als ausbleiben, oder man kann 1 gegen 1 wetten, daß E stattfindet; häufig bezeichnet man in diesem Fall das Ereignis schlechthin als wahrscheinlich.

Sind g Fälle günstig für E, so sind m — g Fälle un-

günstig; setzt man also w' =

w + w' = 1 ;

w\ auch Gegenwahrscheinlichkeit genannt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß E nicht stattfindet.

2. Die vorangehende Begriffsbestimmung bedarf noch einer wichtigen Ergänzung: die in Betracht gezogenen Fälle müssen gleichwertig (gleichmöglich, gleichberechtigt) sein. Zur Erläuterung diene ein einfaches Beispiel. Ich habe zwei Kästchen A, B, jedes mit zwei Fächern a, b] in jedem Fach liegt eine Münze von folgender Beschaffenheit:

-, so ist:

m

A:    В:

er- а

: Gold, Gold,

: Gold, Silber.

Ich wähle ein Kästchen, öffne ein Fach und finde darin eine Goldmünze; welches ist die Wahrscheinlichkeit, in dem zweiten Fach eine Silbermünze zu finden?

Der Anfänger schließt vielleicht: entweder habe ich A gewählt oder Б, der erste Fall ist ungünstig, der zweite günstig, folglich w =    . Aber dies ist irrig;

möglich sind drei Fälle: ia, Ab, Ba\ günstig ist nur der letztgenannte, also w — \. Der Fehlschluß war, daß die Fälle A und В als gleichwertig behandelt wurden; tatsächlich umfaßt A zwei Fälle, В nur einen.

Kann man, wie hier, durch Zerlegung in „Elementarfälle“ die Schwierigkeit beheben, so bleibt dem Mathematiker nur die Abzählung der Fälle, zumeist auf Grund der Eegeln der Kombinatorik.

3. Unsere Betrachtungen beschränken sich nicht auf den Fall, daß eine solche unmittelbare Bestimmung der Wahrscheinlichkeit möglich sei. Läßt sich die letztere auf rein deduktivem Weg feststellen, ohne irgendwie die Erfahrung heran zu z i ehen, so spricht man von Wahrscheinlichkeit a priori. Im Gegensatz hierzu kann man darauf ausgehen, auf Grund von Versuchen, statistischen Erhebungen usw. ein Urteil über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu gewinnen. Eine Wahrscheinlichkeit, bei deren Berechnung die Erfahrung mitgewirkt hat, wird als Wahrscheinlichkeit a posteriorix) bezeichnet; ist in n beobachteten, gleichwertigen Fällen

(%

das Ereignis E &-mal eingetreten, so nennt man ~ die

relative Häufigkeit von E. Die Abschnitte I, II und III unserer Darstellung beziehen sich im allgemeinen auf die Wahrscheinlichkeit a priori; dabei ist jedoch nicht ausgeschlossen, daß die Erfahrung zum Vergleich heran gezogen wird. So ist z. B. die Wahrscheinlichkeit a priori, mit einer Münze Wappen zu werfen, x/₂; die Erfahrung ergibt, daß bei einer großen Zahl von Versuchen tatsächlich etwa in der Hälfte der Fälle Wappen geworfen wird. In den Abschnitten IV, V und VI dient die Erfahrung als wesentliche Grundlage der Wahrscheinlich-keitsbestimmung ²).

*) Der Begriff wurde in die Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführt von Jakob (I) Bernoulli, Ars conjectandi (1713), vierter Teil, Кар. IX; deutsch von R. Haußner: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 107 und 108, Leipzig 1899.

a) Über den Sinn der Wahrscheinlichkeitssätze s. u. a. J. v. Kries, Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Freiburg 1886, bes. S. 1—23.

§ 2. Vollständige und zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit; Wahrscheinlichkeit bei Wiederholung von Versuchen.

1. Eine Urne möge 11 Kugeln enthalten, darunter 5 weiße, 4 schwarze, 2 rote. Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, eine schwarze oder rote Kugel zu ziehen. Unter den 11 möglichen Fällen sind 4 + 2 günstig: daher

ii ⁺ ii ’

man muß also die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren.

ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit ^ ^

4 + 2

Wird allgemein das Ereignis E verwirklicht durch das Eintreffen eines einzelnen der sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse Ex, E₂ , . .., Er, und ist gi die Zahl der für 2% günstigen Fälle, so ist die Zahl der für E günstigen Fälle:

9 = ffi + 9₂ + • • • + Öt •

Sind nun im ganzen m Fälle möglich (m g), so folgt :

9 ^ 9i_₊92

9r

)))

Ist daher — — w die Wahrscheinlichkeit von E, m

= u\ diejenige von E{, so ergibt sich:

w — u\-\- w₂ ... + wr .

Der liierin enthaltene Satz heißt auch Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung; w selbst heißt vollständige (auch alternative) Wahrscheinlichkeit, es ist die Wahrscheinlichkeit des „Entweder—Oder“.

2. Wir gehen nun zu einem völlig anders gearteten Fall über. Außer der vorhin beschriebenen Urne sei eine zweite vorhanden ; diese soll 13 Kugeln, worunter 6 weiße, 7 schwarze, enthalten. Ich ziehe aus jeder Urne eine Kugel; welches ist die Wahrscheinlichkeit, daß es beidemal eine weiße Kugel sei?

Hier sind offenbar 11-13 Fälle möglich, davon 5 • 6 günstig; also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

TV~Vo ⁼ 4 * 4 > man somit die einzelnen Wahr-11-13    11    13

scheinlichkeiten zu multiplizieren.

Gilt allgemein E als eingetroffen, wenn jedes der

Ereignisse Er₁, E₂, . . ., Er stattgefunden hat, und sind

gi, mi die Zahlen der günstigen bzw. möglichen Fälle für Ei,

g, m die entsprechenden Zahlen für E, so ist:

m = m₁> m₂ • ... • mr . Hieraus folgt, wenn — = w, — = gesetzt wird :

9 — 9i ⁹ 92 ⁹ • • • ⁹ 9t

)h

w = wl • w₂ • ... • wr .

Dies ist der Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung; er drückt die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens mehrerer, voneinander unabhängiger Ereignisse aus; w heißt in diesem Fall die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit, es ist die Wahrscheinlichkeit des „Sowohl—Als auch‘\

Beschränken wir uns auf zwei Ereignisse Ex, E₂ , so kann es Vorkommen, daß die Wahrscheinlichkeit von E2 davon abhängt, ob E₁ eingetreten ist. Es sei z. B. bei der in 1. genannten Urne nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, daß zweimal nacheinander eine weiße Kugel gezogen wird, wobei jedoch die zuerst gezogene weiße Kugel

5

aus der Urne entfernt bleibt. Hier hat man wx = —,

5-4

aber w₂ = ß

daher w =

11 — 1 10

11-10 “IT'

Zu dem gleichen Ergebnis kommt man indessen auch, wenn mit einem Griff zwei Kugeln gezogen werden ; dann ist die

Zahl der möglichen bzw. günstigen Fälle j bzw. ^.

3. Die Ereignisse Ex, E₂ mögen einander ausschließen und die Wahrscheinlichkeiten wl7 w₂ haben; hierbei ist w\ + w2 1 ? das Gleichheitszeichen gilt, wenn E₂ in dem Nichteintreffen von E₁ besteht.

Die Wahrscheinlichkeit w₀ dafür, daß bei x + ^/-mali-gem Versuch Ex in ж, E₂ in у Fällen und zwar in bestimmter Reihenfolge eintritt, ergibt sich aus dem Multiplikationssatz :

Wq = w\ • w\ .

Ist die Reihenfolge beliebig, so ist auf Grund des Additionssatzes die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

W — m • Wq ,

wenn m die Zahl der Permutationen von x-j-y Elementen, worunter je x und je у gleiche, bedeutet. Man hat also¹):

Offenbar ist w ein Glied in der Entwicklung von (u\ + w₂)x+y, daher w < 1, wie es sein muß.

Einfache Beispiele liefern die vorerwähnten Urnen.

Setzt man x-{-y=n, sowie x=n, n — 1, . . ., n—r, у = 0, 1, . .., r, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei w-maligem Versuch:

E₂ in 0 Fällen eintrifft: wx

Ex in n ,

Sammlung Göschen, Nr. 58, § 16.

El „ n —- 2, E₂ „ 2 Fällen

w^~²wl,

E₁ „ n — 1, Ą „ 1 Fall

eintrifft:

(i)":

¹wi ,

Ą » n-r, E₂ „ r

Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei n-maligem Versuch nur E± oder E₂ , und zwar Et mindestens n — ?*-mal stattfindet:

II

StH

TI

'S

Für г = n wird hieraus:

wn = К + w₂)n ,

entsprechend den früheren Formeln; Wn ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in jedem der n Fälle entweder Ex oder E₂ eintritt.

Ist r < n, aber    w₂ = I, so ist W einfacher

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß E₁ mindestens n — r-mal stattfindet.

Ist endlich r = n und u\ + w₂ = 1, so wird Wn = 1.

§ 3. Relative Wahrscheinlichkeit; Abhängigkeit von Ereignissen.

1. Unter relativer Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E in bezug auf ein anderes F versteht man die Wahrscheinlichkeit von E unter der Voraussetzung, daß F eingetreten ist (oder zugleich eintritt). Eine Urne enthalte 17 Kugeln, davon 11 weiße, 4 schwarze, 2 rote; jemand zieht eine Kugel und teilt mir mit, daß sie nicht rot ist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine weiße Kugel gezogen wurde, nach § 1 : W₁ =

11

11

11+4    15’

w₂ = ~ die ab-

In diesem Beispiel sind wx =

11

17 ’

soluten Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer weißen bzw. schwarzen Kugel; die gesuchte relative Wahr

scheinlichkeit ist W₁ =-—------.

Щ Щ

Der Sachverhalt kann allgemein so dargestellt werden : unter den überhaupt möglichen Fällen wird nur ein bestimmter Komplex F betrachtet, der aus dem Eintreffen eines der einander ausschließenden Ereignisse Ely E2y . . ., Er mit den absoluten Wahrscheinlichkeiten u\, w₂ , . .., wr besteht. Nach dem Additionssatz hat F die Wahrscheinlichkeit wx + w₂ + . .. + wr ; Ex kommt nun dadurch zustande, daß zunächst F und dann Ex ein-tritt. Ist also W₁ die Wahrscheinlichkeit von Ex unter der Voraussetzung des Eintreffens von F, kürzer „unter der Voraussetzung Fu, so ergibt der Multiplikationssatz: oder:

wi

Щ + IC 2 + . . . + Wr

Dieser Quotient ist die gesuchte relative Wahrscheinlichkeit.

2. Wir wollen mit W(E, F) die Wahrscheinlichkeit von E unter der Voraussetzung F bezeichnen, mit JF(E, i^₀) diejenige unter einer von F verschiedenen Voraussetzung; für Gewißheit und Unmöglichkeit sollen die Symbole 1 und 0 benutzt werden.

Ist mm E tatsächlich von F abhängig, so kann dieser Sachverhalt durch die Beziehung:

ЩЕ, F) ф W(E, F₀) gekennzeichnet werden; hingegen bedeutet W(E, F) = ЩЕ, F₀)

1.-Я

die Unabhängigkeit der Ereignisse E, F.

Folgt aus dem Bestehen von F notwendig dasjenige von E, so gilt:

W(E} F) — 1 .

Schließen hingegen die Ereignisse E, F einander gegenseitig aus, so ist:

W(E, F) = W(F, E) = 0 .

§ 4. Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs: unendliche Anzahl der Fälle.

1. Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen, soll darin bestehen, daß eine unbekannte reelle Zahl x zwischen gegebene Grenzen a, b (a < b) falle; x selbst soll alle Werte zwischen — oo und + oo annehmen können, jedoch so, daß die Häufigkeit des Vorkommens der Zahl x durch :

dargestellt wird.

Die Bedeutung von cp{x) läßt sich folgendermaßen erläutern: ist Ax so klein, daß die Änderung von <p(x) vernachlässigt werden kann, während x in x + A,x übergeht, so wird die Zahl der Fälle, in welchen x zwischen x₀ und x₀ + Ax liegt, dem Produkt (p(x₀)»Ax proportional sein; nimmt man z. B. x₀ = 0 und = 3;, so werden Zahlen zwischen 0 und Лх zehnmal so häufig sein als solche zwischen 3 und 3 Ą-Ax. Die Anzahli der günstigen und möglichen Fälle ist hier unendlich; die seitherige Definition versagt also.

Da wir aber nur das Verhältnis dieser Anzahlen suchen, so beantwortet sich die eingangs gestellte Frage dadurch, daß man den Quotienten der beiden Integrale:

b

j \p (x) dx

а

+ 00

imd

J<p(x) dx

-oo

bildet; das erstere hat den Wert arctgö — arctga, das letztere den Wert л ; mithin ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit :

— (arctgö — arctga). л

Die Integrale können geometrisch gedeutet werden (Fig. 1); das erste ist die schraffierte Fläche, das zweite die ganze Fläche zwischen der Kurve und der Abszissenachse ¹).

р(л)

7p

Fi g. 1.

2. Wird einer geometrischen Figur eine zu ihrer Bestimmung nicht hinreichende Zahl von Bedingungen auferlegt, so kann die Figur noch unendlich viele Formen

*) Sammlung Göschen, Nr. 88, § 24.

annehmen. Man stellt nun gewisse Forderungen auf und fragt nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine beliebig gezeichnete Figur diesen Forderungen entspricht; Beispiele hierzu werden in § 11 gegeben werden. Auch bei dieser geometrischen Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der Fälle unendlich groß und entzieht sich deshalb der Abzählung; die Lösung der Aufgabe kann wie in 1. mit Hilfe der Integralrechnung oder auch auf elementarem Weg erfolgen.

3. Probleme der angeführten Art haben zu einer Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsbegriff s Anlaß gegebenx) : Die mathematische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis aus dem Inhalt der Mannigfaltigkeit der ihm günstigen Fälle zu der Mannigfaltigkeit aller als gleichwertig vorausgesetzten Fälle.

Diese Definition umfaßt ebenso die Fälle, wo der Inhalt der Mannigfaltigkeit sich durch Zählung bestimmen läßt (diskrete Mannigfaltigkeit), wie die anderen, wo die Messung (nötigenfalls im mehrdimensionalen Raum) Platz greifen muß (kontinuierliche Mannigfaltigkeit). Was die Gleichwertigkeit der Fälle anlangt, so liegt den Aufgaben der geometrischen Wahrscheinlichkeit im allgemeinen die Annahme einer homogenen Struktur des Kontinuums zugrunde; hiernach entfällt z. B. auf ein der Größe nach gegebenes Intervall einer Geraden überall die gleiche Punktmenge, unabhängig von der Lage des Intervalls. Dieser Voraussetzung über die Struktur des Kontinuums, dem die Elemente an gehören, entspricht die Aussage, daß jedes herausgegriffene Element schlechthin willkürlich gewählt sei. So kann auch der in 1. ge-

*) E. Czuber, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften I, 2, D. 1, S. 753. 1900—1904.

Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

fundene Wert w als geometrische Wahrscheinlichkeit dafür gedacht werden, daß ein willkürlich zwischen der Kurve und der Abszissenachse gewählter Punkt in das schraffierte Gebiet fällt.

§ 5. Mathematischer Erwartungswert, mathematisches Risiko.

1. Hat A aus einem Ereignis Ex, dessen Wahrscheinlichkeit wx ist, den Gewinn ax zu erwarten, so nennt man e₀ = axwx den mathematischen Erwartungswert; der Geldbetrag e₀ bedeutet hiernach einen Ersatz für die unsichere Einnahme ax, um den Preis e₀ kann A seinen Gewinnanspruch zum Verkauf an bieten. Mann kann e0 auch als Durchschnittswert auffassen: unter einer großen Anzahl n von Fällen werden etwa nwx den Gewinn ax bringen, die übrigen nichts; also ist der durchschnittliche Gewinn a₁nw₁ : n = a₁w₁.

Es sollen nun r Ereignisse Ex, E₂, . . ., Er möglich sein derart, daß sie einander ausschließen, aber eines unter ihnen eintreten muß; für die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gilt dann:

(1)

wx + w₂+... +Wr = 1 .

Fällt für das Eintreffen von E^ dem A der Gewinn a{ zu (die üi können auch = 0 und im Fall des Verlustes < 0 sein), so ist der Erwartungswert des A in Bezug auf die Gesamtheit der r Ereignisse:

(2)

eo =    + «₂ w2 + • • • + ar .

Da also e₀ = (аг wx + ... + ar wr): (wi + • • • + wr) ^ so kann e₀ als Mittelwert der mit den Geweichten u\ versehenen Größen gelten ; in dem eingangs angeführten Fall ist E₂ das Ausbleiben von Ex und a₂ — 0. Läßt

man allgemein aus (2) von vornherein diejenigen Glieder fort, deren a{ = 0 ist, so ist für die übrigen Ereignisse die Summe der Wahrscheinlichkeiten < 1.

2. An einem Glücksspiel mögen sich r Spieler beteiligen, mit der irgendwie ermittelten Wahrscheinlichkeit u\, w₂ , ..., wr, zu gewinnen ; dabei sei :

wi + Щ + • • • + wr = 1 •

Ferner seien die Einsätze der Spieler ex, e₂, . . ., er, sowie

e\ + e2 + • • • + er = s

die dem Gewinner zufallende Summe. Soll nun das Spiel billig sein, so muß:

: er = wx : w₂ :

: wr

ei : e2 :

also auch oder

(3)

ei = s Wi,

d. h. der Einsatz jedes Spielers gleich seinem Erwartungswert sein.

3. Auf das Eintreffen eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit w (GegenWahrscheinlichkeit w'= 1 — w) sei von dem Unternehmer A der Preis a ausgesetzt; der Spieler В hat dann den Einsatz:

(4)

e₀ = aw

zu leisten. Gewinnt i?, so ist sein Reingewinn:

а — e₀ = a( 1 — w) = aw' und der zugehörige Erwartungswert :

(5)

h₀ = aww' = e₀ • w'.

Verliert dagegen Б, so ist sein Verlust e₀, der zugehörige Erwartungswert :

(6)

k₀ = e₀ w' = h

Für A gilt das Umgekehrte; h₀ = k₀ heißt mathematisches Risiko; die Zahl h₀/e₀ = к₀/е₀ = w' bezeichnet man als relatives Risiko, sowohl für A als für Б.

Um sein Risiko zn verringern, leistet В einem zweiten Unternehmer A' die Zahlung k₀, wofür ihm А' im Fall des Verlustes den Betrag e₀ auszuzahlen hat.

Gewinnt nun В, so ist sein Reingewinn а — e₀ — h₀ , das zugehörige Risiko, wie eine leichte Rechnung ergibt:

\ = aw • wf 2 = e₀ • w'² .

Verliert J5, so ist die Summe k₀ verloren; das Risiko ist: kx = k₀ • w' = e₀w'² = hx .

Die Fortsetzung ist einleuchtend; ist kr — e₀»w so hätte I?, um gegen jeden Verlust gedeckt zu sein, den Betrag aufzuwenden:

(9)    + ^1 4" ^2 “b • • • =

aber dann geлvinnt er auch nichts.

4. Für mehrere, einander ausschließende Ereignisse Ei, unter welchen eines eintreten muß, seien die Wahrscheinlichkeiten wi vorhanden und die Preise ai ausgesetzt; alsdann ist:

(?)

(8)

'r + l

eO

1 — w'

= <* ;

(10)

der Erwartungswert, zugleich der von dem Spieler zu leistende Einsatz ist:

(И)

Ist nun fltj , «2 ) • • • ) an-1 s* e0 ! an ! an+l ) • • • t ar < e0 so ist die Gewinnerwartung:

n- 1

• ho = 2 К — eo) wi ;

(12)

die Verlusterwartung :

К — ^ (eo

n

r    r

К —    = 2"“iwi_c«2wi = 0

(13)

«i) Wt- .

Dabei ist:

also h₀ = k₀

Als relatives Risiko gilt wiederum der Quotient h₀/e₀ = k₀/e₀ . Erhält z. B. der Spieler so viel Л, als der Spielwürfel

Punkte zeigt, so ist r = 6 ,    = für jeden Wert von г,

1 6 e₀ = —(6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l) = 3,5 j&\ferner rc=3 , und о

К = 1(2,5 + 1,5 + 0,5) = 0,75 Ж,

1(0,5+ 1,5+ 2,5) = 0,75 Л\

b

endlich

h₀/e₀ — k₀/e₀ — ^ -

0,75    3

14

oder

21,4 V

II. Abschnitt.

Anwendung der Grundlehren auf spezielle Probleme.

§ 6. Aufgaben zur Erläuterung der Grundformeln.

1.    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln eine der Summen 2 bis 12 zu werfen?

Die Anzahl m der möglichen Fälle ist 6² = 36 ; die Anzahl g der günstigen Fälle und die entsprechende Wahrscheinlichkeit w = g/m ist aus nebenstehendem Täfelchen zu entnehmen.

2.    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem gewöhnlichen Würfel im ersten, zweiten oder dritten Wurf die Zahl 1 zu werfen?

Summe

CO to

; 12

; 10

Ю CO

<X о

V36

V18

/12

V.

⁵/₃

Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf 1 nicht zu werfen, ist ⁵/₆; also nach dem Multiplikationssatz die Wahrscheinlichkeit, in keinem der drei ersten Würfe 1 zu werfen, w'=(⁵/₆)³; somit die ge- ge-

suchte Wahrscheinlichkeit w = 1 — w' =

91

. Umge- ge-

216

kehrt kann man aus gegebenem w die Zahl der Würfe berechnen.

3. Zwei gleiche Urnen enthalten je nur weiße und schwarze Kugeln; die erste ax weiße, bt schwarze, die zweite a₂ weiße und b₂ schwarze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?

Die Wahrscheinlichkeit, sowohl die erste Urne zu wählen, als auch aus ihr eine weiße Kugel zu ziehen, ist

u\ =    •    —    ; die entsprechende Wahrscheinlichkeit

2 a\ + \    1    а

für die zweite Urne ist w₉ = ~ •--—. Nach dem

²    2 a₂ + b₂

Additionssatz ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

w = wt + w₂ — — •

a₂

2 \ax + bx a₂-\-b₂j

4. In einer Urne sind n Kugeln, darunter a weiße, b schwarze (а -f Ь ^ п). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w, mit drei aufeinanderfolgenden Zügen zwei weiße und eine schwarze Kugel in beliebiger Reihenfolge zu erhalten, wenn die Kugeln nicht wieder hineingelegt werden?

Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine weiße, dann nochmals eine weiße, zum Schluß eine schwarze Kugel zu ziehen, ist :

а — 1 b n~—l '    2 ’

w₀ =

ebenso groß sind, wie man leicht sieht, die Wahrscheinlichkeiten für die beiden anderen Reihenfolgen; folglich ist:

w — 3 w₀ =

3 a(a — 1) • b n(n — l)(n — 2)

5. Ein Kästchen enthält n Schrotkörner; welches ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Griff eine ungerade bezw. eine gerade Anzahl zu erfassen?

24 Anwendung der Grundlehren auf spezielle Probleme. In den beiden Fällen ist:

S T-H

g CO

wo

Zt+ Z₂.

Setzt man die aus dem binomischen Satz folgenden Wertel) von Zx, Z₂ , N ein, so wird :

on -1

2" — 1

w₁ =

¹ 2n — 1

WO

2n — 1 ¹

Demnach ist w₁ > w₂ , aber lim (wx — tv₂) = lim0 = 0 .

n = oo

n = oo

6. A und В spielen mit zwei Würfeln; A wirft zuerst und gewinnt, wenn er die Summe 6 hat; andernfalls würfelt В und gewinnt, wenn er die Summe 7 erhält. Wie müssen sich die Einsätze verhalten?

Ist G der Gewinn, so ist der Erwartungswert des A : a = -gSg- G, derjenige des В: b = | J • J- G ; also ist das Verhältnis der Einsätze а : Ъ — 30 : 31. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Spiel unentschieden bleibt, ist

iH CD

со co

csl Ol

155

216

= 0,717 .

7. A und В lassen den G würfeln; geben die beiden Würfel die Summe 7, so soll der Gewinn dem A zufallen, geben sie die Summe 10, dem B\ in allen anderen Fällen soll zwischen A und В gleich geteilt werden. Wie müssen sich die Einsätze des A und В verhalten?

G sei der Gewinn, dann ist der Erwartungswert des A :

O +    des B: T\G + i-0

+    • -J-G = \\G. Die Einsätze müssen sieh folglich

wie 13 :11 verhalten.

8. n Personen spielen mit einem Würfel und bezahlen je 1 Л Einsatz. AVer den höchsten AVurf tut, bekommt n Л ; werfen mehrere gleichviel und mehr als die übrigen, so wird der Gewinn gleichmäßig verteilt. A beginnt und wirft a Augen; wie groß ist sein Erwartungswert?

Für jeden anderen Spieler ist die Wahrscheinlichkeit des Wurfes a gleich 1:6, diejenige eines geringeren gleich (a — 1) : 6 . A muß mit r — 1 (1 r ^ n) anderen Spielern teilen, wenn diese den Wurf a, die n — r übrigen einen geringeren Wurf tun; die Wahrscheinlichkeit hierfür ist:

(a — l)"-f 6"-¹

Nun kann aber die Zahl r — 1 auf

1)

verschiedene

Arten zustande kommen; mithin ist der Erwartungswert des A:

(a — l)»~r n

'n\ (a — l)n-r

₆n-i

r,

₆n-i

Um alle Fälle zu erschöpfen, in denen A gewinnt, muß man E = et +    + • • • + en bilden; die übrigen Fälle

bleiben (vgl. S. 19) unberücksichtigt. Es ist aber:

eo + ei + • • • + «n =

h •[(«-!) + !]” =

a"

6" -¹ ’

«o =

cn-l

mithin :

an — (а — 1)л

6П_ 1

-ш-ш*

Hieraus folgt noch:

limjS7 = I

oo    I

со о

für

«{< ;

to eo

in der Tat werden bei sehr großer Teilnehmerzahl etwa и

— den Wurf 6 tun; auf jeden entfällt dann der Gewinn 6

n : nl6 = 6 Jis\ die anderen gehen leer aus.

§ 7. Das „Jeu du Treize“ und das Rencontrespiel ; das Problem von Moivre.

1. Eine Urne enthält n (13), mit 1 bis n bezifferte Karten, welche nacheinander herausgezogen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß wenigstens eine Karte an der durch ihre Ziffer bezeichneten Stelle erscheint?

Die n Elemente¹) geben n\ Permutationen; dies ist die Zahl der möglichen Fälle. Hält man 1 fest, so geben die n — 1 übrigen Elemente (n — 1) ! Permutationen ; 1 ist also nicht an seinem Platz in:

= n\ — (n — 1)!

Fällen. Unter diesen gibt es solche, wo 2 an seinem Platz ist; die n — 1 übrigen Elemente geben dann entsprechend zx die Zahl von (n — 1)! — (n — 2)! Fällen, wo 2, aber nicht 1 am richtigen Platz ist, wie man auch unmittelbar bestätigen kann. Somit ist:

%2 = n\ — 2 (n — 1)! + (n — 2)!

x) Zur Verdeutlichung mag man etwa n = 5 wählen.

27

Jeu du Treize und Rencontrespiel.

die Zahl der Fälle, wo weder 1 noch 2 an seinem Platz ist. Hält man 3 fest, so geben die (гг — 1) übrigen Elemente entsprechend z₂ die Zahl von:

(n - 1)! - 2(n — 2)! + (n - 3)!

Fällen, wo 3, aber weder 1 noch 2 am richtigen Platz sich befindet. Folglich gibt:

z₃=nl — 3(n - 1)! + 3(n - 2)! - (n - 3)! die Zahl der Fälle an, wo keines der Elemente 1,2,3 den richtigen Platz einnimmt. Allgemein ist:

zr = n\ —

die Zahl der Fälle, in denen keines der r ersten Elemente den durch seine Ziffer bezeichneten Platz hat; man erhärtet dies leicht durch den Schluß von r auf r + 1 • Hie zugehörige Wahrscheinlichkeit ist:

wr= 1—

Mit r — n ergibt sich:

= i_i

Q(n-l)! + Q(n-2)!-

• • • ± (» — О!

n(n—1)

1 1 1! ¹ 2Ï "з!

Bei dem „Jeu du Treize“ ist n = 13 ; aber schon für mäßig große n kann man wn = e_1 setzen. Die Wahrscheinlichkeit, welche wir suchen, ist 1 — wn oder sehr nahezu

Wn

--- = 0,6321 .

e

Setzt man n — 32 , so hat man den Fall des auch von Euler behandelten Rencontrespiels: A und В haben je ein Spiel von 32 Karten und decken gleichzeitig je ein Blatt auf; so oft gleiche Blätter erscheinen, findet ein

Rencontre statt. A wettet auf das Stattfinden, В auf das Ausbleiben eines Rencontres; wie verhalten sich ihre Aussichten, zu gewinnen?

-i

Da für n = 32 der Unterschied zwischen wn und e unmerklich wird, so lautet die Antwort auf vorstehende Frage: die Wahrscheinlichkeiten des Gewinnens verhalten sich wie (e — 1) : 1 ; also rund wie 7:4.

2. Das „Problem von Moi vre“ hat folgenden Wortlaut : In einer Urne sind p, mit 1 bis p bezeichnete Kugeln ; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in n Ziehungen je einer Kugel, die jedesmal zurückgelegt wird, die Summe s zu erhalten?

Der Ausdruck:

Y = (x + x² + ... + x*)n liefert entwickelt als Koeffizienten von x⁸ die Zahl:

n\

oc'.ß\y\

Hierbei sind oc, /?, 7, . . . Null oder positiv ganzzahlig; ferner :

oc + 2ß-Y3y + ... = s ,

ß + 7 Hb • • • ~ n •

Die Wahrscheinlichkeit für die Summe s ist:

n\

oclßlyl . . .

— die Wahrscheinlichkeit für den einmaligen

. WOC + ß + y+ ... ^

wenn w =

Zug einer jeden Kugel ist, die mit 1, 2, 3, ... bezeichnete Kugel oc, ß, 7, ... mal gezogen wird und die obigen Bedingungen gelten.

Nun läßt sich Y in der Form:

Y=xn) 1 — xP)n (1 — x)~n = X” • y

schreiben; folglich ist g der Faktor von x?~n in der Entwicklung von y. Der binomische Satz ergibt:

("KQ

(1 — x“)n = 1 -(1 - x)-n = 1 + ^ X +    X² + . . .

X²? - + . .

Hiernach wird:

und da:

—»GN

-1-

5—1—2p

s—n—2p

t)

ist, so hat man, wenn noch:

S — 1 = «0 < gesetzt wird, einfacher:

n — 1 = n₀

'-й-(Мй⁺(

sq — 2j)

*0

Die Reihe ist so lange fortzusetzen, als s₀ — Xp^ n0 oder s — n ^ Xp ist für ein positives, ganzzahliges Я. Durch g ist auch:

W = g • p~n

bestimmt.

Beispiel: Für jo = 5, n — 4, s = 14 erhält man 2 = 68, W = 0,1088 .

Setzt man in obigen Formeln p = 6, so hat man zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür gefunden, durch einen Wurf mit n Würfeln die Summe s zu erhalten; ist

z. B. n = 3 , s = 8 , so wird W

b ³ — 772 •

Laplace berechnete im Anschluß an die eben durchgeführten Betrachtungen die Wahrscheinlichkeit w dafür,

daß die Summe der Neigungen von 10 Planetenbahnen den durch Beobachtung gefundenen Wert von 92° neuer Teilung nicht überschreite; er erhielt w = 12*10⁻⁸, mit anderen Worten: es ist äußerst unwahrscheinlich, daß diese Neigungen ein Werk des Zufalls seien.

¹

Sammlung Göschen Nr- 53, § 23.

§ 8. Das Teilungsproblem; Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeits- und Differenzenrechnung.

