WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

/>

I

⁹ I k_?__

•hen

inw.

/14

Aufgabensammlung

zur

Analytischen Geometrie [ der Ebene f

von

ЙШ

Prof. ö. Th. Bürklen

Mit 32 Figuren

4r,t

Sk

<т*Ш mm

(»J

mm

ШЁ

Xlnfer îjeuttgeê 9Biffen in ïurjen, floren,

(göfcften

altgemeinnerffänblidjen

©inselbarffellungen

3ebe 9cummer in eleg. Ceinmanbbanb 80 ©.3*©0|феп’[фе Q3ertagśf>anbfang, Seidig

Owed unb 3iet ber „Sammlung ©öfd)en" iff, in ©in* 'bJ jetbarffellungen eine Mare, leicfytöerffänblicfye unb

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

fiwtje, wenn 11 tematifc^e m bürfte.

überficbtlid)e ©tnfülwung in fämfitere ©ebiefe ber <2Biffenfct)aff unb 5ed>nif ju geben; in engem xRaimtcn, auf ffreng un ff en fcf> a ff f i ct> er ©runbiage unb unter 93e--rüdftd)figung beö neueffen StanbeS ber Çforfdntng be* arbeitet, foli jebe£ 93änbd;en jiwerläffige 93elef;rung bieten. 3ebeö einzelne ©ebief iff in fiel) gefd>loffen bar* geffetlf, aber bennod) flehen alle 93änbd)ett in innerem 3ufammenh ей oollenbtl ©arffetluml

©in auéfüfi Hummern

100000297966

dfenenen P апЬфепй

Kleine mathematische Bibliothek

aus der Sammlung Göschen.

Sedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschichte der Mathematik von Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr. 226.

Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert. Nr. 47.

Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Professor Dr. Hermann Schubert. .    Nr. 48.

Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. v. Prof. G. Mahler. Nr. 41.

Darstellende Geometrie I mit 110 Figuren von Professor Dr. Rob. Haußner.    Nr. 142.

Ebene und sphärische Trigonometrie mit 70 Figuren von Dr. Gerhard Hessenberg.    Nr. 99.

Stereometrie mit 44 Figuren von Dr. Glaser.    Nr. 97.

Niedere Analysis m. 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer. Nr. 53.

Vierstellige Logarithmen von Prof. Dr. Hermann Schubert. In zweifarbigem Druck.    Nr. 81.

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 65.

Nr. 256.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor O. Th. Bünden.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 8 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.    Nr. 309.

Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 87.

Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 146.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Fig. von Professor Dr. К. Doehlemann.    Nr. 72.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 51.

Versicherungsmathematik v. Prof. Dr. Alfred Loewy. Nr. 180.

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate m. 15 Fig. u.2Taf.v. Prof.Wilh.Weitbrecht. Nr.302.

Statik I: Die Grundlehren der Statik starrer Körper mit 82 Figuren von Diplom-Ingenieur W. Hauber.    Nr. 178.

Statik II: Angewandte Statik mit 61 Figuren von Diplomingenieur W. Hauber.    Nr.    179.

Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Professor Dr. Siegm. Günther.    Nr.    92.

Astronomie mit 36 Abbildungen und einer Karte von Professor Dr. Walter F. Wislicenus.    Nr 11

Astrophysik mit 11 Abb. von Prof. Dr.Walter F.Wislicenus. Nr. 9li

Geodäsie mit 66 Abbildungen von Prof. Dr. C. Reinhertz. Nr. 102.

Nautik. Kurzer Abriß des täglich an Bord von Handelsschiffen ange-wandt.Teils d.Schiffahrtskunde m.56 Abb.v. Dr.Franz Schulze. Nr.84.

von Nr. 58.

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

■

Sammlung Göschen

Aufgabensammlung

zur

Analytischen Geometrie der Ebene von

O. Th. Bürklen

Prof, am Königl. Realgymnasium in Schwäb. Gmünd

Mit 32 Figuren

«Ven

= für Haturkund« =

Breslau.

PIS’

^ и>

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1905

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Yerlagshandlung Vorbehalten.

C,ebrer=Verein

tür Tlaturkünde =

Breslau.

Г ЪОАЦЪЬ

Spamersche Buchdruckerei, Leipzig.

Й№50

ЪР к-    '

Inhaltsverzeichnis.

cooooc to J-Ł

I. Abschnitt.

Punkte und Strecken.

Punkte und Strecken auf einer Koordinatenachse Punkte und Strecken in der Ebene; Teilpunkt einer Strecke............

Seite

10

П. Abschnitt.

Die gerade Linie.

25

Punkt und Gerade; niehrçre gerade Linien . .    15

30

Größenbestimmungen .    .    ‘.......

Die gerade Linie als geometrischer Ort....

III. Abschnitt. -

Der Kreis.

cö od oî

OOOOOîCÛOüOO

Zwei oder mehrere Kreise......

36

41

46

54

IV. Abschnitt.

Die Parabel.

§ 10. Hauptlagen; wichtigste Gleichungsformen .    .    60

§11. Sekante, Tangente

(N CO 'ii

Seite

68

Pol und Polare ............

Geometrische Örter..........

Benutzung der Parabel zum graphischen Rechnen 77

70

GOOGOO ZTjTi

t—‘ t—¹ I—i •ŚI OO Ol

V. Abschnitt.

Die Ellipse.

