I °°

l m m

« Z #

I »Ms

JÜI

Z.

ä=

?w

Sammlung

(Höschen

Unser heutiges Wissen in kurzen klaren,

allgemeinverständlichen

Einzeldarstellungen

Jede Nummer in Leinwand gebunden 90

G. I. Göschen'sche Verlagshandlung G. m. b. Ä. Berlin W. 35 und Leipzig

Oweck und Ziel der „Sammlung Göschen" ist, in Ein-zeldarstellungen eine klare, leichtverständliche und

ystematische lden dürfte.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

übersichtliche Einführung in sämtliche Gebiete der Wissenschaft und Technik zu geben; in engem Rahmen, aus streng wissenschaftlicher Grundlage und unter Berücksichtigung des neuesten Standes der Forschung bearbeitet, soll jedes Bändchen zuverlässige Belehrung bieten. Jedes einzelne Gebiet ist in sich geschlossen dargestellt, aber dennoch stehen alle Bändchen in innerem Zusammenhange miteinander, so daß das Ganze, wenn es volles Darstelln

Ein ausf Nummer

100000295793

erschienenen

Bändchens

Cr^

er-

\

• •

Sammlung Göschen

Graphische Statik

mit besonderer Berücksichtigung der Einflußlinien

Von

Dipl.-Jng. Otto Henkel

Bauingenieur und Oberlehrer an der Kgl. Tiefbauschule in Rendsburg

I. Teil

Zusammensetzung unö Zerlegung der Kräfte in der Ebene. Schwerpunkte. Trägheitsmomente. Spannungen in geraden Stäben. Der einfache Vollwand-und Fachwerkträger. Der Dreigelenkbogen. Gewölbe

Mit 121 Figuren

Berlin und Leipzig

G. I. Göschen'sche Berlagshandlung G.m.b.H.

1912

bAJp

Spnmersche Buchdruckerei in Leipzig

so

IVCl-Tf Fhrßaib

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung.

§ 1. Begriff der graphischen Statik ....

§ 2. Die Kräfte, ihre Wirkungen und ihreMdliche Darstellung 5 § 3. Geometrische Hilfskonstruktionen.......... 7

I. Abschnitt.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften in einer Ebene.

§ 4. Allgemeine Erklärungen . ............

§ 5. Zusammensetzung von Kräften, die in einer geraden

Linie wirken..................

§ 6. Zusammensetzung von Kräften mit verschiedenen Richtungslinien und einem gemeinsamen Angriffspunkte.

§ 7. Zusammensetzung von Kräften, die in einer Ebene zerstreut liegen..................

§ 8. Veränderung der Reihenfolge der Kräfte und Verschiebung des Poles.................

§ 9. Zusammensetzung von parallelen Kräften.....

§ 10. Zerlegung einer Kraft in zwei oder mehrere Seitenkräfte

mit beliebiger Richtung.............

§11. Zerlegung einer Kraft in zwei parallele Seitenkräfte

<Auflagerdrücke des einfachen Balkens) ......

§12. Von den Kräftepaaren..............

§13. Parallelverschiebung einer Einzelkraft.......

§ 14. Statisches Moment einer Kraft..........

II. Abschnitt.

Graphische Schwerpunktsbestimmungen ebener Gebilde.

§ 15. Mittelpunkt paralleler Kräfte...........

§ 16. Schwerpunkte homogener materieller Linien ....

§ 17. Schwerpunkte ebener Flächen...........

11

12

13

16

21

23

25

27

30

31

32

37

41

44

III. Abschnitt.

Höhere Momente paralleler Kräfte in derselbenEbene. Trägheitsmomente ebener Flächen. Spannungsverteilung.

§ 18. Allgemeine Betrachtungen............

§ 19. Trägheitsmoment einer Gruppe paralleler Kräfte . .    50

49

§ 20. Einfluß einer Parallelverschiebung der Achse auf das

Trägheitsmoment . . . .............

§ 21. Trägheitsmomente ebener Flächen ........

§ 22. Berteilung der Spannungen über die Querschnitte stabförmiger Körper................

Leite

53

54

56

IV. Abschnitt.

Der einfache Träger, an beiden oder an einem Ende unterstützt.

§ 23. Allgemeine Betrachtungen............

§ 24. Der Bollwandträger auf 2 Stützen mit ruhender Belastung .....................

§ 25. Der Vollwandträger auf 2 Stützen mit beweglicher Belastung .....................

§ 26. Der Kragträger mit ruhender Belastung......

§27. Einflußlinien..................

59

62

75

94

97

V. Abschnitt.

Der Fachwerkträger, an beiden oder an einem Ende unterstützt.

105

§ 28. Allgemeine Betrachtungen § 29. Der Fachwerkträger mit ruhender Belasmng ....    107

§ 30. Winddruck und Schneedruck § 31. Der Fachwerkträger mit beweglicher Belastung ...    120

§32. Der freitragende Fachwerkträger

115

131

VI. Abschnitt.

Der vollwandige Dreigelenkbogen.

§ 33. Allgemeine Anordnung ..........

§ 34. Der Dreigelenkbogen mit ruhender Belastung ...    135

134

VII. Abschnitt. Das Tonnengewölbe.

138

§ 35. Allgemeine Betrachtungen § 36. Die Druck- oder Stützlinie eines symmetrischen Gewölbes 139 § 37. Das symmetrische Gewölbe mit gleichmäßiger ruhender

Belastung...................

§ 38. Das symmetrische Gewölbe mit ruhender und beweglicher Belastung..................

§ 39. Mittelpfeiler mehrerer Tonnengewölbe und Endpfeiler 145

140

142

Einleitung.

§ 1. Begriff der graphifchen Statik.

Die Lehre, welche von dem Gleichgewicht der unter der Einwirkung t)on Kräften stehenden Körper handelt, nennt man Statik.

Die in dieses Gebiet fallenden Aufgaben Pflegte man früher vorzugsweise auf rechnerischem Wege (analytisch) zu lösen; heute werden dieselben mit großer Vorliebe zeichnerisch (graphisch) gelöst. Die dabei anzuwendenden graphischen Verfahren, welche auf geometrische Sätze aufgebaut sind, hat man zu einem besonderen Wissenszweig herangebildet,

der

„graphischen Statik",

die zuweilen auch Graphostatik genannt wird.

§ 2. Die Kräfte, ihre Wirkungen und ihre bildliche Darstellung.

Unter einer Kraft versteht man diejenige Ursache, welche eine Bewegung eines Körpers anstrebt, oder abzuändern sucht; sie ist also an ihrer Wirkung zu erkennen. In der Natur tritt eine ganze Reihe von Kräften auf, z. B. die Schwerkraft, das Beharrungsvermögen, die Wärmekraft, die elektrische Kraft, die Federkraft, die Muskelkraft der Menschen und Tiere, die Adhäsionskraft, die Kohäsionskraft u. a.

JedefKraft besitzt drei Bestimmungsstücke.

1. Die Größe der Kraft, dies ist das Maß für ihre Wirkungsfähigkeit, welche in Gewichtseinheiten ausgedrückt wird, z. B. in kg usw.

2.    Die Richtung ober der Sinn der Kraft, dies ist diejenige gerade Linie, in welcher die Kraft einen Körper fortzubewegen sucht.

3.    Der Angriffspunkt der Kraft, dies ist diejenige Stelle eines Körpers, auf welche die Kraft direkt einwirkt. (Vgl. S. G. Bd. 178, § 2¹).)

Bildlich wird eine Kraft durch eine Strecke dargestellt, unter Benutzung eines Kräfte maßstab es, dessen Längeneinheit einem bestimmten Gewichte entspricht. Es sei z. B. 1 ein — 1000 kg, dann stellt eine Strecke bort 5 cm Länge eine Kraft von 5000 kg dar.

Fig. la u. lb.

Der Angriffspunkt und die Richtung einer Kraft werden durch die Lage und die Richtung der h ct. Strecke zum Ausdruck gebracht. Die Richtung der Strecke wird meistens & . durch eine Pfeilspitze bezeichnet, wie Mg. 1 a zeigt, seltener durch die Aufeinanderfolge der Buchstaben an den Enden der Strecke, wie aus Fig. lb ersichtlich ist.

Die Strecke a—b stellt eine Kraft dar, die in der Richtung von a nach b wirkt.

Verlängert man die eine Kraft darstellende Strecke über ihre Endpunkte hinaus, so erhält man eine unbegrenzte Gerade, die Richtungslinie oder Wirkungslinie der Kraft, auf welcher sich an einer beliebigen Stelle der Angriffspunkt der Kraft befinden muß.

Wirkt nach Fig. 2 a eine Kraft P in der Richtung a—b auf einen Körper ein, so geht bort diesem eine gleichgroße, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft W aus, welche der Gegendruck oder die Reaktion des Körpers genannt wird.

Solange P = W ist, tritt keine Bewegung des Körpers ein, die beiden Kräfte P und W sind an dem Körper im Gleich-

l) S. G. Bd. 178 bedeutet: Sammlung Göschen Band 178.

gewicht. Derselbe Gleichgewichtszustand ist auch vorhanden, wenn die Kräfte P und W in einem beliebigen Punkte des Körpers auf der . y*

fl¹

(X

Fig. 2 b.

Fig. 2 a.

Richtungslinie a—b ^ wirksam sind (Fig. 2 b).

Die graphische Darstellung aller an einem Körper angreifenden Kräfte geschieht in einem sog. Kräfteplan.

§ 3. Geometrische Hilfskonstruktionen.

Bei vielen Aufgaben der graphischen Statik kommen geometrische Konstruktionen, wie Kegelschnitte, Reduktionen von Strecken und Flächen, Flächenteilungen, Flächenverwandlungen u. a. vor. Bezüglich der üblichen Konstruktionen derKegelschnitte (Ellipse, Parabel, Hyperbel) sei auf das Bändchen Nr. 58 der Sammlung Göschen, Becker-Vonderlinn: Geometrisches Zeichnen, Abschnitt II verwiesen.

Einige dort nicht gegebene und andere oft gebrauchte Konstruktionen sind nachstehend angegeben.

1. Konstruktion bestimmter Parabelpuntte.

Von einem Parabelbogen ist der Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und eine senk- j recht zu dieser stehende D y Sehne gegeben (Spannweite und Pfeilhöhe des Parabel-

xyx ,

''M\' Z-

zXky \f

<_E\

*-T

—f

Fig. 3.

bogens); andere, bestimmte Parabelpunkte sind zu ermitteln.

In Fig. 3 ist AB die Sehne und MS die Pfeilhöhe f der Parabel. Der auf den zur Sehne AB senkrecht stehende Schnitt n—n fallende Parabelpunkt P ist zu zeichnen. Zieht man AS, so ergibt sich auf n—n der Schnittpunkt C, wird nun CD II AB gezogen, so schneidet die Verbindungslinie DS auf n—n den gesuchten Parabelpunkt P aus.

T’

Beweis: E C : f = x :

also EC = —t— --- AD,

oder

(1)

CP : AD

⁼ (i-x)

:T’

EP = y = EC + CP =

st(f0 cp = Hü(^L),

2 f x (1 — 2 x)

4 f x (1 — x)

i²

l²

Dies ist die bekannte Achsengleichung der Parabel.

geben.

In Fig. 3 ist außerdem die Konstruktion einer Tangente ange

2. (Sitte beliebige Anzahl Strecken ist mit einer Zahl

Y = <f § 1 zu multiplizieren.

zr

a) Für <p < 1 verwendet man am besten einen Reduktionswinkel nach Fig. 4, bei welchem CB : AB = a: b ist. Trägt man eine Strecke y = ÄB' auf, so ist

y * ~b*

was sich ohne weiteres aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und AB'C' ergibt. Für den praktischen Gebrauch ist diese Reduktion sehr bequem. Hat man mit dem Zirkel die Länge y = AB' aufgetragen, so braucht man den Zirkel nur noch

Wqs —

C'

Fig. 4.

um B' zu drehen, bis er die Gerade AC tangiert, und die Multiplikation ist vollzogen.    a

b) In derselben Weise kann eine Strecke mit = <p > 1 multipliziert werden.

zf

B'/

Hierzu dient ein Reduktions-winkel nach Fig. 5, bei dem AB : BC = a : b ist. Trägt man eine Strecke y = B'C' 11 BC ein,

so ist

AB' = B'C'-

T = y b *

Diese Multiplikation ist auch, wie bei N

sa

Fig. 5.

dem Falle -j- = yd, mit einem Zirkelschlage auszuführen.

3. Verwandlung eines Dreiecks in ein anderes.

a) Das in Fig. 6 gegebene Dreieck ABC soll in ein anderes mit der Grundlinie AB₂ verwandelt werden. Man verbinde mit C und ziehe hierzu von B aus eine Parallele, welche die verlängerte Seite AC in Cj trifft. Dann ifiAB^ das neue Dreieck, welches mit dem gegebenen ABC inhaltsgleich ist.

Af

//

//

c/ i

d-'/'-t-M

/ V ,//y r

//

Fig. 6.

Fig. 7.

Der Beweis für die Konstruktion folgt aus der Gleichheit des Inhaltes der beiden Dreiecke BB,C und B.CC., welche gleiche Grundlinie und Höhe haben.

b) Soll das Dreieck ABC (Fig. 7) in ein solches mit der gegebenen Höhe CD verwandelt werden, so ziehe man BE || AC, verbinde

A mit D und ziehe von E aus hierzu eine Parallele, welche AC im Punkte F trifft. Dann ist CDF das neue Dreieck, welches mit dem gegebenen ABC inhaltsgleich ist.

Bei der Konstruktion kann die Linie AE fortgelassen werden. Für den Beweis gilt folgendes: Dreieck ABC inhaltsgleich mit Dreieck ACE, weil Grundlinie und Höhe gleich sind; Dreieck ACE inhaltsgleich mit Dreieck CDF, weil die Dreiecke AEF und DEF inhaltsgleich sind (erste Konstruktion) mithin auch Dreieck CDF inhaltsgleich mit Dreieck ABC.

4. Verwandlung eines Vierecks.

a) Das in Fig. 8 gegebene Rechteck ABCD soll in ein anderes mit der Grundlinie AB* verwandelt werden. Man verbinde B1 mit D und ziehe dazu die Parallele von B aus, bis sie die Seite AD in Di trifft. Dann ist das neue Viereck AB^^ inhaltsgleich mit dem gegebenen ABCD, denn aus den ähnlichen Dreiecken ABXD und ABDX folgt

AB : ADX = AB^: AD und AB - AD" = XDj • ABj .

T)

Ji

\c

xJ

Xx I ■//

X i / /

__ _    ^

i:

____I

Fig. 8.

Fig. 9.

b) Soll das in Fig. 9 gegebene Rechteck in ein Quadrat verwandelt werden, so kann dies mit Anwendung der Sätze von der mittleren Proportionale im rechtwinkligen.Dreieck durchgeführt werden.

Konstruiert man über AB + BC~ = ÄC^ einen Halbkreis und errichtet in B das Lot, so ist BE die gesuchte Quadratseite. Der Beweis folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABE und BC₁E; es ist:

AB : BE = BE :    = BE : BC und

BE² =ÄB • BG .

//

/>

c) Ist ein unregelmäßiges Viereck ABCD in ein Dreieck zu verwandeln, so kann dies nach Fig. 10 geschehen. Die Ecke bei B soll beseitigt werden; zu diesemZwecke schneide man durch die Diagonale AG das Dreieck ABC ab und verlege dessen Spitze B aus einer Parallelen zu AG, bis sie auf die Verlängerung der Seite AD nach Ai fällt. Dann sind die beiden Dreiecke ABC und AA₁G inhaltsgleich, weil sie gleiche Grundlinie y^ und Höhe haben, folglich wird ^    ^

auch der Inhalt des Vierecks ABGD    *

Fig. 10.

Hat man ein Vieleck in ein Dreieck zu verwandeln, so bedient man sich des eben geschilderten Verfahrens, indem man nacheinander jeweils eine Ecke beseitigt.

gleich dem Inhalte des Dreiecks AjCD.

I. Abschnitt.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften in einer Ebene.

§ 4. Allgemeine Erklärungen.

Mle Kräfte, die an einem Körper angreifen, können entweder in einem Punkte oder in verschiedenen Punkten aus den Körper einwirken, ferner können ihre Richtungen gleich oder verschieden sein. Die Wirkung aller dieser Kräfte kann durch eine einzige, entsprechend gerichtete Kraft ersetzt werden, welche die Mittelkraft oder Resultierende derselben genannt wird. Die Kräfte selbst heißen Seitenkräfte oder

Komponenten. Die Auffuchung der Mittelkraft von ge--gebenen Kräften heißt die Zusammensetzung von Kräften.

Oft ist der umgekehrte Fall vorhanden, die Wirkung einer Kraft ist durch Seitenkräfte, deren Richtungen gegeben sind, aufzunehmen. So muß z. B. die an ein dreibeiniges Gerüst gehängte Last von den drei Füßen desselben aufgenommen werden. Die Bestimmung dieser Seitenkräfte aus gegebenen Kräften nennt man die Zerlegung von Kräften.

§ 5. Zusammensetzung von Kräften, die in einer geraden Linie wirten.

Wirken beliebig viele Kräfte in derselben geraden Linie nach der gleichen Richtung, so ist ihre Mittelkraft gleich der Summe derselben. In Fig. 11 ist R = Pi + P₂+

+ P₄ = ab .

i Haben die in derselben Geraden / wirkenden Kräfte jedoch zum Teil / entgegengesetzte Richtung, so summiere man die nach jeder der beiden Richtungen wirkenden Kräfte für sich und bilde ihren Unterschied, welcher die Mittelkraft aller dieser Kräfte darstellt.

ca

r;

<>«

Sig. 11.

Fig. 12.

\ (2)

In Fig. 12 ist

R=P₁+P₃+P₅-(P₂+P₄+P₆)=bc.

Mit Rücksicht auf die vorstehende Gleichung kann man die Mittelkraft als die algebraische Summe der gegebenen Kräfte bezeichnen. Wird diese algebraische Summe gleich

(3)

Null, so stehen die Kräfte unter sich im Gleichgewicht. In Fig. 12 muß in diesem Falle die Strecke be zu Null werden.

§ 6. Zusammensetzung von Kräften mit verschiedenen Richtungslinien und einem gemeinsamen Angriffspunkte.

Wenn die gegebenen Kräfte Plf P₂... Pn einen gemeinsamen Angriffspunkt A haben, so muß ihre Mittelkraft auch durch A hindurchgehen und es braucht nur noch Größe, Richtung und Sinn derselben bestimmt zu werden.

/>

Fig. 13.

Sind zunächst nur, wie in Fig. 13, zwei Kräfte P und Q vorhanden, welche durch die den Winkel BAD bildenden Strecken AB und AD dargestellt sind, so konstruiere man aus ihnen als Seiten ein Parallelogramm ABCD, dessen Diagonale AG die gesuchte Mittelkraft nach Größe und Richtung darstellt, ihr Sinn ist von A nach C gerichtet. Das Parallelogramm ABGD führt den Namen: Kräfteparallelogramm oder Parallelogramm der Kräfte. Der a Beweis für die vorstehende Konstruktion folgt aus einem Satze der Mechanik über die von zwei verschieden gerichteten Kräften hervorgebrachte Bewegung eines Punktes. (Vgl. auch S. G. Bd. 178, §4.)

Zur Auffindung der Mittelkraft AG muß aber nicht das ganze Parallelogramm ABGD gezeichnet werden, es genügt vielmehr das Dreieck ABG (Fig. 14 a) oder das Dreieck ADC (Fig. 14 b). Diese Dreiecke entstehen, indem man die eine Kraft parallel an den Endpunkt der anderen verschiebt und sodann den Anfangspunkt A der einen Kraft mit dem Endpunkt C der anderen Kraft durch die sogenannte Schlußseite oder Schlußlinie AG verbindet. Dabei müssen die Pfeil-spitzen der Kräfte von A aus einen fortlaufenden Sinn (Umfahrungssinn) ergeben, welchem der Sinn der Schlußlinie AG entgegengesetzt gerichtet ist.

J?

F_

tu.

1)_P

Q,

b.

Fig. 14 a u. b.

Die Dreiecke ABC bzw. ADC heißen Kräftedreiecke. Die mit fortlaufendem Sinn oder gleichem Umfahrungssinn (Umfahrungsrichtung) ^aneinandergereihten Kräfte AB und AD bilden einen Kräftezug mit dem Anfangspunkte A und dem Endpunkte C.

Kehrt man in Fig. 13 den Sinn der Mittelkraft um, so erhält man eine neue Kraft R, welche die Wirkung der beiden gegebenen Kräfte P und Q aufhebt. Die drei Kräfte P, Q und R sind also am Punkt A int Gleichgewicht. Trägt man diese neue Kraft R in die beiden Kräftedreiecke, Fig. 14, ein, so zeigen die Pfeilspitzen aller, drei Kräfte P, Q und R einen fortlaufenden Sinn. Man kann diese Dreiecke ganz umfahren, daraus folgt der Satz:

Wenn drei Kräfte mit verschiedenen Richtungslinien an einem gemeinsamen Angriffspunkte im Gleichgewichte sind, so lassen sich dieselben zu einem Kräftedreiecke mit fortlaufendem Umfahrungssinn zusammensetzen.

Sind mehrere durch A gehende Kräfte, z. B. Plz P₂, P₃, P₄ zu einer Mittelkraft zu vereinigen, so ist das vorstehend gezeigte Verfahren dreimal anzuwenden. Man vereinige zunächst die beiden ersten Kräfte P₄ und P₂ zu einer Mittelkraft Rlz mit Rj vereinige man P₃ zu R₂ und endlich R₂ mit P₄ zu R. Dieses in Fig. 15 a gezeigte Verfahren ist etwas umständlich, einfacher kommt man zum Ziel durch Anwendung des

Kräftedreiecks, wie Fig. 15 b zeigt. Die Mittelkräfte Rx und R-2 find für die Bestimmung von R entbehrlich. Zweckmäßig zeichnet man neben den gegebenen Kräften (Fig. 16 a) eine besondere Figur (Fig. 16 b).

CL.

S.

Fig. 15 a.

Fig. 15 b.

Von einem beliebigen Punkte A₀ trägt man die gegebenen Kräfte so aneinander, daß sie einen Kräftezug mit fortlaufendem Sinn oder mit gleichem Umfahrungssinn bilden. Die von dem Anfangspunkte A₀ des Kräftezuges nach dessen End-

£o

Jt

Fig. 16 a.

Fig. 16b.

punkte E₀ gerichtete Schlußseite A₀E₀ ist die gesuchte Mittelkraft R nach Größe, Richtung und Sinn. Der Streckenzug A₀B₀C₀D₀E₀ wird Krafteck oder Kraftpolygon oder auch Kräftezug genannt.

Fällt der Endpunkt E₀ des Kräftezuges mit dem Anfangspunkte zusammen, so schließt sich der Kräftezug, und die Mittelkraft R muß gleich Null werden, d. h. die Kräfte heben ihre Wirkungen auf den Punkt A gegenseitig auf, sie stehen miteinander am Punkt A im Gleichgewicht. Ersetzt man in Fig. 16 a die Mittelkraft R durch eine weitere Kraft P₅, welche gleich aber entgegengesetzt R ist, so schließt sich ebenfalls der Kräftezug, die Kräfte Px... P₅ stehen am Punkte A unter sich im Gleichgewicht. Daraus folgt der Satz:

Lassen sich alle an einem Punkte angreifenden Kräfte zu einem geschlossenen Krafteck zusammensetzen, so sind sie im Gleichgewicht.

Man nennt aber ein Krafteck nur dann geschlossen, wenn sich in demselben nie zwei Pfeilspitzen begegnen, also wenn man dasselbe fortlaufend im gleichen Sinn umfahren kann.

Wird aber in einem geschlossenen Krafteck der Richtungspfeil einer Kraft umgekehrt, so stellt diese die Mittelkraft aller übrigen Kräfte dar.

§ 7. Zusammensetzung von Kräften, die in einer Ebene zerstreut liegen.

Wenn die gegebenen Kräfte Plf P₂... Pn keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, so kann man sich dieselben an einen beliebig gewählten gemeinsamen Punkt A₀ parallel verschoben denken und ihre Mittelkraft kann nach Größe, Richtung und Sinn auf die im §6 angegebene Art und Weise Bestimmt werden, denn durch eine Parallelverschiebung ändert eine Kraft ihre Größe und Richtung nicht. Folglich , muß auch die Größe und Richtung der Gesamtmittelkraft direkt aus dem vom Punkte A₀ aus gezeichneten Kräfteplane gefunden werden. Es bleibt also nur übrig, die Lage oder den Angriffspunkt der Mittelkraft zu besümmen. Hierbei verfährt man folgendermaßen:

Die gegebenen, beliebig zerstreuten Kräfte P1; P₂, P₃, P₄, P₅ sind in Fig. 17 a dargestellt. Mit denselben ist zunächst in Fig. 17 b ein Krafteck gezeichnet, in welches die einzelnen Mittelkräfte Rx, R₂, R₃ und R eingetragen sind; dadurch ist ihre Größe und Richtung festgelegt. Bringt man nun in Fig. 17 a die Kräfte Px und P₂ zum Schnitt, so ist durch den Schnittpunkt S₄ auch ein Punkt der Mittelkraft R₄ gegeben, welche durch Parallelverschiebung aus dem Krafteck, Fig. 18 b, nach

\R,

I    6.

Fig. 17 a.

Fig. 17b.

Sx zu übertragen ist. Bringt man ferner Ri mit Pz im Punkt S₂ zum Schnitt, so kann auch R₂ durch Parallelverschiebung nach S₂ übertragen werden und ebenso erhält man im Schnittpunkte 8z'von R₂ und P₄ einen Punkt der Mittelkraft R₃, an den sie aus dem Krafteck parallel zu verschieben ist. Schließlich liefert der Schnittpunkt S₄ von R₃ und P₅ einen Punkt der Gesamtmittelkraft R, an welchen dieselbe durch Parallelverschiebung aus dem Krafteck zu übertragen ist.

Wählt man auf der Verlängerung von R einen Punkt S, so kann der Linienzug S₄ S₂ S₃ S₄ S als die Mittellinie eines im Gleichgewicht befindlichen, biegsamen Seiles betrachtet

Henkel, Graphische Statik.

18 Zusammcns etzung u. Zerlegung von Kräften in einer Ebene.

werden, welches bei 8 befestigt ist und in den Eckpunkten S₄, S₂, 8g und S₄ durch die Kräfte P₂, P₂, Pg, P₄ und P₅ belastet wird. Daher bezeichnet man den Linienzug 8, S₂ S₃ S₄ 8 auch als Seileck oder Seillinie oder als Seilpolygon.

Die von A₀ ausgehenden Mittelkräfte Rlz R₂, R₃ und R des Kraftecks, Fig. 17 b, würden jeweils die Spannkraft des dazu parallelen Seilstückes (Seilkraft) der Fig. 17 a bedeuten, man nennt sie deshalb Seilstrahlen.

Kehrt man in Fig. 17 a den Sinn aller Kräfte um, so müssen die einzelnen Seilstücke, 8₄8₂, S₂S₃... gegen Druck widerstandsfähig gemacht werden; denkt man sie durch Gelenkstangen ersetzt, so geht das Seilpolygon oder die Seillinie in ein Gelenkpolygon oder Gelenkvieleck oder kurz in eine Drucklinie über, ein Fall, der bei Spreng-werken und Gewölben zu finden ist. Meistens ist es jedoch gebräuchlich, auch in diesen Fällen von einem Seileck oder Seilpolygon zu sprechen, obwohl eine Drucklinie gemeint ist.

Das Seileck gibt aber jeweils nur die Richtungslinien von Kräften an, die Größe derselben ist aus dem zugehörigen Krafteck zu entnehmen.

Ist die Lage der Mittelkraft einer beliebigen Zwischengruppe von aufeinanderfolgenden Kräften, z. B. P₂ und P3 in Fig. 17 zu bestimmen, so vereinige man diese Kräfte zunächst im Krafteck, Fig. 17 b, zu einer Mittelkraft R₀, welche als Mittelkraft von R, und R₃ aufgefaßt werden kann. Es müssen sich also R₄ und R₃ mit R„ in einem gemeinsamen Punkte 8g schneiden, welcher im Seileck, Fig. 17 a, durch Verlängerung der zu R₄ und R₃ parallelen Seileckseiten S₄S2 und S₃S₄ gefunden wird. Dieses Verfahren kann auf eine beliebige Zahl aufeinanderfolgender Kräfte oder auf alle gegebenen Kräfte mit Ausnahme der ersten Kraft Px angewendet werden. Mithin gilt ganz allgemein der Satz:

Die Mittelkraft mehrerer im Seileck aufeinander

folgender Kräfte geht durch den Schnittpunkt der diese Kräfte einschließenden Seileckseiten.

Die erste Kraft P₂ ist hierbei als Seileckseite anzusehen. Soll sie aber auch in die Mittelkraft einbezogen werden, so denke man sich diese Kraft Px als Mittelkraft schon vorausgehender Kräfte.

Zu den in Fig. 18 a gegebenen Kräften Pi, P₂, P₃, P₄, welche im Krafteck Fig. 18 b die Mittelkraft A₀E₀ = R liefern, wird in einem beliebigen Punkte S₀ auf der Richtungslinie

~~W-

/I

a.

Fig. 18 b.

Fig. 18 a.

der ersten Kraft P₂ eine Kraft P₀ von beliebiger Größe und Richtung hinzugefügt, die im Krasteck durch die Strecke OA0 dargestellt ist, so daß nun 0 der Anfangspunkt des Kräftezuges wird. Die Mittelkraft von P₀ und Plr welche durch die Strecke OB₀ dargestellt wird, muß durch den Punkt S₀ hindurchgehen; es ist also 8081 (|| OB₀) die auf P₀ und Befolgende Seileckseite. Genau in derselben Weise ziehe man || OC₀, S₂S₃1| OD0 und S₃S || OE₀. Nach dem auf S. 18 bestimmten Satze muß nun die Mittelkraft von Pv P₂, P₃, P₄ durch den Schnittpunkt der diese Kräfte einschließenden Seileckseiten gehen, wobei die erste Kraft P₀ als die der Kräftegruppe vorangehende Seil-

ecf]eite anzusehen ist, während S₃S auf diese Gruppe folgt. Die Richtung von P₀ schneidet S₃S im Punkte S, folglich geht die Mittelkraft R durch S hindurch und ihre Richtung ist durch die Schlußseite A₀E₀ des Kraftecks bestimmt.

Der Punkt 0 des Kraftecks, Fig. 18 b, heißt der Pol und die von ihm ausgehenden Linien nach den Endpunkten der einzelnen Kräfte, die Strecken OA₀, OB₀, OC₀..., werden Polstrahlen (Seilstrahlen) genannt.

Das vorstehend entwickelte Verfahren, die Mittelkraft einer Kräftegruppe mit Hilfe von Pol und Polstrahlen zu bestimmen, ist besonders da am Platze, wenn die Mittelkraft einer großen Zahl zerstreut liegender Kräfte zu ermitteln ist, weil dann das in Fig. 17 gezeigte Verfahren zu umständlich wird; letzteres wird sogar unmöglich, wenn ein Schnittpunkt von irgend zwei Kräften aus der Zeichenfläche herausfällt.

Soll mit den in Fig. 18 gegebenen Kräften Pi, P₂, P₃, P4 eine weitere Kraft P₅ im Gleichgewicht sein, so muß sie, nach dem Satze auf S. 16, das Krafteck schließen, d. h. sie muß die gleiche Größe wie R, aber eine entgegengesetzte Richtung haben und in demselben Punkte S angreifen.

In Fig. 18 b ist P₅ durch die Strecke E₀A₀ dargestellt, welche das Krafteck A₀B₀C₀D₀E₀ zum Schlüsse bringt. Im Seileck Fig. 18 a geht die auf P₅ folgende Seite durch S und ist mit dem Strahl OA₀ des Kraftecks parallel, sie fällt somit in die Richtungslinie der hinzugefügten Kraft P₀, die beiden Seileckseiten P₀S₀ und SS₀, welche die gegebene Kräftegruppe Pi, ?2, P3, P₄, P₅ einschließen, fallen zusammen und das Seileck geht in eine geschlossene Figur über. Die Linie SS₀ bezeichnet man als die Schlußlinie oder Schlußseite des Seilecks. Die Strecke A₀O des Kraftecks ist die Mittelkraft der Kräfte P₅ und OEp = R₄, sie fällt in die Richtung der hinzugefügten Kraft P₀, ist derselben gleich, aber entgegengesetzt gerichtet und hebt somit deren Wirkung auf die gegebene Kräftegruppe

§ 8. Veränderung der Reihenfolge der Kräfte usw. 21 wieder auf. Aus Vorstehendem ergibt sich der wichtige Satz:

Wenn verschiedene in einer Ebene zerstreut liegende Kräfte im Gleichgewicht sind, so muß gleichzeitig das Krafteck und das zugehörige Seileck eine geschlossene Figur fein.

Ist das Krafteck geschlossen, aber nicht das Seileck, dann tritt ein Kräftepaar aus, d. h. die gegebenen Kräfte bringen ein Drehmoment hervor (vgl. §§9 u. 12).

§ 8. Veränderung der Reihenfolge der Kräfte nnd Verschiebung des Poles.

Die Reihenfolge, mit welcher die Kräfte im Krafteck aneinander getragen werden, ist beliebig; die Mittelkraft erhält für jede willkürliche Gruppierung der Kräfte, wenn gleicher Umfahrungssinn des Kraftecks vorausgesetzt wird, immerdieselbe

p„

H X

3\    * J

V

K\\/h.

Y\ % ¥

fSM,

^/\

. fi

b.

c.

Fig. 19 a.

Größe, Lage und Richtung. In Fig. 19 a, b ist für die gegebene Kräftegruppe Plz P₂, P₃, P₄ das Kraft- und Seileck gezeichnet. In anderer Gruppierung ist mit dem gleichen Pol in Fig. 19 a, c abermals Kraft- und Seileck gezeichnet, welche dasselbe

Ergebnis liefern. Die Mittelkraft geht immer durch den Schnittpunkt der letzten Seileckseiten. Der Übersichtlichkeit wegen sind die Polstrahlen und Seileckseiten mit derselben Ziffer bezeichnet. Die zusammengehörenden Polstrahlen und Seileckseiten müssen immer zwischen denselben Kräften liegen.

Ebenso kann auch der Pol 0 des Kraftecks ganz beliebig verlegt werden, ohne daß die Mittelkraft der gegebenen Kräfte beeinflußt wird.

Zu den Kräften Plr P₂, P₃ in Fig. 20 a ist in Fig. 20 b ein Krafteck mit dem Pol 0 gezeichnet, welches das Seileck

&//

a.

■’\r,

1/

■W\

b.

Fig. 20 a.

S₂ S₃ liefert. Mit dem beliebigen zweiten Pole O' ist ein anderes Krafteck gezeichnet, zu dem ein Seileck SiSiS₃ gehört. Wird die Verbindungsgerade 00' der beiden Pole O und O' als eine Kraft Q gedacht, dann ist Q die Mittelkraft der die Seilspannungen darstellenden Kräfte R± und Ri und muß daher durch den Schnittpunkt 8* der zugehörigen Seileckstrahlen Rx und Ri hindurchgehen. Durch Parallelverschiebung ist Q nach Sj zu versetzen. Q ist aber auch die Mittelkraft der Seilspannungen R₂ und Ri, mithin geht Q auch durch den Schnittpunkt s₂ der Seilstrahlen R₂ und Ri. Ebenso muß Q durch den Schnittpunkt s₃ von R₃ und Ri

§ 9. Zusammensetzung von parallelen Kräften. 23

sowie durch den Schnittpunkt s₄ von R₄ und R₄ hindurchgehen. Da aber die Richtungslinie von Q nur eine Gerade sein kann, so müssen die Punkte s₄ s₂ s₃ s₄ auf einer geraden Linie liegen, welche die Polarachse (Affinitätsachse) der beiden Seilecke heißt. Hiernach gilt der Satz:

Zeichnet man für eine Anzahl von Kräften aus zwei verschiedenen Polen die entsprechenden Seilecke, so liegen die sämtlichen Schnittpunkte der verlängerten gleichvielten Seileckseiten auf einer geraden Linie, der Polarachse, welche zu der Verbindungslinie der beiden Pole parallel ist.

Über Seilecke, die durch 2 oder 3 gegebene Punkte hindurchgehen, vgl. Beispiel 5, Fig. 61, S. 66 oder Abschnitt VI, Dreigelenkbogen bzw. Abschnitt VII, Gewölbe; siehe auch

S. G. Bd. 178, §15, Abschnitt IV und VI.

§ 9. Zusammensetzung von parallelen Kräften.

Parallele Kräfte können in derselben Weise, wie im § 7 gezeigt worden ist, mit Benutzung des Kraft- und Seilecks,

4.

r;

% \n

CL.

äts/s

b.

Fig. 21 a.

welche für einen beliebigen Pol 0 gezeichnet werden, zu einer Mittelkraft vereinigt werden. Um die in Fig. 21 a ge-

gebenen parallelen Kräfte Pv P₂, P₃ und P₄ zu einer Mittelkraft zu vereinigen, sind sie zunächst in Fig. 21 b zu einem Kräftezuge zusammengesetzt, der in diesem Falle in eine gerade Linie, die Kraftlinie übergeht. Letztere stellt die Mit-

ch>

.1

r,

___£

b.

Fig. 22 a.

b.

telkraft der Kräfte P₄ ... P₄ nach Größe, Richtung und Sinn dar (vgl. § 5, Formel 2). Dann wählt man einen beliebigen Pol 0, zieht die Polstrahlen 1, 2 ... 5 und parallel zu diesen, zwischen die zugehörigen Kräfte die Seileckseiten 1, 2 ... 5. Der Schnittpunkt der äußersten Seilecheiten 1 und 5 bestimmt die Lage der Mittelkraft R.

Haben einige der gegebenen Kräfte einen entgegengesetzten Richtungspfeil, so geschieht die Aufsuchung der Mittelkraft in der nämlichen Weise (Fig. 22 a und b), wobei es sich aber der besseren Übersicht halber empfiehlt, die Kräfte wie in Fig. 22 b neben

Pr

t*.

Fig. 23 a.

R\

Jz

b.

b.

der Kraftlinie aufzutragen und dann auf diese zu projizieren.

Sind nur zwei ungleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte vorhanden, so liegt die Mittelkraft stets außerhalb der Kräfte, wie Fig. 23 a und b zeigt.

Werden diese beiden Kräfte ihrer Größe nach gleich, so fällt ihre Mittelkraft in das Unendliche und erhält den Wert Null. Solche Kräfte nennt man ein Kräftepaar.

§ 10. Zerlegung einer Kraft in zwei oder mehrere Seitenkräfte mit beliebiger Richtung.

Mit Hilfe des im §6 behandelten Kräfteparallelogrammes oder einfacher mittels des Kräftedreiecks läßt sich jede Kraft R in 2 Seitenkräste P und Q zerlegen, deren gegebene Richtungslinien sich mit R gemeinschaftlich in einem Punkte schneiden.

L'l »4

o!

-AI P-----

In Fig. 24 ist die Kraft R nach den beiden gegebenen Richtungen Pi und L₂ zu zerlegen. Man ziehe durch die Endpunkte A und G der Kraft R Parallelen zu Lx und L₂, wodurch das Kräfteparallelogramm ABCD entsteht, dessen Seiten AB und AD die gesuchten Kräfte P und Q nach Größe, Richtung und Sinn darstellen, welche die    ^

Wirkung von R ersetzen    <

können. Benutzt man von    7

Fig. 24 nur das Kräftedreieck /

Fig. 24.

ABC, so läßt sich die Aufgäbe in derselben emdeu-tigen Weise lösen, man braucht nur durch die Endpunkte der Kraft R Parallelen zu den gegebenen Richtungen zu ziehen.

Anstatt der Richtung beider Seitenkräfte kann auch die Größe derselben gegeben sein, wobei jedoch P + Q > R sein muß. Ferner kann auch die Richtung und Größe von einer Seitenkraft gegeben sein und damit ist die zweite Seitenkrast festgelegt.

Soll eine auf einen Punkt wirkende Kraft in mehr als zwei Seitenkräfte von gegebener Richtung zerlegt werden, die an demselben Punkte angreifen, so sind unendlich viele Lösungen möglich. Diese Aufgabe ist unbestimmt.

b.

Cb.

r,

b.

Fig. 25 a.

Hingegen ist es möglich, eine Kraft R in drei Seitenkräfte Plr P₂ und P₃ zu zerlegen, deren gegebene Richtungslinieu Llr L₂ und Lg sich nicht in einem Punkte schneiden (Verfahren von Culmann).

Nach Belieben bringe man in Fig. 25 a zwei der gegebenen Richtungen, z. B. L₂ und L₃ im Punkt Sx zum Schnitt und verbinde diesen Punkt mit dem Schnittpunkte S₀ der Richtung Lx und der Richtungslinie von R. Die Verbindungslinie S₀SX kann als Richtung einer Seitenkraft Q betrachtet werden und man kann nun in einem besonderen Krafteck, Fig. 25b, R in die Seitenkräfte Px und Q zerlegen. Am Punkt Sx kann aber Q in die beiden Seitenkräfte P₂ und P₃ zerlegt werden;

trägt man diese in das Krafteck ein, so bilden die drei Kräfte pi, P2, P3 einen fortlaufenden Kräftezug, dessen Mittelkraft R ist.

Sollen die drei Kräfte Pv P₂, P₃ mit R im Gleichgewicht sein, so müssen sie entgegengesetzte Pfeilrichtung erhalten, damit das Krafteck Fig. 25 b zu einem geschlossenen wird.

Eine Zerlegung der gegebenen Kraft in mehr als drei Seitenkräfte ist nicht möglich, man erhält bei dieser Aufgabe unendlich viele Lösungen.

Die Kräftezerlegung spielt bei der Berechnung der Baukonstruktionen eine wichtige Rolle, wie bei den Fachwerken im V. Abschnitt, § 29, S. 107 näher ausgeführt ist. Einfachere Beispiele finden sich in S. G. Bd. 179, §3.

§ 11. Zerlegung einer Kraft in zwei parallele Seitenkräfte. (Auslagerdrücke des einfachen Balkens.)

Ist eine Kraft R in zwei parallele Seitenkräfte Px und P2 zu zerlegen, von denen Lage und Richtung bekannt sind, so zeichne man, wie Fig. 26 b zeigt, mit der Kraft R = AG und

A

dem willkürlich gewählten Pole 0 ein Krafteck ACO. Zu dessen Seiten, den Polstrahlen 1 und 2, ziehe man in Fig.

26 a Parallelen durch einen beliebigen Punkt S auf R, welche auf den gegebenen Richtungslinien von Pjl und P₂ die Punkte 8^ und 8₂ ausschneiden. Hierdurch erhält man die Seileckseiten SS* und SS₂. Die Verbindungslinie 8^2 — s ist die Schlußlinie des Seilecks, zu welcher der Polstrahl s parallel sein muß. Letzterer schneidet

g.

tä

Or.

Fig. 26 a.

/R

b.

die Kraft R= AG im Punkte B derart, daß AB=P₁ und BC= P₂ ist.

Soll R in zwei Seitenkräfte zerlegt werden, von denen die eine der Lage und Größe nach gegeben ist, so kommt man auf die bei der Kräftezusammensetzung im §9, Fig. 23 a u. b, bereits gelöste Aufgabe zurück, welche sich auf zwei ungleiche, entgegengesetzt gerichtete Kräfte bezieht.

Eine besonders häufige Anwendung findet das Zerlegen einer Kraft in zwei ihr parallele Seitenkräfte bei der Bestim-

=6ooofy

a.

-: h-

I B iir

!    i;    t—-AiJ-

sj    II

!j sv M

•4    ■’ ³⁵1«/;

--U.

ot    3

it

b.

te*

jU ii»L /    l i k l

lOOOOÜg

Länyenma/ls tob Fig. 27 a.

mung der Auflagerdrlicke eines einfachen Balkens auf zwei Stützen, welcher durch eine lotrecht zur Balkenachse wirkende Kraft R belastet ist. Hierbei ist dasselbe Verfahren zur Anwendung zu bringen wie in Fig. 26.

Insbesondere kann die Kraft R die Mittelkraft mehrerer paralleler Kräfte sein, die auf den Balken einwirken.

Beispiel 1. Auf einem einfachen Balken von 5,0 m Länge wirken in den Punkten a, b, c, welche um 2,0, 3,0, 4,0 m vom linken Auflager entfernt sind, die Lasten: Pj = 4000 kg, P₂ = 5000 kg, P₃ = 6000 kg. Die Auflagerdrücke des Balkens A und B sind zu ermitteln.

Der Balken ist in Fig. 27 a mit seinen Lasten dargestellt, in

Eräftemaßstah

b.

Fig. 27 b ist die zugehörige Kraftlinie als Strecke AC gezeichnet. Nach Annahme eines beliebigen Poles 0 sind die Polstrahlen 1, 2, 3, 4 gezogen und parallel zu diesen ist, ausgehend von einem beliebigen Punkte Si auf der ersten KraftLP1; das Seileck S₀S₁S₂S₃S4 aufgetragen, dessen äußere Seiten und S₄S₃ in der Verlängerung sich in einem Punkte S schneiden, durch welchen die Mittelkraft R hindurchgehen muß. Die Größe der letzteren ist durch die Formel (2), S. 12 bestimmt zu:

R = Px + P₂ + P₃ = 4000 + 5000 + 6000 = 15 000 kg.

Wird nun die Schlußlinie S₀S₄ = s eingetragen und dazu in

T*j V^Soookg R

x

<!i

=3obeJig.

XX#

Q ^4oook j

a.

i^oooJig

X t Xx

*i|S3

b.

längenmaßstab Fig. 28 a.

3 ™ toojo 1 234067 8    \ / 2,3 4

Kräftemaßs&b*³

b.

Fig. 27 b von 0 aus eine Parallele s gezogen, so schneidet dieselbe die Kraftlinie AC = R = 15000 kg im Punkte B und es ergibt sich für die Auflagerdrücke:

AB = A = 5600 kg,

BC = B = 9400 kg.

Kehrt man den Sinn der Auflagerdrücke A und B um, so erhält man zwei gleichgroße, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte, die Gegendrücke der Auflager oder die Auflagerreaktionen A und B, welche mit den auf den Balken einwirkenden Kräften ' im Gleichgewicht sein müssen.

Im Anschluß sei darauf hingewiesen, daß für jede graphische Berechnung ein Längenmaßstab und ein Kräftemaßstab zu zeichnen ist. Beide sind jeweils der Aufgabe entsprechend zu wählen. Als Längenmaßstab nimmt man vielfach 1 m = 2 cm (1: 50) und als Kräftemaßstab 1000 kg = 1 cm bis 10000 kg = 1 cm.

Beispiel 2. Ein 5,0 m langer Balken hat 3 Lasten: P₄ = 5000 kg, P₂ — 4000 kg, P₃ = 6000 kg zu tragen, welche in den Punkten a, b, c angreifen, die um 1,0, 2,6, 5,0 m vom linken Trägerende entfernt liegen. Der Balken ist am linken Ende bei A und 3,6 m davon entfernt bei B unterstützt. Wie groß sind die Auflagerdrücke?

Die Lösung (Fig.28au.b) wird wie im Beispiel 1 durchgeführt. Man achte darauf, daß der Stützpunkt B zwischen den Kräften liegt, und daß die Schlußlinie S₀S₄ = s richtig eingetragen wird, nämlich als Verbindungslinie derjenigen Punkte S₀ und S₄, welche durch die R bestimmenden Seilstrahlen 8g8₄ und S₃S₄ auf den Richtungslinien der Auflagerdrücke angeschnitten werden.

Schneidet der zur Schlußlinie s parallele Polstrahl s die Kraftlinie XC erst in ihrer Verlängerung, so wird der Auflagerdruck A negativ, d. h. er ist nach oben gerichtet; das Auflager A bedarf einer Verankerung. Dieser Fall ist schon im § 9, Fig. 23 a u. b, erledigt.

§ 12. Bon den Kräftepaaren.