1. A und В hören zu spielen auf, als dem A noch m, dem В noch n Partien zum Sieg fehlen ; ihre Wahrscheinlichkeiten¹), ein einzelnes Spiel zu gewinnen, sind p und q (p q = 1). Wie haben sie sich in den Gewinn zu teilen?

Anstatt der seither angewendeten kombinatorischen Behandlungsweise legen wir ein auf Pascal zurückzuführendes Verfahren zugrunde. Da der Gewinn im Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten zu teilen ist, welche A und В für den Sieg besitzen, so genügt es, diese Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln; diejenige für A sei ym>n. Entweder nun gewinnt A die nächste Partie; dafür ist . p die Wahrscheinlichkeit und es fehlen ihm noch m — 1 Partien zum Sieg, dann ist рут-\,п die Wahrscheinlichkeit, daß A siegen wird. Oder aber verliert A beim nächsten Spiel; q ist hierfür die Wahrscheinlichkeit und dem В fehlen noch n — 1 Partien; in diesem Fall ist qVm,n-1 die Wahrscheinlichkeit des Sieges für А . Daher läßt sich ут> n als vollständige Wahrscheinlichkeit angeben :

(Y)

Ут, n ~ P У m -1, n "Ь Ч Ут, n -1 •

Hierbei ist offenbar:

Уо.я — 1, o = 0

¹) Wie diese ermittelt sind, kommt nicht in Betracht.

für jedes positive, ganzzahlige A,/x. Setzt man also n = 1, so bekommt man:

2/21 = Г²,

ferner

Уп=Р>

2/31 = Г,

Уи^Р+РЯ, 2/22 =^²(1+ 2?),    ...

Auf diesem Wege kann man durch Rekursion jedes beliebige ym ' n ermitteln ; aber eine allgemeine Formel für у erhält man zunächst nicht.

Um die mit (Y) bezeichnete Funktionalgleichung aufzulösen, setzen wir mit Lagrange¹):

m = X ,

und schreiben demgemäß statt (Y), indem wir zugleich jeden Zeiger um 1 erhöhen:

PVx,t+1 + Чyx+i,t — Vx+i,t+i — 0 .

Lagrange zeigt nun mit Hilfe einer Reihenentwicklung, daß dieser Gleichung durch einen Ausdruck von folgender Form²) genügt wird:

Vxyt = Px l + xq +

x(x -j- 1)

2!

q² + ... ;

dabei ist die Summe bis zu dem Glied mit q*_1 auszudehnen.

Ersetzt man wieder ж, t durch ihre Werte m,n₁ so ergibt sich:

m(m +1) ₂

2/m, n ⁼ pm 1 + mq +

q«-i .

m (m + 1) ■ • . (w* + n — 2)

(n — 1) !

П Oeuvres, T. IV, p. 221 ff. Paris 1869.

a) Die obige Gleichung ist nur formal verschieden von derjenigen bei Lagrange.

wie man sieht, steht dieser Wert mit den Grenzbedingungen 2/o,a = 1₅ Уцу o=0 im Einklang, man überzeugt sich auch leicht von der Übereinstimmung mit den S. 31 angegebenen speziellen Werten. Am kürzesten läßt sich das Ergebnis in der Form:

n- 1

o'    '

darstellen. Die Wahrscheinlichkeit des Sieges für den anderen Spieler В erhält man durch Vertauschung von m, n und Pt q:

m-1

"in,

» = 9"2(

0 ⁴

Ist z. В. m = 1, n = 2, so wird :

X'm, n = ⁽1² i

Утуп + ¹

УтуП +pq

2. Lagrange führt a. a. 0. eine weitere, minder einfache Lösung durch, welche unmittelbar an die Grundbegriffe der Differenzenrechnung anknüpft. Diese liefert für die Lösung von Wahrscheinlichkeitsproblemen eine Methode, deren Grundzüge wir — unter Beschränkung auf gewöhnliche Differenzengleichungen — kurz darlegen wollen.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit yx hänge von einer ganzzahligen Veränderlichen x ab und es sei eine Beziehung von der Form:

УXI Ух + ll ¹ • ¹5 Ух+r) О

bekannt. Nun ergibt das Schema der Hauptreihe und ihrer Differenzenreihen¹) :

Ух Ух+1 Ух+2 • • •

Дух Дух+i ■ • •

Д*ух •••

Ух + г

Setzt man die hieraus sich ergebenden Werte in F = 0 ein, so erhält man eine gewöhnliche Differenzengleichung rter Ordnung:

Ф(я, Лу*, . • -, дгУх) = 0 •

Kann man F = 0 oder Ф = 0 integrieren, so ist auch das Wahrscheinlichkeitsproblem gelöst.

Sei insbesondere die lineare homogene Differenzengleichung zweiter Ordnung mit konstantem Koeffizienten vorgelegt:

F= Ух+2 +2 <*! Ух + 1 + «2 Ух = 0 , so gehört zu ihr die charakteristische Gleichung :

-f- 2 öi A -j- #2 = 0 .

Ist nun, was wir hier voraussetzen wollen:

n? — «2 > ⁰ )

so genügen der charakteristischen Gleichung zwei reelle verschiedene Werte , A₂ und die allgemeine Lösung von F = 0 ist, wie man leicht bestätigt:

yx = c₁-ą + cixf,

wo 671? (7₂ zwei willkürliche Konstanten sind.

Laplace führte, um die Differenzengleichungen zu integrieren, den Begriff der erzeugenden Funktion и von yx ein, nämlich für ganze positive x:

и = Iyxtx ;

Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

alsdann erzeugt:

u-{a+bt-¹) = Z(ayx-\-byx+1) ix

die Funktion ayx + byx+l usf. Indessen hat dieses Ver-fahren nur noch historische Bedeutung.

§ 9. Das Problem der Spieldauer und seine Lösung durch eine Differenzengleichung.

1. A besitzt m, В n Л, (in -j- n = 5); beide spielen die Partie zu 1 J6 so lange, bis einer von beiden nichts mehr besitzt. Die Wahrscheinlichkeit, eine Partie zu gewinnen *), sei p für A und q für Б, (p -f q = 1) ; man ermittle für jeden die Wahrscheinlichkeit, seinen ganzen Besitz dem Spiel zu opfern.

Sei yx die gesuchte Wahrscheinlichkeit für В in dem Augenblick, wo er x Л besitzt; da В das nächste Spiel entweder verliert oder gewinnt, so ist:

Ух=РУх-1 + qyx+1 , oder, wenn jeder Index um 1 erhöht wird:

яУх+2 — Ух+i + (i — q) • yx = о .

Die charakteristische Gleichung ist:

^ Я² — Я + (1 — 9) = О

oder:

(Я — 1) • \s(l + 1) — 1] = 0 .

Hieraus folgt:

К — 1 >    ^2 — ^

Daher wird die allgemeine Lösung:

Ух — ^i + Q • ^2

O Vgl. die Fußnote S. 30.

Die Grenzbedingungen sind offenbar:

y₀ =¹, y> = ⁰ ;

man eliminiert also Ci, C₂ mit Hilfe der Determinante:

i *!

111=0

.10    1 Я5

und findet:

Ух =

Aj — 1 *

Setzt man x = n, k₂ = pjq und 5 = m + n, so ergibt sich als Wahrscheinlichkeit für den Ruin des В:

Уп

pn(pm — qm)

Die Wahrscheinlichkeit für den Ruin des A ist:

qm(pn — qn)

— Q

Hieraus folgt zunächst: yn + zm = 1; d. h. das Spiel kann nicht unentschieden bleiben ; für n = m vereinfachen sich die Formeln. Sei ferner:

dt) p> q, A₂ > 1. Kann man dann 1 gegenüber A£ vernachlässigen, so ist:

Уп

ist also A erheblich geschickter als R, so hat В nur dann einige Aussicht, dem Ruin zu entgehen, wenn А im Vergleich mit В sehr wenig besitzt.

ß) p = q = ^, 4 = 1. Hier wird yn unbestimmt; die bekannte Regel¹) ergibt:

*) Sammlung Göschen Nr. 87, § 41.

— nlĄ'1 Sl 2

-i

Man findet dies auch durch Zurückgehen auf die Differenzengleichung, welche in diesem Fall die beiden partikulären Integrale yx = 1, yx = x hat. Je kleiner also n gegen m ist, desto sicherer ist der Untergang des В. y) P < Я, <1. Aus:

Уп =

К - 2i

l-Ą folgt für unendlich zunehmendes 5 :

lim?/«! = Яг

8 = 00

ist also В der geschicktere Spieler, so entrinnt er dem Untergang um so eher, je größer sein Besitz ist, vgl. oc).

2. Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß A spätestens mit einem bestimmten Spiel den gesamten Besitz des В an sich gebracht hat, so ist die Lösung erheblich schwieriger und gibt zu weitläufigen Rechnungen Anlaß, auf welche hier nicht eingegangen werden kann. Besonders die französischen Mathematiker des 18. Jahrhunderts haben dieser Aufgabe Untersuchungen gewidmet; als Ergebnis sei die Formel von Laplace¹) angeführt, welche unter der Voraussetzung m = oo die Wahrscheinlichkeit angibt, daß В mit dem (n + 2 x) ten Spiel seinen Besitz verloren haben wird:

у =pn2 AxPxq*,

0

wobei

!) Théorie analytique des probabilités, p. 235. Paris 1812. = Oeuvres, T. 7, p. 238. Paris 1886.

n(n + X-\-ï) (nX2)...(n+ 2æ —1)

Aq — 1,

I.2.3. ...

ist; für X — 0 ist die Formel leicht zu bestätigen.

§ 10. Das Petersburger Problem, der moralische Erwartungswert.

1. Die in der Überschrift genannte, zu einer gewissen Berühmtheit gelangte Aufgabe von N. Bernoulli führt auf ein zunächst befremdendes Ergebnis.

A wirft ein Geldstück in die Luft, zeigt es Wappen, so zahlt er an В 2 J6 aus und das Spiel ist zu Ende; andernfalls wirft A noch einmal, erscheint jetzt Wappen, so zahlt er 2² = 4 Jt> aus usf. Allgemein: wenn erst im nten Wurf Wappen zum Vorschein kommt, so muß A dem B 2n J6 ausbezahlen. Wieviel muß В vor Beginn des Spieles dem A geben, damit das Spiel gerecht ist?г)

Da die Wahrscheinlichkeit, erst mit dem гг ten Wurf

Wappen zu bekommen ausgedrückten Erwartung^wert:

ist, so hat В den in jfo

.23+...=1 + 1 + 1+...;

mithin ist E = 00 ; A kann also von В beliebig viel fordern, dieser aber wird nur eine bescheidene Summe für die Teilnahme an dem Spiel opfern wollen; hierauf darf A nicht eingehen.

2. Damit das Spiel zustande kommt, zeigte Poisson folgenden Weg. A ist nicht unendlich reich, sein Besitz,

*) Der Wortlaut der Aufgabe ist gegenüber dem ursprünglichen unwesentlich abgeändert; vgl. die Seite 38 angeführte Bearbeitung der Abhandlung von D. Bernoulli: Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis (1738).

38 Anwendung- der Grundlehren auf spezielle Probleme.

einschließlich der Zahlung des В, sei < 2P+1 Л² aber ^2v Л] dann ist der Erwartungswert des В, falls А höchstens 2P Ji ausbezahlt:

E'=

i-i j 03

i-и j 03

•2²+...+

тМтГ

• 2p-\-...

oder:

E' =

P + J + \ + J+ ■■■ =P + 1-

Besitzt etwa А 2000 Л, so ist p = 10 und E' = 11 J6.

3. D. Bernoulli führte¹) den Begriff der moralischen Erwartung ein. Hat jemand das Vermögen x und wächst x um dx, so ist der „moralische Vorteil“ dy

dx

dieser Zunahme proportional zu — ; ob dies immer zutrifft, soll imerörtert bleiben. Aus:

.    dx

dy~c —

folgt aber²):

xi

Vi — У = e ² Log— •

Setzt man noch с = 1, хг = x + A x und ist w die Wahrscheinlichkeit des Zuwachses, so ist:

.    x -\- Ax

C = (yx — y) W = w Log---

der moralische Erwartungswert; für Ax = 0 wird auch e = 0 .

Ist xQ das ursprüngliche, x das um den Einsatz ver-

minderte Yermögen des В (x^> 0), so ist sein moralischer^ Erwartungswert :

^Log

1 T x + 2» •••+™Log—-

z+2,1т ж+4

--hy Log-

x₀ 4 x₀

@ ist also (vgl. S. 18) der Mittelwert der einzelnen Vorteile, da +

и    _

Setzt man:

4 + • • • + ₂n

e = Log

x₀

2n

so ist у ein einmaliger Yermögenszuwachs, welcher gleichwertig ist mit dem aus dem Spiel zu erwartenden Gewinn. Mithin ist:

(Y) X + у = {x -f- 2)² • (x + 4)⁴ • ... • (x -f 2w)2n . . .

Sei zunächst x = 0 , so gilt für den zugehörigen Wert y₀ : -^-Log2 + Log4 + . . .

LogT/o =

. . . + 7^rLog2w -f . . . = KLog2 ;

2n

hierbei ist:

CO j 00

2n

+ ..

folglich:

K—±K=1

У о = ⁴ •

Multipliziert man (Y) beiderseits mit и = æ_1, so wird:

oo

(U)

oo

Log(l + 2nu)

2n

Log(l + «ÿ)=^«,= ^ 1 1

da nun lim

= —- ist, so konvergiert sowohl die

и

Reihe als das Produkt; man kann also aus и den Wert у finden ; solange der Einsatz x₀ — x<Cy ist, bleibt (£ > 0. Nebenstehende Tafel gibt einige Zahlenwerte.

n = oo Un

Da das Vermögen des A unberücksichtigt bleibt, so ist dies keine befriedigende Lösung des Petersburger Problems ; hingegen hat das logarithmische Gesetz in der Wertlehre und Psychologie Eingang gefunden.

oo

io-¹

io-²

io-³

.V

10

100

1000

4,0

4,3

5,5

7,9

11

4. В uff on nahm auch die Erfahrung zu Hilfe, in 2048 Spielen mußte A durchschnittlich 10 Jt, niemals über 512 Jio ausbezahlen; der durchschnittliche Betrag wuchs langsam mit der Zahl der Spiele. Ändert man die Aufgabe dahin ab, daß A nicht 2W, sondern 2 n Jt zahlen muß, so findet man 4 Jt als Erwartungswert des В₁ da:

r² + (y)-⁴ + (t)-

ist; nach Buffons Zahlen wird die durchschnittliche Leistung des A in diesem Fall 3,95 Jt.

§ 11. Geometrische Wahrscheinlichkeit; das Nadelproblem und andere Beispiele.

1. Die eigentümlichen Schwierigkeiten dieser Gruppe von Aufgaben lassen §Jch am besten aus einem Beispiel

ersehen, welches gewöhnlich als das Paradoxon von Bertrand bezeichnet wird. Die Frage ist folgende:

Gegeben ist ein Kreis vom Halbmesser 1; man zieht in ihm eine Sehne, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese größer als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist?

Erste Lösung (Fig. 2). Sieht man den Endpunkt A als gegeben an und ist < BOC = л/3, so sind günstig diejenigen Fälle, wo der andere Endpunkt P der Sehne zwischen В und G liegt. Da wir gleichmäßige Verteilung der Punkte P auf der Kreislinie voraussetzen (§ 4), so ist:

arc ВС arc AB

л/3 _ 1

T=i

r- 1

Fi g. 2.

Fig. 3.

Zweite Lösung (Fig. 3). Wir nehmen an, die Sehne soll auf dem Halbmesser АО senkrecht stehen. Ist M die Mitte von АО, A⁷die Mitte der Sehne, so sind günstig diejenigen Fälle, in welchen ON < OM ist. Da nun die Punkte N die Strecke O A gleichmäßig erfüllen, so ist:

OM    1

О A    ~2 *

w₂ =

Der Grund des Widerspruches ist leicht zu sehen: die Voraussetzungen sind verschieden ; wenn die Punkte P auf dem Kreisumfang gleichmäßig verteilt sind, so können dies nicht auch die Punkte N auf dem Durchmesser AB

sein (vgl. die harmonische Bewegung).

Es ist nicht ohne Interesse, den einfachen Fall auch rechnerisch zu behandeln (Fig. 4).

Bei der ersten Lösung kann man in voller Allgemeinheit die Sehne AP als

bestimmt ansehen durch die Winkel (p und A; OK ist Æ. eine feste Richtung, ip liegt zwischen 0 und 2л, A zwischen 0 und л/2. Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Annahme ist, mit als einer Konstanten, kt» dcp dX\ günstig sind die Fälle, in welchen л/3 А <? л/2 ist. Folglich wird

2 n л/2

=± ktJ I d(p dX : k\ f f dop dX = л/6 : л/2 =    .

о л/3    do

Die zweite Lösung nimmt cp + X — # und ON = g als gegeben an; die Wahrscheinlichkeit irgendeiner Annahme ist k₂*dftdQ, für die günstigen Fälle ist q -J-, also :

2л: 4

= k₂J J dû dg : k₂J fdüdg = ^.

0 0 0 0

Die Verschiedenheit der Annahmen zeigt sich darin, daß die Integrale nicht ineinander überführbar sind; aus:

& = (p -f- A , q — cosA

fU

■m

-T=i

Fig. 4.

2 Jr 1

w₂

folgt Dämlich:

, g) 5(9?, Â)

= —sinЯ ;

1 1

0 — sin Я somit ist:

j J dû do — — f f втЯ d(p dl ;

das rechts stehende Integral ist verschieden von dem in der ersten Lösung auf tretenden.

2. Eine Strecke a sei in drei Teile ж, ?/, % zerlegt; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man aus ж, г/, x ein Dreieck bilden kann?

Zeichnet man (Fig. 5) ein gleichseitiges Dreieck AB G

X'

Л'

WX

ч»

га

Fig. 6.

Fig. 5.

у ^ a/2 ,    %    a/2

I Fällen entspricht also die Fläche wenn £7, V, W die Mitten von B G,

sein, den

mit der Höhe a und fällt aus dem Punkt P im Innern Lote x, у, % auf die drei Seiten, so ist x + у + % = а. Wie man leicht sieht, muß x ^ a/2 , möglichen günstigen

von

/А BG\

\Д VW)

GA , AB sind. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also .

Zu dem gleichen Ergebnis führt auch eine einfache stereometrische Betrachtung, bei welcher А ЛВС als Fläche eines regulären Oktaeders betrachtet wird, während x,y,% die Koordinaten eines Punktes dieser Fläche, bezogen auf den Oktaedermittelpunkt, sind.

3. Das Nadelproblem fragt nach der Wahrscheinlichkeit, daß eine Nadel von der Länge 2 l eine unter einer Schar von Parallelen im Abstand 2 a (a > Z) trifft (Fig. 6).

Die Bestimmungsstücke für die Lage der Nadel sind, wenn M die Mitte der Nadel ist, der senkrechte Abstand OM = X (а^ж^О) und der Winkel cp zwischen OM und der Nadel, (я/2 ^ (p ^ 0). Damit die Nadel die Parallele L trifft, muß Icoscp^x sein; daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

T'

arc cos

oj

»o

«

»o

« «

Of

o,

21

d. li.

Die Fälle symmetrischer Lage der Nadel ändern w nicht.

4. In einem Kreis zieht man eine Sehne und nimmt

Bestimmt man, wie bei der zweiten Lösung des Bertrand sehen Paradoxons, die Sehne UV durch den Abschnitt AM des zu UV senkrechten Durchmessers AB

zwei Punkte an ; welches ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Punkte auf der gleichen Seite der Sehne liegen? (Fig- 7.)

und sind FX) F₂ die Flächen der beiden entstandenen Segmente, so ist

2r

=j(t* + iq) dx 0

das Maß der Mannigfaltigkeit der günstigen Fälle. Setzt man <£ COV = cp, (OC _L МБ), so ist:

X = r(l — sinç?) ,

da; = — r cos(p d(p ,

+ (<p + sin 99 cos cp)²] .

Die unschwierige Ausführung der Integration ergibt:

128

Uc

M?

7У

>(7

® = 2r⁵ U² —

45

Das Maß der Mannigfaltigkeit der möglichen Fälle ist:

2 r

m = j(г⁴ я²) dx = 2 г⁵ л² , o

Fig. 7.

folglich die verlangte Wahrscheinlichkeit:

128

w = ©/№ = 1 -

45 л²

= 0,712 ;

die Gegen Wahrscheinlichkeit ist w' =

128

= 0,288.

45 л²

Das Ergebnis gilt jedoch nur, wenn die Sehne in der angegebenen Weise gezogen wird.

Ill, Abschnitt.

Das Gesetz der großen Zahlen.

§ 12. Die Stirlingsche Formel für n\

1. Die Stirlingsche For-inel gibt einen Näherungswert __ von n ! für große Werte von n.    ^

Nebenstehende Tabelle enthält ₉

n\

logn!

die genauen Werte und deren g vierstellige Logarithmen bis zu ^

n = 10. Für größere Beträge ^ von n ist die Berechnung von n ! q ziemlich mühsam ; außerdem ge- ^ nügt in den Anwendungen häufig ein angenäherter Wert.

Für jedes positive n gilt die

24

120

720

Reihe :

5040

40320

362880

3628800

0.0000

0.3010

0.7782

1.3802

2.0792

2.8573

3.7024

4.6055

5.5598

6.5598

2« + l T3(2«+l)3 1 5(2w + l)5

die auch in der Form:

- (“ + 4)los(i+ ,*)

3(2 « + 1)

5(2« + l)⁴

Die Stirlingsche Formel für n !

47

geschrieben werden kann. Ersetzt man rechts alle Koeffizienten 3, 5, ... durch 3, zo zeigt die Summation der geometrischen Reihe, daß:

12 n(n + 1) '

l<i\T<l +

also auch, wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen ist :

n+1

Ч- )

8 h-

1+

< e i2n(n+i)

sein muß. Sei nun:

n \ ew

n+4 n

un+1 —

(n +1)! ew+1

also:

(n + 1)”

H- )

Un+1

so geht die vorstehende Ungleichung über in:

i

Da aber

1 < Un < e12n(n + I) . yn + l

\2n(n-\-\)    12 n \2{n-\-l)

ist, so ergibt sich:

12 n

<un+1e 12(n+1> < m„+i < «/„ • Folglich nehmen mit wachsendem n die Zahlen un ab,

hingegen zu, aber so, daß

un-e

die Zahlen uń = un • e u'n < un ist. Sei nun:

Das Gesetz der großen Zahlen. limwn = Ywwuń = a ,

n = oo

n = oo

so liegt (Fig. 8) a beständig zwischen itn und «ń; es gilt also, wenn в zwischen 0 und 1 liegt:

а = un» e 12n

un = а • e12w ,

cc

fff

л*/    £ .

Fig. 8.

mithin:

n + | “n+i2n

n\ — а • n e ¹    .

2. Es handelt sich noch £ darum, a zu bestimmen. Die Formel von AVallis¹) ergibt unmittelbar:

lim

2*4*6 - ... *2n

oo 1 • з • 5 ..... (2 n — 1)    j/2 n + 1

-ь

oder auch:

lim

(2 * 4 * 6 * . . . * 2 n)

2²"(7l\)Z

= lim n=co(2w)!y2n + l

i/f

oo (2w)!ÿ2«-|-l

Führt man hier den in 1. gefundenen Wert von n\ bezw. (2 n) ! ein und vernachlässigt в/12 n, so erhält man :

lim—

an

Ут’

d. h. а = ^2 л .

У2 n(2 n + 1)

Damit ist die Stir ling sehe Formel bewiesen:

n\ = У2 nn • nn • e~n .

n = oo

Je größer w, desto genauer ist die Formel, d. h. desto kleiner ist der begangene Fehler im Verhältnis zu n\

*) Sammlung Göschen Nr. 88, § 25.

selbst. Für w = 10 findet man als Näherungswert etwa 3598 700, der Fehler ist also rund 30100 oder 0,83 °/q; für n = 20 sinkt der prozentuale Fehler etwa auf die Hälfte dieses Wertes herab.

oo

§ 13. / e~x*dx und verwandte Integrale, о

1. Das Integral:

oo

J° — Je о

~x* dx

hat einen Sinn, da xne~x² für jedes n bei unendlich zunehmendem X nach Null konvergiert; ferner hat, da der Integrand eine gerade Funktion ist, das zwischen den Grenzen +oo genommene Integral den Wert 2 J₀. Wir betrachten mit Poisson das Doppelintegral:

JJe~(x2+y*) dx dy ;

die Gleichung % = e~(x2+y*) bedeutet eine Drehfläche, deren Meridianfigur (Glockenkurve) in Fig. 9 a dargestellt ist. Geht man durch die Gleichungen

X = r cos в

y = r sin 0

zu Polarkoordinaten über, so wird das Flächenelement der XF-Ebenel) rdr d6] das Integral verwandelt sich in :

ffe~r* drdß .

Einerseits ist nun, wenn über einem Quadrat mit der Seite 2 a (vgl. Fig. 9 b) integriert wird :

+a +a    +a    +a    Г +a    *12

J\=j Je~(x²+y*>dxdy=je~x²dxje~y2dy = je~x2dx ;

-а

-а -а

г) Sammlung Göschen Nr. 88, § 61. Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

andererseits, wenn die Integration über eine Kreisfläche vom Halbmesser r erstreckt wird:

J₂ = j je~r2r dr dd = 2 nje~r*r dr = ji(l oo    о

a.

b.

Ли/riß

Grundriß

Fig. 9.

Offenbar liegt nun (Fig. 9 b) Jx zwischen denjenigen Werten von /₂ , die zu r = a und r = a /2 gehören. Mithin ist:

л( 1 — e

+ a    12

)< Je~x*dx < n(l — e

-2a²

)•

Geht man zur Grenze а = oo über, so folgt:

d. h.

Jo = ł ;

oo

(О

je~x2 dx = о

I!~л .

2. Setzt man hier x = hu, so folgt :

oo

\e-h*u'du =    .

Differentiiert man diese Gleichung jo-mal nach dem Parameter ä, so bekommt man, indem sich jedesmal der Faktor 2 h auf die rechte Seite bringen läßt und die Minuszeichen sich wegheben:

oo

Je-hluau2p du = £ Утг •Л“(2р+1) •

О

2p

= ±-fifh-(²P+¹)

(2 p)-

22p-p\ ‘

Nimmt man wieder x als Integrationsbuchstaben, so ist das Ergebnis:

oo

(2)

^е~к‘х2 x2p dx —

У” (2 у)!

(2h)2p+¹ ' p\ '

3. Sei:

oo

J = Ie~x² cos(2 oc x) dx , о

so ist:

—2 oc J,

dJ 7    ~

■^==jsm(2ocx) • d(e~x2) =—2 ocj e~x2cos(2 ocx)dx =

о    о

wie man durch partielle Integration sogleich erkennt.

Hieraus folgt mit log/₀ als Integrationskonstante: log/ = — a ² + log/₀ ,

wo J₀ (für <x = 0) aus (1) bekaDnt ist; man erhält hiernach : J—±Уя-в-*‘.

Wir setzen:

und finden:

x = l^P, 2 tx.'fP — и

+ 0O

(3)

e-pv

cos(wA) • di.

- oo

-fp-

в *?.

Differentiiert man diese Gleichung 4 mal nach w, so ergibt eine leichte Rechnung:

к (и)

j^e-pX2cos(uÀ)dÀ = j/^-e ⁴^*

-oo

3 U²

W⁴

fur к (и)    4р2 4рз Т 16 Р⁴

Von dieser Beziehung wird in § 25 Gebrauch gemacht

werden; für и =

3

0 hat к ein Maximum k₀ = — —.

¹

Sammlung Göschen Nr. 53, § 32.

²

Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen; herausgegeben von A. Pringsheim. Leipzig 1896. a) Log bedeutet durchweg den natürlichen Logarithmus.

§ 14. Das Wahrscheinlichkeitsintegral.

1. Die weiteren Untersuchungen werden häufig auf ein bestimmtes Integral Ф(1) führen, dessen Eigenschaften nun abgeleitet werden sollen. Setzen wir:

(1)

t

<&{t) = je-pdt, 0

oo

Für w = 0, 1, 2, . .. bekommt man :

e~*²

rH <M

so ist nach § 13, (1):

Reihe :

Die Reihenentwicklung für e~*a ergibt die konvergente

(2)    Ф( 0 = *-

5-2!

3-1!

allein diese Reihe ist nur für kleine Werte von t zur wirklichen Berechnung von Ф{Ь) brauchbar. Eine für große Werte von t taugliche Entwicklung erhält man wie folgt. Die partielle Integration liefert:

oo

oo

/w

t t

oo

e~i%

2t2n + l

tfLn + 2

dt.

V*²

—dt ?

oo

oo

с*.?:

CO |(M

-<²

oo

oo

e~l2    e~‘²

——— dt = ———

со! Ol

e"*²

—— dt

Multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit . so folgt:

1-3

1-3

(2 t²)²

Diese Reihe ist halbkonvergent; d. h. sie hat die Eigenschaft, daß der Rest R stets kleiner bleibt, als das letzte berücksichtigte Glied. Begnügt man sich z. B. mit den angegebenen Gliedern, so ist:

oo

R\ =

I.3.5

2³

e~*²

——dt .

Da e~*² für zunehmendes t abnimmt, so ist das letztere Integral:

00

< e-

• S:

d. h. <

в-*²

somit:

1.З

< 2 t ' (2 t²)² '

Aus lF(t) erhält man auch Ф{1) = ~ — lF(t).

и

Geeignete Hilfsmittel zur Berechnung bietet auch die mechanische Quadratur.

Fig. 10 stellt für / ^ 0 den Wertverlauf von e~l2 und <P{t) dar; im Anhang S. 121 ist eine dreistellige Tafel der Werte von:

О)

в(у) = ^Ф(у)=²г('е-*<П Утг    fnj

0

gegeben.

2. Über die mechanische Quadratur führen wir noch einen sogleich zu verwendenden Satz an. Ist y = f(x), yn = f(ri), so ergibt die Trapezformel¹) die Näherung:

2 / f(x) dx = y₀ + 2yl + 2y₂ +

• + 2y,-i + Уг ;

(D

Jl

/

Fi g. 10.

ist insbesondere Дж) eine gerade Funktion, so kann man auch schreiben, indem man y_r — yr{= 0) addiert:

f +Г

\f{x)dx=*]?yn-

-Г

yr oder

+r +r

]£y» =jf{x)dx + yr ;

~r    -Г

die Summe kann also angenähert durch das Integral ersetzt werden, wenn man letzteres um yr vermehrt.

§ 15. Das Theorem von Bernoulli.

1. Ein Ereignis E und das entgegengesetzte F haben die Wahrscheinlichkeiten p, q, wobei p q = 1 ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß bei w-maligem Versuch E

!) Sammlung Göschen Nr. 88, § 29.

in oc, F in ß Fällen [oc + ß = n) eintrifft, ist nach § 2, S. 12: .

(i)

n\

p* qß .

w txlßl

Betrachtet man w als Funktion von oc, so wird w für ein bestimmtes oc ein Maximum werden. Sei:

n\poc~¹qß+i    n\pa+1qß~¹

1)105 + 1)! ’ W+1= (*+ 1)108 -IJT’

so muß, wenn w das Maximum ist:

w > w_₁ ,

sein. Die Ausrechnung ergibt:

ßp +p> addiert man durchweg ocp₎ so folgt:

w₊1 < w

(2)

ßp<<xq + q\

np-\-p>oc>np — q .

Mithin liegt die ganze Zahl oc zwischen zwei im allgemeinen nicht ganzzahligen Werten, deren Unterschied p + q = 1 ist; hierdurch ist oc im allgemeinen eindeutig bestimmt. Sind ausnahmsweise die Grenzen ganze Zahlen, so kann oc jede dieser Zahlen sein; z. B. gibt die Annahme n = 101, p = -f, q = \ für oc den Wert 68 oder 67.

Addiert man zu (2) überall ß q, so findet sich :

n(i —p < ß <nq + q •

Mithin ist:

(3)

oc nahezu — np

ß nahezu = nq .

