WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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Prof. Dr, Otto Knopf

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Mit 10 Figuren

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Ifnfer fyeutige* ÏBiffen in furjen, Haren, attgemeinnerffanMitben Ginge(t>arfWlungen 3eder 23 a n t> in £eintpani> ged. jR 2N. 1.62

25ei gtetüfrseitiger gfbnoftmc gleicher ober tnftoîfïtfft gufammengeftgriger gänbe treten folgende ©efamtpretfe in straff: 10 ggemplarc 3^3K. 14.40;

25 (ggemplarc JUK. 33.15; 50 gfemplare 63 —

2Ba(ter    t> e ©runter    &    CL o.

oormaW ©.3. ©flfä)en'f$e gerlagćbanblung / 3- ©uttentog, »erlag$-budjftanblung / ©eorg Gelmer / Äori 3. Xrübner / geft ô Gomp.

25 e r i t n    ffi 10 unb £ e i p $ i g

3toerf unb Bief ber „©ammiung ©öfdjcn" ifi, in GinjetbarlMungen eine ftare, leicht* oerjMnblfdje unb überfidjftidje Ginfüijrung in fämflfdje ©ebiete ber 2BifTcnfd?aft unb Xecfynif ju geben; in engem Cftaijmen, auf flfreng tDtffenfdjafflidjer ©runbiage unb unfer 2?eru<ffld?tigung bed neueren ©tanbeö ber Jorfdiung bearbeitet, foll jebeö 23dnbd)cn Sunerld'fjTge Seleijrung biefen. 3ebetf einjelne ©ebiei ifï in ftd? gefc^toffcn bargcfielli, aber bennodj fielen alte 2Mnbd)en in innerem 3u< fammenfyange miteinanber, fo baß baö©anje, toenn ed noflenbef Dorliegi, eine einbeiflidje, föf?er "r< ^—a-ff.unfoTAd srofnmten Biblioteka Politechniki Krakowskie;

tflfrei

Si u i ber bie

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Bibliothek zur Mathematik u. Astronomie

aus der Sammlung Göschen

Geschichte der Mathematik von Oberstudiendirektor

Dr. H. Wieleitner. 2 Bände............Nr. 226,875

Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarith-misches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von Prof. Dr. Hermann Schubert. Neue Ausgabe von Prof. Dr. Robert Haufener. Nr. 81 Fünfstellige Logarithmen von Direktor Prof. Aug. Adler. Nr. 423 Mathematische Formelsammlung v. Prof. O.Th. Bürk-

len. Neubearb. von Dr. F. Ringleb. Mit 38 Fig.......

Arithmetik nebst Gleichungen l.und 2. Grades von Prof. Dr. H. Schubert, neubearb von Prof. P. B. Fischer. Nr. 47 Beispielsammlung zur Arithmetik u. Algebra v. Prof.

Dr. Herm. Schubert, neubearb. v, Prof. P. B. Fischer. M. 8 Fig. Nr. 48 Höhere Algebra von Prof. Dr. H. Hasse. 2 Bände .... Aufgabensammlung zur Höheren Algebra von Prof.

Dr. H. Hasse

Mengenlehre von Prof. Dr. E. Kamke. Mit 6 Figuren . . Nr. 999

Nr. 402

Gruppentheorie von Dr. Ludw. Baumgartner. Mit 6 Fig. Nr. 837 Praktisches Zahlenrechnen v. Prof. Dr.-Ing. P. Werkmeister. Mit 58 Figuren...............

Elementare Reihenlehre von Prof. Dr. H. Falckenberg.

Mit 4 Fig. im Text..................

Komplexe Reihen nebst Aufgaben über reelle und komplexe Reihen von Prof. Dr. H. Falckenberg. Mit 3 Fig. . Nr. 1027 Fouriersche Reihen von Prof. Dr. W. Rogosinski. Mit

4 Figuren .....................

Differentialrechnung von Prof. Dr. A.Witting. Mit 94

Figuren und 185 Beispielen..............

Repetitorium u. Aufgabensammlung z. Differentialrechnung von Prof. Dr. A. Witting. Mit 48 Figuren im

Text und 405 Beispielen und Aufgaben........

Integralrechnung von Prof. Dr. A. Witting. Mit 63 Figuren

und 190 Beispielen..................

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Integralrechnung von Prof. Dr. A. Witting. Mit 32 Fig. u 305 Beisp. Nr. 147 Gewöhnliche Differentialgleichungenv.Dr.G.Hoheisel Nr.920 Partielle Differentialgleichungen v. Prof. Dr.G.Hoheisel Nr.1003 Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von Prof. Dr.

G. Hoheisel.....................

Integralgleichungen von Prof. Dr. G. Hoheisel .... Variationsrechnung I. Von Prof. Dr. L. Koschmieder.

Mit 21 Fig.......................

Determinanten von Prof. P. B. Fischer

Nr. 51

Nr. 931,932

Nr. 1082

Nr. 405

Nr. 943

Nr. 1022

Nr. 87

Nr. 146

Nr. 88

Nr. 1059 Nr. 1099

Nr. 1074

Elemente der FunKtionentheorie von Prof.Dr.K.Knopp Nr.1109 Funktionentheorie von Prof. Dr. Konrad Knopp.

I.    Grundlagen der allg.Theorie der analyt.Funktionen. Mit 8 Fig. Nr. 668

II.    Anwendungen u.Weiterführungd. allgem.Theorie. M.7Fig. Nr. 703 Aufgabensammlung zur FunKtionentheorie von Prof.

Dr. K. Knopp. 2 Bde

Nr. 877, 878

Einführung in die konforme Abbildung von Prof.

Nr. 768

Dr. Ludwig Bieberbach................

Nr. 99

Potentialtheoriev.Dr.W.Sternberg. 2 Bände. MitöFig. Nr. 901,944 Vektoranalysis von Prof.Dr. Siegfr. Valentinen Mit 13 Fig. Nr. 354 Graphische Integration v. Dr. F. A. Willers. Mit 53 Fig. Nr. 801 Numerische Integration von Dr. F. A. Willers. Mit 2 Fig. Nr. 864 Ebene und sphärische Trigonometrie von Prof. Dr.

Gerhard Hessenberg. Mit 59 Figuren.........

Nr. 1060

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung von Prof. Dr. K. Doehlemann. 2 Bände. Mit 114 Figuren . Nr. 72, 876 Aufgabensammlung zur Projektiven Geometrie von

Prof. Dr. H. Timerding. Mit 65 Figuren........

Darstellende Geometrie v. Prof. Dr. Rob.Haubner u. Dr.

Nr. 970

Wolfgang Haack. 4Bde. Mit zahlreich. Figuren. Nr. 142,143,144,1063 Nichteuklidische Geometrie von Prof. Dr. R. Baldus.

Mil 71 Fig.......................

Einführung in die geometrische Optik von Dr.

Nr. 532

W. Hinrichs. Mit 56 Figuren.............

Nr. 65

Analytische Geometrie der Ebene von Prof. Dr. R

Haubner. Mit 60 Fig. im Text.............

Nr. 256

Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene von Prof. Dr. R.

Haubner. Mit 22 Figuren...............

Nr. 89

Analytische Geometrie des Raumes von Prof. Dr.

R. Haubner. Mit 36 Figuren.............

Koordinatensysteme von Prof. P. B. Fischer. Mit 8 Figuren Nr. 507 AlgebraischeKurven.NeueBearb.v.Prof.Dr.H.Wieleitner.

Nr. 435

I. Gestaltl. Verhältnisse. Mit 97 Figuren

II. Allgemeine Eigenschaften. Mit 35 Figuren .... Nr. 436 Wahrscheinlichkeitsrechnung von Prof. Dr. O. Knopf.

Nr. 508, 871

2 Bände. Mit 10 Figuren........

Nr. 879

Politische Arithmetik von Dr. E. Förster Versicherungsmathematik von Prof. Dr. Friedr.Boehm.

Nr. 180,917

2    Bände

Ausgleichungsrechnung n. d. Methode d. kleinsten Quadrate von Prof W.Weitbrecht. 2 Bde, Mit 16 Fig. Nr. 302, 641 Vermessungskunde von Prof. Dr.-Ing. P. Werkmeister.

Nr. 463, 469, 862

3    Bände. Mit 294 Figuren

Nr.102

Geodäsie (Landesvermessung und Erdmessung) von Prof.

Dr. G. Förster. Mit 33 Figuren............

Nr. 11

Mathematische Instrumente v.Dr. Fr.A.Willers. M. 68 Fig. Nr. 922 Astronomie. Gröbe, Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper v. A. F. Möbius, neubearb. v. Prof. Dr. Herm. Kobold.

I.    Das Planetensystem. Mit 33 Figuren.......

Nr. 529

II.    Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Fig.

und 2 Sternkarten................

Sammlung Gosclien '

Wahrscheinlichkeits

45 !7r2

III. Abschnitt.

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Wahrscheinlichkeits

rechnung

Von

Dr. Otto Knopf

o. Professor der Astronomie an der Universität Jena

II

Mit 10 Figuren im Text

Berlin und Leipzig

Walter de Gruyter & Co, vormals G. J. Göschen’sehe VerlagsTaandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner . Veit & Comp.

1923

KRAKÓW

--

Alle Bechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

î)ïuck von Metzger & Wittig in Leipzig,

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Inhalt.

I. Abschnitt

Geometrische Wahrscheinlichkeit.

Seite

§ 1. Definition...................

§ 2. Beispiele...................

§ 3. Buffons Nadelproblem...............

§ 4. Wahrscheinlichkeit des Schnittes einer ebenen Figur durch

eine Gerade...................

§5. Das Bertrand sehe Paradoxon............

§ 6. Zwei weitere Aufgaben mit mehrfachen Lösungen .    .    .    .    ,

§ 7. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Lage eines Punktepaares in einem Kreiso.................

11

15

19

23

25

II. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeit hei weit ausgedehnter Versuchsreihe.

§ 8. Das Gesetz der großen Zahlen............

§9. Die Stirling sehe Formel..............

§ 10. Wahrscheinlichkeit eines Streuungsbereiches.......

§ 11. Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Ausgleichsrechnung .................

31

40

44

51

III. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeit einer Ursache auf Grund der Erfahrung.

§ 12. Wahrscheinlichkeit einer Ursache, wenn die verschiedenen möglichen Ursachen von vornherein gleich wahrscheinlich sind .    57

60

§ 13. Beispiele....................

67

§ 14. Wahrscheinlichkeit einer Ursache, wenn die verschiedenen möglichen Ursachen von vornherein nicht gleich wahrscheinlich sind 64 § 15. Anwendung auf Zeugenaussagen § 16. Beispiel zur Bestimmung der Zuverlässigkeit von Zeugenaussagen 72

IV. Abschnitt.

Die mathematische Erwartung.

§ 17. Definition.......

§ 18. Das Petersburger Problem

74

75

V. Abschnitt.

Der moralische Wert und die moralische Erwartung.

§ 19. Der moralische Wert eines Vermögenszuwaehses . .    .

§20. Die moralische Erwartung...........

§21. Anwendungen................

VI. Abschnitt.

CO no 00    ^

•<IC5r- CD

Wahrscheinlichkeit auf Grund statistischer Erhebungen.

§ 22. Allgemeines...............•    .    .    .

§ 23. Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das Versicherungswesen, insbesondere die Lebensversicherung.....

§ 24. Beispiele....................

§ 25. Formeln für die Zahl der Überlebenden........

92

94

100

Literatur.

A. Wahrscheinlichkeitsrechnung überhaupt.

Bernoulli, Jakob. Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandi, 1713), übersetzt und herausgegeben ^on .R, II a u ß n e r. OstwaWs Klassiker der exakt. Wiss., Nr. 107 u. 108. Leipzig 1899.

Bernoulli, Daniel. Specimen Theoriae Novae de Mensura Sorti?. Comment. Acad. Scient. Petrop. V, 1738; deutsch von A. P rings-fa ei m. Leipzig 1896.

Laplaco, P. S. de. Théorie analytique des probabilités. Paris 1812. Oeuvr. compl. t. "VIL 1886.

--Essai philosophique des probabilités. Deutsch von Tönnies, Heidelberg 1819, und von N. Schwaiger, Leipzig 1886.

Czuber, E. Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung, 2. Aufl.; 2 Bände. Band I. Leipzig 1908.

--Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Anwendungen. Jahrosber. d. Deutsch. Mathem.-Vereinigung, VII. Band. Leipzig 1899.

--Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte. Leipzig 1884.

Ilerz, N. Wahrscheinlichkeits- und Ausgleichsrechnung. Sammlung Schubert XIX. Leipzig 1900.

Bruns, H. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre. Leipzig 1906.

Bertrand, J. Calcul des Probabilités. Paris 18S8.

Deutsch von H. Lieb-

Poincaré, H. Calcul des Probabilités. Paris 1896.

Markoff, A. A., Wahrscheinlichkeitsrechnung, mann. Leipzig 1912.

B. Ausgleichsrechnung.

Czuber, E. Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig 1891.

Helmert, F. Die Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 2. Aufl. Leipzig 1907.

C. Statistik und Versicherungswesen.

Blaschko, E. Vorlesungen über mathematische Statistik. Leipzig 1906. Landrê, C. Mathematisch-technische Kapitel zur Lebensversicherung, 3. Aufl. Jena 1905.

Über das ganze Gebiet und seine Literatur siebe auch die einschlägigen (nicht für den Anfänger bestimmten) Artikel der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, I. Band, 2. Teil, D. 1, 2,    4a, 4b, Leipzig

1900—1904.

Die in dem vorliegenden Band der Sammlung Göschen als bekannt vorausgesetzten Ergebnisse der algebraischen Analysis und Infinitesimalrechnung finden sich in den Bänden 53, 87 und 88; die Ausgleichsrech-nung nach der Methode der kleinsten Quadrate ist in Band 302 und 641, die Versicherungsmathematik in Band 180 eingehend behandelt.

I. Abschnitt.

Geometrische Wahrscheinlichkeit.

§ 1. Definition.

Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wie sie im 1. Bändchen der „Wahrscheinlichkeitsrechnung“ (Nr. 508 der Sammlung) stets vorzunehmen war, handelte es sich darum, die Anzahl der günstigen und der möglichen Fälle zu suchen. Die einzelnen Fälle waren alle voneinander unterschieden und leicht auseinander zu halten, so daß ihre genaue Abzählung möglich war. So ist beispielsweise bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerade Zahl Augen zu werfen, der Bereich der günstigen und der möglichen Fälle numerisch genau angebbar. Wenn aber nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird, daß beim Zerbrechen eines Stabes das eine der beiden Stücke mindestens doppelt so lang wird als das andere, so gibt es unendlich viel mögliche und günstige Fälle. Den letzteren gehören alle diejenigen Fälle an, bei denen die Bruchstelle im ersten oder im letzten Drittel der Länge des Stabes liegt. Der Bereich der günstigen Bruchstellen ist also f- mal so groß als der Bereich der überhaupt möglichen Bruchstellen, und wenn kein Grund vorliegt für eine Bevorzugung des Bruches innerhalb eines bestimmten Teilstückes des Stabes, so wird § als die Wahrscheinlichkeit gelten müssen, daß bei Brechen eines Stabes

Bei WahrscheinlichkeitsbestimmuDgen dieser Art wird also nicht die Anzahl der einzelnen günstigen Fälle mit der Anzahl der einzelnen möglichen Fälle verglichen, sondern es werden stetig zusammenhängende Bereiche, innerhalb welcher die günstigen und die möglichen Fälle liegen, verglichen. Da diese Bereiche häufig geometrische Gebilde sind wie Linien, Flächen, Körper, so nennt man die durch Vergleich solcher kontinuierlicher Bereiche bestimmte Wahrscheinlichkeit geometrische Wahrscheinlichkeit.

der eine Teil mindestens doppelt so groß ausfällt als der andere.

§ 2. Beispiele.

Aufgabe 1. Eine gerade Linie werde nach Willkür in 3 Teile geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich aus den drei Stücken ein Dreieck bilden läßt?

1. Lösung. Hat die gerade Linie vor der Teilung die Länge a und sind x, y, % die drei Teilstrecken, so ist x + y + z = a,

und ferner muß sein, weil die Dreiecksseiten die Bedingung erfüllen, daß die Summe zweier größer ist als die dritte,

.... a

X=2’

Faßt man x, y, x als rechtwinklige Koordinaten auf, so bedeutet die Gleichung x + y + x = a eine Ebene, welche auf den drei Koordinatenachsen die Strecke a aV schneidet (s. Fig. 1). Da der Natur der Aufgabe gemäß nur positive Werte von x, y, % in Betracht kommen, so geben die Koordinaten der unendlich vielen Punkte des im

x +y^,%, y + * iË x, x + æ ^ y, oder weil x y + x = a, a

z — ~2 ’

ersten Oktanten liegenden Stückes ABC der Ebene d:e sämtlichen Wertsysteme x, y, % wieder, welche die drei Teilstücke der Strecke a sein können.

Soll die Bildung eines Dreieckes aus den drei Stücken möglich sein, so muß x wie auch y und % zwischen 0 und

liegen. Wenn aber x zwischen 0 und ~ liegen soll,

u    a

so kommen nur die Punkte der Fläche ABC in Betracht, welche zwischen der y %-Ebene und einer dieser parallelen, die x-Achse in der Entfernung

vom Koordinatenanfang

u

-p

schneidenden Ebene liegen, also nur Punkte des Flächenstückes B G V ff. Wegen a

y < —- kommen nur Punkte

u 2

jv

Fig. 1.

des Flächenstückes AGUWm Betracht, und wegen

Li

nur Punkte des Flächenstückes AB UV, Das diesen drei Flächenstücken gemeinsame Dreieck U V W enthält demnach alle Punkte, deren

drei Koordinaten zwischen 0 und liegen. Es enthält

u

demnach alle Punkte, deren Koordinaten gleich den für die Konstruktion eines Dreiecks günstigen Wertsystemen X, ?/, ^ sind, es stellt den Bereich der günstigen Fälle dar, während die Fläche A B C den Bereich aller bei Dreiteilung der Strecke a möglichen Fälle darstellt. Es ist aber offenbar U V W = ^ A B C, folglich die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich

2. Lösung. Ist a die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABC (s. Fig. 2), so ist die Summe der von einem beliebigen Punkte P auf die Seiten gefällten Lote x + y + % = a ; denn der Inhalt des Dreiecks ist einerseits gleich wenn 5 die Seite ist, und andererseits gleich \s-x + \s-y

\r

+ i- s • z, Nur wenn P innerhalb des Dreiecks U VW liegt, dessen Ecken die Seiten des Dreiecks ABC halbieren, ist

a . a    a

— : v —: z— • — 2 ¹³ — 2 — 2

\    Daher die gesuchte Wahrschein-

\    lichkeit gleich

i/₂s

Fig. 2.

te* c Aufgabe 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich aus drei gegebenen Strecken x, y, z, die unter einer gemeinsamen Grenze a liegen, ein •Dreieck bilden läßt?

Lösung. Es muß wieder x Ą- y > z, y 4- z ^ x, % Ą- x>y sein.

Fassen wir x, y, z wieder als die Koordinaten eines Punktes auf, so ist der Bereich aller Punkte, deren jede Koordinate ^ a sein soll, durch einen Würfel von der Seitenlange a gegeben, dessen eine Ecke im Koordinatenanfang liegt und von welchem drei Kanten in die drei positiven Koordinatenachsen fallen (s. Fig. 3).

Wie man ohne weiteres sieht, erfüllen die Punkte der Diagonale AB die Bedingung x y — wobei hier übrigens z = a ist. Und legt man einen Schnitt parallel zur x «/-Ebene, so wird für die Punkte der zu AB parallelen Geraden, in welcher jener Schnitt die Ebene O AB schneidet, ebenfalls x Ą-y — z sein. Die Punkte, deren Koordinaten die Gleichung x + y = z erfüllen, liegen daher in dieser

Ebene 0 AB, und die Punkte des Würfels, welche die Ungleichung x + y ^ % erfüllen, liegen demnach alle zwischen dem Schnitt A OB und der in die xy-Ebene fallenden Würfelseite. Ebenso liegen alle Punkte des Würfels, deren Koordinaten der Ungleichung y + % ^ x genügen, zwischen dem Schnitt A O C und der in die y z-Ebene fallenden

Würfelseite. Und ebenso liegen endlich alle Punkte der Eigenschaft, daß % + y, zwischen dem Schnitt BO C und

von

der æ#-Ebene.

Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichungen erfüllen: A x+y*=*i.y+x*£x, %+x^y,    1

Fig. 3.

gehören demnach dem Teil OABCD des Würfels an, welcher aus den drei dreiseitigen Pyramiden ABD O, A CD O und y B C D O besteht und, wie leicht zu finden, gleich ^ a³ ist. Der Bereich der Punkte, deren Koordinaten die verlangten Bedingungen erfüllen, verhält sich daher zu dem Bereich der Punkte, deren drei Koordinaten sämtlich kleiner als a sind, wie \a³:a³; die Wahrscheinlichkeit, daß sich aus den drei gegebenen Strecken ein Dreieck bilden läßt, ist demnach gleich i.

§3. Buffons Nadelproblem¹).

Es wird eine Nadel von der Länge 2 l auf ein horizontal liegendes System paralleler Geraden geworfen, die voneinander um 2 a abstehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Nadel eine Gerade schneidet?

Da die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht davon abhängt, ob der Mittelpunkt der Nadel zwischen diese oder jene zwei parallele Gerade und ob er mehr nach dieser oder jener Seite hin zu liegen kommt, so brauchen wir nur diejenigen Lagen der Nadel in Betracht zu ziehen, bei denen die Nadelmitte auf einer den Abstand zweier Parallelen angebenden Geraden A Ä liegt (s. Fig. 4). Da ferner die Nadelmitte mit gleicher Wahrscheinlichkeit in die untere oder obere Hälfte der Strecke AÄ fallen kann und in jedem dieser Fälle fur das Schneiden einer der Parallelen (nämlich der näheren) die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht, andererseits aber die Nadelmitte unbedingt in eine der beiden Hälften von A A' fallen L muß, so kann die Aufgabe auch so formuliert werden : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Nadel, welche so geworfen wird, daß ihre Mitte auf die der Parallelen L nähere Hälfte von A Â fällt, diese Parallele schneidet?

f/

Fig. 4.

Die Entfernung der Nadelmitte von der ihr näheren Parallelen L sei AM = x und der Winkel, welchen x mit der Nadel bildet, sei cp.

Die Nadel wird die Parallele L schneiden, wenn cp liegt zwischen — iv und +w>, sowie zwischen 71 —w und 7t-{- w, X

wobei w = arc cos — • Die Nadel wird also, wenn ihre

Mitte auf M liegt, eine günstige Lage einnehmen, wenn die Nadelhälfte l sich in einem Winkel bereich von im Ganzen 4 w befindet. Möglich sind aber für l alle Richtungen, mit anderen Worten der Winkelbereich 2 n.

Die Wahrscheinlichkeit, daß die Nadel, wenn ihre

Mitte auf M fällt, die Gerade L schneidet, ist demnach

oc

2 arc cos —

71

2 71

Dieser Wert kann auch als die Wahrscheinlichkeit für das Schneiden Ÿon L gelten, wenn die Nadelmitte auf einen Punkt unendlich nahe an M gefallen ist, oder, anders ausgedrückt, wenn die Nadelmitte auf einen Punkt des den Punkt M enthaltenden Linienelementes dx gefallen ist.

Die Wahrscheinlichkeit aber, daß die Nadelmitte auf das Linienelement d x fällt, während nach dem Obigen alle Punkte auf der der Parallelen L näheren Hälfte von A A' d x

in Betracht kommen, ist-•

a

Es ist nun die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens der beiden Ereignisse zu bestimmen, erstlich daß die Nadelmitte auf dx fällt, und zweitens, daß die Richtung der Nadel eine solche ist, daß L geschnitten wird.

Da die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses von dem ersten Ereignis abhängig ist, indem die Wahrscheinlichkeit für das Schneiden von L eine andere wird, wenn die Nadelmitte anderswohin zu liegen kommt, so haben wir die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse miteinander zu multiplizieren, die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses unter der Voraussetzung berechnet, daß das erste Ereignis eingetroffen sei.

Die Wahrscheinlichkeit, daß die Nadelmitte auf dx

fällt, ist aber

^X f und wenn dies Ereignis ein getroffen ct

ist, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Nadel eine für das Schneiden von L günstige Lage einnimmt, gleich

2 arc cos —

, folglich ist die Wahrscheinlichkeit für das Zu-

.    x

2 arc cos —

dx

sammentreffen beider Ereignisse gleich —

TT

Die Wahrscheinlichkeit, daß die Nadelmitte auf die sich anschließende Strecke von x + d x bis x + 2 dx fällt und daß die Nadel die Gerade L schneidet, ist

x + dx

dx

2 arc cos

7t

usw.

Ist nun l < a, so ist ein Schneiden von L nur noch möglich, wenn x höchstens gleich l wird. Die Wahrscheinlichkeit für einen günstigen Wurf der Nadel ist demnach in diesem Fall

arc cos

~ f

TClJ

0

^dx.

Ist dagegen l > a, so ist ein Schneiden von L immer möglich, wenn x von Null bis auf a wächst, dem größten Wert, den wir nach dem Obigen für x in Betracht zu ziehen haben. Die Wahrscheinlichkeit für einen günstigen Wurf ist dann

arc cos

-f

0

^rdx.

Ein besonders elegantes Resultat erhält man für Z<a. Es wird nämlich

arc cos

x _    21

—— dx — —-

7i a

arc cos x dx ;

setzt man in letzterem Integral arc cos x — y₎ so wird

arc cos x dx

o

= Jyd (cos y) =

71

«/•cosÎ/ w

*

7t

Jcos y dy — J^cos y dy = 1 ;

71    0

~2

folglich ist für l < a

21

na

Bestimmt man die Wahrscheinlichkeit p durch Versuche, so kann man tc finden. R. Wolf in Zürich bekam aus 5000 Würfen p = 0,5064, woraus, da / = 18 mm und a = 22,5 mm war, sich ergab tc — 3,1596.

Für l > a bekommt man in ganz ähnlicher Weise

21

a\²

2

p = — arc cos — -\---( 1 —

TC

2

Für / = ageht die letzte Formel über in p = —, welches

21 71 Resultat man auch aus p = - erhält, wenn l = a ist.

tc a

tc a

§ 4. Wahrscheinlichkeit des Schnittes einer ebenen Figur durch eine Gerade.

Wenn eine Gerade von gegebener Richtung eine nach außen überall konvexe Figur schneiden soll, so muß sie

innerhalb des Bereiches liegen, welcher durch den Abstand der beiden in jener Richtung an die Kurve zu legenden Tangenten bestimmt ist (Big. 5). Als Maßzahl für die Menge der Geraden von gegebener Richtung, welche die Figur schneiden, kann daher dieser Abstand a dienen. Dann wird als Maßzahl für die Menge der Geraden, welche innerhalb eines Richtungsunterschiedes dcp liegen, das Produkt a-dcp gelten können. Und die Menge der in allen möglichen Richtungen die Figur schneidenden Geraden ist dann ge-

7t

geben durch fadcp, wo a Ô

Fig. 5.

eine Funktion der Richtung cp ist, wenn die Figur nicht gerade ein Kreis ist.