(4)

Die Kräftezusammensetzung im § 7, S. 21, und § 9, S. 25, hat bereits auf das Kräftepaar geführt. Man versteht darunter zwei gleichgroße parallele, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte P, deren Wirkungslinien einen senkrechten Abstand a voneinander haben. Diese Kräfte bilden ein geschlossenes Krafteck, welches die Mittelkraft R — Null ergibt, deren Angriffspunkt ins Unendliche fällt. Ein solches Gebilde läßt sich nicht auf eine Einzelkraft zurückführen, es kann keine verschiebende, sondern nur eine drehende Wirkung haben, welche ausgedrückt wird durch das Produkt aus einer dieser Kräfte P und dem senkrechten Abstand a beider Kräfte. Das Produkt P • a = M

'heißt das Moment des Kräftepaares. Es läßt sich zeichnerisch darstellen durch die Fläche eines Parallelogramms oder Rechtecks (Fig. 29). Dreht ein Kräftepaar im Sinne des Uhrzeigers,

§ 13. Parallelverschiebnng einer Einzelkraft.

-\t*

Fig. 80.

In einem bestimmten Punkte a einer Ebene greife in der Richtung r—r eine Kraft P an (Fig. 30). Aus irgendwelchen Gründen ist diese Kraft an eine andere Stelle b derselben Ebene zu versetzen, die von r—r den senkrechten Abstand x haben möge. Bringt man im Punkte b parallel zur gegebenen Richtungslinie die Kraft P an und hebt sie durch eine gleichgroße, aberentgegengesetzt gerichtete Kraft P wieder auf, so ist an 'Le. dem ursprünglichen Zustande nichts geändert. Aber es bildet jetzt die eine Kraft P in b mit der ursprünglichen Kraft P in a ein Kräftepaar, dessen Moment

(5)

M = P • x

ist, während die andere Kraft P in b die versetzte Einzelkraft darstellt. Das Moment M = P • x wird Bersetzungsmoment genannt. Hiernach hat man den Satz:

nr-

Fig. 29 a, so heißt es positiv oder rechtsdrehend, bei entgegengesetzter Drehung heißt es negativ oder linksdrehend, Fig. 29b. ,₊ ^

Über die eingehendere Be-Handlung der Kräftepaare vgl.

S. G. ®b.l78,f§16.

(L

a.

Fig. 29 a.

b.

Eine Kraft kann beliebig in ihrer Ebene parallel verschoben werden, wenn zu ihrer Wirkung ein Versetzungsmoment hinzugefügt wird, dessen Größe gleich ist dem Produkte aus der Kraft und dem senkrechten Abstande zwischen ihrer neuen und der sprünglichen Richtnngslinie.

Handelt es sich um eine Kraftgruppe, so bilde man erst ihre Mittelkraft und versetze diese wie eine Einzelkraft. Vgl. S. G. Bd. 178, § 17.

§ 14. Statisches Moment einer Kraft.

Wird, wie Fig. 31 zeigt, von einem Kräftepaar die eine Kraft P im Punkte C festgehalten, so hat die andere Kraft P das Bestreben, sich um C zu drehen. Dieses Drehbestreben, v welches als Drehmoment oder statisches i\cL Moment der Kraft P in bezug auf den |A Drehpunkt C bezeichnet wird, drückt man ,h aus durch das Produkt aus der Kraft P und ihrem senkrechten Abstand x vom Drehpunkt C, also mit Rücksicht auf den Drehsinn M = — P • x .

Der senkrechte Abstand x zwischen P und C wird der Hebelarm der Kraft P in bezug auf den Drehpunkt C genannt. Eine in C senkrecht auf der Kraftebene stehende Gerade heißt Drehachse.

Dreht P im Sinne des Uhrzeigers um den Punkt 0, so hat es ein positives oder rechtsdrehendes statisches Moment (+); dreht es in umgekehrtem Sinne, so hat es ein negatives oder linksdrehendes statisches Moment

f/L (-) (NS- 32).

y Das statische Moment einer Kraft läßt sich ebenso wie das Moment eines Kräftepaares durch den Inhalt eines ? * Parallelogrammes oder durch den

Fig. 31.

(6)

.Po?

[C

7)

Fig. 32.

doppelten Inhalt eines Dreiecks dar

stellen, wie Fig. 32 zeigt. Es ist

M, — +P₂ - Xi und M₂ — —P₂ - x₂

oder

M₁ = +2A ABC und M₂ = -2A CDE.

Für zwei beliebig gerichtete Kräfte Px und P₂ (Fig. 33), die im Punkte A angreifen, wird, in bezug auf den in derselben Ebene liegenden Drehpunkt C, das statische Moment wie folgt ermittelt.

st i

7]

17

Zunächst werden die beiden Kräfte und P₂ in A zu ? ihrer Mittelkraft R vereinigt V und sodann die Punkte A, B, D, /

Fig. 33.

E des Kräfteparallelogramms jf mit dem Drehpunkt C verbunden.

Nunmehr gilt für die Drehmomente der beiden Kräfte Px und P₂:

Mj = 2 A ABC = 2 AG • hx, M₂ = 2 A AEG = 2 AG • h₂ .

Durch Addition erhält man

Mj -j- M₂ — 2 AG (hj + h₂).

Für die Mittelkraft R ist

M = 2 A ADC = 2 AG • h .

Aus der Fig. 33 ist aber direkt zu erkennen, daß

hi + h₂ = h,

folglich wird

Mx + M₂ = M .

Dieses Verfahren kann auf beliebig viele Kräfte ausgedehnt werden, mithin gilt der Satz:

Die algebraische Summe der statischen Momente beliebig vieler Kräfte derselben Ebene, bezogen auf einen in derselben liegenden Drehpunkt, ist gleich dem statischen Momente ihrer Mittelkraft in bezug auf denselben Punkt.

Henkel, Graphische Statik.

Hiernach kann auch das statische Moment beliebig vieler Kräfte in der Ebene, z. B. PlfP₂,P₃, P₄ (Fig. 34) in bezug auf den Drehpunkt C ermittelt werden. Zunächst füge man in Fig. 34 b die gegebenen Kräfte zu dem Krafteck AB mit der Mittelkraft R zusammen, wähle den Pol 0 im senkrechten Abstande H von R, ziehe die Polstrahlen 1.... 5 und zeichne in Fig. 34 a, parallel zu letzteren, das Seileck S₀ S₄ S₂ S₃ S₄ S₅. Der Schnittpunkt S der äußersten Seileckseiten liefert einen. Punkt der Mittelkraft R, durch welchen sie parallel zu AB

So

5/

iS

i\

a.

W\R

b.

Fig. 34 a.

gelegt wird. Fällt man vom Drehpunkt C ein Lot x auf die Richtungslinie von R, so ist das gesuchte Moment rechnerisch, wie zeichnerisch bestimmt zu

(7)

M = R • x.

Wird durch den Drehpunkt C eine Parallele zu R gezogen, so schneiden die verlängerten äußersten Seileckseiten eine Strecke s₄ s₄ = y auf derselben ab und es entstehen die beiden ähnlichen Dreiecke ^ s₄ S und ABO, deren Seiten beziehungsweise parallel sind und die Proportion liefern R : H = y : x oder

R • x = H • y .

Die senkrechte Entfernung H der Mittelkraft R vom Pol 0 wird die Polweite oder Polentfernung auch Poldistanz genannt.

(8)

Ta aber M = R • x ist, so folgt aus R • x = H • y M= H -y .

Daraus ergibt sich der Satz:

Das statische Momewt beliebig vieler in einer Ebene zerstreut.liegender Kräfte in bezug auf einen gegebenen Drehpunkt ist gleich dem Produkte aus der Polweite ihrer Mittelkraft und der Strecke, welche von den äußersten Seileckseiten auf einer durch den Drehpunkt parallel zur Mittelkraft gezogenen Geraden abgeschnitten wird.

Die Größe H, welche dem Krafteck entnommen wird, ist mit dem Kräftemaßstab und die Strecke y, welche dem Lageplan der Kräfte entstammt, ist mit dem Längenmaßstab zu messen. Da es sich jedoch um das Produkt aus den beiden Größen handelt, so ist es gleichgültig, ob H mit dem Kräftemaßstab und y mit dem Längenmaßstab gemessen wird, oder umgekehrt.

Das vorstehende Verfahren ist besonders dann geeignet, wenn es sich um die Bestimmung des statischen Momentes paralleler Kräfte in einer Ebene handelt.

Für die in Fig. 35 gegebenen Parallelkräfte Plz P₂, P₃ soll das statische Moment in bezug auf den Drehpunkt C ermittelt werden.

Man zeichne in Fig. 35 b ein Krafteck, das die Mittelkraft R liefert, wähle dazu einen beliebigen Pol 0 im Abstand H, ziehe die Polstrahlen 1, 2,3,4 und zeichne parallel zu diesen in Fig. 35a das Seileck S₀S₁S₂S₃S₄. Die äußersten Seil-eckseiten 1 und 4 schneiden auf der durch den Drehpunkt C gehenden Parallelen zu den gegebenen Kräften die Strecke S₀S₄= y ab und es ist wie in Formel (8)

(9)

R • 1 = M = H • y .

(10)

Ist z. B. das statische Moment nur für die beliebige Kraft P₃ in bezug auf C zu ermitteln, so verlängere man in Fig. 35 a die P₃ einschließenden Seileckseiten 3 und 4 bis zum Schnitt mit der durch C gelegten, zu P₃ parallelen Geraden, auf welcher die Strecke 8z S₄ = y₃ abgeschnitten wird. Und es ist wie vorhin M₃ = H • y₃ .

s.

L_B

235

iPr

b.

X-?

I a.

LS

i*

Fig. 35 a,

Der Beweis hierfür folgt aus der Ähnlichkeit der in Fig. 35 schraffierten Dreiecke. Für diese gilt:

P₃: H = Y3: x₃

oder

P₃ • x₃ = H • y₃ .

Es ist aber P₃ • x₃ = m₃ das Moment der Kraft P₃ in bezug auf den Punkt C, folglich

M₃ = H • y₃ .

Hieraus folgt der Satz:

Wird durch den zu einer Gruppe paralleler Kräfte gehörenden Dreh Punkt eine zu den Kr ästen parallele Gerade gezogen, so schneiden die jeweils auf einer Kraftlinie sich treffenden Seiten eines mit der Polweite H gezeichneten Seilecks auf jener Parallelen eine Strecke ab, welche mit der Polweite H multipliziert, das statische Moment der betreffenden Kraft in bezug auf den Drehpunkt liefert.

§15. Mittelpunkt paralleler Kräfte.

II. Abschnitt.

)a + (y

V. Abschnitt.

VI. Abschnitt.

Sammlung

— 2. Buch: Die Zeit des Amtsund Verkehrsrechtes.

Geschichte der Austeilung und Kolonisation Afrikas seit dem Zeitalter der Entdeckungen

Der deutsche Student

CO

II. Abschnitt.

Graphische Schwerpunktsbestimmungen ebener Gebilde.

§ 15. Mittelpunkt paralleler Kräfte.

z_

3,

Für zwei parallele Kräfte Pt und P₂, die in den festen Punkten A und B c]i angreifen, ist in Fig.

Fig. 36.

36 die Mittelkraft R ermittelt, welche die *

Verbindungslinie AB im Punkte C trifft. Der Punkt C heißt der Mittelpunkt der Parallelkräfte Px und P₂.

Da A ACS c\D AacO, so folgt:

XC:CS = cö:äc.

Ferner ist A BGS od A Ocb, mithin

cs: CB = c b: c;o .

Durch Multiplikation der^beiden^Proportionen folgt: ÄC CS cO cb

• =■ oder ac cO

AC cb

CB

CS CB

Nun ist aber k = Pj und cb == P₂, mithin

ac

P₂

AC

CB Pi '

Hieraus folgt der Satz:

Die Mittelkraft von zwei parallelen Kräften mit gleichem Sinn teilt die Verbindungslinie ihrer Angriffspunkte im umgekehrten Verhältnis der beiden gegebenen Kräfte.

Dieser Satz liefert eine überaus einfache geometrische Konstruktion. Man vertauscht die Angriffspunkte der beiden Kräfte und trägt die eine Kraft im entgegengesetzten Sinne a auf, wie Fig. 37 zeigt. Verbindet ///t man die Endpunkte b und a der /z j? beiden Kräfte, so erhält man im j! Schnittpunkt C der Strecke AB den Mittelpunkt der beiden Kräfte. Denn aus den beiden ähnlichen Dreiecken AbC und aBC ergibt sich direkt das 4 Verhältnis.

r,z

Fig. 37.

AG: CB = p₂: p₁.

Dieses Verfahren ist auch auf zwei ungleiche, entgegengesetzt gerichtete Kräfte anwendbar. Weil die Mittelkraft außerhalb der beiden Kräfte liegt, so muß man ihre Angriffspunkte vertauschen, aber die Kräfte gleichgerichtet antragen.

Obiger Satz bleibt auch noch richtig, wenn die beiden Kräfte proportionnal verändert oder, um einen bestimmten Winkel

^-4-

oc, um ihre Angriffs-4/ punkte gedreht werden. Diese beiden Fälle zeigt Fig. 38. Aus den vorhandenen ähnlichen, Dreiecken erhält man, wie bei Fig. 36,

Fig. 38.

AG: BG — P₂: P-l . Hieraus folgt ein weiteres einfaches zeichnerisches Verfahren zur Feststellung des Mittelpunktes von zwei Parallelkräften. Man bestimmt zunächst in der gegebenen Lage die Mittelkraft der beiden Parallelkräfte Px und P₂,

§ 15. Mittelpunkt paralleler Kräfte.

39

dreht diese Kräfte sodann um einen beliebigen Winkel um ihre Angriffspunkte, wie es für die Aufgabe am brauchbarsten ist (90°), und bestimmt abermals die Mittelkraft. Der Schnittpunkt der ursprünglichen und der gedrehten Mittelkraft ist der Mittelpunkt der beiden Kräfte Px und P₂.

Durch das vorstehende Verfahren kann auch der Mittelpunkt für eine große Zahl von Parallelkräften gefunden werden. Man vereinigt mittels eines Seilecks alle Kräfte mit

P,

____K

gfT'T

x'x

— A "

/    / Y

Via—~

, - p

X-J

—*-

P,

P.

o-k-

3_

4\

Fig. 80.

Ausnahme der letzten zu einer Mittelkraft, wodurch zwei Parallelkräfte übrigbleiben, auf die das vorstehende Verfahren anzuwenden ist. Da aber die neue Mittelkraft zugleich diejenige aller gegebenen Kräfte ist, so hat man folgende einfache Konstruktion. Die gegebenen Parallelkräfte werden zunächst zu einer Mittelkraft vereinigt, sodann um einen bestimmten Winkel (x um ihre Angriffspunkte gedreht und abermals zur Mittelkraft vereinigt. Der Schnittpunkt der beiden Mittelkräfte ist der gesuchte Mittelpunkt der ge-gefcenert Parallelkräfte. In Fig. 39 ist dieses Verfahren dargestellt, hierbei wird zweckmäßig beidemal derselbe Pol 0 benutzt.

Denkt man sich einen Körper durch geeignete Schnitte in eine Anzahl KeinerTeile zerlegt, so kann man deren Gewichte als eine Anzahl paralleler Kräfte betrachten. Der Mittelpunkt dieser Parallelkräfte heißt der Schwerpunkt des Körpers. Er ist der Mittelpunkt des Druckes, den ein Körper auf seine Unterlage ausübt. Für homogene Körper kann an Stelle der Gewichte auch der Körperinhalt gesetzt werden. Läßt man bei einem plattenförmigen Körper die Dicke sehr klein werden, so erhält man eine materielle Fläche. Zerlegt man dieselbe in entsprechende Keine Teile, so können deren Inhalte als Parallelkräfte aufgefaßt werden und ihr Mittelpunkt stellt den Schwerpunkt der Fläche dar. Auch auf gebrochene und gebogene Linien, die in einer Ebene liegen, ist dieses Verfahren anwendbar, wenn man die einzelnen Teilstücke derselben als Gewichte mit parallelen Wirkungslinien betrachtet.

Bei den üblichen technischen Aufgaben kommen gewöhnlich nur homogene Gebilde vor.

Wenn ein homogenes Gebilde eine Symmetrieebene oder eine Symmetrieachse hat, so kann man die durch Zerlegung des Gebildes erhaltenen Teilgewichte, welche als Parallelkräfte wirken, stets so drehen, daß ihre Mittelkraft durch die Symmetrieebene oder -achse hindurchgeht, folglich muß auch der Schwerpunkt darin liegen. Deshalb spricht man bei diesen Gebilden von Schwerlinien oder Schwerachsen.

Besteht ein homogenes Gebilde nur aus zwei Teilen, so liegt der Schwerpunkt auf der Verbindungslinie der Schwer-punKe der Einzelteile, er wird als Mittelpunkt von zwei Parallelkräften gefunden.

§ 16. Schwerpunkte homogener materieller Linien.

1. Schwerpunkt einer geraden Lime.

Eine gerade Strecke ist symmetrisch zu ihrem Mittelpunkte, folglich ist dieser ihr Schwerpunkts

2. Schwerpunkt einer mehrfach gebrochenen Linie.

a) Für die den Umfang eines unregelmäßigen Fünfecks bildenden Linien ist der Schwerpunkt zu ermitteln (Umfangs-schwerpunkt).

T~

wr

L,

t—

/ /

—^—-fy    0.

V/

z/l

x<5

jl

!*Ä

7 \V

f ir /// //

b.

Fig. 40 a.

Die einzelnen Streckens, S₂, S₃, S₄ und S₅, welche den Umfang des Fünfecks in Fig. 40 a bilden, werden als Kräfte aufgefaßt, die jeweils in der Mitte m der Strecke, ihrem Schwerpunkte, angreifen. Als geeigneter Maßstab ist für diese Kräfte ein Drittel der Streckenlänge gewählt worden, so daß sie direkt mit dem Zirkel aus Fig. 40 a abgegriffen werden konnten. Diese Streckenkräfte stellen eine Anzahl Parallelkräfle dar, deren Mittelpunkt der Schwerpunkt des-Fünfeckumfanges ist. Die weitere Konstruktion ist die gleiche wie in Fig. 39. Die Streckenkräfte Slz S₂, S₃, S₄ und S₅ sind in Fig. 40 b als Kräftezug AB aufgetragen. Hierzu ist ein beliebiger Pol 0 gewählt, von dem aus die Polstrahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gezogen sind.

und parallel zu den letzteren ist das entsprechend numerierte Seileck gezeichnet, dessen äußerste Seiten in ihrem Schnittpunkte einen Punkt der Mittelkraft R liefern, auf deren Richtungslinie der gesuchte Schwerpunkt liegt. Nunmehr werden die Streckenkräfte gedreht, am besten um 90°, wodurch bet Kräftezug AB, durch Drehung um den Pol 0, in die Lage A'B' kommt. Vom Pol 0 aus werden die Polstrahlen I, II, III, IV, V und VI gezogen und parallel zu diesen wird ein zweites Seileck gezeichnet, das die Mittelkraft R' festlegt, welche die vorher gefundene Mittelkraft R im Punkte S schneidet. Der Punkt S ist der Mittelpunkt der Streckenkräfte Slz S₂, S₃, s₄, S₅ und somit der Schwerpunkt des Linienzuges S₁S₂S₃S₄SJ, welchen das gegebene Fünfeck bildet.

777

Aus Fig. 40 ist eine wesentliche Vereinfachung zu erkennen. Da der Kräftezug AB durch eine Drehung von 90°, um den Pol 0, in seine neue Lage A'B' gebracht worden ist, so müssen die Polstrahlen I, II, III, IV, V, VI senkrecht auf den entsprechenden Polstrahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 stehen. Das Krafteck A'B'O ist überflüssig, man findet das zweite Seileck,

^ indem man seine Seiten senkrecht ^ zu den Polstrahlen des ersten X Kraftecks ABO zieht.

Fig. 41.

Von dieser Vereinfachung soll in der Folge Gebrauch gemacht werden.

b)    Handelt es sich um die Ermittelung des Schwerpunktes eines symmetrisch gebildeten Linienzuges, so ist meistens das Seileck überflüssig, die mehrmalige Anwendung der in Fig. 37 gegebenen Konstruktion führt schneller zum Ziel.

c)    Dasselbe Verfahren wie in Fig. 37 ist anzuwenden, wenn es sich um den Schwerpunkt eines aus 2 beliebigen Stücken ab und bc bestehenden Linienzuges (Fig. 41) handelt. Als Parallelkräfte benutze man proportionale Stücken der Strecken ab und bc (in Fig. 41 ist die halbe Länge genommen) und trage sie als Kräfte h± und L₂ in den Streckenschwerpunkten m₂ und 1% auf. Die Verbindungslinie ihrer Endpunkte schneidet auf imm» den gesuchten Schwerpunkt S aus.

3. Schwerpunkt eines regelmäßig gebrochenen Linienzuges und eines Kreisbogens.

Nach S. G. Bd. 178, S. 101 gilt für den Schwerpunktabstand x₀ einer gebrochenen Linie von einer beliebig in ihrer Ebene angenommenen Drehachse

2XA1-X)

(11)

xo =

wobei L die Gesamtlänge der gebrochenen Linie bzw. des Kreisbogens bedeutet und A 1 die Länge ihrer einzelnen Teilstücke, die jeweils den Abstand x von der Drehachse haben. Für einen regelmäßig gebrochenen Linienzug sowie einen Kreisbogen erhält man nach Fig. 42 aus den schraffierten ähnlichen Dreiecken As: Al = x;r oder A 1 • x = A s • r.

Wird letzterer Wert in Gleichung (11) eingesetzt, so ergibt sich ^(Al-x) I(Ast) r^As

X₀ "~

Nunmehr ist aber 2 A s = s die den regelmäßig gebrochenen Linienzug bzw. den Kreisbogen unterspannende Grundlinie bzw. Sehne a c, folglich gilt (12)

Dieser Ausdruck läßt sich in einfacher Weife zur Bestimmung des Schwerpunktes verwenden. Man trägt (Fig. 42) senkrecht zur Symmetrielime des regelmäßig gebrochenen Linienzuges bzw. Kreisbogens den

1 r. b

y -    --⁻

Wert b d = auf, verbindet

)C

LS

den Endpunkt d mit dem a Mittelpunkte O, zieht ce 11 Ob und legt durch e eine Parallele zu ab, welche die Symmetrielinie im gefuchten Schwerpunkt 8 schneidet. Bei dem regel-

mäßigen Vieleck ist ~ als

Fig. 42.

Tangente des einbefchriebenen Kreises aufzutragen.

Der Beweis folgt aus den ähnlichen Dreiecken Obd und OSe, Ii    s .    r • s

r:y=x°:y ober x° ⁼ ~l~-

§ 17. Schwerpunkte ebener Flächen.

1. Schwerpunkt eines Dreiecks.

SA

a<

Fig. 43.

Ms Fig. 43 folgt, daß jede seitenhalbierende Transversale eines Dreiecks zugleich Schwerlinie ist, daher muß der Schwerpunkt S eines Dreiecks im Schnittpunkt S von 2 Transversalen liegen. Nach bekannten geometrischen Sätzen teilt der Schnittpunkt S die Transversalen wie auch die Höhe des Dreiecks im Verhältnis 1:2; hieraus folgt: Der Schwer-Punkt eines Dreiecks liegt auf einer seitenhalbierenden Transversale im Drittel der Höhe.

2. Schwerpunkt eines Vierecks.

2 Das Viereck ab cd, Fig. 44, wird durch den Diagonalschnitt ac in 2 Dreiecke zerlegt, von denen die Schwerpunkte sx und s2 wie vorstehend unter 1 gefunden werden. Die Verbindungslinie S] s₂ ist eine Schwerlinie des Vierecks. Durch den Diagonalschnitt bd wird das Viereck in zwei andere Drei-y/' / L N.    ecke mit den Schwerpunkten 8z und s₄

zerlegt. Die Verbindungslinie 8g-4 ist

a\-----,Jr---eme neue Schwerlmre, welche die

1/

¹ f s3    andere 8^2 in dem gesuchten Schwer

punkte S des Vierecks ab cd schneidet.

Fig. 44.

Geht das Viereck in ein Parallelogramm über, so ergibt sich aus vorstehender Konstruktion, daß der Schwerpunkt S in den Schnittpunkt der Diagonalen fällt.

3. Schwerpunkt eines Trapezes.

^ Das Trapez ab cd, Fig. 45, besitzt in der Verbindungslinie es"der Halbierungspunkte der beiden parallelen Seiten eine Schwer-linie. Zieht man ferner bte £inte'dgi|cb, so entsteht das Dreieck agd mit dem Schwerpunkte sx und das Parallelogramm gbcd mit dem Schwerpunkte s₂.

/ \ k. -

Die Verbindungslinie SiS2 ist auch eine Schwerlinie, welche die frühere ef^ im gesuchten Schwerpunkte S des Trapezes schneidet.

eff

Die verlängerte Schwerlinie 818₂ schneidet die Ver-    ^

Fig. 45.

längerung der parallelen Seiten in den Punkten h und i und es entstehen die ähnlichen Dreiecke sx s₂h und asx i, wenn s₂h ||cd gemacht wird. Daraus folgt

hs₁: Sj^a — hs₂ : ai. Da aber 2    = sxa, so ist auch

2 hs₂ = ai = de .

Ferner ist A bs₂i ^ A s₂hd, folglich dh = bi und wegen ai = d c ist auch ch = ab.

Hiernach erhält man folgende einfache Konstruktion für den Schwerpunkt eines Trapezes. Man verbindet die Mittelpunkte e und f der parallelen Seiten, trägt die große Seite ab als Verlängerung der kleinen cd bis b auf und    n

ebenso die kleine Seite cd als Verlänge-    {

rung der großen ab bi§j_. Die Verbin- \    / \ \ i \r

dungslinie hi schneidet es im gesuchten    /"~V~VA²

In manchen Fällen verlangt vorstehende Konstruktion mehr Platz, als auf der Zeichenebene vorhanden ist, dann empfiehlt sich a die in Fig. 46 gegebene Konstruktion.

Zunächst wird wie in Fig. 45 durch Halbierung der parallelen Seiten die Schwerlinie es festgelegt, sodann das Trapez durch die Diagonale bd in zwei Dreiecke zerteilt mit den Schwerpunkten 8X und S₂, die sich jeweils auf Vs der Höhe befinden, und die Verbindungslinie S₁S₂ schneidet auf es den gesuchten Schwerpunkt 8 aus.

Außer diesen gibt es noch eine große Zahl anderer Konstruktionen.

Schwerpunkte 8.    % /    \

1 'A ’

Fig. 46.

46 Graphische Schwerpunktsbestimmungen ebener Gebilde.

4. Schwerpunkt eines Kreisausschnittes..

Denkt man sich den Kreisausschnitt mit dem Radius r, Fig. 47, in lauter schmale Kreisausschnitte zerlegt, die mit hinreichender Genauigkeit als Dreiecke aufgefaßt werden können, deren Schwerpunkt um -J r von 0 entfernt ist, so bildet der Kreis mit dem Radius | r einen Schwerkreis, dessen Schwerpunkt S zugleich der Schwerpunkt des Kreisausschnittes ist. Um letzteren zu finden, braucht man in Fig. 47 an dem Kreise mit f r nur die gleiche Konstruktion zu wiederholen, wie sie bei den Kreisbogen in Fig. 42 angewendet worden ist. Rechnerisch bestimmt sich der Schwerpunktsabstand in bezug auf den Mittelpunkt 0 zu:

Xi

'o

Fig. 47.

-p

2 r • s

X° ⁼ 3 ~T~'

wobei 8 die Sehnenlänge und 1 die Bogenlänge des Kreisausschnittes ist. Vgl. S. G. Bd. 178, S. 112.

(13)

5. Schwerpunkt eines Kreisabschnittes.

Der Kreisabschnitt a b c d, Fig. 48, wird als Differenz eines

yt

ff

;<x

Kreisausschnittes abcO und eines Dreiecks acO be-trachtet^Die Mittellinie ss ist eine Schwerlinie des Kreisabschnittes. Für den Kreisausschnitt ist in vorstehender Weise der Schwerpunkt Ss zu bestimmen, in welchem der Flächeninhalt des

Fig. 48.

Ausschnittes Fs=-^

als Kraft wirksam ist. Ferner wird der Schwerpunkt Sa des Drei-

rh

ecks ermittelt, in welchem dessen Inhalt Fd = 2 • — = r • h als

Kraft wirkt. In Fig. 48 ist h = ed die auf r = Oc senkrechte Höhe des halben Dreiecks acO. Denkt man sich r als Einheit des Kräftemaßstabes. so sind die beiden Flächen durch die Kräfte Fs = -

bzw. Fd — h dargestellt. Für diese beiden, entgegengesetzt gerichteten Parallelkräfte wird nach der im § 15 angegebenen Weise der Mittelpunkt bestimmt, welcher der gesuchte Schwerpunkt ist.

Man trägt in Ss die Länge h als ©ttecfe Ssf sowie in Sa die Länge —

als Strecke Sag auf und zieht die Verbindungslinie gf, welche verlängert auf ss den gesuchten Schwerpunkt S ausschneidet.

6. Schwerpunkt eines Ringstnües.

Zerschneidet man das Ringstück a b c d e f (Fig. 49) in lauter schmale Ringstücke, so kann jedes Teilstück mit genügender Genauigkeit als Trapez betrachtet wer- g den, von dem °e=rz: der Schwerpunkt in bekannter Weise a gesunden werden kann. An dem schraffierten Teilstücke erkennt man,

AL: Al

= R:r,

mithin können hier die ii Trapezseiten durch die Radien ersetzt werden. Da das^Trapez gleichschenklig ist, so trägt man von der Svmmetrielinie ss, tangential an den äußeren Bogen, den Wert

—-F r = bg und, tangential an den inneren Bogen, den Wert ^ + r = eh auf; die Verbindungslinie gh schneidet auf ss den

iLfZ

daß

I'

ul / *' *

Jl //x

s\

Fig. 49.

Schwerpunkt S' des schraffierten Trapezes aus. Die Schwerpunkte aller Teiltrapeze bilden zusammen den Schwerkreis i S'k, dessen Schwerpunkt S der gesuchte Schwerpunkt des Ringstückes ist, der nach Fig. 42, S. 43, festzulegen ist.

7. Schwerpunkt einer vieleüigen oder zusammengesetzten Fläche.

Eine solche Fläche zerlege man durcy geeignete Schnitte in einfache Teilstücke, deren Schwerpunkte leicht gefunden werden können. Im Schwerpunkte eines jeden Teilstückes wird der zugehörige

F,

%a=x=

4-

\-hi/

Ä.

Fig. 50.

Flächeninhalt oder ein proportionales Stück desselben als Kraft angetragen. Der Mittelpunkt all dieser parallelen Kräfte, welcher nach § 15 bestimmt wird, ist der Schwerpunkt der betreffenden Fläche.

Für das in Fig. 50 gegebene unsymmetrische ^-Profil ist der Schwerpunkt zu suchen."

Zunächst wird die 2-Fläche in drei Teile Fx, F₂ und F₃ zerlegt, dann werden deren Flächeninhalte bestimmt und in den Teilschwerpunkten S₃ , S₂ und S₃ als Kräfte angetragen. Hierzu wird zuerst ein Kraft- und Seileck 1 234 gezeichnet, welches die Schwerlinie sisi liefert, sodann nach §16, 2 ein zweites Seileck 1' 2' 3' 4', dessen Seiten auf denjenigen des ersten senkrecht stehen, welches die Schwerlinie s₂s₂ ergibt. Der Schnittpunkt S von s₁s₁ und s₂s₂ ist der gesuchte Schwerpunkt.

Will man die Flächeninhalte nicht genau berechnen, was übrigens mit dem Rechenschieber leicht durchführbar ist, so können sämtliche Teilflächen nach § 3, 4 auf eine bestimmte Grundlinie a reduziert werden, die zugehörigen Höhen sind dann als Kräfte in den entsprechenden Schwerpunkten aufzutragen.

In Fig. 50 ist die Länge a der Fläche Fx als Reduktionsgrundlinie angenommen, die zugehörigen Höhen sind im Krafteck als Kräfte angetragen.

Weitere Beispiele siehe S. G. Bd. 178, § 44.

Besitzt die fragliche Fläche eine Symmetrielinie, so ist nur ein Seileck erforderlich. Auch dieses wird überflüssig, wenn der Schwerpunkt einer nur aus zwei Teilen bestehenden Fläche zu ermitteln ist. Hierfür ist das im § 15, Fig. 37, S. 38, angegebene Verfahren zu verwenden. Vgl. auch Fig. 41, S. 42.

III. Abschnitt.

Höhere Momente paralleler Kräfte in derselben Ebene. Trägheitsmomente ebener Flächen. Spannungsverteilung.

§ 18. Allgemeine Betrachtungen.

Nach § 14, S. 32, bezeichnet man das Produkt aus einer Kraft P und ihrem Hebelarm x, d. i. ihr senkrechter Abstand von einer festliegenden Drehachse, als statisches Moment „M" der Kraft P, kurz

(14)

Wird das Produkt P • x abermals mit x multipliziert, so entsteht der Ausdruck (P-x)x=P-x²/ welcher dasTrägheits-moment „J" der Kraft P in bezug auf die gewählte Drehachse genannt wird, also

(15)

J = P • x² .

Multipliziert man das Produkt P • x mit dem Abstande y der Kraft P von einer anderen, die ursprüngliche Dreh-

Henkel, Graphische Statik.

achse schneidenden Achse, so entsteht der Ausdruck (P • x) • y = P • x• y, welcher das Zentrifugalmoment „C" der Kraft P in bezug auf das durch die beiden Drehachsen gebildete Achsenkreuz genannt wird, also c=P-x-y.

(16)

Momente höherer Ordnung, die in vorstehender Weise gebildet werden können, kommen in der Statik nicht vor und bleiben deshalb außer Betracht.

(17)

Hat man eine Gruppe paralleler Kräfte, so ist ihr Trägheitsmoment gleich der algebraischen Summe der Trägheitsmomente der einzelnen Kräfte, also J — JYP • x²„

Das gleiche gilt auch von den Zentrifugalmomenten, so-

mit

(18)

C= ^P-x-y.

§ 19. Trägheitsmoment einer Gruppe paralleler Kräfte.

Für die in Fig.51 gegebenen Parallelkräfte P₄, P₂, ^3, ^4, soll in bezug aus die Achse YY das Trägheitsmoment zeichnerisch exmittel werden.

a) Verfahren nach Culmann.

Für die Kräfte P₄ bis P₄ ist in Fig. 51 ein Krafteck AE mit beliebigem Pol 0 und den Polstrahlen 1, 2, 3, 4, 5 gezeichnet. Parallel zu letzteren ist das Seileck 1 2 3 4 5 aufgetragen, dessen verlängerte Seiten die Achse YY in den Punkten a, b, c, d und e schneiden. Die von je zwei Seileckseiten, die sich auf einer Kraftrichtung schneiden, und der Achse YY gebildeten Dreiecke ^ab, S₂bc... sind den ihnen entsprechenden Kräftedreiecken ABO, BCO ... ähnlich, daraus folgt, wenn der Polabstand mit H bezeichnet wird,

: bc = H : P₂...

xx: ab = H : Pj,

Hieraus ergibt sich

oder

P₂x₂ — H • bc... 2*Px — H(ab + bc + ...)

P₁x₁ = H • ab ,

Es ist aber

ab + bc + cd + de = ae = y,

-—fl

hr*-

22/

4.

4-

p<

L-

! ! j —4'#> -4^:4 I “

Is

oT

8ifl. 51.

wobei die einzelnen Strecken mit positivem oder negativen: Vorzeichen zu versehen sind, entsprechend der Wirkung der zugehörigen Kraft P in bezug auf YY. Folglich erhält man, wie schon im § 14 gezeigt, siehe Fig. 35, S. 36, als statisches Moment der Kräfte P, bis P₄

2’P-x=M = H-y.

Nunmehr werden die Abschnitte ad, bc, cd, de auf YY als Kräfte betrachtet, welche in den Richtungslinien der gegebenen

Kräfte Pv P₂, P3z P₄ in gleicher Reihenfolge wirken sollen. Von einem beliebig gewählten Pole O' werden die Polstrahlen I, II, III, IV, V an diese Kräfte gezogen und parallel dazu wird das Seileck I II III IV V gezeichnet, dessen verlängerte Seiten die Achse YY in den Punkten a' b' c' d' e' schneiden. Hierdurch entstehen abermals Dreiecke a'b'Si, b'c'Sa..., welche den Kräftedreiecken abO', bcO'... ähnlich sind, daraus folgt mit der Polweite H'

Xl: ä^b' = H': ab , x₂ : W = H': bc...

oder

xv ab = H'-a'b', x₂-bc = H'-b'c'...

Aus dem ersten Seileck ergab sich

PiXi = H • ab oder ab —    ebenso bc = —.

folglich wird nach Einsetzung dieser Werte:

Pxxf = H- H'-äTb', P₂x|= H- H' • W

usw. oder

PlX? + P₂xl ... = H • H'(a'b' + b'c' +...).

Da aber a' b' + b' c' + c' d' + d' e' = a' e' = z , so folgt

(19)

j = i’p • x²=

Das Trägheitsmoment einer Gruppe paralleler Kräfte ergibt sich, wenn man den durch die äußersten Seiten des zweiten Seilecks auf der Drehachse gebildeten Abschnitt mit dem Produkte aus den beiden Polabständen multipliziert.

Dabei ist der Polabstand H mit dem Kräftemaßstab und der Polabstand H' sowie der Abschnitt z auf YY mit dem Längenmaßstab zu messen, wie direkt aus Fig. 51 zu erkennen ist.

b) Verfahren von Mohr.

Zunächst ist auch hier, wie in Fig. 51, das erste Seileck zu zeichnen, daraus folgt wie unter a) usw.

Betrachtet man die in Fig. 51 schraffierte Fläche, welche von dem ersten Seileck, dessen äußersten Seiten und der Achse YY eingeschlossen wird, so findet man, daß ihr Inhalt

F= |(ab -xx+ bc-x₂+ ...).

Daraus folgt mit obigen Werten

• x₂ + ...

und es wird

(20)

§20. Einsl. e. Parallelversch. d. Achse auf d.Trägheitsmoment. 53 P₁x₁ = H • ab , P₂x₂ = H • bc

usw. oder

ab —

plxl

bc =

P₂x₂

j = lpx2=2F-H.

1

Das Trägheitsmoment einer Gruppe paralleler Kräfte ergibt sich als das doppelte Produkt aus der von dem ersten Seileck, dessen äustersten Seiten und der Drehachse eingeschlossenen Fläche F und der Polweite H.

Der Polabstand H ist mit dem Kräftemaßstab und die Abmessungen der Fläche F sind mit dem Längenmaßstab zu messen.

§ 20. Einfluß einer Parallelverschiebung der Achse auf das Trägheitsmoment.

Aus Fig. 51 erkennt man sofort, daß die Fläche F und damit das Trägheitsmoment J am kleinsten wird, wenn die Drehachse YY

mit der Richtungslinie Y₀Y₀ der Mittelkraft R = 2*P, die durch

den Schnittpunkt S der äußersten Seileckseiten hindurchgeht, zusammenfällt. Das kleinste Trägheitsmoment einer Gruppe parallel Kräft^wird somit gefunden wenn man die von dem Seileck und dessen äußersten Seiten eingeschlossene Fläche Fx mit der doppelten Polweite H multipliziert, also

(21)

Jmin = 2 Fx • H .

Durch die Verschiebung der Achse YY um das Maß e nach Y₀Y0 wird die Fläche F auf Fx verkleinert um das doppelt schraffierte Stück mit dem Inhalt

A F = F — F± — y • e .

Zugleich ändert sich auch das Trägheitsmoment um A J = J — Jmin = 2zfF*H==y*e*H.

Nach § 19, a bzw. § 14 ist aber

ZP • x — M = H • y = R*e = (2’P)e,

folglich

oder

J — Jmin = e*2P

(22)

J = U + e^P.

Das Trägheitsmoment einer Gruppe paralleler Kräfte in bezug auf eine beliebige Achse ist gleich dem Trägheitsmomente dieser Gruppe in bezug auf eine durch ihren Mittelpunkt gelegte parallele Achse, vermehrt um das Produkt aus der Mittelkraft dieser Kräfte und dem Quadrate des Abstandes der beiden Achsen.

§ 21. Trägheitsmomente ebener Flächen.

Mit Hilfe der vorstehenden Sätze über das Trägheitsmoment einer Gruppe paralleler Kräfte kann für jede symmetrische ebene Fläche das Trägheitsmoment ermittelt werden. Man legt durch die Fläche eine Momentenachse und denkt sich durch Schnitte parallel zur letzteren die Fläche in lauter schmale Streifen zerlegt, deren Flächeninhalte und Schwerpunkte leicht zu ermitteln sind. Nunmehr trägt man die Streifeninhalte in den zugehörigen Schwerpunkten als Kräfte auf und erhält dadurch eine Gruppe von parallelen Kräften, für welche nach dem Verfahren von Culmann oder Mohr das Trägheitsmoment in bezug auf die angenommene Momentenachse ermittelt werden kann. Soll das Trägheits-

§ 21. Trägheitsmomente ebener Flächen.

55

Moment einen Kleinstwert erreichen, so muß die Momenten-achse dnrch bett Mittelpunkt der Parallelkräfte, hier durch den Schwerpunkt der Fläche gelegt werden. Vgl. hierzu S.G. Bd. 288, §8.

Beispiel 3 dient zur Erläuterung dieses Verfahrens. Für den in Fig. 52 dargestellten Querschnitt eines steinernen Brückenpfeilers

~TT7~y

/ J /    /

n

Kjn

f₆

--v

ä/

VO v i

feil

\m 1

9/

_____

--4t

w-

Fig. 52.

soll das Trägheitsmoment für die durch den Schwerpunkt gehende Achse 8 8 ermittelt werden. Die Querschnittsfläche mit F = 29,84 qm ist in 10 Teile geteilt, deren Inhalte zu dem Kräftezuge fx bis f₁₀

F

zusammengesetzt sind. Hierzu ist mit der Polweite H= — = 14,92 qm

das erste Seileck 12 3.. .11 gezeichnet und zu dessen Abschnitten auf der Schwerpunktsachse ss ein zweites Seileck I II.. .XI mit der beliebigen Polweite H' — 3,20 m, dessen äußerste Seiten auf s s die Länge z = 4,19 m abschneiden. Nach Formel (19), S. 52 ist

Jss =[H • H' • z = 14,92 - 3,20 • 4,19 Jsg — 200 m⁴.

nunmehr

Hier ist eine Fläche mit zwei Längen multipliziert, folglich gehört das Trägheitsmoment der vierten Dimension an.

Vgl. auch die Bemerkung über die Maßstäbe im Anschluß an Formel (19) S. 52.

8 22. Die Verteilung der Spannungen über die Querschnitte stabförmiger Körper.

Ein stabförmiger Körper, der in der Richtung seiner Stabachse eineMraft P aufzunehmen hat, ist normal belastet. Greift P auch

Linit

derö'

noch im Schwerpunkte des Stabquerschnittes F an, dann ist der Körper zentrisch belastet und die sich gleichmäßig über den Querschnitt verteilenden Spannungen sind nach S. G. Bd. 288, § 22 bestimmt zu

Bl

B (23)

P

MM

a—y *

Fig. 53.

Eine bildliche Darstellung Lwi^dert) dieser Spannungen gibt Fig. 53, links für eine Druckkraft, rechts für eine Zugkraft. Mrd hingegen ein beliebig unterstützter, stabförmiger Körper senkrecht zu seiner Längsachse durch eine Kraft belastet, so treten in den einzelnen Querschnitten F desselben Biegungsspannungen auf, die sich ungleich über die Querschnittsfläche verteilen. In der normal zur Biegungsebene stehenden Schwerlinie des Querschnittes F sind sie gleich Null; nach außen zu wachsen sie entsprechend den Abständen der einzelnen Querschnittsstreifen von der Schwerlinie des Querschnittes (neutrale Achse oder Nullinie). Auf der Kraftseite treten Druckspannungen ( + ), auf der abgewendeten Seite jedoch Zugspannungen (—) auf, welche nach S. G. Bd. 288, § 23 bestimmt sind zu

, M-ri

§ 22. Verteil, d. Spannungen üb. d. Querschnitte stabf. Körper. 5 7

+ (DrucJi)

W

%\s

Die Größtwerte der Spannungen werden nach Gl. (24)

M

(25) ömal = + —-

wobei M das Biegungsmoment für einen bestimmten Querschnitt (vgl. Abschnitt IV, § 23, S. 62) und J dessen Trägheitsmoment für die zur Kraftebene senkrechte Schwerlinie des Querschnittes bedeutet. Der Verlauf dieser Spannungen ist in Fig. 54 ^dargestellt.

'P,

±w'

wobei W == ——

^max

standsmoment des Querschnittes F genannt wird. Für >ymax sind die Abstände ex und o₂ der äußersten Fasern des Querschnittes einzusetzen (Fig. 55), man erhält damit

W, = - und W₂ = —.__

das Wider-

Fig. 54.

(26)

ei

e₂

Wirkt in der Symmetrieebene eines stab-förmigen Körpers, mit dem Querschnitt F, L im Abstande 1 (Exzentrizität) von seiner Längs- j schwerachse eine Normalkraft P, so wird der e2 Körper exzentrisch belastet. Fügt man (Fig. 56) zu der vorhandenen Kraft P zwei weitere im Schwerpunkte des Querschnittes angreifende Kräfte P hinzu, welche sich gegenseitig aufheben, so wirkt auf den Querschnitt eine in der Stabachse angreifende Normalkraft P und ein Kräftepaar mit dem Momente M = P • 1. Die von beiden erzeugten Normalspannungen sind:

Fig. 55.

(27)

P M • rj F — J In den äußersten Fasern wirken

°i =

i+id = P(i+n

F ^ Wx VF ^ wj

und

P P-1

F W₂

W ₂r

Aus der zweiten Gleichung folgt für a₂ = 0 Wo J Wl="F^=^F'

dies ist die Kernweite für die rechte Seite der Fig. 56 (K₂). Aus der ersten Gleichung folgt für ox = 0

(29)

f—e*    i r~^p

\i.

u)»

w

(30) -l=w₂ =    eiF,

dies ist die Kernweite für die I linke Seite der Fig. 56 (K₂). Ermittelt man die Kernweiten für alle möglichen Schwerpunkts--y achsen des Querschnittes, so erhält I man die in Fig. 55 schraffierte Kernfigur, oder kurz Kern ge-I nannt, welche von den Kernpunkten Kx und K₂ begrenzt wird.

Fig. 56.

Die zeichnerische Spannungsverteilung für die verschiedenen Lastlagen zeigt Fig. 56.

Für ein Rechteck mit der Höhe h und der Breite b wird

(31)

~ oder die Kernhöhe =    .

Greift die Last P irrt Kernpunkte an, so folgt für die größte Spannung aus Gl. (28)

wx — w₂ —

(32)

°max — p •

Kann ein stabförmiger Körper (Mauerwerk) keine Zugspan-+67nax nungen aufnehmen, so folgt für den Rechteckquerschnitt aus Mg. 57

Fig. 57.

(33)

IV. Abschnitt.

Der einfache Träger, an beiden oder an einem Ende unterstützt.

§ 23. Allgemeine Betrachtungen.

HZ

*/\

S1

Traisa

Jeder beliebig belastete, in einzelnen Punkten unterstützte Träger (Vollwand- oder Fachwerkträger) übt auf seine Unterstützungspunkte, die Auflager, gewisse Kräfte aus, die Auf-lager-oderStützendrücke, welchen dieAuflager-oderStützen-widerstände (Reaktionen) entgegenwirken. Auf einen als Scheibe gedachten Träger (Tragscheibe), welcher mit dem in seiner ~_.__

Ebene liegenden Schnitte durch    .................

+\\ b.

den Baugrund (Erdscherbe) durch b ErdscheUbe A drei sich nicht in einem Punkte schneidende und nicht parallele starre Stäbe (Stützstäbe) verbunden ist, wirkt eine Kraft R ein (Fig. 58).