Unter der Voraussetzung, daß n, oc, ß hinlänglich groß sind, kann w nach der Stir ling sehen Formel berechnet werden. Man erhält:

_______-i/. n

oc\ ß\ осл ßß \ 2nocß also wird aus (1):

n\

nn

/wüWwöVi/ n

Ws==\v) v/Г/ V²”<*ß '

Dies gilt noch für jedes mit oc + ß = n verträgliche Wertepaar oc, ß ; setzt man die in (3) angegebenen Näherungen ein, so ergibt sich für das Maximum von w die Näherung:

(4)

(5)

w₀ =

У 2 n np q

2. Es handelt sich nun darum, auch für w selbst einen Näherungswert zu ermitteln, falls oc, ß Werte annehmen, die von np, nq sich nicht allzuweit entfernen. Erweitert man in (4) rechts mit \np q, so wird:

ßH

oder, da

—&)•(?) ® - (1Î

---•(?)'• ФГ

von 1 wenig verschieden sind :

Logw = Logw₀ — oc Log—--ßhog—- .

Sei nun:

np

nq

(6)

tx = np + kfn, ß = nq — k^n,

ferner :

А = oc Log-—

np ’

В = ß Log

Mit Hilfe der Reihenentwicklung für den natürlichen Logarithmus ergibt sich:

A — A ]>rn- • (l H---

A²

3 р² п

und bei Vernachlässigung von Gliedern der Ordnung n_r, wo r

\ ist:

А = А У n -j-

ebenso

B = —Afïi +

Folglich ist:

also:

А² ( 1    1 \ Я²

⁼ Tt + 7j ⁼

(7)

• e ²*>(i

- Wq • 6 ~

Wir setzen jetzt А ]/ /г = x und verfügen über A so, daß X eine ganze Zahl ist, ebenso ersetzen wir np durch die nächstliegen de ganze Zahl a₀ ; für w₀ wird sein Wert (5) eingeführt und w durch у ersetzt. Alsdann ist genähert:

Ж²

2 npq

]/2 лпр q

die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt von E in (x₀ +x Fällen. Nimmt man :

x = 0, +1, +2, . .    +r,

+r

so ist 2>n die vollständige Wahrscheinlichkeit für den

-r

Eintritt von E in mindestens (\₀ — r und höchstens a₀ + r Fällen; nach § 14, S. 53 kann man dafür schreiben:

|2 np q

(fJ)

У2 np q

dann wird, wenn 0(y) die in § 14, (4) angegebene Bedeutung hat:

(10)

ra

n

*-r = /-

J ]/2 л npq

Um vollends auf das Wahrscheinlichkeitsintegral zu kommen, setzen wir:

(8)

-r

2npq

ß

dx -|——

2 npq

У 2 л np q

w-r = 0(y) + w₀    .

Für einigermaßen beträchtliche Werte von n kann man in (8) und (10) das zweite Glied rechts unterdrücken.

Die Gleichungen (3), (5) und (10) bilden zusammen das Theorem von J. Bernoulli¹): (3) gibt an, für welches Wertepaar oc₀, ß₀ die Wahrscheinlichkeit des tX, ß-maligen Eintreffens von E, F das in (5) angegebene Maximum w₀ erreicht, (10) enthält eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit, daß E in mindestens <x₀ — r, höchstens

a₀ + r Fällen eintrifft, wobei y —

|2npq

ist.

§ 16. Folgerungen aus dem Theorem von Bernoulli, das Gesetz der großen Zahlen.

1. Zunächst soll ein Zahlenbeispiel zu den Formeln des § 15 durchgeführt werden. Wir wählen n = 100 ; p = 0,7 ; q = 0,3 ; dann wird <x₀ = 70 , ß₀ = 30 ; w₀ = 0,087 . Sei ferner r = 5, so ergibt sich y = 0,772, hieraus nach S. 121 6(y) = 0,725 , w₀ • e~v² = 0,048 , w±r = 0,773 . Mit dieser Wahrscheinlichkeit steht also

!) Der Satz wurde erst von Laplace vollständig aufgestellt.

zu erwarten, daß das Ereignis E in wenigstens 65 und höchstens 75 Fällen eintreffen werde.

Die Ergebnisse werden noch anschaulicher, wenn man von einem bestimmten Wert von 0(y), nämlich 6(y) = \ ausgeht, der zugehörige Wert y = 0,477 sei mit q bezeichnet. Soll nun w±rr = werden, so erhält q eine geringfügige Verbesserung Aq , die in dem Zusatzglied der Formel (10) unberücksichtigt bleiben kann. Man hat also:

e+A q.

rH ¹ CM

oder

= -^L fie~⁽‘dt + w₀ • e~e'

i*J

о

Q + Aq

=    /e~^dt + w₀ • e-^².

Aber auch für das Integral kann e~t2 konstant = angenommen werden; somit ist:

Aq =

2 У2npq

In obigem Beispiel wird Aq = — 0,077 ; y = q + Aq = 0,400 ; hierzu gehört r = 2,6 .

2. Wir wollen nun n so groß wählen, daß man ohne Schaden der Genauigkeit Aq vernachlässigen kann. Bezeichnet man mit и den zu y = q gehörigen Wert von r, so folgt: и = q у2 np q . Nun wird p q = p(l — p) ein Maximum für p = q = -, und da A q stets < 0 ist, so wird:

ej/тг = °>³³⁷

der größte Wert von r unter der Voraussetzung w±rr = \. Für n = 4040 wird z. B. in runder Zahl и = 21; also kann man 1 gegen 1 wetten, daß bei 4040 Würfen mit einer Münze mindestens 1999mal und höchstens 2041 mal Wappen lallt. Bei Buffons Versuch (vgl. S. 40) ergab sich die Zahl 2048.

Wie man sieht, wächst и zugleich mit n, aber nicht wie n selbst, sondern nur wrie У n.

3. Kehren wir nochmals zu den Endformeln des § 15 zurück; das Zusatzglied soll vernachlässigt und у als gegeben betrachtet werden. Die relative Häufigkeit von E

ist dann zwischen den Grenzen hin ist:

enthalten, mit-

«0 + r

f-r

] n

A = ±- = ±y n

die zu erwartende Abweichung gegenüber —-. Nun ist

n

schon für у = 2 der Wert Q(y) von 1 sehr wenig verschieden; läßt man also n unbegrenzt wachsen, so kann man mit beliebig großer Wahrscheinlichkeit die Zahl A unter jede angegebene Grenze herabdrücken. Dies ist der genaue Ausdruck des Gesetzes der großen Zahlen.

Es liegt nahe, die Erfahrung zum Vergleich heranzuziehen, und dies ist auch in umfangreichem Maß geschehen (Lotterien, Versuche mit Münzen, Würfeln u. a.). Hierbei kann jedoch schon für ein kleines n zufällig А = 0 sein und für ein großes n sich ein Wert von А ergeben, welcher den erwarteten erheblich übertrifft. Ferner setzen z. B. unsere Formeln ideale Würfel voraus, bei denen alle Würfe gleich möglich sind; von den zu den Versuchen benutzten Würfeln gilt dies sicher nicht. Ein minder anfechtbares Beispiel liefert die Verteilung der Endziffern einer Zahlentafel, obschon auch diese kein Werk des Zufalls sind; so enthält die in den fünfstelligen Tafeln von F. G. Gauß S. 118—120 angegebene Sehnentafel 109 mal die Endziffer 0, der Theorie nach sollte diese 0,1*1080 =108mal auftreten (vgl. S. 7).

Erwähnt sei noch, daß Poisson dem Theorem von Bernoulli eine Erweiterung für den Fall gegeben hat, daß sich die Wahrscheinlichkeiten während der Versuche ändern; wir können jedoch hierauf nicht eingehen.

IV. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeit auf Grund der Erfahrung.

§17. Wahrscheinlichkeit der Ursachen; Beispiele hierzu.

1. Es seien r Urnen UXl U₂ , . . Ur vorhanden, deren jede eine Anzahl von weißen Kugeln enthält; für jede Urne Ui sei die Wahrscheinlichkeit Wi des Zuges einer weißen Kugel bekannt. Jemand tritt an die Urnen heran, zieht eine Kugel und teilt mir mit, daß sie weiß ist. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Kugel der Urne Ui entstammt?

Will man die Frage auf den Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung zurückführen, so nehme man an, daß die Urne Ui im ganzen щ Kugeln, darunter weiße enthält. Nun vermehrt man die Kugeln unter Beibehaltung ihres Zahlen Verhältnisses so, daß:

(i)

Wj —    ^2 — • • • •—-    — TI

wird; hierdurch ändert sich an den Wahrscheinlichkeiten nichts. Dann ist die Zahl der günstigen Fälle a*, diejenige der möglichen:

^1 al + ^2 a2 + • • * + К nr >

daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Wi==

__Kai_

К a\ + ^2 a2 + • • • + К nr

Ersetzt man hier die Größen Я durch ihre aus (1) folgenden Werte, hebt n weg und beachtet, daß <ц : n{ = ist, so folgt:

(2)

u\

W₁ + w₂+ ... +wr '

Wi erscheint hier als relative Wahrscheinlichkeit, was sich auch unmittelbar begründen läßt. Schon das in § 1,

S. 8 erwähnte Beispiel läßt sich nach (2) behandeln ; die dortige Frage ist gleichbedeutend mit der, ob die Goldmünze aus dem Kästchen В stammt; nun ist wx = 1, w₂=i, also \ : (1 + \) =

Es kann Vorkommen, daß für die Wahl der Urne TĄ eine besondere Wahrscheinlichkeit щ besteht, etwa wenn die Urnen mit verschiedenem Anstrich versehen sind und die Versuchsperson bestimmte Farben bevorzugt. In solchen Fällen muß man in (2) die Wahrscheinlichkeit wi ersetzen durch die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit щ wi ; das Ergebnis ist alsdann:

(3)

W{ =

Щ Wi

U\ W\ + U2 W2 + • • • + Щ wr

Um die allgemeine Bedeutung dieser Formel übersichtlich darzustellen, bedienen wir uns der in § 3 eingeführten Bezeichnungsweise; unter den Ui verstehen wir Ursachen, die einander ausschließen und deren jede das Ereignis E herbeiführen kann; И⁷(А, B) ist die Wahrscheinlichkeit, daß A unter der Voraussetzung В eintrifft. Gl. (3) lautet dann:

W(Ui) • W(E, Ui)

mUi,E)

für Gl. (2) kommen die W(UX) in Wegfall.

W(U,)-W(E, U₁) + ... + W(Ur)-W(E, Ur)

2. Eine Urne enthält weiße und schwarze Kugeln in der Gesamtzahl n ; der erste Zug liefert eine weiße Kugel, welche wieder zurückgelegt wird; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, <x) daß m weiße Kugeln vorhanden sind, ß) daß der zweite Zug nochmals eine weiße Kugel gibt?

<x) Enthält die Urne 1, 2, . . ., n weiße Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu bekommen: 1/w, 2/w, . . ., njn \ die Summe dieser Zahlen ist n(n -f 1) : 2 n — {n + 1) : 2 .

Gl. (2) gibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit; der Zähler ist m : n, der Nenner (n -f-1) : 2 , also:

2 m

n(n + 1)

ß) Hier ist die Wahrscheinlichkeit, daß m weiße Kugeln vorhanden sind und der zweite Zug wieder eine weiße Kugel gibt:

tn

w ______

w n

2 m²

= pm-

n²(n 4- 1)

Hieraus folgt die verlangte Wahrscheinlichkeit:

p=p₁+p₂+...+p„

d. h.

n²(n +1)

_! + _

3    3^’

also:

<N ico

limP =    .

n = oo

Würde die gezogene Kugel nicht zurückgelegt, so würde man erhalten:

Pm =

2 m(m — 1)

(n + 1) • n • (гг — 1)

p=i

Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

3. Bei der eben durchgeführten Rechnung setzten wir voraus, daß das Vorhandensein jeder Anzahl von weißen Kugeln gleich wahrscheinlich sei. Wir wollen jetzt annehmen, die Urne sei in folgender Weise gefüllt worden: A hat eine Münze w-mal in die Luft geworfen, je nachdem sie Schrift oder Wappen zeigte, hat er in die Urne eine weiße oder schwarze Kugel gelegt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Vorhandensein von r weißen Kugeln (§ 2):

-с)шг=етг

ur

Diesmal muß Gl. (3) benutzt werden: der Zähler i>t:

Um' —

/п\ /1 \w m / n — 1 \ / 1 \n \m) \ 2J * n ⁼ U- 1/ \2/ ’

der ISTenner:

ri\

• ii

TH cm

Differentiiert man die Identität:

(1 +xf = l +

-l

nach X und setzt x = l, so erkennt man, daß der in eckigen Klammern stehende Ausdruck den Wert n • 2n hat. Mithin ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter der neuen Annahme:

Für n — 6 , m = 3 wird Wm = l ,    .

§ 18. Stetig veränderliche Ursachen.

1. Der Fall einer stetig veränderlichen Ursache kommt häufig in folgender Form vor. Ein Ereignis E habe die unbekannte Wahrscheinlichkeit x ; in n = oc + ß Fällen ist E tatsächlich д-mal eingetroffen und ß-mal ausgeblieben; dieses Ereignis F hat, da eine bestimmte Reihenfolge vorliegt, die Wahrscheinlichkeit a priori:

(i)

w — æ*(l — x)ß .

Man kann nun x als Ursache von F auffassen; x ist zwischen 0 und 1 enthalten und stetig veränderlich. Dann ist die unendlich kleine Wahrscheinlichkeit, x habe bei den n Versuchen zwischen x und x + dx gelegen, proportional zu w • dx, also etwa к • w • dx. Mithin ist die Wahrscheinlichkeit, x habe zwischen den Grenzen a, b (a < b) gelegen :

b

= kjwdx.

а

Für а = 0 und 6 = 1 muß W = 1 sein ; also :

i

1 = kjw dx . о

urch Division wird к eliminiert; es folgt:

b    1

(2)

=jw dx :jw dx .

а    0

Diese, zu § 17, (2) analoge Formel wurde unter der Annahme aufgestellt, daß alle Werte von x gleich wahrscheinlich seien. Kommt hingegen jedem Wert von x eine besondere, als Funktion von x zu betrachtende Wahrscheinlichkeit и zu, so tritt an Stelle von w die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit uw\ die Gl. (2) ist zu ersetzen durch:

(3)

Dies ist die Übertragung von § 17, (3) auf den Fall der stetig veränderlichen Ursache; auch diese Formel läßt sich verdeutlichen, wenn man die Zeichen:

и = W(x) , w = W(F, x)

einführt.

2. Wir wollen noch feststellen, für welchen Wert der Veränderlichen x der Betrag von w möglichst groß wird. Differentiiert man (1) logarithmisch und setzt die Ableitung = 0, so folgt:

oc

d. h.

(X

oc

oc + ß n ’

X oc + ß ;

daß diese Werte ein Maximum von w bedingen, ist leicht ersichtlich. Man hat also das Ergebnis: w wird ein Maximum, wenn man für x und 1 — x die Wahrscheinlichkeiten a posteriori wählt.

3. Zum Schluß berechnen wir das in (2) auftretende Integral :

i    i

J(oc, ß) = Jw dx = Jx* (1 — x)ß dx о    о

(5)

Die Integration nach Teilen liefert sogleich:

OC I

/(*,/?) =

Beachtet man die Identität x = 1 — (1 — x), so wird der letzte Integrand: infolgedessen ist:

oc -f*1

und

x*(l — хУ'¹ — xa(l — xY ,

</(«,/?) =

J(oc,ß-1).

я + ß + 1

Setzt man diese Schluß weise foit, bis man bei:

angelangt ist, so findet sich:

(6)

ß'-

x\ß\

(« +1) (« + 2)7. .(* + 0 + 1) (» +1) ! '

Schreibt man statt dessen :

1    <x\ ß\

n + 1 w !

und wendet die Stir ling sehe Formel an, so wird:

A*,ß) =

J(oc,ß) =

¹ .i/²**ß.( *)“.(№.

W+l j n \n]    \n]

Für große n kann man n + 1 durch n ersetzen und hat die Näherungsformel:

(1)

J(x,ß)

пъ

§ 19. Das Theorem yon Bayes.

1. Die vorstehenden Entwicklungen führen unmittelbar auf den in der Überschrift genannten Satz. Unter der

Annahme, daß alle Werte von x gleich möglich sind, suchen wir diejenigen Beträge von W, welche zu einem in der Nachbarschaft von p = <x/n liegenden Wert von x gehören.

Man setzt also in § 18, (2): a = p — £, b = p -f- e, wo e eine kleine Größe bedeutet; dann ist nur noch das erste Integral Z auszuwerten.

so wird :

Sei: x = p z : q = 1 — p =

p + e    +e

=j w dx = f(p + %Y (q — %Y dz

_ p<x qß

'/МГЮ

/>

dz .

Da ж eine kleine Zahl ist, so kann man:

■).

Losil-jï~~piî ⁺ W

setzen; also wird der Logarithmus des letzten Integranden:

\p qj 2 \^²    q²/

n³z2 2 ос ß

Sei nun:

2ocß so folgt:

dz

*Y(ß

2 (X ß

пъ

dt,

-Y

oder einfacher nach § 18, (7) und § 14, (4):

Z=J(x,ß)-0(y).

Nun ist /(&, ß) das zweite Integral in § 1.8, (2); mithin ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

W — 6{y) .

Der Sinn dieses, nach Bayes benannten Satzes ist folgender: ist das Ereignis E unter n Fällen л-mal eingetroffen und ß-mal ausgeblieben, so ist die Wahrscheinlichkeit a posteriori oder relative Häufigkeit von i£, nämlich л : n, zugleich die nächstliegende Annahme für die unbekannte Wahrscheinlichkeit a priori, welche dem Ereignis E zukommt; eine Abweichung e von a : n ist mit der Wahrscheinlichkeit 0(y) zu erwarten, wo у den oben angegebenen Wert hat.

2. Da л , ß im allgemeinen mit n von gleicher Größenordnung sind, so kaDn man über n so verfügen, daß zu einem gegebenen e die Wahrscheinlichkeit 0(y) der Einheit beliebig nahe kommt; dieser, auf das Theorem von Bayes gegründete Schluß ist die Umkehrung des Gesetzes der großen Zahlen.

Sei, um noch ein Zahlenbeispiel durchzuführen, ос = 6 • 10³, ß = 4 -IO³, n = IO⁴, e = 10~², so wird:

r = £]/-

в(у) = 0,96 ;

= 1,44 ;

Tö³" io

48

/48

man kann also 24 gegen 1 wetten, daß die Wahrscheinlichkeit a priori zwischen 0,59 und 0,61 enthalten war; nimmt man hingegen unter sonst gleichen Voraussetzungen e = IO⁻³, so ergibt sich у = 0,144, 6(y) = 0,161; erst für л = 6*10⁵, ß = 4*10⁵, n = 10⁶ gehört zu £ = 10"3 wieder der Wert 6(y) = 0,96 . Will man daher eine

Wahrscheinlichkeit auf empirischem Weg mit einiger Genauigkeit bestimmen, so muß die Zahl der Versuche sehr groß sein.

§ 20. Wahrscheinlichkeit zukünftiger Ereignisse.

1. Nach § 17, (3) ist, wenn alle Buchstaben ihre Bedeutung beibehalten:

UiWi

ui wi + Щ w2 + • • • + Ur wr

die Wahrscheinlichkeit a posteriori der Ursache ^. Ein bevorstehendes Ereignis G möge aus jeder der Ursachen mit der Wahrscheinlichkeit a priori hervorgehen können ; dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß G aus Z7* entspringen wird: ViWi'j mithin die vollständige Wahrscheinlichkeit von G :

SB = vtwi + v₂wi+ ... + vr w;,

oder:

u\ v\ wi + U2 V2 W2 + • • • + urvr u\ ux W\ + u₂ w₂ + ... -f- ur wr Die Formel vereinfacht sich, wenn alle щ gleich sind.

Eine Urne enthalte 3, schwarze oder weiße Kugeln; 3 Versuche, mit jedesmaligem Zurücklegen der Kugel, ergaben 2 weiße, 1 schwarze Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der nächste Versuch eine weiße Kugel liefert?

Als gleich wahrscheinliche Ursachen sind anzusehen das Vorhandensein entweder von 2 weißen, 1 schwarzen oder von 1 weißen, 2 schwarzen Kugeln. Das Versuchsergebnis hat in dem einen oder anderen Fall die Wahrscheinlichkeit a priori:

(2\² 1

(1) 28 =

w’ ⁼ l3

w₂

=(!)'

CM I 00

Aus Ux geht das künftige Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit    , aus U₂ mit der Wahrscheinlichkeit ^

hervor; die щ fallen weg, also ist nach (1):

28 =

2-4 + 1.2 _

28

(2)

Auch hier tritt eine Vereinfachung ein, wenn и konstant ist.

3. Die wichtigste Anwendung ist folgende. Ein Ereignis ist in n = oc + ß Fällen л-mal eingetroffen, ß-msl ausgeblieben; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in weiteren nx = осг + ßx Fällen das Ereignis д^-mal eintreffen, /+mal ausbleiben wird?

Wir gehen von (2) unter Annahme eines konstanten Wertes von и aus; dann ist:

w = xa( 1 — xf ,

• xai(l — x)P* ;

V .

V — ———

V/V

der Koeffizient bei v ist beigefügt, da wir über die Reihenfolge der zukünftigen Fälle nichts wissen ; ein derartiger Faktor bei w würde das Ergebnis nicht beeinflussen.

Mit Hilfe von § 18, (6) lassen sich die in (2) auftretenden Integrale, aus welchen и wegfällt, sogleich ausführen ; man erhält die von Condorcet aufgestellte Formel :

(3)    28 =

(л + ćXj)! (ß + ßi)\ (n + 1)! nx\

(x \ (Xx\ ß\ßx\ (/г + vx + 1)!

SB« =

2 Уnnpq

wenn p — oc : n, q = ß : n ist. Vergleicht man dies mit § 15, (5), so wird:

(5)

Die Formel kann auch in Binomialkoeffizienten geschrieben werden. Nimmt man = oc, ßx = ß, nx — n an und benutzt die Stirlingsche Formel, so ergibt sich, da (n + 1) : (2 n + 1) für unbegrenzt wachsendes n nach 1 : 2 konvergiert:

(2 oc)\

2³*

<M

2²/*

(*!)*    » {ß\y

ißл ’

У11 71 22n+l ?

mithin :

Щ = 2B₀ /2 ;

die Verschiedenheit der Ergebnisse rührt davon her, daß in §15 p,q die sicher bekannten Wahrscheinlichkeiten a priori waren, wogegen in (4) p, q die aus n Versuchen ermittelten Wahrscheinlichkeiten a posteriori sind.

Ist allgemein nx = Я n, ^ = 1^, ßx = Я ß, so ergibt eine dem § 15 entsprechende Untersuchung, daß man in den dortigen Gleichungen (5), (9) und (10) n, durch /гх(Я + 1), 2Ö₀ , 28±£ ersetzen muß; ist dann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses in oct — r bis a₁ -f- r Fällen. Je größer also nx gegen n ist, desto größer wird Я und desto unsicherer die Vorher-sagung.

§ 21. Empirische Wahrscheinlichkeitsbestimmung.

Wie wir schon in § 1 sahen, wird die Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit a priori erschwert durch die Forderung der Gleichwertigkeit der möglichen Fälle,

welch letztere kaum jemals sicher feststehen dürfte. Beim Würfel kann die Bearbeitung der Würfel flächen, die Art des Würfelns, die Beschaffenheit des Spieltisches . einen Einfluß ausüben; beim Zug aus der Urne können die Kugeln mehr oder weniger gut gemischt worden sein ; die Zahl der Endnullen auf einer Seite der Logarithmentafel ist durch die Eigenschaften der Zahlen völlig bestimmt. Wenn wir trotzdem die Fälle als gleichwertig behandeln, so tun wir dies, weil wir über ihre Beschaffenheit nichts Näheres wissen, und wir dürfen es tun, solange nicht das Ergebnis unserer Überlegung in auffallenden Widerspruch zu der Erfahrung tritt. Beobachten wir, daß ein Ereignis bald eintrifft, bald ausbleibt, so sagen wir, dies sei das Werk des Zufalls; in Wirklichkeit ist jedes Ereignis, jeder Tatbestand abhängig von einer Menge von Ursachen, die einander bald verstärken, bald auf heben: aus diesem Grund stimmt die Zahl der Endnullen in einer Logarithmentafel annähernd mit der a priori zu erwartenden überein.

Die hervorgehobenen Mängel der Wahrscheinlichkeitsbestimmung a priori haften natürlich auch denjenigen Problemen an, in welchen die Zahl der Fälle unendlich ist oder die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe zusammengesetzter Formeln ermittelt wird.

Im Hinblick hierauf darf die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit a posteriori das gleiche Recht beanspruchen, als wissenschaftliche Methode angesehen zu werden. Hierzu kommt das ausschlaggebende Moment, daß fast auf allen Gebieten der Anwendungen die Wahrscheinlichkeitsbestimmung a priori ein Ding der Unmöglichkeit ist. Fragt man: welches ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Theodolit einen Winkel auf n” genau zu messen, oder die Wahrscheinlichkeit, daß eine Operation gelingt, oder

diejenige, daß ein jetzt 30jähriger Mann 70 Jahre alt wird, so haben alle diese Fragen einen wohl begründeten Sinn, aber nur die Erfahrung kann die Antwort geben; nicht die deduktive Untersuchung der Urteilsmaterie löst die Aufgabe, sondern die empirische Zusammenstellung der relativen Häufigkeit des Ereignisses in den seither beobachteten Fällen. Andererseits haben wir am Schluß von § 19 und § 20 die Schwierigkeiten kennen gelernt, welche einer empirischen Bestimmung der Wahrscheinlichkeit entgegen stehen: nur ein sehr umfangreiches Beobachtungsmaterial liefert genaue und weiterhin verwendbare Ergebnisse.

Man wird also Poincaré beipflichten müssen, wenn er am Schluß seiner Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung¹) erklärt, daß schon das Wort „Wahrscheinlichkeitsrechnung“ einen Widerspruch in sich schließt, und das Verdienst dieses Zweigs der Mathematik darin besteht, uns zu zeigen, „daß wir nichts wissen können“.

*) Vgl. S.7.

V, Abschnitt.

Theorie der Beobaehtungsfehler.

§ 22. Einteilung der Beobachtungsfehler; wahre und scheinbare Beobachtungsfehler.

1. Man unterscheidet grobe, regelmäßige (systematische) und zufällige Messungsfehler. Erstere, durch Nachlässigkeit des Beobachters herbeigeführt, scheiden aus unserer Betrachtung aus; die Fehler der zweiten Gruppe können, soweit sie ihren Grund in der Beschaffenheit der Meßinstrumente haben, durch Untersuchung der Meßwerkzeuge vorher berechnet und unschädlich gemacht werden; in diese Gruppe gehört ferner der Einfluß der Erdkrümmung, der normalen Strahlenbrechung und ähnliches. Es bleiben noch die jedem Beobachter wohlbekannten zufälligen Fehler; diese haben allgemein folgende Eigenschaften: sie entspringen einer großen Zahl von möglichen Ursachen, sie können ebensowohl positiv als negativ sein, ihre Häufigkeit nimmt mit wachsender Größe rasch ab; endlich überschreiten sie eine gewisse Grenze nicht, aber diese Grenze rückt mit der Zahl der Beobachtungen immer weiter hinaus.

Daraus folgt, daß die Unterscheidung zwischen groben und zufälligen Fehlern keine ganz scharfe ist; gerade in dieser Beziehung wird sich die Theorie der Beobachtungsfehler nützlich erweisen. Allein auch zwischen regel-mäßigen und zufälligen Fehlern wird in der Praxis nicht immer streng unterschieden; z. B. ist es bei der Winkel-messung mit einem gewöhnlichen Feldmeßtheodolit nicht üblich, die Achsen- und Teilungsfehler in Rechnung zu stellen, man richtet vielmehr die Beobachtungen so ein, daß diese Fehler bald positiv, bald negativ auftreten und dadurch den Charakter zufälliger Fehler erlangen.

2. Den Gegensatz zwischen wahren und scheinbaren Beobachtungsfehlern wollen wir an einem Beispiel kennen lernen. Die Polhöhe einer Sternwarte sei durch mehrjährige, sorgfältige Messungen auf 0,1" genau bestimmt; den so gefundenen AVert yj wird man mit großer Annäherung als wahren Wert der (ohnehin nicht ganz konstanten) Polhöhe betrachten dürfen. Nun mißt man an einem Abend mit einem kleinen Universalinstrument, welches nur 20" Nonienablesung gibt, n-mal die Polhöhe und findet die Werte щ, yi₂ > • . , Wn 5 alsdann gilt das arithmetische Mittel aus diesen Beobachtungen:

Wo =

W1 + W2 +•••+¥>«

als wahrscheinlichster Wert (Axiom vom arithmetischen Mittel). Die Unterschiede w* = yj — y\ nennt man wahre, die Unterschiede г\ = ?/;₀ — y\ scheinbare Beobach tun gs fehl er; da yj = yyщ, Wo — Wi + vi ist? so sind vi die anzubringenden Verbesserungen und nicht die Fehler, die angegebene Bezeichnung ist aber allgemein üblich.

In den meisten Fällen ist der wahre Wert einer unmittelbar zu messenden Größe nicht, oder wenigstens nicht mit absoluter Genauigkeit bekannt; denn in der Regel sind die zu messenden Objekte geometrisch nicht streng definiert, außerdem unterliegen sie zeitlichen Veränderungen. Man wird indessen dem wahren Wert einer Beobachtungsgröße immer näher kommen, je genauer man die regelmäßigen Fehler kennt und je zahlreicher und sorgfältiger die Messungen sind.

§ 23. Das Fehlergesetz au! Grund des arithmetischen Mittels (C. F. Gauß).

1. Für eine zu bestimmende Größe haben die Beobachtungen die Werte xx, x₂ , . . xn ergeben; welches ist die Wahrscheinlichkeit, daß der wahre Wert zwischen z und z + dz liegt?

Das Ereignis besteht in dem Auftreten der n Beobachtungen, als Ursache gilt der Wert von я. Sei nun cp(xr,z)dxr die Wahrscheinlichkeit, daß die rte Beobachtung zwischen xr und xr dxr fällt, so ist:

W = (p(x₁, z) • (f{x₂ , z) • ... • (p(xn, z) dxx dx ₂ . . . dxn

die Wahrscheinlichkeit des Beobachtungssystems. Die Wahrscheinlichkeit a priori, daß die Ursache я in das Intervall dz falle, sei:

и = rp(z) dz .

Da ж zwischen — oo und    enthalten sein kann,

so ist nach den Regeln über die Wahrscheinlichkeit der Ursachen die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

+ 00

(1)

W = uw :

: juwdz .

- oo

2. Wir vereinfachen nun die Rechnung durch folgende Annahmen :

сX) ip(z) sei konstant, d. h. jedes г gleich wahrscheinlich, ehe über die Beobachtungen etwas bekannt ist;

ß) das Axiom vom arithmetischen Mittel soll gelten, d. h. es soll:

99(xx, z) • 99(x₂, z) • ... • cp(xn, z) = Maximum

xi + x2 • • • H~ Xn

[x]

sein, wenn z —

= ---- ist¹). n

y) cp(xr,z) = <p(z— xr), d. h. die Wahrscheinlichkeit einer Beobachtung soll nur von der Größe ihres Fehlers abhängen.

Da aus (1) auch die dxr fortfallen und das Integral einen konstanten Wert besitzt, so muß, wenn vr = z — xr gesetzt wird:

99(^1) • 99(^2) • . . . • 99 (vr) — Maximum

sein. Hierzu tritt die aus ß) sich ergebende Bedingung: n z — [xj = \z — x] = 0 oder:

(2)

M = »1 + «’2 + • • • + vn = 0.