Nehmen wir einen Punkt im Innern der Figur an, durch welchen wir die den Abstand a angebende Strecke legen, so können wir a in die beiden Lote l und /'zerlegen, welche sich von dem angenommenen Punkt auf die beiden parallelen Tangenten fällen lassen. Es ist also

j*a dcp — Jl dcp + J V dcp . Ô    0    0

Drücken wir die Abhängigkeit des l von cp durch l = f(cp) aus, so ist /'= f[cp + Ti) zu setzen, weil l in V übergeht, wenn wir cp um n wachsen lassen. Es ist demnach

JVdcp = j*f[cp + Ti) dcp . O    Ô

Führen wir die neue Variable ^ = (^ + 7rein,so gehen

die Grenzen des letzten Integrals in n und 2 n über, und wir erhalten

2 71

fV dtp = J f[ip) dxp.

0    71

Schreiben wir für die Integrationsvariable xp jetzt wieder cp, so bekommen wir, wie auch eine geometrische Betrachtung leicht genug als richtig erkennen läßt,

2tz

2 TZ

J a dcp == J L dcp + j* l d cp — J Id cp .

0    0    71    u

Die Produkte Id cp sind aber gleich den Kurvenelementen in den Berührungspunkten von Kurve und Tangente, und die Summe sämtlicher Kurvenelemente von cp = 0 bis cp — 2 n ist gleich dem Umfang der Figur, wenn, wie vorausgesetzt, dieselbe überall konvex ist. Der Umfang einer an allen Stellen nach außen konvexen Figur kann demnach als Maß für die Schar der sämtlichen diese Figur schneidenden Geraden angesehen werden.

Fig. 6.

Hat die die Figur begrenzende Kurve eine Einbuchtung wie Fig. 6 bei B, so wird die Möglichkeit des Schnittes der Figur durch eine Gerade dieselbe sein, wie wenn die Einbuchtung durch eine sie überbrückende Tangente A C beseitigt wäre. Denn alle durch den Flächenraum ABC A gelegten Geraden durchschneiden auch die Figur AB G DA) unter den durch die Figur AB CDA gehenden Geraden sind also auch die sämtlichen Geraden enthalten, welche durch die Fläche AB G A gehen. Die Menge der möglichen Schnittgeraden wird daher nicht vermehrt, wenn zu der Fläche AB CDA noch die Fläche

Knopf, Wahrscheinlichkeitsrechnung. II.

AD CA hinzugefügt wird. Die Menge der Geraden, wTelche eine mit Einbuchtungen versehene Figur schneiden, ist demnach dieselbe, wie wenn durch einen um die Figur gelegten Faden die Einbuchtungen beseitigt worden wären. Als Maß für die Schar der Geraden, welche sich durch eine mit Einbuchtungen versehene Figur legen lassen, kann daher die Länge des Fadens dienen, mit dem sich jene Figur umschließen läßt.

Aufgabe. Es soll die Wahrscheinlichkeit gefunden werden, mit welcher eine in einen Kreis vom Radius R ein •

2r

gezeichnete Sehne einen inner-” halb der ersten liegenden zweiten Kreis vomRadius r schneidet. Die Zahl der möglichen ^ Sehnen des ersten Kreises kann ausgedrückt werden durch 2Rtc; von diesen werden den zweiten

Fig. 7.

keit gleich

Kreis schneiden 2 r n, folglich ist die gesuchte Wahrscheinlich-2 r 7i

2 Rn R

Für eine beliebige, aber bestimmte Richtung der Sehne

r

läßt sich die Richtigkeit des Resultates — aus der Fig. 7 ohne weiteres ersehen. Wenn die Wahrscheinlichkeit aber

T

für eine beliebige Richtung der Sehne gleich - ist, so ist sie es auch für sämtliche Richtungen.    ^

Ohne Schwierigkeit läßt sich jetzt auch die Frage nach der Wahrscheinlichkeit beantworten, daß eine Kreisscheibe vom Radius r, welche auf ein System paralleler Geraden vom Abstande a geworfen wird (wobei a > r), auf eine dieser Parallelen zu liegen kommt.

Denkt man sich nämlich die Kreisscheibe vom Radius r auf eine solche vom Radius a gelegt und diese letztere auf das System der parallelen Geraden geworfen, so wird sie zweifellos von einer der Geraden geschnitten. Die Präge läßt sich daher ohne weiteres durch die bereits behandelte ersetzen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet eine Sehne des Kreises vom Radius a den in ihm liegenden Kreis

r

vom Radius r? Als Resultat erhalten wir demnach--

a

Ebenso läßt sich auch das Buffon sehe Nadelproblem (s. § 3) als ein spezieller Pall des oben behandelten allgemeineren Problems auffassen.

Denken wir uns nämlich die Nadel auf einer Kreisscheibe vom Radius a befestigt und diese Scheibe auf das System der parallelen Geraden vom Abstand 2 a geworfen, so ist die Wahrscheinlichkeit zu suchen, daß die Sehne, in welcher die Kreisscheibe von einer der Parallelen geschnitten wird, auch die Nadel schneide. Die Gestalt dieser letzteren können wir aber als eine Ellipse auffassen, deren große Halbachse gleich l und deren kleine Halbachse gleich Null ist. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach gleich dem Quotienten aus dem Umfange der Ellipse, welcher gleich 41 ist, und dem Umfang der Kreisscheibe, also gleich

21

4:1

a Ti

2 an

wie auch früher gefunden wurde.

§5. Das Bertrandsche Paradoxon.

Auf verschiedene, einander widersprechende Resultate kommt man bei manchen Aufgaben der geometrischen Wahrscheinlichkeit, wenn man zu ihrer Lösung verschiedene

Wege einschlägt. Als Beispiel diene zunächst die folgende, als Bertr andsches Paradoxon bezeichnete Aufgabe.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine in einen Kreis beliebig eingezeichnete Sehne größer ist als die Seite eines dem Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?

1. Lösung. Der ganze Bereich der Möglichkeiten für das Ziehen einer Sehne wird erschöpft, wenn ich von jedem Punkt der Peripherie nach jedem andern Punkt derselben eine Gerade ziehe; es wird hierbei sogar jede Sehne in beiderlei Richtung gezogen. Der Bereich der günstigen Lagen der Sehne ist dagegen erschöpft, oder es findet vielmehr auch hier eine doppelte Erschöpfung statt, wenn ich von jedem Punkt der Peripherie nur nach allen den Punkten, die nach der einen wie nach der anderen Seite um einen 2 71

größeren Bogen als —— abstehen, gerade Linien ziehe. Die

ö

Punkte, nach welchen die günstig gelegenen Sehnen sich von einem festen Punkt aus ziehen lassen, liegen demnach

2 71    2 71

r ⁼    ’

bo

auf einem Bogen von der Größe 2 n — 2 •

während die Endpunkte der von einem festen Punkt aus überhaupt möglichen Sehnen auf der ganzen Peripherie 2 n liegen können. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher

, . ,    2 71    1

gleich — : 2 n = — •

2. Lösung. Erachtet man in jedem Punkte eines Kreisdurchmessers auf diesem ein Lot, so erhält man eine Schar paralleler Sehnen, und verfährt man so auf allen möglichen Kreisdurchmessern, so erhält man alle überhaupt möglichen Sehnen. Diejenigen Sehnen, welche größer sind als die Seite des eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks, werden erhalten, wenn auf jedem möglichen Durchmesser in allen Punkten vom Zentrum bis zur Mitte des Radius Lote errichtet werden.

Da der Bereich der Punkte vom Zentrum des Kreises bis zur Mitte des Radius halb so groß ist wie der Bereich der Punkte bis zum Ende des Radius, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, daß die beliebig gezogene Sehne größer ist als die Seite des eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks, gleich -h.

3. Lösung. Da die Lage einer Sehne durch ihren Mittelpunkt eindeutig bestimmt ist und die Mittelpunkte sämtlicher möglicherSehnen die Kreisfläche ausfüllen, so kann die Annahme einer beliebig gelegenen Sehne ersetzt werden durch die Annahme eines beliebigen Punktes der Kreisfläche als Mittelpunktes jener Sehne.

Die Wahrscheinlichkeit, daß die Sehne größer sei als die Seite des gleichseitigen eingeschriebenen Dreiecks wird dann gleichbedeutend mit der Wahrscheinlichkeit, daß der angenommene Sehnenmittelpunkt innerhalb eines Kreises vom Radius \ r liege. Der Bereich der Mittelpunkte dieser größeren Sehnen ist gleich \r² n, während der Bereich der Mittelpunkte sämtlicher Sehnen gleich r² n ist; folglich ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich -i.

Die Verschiedenheit der Resultate rührt von der nicht völligen Bestimmtheit der Aufgabe her. Nennen wir der Kürze halber die Sehnen, welche größer sind als die Seite des dem Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks die großen und die anderen die kleinen Sehnen, so besteht die Aufgabe darin, das Verhältnis der Zahl der großen Sehnen zu der aller möglichen Sehnen anzugeben. Da es aber unendlich viele große und kleine Sehnen gibt, so ist das Resultat zunächst • Welchen speziellen Wert dieser im allgemeinen unbestimmte Ausdruck in unserem Falle hat, hängt davon ab, in welcher Weise die Vermehrung der Sehnen zur unbegrenzten Anzahl hin vorgenommen wird.

Bei der 1. Lösung geschieht dies in der Weise, daß die Anzahl der äquidistanten Teilpunkte auf der Peripherie, von deren jedem nach allen anderen Teilpunkten Sehnen gezogen werden, größer und größer angenommen wird; bei der 2. Lösung so, daß man die gleichen Teile, in welche ein jeder Kreisdurchmesser geteilt wird, immer kleiner macht und dadurch die Teilpunkte, in denen die Sehnen senkrecht zum Durchmesser errichtet werden, immer enger

aneinander rücken läßt. Wieder anders ist es bei der 3. Lösung, wo man die Kreisfläche immer dichter mit Punkten, wel che Mittelpunkte der Sehnen sein sollen, besetzt denkt.

Fig. 8.

Werden, wie zur näheren Ausführung der letzteren Bemerkung noch hinzugefügt sein möge, um den Mittelpunkt der gegebenen Kreisfläche vom Radius r 2 m konzentrische äquidistante Kreise mit den Radien p, 2 p, 3 p • • • 2 m p = r geschlagen (s. Pig. 8) und auf den Peripherien dieser Kreise

Punkte angegeben, die um    auf der Peripherie ge-

o

• 6 und bis zum Kreis vom Radius 2mp gleich

messene Längeneinheiten auseinander liegen, so ist die Anzahl dieser Punkte bis zum Kreis vom Radius m p gleich m(m + 1)

Zwei weitere Aufgaben mit mehrfachen Lösungen, 23

2m(2w + l)

• 6. Je größer nun m angenommen wird,

um so mehr nähert sich das Verhältnis der beiden, die Zahl der großen und die Zahl sämtlicher Sehnen angebenden Ausdrücke dem Wert

Die Anordnung der unendlich vielen möglichen Sehnen ist demnach in den drei Lösungen verschieden angenommen, infolgedessen haben sich drei verschiedene Resultate ergeben.

§ 6. Zwei weitere Aufgaben mit mehrfachen Lösungen.

Aufgabe 1. Einer Ebene werde eine beliebige Lage gegen den Horizont gegeben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ihre Neigung gegen den Horizont mehr als 45° betrage?

1.    Lösung. Die Neigung kann zwischen 0° und 90° liegen. Nimmt man die verschieden großen Neigungswinkel als gleich wahrscheinlich an, so ist die Antwort auf die gestellte Frage: L.

2.    Lösung. Die Neigung kann man sich durch das Lot bestimmt denken, welches man von einem festen Punkt, der um die Strecke a vertikal über einem Punkte der Schnittlinie beider Ebenen liegt, auf die willkürlich gelegte Ebene fällen kann. Fällt letztere Ebene mit dem Horizont zusammen, so ist die Länge des Lotes gleich a\ steht sie senkrecht auf dem Horizont, so ist die Länge des Lotes gleich Null. Ist die Neigung größer als 45°, so hat das Lot eine Länge, welche zwischen 0 und a cos 45⁰=la]/2 liegt. Werden die verschiedenen möglichen Lotlängen als gleich wahrscheinlich angesehen, so verhält sich die Wahrscheinlichkeit, daß die Lotlänge liege zwischen 0 und la]/2, zur Wahrscheinlichkeit, daß sie zwischen 0 und a liege,

wie i]/2: 1. Die Wahrscheinlichkeit einer größeren Neigung als 45° ist demnach gleich 1]/2 = 0,71; also wesentlich verschieden von der vorigen Lösung.

Aufgabe 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei auf einer Kugeloberfläche gewählte Punkte nicht weiter als um den Bogen u auseinander liegen? x)

1.    Lösung. Hinsichtlich des Resultates wird offenbar nichts geändert, wenn wir den einen Punkt auf der Kugelfläche fest annehmen und nun fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zweiter, beliebig gewählter Punkt der Kugeloberfläche nicht weiter als um den Bogen a abliegt? Da es ferner gleichgültig ist, auf welchem durch den festen Punkt gelegten Großkreis wir den zweiten Punkt annehmen, so können wir irgendeinen Großkreis auswählen und die Frage nunmehr dahin beschränken: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein auf einem Großkreis gewählter Punkt von einem festen Punkt desselben nicht mehr als um den Bogen a abstehe? Diese Wahrscheinlichkeit ist, da der Abstand nach beiden Richtungen liegen kann, unter der Voraussetzung, daß die Möglichkeit der Wahl von Punkten auf einer Linie deren Länge pro-

2 u

2 71 TC

portional ist, gleich

a — 10' ergibt die Wahrscheinlichkeit 0,00 092 593.

2.    Lösung. Der willkürlich gewählte Punkt gehört einer Kugelhaube an, deren Mittelpunkt der fest angenommene Punkt ist und deren halber Öffnungswinkel gleich a ist. Werden gleiche Flächenstücke als gleiche

]) Die Frage hatte praktische Bedeutung, als man zur Entscheidung darüber kommen wollte, ob die vielen zu zweien ganz nahe beieinander stehenden Sterne nur zufällig auf fast denselben Punkt des Himmels sich projizierende, sog. optische, oder durch das Band der Gravitation miteinander verbundene, sog. physische Doppelsterne seien.

Möglichkeiten für die Annahme von Punkten bietend angesehen, so verhält sich die Wahrscheinlichkeit, daß der zweite Punkt auf der Haube liege, zur Wahrscheinlichkeit einer ganz beliebigen Lage desselben auf der Kugeloberfläche wie 2 n (1 — cos a) : 4 ti. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher gleich \ (1 —■ cos a] = sin² \ a.

a = 10' liefert das Resultat 0,0000021154, als etwa

■    - der vorigen Lösung.

4oo

Für kleine Werte von ct, welche sin²L# gleich \a2 zu setzen erlauben, ist das Verhältnis des zweiten Resultates

7t CC

zum ersten gleich ——, nähert sich also bei verschwindend

geringem u der Kuli. Für verschwindend kleine a ist demnach das Resultat der ersten Lösung unendlich viel mal größer als das der zweiten Lösung derselben Aufgabe.

§ 7. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Lage eines Puaktepaares in einem Kreise.

Mehrfache Lösungen, deren zwei gegeben werden mögen, bietet auch die folgende Aufgabe.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei in einem Kreis willkürlich angenommene Punkte auf zwei verschiedenen Seiten einer ebenfalls willkürlich angenommenen Sehne liegen?

1. Lösung. Der Bereich der Möglichkeiten besteht darin, daß für jede beliebige Lage der Sehne AB (s. Fig. 9) jeder der beiden Punkte, die M und N heißen mögen, an jeder Stelle des Kreises liegen kann. Der Bereich der Lagen ist für jeden Punkt gleich r² t\r, und da jede Lage des einen Punktes mit jeder Lage des anderen Punktes Zusammentreffen kann, so ist die Gesamtheit der Lagen,

welche die beiden Punkte zueinander einnehmen können, auszudrücken durch (r² rif. Da es aber bei irgendwelcher Lage des Punktepaares gleichgültig ist, welcher der beiden Punkte mit M und welcher mit N bezeichnet ist, so ist die Gesamtheit der Lagen des Punktepaares gleich i"(r²^)2 zu setzen.

fß

Die Lagen der beiden Punkte können nun bei jeder Lage der Sehne Vorkommen, und es ist daher die Gesamtheit der Lagen des Punktepaares mit der Gesamtheit der Lagen der Sehne AB zu multiplizieren, wenn man alle Möglichkeiten für das Zusammentreffen einer beliebigen Lage der Sehne AB mit einer beliebigen Lage des Punktepaares MN erfassen will.

Fig. 9.

Der Bereich der möglichen Lagen von A B kann dadurch erschöpft werden, daß man von einem beliebigen Punkt A der Kreisperipherie aus nach jedem anderen Punkt derselben eine Sehne zieht und sodann für den Ausgangspunkt A der Sehne jeden Punkt der Peripherie nimmt.

Die von A aus möglichen Sehnen erhält man, wenn man B zunächst mit A zusammenfallen und sodann nach einer Richtung hin, etwa über C hinweg, auf der Peripherie bis wieder zu A • wandern läßt. Der Tangentialwinkel cp bei A wächst hierbei von 0 bis Ji ; durch n wird demnach der ganze Winkelbereich ausgedrückt, welcher den von A aus möglichen Sehnenlagen zugehört. Nun kann aber A jede Lage auf der Peripherie 2 r n einnehmen, und wir würden demnach die Gesamtheit sämtlicher Kreissehnen gleich 2 r n2, bekommen. Hierbei würde aber jede

Sehne doppelt gezählt werden ; es ist daher die Gesamtheit der Kreissehnen durch r n² auszudrücken.

Da die Lagemöglichkeiten des PunktepaaresM, Ndurch L [r² 7t)² gegeben sind, so ist der Bereich der Möglichkeiten für das Zusammentreffen irgendwelcher Lage des Punktepaares M, N mit irgendwelcher Lage der Sehne A B auszudrücken durch r n² • \ (r² n)² = |r⁵ n\

Der damit zu vergleichende Bereich der günstigen Fälle besteht darin, daß bei allen möglichen Lagen der Sehne AB die Punkte M und N auf verschiedenen Seiten von A B liegen.

Das Segment A C B hat den Flächeninhalt r² cp — r² cos cp sin cp, das Segment ADB den Flächeninhalt r²n — r² cp + r² cos cp sin cp. Der Bereich der Möglichkeiten, daß beide Punkte sich auf verschiedenen Seiten einer bestimmten gegebenen Lage von A B befinden, ist daher

r⁴ [cp — cos cp sin cp){% — cp cos cp sin (p).

Geben wir der Sehne jede von A ausgehende mögliche Lage, so haben wir, um den erweiterten Bereich der Möglichkeiten zu erhalten, den eben gefundenen Ausdruck mit dcp zu multiplizieren und nach cp von 0 bis n zu integrieren.

Den Bereich sämtlicher Möglichkeiten der Lage beider Punkte M und N auf verschiedenen Seiten einer ganz beliebig gezogenen Sehne erhalten wir endlich, den verschiedenen Lagemöglichkeiten von A auf der Peripherie Rechnung tragend, durch Multiplizieren jenes Integrales mit r 7t, wobei wir berücksichtige^ daß die in entgegengesetzten Richtungen gezogenen, zusammenfallenden Sehnen nicht doppelt gezählt werden dürfen.

Da \ r⁵ 7i⁴ den Bereich aller möglichen Fälle darstellt, so haben wir als Wahrscheinlichkeit, daß die beiden Punkte

zu verschiedenen Seiten der beliebig gezogenen Sehne liegen,

— cos cp sin (p) (tc — cp + cos cp sin cp)dcp

Pi

-ff«

o

n cp — 7i cos cp sin cp — (p²+ 2 cp coscp sin cp — cos² cp sin² cp) dcp . Die Integration läßt sich leicht ausführen; es ist z. B.

j* 2 cp sin cp cos cp dcp — Jcpdńn²cp

= cp sin³ cp — ^sin² cp dcp

y*sin²<pd<p = -^^(1

— cos 2 cp) dcp

= Ycp-

J sin² cp cos² cp d(f — j*sin² 2 cp d 2 cp

1 r    1

= 32 / {1-cos 4cp)d4cp = — cp--^-sm4(p.

Demnach erhält man

3    4 7i²

= 0,2067.

2. Lösung. Die beliebig gezogene Sehne (Fig. 9) sei als einer Schar paralleler Sehnen angehörig betrachtet.

Ziehen wir den auf dieser Schar paralleler Sehnen senkrechten Durchmesser CD, so kann die Mannigfaltigkeit der Sehnen dieser Richtung mit 2 r bezeichnet werden. Die Mannigfaltigkeit der Richtungen des Durchmessers ist aber, wenn wir die Richtungen nach entgegengesetzten Seiten nur einfach zählen, gleich 7t und folglich der Bereich der Möglichkeiten für die Lage einer Sehne gleich 2 r 7t. Die Lagemöglichkeiten der Punkte M und N sind aber gegeben durch -i- (r² 71)³, folglich ist der Bereich der Möglichkeiten für das Zusammentreffen einer beliebigen Lage des Punktepaares M,Nmit einer beliebigen Lage der Sehne gleich r⁵7i³.

Der Bereich der Möglichkeiten, daß einer der beiden Punkte M undiV in den einen, der andere in den anderen Kreisabschnitt fällt, ist nach dem Obigen

r⁴ [cp — cos cp sin cp) {tz — cp + cos cp sin cp).

Bezeichnen wir mit x den Abstand der die beiden Kreisabschnitte trennenden Sehne vom Kreismittelpunkt, so daß also x — r cos cp ist, so ist der Bereich der Möglichkeiten, daß der eine der beiden Punkte M und N auf diese, der andere auf jene Seite einer der Sehnen fällt, welche auf dem nämlichen Kreisdurchmesser senkrecht stehen, auszudrücken durch

— cp + cos cp sin cp) dx .

Um endlich den Bereich der Möglichkeiten zu bekommen, daß bei jeder beliebigen Lage des Durchmessers die Punkte M und N auf verschiedenen Seiten einer auf dem Durchmesser senkrechten Sehne liegen, haben wir das Integral noch mit 7t zu multiplizieren, wodurch wir, wenn zugleich cp als Intégrations variable eingeführt wird, erhalten

col ä

2 71 r⁵J*(<jp — cosgp sin gp) (tt — cp -f* cos y singp) sin cp dcp. o

Die Wahrscheinlichkeit, daß die Punkte M und iY in verschiedenen Kreisabschnitten liegen, ist demnach

p.

— cos cp sin cp) [n — cp + cos cp sin cp) sin cp dcp

— Ti cos y sin cp — <jp³+ 2 cp cos cp sin cp — cos² cp sin² cf] sin cp dcp .

Es ist aber

J* cp sin cp dcp = — Jcp dcoscp = — cp cos gp + sin cp , j*sin² cp cos cp dcp — Jsin² cp d sin cp = — sin³ gp ,

J* cp² sin cp dcp =— J* cp² d

cos cp

= — cp² cos cp +

J 2 cp cos cp dcp ,

J cp sin² cp

cos gp dgp

= 3 ^ CP d sin³ y

1 1 /»

= — gp sin³ (p--— / sin³cpdcp,

Jsin³(pdcp= — J*(l — cos² cp) d cos cp

= — COS Cp + -i- COS³ Cp , o

J sin² cp cos²cp sin cp dcp = — j*( 1 — cos² (p) cos²(p d cos cp

Demnach

=--cos³<jp + ~ cos⁵ cp .

128

¹

) G. Buffon, Essai d’Arithmétique Morale. Suppl. Hist.-Nat. IV. 1777.

²

?A J*{cp — cos cp sin cp) (tt

³

0

45 !7r²

= 0,2882.

II. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeit bei weit ausgedehnter Versuchsreihe.

§ 8. Das Gesetz der großen Zahlen.

Wenn für zwei einander ansschließende Ereignisse E und E\ z. B. für das Ziehen einer weißen oder schwarzen Kngel aus einer nur mit Kugeln dieser Farben gefüllten Urne, die Wahrscheinlichkeiten p und q = l — p bestehen, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei    Versuchen

das eine Ereignis m-, das andere n-mn\ in einer beliebigen, vorher bestimmten Reihenfolge stattfindet, gleich pm qn.

Ist die Aufeinanderfolge gleichgültig, so ist dieser Wert mit der Anzahl der Möglichkeiten, wie oft die Faktoren des ausführlich hingeschriebenen Produktes sich per-

s ^

§ Cc

zu multiplizieren.

mutieren lassen, also mit —— mini

Die Wahrscheinlichkeit des m-maligen Eintreffens des einen und des ^-maligen Eintreffens des anderen Ereignisses ohne Rücksicht auf die Anordnung ist demnach gleich

pm qn oder

n /

$ Cc

ps~n qn .

Dieser Ausdruck ist aber das allgemeine Glied in der Entwicklung von (p + q)s. Es geben demnach in der Reihe

M. CC

F⁹⁻¹ Q +

Co £

(i)

ps-n

die einzelnen Glieder die Wahrscheinlichkeiten wieder, daß in einer Reihe von Versuchen das Ereignis E eine bestimmte Anzahl von Malen und das Ereignis E' in den übrigen Fällen eintritt.

Bezeichnen wir die einzelnen Glieder der Reihe nach mit A , A ,, A o • • • Am so daß Am die Wahrscheinlich-keit für den m maligen Eintritt von E und den n — s — m-maligen Eintritt von E' bedeutet, so haben wir bei umgekehrter Anordnung der Glieder

1 = A₀    ^^    A₂    A

welche Gleichung die triviale Wahrheit ausdrückt, daß mit Sicherheit darauf zu rechnen ist, daß bei s Versuchen das Ereignis E entweder gar nicht oder einmal oder zweimal • • • oder s-mal eintritt. A₀ = q* gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, daß E nicht eintritt, A₁ = spq⁹⁻¹ die Wahrscheinlichkeit, daß E einmal eintritt, 1 ~ A^ = A₁-\-A₂ + . • • -f As die Wahrscheinlichkeit, daß E mindestens

einmal eintritt, 1 — A₀ — Ax — A₂ + A₃ + • • • + As die Wahrscheinlichkeit, daß E mindestens zweimal eintritt, Ap + A₁ die Wahrscheinlichkeit für höchstens einmaligen Eintritt usw.

Will man wissen, ein wie häufiger Eintritt des Ereignisses E bei s Versuchen am wahrscheinlichsten ist, so hat man in der Binomialreihe (1) das größte Glied zu suchen.

Es nehmen aber, wie wir sogleich zeigen wollen, im allgemeinen die Glieder der Binomialreihe vom ersten an bis zu einem größten zu und von da an bis zum letzten wieder ab ; in besonderen Bällen kann das größte Glied der Reihe mit dem ersten oder mit dem letzten zusammenfallen, so daß nur Abnahme oder nur Zunahme der Glieder stattfindet.

Der Quotient der beiden aufeinanderfolgenden Glieder

s\

(s — n — 1)! [n + 1)! n + 1

(s — n) ! n !

p⁹~n

qn und

pS—n — 1 qn+ 1

• — ; für das erste Glied

in (1) ist nämlich gleich

w    °    s — n q '

der Reihe ist n = 0, für das vorletzte ist n = s — daher, wenn n die Reihe der natürlichen Zahlen von 0 bis n + 1

1. Es nimmt

5—1 durchläuft,

von

— bis 6* zu, und demnach s

nĄ-1 p_ s — n

⁽1

von

Je nach den Werten von — und s wird n ■ • ~

s — n

entweder von einem echten Bruch an über Eins hinaus oder nicht über Eins hinaus oder von einem unechten Bruch an weiter wachsen. Im ersten Fall ist anfangs jedes folgende Glied der Binomialreihe größer als das vorhergehende, später aber umgekehrt, so daß ein inneres Glied das größte ist, im zweiten Fall ist das letzte, im dritten Fall das erste das

größte Glied. Wird

n -fl

s — n q

Knopf, Wahrscheinlichkeitsrechnung. II.

für ein bestimmtes n genau

gleich Eins, so gibt es in der Binomialreihe zwei gleiche, nebeneinander stehende größte Glieder.