Fig. 58.

Die durch R in den 3 Stützstäben erzeugten Kräfte können nach dem § 10, S. 26 gegebenen Verfahren von Culmann eindeutig bestimmt werden, wie Fig. 25 zeigt. Wird ein weiterer Stützstab hinzugefügt, so können unendlich viele Kräftezerlegungen ausgeführt werden, eine bestimmte Lösung ist nur noch mit Hilfe der Elastizitätslehre möglich. Derartige Aufgaben sind statisch unbestimmt; jedem überzähligen Verbindungsoder Stützstab entspricht eine statische Unbestimmtheit. (£tit Träger ist somit statisch bestimmt aufgelagert, wenn sich seine

Auflager durch 3 starre Verbindungsstäbe mit gelenkartigem Anschluß ersetzen lassen (Fig. 58), deren Spannkräfte stets durch einen einfachen Kräfteplan bestimmbar sind. Andererseits dürfen es auch nicht weniger als 3 Verbindungsstäbe sein, weil sonst die Verbindung beweglich (labil) wird.

Ein an beiden Enden unterstützter Träger ist statisch bestimmt aufgelagert, wenn er an einem Ende ein festes als Kipplager ausgebildetes Auflager erhält, welches 2 Stützstäben entspricht, und am anderen Ende ein bewegliches als Rollenlager ausgebildetes Auflager, welches einem Stützstabe entspricht (Fig. 58).

Die gleichen Bedingungen werden durch eine einseitige feste Einspannung eines Trägers erfüllt.

(34)

Setzt sich die Tragscheibe aus mehreren einzelnen Scheiben zusammen, so sind jeweils zwei davon in der angegebenen Weise durch drei Stäbe miteinander zu verbinden, wenn ein statisch bestimmtes Gebilde entstehen soll. Sind einschließlich der Erdscheibe n Scheiben vorhanden, so sind zu ihrer Verbindung s = (n — 1) • 3

starre Stäbe notwendig. Sind bei der Auflagerung überzählige Stäbe vorhanden, so spricht man von äußeren statischen Unbestimmtheiten. Findet man bei den Verbindungen der Einzelscheiben überzählige Stäbe, so sind innere statische Unbestimmtheiten vorhanden.

Für jedes beliebige aus vollwandigen Teilen zusammengesetzte ebene Gebilde kann hiernach die Zahl der statischen Unbestimmtheiten festgestellt werden. Bon den zur Verbindung von zwei Scheiben angewendeten Stäben sind soviel durchzuschneiden, bis nur die notwendigen 3 Stäbe noch vorhanden sind.

Beispiels Der in Fig. 59 dargestellte durchgehende Träger ABCDE ruht auf 5 S.tützen, einem Kipplager A und vier Rollenlagern B , G, D und E. Wievielfach ist er statisch unbestimmt?

Schneidet man die in Fig. 59 durchstrichenen Stäbe durch, so entsteht ein statisch bestimmter einfacher Balken, mithin ist der durchgehende Träger dreifach statisch unbestimmt. Benutzt man Formel (34), so erhält man zur Verbindung von 2 Scheiben s = (2 — 1) •3 = 3 Stäbe. Nach Fig. 59 sind'aber 6 Stäbe vorhanden, davon sind 3 überzählig, also ist der Träger dreifach statisch unbestimmt. Allgemein erhält man bei n Stützen (n — 2) unbekannte Auflagerkräfte.

Bei dem Anbringen und Durchstreichen der Verbindungsstäbe ist darauf zu achten, daß kein bewegliches Gebilde entsteht; die notwendigen 3 Verbindungsstäbe dürfen nicht parallel werden, noch sich in einem Punkte schneiden.

Die Belastung eines Trägers kann aus Einzellasten oder aus einer gleichmäßigen Belastung bestehen, die sich über den ganzen Träger oder nur einen Teil desselben erstreckt r (Streckenlast).    ^

Fig. 59.

Wirken die Lasten v 'a direkt auf den Träger ein, so hat man eine unmittelbare Belastung; werden sie durch eine Zwischenkonstruktion auf einzelne Trägerpunkte übertragen, so spricht man von einer mittelbaren Belastung.

Ferner unterscheidet man zwischen bleibender oder ruhender Belastung (Eigengewicht) und veränderlicher oder Verkehrsbelastung.

Die Lasten und die Auflagerwiderstände bilden die äußeren Kräfte eines Trägers, welche mit den inneren Spannungen desselben im Gleichgewicht sein müssen, was durch eine statische Berechnung nachzuweisen ist.

Bei der statischen Berechnung eines belasteten Trägers handelt es sich zunächst um die Ermittelung der Auflagerwiderstände, sodann um die Bestimmung der in den verschiedenen Querschnitten dieses Trägers wirkenden Querfräste (Scherkräfte oder Vertikalkräfte) und Biegungsmomente. Außer diesen ist auch zuweilen die in der Längsrichtung eines Trägers wirkende Schubkraft zu ermitteln.

Unter der Querkraft eines bestimmten Trägerquerschnittes versteht man im allgemeinen diejenige Kraft, welche den links vom Querschnitt liegenden Trägerteil gegen den rechtsliegenden, senkrecht zur Trägerachse zu verschieben sucht.

Unter dem BiegungsMoment eines bestimmten Querschnittes versteht man das statische Moment aller auf den links oder rechts davon gelegenen Trügerteil einwirkenden Kräfte, welche den Träger abzubiegen suchen. Das größteBiegungs-moment tritt im gefährlichen Querschnitt auf. Vgl. S. G. Bd. 288, Kapitel III.

§ 24. Ter Bollwandträger auf 2 Stützen mit ruhender Belastung.

1. Unmittelbare Belastung durch parallele Einzelkräfte.

a) Auflagerwiderstände. Bezüglich ihrer Bestimmung sei auf § 11, S. 27 und die im Anschluß gegebenen Beispiele verwiesen. Die auf den in Fig. 60 dargestellten Träger AB einwirkenden EinzelkräfteP₄, P₂,P₃, P₄ sind zunächst in bekannter Weise zu einem Kräftezuge abcde aneinander gereiht, dazu sind von einem beliebigen Pole 0 die Polstrahlen gezogen und parallel zu diesen ist das Seileck 12345 gezeichnet, welches von den Auflagersenkrechten in den Punkten A' und B' getroffen wird. Verbindet man A' und B"durch die Schlußlinie s und zieht von 0 aus eine Parallele dazu, so schneidet diese den Kräftezug ae im Punkt t und damit sind die Auflagerwiderstände bestimmt, es ist a t — A und t e= B .

Die Auflagerwiderstände sind mit den gegebenen Kräften des Trägers im Gleichgewicht, folglich muß ihnen ein geschlossenes Krafteck und Seileck entsprechen, wie Fig. 60 zeigt.

b) Querkräfte. Wird der Träger AB durch den beliebigen Schnitt 8 — 8 in zwei Teile zerlegt, so ist die m s —s wirkende Querkrast die Mittelkraft aller Kräfte, die auf das links von 8 — 8 liegende Trägerstück einwirken. Wird die nach oben gehende Richtung als positiv angenommen, so ist Q 3 — Q3 — A    Pi    P2.

Der Schnitt s — s trifft die Seileckseiten s und 3 und die ihnen

18 A,

P,

S f.

P3

1---4

iss

■h"

la

t-

P\r

- —f-

fc

ö<

Fig. 60.

parallelen Polstrahlen schließen im Krafteck die vorstehende Querkraft ein. Diese bleibt so lange- positiv, als A > Px + P2 ist und die von s — s getroffenen Seileckseiten sich in einem links von 8 — 8 gelegenen Punkte schneiden. Betrachtet man die lotrechten Strecken y zwischen dem Seileck 12345 und der Schlußlinie s, so erkennt man, daß die Querkräfte solange positiv bleiben, als die Strecken y wachsen, und negativ werden, sobald die y abnehmen. Die gra-

64 Der einfacheTräger, an beiden oder an einem Ende unterstützt, phische Darstellung der Querkräfte gestaltet sich ziemlich ein-fach.

Strecke ta    im Kräftezuge

1; ll II II II

Von A    bis    Pi ist Qi = A

„    Pl    n    1*2 tr Q2 ⁼ A — Pi

tt    P2    „    P3 „ Qs — A - Pi - P2

„    Ps    „    P* „ Qi = A — Pi — P-2    —    P3

„    P₄    „    B „ QB = A - Pi - P₂    -    P₃ - P₄ = - B

Projiziert man diese Strecken wagerecht auf die zugehörigen Richtungslinien der Kräfte, so entsteht ein gebrochener Linienzug mit der Achse A₀B₀ und die schraffierte Fläche stellt die Gesamtheit der Querkräfte für alle Schnittstellen des Trägers dar.

Bezieht man die Querkraft auf das rechts bort s — s gelegene Trägerstück, so muß, wie aus vorstehender Zusammenstellung zu erkennen ist, die abwärts gehende Richtung als positiv angenommen werden.

c) Momente. Das Biegungsmoment, oder kurz das Moment, der auf das Trägerstück links bort s — s wirkenden Kräfte A, Px u. P₂ in bezug auf den von s — s getroffenen Punkt T der Trägerachse ist nach § 14, S. 35 bestimmt zu Ms= H-ys,

wobei H die Polweite des Kraftecks bedeutet und ys den Abschnitt auf s — s, welcher von den äußersten, die Mittelkraft R' aus A, P₁rt. P₂ einschließenden Seileckseiten s und 3 abgeschnitten wird. Dabei ist H^rrtit dem Kräfte maßstabe und y mit dem Längenmaßstabe zu messen oder umgekehrt.

Wählt man H = 1, so wird M = y; die lotrechten Abstände y stellen dann direkt die Momente dar und man nennt deshalb die von dem Seileck und der Schlußlinie begrenzte Fläche die Momentenfläche.

Die Momentenfläche zeigt, daß die ihre Ecken bestimmenden y stets auf die Richtungslinien der Kräfte fallen. Legt man parallel zur Schlußlinie eine Berührende an das Seileck, so wird das größte y festgelegt und damit die Stelle des größten Momentes (Maximalmoment), b. i. der gefährliche Querschnitt. Bon diesem aus nehmen die y bzw. die Momente nach den Auflagern hin bis auf Null ab.

Bei den Querkräften ist gefunden worden, daß dieselben so lange positiv bleiben als die y wachsen und negativ werden sobald die y abnehmen, daraus läßt sich die wichtige Regel ableiten:

Der gefährliche Querschnitt befindet sich unter derjenigen Last, wo das größte y vorhanden ist, oder an derjenigen Stelle, wo die Querkraftihr Vorzeichen wechselt, d. h. wo sie zu Null wird, oder da, wo die Querkraftslinie die Achse schneidet.

Fällt die das Seileck berührende Parallele zur Schlußlinie mit einer Seilecheite zusammen, so ist in allen Trägerquerschnitten über dieser Seite das gleiche Moment, das Maximalmoment vorhanden.

Auf jeden Trägerquerschnitt links vom gefährlichen Querschnitte wirkt eine nach oben gerichtete Mittelkraft R, welche der Querkraft entspricht. Die zugehörigen äußersten Seil-echeiten schneiden sich links vom Schnitt, mithin muß R immer im Sinne des Uhrzeigers um den zugehörigen Schnitt drehen und in diesem ein positives Moment erzeugen. Für jeden Schnitt rechts vom gefährlichen Querschnitt erhält man eine nach unten gerichtete Mittelkraft R', die rechts vom Schnitt angreift, daher auch hier im Sinne des Uhrzeigers dreht und ebenfalls ein positives Moment erzeugt.

Daraus erkennt man, daß in einem einfachen, an den Enden unterstützten Träger nur positive Momente auftreten, solange er durch abwärts gerichtete Lasten beansprucht wird, die ihn nach unten durchbiegen.

Beispiel 5. In Fig. 61 ist ein einfacher Balken von 5,0m Länge dargestellt, an welchem die Einzellasten Pi = 2,51, P₂ = 4,01, P₃ — 3,5 t und P₄ = 3,0 t angreifen, in der Entfernung 1,0 m,

Henkel, Graphische Statik.

2,2 m, 3,4 m und 4,2 m vom linken Auflager. Die Auflagerkräfte, die Querkräfte und das Maximalmoment sind zu bestimmen.

In der gleichen Weise wie Fig. 60 zeigt, ist hier nach Wahl entsprechender Maßstäbe zu verfahren. Zunächst wird das Krafteck mit H = 10 t gezeichnet und sodann das Seileck, dessen Schlußlinie, nach dem Krafteck übertragen, die Auflagerkräfte liefert: A — 5,85 t und B — 7,15 t.

Zu dem Krafteck ist die Querkraftsfläche gezeichnet, die angibt,

B jyiomervtenmsißsfrrb

i!

A\

KU

Üü

mr m-äftemaßstab

f>~Wi 111 s 111 iT

- -f-2-

/___eJ

--LX

Ao

«y

-f---

yS" ^ Mngerurwißstab L__

Fig. 61.

daß das Maximalmoment unter der Last P₂ auftritt. Unter dieser findet man die größte Ordinate derMomentenfläche, ymax = 0,99 m, und damit ist das Maximalmoment bestimmt zu

Mmax = H - ymax = 10 • 0,99 = 9,90 mt.

Letztere Multiplikation kann man durch Aufzeichnen eines entsprechenden Momentenmaßstabes sparen. Dies ist bei der Bestimmung einer größeren Zahl von Momenten eine wesentliche Erleichterung. Stellt z. B. 1 cm eine Länge von 0,5 m dar, dann wird mit einer Polweite H = 10 t int Momentenmaßstab 1 cm = 0,5 • 10 — 5,0 mt.

In vielen Fällen ist es erwünscht, die Schlußlinie in wagerechter

Lage zu haben. Dies erreicht man durch eine Verschiebung des Poles O, gemäß § 8, S. 22.

Zunächst zeichnet man (Fig. 61) mit einem beliebigen Pole 0 das punktierte Seileck und zu dessen Schlußlinie eine Parallele von O aus, welche den Kräftezug im Punkte t trifft. Der Punkt t muß für alle Seilecke die gleiche Lage erhalten. Legt man durch t die neue wagerechte Schlußlinie, so schneidet sich dieselbe mit einer durch 0 gelegten Parallelen zum Kräftezuge im neuen Pole O'. Trägt man die wagerechte Schlußlinie s von A' aus an, so ist die

Momerubejimaßstab

-2,#* H

ß-8,o*

■    ff) t ffII i fr

o Krdfbemaß’Stab .

I T * 234667 8r

I AH

ß"

I-

ILöt

A'

(Z

-f-

Fig. 62.

neue Momentenfläche bestimmt, denn die jeweils zusammengehörenden Seiten des alten und des neuen Seilecks müssen sich auf der Geraden A'A" schneiden, welche die Polarachse der beiden Seilecke ist.

Beispiel 6. Der in Fig. 62 dargestellte Balken (Kragträger) von 4,8 m Länge ragt links 1,0 m über das Auflager hinaus und trägt am Ende eine Last Px = 2,8 t; rechts steht er 1,2 m über und trägt eine Last P₃ = 2,5 t. In der Mitte zwischen den Stützen ruht

Die Auflagerkräfte, die Querkräste und die Maximalmomente sind zu bestimmen.

Zunächst ist in Fig. 62 das Krafteck mit H = 8,0 t gezeichnet und dazu das Seileck, dessen äußerste Seiten bis zu den Auflagersenkrechten verlängert die Schlußlinie s festlegen. Eine Parallele zur letzteren liefert im Krafteck die Auflagerkrüfte A = 6,7 t und B = 6,6 t.

Mit Hilfe des Kraftecks ist die Querkraftsfläche gezeichnet. Die Querkräfte wechseln sowohl über den Stützen A und B wie unter der mittleren Kraft P₂ das Vorzeichen, mithin sind drei Maximalmomente vorhanden. Für jeden Trägerschnitt links von A wirkt die Mittelkraft der äußeren Kräfte (Querkraft) nach mttett und besitzt einen links gelegenem Angriffspunkt, sie erzeugt also ein negatives Moment. Für Schnitte rechts von A bis zum Punkt a erhält man eine nach oben wirkende Mittelkraft mit einem rechtsgelegenen Angriffspunkte, sie erzeugt also auch ein negatives Moment. Auf der Strecke von a bis b erhält man wieder ein positives Moment und von b bis zum rechten Ende abermals ein negatives Moment. In den Punkten a und b tritt kein Moment auf, man nennt sie deshalb Momentennullpunkte, zugleich ändert der Träger an diesen Stellen seine Krümmung, weshalb sie auch Wendepunkte heißen. Betrachtet man die durch die Schlußlinie gehenden Schnitte, so findet man, daß positive Momente vorhanden sind, wenn die von den Schnitten mitgetroffenen Seileckseiten unter der Schlußlinie liegen; liegen sie über derselben, so hat man negative Momente.

Aus Fig. 62 erhält man yx = — 0,35 m, y₂ = + 0,29 m, y₃ = —0,375 m, folglich aus M = H • y die Maximalmomente: Mx = — 8,0 - 0,35 — — 2,8 mt,

M₂ = +8,0-0,29= + 2,3 mt,

Mg = — 8,0 - 0,375 = — 3,0 mt.

Diese Zahlen können auch direkt auf dem Momentenmaßstab abgegriffen werden.

2. Unmittelbare stetige Belastung.

a) Auflagerwiderstände und Momente. Ist ein einfacher Träger (Fig. 63) über seine ganze Länge oder einen Teil derselben gleichmäßig belastet, so kann man die Last Q in eine Anzahl schmaler Streifen teilen, in deren Schwerpunkt der zugehörige Lastanteil als Einzellast wirkt. Für diese Einzellasten zeichne man in bekannter Weise das Kraft- ltrtb

Seileck, wodurch man die Auflagerdrücke und die Mornenten-fläche erhält; letztere ist aber zunächst nur für die unbelasteten Teile brauchbar. In Fig. 63 ist die Last Q auf der Strecke CD in drei gleiche Teile zerlegt, welchen das Seileck 12 3 4 zugehört. Teilt man Q in unendlich viele, unendlich nahe Einzellasten, so geht das Seileck unter CD in eine krumme Linie über, die sog. Seilkurve, welche von dem Seileck 12 3 4 berührt wird. Die Berührungspunkte liegen lotrecht unter den Trennungsstellen der Last Q. Die Seil-    A-

B'

%/t

Fig. 63.

Vervollständigung der Mo-mentenfläche ist auf_der

Strecke CD unterhalb der Last Q eine Parabel in das Seileck 1 2 3 4 zu legen, wie Fig. 70 zeigt.

b) Querkräfte. Von A bis C ist die Querkrast gleich dem linken Auflagerwiderstande A, von C bis D nimmt sie gleichmäßig ab, was durch die Gerade c d ausgedrückt wird, und besitzt von D bis B einen unveränderlichen Wert, der gleich dem negativen rechten Auflagerwiderstande B ist. Die Querkraftslinie schneidet die Achse A₀B₀ im Punkte S, folglich muß über dieser Stelle, wegen Q = 0, das größte Moment liegen:

Mmax = H • y

c) Sonderfälle. Wichtig ist der Fall, wo sich die gleichmäßige Belastung Q über die ganze Trägerlänge AB erstreckt, Fig. 64. Betrachtet man Q als Einzellast in der M    x Trägermitte, so be-

^14_|a-jSL.—Xj, stehtdaszugehörige V Seileck aus den beiden Geraden 1 und 2, welche die • Seilkurve unterhalb der Auflager Amib B berühren. Die Seilkurve ist eine Parabel, sie kann deshalb nach einem der bekannten Verfahren in die beiden Geraden 1 und 2 eingezeichnet werden, wie Fig. 64 zeigt. Aus den ähnlichen Dreiecken atO

und A' m o folgt mit m c = 2y

ju

Ai

A'

-ZX.7I

■s».

II

- -j-

fl

'Z

Fig. 64.    6

\B

und A' m = 1/2 H : Q/2 = 1/2 : 2 y

oder

; (35) m

Ql

— H * ymax — "TT⁻

V; yl, . -

h-th —j~

—t—|-

Fig. 65.

Die Querkraftsfläche ist durch die geneigte Gerade ab bestimmt, welche die Achse A₀B₀ in der Mitte unter dem gefähr-\    lrchen Querschnitte

\    des Trägers schnei-

x\    bet (Q = 0) und

\\    über den Auflagern

-\\\ n um die Auflager-widerstände A = B

= -^vonder Achse

entfernt ist.

Ist die Belastung Q ungleichmäßig verteilt, derart, daß sie von der Trägerachse und einer dazu geneigten Geraden oder einer Kurve begrenzt wird, so zerlege man die Belastung in schmale Streifen und verwandle diese in Rechtecke. In dem Schwerpunkt der Streifen denkt man nun die dem Rechtecksinhalte entsprechenden Einzelkräfte angreifend und zeichnet dazu in bekannter Weise das Kraft- und Seileck sowie die Querkraftsfläche.

j:

~r/~~

Dieser z. B. bei Wasser- oder Erddruckbelastung vorkommende Fall ist in Fig. 65 dargestellt und in vorstehend angegebener Weise behandelt wordene Die Momentenfläche ist von einer kubischen Parabel und die Querkraftsfläche von ^ einer quadratischen Parabel begrenzt, M wie sich leicht nachweisen läßt.

-L

HTM*

IM

-ri-----s

0-0- ------

Mg. 66.

3. Unmittelbare zusammengesetzte Belastung.

Ao

Bei den meisten Aufgaben aus dem Gebiete des Hochbaues erhält man Belastungen, die A \ sich aus Einzellasten und Streckenlasten H zusammensetzen. 4! Die Streckenlasten U sind in geeignete Streifen zu zerlegen, die durch entsprechende Einzellasten zu ersetzen sind. Alsdann sind nur noch Einzel-

lasten vorhanden, zu denen nach bekannten Regeln Kraft- und Seileck zu zeichnen ist. Jedoch kann man auch jede Belastungsart für sich behandeln und die erhaltenen Momenten- und Querkraftsflächen mit Hilfe des Zirkels addieren.

Die Behandlung einer derartigen Ausgabe, wobei die beiden genannten Verfahren angewendet sind, zeigt Fig. 66, welche keiner weiteren Erläuterung bedarf, da es sich nur um eine Wiederholung bekannter Dinge handelt.

4. Mittelbare Belastung durch Einzellasten.

a) Auflagerwiderstände und Momente. Werden die Lasten nicht unmittelbar von dem Träger AB (Fig. 67)

W?'

I-

Ad

aufgenommen, sondern von kürzerenZwischenträgern, die sie erst in ihren Stütz-^ i? punkten auf den Haupt-<ß' träger AB übertragen, so i erleiden dessen Auflagerst drücke keine Veränderungen, wohl aber die Momente und Querkräfte.

Ao

Fig. 67.

Wird zu den gegebenen Lasten Plr P₂ in bekannter Weise Kraft-und Seileck gezeichnet, so erhält man wie früher die Auflagerdrücke A und B. Die Auflagerlotrechten des Zwischenträgers CD unter der Last Pt treffen das Seileck in den Punkten Cz und D'. Verbindet man C' und D' durch die Schlußlinie s₁ und zieht dann von 0 aus eine Parallele dazu, so wird P₃ in die Auf-

lagerdrücke ad und db zerlegt, die unmittelbar auf den Träger AB einwirken. Die von dem Seileck durch s₂ abgegrenzte Fläche G'D'F' ist die Momentenfläche des Zwischenträgers CD. Wiederholt man diese Konstruttion für den Zwischenträger unter P₂, so ergibt sich die Schlußlinie s₂, welche P₂ in die Auflagerdrücke b e und e c zerlegt, die auch unmittelbar auf den Träger AB einwirken. Zu dem Träger AB, der nur noch in den Stützpunkten der Zwischenträger, den Knotenpunkten, belastet ist, gehört das Seileck 1 sx s₂ 3, welches die zugehörige schraffierte Momentenfläche begrenzt, deren größte Ordinate ymax immer unter einem Knotenpunkte liegen muß.

Hiernach läßt sich in einfacher Weise für jede mittelbare Belastung die Momentenfläche darstellen. Man zeichnet für unmittelbare Belastung Kraft- und Seileck, zieht die Lotrechten durch die Angriffspunkte der Zwischenträger, verbindet deren Schnittpunkte mit dem Seileck in fortlaufender Reihenfolge und erhält dadurch die Begrenzung der verlangten Momentenfläche.

b) Querkräfte. Diese sind ebenfalls durch die in den Knotenpunkten wirkenden Lastanteile bestimmt, welche direkt aus dem Krafteck entnommen werden können, wie Fig. 67 zeigt.    *

5. Mittelbare gleichmäßig verteilte Belastung.

Werden die über dem Träger AB (Fig. 68) befindlichen Zwischenträger gleichmäßig belastet, so braucht man nur die Auflagerdrücke der letzteren zu bestimmen und die vorliegende Aufgabe ist auf die unter 4 behandelte zurückgeführt.

Wichtig ist der Fall, wo eineILast Q sich gleichmäßig über die ganze Trägerlänge AB — 1 erstreckt. Die Auflagerdrücke

werden einander gleich, A=B •

Um die Momentenfläche darzustellen, kann man zu Q die Momentenparabel zeichnen wie unter 2, Fig. 64, und ein den Zwischenträgern entsprechendes Vieleck hineinzeichnen. Einfacher ist es, die Lastanteile für jeden Knotenpunkt zu bestimmen, was rechnerisch oder graphisch geschehen kann. Man

erhält dafür, wenn die Belastung für die Längeneinheit - - =q

ist und die Unterstützungen der Zwischenträger um alz a₂, a₃

usw. voneinander entfernt

iQji

¹ Q^q.Z

B sind,

al 4~ a2

px=q- ₂

a2 4~ a3

usw.

Macht man

ai = a2 = ar • •

— A, so wird Pi=p₂=ps-..

= P=qa.

Diese Einzellasten wirken unmittelbar aus den Träger AB ein; zeichnet man dazu in bekannter Weise Kraft-und Seilech so ist die in Fig. 68 schraffierte Momentenfläche bestimmt.

Mt vorstehenden Einzellasten ist auch die Querkraftsfläche zu zeichnen, wie Fig. 68 zeigt. Dabei ist zu beachten, daß die Querkraft-auf die Länge eines Zwischenträgers ihren Wert beibehält. Diese Querkraftsfläche kann aber auch direkt aus derjenigen für unmittelbare gleichmäßige Belastung gewonnen werden, indem man jeweils unter der Mitte eines

-4>r-a—

-4

oc—A

___l_

-T---,

■ -4-

Fig.

Zwischenträgers eine Wagerechte durch die schräge Begrenzungslinie der Querkraftsfläche zieht, wie es auch in Fig. 68 geschehen ist.

Bei gleichmäßiger Belastung wird die Querkraftsfläche oft zur Bestimmung der Momente benutzt. Es ist

Mi = Qx • a, M₂ = Qx • a + Q₂ • a usw.

qi

2~~“2~

³~-)a = qa(l —2a).

Für M₂ folgt aus Fig. 68 mit A =

- = (f

)a + (y

Setzt man 2 a = x, so wird

(36)

Mx = M₂ = ^(1-x).

Dies ist die bekannte Gleichung der Momentenparabel. Vgl. S. G. Bd. 288, S. 39.

§ 25. Der Vollwandträger auf 2 Stützen mit beweglicher Belastung.

1. Unmittelbare Belastung durch eine wandernde Einzellast.

a) Momente. Soll der Einfluß einer Einzellast P untersucht werden, welche sich über den Träger AB in Fig. 69 fortbewegt, so zeichne man zu dieser Last P das bekannte Kraft- und Seileck und nehme an, der Träger bewege sich unter der Last hindurch. Bei dieser Trägerverschiebung bleibt das gezeichnete Seileck unverändert liegen, nur die Auflager-lotrechten verschieben sich parallel und bedingen jeweils eine neue Schlußlinie. Für jede Trägerlage bzw. Laststellung erhält man unter P eine neue Ordinate y; der größte Wert ymax oder das Maximalmoment M=H - ymax entsteht, wenn die Last P in der ungünstigsten Stellung auf dem Träger AB steht, d. i. für eine Einzellast die Trägermitte. Trägt man die gefundenen y unter der zugehörigen Lastlage senk-

recht zur Trägerachse A'B' auf und verbindet ihre Endpunkte durch eine gebrochene Linie (Fig. 69 b), so entsteht eine Fläche,

i

__S;

--MX *

deren Ordina-ten für alle möglichen Lastlagen die größten Momente bestimmen, die überhaupt auf den Träger AB einwirken

itl

h.

Flocke derMnuta,

Fig. 69 a u. b.

können. (Diese Fläche findet Verwendung bei der Bestimmung der Gurtplattenlängen eines Blechträgers.) Wird in Fig. 69 a der Träger AB nur um sehr kleine Stücke verschoben, so geht die gebrochene Begrenzungslinie der Fläche in Fig. 69 b in eine Parabel über, wie auch die Rechnung zeigt.

T~ x (1 — x) •

Dies ist die Achsengleichung einer Parabel, vgl. Formel (1), S. 8.

Soll der Einfluß einer wandernden Einzellast P auf den festliegenden Querschnitt C des Trägers AB in Fig. 70 a ermittelt werden, so zeichne man wieder ein Kraft- und Seileck und bewege den Träger unter der Last hindurch. Wandert die Last P rechts^von C, so ist der Auflagerdruck A die einzige links angreifende Kraft, die in C ein positives Moment er-

(37)

Mx = A • x =

P(i-x)

zeugt. Dieses Moment ist besümmt durch den der jeweiligen Lastlage entsprechenden Abschnitt y, welchen die zu A gehörenden äußersten Seileckseiten 1 und s auf der Lotrechten durch C abschneiden. Vgl. § 14, S. 35.

6C

Wandert die Last links von C, so wirkt auf C die Mittelkraft A — P ein. Diese ist negativ und greift im Schnittpunkte der sie einschließenden Seileckseiten s und 2 an, der rechts von c liegt, wie Fig.

ct

70 a zeigt. Mithin    fr

!, .. 1 , 1$—A    a.

Itfj | I    |    H

I    I    I    T~Ä

11 i^i ! T-

fT⁷

Lch'E

den. Trägt man    ^

inFig.70bdiege-    c“ gig.70au.b.

Wo P\'

entsteht auch hier ein positives Mo-ment in C, welches jetzt durch den der jeweiligen N Lastlage entsprechenden Abschnitt y bestimmt wird, den die Seileckseiten 8 und 2

fundenen y unter der zugehörigen Lastlage senkrecht zur Trägerachse A₀B0 auf und verbindet ihre Endpunkte, so entsteht eine unter dem Querschnitt C geknickte Linie A₀C₀B₀. Diese Linie schließt mit der Trägerachse A₀B₀ eine Fläche ein, mittels deren Ordinaten y, für jede lotrecht über y befindliche Last P, das im Querschnitt C wirkende Moment Mc = H • y ermittelt werden kann.

Wird im besonderen die in Fig. 70 b dargestellte^Fläche A₀B₀C₀ mit der Polweite Bl — 1 für die Kraft P = 1 ge-

zeichnet, so erhält sie den Namen Einflußfläche. Die sie begrenzende gebrochene Linie A₀C₀B₀ wird Einflußlinie .    .    n    für das Moment des

t-a-f,_i    Balkenquerschnittes

^—;—Ijr" I t —:—bei C genannt. Vgl.

L"    § 27, S. 97.

—f -f 4-

ji~~1—    b) Auflager-

A=r

jm

+ - -X^n\\ widerstände und \ \ Querkräfte. In /* / / i I Fig. 69 a wird durch die    Schlußlinien s₂

^    s5 die Kraft P

Auslagerdrücke]} Tt„ Fig. 71.

jeweils in die der zugehörigen Lastlage entsprechenden Auflagerdrücke A und B zerlegt. Das Krafteck der Fig. 69 a ist in Fig. 71 in verkleinertem Maßstabe nochmals dargestellt und die den einzelnen Schlußlinien zugehörenden Auflagerdrücke A und

AP

Qmax

Fig. 7. 2

B sind der Lastlage entsprechend senkrecht zur Trägerachse ^ A₀B₀ aufgetragen. Verbindet man die Endpunkte der Auflagerdrücke, so erhält man in ! der geraden Linie B₀Aq die A-| Linie bzw. in A₀BZ₀ die B-B₀ Linie,deren Ordinaten für jede Lastlage den Auflagerdruck A '=Bhp bzw. B angeben. Für die Enden ^ ist A — B — P. Wählt man wieder insbesondere P — 1, so gehen diese Linien in die Einflußlinien der Auflagerdrücke oder -widerstände A und B über.

Soll für den bestimmten Querschnitt C des Trägers AB

in Fig. 72 die Querkraft bestimmt werden, so ist die Lastlage links oder rechts von C gesondert zu betrachten. Liegt die Last P rechts von C, so ist die Querkraft in C jeweils gleich dem Auflagerdruck A, also positiv. Befindet sich die Last links von C, so wird die Querkraft in C bestimmt durch den Ausdruck Q = A- P, der immer negativ sein muß und, absolut genommen, dem Auflagerdrucke B entspricht. Hiernach lassen sich in einfacher Weise die Querkräfte einer wandernden Einzellast P für jeden beliebigen Querschnitt darstellen, indem man an die Trägerachse A₀B₀ nach oben als positive Werte die Auflagerdrücke A, nach unten als negative Werte die Auflagerdrücke B anträgt und durch den Querschnitt G eine Lotrechte zieht. Befindet sichP rechts von C, so erhält Q einen positiven Wert und wenn es links von C liegt, erhält Q einen negativen Wert; damit ist die in Fig. 72 schraffierte Fläche festgelegt. Der Größtwert Qmax bzw. Qmm entsteht, wenn sich P unmittelbar rechts bzw. links neben C befindet. Auf der Lotrechten durch C wird Qmax durch die A-Linie und Qmin durch die B-Linie abgeschnitten.

Wählt man wieder P = 1, so ergibt sich die Einflußlinie für die Querkraft Q im Querschnitte C.

2. Unmittelbare Belastung durch eine wandernde Lastengruppe.

a) 9Aomente.    jx> ip 1» b> \jb

Zn „der gleichen ^ ff/f Pjg Weye tote bei    ;    j",    ^ i

einer Einzellast \ ! f"~l j ^    !    |

k:

Fig. 73.

zeichne man für die, eine Gruppe mit unveränderlichen Abständen bildenden Lasten ^1/ ^2, ^3, ^4,

welche sich auf dem Träger AB in Fig. 73 befinden, Kraft-und Seileck und verschiebe den Träger so lange unter dieser Lastengruppe, bis die ungünstigste Laststellung erreicht ist, für welche sich ymax und damit Mmax = H • ymax ergibt. Die Fläche der Mmax ist wie in Fig. 69 zu zeichnen.

Im allgemeinen wird das größte Moment unter derjenigen Last auftreten, welche der möglichst in Trägermitte befindlichen Mittelkraft aller auf dem Träger AB stehenden Lasten am nächsten liegt.

st

Fig. 74.

Die auf AL, Fig. 74, stehenden Lasten Pi, P₂, P₃, P4 mögen die Mittelkraft R besitzen, welcher die Last P₂ am nächsten liegt. Letztere hat von der ersten Last den Abstano b, von R den Abstand a und vom j rechts gelegenen Auflager B den < Abstand x. Mit der Trägerlänge I folgt für den linksliegenden Auflagerdruck

(38)

R, x

-r (x — a), und das Moment unter P₂ wird

(39)

M = A (1 — x) — Px b = (x — a) (1 — x) — P₂ b .

Mit jeder Bewegung der Lastengruppe ändert sich x, also auch M, welches seinen Größtwert erhält, wenn

dM

— 0 — (I — x) —--(x — a) —-

ist. Daraus folgt

(40)

T ⁺ T-

Dieser Wert zeigt, daß das Moment unter P₂ seinen Größwert erreicht, wenn die Trägermitte mit dem Halbierungspunkte des Abstandes a zwischen P₂ und R zusammenfällt. Dies gibt den Satz:

Das Moment unter einer bestimmten Last einer gegebenen Lastengruppe wird am größten, wenn

diese Last von der Trägermitte ebenso weit entfernt ist, wie die Mittelkraft R aller auf dem Träger befindlichen Lasten.

Beispiel 7. Der in Fig. 75 gegebene 7,5 m lange Kranträger erhält von einer Laufbühne zwei Einzellasten von je 20,0 t, welche einen Abstand von 2,20 inhaben.

Die in allen Trägerquerschnitten auftretenden größten Momente sowie das im gefährlichen Querschnitte vorhandene Maximalmoment sind zu bestimmen.

Zunächst ist in Fig. 75 das Krafteck mit H = 201 aufgetra- P\=2oi gen und dazu das Seileck 1,2,3 ge zeichnet. Durch geeignete Verschiebungen des Trägers sind die Schlußlinien ^ bis s₆ ermittelt, welche die größten Ordinaten y liefern. Mit letzteren ist die Fläche der Maximalmomente gezeichnet, die von zwei Parabelzweigen begrenzt wird. Die Stelle des größten Momentes entsteht unter der ersten Last, wenn nach Formel (40)

i-2,2

--1--= -I--U -1-=

2 2 2 2

4M7/Z

7^0-1

IR i

iB

-t-

li

-b

Flache derM j

,/ X %

Y Kräftemaßstab \

>F+4'X

^ \cjc

Mj t > r >

'Längenmaßstab

10 20 M 40 50mt

Jslomenterun aßstab

Fig. 75.

7,5

4,30 m

wird. Man erhält ymax = 2,73 m, mithin

Mmax = H • ymax = 20 • 2,73 = 54,6 mt.

Henkel, Graphische Statik.

Für die Trägermitte erhält man ym = 2,65 m, also Mm = 20 • 2,65 = 53,0 mt.

Handelt es sich darum, für einen bestimmten Querschnitt C des'Balkens AB in Fig. 76 die ungünstigste Laststellung bzw. das Maximalmoment zu ermitteln, so kann das von We yrauch angegebene Verfahren benutzt werden. Me Lasten I, II, III ..., welche von B aus auf den Träger AB aufrollen können, trage man mit I beginnend auf einer Lotrechten durch

A auf und verbinde den Endpunkt E der letzten Last mit B durch eine Gerade. Zieht man nun CD || BE, so wird diejenige Last getroffen, welche auf C zu stellen ist, damit das Maximalmoment in C entsteht. Fällt D auf die Grenze von 2 Lasten, so ist es gleichgültig, welche der benachbarten Lasten auf C gestellt wird, das Moment wird für beide Fälle gleich.

ir

p]

\u

rTTTr r! r

st S-⁷ F ¹—>—⁷ kB

Fig. 76.

Der Beweis dieses Verfahrens folgt aus Fig. 76. Die Mittelkraft für die links von C liegenden Lasten sei 2T' und für die rechts liegenden 2*P", während in C die Last P stehen möge. Diese Kräfte erzeugen in C ein Moment von

SP' + ^ SP" + -

Verschiebt sich die Lastengruppe um eine kleine Strecke l nach rechts, so ändert sich M utrt A M und man erhält (a + A) z

M + zfM =

-2,P' +

•2,P// +

x(z—p

M + JM = M + ^[z2Pz—-x(P + 2Pzz)].

oder

0olI|M das größte Moment sein, so muß der Zuwachs JM negativ sein, also

oder

z • 2 Pz < x (P + 2PZZ)

(41)

2PZ P + 2P" x    z

Weise

(42)

Wird die Lastengruppe nach links verschoben, so folgt in gleicher P + 2PZ 2Pzz

Aus den ähnlichen Dreiecken ABE und AGD der Fig. 76 erhält

man

AB _ DjE AG ~ CB" '

Da aber 2P' < AD und P + 2 P" > DE, so folgt 2PZ P + 2Pzz X    z

Mit P + 2P'>AD und 2P"<rDE folgt ebenso

P + 2PZ 2PZZ

->--.

z

Yp'

Die Ausdrücke —— und

stellen die durchschnittlichen

Belastungen für die Längeneinheit auf beiden Seiten von C dar, und die Ungleichungen besagen, daß für Mmax diese Werte möglichst gleich groß sein sollen.

b) Querkräfte und Auflagerwiderstände. Diese werden in einfacher Weise nach dem von Winkler angegebenen Verfahren ermittelt. Man stellt in Fig. 77 b den Lastenzug pi, P2/ p3 • • • in umgekehrter Richtung, also mit über B, auf den Träger AB, errietet sodann auf dem Träger AB (Fig. 77a) eine Senkrechte in A und trägt auf dieser, in A mit Px beginnend, so viel Lasten auf, als auf dem Träger

7*

AB Platz finden. Zu diesem Kräftezuge zeichnet man mit B als Pol in Fig. 77b das Seileck 12345, das in B beginnt. Jede von dem Seileck und der verlängerten ersten Seileckseite, die auf AB fällt, begrenzte Ordinate y stellt die größte positive Querkraft Qmax für den lotrecht darunter liegenden Querschnitt C des Trägers AB dar.

Nf

Aus Fig. 77 a folgt in bezug auf B

/j .

sein muß, so

*;

A 1 = Pi bx + P₂ b2 + P₃b₃ ... = ZP - b. yiaö) Fig. 77 ist Weiler bi = b(, b₂ = b', b₃ = b' usw., und da auch A = + Q erhält man

Qmax • 1 = 2*P • b = 2P - b'.

ti.

°-75-

Aus Fig. 77 b ergibt sich das statische Moment der Kräfte Plz P₂, P₃... in bezug auf Punkt C nach § 14, S. 38 mit H = 1 zu

--iä

Fig. 77 a u. b.

yl = P₁b₁' + P₂ b'

+ ... = iPb'. Folglich ist auch Qmax • 1 = y• 1 oder

y = Q

Mithin stellen die Ordinalen des Seilecks 1*2 3 4 5 für jeden beliebigen Querschnitt die größten positiven Querkräfte dar.

Da die größte Querkraft für rechts auffahrende Lasten immer gleich dem linksseitigen Auflagerdrucke A ist, so stellt das Seileck 12 3 45 auch zugleich für jede Laststellung die Auflagerwiderstände A dar, weshalb es kurz die A-Linie genannt wird.

Die negativen Querkräfte entsprechen stets den negativen Auflagerdrücken B. Zeichnet man das gleiche Seileck in A beginnend, so erhält man eine gebrochene Linie, die B-Linie, welche die Qmin bzw. die Auflagerwiderstände B begrenzt. Die B-Linie ist im allgemeinen überflüssig, weil die Q und Qmin symmetrisch zur Trägermitte liegen.

max

3. Unmittelbare gleichmäßig verteilte wandernde Belastung.

a) Momente. Jede abwärts gerichtete Belastung eines Trägers AB erzeugt nach S. 65 bzw. 76 ein positives Moment, mithin muß für jeden Trägerquerschnitt bei Vollbelastung des Trägers das größte Moment entstehen.

Ql ql²

Ist für die Längeneinheit g die ruhende und p die bewegliche Belastung, so folgt mit g + P = q und q 1 = Q aus Formel (35) auf S.70

■M-max — —

Für eine beliebige Stelle im Abstand x von A wird nach Formel (36) auf S. 75 Mj = -q₂- (1 - x).

b) Querkräfte und Auflagerwiderstände. Wird die in Fig. 77 durchgeführte Konstruktion der A-Linie auf viele unendlich kleine und nahe Einzelkräfte, die eine gleichmäßige Belastung p für die Längeneinheit ersetzen, angewendet, so erhält man als A-Linie eine Parabel mit dem Ordinaten

P(l-x)²

(43)

y = A= Q

In Fig. 78 ist die A-Linie für gleichmäßige Belastung nach dem in Fig. 3, S. 7 angegebenen Verfahren gezeichnet, welche für die symmetrisch zur Trägermitte gelegenen Querschnitte auch die negativen Querkräfte Qmin angibt.

Besonders wichtig ist der Fall gleichmäßiger Belastung, wobei auf die Längeneinheit des Trägers die ruhende Belastung g und die bewegliche p einwirkt. Die Querkräfte ergeben sich in der Weise, daß man die der ruhenden Belastung g entsprechende Querkraftsfläche (Fig. 64) mit derjenigen für die wandernde Belastung p (Fig. 78) addiert, wie es in

S-.

Tf:

Ak

Fig. 79.

Fig. 78.

Fig. 79 ausgeführt ist. Hierbei ergibt sich sogleich, daß negative Querkräfte nur auf der Strecke x₀ möglich sind. Für die Strecke l/₂ — x₀ werden die Qmm auch positiv.

4. Mittelbare Belastung durch eine wandernde Einzellast.

a)    Momente. Für mittelbar ausruhende Lasten ist in Fig. 67, S. 72 gezeigt worden, daß die Momentenfläche ein Vieleck ist, dessen Eckpunkte lotrecht unter den Knotenpunkten liegen. Bei einer beweglichen Last wird die Ordinate y der Momentenfläche unter einem Knotenpunkt am größten, wenn die Last direkt über dem Knotenpunkte steht. Deshalb muß man für mittelbare Belastung die gleichen Ordinaten der Momentenfläche unter den Knotenpunkten erhalten, wie bei unmittelbarer Belastung, und kann daher die Momentenfläche für den vorliegenden Fall direkt aus der Fläche der M in Fig. 69 b zeichnen, indem man in letztere ein Vieleck einträgt, dessen Ecken unter den Knotenpunkten liegen.

b)    Querkräfte und Auflagerwiderstände. Wandert eine Einzellast P über die auf dem Träger AB (Fig. 80) ruhenden Zwischenträger, so erhält man dieselben Auflager-widerstände wie bei unmittelbarer Belastung, ebenso müssen die Ordinaten der Querkraftsfläche unter den Knotenpunkten die gleichen sein wie bei unmittelbarer Belastung. Handelt es sich nun um den Querschnitt C zwischen den beiden Knotenpunkten D und E, so muß die Querkraftsfläche des Zwischenträgers DE mit derjenigen des Trägers AB zusammengesetzt a werden.

\P

a. ¹

v]

[f

-P

Tritt die Last P bei E auf 4E-—X den Zwischenträger, so entsteht ^ 1 in D ein abwärts gerichteter Druck, gleich der positiven Quer- A0 kraft des Zwischenträgers, welcher die positive Querkraft des Hauptträgers AB verkleinert, und ebenso entsteht gleichzeitig in E ein abwärts gerichteter Druck, gleich der negativen Querkraft des Zwischenträgers, +P welcher die negative Querkraft 4 des Hauptträgers verkleinert.

c.

Fig. 80.

Subtrahiert man die beiden Flächen, die in Fig. 80 a und b dargestellt sind, so entsteht die in Fig. 80 c schraffierte Querkraftsfläche, welche unter dem Zwischenträger DE einen Nullpunkt S erhält, derBelastungs-scheide genannt wird. Wandert eine Last P über die Strecke B₀S, so entstehen positive Querkräfte, wandert sie über SA₀, so entstehen negative Querkräfte. Im Querschnitt C entsteht Qcmax, wie Fig. 80 c zeigt.

Soll für alle Zwischenfelder eines Trägers AB (Fig. 81) die Lastscheide bestimmt werden, so ziehe man die Lotrechten durch alle Knotenpunkte sowie zwei beliebig geneigte Parallelen AG und BD und verbinde je zwei benachbarte Schnittpunkte der Lotrechten und Parallelen, indem man in A oder B beginnt. Hierdurch entstehen wie in Fig. 80 c die Lastscheiden Slz S2/ S₃, s₄, S₅.

GM

Fig. 81.

5. Mittelbare Belastung durch eine wandernde Lastengrupp e.

a) Momente. Auf S. 86 ist festgestellt worden, daß die Momentenstäche für unmittelbare Belastung mit derjenigen für mittelbare Belastung unter den Knotenpunkten übereinstimmt, und daß sie für den letzteren Fall ein Vieleck ist, dessen Ecken unter den Knotenpunkten liegen. Vgl. auch Fig. 67, S. 72.

