WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

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BIBLIOTEKA GfcÖWNA

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Hochbautechnische

Bibliothek

aus der Sammlung Göschen

Geologie von Dr. Edgar Dacque.

I.    Allgemeine Geologie. Mit 75 Figuren.......Nr. 13

II.    Stratigraphie. Mit 56 Figuren und 7 Tafeln ... Nr. 846 Mineralogie von Prof. Dr. R. Brauns. Mit 132 Figuren. Nr. 29 Petrographie von Prof. Dr. W. Bruhns. Neubearb. von

Prof. Dr. P. Ramdohr. Mit 10 Abbild.........

Praktisches Zahlenrechnen von Prof. Dr.-Ing. P. Werkmeister. Mit 58 Figuren...............

Technische Tabellen u. Formeln v. Dr.-Ing. W. Müller.

Mit 106 Figuren................. .

Materialprüfungswesen. Einführung in die moderneTech-nik der Materialprüfung von Dipl.-Ing. Prof. K. Memmler.

I.    Materialeigenschaften. Festigkeitsversuche. Hilfsmittel

für Festigkeitsversuche. Mit 58 Figuren......

II.    Metallprüfung und Prüfung von Hilfsmaterialien des

Maschinenbaues. Baumaterialprüfung. Papierprüfung. Schmiermittelprüfung. Einiges für Metallographie. Mit 31 Figuren....................

Statik von Prof. W. Hauber.

I. Die Grundlehre der Statik starrer Körper. Mit 82 Figuren. Nr. 178

Nr. 179

Nr. 173

Nr. 405

Nr. 579

Nr. 311

Nr. 312

II. Angewandte Statik. Mit 61 Figuren.........

Graphische Statik mit bes. Berücksichtigung d. Einflußlinien von Dipl.-Ing. Otto Henkel. 2 Bde. Mit 207 Fig. Nr. 603, 695 Statische Berechnung des Bautechnikers von Dipl.-Ing. Walter Selckmann.

Nr. 784

I.    Die statische Untersuchung der Bauteile des einfachen Wohnhauses. Mit 174 Figuren.......

II.    Die zusammengesetzte Festigkeit. Die statische Unter

Nr. 785

suchung des eisernen Dachbinders. Die Stand-sicherheit. Mit 122 Figuren ...........

Festigkeitslehre von Prof. W. Hauber. Mit 56 Figuren. Nr. 288 Aufgabensammlung zur Festigkeitslehre mit Lösungen von Dipl.-Ing. R. Haren. Mit 42 Figuren .... Nr. 491 Hydraulik von Prof. W. Hauber. Mit 45 Figuren .... Nr. 397 Kinematik von Dipl.-Ing. Hans Polster.    Nr. 584

Dynamik    ^ ^    Ir. 902,903

Ir. 953, 961 8-

r. 519,957 ** Nr. 959

T2CBdeiMr Biblioleka Politechniki Krakowskie|

Elastiziti Max Enß Nomogra Max Mail

100000298064

Graphische Darstellung in Wissenschaft und Tech-

niK von Obering. Dr. M. Pirani. Mit 58 Fig.......

Geometrisches Zeichnen von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn. Mit 290 Figuren und 23 Tafeln. Nr. 58 SchattenKonstruKtionen von Prof. J. Vonderlinn. Mit

114 Figuren.....................

Parallelperspektive. Rechtwinklige und schiefwinklige Axonometrie von Prof. J. Vonderlinn. Mit 121 Figuren. Nr. 260 Zentral-PerspeKtive von Hans Freyberger, neubearbeitet

von Prof. J. Vonderlinn. Mit 132 Figuren........Nr. 57

Darstellende Geometrie von Prof. Dr. Robert Haußner.

I. Mit HO Figuren. II. Mit 88 Figuren Die Baustoffkunde von Prof. H. Haberstroh. 3 Bände.

I.    Die Hauptbaustoffe. Mit 35 Abbildungen.....Nr. 506

II.    Die Baustoffe des Hochbaues. Mit 13 Abbildungen. Nr. 853

III.    Die Baustoffe des Tiefbaues. Mit 26 Abbildungen . Nr. 854 Vermessungskunde von Prof. Dipl.-Ing. P. Werkmeister.

I.    Stückvermessung und Nivellieren. Mit 146 Figuren . Nr. 468

II.    Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 84 Fig. Nr. 469

III. Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Topographie. Mit 61 Figuren . .

Das Veranschlagen im Hochbau. Kurzgefaßtes Handbuch über das Wesen des Kostenanschlages von Architekt

B. D. A. Emil Beutinger. Mit 16 Figuren........

Die Kostenberechnung im Ingenieurbau von Professor E. Kuhlmann und Dr.-Ing. H. Nitzsche. Mit 5 Tafeln . . Nr. 750 Bauführung von Arch. B. D. A. Emil Beutinger. Mit 20 Fig. Nr. 399 Maurer- und Steinhauerarbeiten von Prof. Dipl.-Ing.

W. Becker.

I.    Mauern u. Maueröffnungen; Fundamente. Mit 168Fig. Nr. 419

II.    Bogen und Gewölbe; Steinerne Treppen. Mit 208 Fig. Nr. 420

III.    Fußböden, Putz- und Stückarbeiten, Wandbekleidungen und Steingesimse. Mit 128 Figuren......

Schlosserarbeiten von Prof. E. Viehweger. 2 Bände.

Mit zahlreichen Figuren

Eisenkonstruktionen im Hochbau von Ing. Georg

Janetzky. Mit 175 Abb.................

Zimmerarbeiten von Prof. Carl Opitz.

I.    Allgemeines, Balkenlagen, Zwischendecken u. Deckenbildungen, hölzerne Fußböden, Fachwerkswände,

Hänge- und Sprengewerke. Mit 169 Figuren ....

II.    DScher, Wandbekleidungen, Simsscholungcn, Block-,

Bohlen- und Bretterwände, Zäune, Türen, Tore, Tribünen und Baugerüste. Mit 167 Figuren.....

Tischler- (Schreiner-) Arbeiten von Prof. RViehweger.

I.    Materialien, Handwerkszeuge, Maschinen, Einzelverbindungen, Fußböden, Fenster, Fensterladen,Treppen,

Aborte. Mit 628 Figuren auf 75 Tafeln........

II.    Türen und Tore, Anordnung und Konstruktion,

Haustüren, Tore, Balkontüren, Flurtüren. Mit 296 Figuren auf 105 Tafeln.............

III.    Innere Türen, Flügeltüren, Pendeltüren, Schiebetüren, Drehtüren, Wandverkleidungen, Decken. Neubearb. von Architekt Max Massaiski. Mit über 300 Fig. ... Nr. 755

Nr. 728

Nr. 236

Nr. 142, 143

Nr. 862

Nr. 385

Nr. 421

Nr. 761,762

Nr. 322

Nr. 489

Nr. 490

Nr. 502

Nr. 503

SB

Der Eisenbetonbau von Regierungsbaumeister K. Rö61e.

Neubearbeitet von Dipl.-Ing. O. Henkel. Mit 77 Figuren. Nr. 349 Heizung und Lüftung von Ingenieur Johannes Körting.

I. Das Wesen und die Berechnung der Heizungs- und

Lüftungsanlagen. Mit 24 Figuren ..........

II. Ausführung der Helzungs- und Lüftungsanlagen. Mit

172 Figuren....................

Entwässerung und Reinigung der Gebäude von

Dipl.-Ing. Wilhelm Schwaab. Mit 92 Figuren.......

Gas- und Wasserversorgung der Gebäude von Dipl.-

Ing. Wilhelm Schwaab. Mit 119 Figuren.........

Wohnhäuser von Reg.-Baumeister Kurt Gabriel.

I. Anlage und Konstruktion des Wohnhauses. Mit 91 Fig. Nr. 839 II. Die Räume des Wohnhauses. Mit 44 Figuren .... Nr. 840

Nr. 342

Nr. 343

Nr. 822

Nr. 412

Gasthäuser und Hotels von Architekt Max Wohler.

I. Die Bestandteile und die Einrichtung des Gasthauses.

Mit 70 Figuren..................Nr. 525

II. Die verschiedenen Arten von Gasthäusern. Mit 82 Fig. Nr. 526

Geschäfts- u.Warenhäuser von Baurat H.Schliepmann.

I. Vom Laden zum „Grand Magasin". Mit 23 Figuren. Nr. 655 II. Die weitere Entwicklung der Kaufhäuser. Mit 39 Fig. Nr. 656 Industrielle und gewerbliche Bauten (Speicher, Lagerhäuser und Fabriken) von Architekt Heinrich Salzmann.

I.    Allgemeines über Anlage und Konstruktion der

Industriellen und gewerblichen Bauten......

II.    Speicher und Lagerhäuser. Mit 121 Figuren.....

III.    Fabriken. Mit 154 Figuren . . . ..........

Nr. 511 Nr. 512 Nr. 513

Ländliche Bauten von Baurat Ernst Kühn.

I. Kultus- und Gemeinde-Bauten. Mit 64 Figuren ... Nr. 758

II.    Das landwirtsch. Gehöft der Gegenwart. Mit 61 Fig. Nr. 759

III.    Landhäuser, Ferienhäuser, Arbeiterwohnungen, Gasthäuser und Wohnhäuser mit gewerblichen Anlagen.

Mit 77 Figuren

Militärische Bauten von Reg.-Baum. R. Lang. I. Mit 59 Fig. Nr. 626

Nr. 760

Die BauKunst des Schulhauses von Prof. Dr.-Ing. Ernst Vetterlein.

I.    Das Schulhaus. Mit 39 Figuren...........

II.    Die Schulräume — Die Nebenanlagen. Mit 31 Figuren Nr. 444 Märkte und Markthallen für Lebensrnittel von Städt.

Baurat Richard Schachner.

I.    Zweck und Bedeutung von Märkten und Markthallen,

ihre Anlage und Ausgestaltung..........Nr. 719

II.    Markthallenbauten. Mit zahlreichen Figuren .... Nr. 720 Öffentliche Bade- und Schwimmanstalten von Geh.

Oberbaurat Dr. Carl Wolfs. Mit 51 Figuren Sportanlagen Von Prof. Dr. E. Schmitt. I. Mit 78 Figuren. Nr. 684 Blitzschutz der Gebäude v. Baurat H. Klaibcr. Mit 39 Abb. Nr. 982

Nr. 443

Nr. 380

Weitere Bände sind in Vorbereitung

Sammlung Göschen

Graphische Statik

mit besonderer Berücksichtigung der Einflußlinien

Von

Dipl.-Jng. Otto Henkel

Bauingenieur und Studienrat an der Baugewerkschule in Erfurt

II. Teil

Durchlaufende Gelenklräger. Dreigelenkbogen. Formänderungen gerader Träger. Durchlaufende (kontinuierliche) Träger. Formänderungen gebogener Träger. Zweigelenkbogen und Zweigelenkrahmen. Eingespannter Bogen und Steifrahmen.

Mil 91 Figuren

Zweite Auflage

Berlin und Leipzig

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. I. Göschen'sche Verlagshandlung • I. Guttentag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer • Karl I. Trübner . Veit & Comp.

1928

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung vorbehalten.

ittLiooA mmsBsitzu

KRAKOW

Aks. Nr«

Druck von C. G. Röder G. m. b. H., Leipzig. 876128

III.    Abschnitt.'

Der vollwandige Dreigelenkbogen.

§ 7. Der Dreigelenkbogen mit ruhender Belastung .... 26 § 8. Der Dreigelenkbogen mit beweglicher Belastung ... 31

IV.    Abschnitt.

Der Fachwerkbogen mit drei Gelenken.

41

§ 9. Allgemeine Anordnung § 10. Der Dreigelenkfachwerkbogen mit ruhender Belastung 41 §11. Der Dreigelenkfachwerkbogen mit beweglicher Belastung 45

V.    Abschnitt.

Die Formänderungen (Durchbiegungen) gerader vollwandiger Träger.

49

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Literaturverzeichnis

I. Abschnitt.

Die durchlaufenden vollwandigen Gelenkträger (Gerberträger).

§ 1. Allgemeine Betrachtungen............

§ 2. Der Gerberträger mit ruhender Belastung.....

§ 3. Der Gerberträger mit beweglicher Belastung . . . .

CO 00

14

II. Abschnitt.

Die durchlaufenden Fachwerk-Gelenkträger (Ger-bersche Fachwerkträger).

§ 4. Allgemeine Anordnung .............

§ 5. Der Gerbersche Fachwerkträger mit ruhender Belastung § 6. Der Gerbersche Fachwerkträger mit beweglicher Belastung .....................

21

22

22

§ 12. Die elastische Linie (Biegungslinie)........

§13. Der gerade vollwandige Träger unter dem Einfluß

von Biegungsmomenten (Normalspannungen)....    50

§ 14. Graphische Darstellung der Biegungslinie (elastische Linie) gerader vollwandiger Träger........

Seite

61

VI. Abschnitt.

Die Formänderungen (Durchbiegungen) einfacher ebener Fachwerkträger.

67

§15. Allgemeine Betrachtungen

§ 16. Berschiebungsplan eines elastischen Stabwerks ...    69

§ 17. Die Biegungslinie einfacher Fachwerkträger ....

§ 18. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen.....

74

79

VII. Abschnitt.

Die durchlaufenden (kontinuierlichen) vollwandigen Träger.

81

§ 19. Allgemeine Betrachtungen............

§ 20. Rechnerisch-zeichnerische Bestimmung der Stützet:- und

Feldmomente für ruhende Belastung .......

§21. Rechnerisch-zeichnerische Bestimmung der Querkräfte

und Auflagerdrücke...............

§ 22. Graphische Bestimmung der Stützenmomente für

ruhende Belastung ...............

§23. Der durchlaufende Träger mit beweglicher Belastung 108

81

87

91

VIII. Abschnitt.

Die durchlaufenden Fachwerkträger.

§24. Der durchlaufende Parallelträger mit ruhender und

beweglicher Belastung..............

§ 25. Der durchlaufende beliebig geformte Fachwerkträger mit ruhender und beweglicher Belastung.....

IX. Abschnitt.

Die Formänderungen vollwandiger Bogenträger.

§ 26. Der in einer Ebene gekrümmte vollwandige Träger, beeinflußt durch Biegungsmomente und Normalkräfte . 125 § 27. Graphische Darstellung der elastischen Linie eines vollwandigen Bogenträgers.............131

. 116

. 119

X. Abschnitt.

Die Formänderungen gebogener Fachwerkträger. §28. Gegenseitige Verschiebung der Bogenenden . . . - 134 § 29. Graphische Darstellung der Formänderungen (Biegungslinie) gebogener Fachwerkträger..........135

Seite

XL Abschnitt.

Der vollwandige Zweigelenkbogen und -Rahmen.

146

§ 30. Der Zweigelenkbogen mit ruhender Belastung.... 136 § 31. Der Zweigelenkbogen mit beweglicher Belastung... 141 § 32. Der Steifrahmen mit zwei Fußgelenken . .

XII. Abschnitt.

Der Zw eigelenkfach werkbogen.

§ 33. Der Zweigelenkfachwerkbogen mit ruhender Belastung 151 § 34. Der Zweigelenkfachwerkbogen mit beweglicher Belastung 153

XIII. Abschnitt.

Die eingespannten vollwandigen und fachwerk-artigen Bogenträger und Rahmen.

§35. Grundformeln für den eingespannten vollwandigen

Bogen mit ruhender Belastung..........

§ 36. Der eingespannte Vollwandbogen mit beweglicher Belastung ....................

§ 37. Der Steifrahmen ohne Gelenke..........

§ 38. Grundformeln für den eingespannten fach werkartigen

Bogenträger mit ruhender und beweglicher Belastung 174

156

162

168

Register

176

Literaturverzeichnis.

Andr6e, Die Statik des Eisenbaues. München 1922.

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Müller-Breslau, H. F. B., Die graphische Statik der Baukonstruktionen. Leipzig 1887, 1892, 1908.

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Ostenfeld, A., Technische Statik. Aus dem Dänischen übersetzt. Leipzig 1904.

Ott, K. v., Die Grundzüge des graphischen Rechnens und der graphischen Statik. Prag 1879—1885.

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Vonderlinn, I., Statik für Hoch- und Tiefbautechniker. Bremerhaven 1902.

Wenk, I., Die graphische Statik. Berlin 1879.

Wilda, E., Graphische Mathematik und ihre Verwendung im Dienste der technischen Mechanik. Brünn.

Wittmann, W., Statik der Hochbaukonsttuktionen. Berlin 1879 bis 1884.

Zillich, K., Statik für Baugewerkschulen. Berlin 1903—1905.

Kötter, F., Die Entwicklung der Lehre vom Erddruck. Berlin 1893. Möller, M., Erddrucktabellen mit Erläuterungen über Erddruck und Verankerungen. Leipzig 1902.

Müller-Breslau, H. F., Erddruck auf Stützmauern. Stuttgart 1906.

Poncelet, Über die Stabilität der Erdbekleidungen und deren Fundamente. Aus dem Französischen übersetzt. Braunschweig 1844.

Rankine, On the stability of loose earth. London 1857. Rebhann, G., Theorie des Erddrucks und der Futtermauern. Wien 1871.

Winkler, E., Neue Theorie des Erddrucks. Wien 1872.

I. Abschnitt.

Die durchlaufenden vollwandigen Gelenkträger (Gerberträger).

§ 1. Allgemeine Betrachtungen.

Ein über mehr als 2 Stützen ungestoßen durchgehender Träger wird als durchlaufender (kontinuierlicher) Träger bezeichnet. Wird ein solcher Träger auf r Stützen aufgelagert sein Kipp- und (r — 1) Rollenlagers so findet man, daß er mit dem Baugrund durch [2 + (r — 1)] starre Verbindungsstäbe zusammenhängt. Nach der im I. Teil, § 23 gegebenen Formel (34) sind zur statisch bestimmten Verbindung von 2 Scheiben nur 3 starre Stäbe erforderlich, die einem Kipp- und einem Rollenlager entsprechen. Mithin sind im vorliegenden Fall [2 + (r — 1)] — 3 = r — 2 überzählige Stäbe vorhanden, also genau so viel als Mittelstützen vorhanden sind; folglich ist der Träger (r — 2)fach statisch unbestimmt.

Jeder auf r Stützen ruhende, statisch unbestimmte Träger kann durch Einfügung von (r — 2) Mittelgelenken statisch bestimmt gemacht werden, von denen aber nur höchstens 2 auf einen zwischen 2 benachbarten Stützen liegenden Trägerabschnitt (Öffnung) entfallen dürfen; außerdem muß jeweils ein Trägerabschnitt mit Gelenken mit einem solchen ohne Gelenke abwechseln, weil sonst die Trägerverbindung beweglich (labil) wird.

8 — (n — 1) 3 = (5 — 1) • 3 = 12

In Fig. 1 ist ein durchlaufender Träger auf r = 5 Stützen gegeben, der mit (r — 2) = 3 Gelenken ausgestattet ist und daher aus 4 Tragscheiben besteht. Nimmt man als fünfte die Erdscheibe hinzu, so sind nach Teil I, § 23, Formel 34 zu ihrer statisch bestimmten Verbindung

Berbindungsstäbe erforderlich. Das Kipplager sowie jedes Gelenk entspricht je 2 Verbindungsstäben, während jedes Rollenlager nur einen Verbindungsstab darstellt, mithin sind in Fig. 1 4-2 + 4-1 = 12

Stäbe vorhanden, und damit ist die statische Bestimmtheit erwiesen.

Ein Träger nach Fig. 1 wird als durchlaufender Gelenkträger oder nach dem Erfinder kürzer als Gerber-

Fig-1.

träger bezeichnet. Die Stücke I und III nennt man Kragträger oder Auslegerträger und die Stücke II und IV Koppelträger oder eingehängte Träger.

Die eingehängten Träger verhalten sich genau so wie einfache Träger und sind demgemäß wie im I. Teil, §§ 24m. 25 zu behandeln.

§ 2. Der Gerberträger mit ruhender Belastung.

1. Unmittelbare Belastung durch parallele Einzelkräfte.

a) Momente. Die Untersuchung eines Gerberträgers läßt sich immer auf diejenige eines Trägers mit überstehenden Enden (Teil G₂ G₃ in Fig. 1) zurückführen. In Fig. 2 ist ein derartiger Träger CI) mit beliebigen lotrechten Einzellasten dargestellt. Die Einzellasten sind in bekannter Weise zu einem Kräftezug ab aneinander getragen, und dazu ist mit beliebiger Polweite H das Seileck IIIIII... VI gezeichnet, dessen nach rückwärts verlängerten, äußersten Seiten die Auflagerlotrechten in den Punkten A' und B' schneiden. Die zur Schlußlinie A'B' — s' vom Pol 0 aus gezogene Parallele s schneidet den Kräftezug im Punkt t und legt die Auflagerwiderstände des Trägers AB fest; es ist at ^ A und tb = B.

Die von betn Seileck IIIIII... VI und der Schlußlinie A/B" eingehüllte schraffierte Fläche stellt die Momentenfläche des Trägers mit überstehenden Enden dar, deren Ordinaten, je nachdem sie unter oder über der Schlußlinie liegen, positiv oder negativ sind (vgl. I. Teil, § 24, Beispiel 6). Für den im

JK

s"

s' I

Fig- 2.

beliebigen Schnitt s —s liegenden Trägerpunkt T wird das Moment (Feldmoment)

Mß = H.ys.

Auf den Auflagerlotrechten schneidet das Seileck die Ordinaten A'A" = ya bzw. B'B" = yb aus, mithin werden die Stützenmomente

Ma = H*ya bzw. Mb = H • yb, wobei aber die Vorzeichen der Ordinaten zu beachten sind.

Die Verbindungslinie A"B" = s" hübet mit dem Seileck IIIIIIV V die Momentenfläche eines einfachen Trägers AB, der im Punkt T das Moment M--H-Y

besitzt. Wird nun die Gerade A'B" gezogen, so folgt aus Fig. 2

ys = 9 — ya-r—yb-r;

hieraus wird nach Multiplikation mit H

Hys = Ht) — Hyay — Hyb-y

ober

(1)

Ms =

Dieser Gleichung entspricht die in Fig. 2 schraffierte Mornentenfläche mit bett Mornentennullpunkten und N₂. Zwischen den Stützen A und 8 stellt diese Fläche zugleich die Mornentenfläche für die gelenklose Öffnung eines Gerberträgers bar; sie gilt aber auch für die Öffnungen mit Gelenken, denn die Mornentennullpunkte müssen mit den Gelenken zusammenfallen. Und damit ist ein einfaches Verfahren zur Bestimmung der Momente eines Gerberträgers gegeben.

Die auf den einzelnen Öffnungen eines Gerberträgers (Fig. 3) befindlichen Kräfte werden jeweils für sich zu einem Krafteck mit gleichbleibender Polweite H zusammengesetzt, und zu diesen Kraftecken werden die (gestrichelten) Seilecke aneinanderschließend gezeichnet. Tie Lotrechten durch die Gelenke G₁ und G₂ schneiden das entsprechende Seileck in den Punkten G^ und G!>, und da in diesen Punkten das Moment Null sein muß, so ist die zugehörige Schlußlinie B' C' = festgelegt. Außerdem muß auch im Endpunkt A das Moment gleich Null sein, und damit ist die weitere Schlußlinie A' B'—s' bestimmt. Verlängert man schließlich in der letzten Öffnung C D die äußerste Seileckseite bis zum Schnitt D' mit der Auflagerlotrechten durch D, so ist auch die letzte Schlußlinie C' D' — Sg festgelegt, und damit ist die ganze Mornentenfläche gefunden (Fig. 3a). In vielen Fällen ist es erwünscht, daß alle Schlußlinien in einer Wagerechten liegen. Nach dem I. Teil, § 24, Fig. 58 erhält man durch Verlegung der Pole den wagerechten Linienzug s₁s₂s₃ nebst der schraffierten Momenten-fläche. An beliebiger Stelle 8 — 8 ergibt sich aus letzterer die Ordinate y₈ und damit das Moment M₈ = H • yg.

b) Querkräfte und Auflag erwiderstände. Dre in den Gelenken wirkenden Querkräfte bzw. Gelenkdrücke heben sich gegenseitig auf und treten in der Querkraftsfläche nicht besonders hervor. Mithin kann die^Querkraftsfläche ohne

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Ps

'-o-, 7

h, Querkräfte

_D

77»,

Fig. 3.

Rüchicht auf die Gelenke dargestellt werden, indem man die zu den einzelnen Trägerstücken gehörenden Kräfte und Auflagerwiderstände dem entsprechenden Krafteck entnimmt und senkrecht zu einer Geraden A₀B₀C₀D₀ aufträgt, wie Fig. 3b zeigt. Dabei ist die Querkraft für eine bestimmte Stelle gleich der Mittelkraft aller links davon liegenden Kräfte.

§2. Der Gerberträger mit ruhender Belastung, 13

Die Auflagerwiderstände lassen sich ohne weiteres dem Krafteck in Fig. 3 entnehmen. Da jedes durch Gelenke begrenzte Trägerstück für sich im Gleichgewicht sein muß, so ergibt sich sofort, daß die durch die Schlußlinien slr s₂ und s3 abgeschnittenen Teile des Kräftezuges die Auflagerdrücke darstellen.

2. Nnmittelbare stetige Belastung.

a) Momente. Ersetzt man die gleichmäßig über einen Gerberträger verteilte stetige Belastung durch viele nebeneinanderstehende, sehr kleine Einzelkräfte, so kommt man auf das unter 1 gegebene Verfahren zurück, wie Fig. 4 zeigt.

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™ b) Querkräfte

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Die auf den einzelnen Trägerstücken (Öffnungen) ruhende gleichmäßige Belastung ist jeweils zu einer Mittelkraft zusammenzufassen, wodurch die Einzellasten Q1; Q₂ bis Q₄ ent«

stehen. Mit gleichbleibender Polweite H ist sodann an einen wagerecht gelegten Schlußlinienzug s₀ — s₀ (Fig. 4a) zu jeder Einzellast ein Seileck zu zeichnen, dessen beide Seiten die der gleichmäßigen Belastung entsprechende Momenten-parabel berühren (vgl. I. Teil, Fig. 61). Die Punkte Slz S2 und 8g, die in halber Höhe der Seilecke liegen, sind die Scheitel dieser (gestrichelten) Momentenparabeln. Mit den Scheitelpunkten ermittelt man, gemäß Teil I, § 3,1, die den Gelenken G₁ und G₃ entsprechenden Parabelpunkte Px und P₃, und damit sind die Momentennullpunkte gegeben, die den Schlußlinienzug s' 82 S3 festlegen, dessen letzter Punkt D' durch die zu Q₄ gehörende äußerste Seileckseite bestimmt ist. Trägt man schließlich nach bekanntem Verfahren (Teil I, Fig. 58) die Seilecke mit ihren Momentenparabeln an einen wagerechten Schlußlinienzug s₃, so ergibt sich die in Fig. 4a schraffierte Momentensläche.

b) Querkräfte und Auflag er widerstände. Die den einzelnen Auflagerpunkten entsprechenden Querkräfte sind wie unter lb dem Krafteck zu entnehmen. In Fig. 4b sind diese Werte senkrecht zu der Geraden A₀B₀C₀D₀ aufgetragen und durch gerade Linien verbunden, wodurch sich die schraffierte Querkraftsfläche ergibt.

Die^Auflagerwiderstände sind wieder dem Krafteck zu entnehmen, wo sie durch die Schlußlinien slz s₂ und s₃ abgeschnitten werden.

Bei Gerberträgern mit zusammengesetzter oder mit mittelbarer Belastung verfährt man ebenso wie bei den einfachen Trägern (vgl. I. Teil, § 24, 3 und 4).

§ 3. Der Gerberträger mit beweglicher Belastung.

1. Unmittelbare Belastung durch eine Einzellast.

Die Einwirkung beweglicher Belastung auf den Gerberträger wird am einfachsten mittels Einflußlinien untersucht (vgl. I. Teil, §27).

a) Einflußlinien der Auflagerdrücke(-wid erstände). Auflagerdruck A. Wandert in Fig. 5 die Last P = 11 von B nach A, so ist die Einflußlinie für den Auflagerdruck A gleich derjenigen eines einfachen Trägers A B (vgl. I. Teil, § 27, 1, Fig. 88); sie ist eine Gerade A'B₀, die II Eß

1*

bd

rr

ML—\

1*

i Ä

*~"x ₊

\Gz

E\nfLuftlinie für den /

uähßagerdrurk dm.ll/ ,

i    ¹ /    ^

x2>

i.

°)

Fig. 5.

über A₀ durch die Ordinate A₀A' = 11 festgelegt ist. Tritt jedoch die Last auf den Kragarm BGX, so entsteht in A ein negativer Auflagerdruck

(2)

Auch hier gibt von den an rj gesetzten Zeigern m die Laststelle und a die Wirkungsstelle an. Vorstehende Gleichung stellt für die Veränderliche x eine Gerade B₀G^ dar, die die Fortsetzung der Geraden A'B₀ bildet, denn aus Fig. 5 a folgt, wenn die negativen Ordinaten r;m6 unterhalb der Tragwerkslinie angetragen werden, — ?;ma:x = l: ^obet rjma =

Befindet sich die Last P = 11 cmf dem eingehängten Träger

OiOz, so entsteht zunächst ein Gelenkdruck Gx = --Z , der einen negativen Auflagerdruck in A erzeugt von ⁰

(3)

= rK'

Gx a 1 • z • a l₀' ^

Durch diese Gleichung ist die Gerade G'G2o bestimmt, denn

aus Fig. 5a folgt — rjg: — rjn&=l₀:z oder r?na

ist, so wird

Da aber — rjg: a = 1: lx oder rjg — 1 • z • a

1 • a

W=

l₀li

, wie oben in (3).

Steht die Last P = lt rechts von G₂, so bleibt sie ohne Einfluß auf den Auflagerdruck A, mithin wird dessen Einflußlinie nur durch die gebrochene Linie A'G'G2o dargestellt.

Für die Auflagerdrücke B, C, D, E lassen sich in ähnlicher Weise einfache Gleichungen aufstellen, wie sie die Formeln (2) und (3) zeigen, und damit können die entsprechenden Einflußlinien gezeichnet werden, ohne daß sie einer weiteren Erläuterung bedürfen. In Fig. 5 a—c sind diese Einflußlinien dargestellt, wobei diejenigen für D und E gestrichelt sind. Bezüglich des Gebrauches der Einslußlinien sei auf den

I. Teil, § 27, Beispiel 10 verwiesen.

b) Einflußlinien der Querkräfte. Querschnitt Fx in der Öffnung AB (Fig. 6a). Befindet sich die Last P = 11 zwischen den Stützen A und B, so stimmt die Einflußlinie' für die Querkraft QFl mit derjenigen eines einfachen Trägers AB überein (vgl. I. Teil, § 27b, Fig. 89). Tritt jedoch die Last auf den Kragarm BGlz so entsteht in A ein

1- x

negativer Auflagerdruck, der nach Formel (2) A = —

= ijmqift- Befindet sich die Last auf dem eingehängten Träger

l*z*a

erkennt man, daß die Einflußlinie für QFl für alle rechts vom

G₁G₂, so wird nach Formel (3) A

Daraus

As

i/W

♦y

:.....

^Eoijfaftlime Äd.QudkrafbUfucrscJin.

-4s

&)

ThirftußUnie ftir^die Quer^raft^^

J>o

-i'%

%t)

z>zt Querschnitt Fa

Fig. 6.

Auflager B gelegenen Teile mit derjenigen des Auflagerdruckes A übereinstimmt, und daß sie dieser entsprechend gezeichnet werden kann (Fig. 6a).

Querschnitt F₂ im KragarmBGz(Fig.6d). Alle links von F₂ befindliche Lasten sind ohne Einfluß auf die Querkraft in F₂. Befindet sich jedoch die Last P = 11 auf dem Kragarm rechts von F₂, so erhält man stets QFi = + 11, somit ist die Einslußlinie für die Strecke F₂6^ eine zur Tragwerkslinie B„C₀ parallele Gerade F'G; (Fig. 6b). Tritt die Last auf den

Henkel, Graphische Statik II.

angehängten Träger, so wird die Querkraft in F₂ gleich dem Gelenkdruck in Ct1; also

(4)

Qf, = Gi

Dieser Gleichung entspricht die Gerade G'G2a, wie ohne weiteres aus Fig. 6 b zu ersehen ist. Mithin besteht die Einflußlinie für die Querkraft QFä aus der geknickten Geraden F'G'G₂„.

z

i a)

e \MvS^"Z\ iyHnftufUiTfiefi/rd/j&Mfmmtin\ Que^schnittE, i I    ! \yne \ I I !    !    ¹    ! I

*? i

-^rrn-i

L    iitr fasMmmrfi tywrsckfyÜtFz

i WTC^T"¹"¹*

^Emfhißl iuräMfmmtmFJ 4|

I    ¹    '

\Etnfhißlijüe f ä.Mommti. QuerschvMF^,

Fig. 7.

Querschnitt F₃ in der Öffnung CD (Fig. 6c). Diese Querkraft wird ebenso wie diejenige in Fx durch die angehängten Träger beeinflußt. Der rechts von F₃ liegende Teil der Einflußlinie ist ebenso gebildet wie bei Fx, und bei dem links von F₃ liegenden Teil ist zu beachten, daß er sich über den angehängten Träger bis zu Gx zu erstrecken hat. In Fig. 6 c ist diese Einflußlinie dargestellt.

c) Einflußlinien der Momente. Querschnitt Fx in der Öffnung AB (Fig. 7a). Solange sich die Last P = 11

i---!

zwischen den'Stützen befindet, wirkt das Trägerstück AB als ein einfacher Träger und die Einflußlinie für das Moment, in Fx ist wie bei dem einfachen Träger zu zeichnen (vgl. I. Teil, § 27,1 c, Fig. 92). Bewegt sich jedoch die Last P = 11 über den Kragarm BG^ so tritt in F₁ ein negatives Moment auf, das sich mit dem durch Formel (2) bestimmten Auflagerdruck zu

(5)

' C1 — ^mc

MFl = A * cx =

berechnet. Tiefer Gleichung entspricht die Gerade B₀G', die n die Verlängerung der Geraden A' B₀ fällt; denn aus Fig. 7 a folgt, mit nach unten gerichteten negativen Ordinaten,

, wie oben in (5).

fr/mc ♦x — ci ♦ k oder rjmc

x • cx

Wandert die Last über den eingehängten Träger GXG₂,

1 • z • a

so ist nach Formel (3) der Auflagerdruck A = damit wird das Moment in

und

(6)

1 • z • a

~T₀iT'Cl

Durch diese Gleichung ist die Gerade G'G2o festgelegt,

da aber : l± —

MFl = A • Cj. = —

denn aus Fig. 7 a folgt rjnc

cx' a

und damit ergibt sich rjno

— Vs: a z-a* cx

~~Vk'

ist, so tvixb rjg = wie oben in (6).

Rechts von G₂ übt die Last P = 11 keinen Einfluß mehr auf MFl aus, mithin ist die Einflußlinie des Momentes in Fx durch die gebrochene Linie A₀F^G'G2o dargestellt.

Querschnitt F₂ im Kragarm BGX (Fig. 7b). Jede links oon F₂ stehende Last ist ohne Einfluß auf das Moment in F Steht jedoch die Last P = 11 im Abstand y rechts von F₂, so wird

2*

(7)

MFa = — 1 • y = i/mc .

Durch diese Gleichung ist die Gerade F2oG^ bestimmt, die über dem Gelenk Gx durch ihre größte Ordinate rjg = a — c2 in einfacher Weise festzulegen ist. Tritt die Last F = 11 auf den eingehängten Träger G₁G₂, so erzeugt sie den Gelenk-

druck Gi

(a — c₂) == ^nc.

~ bzw. in F₂ das Moment (8) Mf₂ = — Gx(a — c₂) =

Fig. 7 d folgt rjnc

<0

Diesem Ausdruck entspricht die Gerade G'G2o/ denn aus = r^j—, und mit rjg = — 1 • (a —- c₂) wird —Y (a—c₂), wie oben in (8). Mithin ist die gebrochene

Linie F2iG'G2o die Emflußlinie für das Moment in F₂.