Den ersten der drei Fälle können wir als den allgemeinen, die beiden anderen in sich schließenden betrachten.

sl

ps-n . gn

(.s — n)\ n\

oder, indem s—n wieder gleich ra gesetzt wird

Es sei das größte Glied der Reihe (1)

pm qn ;

sl

’ ra! n\

bei s Versuchen sei also der ra-malige Eintritt des Ereignisses E und der w-malige des gegenteiligen Ereignisses E' am wahrscheinlichsten. Dann muß sein

sl

(ra + 1)! (n — 1)!

mini

pm qn

sl

(ra — 1)1 (n + 1)!

pm~ 1    •

woraus

* P <1 > m g

ra+1 q    n + 1 p

Setzt man n — s — m und q = 1 —p, so ergibt sich aus diesen beiden Ungleichungen

ra > (s + l)p — 1, ra < [s + l)p.

Werden 5 Versuche angestellt, bei deren jedem der Eintritt des Ereignisses E die Wahrscheinlichkeit p hat, so wird die Anzahl ra der Eintritte von E, welche die am wahrscheinlichsten vorkommende sein wird, zwischen den gefundenen Grenzen liegen. Ist [s + 1 )p eine gebrochene Zahl, so ist ra, da es eine ganze Zahl ist, eindeutig bestimmt. Ist (5 + l)p eine ganze Zahl, so ist für zwei um eine Einheit verschiedene Anzahlen mit größerer Wahrscheinlichkeit als für jede andere Anzahl das Eintreffen von E zu erwarten. Wir haben dann den vorhin schon erwähnten Spezialfall vor uns, daß die beiden Glieder

pm qn und

mini

(m — 1)! (n + 1)!

einander gleich und zugleich die größten Glieder der Bi-nomialreihe sind, daß also der m- und der m — 1 -malige Eintritt von E gleich wahrscheinlich ist und zwar wahrscheinlicher als der häufigere oder seltenere Eintritt von E\ denn aus der Gleichsetzung der beiden Glieder folgt m — (s + 1 )p.

Aus den Ungleichungen

(2)

m    p

— < V + -

S    6*

statt deren im speziellen Fall die Gleichungen gelten: m — 1

= p--

1 -p

•S'

(3)

•V

ersieht man, daß, je größer die Anzahl 5 der Versuche ist, um so enger die Grenzen für das Verhältnis der am wahrscheinlichsten stattfindenden Anzahl von Eintritten des Ereignisses E zur Gesamtzahl der Versuche den Wahrscheinlichkeitswert p einschließen, mit welchem das Ereignis E aus einem Einzelversuch zu erwarten ist.

Dividiert man die Ungleichungen (2) durch die aus ihnen folgenden

<1

und die Gleichungen (3) durch die mit ihnen übereinstimmenden

⁽1

•V

se erhält man

•>

*ZI

ï + 4 (4)

P H--

q---

und im Spezialfall zweier größter Wahrscheinlichkeiten des Eintrittes von E

m— 1

V--

q--

(ß)

Ist die Anzahl der Versuche sehr groß, so daß — und gegen p und q vernachlässigt werden können, so wird

Co |

und wir erhalten das von Jakob Bernoulli¹) gefundene, von Poisson²) so benannte Gesetz der großen Zahlen:

In einer ausgedehnten Versuchsreihe, in welcher nur zwei einander ausschließende Ereignisse eintreten können, verhalten sich diemit der größten Wahrscheinlichkeit zu erwartenden Anzahlen für die Häufigkeit des Eintretens der beiden Ereignisse wie die Wahrscheinlichkeiten ihres Eintrittes bei einem Einzelversuche.

Am Ende des Paragraphen werden wir noch eine allgemeinere Fassung des Gesetzes aufstellen können.

Beispiel. Es werde s-mal mit einem Würfel gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu erhalten, ist p = -J-; für einen anderen Wurf ist sie q = Das folgende Täfelchen gibt zu verschiedenen Zahlen s die zugehörigen Werte m und —, wo m angibt, wie oft der n

Wurf Eins, und n, wie oft ein anderer Wurf am wahrscheinlichsten fallen wird.

— , allerdings nur näherungsweise, zwar von jeder

großen Zahl s erfüllt wird, daß aber die Näherung nicht bei jedem geringen Wachstum von s zunimmt. So entfernt

Hervorgehoben sei, um einem falschen Verständnis des Gesetzes der großen Zahlen vorzubeugen, daß die Proportion m _ p

sich in obigem Beispiel, wenn die Zahl 5 der Versuche von

996 um je 1 bis 1000 wächst, sogar von dem mit —

genau übereinstimmenden Wert 0,20000 bis auf 0,19904, worauf die dann folgende Zahl s = 1001 für m die beiden Werte

166 und 167 liefert, denen spricht.

Co

cc

Sls

10

rH

11

12

13

14

15

CO

CO GD

20

WODWWtOtOWlOtCtOM

0,1111

0,1000

0,2222

0,2000

0,1818

0,1667

0,1538

0,1429

0,1333

0,2143

0,2000

0,1875

100

995

996

997

998

999

1000

1001

1002

10000

100000

16    0,19048

165    0,19880

6    0,20024

6    0,20000

6    0,19976

6    0,19952

166    0,19928

166    0,19904

166    0,19880

167    0,20024

167    0,20000

1666    0,19990

16666    0,19999

CC CO CO CD tHHHH

= 0,19880 und 0,20024 ent-

Der Wert ^ kann schon für eine geringe Versuchszahl 5, z. B. für s — 12 und s — 18, mit = -i- genau über-stimmen, die Werte — schwanken aber, je größer s wird,

in um so engeren Grenzen um den Wert — = ~ herum. Insofern läßt sich dann allerdings, wenn auch etwas un-

771

genau, kurz sagen: der Wert-— nähert sich bei wachsen-

P

der Versuchszahl s dem Werte — •

Ferner sei darauf aufmerksam gemacht, daß, wenn auch bei Erweiterung einer Versuchsreihe die wahrscheinlichsten Anzahlen für die Eintritte der Ereignisse E und E' größer werden, so doch die Wahrscheinlichkeit für diesen häufigeren Eintritt von E und E' eine geringere wird¹). Es erscheint dies auch verständlich, da mit der Vermehrung der Versuche eine Vermehrung der Möglichkeiten, daß Eintritte der Ereignisse E und E' in verschiedener Zahl Zusammenkommen — eine Vermehrung der Glieder der Binomialreihe — Hand in Hand geht. So ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei 100-maligem Würfeln mit einem Würfel 16 mal die Eins und 84 mal andere Zahlen erscheinen, gleich 100!

/ 1 \16 / 5 \ 84

UJ Uv

0,107

16!84!

und die Wahrscheinlichkeit, daß bei 1000-maligem Würfeln die Eins 166 mal und die anderen Zahlen insgesamt 834 mal erscheinen, gleich

1000!    / 1 \ 166/ 5^834

166! 834! UT

= 0,034 .

In § 10 wird der numerische Zusammenhang zwischen der Anzahl der Versuche und der Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens der Ereignisse E und E' in der Häufigkeit, für welche diese Wahrscheinlichkeit ihr Maximum hat, abgeleitet werden.

Das Gesetz der großen Zahlen läßt sich offenbar auch auf den Fall ansdehnen, daß bei den einzelnen Versuchen nicht nur zwei, sondern mehrere einander ausschließende Ereignisse E, E', E" • • • eintreten können. Sind in einer Urne a weiße, a schwarze, a" rote Kugeln vorhanden, so ist bei einer großen Anzahl von Ziehungen, wo die gezogene Kugel nach Konstatierung ihrer Farbe immer wieder in die Urne zurückgelegt wird, nach dem Obigen dasVer-

0 Um dies zu beweisen, muß man zeigen, daß das größte Glied der der erweiterten Versuchsreihe entsprechenden Binomialreihe, dividiert durch das größte Glied der der nichterweiterten Versuchsreihe entsprechenden Binomialreihe, ein echter Bruch ist. Dazu sind die Fakultäten mittels der in § 9 abgeleiteten Stirlingschen Formel durch Potenzen auszu-drückeu.

hältnis der gezogenen weißen Kugeln zu der Gesamtheit der Kugeln am wahrscheinlichsten gleich

, das

CL CL CL

Verhältnis der gezogenen schwarzen Kugeln zur Gesamt

heit der Kugeln am wahrscheinlichsten gleich

em

CL CL CI

und das Verhältnis der gezogenen roten Kugeln zur Gesamtheit der Kugeln am wahrscheinlichsten gleich

• Das als das wahrscheinlichste zu erwartende

CL -\- CL —j— Q>

Verhältnis der gezogenen weißen, schwarzen und roten Kugeln ist daher gleich a : a : a", oder, wenn mit p, p\ p" die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer weißen, schwarzen, roten Kugel bezeichnet werden, gleich p:p':p'.

Wir können dem Gesetz der großen Zahlen daher folgende allgemeinere Passung geben:

W erden die Wahrscheinlichkeit en, mit welchen die einander ausschließenden Ereignisse E, E\ E" • • • aus einem Einzelversuch harvorgehen können, mitp,pr, p"• * • bezeichnet, so werden bei einer weit ausgedehnten Versuchsreihe die Anzahlen, in welchen die Ereignisse E, E' E"• • • auf-treten, sich am wahrscheinlichsten verhalten wiep :p':p"• • •

§ 9. Die Stirlingsche Formel.

In den Ausdrücken für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses treten oft die Fakultäten von Zahlen auf, deren numerischer Wert, wenn die Zahl groß ist, sich nur mühsam berechnen läßt. Außerdem aber sind die Fakultäten Funktionen, die einer mathematischen Umformung sehr wenig zugänglich sind, und man hat daher oft den Wunsch,

sie wenigstens genähert durch andere, der mathematischen Behandlung zugänglichere, geschmeidigere Ausdrücke zu ersetzen.

Diesem Zweck dient die Stirlingsche¹) Formel n\ = nn 6~n j/2 71 n,

wo e die Grundzahl des natürlichen Logarithmen Systems bedeutet. Im folgenden wollen wir, wenn auch keine ihre Auffindung erkennen lassende Ableitung, so doch den Beweis ihrer Richtigkeit geben.

Da n\ eine Funktion Ton n ist, so können wir setzen *

(i)

n\ = nn6~nf(n)

und haben nun zu beweisen, daß f(n) = ]/2 %n.

Schreiben wir in (1) n + 1 für n, so haben wir

[n + 1)! = (n + l)n+1 e-⁷¹-¹ f(n + 1),

und dividieren wir diese Formel durch(l), so bekommen wir

(2)

f{n)

Bekanntlich ist |l + — |

für n — 00 gleich e; die

rechte Seite der Gleichung ist demnach für große Werte von n nur wenig von 1 verschieden und möge daher auf die Form 1 + e gebracht werden, wo e eine von n abhängige, mit größer werdendem n gegen die Null konvergierende Größe ist. Zu dem Zweck setzen wir

//

’) James Stirling, 1696?—1770, Agent einer Bergbaugesellschaft in Schottland.

lx= 1

2 n² ^3 n⁶

demnach mit Vernachlässigung von Gliedern der Größen-

Ordnung —

n*

Es ist aber

1 \²

dann ist

e² »=■! + — +

demnach wieder mit Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung

/»

Ferner ist aber auch

folglich

f(n + 1)

f{n)

-t~n

Es ist demnach f(n) proportional JIn, oder wenn k eine Konstante bedeutet, demnach

Nach Wallisl) ist aber, wie am Ende des Paragraphen bewiesen werden soll, um so genauer, je mehr n sich der Grenze 00 nähert,

Dt| Ci

2 to —1 2w+l ^

7i _ 2    2    4    4

'.TT' 3 ‘ 3~ ’ ¥ oder

22w

ft

(1 • 2 • 3 • • • w)²

2n+l

oder auch

71

(1 • 2 • 3 • • • nf

24 n

2n-{-1

(5)

Nach (3) ist aber

und

n\ — k³nn -e~n^n

(2 n)\ = k • (2 ri)2n • e~2n ]/2 n.

Setzen wir diese Ausdrücke für n\ und (2 n)\ in (5) ein, so kommt

£ <N

₌ /,2 ”

2 (2w + l)

woraus für sehr große n-k — j/2 TZ .

• CD

7i n,

Demnach ist näherungsweise n\ =    • e~n^2

womit die Stirlingsche Formel bewiesen ist.

Die Formel von Wallis, für welche auch auf Sammlung Göschen Nr. 88, § 25 verwiesen sei, wird folgendermaßen bewiesen.

Für

ist

folglich

sin2n+i æ

71

°^i

sin 2 71 x sin 2n_,1a;,

2"

71

2"

sin2n+¹ # da? <

0 0

sin²” x dx <

sin 2n~¹ xdx .

Es ist aber, wie man durch wiederholte partielle Integration findet,

TZ

IT

j sin2n+1 x dx — 0

2 n (2 n — 2) • • «4-2 (2n + l)(2»-l). • - 5-3 ’

TT

sin2w x dx —

(2w-l)(aw-8)...5.3-l

7T

2 n (2 w — 2) • • • 6 • 4 • 2

or

j sin²» O

(2 n — 2) (2 w — 4) • • »4

(2 rc - 1) (2 n - 3) • • -5

co I to

woraus sich ergibt

ti|a

II

^ h—»

Il Ç to c»| to

w| ^

C"| ^

0*\ 05

CO |f

2n — 1    2^+1

§ 10. Wahrscheinlichkeit eines Streuungsbereiches.

Sind für zwei einander ausschließende Ereignisse E und Er die Wahrscheinlichkeiten ihres Eintrittes bei einem Versuch und q = 1 —-p, so ist für das Zusammentreffen des m-maligen Eintrittes von E mit dem ^-maligen Eintritt von E\ gleichgültig in welcher Folge, die Wahrscheinlichkeit

sl

mini

pm qn.

Dieser Wert hat nach § 8 sein Maximum, wenn

, n und — = q. s

Die Wahrscheinlichkeit des m-maligen Eintrittes von E und des ^-maligen von E', wo m = p • s und n = q • s, ist demnach größer, als wenn bei den s Versuchen E und E' in anderer Häufigkeit auftreten. Diese Maximalwahrscheinlichkeit ist also

sl

_71P ^ • Q 7 •*

(ps)l(qs)\P 1    '

Durch Anwendung der Stirlingschen Formel geht dieser Ausdruck über in

qs

. e~s |/2 % s -pps-q

(p s)ps • e~ps^2 nps-{qs)qa • e~qs^2 nqs

oder, da p -f- q = 1, in

]/2 71 sp q

welcher Ausdruck demnach jene Wahrscheinlichkeit genähert dar stellt.

Bei 600-maligem Würfeln'ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Eins 100 mal fällt und die anderen Augenzahlen 500 mal, näherungsweise gleich

1/

2 7i • 600 •

lO |ço

= 0,044 .

]/2 nspq

Bei 2400-maligem Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Eins 400 mal fällt und sonst andere Zahlen, halb so groß, also näherungsweise gleich 0,022.

Bei einer großen Anzahl von Versuchen nimmt, wie auch die beiden Beispiele zeigen, die Wahrscheinlichkeit, daß zwei sich ausschließende Ereignisse E und E' in den Häufigkeitszahlen Zusammentreffen, für welche die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens ihren größten Wert hat, bei Vermehrung der Versuche im Verhältnis der Quadratwurzel aus der Anzahl der Versuche ab.

Da das Produkt pq—p{l —p) seinen Maximalwert für p = 1, also für p = q hat, so hat der Ausdruck

für p = q sein Minimum.

Bei 600-maligem Würfeln mit einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, daß 300 mal eine gerade und 300 mal eine ungerade Augenzahl fällt, nur 0,0326, und bei 2400-maligem Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit, daß 1200 mal eine gerade und 1200 mal eine ungerade Augenzahl fällt, nur gleich 0,0163.

Ist in einer Urne, welche weiße und schwarze Kugeln enthält, das Mischungsverhältnis der letzteren gleich m : n, so wird man bei s aufeinander folgenden Ziehungen je einer Kugel, wobei diese immer wieder zurückgelegt wird, am wahrscheinlichsten m weiße und s — m — n schwarze Kugeln ziehen. Ist die Anzahl der Kugeln eine sehr große, so daß ihr gegenüber die Zahl 5 nicht ins Gewicht fällt, so braucht die entnommene Kugel gar nicht wieder in die Urne zurückgelegt zu werden. Oder es können auch die s-Kugeln mit einem Griff aus der Urne genommen werden. Am wahrscheinlichsten wird man hierbei also m weiße und wschwarze Kugeln ergreifen.

Ist das Mischungsverhältnis der weißen und schwarzen Kugeln 1:1, so erhält man am wahrscheinlichsten gleich viele weiße wie schwarze Kugeln. Diese Wahrscheinlichkeit ist aber, wie wir vorhin erkannten, geringer als jene, mit welcher man bei einem anderen Mischungsverhältnis m : n die weißen und schwarzen Kugeln in diesem Verhältnis ergreifen wird. Je mehr das Mischungsverhältnis der weißen und schwarzen Kugeln von 1: 1 abweicht, mit um so größerer Wahrscheinlichkeit wird man mit einem Griff weiße und schwarze Kugeln in dem Verhältnis ihres Vorhandenseins ziehen. Sind nur weiße Kugeln in der Urne, so wird man mit der Wahrscheinlichkeit Eins nur weiße und keine schwarzen Kugeln ziehen.

Aus diesem von vornherein klaren Grenzfall läßt sich schon erkennen, daß die Maximalwahrscheinlichkeit, welche beim Ziehen von Kugeln in dem Verhältnis ihrer Mischung stattfindet, nicht ihren größten Wert hat, wenndasMischungs-verhältnis 1:1 vorliegt, wie man vielleicht im ersten Augenblick vermuten könnte, sondern vielmehr ihren kleinsten Wert. Denn die den verschiedenen Mischungsverhältnissen zukommenden Maximalwahrscheinlichkeiten der Ziehungsmöglichkeiten werden sich, wenn das Mischungsverhältnis sich von 1 : 1 nach 1 : 0 hin ändert, jedenfalls auch immer nur nach einer Richtung hin ändern; da es aber größere Wahrscheinlichkeiten als Eins nicht gibt, so muß die Änderung nach diesem, dem Grenzfall entsprechenden Wert hin von einem kleineren Wert aus erfolgen und die dem Mischungsverhältnis 1 : 1 zugehörige Maximalwahrscheinlichkeit daher ein Minimum wert sein.

liefert für den

Unsere Näherungsformel —    — —

y 2 n sp q

Grenzfall, daß p oder q gleich Null ist, den Wert 00 statt 1 für die Maximalwahrscheinlichkeit. Dieses widersinnige

Resultat erklärt sich daraus, daß der bei Ableitung der Formel befolgte Gedankengang für den Grenzfall nicht paßt, insbesondere aber auch die Stirlingscbe Näherungsformel auf 0! nicht angewendet werden darf.

Die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis E m + x = p s Ą- x und das Ereignis E' n — x = qs — æ mal eintritt, wo x ein im Verhältnis zu s kleiner Wert sei, ist

ps+x.qqs—x

----rpF

(p s + x)\(qs — x)\

oder, mit Benutzung der Stir ling sehen Formel, näherungsweise

ss-e~s}/2 ns .pps+x-qvs-x

(ps + x)PsJrX • e~ps~x]/ 2 ix(p s + x)(qs — x)qs-x

. e-qs+x . y2 n (qs — x)

^nspq[l + ~₇)

X \gs-x + -

qs

Es ist aber

z(i + ^p⁺*

= ps+*+2:

x²

ps 2p²s²

2/?s

tH |(M

x²

2^²5²

folglich

q s—x +

|<m

qs

2 sp q

Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, daß das EreignisE X mal öfter- und E' x mal seltener yorkommt als in der Anzahl, für welche die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens von E und E' ihren größten Wert hat, näherungsweise gleich

a²

2 sp q

2s \p q)

]/2 TCsp q

Ist nun x gegen s klein — beispielsweise x = 5; 5 = 100 — und von q nicht allzu verschieden, so kann das zweite Glied des Exponenten gegen das erste vernachlässigt werden, und wir bekommen als Wahrscheinlichkeit für das x mal öftere Vorkommen von E

X²

2 sp q

]/2 7T sp q

Da dieser Ausdruck x nur in einer geradzahligen Potenz enthält, so gibt er auch innerhalb der von uns beider Ableitung eingehaltenen Genauigkeitsgrenzen die Wahrscheinlichkeit wieder für ein um x minder häufiges Eintreffen von E, als es der größten Wahrscheinlichkeit seines Eintreffens entspricht, während doch die Glieder der Reihe (1) in § 8, S. 32, vom Höchstwert ab nach beiden Seiten unsymmetrisch abfallen, wenn nicht p — q ist.

Durch

a²

y^nspq 2

2 sp q

Knopf, Wahrschei nlichkeitsrechnung. II.

n n osclieireintsrechnng. II.

ist die Wahrscheinlichkeit ansgedrückt, daß die Häufigkeitszahlen für das Zusammentreffen der Ereignisse E und E' von den Werten, welche mit der größten Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind, bis zu x nach beiden Seiten abweichen.

Nehmen wir den Fall, daß die Ereignisse E und E' in den wahrscheinlichsten Häufigkeitszahlen auftreten, als den normalen an, so sind die Werte x, um welche die Häufigkeitszahlen von den wahrscheinlichsten verschieden sind, als Abweichungen von dem normalen Fall zu betrachten. Die letzte Formel kann dann als die Wahrscheinlichkeit des Streuungsbereiches der Abweichungen innerhalb der Grenzen — x und Ą-x gelten.

Bezeichnet dx eine geringe Zunahme von x, so ist

X²

2spq . fa

j/2 n spq

die Wahrscheinlichkeit des Streuungsbereiches von x bis x + dx₉ und nehmen wir, was sich namentlich im Interesse einer bequemeren mathematischen Behandlung empfiehlt, eine stetige Folge der Häufigkeitszahlen für das Zusammentreffen der Ereignisse E und E' an, so geht die obige Summenformel über in

X²

]/2 % spq

e, 2spq '

X²

Da e Zspq eine mit zunehmendem x außerordentlich rasch fallende Funktion ist, so können wir hier die Beschränkung, daß x gegen s nur mäßige Werte annehmen solle, fallen und x selbst über s hinaus bis Unendlich wachsen lassen. Der Betrag, welcher durch die Ausdehnung des Integrals von mäßigen Werten des x bis zu x = 00 hinzukommt, ist so' gering, daß er praktisch von keiner Bedeutung ist.

./*

]/2 spq

Da die Abweichungen, welche in einer Versuchsreihe Vorkommen, zweifellos innerhalb des Bereiches — oo und + 00 liegen müssen, so muß die Wahrscheinlichkeit dafür den Wert 1 haben. Von unserem als Näherungswert abgeleiteten Integral können wir daher erwarten, daß es bei Ausdehnung der Grenzen von — oo bis + 00 nahezu den Wert 1 liefert. Es liefert jedoch, diese Erwartung übertreffend, genau den Wert 1, denn setzen wir so geht es über in

4- oo

]/tt

e~t2dt,

— oo

dessen Wert gleich 1 ist, wie Euler, nach dem darum das

+ OO

Integral j*e~ł"dt benannt worden ist, gefunden hat.

— oo

§ 11. Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Ausgleichsrechnung.

Das Auftreten eines Fehlers bei einer Messung kann man sich dadurch bewirkt denken, daß von einer großen Zahl gleich möglicher, positiver und negativer, kleiner Fehlereinheiten, die wir als Elementarfehler bezeichnen können, eine Anzahl zusammentreten, die sich mehr oder weniger, aber nicht vollständig auf heben. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Fehlers ist dann dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, daß aus einer Urne, welche sehr zahlreiche weiße und schwarze Kügelchen und zwar, wegen der als gleich wahrscheinlich anzunehmenden positiven und negativen Fehler, beide Arten von Kügelchen in gleicher Häufigkeit enthält, bei einem Griff die Kügelchen der einen Art in einer gewissen Überzahl erhalten werden.

Nehmen wir 5 Kügelchen aus der Urne, so ist, weil

1    s

p = q = —-, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß —- + x

u £

Kügelchen der einen Farbe und —--x Kügelchen der

u

anderen Farbe gezogen werden, gleich

]/—.₆

[/ 7t • S

2 X²

Vr-

oder, wenn wir

h setzen, gleich

— 7i² x²

y Tr

Dieser Ausdruck gibt also die Wahrscheinlichkeit des Fehlers x wieder.

h

Für x = 0 hat er seinen Maximalwert —— und nimmt bei zunehmendem x stetig ab.    ' ⁷⁷

Je größer h ist, um so größer ist die Wahrscheinlichkeit eines um Null herumliegenden Fehlers, um so zuverlässiger ist also die Messung. Gauß hat daher h das Maß der Genauigkeit genannt.

Es könnte im ersten Augenblick befremden, daß die Genauigkeit um so größer ist, je kleiner s ist, womit wir die Anzahl der zusammenwirkenden Elementarfehler oder, zur Veranschaulichung, die Anzahl der der Urne entnommenen Kügelchen bezeichnet haben. Es ist aber in der

]/2 7t sp q

Tat, wie aus der in § 10 abgeleiteten Formel

hervorgeht, wahrscheinlicher, bei Entnahme einer geringen Zahl Kügelchen gleich viele von jeder Farbe zu erhalten als hei Entnahme einer großen Zahl.

Die dem Fall s = 8 und demnach h — entsprechende Fehler Wahrscheinlichkeit wird durch die flachste der drei

Kurven in Figur 10, deren Gleichung ist

a²

~T

~^=r6

2 ]In

y = -rr ⁶~h*x* =

\7t

geometrisch dargestellt.

-1

Fig. 10.

Es hindert offenbar nichts, dem h in der Gleichung der Kurve der Fehlerwahrscheinlichkeit oder der Fehlerverteilung einen viel höheren Wert als i beizulegen, wenn auch s dann nicht mehr als die Anzahl der weißen und schwarzen Kügelchen gedeutet werden kann, die mit einem Griff der Urne entnommen werden.

Will man die Veranschaulichung der positiven und negativen Elementarfehler durch die weißen und schwarzen einer Urne zu entnehmenden Kügelchen beibehalten, so könnte man annehmen, in der Urne seien außer ihnen noch „neutrale“, halb weiß, halb schwarze Kügelchen vorhanden.

Bei einer Entnahme von s Kügelchen wird dann das Auftreten einer Überzahl von weißen oder schwarzen Kügelchen weniger wahrscheinlich sein als früher.

Die drei Kurven in Fig. 10 geben die Fehlerverteilung bei h = 1, h = 1 und h — 2. Die durch das Integral

hxz

e-^^dx - —~~

ydx =

e-* dt

Xy_

*1

hx₁

bestimmte Fläche zwischen den zu x₁ und x₂ gehörigen Ordinaten gibt die Wahrscheinlichkeit an für das Fallen des Fehlers zwischen die Grenzen x{ und xv Die ganze zwischen der Abszissenachse und der sie asymptotisch berührenden Kurve liegenden Fläche hat als das geometrische Bild für die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler zwischen — 00 und + oo liege, den Flächeninhalt Eins, dessen Größe das der Figur eingezeichnete Quadrat der Längeneinheit darstellt.

Die Bedeutung der Größe h als Genauigkeitsmaß können wir sehr gut aus folgendem erkennen.