Hat man für eine Lastengruppe, welche mittels Zwischenträgem auf einen Hauptträger AB einwirkt, die Fläche der größten Momente darzustellen, so zeichne man zunächst für so viel Lasten, als auf dem Träger Platz finden, oder einige mehr, in bekannter Weise (Fig. 73, S. 79) das Kraft- und Seileck. Dann bestimmt man nach dem auf S. 82 angegebenen Verfahren die ungünstigsten Laststellungen für die einzelnen Knotenpunkte, überträgt diese in das Seileck und erhält durch die zugehörigen Schlußlinien die größten Ordinaten der Momentenstäche unter den einzelnen Knotenpunkten. Trägt man diese Ordinaten in den Knotenpunkten des Trägers auf und verbindet ihre Endpunkte durch gerade Linien, so ist die Fläche der Mmax dargestellt. An Stelle des auf S. 82 gegebenen Verfahrens von Weyrauch kann auch das auf einen ähnlichen Gedankengang aufgebaute, einfachere Verfahren von Land zur Bestimmung der ungünstigsten Laststellung benutzt werden.

Für so viel Lasten, als auf den Träger AB aufrollen können, besser einige mehr, zeichne man das bekannte Kraft- und Seileck und teile dann die Polweite H des Kraftecks in demselben Verhältnis, wie die Stützweite des Trägers AB durch die Knotenpunkte geteilt wird. Soll nun für einen bestimmten Knotenpunkt die ungünstigste Laststellung ermittelt werden,

3.0

18,00

///

—=u:

12F |

/7 ,

V,

I Ä-

/7

III I

7,

8,

.>

Z7»

zjI

13\

A-

/<? 0

12 3 4-    ⁵⁰ 6 7 8 S

7JJ

ßt

Hrol

Kräftirmcißstab

Fig. 82.

so ziehe man durch den gleichliegenden Teilpunkt auf der Polweite eine Senkrechte und bestimme deren Schnittpunkt mit demjenigen Polstrahle, welcher die erste auf dem Träger AB befindliche Last begrenzt. Durch diesen Schnittpunkt ziehe man eine Parallele zu demjenigen Polstrahle, welcher die letzte auf dem Träger AB befindliche Last begrenzt, und diejenige Last, welche von dieser Parallelen getroffen wird, ist auf den fraglichen Knotenpunkt zu stellen, damit dessen y bzw. Mmax = H • ymax entsteht. In dem folgenden Beispiele ist dieses Verfahren angewendet.

Beispiel 8. Für eine 18 m weit gespannte Blechträgerbrücke, mit 3,0 m langen Zwischenträgern, sind die in den Knotenpunkten auftretenden Maximalmomente zu ermitteln, wenn die Brücke durch eine preußische Güterzuglokomotive mit anhängenden Wagen befahren wird. Die Gruppierung der Lasten ist in Fig. 82 dargestellt.

Zunächst ist für alle auf der Brücke Platz findenden Lasten ein Krafteck mit der Polweite H = 70 t gezeichnet. Die Polweite ist, der Knotenpunktsanordnung des Hauptträgers entsprechend, in 6 Teile geteilt und in den drei ersten Teilpunkten I, II, III sind Senkrechte errichtet, welche den Polstrahl 1 in den Punkten F IFIIF

treffen. Qief)t man durch F eine * Parallele zum Polstrahl 9, so trifft H* M 2fT t\ /n diese die %\veite Last, welche auf den Knotenpunkt I zu stellen ist, damit in diesem das größte Moment entsteht. Für diese Laststellung begrenzt der Polstrahl 9 die letzte auf dem Träger stehende Last. In io 20 jo 4pmt gleicher Weise findet man, daß die dritte Last auf den Knotenpunkt II und die vierte Last auf den Knotenpunkt III zu stellen ist.

Die diesen drei Laststellungen Zugehörigen Schlußlinien slz s₂, s₃ liefern die Ordinaten yx = 2,87 m, y₂ — 4,36 m, y₃ = 4,66 m, welche mit H = 70 t folgende Maximalmomente ergeben:

<?\T"

y,

18,0—

y,

mientemnaßsh Fig. 83.

Mx — 70 • 2,87 = 201 mt,

M₂ = 70 • 4,36 = 305,2 mt,

M₃ = 70 • 4,66 = 326,2 mt.

Diese Momente sind in Fig. 83 senkrecht zur Stützweite 0VI =18,0 m aufgetragen und ihre Endpunkte durch gerade Linien verbunden. Die dadurch entstandene Fläche der Maximalmomente liefert für jede beliebige Stelle das Maximalmoment, so findei man Z. B. für x = 4,5 m Mx == 253,1 mt.

b) Querkräfte und Auflagerwiderstände. Das Winklersche Verfahren zur Ermittelung der Querkräfte und und Auflagerdrücke, wie es in Fig. 77, S. 84 für unmittelbare Belastung angewendet worden ist, kann auch für mittelbare Belastung angewendet werden. Für die Querschnitte durch die Knotenpunkte erhält man.in beiden Fällen die gleichen Ordinaten der A*£mie. Für alle Querschnitte des Hauptträgers, die unter den Zwischenträgern liegen, sind diese Ordinaten besonders zu besümmen.

Ein unter dem Zwischenträger DE liegender Schnitt C des Hauptträgers AB in Fig. 84 soll näher betrachtet werden. Wandert die erste Last Px des Lastenzuges Plr P₂, P3 auf den Zwischenträger DE, so entsteht in D ein abwärts gerichteter Druck, welcher^ der    ^

positiven Querkraft    ³

des Zwischenträgers    P£

>A

gleich ist und die Querkraft des Haupt- A ^ trägers AB um diesen Betrag verkleinert.    A

Man erhält somit für ____

die Strecke DE die    -4r~-

Fig. 84.

Querkräfte des Hauptträgers AB, indem man von den Ordinaten der A- _

Linie des Trägers    AB die Ordinaten der A-Linie des

Zwischenträgers DE abzieht. Kann nur die Last Px auf DE aufrollen, so trage man Px in D₀ auf und verbinde den Endpunkt Eg mit E₀, dann stellen die Ordinaten zwischen F₀E0 und der A-Linie des Hauptträgers die Querkräfte für die Länge DE dar. In Fig. 84 ist die Querkraft für den Querschnitt C als Qc eingetragen. Finden mehr als eine Last auf dem Zwischenträger DE Platz, so ist für denselben eine besondere A-Linie zu zeichnen.

Im allgemeinen entsteht, wenn die erste Last nicht allzu weit von den übrigen Lasten entfernt ist, unter einem Zwischenträger die größte positive Querkraft, wenn der Lastenzug bis an das rechte Auflager des Zwischenträgers herangerückt ist, wie auch Fig. 84 zeigt. Diese Laststellung heißt Grundstellung.

Die Auflagerwiderstände des Trägers AB sind für jede Laststellung seiner. A-Linie zu entnehmen, ohne Rücksicht auf die Zwischenträger. Vgl. S. 84.

6. Mittelbare gleichmäßig verteilte Belastung.

a) Momente. Da man bei gänzlicher Belastung eines Trägers dessen größte Momente erhält, so können diese nach

Fig. 68, S. 74 bestimmt werden.

b) Querkräfte und Auflager widerstände. Auf S. 87 ist gefunden worden, daß immer po-&    sitive Querkräfte vor-

aKI

--7 —--

Fig. 85.

Handen sind, solange eine JL Last rechts von der in Frage kommenden Be--j lastnngsscheide steht. Fig. 81, S. 88 zeigt die Belastungsscheiden für alle unterdenZwischenträgern liegenden Felder eines Hauptträgers AB. Sollen in diesen Feldern die größten positiven Querkräfte entstehen, so darf die Belastung jeweils nur bis zu der zugehörigen Belastungsscheide von rechts her vorrücken. In Fig. 85 soll die größte Querkraft für das unter dem Zwischenträger DE liegende Feld des Hauptträgers AB ermittelt werden.

Setzt man z = 1 — x — b, so ergibt sich aus — - = 0 für die Stelle der größten Querkraft:    d

1 — x    1 — x — b

Diese Gleichung ist erfüllt für den Punkt S₂, denn aus dew ähnlichen Dreiecken über AS₂ bzw. S₂B folgt

-—— oder z 1 = a (b + z). a — b

— und da-

Mit z — 1 — x — b erhält man hieraus:

durch ist bewiesen, daß die größte Querkraft im Feld DE an der Belastungsscheide S₂ auftritt. Für ihren Wert erhält man mit

z²

Zunächst ist die Belastungsscheide S₂ für den Zwischenträger DE zu ermitteln und die A=£mie des Trägers AB aufzutragen. Tritt nun die Belastung auf den Zwischenträger, so entsteht wieder eine Verkleinerung der positiven Querkraft des Hauptträgers um die positive Querkraft des Zwischenträgers. Die Ordinaten der A-Linie des Zwischenträgers sind daher von denjenigen der A-Linie des Hauptträgers abzuziehen, wobei sich ergibt, daß über S₂ die größte Ordinate und damit die größte Querkraft Q₂ des Feldes DE entsteht.

Rechnerisch ergibt sich für die Querkraft im Feld DE:

(44)

Qx =

p(l-x)²

p z²

Z²

21

(1-x)²

l²

Q2

__ P s(l-x)²

(1 — x)² a

2"L

(45)

Q2

P (1 — x)² (1 — a)

2 l²

pl

Trägt man nun in Fig. 85 —- — A₀H auf, zieht die Gerade EgH

und macht E₀F11A₀H sowie EG 11A₀B₀, so schneidet die Verbindungslinie GB₀ auf einer Senkrechten durch S₂ die größte Querkraft

Q₂ als Strecke JK aus. Aus den ähnlichen Dreiecken der Fig. 85 folgt

^: E₀F = 1: b oder E₀F =    .

1 —a —~ (1 — x) (1 — a)

Die oben gefundene Beziehung

X , also b —

und

E₀F =

p (I — x) (I — a)

21

Weiter erhält man mit E₀F = A₀G au§ A₀G: J K = 1:1 — x

P (1 — x)² (1 — a)

(1 —x)

21²~

JK = A₀G

Dies ist der Wert in Formel (45).

Die Auslagerwiderstände sind der A*Sinie zu entnehmen ohne Rücksicht auf die Zwischenträger.

Zum Schlüße sei bemerkt, daß in praktischen Fällen, neben der Verkehrslast, immer eine ruhende Belastung (Eigengewicht der Träger) vorhanden ist. Die für die Verkehrslast gefundenen Größtwerte der Momente und Querkräfte sind mit den entsprechenden Werten für Eigengewicht zusammenzusetzen.

§ 20. Der Kragträger mit ruhender Belastung.

Der Kragträger, auch Konsol- oder Freiträger genannt, ist nur an einem Ende unterstützt, während das andere frei schwebt. Sein Hauptanwendungsgebiet ist der Hochbau, deshalb wird er auch nur für ruhende Belastung behandelt.

1. Unmittelbare Belastung durch Einzellasten.

a) Momente. Mit den auf dem Kragträger AB in Fig. 86 befindlichen Lasten Plz P₂, P₃, P₄ ist nach bekannten Regeln Kraft- und Seileck zu zeichnen, wobei die letzte Seite des Kraftecks zweckmäßig wagerecht, » zu AB, gelegt wird.

§ 26. Der Kragträger mit ruhender Belastung. 95

Führt man einen Schnitt s—s, welcher die Trägerachse im Punkte T trifft, ]o ist das Moment der links von s—s liegenden Kräfte Plz P₂,' P₃ in bezug auf P nach §14, S.35 bestimmt zu

Ms=H.ys,

kt I«

fS"

wobei H die Polweite des Kraftecks bedeutet und yg den Abschnitt, welcher von den zu Plz P₂, P₃ gehörenden äußersten Seileckseiten 1 und 4 auf s—s ab-    1

geschnitten wird.

B'

Das größte Moment,    zl

r-H

06^_

Mmax⁼ H • ymax,

3.

Ww

ii ffll Ix

Fig. 86.

entsteht an der Einspannstelle bei B und ist durch das von der Einspannung (Mauerwerk) erzeugte Moment M = B-b aufzunehmen (Einspannmoment).

b) Querkräfte und Auflagerwiderstände. Führt man zwischen P₂ und P₂ einen Schnitt durch den Träger AB (Fig. 86), so erhält man eine abwärts gerichtete Querkraft — Q = Plr welche auf der ganzen Strecke von Px bis P₂ denselben Wert beibehält. Wird der Schnitt zwischen P₂ und P₃ geführt, so erhält man für diese Strecke — Q = p2 + P₂ usw. bis zur Strecke P₄B, wo die größte Querkraft — Q = Px + P₂ + P₃... = Jp auftritt. Letztere wird durch den gleichgroßen, entgegengesetzten Auflagerwiderstand

B aufgehoben. Also auch hier tritt an der Stelle, wo die Querkraft zu Null wird, das größte Moment auf.

2. Unmittelbare stetige Belastung.

eine

\B’

Fig. 87.

a) Momente. Denkt man sich die auf dem Träger AB in Fig. 87 ruhende Last Q in sehr viele, sehr kleine Einzelkräfte geteilt und zeichnet damit, wie 'in Fig. 86, das Kraft- und Seileck, so geht letzteres wieder in Seilkurve über, die aus einer Parabel besteht, deren Scheitel am freien Ende A des Kragträgers AB liegt. Denkt man sich die Last tz als Einzellast in Trägermitte wirkend, so erhält man die beiden Seileckseiten 1 und 2, in welche nach bekannten Regeln die Parabel einzuzeichnen ist, wie Fig. 87 zeigt.

Aus den ähnlichen Dreiecken B'B" m undfa b 0 folgt H : 1/2 = Q : ymax

oder

Mmax

Ql

— H • y"max — g

Setzt man Q = q 1, so ergibt sich

(46)

q i²

Mmai —    ^

b) Querkräfte und Auflagerwiderstände. Diese werden hier durch die Ordinalen des Dreiecks A₀B₀b (Fig. 87) dargestellt, dessen größte Ordinate B₀b gleich dem Auflagerwiderstande B ist. Für alle übrigen Belastungen sowie für mittelbare und zusammengesetzte Belastung hat man genau so zu verfahren wie bei dem Träger auf zwei Stützen; die dort gebrauchten Konstruktionen können mit entsprechender Abänderung auch hier verwendet werden.

§ 27. Einflußlinien.

Im §25, 1 ist gezeigt worden, wie man aus graphischem Wege die Einflußlinien der Momente, Auflagerdrücke und Querkräfte eines einfachen Balkens findet. Vgl. Fig. 70, 71, 72, S. 77 ff. Die angewendete Ableitung ist etwas umständlich, sie wird gewöhnlich durch die weit einfachere rechnerische Ableitung ersetzt, die auch hier in der Folge angewendet wird, um für alle möglichen statischen Größen einer Tragkonstruktion die- Einflußlinien zu finden, die entweder gerade oder geknickte oder, bei statisch unbestimmten Größen, krumme Linien sind. Die Einflußlinien sind sehr übersichtlich und erfreuen sich deshalb einer großen Beliebtheit.

Aus den Fig. 70, 71, 72 erkennt man, daß die durch eine Last P an einer Tragkonstruktion (Tragwerk) ausgeübte Wirkung W abhängig ist von der Lage und Größe der Last, sowie von der Gestalt der Tragkonstruktion. Ist x der Abstand der Last P von dem Anfang des Koordinatensystems, auf welches die Tragkonstruktion bezogen ist, so gilt allgemein

(47)

W= f (P, x).

Gewöhnlich wird P gleich der Lasteinheit (— 1t) angenommen und es gilt für diesen Fall

(48)

W₀=t? = f(x),

Henkel. Graphische Statik.

wobei rj die Einflußgröße genannt wird. Tie tatsächliche Wirkung einer wandernden Last P ist sodann

W= P-rj.

Die Einflußgrößen rj sind jeweils unter der wandernden Last P = 1 afö Ordinaten zu einer Geraden A₀B₀, der Tragwerkslinie, welche gleich der Länge der Tragkonstruktion sein muß, aufzutragen. Die zwischen A₀B₀ und der Einflußlinie .    liegende Fläche heißtEi n flu ß-

qi'u

,!

Fig. 88.

M M ^ Jtr fläche, ihr überAoBoliegen-ocpo ff ,0- ber Teil wird allgemein als positiv angenommen, der darunter liegende Teil als negativ, wie Fig. 88 zeigt. Der Punkt S, wo der positive Teil in den negativen über-geht (Fig. 88), heißt Belastungsscheide. Diese gibt an, wie weit eine Tragkonstruktion zu belasten ist, um für eine    statische    Wirkung W den Größtwert oder Kleinst

wert zu erhalten. Hiernach gilt ganz allgemein der Satz:

Eine Einflußlinie ist eine gerade, geknickte oder krumme Linie, deren Ordinaten angeben, wie bei einer    Tragkonstruktion    unbekannte äußere oder

innere Kräfte, Momente, Durchbiegungen usw. sich ändern, wenn eine Einzellast P (= 1) über die Tragkonstruktion hinwegwandert.

Wandert nicht eine Einzellast P, sondern eine Lastengruppe Plz P₂, P₃ ... Pm mit unveränderlichen Abständen über die Tragkonstruktion (Fig. 88), und sind die bei einer bestimmten Stellung unter den Lasten abgegriffenen Einflußgrößen (Ordinaten der Einslußlinie) rjlf rj2f % ... rjm, so wird die ent-

sprechende Wirkung

(49) W=P₁^ + P^₂+P₃>7₃+ ...Pm^m-^P.t?.

Wirken die Lasten nicht unmittelbar auf die Tragkonstruktion ein, sondern erst auf Zwischenträger, so muß die Einflußlinie zwischen 2 Knotenpunkten immer eine Gerade sein, wie sich aus Fig. 89 kurz beweisen läßt.

Px

und Po =-

c

Die Auslagerdrücke des Zwischenträgers sind p _ P(c —x)

ri —

und mit den in Fig. 89 angegebenen Ordinalen erhält man

P (c — x)

P • Y\ = Px -sfr + P₂ • rj₂ =

Px

(50)

V = —( c — x)+^x. c    c

Da dieser Ausdruck vom ersten Grade ist, so muß die Einflußlinie von einer Geraden begrenzt sein.

Fig. 89.

Soll für eine Lastengruppe der größte Wert einer Wirkung gefunden werden, so sind die Lasten in die ungünstigste Stellung zu bringen. Diese findet man am einfachsten durch Ausprobieren. Man setzt zunächst die schwersten Lasten an die Stelle der größten rj und bildet bie 2 P • rj, sodann verschiebt man die Lasten etwas nach rechts und nach links und bildet abermals die 2* P • rj. Durch Vergleich ist der Größtwert festzustellen.

Wird ein Träger über seine ganze Länge 1 gleichmäßig mit p für die Längeneinheit belastet, so erhält man aus der Einflußlinie für irgend eine Wirkung

(51)

= pfr} d x = 0

P-F,

wobei F den Inhalt der Einflußfläche bezeichnet. Sind Belastungsscheiden vorhanden, so müssen die Vorzeichen der rj beachtet werden.

1. Einflußlinien für die äußeren Kräfte unmittelbar und mittelbar belasteter Träger.

a) Auf lagerdrücke (Auflagerwiderstände). Wird der in Fig. 90 dargestellte Träger AB an beliebiger Stelle m,

,    deren Abszisse gleich x ist, mit

A\    \P=r*    Aß P = lt belastet, so erhält man

A^r    —%--4# einen linksseitigen Auflager-

>-er --l^cc_J

1(1 —x)

ft

druck (52) A =

Fig. 90.

Von den an rj gesetzten B' Zeigern gibt m die Laststelle und S a die Wirkungsstelle an. Vor-jßo stehende Gleichung stellt für die ö Veränderliche x eine Gerade dar, die durch ihre Endordinaten leicht festzulegen ist. Für x — 0 wird ?7oa — 1t und für x — 1

wird 7]i^ = 0. Trägt man (Fig. 90) irrt Punkte A₀ der Tragwerkslinie A₀B₀ den Wert ^0a = 11 = A₀A' auf und verbindet dessen Endpunkt A' mit B₀ durch eine Gerade, so ist damit die Einflußlinie A'B₀ für den Auflagerdruck A dargestellt.

In derselben Weise erhält man für den rechtsseitigen Auf-agerdruck

(53)

Für x— 0 wird i]0b — 0 und für x — 1 wird rjib = lt;

mit diesen Werten ist in Fig. 90 die Einflußlinie A₀B' für den Auflagerdruck B dargestellt.

Mit Rücksicht auf Gleichung (50) findet man, daß diese Einflußlinien für unmittelbare und mittelbare Belastung Geltung haben.

b) Querkräste. In dem bestimmten Querschnitte C des Trägers AB (Fig. 91) wird durch die von B nach G wandernde Last P = lt eine Querkraft erzeugt, die gleich dem der je-

57p

■»V

6'

'-iS'

P0'

Fig. 92.

Fig. 91.

welligen Laststellung m entsprechenden Auflagerdrucke A ist. Also für B bis G:

(55)

Qc — A —

l(l-x)

= *K-

Und für die von C nach A wandernde LastP = lt erhält man als Querkraft in C

l(l-x)

(56) QC=A — 1 =

Dies ist aber der negative Auflagerdruck B. Die Einflußlinie für Qc besteht demnach für die Strecke B bis C aus der Einflußlinie für den Auflagerdruck A und für die Strecke C bis

A aus der auf der negativen Seite angetragenen Einflußlinie für den Auflagerdruck B; wie Fig. 91 zeigt, besteht sie aus der gebrochenen Linie A₀baB₀. Bei mittelbarer Belastung sind nach Gleichung (50) die Einflußlinien zwischen zwei benachbarten Knotenpunkten gerade Linien. Hiernach ergibt

-78,00

+7,o o,m

OjSH

IT

¹ a.

t. er er oL (kil

i" . i

JT

7 0 7 2 3 4 5 6 7 8

fM I i > ! ! > > I

LängenmcUjßtab

0,K6

Jinflußf/YUF fiirA

°'⁷ \°, t * Sf

10¹

I K Kräfte    ......

__    "laßstäbe^(! f | f I 1 ( f | Tl Tj^

4.6 8 W 12 H

17*

0,661

,t⁷ A⁷ h⁷ i/⁷

O (7) O O

0,50.

77*

13*

HinslußUme für

-io

Fig. 93 a u. b.

sich sofort die in Fig. 92 dargestellte Einflußlinie für die Querkraft bei mittelbarer Belastung, indem man die in Fig. 91 senkrechte Gerade ab durch die geneigte Gerade a'b' erseht, welche den zu C benachbarten Knotenpunkten entspricht.

Beispiel 9. Für die im Beispiel 8 auf S. 90 behandelte Brücke von 18,0 m Stützweite und den dort gegebenen Lastenzug, welcher einer preußischen Güterzuglokomotive entspricht, ist der größte Auflagerdruck A und die größte Querkraft Qu für das zwischen den Knotenpunkten I und II liegende Trägerseld zu ermitteln.

Den vorstehenden Ausführungen entsprechend ist in Fig. 93 a die Einflußlinie für den Auflagerdruck A und in Fig. 93 b die Einflußlinie der Querkraft Qu dargestellt. Der größte-Auflagerdruck A ergibt sich, wenn die erste Last über dem Auflager A steht. Die dieser Laststellung entsprechenden Ordinaten sind in Fig. 93 a eingetragen, man erhält damit nach Gleichung (49)

Amax = 17 (1,000 + 0,916 + 0,834 + 0,750 + 0,667)

+ 13 (0,416 + 0,333 + 0,250 + 0,083) = 84,8 t.

XX

-H

'.X

Für die Querkraft Qn erhält man die ungünstigste Laststellung, wenn die erste Last gerade über dem Knotenpunkt II steht. Zu dieser Laststellung sind die Ordinaten in Fig. 93 b eingetragen, man a erhält damit

Qiima, = 17 (0,667 + 0,584    ^4-0»

Z-!

+ 0,500 + 0,416 + 0,333)    l~

+ 13 - 0,083 = 43,61.

,<r

\kcc

Durch geeignete Maßstäbe, wie sie in Fig. 100 gezeichnet sind, können die vorstehenden Multiplikationen ersp art w erden.

Fig. 94.

e)-Momente. Der Mo- ^ mentenpunkt liege an be- * liebiger Stelle zwischen den Auflagern des Trägers AB (Fig. 94). Für den bestimmten Querschnitt C erhält man durch die an beliebiger Stelle m rechts von C befindliche Last P = lt ba§ Moment

(57)

Mc — Am *

• a — j;mc .

Dieser Gleichung entspricht eine von B bis C brauchbare Gerade. Fürx= 0 wird >/„c — aund für x = 1 wirdrj1(j — 0; mit diesen Werten läßt sich in Fig. 94 die Gerade A'B₀ festlegen, indem man A₀A' = a macht. Befindet sich die Last P = lt an beliebiger Stelle n links von C, so wird das Moment in diesem Punkte

a_ 1 0 Xm)

(58) Mc = An. a—1 (a—xn) — ^ , Xn^ a — 1 (a — xn) _ 1 - xn (1 — a)

oder

Mc = B (1 — a) .

Durch diese Gleichung ist eine von G bis A brauchbare Gerade bestimmt. Für x= 0 wird rj0c — 0 und für x = 1 wird rj\c = 1 — a; mit diesen Werten läßt sich die Gerade A₀B' in Fig. 94 festlegen, indem man B₀B' — (1 — a) macht.

Li*

aL_i_rzS

-f

Die vorstehend bestimm-| ß ten Geraden A₀B' und A'B0 können in einfacher Weise U durch 2 Zirkelschläge (Fig. 94) aufgetragen werden. Die von ihnen begrenzte Fläche A₀B₀C₀ ist die Einflußfläche des Momentes in l-a C, und die geknickte Linie A₀C₀B₀ ist die Einflußlinie desselben.

Fig. 95.

Die Fig. 94 zeigt auch, daß nur ein Wert, entweder a oder 1—a, zur Aufzeichnung der Einflußlinie A₀C₀B₀ genügt. Der Punkt C₀ bewegt sich auf einer Parabel mit der Pfeil-

höhe j.

Hat man eine mittelbare Lastübertragung, so ist, mit Rücksicht auf Gleichung (50), die Einflußlinie zwischen je zwei benachbarten Knotenpunkten durch eine Gerade zu begrenzen, wie Fig. 95 zeigt. Die größten Momente treten nur unter

den Knotenpunkten auf, daher genügt es, für diese Stellen Einflußlinien zu zeichnen.

Beispiel 10. Der Balken AB in Fig. 94 sei auf die ganze Länge gleichmäßig mit p für die Längeneinheit belastet. Mit Hilfe der Einflußlinie soll das Moment für die beliebige Stelle G ermittelt werden.

Nach Gleichung (51) auf Seite 99 wird Mc = W = p • F .

Der Inhalt der Einflußfläche ist aber

cd

l'^cc I (1 — a) _ a (1 —a)

p a (1 — a)

somit

Mc =

Dieselbe Gleichung ist bereits auf S. 75, Formel (36), gesunden worden, wobei an Stelle von a der Wert x steht.

V. Abschnitt.

Der Fachwerkträger, an beiden oder an einem Ende unterstützt.

§ 28. Allgemeine Betrachtungen.

Ein Träger, Fig. 96, der aus einer Anzahl von geradelt, in einer Ebene liegenden Stäben so zusammengesetzt ist, daß ein Netz von Dreiecken entsteht, heißt ein Fachwerkträger. Die Eckpunkte der Dreiecke, welche fast immer auf der äußeren Begrenzung des Fachwerknetzes liegen, heißen Knotenpunkte. In diesen denkt man sich die Stäbe des Fachwerks gelenkartig und reibungslos verbunden. Die den äußeren Umfang eines Fachwerks bildenden Stäbe nennt man die Gurtungen (Ober- und Untergurt), während die dazwischenliegenden Stäbe als Wand- oder Füllungsglieder (Pfosten und Streben, oder Vertikalen und Diagonalen) bezeichnet werden. Das zwischen zwei Knotenpunkten einer Gurtung liegende Stück eines Trägers heißt ein Feld (Trägerfeld).

An einem Dreieck erkennt man, daß 3 Stäbe durch 3 Knotenpunkte gegenseitig festgelegt sind, und daß immer zwei weitere Stäbe einen neuen Knotenpunkt festlegen, so daß zur Festlegung von k Knotenpunkten eines Fachwerks s Stäbe erforderlich sind, welche der Bedingung genügen müssen

(59)

s — 3-f-(k — 3) 2 = 2 k — 3.

Ak

ist

Fig. 96.

Da aber nach § 10, Fig. 25, jede Kraft nach ,ß drei sich nicht in einem I Punkte schneidenden k Richtungen zerlegt wer-* den kann, so können auch in einem nach Formel (59) gebildeten Fachwerke die infolge der äußeren Kräfte (Belastung) auftretenden inneren Kräfte (Stab- oder Spannkräfte) nach den einfachen Regeln der Statik bestimmt werden, und das Fachwerk heißt daher statisch bestimmt. Wenn nur die Fachwerkstäbe in Frage kommen, so hat man es mit der inneren statischen Bestimmtheit zu tun; die äußere statische Bestimmtheit ist nach §23, (Formel 34), zu untersuchen.

Wird bei einem Fachwerk s > 2 k — 3, so ist es statisch unbesümmt und muß mit Hilfe der Elastizitätslehre berechnet werden; wird s <2k —3, so ist es beweglich oder labil, also unbrauchbar. Vgl. auch S. G. Bd. 179, § 5.

Die Form der Fachwerke kann sehr verschiedenartig sein, je nach ihrem Zwecke als Dachbinder Brückenträger usw. bat

§ 29. Der Fachwerkträger mit ruhender Belastung. 107

man Dreieckträger, Parallelträger, Trapezträger, Parabelträger usw.

Bei den Fachwerkträgern hat man es im allgemeinen mit mittelbarer Belastung zu tun, weil die Lasten durch geeignete Zwischenkonstruktionen nach den Knotenpunkten übertragen werden.

§ 29. Ter Fachwerkträger mit ruhender Belastung.

Diese Belastungsart der Fachwerkträger ist bei Dächern, bei Brücken (in bezug auf das Eigengewicht) usw. vorhanden.

a)    Auflagerdrücke (-widerstände). Diese sind, in derselben Weise wie bei dem einfachen Träger, mit Hilfe des bekannten Kraft- und Seilecks zu bestimmen, vgl. § 24,1.

b)    Innere Kräfte (Stab- oder Spannkräfte). Wird ein einfaches Fachwerk (Fig. 96) an einer beliebigen Stelle s—s durchschnitten, so darf man bei einem statisch bestimmten Fachwerke auf höchstens 3 Stäbe treffen. Bringt man an den Schnittstellen der 3 Stäbe die inneren Kräfte 0, D, U an, so muß jeder Teil des Fachwerks für sich im Gleichgewicht sein. Die inneren Kräfte können nur in die Richtung der Stäbe fallen, weil sonst ein Drehen der letzteren erfolgen müßte, es sind daher nur Zug- oder Druckkräfte in den einzelnen Stäben möglich. Die Ermittelung der 3 Stabkräfte 0, U, D ist in Fig. 97 gezeigt. Mit den äußeren Kräften Px bis P₅, welche auf den Dachbinder in Fig. 97 einwirken, ist in bekannter Weise Kraft-und Seileck gezeichnet. Ein Schnitt s—s durch das zweite Feld trifft die 3 Stäbe 0, U, D, welche mit der auf das abgeschnittene Trägerstück einwirkenden Mittelkraft Q, die gleich der Querkraft ist, im Gleichgewicht sein müssen. Weil sich die drei Stäbe 0, U und D nicht in einem Punkte schneiden, so können ihre Spannkräfte nach dem auf S. 26 in Fig. 25 angegebenen Verfahren von Culmann (Schnittmethode) bestimmt werden. Durch den Schnittpunkt der von s—s ge-

troffenen Seileckseiten ist die Lage von Q bestimmt, verlängert man nun U bis zum Schnittpunkt C aus Q und verbindet C mit dem Schnittpunkte E von 0 und D durch die Gerade R, so muß die in R wirkende Kraft mit U und Q im Gleichgewicht sein, was durch ein geschlossenes Kräftedreieck im Krafteck ausgedrückt ist. Andererseits müssen aber auch die am Knotenpunkt E angreifenden Kräfte R, 0, D irrt Gleichgewicht

r’ oL

4 Jl k

\Q'WJ-H

¹ n

-j---

!

k-IrN

Fig. 97.    ___y

sein, denen ebenfalls ein geschlossenes Kräftedreieck entspricht, welches, an das erstere gelegt, für die Kräfte Q, 0, D, U einen geschlossenen Kräftezug liefern muß, wobei sich die Kräfte R gegenseitig aufheben. Durch dieses Krafteck sind die gesuchten Spannkräfte nach Größe und Sinn bestimmt, überträgt man ihre Pfeile in den Schnitt s—s, an das abgeschnittene Trägerstück, so erkennt, man, daß 0 einen gegen den Stab gerichteten Pfeil erhält, der einer Druckkraft entspricht, während die Pfeile von D und U abwärts gerichtet sind und somit Zugkräfte andeuten. In den Kräfteplänen sollen hinfort die Druckkräfte durch starke Linien und die Zugkräfte durch schwache Linien gekennzeichnet Werder.

§ 29. Der Fachwerkträger mit ruhender Belastung. 109

Fällt in Fig. 97 R in die Richtung von 0, so wird die Spannkraft in D gleich Null (Parabelträger).

Das Culmannsche Verfahren ist besonders dann am Platze, wenn nur in einigen Stäben die Spannungen ermittelt werden sollen. Sind alle Stabkräfte eines Fachwerks zu ermitteln, so benutzt man besser das Verfahren von Cre-mona (Vieleckmethode), wobei sich durch Zeichnen eines Kräfteplanes sofort alle Stabkräfte ergeben.

Alle an einem Fachwerke angreifenden äußeren Kräfte, einschließlich der Auflagerkräfte, müssen im Gleichgewicht sein; diese Bedingung ist erfüllt, wenn nach § 7 diesen Kräften ein geschlossenes Krafteck mit fortlaufendem Umfahrungssinn und ein geschlossenes Seileck entspricht. Außerdem müssen aber auch die an jedem Knotenpunkte eines Fachwerkes angreifenden äußeren und inneren Kräfte im Gleichgewicht sein; diese Bedingung ist erfüllt, wenn nach § 6 diesen Kräften ein geschlossenes Krafteck entspricht.

Bei der Herstellung eines Kräfteplanes beginnt man mit einem Knoten (Auflager), an dem nur 2 Stäbe zusammentreffen, und auf den bekannte äußere Kräfte einwirken. Die Spannkräfte dieser Stäbe können durch ein Krafteck zeichnerisch leicht ermittelt werden. Geht man nun zu einem benachbarten Knoten über, an dem 3 Stäbe angreifen, so ist die Spannkraft des Verbindungsstabes beider Knoten bereits bekannt, sie kann mit den äußeren Kräften am betrachteten Knoten zu einer Mittelkraft vereinigt werden, welche mittels Kraftecks nach den Richtungen der beiden unbekannten Stäbe zu zerlegen ist. In dieser Weise kann für sämtliche Knoten eines Fachwerkes nacheinander ein geschlossenes Krafteck gezeichnet werden. Dabei setze man die Kräfte möglichst so aneinander, wie sie bei einer Umfahrung des Knotens getroffen werden. Die Gesamtheit der Kraftecke aller Knoten eines Fachwerkes bildet den Kräfteplan desselben. Bei

HO Ter Fachwerkträger, an beiden od. an einem Ende unterstützt.

den statisch bestimmten Fachwerken läßt sich ein Kräfteplan immer so zeichnen, daß jede Stabkraft nur einmal vorkommt und daß dabei jedem Knotenpunkte immer ein geschlossenes Krafteck entspricht.

Um festzustellen, ob ein Stab gezogen oder gedrückt wird, übertrage man die Richtungspfeile aus jedem Krafteck auf die Stäbe am zugehörigen Knotenpunkte. Zeigt ein Pfeil nach dem Knotenpunkt, so wirkt in dem dazugehörigen Stabe eine Druckkraft, im entgegengesetzten Falle eine Zugkraft. Erstere wird mit — (Minus), letztere mit + (Plus) bezeichnet.

Wird eine bereits bekannte- Stabkraft an einem benachbarten Knoten weiter verwendet, so beachte man, daß ihr Sinn dabei umzukehren ist; im Kräfteplan soll dies in der Folge durch einen Doppelpfeil angedeutet werden.

Tie Cremona-Kräftepläne haben den Nachteil, daß entstandene Fehler sich weiter fortpflanzen, daher ist es zu empfehlen, die Spannkraft eines bequem gelegenen Stabes zu berechnen und in den Kräfteplan einzutragen, wodurch größere Fehler vermieden werden.

An einem einfachen Polonceaubinder mit senkrechter Belastung, Fig. 98, soll das vorstehende Verfahren noch ein-mal erläutert werden. Ter Einfachheit halber sind die Stäbe mit Zahlen bezeichnet.

Weil es sich hier um symmetrische Belastung handelt, so sind die Auflagerdrücke ohne weiteres bekannt, man erhält A= B= i^P.

Mit diesen Werten und den Lasten ist in Fig. 98 das Krafteck a b c d e f g gezeichnet. Beginnt man nun am Auflager A und führt einen Rundschnitt um dasselbe, der die anstoßenden Stäbe 1 und 2 trifft, so müssen deren Spannkräfte mit A und im Gleichgewicht sein. Diese Kräfte lassen sich zu dem geschlossenen Krafteck b h d zusammensetzen, dessen Um-

fahrungssinn durch A und P₁ bestimmt ist. Die erhaltenen Pfeile werden auf die in A angreifenden (Blähe übertragen und es zeigt sich, daß in 1 eine Druckkraft (—) und in 2 eine Zugkraft (+) wirkt. Im Kräfteplan ist die Druckkraft durch einen kräftigen Strich gekennzeichnet.

Nunmehr ist ein neuer Rundfchnitt zu führen, der nicht mehr als zwei Stäbe mit unbekannter Spannkraft trifft. Dies ist nur am Knoten C möglich. Die bekannte Stabkraft 1 greift in C mit anderem Sinn an als in A, ihr Pfeil ist daher

(y

4'

Cky- ~o

#

7fr

'A

1.

jL

Fig. 98.    ¹

umzukehren, was durch einen Doppelpfeil kenntlich gemacht ist. Denkt man sich nun die Stabkraft 1 mit der in C angreifenden Last P₂ zu einer Mittelkraft vereinigt, fo kann diese nach den Richtungen der unbekannten Stabkräfte 3 und 4 zerlegt werden. Ten im Gleichgewicht befindlichen Kräften 1, 3, 4 und P₂ entspricht das geschlossene Krafteck hbci, dessen Pfeile nach C übertragen für die Stäbe 3 und 4 je eine Druckkraft (—) liefern.

Führt man weiter einen Rundschnitt um D, so trifft man vier Stäbe, von zwei derselben sind die Spannkräfte bekannt^ mithin können auch die Spannkräfte der beiden anderen gefunden werden. Den bekannten Stabkräften 2 und 3 gibt man entgegengesetzten Sinn (Doppelpfeile), denkt sie sich zu einer

Mittelkraft vereinigt und zerlegt letztere nach den Richtungen der unbekannten Stabkräfte 5 und 6. Hierdurch entsteht das geschlossene Krafteck d h i k, dessen Pfeile nach D übertragen für die Stäbe 5 und 6 je eine Zugkraft (+) liefern.

Geht man zum Knoten E, so trifft ein Rundschnitt abermals vier Stäbe, wovon ebenfalls nur zwei eine unbekannte Stabkraft besitzen. Kehrt man den Sinn der Stabkräfte 4 und 5 um (Doppelpfeile), so können sie mit der Last P₃ zu einer Mittelkraft vereinigt gedacht werden, welche nach den Richtungen der unbekannten Stabkrüfte 4' und 5' zu zerlegen ist. Dabei entsteht das geschlossene Krafteck kicel, dessen Pfeile nach E übertragen für den Stab 4' eine Druckkraft (—) und für den Stab 5' eine Zugkraft (+) liefern. Der Kräfteplan zeigt auch, daß in symmetrisch gelegenen Stäben die gleichen Spannkräfte entstehen.

Für den weiteren Rundschnitt um G erhält man das geschlossene Krafteck lefm, welches mit demjenigen für den Schnitt um C übereinstimmt. Ein Schnitt um F liefert das dem Schnitt um D entsprechende Krafteck dklm, welches durch die allein unbekannte Stabkraft in 2' geschlossen werden muß.

Ein Blick auf die Fig. 98 läßt erkennen, daß es im allgemeinen genügt, bei symmetrischer Belastung den halben Kräfteplan zu zeichnen.

Beispiel 11. Ein belgischer Dachbinder von 15,0 m Weite hat eine lotrechte Belastung aufzunehmen/die für die inneren sy mmetrisch zur Mitte liegenden Knotenpunkte je 2500 kg beträgt, während auf die äußeren Knotenpunkte je 1250 kg entfallen (Fig. 99). Die Stabkräfte sind zu ermitteln.

Die Auflagerdrücke sind A=B = |1P = 3*2500 = 7500kg.

Von A ausgehend ist um die Punkte 6, v ... bis E je ein Rundschnitt gelegt zu denken und für die jeweils getroffenen Stäbe und Lasten ist ein geschlossenes Krafteck wie in Fig. 98 zu zeichnen. Sämtliche Kraftecke bilden den dargestellten Kräfteplan, aus dem die einzelnen Stabkräfte abzumessen sind. Letztere werden am besten in einer Tabelle zusammengestellt, wie es auf S. 119 geschehen ist.

3/

«y

^2500kg.

■b

f , \°

■LlUü-UüI --

4/

*44

e-ZSOOhg

VCto

2~25oökg

15

4oc

\^2sookg.

te.

’K/P.&ookg.

\= 2500kg

hcmgenmaßetab

*444

7Q”¹

8'

49

Dnwkkräste

UL

SVSS

«6

*r,

ii

JO

ftf p

Zufflcräfte^b-,

f s s TTT T1T

mooofcg.

J&äftemaßstajb

8^6» 99.

Beispiel 12. Der Hauptträger einer Brücke von 15 w Stützweite ist als Parallelträger mit 6 Feldern ausgebildet Mg. 100). Auf jeden

Henkel, Graphische Statik.

mittleren Knotenpunkt wirkt ein Eigengewicht von 1,0 t, während auf den Endknotenpunkten je 0,51 ruhen. Die Stabkräfte sind zu ermitteln.

Jt=⁷⁰'₀j    %=/'°o'

Jr"'⁷«

X X

A V,

Akrl1-

JL

JL

%-i%; }‘ os'

'    - 2,5t    )

«k

-*,Ot

v;

v:

15,00

+ 4,01

+ Z,5t

T)

1- P    1    Z    5    4    A™

Hm    |    I......I    t    I

z,ot

¹ Iccngenmaßstab ¹

JJräfternaßstah

JL

’k

Ihiickspaimicng

Zugspannung

Os

R4?

o;

S>

FQ

Fig. 100.

Da auch hier der Träger und die Belastung symmetrisch zur Mitte sind, so erhält man die Auflagerdrücke

A = B = f = 3 • 1,0 = 3,0 t.

Nun ist in derselben Weise wie in Fig. 99, von A ausgehend, für jeden Knotenpunkt ein geschlossenes Krafteck zu zeichnen, wobei man darauf achten muß, daß immer nur zwei unbekannte Stabkräfte jeweils vorkommen. Die Gesamtheit der^einzelnen Kraftecke bildet den in Fig. 100 dargestellten Kräfteplan. Aus diesem sind die Stabspannungen abgemessen und in den rechten Teil der Trägerfigur eingeschrieben worden.

§ 30. Winddruü und Schneedruü.

Der Winddruck ist von besonderer Bedeutung bei der Berechnung von Dächern, Türmen, hohen Mauern, Schorn-steinen usw. Für die Windrichtung sind schon verschiedenartige Feststellungen gemacht worden, am einfachsten und zweckmäßigsten ist es, die Windrichtung horizontal anzunehmen.

Der Druck, den der Wind auf eine senkrecht zur Windrichtung stehende Fläche ausübt, sei p kg für die Flächeneinheit (= 125 bis 250 kg/qm). Stößt der Wind auf eine geneigte Fläche (Fig. 101), so kann er nur einen senkrechten Druck auf dieselbe ausüben, weil der Wind ohne Reibung von der schrägen Fläche abgleitet. Ist <x der Neigungswinkel dieser Fläche AB und F ihr Inhalt, dann ist

il‘

Ay

Fig. 102.

Fig. 101.

ihre Größe, senkrecht zur Windrichtung gemessen, AC = F • sin & und der darauf entfallende Winddruck

(60)

P == p • F • sin a .

(61)

Die senkrecht zur Dachfläche wirkende Seitenkraft von P ist W = P • sin a = p • F • sin² a .

Für die vielfach zu findende Annahme, daß die Windrichtung um 10° abwärts geneigt sei, erhält man:

(62)

I    W = p • F • sin² (a +10°).

Der Ausdruck in Formel (61) kann in einfacher Weise konstruktiv gefunden werden. Trägt man in Fig. 102 senkrecht zu der als Strecke AB dargestellten Dachfläche F den Wert p - F als Strecke CD auf, projiziert diesen auf die Windrichtung, wodurch sich die Strecke CE ergibt, die, abermals auf die ursprüngliche Strecke CD projiziert, die Strecke CG abschneidet, die, wie leicht aus Fig. 102 abzulesen ist, den Wert W = p F • sin²<x darstellt.

Soll der Ausdruck in Formel (62) konstruiert werden, so braucht nur die Windrichtung um 10° geneigt zu werden, im übrigen^gleicht die Konstruktion der vorhergehenden.

Hat man durch Winddruck belastete Träger (Dachbinder) zu untersuchen, so ist besonders die Auflagerung zu beachten. Ein statisch bestimmt aufgelagerter Träger soll nach S. 60 ein festes Kipplager und ein bewegliches Rollenlager erhalten. Letzteres kann aber nur einen lotrechten Widerstand leisten,

\j%'

vr

4/ \ >-

-B

\ t,:

ri

Flg. 103.

folglich erhält man, wie Fig. 103 zeigt, je nachdem der Wind von rechts oder links kommt, verschiedene Anflagerwiderstände. In Fig. 103 sind zunächst für Wind von rechts durch Aufträgen der Werte p Flf p F₂, p F₃ die Winddrücke Wx, W₂, W₃ konstruiert und zu dem Krafteck AB aneinandergetragen, das die Mittelkraft Rj liefert, die mittels Seilecks festgelegt wird. Das Auflager B kann nur einen lotrechten

Widerstand leisten, trägt rnan dessen Richtung bei B in das Krafteck ein, so ist seine Größe BC durch eine Parallele zur Schlußlinie s bestimmt, aber nur dann, wenn das Seileck durch das feste Auflager A hindurchgeht, weil die Richtung des Auflagerwiderstandes A von vornherein unbekannt ist. Durch die Strecke CA im Krafteck ist nunmehr auch von A Größe und Richtung bestimmt.

Ein anderes, aber nicht immer anwendbares Verfahren ist für den Wind von links gebraucht. Die Mittelkraft Rn ist wegen der Symmetrie des Daches symmetrisch zu Ri, wird sie bis zum Schnittpunkt C mit der Richtung des Auflagerwiderstandes B verlängert, so ist durch die Richtung CA die Richtung des Auflagerwiderstandes A bestimmt, dessen Größe aus dem Krafteck a d e zu entnehmen ist.

Nachdem die Auflagerwiderstände A und B bestimmt sind, können in bekannter Weise die Stabspannungen ermittelt werden, vorher sind jedoch die Winddrücke W1; W₂, W₃ je zur Hälfte an die benachbarten; Knotenpunkte zu versetzen die Knotenlasten ergeben sich direkt aus dem Krafteck.

Beispiel 13. Für den im Beispiel 11, S. 112 gegebenen belgischen Dachbinder sind die Stabkräfte infvlge Windbelastung zu ermitteln,^wenn auf die mittleren Knotenpunkte je 800 kg und auf den Fuß- und Firstpunkt je 400 kg entfallen.