Querschnitt F₃ in der Öffnung CD (Fig. 7c). Die Einflußlinie für Mp, ist in derselben Weise abzuleiten wie diejenige für MPi; es ist lediglich zu beachten, daß auf der linken Seite von F₃ der Kragarm C G₂ mit dem eingehängten Träger GXG₂ vorhanden ist. In Fig. 7c ist die Einflußlinie für MF, durch die gebrochene Linie GloG'F₂G'E₀ dargestellt.

Querschnitt F₄ im eingehängten Träger G₃E (Fig. 7d). Der eingehängte Träger wirkt wie ein einfacher beiderseits unterstützter Träger, mithin ist seine Einflußlinie für das Moment in F₄ ebenso wie bei dem einfachen Träger zu bestimmen (vgl. I. Teil, § 27,1 c, Fig. 92). In Fig. 7 d ist die Einflußlinie für MFi durch die gebrochene Linie G3oF'E0 dargestellt.

2. Mittelbare Belastung durch eine Einzellast.

Hierbei werden ebenfalls Einflußlinien benutzt, die aud) wie vorstehend unter 1 zu ermitteln sind. Dabei ist aber zu beachten, daß snach Gleichung (50) im I. Teil, § 27] zwischen zwei benachbarten Knotenpunkten jede Einflußlinie eine Gerade sein muß.

§ 4. Allgemeine Anordnung.

21

Für einen mittelbar belasteten Gerberträger ist in Fig. 8 die Einflußlinie für das Moment im Querschnitt Ft dargestellt, wozu keine weitere Erläuterung nötig ist.

fi

-dl

-Hm

in

£C

1 ¹ ^ ^ J_Us^

Jvfoment im Querschnitts,

Fig. 8.

II. Abschnitt.

Die durchlaufenden Fachwerk-Gelenkträger (Gerbersche Fachwerkträger).

§ 4. Allgemeine Anordnung.

Die Gestalt des Gerberschen Fachwerkträgers läßt sich den Ergebnissen der statischen Berechnung sehr gut anpassen, infolgedessen ist eine große Materialersparnis möglich. Die Anordnung der Gelenke und die Auflagerung ist beim Gerberschen Fachwerkträger ebenso auszuführen wie beim vollwan-digen Gerberträger. Die Zahl der Gelenke muß der Zahl der Mittelstützen entsprechen, und außerdem sind die Gelenke so anzubringen, daß der Gerberträger nicht labil wird.

Soll ein Gerberscher Fachwerkträger auch innerlich statisch bestimmt sein, so muß jeder seiner Teile, Ausleger- wie Koppelträger, der im I. Teil, § 28 angegebenen Formel (59)

s = 2 k — 3

Genüge leisten. Die Lasten sollen nur in den Knotenpunkten angreifen.

§ 5. Der Gerberfche Fachwerkträger mit ruhender Belastung.

a)    Auflagerdrücke (-widerstände). Diese müssen ebenso wie bei dem vollwandigen Gerberträger (vgl. § 2,1, S. 12) mit Hilfe der bekannten Kraft- und Seilecke ermittelt werden.

b)    Innere Kräfte. Die Spannkräfte in den einzelnen Stäben eines Gerberschen Fachwerkträgers sind in derselben Weise zu ermitteln wie bei einem einfachen Fachwerkträger. Man benutzt entweder das Culmannsche Verfahren oder besser die Cremonaschen Kräftepläne (vgl. I. Teil, § 29), weil diese sofort für alle Stäbe die Spannkräfte liefern.

Die Kräftepläne für die Ausleger- bzw. Koppelträger zeichnet man am besten getrennt und beginnt dabei, nachdem die Auflager- bzw. Gelenkdrücke bestimmt sind, am vorteilhaftesten an den Gelenkpunkten. Beim Aufträgen der Kräftepläne ist zu beachten, daß nur für Knotenpunkte mit höchstens 2 unbekannten Stabkräften ein geschlossenes eindeutig bestimmtes Krafteck gezeichnet werden kann. Dies wird aber immer möglich sein, wenn das Fachwerk des Gerberträgers der Formel s = 2 k — 3 genügt.

§ 6. Der Gerbersche Fachwerkträger mit beweglicher Belastung.

Auch bei dieser Trägerart wird der Einfluß beweglicher Belastung am einfachsten mittels Einflußlinien untersucht. Die Last P = 11 soll hier am Untergurt angreifen.

a)    Einflußlinien für die Auflagerwiderstände. Diese unterscheiden sich nicht von den entsprechenden Einflußlinien für einen vollwandigen Gerberträger; mithin können die im § 3, Fig. 5, S. 15 abgeleiteten Einflußlinien ohne Abänderung auch hier gebraucht werden.

b)    Einflußlinien für bie Stabkräfte. Bezüglich dieser Einflußlinien sind die Koppelträger bzw. die Auslegerträger gesondert zu betrachten. Die Koppelträger sind einfache, beiderseits unterstützte Fachwerkträger, daher sind die Einflußlinien für ihre Stabkräfte wie im I. Teil, § 31 b zu ermitteln.

1. Einflußlinie» für die Gurtstübe des Auslegcrträgers.

Für einen beliebigen Ober- bzw. Untergurtstab gilt nach Teil I, § 31b ganz allgemein

M₀

Mu

h₀

bzw. TJ = +,--•

hu

Hierbei ist bei jeder beliebigen Stellung der Last?—1t Mn bzw. Mu das Moment um den Gegenpunkt eines Gurtstabes und h₀ bzw. hu der winkelrechte Abstand (Hebelarm) des betreffenden Gurtstabes von seinem Gegenpunkt. Gemäß diesen Formeln find die Ordinaten der Einflußlinien für die Gurtstäbe proportional den Ordinaten der Einflußlinien für die

Momente um die Gegenpunkte der Gurtstäbe, und bzw. 1    ho

— sind die jeweils in Frage kommenden Verhältniszahlen

"U

(Multiplikatoren oder Veränderungsziffern).

Die Einflußlinie für eine Gurtspannkraft ist daher ebenso zu zeichnen wie die Einflußlinie eines Momentes (Fig. 7, S. 18), wobei zu beachten ist, daß die Ordinaten der ersteren

den bzw. ^fachen Wert der Ordinaten der letzteren be-ho hu

sitzen und daß sie im Kräftemaßstab erscheinen.

Für einen Gerberträger ABGD (Fig. 9) ist die Einflußlinie eines Obergurtstabes 0 int mittleren TeilBG dargestellt. Solange die Last ? — 11 zwischen den Stützen B und C wandert, verhält sich der Auslegerträger wie ein einfacher Fachwerkträger B C. Die Einflußlinie für einen Obergurtstab ist daher wie int I. Teil, § 31, Fig. 104 zu zeichnen, indem

man auf der Lotrechten durch die Stütze B den Wert — tm

Kräftemaßstab als Strecke B₀B' an die Tragwerkslinie anträgt und mit Hilfe des Gegenpunktes G₀ die Einflußlinie wie früher zeichnet (Fig. 9a). Hier ist besonders zu beachten, daß G₀

auf der belasteten Gurtung liegt. Der weitere Verlauf der Einflußlinie für Laststellungen außerhalb BG entspricht Fig. 7 c, S. 18.

“h

n\

mm

$c ?= sä.

r—“ imffußltsue dAs Slabes 0

1±

a)

__ _ L

-'s'

\JknfhUiUny des 'Stabes D₂

KÄ.

rr

rK

Einftußlime desStabes

c)

Fig. 9.

Für einen Untergurtstab 17 fällt hier der Gegenpunkt auf die unbelastete Gurtung, mithin muß die zugehörige Einflußlinie, der Länge von U entsprechend, durch eine Gerade gebildet werden. (Vgl. I. Teil, Fig. 106.)

2. Einflußlinien für die Wandglieder des Auslegerträgers.

oc) Diagonale B₁ bzw. D₂ zwischen den Stützen des Auslegerträgers. Befindet sich die Last P = 11 zwischen den Stützen C und I) des Auslegerträgers (Fig. 9), so verhält sich dieser wie ein einfacher Fachwerkträger auf zwei Stützen, und die Einflußlinie einer zwischen C und D befindlichen Diagonale ist nach einem der im 1. Teil, § 31b, 3 angegebenen

Verfahren zu zeichnen. Tritt jedoch die Last über die Stütze B oder C heraus, so ist, wie bei denMomenten, die für die inneren Lastlagen gefundene Einflußlinie geradlinig bis zu den Gelenklotrechten zu verlängern und dann bis zu den benachbarten Gelenken bzw. Auflagern zu führen (Fig. 9b und c).

Bei der Diagonale (Fig. 9b) fällt der Gegenpunkt Gdl aus der Mittelöffnung BG ziemlich weit heraus. Es ist daher vorteilhaft, zum Aufträgen der Einflußlinie für Dd die Abschnitte « und ß zu benutzen, die von den gleichzeitig mit Di geschnittenen, beiderseits verlängerten Gurtstäben auf den benachbarten Auflagerlotrechten abgeschnitten werden. Gemäß Formel (72) im Teil I, § 31 wird damit

bzw. 6,6' = + /9d

(X d

yiy₂

Durch diese Werte ist die Einflußlinie für D* festgelegt (Fig.9d), die in der angegebenen Weise über die Gelenke hinausläuft. Kann der Gegenpunkt Gdl benutzt werden, so genügt schon der Wert B₀B' zum Aufträgen der Einflußlinie für Dv Bei der Diagonale D₂ (Fig. 9e) fällt der Gegenpunkt Gd₂ in die Mittelöffnung BC hinein, infolgedessen ist es vorteilhafter, den Hebelarm hda zu benutzen, der mit dem Abstand xda des Gegenpunktes Gdl, gemäß Formel (70), Teil I, §31 den Wert

yiy₂

B„B' =

xd₂

B₀B' = -

liefert, der gemeinschaftlich mit GdäS die Einflußlinie für D2 (Fig. 9 c) festlegt.

ß) Diagonale Ds im Kragarm (Ausleger). Bewegt sich die Last P = 11 zwischen dem Gegenpunkt Gd, und dem Endknotenpunkt m des unter D₃ liegenden Stabes der belasteten Gurtung, so folgt für den Wert der Einflußordinate aus der Momentengleichung für Gda

(9)

-1 xm

Die größte Ordinate entsteht unter m; von hier aus nehmen die Ordinaten nach B hin bis auf Null ab und in gleicher Weise auch nach Gd, hin, jedoch nur bis zum Gelenk Glr denn dort tritt der Koppelträger in Wirksamkeit, so daß die Einflußlinie bis zu dessen Endpunkt A reichen muß. Zum Aufträgen dieser

Einflußlinie genügt der Wert m₀m' = rjm<1 = — bett weiteren Verlauf der Einflußlinie gibt Fig. 9 ä an. ds

III. Abschnitt.

Der vollwandige Dreigelenkbogen.

§ 7. Der Dreigelenkbogen mit ruhender Belastung.

Der Einfluß ruhender, beliebig gerichteter wie auch lotrechter Lasten auf den Dreigelenkbogen ist bereits im I. Teil, § 34 gezeigt worden, wobei die Druck- bzw. Stützlinie Anwendung gefunden hat. Hier soll noch im besonderen angegeben werden, wie die infolge lotrechter Belastung in einem Dreigelenkbogen entstehenden Momente, Längs- (Normal-) und Querkräfte auf anderem Wege gefunden werden können.

Dazu sei bemerkt, daß es meistens vorteilhaft ist, zur Untersuchung eines Bogenquerschnittes nicht das zugehörige auf die Bogenschwerachse bezogene Moment zu benutzen, sondern die Kerngrenzenmomente. Bezüglich des Kernes vgl. I. Teil, § 22, Fig. 52.

Greift int Punkt K auf der Symmetrielinie eines Bogenquerschnittes F (Fig. 10) die in der Bogenebene beliebig gerichtete Mittelkraft U an,so kann sie in eine Normalkraft N und eine Querkraft Q zerlegt werden. Die Normalkraft N erzeugt in bezug auf die Schwerlinie des Querschnittes das Moment M = N-f, während die Querkraft Q Schubspannungen erzeugt, die in der Regel vernachlässigt werden.

Durch N und M entstehen in einem Bogenquerschnitt F, gemäß Teil I, Formel (27), die Normalspannungen N M*7 a ⁼ Y±~'

wobei J das zu F gehörende Trägheitsmoment bedeutet. Für die äußersten Fasern des Querschnittes F ist rj = ex bzw. r\ = e₂, und es wird

N . Mex F ⁺ J ' N _Me₂

Setzt man M = N • f und beachtet, daß (Teil I, § 22) ~ und — = W₂ ist, so folgt für die Randspannungen

_N N • f_at/1 . f \

"■-F + Wr“ N(f+ W₁)'

N fN • f ⁼ F i W

= n(

>!-

| .m\k

Fig. 10.

Nun kann aber nach Teil I, § 22, Formel (29) bzw. (30) gesetzt werden

Wx — w₂F bzw. W₂ — WjF,

wobei w₂ und w₂ die Kernweiten des Bogenquerschnittes F bedeuten, und damit wird

<*1

= N(f+ wJf) ⁼F'LwT'

o'₂

-”(r

>-

N f — w, F w₁

w₁F

Nach Fig. 10 ist aber f + w₂ = f₂ der Hebelarm der Normalkrast N in bezug auf den Kernpunkt K₂, folglich N • f₂ = M₂ das Moment der Kraft N in bezug auf K₂, das als Kerngrenzen-

Moment bezeichnet wird. Ebenso ist f — wx = fx der Hebelarm von N in bezug auf den Kernpunkt Kx und N • fx = Mx das zugehörige Kerngrenzenmoment. Mit diesen Momenten wird schließlich

(10)

N-f₂ M2 0l ~ F • w₂ ~ W,'

Mi

N • f,

F • w, W„

c) Durchbiegung an beliebiger Stelle.

§ 22. Graphische Bestimmung der Stützenmomente für ruhende Belastung.

e0=^(N + ^-),

Der Zweigelenkfachwerkbogen.

Register.

F • w, W„

Hierbei ist a₂ als eine negative Druckspannung anzusehen. Besonders sei noch einmal bemerkt, daß der für eine Spannung a in Frage kommende Kernpunkt immer aus der zur untersuchten Faser abgewendeten Seite des Querschnittes liegt.

p,

Po

(i

+•'7—    1

s\

\y \f

—Yg I"

-i#-

jX

jr\!

1-

si'Jy

Fig. 11.

[-V9

Denkt man sich die beiden Kämpfergelenke A und B eines Dreigelenkbogens AGB (Fig. 11) durch eine Zugstange verbunden und gleichzeitig das eine Kämpfergelenk in ein bewegliches Auflager verwandelt, so wirkt der Dreigelenkbogen gegenüber den äußeren Kräften wie ein einfacher Träger AB. Für einen in den beliebigen Schnitt 8 — 8 des Trägers AB fallenden Kernpunkt K des Bogens kann das Moment in be-

fannter Weise mittels eines Kraft- und eines Seilecks bestimmt werden. Man setzt die lotrechten Kräfte Px, P₂... P7 zu einem Krafteck ab mit der beliebigen Polweite H zusammen und zeichnet dazu das Seileck IIIIII... VIII, das mit seiner Schlußlinie A'B' = s die Momentenfläche begrenzt. Aus dieser erhält man unter K die Ordinate kk' = yk und damit ist das Moment in K bestimmt zu M^H-^.

(11)

(12)

Dieses Ergebnis ändert sich nicht, wenn das gedachte bewegliche Auflager wieder beseitigt und die Kraft in der zugehörigen Zugstange AB durch die entsprechend gerichteten Auflagerwiderstände ET ersetzt wird. Die wagerechte Seitenkraft von H' liefert den Horizontalschub des Dreigelenkbogens 8 — H' • cos (x.

$it Kraft H' erzeugt im Kernpunkt K das Moment Mt = H' • yk cos oc = H • yk, wobei yk den lotrecht gemessenen Abstand des Punktes K von der Verbmdungsgeraden AB der Kämpfer bedeutet. Das wirkliche Moment in K wird nunmehr

Mk = aJik-Mic = a)ik-H-yk.

Fällt der Gelenkpunkt G mit dem Punkt K zusammen, so muß Mk = Mg = 0 werden und aus (14) folgt mit den in Fig. 11 angegebenen Bezeichnungen

M„ = 0 = ^ — H • f

(13)

(14)

oder

ET

Aus (11) folgt aber für das Gelenk M§ ^ H - y§, also

Dieser Wert kann in einfacher Weise zeichnerisch gefunden werden. Man trägt iFig. 11) in der Verlängerung des Kräste-

(15)

(15a)

zuges ab die Strecken öp = y'g und pq = f auf und setzt winkelrecht daran die Strecke pr = Wird nun zur Verbindungsgeraden rq eine Parallele durch o gezogen, so schneidet sie auf der Verlängerung von rp die Strecke ps ab,

die den in Gl. (15 a) gegebenen Wert H =    ~ darstellt.

Der Beweis folgt ohne weiteres aus den ähnlichen Dreiecken op8 und qpr.

Sobald H festgelegt ist, können^auch die Kämpferdrücke bestimmt werden. Vom Pol 0' aus zieht man eine Parallele s' zur Schlußlinie A'B' = s, die den Kräftezug abm t schneidet und die lotrechten Auflagerdrücke at = $ und tb = 23 liefert. Wird ferner von t aus eine^Parallele zu H' (Richtung AB) gezogen und winkelrecht zu ab der Wert H aufgetragen, indem man s nach 0 hinauf lotet, fo_ erhält man H' = tO, sowie die Kämpferdrücke Ka ----- Oa und Kb = bÖ.

Mit dem Pol 0 kann in bekannter Weise (Teil I, § 34) die Druck- bzw. Stützlinie gezeichnet werden, außerdem läßt sich damit für jeden beliebigen Bogenpunkt die Normalkraft N bzw. die Querkraft Q finden. Für den Bogenpunkt C ergibt sich die Normalkraft Nc und die Querkraft Qc, indem man im Krafteck vom Punkt e, der zwischen den zu C benachbarten Kräften liegt, eine Parallele zu der durch C gehenden Tangente t — t zieht und in 0 eine Winkelrechte dazu zeichnet. In Fig. 11 geht diese Parallele durch 0 hindurch, mithin ist Oe = N₀ und Qc = 0.

Wird der Wert aus Gl. (15a) bzw. aus (11) in Gl. (14) eingesetzt, so folgt

Mk = §yL-£^yk = £>(

(16)

yk-ykj)-

Der Klammerwert dieser Gleichung läßt sich in einfacher Weise zeichnerisch darstellen. Wenn man auf der Geraden AB (Fig. 11) im Fußpunkt von f den Wert y'g als Strecke gm aufträgt, die Gerade Gm zieht und die Ordinate yk auf f projiziert, so schneidet die durch den Endpunkt von yk zu Gm gezogene Parallele auf AB die Strecke gn ab, und es folgt

_    y*

aus den ähnlichen Dreiecken gn = yk-^ . Trägt man im

Seileck auf der Ordinate yk = kk' den Wert gn als Strecke kk" auf, so stellt die Differenz k'k" = — r] den Klammerwert der Gl. (16) dar, und es gilt

(16a)

Mk = — § • rj.

Liegt rj unter dem Seileck, so wird dieses Moment negativ, und liegt es darüber, so wird das Moment positiv.

Die Ordinate rj kann auch in anderer Weise gefunden werden. Die Geraden AL und BG (Fig. 11) schneiden sich in D, und ein durch D gefälltes Lot schneidet die Gerade B'G' in D'. Die Verbindungslinie A' D' schneidet die Verlängerung

von yk in k", und es gilt kk": yk = yk: f oder kk" — y^*

Die Differenz k' k" = yk — y^ ^ = — rj ist wieder der

bereits oben ermittelte Wert.

§ 8. Der Dreigelentbogen mit beweglicher Belastung.

Die Einwirkung einer beweglichen Belastung auf den Dreigelenkbogen wird am einfachsten und übersichtlichsten mittels Einflußlinien untersucht.

1. Einflutzlinien für die Stützenwiderstände.

a) Horizontalschub H. Setzt man zur Vereinfachung der Ableitung zwei wandernde Einzellasten P = 11 m m und n auf den Bogenträger AGB (Fig. 12), von denen die eine den Abstand a von A und die andere den Abstand b von B besitzt, so liefert die Bedingung, daß die Momentensumme

,\

yi

L-L-'

-r~

t-"

<Z

,__u

*c

A-X,c

I ^    ^    j£" vEinßußlihie für IL

1I L^T 4: ♦ !fei--—

jL-\Go\

a)

r^A_Finfhi^lmie t'^4

-^4,

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\ , 4-r-;a-J

'>4 ;, 4>"''

|i

■P*e

-Ä

/i

töinflußlinie ipr Mc

\<A

d)

EE

für die Gelenkpunkte gleich Null sein muß, folgende Gleichungen: Für das Scheitelgelenk G

Ag —Hf —l(g —a) = 0,

für das Gelenk B

Al— Hd — 1(1 — a) — 1 • b = 0, wobei die Bedeutung der einzelnen Buchstaben aus Fig. 12 zu entnehmen ist. Aus den beiden Gleichungen folgt schließlich für den Horizontalschub

f'Z-gd

Nun ist aber d = l-tgoc, somit

f i __ g d = f' i _ g i tg * = l (f - g tg *) = l • f,

wenn f den lotrecht gemessenen Abstand zwischen dem Gelenk G und der Kämpferverbindungsgeraden AB bedeutet. Es wird also

(17)

l-i

Da aber

(18)

1 * a(Z — g) + 1 • b • g

das Moment für die dem Scheitelgelenk G entsprechende Stelle eines einfachen Trägers AB von der Länge l bedeutet, der durch die beiden Lasten P = lt beansprucht wird, so folgt wie auf S. 29 (19)

Die Einflußlinie für den Horizontalschub H eines Dreigelenkbogens wird also gefunden, indem man die Ordinaten der Einflußlinie für das Moment an der Stelle G eines einfachen Trägers AB durch die lotrecht gemessene Höhe f des Gelenkes G über der Kämpferverbindungslinie AB (Pfeilhöhe) dividiert.

Henkel, Graphische Statik II.

Die Einflußlinie für M§ ist bereits im I.Teil, § 27, Fig.92 ermittelt worden; dividiert man ihre Ordinaten durch f, so geht sie in die Einflußlinie für H über. Um letztere zu zeichnen, trägt man (Fig. 12a) von der Tragwerkslinie A,B„

die Strecken A₀A' —

bzw. B₀B'

l-g

lotrecht auf und

verbindet deren Endpunkte mit B, bzw. A₀. Die gleichen Strecken ergeben sich aus Gl. (17), wenn gleichzeitig a = 0 und b — l bzw. a — l und b = 0 gesetzt werden. Die größte Ordinate der Einflußlinie für H entsteht unter dem Gelenk, sie wird

(20)

g(Z —g)

l-l

— G₀G'.

Für den symmetrischen Bogen wird mit g —

(20a)

Vgb 4f‘

Die Ordinaten von H sind im Kräftemaßstab zu messen.

Zum Aufträgen der Einflußlinie für H genügt der Wert g: f, der auf einfache Weise zeichnerisch gefunden werden kann. In Fig. 12a ist A₀G₀ ---- g; macht man AqE = f und AD = 11, zieht die Verbindungsgerade EG₀ und parallel dazu DK, dann iftA₀K = g:f, denn aus den ähnlichen Dreiecken folgt f:g— 1:A₀K oder Ä₀K = g:f. Dieser Wert ist mit dem Zirkel um zu drehen.

d) Auflagerdruck A. Aus der Gleichung

Al — Hd — 1(Z — a) — l-b = 0

folgt mit d — l- tgoc

(21)

1(1 — a) + 1-b

A = H* tgoc +

Nun stellt aber das zweite Glied auf der rechten Seite den Auflagerdruck A eines einfachen Trägers AB dar, der mit zwei Einzellasten P = 11 belastet ist, somit gilt A = 2l+H-t goc.

Diese Gleichung zeigt, daß die Ordinaten der Einflußlinie für den Auflagerdruck A eines Dreigelenkbogens AGB zusammenzusetzen sind aus den Ordinaten für die Einflußlinie des Auflagerdruckes eines einfachen Trägers AB (vgl. I. Teil, § 27, Fig. 88) und den mit tga multiplizierten Ordinaten der Einflußlinie für den Horizontalschub H. In Fig. 12 b ist

g

die Konstruktion durchgeführt, wobei der Wert , tgoc in einfacher Weise zeichnerisch ermittelt ist.    *

Liegen die Kämpfer A und B gleich hoch, so wird tgoc = 0, und die Einflußlinie für den Auflagerdruck A des Dreigelenkbogens AGB geht in diejenige für den Auflagerdruck A eines einfachen Trägers AB über.

2. Einflußlinien für die Momente.

a) Moment für Punkt C der Bogenachse. Befindet sich (Fig. 12) die Last P = 11 rechts von C an der Stelle m, so wird das Moment in bezug auf C

(23)

M₀ = A* xc — H* yi = (9t + Htga) x₀ —Hjc Mc = 91 xc — H(yi — xc tga).

(24)

Es ist aber y£ — xc tg a = yc und 91 • xc = 9)^, also Mc — Me — H • yc,

b-g

(25)

Mc

wobei yc den lotrecht gemessenen Abstand zwischen C und der Kämpferverbindungslinie AB darstellt. Um also die Einflußfläche für das Moment in einem beliebigen Bogenpunkt G zu erhalten, braucht man nur von der Einflußfläche für das Moment Mg eines einfachen Trägers AB die mit yc multiplizierte Fläche für den Horizontalschub H abzuziehen. Wenn hierbei die Ordinaten von M« überwiegen, wird die Einflußfläche positiv, sonst negativ. Setzt man für M«. und H die der Last P = 11 an der Stelle m entsprechenden Werte ein, so wird 1 • b • xc

l-f

Dieser Gleichung entsprechen zwei Gerade. Wird b = 0, so

folgt rjic = 0, und für b = l wird rj0o = xG — ~-jc.

Trägt man in A₀ (Fig. 12 c) den Wert rj0c winkelrecht zur Tragwerkslinie A₀B₀ auf, so sind die beiden Geraden A'B0 und A"B₀ bestimmt, die die Einflußlinie für Mc festlegen; dabei ist nur zu beachten, daß die Mo-Fläche ihre größte Ordinate unter dem Punkt G und die B-Fläche unter dem Gelenk G hat. Die Differenz der Mo- und der H • yo-Fläche ergibt die in Fig. 12c schraffierte Momentenfläche mit der Belastungsscheide S (Momentennullpunkt).

Die Einflußlinie für Mc läßt sich sehr einfach auftragen, sobald der

Wert ~ • yc bestimmt ist, der zeichnerisch sofort gefunden werden kann.

Man macht (Fig. 12c) A₀E = g:f (aus der B-Fläche, Fig. 12a, zu entnehmen), A₀F = yc und A₀D = 11, zieht die Verbindungsgerade DF und parallel dazu EK, es ist dann nach den ähnlichen

Dreiecken l:yc = -| :A₀K oder A₀K == -| • yc.

Die Ordinaten der No-Fläche sind im Längenmaßstab zu messen.

Aus Fig. 12 c ist zu erkennen, daß die Einflußlinie für das Moment im Punkt C sofort als Einflußlinie für das Moment No eines einfachen Trägers von der Länge l bzw. (l — l) gefunden werden kann, wenn l die Entfernung der Belastungsscheide S vom Auflager B angibt. Es ist also nur nötig, den Punkt S von vornherein festzulegen, was mit Hilfe der Kämpferdruck(schnitt)linie geschieht.

b) Die Kämpferdrucklinie. Eine über den Dreigelenkbogen AGB (Fig. 13) wandernde Last P = 11 läßt sich an jeder Stelle in zwei Kämpferdrücke Ka und Kb zerlegen, von denen der eine immer durch die beiden Gelenke des unbelasteten Bogenschenkels gehen muß, weil dieser nur in der Richtung der Verbindungsgeraden seiner beiden Gelenke einen

Gegendruck leisten kann. Der Schnittpunkt 8 von?, Ka und Kb bewegt sich bei wanderndem P auf einer gebrochenen Linie, der Kämpferdrucklinie AiGBi, die durch die verlängerten Gelenkverbindungsgeraden BG und AG gebildet wird.

Vtf,

-4';

Fig. 13.

Geht der Kämpferdruck auf der belasteten Seite durch den Schwerpunkt eines bestimmten Querschnittes C, dann kann er in G nur einen Normaldruck und eine Querkraft, aber kein Moment erzeugen. Die entsprechende Stellung der Last P = 11 ist durch den Punkt S₀ der Kämpferdrucklinie festgelegt. Befindet sich die LastP^lt rechts oder links von S₀, so erzeugt sie im Querschnitt H G ein positives "3? oder ein negatives Moment; der Punkt S₀ ist somiPdie Belastungsscheide, die dem Moment Mc = 0 entspricht. Hiermit ist ein Verfahren gefunden, um den Nullpunkt (Belastungsscheide) 8 der Einflußlinie für Mc sofort festzulegen.

In Fig. 12 d ist die Einflußlinie für Mc mit Benutzung der Strecke l und der Belastungsscheide S₀ dargestellt.

c) Moment für den Kernpunkt K eines Querschnittes. Wie bereits in §7, S. 27 gezeigt wurde, ist es vielfach vorteilhaft, die Momente für die Kernpunkte zu ermitteln. In Fig. 14 a ist die Einflußlinie für das Moment in bezug auf den Kernpunkt K₂ des Querschnittes s — s dargestellt. Zunächst wird durch die Geraden B Kx und AG die Belastungsscheide Sk bestimmt und sodann das bereits in Fig. 12 d gezeigte Verfahren angewendet, wobei die Strecke l zu benutzen ist.

3. Einflußlinien für die Querkriifte Q und die Normalkräfte N.

Legt man im Querschnitt D eine Tangente t — t an den Dreigelenkbogen AGB (Fig. 14), die mit der Wagerechten

den Winkel p bilden möge, so wird bei jeder beliebigen Belastung des Dreigelenkbogens, gemäß der im Punkt D vorgenommenen Kräftezerlegung, die Querkraft

Q = V • cos cp — H • sin cp

(26)

und die Normalkraft

N = Y • sin p + H • cos p,

wobei V die lotrechte Seitenkraft aller links von D befindlichen Kräfte bedeutet.

a) Querkraft QD. Nach Gl. (26) ist die Einflußfläche für Qd als Differenz der Flächen für V - cos p und H • sin p zu bilden. Befindet sich rechts von D, an beliebiger Stelle m, die Last P — 1 t, so wird V == A, wobei A den lotrechten Auflagerdruck des Bogens AGB bedeutet. Nach Gl. (22) ist aber A A-i- H - tgn, folglich wird nach Gl. (26)

Hv — (A-f- H • tg oc) cosp — H • sin p — A 608P — H (sin p — tgoc cos p) sin (p — oc) cos oc

Mit den besonderen Werten für P = 11 folgt hieraus

b-g sin (p — oc)

• cos p 1 • — —--—--

l • f cos oc

Durch diese Gleichung werden zwei Gerade festgelegt. Für b — 0 wird rji(l = 0 und für b = Z ergibt sich

g sin (p — oc) cos^x

(27)

(28)

Qj) = ^iGOsp — B.

(29) Qd-

V inq-

T]0(l = 1 • COS p — 1

Trägt man diesen Wert winkelrecht zur Tragwerkslinie A₀B0 (Fig. 14 b) als Strecke A'A" auf, so ist die Einflußlinie für Qd festgelegt. Das erste Glied in Gl. (29) stellt die mit cosgp reduzierte Einflußfläche für die Querkraft eines einfachen

XJ

Vtz,

ypXf li

iMti"

h>X__fs

■I

r«^—1

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ll

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Pinf^ußlinzS iiir dps]\fyn\en z ✓ ihtKern^runlfy

r«N

ft

^inftyßlime fd.tfmerlirkft

i)

+ 1C08(]

'    —11.cos<p.

~ ~T -M

f *-|ft 4

,!    ]    ;    ! i

T“    Jftnftu/Jlmie f.d.Noi'/nol.k^aftN₁

7)

ti

4)

—j /.sin <p.

Fig. 14-

Trägers AB dar und das zweite Glied die mit

sin(g) — cx)

608 OC

multiplizierte Einflußsläche des Horizontalschubes H. Die Differenz dieser beiden Flächen (in Fig. 14b schraffiert) gibt die Einflußfläche für QD, die von dem gebrochenen Linienzug A₀C₀D₀B₀G₀ begrenzt wird.

kann, wie Fig. 14b zeigt, in

Die Multiplikation f • —⁽

I    COS a

bekannter Weise zeichnerisch ausgeführt werden.

Durch Benutzung der Kämpferdrucklinie kann die Konstruktion der Einflußlinie für QD wesentlich vereinfacht werden. Zieht man im Punkt D eine Winkelrechte zu der Tangente t—t und fällt aus diese von A aus ein Lot, so hat dies die Richtung des Kämpferdrucks, der in D die Querkraft Q = 0 erzeugen würde. Da aber dieses Lot nicht mehr die eigentliche Kämpferdrucklinie, sondern nur noch ihre rückwärtige Verlängerung im Punkt S₀ trifft, so kann S₀ kein Einflußnullpunkt mehr sein, aber er behält die geometrische Bedeutung eines solchen und liefert (Fig. 14b) auf der Verlängerung von A₀G₀ den Punkt S, der das Aufträgen der Einflußlinie für QD wesentlich erleichtert, wie Fig. 14 c zeigt.

b) Normalkraft ND. Die Einflußfläche für ND ist gemäß Gl. (27) als Summe der Einflußflächen für V • sin <p und H- cosgp zu bilden. In derselben Weise wie für die Querkraft erhält man mit V = A = % + H • tg oc

(30)

= 91 sin g + H

cos (g — oc)

cos oc

Und mit den besonderen Werten für das rechts von D stehende P = 11 folgt hieraus

(31) Nd

, . b-g cos{cp — oc) • sin g? + 1 • y-j--^--

COS oc

. Trägt man in Fig. 14 d

rj0n = 1 • sin y + -senkrecht zur Tragwerkslinie A₀B₀ die Werte A₀ A' = 1 • sin m

Durch diese Gleichung werden zwei Gerade festgelegt. Für b — 0 wird rjln — 0 und für b = Z ergibt sich g cos (y — oc)

COStX

g cos (g) — (x) cos oc

auf, so bestimmen die damit

und A₀A" = ^'

festgelegten Geraden A'B₀ bzw. A"B₀ irie schraffierte Einflußfläche für Nd, die in ähnlicher Weise wie unter a) als Summe dargestellt ist und von dem gebrochenen Linienzug A₀C₀D₀B₀G₀ begrenzt wird.

Die auf der Gelenklotrechten in A₀ anzutragenden Werte sind wieder zeichnerisch in Fig. 14 d ermittelt.

Erfährt ein Dreigelenkbogen mittelbare Belastung, so müssen die Einflußlinien (ähnlich wie in Fig. 8, S. 21) zwischen je zwei benachbarten Knotenpunkten durch gerade Linien dargestellt werden (vgl. I. Teil, §27, Gl. 50).

IV. Abschnitt.

Der Fachwerkbogen mit drei Gelenken.

§ 9. Allgemeine Anordnung.

Der Fachwerkbogen mit drei Gelenken ist in derselben Weise anzuordnen und aufzulagern wie ein entsprechender Vollwandbogen. Soll der Fachwerkgelenkbogen innerlich statisch bestimmt sein, dann ist jeder seiner beiden Schenkel aus einfachem Dreieckssachwerk zu bilden, das der im I. Teil, § 28 gegebenen Formel (59)

s=2k—3

Genüge leistet.

Die Lasten läßt man nur in den Knotenpunkten angreifen.

§ 10. Der Treigelenkfachwerkbogen mit ruhender Belastung.

a) Auslagerkräfte(-wid erstände). Die Kämpferdrücke und der Horizontalschub sind wie bei dem vollwandigen Dreigelenkbogen unter Verwendung von Kraft- und Seileck zu ermitteln (vgl. I. Teil, §34a bzw. II. Teil, § 7).