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Messungsreihe, welche durch die Konstante h charakterisiert ist, ein Fehler zwischen — ô und + ô liege, ist

+ô

+ hô

+ hô

e~ll*x*dx =

y%

e~f2 dt = —

]/tc

e-t'dt.

—h ô

Ist für eine zweite Messungsreihe, welcher die Konstante h' zukommt, die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers Ö'

geradeso groß wie die Wahrscheinlichkeit des Fehlers ô für die erste Messungsreihe, so ist demnach

hö

h' ô'

in

|f 71

e~t2dt.

Damit die beiden Integrale einander gleich seien, müssen die Grenzen einander gleich sein, also hö — h' ö'. Dann verhält sich

h : K = ô' : ö .

Die Wertet zweier Messungsreihen verhalten sich also umgekehrt wie gleich wahrscheinliche Fehler der letzteren. Da man nun den Messungsreihen eine um so größere Genauigkeit zuerkennt, je kleiner gleich wahrscheinliche Fehler sind, so rechtfertigt sich die Bezeichnung des Wertest als Genauigkeitsmaß.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung mündet hier in das spezielle Gebiet der Ausgleichsrechnung oder der Methode der kleinsten Quadrate ein, deren Aufgabe es ist, aus einer größeren Reihe von Messungen das Resultat zu finden, welches die größte Wahrscheinlichkeit besitzt, der gesuchte richtige Wert zu sein.

Hier sei darüber nur noch mitgeteilt, daß Gauß das arithmetische Mittel gleichwertiger Messungen als den wahrscheinlichsten, besten Wert der gesuchten Größe annimmt, was gewiß im allgemeinen gerechtfertigt ist. Eine andere, besonders vorteilhafte Fassung dieses Axioms ist die, daß die Summe der Quadrate der Abweichungen der direkten Messungen von den mit den errechneten gesuchten Größen, deren es ja mehrere sein können, dafür gelieferten Werten ein Minimum sein muß.

Aus den Abweichungen der Einzelmessungen von den wahrscheinlichsten Werten läßt sich die Genauigkeit der Messungsreiheheurteilen, zu deren Kennzeichnung Gauß, abgesehen von der oben besprochenen Größe /&, den durchschnittlichen, den wahrscheinlichen und den mittleren Fehler eingeführt hat.

Der durchschnittliche Fehler ist definiert als das arithmetische Mittel der Abweichungen der Einzelmessungen vom wahrscheinlichsten Wert, also von ihrem arithmetischen Mittel, ohne Berücksichtigung des Vorzeichens der Abweichungen. Der wahrscheinliche Fehler ist durch die Eigenschaft gekennzeichnet, daß kleinere Fehler als er ebenso wahrscheinlich sind wie größere. Und der mittlere Fehler ist dadurch definiert, daß sein Quadrat gleich dem arithmetischen Mittel der Quadrate der Abweichungen der Einzelmessungen vom wahrscheinlichsten Wert ist.

Zu den Aufgaben der Ausgleichsrechnung geh ört weiterhin, den wahrscheinlichsten Wert der gesuchten Größe zu finden, wenn die Einzelmessungen nicht von gleicher Zuverlässigkeit sind, ferner, wenn die gesuchten Größen nicht direkt gemessen sind, sondern mit den gemessenen in irgendwelchem funktionellen Zusammenhang stehen, wie es in der Astronomie der Fall ist, wenn die wahrscheinlichsten Werte der Bestimmungsstücke einer Planetenbahn, beispielsweise die halbe große Achse der Bahnellipse, ihre Exzentrizität und ihre Lage im Raum gefunden werden soll, während nur Örter des Planeten an der Himmelskugel beobachtet worden sind. In der Geodäsie kommt besonders häufig die Aufgabe vor, die wahrscheinlichsten Werte gemessener Größen zu finden, wenn dieselben noch gewisse Bedingungen streng erfüllen müssen, wie beispielsweise, daß die um einen Punkt herumliegenden Winkel 360 Grad betragen müssen, oder die drei Dreieckswinkel 180 Grad plus dem sphärischen Exzeß.

Von vornherein gleich wahrscheinliche Ursachen 57

¹

)    Jakob Bernoulli, Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandij. Ostwalds Klassiker der exakt. Wiss., Bd. 108, S. 88 ff.

²

)    Comptes rend. 1 (1835), p. 478 ff.

³

John Wallis, 1616—1703, Prof, der Geometrie in Oxford.

III. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeit einer Ursache auf Grund der Erfahrung.

§ 12. Wahrscheinlichkeit einer Ursache, wenn die verschiedenen möglichen Ursachen von vornherein gleich wahrscheinlich sind.

Bei unseren bisherigen Wahrscheinlichkeitsbestim-mungen haben wir keine Rücksicht auf die Erfahrung genommen. Sie beruhten einfach auf der Definition von der Wahrscheinlichkeit des Eintritts eines Ereignisses: Anzahl der günstigen Fälle, dividiert durch die Anzahl der möglichen Fälle.

Ob wirklich, um bei dieser Gelegenheit auch diese Frage • zu besprechen, bei sechsmaligem Würfeln mit einem Würfel, im allgemeinen wenigstens, eine Eins erscheint, so daß es sich empfiehlt, eine Wette darauf einzugehen, darüber gibt die Wahrscheinlichkeitsrechnung keinen Aufschluß. Hier muß die Erfahrung zu Rate gezogen werden. In der Tat haben weit ausgedehnte Versuchsreihen eine durchaus befriedigende Übereinstimmung mit den Ergebnissen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gezeigt, auch hat sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung als eine sichere Grundlage für alle die Betriebe erwiesen, wo das von Zufälligkeiten abhängige Eintreffen oder Nichteintreffen von Ereignissen in Frage kommt, z. B. für das Versicherungswesen (s. Abschnitt VI).

Außer den Bestimmungen der Wahrscheinlichkeit a priori, wie wir sie bisher vorgenommen haben, können wir jedoch auch solche a posteriori vornehmen, d.h. solche, bei denen auf die Erfahrung Rücksicht genommen wird. Erhalten wir z. B. bei 20 Zügen aus einer Urne immer eine weiße Kugel, so werden wir mit großer Wahrscheinlichkeit auch für die 21. Ziehung eine weiße Kugel erwarten dürfen,

da die Erfahrung uns auf ein höchstwahrscheinlich starkes Über wiegen der weißen Kugeln über die etwa in der Urne noch vorhandenen andersfarbigen schließen läßt.

Eine Tatsache, welche ein Ereignis herbeiführt, wird die Ursache desselben genannt. So kann auch das Mischungsverhältnis der Kugeln in der Urne, welche das 20-malige Ziehen einer weißen Kugel zur Folge hatte, als Ursache dieses Ereignisses aufgefaßt werden, obwohl ein anderer Ausdruck wie zugrunde liegender Tatbestand, Entstehungsart,Voraussetzung,Bedingung,Hy-pothese in diesem oder in anderen Fällen besser am Platze wäre.

Kann ein Ereignis aus mehreren „Ursachen“ hervorgegangen sein — z.B. das 20-malige Ziehen einer weißen Kugel aus mehreren Mischungsverhältnissen —, so tritt die Frage auf, welche Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ursache für den Eintritt des Ereignisses zukommt.

Die Antwort auf diese Frage soll uns das folgende Beispiel liefern helfen.

Von n gleich aussehenden Urnen Uv U₂ • • • Un enthalte die erste ml Kugeln und darunter weiße, die zweite m2 Kugeln, worunter (x₂ weiße usw. Jemand, der vor die n-Urnen geführt wird, nehme aus einer derselben eine Kugel heraus, worauf festgestellt wird, daß sie weiß ist. Es wird gefragt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Kugel der Urne U. entstammt?

Die Wahrsch., aus U₁ eine weiße Kugel zu ziehen, sei =    >

•• ?

Offenbar wird die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer weißen Kugel aus einer Urne nicht geändert, wenn die An-

zahl der Kugeln in derselben vermehrt wird, sofern nur das Mischungsverhältnis dasselbe bleibt. Ist m das kleinste gemeinsame Vielfache von mv m₂ • •

so daß also m

n\

= Xnmn, wo X eine ganze Zahl,

= Xx ml = X₂ m₂ = so wird bei Vermehrung der Kugeln der einzelnen Urnen auf das Xx-, X₂-- • *An-fache unter Beibehaltung des früheren Mischungsverhältnisses die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer weißen Kugel aus den verschiedenen Urnen dieselbe geblieben sein wie früher.

Geben wir jetzt sämtlichen Kugeln der Urne U₁ den Index 1, sämtlichen Kugeln der Urne U₂ den Index 2 usf., und schütten sie in eine große Urne U, so wird die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der Urne Uzu ziehen, dieselbe sein wie früher die Wahrscheinlichkeit, aus einer der fi Urnen eine weiße Kugel zu ziehen. Und die Wahrscheinlichkeit, daß die aus U gezogene weiße Kugel den Index i trage, wird ebenso groß sein wie die Wahrschein-lichkeit, daß die aus einer willkürlich gewählten Urne gezogene weiße Kugel der Urne U. entstamme.

Da aber in’ der großen Urne X. jJi weiße Kugeln den Index i tragen und Xx jnx + X₂ fi₂ + * • • + Xn [in weiße Kugeln überhaupt darin enthalten sind, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß die gezogene weiße Kugel den Index i trägt,

Pi =

mi ¹

nt

-f*l --^2 + * *

mx ¹ m₂

• H--l^n

m ¹¹

mn

Pi

Pi

Pt =

Pl + 1>2 + ¹ ¹ ¹ + Pn '

mit Worten: Kann ein Ereignis durch verschiedene, von vornherein gleich wahrscheinliche Ursachen hervorgebracht worden sein, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß es aus einer bestimmten ¹ Ursache hervorgegangen ist, gleich der Wahrscheinlichkeit, mit der es aus dieser Ursache folgen konnte, dividiert durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten, mit welchen es aus allen einzelnen Ursachen folgen konnte.

Da Bayes¹) der erste war, welcher sich mit der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Ursache eines Ereignisses abgab, so nennt man diesen Satz, wenn auch Laplace ihm erst seine Fassung gegeben liât, dasBayes-sche Theorem.

§ 13. Beispiele.

Beispiell. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß jemand mit drei Würfeln gewürfelt hat, wenn er mit einem Wurf 4 Augen geworfen hat?

Würfelte die Person mit 1 Würfel, so konnten die 4 Augen nur auf eine Weise zustande gekommen sein ; wir haben hier nur eine Entstehungsart, nur eine mögliche „Ursache“.

Beim Spiel mit 2 Würfeln konnten 4 Angen auf dreierlei Weise fallen, nämlich 1, 3; 2, 2; 3, 1.

Beim Spiel mit 3 Würfeln konnten 4 Augen auf die 3 Weisen fallen: 1, 1, 2; 1, 2, 1; 2, 1, 1.

Beim Spiel mit 4 Würfeln konnten 4 Augen nur auf die eine Weise fallen: 1, 1, 1, 1.

Die Wahrscheinlichkeit, 4 Augen zu werfen, ist demnach heim Spiel mit 1 Würfel gleich mit 2 Würfeln

6

3    3

gleich -gy, mit 3 Würfeln gleich -g^- und mit 4 Würfeln gieich 4 •

Als Wahrscheinlichkeit, daß 3 Würfel benutzt wurden, ergibt sich sonach

6³

= 0,0525.

Beispiel 2. Es wird jemand vor 3 gleich aussehende Schränkchen geführt,, deren jedes 3 Schubfächer hat. In den Schubfächern des ersten Schränkchens liegt je eine Goldmünze, in den Schubfächern des zweiten Schränkchens je eine Silbermünze und in 2 Schubfächern des dritten Schränkchens je eine Goldmünze, im dritten Schubfach aber eine Silbermünze. Die Person zieht eines der Schubfächer heraus und findet eine Goldmünze darin. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das gezogene Schubfach dem dritten Schränkchen angehörte?

Die Wahrscheinlichkeit, mit welcher das dritte Schränkchen bei Ziehen eines Faches eine Goldmünze enthält, ist

J-; für das erste Schränkchen ist sie gleich 1, für das zweite gleich 0; folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich

Man hätte die Aufgabe auch auf Grund folgender Erwägung lösen können. Da in dem gezogenen Schubfach sich ein Goldstück befand, so konnte nur ein Schubfach von Schränkchen 1 oder Schränkchen 3 gezogen worden sein. Jedes der fünf Schubfächer, welche Goldstücke enthielten, konnte mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt worden sein. Zwei der fünf Fälle, welche eine Goldmünze lieferten, waren für die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, daß die Goldmünze dem dritten Schränkchen entstamme, günstige Fälle, folglich mußte die Lösung sein |.

Bei nicht genügender Überlegung könnte man, weil nur zwei Schränkchen als Goldmünzen enthaltend in Frage kommen, jedes Schränkchen aber mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt werden konnte, \ als die richtige Lösung ansehen wollen. Aber es handelt sich hier nicht darum, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Schränkchen 3 gewählt werden konnte, sondern um die Wahrscheinlichkeit, daß es gewählt wurde, wobei zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeit die Tatsache dienen soll, daß ein Goldstück in dem Schubfach gefunden wurde. Hätte jedes Schränkchen 10 Fächer besessen und jedes Fach des ersten Schränkchens eine Goldmünze, ferner jedes Fach des zweiten Schränkchens eine Silbermünze, dagegen nur lFach des dritten Schränkchens eine Goldmünze, die 9 übrigen Fächer aber Silbermünzen, so würde die Wahrscheinlichkeit für die Herkunft der gefundenen Goldmünze aus dem dritten Schränkchen offenbar sein, welches Resultat gewiß auch plausibler erschiene als -j.

Beispiel 3. Aus einer n Kugeln enthaltenden Urne werde in r Ziehungen, wobei die gezogene Kugel immer

wieder in die Urne zurückgelegt wird, stets eine weiße Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auch beim r + 1. Zug eine weiße Kugel zu erhalten?

Das Ereignis der r-maligen Ziehung einer weißen Kugel kann hervorgegangen sein aus den Mischungsverhältnissen :

1    weiße Kugel, n— 1 nicht-weiße Kugeln,

’f

2    weiße Kugeln, n — 2    ,,

Die Wahrscheinlichkeit, mit welcher das r-malige Ziehen einer weißen Kugel aus dem erstangenommenen Mischungsverhältnis folgte, ist

li

rH I £

'S

CS

C§

<M

» I.ISO

'S

co

8|S

'S

Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Mischungsverhältnisse bestimmen sich nach der Formel

p-

Pi

V\ + P₂ + ‘ ’ * + Pn

Daß bei Vorliegen des 1. Mischungsverhältnisses der r + 1. Zug wieder eine weiße Kugel liefert, dafür ist die

Wahrscheinlichkeit gleich — • Folglich ist die Wahrschein

lichkeit für das Zusammentreffen des 1. Mischungsverhältnisses und des Ziehens einer weißen Kugel auch beim

r + 1. Zug gleich P, • — • Ganz analog ergibt sich die ¹ n

. Wahrscheinlichkeit, daß bei Vorliegen des 2. Mischungs-

Verhältnisses auch beim r + 1. Zug eine weiße Kugel erscheint, gleich P*-—- •

n

Demnach die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel beim r + 1.' Zug, da dieser entweder bei Vorliegen des ersten oder des zweiten •••Mischungsverhältnisses stattgefunden haben kann,

p---1- P₂---h • • • + P —

¹ n    n    n

l\r + 1

'2 \r + ¹

,n

l\r

2 \r

1 1»- + ¹ + 2r + ¹ + • • • + nr + 1

n lr

+ 2r

+ • • • + nr

n — 4, r = 5 gibt P —

489

520

§ 14. Wahrscheinlichkeit einer Ursache, wenn die verschiedenen möglichen Ursachen von vornherein nicht gleich wahrscheinlich sind.

Zur Behandlung dieses Falles wollen wir das in § 12 gebrauchte Beispiel etwas umändern.

Von n gleich aussehenden Urnen mögen v₁ Urnen U1 je ml Kugeln und darunter weiße enthalten; ferner v₂ Urnen U₂ je m₂ Kugeln, worunter /jl₂ weiße, usf. Eine Person, welche vor die Urnen geführt wird, ziehe aus einer derselben eine weiße Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß dieselbe aus einer der v. Urnen U. stamme?

Ist m wieder das kleinste gemeinsame Vielfache von mv m₂ • • - , so daß m = ml = X₂ m₂ — • • - , so möge die Zahl der Kugeln einer jeden Urne unter Beibehaltung des Mischungsverhältnisses auf m gebracht, sodann sämtliche Kugeln der v₁ Urnen Ux mit dem Index 1, die Kugeln der v₂ Urnen Z7₂ mit dem Inder 2 usw. versehen und hierauf die Kugeln aller Urnen in eine große Urne TJ geschüttet werden. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine aus dieser Urne U gezogene weiße Kugel den Index i trage, ist offenbar gerade so groß wie die Wahrscheinlichkeit, daß die weiße Kugel, welche von der vor die n Urnen geführten Person aus einer der Urnen gezogen wird, einer der Urnen U. entstamme. Jene Wahrscheinlichkeit ist aber

Pi =

V₁ ^ -f- V₂ l₂ + • • •

wofür wir auch schreiben können

v. m

— * ft

Pi-

*i

— •-----+ ---

n    n

oder

J|3=

j|ri=

Bezeichnen wir, wie früher, die Wahrscheinlichkeit, aus einer der Urnen der ersten, zweiten, • • • Art eine weiße Kugel zu ziehen, mit pv p₂ • • -, und ferner die Wahrschein-ichkeit, aus den n Urnen eine der v₁ Urnen Ux zu wählen,

Knopf, Wahrscheinlichkeitsrechnung. II.

mit n₁ und die für die anderen Urnengruppen geltenden Wahrscheinlichkeiten mit <jtv tc₃ • • so bekommen wir

niPi

7t₁pl +-rt₂p₂ H----

es ist aber ni p. gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses aus der Ursachen, und es läßt sich daher der in § 12 für gleich wahrscheinliche Ursachen ausgesprochene Satz auch auf nicht gleich wahrscheinliche Ursachen übertragen. Es ist ganz allgemein die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereignis aus einer bestimmten Ursache hervorgegangen ist, gleich der Wahrscheinlichkeit, mit welcher es aus dieser Ursache zu erwartenwar, dividiert durch dieSurnme der Wahrscheinlichkeiten, mit welchen es aus sämtlichen möglichen Ursachen folgen konnte.

Auch die folgende Aufgabe, die als eine Vereinfachung der vorigen angesehen werden kann, läßt sich mit Hilfe des eben gefundenen Theorems lösen.

In einer Urne seien m Kugeln. Den Index 1 mögen m₁ Kugeln, darunter weiße, tragen; den Index 2 m₂ Kugeln, darunter fi₂ weiße, usw. Eine aus der Urne gehobene Kugel zeige weiße Farbe. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese weiße Kugel den Index i trage?

Bezeichnen wir die den nämlichen Index tragenden Kugeln wieder als eine Gruppe, so können wir die verschiedenen Gruppen als die verschiedenen „Ursachen“ an-sehen, aus welchen das Ereignis, nämlich das Erscheinen der weißen Kugel, hervorgehen konnte.

Wir haben daher

Pt =

*tPt

7tlpl + n₂p₂ Ą----’

ft

m₂

. ft. ₊

ft

ft + ft "1" * * *

welches Resultat sich auch sofort aus der einfachen Erwägung ergeben hätte, daß ft + ft + • • • weiße Kugeln überhaupt in der Urne waren, darunter fji. mit dem Index i, und daß daher die Wahrscheinlichkeit, daß die gezogene weiße Kugel den Index i trug, gleich sein mußte der Anzahl jbi. der dem Ereignis günstigen Fälle, dividiert durch die Anzahl der möglichen Fälle, überhaupt eine weiße Kugel zu ziehen.

§ 15. Anwendung auf Zeugenaussagen.

Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Zeugenaussage oder, wie man eigentlich sagen müßte, bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Richtigkeit einer Zeugenaussage handelt es sich darum, die Wahrscheinlichkeit festzustellen, daß ein Ereignis, welches nach Aussage des Zeugen stattgefunden hat, auch tatsächlich stattgefunden habe.

Von zwei allein möglichen oder wenigstens in Betracht kommenden, einander ausschließenden Ereignissen E und F besitze das erstere die Wahrscheinlichkeit p seines Eintrittes. Unter n Fällen, z. B. bei n Versuchen, durch welche dem E die Gelegenheit zum Eintritt gegeben wird, wird daher das Ereignis E p'n- und das Ereignis F (1 -p')n-mal eintreten.

Ist ferner p die Wahrscheinlichkeit, daß der Zeuge richtig beobachtet hat, so wird seine Aussage unter v Fäl-

len p iMnal eintreffen und (1 -p)v-mal nicht. Bei den p n Versuchen, welche von n Versuchen das Ereignis E herbeigeführt haben, wird der nach bestem Wissen aussagende Zeuge daher pp n-mal richtig den Eintritt des Ereignisses E behaupten.

Das Ereignis F, welches (1 —p) n-mal in der Versuchsreihe eintritt, wird er^?(l —p')n~mal richtig bei seinem Eintritt beobachten, (1 — jt?) (1 — jt/)^-mal wird er sich aber irren und glauben, E sei eingetreten. Er wird also bei den n Versuchen pp'n-m&\ den Eintritt von E zu Recht behaupten und (1 — p)(l -p')n-mal zu Unrecht, im ganzen also pp'n-\-{^ —p)(\ —p')wrmal.

Die Wahrscheinlichkeit, daß der Zeuge mit seiner Behauptung des Eintrittes von E Recht hat, ist demnach

PP'___

pp + (i -p ) ’

Die Formel zeigt volle Analogie mit der das Bayes-sche Theorem ausdrückenden Formel in §12, S. 60. In der Tat läßt sich die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, daß der Zeuge mit seiner Aussage Recht hat, so auffassen, daß sich das Bayes sehe Theorem auf sie anwenden läßt. Das Ereignis, welches aus mehreren Ursachen hervorgegangen sein kann, ist hier die Aussage des Zeugen, es sei E eingetreten. Die eine „Ursache“ für jenes, in der Zeugenaussage bestehenden, Ereignisses ist die, daß der Zeuge richtig beobachtet hat und in der Tat also E eingetreten ist, die andere, daß er sich geirrt hat und F eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit, mit welcher aus der ersten Ursache die Aussage des Zeugen zu erwarten ist, ist aber j/jp; die Wahrscheinlichkeit, mit welcher sie aus der zweiten Ursache folgt, ist (1 — p')(l — p). Die Wahrscheinlichkeit, daß die Zeugenaussage, es sei E eingetreten, aus der ersten der beiden möglichen Ursachen hervorgegangen sei, mit anderen Worten: die Wahrscheinlichkeit für die Eichtigkeit der Zeugenaussage ist demnach

P'P

pp + (i -/)(i -p) ’

wie vorhin durch Aufsuchen der Zahl der günstigen und der möglichen Fälle gefunden.

Die Wahrscheinlichkeit, daß der Zeuge, wenn er den Eintritt von F beobachtet zu haben glaubt, mit seiner Behauptung, Psei eingetreten. Eecht hat, ergibt sich, indem wir in diesem Ausdruck durch 1 —p ersetzen, gleich

p(i-p)

P{¹ ~P) + (1 ~P)P

Ferner ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Zeuge fälschlicherweise den Eintritt von E behauptet,

PP + (1 ~P){ 1 —P)

und die Wahrscheinlichkeit, daß er fälschlich den Eintritt von P behauptet,

s    -pW

P{ 1 -/) + (! ~P)P'

Wie von vornherein als richtig zu erkennen, ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Zeuge den Eintritt von E entweder zu Eecht oder zu Unrecht behauptet, P + R = 1, und ebenso die Wahrscheinlichkeit, daß der Zeuge den Eintritt von F entweder zu Eecht oder zu Unrecht behauptet, Q + S = 1.

Daj? die Wahrscheinlichkeit für die Eichtigkeit der Aussage des Zeugen im allgemeinen ist, Paber die Wahrscheinlichkeit für die Eichtigkeit, wenn er E als einge-

troffen behauptet, so wird für = -i-, wenn also die Wahrscheinlichkeit des Eintritts von E und F dieselbe ist und der Zeuge die gleich häufig eintretenden Ereignisse E und F auch gleich oft als eingetreten richtig erkennen wird, P in p übergehen müssen.

In der Tat gibt

/ = —: P = p; Q = p; R = 1 -p-, S = 1 —p-,

und ferner

P= 0; 0=1; P= 1; 0 = 0;

p = 0: p = 1 :

wie ebenfalls von vornherein klar.

Man könnte denken, daß aus der Wahrscheinlichkeit P für eine richtige Aussage des Zeugen, wenn er das Ereignis E als ein getroffen bezeichnet, und aus der Wahrscheinlichkeit Q für eine richtige Zeugenaussage, wenn der Eintritt von F behauptet wird, die Wahrscheinlichkeit p für eine richtige Aussage des Zeugen schlechthin durch Bildung von P + Q erhalten würde, weil eine richtige Aussage des Zeugen doch nur auf eine der beiden einander ausschließenden Arten, entweder durch Behauptung des Eintritts von E oder durch Behauptung des Eintritts von F erfolgen kann. Es ist dies aber nicht der Fall, weil die zweite einschränkende Bedingung für Anwendbarkeit des Additionssatzes, daß der Bereich der möglichen Fälle für beide Wahrscheinlichkeiten derselbe sein muß, hier nicht erfüllt ist, denn die Zahl der möglichen Fälle für den Eintritt von E ist von der für den Eintritt von F im allgemeinen verschieden. Wohl aber ist p gleich einem Bruch, dessen Zähler die Anzahl der richtigen sich auf E und auf F beziehenden Aussagen enthält, der Nenner dagegen die

I! II

i;

0;

CQ CQ

I!

0;

1;

Zahl der richtigen Aussagen, vermehrt um die Zahl der unrichtigen Aussagen. Ist n die Zahl der angestellten Versuche, so ist in der Tat

pp'n + p(l — p')n

pp n +p (1 — p') n + (1 —p)pn + (1 — jo)(l —p')n

Beispiel. Sind in einer Urne a weiße und b gelbe Kugeln und behauptet ein vom Inhalt unterrichteter Zeuge, daß die gezogene Kugel weiß sei, so haben wir, um die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit seiner Aussage durch unsere Formel für P ausdrücken zu können, p' —

zu setzen und erhalten

ap

ap + 6(1 — p) ’ oder wenn das Verhältnis der Zahl der gelben Kugeln zu der der weißen Kugeln — = Z gesetzt wird,

P=:

Je weniger gelbe Kugeln im Verhältnis zu den weißen Kugeln in der Urne vorhanden sind, um so mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit der Zeugenaussage, daß eine weiße Kugel gezogen sei, der Gewißheit; für l = 0 ist P = 1.

Je größer dagegen die Zahl der gelben Kugeln im Vergleich zu der der weißen ist, um so mehr nähert sich P der Null.

Sind weiße und gelbe Kugeln in gleicher Zahl vorhanden, ist also Z =5 1, so ist P — p.

Ohne Schwierigkeit ergibt sich ferner die Wahrschein-

lichkeit für die Richtigkeit der Zeugenaussage, wenn eine gelbe Kugel gezogen worden sein soll, die Wahrscheinlichkeit, daß der Zeuge zu Unrecht eine weiße Kugel als gezogen angibt, ist

Ml-P)

p + X{\ -p)

und die Wahrscheinlichkeit, daß er zu Unrecht eine gelbe Kugel als gezogen an gibt,

s = —~p__

1-p + lp

Die Wahrscheinlichkeiten, P, Q, P, S hängen außer von dem durch die Beobachtungs- und Auffassungsgabe des Zeugen bedingten Wert^? nur von dem Verhältnis, in welchem die weißen und gelben Kugeln in der Urne Vorkommen,

3

—-, so ist

g

ab. Ist p = — und X —

VQ-rrB=Vs-L-

§ 10. Beispiel zur Bestimmung der Zuverlässigkeit von Zeugenaussagen.