In Fig. 104 ist dieser Binder mit einem beweglichen Auflager am rechten Ende dargestellt. Zunächst wird der von links her kommende Winddruck in Betracht gezogen, dessen Mittelkraft gleich Ri sein möge. Zur Bestimmung der Auflagerwiderstände ist das in Fig. 103 gegebene, einfachere Verfahren nicht anwendbar, weil der Schnittpunkt von Ri und dem lotrechten Auflagerdruck des beweglichen Auflagers B außerhalb der Zeichenfläche liegt, es muß deshalb ein Seileck (Fig. 104 a) benutzt werden, dessen Schlußlinie slf in das zugehörige Krafteck (Fig. 104 b) versetzt, die Auslagerwiderstände Ai = CA imb^Bi --- BC bestimmt. Nunmehr ist in bekannter Weise der Kräfteplan zu zeichnen, indem man, in A beginnend, für jeden Knoten ein geschlossenes Krafteck zeichnet; dabei ist aber zu be

L-<r

,»»0%

.9;

7/

-V-35—7 \ ² /

j;

Z\

Bangem

?tab

Kg

<*z

I.

b.

6/

'9

<1

's

Tfänd van links

WOoltg

zoootyf zopokg.

Bf

I&afbemaßsfab

c.

rX-5:

__c:

6-2

Wtnd von rechts

6'

A'

fr

sS'

fr

Fig. 104.

achten, daß dies nur für Knoten mit nicht mehr als zwei unbekannten Stabkräften möglich ist.

Insbesondere ist hier darauf zu achten, daß die letzte'Stabkraft V oder 2' sich zwanglos in den Kräfteplan einfügt, und daß für den Punkt B auch ein geschlossenes Krafteck entsteht.

Die aus Fig. 104 b abgemessenen Stabkräfte sind in die nachstehende Tabelle eingetragen.

Weiter ist der von rechts her kommende Winddruck zu betrachten, dessen Mittelkraft Rn sein möge. Auch hier sind die Auflagerdrücke mittels eines Seilecks (Fig. 104 a) zu bestimmen, dessen Schlußlinie s₂ irrt zugehörigen Krafteck^(Fig. 104 c) die Auflagerwiderstände An = A'G' und Bn = C'B' festlegt. Nunmehr ist wieder der Kräfteplan zu zeichnen. Die in demselben abgemessenen Stabkräfte sind auch in die folgende Tabelle eingetragen.

Die Werte für lotrechte Belastung stammen aus Fig. 99.

Tabelle der Stabspannungen.

Nummer des Stabes

Lotrechte

Belastung

Wind von links

Wind von rechts

Größtwert der Spannung

kg

kg

kg

kg

—3250 +2720 — 800 —3250 +1300 +1500 —1200 —2100 +1500 +2300

—19550 + 17500 — 2200 —18400 + 3500 +14100 — 3450 —13950 + 6100 + 9400

—23500 + 22000

—    3000 —22350

—    4800 +17330

—    4650 —16680 + 7950 +11130

10

—3950 +4500 — 800 —3950 + 1300 +3230 -1200 —2730 +1850 +1730

Aus vorstehender Tabelle ersieht man, daß für Wind von rechts, d. h. von der Seite des beweglichen Auflagers, kleinere Spannungen entstehen als für Wind von links. Es genügt daher meistens, nur für Wind, welcher auf der Seite des festen Auflagers angreift, einen Kräfteplan zu zeichnen.

Der Schneedruck ist im allgemeinen eine gleichmäßig verteilte lotrechte Belastung (75 kg/qm). Bei Dächern kann der Schnee jedoch durch den Wind abgeweht werden, so daß eine einseitige Belastung entsteht. Für die Gurtstäbe der

Dachbinder liefert diese Belastungsart immer kleinere Werte als Vollbelastung, sie kann deshalb fortgelassen werden. Anders verhält es sich jedoch mit den Wandgliedern. Schneiden sich die mit einem Wandstabe gleichzeitig von einem Schnitt getroffenen Gurtstäbe außerhalb der Spannweite des Dachbinders, so erzeugt einseitige Belastung eine größere Spannkraft in dem Wandstab als Vollbelastung. (Vgl. S. G. Bd. 179, S. 40.) Bei den meisten Dachbindern fallen die Schnittpunkte der Gurtstäbe höchstens in die Auflager, so daß hierfür die Vollbelastung immer ausreichend ist.

Bei flachen Dächern genügt es, den Winddruck zu der lotrechten Belastung zu schlagen, so daß man mit einem einzigen Kräfteplane auskommt.

§ 31. Der Fachwerkträger mit beweglicher Belastung.

Hier kommen hauptsächlich Brückenträger, Kranträger usw. in Betracht, die am vorteilhaftesten mittels Einflußlinienuntersucht werden. Am Schlüsse dieses Paragraphen sind noch einige andere Verfahren angegeben.

Fachwerke, deren veränderliche Belastung durch Schnee-und Winddruck hervorgebracht wird, sind bereits im § 30 behandelt worden (Dachbinder).

a) Einflußlinien für die Auflagerwiderstände.

Diese unterscheiden sich nicht von denjenigen für einen Vollwandträger, mithin können die im § 27, 1, S. 100 gefundenen Einflußlinien auch hier ohne weiteres gebraucht werden.

b) Einflußlinien für die Stabkräfte.

Ist ein Fachwerkträger im Gleichgewicht, so muß die Summe der Momente sämtlicher an demselben angreifender Kräfte in

bezug auf jeden beliebigen Punkt der Trägerebene (Momentenpunkt) gleich Null sein. Hierauf gründet sich das Verfahren von Ritter zur Ermittelung der Stabkräfte eines Fachwerkträgers (vgl. S. G. Bd. 179, § 7).

Legt man durch den in Fig. 105 dargestellten Träger AB einen Schnitt s—s, so wird jeder abgetrennte Teil durch die Spannkräfte der drei getroffenen Stäbe 0, U und D irrt Gleichgewicht gehalten.

Wählt man den Schnittpunkt G₀ der Stäbe D und U als Momentenpunkt (Gegenpunkt des Stabes 0), dessen Abstand von 0 gleich h₀ sein möge, und bezeichnet das Moment der äußeren Kräfte für diesen

Punkt mit M₀, so erhält man aus M₀ + 0 • h₀ = 0 0 = —

In der gleichen Weise folgt für den Momentenpunkt GUr der den Abstand hu von U haben möge,

(63)

(64)

r'A<

17

rx

Fig. 105.

M₀

ü- + f.

Und für die Diagonale erhält man als Momentenpunkt Gd den Schnittpunkt des zugehörigen Ober- und Untergurtstabes, welcher von der Diagonale den Abstand hd haben möge. Da aber für Gd das äußere Moment Md positiv oder negativ sein kann, so folgt

Md

Mit diesen Gleichungen sind die Einflußlinien zu ermitteln. Die Last P = lt soll am Obergurt angreifen.

1. Einflußlinie eines Obergurtstabes 0. Steht die Last P= lt rechts vom Momentenpunkte G₀ an einer beliebigen Stelle m

-_.ß im Abstande b

vom Auflager B /Lß (Fig-106), so ist der Auflager-

druck A = —

Aü

-so —r-*—L^zo—

,ru-rr-=—I-^u,-

--i-l 1-1-

Einflußlinie desnStahes 0

I — i H

-/.L

-'MC'

\E₀ und das Moment für G0 toirbM₀= A-x0 1 • b

11

r-’xo*

+7-A

A Tjinffußlinw destStvhes U*'

^ fr ^ ^ V '

|    i

Hiermit folgt aus Gleichung

(63)

M₀

YK

(66)0= —

_    1 • b Xq

ho

^Fig. 106.

l-h₀

— ^m₀ .

Für veränderliches b stellt diese Gleichung eine Gerade

dar. Wird b = 0, so ist rji₀= 0 und für b = 1 ist >y0o =

Durch diese Werte, die im Kräftemaßstabe zu messen sind, wird die Gerade A'B₀ in Fig. 106 festgelegt, wobei die negative Ordinate A₀A' — — ^ unterhalb der Geraden A₀B0 ho

anzutragen ist, denn aus der Fig. 106 erhält man wieder

h₀*

— ^: 1 = >?m₀: b oder no

bx₀

lh₀ '

Wie oben in (66). Befindet sich die Last links von G₀ an beliebiger Stelle n im Abstande a vom Auflager A, so ist

und M₀ = A x₀ — 1 (x₀ — a)

= T a O — xo) = T a ' zo = B * zo

und es folgt aus Gleichung (63)

M₀

1 • az₀

l-h₀

Diese Gleichung stellt für veränderliches a eine Gerade dar. Für a = 0 wird i]0o — 0 und für a = l wird r]\₀ = — ~

(67)

ho

>7n₀.

ho'

Trägt man diese Werte im Kräftemaßstabe an der entsprechen-

— ^ macht, so erhält ho

man in Fig. 106 die Gerade A₀B', denn es ist —    1

ho

= rjn₀: a oder =

den Stelle auf, indem man B₀B' =

a ‘ zo

, wie in (67).

1 * h₀

Hiermit ist die Einflußlinie des Obergurtstabes 0 durch das Dreieck A₀GoB₀ dargestellt. Da aber der Momentenpunkt G₀ auf der unbelasteten Gurtung liegt, so hat man hier denselben Fall wie bei mittelbarer Belastung eines einfachen Balkens; die Einflußlinie für 0 ist gemäß Gleichung (50) durch die Gerade C₀D₀, welche dem in Betracht gezogenen Stabe 0 entspricht, zu begrenzen.

2. Einflußlinie eines Untergurtstabes U. In derselben Weise wie bei dem Obergurtstab ergeben sich hier

für eine rechts bzw. links von Gu stehende Last P = 11 bie Gleichnngen

(68)

u=4

1 • b • xu

bzw.

1 • hu

(69)

U=-+

1 • a • Zu

= Vna-

1 • h„

Der Gleichung (68) entspricht in Fig. 106 die Gerade A"B₀, wenn A₀A" = + gemacht wird, denn es ist : I— >/mu: b

oder ymu =

b - x„

1-hu

. Und der Gleichung (69) entspricht die Ge-

rade A₀B", wenn.B₀B" = + ~ gemacht wird, denn ans

. Das Dreieck A₀G(,B₀ ist

a • zu

1-hu

somit die Einflußlinie des Untergurtstabes U.

Greift die Last P = ltont Untergurt an, so vertauschen beide Einflußlinien ihre Gestalt, es muß dann eine dem Unter-gurtstabe U entsprechende Begrenzung der Einflußlinie A₀GuB₀ vorgenommen werden. Die unter 1 und 2 gefundenen Einflußflächen sind die durch h₀ bzw. hu reduzierten Einflußflächen für das Moment eines einfachen Balkens. Vgl. §27, 1.

3. Einflußlinie einer Diagonale D. Für die Diagonalen liegt der Momentenpunkt Gd gewöhnlich außerhalb der Spannweite AB des Trägers (ausgenommen bei nach oben gekrümmtem Untergurt). Steht in Fig. 107 die Last P = 11 rechts vom Schnitt s—s an beliebiger Stelle m ,

1 • b xd

1-b

so wird A — mit folgt aus Gleichung (65)

und Md = + A • xd =

. Hier

(70)

Md

1 • b • xa

VmA -

1-hd

Dieser Gleichung entspricht eine Gerade. Wird b = 0,

hd

Xd. Diese Werte

so ist f]\d — 0 und wird b = 1, so ist r]<>d — ^ sind an die Gerade A₀B₀ in Fig. 107 anzutragen, wodurch

AA \?=7*

r-^ —t    ■ c',-jN.

cc

vr

b*

VL

Ur*

k'

vJ= + /V

\r

0'

i4‘ «M" - _

Jiinfk/ßlinie degStttbes]f~3~~

" ---M

Fig. 107.

Xd

sich die Gerade A'B₀ ergibt. Für letztere gilt —: I— : b wie in (70).

aber i/md ~~

b xd

lhd'

Liegt die Last P = 11 links vom Schnitt s—s an be-

l-(l-a)

liebiger Stelle n, so wird A =

und

Ma = A • xd — 1 (xd — a) =

l(l-a)

Xd — 1 (xd —a)

= -v a (1 — xd) = — ^ (xd — 1) =

1 • a • zd

Aus Gleichung (65) folgt hiermit Md    1 • a • zd

Dieser Gleichung entspricht die Gerade A₀B' in Fig. 107, wenn B₀B' = — gemacht wird, denn es ist sodann — —: 1

(71)

hd

Vnd.

hd

hd

wie in (71).

oder

= ^d:a

a zd

1-hd'

Da aber die Last P= ltnur in den Knotenpunkten des Obergurtes angreifen kann, was einer mittelbaren Belastung der Diagonale gleichkommt, so ist die Einflußlinie gemäß Gleichung (50) durch die Gerade C₀D₀ zu begrenzen, welche senkrecht unter dem gleichzeitig mit D geschnittenen Obergurtstabe 0 liegen muß. Die Tragwerkslinie A₀B₀ wird durch die Gerade C₀D₀ im Punkte S₀ geschnitten. Dieser stellt die Belastungsscheide dar für die Spannkraft im Stabe D. Alle rechts von S₀ liegenden Lasten erzeugen in D eine Zugkraft und alle links von S₀ liegenden Lasten eine Druckkraft. Die Geraden A'B₀ und A₀B' müssen sich lotrecht unter Gd in Gd schneiden.

Die Belastungsscheide kann auch in anderer Weise gefunden werden, man braucht dann nur den Wert der Gleichung (70) oder (71) zu berechnen. Verlängert man in Fig. 107 den gleichzeitig mit D geschnittenen unbelasteten Untergurtstab U bis zu den Schnittpunkten a und b mit den Auflagersenkrechten und verbindet diese Punkte mit den Endpunkten C und D des gleichzeitig geschnittenen belasteten Obergurtstabes 0, so schneiden sich die Verbindungsgeraden im Punkte S, welcher die Belastungsscheide angibt. Der Beweis ergibt sich leicht mit Hilfe des Seilecks aCDb .

Zuweilen wird die Bestimmung des Hebelarmes ha sehr unbequem, weil der Schnittpunkt der Gurtstäbe Ga sehr weit aus der Zeichenebene herausfällt. Dann kommt man in folgender Weise leicht zum Ziel. Verlängert man den gleichzeitig mit D geschnittenen Obergurtstab 0 und den Untergurtstab U, so werden von diesen Verlängerungslinien auf den Auflagersenkrechten (Fig. 107) die Werte a und ß abgeschnitten. Hat die Diagonale D die Länge d und den Neigungswinkel ö, so ist ihre horizontale Projektion d' = d • co? ö . Zieht man in dem Fachwerk von den Endpunkten der Diagonale D die Lotrechten yx und y₂ und fällt von dem Endpunkte E der letzteren das Lot t auf D, so^entstehen ähnliche Dreiecke und daraus folgt: hd: t = CGd: CE = (xd — x): d' oder

d' -y₂

t (xd — x)

ha = -

also hd — (xd — x) ^ . Schließlich erhält man noch aus a : jt

. Setzt man nun diese

d'

. Ferner gilt t: y₂ = d': d oder t —

oc (xd— x)

= xd: (xd — x) den Wert xd —

bad

- »?md.

b xd

⁽⁷²> D = + Th7 =

i yi • y2

Und mit b = 1 erhält man die Strecke A₀A' —

Werte in die Gleichung (70) ein, so folgt b a (xd — x) • d 1 (xd — x) • y₂ • Yj

yi-y₂

In derselben Weise läßt sich auch ableiten, daß

ßd

¹ yi • y₂

Und mit a = 1 wird die Strecke BqB' =

a • zd

(73)

“^nd.

lhd

yi • y₂

Schließlich kann man die Strecken A₀A' und BqB" auch auf graphischem Wege ermitteln. In Fig. 107 ist dies für die erstere ausgeführt. Man denkt sich den Träger AB rechts vom Schnitt s—s so belastet, daß der Auflagerdruck A = 11 entsteht. Mit diesem zeichnet man für das durchschnittene Feld nach dem Culmannschen Verfahren einen Kräfteplan, welcher den Wert D' liefert, der gleich der Strecke A₀A' ist.

4. Einflußlinie einer Vertikale V. Diese stellt einen Sonderfall der Einflußlinie einer Diagonale dar^

Fig. 108. Der Schnitt s—s ist auch hier so zu führen, daß er nur 3 Stäbe trifft, man erhält dann in derselben Weise wie unter 3

(74)

b - xv

1 * hy

und

(75)

V= +

a • Zy

1 * h y

Die hierdurch bestimmten Geraden sind festgelegt durch die Grenzwerte A₀A' = — ^~- und B₀B'= + ™. Fällt

auch hier der Punkt Oy weit aus der Zeichenebene, dann benutzt ^    ,    man die 5oi>

*-}—    meln (72) und

(73) und er-rjC"K    hält A₀A'

h, bzw.

B₀B'= + wenn h' die

Länge der geschnittenen Vertikale ist. Die Einflußlinie für V ist durch die gebrochene Linie A₀C₀D₀B₀ dargestellt.

Greifen die Lasten am Untergurt an, so ist die Konstruktion zur Bestimmung der Belastungsscheide umzudrehen, so daß der Punkt S unterhalb des Fachwerks liegt, im übrigen erhält man die Einflußlinien wie vorstehend.

€Cj

L/

«--Er

4,!

ir

t-f

i ! / 1 -M" c i

JC -C- ¹

i_

(Xf

° JZinftußUnie des Stabes V

Fig. 108.

ß'

h"

c) Andere Verfahren zur Ermittelung der Stabkräfte bei beweglicher Belastung.

1. Spannkräfte in den Gurtungen. Aus den zur Ermittelung der Einflußlinien benutzten Gleichungen (63) und (64) erkennt man, daß die in den Gurtstäben eines Fachwerks auftretenden Spannungen von den Biegungsmomenten um die zugehörigen Gegenpunkte, die auf der gegenüberliegenden Gurtung liegen, abhängig sind. Soll die größte Spannkraft eines Gurtstabes entstehen, so ist diejenige Laststellung

\\

;j

fu .

iS

—po-j

Vu

l'''

Fig. 109.

zu ermitteln, welche für den Gegenpunkt dieses Stabes das größte Moment erzeugt. Hierzu sind die Formeln (41) und (42) aus S. 83 zu verwenden. Bei gleichmäßiger Belastung kommt nur Vollbelastung in Frage.

Für den Stab U des Fachwerkträgers AB in Fig. 109 ist die größte Stabkraft zu ermitteln. Man bestimmt nach den Formeln (41) und (42) die ungünstigste Laststellung für Gu, zeichnet hierzu Kraft- und Seileck und erhält MUmax = H • yu. Wird nun in einem Endpunkte von yu die Polweite H unter beliebigem Winkel sowie in Richtung von yu der Hebelarm hu angetragen und dessen Endpunkt mit demjenigen von H durch eine Gerade verbunden, so schneidet eine Parallele zur

Henkel, Graphische Statik.

letzteren, die durch den andern Endpunkt von yu geht, auf H die gesuchte Stabkraft U ab. Aus den entstandenen ähnlichen Dreiecken folgt hu: H = yu: u oder H • yu

Mumax

hu

hu *

Dieses Verfahren kann für alle Ober- und Untergurtstäbe angewendet werden. Hierfür zeichnet man am besten die in Fig. 75 auf S. 81 gegebene Fläche der M

2. Spannkräfte in den Wandgliedern. Die in den

kr o

-St

er-

m Wandgliedern eines ■ Fachwerkträgers auftretenden Spannkräfte können direkt aus der Querkraft ^v ^ i mittels desCulmann-

^—'- scheu Verfahrens

Fig. HO.

mittelt werden. Vgl. Fig. 97, S. 108. Um die größte Querkraft zu erhalten, ist zunächst die Belastungsscheide zu bestimmen, wie es in Fig. 107, S. 125 angegeben ist, sodann ist das in Fig. 85 auf S. 92 erläuterte Verfahren zur Bestimmung von Qmax anzuwenden. In Fig. 110 ist für das zweite und dritte Feld des Trägers AB die größte Querkraft in dieser Weise ermittelt worden. Soll die Stabkraft D₂ bestimmt werden, so zerlege man Q₂ nach U₂ und R, wobei R einen Hilfsstab bedeutet, der im Schnittpunkt von D₂ und 0₂ angreift. Die Kraft in R ist sodann nach den Richtungen von 0₂ und D₂ zu zerlegen, wodurch sich ein geschlossenes Krafteck ergibt, aus dem der Größtwert von D₂ zu entnehmen ist.

Noch einfacher gestaltet sich das Verfahren, wenn Oberund Untergurt parallel werden (Parallelträger), dann ist wie in Fig. 110 im dritten Feld Q₃ nach 0₃ und D₃ zu zerlegen, wodurch man direkt die Spannkraft D₃ erhält.

§ 32. Der freitragende Fachwerkträger.

Derartige Träger finden hauptsächlich als Dachbinder-(Vordächer) Balkonträger usw. Verwendung. Ihre größten Stabkräfte entstehen bei Vollbelastung. Von besonderer Wichtigkeit ist bei diesen Trägern die Bestimmung der Auflagerwiderstände (Verankerung).

□r" R

-B

Fig. Hl.

a) Auflagerwiderstände. In Fig. 111 ist ein Vordachträger AB dargestellt, der eine lotrechte Belastung zu tragen hat. Sein Auflagerpunkt A besteht aus einem Gelenk, das jeden beliebig gerichteten Widerstand W leisten kann, während das andere Auflager bei C aus einer Verankerung besteht, welche eine Zugkraft Z in Richtung des Obergurtes aufzunehmen vermag. Um die Auflagerkräfte zu freftirmnert, ermittele man die Mittelkraft R aller äußeren Kräfte und bringe sie mit der Richtungslinie von Z in S zum Schnitt, dann ist durch die Gerade SA die Richtung des Widerstandes W bestimmt. Die Größe der Auflagerkräfte ist aus einem einfachen Kräftedreieck zu entnehmen (Fig. 111), das sich ergibt, indem man R aufträgt und durch seine Endpunkte Parallelen zu W und Z zieht.

Ist eine besondere Stützvorrichtung am freien Ende B angebracht, entweder eine Zugstange oder eine Druckstrebe, so verfahre man, wie Fig. 112 zeigt. Zunächst wird wieder die Mittelkraft R der äußeren Kräfte bestimmt, die sich mit der Druckstrebe BC (oder Hängestange) im Punkte S schneidet. Durch die Gerade SA ist die Richtung des Widerstandes in A bestimmt, dessen Größe aus einem einfachen Kräftedreieck zu entnehmen ist.

b) Innere Kräfte. Die Ermittelung derselben erfolgt nach den im §24b gegebenen Regeln.

Der in Fig. 113 dargestellte Vordachbinder wird durch die lotrechten Lasten Px bis P₄ in Anspruch genommen, er

<MP*

'AR¹

1L

V,

I"

11

r¹

IPX

' G [ E * 10 i 6 &

\7

lc

_JL______fr?

Fig. 113.

Fig. 112.

ist bei A durch ein Gelenk und bei C durch eine wagerechte Verankerung gestützt. Die äußeren und inneren Kräfte sind wie folgt zu bestimmen.

In bekannter Weise werden die äußeren Lasten zu einem Krafteck abcde aneinander gereiht und die Mittelkraft R wird durch das Krafteck aef in die beiden Widerstände Z und W zerlegt. Die Richtung von W ist bestimmt durch die Verbindungsgerade AS, wenn S den Schnittpunkt von Z und R darstellt. Nunmehr sind die inneren Kräfte zu ermitteln,

indem man am freien Ende B beginnt. Ein Rundschnitt um B trifft die Stäbe 1 und 2, mithin ist die Last P₁ nach diesen beiden Richtungen zu zerlegen, wodurch das Krafteck abg entsteht. Da aber Gleichgewicht vorhanden ist, so muß das Krafteck einen fortlaufenden Umfahrungssinn haben. Überträgt man die Pfeile auf die Stäbe am Knoten B, so erkennt man, daß in 1 eine Zugkraft und in 2 eine Druckkraft wirkt. Letztere ist im Kräfteplan durch eine starke Linie kenntlich gemacht. Jetzt geht man zum Knoten D über, denn an diesem wirken nur 2 unbekannte Stabkräfte. Die umgekehrte Stabkraft 1 (Doppelpfeil) wird mit der Last P₂ zu einer Mittelkraft vereinigt gedacht, die nach den Richtungen der unbekannten Stabkräfte 3 und 4 zerlegt wird; hierdurch erhält rnrni das Krafteck gb ch, welches für Stab 4 eine Zugkraft und Stab 3 eine Druckkraft liefert. Ein Rundschnitt um E trifft die unbekannten Stabkräfte 5 und 6. Denkt man sich die in E wirkenden, umgekehrten Spannkräfte 2 und 3 zu einer Mittelkraft vereinigt, so erhält man daraus die Spannkräfte 5 und 6, wie das Krafteck a g h i zeigt. Dabei ist aber zu beachten, daß die Strecke a i die Spannkraft 6 darstellt, die sich als Druck ergibt, während in 5 eine Zugkraft wirkt. Ein Rundschnitt um F liefert aus der Mittelkraft der umgekehrten Spannkräfte 4 und 5 sowie der Last P₃ die unbekannten Spannkräfte 7 und 8 durch das geschlossene Krafteck ihcdk, wobei sich 7 als Druckkraft und 8 als Zugkraft ergibt. Durch einen Rundschnitt um G erhält man in gleicher Weise aus dem Krafteck aikl die unbekannten Stabkräfte 9 und 10;_m 9 ist eine Zugkraft und in 10, dargestellt durch die Strecke a 1, eine Druckkraft wirksam. Ein Rundschnitt um H trifft nur die eine unbekannte Stabkraft 11, welche mit den umgedrehten Spannkräften 8 und 9 sowie der Last P₄ und dem Auflagerwiderstande Z im Gleichgewicht sein muß. Für diese Kräfte erhält man das geschlossene Krafteck lkdef, in welchem die als

Druckkraft erscheinende Spannkraft 11 parallel zur Stabrichtung 11 sein muß, wodurch eine Kontrolle für die Richtigkeit des ganzen Kräfteplanes gegeben ist. Ebenso müssen auch noch die umgedrehten Spannkräfte 10 und 11 mit W im Gleichgewicht sein, wie das Krafteck a 1 f zeigt, wobei sich W als Druckkraft ergibt.

Hat man eine gebrochene Dachoberfläche, oder eine schief gerichtete Belastung (Wind), oder greift am freien Ende des Kragträgers eine Druckstrebe oder Zugstange an, so hat man immer zunächst die Auflagerwiderstände zu ermitteln. Ist hierzu ein Seileck notwendig, so muß dieses durch das feste Auflagergelenk gelegt werden, vgl. Fig. 103 und 104. Sind alle äußeren Kräfte bekannt, dann wird der Kräfteplan in der beschriebenen Weise ausgeführt.

VI. Abschnitt.

Der vollwandige Dreigelenkbogen.

§ 33. Allgemeine Anordnung.

A\

Fig. 114.

Ein nach oben gebogener oder geknickter Stab (Fig. 114), der mit seinen beiden Auflagern A und B durch Gelenke (Kämpfergelenke) verbunden ist und an beliebiger Stelle ein weiteres GelenkO (Scheitelgelenk) besitzt, heißt Drei-gelenkbogen. Die durch beliebige Belastung erzeugten Auflagerkräfte bezeichnet man als Kämpferdrücke und ihre beiden Seitenkräfte sind die vertikalen Auflagerdrttcke

A und B sowie der Horizontalschub H. Der Dreigelenkbogen besteht, unter Beiziehung der Erdscheibe, aus 3 Scheiben, die bekanntlich ein statisch bestimmtes Gebilde darstellen, wenn ihre Verbindung, gemäß Gleichung (34),durchs=(n—1). 3 = (3 — 1) • 3 = 6 Stäbe erfolgt. Diese Forderung ist erfüllt, denn jedes Gelenk stellt 2 Verbindungsstäbe dar, also sind 2-3=6 Stäbe vorhanden.

§ 34. Ter Dreigelenkbogen mit ruhender Belastung.

1U

/ WA

''M'

a) Die Kämpferdrücke Ka und Kb. Um diese zu ermitteln, nimmt man zunächst nur das linke Bogenstück (Schenkel) AG in Fig. 115 als belastet an, zeichnet zuden vorhandenen

Kräften Plf    z

O,

&Ä /

Fig. 115.

P₂, P₃ ein Krafteck ab eck e mit beliebigem Pol G1 und hierzu ein Seileck, welches die Mittelkraft Rx liefert, die in die beiden Kämpferdrücke K'a UNd Xb zu zerlegen

ist. Der Kämpferdruck Kt, wirkt allein auf das Bogenstück GB ein; soll dieses im Gleichgewicht sein, so muß Kb durch das Gelenk G hindurchgehen, weil sonst eine Drehung des Bogen-

stückes BG erfolgen müßte. Die Richtungslinie BG von Kb' schneidet Rx im Punkte Sx und damit ist auch in S₄A die Richtung für Kl gegeben. Zieht man im Krafteck a g || S₁A und d g || SjB, so ist auch die Größe der Kämpferdrücke gegeben; es ist ga = Kl und d g = Kd.

In derselben Weise findet man auch für die auf dem rechten Bogenstück GB befindlichen Lasten P₄ und P₅ die Mittel-

7!

ITF

0'

ol-

Xx

As

Fig. 116.

kraft R₂ und die von derselben erzeugten Kämpferdrücke K"=hd und K'b'=fh.

Vereinigt man nun die Kämpferdrücke Kl und K» bzw. Kb und Kb, was am einfachsten durch das Zeichnen des Parallelogrammes h d g 0 erreicht wird, so stellt O a den Kämpferdruck Ka als Mittelkraft aus Kl und Kl' und f 0 den Kämpferdruck Kb als Mittelkraft aus Kl und Kb dar.

Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall lotrechter paralleler Lasten (Gewölbe), Fig. 116. Man zeichnet zu den vorhandenen Lasten Pi bis P₆ mit beliebigem Pol O' Kraft- und Seileck, zieht die Lotrechten durch die drei Gelenke und trägt in das Seileck die den Kräften links von G entsprechende Schlußlinie s₁ und die den Kräften rechts von G entsprechende Schlußlinie 82 ein. Zieht man vom Pol O' des Kraftecks

Parallelen zu den Schlußlinien s₁ und s₂, so wird der Kräftezug a ... g m den Punkten x und y getroffen und die Abschnitte stellen die auf die 3 Gelenke entfallenden lotrechten Drücke dar, es ist a x = A, x y = G und y g = B . Zieht man nun durch den Punkt x eine Parallele zur Sehne AG ----- S2 und durch y eine Parallele zur Sehne GB = S₂, so erhält man den Schnittpunkt 0, und die Strecken 0x bzw. yO sind die von der Last im Gelenk G herrührenden Kämpferdrücke 81 und S₂. Setzt man 81 mit der lotrechten Last des Gelenkes A zusammen, so erhält man in der Strecke O a den wirklichen Kämpferdruck Ka und in der gleichen Weise erhält man aus S₂ und der lotrechten Last in B den Kämpferdruck Kb als Strecke gO.

b) Die inneren Kräfte. Wählt man in Fig. 115 den Schnittpunkt 0 der Kämpferdrücke Ka und Kb als Pol und zeichnet damit ein in A beginnendes Seileck I II ... VI, so muß dasselbe durch die Punkte G und B hindurchgehen und jeder Polstrahl ist die Mittelkraft aller links von der dazu parallelen Seileckseite gelegenen Kräfte. So ist z. B. der Strahl II die Mittelkraft aus Ka und Pv der Strahl III die Mittelkraft aus Ka, P₂ und P₂ usw. Das durch A, G und B gehende Seileck I II ... VI wird die zu der aufgebrachten Belastung gehörige Mittelkraftslinie, auch Druck- oder Stützlinie genannt. Ein an Stelle derselben gesetztes Gebilde, aus lauter starren, gelenkartig miteinander verbundenen Stäben, würde mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht sein und hätte nur Druckkräfte aufzunehmen. Die Drucklinie gestattet sofort die Lage der Mittelkraft der auf irgendeinen Bogenteil einwirkenden äußeren Kräfte anzugeben, während deren Größe aus dem zugehörigen Krafteck zu entnehmen ist. Legt man durch den Bogen an beliebiger Stelle C den Schnitt s—s, so wirken aus den links davon liegenden Teil die äußeren Kräfte Ka und r>i ein, deren Mittelkraft durch den Krafteckstrahl

Ob = II dargestellt ist. Zerlegt man die Mittelkraft Ob in 2 Seitenkräfte, von denen die eine, i b = Nc, in die Richtung t—t der Bogentangente in 0 fällt, während die andere, 0 i---- tz«., senkrecht dazu ist, so stellt erstere die an der Stelle C im Bogen wirkende Längskraft oder Normalkraft Nc dar und letztere die senkrecht zu Nc wirkende Querkraft Qc.

Hat Nc vom Schwerpunkte des Querschnittes C den Abstand f, so erzeugt es in dem Querschnitte ein Biegungsmoment

(76)

Mc= Nc • f.

Geht man von dem linken Bogenteil AC aus, so nurd Nc als positiv bezeichnet, wenn es den abgeschnittenen Teil AG gegen den Teil CB anzudrücken sucht; Qc wird als positiv bezeichnet, wenn es vom Bogeninnern nach außen wirkt (Fig. 115) und Mc ist positiv, sobald Nc rechts um den Schwerpunkt von C dreht.

VII. Abschnitt.

Das Tonnengewölbe.

§ 35. Allgemeine Betrachtungen.

Die Untersuchung eines Gewölbes wird gewöhnlich für einen Gewölbstreifen von 1,0 m Tiefe durchgeführt. In vielen Fällen ist es aber besser, wenn die ganze Gewölbetiefe (Brückenbreite) in Betracht gezogen wird. Jedes Gewölbe G (Fig. 117) wird durch seine beiden Widerlager W mit dem Baugrund E in feste Verbindung gebracht. Wird das Gewölbe als eine zweimal mit dem Erdreich fest verbundene Scheibe betrachtet, so sind zwischen beiden Teilen 2-3 — 6 Verbindungsstäbe zu denken. Für ein aus zwei Scheiben be-

stehendes, statisch bestimmtes Gebilde sind aber nach Formel (34) s = (n — 1) 3 = (2 — 1) 3 = 3 Verbindungsstäbe erforderlich, mithin ist das Gewölbe 6 — 3= 3 fad) statisch unbestimmt und kann nach den bisher angewendeten Regeln nicht untersucht werden. Da aber andererseits das Gewölbematerial meistens nicht vollkommen elastisch ist, so macht man die vereinfachende Annahme, daß ein Gewölbe wie ein Dreigelenkbogen wirkt; wenigstens denkt man sich ans die Dauer der -Untersuchung zwei Kämpfer- und ein Scheitelgelenk in das

JE

TV

Fig. 117.

Gewölbe, deren Lage innerhalb der Kernpunkte svgl. Formel (29), (30) und (31), @.58] beliebig angenommen werden kann.

Ein Gewölbe kann, je nach seinem Zwecke, eine kreisförmige, parabolische oder elliptische Wölblinie erhalten oder nach der Stützlinie geformt werden. Meistens, namentlich bei flachen Gewölben, findet man eine kreisförmige Wölblinie.

§ 36. Die Druck- oder Slützlinie eines symmetrischen Gewölbes.

Teilt man ein Gewölbe (Fig. 117) durch senkrecht gegen die innere Leibung gerichtete Schnitte (Fugen) in einzelne Streifen (Wölbsteine) und ertnittelt deren Gewicht nebst der darauf ruhenden Belastung durch Ubermauerung, Überschüttung usw., so erhält man die Kräfte Plz P₂, P₃, P₄. Zuweilen werden auch ganz lotrecht durchgeführte Schnitte verwendet. Trägt man nun diese Kräfte Px bis P₄ zu einem Krafteck abcde

aneinander, so läßt sich mit einem bestimmten Pole 0 ein Seileck zeichnen, dadurch die Punkte A, G, B hindurchgeht (vgl. auch Fig. 115 und 116), welches die Mittelkraftlinie, Druck- oder Stützlinie genannt wird (§34 b, S. 137). Für sehr schmale Wölbsteine geht die Stützlinie in eine Kurve über, vgl. S. G. Bd. 179, § 13. Die Schnittpunkte der Stützlinie mit den Fugen sind die eigentlichen Stützpunkte.

Zerlegt man den Kämpferdruck Ed (Fig. 117) in eine wagerechte und eine lotrechte Seitenkraft, so findet man, daß erstere, welche den Horizontalschub des Gewölbes darstellt, gleich dem Scheiteldruck des Gewölbes sein muß.

Soll das Gewölbe seine zweckmäßigste Gestalt erhalten, so muß die Mittellinie der Gewölbequerschnitte möglichst mit der Stützlinie zusammenfallen, weil dann nur Druckkräfte im Gewölbe auftreten. Auf keinen Fall darf die Stützlinie aus dem Kern des Gewölbequerschnittes herausfallen. Für dessen Grenzen erhält man die Minimal-und Maximalstützlinie.

§ 37. Das symmetrische Gewölbe mit gleichmäßiger ruhender Belastung.

Für dieses, fast immer bei Hochbaukonstruktionen vorkommende Gewölbe, wird die Stützlinie unter der Voraussetzung ermittelt, daß der Scheitel- und der Kämpferdruck durch die Fugenmitte gehen. Wegen der Symmetrie genügt die Untersuchung des halben Gewölbes.

Um die von den einzelnen Wölbsteinen zu tragenden Lasten (Fig. 118) möglichst schnell ermitteln zu können, ist es vorteilhaft, alles über dem Gewölbe liegende Material auf die Dichte des Gewölbematerials y zu reduzieren. Die Überschüttung, deren Dichte yx sein möge, wird durch eine Fläche mit der oberen Begrenzungslinie DE dargestellt.

Reduziert man die Höhen derselben im Verhältnis -y-, so ergibt sich die auf das Gewölbematerial bezogene Belastungslinie FG. Die Reduktion kann mit Hilfe eines Winkels (Fig. 4, S. 8) ausgeführt werden. Da die Tiefe — 1 ist, so sind die einzelnen Gewichte P = F • y . Verwendet man lotrechte Streifen mit der Breite = 1, so stellt deren mittlere Höhe h den Inhalt dar und ihre Gewichte werden P = h • y. Die Höhen h können auch direkt als Kräfte verwendet

ro

I 0,

su

</\

<•

Fig. 118.

werden, dann sind aber die späteren Resultate mit y zu multiplizieren.

Die Lasten Px bis P₅ in Fig. 118 sind entsprechend ermittelt worden und zu dem Krafteck a f zusammengesetzt, zu dem mit beliebigem Pole Oz ein Seileck 1 2 3 ... 6

gezeichnet ist, welches die Lage der Mittelkraft R = 2¹?

angibt. Der horizontale Scheiteldruck H soll durch den Mittelpunkt des Scheitelquerschnittes C gehen; er trifft R im Punkte S, mithin ist auch die Lage des Kämpferdruckes Ka durch die Richtung AS bestimmt. Zieht man im Krafteck durch a eine

Parallele zu CS und durch b eine Parallele zu AS, so schneiden sich dieselben im Punkt 0 und es ist 0 a = H und b O = Ka. Zeichnet man nun mit 0 als Pol ein durch A und C gehendes Seileck I II ... VI, so ist dies die Stützlinie, welche aus den Fugen die Stützpunkte ausschneidet. Die auf letztere einwirkenden Mittelkräfte (Druckkräfte) sind aus dem Krafteck zu entnehmen. So wirkt z. B. auf die Fuge zwischen P₂ und P3 die Kraft III = d~ö.

§ 38. Das symmetrische Gewölbe mit ruhender und beweglicher Belastung.

Die von der ruhenden Belastung des Gewölbes in Fig. 119 herrührenden Gewichte sind in derselben Weise zu ermitteln wie im §37. Man erhält dafür die auf Gewölbematerial bezogene Belastungslinie DBF.

Die bewegliche Belastung kann, selbst wenn sie aus Einzellasten besteht, infolge der Überschüttung des Gewölbes, meistens als gleichmäßige Belastung angesehen werden, die als eine weitere Überschüttung auf das Gewölbe aufzubringen ist. Aus Fig. 115 erkennt man, daß ein Gewölbe bei halbseitiger Belastung am ungünstigsten beansprucht wird. Daher ist in Fig. 119 auf der einen Gewölbehälfte eine Verkehrsbelastung aufgesetzt, zu welcher die Belastungslinie GH gehört. Ist die Berkehrsbelastung für 1 qm gleich p, so erhält man, bei 1,0 m Gewölbetiefe, die entsprechende Überschüttungshöhe aus —. Bei dieser nunmehr unsymmetrischen Be-7

lastung ist die Stützlinie für das ganze Gewölbe zu zeichnen. Wegen der Beweglichkeit der Belastung ist ein Zusammenfallen der Stützlinie mit der Mittellinie des Gewölbes ausgeschlossen, jedoch ist dahin zu streben, daß sich die beiden Linien möglichst aneinanderschmiegen, was durch geeignete Wahl

der Stützpunkte in den Kämpfern und am Scheitel zu erreichen ist. Diese Stützpunkte dürfen innerhalb des Kernes, vgl. Formel (29) und (30), S. 58 beliebig angenommen werden. Im Scheitelquerschnitt G ist der Stützpunkt oberhalb der Gewölbemittel-

linie anzunehmen, in einem Abstande (nach Winkler)

II

!'

M fr 16 h/ Y wobei d₀ die Scheitelstärke des Gewölbes / / in m und \ die Pfeilhöhe der V/ \P, Gewölbemittellinie in m be-

(77) c=

TE

i,

K.

JA

0'

0<

ft

Fig. 119.

deutet. In den Kämpfern kann man die Stützlinie durch die Mitte des Querschnittes gehen lassen, wie Fig.

119 zeigt, oder man legt den Stützpunkt auf der belasteten Seite etwas unterhalb und auf der unbelasteten Seite etwas oberhalb der Gewölbemittellinie an, aber innerhalb der Kernweiten.

In Fig. 119 sind nach Festlegung der Belastungslinie GHEF die Lasten Px bis P₈ ermittelt und zu dem Krafteck a b c ... i aneinandergetragen, zu welchem mit beliebigem

Pole O' das Seileck 1 2 3 ... 9 oberhalb des Gewölbes gezeichnet ist. Vgl. Fig. 116, S. 136. Nunmehr werden die Stütz punkte (Gelenkpunkte) an den Kämpfern und im Scheitel festgelegt und durch dieselben Lotrechte gezogen, die das Seileck 12 3 ... 9 in den Punktend", C'und B' treffen, welche durch die Schlußlinien sx und s₂ zu verbinden sind. Zieht man im Krafteck von O' aus Parallelen zu sx und s₂ und durch ihre Schnittpunkte x und y mit dem Kräftezuge ai Parallelen zu den Verbindungslinien Sj und S₂ der Gewölbestützpunkte, so treffen sich letztere im Punkte 0 und man erhält, gemäß §34a, Fig. 116, in Oa= Ka und i0 — Kb, die an den Kämpfern A und B auftretenden Kämpferdrücke. Betrachtet man nun 0 als Pol und zeichnet damit ein im Stützpunkt A beginnendes Seileck IIIIII ... IX, so muß dieses auch durch die beiden anderen Stützpunkte C und B hindurchgehen, denn es stellt die Stützlinie der aufgebrachten Belastung dar.

Dieses Verfahren ist besonders zur Gewölbeuntersuchung geeignet, weil ohne allzuviel Abänderungen eine andere Stützlinie, die sich besser der Gewölbemittellinie anschmiegt, gezeichnet werden kann.

Die auf die einzelnen Fugenstützpunkte entfallenden Druckkräfte können direkt dem Krafteck entnommen werden, so entfällt auf die Fuge zwischen Bz und P₄ die Kraft IV = O d.

Handelt es sich um ein unsymmetrisches Gewölbe, so hat man dasselbe Verfahren, wie es eben gezeigt wurde, anzuwenden.

Soll ein Gewölbe stabil sein, so dürfen die Mittelkräfte der Stützlinie nicht außerhalb der Fugen angreifen, sollen keine Risse auftreten, so muß die Stützlinie innerhalb des Kernes verbleiben und soll kein Verrutschen der Wölbsteine gegeneinander auftreten, so dürfen die Mittelkräfte der Stützlinie von den entsprechenden Fugennormalen höchstens um den Reibungswinkel (18°) abweichen. Vgl. S. G. Bd. 178, §50.

§ 39. Mittelpfeiler mehrerer Tonnengewölbe und Endpfeiler.

Ein Mittelpfeiler wird am ungünstigsten beansprucht, wenn das eine der anstoßenden Gewölbe belastet und das andere unbelastet ist. Hierbei entsteht in dem Pfeiler die Stützlinie, die am weitesten aus der Pfeilermitte abgelenkt wird.

Durch die auf dem rechtsseitigen Gewölbe (Fig. 120) befindliche Belastung p für die Längeneinheit wird ein Verdrücken des Pfeilers nach links bewirkt.

ff,

Gi

r.\

Fig. 120.

Dabei wird sich die Scheitelfuge des rechten Gewölbes unten unddieKämp-ferfuge oben zu öffnen versuchen, so daß dieMinimal-

drucklinie mit dem Kämpferdruck Kr auftritt, welcher in Fig. 120 eingetragen ist. Bei dem linksseitigen Gewölbe tritt der umgekehrte Fall ein, da sucht sich die Scheitelfuge oben und die Kämpferfuge unten zu öffnen, es entsteht die Maximaldrucklinie mit dem Kämpferdruck Kh wie ihn Fig. 120 zeigt. Die aus Kr und Ki gebildete Mittelkraft K ist mit dem Gewichte Gx des oberen, unbelasteten Pfeilerabschnittes zusammenzusetzen, wodurch eine neue Mittelkraft Rx entsteht, welche die Sohle des oberen Pfeilerabschnittes im Punkte C trifft, der auf der Stützlinie des Pfeilers liegt. Mit R, wäre dann das Gewicht des nächsten Pfeilerabschnittes II

10

Henkel, Graphische Statik.

zusammenzusetzen, wodurch sich ein neuer Punkt der Pfeilerstützlinie ergibt usw. Über den Verlauf der Stützlinie innerhalb des Pfeilers gilt dasselbe, was im letzten Abschnitt von § 49 bezüglich der Gewölbe gesagt ist.

Ist ein Endpfeiler (Fig. 121) zu untersuchen, so ist ebenfalls das Gewölbe zu belasten, wodurch man den der Minimaldrucklinie entsprechenden Kämpferdruck K erhält. Dieser

wird mit dem Gewicht Gi lllllllllllllllllllil[|lllllll> des anstoßenden Pfeilerab-schnittes I zu einer Mittel-

'V/

¹ A\

Fig. 121.

kraft Ri zusammengesetzt, welche die Sohle des Pfeilerabschnittes in C trifft. Wtit Ri ist das Gewicht Gn des Pfeilerabschnittes II zusammenzusetzen usw. Wirkt auf einen Endpfeiler außerdem noch der Erddruck oder Wasserdruck ein, so ist mit den davon herrührenden Kräften eine weitere Stützlinie für das unbelastete Gewölbe zu zeichnen.

Über Erd- und Wasserdruck vgl. das Bändchen II der „Graphischen Statik".

Ein Literaturverzeichnis befindet sich am Ende des II. Teiles.

Register.

60.

Auflagerdrücke 59. Auflagerreaktionen 59. Äußere Kräfte 61.

Belastung der Träger 61. Belastungslinie bei Gewölben 142.

Belastungsscheide 87. Biegungsmoment 62. Biegungsspannungen 56.

Cremona, Verfahren von 109.

Culmannsches Verfahren 26.

Drehachse 32.

Drehmoment 32.

Drehpunkt 32. Dreigelenkbogen 134. Druckkraft, exzentrische 57. Druckkraft, zentrische 56. Drucklinie 18.

Einflußfläche 98. Einflußlinie 97. Einspannmoment 95. Elastizitätslehre 59. Exzentrische Belastung 57.

Fachwerkträger 105. Freiträger 94.

Gefährlicher Querschnitt 65. Gegendruck 6. Gelenkpolygon 18. Gewölbe, Tonnen- 138. Gleichgewicht eines Trägers 61.

Gleichgewicht von Kräften 21.

