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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA SClietl

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Von

ProiWilh. Weitbrecht

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Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln

Mit 8 Figurce

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_____________ Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Mathematische Bibliothek

aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschichte der Mathematik von Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr. 226.

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petitorium und Aufgabensammlung sur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

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Rinführung in die geometrische Optik von Dr. W. Hinrichs in Wilmersdorf-Berlm.    Nr.    532.

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Ausgleichungsreohnung nach der Methode der kleinsten Quadrate m. 15 Fig. u.2 Taf.v. Prof.Wilh.Weitbrecht. Nr. 302.

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Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Professor Dr. Siegm. Günther.    Nr.    92.

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--IIî Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Figuren

und 2 Sternkarten.    Nr.    529.

Astrophysik mit 15 Abbildungen von Prof. Dr. Walter F. Wislicenus, neubearbeitet von Dr. H. Ludendorff.    Nr. 91.

Vermessungskunde von Oberlehrer Dipl.-Ing. P. Werkmeister.

2 Bändchen mit 255 Abbildungen.    Nr. 468, 469

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Nr. 58.

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.

Sammlung Göschen

Ausgleichungsrechnung

nach der

Methode der kleinsten Quadrate

Von

Wilh. Weitbrecht

Professor der Geodäsie in Stuttgart

Zweite, veränderte Auflage

I. Teil

Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln

Mit 8 Figuren

Berlin und Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung G. m. b. H, 1912

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Spamersche Buchdruckerei in Leipzig.

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Seite

Einleitung............................

§ 1. Einteilung: der Beobachtungsfehler.............

10

§ 2. Wahrscheinlichster Wert L einer Größe aus einer Reihe gleichgenauer, nur mit zufälligen Fehlern behafteter Beobachtungsresultate l.........................

§ 3. Grundbedingung für die Ausgleichung nach der Methode der

kleinsten Quadrate. Einteilung der Ausgleichungsaufgaben 15

I. Abschnitt.

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

1.    Kapitel.

Direkte Beobachtungen von gleicher Genauigkeit.

§ 4. Untersuchung der einer Einzelbeobachtung innewohnenden

Genauigkeit........................

§ 5. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und der Summe

[vv] der Fehlerquadrate aus den Beobachtungswerten l . . 27 § 6. Mittlerer Fehler M des Mittelwertes L aus n gleichgenauen

Beobachtungswerten l...................

§ 7. Größter Betrag des unvermeidlichen Beobachtungsfehlers . . 36

2.    Kapitel.

Direkte Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

§ 8. Wahrscheinlichster Wert einer Beobachtungsgröße aus einer Reihe verschiedengenauer Beobachtungen. Gewicht der

Beobachtung. Gewichtseinheit..............

§ 9. Eigenschaften des allgemeinen arithmetischen Mittels ... 47 § 10. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und des Trägheitsmomentes \Vvv]...................

§ 11. Erreichte Beobachtungsgenauigkeit. Gewicht und Genauigkeit des Endwertes .............’.........

23

29

41

49

50

II. Abschnitt.

Vermittelnde Beobachtungen.

1. Kapitel.

Übertragung von Beobachtungsfehlern auf Funktionen der Beobachtungsgrößen.

57

§ 12, Mittlerer Fehler M und Gewicht P einer Funktion F der mit den mittleren Fehlern пы, тл,... behafteten Bobachtungsgrößen Li...Ln......................

3. Kapitel.

Ausgleichung’ vermittelnder Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

97

§ 20. Erweiterung der für gleichwertige Beobachtungen aufgestellten Ausgleichungsgrundsätze auf ungleichwertige Beobachtungen ..........................

III. Abschnitt.

Bedingte Beobachtungen.

§ 21. Erklärung. Aufstellung der Bedingungsgleichungen ....    106

114

§ 22. Ausgleichung bedingter direkter durch Zurückführung auf

vermittelnde Beobachtungen...............

117

Seite

2. Kapitel.

Ausgleichung vermittelnder gleichgenauer Beobachtungen.

§ 13. Graphische Ausgleichung’ zusammengehöriger beobachteter Argument- und Funktionswerte, welche in (bekannter oder

unbekannter) Abhängigkeit voneinander stehen......

§ 14. Rechnerische Ausgleichung in überschüssiger Zahl vorhandener Beobachtungswerte L für die von ihnen abhängigen gesuchten Größen X, Y ... bis zur Aufstellung der Normalgleichungen ........................

§ 15. Spezielle Aufstellung und Auflösung der Normalgleichungen

a)    für eine Unbekannte.................

b)    für zwei Unbekannte.................

c)    für drei und mehr Unbekannte............

§ 16. Bestimmung der mittleren Fehler m der Beobachtungswerte L

aus den ihnen zuzuschlagenden Verbesserungsbeträgen v 79 §17. Ableitung des Wertes der Fehlerquadratsumme [v v\ als

Nebenprodukt der Reduktion der Normal gl ei chun gen . .    83

§ 18. Mittlerer Fehler M und Gewicht P der berechneten Unbekannten aus den Verbesserungszuschlägen v der Beobachtungswerte L.......................

§ 19. Praktische Ausrechnung der Koeffizienten für die Normalgleichungen. Bedürfnis veränderter Größe der Unbekannten oder der Maßeinheit. Vereinfachte Schreibweise. Rechenproben ..........................

61

64

tv.i

71

74

85

89

§ 23. Ausgleichung bedingter direkter gleichgenauer Beobachtungen mittels Korrelaten................

§ 24. Ausgleichung bedingter ungleichgenauer Beobachtungen mittels Korrelaten .....................

Einleitung.

Bei der Feststellung von Tatsachen und Größen mittels sinnlicher Wahrnehmung sind wir Irrtümern und Fehlern unterworfen, welche teils der menschlichen Unvollkommenheit, teils der Mangelhaftigkeit der angewandten Hilfsmittel und Methoden entspringen. Dies zeigt sich an den dabei auf tretenden Widersprüchen, sobald irgendein von mehreren Menschen beobachteter Vorgang genau fest-gestellt, oder wenn die Ausdehnung, die chemische oder physikalische Eigenschaft eines und desselben Gegenstandes auch nur von einem einzigen Beobachter mehrmals unabhängig bestimmt werden will. Es zeigt sich auch, wenn man mehrere Größen, welche vermöge eines Naturgesetzes in bestimmter Beziehung zueinander stehen, einzeln und unabhängig mißt (z. B. die beiden Katheten und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, die drei Winkel eines Dreiecks usw.).

Will man daher Widersprüche in der Feststellung von Größen oder Tatsachen vermeiden, so muß man entweder die Augen vor etwa vorhandenen überschüssigen, und daher den anderen unter allen Umständen widersprechenden Beobachtungsergebnissen verschließen, oder — auf überschüssige Beobachtungen überhaupt verzichten. Beide Auskunftsmittel wären identisch mit dem Verfahren eines Richters, der über jeden einzelnen Vorgang nur einen einzigen Zeugen hören wollte, auch wenn er von mehreren mehr oder weniger abweichend beobachtet wurde. Das Ergebnis einer solchen Untersuchung hätte wenig Aussicht, die Wahrheit zu treffen. Dagegen wird man der gesuchten Wahrheit um so näher kommen, je mehr Beobachtungen bei der Feststellung eines Vorganges oder einer Größe berücksichtigt werden und je zuverlässiger sie sind.

Wollen wir alle, teilweise einander widersprechenden Beobachtungen zu einem einheitlichen Ergebnis — dem richterlichen Urteil gleich — verarbeiten, so müssen wir jede von dem ihr anhaftenden Fehler zu befreien, sie „auszugleichen“ suchen. Bei Beobachtungen an der leblosen Natur kann die Fehlerur sache außer in der Unzulänglichkeit unserer Sinne bloß noch in der Mangelhaftigkeit der verwendeten Methoden und Instrumente liegen. Die Feststellung von Größe und Ursache der Fehler liefert daher neben ihrem eigentlichen Zweck — der Verarbeitung überschüssiger Beobachtungen zu einem einheitlichen Resultat — noch wertvolle Fingerzeige für künftige Einschränkung der Beobacht ud gsf ehler.

§ 1. Einteilung der Beobachtungsfehler.

Die Ursache, welcher ein Beobachtungsfehler seine Entstehung verdankt, ist häufig auch bestimmend für dessen Eigenschaft und Größe, so daß man umgekehrt aus letzteren häufig auf die Ursache schließen kann.

Entspringt der Fehler z. B. äußeren Einflüssen (Witterungsunbilden und anderen Naturereignissen, Böswilligkeit dritter usw.), oder ungewöhnlicher Nachlässigkeit des Beobachters, so läßt er die Beobachtungsgröße meist um erheblicheBeträge und zwar ebenso wahrscheinlich in der einen, wie in der anderen Richtung unrichtig erscheinen, er ist ein „grober Fehler“.

Die groben Fehler lassen sich in den meisten Fällen vermeiden, jedenfalls aber durch überschüssige Beobachtungen und geeignete Beobachtungsverfahren ihrer Größe und Richtung nach erkennen und nachträglich ausmerzen. Sie gehören nicht zu denjenigen, welche der Ausgleichung unterliegen, und wir werden uns mit ihnen im folgenden nicht beschäftigen.

Außer diesen, sowohl nach Richtung und Größe, als auch nach ihrer Ursache meist leicht erkennbaren groben Fehlern gibt es aber noch kleinereFehler (Abweichungen des Beobachtungsergebnisses vom wahren Wert), die sich zwar durch geeignete Hilfsmittel und Beobachtungsverfahren und namentlich durch erhöhte Aufmerksamkeit und Erfahrung des Beobachters wesentlich einschränken, niemals aber ganz vermeiden lassen.— Die Feststellung dieser unvermeidlichen Fehler an den Beobachtungsergebnissen nach wahrscheinlicher Ursache und Größe und ihre Ausmerzung bildet die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung.

Auch sie zeigen übrigens bei näherem Zusehen prinzipielle Verschiedenheiten, die der Verschiedenartigkeit der Fehlerquellen entstammen, und die uns zwingen, sie in zwei Gruppen getrennt zu betrachten. Wenn es nämlich im einzelnen Beobachtungsfall auch kaum möglich ist, jede einzelne Fehlerquelle und ihren Anteil am schließlichen Gesamtfehler der Beobachtungsgröße festzustellen, so zeigt doch die einfachste Überlegung, daß die eine Fehlerursacbé eine nach ihrem Vorzeichen sich gleichbleibende, in gesetzmäßiger Abhängigkeit von der Beobachtungsgröße wachsende Fehlerwirkung ausüben kann, während die andere einen Fehleranteil erzeugt, der nach Größe und Vorzeichen von Beobachtung zu Beobachtung wechselt.

Wird z. B. eine Strecke durch, mehrfaches Anlegen eines Maßstabes gemessen, der um ein gewisses, wenn auch kaum erkennbares Maß zu kurz ist, so liefert diese Messung, falls der Längenabmangel des Maßstabs die einzige Fehlerquelle darstellt, unter allen Umständen ein zu großes Maß für die Strecke, und zwar wächst der hieraus entspringende Streckenfehler proportional zur festgestellten Anzahl von Maßstablagen, also proportional zur Streckenlänge. Einen solchen Fehler nennt man „regelmäßigen Fehler“.

Hat umgekehrt der Maßstab zwar die richtige Länge, aber es schleicht sich bei jeder neuen Lage ein zufälliger kleiner Anlegefehler ein, so wird dieser ebenfalls das Gesamtresultat der Strecke schädlich beeinflussen. Da aber der Fehler in den einzelnen Maßstablagen gleich wahrscheinlich in der Vorwärts- wie in der Rückwärtsrichtung wirken kann, so werdén einige der positiv wirkenden Fehlerelemente einige der entsprechenden negativen auf-heben. Als Gesamtwirkung dieser Fehlerquelle auf die Strecke wird daher nur der Überschuß der einen Fehlerrichtung über die andere auftreten. Dieser kann ebensogut positiv wie negativ, und wird seiner absoluten Größe nach im günstigsten (aber unwahrscheinlichen) Fall gleich 0 sein, wenn nämlich die Gesamtwirkung der positiven gleich derjenigen der negativen Fehlerteile ist. Im ungünstigsten (ebenso unwahrscheinlichen) Fall (wenn alle Fehlerelemente in gleicher Richtung wirken) wäre die Gesamtwirkung wie im Fall des regelmäßigen Fehlers proportional zur Streckenlänge. Weder der eine noch der andere dieser äußersten Fälle wird regelmäßig auftreten. Sicher ist daher, daß die wahrscheinliche Gesamtwirkung dieses „zufälligen“ (unregelmäßigen)Fehlers langsamer wächst, als die des regelmäßigen Fehlers.

Wenn nach Vorstehendem das Wachstum des regelmäßigen und des unregelmäßigen Fehlers verschiedenen Gesetzen folgt, und wenn weiter die Möglichkeit vorliegt, daß beide Fehlergruppen in den auszugleichenden Beobachte gsresultaten gleichzeitig auf treten, so wird nur die Trennung beider die richtige Erkenntnis der Fehlerursachen und die Fehlerverbesserung an der richtigen Stelle ermöglichen.

Eine solche Trennung läßt sich in einzelnen Fällen durch einfache Überlegung bewirken. Wird z. B. ein und dieselbe Größe (etwa eine Strecke) mit denselben Geräten unter denselben äußeren Umständen und nach derselben Methode mehrmals gemessen und weisen die Messungsresultate Unterschiede auf, die zu klein sind, um als Folgen grober Fehler angesehen werden zu können, so können diese Unterschiede nur zufälligen, unregelmäßigen Fehlerquellen entspringen. Sind aber die verschiedenen Wiederholungen der Messung je mit anderen Geräten nach anderen Methoden, oder unter veränderten Umständen ausgeführt w orden, so können die auf tret enden kleinen Unterschiede zwischen den verschiedenen Resultaten ebensowohl zufälligen, als regelmäßigen Fehlern und ihrem Zusammenwirken entspringen. Durch Vergleichung der im ersten Fall festgestellten mit den Beobachtungsunterschieden, die sich beim zweiten Fall ergeben, können wir den Anteil beider Gruppen von Fehlern an den letzteren ermitteln. Wir werden uns im folgenden hauptsächlich mit der Ausgleichung der zufälligen Fehlerteile beschäftigen, die Beseitigung der regelmäßigen aber durch passende Anordnung der Beobachtungsgrößen und durch passende Beobachtungsverfahren anstreben.

§ 2. Wahrscheinlichster Wert X einer Größe aus einer Reihe gleichgenauer, nur mit zufälligen Fehlern behafteter Beobachtungsresultate l.

Ist die Beobachtung einer Größe mit denselben Hilfsmitteln und Methoden und unter denselben äußeren Verhältnissen ausgeführt worden, kann also jedes der erhaltenen, um geringe Beträge voneinander abweichenden Resultate als gleich zuverlässig angesehen werden, so würde die Annahme irgend eines dieser Beobachtungsresultate als endgültigen Wert der Beobachtungsgröße eine Vergewaltigung der übrigen und eine nutzlose, unwirtschaftliche Arbeitsvergeudung darstellen. Denn letztere hätten, falls es sich bei ihrer Beobachtung etwa nur um Schutz gegen das Einschleichen grober Fehler handelte (Kontrollbeobachtun gen), zum mindesten mit geringerem Aufwand an Sorgfalt und Zeit ermittelt werden können. Wählen wir dagegen den endgültigen Wert L der Beobachtu ngsgrößeunter gleich mäßiger Berücksichtigung aller beobachteten Einzelwerte l aus, so erzielen wir damit zweifellos eine Genauigkeitssteigerung, weil zum mindesten ein Teil der zufälligen — ebenso wahrscheinlich positiven wie negativen — Einzelfehler sich gegenseitig auf hebt.

Die Voraussetzung, daß sämtliche Beobachtungen mit gleicher Sorgfalt, also vermutlich auch gleicher Genauigkeit ausgeführt sind, führt zum Zweck der Auswahl eines endgültigen ausgeglichenen Mittelwertes L für die Beobachtungsgröße zu der Forderung, an sämtlichen Beobachtungswerten l gleichgroße, im Vorzeichen wechselnde Verbesserungszuschläge v anzubringen, welche dem bei der Beobachtung eingeschlichenen gleich wahrscheinlich positiven wie negativen und gleichgroßen zufälligen Fehler entsprechen. Diese Forderung läßt sich aber nur im Fall zweifacher Beobachtung erfüllen.

§ 2. Wahrscheinlichster Wert L einer Größe usw. Ц

Trägt man nämlich die Beobachtungswerte lx, l₂ ... als Ordinaten zu einer beliebigen Abszissenachse auf (Fig. 1 a), so läßt sich nur dann eine Parallele zu dieser Abszissenachse finden, die von den Endpunkten der Ordinaten gleichen Abstand V hat, wenn die Zahl der letzteren 2 ist.

vf

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Fig. lb.

Fig. la.

In diesem Fall sind die Verbesserungszuschläge vt = — v₂ . Legt man der vom Endpunkt der l aus in der Ordinatenrichtung verlaufenden Verbesserung v das Vorzeichen -j-, der andern das Vorzeichen — bei, so wird

(i)

4 + V2 = ⁰

und der wahrscheinlichste Wert L der Beobachtungsgröße L = l₁+-v₁

— 4 H~ v2

woraus (2 a) L

_ (h ~Ь 4) ,H~ fa + ^2) A 4~ 4 *

Ist die Zahl der Beobachtungs Wiederholungen 2n und trägt man wieder alle Beobachtungswerte 4 -, 4 • • • als Ordi-naten zu einer und derselben Abszissenachse auf (s.Fig. 1 b), so ist es unmöglich, eine Parallele zur letzteren zu ziehen, deren Abständen von allen erhaltenen Ordinatenendpunkten gleich groß sind. Wir müssen also auf die Forderung verzichten :

absolut vx = absolut v₂ — • • • = absolut ą. = • • • und erkennen daraus, daß gleiche Sorgfalt und gleiches Beobachtungsverfahren noch lange nicht gleiche Annäherung aller Beobachtungsergebnisse an den wahren Wert verbürgen.

Dies rührt daher, daß die einzelnen, an sich kleinen zufälligen Fehler, welche den schließlichen Gesamtfehler erzeugen, sich bei jeder Einzelmessung in anderer Weise kombinieren.

Immerhin kann man nach vorigem zwei der Beobachtungswerte, z. B. 4 und 4 , zu einem Besultat L[ — — 14-1    ¹

zusammenfassen, ebenso - — = L₂ usw. und erhält

и

damit ebenso viele Werte L', als Beobachtungspaare vorhanden sind. Gleichzeitig ist dann wie vorhin

\ + «2 = ⁰ )

v3 + vi = ⁰ } M¹) = ⁰ •

Faßt man jetzt je zwei der so gefundenen Werte I/wieder zn einem Wert L" zusammen und heißt die dabei an den Werten V anzubringenden Verbesserungen г/, so ist wieder

К + К = ⁰ )

»8 + Vi = ⁰ > M = ⁰

und man hat nur noch den vierten Teil der ursprünglichen Beobachtungs- als sich widersprechende Einzelwerte L".

Fährt man mit der paarweisen Zusammenfassung der gewonnenen Werte zu Mittelwerten U", L"". . . fort, wobei wieder

USW.,

so bleibt schließlich ein Wert L als endgültiger Mittelwert übrig. Heißen die an den ursprünglichen Beobachtungswerten l anzubringenden Zuschläge, welche nötig sind, um jeden von ihnen auf diesen Mittelwert L zu bringen, V, so wird:

(1) (L-l₁)+(L-.k) + - = [v] + [v']+W'J4-----m=0 als Eigenschaft des endgültigen Mittelwertes L aus den Ergebnissen l von 2n gleichgenauen Beobachtungen.

Die in (1) gefundene Eigenschaft des endgültigen Mittelwertes L aus einer Anzahl 2n nur mit zufälligen Fehlern behafteter, gleich genauer Beobachtungen l wohnt dem wahrscheinlichen Mittelwert inne, auch wenn die Beobachtungszahl nicht gerade 2n ist. Denn die ungefähr gleichgroßen zufälligen Beobachtungsfehler V werden gleich wahrscheinlich positiv wie negativ auftreten, sich also bis auf einen im Vergleich zu [l] sehr kleinen Best um so eher auf heben, je größer die Zahl der Beobachtungen l ist. Mit großer Wahrscheinlichkeit dürfen wir daher Gleichung (1) als allgemein gültige Bedingung für die Auswahl des wahrscheinlichsten Mittelwertes L einer beliebigen Anzahl gleichgenauer Beobachtungen l festsetzen. Wir gewinnen damit allerdings nur eine Hypothese für ein Naturgesetz, die aber um so gesicherter sein wird, je mehr künftig daraus zu ziehende Schlüsse mit der Wirklichkeit übereinstimmen.

wenn

Wie man auch den wahrscheinlichsten Wert L der Beobachtungsgröße wählen, möge, immer wird, man mit lx , l₂ . . . die Beobachtungsergebnisse und mit v₁ , v₂ . . . die an ihnen anzubringenden Verbesserungen bezeichnet, die Beziehung bestehen:

L = l₁-\-vi L = 4 + v2

L — ln -f- vn, durch Addition erhält man daraus :

nL = [l] + [v] und unter Berücksichtigung von (1) ([V] = 0) : d. h.: der wahrscheinlichste Wert einer beobachteten Größe ist gleich dem arithmetischen Mittel aus den einzelnen Beobachtungsergebnissen. Dieser Satz stimmt vollständig überein mit unserem natürlichen Empfinden. Denkt man sich nämlich die Beobachtungswerte l und

ebenso den Wert L = — auf einer Geraden von einem n

und demselben Anfangspunkt aus als Strecken abgetragen, so stellt der Endpunkt des letzteren den Schwerpunkt vor der durch sämtliche Beobachtungswerte bestimmten Streckenendpunkte (s. auch S. 20).

Wir erkennen, daß jeder nachträglich erlangte Beobachtungswert l einen neuen Widerspruch v gegen den Mittelwert L und damit eine kleine Veränderung des letzteren bedingt. Je größer aber die Zahl n der zur Mittelbildung bereits verwendeten Beobachtungswerte l und je größer ihre Genauigkeit ist, um so geringer wird der Einfluß einiger neu hinzukommender ebenso genauer Beobachtungswerte auf das Endergebnis sein. Die Veränderung des Endresultates durch neu hinzutretende Beobachtungswerte würde aber erst dann gleich 0, wenn die Zahl der bereits verwendeten oo groß wäre. Dann hätte man den auf dem Weg der Beobachtung tatsächlich unerreichbaren wahren Wert A der Beobachtungsgröße gefunden.

§ 3. Grundbedingung für die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Einteilung der Ausgleichungsaufgaben.

Die Bedingung (1) führt auf einem sehr einfachen Weg zur eindeutigen Erlangung des wahrscheinlichsten Wertes L aus einer Anzahl gleichgenauer Beobachtungen l, wenn, graphisch betrachtet, die gesuchte Ausgleichungslinie (s. Fig. 1 b) ihrer Richtung nach (hier als Parallele zur ж-Achse) zum voraus bekannt ist. Trifft dies nicht zu, so genügt die Bedingung [v] = 0 nicht zur eindeutigen Auswahl dieser Ausgleichungslinie. Ist z. B. die beobachtete Größe L (statt wie bisher konstant) abhängig von einer zweiten veränderlichen Größe, so kann man zwar die Beobachtungswerte l, wie in Fig. 1 a und 1 b, als Ordinaten und zwar diesmal zu den korrespondierenden Werten der zweiten Veränderlichen als Abszissen aufzeichnen.

Es mögen z. B. bei gleichbleibender Temperatur, aber veränderlichem Luftdruck, an einem Quecksilber- und gleichzeitig an einem Federbarometer korrespondierende Ablesungen gemacht worden sein, um die Beziehung zu finden zwischen der Anzahl von Teilen, um welche sich der Zeiger des Aneroidbarometers fortbewegt, und der Anzahl von mm, um

Ъ = а X -f- c.

welche sich aus denselben Ursachen die Höhe der Quecksilbersäule verändert. Es sei ferner festgestellt worden, daß die gesuchte Beziehung zwischen den Höhen Ъ der Quecksilbersäulen und den Aneroidablesungen a von linearer Form ist:

+ 'JC = CL Achse

Trägt man daher die Quecksilberablesungen Ъ als Ordi-naten zu den zugehörigen Aneroidablesungen a als Abszissen auf und verbindet die so erhaltenen Bildpunkte, so ergibt sich bei fehler-.    freien Ablesungen eine Gerade. Ihr

/    Richtungskoeffizient (tg des Richtungs-

ae

-/

aö

rh:

ИгФ

/ tÿ CL° Rbditungs-V ' Koeffizient -

CL₃

a₂

Muttipb. -ЕопПатОеос.

a,

= u-Aehse>

Fig. 2.

winkeis) -stellt die gesuchte Multiplikation skonstante X vor, ihr Abschnitt auf der y-Achse die (uns zunächst nicht interessierende) Additionalkonstante c. Nun sind aber die Ablesungen an beiden Barometern mit kleinen Fehlern behaftet, welche zur Folgę haben, daß die Yerbindungslinie der Bildpunkte keine Gerade wird, wenn die Zahl der letzteren > 2 , d. h. wenn Überbestimmung vorhanden ist. Die Abweichungen einer den Bildpunkten möglichst angepaßten Geraden von diesen sind auch hier nichts anderes, als die Verbesserungen v (s. Fig. 2), welche an den Quecksilberablesungen Ъ anzubringen sind, damit die jeder Aneroidablesung a entsprechende .gemittelt e Quecksilberablesung В erscheint, und deren algebraische Summe wir laut Bedingung (1) zu 0 machen sollen.

Nun kann man aber jede beliebige Richtung parallel mit sich selbst so verschieben, daß schließlich [algebr, г¹] == О wird, jede neue liefert ein anderes c und ж, d. h. es gibt unendlich viele Gerade, welche der gestellten Bedingung [v] = 0 entsprechen. Zur Auswähl der bestmöglichen Ausgleichungslinie brauchen wir eine weitere Bedingung, welche die unter (1) aufgestellte ersetzt oder ergänzt. Als solche weitere Bedingung könnte man etwa wählen:

[absolut V] = Minimum.

Diese Form wurde in der Tat yon Laplace im Jahre 1802 aufgestellt und begründet.

Sie leidet aber an verschiedenen Mängeln. In erster Linie tut sie den Yerbesserungen v, welche ohne Vorzeichen undenkbar sind, Zwang an, indem sie ihnen das Vorzeichen raubt. Sodann verursacht die Aufstellung eines allgemein gültigen Ausdruckes für den absoluten Wert jedes einzelnen v oder für deren Summe [abs. v\, welche zum Minimum werden soll, erhebliche Schwierigkeiten. Denn je nach der Größe des Beobachtungswertes Z, bzw. desjenigen von L ist abwechselnd abs. v = L — l oder abs. v = l — L. Endlich nimmt die Bedingung [abs.?;] = Min. keine Rücksicht auf die Wertung der einzelnen Beobachtungsfehler v nach ihrer Größe. Handelt es sich nämlich darum, die Güte einer Beobachtungsreihe im ganzen zu beurteilen, so wird man dazu am besten den Wert derjenigen Funktion der Beobachtungsfehler v verwenden, die man zum Zweck und anläßlich der Auswahl des bestmöglichen Mittelwertes L zum Minimum gemacht hat, im vorliegenden Fall also [abs. v] oder

(3)

[abs. v\

Der Wert d stellt dabei den absoluten Durchschnittswert aus n Beobachtungsfehlern г;, den „durchschnittlichen Fehler einer Beobachtung“ vor.

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. I.

[abs. v] = 50

[abs. v\ = 50

[abs. v]

= 5 mm.

Schleife

Abschlußdifferenz v

+ mm

-mm

Schleife

Abschlußdifferenz v

+mm

-mm

10

12

10

10

15

24

26

48

Möge nun z. B. ein bestimmter Beobachter mit einem gewissen Instrument und unter Einhaltung einer gewissen Messungsmethode beim Nivellement gleichlanger geschlossener Schleifen etwa folgende Abschlußdifferenzen gegen den (in diesem Fall bekannten) Sollwert 0 erzielt haben :

Ein zweiter Beobachter habe dagegen beim Nivellement derselben Schleifen mit anderem Instrument oder nach anderer Methode folgende Abschlußdifferenzen erzielt:

, [abs. v]

d = -- = 5 mm.

n

Beide Beobachtungsreihen zeigen denselben Betrag für [abs. v\ und daher denselben durchschnittlichen Fehler d. Trotzdem sind die dadurch ausgeführten Höhenbestimmungen durchaus nicht gleich zuverlässig. Schon der Umstand, daß die Zahl der positiven Abweichungen v in der zweiten Reihe gegenüber derjenigen der negativen erheblich verschieden ist, widerspricht ihrer Eigenschaft als zufällige Fehler und weist auf die Einwirkung grober oder regelmäßiger Fehler hin, die sich möglicherweise bis auf° den schließlich festgestellten Betrag gegenseitig aufgehoben haben können.

Noch mehr aber spricht die absolute Größe der Abschlußdifferenzen gegen die Gleichwertigkeit der beiden Gruppen von Messungen. Jede dieser Differenzen setzt sich nämlich zusammen aus einer Reihe von in ihrer Ursache und

Wirkung teilweise unbekannten Fehlerelementen, die sich-teils addieren, teils gegenseitig aufheben. Die Abschluß -differenz ist nur ihr in die Erscheinung tretender Rest. Ist dieser Rest in den einzelnen Beobachtungsfällen sehr verschieden, so beweist dies, daß die Fehlerelemente selbst verhältnismäßig groß sind, so daß einige von ihnen, welche ausnahmsweise der Regel widersprechen, gleichwahrscheinlich positiv wie negativ zu sein, hinreichen, das Beobachtungsresultat und die Abschlußdifferenz merklich zu beeinflussen. Das zufällige, eben hieraus erklärliche Vorkommen einiger auffallend kleiner Abschlußdifferenzen ändert an der Tatsache der geringen Zuverlässigkeit ebensowenig, als etwa einige zufällige Kernschüsse denjenigen zum hervorragenden Schützen stempeln, der mit anderen seiner Schüsse nicht einmal die Scheibe trifft. Wird ja auch nicht derjenige Mensch als der brauchbarere von zweien angesehen, der zwar im Falle zufällig glücklicher Disposition einmal eine ganz hervorragende Leistung vollbringt, aber zwischenherein, vielleicht gerade wenn man ihn nötig braucht, versagt!

Sollen daher nach dem Ausgeführten die Beobachtungsfehler V in dem Sinne gewertet werden, daß größere Fehler progressiv wachsend in die Wagschale fallen, so bleibt nichts übrig, als irgend eine Potenz von ihnen in Vergleich zu ziehen. Dabei hat eine Potenz mit geradem Exponenten noch den Vorzug, das lästige Vorzeichen des Fehlerbetrages v auf natürliche Weise zum Verschwinden zu bringen. Die Frage, welche gerade Potenz der v gewählt werden soll, beantwortet sich aus der Eigenschaft der Fehler als Naturerscheinungen, die gewissen (uns zunächst unbekannten) Gesetzen unterworfen sind : Im Zweifelsfalle ist die einfachste Form die richtige, sofern sie anderen, bereits festgestellten Gesetzen

^im vorliegenden Falle (1): [algeb. v] = 0 und (2): L — ~^ nicht widerspricht.

Unter letzterer Voraussetzung und an Stelle der als unrichtig erkannten Annahme [abs.-v] = Min. setzen wir jetzt für die Wertung der er reichten Beobachtungsgenauigkeit sowohl, als für die Auswahl des wahrschein-lichstenWertes der Beobachtungsgröße L die Bedingung

[vv] = Min.

Ob diese Bedingung den für gleichgenaue Beobachtungen einleitend angegebenen Gesetzen (1) und (2) nicht widerspricht, untersuchen wir wie folgt:

vt — L — lx    also    v\ — L² — 2 L lt -f- l\

V<2, ⁼⁼ ^    ^2    11

vl = L² — 2 L l₂ -f-1\

Behaftet man d. an den Beobachtun g-s werten l anzubringenden Verbesserungs-beträge v mit algebraischen Vor- <

Vn~ L² — 2 L ln -j- l²n

[v\ = nL — [/]

Zeichen, so ist allgemein gültig, welcher Wert auch für L gewählt werden möge:

Soll nun der wahrscheinlichste Wert L so ausgewählt werden, daß \yv\ = Min., so muß sein

= 2nl — 2[1] = 0

oder

—, woraus fvl = n • n

Die Gleichung (4) steht also in Übereinstimmung mit den Gleichungen (2) (und) (1). Sie stellt die S. 17 als notwendig erkannte weitere Ausgleichungsbedingung vor und bildet damit die Grundlage für die gesamte Ausgleichungsreehnung. Nach ihr erhielt letztere die Bezeichnung „Methode der kleinsten Quadrate“ (besser wäre : Methode der kleinsten Quadrat summe). Die Gleichung (4) läßt schließlich, wie Gleichungen (1) und (2), eine bemerkenswerte mechanische Deutung zu. Denkt man sich nämlich wie S. 14 die Beobachtungswerte l als Ordinaten aufgetragen, so stellen deren Abweichungen v vom Mittelwert L die Ordinaten ihrer Endpunkte vor in bezug auf die durch den Endpunkt dieses Mittelwertes parallel zur Abszisse gezogene Achse. Betrachtet man diese Ordinatenendpunkte als Massenpunkte, deren jedem

i = ll]

vermöge der gleichen Beobachtungsgenauigkeit je dasselbe Gewicht 1 zukommt, und denkt sich die Gewichte in ihnen angreifend und parallel zur Achse wirkend, so bedeutet \y\ die Summe der statischen Momente für Drehung um den Endpunkt des Mittelwertes A, und (1) [v\ = 0 das vorhandene Gleichgewicht. \yv\ stellt das axiale Trägheitsmoment für die durch den genannten Endpunkt gehende Achse vor, und (4) [v v\ = Min. bedeutet (wie (1) [v] = 0), daß dieser Endpunkt des Mittelwertes A den Schwerpunkt des Systems gleich gewichtiger Massenpunkte vorstellt.

Zum Schluß möge noch untersucht werden, welche Werte die Summen der Quadrate der Abschlußdifferenzen in beiden Beobachtungsreihen des Beispiels S. 18 annehmen.

Die erste Reihe liefert:

16 + 25 + 36 + 25 + 25 + 25 + 25 + 36 + 25 + 16 = 254.

Die zweite Reihe liefert:

1 + 1 + 1 + 100 + 144 + 0 + 1 + 0 + 225 + 81 = 554 .

Es ergibt sich also, wie vorauszusehen war, die Summe der Fehlerquadrate in der zweiten Reihe größer und damit, übereinstimmend mit dem praktischen Gefühl, die Beobachtungsgenauigkeit geringer als in der ersten.

Einteilung der Ausgleichungsaufgaben.

In den §§ 2 und 3 sind zwei Aufgabenfälle angedeutet worden, deren erster durch die Bedingung [г>] = 0 eindeutig gelöst werden konnte, während dieser Bedingung im zweiten Falle eine unendlich große Zahl von Lösungen entsprach. Dies zeigt, daß beide Fälle prinzipielle Verschiedenheiten auf weisen müssen. In der Tat hat es sich im ersten um die Auswald eines bestmöglichen Wertes А für die direkt und mehrfach beobachtete Größe X gehandelt, während im zweiten Falle andere zu ihr in Beziehung stehende Größen beobachtet wurden, durch derenVermittlung die gesuchte Multiplikationskonstante X erschlossen werden mußte.

Im ersten Falle handelte es sich um die Ausgleichung direkter, im zweiten um die Ausgleichung y ermittelnder Beobachtungen.

Es ist auch möglich, daß zwar die mehrfach beobachteten Größen selbst gesucht, daß sie aber unter sich nicht unabhängig sind, sondern streng zu erfüllenden Bedingungen unterliegen (Winkel im Dreieck usw.). In diesem Falle spricht man von der Ausgleichung bedingter direkter Beobachtungen. Endlich können die direkt beobachteten Größen zur Bestimmung anderer Größen dienen, die aber ihrerseits gewisse Bedingungen erfüllen müssen (z. B. Einschaltung eines durch Winkelbeobachtung bestimmten Dreiecknetzes in ein als fehlerfrei anzunehmendes Netz höherer Ordnung) : man hat den Fall der Ausgleichung bedingter vermittelnder Beobachtungen. Für jeden dieser Aufgabenfälle wird ein besonderer, gerade für ihn einfacher und zweckmäßiger Gang der Lösung aufzustellen sein. Doch ist diese Unterscheidung keineswegs so scharf, daß sich nicht auf spezielle Aufgaben sowohl die eine als die andere Lösung anwenden ließe.

Die Ausgleichung selbst kann auf rein rechnerischem Wege durchgeführt, oder durch graphische Darstellung unterstützt werden. Das erstere Verfahren hat den Vorzug größerer Genauigkeit, das letztere denjenigen größerer Übersichtlichkeit und des Erkennen-lassens etwaiger bei der Beobachtung unterlaufener grober Fehler vor Abschluß Дег Ausgleichung.

I. Abschnitt.

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

1. Kapitel.

Direkte Beobachtungen von gleicher Genauigkeit.

§ 4. Untersuchung der einer Einzelbeobachtung innewohnenden Genauigkeit.

Die wichtigste Aufgabe der Ausgleichungsrechnung: Feststellung des wahrscheinlichsten Wertes der Beobachtungsgabe^ haben wir für den Fall gleichgenauer direkter Beobachtungen bereits gelöst [s. Gleichung (2)]. Yon Interesse namentlich im Hinblick auf die Auswahl möglichst zweckmäßiger Beobachtungsmethoden ist nun noch die Beurteilung der Einzelbeobachtungen in bezug auf die ihnen innenwohnende Genauigkeit. Wir haben zu diesem Zweck auf S. 18 die durchschnittliche Abweichung d der Beobachtungen vom Sollwert der beobachteten Größe berechnet. Wir haben aber dabei erkannt, daß dieser Durchschnittsbetrag d einen einwandfreien Maßstab für die erreichte Genauigkeit der Einzelmessung nicht abzugeben vermag, weil Beobachtungsreihen von ganz verschiedener Zuverlässigkeit identische Werte für d ergaben.

Um die größeren Abweichungsbeträge v bei der Beurteilung der erreichten Genauigkeit stärker in die Wagschale zu werfen, haben wir statt ihrer selbst eine Potenz von ihnen verglichen und hierfür die zweite Potenz gewählt. Wir haben schließlich für die richtige Auswahl des wahrscheinlichsten Wertes der Beobachtungsgröße die Bedingung festgesetzt : \v v] = Min. Diese zum Minimum zu machende Quadratsumme der Abweichungen v kann nämlich aus dreierlei Ursachen heraus einen großen Betrag erreichen: 1. durch unzweckmäßige Auswahl des Endwertes L aus den Beobachtungswerten l, 2. durch fehlerhafte Beobachtungen l und 3. durch große Anzahl n der Beobachtungen l, also der Abweichungen v. Wurde L nach Œeichung (2) gewählt, so ist \v v] — Min., also ein kleinerer Wert [vv] durch andere Auswahl von L nicht zu erreichen. Dann ist der Wert von [vv] lediglich noch abhängig von der Beobachtungsgenauigkeit und von der Zahl n der Beobachtungen. Da die Genauigkeit jeder Einzelbeobachtung von deren Wiederholungszahl unabhängig ist, so ist zu ihrer Erkenntnis die Quadratsumme [vv\ durch Division mit der Wiederholungszahl n auf das Quadrat des Fehlers einer Beobachtung zurückzuführen, und man erhält unter der Voraussetzung,daß die Abweichungen v wahre Beobachtungsfehler vorstellen (was wir durch Einführung der Bezeichnung vw ausdrücken wollen), als Maßstab für die im Mittel bei einer Beobachtung erreichte Genauigkeit:

m² =

(5a)

= mittlerer Fehler einer Beobachtung.

Die Voraussetzung, daß wir es in den Unterschieden zwischen Soll- und Istwerten mit wahren Beobachtungsfehlern zu tun haben, trifft in denjenigen Fällen zu, in denen der Sollwert der Beobachtungsgröße zum voraus bekannt ist (Winkelsumme im Dreieck oder im Vieleck; Summe der Projektionen der Seiten eines geschlossenen Vielecks auf eine beliebige Achse; Summe der Höhenunterschiede innerhalb einer Nivellementsschleife, Flächen-

§ 4. Untersuchung der Genauigkeit.

25

berechnung einerseits aus Originalzahlen, anderseits graphisch usw.).

So liefert das hierhergehörige Beispiel S. 18 und 21 als mittleren Fehler einer Beobachtung der ersten Reihe

m₁

= ±j/f^ = +5,04 mm,

als mittleren Fehler einer Beobachtung der zweiten Reihe

m₂

+ 7,45 mm.

Der Vergleich des mittleren mit dem durchschnittlichen Fehlerbetrag d (s. S. 18) zeigt im vorliegenden Fall nebenbei, daß der mittlere Fehler nicht bloß ein gerechterer, sondern auch ein strengerer Richter ist, als der durchschnittliche Fehler.

Ist der Wert L der Beobachtungsgröße nicht zum voraus fehlerfrei bekannt, muß er vielmehr erst aus einer endlichen Zahl von Beobachtungen l nach Gleichung (2) erschlossen werden, so ist er selbst nicht fehlerfrei, also sind es auch nicht die Unterschiede v zwischen ihm und den Beobachtungswerten l.

Möge der nach Gleichung (2) berechnete Mittelwert L um den nach Vorzeichen und Größe unbekannten Betrag + df unrichtig sein, so daß sein wahrer (aber unzugänglicher) Wert X = L + M ist, möge ferner die unzugängliche, wahre Abweichung jedes einzelnen Beobachtungswertes l von ihm mit vw, die uns zugängliche Abweichung vom Mittelwert L mit v bezeichnet werden, so ist

V = (L + M) - k = L — l± + M = v± + M vW2=(L + M) - l₂ = L - l₂ + v₂ + M vwn — № + M) — ln = L — ln + M = vn + M,

woraus durch Quadrieren und Addieren:

[vwvw] = [vv] + nM² + 2 M[v\ und, da nach Gleichung (1) [v] = 0,

[vw • Vu,] = {vv] +n M* .

n [fil

dFt

-мал

Bedingte Beobachtungen.

(Sammlung

drittel be§ 19. ^abrljunbertS bon Slrtbur S)retbS,

Der beutfdje Stubent

¹

Das von K. F. Gauß (geb. 30. April 1777, gest. 23. Febr. 1855), dem Begründer der Methode der kleinsten Quadrate, eingeführte Zeichen [ ], für die Summe einer endlichen Zahl gleichartiger Größen, entsprang dem griechisshen 2 = Summe aller. Der einfacheren Schreibweise halber entstand daraus das Zeichen [ und zur genauen Begrenzung des zusammenzufassenden Ausdrucks, [ ]. Es wird aus sachlichen und aus Gründen der Pietät im folgenden beibehalten werden.

(6)

[vw • Vu,] = {vv] +n M* .

Jedes der drei Glieder ist als Summe quadratischer Einzelsummanden positiv, folglich [vwVy\ > [vv] .

Hieraus geht hervor: Treten an Stelle der wahren Abweichungen vw in Gleichung (5a) die wahrscheinlichen Abweichungen^, so wird dadurch der Zähler [v v] kleiner, also muß dies beim Nenner n im gleichen Verhältnis der Fall sein. Die Bestimmung des Reduktionsverhältnisses ist aber einwandfrei jetzt noch nicht möglich, weil wir den wahren Fehlerif des Mittelwertes!/ der Beobachtungs-größe [s. Gleichung (6)] nicht berechnen können. Immerhin können wir erkennen, daß, falls in der Gleichung (5 a) für den mittleren Beobachtungsfehler M die Form unverändert bleibt und lediglich vw durch v ersetzt wird, der an Stelle von n tretende Nenner so beschaffen sein muß, daß er: 1) kleiner ist als n, 2) im Falle mangelnder Überbestimmung, d. h. wenn nur eine Beobachtung l vorhanden ist, für die dabei erreichte Genauigkeit, d. h. für M einen unbestimmten Wert liefert, weil diese hieraus überhaupt nicht erschlossen werden kann ; 3) im Falle vorhandener Überbestimmung gegen die Wiederholungszahl n konvergiert, wie der Ausdruck [v v] gegen [vw vw]. Alles dies trifft zu für den Nenner n — 1.

Denn im Falle einer einzigen Beobachtung wird die Abweichung v ihres Resultates vom Mittelwerte gleich 0, ebenso der Nennern-1 = 0, folglich

= unbestimmt.

\vv\ 0 ш² = ——= — n -1    0

Im Falle einer sehr großen Zahl n von Beobachtungen nähert sich L dem wahren Wert, v also der wahren. Abweichung vw und n-1 der Wiederholungszahl n, folglich

„ [vv] [vw Vw]

yyft — --__ ç\3_

n-1 n

§ 5. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L usw. 27

Wir führen daher vorbehaltlich später zu erbringenden strengeren Beweises (s. S. 36) unter Ersetzung der wahren, unzugänglichen Abweichungen vw durch die zugänglichen Abweichungen v einer Beobachtung l vom wahrscheinlichen Wert L ein:

[v v]

= +|i

— ] n

[v v]

(5 b)

= mittlerer Fehler einer Beobachtung.

-1

Satz. Das Quadrat des mittleren Fehlers einer Beobachtung ist gleich der Summe der Quadrate ihrer Abweichungen je vom Mittelwert, dividiert durch die Zahl der überschüssigen Beobachtungen.

Aus den Fehlergleichungen S. 14 und 20 v = L — l oder L = l v erkennen wir, daß die Abweichungen v Größen gleicher Art und Gattung vorstellen, wie die Beobachtungsgrößen. Sie bedeuten YerbesserungsZuschläge zu den Beobach-tuogswerten l, welche nötig sind, um diese in den Mittelwert L überzuführen.

Als benannte Größen lassen sie sich aber weder quadrieren noch differenzieren, wie dies S. 20, 24 und 26—27 geschah!

Den hierin liegenden Widerspruch überwinden wir, indem wir jedes v mittels Division durch seine eigene Maßfeinheit auf eine unbenannte Zahl zurückführen, ohne dabei an der absoluten Zahlengröße etwas zu ändern. Zum Schluß führen wir dann für den mittleren Fehler m die der Verbesserung v geraubte Benennung wieder ein.

§ 5. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und der Summe \v v\ der Fehlerquadrate aus den Beobachtungswerten l.

Sind die Beobachtungswerte l durch große Zahlen ausgedrückt, oder gar mit Benennungen versehen, deren Beziehung zueinander nicht dezimal ist (z. B. Winkel in Grad, Minuten und Sekunden, sexagesimaler Teilung), so

wird die Ausrechnung des Mittelwertes L nach. Formel (2)

L = -E-L sehr schwerfällig. Führen wir dagegen einen n

dem Mittelwert L sich möglichst anschmiegenden Näherungswert N ein und bezeichnen die an diesem anzubringenden kleinen Zuschläge mit v, so daß

Beobachtungswert l± = N -f- vt l₂ = N+v₂

ln = N+vn

so wird И = n • N -j- [v] und

(?)