Druckkräfte

y/

b) Innere Kräfte. Für jeden Bogenschenkel können nach Festlegung der Auflagerkräfte die Spannkräfte in den einzelnen Stäben bestimmt werden, wobei verschiedene Verfahren zur Anwendung kommen können.

CL P ^ *5

s/tjU 12^ yG

Tt

^7--

\ fr

t:

.7'

/,

///

\

x. X

- x\\

Zz

Zugkräfte

2.

77

/o

/ Stabkraft 72-0

'TQ *    » ^-4

Fig. 15.

Soll nur in einem Stab die Spannkraft ermittelt werden, dann ist das Verfahren von Culmann (vgl. I. Teil, §29b) besonders geeignet. Sind jedoch alle Stabkräfte zu bestimmen, so kann nach bekannten Regeln ein Cremonascher Kräfteplan (vgl. I. Teil, § 29b) gezeichnet werden, der bei symme-

irischer Gestaltung des Dreigelenkfachwerkbogens und symmetrischer Belastung nur für einen Bogenschenkel erforderlich ist.

Für einen als Dreigelenkbogen ausgebildeten symmetrischen Dachbinder (Fig. 15), der eine gleichmäßig verteilte, lotrechte Belastung (Eigengewicht und Schnee) zu tragen hat, ist ein Kräfteplan nach Cremona zu zeichnen.

In Anlehnung an das im I. Teil, § 34 gegebene Verfahren sind zunächst die Auflagerwiderstände zu ermitteln. Die auf der linken Binderhälfte befindlichen Lasten ... P4 = ZP' sind zu einem Kräftezug ab aneinandergesetzt, der die Kämpferdrücke Kl und KL liefert. Aus demselben Kräftezug ab ergeben sich auch für die auf der rechten Binderhälste befindlichen Lasten P₅... P₈ = ZP", weil ZP' = ZP" ist, die Kämpferdrücke K" und KL'. Aus Kl und Kl' folgt als Mittelkraft der Kämpferdruck Ka, der mit ZP' zusammengesetzt den Horizontalschub H liefert.

Nunmehr kann mit Ka der Kräfteplan der Stabkräfte in bekannter Weise gezeichnet werden, wobei aber zu beachten ist, daß der Kräfteplan am Mittelgelenk durch den Horizontalschub H geschlossen sein muß.

Bei schräg gerichteten Lasten (Wind) sowie einseitiger Belastung sind die Kämpferdrücke auch wie vorstehend zu ermitteln, jedoch muß für jede Binderhälfte ein besonderer Kräfteplan gezeichnet werden.

Sehr einfach ist auch die Ermittelung der Stabkräfte nach dem Verfahren von Ritter unter Zuhilfenahme der Drucklinie; die Anwendung ist in Fig. 16 an einem beliebig belasteten Dreigelenkbogen gezeigt.

Zunächst ist mit Hilfe des Kraftecks ab (Fig. 16 a) die Drucklinie als ein durch die 3 Gelenke gehendes Seileck III... VIII gezeichnet (vgl. I. Teil, § 34, Fig. 113). Legt man nun den Schnitt s—s durch den Bogen, so trifft er die 3 Stäbe 0₃, D₄ und U₃ sowie die Seite III der Drucklinie. Die in der Seite III wirkende Druckkraft Sin ist nach Größe und Sinn aus dem Krafteck (Fig. 16a) zu entnehmen. Für den Gegenpunkt G₀₁ des Stabes 0₃ folgt schließlich mit Benutzung der in Fig. 16 angegebenen Hebelarme

oder

O₃h0s + Sin * y — 0 Sin • y

hos

Dieser Ausdruck kann im Krafteck durch Zeichnen ähnlicher Dreiecke leicht bestimmt werden.

► Noch einfacher ergibt sich die Spannung 0₃, wenn man den Hebelarm h₀₃ um G₀₃ dreht, bis er die Seite III der Drucklinie bzw. ihre Verlängerung im Punkt 3 trifft, und im Punkt 3 die in III wirkende Kraft Sm in die beiden Seitenkräfte S{„ und S" zerlegt, derart, daß S[i in die Richtung 3 G0a fällt und S/n winkelrecht dazu steht. Mit diesen Kräften folgt für den Drehpunkt G0s

(33)

O₃h₀₃ + Sm • h₀₃ + Sm • 0 = 0 0₃ = — Sine

Die Seitenkräfte Sin und Sfi erhält man sofort aus dem Krafteck (Fig. 16a) durch Zeichnen entsprechender Parallellinien.

CLr

R \S du

o»:

H,

y?

jt

r-

•4s

ir

Fig. 16.

sJn gleicher'Weise ist^für^jeden anderen Gurtstab'die Spannkraft zu ermitteln; in Fig. 16 ist dieses Verfahren auch auf 0₄ angewendet. Es bleibt somit nur noch übrig, die Spannkräfte der Wandstäbe zu ermitteln, was durch Zeichnen einfacher Kräftepläne erfolgt. In dem durch P₃ belasteten Knotenpunkt greifen die beiden bekannten Gurtstabkräfte 0₃ und 0₄ sowie die beiden unbekannten Wandstabkräfte D4 und D₅ an. Da die Richtungen der letzteren gegeben sind, so ergibt sich ihre Größe nebst Sinn aus einem einfachen Kräfteplan (Fig. 16b). Zeichnet man für alle Knotenpunkte des Obergurtes derartige Kräfte-

Pläne, was mit Hilfe eines Strahlenbüschels von einem einzigen Punkt aus geschehen kann, so sind sämtliche Spannkräfte der Wandstäbe gefunden. Es ist vorteilhaft, zur Prüfung auch für einen Knoten des Untergurtes ein Krafteck zu zeichnen.

§ 11. Der Dreigelenkfachwerkbogen mit beweglicher Belastnng.

Die Einwirkung beweglicher Belastung wird auch hier am einfachsten mittels Einflußlinien untersucht.

a)    Einflußlinien für die Auflagerwiderstände.

Diese werden in derselben Weise ermittelt wie beim voll-

wandigen Dreigelenkbogen (vgl. §8, 1, S. 31).

b)    Einflußlinien für die Stabkräfte.

Zur Ermittelung dieser Einflußlinien ist das gleiche Verfahren wie bei dem einfachen Fachwerkträger zu benutzen (vgl. I. Teih § 31b). Es wird für jeden Stab das um den zugehörigen Gegenpunkt wirkende Moment ermittelt und durch den winkelrechten Abstand zwischen Stab und Gegenpunkt dividiert. Der Einfachheit halber wird hier der gewöhnlich vorliegende Fall eines symmetrischen Bogens mit gleich hohen Kämpfern in Betracht gezogen. Handelt es sich um ungleich hohe Kämpfer A und B, dann bleibt das Verfahren dasselbe, es sind nur die lotrechten Abstände jeweils von der Kämpferverbindungslinie AB aus zu messen (vgl. §8, Fig. 12, S. 32).

1. Einslußlinie eines Obergnrtstabes 0.

Für jede rechts vom zugehörigen Gegenpunkt G₀ befindliche Belastung gilt nach Fig. 17 für das Gegenpunktsmoment

oder

A • x₀ — H • y₀ + 0 • h₀ = 0

(34)    0

L hg J    L hg    hgj

Insbesondere wird für die an der Stelle m wirkende Last

P = 11, wenn H wird,

1-b-g

l-i

gemäß Gl. (17), S. 33 gesetzt

1 • b • xn 1 • b • g yj

Mi₀ l-i h₀J

Hiernach sind die Ordinaten der Einflußlinie für 0 aus einer Differenz zu bilden. Das erste Klammerglied stellt die Ordinaten der Einflußlinie für einen Obergurtstab eines einfachen Trägers AB dar (vgl. I. Teil, §31b, 1), die in bekannter Weise gebildet werden, indem man (Fig. 17 a)

am Ende der Tragwerkslinie A₀B₀ den Wert A₀A' = — X°

aufträgt; die größte Ordinate liegt unter G₀. Das zweite

(35)

0-

Vmo *

ho

Klammerglied stellt die mit ™ multiplizierten Ordinaten der

h«

Einflußlinie des Horizontalschubes H dar, die am einfachsten aufgetragen werden, indem man die unter dem Mittelgelenk

liegende größte Einflußordinate für H mit ™ multipliziert.

Aus Gl. (20), S. 34 folgt für die größte Ordinate der 8-Fläche

mit g — t — g = und durch Multiplikation mit

“    xi₀

(36)

i y₀

Vgb 4f‘ h₀

Trägt man diesen Wert unter G winkelrecht zu A₀B₀ auf, so erhält man eine Dreiecksfläche, die von der vorstehend bereits festgelegten Fläche abgezogen, die in Fig. 17a schraffierte Einflußfläche für die Spannkraft im Obergurtstab 0 liefert. Überwiegt bei dem Klammerausdruck in Gl. (35) das zweite Glied, so wird rjmt positiv, d. h. im Obergurt tritt eine Zugkraft auf.

aI

--j

ii

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Z@&ss5\*l”id infUißlinie f.J). |

I-

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Ms

fc

JEinftußlinie fürJ).

2. Einflutzlinie eines Untergurtstabes U.

In derselben Weise wie für den Obergurtstab ergibt sich hier für eine rechts von Gu stehende Last P = 11 nach Fig. 17

(37)

Xu

U = A^— H-~ hu

hu

oder

(38)

l • hu

l-i

Die Einflußlinie für ü ist tote unter 1 an die Tragwerks-linie AqB,, anzutragen. Man mactjt A₀A' = + ^ und trägt

unter dem Mittelgelenk G den Wert r]gh = ~ ■ p auf, tote

Fig. 17 b zeigt. Die sich dadurch als Differenz ergebende schraffierte Fläche stellt die Einflußfläche für U dar, die negativ wird, sobald das zweite Glied in Gl. (38) überwiegt.

3. Einflußlinie einer Diagonale v.

In bezug auf den Gegenpunkt Gd liefert die Momentengleichung für rechts von Gd stehende Lasten

Ja

(39)

hd

D=a5-H^. hd

Insbesondere folgt für P = 11

(40)

l-b_xd 1 ‘ b • g _ yd _ l hd l-i hd ‘

Hiernach läßt sich die Einflußfläche für D auch wieder als Differenz von 2 Flächen bilden. Das erste Glied liefert die Einflußfläche für die Diagonale eines einfachen Fachwerkträgers, die sich ergibt, wenn man winkelrecht zur Tragwerks-

hd

der Gegenpunkt Ga hier zwischen den Auflagem liegt. Das zweite Glied liefert die mit p multiplizierte Einflußfläche für

Nä

H, die durch die größte unter dem Mittelgelenk G liegende

Ordinate rjgh =

Ti' P festgelegt wird. Zieht man die beiden 41 ha

Flächen voneinander ab, so ergibt sich die in Fig. 17 c schraffierte Einflußfläche für D.

Beachtet man, daß der Nullpunkt 8 der Einflußflächen immer unter der zugehörigen Belastungsscheide S₀, S„ oder Sd liegt, die der durch den entsprechenden Gegenpunkt gehende Kämpferdruck bestimmt, dann läßt sich die Konstruktion der Einslußlinien ganz wesentlich vereinfachen, wie ohne weiteres an den Fig. 17 d bis 17 f zu ersehen ist.

V. Abschnitt.

Die Formänderungen (Durchbiegungen) gerader vollwandiger Träger.

§ 12. Die elastische Linie (Biegungslinie).

Die Verbindungslinie der Schwerpunkte sämtlicher Querschnitte eines stabförmigen Körpers stellt dessen Längsschwerachse dar, die meistens kurz als Längsachse oder Stabachse bezeichnet wird. Wirken auf einen geraden stabförmigen Körper beliebige äußere Kräfte ein, deren Wirkungsebenen durch die Stabachse gehen, so erzeugen sie eine Verbiegung des Körpers, wobei dessen Längsachse in eine im allgemeinen doppelt gekrümmte Linie übergeht, die man als elastische Linie bezeichnet. Gehen aber die Wirkungsebenen der Kräfte nicht durch die Stabachse, so erfährt der Körper außer der Verbiegung auch noch eine Verdrehung (Torsion); dieser Fall kommt bei Baukonstruktionen sehr selten vor und bleibt hier außer Betracht.

Henkel, Graphische Statik II.

Me auf einen Querschnitt 8—8 eines stabförmigen Körpers einwirkenden äußeren Kräfte (Fig. 18) können stets zu einer Mittelkraft R vereinigt werden, die durch eine in die Stabachse fallende Längskraft (Normalkraft) N, eine dazu senkrecht stehende Querkraft (Schubkraft) Q und ein Mo-.    ^ ment M = N • f = R • h ersetzt werden

h\

-1.

.11

Fig. 18.

kann, wobei f und h die Hebelarme der pv> zugehörigen Kräfte in bezug auf den 4-| Schwerpunkt S desQuerschnittes bedeuten. f j Hiernach lassen sich die Verbiegungen eines stabförmigen Körpers zurückführen auf die I in seinen einzelnen Querschnitten wirk-—! samen inneren Spannungen, die, den äußeren Kräften entsprechend, aus Längs-oderNormalspannungen, ausSchub-oderScherspannungen und aus Biegungsspannungen bestehen.

In weitaus den meisten praktischen Fällen sind lediglich die Biegungsspannungen zur Ermittelung der Formänderungen ausreichend, und die damit erhaltene elastische Linie wird kurz als Biegungslinie bezeichnet.

§ 13. Der gerade vollwandige Träger unter dem Einfluß von Biegungsmomenten (Normalspannungen).

1. Der einseitig eingespannte Träger.

a) Verdrehungswinkel.

Die Biegungsspannungen werden unter der Voraussetzung ermittelt (vgl. S. G. Bd. 288, §23), daß die Trägerquerschnitte vor und nach der Einwirkung eines Biegungsmomentes eben sind und daß sie winkelrecht zur Biegungslinie (elast. Linie) stehen. Zur Feststellung des Zusammenhangs zwischen Biegungsmoment und Biegungslinie wird ein gerader Träger betrachtet, in dessen Symmetrieebene das Moment M angreifen soll. Den symmetrischen, aber veränderlichen Trägerquerschnitten F soll jeweils das Trägheitsmoment J zugehören. Aus dem Träger möge ein Stück ausgeschnit-

ten sein (Fig. 19), dessen auf der SLabachse gemessene Länge ds so klein ist, daß die dafür in Frage kommenden Größen M, F und J als unveränderlich gelten können. Vor Einwirkung des Momentes M ist das Trägerstück durch die parallelen Schnitte AB und CD begrenzt; infolge der Einwirkung von M krümmt sich die Trägerachse und die beiden Schnitte neigen sich um den Winkel Acp (Verdrehungswinkel) gegeneinander. Wird Schnitt AB festgehalten, so dreht sich Schnitt CD in die Lage EF; dabei erfahren alle Längsfasern des Trägers gewisse Längenänderungen, ausgenommen die auf N—N entfallende neutrale Faserschicht, die ihre ursprüngliche Länge ds beibehält und daher spannungslos sein muß. Auf der dem Krümmungsmittelpunkt 0 zugekehrten Seite von N—N werden die Fasern verkürzt, sie erfahren also Druckspannungen (+), und auf der abgewendeten Seite werden die Fasern verlängert, mithin erleiden sie Zugspannungen (—). Jeder Querschnitt wird von der neutralen Faserschicht in der neutralen Achse oder Nullinie n—n (Fig. 19) getroffen, die winkelrecht zu der Symmetrieebene des Trägers steht und bei gleichartigem Trägermaterial durch den Schwerpunkt des Querschnittes hindurchgeht. Die Biegungsspannungen o verteilen sich nach S. G. Bd. 288, § 23 gemäß der Gleichung

(41)

M' rj

ö==±r

über einen Querschnitt, wobei rj den Abstand der einzelnen Querschnittsfasern von der Nullinie angibt.

Aus den ähnlichen Dreiecken (Sektoren) ONN und NGH der Fig. 19 folgt

rj GH, p ~~ ds ¹

hierbei stellt GH = z/ds die Verlängerung der im Abstand rj von der Nullinie befindlichen Faser dar, deren ursprüngliche Länge ds war. Nach dem Gesetz der elastischen Dehnungen (Hookesches Gesetz, vgl. S. G. Bd. 288, § 2) gilt aber

__ z/ds _ (J

£~w⁼ B"'

wenn E die Elastizitätszahl des Trägermaterials bedeutet, folglich wird

(42)

rj _ Ads _ G () ds ~ E Mit Rücksicht auf Gl. (41) folgt hieraus ganz allgemein 1 M

Dies ist bte Gleichung für den Krümmungshalbmesser p der elastischen Linie eines geraden Trägers; sie zeigt, daß p um so kleiner wird, je mehr bei gleichbleibendem E und J das Moment M wächst. Andererseits erkennt man, daß p und J sich in gleicher Weise ändern, sobald E und M unveränderlich bleiben. Das Trägheitsmoment J ist somit ein Maß für die Biegsamkeit eines Trägers.

Wird senkrecht zu der bei A festgehaltenen (eingespannten) Achse eines geraden Trägerstückes AB (Fig. 20) das in jedem Achsenpunkt

N—ds -U *4-4

■J & JDl

1y m

Li

Fläch?

JF/T

«-

?{

Fig. 20.

Fig. 19.

ACp

wirksame Moment M aufgetragen, so entsteht die Momentenfläche, kurzU-Fläche (F) genannt, die in Fig. 20 als Belastung des Freiträgers AB aufzufassen ist.

Uo

Nimmt man an, der Träger AB (Fig. 20) besitze zunächst nur ein elastisches Element z/x, das sich in der Entfernung x vom freien, als Nullpunkt betrachteten Ende B befindet, so folgt aus dem zugehörigen schraffierten Sektor (Bogenmaß)

Z/x = Q * d(p

oder für den Verdrehungswinkel der Endflächen von z/x

A

z/ (D — -—.

Q

Mit Rücksicht auf Gl. (42) wird schließlich . M •    w'

wobei w' = M - Ax den über Ax liegenden Teil der Momenten-fläche darstellt, der als elastisches Gewicht bezeichnet wird.

Bei unseren Baukonstruktionen dürfen mit Rücksicht auf die Sicherheit die Durchbiegungen nur sehr gering ausfallen; sie sollen ¹/₅₀₀ bis ¹/₁₂₀₀ der freien Trägerlänge nicht überschreiten. Daher müssen auch die Winkel Ay fefyc klein ausfallen, und es kann mit genügender Genauigkeit gesetzt werden:

(43 a)

.    .    . M•Ax

=tg<d<p=-^j-

Wird die ganze Länge l des Trägers AB (Fig. 20) in Betracht gezogen, so folgt für die gegenseitige Verdrehung der Endquerschnitte A und B, wobei B nach B' gelangt,

xr* a xr’M • A x

(44)

\ri w'

⁼ JL EJ*

o

Dieser Winkel y wird von der in B' an die Trägerachse gelegten Tangente und der im Punkt A festliegenden Trägertangente eingeschlossen (Fig. 20).

Besitzt ein Träger AB (Fig. 20) auf seiner ganzen Länge l gleichbleibendes E und J, so wird

(45)

<p =

hierbei ist    — E der Inhalt der einfachen Momentenfläche

0

des ganzen Trägers AB, also

^.x--^.(U-Fläche).

(45 a)

in der

Bei einem Träger mit gleichbleibendem E, aber sprungweise sich änderndem J (Fig. 21) bildet man den Wert

o ^

Weise, daß man die für die einzelnen Teilstücke berechneten Werte summiert. Werden letztere mit einem unveränderlichen Trägheitsmoment Je multipliziert, wozu das größte oder das am häufigsten vorkommende J zu nehmen ist, so folgt:

Der Klammerausdruck stellt den Inhalt der jeweils im Verhältnis <Jc verzerrten Momentensläche Fz dar, und es gilt

(46)

⁹    E Jo' Fz'

Sind bei einem Träger (Fig. 22) E und J über die ganze Trägerlänge veränderlich, so setzt man statt der Momente M die jeweiligen

Werte auf die Trägerachse AB und erhält damit die elastischen

EJ    TU-

Gewichte w — u z/x, die in ihrer Gesamtheit die durch E • J E J

reduzierte Momentensläche

CS

Fr= y^X=yW

Monmttmfläche F

Mr

ißtC

Vt'rzerr'teMmieiitenfläche f,

Fig. 22.

Fig. 21.

darstellen. Damit wird die gegenseitige Verdrehung der Trägerendquerschnitte

(47)

(f — Fr.

Für zwei beliebige Querschnitte C und D (Fig. 22) mit dem Abstand Xg — Xi wird die gegenseitige Verdrehung

(47a)

srSM • z/x

= F?"¹.

X₀

Ganz allgemein gilt:

Die gegenseitige Winkeländerung von zwei Trägerquerschnitten in beliebiger Entfernung ist gleich dem Inhalt der zwischen beiden befindlichen reduzierten Momen-tenfläche.

b) Durchbiegungen.

Der mit seiner Momentenfläche belastete Träger AB (Fig. 23) krümmt sich infolge Einwirkung, der Momente M und dabei gelangt sein freies Ende von B nach B'. Die lotrecht gemessene Entfernung BB'= y bezeichnet man als Durchbiegung des Trägers AB.

Besitzt der Träger AB zunächst nur ein elastisches Element Ax im Abstand x vom freien Ende B, so kann, wegen der Kleinheit des Winkels Ay, für die auf BB'lotrecht gemessene zugehörige Durchbiegung z/y die zu z/-> gehörige Bogenlänge gesetzt werden, also z/y — x • A<p.

48)

Mit Rücksicht auf Gl. (43) wird hieraus ,    M4 x

Ist schließlich der Träger AB über seine ganze Länge r elastisch, so wird die Durchbiegung des freien Endes, wenn BB' — y lotrecht gemessen wird,

(49)

’v    ^Mz/x

Mz/x

Nun ist aber • x das statische Moment eines Elementes ^elastischen Gewichtes w = —j^jX) der reduzierten Momentenfläche in bezug auf das freie Trägerende B, mithin stellt der Ausdruck

M z/x

.x = str

? EJ

das statische Moment der gesamten reduzierten Momentenfläche (Fr) in bezug aus B dar, und es gilt

(49 a)

y = St? *.

Ist die Einsenkung des Trägers AB (Fig. 23) an beliebiger Stelle C, im Abstand b vom freien Ende B, zu bestimmen, so ist, wie ohne weiteres aus Fig. 23 zu erkennen, die Summierung nur . über die Strecke A6, d. h. von b bis l, auszudehnen, also

xr¹ M A x    c,b-r

y«=2.-BT'l=str •

i Hiernach gilt ganz allgenrem:

Die Einsenkung (Durchbiegung) eines freien Trägerpunktes gegenüber einer durch einen festen Punkt desselben Trägers gehenden Wagerechten wird durch das

₌IM

Al

statische Moment der zwischen den beiden Punkten auf dem Träger ruhenden reduzierten Momen-tenfläche in bezug "T auf den Ort der < i y Durchbiegunglfreier T Trägerpunkt) be-rUJL stimmt.

Besitzt der Träger ^.B (Fig. 23) auf seiner ganzen Länge l gleichbleibendes Lund J, so wird

//

ff

Fig. 23.

(51)

y = yj^M^X-X,

wobei (M dx) x = St das statische Moment der einfachen Mo-

o _

mentenfläche (F) in bezug auf^das freie Trägerende B angibt. Wird der Schwerpunktsabstand von F in bezug cm, B mit xB bezeichnet,

}•

Moment der ^-Fläche

Hat man einen Träger mit gleichbleibendem E, aber sprungweise sich änderndem J, so wird (vgl. Fig. 21, S. 54) der Wert

s0 fol0t    i    i _    i f

<61a) y = BJ-St = BJ,F-Xs = Bj'X

Qi    _

w'x

mit einem unveränderlichen Jc multipliziert, und es folgt

(52)

y = Str*- = -¹-i;M-4x‘X.

Je    E Je 0 J

Je

In diesem Ausdruck stellt die Summe das statische Moment Stz

der im Verhältnis-^ verzerrten MomentenflächeF- dar, also

(52 a)

y ~EJ„

. st..

\Al

Fig. 24.

B"

Also auch hier ist die Einsenkung des freien Trägerendes gleich dem statischen Moment der den Träger nur teilweise belastenden reduzierten Momentenfläche in bezug auf den Ort der Einsenkung.

Insbesondere wird mit gleichbleibendem E und J bezw. mit £o

(53 c)

Wird nur die Strecke AG des Trägers AB (Fig. 24) durch Biegungsmomente M beeinflußt, so krümmt sich lediglich die mit der Momentenfläche belastete Strecke AG, während der übrige Teil GB = b in Richtung der in C an die Biegungslinie gelegten Tangente verläuft. Es wird somit die Durchbiegung des freien Endes B nach Fig. 24

(53)

Yb = yc + b • (sc.

Mit den durch die Gl. (50) und (47) gegebenen Werten wird

yb=St?-'+b -T*-*.

(53 a)

Bezeichnet man mit £0 den Schwerpunktsabstand d er reduziertenMomenten- M fläche (Fr) in bezug auf C, M so wird S tr = Fr • §y, und ^ es folgt

(53b) yb = Fr(!₀ + b).

Jleduxier^p^^:

$>o

'C

[B

yb=ijF(S°+b)-Das angegebene Verfahren zur Bestimmung der Verdrehungen bzw. Durchbiegungen gilt ganz allgemein, denn man kann von jedem Träger ein Stuck abschneiden, das dem vorstehend behandelten Träger entspricht, auch bleibt es richtig, wenn der Träger unter einem kleinen Neigungswinkel dy eingespannt wird.

2. Der einfache Träger auf 2 Stützen.

a) Verdrehungswinkel der Endquerschnitte.

Der Träger AB (Fig. 25) sei mit seiner reduzierten, aus den

bestehenden Momentenfläche F

elastischen Gewichten w —

M-z/x

belastet, und seinen EndquerschnitLen sollen die Verdrehungswinkel <p' und <p” zugehören.

Denkt man sich nun umgekehrt den Träger AB als einen bei A' unter dem Winkel y' eingespannten Freiträger, der unter Einwirkung der elastischen Gewichte um das Maß bis zur Wagerechten A'B' zurückgebogen wird, so gilt nach Fig. 25 mit Rücksicht auf die Kleinheit des Winkels

Nun ist aber nach Gl. (49) mit dem Abstand z statt x

Mz/z

• Z = Fr * z₀ == Str'° \

mithin^wird

Ap

/p

T~1

StrC-, = Ar,

<Pf

Jltegunaslinte-

Fig. 25.

jsr und es gilt

X/’ (54)    <p' = Ar.

D. h. die Verdrehung des linksseitigen Endquer-r" schnittes bzw. die Tangente < des linksseitigen Verdrehungswinkels y' ist gleich n dem linksseitigen Auflager-* druck Ar der reduzierten Momentenfläche Fr.

In derselben Weise findet man für einen unter v dem Winkel bei B'ein-• * gespannten Freiträger AB

B*\

i54a)

-<p" — Br.

Insgesamt ist die absolute Verdrehung der Trägerendquerschnitte gegeneinander

cp' -j- y" — Ar "f* Br = Fr,

d. h. gleich dem Inhalt der reduzierten Momentenfläche.

i Sind E und J für die ganze Trägerlänge unveränderlich, so erhält man

(55)

(54b)

(55 a)

§13. Einfluß von Biegungsmomenten.

SS*'

<f' =

— <P"

“EJ

wobei F den Inhalt der auf dem Träger sitzenden Momentenfläche angibt.

b) Verdrehungswinkel eines beliebigen Querschnitts.

Aus Fig. 26 ergibt sich für den Querschnitt C im Abstand x vom linken Trägerende A, mit Rücksicht auf Gl. (54),

,    V

<P = <P — (fix =

-f/)x = Ar- (px.

Nach Gl. (47a), S. 54, wird aber

<px=fr,

und es folgt

y = Är-frX= Qx,

wobei Qx die Querkrast der elastischen Gewichte w für den Querschnitt C angibt. Allgemein ist also der Neigungswinkel der elastischen Linie bzw. die Winkeldrehung für eine bestimmte Trägerstelle gleich der diesem

Orte entsprechenden    __

Querkraft eines mit seiner reduzierten Momentenfläche belasteten

Wird Qx negativ, so ergibt sich auch ein negatives (p; insbesondere muß für Qx ----- 0 auch y bzw. tg (p = 0 sein, d. h. die Tangente läuft wagerecht und berührt somit die tiefste Stelle der Biegungslinie. Der Ort der größten Durchbiegung liegt also dort, wo Qx = 0 ist.

(56)

A‘

r-

Trägers.

\ Tan9enteor^r

Fig. 26.

¹

x

c) Durchbiegung an beliebiger Stelle.

Für den Träger AB (Fig. 27), dessen beliebiger äußerer Belastung die auf dem Träger sitzende reduzierte Momentenfläche Fr zugehört, soll die Durchbiegung im Punkt C ermittelt werden.

Die gebogene Linie A'C"B' stellt die Biegungslinie des Trägers AB dar, die an der Stelle C die Durchbiegung C'C" = yc

liefert. Legt man in O" eine jkr    jx ^ Tangente A"B" an die Bie-

\*~JC    gungslinie und denkt sich den

! Träger bei C festgehalten, so I    fp Aüdwjfr . pj\J können die beiden Teilstücke

tfc-“-W~.-KA'C" bzw. B'C" als die Bie-

wL ^ -7. ~ gungslinien von zwei bei C

x\

Tangente Cr7T~~~~^

Fig. 27.

eingespannten Trägern mit den Längen AC = a bzw. ^    ™ BC = b angesehen werden,

—JB" und für die Durchbiegung ihrer freien Enden gilt nach Gl. (49) (S. 55):

y»

BJ -x=Str'

vM • dz

y>=Z^j-

Mit diesen Werten erhält man für die wirkliche Durchbiegung yc b . a

I + JbT'

_ b ' M z/x

y°_ T ^ "W

b *    , a b

— -r^w x+ -yj£

L 0 ¹ 0

^Str°”a +

aus Fig. 27

(57)

• z = St?-b.

yc = y» •

•X + T?

^Mz*z

"ET'²

w • z = Mw,

oder (57 a)

Dieser Ausdruck ist aber weiter nichts als das Biegungsmoment an der Stelle C eines einfachen Trägers AB, der mit seiner reduzierten Momentenfläche (Fr) bzw. den elastischen Gewichten

y= =

Str_b .

eT~~™e~”

Ch

belastet ist, wie sich aus dem Vergleich der Gl. (57) mit dem Moment

eines einfachen, durch Einzellasten P beanspruchten Trägers AB

(Fig. 28) ergibt. Denn für

die Stelle C desselben

folgt sofort, wenn man A

die Momentenanteile der

CL

links bzw. rechts von C

liegenden Lasten besonders

Fig. 28.

berechnet,

(57b)

Mp.

Mc = yjp-X+ yi;p.z =

¹ 0 ¹ 0

Wird P durch w ersetzt, so erhält man Gl. (57).

Für unveränderliches E und J gilt

(57c)

ye = ^j[y^Mz/X-X+ yJFlMz-z]

Jrv . Z1 — o J J

Dies ist das Moment für eine aus der einfachen Momenten-fläche (F) bzw. den elastischen Gewichten V — bestehende Belastung.

§ 14. Graphische Darstellung der Biegungslinie (elast. Linie) gerader vollwandiger Träger (nach Mohr).

a) Der einseitig eingespannteTrägerAB (Fig. 29) mit unveränderlichem E und J.

Nach den vorangehenden Entwicklungen ist der Träger AB mit seiner Momentenfläche zu belasten, die von den auf AB einwirkenden äußeren Kräften erzeugt wird. Durch Teilung der Momentenfläche in schmale lotrechte Streifen erhält man die als Einzellasten wirkenden elastischen Gewichte V — M^/x. Setzt man die elastischen Gewichte w'

_    15    l

zu einem Kräftezug ab = ^ w' — ^MJxzusammen,so

0

kann dazu mit beliebiger Polweite H das Seileck A B gezeichnet werden (vgl. I. Teil, § 26, 1). Werden für ein beliebiges Gewicht w' = M Jx (in Fig. 29 schraffiert) die zugehörigen Seileckseiten bis zur Lotrechten durch den freien Trägerpunkt B verlängert, so schneiden sie auf dieser die Strecke Jj ab. Gleichzeitig entsteht das schraffierte^Dreieck,

,i

JX

cc

-H

Qrn,

! iz ii

:    I Mi

Gewichte

B'

B=IMjoc =lu^

B"

x-J

E und Jsind jjuwtu'änderhch.

SJ

Fig. 29.

(Mz/x) • x w'x

das dem entsprechenden, ebenfalls schraffierten Dreieck des Kraftecks ähnlich ist, und daher gilt (M • Jx): H = Jj: x oder

(58)

Wird nun insbesondere H = E- J gemacht, so folgt Mz/x

(58 a)

EJ

w' • x EJ ;

dies ist aber der bereits durch Gl. (48) S. 55 festgelegte Wert. Wiederholt man vorstehende Ableitung für alle übrigen elastischen Gewichte w', so summieren sich die Jy zur Gesamtdurchbiegung B'B" = yb, die unter dem freien Trägerende B durch die der Gesamtbelastung entsprechenden äußersten Seileckseiten abgeschnitten wird, also

2>' • x;

yb =2^y = A    •x =

0    o

dies ist aber der bereits in Gl. (51), S. 56 festgelegte Wert.

Für einen beliebigen Querschnitt C zwischen A und B (Fig. 29) ergibt sich in gleicher Weise

irn

Mz/x

bzw.

ein Wert, der sich für gleichbleibendes E und J auch aus Gl. (50) ergibt. Hiernach stellen die zwischen dem Seileck A'B" und seiner verlängerten ersten Seite A'B' liegenden Ordinalen y, jeweils unter der Berührungsstelle von zwei elastischen Gewichten, die Durchbiegungen des Trägers AB (Fig. 29) dar. Wird die Breite z/x der elastischen Gewichte unendlich klein, so geht das Seileck A'B" in die Biegungslinie des Trägers AB über. Die durch die statischen Momente der Momentenfläche bestimmte Biegungslinie kann somit immer als Seileck dargestellt werden, und es gilt ganz allgemein (Satz von Mohr):

Wird ein auf einer Seite festgehaltener Träger mit seiner Momentenfläche belastet, die durch senkrecht zur Trägerachse geführte Schnitte in viele schmale Streifen zerlegt ist, deren Inhalte als Gewichte w aufzufassen sind, so stellt das zu diesen Gewichten mit der Polweite E- J gezeichnete Seileck die Biegungslinie dar.

Reicht die Momentenfläche nicht bis zum freien Ende B des Trägers AB (Fig. 24), so findet man die Durchbiegung an dieser Stelle, indem man die zum letzten elastischen Gewicht gehörende Seileckseite bis zur Lotrechten durch B verlängert, wie Fig. 24 zeigt.

Bei einem Träger mit veränderlichem J ist die Biegungslinie in gleicher Weise zu bestimmen, dabei ist jedoch entweder die reduzierte Momentenfläche (Fr) oder die verzerrte Momentenfläche (Fz) (vgl. Fig. 21), auf den Träger zu setzen. Im ersten Falle erhält man die elastischen

Gewichte w — ^ ^ bzw. w"

hi J

M /Ix

-y-, die gemäß Gl. (58),

S. 62 mit der Polweite H = 1 bzw. H = E bie Biegungslinie liefew. Im zweiten Falle hat man die elastischen Ge

Wichte w'" — M yz/x (vgl. Fig. 21, S. 54), die mit der Pol

weite H = E • Jc bie Biegungslinie ergeben.

Handelt es sich um einen Träger mit sprungweise veränderlichem J, dann kann die Biegungslinie vorteilhaft so^ezeichnet werden, daß man die einfache Momentenfläche (F) auf den Träger setzt und jeweils eine mit den Trägheitsmomenten des Trägers 3lf J₂, J₃ usw. wechselnde Polweite R₁ = E- Jlz H₂ = E • J₂, H₃ = E • J₃ usw. verwendet, wie Fig. 30 zeigt.