Aus einer der beiden Urnen Ul und U₂, von denen die erstere nY weiße, die letztere n₂ gelbe Kugeln enthält, wurde eine Kugel gezogen und in die andere Urne gelegt und sodann aus dieser Urne eine Kugel gezogen. Die erste Ziehung wurde vom Zeugen Zv die zweite vom Zeugen Z2 beobachtet, und beide Zeugen behaupten, es sei eine weiße Kugel gezogen worden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit ihrer Behauptungen, wenn die Wahrscheinlichkeit der richtigen Wahrnehmung für Zx gleich^ und für Z₂ gleich^ ist?

Das Ereignis, daß beide Zeugen behaupten, es sei eine weiße Kugel entnommen worden, kann auf 4 verschiedene Arten zustande gekommen sein.

1.    BeideZeugen haben richtig beobachtet. Es ist dann zunächst Urne gewählt und aus ihr eine Kugel, die natürlich von weißer Farbe war, gezogen worden, was Z1 richtig beobachtet hat. Nachdem die weiße Kugel in Urne U₂ zu den n₂ gelben Kugeln gelegt worden ist, wird sie trotz vorheriger Mischung der Kugeln wieder gezogen, was Z₂ richtig beobachtete. Die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen dieser Einzelereignisse ist

•iV

1    1    ¹

2    Pl n₂ + 1

2.    Zx hat richtig, Z₂ falsch beobachtet. Es ist dann Urne Ux gewählt, aus ihr eine weiße Kugel gezogen und dies von Zx richtig beobachtet worden. Nachdem die weiße Kugel in die Urne U₂ gelegt war, wurde aus dieser eine der n₂ gelben Kugeln genommen, was Z₂ falsch beobachtete. Die Wahrscheinlichkeit für diese Aufeinanderfolge von

•a-Ą)-

n₂ + 1

Einzelereignissen ist -Î-. 1 •    •

u

3.    ZY hat falsch, Z₂ richtig beobachtet. Dies ist nur dann möglich, wenn für den ersten Zug die Urne ü₂ gewählt und aus ihr eine gelbe Kugel gezogen worden war. Bei der Beobachtung dieses Ereignisses täuschte sich Zv Die gelbe Kugel wurde zu den nx weißen Kugeln der Urne U₁ getan und aus ihr eine der nl weißen Kugeln gezogen, welches Ereignis Z₂ richtig beobachtete. Die Wahrscheinlichkeit dieser Folge von Begebenheiten ist

4. Z₁ und Z₂ täuschen sich. Dann ist zunächst Urne U₂ gewählt und der Zug einer der n₂ gelben Kugeln von Z₁ falsch beobachtet worden. Die gelbe Kugel wurde sodann in die Urne gelegt und hierauf wieder aus ihr gezogen, wobei Z₂ sich täuschte. Die Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, daß beidemal eine weiße Kugel gezogen worden ist, daß beide Zeugen also richtige Aussagen abgelegt haben, ist daher nach der B a je s sehen Regel gleich

dieses Falles ist • 1 • (1 —    •

u

PlP2

»! + 1

4-l'd-R)'

»1 + 1

•Pt ■

+1¹ - ftla ^ +

Je mehr^₂ wächst, um so mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit der Null. Je unwahrscheinlicher das von den Zeugen behauptete Ereignis, um so unglaubwürdiger ist die Zeugenaussage.

IV. Abschnitt.

Die mathematische Erwartung.

§ 17. Definition.

Nach La place wird das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und dem Gewinn, den sein Ein-

treffen für eine Person hat, die mathematische Hoffnung der letzteren oder vielleicht besser ihre mathematische Erwartung genannt.

Sind bei einem Spiel die mathematischen Erwartungen der Spieler einander gleich, so ist das Spiel als ein ehrliches anzusehen.

Macht z. B. A mit B die Wette, daß er von letzterem 5 Jt bekommen solle, wenn er mit einem Würfel eine Sechs wirft, dagegen 1 Ji geben wolle, wenn eine geringere Augenzahl fällt, so ist für A die mathematische Erwartung

1    5

gleich —- • 5 Jt und für B gleich — • 1 Jt, also gerade so 6    6

groß. Bei sehr häufiger Wiederholung des Spieles wächst die Wahrscheinlichkeit einer Ausgleichung von Gewinn und Verlust, da das Verhältnis der wahrscheinlichsten Anzahlen für die Eintritte der beiden Ereignisse, daß eine Sechs geworfen und daß sie nicht geworfen wird, je länger man das Spiel fortsetzt, in um so engeren Grenzen um das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten jener beiden Ereignisse bei einem Einzelversuch herumschwankt (s. § 8, S. 38).

§ 18. Das Petersburger Problem.

Eine gewisse Berühmtheit hat die folgende Aufgabe erlangt, welche, von Nikolaus Bernoulli (1687—1759) stammend, von dessen Vetter Daniel Bernoulli (1700 —1782) in den Abhandlungen der Petersburger Akademie der Wissenschaften¹) behandelt wurde und daher den Namen des Petersburger Problems erhalten hat; sie heißt:

*) Comment. Acad. Scient, imper. Petropol., V. 1738. — Aus dem Lateinischen übersetzt und mit Anmerkungen versehen von A. Prings-heim unter dem Titel Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen (Leipzig 1896, Duncker u. Humblot) als Nr. 9 der Sammlung älterer und neuerer staatswissenschaftlicher Schriften neu erschienen.

Peter wirft eine Münze so oft in die Höhe, bis sie nach dem Niederfallen Kopf zeigt. Geschieht dies gleich beim ersten Wurf, so hat er an Paul 1 Dukaten zu geben; wenn erst beim zweiten: 2, beim dritten 4, beim vierten 8 usf. in der Weise, daß bei jedem folgenden sich nötig machenden Wurf die Anzahl der Dukaten verdoppelt wird. Wie groß ist die Gewinnhoffnung Pauls?

Wir wollen die beiden Spieler A und B nennen und statt von Dukaten von Mark sprechen.

Die Wahrscheinlichkeit, daß die von A geworfene

Münze Kopf zeigen wird, ist . B wird daher mit der

1 . ²

Wahrscheinlichkeit — auf die Auszahlung von einer Mark 2

nach dem ersten Wurf seitens des A rechnen können.

Daß es zu einem 2. Wurf der Münze kommen wird,

dafür ist die Wahrscheinlichkeit — ; und daß dann Kopf

fällt, dafür ist die Wahrscheinlichkeit wieder —

scheinlichkeit, durch den 2. Wurf zu einem Gewinn zu

kommen, ist für B also 4 •

’ 2 2

² 1

— .Die Wahr

= 4-, und da er dann 2 Jt 4

erhält, so ist seine mathematische Erwartung aus dem 2. Wurf gleich 4~ • 2 = — Jt.

⁴² . . /1\2 Beim 3. Wurf, der mit der Wahrscheinlichkeit —I

zustande kommt, fällt Kopf wieder mit der Wahrscheinlichkeit 4-* Der Gewinn ist in diesem Palle gleich 4 Jl, folglich die mathematische Erwartung aus dem 3. Wurf

Wie leicht zu erkennen, ist die mathematische Erwartung aus jedem Wurfe ~ JH.

u

B hat dem A vor Beginn des Spieles so viel zu zahlen, als seine mathematische Erwartung aus den sämtlichen möglicherweise zustande kommenden Würfen beträgt. Wird h als höchste Zahl der Würfel festgesetzt, so daß das Spiel, wenn Kopf nicht früher fällt, spätestens mit dem h. Wurf endet, so hat B dem A, da jedes Spiel ihm die mathematische Erwartung von — Ji gewährt, vor Beginn des Spieles

"« |<N

u

Ji auszuhändigen. Ist die Zahl der Würfe nicht beschränkt, soll also A so oft würfeln, bis endlich Kopf fällt, so muß unserer Überlegung gemäß der Einsatz des B unendlich groß sein.

Sicherlich würde wohl niemand an Stelle des B eine irgendwie erhebliche Summe auf den erhofften Gewinn setzen wollen, vielmehr würde ein verhältnismäßig kleiner Betrag als gerechter Einsatz angesehen werden.

Das Resultat scheint daher mit den Anforderungen des gesunden Menschenverstandes in Widerspruch zu stehen.

Und doch ist das Resultat richtig! Freilich darf das Spiel nicht nur einmal oder wenige Male gespielt werden, wenn ein Ausgleich von Gewinn und Verlust der beiden Spieler stattfinden soll.

Mußte doch schon das in § 17 angeführte Glücksspiel, wo A 5 Jt gewinnen sollte, wenn beim Würfeln eine Sechs fiele, dagegen B 1 Jl, wenn weniger Augen fielen, mindestens sechsmal gespielt werden, ehe überhaupt ein Ausgleich von Gewinn und Verlust eintreten konnte. Je öfter gewürfelt wurde, mit um so größerer Hoffnung war auf einen Ausgleich zu rechnen.

Sind bei dem Petersburger Spiel nur 10 Würfe verabredet, so sind nicht weniger als 2¹⁰= 1024 Spiele nötig, wenn alle Fälle, die bei zehnmaligem Werfen einer Münze mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können, erschöpft werden sollen, wodurch in der Tat ein Ausgleich herbeigeführt wird.

Bezeichnen wir das Fallen von Kopf und Wappen mit K und W, so können bei zehnmaligem Werfen der Münze folgende Fälle Vorkommen:

* £ w £

W W « M W W M W M W M M W W W W

M W M W

1024. WWWWWWWWWW

Jedes der 1024 Spiele wird beim ersten Auftreten von K abgebrochen.

Wie man unschwer erkennt, kommt der Ausgleich in folgender Weise zustande.

Bei 512 Spielen fällt K beim 1. Wurf, B erhält folglich 512mal IM, also 612

1„ 0

256

128

64

16

, 2.

,    3.

,    4.

,    5.

; $:

512

, 8.

,    9.

512

überhaupt nicht,

1024 Spiele

h

Vor jedem der 1024 Spiele hat B dem A —=5 JH,

u

im ganzen also 5120^ zu geben, ebenso groß ist sein Gewinn, folglich findet, wenn die den 1024 möglichen Variationen zweier Elemente zur 10. Klasse entsprechen-

5120 M

den Spiele sämtlich — jedes einmal — gespielt werden, Ausgleich zwischen Gewinn und Verlust statt. Natürlich wird ein einzelner Satz von 1024 Spielen, da er nicht die sämtlichen obigen Einzelspiele enthalten wird, noch keinen Ausgleich bringen, es müssen zu diesem Behufe sehr vielmals 1024 Spiele gespielt werden.

Ist die Zahl der Würfe eines Spieles unbeschränkt, so kann erst durch unendlich viele Spiele ein Ausgleich herbeigeführt werden. Und unendlich viele Sätze von unendlich vielen Spielen sind nötig, wenn man mit einiger Sicherheit auf einen Ausgleich rechnen will,

W erden sehr zahlreiche Spiele gespielt, so wird Kopf auch einmal erst bei einem sehr späten Wurf fallen, so daß Deinen großen Gewinn ausgezahlt erhält, bei unendlich mal unendlich vielen Spielen ist sogar ein Ausgleich zu erwarten, wenn B jedesmal einen unendlich großen Einsatz geleistet hat.

Widerspricht daher die Lösung, welche uns die Wahrscheinlichkeitsrechnung für das Petersburger Problem liefert, keineswegs dem gesunden Menschenverstand, so ist andererseits doch nicht nötig, daß stets, wenn sich für B bei jedem neuen notwendig werdenden Wurfe der Gewinn vervielfacht und die Zahl der Würfe eines Spieles unbeschränkt ist, eine unendlich große Summe von B dem A als Gegenleistung gezahlt werde¹).

Ist die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes beim l.Wurf gleich w, des Gewinnes beim 2. Wurf gleich w² usf., und ist der in Aussicht stehende Gewinn beim 1. Wurf gleich 1, bei jedem folgenden Wurf aber das w-fache des früheren, so ist die mathematische Erwartung aus h Würfen

x) K. Bögel, Zum Petersburger Problem. Zeitschr. math. nat. Unterricht 50 (1919), S. 138 ff.

wird -

E = w + w² n + w³ n² -f- • • •

= w (1 + nw + n²w²A~ • • • + nh~¹wh~¹) 1 — nh wh

1 — nw

Werden n und w so gewählt, daß n w = 1 wird, so

— nh wh

0

= — = h, wie man nach bekannter Regel

1 — nw

findet. Ist die Anzahl h der Würfe unbegrenzt, so wird demnach E = 00.

Ist iedoch nw < 1, also n < —, so ist E endlich.

w

Beispiel 1. Wie groß muß der Einsatz des B sein, wenn A so oft eine Münze in die Höhe wirft, bis Kopf fällt, und, wenn dies beim ersten Wurf geschieht, dem B 1 JH geben muß, dagegen bei jedem folgenden nötig werdenden 3

Wurf das - -fache?

.² i

Hier ist w — — ; n =

u

folglich E = 2 Jl.

u

Beispiel 2. Wie groß muß der Einsatz des B sein, wenn A mit einem Würfel würfelt und dem falls er beim ersten Wurf eine Sechs wirft, 1 Jl geben muß, bei

jedem folgenden nötigen Wurf aber beim vorhergehenden?

11

10

-mal soviel wie

Die Wahrscheinlichkeit, daß A beim 1., 2., 3.- • - Wurf

1    5    1

eine Sechs wirft, ist

i • • • Die mathe-

6

6’ 6 6’ \ 6

matische Erwartung aus h Würfen wird demnach, wenn

wir für

11

^ zunächst allgemein n schreiben, sein

| CO

■l + -Q-~Q-n+ h

5\²

⁺ (ä)

•V+-

■T*

-1

. 1 - (In

11

bringt für eine unbegrenzte Zahl h der Würfe

E — 2 Ji,

In beiden Beispielen ist die mathematische Erwartung trotz der ins Unbegrenzte zugelassenen Spieldauer nur ein ganz geringer Betrag.

V. Abschnitt.

Der moralische Wert und die moralische Erwartung.

§ 19. Der moralische Wert eines Vermögenszuwachses.

Ein Vermögenszuwachs pflegt um so freudiger begrüßt zu werden, je größer er ist. Andererseits wird aber einem wenig Bemittelten ein Vermögenszuwachs von bestimmter Größe viel willkommener sein als einem Reichen. Denn dem bereits vorhandenen Vermögen des letzteren gegenüber spielt derselbe Vermögenszuwachs eine viel geringere Rolle als dem Grundvermögen des wenig Bemittelten gegenüber. Daniel Bernoulli¹) setzt daher — veranlaßt

*) Yersucheiner neuen Tbeorieder Wertbestimmung von Glücksfäll en. Deutsch von A. Pringsheim. Sammlung älterer und neuerer staatswissenschaftlicher Schriften, Nr. 9. Leipzig 1896.

Knopf, Wahrscheinlichkeitsrechnung. II.

merkwürdiger- und unberechtigterweise durch das den Forderungen des gesunden Menschenverstandes scheinbar widersprechende Resultat des PetershurgerProhlems — den Wert, den ein Vermögenszuwachs für eine Person hat, einesteils seinem Betrage direkt proportional, andern-teils aber dem Grundvermögen umgekehrt proportional, diese letztere Bestimmung offenbar wegen ihrer Einfachheit vor anderen, die auch jenem Umstande hätten Rechnung tragen können, bevorzugend.

Wird mit dw der Wert bezeichnet, den für eine das Vermögen x besitzende Person der Vermögenszuwachs dx hat, so ist nach Daniel Bernoulli

dw =

₇ dx k • --•

Die Konstante k gibt an, welchen Wert jemand der Verdoppelung seines Vermögens (dx = x) beimessen würde, wenn die Wertschätzung der Zunahme seines Vermögens æ von hier ab proportional der Vermögens Vermehrung wüchse. Sie ist offenbar von dem Charakter, von der Denkweise der Person, welcher der Vermögenszuwachs zuteil wird, abhängig. Beim Geizhals ist sie größer als beim leichtsinnigen Verschwender.

Eine Vermögensabnahme ist natürlich als eine negative Vermögenszunahme anzusehen.

Wir könnten den Wert, den ein Vermögenszuwachs für eine bestimmte Person hat, den persönlichen oder relativen Wert nennen. Laplace hat die Bezeichnung moralischer Wert eingeführt.

Aus dw = k- — folgt, wenn mit a das Anfangsver-x

mögen und mit g der Vermögenszuwachs bezeichnet wird,

a + g

, fdx , , w = Je -— = k-l

J X

Für jemand, der kein Anfangsvermögen hat (a = 0), würde nach der letzten Formel die Erlangung eines Vermögens den moralischen Wert w = 00 haben. Diese Schwierigkeit sucht Bernoulli durch die Bemerkung zu beseitigen, daß niemand ganz ohne Vermögen sei, bestehe es auch nur in seiner Fähigkeit, durch seiner Hände Arbeit Geld zu verdienen, oder, wie beim Bettler, durch Betteln sich seinen Unterhalt zu verschaffen. Selbst wer Schulden besitzt, würde sich nicht durch Darbietung einer Summe zu deren Begleichung und eine geringe Mehrgabe verpflichten wollen, von seiner Arbeitskraft zum weiteren Erwerb seines Lebensunterhalts keinen Gebrauch zu machen; er schätze also sein, wenn auch nicht in Geld bestehendes Vermögen höher ein, als ihm die Schuldentilgung und jene Mehrgabe wert sei. Nur von dem, der tatsächlich am Verhungern sei, könne man sagen, daß er gar nichts besitze.

Immerhin wird man der Bernouliischen Formel, so zutreffend und nützlich sie sich innerhalb gewisser Grenzen erweist, keine unbeschränkte Gültigkeit beimessen dürfen.

Daniel Bernoulli erkannte sehr wohl die volkswirtschaftliche Bedeutung, welche seiner Lehre zukommt, er ahnte aber nicht, daß sie auch auf physiologischem Gebiet Geltung besitzt. Auf dieses Gebiet übertragen wird die Bernoullische Lehre vom moralischen Wert des Vermögenszuwachses zum Fechnerschen psy cho-physi-schen Grundgesetz: Die Zunahme der Empfindung ist proportional der Zunahme des Logarithmus des Reizes.

Denn wenn wir mit E die Empfindung und mit R den

Reiz bezeichnen, so ist die den letzten Satz ausdrückende

dR

Formel dE = kdlR, wofür auch dE — k — geschrieben

werden kann ; diese Formel stimmt aber mit der für den moralischen Wert eines Yermögenszuwachses überein.

Hiernach wird dieselbe Empfindungszunahme bewirkt, wenn das Verhältnis der Reizzunahme zum Reiz selbst das nämliche ist. Vermehre ich das auf der Hand gehaltene Gewicht von 100 g um 10 g, so verspüre ich dieselbe Druckvermehrung, wie wenn ich das Gewicht von 200 g um 20 g erhöhe.

Erwähnt sei jedoch, daß sich nicht für jede noch so kleine Reizzunahme eine Empfindungszunahme wahrnehmen

läßt; es besitzt vielmehr -=- einen Minimalwert, den man R

die Reizschwelle nennt. Das Fechnersche Gesetz gilt eben wie jedes von uns abgeleitete Naturgesetz nur innerhalb gewisser Grenzen.

Auch in der Photometrie der Sterne findet die Bernoulli sehe Formel vom moralischen Wert eines Vermögenszuwachses Anwendung, da auch hier Reiz und Empfindung in der Beziehung zueinander stehen, wie es im Fechnerschen Gesetz ausgedrückt ist.

Bekanntlich teilt man die Sterne in Größenklassen ein und weist dabei zwei Sterne zwei aufeinander folgenden Größenklassen zu, wenn sich unserer Empfindung nach ihre Helligkeiten um einen bestimmten Betrag unterscheiden. Ein Stern der n. Größenklasse hat aber die 2,5-fache Lichtintensität wie ein Stern n + 1. Größenklasse, dieser wieder die 2,5-fache Intensität eines Sternes n + 2. Größenklasse usf. Unsere Empfindung wächst also arithmetisch, während der Reiz, die Lichtintensität, geometrisch wächst. Das muß aber in der Tat der Fall sein, wenn die Helligkeit oder die dafür gesetzte Größenklasse m mit der Intensität in

der Beziehung stehen soll dm — — wo das Minus-

Zeichen gesetzt ist, weil, je höher die Größenklasse ist, um so schwächer die Sterne sind, die ihr zuerteilt werden. Integriert kommt nämlich wenn m₀ und J₀ zusammengehörige Werte sind, und hieraus

m₀ — m

J = Jo . e k =J₀-amo~w,

wo dem a der numerische Wert 2,5 zukommt. Einer Verminderung der Größenklasse um 1 entspricht demnach eine Vermehrung der Intensität auf das 2,5-fache.

Selbst allgemeine Lust- und Schmerzempfindungen scheinen sich dem Fechnerschen Gesetz und somit der Bernoullisehen Formel zu fügen. Wenn ich z. B. erfahre, daß bei einem Unglück nicht 3 Personen, wie erst gemeldet wurde, sondern 4 Personen umgekommen seien, so wird mein Schmerz in höherem Grade vermehrt, als wenn ich. erfahre, daß nicht 300, sondern 301 Personen umgekommen seien.

Wie man sieht, läßt sich die Bernoullische Lehre vom moralischen Wert des Vermögenszuwachses auf manche andere Gebiete übertragen. Bringt sie doch das für viele Fälle ganz richtige Prinzip der Bemessung des Wertes einer Sache nach einem mit der Gr.öße derselben veränderlichen Maßstabe zum Ausdruck.

§ 20. Die moralische Erwartung*.

Nach dem Obigen ist der moralische Wert eines Vermögenszuwachses g bei einem Stammvermögen a gleich

a+g

¹

Th. Bayes, An Essay toward solving a Problem in the Doctrine of Chances. Lond. Phil. Trans. 53. 1764.

*/v-

HÜi

Findet der Vermögenszuwachs mit der Wahrscheinlichkeit p statt, so ist in dem Integral für dx zu setzen pdx, und der moralische Wert des mit der Wahrscheinlichkeit^ eintretenden Vermögenszuwachses ist gleich

— kl

a+g\p

Hat jemand mehrere Vermögensvermehrungen g',g” • • • mit den Wahrscheinlichkeiten p, p" • • • zu erwarten, -so beträgt der moralische Wert derselben

’a+g'Y'

+ kl

kda+W

— kl

'a+g'Y {a+g"'

Man kann nun die Frage aufwerfen: Welcher sichere Vermögenszuwachs hat für eine Person denselben moralischen Wert wie jene nur erhofften Zuwachse?

Nennen wir diesen von Laplace¹) als moralische Hoffnung, wofür wir auch moralische Erwartung sagen können, bezeichneten Zuwachs x, so haben wir demnach zu seiner Bestimmung

a) Philosophischer Versuch über Wahrscheinlichkeiten. Deutsch von N. Schwaiger. Leipzig 1886.

i+î-{i+p'Çj[i+p" )•••

®r%

daß wir

Sind die Vermögenszuwachse gg" • • • klein gegen a, so

, so können wir

schreiben

gegen 1 vernachlässigen können

oder

kl

— kl

’a+g'Y la + g'Y'

’ a Ar 9 Y

’a + SfY'

9'

= 1 + p' --a

+ p"~ a

folglich

x = p' g' + p" g" + • • *

Für den Fall geringer Yermögenszuwachse wird demnach die moralische Erwartung gleich der mathematischen Erwartung.

§ 21. Anwendungen.

1. Die moralische Erwartung besteht für einen Spieler, dem ein gleich großer Gewinn und Verlust mit gleicher Wahrscheinlichkeit in Aussicht steht, stets in einem Verlust.

Wird der Gewinn mit g, der ihm im Betrage gleiche Verlust folglich mit — g und die Wahrscheinlichkeit des Eintrittes für jeden der beiden Fälle mit p bezeichnet, so ergibt sich die moralische Erwartung x aus der Gleichung

a-\-x

a +g\pla-g\p

(«² - fr

Da negative Vermögenswerte nicht auftreten dürfen und daher # < a sein muß, so ergibt sich x stets negativ, die moralische Erwartung demnach als ein Verlust.

Macht jemand, der ein Vermögen von 1000 Jt besitzt, die Wette, daß er, wenn eine geworfene Münze Kopf zeigt, 100 Jt von seinem Gegner bekommen, dagegen, wenn Wappen fällt, ihm 100 Jt geben solle, so ist für ihn wie für seinen Gegner die Wette mit der moralischen Erwartung eines Verlustes von 5 Jt verbunden.

Auch eine Wette bei gleichen Gewinn- und Verlustaussichten ist daher bei Zugrundelegung des Prinzips von der moralischen Erwartung für jeden Spieler von Nachteil.

2. Will man wissen, einen wie großen Vorteil man beim Einsatz des Geldes vor seinem Mitspieler voraus haben müsse, um sich ohne Schaden auf ein beiden Spielern die Wahrscheinlichkeit i des Gewinnens gewährendes Spiel einlassen zu können, so hat man, unter y den zu machenden Einsatz verstanden, die Gleichung

V«

+ 0 _ j g +JL )Vł ( a~l\

a \ a j [ a

nach y aufzulösen. Man erhält

ag

«+#

woraus

x = -a 1- 1-

2"j p\

ß + 9

Für a = 1000 Jt; # = 100 Jt kommt #—#=9,09 Jl als Differenz der beiden Einsätze.

8. Bernoulli gibt u. a. folgendes Beispiel: Ein Kaufmann in St. Petersburg hat in Amsterdam Waren liegen,

die er in St. Petersburg für 10000 Rubel verkaufen könnte. Von 100 Schiffen pflegen aber um jene Jahreszeit durchschnittlich 5 verlorenzugehen. Eine Versicherungsgesellschaft verlangt von ihm für Versicherüng der Waren auf dem Transport 800 R. Welche Höhe muß das Grundvermögen des Kaufmanns mindestens haben, wenn eine Versicherung sich für ihn nicht mehr empfehlen soll?

Der moralische Wert des ihm in Aussicht stehenden Vermögenszuwachses beträgt für den Kaufmann, wenn er

. 19

die Versicherung nicht eingeht, k l

ct 10000 \ 2o

Versichert er seine Waren jedoch, so ist ihr moralischer Wert, weil er mit Sicherheit den Vermögenszuwachs von

9200 R. buchen kann, k l

Aus der Gleichsetzung der beiden Werte kommt

a + 9200

19

a + 10000 \^2Ô* a + 9200

oder

(a + 10 000)¹ • a = (a+ 9200)

woraus sich für a näherungsweise 5048 ergibt.

Der moralische Wert eines Vermögenszuwachses von 10 000 R., die der Kaufmann mifc der Wahrscheinlichkeit

19

achtung in Anspruch nehmen darf, wenn eine große Anzahl solcher Fälle vorliegt, so daß eine Ausgleichung der Wechselfälle möglich und wahrscheinlich wird.

4. Welches Vermögen muß die Versicherungsgesellschaft mindestens besitzen, wenn für sie die Versicherung mit 800 R. ratsam sein soll?

Analog wie unter 2. haben wir für diesen Fall

19    1

ci -f- 800 \ 2o / & — 9200 \ '20

oder

a²⁰ = (a + 800)¹⁹ • (a — 9200),

woraus sich für a näherungsweise 14 243 findet.