Zur Berechnung des mittleren Fehlers m einer Beobachtung brauchen wir nach Gleichung (5 b) die Summe [vv\ der Fehlerquadrate, welche wir durch Quadrierung der Yerbesserungszuschläge v = L — / [s. Gleichung (l)j erhalten. Wir können aber die Fehlerquadratsumme auch direkt finden. Quadrieren wir nämlich die Yerbesserungs-beträge

v₁ — L — womit: v\ = L² — 2 Ll± -f- l\ vn = L — lny womit: v²n = Z² — 2 LlnĄ-II und addieren, so erhalten wir [vv] — n L² — 2 L [/] -f- [l l]

ГЛ    ГЛ2

und durch Einsetzung von L = — bzw. L² = —

n    n²

[*«]- —+pq-

Diese Gleichung ist praktisch nicht verwertbar. Dagegen können wir sie verbinden mit der zur Ableitung

von (7) verwendeten Gleichung v = l — N. Aus dieser v\ = l\ — 2 l± N + N²

kommt

v*n = l*n-2lnN+N\

[w] = [11] — 2 N[l] + n-N².

ffl²

bi, §

Durch Einsetzung von [/l] = [vv] -f-kommt

[w] = [vv] n L² — 2 N • n L -f- n N² = [vv]-\- n(L — N)2 oder

und

[r r] = [гг] — fl(L — jV) ² und unter Beachtung von (7)

(8)

[rl²

= [гг] -LL.

L 1 n    #

Mittels Gleichung (5 b) läßt sich hieraus der mittlere Fehler meiner Beobachtung ohne vorgängige Ausrechnung der einzelnen Beobachtungsfehler v, ja sogar ohne Berechnung des Mittelwertes L der Beobachtungsgröße gewinnen. Gleichung (8) zeigt in Übereinstimmung mit (4), daß für L^N unter allen Umständen [v v] > [v v] .

§ 6. Mittlerer Fehler M des aus einer Reihe gleichgenauer Beobachtungen l gewonnenen Mittelwertes X .

Wir haben schon S. 26 das Bedürfnis empfunden, einen

Einblick in die Genauigkeit des Mittelwertes (2) L = —

zu erlangen. Auch praktisch ist es oft wichtiger, die Genauigkeit des schließlichen Endwertes L, als diejenige der einzelnen Beobachtungswerte l zu kennen. Allerdings wird es uns kaum möglich sein, seinen wahren Fehler festzustellen. Wir werden uns vielmehr auch hier mit einer Annäherung, nämlich mit dem mittleren Fehler M des Endergebnisses begnügen müssen. Um ihn zu finden, ziehen wir in (2) den Summenzähler [/] auseinander und schreiben

-+-H—vln--

n n    n

Wir erkennen dann, daß bei w-facher Beobachtungswiederholung von jedem Beobachtungswert l der n- te Teil in den schließlichen Mittelwert L eingeht, der sich derart gleichsam aus n Teilen zusammensetzt. Unsere Aufgabe besteht daher jetzt darin, zu ergründen:

1. Welcher Teil des mittleren Fehlers m einer Beobach-

tung l der Größe L geht auf den Anteil — über?

• n l

2. Wie pflanzen sich die Fehler der Einzelgrößen — auf deren Summe fort?

Die Frage 1. fassen wir allgemeiner wie folgt: Wie groß ist der mittlere Fehler eines durch Multiplikation mit einem fehlerfreien Faktor a berechneten Vielfachen X = a • L der Beobachtungsgröße L, wenn L aus den durch mehrfache gleichgenaue Beobachtung erhaltenen Werten 4,4 • • • ln erschlossen ist und jedem der letzteren der mittlere Fehler m zukommt?

Wären die den Beobachtungswerten l anhaftenden wahren Messungsfehler vWl, vW2. . . vWn nach Vorzeichen und Größe bekannt, so würde sich durch algebraische Addition der wahre Wert von L wie folgt ergeben:

■^w — ^1 “1“    ⁼ ^2    ⁼⁼ • • • ln “f" Vwn •

Jeder Beobachtungswert l liefert nun durch Multiplikation mit a einen Wert der unbekannten Größe X,

den wir mit deren wahrem Wert X= CtLw = a -j- Vw^j

*2 =

Xn CL ln

a(ln ~v vwr)

-vergleichen können. Bilden wir zu diesem Zweck: X-X₁=VWl=a(l₁-{-vWl) — al₁ = avWl und Yl= a²v\

Ywn = a(ln—vwn) — aln = avwn und V²n=a²v²Wn

X-Xn

[VWVW] = a² [vw vw]

so erhalten wir durch Addition und mittels Gleichung (5 a)

(9)

i/JV

] n

= + а • m%.

Die Frage 2. fassen wir ebenfalls allgemeiner wie folgt: Wie groß ist der mittlere Fehler einer Bestimmung

X = L, ±L₂±-.-±Ln,

lim2-

der Größe

. . je einer Beobachtung %

wenn die mittleren Fehler m Ki K'i • -j Ki 41 • • - i ^ ^ • • • der Summanden Lt, L₂ . . . bekannt sind?

Die Art der Bestimmung von X selbst unterscheidet sich von der vorigen dadurch, daß dort der wahrscheinlichste Wert L eines, aber nur dieses einzigen Teiles der Beobachtungsgröße (durch beliebig oft wiederholte Beobachtung) ein für allemal gemessen wurde. Die gesuchte Größe X wurde dann durch Multiplikation dieses Wertes mit einem (fehlerfreien) Faktor a gewonnen, während hier für jeden einzelnen der n Teile von X je in w-facher Wiederholung sowohl dessen Mittelwert L, als der mittlere Fehler m einer Beobachtung ermittelt wird.

Beschränken wir uns zunächst auf 2 Summanden: X = Z/i + L₂ und bezeichnen

mit v'w v(t! ... V~ die (nach Vorzeichen und Größe allerdings un-¹¹    bekannten) wahren Verbesserungen der щ Be

obachtungswerte l von Lt,

mit Vw. Vw ... V~~ die (nach Vorzeichen und Größe allerdings un-2    2    7 w-2 bekannten) wahren Verbesserungen der w₂ Be

obachtungswerte l von L₂,

können {rn² — —w —

aus welchen wir mittels Gleichung (5a) die mittleren Fehler m je einer Beobachtung jener Größe Lx bzw. Jj₂ berechnen

so kann sich — bei Bildung der

Summe oder Differenz X = Lx + L₂ durch Zusammensetzung je zweier von den Beobachtungswerten l — mit jedem Fehler vWl der ersten irgend ein Fehler vW2 der zweiten Beobachtungsreihe zusammenfinden.

Es können also, je nachdem man zur Bildung von X den einen oder anderen der zu den einzelnen Summanden L gehörigen Beobachtungswerte l benützt, im Ganzen nx X w₂ Fehlerkombinationen (entsprechend den nx X n2 Wertkombinationen) als Fehler der Summe X beider Größen entstehen, und zwar wenn die Fehler ihrem absoluten Wert nach eingeführt werden:

±<±< + гщ + vwt db v*%

Î jb Vwt V>w₂ : jb Vw± jb ^w₂

1 ± г'Щ + vw, : + ¹ ± ± I ± < ± vZ\ ■ ■ • ! ± ±

nt Gruppen

Dem durch irgendwelche Kombination von lr und l2 gewonnenen Wert von X haftet im Mittel als Fehler jedenfalls ein Mittelwert der vorstehenden Fehlerkombinationen an. Der Feststellung dieses Mittelwertes tritt aber das bei allen Fehlern auftretende Doppel Vorzeichen störend in den Weg. Wir bringen es zum Verschwinden, wenn wir, statt eines Mittelwertes der Fehlerlmmbinationen selbst, einen solchen ihrer Quadrate bilden und aus ihm hernach die Quadratwurzel ziehen. Die Quadrierung der Fehlerkombinationen und Addition liefert für die:

Gruppe 1 :

Gruppe 2 :    «₂ • <“ ± 2 KJ + [* rj

Gruppe % : n₂ •    ± 2 *A KJ + K, t>J

woraus wir erhalten als Summe der Quadrate der ntXn2 Fehlerkombinationen :

n₂ К vWl] ± 2 KJ KJ + »i Ka » J •

Da nun nach Gleichung (1) [v] = 0 , ist auch [vw] jedenfalls nahezu gleich 0 . Also ist dies beim ganzen zweiten Summanden der Fall, womit das arithmetische Mittel aller Quadrate der Fehlerkombinationen, d. h. das Quadrat des mittleren Fehlers einer Bestimmung von X übergeht in

ml = mli±z =

(10)

ni

n₂

= m\ + m\.

Wird die festzustellende Größe X statt aus zwei Summanden    aus deren drei zusammengesetzt:

X = Lx L₂ + Z/₃ und kommt je einer Bestimmung jedes der letzteren der mittleren Fehler m± bzw. m₂ bzw. m zu, so können wir uns X jetzt auch aus zwei, nämlich aus dem Summanden Lx + L₂ mit dem mittleren Fehler

mL₁±L.₂ = \mi + Ц und aus dem Summanden +LZ mit dem mittleren Fehler тъ einer Bestimmung zusammengesetzt denken und wir erhalten dann als mittleren Fehler einer Bestimmung der Gesamtsumme aus (10)

mx = m(Ll ± x₂) ± X. =    ± bl) -f ml,

=    + ml + m\ .

Ist die Zahl der Einzelgrößen, aus denen sich X zusammensetzt, gleich 4, so können wir auch sie in zwei

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. I.

Summanden, nämlich Aj + Z/₂ + L₃ einer-, Là andrerseits anordnen, womit wir erhalten aus

(10)

mx= ± ia ± x₈) ± ^4 = +Ä ± A ± Ą) +

= ±^m\ + mi +    + ml

usw. für 5, 6, . . ., n Summanden.

Spezieller Fall. Sind die mittleren Beobachtungsfehler m der zu addierenden oder zu subtrahierenden Größen einander gleich (Zusammensetzung eines Winkels aus n einzelnen direkt und gleichgenau gemessenen Teilen, Messen einer Strecke durch ^-maliges Anlegen einer Meßstange mit gleichem Anlegefehler), so wird der Fehler der Summe oder Differenz

(10a)mXl±i2± ... ±ъп =±l/m²+m²-]-----\-m²=m(n.

"T⁴    'T'    V

Für zwei Summanden ergibt sich die Richtigkeit des Vorstehenden wie folgt: Ist jeder von ihnen um den Betrag ±v unrichtig, so sind folgende vier Fehlerkombinationen möglich:

Fi= v+v= 2v also Ff = 4t>², V₂ = v-v = 0 Fg= —v — v— — 2v V±=-v+v=    0

F| = 0, F| = 4г?2, F| = 0 .

ma = Mittel der Va= = 2г>²,

4

m=vY2 .

Nun kehren wir zur eigentlichen Aufgabe des § 6 zurück. Gleichung (9) zeigt, daß, wenn einer Bestimmung der Größe L der mittlere Fehler m zukommt, auf die durch Multiplikation erlangte a-fache Größe auch der a-fache

Fehler am, auf die --fache Größe also der Fehler — über-

n    l l n l

geht. Demgemäß kommt jedem der Teile

aus denen sich der Mittelwert L gerade so zusammen-

setzt, als ob jeder von ihnen nur einmal beobachtet worden

wäre, der mittlere Fehler — zu, und der Summe der Teile,

d. h. dem Mittelwert L aus n gleichgenauen Beobachtungen l je vom mittleren Fehler m nach Gleichung (10) der mittlere Fehler:

(11) ML

/ту

W ”

+ -7=

in'

Die Gleichung (11) kann man sich durch folgende Überlegung plausibel machen. Die Genauigkeit des Mittels aus einer Reihe gleichgenauer Beobachtungen kann nur abhängen von der Genauigkeit der Einzelbeobachtungen und von ihrer zur Mittelbildung verwendeten Anzahl. Kann etwa durch

* «2V ThAchse

0f45m

man

Wahl einer besseren Beobachtungsmethode — den Fehler jeder Einzelbeobachtung/reduzieren, so wird im gleichen

auch der Fehler des Mittelwertes L abnehmen. Ebenso läßt sich der letztere aber auch verringern durch Steigerung der Wiederholungszahl n. Kur wird die Wirkung letzterer

Steigerung unmöglich proportional zur Wiederholungszahl sein können, weil der wahre Wert der Beobachtungsgröße, d. h. der Fehler 0 für denMittel-

Verhältnis

Genauigkeits-

050m

'0,58m

0,71b,

ТГ1

+ y -M-Achse,

Mittlerer Fehler' desMitteboerts

Fig. 3.

wert L erst durch oo viele Beobachtungswiederholungen erzielt werden könnte (s. S. 15). Denkt man sich die Zahl der Wiederholungen als Abszissen, die zugehörigen, im Mittelwert L noch zurückbleibenden Fehler als Ordinaten aufgetragen und die so erhaltenen Punkte durch eine stetige Linie verbunden, so muß demnach diese Linie sich der Abszissenachse asymptotisch nähern. Dies trifft zu für die Beziehung M —

(s. Fig. 3). Die langsame Abnahme von M im Falle auch erheblicher Steigerung der Wiederholungszahl über 2 oder 3 hinaus zeigt, daß es i. A. viel wirtschaftlicher ist, etwa wünschenswerte Genauigkeitssteigerung durch V e rbesserung der Beobachtungsmethoden- und Instrumente, als durch Steigerung der Wiederholungszahl herbeizuführen.

Setzen wir den gefundenen Ausdruck für den mittleren Fehler M des Mittelwertes L, der zwar nicht gleich dessen wahrem Fehler, aber jedenfalls nicht allzu verschieden von letzterem ist, in Gleichung (6) S. 26 ein, so erhalten wir

[vw vw\ == [v r] + m2 und durch Benützung von Gleichung (5 a) n • m² = [vw vw] = [vv\ -f- m² ,

woraus für den mittleren Fehler m einer Beobachtung sich ergibt:

mi

[vv\

™=±yn

/. [v v]

n — 1 ¹

in Übereinstimmung mit der S. 27 durch direkte Überlegung gewonnenen Gleichung (5 b).

§ 7. Größter Betrag des unvermeidlichen Beobaehtungs-fehlers.

Für viele praktische Aufgaben ist die Kenntnis des mittleren Fehlers von geringerer Bedeutung, als diejenige des, sei es bei einer einfachen Messung, sei es beim Mittel aus mehreren Messungen, äußerstenfalls zu befürchtenden Maximalfehlers.

§7. Größter betrag* d. unvermeidlichen Beobachtungsfehlers. 37

Soll z. B. eine bauliche Anlage (Brücke usw.) auf Grund vorgängiger Messung konstruiert und zum Versetzen fertig hergerichtet werden, so darf der Fehler der Maßangabe ohne erhebliche Unzuträglichkeiten einen gewissen Maxi mal betrag nicht überschreiten. Ebenso werden amtliche Genauigkeits-Vorschriften da, wo solche im öffentlichen Verkehr nötig werden, die äußerstenfalls noch zulässige Abweichung des durch Messung oder Wägung usw. ermittelten Maßes eines Gegenstandes vom richtigen Betrag feststellen müssen. —

In Übereinstimmung mit dem Bisherigen nehmen wir an, daß grobe Fehler durch entsprechende Sicherungsmaßregeln erkannt und aus den Beobachtungsergebnissen ausgemerzt sind, ehe die Weiterverarbeitung der letzteren beginnt. Diese enthalten also nur noch die aus mehr oder weniger Fehler element en sich zusammensetzenden unvermeidlichen Fehler. Die Fehlere!emente sind uns nun weder nach Ursache, noch nach Größe und Vorzeichen im einzelnen sicher bekannt. Wir wissen von ihnen nur, daß sie gleichwahrscheinlich positiv, wie negativ; bald größer, bald kleiner, jedenfalls aber erheblich kleiner sind, als die am Messungsergebnis schließlich in die Erscheinung tretenden Beobachtungsfehler. Wir können uns vorstellen, daß sie sich das eine Mal häufen, das andere Mal ganz oder teilweise aufheben. Der mittlere Fehler m einer Beobachtung ist der bei ihr im Mittel, d. h. unter Ausschluß besonders günstigen und besonders ungünstigen Zusammenwirkens der Einzelbeträge am Schlußresultat in die Erscheinung tretende Überschuß der Summe der positiven über diejenige der negativen Fehlerelemente, oder umgekehrt. Aber auch im ungünstigsten Falle, in welchem die einzelnen Fehlerelemente ihren Maximalbetrag und dazu noch gleiches Vorzeichen erlangen, wird ihre Summe, d. h. die Abweichung irgend eines Beobachtungs- vom wahren oder vom Mittelwert!; ein gewisses Maß nicht überschreiten, das abhängig ist einerseits von der möglichen Größe der Fehlerelemente, d. h. der Beobachtnngsgenanigkeit im allgemeinen*), andererseits von der Zahl der Beobachtungswiederholungen. Je größer die letztere ist, um so wahrscheinlicher wird unter den verschiedenen Abweichungen V vom Sollwert einmal eine besonders große sich befinden**). Dieses Maß ist der Maximalfehler einer Beobachtung.

Durch nähere Untersuchung auf Grund der Wahrscheinlichkeitsrechnung findet man, daß durch Häufung der unvermeidlichen Fehlerelemente der:

*) Die mehrfache Messung z. B. einer Streckenlänge wird erheblich größere unvermeidliche Abweichungen der Einzelwerte gegenüber dem Mittelwert ergeben, wenn sie mittels optischer Distanzmessung, oder Abschrei tens, oder gar Schätzens, als wenn sie normalerweise mit Meßgeräten erfolgte.

**) Experimentelle Erklärung. Läßt man von einer und derselben Stelle einer schiefen Ebene aus, auf der, beliebig verteilt, Hindernisse (etwa in Form eingeschlagener Stiftchen) angebracht sind, nach Größe und Gewicht gleiche Kugeln, eine nach der anderen abrollen, so werden die Hindernisse die abrollenden Körper vorübergehend ebenso vom richtigen Weg (der Linie des stärksten Gefälles) ablenken, wie die während der Beobachtung auftretenden Fehlerelemente das Messungsergebnis vom Ziele der Messung, dem wahren Werte der Beobachtungsgröße. Die Kugeln werden den Böschungsfuß an verschiedenen Punkten erreichen. Größere Abweichungen vom mittleren Ort des Auftreffens werden aber viel seltener sein als kleine. Eine gewisse, nur bei sehr vielen Kugeln einmal erreichte Maximalabweichung wird keine der Kugeln überschreiten.

Mathematische Erklärung (nach Wellisch, Theorie und Praxis der Ausgleichungsrechnung) : Denken wir uns die Fehlerelemente, von denen bei jeder Beobachtungsart eine bestimmte, für sie eigentümliche Zahl n (im folgenden Beispiel sei n = 6) zur Wirkung kommt, gleichgroß und bezeichnen wir sie mit +£, so können unter ihnen folgende mögliche Kombinationen eintreten :

1    fache mittl. Fehler m unter

11

11

11

11

3 Beob. wahrscheinl. 1 mal

1 „

1 „

1 „

1 „

22

ох ^ со to

11

368

11

11

11

11

„    15800    „

„1750000    „

überschritten wird. (Vgl. hierüber u. а. К oll, Methode d. kl. Quadr.; Jordan, Ausgleichungsrechnnng.)

Benützt man also (wie man zumeist genötigt ist) die Größe des auftretenden Beobachtungs-

11

ii

ii

1)    alle 6« sind positiv, ihre Gesamtwirkung ist also v = + 6s

2)    5 s sindpos., 1 negativ, „

Da die 6 Elemente sich beliebig- zusammenfinden können, ist der lte u. 7te Fall je 1 mal „ 2te u. 6te

„ 3te u. 5te

4te и *

Die Gesamtzahl der möglichen Fälle ist also

2 + 12 + 30 + 20 = 64,

die Gesamtsumme der Quadrate der möglichen Fehler (2 X 36 + 12 X 16 + 30 X 4 + 20 X 0)s² = 384s². Wir erkennen aus diesem speziellen Beispiel (aus dem wir nebenbei imstande sind, den mittleren Fehler m in den Fehlerelementen s auszudrücken:

11

11

11

11

11

11

11

11

1>

11

11

•• (?)=©-

•'©=©= ..

6 mal

” (з)

11

»-±|/ЕЭ-±|/

11

11

11

11

11

„ » = + 4s „ v = + 2«

« » =

» v = — 2e

ii « = — 4* „ V = -6s

möglich (Kombination bei n Elementen ohne Wiederholung).

1) Bei den im ganzen 64 Möglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit für den Maximalfehler 6 s nur Д, diejenige für den Minimalfehler 0 dagegen ! Wir folgern aber

widerspruçhes v zur Entscheidung darüber, ob man es im einzelnen Falle mit einem groben (durch Nachbeobachtung auszumerzenden), oder mit einem unvermeidlichen (einteilbaren) Fehler zu tun hat, so läuft man Gefahr, ohne daß tatsächlich ein grober Fehler vorläge, der zur Nachbeobach tun g zwingen würde, d. h. lediglich weil die an sich unvermeidlichen Fehlerelemente sich ungünstig kombinieren

unter ie 3 Beob. 1 wiederholen zu müssen, wenn man 1 m

„ 22    „    1

» 368    „    1

» 2m „3m

als äußerste Abweichung einer Beobachtung vom Mittelwert noch zuläßt.

Die Annahme des dreifachen mittleren, als äußerstenfalls zu duldenden Maximalfehlers einer Beobachtung:

(12)

Fмах — «

ist in der Yermessungspraxis allgemein.

Sie zwingt im Laufe eines Jahres zur unverschuldeten Aufwendung einer Tagesarbeit für Nachmessungen, weil grobe Fehler da vermutet wurden, wo der durch unglückliche Häufung der Fehlerelemente entstandene unvermeidliche den dreifachen mittleren Fehler zufälligerweise überschritt, läßt aber andererseits auch tatsächlich grobe Fehler bis zum Betrage 3 m durchschlüpfen!

gleichzeitig allgemein: Kleine Fehler sind wahrscheinlicher als große.

2)    Gleichgroße negative und positive Fehler sind gleich wahrscheinlich.

3)    Für jede Beobach tun gs art gibt es eine Fehlergröße, außerhalb welcher nur noch grobe Fehler liegen können.

§8. Wahrscheinlichster Wert einer Beobachtungsgröße usw. 41 2. Kapitel.

Direkte Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

§ 8. Wahrscheinlichster Wert einer Beobachtungsgröße aus einer Reihe verschiedengenauer Beobachtungen.

Gewicht der Beobachtung. Gewichtseinheit.

Wir haben in Gleichung (2) das einfache arithmetische Mittel aus den vorhandenen n Beobaclitungswerten l als den wahrscheinlichsten Wert einer Beobachtungsgröße

m

festgestellt: L = — unter der Voraussetzung, daß den n

Beobachtungswerten l gleiche Genauigkeit innewohnt. Trifft diese Voraussetzung nicht zu, d. h. ist ein Beobachtungswert einer schärferen Beobachtung entsprungen als der andere, so wäre es eine unbillige Zurücksetzung des genaueren ersten, wollte man dem letzteren wahllos denselben Einfluß auf die Gestaltung des endgültigen Resultates einräumen, wie ihm. Niemand würde es z. B. einfallen, als wahrscheinlichsten Wert L für eine Streckenlänge das einfache arithmetische Mittel zweier Beobachtungswerte l einzuführen, deren einer mittels genauer Meßgeräte und -methoden, deren anderer durch bloßes Abschreiten erlangt wurde ! Dagegen verursacht die Frage, auf welche Weise der verschiedenen Zuverlässigkeit der Einzelbeobachtungen bei der Bildung des gemeinsamen Endresultates Rechnung getragen werden soll, zunächst noch Schwierigkeiten""), die wir notwendig überwinden müssen.

*) Diese Schwierigkeiten können dazu zwingen, vorübergehend, d. h. bis zu ihrer Überwindung-, entweder auf die differentielle Behandlung verschiedengenauer Beobachtungen, oder auf die Mitbenützung weniger zuverlässiger Beobach-

Der Unterschied in der Genauigkeit der beobachteten Einzelwerte kann verschiedenerlei Ursachen entspringen. Hat z. B. die mehrfache Beobachtung einer Größe L

n₁-mal den Wert lt w₂-mal ,,    „    4

11 ln

nn-mal „

ergeben, so ist ohne weiteres klar, daß nicht etwa

L = -I П” c?)

sondern nach Gleichung (2) zu setzen ist:

-w₂

-<-Пп->-

4 +    + 4 +4~t~*** + 4~I~**H~4+ ••• + ln

(13a)

^1 + n2 + • # • + nn

4 + n₂ 4 -I-----h nn 4 _ l> ?]

Wl + w* H-----\~nn    [ri\

Die fehlerfreien Zahlenwerte n, welche im vorliegenden Falle angeben, wie oft ein und derselbe Wert l bei mehrfacher Beobachtung einer gewissen Größe auf getreten ist, nennt man das ihm zukommende „Gewicht“.

Es ist nun aber auch denkbar, daß die Werte 4 bzw. l₂... nicht eigentliche Beobachtungswerte darstellen, sondern selbst wieder entstanden sind als Mittel aus nx bzw. n₂ ... Beobachtungen von durchweg gleicher Genauigkeit, die man aus irgendwelchen Gründen (z. B. infolge zeitlicher tungen bei der Bildung des Endergebnisses überhaupt zu verzichten. Dies geschieht z. B. in bezug auf eine vielumstrittene, häufig mehr nach taktischen, als sachlichen Erwägungen beurteilte Frage: die des politischen Wahlrechtes (einerseits allgemeines, gleiches Wahlrecht, anderseits Ausschluß als inferior gehaltener Personen überhaupt vom Wahlrecht).

Beobachtungsunterbrechung) gruppenweise zusammengefaßt hat.

Bezeichnen wir sie zur Unterscheidung gegen vorhin diesmal mit L', L" . . . und die zu ihrer Gewinnung verwendeten Urbeobachtungen mit l{ Ц ... Vn^ ; l[' Ц'...    ; ... ;

so daß nach Gleichung (2) gewonnen wurde

L" =

Ln-

L'=^,

n±

so könnten wir zur Bildung des Endwertes L die ursprünglichen Beobachtungswerte benützen, d. h. die bereits gemittelten Werte L' wieder auseinanderziehen. Gleichung (2) würde dann liefern:

П2

nn ¹

ni n2 4-----b nn

[П + П + -- + Р-]

ni ~b n2 H“ * * * ~\~ nn

Nun ist aber nach Gleichung (2) auch nL • L'= [/'] usf., so daß der obige Bruch übergeht in

(13b) x =

n±L'-\- n₂ L”-1- • • • + nnL- __ \nh'\

W1 + n2 + * * * + % wobei L' die aus den Urbeobachtungen gewonnenen Zwischenmittel und n die dazu jeweils verwendete Anzahl der ersteren vorstellen.

= _кГ’

Die Gleichung (13 b) entspricht vollkommen der Gleichung (13 a) und zeigt, daß das jedem Einzelwert zukommende Gewicht n auch gedeutet werden kann als Anzahl der zu seiner Bildung verwendeten gleich genauen Urbeobachtungen.

Der Wert L des endgültigen Mittels der Beobachtungsgröße bleibt ferner unverändert, wenn man jedes der Gewichte n mit einer konstanten Zahl q multipliziert, denn man hat:

9 ni L'-\~ 9 n2    * * • ~t~ 9nnL -

L — ^1    • • •

----

oder durch Einsetzung von qu — p

₌ \PL'] \p\ ’

(13c) L =

P\ L' + P2 4~ * * • H~ pnL-Pi + P2 + * * * + Pn Bei den bisherigen Betrachtungen wurde angenommen, die Beobachtungen seien ursprünglich von gleicher Genauigkeit und ihre in Gleichung (13 a) bis (13 c) einzuführenden Beträge l bzw. U nur deshalb verschieden-wertig, weil sie als Extrakt aus einer verschieden großen Zahl von Urbeobachtungen gewonnen seien. Die Gewichte p ergaben sich in diesem Falle gleich (oder proportional) den Repetitionszahlen.

Entspringt die Verschied en Wertigkeit anderen Ursachen, z. B. der Verwendung verschieden genauer Instrumente oder Beobachtungsmethoden usw., so müssen die den einzelnen tatsächlichen und ungleich genauen Beobachtungswrerten L' zukommenden Gewichte p erst erschlossen werden, etwa aus der ihnen innewohnenden Genauigkeit, d. h. ihrem irgendwie festzustellenden mittleren Fehler m. Möge der mittlere Fehler m einer solchen Beobachtung L\ die wir aber jetzt als tatsächliche Beobachtung wieder mit l bezeichnen wollen, bekannt, derjenige einer — mit irgend einem Instrument, nach irgend einer Methode, oder vielleicht nur gedachten, überhaupt nicht ausgeführten — Normalbeobachtung = p irgendwie gewählt sein, so kann man jeden der Beobachtungswerte l sich gewonnen denken als Mittel aus einer Anzahl p solcher Normalbeobachtungen, durch deren Zusammenfassung statt des Einheitsfehlers p für das

Zwischenresultat lL . . . der mittlere Fehler mt . . . erzielt wurde. Die hierfür nötige Zahl p vonNormalbeobach-t un gen stellt dann vor: das Gewicht einer solchen wirklichen Beobachtung und ergibt sich nach Gleichung (11) aus

li

m — —

fp

zu

(14a)

Die (nach dem Vorstehenden eventuell nur gedachte, nicht wirklich ausgeführte) Normalbeobachtung heißt „Gewichtseinheit“, ihr mittlerer Fehler ji „mittlerer Fehler der Gewichtseinheit“. Damit geht die Gleichung (13 b) bzw. (13 c) über in

JU‘

/'

Vpi]

m?

2 ^2 ”Ь * * * “Ь 2 4 l    ml

P²

ml

f)l²

[p]    !'

(13 d) <

m\

m\ m\    ллл2

m m\

Das Verschwinden von /л aus der Gleichung (13 d) sagt: Das Resultat JL einer Beobachtungsreihe wird durch veränderte Annahme der Gewichtseinheit nicht geändert.

Sind endlich die Beobachtungen l nicht bloß mit verschiedengroßen mittleren Fehlern m behaftet, sondern die in (13 d) einzuführenden Werte l selbst wieder je aus einer veränderlichen Zahl n solcher verschied en genauer Beobachtungen gemittelt, so wächst ihr Gewicht entsprechend

Gleichung (13 a) proportional dieser Wiederholungszahl und es ist allgemein:

das Gewicht^? des aus тг-facher, je mit dem mittleren Fehler m behafteter Wiederholung erschlossenen Beobachtungswertes (14) der wahrscheinlichste Wert, das „allgemeine arithmetische Mittel“ aus einer Reihe verschiedengenauer Beobachtungen

n [fil

(13)

[p4

Lp]

n\l

21 *

Aus (14 a) ergibt sich für das Verhältnis der Gewichte zweier, aus gleichoftmaliger Wiederholung ungleichgenauer Beobachtung entsprungener Beobachtungswerte und 4 ? denen bzw. die mittleren Fehler mt und m₂ zukommen:

m\

oder

m\

(15)

mi:m₂ = /pä:Vpi ?

d. h. die mittleren Fehler der Beobachtungswerte verhalten sich umgekehrt, wie ihre Gewichtswurzeln.

Die Gleichung (13) läßt eine schöne Deutung aus dem Gebiete der Mechanik zu: Denkt man sich die Beobachtungswerte l als Ordinaten zu einer beliebigen Abszisse auf getragen und die Endpunkte je mit dem Gewicht der zugehörigen Beob-

§ 9. Eigenschaften des allgemeinen arithmetischen Mittels. 47 aehtung behaftet, so bezeichnet das endgültige Mittel L die Ordinate des Schwerpunktes des so gewonnenen Systems von Massenpunkten, weil die Summe der statischen Momente ist

\jp\l —1> q = о .

§ 9. Eigenschaften des allgemeinen arithmetischen Mittels.

Wir haben in Gleichung (13) für den endgültigen Wert L aus einer Reihe verschiedengenauer Beobachtungen I, denen die Gewichte zukommen, ermittelt:

T -Ш .    [p]

Rückwärts können wir jetzt die Verbesserungen (Zuschläge) V berechnen, welche an den einzelnen Beobachtungswerten l anzubringen sind, um sie zum Mittelwert zu ergänzen:

h H" vi — L i also v± — L — l± und analog v₂ = L — l₂

Hieraus erhalten wir

РЛ

Pn'On = PnL — pjn

woraus durch Addition

P& Л-РЛЛ-----h PnVn =\pv] = L[p\ — [j)l\,

oder wegen Gleichung (13)

(16)

[pv] = 0,

überein stimmend mit Gleichung (1 ), wo^?₁=p₂ ==••• =pn=1 und [V] = 0 Avar. Gleichung (16) liefert eine wertvolle Rechenprobe für die richtige Bildung des Mittelwertes L . Sie zeigt aber auch eine schöne Analogie mit der Statik (Kräftepolygon).

Wir haben schon im vorigen Paragraphen aus der Gleichung [p]L — [pl] = 0 erkannt, daß der endgültige Mittelwert L die Ordinate des Schwerpunktes vorstellt eines Systems von Massenpunkten (nämlich der Endpunkte der Ordinaten Z), wenn man jeden von ihnen mit dem der betreffenden Beobachtung l zugehörigen Gewicht^? behaftet. Die Abstände der einzelnen Massenpunkte von der durch den Schwerpunkt gezogenen Parallelen zur X-Achse sind dann die Verbesserungsbeträge L — l = v und es muß (eine Eigenschaft des Schwerpunktes) das (17) Trägheitsmoment in bezug auf diese Parallele, d. h. [pvvI ein Minimum sein.

Zur Probe bilden wir

v\ = L² — 2 Ll,+ Ę

vl = IJ~2Lln + ll,

also

Pi Vi v, = p,L² — 2p, LI, -\- p, l\

pnvnvn =r pnL² — 2 pnLln+ pJl, woraus durch Addition: [pvv] = L²[p] — 2 L[plf+ [рЩ.

Verlangen wir nun die Auswahl des endgültigen Wertes L so, daß

[pvv] = Min.,

so erhalten wir

cl [p v v]

dl =%L[p\-2[pl] = 0,

woraus

L=m

[V\

in Übereinstimmung mit Gleichung (13) [und mit Gleichung (4), wenn man beachtet, daß die Gewichte p der einzelnen Beobachtungswerte dort gleich 1 waren].

§10. Praktische Ausrechnung*.

49

§10. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und des Trägheitsmomentes [pvv\.

li=.N+Vl

Die Berechnung des Mittelwertes L direkt mittels Gleichung (13) ist schwerfällig. Führen wir dagegen analog § 5 einen Näherungswert N möglichst nahe bei L ein und betrachten als neue Unbekannte den ihm algebraisch zuzufügenden Zuschlag x, so daß L — N + x, zerlegen wir ferner jeden Beobachtungswert l in zwei Summanden, so daß

so wird

ln — N -|- vn,

Pi h = Pi N + Pi vi

somit

und

PJn = PnN + pnvn,

[pl] = N[p] + [pv]

(18)

[РЦ

[P]

= Ж+

[p А

[P]

analog Gleichung (7), wenn man beachtet, daß jedes Gewicht dort p = 1 war.

Den Wert des Trägheitsmomentes [pvv] können wir, nachdem L gefunden ist,'aus v direkt berechnen. Wir können aber auch entwickeln:

= h- N,

also

Ą ==ą — 2l₁N+ N²

und

Piv ivi =Pi ll — 2pAN + PlN*

: Durch Addition

kommt: [pw]

Weitbrecht, Ausgleichungsreclmung. I.

Um [p 11] zu eliminieren und gleichzeitig [p v v] in die Gleichung einzuführen, substituieren wir aus der S. 48 an geschriebenen Minimumsbedingung [pvv] = L*[p]-2L[pl] + [pll],

[p]

oder weil L =

r , [pW AvW

[p]

[p v v\ =    --2

wodurch

[pW

[p] —ZN[pI] + N'‘[p]

.н-м(И-я)’,

[p V v] = [p V v] +

= [pv

also [in Übereinstimmung mit Gleichung (8), wo Pi =P₂ = ••• = !]

(19) \pvv\ = [pvv] — [jp] (L — Ж)².

Alle 3 Summanden yon (19) sind als Quadrate positiv, also ist [p v v\ < [pvv], solange L — N nicht gleich 0, in Übereinstimmung mit Gleichung (17).

§ 11. Erreichte Beobachtungsgenauigkeit. Gewicht und Genauigkeit des Endwertes.

Im § 8 haben wir festgestellt, daß das Gewicht p einer mit dem mittleren Fehler m behafteten Beobachtung l nichts anderes ist, als diejenige Anzahl von (wirklich ausgeführten oder nur gedachten) BeobachtungsWiederholungen je vom mittleren Fehler pt, welche nötig ist, um [л auf den mittleren Fehler m herabzudrücken. Dasselbe trifft natürlich auch zu für das Gewicht P des endgültigen Wertes L: es ist gleich der Anzahl der zur Erzielung seines mittleren Fehlers M benötigten Beobachtungen je vom mittleren Felder [л . Sind demnach die zur Ermittlung des Endwertes L benützten Beobach-

tungswerte lx, l₂ . . . ungleichgenau und kommt dem Beobachtun gswert

\ d. Gewicht^ zu, so sind zu seiner Bildg.pt Beobgen.y. Gew. 1 h n

Рг 11 n

11 JPa

11 11 1

verwendet worden. Die Zahl der zur Bildung des Endwertes L verwendeten — gleichgültig, ob tatsächlich ausgeführten oder (vgl. § 8) nur gedachten — Beobachtungen vom Gewicht 1 ist daher

(20)    JP = Pi + P2 + • • • +Pn= [p] 1 ĆL h-

der aus einer Anzahl von Beobachtungswerten Z1? l₂ , . . •, denen bzw. die Gewichte PnP₂ , • • - zukommen, gebildete EndwertL hat das Gewicht [p\. Diese Eigenschaft des Endwertes L entspricht der in § 8 und 9 gegebenen statischen Deutung: Die im Schwerpunkt angreifende Gegenresultante muß beim Vorhandensein nur parallel wirkender Einzelkräfte^ gleich der Summe der letzteren sein, wenn Gleichgewicht bestehen soll.

Ist — etwa aus der Beobachtungsreihe heraus oder durch beliebige Annahme — der mittlere Fehler p einer Normalbeobachtung (Gewichtseinheit) bekannt, so sind wir jetzt imstande, sowohl den mittleren Fehler mr irgend eines Beobachtungswertes lr von bekanntem Gewicht pr als auch den mittleren Fehler M des Endwertes L abzuleiten. Die Gleichung (15) liefert hierfür:

м2

(21)    p² : ml = pr : 1, also mf, = —

p² : M² = P: 1, also    ^

M²=^r oder

(22)

_₌ JM ₌ JL,JL,.₌

M² p² m\ ' m$ ^

mm

Bei der Ableitung der Gleichungen (20) bis (22) haben wir vorausgesetzt, es sei nicht bloß das Gewicht^? jedes einzelnen Beobachtungswertes l, sondern auch der mittlere Fehler p der Gewichtseinheit von vornherein bekannt (wie das z. B. zutrifft, wenn die Zwisehenwerte l als Teilmittel aus gleichgenauen, wirklich ausgeführten Beobachtungsreihen erschlossen werden). Sie benützend, ist es gelungen, vor der Ausgleichung aller Beobachtungen, d. h. vor ihrer Vereinigung zu einem End wert A, den mittleren Fehler M des letzteren zu ermitteln: auf die Kenntnis von p und p gründete sich die Ableitung von P, m und M.

In vielen praktischen Fällen der Vereinigung un gleichwertiger Beobachtungen lt, l₂ , ln sind aber neben deren Werten nur ihre Gewichte p oder ihre mittleren Fehler m bekannt. Auch im erster en Falle muß uns ein Einblick in die erreichte Beobachtungsgenauigkeit möglich sein, denn wir können nach Gleichung (13) den Endwert der Beobachtungsgröße

L = [p4 ^ vmm.

im m

und aus ihm die an den Beobachtungswerten anzu-bringenden Verbesserungszuschläge v berechnen:

Je kleiner die nötigen Beträge v sind, welche jeden Beobachtungswert l zum wahrscheinlichen, dem Endwert L ergänzen, um so genauer sind offenbar die Beobachtungen

I ausgeführt, um so sicherer ist also auch der Endwert L bestimmt. Ihr Mittelwert stellt somit ein Genauigkeitsmaß für die Beobachtungen dar.

Diese Genauigkeitsermittlung stützt sich aber im Gegensatz zu derjenigen nach Gleichung (21) und (22) auf das Ergebnis L der Ausgleichung. Etwa daraus errechnete mittlere Fehler der Beobachtungswerte l und des Endwertes L müssen daher als mittlere Fehler nach der Ausgleichung bezeichnet werden. Selbstverständlich müßte da, wo beide sich überhaupt berechnen lassen, strenggenommen der mittlere Fehler vor — dem entsprechenden nach der Ausgleichung gleich sein. (Entgegengesetzten Falles wäre zu ergründen, wodurch eine Verschiedenheit beider Werte für dieselbe Größe verursacht werden kann, s. S. 56.) Die Beziehungen zwischen den Verbesserungsbeträgen v und den mittleren Fehlern m einer Beobachtung bzw. M des Endwertes gewinnen wir durch folgende Überlegung:

Wären statt der /г Beobachtungswerte . . . ln , denen je bzw. die Gewichte . . . pn zukommen, die Werte Я der Urbeobachtungen je vom Gewicht 1 bekannt, von denen

zur Ermittlung des Wertes

Vn

К + K,Jr ' • • -\~K

Pn

somit [p\ „

dienten, so hätte man den Fall gleichgenauer Beobachtungen. Man erhielte nach Gleichung (5 a) und (5 b) den mittleren Fehler einer solchen Urbeobachtung

[<<p<p]

[<Pw I

wenn die Werte cp die Verbesserungszuschläge darstellen, welche jeden eingewichtigen Beobachtungswert X zum zugehörigen Zwischenmittel l ergänzen. Vergleichen wir die Werte X der Urbeobachtungen statt mit Zwischenmitteln l direkt mit dem Endwert U, so nähern sich die Verbesserungen 99, nämlich:

<p' = L — X[

cpf=L — )A

Vn

Pn

w— = L — l

' n    71

deren wahren Werten cpw, und dies um so mehr, je größer die Zahl der eingewichtigen Urbeobachtungen X und ihre Genauigkeit ist, je näher also der End wert!/ dem wahren Wert der Beobachtungsgröße kommt. Wir können also nach Gleichung (5 a) sehr genähert setzen : Mittlerer Fehler einer Urbeobachtung X, berechnet aus der :

= ±Ÿ A

[<Pi Vil

1-ten Beobachtungspruppe l± • [г

(23)

2-ten

t¹=±j/

sowenig bekannt als ihre Verbesserungen 99. Wir wollen aber versuchen, die letzteren aus den an den Beobach-t un g s werten I (deren jeder als Mittel aus p Urbeobach-tungen erscheint) anzubringenden Verbesserungen v zu erschließen. Zu diesem Zweck erinnern wir uns, daß (5b) für das Quadrat des mittleren Fehlers einer von n gleich genauen Beobachtungen (die durch die Zuschläge v± bzw. v₂ . . . zum wahrscheinlichsten Wert der betreffenden Größe ergänzt werden) liefert:

m‘

[v v\

n — 1

während nach (11) das Quadrat des mittleren Fehlers des Resultates von allen n Beobachtungen sich ergibt aus:

M²

m²

[vv\

n • (n — J)

§ l&

Die Quadrate der mittleren Fehler stehen also bei gleicher Zahl n der Beobachtungswiederholungen im selben Yerhältnis zueinander, wie die Quadrate der Einzelverbesserungen, oder:

m² : [л² = V² : y², d. h.

[A²

<pl = vl ■ -₂- = «? • V,,

(Л²

<p\ = vl m2 = vlP2 usw.

Wir haben damit für jeden der n Beobachtungswerte Z₁/₂. . . einen Mittelwert der den zugehörigen Urbeobach-tungen X zuzuschlagenden Verbesserungsbeträge çp gewonnen. Allein die Gleichung (23) setzt die Kenntnis nicht des mittleren, sondern sämtlicher [p] Verbesserungsbeträge op voraus. Wir müssen daher entweder unsere Summe ^Mittel] auf den Betrag erweitern, den diese Summe annimmt, wenn die Zahl der Verbesserungen 99 von n auf [p\

Vp

Min. I

erhöht wird, d. h. [9999] = [pvv] mit — erweitern, wodurch wir erhalten

[(pw ⁽fw\ _ [ph _ , I j[P vw vw\

n ~) n

oder besser der von [p] auf n reduzierten Zahl von Summanden entsprechend auch den Nenner reduzieren, wodurch der mittlere Fehler der Gewichtseinheit wird

(23 a) [i

-4

[p Vu,Vw\ _

[p V v]

n — 1 •

(23 b)

Wir erhalten daraus schließlich durch Einsetzung von [л in (21) und (22) als mittlere Fehler nach der Ausgleichung:

mittl. Fehl. d.

Beob.-Wertes lr

}■

: • mr

[p V v]

(n — 1 )pr ’

(23 c)

[p V v]

mittl. Fehl. d. Endwertes L

: M=

Die mittleren Fehler vor der Ausgleichung, die wir aus dem mittleren Fehler ц der Gewichtseinheit und den zugehörigen Gewichten nach Gleichungen (21) und (22) und diej enigen nach der Ausgleichung, die wir mittels Gleichungen (23) aus den Verbesserungsbeträgen v berechnen können, sollten einander gleich sein. Etwaige Verschiedenheit würde das Vorhandensein grober, bzw. regelmäßiger, neben den in vorstehenden Ableitungen allein vorausgesetzten zufälligen Fehlern beweisen.

II. Abschnitt.

Vermittelnde Beobachtungen.

1. Kapitel.

Übertragung von Beobachtungsfehlern auf Funktionen der Beobachtungsgrößen.