Für den einseitig eingespannten Träger AB (Fig. 30) mit der Trägheitsmomenten Jlz J₂ und J₃, der von einem durchgehend; gleichen Moment M in Anspruch genommen ist, soll die Biegungs linie gezeichnet werden.

Zunächst setzt man wieder die elastischen Gewichte bis wj,

__15    l

zu einem Kräftezug ab = ^w'=^Mz/x zusammen, muß aber 1    0

dann für die über den einzelnen Trägerstücken mit den Trägheitsmomenten Jlf J₂ bzw. J₃ liegenden elastischen Gewichte jeweils eine besondere Polweite bestimmen. Die Polweite echält für die Gruppe bis wj über Jx den Wert = E • Jlz für die Gruppe wj bis wj2 über J₂ den Wert H₂ = E • J₂ und für die Gruppe wj₂ bis über J₃ den Wert H₃ = E • J₃. Mit den dadurch festgelegten Polen 0lz 0₂ und 0₃, von denen 0₂ und 0₃ auf entsprechenden Parallelen zum Kräftezug liegen müssen, wird die Biegungslinie A'B" gezeichnet,

die die größte Durchbiegung B'B" = ybv liefert. Zum Vergleich ist auch noch die Biegungslinie A'B'" für ein durchgehend gleiches eingetragen (gestrichelt), die eine entsprechend kleinere Durchbiegung B'B'" — ybg ergibt.

Momentmflächeis)

ms%

f---

OiO—

4 5 6 7 #    1011 n

? ? H ?    ? ? ?

! .1 ! 1

o)

l I.

h₇=ej₇

Hz =E.JS

h₃ =ej₃

z-thT

E gleichbleibend,

Jsprungweise veränderlich.

Fig. 30.

b) Der Träger auf 2 Stützen mit unveränderlichem E und J.

Für den Träger AB (Fig. 31) sott die durch eine beliebige äußere Belastung hervorgebrachte Durchbiegung an beliebiger Stelle C graphisch bestimmt werden.

Setzt man die von der Belastung herrührende Momenten-fläche auf den Träger AB und zerlegt sie in eine große Zahl elastischer Gewichte w' — MJx — Mz/z, so ist das zu letzteren mit der Polweite H = E • J gezeichnete Seileck A'C"B' die Biegungslinie des Trägers AB, die mit ihrer Schlußlinie A'B' an der fraglichen Stelle C die Durchbiegung C'G" = yc begrenzt. Dies läßt sich kurz beweisen.

Wird die yc begrenzende Seileckseite bis zu den Auflagerlotrechten verlängert, so erhält man die Abschnitte A'A" bzw. B'B", welche die Durchbiegungen eines bei C festgehaltenen Trägers gegenüber der Tangente in C angeben. Verlängert man die zu einem bestimmten elastischen Gewicht (5), links von C, gehörenden Seileckseiten, so

Henkel, Graphische Statik II.

ergibt sich das schraffierte Dreieck, dem das ebenfalls schraffierte Dreieck im Krafteck ähnlich ist; mithin gilt

{M/Ix)    1    ,

• x = w• x.

EJ

{M/Ix): EJ = Jya: x oder Jya= ^ j

Für die sämtlichen elastischen Gewichte der Strecke AC = a ergibt sich schließlich ^z/ya = ya = A'A" oder

e¹j?(Mz,x)-x =

ya =

EJ o

2 w'x.

oc

bi

“°Qc

■H-4

"°Ö

/ö

>n

!<

JTT

\s

T^Hd

rz

•—Sr

[j

Fig. 01.

L"

In gleicher Weise folgt für die elastischen Gewichte auf der rechts von C gelegenen Strecke BÖ = b, daß B'B" == .Tz/yb — yb ist oder

yb = E¹j£(MJz,z = E¹j4V-z-

Mit diesen Werten wird schließlich die Durchbiegung unter C, und Fig- 31, je = y» ^ + Vi, a oder

y. = ^j[ ^ J£(Mz/x)x+ y^(Mz/z)zj

iw'.z] = AMw..

_ ¹    I b    V

— E J I- l    o

w' • x +

Da dieser Ausdruck mit Gl. (57c) S. 61 übereinstimmt, so ist die Richtigkeit der Konstruktion in Fig. 31 erwiesen.

Bei Trägern mit veränderlichem E und J wird man wieder wie früher (S. 64) die reduzierte bzw. die verzerrte

Mornentenfläche und w

Mz/xr ... Jc v r —— bzw. w — M • z/x be-

E J    J

nutzen. Ändert sich J nur sprungweise, dann sind veränderliche Polweiten vorzuziehen (vgl. Fig. 30).

Aus der Gl. (58) Ay — x erkennt man, daß eine Verkleinerung von H eine Vergrößerung von Ay bzw. y zur Folge hat, während aus Fig. 29 folgt, daß jede Verkleinerung des Längenmaßstabes der Zeichnung.eine entsprechende Verkleinerung von y bedingt. Sollen also die Durchbiegungen eines im Maßstab 1: n gezeichneten Trägers mit gleichbleibendem E und J in natürlicher Größe erscheinen, so muß die Polweite H — ^ ^ sein. Wird jedoch eine m-fache

zu nehmen. In (Gl. 58) erscheinen

zu verkleinern, also H —

Vergrößerung der Durchbiegungen verlangt, so ist H auf das m-fache E • J

n * m

Ayunb x in der gleichen Längeneinheit, mithin müssen die elastischen Gewichte w' und die Polweite H die gleiche Krafteinheit besitzen, wie sich auch unmittelbar aus der Dimension dieser Größen ergibt;

(MAx) ist in tm*m = m²t und E • J in * • m⁴ — m²t zu

messen. Da^y,abgesehen von x,nur von dem Quotienten ^ abhängt,

so wird es vom Kräftemaßstab nicht beeinflußt und dieser kann deshalb jeweils der Zeichnung entsprechend gewählt werden.

Die Durchbiegungen (Formänderungen) bilden die Grundlage zur Berechnung aller statisch unbestimmten Träger.

VI. Abschnitt.

Die Formänderungen (Durchbiegungen) einfacher ebener Fachwerkträger.

§ 15. Allgemeine Betrachtungen.

Ein statisch bestimmter ebener Fachwerkträger erfährt unter der Einwirkung äußerer Kräfte gewisse innere Stabspannungen S, die gemäß Teil 1, Abschnitt V zu ermitteln sind. Besitzt ein Stab den

5*

EÖ‘S ^EF fS' wobei das obere Vorzeichen für Zug-, das untere für Druckspannungen gilt, und s die Dehnung eines Stabes darstellt. Erfahren alle Punkte des Stabes gleiche Temperaturerhöhung um t°, so tritt eine weitere Längenänderung auf:

Querschnitts und die Länge 8, dann erleidet er durch S eine Längenänderung As, die nach S. G. Bd. 288, § 2 bestimmt ist zu

As = -i

Ss

(59)

As' — oj t s,

(59a)

wobei co das Dehnungsverhältnis für 1 Grad C bedeutet.

Ändert der Stab AB (Fig. 32 a) irgendeines Fachwerkes seine Lage und Länge, wobei er von AB nach A₁B₁ kommt, so können diese Änderungen aus drei Bewegungen zusammengesetzt werden:

1.    einer Parallelverschiebung von AB nach A₁B/,

2.    einer Dehnung des Stabes ± A AB (+ ZeErzung"^ wobei der Endpunkt B' nach B" gelangt, und

4<

3. einer Drehung um den kleinen Winkel <p, wodurch die Endlage A^ erreicht wird; hierbei kann der Kreisbogen B,/B₁ durch eine Winkelrechte zur Stabrichtung AB ersetzt werden.

Trägt man die Wege der Endpunkte des Stabes AB von

einem festen Punkt, dem Pol 0, als Strecken auf (Fig. 32 d) und verbindet die Endpunkte dieser Strecken miteinander, so % entsteht einLinienzug, den man Verschiebungsplan oder auch Geschwindigkeitsplan des Stabes AB nennt.

Führt ein starres Gebilde ABGD (Fig. 33a),

a)

yXv

JM,

- a Fig. 32.

»M

kurz Scheibe genannt, in seiner Ebene eine sehr kleine Bewegung aus, so kann diese als eine Drehbewegung um einen festen Punkt, den Pol P, aufgefaßt werden. Sind die augenblicklichen Bewegungsrichtungen von irgend zwei Scheibenpunkten gegeben, so errichtet man in diesen Punkten Winkelrechte zu den Bewegungsrichtungen und erhält in ihrem Schnittpunkt den Pol P. Die Bewegungsrichtungen aller übrigen Punkte stehen jeweils winkelrecht auf der zugehörigen Verbindungslinie mit dem A <'/u Pol P. Die äugen- q^-blicklichen Bewe-gungen va, vb...

zZ

/ -I

\)&

sk

ti-

Verschtebunysplon

Fig. 33.

(Geschwindigkeiten) der einzelnen Punkte müssen ihrem Abstand vom Pol P proportional sein; trägt man dieselben nach Größe, Richtung und Sinn von einem festen Punkt, dem Pol 0, auf und verbindet ihre Endpunkte miteinander, so entsteht der sog. Verschiebungsplan abcd (Fig. 31b), der ein dem gegebenen ähnliches Gebilde darstellt, das eine um 90° gedrehte Lage hat.

Aus Fig. 33 folgt weiter, daß der Verschiebungsplan eines starren Gebildes gegeben ist, sobald die Verschiebungen von irgend zwei Punkten desselben bekannt find, weil die Seiten des Verschiebungsplanes auf denen des gegebenen Gebildes winkelrecht stehen müssen.

§ 16. Berschiebungsplan eines elastischen Stabwerts.

Für das in Fig. 34 gegebene Stabwerk ABO soll die Verschiebung des Punktes C bestimmt werden, wenn der Stab

AC = 1 eine Verlängerung + J1, der Stab BC = 2 eine Verkürzung — A 2 und die Punkte A und B ihre Lage um gewisse Strecken AA' bzw. BB' verändern.

Wird zunächst die Verschiebung der Punkte A und B außer ad)t gelassen, so ergibt sich nur die von den Längenänderungen der Stäbe erzeugte Verschiebung von C. Man setzt an einen festen Pol 0' (Fig. 34 b) md) Größe und Richtung die Stablängenänderungen -tz A 1 und — A 2, zieht durch deren Endpunkte Winkelrechte, die sich tut Punkte c' schneiden, und er-

-•-■'■äs'

c)

r>' ZA

a)

—-ou4.'

Fig. 34.

hält damit den Verschiebungsplan, der tu der Strecke O'c' die Verschiebung von C liefert.

Beim Aufträgen eines Verschiebungsplanes ist der Sinn der Längenänderungen sorgfältig zu beachten. Ist der Stab AC = 1 in A fest, so kann er sich nur in der Richtung AC dehnen, folglich ist + A 1 von 0' aus in der Stabrichtung AC anzutragen. Der Stab BC = 2 ist in B fest, er kann daher nur in der Richtung CB zusammengedrückt werden, mithin ist — A2 von 0' aus entgegen der Stabrichtung, also im Sinne CB anzutragen. Erleiden nun auch die Punkte A und B des Stabwerkes ABC je eine Verschiebung, so sind diese zunächst an einen festen Pol 0" anzutragen (Fig. 34c), in ihren Endpunkten a" bzw. b" werden die Stablängenänderungen +J1 bzw. ~J2 angesetzt und durch deren Endpunkte Winkelrechte gezogen, die sich in c" schneiden. Damit ist der gesamte Berschiebungsplan gezeichnet, dessen Strecke 0"c" die endgültige Verschiebung von C liefert.

Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens kann der Verschiebungsplan eines Fachwerkträgers gezeichnet werden. Hierbei ist zunächst ein Punkt und die Richtung eines Stabes als fest anzunehmen. Zum Schluß aber sind die Bewegungen der Auflagerpunkte mit den möglichen Auflagerverschiebungen in Einklang zu bringen, was unter Umständen durch eine Drehung des ganzen Fachwerkträgers erfolgen muß (vgl. Fig. 33).

Die Verschiebungspläne werden oft nach ihrem Erfinder Williot benannt.

Beispiel 1. Für den in Fig. 35 dargestellten eisernen Vordachbinder, der an der Mauer unverschieblich befestigt ist, sollen die lotrechten Durchbiegungen ermittelt werden.

Man bestimmt die von der äußeren Belastung 2V und dem Eigengewicht herrührenden Stabkräfte 8 (vgl. I. Teil, V. Abschnitt) und berechnet damit die Längenänderungen z/s der Stäbe nach Gl. (59) S. 68; wobei die Stabquerschnitte ohne Nietabzug zu nehmen sind. Die sich ergebenden Verlängerungen sind in Fig. 35a durch +, die Verkürzungen durch — angegeben; da dies aber überaus kleine Größen sind, so wird man sie im Verschiebungsplan, je nach dem Maßstab der Zeichnung, in natürlicher Größe oder besser in 20- bis 30facher Vergrößerung auftragen.

Nunmehr wird ein Pol 0 gewählt (Fig. 35b). Da die Knotenpunktes und B sich nicht verschieben können, so fallen die ihnen entsprechenden Punkte a und b des Verschiebungsplanes mit dem PolO zusammen. Stab AC = 1 verlängert sich um z/1, mithin ist Al von 0 aus in der Richtung des Stabes, also im Sinne AC aufzutragen; Stab BC = 2 verkürzt sich um z/2, daher ist z/2 von O aus gegen die Richtung des Stabes, also im Sinne CB aufzutragen. Die durch die Endpunkte von z/1 und A2 gezogenen Winkelrechten schneiden sich im Punkt c, und die Strecke 0 e stellt die Verschiebung des Knotenpunktes C nach Größe, Richtung und Sinn dar. Wird nunmehr die Verschiebung des Knotenpunktes D gesucht, so sind die Knotenpunkte B und C als fest anzusehen, und von den ihnen entsprechenden Punkten a uno c des Verschiebungsplanes sind die Stablängenänderungen in der gleichen Weise wie vor anzutragen, wodurch sich der Punkt d bzw. die Verschiebung Od ergibt. Setzt man dieses Verfahren fort, so ergeben sich nacheinander die Punkte e, f, g und h und die entsprechenden Knotenpunktsverschiebungen Oe, Of, Og und Oh. Werden die letzteren an einen Pol 0' nach Größe (in Fig. 35 e auf die Hälfte verkürzt), Richtung und Sinn angetragen und auf eine Lotrechte projiziert, so erhält man für die sämtlichen Knotenpunkte die lotrechten Durchbiegungen sowie die wagerechten Verschiebungen.

+ Verlängerungen, — Verkürzungen.

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1/

Fig. 35.

Wird in Fig. 35 a durch jeden Knotenpunkt des Untergurtes eine Lotrechte gezogen und darauf die zugehörige Verschiebung aus Fig. 35b projiziert, so erhält man auch die lotrechten Durchbiegungen d' d", f' i" und h' h". Verbindet man die Endpunkte der letzteren durch den gebrochenen Linienzug b" d" f" h", so stellt dieser das Biegungspolygon oder die Biegungslinie für den Untergurt des Vordachbinders dar. Die von der Wagerechten b' h' und der Biegungslinie eingeschlossene Fläche heißt Biegungsfläche.

Beispiel 2. Für einen statisch bestimmt aufgelagerten einfachen Fachwerkträger AF (Fig. 36) sind die von den äußeren Lasten Px und P₂ erzeugten Durchbiegungen zu ermitteln.

Auch hier wird man zunächst die Stabkräfte 8 und die Stablängenänderungen ± A s ermitteln, die in Fig. 36 angegeben sind.

r—J

(n \\

/l;\\ //| v

ch! V

hx /

i/

e\

t\

Ix

II

il

ii

KU

A4

Fig. 36.

Sodann wird wieder ein Pol 0 gewählt und der Verschiebungsplan gezeichnet, wobei zunächst der Stab AL = 1 (in Fig. 36 a anschraffiert) festgehalten wird, derart, daß er in der Stabrichtung beweglich bleibt. Der Punkt A liegt fest, somit fällt a auf 0, und die Verkürzung Al des Stabes AB ist entgegen der Stabrichtung, also im Sinne BA von 0 aus anzutragen, wodurch sich der Punkt b ergibt. Hierdurch sind zwei feste Punkte geschaffen, von denen aus die Verschiebung \,f/ des damit verbundenen Punktes C festgelegt a" werden kann. Die Verlängerung A2 des Stabes AC ist von O (= a) aus im Sinne AC und die Verkürzung A3 des Stabes BC ist von b aus entgegen der Stabrichtung, also im Sinne CB anzutragen. Die in den Enden der Stablängenänderungen angetragenen Winkelrechten schneiden sich im Punkt c, und die Strecke Oc gibt die Verschiebung des Knotenpunktes C nach Größe, Richtung und Sinn an. In derselben Weise werden die Verschiebungen aller übrigen Knotenpunkte bestimmt. Schließlich erhält man in der Strecke 0 k die Verschiebung des Punktes F.

Der Punkt F (Auflager) kann aber in Wirklichkeit nur eine wagerechte Verschiebung in Richtung AF erleiden, es muß daher das Fachwerk AF noch so um A gedreht werden, daß die lotrechte Projektion der Verschiebung Os verschwindet und nur die mögliche wagerechte Verschiebung ff des beweglichen Auflagers F übrigbleibt. Die Drehung erfolgt winkelrecht zur Geraden AF, die sich dabei ergebenden Verschiebungen der einzelnen Fachwerkknoten müssen gemäß Fig. 33, S. 69 eine zum gedrehten Fachwerk winkelrecht stehende und ähnliche Figur liefern, von der die Verschiebungen der beiden Punkte A und F bekannt sind. Zeichnet man also zwischen 0 und f die dem Fachwerk ähnliche Figur mit den Knotenpunkten a' b' c' cf e' f ein, so erhält man in c'O, d'O usw. die durch die Drehung entstehenden Verschiebungen, die mit den anderen zusammenzusetzen sind. Aus c'O und Oc folgt die Gesamtverschiebung c'c des Knotenpunktes C, und in gleicher Weise ist an den übrigen Knotenpunkten bis F zu verfahren.

Zieht man wieder Lote durch die unteren Knotenpunkte des Fachwerks und projiziert die Durchbiegungen auf diese, so ergibt sich in dem Linienzug a'VV'f" die Biegungslinie für den Untergurt des Fachwerkträgers AF, die mit ihrer Schlußlinie a'"c,"e,,/f'" die entsprechende Biegungsfläche einhüllt.

Meistens wird der in vorstehender Weise gezeichnete Verschiebungsplan sehr lang, daher ist es vorteilhafter, einen möglichst in Trägermitte gelegenen Stab mit zunächst fester Richtung und einem festen Punkt zum Ausgangspunkt zu nehmen. Das Verfahren bleibt wie vor, nur ist besonders auf die Drehung zu achten.

§ 17. Die Biegungslinie einfacher Fachwerkträger.

Nicht immer ist es praktisch, Williotsche Verschiebungspläne zum Aufzeichnen der Biegungslinien zu benutzen, es sei daher noch ein anderes, rechnerisch-zeichnerisches Verfahren angegeben.

a) Zunächst sei angenommen, daß unter der Einwirkung äußerer Lasten nur die Gurtstäbe ihre Länge ändern, während die Wandstäbe (Diagonalen) die ursprüngliche Länge beibehalten. Wird dementsprechend ein einfacher Fachwerkträger AL (Fig. 37) betrachtet, der an einem inneren Wand-stab in der Richtung m—n festgehalten ist, so erkennt man, daß die Gurtlängenänderungen eine Krümmung des Trägers hervorbringen; hierbei bleibt der auf m—n fallende Punkt G liegen, während Endpunkt A nach A' und Endpunkt B nach B' gelangt. Ändert der Stab EF seine Länge s um As, so

-A'

J/a,

___JB’

A..

\l

cc -

a.

Ur

Fig. 37.

wird auch der zugehörige, am Gegenpunkt G des Stabes liegende Winkel \p eine Änderung

(60)

^=i

erfahren, wobei h den winkelrechten Abstand zwischen Stab und Gegenpunkt bedeutet. Durch die Vergrößerung des Winkels ip um Alp muß aber das rechts von m—n gelegene Trägerstück eine Drehung um G ausführen, die gleich Alp ist. Dabei hebt sich das Auflager B um das Maß^-yb = A ip • b, wobei die Bogenlänge, wie bei kleinen Winkeln immer zulässig, gleich ihrer Projektion auf die Tangente gesetzt ist. Für irgendeinen anderen Gegenpunkt G' mit dem Winkel ip' und der Änderung Aip' gilt ebenfalls z/y{, = Ai// • z, und wenn an allen rechts von m—n liegenden Gurtstabgegen-vunkten Winkeländerungen auftreten, wird schließlich BB' = Yb die Gesamthebung: also

yb =2^yb =£4ip - z =

St?,7b;

0 b

denn der Wert • z stellt das statische Moment aller von o

0 bis b vorhandenen Winkeländerungen beider Gurten in bezug auf das beweglich angenommene Trägerende B dar. In der gleichen Weise erhält man auch für alle links von in—n liegenden Gegenpunkte mit den zugehörigen Winkeländerungen JiL< die Gesamthebung AA' = ya oder

a    a

Ya =^Ya =2J 'P ‘ X = 0 0

'/•

st?r\

Aus Fig. 37 folgt aber für die Durchbiegung des auf m—n liegenden.Trägerpunktes G

b

Jg = Ya-y + Yb

oder mit den vorstehenden Werten

(61) yg=^2^^^ex+T^^^,z=="7Stv™a + "TStv"b*

i 0    l o    t    ö

Durch diesen Ausdruck ist die Biegungslinie des einfachen Fachwerkträgers festgelegt, denn der betrachtete Punkt G kann mit jedem Gurtknotenpunkt zusammenfallen. Vergleicht man Gl. (61) mit Gl. (57 b), S. 61, so zeigt sich, daß die yg als Momente eines einfachen Trägers gefunden werden können, der mit den Einzellasten Jip (Winkeländerung) belastet ist.    ^

Die Winkeländerung = (Gl. (60), S. 75) ist bei einem

einfachen Träger (Fig. 37) für einen Obergurtknoten positiv und für einen Untergurtknoten negativ, aber in beiden Fällen ist die gleiche Drehung vorhanden, die eine Einsenkung des Trägers erzeugt. Nach Gl. (59), S. 68 war As = fs =^-s = ± 11; weiter

gilt aber nach Teil I, § 31b für einen Obergurtstab bzw. Untergurtknoten hin kann auch die Biegungslinie des Fachwerkträgers gemäß §14, S. 64 als Seileck zu den elastischen Gewichten(»mitder Polweite H = 1 gezeichnet werden, wie Fig. 38 zeigt (vgl. hierzu Fig. 31, S. 66).

Wird dabei der Träger im Maßstab 1: n gezeichnet, so muß, wenn die Durchbiegungen in natürlicher Größe erscheinen sollen,

~ werden; sind aber die Durchbiegungen m-fach vergrößert

darzustellen, so ist H = — zu nehmen (vgl. S. 67). Ist E für n • m    ]yj-s

alle Stäbe gleich, so können die p = genommen werden und

dazu gehört H —-----; für Flußelsen z. B. E — -----—•

Die elastischen Gewichte sind unbenannte Zahlen, wie sich leicht

Ms

aus ihrer Dimension ergibt, p =

= i;

, also — dip =

“EFh²

oder /Up — -f*

Ms

~ h

und entsprechend gilt für einen Unter gut tft ab bzw. Obergurtknoten

s = + Y, also + ^/V» = + Bph2 oder Jxp = + —.

Bezeichnet man ganz allgemein die Winkeländerungen Jip mit q und betrachtet sie als elastische Gewichte:

EF h²'

(62)

Ms

EFh²' *

dann müssen diese, solange keine negativen Momente auftreten (Auslegerträger), immer positiv sein. Sekt man q in Gl. (61) ein, so folgt

I' o    t. 0

Ein Vergleich dieser Gleichung mit Gl. (57) zeigt, daß die

(61a)

Me.

Winkeländerungen des Fachwerkträgers q

Ms

denWinkel-

EFh²

änderungen des Vollwandträgers    ^ entsprechen, mit-

E J

Mz/x

tm • m E F h² ~ t /m² * m² m²

mithin können sie mit ihrer Polweite in jedem passenden Maßstab aufgetragen werden.

Wird insbesondere die Biegungslinie des belasteten Gurtes gesucht, so sind die entsprechenden Knotenpunkte jeweils durch eine Gerade zu verbinden (gestrichelte Linie in

Ei

\9s

Fl

J8

,i

3]T

y*

Fig. 38.

Fig. 38). Vgl. hierzu die Momentenfläche bei mittelbarer Belastung I. Teil, § 24, 4, Fig. 64.

b) Sind auch die Längenänderungen der Wandstäbe zu berücksichtigen, so geschieht dies auf Grund der Winkeländerungen eines elastischen Dreiecks. Werden für alle

Fig. 39.

am Knoten K eines Fachwerks (Fig. 39) liegenden Winkel tplf /S\B ^2 und ipZf die sich mit dem Randwinkel W zu 360° ergän-zen, die Winkeländerungen Jx/j₁, Ji>j₂ und Jipz berechnet, x H so ist auch z/ W bekannt, denn es muß z/W + 2— 0 sein. Führt man diese Berechnung für alle Knoten eines Gurtes aus und betrachtet die Randwinkeländerungen ^/W als in den Knoten wirkende elastische Gewichte,, so kann dazu mit der Polweite H = 1 ein Seileck gezeichnet werden, das die

Biegungslinie des betreffenden Gurtes darstellt. Weiteres über dieses Verfahren siehe in den größeren Werken von Müller-Breslau, Mehrtens u. a.

§ 18. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

Dieses wird mit Vorteil angewendet, wenn es sich darum handelt, die Verschiebung irgendeines Fachwerkknotenpunktes zu ermitteln.

Für den Fachwerkträger AB (Fig. 40) soll die Verschiebung dc des Knotenpunktes C in Richtung m—n ermittelt werden, wenn eine gewisse äußere Belastung auf den Träger einwirkt.

Fig. 40

Zu diesem Zwecke denkt man sich den Träger zunächst unbelastet, bringt aber im Knoten C eine in die Richtung m—n fallende(gedachte) Kraft P = 1 an, die in den Fachwerkstäben gewisse Spannkräfte s (Kraft- ü J gruppe) erzeugt, die mit Hilfe eines Cremona-schen Kräfteplanes (vgl.

I. Teil, §29) leicht ermittelt werden können. Nimmt man nun an, daß ein beliebiger Fachwerkstab DE eine Vorrichtung erhält, die eine sehr geringe Längenänderung As des Stabes gestattet, solange P = 1 wirksam ist, dann muß der ganze Träger eine Bewegung ausführen, wobei der Knoten C die Verschiebung 00' erleidet. Projiziert mcmCC' auf die Richtung m—n, so ergibt sich der Wert ch, der die Verschiebung des Knotens G darstellt. Hierbei hat sich die gedachte Kraft P = 1 um dc vorwärtsbewegt und eine gedachte (virtuelle) äußere Arbeit Aä = 1 • dc geleistet. Gleichzeitig hat auch der Stab DE mit der Spannkraft s und der Längenänderung Js eine gedachte innere Arbeit Aj — 3-z/s geleistet. Da aber an einem im Gleichgewicht befindlichen Körper die

Arbeitssumme gleich Null sein muß, so folgt Aä = A* oder

1 dc * = $ A s.

Erfahren alle Fachwerkstäbe gewisse Längenänderungen A s, so erhält man die Arbeitsgleichung

(63)

1' öc =

Bringt man nun die äußere Belastung auf den Träger, so erfahren die einzelnen Stäbe die Spannkräfte 8 (Verschiebungsgruppe), die die wirklichen Stablängenände-

erzeugen [bgL Gl. (59), S. 68]. Werden

8-8

rungen As

diese mit den Spannkräften s, die die in G wirkende Kraft P = 1 hervorbringt, verbunden, so folgt für die Verschiebung des Knotens G

EF

(63 a)

Für gleichblei bendes E wird

8s

v§- EF-

(63b)

1 • <fc =

rH Cd

Ss

--F

Die Berechnung der Summe in diesem Ausdruck erfolgt mittels Tabelle, wobei aber die s und 8 jeweils mit ihren Vorzeichen einzusetzen sind. Für P = 1 sind die s unbenannte Zahlen.

Stab

Stablänge I Querschnitt I Spannkraft Spannkraft ; s in cm F in cm² ! s    S in kg

Ss

Ss

VII. Abschnitt.

Die durchlaufenden (kontinuierlichen) vollwandigen Träger.

§ 19. Allgemeine Betrachtungen.

Jeder auf r-Stützen ruhende, ununterbrochen durchlaufende Träger (vgl. I. Abschnitt, § 1) ist (r — 2)-fach statisch unbestimmt, d. h. die den überzähligen Stützen entsprechenden statischen Größen sind nicht mehr mit den einfachen Hilfsmitteln der Statik bestimmbar. Um solche statisch unbestimmte Größen zu finden, muß das elastische Verhalten derartiger Träger (Durchbiegungen) auf Grund gewisser Annahmen (z. B. gleich hoher Stützen) untersucht werden. Bei durchlaufenden Trägern ist es zweckmäßig, die Stützenmomente (vgl. S. 10) als statisch unbestimmte Größen zu wählen; ihr Verlauf geht wie beim Gerberträger geradlinig von Stütze zu Stütze (vgl. Fig. 2, S. 10), und entsprechend der fortlaufenden Stützenzahl werden sie mit M₀, Mlz M₂... Mr_t, Mr, Mr+i usw. bezeichnet.

§ 20. Rechnerisch-zeichnerische Bestimmung der Stiitzen-und Feldmomente für ruhende Belastung.

u) Ermittlung der Stützenmomente.

P, fi

Wird ein durchlaufender Träger über jeder Stütze durchschnitten gedacht, so zerfällt er in eine der

CL

Summe der Trägerfelder ent- _

UV

sprechende Anzahl einfacher, sta-tisch bestimmter Träger, die an ISlIlil

JC

beliebiger Stelle x das Moment r-%-

Mx besitzen. Dieses durch die an- ^—~ stoßenden Stützenmomente beein- x slußte Moment wird nach Fig. 41 J.

/_

Fig. 41.

M- + M,_, •

v    +M<‘V

HenkelsGraphische Statik II.

In diese Gleichung sind bte Momente mit ihrem Vorzeichen einzusetzen. Nimmt man nun ein über zwei benachbarte Öffnungen reichendes Trägerstück, das mit seiner Momentenfläche belastet ist (Fig. 42 a), hält es auf der Mittelstütze fest und macht die Außenstützen in lotrechtem Sinn beweglich, dann können sich die beiden Trägerenden frei durch -biegen wie beim ein-st seitig eingespannten Trä-* a) ger(vgl. Fig. 23, S. 56). Besitzt die elastische Linie (Biegungslinie) des Trägerstücks über der Mittelstütze eine unter * ge-neigte Tangente, so gilt ^_⁴rtw in bezug auf diese für / die Durchbiegungen der _ J , Trägerenden nach § 13, I v- Gl. (49) bzw. (49a) S.55

JüLrlf

r-1

k-

^:

y-

s:

'3s*r

-4-uUS-U-1—ttJS

So

TI

\<r"

fW\

-_L_

+1 'i

I—³r-it

r*--l-rtf

\Tanf(ente

^fech'fp^'

Ui

’Wager^chte

V-/

7V/

Fig. 42.

y = 2 EJ "X

= str!,

wobei St? das statische Moment der gesamten, durch E J reduzierten Momentenfläche in bezug auf das freie Trägerende bedeutet. Hier sollen nur über je eine Öffnung, also auf Feldlänge gleichbleibende Trägheitsmomente vorkommen, mithin wird

y = j!,'    [St»"' + 6 t»-'],

wenn St das statische Moment der Stützenmomentenfläche und St---F-§ das statische Moment der von den äußeren Kräften herrührenden, einfachen Momentenflächen bedeutet. (Mes, was sich auf die statisch bestimmt gedachten Teile bezieht, ist durch deutsche Buchstaben gegeben.) An Stelle der linksliegenden Stütze wird die Durchbiegung (Fig. 42b) mit St' und St' — F' •

Yr-l =

E Jr

<st;+6t:>

und an Stelle der rechtsliegenden Stütze mit St" itttb St"

=W"-r

yr+1== EJ

YMz/z-z =

(StJ+i.+ <St"₊i).

Haben die drei Auflagerpunkte der elastischen Linie in bezug auf eine beliebige Wagerechte (Fig.42b)dieOrdinaten 4-i, ör und 4^i, so gilt

dT—6r-l= yr-lM-*?rtg« und 4 — (fr-i-l = Jr+l — k-j-1 - tg « oder

tg<x = —

yr-l

4 — 4-1

J— bzw. tg * = +

yr-fi 4    4-1-1

4-fi

Zr-j-1

Hieraus folgt schließlich die Gleichung der elastischen Linie yr—i    yr-i-i_4    * 4—i

Ir    lr+l    It

yp + ?^ = tS7l = y„

Ir    ir-fl

wobei die auf der rechten Seite angewendete Abkürzung yT die in Fig. 42c angegebene Bedeutung hat (Außenwinkel).

Setzt man schließlich die obigen Werte für die Durchbiegungen ein, so folgt

(65 a)

4— 4-i-i

oder

(65)

E J ] (Str + ©tr) +

E Jr-j-l /r-j-1

Tr,

Nach Fig. 42 a wird aber (66a) StJ =

Mr—ilr It , MrZr ,

•2 .....3+    2 ' k

n ist    Mr-j-1 Zr-j-1 ^r-f-1    , Mr * lr-\-l 2

Str+l== 2    ‘“T ⁺    2 .....3Zr+1-

Mit diesen Werten erhält man schließlich

und

(66b)

Mr-1

(07)

Ur

• Zf+ 2Mr(l + A±i) + Mr+1^±.'

Jr    ' Jr Jr-}-l'    Jr-j-l

ist: -

, ⁶t ©ti'₊i + 6Ey,= Nr.

tr-j-lJr-j-1

⁶,- St! - —A—@t!'+i +6Eyr,

Dies ist die sogenannte Dreimomentengleichung, die für den praktischen Gebrauch aus beiden Seiten mit Jr zu multiplizieren ist. Der Wert

Nr =

Jirr

der alle von der äußeren Belastung des einfachen Trägers stammenden Werte umfaßt, heißt das Belastungsglied.

Für ein überall gleiches Trägheitsmoment wird MV~i?r + 2 Mr (Zr + Zr-j-l) + Zr-f-l

(67a)

+ 6E Jyr = K*

6 etr 6

Das letzte yT enthaltende Glied der Gl. (67) und (67a) hängt vm der gegenseitigen Höhenlage der Stützen ab; liegen diese alle in gleicher Höhe, so wird es zu Null.

Ist ein durchlaufender Träger mit n Feldern, also mit u -j-1 Stützen zu berechnen, so sind n—-1 unbekannte Stützenmomente zu bestimmen. Die hierzu erforderlichen Gleichungen ergeben sich, indem man die Gl. (67) bzw. (67a) zunächst auf das erste und zweite Feld anwendet, also r = 1 setzt, sodann auf das zweite und dritte Feld, also r=2 setzt, und so fort bis zu den beiden letzten Feldern, also bis r = n — 1. Hierdurch sind aber zunächst nur die Momente über den Mittelstützen festgelegt und es bleiben noch die Momente über den Endstützen 0 und n zu ermitteln.

Liegt der Träger an den Enden frei auf, so wird M₀ = Mn = 0; sind die Trägerenden frei ausgekragt, so giltM₀ — 9JZ₀ und Mn — Mn, wobei Mg und Mn die Momente einfacher Kragträger (vgl. I. Teil, § 26) bedeuten. Ist jedoch der Träger beiderseits fest eingespannt, so werden zwei besondere Gleichungen notwendig, die sich ergeben, wenn man die Einspannung als eine erste bzw. letzte Öffnung mit

einem unendlich großen J ansieht, so daß * = 0 wird. Mit Bezug

auf Fig. 43 folgt aus Gl. (67) für r = 0 (linke Einspannung):

M₀_₁-0 + 2M#(o + i) + M1 21U+ ¥,?, = —

+ 6E₎₀

66t"

oder

(68a)

J, Wi

⁶®t"+6Eji;v

Ebenso wird für r = n (rechte (Anspannung)

(68b)    Mn—1 ln + 2 Mn Zn = —

6 St!.

lu

Die beiden letzten Formeln gelten auch, wenn nur eine einzige Öffnung vorhanden ist, man erhält dann daraus die Einspannmomente des beiderseits eingespannten Trägers. Hierbei bedeuten y₀ und yn etwaige kleine Winkeländerungen an den Einspannstellen.

b) Ermittlung der Feldmomente.