Soll eine kleinere Versicherungssumme genügen, so muß das Kapital der Gesellschaft größer sein, z. B. muß es bei einer Versicherungssumme von 600 R. mindestens 29 878 R. betragen. Sollte die Versicherungssumme von 500 R. genügen, so müßte es unendlich groß sein. Hat die Gesellschaft ein noch so großes, endliches Vermögen, so wird dies eine Verminderung erleiden, falls sie Versicherungen von 10000 R. unter den angegebenen Umständen für 500 R. anzunehmen pflegt.

5. Eine schätzenswerte Folgerung aus der Bern ouili-schen Lehre vom moralischen Wert besteht in dem Satz: Es ist ratsamer, Güter in mehrereTeile getrennt, als alle auf einmal einer Gefahr auszusetzen.

Die Richtigkeit des Satzes möge für die Teilung eines Gutes g, welches der Gefahr einer mit der Wahrscheinlichkeit p eintretenden Vernichtung ausgesetzt werden muß, in zwei gleiche Teile nachgewiesen werden.

Hat jemand zu seinem Stamm vermögen a den Zuwachs g mit der Wahrscheinlichkeit p zu erwarten, so ist

der moralische Wert x des Zuwachses für ihn zu berechnen aus der Formel

a + g\*

Teilt er das Gut g in zwei Teile , die nun unab-

Ù

hängig voneinander der gleich großen Gefahr wie früher das Gut (7 ausgesetzt sind, so können entweder beide Teile die Gefahr überstehen, wofür die Wahrscheinlichkeit p vorhanden ist, oder der eine Teil bleibt unversehrt, während der andere zugrunde geht, was mit der Wahrscheinlichkeit p(l — p) für jeden Teil, im ganzen also mit der Wahrscheinlichkeit 2j?(l —p) eintrifft, oder endlich beide Teile gehen zugrunde, was mit der Wahrscheinlichkeit (1 — p)2 geschieht.

Der moralische Wert y des Gewinnes ist in diesem Falle der Teilung des Gutes zu finden aus

a + f

2 jp (1 —1>)

a+y

a + gY

a + OU¹-**)²

a I

Um zu beweisen, daß x < y, ist zu zeigen, daß

oder

a.

a + g\*

1 + ^r-

2(1 -p)

oder

oder

1<

1 + -

a

I a\²

was in der Tat der Fall ist, da 1 -f- —I > 1 -f #•

Besitzt beispielsweise ein Kaufmann, der ein Barver-mögen von 40 000 Jl hat, auswärts noch Waren, die an Ort und Stelle 80000 ^ wert, wegen der unsicheren

9

Transportverhältnisse nur mit der Wahrscheinlichkeit in seine Hände gelangen können, so wird, da a = 40000,

9

y = 80000, p = — ist, seine moralische Erwartung sein

x = 67515^. Läßt er die Waren in zwei Hälften nacheinander kommen, so ist seine moralische Erwartung y = 70 335 Jt.

VI. Abschnitt.

Wahrscheinlichkeit auf Grund statistischer Erhebungen.

§ 22. Allgemeines.

Sehr häufig dienen als Grundlage für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit statistische Erhebungen. Fragt man z. B. nach der Wahrscheinlichkeit, daß ein neugeborenes Kind die so gefährlichen ersten zwei Jahre überstehen

werde, so läßt sieh ans statistischen Tabellen finden, bei wie vielen von je 10 000 Neugeborenen dies der Fall ist, und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich daher gleich dieser Zahl dividiert durch 10 000.

Es ist klar, daß eine solche auf die Ergebnisse der Statistik sich gründende Wahrscbeinlichkeitsbestimmung kein so sicheres Resultat liefert als unsere früheren Wahr-seheinlichkeitsbestimmungen, wo die Zahl der günstigen und der möglichen Fälle scharf angegeben werden konnte. Denn die statistischen Erhebungen sind naturgemäß mit manchen Mängeln behaftet, außerdem ändern sich aber auch im Laufe der Zeiten die Verhältnisse, von denen der Eintritt des in Frage stehenden Ereignisses abhängt, so daß die statistischen Erhebungen zu verschiedenen Zeiten verschiedene Resultate liefern.

So findet beispielsweise eine Verminderung der Sterblichkeit statt, wenn sich der Wohlstand der Bevölkerung hebt oder wenn die Ursache von Seuchen erkannt und Heilmittel entdeckt werden, und es wächst demzufolge die Wahrscheinlichkeit der Erreichung eines hohen Alters. Ebenso wird durch Verbesserung und Vermehrung der Feuerwehren die Zahl der großen Brände und damit die Wahrscheinlichkeit großer Schadenersatzleistungen derVer-sicherungsgesellschaften verringert.

ln diesen und zahllosen anderen Fällen sind die Resultate der Statistik nicht von dauernder Gültigkeit und die auf sie sich gründenden Wahrscheinlichkeitsbestimmungen daher von beschränkter Zuverlässigkeit.

Scheinbar in Widerspruch damit steht es, daß im ITI. Abschnitt, welcher von der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Ursache auf Grund der Erfahrung handelte, die dort gefundenen Resultate für so einwandfrei gelten wie irgendwelche andere. Wie man jedoch leicht erkennt, ist

der Grund der, daß dort durch die Erfahrung nur der Bereich der möglichen Fälle begrenzt, die scharfe Bestimmung der günstigen Fälle innerhalb dieses Bereiches aber nicht beeinträchtigt wurde. Bei der Wahrscheinlichkeitsbestim-mung auf Grund statistischer Erhebungen ist jedoch die Abzählung der günstigen, zutreffenden Fälle eine unsichere, wodurch natürlich auch das Verhältnis der günstigen Fälle zu den überhaupt möglichen ein unsicheres wird.

§ 28» Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das Versicherungswesen, insbes. die Lebensversicherung.

Um die Vorteile der Versicherung

u. a.

Von besonderer Wichtigkeit ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung für das Versicherungswesen, welches wegen seines wohltätigen Einflusses auf die wirtschaftlichen Verhältnisse der Menschen im Laufe der letzten hundert Jahre eine immer größere Ausdehnung und Bedeutung gewonnen hat. Der Zweck der Versicherung besteht bekanntlich darin, das wirtschaftliche Unglück, das von dem einzelnen, den es trifft, schwer zu tragen wäre, auf die Schultern der Allgemeinheit abzuwälzen, von der es sehr wenig drückend empfunden wird. Solche Unglücksfälle sind der Tod des Ernährers, der Verlust von Vermögen durch Feuer, Diebstahl, Viehseuchen, die Unmöglichkeit ferneren Erwerbs infolge Alters, Krankheit, Unfalles usw. Man hat daher Lebensversicherungen, Feuer-, Diebstahl-, Hagel-, Viehversicherung, Kranken- und Invaliditätsversicherung, Unfall versicherun g auch dem, der die Möglichkeit von Unglücksfällen nicht gebührend beachten und aus eigenem Antrieb keine Maßregeln für den Pall ihres Eintreffens vorsehen würde, zuteil werden zu lassen und andererseits der Allgemeinheit nicht die ganze Last der für ihn möglicherweise einmal nötig

werdenden Unterstützung aufzubürden, hat der Staat auf verschiedenen Gebieten bekanntlich die Zwangsversicherung eingeführt.

Die ältesten der vielen Versicherungsarten, die auch die verschiedensten Formen angenommen hat, ist die Lebensversicherung, durch welche den Erben des Versicherten bei dessen Tode oder dem Versicherten selbst bei Erreichung eines bestimmten Alters eine gewisse Summe ausgezahlt wird, nachdem er bei seiner Aufnahme in die Versicherungsgesellschaft durch einen einmaligen oder durch jährliche Beiträge eine kleinere, durch Zinseszins sich vermehrende Summe eingezahlt hat.

Das statistische Material wird hier durch die Volkszählungen beschafft, welche die Anzahl der in den verschiedenen Lebensaltern stehenden Männer und Frauen

geben.

In der folgenden, gekürzt wiedergegebenen sog. Ster b e-tafel oder Absterbeordnung¹) geben die Werte Am für das Jahrzehnt 1901—1910 an, wieviel männliche Personen im Alter von m Jahren im Deutschen Reich auf je 10 000 im ersten Lebensjahr stehende Knaben kommen.

Die entsprechende Tabelle für die Frauen weist günstigere Sterblichkeitsverhältnisse auf, doch möge von ihrer Mitteilung hier Abstand genommen werden.

Aus den Zahlen Am läßt sich nicht ohne weiteres schließen, daß von je 10 000 Knaben unter einem Jahr A das Alter von m Jahren erreichen. Wohl träfe dies zu bei einer sich gleichbleibenden Bevölkerungszahl, oder wenn durch Einwanderung eine Bevölkerungszunahme in der Weise stattfände, daß sämtliche Lebensalter proportional

x) Entnommen aus der ,,Statistik des Deutschen Reiches“, Bd. 246; bearbeitet im Kaiserl. Statistischen Amt, Berlin 1913.

der Zahl der in den verschiedenen Lebensaltern stehenden Personen daran teilhätten.

Wächst jedoch die Bevölkernngszahl dadurch, daß sich die Geburten jährlich um p °/₀₀₀ vermehren, so ist die Zahl der 0 Jahre alten Kinder in den aufeinanderfolgenden m Jahren

10000; 10000 1 +

¹⁰⁰⁰⁰ f¹ + -am)

10000

!"'¹⁰⁰⁰^¹ + lök)'

und in den vorhergehenden Jahren

10000 1+

10000

-l

10000 1+

-2

—m

10000

•.•10000 1+ -

10000

Wird daher bei einer Volkszählung gefunden, daß auf 10 000 Kinder im Alter von 0 Jahren A Personen von

m

m Jahren kommen, und, durch Vergleich mit früheren Volkszählungen, daß die Geburten sich jährlich um p °/000 vermehrt haben, so sind die Am Personen übriggeblieben

von den 10 000 [l +    ^

100OO

Personen, die m Jahre

früher geboren wurden.

Wir wollen jedoch liier von einer Volksvermehrung absehen, so daß wir, wenn Bm die Zahl derer bedeutet, die von je 10 000 nulljährigen Knaben im Alter von m Jahren sterben, 2? = Am — J,, haben. Diese Werte 23 liefert die 3. Spalte der Tabelle.

Deutsche Sterbetafel für männliche Personen für das Jahrzehnt 1901—1910.

Am Bm Gm

Wahr-

scheinl.

Lebens

dauer

Mittlere

Lebens- log Am er Wartung

7544 7473

71

52

7421

7382

39

31

7351

27

7324

7302

22

19

7283

18

7265

7249

7233

7218

16

16

15

17

7201

20

7181

24

7157

7130

7099

27

31

34

7065

36

7029

6994

35

36

6958

35

6923

35

6888

35

6853

36

6817

6782

6746

35

36

37

6709

37

6672

38

44,9    4,0000

55.1    3,9018

56.4    3,8841

56.2    3,8776

55.8    3,8735

55.1    3,8705

54.4    3,8682

53,7    3,8663

52.9    3,8648

52,0    3,8635

51.2    3,8623

50.3    3,8612

49.4    3,8603

48.5    3,8593

47.6    3,8584

46.7    3,8574

45.8    3,8562

45,0    3,8547

44.2    3,8531

43.4    3,8512

42.6    3,8491

41.8    3,8469

41,0    3,8447

40.2    3,8425

39.4    3,8403

38.6    3,8381

37.8    3,8359

37,0    3,8336

36.2    3,8313

35.4    3,8290

34.6    3,8267

33.7    3,8243

Knopf, Wahrscheinlichkeitsrechnung. II.

00

th.

i»

Om

Wahr-

scheinl.

Lebens

dauer

Mittlere

Lebens- log Am erwartuog

ssIssSssgslssglggsgssssssssssseiSifciLSjl

59

62

66

70

73

78

83

87

92

98

104

110

117

124

132

140

149

159

169

181

193

205

220

236

251

266

284

304

326

351

379

408

439

471

507

34,7

33,8

32,9

32,1

31,2

30,3

29,4

28,6

27,7

26,9

26,1

25,2

24,4

23,6

22,8

22,0

21,2

20,5

19,7

19,0

18,2

17,5

16,8

16,1

15,4

14,7

14,1

13,4

12,7

12,1

11,5

10,9

10,3

9,8

9,3

“ s s g s s § s § “ k g

e#.®WO®-^0)CDO.«00#.^oj^V(BOit8 «Mi

3»22lsl|ll»|IS||Sl|igSS||S5g2SSS8ES

CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CQ CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO co~

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

3264

3084

2900

2714

2525

2334

2142

1949

1759

1572

1390

1217

79

1053

80

899

81

757

82

' 83

628

512

84

409

85

321

86

247

87

186

88

136

89

98

90

68

91

46

92

31

93

94

95

96

97

98

99

o

"oo    "b* "V

oo oo

Bm Gm

180

184

186

189

191

192

193

190

187

182

173

164

154

142

129

116

103

88

74

61

M P K) CO 03 CK HOitOOOOO

t- ŁO

zo O Ci T—I ZÙ CO <M

r. rv fN r*    rv    ’i.

T-lOO^COr-ir-iOOO

o» o*

642

694

756

826

899

977

1064

1154

1246

1351

1462

1579

1708

1848

1996

2154

2316

2480

2651

2831

3015

3200

3387

3577

3766

3954

4140

4321

4497

4664

4822

4967

Wahr-

scheinl.

Lebens

dauer

e» n. 'V « « *» "i <®    «i ®    ® n    ®    " «5. ” ®i -3 -

CDOOt-t-COCÛiOiOiO^rji^COCOCOOOfNiMlMlMNIMT-HrtHHH’HHrtHHr-

Mittlere

Lebens- logAm erwartung

9.4    3,5137

8.9    3,4891

8.5    3,4624

8,0    3,4335

7.5    3,4023 3,3682

6.7    3,3307

6.3    3,2898

6,0    3,2452

5.6    3,1963

5.3    3,1431

5,0    3,0853

4.7    3,0222

4.4    2,9536

4.1    2,8790

3.8    2,7976

3.6    2,7089

3.4    2,6121

3.2    2,5068

3,0    2,3923

2.8    2,2686

2.6    2,1348

2.5    1,9903

2.4    1,8344

2.2    1,6665

2.1    1,4871

2,0    1,2945

1.9    1,0899

1.8    0,8716

1.6    0,6395

1.5    0,3927

1.3    0,1335

1.2    9,8609

1,0    9,5752

Bilden wir den Quotienten A

: A.. =pm, so erhalten

m +1

wir den Bruchteil der m Jahre alten männlichen Personen,

welcher das nächste Jahr erlebt, während Bm: Am = qm den Bruchteil ergibt, welcher in diesem Lebensjahre stirbt. Man nennt pm die Lebens Wahrscheinlichkeit zum Alter m und qm die Sterbens Wahrscheinlichkeit zum Alter m. Es ist qm = 1 -pm.

Unter Cm — 10 000 qm ist die Zahl der männlichen Personen angegeben, welche'von je 10000 im Alter von m Jahren sterben. Pür 12 jährige Knaben ist danach die Sterblichkeit am geringsten.

Behufs bequemerer analytischer Behandlung pflegt man bei vielen Untersuchungen die Werte Am als kontinuierlich ineinander übergehend zu betrachten. Bildet man

dann den Differentialquotienten bei qm liegende Wert —

kraft oder die Sterbensintensität beim Alter m an.

Zur Erläuterung der Tabelle, insbesondere auch der beiden Spalten 5 und 6, seien im folgenden Paragraphen einige leichte Aufgaben behandelt.

Die auf die allerhöchsten, nur selten erreichten Altersjahre sich beziehenden Tabellen werte sind natürlich von geringerer Zuverlässigkeit, weil ihre Ableitung sich nur auf wenige Daten stützen konnte.

so gibt der nahe

dAm

_m

dAm dm

dm

:A die Sterblichkeits-

m

§ 24. Beispiele.

Aufgabe 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen im ersten Lebensjahre stehenden Knaben, ein Alter von 65 Jahren zu erreichen?

Lösung. Von je 10000 im ersten Lebensjahr stehenden Knaben erreichen 3608 das Alter von 65 Jahren.

Aufgabe 2. Wie groß ist für einen 20jährigen die Wahrscheinlichkeit 65 Jahre alt zu werden?

keit ist demnach

= 0,511.

- Es ist daher 3608 die Zahl der günstigen Fälle bei

die gesuchte

3608

10 000 möglichen Fällen, folglich Wahrscheinlichkeit.

Die allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit, daß ein im ersten Lebensjahr stehendes Kind ein Alter von m Jahren erreicht, ist

10000

Lösung. Von 7 0 6 5 J ünglingen im Alter von 2 0 J ahren werden 3608 65 Jahre alt, die gesuchte Wahrscheinlich* 3608

7065

Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit für einen mjäh-rigen, noch mindestens n Jahre zu leben,

ffl+n

An

Von k m-jährigen Personen werden demnach k —yt das Alter von m + n Jahren erreichen und    m

k-k —

A,

i A — A

= k ■.....”* —

Am

yor Erreichung dieses Alters sterben.

1

Ist    , so ist für einen m-jährigen die Wahr-

scheinlichkeit, noch weitere n Jahre zu leben, ebenso groß wie vor dem nten Jahr zu sterben. Man bezeichnet dann n als die wahrscheinliche Lebensdauer des m-jährigen. Für m = 20 ergibt sich m + n — 65,44, folglich

n = 45,44. Die Hälfte der 20-jährigen wird demnach ein Alter von 65,44 Jahren erreichen.

In Spalte 5 der Sterbetafel ist die wahrscheinliche Lebensdauer für die verschiedenen Alter eingetragen.

Aufgabe 3. Welche Wahrscheinlichkeit besitzt ein 20-jähriger, im Alter von 65 Jahren zu sterben?

Lösung. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit setzt sich aus der Wahrscheinlichkeit des 20-jährigen zusammen, 65 Jahre alt zu werden und in diesem Lebensjahr zu sterben.

Die erste Wahrscheinlichkeit ist, wie bereits gefunden,

3608

7l)65 ’

; die zweite Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der

Erwägung, daß für die sämtlichen 3608 Männer, welche von den 10000 nulljährigen Knaben 65 Jahre alt geworden sind, die Möglichkeit vorhanden ist, im nächsten Jahr zu sterben, daß aber nach Ausweis der Tabelle im nächsten Jahr nur 170 sterben. Die Zahl der möglichen Fälle ist also 3608 und die der zutreffenden Fälle 170; folglich die ver-

3608    170

langte Wahrscheinlichkeit P =

170

7065 3608    7065

Kürzer hätte man das Resultat finden können durch die Überlegung: Die 7065 Männer, die von 10000 nulljährigen Knaben nach 20 Jahren noch leben, könnten möglicherweise sämtlich im Alter von 65 Jahren sterben: es sterben aber von ihnen in diesem Alter nur 170, folglich 170 7Ö65~*

Als allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit, daß eine m-jährige Person im Alter von m + nJahren stirbt, gilt

p = m+n

A ufga b e 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ehepaar, wenn der Mann mit 26, die Frau mit 20 Jahren heiratet, die goldene Hochzeit erlebt?

Lösung. Wir wollen bei dieser Aufgabe der Wahrscheinlichkeit sb est immung für verbundene Leben annehmen, daß nur der Tod für die Trennung der Ehe in Betracht komme und daß die Sterblichkeit von Männern und Frauen die gleiche sei.

Wie ohne Schwierigkeit zu finden, ist 1572    2714

6858*' 7065

Allgemein wird dieWahrscheinlichkeit eines für die nächsten n Jahre verbundenen Lebens zweier Personen von m und

; ferner die Wahr-

iu + n

'    Äu

m    (A,

scheinlichkeit, daß nur die erste Person noch nach w Jahren lebt, 1\ = A+u

in \    fi i

keif, daß keine nach n Jahren noch lebt

\x Jahren sein P₁ — ^

fu+n

und die Wahrscheinlich-

Ł±±\ .

Y on k Ehen, bei deren Beginn der Mann die Frau

A

fi Jahre zählte, werden nach n J ahren noch k —

i - A

m+n

.u + n

bestehen. Von k

m+n

ju + n

Am    Aa

Ehen lebt nur der

j

Mann noch, von k —

fi+n

A*

Am

Ehen nur die Frau,

von k \1 --

Frau.

(A+n

Am

m

Ehen weder Mann, noch

Ist i

> —, so ist die Wahrscheinlich*

m    (a,

keit, daß nach n Jahren die Ehe noch besteht, größer, als daß sie nicht mehr besteht. Ist ——^ •

'f* ⁺~n = —, so 2 ’

m    fA,

ist eine längere Dauer der Ehe als n Jahre ebenso wahrscheinlich als eine kürzere Dauer. Eine ^-jährige Dauer wird in diesem Fall daher entsprechend der wahrscheinlichen Lebensdauer als die wahrscheinliche Dauer einer Ehe zwischen einem m -jährigen Mann und einer /i jährigen Frau zu bezeichnen sein. Ist z. B. der Mann bei der Eheschließung 30, die Frau 22 Jahre alt, so findet sich — wieder unter der Annahme gleicher Sterblichkeit für Männer und Frauen — die wahrscheinliche Dauer einer solchen Ehe aus

30+n # ^22 -Hi __

22

^30

Mit Benutzung von Spalte 7 der Sterbetafel erhält man l°S{Ąo+n-A22+n) = 7,3704.

Um n zu finden, sucht man nun in derselben Spalte

deren Summe in

einige Wertepaare log Am und log A der Nähe von 7,3704 liegt. Solche Wertepaare sind

m—8’

togAs + logAo = 7,4104, log As + logAi = 7,3906,

logĄo + log As = 7,3692 ,

log Ai + log As = 7,3464 .

Da, 7,3704 zwischen 7,3906 und 7,3692 liegt, so liegt 30 + n zwischen 59 und 60. Durch eine leichte Interpolation findet man 30 + n = 59,95, folglich n — 29,95.

Man kann demnach 1 gegen 1 wetten, daß eine von einem 30-jährigen Mann und einer 22-jährigen Frau geschlossene Ehe einen Bestand von mindestens 29,95 Jahren haben wird.

Aufgabe 5. Welches ist die wahrscheinliche gemeinsame Lebensdauer dreier 20-jähriger Jünglinge?

Lösung. Aus

\ ^20 /

Y folgt

A — _ A

^'20 + w —    3 /-T- ^20

und mit Hilfe der Sterbetafel

log A

= 3,7488

20 +n

woraus, wieder mit Benutzung der Sterbetafel,

20 + n = 49,2 .

Mit der Wahrscheinlichkeit ^ ist daher der Tod des von den dreien zuerst Sterbenden nach 29,2 Jahren zu erwarten.

Aufgabe 6. Unter der mittleren oder durchschnittlichen Lebenserwartung versteht man den Zeitraum, welcher das arithmetische Mittel ist der von einer Anzahl Personen von einem bestimmten Zeitpunkt ab durchlebten Zeiträume. Es werde die mittlere Lebenserwartung der ra-jährigen Personen gesucht.

Lösung. Von Am Personen sterben im Alter von Nimmt man an, daß die Todesfälle

ra Jahren A — A

m+r

sich gleichmäßig über das ganze Jahr verteilen, so lebt jede der Am — Am+1 Personen im Durchschnitt i Jahr. Die übrigen    Personen leben das ganze Jahr hindurch.

m + 1    m+2

Im Laufe des nächsten Jahres sterben A

Personen. Durchschnittlich wird jede von ihnen ± Jahr leben, die übrigen Am+2 Personen erleben das ganze Jahr. Es wird also durchlebt das Jahr m von

~ A»+i) + A

ra-f-l

Personen,

das Jahr m + 1 von

hA

m +1

— Am+2) + A

m+2

Personen,

das Jahr m -f- n — 1 von

i i C\1

(A

m + n—l

m+n

Personen

Summe der durchlebten Jahre

YAm+J

m -f1

tu -f- 2

+ ---+A

Von den durch Todesfälle sich fortwährend vermindernden Am Personen werden daher in den nächsten n Jahren

in

Jahre

Y Am + Am + 1 + Am +2 + ‘ ' ' +Am+n-\ + Y A durchlebt, im Durchschnitt also von einer Person

+ i A

1    Am4.l+ A

-Tr- +

•J

m +n

ra-f-2

+ ---+A

4.

Jahre.

Die durchschnittliche Zahl von Jahren, welche von einer m-jährigen Person bis zu ihrem Tode noch erlebt wird, bekommen wir, wenn wir die Reihe im Zähler der erhaltenen Formel bis zu Null als letztem Glied fortsetzen; sie ist gleich

4.

1 _|_ Am + 1+A

Spalte 6 der Sterbetafel gibt diese Werte der „mittleren Lebenserwartung¹"' für die verschiedenen Alter.

m — 60 liefert als die mittlere Lebenserwartung eines 60-jährigen Mannes 13,1 Jahre.

Bei Knaben im ersten Lebensjahre kann man auf ein durchschnittlich von ihnen zu erreichendes Alter rechnen von

= 44,9 Jahren.

Die Ausdrücke —P~, d. i. die für ein Kind im ersten

A

:Am, die Sterblichkeitskraft, sowie

zum Alter m\

die wahrscheinliche Lebensdauer und die mittlere Lebenserwartung werden als biometrische Funktionen bezeichnet.

Lebensjahre geltende Wahrscheinlichkeit, das Alter von m Jahren zu erreichen, ferner p , die Lebens Wahrscheinlichkeit zum Alter m; qm, die Sterbens Wahrscheinlichkeit dAm

dm

§ 25. Formeln für die Zahl der Überlebenden.

Mehrfach hat man schon für die Werte Am, die Zahlen der Überlebenden der Sterbetafel, eine mathematische Formel aufzustellen gesucht. Von Moser¹) rührt die Formel her:

(1)

= 1 — a ]/æ — b ]/xd — g ]/æ¹⁷,

wo x₎ wie bisher m, das in Jahren ausgedrückte Alter der Überlebenden angibt und a, 6, c drei Konstante sind, die aus drei Werten Ax der Sterbetafel bestimmt werden müssen.

*) L. F. Moser, Gesetze der Lebensdauer. Königsberg 1839..

Benutzt man hierzu die Werte A₂₀, A₅₀, AQ0 der obigen Deutschen Sterbetafel, so ergibt sich

log a - 9,13597 - 10, log b = 4,56668 - 10, log g = 1,54588 - 10.

Das folgende Täfelchen läßt erkennen, wie weit die nach der Mos ersehen Formel berechneten Wertet, für

X

einige Lebensalter von den Werten der Sterbetafel abweichen. Auch ist in der letzten Spalte das Alter angegeben, welches nach der Sterbetafel von der Anzahl von Männern erreicht wird, die nach der M os er sehen Formel das in der ersten Spalte stehende Alter erreichen.

Alter in Jahren

Ax

Ax

nach derMoser-schen Formel

nach der Sterbetafel

Zu den Werten der 2. Spalte nach der Sterbetafel gehöriges Alter

20,0 31,4 41,3 50,0 58,7 68,0 80,0 82,0 84,6 89,9

Für noch höhere Werte von x liefert die Mosersche Formel negative Werte von Ax.

Gompertz¹) geht bei Aufstellung seiner Formel von der freilich nicht streng richtigen, für die Kinderjahre

20

30

40

50

60

70

80

81

82

83

7065

6655

6186

5534

4556

7065

6709

6260

5534

4381

3081

2714

899

899

633

757

357

628

71

512

³) On the nature of ihe function expressive of tlie law of human mortality. Lond. Transactions (part II), 1825.

jedenfalls nicht zutreffenden Annahme aus, daß die nach dem Alter der Personen geordneten Sterbensintensitäten eine geometrische Reihe bildeten. Er setzt daher

(2)

dA„ t , -

- Tf-

Da Ax abnimmt, wenn x wächst, so ist die linke Seite der Gleichung eine positive Größe, wie das ja auch aus dem Begriff der Sterbensintensität, deren Wert sie angibt, schon hervorgeht. Folglich ist auch b und c positiv. Da ferner die Sterbensintensität, abgesehen von den Kinderjahren, für welche die Formel nicht gilt, bei wachsendem x zunimmt, so muß c > 1 sein.