Differentiiert man die vorangehende Gleichung logarith-misch nach z und setzt:

F(vr)

so muß auch:

₌ <p\vr)

<P(vr) ’

(3)

F(Vl) + F(v₂) + • • • + F(vn) = 0 sein; (2) und (3) sagen offenbar das gleiche aus, wenn — für Я als eine Konstante —:

F(vr) = 2 Я vr

ist; man zeigt auch leicht die Unmöglichkeit einer anderen Lösung. Hieraus folgt weiter, mit fx als zweiter Konstante:

x) Die Bezeichnung [я] ist aus einem Summenzeichen entstanden und wird gelesen: „Summe der x“; wir werden sie auch künftig benutzen.

Log (p (vr) = Xv²r + Ц ,

(p(vj) — e^vr +/« = ef* e*v?.

Läßt man den Zeiger r weg, beachtet, daß (p(v) mit wachsendem v abnehmen, also Я = — h² sein muß, und ersetzt et* durch (7, so wird:

<p(y) = a-e-*²*².

+ 00

Gemäß der Bedeutung des Buchstabens cp ist / <p(r)    = 1,

— oo

folglich (§13, S. 51):    J

CrÆ-1

h

o—t

Ул:

Damit ist das nach C. F. Gauß benannte Fehlergesetz aufgestellt :

9? (г;) =

A²t>²

/л

3. Vorstehende Herleitung ist, wie auch Gauß selbst bemerkt hat, durchaus nicht einwandfrei, vor allem infolge der willkürlichen Voraussetzungen a) und 7); in der Tat lassen sich auch minder einfache Fehlergesetze auf stellen, welche von diesen Einschränkungen frei sind. Zur Rechtfertigung von ß) kann man anführen: % als arithmetisches Mittel der x genügt auch der Forderung einer kleinsten Quadratsumme der Fehler; in der Tat folgt aus:

(z — xx)² + (z — x₂)² + . • • + (z — xn)² = Minimum

durch Differentiieren sogleich : n z = \x\, wie oben.

Nimmt man ferner an, der Mittelwert z₀ bestimme sich aus:

Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

«o = * ;

und die xr unterscheiden sich nur wenig von z₀, so gilt angenähert:

n f{*o) = [f{*0 + Ж — X₀)} = n f(x₀) + f'(x₀) • [x — *₀] , [x — x₀\ = 0,    «₀ = M,

d. h.

man wird also auf das arithmetische Mittel geführt, welches auch die Funktion f sei.

Bedeutet endlich ж wie anfangs den wahren Wert, z₀ das arithmetische Mittel und setzt man gemäß (4):

WO

hn

Ф=Ц<р(х-хг)^—е~

h°-N

N=nz²—2nzz₀-\- [x²] — n(z — z₀)² + [x²] — nz$ ist, so ergibt sich der Mittelwert ja von % — z₀ aus¹):

4-00    -f-oo

/л = J(z — z₀) Ф dz : j Ф dz .

- oo

— oo

Ersteres Integral ist bis auf einen konstanten, endlichen Faktor:

+ 00

I (z — ZQ) e-Ä²n(z-Zo)² — Z₀) ;

— oo

mithin verschwindet es, weil der Integrand eine ungerade Funktion von % — z₀ ist; das zweite Integral verschwindet nicht, folglich ist ja — 0, d. h. bei Annahme des Gaußschen Gesetzes ist das arithmetische Mittel z₀ der Durchschnittsbetrag der unendlich vielen wahren Werte z. Ein zwingender Grund zugunsten des arithmetischen Mittels und des Gaußschen Fehlergesetzes liegt natürlich auch hierin nicht.

*) Deutet man z - z₀ als Koordinate, Ф als Masse eines materiellen Punktes einer Geraden, so ist /г die Koordinate des Schwerpunktes; vgl. Sammlung Göschen Nr. 88, §40.

oder

/sinoc , sin 2 oc \ oc

\    71 — OC

•>=--2

sin3 oc

3 oc .

Läßt man nun oc unbegrenzt abnehmen, so geht die linke Seite in das vorgelegte Integral, die rechte in л/2 über; daher ist:

oo

(i)

/*

X    Л

— dx = —

(2)

2. Ersetzt man in (1) x durch px, so ergibt sich: f sinp x

J~*

0

dx =

wo das + Zeichen für positive, das —Zeichen für negative p gilt; ist p = 0 , so verschwindet auch das Integral. Hieraus folgt unmittelbar, daß die Differenz:

oo

^    1 Г зт(ж — и) Я

~ л]    Я

О

oo

den Wert 0 hat, wenn х<и oder > и + du ist (du> 0 vorausgesetzt); für и < x < и + du gilt /1=1; an den Grenzen x = и und x = и + du ist А = \. Da nun:

d sin (и — ж) Я

UH

sin (u Ą- du — х) Я — sin(w — ж) Я —

= Я • cos (ж — и) Я • du

ist, so ergibt sich durch Vereinigung der Integrale:

du

+ 00

du

A = ^~

jCOS(ж

— и) Я • dl .

- oo

Fügt man dem letzten Integranden die ungerade Funktion г sin (ж ~ и) X hinzu, so folgt:

+ 00

(3)

du

2 71

ei(x-u)kdl

— oo

wenn die Werte x — и und x = и du ausgeschlossen werden und im übrigen die angegebenen Grenzen gelten.

§ 25. Die Begründung des Fehlergesetzes durch Bessel.

1. Das Fehlergesetz von Gauß bezieht sich auf scheinbare Fehler v\ Bessel geht bei seiner Herleitung des Fehlergesetzes auf die Entstehung der wahren Fehler и ein; er nimmt dabei an:

tx) и kommt zustande als Summe einer großen Zahl n von Elementarfehlern хг, x₂, . . ., xn ;

ß) diese Elementarfehler sind von gleicher Größenordnung;

y) positive und negative Elementarfehler sind gleich wahrscheinlich; ihre Fehlergesetze y>r(xj) sind also gerade Funktionen.

Die Wahrscheinlichkeit, daß

u=*x₁ + x₂+ ... + xn zwischen и und и -f du liegt, ist : y>(u) du = 99₁(a-₁) • <p₂ (xg) ■    ■ <p„(xn) dx₁ dx₂ .. . dxn .

Ersetzt man in § 24, (3) x durch xt + x₂ -f ... + rn, so ist Л = 1, wenn der Fehler zwischen и und и -f du liegt; führt man also Л als Diskontinuitätsfaktor ein, so wird:

2 7i • ip(u) = Je~lu?'<PdX ,

Ф = /.. .f el) Xi    .. cl'xn (fn(xn) dxx... dxn

wenn

ist; die Integrationsgrenzen sind für A : +00, für xr : +ar ; nach ß) sind die ar alle von gleicher Größenordnung. Die in Ф auftretenden Integrale können einzeln ausgeführt werden; beachtet man y) und läßt den Zeiger weg, so ist:

■+■ й    *+■ я

f(p(x) eilx dx = I (p(x) cos(A x) dx —

-а

-а

Wir entwickeln cosAx in die Potenzreihe und setzen:

Jx² 99 (x) d

X — p* ,

+ a

fx⁴ cp(x) dx =

<Z⁴,

-a

-a

nach dem ersten Mittelwertsatz liegen p, q zwischen 0 und а, da die Integration von cp(x) dx zwischen +« den Wert 1 ergibt. Die Reihenentwicklung und Integration liefert:

1 _ fJ²

q⁴A⁴

2!

4!

p²A²

(3 p⁴ - q⁴) A⁴

24

Log Ф

[:P²]

3M - fe⁴]

24

A⁴ —.

•(

3M - [<?⁴]

24

A⁴ —

Gebraucht man für die in Ф auftretenden Brüche die Abkürzungen P, Q, so folgt:

Hilfssätze über bestimmte Integrale.

§ 24. Hilfssätze über bestimmte Integrale.

88

oo

1. Um das Integral

/¹

О

dx auszuwerten, zerlegen

wir es in Teilintegrale mit den Grenzen 0, n, 2 л, ... ; dadurch verwandelt sich (Fig. 11) das Integral in eine Reihe, deren Glieder bei abwechselndem Vorzeichen gegen

smæ У ~ œ

гЛ

Fig. 11.

Null abnehmen. Folglich hat das Integral einen Sinn und einen positiven Zahlenwert.

Geht man von der für echt gebrochene x gültigen Beziehung¹) :

sin oc -j- x sin2 oc + x² sin3 oc + ...

sin oc

(x — cos oc)² + sin² oc aus und integriert zwischen 0 und æ, so wird:

x sin oc + ~2-sin 2 oc -f ... = arctg

x — cos л:

71

— OC .

sin л:

Es genügt hier, 0 < ос < я/2 vorauszusetzen, man muß aber oc = 0 ausschließen; im übrigen konvergiert die letztere Reihe, wenn 0 ^ x 1 ist. Für x — 1 erhält man :

71 — OC

sina + — sin2 oc + 3

U    ü

sin 8 oc + ... =

+ 00

2 я yj(u) = Ji

e-PA*

(1 — QA⁴ — .. .) cos(w A) dA .

Wir wenden nun § 13, Gl. (3) und (4) an und finden sogleich:

Г “

Ersetzt man k(u) durch seinen größten Wert k₀ und beachtet, daß p, ą mit a von gleicher Größenordnung sind, so ergeben sich für P, Q, k₀ die Größenordnungen n а², тга⁴, n_2a⁻⁴. Infolgedessen gehört k₀Q zur Größenordnung n ~¹, das nächstfolgende Glied, wie eine einfache Überlegung zeigt, zur Größenordnung n~² u. s. f. Da wir nun n als große Zahl voraussetzen, so ergibt sich die Näherung:

2 л гр(и)

4>(u) =

M²

.

}/2 л[р²]

Dies ist das Fehlergesetz in der von Gauß angegebenen Form, aber für wahre Fehler. Obgleich auch dieBessel-schen Annahmen nicht völlig einwandfrei sind, so ist doch die Beweisführung minder willkürlich als jene auf Grund des arithmetischen Mittels.

§ 26. Genauigkeitsmaß; wahrscheinlicher, durchschnittlicher und mittlerer Fehler.

1. Das Gesetz der wahren oder scheinbaren Fehler x einer Beobachtungsreihe sei:

(i)

<p{x) =

Ул

dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß x zwischen den Grenzen +s enthalten sei:

w(s) =

+ 8

f o-Wx* dx =

IW

2h

e~h2x*dx .

Setzt man hx = t und ist hs = y, so wird :

(2)

w(s) = 0(hs) = 6(y) .

Hieraus erklärt sich die Bedeutung von h ; hat man nämlich eine zweite Beobachtungsreihe mit den entsprechenden Größen hs\ wobei hs = ist, so folgt : w(s') = w(s). Ist also z. B. h:h' = 5:1, s : s' = 1: 5 , so ist ein Fehler zwischen 0 und + 5 s in der zweiten Gruppe ebenso wahrscheinlich, als ein Fehler zwischen 0 und + s in der ersten ; kurz gesagt, die erste Beobachtungsreihe ist 5 mal so genau als die zweite. Aus diesem Grund nennt man h das Genauigkeitsmaß.

2. Unter dem wahrscheinlichen Fehler einer Beobachtungsreihe verstehen wir denjenigen besonderen Wert r von s, für welchen :

6{hr) = 0,5 , hr = 0,477 ist; es gilt also für r die Gleichung:

(3)

r — 0,477 : h = 1 : 2,097 h .

Der durchschnittliche Fehler к berechnet sich aus:

oo

oo

к =Jx(p(x)dx :Jcp(X) dx ;

о    о

diese Gleichung kann so gedeutet werden: к ist die Abszisse des Schwerpunkts der positiven X-Achse, wenn in dem Punkt mit der Abszisse x die Masse <p(x) angebracht wird. Nun ist:

oo

oo

I X w(x) dx = Î—r / <

J

0 0

e~h2x2 d(h²x²) =

2 hfn

oo

\ Ч> И dx = ~

к = 1 : h ÿïi .

folglich :

(4)

к ist der Durchschnittswert der absoluten Beträge von x ; in ähnlicher Weise bestimmen wir den mittleren Fehler m aus:

+ 00

+ 00

= fx² (p{x) dx : j(p(x) dx ,

- oo

— oo

(hiernach läßt sich m als Trägheitsradius deuten), wobei das zweite Integral = 1 ist. Nach § 13, (2) wird:

\л

2 h³ 2 h² ’

(5)

= 1: hp .

(Wie man leicht sieht, sind -j-m die Abszissen der Wendepunkte von у = cp(x).) Somit ist: m > к > r und:

-VI

к =5

= 0,798 m ; r = 0,477 m у 2 = 0,674 m .

Mit Hilfe von § 13, (2) lassen sich solche Durchschnittswerte auch für die höheren geraden Potenzen finden; zur Beurteilung einer Beobachtungsreihe genügt indessen die Angabe von m.

3. Wir bestimmen noch die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Beobachtungsfehler den j?-fachen mittleren Fehler nicht überschreite; man braucht nur in (2) 5 = jom, also gemäß (5): hs = 0,707^ zu setzen. Man erhält das nebenstehende Täfelchen. Die letzte (auf Grund genauerer Werte der 0 berechnete) Spalte gibt an, unter wieviel Beobachtungen der jo-fache mittlere Fehler einmal überschritten wird; denn für p — 2 ist z. B. die Wahrscheinlichkeit, daß 2 m überschritten wird: 0,046;

§ 27. Genauigkeit einer Beobachtungsreihe; theoretische und wirkliche Fehlerzahl.

1. Der Unterschied zwischen wahren Beobachtungsfehlern ur und scheinbaren vr darf nur bei großer Zahl n der Beobachtungen vernachlässigt werden. Sei allgemein :

(i)

а,

1 : (1 - 0)

CO CO ÎO ^ 00 о 00 00 СО Ю 00 Oi co^co^oo^o oi о o' о cT o' o' o'

CM 00

h-* to

370

mithin wird unter 1000 Beobachtungen dieser Fall durchschnittlich 46 mal eintreten, unter 22 Beobachtungen einmal. Man wird diese Betrachtungen anwenden, wenn es sich um die Ausscheidung widersprechender Bebachtungen handelt.

ur — vr + Я ,

d. h. Я der Unterschied zwischen wahrem Wert und arithmetischem Mittel; hierbei muß [v] = 0 sein. Daher kann man Я, vl7 v₂ , ..., vn_₁ als unabhängige Veränderliche betrachten, durch welche ux, гс₂, . . ., un bestimmt sind. Nun ist die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens der и, wenn u\ + n\ -(- ... +    — \u

gesetzt wird:

(2)

h \n

У71

е-л²[мм] dUldu₂ . . . dun .

Wir führen in (2) an Stelle der и die eben genannten Veränderlichen ein; es wird zufolge (1), da [г?] = 0 :

[и u\ = \vv\ -f- n Я² ;

sowie, da un = — (v. + v₂ + ... + vn_₁) + Я ist:

1    0    ...    1

0    1    ...    1

d(Vt,v₂,    Я)

-1 —1 ... 1

den Wert der Determinante erhält man durch Addition ihrer n — 1 ersten Reihen zur letzten. Mithin geht (2) über in:

h \n

⁽³>

e-h*[vv]-nh*№    ' t # dvn_ldl .

Da nun für Я keine Grenze festgesetzt ist, so bilden wir zunächst:

— oo

Folglich ist die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens der V :

tl — 1

e-h²[vv] fa.

n- "7=-

\-(л

Hier ist h noch verfügbar; man wird die Wahl so treffen, daß das beobachtete System scheinbarer Fehler eine möglichst große Wahrscheinlichkeit erhält. Die logarith-mische Differentiation ergibt:

woraus (§ 26):

Yh _ 1

—---2 h[vv\ = 0 ,

2 h²

= ra² =

[v v]

Dies ist die von Helmert gegebene Herleitung der „klassischen Formel“:

i [v v\

(4)

sie liefert den auf Grund des Fehlergesetzes wahrscheinlichsten Wert von m.

Sind die и selbst (wenigstens näherungsweise) bekannt, so kann man unmittelbar:

n • m\ = [uu\ ,

(5) setzen. Für große Werte von n wird der Unterschied zwischen m und m₁ nnmerklich (§ 22, Schluß).

2. Eine einwandfreie Begründung des Fehlergesetzes a priori ist unmöglich; deshalb ist es von wesentlicher Bedeutung, das Gesetz mit Erfahrungstatsachen zu vergleichen. Der Weg hierzu ist folgender: aus einer Beobachtungsreihe findet man nach (4) den Wert von m und hieraus den von h. Die Anzahl der zwischen den Grenzen a und Ъ (0 ^ a <b) enthaltenen Beobachtungs-fehler ist dann der Theorie nach:

b    hb

n • /9o{x) dx — -7l=r /e~t2dt ;

J    w

a    ha

rechnet man auch die in gleicher Zahl vorhandenen Fehler zwischen —a und —b hinzu, so wird die Gesamtzahl der zu erwartenden Fehler:

v = n • {ß(h b) — 0(}i а)} .

Es folgen (in abgekürzter Gestalt) zwei Tabellen ; die erste rührt von Bessel her und bezieht sich auf Fixsterndeklinationen, welche Bradley beobachtet hatte; die

zweite hat eine in England ausgeführte Maßvergleichung (Maßeinheit 1 • 10"⁶ Yard = 0,91 Mikron) zum Gegenstand. In beiden Fällen zeigt sich gute Übereinstimmung. I. m = +1",6 .

II. m = +0,9 .

Grenzen in "

V    V

! berechnet beobachtet

Grenzen

berechnet beobachtet

cT r-T ol

Obis 0,8 8 „ 1,6 6 „ 2,4 4 „ 3,2 über 3,2

CO CO OI CD О vT OO

и OO l> OO CO

СЧ rH

0 bis 0,5 0,5 „ 1 1 „ 1,5 über 1,5 Summe n =

Summe n = 100

100

§ 28. Die Hauptaufgaben der Methode der kleinsten Quadrate.

1. Gauß hat seine (erste) Begründung des Fehlergesetzes auf die Hypothese des arithmetischen Mittels gestützt; damit gleichbedeutend ist (S. 81) die Forderung, daßdieFehlerquadratsumme \vv] ein Minimum werden soll. Um dieses Prinzip zu erläutern, geben wir noch einige einfache Beispiele¹); diese zeigen zugleich den Zusammenhang zwischen der Theorie der Beobachtungsfehler und den Aufgaben der Messungspraxis; auch § 33 enthält eine Anwendung les Prinzips.

Nr.

Beobachtet

rji    0    05    05

(M    OO    И    (M

CO^    00^    CO^    CO    00

со    со    CO    CO    CO

16.655

-16

+ 12

vv

*) Ausführliche Behandlung in Sa :::lung Göschen Nr. 302.

2. Es sei nur eine Größe gesucht und diese in n Beobachtungen von gleicher Genauigkeit gemessen; z. B. mögen für die Dichte eines Augitkristalles fünf Bestimmungen vorliegen. Das Mittel ist 3,331; hieraus ergeben sich die v (in Einheiten der 3. Dezimalstelle), die vv und

m= ]/■

478 -IO"⁶

= +0,011 .

Hierbei ist m der mittlere Fehler der einzelnen Bestimmung ; derjenige des Ergebnisses ist, wie hier nur angeführt sein möge, m :^n = +0,005 .

3. Es sollen m (2) Größen ж, у, . . ., die Elemente, durch vermittelnde Beobachtungen bestimmt werden; d. h. man beobachtet n (> m) Größen Ur :

Г = 1, 2, n

wTobei fr eine bekannte Funktion bedeutet. Kennt man Näherungswerte xQ , y₀, ... der Elemente, so ist bis auf Glieder höherer Ordnung:

fr =(*> У,•••) = fr(x0, Уо >•••) + 'ar(*•-^o)+ 'br(у — Уо)+ ••• »

WO

Sfr

ttr ~ Sx Io ’

br

dfr

Sy Io ’    •”

ist¹); wenn insbesondere fr eine lineare Funktion ist, so ist die vorangehende Gleichung genau richtig. Setzt man :

..., fr(xо , Уо , • •.) Ur — lr ,

x-x₀ = £, y~y₀ = rj so erhält man n Gleichungen, die Fehlergleichungen: ar f + br rj + ... +Zy = 0.

A) Das Zeichen /₀ bedeutet, daß nach Ausführung der Differentiation x = x₀, у = y₀, ... zu nehmen ist.

Da n > m, so sind diese Gleichungen im allgemeinen nicht verträglich; bezeichnet man den an Stelle von 0 erscheinenden Wert der linken Seite mit vfl so fordert das Prinzip, daß [vv\ = Minimum wird. Man hat also:

frr

Die Ausführung ergibt sogleich:

\aa] £ + [ab]fj + ... + [aï\ = 0 ,

¹

Sammlung Göschen Nr. 53, § 81.

[ab]Ç+[bb]v + ... .+ [«]-<>.

Aus diesen m Gleichungen, den Normalgleichungen, bestimmen sich f, rj, . . ., also auch x , y, ...

Beispiel. Zur Bestimmung der Polhöhe cp wurden Mittagshöhen der Sonne beobachtet; in nachstehender Tabelle ist U die von Strahlenbrechung und Parallaxe befreite Zenitdistanz des Sonnenmittelpunktes, t die annähernd bekannte wahre Zeit, ô die Deklination der Sonne. Unter der Annahme fehlerfreier Messungen ist: Ü=cp + Cl² — 0]

für cp kennt man den Näherungswert cp₀ = 48°43',0 ; woraus:

= 0,0314 .

225 cos cp cos <5 2 q' sin(<p — 6)

Die Elemente sind die Polhöhe cp = x und die Standverbesserung y der Uhr; ihre Näherungswerte sind xo ⁼ 9^0 un^ У о — 0 j Cy² kann vernachlässigt werden. Aus den allgemeinen Formeln wird also:

U=x + 2Cty + Ct² - Ô ,

mithin

h = 2Ct

l = cp₀ + Ct*-{V + d).

Die mit Rechenschieber ausführbare Rechnung liefert die Normalgleichungen und deren Auflösung:

8f + 0,11 rj + 1,80 = 0 0,11 f + 0,58 Y] - 0,45 = 01’ f = -0,24

= +0,82.

Mithin ist <p = cp₀ + f = 48° 42',76 , у = rj — + 0m,82 ; demnach sind die drei letzten Spalten ausgefüllt¹); aus \yv] = 0,3125 folgt²) der mittlere Fehler der U: + 0',23, sowie derjenige von op\ +0',08.

vv

Nr.

OO O G5 СЛ ^ W ŁO b-¹

43° 37',О 5° 6',8 -6га,0 -5Ш,2 -0',26 0,0676 36,0    6,7    -4,5    -3,7    +0,43    0,1849

36,3    6,7    —2,5    —1,7    —0,17    0,0289

36,0    6,7    —1,5    —0,7    +0,09    0,0081

36.3    6,7    +1,5    +2,3    -0,07    0,0049

36,7    6,7    +3,5    +4,3    -0,06    0,0036

37.3    6,6    +5,0    +5,8    -0,08    0,0064

I 37,7    6,6    +6,5    +7,3    +0,09 0,0081

4. Namentlich der geodätischen Praxis gehört der Fall den bedingten Beobachtungen an; wir ^wollen nur ein einfaches Beispiel besprechen. Drei Größen x ,y,% sind beobachtet, zwischen    ihnen    besteht    eine Beziehung

F(x, у, %) — 0 , der die Beobachtun gswerte x₀ , y₀ , %Q nicht völlig genügen werden. Sei:

X = x₀ + f , у = y₀ +y ,    * = *o + £i

so folgt mit Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung und der auf S. 94 eingeführten Bezeichnung:

*) Die zweite Dezimale der v ist nicht mehr sicher. ⁸) Sammlung Göschen Nr. 302, §§ 16—18.

aÇ + bt] + cÇ + 1 = 0 .

Wie fügen nun die Forderung:

I² + г)² -f- £² = Minimum hinzu; ist к ein unbestimmter Faktor, so muß¹) f² + V² + £² + 2 k{a f + b rj + g С + V) = Minimum, also

£^-ка = г] +к Ъ = £-\-к c=0 sein. Hieraus folgt, mit a² + b² + c² = N:

cl

bl

dF

dF

ПЧ > Уо J *o) “1” ^ * fj ~ I CX Iо

oder mit leicht verständlicher Abkürzung

+ ,-ÏW.

+ C-t-

dz Iо

= 0,

al

V = -N'

Der Multiplikator к heißt nach Gauß Korrelate; das Rechnungsverfahren Korrelatenausgleichung im Gegensatz zu der in 3. dargelegten Elementenaus-gleichung. Häufig läßt sich eine Aufgabe nach beiden Methoden behandeln ; die Bedürfnisse der Geodäsie haben auch zu einem Zwischentypus, den „vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen“ geführt.

Folgendes ist eine einfache Anwendung: Für drei Teilstrecken eines Mckelinstabes ergab die Messung des Widerstands folgende Werte:

AB: x₀ = 1345 • IO⁻⁶ Ohm,

Bö: y₀ = 846- IO'⁶ Ohm,

AG: z₀ = 2212. IO"⁶ Ohm; man soll die wahrscheinlichsten Werte x, y, z bestimmen. (Die Länge der Strecken bleibt unberücksichtigt.)

A) Sammlung Göschen Nr. 87, § 65. Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

l = x₀ + y₀ — *o = — ²¹> a = b = 1, c = —1, .Y=3 hieraus folgt:

f = »? = 7,

Die wahrscheinlichsten Werte der drei Widerstände

sind :

AB: X = 1852 • IO"⁶ Ohm,

BC: y= 853. IO"⁶ Ohm AC: z= 2205 . IO'⁶ Ohm.

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man nach vermittelnden Beobachtungen ausgleicht, wobei etwa x und y als die Elemente gelten können.

§ 29. Fehlerverteilung in der Ebene.

У — Уг = *v ;

Es ist:

also:

F(x,y,z) = x + y — z = 0

1. Für die rechtwinkligen Koordinaten x, y eines Punktes mögen n Beobachtungen xr, yr (r = 1, 2, . . n) vorliegen. Die Fehler sind dann: x — xr = ur

gilt nun für alle Fehlerpaare (wr, vr) das gleiche Gesetz, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß ur, vr innerhalb der Intervalle dur, dvr liegen:

wr = cp (ur) vr) dur dvr .

Dafür, daß das Wertepaar (æ, у) in das Intervall dx dy falle, sei die Wahrscheinlichkeit a priori yj(x,y)dx dy alsdann ist (vgl. § 17 und § 23) die Wahrscheinlichkeit a posteriori der Ursache (x, y) :

y>(x, y)w₁w.i. .. wn dx dy :ffip(x, y)w₁w₂. . . wndxdy, wobei die Differentiale dur und dvr die Rolle von Konstanten spielen und wegfallen.

2. Zur Ermittlung des Fehlergesetzes cp(u, v) nehmen wir (vgl. § 23) гр(х, у) als konstant an; ferner wollen wir unter (ж, у) den Schwerpunkt der Punkte (;xr, yr), den „wahrscheinlichsten Punkt“ verstehen ; dadurch wird das Axiom vom arithmetischen Mittel aus dem eindimensionalen Gebiet auf die Ebene ausgedehnt. Die Größen ur, vr sind dann scheinbare Fehler und es bestehen die Gleichungen:

ny= [y]

wï = [x],

oder:

M = M = 0-

Da das Integral einen konstanten Wert hat, so kommt die Forderung darauf hinaus, daß:

<3 Log (p (ur, vr)

= Ur,

dvr

<р(щ, vx) . . . cp(un, vn) = Maximum werden soll. ЛУК differentiieren logarithmisch und setzen : d Log <p (ur, vr) dur

dann muß: иг + и₂ + ... +Ur = 0, F1 + F₂+ ... +Fr=0 sein. Dies kommt mit der Bedingung [u] — [v\ = 0 überein, wenn unter Weglassung des Zeigers r :

V = bu + cv

U = au + Ъv , ist; hierbei sind a, 6, c die der Funktion cp eigentümlichen Konstanten, ferner ist der Bedingung:

e£7__ ev

dv du

d²Log<p(w, v)

du dv

Rechnung getragen ; endlich beweist man leicht, daß außer dieser augenscheinlich richtigen Lösung keine weitere möglich ist. Nunmehr wird, wenn Я eine Konstante bedeutet:

Log9o{u, v) = \au² + buv -f \cv² + Я ;

setzt man:

а — " öj j , b — — 2 öq

so folgt: ^ c = — a₂₂ , Я = Log C

<p(u,v) = C• e~ (anM2 + ²«iawv + a₂2v²)    C*e~F .

Die quadratische Form F muß positiv sein ; dazu ist erforderlich, daß:

«и ^ 0

ist. Integriert man (p{u, v)dudv zwischen den Grenzen + oo für и und v, so muß sich 1 ergeben ; um die Integration auszuführen, schreibt man:

Au² + (a₁₂ и + a₂₂ v)²

«22

nun läßt sich zuerst nach v, dann nach и integrieren. Mit Rücksicht auf § 13, (1) erhält man:

c_£i.

C~ = 1,

fA

71

Das Fehlergesetz in der Ebene ist also:

99 (u, v) = e

71

- («n w² + 2 a1% и v + «22 v²)

3. Die Kurven F = konst. = a bilden eine Schar ähnlicher und ähnlich liegender Ellipsen in dieser "Weise gruppieren sich also die Punkte gleicher Fehlerwahrscheinlichkeit um 0(u = 0, v = 0), s. Fig. 12; die

° П , wie man durch Trans-

Fläche der Ellipse F =0 ist formation auf die Hauptachsen sogleich erkennt. Er-

iA

richtet man auf der Zeich-nungsebene in jedem Punkt (w, v) nach oben ein Lot = cp (u, v), so entsteht eine Fläche, deren Horizontalschnitte Ellipsen sind; die durch О geführten Yertikal-schnitte ergeben „Glockenkurven“ nach Art von Fig. 9 а ; für ctn = a₂₂ = 1, a₁₂ = 0 bekommt man die in Fig. 9 а und 9 b dar gestellte Drehfläche.

Fig. 12.

Wir zeigen noch kurz, wie sich an, a₁₂ und a₂₂ aus den Beobachtungen bestimmen lassen. Der Mittelwert der u² ist:

+ 00 +00

Щи²) =

u² e~F dudv =    ;

- oo — oo

das Doppelintegral wird ausgewertet, indem man die für F angegebene Umformung, sowie § 13, (2) benutzt. Ebenso ist der Mittelwert der v² :

+ OO +00

v² e~Fdudv =    ,

— oo — oo

endlich derjenige der uv:

+ 00 4-00

M(uv) = F^-J I

uv e~F du dv —

«12 .

Theorie der Beobachtungsfehler. die Iiftegration nach v ergibt nämlich:

102

M(u v) —

«18 1A

+ 0O

a22 У "22 ⁷¹ <

•    Au2

u² e *** du ,

- oo

woraus nach § 13, (2) der obige Wert folgt.

Ist n so groß, daß man berechnete und beobachtete Mittelwerte gleichsetzen darf, so gelten die Gleichungen :

\u u\

"22

«îa ₌ _ I'"'] ₌ q n    ¹

2 {PR — Q*) ’

in welchen P, О, Р bekannt sind. Nun ist: 4 = 4(P22- Q²)

mithin sind auch «n, «₁₂ und «₂₂ bestimmt:

«И —

2 (P 0 — P²) ’

«12 —

2(P<? - P2) ’

2(PO — P²) ’

"22 “

4. Die Fehlerellipsen finden Anwendung bei der trigonometrischen Punktbestimmung (Andrä, Helmert) und bei Schieß versuchen (Bertrand). Auf letztere bezieht sich folgende Zusammenstellung¹) : Die Scheibe wurde durch die Fehlerellipse in 10 Gebiete eingeteilt, deren jedes der Theorie nach 100 Schüsse hätte aufnehmen sollen; das Ergebnis war: 99, 106, 100, 108, 100, 118, 86, 94, 90, 99.

VI. Abschnitt.

Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik.