Die Stützenmomente fallen in der Regel negativ aus. Wird ihre Momentenfläche von der im allgemeinen immer positiven Fläche F der Feldmomente M, die einem einfachen, aus 2 benachbarten

1.,

ln

Fig. 43.

Fig. 44.

Stützen ruhenden Träger zugehören, abgezogen, so bleibt die Fläche der wirklichen Feldmomente M übrig, die inFig. 44 schraffiert ist. Dabei ergeben sich die beiden Nullpunkte Nx und N₂ (vgl. auch Fig. 2, S. 10).

Für die einfachen Belastungsfälle können die Werte St leicht ermittelt werden.

Bei dem gleichmäßig mit Q = q • Z belasteten Träger wird nach Fig. 45 a

(69 a)

Für den mit einer Einzellast P belasteten Träger gilt nach Fig. 45b

(69b) SP ---

Pa(Z² — a²)

Pb(Z²— b²)

Insbesondere wird für eine Last P in Trägermitte

P . 73

SP ----- St"--- ---- .

Sind mehrere Einzellasten vorhanden, so wird (69 d) 6 t' =₌2.lE>a(Zl™a2),    St"--^    ₆

(69 c)

^Pb((² — b²)

Insbesondere gilt für zwei gleiche Lasten P im Abstand a von den Auflagern

(696)

0t' = ©t" — Pa(Z:— a) • " .

Für den mit einer gleichmäßigen Streckenlast Q' = q • 2e belasteten Träger wird nach Fig. 45c

Isv =q:

(P _ a2_e2) = 1 (al-af) (2 Z²—af—a|),

©r=i-₃--(F-b²-e=) = ^(bi-bf)(2i²-bf-bl).

Liegt auf einem Träger eine Belastung P in Gestalt eines gleichschenkligen Dreiecks (Fig. 45d), so gilt

<691)

(69g)

■fs\ Q-q.l

Jsr

&’

L--a —

ra’Tw-ze

CD CO

a)

^b)

r—.

-t/2 —* —-/

\)

•r

T-

se

S-l

> .

*1 c)

L.------------ J ‘

s ₉S

I

-i’—£— r-4

t'

p"_

Fig. 45.

und wenn die Spitze der Last P über das rechte Auflager rückt (Fig. 45e), ergibt sich

(69h) St' = 5 PF _ .    .

v ;    45 Drerechprtze)

Für eine über den ganzen Träger reichende, trapezförmig verteilte Belastung P = Px + P₂ (Fig. 45t) folgt durch Zusammensetzen der Formeln (69h)

(69i)    @t'=₁|ö(7P₁ + 8P₂),    @r=₁B<8Pi + 7P2>-

Für ein unbelastetes Feld wird SP — @t" = 0.

(für die

, St"---

l p» (sür die 77 Grundlinie)

180

§ 21. Rechnerisch-zeichnerische Bestimmung der Querkräfte und Auflagerdrüüe.

Querkräste an, so gilt nach Fig. 46

Fig. 46.

lr

Mr-!+ Qr-r Ir —^Pb -Mr = 0,

0 lr

2’P • b

Es ist aber j ^P d — Ar der Auflagerdruck eines einfachen Trägers von der Länge lr, also wird die Querkraft

Mr —Mr-1

Mr — Mr-1

lr

(70a)

Qr-l — Ar 4 y

In derselben Weise erhält man auch die Querkraft

(70b)

Für den beliebigen Querschnitt bei x wird (Fig. 47)

Mr — Mr-l

tz^tzr-1-^P--Ar-P

i7

-<£P.

Nun ist aber Ar—J? P =' £W die Querkraft eines einfachen Trä

gers von der Länge Zr, mithin wird die gesuchte Querkraft

Mr —Mr-1

(71)

Qx — Qx -f-

lr

Hiernach können die Querkräste eines durchlaufenden Trägers in einfacher Weise dargestellt werden (Fig. 47). Man zeichnet zunächst

für jedes Feld die Querkraftsfläche eines einfachen Trägers (vgl. I. Teil, § 24, lb) und addiert dazu den auf Feldlänge gleichbleibenden Mr-Mr-1

IS

Wert

Ir

Fig. 47.

Für den Druck aus die Stütze r folgt aus Fig. 48

Cr=Q4i—Q"-

Hieraus wird mit Rücksicht auf die Gl. (70)

(72) Cr = 21,+1 + Sör +

Mr-j-j — Mr

Ir-yl

Mr —Mr-l

Ir

Da aber -f- Br ^ Cr den Auflagerdruck von zwei einfachen, auf der Stütze r ruhenden Trägern darstellt, so wird

Mr-fl-Mr

Cr = (Sr-f

Mr Mr — 1

(73)

Zr-j-1

“■(

ct = e, + Mp

Für die Endstütze folgt hieraus bei freier Auflagerung

c„ = Co + ^ ■

Die Werte Cr können auch sofort der Querkraftsfläche entnommen werden (Fig. 48).

Beispiel 3. Für den in Fig. 49 dargestellten durchlaufenden Träger sind die Momente, Querkräfte und Auflagerdrücke zu ermitteln. Der Träger besitzt ein überall gleiches J, gleich hochliegende Stützen (yr — 0) und freibeweglich gelagerte Enden.

(73a)

•T*¹:

Zunächst sind für die einfachen, auf je zwei Nachbarstützen ruhenden Träger mit Hilfe von Kraft- und Seileck die Momentenflächen graphisch zu ermitteln (vgl. hierzu Fig. 3, S. 12, und ^-/    ^

Fig. 4, S. 13), und für [M MllllllllllHIllllllllI dieie Momentenflächen -Ar’/ .

(Fig. 49) sind ferner die    T    ^

statischen Momente in bezug auf die benachbarten Stützen zu bestimmen.

Aus Fig. 49 folgt für Feld I nach Gl. (69a)

TH

QU

XI

QU

Fig. 48.

St' = @t" = ^ = ²⁴⁰®₄ ⁴⁴ --- 25600 kgm³.

Für Feld II wird nach Gl. (69b)

_ Pa((³— a²) _ 6800 • 2,0(5,0³ — 2,0²)

St'

= 47 600 kgm³.

@r = PM⁸-^) ₌ 6800 - 3,0(5.02 - 3,02» ₌ ^ ^

Für Feld III folgt nach Gl. (69k)

St' — U (a| - a?) (2 Z³ - a? - al) = ^ (5,0³ - 2,0-,

•    (2 • 6,0- — 2,0- — 5,0²) = 112875 kgm³,

St"-- -^(bi - b?) (2    bl) = -™- (4,0- -1,0-)

•    <2 • 6,0- —1,0- — 4,0-) = 103125 kgm³.

Feld IV besitzt keine Last, erhält aber negative Momente durch die Last auf dem Kragarm. Das Moment über der letzten Stütze beträgt nach Fig. 49

3R₄ == M₄ = — P • a = — 4000 • 1,5 = — 6000 kgm,

folglich betragen die statischen Momente der Momentenfläche über Feld IV:

6000 • 4,02

— — 32000 kgm³,

@t'=³M⁴-|(₄=

6000.4,0²

— 16000 kgm³.

Die gefundenen Werte sind nun nacheinander in Gl. (67a) einzusetzen, wobei zu beachten ist, daß M₀ = 0 ist (freie Auflagerung) und /r = 0 wird (Stützen auf gleicher Höhe).

Q=24oo. 4-, o Jiy. ^ ⁶⁸⁰⁰tyj-

QL 5 OOP, 3,ohg.

PL

JiiJL

1— ,S/J_

^ f    h*——-1^ —*■].

i sfl

4,0

<i

!<?

_>o

si

\z Al

<u

MST

ri⁴

TA

c_

Iä

H-M

LiLngemnwistab

Fig. 49.

Für das erste und zweite Feld folgt M₀ - 4,0 -f 2 Ni (4,0 + 5,0) -f M₂ • 5,0 = — Für das zweite und dritte Feld gilt Mi • 5,0 -j- 2M₂(5,0 “j- 6,0) -j- M₃ • 6,0 = — Für das dritte und vierte Feld folgt M₂ • 6,01- 2M₃(6,0 + 4,0) + M₄ • 4,0 = —

innn /i    5000    *0000

rrtjTf tf^

Är°f* ?°°o°t⁹'

-hsi 111M111    f——F

Mommteimaßstab

H-H

6-25600    6-54400

4,0    '    570    •

6-47600    6-103125

5,0    “    6,0    '

6-112875    6-(-16000)

Mit M₀ — 0 und M₄ = — 6000 kgm erhält man hieraus die Gleichungen:

18Mi+ 5M₂ = —103680, 5M, + 22 M₂ + 6M₃ = — 160245, 6M, + 20 M₃ = — 64875.

Die Auslösung der 3 Gleichungen ergibt die Stützenmonrente: Mx = —4106,4 kgm, M₂ = —5953 kgm, M₃ - —1457,9 kgm. Trägt man diese Momente in Fig. 49 a ein, so ergeben sich die schraffierten Feldmomente.

Weiter werden mit Hilfe des Kraftecks die Querkraftsflächen der einfachen, auf je 2 Nachbarstützen ruhenden Träger ermittelt

(Fig. 49b) und hierzu gemäß (Gl. 71) die Werte Mr ——- berechnet. Man erhält:

für Feld I

₌ __

4106,4

4,0

— — 1027 kg = alt

für Feld II

Mo — Mi _

-5953-(-4106,4)

5,0

= — 369 kg =    ,

für Feld III

M₃-M₂

-1457,9-(-5953)

= + 749 kg = <x₃ , M₄ - M3 = - 6000^-14^9) ₌ _ 1136 kg = Ä4-

Trägt man diese Werte in Fig. 49b ein, so entstehen die wirklichen (schraffierten) Querkräfte des durchlaufenden Trägers.

Die Auslagerdrücke können gemäß Gl. (72) aus Fig. 49b entnommen werden. Noch einfacher werden sie gefunden, wenn man die den einzelnen Feldern zugehörenden Schlußlinien in das Krafteck überträgt (vgl. § 2, Fig. 3 und 4). In Fig. 49c sind die Auflagerdrücke nochmals besonders dargestellt.

für Feld IV

6,0

§ 22. Graphische Bestimmung der Stützenmomente für ruhende Belastung.

a) Ermittlung der Festpunkte (nach Ritter).

1. Unveränderliches Trägheitsmoment J.

Wird irgendein beliebiges Feld eines durchlaufenden Trägers belastet, so können die entsprechenden Feld- und Stützenmomente nach §20 berechnet werden. Für den in Fig. 50 dargestellten Träger möge hiernach die Momenten-fläche gefunden worden sein. Setzt man diese Momenten-fläche als Belastung auf den durchlaufenden Träger, so kam: damit dessen elastische Linie (Biegungslinie) nach §14 ge-zeichnet werden. Da es sich hier aber nicht um die eigentliche Gestalt der elastischen Linie, sondern um die äußeren Kräfte und Momente handelt, so genügt es, die Stützentangenten der elastischen Linie zu kennen.

Man zerlegt deshalb die Momentenfläche (Fig. 50a) in geeignete größere Einzelflächen, die hier, mit Ausnahme der

^ fl

f Öf

Uh

!stSx?A. — &

Ja _

/a

_____

|t

6.

«3

1-9*

Parabel über llf nur Dreiecke sind, deren Schwerpunkte jeweils um V₃ der Feldweite von den Stützen entfernt liegen, und faßt die Inhalte dieser Flächen als elastische Gewichte Wi, W₂,... auf. Zu diesen Gewichten zeichnet man mit der Polweite H ein Seileck; dies ist das elastische Vieleck (Fig. 50b), das durch die Auflagerpunkte hindurchgeht und für die elastische Linie die Stützentangenten 23, 56, 78 usw. liefert. Die durch die Schwerpunkte der einzelnen Dreiecksflächen gehenden Lotech-1, dr, dr+1 usw. heißen Dattel-linien (= Lote). Verlängert man die Seileckseiten 12 und 34, so treffen sie sich im Punkt vj_i, durch den die ciu5 W2 und 77₃ gebildete Mittelkraft hindurchgeht. Die durch v'r-i gehende Lotrechte Vr-i muß somit die Streckens bzw. deren

Projektion    ^ , gemäß TeilI, ^ 15, im umgekehrten Ver-

hältnis von W₂ und W₃ teilen. Nun ist aber W₂ = \ Mr_! Zr i und W₃ = IMr-xZp, somit W₂: W₃ = Zr_i: Zr; soll daher 23 im umgekehrten Verhältnis von W₂ und W₃ geteilt werden,

so braucht man in Fig. 50 nur die beiden Strecken und lT    o

— zu vertauschen, um einen Punkt der Lotrechten vr_i zu

erhalten, die man als verschränkte Stützenlotrechte (auch als verschränkte Drittellinie) bezeichnet.

In der gleichen Weise erhält man durch Umsetzen der neben den übrigen Stützen liegenden Feldweitendrittel die verschränkten Stützenlotrechten vr, vr+1 usw.

Die Seite 3 v^-i des Dreiecks 23 v£-i schneidet auf der Stützenverbindungslinie Q R den Punkt Jr aus, der, wie sich geometrisch (durch affine Figuren) leicht nachweisen läßt, immer die gleiche Lage behält, solange Seite 21 durch den festen Punkt Jr-i und ©eite23 durch den festen Punkts geht, während sich die Ecken des Dreiecks 23 v^-i auf den Lotrechten d"_i, vr_i und di bewegen. Der Punkt Jr heißt Festpunkt.

In derselben Weise erhält man auch den Festpunkt Jr-i usw., und durch Verlängern der Seileckseite 45 ergibt sich der Festpunkt Kr bzw. Kr+i, Kr+2 usw.

Die Bedeutung der Festpunkte folgt aus der unbelasteten Öffnung Zr+jjttit dem Festpunkt Kr+i. Verlängert man die Seileckseite 67 bis zu den benachbarten Stützenlotrechten, so entstehen auf diesen die Abschnitte RR' bzw. B~S'. Damit folgt für die statischen Momente von W₆ und W₇ (vgl. I. T., § 14)

II • SS'

st' = W₆ •    = H • KR' bzw. St" = W₇• ^

d    3

oder W₆: W₇ = RR': SS'. Ferner ist (absolut genommen)

und es folgt

W₆ Mr EK'

W₇

Mr+l

Hiernach muß der Festpunkt Kr+1 lotrecht unter dem Momentennullpunkt Nr+i liegen. Dasselbe läßt sich auch für den linksliegenden Festpunkt Jr_i nachweisen. Daraus folgt:

Der Festpunkt Kr+i bestimmt diejenige Stelle, wo das Moment in der unbelasteten Öffnung lT

ikV

L-pTuJ

W₆ -

Mr • lr+1

DO

und W₇ =

Mr+1

'M

Jt

I    ¹ /

ttxsT '

Fig. 51.

gleich Null sein muß, wie auch die links davon gelegenen Öffnungen belastet sein mögen. Das gleiche gilt für den Festpunkt Jr_i der unbelasteten Öffnung Zr-i in bezug auf die Belastung aller rechts davon gelegenen Öffnungen.

Liegen die Enden des durchlaufenden Trägers frei auf, so fällt der erste Festpunkt Jx mit dem Auflagers zusammen, und sämtliche Festpunkte J können gemäß Fig. 50 sofort durch die einfache Konstruktion in Fig. 51 festgelegt werden. Wiederholt man diese Konstruktion vom rechten Ende aus, so ergeben sich sämtliche Festpunkte K.

Hierbei können auch die Funktionen der Stützenlotrechten C2 und der verschränkten Stützenlotrechten vx vertauscht werden, wie die in Fig. 51 einpunktierte Konstruktion ohne weiteres erkennen läßt.

Sind die Trägerenden fest eingespannt, so liegen die ersten Festpunkte in der Entfernung 1/3 von den Einspannstetten.

2. Auf Feldlänge unveränderliches Trägheitsmoment.

In diesem Falle wird man gemäß Fig. 22, S. 54 die durch das jeweils in der fraglichen Öffnung vorhandene

Trägheitsmoment J reduzierte Momentenfläche als

Belastung aus den Träger setzen (Fig. 52). Infolge der auf

r--T h--T-h -

vz

—I» x

Fig. 52.

Mb l

• 2 ist'

und W₂ =

= W₂ • z. Da aber Wx so folgt

Feldlänge unveränderlichen Trägheitsmomente kann die Belastungsfläche auch hier in einzelne Dreiecke zerlegt werden, durch deren Schwerpunkte die Drittellinien hindurchgehen, während die Dreieckinhalte wiederum die elastischen Gewichte Wlr W₂, W₈,..... festlegen. Die verschränkte Stützenlotrechte v₂ muß hier ebenfalls mit der Mittelkraft der beiden Gewichte Wx und W₉ zusammenfallen, somit gilt • x _ Mb \

Ji ' 2

■h-

(74)

Warf) diesem Verhältnis ist die Strecke

(Kl)

zu

teilen, was am einfachsten graphisch geschieht, wie Fig. 52 zeigt (vgl. hierzu Teil I, § 15), und damit ist die verschränkte Stützenlotrechte v₂ festgelegt. Die weitere Konstruktion der Festpunkte erfolgt wie unter 1.

b) Bestimmung derStützenmomente mitHilfe der

Dr

A    Den als Belastung

Tr    aufgebrachten Flächend

r *r+1    * und fr-j-i der unbekann-

'\;§    ten Stützenmomente

&/Y/    (Fig. 53) entsprechen die

J    in den Gl. (66 a) u. (66 b)

‘    gegebenen statis tyen Mo

mente, die sich folgendermaßen umformen lassen:

:k

1-Momente (nach Müller-Breslau).

Mr

\ Fr/Y;

t ; .iTiKn tnt vr

Ftg. 53.

st; =|pf + AMr) = |.Y;', st"₊₁=+1 mf) = K. y;₊₁ .

Hierbei stellen Y" und Y'T+i die in Fig. 53 durch einen starken Strich gekennzeichneten Drittelsmomente dar, wie nch aus den entsprechenden Dreiecken der Fig. 53 ohne weiteres erkennen läßt. Führt man diese Werte in die Gl. (65a) ein, so folgt ganz allgemein für feldweise veränderliches J

St^i

+ Eyr,

ZrJr

K. y" + -lr+A . y; ■ i = st'

2 Jr 1    + 2 JrJ-l *rTl

Y" — + Y'j., —t.¹ ₌ _ K¹' _ j-f-K 4- 2 E yr = Nr Jr +    r+1 J,+l    Ir Jr Zr-L, Jr+1 ⁺    ^

wenn Nr das Belastungsglied in Gl. (67), S. 83, bezeichnet.

Trägt man nun in Fig. 53 die verschränkte Stützenlotrechte vr ein, deren Abstände x und z von den benachbarten Felddrittelspunkten Dr und Dr-j-i durch die Gl. (74), S. 95 festgelegt sind, so schneidet die Verbindungslinie KD'-fi auf vr die Strecke Tr, das sog. T-Moment, ab. Der Wert desselben beträgt nach Fig. 53:

Tr = Y" . - z-- + y;₊i .    -f- .

X + z    ' x + z

Nun ist aber nach Gl. (74) x = z •    ^—, und damit wird

lT Jr-fl

Yi'JrJr+i +Y?+lt+l Jr

y;'-z + y"₊i-z^-~

_    lr Jr-fl

^r-j-1 Jr Jr-fl

lr-T-1 J r ,

ZT'⁻J^ + Z

Jr

Tr =

Dividiert man diese Gleichung durch Jr • Jr-fi, so wird schließlich y"4 + y:₊i^-

Jr-fl

^r ^ ?r-f 1

Jr Jr-fl

Nach S. 96 ist der Zähler dieses Bruches —    , also wird

(75)

Tr =

Nr

³( J, ⁺ Jr-fl l

Für unveränderliches Trägheitsmoment des ganzen Trägers folgt hieraus mit Bezug auf Gl. (67 a)

Tr =

(75a)

Nr

3 (ir + Zr-fl)

Diese Ausdrücke lassen sich für die am häufigsten vorkommenden Fälle ruhender Belastung unter Voraussetzung gleich hoher Stützen {y — 0) und eines feldweise veränderlichen Trägheitsmomentes leicht berechnen.

<x. Gleichmäßig verteilte Belastung auf Feldlänge.

Mit den entsprechenden St-Werten auf S. 85 wird nach S. 96

Nr=-und es folgt

6 <st'r 6 StrTi ^ _ 1 IqrU qr-f 1 g+l\ Ir J r    Ir -fl Jr-fl    4 \ Jr Jr-fl '

gr Ir i qr-f 1 -fl

Tr ==

12 *

Jr

J r-J-1

Ir , ^r-fl

Jr ⁺ J r-j-1

Henkel, Graphische Statik II.

Wird die rechte Seite mit Jr erweitert, so folgt die einfachere Formel

(76a)

Tr = —

12

gr U + qr-fl • U+l • - J——

Jr

tr + lr+1 ' —T-

Jr-fl

Bei unveränderlichem J ist Jr: Jr-j-i = 1 51t setzen. ß. Feste Einzellasten aus den einzelnen Feldern. Mit den auf S. 85 gegebenen St-Werten wird hier

xhPa(Z,³ —a²)

0 Ur

Nr =

^ Pb (U₊₁— b²) -V 4-l-lJr+l

und

(76b) Tr —

^Pa<8 —a-) ^Pb^+i — b²) Jr ■“ fc    fc+1 Jr+1

³(fc+fc+ii

Bei unveränderlichem Trägheitsmoment ist wieder Jr: Jr-f-i = 1. Für die beiden Trägeröffnungen (Fig. 54) liefert das in Fig. 51 einpunktierte Verfahren die Festpunkte Jrimt> Jr+i-

Projiziert man diese, wie auch die Drittelspunkte Dr und Dr+i auf die Mo-^ mentenline nach und Jr+i bzw. D'

-2¹

j___-r

Tr ' ! / r'

Pr+1

A/

Jr

lp

b+1~

und Dr+1 und verbindet sie durch Gerade, so entstehen die schraffierten Drei-

Fig. 54.

ecke, die zu den entsprechenden, an der Balkenachse liegenden Dreiecken affin sind. Hieraus folgt, daß der Endpunkt des auf der verschränkten Stützenlotrechten abgetragenen Momentes Tr auch auf der Verbindungslinie J' Jr+i liegen muß, und dadurch ist es möglich, die Fläche

der Stützenmomente mit Hilfe der I-Momente in einfacher Weise aufzutragen, wie Fig. 55 zeigt.

Man berechnet zunächst nach den Gl. (75) oder (76) die 1-Momente für alle Mittelstützen, ermittelt die Festpunkte J bzw. K in allen Feldern und bestimmt für jede Mittelstütze die verschränkte Stützenlotrechte v nach Gl. (74). Auf den Stützenlotrechten trägt man die in der Regel negativen 1-Momente vom Träger aus ab und legt durch ihre Endpunkte den gestrichelten Linienzug Ji J2 J3... Jn, dessen Eckpunkte lotrecht über den Festpunkten J₂, J₃... Jn liegen. Schließlich legt man, vom letzten Stützpunkt n ausgehend, einen Linienzug durch die Punkte J', dessen auf den Stützenlot-

t$JL'

T,\

Wf

*4    ^ i <4

_U-H

Fig. 55.

rechten liegenden Eckpunkte die gesuchten Stützenmomente Mlz M₂... Mn_i begrenzen. Um die Feldmomente zu erhalten, zeichnet man in die Fläche der Stützenmomente die den einzelnen Feldern zugehörigen F-Flächen ein.

Dieses Verfahren eignet sich besonders für durchlaufende Träger mit vielen ungleichlangen Feldern und ruhender Belastung.

e. Bestimmung der Stützenmomente mit Hilfe der Kreuzlinien bzw. der Stützenlotrechten.

Für einen durchlaufenden Träger mit einer belasteten Öffnung (Fig. 56) sei die Momentenfläche (Fig. 56 a) und das derselben zugehörende elastische Vieleck ^123 ... 67 K₄ bekannt. Letzteres zeigt, daß zu dem der äußeren Belastung Q entsprechenden elastischen Gewicht W₃ die Vieleckseiten 2 3 und 34 gehören, die entsprechend verlängert auf den benachbarten Stützenlotrechten die Strecken B₂B₃ und C₂C₃ abschneiden. Nun sind aber die statischen Momente der zur Last Q gehörenden einfachen Momentenfläche (F) in bezug

PL-*,

fik.'

Ul!

i'

L- 4    4

/ k\

v)

V5

Fig. 56.

auf die benachbarten Stützenlotrechten, vgl. I. Teil, § 14,

@t' =

w₃- |=b₂b₃.h Und et" =w₃-^=c₂g₃-h,

wobei H die zu dem elastischen Vieleck gehörende Polweite bezeichnet (Fig. 56 c), und daraus folgt, daß die Abschnitte B₂B₃ und 6₃ 6₃ nur von der äußeren Belastung Q des einen Feldes abhängen, also von vornherein als bekannt anzusehen sind. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Verbindungs-

Unten B₂C₃ und B₃C₂, die durch die Festpunkte J₂ und K2 gehen, bezeichnet man als Kreuzlinien.

= B' B" • f = Mb • f und W₄ = G' C". -| = Mc -1

4.

Insbesondere läßt sich nun die zu den elastischen Gewichten W gehörende Polweite H so bestimmen, daß das elastische Vieleck mit seinen an W₃ stoßenden Seiten die benachbarten Stützenmomente MB und Mc unmittelbar auf den Stützenlotrechten abschneidet. Die zu W₃ benachbarten Gewichte sind

w, ihre statischen Momente in bezug auf die Stützenlotrechten betragen (absolut genommen):

und St" = W₄*

= Mc ’t

St' = W₂ • y =MB •

Aus dem elastischen Vieleck folgt aber für dieselben statischen Momente

iC₂ •

St'=w₂ •    - BxB₂ • H und St"=W₄'    =

und es muß sein

Ng.1 = B^B"₂-H und Mcl=CjC^-H.

D    O

Soll also Mb = BlB₂ und Mc — C₁C₂ Werben, so ist l?

H = zu nehmen. Mit diesem Werte sind aber auch zugleich die Längen B₂B₃ und C₂C₃ festgelegt, die man kurz die Kreuzlinienabschnitte oder Stützenlotrechten (T) nennt. Aus den auf S. 100 gegebenen Beziehungen folgt

T' = B₂B₃

St' _ 6St'

H ~ l\ ' r_pr    _6@t".

— V2V3 — H — jjj 1

gemäß ihrer Ableitung sind diese Werte negativ zu setzen.

Für die einfachen Belastungsfälle können hiernach die Längen der Kreuzlinienabschnitte leicht berechnet werden.

Es wird für ein gleichmäßig mit Q = qZ belastetesTräger-

feld (Fig. 45a) nach Formel (69a) <5t' = St" —    , also

(78a)

6.qZ⁴_qZ²

Für das mit einer Einzellast P belastete Trägerfeld

Pa(Z² —a²)

(Fig. 45b) gilt nach Formel (69b) SP —

St"----

Pb(Z² —b²)

, also

und

T' ---

(78b)

6 Pa(Z² — a²) _ Pa(Z² — a²) _ Pab(Z + a)

T² 6

Z²

6 Pb(Z²— a²) Pb(Z²— b²) Pab(7+ b) T — -w *

Z²

Z²

Z²

Insbesondere folgt für eine Einzellast P in Trägermitte T--T'--T"--zPZ--Mm,

(78c)

wenn Mm das Biegungsmoment in Trägermitte angibt.

Für das mit einer gleichmäßigen Streckenlast Q'= q-2 belastete Trägerfeld (Fig. 45c) wird nach Formel (69t)

St' =

und

q'J:- (P — a² — e²)

St"

also

= ^b (Z²-b²-e²),

_ Q'a(Z² — a² — e²)

2 qea (Z² — a²—e²)

Z²

(78d)

Z²

6 q • e • b ¥    3~

Q'b(7²— b² — e²)

(Z² —b² —e²) ----

2 qeb (Z² — b² — e²)

Z²

Z²

Für ein Trägerfeld mit einer Last P in Gestalt eines gleichschenkligen Dreiecks (Fig. 45d) ist nach Formel (69g)

©t'= ©t" = ~P!³, also

(78 e)

r-H',4K

Rückt die Spitze der Last P über das rechte Auflager (Fig. 45e), so wird mit den Formeln (69 h)

(78 f)

Für eine über den Träger trapezförmig verteilte Last P = Px + P₂ (Fig. 45t) folgt mit den Formeln (69i)

3Q (7    + 8 P₂),

(8 Pi-t-7 Pz).

(78 g)

Z³

T ⁼l2' 180 <8Pi+ 7P2)= 30

d) Graphische Ermittelung der Stützenmomente für Träger mit durchgehends gleichem oder auf Feldlänge gleichbleibendem Trägheitsmoment. Es wird ein durchlaufender Träger betrachtet, dessen frei aufliegende Enden zugleich die äußersten Festpunkte darstellen. Bei dem Träger mit eingespannten Enden liegen diese Punkte im Drittel der anstoßenden Feldweite; die folgende Konstruktion bleibt aber in beiden Fällen gleich.

1. Gleichmäßig verteilte Belastung auf Feldlänge.

Für das belastete Feld (Fig. 57 a) konstruiert man zunächst die Momentenparabel der M, deren Pfeilhöhe

8^8 — Mm = 4r~ ist, trägt die Kreuzlinienabschnitte B₁B₂ = 230slm auf und zieht die Kreuzlinien

B1C2 bzw. B₂C1z die durch den Parabelscheitel S gehen müssen Nunmehr bestimmt man die Festpunkte des ganzen Trägers (vgl. Fig. 51) und errichtet in den Festpunkten J₂ und K₂ des belasteten Feldes Lote, die auf den Kreuzlinien die Punkte J' und K' festlegen, deren Verbindungslinie J'K' gemäß Fig. 56 auf den Stützensenkrechten die Stützenmomente abschneidet; es ist B₁B₃ — Mb und C₁C₃ = Mc . Der weitere Verlauf der Momentenlinie ist durch die übrigen Festpunkte

.........

ii«:    l J3E

n «5 f j¹!»

a)

T*

s'

Fig. 57.

bestimmt. Im vorliegenden Falle genügt der Parabelscheitel S zum Festlegen der Kreuzlinien.

Für die Endfelder kommt nur je ein Festpunkt in Frage (Fig. 57b).

2. Einzellast P auf einem Trägerseld.

Für das belastete Feld (Fig. 58) erhält man hier als Momentenfläche der M ein Dreieck, dessen Höhe unter der

Pab

besitzt.

Lj

Last P liegt und den Wert G±G = Mm

Bei veränderlicher Stellung der Last stellt GXG die Ordi-naten einer Parabel dar, deren Scheitelordinate gleich

P4

-= Mm ist, so daß diese Parabel B₁GC₁ von vornherein

gezeichnet werden kann. Für die Kreuzlinienabschnitte folgt aus Gl. (78 b) S. 102:

r Pab (Z + a) Pab Z + a T

(79)

Z²

Mm-

2" =

Pab (Z + b)    Pab Z + b

Z²

Mm-

Z+ b

Diese Werte lassen sich sehr einfach zeichnerisch darstellen. Man trägt von Gx aus (Fig. 58 a) die Feldlänge Z₂ nach links

(«*-CL-*«1*— 1} -♦!

.U-J—~^r    U

'g.K.

Fig. 58.

6)

<r

*' ; ,

! /X^X !

W' a) X-1

^ XI

!    I

&{/-

und rechts bis Pi bzw. P₂ ab, dann ist Ol Pi = Z₂ + b und B₁F₂ = Z₂ + a . Die verlängerten Geraden F₁G und F₂G schneiden auf den Stützenlotrechten die Strecken B₁B₂ bzw. 0₁C₂ ab, und es wird

Z₂-s- a

Z₂ -s- b

BiB₂ = GXG

bzw. 0₁0₂ = G₁G*

Da aber GXG = ist, so ergibt sich B₁B₂ == %' und

0i0₂ =

Macht man BXG' = GXG (Fig. 58b), so wird 0^' ||F₂B und es genügt, GB₂||C₁G' zu ziehen, um den Kreuzlinienabschnitt B±B₂ abzugrenzen. In gleicher Weise erhält man auch 0₁0₂, wie Fig. 58 b zeigt.

Nachdem die Kreuzlinienabschnitte bestimmt sind, können die Kreuzlinien C₂ und G₁B₂ gezogen werden, die sich mit den in den Festpunkten J₂ und K₂ errichteten Loten in den Punkten J' und K' schneiden. Die Verbindungslinie J' K' schneidet auf den Stützenlotrechten die Stützenmomente ab; es ist BxB₃ = Mb und = Wlc .

3. Gleichmäßige Streckenlast auf einem Teil eines Trägerseldes.

Die Stützenmomente für eine Streckenlast Q' = q*2e lassen sich leicht mittels des von Straßner angegebenen

\.*c ,

i/

t"

Zz!z<?xiV^

zzy Z-'-Z

Mg. 59.

Ordinate = Mm

. Die wirkliche Streckenlast Q' bedingt über der Strecke 2e die Parabel HFL, die

die Strecke EG halbiert, mithin gilt EF = ^-qe²    ^

Kreuzlinienverfahrens ermitteln. Man denkt sich zunächst die Auflast Q' = 2qe (Fig. 59) in ihrem Schwerpunkt als Einzellast wirkend und erhält somit für den einfachen Balken BG die Momentenfläche B₁GG₁ mit der größten 2qeab

EG q(2e)

Um die Kreuzlinienabschnitte zu finden, ermittelt man zunächst für die Einzellast Q' = 2qe gemäß Fig. 58b die Kreuzlinienabschnitte bzw. OiOz, wobei B'GC' parallel zu Bi Gi zu ziehen ist. Wirkt nun anstatt der Einzellast die Streckenlast Q' = 2qe, so erhält man verringerte Kreuzlinienabschnitte, die folgendermaßen zu finden sind:

Man zieht zu den beiden Auflegerlotrechten durch B und G im Abstand e die Parallelen und erhält auf den nach G laufenden Begrenzungslinien der Momentenfläche die Schnittpunkte N und 0; außerdem projiziert man noch die Punkte B2 und C₂ auf diese Parallelen und erhält die Schnittpunkte N" bzw. 0". Zieht man nun NB" bzw. 0 G" || Bx Gx und zeichnet die Geraden B"Gi bzw. C"Bi, so liefern die Parallelen dazu durch 0" bzw. N" auf den Auflagerlotrechten die Schnittpunkte C₀ und B₀, und damit sind die gesuchten Kreuzlinienabschnitte r = B1B0 bzw. Z" = Gl Go festgelegt, wie nachstehender Beweis zeigt.

statt 1₂

B]B₂ — Mm

Zunächst ist gemäß Fig. 58b für die Einzellast Q' = 2qe mit 1 l + a _ 2 qeab l + a

ober mit b — l — a

2 qea(Z² — a²)

folgt

b₁b₂ =

Aus den ähnlichen Dreiecken BjCjC' und N"B₂B₀ der Fig. 59 B₂B„ _ 6i6" ₌ 0 0

Z²

und aus der Momentenfläche ergibt sich

O'O

G,G

= ~ oder 00 = GjG y.

Mithin wird

pp n-n ⁶ pp e . e _ 2 qeab e²

b₂b₀ = oo-t = g₁g y    Tl

B₂Bg —

2 qe³a

~Y~'

und schließlich erhält man den Wert

^    B₁B₂ -^B₂B₀ =

2 qea

T'-

l²

(i² — a² — e²) =

2qea{l²— a²)    2 qe³a

Q'a

l²

l²

l²

(\² — a² — e²),

wie er bereits durch Formel (78d) auf S. 102 festgelegt wurde. In derselben Weise findet man aus Fig. 59 auch __ 2 qeb

X"

I²

(l² — b² — e²) =

Q'b

l²

(l² — b² — e²).