Aus (2) folgt, wenn unter Log der natürliche Logarithmus verstanden wird,

A—dex.

Loge

— d Log Ax = be dx =

Integriert man von x = n an, wo wegen des Ausschlusses der Kinderjahre n > 15 zu nehmen ist, so kommt

b ^ Loge

Log An — Log Ax =

A-<?-

Log c

Setzt man

■ - - Lo**

wo g offenbar ein echter Bruch sein wird, so bekommt man Log An — Log A = — Log gc'x + Log/M

oder

= Log g*,

t 9c”A h0g A

An

Drei der Sterbetafel entnommene Werte Ax benutzt man zur Bestimmung der Konstanten k,g,c, wie nachher gezeigt werden wird.

Einen ähnlichen Ausdruck wie Gompertz nimmt Makeham¹) für die Sterhensintensität, indem er setzt

(4)

woraus, wenn noch

A9~e”=k

gesetzt wird, folgt

Ax = k-g².

(3)

= « + ²•**•

Zunächst folgt

— d Log Ax= adx + b • cx d x.

Integriert man wieder von x = n an, wo n > 15 sein muß, so kommt

Log An — Log Ax — ax +

Log c

(JC

Log G

cn.

— logs und, wie vorhin, ---

Log c

= - Log^

Setzt man a =

und Ang-°n — k, so ergibt sich

(5)

Ax = k • sx • g°x.

Die 4 Konstanten k, s,g, c lassen sich auf folgende Weise aus 4 Gleichungen für Ax, Ax+t, Ax+2V Ax+st bestimmen.

Durch Logarithmieren von (5) bekommen wTir, wobei wir unter log den gemeinen Logarithmus verstehen wollen,

X log s +

ßX log 9

—    log k    +

= log k    +    [x    +    Ü log .5    -j-    cx + ¹ log g

= log k    +    [x    +    21) log 5    +    cx + 2< log g

—    log k    +    [x    +    31) log s    +    cx + ³¹ log g.

log 4c

log-4 log A log A

(6)

x + 2t x + St

Bildet man die Differenzen je zweier aufeinanderfolgender Gleichungen, wobei nach üblicher Bezeichnungsweise log Ax+l — log Ax— A log Ax gesetzt werden möge, so bekommt man

W - 1 ) log g

—    t log 5 + 6X + ¹ [c* — 1) log g

—    t log s + gx + 2t (g* — 1) log g

A log Ax A log A A log A

= t log 5 + G

¹

erhält, ist für ihn also, wenn er 5048 R. besitzt, gleich

U\J

9200 R.

Besitzt er, abgesehen von den im Ausland befindlichen Waren, weniger als 5048 R., so empfiehlt sich die Versicherung; besitzt er mehr, so empfiehlt sie sich nicht. Zu bemerken ist jedoch, daß dieser Ratschlag sich nicht auf einen einzelnen Fall beziehen kann, sondern nur dann Be-

²

Journal of the Institut of Actuaries, 1860 (January).

(7)

x + 21

Durch nochmaliges Bilden der Differenzen je zweier Gleichungen erhält man

! (8)

A² log Ax — g [g¹ — l)² log g

A²log Ax+l' = cr + t (c‘— l)² log(j •

Dividiert man die letzte Gleichung durch die vorhergehende und nimmt den Logarithmus, so hat man endlich

(9)

log A² log Ax+t — log A² log Ax = t log c.

Aus (9) erhält man o, sodann aus (8) g, aus (7) 5 und aus (6) k.

Nimmt man zur Bestimmung der 4 Konstanten aus der Sterbetafel die Werte A₂₀, A₄₀, A₆₀, A₈₀, sö erhält man

log c = log£ = - 0,0011173, log s =— 0,0014066, log k —    3,883036.

0,035800,

Um beurteilen zu können, wie die Formel (5) nach Einsetzung dieser für die Konstanten gefundenen Werte die Größen Ax der Sterbetafel darstellt, wurden einige weitere Wertep berechnet und wieder ein Täfelchen, wie vorhin, aufgestellt.

Alter in Jahren

Ax

nach der Makeham-schen Formel

Ax

nach der Sterbetafel

Zu den Werten der 2. Spalte nach der Sterbetafel gehöriges Alter

20

7065

30

6723

40

50

6260

5543

60

4381

70

2669

7065

6709

6260

5534

4381

2714

20,0

29,6

40,0

49,9

60,0

80

899

899

70,2

90

37

68

80,0

91,5

Wie schon wegen der größeren Zahl der für die Make-h am sehe Formel zu bestimmenden Konstante zu erwarten war, ist hier ein engerer Anschluß an die Sterbetafel erzielt als durch die Moser sehe Formel; den Anspruch jedoch, mehr als eine für die Interpolation weiterer Werte Ax brauchbare Formel zu sein, kann natürlich keine der Formeln erheben.

l/iOT£/Q^

KRAKÓW

S, 61

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. . Geb. RM. 1.50

Zeitschrift d. Osten. Ingenieur- und Architekten-Vereins. Vierstellige Logarithmentafeln. Von Dr. Max Zacharias, Studienrat am Vereinigten Friedrichs- und Humboldt-Gymnasium in Berlin, und Dr. Paul Meth, Studienrat an der Herderschule in Charlottenburg. Groß-Oktav. 44 Seiten. 1927 . . .

Logarithmische Rechentafeln für Chemiker, Pharmazeuten, Mediziner und Physiker. Gegründet von Professor Dr. F. W. Küster f. Für den Gebrauch im Unterrichtslaboratorium und in der Praxis berechnet und mit Erläuterungen versehen. Nach dem gegenwärtigen Stande der Forschung bearbeitet von Dr. A. Thiel, o. ö. Professor der physikalischen Chemie, Direktor des Physik.-Chem. Instituts der Universität Marburg. Einundvierzigste bis fünfundvierzigste Auflage. Oktav. 216 Seiten.

1935

Geb. RM. 6.80

Fünfstellige Tafeln der Kreis- und Hyperbelfunktionen sowie der Funktionen

e* und e~ * mit den natürlichen Zahlen als Argument. Von Dr.-Ing. Keiichi Hayashi, Professor an der Kaiserlichen Kyushu-Universität Fukuoka-Hakosaki, Japan. Oktav. IV, 182 Seiten. Neudruck 1981.

RM. 9.—

„Der bekannte japanische Verfasser hat aus der Notwendigkeit die Werte beider Funktionsarten gleichzeitig zur Verfügung zu haben, Tafeln berechnet, in denen nicht nur die Hyperbelfunktionen, sondern auch die Kreisfunktionen mit verschieden großen Abstufungen, auf fünf Dezimalstellen angewendet sind. Die Anordnung dieser Tafeln ist äußerst praktisch, Druck und Papier sind ausge-, zeichnet, so daß die Benutzung sich bequem und einfach gestaltet. Für alle, die zahlenmäßige Rechnungen mit den genannten Funktionen häufiger auszuführen haben, ist der Gebrauch der Tafeln als praktisch und zeitsparend zu empfehlen.‘5 Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure.

Mathematische Formelsammlung. Von Professor O. Th. Bürklen f. Vollständig umgearbeitete Neuausgabe von Dr. F. Ringleb. Mit 37 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. 272 Seiten. 1936. (Sammlung Göschen Bd. 51)    .....................Geb. RM. 1.62

Formelsammlung zur praktischen Mathematik. Von Dr. Günther Schulz. Mit 10 Abbild. 1937. (Sammlung Göschen Bd. 1110.) Geb. RM. 1.62

Mathematische Mußestunden. Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur. Von Prof, Dr. Hermann Schubert. Fünfte Auflage, neu bearbeitet von Professor Dr. F. Fitting, München-Gladbach. Oktav. 260 Seiten. 1935. Geb. RM.4.80

Dieses bekannte hier in der 5.Auflage erscheinende Buch wendet sich in erster Linie an den mathematischen Laien, den es in leichtfaßlicher und spannender Form in das Wesen der verbreiteten mathematischen Spiele einführen will. Doch sind auch einzelne Abschnitte auf genommen, welche sich, oft durch kleineren Druck gekennzeichnet, hauptsächlich an den mathematisch interessierten Leser wenden und diesem Anregungen zu eigenen Untersuchungen auf dem Gebiete der Unterhaltungsmathematik geben wollen.

Lehrbuch der Mathematik für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik. Eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie. Von Dr. Georg Scheffers, Geh. Regierungsrat, Prof. a. d. Techn. Hochschule Charlottenburg. Mit 438 Fig. Sechste, verb.Aufl. Neue Ausg. Lex.-Okt. VIII, 743 S. 1932. Geb. RM.15 Dieses vor allem für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik geschriebene Lehrbuch ist in erster Linie für den Selbstunterricht bestimmt und geht daher von dem denkbar geringsten Maß von Vorkenntnissen aies: der Leser braucht nur im Buchstabenrechnen, in der Auflösung von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten und in der niederen Geometrie bewandert zu sein.

Lehrbuch der höheren Mathematik für Universitäten und Technische Hochschulen, bearbeitet nach den Vorlesungen von Dr. Gerhard Kowalewski, o. Prof, an der Technischen Hochschule zu Dresden, o. Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 3 Bände. 1933.

Geb. je RM. 3.80

Jeder Band ist einzeln käuflich........

I. Vektorrechnung und analytische Geometrie.

II. Hauptpunkte der analytischen Geometrie des Raumes. — Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung.

III. Fortsetzung der Differential- und Integralrechnung. — Differentialgleichungen. Differentialgeometrie. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. — Probleme der Variationsrechnung.

„ . . . Klare und anschauliche Darstellung, mathematische Strenge, pädagogisches Geschick in der Verwertung der jeweils geeigneten Methoden (ich weise auf die durchgängige Verwendung der Vektorrechnung hin), Geschlossenheit in

dem Sinn, daß alle Hilfsmittel, die füt die Darstellung nötig sind, in dem Werk selbst bet eit gestellt werden, Allgemeinheit der leitenden Gesichtspunkte und Weite des Blicks sowie Veranschaulichung der vor getragenen Theorien durch geeignete Anwendungen zeichnen es aus.“

Unterrichtsblätter für Mathematik, Nr. 5,1935.

Geb. RM. 1.62

Arithmetik nebst Gleichungen 1. und 2. Grades. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Dritte Auflage, neubearbeitet von Professor P. B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 5 Figuren. 1B2 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 47)

Mengenlehre. Von Dr. E. Kamke, Professor an der Universität Tübingen. Mit 6 Figuren. 160 Seiten. 1928. (Samml. Göschen Bd. 999)

Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 13.50

Mengenlehre. Von Dr. F. Hausdorff, em. o. Professor an der Universität Bonn. Dritte Auflage. Mit 12 Figuren. 303 Seiten. 1935. (Göschens Lehrbücherei Bd. 7)    . .

. . RM. 9.—, geb. RM. 10.50

Einführung in die Axiomatik der Algebra. Von Dr. H. Beck, o. Professor an der Universität Bonn. X, 198 Seiten. 1926. (Göschens Lehrbücherei Bd. 6)    . .

Das vorliegende Buch enthält im wesentlichen den Stoff einer an der Bonner Universität gehaltenen Anfängervorlesung; es erschöpft sich nicht in axiomatischen Dingen, sondern bringt darüber hinaus eine Reihe anderer Gebiete, die der Studierende braucht.

Höhere Algebra. Von Dr. Helmut Hasse, 0. ö. Professor der Mathematik , an der Universität Göttingen.

I: Lineare Gleichungen. Zweite, verbesserte Auflage. 152 Seiten. 1933.

. . Geb. RM. 1.62

(Samml. Göschen Bd. 931)

II: Gleichungen höheren Grades. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 5 Fig. 160 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 932) Geb. RM. 1.62

auf geb aut ist.“

„Es ist dem Verfasser gelungen, in engstem Rahmen das Gebäude der fallgemeinen¹ Algebra vor den Augen des Lesers aufzurichten, einer Algebra, die auf dem Fundament der Definitionen der Ringe, Körper und Integritätsbereiche Zeitschrift für mathem. und naturw. Unterricht.

Aufgabensammlung m höheren Algebra. Von Dr. Helmut Hasse, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Göttingen. 160 Seiten.

1934. (Sammlung Göschen Bd. 1082)

Geb. RM 1.62

Algebraische Theorie der Körper. Von Prof. Dr. Ernst Steinitz. Neu herausgegeben, mit Erläuterungen und einem Anhang: Abriß der Galoisschen Theorie versehen von Dr. Reinhold Baer und Prof. Dr. Helmut Hasse. Oktav. 134 Seiten und 27 Seiten Erläuterungsheft. 1930.

RM. 9.

geb. RM. 10.20

Algebra I : Die Grundlagen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 301 Seiten. 1932. (Göschens Lehrbücherei Bd. 8) Geb. RM. 11.50

Algebra II: Theorie der algebraischen Gleichungen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 5 Figuren. VIII, 261 S. 1933. (Göschens Lehrbücherei Bd. 9)

Geb. RM. 9.50

Band I enthält die Grundbegriffe, es folgt ein Kapitel über den polynomischen und den Taylor sehen Satz und der für den Ingenieur wichtige Abschnitt über Determinanten. Anschließend folgen Kapitel über symmetrische Funktionen, Teilbarkeit und über die Existenz von Wurzeln. Band II ist der Gleichungstheorie geividmet.

Praxis der Gleichungen. Von Dr. C. Runge, Professor an der Universität Göttingen. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 8 Figuren. V, 172 Seiten. 1921. (Göschens Lehrbücherei Bd. 2) . . . . RM. 6.—, geb. RM. 7.— Eine erschöpfende Darstellung der Verfahren zur numerischen Auswertung der linearen und nichtlinearen Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten. Dient das Werk auch in erster Linie den Bedürfnissen des praktischen Rechnens, so findet doch auch der Lehrer viele wertvolle Anregungen darin.

Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Vierte, neubearbeitete und erweiterte Auflage von Professor P.B. Fischer, Studienrat am Gymnasium in Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. 139 Seiten. Neudruck. 1931. (Samml. Göschen Bd. 48) Geb. RM. 1.62

Gruppentheorie. Von Dr. Ludwig Baumgartner in München. Mit 8 Figuren. 120 Seiten. 1921. (Samml. Göschen Bd. 837).....Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Determinanten. Von Studienrat Professor Paul B. Fischer. Dritte, verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 136 Seiten. 1932. (Samml. Göschen Bd. 402)

. . RM. 14.

geb. RM. 15.50

Einführung in die Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten. Von Dr. Gerhard Kowalewski, o. Professor an der Technischen Hochschule in Dresden. Zweite, verbesserte Auflage. Groß-Oktav. IV, 304 Seiten. 1925 . .

„Die Kowalewskische Darstellung des umfangreichen Gebietes zeichnet sich durch die anschauliche Kraft und Klarheit der Sprache vor anderen aus. Die , Beschäftigung mit diesem Buche gewährt neben dem wissenschaftlichen Gewinn einen reichen ästhetischen Genuß.“    Schulwart.

Grundlehren der neueren Zahlentheorie. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Dritte, neu durchgesehene Auflage. Herausgegeben von Dr. Robert Haußner, ord. Professor an der Universität Jena. Mit 10 Figuren. XVI, 252 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 3) RM. 9.50, geb. RM. 10.50 Der erste Abschnitt umfaßt die klassische Theorie der rationalen Zahlen, der zweite eine Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen, deren verschiedene Methoden am Beispiel des quadratischen Körpers zu einem harmonischen, in sich geschlossenen Bau zusammengefügt werden.

Synthetische Zahlentheorie. Von Dr. Rudolf Fueter, o. Professor an der Universität Zürich. Zweite, verbesserte Auflage. VIII, 277 Seiten. 1925.

(Göschens Lehrbücherei Bd. 4)......RM. 10.—, geb. RM. 12.—

Die vorliegende zweite Auflage des bewährten Lehrbuches weist gegen die erste zahlreiche Änderungen und Ergänzungen auf.

RM. 2.50 ! von den

Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Oktav. VIII, 160 Seiten. 1919 .....

In der vorliegenden Abhandlung gibt der Verfasser eine Übersicht Beweisverfahren und den Theorien, welche Euler, Legendre, Gauß, Dirichlet, Kummer und andere Forscher in ihren Studien über das allgemeine Fermatproblem angewandt und entwickelt haben.

Irrationalzahlen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. VIII, 186 Seiten. 1921. (Göschens Lehrbücherei Bd. 1)

RM. 6.—, geb. RM. 7.™

Punkt- und Vektor-Rechnung. Von Dr. Alfred Lotze, Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule Stuttgart. Mit 7 Figuren. 192 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 13) . . . RM. 12.—, geb. RM. 13.—

RM. 3 —

Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis. Von Professor Dr. Hermann Weyl. Unveränderter Neudruck. V, 84 Seiten. 1932.

Differentialrechnung. Von Prof. Dr. A. Wlttlng, Oberstudienrat i. R. in Dresden. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 94 Figuren und 189 Beispielen. 191 Seiten. 1936. (Samml. Göschen Bd. 87) . . Geb. RM. 1.62

Integralrechnung. Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat i. R. in Dresden. Mit 63 Figuren und 190 Beispielen. 176 Seiten. 1933. (Samml, Göschen Bd. 88)

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung.

Professor Dr. A. Witting. Mit 58 Figuren und 405 Beispielen und Aufgaben. 136 Seiten. 1935. (Samml. Göschen Bd. 146)    . Geb. RM. 1.62

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung. Von Prof. Dr. A. Witting, Mit 32 Figuren und 305 Beispielen. 118 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 147) . .

Elementare Reihenlehre. Von Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 4 Figuren im Text. 136 Seiten. 1926. (Samml.

Geb. RM. 1.62

Komplexe Reihen nebst Aufgaben über reelle und komplexe Reihen. Von

Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 3 Figuren im Text. 140 Seiten. 1931. (Samml. Göschen Bd. 1027) . Geb. RM. 1.62 Fouriersche Reihen. Von Dr. W. Rogosinski, a. o. Professor an der Universität Königsberg i. Pr. Mit 4 Figuren. 135 Seiten. 1930. (Samml.

Geb. RM. 1.62

Lebesguesche Integrale und Fouriersche Reihen. Von Professor Dr. Ł. Schlesinger und Dr. A. Pleßner. Groß-Oktav. VIII, 229 Seiten. 1926.

geb. RM. 16.—

Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik. Von Dr. Josef Lense, o. ö. Professor der Technischen Hochschule München. Mit 30 Abbildungen. 178 Seiten. 1933. . .

Lehrbuch der Differentialgleichungen. Von Dr. Heinrich Liebmann, o. Professor an der Universität Heidelberg. Groß-Oktav. VI, 226 Seiten.

geb. RM. 8.—

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. Zweite, verbesserte Auflage. 159 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 920)

Geb. RM. 1.62

Göschen Bd. 943)

Göschen Bd. 1022)

Mit 31 Figuren. 1901

Geb. RM. 1.62

Von

. . Geb. RM. 1.62

RM. 14.

. . Geb. RM. 9.50

RM. 6

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, völlig umgearb. Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 197 Seiten. 1927. (Göschens Lehrbücherei Bd. 10)

geb. RM. 10.50

Partielle Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. 159 Seiten.

Geb. RM. 1.62

RM. 9.

1928. (Samml. Göschen Bd. 1003)

Partielle Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, umgearbeitete Auflage. Mit 8 Figuren. VIII, 228 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 14)

RM. 11.

geb. RM. 12.—

In diesem einführenden Lehrbuch, das seine Eigenart ganz aus dem bewährten Programm von „Göschens Lehrbüchereiil herleitet, werden sowohl lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, wie sie in der mathematischen Physik Vorkommen, als auch nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung behandelt, sowohl Randwert- als auch Anfangswertprobleme, durchweg unter Beschränkung auf zwei unabhängige V er ander liehe ; es wird auch eine Einführung in die häufig benutzte Theorie der Integralgleichungen gegeben.

Geb. RM. 1.62

Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Von Professor Dr. G. Hoheisel. 148 Seiten. 1933. (Sammlung Göschen Bd. 1059)

Integralgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. 136 Seiten. 1936. (Samml. Göschen Bd. 1099).................Geb. RM. 1.62

Grundzüge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten. Von Dr. H. Dölp. Neu bearbeitet von Dr. Eugen Netto, 18. Auflage. Oktav. 214 Seiten. 1935. (Verlag von Alfred Töpelmann.

Berlin W 35.)

RM. 1.95

Das Bändchen stellt eine elementare Aufgabensammlung zur Differential- und Integralrechnung mit eingefügten Erläuterungen dar. Der erste Abschnitt, Differentialrechnung für Funktionen einer und mehrerer Veränderlichen, bringt die Differentiation der elementaren Funktionen, einschließlich implizite Funktionen, die Ermittlung der Werte unbestimmter Formen, Maxima und Minima, Taylor -sche Reihe. Der zweite Abschnitt, Integralrechnung, führt das Integral als unbestimmtes ein, entwickelt die Intégrations formein im Bereiche der elementaren Funktionen und geht dann kurz auf das bestimmte Integral ein. Schließlich werden noch verhältnismäßig ausführlich geometrische Anwendungen der Infinitesimalrechnung gebracht: Tangentenbestimmung, singuläre Punkte, Krümmung; Quadratur, Rektifikation, Kubatur.

Integralgleichungen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, o. Professor an der Technischen Hochschule Dresden. Mit 11 Figuren. Groß-Oktav. 302 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 18)    . . RM. 15.

Funktionentheoretische Vorlesungen. Von Heinrich Burkhardt. Neu herausgegeben von Dr. Georg Faber, o. Professor an der Technischen Hochschule in München.

I. Band 1. Heft. Dritte, umgearbeitete Auflage.    Groß-Oktav. X,

182 Seiten. 1920 . .

I.    Band 2. Heft. Fünfte, umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. X, 286 Seiten. 1921 . . .

II.    Band. Dritte, vollständig umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. VI,

444 Seiten. 1920 ............RM. 14.—, ge b. RM. 15.50

Das Buch will in einer für Studierende geeigneten Form den Zugang zu den Funktionentheorien von Weierstraß und von Riemann zugleich erschließen.

geb. RM. 16.50

. . RM. 6.

. . RM. 9.

geb. RM. 7.20

geb. RM. 10.50

Elemente der Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, o. Prof, an der Universität Tübingen. Mit 23 Fig. 144 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 1109.).....................Geb. RM. 1.62

Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, o. Professor an der Universität Tübingen.

. . Geb. RM. 1.62

Erster Teil: Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. Mit 8 Figuren. Fünfte, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 668) . .

Geb. RM. 1.62

Zweiter Teil: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. Mit 7 Figuren. Vierte, verbesserte Auflage. 138 Seiten. 1931. (Samml. Göschen Bd. 703)

„Die beiden vollständig neubearbeiteten Bände seien allen Studierenden der Mathematik als Muster klarer und strenger Darstellung aufs wärmste empfohlen.“ Monatsschrift für Mathematik und Physik.

Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, o. Professor an der Universität Tübingen.

Erster Teil: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. Zweite, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1931. (Samml. Göschen Bd. 877)

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Zweiter Teil: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie. 143 Seiten. 1928. (Samml. Göschen Bd. 878)

Einführung in die konforme Abbildung. Von Dr. Ludwig Bieberbach, o. ö. Professor an der Universität Berlin. Dritte Auflage. Mit 42 Zeichnungen. 136 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 768). Geb. RM. 1.62

Automorphe Funktionen. Von Professor Dr. L. Schlesinger. X, 205 Seiten.

. . RM. 13.

geb. RM. 14.50

1924. (Göschens Lehrbücherei Bd. 5) .... UM. 8.—, geb. RM. 9.20 Elliptische Funktionen. Von Dr. R. König, o. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. M. Krafft, a. o. Professor an der Universität Marburg i. H. Mit 4 Figuren. 263 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 11)

Elliptische Funktionen. Von Dr. Karl Boehm, Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe.

I. Teil: Theorie der elliptischen Funktionen aus analytischen Ausdrücken entwickelt. Mit 11 Figuren. Oktav. XII, 356 Seiten, Neudruck 1930. (Samml. Schubert Bd. 30) . . Geb. RM. 20.—

II. Teil: Theorie der elliptischen Integrale. Umkehrproblem. Mit 28 Figuren. Oktav. VII, 180 Seiten. 1910. (Samml. Schubert Bd. 61)

Geb. RM. 7.80

Unterr.-Blätter f. Mathematik.

„ ... Für denjenigen, der die Grundzüge der Theorie der analytischen und elliptischen Funktionen kennt, ein hoher Genuß, den harmonischen Aufbau der ganzen Theorie vor sich entstehen zu sehen. Vom Anfänger, der zunächst unmöglich die Notwendigkeit eines so breiten Unterbaus einsehen kann, wird ein hohes Maß von Selbstverleugnung und ein blindes Vertrauen in die Autorität des Lehrbuches verlangt, das zuguterletzt durch eine reiche Ernte von neuœn Erkenntnissen gebührend belohnt wird.“

RM. 3.50, geb. RM. 4.—

Einführung in die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen. Von Heinrich W. E. Jung, o. ö. Professor an der Universität Halle-Wittenberg. Mit 35 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VI, 246 Seiten. 1923

Potentialtheorie. Von Dr. W. Sternberg.

I. Die Elemente der Potentialtheorie. Mit 5 Figuren. 136 Seiten. 1925.

(Samml. Göschen Bd. 901)    ...........Geb. RM. 1.62

II. Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie. Mit 1 Figur. 133 Seiten.

Geb. RM. 1.62

Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen. Von Professor Dr. A. Wangerin in Halle a. d. S.

I. Teil: Mit 46 Figuren. VIII, 255 Seiten. Unveränderter Neudruck.

1922. (Samml. Schubert Bd. 58)    . .

II. Teil: Mit 17 Figuren. VIII, 286 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd.59)

Geb. RM. 4.—

Numerische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 2 Figuren. 116 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 864)

Die Darstellung ist sehr übersichtlich und so elementar als möglich gehalten. Sie setzt nur die Kenntnisse der Grundgesetze der Differential- und Integralrechnung voraus und wendet sich an Mathematiker, Physiker und vor allem an Ingenieure, für die das Buch eine gute Anleitung und Einführung ist. Graphische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 53 Figuren.

142 Seiten. 1920. (Samml. Göschen Bd. 801)

Methoden der praktischen Analysis. Von Professor Dr. Fr. A. Willers a. d. Bergakademie Freiberg (Sachsen). Mit 132 Figuren. 344 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 12) . .

Der Band gibt dem Mathematiker einen Einblick in die Anwendungsmöglichkeiten der Methoden und macht den Naturwissenschaftler und Ingenieur mit den theoretischen Grundlagen bekannt.

Praktisches Zahlenrechnen. Von Professor Dr.-Ing. P. Werkmeister in Dresden. Mit 60 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 405)

Mathematische Instrumente. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 68 Figuren. 144 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 922) . . Geb. RM. 1.62

1926. (Samml. Göschen Bd. 944)

. . Geb. RM. 4.—

. . Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

. . RM. 20.

geb. RM. 21.50

Geb. RM. 1.62

Geodäsie (Landesvermessung u. Erdmessung). Von Prof. Dr.Gustav Förster. Mit 33 Figuren. 122 Seiten. 1927. (Samml.Göschen Bd.102) Geb. RM. 1.62

Vermessungskunde. Von Dr.-Ing. P. Werkmeister, o. Professor an der Technischen Hochschule Dresden.