Grundstellung 92. Hebelarm 32.

Horizontalschub eines Dreigelenkbogens 135. Horizontalschub eines Gewölbes 140.

Innere Kräfte 106.

Innere Spannungen 61.

Kämpferdruck 134. Kämpfergelenk 134.

Kern 58.

Kernpunkt 58.

Knotenpunkt 105. Komponente 12.

Kraft 5.

Krafteck 15.

Kräftedreieck 14. Kräftemaßstab 6. Kräftepaare 30.

Kräfteplan 109. Krüftepolygon 15.

Kräftezug 14.

Längskraft 138.

Maximalmoment 65. Mittelbare Belastung 72. Mittelkraft 11. Mittelkraftslinie 137. Mittelpunkt paralleler Kräfte 37.

Moment eines Kräftepaares 30.

Momentenfläche 64. Momentennullpunkt 68.

Neutrale Achse 56. Normalkraft 138. Normalspannungen 57. Nullinie 56.

Parabelgleichnng 8. Parallelkräfte 23. Parallelogramm der Kräfte 13.

Parallelverschiebung einer Kraft 31.

Pfeileruntersuchung 145. Pol 20.

Polarachse 23.

Polstrahlen 20.

Polweite 35.

Querkraft 62.

Reaktion 6. Reduktionswinkel 8. Resultierende 11.

Richtungslinie 6.

Ritter, Verfahren vo» J 21.

Scheitelgelenk 134. Scherkraft 62.

Schneedruck 115.

Schubkraft 62.

Schwerlinien 40. Schwerpunkt 40.

Seileck 18.

Seillinie 18.

Seilpolygon 18. Seilstrahlen 18. Seitenkräfte 11.

Spannkraft eines Stabes 106.

Spannungen in einem Querschnitte 57. Statisches Moment einer Kraft 32.

Statisch unbestimmte Aufgabe 59.

Stützlinie 137.

Träger, einfacher, auf 2 Stützen 62. Trägheitsmoment 50. Tragwerkslinie 98.

Überschüttungshöhe eines Gewölbes 140. Ungünstigste Laststellung 75. Unmittelbare Belastung 62. Unterstützung eines Trägers

Wendepunkt 68. .Widerstandsmoment 57. Winddruck 115. Wirkungslinie 6.

Zentrifugalmoment 50. Zentrische Belastung 56. Zerlegung einer Kraft 25. Zusammensetzung beliebig gerichteter Kräfte 13. Zusammensetzung von parallelen Kräften 23. Zwischenträger 72.

Sammlung

90 Pf. (Höschen

Jeder Band in Leinw. geb.

Verzeichnis der bis jetzt erschienenen Bände.

«»Wässer. Wasser und Abwässer.

Ihre Zusammensetzung, Beurteilung u. Untersuchung von Professor Dr. Emil Haselhoff, Vorsteher der landw. Versuchsstation in Marburg in Hessen. Nr. 473.

Ackerbau- u. Pflanzenbaulehre v. Dr. Paul Rippert i. Essen u. Emst Lan-genbeck, Gr.-Lichterfelde. Nr. 232.

Agrarwesen und Agrarpolitik von Prof. Dr.W.Wygodzinskiin Bonn. 2 Bändchen. I: Boden u. Unternehmung. Nr. 592.

—    — IT: Kapital u. Arbeit in der Landwirtschaft. Verwertung der landwirtschaftl. Produkte. Organisation des landwirtschaftl. Berufsstandes. Nr. 593.

Agrikulturchemie I: Pflanzenernährung v. Dr. Karl Grauer. Nr. 329.

Agrikulturchemische Kontrollwesen, Das, v. Dr. Paul Arische in Leopoldshall-Staßfurt. Nr. 304.

—    Untersuchungsmethoden von Prof. Dr. Emil Haselhoff, Vorsteher der landwirtschaftl. Versuchsstation in Marburg in Hessen. Nr. 470.

Akkumulatoren, Die, für Elektrizität v. Kais. Reg.-Rat Dr.-Jng. Richard Albrecht in Berlin-Zehlendorf. Mit 52 Figuren. Nr. 620.

Akustik. Theoret. Physik I: Mechanik u. Akustik. Von Dr. Gustav Jäger, Prof, an d. Techn. Hochschule in Wien. Mit 19 Abb. Nr. 76.

—    Musikalische, von Professor Dr. Karl L. Schäfer in Berlin. Mit 36 Abbild. Nr. 21.

Algebra. Arithmetik und Algebra von Dr. H. Schubert, Professor an der Gelehrtenschule des Johan-neums in Hamburg. Nr. 47.

Algebra. Beispielsammlung z. Arithmetik und Algebra von Dr. Herrn. Schub err, Prof. a.d. Gelehrtenschule d. Johanneums i. Hamburg. Nr. 48.

Algebraische Kurven v. Eugen Beutel. Oberreallehrer in Vaihingen-Enz, I: Kurvendiskussion. Mit 57 Fig. tut Text. Nr. 435.

--II: Theorie u. Kurveit dritter

u. vierter Ordnung. Mit 52 Fig. tut Text. Nr. 436.

Alpen, Die, von Dr. Rob. Sieger, Professor an der Universität Graz. Mit 19 Abb. u. 1 Karte. Nr. 129.

Althochdeutsche Literatur mit Grammatik, Übersetzung u. Erläuterun-gen v. Th. Schauffler, Prof, am Realgymnasium in Ulm. Nr. 28.

Alttestamentl. Religionsgeschichte von D. Dr. Max Löhr, Professor an der Universität Königsberg. Nr. 292.

Amphibien. Das Tierreich III: Reptilien u. Amphibien v. Dr. Franz Werner, Prof, an der Universität Wien. Mit 48 Abbild. Nr. 383.

Analyse, Techn.-Ehem., von Dr. G. Lunge, Prof. a. d. Eidgen. Polytechnischen Schule in Zürich. Mit 16 Abb. Nr. 195.

Analysis, Höhere, I: Differentialrechnung. Von Dr. Frdr. Junker, Rektor des Realgymnasiums u. der Oberrealschule in Göppingen. Mit 68 Figuren. Nr. 87.

--Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung von Dr. Frdr. Junker, Rektor d. Realgpmnas. u. d. Oberrealsch. in Göppingen. Mit 46 Fig. Nr. 146.

Analysis, Höhere, II: Integralrechnung. Von Dr. Friedr. Junker, Rektor des Realgymnasiums u. d. Oberrealschule in Göppingen. Mil 89 Figuren. Nr. 88.

--Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung von Dr. Friedr. Junker, Rektor des Realgymnasiums und der Oberrealschule in Göppingen. Mit 50 Figuren. Nr. 147.

— Niedere, von Prof. Dr. Benedikt Sporer in Ehingen. Mit 5 Fig. Nr. 53.

Arbeiterfrage, Die gewerbliche, von Werner Sombart, Prof, an der Handelshochschule Berlin. Nr. 209.

Arbeiterversicherung siehe: Sozialversicherung.

Archäologie von Dr. Friedrich Koepp, Prof, an der Universität Münster i. W. 3 Bändchen. M. 28 Abb. im Text u. 40 Tafeln. Nr. 538/40.

Arithmetik u. Algebra von Dr. Herm. Schubert, Prof. a. d. Gelehrten-

, schule des Johanneums in Hamburg. Nr. 47.

--Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Dr. Herm. Schubert, Prof. a. d. Gelehrtenschule des Johanneums in Han;.-burg. Nr. 48.

Armeepferd, Das, und die Versorgung der modernen Heere mit Pferden v. Felix von Damnitz, General der Kavallerie z. D. u. ehemal. Preuß. Remonteinspekteur. Nr. 514.

Armenwesen und Armenfürsorge. Einführung in d. soziale Hilfsarbeit v. Dr. Adolf Weber, Prof, an der Handelshochschule in Köln. Nr. 346.

Ästhetik, Allgemeine, von Prof. Dr. Max Diez, Lehrer a.d.Kgl.Akademie d.bild. Künsteln Stuttgart. Nr. 300.

Astronomie. Größe, Bewegung u. Entfernung der Himmelskörper v. A. F. Möbius, neu bearb. von Dr. Herm. Kobold, Prof, an der Universität Kiel. I: Das Planetensystem. Mit 33 Abbildungen. Nr. 11.

--II. Kometen, Meteore u. das

Sternsystem. Mit 15 Figuren und 2 Sternkarten. Nr. 529.

Astronomische Geographie von Dr. Siegm. Günther, Professor an der Technischen Hochschule in München. Mit 52 Abbildungen. Nr. 92.

Astrophysik. Die Beschaffenheit der Himmelskörper v. Prof. W. F. Wislicenus. Neu bearbeitet von Dr. H. Ludendorff in Potsdam. Mit 15 Abbild. Nr. 91.

Ätherische Ole und Riechstoffe von Dr. F. Rochussen in Miltitz. Mit 9 Abbildungen. Nr. 446.

Aufsatzentwürfe v. Oberstudienrat Dr. L. W. Straub, Rektor des Eberhard-Ludwigs-Gymnas. i.Stuttg. Nr. 17.

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate von Wilh. Weitbrecht, Prof, der Geodäsie in Stuttgart. 2 Bändchen. Mit 16 Figuren. Nr. 302 u. 641.

Außereuropäische Erdteile, Länderkunde der, von Dr. Franz Heiderich, Professor an der Exportakademie in Wien. Mit 11 Textkärtchen und Profilen. Nr. 63.

Australien. Landeskunde u. Wirtschaftsgeographie des Festlandes Australien von Dr. Kurt Hassert, Prof. d. Geographie an d. Handels-Hochschule in Köln. Mit 8 Abb., 6 graph. Tab. u. 1 Karte. Nr. 319.

Autogenes Schweiß- und Schneidverfahren von Ingen. Hans Niese in Kiel. Mit 30 Figuren. Nr. 499.

Bade- u. Schwimmanstalten, Öffentliche, v. Dr. Karl Wolfs, Stadtober-baur., Hannover. M.50 Fig. Nr.380.

Baden. Badische Geschichte von Dr. Karl Brunner, Prof, am Gymnas. in Pforzheim u. Privatdozent der Geschichte an der Technischen Hochschule in Karlsruhe. Nr. 230.

— Landeskunde von Baden vonProf. Dr. O. Kienitz i. Karlsruhe. Mit Profil., Abb. u. 1 Karte. Nr. 199.

Bahnhöfe. Hochbauten der Bahnhöfe v. Msenbahnbauinspekt. C. Schwab, Vorstand d. Kgl. E.-Hochbausektion Stuttgart II. I: Empsangsgebäude. Nebengebäude. Güterschuppen. Lokomotivschuppen. Mit 91 Abbildungen. Nr. 515.

Balkanstaaten. Geschichte d. christlichen Balkanstaaten (Bulgarien, Serbien, Rumänien, Montenegro, Griechenland) von Dr. K. Roth in Kempten. Nr. 331.

Bankwesen. Technik des Bankwesens von Dr. Walter Conrad, stellvert. Vorsteher der statist. Abteilung der Reichsbank in Berlin. Nr. 484.

Bauführung. Kurzgefaßtes Handbuch über das Wesen der Bauführung v. Archit. Emil Beuringer, Assistent an d. Techn. Hochschule in Darmstadt. M. 25 Fig. u. 11 Tabell. Nr. 399. Baukunst, Die, des Abendlandes v. Dr. K. Schäfer, Assist, a. Gewerbemuseum, Bremen. Mit 22 Abb. Nr. 74.

—    des Schulyauses v. Prof. Dr.-Jng. Ernst Vetterlein, Darmstadt. I:Das Schulhans. M. 38 Abb. Nr. 443.

--II: Die Schulräume — Die

Nebenanlagen. M. 31 Abb. Nr. 444. Bausteine. Die Industrie der künstlichen Bausteine und des Mörtels von Dr. G. Rauter in Charlottenburg. Mit 12 Tafeln. Nr. 234. Banstoffkunde, Die, v. Prof. H. Haberstroh, Oberl. a. d. Herzogt. B augewerkschule Holzminden. Mit 36 Abbildilngen. Nr. 506. Bayern. Bayerische Geschichte von Dr. Hans Ockel in Augsburg. Nr. 160.

—    Landeskunde des Königreichs Bayern v. Dr. W. Götz, Prof. a. d. Kgl. Techn. Hochschule München. M. Profil., Abb. u.l Karte. Nr. 176.

Befeftigungswesen. Die geschichtliche Entwicklung des Befestigungs-Wesens vom Aufkommen der Pulvergefchütze bis zur Neuzeit von Reuleaux, Major b. Stabe d. 1. Westpreuß.Pionierbataill. Nr.17. Mit 30 Bildern. Nr. 569. Beschwerderecht. Das Disziplinar- u. Beschwerderecht für Heer u. Marine v. Dr. Max E. Mayer, Prof, a. d. Univ. Straßburg i. E. Nr. 517. Betriebskraft, Die zweckmäßigste, von Friedr. Barth, Oberingen. in Nürnberg. 1. Teil: Einleitung. Dampfkraftanlagen. Verschied. Kraftmaschinen. M. 27 Abb. Nr. 224.

--II: Gas-, Wasser- u. Wind-

Kraftanlagen. M. 31 Abb. Nr. 225. --III: Elektromotoren. Betriebskostentabellen. Graph. Darstell. Wahl d. Betriebskraft. M. 27 Abb. Nr. 474.

Bewegungsspiele v. Dr. E. Kohlrausch, Prof, am Kgl. Kaiser Wilhelms-Gymn. zu Hannover. M. 15 Abb. Nr. 96.

Bleicherei. Texril-Jnduftrie III: Wäscherei, Bleicherei, Färberei und ihre Hilfsstoffe v. Dr. Wilh. Massot, Prof. a. d. Preuß. höh. Fachschule für Textilindustrie in Krefeld. Mit 28 Fig. Nr. 186.

Blütenpflanzen, Das System der, mit Ausschluß der Gymnospermen von Dr. R. Pilger, Kustos am Kgl. Botanischen Garten in Berlin-Dahlem Mit 31 Figuren. Nr. 393.

Bodenkunde von Dr. P. Vageler in Königsberg i. Pr. Nr. 455.

Brandenburgisch - Preußische Geschichte von Prof. Dr. M. Thamm, Dir. des Kaiser Wilhelms-Gymnasiums in Montabaur. Nr. 600.

Brasilien. Landeskunde der Republik Brasilien von Bel Rodolpho von Jhering. Mit 12 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 373.

Brauereiwefen I: Mälzerei von Dr. Paul Dreverhoff, Dir. der Braner-u. Mälzerschule zu Grimma. Mit 16 Abbildungen. Nr. 303.

Britisch-Nord amerika. Land eskund e von Britisch-Nordamerika v. Prof. Dr. A. Oppel in Bremen. Mit 13 Abb. und 1 Karte. Nr. 284.

Buchführung in einfachen u. doppelten Posten v. Prof. Rob. Stern, Oberl. d. Offentl. Handelslehranst. u. Doz. d. Handelshochschule zu Leipzig. M. vielen Formul. Nr.115.

Buddha von Professor Dr. Edmund Hardy. Nr. 174.

Burgenkunde, Abriß der, von Hofrat Dr. Otto Piper in München. Mit 30 Abbildungen. Nr. 119.

Bürgerliches Gesetzbuch siehe: Recht des BGB.

Byzantinisches Reich. Geschichte des byzantinischen Reiches von Dr. K. Roth in Kempten. Nr. 190.

Chemie, Allgemeine u. physikalische, von Dr. Max Rudolphi, Prof, an der Techn. Hochschule in Darmsladt. Mit 22 Figuren. Nr. 71.

—    Analytische, von Dr. Johannes Hoppe in München. I: Theorie und Gang der Analyse. Nr. 247.

--II: Reaktion der Metalloide und

Metalle. Nr. 248.

—    Anorganische, von Dr. Jos. Klein in Mannheim. Nr. 37.

Chemie, Geschichte der, von Dr. Hugo Bauer, Assist, am chemischen Laboratorium der Kgl. Techn. Hochschule Stuttgart I: Von den ältesten Zeiten bis z. Berbrennungstheorie von Lavoisier. Nr. 264.

--II: Von Lavoisier bis zur

Gegenwart. Nr. 265.

—    der Kohlenstoffverbindungen von Dr. Hugo Bauer, Assistent am chem. Laboratorium d. Kgl. Techn. Hochschule Stuttgart. I. II: Aliphatische Verbindungen. 2 Teile. Nr. 191. 192.

--III: Karbocyklische Verbindungen. Nr. 193.

--IV: Heterocyklische Verbindungen. Nr. 194.

—    Organische, von Dr. Jos. Klein in Mannheim. Nr. 38.

—    Pharmazeutische, von Privat-dozent Dr. E. Mannheim in Bonn. 3 Bändchen. Nr. 543/44 u. 588.

—    Physiologische, von Dr. med. A. Legahn in Berlin. I: Assimilation. Mit 2 Tafeln. Nr. 240.

--II: Dissimilation. M. 1 Tafel.

Nr. 241.

—    Toxikologische, von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. Mit 6 Abbildungen. Nr. 465.

Chemische Industrie, Anorganische, von Dr. Gust. Rauter in Charlottenburg. I: Die Leblancsoda-industrie und ihre Nebenzweige. Mit 12 Tafeln. Nr. 205.

--II: Salinenwesen, Kalisalze,

Düngerindustrie u. Verwandtes. Mit 6 Tafeln. Nr. 206.

--III: Anorganische chemische

Präparate. M. 6 Taf. Nr. 207.

Chemische Technologie, Allgemeine, von Dr. Gust. Rauter in Charlottenburg. Nr. 113.

Chemisch-Technische Analyse von Dr. G. Lunge, Prof, an der Eidgen. Polytechnischen Schule in Zürich. Mit 16 Abbild. Nr. 195.

Christlichen Literaturen des Orients, Die, von Dr. Anton Baumstark. I: Einleitung. — Das christlicharamäische u. d. koptische Schrifttum. Nr. 527.

---II: Das christl.-arab. und das

äthiop. Schrifttum. — Das christl. Schrifttum d. Armenier und Georgier. Nr. 528.

Dampfkessel, Die. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit.Beispielen für das Selbststudium ü. den praktischen Gebrauch von Oberingenieur Friedr. Barth in Nürnberg. I: Kesselsysteme und Feuerungen. Mit 43 Fig. Nr. 9.

--II: Bau und Betrieb der

Dampfkessel. M. 57 Fig. Nr. 521.

Dampfmaschinen, Die. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Beispielen für das Selbststudium und den praktischen Gebrauch von Friedr. Barth, Ober-ingenieur in Nürnberg. 2 Bdchn. I: Wärmetheoretische und dampftechnische Grundlagen. Mit 64 Fig. Nr. 8.

--II: Bau und Betrieb der

Dampfmaschinen. Mit 109 Fig. Nr. 572.

Dampfturbinen, Die, ihre Wirkungs-weise u. Konstruktion von Ingen. Herm. Wilda, Prof. a. staatl. Technikum in Bremen. Mit 104 Abb. Nr. 274.

Desinfektion von Dr. M. Christian, Stabsarzt a. D. in Berlin. Mit 18 Abbildungen. Nr. 546.

Determinanten von P. B. Fischer, Oberl. a. d. Oberrealsch. z. Groß-Lichterfelde. Nr. 402.

Deutsche Altertümer von Dr. Franz Fuhse, Dir. d. ftädt. Museums in Braunschweig. M. 70 Abb. Nr. 124.

DeutscheFortbildungsfchulwesen,Das, nach seiner geschichtlichen Entwicklung u. in seiner gegenwärt. Gestalt von H. Siercks, Revisor gewerbl. Fortbildungsschulen in Schleswig. Nr. 392.

Deutsches Fremdwörterbuch von Dr. Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 273.

Deutsche Geschichte von Dr. F. Kurze, Prof. a. Kgl. Luisengymnas. in Berlin. I: Mittelalter (bis 1519). Nr. 33.

--II: Zeitalter der Reformation

und der Religionskriege (1517 bis 1648). Nr. 34.

--III: Vom Westfälischen Frie.

den bis zur Auflösung des alten Reichs (1648—1806). Nr. 35.

--siehe auch: Quellenkunde.

Deutsche Grammatik und kurze Geschichte der deutschen Sprache von Schulrat Prof. Dr. O. Lyon in Dresden. Nr. 20.

Deutsche Handelskorrespondenz von Prof. Th. de Beaux, Officier de 1’Instruction Publique. Nr. 182.

Deutsches Handelsrecht von Dr. Karl Lehmann, Prof, an der Universität Göttingen. 2 Bde. Nr. 457 u. 458.

Deutsche Heldensage, Die, von Dr. Otto Luitpold Jiriczek, Prof, an d. Universität Würzburg. Nr. 32.

Deutsche Kirchenlied, Das, in seinen charakteristischen Erscheinungen ausgewählt v. D. Friedrich Spitta, Pros. a. d. Universität in Straßburg i. E. I: Mittelalter u. Reformationszeit. Nr. 602.

Deutsches Kolonialrecht von Prof. Dr. H. Edler von Hoffmann, Studiendirektor der Akademie für kommunale Verwaltung in Düsseldorf. Nr. 318.

Deutsche Kolonien. I: Togo und Kamerun von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Tafeln u. l lithogr. Karte. Nr. 441.

—    II: Das Süd seegebiet und Kiau-tschou von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Tafeln u. 1 lith. Karte. Nr. 520.

—    III: Ostafrika von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Tafeln u. 1 lithogr. Karte. Nr. 567.

—    IV: Südwestafrika von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 637.

Deutsche Kulturgeschichte von Dr. Reinh. Günther. Nr. 56.

Deutsches Leben im 12. u. 13. Jahrhundert. Realkommentar zu den Volks- u. Kunstepen u. zum Minnesang. Von Prof. Dr. Jul. Dieffen-bacher in Freiburg i. B. I: Öffentliches Leben. Mit zahlreichen Abbildungen. Nr. 93.

--II: Privatleben. Mit zahlreichen Abbildungen. Nr. 328.

Deutsche Literatur des 13. Jahrhunderts. Die Epigonen d. höfischen Epos. Auswahl «. deutschen Dichtungen des 13. Jahrhunderts von Dr. Viktor Junk, Aktuarius der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. Nr. 289.

Deutsche Literaturdenkmäler des 14. u. 15. Jahrhunderts. Ausgewählt und erläutert von Dr. Hermann Jantzen, Direktor d. Königin Luise-Schule in Königsberg i.Pr. Nr. 181.

Deutsche Literaturdenkmäler des 16. Jahrhunderts. I: Martin Luther u. Thom. Murner. Ausgewählt u. mit Einleitungen u. Anmerkungen versehen von Prof. G. Berlit, Oberlehrer am Nikolaigymnasium zu Leipzig. Nr. 7.

--II: Hans Sachs. Ausgewählt u.

erläut. v. Prof. Dr. I. Sahr. Nr.24.

Deutsche Literaturdenkmäler des 16. Jahrhunderts. III: Von Brant bis Rollenhagen: Brant, Hutten, Fischart, sowie Tierepos u.Fabel. Ausgew. u. erläut. von Prof. Dr. Julius Sahr. Nr. 36.

—    des 17. und 18. Jahrhunderts bis Klopstock. I: Lyrik von Dr. Paul Legband in Berlin. Nr. 364.

--II: Prosa v. Dr. Hans Legband

in Kassel. Nr. 365.

Deutsche Literaturgeschichte von Dr. Max Koch, Prof, an der Universität Breslau. Nr. 31.

—    der Klassikerzeit v. Carl Weitbrecht, durchgesehen u. ergänzt v. Karl Berger. Nr. 161.

—    des 19. Jahrhunderts von Carl Weitbrecht, neu bearbeitet von Dr. Rich. Weitbrecht in Wimpfen. I. II. Nr. 134. 135.

Deutschen Mundarten, Die, von Prof. Dr. H. Reis in Mainz. Nr. 605.

Deutsche Mythologie. Germanische Mythologie von Dr. Eugen Mogk, Prof. a. d. Univers. Leipzig. Nr. 15.

Deutschen Personennamen, Die, v. Dr. Rud. Kleinpaul i. Leipzig. Nr. 422.

Deutsche Poetik von Dr. K. Borinski, Prof. a. d. Univ. München. Nr. 40.

Deutsche Rechtsgeschichte v. Dr.Richard Schröder, Prof. a.d.Univers. Heidelberg. I: Bis z. Mittelaller. Nr. 621.

--II: Die Neuzeit.. Nr. 664.

Deutsche Redelehre von Hans Probst, Gymnasialprof. i. Bamberg. Nr. 61.

Deutsche Schule, Die, im Auslande von Hans Amrhein, Seminaroberlehrer in Rheydt. Nr. 259.

Deutsches Seerecht v. Dr. Otto Brandts, Oberlandesgerichtsrat in Hamburg. I: Allgem. Lehren: Personen u. Sachen d. Seerechts. Nr. 386.

--II: Die eins, seerechtl. Schuld Verhältnisse: Verträge des Seerechts u. außerverträgliche Haftung. Nr. 387.

von

Deutsche Stadt, Die, und ihre Verwaltung. Eine Einführung i. d.Kommunalpolitik d. Gegenw. Herausgeg. v. Dr. Otto Most, Beigeordn. d.Stadt Düsseldorf. I: Verfassung u. Verwaltung im allgemeinen; Finanzen und Steuern; Bildungs- und Kunstpflege; Gesundheitspflege. Nr. 617.

--II: Wirtschafts- u. Sozialpolitik.

Nr. 662.

--III: Technik: Städtebau, Tief-

u. Hochbau. Mit 48 Abb. Nr. 663.

Deutsche Stammeskunde v. Dr. Rud. Much, st. o. Prof. a. d. Univ. Wien. Mit 2 Kart. u. 2 Taf. Nr. 126.

DeutschesUnterrichtswesen. Geschichte des deutschen Unterrichtswesens v. Prof. Dr. Friedrich Seiler, Direktor des Kgl. Gymnasiums zu Luckau. I: Von Anfang an bis zum Ende des 18. Jahrhunderts. Nr. 275.

--II: Vom Beginn d. 19. Jahrh.

bis auf die Gegenwart. Nr. 276.

Deutsche Urheberrecht, Das, an literarischen, künstlerischen u. gewerblichen Schöpfungen, mit besonderer Berücksichtigung der internal. Verträge v. Dr. Gust. Rauter, Patentanwalt in Charlottenburg. Nr. 263.

Deutsche Volkslied, Das, ausgewählt u. erläutert von Prof. Dr. Jul. Sahr. 2 Bändchen. Nr. 25 u. 132.

Deutsche Wehrverfassung von Karl Endres, Geheimer Kriegsrat u. vortragender Rat im Kriegs Ministerium in München. Nr. 401.

Deutsches Wörterbuch v. Dr. Richard Loewe. Nr. 64.

Deutsche Zeitungswesen, Das, von Dr. Robert Brunhuber in Köln a. Rh. Nr. 400.

Deutsches Zivilprozeßrecht von Prof. Dr. Wilhelm Kisch in Straßburg i. E. 3 Pände. Nr. 428—430.

Deutschland in römischer Zeit von Dr. Franz Cramer, Provinzialschulrat zu Münster i. W. Mit 23 Abbildungen. Nr. 633.

Dichtungen aus mittelhochdeutscher Frühzeit. In Ausw. mit Einltg. u. Wörterb. herausgeg. v. Dr. Herrn. Jantzen, Direktor d. Königin Luise-Schule i. Königsberg i. Pr. Nr. 137.

Dietrichepen. Kudrun und Dietrichepen. Mit Einleitung u. Wörterbuch von Dr. O. L. Jiriczek, Prof, a. d. Universität Würzburg. Nr. 10.

Differentialrechnung von Dr. Friede. Junker, Rektor d. Realgymnasiums u. der Oberrealschule in Göppingen. Mit 68 Figuren. Nr. 87.

— Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung von Dr. Friedr. Junker, Rektor d. Realgymnasiums u. d. Oberrealschule in Göppingen. Mit 46 Fig. Nr. 146. Drogenkunde von Rich. Dorstewitz in Leipzig und Georg Ottersbach in Hamburg. Nr. 413.

Druckwasser- und Druckluft-Anlagen. Pumpen, Druckwasser- u.Druckluft-Anlagen von Dipl.-Jngen. Rudolf Vogdt, Regierungsbaumstr. a. D. in Aachen. Mit 87 Fig. Nr. 290. Eddalieder mit Grammatik, Ubersetzg.

и.    Erläuterungen von Dr. Wilhelm Manisch, Gymnasialoberlehrer in Osnabrück. Nr. 171.

Eisenbahnbau. Die Entwicklung des modernenEisenbahnvaues v.Dipl. Ing. Alfred Birk, o. ö. Prof. a. d.

к.    k. Deutschen Techn. Hochschule in Prag. Mit 27 Abbild. Nr. 553.

Eisenbahnen, Die Linienführung der, H. Wegele, Professor an der Techn. Hochschule in Darmstadt. Mit 52 Abbildungen. Nr. 623. Eisenbahnfahrzeuge von H. Hinnenthal, Regierungsbaumeister u. Oberingen. in Hannover. I: Die Lokomotiven. Mit 89 Abbild, im Text und 2 Tafeln. Nr. 107.

--II: Die Eisenbahnwagen und

Bremsen. Mit Anh.: Die Eisenbahnfahrzeuge im Betrieb. Mit 56 Abb. im Text u. 3 Taf. Nr. 103. Eisenbahnpolitik. Geschichte d. deutschen Eisenbahnpolitik v. Betriebsinspektor Dr. Edwin Kech in Karlsruhe i. B. Nr. 533. Eisenbahnverkehr, Der, v. Kgl. Eisenbahn-Rechnungsdirektor Th. Wil-brand in Berlin-Friedenau. Nr.618. Eisenbetonbau, Der, v. Reg.-Baumstr. Karl Rößle. Mit 75 Abbildungen. Nr. 349.

Eisenvetonbrttcken von Dr.-Jng. K. W. Schaechterle in Stuttgart. Mit 104 Abbildungen. Nr. 627. Eisenhüttenkunde von A. Krauß, dipl. Hütteningenieur. I: Das Roheisen. Mit 17 Fig. u. 4 Taf. Nr. 152.

--II: Das Schmieveisen. M. 25

Fig. u. 5 Taf. Nr. 153.

von Dr.

an

Eisenkonstruktionen im Hochbau von Ingen. Karl Schindler in Meißen. Mit 115 Figuren. Nr. 322.

Eiszeitalter, Das. v. Dr. Emil Werth in Berlin-Wilmersdorf. Mit 17 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 431.

Elastizitätslehre für Ingenieure I: Grundlagen und Allgemeines über Spannungszustände, Zylinder, Ebene Platten, Torsion, Ge-trimmte Träger. Bon Dr.-Jng. Max Entzlin, Prof. a. d. Kgl. Bau-gewerkschule Stuttgart und Privatdozent a.d. Techn. Hochschule Stuttgart. Mit 60 Abbild. Nr. 519.

Elektrischen Meßinstrumente, Die, von I. Herrmann, Prof, an der Techn. Hochschule in Stuttgart. Mit 195 Figuren. Nr. 477.

Elektrische Telegraphie, Die,

Lud. Rellstab. Mit 19 Fig. Nr. 172.

Elektrizität. Theoret. Physik III: Elektrizität u. Magnetismus von Dr. Gust. Jäger, Prof. a.d.Techn.Hoch-schule in Wien. Mit 33 Abbildgn. Nr. 78.

Elektrochemie von Dr. Heinr. Danneel in Genf. I: Theoretische Elektrochemie u.ihre physikalisch-chemischen Grundlagen. Mit 16 Fig. Nr. 252.

--II: Experiment. Elektrochemie,

Meßmethoden, Leitfähigkeit, Lö-sungen. Mit 26 Fig. Nr. 253.

Elektromagnet. Lichttheorie. Theoret. Physik IV: Elektromagnet. Lichttheorie u. Elektronik von Professor Dr. Gust. Jäger in Wien. Mit 21 Figuren. Nr. 374.

Elektrometallurgie von Dr. Friedrich Regelsberger, Kaiser!. Reg.-Rat in Steglitz-Berlin. M. 16 Fig. Nr. HO.

Elektrotechnik. Einführung in die Starkstromtechnik v. I. Herrmann, Prof. d. Elektrotechnik an der Kgl. Techn. Hochschule Stuttgart. I: Die physikalischen Grundlagen. Mit 95 Fig. u. 16 Taf. Nr. 196.

--II: Die Gleichstromtechnik. Mit

118 Fig. und 16 Taf. Nr. 197.

--III: Die Wechselstromtechnik.

Mit 154 Fig. u. 16 Taf. Nr. 198.

Elektrotechnik. Die Materialien des Maschinenbaues und der Elektrotechnik von Ingenieur Prof. Her-mctmt Wilda in Bremen. Mit 3 Abbildgn. Nr. 476.

Elsaß-Lothringen, Landeskunde von, v. Prof. Dr. R. Langenbeck in Straßburg i. E. Mit 11 Abbild, u. 1 Karte. Nr. 215.

Englisch-deutsches Gesprächsbuch von Prof. Dr. E. Hausknecht in Lausanne. Nr. 424.

Englische Geschichte v. Prof. L. Gerber, Oberlehrer in Düsseldorf. Nr. 375.

Englische Handelskorrespondenz von E. E. Whitfield, M. A., Oberlehrer King Edward VII Grammur School in King's Lynn. Nr. 237.

Englische Literaturgeschichte von Dr. Karl Weiser in Wien. Nr. 69.

--Grundzüge und Haupttypen d.

englischen Literaturgeschichte von Dr. Arnold M. M. Schröer, Prof, an der Handelshochschule in Köln. 2 Teile. Nr. 286, 287.

Englische Phonetik mit LesestUcken von Dr. A. C. Dunstan, Lektor an der Univers. Königsberg i. Pr. Nr. 601.

Entwicklungsgeschichte der Tiere von Dr. Johannes Meisenhenner, Prof, der Zoologie an der Universität Jena. I: Furchung, Primitivanlagen, Larven, Formbildung, Em-bryonalhüllen. Mit 48 Figuren. Nr. 378.

--II: Organbildung. Mit 46 Fig.

Nr. 379.

Epigonen, Die, des höfischen Epos. Auswahl aus deutschen Dichtungen des 13. Jahrhunderts von Dr. Viktor Junk, Aktuarius der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. Nr. 289.

Erdbau von Reg.-Baum. Erwin Link in Stuttgart. Mit vielen Abbild. Nr. 630.

Erdmagnetismus, Erdstrom u. Polarlicht von Dr. A. Nippoldt, Mitglied des Königl. Preußischen Meteorologischen Instituts in Potsdam. Mit 7 Tafeln und 16 Figuren. Nr. 175.

Erdteile, Länderkunde der außereuropäischen, von Dr. Franz Heiderich, Professor an der Exportakademie m Wien. Mit 11 Textkärtchen und Profilen. Nr. 63.

Ernährung und Nahrungsmittel von Oberstabsarzt Professor H. Bischofs in Berlin. Mit 4 Abbild. Nr. 464.

Wä

rm d

Ethik von Prof. Dr. Thomas Achelis in Bremen. Nr. 90.

Europa, Länderkunde von, von Dr. Franz Heiderich, Prof. a. d. Exportakademie in Wien. Mit 14 Textkärtchen u. Diagrammen u. einer Karte der Alpeneinteilung. Nr. 62.

Exknrfionsflora von Deutschland zum Bestimmend.häufigereni. Deutschland wildwachsenden Pflanzen von Dr. W. Migula, Prof, an der Forstakademie Eisenach. 2 Teile Mit je 50 Abbildungen. Nr. 263 und 269.

Experimentalphysik v. Prof. R. Lang in Stuttgart. I: Mechanik der festen, flüssigen und gasigen Körper. Mit 125 Figuren. Nr. 611.

Explosivstoffe. Einführung in d. Che mie der explosiven Vorgänge von Dr. H. Brunswig in Sieglitz. Mit 6 Abbild, und 12 Tab. Nr. 333.

Familienrecht. Recht d. Bürgerlichen Gesetzbuches. Viertes Buch: Familienrecht von Dr. Heinrich Titze, Prof. a.d. Univ.Göttingen. Nr.305.

Färberei. Textil-Jndustrie III: scherei, Bleicherei, Färberei ihre Hilfsstoffe von Dr. Wilhelm Massot, Prof, an der Preußischen höheren Fachschule f. Textilindustrie in Krefeld. Mit 28 Fig. Nr. 186.

Feldgeschütz, Das moderne, v. Oberstleutnant W. Heydenreich, Militärlehrer a. d. Militärtechn. Akademie in Berlin. I: Die Entwicklung des Feldgeschützes seit Einführung des gezogenen Jnfanteriegewehrs bis einschl. der Erfindung des rauchl. Pulvers, etwa 1850 bis 1890. Mit 1 Abbild. Nr. 306.

--II: Die Entwicklung d. heutigen

Feldgeschützes auf Grund der Erfindung des rauchlosen Pulvers, etwa 1890 bis zur Gegenwart. Mit 11 Abbild. Nr. 307 Fernsprechwesen, Das, von Dr. Ludwig Rellstab in Berlin. Mit 47 Fig. und 1 Tafel. Nr. 155. Festigkeitslehre v. W. Hauber, Dipl.-Jngenieur. Mit 56 Fig. Nr. 288. — Aufgabensammlung zur Festigkeitslehre mit Lösungen von R. Haren, Diplom-Ingenieur in Mannheim. Mit 42 Fig. Nr. 491.

Fette, Die, und Ole sowie die Seifen-u. Kerzenfabrikat, u. d. Harze, Lacke, Firnisse m. ihren wicht. Hilfsstoffen von Dr. Karl Braun in Berlin. I: • Eins. in d. Chemie, Besvrech. einiger Salze u. b. Fette u. Lle. Nr. 335.

--II: Die Seifenfabrikation, die

Seifenanalyse und die Kerzenfabrikation. Mit 25 mbitb. Nr. 336.

--III: Harze, Lacke, Firnisse.

Nr. 337.

Feuerwaffen. Geschichte d. gesamten Feuerwaffen bis 1850. Die Entwicklung der Feuerwaffen v. ihrem ersten Auftreten bis zur Einführung der gezogenen Hinterlader, unter besonderer Berücksichtig, d. Heeresbewaffnung von Major a. D. W. Gohlke, Steglitz-Berlin. Mit 105 Abbildungen. Nr. 530.

Feuerwerkerei, Die, von Direktor Dr. Alfons Bujard, Vorstand des Städtischen Chemischen Laboratoriums in Stuttgart. Mit 6 Fig. Nr. 634.

Filzfabrikation. Textil-Jndustrie II: Weberei, Wirkerei, Posamentiere-rei, Spitzen- und Gardinenfabrikation und Filzfabrikation von Professor Max Gürtler, Geh. Re-gierungsr. im Kgl. Landesgewerbeamt zu Berlin. Mit 29 Fig. Nr. 185.

Finanzsysteme der Großmächte, Die, (Internat. Staats- und Gemeinde-Finanzwesen) v. O. Schwarz, Geh. Oberfinanzrat in Berlin. 2 Bändchen. Nr. 450 und 451.

Finanzwissenfchaft von Präsident Dr.

R. van der Borght in Berlin. I: Allgemeiner Teil. Nr. 143.

--II: Besonderer Teil (Steuer-

lebre). Nr. 391.

Finnisch-ugrische Sprachwissenschaft von Dr. Josef Szinnyei, Prof, an der Universität Budapest. Nr. 463.

Finnland. Landeskunde des Europäischen Rußlands nebst Finnlands von Prof. Dr. A. Philippson in Halle a. S. Nr. 359.

Firnisse. Harze, Lacke, Firnisse von Dr. Karl Braun in Berlin. (Fette und Ole III.) Nr. 337.

Fische. Das Tierreich IV: Fische von Prof. Dr. Max Rauther in Neapel. Mit 37 Abbild. Nr. 356.

Das, in

Fischerei und Fischzucht von Dr. Karl Eckstein, Prof. a. d. Forstakademie Eberswalde, Abteilungsdirigent bei der Hauptstation des forstlichen Bersuchswesens. Nr. 159.

Flora. Exkursionsflora von Deutschland zum Bestimmen der häufigeren in Deutschland wildwachsenden Pflanzen v. Dr. W.Migula, Pros. a. d. Forstakademie Eisenach. 2 Teile. Mit je 50 Abbild. Nr. 268, 269.

Fluß bau von Regierungsbaumeister Otto Rappold in Stuttgart. Mit 103 Abbildungen. Nr. 597.

Forensische Psychiatrie von Professor Dr. W. Weygandt, Dir. d. Irren-anstalt Friedrichsberg i. Hamburg. 2 Bändchen. Nr. 410 u. 411.

Forstwissenschaft v. Dr. Ad. Schwappach, Prof. a. d. Forstakademie Eberswalde, Abteilungsdirig. bei d. Hauptstation d. forstl. Bersuchswesens. Nr. 106.

Fortbildungsschulwesen, Das deutsche, nach seiner geschichtl. Entwicklung u. i. sein, gegenwärt. Gestalt v.

H.Siercks, Revisor gewerbl. Fortbildungsschulen in Schleswig. Nr. 392.

Franken. Geschichte Frankens v. Dr. Christ. Meyer, Kgl. preuß. Staatsarchivar a. D., München. Nr. 434.

Frankreich. Französische Geschichte v. Dr. R. Sternfeld, Prof, an der Universität Berlin. Nr. 85.

Frankreich. Landest, v. Frankreich v. Dr. Rich. Reuse, Direkt, d. Oberrealschule in Spandau. 1. Bändch. M. 23 Abb. im Text u. 16 Landschaftsbild. auf 16 Taf. Nr. 466.

--2. Bändchen. Mit 15 Abb. im

Text, 18 Landschaftsbild, auf 16 Tafeln u. 1 lithogr. Karte. Nr. 467.

Französisch-deutsches Gesprächsbuch von C. Francillon, Lektor am orientalisch. Seminar u. an d. Handelshochschule in Berlin. Nr. 596.

Französische Handelskorrespondenz v. Prof. Th. de Beaux, Officier de l’Instruction Publique. Nr. 183.

Französisches Lesebuch mit Wörterverzeichnis von Cyprien Francillon, Lektor a. oriental. Seminar u. a. d. Handelshochschule i.Berlin. Nr.643.

Fremdwort, Das, im Deutschen v. Dr. Rud. Kleinpaul, Leipzig. Nr. 55.

Fremdwörterbuch, Deutsches, von Dr. Rud. Kleinpaul, Leipzig. Nr. 273.

Fuge. Erläuterung u. Anleitung zur Komposition derselben v. Prof. Stephan Krehl in Leipzig. Nr. 418.

Funktionentheorie, Einleitung in die, (Theorie der komplexen Zahlenreihen) v. Max Rose, Oberlehrer an der Goetheschule in Deutsch-Wilmersdorf. Mit 10 Fig. Nr. 581.

Fußartillerie, Die, ihre Organisation, Bewaffnungu.Ausbildg.v. Splett, Oberleutnant im Lehrbataillon der Fußartillerie-Schießschule u. Biermann, Oberleutnant in der Ber» suchsbatter. d. Artillerie-Prüfungskommission. Mit 35 Fig. Nr. 560.

Gardinenfabrikation. Textilindustrie II: Weberei, Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- u. Gardinen-fabrikation u. Filzfabrikation von Prof. Max Gürtler, Geh. Reg.-Rat im Kgl. Landesgewerbeami zu Berlin. Mit 29 Figuren. Nr. 185.

Gas- und Wafserinstallationen mit Einschluß der Abortanlagen von Prof. Dr. phil. und Dr.-Jngen. Eduard Schmitt in Darmstadl. Mit 119 Abbildungen. Nr. 412.

Gas kraftmaschinen, Die, v.Jng. Alfred Kirschke in Kiel. 2 Bändchen. Mit vielen Figuren. Nr. 316 u. 651.

Gasthäuser und Hotels von Architekt Max Möhler in Düsseldorf. I: Die Bestandteile u. die Einrichtung des Gasthauses. Mit 70 Fig. Nr. 525.

--II: Die verschiedenen Arten von

Gasthäusern. Mit 82 Fig. Nr. 526.

Gebirgsartillerie. Die Entwicklung der Gebirgsartillerie von Kluß-mann, Oberst u. Kommandeur der 1. Feld-Art.-Brigade in Königsberg i. Pr. Mit 78 Bildern und Übersichtstafeln. Nr. 531.

Genossenschaftswesen,

Deutschland v. Dr. Otto Lindecke in Düsseldorf. Nr. 384.

Geodäsie von Prof. Dr. C Reinherh in Hannover. Neubearbeitet von Dr.

G. Förster, Observator «.Geodätisch. Inst. Potsdam. M. 68 Abb. Nr. 102.

— Vermessungskunde v. Diplom-Jng. P. Werkmeister, Oberlehrer an der Kais.Techn. Schulei.Straßburgi.E. I: Feldmessen u. Nivellieren. Mit 146 Abb. II: Der Theodolit. Trigonometrische und barometr. Höhenmessung. Tachymetrie. Mit 109 Abbildungen. Nr. 468, 469.

Geographie, Geschichte der, von Prof. Geschäfts- und Warenhäuser v. Hans Dr. Konrad Kretschmer i.Charlotten-    Schliepmann, Königl. Baurat in

bürg. Mit 11 Kart. im Text. Nr. 624.    Berlin. II: Die weitere Ent-

Geologie in kurzem Auszug f. Schulen    Wickelung der Kaufhäuser Mit

u. zur Selbstbelehruug zusammen-    39 Abbildungen. Nr. 656.

gestellt li. Prof. Dr. Eberl,. Fraas Geschichtswissenschaft, Einleitung in in Stuttgart. Mit 16 Abbild, u.    die, v. Dr. Emst Beruhet,n, Prof.

4 Taselu mit 51 Figuren. Nr. 13.    an der UniB. Greifswald. Nr. 270.

Geometrie, Analytische, ber Ebene Geschütze, Die modernen, der Fuß-b. Pros. Dr. M. Simon in Straß.    arttller.e v. Mummenhofs, Ma,or

bürg. Mit 52 Figuren. Nr. 65.    n.Lehrer an d. Fußartillerie-Schieß-

--Aufgabenfammlimg zur Ana-    schule in Jüterbog. I: Vom Auflytischen Geometrie derEbene von    treten d. gezogenen Geschütze bis

O. Th. Surften, Professor am    »uc Verwendung des rauch,chwa-

Kgl. Realgymnasium in Schwab.»    chen Pulvers 18s0 1890. Mit

Gmünd. Mit 32 Fig. Nr. 256.    ⁵⁰ Textbildern. Nr. 334

--des Raumes von Prof. Dr ~ - Dw Entwicklung der Heu-

M. Simon in Stratzburg. Mit    tigen Geschütze der Fußart,llerre

28 Abbildungen. Nr. 89.    rauch,chwachen

--Aufgabensammlung zur Aua-    Pulvers 1890 bis zur Gegenwart.

lytischen Geometrie des Raumes ...    l« LS« JmD* F.r„ ³

von O. Th. Bürklen, Professor am Geschwindigkeit^ regier der Kraft Kgl. Realgymnasium in Schwäb.»    Maschinen, Die, von Dr-Kig. H.

Gmünd. Mit 8 Fig. Nr. 309.    Kroncr >u Friedberg. Mit 33

—    Darstellende, von Dr. Robert m -brstureu. Nr. 604.

Haußuer, Pros. an d. Unib. Jena. Gesetzbuch. Bürgerliches stehe: Recht I Mit 110 Mauren Nr 142    des Bürgerlichen Gesetzbuches.

-    - II Mit 40 Figuren Nr 143. Gesundheitslehre. Der menschliche

—    Ebene, bon G. Mahler, Professor K°rber, sein Bau und seine Tatig-

am Gymnasium in Ulm. Mit    v-E Rebinann, Oberschulrat

111 zweifarbigen Figuren. Nr. 41. -n Karlsruhe. Mit Gesundheits.