Dieses Verfahren bleibt auch richtig, wenn die Streckenlast bis an die Auflager heranreicht.

Sobald die Kreuzlinien und festgelegt sind, kann die Momentenfläche mit Hilfe der Festpunkte gemäß Fig. 58 gefunden werden.

§ 23. Der durchlaufende Träger mit beweglicher Belastung.

Die Einwirkung beweglicher Einzellasten auf durchlaufende Träger wird am vorteilhaftesten mittels Einflußlinien untersucht. Handelt es sich um eine bewegliche gleichmäßige Belastung, so kann auch das im § 22 d 3, Fig. 59, angegebene Verfahren benutzt werden.

a) Einflußlinien für die Momente.

Die Einflußlinien erstrecken sich hier über die gesamte Trägerlänge; man ermittelt sie am einfachsten, nach § 22 ä 2, Fig. 58, mittels Kreuzlinien, die für eine bestimmte Laststellung alle zugehörigen Stützen- und Feldmomente festlegen. Wird dieses Verfahren in jedem Feld auf eine größere Zahl Laststellungen angewendet und P = lt gesetzt, so erhält man gemäß Fig. 58, S. 105, eine entsprechende Anzahl geradlinig begrenzter Vielecke, die nach Engesser als Zustandslinien bezeichnet werden. Entnimmt man nun für einen bestimmten Querschnitt x die Ordinaten sämtlicher Zustandslinien und trägt sie unter der zugehörigen Laststellung senkrecht zu einer Tragwerkslinie auf, so bildet die ihre Endpunkte verbindende Kurve die Einflußlinie des Momentes im Trägerquerschnitt x.

Die Anwendung dieses Verfahrens ist in Fig. 60 an einem über 3 Öffnungen durchlaufenden Träger gezeigt.

Zunächst sind (Fig. 60a) 5 Laststellungen im Endfeld I in Betracht gezogen. Die zugehörigen Momente eines einfachen Trägers (M) sind mittels Kraftecks (Fig. 60 b) festgelegt, das aber 5 verschiedene Pole erfordert, die durch eine den Laststellungen entsprechende Einteilung der ßdft = Pit gefunden werden; auch kann man diese Momente mittels der in Fig. 58 gezeichneten Parabel festlegen. Zu diesen Momenten Mi, W₂, Mz, M4 und M₃ sind die Kreuzlinien gezeichnet, die aber, weil der Festpunkt Jx mit A zusammenfällt, nur für die linksseitige Stütze gebraucht werden (gestrichelte Linien in Fig. 60a). Ein im Festpunkt Kx errichtetes Lot schneidet die Kreuzlinien, und werden nach diesen Schnittpunkten von A aus Gerade gezogen, so legen sie auf der Lotrechten durch B die den einzelnen Laststellungen ent-sprechenden Stützenmomente MB fest; es sind dies die Strecken Bl, B2, B3, B4 und Bö. Der weitere Verlauf der Momentenlinien (Zustandslinien) ist durch die Festpunkte K₂ und K₃ gegeben. In der gleichen Weise ist die Mittelöffnung II (Fig. 60e) behandelt. Zunächst sind auch für 5 Laststellungen die Momente M ermittelt (Krafteck Fig. 60 d), und dazu sind mittels Kreuzlinien die benachbarten Stützenmomente bestimmt (die Kreuzlinien sind der Übersichtlichkeit halber nicht eingetragen). Der weitere Verlauf der Momente ist durch die Festpunkte Jx und K₃ gegeben. Da die beiden Endfelder gleich groß sind, so werden besondere Zustandslinien für das Endfeld lll überflüssig, denn diese sind die Spiegelbilder derjenigen im Feld I.

1. Einslußlinie für das Stützenmoment über B.

Aus den vorstehend festgelegten Zustandslinien wird das Stützenmoment MB zu jeder Laststellung entnommen und senkrecht unter dieser von einer 5EragtoetMmie A₀B₀ C₀D₀ auf-

Feld I.

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Feld n.

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Finftußlinie für d fMorfient an Feld H.

Fig. 60.

getragen (Fig. 60e). Für das Feld I wird nach Fig. 60a: IT= Bf, 22⁷=B2, 33⁷= B3, 44"=B4 und 5F= Bch während für die Stellung der Last über den Stützen das Moment gleich Null sein muß. Für das Feld II folgt aus Fig. 60c: rr=Bl, 22'=B2, lW=B3f 44'= B4 unt) 55⁷=B5. Für das Feld III können, wegen der Symmetrie mit Feld I, die den Momenten über B zugehörigen Ordinaten über G entnommen werden, also ist nach Fig. 60a: 11' = C5, 2Y= C4, 33r= G3, 44"- Ü2 unb 5^ = CI. Diese Werte liegen in Fig. 60 a über der Schlußlinie, mithin sind sie positiv.

2. Einflutzlinie für das Moment M₄ im Feld I.

Für jedes Feldmoment ist die Einflußlinie ebenso zu bestimmen wie für das Stützenmoment MB. Man findet also auch alle Ordinaten der Einflußlinie für das Moment M4 im Feld I aus denselben Zustandslinien, und zwar direkt unter der Stelle von M₄. Bewegt sich die Last im Feld I, so sind die Ordinaten der Einflußlinie für M₄ aus Fig. 60 a zu entnehmen, sie liegen alle auf der unter Punkt 4 kräftig ausgezogenen Strecke und werden jeweils von der zu den einzelnen Laststellungen gehörenden Zustandslinie abgeschnitten. Alle Ordinaten im I. Feld sind positiv, in Fig. 60k sind sie senkrecht zur Tragwerkslinie A₀B₀ aufgetragen; 11'= ab (Fig. 60a) usw.

Bewegt sich die Last im Feld II, so sind die Einfluß-ordinaten aus Fig. 60 c, und zwar ebenfalls im Feld I an der Stelle von M₄ zu entnehmen; ihre Gesamtheit ist durch die unter Punkt 4 kräftig ausgezogene Strecke dargestellt. Die den einzelnen Laststellungen im Feld II entsprechenden Strecken werden von der jeweils zugehörigen Zustandslinie abgeschnitten, in Fig. 60f sind sie senkrecht zur Tragwerkslinie B₀C₀ aufgetragen; 11'= ab (Fig. 60c) usw.

Wandert die Einzellast im Feld III, so bringt sie im Feld I an der Stelle von M₄ (Punkt 4) genau dieselbe Wirkung hervor wie eine im Feld I wandernde Last an der zum Punkt 4 symmetrisch gelegenen Stelle (Punkt 2) des Feldes III. Mithin sind für Feld III keine besonderen Zustandslinien nötig, die Einflußordinaten für M₄ im Feld l sind für alle Laststellungen im III. Feld durch die über Pinkt 2 im Feld III stark ausgezogene Strecke dargestellt. Die den einzelnen Laststellungen im Feld I zugehörenden Ordinalen sind also aus den entsprechenden Zustandslinien an der Stelle 2 im Feld III entnommen und symmetrisch zu diesen Stellungen unter Feld III senkrecht zur Tragwerkslinie C₀D₀ (Fig. 60f) aufgetragen. Diese Ordinalen sind allepositiv.

S. Einslußlinie für das Moment M₂ im Feld II.

Diese Einflußlinie wird wie vorstehend aufgetragen; sie ist in Fig. 60g dargestellt.

4. Ungünstigste Laststellnngen und Größtmomente.

Aus Fig. 60 folgt, daß die Einflußlinien für die Feldmomente innerhalb der betrachteten Öffnung immer positiv sind, während sie außerhalb derselben abwechselnd positiv und negativ sind, solange der in Frage kommende Schnitt

IV-i*

TS

La wo

Hinßußlüiie für MlX Fig. 61.

zwischen den Festpunkten liegt. Fällt jedoch der fragliche Querschnitt zwischen Stütze und Festpunkt (Fig. 61), dann wird die Einflußlinie auch innerhalb des in Betracht kommenden Feldes teilweise positiv und negativ, so daß eine Lastscheide S entsteht. Daraus folgt:

Das größte positive Moment in einem Schmtt innerhalb der Festpunkte entsteht, wenn die betressende Öffnung voll belastet und die übrigen Öffnungen abwechselnd unbelastet und belastet sind. Die Ergänzungsbelastung liefert das größte negative Moment.

i Liegt der Schnitt zwischen einer Stütze und einem Festpunkt, so entsteht das größte positive Moment, wenn nur die Strecke zwischen der Lastscheide 8 und der benachbarten Stütze voll belastet ist, während die übrigen Öffnungen abwechselnd unbelastet und belastet sind.

b) Einflußlinien für die Auflagerdrücke und Querkräfte.

Auch diese Einflußlinien erstrecken sich über die ganze Trägerlänge und können ebenfalls durch die Zustandslinien gefunden werden. Fig. 62 a zeigt eine aus Fig. 60 a entnommene Zustandslinie, die ein geschlossenes Seileck dar-

hfl-,

l)

a)

S=!z>

Mir

ii

A d)

8iA. 62.

stellt, an dessen Ecken die äußere Kraft und die Stützendrücke angreifen, die miteinander im Gleichgewicht sein müssen. Zieht man in Fig. 62 b zu den einzelnen Seiten des Seilecks in Fig. 62 a Parallelen, so schneiden diese aus der äußeren Last die einzelnen Stützendrücke ab, die ihrerseits ein geschlossenes Krafteck bilden, weil sie im Gleich-

Henkel, Graphische Statik II.

gewicht sind (vgl. Teil I, § 7). Der Auflagerdruck B ist jedoch aus 2 Teilen zusammenzusetzen, was einer schnellen Darstellung sehr hinderlich ist. Dieser Nachteil verschwindet, sobald man der Zustandslinie einen wagerechten Schlußlinienzug gibt (Fig. 62 c); denn dann folgen sich direkt die Auflagerdrücke in fortlaufender Reihe, wie Fig. 62 d zeigt. Entsprechend sind in Fig. 63 sämtliche Zustandslinien aus Fig. 60 umgezeichnet.

1. Einflußlinie für den Auflagerdruü A.

Steht die Last P = lt über A, so ist die Einflußordinate gleich lt. Tritt die Last in das Feld I, so ist zu den ent-sprechendenZustandslinien (Fig. 63a) ein Krafteck zu zeichnen (Fig. 63 b), in welchem durch Parallellinien zu den an A stoßenden Seiten der Zustandslinien direkt die Auflagerdrücke A abgeschnitten werden, die senkrecht zur Trag Werkslinie A₀B0 (Fig. 63e) aufzutragen sind. Wandert die Last über das Feld II, so erhält man die entsprechenden Auflagerdrücke A aus dem Krafteck (Fig. 63d), indem man ebenfalls zu den an A stoßenden Seiten der Zustandslinien (Fig. 63 c) Parallelen zieht, die aber zweckmäßig von den Enden der Last ausgehen. Die Einflußordinaten werden alle negativ, sie sind senkrecht zur Tragwerkslinie B₀C₀ (Fig. 63 e) aufzutragen. Tritt die Last auf das Feld III, so wird der Auflagerdruck in A gerade so groß wie der Auflagerdruck D, wenn die Last im Feld I steht. Daher kann man aus Fig. 63 b die Auflagerdrücke D entnehmen und symmetrisch zur zugehörigen Laststellung im Feld III senkrecht zur Tragwerkslinie C₀D0 (Fig. 63 e) auftragen. Diese Ordinaten sind wieder alle positiv.

2. Einflußlinie für die Querkrast Q₂ int Feld II.

Die Einflußlinie für die Querkraft eines bestimmten Schnittes ergibt sich sofort aus dem bekannten Satz, daß die Querkraft die Mittelkraft aller links von dem fraglichen Schnitt liegenden Kräfte ist (vgl. Teil I, § 24). Diese Mittelkraft

wird aus betn Krafteck Fig. 63 b bzw. Fig. 63 d entnommen und jeweils unter der Laststellung aufgetragen, sie ist teils positiv, teils negativ.

FeldH.

Feld 7.

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Fig. 63.

Wandert die Last P = lt über Feld I, also links vom fraglichen Schnitt, dann ist die Querkraft Q = A + B — 1. Dieser Wert ist, wie direkt aus Fig. 62 d zu ersehen, positiv und kann, den einzelnen Laststellungen entsprechend, aus Fig. 63b entnommen werden. Befindet sich die Last P=lt im Feld II, aber immer noch links vom Schnitt, so ist ebenfalls Q = A + B — 1. Dieser Wert ist direkt aus Fig. 63 d zu entnehmen; für den Punkt 2 sind alle Größen dargestellt, die Q₂ als negativen Wert liefern; entsprechend findet man auch die übrigen Werte. Liegt die Last rechts vom Schnitt, so wird Q = A + B. Dieser Wert wird nach Fig.63d positiv für den Punkt 2 wie für alle weiteren rechts liegenden Laststellungen und kann direkt aus Fig. 63 abgegriffen werden. Wandert die Last über Feld III, so ist ebenfalls Q = A + B, da aber die Zustandslinien für Feld III denen von Feld I entsprechen, so folgt durch Vertauschung Q = C + D. Dieser Wert ist, wie Fig. 62 d zeigt, negativ und kann für die einzelnen Laststellungen direkt aus Fig. 63 b entnommen werden. Alle diese Werte sind senkrecht zur Tragwerkslinie A₀B₀C₀D₀ (Fig. 63f) aufgetragen, aber für Feld III symmetrisch zu Feld I.

VIII. Abschnitt.

Die durchlaufenden Fachwerkträger.

§ 24. Der durchlaufende Parallelträger mit ruhender und beweglicher Belastung.

Parallelträger (Fig. 64) besitzen bei wenig wechselndem Gurtquerschnitt ein nahezu gleichbleibendes Trägheitsmoment J, mithin können sie auch gemäß Abschnitt VII behandelt werden.

Bei ruhender Belastung wird man zunächst die Stützenmomente gemäß §20 bzw. §22 bestimmen und mit Hilfe dieser (vgl. §21) die Auflagerdrücke festlegen. Sodann kann zu den Auflagerkräften und der zugehörigen äußeren Belastung in bekannter Weise ein Kräfteplan nach Cremona gezeichnet werden (vgl. Teil I, §29), der die Spannkräfte sämtlicher Stäbe liefert.

Handelt es sich um bewegliche Belastung, dann wird man am besten Einflußlinien benutzen.

a) Einflußlinien für die Gurtstäbe.

Für eine Gurtspannkraft gilt gemäß Teil I, § 31, wenn man beachtet, daß beim Parallelträger h₀ = hu = h ist (Fig. 64)

M₀

Mu

und U =

^ h '

wobei M₀ bzw. Mu das Moment der äußeren Kräfte um die Gegenpunkte der einzelnen Stäbe angibt. Hiernach folgen die Einflußlinien der Gurtspannkräfte sofort aus denjenigen der Gegenpunktsmomente, indem man die Ordinaten der letzteren mit y reduziert, was mittels eines Winkels (vgl. Teil I,

Fig. 4) geschehen kann. Meistens wird jedoch sofort die Einflußlinie für das Gegenpunktsmoment benutzt; der daraus

gefundene Größtwert gibt mit ^ multipliziert die Gurtspann-1 h

kraft. Der Wert ^ = — heißt Veränderungsziffer oder

Multiplikator der fragt. Gurtstabeinflußlinie. Somit sind die Einflußlinien aller Gurtstäbe wie in Fig. 60, S. 110 darzustellen; zu allen gehört die gleiche Veränderungsziffer

b) Einflußlinien für die Wandstäbe. Für die Wandstäbe gilt nach Teil I, § 31

hd

Bei einem Parallelträger fällt aber der Gegenpunkt der Wandstäbe (Schnitt der Gurten) ins Unendliche, mithin wird nach Fig. 64 der Hebelarm hd = oo • sin d; ferner ist die Mittelkraft der äußeren Kräfte des links vom Schnitt liegenden

Trägerstückes gleich der Querkraft Q, die ebenfalls am Hebelarm oo angreift, somit folgt Q • oo oo - sin d

(80)

D=±

sin ö

Hierbei gilt das obere Vorzeichen für von links nach rechts fallende und das untere für von links nach rechts steigende Diagonalen.

o Gu

hy

viZ_

Fig. 64.

Für senkrechte Pfosten (Vertikalen) geht D in V über, und es wird (80 a)

V=±

zb Q •

sin 90°

Aus den Gl. (80) folgt, daß die Spannkräfte in den Diagonalen und Vertikalen eines Parallelträgers direkt aus den Einflußlinien der entsprechenden Querkraft gefunden werden (vgl. Fig. 63k), wenn man diesen die jeweils erforderliche Beränderungsziffer n zuweist; letztere ist für eine Diagonale

sin 6 un^ eine Vertikale jn = 1. In Fig. 65 ist

die Einflußlinie einer Diagonale dargestellt.

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§ 25. Der durchlaufende beliebig geformte Fachwerkträger mit ruhender und beweglicher Belastung.

Für derartige Träger kann auch, ähnlich wie in §20 beim Vollwandträger, zunächst die Berechnung der Stützenmomente durchgeführt werden, dabei ergeben sich jedoch sehr verwickelte Formeln. Vorteilhafter ist es hier, das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (§18) anzuwenden.

a) Ruhende Belastung.

An einem über 2 Öffnungen durchgehenden Träger (Fig. 66), der durch ruhende Belastung die Stabspannkräfte S erfährt, sei dieses Verfahren gezeigt. Dieser

rJ

ls

k \B

JL\

\WurkLicherZustand. Cj

a)

<tl

sj

■T

Gedachter Zustando.j

s1%‘ '

c)

Gedachter Zustand^=-/.]X= -Z

Fig. 66.

Träger hat eine überzählige Stütze, mithin ist er einfach statisch unbestimmt. Als statisch unbestimmte Größe wird der auf die Mittelstütze C wirkende Druck Xc gewählt. Die gegenseitige Höhenlage der 3 Stützen sei unveränderlich.

Wird die überzählige Stütze C beseitigt, so entsteht das sog. Hauptnetz oder Grundsystem, d.i. hier ein ein-facher Träger AB (Fig. 66 d), dessen von der äußeren Belastung erzeugten Stabspannkräfte S nebst den Auflagerdrücken AundBdurch einenCremonaschenKräfteplanermittelt werden können (vgl. Teil I, § 29). Bringt man nun an der Stelle G eine abwärtsgerichtete totst Xc=—1 ent (Fig. 66 e), so entstehen die Stabspannkräfte s sowie die Auflagerdrücke a und b, und die Durchbiegung des Trägers AB an der Stelle C infolge der wirklichen Belastung wird gemäß § 18, S. 80, nach der Arbeitsgleichung (63)

sS«

EF

Läßt man ferner den aufwärtsgerichteten Stützendruck Xc auf den Träger AB einwirken, so erzeugt er die Stabspannkräfte s - (— X„) und die entsprechende Durchbiegung bei C wird

(5" = 2^s =

X y¹ —

EF

Die wirkliche Durchbiegung dc = <% + <%' muß wegen der unveränderlichen Lage der Stütze C gleich Null sein, also

sSs

XcZ’⁸²⁸

<?c=o=z

und hieraus folgt für überall gleichen Baustoff mit E = 1 v ^sSs 3²s

(81)

EF

EF'

F„

X„

Dieser Ausdruck ist wie auf S. 80 mit Hilfe einer Tabelle auszuwerten. Da aber von vornherein die StabquerschnitteF unbekannt sind, so wird man die rechte Seite dieser Gleichung mit einem unveränderlichen Fc multiplizieren, das so zu wählen ist (vgl. ausgeführte Träger), daß möglichst oft Fc: F = 1 wird, also (81a)

Sobald Xe bekannt ist, folgen die wirklichen Stabspannkräfte bzw. Auflagerdrücke aus js = @-3.Xc,

(82)

U = 9l —cvX₀ und B = $ — f) • X₀.

b) Bewegliche Belastung.

Für einen Träger mit beweglicher Belastung benutzt man Einflußlinien, die in ähnlicher Weife festzulegen sind.

’/

Wird im Knoten m eines einfachen Fachwerkträgers AB (Fig. 67) die Last Pm = 1 angebracht, die die Stabspannkräfte Sm erzeugt, so . erfährt ein beliebiger Kno- & ten G in gegebener Richtung die Verschiebung dcm.

Fig. 67.

Bringt man am Knoten C eine in dieser Richtung wirkende Kraft Pc = 1 an, die die Spannkräfte so erzeugt, so folgt nach § 18, S. 80

^cm ⁼ AL §>c ds — ^^ i

hierbei gibt der erste Zeiger c den Ort der Durchbiegung (Verschiebung) und der zweite m den Ort der Ursache an.

Wird nun die Rolle der Lasten Pm = 1 und Pc = 1 vertauscht, so erhält man dieselben Stabkräfte, und es folgt für die Verschiebung des Knotens m wie oben

ckllic — A*— A sin ' so * -gp*

(83)

Die rechte Seite ist bei beiden Werten gleich, somit folgt dcm= d

d. h. die Kraft Pm = 1 ruft in C eineBerschiebung dcm hervor, die ebensogroß ist wie die Verschiebung d

in m, erzeugt durch bte Kraft Pc = 1; dies ist der Mohr-Maxwellsche Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen.

Dieser Satz ist überaus wichtig für die Ermittelung der Einflußlinien statisch unbestimmter Größen, wie nachstehend gezeigt wird.

7>*

Aj

'^Wirklicher Zustand. \

h-!-!-h 4 ---

<*) •

A\

'pvdmdder Zustand,    xjZt

i *)V

Jtiiijw d ^infolge

wmen.

IUm

: c)

BiegwjgsflBchdfJl^ -1

B"

Binflußlinie f d. Obergurtstab 0.

Fig. 68.

Für den in Fig. 68a gegebenen Präger AGB soll die Einflußlinie des Druckes Xc in der Mittelstütze bestimmt werden. Man beseitigt den Stützendruck X„ und denkt an seiner Stelle, in Richtung der auf dem Träger wandernden Last Pm = l, eine Last Xe = —1 wirkend (Fig. 68b); dann wird die durch Pm = 1 in C verursachte Durchbiegung de = 1 • dem (vgl. S. 80). Steht die wandernde Last über C, ist also Pc = 1, so wird die Durchbiegung in G gleich 1 • dcc,

Cn

IA

§ 25. Durchlaufende beliebig geformte Fachwerkträger usw. 123

§2g

wobei nach Gl. (63a) dcc =    und die durch den in G

nach oben wirkenden Auflagerdruck X„ bewirkte Durchbiegung beträgt d„ = — Xc • dcc- Die insgesamt auftretende wirkliche Verschiebung muß somit sein

<?c ⁼ <% + de = 1 ■ dcm — X„ dce •

Nach dem Mohr-Maxwellschen Satz [@1. (83)] ist aber dcm also dc — 1 * dm c    Xc dc c oder

l-dmc-dc

(84)

Xc

dcc

Diese Gleichung gilt auch für ruhende Belastung; für mehrere Einzellasten P erhält sie die Form ^Pmdmc dc

(84a)

Xc =

Ist das Auflager C unverschieblich, so wird dc = 0, und es gilt (84b)

de«

Xc

Id

mc

dcc

Dies ist die Gleichung der Einflußlinie für Xc.

Nun ist aber dmc = rjm die Durchbiegung eines beliebigen Punktes m und öcc = rje die gleichzeitige Durchbiegung des Punktes G, wenn in G die Last Pc = 1 oder Xc = — 1 wirkt, also (84 c)

"Y _ t/m Ac —

v*

Für einen gegebenen Fall ist eine Unveränderliche und

kann als Veränderungsziffer = - j betrachtet werden;

mithin stellt die Biegungslinie des einfachen Trägers AB Gig. 68b), der im Punkt C die Last X₆ = —1 trägt, die Einflußlinie des Stützendruckes Xc dar (Fig. 68d).

Wird vom Einfluß der Wandstäbe abgesehen, so kann die Biegungslinie nach §17 mittels eines Seilecks ermittelt

werden, das für die elastischen Gewichte q —

M- 8

ge-

EFh²

y • s Fc h² ’ F

zeichnet wird (vgl. Fig.38). Hierbei bedeutet m das in den Gegenpunkten der einzelnen Gurtstäbe durch Xc = — 1 erzeugte Moment. Da aber rjm und rjG derselben Biegungslinie entnommen werden, also nur ihr Verhältnis ausschlaggebend ist, so können die m, wie auch die zugehörige Polweite H, in beliebiger Größe benutzt werden. Die m wird man daher durch die Ordinaten y eines einfachen Dreiecks A'B'C' (Fig. 63 c) ersetzen. Wird schließlich ein unveränderliches Fc eingeführt und E = 1 gesetzt (unveränderlicher Bau-Ms), so folgt

(85)

F„

Die Verhältnisse -=- wählt man nach ausgeführten Kon-Jb

struktionen. Durch Benutzung eines Verschiebungsplanes (§ 16) oder der Gl. (63 a), S. 80 kommen auch die Wandstäbe zur Geltung.

Nachdem die Einflußlinie für Xc bekannt ist, können auch die Einflußlinien der einzelnen Fachwerkstäbe ermittelt werden. Für einen Obergurtstab gilt (Teill, M

§ 31) 0 = — —-. Bezeichnet M<> das Moment des statisch üo

bestimmten Trägers AB (Fig. 68 d) an der Stelle x₀, so wird

x₀

oder

(*-i

Xo / Mo__x \

h + h K h x ) \h+h ⁰    /

k.

M«

X0

Xcj

Dieser Wert läßt sich in einfacher Weise zeichnerisch dar-tellen, wie Fig. 68 e zeigt. Man trägt die Xg-Linie an die

h + h

Tragwerkslinie A₀C₀B₀ und macht A₀A' naßstab).

(Kräfte-

IX. Abschnitt.

Die Formänderungen vollwandiger Bogenträger.

§ 26. Der in einer Ebene gekrümmte vollwandige Träger, beeinflußt durch Bicgungsmomente und Normalkräfte.

1. Winkeländerungen (Verdrehungswinkel) und Längenänderungen.

Nach § 7 wirkt auf jeden Bogenquerschnitt üne in der Bogenebene liegende Kraft R, die ein Moment M, eine Normalkraft N und eine Querkraft Q erzeugt (vgl. Fig. 18, S. 50). Letztere wird meist vernachlässigt.

Aus einem Bogenträger mit dem Krümmungshalbmesser r wird ein kleines Stück ABCD (Fig. 69) mit dem Zentriwinkel dy und der Bogenlänge ds = rdy ausgetrennt. Unter der Einwirkung von M und N drehen sich die Endflächen AR und CD um den Winkel Ad cp gegeneinander, und ds streckt sich um Ads = kg ds (vgl. S. 51), wenn f₀ die Dehnung für die Bogenmitte angibt.

Eine im Abstand rj von der Bogenmittellinie befindliche Stabschicht mit der ursprünglichen Längedsv = (r + 7/)dy erfährt durch M und N eine Längenänderung Adsn — £₀ds + r\dd<j) = f₀rdcp + rjAdcp. Die Dehnung dieser Schicht ist somit

A ds rj f₀rdy + vAdcp ds»; ~ (r + rj) d(st oder nach Kürzung mit r - d (p

dSfL

liB

!/

--At4

JyK Jet#

mb

7*

JL o

Fig. 69.

S° + r

t] /I d<p

d<p

Hierbei ist

1+f

z/ d<p

+ f *

'lH

= r die spezifische Winkeländerung oder die Winkeldehnung. Aus vorstehender Gleichung folgt weiter

d (p

(g — fo)*7 r+T] '

r • f o    o—J1 ^

r + *7

und die Spannung dieser Schicht wird schließlich (vgl. S. 51)

— fo +

= E |^₀ +

Durch das Gleichgewicht zwischen äußeren und inneren Kräften ist weiter bedingt

(87)

er = £ • E

ko) <|

I+TJ J

(r —

= B_/[e₀ +(t — e₀) ™^]dF,

M ₌ fa.„ .dF = B/,[s₀ +(r-Eo)rJ-]

Die Summierungen (Integrationen) sind jeweils nur über die einzelnen Querschnitte auszudehnen, wobei rj die einzige Veränderliche ist, also

cr-dF

(88)

dF.

N = E[*o/dF + (r - e₀)l/^dp],

M = E[f₀/^dF+ (r-^/^dp].

Nun ist aber /dF = F und sy dF — 0, weil auf die Schwer-

gesetzt, da aber

Punktsachse bezogen ist. Ferner sei J

V²

dF =

so folgt

r+ ?7

^ r — 7^² -{-

r + n~ r(r + n) ~ r r (r + 17) '

M-dF

J r 4- w

= f^-dF—s J r J :

»?²dF

“ 0 _ r2 — — r2 /

wobei der Unterschied zwischen r und r + als unerheblich vernachlässigt wurde. Mit Rücksicht auf diese Werte wird

r(r + rj)

N = E |f₀F— (t — f₀) —J,

(88 a)

M = e[(T-£„)-}].

Aus diesen Gleichungen erhält man schließlich

(89)

e₀=^(N + ^-),

und damit sind die Dehnungen eines Bogenträgers bestimmt.

Wird schließlich wieder f₀ds = z/ds gesetzt, so folgt für die Längenänderung eines Elementes der Bogenachse

Jds — £₀ds — gjr

(89a)

d* i»^>.

.    4&w r • z/d«)

und wenn t = - —

d cp

ds

eingeführt wird, folgt für die

Winkeländerung eines Bogenachsenelementes

J4*-Tr[rMN + T)+"]'

Die im Hoch- und Brückenbau vorkommenden Bogenträger haben große Halbmesser r, mithin kann ^ gegen N vernachlässigt werden,

Nds

(89b)

also

Ms = EF .. ds f , Ml

K I rF + y I ⁼

Y = r/7^ = J + T /^dF + -¹₂-/^dF + ... wird für zur Biegungsebene symmetrische Querschnitte

y = j + yJ yiAF + jis y*AF +.....

(90)

Der Wert

Mds Nds EF *

und geht für r — 2v (gerader Träger) über m Y = J. Für die bei Baukonstruktionen üblichen Halbmesser kann immer Y = J gesetzt

werden. Vernachlässigt man auch noch die Normalkräfte gegenüber den Momenten, so wird

(90 a)

dies ist für endliche Längen As derselbe Wert wie in Gl. (43), S. 52 beim geraden Träger.

J&(p —

Mds

EJ '

2. Formänderungen (Durchbiegungen).

a) Änderung des Krümmungshalbmessers r (Krümmung).

Für den gekrümmten unbelasteten Träger gilt (Fig.69) ds=rdy>; durch Einwirkung von M und N wird r zu § ,und zugleich erhält man ds + A ds — p(dy + A&y).

Durch Division dieser Werte folgt ds + Ads . .

- ds ~⁼¹+£0 =

= — (1 + r) oder r

1 + T _ 1 + * + po — gp = 1 , ? —gp 9    1 + fp    1 + gp    1 + gp

Wird die kleine Größe e₀ gegen 1 vernachlässigt, so gilt

— 1 -i- r    gg.

(?(dy -f Ad cp)

rd cp

(91)

* 'S

Hieraus folgt mit den in Gl. (89) gegebenen Werten

7 = 1 + i [f (n + f)⁺ yi ~Ef(n + t) '

, angenähert ~" = 1+ fj;

/n, x r . , Mr (91a)    --1+gY

und schließlich erhält man für die Krümmungsänderung

1___1_ __ M

q    r ~ EJ

M

Mit r = oo ergibt sich hieraus =    ; dies ist der bereits in

Gl. (42), S. 51 für den geraden Träger gefundene Wert.

92)

tH I Qx

b) Wagerechte und lotrechte Verschiebungen.

Es sei ein gekrümmter Träger AB (Fig. 70a) betrachtet, der im Punkt A (Koordinaten x₀ und y₀) festgehalten ist und zunächst nur bei C (Koordinaten x und y) eine elastische Stelle von der Länge ds besitzt. Wird diese Stelle den Einwirkungen einer Normalkraft N und eines Momentes M unterworfen, so erfährt das freie Trägerende B (Koordinaten X; und yx) eine Verrückung BB", die sich aus einer Verschiebung BB' in Richtung von N und aus einer Verdrehung B'B" zusammensetzt. Diese beiden Bewegungen werden gesondert untersucht (vgl. § 15, S. 68) und auf eine wagerechte (X) bzw. lotrechte Achse (Y) projiziert.

Durch die Normalkraft N erfährt das elastische Bogenteilchen eine Verlängerung ^ds, die am Bogenende als Strecke BB' = Ads erscheint. Die Richtung von Ads ist durch den Winkel <p der Bogentangente bezw. durch tg y — ^ festgelegt. Das in Fig. 70b als Strecke CB' aufgetragene Ads ergibt als

d x

wagerechte Verschiebung ^/x' = Ads - cos <p = Ads' ^ , als

lotrechte Verschiebung As = Ads • sin y = Ads •    •

Das Moment M verdreht die Bogenachse innerhalb des elastischen Teilchens um den Winkel Ady, und die Verdrehung des freien Trägerendes wird nach Fig. 70b B'B"= QAdy. Bildet man von dieser Strecke die wagerechte und lotrechte Projektion, so folgt aus den dabei entstehenden ähnlichen Dreiecken

B'B"_eAd<p

V “ *•

X], x Q

= Adcp bzw.

A x"

—(Yi—y)

oder für die wagerechte Verschiebung Ax"= — (y₁ — y)Ad(p und für die lotrechte Verschiebung    Ay"= (x₁ — x)Ad(p.

Die Gesamtverschiebung beträgt somit

d x

in wagerechtem ©tim Ax = Ax'-\- Ax"= z/ds•    -{y₁-y)Ad(p,

dy

in lotrechtem Sinn Ay = Ay'+ z/y"= z/ds• ^

Wird nun der ganze Träger AB (Fig. 70) elastisch, so sind die gefundenen Größen über seine ganze Länge zu summieren. Die endgültige Lage der Endquerschnitte A und B zueinander ist bestimmt durch

Henkel, Graphische Statik II.

+ {x₁-x)Ad(s.

wobei nur die Koordinaten zwischen den Endquerschnitten als veränderlich gelten. Setzt man schließlich in diese Gleichungen die in

-JC-

wf

i

den Verdrehungswinkel    — y₀) = /Ad<p,

o

Ads

i

r

die wagerech Le Verschiebung zl(x₁-x₀)= / -und    1

d8

dx-(yi-y)z/d^

die lotrechte Verschiebung A(y₁-y₀) =

Jds

ds

dy+(xx-x) Jd?>,

•II

r%

«y!

a)

fr

d----

Ay"

-f

oV^

, r ;x'+ der

Fig. 70.

Gl. (90) gefundenen Werte ein, so folgt für große Halbmesser r als Verdrehungswinkel

d(<Pi — <Po)

(93)

./( EJ

0

Mds

Mds eT -~bj'

wie beim geraden Balken [tigl. Gl. (47a), ©. 54).

Die wagerechte Verschiebung wird mit N als Zugkraft

==/—(yi—y) (

0

=/§<»■-»/£*■+./ 0 0 0

Mds Nds EJ + BF?

^(Xi —X₀)

(94) k angenähert

)+/wdx'

0

le

d (Xj — x₀)

N , EF QX'

§ 27. Graphische Darstellung der elastischen Linie usw. und für die lotrechte Verschiebung folgt

1.

(95)

/'    /Mds . Nds

=j(Xl-x)

o    ,

^(y₁-y,) = x₁/^-ds-0

^ (yi—Yo) angenähert

EFr

)4

0

N_dy EF y'

Mw

0 0

N ^ BF dy"

Dies sind die Elastizitätsgleichungen eines gekrümmten Trägers, nach denen jeder vollwandige Bogenträger oder Rahmenträger mit weniger als 3 Gelenken berechnet werden kann.

§ 27. Graphische Darstellung der elastischen Linie eines vollwandigen Bogenträgers.