§ 30. Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

1. Die statistische Wahrscheinlichkeit (relative Häufigkeit, vgl. § 21) ist ein nach Analogie der mathematischen Wahrscheinlichkeit gebildeter Quotient a : n, wobei n die Zahl der Fälle bedeutet, die man beobachtet, um eine gewisse Veränderung festzustellen, a ist die Zahl der Fälle, in welchen diese Änderung binnen der Zeiteinheit eingetreten ist. Naturgemäß stehen die verwickelten Verhältnisse des menschlichen Lebens in scharfem Gegensatz zu den Voraussetzungen der mathematischen Wahrscheinlichkeit, vor allem hinsichtlich der Gleichwertigkeit der Fälle; die Praxis wird immer dazu nötigen, die Fälle in Gruppen zusammenzufassen, z. B. „gesunde männliche Personen imAltervon20—25 Jahren“, allein innerhalb dieser Gruppe sind Lebens Verhältnisse, geistige Befähigung, Berufsart usf. völlig verschieden. Ferner ist die statistische Wahrscheinlichkeit vom Zeitpunkt der angestellten Untersuchung abhängig; auch wenn man außergewöhnliche Ursachen, wie Krieg, Epidemie, beiseite läßt, zeigt die Erfahrung nur eine annähernde Konstanz der statistischen Wahrscheinlichkeit. Endlich sind wir über die Abhängigkeit der in die Statistik einbezogenen Fälle selten genügend unterrichtet; ist z. B. für den Bergmann At die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Jahr zu sterben, w₁, und ist w₂ die entsprechende Zahl für einen anderen Bergmann A₂, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide im nächsten Jahre sterben, nur dann w₁ w₂, wenn die Todesfälle ganz unabhängig voneinander ein treten. Da wir aber mit der Möglichkeit eines viele dahinraffenden Grubenunglücks rechnen müssen, so ist auch der Wert w₁w₂ unrichtig, falls Ax imd A₂ in der gleichen Grube arbeiten.

Wenn trotzdem die Statistik von den Sätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Gebrauch macht, so kann die Befugnis hierzu hergeleitet werden erstens aus der ausgleichenden Wirkung des Zufalls (vgl. § 21), sodann aus dem Umstand, daß erhebliche Schwankungen der statistischen Maßzahlen nur da Vorkommen, wo die Ursachen merkliche Veränderungen aufweisen, endlich aus der Möglichkeit, das statistische Grund material fortwährend zu ergänzen, die Methoden zu verfeinern und die Theorie mit der Wirklichkeit zu vergleichen.

2. Die Statistik liefert ihre Angaben teils als unbenannte (intensive), teils als benannte (extensive) Maßzahlen; die wichtigste intensive Maßzahl ist die Wahrscheinlichkeit, die wichtigste extensive das arithmetische Mittel. Beide Arten von Maßzahlen sind indessen ineinander überführbar; aus einer Tafel der Sterbenswahrscheinlichkeiten kann man die mittlere Lebensdauer, aus den gemessenen Brustumfängen von Rekruten die relative Häufigkeit eines zwischen a und b cm enthaltenen Brustumfanges bestimmen.

Von den in Abschnitt I bis V entwickelten Sätzen kommen für die mathematische Statistik namentlich die Theoreme von Bernoulli und Bayes, sowie das Fehlergesetz in Betracht; umfangreiches und sorgfältig be-

Die Dispersionstheorie von Lexis.

105

arbeitetes statistisches Material steht besonders für die Aufgaben der Lebensversicherung zu Gebote.

§ 31. Die Dispersionstheorie yon Lexis.

1. Vernachlässigt man in § 15 (8) das Zusatzglied,

setzt:

2pq ’

he = y ,

so ist:

/я

P \ e~h2u2 du = 0(y)

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei v maligem Versuch die gesuchte Wahrscheinlichkeit zwischen den Grenzen p — e und p -f- e liegt. Entsprechend dem Fehlergesetz hat man h als das Genauigkeitsmaß der Versuchsgruppe (a priori) zu bezeichnen.

Zu einer anderen Bestimmung des Genauigkeitsmaßes gelangt man, wenn eine Reihe von n Versuchen in s Gruppen von je v Versuchen eingeteilt wird; aus jeder Gruppe bildet man einen Mittelwert, wodurch die Zahlen Pu P21 • • • Ps entstehen, hieraus das Gesamtmittel Po — (Pi P2 + • • • +/?*): s • Alsdann ist nach §27 (4) der mittlere Fehler der als Einzelbeobachtung geltenden Gruppe :

[(Po — Pi)²]

i = 1, 2 , s.

Hieraus folgt das Genauigkeitsmaß (a posteriori):

h" = i/----.

V 2Ы-П)²]

Da der wahre Wert p bei einer statistischen Erhebung niemals bekannt ist, so erhält man für h wenigstens eine Annäherung, indem man p durch p₀ , q durch q₀ = 1 — p0 ersetzt; an Stelle von h tritt also:

h'

“I/щ,-

Lexis spricht nun von normaler Dispersion (Streuung), wenn sich h" ungefähr = h ergibt; in diesem Falle ist gegen die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung nichts zu sagen. Ist h" erheblich kleiner als /г', so gehen die Gruppenmittel pi stark auseinander, dann liegt übernormale Dispersion vor; im entgegengesetzten Falle hat man unternormale Dispersion. Die Zahl h' : h" heißt auch Divergenzkoeffizient¹).

Theorie und Erfahrung zeigen nun, daß unternormale Dispersion so gut wie nie vor kommt; im Falle der übernormalen Dispersion wird man fragen müssen, ob die statistischen Ergebnisse sich einem Fehlergesetz mit dem Genauigkeitsmaß h" unterordnen (vgl. § 27, Schluß). Trifft dies zu, so läßt sich schließen, daß p zwar nicht konstant bleibt, aber Änderungen erleidet, die dem Fehlergesetz nicht widersprechen. Zeigen hingegen die Zahlen keinen Anschluß an das Fehlergesetz, so ist die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung überhaupt verfehlt.

2. Ein Beispiel normaler Dispersion liefert fast durchgehende das Geschlechtsverhältnis der Geborenen. Folgende Tafel bezieht sich auf das Königreich Sachsen; die Zahl der Geburten beiderlei Geschlechts lag zwischen 142 527 im Jahre 1892 und 158 579 im Jahre 1899; die Gesamtzahl war n= 1 507 970, daher kann genau

*) Die Bezeichnung rührt von Dormoy her, welcher aber nicht den mittleren, sondern den durchschnittlichen Fehler zugrunde legt.

genug V = 150 797 gesetzt werden; pi ist die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt, vi = p₀ — p{.

Nr. Jahr

Vi

10⁴

10⁸ v\

1891

1892

1893

1894

1895

1896

1897

1898

1899

1900

0,5121

0,5139

0,5121

0,5104

0,5121

0,5130

0,5128

0,5118

0,5129

0,5149

+ 5

— 13

+ 5 + 22

-23

25

169

25

484

25

16

64

529

1350

Mittel: pQ = 0,5126

s = 10;

daher ist:

Zur Berechnung der Genauigkeitsmaße hat man noch % = 0,4874,

h" = 577,

/*'= 549,

der Divergenzkoeffizient wird h' : h" — 0,95 .

Die Dispersion ist also normal ; läßt man dagegen die •Jahre 1894 und 1900 weg, so verrät sich diese willkürliche Änderung dadurch, daß (bei gleichbleibendem Wert vron p₀) der Divergenzkoeffizient den auffallend geringen Betrag 0,48 annimmt.

§ 32. Die Konstruktion der Sterblichkeitstafeln.

1. Seit dem 17. Jahrhundert geht das Bestreben der mathematischen Statistik dahin, Absterbeordnungen aufzustellen: man sucht unter l₀ Geborenen die Zahl lx

derjenigen zu ermitteln, welche ein Alter von lx Jahren erreichen; l₀ (Basis, Grundmasse) bleibt willkürlich und wird meist als eine Potenz von 10 angenommen, manchmal ist es zweckmäßiger, von einer höheren Altersstufe auszugehen, also etwa 1₂q = 10³ zu setzen. Die Zahl lx — lx+1 = dx gibt an, wie viele Personen während des я ten Lebensjahres mit Tod abgehen; die Quotienten:

^x+l

(i)

dx

= qx

4 ~A

drücken die Wahrscheinlichkeit des Lebens oder Absterbens im x ten Lebensjahre aus, zwischen beiden besteht die Beziehung:

Рх + Ях = 1.

(2)

Man nimmt nun an, daß in dem betrachteten Wertgebiet lx eine eindeutige, stetige, differentiierbare Funktion von x sei und setzt demgemäß:

4 = A*) ;

wegen der Willkürlichkeit von l₀ ist f(x) nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt. Aus f(x) entspringt der Grenzwert:

(3)

(4)

lim

f(x) - f(x + h) _    f'(x)

hf(x)

fix)

= <P(X) ■

Da f(x) > 0 , f'{x) < 0 ist, so ist cp(x) > 0 ; man berechnet (p(x) als Sterblichkeitskraft oder Sterbensintensität; aus einer Annahme über cp (x) ergibt sich durch Integration ein hypothetisches Gesetz f(x). Die Zahlen 4, dX) px, qx und q>(x) hat man biometrische Funktionen genannt; einige weitere werden in § 34 besprochen werden.

Es sei noch, bemerkt, daß die Zahlen werte von qx und cp(x) nicht sehr verschieden sind; man hat nämlich auf Grund des Taylor sehen Satzes:

4x =

f{x) — f(x + 1) _ f{x) +    + 0)

f(x)

wo 0 ^    ^ 1 ist ; mithin :

(5)

qx=<p(x) + « •

Über s — — f"(x + Щ : 2 f(x) läßt sich folgen-des sagen: ist y — f(x) eine lineare Funktion von x (wie Moivre annahm), so ist e = 0 ; bedeutet y — f{x) geometrisch eine nach unten konkave, nur schwach gekrümmte Kurve, so ist e ein kleiner, positiver, echter Bruch. Die letztere Voraussetzung trifft, wie wir sehen werden, wenigstens für die mittleren Altersstufen zu. (Fig. 15, S. 115.)

2. Von den oben auf gezählten biometrischen Funktionen genügt nach Annahme von l₀ eine, um die übrigen zu berechnen; als solche Grundfunktion wählt man aus praktischen Gründen meist qx. Man hat dann:

h — (1 Qo) 4 5

4 ~ (1 Qi) h — (1 ~Qo) (1 “ Qi) * 4 ?

allgemein :

x—l

(6)

4 ioj / (1    Qr) •

о

Aus der Zahlenreihe der qx erhält man also ohne weiteres diejenigen der lx und dx = qxlx.

AVie aus dem statistischen Rohmaterial der Versicherungsgesellschaften Näherungswerte q'x für die q% festgestellt werden, liegt außerhalb des Rahmens unserer

Darstellung*). Man hat zahlreiche Versuche unternommen, die Form der Funktion f(x) anzugeben; die geläufigste Hypothese (zugleich die in praxi am besten verwendbare) spricht sich in dem G о mp er tz -Make ham sehen Gesetz aus.

Make ham nimmt für die Sterblichkeitskraft ein Ex-ponentialgesetz von der Form:

(?)

<p(*) =

/»

f{*)

an ; hierbei sind а, 6, r positive Konstante, die Hypothese gilt also nur, wenn (p(x) zugleich mit x zunimmt, d. h. für x > oc, wo oc erfahrungsgemäß mindestens =20 ist. Die Integration von (7) liefert, mit c als willkürlicher Konstante :

b-r*

Logr

Q

f(x)

Log —— = a x +

Setzt man noch:

(8)

e~a — к ,

Log Г ₌ д

so folgt:

(9)

f(x) — c • Af gr* .

Diese Formel enthält zugleich das ältere Gompertz-sche Gesetz, wenn man а = 0, к — 1 wählt. Die Konstanten &, g, r können aus speziellen Werten von f(x) näherungsweise bestimmt werden; nehmen wir für den Augenblick an, dies sei geschehen, so bestimmt sich c mit Hilfe der willkürlichen Basis lx = f(o£) aus:

(10)

loge =

log 4

oc log A: -f- г* log g

x) Sacimlung Göschen, Nr. 180, Кар. II. § 2.

§ 33. Ausgleichung und endgültige Gestalt der Sterblichkeitstafeln.

1.    Das Theorem von Bayes zeigt (§19, Schluß), daß einer empirischen Wahrscheinlichkeit qx nur dann einige Genauigkeit zukommt, wenn die Kenntnis von q'x sich auf eine große Zahl von Fällen stützt. Nimmt man noch die Schwierigkeit der statistischen Erhebungen hinzu, so leuchtet ein, daß die in ein Koordinatensystem eingetragenen Punkte (ж, q£) keinem regelmäßigen Kurvenzug angehören werden; man ist daher genötigt, eine Ausgleichung vorzunehmen. Bei der graphischen Ausgleichung wird eine stetige Kurve möglichst nahe an den Punkten (ж, q'x) vorbeigeführt (vgl. Fig. 13, S. 113); die mechanische Ausgleichung besteht entweder darin, daß jedes qx durch das Mittel der umliegenden Werte ersetzt wird, z. B. :

#43 ⁼⁼ Ь (#41 + #42 + #43 + #44 + #4&)

— das Verfahren kann auch wiederholt werden — oder darin, daß man die erwähnte Kurve aus Parabelstücken zusammensetzt; auch dies kommt auf eine Mittelbildung, aber mit ungleichen Gewichten hinaus. Die genannten Methoden enthalten keine Voraussetzung über die Beschaffenheit der auszugleichenden Zahl en werte, gelten daher ebenso für jede andere empirische Zahlentafel.

2.    Die analytische Ausgleichung beruht hingegen auf dem Makeham sehen Gesetz. Mit Rücksicht auf § 32, Gl. (5) und (7) kann man von dem Ansatz:

(i)

qx = a Ą-b-r* ausgehen ; man führt also anstatt der* Sterbensintensität die Sterbenswahrscheinlichkeit in die Rechnung ein, welche dadurch ohne erhebliche Einbuße an Genauigkeit sehr vereinfacht wird.

Zur Bestimmung von o,, r kann man ein summarisches Verfahren anwenden;    setzt    man:

2)

so folgt aus (1) und (2) mit = qx und:

(3)

20 R = b{r™ -1) : (r —1)

das Gleichungssystem :

a + r²⁰ В = А , a -f г⁴⁰ В = В , а + r⁶⁰ R = С.

Die Elimination von B und г ergibt:

(В - a)* = (A - a)(C - a),

also :

(4)

CL =

AC-B*

A+C-2B

diejenige von R und a :

(5)

r20 —

Hieraus folgt:

(6)

(В - AY

(G — В) (A i- С — 2 В) '

Aus R bestimmt sich b mit Hilfe von (3).

Diese Methode gibt mindestens brauchbare Näherungswerte a₀, b₀, r₀ für eine systematische Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Es liegt hier der Fall der vermittelnden Beobachtungen entsprechend § 28, 3. vor; die .7' sind die Beobachtungen, a, b und r die Elemente; тал kann dabei auch Rücksicht nehmen auf die von x abhängige Unsicherheit, mit welcher die qfx aus der Statistik hervorgehen.

Betrachtet man in (1) а, h, r als veränderlich, so ergibt die Differentiation:

dy = da -f r*db + xbr*-¹ dr ;

setzt man ferner:

<lox = a₀ + b₀r$,

0,0/5

/М

0,0/0

0,005'

©—

55

40

4ö Jahre

Fig. 18.

so erhält man aus jedem q'x eine Fehlergleichung: da + f%db + xb₀r^-¹dr + (q0x — q'x) = 0 ;

hierzu bildet man die Normalgleichungen und findet da, db, dr sowie a = a₀ + da, b = b₀ + db, r = r₀ + dr-, daraus berechnet man die ausgeglichenen qx .

In Fig. 13 ist eine solche Ausgleichung graphisch dargestellt ; die mit Ringen bezeichneten Punkte entsprechen

Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

den beobachteten qx, die ausgezogene Kurve den ausgeglichenen qx. Bedeutet mx den mittleren Fehler eines q'x vor der Ausgleichung, so kann man (§ 26) etwa 3ą als Maximalfehler ansehen ; die gestrichelten Zickzacklinien entsprechen den Werten qx + 3 mx und begrenzen die Fehler zone. Wie man sieht, überschreitet die Kurve der qx diese Zone nicht; indessen gibt Fig. 13 bloß einen Teil der Kurve wieder und ist nur als schematisches Beispiel aufzufassen.

3. Ist die Ausgleichung vollzogen, so bekommt man aus den ausgeglichenen qx nach § 32, (6) die lx und dx. Im Anhang S. 122 ist eine kleine Übersichtstafel nach „23 D. G-. M. u. W. I“ gegeben; sie schreitet von 5 zu 5 Jahren fort, die Zwischenwerte können durch Einschaltung leicht gefunden werden; die praktischen Rechnungen des Versicherungswesens bedürfen einer größeren numerischen Genauigkeit, wenn diese auch über die tatsächliche weit hinausgeht. In Fig. 14 ist qx, in Fig. 15 lx und dx je durch eine Kurve veranschaulicht; für die End werte ist die Zeichnung naturgemäß nicht zuverlässig.

Es braucht kaum darauf hingewiesen zu werden, daß die Sterblichkeitstafel sich nicht zu Vorhersagungen für den einzelnen eignet; da in jedem Einzelfall die Veränderlichkeit des Individuums und nicht die Konstanz der Massenerscheinung den Ausschlag gibt. Aber auch, wenn die Aussage für ein, falls man so sagen darf, „durchschnittliches Individuum“ gemacht wird, muß man bedenken, daß (Näheres s. § 20, Schluß) die empirische Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit von ungünstigem Ein* fluß auf die Sicherheit der Vorhersagung ist. Hieraus ergibt sich die Notwendigkeit, die Tafeln beständig nachzuprüfen und zu verbessern.

An der Hand der Sterblichkeitstafel beantwortet man

•ff

0,15

0,10

те

fi

OC =20

40

60

80    100 Jahre

Fi g. 14.

1000c,

800

600

400k^

ö- — -o-

50    40    60    60    70    80    90 Jahre

Fig. 15.

oo

leicht Fragen folgender Art: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w, daß eine ж jährige Person а) у Jahre alt wird? b) im Lauf ihres (y -fl) ten Jahres stirbt?

Die Antwort ist zu a)

z. B. für X = 40

у = 60 : w = 0,674 ;

ly

W = ~

zu b)

W = -ТГ- •

dy dy

also für X = 60

4    4 4

у = 70 . w — 0,045 .

ly_ly+1

¹

Mitgeteilt nach E. Czub er, Theorie der Beobachtungsfehler (vgl. S. 6) S. 397.

§ 34. Wahrscheinliche und mittlere Lebensdauer, Wahrscheinlichkeiten für verbundene Leben.

1. Unter wahrscheinlicher Lebensdauer и — Wx einer xjährigen Person versteht man diejenige Zahl von Jahren, für welche die Bedingung:

(1)

lx + U

erfüllt ist; man kann dann 1 gegen 1 wetten, daß die Person noch и Jahre am Leben bleibt. Ist z. B. x = 30, so wird nach der Sterblichkeitstafel x -j- и ungefähr = 65, also и = Wx = 35 . (Fig. 15.)

Um die mittlere Lebensdauer ex einer x Jahre aAten Person zu finden, denken wir uns in Fig. 14 die nach rechts sich erstreckende Fläche zwischen der Ordinate lx, der X-Achse und der Kurve der lx in ein Rechteck mit der Höhe lx verwandelt; dessen Grundlinie:

Wahrscheinliche und mittlere Lebensdauer. Ц7

ist . die mittlere Lebensdauer; го bedeutet die höchste Altersstufe, also 90 bis 100 Jahre. Die Zahl ex läßt sich auch als Erwartungswert deuten ; nimmt man an, daß der Tod am Ende des nächsten, übernächsten usf. Jahres erfolge, so ist nach § 38, Schluß, der Erwartungswert:

+ 2-

+ ...

^x + 1    x + 2

yjc-x

гЧ

+ v-l

4+») •

Läßt man v von Null aus sich stetig ändern, setzt v = z — x und beobachtet, daß 4+t>-i — 4+г> in —dl2 übergeht, so entsteht die neue Definition:

тЧ

dl,

• dz ;

die partielle Integration ergibt wieder den Ausdruck (2), da lw = 0 ist.

Aus der Sterblichkeitstafel bekommt man die mittlere Lebensdauer, wie folgt. Findet das Ableben stets zu Anfang des Rechnungsjahres statt, so erleben die 4 Personen im ersten Jahr 4+i Jahre, im zweiten 4+2 Jahre usw., also ist die Summe 4+i + 4+2 + • • • Jahre und der Durchschnitt:

ex —

Tritt hingegen der Tod am Jahresschluß ein, so findet sich (wie oben) der Durchschnitt:

ex —

4 + 4+1 + « * •

das Mittel aus | ex und ex | wird der Wahrheit am nächsten kommen; die Sterblichkeitstafel liefert also den Näherungswert :

4+i + 4+2 4“ • • •

(3)

e*⁼j+

Zur Ausrechnung kann man sich einer Rechenmaschine bedienen; gute Annäherung bekommt man auch durch Anwendung der Simpsonschen Regel¹) auf (2):

(9 e" = - •

5 4 + 4 4+5 + 2 4+10 + 4 4+15 + • • •

es wird z. B. e$₀ = ego = 19,0 Jahre, ferner и = JF50 = 19,1 Jahre.

2. Die numerische Übereinstimmung zwischen mittlerer und wahrscheinlicher Lebensdauer erklärt sich, wenn man annimmt, daß die lx eine abnehmende arithmetische Reihe erster Ordnung bilden. Es sei:

4 — (w x) à , 4+1 ⁼ (w x 1) ^ ? • • * > 4; ⁼ 0 ;

außerdem w — x eine gerade Zahl. Durch Summation der Reihe erhält man leicht nach (3):

w — x

ex =    2    ’

andererseits ist (1) erfüllt, wenn man:

W — X

wählt; folglich ist ex = u. Da nun die Kurve der lx von einer geraden Linie nicht allzusehr verschieden ist, so ist angenähert e' = Wx .

3. An der Hand der Sterblichkeitstafel (oder des Makeh am sehen Gesetzes) lassen sich auch die Wahr-

Sammlung Göschen Nr. 88, § 29.

scheinlichkeiten für verbundene Leben ermitteln; wir wollen annehmen, daß es sich um Ehegatten handelt und die Trennung nur durch Todesfall herbeigeführt wird. Man muß hierbei für beide Geschlechter verschiedene Tafeln benutzen; für Abschätzungen genügt die Tafel

S. 122. Eine genaue Beantwortung der gestellten Fragen hätte auch darauf zu achten, ob z. B. die Sterbenswahrscheinlichkeit für eine Witwe ebenso groß ist, wie für eine gleichaltrige verheiratete Frau.

Ist A (der Mann) x, В (die Frau) у Jahre alt, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß nach и Jahren :

A und В leben:

A lebt, В tot ist:

IL

A tot ist, В lebt:

ly+n / -j _ 4 + n\

4 \    4 / ’

A und В tot sind:

('-'vW-'-f)'

nicht mehr beide leben:

-i _ 4+n ly+n

4 Ц *

Man kann auch die wahrscheinliche Ehedauem berechnen; hierfür besteht die Gleichung:

4+m ly+u _ 1

4 ’X“ ² '

Ist z. В. X = 30 , у = 20 , so muß:

ho "Ь w • ho H“ w \ ho ¹ ^20 roin; nach Seite 122 ist ungefähr:

i-4o- ho = 458000 = a, für = 25 : /₅₅ /45 = 502 700 =    ,

für щ = 30: Iq0 ^50 = 401 300 = a₂ . Die „reguła falsi“¹) ergibt:

и — ux + —

(ax - a)(u₂ — ux)

«1 —

also:

и = 25 + 2,2 = 27,2 Jahre.

4) In ähnlicher Weise kann man die Aufgaben über mehr als zwei verbundene Leben lösen. Wird etwa nach der gemeinsamen Lebensdauer von drei 20 jährigen Personen gefragt, so gilt:

l\o+u — \ h

ho+u ⁼⁼ ho •

2

Da 1 : ]/"2~ = 0,794 ist, so ergibt die Tafel S. 122 ungefähr: 20 -f- и = 43,5 ; и = 23,5. Danach darf man 1 gegen 1 wetten, daß nach 23,5 Jahren noch alle drei am Leben sind ; hierbei ist vorausgesetzt, daß die Todesfälle gänzlich unabhängig voneinander eintreten, bei drei Matrosen an Bord des gleichen Schiffes wird man dies nicht als allein gültige Annahme aufstellen dürfen.

's;

Anhang.

Zahlentafeln.

I. Werte von #(y) =

e~t%dt.

{Oy)

Diff.

Diff.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,000

0,056

0,112

0,168

0,223

0,276

0,329

0,379

0,428

0,475

0,520

0,563

0,604

0,642

0,678

0,711

0,742

0,771

0,797

56

56

56

55

53

53

50

49

47

45

43

39

38

36

33

31

29

26

0,90

0,95

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

0,797

0,821

0,843

0,880

0,910

0,934

0,952

0,966

0,976

0,984

0,989

0,993

0,995

0,997

0,998

0,999

0,999

1,000

24

22

37

30

24

18

14

10

Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung.

П. Sterblichkeitstafel.

Nach: 23 D. G. M. u. W. I.²)

Яш

dx

Wx

log lx

ОЮОЮОЮОЮОЮОЮОЮО

NWMW^^iOlO0^l>I>OOOOO5

0,106 0,155 0,222 0,247

916

647

216

111

40

11

ИММММИИИИ

CO^lOîÜiWOOiÜîHOCOOOOOœ

3,0000

2,9805

2,9619

2,9415

2,9186

2,8904

2,8561

2,8109

2,7474

2,6571

2,5276

2,3345

2,0453

1,6021

1,0414

Andrä 102.

Namenregister.

(Die Zahlen beziehen sich auf die Seiten.)

Helmert 6, 91, 102. Herz 6.

Kries 9.

Lagrange 31, 32. Landré 6.

Laplace 29, 33, 36, 59. Lexis 105.

Makeham 110, 111. Moivre 28, 109.

Pascal 30.

Poincaré 6, 76.

Poisson 37, 49, 62. Pringsheim 38.

Simpson 118.

Stirling 46, 48, 56, 69,

Taylor 109.

Wallis 48.

Bayes 69, 104, 111. Bernoulli, D. 37, 38. Bernoulli, J. 9, 55, 59, 104. Bernoulli, N. 37.

Bertrand 6, 41, 44, 102. Bessel 85, 92.

Blaschke 6.

Bradley 92.

Bruns 6.

Buffon 40, 61.

Condorcet 73.

Czuber 6, 17, 102.

Dormoy 106.

Euler 27.

Gauß, C. F. 79, 81, 97. Gauß, F. G. 62.

Gompertz 110.

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®ertnanifd)e ©pradjtoiffenfdjaft bon Dr. ©idj. fioetoe in ©erlin. ©r. 238. ©omauifdK ©pradmjiffcnfdjaft bon Dr. ülbolf 3ouner, ©ribatbojent an ber Unioerfitât ©Hen. 2 ©änbe.    ©r. 128, 250.

gemitifrije Spradjioiffeufdjaft bon Dr. ©. ©rodelmann, ©rofeffor an ber Unioerfitât Äöntgdberg.    ©r. 291.

8finnifd)*ugrifd)e Sprarinuiffenfrfiaït bon Dr. igofef ©jtnnbei, ©rofeffor an ber Umbetfität ©ubapeft.    ©r. 463.

©rofeffor Dr. 0. Stjon in 55redben.

2)eutfrfje (Hrammatif unb furje ®efcï)icf)te ber beutfdjen ©pradje bon ©d)ulrat

©r. 20.

$eutfrfje©oetif bon Dr. ©orinêfi, ©rofeffor an ber Uniberfität ©tündjen. ©r.40. îeutfdie ©ebelcfjre bon £and ©robft, ©pmnafiaïprof. in ©amberg. ©r. 61. ©uffaçetttwürfe bon Oberftubienrat Dr. B. ©J. ©traub, ©eltor bed (Sberbarb*

flubtoigd*®t)mnafiumd in ©tuttgart.

©r. 17.

SBôrterbucf) nad) ber neuen beutfdjen ©edjtfdjreibung b. Dr. ftehtrid) Älena. ©r.200.

îeutfdjeê ©brtcrbud) bon Dr. ©idjarb Boetoe in ©erlin.

©r. 64.

î>ad ftrembroort im beutfdjen bon Dr. ©ub. SHeinpaul in fletbaig. ©r. 55. $eutfdjed ftrcmbtoürtcrbud) bon Dr. ©ubolf ®leinpaul in Seipjig. ©r. 273. ©lattbeutfdje ©htnbarten b. ©rof. Dr. £ub.®rintme, Jreiburg (©d)№ei3). ©r.461. jie beutfdjen ©erfonennamen bon Dr. ©ubolf SHeinpaul in ßeipaig. ©r. 422. Sänber» unb ©iilfernamen bon Dr. ©ubolf JHeinpaul in fieipjig. ©r. 478. ttnglifd) • beutfdjed ®cfprâd)êbucb bon ©rofeffor Dr. ($. £aud!nedji in Bau«

fanne.

©r. 424.

©efrfjidjte ber leteinłfdjen Spradje bon Dr. gfriebrtd) StoI§, ©rofeffor en ber

Uniberfität ^nnSbrud.    9b:. 492.

©r. 475.

©runbrifc ber latctnifrfjcn Sprarfjtchre b. ©rof. Dr. ©M©otf<$ i.©lagbeburg. ©r.82. ©uffifdje ©rammatiï bon Dr. Erid) ©erneîer, ©rof. an ber Uniberfit. ©rag. ©r. 6^ Kleines ruffifdjed ©ofabelbud) bon Dr. Eridj ©oefjme, ßeftor an ber£>anbelS-l)oct)fef)iile ©erlin.

©uffifrii-bctitfcbed ©cfprärfjdbudj bon Dr. Erid) ©emeïer, ©rofeffor an ber Uniberfität ©rag.    97r. 68.

Vit. 367.

©îtffifdjed 2efebud) mit ©Ioffar b. Dr. Erid) ©emeïer, ©rof. a. b. Unib. ©rag. 97r.67. ©efd)id)te ber flaffifdien ©Silologie bon Dr. ©Mil)- KroU, orb. ©rof. an ber Uniberfität ©iünfter.

fiiteroturgefdndjtlidje ®tbItotbeï.

$cutfdje 2itcraturgcfd)Uhte bon Dr. ©taj Kod), ©rofeffor an ber Uniberfität

©r. 31.

Scutfdje 2iteraturgefrfjitf)te ber Klaffiïerseit bon ©rof. Earl ©Jettbredjt. 2)urd)= gefetjen unb ergänzt oon ©rof. Dr. Karl ©erger.    9fr. 161.

2)cutfrije 2iteraturgcfd)id)te bed 19. 3aSrI)ttubertd bon ©rof. (Sari ©5eitbred)t. ®urd)gefet)en unb ergânjt bon Dr. Diidjarb ©$eitbred)t in ©iimpfen. 2 ïeile.

9fr. 134, 135. ©Г. 229.

©reSIau.

©efditrfite bed bcntfdien ffiontand bon Dr. ^cllmittï) ©Mette.

©otifdie Sprarijbrnfmâlcr mit ©rammatiï, überfe&ung unb Erläuterungen bon Dr. £erm. Sanken, 2)ir.b.Kônigin=2uife=@d)ule in KönigSbergt. ©r. 9ir. 79. 2Utïjod)bentfd)e Siteratur mit ©rammatiï, überfe^ung unb Erläuterungen bon Stb- Scbauffler, ©rof. am fRealgtunnafium in Ulm.    ©r. 28.

©bbalieber mit ©rammatiï, Überfettung unb Erläuterungen bon Dr. ©МП).

fHanifd), ©timnafialoberlebrer in OSnabrüd.    Vit. 171.