-    Projektibe. iusynthet. Behandlung ^rebonDr med. & Seiler. Mit

von Dr. Karl Doehlemann, Prof.    Jnn °nr WntTH«

₉aUi«u"™eX,t™tind’en' E ®CToäam «rM350I)r' ^ ^ ®e»TCe,»bfnD?B,'    ®%erÄCantibenr HaZLfochsW

von

Zeichnen von H. Becker,    Werner Sombart, Prof. a. b. Han-

Architekt u. Lehrer an der Bau-    delshochschule Berlin. Nr. 209.

gewerkschule in Magdeburg, neube- Gewerbliche Bauten. Industrielle ^beriet von Prof. I. Vonderlmn    imb gewerbliche Bauten (Speicher,

!?»^lter. Mit 290 Figuren und    Lagerhäuser u. Fabriken) v. Archi-

23 Tafeln tnt Text. . Nr. 58.    teit Heinr. Salzmann in Düsseldorf.

Germanische Mythologie von Dr. E.    I: Allgemeines über Anlage und

Mögt, Prof. a. d. Univ. Leipzig.    Konstruktion der industriellen und

Nr. 15.    gewerblichen Bauten. Nr. 511.

Germanische Sprachwissenschaft von--II: Speicher und Lagerhäuser.

Dr. Rich. Loewe. Nr. 238.    Mit 123 Figuren. Nr. 512.

Gesangskunst. Technik der deutschen Gewichtswesen. Maß-, Münz- u. Ge-Gesangskunst von Osk. Noe u. Dr. wichtswesen von Dr. Aug. Blind, Hans Joachim Moser. Nr. 576.    Prof. a. d. Handelsschule in Köln.

Geschäfts- und Warenhäuser v. Hans Nr. 283.

Schliepmann, Königl. Baurat in Gießereimaschinen von Dipl.-Jng. Berlin. I: Vom Laden zum,,Grand Emil Treiber in Heidenheim a. B. Magasin“. Mit 23 Abb. Nr. 655. Mit 51 Figuren. Nr. 548.

an

Glas- und keramische Industrie (Industrie der Silikate, der künstlichen Bausteine und des Mörtels I) v. Dr. Gust. Nauter in Charlottenburg. Mit 12 Tafeln. Nr. 233. Gleichstrommaschine, Die, von Ing. Dr. C. Kinzbrunner in London. Mit 81 Figuren. Nr. 257. Gletscherkunde v. Dr. Fritz Machacek in Wien. Mit 5 Abbildungen im Text und 11 Tafeln. Nr. 154. Gotische Sprachdenkmäler mit Grammatik, Übersetzung u. Erläulergn. v. Dr. Herm. Jantzen, Direktor d. Königin Luise-Schule in Königsberg i. Pr. Nr. 79.

Gottfried von Straßburg. Hartmann von Aue. Wolfram von Eschenbach und Gottfried von Straßburg. Auswahl a.d.höfisch.Epos m. Anmerk. u. Wörterbuch v. Dr. K. Marold, Prof, am Kgl. Friedrichs-Kollegium zu Königsberg i. Pr. Nr. 22.

Graphischen Künste, Die, von Carl Kamp mann, k. k. Lehrer an der k. k. Graphischen Lehr- und Bersuchs-stalt in Wien. Mit zahlreichen Abbildungen u. Beilagen. Nr. 75. Griechische Altertumskunde v. Prof. Dr. dtiä). Maisch, neu bearbeitet v. Rektor Dr. Franz Pohlhammer. Mit 9 Vollbildern. Nr. 16. Griechische Geschichte von Dr. Heinrich Swoboda, Professor an d. deutschen Universität Prag. Nr. 49. Griechische Literaturgeschichte mit Berücksichtigung d. Geschichte der Wissenschaften v. Dr. Alfred Gercke, Prof, an der Univ. Breslau. 2 Bändchen. Nr. 70 u. 557. Griechischen Papyri, Auswahl aus, von Prof. Dr. Robert Helbing in Karlsruhe i. B. Nr. 625. Griechischen Sprache, Geschichte der, I: Bis zum Ausgange d. klassischen Zeit v. Dr. Otto Hoffmann, Prof. • a. d. Univ. Münster. Nr. 111. Griechische u. römische Mythologie v. Prof. Dr. Herrn. Steuding, Rekt. d. Gymnas. in Schneeberg. Nr. 27. Grundöuchrecht, Das formelle, von Oberlandesgerichtsr. Dr.F.Kretzsch-mar in Dresden. Nr. 549. Handelspolitik, Auswärtige, von Dr. Heinr. Sieveking, Professor der Universität Zürich. Nr. 245.

Handelsrecht, Deutsches, von Dr. Karl Lehmann, Prof, an b. Universität Göttingen. I: Einleitung. Der Kaufmann u. seine Hilfspersonen. Offene Handelsgesellschaft. Kom-mandit- u. stille Gesellsch. Nr. 457.

--II: Aktiengesellschaft. Gesellsch.

nt. b. H. Eing. Gen. Handelsgesch. Nr. 458.

Handelsschulwesen, Das deutsche, von Direktor Theodor Blum in Dessau. Nr. 558.

Handels stand, Der, von Rechtsanwalt Dr. jur. Bruno Springer in Leipzig (Kaufm. Rechtsk. Bd. 2). Nr. 545.

Handelswesen, Das, von Geh. Oberregierungsrat Dr. Wilh. Lexis, Professor an der Universität Göttingen. I: Das Handelspersonal und der Warenhandel. Nr. 296.

--II: Die Effektenbörse und die

innere Handelspolitik. Nr. 297.

Handfeuerwaffen, Die Entwicklung der, seit der Mitte des 19. Jahrhunderts u. ihr heutiger Stand von G. Wrzodek, Hauptmann u. Kompagniechef im Jns.-Reg. Freiherr HillervonGärtringen(4.Posensches) Nr. 59 in Sold au. Mit 21 Abbildgn. Nr. 366.

Harmonielehre von A. Halm. Mit vielen Notenbeispielen. Nr. 120.

Hartmann von Aue, Wolfram von Eschenbach und Gottfried von Straß bürg. Auswahl aus d. höfischen Epos mit Anmerk. u. Wörterbuch von Dr. K. Marold, Prof, am Königl. Friedrichs-Kollegium zu Königsberg i. Pr. Nr. 22.

Harze, Lacke, Firnisse von Dr. Karl Braun in Berlin. (Die Fette und Ole III). Nr. 337.

Hebezeuge, Die, ihre Konstruktion u. Berechnung von Ing. Prof. Herm. Wilda, Bremen. Mit 399 Abb. Nr. 414.

Heeresorganisation, Die Entwicklung der, seit Einführung der stehenden Heere von Otto Neuschler, Hauptmann u. Batteriechef in Ulm. I: Geschichtl. Entwicklung bis zum Ausgange d. 19. Jahrh. Nr. 552,

Heizung u. Lüftung v. Ing. Johannes Körting in Düsseldorf. I: Das Wesen u. die Berechnung der Hei-zungs- u. Lüftungsanlagen. Mit 34 Figuren. Nr. 342.

Hessen.

Heizung u. Lüftung v. Ing. Johannes Körting in Düsseldorf. II: Die Ausführung d. Heizungs- u. Lüftungsanlagen. Mit 191 Figuren. Nr. 343.

Landeskunde des Großherzogtums Hessen, der Provinz Hessen-Nassau und des Fürstentums Waldeck v. Prof. Dr. Georg Greim in Darmstadt. Mit 13 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 376.

Hieroglyphen von Geh. Regier.-Rat Dr. Ad. Erman, Prof, an der Universität Berlin. Nr. 608.

Hochspannungstechnik,Einführ.in die moderne, von Dr.-Jng. K. Fischer in Hamburg-Bergedorf. Mit 92 Fig. Nr. 609.

Holz, Das. Aufbau, Eigenschaften u. Verwendung v. Ing. Prof. Herm. Wilda in Bremen. Mit 33 Abb. Nr. 459.

Hotels. Gasthäuser und Hotels von Archit. Max Wühler in Düsseldorf. I: Die Bestandteile u. d. Einrichtg. d. Gasthauses. M. 70 Fig. Nr. 525.

--II: Die verschiedenen Arten von

Gasthäusern. Mit 82 Figuren. Nr. 526.

Hydraulik v. W. Hauber, Dipl.-Jng. in Stuttgart. Mit 44 Figuren. Nr. 397.

Hygiene des Städtebaus, Die, von Prof. H. Chr. Nußbaum in Hannover. Mit. 30 Abb. Nr. 348.

— des Wohnungswesens, Die, von Prof. H. Chr. Nußbaum in Hannover. Mit 5 Abbild. Nr. 363.

Iberische Halbinsel. Landeskunde der Iberischen Halbinsel von Dr. Fritz Regel, Prof. a. d. Univ. Würzburg. M. 8 Kärtchen u. 8 Abb. im Text u.

1 Karte in Farbendruck. Nr. 235.

Indische Religionsgeschichte von Prof. Dr. Edmund Hardy. Nr. 83.

Jndogerman. Sprachwissenschaft von Dr. R. Meringer, Professor an der Univers. Graz. M. 1 Tafel. Nr. 59.

Industrielle u. gewerbliche Bauten (Speicher, Lagerhäuser u.Fabriken) von Architekt Heinr. Salzmann in Düsseldorf. I: Allgemeines üb. Anlage u. Konstruktion d. industriellen u. gewerblichen Bauten. Nr. 511.

--II: Speicher und Lagerhäuser.

Mit 123 Figuren. Nr. 512.

Infektionskrankheiten, Die, und ihre Verhütung von Stabsarzt Dr. W. Hoffmann in Berlin. Mit 12 vom Verfasser gezeichneten Abbildungen und einer Fiebertafel. Nr. 327.

Insekten. Das Tierreich V: Insekten von Dr. I. Groß in Neapel (Sta-zione Zoologica). Mit 56 Abbildungen. Nr. 594.

Jnstrumentenlehre v. Musikdir. Franz Mayerhoff in Chemnitz. I: Text. Nr. 437.

--II: Notenbeispiele. Nr. 438.

Integralrechnung von Dr. Friedr. Junker, Rekt. d. Realgymnasiums u. d. Oberrealschule in Göppingen. Mit 89 Figuren. Nr. 88.

— Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Integralrechnung von Dr. Friedr. Junker, Rekt. d. Realgymnasiums u. der Oberrealschule in Göppingen. M. 52 Fig. Nr. 147.

Israel. Geschichte Israels bis auf die griechische Zeit von Lic. Dr.

I. Benzinger. Nr. 231.

Italienische Handelskorrespondenz v. Prof. Alberto de Beaux, Oberlehrer am König!. Institut S. S. Annunziata in Florenz. Nr. 219.

Italienische Literaturgeschichte von Dr. Karl Boßler, Professor an der Universität München. Nr. 125.

Kalkulation, Die, im Maschinenbau von Ingen. H. Bethmann, Dozent am Technikum Altenburg. Mit 63 Abbildungen. Nr. 486.

Kältemaschinen. Die thermodynamischen Grundlagen der Wärme-kraft- und Kältemaschinen von M Röttinger, Dipl.-Jng. in Mannheim. Mit 73 Figuren. Nr. 2.

Kamerun. Die deutschen Kolonien I: Togo und Kamerun von Prof. Dr. Karl Dove. Mit 16 Tafeln und einer lithogr. Karte. Nr. 441.

Kanal- und Schleusenvau von Regierungsbaumeister Otto Rappold in Stuttgart. Mit 78 Abb. Nr. 585.

Kant, Immanuel. (Geschichte der Philosophie Bd. 5) von Dr. Bruno Bauch, Prof. a. d. Univ. Jena. Nr. 536.

Kartell u. Trust v. Dr. S. Tschierschky in Düsseldorf. Nr. 522

Kartenkunde von Dr. M. Groll, Kartograph i. Berlin. 2 Bändchen. I: Die Projektionen. Mit 56 Fig. Nr. 30.

Kiautschou. Die deutschen Kolonien II: Das Südseegebiet und Kiautschou v. Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 520.

Kinematik von Dipl.-Jng. Hans Polster, Assist, a. d. Kgl. Techn. Hochschule Dresden. M. 76 Abb. Nr. 584.

Kirchenrecht v. Dr. E. Setzling, ord. Prof.d.Rechte in Erlangen. Nr.377.

Klima und Leben (Bioklimatologie) von Dr. Wilh. R. Eckardt, Assist, an der ösfentl. Wetterdienststelle in Weilburg. Nr. 629.

Klimakunde I: Allgemeine Klimalehre vonProf. Dr. W. Köppen, Meteorologe der Seewarte Hamburg. Mit 7 Taf. u. 2 Figuren. Nr. 114.

Kolonialgeschichte von Dr. Dietrich Schäfer, Professor der Geschichte an der Universität Berlin. Nr. 156.

Kolonialrecht, Deutsches, von Prof. Dr. H. Edler von Hoffmann, Studiendirektor d. Akademie für kommunale Verwaltung in Düsseldorf. Nr. 318.

von

Kartenkunde von Dr. M. Groll, Kartograph in Berlin. II: Der Karteninhalt und das Messen auf Karten. Mit 39 Fig. Nr. 599. Kartographische Aufnahmen u. geo-graph. Ortsbestimmung auf Reisen von Dr.-Ing. R. Hugershoff, Prof, an der Forstakademie zu Tharandt. Mit 73 Figuren. Nr 607. Kaufmännische Nechtskunde. I: Das Wechselwesen v. Rechtsanwalt Dr. Rud. Mothes in Leipzig. Nr. 103. — II: Der Handelsstand v. Rechtsanwalt Dr. jur. Bruno Springer, Leipzig. Nr. 545.

Kaufmännisches Rechnen von Prof. Richard Just, Oberlehrer a. d. Offentl. Handelslehranstalt d. Dresdener Kaufmannschaft. I. II. III. Nr. 139, 140, 187.

Keramische Industrie. Die Industrie der Silikate, der künstlichen Bausteine und des Mörtels von Dr. Gust. Rauter. I: Glas- u. keram. Industrie. Mit 12 Taf. Nr. 233. Kerzenfabrikation. Die Seifenfabrikation, die Seifenanalyse und die Kerzenfabrikation von Dr. Karl Braun in Berlin. (Die Fette u. Ole II.) Mit 25 Abb. Nr. 336.

Kometen. Astronomie. Größe, Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper v. A. F. Möbius, neu bearb. v. Dr. Herm. Kobold, Prof, an der Univ. Kiel. II: Kometen, Meteore u. das Sternsystem. Mit 15 Fig. u. 2 Sternkarten. Nr. 529.

Kommunale Wirtschaftspflege Dr. Alfons Rieß, Magistratsassessor in Berlin. Nr. 534.

Kompositionslehre. Musikalische Formenlehre v. Steph. Krehl. I. II. M. viel. Notenbeispiel. Nr. 149, 150.

Kontrapunkt. Die Lehre von der selbständigen Stimmführung v. Steph. Krehl in Leipzig. Nr. 390.

Kontrollwesen, Das agrikulturchemische, von Dr. Paul Kirsche in Leopoldshall-Staßfurt. Nr. 304.

Koordinatensysteme v.Paul B. Fisch er, Oberl. a. d. Oberrealschule zu Groß-Lichterfelde. Mit 8 Fig. Nr. 507.

Körper, Ter menschliche, sein Bau und seine Tätigkeiten von E. Rebmann, Oberschulrat in Karlsruhe. Mit Gesundheitslehre v. Dr. med. H. Seiler. Mit 47 Abb. u. 1 Tafel. Nr. 18.

Kostenanschlag siehe: Veranschlagen.

Kriegsschiffban. Die Entwicklung des Kriegsschiffbaues vom Altertum bis zur Neuzeit. Von Tjard Schwarz, Geh. Marinebaurat und Schiffbau-Direktor. I. Teil: Das Zeitalter der Ruderschiffe u. der Segelschiffe für die Kriegsführung zur See vom Altertum bis 1840. Mit 32 Abbildungen. Nr. 471.

--II. Teil: Das Zeitalter der

Dampfschiffe für die Kriegsführung zur See von 1840 bis zur Neuzeit. Mit 81 Abbildungen. Nr. 472.

Kriegswesens, Geschichte des, von Dr. Emil Daniels in Berlin. I: Das antike Kriegswesen. Nr. 488.

--II: Das mittelalterliche Kriegswesen. Nr. 498.

--III: Das Kriegswesen der Neuzeit. Erster Teil. Nr. 518.

--IV: Das Kriegswesen der Neuzeit. Zweiter Teil. Nr. 537.

--V: Das Kriegswesen der Neuzeit. Dritter Teil. Nr. 568.

Kristallographie v. Dr. W. Bruhns, Prof. a. d. Bergakademie Clausthal. Mit 190 Abbild. Nr. 210.

Kristalloptik, Einführung in die, von Dr. Eberhard Buch Wald i. Münch Mit 124 Abbildungen. Nr. 619.

Logarithmen. ViersteUige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches u. trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von Dr. Herrn. Schubert, Prof, an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg. Nr. 81.

—    Fünfstellige, von Professor August Adler, Direktor der k. k. Staatsoberrealschule in Wien. Nr. 423.

Logik. Psychologie und Logik zurEin-führung in die Philosophie von Professor Dr. Th. Eisenbaus. Mit 13 Figuren. Nr. 14.

Lo ko mo tiv eit.    Eise nbahnfah rzeng e

von H. Hinnenthal. I: Die Lokomotiven. Mit 89 Abb. im Text u. 2 Tafeln. Nr. 107.

Lothringen. Geschichte Lothringens von Dr. Herrn. Derichsweiler, Geh. Regierungsrat in Straßburg. Nr. 6.

—    Landeskunde v. Elsaß-Lothringen v. Prof. Dr. R. Langenbeck in Straßburg i. E. Mit 11 Abb. u. 1 Karte. Nr. 215.

Kudrun und Dietrichepen. Mit Einleitung und Wörterbuch von Dr. O.

L. Jiriczek, Professor an der Universität Würzburg. Nr. 10.

Kultur, Die, der Renaissance. Gesittung, Forschung, Dichtung v. Dr.

Robert F. Arnold, Professor an der Universität Wien. Nr. 189.

Kulturgeschichte, Deutsche, von Dr.

Reinb. Günther. Nr. 56.

Kurvendiskussion. Algebraische Kurven von Eug. Beutel, Oberreallehrer in Vaihingen-Enz. I: Kurvendiskussion. Mit 57 Fig. im Text. Nr. 435.

Kurzschrift siehe: Stenographie.

Küstenartillerie. Die Entwicklung der Schiffs- und Küstenartillerie bis zur Gegenwart v.Korvettenkapitän Hüning. Mit Abbildungen und Tabellen. Nr. 606.

Lacke. Harze, Lacke, Firnisse von Dr.

Karl Braun in Berlin. (Die Fette Lötrohrprodierkunde. Qualitative und Ole III.) Nr. 337.    Analyse mit Hilfe des Lötrohrs

Lagerhäuser. Industrielle und ge-    von Dr. Mart. Henglein in Freiberg

werbliche Bauten. (Speicher,    i. Sa. Mit 10 Figuren. Nr. 483.

Lagerhäuser u. Fabriken) von Lübeck. Landeskunde d. Großherzog-Architekt Heinrich Salzmann, Düs-    tümer Mecklenburg u. der Freien

seldorf. II: Speicher u. Lager-    u. Hansestadt Lübeck v. Dr. Sebald

Häuser. Mit 123 Fig. Nr. 512.    Schwarz, Direktor der Realschule

Länder- und Völkernamen von Dr.    zum Dom in Lübeck. Mit 17 Ab-

Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 478.    bildungen und Karten im Text und

Landstraßenbau von Kgl. Oberlehrer    l lithographischen Karte. Nr. 487.

am

A. Liebmann, Betriebsdirekt, a. D. Luftelektrizität von Dr. Karl Kühler,

t. Magdeburg. Mit 44 Fig. Nr. 598. wissenschaftlichem Hilfsarbeiter Landwirtschaftliche Betriebslehre v. Königl. Preuß. Meteorologisch. E. Langenbeck in Groß-Lichterfelde. Magnetischen Observatorium in Nr. 227.    Potsdam. Mit 18 Abbildungen.

Landwirtschaftlichen Maschinen, Die,    Nr. 649.

von Karl Walther, Diplom.-Jng. Luftfalpeter. Seine Gewinnung durch in Mannheim. 3 Bändchen. Mit    den elektrischen Flammenbogen von

vielen Abbildgn. Nr. 407—409    Dr. G. Brion, Prof, an der Kgl.

Lateinische Grammatik. Grundriß der    Bergakademie in Freiberg. Mit

latem. Sprachlehre v. Prof. Dr. W.    ⁵⁰ Figuren. Nr. 616.

Votsch in Magdeburg. Nr. 82. Luft- und Meeresströmungen von Dr. — Sprache. Geschichte der lateini-    Franz Schulze, Direktor der Navi-

schen Sprache von Dr. Friedrich    gationsschule zu Lübeck. Mit 27 Ab-

Stolz, Professor an der Universität    bildungen und Tafeln. Nr. 551.

Innsbruck. Nr. 492.    Lüftung. Heizung und Lüftung von

Licht. Theoretische Physik II. Teil:    Ing. Johannes Körting in Tüssel-

Licht und Wärme. Von Dr. Gust.    dorf. I: Das Wesen und die Be-

Jäger, Prof, an der Techn. Hoch-    rechnung d. Heizungs- u. Lüftungsschule in Wien. M. 47 Abb. Nr. 77.    anlagen. Mit 34 Fig. Nr. 342.

am

Lüftung. Heizung und Lüftung von

Ing. Johannes Körting in Düsseldorf. II: Die Ausführung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. Mit 191 Figuren. Nr. 343.

Luther, Martin, und Thom. Murner. Ausgewählt und mit Einleitungen

u. Anmerkungen versehen v. Prof.

G. Beilit, Oberlehrer am Nikolai-gymnaäum zu Leipzig. Nr. 7.

Magnetismus. Theoretische Phhfik III. Teil: Elektrizität u. Magnetismus. Von Dr. Gustav Jäger, Prof, an der Technischen Hochschule Wien. Mit 33 Abbildungen. Nr. 78.

Mälzerei. Brauereiwesen I: Mälzerei von Dr. P. Dreverhoff, Direktor d. Öffentlichen und l.Sächs. Versuchsstation für Brauerei und Mälzerei, sowie der Brauer- und Mälzerschule zu Grimma. Nr. 303.

Maschinenbau, Die Kalkulation im, von Ingenieur H. Bethmann, Doz.

Technikum Altenburg. Mit 63 Abbildungen. Nr. 486.

— Die Materialien des Maschinenbaues und der Elektrotechnik von Ingenieur Pros. Hermann Wilda. Mit 3 Abbildungen. Nr. 476.

Mafchinenelemente, Die. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Beispielen für das Selbststudium u. d. praktischen Gebrauch von Fr. Barth, Oberingen. in Nürnberg. Mit 86 Fig. Nr. 3.

Maschinenzeichnen, Praktisches, von Ing. Richard Schiffner in Warmbrunn. I: Grundbegriffe, Einfache Maschinenteile bis zu den Kuppelungen. Mit 60 Tafeln. Nr. 589.

--II: Lager, Riemen- und Seilscheiben, Zahnräder, Kolbenpumpe. Mit 51 Tafeln. Nr. 590.

Maßanalyse von Dr. Otto Rohm in Darmstadt. Mit 14 Fig. Nr. 221.

Maß-, Münz- und Gewichtswesen von Dr. August Blind, Professor an der Handelsschule in Köln. Nr. 283.

Materialprüfungswesen. Einführung in die moderne Technik d. Materialprüfung von K. Memmler, Dipl.-Jngenieur, ständ. Mitarbeiter am Kgl. Material-Prüfungsamte zu Groß-Lichterfelde.    I: Material-

eigensch elften.— Festigkeitsversuche. — Hilfsmittel für Festigkeitsversuche. Mit 58 Figuren. Nr. 311.

Materialprüsungswesen. Einführung in die moderne Technik d. Materialprüfung von K. Memmler, Dipl.-Jngenieur, ständ. Mitarbeiter am Kgl. Material-Prüfungsamte zu Groß-Lichterfelde. II: Metallprüfung und Prüfung von Hilfsmaterialien d. Maschinenbaues. — Baumaterialprüfung. — Papierprüfung. — Schmiermiitelprüfung. — Einiges über Metallographie. Mit 31 Fig. Nr. 312.

Mathematik, Geschichte der, von Dr. A. Sturm, Prof, am Obergymnasium in Seitenstetten. Nr. 226.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik, enthaltend die wichtigsten Formeln u. Lehrsätze d. Arithmetik, Algebra, algebraischen Analysis, ebenenGeo-metrie, Stereometrie, ebenen und sphärischen Trigonometrie, math. Geographie, analyt. Geometrie der Ebene und des Raumes, der Differential- und Integralrechnung von O. Th. Bürklen, Professor am Kgl. Realgymnasium in Schw.-Gmünd. Mit 1*8 Figuren. Nr. 51.

Maurer- und Steinhauerarbeiten von Prof. Dr. phil. und Dr.-Jng. Ed. Schmitt in Darmstadt. 3 Bändchen Mit vielen Abbild. Nr. 419—421.

Mechanik. Theoret. Physik I. Teil: Mechanik und Akustik. Von Dr. Gust. Jäger, Prof, an der Technischen Hochschule in Wien. Mit 19 Abbildungen. Nr. 76.

Mechanische Technologie von Geh.Hofrat Professor A. Lüdicke in Braunschweig. 2 Bändchen. Nr. 340, 341.

Mecklenburg. Landeskunde d. Großherzogtümer Mecklenburg u. der Freien «. Hansestadt Lübeck von Dr. Sebald Schwarz, Direktor der Realschule zum Dom in Lübeck. Mit 17 Abbild, im Text, 16 Taf. und 1 Karte in Lithographie. Nr. 487.

Mecklenburgische Geschichte von Oberlehrer Otto Vitense in Neubrandenburg i. M. Nr. 610.

Meereskunde, Physische, von Prof. Dr. Gerhard Schott, Abteilungsvorsteher bei d. Deutschen Seewarte in Hamburg. Mit 39 Abbildungen im Text und 8 Tafeln. Nr. 112.

Meeresströmungen. Luft- u. Meeres-ftrömungen v. Dr. Franz Schulze, Dir. b. Navigationsschule zu Lübeck. Mit 27 Abb. u. Tafeln. Nr. 551.

Menschliche Körper, Der, sein Bau u. seine Tätigkeiten von E. Rebmann, Oberschulrat in Karlsruhe. MitGe-sundheitslehre v. Dr. med. H. Seiler. Mit 47 Abb. u.1 Tafel. Nr. 18.

Metallographie. Kurze, gemeinfaßliche Darstellung der Lehre von bett Metallen u.ihren Legierungen unter besond. Berücksichtigung der Metallmikroskopie v. Prof. E. Heyn u. Prof. O. Bauern. Kgl. Materialprüfungsamt (Gr.-Lichterfelde) b. K.Techn. Hochschule zu Berlin. I: Allgem. Teil. Mit 45 Abb. im Text und 5 Lichtbildern auf 3 Tafeln. Nr. 432.

— — II: Spez. Teil. Mit 49 Abbildungen im Text und 37 Lichtbildern auf 19 Tafeln. Nr. 433.

Metallurgie von Dr. August Geitz in Kristianssand (Norwegen). I. II. Mit 21 Figuren. Nr. 313, 314.

Meteore. Astronomie. Größe, Bewegung u. Entfernung der Himmelskörper von A. F. Möbius, neu bearbeitet von Dr. Herm. Kobold, Prof. a. d. Univ.Kiel. II: Kometen, Meteore u. das Sternensystem. Mit 15 Fig. u. 2 Sternkarten. Nr. 529.

Meteorologie v. Dr. W. Trabert, Prof, an der Universität Wien. Mit 49 Abbild, u. 7 Tafeln. Nr. 54.

Militärische Bauten von Neg.-Bau-meister R. Lang in Stuttgart. Mit 59 Abb. Nr. 626.

Militiirstrafrecht von Dr. Max Ernst Mayer, Prof, an d. Univ. Straß-burg i. E. 2 Bde. Nr. 371, 372.

Mineralogie von Geheimer Bergrat Dr. R. Brauns, Prof, an d. Univ. Bonn. Mit 132 Abbild. Nr. 29.

Minnesang und Spruchdichtung. Walther von der Vogelweide mit Auswahl aus Minnesang und Svruchdichtung. Mit Anmerkungen u. einem Wörterb. von O. Güntter, Prof, an d. Oberrealschule u. an d. Techn.Hochschulei.Stuttgar1.Nr.23.

Mittelhochdeutsche Dichtungen aus mittelhochdeutscher Frühzeit. In Auswahl mit Einleitg. u. Wörterbuch herausgeg. von Dr. Hermann Jantzen, Dir. d. Königin Luise-Schule i. Königsberg i.Pr. Nr. 137.

Mittelhochdeutsche Grammatik. Der Nibelunge Not in Auswahl und mittelhochdeutsche Gramnatik mit kurz. Wörterb. v. Dr. W Golther, Prof. a. d. Univ. Rostock Nr. i.

Morgenland. Geschichte »es alten Morgenlandes v. Dr. Fr Hommel, Prof, an d. Universität München. Mit 9 Bildern u. 1 Karte. Nr. 43.

Morphologie und Organographie oer Pflanzen v. Prof. Dr. M. Norddausen i. Kiel. M. 123 Abb. Nr. 141.

Mörtel. Die Industrie d. künstlichen Bausteine und des Niörtels von Dr. G. Rauter in Chaclottenburg. Mit 12 Tafeln. Nr. 234.

Mundarten, Die deutschen, von Prof. Dr. H. Reis in Mainz. Nr. 605.

Mundarten, Plattdeutsche, von Dr. Hubert Grimme, Professor an der Univerf. Münster i. W. Nr. 461.

Münzwesen. Maß-, Münz- und Gewichtswesen v.Dr.Aug.Blind, Prof, a. d. Handelsschule in Köln. Nr. 283.

Murner, Thomas. Martin Luther u. Thomas Murner Ausgewählt u. m. Einleitungen u. Anmerk, versehen von Prof. G. B erlit, Oberlehrer am Nikolaigymnas. zu Leipzig. Nr. 7.

Musikgeschichte der alten und mittelalterlichen, v. Dr. A. Möhler in Steinhaußen. 2 Bdch. Mit zahlt. Abb. u. Musikbeil. Nr. 121 u. 347.

Musikalische Akustik von Professor Dr. Karl L. Schäfer in Berlin. Mit 36 Abbildungen. Nr. 21.

Musikal.Formenlehre(Kompositions-lehre) von Stephan Krehl. I. II. Mit viel. Notenbeisp. Nr. 149,150.

Musikästhetik von Dr. Karl Grunsky in Stuttgart. Nr. 344.

Musikgeschichte des 17. und 18. Jahrhunderts von Dr. Karl Grunsky in Stuttgart. Nr. 239.

Musikgeschichte seit Beginn des 19. Jahrhunderts v. Dr. K. Grunsky in Stuttgart. I. II. Nr. 164, 165.

Musiklehre, Allgemeine, von Stephan Krehl in Leipzig. Nr. 220.

Nadelhölzer, Die, von Dr.F. W.Neger, Prof, an der Königl. Forstakademie zu Tharandt. Mit 85 Abbildungen,

5 Tabellen und 3 Karten. Nr. 355.

Nahrungsmittel. Ernährung u. Nahrungsmittel v. Oberstabsarzt Prof.

H. Bischofs in Berlin. Mit 4 Abbildungen. Nr. 464.

von

Nautik. Kurzer Abriß d. täglich an Bord von Handelsschiffen angew. Teils d. Schiffahrtskunde. Von Dr. Franz Schulze, Dir. d. Navigationsschule zu Lübeck. Mit 56 Abbildgn. Nr. 84.

Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch mit besond. Berücksichtigung d. Umgangssprache v. Dr. Johannes Kalitsunakis, Doz. am Seminar für Orient. Sprache in Berlin. Nr. 585.

Neunzehntes Jahrhundert. Geschichte des 19. Jahrhunderts von Oskar Jäger, o. Honorarprof. a. d. Univ. Bonn. l.Bdch.: 1800—l852.Nr.2l6.

--2. Bändchen: 1853 bis Ende des

Jahrhunderts. Nr. 217.

Neutestamentliche Zeitgeschichte Lic. Dr. W. Staerk, Prof. a. der Univ. in Jena. I: Der historische u. kulturgeschichtl. Hintergrund d. Urchristentums. M. 3 Karten. Nr. 325.

--II: Die Religion d. Judentums

im Zeitalter des Hellenismus und der Römerherrschaft. Mit 1 Planskizze. Nr. 326.

Nibelunge Not, Der, in Auswahl und mittelhochdeutsche Grammatik mit kurzem Wörterb. v. Dr. W.Golther, Prof, an der Univ. Rostock. Nr. 1.

Nordische Literaturgeschichte I: Die isländ. u. norweg. Literatur des Mittelalters v. Dr. Wolfg. Golther, Prof, an der Universität Rostock. Nr. 254.

Nutzpflanzen von Prof. Dr. I. Behrens, Borst. d. Großherzogl. land-wirtschaftl. Versuchsanst. Augusten-berg. Mit 53 Figuren. Nr. 123.

Ole. Die Fette u. Ole sowie d. Seifen-u. Kerzenfabrikation u. d. Harze, Lacke, Firnisse mit ihren wichtigsten Hilfsstoffen von Dr. Karl Braun in Berlin. I: Einführung in d. Chemie, Besprechung einiger Salze u. der Fette und Ole. Nr. 335.

Ole und Riechstoffe, Ätherische, von Dr. F. Rochussen in Miltitz. Mit 9 Abbildungen. Nr. 446.

Optik. Einführung in d. geometrische Optik von Dr. W. Hinrichs in Wilmersdorf-Berlin. Nr. 532.

Orientalische Literaturen. Die Literaturen des Orients von Dr. M. Haberlandt, Privatdoz. an d. Universität Wien. I: Die Literaturen Ostasiens und Indiens. Nr. 162.

Orientalische Literaturen. Die Literaturen des Orients von Dr. M. Haberlandt, Privatdoz. an d. Universität Wien. II: Die Literaturen d. Perser, Semiten und Türken. Nr. 163.

—    Die christlichen Literaturen des Orients von Dr. Ant. Baumstark. I: Einleitg. — Das christl.-aramäi-sche u. d. kopt. Schrifttum. Nr. 527.

--II: Das christlich-arabische und

das äthiopische Schrifttum. — Das christliche Schrifttum der Armenier und Georgier. Nr. 528. Ortsnamen im Deutschen, Die, ihre Entwicklung u. ihre Herkunft von Dr. Rudolf Kleinpaul in Leipzig-Gohlis. Nr. 573.

Ostafrika. (Die deutsch. Kolonien III) von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 567. Österreich. Österreichische Geschichte von Prof. Dr. Franz v.Krones, neu* bearb. von Dr. Karl Uhlirz, Prof.

a.    d. Univ. Graz. I: Bon d. Urzeit

b.    z. Tode König Albrechts II. (1439). Mit 11 Stammtaf. Nr. 104.

--II: Vom Tode König AlbrechtsII.

bis z. Wests. Frieden (1440—1648). Mit 3 Stammtafeln. Nr. 105.

—    Landeskunde v. Österreich-Ungarn von Dr. Alfred Grund, Prof, an d. Universität Prag. Mit 10 Text-illustrationen u. 1 Karte. Nr. 244.

Ovidius Nafo, Die Metamorphosen des. In Auswahl mit einer Einleit, u. Anmerk. herausgeg. v. Dr. Jul. Ziehen in Frankfurt a.M. Nr. 442. Pädagogik im Grundriß von Professor Dr. W. Rein, Direktor d. Pädagog. Seminars a. d. Univ. Jena. Nr. 12.

—    Geschichte der, von Oberlehrer Dr. H. Weimer in Wiesbaden. Nr. 145.

Paläogeographie. Geolog. Geschichte der Meere und Festländer von Dr. Franz Kossmat in Wien. Mit 6 Karten. Nr. 406.

Paläoklimatologie von Dr. Wilh. R.

Eckardt i.Weilburg (Lahn). Nr. 482. Paläontologie von Dr. Rud. Hoernes, Professor an der Universität Graz. Mit 87 Abbildungen. Nr. 95.

—    und Abstammungslehre von Dr. Karl Diener, Prof, an der Univers. Wien. Mit 9 Abbild. Nr. 460.

von

Palästina. Landes- und Volkskunde Palästinas von Lic. Dr. Gustav Hölscher in Halle. Mit 8 Vollbildern und 1 Karte. Nr. 345. Parallelperspektive. Rechtwinklige u. schiefwinklige Axonometrie v. Prof.

I. Vonderlinn in Münster. Mit 121 Figuren. Nr. 260. Personennamen, Die deutschen, v. Dr.

Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 422. Petrographie v. Dr. W. Bruhns, Prof, an der Bergakademie Clausthal. Mit 15 Abbildungen. Nr. 173. Pflanze, Die, ihr Bau und ihr Leben von Prof. Dr. E. Dennert. Mit 96 Abbildungen. Nr. 44. Pflanzenbaulehre. Ackerbau- und Pflanzenbaulehre von Dr. Paul Rippert in Essen u. Ernst Langen-beck in Groß-Lichterfelde. Nr. 232. Pflanzenbiologie v. Dr. W. Migula, Professor an d. Forstakademie Eisenach. I: Allgemeine Biologie. Mit 43 Abbildungen. Nr. 127. Pflanzenernährung. Agrikulturchemie I: Pflanzenernährung v. Dr. Karl Grauer. Nr. 329.

Pflanzengeographie von Professor Dr. Ludwig Diels in Marburg (Hessen). Nr. 389.

Pflanzenkrankheiten von Dr. Werner Friedr. Bruck, Privatdoz. i. Gießen. Mit 1 färb. Tafel und 45 Abbildgn. Nr. 310.

Pflanzenmorphologie. Morphologie it. Organographie d. Pflanzen von Prof. Dr. M. Nordhausen in Kiel. Mit 123 Abbildungen. Nr. 141. Pflanzenphysiologie von Dr. Adolf Hansen, Prof, an der Universität Gießen. Mit 43 Abbild. Nr. 591. Pflanzenreichs, Die Stämme des, von Privatdoz. Dr. Rob. Pilger, Kustos am Kgl. Botan. Garten in Berlin-Dahlem. Mit 22 Abb. Nr. 485. Pflanzenwelt, Die, der Gewässer von Dr. W. Migula, Prof. a. d. Forstak. Eisenach. Mit 50 Abb. Nr. 158. Pflanzenzellenlehre. Zellenlehre und Anatomie der Pflanzen von Prof. Dr. H. Miehe in Leipzig. Mit 79 Abbildungen. Nr. 556. Pharmakognosie. Bon Apotheker F. Schmitthenner, Assist, a. Botan. Institut d. Techn. Hochschule Karlsruhe. Nr. 251.

Pharmazeutische Chemie von Privat-dozent Dr. E. Mannheim in Bonn. 3 Bändchen. Nr. 543/44 u. 588.

Philologie, Geschichte d. klassischen,

v. Dr. Wilh. Kroll, ord. Prof. a. b. Uniü. Münster in Wests. Nr. 367.

Philosophie, Einführung in die, von Dr. Max Wentscher, Professor an der Universität Bonn. Nr. 281.

Philosophie, Geschichte d., IV: Neuere Philosophie bis Kant von Dr. B. Bauch, Professor an der Universität Jena. Nr. 394.

--V: Immanuel Kant von Dr.

Bruno Bauch, Professor an d. Universität Jena. Nr. 536.

--VI: Die Philosophie im ersten

Drittel des 19. Jahrhunderts von Arthur Drews, Prof, der Philosophie an.der Techn. Hochschule in Karlsruhe. Nr. 571.

—    Hauptprobleme der, v. Dr. Georg Simmel, Professor an der Universität Berlin. Nr. 500.

—    Psychologie und Logik zur Eins, in d. Philosophie von Prof. Dr. Th. Elsenhans. Mit 13 Fig. Nr. 14.

Photographie, Die. Von H. Keßler, Prof, an d. k. k. Graphischen Lehr-und Versuchsanstalt in Wien. Mit 3 Taf. und 42 Abbild. Nr. 94.

Physik, Theoretische, von Dr. Gustav Jäger, Prof, der Physik an der Techn. Hochschule in Wien. I. Teil: Mechanik und Akustik. Mit 24 Abbildungen. Nr. 76.

--II. Teil: Licht u. Wärme. Mit

47 Abbildungen. Nr. 77.

--III. Teil: Elektrizität u. Magnetismus. Mit 33 Abbild. Nr. 78.

--IV. Teil: Elektromagnet. Lichttheorie und Elektronik. Mit 21 Fig. Nr. 374.

Physik, Geschichte der, von Prof. A. Kistner in Wertheim a. M. I: Die Physik bis Newton. Mit 13 Fig. Nr. 293.

--II: Die Physik von Newton bis

z. Gegenwart. Mit 3 Fig. Nr. 294.

Physikalisch - Chemische Rechenaufgaben von Prof. Dr. N. Ab egg und Privatdozent Dr. O. Sackur, beide an der Univ. Breslau. Nr. 445.

PhysikalischeAufgabensammlung G. Mahler, Prof, der Mathematik u. Physik am Gymnasium in Ulm. Mit den Resultaten. Nr. 243.

Portugiesische Geschichte v.Dr. Gustav Diercks in Berlin-Steglitz. Nr. 622. Portugiesische Literaturgeschichte von Dr. Karl von Reinhardstoettner, Professor an der Kgl. Techn. Hochschule München. Nr. 213. Posamentiererei. Textil-JndustrieII: Weberei, Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- und Gardinensabri-kation und Filzfabrikation v. Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat

Physikalische Formelsammlung von G. Mahler, Prof, am Gymnasium in Ulm. Mit 65 Fig. Nr. 136.

Physikalische Messungsmethoden von Dr. Wilh. Bahrdt, Oberlehrer an d. Oberrealschule in Groß-Lichterfelde. Mit 49 Figuren. Nr. 301.

Physikalische Tabellen t>. Dr. A.^Leick, Oberlehrer an der Comeniusschule zu Berlin-Schöneberg. Nr. 650.

Physiologische Chemie von Dr. med. A. Legahn in Berlin. I: Assimilation. Mit 2 Tafeln. Nr. 240.

--II: Dissimilation. Mit 1 Taf.

Nr. 241.

Physische Geographie von Dr. Siegm. Günther, Prof, an der Kgl. Techn. Hochschule in München. Mit 32 Abbildungen. Nr. 26.

Physische Meereskunde von Prof. Dr. Gerh. Schott, Ableilungsvorst, b. d. Deutsch. Seewarte in Hamburg. M. 39 Abb. im Text u. 8 Taf. Nr. 112.

Pilze, Die. Eine Einführung in die Kenntnis ihrer Formenreihen von Prof. Dr. G. Lindau in Berlin. Mit 10 Figurengrupven i.Text. Nr. 574.

Planetensystem. Astronomie (Größe, Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper) von A. F. Möbius, neu bearb. von Dr. Herm. Kobold, Prof, a. d. Univ. Kiel. I: Das Planetensystem. Mit 33 Abbild. Nr. 11.

Plastik, Die, des Abendlandes von Dr. Hans Stegmann, Direktor des Bayer. Nationalmuseums in München. Mit 23 Tafeln. Nr. 116.

— Die, seit Beginn des 19. Jahrhunderts von A. Heilmeyer in München. Mit 41 Vollbildern. Nr. 321.

Plattdeutsche Mundarten von Dr.Hub. Grimme, Professor an der Universität Münster i. W. Nr. 461.

Poetik, Deutsche, v. Dr. K. Borinski, Prof. a. d. Univ. München. Nr. 40.

Polarlicht. Erdmagnetismus, Erd-strom u. Polarlicht von Dr. A. Nippoldt, Mitglied des Kgl. Preuß. Meteorolog. Instituts zu Potsdam. Mit 7 Taf. u. 16 Figuren. Nr. 175.

Polnische Geschichte von Dr. Clemens Brandenburger in Posen. Nr. 338.

Pommern. Landeskunde von Pommern von Dr. W. Deecke, Prof, an der Universität Freiburg i. B. Mit 10 Abb. und Karten im Text und 1 Karte in Lithographie. Nr. 575.

im Kgl. Landesgewerbeami zu Berlin. Mit 29 Fig. Nr. 185. Postrecht von Dr. Alfred Wolcke, Postinspektor in Bonn. Nr. 425. Preßluftwerkzeuge, Die, von Diplom-Jng. P. Iltis, Oberlehrer an der Kais. Techn. Schule in Straßburg. Mit 82 Figuren. Nr. 493. Preußische Geschichte. Brandenburg gisch-PreußischeGeschichte v. Prof. Dr. M. Thamm, Direktor d. Kaiser Wilhelms-Gymnasiums in Montabaur. Nr. 600.

Preußisches Staatsrecht von Dr. Fritz Stier-Somlo, Prof, an der Univ. Bonn. 2 Teile. Nr. 298, 299. Psychiatrie, Forensische, von Professor Dr. W. Weygandt, Dir. der Irren-anstalt Friedrichsberg in Hamburg.

2    Bändchen. Nr. 410 und 411. Psychologie und Logik zur Einführung

in d. Philosophie v. Prof. Dr. Th. Elsenhans. Mit 13 Fig. Nr. 14. Psychophysik, Grundriß der, v. Prof. Dr. G. F. Lipps in Zürich. Mit

3    Figuren. Nr. 98.

Pumpen, Druckwasser- und Druckluft-Anlagen. Ein kurzer Überblick von Dipl.-Jng. Rudolf Vogdt, Regierungsbaumeister a. D. in Aachen. Mit 87 Abbildungen. Nr. 290. Quellenkunde d. deutschen Geschichte von Dr. Carl Jacob, Prof, an der Universität Tübingen. 1. Band. Nr. 279.

Radioaktivität von Dipl.-Jng. Wilh. Frommel. Mit 21 Abbildungen Nr. 317.

Rechnen, Das, in der Technik u. seine Hilfsmittel (Rechenschieber,Rechentafeln, Rechenmaschinen usw.) von Ing. Joh. Eug. Mayer in Freiburg i. Br. Mit 30 Abbild. Nr. 405.

III. Nr. 139, 140, 187.

Recht des Bürgerlichen Gesetzbuchs. Erstes Buch: Allg. Teil. I: Ein

Rechnen, Kaufmännisches, von Prof. Richard Just, Oberlehrer an der Öffentlichen Handelslehranstalt der Dresdener Kaufmannschaft. I. II.

leitung — Lehre v. d. Personen u. v. d. Sachen v. Dr. P. Oertmann, Prof. a. d. Univ. Erlangen. Nr. 447.

--II: Erwerb u. Verlust, Geltendmachung u. Schutz der Rechte von Dr. Paul Oertmann, Professor an der Universität Erlangen. Nr. 448.

—    Zweites Buch: Schuldrecht. I. Abteilung: Allgemeine Lehren von Dr. Paul Oertmann, Professor an der Universität Erlangen. Nr. 323.

--II. Abt.: Die einzelnen Schuldverhältnisse v. Dr. Paul Oertmann, Prof, an der Universität Erlangen. Nr. 324.

—    Drittes Buch: Sachenrecht von Dr. F. Kretzschmar, Oberlandesgerichtsrat in Dresden. I: Allgem. Lehren. Besitz und Eigentum. Nr. 480.

--II: Begrenzte Rechte. Nr. 481.

—    Viertes Buch: Familienrecht von Dr. Heinrich Titze, Professor an der Universität Göttingen. Nr. 305.

Recht der Versicherungsunternehmungen, Das, von Regierungsrat a. D. Dr. jur. K. Leibl, erstem Direktor der Nürnberger Lebensversicherungsbank, früher Mitglied des Kaiserlichen Aufsichtsamts für Privatversicherung. Nr. 635.

Rechtsschutz, Der internationale gewerbliche, von I. Neuberg, Kaiserl. Regierungsrat, Mitglied d. Kaiserl. Patentamts au Berlin. Nr. 271.

Rechtswissenschaft, Einführung in die, von Dr. Theodor Sternberg in Berlin. I: Methoden- und Quellenlehre. Nr. 169.

--II: Das System. Nr. 170.

Redelehre, Deutsche, v. Hans Probst. Gymnasialvrof. inBamberg. Nr.61.