Der Bogenträger wird durch einen sog. Stab zu g ersetzt, der aus kurzen Trägerstücken besteht, die steif miteinander verbunden sind (Fig. 71). An den Stoßstellen der einzelnen Trägerstücke bestimmt man die von der äußeren Belastung hervorgebrachten Normalkräfte N und Biegungsmomente M. Durch erstere erfahren die Trägerstücke eine Längenänderung,

die nach Gl. (59), S. 68 gleich z/s =    ^ ist, während

Er

durch die Momente eine gegenseitige Verdrehung der Trägerteile erfolgt, wodurch ihre Randwinkel W geändert

werden. Betrachtet man    str>

jedes Trägerstück als beider-seits eingespannten Träger, so wird die Änderung des Randwinkels Wm (Fig. 71), gemäß Gl. (68 b), S. 84 mit ©t = 0 (vgl. Fig. 45), für das links liegende Trägerstück

Fig. 71.

4s'

7m 6E-Jm

9*

und gemäß Gl. (68 a) für das rechts liegende Stück

(2Mm + Mm+i) .

/m —

Sm+l

6 E Jm+i Die Gesamtänderung wird somit

Sm-f 1

(96)    + Mm-i) +

Näherungsweise ist aber Im_i = Mm = Mm+1/ und wird Sm = Sm+1 sowie Jm = Jm+1 gesetzt, so folgt

6 E Jm -fl

(2 Mm +

Sm

E Jm

[Ö0l. Gl. (43) S. 52 bzw. (90a) S. 128].

Die hiernach für sämtliche Stabteile berechneten Winkeländerungen dienen in Verbindung mit den Längenänderungen As zur Darstellung eines Verschiebungsplanes, wobei ähnlich wie im § 16, Fig. 35, S. 72 zu verfahren ist.

(96 a)

V,

~-T

a)

,fy

d ."XL

^ k Ä i

Fig. 72.

Beispiel 4. Für einen statisch bestimmt aufgelagerten Bogenträger AB (Fig. 72) mögen gemäß vorstehenden Gleichungen die Längen- und Winkeländerungen der einzelnen Trägerstücke (Stäbe) bestimmt sein, und es soll ein Verschiebungsplan damit gezeichnet werden.

Zunächst wird das erste Teilstück (Stab 1, anschraffiert) des Bogenträgers derart festgehalten, daß es sich nur in seiner Längsrichtung bewegen kann, und dann wählt man beliebig einen Pol 0 (Fig. 72b). Stab 1 erfährt eine Verkürzung A 1, die entgegen der Stabrichtung 01 an 0 angetragen wird und den Punkt 1' des Verschiebungsplanes bestimmt. Stab 2 erfährt eine Verkürzung z/2, die von V aus, entgegen der Stabrichtung 12, aufgetragen wird. Gleichzeitig erleidet aber auch der Randwinkel W₄ zwischen den Stäben 1 und 2 eine Vergrößerung z/W₂, infolgedessen dreht sich der Endpunkt 2 des Stabes 2winkelrechtzur Stabrichtung 12 um v₂ = s₂-z/W₁, wenn s₂ die Länge des Stabes 2 ist. Setzt man v₂ an z/2, so ist der Punkt 2' des Verschiebungsplanes festgelegt. Stab 3 erfährt eine Verkürzung z/3, die von 2! aus entgegen der Stabrichtung 23 anzutragen ist. Zugleich erleidet aber auch der Rand Winkel W₂ eine Vergrößerung z/W₂, zu der aber, da Stab 3 mit Stab 2 steif verbunden ist, noch AW± hinzutritt, so daß die Verdrehung des Stabes 3 winkelrecht

zur Stabrichtung 23 sein muß v₃ = s^z/W^ z/W₂) = s₃ AW. Wird v₃ an AS gesetzt, so erhält man den Punkt 3'. Hieran setzt man wieder A4 und v₄ — s₄(z/ Wx + A W₂ + z/W₃) = s₄^MW, wodurch Punkt 4' festgelegt wird. An diesen setzt man weiter Ab und v₅ = s₅2MW und erhält Punkt 5', an den schließlich z/6 und

x5

ve = s₆ J£z/W gesetzt wird, wodurch sich der letzte Punkt 6' ergibt.

Die geneigte Strecke OG' stellt die Verschiebung des Auflagers B dar. Da aber das Trägerende B, entsprechend seiner Auflagerbahn, nur eine wagerechte Verschiebung erleiden kann, muß der Bogen noch so um A gedreht werden, daß die lotrechte Projektion der Verschiebung 06' verschwindet und nur die für B mögliche wagerechte Verschiebung 6'6" übrigbleibt. Die Drehung des Bogens erfolgt winkelrecht zur Geraden AB, die sich dabei ergebenden Verschiebungen der einzelnen Stabzugpunkte müssen (vgl. Fig. 33, S. 69) eine zum gedrehten Stabzug winkelrecht stehende, ähnliche Figur liefern,von der die beiden Punkte Ov= 0 (Verschiebung = 0) und 6" (Verschiebung = 6'6") bekannt sind. Zeichnet man also zwischen O und 6" eine zum Bogen AB ähnliche Figur, so sind die Bewegungen aller Punkte bekannt, aus denen die wirklichen Verschiebungen bestimmt werden können. Für Punkt 3 ist z. B. die wirkliche Verschiebung 3"3' aus 03' und 3"O zusammenzusetzen, ihre wagerechte Projektion ist x₃ und die senkrechte y₃ (Fig. 72b).

X. Abschnitt.

Die Formänderungen gebogener Fachwerkträger.

§ 28. Gegenseitige Verschiebung der Bogenenden.

Ein Bogenfachwerkträger AB (Fig. 73) sei an der Stelle AA' festgehalten, während ein beliebiger Fachwerkstab seine Länge s

um z/s = £s = ~ ändert (vgl. § 17, S. 76), wodurch das freie

Bogenende B eine Verschiebung BB' erfährt. Gleichzeitig mit der Längenänderung von s erfährt auch der zugehörige Gegenpunktswinkel ip eine Ände-

rung /hp = — (vgl.

S. 75), und wenn die

___Entfernung zwischen

\y    l"    dem Gegenpunkt Bund

₇1 ¹ dem freien Ende B J    X Mch r ist, wird BB'

= r • Axp. Bildet man nun von dieser Strecke die wagerechte und lotrechte Projektion, so folgt aus den dabei entstehenden ähnlichen Dreiecken

iu:

J/o

Ax

—(yi—y)

■'-wir

Fig. 73.

BB — r —oder Ax = — (j^ — y)A\p, r

BB _    dxp oder /ly — (x₁ — x)Axp.

Erleiden alle Fachwerkstäbe Längenänderungen, so gilt, wenn von dem geringen Einfluß der Wandstäbe abgesehen wird, für den BerdrehungsWinkel der Endstäbe gegeneinander

und

Xi — X

^ (<Pi — (so) =

0

für die wagerechte Verschiebung ^(Xi— x₀) = —Z(yr~ y)d\p, für die lotrechte Verschiebung A(y₁ — y₀) — ^(x₁ — x)/hp. Nun ist aber ganz allgemein nach S. 77 die Winkeländerung

Jip = p =

Ms

EFh²

, wenn M das den einzelnen Stäben zugehörige

§ 29. Graphische Darstellung der Formänderungen usw. 135

Gegenpunktsmoment bedeutet, mithin wird der Verdrehungswinkel der Endstäbe

4(<Pi — <Po) = 2

(97)

Ms

EFh²

die wagerechte Verschiebung der Bogenenden

i

y, (Yi ~ y)

0

₌ _v yi_Ms_ y Mys EFh² ^ ^ EFh²

und die lotrechte Verschiebung der Bogenenden

d (Xi — x₀) = —

Ms

(98)

EFh²

Ms -

(99)

l

⁼    EFh²

Dies sind die Elastizitätsgleichungen zur Berechnung von Bogenfachwerkträgern mit weniger als 3 Gelenken.

Ms

Mxs

§ 29. Graphische Darstellung der Formänderungen (Biegungslinie) gebogener Fachwerkträger.

Die Durchbiegungen der Fachwerkbogenträger ermittelt man am einfachsten durch Verschiebungspläne, genau so wie für einfache gerade Fachwerkträger (vgl. § 16, S. 73), indem man die den einzelnen Stäben zugehörigen^/8 berechnet und in bekannter Weise von einem Pol 0 aufträgt. Mit den erhaltenen Knotenpunktsverschiebungen ist dann die Biegungslinie des Ober- bzw. Untergurtes zu zeichnen (vgl. Fig. 35 und 36, S. 72 bzw. 73).

Die Biegungslinien können auch sofort ermittelt werden,

Ms

auf den Träger

EFh²

setzt und dazu die Momentenlinie zeichnet (vgl. Fig. 38, S. 78). Das in letztere eingezeichnete, den Knotenpunkten

indem man die elastischen Gewichte q =

des Lastgurtes entsprechende Vieleck ist die Biegungslinie dieses Gurtes.

Handelt es sich nur um die Durchbiegung eines bestimmten Trägerpunktes, dann verwendet man am besten das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (vgl. § 18).

XL Abschnitt.

Der vollwandige Zweigelenkbogen und -Rahmen.

§ 30. Der Zweigelentbogen mit ruhender Belastung.

Der Zweigelenkbogen (Fig. 70) ist einfach statisch unbestimmt, weil er mit der Erdscheibe durch 4 Stützenstäbe verbunden ist. Beseitigt man einen dieser Stäbe, so ergibt sich als Haupt- oder Grundsystem ein gebogener, statisch

Tr V-O-Af I f

oc    I ₇

-L—f, -

\p, j

---~B~

\f

PL

Fig. 74.

bestimmter Träger, der an den Enden frei gelagertist (Fig. 74b). A> Die Momente M und Normalkräfte N dieses Trägers können wie früher (vgl. I. Teil, § 24 bzw. § 34 oder 7) II. Teil, § 8) ermittelt ' werden. Als statisch unbestimmte Größe wird hier der Horizontalschub H gewählt, dessen Größe von der Längenänderung A l der KämpferverbindungslinieXL (Bog enspannweitey abhängt und mittels d er E l a -stizitätsgleichungen auf S. 130 berechnet werden kann.

Gestatten die Widerlager eine Spannweitenänderung M, so folgt aus Gl. (94), S. 130 mit x₀ = 0, y₀ = 0, xx = l und y₁ = 0

i    i

Ldx.

(100)

o

Erfährt der Bogen außerdem eine gleichmäßige Erwärmung um t Grad, so vergrößert er seine Spannweite l um Al' = wtl,

wobei co das Dehnungsverhältnis für 1 Grad ist.

Für das Moment in einem beliebigen Querschnitt C des Zweigelenkbogens gilt ebenso wie beim Dreigelenkbogen [Dgl. Gl. (24),

S. 35]

Mc= -Ec —H • yc, wenn Mo das Moment an der Stelle C eines einfachen Trägers AB ist. Wird dieser Wert in allgemeiner Form in Gl. (100) eingeführt

und außerdem genügeud genau N == der Druckwirkung), so folgt

COS (p

H gesetzt (negativ wegen

Al

H dx

EF cos cp

+ cotl.

Für durchgehends gleichen Baustoff ist E unveränderlich, und mit

dx

cos (p

= ds folgt

+ Fjcotl.

(101)    E Al

(102)

ÜJl+j $0ly 0

ds

j- -j- E (o11

Für starre Widerlager (Al — 0) folgt unter Vernachlässigung der Wärme Wirkung

(103)

Sind die Trägheitsmomente des Bogens veränderlich, so führt man am besten ein gleichbleibendes Jc ein, und es kommen dann in den ausschlaggebenden Gliedern nur noch die

Verhältnisse -y vor, die leicht nach ähnlichen,

y\

Fig. 75.

ausgeführten Bogenträgern gewählt werden können. Ersetzt man schließlich noch die kleine Länge ds durch die endliche Lamellenlänge z/s, so wird obige Integration in eine einfache Summierung verwandelt. Für eine .Lamelle wird nach Fig. 75 die Momenten-summe gleich dem Inhalt eines Trapezes

z/s = g,

(E'4i+ W'-y) z/s = ä»m JC

zu dessen ctufz/s projiziertem Schwerpunkt die Ordinate y₈ gehört, also

z/s • y„

JTSRm Jc

0

(103a)

2^ *+24°

o d    o L

- zls

S--

Tx 4" c

Diese Summen können mittels nachstehender Tabelle leicht berechnet werden.

La-

melle

Jc

J T y‘

ys M«. SKmyy^s y! jc

^/s

CO

21

22

23

Hiermit wird (103 b)

21

22 4-23

23 stellt den Einfluß der Normalkräfte dar, der nur bei sehr flachen Bögen berücksichtigt zu werden braucht. Setzt man für F einen Mittelwert Fm/ so wird

Je

r, B =-c,

(104)

wenn B die Bogenlänge darstellt.

Der Zähler in Gl. (103a) ^3 * Ys = ©x ist bct£

0

Ho⁴-¹

statische Moment der auf der Bogenachse liegenden, im Verhältnis -y verzerrten Momentenfläche des statisch bestimmt gemachten Bogenträgers in bezug auf die Kämpferverbindungslinie AB (Fig. 76a). Bei lotrechter Belastung kann die M-Fläche als Momentenfläche eines einfachen Trägers gezeichnet werden (Fig. 76b), dessen Stützweite gleich der Bogenspannweite l ist. Bezeichnet man die Ordinalen der M-Fläche mit y, so wird M ^ Y - H . Multipliziert man diese Momente mit -y-, so ergeben sich die Ordinaten der Belastungsfläche in Fig. 76a. Wird schließlich noch für jede Lamelle der Mittelwert lm- mit z/s multipliziert, so erhält man die als elastische Gewichte zu betrachtenden Größen Fi, g₂... g₈. Die Schwerpunkte derselben werden auf die z/s projiziert, und damit sind die y8 gefunden. Betrachtet man nun die Fi bis F₈ als wagerechte Kräfte, von denen jede im Schwerpunkt des entsprechenden ; z/s angreift, und zeichnet dazu das Kraft- und Seileck (Fig. 76c), so ergibt sich das statische Moment der 2% in bezug auf die Kämpferverbindungslinie. Aus den schraffierten Dreiecken der Fig. 76 c folgt

y₈=@x; dies ist der Zähler der Gl. (103a).

u

g₂: H' = z/a: y₂ oder H'-z/a = g₂- ys₂, und für alle F gilt H'*a

Das erste Glied des Nenners in Gl. (103a)

P;T

Z/3 = Tx

Je

•z/s

ist das Trägheitsmoment der mit den Gewichten-^

Im Tfirhältnis i verzerrte

JZZ.

4l

^MameriPenfläche

a)W

' wf w\ yi Wji*

snl

k■ •%    ■-<; as, .Ji .s'.r.

'S:

M=I lache

v!

f,\

fiTr"rr

l) s % s fe

ki_

]fs

e)

Um VbrhäJtnis^-uerxerrte(y .Js)rFläeJie

Flg. 76.

behafteten Bogenachse in bezug auf die Kämpferverbindungslinie (X-Achse). Setzt man

Zy’j^ = Zy-jJS

- ys = £ f • ys,

o

so kann dieser Ausdruck ebenso wie der Zähler graphisch berechnet werden; man hat lediglich die F mit f = ys-~ z/s zu vertauschen (Fig. 76 ä) und erhält nach Fig. 71c H'.b = ^f-ys=Tx,

wobei dieselbe Polweite H' wie in Fig. 76 c zu nehmen ist. Das zweite Glied des Nenners wird nach Gl. (104) berechnet. Mit vorstehenden Werten folgt schließlich

(105) H

H'a

b+ ß

H'b+ c

H'

Hierbei sind aber die Maßstäbe sorgfältig zu beachten. Ist die Längeneinheit für Fig. 76 e gleich e, so muß dieselbe Strecke in Fig. 76 c gleich e • H Einheiten (Momente) sein. Zweckmäßig ist es, die H' im Längenmaßstab und a bzw. b im Kräftemaßstab zu mesfen (vgl. Fig. 81, S. 147).

Nachdem H festgelegt ist, wird am zweckmäßigsten, gemäß Teil l, §§34 u. 38, eine Druck- oder Stützlinie in den Bogen gezeichnet (vgl. Fig. 81 d, @.147), die dann sofort alle Normalkräfte N bzw. alle Momente M = N • k liefert, wenn f der Abstand der Normalkraft N von der Schwerachse der fraglichen Querschnitte ist (vgl. I. Teil, § 34).

Für die Auflagerkräfte folgt aus Fig. 74: A = $, B = S3, Ha = § + H und Hb= H. Das Moment eines beliebigen Bogenpunktes ist nach Gl. (24), S. 35 zu berechnen.

§ 31. Der Zweigelentbogen mit beweglicher Belastung.

Die Untersuchung ist in diesem Fall mittels Einfluß-linien durchzuführen. Für eine wandernde, lotrechte Einzellast P = 11 wird die M-Fläche des statisch bestimmt gemachten Bogens immer ein Dreieck (Fig. 77) wie beim ein-

fachen Träger. Für einen Schnitt zwischen der Last und de

Wtc

W-4C —J

C'

k— X —h

Auflager A wird Mx —

\j>r und für einen Schnitt zwischeh ^ der Last? und dem Auflagers

gilt % = !•

Fig. 77.

a) Einflußlinie für den Horizontalschub H.

Setzt man vorstehende Werte in Gl. (103) ein, so folgt für P=11

s. bx ds . s.

r T^T+i-

0 0

az ds

~Ty~J

Führt man auch noch ein unveränderliches Trägheitsmoment Jc und die endliche Länge As ein, so wird

b s J₀    a

l/x Tyds + 7

b

/z

o

Jo

Tyds

(106)

i’T»' ’ + /

0 0

Je

-Fds

0 0

Vergleicht man den Zähler dieses Ausdrucks mit Gl. (57), S. 60, so erkennt man, daß er die Biegungslinie eines

anfachen Trägers darstellt, der mit den lotrechten elastischen

Gewichten w — ™y^/s belastet ist. Mit diesen Gewichten

kann die Biegungslinie gemäß §14b als Seileck gezeichnet werden. Weiter ist der erste Ausdruck des Nenners in Gl.(106)

0.1 .0

ä)

Kräfternaßtab ■ I fürn.

\2

-L-±

7]

pS

----

jB* Z

d)

Z—CL

■f

/

L\ ,

y b)

C)

4 4

DinfhißUnie fiirllen ikaymttcd^diub ft. —

Fig. 78.

das statische Moment derselben, aber wagerecht gedrehten elastischen Gewichte w = -y- yz/s in bezug aus die Kämpferverbindungslinie AB, das ebenfalls durch ein Seileck bestimmt werden kann. Für beide Seilecke wird man denselben Kräftemaßstab und die gleiche Polweite H' wählen (Fig. 78), und es folgt

Mw =

b ®    . a b

t2>-w+-2>-w t 0    ¹ 0

= H'-h bzw. _2'yw = o

H'-b.

b) Einflußlinien der Momente, Quer- und Normalkräfte.

Nachdem die Einflußlinie für den Horizontalschub gefunden ist, sind alle übrigen Einflußlinien wie beim Dreigelenkbogen zu zeichnen (vgl. § 8).

c) Die Kämpferdrucklinie.

Sobald der Horizontalschub H gefunden ist, kann die Kämpferdrucklinie bestimmt werden, die auch hier die gleiche Bedeutung hat wie beim Dreigelenkbogen (vgl. §8, 2 b,

S. 36). Nach Fig. 79 gilt

tg^

Setzt man wieder nach Gl. (104)

Je

Je

so wird (107) H

Fm

B = c,

H' • b + c

b + /9

H'

Verlängert man nun die Strecke b (Fig. 78 d) um ß

JeB

FmH'

und nimmt die Länge b + ß al$ Krafteinheit an (= 1), so ist das in beliebigem Maßstab zu den elastischen Gewichten w gezeichnete Seileck die Einflußlinie des Horizontalschubes H. Bei unveränderlichem J und gleichlangenkönnen die w — yg gesetzt werden.

T] A

(108)

Für die wandernde Einzellast P = 11 ist aber 1 • b 1(Z — a)

während H der Einflußlinie in Fig. 78 entnommen werden kann, also (108a)

rj =

a (Z — a)

Z-H

Ist der Zweigelenkbogen nach einer mathematisch festgelegten Kurve gekrümmt, so kann auch H zum voraus berechnet werden. Für einen parabelförmigen Bogen, der eine Einzellast? = 1 t trägt, erhält man aus Gl. (103), S. 137 mit dem Mittelwert J'

MnQ Tr __ 5a(Z—a)(Z² + aZ—a²) _ 5a(i—a)(Z²+aZ—a²)

(lUy) J1------ —— =    Q f 73    v >

8fZ³ (l + 15 J '    ⁸¹

8 Ff²

wenn

8 Ff²

gesetzt wird; der Wertr^ ist nur bei flachen Bogenträgern von Bedeutung.

Mit Gl. (109) folgt aus Gl. (108 a)

(110)

8fZ²

^    5(Z² + aZ — a²) v

Durch diese Gleichung ist die schwach gekrümmte Kämpferdrucklinie AjBj (Fig. 79) festgelegt. Setzt man schließlich näherungsweise K(Z² + aZ — a²) = JZ², so folgt

Af.l

3 v '

(110a) r\ —

Al

Kh

__L

und die Kämpferdrucklinie wird eine zur Kämpferverbindungslinie AB parallele Gerade. Der A, zugehörige Horizontalschub beträgt

^Kd’mnferänick^'

Linie

xj_ 3 a(Z —

H ~ 4 il

und hiermit ergibt sich eine parabelförmige Mnfluß-linie (bei parabelförmigeniBogen) mit der Pfeilhöhe

3^_Z

16 i'V'

die bei praktischen Untersuchungen häufig angewendet wird. Henkel, Graphische Statik II.

(111)

L~ CL-

(lila)

Hm =

Vz

Fig. 79.

10

Für eine Einzellast P = lt können, wie Fig. 79 zeigt, mit Hilfe der Kämpferdrucklinie zu jeder Laststellung die Kämpferdrücke Ka und Kb, der Horizontalschub H sowie die Auflagerdrücke A und B gefunden werden.

§ 32. Der Steifrahmen mit zwei Fußgelenken.

QJ

<//

ss\JS

Fig. 80.

Ersetzt man in Fig. 74 die Bogenachse durch eine gebrochene Linie, so entsteht ein sog. Steifrahmen (Fig. 80), der besonders als Dachbinder (Rahmenbinder) häufig verwendet wird. Die in § 30 und § 31 entwickelten Verfahren sind auch hier anzuwenden. Sobald der Horizontalschub H nach Fig. 76 ermittelt ist, findet man das Biegungsmoment für einen beliebigen Punkt C der Rahmenachse wie beim Dreigelenkbogen nach der früheren Gl. (24), ©.35, Mc = 3WC — H • yc, und die entsprechende Normalkraft folgt aus Gl. (27), S.38 Nc = Vc sin p -J- H • cos p,

wobei p der Neigungswinkel des den Punkt C enthaltenden Rahmenteils ist. Die Summanden der letzten Gleichung können in einfacher Weise graphisch gebildet werden, wie in den Fig. 81 d und 81 e gezeigt ist.

Auch kann gemäß S. 44 eine Druck- oder Stützlinie in den Rahmen gezeichnet werden.

Beispiel 5. Für den in Fig. 81 dargestellten Zweigelenkrahmenbinder, der drei mittlere Pfettenlasten von je 4,0 t und zwei äußere von je 2,01 zu tragen hat, ist der Horizontalschub H nebst den Momenten und Normalkräften des Rahmens zu ermitteln. Dabei sei das Trägheitsmoment des Riegels Jr anderthalb mal so groß wie dasjenige der Stiele Js.    j

Setzt man Jc — Jr, so gilt für die Stiele ~y = 1,5 und für den

Jr

Riegel 4¹ = 1,0.

Fläche der 3)1 .Je

./

2,0 t 4

yev<

2,0t

'40t

>E_s

St vil ^ 0,0 ^ 0,0

m,

Ö6/<S0

130 tmz

HW

a)

t£ T

,    ~yy///////,

40^4,0—iß

s3

Wehe dery-Jt

vv

Js-

5¹1

S-g

b) ß

Ai

<v

I:

^    i^/ "6—Umv»

Sil I z^SSw

Ißöiegimgsmoniei

f)

0,0t

0,0t

vJJOi

JOt

r$Oi

TI H=3,25 t

1*1 \ mH

z7C

Längmmaßstab

Fig. 81.

Durchschneidet man auf der rechten Seite den Stiel oberhalb des Auflagers, so wirkt der Rahmen gegenüber den lotrechten Lasten wie ein einfacher, statisch bestimmter Balken AB (Fig. 81a). Da so-

10*

wohl der Rahmen wie die Belastung symmetrisch ist, genügt es, den weiteren Betrachtungen nur den halben Rahmen zugrunde zu legen. In den Knickstellen des statisch bestimmten Gebildes entstehen die Momente:

Mo = 0,

3R* = 1,6 • 4,0 • 4,0 = 24,0 tm, 4,0 -16,0

= 32,0 tm,

Mg = 4,0 - 4,0 +

die in Fig. 81a als Belastung auf die Rahmenachse gesetzt sind; und damit werden für die einzelnen Rahmenteile nach S. 138 die elastischen Gewichte F = Mm • s • -^L-:

Si = 0,

24,0 - 4,47

1,0 = 53,64 tm²,

»• =

24,0 + 32,0

4,12 • 1,0 = 115,36 tm².

Vertauscht man gemäß S. 141 die M mit den Ordinaten der

Je

Balkenachse, so folgt aus f — y₈ • s • -y- nach Fig. 81b 4,0 - 4,0

fl = f 6 =

1,5 = 12,0 m²,

f₂ = fs =

4,0 + 6,0

4,47 -1,0 = 22,35 m²,

6,0 + 7,0

4,12 • 1,0 = 26,78 m².

f₃ = f₄ =

Mit den vorstehenden Werten F bzw. f und H' = 8,0 m ist in Fig. 810 ein Krafteck gezeichnet, dessen zugehörige Seilecke in Fig. 81a den Abschnitt a = 130 tm² und in Fig. 81c den Abschnitt b = 40 m² liefern. Unter Vernachlässigung des Wertes ß (Normalkräfte) folgt nunmehr aus Gl. (105)

a 130

H = b ⁼ "4Ö = ³'²⁵ *'

und damit werden die wirklichen Momente in den Knickstellen des Rahmens nach Gl. (24), S. 35, Al«. = M« — H ' yc:

M₀ = 0,

Mx = 0 — 3,25 • 4,0 --- —13,00 tm,

M₂ = 24,0 — 3,25 • 6,0 = + 4,50 tm,

Mg = 32,0 — 3,25 • 7,0 = + 9,25 tm.

In Fig. 81 d ist links der Verlauf der Momente M angegeben.

Um die Normalkräfte zu erhalten, ist in Fig. 81 d durch einfache Kräftezerlegung der Wert H • cos y und in Fig. 81c der Wert Vc • sin ^ ermittelt; durch Addition beider Werte ergibt sich N. Der Verlauf der Normalkräfte ist in Fig. 81 d rechts dargestellt.

Bei einfacher gestalteten Rahmen ist es oft zweckmäßiger, anstatt des graphischen Verfahrens die Rechnung zu verwenden, wobei man in Gl. (103a) die kleine Länge z/s durch die Länge 8 der einzelnen Rahmenstücke ersetzen muß.

Wird ein solcher Rahmen nur durch Einzellasten beansprucht (Fig. 80), so erhält man als Belastungsfläche der einzelnen Rahmenstücke ein Trapez (bzw. ein Dreieck), und für ein solches Teilstück wird nach Fig. 82 das statische Moment der verzerrten Momentenfläche in bezug auf die Kämpferverbindungslinie

1

kl

M₀

Fig. 82.

«t

y.

©'

y₂

4

Yi

Je

Je

M • J- ds . y = ÜWm J • 8 • y₈

- T (y‘+T⁵)+Tr (y.+x (y.- J.>)]

112) @x = - J- -y Wi(2 y, + y₂) + M₂ (yx + 2 y₂)].

Insbesondere ergibt sich für einen lotrechten Anfangsstab mit Mi = 0, yx = 0 und y₂ = s₂

(112a)

Sxi — M₂ j ~ •

Für das Trägheitsmoment eines Rahmen-stückes in bezug auf die Kämpferverbindungslinie folgt nach Fig. 83 mit

und ds

_ dy

siny

yy

Fig. 83.

y₂

tL J; dS

Yx

⁼ -r/y2

yi

dy _ Je sin <f J ' y₂ — y.

Pr³)

(113)

Tx =

8 Je

y j

(yf + y-y- + yi)-

Insbesondere ist wieder sür einen lotrechten Anfangsstab mit Yi = 0 und y₂ --- 8i (113a)

sf Je

3 ' J '

Mit vorstehenden Werten folgt für den Horizontalschub eines Zweigelenksteifrahmens gemäß Gl. (103) ganz allgemein

Txj =

(114)

2"T' + c

wobei c den durch Gl. (104) festgelegten Einfluß der Normalkräfte angibt, der häufig vernachlässigt wird.

Für Beispiel 4 erhält man nach Fig. 81a aus Gl. (112):

= ⁴g⁷ • 1,0 <0 + 24,0 (4,0 + 2.6,0»

@im = -I² ■ 1,0(24,0(2• 6,0 + 7,0) + 32,0 (6,0+ 2-7,0» = 752,59tm³,

= 286,08 tm³,

Um

J£(5'x = 1038,67 tm³.

Die Trägheitsmomente der einzelnen Rahmenstücke werden nach Gl. (113):

T(.

s₁ Je __ 4,03 “ ~3 ’~T~ ~~

= 32,00 m³

3“ •

T(„ = ⁴'g⁴⁷ • 1,0 (4,0² + 4,0 • 6,0 + 6,0²) = 113,24 in³, T(„, = -ti² • 1,0 (6,0² + 6,0 • 7,0 + 7,0²) = 174,41 m³,

lU

319,65 m³.

Hiermit wird der Horizontalschub des Rahmens nach Gl. (114)

i;©:

0

2 -1038,67

2 • 319,65

= 3,25 t,

wie oben.

Die Neigungswinkel der einzelnen Rahmenstücke folgen aus:

<Pi = 90°,

= 0,500; (pxl — 26°34';

tg <Pi = 00 ;

tg <Pn =

6,0 — 4,0

4,0

7,0 — 6,0

= 0,250; <pm= 14° 2',

tg^u- p-und damit folgt für die Normalkräfte nach Gl. (27), S. 38,

Nc = Yc sin (p + H • cos (p:

Nx = V: = 2,0 + | * 4,0 = 8,01,

N„ = (8,0 — 2,0) sin 26°34' + 3,25 • cos 26° 34' = 5,59 t,

Nin = (8,0 — 2,0 — 4,0) sin 14° 2' + 3,25 - cos 14° 2' = 3,64 t wie oben.

Mit Hilfe des Kräfteplanes Fig. 81 f ist in Fig. 81 d die Drucklinie gezeichnet (punktiert), welche gleichfalls die oben berechneten Biegungsmomente liefert.

XII. Abschnitt.

Der Zweigelenkfachwerkbogen.

§ 33. Ter Zweigelenlfachwerkbogen mit ruhender Belastung.

Der Zweigelenkfachwerkbogen AB (Fig. 84) ist ebenfalls einfach statisch unbestimmt; als statisch unbestimmte Größe wird wieder der Horizontalschub H gewählt, den man am einfachsten nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen ermittelt (vgl. §25, S. 120).

Durch die äußere Belastung erfährt der Bogen AB (Fig. 84a) die wirklichen Stabspannungen S. Wird ein Kämpfer frei beweglich gemacht (Fig. 84b), so entsteht ein einfacher Träger, der von der

äußeren Belastung die Stabspannkräfte S (Cremonaplan) und die Auslagerwiderstände A, B und H erhält. Bringt man nun an den Kämpfern des Bogenträgers eine Kraft H = —1 cm (Fig. 84c), so

entstehen die Stabspannkräfte s, d jedoch keine Auflagerlräfte. Mit ⁷ den gefundenen Stabspannkrästen wird nach § 18 die gegen-fettige Verschiebung der Kämpfer

n 4=2;§^=2;w- mxlt

y nun der wirkliche Horizontalschub H auf den Bogen ein, so entstehen die Stabspannkräfte s - (— H) und die entsprechende Verschiebung der Kämpfer wird

Die wirkliche Verschiebung ist bei H-4 starren Widerlagern gleich Null,

a)

Ä Wirklicher Zustands

XJE

b)

■ Ä 6fedadtiber2ustmid ttojfc

H--1

C)

4 Gedachter ZusiandJI.-i.

also

4= 0 = 4 + 4'

_I sSk

~^IsF

und hieraus folgt, bei überall gleichem Baustoff, mit E = 1,

Tr_. v^²s

"    2* y F

Bei veränderlichen Querschnitten wird Fc eingeführt, also'

Fig. 84.

TT y 32s

^ EF '

(115)

(115a)

(Vgl. § 25, S. 120.) Dieser Ausdruck ist, wie früher, mittels Tabelle (vgl. S. 80) zu berechnen. Die wirklichen Stabkräfte werden, sobald H gefunden ist,

8---S —sE, und die Auflagerkräfte betragen

Ha = — § + H und Hb = H, ^ = A und B =

Durch Temperaturänderungen entsteht [bgl. @1.(102), 6.137]

(116)

§ 34. Ter Zweigelentfachwertbogen mit beweglicher Belastung.

Hier kommen nur Einflußlinien in Frage, a) Einflußlinie für den Horizontalschub H (Fig. 85).

Für die Spannweitenänderung eines Zweigelenkfachwerkbogens folgt aus Gl. (98), S. 135 mit x₀ = 0,    = l, y₀ = yx = 0

y, Mys ^ EFh²

Hier ist ebenso wie beim vollwandigen Bogenträger M = SOI—H • y, wobei die Momente M dem statisch bestimmt gemachten Bogen-

hA

a) 'k*

1.

IV,

är

f)

i vrr

\kH

gl—¹¹ 1

-I l

Pr Pa

Ep

4 / J. 6 ° V _ 9 -11 8 33JO l

e)

!ä-

d)

⁸l

wo

c)

Hinftußbinie f. d.Wonxontnlsclru b H. io

i'i

V    fy-5    5

>1 I 1 11 I 1 I \-h\-KräftemaßsUib fiirIL

Fig. 85.

träger zugehören. Für lotrechte Belastung stimmen die M mit denjenigen eines einfachen Trägers AB überein. Setzt man noch durchgehend gleichen Baustofs voraus, so folgt

-E^+2>yFp

(118)

Fh²

Für eine wandernde Einzellast P = 11 ist die M-Fläche in Fig. 77, S. 142 gegeben; für eine bestimmte Laststellung folgt daraus

Mx == 1 •

b-x

und lz = 1* gesetzt, liefern für starre Widerlager (z/Z = 0)

. Diese Werte, in Gl. (118) ein

■'K-'i bx

2h-y

(118 a)

Fh²

, v«az 8

+ ZTyFh²~

Fh²

Führt man noch ein unveränderliches Fc ein, um den wechselnden Stabquerschnitten Rechnung zu tragen, so wird

b H / Fc s \ l ^X' \y F h²]

(119)

•Z Mo

N Stxo'

Vergleicht man ben Zähler dieses Ausdrucks mit Gl. (57), so zeigt sich, daß er die Biegungslinie eines einfachen Trägers A'B' (Fig. 85b) darstellt, der mit den elastischen Gewichten q =    Utrecht belastet ist. Mit diesen Gewich

ten kann somit die Biegungslinie gemäß § 14 b bzw. § 17 als Seileck gezeichnet werden. Ferner stellt der Nenner in Gl. (119) das statische Moment derselben, aber wagerecht gedrehten Gewichte in bezug auf die Kämpferverbindungslinie AB (Fig. 85a) dar, baä ebenfalls durch ein Seileck bestimmt werden kann. Wählt man für beide Seilecke denselben

Kräftemaßstab und die gleiche Polweite H' (Fig. 85 c u. e), so wird für eine beliebige Laststellung Z = H' • h (Fig. 85 d) und N = H' • b (Fig. 85 k), mithin

(119a)

H'-h _

HMb ⁻    '

und wenn man b als Einheit des Kräftemaßstabes für H nimmt, also b — 1 setzt, stellt die in Fig. 85 d gegebene Biegungslinie die Einflußlinie des Horizontalschubes H dar. Ist nur ein Gurt belastet, so muß in die gefundene Einflußlinie noch ein Vieleck eingezeichnet werden, das den belasteten Knotenpunkten entspricht, wie Fig. 85 d zeigt, wobei der Obergurt belastet ist. Bei lotrechten Wandstäben sind die übereinander fallenden q zu summieren. Die Konstruktion der Einflußlinie ist wie in Fig. 78 durchzuführen; nur sei erwähnt, daß es vorteilhaft ist, bei der Bestimmung von N einen besonderen Kräftezug für die q %vl zeichnen, in solcherReihen-folge wie die q wagerecht übereinander liegen, weil sich sonst das Seileck überschneidet und ungenau wird.