$>ad ©ialtfiari»2teb. Ein £>elbenfang auS bem 10. Sfabrbunbert im ©erSmafje ber Urfcbrift überfe^t u. erläutert b. ©rof. Dr. $. ©Itbof in ©Seimar. ©r.46. $id)tmtgen aud mittelSorîjbeutfrîicr Ç^riHiscit. $$n ©uSmahl mit Einleitungen unb ©3ôrterbud) berauSgegeben bon Dr. феппапп Sanken, S)ireïtor ber Königin*2uife*Sd)ule in Königsberg i. ©r.    9îr. 137.

î>er ©ibeluitge 9îôt in ©uSroabl unb mittelbodibcutfdie ©rammntiï mit furjern ©*ôrterbud) bon Dr. ©3. ©oltber, ©rof. an ber Uniberfität SJioftocï. ©r. 1. Kubrttn uitb îietririiepen. ©ht Einleitung unb ©Jorterbud) bon Dr. O. 2.

Siricaeï, ©rof. an ber Uniberfität fünfter.    Vit. 10.

Hartmann bon 2lue, Wolfram bon ©frijenbarfj unb ©ottfrieb bon Strasburg. ©uSmabl attS bem böfifdien EpoS mit ©nmerïungeu unb ©Wörterbuch b. Dr. K. ©htrolb, ©rof. a. Kgl. ftriebricbSf ollegium au Königsberg i. ©r. ©r. 22. ©Walther bon ber ©ogelioeibe mit ©usmabl auS ©httnefang tntb Sbrud)-biditnng. ©ht ©nmerlungen unb einem ©Wörterbud) oon O. ©iiutter, ©rof. an ber Cberrealfcbule unb an ber ïedm. £od)fcbule in Stuttgart. ©r.23. 2>ie ©bigotten bed bôfifdjen ©pod. ©uSmapl auS beutfdjen Richtungen beS 13. SabrbunbertS bon Dr. ©iïtor %\т1, ©ttuanuS ber Kaij. ©tabemte ber ©Wiffenfcbaften in ©.Men.    9?r. 289.

©r. 181.

Reutfrpe 2iteraturbeuîmâler bed 14. unb 15. ftabrbunbertd, audgemâhlt unb erläutert bon Dr. феппапп Sanyen, Rirettor ber Königtn4iuife=(Scbule in Königsberg i. ©r.

Reutfrpc 2iterntiirbcnfmâler bed 16. ftabrhunbertd. i: ©înrtin 2utlicr, Rpomad ©hinter unb bad Kirriienltcb bed 16. CfaSrbnnbertd. ©usge-tbäblt unb mit Einleitungen unb ©nmertungen berfepen bon ©rof. ©. ©erlit, Oberlehrer am 9hïolatgbmnaîium ju ßeipaig.    Vit. 7.

2>eutfdje fiiteraturbenfmälet bc§ 16. 3afjrfiunbert§. II: £an§ Sad)8. ©iu3»

Яг. 24.

—    III: ©on ©rant bt§ fRollcnhagcn: ©rant, fcuttcn, frifdmrt, fomic ФкгероЗ

unb ftabcl. 5lu3geraät)lt u. erläutert non ©rof. Dr. Julius <Bat>r. Яг. 36. £cutfri)e Biteraturbcnfmäler ЬеЗ 17. unb 18. 3al)rt|unbertè oon Dr. ©nul £eg» banb in ©erlin. 1. ïeil.    Яг. 364.

Simpliciuô Sintplicininurê bon фапЗ ^aïob Efiriftoffel bon ©rimmelê^aufen. Зп ЯиЗгоаЩ herauêgegeben bon ©rof. Dr. g. ©obertag, S)oaent an ber Unioerfitât ©re3lau.

ФаЗ beutfdjc ©oiféiieb. Sluêgeiuâ^It unb erläutert bon ©rofeffor Dr. ^uliu« Sabr. 2 ©ânbdben.

Englifdje 2itcraturgefrî)id|te bon Dr. Karl ©Beifer in ©Sien.

©runbiiige unb ftauptnjpcn ber engliftben 2iteraturgefd)id)te bon Dr. ©Irnolb 9Я. 9Я. Sdjrber, ©rof. an ber ^anbelâbod)fd)ule in Köln. 2îeile. Яг. 286,287. Stalienifdje fiiteratnrgefdjidjte bon Dr. Karl ©ofjler, ©rof. an ber Unioerfitât £>eibelberg.    Яг. 125.

Spaiiifdje fiiteraturgefdiidite bon Dr. üîubolf ©eer in ©Men. 2 ©be. Яг. 167, 168. ©ortugirfifrije iïitcraturgcfdûdtte oon Dr. Karl oon föeinbarbftoettner, ©rof.

an ber Śtbnigl. Xedmifd)en $od)fchule ©ftündjen.    Яг. 213.

iRuffifdte 2iteraturgefd)irî)te bon Dr. ©eorg ©olonêlij in ©ttündjcn. Яг. 166. 9%uffif4e Siteratur o. Dr. Erid) ©oebme, fieftor an b. ć>anbel§bod)id)ule ©erlin. I. ïeil: ©luśmaljl moberner ©rofa unb ©oefie mit au£fül)rlid)en ©Innrer» fungen unb ©Itaentbeaeicbmmg.

—    П. Фей: Всеволодъ, Гаршипъ, Разсказы. ЯШ ©tnmerïungcn unb

Яг. 404.

Slabifdje Sitcraturnefdjidjte bon Dr. jgofef Karâfel in ©Sien. I: ©lltere Site» ratur bté jur ©Biebergeburt.    Яг. 277.

—    II: Фаз 19. Sabrlmnbert.

Sîorbifrfje £itcraturgefrf)irf)te. I: Ф1е télânbifdje unb nortoegifdje Citeratur be3

ÜJiitielalîerS oon Dr. Wolfgang ©oltber, ©roi. an ber Unio. fKoftotf. Яг. 254. $ie £auptlitcratureu bcê Crrcnté bon Dr. ©ftid). ^aberlanbt, ©ribatbojent an ber Uniberîitât ©Sien. I: Ф1е Siteraturen 0ftaficn3 unb^nbicnè. Яг. 162.

Яг. 163.

©ricdniriie Sitcraturgefdûdjte mit ©erürïfid)tigung ber ©efcbidfte ber Ï3iffen» fcpaîten bon Dr. ©llfreb ©erde, ©rof. an ber Uniberf. ©reifâraalb. Яг. 70. DUHnifdje 2itcratnrgciri)id)te bon Dr. £erm. ^oadjim in Hamburg.

$ie fWietamurpliofeu be» ©. Doibiuè Яа|о. ©luâtoabl mit einer Einleitung unb ©Inmertungen tjerauégegeben bon Dr. Julius $ieben in ftranffurî a. 3«.

Яг. 442.

©ergil, ©leneiê. ©Iu3toaI)l mit einer Einleitung unb ©Inmerfungen berau3= gegeben bon Dr. .guliué .gieljen in Çranffurt a. 9Я.

gemäfjlt unb erläutert bon ©rofeffor Dr. 3-uliuâ Sabr.

©Hjentbeseidmung.

— II: ®ie Siteraturen ber ©erier, Semiten unb Xürïen.

©е?ф»фШфс {Bibïiotbcï.

Яг. 138.

Яг. 25, 132. Яг. 69.

Яг. 403.

Яг. 278.

Яг. 52.

Яг. 497.

Einleitung in bie ©efrbiditéwiffcnfcbaft bon Dr. Ernft ©ern^eim, ©rof. an ber Unioerfitât ©reifêmalb.    97r. 270.

ttrgcfrfjidne ber 9«cnfd)licit oon Dr. ©ttoria фоегпеЗ, ©rof. an ber Unioerfitât in ©Bien, fflîit 53 Slbbilbungen.    97r. 42.

©cfdjidjte be§ alten 2Jturgcnlanbc3 oon Dr. fÇr. Rommel, о. ö. ©rof. ber femi» tifd)en Sprachen an ber Unioerfitât in ©JMndjen. 9Jiit. 9 ©oll» unb Śeft3 bilbern unb 1 Karte ЬеЗ ©torgenlanbeé.    9îr. 43.

©cftbicbte 3fraell bil auf bte griecbifcpe 3*h bon Sic. Dr. 3. ©enshtger. Ar. 231.

Aeuteftamentltdie Scttgcfriitriite I: $er f)tftorifct)c unb tulturgefditditlidie $inter» grunb bel Urdjriftenruml oon Btc. Dr. SB. ©taert, 'Srofefjor an ber Uni» berfitat $ena. 9Att 3 harten.

— II : $te Aeligton bel Subentuml tnt 3*halter bel £ellentlntu3 unb bet Aômerherrfcbaft. SDÎit einer ^lanffÿje.    At. 326.

©rtediifdie ©cfdjiriite bon Dr. £einricf) ©rooboba, $rof. an ber 2)eutfcben

At. 49.

©rtediifdie Altertumlfttnbe bon SSrof. Dr. Aid). Atatfd), neubearbeitet oon Aeftor Dr. Çrans Aoplbammer. ®Ш 9 Aollbilbern.    Ar. 16.

Abnttfdie ©efdjid)te bon Aealgpmnafialbireïtor Dr. 3uliul $оф ht ©rune*

At. 19.

Aihnifdie Altcrtumlfunbe bon Dr. Ceo S3Ioch in SBten. 9Rtt 8 SSoïlbitb. Ar. 45.

Uniberfitât Arag.

toalb.

Ar. 325.

©efdjirijte bel ©tisantinifrîien Aeidjcl oon Dr. St. Aoth in Æempten. Ar. 190. $eutfdie ©efdiidite oon ÜSrof. Dr. g. Äurje, Oberlehrer am ffgl. Cuifengpm* naftum in Berlin. I: Aiittclaltcr (bil 1519).    Ar. 33.

—    П: Schalter ber Aeformation unb ber Aeligionlfriege (1500—1648) Ar.34.

—    Ill: 2?ont SBcftfälifdjcu Trieben bil sur Aufliffung bel alten Aetd)3 (1648

Ar. 35.

Sieutfdte ëtammclfnnbe bon Dr. Aubolf 9Rud), f)3rof. an ber Uniberfitât tn SBien. АШ 2 Shirten unb 2 ïafeln.    Ar. 126.

î>te beutfdien Altertümer oon Dr. $rans ftuhfe, S)ire!tor bel ©tâbt. SRufeuml in Sbrannfctnoeig. ЮШ 70 Abbilbungen.    Ar. 124.

Abrifc ber Aurgcnfunbe bon £ofrat Dr. Otto fßiper tn ЮШпфеп. SAit 30 Ab-bilbungen.    Ar. 119.

Seutfdie ftulturgefditdjte bon Dr. Aetnh. ©ünther.    Ar. 56.

2>eutfdiel Ceben im 12. u. 13. 3a h Humbert. Aealfommentar su ben ôolll-unb ffunfteoen unb jum Aiinnefang. I: Öffentliche! Ceben. Aon SSrof. Dr. 3ul. $ieffenbacber in Freiburg i. Â. АШ 1 Xafel u. Abbilbungen. Ar. 93.

—    II: SSrioatleben. AM Abbilbungen. jQuellenfunbe sur Scntfdien ©efdiidite bon Dr. ©arl ftacob, 93rof. an bet

Uniberfitât in îtibtngen. I. ©anb.

Cftcrreidjifdjc ©cfdiidjte bon Arof. Dr. fjrans bon Shonel, neubearbeitet bon Dr. Karl Ublirs, SSrof. an ber Unio. ©raj. I: Aon ber Urjeit bil sum ïobe ffönig AIbrecf)tl IL (1439). AM 11 ©tammtafeln.

—    II: Aom Xobe Slönig Albredjtl IL bil sum SBeftfälifcfjen Çrieben (1440

bil 1648) AM 2 ©tammtafeln.    Ar. 105.

©ngltfdie ©cfdjidite bon Arof. S. ©erber, Oberlehrer in $>üffeIborf. Ar. 375. ftransöfifdie ©efd)id)te bon Dr. A. ©ternfelb, Arof. an ber Unto, öerltn. Ar. 85. Auffifdie ©efrf)id)te bon Dr. SBilhelm Aeeb, Oberlehrer am Ofterghmnafium in SAains.    Ar. 4.

Aolnifdje ©efditthte bon Dr. ©lernen! Aranbenburget tn fßofen. Ar. 338.

bil 1806).

Ar. 328.

Ar. 279.

Ar. 104.

©pantfdie ©efdiidite bon Dr. ©uft. $tercfl.

Ar. 266.

êdjroeisertfcbe ©efditdjte b. Dr. St. ФйпЬШег, Atof.a. b. Untb. Sürtch. Ar. 188. ©efdjidite ber djriftltriien Aalfanftaaten (©ulgarten, Serbien, Aumanien, Atontenegro, ©rtedjeniaub) oon Dr. St. Aotf) in Kempten.

©atierifd)e ©efdiithte oon Dr. ^>anl Ocfel tn Auglburg.    Ar. 160.

©efd)id)tr Jraitfcnl oon Dr. ©hriftian SReper, Stgl. preu§. ©taatlarthioar a. Ф.

Ar. 434.

Ar. 331.

in ШШпфеп.

©äcfififttje Oiefc&iĄte bon ©rof. Otto fiaemntel, Aeftot ЬеЗ AilclatgpmnafiumS ju SJeipjig.    Ar. 100.

îbitringtfrfie ©efrfitrfiłe bon Dr. Grnß îebrient łn Seip^tg.    Ar. 352.

Ai. 462.

©abifdie (Hcfrfiidite non Dr. fiarl ©ruttner, ©rof. am ©pmnafium łn ©foriibeim u. 'Bnoatbo^ent ber ©efcfiicfue an ber îedm. фосЫфШе in fiarlśrube. At. 230. Bürttemberntfdjeülefc&irfjte oon Dr. fiarl Bellet, ^Srofeffor amfiartegpmnafium in (Stuttgart.

©cftbidite iîotf)ringen§ bon ©eï). Aeg.*A. Dr. фегт. Фег1ф§ше11ег in ©trafr burg.    At. 6.

îte fiulfur ber Aenaiffance. ©efittung, ftorfdmng, îidjtung bon Dr. Aobert g. Amolb, ©rofeffor an Ьет Umoerfirät Bien.    At. 189.

At. 216.

Ar. 217.

05efd)tcfite bcê 19. ^alitbunberrè bon Odar ^âger, о. ^onorarprofeffor an ber Umoerfttät '.Bonn. 1. ©ânbdfjen: 1800—1852.

— 2. ©ftnbcïjeu: 1853 btè Gnbe bes ^abrbunbertS. fioloitialgeirf)itf)te bon Dr. îietrid) «Scpâfer, ©rof. ber ©efdjicbte an ber Unio.

©erltn.

At. 156.

île 6eemarfjt in ber bentfrtien (WcfÂirftte bon Birfl. Abmiralttâtérat Dr. (Srnft bon £alle, ©rof. an ber Umoerfitat ©erlin.    At. 370.

©eogtaplpfd)* SiMiotbeï.

©bpfifdie ©eograpliie bon Dr. (Siegm. ©üntbet, ©rofeffor an ber fiönigl.

îettmifdjen &oct)ict)uIe in Юйпфеп. 3ttit 32 Abbilbungen. Ar. 26. Aftronomiidir ©eograpliie bon Dr. ©iegm. ©üntfjer, ©rofeffor au ber fiönigl.

îcdi.iijcben £>od)fcf)ule in 'JAtincben. sJAit 52 Abbilbungen. Ar. 92. filimafunbe. I: Allgemeine filimalcbre bon ©rofeffor Dr. B. fioppen, Ateieorologe ber ©eemarte Hamburg. 9Ait 7 îafeln u. 2 friguren. Ar. 114. fßaläofiimatologie bon Dr. Bill). A. Gefärbt, Affifrent a. Aîcteorologtfdien Objeroatonum u. b. öffentl. Betterbtenftîtelle in Аафеп.

ÇAeteorologie non Dr. B. îrabert, ©rofefjot a. b. Untoerfität in Snnsbrud.

ЮШ 49 Abbilbungen unb 7 îafeln.

4M)pîtid)e⁴)Jlecrcôfunbe oon sBrof. Dr. ©erbatb ©Ąott, AbteilungSborftebeT an bet îeutfcfien ©eematte m Hamburg. Ato 39 Abb. tm Îe;rî u. 8 îafeln. Ar. 112. fßaläogrograpliie. ©eologtfdje ©efd)id)te ber sJAeere u. é^ftlânber b. Dr. ftrana ftoffmat in Bien. Ato 6 fiarten.    Ar. 406.

Giê*citalter bon Dr. Gmil Вегф in ©erlin-BilmerSborf. 9Ait 17 Ab» bilbungen unb l fiarte.    At. 431.

$ie Alben non Dr. Aob. «Sieger, ©rof. an ber Uniberfitât ©raj. АШ 19 Abbtl» bungen unb 1 ftarte.

©letfAerfunbe oon Dr. gri& Aîadjaôeï in Bien. АШ 5 Abbilbungen im îejt unb il îafeln.

$flanjengeograpt)ie bon ©rof. Dr. Subtoig îtetè, ©ribatboj. an ber Uniberf.

At. 389.

Ar. 482.

Ar. 54.

Ar. 129.

At. 154.

©etlin.

ïiergeograptiie bon Dr. Arnolb Jacobi, ©tofeffor ber Soologie an ber fibnigl.

ftorftafabemie jju îbaranbt. АШ 2 fiarten.    At. 218.

Eänberfunbe bon Gitropa oon Dr. granj ^eibericfj, ©rofeffor an ber G^port* afabemie in Bien. АШ 10 îe£ttârtd)en uub ©rofilen unb einer fiarte ber

Alpeneinteilung.

At. 62.

— ber auOercuropâtfdjcn Grbtcile bon Dr. Çrans ^eiberidb, ©rofeffor an ber Gfportafabemie in Bten. 9Aii 11 îeïtfârtdjen u. ©rofil. At. 63.

Sanbedfunbe unb SMrtfdjaftdgeograpljte bed fteftlanbeô îlnftralten bon

Dr. Kurt ^>affert, ©rofeffor an ber £anbeldbodifd)Ule tn Köln. SD^tt 8 9lb*

9Mr. 819.

—    bon ©oben bon ©rofeffor Dr. O. Kieniô tn Karlsruhe. ©Mt Profilen,

©r. 199.

—    bed Königreich# ©anern bon Dr. 2B. ©ôh, ©rofeffor an ber Köntgl. Ted)n.

$ud)fcbule SJiüncpen. ©Mt Profilen, 9lbbtlbungen unb 1 Karte. ©r. 176.

—    ber ©epublif ©raftlten bon ©obolpho bon Sharing. ©Mt 12 9lbbilbungen

©r. 373.

bilbungen, 6 graphifchen Tabellen unb 1 Karte.

9lbbilbungen unb 1 Karte.

unb einer Karte.

—    bon ©rttifrf)«©orbamerifû bon ©rofeffor Dr. 91. Oppel tn ©remen. ©Ш

13 9lbbilbungen unb 1 Karte.    ©r. 284.

—    bon @lfa&-2otbrmgen bon ©rof. Dr. ©. Sangenbed tn ©trafcburg t. ©.

©Mt 11 9lbbilbungen unb 1 Karte.    ©r. 215.

—    bon Sfranîrctdj bon Dr. ©idjarb ©eufe, Tireftor ber Oberrealfdiule in

©panbau. 1. ©anbdien. ©Mt 23 9tbbilbungen tm Te£t unb 16 2anb*

©r. 466.

--2. ©ânbdien. ©Mt 15 9lbbtlbungen im Tejrt, 18 Sanbfd)aftdbilbem auf

©r. 467.

—    bed roroftbcraontumd Reffen, ber ©ronin* fceffeu'©affau unb bed dürften-

tumd 22alberf bon ©rof. Dr. ©eorg ©reim in Tarmftabt. ©Mt 13 9lbbtl» bungen unb

—    ber Sberifdien &albtnfcl b. Dr. $rtb ©egel, ©rof. a. b. Untb. SBürjburg.

©Mt 8 Kärtchen u. 8 9lbbilb. tm Tejt u. 1 Karte in ^farbenbrucf. ©r. 235.

—    ber ©roijdier*ogtümcr ©lerflenburg unb ber freien unb .fcnnfeftabt ßiibecf

bon Dr. Seba.b Sdjroars, Tireltor ber ©ealfcpule jum Фот in ßübecf. ©Mt 17 9lbbübungen unb harten im Tejt, 16 Tafeln unb einer Karte in Sittjo-graphie.

—    bon Cftcrreich-Ungarn bon Dr. 9llfreb ©rrntb, ©rofeffor an ber Uniberfität

©erlin. ©Mt 10 TejtiUuftrationen unb 1 Karte.    ©r. 244.

—    ber ©heinprobin* bon Dr. ©. ©teinede, Tireftor bed ©ealghmnaftumd

tn ©ffen. ©Mt 9 9lbb., 3 Kärtdien unb 1 Karte.    91 r. 308.

—    bed ©uropäifdien ©uńlanbd nebît ftinnlnnbd bon Dr. 9llfreb ©hilippfon,

orb. ©ruf. ber lüeograptne an ber Uniberfität Spalte a. ©. ©Mt 9 9lbbilbungen, 7 Tertfarten unb einer lithographifdjen Karte.    ©r. 359.

—    bed Köuigrcidjd Sarijfcit bon Dr. $. Semmrtd), Oberlehrer am ©eal*

gpmnafium in ©lauen. ©Mt 12 9lbbilbungen unb 1 Karte. 97t. 258.

—    ber Srtpuei* bon ©rofeffor Dr. $. SBalfer tn ©ern. ©Mt 16 91bbilbungen

unb einer Karte.    ©r. 398.

—    bon ©faubtnauien (©cfjtoeben, ©ortoegen unb Tänemarf) bon Kreidfdjul*

infpeftor Heinrich Kerp in Kreujburg. ©Mt 11 9lbbilbungen unb 1 Karte.

9h. 202.

—    ber bereinigten ©taaten bon ©orbamertfa bon ©roF. Heinrich ^Çtfcfjer,

Oberlehrer am ßuifenftäbtifrben ©ealgpmnafium tn ©erlin. ©Mt Karten, Figuren im Te.rt unb Tafeln. 2 ©änbcpen.    ©r. 381, 382.

—    bed Köntgreirfid Württemberg bon Dr. Kurt $affert, ©rofeffor an ber

$anbeldt)od)fd)ule tn Köln, ©lit 16 ©oübübern unb 1 Karte, ©r. 157.

fdjaftdbilbern auf 16 Tafeln.

16 Tafeln unb einer lirbograppifcben Karte.

Karte.

©r. 376.

©r. 487.

Tie bcutfrtjen Kolonien I: Togo unb Kamerun non ©rof. Dr. Karl Tobe tn ©öttingen. ©Mt 16 Tafeln unb einer litbogr. Karte.    ©r. 441.

ßaitbcd» unb ©olfdfunbe ©aläftinad oon ©ribatbojent Dr. ©. ^ölfcher in &alle a. ©. ©lit 8 ©ollbtlbern unb einer Karte.    9h. 345.

bölfcrfimbe bon Dr. ©Mdmel |mberlanbt, ©rioatbojent an ber Uniberfität

©r. 73.

Wien. ©Mt 56 9lbbilbungen.

Äartenfunbe, gefchichtlld) bcrcoeftetlt bon @. ©elcłdj, Dtreïtor bet I. !. Wau» tifchen Schule in Sufftnpiccolo, g. ©outer, ©rofeffor am Wealgbmnafium in Ulm unb Dr. ©aul Dinfe, SUfiftent ber ©efellfcbaft für ©rbïunbe in ©erltn, neu bearbeitet bon Dr. «W. ©roll, Kartograph in ©erlin. Witt 71 Slbbilbungen.

Wr. за

2RatIjeiitûtifd)e u. aftronotmfd)e ©ibliotljef.

©efchichte ber IWatbematil bon Dr. SI. ©turnt, ©rofeffor am Obergtjmnafiutn in ©eitenftetten.

Slrithmetit unb Sllgebra bon Dr. Hermann Schubert, ©rof. an ber ©elehrten» fchule be« Stehanneum« in ^amburg.

©eifpielfammlung jur Slrithmetif nnb Sllgebra bon Dr. Hermann ©dmbert, ©rof. an ber ©elehrtenfdntle be« Stehanncum« in Hamburg.

SUgebraifcbe Würben bon ©ugen ©eutel, Cberreallchrer in ©aihingen*©na.

I: Kuroenbiöfuffion. «Wit 57 Figuren im îtejt.    Wr. 435.

Determinanten bon ©aul ©. ftifcljer, Oberlehrer an ber Oberrealfdiule ju

Wr. 402.

©bene ©eometrie mit 110 smeifarb. Figuren bon ©. «Wähler, ©rof. am ©gm»

Wr. 41.

Darftellenbe ©coincide I mit 110 Figuren bon Dr. Wob. £>aufjner, ©rof. an ber Unioerfität Stena.

—    П. «Wit 40 Figuren.

©bene unb fPhärifchc Drigonontetrie mit 70 fÇtg. bon Dr. ©erharb ^effenberg,

©rofeffor an ber Sanbrnirtfchaftl. Stfabemie ©onn = ©obpetèborf. Wr. 99. Stereometrie mit 66 Figuren bon Dr. W. ©lafer in Stuttgart.

Wiebere Slnaltifi« mit 6 ftig. bon ©rof. Dr. ©enebüt ©borer in ©hingen. Wr. 53. ©ierftelligc Dafein unb ©cgentafeln für logarithmifriieS unb trigonometrifchc« Werinten in jmei färben sufammengeftellt bon Dr. Hermann Schubert, ©rof. an ber ©elehrtenfdjule bc« Stehanneum« in Hamburg.

©üufftelltge Sonarithmen bon ©rofeffor Slug. Slbler, Direftor ber f. Ï. Staat«» oberrealfdiule in SSien.

Slnaltitifrije ©eometrie ber ©bene mit 57 Figuren bon ©rof. Dr. «W. Simon in Strasburg.

Slufgabenfammlung sur analhtifthcn ©eometrie ber ©bene mit 32 $tg. oon O. Dt), ©ürtlen, ©rofeffor am Wealghnmafium in Sdimäb.*©münb. Wr. 256. Slnalhtifche ©eometrie be§ Waumc« mit 28 Slbbilbungen bon ©rofeffor Dr.

Ш. Simon in Strasburg.    Wr. 89.

Slufgabcnfantntlung jur analgtifchen ©eometrie be« Waunte« mit 8 fttg.

bon O. ïh- ©ürflen, ©rof. am Wealgbmnafium in Schmäb.=©münb. Wr. 309. höhere 2lnalt)fi« bon Dr. ftrtebrltf) Runter, ©rof. am Karlêgbntnafium in Stuttgart. 1: Dtfiaenttalrcibnung mit 68 giguren.    Wr. 87.

—    II: Integralrechnung mtt 89 gtguren.    Wr. 88.

Webetitorium unb Slufgabenfammlung $ur Differentialrechnung mit 46 gig.

bon Dr. g-riebr. ^uufer, ©rof. am Karl«gbmnafium in Stuttgart. Wr. 146. Webetitorium unb Slufgabenfammlnng sur ^«tegralrechnung mit 52 fttg. bon Dr. ftriebr. 3unfer, ©rof. am Kartègqmnafium in Stuttgart. Wr. 147. ©rojeftibe ©eometrie in fhnthetifcher ©ehanbhtng mit 91 gig. bon Dr. St. Doehlemann, ©rof. an ber Unioerfität München.

©rofcßiditerfelbe.

naftum in Ulm.

Wr. 226.

Wr. 47.

Wr. 48.

Wr. 142. Wr. 143.

Wr. 97.

Wr. 81.

Wr. 423.

Wr. 65.

Wr. 72.

IWatPematifibe ftormelfammlung unb Wepetitorium bft fWatpematil, entp.

bie micptigften gormeln unb fiebrfäpe ber Slritpmetil, Sllgebra, algrbraifcpen Slnalpfté, ebenen ©eometrie, (Stereometrie, ebenen unb fppörifdien dngono-ntetrłe, matp. ©eograppie, analpt. ©eometrie ber ©bene unb be* fRaumei, ber differential* unb Śntegralrecpnung bon О* ©ürflen, ©rof. am Jfgl. föealggmnafium in <Scpro.*@mimb. 2Jttt 18 fttguren.    Яг. 51.

SerfirfierungSmatpemattt bon Dr. Sllfreb ßoerop, ©rof. an bet Untberfitüt ftreiburg i. ©r.

©eomctrifrpcê 3eitpnen bon ф. ©ecfer, neubearbeitet bon ©rof. 3- ©onberltnn, direftor ber figl. ©augemerffcpule su fünfter t. 58. ®Ш 290 ftiguren unb 23 dafeln im deyt.    Яг. 58.

Seftoranalpfiê bon Dr. (Stegfr. ©alentiner, ©ribatbojent für ©ppft! an ber Untoerfitât ©erltn. ÜJîit il fÇigureit.    Яг. 354.

Hftroplmfit. die ©efcpaffenpeit ber £tmmel§ïôrper bon Dr. SBalter ft. 2Btè-Iicenuê, neu bearbeitet bon Dr. £. ßubenborff in ©otébam. ЯШ 15 Slb» bilbungen.

Kfhronotttie. ©röfce, ©etoegung unb ©ntfemung ber $tmmeI3ïôrper bon 51. ft. ШЫив, neubearb. bon Dr. £erm. ftobolb, ©rof. an ber Umberfitât JHel. 1: daS ©lanetenfpftem. ЯШ 33 5lbbilbungen.    Яг. 11.

îlftronomiftpe ©eograppte mit 52 ftiguren bon Dr. (Siegrn. ©üntper, ©rof. an ber dedm. ^ocpfdmle in ЗЯйпсреп.

Âuâgleidiungêredimmg nadj ber fWetpobe ber ïleinften üuabrate mit 15 fttg. unb 2 dafeln bon SBilp. SBeitbrecpt, ©rofeffor ber ©eobäfie in (Stuttgart.

©ermeffungśfunbe bon dipl.*ftng. ©. SBertmeifter, Oberleprer an ber ftatferl. dedmifcpen (Scpule in (Stra&burg i. @. I: ftelbmeffen unb ЯшеШегеп. ®Ht 146 Slbbilbungen.    Яг. 468.

— II: der dpeobolit. drfgonomefrifdje unb barometrifcpe £dpenmeffung. dacppmetrie. 9Jîit 109 Slbbilbungen.

Wautif. Shirjer Slbrifc be8 tâglicf) an Sorb bon $anbefêfcpiffen angemanbten dei!3 ber (ScpiffaprtSlunbe mit 56 51bbilbungen bon Dr. ftranj (Scpufoe, direïtor bet ftaoigationèfcpule su ßübed.    Яг. 84.

Яг. 180.

Яг. 91.

Яг. 92.

Яг. 302.

Яг. 469.

Gleicb3eitig macht bie Verlagsbanblung auf bie »Sammlung Schubert", eine Sammlung matbematifcber Cebrbücber, aufmerkfam. €in vollftänbiges Ver3eicbnis btefer Sammlung, fowie ein ausführlicher Catalog aller übrigen matbematifcben Werke ber G. J. Göfcben-fcben Verlagsbanblung kann koftenfrei burcb lebe Bucbbanblung Ьезодеп werben.

9teturoiffenfd)aftH^e ©ibliotljel.

©alrf ontologie unb Slbftammung§lepre bon ©rof. Dr. Äarl dienet in ©Men.

Яг. 460.

Slit 9 Slbbilbungen.

der ntcnfdilidje Hörper, fein ©au unb feine dütigfeiten, bon ©. ЯеЬтпапп, Cberfcpulrat in $arl$rupe. ШШ ©ejunbpeitölepre bon Dr. med. ф. ©eiler.

Яг. 18.

©lit 47 Slbbilbungen unb 1 dafel. ttrgefdjitpte ber ®îenfditteit bon Dr. Scoria фоегпе«, ©rof. an ber Uniberfit« ©Men. ®Ж 53 Slbbilbungen.    Яг. 42.