§ 12. Mittlerer Fehler M und Gewicht F einer Funktion F der mit den mittleren Fehlern    . . . mn

behaftete ten Beobachtungsgrößen X1? X₂ • • •

Eine Größe X sei ans den Beobachtungsgrößen L1 L₂ . . . Ln mittels der Gleichung

<•24 a)

zu errechnen. Sind die Beobachtungswerte um die Beträge + vWlJ +vW2 ... +vWn unrichtig, so würde

X = F(L₁, L₂ .. . Ln)

^2 i VU'.₂ ) * • • J Ln + VWn)

den wahren Wert, der Unterschied

Vw ⁼⁼ F(LX± Vwx, Li ± Vw₂

F(L± ± V

Ln ± Vwn) F(Lt, Z₂ > • • • » Ln)

also den aus den Beobachtungsfehlern entspringenden wahren Fehler an X darstellen. Entwickeln wir den Minuenden obiger Gleichung mittels der Taylorschen Reihe und setzen wir gleichzeitig die notwendigen Verbesserungen vw der Beobachtungswerte L als so klein voraus, daß höhere Potenzen von ihnen gegenüber den Verbesserungen selbst verschwinden, so erhalten wir als wahren Fehler der berechneten Größe X:

Vw=-±

ÔF

dF

dF

dLx

Ыг

oder wenn wir:

(24b)

dF

dLx

durch 1Л , ..

dF

’’ ezn

durch ln

ersetzen :

w - + h rWj + l₂ Vw.₂ dl * * * dz ln Vwn •

Nun sind uns aber die wahren Beobachtungsfehler vw der Größen L weder nach Vor^ichen noch nach Größe bekannt. Wir kennen nur deren mittlere Fehler. Wir können aber (wie S. 32) die ersteren durch die letzteren ersetzen, wenn wir alle möglichen zusammengehörigen Kombinationen der Produkte l • vw bilden, quadrieren und mittein, wobei wir (wie dort unter Vernachlässigung der sich nahezu hebenden Produktensummen) für das Quadrat des mittleren Fehlers Ж der berechneten Größe X erhalten :

Ml=LW

^ n

(24 c)<

[yj

\Pwn

__ j2    _|_ p

¹ n    ²

= l\m\ + l\m\ + • • • + l\mïn = \mmll\ .

Das Gewicht Px der Unbekannten X erhalten wir durch Vergleichung der mittleren Fehler nach Gleichung (15). Ist nämlich [i der (ev. beliebig festgesetzte) mittlere Fehler der Gewichtseinheit (^ = 1), so ist

Px: 1 =

woraus

1 W²

(24d)^^Tc

Durch Einführung der Gewichte^? für die Beobachtungsgrößen L und unter Benutzung von (14) wird hieraus

II

(24 d)

+ ••• =

г ил

Pю    Pl    P 2

Die Gleichungen (24 c) und (24 d) bilden eine Bestätigung der früher direkt abgeleiteten Gleichungen (9) und (10). Letztere stellen lediglich spezielle Fälle der ersteren dar. Für X= a • L liefern nämlich die Gleichungen (24 c) und (24 d) unter der Voraussetzung, daß a ein fehlerfreier Faktor und L eine mit dem mittleren Fehler m behaftete Beobachtungsgröße ist, welcher das Gewicht p zukommt :

und

Ml.L

Ma.L = a-mL

a²m²

ll

2V “

Ebenso liefern sie für den mittleren Fehler M und das Gewicht P der Größe X — L± + P₂ <+ • • • L Lx . . . beobachtete Größen sind, denen die Gewichte pt . . . und die mittleren Fehler m± . . . zukommen :

a² *

wenn

Ml

= \mmil] = ml (|L) + m|. (|J) + , • •

— т\ -f- m\ -(-••• -f- m²n = [mm] und

Px

Lp J Pi p₂

■⁺'"⁺А⁼.Ш

Sind die Gewichte p und die mittleren Fehler m der Summanden L einander gleich (wie das z. B. beim Wägen einer Masse in n Teilen, beim Messen von Strecken für jede einzelne der n Stangen- oder Bandlagen, bei Bildung eines Winkels durch Zusammensetzen aus n Teilen usw. der Fall ist), so wird

= +|/[mm] =    ’ 1r2 —

l₁±l.₂± ..

Pi,±A±T. ⁼⁼J ⁺ J ⁺ "' ⁺ ^ = = L

d. h. der mittlereFehler einer Summe oder Differenz gleichwertiger Einzelgrößen wächst proportional der Wurzel aus ihrer Anzahl,

das Grewicht einer Summe oder Differenz gleichwertiger Einzelgrößen nimmt ab proportional ihrer Anzahl.

Es zeigt sich hier ein bemerkenswerter Unterschied, der

für die Genauigkeit einer Größe bezeichnend ist:

Wird eine Größe gewonnen als Mittel aus n Beobachtungen je vom Gewicht p = 1 , so ist das Gewicht des Mittelwertes L: P — n ,

wird eine Größe gewonnen durch Addition oder Subtraktion von n Einzelgrößen je vom Gewicht p = 1, so ist ihr Gewicht: P = — .

wird eine Größe gewonnen durch Multiplikation einer beobachteten Größe vom Gewicht p = 1 mit einer fehlerfreien

(Distanz-

ns

Konstanten n , so ist ihr Gewicht P = messer usw.).

Es bedürfte also im zweiten Falle w-facher, im dritten Falle n²-facher Beobachtungswiederholung der Teilgröße, um auf diesem Weg das Gewicht und die Genauigkeit einer einzigen einfachen direkten Beobachtung für die Gesamtgröße zu erzielen.

2. Kapitel.

Ausgleichung vermittelnder gleichgenauer Beobachtungen.

Durch den Abschnitt I wurden wir in die Lage versetzt, den wahrscheinlichsten Wert L einer direkt und mehrfach beobachteten Größe, seinen mittleren Fehler M und sein Gewicht P zu bestimmen. Dagegen hat er uns nicht gelehrt, in überschüssiger Zahl vorhandene Beobachtungen auszugleichen, welche zur Bestimmung einer oder mehrerer anderer von ihnen abhängiger Größen dienen sollen.

Audi das erste Kapitel des gegenwärtigen Abschnittes zeigte uns nicht, wie die Beobachtungswerte L für solche vermittelnde, in überschüssiger Zahl vorhandene Größen auszugleichen sind, sondern nur, wie sich der ihnen anhaftende Fehler m auf einen (nicht überbestimmten) Funktionswert fortpflanzt.

Jetzt wollen wir Beobachtungswerte, welche zur Berechnung anderer von ihnen abhängiger Größen dienen sollen und in überschüssiger Zahl vorhanden sind, so ausgleichen, daß letztere sich übereinstimmend ergeben, gleichgültig, welche der ersteren auch zur Rechnung benützt werden mögen.

Ist die Zahl der gesuchten Unbekannten nicht größer als 2, so läßt sich die Ausgleichung der zu ihrer Berechnung dienenden Beobachtungswerte häufig auf graphischem Wege bewirken, womit der Vorzug erhöhter Anschaulichkeit und der alsbaldigen Erkenntnis etwaiger grober Beobachtungsfehler verbunden ist. Der rechnerische Weg der Ausgleichung ist aber häufig, und namentlich dann vorzuziehen, wenn die Zahl der Unbekannten größer ist als 2. Wir behandeln zuerst:

§13. Die graphische Ausgleichung zusammengehöriger beobachteter Argument- und Funktions werte, welche in (bekannter oder unbekannter) Abhängigkeit voneinander stehen.

Um zu untersuchen, ob zwei Größen voneinander abhängig sind, und zutreffendenfalls, welche Beziehung zwischen ihnen besteht, kann man korrespondierende (zu-zammengehörige) Beobachtungswerte beider als Abszissen bzw. Ordinaten in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem auftragen und die dadurch erhaltenen Punkte durch eine stetige Linie: die „Funktionskurve“ verbinden. Verläuft die Linie gesetzlos oder parallel, bzw. senkrecht zur Abszisse, so besteht entweder keine Beziehung zwischen den korrespondierenden Beobachtungswerten, sie sind voneinander unabhängig, oder die beobachteten Funktionswerte sind nicht bloß von den der Beobachtung unterworfenen, sondern überdies noch von anderen Einflüssen abhängig.

Im letzteren Fall kann man die korrespondierenden Beobachtungen unter gewissen (abgewarteten oder künstlich herbeigeführten) die Wirkung jener weiteren Einflüsse vorübergehend ausschaltenden Umständen wiederholen.

Läßt die „Funktionskurve“ nach den Sätzen der analytischen Geometrie ein gewisses Gesetz erkennen —7 gerade Linie zeigt lineare Beziehung, w-fache Oszillation algebraische Beziehung (n-f- t)-ten Grades an —, so kann man der Zeichnung die Bestimmungsgrößen für Lage und Form der Linie (Abschnitt auf der i/-Achse, Bichtungs-koeffizient, Parameter usw.) wenigstens angenähert entnehmen: Die Verbindungslinie der mit den zusammengehörigen Beobachtungswerten als Koordinaten aufgetragenenPunkte (Funktionslinie) vermittelt uns die Kenntnis der zwischen beiden bestehenden Beziehung.

Dabei wird das Wesen der Funktionskurve von der Wahl der Verjüngungsverhältnisse für die Abszissen und die Ordinaten und von der Lage der Koordinatenachsen nicht berührt. Ja, es kann sich sogar empfehlen (auch ohne daß die zusammengehörigen Beobachtungswerte Größen verschiedener Gattung sind, in welchem Falle ohne weiteres für jeden von beiden je ein für ihn passendes Verjüngungsverhältnis gewählt werden muß), Ordinaten und Abszissen in verschiedener Verjüngung

Wären die Beobachtungs werte fehlerfrei, so müßte die zu zeichnende Funktionskurve durch sämtliche auf Grund solcher zusammengehöriger Werte gezeichnete Punkte gehen. Es zeigt sich in der Durchführung jedoch, namentlich wenn ein genügend großer Maßstab gewählt wird, sofort, daß die derart zu zeichnende Linie Unregelmäßigkeiten aufweisen würde, die nicht in der Natur der Beziehung zwischen beiden Beobachtungsgrößen liegen können. Dies tritt besonders in solchen Fällen in die Erscheinung, in denen das Wesen der Beziehung auch noch auf deduktivem Weg erschlossen werden kann. Solche Unregelmäßigkeiten rühren von den den Beobachtungswerten anhaftenden Fehlern v her, und unsere Aufgabe besteht jetzt darin, eine der erschlossenen Beziehung entsprechende oder (falls die zwischen beiden Beobachtungsgruppen bestehende Beziehung nicht kurzerhand aus der Form der gezeichneten Linie in aller Strenge erschlossen werden kann) eine möglichst einfache Funktionslinie den gezeichneten Punkten so anzupassen, daß die in der Ordinatenrichtung gemessenen Abweichungen v der Linie von jenen Punkten den Bedingungen (1) [V] = 0 und (4) \vv] = Min. entsprechen.

zu zeichnen, wenn sie sich erheblich voneinander unterscheiden, oder wenn man auf scharfe Darstellung von Yeränderungen gerade einer von ihnen besonderen Wert legt.

Als Nebenprodukt der graphischen Lösung ergibt sich dann auf bequemste Weise:

a) diejenige Stelle der Kurve, d. h. diejenige Größe der Argumentwerte, bei welchen zur sicheren Ermittelung der bestehenden Beziehung und Zeichnung der Funktionslinie die korrespondierenden Beobachtungen zu häufen sind, bzw. wo andererseits Häufung unnütz wäre,

b)    der Nachweis etwaiger grober Fehler,

c)    der dem einzelnen Beobachtungswert anhaftende, durch Ausgleichung wegzuschaffende Fehler г?,

d)    der irgend einem Argumentwerte zugehörige ausgeglichene Funktionswert.

§ 14. Rechnerische Ausgleichung in überschüssiger Zahl vorhandener Beobachtungswerte X für die von ihnen abhängigen gesuchten Größen X, Y... bis zur Aufstellung der Normalgleichungen.

A. Die zwischen den Beobachtungsgrößen L und den von ihnen abhängigen UnbekanntenX,V... bestehenden Beziehungen mögen von der expliziten Form sein:

?}

(25)

F,{X, Y, Z.— L =

Ą(X, Y, Z...)-L =

so daß sie jede Beobachtungsgröße L als explizite Funktion der Unbekannten X, Y. . . ergeben. Diese Gleichungen werden von den Beobachtun gswerten L nur dann scharf erfüllt sein können, wenn letztere entweder fehlerfrei sind, oder wenn keine Überbestimmung vorhanden ist. Beides ist für unsere gegenwärtige Betrachtung ausgeschlossen. Wir müssen vielmehr, um die Beziehungen scharf zu erfüllen, unseren Beobachtungswerten kleine, zunächst noch unbekannte Verbesserungszuschläge beifügen, die wir wie bisher mit v bezeichnen wollen. Dann stellt L + v den wahrscheinlichsten Beobachtungswert und v den Beobachtungsfehler vor, und die Gleichung (25) geht über in die Form (25 a)

Wir suchen nun zunächst diese Beziehungen in lineare Form überzuführen, eine Aufgabe, die allgemein nur möglich

ist, wenn es uns gelingt, die Unbekannten A, U, Z. . . durch andere x, y, % zu ersetzen, die so klein sind, daß wir höhere Potenzen von ihnen vernachlässigen dürfen. Zu diesem Zweck schlagen wir folgenden Weg ein: Wir zerlegen jede der Unbekannten analogGleichuug(7)und(18) in 2 Summanden, nämlich einen möglichst genauen, irgendwie zu gewinnenden Näherungswert NXj Ny und einen kleinen, nach Richtung und Größe unbekannten Zuschlag x, y. .., wodurch X-= Nx-\-x, Y = NyĄ- y. . . Damit geht unsere Gleichung (25 a) über in

(25b)    + (NY + y),

(Nz + я)— Ai = v₁ I

Sodann entwickeln wir nach Taylor in eine Reihe und erhalten unter vorstehender Voraussetzung:

Fx{Nx,Ny,Nz...)+x

dF₁ ( ^ êF± ( ^ dFt

25 c)

Wx+yJWz + Z~ëNz

vi ■

Fassen wir die ihrem Wert nach bekannten Summanden [wozu jetzt auch F(NX, NY, Nz ... ) gehört] zusammen und führen zur Vereinfachung der Schreibweise folgende Bezeichnungen ein:

( dF

(25d) { dNx ~a’ дЖт

dF

<9 F

= c.. .

so geht die gegebene Beziehung (25) in die Form der „Fehlergleichung“ über:

(25 e)

axx + bxy + cxz +••• + ?! = vx j

Solcher Fehlergleichungen haben wir ebenso viele, als Beobachtungen L vorhanden sind, nämlich Я. Überbestimmung ist vorhanden und Ausgleichung der Beobachtungswerte L kann erst eintreten, wenn ihre Zahl Я größer ist, als die Zahl к der Unbekannten. Erst dann treten überhaupt Verbesserungen v der Beobachtungswerte L auf, welche für Я = к zu Null würden.

Aus den Я Fehlergleichungen für die к Unbekannten X, у ...

«1 я + h y + Сг z H-----b k = Vt ^

Я Gleichg.

я₂ X “f" У H“ C2 Z 4“ • • * h — V2

axx + ЪкУ+ ca*H-----\~h =vx

x Unbekannte-

wo Я > к, ergeben steh die Werte der unbekannten Zuschläge x, у . . ., die wir künftig kurz als Unbekannte bezeichnen wollen, eindeutig, wenn wir noch die in Gleichung (4) ausgedrückte Bedingung zu Hilfe nehmen, daß die Summe der Quadrate der an den Beobachtungswerten L anzubringenden Verbesserungen v ein Minimum sei:

\yv\ = Min.

Man erhält nämlich:

v\ = a\x² -f- 2a^b±xy 2a±ctxz -)-••• -f- 2a±ltx -f- b\y2 ~b yz -f- • • • -f- 2bxу 4- c\z²-f- •••-)- 2cxl±z-{-••• -f-1\ v\ = a\ x² -f 2 a₂ Ъ₂ x y -f- 2 a₂ c₂ x z + • • • -f 2 a₂l₂x-\-b\y2 2b₂c₂yz-\-----b 2 &₂ 4 У + c2z2 “b * * * “b 2 c₂1₂ z -f- • • • -j-1\,

woraus durch Addition

[v²] — [aa] x² ~b 2[ab]xy-\-2[ac\ xz-\-----b 2[al\x-{-\b²] y²

+ 2[bc]yz+." + 2[bl]y + [c²]z² + -" + 2[cl\z + [l²].

Hieraus haben wir diejenigen Werte für x, y ... zu suchen, für welche [v v\ — Min., und welche sich ergeben aus: d[vv]

= 2 [a a\ x -f - 2 [a b] y + 2 [a c] z -j- • • • + 2 [al] — О

дх

d[vv]

ду

= 2 [и Ь] x -(- 2 \Ь Ь] у -J- 2 \Ъ с] z -}- • • • -J- 2 \b 1\ — О

ô[vv]

ôz

= 2 [а с] x 2 [& с] у + 2 [с с] z -f • • • -f- 2 [с Ц — О.

Eine kurze Überlegung zeigt, daß wir auf dieselbe Weise wie hier ganz allgemein ebenso viele Gleichungen für die Unbekannten ж, у, % . . . erhalten, als Unbekannte vorhanden sind, und damit ein Mittel für die eindeutige Bestimmung der letzteren. Durch Kürzung mit 2 erhalten wir schließlich aus ihnen die „Normalgleichungen“ zur algebraischen    Bestimmung der Unbekannten:

(26)

B. Sind die Beziehungen zwischen den Beobach-tungsgrößen Lx... und den Unbekannten X, Y. . . nur in impliziter Form darstellbar, lauten sie also:

(250 [Fl{Ll’ Lf ‘Lx’ X’ Y’ Z...)=0 so werden diese Gleichungen, falls ihre Zahl X größer ist, als die Zahl тс der Unbekannten, so wenig als die

Gleichungen (25) von den beobachteten mit Fehlern behafteten Werten L befriedigt sein können. Sie werden vielmehr die Werte annehmen:

°)

(25 a')

Um den Widerspruch gegen den Sollwert 0 zum Verschwinden zu bringen, müssen wir auch hier, wie bei (25 a),den Beobachtun gs wertend kleine Verbesserungsbeträge: V zufügen, wodurch die Gleichungen (25') über-gèhen in:

(25 b') j*

Y₁{L₁JrV₁, L₂-\-v₂ ,..., L₎Arvl, Nx-\-x, Nv-\-y, Nz-\-z ...)—0

Entwickeln wir auch diese Gleichungen nach Taylor, so wird daraus:

(25 e')

4¹ sT1 - «Tk”⁴ ftTlteT

^    ^ |co

ß? +

Lx, Д,

+

«SS⁴

Cb Cb -

да £

Cbl

да

+ •••

z-\----

Die EinzelVerbesserungen v sind uns nun ebensowenig bekannt, wie die Zuschläge æ, y, z ..., welche die Näherungswerte Nx, Ny . . . zu den eigentlichen Unbekannten X, Y ... ergänzen. Wir haben aber mit Gleichungen (25 a') den Einfluß der ersteren auf die Werte der Funktionen F bereits ausgedrückt und können daher jetzt setzen:

¹

aus allen Beobachtungsgruppen zus. /<

Wenn es uns also gelingt, die Zähler der Radikanden vorstehender Gleichungen zu berechnen, so haben wir damit die Möglichkeit erlangt, die mittleren Fehler m der (verschiedengewichtigen) Beobachtungswerte l und des Endwertes L aus den Verbesserungen 99 der Urbeobachtungen zu errechnen. Nun sind uns zwar diese selbst eben-

ÔF,    dF,

®¹⁺ Jl/² + *' ' ⁺ dLxVl =

(25 d')

dFt

дТх

womit unter Wiederbenutzung der in (25 d) eingeführten Substitutionen die Gleichungen (25 c⁷) übergehen in die Fehlergleichungen :

ayx + &jî/ +    + • • •

(25 e')    +'M,i

Diese Fehlergleichungen haben ganz dieselbe Form wie die Gleichungen (25 e). Die Absolutglieder l sind auch hier nichts anderes, als die Werte, welche die allerdings jetzt etwas anders gebauten Funktionen (25') annehmen, wenn man statt der endgültigen noch unbekannten Werte (L v), X, F, Z . . . deren Näherungsbeträge L, NXJ Ny . . . einsetzt. Nur die w stellen nicht mehr wie in (25 a) die Fehler der Einzelbeobachtungen L, sondern die Einflüsse dieser Fehler auf die Funktionswerte F dar. Sie sind nicht gleichwertig, wir können die Lösung daher erst in Kapitel 3 weiter verfolgen.

§ 15. Spezielle Aufstellung und Auflösung der Normalgleichungen«

a) Ist nur eine einzige Unbekannte X zu bestimmen, welche mit den X Beobachtungswerten L in der Beziehung steht

F(X) — L = 0 ,

so erhält man nach § 14 durch Einführung eines Näherungswertes Nxfür X(so daß X= Nx + x) die Я F ehler-gleichungen von der Form

ÔF dNx

oder mit Benutzung der unter (25 d) eingef ührten Zeichen axx -f- l± — r± a₂x -f l₂ = v₂

woraus

v\ — a\ X² -f- 2 аг lt x -f- l\ v\ = a| æ² -j- 2 a₂l₂x + Z|

Der gesuchte Zuschlag ж ist nun nach § 14 so zu bestimmen, daß damit:

[v V] = [a a] x² -f- 2 [а 0 x -(- [l Ï] = Min.

wird.

Diese Forderung liefert die Normalgleichung: d^ = 2[aa]x+2lal\ = 0, letztere den gesuchten Zuschlag:

(27) x =

[al\

[aa\ ⁹

woraus

X = Nx -ł- ос •

Die Gleichung (27) steht im Einklang mit Gleichung (7), welche den gesuchten Zuschlag zum Näherungswert N

\v\

lieferte zu : x = —, die Unbekannte selbst zu X = L

M n

= N -\-    . Denn die Koeffizienten a der Unbekannten

n

in (27) waren dort alle gleich 1. Nur ist zu beachten, daß der zur Berechnung dieses gesuchten Zuschlages x dienende reduzierte Beobachtungswert dort hieß v = Beobachtung — Näherung = l — N, während er jetzt heißt l = F(NX . . .) — L , d. h. Näherung — Beobachtung. Das Absolutglied l ist also jetzt mit entgegengesetztem Yorzeichen eingeführt.

Auch die Gleichung (1) \y] = 0 stellt nur einen speziellen Fall der aus (27) resultierenden Gleichung (28) dar.

-±V

/ № <p\

[Pl ’

§15. Aufstellung und Auflösung der Normalgleiclmngen. 71

Multiplizieren wir nämlich, jede Fehlergleichung des gegenwärtigen Paragraphen mit ihrem Koeffizienten a : a\ X -f- ax \ = at v1 a\x + a₂l₂ = a₂ v₂

so erhalten wir durch vertikale Addition die linke Seite der Normalgleichung, also

(28)

[a d\ X -f [a l\ = [av] = 0 ,

eine Gleichung, die für ax = a₂ = ...== an = 1 in (1) übergeht.

b) Beim Vorhandensein von zwei Unbekannten X und Y haben die Beziehungen zwischen ihnen und den Beobachtungsgrößen L die Form:

F(X, Y) — L = 0,

woraus [wie bisher, s. (25d), durch Einführung der Näherungswerte Nx und Nr, für welche X = Nx + x,

Nr + y

und der Bezeichnungen a = d F

, I = F(NX, Ny)-L] die Fehlerglei-

dF ,

dNx

dNY

chungen entstehen:

a₁x + b₁y + l₁ = v1 «2 ® + Ь2 У + k = V2

Aus ihnen ergeben sich durch Quadrierung, vertikale Addition und partielle Differentiation des Ausdruckes für [v v] die zwei Normalgleichungen zur Bestimmung der unbekannten Zuschläge x und у :

' [a a] x -|- [а 5] у -f- [а Ц = 0 [а Ъ] x -f [b Ъ] у + [b I] = 0 .

Zum Zwecke der Reduktion der Zahl der Unbekannten um eine und Ausrechnung der andern könnte man irgend eine der bekannten algebraischen Methoden an wenden. In Rücksicht auf möglichst bequeme, schematische Durchführung der Rechnung und unter Berücksichtigung der symmetrischen Anordnung der Koeffizienten von x und y (in der einen Diagonalen, von links oben nach rechts unten, stehen nur Quadratsummen, in der anderen identische Produkten summen) hat jedoch der Schöpfer der Methode der kleinsten Quadrate, Gauß, im Jahr 1810 einen vom üblichen etwas abweichenden Rechnungsweg gewiesen, dem wir folgen wollen. Hiernach wird grundsätzlich zuerst die links stehende Unbekannte eliminiert

und zu diesem Zwecke die mit

2 tem Koeffiz. der I. Reihe 1 ten Koeffiz. der I. Reihe multiplizierte erste Gleichung zur unveränderten zweiten Gleichung addiert. Dabei ergibt sich als Gleichung der ersten (und einzigen) Reduktionsstufe:

([6 b]

M]

[a a]

[аЪ])у + (\ЬЦ

[ab]

[a a]

[a q) = 0

[bl]-

[ab]

woraus

[а а]

[al\

[6 6]

[ab]

[a a]

[ab]

Für die schwerfälligen Differenzausdrücke im Zähler und im Nenner obiger Gleichung hat Gauß Symbole eingeführt, welche durch die Ziffer 1 ausdrücken, daß es sich um Erzeugnisse der ersten Reduktionsstufe handelt. Jeder Ausdruck der ersten Reduktionsstufe hat (vgl. obige Reduktionsregel) als Nenner des Subtrahenden das Summenglied [aa\ , also braucht das Symbol diesen Nenner nicht besonders anzugeben. Der Zähler des Sub-

trabenden ist ein Produkt zweier Faktoren, deren jeder wieder die Summe von Produkten je zweier Faktoren ist, von denen je einer a heißt, während der andere je einer der Faktoren des Minuenden ist. Es genügt daher zur eindeutigen Bezeichnung

(29)

des Zählers [b l] —

„ Nenners [& b] —

}[&/•]-

[ab]

&

S3

/.

y:

[Ы-1]

p:

P:

[bb-1]

allgemein d. ч Ausdrucks

womit die obige Gleichung übergeht in

[aa]

[ar] „

(30)

Um den Wert der links stehenden Unbekannten x zu berechnen, könnte man jetzt entweder den berechneten Wert der anderen (y) in eine der Normalgleichungen ein-setzen, oder statt der links stehenden jetzt die rechts stehende Unbekannte eliminieren. Damit würde aber der Schematismus in der Berechnung gestört, auf den man Wert zu legen hat, wenn es sich um häufig auftretende Rechenarbeiten handelt, deren mechanische Ausführung man untergeordneten Hilfskräften übertragen will. Der erstgenannte Weg der Einsetzung verhindert überdies die Berechnung des Gewichtes und mittleren Fehlers der zuletzt bestimmten Unbekannten, wie wir später sehen werden. Man zieht es daher vor, die Normalgleichungen so umzustellen, daß die Diagonale der Quadratsummen dieselbe Richtung hat wie zuerst, aber

die bisher links stehende Unbekannte x nun rechts erscheint :

[6 b] y + [а b] x + [Ъ ï\ = О

[a b] у [a a] x [а I] — 0 .

Jetzt ergibt sich der Wert von x genau auf demselben Weg, wie vorher derjenige von у.

Auch im Falle der Berechnung zweier Unbekannten erhält man ein Analogon zu Gleichung (1): Multipliziert man nämlich die

lte Fehlergl. mit so erhält man a^Ą-a^yĄ-a^ == axv±

2te

11 ^2 1 11

„    alx-\-a₂b₂y-\-a₂l₂ = a₂v₂

woraus vertikale Addition als linke Seite der entstehenden Gleichung die erste Normalgleichung liefert:

(31)

[a d\ x -j- \a b] у + \a Z] = [a v\ = 0 . Multiplikation der Fehlergleichungen mit 6l5 b₂ , . . . und vertikale Addition liefern ebenso [bv] = 0. Beide Gleichungen stehen in Analogie mit den Gleichungen (1) und (28), die also nur spezielle Fälle des gegenwärtigen darstellen.

c) Auflösung der Normalgleichungen für drei und mehr Unbekannte.

Die Normalgleichungen für die drei unbekannten „ Zuschläge x,yzu den Näherungswerten Nx, Ny, Nz sind in § 14 aufgestellt worden und lauten:

’ \a a] x -j- [a b] у [a c] z -f- [al\ = 0 [a b]x + [bb]y+ [bc]z + [6^ = 0 [a c] x -f [6 c\ у -f- [c c\ z -f- [с Ц = 0.

Gerade wie bei der Bestimmung zweier Unbekannten zeigt sieb aueb hier in der Anordnung der Koeffizienten eine bemerkenswerte Symmetrie. Die Diagonale durch die Koeffizienten von links oben nach rechts unten trifft lauter Quadratsummen. Zu beiden Seiten von ihr symmetrisch an geordnet sind identische Produkten summen. Die Entwicklung in § 14 läßt erkennen, daß dieselbe Symmetrie auch für 4, 5 ... x Unbekannte zutrifft. Wir verwenden daher in allen Fällen das dieser Eigentümlichkeit Rechnung tragende Gaußsche Reduktionsverfahren, mit Hilfe dessen wir grundsätzlich zur Bildung der 1 ten Reduktionsstufe die 1 te Unbekannte links eliminieren, ,, 2ten „ 3ten

„ 2te „ 3te

bis schließlich in der (x — l)-ten Reduktionsstufe von den X Unbekannten nur noch eine, die in den Normalgleichungen rechts stehende, übrig ist.

Die Eliminierung der jeweils links stehenden Unbebekannten erfolgt allgemein in jeder Reduktionsstufe, indem wir von der

2 ten Normalgl. die mit

2tem Koeff. d. I. Reihe

3ten

1 ten Koeff. d. I. Reihe Stern Koeff. d. I. Reihe

multipl. 1.G1. subtrah.

4 ten

11    11    1 ten Koeff. d.I. Reihe

4tem Koeff. d. I. Reihe ¹¹    ” lten Koeff. d.I. Reihe

11    1* n

11 1* 11

Dabei verlieren die Gleichungen jeder folgenden Reduktionsstufe gegenüber denjenigen der vorhergehenden eine Unbekannte, und ihre Zahl geht um 1 zurück. Auf obige drei Gleichungen angewandt, ergibt dieses Verfahren unter

Benutzung der Symbole (29) als erste Reduktionsstufe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und derselben bemerkenswerten Symmetrie der Koeffizienten wie bisher :

I. Reduktionsstufe

[bc-l\y + [cc-l]g + [cM] = 0 Wenden wir das Gaußsche Reduktionsverfahren jetzt auf die Gleichungen der ersten Reduktionsstufe an und

multiplizierte erste Glei-

addieren deren mit

pg-i]

[6j.i]

chung zur zweiten, so erhalten wir als einzige Gleichung der zweiten Reduktionsstufe:

{[C

\bc- 1]

[ü&.i]

und daraus die letzte, dritte Unbekannte:

C-1] —

[bc-

[6c 1]

[bb- 1]

[bl •

1]} = 0

[bc- 1]

[b b- 1]

[Ы-1]

[cc-1] —

[bc- 1]

\bc- 1]

№ ь -1]

Der Ausdruck ist ebenso schwerfällig, wie der auf S. 72 für y erhaltene. Für die zweite und (im Falle von mehr als drei Unbekannten) für jede folgende Reduktionsstufe müssen wir daher zur Schreibvereinfachung die in (29) eingeführte Symbolik fortsetzen. An Stelle des Nenners [aa] der ersten tritt für die zweite Reduktionsstufe allgemein der Nenner [6 & • 1], und es bedeutet in ihr ganz analog wie in (29)

и-ч-

[6c. 1]

[df- 1] -

[66-1]

[Ъ d ■ 1]

[6 l • 1] = [с l • 2]

[b/ l]= [df- 2]

für die fünfte Beduktionsstufe kommt der Nenner [e e • 4] und es bedeutet u. a.

(29)    [/7-4]-

[<з г. 4] = [/7.5]

USW.

[ef- 4]

[ee-4]

Damit gebt der oben gefundene Ausdruck für & über in :

(32)

für die dritte Beduktionsstufe kommt allgemein der Nenner [с c • 2], und es bedeutet beispielsweise

[ce • 2]

[ef- 2] —

(29)

[/7-2]-

[c c • 2]

u?/-g]

[cf • 2] = [ef- 3]

[c c • 2]

[cZ2] = [/7-3]

• usw.,

für die vierte Beduktionsstufe kommt der Nenner [d d • 3], und es bedeutet

(29) [fl- 3]

W-4

[dd- 3]

[dl • 3] = [fl • 4] usw.,

[с г. 2]

[cc-2] *

Auch bei drei und mehr Unbekannten erhält man durch Multiplikation der Fehlergleichungen 1, 2 ... Я der Beihe nach mit a1? a₂ , . . .,    , bzw. \, b₂ , . .., bx,

bzw. cl7 c₂ , . ..,    ? Addition der vertikalen Beihen und

Yergleichung mit den Normalgleichungen:

Auf gleiche Weise bestimmen wir jetzt die bisher vorletzte Unbekannte (2/), nachdem wir die Normalgleichungen so umstellten, daß sie als letzte erscheint und die Quadratsummenkoeffizienten in derselben Diagonale von links oben nach rechts unten stehen wie folgt:

[c c]z + \a c]x -|- [b c\y -f- [с Ц = 0 [ac\z -f- [aa]x -)- [ab]y -f- [аЦ = 0 [bc]z+ [ab]x+ [b b]y -f- [ЪЦ = 0.

Ist у bestimmt, so sorgen wir endlich durch abermalige Umstellung nach der vorgeführten Regel, daß die jetzt zu bestimmende letzte Unbekannte x hinten steht. Die Anordnung der Gleichungen wird dann die folgende:

\b b]y -f [b c]z + [a b\x -U [b Ц = 0

[b c] y -f- [c c\z -f [a c]x -f- [с Ц == 0

[ab]y + [ac\z + [aa\x -f- [aЦ = 0.

Die Arbeit der Reduktion und Auflösung der Gleichungen kann auf diese Weise völlig schematisch erfolgen.

Wir haben damit einen Weg der Auflösung gefunden, der sich in ganz gleicher Weise für beliebig viele Unbekannte anwenden läßt. Die Zahl der nötigen Reduktionsstufen ist dabei immer um eins kleiner als die Zahl der Unbekannten.

Das Ergebnis der Auflösung war für: eine Un- j _ bekaunte \ x ~

zwei Unbekannte

[a l]

1]

M = 0,} (27)

u. (28)

drei Un- _ bekannte % ~~

[ъъ-iy

[cl-2] [ce-2] ’

[av] = 0 [bv\ = 0 , \av\ = 0 \bv\ = 0 \cv\ = 0 .

} (30)

U. (31)

§16. Bestimmung der mittleren Fehler m usw. 79

Die Fortsetzung des Verfahrens ergibt [was sich durch Analogieschluß voraussehen läßt) als Wert der letzten von:

= 0 = 0 = 0 = 0,

\av\ = 0

vier Unbekannten

[dl - 3]

[dd • 3] ’

(34) u. (35)

fünf Unbekannten

[el-4Ą

[ее. 4] ⁵

(34) u. (35)

\ev\ = 0 ,

usw.

§ 16. Bestimmung der mittleren Fehler m der Beobachtungswerte L aus den den letzteren zuzuschlagenden Verbesserungsbeträgen V .

Die ursprünglichen Beziehungen zwischen den Unbekannten X. . . und den Вeobachtungswerten Lx. . . Ln hießen

(25)

г.. .)-4 = о.

I Da die Beobachtungswerte L unmöglich fehlerfrei sein können, sahen wir uns genötigt, ihnen — zunächst noch unbekannte — Verbesserungsbeträge -\-v zuzuschlagen, so daß wir uns mit den Gleichungen genügen lassen mußten:

(25 a)

womit die verbesserten Werte der Beobachtungsgrößen lauteten А + vi •

Wir haben sodann zum Zweck der Erzielung linearer Form der Beziehungen und größerer Rechenbequemlichkeit die Unbekannten

Nx+ я Nr + y

И êh •••

ersetzt durch

wobei N

Nf . . . Näherungswerte der Unbekannten und

X, y . . . die jetzt als neue Unbekannte aufzufassenden kleinen Zuschläge zu diesen Näherungswerten darstellten. Die Fehlergleichungen gingen damit über in die Form:

(25 e)

aix + У H~ ' • • + k = vi i

so daß an Stelle des negativen Wertes der Beobachtung L der Überschuß l desjenigen Wertes über ihn trat, den man durch Einsetzen der Näherungswerte Nx, Nr ... in die Be Ziehungen F(X, Y, ...) errechnete.

Der an der Beobachtungsgröße L anzubringende Verbesserungszuschlag -\-v erlitt jedoch durch diese Additionalkonstante F(NX4 NY, ...) natürlich keine Änderung. Dasselbe ist daher mit der von v abhängigen, der Beobachtung oder der gesuchten Größe X... (s. § 18) innewohnenden Genauigkeit der Fall.

Die den Beobachtungswerten L zuzuschlagenden Verbesserungen v lassen sich nun nach erfolgter Ausrechnung der neuen Unbekannten x, у... oder derUnbekanntenX, Y... aus Gleichung (25 e) bzw. (25 a) berechnen. Je kleiner sie aber sind, um so genauer ist die Beobachtung ausgeführt, um so genauer also werden die Unbekannten X... sich ergeben. Als Kriterium für die erreichte Beobachtungsgenauigkeit kann demnach die Größe dieser Verbesserungszuschläge v dienen. Dabei hat uns aber schon die bisherige Untersuchung gezeigt, daß nicht etwa der

durchschnittliche Wert d —

dieser Verbesserungszuschläge einen zutreffenden Genauigkeitsmaßstab liefert, sondern daß wir, um größere Beobachtungsfehler stärker in die Wagschale zu werfen und gleichzeitig den störenden Vorzeichenunterschied wegzubringen, die Quadrate dieser Verbesserungen betrachten müssen. Wir verfahren dabei in Übereinstimmung mit der Bedingung

[absol. v]

[v v\ = Min., welche uns die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten lieferte. Denn es liegt nichts näher, als den Wert derjenigen Funktion der Beobachtungsfehler, welche wir durch entsprechende Auswahl der Unbekannten zum Min. machen wollen, gleichzeitig als Maßstab für die erreichte Beobachtungsgenauigkeit zu benutzen.

Ist nur eine einzige Unbekannte vorhanden, zu deren Bestimmung n Beobachtungswerte L dienen, so daß unsere Fehlergleichungen heißen a±x + l± — vt = 0 ,

so tritt ax an Stelle von L in Gleichung (2), und wir haben wie dort nach Gleichung (5 b) direkt den mittleren Fehler einer Beobachtung

[vv\ — 1 •

Es fragt sich aber, ob der Nenner (n — 1) auch im Falle der Bestimmung von 2 , 3... x Unbekannten aus Я Beobachtungen bzw. Я unabhängigen Bestimmungsgleichungen gilt. Diese Frage läßt sich durch direkte Entwicklung, einfacher aber noch durch folgende Überlegung beantworten :

a) Welches auch die allgemeine Formel für die Berechnung des mittleren Fehlers m einer Beobachtung aus den Verbesserungen v sein möge, für den Fall der Bestimmung einer einzigen Unbekannten aus Я Beobachtungen heißt sie:

\vv\

(5 b)

m²

Я-l •

b) Ist Я < x , so lassen sich aus den Я Gleichungen nicht einmal die Werte der x Unbekannten, also noch viel

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung L

so lassen sich wohl die Werte der Unbekannten X, T. . aber keine den Beobachtungswerten zuzuschlagenden Verbesserungen v berechnen. Die zwischen den Werten für die Unbekannten und den Beobachtungsgrößen bestehenden Beziehungen werden durch die Beobachtungswerte, so fehlerhaft sie sein mögen, genau erfüllt. Der mittlere Beobachtungsfehler m bleibt somit unbestimmt, was die für ihn aufzustellende Formel zum Ausdruck bringen muß.

weniger die bei der Beobachtung erreichte Genauigkeit errechnen. Die Einsetzung von Я und x in die gesuchte Formel für m muß also zu einem imaginären Wert führen, c) Ist Я

d)    Ist Я > X , so ist für die Unbekannten Überbestimmung vorhanden, folglich gehen jetzt die Beziehungen (25) in die Fehlergleichungen (2 5 a) und (2 5 e) über. Letztere liefern Я, den Beobachtungswerten L zuzuschlagende Verbesserungen v, aus denen sich der mittlere Beobachtungsfehler m um so sicherer ergibt, je größer Я ist.

e)    Der gesuchte Ausdruck für den mittleren Beobachtungsfehler m kann nach dem Vorstehenden nicht bloß abhängig sein von [vv] und der Zahl Я von Bestimmungsgleichungen, sondern auch von der Zahl x der Unbekannten, muß also lauten:

m = F§v v], Я , x).

f) Er darf nur für den Fall m zu 0 ergeben, daß die Beobachtungs werte fehlerfrei sind, vx — v₂ =*•*• = 0 (was bei wirklichen Beobachtungen nie zutrifft).

Alle diese Forderungen sind erfüllt durch die Glei

chung:

[v v]

Sie liefert: a) für x = 1 ж²

[vv\

b) für А < x m

negativ

,. f was auch v sein möge, negativ jfolglicll m imaginär;

c) für А = х ш

[v v]

= unbestimmt (weil v₁ — v₂ — • • • = 0) ;

>1 *

d) für A > л: m

Je größer A, um so gTößer auch die Zahl der zur Berechnung von m verwendeten v. Um so sicherer also die Bestimmung von m.

f) Für A> x wird m nur =0, wenn [w]=0, weil jeder Einzelbetrag v² eine endliche positive Größe darstellt, die mit A — x wächst.

§ 17. Ableitung des Wertes der Fehlerquadratsumme [vv\ als Nebenprodukt der Reduktion der Normalgleichungen.

Die Berechnung der zur Erkenntnis der Beobachtungsgenauigkeit nötigen Fehlerquadratsumme [v v\ durch Einsetzung der für die Unbekannten x. . . oder X. . . erhaltenen Werte in die Fehlergleichungen ist schwerfällig." Wir suchen daher auf anderem Weg zum Ziel zu gelangen. In § 14 haben wir für [w] beim Vorhandensein yon drei Unbekannten die Gleichung aufgestellt:

[vv] — [aa\x² -f- 2 [а Ъ\х y -f- 2 [a c\xz -f- 2 [a Цx -f- [Ъ b] y2 + 2[bc]ÿz + 2 [ЪЦу + [c c] z² + 2 [сЦг + [Щ, welche für jede beliebige andere Zahl von Unbekannten ganz analog lautet (vgl. z. B. § 15 für eine Unbekannte). Aus obiger Gleichung wollen wir nun versuchen, die Unbekannten x,y,% zu eliminieren. Zu diesem Zweck kehren wir zur Auflösung der Normalgleicliungen zurück (S. 75), deren erste wir — quadriert und durch [a a] dividiert — von dem obigen Ausdruck für \vv\ subtrahieren. Der Wert von [V v\ wird dadurch nicht verändert und wir erhalten dafür unter gleichzeitiger Einsetzung der Gaußschen Symbole:

[w\ = [bb- 1 ]y² + 2[bc • 1 \y z + 2[bl • 1 ]y + [с c • 1 ]z2 + 2[cl- l]z + [ll-l],

Subtrahieren wir von dem jetzt gewonnenen Ausdruck für [v v] die linke Seite der quadrierten und mit [b Ъ • 1] durchdividierten ersten Gleichung der ersten Reduktionsstufe (s. S. 76), deren Wert gleichfalls 0 ist, so erhalten wir unter wiederholter Anwendung der Gaußschen Symbolyk

[vv] = [cc- 2]z² + 2[cl-2]z + [ll- 21 .

Subtrahieren wir endlich von dem obigen Ausdruck für [v v] die linke Seite der quadrierten und durch [с c • 2] dividierten Gleichung der zweiten Reduktionsstufe [с c • 2] я [с l • 2] = 0 , so erhalten wir als Quadratsumm e der Verbesserungen v an den Beobachtungswerten L im Falle von drei Unbekannten:

(37)

[w] = [гг-з].

Im Falle der Bestimmung von к Unbekannten ergibt sich genau auf demselben Wege:

(37)

\vv\ = [ll • x].

Im Falle der Bestimmung einer einzigen Unbekannten kann man noch bequemer in der Gleichung (s. S. 70):

[v v] = [a a\x² + 2 [a l]x -(- [II].

direkt einsetzen:

(27)

\aa\

und X² —

[aal² ’

Damit kommt

(37) M =

er

[aa]

²ы+[Щ=[Щ-Ыа^[11Л1

Erwägt man,

daß aus : [l l] sich ergibt [ll • 1] = [l l]

11 n P ^ * 1] 11

ii PJ-2] = PM]

[6M1

P^T]

И-2]

[cc - 2]

so wird klar, daß man die Quadratsumme der Verbesserungen V gelegentlich der Reduktion der Normalgleichungenin demselben Augenblick erhält, in welchem die zuhinterst stehende, also zuerst gesuchte Unbekannte gefunden wird. Man hat zu diesem Zwecke außer den Koeffizienten [a a], [a 6], [a c\, [a l\, [66],... nur noch die Quadratsumme [ll\ einzuführen und bei der Reduktion ebenso zu behandeln, wie jene.

Da die an den Beobachtungswerten anzubringenden Verbesserungen v, also auch [vv] ihren Wert natürlich nicht ändern, wenn man statt der bisher zuhinterst stehenden nach erfolgter Umstellung die vorher zweitletzte Unbekannte usw. bestimmt, so erhält man dadurch eine Rechenprobe für die richtige Durchführung der ganzen Reduktionsarbeit, daß die Endwerte [ll»x\ der Reduktion für alle Unbekannte einander gleich sein müssen.

и n P^ * 2] „

i, Pi-3] = [U-21-

И-2],

§18. Mittlerer Fehler M und Gewicht P der berechneten Unbekannten aus den Verbesserungszuschlägen v der Beobachtungswerte L.

Von den gesuchten Größen Al, Y. . . besitzt jede dieselbe Genauigkeit, wie die ihr entsprechende, durch Subtraktion des Näherungswertes Nx, NY. . . daraus ent-

standene neue Unbekannte x, y. . . Beide bedürfen derselben unbekannten Verbesserung, um zum unzugänglichen wahren Wert bzw. Zuschlag ergänzt zu werden, beide haben denselben mittleren Fehler M.

Dieser mittlere Fehler M der X. . . oder x. . . hängt jedenfalls vom mittleren Fehler m, oder den wahrscheinlichen Verbesserungen v der Beobachtungswerte L ab, denn je kleiner diese (und je größer ihre Zahl), um so genauer lassen sich auch die gesuchten Größen bestimmen, deren Kenntnis sie vermitteln (s. Satz S. 55). Nachdem wir mittels Gleichung (36) gelernt haben, aus den Verbesserungen v die — im vorliegenden Falle gleich großen — mittleren Fehler m der Beobachtungs werte L zu berechnen, gibt uns § 12 die Möglichkeit, auch diejenigen der unbekannten Zuschläge x, y. . . oder der Unbekannten -X", Y. . . zu finden, sobald es uns gelingt, aus den к Normalgleichungen

\a d\x \cl b\y -j- • • • -j- \ß l] = 0

explizite Funktionen für die Unbekannten zu bilden von der Form X =    , L₂. . . ), oder x = <^(ZA , l₂. . . ),

oder noch besser in linearer Form:

(a)

/ & ⁼⁼⁼ «l l\    ^2 ^2 “I“ * ’ * ~ł~ К i

I У ⁼ ßl h + & h + * ' ‘ + ßn ln •

Dabei steht, falls letztere lineare Form im Hinblick auf die Kleinheit der unbekannten Zuschläge ж, у. . . genügt, von vornherein fest, daß die zu bestimmenden Koeffizienten

«11 <*2---Ai &•••

Funktionen der Koeffizienten а, Ъ . . . der Fehlergleichungen sind.