1 ' dmb

_ rjm dbb    6bb '

Schließlich sei bemerkt, daß das in § 25b angewendete Verfahren auch hier schnell zum Ziel führt, wenn man die Last Pm = l über den Bogenträger wandern läßt und eine Kraft H = — 1 cm den Kämpfern des statisch bestimmt gemachten Bogens anbringt; es ergibt sich dann sofort für starre Widerlager (120)

wobei die rjm die Ordinaten der Biegungslinie in Fig. 85d und dbb den Wert b in Fig. 85 f darstellt.

b) Einflußlinien für die Stabkräfte.

Nachdem die Einflußlinie für den Horizontalschub H bestimmt ist, können alle übrigen Einflußlinien wie beim Dreigelenkfachwerkbogen gefunden werden (vgl. § 11). Auch hier läßt sich die Kämpserdrucklinie darstellen wie in § 31c.

B!

XIII. Abschnitt.

Die eingespannten vollmundigen und fachwerkartigen Bogenträger und Rahmen.

§ 35. Grundformeln für den eingespannten vollwandigen Bogen mit ruhender Belastung.

Der eingespannte Bogen AB (Fig. 86a) ist dreifach statisch unbestimmt (vgl. I. Teil, § 35). Durch Beseitigung von

-D 1^ jr K

_*)

c)

d)

drei entsprechenden Stützstäben kann er in einen ein-jy» fachen gebogenen Träger AB (Fig. 86 b) verwandelt werden, für den die Momente M und die Normalkräfte N in bekannter Weise bestimmt werden können. Als statisch unbestimmte Größen werden hier der Horizontalschub H und | die Einspannmomente j , M' und M" gewählt (Fig. 86 c). Zwischen letzteren besteht die Beziehung (vgl. § 21)

s?

rJT T

(121) M' — M" + GZ = 0

oder

M" — M'

Fig. 86.

wenn G den Einfluß der Einspannmomente auf die Auflagerkräfte angibt. [üDät den vorstehenden Größen wird das Moment bzw. die Normalkraft an der beliebigen Stelle C des Bogens (Fig. 86 a)

(122)

Für die Auflagerkräfte gilt

M = $K+M' + G- x

H-y,

N — N -j- G 8in P -tz H cos g).

s A = 2t+G l Ha =

bzw. B = S3 — G,

-§ + H bzw. Hb = H.

Die Auflagerwiderstände G, H und M' bzw. G, H und M" lassen sich durch die exzentrisch angreifende Mittelkraft R' = R" =]/G² + H² ersetzen, wenn die Exzentrizität

(123)

M'

M"

gemacht wird (Fig. 86 ä).

c'= y- bzw. c" = H

Die statisch unbestimmten Größen hängen von den Formänderungen des Bogens ab, die durch die Elastizitätsgleichungen auf 0.130 bestimmt sind. Aus den Gl. (93), (94) und (95) erhält man mit x₀ = 0, xx = l, y₀ = 0 und yx = 0 für den Verdrehungswinkel der Endquerschnitte des Bogens

(124)

-/■

o

Mds

EJ '

für die lotrechte Verschiebung der Endquerschnitte

(125)

~ l] Er ~/eT ds + 0 0

Mx

fNdy / BF

und für die Spannweitenänderung

0

Setzt man schließlich starre Widerlager voraus, so wird

(126)

ds +

Ndx

Mds

EJ '

Mx

EJ

ds —

f Ndy

J BF ' 0

0 -----

My

EJ d8 +

Ndx

EF

Der mittlere Wert folgt aus Gl. (124) und Gl. (125).

Die erste Gleichung aus (122) in Gl. (127) eingeführt ergibt mit durchgehends gleichem E, wenn gleichzeitig noch dy = ds • sin y und dx = ds • cos (p gesetzt sowie N als Druckkraft (negativ) eingeführt wird,

(128) <

0 = J (Sd + M' + G- x — H • y)

0

l

0=Jm + W + G-x — R-y) ™ + 0

l

0 =j m + W+ G-x — K-y)^-~

0

ds

T'

sN sin cp ds

J —F    '

o

yds /Ncos^ds

-J F

o

Die Normalkräfte N können bei großen Pfeilhöhen vernachlässigt werden und bei kleinen (flache Bögen) genügt es zu setzen N • cos (p = H und N • sin y = 0.

Belastet man nun die Bogenachse mit den elastischen Gewichten

w — y und verschiebt den im linken Kämpfer (Fig. 87) liegenden

Koordinatenursprung 0 mitsamt den dort wirkenden Widerständen G,

H und M' in den Schwerpunkt 0' der elastischen Gewichte, wobei diese nunmehr an dem Arm 00' wirkenden Größen in G₀, H₀ und M0 übergehen, so werden die obigen drei Gleichungen un-abhängig voneinander und p? ^ lassen sich in einfacher Weise

A+_r

+.y

JIo

±2L

y\

a)

Fig. 87.

lösen. Die Lage des Punktes 0' ist mit den laufenden Koordinaten x' und y' bestimmt durch

(129) fy' y = 0, J x' -y = 0 und o"    o

Ars-«.

0

Beim symmetrischen Bogen (Fig.87a) folgt insbesondere nach

Einführung von Jc und As bzw. w = As mit y' = y — y₀ aus i    J

0 für die Lage der X'-Achse

— y₀) ^ds = (y — y₀)

J 0

sy t=

0 l

~?y i

-Z/8 —

z/s

(130)

y₀ = — k =

^y-w

0

2>

0

Durch Jx' y =

0 ist die X-Achse als lotrechte Schwerachse der

o    äs    f

elastischen Gewichte -y festgelegt, während /x'y'-j¹ für die

Hauptachsen eines symmetrischen Bogens überhaupt Null ist (Zentrifugalmoment).

Für den unsymmetrischen Bogen (Fig. 88) bedingt derAus-

ds

druck

0 eine schräge

-rz

Lage der X'-Achse, und zwar ist, sie als Xi-Achse unter dem /

Winkel a gegen die wagerechte 5^/4 X"-Achse geneigt. Zur Bestimmung dieses Winkels benutzt man nach Fig. 88 die auf die Xi-Achse bezogene Ordinate yi = y' • cos a — x' • sin a;

f)

Fig. 88.

damit wird

Je

Jc

x'yi J ds = cos a x'y' —- ds — sin «

Je

• — ds = 0,

und hieraus erhält man

(131)

tg«=

py t4<

0

/x'²Tds

0

2>

o

*J

Im vorliegenden Falle ist die weitere Berechnung mit den laufenden Koordinaten xz und yx durchzuführen.

Unter Voraussetzung eines symmetrischen Bogens folgt aus den Gl. (128) mit den laufenden Koordinaten xz und yz

+ 112

+ Z/2

+ Z/2

0 = j ffl. + + M„y+ oder M₀

-Z/2    -Z/2

+ 7/2    + 7/2

'2

~ J :/ J '

-ü2    -n2

+ Z/2    -f- Z/2

oder G₀=-|^LS:/x-

ds

7'

(132)

-Z/2

-Z/2

—1/2

-Z/2

+ Z/2

+ 7.2

+ Z/2

ds

oder

-Z./2

-Z/2

-Z/2

+7/2

+ 7/2

+ Z/2

-Z/2

-Z/2

-Z/2

Hierbei beziehen sich die M auf einen einfachen, statisch bestimmten Träger (Fig. 87b gilt nur für lotrechte Belastung).

Führt man nun, um der Veränderlichkeit der Querschnitte Rechnung zu tragen, ein gleichbleibendes Jc ein und ersetzt ds durch die endliche Länge z/ s, so folgt

+ Z/2

M₀ = -jr$Dt

(133 a)

(133 b)

+7/2 T

z/s: ^ T z/s,

-Z/2 J

-Z/2

MS*

MS*

z/s,

-t-t/2    T    I +Z/2    T    '    4-Z/2 T    I

(133 c) H₀ - + .jT .3» 4    • y': ^ y'² 4 z/s + ^ <s •

12    J    I +2    J ±7/2 f    J

Je

Je

Wird wie in ^ 30 M ‘    = % und — Js=wgefe|tz so erhält man

schließlich    J    J

+ 1/2

Z*

(133a') M₀ =

— II2

F-

-+2

Zw

-II2 + Z/2

Zs-x'

(133b') G₀ =

Ty' '

— Z/2 -M/2

x'² • w

— Z/2

+ Z/2

(133c') H = + +

-Z/2

6x'

+ Z/2    + Z/2 t

Z’y'-'v+Z"/,s

— Z/2    -Z/2

Tx' + c

Hierbei ist F-, der Inhalt der aus die Bogenachse gelegten verzerrten Momentensläche des statisch bestimmt gemachten Bogens. Bei lotrechter Belastung können die Ordinaten dieser Fläche aus den Momenten M eines einfachen Balkens AB (Fig. 87b) gebildet werden. ©/ und ©X' sind die statischen Momente der Fläche F- in bezug auf die X'-Achse bzw. X'-Achse. Ferner ist G das Gesamtgewicht der mit den Einzelgewichten w behafteten Bogenachse, während Ty' und TV die Trägheitsmomente dieser Bogenachse in bezug auf die Z'-Achse bzw. X'-Achse darstellen und c aus Gl. (104) zu entnehmen ist.

Die Größen S und T lassen sich wie in Fig. 76 (©. 140) zeichnerisch ermitteln, wobei aber die negativen Flächen zu beachten sind, deren Sinn umzukehren ist; vgl. Fig. 89.

Auch können für jede beliebige ruhende Belastung die statisch unbestimmten Größen nach Gl. (130) und (133) mit-

11

Henkel, Graphische Ltatik II.

tels Tabelle (vgl. S. 138) berechnet werden, worauf sich die übrigen Größen aus den Gl. (122) und (123) ergeben. Z. B. folgt für das Moment am linksseitigen Kämpfer (Einspannmoment) mit Mg — 0

7    M'

(134) M' = M₀-G₀.-+H₀.k und c'=

et    n₀

ferner wird das Moment im Bogenscheitel

M

(134a) M, = Wls+M₀-H₀-y's und cs = ^.

Mit den äußeren Kräften und den Werten e kann die Drucklinie in den Bogen gezeichnet werden, die sofort alle Normalkräfte N und Momente M = N • f liefert (vgl. Teil I, §34).

Sollen die Momente berechnet werden, so folgt für eine beliebige Stelle G (Fig. 87)

Mc = WG+M₀-G₀x'-B₀-y .

(134b)

§ 36. Der eingespannte Bollwandbogen mit beweglicher Belastung.

Hierbei kommen nur Einflußlinien in Frage, und zwar sind zunächst diejenigen für die statisch unbestimmten Größen zu ermitteln unter Benutzung der Gl. (132).

1. Schwerpunkt 0' der elastischen Gewichte für symmetrische Bogen.

Nach Gl. (130) wird y₀ =2yw:2w, wobei w— —z/s.

oo    4

Trägt man (Fig. 89 b)    als wagerechten Kräftezug in

beliebigem Maßstab auf, zeichnet dazu mit beliebiger Polweite H' ein Krafteck und parallel zu dessen Strahlen in Fig. 89 a ein Seileck (Fig. 89 c), so schneiden dessen äußerste Seiten die Höhe y₀ ab, und damit ist das Achsenkreuz X',Y' bzw. dessen Pol 0' festgelegt. Nimmt man insbesondere die

Potweite H'=£j£w, so scheidet ba§> zugehörige Seiteck (Fig. 89 e) auf der verlängerten Kämpferverbindungslinie AB die Strecke a ab und es ist a • H' = a • ij£w = Mw = -^Jl:y • w oder a = ^J£yw:    hieraus folgt a — y₀

und man braucht a nur umzuklappen, um y₀ zu erhalten (Fig. 89c).

2. Einslutzlinie für M₀.

Für eine wandernde Einzellast P = lt wird nach Fig. 77 (S. 142)

bx

3H* = 1 •

Führt man diese Werte in Gl. (133a) ein, so folgt mit den Grenzen 0 bis Z für — Z/2 bis + Z/2

Mo

I bx Je A    az Je A    Je

12 T J z/s + 2 I J ^s]-2 T

Js,

und wenn wieder

je

— z/s = w gesetzt wird

M₀ - -

b    I i

if,! 2’*

o Jo

oder

(135)

Mw

Die Einflußlinie für M₀ ist somit als Seileck (Momenten-linie eines einfachen Trägers) zu den elastischen Gewichten

w zu zeichnen, wobei * eine Veränderungsziffer darstellt (vgl. S. 123). w Setzt man auf den einfachen Träger (Fig. 896),

dessen Länge Z gleich der Bogenspannweite ist, die Gewichte

12

w, vereinigt sie zu einem Kräftezug J>/w (Fig.89e) mit der Polweite H" —    und zeichnet parallel zu dessen Pol-

strahlen unter A^Bi ein Seileck (Fig. 89k), so gilt für eine beliebige Stellung a der Last P = 11, zu der die Seileck-

ll*

+r

10    7

9 f'LäjigemrwßstaJ) 2 _ Jmt Maßstab furM

________

: xxixzzticx

i&"

____________,

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8j

1ml mm- f-f

JSsa/istnb für fr₀

JBmfhißli/iie für G0 und Auflagert Inu \ A<

L/k-k

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7⁷

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fKiiiisi 11111111

[72 1 1,0*

{aßstab für

Tn)

EinftußTwhPfilr Hf)

,7-7,

Fig. 89.

oxbinate m gehört, m • H" = mj^w == Mw . Wird dieser Wert in Gl. (135) eingesetzt, so folgt

72

(135a)

Die Ordinaten m stellen also direkt die Momente M₀ dar. Die Kräfte fallen in Gl. (135a) heraus, mithin ist m auf dem Längenmaßstab zu messen, dessen Einheiten für m als

1 ¹²

Momente gelten. Hätte man H" = —YV genommen, dann

n i

würden n Einheiten des Längenmaßstabes eine Einheit für das Moment darstellen.

3. Einflußlinie für G₀.

unb

1) y

Führt man die für P = lt geltenden Werte Mx = 1 •

= 1 • a.Z- in ©t. (133b) ein, so folgt

hx'

Je

.1

Ms,

und wenn

H«

A s • x' = w' gesetzt wird,

G₀ = -

(136)

a    b

• X +    £ w' • z

0    0    J

Mw'

2>\x'

0

: y w' • x' oder ‘ o

Der Zähler dieses Ausdrucks stellt das Moment eines einfachen Trägers A₂B₂ (Fig. 89g) dar, der mit den elastischen Gewichten w' belastet ist, die teils positiv, teils negativ sind.

Setzt man diese Werte w' zu einem Kräftezug    w' (Fig. 89 h)

i

zusammen und zeichnet dazu mit beliebiger Polweite H'" ein Seileck (Fig. 891), so gilt für eine beliebige Stellung der Last P == 11, t>er die Ordinate g zugehört, g • H'" = Mw>. Verlängert man die äußersten Seileckseiten (Fig. 89i), so schneiden sie auf der durch 0' gehenden Lotrechten (Achse Y') eine

Strecke op ab, und es ist op • H'"=    das statische

Moment der Kräfte w' in bezug auf Y'; dies ist aber der Nenner der Gl. (136). Setzt man diesen und den vorhergehenden Wert in Gl. (136) ein, so folgt

g-H'" op - H"'

wenn man die Strecke öp gleich der Krafteinheit macht; also ist Fig.891 die Einflußlinie für G₀ mit dem Maßstab Yp = 1. Soll die Tragwerkslinie A"Bq wagerecht werden, so lege man den Pol 0₂ so, daß die den von der X"-Achse getroffenen Gewichten zugehörenden Strahlen wagerecht liegen.

4. Einflußlinien der Auflagerdrüüe.

Nach Gl. (123) ist A = l+G unb B = 23 — G . Diese Werte ergeben sich sofort aus Fig. 89i, wenn man die Linien Bq p bzw. A" o bis zu den Auflagerlotrechten verlängert. Für A ist Aq a = 1 = op .

(136a)

G₀ =

CdC

op

==—g,

5. Einflutzlinie für H₀.

1-bx

Aus Gl. (133c) folgt mit 9JG = für P - lt

und M- =

1 • az

hx Je

,2 Je

’i

°-Js +

z/s-y'

Je

und, wenn -y z/s • y' = w" gesetzt wird,

H₀ = s £ w" - x +

<~1 89

oder

(137)

H₀ =

Mw"

wobei c aus Gl. (104) auf S. 139 entnommen ist.

Der Zähler dieses Ausdrucks bezeichnet das Moment eines einfachen Trägers A₃B₃ (Fig. 89 k), der mit den elastischen Gewichten w" belastet ist, die teils positiv, teils negativ sind. Die Kräfte w" werden zu einem Kräftezug JE¹ w" mit der Polweite 8"" (Fig. 891) zusammengesetzt und dazu wird ein Seileck (Fig. 89 m) gezeichnet, das für eine beliebige Laststellung die Ordinate ü liefert, somit gilt h • H""=MV'. Dreht man nun das Krafteck der w" um 90° (Fig. 89n) und läßt die Kräfte w" wagerecht am Bogen selbst wirken, so kann zu diesen ein neues Seileck (Fig. 89 o) gezeichnet werden, das auf der X"-Achse die Strecke qr bzw. auf der Kämpferverbindungslinie AB die Strecke qpr⁷ abschneidet, und es ist 12

qr • H"" — w" • y' das statische Moment der Kräfte w"

in bezug auf die X"-Achse; dies ist aber der Nenner in Gl. (137). Setzt man die gefundenen Werte in Gl. (137) ein, so ergibt sich unter Vernachlässigung der Normalkräfte h- H

(137 a)

qr • H

= h, qr

wenn man die Strecke qr gleich der Krafteinheit macht; also ist Fig. 89m die Einflußlinie für H„ mit dem Maßstab qr = 1. Sind die Normalkräfte N zu berücksichtigen, so ist

qr + ■ - ,T = 1 ju machen (vgl. S. 144).

ii

Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß vorstehende Einflußlinien verschiedene Maßstäbe haben.

Handelt es sich um die Einflußlinie-für das Moment in einem beliebigen Punkt G (Fig. 87), so ist die Einfluß linie gemäß Gl. (134b) zu bilden, während sie für eine Normalkraft nach Gl. (122) zu bilden ist.

§ 37. Der Steifrahmen ohne Gelenke.

Wird in Fig. 86 a die Bogenachse durch einen gebrochenen Linienzug ersetzt, so entsteht der beiderseits eingespannte Steifrahmen (Fig.90a), der häufig Anwendung findet. Seine Berechnung erfolgt ebenfalls nach § 35, nur muß man in den Formeln (133 a—c) die Strecke z/s durch die Länge 8 der einzelnen Rahmenstücke ersetzen. Gemäß S. 138 erhält man hier die elastischen Gewichte:

-8, F^Mni^-8, i'= x'- j-.smrö i"=y--y-s.

Die Gewichte F, f und f" beziehen sich auf das drwch den Ursprung 0' gehende Achsenkreuz (X'Y'), dementsprechend sind sie teils positiv, teils negativ. Führt man diese Gewichte in Gl. (133) ein, so folgt mit den Grenzen 0 bis l

für

2m +

2>

o

(138 a) M₀ = —

Je

- 8 . X'

(138 b) G₀ =.

2s-

0

x'

_ S/

Z<'-

0

x'

Ty'

10    0 10 20 30m y

iaJAMiA _

^mc/iederM.^ j iÖ"b\ 6s

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^    Länqenmaßstao

Maßstab der ? ^

\/>/ £--V

°P

VA

;x5

>--Hf 10,0m

Flg.90.

2>y'

(138 c) H₀= +

6X'

o

xr¹ ,2 Je . x1 Jc

?y

II, -h H₅ • e + c

y'+c

0

Tx' 7 o

Hierbei stellt c den Einfluß der Normalkräfte dar; vgl. Gl. (104), S. 139. Gl. (138 a) ist unmittelbar nach Bildung der Summen zu lösen, während Zähler und Nenner der Gl. (138 b—c) statische Momente darstellen, die gemäß S. 140 graphisch bestimmt werden können. Macht man insbesondere die Polweiten gleich, setzt also H₂ = H₃ = H4 = H₅, und vernachlässigt die Normalkräfte (c = 0), so ergeben sich die einfacheren Formeln:

(M₀ = -&:G,

(139)

G₀ — — a : d,

H₀-+b :c,

die leicht auszuwerten sind. Sobald M₀, G₀ und H₀ bekannt sind, ergibt sich das Moment für eine beliebige Stelle C des Rahmens aus Gl. (134 b), während die entsprechende Normalkraft nach Gl. (122), S. 156 zu bestimmen ist. Bei ruhender Belastung ist es am zweckmäßigsten, mit Hilfe der Werte c und c" (Gl. 134), eine Drucklinie in den Rahmen zu zeichnen, die sofort alle Mornente, Normal-und Querkräfte liefert, wie Fig. 90 h zeigt.

Beispiel 6. In Fig. 90 a ist ein eingespannter, symmetrischer Rahmen einer Dachkonstruktion gegeben, dessen geknickter Riegel die Einzellasten P₂ = 101, P₃ = 261, P₄ = 501, P₅ = 481 unb P₆ = 151 zu tragen hat. Die Größtmomente der wichtigsten Rahmenpunkte sind mit Hilfe einer Drucklinie zu ermitteln. Das Trägheitsmoment Jr des Riegels sei viermal so groß wie dasjenige der Stiele Jß; mit Jc — Jr wird also für den Riegel

7 =7=1 und für die Stiele J° = A = 4.

Jr    J r    J 8    J ß

Infolge der unsymmetrischen Belastung ist der ganze Rahmen in die Rechnung einzubeziehen. Denkt man sich die Rahmenfüße abgelöst, so wirkt der Rahmen gegenüber den lotrechten Lasten wie ein einfacher Balken A"B" (Fig. 90 h), und es gilt: 26 - Z l + 50.7/2 -f 48 ■ Z/4 Z

sö = 10 -f 26 + 50 + 48 + 15 — 66,5 = 82,5 t.

Mit diesen Werten folgt für die Momente in den Angriffspunkten der Lasten:

A = 10 -j-

= 66,5 t,

Mo

Ml - Mz = o,

Mz = r-x = (66,5 —10,0)

16,5

— 233,1 tm,

M, = (6«,5 — 10,0) -

16,5

— 26 - ¹'~⁵- = 358,9 tm = 278,4 tm,

SR5 = (82,5 —15,0) -₄

M« = $?₇ = $K₈ = 0.

In Fig. 90 a sind diese Momente als Belastung aus die Riegelachse gesetzt, und nach S. 138 sind die elastischen Gewichte der

Je

einzelnen Rahmenteile F = Mm s • j :

gl =    = 0

233,1 - 4,20

•1,0

= 489,5 tm²

233,1 + 358,9

-4,20-1,0    1243,2 tm²

358,9 + 278,4

-4,20-1,0    1338,3 tm²

Fe

278,4-4,20

•1,0

- 584,6 tm²

g₇ -Fs-o

J£g = 3655,6 tm² - F.. o

Für die Rahmenachse selbst sind die elastischen Gewichte Je

w == ~y *s:

w₁_₂ — w₇_₈ — 4,0.8,3 — 33,2 m w₃-4 = w₅_₆ — 1,0-8,4= 8,4 m

I >7 w — 41,6 m — z G. o

Mit letzteren ist in Fig. 90 b ein Krafteck gezeichnet; das zugehörige Seileck legt in Fig. 90 a die X"-Achse fest, und zwar im Abstand y₀ = 5,15 m von" den Einspannstellen (Kämpfern).

Zu den Gewichten g₃_₆ ist in Fig. 90 c ein Krasteck mit der Polweite EL — 10,0 m gezeichnet, und das zugehörige Seileck in Fig. 90 a schneidet auf der X-Achse die Strecke a = + 80 tm2 ab, somit gilt

S/ = g • x' — H₂ • a = 10,0 • 80 — 800 tm².

Bei symmetrischer Belastung wird stets a — 0.

Dreht man das vorgenannte Ärasteck um 90° herum (Fig. 906), so liefert das zugehörige Seileck in Fig. 90 a auf der X-Achse den Abschnitt b = 1525 tm², und es wird

6X' =

S • f = H₃ • b == 10,0 -1525 = 15 250 tm². o

Je

Für die Rahmenachse sind die elastischen Gewichte f = x' •    • s,

also    J

16,5

^ ■ 4,0 • 8,30 = — 273,9 m²,

-1,0 - 8,40 = — 34,7 in²,

■ 1,0 - 8,40 = + 34,7 in²,

f7-s = + ™ • 4,0 • 8,30 = + 273,9 m².

Mit diesen lotrechten Gewichten i[_g ist in Fig. 901 ein Krafteck mit der Polweite H₄ = 10,0 m gezeichnet, und das zugehörige (punktierte) Seileck in Fig. 90 e schneidet auf der X "-Achse die Strecke d = 490 m² ab, mithin ist

*1-4-

*5-6 “ +

Ty My-x'²-

16,5

16,5

x' = H₄ • d = 10,0 - 490 == 4900 m³.

Je

Ebenso berechnet man die elastischen Gewichte i"*=y'-5,15*4,0.^

f" =f"    -

= — 53,04 m²,

3,15

n    -+3,15*4,0.-'-

3,15 + 4,75

— + 19,85 m²,

Zu diesen wagerecht liegenden Gewichten f₈ ist in Fig. 90 g ein Krafteck mit der Polweite H₅ — 10,0 m gezeichnet, und das zugehörige Seileck in Fig. 90 e liefert auf der X"-Achse den Abschnitt e — 71,3 m²; damit wird

■ 1,0- 8,40 = + 33,18 m².

TV = yy² • Jrc • S = Vf" .y' = H,.e = 10,0.71,3 = 713m*. 0 J 0

Führt man die gefundenen Werte nebst c = 0 in die Gleichungen (139) ein, so folgt für die Größen am Ursprung 0':

Sz _    3655,6 _

G--+ 2 -4176 —

G₀-

44,0 tm,

80

490

= — 0,16 t,

H„= +

1525

71,3

= + 21,4 t.

Mit diesen Werten erhalt man aus Gl. (134) sür die Ein-spnnnmomente, weil My — Mg = 0:

G-l + Ho-k

= — 44,0 — (—0,16)    + 21,4 - 5,15 = + 67,53 tm,

M"= M₀ + G • 8- + H₀. k

M’ = M₀

= — 44,0 + (—0,16)    + 21,4 - 5,15 = + 64,89tm.

Und hiermit ergibt sich für die Angriffspunkte der Kraft

R' = R" = yG² + H² = V(— 0,16)² + 2174* - — 21,41:

M' +67,53 H° “    21,4

M” + 64,89

am linken Kämpfer

e' =

— 3,16 m,

am rechten Kämpfer

e"-

21,4

= 3,03 m.

Die Auflagerkräfte werden nach Gl. (123)

A = 91 + G = 66,5 + (— 0,16) = 66,34 t,

B = 93 — G = 82,5 — (— 0,16) = 82,661,

Ha== Hb== H₀ == H = 21,41,

und mit diesen ist das Krafteck Fig. 901 gezeichnet. Wird nun mit Hilfe der Werte e' — 3,16 m und e" — 3,03 m die Kraft R' = R" in Fig. 90 h eingetragen, so sind durch ihre Schnittpunkte a und b auf den lotrechten Stielen zwei Punkte der Drucklinie festgelegt, und letztere kann in bekannter Weise gezeichnet werden (strichpunktierte Linie in Fig. 90 h). Die Drucklinie liefert für den linken E ck p u n k t 2 die Druckkraft Rn — 60,3t, welche im Abstand h₂ = —1,82 m an Punkt 2 vorbeigeht, mithin ist das Biegungsmoment nach Fig. 18, S. 50

M₄ — Rm* h₄ = 37,1 • (+ 5,75) — + 213,3 tm) für denrechtenEckPunkt 6 istRv ^ 71,01 und b₆ = —1,59 m, mithin folgt

M₂ --- Rn . h₂ = 60,3 - (—1,82) = —110,0 tm; für den Scheitelpunkt 4 ist Rm = 37,1t und h₄= + 5,75 m, folglich gilt

M₆ = Ryh₆ = 71,0 •(—1,59) = —112,9tm .

Die Normalkräste gewinnt man durch Zerlegen der Kräfte R in Richtung tum N und Q, wie es für den Riegels an Riv gezeigt ist.

Soll eine rechnerische Nachprüfung erfolgen, so hat man die Formeln (112) und (113) sinngemäß für die X - und die X'-Achse anzuwenden.

§ 38. Grundformeln für den eingespannten fachwerkartigen Bogentrüger mit ruhender und beweglicher Belastung.

Der eingespannte Fachwerkbogenträger (Fig. 91) ist genau so zu behandeln wie der eingespannte Vollwandbogenträger, die Grundformeln zu seiner Berechnung folgen aus den Elastizitätsgleichungen auf S. 135. In derselben Weise wie im § 35 folgt aus den Gl. (97) bis (99) für starre Widerlager

o-vJfy? .

' ⁰    + EFh²

M ,n\ n XT¹ Ms    X"i MXS

(140) 0 ~    EFh2 , ⁰ ~ JL EFh²

Setzt man nun für einen beliebigen Gegenpunkt N --- M + M' + Gx — Hy, nimmt durchgehend gleiches E an und führt, um der Veränderlichkeit der Stabquerschnitte zu genügen, ein unveränderliches Fc ein, so folgt

(140a)

0 = ^’(m + M'+G-x o

F„ s

T' K-'

„    . Fc s

H • y)x -p ■ ho -

-H-y)

r

0 = ^’(3JH-M' + G-x 0

0 = £ (SK + M' + G • X — H • y) y ~ - ^2 -P-fsStl

Bringt man nun in v den Fachwerkknoten die Y elastischen Gewichte __ Fc s ? = F h²

legt den Koordinaten- q Ursprung in ihren T Schwerpunkt 0', der yj

a)

an und ver- «i|:

TZ

Pi

butd)

X T>)\

⁽¹⁴¹⁾ 2y F h-

= 0,

«II

und °

V¹ Fc 8

2xtv

= 0 yj

+r

e)

fö

bestimmt ist, so folgt für die Größen im Ursprung

+H2

M„ = -ySK -112 +112

go = — y ^

—112 +U2

-112

yj-

Fig. 91.

Fc _s_ Pi s F    '

Fc 8

F h²

-f- Z/2

Fc 8 F h² '

,₂ Fc s #

F h²

Diese Formeln entsprechen genau den Gl. (132), mithin sind auch hier die statisch unbestimmten Größen ebenso wie in Fig. 89 zu ermitteln, man hat lediglich die w durch die entsprechend

(142)

Fc 8

F h²

-II2

+ 112

y':2>

-H2

KRAKOW

Arbeit, äußere u. innere 79. Arbeitsgleichung 80. Auslegerträger 9. Belastungsglied 84. Belastungsscheide 37. Bewegung, augenblickl. 69. Biegungsfläche 73. Biegungslinie eines Gurtes 78.

—    einfacher Fachwerkträger 74.

—    vollwandiger Träger 50. Biegungsspannringen 50. Bogentrüger 26. Cremonascher Kräfteplan 42. Dehnung 68.

Dreigelenkbogen, Fachwerck-

ii.

Vollwand- 26. Dreimomentengleichung 84. Drittellinie 92.

verschränkte 93, Drittelsrnomente 96. Drucklinie 26. Durchbiegung fachwerkartiger Träger 73.

—    vollwandiger Träger 65. Durchlaufende Fachwerk-

trüger 116.

—    Gelenkfachwerkträger 21.

—    Gelenkvollwandträger 9.

—    Bollwandträger 82. Einfacher Träger 61. Einflußlinien für Treige-

lenkbogen 32.

—    für eingesp. Bogen 164.

—    für Gerberträger 15.

—    für Zweigelenkbogen 143. Eingehängter Träger 9. Eingespannter Rahmen 168. Eingespannter Träger 85. Einspannmoment 85. Elastische Gewichte 53.

—    Linie gebog. Stäbe 232.

—    — gerader Stäbe 49. ------, graphische Darstellung 61.

Elastisches Vieleck 92. Elastizitätsgleichungen für Fachwerkbogenträger 135.

—    für Vollwandbogentrüger

33.

130.

Elastizitätszahl 51. Fachwerkbogenträger, eingespannt 174.

—    mit 3 Gelenken 42.

—    mit 2 Gelenken 151.

Register.

Fachwerkgelenktrüger 22.    : Öffnung 8.

Fachwerkträger, butäy i Pfeilhvhe 33.

laufender 116.    ! Pol der augenblicklichen

Feldmoment 20.    | Bewegung 69.

Festpunkt 93.    Querkraft öö.

Formänderung der Fach- Rahmen, m. Fußgelenk 146. werktrüger 67.    —, eingespannt 168.

—    der Bollwandträger 49. Rahmenbinder 246. Gedachter Zustand 2 2 9. Rand Winkel 78.

Gegenpunkt 23.    Rand Winkeländerung 78. I

Gegenseitigkett der Ver- Scheibe 69.

schiebungen 222.    Scheitelgelenk 33.

Gelenk 8.    Scherspannungen 50.

Gelenkträger, durchlaufen- Schlußlinienzug 24.

der 8.    Schubkraft 50.'

Gerberträger 9.    Spannkraft 42.

Geschwindigkeit, au genblick- Spannweite 136.

liehe 69.    Stab ach se 49.

Geschwindigkeitsplan 68. Stabwerk 69.

Gesetz der elastischen Deh- Stabzug 232.

nungen 52.    Statisches Moment von

Grundsystem 129.    Momentenflächen 55.

Hauptnetz 129.    Statisch unbeft. Größen 81.1

Horizontalschub 29.    — — Träger 67.

Innere Kräfte 22.    Steisrahmen, mit zwei.

—■ Spannungen 50.    Fußgelenken 246.

Kämpferdrücke 30.    —, ohne Gelenke 268.

Käinpferdruck (schnitt) linie Stützenlotrechte 10i.

36.    —, verschränkte .93.

Käm pferverbind ungslinie    Stützenmvment 10.

Stützentangente 92.

Kerngrenzemnoment 27.    Stützlinie 26.

Kernpunkt 27.    ^-Moment 96.

Kernweite 27.    Torsion 49.

Kontinuierlicher Träger 8. i Träger, durchlaufende 81.1 Koppelträger 9.    —Durchlaufende Gelenk-8. '

Kragträger 9.    i —, eingespannte 85.

Kreuzlinien 202.    —, eingesp. Bogen- 156.

Kreuzlinienabschnitte 101.    Überzählige Stützen 81.

Krinnmungsänderung 228.    Beränderungsziffer 23.

Krümmungshalbmesser 125.    Verdrehung 49.

Längenänderung, elast. 68.    Berdrehungswinkel 52.

—    durch Wärme 68.    Verschiebungsplan 69.

Längskraft 50.    Verschränkte    Drittellinie    93.1

Maxwellscher Satz 122.    Virtuelle Verschiebungen,

Mittelgelenk 8.    Prinzip    derf. 79.

Mittelstütze 8.    Vollwandbogenträger, ein-

Momentenfläche, reduzierte gespannt 156.

54.    —> mit 3 Gelenken 26.

—, verzerrte 54.    — Mit 2 Gelenken 136.

Mornentennullpunkt 11.    Widerlager 136.

Multiplikator 23.    Williotplan 72.

Neutrale Achse 52.    Winkeländerung 54.

—    Faser 51.    Wirklicher Zustand 119.

Normalkraft 26.    Zustandslinien 108.

Normalspannungen 26.

Nullinie 52.

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