Bölferfunbe bon Dr. Widmel $aberlanbt, f. u. !. HuftoS ber etbnogr. (Sammlung beâ naturhiftor. £>ofmufeum3 u. ©rioatbosent an ber Unioerfität SBten. Wit 51 fttbbilbungen. ïierïunbe bon Dr. ftrans b. SSagner, ©rof. an ber Unibcrfitât ©ras. Wit 78 Slbbilbungen.

Hbrift ber Biologie ber Siere bon Dr. £etnrid) Simrotf), ©rofeffor an ber Unioerfität ßeiogig.    fRr. 131.

îticrgeograbliie bon Dr. Slrnolb Sacobt, ©rof. ber ßoologie an ber Hgl. Srorft» afabentie su îbaranbt. Wit 2 Starten.    SRr. 218.

Î)a8 îierreid). I: Säugetiere, bon Oberftubienrat ©rof. Dr. Sturt Sampert, Borftcper be3 Hgl. «Raturalienïabiuettô in Stuttgart. 2Rit 15 îlbbilbungen.

9ir. 282.

—    Ш: {Reptilien unb ЗПпрЬНиеп, bon Dr. ftrans SSemer, ©rioatbosent an ber

Uniberfitât SSien. Wit 48 Slbbilbungen.    9lr. 383.

—    IV: ftifdje, bon Dr. Wlag fRautber, ©rioatbosent ber goologie an ber Uni»

berfitât ©iefjett. Wit 37 Slbbilbungen.    iRr. 356.

—    VI: îie mirbellofcn îiere, bon Dr. ßubroig ©öbmig, ©rof. ber géologie

an ber Unioerfität ©raj. I: Urtiere, Sdjtoämme, fReffeltiere, SRtppen-quallen unb SSürmer. Wit 74 Figuren.

Enttbirflungêgefdiidiie ber îiere bon Dr. 3ob8. Weifenbeimer, Ifßrofeffor ber Zoologie an ber Unioerfität Warburg. I: fturcbung, ©rimitioanlagen, fiaroen, ftormbilbung, Einbrt)onaIbüUeit. Wit 48 gig.    «Rr. 378.

—    II: Organbilbung. Wit 46 Figuren.

€d)mnrot?cr unb Sdimaroticrtunt in ber îicrnjelt. Erfte Einführung in bte

tierifcbe Sdimaroçerfunbe bon Dr. ferons b. SSagner, ©rofeffor an ber Uniberfitât ©raj. Wit 67 SIbbilbungen.

©efcbirfite ber géologie ooit Dr. 9îub. ©urcfbarbt. tueil. îireïtor ber Soolo-gifrfjen Station be$ ©erliner Slquariumè in {Rooigno (Sftrien). «Rr. 357.

«Rr. 73.

«Rr. 60.

9гг. 439.

fRr. 379.

«Rc. 151.

$ie ©flnttse, i!)r ©au unb ibr fieben bon ©rofeffor Dr. E. îeitnert in ©obe«-berg. Wit 96 Slbbilbungen.    «Rr. 44.

Xa& ©flan&enrctrîj. Einteilung be§ gefamten © flans enreidrê mit ben toicb-tigften unb betannteftcn fUrten bon Dr. fÇ. Śfetnecfe in ©reèlau unb Dr. SS. Wigula, ©rof. an ber ftorftaïabentie Eifenacb. Wit 50 ftig. «Rr. 122.

île Stämme be§ ©flansenreid)* bon ©ribatbos. Dr. {Rob. ©ilger, HuftoS am Hgl. ©otanifdjen ©arten in ©erlin -SDaljlem. Wit 22 fHbbilbungen.

«Rr. 485.

©flansenbiologie bon Dr. SS. Wigula, ©rof. an ber ftorftaïabemle Eifenacb. Wit 50 fUbbilbungen.    «Rr. 127.

©fhmsrngeograpbte oon ©rof. Dr. Subtoig 2)ietö, ©ribatbos. an ber Unioerf. ©erlin.    «Rr.    389.

SRorpbologie, Anatomie unb ©bbftologte ber ©flansen bon Dr. SS. Wigula, ©rof. an ber gorftafabeniie Eifenad). Wit 50 Slbbilbimgen. «Rr. 141.

2>ie ©flan&emoelt ber Ofemäffcr bon Dr. SS. Wigula, ©rof. an ber ftorftafabemte Eifenad). Wit 50 Slbbilbungen.    «Rr.    158.

«Rr. 268, 269.

EïTurftonêflora bon îeutfriilanb sum ©eftimmen ber häufigeren in îeutfd)-Ianb roilbraacbfenben ©flansen bon Dr. SS. Wigula, ©rof. an ber ftorft-aïabemie Eifenadj. 2 îeile. Wit 100 Slbbilbungen.

bungen, 5 Tabellen unb 3 Harten.

3)ie 9îûbelpôlser bon ©rof. Dr. ft. SS. «Reger in Sharanbt Wit 85 Slbbil-

9?r. 355.

«Ru^pflanjen bon ©rof. Dr. 3- ©ehrenô, ©orft. ber ©roffö. Ianbtoirtfdjaftl. ©erfud)Sanft. Sluguftenberg. Wit 53    Figuren.    9гг.    123.

2>й§ Stiftern ber ©liitcnpflansen mit 91n«frf)Iu& ber ©bntnofpermen bon Dr. Ш. Stifter, Slffiftent am ®gl. ©otanifdjen ©arten ln ©erlin=Sablent. SIRtt 31 Figuren.    даг. 393.

Pflansenfranfbciten bon Dr. SBerner ftriebrtcb ©rud ln ©iefjen. SIRit i farb.

даг. Эю.

Stafel unb 45 9lbbilbungen. flRincralogie oon Dr. да. ©raun«, Profeffor an b. Uniberfität ©onn. 9Rit 132 9lb»

bilbungen.

даг. 29.

©colonie in furent SHu«sug für Schulen unb sur Selbftbelebrung jufammen» geftellt bon Prof. Dr. ©beri), graaâ in Stuttgart. SIRit 16 Slbbilbungen unb 4 Safeln mit 51 Figuren.    даг. 13.

Paläontologie bon Dr. даиЬ. фоегпе«, Profeffor an ber Uniberfität ©raj. SDW 87 ©bbilbungen.    SRr. 95.

даг. 173.

Petrographie bon Dr. SS. ©rubn«, Profeffor an ber ftgl. ©ergafabemie ©lau«* tbal. SIRit 15 SUbbilbungen. ßriftallogrnpbie oon Dr. SB. ©rubn«, Prof, an ber ÄgI. ©ergafabemie ©lau«» tbal. SIRtt 190 Slbbilbungen.    даг. 2Ю.

©cfdiirfjte ber Pljüfif bon 91. ßiftner, Prof, an ber ©robb. SRealfcbule su Sin«» beim a. ©. I: Sie Pbbfil bi« Sîemton. SIRit 13 Figuren. даг. 293. — II: Sie Pbbfil bon SRemton bi« sur ©egemoart. SIRit 3 Figuren. даг. 294. ÎTlcoretifrije Pbbftf. ©on Dr. ©uftab Säget, Prof, ber Pbbftf an ber Sertmifcben £od)fd)ule in ©Men. L Seil: SJRed)anif unb 9l!uftiï. SIRit 19 SMbbilbungen.

даг. 76.

— II. Seil: Cicbt unb SBärme. SWit 47 Slbbiïbungen.

даг. 77.

—    III. Steil: ©Ief traitât unb SWagnettému«. SIRit 33 91bbilbungen. SRr. 78.

—    IV. Seil: ©leftromagnetifd)e Cicbttbeorie unb ©leftrontf. SIRtt 21 Figuren.

даг. 374.

даг. 317.

SRabioaftibität bon 9ВШ). grommel. SIRit 18 Figuren.

Pbbfifalifcbe Pieffung«mcttjoben bon Dr. SBilbelm ©abrbt, Oberlehrer an ber Oberrealfd)ule in ©ro&=Sid)terfelbe. SIRit 49 Figuren.    даг. 301.

PbbHfalifrfje SHufgabenfaimulnng bon ©. SWabler, Profeffor am ©bmnaftum in Ulm. ÜJlit ben SRcfultaten.    даг. 243.

Pbbfifalifcbe tïormelfammlung bon ©. Stabler, Profeffor am ©bmnafium in Ulm.

даг. 136.

Pbbfifalifrfj-(£bemif(be «Rechenaufgaben bon Prof. Dr. SR. 9Ibegg unb prloat»

даг. 445.

©eftoranalnft« bon Dr. Siegfr. ©alenttner, Pribatbosent für Pbbfil an ber Uniberfität ©erlln. SIRit 11 Figuren.    SRr. 354.

©cfd)idjte ber ©bemie bon Dr. фидо ©auer, Slffiftent am dfem. ßaboratorium ber $tgl. Secbnifcben £>ocbfd)ule Stuttgart. I: ©on ben äiteften fetten bi« sur ©erbrennung«tbeorie oon ßaooifier.    SRr. 264.

— II: ©on Caooifier bi« sur ©egenmart.    SRr. 265.

SHttorganifrfje ©bemie bon Dr. $of. Allein in SIRannbeim.    SRr. 37.

Sbictalloibe (9lnorgantfd)e ©bemie I. Seil) bon Dr. 0«ïar Scbmibt, btpl. Ingenieur, SUffiftent an ber ft'gl. ©augemerffdiule in Stuttgart.

äRctalle (9lnorganifcbe ©bemte П. Seil) bon Dr. 0«ïar Scbmibt, bipl. $$nge» nieur, Slffiftent an ber ®gl. ©augemerffdiule in Stuttgart. SRr. 212.

Drganifdje ©beutle bon Dr. 3of. Шет in SIRannbeim.    SRr. 38.

©bemie ber Äoblenftoffberbinbungeu bon Dr. фцдо ©auer, 9Iffiftent am d)em. Caboratorium ber ftgl. Secbn. £>od)fcbule Stuttgart. I. II: 9llipba» tifdje ©erbtnbungen. 2 Seile.

bosent Dr. О. Sadur, beibe an ber Uniberfität ©re«lau.

SRr. 211.

SRr. 191, 192.

Analpfe.

©pcmte ber .(loplenftoffucrbinbungcn bon Dr. фидо Sauer. Ill: &ar= bocpïlifcpe Serbmbungen.    9tr. 193.

— IV: £>eterocufUicpe Serbinbungen.    3tr. 194.

Analtitifdje ©peinte bon Dr. Sopanneê форре. I: ïpeorte unb ©ang ber

37r. 247. 371. 248. 37c. 221.

— II: Oîeaftion ber 39?etalloibe unb Metalle.

Mitfiaiialnfe bon Dr. Otto Шрт in Stuttgart. Mit 14 fttg. £ed)itifdf©pemifrpe Attalufe oon Dr. ©. Sunge, $n>f- an ber ©ibgen. Solptetfm.

©dmie in gürtet). 3J7it 16 2lbbilbungen.    37r. 195.

©tcreudjemic b. Dr. ©. ©ebetinb, S*of. a. b. Unib. Tübingen. Mit 342lbbilbungen.

37r. 201.

Allgemeine unb pptiftïaltfcpe ©peinte bon Dr. Maç SRuboIppi, Srofepor an ber îecpn. $od)fcpule in SDarmftabt. Mit 22 giguren.    3fr. 71.

©Icftroriiemte bon Dr. фетпер banned in 5riebrid)§pagen. I. ïeil: ïpeoretifepe ©leftroepemte unb ipre ppt)fiïal.*cpemifcpen ©runblagen. Mit 18 ftiguren.

37r. 252.

37t. 253.

— II: ©rperimentelle ©leïtrocpemie, Me&metpoben, Seitfapigïeit, Söfungen. Mit 26 Figuren.

ïoïilologtfdie ©lietnie bon $ribatb03ent Dr. ©. Mannpeim in Sonn. Mit 6 Abbilbungen.    37c. 465.

Agrtfulturrpetnte. I: Sflaitsetternaprung bon Dr. $arl ©rauer. 37r. 329.

$a$ ngrtfitlturriiemifdjc ftoittroUiDefcn o. Dr. Saul Ärifcpe in ©öttingen. ?tr. 304.

Slgrtfulturcpentifrpe Unterfudnmg^metpoben bon Srof. Dr. ©mil |>afelpoff, Sorfteper ber lanbmirtfcpattltcpen Serfudjöftation in 3D7arburg in £.

37r. 470.

sJ7r. 240.

Sppftologtfdie ©pemte bon Dr. med. A. ßegapn in Serlin. I: Affimilation. Mit 2 îafeln.

— II: ïiffimüation. Mit einer ïafel.

37r. 241.

Meteorologie oon Dr. ©. ïrabert, Srof. an ber Uniberfitat 3lnn§brud. 307it 49 Abbilbungen unb 7 ïafeln.    37r. 54.

©rbinagitettetuiiè, ©rbftrom unb Solnvlttfit bon Dr. 21. 37ippolbt jr., 3D7itglieb b. ftgl. Strufe. Meteucol. Snftituts ju Sotöbam. Mit 14 Abbilb. u. 3 ïaf.

37r. 175.

37r. 11.

Aftronomic. ©töfce, Semegung unb ©ntfernung ber $immetèfôrper bon 21. 5- Möbiuä, neu bearbntet bon Dr. фегт. ftobolb, Stof. an ber Unio. ftiel. I: £>aś Slanetenfuftem. Mit 33 Abbilbungett.

AftroppUfif. $>ie Sefcpaffenpeit ber фштеШогрег oon Srof. Dr. ©alter ft-©tèUeenuâ. 37eu bearb. o. Dr. .£>. ßuöeuborff, Sot5bam. Mit 15 Aöbilbungen.

37r. 91.

Affronontffrpe ©eograbpte bon Dr. ©iegm. ©üntper, Srof. an ber îerfm. ^)ocpfdiule in Mündien. 9JM 52 Abbilbungen.    37r. 92.

SPPftfdje ©eogravpte bon Dr. ©iegm. ©iintbet, Srof. an ber Stöntgl. ïecpn. £>ocpjdmle itt Müncpen. Mit 32 9lbbtlbungen.    37r. 26.

37r. 112.

SPPfifdje Mcercéïmtbe bon Srof. Dr. ©erparb ©d)ott, Abtetfung§borftePer an ber ïeutfepen ©eemarte in Hamburg. 3D7it 39 АЬЬШтщ en im ïejt unb 8 ïafcln.

Älimnfitnbe I: Allgemeine Œlimalepre bon Srof. Dr. ©. Joppen, Meteorologe

ber Seemarte Hamburg. Mit 7 ïaf. u. 2 Qrig. Saläoflimatologie bon Dr. ©ilp. 37. ©darbt in Aacpen.

9tr. 114. 37r. 482.

©iehe unter üftaturrolffenfcfjaften.

®tbHotï|ef ber Geeinte.

©iehe unter 9tararn>tffenfd)aften unb Technologie.

Bibliotbef ber ïecbtttfïogle.

<£l)cmifcf)e SeĄnoIogie.

WHgemeine (hemifrfieXedjitolugieb. Dr.©uft.flîauter tnEbarlottenburg. Яг.113. Tic ftette ttnb Cle foioie bie Seifen- nub Sicracnfabritation unb bie fcar*e, Cnrfe, fyiruiffe mit ihren roiditigften jpilfôituffen oon Dr. Starl Braun. I: Einführung in bie Ehemie, Bewted)ung einiger ©alae unb ber ette unb Cle.

Яг. 335.

—    II: Tie ©eifenfabriïation, bie ©eifenanaihfe unb bte Âerjenfabriîation. Wit

25 Slbbilbungen.

—    III: фагае, Sade, ftirniffe.

Üithcrifrtic Cle unb Micdntoffe bon Dr. 9îod)uffen tn Wiltit*. Wit 9 3lb»

Яг. 446.

Tie ©Eblofioftofre. Einführung in bie ©Sentie ber efblofiben Vorgänge bon Dr. ф. Brun^oig in ЯсиЬаЬсЬЗЬсгд. Wit 16 Çibbilbimgen. Яг. 333. ©raucrciiuefcn I: Wnlacrci bon Dr. ©aul Trcoerhoff, Tirettor ber Brauer» unb Wälaerfdiule in ©rimma. Wit 16 9lbbilbungen.    Яг. 303.

Toê Gaffer unb feine Bermenbung in ^nbuftrie unb ©eraerbe bon Tipl.^ng.

Dr. Èrnft Seher. Wit 15 Slbbilbungen.    Яг. 261.

2Baffcr unb '»(biuiiffer. Shre vSufammenie6ung, Beurteilung unb Unterfuchung oon 'Brof. Dr. Emil £afelhoff, Borfteljer ber Ianbroirtfchnftlichen Ber* furfrêftation in Warburg in .Reffen.    'Яг. 473.

ЗйпЬшагеп oon Tirefîor Dr. 9llfon3 Buiarb, Borftanb be§ ©täbt. Ehemifch.

Saboratoriumé in ©tuttgart.

Slnorganifrfie diemifrhe ftnbuftrie bon Dr. ©uft. fRauter in Eharlottenburg. I: Tie Seblancfobambuftrie unb ihre ЯеЬепаптде. Wit 12 Tafeln. Яг.205.

—    II: ©alinenmefen, Äalifalae, Tüngerinbuftrie unb BermanbteS. Wit 6 Tafeln.

Яг. 206.

btlbungen.

Яг. 336. Яг. 337.

Яг. 109.

Яг. 207.

—    III: SInorganifdhe Shemtfdbe Bräbarate. Wit 6 Tafeln.

Wetallurgie oon Dr. 9lug. ©eih in Wiinchen. 2 Bbe. Wit 21 $ig. Яг. 313, 314. Eleftromctallurgie bon Яед.=Я. Dr. $r. ЯедеШЬегдег in ©tcgliij=Berlin. Wit

16 Figuren.

Tie Subuftrie ber Stlifate, bet ftinftlirhen Banfteine unb be§ Würtefê bon

Dr. ©uftao 'Jiauter. I: ©la-о* unb ïeraniifdje ^nbuftrie. Wit 12 Xaf. Яг. 233.

—    II: Tie Snbuftrie ber ïüuftlichen Baufteine unb be3 Wörter. Wit 12 Tafeln.

Яг. 234.

Tie Xeerfarbftoffe mit befonberer Berüclfichtigimg ber ftmtbetifchen Wethoben bon Dr. фап$ Bucfierer, ©rof. a. b. $gl. Tedjn. £>od)fd)ule Treiben. Яг. 214.

Яг. 110.

ЭИефапЦфе Хефпо1од{е.

WedjantfĄe 2ed)nologie Don ©elj. Hoftat örof. 21. ßübicfe tn öraunfdjtoelg.

2 öbe.

Sir. 340, 341.

Deftilinbuftric I : Spinneret unb 8ttinteret bon SSrof. Waj ©ürtler, ©elj.

SiegierungSrat im ®ontgl. ßanbeSgeraerbeamt gu öerltn. Wit 39 ftig. Sir. 184. — И : SBeberei, S3irferet, öofamentiererei, Spieen- unb ©arbinenfabrifatton unb Çilgfabrifation bon örof. Waf ©ürtler, ©et). SîegierungSrat im Röntgt. ßanbeSgeroerbeamt gu Berlin. Wit 29 Figuren.    Siг. 185.

Ш: SBäfdjeret, öleidjeret, Färberei unb ihre ^üfSftoffe bon Dr. SBtllj. Waifot, ßebrer an ber öreufc. &Ы). &ad)fd)ule für Deftil-ßmbuftrie in Œrefelb. Wit 28 ftiguren.    Sir. 186.

2)1 e Watcrialien bc§ WafrfHucnbauc§ unb ber ©leftroterfjnil bon Ingenieur örof. Herrn. SBilba in öremen. Wit 3 Slbbilbungen.    Sir. 476.

Da3 Holg. Stufbau, ©igenfcbaften unb öermenbung, bon fßrof. фегт. SBilba in Öremen. Wit 33 Slbbilbungen.    Sir. 459.

Da3 autogene Sdjroeifc- unb ©djncibberfafjrett bon Ingenieur фап§ Siiefe

in Ätel. Wit 30 Figuren.

Sir. 499.

¹

Sammlung Göschen, Nr. 53. § 114.

²

Deutsche Sterblichkeitstafeln aus den Erfahrungen von 23 Lebensversicherungsgesellschaften ; normal versicherte Männer und Frauen mit vollständiger ärztlicher Untersuchung (1883). Die Zahlen entsprechen nicht mehr genau den jetzigen Verhältnissen.

IBibllotfyef bet 3n9cmeun»lffenfd)aften.

Da3 Siedmen in ber Dedini? u. feine Hilfsmittel (Siedienfdńeber, Siecbentafeln, Siedienmafdiinen ufm.) oon Ingenieur 3ol). ©ugen SJiaper in Âartërube t. ö. Wit 30 Slbb.    Sir. 405.

Viaterialpriif uugéraefen. ©tnfübrung in bie mobeme Dedmtf ber Watertalprtifung bon ft. Wemmler, Diplomingenieur, ftänb. SJiitarbetter am ftgl. Wateriäl* priifungSamte gu ©rofj-ßicbterfelbe. I: Waterialeigenfcbaften. — fteitigfeitä-berfudje. — Hilfsmittel für fteftigfeitëberfudje. SJiit 58 Figuren. Sir. 311.

—    II: Wetallprüfung unb Prüfung oon HWSmaterialien beS WafcbinenbaueS.

— öaumaterialprüfung. — öapierpri'tfimg. — Sdjmiermittelprüfung. — ©inigeS über SJietallograpbie. Wit 31 Figuren.    Sir. 312.

Wetallograptiie. fturge, gemeinfa&lidie Darftcllung ber ßebre bon ben We-tollen unb ihren ßegterungen, unter befonberer öerücffiditigung ber Wetallmitroftopie oon örof. ©. Henn unb örof. 0. öauer am ftgl. Waterialprüfung?amt (©roö=ßid)terfelbe) ber ftgl. Dedinifcben H⁰⁽h№ule gu Öerlin. I: Slllgemeiner Xeil. Wit 45 Slbbilbungen im Deirt unb 5 ßidUbilbern auf 3 Dafcln.    Sir. 432.

—    II : 0 p eg teller Xeil. Wit 49 Slbbilbungen im Dejt unb 37 ßidjtbllbern auf

Sir. 433.

19 Dafein.

Sir. 178. Sir. 179.

6tatif. I: Die ©runblehren ber ©tati! ftarrer ftörper bon SB. Houber, Diplomingenieur. Wit 82 Figuren.

—    II: Slngeroanbte ©tatif. SJiit 61 Figuren.

Reftigfeitslebre oon SB. Halber, Diplomingenieur. Wit 56 Figuren. Sir. 288. Slufgabenfamutlung gur fteitigteitélehre mit ßöfungen bon 81. Haren, Diplomingenieur in Wannbettn. SJiit 42 Figuren.    Sir. 491.

Hübraulif o. SB. Hnuber, Diplomingenieur in Stuttgart. Wit 44 gtg. Sir. 397. ©eometriirbeê 3cirfinen oon H- öerfer, Slrtfjiteït unb ßebrer an ber öau-gemertidiule in Wagbeburg, neubearbeitet oon örofeffor i. öonberlinn in Wünfter. Wit 290 Figuren unb 23 Dafein im Deft.    Sir. 58.

©(batten!onftruftionen oon örofi. öonberlinn in Wünfter. Wit 114 fÇig. Sir. 236. fßarallelperfpefttbe. tRedmuinflige unb fd)iefmin!lige Sljonometrie oon örof. i. öonberlinn in Wünfter. Wit 121 Figuren.    Sir. 260.

3entraï-MerfpeftiOc bon Mrchtteft фапЗ gfrepberger, neubearbettet bon ©rof. 3.©onberlinn, 2)tr. b. Âgl. ©augemerffdjule,MWnfter t. SB. 3J2tt I32 8ftguren.

Mr. 57.

ФефпНфеЗ Sifrterbucfj, entbaltenb bie michtigften Aumbrticïe be$ Mfafchinen* bauem, Schiffbauern unb ber ©leftrotedjnif bon ©йф Ärebm in Merlin.

I. $eil: $>eutfch=©ngl№

—    П. ïetl: ©пд1исЬ=Фе^1ф.

—    III. teil: $eutfcft»ftranaöfifd&.

—    IV. Фей: tïran^öfifeutfd^.

©leftrotcdjnif. ©infübrung in bte moberne ©leid)* unb SBedbfelftromtechnt!

bon 3- феггтапп, <J3rofeffor an ber Sî'ôntgïtcï) Xerfjnifchen ^ocpfchule Stutt* gart. I: SDte phhfifaltfchen ©runblagen. MW 42$ig. u. îoîafelu. Mr. 196.

Mr. 197.

Mr. 395. Mr. 396. Mr. 453. Mr. 454.

Mr. 198.

II: 5Dte ©1еЩ1гот1ефт1. MW 103 ftiguren unb 16 Xafeln.

—    III: ®ie SBechfelftromtedmü. MW126 3fi0* u. 16 5£af.

$tc elcftrifdicn MicfHnftrumrnte. 2)arfteIIung ber SBirfung3meife ber ge=

bräuchiichften 'Mewuftru mente ber ©leftrotedjnif unb fur$e ©efchreibung ihrem Aufbauem oon 3* Herrmann, ©rof. an ber Äönigl. Фефп. 4pocf)fcfmIe (Stuttgart. MW 195 $tg.    Mr. 477.

Mabioafttbität oon ©hemifer 2ВШ). Trommel. MW 18 Abbildungen. Mr. 317. î>te ©Icirbftrommafdiine oon (5. ШщЬгиппег, 3ngenteur u. Posent für ©leftro* technif a. b. '.Municipal ©фоо1 of îechnologn in Mantfjefter. MW 783tg. Mr.257. Ströme unb Spannungen fit Starfftrnmnebcn bon $)iplom*©Ieftroingenieur 3ofef.£>er*og tn ©ubapeft u. ©rof.ftelbmann in ФеШ. MWesfttg. Mr. 456. î>te eleftrifdie îrlegraPhie bon Dr. Bubmig Mellftab. Mit I93iguren. Mr. 172. îaëfternfpre dimefrn o. Dr. ßubro.Mellftabin Merlin. MW 47 ftig. и. 1 îaf. Mr.155. Mermcffungvfunbe oon фф1.=3пд. Oberlehrer M. SBerfmeifter. 2 Möndchen.

ÜMit 255 Abbildungen.    Mr. 468, 469.

Maurer» u.6teintiancrarbeiten bon Mrof. Dr. phil. и. Фг.*3пд. ©buarb Scpmttt in ®armftabt. 3 Manbdjen. MW oielen Abbildungen. Mr. 419—421. 3immerarbeiten oon ©arl Орф, Oberlehrer an ber ttaif. îecbnifchen ©фи!е in Strafcburg i. ©. I : Allgemeinem, Malfenlagen, graiichenbecfen unb S)ecfenbilbungen, hölzerne ftufjboben, 3ad)raerfmmänbe,.£)änge= unb (Sprenge* toerfe. Mit 169 Abbildungen.    Mr. 489.

—    II : Фасрег. SBanbbefleibnngen, Stmmfcbalungen, Mlocf=, ©oplen* unb

Mretterroände. Заипе, îüren, ïore, ïnbünen unb Maugerüfte. MW

167 Abbilbunaen.

Mr. 490.

©ifenfonftruftionen im £*orf)bau. ffursgefaßtem фапЬЬиф mit Metfpielen bon Ingenieur ffarl Schindler in Meifcen. MW 115 Figuren.    Mr. 322.

Фег ©ifrnbrtoitbau oon Meg.-Maumeifter Äarl Möjjle in Merltn*Stegli&.

MW 77 Abbildungen.    Mr. 349.

Weisung unb Stiftung oon Ingenieur Johanne« Körting, ©ireftor ber Aft.» @ef. ©ebrüber Körting in lîüffelbotf. I: Фат SBefen unb bie Merecpnung ber фециидт* unb ßüftungmanlagen. Mit 31 Figuren.    Mr. 342.

—    II: ФкАитШЬгиид berjpeMUiigm^u iböüftungmaHlageu. Mitl953t0* 9k* 343. ®a§» unb JlBafferinftallationen mit©infd)lufjf der Abortaiilaqcn mm Mrofeffor

Dr. phil. и. Фг.*3пд. ©buarb (Schmitt in î)armftabt. MW 119 Abbild. Mr. 412. ®eranfcl)lagen im £odibau. ^urjgefa&tem фапЬЬиф über bam SBefen dem ftoftenanidilagem bon ©nul söeutingcr, Architeft 58.Ф.А., Affiftent an ber îecf)* nifchen ^odifdiule in $>armftabt. MZit oielen 3lfluren.    Mr. 385.

ftabt. 'Mit 25 Figuren unb il Tabellen.

©auftibrung. ffurągefahtem ^апЬЬиф über bam SBefen ber ©auführung oon Architeft ©mil ©eutinger, Affiftent an ber ФесЬт|феп ^orfjfchule in фагт*

Mr. 399.

Die ©aufunft be§ <Srfmlbaufc5 bon 2ßrof. Фг.=$од. Emft $etterlein tn Фага* ftabt. I: ФаЗ <5d)ulhau3. Wit 38 2lbbiibungen.    9h. 443.

— И: Фге Sdjulräume. — Ф1е 9hbenanlagen. Wtt 31 2lbbilbungen. 9h. 444. Cffcntlirfie ЗЗаЬе- uttb Sduoimmanîtalten oon Dr. $arl SBolff, Stabt*Oberbaurat tn Hannooer. Wit 50 ftip    9h. 380.

SBafferoerforouug ber Ortfrfiaften bon Фг.*3пд. 9îob. ÜBebraud), SJSrofeffor an ber îedbnifctjen Hocbfdmle Stuttgart. Wtt 85 Ortßuren. 9h. 5.

9îr. 486.

Die Æalfulation im Wafrfiinenbau oon Ingenieur ф. Öethmann, Фо*еп1 am Dedmifum 9Utenburg. Wtt 61 2lbb Übungen.

Die Wafrfiinenelemente. $urägefafete3 ßebrbud) mit SBeifpielen für ba3 ©elbft* ftubtum unb ben praftifeber ©ebrauef) bon gnebriĄ 23artb, Oberingenieur in Nürnberg. 9Jht 86 Figuren.    9h. 3.

ÜWetaliurnie bon Dr. 2lug. ©ei&, biplom. ©^emifer in Wünchen. I. II. Wit 21 ftiguren.    9h. 313, 314.

9tr. 153.

©ifenbiittenfunbe bon 21. Æraujj, btplomierter Hütteningenieur. I: Фаз 9hh» eifen. Wit 17 Figuren unb 4 îafeln.    9h. 152.

—    II: ФаЗ ©cbmtebeifen. Wtt 25 Figuren unb 5 SEafeln.

ßötrolirprobierfunbe. Oualitatioe 2lnalt)fe mit Hilfe be3 ßötrobre3 bon

Dr. Wartin Henglein in Freiberg. Wit 10 Figuren.    9h. 483.

Dedinifrije fitörmelehre (Dbermobtinantif) oon SBalther unb W. SRöttinger, Diplomingenieuren. 9Jiit 54 giguren.    2h:. 242.

Die tbermobtjnamifrficu ©ruublagcn ber 2öärmefraft* unb Äältcmafriiincn bon 9Jt. Göttinger, Diplomingenieur in Wannheim. Wit 73 Figuren.

9h. 2.

DieDampfmafrfjine. S?ur3pefa&te3 ßehrbudi mit 23etfptelen für ba3 ©elbftftubtum u. b. praft. ©ebraud) о. Çriebr. 23artf), ©bering., Nürnberg. Wit 48 fÇig. 9h.8.

Die Dampffcffel. fturjgefaBteS ßehrbuef) mit ©eifpielen für ЬаЗ Selbftftubium и. ben praft. ©ebraurf) o. ftriebr. SBarth, Obering., Nürnberg. Wit 67 grig. 9h. 9.

Die ©aèfraftmafriiinen. Ihtrjgefafcte Darftellung ber roicbtigften ©a3mafcf)inen* ©auarten o. Ingenieur 2Ufreb £irfd)ïe tn фсШе a. <g. -gr^it 55 Figuren. 9h.3l6.