Zur Umwandlung der Normalgleichungen in explizite Form für die Unbekannten wollen wir den Fall zweier Unbekannten nehmen, für welchen Gleichung (30) lieferte:

V>1-1]

[66-1] •

Der Nenner ist unabhängig von ?, kommt also für die gewünschte auseinandergezogene Form (a) nicht weiter in Betracht. Der Zähler lautet auseinandergezogen

[6M]=[&q

[ab]

[aa]

Ь±к Ht⁻ Ь%к~\~ * * * ~1“ Ьп In '

woraus wir erhalten

[ab]

[a a]

(ai h “ł" a2 к “Ь ‘    ank) i

[ab]

(b)

[66-1]

[iaa]ül

[ab]

a2 j кЛ----

+ (&n

[aa]

an

Die Vergleichung der Gleichungen (a) und (b) liefert

(c)

ß₁ =

{к

[ab]

Ä“

[bb-1]

Ibb • n (&2

[aa]⁰*¹

[ab]

[aa]0/2

und mit diesen Koeffizienten die Möglichkeit, den Wert der Unbekannten y nach Gleichung (a) zu berechnen. Daran haben wir nun kein Interesse, wohl aber an der Berechnung von

со со

weil nach Gleichungen (24 b), (24 c) und (24 d)

-мал

Setzen wir den allen Beobachtungswerten gemeinschaftlichen mittleren Beobachtungsfehler m gleichzeitig als mittleren Fehler ^ der Gewichtseinheit fest (behaften jede der Beobachtungen L mit dem Gewicht 1), so kommt daraus:

щ

(d)

(e)

P,

ЧШ1-

Wir erhalten nun aus Gleichungen (a) und (c)

dy

•37—Ä

[66-1]

(б,

[ab]

«1

dy

irr-

also

6l₂

[b b - 1]

[a a]

a₂

usw.,

61г

6y

[bb-1]²

bi~ia^W\+al

[® 6]:

[а а]

ôl₂

[6&-1]²

61 — 2 а₂ 6₂

[а 6]

[a a]

+ al

[«»I

[a a]'

ei

[Ъ b • I]²

т-

\ąb\

[а а\

')

([ьь]

\аЪ]

[ЪЪ-1] *

Einsetzung in (d) und (e) und in Gleichung (36) liefert für den Fall der Bestimmung von zwei Unbekannten:

n\ Ti я m²

[b b * l]²

[a a]

[v v]

[112]

39) JP„=T

[b ь . 1] (Я - 2)[b b . 1] (Я - 2)[& ft . 1] ¹    =[66i].

(ЙЛ

Der Ansdruck [bb • 1] für das Gewicht der Unbekannten y ist [in Übereinstimmung mit Gleichung (2)]

der Nenner des zur Bestimmung dieser Unbekannten dienenden Bruchs. Er ergibt sich gelegentlich der Reduktion der Normalgleichungen.

Durch Analogieschluß, oder durch Überlegungen und Ableitungen, ähnlich den vorhergehenden, kommt man zum Gewicht P und zum mittleren Fehler M der bei der Reduktion der Normalgleichungen jeweils zuhinterst stehenden Unbekannten, gleichgültig, wie groß ihre Zahl auch sei.

Z. B. liefert Gleichung (32) für drei Unbekannte

(39)

J>æs= [ec- 2],

woraus

p г • з]

ш%    \v ri

(38) Ш = ж; ⁼ (Я-3)[сс2] ⁼

Gleichung (34) für vier Unbekannte

(39)

P„=[W.3] ,

woraus

(38) Ml =

m\    [V ]

PXi (Я — 4) [d d • 3]

Pjlil

(Я —4)[с^сг-3]

usw.

§ 19. Praktische Ausrechnung der Koeffizienten für die Normalgleichungen. Bedürfnis veränderter Größe der Unbekannten oder der Maßeinheit. Vereinfachte Schreibweise. Rechenproben.

i*, Li,...) = 0 die Fehlergleichungen

x, y, ••

In § 14 haben wir erfahren, wie wir aus den vorhandenen Beziehungen zwischen den Unbekannten X, Y... und den Beobachtungsgrößen L von der Form (25) P(X,Y...)— L — 0 oder F₍

(25 e)

Г ах + Ъу Ą-----1- f =

Vermittelnde Beobachtungen, und aus ihnen die Normalgleichungen

(26)

I [a a\ X -\- \a Ъ] y -\-----f- [а Ц — 0

erhalten.

Die darauf folgenden Paragraphen haben uns die Auflösung dieser Normalgleichungen gezeigt. Jetzt handelt es sich um die praktische Ausführung der Rechnung.

Die Koeffizienten a, b . . . der Fehlergleichungen mögen bereits gewonnen sein. Diejenigen der Normalgleichungen sind zu berechnen. Sie sind teils Quadratsummen [oa], [bb] ... [//], teils Produktensummen [a b\, [a c].. . [6 c]. . . . Für die Bildung der einzelnen Quadrate und Produkte, wie für die Reduktion der Normalgleichungen verwendet man, soweit die damit erzielbare Genauigkeit von drei Stellen ausreicht, den gewöhnlichen logarithmischen Rechenstab, für größere Genauigkeit Quadrat- bzw. Produkten tafeln, oder größere Rechenschieber bzw. Rechenwalzen, und, falls auch deren Stellenzahl nicht ausreicht, Logarithmentafeln bzw. Rechenmaschinen. Besonders bequem ist die Benutzung der Quadrattafeln mittels derer man nicht allein die Quadrate a\, a\. . .a\, b\, b\. . .b% usw. selbst, sondern auch die Summen der Produkte [aö], ..., \al], ..., \bl\ usw. gewinnen kann. Bildet man nämlich neben den Quadraten von a, 6, . . ., I auch diejenigen von (a + b) ... {a + l), (b + /)..., so erhält man aus (a + b)² = a² + 2 a b + b² :

ab —

(ia + b)² — a² — b²

also

[a 6]

[(q + b)²] — [a a] — [b b]

§19. Ausrechnung d. Koeffizienten f. d. Normalgleichgn. 91 und ebenso

[6 г] =

[(ъ + т-1ъъ]-[и]

USW.

Sind die einzelnen Koeffizienten und Absolutglieder а, Ъ ... I sehr ungleich, so nötigt das Vorhandensein besonders kleiner Werte (<1), wenn sie bei der Quadrat- und Produktenbildung neben den groben überhaupt noch zum Ausdruck kommen sollen, zum Mitschleppen vieler Stellen, zumal in den quadratischen Summen. Dadurch wird die praktische Rechnung erheblich erschwert. Eine Vereinfachung ergibt sich, wenn es gelingt, den Koeffizienten und Absolutgliedern ungefähr gleiche Stellenzahl und womöglich ähnlichen Wert zu verschaffen. Hierfür gibt es zwei Wege. Bei dem einen führen wir statt der Unbekannten mit den abnorm kleinen oder großen Koeffizienten in den Fehlergleichungen ihren 10-ten, 100-ten . . . Teil oder ihr 10-faches, 100-faches . . . als neue Unbekannte ein, wodurch die zugehörigen Koeffizienten auf den 10-fachen, 100-fachen . . . Betrag steigen, bzw. auf den 10-ten, 100-ten Teil ermäßigt werden. Bei Begehung des andern wählen wir die Maßeinheiten für die Unbekannten und für die Beobachtungsgrößen nach Bedarf in Abweichung von den bisher eingeführten. (Längen in m oder dm oder cm usw., Winkel in Minuten oder Sekunden oder in analytischem Maß, Gewichte in kg oder g usw., jedoch konsequent in einer und derselben Aufgabe immer gleich.)

Die schon in § 15 erkannte symmetrische Anordnung gleicher Koeffizienten der Кormalgleichungen, welche zu einem eigentümlichen Reduktions- und Auflösungsverfahren führte, ermöglicht uns auch eine einfachere, abgekürzte Schreibweise. Betrachten wir z. B. die Nor-malgleichnngen für vier Unbekannte:

[a a\ x± -f- [а Щ x₂ -j- [a c\ x₃ -f- [a d] -f- [а Ц — 0

[a &] xx -f- [b b] x₂ -f- [b c] x₃ -\- [b d] x± [b I] = 0

[a c] xt + [b c] x₂ + [с c] x₃ + [c d] хф -|- [с I] = 0

[a d] x± -[- [b d] x₂ -f- Iе d] x₃ -f- [d d] #₄ -|- [d l\ = 0,

so erkennen wir, daß wir genau dieselben Koeffizienten in derselben Reihenfolge erhalten, wenn wir statt der Gleichungen selbst jede Zeile zunächst vertikal von oben nach unten bis zur Diagonale der Quadratsummen und dann von ihr ab nach rechts horizontal weiter lesen. Unter dieser Voraussetzung können wir also den Aufschrieb der Glieder links von der Quadratsummen diagonale sparen. Daß diese Schreibkürzung angewendet wird, deuten wir durch Unterstreichen des ersten (quadratischen) Koeffizienten auf jeder Zeile an und ersetzen überdies die fehlenden Glieder eventuell durch Punkte. Auf den Beischrieb der Unbekannten x, у. . . und die Beibehaltung der Gleichungsform müssen wir in diesem Fall verzichten.

Für die Weiterbehandlung ist dies jedoch völlig bedeutungslos, weil die Gleichheit der zueinander symmetrisch angeordneten Koeffizienten auch in den verschiedenen Reduktionsstufen besteht, ihr Mitschleppen also lediglich eine nutzlose Arbeitsvermehrung bedeuten würde. Die Unbekannten spielen bei der Reduktion nur die passive Rolle, daß in jeder folgenden Reduktionsstufe eine von ihnen, nämlich die in der vorhergehenden Stufe links stehende verschwindet. Geändert werden durch das Reduktionsgeschäft nur die Koeffizienten [aa], \a b] . . . [66] ...[//], [bb • 1] . . . \ll • 1], [cc• 2] .. . usw.

[a a] [a b]    [а c]    [a d] [а Ц

[M\

[bb] [6 c]

An Stelle der Normalgleichungen tritt daher jetzt als abgekürzter Anschrieb ihrer Koeffizienten:

[bd]

Genau dieselben Schreibkürzungen wenden wir bei jeder Reduktionsstufe an.

Ein wichtiges Erfordernis für die stufenweise Ausführung längerer Rechnungen, von denen sich eine auf der anderen auf baut, ist endlich die Herstellung von Rechenproben. Die bloße Wiederholung der Rechnung genügt hierfür nicht. Eine durchgreifende Probe für die Bildung der Koeffizienten der Norinalglei-chungen, wie auch für deren Reduktion erhält man durch Einführung der Summe 5 der Koeffizienten und Absolutglieder jeder Fehlergleichung :

(40)

si = ai + h + ci + s2 = a2 + ^2 + C2 +

Multipliziert man nämlich die erste Zeile dieser Summengleichung (40) mit , die zweite mit a₂ usw. und addiert vertikal, so erhält man die Kontrollgleichung

(41) [a s] = [a a\ + [a b] + [a c] + • • • + [a l].

Führt man dieselbe Multiplikation mit

CH

w

со"

durch und addiert, so erhält man

[bs] = [ab] + [bb] + [be] + • • • + [bl\

(41)

[l s] = [a l] + [b Ц + [e /] + ... + [/ Ц [ss] = [as] + ps] + [cs]4-----1- s]

Rechnet man also außer den zur Gewinnung der Unbekannten jedenfalls erforderlichen Produktsummen

[a a] [a b] [a c] .. [ЬЪ] [be]..

noch die Produkten summen

[as], [&e],    [Is],

so ist nach Gleichung (41) durch jede dieser letzteren eine Zeile der Koeffizienten der Normalgleichungen summarisch geprüft. Die Quadratsumme [l l], welche zum Zweck der Ableitung von [vv] nach Gleichung (36) berechnet werden muß, wird durch die vorletzte der Kon-trollgleichungen (41), und sämtliche Koeffizienten der Normalgleichungen einschließlich der Kontrollprodukten-summen [as] ... [/s] werden durch [s s] geprüft.

Will man daher auf die zeilenweise Kontrolle verzichten, so genügt nach (41), letzte Gleichung als einzige summarisch durchgreifende Probe die Berechnung von [ss] = [aa] + [ab}+'.- + [bb] + [bc]+ ... + [ct] + [ll] (s. schematische Darstellung unten, in welcher jede Zeile rechts und links des Vertikalstrichs und die beiden durch fetten Druck hervorgehobenen Flächen je gleiche Wertsummen beherbergen).

>-

РЧ

[Is] V

Dehnt man die Reduktionsarbeit auch auf die Summenglieder [as], \bs] . . . der Kontrollgleichungen (41) aus, so ändert sich dadurch an den zur Berechnung der Unbekannten dienenden Koeffizienten der verschiedenen Reduktionsstufe n natürlich nicht das geringste. Man erhält aber auch für sie Kontrollgleichungen :

-[bs-l] = 0 — [cs • 1] = 0

(41)

[c c\ ... [c l\

[cs]

[6 s]

[aa\ \ab\ [a c] ... [al]

Probe

[as]

P *]

[* s]

§19. Ausrechnung d. Koeffizienten f. d. Normal gleichen. 95 Koeffiz. der Normalgleichungen Probe

(41)

[a a\ [a b] [a c\... [a Z] [a b] [b b] [b c]... [b l] [tt c] \b c] [c c] « • • [c ï]

[as]

[M

[cs]

[а Ц [b l] [c Ï]... [ï Ï]

[a s\ [b s] [cs]... [I s]

oder abgekürzt geschrieben

[ь 6]    [bc]    ... [ft г]

\P b • 1] + [b c • 1] + • • • + \b I • 1] [b c • 1] + [с c • 1] H-----h [с l • 1]

— [Is • 1] = 0

oder abgekürzt geschrieben:

Probe

[!> Ь • 1] [Ъс-1] ...[&?•!]

(42)

■ [Ц.1]

->-

P*-Чу

•    •    •    [«*-42

d. h. dieselbe zeilenweise und Gresamtsummen-probe, wie in Gleichung (41) für die Koeffizienten der Normalgleichungen.

Die Fortsetzung der Reduktion liefert die Koeffizienten der zweiten Reduktionsstufe, welche den Kontroll-gleichungen genügen müssen:

— [cs-2] = 0

\c c • 2] + • • • + [c ? • 2]

(43)

— p s - 2] = 0

— [c * • 2] — • • • — p « • 2]

oder abgekürzt geschrieben

+ [s 8 • 2] = 0

Probe

[c c - 2] . • • [c l • 2]

[c s • 2]

(43)

• [l l • 2]

P « • 2]

[ss-2]

Ist beispielsweise die Zahl der Unbekannten gleich 3, so fallen die obigen, weitere Glieder andeutenden Vorzeichen und Punkte weg, und es ergibt sich die bei der Reduktion noch übriggebliebene rechtsstehende Unbekannte

M • 2]

[ce ■ 2] '

Die Fortsetzung der Reduktion liefert dann als dritte Reduktionsstufe, welche keine Unbekannte mehr enthält:

(44)

[ll. 3] — [l s- 3] = 0 — [I s • 3] -f- [s s * 3] = 0 , oder als Haupt- und Schlußprobe in Verbindung mit (37)

(44)

[гг-з] = [is- з] = [ss - з] = [vv\

drei gleichgroße Zahlen, deren Wert die Fehlerquadratsumme [vv] Yorstellt.

Ist die Zahl der Unbekannten gleich x, so liefert die x-te Reduktionsstufe

[ll • x] = [l s • x] = [s s • x] = [vv] .

3. Kapitel.

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

§ 20. Erweiterung der für gleichwertige Beobachtungen aufgestellten Ausgleichungsgrundsätze auf ungleichwertige Beobachtungen.

von

Wenn die einzelnen Beobachtungswerte L, aus denen die Unbekannten X, Y. . . errechnet werden sollen und die wir bisher als gleichwertig vorausgesetzt haben, ungleicher Genauigkeit sind (etwa deshalb, weil sie mit verschiedenerlei Instrumenten, oder nach verschiedenerlei Beobachtungsmethoden, oder auf Grund verschiedenoftmaliger Wiederholung gewonnen wurden, oder weil sie verschiedene Größe haben und der Beobachtungsfehler — wie z. B. bei Streckenmessungen — von dieser Größe abhängt, so ändert dies weder an den nach (25) zwischen

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. I.

beiderlei Größen direkt bestehenden, noch an den durch Einführung von Näherungswerten Nx, Ny . . . für X, Y. . . gebildeten reduzierten Beziehungen (25 e) a X -f- • • • -f- l — V das geringste. Der — im Falle vorhandener Überbestimmung jedem Beobachtungswert L zuzuschlagende und etwa durch Einsetzung der gefundenen Werte für die Unbekannten in Gleichungen (25 a) oder (25 e) zu ermittelnde— Verbesserungsbetrag v, welcher infolge der unvermeidlichen Beobachtungsungenauigkeiten nötig wird, wird natürlich um so kleiner sein, je genauer die Beobachtungswerte L selbst sind. Es ist daher nicht mehr angängig, diese Verbesserungszuschläge unterschiedslos den weiteren Untersuchungen zugrunde zu legen, wie es im vorigen Kapitel geschah. Wir sind damit nun auch für den Fall A des § 14 (in L explizite Form der zwischen den Beobachtungsgrößen L und den Unbekannten Jl, Y. . . bestehenden Beziehungen) da angelangt, wo wir im Fall В (implizite Form der Beziehungen zwischen Lx, L₂ . . . Ln, AT, Y. . . ) stehengeblieben sind: die rechten Seiten der Fehlergleichungen (das eine Mal v, das andere Mal w) sind ungleichwertig. Der einzige Unterschied zwischen beiden Fällen besteht jetzt darin, daß v im Falle A die an der jeweils auftretenden Beobachtungsgröße L anzubringende und nur von der Genauigkeit der letzteren abhängige Verbesserung, w im Fall В dagegen eine Funktion sämtlicher in der betr. Beziehung beteiligter Einzelverbesserungen (s. Gleichung 25d') vorstellt.

Wir beschreiten nun denselben Weg wieder, den wir im 2. Kapitel des I. Abschnittes eingeschlagen haben: denjenigen der Einführung von Gewichten p für die Beobachtun gs werte L, oder für die V erbesserungsbeträge v bzw. w. Im Fall A des § 14, mit dem wir uns von

§ 14 an bis zum § 19 ausschließlich beschäftigt haben, ist klar, daß der negative "Wert von L in Gleichung (25) dieselbe Genauigkeit, also auch dasselbe Gewicht hat, wie der eigentliche (positive) Beobachtungswert und wie das Absolutglied l in (25 e), welches gewonnen wurde durch Zuschlag der fehlerfreien Größe F (Nx, JSTY . . . ) zum negativen Beobachtungswert. Sind die Gewichtep oder die mittleren Fehler m der Beobachtungswerte L bekannt, so können wir damit die an den letzteren anzubringenden Yerbesserungen v auf diejenigen Beträge zurückführen, welche sich ergeben hätten, wenn den einzelnen Beobachtungswerten L nicht diese veränderlichen Gewichte . . . pn, sondern allen das gleiche Gewicht 1 zukäme. Durch die Steigerung des Beobachtungsgewichtes von 1 auf^? wurde nämlich auch die Beobachtungsgenauigkeit, und zwar auf das tfp- fache gesteigert (Gleichung 15), also der mittlere Beobachtungsfehler m und der nötige Yerbesserungsbetrag v im selben Yerhältnis herabgedrückt. An Stelle des nötigen Yer-besserungsbetrages v der mit dem Gewicht p behafteten Beobachtung L wäre daher v rfp getreten, wenn die Beobachtung nur das Gewicht 1 gehabt hätte. Wir können also alle an den Beobachtungswerten vom Gewicht p± ,p₂ ... anzubringenden Yerbesserungen v auf die im 2. Kapitel behandelten ein gewichtigen Yerbesserungen und die jetzt zu suchende Lösung auf die dort gefundene zurückführen, wenn wir jeden dieser Yerbesserungs-zuschläge v mit der Wurzel aus dem zugehörigen Beobachtungsgewicht multiplizieren, statte also setzen v rfp .

Im Fall В des § 14 muß das Gewicht p aus dem mittleren Betrag M von w erst besimmt werden, den wir aus (25d') mittels (24c) erhalten:

Ml

ИШ^+№+-+

dft>A²

dLj

mh

(26 g')

woraus

Pi =

Konstante

Konstante

M\

Ml

> Pr =

Konstante

Ml ‘

Für die Auswahl der wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten haben wir daher statt der Bedingung: [vv\ = Min. (s. S. 66) jetzt wieder die schon in § 9 aufgestellte Bedingung (17):

[p vv\ = Min. bzw. [p w iv] = Min.

Wenden wir sie auf die Fehlergleichungen (25 e) bzw.

(25 e') an, indem wir aus diesen, wie in § 14, zunächst v\, v\... bilden, jeden der dafür gewonnenen Ausdrücke sodann mit pt, p₂... durchmultiplizieren und schließlich addieren, so erhalten wir die durch entspechende Auswahl der Unbekannten X, у ... zum Min. zu machende Summe :

[p vv] = [paa] X² -f- 2[раЦху -f- 2|\pac\xz -|-----f- 1[pal\x

+ [pbb]y² + 2\pbc]yz H-----j- 2{рЫ]у

+ [pcc\z² Ą-----h 2 [p c l\ z + [p 11].

Durch partielle Ableitung und Kürzung mit 2 entstehen die Normalgleichungen:

' d[pvv\

ł*

^ = \paa\ x + [pab]y+[pac\z-J-----[pal]— 0

(26 a)

d[pvv]

dy

= [pab]x + [pbb]y Ą-[pbc]zĄ-----b [pЬl] = 0

ê [p V v]

. . . Cb

deren wir wieder ebenso viele erhalten, als partielle Ableitungen möglich, d. h. als Unbekannte vorhanden sind.

Die Normalgleichungen (26 a) unterscheiden sich von den entsprechenden Gleichungen (26) in § 14 nur dadurch,

daß an Stelle jedes der dortigen Koeffizienten а, Ъ . . . oder Absolutglieder l der Fehlergleichungen jetzt getreten sind: a^p, Ъ^р • • • l^p.

Es ist daher nicht nötig, die auf die Normalgleichungen gegründeten Ableitungen des 2. Kapitels hier zu wiederholen. Wir erhalten vielmehr durch Beachtung dieser Kodifikation:

a) im Falle der Bestimmung einer einzigen Unbekannten X:

(27 a)

[pal]

(28 a)

[p а a\

(37 a)

[p a v] = 0 [p vv] = [pll-1]

und für die mittleren Fehler und Gewichte nach der Ausgleichung: mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1 (36 a) mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht p

(36 b)

[pvv]

PV- 1) ’

Gewicht P der Unbekannten x

(39 a)

JPx = [p а а],

mittlerer Fehler der Unbekannten x

(38 a)

jyPx =

[p V v]

Analog ändern sich die Gleichungen des § 15 bei Bestimmung von zwei, drei oder mehr Unbekannten und lauten z.B. :

b) im Falle der Bestimmung von vier Unbekannten und unter Erweiterung der in Gleichung (29) aufgestellten Symbole zu:

=0

’    (35 a)

[ p Ъ v] = 0 [j> er] = 0 [p    = 0

(37 d)

[2? vv\ = [p 11 • 4].

Für die mittleren Fehler und Gewichte nach der Ausgleichung erhält man:

mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1

(36 a)

[pdl- 3] = [pdl- 2]

[pcd • 2]

(29 a)

[2? c c • 2]

Lp с л • 2]

Lp c i • 2J

LpZZ.4] = [pH * 3]

[2? с c • 2] [ p d l - 3]

[p c d • 2]

[2? eZ d - 3]

[pdl- 3] usw.

(34 a)

[2> I • 3]

[p d d • 3]

l/Ipvv\

\ i.-4 ’

mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht p

(36 b)

/ [ff г? г?]

2>(Я-4) •

Gewicht der bei der Keduktion rechts stehenden Unbekannten

(39 a)

Г = [p d d • 3] , mittlerer Fehler der rechts stehenden Unbekannten

(38 a)

Ä-±y

[ff v г?]

[i> d d • 3] (A — 4)

usw.

Auch die in § 19 aufgestellten Bechenproben durch Einführung der Summen 5 der in jeder Fehlergleichung vorhandenen Koeffizienten а, Ъ . . . und des Absolutgliedes l bleiben analog bestehen, wie folgende Untersuchung zeigt:

Wenn die ursprünglich zwischen den Unbekannten X, У... und den Beobachtungswerten L±... vorhandenen Beziehungen lauteten

(26) oder

*1(4,    г, y...) = o

(250

Л(4, 4 ...Lx, X, Г..0 = 0

wobei den Beobachtungswerten , L₂... die Gewichte , _p₂... zukamen, so haben wir diese Urbeziehungen durch Einführung von Näherungswerten Nx, Nr... nach dem in § 14 gezeigten Verfahren linear gemacht und die Fehlergleichungen geschaffen :

' ax oc + У + Ci z -----1-l₁=v₁ bzw. w±

(25e) bzw. (25c') < a₂ x + &2 У ~b сг z + * • * + h = v2 bzw. w₂

D en Absolutgliedern lx... kamen dabei im Fall der Gleichungsform (25) dieselben Gewichte pt, p₂... zu, wie den Beobachtungswerten L±, Z,₂... , im Fall der Form (25') dagegen die in Gleichung (25 g⁷) entwickelten Gewichte. Wir haben sodann, um die Verbesserungen v bzw. w je auf die Gewichtseinheit zurückzuführen, die Fehlergleichungen (25e) in die Form umgewandelt:

(25 f)    0-----b = ®i ŸPt bzw. wrfpl

bzw. ^₂Ьр₂а: + 6₂)/р₂г/ + с₂]/р₂г-|-----ИгЬЙ =    bzw. w₂^

(25 f) ( :    :

so daß die Koeffizienten und Absolutglieder der neuen Fehlergleichungen heißen

usw.

ai Va , bi fPi , ei Yï>i, • • • ^ Kpi

Wir können jetzt für die Ausgleichung ungleichwertiger Beobachtungen genau dieselben Summengleichungen (40) bilden,

welche wir in § 19 zur Schaffung von Rechenproben gebildet haben, indem wir setzen:

r «ilï + &itï + G ŸPi -----b к УК = «i ŸPi

(40a)    < a₂ Yp₂ -|- Ъ₂ }/p₂ -f- c₂ Ур% -f- * * • + h    = ⁸a УР2

Durch Multiplikation der ersten Zeile mit a± Урх, der zweiten mit a₂ ^p₂ usw. und vertikale Addition kommt dann :

(41a) [p а а] + [p а Ъ\ + [p а c\ + • • • + [p а Ц = [p a s],

und ebenso durch Multiplikation mit b₁ )/p± bzw. Ъ₂ Ур₂ usw. bzw. c± ]/рг, с₂Ур₂. . . bzw. 1г Ур±, l₂ ÿp₂. . . bzw. }fpx, s2 • • • kommt :

[pa b] +    [p b b] + [p b c]+    • •    •    +    [p b l\ = [pbs],

[p a l] +    [p b Ц + [p c l] +    • •    •    +    [p) I Ц=[р1 s]    ,

[p as\ +    [2> b s] + [p c s] +    • •    •    +    [i> I s] = f2J s s]    •

Wir haben also für die Koeffizienten der    Normalgleichungen

hier genau dieselben Rechenproben, wie in § 19, sobald wir nicht bloß jeden Koeffizienten und jedes Absolutglied der Fehlergleichungen, sondern auch ihre Summe s mit der Wurzel aus dem zugehörigen Gewicht multiplizieren.

Ganz ebenso verhält es sich mit den Koeffizienten der ersten Reduktionsstufe, wo

[pbb • X\+[pbc-1]H-----\-[pbl l]

[pbc * 1] + [рссЛ]-\-----V[pcl-1]

(41a)

-[*>bs-l] = 0 — [p c s • XJ = 0

(42a) <

[pbi-i]+[pcii]+" • + Lp im] -[pis- i]=o

— [p Ъ s • 1 \ — [p cs • 1]-----[pis • 1]|    • 1] = 0

oder abgekürzt geschrieben:

( \P~bb * 1] [p b c • 1].. ,\p b l • 1]

Probe

[p b s • 1]

(42 a)

[VÇ_ç 11 ■■■[poll]

[P c s ■ 1]

[pis-1]

In der zweiten Reduktionsstufe ist:

[p c c • 2] + • • • + [p c l • 2] — [p c s • 2] = 0

(43 a)

[p c l - 2] + • • • + [p 11 - 2] — [pis - 2] = 0

Probe

— [p c s • 2] — • • • — [pis- 2] + [pss * 2] = 0 oder abgekürzt geschrieben:

[ p C S • 2]

( [p cc - 2].. .[pel- 2]

(43 a)

1^-

. \pll- 2]

[pis - 2]

|j>ss-2].

Endlich kommt die Schlußprobe, welche für den Fall von drei Unbekannten lautet:

(44 a) [p 11 • 3] = [p l s • 3] = [p s s • 3] = [p v v\.

Sind die einzelnen L gleichartige, mit demselben Instrument und nach denselben Methoden gewonnene Beobachtungswerte, so sind die Gewichte p, die wir bisher als bekannt annahmen, einfach proportional den Wiederholungszahlen. Sind sie aber ungleichartig, oder mit verschiedenen Methoden und Instrumenten gewannen, so wissen wir über ihre Gewichte zunächst nichts.

Wir schätzen in diesem Falle zweckmäßigerweise, etwa auf Grund früherer Erfahr ungen und unter Beachtung der Wirkung (Winkelfehler erzeugen Quer-, Streckenfehler Längsverfehlung in der Lage des durch diese Elemente bestimmten Punktes), die ihnen anhaftenden mittleren Fehler m und berechnen hieraus unter beliebiger Annahme eines Gewichtseinheitsfehlers p ihr zugehöriges Gewicht nach Gleichung (15)

mt : [л = У1 : fpx, also px =

usw.

oder für fji = 1 : px =

Führt man mit den so erhaltenen Gewichten, denen gewisse angenommene mittlere Felder m zugrunde liegen (mittlere Fehler vor der Ausgleichung), die Ausgleichung durch, so erhält man nach Gleichungen (36 a) und (36b) mittlere Fehler nach der Ausgleichung, welche mit den ersteren übereinstimmen müßten, wenn diese richtig gewählt worden wären und keine einseitigen Fehlerquellen auf die Beobachtungen ein wirkten. Nötigenfalls kann man die Rechnung mit ihnen bzw. den aus ihnen abgeleiteten Gewichten wiederholen.

Nach dem soeben Erkannten ist

A =    ft = ^- usw.,

folglich der Faktor, mit dem sämtliche Koeffizienten und die Absolutglieder und Verbesserungszuschläge v

einer Fehlergleichung multipliziert wurden, = —.

Da m eine Größe gleicher Gattung ist wie l und v, so werden diese durch die Multiplikation mit rfp unbenannte Zahlen, was schon zur Ermöglichung der durchzuführenden Differentiationen, Multiplikationen und Quadrierungen vorausgesetzt war.

III. Abschnitt.

Bedingte Beobachtungen.

§ 21. Erklärung. Aufstellung der Bedingungsgleichungen.

Wir haben bisher vorausgesetzt, daß die Beobachtungsgrößen an sich voneinander unabhängig sind, bzw. nur insoweit Zusammenhängen, als sie zur Ermittelung anderer Größen gemeinsam beitragen.

Nun gibt es aber eine Reihe von Aufgaben, in denen die je mehrfach beobachteten Größen infolge ihrer Zugehörigkeit zu einem in sich abgeschlossenen Gebilde noch einer Anzahl (ß) voneinander unabhängiger, streng zu erfüllender mathematischer Bedingungen begnügen müssen. Wir haben dann die Aufgabe der Ausgleichung „bedingter direkter Beobachtungen“.

Sind z. B. die drei Winkel ä, /?, у eines Dreiecks je mehrfach gemessen, so müssen sie (unbeschadet der Berech

nung jedes einzelnen von ihnen nach der Formel L — der Bedingung genügen :    LRI

a ß у = 2-R -f- sphär. Exz.

Die (etwa durch Einwägung ermittelten) Höhenunterschiede Ah der Endpunkte der Seiten eines geschlossenen Vielecks müssen (abgesehen von der Mittelbildung im Falle mehrfacher Bestimmung jedes einzelnen von ihnen der Bedingung genügen \A h\ — 0.

Ebenso müssen die Seiten s und die Brechungswinkel ß eines geschlossenen Polygons, gleichgültig, ob sie je aus mehrfacher Beobachtung gemittelt sind oder nicht, den drei Bedingungen genügen:

\ß] = к - 2R [А x] = [s • cos ф\ = 0 \Ay\ = 0 • sin99] = 0,

in denen cp die aus den Brechungswinkeln ß abzuleitenden Richtungswinkel jeder Polygonseite in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem darstellen.

Die erste, wichtigste und häufig schwierigste Aufgabe der Ausgleichung ist im vorliegenden Falle die nach Zahl und Form richtige Aufstellung der Bedingungsgleichungen.

Ist die Zahl der beobachteten — nur durch den durch die Zugehörigkeit zu einem einheitlichen Gebilde bedingten Zusammenhang miteinander in Verbindung stehenden, sonst aber voneinander unabhängigen — Größen gleich der Zahl der zur individuellen Existenz jenes Gebildes nötigen Bestimmungsstücke, so ist keine Überbestimmung vorhanden, also tritt auch keine Bedingungsgleichung auf. Jede weiter hinzutretende Beobachtungsgröße, welche in jenen mathematischen Zusammenhang ein geschlossen ist, liefert eine Bedingungsgleichung.

Die Aufgabe der Ausgleichung bedingter Beobachtungen tritt in der geodätischen Praxis am häufigsten auf bei der Einschaltung von Nivellements- und Dreiecksnetzen.

Suchen wir daher als Beispiel die an einigen Dreiecksnetzen auftretenden Bedingungsgleichungen auf.

Im Falle ausgeführter Winkelbeobachtungen haben wir dreierlei Gruppen solcher Gleichungen, nämlich:

1) Punktgleichungen. Die Summe der in ununterbrochener Folge um einen Punkt herumliegenden Winkel soll 4 R betragen. Zur gegenseitigen Festlegung von s von einem Punkt ausgehenden Strahlen braucht man w = (s — 1)

I)

unabhängige Winkel zwischen ihnen. Übersteigt die Zahl der in einen Punkt gemessenen Winkel p (s — 1), so liefert ^ dieser Punkt eine Punktgleichung.

Fig. 4.

2) Winkelsummengleichungen. Die Summe der drei Dreieckswinkel soll betragen:

2 R -\- Exzeß.

Jedes Dreieck, in welchem drei, jedes Viereck, in welchem vier usw. Winkel gemessen sind, liefert eine Winkelsummengleichung. Reiht sich Dreieck an Dreieck so an, daß man von einer gegebenen Dreiecksseite ausgehend die anderen nur

in bestimmter Reihenfolge auf bestimmtem Weg ableiten kann, „Dreieckskette¹¹ (s. Fig. 4), so können

= 10 „

„ 12

usw.

in 2 Dreiecken 1 Seite und 6 Winkel = 7 Stücke ,, 3 и 4

bekannt sein, mittels welcher die gegenseitige Lage von 4,5,6... Punkten bestimmt ist.

n 3 ,i 4

Notwendig zu dieser Bestimmung sind bei p Punkten allgemein (2 p—3) voneinander unabhängige Stücke (worunter sich etwa befinden können 1 Seite und 2 p — 4 Winkel), also bei 4 Punkt, od. 2 Dreieck. 5 unabhäng. Bestimmungsstücke -ii 5    „

11 6    „

Also sind im Falle der Messung sämtlicher Dreieckswinkel bei

der aus 2 Dreiecken bestehenden Kette 2 Stücke

„    3

„ 4

ii

ii

11

überschüssig, welche 2, 3, 4 ... Winkelsummengleichungen (für jedes Dreieck eine) liefern.

Д<

(Л

O'

, ОС,

4.

ССЯ

<c

Fig. 5.

Fig. 6.

3) Seitengleiehungen. Sind diagonale Strahlen beobachtet (s. Fig. 6), oder sind die Dreiecke so gruppiert, daß man zur Berechnung der Länge irgend einer ihrer Seiten von einer bekannten Seite ausgehend verschiedenerlei Winkel und Dreiecke wählen kann, „Dreiecknetze“ (s. Fig. 5 u. 7), so

gewährleistet die Erfüllung der Punkt- und Winkelsummengleichungen noch nicht eine geschlossene Figur. Denn keine Methode der Winkelausgleichung wird uns die wahren Werte der gemessenen Winkel oc verschaffen ; auch die ausgeglichenen Werte sind noch mit Fehlern behaftet. Demgemäß werden sich für irgend eine der Strecken verschiedene Längen ergeben, wenn wir sie, unter Benutzung der, wenn auch nach Punkt- und Winkelsummengleichungen verbesserten Winkel, je aus anderen Dreiecken berechnen.

Im ganzen sind (wie oben angegeben) zur Bestimmung der gegenseitigen Lage von p Punkten 2 p — 3 unabhängige Stücke nötig. Sind eine Dreiecksseite und [w] Winkel bekannt, so ist demnach die Zahl der überschüssigen Beobachtungsgrößen

(69)

ß = [w] — 2 ff + 4 •

Dies ist gleichzeitig die Zahl der aufzustellenden Bedingungsgleichungen.

In Fig. 6 der gegenseitigen Festlegung von vier Punkten sind 2 p — 3 = 5 unabhängige Bestimmungsstücke nötig. Sind acht Winkel gemessen und eine Seite bekannt, so sind also 9 — 5 = 4 Stücke übrig: wir müssen ß = 4 voneinander unabhängige Bedingungsgleichungen aufstellen. Durch die drei unabhängigen Winkelsummengleichungen. oc± -j- a₂ a₃ a₈ = 2R

+ “з =    + *7

«4 + ^5 ⁼⁼ ^2    ^8

sind alle in der Figur möglichen Winkelsummengleichungen mit ausgedrückt. Als vierte Bedingung brauchen wir noch eine Seitengleichung, welche den linearen Schluß der Figur gewährleistet. Wir erhalten sie, wenn wir von irgend einer Umfangsseite a (gleichgültig, ob ihre Länge bekannt ist oder nicht) ausgehend, die Umfangsseiten des Vierecks der Beihe nach eine aus der anderen ableiten, bis wir wieder zu a gelangen. Dann hebt sich a weg und wir erhalten : sin as sin oc₂ sin a₇ sin a5 sin a₈ sin a₆ sin a₄ sin a±

In Fig. 5 haben wir neben einer Punkt- und sechs Winkelsummengleichungen die auf gleiche Weise erhaltene Seitengleichung: sin a± sin a₂ sin a₃ sin a₄ sin a₅ sin a6 sin^ sin ft, sin ft, sin/₄ sin ft, sin^e

(a)

(b)

(c)

(d)

= 1.

= 1 usw.

Da wir eine Seitengleichung im Falle der Dreieckskette nicht nötig hatten, dagegen eine solche (und eine weitere Winkelsummengleichung) bekommen, sobald wir in die Kette noch irgend einen zweiseitig beobachteten diagonalen Strahl einschalten (Fig. 6) oder die erstere durch Rückkehr auf die Ausgangsbasis zum Netz ausgestalten (Fig. 5), so erkennen wir: Ist nur eine Dreiecksseite bekannt, so ist die Zahl der Seitengleichungen gleich der Zahl der Dreiecksseiten, welche gestrichen werden müssen, um aus dem Dreiecksnetz eine Kette zu machen, die Zahl der Winkelsummengleichungen ist im Falle bloß zweiseitig beobachteter Strahlen gleich der Zahl von Dreiecken der durch Strahlenausschaltung erzielten Kette -f- der Zahl der gestrichenen Seiten. (Ist ein Punkt im Netz durch reinen Vorwärts-oder Rückwärtseinschnitt festgelegt, so liefert seine Existenz und diejenige seiner Bestimmungsstrahlen keine Winkelsummengleichung, beide bleiben für die Feststellung der Zahl der Bedingungsgleichungen außer Betracht.) Für jeden bloß einseitig beobachteten Strahl kommt aus der nach vorigem festgestellten Zahl von Winkelsummengleichungen eine in Fortfall. Die übrigen Bedingungsgleichungen bis zur Gesamtzahl von ß = [w] — 2p -j- 4 sind Punktgleichungen.

In Fig. 7 sind in 10 Dreiecken 30 Winkel gemessen, 1 Seite muß mindestens bekannt sein, gibt zusammen 31 bekannte Stücke. Nötig sind für die gegenseitige Festlegung der 10 Punkte: 2p — 3 = 17 unabhängige Stücke. Also haben wir im ganzen 31 — 17 = 14 Bedingungsleichungen, und zwar 2 Punktgleichungen (bei D und F), 10 Winkelsummengleichungen und 2 Seitengleichungen. (Zum Zwecke der Zurückführung auf die Kette seien z. B. die Seiten AK und KJ gestrichen.)

[io] p

=-£— Iе zweiseitig beobachtete Strahlen. Daraus er-

Man kann die ZahlderBedingungsgleichungen statt in der Zahl der gemessenen Winkel auch in der Zahl der beobachteten Strahlen auzdrücken. Sind in einem Punkte w unabhängige Winkel gemessen, so ersetzen sie w -|- 1 Richtungen. Folglich ersetzen [г#] in p Punkten gemessene unabhängige Winkel [w\ -f- p Richtungen. Setzen wir jeden Strahl als zweiseitig beobachtet voraus, so haben wir also mit [w] in p Punkten gemessenen unabhängigen Winkeln:

kennen wir: Sind s je zweiseitig beobachtete Strahlen im Dreiecksnetz vorhanden, so ist — eine einzige Dreiecksseite als bekannt vorausgesetzt — die Zahl der Bedingungsgleichungen im ganzen

(70)

ß = [w] — 2|) + 4 = 2 s — 3 J> + 4 .

IV

VI

к T 1X

VHI

un

в:

Fig. 7.

Daraus ergibt sich folgende

Zusammenstellung der obigen Untersuchungen:

Zahl der Netzes punkte (exkl. I, reine Vor-od. Rückwärtseinschnitte)

Zahl der zur Kettenverbindung nötigen Dreiecke

Zahl der zur Kette nötigen Strahlen

Von s zweiseitig beobachteten Netz-strahlen sind für die Dreieckskette überschüssig

Zahl der Winkelsuinmen-gleichungen

• ••ими

s—3 = 0 s—5 s—7

+ 1 — 1 (5 — 5) -J- 2 =8—3 (s— 7) + 3 = s—4

-P

p — 2 2i? —3 s— (2p—3) {s— (2t? — 3)}+i?— 2

==s— JP+1

Sind von den s Strahlen s' nur einseitig beobachtet, so tritt an Stelle von s die Differenz s — s', also Zahl der Winkelsummengleichungen

(71)

(s — s') — p + 1 ■

Treten Richtungs- an Stelle der bisher vorausgesetzten Winkelbeobachtungen, so fallen die Punktgleichungen weg.

Die Zahl der zur Festlegung unserer p Dreieckspunkte je zweiseitig beobachteten Strahlen sei wieder s,

s—p + l, s—2p+3.

d. Gesamtzahl d. Bedingungsgleichungen also ß = 2 s—3p+ 4 , die Zahl der Winkelsummengleichungen ist folglich die Zahl der Seitengleichungen

Sind unter den s Strahlen s' nur einseitig beobachtete (etwaige reine Vor- oder Rückwärtseinschnitte bleiben für die Zählung der Punkte und der Richtungen außer Betracht), so wird

— s — 2 p -f~ 3 ,

die Zahl der Winkelsummengleichungen = (s — s') —p -f- 1, die Zahl der Seitengleichungen d. Gresamtz. d. Bedingungsgleichungen ß — 2s — s'— 3p -f- 4 .

Fig. 8.

Sind mehr als 2 Festpunkte durch ihre Koordinaten gegeben, so liefert der Anschlußzwang weitere Bedingungen. So sind in Fig. 8 in 6 Dreiecken 18 Winkel gemessen und überdies durch die 4 Festpunkte А, В, О und H 5 unabhängige Stücke unabänderlich bekannt. Nötig sind für die Bestimmung der gegenseitigen Lage der 8 Punkte

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. I.

13 unabhängige Stücke, also brauchen wir für die Ausgleichung 18 + 5 — 13 = 10 Bedingungsgleichungen. Hierunter sind 6 Winkelsummen- und 4 weitere Gleichungen, welche die Festhaltung der als fehlerfrei vorausgesetzten Bestimmungselemente für die gegenseitige Lage der 4 Festpunkte verbürgen. Y on den letzteren sichern zwei das fehlerfrei gegebene Verhältnis der Streckenlängen AB und OH bzw. АО und BH, zwei deren gegebene Divergenz.

§ 22. Ausgleichung bedingter direkter durch Zurückführung auf vermittelnde Beobachtungen.

Bestehen zwischen den x beobachteten Größen L ß streng zu erfüllende Bedingungsgleichungen (wobei natürlich X > /?), so setzt uns jede der letzteren in den Stand, eine der in ihr auf tretenden Unbekannten (hier den ausgeglichenen, zunächst noch unbekannten Wert einer der Beobachtungsgrößen) in den anderen aus-, und damit die Zahl dieser Unbekannten um eine herabzudrücken. Damit fällt natürlich die Bedingungsgleichung selbst weg, und uns bleiben, wenn wir diese Gleichungen alle in der angedeuteten Weise benutzt haben, schließlich statt der ursprünglichen x noch x — ß Beobachtungsgrößen zurück, deren ausgeglichene, von den beobachteten um die unbekannten Beträge v1? v₂, .. . abweichende Werte wir bestimmen wollen. Hierfür dient uns die allgemeine Ausgleichungsbedingung {(4) \v v] = Min. oder (im Fall ungleicher Beobachtungsgenauigkeit) : (17) [p vv] = Min.), welche aus den Ausdrücken für die die Beobachtungswerte Lt,L₂, ... zu den wahrscheinlichsten Werten X, Y, . . . der Beobachtungsgrößen ergänzenden Verbesserungsbeträge v die Normalgleichungen liefert zur Berechnung dieser Verbesserungszuschläge, sowie ihrer Ge-

wichte und mittleren Fehler nach dem Verfahren der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen.

Das Verfahren möge an einem Beispiel mit einer einzigen Bedingungsgleichung gezeigt werden:

Die (ein- oder mehrfache) Beobachtung der drei Winkel eines Dreiecks habe für sie an Stelle der unbekannten bestmöglichen Werte a, ß und y die mit gleichgroßen Ungenauigkeiten behafteten Werte Lx, L₂ und L₃ ergeben. Letztere werden wegen dieser Ungenauigkeiten die Bedingungsgleichung & ß - y — 2Я

(72 a)

nicht scharf erfüllen. Vielmehr wird ein Widerspruch w sich einstellen, über dessen Vorzeichen wir hier nach allgemeinem Gebrauch wie folgt verfügen wollen :

w = Ist — Soll.