I: Stückmessung und Nivellieren. Mit 146 Figuren. Fünf te Auflage.

163 Seiten. 1932. (Samml. Göschen Bd. 468) . . . Geb. RM. 1.62 II: Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 93 Figuren. Dritte Auflage. 148 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 469) . . . Geb. RM. 1.62 III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Topographie. Mit 63 Figuren. Dritte Auflage. 144 Seiten.

1934. (Samml. Göschen Bd. 862)

Geb. RM. 1.62

. . RM. 6.50, geb. RM. 7.80

Grundlagen der Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Herausgegeben von Dr. W. Schwan. Mit 77 Figuren. 143 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 17)    . .

Inhalt: I. Gleichheit, Ordnung und Stetigkeit. II. Die Messung durch Zahlen. (Streckenmessung, Winkelmessung, Flächenmessung.) III. Die projektive Geometrie in der Ebene. (Der Fundamentalsatz. Analyse des Fundamentalsatzes. Beweis des Fundamentalsatzes.) IV. Die projektive Geometrie im Raume. (Der Fundamentalsatz. Der Desarguessche Satz. Die Koordinatengeometrie.) V. Künstliche Geometrien.

Grundzüge der ebenen Geometrie. Von Professor Dr. F. Bohnert in Hamburg. Mit 220 Figuren. VIII, 223 Seiten. 1915. (Samml. Schubert Bd. 2)

Geb. RM. 3.90

. . Geb. RM. 4.40

Ebene und sphärische Trigonometrie. Von Prof. Dr. F. Bohnert in Hamburg. Zweite Auflage. Dritter Neudruck. Mit 63 Figuren. VIII, 167 Seiten. 1919. (Samml. Schubert Bd. 3) . .

Das Buch enthält die Grundbegriffe der Trigonometrie. Die beigegebenen Beispiele sollen den unentbehrlichen Übungsstoff liefern und gleichzeitig einen Überblick über die vielfache Verwendbarkeit und Bedeutsamkeit der Trigonometrie gewähren. Das letzte Kapitel bietet die wichtigsten Anwendungen der Sphärik auf die mathematische Geographie.

Geb. RM. 1.62

Ebene und sphärische Trigonometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Mit 59 Figuren. Vierte Auflage. 171 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 99)

„Der Verfasser hat seine Aufgabe, in dem engen Rahmen nicht bloß alle wichtigen Formeln mitzuteilen, sondern auch die Grundgedanken, auf welchen dieselben beruhen, klar darzustellen und den Zusammenhang derselben, ihre Bedeutung und Anwendbarkeit hervorzuheben, vortrefflich gelöst.“

Archiv der Mathematik und Physik.

. . Geb. RM. 11.20

Einführung in die analytische Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Kowalewski. Mit 112 Figuren. Dritte, unveränderte Auflage. Lexikon-Oktav. VIII, 360 Seiten. 1929    . .

Das aus Vorlesungen entstandene Buch ist namentlich zum Gebrauch für Studierende bestimmt.

Lehrbuch der analytischen Geometrie. Von Professor Dr. Friedrich Schur. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 81 Figuren. Groß-Oktav,

XII, 248 Seiten. 1912................Geb. RM. 7.70

Analytische Geometrie der Ebene. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Zweite, verb. Auflage. Mit 60 Figuren. 164 Seiten.

1934. (Samml. Göschen Bd. 65)...........Geb. RM. 1.62

Die Darstellung beginnt elementar und setzt nur die nötigsten planimetrischen und algebraischen Schulkenntnisse voraus. Es ist nicht nur die allgemeine Theorie der analytischen Gebilde ersten und zweiten Grades vollständig gegeben, sondern auch eine größere Zahl von speziellen Sätzen vornehmlich über die Kegelschnitte.

Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene mit den vollständigen Lösungen. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 22 Figuren im Text. 139 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 256)

Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

Analytische Geometrie des Raumes. Von Dr. Robert Haußner o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 36 Figuren im Text. 132 Seiten. 1935. (Samml. Göschen Bd. 89) . . .

Elementargeometrie der Ebene und des Raumes. Von Professor Dr. Max Zacharias, Studienrat in Berlin. Mit 196 Figuren im Text. 252 Seiten.

1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 16) . . . RM. 13.—, geb. RM. 14.50 Die Elementar geometrie wird nicht vom Standpunkte des Schulunterrichts, sondern von dem der Wissenschaft aus behandelt. Ausgangspunkt ist das (etwas modifizierte) Hilbertsche A xiomensystem. In der Darstellung treten zwei Momente in den Vordergrund: die geschichtliche Entwicklung und die prinzipielle Begründung der einzelnen Gebiete.

Koordinatensysteme. Von Professor Paul B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 128 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 507) . . . Geb. RM. 1.62 Nichteuklidische Geometrie. Von Professor Dr. Richard Baldus. Mit 71 Figuren. 152 Seiten. 1927. (Samml. Göschen Bd. 970) . . Geb. RM. 1.62

Nichteuklidische Geometrie. Von Prof. Dr. H. Liebmann in Heidelberg. Mit 40 Figuren. Dritte Auflage. 150 Seiten. 1923. RM. 6.—, geb. RM. 7.— Das vorliegende Buch will, möglichst wenig an mathematischen Kenntnissen voraussetzend, in die nichteuklidische Geometrie einführen, und zwar nur auf einem Gebiete — dem der Ebene —, auf diesem aber gründlich dargestellt.

Kreis und Kugel. Von Dr. Wilhelm Blaschke, o. Prof. a. d. Univ. Hamburg.

Mit 27 Fig. im Text. Groß-Oktav. X, 169 S. 1916. RM. 4.40, geb. RM. 5.50 Algebraische Kurven. Neue Bearbeitung von Prof. Dr. H. Wieleitner, Oberstudiendirektor in München.

Erster Teil: Gestaltliche Verhältnisse. Mit 97 Figuren. Durchgesehener Neudruck. 146 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 435) Geb. RM. 1.62 Zweiter Teil: Allgemeine Eigenschaften. Mit 35 Figuren. Neudruck.

123 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 436).....Geb. RM. 1.62

Liniengeometrie mit Anwendungen. Von Professor Dr. Konrad Zindler in Innsbruck. I. Teil. Mit 87 Figuren. Neudruck. VIII, 380 Seiten. 1928.

(Samml. Schubert Bd. 34).............Geb. RM. 18.—

II. Teil. Mit 24 Figuren. VII, 252 Seiten. 1906. (Samml. Schubert Bd. 51)

Geb. RM. 9.50

Projektive Liniengeometrie. Von Dr. Robert Sauer, Prof, an der Technischen Hochschule Aachen. Mit 36 Abbild. Groß-Oktav. 1937. (Göschens Lehrbücherei Bd. 23.) Im Druck.

Geb. RM. 1.62

Projektive Geometrie. Von Dr. H. Timerding, Prof, an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit zahlreichen Figuren. 1937. (Samml. Göschen Bd. 72.)

Geb. RM. 1.62

Aufgabensammlung zur projektiven Geometrie. Von Dr. H. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit 65 Figuren. 140 Seiten. 1933. (Sammlung Göschen Bd. 1060).

Geometrische Transformationen. Von Dr. Karl Doehlemann, weil. Professor an der Technischen Hochschule München. Zweite Auflage, herausgegeben von Dr. Wilhelm Olbrich, Professor an der Hochschule für Bodenkultur in Wien. Mit 89 Figuren im Text und 4 Abbildungen. 254 Seiten. 1930. ( Göschens Lehrbücherei Bd. 15) RM. 13.—, geb. RM. 14.50 Vorlesungen über allgemeine natürliche Geometrie und Liesche Transformationsgruppen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, o. ö. Professor der reinen Mathematik an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 16 Figuren. Groß-Oktav. 280 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 19)

RM. 15.50 geb. RM. 17.—

Affine Differentialgeometrie. Von Dr. Erich Salkowski, o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin. Groß-Oktav. Mit 23 Figuren. 200 Seiten. 1934. (Göschens Lehrbücherei Bd. 22) ... .

. . Geb. RM. 10.—

Die vorliegende Darstellung ist aus Vorlesungen hervor gegangen, die der Verfasser an den Technischen Hochschulen Hannover und Berlin gehalten hat. Das Ziel dieses neuen Bandes von Göschens Lehrbücher ei ist, den Anfänger, dem nur die Grundtatsachen der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie geläufig sein müssen, mit den Begriffsbildungen der Tensorrechnung vertraut zu machen, die für das Verständnis der neueren differential-geometrischen und mathematischphysikalischen Forschung unentbehrlich sind. Dabei wurde darauf Bedacht genommen, von den einfachsten, allgemein bekannten Tatsachen ausgehend und in dauernder Verbindung mit der geometrischen Anschauung den Formelapparat der Ricci-Rechnung allmählich so zu entwickeln, daß er dem Lernenden nicht als ein analytisches Kunststück entgegentritt, sondern sich als ein naturgemäßes Hilfsmittel der geometrischen Forschung auf baut. Aus diesem Grunde wurde die Untersuchung auf die einfachsten Gegenstände beschränkt und grundsätzlich nur zweidimensionale analytische Gebilde betrachtet.

. . RM. 13.—, geb. RM. 14.50

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie. Von Dr. Georg Scheffers, Geh. Reg.-Rat, Professor an der Technischen Hochschule Charlottenburg. I. Mit 107 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. XII, 482 Seiten. 1923 . . .

II. Mit 110 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. XI, 582 Seiten. 1922.

RM. 15.

geb. HM. 16.50

Theorie der Raumkurven und krummen Flächen. Von Oberstudiendirektor Prof. Dr. V. Kommereil in Tübingen und Prof. Dr. K. Kommereil in Tübingen. I: Krümmung der Raumkurven und Flächen. Vierte Auflage. Mit 38 Figuren. 205 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 20)

Geb. RM. 10.—

. . RM. 5.—, geb. RM. 6.—

II: Kurven auf Flächen. Spezielle Flächen. Theorie der Strahlensysteme. Vierte Auflage. Mit 22 Figuren. 1931 . . Geb. RM. 10.— Vektoranalysis in ihren Grundzügen und wichtigsten physikalischen Anwendungen. Von Dr. Arthur Haas, a. o. Professor an der Universität Wien. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 37 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VI, 147 Seiten. 1929 ....

Vektoranalysis. Von Dr. Siegfried Valentiner, Professor für Physik an der Bergakademie Clausthal. Mit 16 Figuren. Vierte, umgearbeitete Auflage. 136 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 354) . . . Geb. RM. 1.62 Darstellende Geometrie. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena.

Geb. RM. 1.62

Erster Teil: Elemente; Ebenflächige Gebilde. Vierte, verbesserte Auflage. Mit 110 Figuren im Text. 207 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 142)

Geb. RM 1.62

Zweiter Teil: Perspektive ebener Gebilde; Kegelschnitte. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 88 Figuren im Text. 168 Seiten.

1930. (Samml. Göschen Bd. 143)

Dritter Teil: Zylinder, Kegel, Kugel, Rotations- und Schraubenflächen, Schattenkonstruktionen, Axonometrie. Von Dr. Robert Haußner, o.ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. Wolfgang Haack, Privatdozent für Mathematik an der Technischen Hochschule Danzig-Langfuhr. Mit 65 Figuren im Text. 141 Seiten. 1931. (Samml. Göschen

Bd. 144)    .................... Geb. RM. 1.62

Vierter Teil: Freie und gebundene Perspektive, Photogrammetrie, kotierte Projektion. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Univ. Jena, und Dr. Wolfgang Haack, Privatdozent für Mathematik an der Techn. Hochschule Danzig-Langfuhr. Mit 76 Figuren im Text. 144 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1063). Geb. RM. 1.62 Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von Dr. Karl Rohn, Geh. Rat, weiland Professor an der Universität Leipzig, und Dr. Erwin Papperitz, Geh. Rat, Professor an der Bergakademie in Freiberg i. Sa. Drei Bände.

Groß-Oktav. I. Orthogonalprojektion. Vielflache, Perspektivität ebener Figuren, Kurven, Zylinder, Kugel, Kegel, Rotations- und Schraubenflächen. Vierte, erweiterte Auflage. XX, 502 Seiten. Mit 351 Figuren. Neudruck 1932..................Geb. RM 18.90

II.    Axonometrie, Perspektive, Beleuchtung. Vierte, umgearbeitete Auflage. VI, 194 Seiten. Mit 118 Figuren. Neudruck. 1932. Geb. RM. 8.55

. . .Geb. RM. 12.—

III.    Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, Regel-, abwickelbare und andere Flächen. Flächenkrümmung. Vierte, unveränderte Auflage. X, 334 Seiten. Mit 157 Figuren. 1923 . .

Darstellende Geometrie. Von Theodor Schmid, o. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien. I. Teil: Eckige Körper, Kugel, Zylinder, Kegel, Plankurven und Raumkurven mit den zugehörigen Torsen im Normalrißverfahren und in orthogonaler Axonometrie. Dritte Auflage. Mit 170 Figuren. 283 S. 1922. (Samml. Schubert Bd. 65) Geb. RM. 6.— II. Teil: Schiefe und zentrale Projektion. Dreh-, Rohr-, Schrauben- und Regelflächen. Geländedarstellung, Kartenprojektion, Nomographie. Zweite Auflage. Mit 163Fig. 340S. 1923.(Samml. Schubert Bd.66) Geb.RM. 7.50

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von Dr. Otto Knopf, o. Professor der Astronomie an der Universität Jena. I. 112 Seiten. 1923. II. Mit 10 Figuren. 112 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 508 und 871) Geb. je RM. 1.62 Eine knappe, klare Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, deren Wert für die mathematischen Grundlagen des Versicherungswesens, für die statistische Mechanik und neuerdings auch für das Fernsprechwesen auf der Hand liegt.

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von

Wilhelm Weitbrecht, Professor der Geodäsie in Stuttgart. Zweite, veränderte Auflage.

I.    Teil: Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln. Mit 8 Figuren. Neudruck. 127 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 302) Geb. RM. 1.62

II.    Teil: Zahlenbeispiele. Mit 8 Figuren. Neudruck. 141 Seiten. 1920.

(Samml. Göschen Bd. 641)

Geb. RM. 1.62

Jeder der beiden Teile bildet ein das ganze Gebiet umfassendes, für sich geschlossenes Ganzes. Der erste enthält die Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln, während im zweiten die fertigen Ergebnisse dieser Ableitungen zusammengestellt und auf hauptsächlich dem Gebiet der Geodäsie entnommene Zahlenbeispiele angewendet werden.

Versicherungsmathematik. Von Dr. Friedrich Boehm, Professor an der Universität München.

I.    Elemente der Versicherungsrechnung. 144 Seiten. 1925. (Sammlung

Göschen Bd. 180)..................Geb RM. 1.62

II.    Lebensversicherungsmathematik. Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 171 Seiten. 1926. (Samml. Göschen

Bd. 917)

Geb. RM. 1.62

Der erste Band behandelt den Zins als erste, die Sterbetafel als zweite Rechnungsgrundlage, die Prämienreserve und die Versicherung verbundener Leben. Der zweite Band enthält außer einer eingehenden Behandlung der Lebensversicherungsmathematik eine Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung.

Politische Arithmetik. (Zinseszinsen-, Renten- und Anleiherechnung.) Von Dr. Emil Foerster, Honorardozent an der Technischen Hochschule in Wien. Mit 7 Figuren. 155 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 879)

Geb. RM. 1.62

In 6 Kapiteln wird der Reihe nach die einfache Zinsenrechnung, die Zinseszinsenrechnung für Einzelkapitalien und Renten, das Rechnen mit vorschüssigen Zinsen, die Schuldentilgung sowie die Kurs- und Rentabilitätsrechnung behandelt.

Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik. Von Professor Dr. M.Pirani. Zweite, verbesserte Auf läge, besorgt durch Dr. J.Runge. Mit 71 Abbildungen. 149 Seit. 1931. (Samml. Göschen Bd. 728) Geb. RM. 1.62

Von der einfachen Darstellung von Größen mit unbekanntem Zusammenhang in Form von Kurven oder Skalen ausgehend, geht der Verlasset zur Darstellung von Größen bekannter A bhängigkeit (Funktionsskalen, insbesondere logarithmische projektive Teilung) über und bespricht dann die Aufstellung von Rechentafeln namentlich mit der Methode der fluchtrechten Punkte oder mit Hilfe mehrerer gekreuzter Linien.

Graphische Statik mit besonderer Berücksichtigung der Einflußlinien. Von Dipl.-Ing. Otto Henkel, Bauingenieur und Studienrat an der Baugewerkschule in Erfurt. 2 Teile. 1929. (Samml. Göschen Bd. 603 u. 695).

Geb. RM. 1.62

Statik. I. Teil: Die Grundlagen der Statik starrer Körper. Von Professor Dr.-Ing. Ferd. Schleicher in Hannover. Mit 47 Abbildungen. 143 Seiten,

1930. (Samml. Göschen Bd. 178)..........Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

II. Teil: Angewandte (techn.) Statik. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Mit 61 Abbildungen. Sechster Neudruck. 149 Seiten. 1922. (Samml. Göschen Bd. 179) . . .

RM. 9.—, geb. RM. 10.—

Ballistik. Von Dr. Theodor Vahlen, o. ö. Professor der reinen und angewandten Mathematik in Berlin. Mit 53 Abbildungen. Groß-Oktav. XII, 231 Seiten. 1922

. . Geb. RM. 1.62

Getriebelehre I: Geometrische Grundlagen. Von Dipl.-Ing. P. Grodzinski u. Dr.-Ing. H. Polster. Mit 127 Figuren. 138 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1061)....

Getriebelehre I!: Angewandte Getriebelehre. Von Dipl.-Ing. P. Grodzinski. Mit 196 Figuren. 142 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1062).

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Dynamik. Von Prof. Dr. Wilhelm Müller. I: Dynamik des Einzelkörpers. Mit 70 Figuren. 160 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 902) Geb. RM. 1.62 II: Dynamik von Körpersystemen. Mit 51 Figuren. 137 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 903)

Flugtechnisches Handbuch. Unter Mitarbeit zahlreicher Fachleute herausgegeben von Roland Eisenlohr.

4 Bände. I: Aerodynamik und Flugzeugbau. II: Flugzeugführung. Luftverkehr und Segelflug. III: Triebwerk und Sondergebiete des Flugwesens. IV : Flugwetterkunde, Ballone, Luftschiffe.

Jeder Band kart. RM. 7.50

. . RM. 15.

geb. RM. 16.50

Aerodynamik des Fluges. Eine Einführung in die mathematische Tragflächentheorie. Von Professor Dr. Harry Schmidt. Mit 81 Figuren. VII, 258 Seiten. 1929 . . .

Geb. RM. 1.62

Festigkeitslehre. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Mit 56 Figuren und 1 Tafel. Achter Neudruck. 127 Seiten und 1 Tafel. 1923. (Samml. Göschen Bd. 288)

. . Geb. RM. 1.62

Hydraulik. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Neudruck. Mit 45 Figuren. 156 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 397) . .

Das Buch enthält eine Darstellung der Hydrostatik und bringt aus der Hydrodynamik: Ausfluß des Wassers aus Gefäßen; Überfall des Wassers über Wehre; Die Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen; Die Bewegung des Wassers in Röhren mit konstantem Querschnitt; Stoß eines zylindrischen oder prismatischen Wasserstrahls auf eine Zylinder fläche.

Elastizitätslehre für Ingenieure. Von Professor Dr.-Ing. Max Enßlin an der Höheren Maschinenbauschule Eßlingen. 2 Bde. (Samml. Göschen Bd. 519 und 957)................Geb. je RM. 1.62

Band 1 bespricht die Grundlagen der Elastizitätslehre sowie Allgemeines über Spannungszustände, Zylinder, ebene Platten, Torsion und gekrümmte Träger, Band II gibt eine Einführung in die Methoden zur Berechnung det statisch unbestimmten Konstruktion des Bau- und Maschineningenieurs.

Einführung in die geometrische Optik. Von Dr. W. Hinrichs, Berlin-Wilmersdorf. Mit 56 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 143 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 532)    . .

. . Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

Technische Tabellen und Formeln. Von Reg.-Baurat a. D. Prof. Dr.-Ing. W. Müller. Mit 105 Figuren. Dritte, verbesserte und erweiterte Auflage. 151 Seiten. 1980. (Samml. Göschen Bd. 579) . .

Einführung in die Differentialgleichungen der Physik. Von Professor Ludwig Hopf. Mit 49 Abbildungen. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1070)

Geb. RM. 1.62

Theoretische Physik. Von Dr. Gustav Jäger, Professor der Physik an der Universität Wien. 5 Bände.

I.    Band: Mechanik. Mit 25 Figuren. Sechste, verbesserte Auflage.

350 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 76).....Geb. RM. 1.62

II.    Band: Schall und Wärme. Mit 7 Figuren. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 133 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 77)

Geb. RM. 1.62

III.    Band: Elektrizität und Magnetismus. Mit 35 Figuren. Sechste, verbesserte Auflage. 151 Seiten. 1930.(Samml.Göschen Bd.78) Geb. RM. 1.62

IV. Band: Optik. Mit 44 Figuren. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 148 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 374) Geb. RM. 1.62

V.    Band: Wärmestrahlung, Elektronik und Atomphysik. Mit 16 Figuren. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 128 Seiten. 1930.

(Samml. Göschen Bd. 1017)

Geb. RM. 1.62

Einführung in die theoretische Physik mit besonderer Berücksichtigung ihrer modernen Probleme. Von Dr. Arthur Haas, a. o. Professor a. d. Universität Wien. I. Band. Fünfte und sechste, abermals völlig umgearbeitete und wesentlich vermehrte Auflage. Mit 67 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. X, 396 Seiten. 1930. RM. 8.50, geb. RM. 10.— II. Band. Fünfte und sechste, abermals völlig umgearbeitete und wesentlich vermehrte Auflage. Mit 85 Abbildungen im Text und auf sechs Tafeln. Groß-Oktav. VIII, 448 Seiten. 1930. RM.8.50, geb. RM. 10.—

Einführung in die theoretische Physik. Von Dr. Clemens Schäfer, Professor an der Universität Breslau. I. Band: Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer Körper, Mechanik der Kontinua (Elastizität und Hydromechanik). Mit 272 Figuren im Text. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Groß-Oktav. XII, 991 Seiten. 1929.

RM. 45.—, geb. RM. 48.—

II.    Band: Theorie der Wärme. Molekular-kinetische Theorie der Materie. Mit 88 Figuren im Text. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Groß-Oktav. X, 660 Seiten. 1929 .... RM. 28.—, geb. RM. 30.—

III.    Band. Erster Teil: Elektrodynamik und Optik. Mit 235 Figuren im Text. Groß-Oktav. VIII, 918 Seiten. 1932. RM. 37.50, geb. RM. 40 —

„Das vorliegende Werk füllt eine merkbare Lücke in der bisher vorliegenden Literatur über theoretische Physik aus. Was es von seinen Vorgängern unterscheidet, ist einmal die Verwendung aller modernen Methoden und zum zweiten die klare und ausführliche Darstellungsweise, welche auch das Studium schwieriger Kapitel zu einem Genuß macht.¹*    Annalen der Physik.

Das Naturbild der neuen Physik. Von Dr. phil. Arthur Haas, a. o. Professor a. d. Universität Wien. Mit 8 Figuren im Text. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Groß-Oktav. V, 129 Seiten. 1932.

RM. 5.—, geb. RM. 6.—

Kleiner Grundriß der theoretischen Physik. Kleine, besonders bearbeitete Ausgabe der Einführung in die theoretische Physik. Von Dr. Arthur Haas, Professor für'Physik a. d. Univ. Wien. Mit 22 Figuren. Oktav. VII, 183 Seiten. 1934 Dieser „Kleine Grundriß“ ist für die Leser bestimmt, die die Physik nicht als Hauptstudium, sondern nur als Ergänzung eines anderen Faches betreiben und deshalb auf die umfangreiche, zweibändige, schon in 6. Auflage vorliegende „Einführung in die theoretische Physik“ desselben Verfassers verzichten können. Für Studierende der Physik selbst soll der „Kleine Grundriß“ als erste Einleitung oder als Repetitorium dienen. Selbstverständlich ist der „Kleine Grundriß“ ein in sich abgeschlossenes, einheitliches und selbständiges Buch.

Geb. KM. 5.30

Die Umwandlungen der chemischen Elemente. Von Dr. Arthur Haas, Professor für Physik an der Universität Wien. Mit 31 Abbildungen, Oktav,

VIII, 118 Seiten. 1935 ...........KM. 4.30, geb. KM. 5.—

Unter den wissenschaftlichen Leistungen der letzten drei Jahre {1932 bis 1934) haben vielleicht wenige so viel Interesse in weitesten Kreisen erweckt wie die umwälzenden Entdeckungen, die in dieser Zeit der physikalischen Forschung glückten: die Auffindung neuer Urbausteine der Materie (Neutron und Positron), der experimentelle Nachweis der Entstehung von Materie aus Licht, die Feststellung und Isolierung des schweren Wassers, die ungeahnten und durch neue Methoden ermöglichten Erfolge der Atomzertrümmerung und die künstliche Erzeugung von Radioaktivität.

Von diesen neuen Entdeckungen berichtet zusammen fassend, kurz und möglichst leicht verständlich das Büchlein von Haas in der Form von fünf Vorträgen: I. Die Materialisation des Lichtes — II. Die Grundstoff arten — III. Die Mittel der Atomzertrümmerung — IV. Die Ergebnisse der Atomzertrümmerung — V. Die künstliche Radioaktivität. 31 Abbildungen, fast durchweg Wiedergaben nach Photographien, gewähren einen anschaulichen Einblick in die Welt der Atome.

Atomtheorie. Von Dr. Arthur Haas, Professor für Physik an der Universität Wien. Mit 81 Figuren im Text und auf 5 Tafeln. Dritte, völlig umgearbeitete und wesentlich vermehrte Auflage. Oktav. VIII,

292 Seiten. 1936    ............KM. 8.50, geb. KM. 10.—

In dieser neuen Auflage haben auch die neuesten wissenschaftlichen Fortschritte, vor allem der Kernphysik, der Teilchenstrahlung, der Spektroskopie, der Struktur der Atomhüllen, sowie der neuen Anwendungen der Wellenmechanik Berücksichtigung gefunden.

Radioaktivität. Von Dr. Karl Przibram, Professor an der Universität Wien. Mit 31 Abbildungen. 142 Seiten. 1932. (Sammlung Göschen Bd. 317).

Geb. KM. 1.62

Teilchenstrahlen (Korpuskularstrahlen). Von Dr. H. Mark, Professor an der Universität Wien. Mit 59 Abbildungen. 152 Seiten. 1934. (Sammlung

Göschen Bd. 1083)

Geb. KM. 1.62

. . Geb. KM. 1.62

Spektroskopie. Von Dr. Karl Wilh. Meißner, o. Professor d. Experimentalphysik an der Universität Frankfurt a. M. Mit 102 Figuren. 1935. (Sammlung Göschen Bd. 1091) ....

Vorlesungen über Thermodynamik. Von Dr. Max Planck, Professor der theoretischen Physik an der Universität Berlin. Mit 5 Figuren im Text. Neunte Auflage. Groß-Oktav. XI, 288 Seiten. 1930. Geb. KM. 11.50

VERLAG VON WALTER DE GRUYTER & CO. IN BERLIN W 35 UND LEIPZIG CI

III. 1937.

Buchdruckerei Otto Kegel G. m. b. H., Leipzig

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