Die Dampfturbinen, ihre 2Birïung3metfe unb Sîonftruftion oon Sng. Потоки 2iMba, 'Crofeffor am ftaatl. îedmifum in 23remen. Wit 104 21bb. 9h. 274.

Die î№e«hnâ^igfte SBctricbêfraft oon grriebrirf) 23arth, Oberingenieur in 9htm* berg. I: Einleitung, Dampffraftanlagen. ÉBerfchiebene ®raftmafrf)inen. Wit 27 2lbbilbungen.    9h. 224.

—    II: ©a3*, SBafier* unb 2Binb*$raftanIagen. Wit 31 2(bbilbungen. 9h. 225.

ber SBetrieb3fraft. Wit 27 2tbbtlbungen.

—    III : Eleftromotoren. SBetrieb3foftentabeIlen. ©raphifehe Darftellungen. 2ôahl

9h. 474.

Deçt unb 2 Dafeln.

©ifenbabnfabr&euge non H- Hümenthal, ftgl. 9ïegierung3baumetfter unb Ober* ingénieur in Hannooer. I: Die ßofomotioen. Wit 89 ttbbübungen im

9h. 107.

—    II : Ф1е Eifenbabnroagen unb SBremfen. Wit 56 21bbilbungen im De^t

9îr. Ю8.

unb 3 Dafeln.

Die Hebeseuge. ihre ftonftruftton unb ^Berechnung bon Ingenieur Hamann ШЬа, 'ßrof. am ftaatl. ФефпШип in ^Bremen. Wit 399 2lbbilbungen.

9h. 414.

Çumpen, fjpbranlifdie unb pnennmtifche îlitlagen. Ein ïurjer überblid oon 9iegierung3baumeifter 9îubolf IBogbt, Oberlehrer an ber ftönigl. höheren Wafcbinenbaufdiule in 9?ofen. Wit 59 2lbbilbungen.    9h. 290.

9h. 407—409.

Die lanbmirtfdjaftlidien »Wafdiinen oon $arl 2öaltber, ®iplom-3ngenieur in Wannbeim. 3 ©anbeben. Wit oielen 2lbbilbungen.

$ie $refeluft№erf*eufle bon Diplomingenieur S. gltiS, Oberlehrer an ber Âaiferl. Decpnifdien ©dmie tn ©trafcburg. АШ 82 Figuren. Ar. 493. Aautif. Hurler Abrifj beS täglich an Sorb oon $anbel$fd)iffen angemanbten DeilS ber ©d)iffaf)rt$funbe. Son Dr. grana ©dml$e, Direltor ber Aaoi* gationSfdjule $u ßübecf. ШШ 56 Abbilbungen.

Ar. 84.

©ibliotljel ber <ReĄts* u. ®taatstmffenfd)ûften.

Allgemeine AedjtSlepre oon Dr. Dh- ©temberg, Srtoatboaent an ber Untoerf.

Caufanne. I: Die SDtethobe.

*— II: Da$ ©pftent.

Aedjt oeo Stirgerlitben ©efefjbudjcS. ©rfteS Su#: Allgemeiner Deil. I: (ÿtnletrung — Setjre oon ben Serfonen unb oon ben ©achen bon Dr. Saul Oertmann, Srofeffor an ber Unioerfität (Erlangen.

--II: (Erroerb unb Serluft, ©eltenbmadumg unb ©chut) ber 8Rechte bon

Dr. Saul Oertmann, Srofeffor an ber Unioerfität (Erlangen. Ar. 448.

—    «Sroeites Such : ©diulbrecht. I. Abteilung: Allgemeine Sehren bon Dr. Saul

Oertmann, Srofeffor an ber Unioerfität (Erlangen.    Ar. 323.

--II. Abteilung: Die einzelnen ©dmlboerhaltniffe oon Dr. Saul Oertmann,

Srofeffor an ber Unioerfität (Erlangen.

—    dritte* Sud) : Sachenrecht bon Dr. ft. ftrehfchmar, CberlanbeSgerirfitêrat

in Dresden. I : Allgemeine ßeljren. Seiifc unb Eigentum. Ar. 480. --II: Segrenjte Redite.    Жr. 481.

—    SiertcS Sud): gamüienrecht bon Dr.Heinrich Dt&e, Srofeffor an ber Unio.

©ottingen.

Deutfdjcs &anbelSrcd)t bon Srof. Dr. $arl ßehmann in Aoftocf. 2 Sanbchen.

Ar. 457, 458.

DaS beutfrhe ©ecredjt bon Dr. Otto Sranbtè, Oberlanbeâgeritf)t§rat in Hamburg.

2    Sänbe.    9b:. 386, 387.

Ar. 425.

Allgemeine Staatslehre bon Dr. фегтапп Aehnt, Srof. an ber Unioerfität ©miBburg i. (E.    Ar. 358.

Allgemeines ©taatSrerftt bon Dr. gultuS $atfd)eï, Srof. an ber Unioerfität

Ar. 415—417.

Sreub*ifd)eS ©taatSredit bon Dr. grifc 6tier*(5omlo, Srof. an ber Untoerf. Sonn. 2 Deile.

Deutfdie« Sioilproaefjretht bon Srofeffor Dr. SSilhelm ftifch in ©tra&burg i. (E.

3    Sänbe.

Softredit bon Dr. Alfreb flBolde, Softinfpeftor in Sonn.

©orttitgen. 3 Sänbchen.

Ar. 169.

Жх. 170.

Жх. 447.

Ar. 324.

Ar. 305.

Ar. 298, 299.

Ar. 428—430.

Æirriienrerbt oon Dr. (Emil ©ehling, orb. Srof. ber Aecfite in (Erlangen. Ar. 377. DaS beutfdie Urpeberredit an literarifdien, fünftlerifchen unb gewerblichen Schöpfungen, mit befonberer Serücfiidnigung ber internationalen Serträge bon Dr. ©uftao Aauter, Satentanmalt in (Ebarlottenburg.

Ar. 263.

Der internationale gemerblidie AertjtSfdiup bon g. Aeuberg, ftaiferl. Ae* gierungSrat, Siitglieb be$ $aiferl. SatentamtS ju Serlin. Ar. 271.

DaS Urtjcberredit an Werfen ber Siteratur unb ber Dontunft, baS SerlagSreĄt unb baS Urheberredit an SSerfen ber bilbenben Itünfte unb ber Sh°toflrap&ie bon ©taatSanmalt Dr. g. ©cplittgen in (Ebentni§.

DaS Sarenseidienredit. Aadi bem @efe& sum ©d)ut) ber SBarenbejeichnungen bom 12. Alai 1894 oon g. Aeuberg, Äaiferl. AegierungSrat, ÜKitglieb be« ßaiferl. SatentamteS au Serlin.

Ar. 361.

Ar. 360.

Ser unlautere SBettbcioerb bon ЯесЬ13атьаИ Dr. 9Jtartin ASaffermann in

Hamburg.

Яг. 339 .

Atabemie ©ofen.

SeutfdjeS .ftolonialrcdft bon Dr. ф. ©bier b. Hoffmann, ^Srofeffor an ber ftgl.

Яг. 318.

©lilitarftrafreibt bon Dr. ÎRaç ©rnft ЗИарег, ©rof. an ber Uniberfitâî Strasburg t. ®.    2 ©ânbe.    Яг. 371, 372.

Scutfrtie JBefirürrfûffung bon ÆriegSgerlcbt§rat©arI ©nbreâ i. ©ürjburg. Яг. 401. $orenfifdje ©ftirbiatrie bon ©rof. Dr. 2Ö. ©epganbt, Sireïtor ber ^rrenanftalt ftrtebricbSberg in Hamburg. 2 ©anbdjen.    Яг. 410 u. 411.

»0lfstt)irtfd)üftncf)e »ibliotbet.

©olf?ioirtfrfiaft§lebre bon Dr. (Sari 3oI>$. gfucbS, ^Srofeffor an ber Uniberfttät

Tübingen.

Яг. 133.

©olfêmirtfrfiaftêpolitif bon ©râftbcnt Dr.91. ban ber ©orgbt in ©erlin. Яг. 177.

Яг. 203, 204.

©eioerberacfcn bon Dr. SBerner Sombart, ^Srofeffor an ber $anbetèboft)îrf)uIe Berlin. 2 ©ânbe.

Sa§ £anbel§mefen bon Dr. ©ilb. fierté, ©rofeffor an ber Uniberfttät ©öt-

tingen. I: SaS фапЬе13рефпа1 unb ber 'ißarenbanbel. — II. Sie ©ffeltenbörfe unb bie innere фапЬе13ро1Ш!.

Яг. 296. Яг. 297.

Яг. 245.

Auswärtige fcanbelSpolitif bon Dr. фе1пг1ф Slebeftng, ©rofeffor an ber Uniberfttät 3ftrtrf).

Яг. 262.

Sa3 ©erfitberungSwefcn bon Dr. jur. ©aul fWolbenbauer, ©rofeffor ber ©er-ficberungStoiffenfcbaft an ber £anbcl3I)ocf)fd)uIe Stoln. ©erfirberungSmatbematil bon Dr. Alfreb ßoetob, ©rofeffor an ber Uniberfl-tät frretburg i. $8.    Яг. 180.

Sie gnurrbliriie Arbeiterfrage bon Dr. ЗВегпег Sombart, ©rofeffor an ber

£anbetël)0cf)ïrfmle ©erlin.

Sie Arbeiterberfidierung bon ©rofeffor Dr. Alfreb fütaneS in ©erltn. Яг. 267. ftinanjniiff enfebaft oon ©räfibent Dr. Я. ban ber ©orgbt in ©erlin. I. Allgemeiner Фей.

— II. ©efonberer Seil (Steuerlebte).

Яг. 209.

Яг. 148. Яг. 391.

Sie Steuerfpftcme beS AuSlanbcS bon @eb- Oberfinanjrat 0. Scbtoarz in

©erlin.

Яг. 426.

Sie ©ntwitflung ber föeidjSfinanjen bon ©räfibent Dr. Я. ban ber ©orgbt

in ©erlin.

Яг. 427.

Sie ftinanjfbfteme ber ©rofemärfjte. (ßfnternat. Staats-и. ©emeinbe-ftinana» toefen.) ©on 0. Schwarz, ©eb. Oberfinanarat, ©erlin. 2©bd). Яг. 450,451.

Soziologie bon ©rof. Dr. SbomaS AcbeliS in ©remen.

Яг. 101.

Яг. 496.

Sie ©ntmirflung ber fokalen ftrage bon ©rof. Dr. gerb.SönnteS in ©utin. Яг. 353. Armenmefen unb Armeniürforge. ©infübrung in bie fostale ^ilfSarbeit bon Dr. Abolf ©eher, ©rofeffor an ber ^anbeisbocbfcbule in $Шп. Яг. 346. Sie ©ofjnungSfrage oon Dr. ß. ©obie, ©rofeffor ber StaatSmiffenfcbaften ju ftranïfurt а. Я1. I: SaSASobnungStoefen in ber mobemen Stabt. Яг. 495. — II: Sie ftäbtifebe ASobnungS- unb ©obenpoliti!.

Sa$ ©enoffenfdwftêmefen in Seutfcblanb bon Dr. Otto Slnbede, Sefretär

beô фаирюегЬапЬеЗ beutfeber geroerblicber ©enoffenfebaften.

Яг. 384.

2J)eoIogtfd)e unb reHgionsœiffenfcf)aftn(f)e ®ibIiotl)eï.

$ie Gmtfteïjung be§ 5tltcn Xeftament« bon Stc. Dr. 2B. ©taerl, fßrofeffor an bet

Яг. 272.

Slltteftamentlirfie fReligionêgcfd)idjtc bon D. Dr. 2flaj Söljr, fßrofeffor an bet Unioerfitat ©re«lau.

©cfdiidjte 3frael§ bi« auf bte grted)ifrf>e 3eit bon Sic. Dr. 3. öenjinger. Яг. 231. Sanbe«- it. ©olfSfunbe ©alriftina« bon Lie. Dr. ©uftab $5lfdjer in £alle. 9J?it 8 ©ollbtlbem unb 1 Starte.

Uniberfität in Stena-

Яг. 292.

Яг. 345.

2>te(*ntftcf)ung b. fteuenXeftament« b. ©rf. Sic. Dr. (Jarl ©lenten in ©onn. Яг.285. Xie ©ntrotifluitg ber (briftUrfjcn OTeligion innerhalb be« Яеиеп Xeftament« bon ©rof. Sic. Dr. (Jarl (Jlemen in ©onn.    Яг. 388.

Reuifftamentlidje 3eitgcfrf)irî)te bon Sic. Dr. SB. ©taerf, ©rofeffor an ber Uniberfität in Stena. I: SDer ^iftorifĄe u. fulturgefd)id)tlidje £intergrunb be«

Яг. 325.

Urcbrtfientum«.

— II: 5Dte ЯеИдЬт be« Jgubentum« im Seitalter be« £>elleni«mu3 unb bet

Яг. 326. Яг. 479.

föömerberrfcbaft.

î>ie (fntftefiung be§ Xalmub« bon Dr. @. $unï in ©o«fotoifc.

Sibrifc ber berflieidjeuben JHeligionêroiffcnfrijaft bon $rof. Dr. £1). 9ld)eli«

Яг. 208.

in öremen.

î>ie fReligtonen ber WaturbiHïer im Umrifj bon Dr. XIj- SIdjeli«, toetlanb

Яг. 449. Яг. 83. Яг. 174.

örofeffor in Öremen.

Snbifdie föelinton$gcfrf)frf)te bon ©rof. Dr. (Jbmunb £arblj.

Önböba bon Örofeffor Dr. (Jbmunb £arbt).

©ricditfdje unb römifdie üRntbologie bon Dr. Hermann ©teublng, ЯеКог be« ©omnafium« in ©dmeeberg.    Яг. 27.

©ermantfdie ®h)tfiologie bon Dr. (J. 9Rogl, fßrofeffor an ber Uniberfität Seidig.

Яг. 15.

Sie beutfdje $elbeufage bon Dr. Otto Suitbolb Sirtcjeï, fjSrofeffor an bet Uniberfität fünfter.

Яг. 32.

!|3<ibagi>gtfcf)e ®tMiotl)eï.

fßöbaaogif im ©runbrifj oon örofeffor Dr. 2B. Яет, SDireJtor be« öäba* pogiieben ©eminar« an ber Uniberfität in Зепа.    Яг. 12.

(Mditdjte ber öäbapogit bon Oberlehrer Dr. ф. Reimer in 2Bie«baben. Яг. 145. ©djulprajri«. ÎRetbobif ber öolt«fd)ule oon Dr. Я. ©eifert, ©eminarbireïtot in 3fd)opau.

Яг. 50.

Setdienfdiuïe bon örofeffor St. Stimmidj in Ulm. ОДШ 18 Xafeln in Xon*,

Яг. 39.

färben* u. ©olbbrurf u. 200 öoll» u. Xertbilbern.

ôemcpungéfotrlc bon Dr. (J. Stoblraufcb, örof. am Stgl. Staifer-SBtlbelm«* ©timnafium *u ^»annooer. ЭДШ 14 9Ibbilbungen.    Яг. 96.

@efd)idue be« beutfrfien llntcrrtdit«racfen« oon örofeffor Dr. fÇriebrtrf) ©eiler. Xireftor be« Slönigltcben ©timnaftum« ju Sudau. I: öon Slnfang an bi« jum (Jnbe be« 18. Sa&rbunbert«.

— II: 8om Öeginn be« 19. 3a&rf>unbert« bi« auf bie ©egenmart. Яг. 276.

Яг. 275.

2>a$ beutfdje Fortbilbungdfdmlmefen nach feinet gefcbicbtlicben ©ntratcflung unb in feiner gegenwärtigen ©eftalt bon ф. Siercfê, 2)ireftor ber ftäbt. Fortbilbungdfcbulen in 4?eibe t. £>olftein.    Яг. 392.

2)ie bcutfdje Sdjuie im Sluêlanbe bon фапЗ 9lmrbetn, 2)ire!tor ber beutfcben ©фШе in ßütttd).    Яг. 259.

©ibliotbe! ber flunft.

etUfunbe bon ©rof. Starł Otto Hartmann in Stuttgart. Wtt 7 ©ollbflbem

Яг. 80.

unb 195 ïertilluftrationen.

Яг. 74.

$te ©auïunft bed 9lbenblanbed bon Dr. St. Schäfer, 9tffiftent am ©eroerbe» mufeum in ©remen. Wtt 22 SIbbilbungen.

$ie ©laftif bed 9lbcnblanbed bon Dr. £>and Stegmann, 2)ireItor bed ©apr. 9îationaImufeumâ in Wünrben. Wit 23 ïafeln.    Яг. 116.

2)ic ©laftif frit ©eginnbcd 19. Falirfiunbertd bon 91. ^eilmeper in Wüncpen.

Wit 41 ©ollbilbern auf amerüauifcbem Stunftbrucfpapier.    Яг. 321.

$>ie grnpliifdien Sitinfte b. ©arl Stamnmann, !. f. fiebrer anberf. f. ©rapbifdjen ßepr» u. ©erfud)danftalt in Шеи. Wit aaf)lrei<f)en 9tbbilb. u. ©eilagen.

Яг. 75.

î»ic ©hotograbfiie bon $. Stejjler, ©rof. an ber I. !. ©rapbifcben Sehr* unb ©erfudjdanftatt in ©Men. Wit 4 Xafeln unb 52 Stbbilbungen. Яг. 94.

»ibliotbef bet ffllufif.

Snigemeine Wuftflcbre bon ©rofeffor Stepban Strebt in Seipjtg. Яг. 220. Wufifalifdje 9lfuftif bon Dr. Start ß. Schäfer, Posent an ber Uniberfität ©evlin.

Wit 35 9tbbilbungen.

Harmonielehre bon 9t. Halm. Wit bieleń ЯotenbeiIagen.

Wufifnlifrfie Formenlehre (STompofitiondlehre) bon ©rof. Stebban Strebt. I. II. Wit bieleń fRotenbeifpielen.    Яг. 149, 150.

Яг. 21.

Яг. 120.

Stontrapunft. $)ie ßebre non ber felbftänbigen Stimmführung bon ©rofeffor

Stephan Strebl in ßeipjtg.

Яг. 390.

Fuge, ©rläuterung unb Einleitung aur Stompofition berfelBen bon ©rofeffor Stephan Strebt in ßeipaig.    Яг. 418.

Fnftruntenrcnlchre bon Wufifbireïtor $гащ Waperljoff tn ©hemuiü. I: ïert. II : ЯогепЬе11рМе.    Яг. 437, 438.

Яг. 344.

Wufifäftheti! non Dr. St. ©rundïb in Stuttgart.

©efditdite ber alten unb mittelalterlidjen Wuftf bon Dr. 8t. Wühler. Wit

jahlreicben 9lbbilbungen unb Wufiïbeilagen. I. II.

Яг. 121, 347.

Wufifgcfd)id)te bed 17. u. 18. Sabrhunbcrtd b. Dr. SÎ. ©rundft) i. Stuttgart.

Яг. 239.

— feit ©eginn bed 19. Fahrbunbertd bon Dr. 1t. ©rundïb in Stuttgart.

I. IL

Яг. 164, 165.

•$jûnbeIsœtffenf<I)ûftH(ï)e ®ibIiotbef.

©uthfübrimg in cinfadicn unb hoppelten ©often bon ©rof. Üiobert Stern, Ober» lebrer ber Öffentlichen £anbeielebranftalt unb SDojent ber ftanbelSbod)* fchule ju ßeipsig. ©Mt Formularen.    5Rr. 115.

$eutfdie $anbflëforrrfpoubcu* oon ©rof. Th. be ©eaujr, Officer be l'^nftruc» tion ©ubliaue, Oberlehrer а. Ф. an ber Öffentlichen £>anbetëlebranftali unb ßeltor an ber £anbel$bochfcbuIe ju fieipjig.    fRr. 182.

lehranftalt unb ßeltor an ber £anbel§bocbfd)ule su Seipjig.

ftronsöfifche £anbcl§forrcfpunbcns oon ©rofeffor be ©eauç, Officer be r^nftruetton ©ublique, Oberlehrer а. Ф. an ber Öffentlichen фапЬс!3»

9îr. 183.

(Snglifdte £anbelêfomfponben* bon (5. (S. ©Jbitfielb, ©t.*©., Oberlehrer an King tèbroarb vil ©rammar School in KingS ßtjnn.    SRr. 237.

fttolicniidir ^anbelêforreiponbcns bon ©rofeffor ©lberto be ©eauj, Oberlehrer am ftomgltchen ^nftitut SS. ©nnunsiata su ftlorenj. fRr. 219. Spanifrbe $anbrl*forrefponbens o. Dr. ©Ifrebo ©abal be ©lanejcurrena. ©r. 295. {Ruffifdie .fSnnbelĄforrefpoiibenj oon Dr. ïh- b. Karorat)$lh in ßeipjig. SRr. 315. Kaufmonnifihed Die di o en bon ©rof. 9Mcharb ^uft, Oberlehrer an b. Öffentlichen ^anbelelehranftalt ber $re$bener Kaufmannichaft. 3 ©be. ©r. 139,140.187. SBarenfnnbe oon Dr. Karl .fcaffad, ©rofeffor an ber ©Mener £anbel£alabemte.

I: Unorgantfche Sparen. ©Ml 40 ©bbilbungen.    ©r. 222.

— II: Organifche ©Jarcn. ©Mt 36 ©bbtlbungen.    ©r. 223.

bürg.

$rogenfunbe oon 9Ud). $orfteroih in ßeipstg unb ©eorg OtterSbach in фат»

©t. 413.

ÜRr. 283.

SHMiotbef ber 2anb* uni» ftorftmirtfdjaft.

fRr. 455.

©obenfunbr non Пг. ©. ©ageler in Königsberg t. ©r. ftdrrbou" unb ©flansrnbaulelire bon Dr. ©aul IRtppert tn ©erltn unb ©rnfl

!Rt. 232.

Sanbmłrtfdmftlidir ©etriebSlebre bon Gfmft ßangenbed in ©odium. SRr. 227. ©Ilgemeine unb fprsiclle îierjuditlchre oon Dr. ©aul SRippert in ©erlin. SRr.228. ©grifultnrdiemie I: ©flansenernäbrung »on Dr. Karl ©rauer.

$aê agrifultnrdiemifriie ,Uontrollwcfcn o. Dr. ©aul Krifdje in ©ôttingen. ©r. 304. ftifdjeret unb frifdîiud)! bon Dr. Karl ©cfftein, ©rof. an ber ßrorftafabemte ©berSmalbe, ©bteilungSbirigent bei ber ftaupiftation beâ forfUidjen ©er» fudrèmefenS.

ftorftmiffrnfrijaft bon Dr. ©b.®chtoappacb, ©rof. an ber fÇorftafabem. (SberSroalbe, ©bteilungSbirigentbei ber£auptftation b. forftlidjen ©erfud)3roefens. ©r. 106. $ie Wabelhölser oon ©rof. Dr. ft. 2B- MeQtt in XÇaranM. ШМ1 85 ©bbil» bungen, 5 Tabellen unb 3 Karten.

ßangrnberf in ©ocbum.

SRr. 329.

«Rr. 159.

«Rr. 355.

SRofK ©Hins- unb ©emidjtêtpcfen bon Dr. ©ug. ©ltnb, ©rofeffor an bet ftanbelsfchule in Köln.

îedtnif be§ ©anfiucfettd oon Dr. ©kalter (Sonrab in ©erlin.

$aö ©kdjfelmefett bon ©echtSantoalt Dr. ©ubolf ©lotfjeS in ßeipstg. ©r. 103.

9ĘT Siebe auch „Volbswirtfcbaftlicbe ßibliotbeb“. ein ausführliches Ver3eicbnis ber aufoerbem im Verlage ber 6. ]. Göfcben» feben Verlagsbanblung erlcbienenen banbelswiffenfcbaftlicben Werbe kann bureb jebe bucbbanblung koftenfrei Ьезодеп werben.

SRiHtür» unb mormerofffenfcbaftltdte Sibliołljet.

Sa? moberne JVrïbnefcftü^. I: Sie ©ntroicflung be? gelbgefcbübe« feit ©in-fübrung be« gesogenen ftnfantertegeroebr« bt? etnfcblie&licb ber ©rfinbung be« raudilofen ©uloer«, etröa 1850—1890. о. Oberftleutnant SB. £etibenreicb, Wilitärlebrer an ber ©filitärtedm. 9I!abemie tn ©erlin. ©fit 1 SlbbilD. 9fr. 306.

—    П: Sie ©ntrottflung be« blutigen ftclbgefcbütie« auf ©runb ber ©rfinbung

be« raudtlofen ©uloer«, etroa 1890 bi« jur ©egenroart, oon Oberftleutnant SB. феььепгекЬ, 9Jfilitärlebrer an ber Wilitärtecbn. Slfabentie in ©erlin. 9Rit 11 Slbbilbungen.    «Rr. 307.

Sie mobernen ©efrfiiitte ber ftitßarttllerie. I: ©om Auftreten ber gesogenen ©efcbüfce bi« jur ©ermenbung be« raucbfcbmacben ©uloer« 1850—1890 bon 9Jfummenboff, ©fajor beim Stabe be« 2fufjartillerte-9fegiment« ©eneraU felbjeugmeifter («ranbenburgifebe« 9fr. 3). 9Jfit 50 Xejtbilbern. 9fr. 334.

—    II: Ste ©ntroicflung ber heutigen ©efcbü&e ber gufjartillerte feit ©inftibrung

be« raucbfcbtoacben ©uloer« 1ö90 bi« jur ©egenroart. 9Rit 33 Xejtbilbern.

9fr. 362.

Sie ©ntroicflunn ber fcnnbfritcrroaffen feit ber Witte be? 19. ^abrbunbert? unb ibr heutiger Stanb oon ©. SBr^obef, Oberleutnant im ^nf.*9iegt. ftreiberr filier oon ©ärtritigen (4. ©ofeufebe«) 9fr. 59 unb fUffiftent ber ftdnigl. ©e-toebrortifung«!ommiffion. 9)fit 21 Slbbilbungen.    9fr. 866.

bürg i. ©. 2 ©änbe.

SRilitftrftrafrecbt bon Dr. 9Raj ©ruft 9Rat)er, ©rof. an ber Uniberfttät ©trabet. 371, 372.

Setitfcbr SBebrberfaffung bon ffarl ©nbre?, $rieg?gerfrf»t«rat bei bem©eneral* tommanbo be« ftgl. battr. II. Slrmeeforp« in SBürjburg.    9fr. 401.

©eftbitbte be? £lrieg«roefen? bon Dr. ©mil Saniel« in ©erlin. I : Sa« anttfe ftriegsroefen.    9fr. 488.

9fr. 498.

—    II: Sa« mittelalterliche ®rieg?toefen.

Sie ©ntintcflung bc? ttricg?frfitffbauc? bom ©Itertum bi? jur fReujett.

I. Seil : Sa« 8l'italter ber fRuöerfdilffe unb ber ©egelfrhiffe für Die J?rieg«fübnmg jur See oom Altertum bi« 1840. ©on îiarb ©ebroarj, ©eb. 9Jfannebaurat u. Schiff bau*Sireftor. ©fit 32 'HbbÜbungen. 9fr. 471. Sie Seemariit in ber beutfeben ©efdiicbte oon SBirfl. 2lbmtralttät«rat Dr. ©ruft bon £aUe, ©rof. an ber Uuioerfitat ©erltn.    9fr. 37a

$erfd)iebenes.

©ibliottjcfs* unb 3^ungstt)efetu

9fr. 332.

BoW9bibliotbefen (©üdjer* unb ßefeballen), ihre ©inridjmng unb ©ertoaltung bon ©mil ^aefebte, Stabtbtbliotbefar in ©Iberfelb.

9fr. 400.

Sa? beutfebe 3*itMng?№efen oon Dr. fRobert ©runbuber.

Sa? moberne 3eitung?roefen (©bftem ber 8ettung«lebre) bon Dr. fRobert

©runbuber.

9fr. 320.

9fr. 351.

UHgemeine ©efdjidjte be? 3eitung3toefen? bon Dr. ßubrotg Salomon in 3ena.

Ôçgtene, 95lebt3ln unb Ç^omajie.

©etuegmtgêfbiele bon Dr. (5. Äoblraufd), ©rof. am ftgl. $atfet = SBtIbeIm8» ©bmnafium ju фаппооег. SJttt 15 Slbbilbungen.    $Rr. 96.

25er menfrblirijc fiörpcr, fein ©au unb feine Sötigfciten, bon 6. ©ebmann, £>berfd)ulrat in ftartèrube. ©Mt ©efunbljeitélebre bon Dr. med. ф. (Seiler. ©Mt 47 Slbbilbungen unb 1 $afel.    ©r. 18.

©rnribrung unb ©abrungSmittel bon Oberftabâarat ©rof. Dr. ©ifdjoff in ©erlin. ©Mt 4 Figuren.    ©r. 464.

25ie 3nfefHon3franfbeiten unb Ujre ©crbütung bon ©tab§arjt Dr. SB. £off* mann in ©erlin. ©Mt 12 bom Söerfaffer gesegneten    9Xbbilbungen    unb

einer ftiebertafel.    ©r.    327.

ïropeitbngiene bon ©teb.^at ©rof. Dr. ©od)t, SMreïtor beS SfnftituteS fut 6d)iff)3* u. ïropenfranlbeiten in Hamburg.    ©r.    369.

2>ie .fcbgieue be§ ©tiibtebatrê bon ф. (Xör. ©ufjbaum, ©rof. an ber 5£ed)n.

£>od)fd)ule in фаппооег. ©Mt 30 Sïbbilbungen.

3)ie £>ngieuc be§ üBoljttunoSiuefcnS bon ф. Ç£t)t. ©ufcbaum, ©rof._an ber $ed)it. £od)fdjule in фаппооег. ©Ht 20 Slbbilbuugen.

©etoerbebbgieue bon ©cb- ©îebisinalrat Dr. ©otb in ©otèbam. ©barmafogitofic. ©on Slpotfjeïer $. ©djmittbenner, Siffiftent am ©otan.

Srogenfunbe bon Nid). 2)orftetoi& in Seipstg u. ©eorg Otterèbacb in $amburg.k

©r. 413.

©r. 348.

©r. 363.

©r. 350.

ątyotograpijie.

Sie ©b о to grabfjie. ©on ф. Rebler, ©rof. an ber !. ï. ©rabbin ßebr* unb ©erfud)âanftalt in SBien. ©Mt 4 $af. unb 52 Slbbilb.

©r. 94.

6tenogrop^!e.

6tenograbïjie nacb bem ©tjftem bon $. X. ©abefôberget bon Dr. SXIbert

©r. 246.

©djramnt, fianbeâamtSaffeffor in ФгеЗЬеп.

2>ie ©cbefrijrift be§ ®abel§bergcrfd)cn 6l)ftem§ bon Dr. Gilbert ©djramm, Sanbeêamtéaffeffor in $reêben.    ©r. 368.

ßcljrDurf) ber ©ereinfadtten 2)eutfrf)en ©tenograbbie (©inig.=@bftem ©tolje* Sdjret)) nebft ©djlüffel, ßefefifiden unb einem Slntyang bon Dr. Qlmfel,

©r. 86.

©ebefrfjrift. ßeljrbudj ber ©ebefdjrift be§ ©bftemS ©toise = <5d)ret) nebft ßürsungSbeifpielen, Sefeftücfen, ©cblüffel unb einer Anleitung §ur ©tei* genmg ber ftenograpf)ifd)en Jertigteit oon $einrtd) 2>rôfe, amtl. bab. ßanbtagäftenograpben in Æartèrube i. ©.

©lubieurat be$ ®abettenforp3 in ©enëberg.

©r. 494.

wettere Bdnbe finb in Vorbereitung. Heuefte Veneicbniffe ftnö jeöer3eit unberecbnet burcb jeöe Bucbbanblung зи be3ieben.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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