Wir erhalten dann: (72 b)

Li —J— L₂ —jf⁻ L₃ — 2-ß — io

und müssen nun jedem der Beobachtungswerte L für die Unbekannten oc, ß und y eine Verbesserung v zuschlagen, so daß die Bedingungsgleichung (72 a) durch die verbesserten Beobachtungswerte erfüllt ist:

(72 c)    (L± -f- vx) -j- (L₂ -(- v₂) -f- (Z₃ + ^₃) = 2-R

und wobei sich aus (72c) und (72b) ergibt:

vi + V2 + ^3 + w = 0.

(72 d)

Dabei müssen diese unbekannten Verbesserungszuschläge v noch der allgemeinen^Ausgleichungsbedingung entsprechen:

für gleichgenaue Beobachtung: [v v] = Min. (17) für verschiedengenaue

j(4)

[p v v] — Min.

Drücken wir nun eine der Unbekannten, z. В. y, mittels der Bedingungsgleichung (72 a) in den beiden andern aus, so erhalten wir:

« = A-+»i

ß = 4 + V2

y = L₃-\- v₃= 2Я — (oc ß) = 2R — (L± -f* vt -j- L₂ -f- v₂).

Führen wir, wie bisher, für die Unbekannten a und ß Näherungswerte ein, und bestimmen die ihnen noch zuzufügenden

а = Lx + x

Zuschläge x und у als neue Unbekannte, erklären wir endlich die Beobachtungswerte Lt und L₂ selbst als solche Näherungswerte, womit

ß — 4 + У

y = 2B-(a + ß), so erhalten wir die Fehlergleichungen v₁ = a—Ly v₂ = ß—L₂

v3⁼ 7 —4 — 2 R — {Ly + Vy + L₂ + v₂)—L₃

= 2R— (4 + 4 + 4) — vi~v2 — — x—У—w,

deren Absolutglieder 0, -0, -—w durch Abzug der festen, und als solche fehlerfreien Näherungswerte an Stelle von Ly, L₂, L₃ getreten sind und mit ihnen gleiches Gewicht haben. Aus den Koeffizienten und Absolutgliedern dieser Fehlergleichungen erhalten wir wie bisher diejenigen der Normalgleichungen :

h cd cô

Absolutglieder u. Koeffizienten der Fehlergleichungen

Probe

Koeffizienten der Normal-gleichungen

aa ab al ЪЬ Ы ll

Probe

rH O T-H

+1+1 0 0 0 0 0 +1000+10 0

+1

о о +1 о

—1 —w —w—2 4“1 +1 -\~w +1 -\~w + w² (w²+4w + 4)

+1

— w 1+2 +1 -\-w +2|+w> -\-w² w²+4w + 6

G=o о

—w

womit letztere lauten:

2x + у + w = О X + 2y + w = O

oder in abgekürzter Form samt den Koeffizientenproben:

+ 2    +1 +w 3 + w

+ 2 +w 3 + w

w² w² + 2 w

I ¹¹⁾² H~ 4w + 6 (in Übereinstimmung mit

der direkten Rechnung).

Die früher gezeigte, gewöhnliche Reduktion liefert hieraus: — w

CO UN

womit wie vorauszusehen war.

Das Gewicht des ausgeglichenen Winkels ß ist:

Py = Pß = \,

der mittlere Fehler des Beobachturigswertes eines Winkels

,, m , w

Mß=7m = ±T^-

woraus wir erhalten: den mittleren Fehler des ausgeglichenen Winkels

M, =

Fl § 23. Ausgleichung bedingter direkter gleichgenauer Beobachtungen mittels Korrelaten.

Die Wegschaffung der ß Bedingungsgleichungen durch Eliminierung einer gleichgroßen Zahl von den к Unbekannten ist theoretisch zwar immer möglich, führt aber häufig zu schwerfälligen Koeffizienten der Fehlergleichungen. Bequemer ist es in vielen Fällen, sämtliche x Unbekannte beizubehalten, sie aber in ß neuen Unbekannten k auszudrücken, über die wir hernach derart verfügen, daß aus ihnen die x eigentlichen Unbekannten sich möglichst bequem ergeben. Durch sie, die „Korrelaten“, vermehren wir allerdings die

Zahl der Unbekannten auf (x -f- ß), während wir sie nach dem Yerfahren des § 22 auf (x—ß) herabdrückten. Gelingt es uns aber, wie wir uns soeben Vornahmen, die Beziehungen zwischen den ß neuen und den x eigentlichen Unbekannten einfach genug zu gestalten, so wird eine Rechen Vereinfachung gegenüber dem Yerfahren des

§ 22 eintreten können, sobald ß ^ x — /?, d. h.    .

и

Um jene Beziehungen zwischen den x ursprünglichen und den ß neuen Unbekannten (Korrelaten) einfach zu gestalten, sorgen wir zunächst dafür, daß die ß durch die ausgeglichenen Werte der Beobachtungsgrößen streng zu erfüllenden Bedingungsgleichungen lineare Form annehmen. Zu diesem Zweck führen wir die Beobach-tungs- als Näherungswerte für die direkt beobachteten Unbekannten X. . . ein und betrachten die ihnen zuzufügenden Yerbesserungen v als eigentliche Unbekannte x, у . .., so daß

Y=L₂+v₂=L₂ + y usw.

(73) X=Lx+v^L^x

Wir erzielen damit nebenbei noch eine erhebliche Rechenvereinfachung.

Die ursprünglichen, durch die gesuchten endgültigen Werte X, Y. . . der Beobachtungsgrößen zu erfüllenden ß Bedingungsgleichungen:

(73 a)

₍ XF₁(X,Y...) = 0

3^₂(Х, ¥...) = 0

->

« auszugleichende Beobachtungsgrößen

werden voraussichtlich durch die Beobachtungswerte Lx, L₂ ... nicht scharf befriedigt. Letztere liefern vielmehr die Gleichungen :

^1 (A 7    . . . ) = W₁

(73 b)

F₂ (Lx , L₂ . . . ) = w₂

wobei die Werte w die Einflüsse der Beobachtungsfehler auf die Bedingungsgleichungen darstellen.

Die zur Wegschaffung der Widersprüche w den Beobachtungswerten L zuzufügenden Verbesserungen v sind gegenüber den Beobachtungswerten selbst jedenfalls so klein, daß wir höhere Potenzen von ihnen vernachlässigen dürfen. Dann liefert die Taylor sehe Reihe an Stelle der Bedingungsgleichungen (7 3 a) die Gleichungen :

Y. • •) — -^îC^i + vn L₂ + v₂. . .)

= F₁ (L±, L₂ ...) + vx

ÔF.i , dF

(73c)

^2(^7 Y. . .) = F₂(L± + v± , L₂ + v₂. . .)

= F,(L₁,L₂ ...) + v, IJ +    + • • • = 0 .

Durch. Subtraktion {(73c)—(73b)} erhalten wir:

dF, . ÔF, .

viJĘ + V*JT “I-----b ««1 = o

H-----Nj = o

vêÀ + vêÉ

² dL, + ² <54

und mittels der schon früher benutzten Substitutionen

(25 d)

Ko

■F*

die reduzierten Bedingungsgleichungen :

’ к vx + a₂ v₂ + • • • -f = 0 oder [av\ = —w± (73 d) < 3 \ v₁ -f- Ъ₂ v₂ -f- • • • -f- w₂ = 0    „ \bv] = w₂

-4-:-

a gesuchte Yerbesserungsbeträge v

Da x > ß, reichen diese reduzierten Bedingungsgleichungen zur eindeutigen Bestimmung der x unbekannten Zuschläge v nicht aus. Letztere müssen noch der allgemeinen Ausgleichungsbedingung genügen: \yv\ — Min.

Für den jetzt vorliegenden Fall, in welchem die x gesuchten Verbesserungsgrößen v außer der gewöhnlichen Minimumsbedingung noch ß Nebenbedingungen genügen müssen, haben wir bekanntlich allgemein folgenden Weg der Lösung: Soll irgend eine Funktion 2T(X, Y,Z...) zum Minimum werden, während die Veränderlichen X, Y₁ Z... noch ß Bedingungen von der Form

Ą(X, Y, Z...) = 0 Ą(X, Y, Z...) = 0

streng erfüllen müssen, so bilden wir an Stelle der Funktion F eine andere, welche die erste samt den ß Bedingungsgleichungen enthält. Werte für X, Y,X, welche dieser neuen Funktion genügen, erfüllen auch die Bedingungen F, F±, F₂... Eine solche Funktion ist z. B.

Г, Y...) = F(X, Y, z...) +    Ji(2, Г, Z...)

+ e,F%(X,Y,z. ..)+•••

wobei Qt, @₂... Koeffizienten sind, über die wir nach Bedarf später verfügen wollen.

Wegen der Minimumsbedingung setzen wir

dtp

dp

ßX ⁼ ^ ¹    ~6Y ⁼ ^ ¹    ~6Z ~ 0 • ' *

und erhalten damit ebenso viele Gleichungen, als Unbekannte vorhanden sind; nämlich x. Wir besitzen also jetzt einschließlich der ß Nebenbedingungen (x -f- ß) Gleichungen für die x -j- ß Unbekannten X, Y, Z...    , £₂...

Für die spezielle Durchführung setzen wir im vorliegenden Falle

Qi = —2 К q₂ = — 2 k₂

Multiplizieren wir damit jede der ß reduzierten Bedingungsgleichungen (73d) durch, so erhalten wir

— 2 a₁k₁v₁ — 2 a₂ k₁v₂ — • • * — 2 k₁w₁ = 0 (73e) < —2 \k₂v₁ — 2 b₂k₂v₂ — • • • — 2 k₂w₂ = 0

Zu ihrer Summe addieren wir schließlich die zum Minimuni zu machende Funktion

F(v) = \vv\ = v\ Ą- v\Ą-----

und ordnen nach v, womit wir erhalten

<p(vv v₂,... vK) = v\ — 2    + Vc₂+ ciK 1----)

(74) i •

+ »1 — 2 »₂(«2*i + b₂k₂ + c₂fc₃ -\----)

• • • — 2 (kpwA ^2 ~ł~ • • • ) = Min. Partielle Ableitung von op nach den к Unbekannten v₁,v₂... und Annullierung liefert die Korrelatengleichungen“ :

— 2    — 2 (ötj Jei -|- ЪJ Jc₂ *з ~1“ • • •) = 0

(75)

dv₂

— 2 *₂    2 (a₂ Jc₁ + b₂ *2 "b c2 *з “h * * •) = 0

oder vereinfacht:

Unbek.ü>-

»i = «1 *i + bi *2 + ci *з H----

»2 = «2*1 + b₂*₂ + ^2*3 1----

-ß Korrelaten k-

Damit haben wir die к unbekannten Zuschläge v in den ß zunächst ebenfalls noch unbekannten Korrelaten k ausgedrückt. Um letztere selbst zu finden, setzen wir die v aus (75) in die ß reduzierten Bedingungsgleichungen (73 d) ein.

Durch Zusammenziehen erhalten wir dann ß Normalgleichungen zur Berechnung der ß Korrelaten k:

' [аа\кх -f- [ab]k₂ -f- \ac\kz + ’• • • + w± + 0 |

(7 6) < [a b] k± + [b 6] k₂ -f- [b c] /% + • • • -f- w₂ -f- 0 ^

-<-ß Unbekannte к--->-

Zur Ermittelung der Korrelaten к werden wir jetzt dasselbe Reduktionsverfahren und dieselben Rechenproben verwenden, wie bei der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen. Zur Erlangung der Unbekannten я, bzw. Al, Y. . . setzen wir schließlich die berechneten Werte der Korrelaten in die Korrelatengleichungen (75) ein.

Hieraus ergibt sich allgemein folgender Weg der Ausgleichung bedingter direkter gleichgenauer Beobachtungen mittels Korrelaten:

1) Aufstellung der ß Bedingungsgleichungen zwischen den к Beobachtungsgrößen X, Y in der Form

(73 a)

|ВДГ...) = 0.

2) Berechnung der Werte w, welche die rechte Seite dieser Bedingungsgleichungen annimmt bei Einsetzung der beobachteten Werte l an Stelle der gesuchten AT, Y. . .

(73b)

i ? ^2 • * • ) = W1 •

(78 d)

[bv]

und Anschrieb der ß reduzierten Bedingungsgleichungen [u да] = a± % + a₂ v₂ -f- • • • = — wj b₁v₁ + b₂v₂-\----- — w₂

4) Berechnung der Koeffizienten [a a], [ab]... [bb]. . . und Anschrieb der ß Normalgleichungen für die ß Korrelaten

(76)

I [a a] k± + [a b] k₂ -f- • • • +    = 0 .

5)    Reduktion der Normalgleichungen und Ausmittelung der rechts zuletzt stehenden Korrelaten k. Umsetzung der Koeffizienten und Berechnung der nun zuletzt stehenden Korrelaten usw.

6)    Einsetzung der gefundenen Korrelaten in die Korrelaten gleichungen (7 5). Addition der nach Gleichungen (75) gefundenen Yerbesserungszuschläge

vi — U\k₁ -j- b±k₂ -j- • • •

zu lx, l₂. . ., wodurch

3) Berechnung der к Koeffizienten а, b. . . aus jeder der ß Bedingungsgleichungen F :

dF,    ÔF,    dF:

=    й2 = ^’    аз=^з>-

j _

² “ ÔL ’    3 _

B F.

• • «« = - ,

(25d) _SFa

6LS ’ '

:ЬН =

A + vi = %

А +    = Y

7)    Bildung von [v v] aus⁻ den Korrelatengleichungen (75) und zur Bechenprobe auch direkt nach Gleichung (78).

8)    Berechnung des mittleren Fehlers m einer Beobachtung. Durch die ß Bedingungsgleichungen sinkt die Zahl der unabhängigen Unbekannten auf {тс — ß). Die Zahl der Beobachtungen ist = x , folglich haben wir тс — \tc — ß] = ß überschüssige Beobachtungen und als mittleren Fehler einer Beobachtung:

(77)

[vv\

Die Bildung der Fehlerquadratsumme [v г;] direkt aus den Verbesserungen v ist zwar deshalb nicht allzu umständlich, weil die letzteren (als Unbekannte) doch berechnet werden müssen. Gleichwohl ist es schon der Probe (s. oben) wegen wünschenswert, wie bei den vermittelnden Beobachtungen [vv\ auf anderem Wege zu gewinnen. Quadrieren wir zu diesem Zweck jede der Korrelatengleichungen und addieren, so erhalten wir : [vv\ = \a a]    Ł    Ł 4-    \a 61 L 1c₉ 4- \a cl L Ł 4- • • •

+    [a b] \ k₂ + [b b] k₂ k₂ + [b c]    k₂k₃+..-

+    \ß К К + ft с] К К + [с с]    h Jc₃ -i—

woraus durch Vergleichung mit den Normalgleichun-gen (76):

(78) [w] = — k± wx — k₂ w₂ = /% ws — ••• = — [/«• w\.

§ 24. Ausgleichung bedingter ungleichgenauer Beobachtungen mittels Korrelaten.

Der Bau und Inhalt der von den Unbekannten streng zu erfüllenden Bedingungsgleichungen (73 a) und der reduzierten Bedingungsgleichungen (73d) wird durch den

Genauigkeitsgrad der Beobachtungen L bzw. der ihnen zuzufügenden Zuschläge v nicht beeinflußt.

Deren ungleiche Genauigkeit ändert nur die Minimums-bedingung in Fv =■ [pvv] = Min., so daß die Gleichung (74) jetzt lautet:

(74a)

<P(vt,v,...)    — 2 vl(ai &! + 7cä + • • •)

+ Рч — 2 v₂ (a₂ ki    b₂k₂ Ą- • • •)

— 2 (k±    -f- k₂ w₂ + • • •) = Min.

Jetzt wird

dv₁

= ²Pi vi

2 (aL k± -f- b± k₂ + • • •) = 0

dcp

T— = ² 2h v2 — ² (a2 ki + b2 k2 H----) = 0

dv₂

(75a)

woraus die Korrelatengleichungen: W К + \ k₂ + - • • _ O'x

«1 =

Pl

Pl

a₂ к± + Ь₂к₂-1----

P2

-)--k₂ -f- •••

P2

Wir erkennen, daß durch Einführung yon Beobachtungsgewichten pn p₂ • • • lediglich die Koeffizienten а, Ъ . . . der Korrelatengleichungen in

£ Lp-

«2.

übergehen.

Setzen wir die Ausdrücke für г? wieder in die unveränderten reduzierten Bedingungsgleichungen (7 3 d)

ein und ziehen wieder zusammen, so erhalten wir wieder ß Normalgleichungen zur Berechnung der ß Korrelaten Je: r Г aa

ab'

ас

h л-----h Щ = О

(76а) <

ab

Г ЪЬ I

be

К Н-----h w₂ = О

Die ganze Auflösung ist also gleich derjenigen des § 23, nur ist die rechte Seite der Korrelatengleichungen mit dem Grewicht derjenigen Beobachtung durchzudividieren, welcher die linksseitige Verbesserung v angehört.

Noch einfacher ist es, schon die reduzierten Bedingungsgleichungen (73d) umzuformen, so daß sie lauten:

ai    -----fwt=0 f

m

ŸPi

db

— ViVË +

УК

УК

% УК 4-----Hws = o I

к Unbekannte v->-

Durch Substituierung von

6l = A

<-

a±

а1~ук’

gehen sie über in:

УК’

»i = »i • ivi

usw.

Öl bi + Ö₂ *>2 + * * * + W1 = 0

К *>1 + \ b₂ + • • * + w2 — 0 -

Jetzt hat man mit den Koeffizienten et, Ь, с . . . genau das Verfahren des § 23 anzuwenden und nur am Schluß hei Berechnung der gesuchten Zuschläge v zu beachten, daß:

folglich

^il

Zur Fehlerberechnung braucht man [pvv] = [b b], woraus der mittlere Beobachtungsfehler: der Gewichtseinheit

[öö]

/[pvv\

/* = ±|/

einer Beobachtung L vom Gewicht p

[Л

m = -=-

fp

S. 61

-

..

-

.

(Sammlung

so ад. (fiöfdjen

3eber SBartb in Sein®, geb.

SSetseidjute öer bis jcgt erfd)ienenen S3änbe.

2lbn»äffer* Staffer unb Slbümffer. ^re 3ufammenfebung, SSeurtei» lung u. Unterfudjung t>on Sßrofeffor Dr. ©mil fèafelboff, S3orftel)er ber lanbto. S3erfud)3ftation in Carbura in Reffen. Sit. 473.

Slcferbau* u.SSflansenbauleljre b. Dr. SSaul fHip^ert i. ©ffen u. ©rnft £an* genbed, ©r.*ßid)terfelbe. Sir. 232.

Slgrarmefen unb Slgrarbolitif bon S3rof. Dr. SB. SBt)gobsinêti in 23onn. 2 SBänbdfen. I: ЗЗоЬеп u. Untere neljmung. Sir. 592.

--II: habitai u. Arbeit in ber

Sanbtbittfd)aft. SSermertung ber lanbtt>irtfd)aftl. Sßrobutte. Organic fation beś lanbtbirtfdjaftl. SSerufë* ftanbe3. Sir. 593.

Slgdïulturcbentie I: gSflanscnernäb* rung b. Dr. Karl ©rauer. Sir. 329.

Slgriïulturdjentifrije KontroUmefen, da§, b. Dr. S$aul Krifdje in £eo* bolbSbalKStafcfurt. Sir. 304.

—    Unterfurfjungëmetboben bon fßrof. Dr. ©mil £afefi)off, SSorfteber ber ïanbmirtfd)aftl. S8erfurf)êftation in SSlarburg in Reffen. Sir. 470.

Slttumulatoren, die, für (Slettrisität b. Kaif. Steg.*Slat Dr.^ng. SUd)arb 2ltbred)tin S3erïin*8eblenborf. та 52 Figuren. Sir. 620.

Slïuftiï. dfjeoret.    I: ЯЗДа*

niï u. Slïuftit. SSon Dr. ©uftab ftäger, S3rof. an b. ded)n. £>od)* fdfule inSBien. SRitl9Slbb. Sir. 76.

—    SSlufiïalifdje, bon f£rofeffor Dr. Karl £. <Sd)äfer in SSertin. SSlit 36 Slbbilb. Sir. 21.

Sllgebra. Slritljtnetif unb Sltgebra bon Dr. &. (Schubert, fßrofeffor an ber ©elel)rtenfd)ule be§ üoban* neumê in Hamburg. Sir. 47.

Sllgebra. Seifbielfantmlung s.Slritb* metiï unb Sllgebra bon Dr. фегт. (Schubert, fßrof. a.b.@elebrtenfd)ule b. ^obamteumê i. Hamburg. Sir. 48.

Stlgebraifdfe Würben b. ©ugen S3eutel. Dberrealtebrer in $atf)ingen»@ns, I: Kurbenbtéfuffion. SSlit 57 giß« im £e£t. Sir. 435.

--II: teorie u. Würben britter

u. bierter Orbnung. SJlit 52 gig. im dejrt. Sir. 436.

Silbe«» $ie» bon Dr. Slob. (Sieger, f£ro= feffor an ber Uniberfitat ©raj. SSlit 19 Slbb. u. 1 Karte. Sir. 129.

Stltfjocbbeutfcbe Siteratur mit ©ram» matil, Überfefcung u. ©rlauterun* gen b. (Sdjauffler, fßrof. am Stealgbmnafium in Ulm. Sir. 28.

Slltteftamentl. Sleligion§geftfjid)ie bon D. Dr. SSlaj Söbr, ^rofeffor an ber Uniberfitat Königsberg. Sir. 292.

Slmbbibien. da§ Tierreich III: Sieb* tilien u. Sltnbbi&ien b. Dr. grans SBerner, SSrof. an ber Uniberfitat SBien. SSlit 48 Slbbilb. Sir. 383.

Slnalbfe, detf>n.*(£l)eut., bon Dr. ©. ßunge, Sßrof. a. b. ©ibgen. Sßolt)* ted)nifd)en (Sd)ule in 3ürid). SSlit 16 Slbb. Sir. 195.

Slttttlbfiê» höhere, I: differential* redjnung. SSon Dr. grbr. gunter, Sleïtor beê Stealgbmnafiumê u. ber Oberrealfdjule in ©ôbbtngen. SSlit 68 giguren. Sir. 87.

--Siebetitodum nnb Slnfgaben*

fantmlung sur differentialrerfj* nung bon Dr. grbr. gunter, Stettor b. Slealgbmnaf. u. b. Dberrealfd). in ©öbbtugen. SSlit 46 gig. Sir. 146.

bon

5tnalbfté, фоЬеге, И: gniegralretb* nung* Жоп Dr. griebr. gunter, SReïtor beé SRealgbmnaïiumê u. b. öberrealjcbule in ©öppingen. 9RU 89 Figuren. 97r. 88.

--tfiepetitorium unb Aufgaben*

fantntfung jur gntegrolrecbuung oon Dr. griebr. Fünfer, bettor beè SReatgbmnafiumä unb ber Ober* reaïfcbule in ©öppingen. 9Rit 50 giguren. 97r. 147.

— fiebere, bon $rof. Dr. ЖепеЬШ Sporer in (gingen. 9Rit 5 gig. Ш. 53.

Slrbeiterfragc, 2>te gemerblitbe, oon SBerner Sombart, $rof. on ber ^anbel^ocpfcpule ЖегИп. 97r. 209.

Slrbeiterberfidjernng fieî)e: Sosiat* belief) erung.

Strebooiogie bon Dr. griebricb ®oepp, $rof. an ber Uniberjüät fünfter i. SB. 3 ЖапЬсЬеп. 9R. 28 Slbb. im Ząt и. 40 STofeïn. 9îr. 538/40.

Slritbmetit tu ШдсЬго bon Dr. фегт. Schubert, $rof. o. b. ©eletjrtem fcf)uïe beê gobanneunrê in фат* burg. 97r. 47.

--SBeifpieifammtung sur Slritb*

metiï unb ШдеЬга bon Dr. фегт. Schubert, «ßrof. о. b. ©eïebrten* febuïe be£ gobanneunté in фат»» burg. 97r. 48.

Slrmeepferb, £>aê, unb bie Жефгдипд ber mobemen фееге mit Sterben b. geliç bon SDamnib, ©eneraï ber $abaïïerie S- ©. u. eternal. ЖгеиВ. 97emontein[pe!teur. 97r. 514.

Slrmentoefen unb Sïrntenfürforge. ©infübrung in b. fogiaïe $ilf3arbeit b. Dr. Slboïf Sfôeber, $rof. an ber фапЬе^Ьоф^Шедп Шп. 9żr. 346.

Stftbetif, ЗШдетете, bon $rof. Dr. 9Rar $ies, Sebrer a.b.^gï.Slfabemie b. biïb. fünfte in Stuttgart. 9tr. 300.

Siftronomte. ©rôfje, Жегоедиид и. Œnt* fernung ber фиптеШогрег b. 51. g. 9Röbiu3, neu bearb. bon Dr. фегт. ®obolb, 5Srof. an ber Uniberfitât Æiel. I: Фаз №netenfbftem. 9Rit 33 2ïbbilbungen. 97r. il.

--II: Kometen, Meteore и. baê

©ternïpftem. SOÎit 15 giguren unb 2 ©ternfarten. 9?r. 529.

Slftronomifcbe ©eogropbie bon Dr. ©iegm. ©üntber, ÜSrofeffor an ber ХефпЩеп фосЭДфи1е in 9Rüncben. 3Rit 52 Sïbbiïbungen. 9îr. 92.    !

Slftraphbfit $ie 53efcpaffenbeit ber фштеШЬгрег b. $rof. 2B. g. 2Btèïicenu3. 9îeu bearbeitet bon Dr. ф. Subenborff in $otâbam. SSRit 15 Qibbilb. 9ir. 91.

Sttberifdje £>le unb 9tied)ftoffe Dr. g. SRotbuffen in SRittifc. 9Rit 9 Slbbitbungen. 97r. 446.

5tuffûbenttbürfe b. Dberftubienrat Dr. S. SB. Straub, bettor beś ©berbarb* Submig3*©l)mnaf. i.Stuttg. 9îr. 17.

9lu§gieirf)ung3reçbnung narb ber 9Re* tbobe ber ïteinften Ciuabrate bon 5Biïb SBeitbrecbt, $rof. ber ©eo* bäjie in Stuttgart. 2 ЖапЬсЬеп. 9Riti5 gig. u. 2SEaf. 97r.302u.641.

Stufêemiropâifdje ©rbteiïe, Sauber* ïuube ber, bon Dr. grans феШешЬ, ^rofeftor an ber ©jportatabemie in 2Bien. 9Rit il $e£ttärtö)en unb Profiten. 97r. 63.

9tuftralien. Sanbeêlunbe u. 533irt= fcbaft^geograpbie be£ gefttanbeg StuftraUen bon Dr. śhirt ^offert, 9Srof. b. ©eograpbie an b. фапЬе!^ фоф?фи1е in Шп. 9Rit 8 Slbb., 6 graph- 5Tab. и. 1 ß'arte. 9?r. 319.

5lutogeue^ ©rbioei^* unb ©tbueib» berfabreu bon gngen. фапё 97iefe in Äiet. 9Rit 30 giguren. 97r. 499.

ЖаЬе= u. ©(btbinmanftalten, öffent^ tirbe, b. Dr.^art SBolff, ©tabtober^ baur., фаппоьег. 9R.50 gig. 9ir.380.

ЖаЬет 93abtftbe ©efcbWe bon Dr. $arl Жгиппег, ^rof. am ©pmnaf. in 5ßforäbeim u. ^ribatbosent ber ©eïcbid)te an ber SEecbnifcben фосЬ31 fcbule in ^arfôrube. 9ir. 230.

— Sanbe^fuube bau ЖаЬеи bon55rof. Dr. £). Æienifc i. Âarfôrube. 9Rit profil., 5lbb. и. 1 ®arte. 97r. 199.

Жabuböfe♦ ^orbbauteu ber ЖаЬпЬй?е b. ©ijenbabnbauinipett. ©cbtoab, Жог[1апЬ b. ^gl. е.^фофЬаиУеШоп Stuttgart II. I: @mpfang§gebâube. 97ebengebâube. ©üterfdjuppen. Sotomotibfcbuppen. 9Rit 91 5lb* bilbungen. 97r. 515.

ЖаИаи^ааГеи, ©eftbi^ite b. djrift* litben ЖаИаи^ааГеи (Жи1дапеп, Serbien, ^Rumänien, 9D7ontenegro, ©rieebentanb) bon Dr. 97otb in Kempten. 9?r. 331.

Жаи1ше(еи* Seibutf be§ ЖопИше(еи£ bon Dr. SBaïter ©onrab, ftellbert. Жог^еЬег ber ftatift. Slbteiïung ber ÉReicb^banf in ЖеШп. 9îr. 484.

Jöaufübrmtß. Âursoefafeteë çmnbbuâ) über baë Sßefen ber SSaufübrmtß b. 2lrd)it. ©mit SBeütinger, 2tffiftent an b. Secf)n. $od)fct)ule in Sarmftabt. Ш1. 25 giß- u. 11 fabelt. Юг. 399.

öaufunft, Sie, beê Stbenblanbeê b. Dr. (Schäfer, 2lffift. a. ©emerbe* museum, Bremen. Ш1 22 2lbb. Юг. 74.

—    beêStbulbaufe§ b. $rof. Sr.*3nß. ©rnft SBettertein, Sarmftabt. I:Sa8

©cbutbauś. m. 38 ть. юг. 443.

--Il: Sie Scbulräume — Sie

ЮеЬепап1авеп. 9Ю.312tbb. Юг. 444.

23aufteine. Ste ftnbuftrie ber fünft» lieben 23auftetne unb be§ Wlörtelä bon Dr. ©. ŚRauter in ©tjartotten« burg. Ш1 12 Safeln. Юг. 234.

23auftofffunbe,Sie, b. Sßrof. фаЬег* ftrot), Ober!. a. b. £ersoßl. S3au* ßetoer!fd)ule ^olgminben. ЮШ 36 2lbbilbunßen. Юг. 506.

ЗЗаьегп. ©oberiftbe ©efcbidjte bon Dr. |>an§ Octet in 2luß^burß. Юг. 160.

—    2nnbeêfmtbe be§ $ünißreirb£ ЗЗаЬегп b. Dr. 2S. ©0(5, $rof- a. b. ад. Xecfjn. £otf)fd)ule München. Ш. profit., 2tbb. u.i ®arte. Юг. 176.

JBefeftigmtßSujefen. Sie ßefcbicbtlicbe ©uttoicflung be§ 23efeftißung§» mefen§ bom Sluffommen ber ^utbergefcbübe biê sur 9?euseit bon bîeuteauj, ÜRajor b. «Stabe b.

1. Söeftbreub.^ionierbataitt. Юг.17. Ш1 30 33ilbern. Юг. 569.

SBefcbtoerberecbt Saë Siêsibtinar* m JBefcbtuerberedfjt für £eer u. 9Юа* rine b. Dr. Ю?а£ ©. SCRaber, ^ßrof.: a. b. Unib. Strafcburß i. ©. Юг. 517.

23etricb§fraft, Sie stoecfmäfHöfte, bon Sfriebr. S3artb, Oberinßen. in Юйгп* berß. 1. Seit: ©inteitunß. Sambf* traftanlaßen. 9Serfd)ieb. ®raft« mafebinen. 9Ю. 27 2tbb. Юг. 224.

--II: ©a£*, Staffer* u. SBinb*

Æraftanlagen. 9Ю. 31 2tbb. Юг. 225.

--Ill: ©leftromotoren. 23etrieb3*

Eoftentabelten. ©rapb- Sarftell. ЗЗД1 b. S3 etriebê traft. Ш. 27 2tbb. Юг. 474.

S3emeßunß§fbiete b. Dr. ©. Äoblraufcf), S3rof. am ад. Mfer SBilbetmê* ©t)mn. su фаппоьег. 9Ю. 15 2lbb. Юг. 96.

Steigeret. Se£til*$ubuftrie III: SSäfeberet, ^Bleicherei, Färberei unb ihre ^ilfêftoffe b. Dr. Sßitt). 2Raffot, $rof. a. b. ^reufc. böb* 3fad)fd)ute für Sertilinbuftrie in Ärefelb. ЮШ 28 $iß. Юг. 186.

öttitenbftauseu, Saâ Sbftem ber, mit Stuêfcbtuü ber ©butno fbermen oon Dr. Ю. Sßilßer, Âuftoê am ад. ЗЗо-tanifdben ©arten in S3 ertin* Sablent 2Rit 31 ftißuren. Юг. 393.

23obenfunbe bon Dr. $. SBaßeler in Äöniß3berß i. $r. Юг. 455.

SBranbenburßifrfj « ^reufêifcbe ©e* febtebte bon $rof. Dr. 2R. Sbamm, Sir. beê Äaifer 333ilbelmê*©ii)m* nafiumè in Montabaur. Юг. 600.

Örafilien. ganbeêfunbe berOîebublif SBrafilien bon S3el iRobolübo bon ferine. SD4it 12 2lbbilbunßen unb 1 Âarte. Юг. 373.

SBrauerciioefen I: 2Mlserei bon Dr. $aul Srebertjoff, Sir. ber S3rauer= u. 5ERätserfct)ute su ©rimma. ШШ 16 Slbbitbunßen. Юг. 303.

0ritifcb*9torbamerifa» ganbeêfunbe bon ©гШ1сЬ*ЮогЬатеп!а b. s$rof. Dr. 21. Oüüel in S3remen. ÜRit 13 2tbb. unb 1 Æarte. Юг. 284.

Söucbfübruuö in einfaetjen u. boüücl* ten Soften b. Sßrof. ЮоЬ. Stern, Obert. b. Offentt. ^»anbefólebranfL u. Sos. b. $anbetèt)oct)fct)uïe su Seiüaio- ^t.bieten ^ormut. Юг.115.

23ubbba bon SMfefjor Dr. ©bmunb ^arbt). Юг. 174.

23urßenfunbe, Stbri# ber, bon |>ofrat Dr. Otto ^ßiüer in ЮШпфеп. ЗЮН 30 2lbbitbunßen. Юг. 119.

S3ürßerticbe§ ©efeijburi) fiet>e: bteefit beê S3©58.

93t)S«mtinifcbe§ Юе»сЬ. ©efebiebte be§ bbsuntinifeben 9ieicbeê bon Dr.

9îotb in ^emüten. Юг. 190.

©bemie, sntßemeinc u. bbbfifatifcbe, bon Dr. 2Raj 9tubotf?bi, ŚSrof. an ber Secbn. ^odbfcbute in Sarmftabt. 3Rit 22 ^ißuren. Юг. 71.

—    Stnatbtifcbe, bon Dr. ^obonneê ^oüt>e in 2Rüncben. I: Sbeorieunb ©anß ber 2tnatbfe. Юг. 247.

--II: ЮеаШоп ber sJRetattoibe unb

SOtetatte. Юг. 248.

—    Slnorganifdje, bon Dr. ^of. Ätein in 3Rannbeim. Юг. 37.

©hemie, ©efdjidjte ber, bon Dr. £ugo 23auer, Slffift. am ch-emifchen Sabo» ratorium ber ад. Dedjn. §od)fchule Stuttgart. I: S3on ben älteften .Seiten bi§ g. SSerbrennungâtheorie bon Sabotier. Яг. 264.

—    — II: S3on Sabotier btè jur ©egenftart. Яг. 265.

—    ber Sîofjïenftoffber&inbmtôen bon Dr. §ugo S3auer, liftent am d)em. Saboratorium b. ®gt. Xechn. &od)fchule Stuttgart. I. И: Stlipha* tifcï)e SSerbinbungen. 2 Deile. Яг. 191. 192.

—    — III: Æarbocbftifche S3erbinbun* gen. Яг. 193.

--IV: &eteroct>ïtifd)e SSerbinbun*

gen. Яг. 194.

—    £>r0aniftf)e, bon Dr. $of. ftlein in 9)iannt)eim. Яг. 38.

—    SShurma^eutifche, bon tribal* bogent Dr. @. SRannheim in S3onn. 3 S3ânbd)en. Яг. 543/44 u. 588.

—    ^ïjbfioïogifrfje, bon Dr. med. St. Segahn in S3erlin. I: Stf limitation. 2Rit 2 Dafeîn. Яг. 240.

--II: limitation. 9R. 1 Dafeî.

Яг. 241.

—    $0£iïoïoatfdje, bon Rribatbo^ent Dr. (S. Mannheim in S3omt. SRit 6 Slbbitbungen. Яг. 465.

©hemifche Nnbuftrie, Slnoroanifche, bon Dr. ©uft. Sauter in ©harlot» tenburg. I: Die Sebtancfoba= inbuftrie unb ihre ЯеЬеп^ьеше. SRit 12 Dafetn. Яг. 205.

--II: Satinenioefen, ^atifat^e,

Düngerinbuftrie u. SSertoanbteâ. SRit 6 Dafetn. Яг. 206.

--III: Slnorganifche djemifche

SSräparate. 9R. 6 Daf. Яг. 207.

©hemifche Dechnoloßie, Sttlßemeine, bon Dr. ©uft. Rauter in ©har* tottenburg. Яг. 113.

©hemifrhsDerhni.fd)e Stnatpfe bon Dr. ©. ßunge, fjkof. an ber ©ibgen. $ott)tecf)nifdjett Sdjule in Sürid). 9Rit 16 Slbbitb. Яг. 195.

©hriftlicheu Siteratitren be§ Orienté, Die, bon Dr. Stnton S3aumftarï. I: (Einleitung. — Da3 chriftlid)* aramäifche и. b. ïoptifdje Shrift* trim. Яг. 527.

--II: Da§ d)riftl.*arab. unb ba3

attfiop. Schrifttum. — Da3 d^riftl. Schrifttum b. Armenier unb ©eor* gier. Яг. 528.

Damp ff effet, Die. ^urggefafcteś Sehr* buch ntit S3 eif bieten für ba3 Selb ft» ftubium u. ben prattifchen ©ebraud) bon Oberingenieur Nriebr. S3arth in ЯйтЬегд. I: Æeffelfhfteme unb Neuerungen. ЯШ 43 Niß- Яг. 9.

--II: S3 au unb S3etrieb ber

Dampfteffel. 9R. 57 8fig. Яг. 521.

Dampfmafthinen, $ie. MtrjgefafjteS Sehrbuch mit S3eifpielen für bas Selbftftubium unb ben praftifdjen ©ebraud) bon Nriebr. S3arth, Dber-ingenieur in ЯйтЬегд. 2 S3bd)n. I: SBärmetheoretifche unb bampf» technifche ©runbtagen. SRit 64 Ni0. Яг. 8.

--II: S3 au unb S3etrieb ber

Dampf mafdjiuen.    9Rit 109 Ntß-

Яг. 572.

Dampfturbinen, Die, ihre SBirfungä* toeife u. tonftruttion bon Sngen. £erm. SSitba, fßrof. a. ftaatt. Sech* nitum in S3remen. SRit 104 Stbb. Яг. 274.

Deêinfeïtion bon Dr. SR. ©hriftian, StabSargt a. D. in S3erïin. SRit 18 Stbbitbungen. Яг. 546. *

Determinanten bon S3. S3. fÇifcher, Oberl. a. b. Oberreatfd). 5. ©rofj* Sichterfetbe. Яг. 402.

Dentfdje Slltertümer bon Dr. Nrans Nuhfe, Dir. b. ftübt. SRufeunté in S3raunfd)łbeig. SR. 70 Slbb. Яг 124.

DeutfcheNortbitbunß§fchnlU)efen,Da§, nadj feiner gefd)i<htli<hen ©ntmid* lung и. in feiner gegenmärt, ©eftatt bon ,£>. Siercfê, Rebifor gemerbt. Nortbitbungêfchuten in Schleimig. Яг. 392.

Deutfcpeê Nrembmörterbudj bon Dr. Rub. Meinbaut in Seidig. Яг. 273.

Dentfche ©efchicpte bon Dr. N- Мще, S3rof. a. ®gl. Suifengbmnaf. in S3ertin. I: SRittelatter (btè 1519). Яг. 33.

--И: Scttatter ber Reformation

unb ber Religionêfriege (1517 bid 1648). Яг. 34.

--Ill: ЯЗот SBeftfätifchen Nrte-

ben Ш sur Stuftöfnng beê alten Reichs (1648—1806). Яг. 35.

--fiehe auch: Ouettenïunbe

Dentfche ©rammatiï unb furje ©e» fchichte ber beutfehen Sprache bon Schutrat SSrof. Dr. €. Spon in DreSben. Rr. 20.

$euticbe 4?anbeldforrefponbeng bon Srof. £b- be Seauj, Officier de l’Instruction Publique. Sir. 182. Seutftbed ^anbeldretbt bon Dr. ®art 2ef)tnann, Stof- an ber Uniberfitat ©ôttingen. 2 Sbe. Sir. 457 u. 458.

Seutfcbe ^elbenfage, $ie, bon Dr. Otto Suitpolb ftiricgef, Stof- un b. Uniberfitat SBürgburg. Sir. 32.

2>eutfcbed $olonialretbt bon Srof. Dr. ф. Ebter bon Hoffmann, ©tubien* bireftor ber Sltabemie für ïom* munale Sertoaïtung in SDüffelborf. Sir. 318.

2>eutfcbe Kolonien. I: £ogo unb Kamerun bon Srof. Dr. S5obe. Mit 16 tafeln и. 1 litbogr. ®arte. Sir. 441.

—    II: $>ad ©übfeegebiet unb Шаи* tfrium bon Stof- Dr. Й. Фоье. Mit 16 tafeln u. 1 ïitf». ®arte. Sir. 520.

—    III: Oftafrila bon Srof. Dr. St. 2)obe. Mit 16 Safeln и. 1 litljogr. ^arte. 97r. 567.

2)eutftbe ^ulturgefcbi^te bon Dr. SReinï). ©üntfier. 92r. 56.

$eutfrf)ed Seben im 12. u. 13. $abr* bunbert. fRealïommentar gu ben Solid* u. Shtnftepen u. jum Minne* fang. Son Srof. Dr. 3ul. Steffen* Ьафег in Freiburg i. S. I: Off ent* licked Seben. Mit gal)lretd)en Ш* bilbungen. 97r. 93.

--II: Sribatleben. Mit gaïjï*

reichen 5lbbilbungen. 9îr. 328.

2>eutfcfje Siteratur bed 13. 3aWun* bertd. 2>ie ©bißbnen b. pfifdjen ©bbd. Sludtba^l a. beutfd)en 2)iĄ* tungen bed 13. ftaljrlmnbertd bon Dr. Siltor ^unl, ШШагшЗ ber Äaiferlidjen ШаЬemie ber Stiffen* fĄaften in SBien. Ш. 289.

î^eutfebe Siteraturbenlmäler bed 14. и. 15. Üabrljunbertd. 3ludgemäl)lt unb erläutert bon Dr. Hermann ^anben, 3)ireftor b. Königin Suife* ©фи1е in Äönigdberg i.St- 181.

—    16. $abrbunbertd. I: Martin 2utber u. 2:bbm. Murner. Sludge* mäblt u. mit Einleitungen u. Sin* merlungen berfeben bon Srof. ©. Sertit, Oberlehrer am Sîilolaigtjm* nafium gu Seipgig. Sir. 7.

--II: ^and©adjd. Sludgemäbltu.

ertäut. b. Stof. Dr. 3. ©abr. Slr.24.

2>eutfdje ßiteraturbenlfmäter bed 16* ftabrbmtbertd. III: Son Srant bid fRotlenbagen: Srant, Jütten, $if(bart, fonde Sierebod u.ftabel» Sludgem. u. erläut. bon Srof. Dr. Suliud ©abr. Sir. 36.

—    bed 17» unb 18. Sabrbunbcrtd bid Älobftoä. I: £t)rif bon Dr. Saut ßegbanb in Serlin. Sir. 364.

--II: Srofa b. Dr. £>and Segbanb

in Gaffel. Sir. 365.

Seutfrbe Siteraturgefrfjitbte bon Dr. Ma£ ®odj, Srof. an ber Uniberfitat Sredtau. Sir. 31.

—    ber ®taffilergeit b. Eart SBeitbrecbt, burdjgefeben u. ergäbt b. $art Serger. Sir. 161.

—    bed 19. 3atjrî)mtbertd bon (Sari Sßeitbredbt, neu bearbeitet bon Dr. ЗШ). SBeitbrecbt in SBimbfen. I. II. Sir. 134. 135.

2>eutfd)en SJlunbarten, $ie, bon $rof. Dr. ф. Seid in Maing. Sir. 605.

Seutftfje Mbtljotogie. ©erntaniftbe SWbotogie bon Dr. Eugen Mogf, Srof. a. b. Uniberf. ßetpgig. Sir. 15.

2>eutfibenSerfonennamen, 2)ie, b. Dr. Sub. SHeinpaul i. Setpgig. Sir. 422.

Seutfdje Soetil bon Dr. S?. Sorindfi, Srof. a. b. Unib. München. Sir. 40.

2>eutfcbe Se(btdgef(bicbte b. Dr.Sidjarb ©cbrober, S*of. a. b.Uniberf. &eibel* berg. I: Sid g. Mittelalter. Sir. 621.

$eutfdje Siebelebre bon &and Stobft, ©bmnafiatprof. i. Samberg. Slr.6l.

25entfd)e ©tbule, 5)ie, im Studlanbe bon §and Slmrbein, ©eminarober* lebrer in Sbebbt. sr. 259.

Sentfrbed ©eererf)t b. Dr. Otto Sran* bid, Oberlanbedgericbtdrat in &am* burg. I: Sltlgem. ßebren: Sermonen и. ©ad)en b. ©eerecbtd. Sir. 386.

--II: Ś>ie eing.feered)tï.©cbulbber-

bältniffe: Serträge bed ©eeredjtdu. aufjerbertragticbe Haftung. Sir. 387.

$eutftbe©tabt, 2>ie, unb ibreSertoal* tung. Eine Einführung i. b.Âommu* natbolitit b. ©egentb. £eraudgeg. b. Dr. Otto Moft, Seigeorbn. b.©tabt 2>üffelborf. I: Serfaffung u. Ser* toaltung im allgemeinen ; §rinangen unb ©teuern ; Silbungd* unb ®unft* pflege; ©efunbbeitdpflege. Sir. 617.

2>eutfcbe ©tammedîunbe b. Dr. Sub. Mutf), a. 0. Srof. a. b. Unib. SBien. Mit 2 Âart. u. 2 £af. Sir. 126.

Eb balie b er mit Erammatit, Überfebg. u. Erläuterungen bon Dr. aSilbelm IRanifd), Epmnafialoberlebrer in Dënabrüd. Rr. 171.