Redeschrift siehe: Stenographie.

Reichsfinanzen, Die Entwicklung der, von Präsident Dr. R. van der Borght in Berlin. Nr. 427.

Religion, Die Entwicklung der christlichen, innerhalb des Neuen Testaments von Professor Dr. Lic. Carl Clemen. Nr. 388.

Religion, Die, des Judentums tut Zeitalter des Hellenismus u. der Römerherrschaft von Lic. Dr. W. Staerk (Neutestamentliche Zeitgeschichte II.) Mit einer Plan-skizze. Nr. 326.

Religionen der Naturvölker, Die, von Dr. Th. Achelis, Professor in Bremen. Nr. 449. Religionswissenschaft, Abriß der vergleichenden, von Professor Dr. Th. Achelis itt Bremen. Nr. 208. Renaissance. Die Kultur der Renaissance. Gesittung, Forschung, Dichtung v. Dr. Robert F. Arnold, Prof. a. d. Univers. Wien. Nr. 189. Reptilien. Das Tierreich III: Reptilien und Amphibien. Bon Dr. Franz Werner, Prof. a. d. Univers. Wien. Mit 48 Abb. Nr. 383. Rheinprovinz, Landeskunde der, von Dr. B. Steinecke, Direktor d. Realgymnasiums in Essen. Mit 9 Abb., 3 Kärtchen und 1 Karte. Nr. 308. Riechstoffe. Ätherische Öle und Riechstoffe von Dr. F. Rochussen in Miltitz. Mit 9 Abb. Nr. 446. Roman. Geschichte des deutschen Romans von Dr. Hellm. Mielke. Nr. 229.

Romanische Sprachwissenschaft von Dr. Adolf Zauner, Prof. a. d. Univ. Graz. 2 Bände. Nr. 128, 250. Römische Altertumskunde von Dr.Leo Bloch in Wien. M. 8 Bollb. Nr. 45. Römische Geschichte von Nealgym-nasial-Direktor Dr. Jul. Koch in Grunewald. Nr. 19.

Römische Literaturgeschichte von Dr.

Herm Joachim in Hamburg. Nr.52. Römische und griechische Mythologie von Professor Dr. Hermann Steu-ding, Rektor des Gymnasiums in Schneeberg. Nr. 27.

Römische Rechtsgefchichte von Dr. Robert von Mayr, Prof, an der Deutschen Univers. Prag. 1. Buch: Die Zeit d. Bolksrechtes. 1. Hälfte: Das öffentliche Recht. Nr. 577.

■--2.Hälfte:DasPrivatrecht.Nr.578.

— 2. Buch: Die Zeit des Amtsund Verkehrsrechtes. 1. Hälfte: Das öffentliche Recht. Nr. 645.

--2. Hälfte: Das Privatrecht I.

Nr. 646.

--2. Hälfte: Das Privatrecht II.

Nr. 647.

am

wo

von

Rußland. Russische Geschichte von Dr. Wilh. Reeb, Oberlehrer Ostergymnasium in Mainz. Nr. 4.

—    Landeskunde des Europäischen Rußlands nebst Finnlands von Professor Dr. A. Philippson in Halle a. S. Nr. 359.

Russisch-Deutsches Gesprächsbuch von Dr. Erich Berneker, Professor an der Universirät München. Nr. 68.

Russische Grammatik von Dr. Erich Berneker, Professor an der Universität München. Nr. 66.

Russische Handelskorrespondenz von Dr. Theodor von Kawraysky in Leipzig. Nr. 315.

Russisches Lesebuch mit Glossar von Dr. Erich Berneker, Professor an der Universität München. Nr. 67.

Russische Literatur von Dr. Erich Boehme, Lektor a. d. Handelshochschule Berlin. I. Teil: Auswahl derner Prosa u. Poesie mit ausführlichen Anmerkungen u. Akzentbezeichnung. Nr. 403.

—    — II. Teil: Bceßojioai» TapniHHi, PascKasBi. Mit Anmerkungen und Akzentbezeichnungen. Nr. 404.

Russische Literaturgeschichte von Dr. Georg Polonskij in München. Nr. 166.

Russisches Vokavelbuch, Kleines, von Dr. Erich Boehme, Lektor an der Handelshochschule Berlin. Nr. 475.

Sachenrecht. Recht d. Bürgert. Gesetzbuches. Drittes Buch: Sachenrecht von Dr. F. Kretzschmar, Ober-landesgerichtsrat i.Dresden. I: Allgemeine Lehren. Besitz u. Eigentum.

--II: Begrenzte Rechte. Nr. 480,

481.

Sachs, Hans. Ausgewählt u. erläut. v. Prof. Dr. Julius Sahr. Nr. 24.

Sachsen. Sächsische Geschichte v. Prof. Otto Kaemmel, Rektor d. Nikolaigymnasiums zu Leipzig. Nr. ioo.

—    Landeskunde des Königreichs Sachsen v. Dr. I. Zemmrich, Oberlehrer am Realgymnas. in Plauen. Mit 12 Abb. u. 1 Karte. Nr. 258.

Säugetiere. Das Tierreich I: Säugetiere von Oberstudienrat Prof. Dr. Kurt Lampert, Vorsteher des Kgl. Naturalienkabinetts in Stuttgart. Mit 15 Abbildungen. Nr. 282.

Schattenkonstruktionen von Professor I. Vonderlinn in Münster. Mit 114 Figuren. Nr. 236.

Schiffs- und Küstenartillerie bis zur Gegenwart, Die Entwicklung der, von Korvettenkapitän Hüning. Mit Abbild, und Tabellen. Nr. 606.

Schleswig-Holstein. Landeskunde von Schleswig-Holstein, Helgoland u. der freien und Hansestadt Hamburg von Dr. Paul Hambruch, Abteilungsvorsteher am Museum für Völkerkunde in Hamburg. MitAbb., Plänen, Profilen und 1 Karte in Lithographie. Nr. 563.

Schleufenbau. Kanal- u. Schleusenbau von Regierungsbaumeister Otto Rappold in Stuttgart. Mit 78 Abbildungen. Nr. 585.

Schmalspurbahnen (Klein-, Arbeits-u. Feldbahnen) v. Dipl.-Jng. Aug. Boshart in Nürnberg. Mit 99 Abbildungen. Nr. 524.

Schmarotzer und Schmarotzertum in der Tierwelt. Erste Einführung in die tierische Schmarotzerkunde Dr. Franz v. Wagner, a. o. Prof. a. d. Univ. Graz. Mit 67 Abb. Nr 151.

Schreiner-Arbeiten. Tischler- (Schreiner-) Arbeiten I: Materialien, Handwerkszeuge, Maschinen,Einzelverbindungen, Fußböden, Fenster, Fensterladen,Treppen, Aborre von Prof. E. Viehweger, Architekt in Köln. Mit 628 Fig. auf 75 Tafeln. Nr. 502.

Schuldrecht. Recht des Bürgert. Gesetzbuches. Zweites Buch: Schuldrecht. I. Abteilung: Allgemeine Lehren von Dr. Paul Oertmann, Prof. a.d.Nniv. Erlangen. Nr. 323.

--II. Abteilung: Die einzelnen

Schuldverhältnisse von Dr. Paul Oertmann, Professor a. d. Universität Erlangen. Nr. 324.

Schule, die deutsche, im Auslande von Hans Amrhein, Seminar-Oberlehrer in Rheydt. Nr. 259.

Schulhaus. Die Baukunst des Schulhauses von Prof. Dr.-Jng. Ernst Belterlein in Darmstadt. I: Das Schulhaus. Mit 38 Abbild. II: Die Schulräume — Die Nebenanlagen. Mit 31 Abbild. Nr. 443 und 444.

Schulpraxis. Methodik d. Volksschule von Dr. R. Seyfert, Seminardirektor in Zschopau. Nr. 50.

tm

Schweiß- und Schneidverfahren, Das autogene, von Ingenieur Hans Niese in Kiel. Mit 30 Fig. Nr. 499.

Schweiz. Schweizerische Geschichte von Dr. K. Dändliker, Professor an der Universität Zürich. Nr. 188.

— Landeskunde der Schweiz von Prof. Dr. H. Walser in Bern. Mit 16 Abb. und 1 Karte. Nr. 398.

Schwimmanstalten. Offentl. Bade-und Schwimmanstalten von Dr. Karl Wolfs, Stadt-Oberbaurat in Hannover. Mit 50 Fig. Nr. 380.

Seemacht, Die, in der deutschen Geschichte von Wirkt. Admiralitätsrat Dr. Ernst von Halle, Professor an der Universität Berlin. Nr. 370.

Seerecht, Das deutsche, von Dr. Otto Brandts, Oberlandesgerichtsrat in Hamburg. I: Allgemeine Lehren: Personen und Sachen des Seerechts. Nr. 386.

--II: Die einzelnen seerechtlichen

Schuldverhältnisse: Vertrüge des Seerechts und außervertragliche Haftung. Nr. 387.

Seifenfabrikation, Die, die Seifenanalyse und d. Kerzenfabrikation v. Dr. Karl Braun in Berlin. (Die Fette u. Ole II.) Mit 25 Abbildgn. Nr. 336.

Semitische Sprachwissenschaft von Dr. C. Brockelmann, Professor an der Univers. Königsberg. Nr. 291.

Serbokroatische Grammatik von Dr. Vladimir Corobic, Bibliothekar des bosn.-herzegow. Landesmuseums in Sarajevo (Bosnien). Nr. 638.

Silikate. Industrie der Silikate, der künstlichen Bausteine und des Mörtels von Dr. Gustav Rauter in Charlottenburg. I: Glas u. keramische Industrie. M. 12 Taf. Nr. 233.

--II: Die Industrie der künstlichen

Bausteine und des Mörtels. Mit 12 Tafeln. Nr. 234.

Simplicins Simplicissimus von Hans Jakob Christoffel v. Grimmelshausen. In Auswahl herausgeg. von Prof. Dr. F. Bobertag, Dozent an der Universität Breslau. Nr. 138.

Skandinavien, Landeskunde von, (Schweden, Norwegen u. Dänemark) von Heinrich Kerp, Kreisschulinspektor in Kreuzburg. Mit 11 Abb. und 1 Karte. Nr. 202.

Slavische Literaturgeschichte von Dr. Josef Karäsek in Wien. I: Altere Literatur bis zur Wiedergeburt. Nr. 277.

--II: Das 19. Jahrh. Nr. 278.

Soziale Frage. Die Entwicklung der sozialen Frage von Professor Dr. Ferdin. Tönnies. Nr. 353.

Sozialversicherung von Prof. Dr. Alfred Manes in Berlin. Nr. 267.

Soziologie von Prof. Dr. Thomas Achelis in Bremen. Nr. 101.

Spalt- und Schleimpilze. Eine Einführung in ihre Kenntnis von Prof. Dr. Gustav Lindau, Kustos am Kgl. Botanischen Museum und Privat-j dozent der Botanik an der Universität Berlin. Mit 11 Abbildungen. Nr. 642.

Spanien. Spanische Geschichte von Dr. Gustav Diercks. Nr. 266.

— Landeskunde derJberifchenHalbinsel v. Dr. Fritz Regel, Prof, an der Univ. Würzburg. Mit 8 Kärtchen und 8 Abbild, im Text und 1 Karte in Farbendruck. Nr. 235.

Spanische Handelskorrespondenz von Dr. Alfredo Nadal de Mariezcur-rena. Nr. 295.

Spanische Literaturgeschichte v. Dr. Rud. Beer, Wien. I. II. Nr.167,168.

Speicher, Industrielle und gewerbliche Bauten (Speicher, Lagerhäuser u. Fabriken) v. Architekt Heinr. Salzmann in Düsseldorf. II: Speicher u. Lagerhäuser. Mit 123 Fig. Nr. 512.

Spinnerei. Textilindustrie I: Spinnerei und Zwirnerei von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsral ' Königl. Landesgewerbeamt zu Berlin. Mit 39 Figuren. Nr. 184.

Spitzenfabrikation. Textilindustrie II: Weberei, Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- und Gardinenfabrikat. u. Filzfabrikation von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat im Kgl. Landesgewerbe-amtzu Berlin. Mit 29 Fig. Nr.185.

Spruchdichtung. Walther von der Vogelweide mit Auswahl aus Minnesang und Spruchdichtung. Mit Anmerkgn. u. einem Wörterbuch v. Otto Güntter, Prof. a. d. Oberrealschule u. an der Technischen Hochschule in Stuttgart. Nr. 23.

Staatslehre, Allgemeine, von Dr. Hermann Nehm, Prof. a. d. Universität Straßburg i. E. Nr. 358.

Staatsrecht, Allgemeines, von Dr. Julius Hatschet, Prof. d. Rechte an der Universität Göttingen. 3 Bändchen. Nr. 415—417.

Staatsrecht, Preußisches, von Dr. Fritz Stier-Somlo, Prof. a. d. Universität Bonn. 2 Teile. Nr. 298, 299.

Stammesrunde, Deutsche, von Dr. Rudolf Much, a. o. Prof. a. d. Unit). Wien. M. 2 Kart. u. 2 Taf. Nr. 126.

Statik von W. Hauber, Dipl.-Jng. I. Teil: Die Grundlehren der Statik starrer Körper. Mit 82 Fig. Nr. 178.

---II. Teil: Angewandte Statik.

Mit 61 Figuren. Nr. 179.

—, Graphische, mit befond. Berücksichtig. der Einflußlinien von Kgl. Oberlehrer Dipl.-Jng. Otto Henkel in Rendsburg. l.Teil. Mit 121 Fig. Nr. 603.

Steinhauerarbeiten. Maurer- und Steinhauerarbeiten von Prof. Dr. phil. und Dr.-Jng. Eduard Schmitt in Darmstadt. 3 Bändchen. Mit vielen Abbildungen. Nr. 419—421.

Stenographie. Geschichte der Stenographie von Dr. Arthur Mentz in Königsberg i. Pr. Nr. 501.

Stenographie n. d. System v. F. Gabelsberger von Dr. Albert Schramm, Landesamtsassesfor in Dresden. Nr. 246.

—    Die Redeschrift des Gabelsberger, schen Systems von Dr. Albert Schramm, Landesamtsassesfor in Dresden. Nr. 368.

Stenographie. Lehrbuch d. Vereinfachten Deutschen Stenographie (Einig. - System Stolze - Schrey) nebst Schlüssel, Lesestücken u. einem Anhang von Professor Dr. Amsel, Oberlehrer des Kadettenkorps in Lichterfelde. Nr. 86.

—    Redeschrift. Lehrbuch der Redeschrift d. Systems Stolze-Schrey nebst Kürzungsbeisp., Lesestücken, Schlüssel und einer Anleitung zur Steigerung der stenographischen Fertigkeit von Heinrich Dröse, amtl. bad. Landtagsstenograph in Karlsruhe (B.). Nr. 494.

Stereochemie von Dr. E. Wedekind, Prof, an der Universität Tübingen. Mit 34 Abbildungen. Nr. 201.

Stereometrie von Dr. R: Glaser in Stuttgart. Mit 66 Fig. Nr. 97.

Sternsystem. Astronomie. Größe, Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper v. A. F. Möbius, neu bearb. v. Dr. Herm. Kobold, Prof. a. d. Univers. Kiel. II: Kometen, Me-' teore u. das Sternsystem. Mit 15 Fig. u. 2 Sternkarten. Nr. 529.

Steuersysteme des Auslandes, Die, v. Geh. Oberfinanzrat O. Schwarz in Berlin. Nr. 426.

Stilkunde v. Prof. Karl Otto Hart-mann in Stuttgart. Mit 7 Vollbild, u. 195 Textillustrationen. Nr. 80.

Stöchiometrische Aufgabensammlung von Dr. Wilh. Bahrdt, Oberl. an d. Oberrealschule in Groß-Lichter-felde. Mit den Resultaten. Nr. 452.

Straßenbahnen von Dipl.-Jng. Aug. Boshart in Nürnberg. Mit 72 Abbildungen. Nr. 559.

Strategie von Löffler, Major im Kgl. Sächs. Kriegsmin. i.Dresd. Nr.505.

Ströme und Spannungen in Starkstromnetzen v. Jos. Herzog, Dipl.-Elektroing. in Budapest u. Clarence Feldmann, Prof. d. Elektotechnik in Delft. Mit 68 Abb. Nr. 456.

Südamerika. Geschichte Südamerikas von Dr. Hermann Lufft. I: Das spanische Südamerika (Chile, Argentinien und die kleineren Staaten). Nr. 632.

Südseegebiet. Die deutschen Kolonien II: Das Süd seegebiet und Kiau-tschou v. Prof. Dr. K. Dove. M. 16 Taf. u. 1 lith. Karte. Nr. 520.

Talmud. Die Entstehung des Talmuds von Dr. S. Funk in Bosko-witz. Nr. 479.

Talmudproben von Dr. S. Funk in Boskowitz. Nr. 583.

Technisch-Chemische Analyse von Dr. G. Lunge, Prof. a. d. Eidgenösf. Polytechn. Schule in Zürich. Mit 16 Abbildungen. Nr. 195.

Technische Tabellen und Formeln von Dr.-Jng. W. Müller, Dipl.-Jng. am Kgl. Materialprüfungsamt zu Groß-Lichterfelde. Mit 106 Figuren. Nr. 579.

Technisches Wörterbuch, enthaltend die wichtigsten Ausdrücke d. Maschinenbaues, Schiffbaues u. d. Elektrotechnik von Erich Krebs in Berlin.

I. Teil: Dtsch.-Engl. Nr. 395.

--II. Teil: Engl.-Dtsch. Nr. 396.

---III. Teil: Dtsch.-Franz. Nr. 453.

--IV. Teil: Franz.-Dtsch. Nr. 454.

Technologie, Allgemeine chemische, v. Dr. Gust. Rauter in Charlottenburg Nr. 113.

—    Mechanische, v. Geh. Hofrat Prof. A. Lüdicke in Braunschweig. Nr. 340, 341.

Teerfarbstoffe, Die, mit bes. Berücksichtig. der synthetisch. Methoden v. Dr. Hans Bucherer, Prof. a. d. Kgl. Techn. Hochschule, Dresd. Nr. 214.

Telegraphenrecht v. Postinspektor Dr. jur. Alfred Wolcke in Bonn I: Einleitung. Geschichtliche Entwicklung. Die Stellung d. deutsch. Telegraphenwesens im öffentl. Rechte, allgemeiner Teil. Nr. 509.

--II: Die Stellung d. deutsch.Tele-

graphenwesens im öffentl. Rechte, besonderer Teil. Das Telegraphen-Strafrecht. Rechtsverhältnis d. Telegraphie z. Publikum. Nr. 510.

Telegraphie, Die elektrische, v. Dr. Lud. Rellstab. Mit 19 Fig. Nr. 172.

Testament. Die Entstehung des Alten Testaments v. Lic. Dr. W. Staerk, Prof. a. d. Univ. Jena. Nr. 272.

—    Die Entstehung des Neuen Testaments v. Prof. Lic. Dr. Carl Clemen in Bonn. Nr. 285.

Textilindustrie. I: Spinnerei und j Zwirnerei v. Prof. Max Gürtler, Geh. Reg.-Rat im Kgl. Landesge- , Werbeamt, Berlin. Mit 39 Figuren. Nr. 184.

—    II: Weberei, Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- und Gardinen-sabrikation und Filzsabrikation v. Prof. M. Gürtler, Geh. Regierungsrat i. Kgl. Landesgewerbeami zu Berlin. M. 29 Fig. Nr. 185.

—    III: Wäscherei, Bleicherei, Färberei und ihre Hilfsstofse von Dr. Wilh. Massot, Prof. a. d. Preuß. höheren Fachschule f. Textilindustr. in Krefeld. Mit 28 Fig. Nr. 186.

Thermodynamik (Technische Wärmelehre) v. K. Walther u. M. Röttinger, Dipl.-Jng. M. 54 Fig. Nr. 242.

Thermodynamik (Technische Wärmelehre). Die thermodynamischen Grundlagen der Wärmekraft- und Kältemaschinen von M. Röttinger, Dipl.-Jng. in Mannheim. Nr. 2.

Thüringische Geschichte v. Dr. Ernst Devrient in Leipzig. Nr. 352.

Tierbiologie. Abriß der Biologie der Tiere v. Dr. Heinrich Simroth, Prof a. d. Univ. Leipzig. Nr. 131.

Tiere, Entwicklungsgeschichte der, von Dr. Johs. Meisenheimer, Prof, der Zoologie a. d. Universität Jena. I: Furchung, Primitivanlagen, Larven, Formbildung, Embryonalhüllen. Mit 48 Fig. Nr. 378.

--II: Organbildung. Mit 46 Figuren. Nr. 379.

Tiergeographie v. Dr. Arnold Jacobi, Professor der Zoologie a. d. Kgl. Forstakademie zu Tharandt. Mit 2 Karten. Nr. 218.

Tierkunde von Dr. Franz v. Wagner, Prof. a. d. Universität Graz. Mit 78 Abbildungen. Nr. 60.

Tierreich, Das, I: Säugetiere v. Ober-studienr. Prof. Dr. Kurt Lampert, Vorst, d. Kgl. Naturalienkabinetts in Stuttgart. M. 15 Abb. Nr. 282.

—    III: Reptilien und Amphibien von Dr. Franz Werner, Prof. a. d. Univ. Wien. Mit 48 Abb. Nr. 383.

—    IV: Fische von Prof. Dr. Max Rauther in Neapel. Nr. 356.

—    V: Insekten von Dr. I. Groß in Neapel (Stazione Zoologica). Mit 56 Abbildungen. Nr. 594.

—    VI: Die wirbellosen Tiere von Dr. Ludw. Böhmig, Prof. d. Zool. a.d. Univ. Graz. I: Urtiere, Schwämme, Nesseltiere, Rippenquallen und Würmer. Mit 74 Fig. Nr. 439.

--II: Krebse, Spinnentiere, Tausendfüßer, Weichtiere, Moostierchen, Armfüßer, Stachelhäuter und Manteltiere. M. 97 Fig. Nr. 440.

Tierzuchtlehre, Allgemeine und spezielle, von Dr. Paul Rippert in Essen. Nr. 228.

Tischler- (Schreiner-) Arbeiten I: Materialien, Handwerkszeuge, Maschinen, Einzelverbindungen, Fußböden, Fenster, Fensterladen,Treppen, Aborte von Prof. E. Bieh-weger, Architekt in Köln. Mit 628 Figuren auf 75 Tafeln. Nr. 502.

Togo. Die deutschen Kolonien I: Togo und Kamerun von Prof. Dr. Karl Dove. Mit 16 Tafeln und einer lithographischen Karte. Nr. 441.

Toxikologische Chemie von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. Mit 6 Abbildungen. Nr. 465.

Trigonometrie, Ebene und sphärische, von Prof. Dr. Gerh. Hessenberg in Breslau. Mit 70 Fig. Nr. 99.

Tropenhygiene v. Medizinalrat Prof. Dr. Nocht, Direktor des Instituts für Schiffs- und Tropenkrankheilen in Hamburg. Nr. 369.

Trust. Kartell und Trust von Dr. S. Tschierschky in Düsseldorf. Nr. 522.

Turnen, Das deutsche, v. Dr. Rudolf Gasch, Prof. a. König Georg-Gymn. in Dresden. Mit 87 Abb. Nr. 628.

Turnkunst, Geschichte der, von Dr. Rudolf Gasch, Prof. a. König Georg-Gymnasium in Dresden. Mit 17 Abbildungen. Nr. 504.

Ungarn. Landeskunde von Österreich-Ungarn von Dr. Alfred Grund, Prof, an der Universität Prag. Mit 10 Textillustr. u. 1 Karte. Nr. 244.

Ungarische Literatur, Geschichte der, von Prof. Dr. Ludwig Katona und Dr. Franz Szinnyei, beide an der Universität Budapest. Nr. 550.

Ungarische Sprachlehre v. Dr. Josef Szinnyei, o. ö. Prof, an der Universität Budapest. Nr. 595.

Unterrichtswesen. Geschichte d. deutschen Unterrichtswefens von Prof. Dr. Friedrich Seiler, Direktor des Kgl. Gymnasiums zu Luckau. I. Teil: Von Anfang an bis zum Ende d. 18. Jahrh. Nr. 275.

--II. Teil: Vom Beginn des

19. Jahrhunderts bis auf die Gegenwart. Nr. 276.

Untersuchungsmethoden, Agrikultur-chemische, von Prof. Dr. Emil Hafelhoff, Vorsteher der landwirtschaftlichen Versuchsstation in Marburg in Hessen. Nr. 470.

Urgeschichte der Menschheit von Dr. Moritz Hoernes, Professor an der Univ. Wien. Mit 85 Abb. Nr. 42.

Urheberrecht, Das, an Werken der Literatur und der Tonkunst, das Verlagsrecht und das Urheberrecht an Werken d. bildenden Künste u. Photographie v. Staatsanw. Dr. I. Schlittgen in Chemnitz. Nr. 361.

Urheberrecht, Das deutsche, an literarischen, künstlerischen u. gewerbl. Schöpfungen, mit besonderer Berücksichtigung der internationalen Verträge von Dr. Gustav Rauter, Patentanwalt in Charlottenburg. Nr. 263.

Urzeit. Kultur der Urzeit von Dr. Moritz Hoernes, o. ö. Prof, an der Univ. Wien. 3 Bändch. I: Stein-zeit. Mit 40 Bildergrupp. Nr. 564.

--II: Bronzezeit. Mit 36 Bildergruppen. Nr. 565.

--III: Eisenzeit. Mit 35 Bildergruppen. Nr. 566.

Vektoranalysis von Dr. Siegfr. Valen-tiner, Prof, an der Bergakademie in Clausthal. Mit 16 Fig. Nr. 354.

Veranschlagen, Das, im Hochbau. Kurzgefaßtes Handbuch üb. d. Wesen d. Kostenanschlags v. Architekt Emil Beutinger, Assistent an der Technischen Hochschule in Darmstadt. Mit vielen Fig. Nr. 385.

Bereinigte Staaten. Landeskunde der Vereinigten Staaten von Nordamerika von Professor Heinrich Fischer, Oberlehrer am Luisenstädt. Realgymnasium in Berlin. I. Teil: Mit 22 Karten und Figuren im Text und 14 Tafeln. Nr. 381.

--II. Teil: Mit 3 Karten im Text,

17 Taf. u. 1 lith. Karte. Nr. 382.

Bergil. Die Gedichte des P. Vergilius Maro. In Auswahl mit einer Einleitung u. Anmerkungen herausgeg. von Dr. Julius Ziehen. I: Einleitung und Aeneis. Nr. 497.

Vermessungskunde von Dipl.-Jng. P. Werkmeister, Oberlehrer an der Kais. Techn. Schule in Straßburg i. E. I: Feld messen und Nivellieren. Mit 146 Abb. Nr. 468.

--II: Der Theodolit. Trigonometrische u. barometr. Höhenmessung. Tachymetrie. Mit 109 Abbildungen. Nr. 469.

Versicherungsmathematik von Dr. Alfred Loewy, Professor an der Universität Freiburg i. B. Nr. 180.

Versicherungswesen, Das, von Dr. iur. Paul Moldenhauer, Professor der Versicherungswissenschaft an der Handelshochschule Köln. I: Allgemeine Versieh erungslehre. Nr. 262.

--II: Die einzelnen Versicherungszweige. Nr. 636.

Völkerkunde v. Dr. Michael Haber-landt, k. u. k. Kustos d. ethnogr. Sammlung d. naturhist. Hofmuseums u. Privatdozent a. d. Univ. Wien. Mit 56 Abbild. Nr. 73.

Bölkernamen. Länder- u. Völkernamen von Dr. Rudolf Kleinpaul in Leipzig. Nr. 478.

Bolksbibliotheken (Bücher- u. Lesehallen), ihre Einrichtung u. Verwaltung v. Emil Jaeschke, Stadtbibliothekar in Elberfeld. Nr. 332.

Volkslied, Das deutsche, ausgewählt und erläutert von Prof. Dr. Jul. Sabr. 2 Bändchen. Nr. 25, 132

Volkswirtschaftslehre von Dr. Carl Johs. Fuchs, Professor an der Universität Tübingen. Nr. 133.

Volkswirtschaftspolitik v. Präsident Dr. R. van der Borght, Berlin. Nr. 177.

Waffen, Die blanken, und die Schutz-waffen, ihre Entwicklung von der Zeit der Landsknechte bis zur Gegenwart m. besonderer Berücksichtigung der Waffen in Deutschland, Österreich-Ungarn und Frankreich von W.Gohlke, Feuerwerks-Major a. D. in Berlin-Steglitz. Mit 115 Abbildungen. Nr. 631.

Wahrscheinlichkeitsrechnung von Dr. Franz Hack, Professor am Eberhard-Ludwigs-Gymnasium in Stuttgart. Mit 15 Fig. im Text. Nr. 508.

Waldeck. Landeskunde des Großherzogtums Hessen, der Provinz Hessen-Nassau und des Fürstentums Waldeck von Professor Dr. Georg Greim in Darmstadt. Mit 13 Abbildungen und 1 Karte. Nr. 376.

Waltharilied, Das, im Versmaße der Urschrift übersetzt u. erläutert von Prof. Dr. H. Althof, Oberlehrer am Realgymnas. in Weimar. Nr. 46.

Walther von der Vogelweide, mit Auswahl a. Minnesang u. Spruchdichtung. Mit Anmerkgn. u. einem Wörterbuch v. Otto Güntter, Prof, a. d. Oberrealschule und an der Techn. Hochsch. in Stuttgart. Nr.23.

Walzwerke. Die, Einrichtung und Betrieb. Von Dipl.-Ing. A. Holverscheid, Oberlehrer a. d. Kgl. Maschinenbau- u. Hüttenschule in Duisburg. Mit 151 Abbild. Nr. 580.

Warenhäuser. Geschäfts- u. Warenhäuser von Hans Schliepmann, Königl. Baurat in Berlin. I: Vom Laden zum „Grand Magasin“. Mit 23 Abbildungen. Nr. 655.

--II: Die weitere Entwickelung

der Kaufhäuser. Mit 39 Abbil-düngen. Nr. 656.

Warenkunde von Dr. Karl Hassack, Prof. u. Leiter der k. k. Handelsakademie in Graz. I. Teil: "Unorganische Waren. M. 40 Abb. Nr. 222.

--II. Teil: Organische Waren.

Mit 36 Abbildungen. Nr. 223.

Warenzeichenrecht, Das. Nach dem Gesetz z. Schutz d. Warenbezeichnungen v. 12. Mai 1894. VonReg.-RatJ. Neuberg, Mitglied des Kais. Patentamts zu Berlin. Nr. 360.

Wärme. Theoretische Physik II. T.: Licht u. Wärme. Von Dr. Gustav Jäger, Prof. a. d. Techn. Hochschule Wien. Mit 47 Abbildgn. Nr. 77.

Wärmekraftmaschinen. Die thermodynamischen Grundlagen der Wärmekrast- u. Kältemaschinen von M. Röttinger, Diplom-Jng. in Mannheim. M. 73 Fig. Nr. 2.

Wärmelehre, Technische, (Thermodynamik) v. K. Walther u. M. Röttinger, Dipl.-Ing. Mit 54 Figuren. Nr. 242.

Wäscherei. Textilindustrie III: Wä-scheret, Bleicherei, Färberei und ihre Hilssstosfe von Dr. Wilh. Massot, Prof, an der Preuß. höh. Fachschule für Textilindustrie in Krefeld. Mit 28 Figuren. Nr. 186.

Wasser, Das, und seine Verwendung in Industrie und Gewerbe v. Dr. Ernst Leher, Dipl.-Ing. in Saalfeld. Mit 15 Abbildungen. Nr. 261.

Wasser und Abwässer. Ihre Zusammensetzung, Beurteilung u. Untersuchung v. Prof. Dr. Emil Haselhoff, Vorst, d. landwirtsch. Versuchsstation in Marburg in Hessen. Nr. 473.

Wasserinstallationen. Gas- und Wasserinstallationen mitEinschluß der Abortanlagen v. Prof. Dr. phil. u. Dr.-Jng. Eduard Schmitt in Darmstadt. Mit 119 Abbild. Nr. 412.

Wasserturbinen, Die, von Dipl.-Ing. P. Holl in Berlin. I: Allgemeines. Die Freistrahlturbinen. Mit 113 Abbildungen. Nr. 541.

Wasserturbinen, Die, von Dipl.-Jng. ! Wirbellose Tiere. Das Tierreich VI: P. Holl in Berlin. II: Die Uber- | Die wirbellosen Tiere von Dr. druckturbinen. Die Wasserkraftan-    Ludwig Böhmig, Prof. d. Zoologie

lagen. Mit 102 Abbildgn. Nr. 542.    an der Univ. Graz. I: Urtiere,

Wasserversorgung der Ortschastcn v.    Schwämme, Nesscltiere, Rippen-

Dr.-Jng. Robert Weyrauch, Pros.    quälten u. Würmer. Mit 71 Ftg.

an der Kgl. Technischen Hochschule    ⁴³⁹-

Stuttgart. Mit 85 Fig. Nr. 5.

Weberei. Textilindustrie II: Weberei,

Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- u. Gardinensabrikation und Filzsabrikation von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat im Königl. Landesgewerbeamt zu Berlin. Mit 29 Figuren. Nr. 185.

Wechselstromerzeuger von Ing. Karl Pichelmayer, Prof, an der k. k.

Technischen Hochschule in Wien.

Mit 40 Figuren. Nr. 547.

Wechselwesen, Das, v. Rechtsanw. Dr.

Rudolf Mothes in Leipzig. Nr. 103.

Wehrverfassung, Deutsche, von Geh. Kriegsrat Karl Endres, vortr. Rat i. Kriegsminist, i. München. Nr. 401.

Werkzeugmaschinen für Holzbearbeitung, Die, von Ing. Professor Hermann Wilda in Bremen. Mit 125 Abbildungen. Nr. 582.

Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung, Die, von Ing. Prof. Hermann Wilda in Bremen. I: Die Mechanismen der Werkzeugmaschinen. Die Drehbänke. Die Fräsmaschinen. Mit 319 Abb. Nr. 561.

--II: Die Bohr- und Schleifmaschinen. Die Hobel-, Shaping-u. Stoßmaschinen. Die Sägen u. Scheren. Antrieb u. Kraftbedarf. Mit 199 Abbild. Nr. 562.

Westpreußen. Landeskunde der Provinz Westpreußen von Fritz Braun, Oberlehrer am Kgl. Gymnasium in Graudenz. Mit 16 Tafeln, 7 Textkarten u. 1 lith. Karte. Nr. 570.

Wettbewerb, Der unlautere, von Rechtsanwalt Dr. Martin Wassermann in Hamburg. I: Generalklausel, Reklameauswüchse, Ausverkaufs wesen, Angestelltenbestechung. Nr 339.

--II: Kreditschädigung, Firmen-

und Namenmißbrauch, Verrat von Geheimnissen, Ausländerschutz. Nr. 535.

--II: Krebse, Spinnentiere, Tausendfüßer, Weichtiere, Moostierchen, Armfüßer, Stachelhäuter u. Manteltiere. Mit 97 Fig. Nr. 440.

Wirkerei. Textilindustrie II: Weberei, Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- u. Gardinensabrikation und Filzfabrikation von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat im Königl. Landesgewerbeamt zu Berlin. Mit 29 Figuren. Nr. 185.

Wirtschaftlichen Verbände, Die, v. Dr. Leo Müffelmannin Rostock. Nr.586.

Wirtschastspslege. Kommunale Wirt-schaftspslege von Dr. Alfons Rieß, Magistratsass. in Berlin. Nr. 534.

Wohnungsfrage, Die, v. Dr. L. Pohle, Prof, der Staatswissenschaften zu Frankfurt a. M. I: Das Wohnungswesen in der modernen Stadt. Nr. 495.

--II: Die städtische Wohnungsund Bodenpolitik. Nr. 496.

Wolfram von Eschenbach. Hartmann v. Aue, Wolfram v. Eschenbach und Gottfried von Straßburg. Auswahl aus dem höf. Epos mit Anmerkungen und Wörterbuch von ' Dr. K. Marold, Prof, am Königl. Friedrichskollegium zu Königsberg i. Pr. Nr. 22.

Wörterbuch nach der neuen deutschen Rechtschreibung von Dr. Heinrich Klenz. Nr. 200.

—    Deutsches, von Dr. Richard Loewe in Berlin. Nr. 64.

—    Technisches, enthaltend die wichtigsten Ausdrücke des Maschinenbaues, Schiffbaues und der Elektrotechnik von Erich Krebs in Berlin. I. Teil: Deutsch-Englisch. Nr. 395.

--II. Teil: Engl.-Dtsch. Nr. 396.

--III. Teil: Dtsch.-Franz. Nr. 453.

--IV. Teil: Franz.-Dtsch. Nr. 454.

Württemberg. Württemvergische Geschichte v. Dr. Karl Weller, Prof, am Karlsgymnafium in Stuttgart. Nr. 462.

Zimmerarbeiten von Carl Opitz, Oberlehrer an der Kais. Techn. Schule in Straßburg i. E. I: Allgemeines, Balkenlagen, Zwischendecken und Deckenbildungen, hölz. Fußböden, Fachwerkswände, Hänge- und Sprengwerke. Mit 169 Abbildungen. Nr. 489.

Württemberg. Landeskunde des Königreichs Württemberg von Dr. K. Hassert, Professor der Geographie an der Handelshochschule in Köln. Mit 16 Vollbildern u. 1 Karte. Nr. 157.

Zeichenschule von Prof. K. Kimmich in Ulm. Mit 18 Tafeln in Ton-, Farben- und Golddruck und 200 Voll- und Textbildern. Nr. 39.

Zeichnen, Geometrisches, von H. Becker, Architekt und Lehrer an der Baugewerkschule in Magdeburg, neu bearbeitet von Prof. I. Von-derlinn, Direktor der königl. Baugewerkschule zu Münster. Mit 290 Fig. u. 23 Taf. im Text. Nr. 58.

Zeitungswesen, Das deutsche, von Dr. R. Brunhuber, Köln a. Rh. Nr. 400.

Zeitungswesen, Das moderne, (Syst, d. Zeitungslehre) von Dr. Robert Brunhuber in Köln a. Rh. Nr. 320.

Zeitungswesen, Allgemeine Geschichte des, von Dr. Ludwig Salomon in Jena. Nr. 351.

Zellenlehre und Anatomie der Pflanzen von Prof. Dr. H. Miehe in Leipzig. Mit 79 Abbild. Nr. 556.

Zentral-Perspektive von Architekt Hans Freyberger, neu bearbeitet von Professor I. Bonderlinn, Direktor der Königl. Baugewerkschule in Münster i. Wests. Mit 132 Fig. Nr. 57.

--II: Dächer, Wandbekleidungen,

Simsschalungen, Block-, Bohlen-und Bretterwände, Zäune, Türen, Tore, Tribünen und Baugerüste. Mit 167 Abbildungen. Nr. 490. Zivilprozeßrecht, Deutsches, von Prof. Dr. Wilhelm Kisch in Straßburg i. E. 3 Bände. Nr 428—430.

Zoologie, Geschichte der, von Prof.

Dr. Rud. Burckhardt. Nr. 357. Zünd waren von Direktor Dr. Alfons Bujard, Vorstand des Städtischen Chem. Laboratoriums Stuttgart. Nr. 109.

Zwangsversteigerung, Die, und die Zwangsverwaltung von Dr. F. Kretzschmar, Oberlandesgerichtsrat in Dresden. Nr. 523.

Zwirnerei. Textilindustrie I: Spinnerei und Zwirnerei von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat im Königlichen Landesgewerbeamt zu Berlin. AM 39 Figuren« Nr. 184.

----- Weitere Bände sind in Vorbereitung. ------

In unserm Verlag erschien soeben:

Geschichte der Austeilung und Kolonisation Afrikas seit dem Zeitalter der Entdeckungen

Von Dr.

Professor an

Erster Band: 1415—1870

Paul Darmstädter

i der Universität Güttingen

Broschiert M. 7.50, gebunden M. 9.50

<T\a5 Buch beabsichtigt, in kurzen Zügen, durchweg an der Hand der ^ Quellen, einen Überblick über die Geschichte der Aufteilung und Kolonisation Afrikas, vom Zeitalter der Entdeckungen bis in unsere Tage zu geben. Wie der Titel andeutet, ist die Aufgabe eine doppelte: es soll die Aufteilung des Erdteils geschildert werden, ein Vorgang, der sich zum großen Test in Europa abgespielt hat und ein wichtiges Kapitel der Weltgeschichte der neueren Zeit bildet; es soll dabei gezeigt werden, wie die Wertschätzung Afrikas in der Meinung der europäischen Völker jeweils eine verschiedene gewesen ist, natürlich unter dem Einfluß der herrschenden kolonialpolitischen Anschauungen, und wie dadurch der mehr oder minder rasche Gang der Aufteilung bestimmt wurde. Dann aber soll auch die Kolonisation, die Verwaltung und Ausnutzung der von den europäischen Nationen in Besitz genommenen Gebiete dargestellt und gezeigt werden, welche Bedeutung die afrikanischen Kolonien für die europäischen Völker gewonnen haben.

Der vorliegende erste Band behandelt die Epoche der portugiesischen Vorherrschaft (15. und 16. Jahrhundert), die Geschichte Afrikas in der Zeit des Sklavenhandels (17. und 18. Jahrhundert), und ausführlicher den Zeitraum vom Ende des 18. Jahrhunderts bis 1870, in dem namentlich die Darstellung der ägyptischen Expedition Napoleons sowie die Geschichte Algeriens und Südafrikas Interesse erwecken werden. In einem zweiten Bande soll die Geschichte der Aufteilung und Kolonisation Afrikas bis in die unmittelbare Gegenwart fortgeführt werden. Ein beträchtlicher und nicht unwichtiger Teil der Geschichte der neuesten Zeit — es sei nur an Tunis und Ägypten, Tripolis und Marokko, die Gründung des Kongostaats und der deutschen Kolonien, den Burenkrieg und die Einigung Südafrikas erinnert — wird in dem Buche zur Darstellung gelangen, das ebenso dem Kolonialpolitiker wie dem Historiker zu dienen bestimmt ist.

2n unserm Verlag erschien ferner:

Historik

Ein Organon geschichtlichen Denkens u. Forschens

Don

Dr. Ludwig Rietz

Privatdozent an der Universität Berlin

Erster Band

25 Bogen gr. 8°. Broschiert M. 7.50, in Halbfranz geb. M.9.50

Die Aufgabe der „Historik" ist von Wilhelm von Humboldt und von Johann Gustav Droysen am klarsten erfaßt worden. Sie mutz die produktive Ausprägung der allgemeinen Gedanken sein, die in den mustergültigen geschichtlichen Betrachtungen übereinstimmend als Ausgangspunkt oder Zielpunkt der Forschung unmittelbar vorausgesetzt werden. Es handelt sich dabei nicht um die methodischen Kunstgriffe der Heuristik, Kritik und Interpretation, sondern um das Eindringen in den Kern aller menschlichen Beziehungen und in die Wirksamkeit der Kräfte, auf denen die Abwandlungen der historischen Begebenheiten beruhen. Dieses Element der Wirklichkeit geistig zu durchdringen ist die Aufgabe, die hier zum ersten Male zu lösen versucht wird. So gestaltet sich die Darstellung zu einer durch scharfe Begriffsbestimmungen und anschauliche Beispiele auf der Höhe wahrer Wissenschaft gehaltenen Enzyklopädie der Grundüberzeugungen der Geschichts- und Menschenkenner.

In unserm Verlag erschien ferner:

Grundriß einer Philosophie des Schaffens

als Kulturphilosophie

Einführung in die Philosophie als Weltanschauungslehre Von

Dr. Otto Braun

Privatdozent der Philosophie in Münster i. W.

Broschiert M. 4.50, gebunden M. 5.—

sucht er an ein

‘TNei Verfasser findet das Wesen der Philosophie darin, daß sie Gesamt-^ Wissenschaft, d. h. Weltanschauungslehre ist: sie erhebt sich auf dem Fundament aller übrigen Wissenschaften und sucht (induktiv) zu einem Weltbilde vorzudringen, dessen ..Wahrheit" durch seine personale Einheitlichkeit bedingt ist. Nachdem der Verfasser sich eine erkenntnistheoretische Basis geschaffen — es wird ein Real-Idealismus vertreten Grunderlebnis anzuknüpfen, das er durch den Begriff „Schaffen" bezeichnet. Dieses Schaffen führt zur Entwicklung einer Kulturphilosophie — die Formen und Stoffe des Schaffens werden untersucht und dann die Hauptgebiete des Kulturlebens in den Grundzügen dargestellt: Wissenschaft, Kunst, Religion, soziales Leben, Staat, Recht, Sitte, Ethik finden ihre Würdigung. So wird der Versuch gemacht, aus dem Wesen des modernen Geistes heraus eine systematische Weltanschauung zu gewinnen, wobei der kulturimmanente Standpunkt ausschlaggebend ist, wenn auch eine kosmisch-metaphysische Vertiefung sich als notwendig zeigt, der Begriff des Schaffens wird durch einen gesHichtsphilosophischen Überblick über das 19. Jahrhundert als notwendig und berechtigt erwiesen.

In unserm Verlag erschien ferner:

Der deutsche Student

Von

Pros. Dr. Theobald Ziegler

Elfte und zwölfte Auflage Gebunden M. 3.50

'TNtefe „Studentenpredigten", wie sie Paulsen genannt hat, haben sich unter der studierenden Jugend viele Freunde erworben. Und so war es nicht zu verwundern, daß das Buch feit seinem Erscheinen fast alljährlich eine neue Auflage erlebte. Herausgewachsen war es aus der fin-de-siMe-©timmimß vor der Jahrhundertwende, die besonders in studentischen Kreisen die Herzen höher schlagen und das Blut rascher kreisen ließ, eben deswegen aber auch nach besonnener Führung sich sehnte. Eine solche fanden sie hier. Den Auflagen im neuen Jahrhundert fügte der Berfasser eine Nachtragsvorlesung hinzu zur Überleitung in ruhigere Bahnen und zur Ergänzung durch manches inzwischen Neugewordene. Im Winter 1905/06 aber hat er in Straßburg die Vorlesung über den deutschen Studenten noch einmal gehalten und hier vor allem die Vorgänge jener bewegten Zeit, des sogenannten „Hochschulstreites" und des Kampfes gegen die konfessionellen Korporationen freimütig und kritisch besprochen. Der neuen Auflage ist die Vorlesung in dieser späteren Fassung, wenigstens in der ersten größeren Hälfte, zugrunde gelegt worden. Die kin-de-Liöele-Stimmung ist verschwunden, dafür sind die Probleme, die das Studentenleben im ersten Jahrzehnt des Losten Jahrhunderts bewegt haben und bewegen, in den Vordergrund gerückt und so das Buch durchaus modernisiert und wieder ganz aktuell geworden. Dabei hat es eine nicht unbeträchtliche Erweiterung erfahren. Und doch ist der Geist des Buches der alte geblieben, es ist der Geist der Freiheit, die als akademische Studenten und Professoren gleichmäßig am Herzen liegt, und der Geist eines kräftigen sittlichen Idealismus, der sich nicht fürchtet, Jünglinge zu wagen, damit Männer aus ihnen werden. Und auch der alte gute Freund des deutschen Studenten ist der Verfasser geblieben, der ihn versteht, weil er ihn liebt. Das zeigt gleich von vornherein die Widmung des Buches an die Straßburger Studentenschaft. So ist es beim Abgang Zieglers von Straßburg zu einem Vermächtnis an seine jungen Freunde auf allen deutschen Hochschulen geworden, und soll nun auch in der neuen Gestalt wieder vielen eine Hilfe werden und ein Halt.

Roßberg'sche Buchdruckerei, Leipzig

<

/

s

r*

wmawM

WMKMWWWMGMWWSWKMNUM

H

idt

Biblioteka Politechniki Krakowskiei

III

1-301326

18

Ti

i!

II

li

Ilm

ilüBiip

iw

I iiiiiiii

t

!

iiiiiiaiiiiiif

_

1--—SU

100000295793

im

W

■I