$euifcbeêttnterrirfjt§njefen. Eeftbicbte be§ beutfrbenUnterricbtétt>efenê b. 23rof. Dr. griebrid] ©eiler, SDireïtor beè ад* Eptnnafiumê au Sudau. I: аЗоп ainfang an bté aum Enbe beê 18. gabrbunberts. ÎRr. 275.

--II: a3om ЗЗедтп b. 19. gabrb.

bté auf bie Eegenloart. SRr. 276. 2>eutfdje ttrbeberredjt, 2>a§, an lite* rarifdben, ïünftlerifd)en u. gemerb* lichen ©djöpfungen, mit befonberer a3erüdfid)tigung ber internat. 33er= träge b. Dr. Euft. Sauter, patent* anmalt in Ebarlottenburg. SRr. 263. $eutfdje ЯЗоШКеЬ, ФаЗ, auêgeibâblt u. erläutert bon $rof. Dr. gui. ©abr. 2 a3ânbd)en. SRr. 25 u. 132. 2>eutfdje 233ebrberfaffmtg bon tari Enbreê, Eebeimer triegêrat u. bor* tragenber SRat imtriegëminifterium in aRundjen. $Rr. 401.

$>eutfcbc3 28ôrterbud) b. Dr. SRidjarb Soeme. Rr. 64.

$eutfdje3eitung§tt>efen, $>aê, bon Dr. Robert aSrunbuber in töln a. fRb-Rr. 400.

2>eutfd>e§ 3ibtlbroae#recbt bon $rof. Dr. SBilbelm tifdj in ©trafcburg i. E. 3 ЗЗапЬе. *Rr. 428—430. $irfjtu*gen auê mittelbocbbeutfrijer C^riUiScit. gn aiuêlb. mit Einltg. u. aSörterb. berauêgeg. b. Dr. Herm. gantjen, 2>ireïtor b. Königin lluife* ©cbule i. tônigêberg i. $r. Rr. 137. Sietridjepen. tubrun unb $ietritb« eben. 3Rit Einleitung u. Shorter■ bud) bon Dr.. O. S. giricaeï, ^5rof. a. b. Uniberfitât aSürabûrg. Rr. 10. $>ifferentialrerfmmtg bon Dr. griebr. gunter, SReïtorb. ŚRealgpmnafiumś u. ber Dberrealfcbulein Ebppingen. mit 68 Figuren. *Rr. 87.

— Üîebetitarinm u. aiufgabenfamm« lung aur Sifferentialrerijnung bon Dr. griebr. gunter, SReftor b. Real* gtjmnafiumê u. b. Oberrealfcbule in Eöppingen. ÜRit 46 gig. №. 146. Xrogenïunbe bon SRid). 2)orftemib in £eibat0 unb Eeorg Otterêbad) in Hamburg. Rr. 413.

2>rucfn> after* unb 2>rutflufl*2lnlagen. jumpen, 2)ruc!majfer= u.2)rucfluft= Slnlagen bon 2>tpl.*gngen. ŚRubolf aSogbt, SRegierungëbaumftr. a. 2). in Radien, mit 87 gig. Rr. 290. |

Eifenbabnbau. 2)ie Enttoitflung be§ ntobernenEifenbabnbaueê b.2)ipl.

gng. ailfreb a3irt, o. ô. aSrof. a. b. ï. !. 2)eutfd)en Zedjn. |>od)fd)uïe in $rag. 9Rit 27 Slbbilb. №. 553.

Eifenbabnen, Xie Sinienfübrung ber, bon H- 2Begele, $rofeffor an ber %ed)n. ^>od)fd)ute in 2)armftabt. 9Rit 52 aibbilbungen. SRr. 623.

Eifeubabnfabraeuge bon H- Rinnen» tbal, SRegiemngêbaumeifter u.Dber* ingen. in Haunober. I: 2)ie fiofo* motiben. 5Rit 89 Slbbilb. im Zeit unb 2 Xafeln. №. 107.

--II: 2)ie Eifenbabnmagen unb

aSremfen. S!Rit 9lnf).: 2)ie Eifen» babnfabraeuge im a3etrieb. 5Rit 56 2lbb. im Zeit u. 3 2af. iRr. 108.

Eifenbabupolitif. Eefcbitbte b. beut* frbenEifcnbabnpolitiï b. Setriebê» infpeïtor Dr. Ebmin Äed) in Âarlè" rube i. 58. 9îr. 533.

Eifenbabnberfebr, 2)er, b. Ägl. Eifern babn = 9îecbnungêbire!tor Xb-branb ina3erlin^griebenau. 9tr.6l8.

Eifenbetonbau, Xev, b. IReg.^Saumftr. .tari SRöfjle. 9Rit 75 aibbilbungen. 9îr. 349.

Eifenbetonbrücfen bon Dr.^gng. t. 28. ©djaecbterle in ©tuttgart. 2Rit 104 aibbilbungen. iRr. 627.

Eifenbiittenïunbc bon 51. traub, bipl. Hütteningenieur. I: 2)aê 9îobetfen. 5Rit 17 gig. u. 4 5Caf. <Rr. 152.

--II: 2)aś ©d)miebeifen. Ш1. 25

gig. u. 5 2af. №. 153.

Eifenfonftrultionen im Hbcbbau bon gngen. tari ©d)inbler in aReifeen. aCRit 115 giguren. №. 322.

Eiêaeitalter, 2)aê, b. Dr. Emil aßertb in 23erlin*2Bilmerêborf. 3Rit 17 5lb<= bilbungen unb 1 tarte. SRr. 431.

Elaftiaitâtêlebre für Ingenieure I: Ernnblagennnbanigemeiueä über ©bannnngêauftânbe, 3bli«bcr, Ebene glatten, Storfion, Ec* frümmte Präger. 23on 2)r.*gng. aiRa^ Enclin, $rof. a. b. tgl. 53au* gemer!fd)ule ©tuttgart unb ^ribaP boaent a.b. ïed)n. Hod)fd)ule ©tutt^ gart. 3Rit 60 2lbbilb. Rr. 519.

(gngtifcb=beutfcbeS ©efprâcbSbuih bon 3Srof. Dr. @. £>auStnecht in £au= 3îr. 424.

©leïtrifchen S&tefcinftrmnente, Sie, bon ^errmctmi, $rof. an ber Sechn. èochfchule in (Stuttgart. 9ttit 195 Figuren. №. 477.

©leftrifepe Setegrappie, Sie, bon Dr.

Sub. SKeltftab. 9Jtit 19 $ig. 9îr. 172. ©teftrisität. Speoret. ^bbfif Ш: ©lel-trisitat u. 9)łanttetiSmuS bon Dr. ©uft. ftäger, $rof. a. b. Seopn.èoch* fepute in SSien. 9)tit 33 3lbbilbgn. 9îr. 78.

©leftrothemie bon Dr. £einr. Sanneel in ©enf. I: Sheoretifcpe ©leftro* cpemie u.ipre toi) D ï if alif cb^cf) emif ci) en ©runbtagen. 9ttit16 gig. 9?r. 252.

--II: experiment, ©teftrocpemie,

Sttefjmetpoben, ßeitfäpigteit, £ö= fungen. 9ïïit 26 gig. 9îr. 253. Grleftromagnet. Sichttpeorie. Speoret. $ppfif IV: ©tettromagnet. Sirpt» tfpeorie u.©leftronif bon ^rofejior Dr. ©uft. ^äger in 2Bien. 9ttit 21 Figuren. 9îr. 374.

©lettrometatturgie bon Dr. ^riebridj SRegelSberger, Kaifert. 9îeg.*9îat in ©tegtifH$8erlin. m. 16 gfig. №. no. ©leïtroteipniî. (finfut)rung in bie

©tarïftromtetpnit b. 3. èerrmann,

^Srof. b. ßlettrotecpnit an ber Kgt. Xecpn. ^oepfepute Stuttgart. I: Sie pppfifatifcpen ©runbtagen. 9ttit 95 fjrig. n. 16 Saf. 9ir. 196.

---II: Sie ©teicpftromtecpnif. 9JHt

118 fÇig. unb 16 Saf. 9îr. 197.

--III: Sie 2Be<hfetftromtecpnif.

TO 147 2fig. u. 16 Saf. №. 198. ©leftroterpnif. Sie âWateriatien be§ SQÎafrpinenbaueê unb ber ©leîtro* tethniï bon Ingenieur $rof. £ег* mann Sßilba in Bremen. та 3 3tbbilbgn. №. 476.

©lfafc*£btpringen, ÖanbeSfunbe bon, b. $rof. Dr. 9t. Sangenbed in ©trafeburg i. @. та 11 3lbbitb. u. 1 Karte. Ш. 215.

lamte.

©ngtifepe ©efthid)te b. 3ßrof. £.©erber, Dbertehrer in Süffetborf. 9îr. 375. ©ngtifche ^anbetSîorrefponbenj bon (&. ©. 3Bhitfietb, M. A., Oberlehrer an King (Śbroarb VII ©rammar ©d)oot in King’s Spun. №. 237.

©ngliftpe Siteraturgefepiepte bon Dr.

Karl SBeifer in SBien. 9tr. 69.

--©runbsiige unb 4?aupttppen b*

englifepen £iteraturgefipicpte bon Dr. 3trnolb $t. SW. ©epröer, Sßrof. an ber ^anbelSpocpfcpute in Köln. 2 Seite. №. 286, 287.

©nglifepe Sßponetif mit Sefeftütfen bon Dr. 31. (£. Sunftan, Seftor an ber Uniberf. Königsberg i. 3ßr. Wr. 601. ©nttoitflungSgefcpicpte ber Siere bon Dr. Johannes SWeifenpeimer, $rof. ber Zoologie an ber Uniberfität ^ena. I: gurepung, Sßrimitiban* lagen, Sarben, gormbitbung, @rtt= brponalpülten. SWit 48 Figuren. Wr. 378.

--II: Organbitbung. та 46 $ig.

№. 379.

©pigoneit, Sie, beS pofifepen ©poê.

3luStbahl aus beutfdpen Sichtungen beS 13. ÜaprpunbertS bon Dr. %$iî* tor $unt, 3lftuariuS ber Kaifer* lichen 3lfabemie ber SBiffenfcpaften in men. №. 289.

©rbbau bon 9teg.*95aum. ©rmin £in! in ©tuttgart. та bieten 3lbbitb. Wr. 630.

©rbntagnetfêtnu§,©rbftrom u.$olar* liebt bon Dr. 3t. Wippotbt, SWitglieb beS Königl. 9$reufnfcpen SWeteoro* logischen SnftitutS in ÿotSbam. SWit 7 Safeln unb 16 Figuren. Wr. 175. Erbteile, Sünberfmtbe ber au^ereuros pâifrben, bon Dr. grang ^eibericp, ^ßrofeffor an ber (Xportatabemie in 38ien. Ш1 il Sejttârtdhen unb Profiten. 9îr. 63.

©rnäbrung unb Nahrungsmittel bon OberftabSar^t ⁴i3rofeffor §. Sijchoff in Berlin. 9Kit 4 3tbbitb. 9îr. 464. ШЬ« bon S^rof. Dr. ShomaS 3lchetiS in Bremen. 9îr. 90.

Europa, Sänberfunbe bon, bon Dr. granâ ^eiberich, ^5rof. a. b. (Xport* at'abemie in SBien. 3Jlit 14 Ze%ï* târtdhen u. Siagrammen u. einer Karte ber 3ltpeneinteitung. 9îr. 62. föjlfurfionSftora bon Seutfcbtanb sum 35eftimmen b. häufigeren i. Seutfch* tanb toitbmachfenben 3ßftcmsen bon Dr. ЯВ. SJliguta, ^5rof. an ber fjorft^ aîabemie ШУепаф. 2 Seite. sÄit je 50 3lbbitbungen. №. 268 unb 269.

--II: Sie Seifenfabrifation, bie

Seifenanalpfe unb bie ^ergenfabri« ïation. 3Rit 25 9lbbilb. №. 336.

---III: $arge, Bade, fÿimiffe.

№. 337.

©ïperimentalphhfiï b. $rof. SR. Bang in (Stuttgart. I: SÜRechanit berfeften, flüffiQen unb gafigen Körper. 90Ш 125 Figuren. SRr. 611.

©jplufibftoffe. ©infût)rung in b. (Steinie ber eęplofiben Vorgänge bon Dr. £>. S3run$Wig in Steglijg. 9Rit 6 9lbbilb. unb 12 Sab. SRr. 333.

Fotuilienredjt. SRedjt b. 93ürgerli(ben ©efeh&urf)e3. SBierteä SBurfi: milienreeht non Dr.. Heinrich ЗДе, Sfśrof. a.b. Unib.©öttihgen. SRr.305.

Färberei. Se£til*Fnbttftrie III: SBä« fdjeret, Söleicberei, Färberei unb tbre £ilf§ftoffe bon Dr. SBilhelm SJRaffot, ^Srof. an ber Sßreufjijchen höheren Fachfcbule f. Sejrtilinbuftrie in Ærefetb. SDÎit 28 Fiô- SRr. 186.

Felbgefcbüb, Sa§ ntoberne, b. Oberft« ïeutnant SB. ^epbenreid), SIRilitär« ïebrer a. b. SJRilitârtechn. 9lïabemie in S3 erlitt. I: Sie ©ntwidlung beê Feïbgefcbübeê feit ©inführung beê gegogenen Fnfanteriegewehrś bté einfcbl- ber ©rfinbung beê rauebï. SRulberê, etwa 1850 bté 1890. ШИ 1 Slbbitb. SRr. 306.

--II: 2)ie ©ntwictlung b. heutigen

Fetbgefcbübeë auf ©runb ber @r« finbung beê raud)tofen Sßutberg, etwa 1890 bi§ gur ©egenwart. ЭДШ 11 Slbbilb. 9?r. 307

Fernfprerbwefen, 2)a5, bon Dr. Bub« Wig ŚRettftab in S3erlin. 47 Fi0-unb l 2afel. 9?r. 155.

Feftigïeitêlebre b. SB. Räuber, 2)ipl.« Ingenieur. SOÎit 56 Ft0- 288.

— 91ufgabenfammlung gur Feftig« ïeitêlebre mit Söfungen bon SR. фагеп, 25ipïom«Fngenieur in SRannbeim. 9Rit 42 Fiô- 9^r. 491.

Fette, Sie, unb Ole fowie bie Seifen« u. Âergenfabrifat. u. b. £arge,Sade, Firniffe m. ihren Widjt. ^piîfêftoffen bon Dr. ®arl S3 raun in Berlin. I : ©inf. in b. ©hernie, S3efpred). einiger Saïge u. b. Fette u. Ole. №. 335.

Feuerwaffen, ©Jefcbidjte b. gefamten Feuerwaffen bi§ 1850. Sie ©nt« Widlmtg ber Feuerwaffen b. ihrem erften Auftreten biê sur ©infühmng ber gezogenen ^interlaber, unter befonberer S3 erüdf id) tig. b. феегеё« bewaffnung bon SJRajor a. S. SB. ©ohlïe, Stegiih*33erïitt. 9©lit 105 Slbbilbungen. ŚRr. 530.

Füsfabrifatiott. SejtibFnbuftrte II: SBeberet, SBirïerei, Sßofameuttere* ret, Spipen* unb ©arbinenfabri* ïation unb FüSfûbriïation bon Sßrofeffor StRaç ©ürtler, ©eh- SRe« gierungêr. im ®gl. Banbeêgewerbe« antt gu Berlin. ШИ 29 Fig- SRr. 185.

Finangfbfteme ber ©ro&märbte, Sie, (Internat. Staate« unb ©emeinbe« Finangwefen) b. 0. Schwarg, ©eb-Oberfinangrat in S3erlin. 2 S3änb« (ben. SRr. 450 unb 451.

FinaugWiffenfcbaft bon Sßräfibent Dr. 91. ban ber S3orght in SSerïin. I: SlHgenteiner Seil. SRr. 148.

--II: 23efonberer Seil (©teuer«

lehre). SRr. 391.

Finntfrf)«ugriftbe Spradjwiffcnfcbaft bon Dr. #ofef Sginnpei, Sßrof. an ber Uniberfitât SSubapeft. SRr. 463.

Finnlanb. Saubeêïuube be§ ©uro« pätfrheu SRufjlaubê uebft Fi««fl lanb§ bon Sßrof. Dr. 91. SfShiliPPfon in $aïïe o- <3. SRr. 359.

Fimiffe. &arge, Bade, Ftrniffe bon Dr. Æarl S3 raun in S3ertin. (Fette unb Ole III.) SRr. 337.

Fiffbe. Saê Sierreirf) IV: Ftf«be bon SJSrof. Dr. SüRaç SRauther in Neapel. SJRit 37 Slbbilb. SRr. 356.

Ftfcberei unb Fifdtôbdjt bon Dr. ®arl ©Æftein, $rof. a. b. Forftaîabentie ©berêwalbe, 9lbteilungêbirigent bei ber ôauptftation beê forftlidjen 93erfud)3Wefen3. SRr. 159.

Flora, ©rfurfionêflora bon Seutfd)» lanb gunt S3efiimmen ber häufige« ren in Seutfdfylanb wilbwadjfenben SSflangen b. Dr. SB. SïRigula, Sßrof. a. b. Forftaïabemie ©ifenad). 2 Seile. 9Jlit je 50 9lbbiïb. SRr. 268, 269.

Flufjbau bon SRegierungêbaumeifter SDtto SRappolb in Stuttgart. SÉRit 103 Slbbilbungen. SRr. 597.

Forenfifcbe Sßfbcbiatrie bon Sßrofeffor Dr. SB. SBepganbt, Sir. b. ^rren« anftalt Fïiebritf)êberg i. Hamburg. 2 S3änbchen. SRr. 410 u. 411.

men«

bon

ftorfttoiffenfdjaft b. Dr. Ab. Scfeibab* bad), Srof. a. ь. gorftatabemie ©berêmalbe, Abteilungèbirig. bei ■ b. £aubtftatiott b. forftl. Serfudjâ* ioefenê. Яг. 106.

ftortbUbung^ftfeuDoefen, Sa* beut* fefee, nach feiner gefcfeiçhtl. ©nttoid-lung u. i. fein, gegentoärt. ©eftalt b. £.Sierd£, Aebiforgetberbl. gortbil-bungâfcfeulenin Sdjleêttûg. Яг. 392. iranien. ©efrfjicfete $ranfen§ b. Dr. ©ferift. fötefeer, ад. bteufe. Staate-ardjibar a. S., ЯгйпсЬеп. Яг. 434. ftranfreid). ftransôfifrfee ©efrfeiefete b. Dr. Я. Sternfelb, $rof. an ber Uniberfitât Serlin. Яг. 85. îjÿranfreirfj. fianbeêf. b. {Çrantreidj b. Dr. fftid). Aeufe, Sirett. b. Ober-realfcfeule in Spanbau. 1. Sänbd). Яг. 23 Abb. im Se£t u. 16 Sanb-fcfeaftèbilb. auf 16 Saf. Яг. 466.

--2. Sänbdfen. «ЯН 15 Abb. im

SejU, 18 Sanbfcfeaftśbilb. auf 16 Sa-fein и. 1 littjogr. ®arte. Яг. 467. $ransöfifcfe«beutfdje3 ©efbrâcfeêbud) bon ©. ftrancillon, Settor am orientalifd). Seminar u. an b. £an-befôbod)fd)ule in Serlin. Яг. 596. ftransöfifrfje £anbetétorrefbonbens b. Srof. Sfe. be Seauj, Officier de l’Instruction Publique. Яг. 183. fÇrembtbort, Sa§, im Seutfdjen b. Dr.

ЯиЬ. Äleinbaul, Seibsig. Яг. 55. $rembtt>örterbudj, Seutfdjeê, bon Dr.

ЯиЬ. Meinbaul, Seibâig. Яг. 273. $uge. ©rläuterung u. Anleitung sur $ombofition berfelben b. Srof. Stebban Æreljl in Seibsig. Яг. 418. fÇunttionentbeorie, ©inleitung in bie, (Sbeorie ber fomblejen ,ЗяЬ1ьи-reifeen) b. Яга£ Яofe, Oberlehrer an ber ©oetbefdjule in Seutfch*5Sil* merèborf. ЯШ 10 Çig. Яг. 581. fÇufeartitterie, Sie, ihre Organifation, Setbaffnungu.5luśbilbg.b* Sblett, Oberleutnant im ßebrbataillon ber fîufeartillerie-Sd)iefefd)uie u. Sier-mann, Oberleutnant in ber Ser* fucfeSbatter* b. Artillerie- Srüfungê* fommiffion. Яги 35 fjig. Яг. 560. ©arbinenfabritation. SejtUinbuftrie II: ifôeberei, aBirterei, Śofamen* tiererei, Sbiben* u. ©arb; fabritation u. fÇilsfabritation Srof. Яга^ ©ürtler, ©eh- Яед.-Яа1 im ^gl. Sanbeâgemerbeamt su Serlin. Яги 29 Figuren. Яг. 185.

©аЗ= tmb aßafferinftallationen mit ©infcfeUtfe ber Abortanlagen bon ?ßrof. Dr. phil. unb Sr.-3ngen. ©buarb Scfemitt in Sarmftabt. ЯШ 119 Abbilbungen. Яг. 412. ©a^fraftmafehinen, Sie, b.^fng. Alfreb ftirfd&ïe in Äiet. 2 Sänbcfeen. ЯШ bieïen griguren. Яг. 816 u. 651. ©aftfeäufer unb £btetë bon Arcfeitett mat Köhler in Süffelborf. I: Sie Seftanbteile u. bie ©inriefetung be§ ©afthaufeê. 3Rit 70 $ig. Яг. 525.

--II: Sie berfdfiebenen Wirten bon

©afthaufern. ЯШ 82 Figuren. Яг. 526.

©ebirgëartillerie, Sie ©nttoncflung ber ©ebirgSartillerie bon SHufe-mann, Oberft u. Äommanbeur ber 1. $elb-Art.-Srigabe in $önig3» berg i. $r. ЯШ 78 Silbern unb Überfidjfétafeln. Яг. 531. ©enoffenftfeaftétoefen, Sa§, in Seutfdjlanb b. Dr. Otto Sinbede in Süffelborf. Яг. 384.

©eobäfie bon $rof. Dr. ©. ЯетЬегЬ in £amtober. ffteubearbeitet bon Dr. ©. ^örfter, Obferbator a. ©eobätifefe. ^nftitut «ßotöbam. SRit 68 5lb-bilbungen. Яг. 102.

— Sermeffungêïunbe b. Sibtom-^ng. $. ÎBerfmeifter, Oberlehrer an ber ®aif. Secfen. Schule i.-Strasburg i.©. I: fjelbmeffen u. Aibellieren. ЯШ 146 Abb. II: SerSheobolit. Srigo-nometrifehe unb barometr, ööben-meffung. Sachbmetrie. ЯШ 109 Abbilbungen. Яг. 468, 469. ©eograbfeie, ©efcfeicfete ber, bon $rof. Dr. ®onrab ßtetfefemer i.©harlotten-burg. ЯШ il ®art. im Sejt. Яг. 624. ©eotogie in fursem Au§sug f. Schulen u. sur Selbftbelehrung sufammen* geftellt b. $rof. Dr. ©berb. $raa3 in Stuttgart. ЯШ 16 Abbilb. u. 4 Safeln mit 51 Figuren. Яг. 13. ©eometrie, Analfetifdje, ber ©bene b. $rof. Dr. «щ. (giuton in Strafe* burg. ЯШ 52 Figuren. Яг. 65.

--Aufgabenfammlung sur Ana«

tbtifcfeen ©eometrie ber ©bene bon O. St). Sürflen, Srofeffor am Ägt. Яеа1дЬтпа{шт in Schioäb.« ©münb. Ш1 32 3fig. Яг. 256.

--be§ ЯатпеЗ bon $rof. Dr.

Яг. Simon in Strafeburg. ЯШ 28 Abbilbungen. Яг. 89.

©eometrie, Analbtifdje. Aufgaben* fauttnUtng sur Analbtifdjen ©eo* ntetrie be§ «Rautneê bon 0. Sb-©ürtïen, ©rofeffor am Ägl. meal* gbmnafium in ©d)№âb.=©tnünb. Mit 8 ^ig. mr. 309.

—    Sarftellenbe, bon Dr. Robert hänfener, ©rof. an b. Unib. ftena. I. Mit 110 Figuren, mr. 142.

--II. Mit 40 Figuren, mr. 143.

—    ©bene, bon ©. Mabler, ©rofeffor am ©bmnafium in Uïm. ©lit in zweifarbigen Figuren. mr. 41.

—    ©rojeftibe, infbntbet. ©ebanblung bon Dr. Âarl Soeblemann, ©rof. an ber Uniberiitât München. «mit 91 Figuren, mr. 72.

©eometrifebe €>btif, ©infüXirmtg in bie, bon Dr. SB. £>inri(f)§ in SBil* merêborf*© erlin. mr. 532. ©eometrifcbcêScirfjnen bon £. ©eder, Arcbiteft u. ßebrer an ber ©au* gewerffcbute in Magbeburg, neube* arbeitet bon ©rof. $. ©onberïinn in Münfter. Mit 290 Figuren unb 23 Xafetn im Seçt. mr. 58. ©erntattifdje Mbtbologic bon Dr. G. Mogf, ©rof. a. b. Unib. .£eipâig. mr. i5.

©ermanifebe ©btacbtoiffenfcbaft bon Dr. 9Ш). £oeme. mr. 238. ©efangêfunft. ^ecbnif ber beutfeben ©cfangêfunft bon Oët. moë u. Dr. фапЗ §oad)im mtofer. mr. 576. ©efdjidjtêwiffenfcbaft, ©inteitung in bie, b. Dr. ©rnjt ©ernbeim, ©rof. an ber Unib. ©reifëmatb. mr. 270. ©efcbnhe, 2)ie mobernen, ber ftuf?* artillerie b. «mummenboff, 9Rajor u.Sebrer an b. 5ubartillerie=»©cbie^ fd)ule in Jüterbog. I: ©om Śluf=* treten b. gezogenen ©efdjübe biê Sur ©ermenbung beś raudbjdbtoa^ eben ©ulberê 1850—1890.    mtit

50 Seçtbilbern. mr. 334.

--II: 2)ie ©nttoidlung ber beu^

tigen ©efdjübe ber gubartillerie feit ©infübruttg beś raudjfcbwacben ©ulberê 1890 ЪЫ sur ©egentoart. StRit 33 Seçtbiïbern. mr. 362. ©eftbwinbigfeitêregler ber ßraft* ntafebinen, 2>ie, bon S)r.^ng. £>. Fröner in ^riebberg. Mit 33 Figuren, mr. 604.

©efebbucb, ©ürgerlirbeê, fiebe: mecbt beê ©ürgerlicben ©ejebbuebeê.

©efnnbbeitëlebre* 2>er ntenftblitb* ШгЬег, fein ©au unb feine £ätig= feiten b. G. mebrnann, £)berfd)ulrat in Âarfêrube. «Mit ©efunbbeité* lebre bon Dr. med. ф. (Seifer. Mit 47 Slbbilb. u. 1 SCafeX. mr. 18. ©etoerbebbgiene bon Dr. G. motb in ©otëbam. mr. 350. ©etoerbetoefen bon SBerner ©ombart, ©rofeffor an ber &anbelébod)fcbule ©erlin. I. II. mr. 203, 204. ©etoerblicbe Arbeiterfrage, 2)ie, bon SBerner ©ombart, ©rof. a. b. £>an* betèbbd)fd)nle Berlin. mr. 209. ©etoerblicbe ©anten. Snbuftrielle unb getoerblirije ©anten (©peieber, ßagerbäufer u. gabrifen) b. Slrdji* te!t £einr. ©aismann in 2)üffeïborf. I: Allgemeine^ über mintage unb Äonftruftion ber inbuftriellen unb gewerblichen ©auten. mr. 511.

--II: ©peieber unb ßagerbäufer.

«mit 123 Figuren, mr. 512. ©etoidjtêioefen. Mafc*, Müns* u. ©e* tt)i(btêttJefettb.Dr.Aug.©linb,©rof.

a.    b. фапЬеВДШе in Ши. mr. 283. ©iefcereitnafrfjinen bon Stfpl.^ng.

@miï Treiber in ^eibenbetm a. ©. «mit 51 Figuren, mr. 548.

©laê* nttb feratntfebe ülnbuftric (Snbuftrie ber©ilifate, ber fünft* litfjett ©attfteitte ttnb be§ Mör* teld I) b. Dr. ©uft. mauterin ©bar-' Xottenburg. Mit 12 Xafeln. «Rr. 233. ©feidjftrommafcbine, Sie, bon 3ng. Dr. G. śHnsbrunner in Mandater. Mit 81 Figuren. «Rr. 257. ©ietfrfjerfuttbe b. Dr. grib Ma<bacef in SBien. Mit 5 Abbilbungen im Seçt unb il Safein. «Rr. 154. ©otifdje ©bradtbeufntäler mit ©ram* matif, Übergebung u. Grläutergn.

b.    Dr. &erm. üanijen, Sireftor b. Königin ßuife=©d)ule in Âônigê* berg i. ©r. mr. 79.

©ottfrieb bon ©traf?bnrg. Hartmann bon Ane. SSolfram bon ©feben* barf) unb ©ottfrieb bon ©trafê* burg. Auêtoabl a. b.bbfifd).Gboś m. Annterf. и. SBörterbud) b. Dr. $. Maroïb, ©rof. am ®gl. griebrid)ê* Kollegium S-®önig3berg/©r. mr.22. ©rabbUÄen fünfte, Sie, bon Garï Й'атртапп, ï. ï. Serrer an ber f. ï. ©ra*>bifd)en ßebr* unb ©erfucbê* ftalt in SBien. Mit sablmcben Ab< bilbungen u. ©eiïagen. mr. 75.

©riecbifdfe SlltertumSIunbe b. Brof-Dr. Slid). SJiaifd), neu bearbeitet b. Steftor Dr. grana Bobïbammer. SJiit 9 Botlbilbern. Sir. 16. ©riediiftbe ©efrfjtrbte bon Dr. Heinrich ©tooboba, ^Srofeffor an b. beutfcben Uniberfitât Brag. Sir. 49. ©riedjiftbe Biteraturgefcbicbte mit Be* rüdficbtigung b. ©efd)id)te ber SBiffenfcbaften b. Dr. Sllfreb ©erde, Brof. an ber Unib. Breślau. 2 Bânbcben. №. 70 u. 557. ©riedjifcben Baprt, Sluśmap au£, bon Brof. Dr. Robert ôelbing in Karlsruhe i. S3. Sir. 625. ©riedjiftben ©bratbe, ©efd)irf)te ber, I: BB aunt Sluśgange b. ïïaffifdfjen Seit b. Dr. Otto Hoffmann, Brof. a. b. Unib. SJiünfter. Sir. 111. ©riecbifdje u» romifcbe SJlbtbologie b. Brof. Dr. фегт. ©teubing, Sielt, b. ©bmnaf. in ©cbneeberg. Sir. 27. ©ruubbutbrecbt, Sa§ formelle, bon Oberlanbeśgericbtśr. Pr.g.Krebfcp mar in freshen. Sir. 549.

&anbétablit», Sluêümrtige, bon Dr. £>einr. ©iebeting, Brofeffor an ber Uniberfitât Hürid). Sir. 245. &anbel£redjt, Seutfdjeê, bon Dr. Kart Sebmann, $rof. an b. Uniberfitât ©öttingen. I: ©inleitung. Ser Kaufmann u. feine ^ilfêperfonen. Offene &anbeBgefellfd)aft. Kom* manbit* u. ftiUe ©efeltfd). Sir. 457.

--II; Slltiengefetlfcbaft. ©efeltfd).

ta. b. £. ©ing. ©en. |>anbetëgefd). 'Sir. 458.

4?anbel£fcbulü)efen, Saê beutfdje, bon Sireltor Sbeobor Blum in Seffau. Sir. 558.

&aubet§ftanb, Ser, bon SiecbBantoaït Dr. jur. Bruno Springer in Seipatß (Kaufm. Sted)Bf. Bb. 2). Sir. 545. 4?anbel£ü>efen, Saê, bon ©eb. Ober* regierungśrat Dr. 2ВШ). SejçB, Bïo* feffor an ber Uniberfitât ©öttingen. I; 25as <£mnbeBperfonal unb ber SBarenbanbel. Sir. 296.

--II: 25ie ©ffeltenborfe unb bie

innere ôanbelépolitif. Sir. 297. 4?anbfeuerüwffen, Sie ©ntüudlung ber, feit ber SJiitte beê 19. ^abr* bunberB u. ibr heutiger ©tanb bon ©. SBraobet, Hauptmann u. Kom* pagniedjef int 3nf.*Sleg. greiberr ôiïter bon ©artringen (4. fßofenfcbeä) Sir. 59 i.Soibau. SJi. 21Slbb. Sir.366.

Jparmontelebre bon SI. &aïm. SJiit bieïen Siotenbeifpieten. Sir. 120.

Hartmann bon Slue, Söolfram bon ©febenbaeb unb ©ottfrieb bon ©traPurg. Sluśtoabl auś b. bôfi* feben ©boś mit Slnmerl. u. SBörter* bud) bon Dr. K. SJiarolb, Brof. am Königt. griebrid)ś*Kollegium au Königsberg i. №. Sir. 22.

4?arae, Sade, girniffe bon Dr. Karl S raun in Berlin. (Sie gette unb Ole III). Sir. 337.

Jpebeaeuge, Sie, ibre Konftruïtion u. Berechnung bon $ng. Bïbf. £erm. SBilba, Bremen. SJiit 399 Slbb. Sir. 414.

4?eere£organifation, Sie ©nttiudlung ber, feit ©infübrung ber ftebenben §eere bon Otto Sieufcbler, £aupt* mann u. Batteriechef in Шт. I: ©efdf)id)tï. ©nttoidlung bB aum Stuśgange b. 19. gabrb. Sir. 552. -

Jpeiaung u. Stiftung b. $ng. Johannes Körting in Süffelborf. I: Saê SBefen u. bie Berechnung ber ^>eB aungś* u. Süftungêanlagen. SJiit 34 Figuren. Sir. 342.

--II: Sie SluSfübrung b. 4?ei*

aungś* u. SüftungSanlagen. SJiit 191 Figuren. Sir. 343.

Reffen. Saubeêluube beś ©rop beraogtumś Jpeffen, ber Brobina 4?effen*Siaffau unb beś gtirften* tumś SSalbed b. Brof. Dr. ©eorg ©reim in Sarmftabt. SJiit 13 Sib* bilbungen unb 1 Karte. Sir. 376.

^terogiPbeu bon ©eh- Stegier.^Stat Dr. Sib. ©rman, B*of. an ber Uni* berfitat Berlin. Sir. 608.

jpo 11) fbaunungStetbntl, ©iufiib rAn bie utoberne, bon 25r.*$ng. K. gifdjer in^amburg*Bergeborf. SJlit92gig. Sir. 609.

J90I5, SaS. Slufbau, ©igenfdfaften u. Bermenbung b. ^ng. Brof. §erm. SBilba in Bremen. SJiit 33 Slbb. Sir. 459.

JpotetS. ©aftbüufer unb Hotels bon Slrcbit. SJia^ SBöbler in Süffelborf.

I: Sie Beftanbteile u. b. ©inrichtg. b. ©aftbaufeś. SJi. 70 $ig. Sir. 525.

--II: Sie berfd)iebenen Slrten bon

©aftbäufern. SJiit 82 Figuren. Sir. 526.

^bbraultl b. SB. Räuber, Sipl.^ng. in Stuttgart. SJiit 44 Figuren. Sir. 397.

tl

beê ©tftbtebauê, Die, oon Sßrof. ф. ©b*- Stufebaum in £an-nooer. SJtit. 30 STbb. Str. 348.

— beê SSopnmtgêmefenê, Die, oon Sßrof. ф. ©br. Stufebaum in фап-nooer. SJtit 5 Slbbilb. Str. 363.

Cerzenfabrilatiom Die Seifenfabri* ïation, bie©eifenanalbfe unb bie Cerzenfabriïation bon Dr. Carl S3raun in S3ertin. (Die gelte u. Ole II.) SJtit 25 Slbb. Str. 336.

gberifcpe^albinfel* Sanbeêlunbe ber gberifepeu &albinfel bon Dr. grip Stegei, $rof. a. b. Unio. Söürzburg. SJt. 8 Cärtcpen u. 8 Slbb. im De^t u. l Carte in garbenbruef. Str. 235. gnbifepe Stetigionêgefcpicpte oon Sßrof.

Dr. ©bmunb &arbp. Str. 83. gnbogerntan. ©praepmiffenfepaft öon Dr. St. SJieringer, Sßrofeffor an ber Uniüerf. ©ra§. SJt. l Dafel. Str. 59. gnbuftriette u* gemerblicfee Sauten ((Speicher, £agerfeäujer u.gabrüen) oon Slrcpiteït &einr. (Satzmann in Düffelborf. I: Slllgemeineè üb. Sin-läge u. Conftruïtion b. inbuftriellen u. gemerblicpen Sauten. Str. 511.

--II: (Speicher unb Sagerpäufer.

SJtit 123 giguren. Str. 512. gnfeïtionêïranïpeiten, Die, unb ihre SSerptituug oon ©tabäarzt Dr. SS. Jpoffmann in S3erlin. SJtit 12 oom Sßerfaffer gezeichneten Slbbilbungen unb einer giebertafel. Str. 327. gnfeften. Da3 Dierrcicp V: gnfeïten oon Dr. g. ©rofe in Sieapet (@ta-Zione goologica). SJtit 56 Slbbit-bungen. Str. 594.

gnftrumeutenlcpre 0. SJtufilbir. granz SJtaperboff in ©bemnife. I: ïejt. Str. 437.

--II: Stotenbeifpiele. Str. 438.

gntegralrerbnung oon Dr. griebr. Runter, Sîeït. b. Steaigpmnafiumë u. b. £)berrealfcbule in ©öppingen. SJtit 89 giguren. Str. 88.

— Stepetitorium u* Slufgabenfautm* lung zur gntegralrecbnmtg oon Dr. griebr. gunfer, Sîeït. b. Stealgpm-nafiumê u. ber Dberrealfchule in ©öppingen. SJt. 52 gig. Str. 147. gfraeb ©efcfiidjte gfraelê biê auf bie grieebifefee 3eit oon Lie. Dr. g. S3enzinger. Str. 231. gtalienifcbe &anbel3ïorrefponbenz 0. SSrof. Sllberto be S3eauj, Oberlehrer am Cönigl. gnftitut ©. ©. Slnnun-Ziata in glorenz. Str. 219. gtalienifcbe Sitcraturgefrbitfete oon Dr. Carl S3ofeler, Sßoofeffor an ber Unioerfität SJtünchen. Str. 125.

^aHulation, Die, im SDîafcfeinenbau oon gngen. Ф- 93etbmann, Dozent am Decbniïum Sittenburg. SJtit 63 Slbbilbungen. Str. 486.

Cältemafcfeinen. Die tljcrmobt)nae mifrben ©runblagen ber SSärrne* Iraft* unb Cältema fcbincn ton SJt. Stöttinger, Dipl.-gng. in SJtann-beim. SJtit 73 giguren. Sir. 2.

Camcrum Die beutfeben Colonien I: Dogo unb Camerun oon fßrof. Dr. Carl Dooe. SJtit 16 tafeln unb einer litfeogr. Carte. Sir. 441.

Canal* unb ©ebleufenbau oon Sie-gierungêbaumeifter Otto Stappolb in Stuttgart. SJtit 78 Slbb. Sir. 585.

Cant, Emmanuel» (©efebiepte ber Sßbüofopbie 53b. 5) bon Dr. S3runo S3 auch, $rof. a. b. Unio. gena Str. 536.

Cartett u. Druft o. Dr. <3. DfcpierfcbU) in Düffelborf. Sir. 522.

Cartenïunbe oon Dr. SJt. ©roll, Cartograpp in S3erlin. 2 S3anbcpen. Is Die SSrojettionen. SJiit 56 gig. Sir. 30.

--II: Der Carteninbalt unb baê

SJieffen auf Carten. SJtit 39 gig. Sir. 599.

Cartograppifcpe Slufnapmen u. geo-graph- Ortêbeftimmung auf Steifen bon Dr.-gng. St. $ugerêpoff, SStof. an ber gorftaïabemie zu Xbaranbt. SJiit 73 giguren. Sir. 607.

Caufmänniftbe Sîecfetéïunbe. I: Da3 SSSecpfelmefen o. Siecptêanmalt Dr. Stub. SJtotpeê in ßeipzig. Sir. 103.

— II: Der ^anbefêftanb о. Stecptêan-malt Dr. jur. S3runo (Springer, ßeipzig. Sir. 545.

Caufmânnifcbeë Stecbnen oon Sßoof. Siicparb guft, Oberlehrer a. b. Offentl. |>anbet3lebranftaltb. Dreś-bener Caufmamtfcpaft. I. II. III Str. 139, 140, 187.

Cerautifcbc gnbuftrie. Die gnbuftrie ber Sililate, ber ïünftlirpen !öau* fteine unb be§ SJiôrteté oon Dr. ©uft. Stauter. I: ©la§- u. ïeram. gnbuftrie. SJtit 12 Daf. Sir. 233.

Äolonialgefchichte bon Dr. Sietrid) ©chafer, fjßrofeffor ber ©efdhidhte an ber Uniberfitât Serlin. Ш. 156.

$olonialrecljt,Seutfcf)e3, bon SSrof. Dr. £. ©bler bon Hoffmann, ©tubien* bireïtor b. Afabemie für fommunale Serioaltung in Süffelborf. Sir. 318.

ßubrutt unb Stetricbebem SJiit ©in* leitung unb SBörterbud) bon Dr. £). £. ^iricset, Srofeffor an ber Uni* berfität SBürsburg. Sir. 10. kultur, Sie, ber fRenaiffance. ©e* fittung, gorfd)ung, Sichtung b. Dr. Aobert g. Arnolb, Srofeffor an ber Uniberfitât SBien. Sir. 189. ßulturgefrfjicbte, Seutfche, bon Dr.

Âeinb. ©üntber. Sir. 56. ®urbenbi3fuffion. Algebraize ®ur* ben bon ©ug. Seutet, Óberreat* lebrer in Saihingen*©ns. I: ®ur* benbi3fuffion. SJiit 57 gig. im Sejt. Sir. 435.

®ursfd)Hft fiebe: ©tenograbhie. ^üftenartillerie* SieEntmicftung ber ©d)iff3* unb śluftenartitlerie bi3 Sur ©egenwart b.Ä'orbettenfapüän tuning. SJiit Abbilbungen unb Sabellen. Sir. 606.

Sade* ^arse, fiacfe, girniffe bon Dr. éarl Sraun in Serlin. (Sie gette unb Cle III.) Sir. 337.

$i<mtfrfjou. Sie beutfdjen Äolonien II: ФаЗ ©übfeegebiet unb Шаи» tfchou b. f£rof. Dr. Фоье. SJiif 16 Saf. и. 1 litbogr. £arte. Sir. 520. ^iuematif bon Sipl.*gng. £an3 ^Soï= fter, «Rift. a. b. W- 2ефп. фосЬ* fcbuïe ФгеЗЬеп. SJi. 76 Abb. Sir. 584. &ircl)enrecbt b. Dr. ©. (Sealing, orb.

Sßrof.b.!Red)te in ©rlaugen. Sir.377. Шши unb ЙеЬеи (Sioflimatologie) bon Br. Mï>. fft. ©cfarbt, Affift. an ber öffentl. SBetterbienftftelle in SBeilburg. Sir. 629.

$limafmtbe I: Allgemeine Mimaleljre bon$rof. Dr. SB. Joppen, Sïieteoro* loge ber ©eetoarte Hamburg. SJiit 7 Saf. и. 2 Figuren. Sir. 114.

Kometen* Aftronomie* ©röfce, Se* megung u. ©ntfernung b. $immel3* forcer b. A. g. SJiöbiu3, neu bearb. b. Dr. фегт. ®obolb, Śrof. an ber Unib. ®iel. II: Kometen, Meteore и. ЬаЗ ©ternfbftem. SJiit 15 gig. и. 2 ©ternïarten. Sir. 529 Communale 2Birtfrfjaft3bflege ьоп Dr. Alfon3 Aiefe, SJiagiftrat3affeffor in Serlin. Sir. 534.

®omboiition3ieljre* SJiufi!alifd)e gor* menlehre b. ©tebh- trebl. I. II. SJi. biel. Siotenbeifpiel. Sir. 149, 150. ^ontrabuult Sie ßehre bon ber fetb* ftänbigen ©timmführung b. ©teph-Ärehl in ßeipsig. Sir. 390. ßontrollmefen, ФаЗ agrifulturchemi* fdje, bon Dr. Saul Äirfdhe in ßeo* bolb3hall*©tahfurt. Sir. 304. ^oorbinateufhfteme b.Saul Sö.gifdher, Dberl. a. b. Dberrealfchule su ©roü^ ßichterfelbe. SJiit 8 gig. Sir. 507. Mürber, Фег mcnfchlidje, fein Sau unb feine Sätig feiten bon ©. Sieb* mann, Oberfchulrat in ®arl3rube. SJiit Éefunbheit3lehre b. Dr. med. £. ©eiler. SJiit 47 Abb. и. 1 Safel. Sir. 18.

^oftenanfchlag fiehe: Seranfdhlagen.

$rieg3fdjiffbau. SieEnttoiiflung ЬеЗ Strieg3fdjiffbaue3 bom Altertum bi3 sur Sieujeit Son Sjarb ©dhtoars, ©el>. SJi arine baurat unb ©d)iffbau*Sireïtor. I. Seit: ФаЗ Zeitalter ber Sluberfchiffe u. ber ©egelfdhiffe für bie ®rieg3fübrung gur ©ее bom Altertum bt3 1840. SJiit 32 Abbilbungen. Sir. 471.

--II. Seil: Фаз 3eitatter ber

Sambffdhiffe für bie Âriegëfüfjrmtg Sur ©ее bon 1840 bi3 sur Sieuseit. SJiit 81 Abbilbungen. Sir. 472. ®rieg3ttJefen3, ©eftfjicbte ЬеЗ, bon Dr. ©mil Saniel3 in Serlin. I: ФаЗ antife ®rieg3tbefen. Sir. 488.

--II: ФаЗ mittelalterliche ®rieg3*

mefen. Sir. 498.

--III: ФаЗ ®rieg3mefen ber Sieu*

Seit, ©rfter Seil. Sir. 518.

--IV: ФаЗ ®rieg3toefen ber Ши»

Seit. Breiter Seil. Ш. 537.

--V: ФаЗ ®rieg3mefen ber Ши»

Seit. ФгШег Seil. Ш. 568. Æriftatlograbbie b. Dr. SB. Srut)n§, $rof. a. b. Sergafabemie ©lau3* thaï. SJiit 190 Abbilb. Sir. 210. ßriftatlobtif, Einführung in bie, bon Dr. ©berïjarb Sitdhtoalb i. SJiündhen. SJiit 124 Abbilbungen. Sir. 619.

Sbtrubrbrobierïunbe. Ctuatitatibe ßtnatbfe mit &Ufe be£ Sotrubrê

Sagerbüufer. ^nbuftriette unb ge» merbtirbe bauten. (©beidjer, ßagerbäufer u. ^abriîen) bon Streitett ^peinrid) ©atsmann, SDüf^ fetborf. II: ©peicber u. Śager* bäufer. ШИ 123 gig. №. 512. ßäitber* unb SJötfernamen non Dr.

0tub. tteinbaut in Seibsig. 0tr. 478. Smtbftra§enbau bon tgt. Obertebrer 01. Siebmann, 23etrieb3bireft. a. Ф. i.0)tagbeburg. 0)Ut 44 gig. 0tr. 598. Sanbtoirtftbafttirbe 93etrieb£lebre b. &. Sangenbed in ©rofcSicbterfelbe. 0tr. 227.

bon Dr. Süiart. |>engtein in greiberg i. (5a. Sftit 10 giguren. 9tr. 483. Sübed, Sanbeêïunbc b* ©rofibersog* iittner 9Wetftenburg u. ber greieif u. &anfeftabt Sübetf b. Dr. ©ebatb ©djtoars, 2)ireftor ber Üîeatfcbute Sum Фот in Sübed. ЭДШ 17 Шк bitbungen unb tarten im £ejt unb 1 titbograpbifdjen tarte. 9tr. 487. Suftfatyeter. (Seine ©eminnung burdb ben eteîtrijcben gtammenbogen bon Dr. ©. SBrion, prof. an ber tgL SSergafabemie in Freiberg. 0Jtit SanbtbirtffbaftUcben 90iafdnnen, $ie, ₀ jj° ^uren. 9jtr. 616.

Bon Start S8altl)er, ®ДОот.-Зпд. S«f‘- uni. №«teêfttomun₀cn sort Dr. in SJlannfiemt. 3 SBänbdjen. SRit St?nä Jj?¹}¹⁸⁶' W»?.?«' Bieten Stbbilbgn. Sie. 407—409.    flationSfäute su Subed. SRit 27 «6-

2aieinifrt)e@tnmmatit. ©tunbtißbet güÄSe.^ltÄ^Jmb'"śiiftung Bon feton. ętnadmte в. SSrof. Dr SB.    ₃ЗЦпе| «ertine in ®üfiet.

SSotJci) m SJlagbeburg. Mt. 82.    borf. I: ®aâ »Seien unb bie Se*

—    ©bradje» ©efd)id)te ber tateini*    recbmmg b. &etsung§* u. SüftungS*

fdjen <Sbrad)e bon Dr. griebrid) antagen. ШИ 34 gig. 9îr. 342.

©tots, 0$rofeffor an ber Uniberfität--II: 2)ie 0tu§f übrung ber

gmrêbrud. №. 492.    Sungê* unb Süftungêantagen. 9ftit

fiilbt. ïficoretiftfje SSMfil II. Seil: ₀ I⁹¹ Reuten. Sie. 343.

Üirflt unb Шипе. SBon Dr. Stuft.    **«$«» UBb *?“,?u ,™utHCr'

Säget, SBtof. an bet ®ed)n. ®ocf).    Ии*яе»оШ unb mit gmleitungen

ttfjule in seien. Ml. 47 Stbb. Mt. 77.    «• Sfamettungen Betietien B. $tof.

m.rtvWnf,. д ~л. , „ ,    ©. 93ertit, Oberlehrer am 9hfotat-

VÄe%U

«gÄ    SKSSÄ

u>h?ïlntSSr?lria    ^ an öer £ed)nifd)en £ocbfd)ute Söien.

SÄ CÄ?^    mt 33 ^tbbitbungen. №. 78.

—    TOtserei. Srauereimefenl: Mtserei

IbkfsBketiotbetlfetaafâobëJ!    ^j^îSî

tealWntein SSien. Sit. 423.

ßogtf. ^fbrbotogte unb Sagt* sur ©m» fomie ber Trauer- unb smälserfcbute fütjrung in bte WtbfpMte bon bu ©rimma. №. 303. profesor Dr. ФЬ. ©tfenbanê. SRtt smaftfinenbau, $ie tatïulatiou im, 13 giguren. Mt. 14.    non Ingenieur ф. SSetbmann, ®oj.

ïolomotiBen.    eifeiibatinfafitjeune am Sedjnifum Stttenburg. SRit 63

Bon ф. $ttmenit)at. I: ®ie 2oto»    Stbbitbungen. Slt. 486.

motioen. MM 89 m. un ®ejt u. — îie SRoterialien bc-3 »iafrtiinen. 2 tafeln. 9ir. 107.    baueê unb ber ©leftroterbniï bon

Sotbringen. ©efrf)id>te fibttjringenê    Ingenieur prof. Hermann Ш1Ьа.

bon Dr. £erm. $ertd)3meiler, ©eb. SOÎit 3 ßlbbitbungen. №. 476. Sîegierungârat in ©trajjburg. 9Zr. 6. aJiafcbinenetcmente, Ф1 e» Äursgefab^

—    Sanbeêfunbe b. (Hfafê«2otbringen    teâ ßebrbucb mit ^eijbieten für baś

b. 9Srof. Dr. 01. Sangenbed in    ©etbftftubium u. b. praïtifcben ©e^

©trafeburg i. (£. 0Jiit 11 0lbb. u.    brand) bon 3ft. S3artb, Oberingen.

1 tarte. 0îr. 215.    in Nürnberg. 9JUt 86 ^ig. №. 3.

Mafcbinengeirfmen, SraltiföjeS, bon

Зид. ŚRicparb Schiff ner in SB arm* brunn. I: (Grunbbegriffe, Einfache Mafd)inente«e bis gu ben Kuppe* lungen. Mit 60 Xafeln. $ßr. 589.

--II: Säger, fRiemen* unb Seil*

febeiben, 3obnräber, Kolbenpumpe. Mit 51 Xafeln. №. 590.

Maganait)fe bon Dr. 0tto SRöbnt in Xarmftabt. Mit 14 gig. №. 221.

MafK Müng« unb (GemicbtSmefen bon Dr. 5luguft Slinb, Srofeffor an ber HanbelSfchule in Köln. №. 283.

MaterialprüfungStoefen. Einführung in bie moberne Xedjnit b. Material* Prüfung bon К. Memmler, Xipl.* Ingenieur, ftänb. Mitarbeiter am Kgl. Material*StüfuugSamte gu (Grof}*£id)terfelbe. I: Material* eigenfebaften.— geftigteitSberfuche. — Hilfsmittel für ^eftigïeitSber* fudje. Mit 58 Figuren. №. 311.

--II: Metaltprüfung unb Prüfung

bon H«f3materiaïien ь. Mafcbinen* banes. — Saumaterialprüfung. — Sapierprüfung. — Schmiermittel* Prüfung. — Einiges über Métallo* graphie. Mit 31 3ig. №. 312.

Matbematif, (Gefcbirfjte ber, bon Dr. 51. Sturm, Stof. am 0bergpm* nafium in Seitenftetten. 9ir. 226.

Matbentatifcbe$ormelfammlung unb ^Repetitorium ber Matbemat«, ent* baltenb bie michtigften Formeln u. ßebrfäbe b. 5lritbmetif, 5llgebra, afgebraifeben 5lnalpfiS, ebenen (Geo* metrie, Stereometrie, ebenen unb fpbärifcben Xrigonometrte, math-(Geographie, analpt, Eeometrie ber Ebene unb beS Raumes, ber Xiffe* rential* unb Integralrechnung bon 0. Xb- Sürtlen, Srofeffor am Kgl. fRealgptmtafium in Sd)to.*Emünb. Mit 18 Figuren. Sîr. 51.

Maurer« unb Steinbanerarbeiten bon Srof. Dr. phil. unb Xr.*^ng. Eb. Schmitt in Xarmftabt. 3 Sänbdpen Mit bieleń Slbbilb. 5Jr. 419—421.

Mechanik Xbeoret ^bbfiï I. Xeil: Mecbaniï unb 5«uftif* Son Dr. ©uft. ^äger, Stof, an ber Xech^ nifchen Hochfchule in SBien. Mit 19 5lbbilbungen. №. 76.

MechanifcbeXechnoiogiebon (Geb-Hof^ rat Stofeffor 51. Sübicfe in Sraun* fchtbeig. 2 Sanbchen. 9îr. 340, 341.

Metflenburg. ganbeêïunbe b* (Groß« bergogtüuter Mecflenburg u. ber freien u. Hanfeftabt gübeef bon Dr. Sebalb Schtbarg, Xirettor ber SRealfcbule gum 2)om in gübed. Mit 17 5lbb«b. im Xe£t, 16 Xaf. unb 1 Karte in gitbograpbie. №. 487.

Metflenburgifcbe (Gefrfjitbte bon 0ber* lebrer 0tto Sitenje in 5îeubranben* burg i. M. №. 610.

MeereSïmtbe, Sbbfiftbe, bon Stof. Dr. (Gertjarb Sdjott, 5lbteilungS* borfteberbei b. Xeutfcben Seetoarte in Hamburg. Mit 39 5lbbilbungen im Xe£t unb 8 tafeln. 9ir. 112.

MeereSftrömungen. guft» и. MeereS* ftrömungen b. Dr. $rang Stpulge, Xir. b. SîabigationSfchule gu gübed. Mit 27 5lbb«bungen unb tafeln. №. 551.

Menfcblidje Körper, Xer, fein Ши и* feine Xätigfeiten bon E. Rebmann, 0berfchulrat in Karlsruhe. Mit<Ge* funbbeitSlebre b. Dr. med. £. Sei* 1er. Mit 47 5lbb. и. 1Xafel. 9?r. 18.

Metallographie. Kurge, gemeinfafj* liche Xarftellung ber Sebre bon ben Metallen u.ibren Regierung en unter befonb. Serüdficbtigung ber détail* mifrofïopie b. Srof. E. Нерп u. Srof. 0. Sauer a. Kgl. MaterialprüfungS* amt (<Gr.*£icbterfelbe) b. K. Xecpn. Hocbfcpule gu Serlin. I: 5lltgem. Xe«, «»lit 45 5lbb. im Xejrt unb 5 Sicptbilbern auf 3 Xafeln. №. 432.

— — II: ©peg. Xe«. Mit 49 5lbbil* bungen im Xejt unb 37 Sicptbilbem auf 19 Xafeln. №. 433.

Metallurgie bon Dr. Sluguft (Geijg in KriftianSfanb (SRortoegen). I. II. 9Rit 21 Figuren. 9ir. 313, 314.

Meteore* 5lftronomte. (Grôjje, Seme* gung u. Entfernung ber Himmels* ïôrper bon 5t. MöbiuS, neu be* arbeitet bon Dr. Herrn. Kobolb, Stof. a. b. Unib.Kiel. II: Kometen, Meteore u. baS Sternenfpftem. Mit 15 0rig. u. 2 Stemïarten. 9îr. 529.

Meteorologie b. Dr. SB. Xrabert, Stof, an ber Uniberfität SBien. Mit 49 5lbb«b. u. 7 Xafeln. Sr. 54.

MUitärifdje Sauten bon 9teg.*Sau* meifter 9Î. fiang in Stuttgart. Mit gabtreid). 5tbb. №. 626.

Müitärftrafrecbt bon Dr. Maj Ernft Maper, Stof. an b. Unib. Strafj* bürg i. E. 2 Sbe. №. 371, 372.

bon

SJlineralogie bon ©eheimer S3ergrat Dr. Si. S3rauné, ^Srof. an b. Unib. S3omt. SJiit 132 Slbbilb. Sir. 29.

SJlinnefaug unb Spruchbichtung. SBalther bon ber SBogelmeibe mit Sluétoahl auê SJiinnefang unb ©pruchbichtung. SJiit Slnmertungen u. einem SBörterb. bon 0. ©üntter, $rof. an b. Oberrealfchule u. an b. Xechtt.$ochf(huiei.Stuttgart.Sir.23.

SJUttelhochbeutfche Sichtungen aué mittelhochbeutfcher &rühgeit 3fn Sluêtoahl mit ©inleitg. u. SBörter* buch herauêgeg. bon Dr. Hermann hänfen, Sir. b. Königin ßuife* Schule i. Königsberg i.^r. №. 137.

SJUttelhochbeutfche ©rammatif. Ser Siibelunge 9iôt in îiuémabl unb mittelborfjbeutfdje ©rammatiî mit ïurg. SSbrterb. b. Dr. 2B. ©oïtber, ^5rof. a. b. Unib. Sîoftocf. 9ir. 1.

attorgenlanb. ©efi^idjte beê alten ajlorgenlanbeê b. Dr. gr. pommel, ÿrof. an b. Uniberfitât Ййпфеп. SOftt 9 Silbern и. 1 Âarte. 9ir. 43.

9Jlorbbologie unb Organograbb« ber ^flangcn b. ą5rof. Dr. Ш. 9torb^ bnufen i. Æiel.Æ 123 Slbb. 9îr. 141.

TOrtel. 2)ie ^nbuftrie b. Ittnftli^en üBaufteine unb be§ aWôrtelé bon Dr. ©. Sauter in ©^arïottenburg. 9Kit 12 tafeln. №. 234.

907unbarten, 2>ie beutfr^en, bon ^5rof. Dr. £. 9îeié in SJiaing. 9?r. 605.

907uub arien, ^tattbeutf^e, bon Dr. Hubert ©rimme, ^Srofeffor an ber Uniberf. fünfter i. SB. 9ir. 461.

90îüngmefen. 9Jia^*, 9JUtug* unb ©e* u»irf)têmefeu bon Dr. 3lug. S3linb, ^Srofeffor an ber ^anbeléftf)ule in àôln. №. 283.

burner, ^bbmaê. Martin Sutler u. ^omaê ^turner. Sluêgetoâljlt u. m. ©inleitungenu.5lnmer!.berfe^en bon SSrof. ©. S3erlit, Oberlehrer am 9ti!olaigt)mnaf. gu Seibgig. 9ir. 7.

Mufiï,©efd)i«hte ber alten unb mittel* alterlich en, b. Dr. §1. ВД!ег in Steinhaufen. 2 S3bd). ШШ gahlr. Slbb. u. ^uïiïbeil. 9îr. 121 u. 347.

«01ufifalifd)e Slluftiï bon ^rofeüor Dr. ^arl S. Schäfer in SSerlin. 9JUt 36 Slbbilbungen. 9lr. 21.

9Jlufilal.^ormeniehre(llombofitionê* lehre) bon Stebhcm Ärehl. I. IL 9Kit biel. Sîotenbeifb. №. 149,150.

attufifüfthetiï bon Dr. ®arl ©ruttéfb in Stuttgart. 9ir. 344.

amtfiïgefchirhie beé 17. unb 18.^a^r* hmtbertê bon Dr. ®arl ©runétt) in Stuttgart. №. 239.

Sftufifgefchiihte feit beginn beé 19. 3ahrhunbert§ b. Dr. Й. ©runéït) in Stuttgart. I. II. Stfr. 164, 165.

SOÎufiflehre, Stilgemeine, bon Stephan @tef)l in Seip&ig. №. 220.

97abelhôlger, $>ie, bon Dr.g. SB.Sieger, $rof. an ber Äönigt. gorftatabemie gu Sharanbt. SJiit 85 Slbbilbungen, 5 Tabellen unb 3 Marten. Sir. 355:

SiahrungémitteL ©rncihnmg u. Siah* rungémittel b. Oberftabéargt $rof ф. SSifchoff in SSerlin. SJiit 4 Stb* bilbungen. Sir. 464.

Nantit Purger Slbrif b. täglich an S3orb bon &anbeléfchiffen angetb. £eitéb. Schiffahrtélunbe. SSonDr. $rang Schulge, Ś)ir. b. Siabigationé* fchule gu Sübed. S)iit 56 Slbbilbgn. Sir. 84.

Sieugriechifch»beutfche£ ©efbrâchê» buch mit befonb. SSerüdfichtigung b. Umgangéfprache b. Dr. Johanne# ®alitfunafié, SDog. am Seminar für orient. Sprache in Berlin. Sir. 585.

Siemtgehnteê Sfahrljunbert. ©efchichte be§ 19. Stohrhunberté bon Délat Sfäger, o. £onorarprof. a. b. Unib ЯЗопп. l.S3btf).: 1800—1852.9ir.216

--2. SSänbchen: 1853 bié ©nbe beé

ftahrhunberté. Sir. 217.

Sieuteftamenttiche Beitgefchidjte Lie. Dr. SB. Staerf, $rof. a. ber Unib. in 3ena. I: S)er hiftorifche u. ïulturgefchichtl. ^intergrunb b.'Ur^ chriftentumé. SJi. 3 Marten. Sir. 325.

--II: 2)ie Religion b. Subentumé

im Zeitalter beé ^elleniémué unb; ber Siômerherrfchaft. S)iit 1 Sßlan* fligge. Sir. 326.

Siibelunge Sîôt, $er, in Stuêtoahl unb mittelhochbeutfche ©rammatif mit furgem SBörterb. b. Dr. SB.©otther, $rof. an ber Unib. Sloftod. Sir. 1

Siorbifclje Siteraturgefchichte I: 3)ie iétânb. u. normeg. Literatur beê SJiittelalterè b. Dr. SBotfg. ©olther, $rof. an ber Uniberfität Sioftocï. Sir. 254.

Siuhbflangen bon $rof. Dr. 3f. S3 eh* rené, SSorft. b. ©rofe^ergogï. lanb* Ibirtfchaftl. S5erfutf)êanft. Stuguften* berg. SJiit 53 Figuren. Sir. 123.

bon

bon

ôte» Die $ette u. ôte fotbie b. Seifen* u. ®erâenfûbnfation u. b. sparge, Sade, ^irniffe mit ihren michtigften &itf3ftoffen bon Dr. Äart ©raun in Pertin. I: ©inführung in b. ©hernie, Pefhrechung einiger Salge u. ber ftette unb ôte. Ar. 335.

ôte unb fRiechftoffe, Âtijerifche,

Dr. ft. Aochuffen in Atiltifc. Atit 9 Abbilbungen. Ar. 446.

Dbtiï» ©inführung in b» geometrifrhe ôbtit bon Dr. SB. 4>inritf)é in SBit* mer§borf*Pertin. Ar. 532.

Drientntifctje Literaturen» Die Site* rature« beé Orienta bon Dr. At. £abertanbt, Pribatbos. an b. Uni* berfität SBien. I: SDie Literaturen Oftafiené unb Snbiené. Ar. 162.

--II: Die Literaturen b. Perfer,

«Semiten unb Dürfen. Ar. 163.

—    Die chriftlirhen Literaturen beé Orienté bon Dr. Ant. Paumftarf. I: ©inleitg. — Da3 chriftl.*aramäi* fdje u. b. tobt. Schrifttum. Ar. 527.

---II: Daé d)rifttidE)=arabifdE) e unb

baé äthiopische Schrifttum. — Daê chriftliche Schrifttum ber Armenier unb (Georgier. Ar. 528.

Ortsnamen im Deutfchen, Die, ihre ©ntmidtung u. ihre ^erfunft bon Dr. SRubotf Äleinpaul in Leipzig* ©oljlté. Ar. 573.

Oftafrifa. (Die beutftf). Kolonien III) bon Prof. Dr. Dobe. Atit 16 Daf. u. 1 tithogr. ®arte. Ar. 567.

öfterreitfj» öfterreirfjifche ©efrhichte Prof. Dr. ftranj b.^roneé, neu* bearb. bon Dr. ®arl Uhtirg, Prof.

a.    b. Unib ©raj. I: Pon b. Urzeit

b.    j. Dobe Äönig Aïbrecptâ II. (1439). Atit11 Stammtaf. Ar. 104.

--II: PomDobe®önig Albrecptéll.

bté g. SBeftf. ^rieben (1440—1648). Atit 3 Stammtafeln. Ar. 105.

—    Lanbeéfunbe b» öfterreichsttngarn bon Dr. Alfreb ©runb, Prof. an b. Uniberfität Prag. Atit 10 Dejt* ittuftrationen u. 1 ®arte. Ar. 244.

Obtbiué Aafo, Die Aletamorpljofen beé» $n Auémahl mit einer ©inteit. u. Anmerf. herauègeg. b. Dr. ^ul. Riehen in ^ranffurt a.l. Ar. 442.

Päbagogif im ©runbrifc bon Profeffor Dr. Ж. Aein, Direftor b. Päbagog. Seminars a. b. Unib. 3ena. Ar. 12.

—    ©ef^ichte ber, bon Oberlehrer Dr. $. SBeimer in SBieSbaben. Ar. 145.

Patäogeographie» ©eotog. ©efchichte ber Ateere unb $eftlänber bon Dr. grana Äoffmat in SBien. Atit 6 harten. Ar. 406.

Patäoflimatologie bon Dr. SBilf). 9t. ©darbt i.SBeilburg (Sahn). Ar. 482.

Paläontologie bon Dr. Aub. 4?oerneS, Profeffor an ber Uniberfität ©raj. Atit 87 Abbilbungen. Ar. 95.

— unb Stbftammungêtehre bon Dr. ®art Diener, Prof, an ber Uniberf. SBien. Atit 9 Abbilb. Ar. 460.

Paläftina. Lanbeé* unb Polféfmtbe Palâftinaé bon Lie. Dr. ©uftab &ölfcher in £alle. Atit 8 Pollbil-bern unb 1 ®arte. Ar. 345.

Parallelperfpeïtibe» Aechttbinflige u. fchiefminflige Axonometrie b. Prof. 3f. Ponberlinn in fünfter. Atit 121 Figuren. Ar. 260.

Perfonennamen, Die beutfehen, b. Dr. Aub. Meinpaul in Leipzig. 9tr. 422.

Petrograbhtc b. Dr. SB. Pruhnê, Prof, an ber Pergatabemie ©lauêthat. 9Rit 15 Stbbitbungen. 9tr. 173.

Pftanje, Die, ihr Pau unb ihr Leben bon Prof. Dr. ©. Dennert. 90Ш 96 Slbbitbungen. 9tr. 44.

Pftangenbautehre. Ltrferbau* unb Pftanjenbautehre bon Dr. Paul fRibbert in ©ffen u. ©rnft Sangen* bed in ©rof3*LichterfeIbe. 9tr. 232.

Pftansenbiotogie b. Dr. SB. SRigula, Profeffor an b. gorftatabemie ©tfe* nach- I: Allgemeine Piologie. 9Rit 43 Abbitbungen. 9tr. 127.

Pfianäenernäbrung.Agrifuiturdjemie I: Pflansenernährung b. Dr. ®arl ©rauer. Ar. 329.

Pflanjengeograbhic bon Profeffor Dr. Submig Dielê in Atarburg (Reffen). Ar. 389.

Pftansenfranfheitett bon Dr. SBerner griebr. Prud, Pribatbog. i. ©iefeen. Alit 1 farb. Dafet unb 45 Abbilbgn. Ar. 310.

Pftanâenmorbhologie» SAorbhotogic u. Drganograbhie b» Pflansen bon Prof. Dr. At. Aorbhaufen in Ше1. Atit 123 Abbilbungen. Ar. 141.

Pflanjenbbbfiôiogie bon Dr. Abolf &anfen, Prof, an ber Uniberfität ©iefcen. Atit 43 Abbilb. Ar. 591.

Pflansenreiché, Die Stämme beé, bon Pribatbog. Dr. Aob. Pilger, ^uftoâ am $gl. Potan. ©arten in Perlin* Dahlem. Atit 22 Abb. Ar. 485.

bon

^flcmjentoelt, Sie, ber ©etoäffer bon Dr. SB. Шди1а, ^rof. a. b. gforftaï. Eifenacb. TO 50 ШЬ. №. 158. SSflansenjettenlebre. .SeUentetjre unb Stuatomie ber ^fïansen bon $rof. Dr. ф. ШЩе in Seidig. Ш1 79 Slbbitbungen. Яг. 556. tßbartttafbgnofie. S3on 5lpotï)eïer %. ©ebmitttjenner, Slffift. a. S3otan. ünftitut b. Secbn. £>oebfcbute ®avU* ru^e. №. 251.

^ïjarntaseutiff^e lernte bon $ribat* bojent Dr. E. SJlamtbeim in S3onn. 3 33änbcben. Яг. 543/44 u. 588. Wlologie, ©efrbirbte b, llaffif^en, b. Dr. SBitb- Slrott, orb. ißrof. a. b. Unib. fünfter in SBeftf. Яг. 367. ^IjttofbMte, Einführung in bte, bon Dr. SBentfcber, ^rofeffor an ber Uniberfitât S3omt. №. 281.

SSbüofobbie, ©efebitbte b.rIV: Яеиеге ^bitofobbie biê ^ant bon Dr. S3. S3aud), fjkofeffor an ber Uniberfität ^ena. Яг. 394.

--V: Emmanuel Sîant bon Dr.

S3runo S3aucb, fßrofeffor an b. Uni* berfüät ^ena. Яг. 536.

--VI: Sie SSbiibfobbie 'w crf*en

drittel be§ 19. ^abrljunbertS bon Slrtbur S)retbS, SSrof. ber ^büo* fopbie an ber %ефп. ^oebfebute in ,®arfêrube. Яг. 571.

—    4?aubtbn»bleme berf b. Dr. Eeorg ©immel, SJrofeffor an ber Uniber* fität SBerlin. Яг. 500.

—    ÿfbtbologie unb Sogiï ?jur Einf. in b. SSbiïofobbie bon Sßrof. Dr. Xb-Eïfenbanë. fflîit 13 gig. Яг. 14.

^bbtograbbie, 2)ie. S3on Jp. ^efeter, S3rof. an b. ï. t. Erabbifdien Sebr* unb S3erfu<f)êanftaït in SBien. SDłit 3 £af. unb 42 Slbbiïb. Яг. 94.

SSbbftff ^beoretiftlje, bon Dr. Euftab ^äger, SSrof. ber SSbbfit an ber Хефп. ^>ocbfcbuïe in SBien. I. Seit: ЗЯесЬат! unb SHuftiï. Шй 24 Stb* bitbungen. Яг. 76.

--II. Seit: Siebt u. SBärme. ЗЯй

47 Slbbitbungen. Яг. 77.

--III. Seit: eteftriéitâtu. stagne*

tiSmuS. Шги 33 Slbbitb. Яг. 78.

--IV. Seit: Etettromagnet. Sieb^

tbeorie unb Eteïtronif. l&Mt 21 gig. Яг. 374.

Wfil, Eefebicbie ber, bon «ßrof. SL Slifiner in SBertbeim a. sJ0i. I: S>ie ЩфП btë ftemton. та13 ftig. çfct 293.

--II: Ś>ie SSbbftf bon Яепйоп bté

b. Eegentoart. Ш13 ftig. №. 294. ^bbfitaltfrf) «Ebemiftbe fRecbenauf* gaben bon $rof. Dr. Я. Slbegg unb Skibatbo^ent Dr. £). ©acfur, beibe an ber Unib. SSreètau. №. 445. ^bbfiïûlifcbeSlufgabenfantntlnng bon E. ^tabler, Sßrof. ber 9ftatbematif u. $bbfiî am ©bmnafium in Ulm. 90Ш ben Ülefultaten. Яг. 243. ^bbfiïelifrfje ^ortnelfamntlung E. fabler, Sßrof. am Ebmnafium in Шш. SÄit 65 gig. Яг. 136. SSbbfiïatifcbe 9tteffmtgêmetbbben bon Dr. SBilb- SSabrbt, Obertebrer an b. Dberrealfcbule inErofj*£icï)terfetbe. Ш1 49 Figuren. Яг. 301. ^bbfiblogifcbe Ebentie bon Dr. med. SI. ßegabn in Berlin. I: Slffimita* lion. Шt 2 Safeln. Яг. 240.

--II: Siffimilation. та l Saf.

Яг. 241.

^bbfiftbe ©eograbbie bon Dr. ©iegm. Eüntber, $rof. an ber $gl. Secbn. $ocbfct)ute in Sftüncben. 9&it 32 Ш* bübungen. Яг. 26.

^bbftfcbe fmeereëïunbe bon Sßrof. Dr. ©erb- ©cbott, Slbteitungêborft. b. b. Seutfcben ©eetoarte in Hamburg. 90Ш 39 Slbbitbungen im Se^t unb 8 Safeln. Яг. 112.

$Ще, Sie. Eine Einführung in bie Kenntnis ihrer gormenreiben bon Skof. Dr. &. ßinbauin S3erlin. Ш1 10 gigurengrubben i.Sert. Яг. 574. Skanetenfbftem. Slftronomie (Eröfee, ЗЗеюедшгд u. Entfernung b. $im* теШогрег) bon SI. g. ЯШшЗ, neu bearb. bon Dr. £erm. Äobolb, Śkof. a. b. Unib. Sïiet. I: 2)aS Planeten* Wtem. та 33 SXbbilb. Яг. 11. Skaftif, Sie, beê SlbenblanbeS bon Dr. фапё ©tegmann, Sireïtor beê S3 ab er. Яа1шпа1ти{еитЗ in 9Яйп* eben, та 23 Safeln. Яг. 116.

— Sie, feit beginn be§ 19.3abrbun* bertë bon SI. £eitmet)er in №n* eben. Ш1 41 SSottbilbern. Яг. 321. fjkattbeutfebe 9ЯипЬ arten bon Dr.^ub. Erimme, Skofeffor an ber Uniber* fität fünfter i. SB. Яг. 461. Sßoettf, ^eutftbe, b. Dr. ®. S3orinS!if S3rof. a. b. Unib. ЗЯйпфеп. Яг. 40.

Polarlicht. Erb magneticmuS, Erb» ftrom u. Polarlicht bon Dr. 9t.

Duelleulunbe b. beutfchen ©efchtchte bon Dr. Earl 3acob, Prof, an ber Uniberfität Tübingen. 1. Panb. Sir. 279.

Siippolbt, Mitglieb beS Ägl. Preufc.

Meteorolog, ftnftitutS su PotSbam.

fRabioaltibitât bon ®ipl.*^ng. SBith. grommel. Mit 21 Slbbitbungen. Ш. 317.

Mit 7 £af. u. 16 Figuren. für. 175.

Polnifthe Eefchichte bon Dr. (Siemens Pranbenburger in Pofen. Sir. 338.

fKecbnen, 35aS, in ber Secbnil u. feine Hilfsmittel (9ted)enfchieber,9îed)en-tafeln, 9ted)enmafd)inen ufm.) bon ^ng. &oh. Éug. Maper in Freiburg i. Pr. Mit 30 Stbbilb. 9îr. 405.

—    ^aufmännifrlieS, bon Prof.9lid)arb 3uft, Oberlehrer an ber Offent* lichen HanbelSlehranftalt ber ®reS* bener ®aufmannftf)aft. I. II. III.

str. 139, 140, 187.

fftedjt beS Pürgerlidjen ©efehbuth^. ErfteS Puch: Stllg. Zeit. I: Ein* leitung — Sehre b. b. Perfonen u. b. b. Sachen b. Dr. p. Oertmann, Prof. a. b. Unib. Erlangen. Sir. 447.

--II: Ewerb u. Pertuft, ©eltenb*

machung u. Schuh ber Siechte bon Dr. Paul Oertmann, Profeffor an ber Uniberfität Erlangen. Sir. 448.

—    3»eiteS Pud): Schulbrecht. I. Abteilung : Stilgemeine Sehren bon Dr. Paul Oertmann, Profeffor an ber Uniberfität Erlangen. 9?r. 323.

--II. Abt. : 2)ie einzelnen Sdiutb*

berhältniffe b. Dr. Paul Oertmann, Prof, an ber Uniberfität Erlangen. Sir. 324.

—    drittes Puch: Sachenrecht bon Dr. $. Ärebfdjtttar, OberlanbeSgeridjtS* rat in ŚlreSben. I: Stllgem. Sehren. Pefih unb Eigentum. Sir. 480.

--II: Pegrenjte Siechte. Sir. 481.

—    PierteS Pud): #amiiienred)t bon Dr. Heinrich £ihe, Profeffor an ber Uniberfität ©öttingen. Sir. 305.

Sommern. SanbeSïmtbe ban Pom* ntern bon Dr. SB. 2)eede, Prof. an ber Uniberfität $reiburg i. S3. Mit 10 9lbb. unb tarten im Xe& unb

1    ®arte in Sithographie. 9ir. 575.

Portugiefifche ©efchichte b. Dr. ©uftab

®ierdS in Perlin*Steglih. für. 622.

Portugiefifche Siteraturgefchichte bon Dr. ®arl bon fReinbarbftoettner,

Profeffor an ber ®gl. £ed)n. Qofy fd)ule München. 9ir. 213.

Pofamentiererei. $estil*3nbuftrie II:

SBeberei, SBirïerei, Pofamentiere* rei, Spihen* unb Earbinenfabri* ïationunbfÇilsfabrifationb. Prof.

Ma£ ©ürtler, ©et). SiegierungSrat im ®gl. SanbeSgemerbearnt su 93erlin. Mit 29 gig. 9ir. 185.

Poftreiht bon Dr. safreb SBolde, Poft* infpeftor in S3onn. 9ir. 425.

Prefcluftmerfseuge, $ie, bon SDiplom*

3?ng. p. ^ItiS, Oberlehrer an ber ®aif. 5tecpn. Schule in Strafjburg.

Mit 82 giguren. 9ir. 493.

Preufjifche ©efchicïjte. Pranbeubur* ûifch*Preufjifche®efchid)te b. Prof.

Dr. M. STharnm, SDireïtor b. Jailer SBilhelmS*©t)mnafiumS in Monta* baur. 9ir. 600.

PreufjifcheS Staatsrecht bon Dr. grih Stier*Somlo, Prof. an ber Unib.

S3onn. 2 Zeile. 9ir. 298, 299.

Pfptf)iatrie, gorenfifrfje, bon profeffor Dr. SB. SBepganbt, 2)ir. ber grren* anftalt griebrid)3berg in Hamburg.

2    Pänbchen. 9ir. 410 unb 411. DiechtSfchuh, $er internationale ge» Pfptfjologie unb Sogi! sur Einführung »erbliche, bon & Sieuberg, Äaiferl.

in b. Philofophie b. Prof. Dr. $h- SiegterungSrat, Mitglieb b. Âaiferl. ElfenhanS. Mit 13 gig. 9ir. 14. Patentamts m S3erlin. Sir. 271. PfgtfmPhhfiï, ©runbrifê ber, b. Prof, 9iechtë»iffenfchaft, Einführung in Dr. ©. g. SippS in Zürich. Mit    Dr- ^heobor (Sternberg

3    Figuren. Sir. 98.    ttt Perltn. I: Methoben* unb

ÜSMintitn, Srudwaffer. unb Sruiflnft. _ Â'èôftem %'r 170 Slnlaetn. ®n tutjet ÜbeMiä Bon „ t    „ ,‘,ftem' llt' ¹⁷⁰'

$ipl.*3ng. fRubotf Pogbt, Siegie* ^belehre, ©eutfche, b. HanS Probft, rungSbaumeifter a. 3). in Stadien. ©pmnafialprof. inPamberg. Sir.61. Mit 87 Slbbiibungen. Sir. 290 fHebefchrift fiehe: Stenographie.

Dr.

ertäut. Жг 24.

SReirfjêfhtanaett, Sie (gntwitflung ber, bon Sräfibent Dr. Ж. ban ber Sorget in Serlin. Жг. 427.

Religion, Sie (gnttmdtung ber djrift-lid)en, innerhalb beê Жеиеп Sefta* mentê bon Srofeftor Dr. Lie. Sari Шешеп. Жг. 388.

— Sie, be§ ftttb entumê int Zeitalter beë £eltentému§ u. b. ЖотегЬегг-fehaft bon Lie. Dr. S3. ©taer! (Жеи-teftamentt. 8eitgefchid)te II.) mit einer Stanftigge. Жг. 326.

ЖеИдЬпеп ber SRaturbölfer, Sie, bon Dr. Xh- 5ld)eïté, Srofeffor in Sretnen. Жг. 449.

9îengionêtbiffettfc^aft, 3tbri# ber ber* gteidjenben, bon Srofeffor Dr. Sh- SIdjelté in Bremen. Жг. 208.

ЖепаЩапсе. Sie kultur ber Же* noiffance. ©efittung, ftorfdjung, Sichtung b. Dr. Robert ft. 5lrnotb, $rof. a. b. Uniberi. SSien. Жг. 189.

ЖеЬНИеп. Sa§ Sterreid) III: ЖеЬ* tiiien nnb Slntbbibien, Son Dr. ftrang S3erner, $rof. a. b. Uniberf. ssien. mit 48 ть. жг. 383.

Ж^етЬгоЬта, Sanbe§fuube ber, bon Dr. S. ©teineefe, Xireïtor b. Жео1<= gtjmnafiumâ in @ffen. 9 5lbb., 3 Mrttfjen itnb 1 ®arte. Жг. 308.

ЖксЬ(М|е. sJttberifdje Ote unb Ж1ег^Т1о?Тс bon Dr. ft. ЖосЗДеп in 2Ri(ti|. mit 9 5lbb. Жг. 446.

Жошйп. ©efdjidjte beê beutfdben Жотипё bon Dr. феШп. miette. Жг. 229.

ЖотапЦгЬе (Sbradjtoiffeufdjaft bon Dr. 5tbotf gauner, $rof. a. b. Unib. ©ras- 2 Sänbe. Жг. 128, 250.

ЖйтОДе 2tltertum3ïuttbe bon Dr.Seo Slod) in ÎBien. m.8 Soltb. Жг. 45.

ЖЬтНсЬе ®eiri)id)te bon 9iealgt)m» naïiaPXireftor Dr. Sut. Æoch in ©runetoatb. Жг. 19.

Ж0тЩ)е Siteraturgefd)id)te bon Dr. фегт. ftoad)im in Hamburg. Жг.52.

Жоти^|е unb griedjifdje mbtbologie bon Srofeïfor Dr. Hermann ©teu-bing, 9lettor be§ ©t)mnaïium£ in ©djneeberg. Жг. 27.

ЖЬт^е ЖегЬ^деТсЬ^е, bon Stöbert bon matyr, Srof. an ber Seutfchen Uniberf. $iag. 1. Sud): Sie Seit b. S3otfêred)teê. 1. £âtfte: SaS öffentliche 9^ecf)t. Жг. 577.

--2.фЩе : Xa3$ribatred)t. Жг.578.

Жи#1йпЬ. Жи(№)е ©efdjidjte bon Dr. 2ВЩ). ЖееЬ, Oberlehrer Oftergdmnaiium in Acting. Жг. 4.

—    fiûnbeêïunbe be» (furobâifeben Жи#1аиЬё nebft ftiunlûttbê bon Srofefjor Dr. 51. ^hiftPbfan in фаПе a. ©. Жг. 359.

Жuffifcb=Scuti^be£ ©efaräd)£bud) bon Dr. @rid) Serneîer, ^rofeffor on ber Uniberfitot München. Жг. 68.

ЖиКигЬе ©rammati! bon Dr. ©rid) Serneler, ^rofeffor on ber Uni* berfitât miinchen. Жг. 66.

ftuffifrije ^ûnbeiêforrefbonbeuî bon Dr. Xheobor bon Âatbratyêtt) in Seipgig. Жг. 315.

Жи(№}е£ Sefebudj mit ©ïoffar bon Dr. ©rich Sernefer, ^rofetfor an ber Uniberfitât Stündben. Жг. 67.

Жи|ЩсЬе Siteratur bon Dr. ©rich Śoebme, Settor a. b. фапЬеЩ)ОсЬ*> fehuïe Serïin. I. Seit: 5tuêmahl то-berner 5ßrofa u. $oefie mit aus* füïjrlidjen 5inmerfungen и. ШьгпХ* beaeitf)nung. Жг. 403.

--II. Seit: Всеволодъ Гаршинъ,

Разсказы. 5Жй Stnmerfungen unb 5(hentbe^eid)nungen. Жг. 404.

Жи^^сЬе giteroturgefd)i(bte bon Dr. C^eorg *£о1опЩ in München. Жг. 166.

Жи|Щ{Ьеё Soïûbetbudi, Шетеё, bon Dr. @rid) Soetjme, Settor an ber &anbefêbodHd)uIe Sertin. Жг. 475.

©ûdjeurecbt Жес*И b. StirgerL ©e* febbuebeê» Sritteê Stub : ©udjeu» redbt bon Dr. ft. ®rebïd)mar, Ober^ Ionbeêgerid)tërati.Sreêben. I: 5ПР gemeine Sehren. Sefih u.Eigentum.

--II: Segrenjte Жефte. Жг. 480,

481.

<3ad)3f фап§* 5tuâge)bâhït u. b. Srof. Dr. ïïuliuê ©abr.

©ndjfem ©ârijififdie ©efdjidjte b. Srof. Otto Й'аетте!, ŚReftor b. Жi!oIai=■ ghntnaiiumê gu Seipgig. Жг. 100.

—    Sftnbeêfuube be3 Âôuigreitbê ©adhfcu b. Dr. 3. ^emrnrid), Oberlehrer am Жеа1дЬпта{. in Śtauen. 9Rit 12 5lbb. u. l Äarte. Жг. 258.

Säugetiere» So§ Sierreich I: Säuge» tiere bon Oberftubienrat Stof. Dr. ®urt Samt)ert, Sorfteher beê Ægl. Жaturalienîabinettś in Stuttgart, mit 15 5lbbilbungen. Жг. 282.

Sdjatteuïonftruïtionen bon fßrofeffor 3- SBonberlinninMünfter. Mit 114 Figuren. 92r. 236.

Sd)iff3* mtb Âüftenartillerie bi§ sur ©egentoart, $ie enttoicflung bcrf bon Äorbettenlabitän tuning. Mit Slbbilb. unb Tabellen. 92r. 606.

3rfjleêtbig*£otftein. 2anbe§ïunbc bon ©cf)te§toig*£oifteitt, &elgolattb u. ber freien mtb &anfeftabt &atn* burg bon Dr. 93aul ^ambrud), Slb-teilungâborfteïjer am Mufeum für SSölferfunbe in Hamburg. MitSlbb., Lianen, Profilen unb 1 Äarte in ßitbograbbie. 92г. 563.

Sttyleufenbau. Äanal« u. Stbleufeu* bau bon 92egierung<§baumeifter Otto 92ab#olb in (Stuttgart. Mit 78 Slbbilbungen. 92r. 585.

Säjtnatfburbabncn (Шет-, Slrbeitê-u. getbbabnen) b. ФЦЛ.-Зпд. Slug. 93oêl)art in Nürnberg. Mit 99 Ш>» bilbungen. 92r. 524.

Sdjntarober unb Srifmarobertum iu ber £iertoelt ërfte einfübrung in bie tierifef^e Scfjmaro^ertunbe bon Dr. granj b. SBagner, a.o. $rof. a. b. Unib. ©ras. Mit 67 Slbb. 92r.l51.

Scbfeiner*9lrbeitem ^tfc^ïer* (Starci* ner*) Slrbeiten I: Materialien, &anb to erzeuge, Mafdiinen,(SHn* selbcr&inbmtgen, $upöben, ften* fter, ^enftertaben,Grebben, Slborte bon $rof. e. $8iebtoeger, Slrdfiteft in ftdln. Mit 628 gig. auf 75 Ха* fein. 92r. 502.

©djulbrecbt 92etf)t be§ 23ürgerl. ($e* fepud)e§. 3toeite§ ©urfi: Srljulb* redit I. Slbteilung: Sillgemeine Sehren bon Dr. $aul Oertmann, $rof. a.b.Unib. erlangen. 92r. 323.

--II. Slbteilung: 2)ie einzelnen

Sd)ulbbert)ältniffe bon Dr. f£aul Oertmann, ^rofeffor a. b. Uniberfität erlangen. 92r. 324.

Sdjule, bie beutfrfie, im Sluêlanbe bon флиЗ Slmrljein, Seminar-Oberlehrer in 92bet)bt. 92r. 259.

Scbwlbauê. $ie öaufunft be§ Schul* Ijaufeê bon $rof. 2)r.-3ng. ernft SSetterlein in 2)armftabt. I: Xaß Sd)ulbau£. Mit 38 Slbbilb. II: 2>ie Scfjulräume — 2)ie 92ebenanlagen. Mit 31 Slbbilb. 92r. 443 unb 444.

3d)uibrü£iê„ Metbobif b. 2?о1ВДи1е bon Dr. 91. Seifert, Seminarbireï-tor in âïdjobou. 92r. 50.

Schweif?* unb Sdjueibberfabren, 2>aê autogene, bon Ingenieur фапё 92iefe in Äiel. Mit 30 gig. fRr. 499.

Schweis. Scbtoeiscrifche ©efdjidjte bon Dr. 2>änbWer, Sßrofeffor an ber Uniberfität Zürich. 92r. 188.

— Sanbeëïunbe ber Schweis bon $rof. Dr. ф. SB alf er in ЯЗегп. Mit 16 Slbb. unb 1 ®arte. 92r. 398.

Scbwimtnanftalteu. Offeutl. Sabe* unb Scbwitnmauftalten bon Dr. ®arl SBolff, Stabt-Oberbaurat in фаппоьег. Mit 50 gig. 92r. 380.

Seemacht, $ie, in ber beutfehen ©e* fcbiclitc bon SBirït. SlbmiralitäBrat Dr. ernft bon &alle, ^Srofeffor an ber Uniberfität Berlin. 92r. 370.

Seerecht, 2)a§ beutfehe, bon Dr. Otto SSranbté, Ob erlaub e§gerid)têrat in Hamburg. I: Slllgemeine Sebren: $erfonen unb Sad)en beè See-red)tè. 92t. 386.

--II: 2)ie einzelnen feerecbtlid)en

Scbulbberbältniffe: Verträge beê Seeredftê unb aufierbertraglicbe Haftung. 92r. 387.

Seifenfabrifatiou, Xie, bie Seifen» analbfe mtb b. Âersenfabriïation b. Dr. Âarl S3raun in Berlin. (2)ie fetten. Oleli.) Mit 25 Slbbilbgn. 92r. 336.

Semitifcbe Sbratbiuiffenfcbaft bon Dr. e. )8rocfelmann, 95rofeffor an ber Uniberf. Âônigêberg. 92r. 291.

SilÜate* Snbuftrie ber Silifate, ber limftlirben Saufteine unb beê Mürtelê bon Dr. èuftab fRauter in etjarlottenburg. I: ©la§ u. terami-fd)e ^nbuftrie. M. 12 £af. 92r. 233.

--II: 2)ie ^nbuftrie ber !ünftlid)en

93aufteine unb be£ MörteB. Mit 12 Safetn. fRr. 234.

Sitnbliciitê Simbliciffimuê bon £anê ^aïob ebriftoffel b. ®пттеЩ)аи-fen. ^n Sluëmalil berauâgeg. bon f£rof. Dr. g. SSobertag, Soient an ber Uniberfität SSreêlau. 9?г. 138.

Sïaubittabien, Sanbeêïunbe bon, (Stfjtbeben, 92ormegen u. 2)âne-mart) bon §einritf) Âerp, Âreië-fdbulinfpeïtor in Freusburg. Mit il Slbb. unb 1 Âarte. 92r. 202.

Slabifcbe Siteraturgefcbicbte bon Dr. ^ofef ®arâfeï in SBien. I: Sîltere Siteratur biê sur Sßiebergeburt. 92r. 277.

--И: Ш 19. 3af)rt). «Rr. 278

i ©tatik bon A3, dauber, 2)ibl.-ftng. I. Zeil: Zie ©runbtebren ber ©ta* tik ftarrer Färber. Atit 82 ftig. Ar. 178.

--II. $eil: Angeioanbte ©tatik.

Aiit 61 ftiguren. Ar. 179. ©rabbifdje, mit befonb. Aerüd-jidbtig. ber Ginflufclinien bon Âgl. Oberlehrer 2>tbt.-ftng. Otto Senket inAenbêburg. î.Xeil. Atitl2iftig. Ar. 603.

©teinbauerarbeiten. Aîaurer* nnb ©teinbauerarbeiten bon Arof. Dr. phil. unb Фг^пд. Gbuarb Schmitt in Sarmftabt. 3 ШпЬфеп. Aîit bieïen Abbilbungen. Ar. 419—421. ©tenograbbie* ©efrfjirfjte ber ©teno* grabble bon Dr. Arthur Atenb in ®önig§berg i. $r. Ar. 501. ©tenograbbie n. b. ©bftem b. ft. X. ©abelSberger bon Dr. Albert ©d)ramm, Sanbeêamtèaffeffor in ФгеЗЬеп. Ar. 246.

—    2>ie Aebeftbrift be§ ©abefêberger* ftben ©bftemê bon Dr. Albert ©ebramm, Sanbeśamtśaffeffor in ФгеёЬеп. Ar. 368.

©tenograbbie* fiebrbntb b. Serein* färbten Seutfdjen ©tenograbbie (Ginig. - ©bftem ©toise - Scbret)) nebft Sd)lüffel, Sefeftüden u. einem Anhang b. Dr. Amfel, ©tubienrat b. Âabetten!orb§ in Senêberg. Ar. 86.

—    Aebefcbrift. ßebrbud) ber Aebe-febrift b. ©bftemS ©toise-©dbret) nebft Âürsungêbeifb., Sefeftüden, ©dblüffel unb einer Anleitung sur Steigerung ber ftenograbbifeben ftertigïeit bon Heinrich 3)röfe, amtl. bab. Sanbtagêftenograbb in

.^arfôrube (A.). Ar. 494. ©iereorbemie bon Dr. G. ASebetinb, ^rof. an ber Uniberfität Tübingen. Àîit 34 Abbilbungen. Ar. 201. ©tereometrie bon Dr. A. ©ïafer in Stuttgart. Aiit 66 ftig. Ar. 97. ©ternfbftem. Aftronomie. ©röfce, S3e-megung u. Gntfernung b. ^pimmefê-forper b. A. ft. Atbbiuè, neu bearb. b. Dr. £erm. Äobolb, ^ßrof. a. b. Uniberf. Äiel. II: Kometen, Aîe-teore u. baê ©ternfbftem. Atit 15 ftig. u. 2 ©ternfarten. Ar. 529. ©teuerfbfteme be§ AuêtanbeS, 3)ie, b. ©eb. Oberfinansrat 0. ©cbtoars in Aerlin. Ar. 426.

©osiale ftrage. $>ie ©ntmiiflung ber fosialen ftrage bon ^tofeffor Dr. fterbin. Xönnie§. Ar. 353. ©osialberfidjerung bon $rof. Dr. Al-freb Шапе$ in Berlin. Ar. 267. ©ontologie bon $rof. Dr. Zborna» Acbelté in Bremen. Ar. loi. ©banie«, ©banifrfje ©efdjiibte bon Dr. ©uftab $>iercfê. Ar. 266.

— Sanbeêfunbe ber^beriftben^aïb» infel b. Dr. ftritj Aegel, ÿrof. an ber Unib. Aîürsburg. TOit 8 Äärt-eben unb 8 Abbitb. im £e;rt unb 1 Æartc in ftarbenbrud. Ar. 235. ©banifebe &anbel§forrefbonbens bon Dr. Alfrebo Aabal be Aiariescur- | rena. Ar. 295.

Œpanifât Siteratnrgefrbiibte b. Dr.

Aub. $8eer, A3ien. I. II. Ar.167,168. ©beieber, ftnbnftrielte unb getoerb* lidje bauten (©beieber, Sagerbäu-fer u. ftabriten) b. Architekt &einr. ©alsmann in 3)üffelborf. II: ©beieber u. Sagerbäufer. Alit 123 ftig. Ar. 512.

©binnerei. $e£tilinbuftrie I: ©bin* nerei nnb 3mirnerei bon $rof. Aiaę ©ürtler, ©eb. Aegierungêrat im ®önigl. Üanbeêgemerbeamt gu Berlin. АШ 39 Figuren. Ar. 184. ©bibenfabrüfation. £e£ttlinbuftrie II: SBeberei, SSirferei, infamen* tiererei, ©bihen* nnb ©arbinen* fabrikat. n. ftilsfabrüation bon ^rof. Aia£ ©ürtler, ©eb- Aegie-rungêrat im Ägl. £anbe3gemerbe-amt jit Berlin. АШ 29 ftig. Ar.185. ©brmbbitbtung. 28altber bon ber SSogelmeibe mit Au^oabl an£ Aiimtcfang unb ©brmbbirbtung. Attt Anmerkgn. u. einem SBörter-bud) b. Otto ©üntter, $rof. a. b. Oberrealfcbule «. an ber Stecbnifcben $ocbftf)ule in Stuttgart. Ar. 23. ©taatélebre, Allgemeine, bon Dr. ^ermann Aebnt, $rof. a. b. Uni-berfität ©trajjbnrg i. G. Ar. 358. ©taatöreebt, Allgemeine^, bon Dr. 3fuliu$ £atfd)ek, «Prof. b. Aedbte an ber Uniberfität ©öttingen.

3 SSänbcben. Ar. 415—417. ©taatôreibt, 43reuf?ifdje§, bon Dr. ftriij ©tier-Somlo, $rof. a. b. Uniberfität Sonn. 2 Steile. Ar. 298, 299. ©tammeêkmtbe, $eutfrfie, bon Dr. Aubolf Ahtd), a. o. «ßrof. a. b. Unib. AHen. At. 2 ®art. u. 2 £af. Ar. 126.

510.

©tilfunbe b. ^5rof. Sari Dtto &art* mann in Stuttgart. 2Rit 7 25oIlbitb. u. 195 te;rtilluftrationen. 9îr. 80. ©tbchiometrifche 2lufgabenfanttnlung bon Dr. 28ilh. SSahrbt, Oberl. an b. Oberrealfcpuie in ©rofcSicpter* , felbe. 2Rit ben fRefultaten. 5Rr. 452. Straßenbahnen bon tipl.*gng. 21ug. 23o§hart in Nürnberg. 2Rit 72 2lb* bilbungen. 9?r. 559.

Strategie bon Söffler, 2Rajot im ®gl.

©âcpf. Ârtegêmin. i.treśb. 2Zr.505. ©tröme unb Spannungen in ©tari* ftrontnepen b. gof. фег^од, tipl.* ©leïtroing. in Subapeft u. ©latence gelbmann, ^Srof. b. ©lettotecpni! in telft. 2Rit 68 2fbb. $Rr. 456. Sübameriïa,ta£ fpanifthe, ©efcpicpte ©hileê, 2lrgentinienê u. b. Heineren Staaten bon Dr. ^ermann Sufft in SSerlin. 9łr. 682.

©übfeegebiet. tie beutftfjen Kolonien II: ta§ ©übfeegebiet unb Шаи* tfchou b. $rof. Dr. tobe. 2R. 16 taf. и. 1 Iitï). $arte. 2?r. 520. talmub, tie ©ntftehmtg be§ tat* mubê bon Dr. ©. gunf in 23oêfo* mip. 9îr. 479.

talmubproben bon Dr. ©. gunï in SBoêlotbip. $Rr. 583. techttifch*©hcmifche 3lnalpfe bon Dr. ©. Sunge, ^ßrof. a. b. ©ibgenöff. 3Solptedm. Schule in âüricp. 2Rit 16 2lbbilbungen. $Rr. 195. technifrlje fabelten mtb gornteln bon Dr.*gng. 28. Miler, Styling, am l£gl. Mterialprüfungêamt gu ©rofcSicpterfelbe. 2Rit 106 gi* guten. 9?r. 579.

technifcheê 28ôrterbuch, entljaltenb bie micptigften 2luébrücïe b. Mfcpinen* ЬаиеЗ, Scpiffbaueê u. b. ©leïtro* tecpniî bon (grid) ®reb§ in Berlin.

I. teil: ttfcf).*©ngl. Ш. 395.

--II. teil: ©ngl.*ttfcb. 2?r. 396.

--III. teil: ttfcp.*granä. 2*r. 453.

--IV. Xeil: gran^ttfcp. fRr. 454.

technologie, Slllgenteine chentifche, b. Dr. ©uft. tauter in ©harlottenburg 9tr. 113.

— 9Red)anifrije, b. ©el), &ofrat $rof. 21. Sübicfe in SBraunfcptoeig. Шг. 340, 341.

teerfarbftoffe, tie, mit bef. 93erüd* ficbtig. ber fpntbetifd). Mthoben b. Dr. $anè ЗЗифегег, $rof. a. b. ®gl. techn. ^ocpfcpule, treêb. Ш. 214.

telegraphenrecht b. 3$oftinfpeftor Dr. jur. 2llfreb 28 olde in 23onn. I: (Sin* leitung. ©efcpichtlitbe ©ntmidlung. tie Stellung b. beutfcp. telegra* phenmefenê im öffentl. ŚRecpte, all* gemeiner teil. Ш. 509.

--II: tie Stellung b. beutfcp.tele*

graphentoefenê im öffentl. SRecpte, befonberer teil. ta3 tetegrappen* Strafrecpt. fRechtêberhâltntè b. telegrafie j. ЗЗиЬШиш. 9îr.

telegraphic, tie eleïtrifcpe, b. Dr. Sub. fRellftab. 2Rit19 gig. <Rr. 172.

teftament. tie©ntftehung be§ 3llten teftamentê b. Lie. Dr. 28. Staerf, $rof. a. b. Unib. gena. 2îr. 272.

—    tie ©ntftepung be§ SReuen tefta« mentê b. 3$tof. Lie. Dr. Sari ©lernen in 23onn. SRr. 285.

te^tilinbuftrie. I: Spinnerei unb 3ioirnerei b. $rof. 2Raç ©ürtler, ©eh. fReg.*9łat im ®gl. Sanbeëge* toerbeamt, 23ertin. 2Rit 39 gi* guten. Ш. 184.

—    II: SBeberei, Girieret, ^ofatnen* tiererei, ©pipeu* unb ©arbtnen* fabrilatiou ûnb gilâfabriïation b. f^rof. 9R. ©ürtler, ©eh. fRegie* rungërat i. Âgl. Sanbeêgeioerbe* amt gu Berlin. 2R. 29 gig. iRr. 185.

—    III: SBäfcberei, »leicherei, gärbe* rei unb ihre £itfêftoffe bon Dr. 28ilh. 2Raffot, f^rof. a. b. 25reufe. höheren gadjfchule f. tejtilinbuftr. in ^refelb. 2Rit 28 gig. Ш. 186.

thermobpnamtï (technifche 2Bârme* lehre) b. 28alther u. 9R. IRöttin* ger, tipl.*gng. 8R. 54 gig. 9îr. 242.

—    tie thermobpuamifchen ©ritnb* lagen berSBarmelraft* unb Äälte* mafdhinen b. 2R. fRöttinger, tipi.* ^ng. in SWamtbeim. ^Rr. 2.

thüringifdje ©efchichte b. Dr. ©ruft tebrient in Seipjig. 5Rr. 352.

tierbtologie, 2lbrth ber 23iologic ber tiere b. Dr. Heinrich Simroth, 2ßrof a. b. Unib. Seipgig. 2?r. 131.

tiere, ©nttoicflungêgefcbichte ber, bon Dr. gof)3. 2Reifenheimer, 2ßrof. ber Zoologie a. b. Uniberfität gena. I: gutepung, 2Srimitibanlagen, Sarben, gormbilbung, ©mbrponal* hüllen. 2Rit 48 gig. Ш. 378.

--II: Drganbilbung. 2Rit 46 gi*

guten. iRr. 379.

Turnen, ТаЗ beutfrfje, b. Dr. SRubotf ©аЙ, ^rofejfor am ®önig-©eorg-©bmnafium in Treiben. 9Rit 87 2tbbilbungen. *Rr. 628.

Ttergeograbbte b. Dr. 5lrnotb Jacobi, i0rofeffor ber Zoologie a. b. ®gt. ijorftatabemie gu Tbaranbt. 9ftit 2 Marten. №. 218.

Tierïunbe bon Dr. g^ng ь. ЯВадпег, ißrof. a. b. Uniberfitftt ©rag. 9Jtit 78 Stbbitbungen. №. 60.

Tierreich, Ta§, I: Säugetiere b. Ober-ftubienr. «prof. Dr. ®urt Sampert, S5orft. b. Ägt. SRaturatienfabinetté in Stuttgart. 9R. 15 9lbb. 9îr. 282.

—    Ill: JRebtitien unb 3tmbhibien bon Dr. $rang ÎBerner, ^Srof. a.b. Unib. SBien. SRit 48 9lbb. №. 383.

—    IV: IÇifrbe bon $rof. Dr. SDta^ 9tautber in Neapel. №. 356.

—    V: Snfeften bon Dr. ©rob in SReabet (Stagione ^ootogica). sJRit 56 Slbbitbungen. iRr. 594.

—    VI: Tie toirbellofenTiere bon Dr. Subn>. Söbmig, ^ßrof. b. 3oot. a.b. Unib. ©rag. I: Urtiere, Sd)rt)ömme, SReffettiere, Otipbenguatten unb Türmer. ШШ 74 gig. iRr. 439.

--II: ®rebfe, Sbinnentiere, Tau-

fenbfüber, 9Beid)tiere, SRooêtier-d)en, 5trmfüber, Stachelhäuter unb HRantettiere. Ш. 97 gig. 97r. 440.

Tierguchttehrc, OtUgemeine nnb fbe-gieïte, bon Dr. $aut 9tibbert in ©ffen. 97r. 228.

Turnïunft, ©efchidjte ber, bon Dr. SRu-bolf ©aid), $rof. a. $önig ©eorg-©bmnafium Treiben. 9Rit 17 2lb-bilbungen. $Rr. 504.

595.

Ungarn* ganbeêïunbe bon Ofterreich* Ungarn bon Dr. 5ltfreb ©runb, $rof. an ber Uniberfität $rag. 9Rit 10 Teçtitluftr. u. 1 Äarte. -Rr. 244. Itngarifche Siteratur, ©efthichte ber, bon $rof. Dr. ßubtoig batona nnb Dr. grang Sgimttjei, beibe an ber Uniberfität «ubabeft. «Rr. 550. Ungarifdje Sbradjtehre b. Dr. ftofef Sginnbei, o. ö. 9§rof. an ber Uniberfität SSubabeft. *Rr. Unterritf)tên>efen* ©efchWe b» beut» fdjen Unterrichtêmefend bon $rof. Dr. griebrich «Seiler, Tireftor be§ ®gl. ©bmnafiumä gu Sudau. I* STeit : SBon Anfang an bis gum ©nbe b. 18. gahrt). SRr. 275.

--II* Teil: &om beginn beS

19. ^aljrhunberts bis auf bie ©egentoart. SRr. 276. UnterfmhungSntethoben, 9lgriîultur« rbemifcbe, bon $rof. Dr. ©mit £afelhoff, SBorfteher ber tanbmirt-fd)afttid)en $erfuchSftation in 9Rar-

TiftfUer» (Streiner»)Arbeiten I: 9fta- ^ïïfïJ?    ⁴,⁷⁽?;

tertaïien, £anb to erzeuge, 9Ra-    Ьег    bon Pr*

fibinen,©ingelberbinbungen, guf?*    ^S?-* S?аг?ьч£г

höben,genfter,genfterlaben,Treb* Umberjrtdt 2Sien. 9Rtt 8o ^bbtlb. ben, Slborte bon «Prof. ©. $ieh-    ⁴²*    ₉ m ,    .

toeger, Strdjitelt in Шп. 9Rit 628 Urheberrecht, TaS, an Werfen ber giguren auf 75 tafeln. «Rr. 502. ßyteratur unb ber ÿontunft, baS

г»ааЛеЬси1Ме«.«о1₀„ип1:₂оВ„    SffÄÄS

Pr° * Pf’ ®arï    ^f)otograbt)ie b. StaatSanm. Dr. g.

rnt 16 Tafeln unb einer    едШдеп in ©hemnih. Rr. 361.

titt)ograbtnfd)en $arte. №. 441. —$aê beutfdje, anliterarifdjen, fünft-

To£ifotogiiche ©hernie bon fßribat-    lertfdjen u. geioerbl. Sdjöbfungen,

bogent Dr. ©. 2ftannt>eim in S3onn.    mit befonberer S3erüdfid)tigung ber

9Rit 6 5tbbitbungen. «Rr. 465.    internationaten Verträge bon Dr.

Trigonometrie, ©bene unb fbhärifdje,    SW* ®4tttet' ^tentamoalt in

bon $rof. Dr. ©erb- 4?effenberg    ©bartottenburg. №. 263.

in Breslau. mit 70 gig. №. 99. Urgett* Äultur ber Urgett bon Dr.

Trobenhhgiene b. «Rebiginalrat «Prof.    SteiS

grubben.    565.

— Ill: ©ifengeit. 9Rit 35 Either-grubben. «Rr. 566.

Dr. «Rod)t, Tireftor beS gnftitutS geit SDH Гб mbemmiü №bMs für SdjiffS- unb Trobenfranf- _ ^ Vsron*e*eifmt‘,î6 «itoet beiten in Hamburg. №. 369.    1A* ^ronSe*eu- жп ób ^UDer"

Truft* kartell unb Truft bon Dr. S. —

Tfd)ierid)U) in Tüffetborf. №. 522.

aber*

nogr.

Peïtoralanalbfté b. Dr. ©iegfr. Paten* tiner, Prof. an ber Pergaïabemie in ElauSthat. ШШ 16 gig. Шг. 354.

Peranfcblagen, $a3, tnt £od)6au, ŚhtragefafjteS £>anbbud) üb. b. 3Be* fen b. Âoftenanfd)IaQê b. 9trd)iteït Emit dentine er, 9lffiftent an ber Zed)nifd)en ôod)fd)ute in 2)arm* ftabt. ШШ bieten $tg. Шг. 385.

Pereinigte©taaten. Sanbeêfmtbe ber bereinigten Staaten non ШогЬ= anterüa bon Profeffor £einrid) ^ijdjer, Oberlehrer am ßmifenftäbt. Sfteatghmnafium in Perlin. I. Xeil: ШШ 22 harten unb Figuren int £ejt nnb 14 tafeln. Ш. 381.

--II. Seit: ШШ 3 harten im £ejt,

17 £af. u. 1 litb. IParte. Шг. 382.

Pergil. 2)ie ©ebitfjte be§ p. bergtUuê $Шаго. $n 9tuêmaht mit einer Ein* leitung u. 9lnmertungen herauSgeg. bon Dr. ftuliuS gieïjen. I: (lin* leitung unb 9leneté. Шг. 497.

bermeffungêtunbe bon SDipt.^ng. P. 9Berfmeifter, Oberlehrer an ber ®aif. £etf)n. (Schule in Strasburg i. E. I: ^etbmeffen unb Stfibeï* tieren. 9ttit 146 9tbb. Шг. 468.

--—II: 2)er Xheobotit. Srigono*

ntetrifche u. barometr, £öhenmef* fung. 2:ad)t)metrie. ШШ 109 9lb* bilbmtgen. Шг. 469.

berficherungêmathematil bon Dr. 9ltfreb Soemt), Profeffor an ber Uniberfität Biburg i. SB. 9?r. 180.

Perfidjerungêmefcn, ФвЗ, bon Dr. iur. Paul SüJtoïbenhauer, Profeffor ber PerficherungSmiffenfchaft an ber ^anbefôhochfchule Шп. I: 9lflge* meine Perfid) erungStebre. Шг. 262.

--Il: $>ie einzelnen PerfidferungS*

ameige. Шг. 636.

SBôllerïmtbe b. Dr. Шфае! ф tanbt, !. u. !. Æuftoê b. eth ©ammtung b. naturhift. £ofntu* feurnS u. Pribatboaent a. b. Unib. SSien. ТО 56 9lbbilb. №. 73. Pblïernamen. fiimber* u. Pôlïer* namen bon Dr. fRubotf Âleinpaut in Seibaig. №. 478.

Potfêbibliotbeïen (bûcher* u. Sefe* hatten), ihre Einrichtung u. Per* maltung b. Emit ^aefchîe, Stabt* bibtiotheïar in Etberfetb. Шг. 332.

Polïêlieb, Фаё beutfebe, auSgemähtt unb ertäutert bon Prof. Dr. «ÿul. ©abr. 2 Pänbchen. Шг. 25, 132.

PolfêmirtfchuftStebte bon Dr. Earl 3ob3. $ud)3, Profeffor an ber Uniberfität Tübingen. Шг. 133. Polïêmirtfcbaffêbolitiï b. Präfibent Dr. ban ber Porght, Pertin. Шг. 177.

2öaffen, Sie Manien, unb bie ©rfjtth* maffen, ihre Entmidlung bon ber Seit ber 2anbStned)te bis aur ©egen* mart m.befonberer Perüdfidftigung ber SBaffen in £)eutfd)lanb, Öfter* reicf)*Ungarn unb granfreid) bon 9S.©ohIIe, fteuermerlS*9)Zaior а. Ф. in Perlin*Steglib. Шей 115 Sib* bilbungen. Pr. 631.

2Sabrfcbeintirbïeit£rerî)nmtg bon Dr. grana £ad, ^ßrofeffor am Eberharb* ßubmigS*©bmnafiumin Stuttgart, mt 15 $ig. im Zext. №. 508.

PSatbecf. SanbeSlunbe beë ©rocher« SogtumS Reffen, ber drobina фе(* fen»Paffau unb be§ Sürftentuntê äöatbed bon f^rofeffor Dr. ©eorg ©reim in S)armftabt. ШШ 13 9tb* bitbungen unb 1 ®arte. Шг. 376.

2Battharitieb, im SSerêmafee ber Urfdhrift überfetjt u. ertäutert bon ^ßrof. Dr. ф. 5ttthof, Oberlehrer am fReatghmnaf. in SBeimar. Шг. 46.

SSatther bon ber 23ogelmeibe, mit Sluêmaht a. fUtinnefang u. ©brud)* bid)tung. ШН1 Slnmertgn. u. einem SBörterbud) b. Otto ©üntter, ^ßrof. a. b. Oberreatfchute unb an ber Zecfyti. $ocf)jd). in Stuttgart. Шг.23.

îôatamerïe. 2)ief ©inridttung unb S3e* trieb. SSon 2)ipt.*^ng. 9t. фо!ьег* fd)eib, Oberlehrer a. b. ®gt. шга* fd)inenbau* u. |>üttenfd)ute in 2)ui§* bürg. Шгй 151 9lbbitb. Шг. 580.

9Barcnlunbe bon Dr. ^arï $affad, 9Srof. u. fieiter ber ï. ï. ôanbetê* aïabemie in ©raa. I. SOeit: Unorga* nifche SBaren. 40 9lbb. Шг. 222.

--II* £eil: Organifdhe SBaren.

S0tit 36 9lbbitbungen. №. 223.

223arenaeichenred)t, Фа§* 9îad) bem ©efeh a* ©d)uh b. SBarenbeaeidh* nungenb. 12.Ш1аИ894. SBonfReg.* SRat $. ШеиЬегд, 9JtitgIieb beé ^aif. Patentamts au Pertin. №. 360.

Шгте. 3:heoretifche Phhfiï IL Ж.: Sicht и* Шгте. Pon Dr. ©uftab S'âger, Prof. a. b. £ed)n. ^od)fd)ute StSien. «Шй 47 9lbbitbgn. SRr. 77.

äöärntefrafttnafcbinen. Sie thermo® bpnamiftben ©runblagen ber aSärmelraft* u. Stältemafcbinen bon 9Я. Göttinger, Sipïom*gng. in SWannbeim. 2K. 73 gig. 9h:. 2.

Söiirmelebre, Setbnifcbe, (Sbennobp® nanti!) o. $. 2Baltberu. 9)t. 9lüttin* 0er, Sipl.*3ng. 9ïïit 54 giguren. №. 242.

Söäfcberei. Sestilinbuftrie III: Ш» fcberei, Sleicberei, Färberei unb U)re &ilf§ftoffe bon Dr. üföilb. 9ftaffot, Srof. an ber Sreufc. bob-gacbfcbule für Sejtilinbufirie in slrefelb. 90Ш 28 giguren. №. 186.

28affer, Sa§, unb feine Sertoenbung in gnbuftrie nnb ©eioerbe b. Dr. ©mft Seber, Sibling. in Saal* fetb. 9Jiit 15 2l6bilbungen. 9h. 261.

Söaffer nnb 9tbu>äffer. $bre £ufam* menfepung, Beurteilung u. Unter* fuebung b. S*of. Dr. ©mit 4>afel* boff, Sorft. b. lanblbirtfd). Ber* fueb^ftation in 9Jlarburg in Reffen. 9h. 473.

9ßafferinftallationen. ©a§* nnb 2öaf® ferinftallationen mit@inftftfuf? ber 9tbortanlagen b. Srof. Dr. phil. u. Фг.*3пд. ©buarb <Sdf)mittin Sarm* ftabt. 9ttit 119 Slbbilb. 9h. 412.

BSafferturbinen, Sie, bon Sipl.*,gng-S. §oll in Berlin. I: 9lllgemeine3. Sie greiftrablturbinen. 9ttit 113 9lbbilbungen. №. 541.

--II: Sie Überbrutfturbinen. 5Die

BSaffertraftanlagen. 9ttit 102 Ш** biïbmt0en. 9h. 542.

BJafferberforgung ber Ortfrfjaften b.

Sr.*3ng. Üîobert SSepraucb, $rof.

ber ад. ХефпЩеп §ocbfcbule «Stuttgart. ЗДШ 85 gig. №. 5.

Söeberei. Se£tilinbuftrie II: Söeberei, BHrferei, Safamentiererei, Spit® Sen® u. ÖJarbinenfabrÜation nnb gilsfabriîation bon Srof. 9ftaj: (Störtier, &et). Sîegierungèrat int ®önigl. Sanbeägemerbeamt gu Berlin. 90Ш 29 giguren. 9h. 185.

BSerbfelftromerseuger bon 3ng. ®arl Sübelmaper, 9hof. an ber !. f. Sectjnifcben &oct)fct)uïe in 2ôien. 9Jht 40 Figuren. 9h. 547. .

aSetbfeltoefen, Sa£, b. 9h(bt3anm. Dr. SHubolf 9#otbe§ in Seipsig. №.103.

28ebrberfaffuttg, Seutfrbe, oon ®eÿ/ Ærieghat Âarl ©nbreś, bortr. 0îat i. ®rie03minift. i. Ш'тфеп. №. 401.

28erfseu0tnafrf)tnen für ^otsbear® beitung, Sie, bon gng. Sïofeffor ^ermann SBilba in Sternen. 9Jüt 125 Slbbitbungen. 9h. 582. îSerîfseuoma feinen für 9ttetaïtbear® beitung, Sie, bon ftng. Sïof. &ex* mann SHlba in Bremen. I: Sie-9Jhcbanièmen ber SSertseugmafcbi* nen. Sie Srebbänte. Sie grääd mafd)inen. Wit 319 5lbb. 9h. 561.

--II: Sie Bóbr* unb SĄteif^

majcbtnen. Sie feobeU, Shaping«* u. Stobmafcbinen. 2>ie Sägern u. Scheren. Antrieb u. Straft* bebarf. 90Ш 199 Slbbilb. 37r. 562. äßeftprenben. Sanbeêïunbe ber $ro* bins Söeftprenüen bon grib Sraun, Oberlehrer am Ägl. ©pmnafium in^ ©raubenj. 3JUt 16 Xafeln, 7 Xeçt* faxten u. 1 litb. ^arte. №. 570., 2ßettbeu>erb, Фег unlautere, bon Sîecbtâanmalt Dr. Sttartin Staffer* mann in Hamburg. I: ©епегаШаи* fel, Sîeflameauèibücbfe, 5luèber* ïaufâmefen, Slngeftelltenbeftecbung. №. 339.

--II: Strebitfcbäbigung, ginnen*

u. ^amenmifebraud), Serrât b. @e* beimniffen,3luèlânberfcbub. 3îr.535. SSirbellofe $iere. Xaë 2:ierrei^ У1: ^ie ibirbettofen 2:tere bon Dr. Subibig Söbmig, Srof. b. Zoologie an ber Unib. ©raj. I: Urtiere, Scbtbämme, 9îeffeltiere, Эйрреп* guallen и. SBürmer. 3Jtit 74 gig. №. 439.

--II: Strebfe, Spinnentiere, Sau*

fenbfüfeer, äßeiebtiere, ЗЯооёйег* eben, 2lrmfüf}er, Stadjelbäuter u. SJianteltiere. 3Jiit 97 gig. №. 440; SSirferei» Se^tilinbnftrie II: 2Bebe® ret, SJirlerei, ^ofamentiereret, Spipen® u. ©arbinenfabrifation nnb gilsfabrifation bon Srof. Шатс ©ürtler, @eb- 9tegierung§rat int Äönigt. Sanbeègemerbeamt su Serlin. ÎÜUt 29 giguren. 9îr. 185. SBirtfcbaftlicpen Serbänbe, Sie, b. Dr.

ßeo 3Jtüffetmannin 9loftod. 9?r.586. 9Birtfcbaftôpflege. Communale 235irt?i fcbaft^pflege bon Dr. Sllfonâ 0tie^ SJtagiftratóaff. in Serlin. №. 534., aBbbnwngêfrage, Sie, b. Dr. 2. Sobie, Śrof. ber Staat^miffenfcbaften sn granlfurt a. 30Î. I: ФаЗ 2öobnung§* mefen i. b. mob. Stabt. №. 495.

Beitungêtoefen, mobcrne, (©bft. b. geitungèlebre) bon Dr. Robert Srunbuber in Soin a. Ab. №. 320.

Beitungêioefen, Allgemeine ©efcbicbte beê, bon Dr. ßubtoig Salomon in gêna. Ar. 351.

Bellenlebre unb Anatomie ber S flan* Sen bon Stof. Dr. fr. Aliebe in Seidig. Alit 79 Abbilb. №. 556.

Bentral*Serfbeftibe bon Arcbitef t franm gret)berger, neu bearbeitet^ bon Stofejfor 3- Sonberlinn, Si* reïtor bet Sönigl. S augelo erïfcbule in fünfter i. Weftf. Alit 132 gig. №. 57.

Bünbrnaren bon Sireltor Dr. Aïfonê Sujarb, Sorftanb beê ©täbtifcben ©bem. ßaboratoriurnm Stuttgart. Ar. 109.

Btbttngmuerfteigerung, Sie, unb bte Bbiangêberwattung bon Dr. g. itebfcbmar, Oberïanbemgeridbtmrat in Sreêben. Ar. 523.

Btoirnerei. Se^titinbuftrie I: ©bin* nerei unb BbJirnerei bon Srof. 9Aaj ©ürtler, ©eb- Aegierungmrat im tönigl. Sanbemgetnerbearnt su S erlin. 5Ait 39 giguren. Ar. 184.

Wobumtgêfrage, Sie, b. Dr. S. Sobie,1 Śtof. ber ©taatmtoiffenfcbaften su granïfurt a. Ш. II: Sie ftabtifcbe Wobnungê* unb Sobenbolitiï. At. 496.

Wolfram bon©fdjenbacb. Hartmann b. Aue, Wolfram b. ©fcbeubacb unb ©ottfrieb bon ©trafcburg. Aummabl aum bem bbf. ©bo3 mit Anmerlungen unb Wörterbuch bon Dr. Alarolb, Stof- am Ä'önigl. griebricbmïollegium su Æônigm* berg i. St. №. 22.

Wörterbuch nacb ber neuen beutfcben Aecbtftbrcibmtg bon Dr. freinridb Ælens. Ar. 200.

—    Seutfdjeê, bon Dr. Ai<ï>arb Soeme in Serlin. Ar. 64.

—    Secbuifcbeê, entbaltenb bie tt>id)tig* ften Auêbriicfe beè Alafcbinenbauem, Schiffbauern unb ber ©leltrotechniï bon ©rich ®хеЫ in Berlin. I. Seil: Seutfch^nglifdj. Ar. 395.

--II. Seil: ©ngbStfcf». Ar. 396.

--III. Seil: S)tfcf).^rana. №. 453.

--IV. Seil: grans.*Stïd). №. 454.

Württemberg. Württembergifrije ©е* frfpiclite b. Dr. ®arl Weller, ^rof. a. Âatfêgbmn. i. Stuttgart. №. 462.

—    Sanbeëïnnbe bc§ Äönigreidjm Württemberg bon Dr. S'. fraffert, Stofeffot ber ©eograbbie an ber franbeimtjocbfchule in Söln. Alit 16 Sollbilbern u. 1 Sarte. Ar. 157.

âeicüenfrbnle bon Stof. S. Simmidb in Ulm. Alit 18 Safeln in Son*, garb en* unb ©olbbruä unb 200 Soll* unb Sejtbilbern. Ar. 39.

Beicbnen, ©eornetrifcbem, bon fr. Seder, Ard)iteït unb Serrer an ber Saugernerffdjule in Alagbeburg, neu bearbeitet bon Stof. g. Son* berlinn, Sirettor ber fönigl. Sau* getoerlfchule su fünfter. 3JHt 290 Orig. u. 23 Saf. im Se£t. №. 58.

3eitnng§ttiefen, Sa§ beutfdje, bon Dr. A. Srunbuber, Soin a. Ab. Ar. 400.

Bimmeraröeiten bon (Earl Dbifc, Ober*» lebtet an ber Saif. Secbn. ©chute in ©trafcburg i. @. I: Allgemeinem, Satïenlagen, Bhufdbenbeden unb Sedenbilbungen, böls. gufcböben, gachtberlmioänbe, .frange* unb ©btengtoetfe. Alit 169 Ab*» bilbungen. Ar. 489.

--II: Säd)er, Wanbbefleibungen,

©immfcbalungen, Slod*, Sohlen* unb Srettermänbe, 3äune, Suren, Sore, Sribünen unb Saugeriifte. Alit 167 Abhebungen. Ar. 490.

Bib üb ros efc reibt, Seutfrfjeê, bon Stof. Dr. Wilhelm Sifcb in ©trafcburg i. ©.    3 Sänbe. Ar. 428—430.

Boologie, ©efcbicbte ber, bon Stof. Dr. Aub. Surcffjarbt. Ar. 357.

= Weitere 83änöe fittb in Vorbereitung. =

©üfcfeen’fïhe SBerlagêhanblung m. b. &♦ ^Berlin W 35 unb Scibjig

Soeben erï^ien:

Der beutfdje Stubent

33ott

$rof. Dr. Dljeobalb 3iegler

(gifte unb 3ioölfte Auflage ©ebunben ЯЯ. 3.50

'Tsiefe „Stubenteuprebigten", mie fie S&auïfen genannt fiat, fjaben fid) unter 'U ber ftubierenben ftugenb biele ^reunbe ermorben. Unb fo шаг её nict)t Ъи bermunbern, bafe baë S3ucb feit feinem ©rfdjeinen faft alljährlich eine neue Auflage erlebte, £>erauëgemachfen шаг eê auë ber fin-de-siècle-Stimmung bor ber ftahrhunbertmenbe, befonberë in ftubentifchen Greifen bie §erjen höher fcfelagen unb baë SSlut rafdjer treifen liefe, eben b её ш eg en aber and) nach befonnener Rührung fid) fefente. ©ine fofd)e fanben fie bier. Den Sluf* lagen im neuen Üahrhunbert fügte ber SSerfaffer eine 9îa<htragëborlefung binju jur Überleitung in ruhigere S3 ahnen unb gur ©rgän^ung burd) mandjeë tnsmifcben Sfteugemorbene. 3m SSinter 1905/06 aber bat er in Strafeburg bie Sßorlefung über ben beutjdjen Stubenten noch einmal gehalten unb hier bor allem bie Vorgänge jener bemegten geit, beë fogenannten „£od)fd)ul-ftreiteë" unb beë Âampfeë gegen bie fonfeffionellen Korporationen freimütig unb fritifcp befprodjen. Der neuen Auflage ift bie SBorlefung in biefer fbäteren Raffung, menigftenë in ber erften größeren $älfte, sugrunbe gelegt morben. Die fin-de-siècle-Stimmung ift berfcpmunben, bafür finb bie Probleme, bie baë Stubentenleben im erften ^ahrjehnt beë 20ften ftahrhunbertë bemegt haben unb bemegen, in ben SBorbergrunb gerüdt unb fo baë 93udfe burd)auë mobernifiert unb mieber ganj aftuell дешогЬеп. Dabei hat её eine nicht un* beträchtliche ©rmeiterung erfahren. Unb bod) ift ber ©eift beë ЯЗисреё ber alte geblieben, её ift ber ©eift ber Freiheit, bie alë alabemifdje Stubenten unb Sßwfefforen gleichmäßig am üer^en liegt, unb ber ©eift eiüeë ïrâftigen fittlichen üheaïiëmuë, ber fich nicpt fürchtet, Jünglinge ju Шадеп, bamit Scanner auë ihnen merben. Unb au$ her alte gute $reunb beë beutfchen Stubenten ift ber ©èffaffer geblieben, ber ihn berfteht, meil er ihn liebt. Daë jeigt gleich bon bornherein bie SBibmung beë ЯЗисреё an bie Straßburger Stubentenfdjaft. So ift её beim Slbgang 3ieglerë bon Strafeburg $u einem S3ermâd)tnië an feine jungen greunbe auf allen beutfchen ftochfdjulen ge* шогЬеп, unb foil nun auch in ber neuen ©eftalt mieber bieleń eine £itfe шегЬеп unb ein £alt.

©♦$♦ ©öfdjen'fdje gSerlagShanbtung ©. nn Ь. &♦ 93erUn W 35 mb Seidig

Soeben ersten:

Das ffiefüljl

Sine p[i)d)ologi[d)e Hnterjudjuncj

5Bon

p6f. Dr. 2^eobaIb 3^gler

fünfte, burd)ge(eï)ene unb perbefferte Auflage 23rojd)tert Ш. 4.20, gebunben 2ГС. 5.20

Opê biefeê $8u<h bor 19 fahren gum erften fWaïe erfdfien, ba mirtte bic ^ Xheorie beê SSerfafferê bon ber Priorität be§ ©efühfê unb non bem ©in* flufc beêfelben auf alte ©ebiete be£ geiftigen Sebent, bor allem auch auf Söemufetfein unb Slddergeption, troh beè Vorgangs bon &ormicg mie ein gang Шие&, baè até gegen ben ©trom ber bormiegenb intelleftuaïiftifchen ober auch fd)on boluntariftifehen Sluffaffung ber $ft)<hologie fehmimmenb, menig ©laubige fanb. Slllein eê bat fid) tro£ bief er anfänglichen Ablehnung burchgefefct unb gehört heute gu ben meift geïefenen ©chriften über $fb<ho* logie; bie 5lnfd)auung, bie e£ bertritt, fteht längft nicht mehr bereingelt ba. Зи biefem ©ich*3)urd)feben hat aud) ber ©til unb bie gange Haltung be3 83ифеЗ beigetragen, bie gleichmeit entfernt finb bon unmiffenfchaftlid)er $odu-larität mie bon trotfener debantifcher ©eïebrfamïeit. Slud) bie äfthetifdjen unb reIigion§bhilofobhhd)en ethifchen Slbfdjnitte hoben ihm biele èieunbe ermorben. S)ie neue, fünfte Auflage, bie fdjon nach bier fahren mieber notmenbig gemorben ift, hält an bem bom SSerfaffer afê richtig ©rfannten burdjauê feft, fie gieht fogar bie Sinien ba unb bort noch fchärfer unb be* ftimmter; inśbefonbere finb bie Äapitel über ba3 förderliche ©efühl unb über bie ©efübfêâufjerungen in biefem ©inne unb unter S3erüdfi<htigung ber neueren gdrfdmng unb ihrer ©rgebniffe umgearbeitet unb ermeitert morben. Uberhaudt trägt bie neue Auflage nad), ma3 feit bem ©rfcheinen ber bierten Auflage gur Sehre bom ©efühl mertbolleS Sfteueś gutage geförbert morben ift, unb feht fich babei gelegentlich auch dolemifd) mit allerlei Singriffen unb entgegenftehenben Slnfchauungen auSeinanber. ©o ift ba§ SSud) burdjauê auf ben neueften ©taub ber dîhchbïogifchen gorfchung gebracht unb ergängt, unb bo<h ift e§ in feinen ©runbanfdjauungen unb in feiner Slnlage nach mie bor ba§ alte geblieben.

©♦& ©öfrfjen’ftfje Verlagêhenblung ©«nt. SerïinW 35 unb fieipaig

Soeben ersten:

©runbrifj einer Sßljilofopljte bes Sdjaffens

als ftulturphtlofophie

(Einführung in bie 43i)iIofopI)ie als 2BdtanfdjauungsIeI)te

3?on

Dr. £)tto Staun

Sribatboaent ber Wlofophie щ fünfter i. SB.

23ro[d)tert 5Ш. 4.50, gcbunben 5Ш. 5.—

ф\ег Verfalfer finbet baê SBefen ber Vhilofophie barin, bafc lie ©elamt* ^ toiilenichaft, b. h- 223eltanld)auung3lehre ift: fie erbebt fid) auf bent Sunbament aller übrigen äBiffenfdjaften unb fud)t (inbuftiö) au einem VSeltbilbe boraubringen, helfen „äöabrheit" burd) leine perfonale Einheitlich* feit bebingt ift. 9?ad)bem ber Verfallet lid) eine ertenutntétheoretifche Vafté gefdhaffen — её mirb ein SReal*3bealiêntuê bertreten —, fud)t er an ein ©runberlebnië anauïnüpfen, Ьаё er burd) ben Vegtiff „Schaffen“ beaeichnet. SÜefeë Schaffen führt aur Entrtûdlung einer Æulturphilofophie — bie %ov* men unb (Stoffe be§ Schaffend toerben unterfudjt unb bann bie &aupt* gebiete beê Kulturlebens in ben ©runbaügen bargeftellt: VHifenfchaft, ®unft, Religion, foaialeë Beben, Staat, SRedjt, Sitte, Eth« finben ihre SSütbigung. So töirb ber Verlud) gemacht, auê bem SBefen beë mobernen Eeifteë herauë eine fbftematifche SBeltanfchauung au gewinnen, toobei ber ïuïturimmaneute Stanbpunft au§ld)laggebenb ift, menu auch eine !oëmilch*metaphhîild)e Vertiefung fich afê nottoenbig aeigt, ber Vegriff beë Schaffend toirb burd) einen gefd)id)tëphiïolophild)en Überblid über Ьаё 19. üuhrhunbert alë not* toenbig unb berechtigt erliefen.

Ф. & ©öfdjen'ftfje SBerlag^banblung EKnu b. &. SertinW 35 unb fietyjig

Die ШфбоегрфещпдбогЬпипд

ijanbausgabe mit gemeinoeritänblicben (Erläuterungen in nier Sanben

Dr. SCftanes

ООП

^rofeffor

Dr. SCRen^el

fRegierungêrat

Posent ber §anbefêl)Ocbftf)ute Berlin 9Jiitglieb be£ SReicbêberficberungSamtë

Dr. 6фи1з

9îegierung3rat

ütëitgfieb be§ ffteici)3berfi(f)erung§ainté 58anb 1: $ie für alte SSerfitfjerung^^iueige gettenben SBeftimmungen ber fReicf)^t)erfid)emngâorbmmg nebft Einleitung unb Einfüljrung^gefeb-$8anb 2: $ie Äranfenberfidjerung.

9$anb 3: 3)ie Unfaltberfidjerung.

f8anb 4: 3)ie ftnbaliben* unb ^interbtiebenenberfidjerung.

3n oier fietnenbänbe gebunben SR. 20.—

^eber 93anb ift autf) einzeln gu fiaben. ÜSreté für SBanb 1 gebunben    7.—;

S3anb 2 geb. 9Jt. 4.80; Söanb 3 geb. $W. 6.—;    Söanb 4 geb. 9Я. 4.20.

Kommentar pm

SBerfidjenmgsgefefe für 5lngefteHte

Sanbausgobe mit ausführlichen (Erläuterungen

»Ott

Dr. 9llfreb SJianes unb Dr. Sßaul ЯотдзЬегдес

*gtofe((ot    Sanbricfitet

3n Seinroanb gebunben SR. 12.—

^ßraftiftim bes 3it)iïpro3egre<^teô

oon ,

Dr. 2ШП)е1т Я1[ф

^rofeffor an ber Uniberfität (Strasburg i. E.

3n Seintoanb gebunben SR. 4.80

©. 3‘ ©öfdjen’fd)e S5erlagsl>anbtung ©. m. b. £). ^Berlin W 35 unb Setpjtg

3n unferm Vertag erfcfjiett foeben:

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©in Organon gefdjidjtltcfjm Denïens u. gorf^ens

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Dr. ßubtotg Htejj

Çprioatboacnt an btx Untoerîitât ^Berlin

©rfter 23anb

25 23ogen gr. 8°. $8rofd)iert AX 7.50, in £>albfran3 geb. AX9«50

2)ie Aufgabe ber „Enftorik" tft tmn AHibetmuonEjumbotbt unb non gohann (Suftan 2)ropfen am ktarften erfaßt morben. ©ie mu& bie probuktine Ausprägung ber allgemeinen (öebanken fein, bie in ben muftergültigen де[ф1фШфеп SSetracbtungen übereinftimmenb ais Ausgangspunkt ober 3ieipunkt ber gorfc^ung unmittelbar uorausgefefet roerben. (Es î>anbeit fid) babei nid)t um bie metbobifcben Hunftgriffe ber £>euriftik, Kritik unb Interpretation, fonbern um bas (Einbringen in ben Hern aller теп[фЦфеп SBeaiehungen unb in bie SBirkfamkeit ber Hräfte, auf benen bie Ab* roanblungen ber ЬЩогЦфеп ^Begebenheiten beruhen. 2>iefes (Element ber АИгкИфкей geiftig gu burchbringen ift bie Aufgabe, bie \)\гх зит erften Alate зи löfen nerfucht toirb. ©o geftaitet fid) bie 2>arfteltung зи einer Ьигф |фаг?е SBegriffsbeftimmungen unb ап[фаиИфе 23eifpiele auf ber §öhe tnahrer АЗЩеп[фа^ gehaltenen (En3t)kiopäbie ber (örunbüberseugungen ber (5efфiфts* unb ЭДеп?фепкеппег,

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Mofjberg’fd&e 3Bu<$btuc?etei, Seipjlg

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