Hauptlagen, wichtigste Gleichungsformen; Punkt

und Ellipse............

Ellipse und Gerade; Pol und Polare .    .    .    ,

Geometrische Örter..........

80

85

92

GOOüOO С

об    ci ö

TH    i—I CM

VI. Abschnitt.

Die Hyperbel.

Hauptlagen, wichtigste Gleichungsformen ; Punkt

und Hyperbel............

Hyperbel und Gerade ; Pol und Polare .    .    .    .    111

Geometrische Örter

105

121

—i <m

CM CM СЛОООО

§ 23. § 24. § 25.

VII. Abschnitt.

Die Kegelschnitte im allgemeinen.

Vorbemerkungen...........

Gemeinsame Gleichungen der Kegelschnitte ; allgemeine Gleichung 2. Grades......

Geometrische Örter; Kegelschnittbüschel; vermischte Aufgaben..........

Auflösung von Gleichungen 3. und 4. Grades

durch Kegelschnitte.........

Flächeninhalte bei Parabel, Ellipse und Hyperbel

130

132

141

CO

Ю Ю

1“1 T—I

CO

(M CM С0ЭС05

VIII. Abschnitt.

Polarkoordinaten.

Punkt und gerade Linie.........

Polargleichung des Kreises, der Ellipse, Parabel und Hyperbel............

159

Seite

CO 05 Ö H d CO    io

(M со со со со CO CO

C/^^OOOOOOüOOOOOüOO OCO

164

169

170

176

185

IX. Abschnitt.

Aufgaben über höhere Kurven.

Die kubische Parabel.......

Die Rückkehr- oder Xeilsche Parabel ...    166

Die binomische Hyperbel Die Kissoide ....

Diskussion einzelner Gleichungen 3. Grades .    .    172

Einzelne einfache Linien 4. Grades.....

Gleichungen algebraischer Kurven in Polarkoordinaten ............

Transzendente Kurven.........

Eebrer-Verein

= für naturkunde =~~

<L

Breslau.

I. Abschnitt.

Punkte und Strecken.

§ 1. Punkte und Strecken auf einer Koordinatenachse.

Die Grundgerade werde -X-Achse genannt, der Nullpunkt oder Ursprung mit О bezeichnet.

1.    Bezeichne auf der eingeteilten Grundgeraden die

о ge-

1) 3x=15

4) с X = $ •

6) ax — a² — b²,

(а, ft, с gegebene Strecken; bei 3), 4), 6), 7) die Konstruktion angeben.)

3. Desgleichen die Punkte zu bestimmen, welche den Gleichungen

2) x² — x + 20 = 0 , 4) X² — (а -f Ъ) X -f а Ъ = 0 ,

1) ж² — 7х + 12 = 0 , 3) х² + 4,х=0

5)    х²—2ах + а² — Ъ² = 0,

6)    3ж³-7ж²^7ж + 3 = 0,

7)    ж⁴ — 13 X² + 36 = 0

entsprechen.

Res.: 5) a -f b, et — b , 6) —1, 3, -f, 7)    2 , -f- 3 .

4. Die Punkte P± und P₂ der X-Achse haben die Abszissen

*i = 3; x₂ — 12 ;

— 2 ; -f 3 ;    — 4 ; -fa;

+ 7;

— 5;    —6; —За;

a) "Was ist die Größe der Strecke P± P₂ nacli Länge und Vorzeichen? b) Durch welche Gleichungen ist jedes der durch x₁ und x₂ gegebenen Punktepaare darstellbar?

3, —5- 3) 0, — 2?

Ol

5.    Welche Gleichungen entsprechen den Punktepaaren, bzw. Punktetripeln: 1) 2, 3;

-7; 4) 3, сю; 5) 1, 2, 3; 6) 0, а, - ; 7) oo,

6.    Die Strecke P₁P₂ wird durch Punkt O im Verhältnis Я : 1 (m : n) geteilt; es soll die Abszisse oc des Teilpunktes ermittelt werden, wenn die Abszissen von P₁ und P₂ bzw. xt und x₂ sind.

Beispiele:

a) x₁ = -f 3 ,    = -f 11, Я : 1 = 3 : 1 ;

b) —3,    +7

4:1;

с) +1,    +7,    -3:1;

f) -3,    —18,    2:5.

(X± =

00 OS

7. Yon den harmonischen Punkten P₁, P₂, Q₄, Q2 (P₄ und P₂ zugeordnet) mit den Abszissen ax, a₂₎ <xt oc₂ ist gegeben: 1) a₄ = 2 , a₂ = 15 2) a₄ == —12, a₂ = + 6 , ćx₄ = + 3 ;    3) % =

= +1, a₂ = —8 . Es soll die fehlende Abszisse berechnet werden.

Res. :

— 76;    10,5;    —1,88.

8.    Untersuche, ob die Punkte mit den Abszissen 3, 8, 11, 23 harmonisch sind oder nicht.

9.    Zu beweisen: Sind P₄, P₂, P₃, P₄ harmonische Punkte (P₁ und P₃ zugeordnet) mit den Abszissen xx,

so ist

d) +1,

+ 7, • -i:l;

e) +8,    —4,    -J- : 1 ;

X2 ,    ^3 1 X4

A Pi + P₂ Pl = (Px p₂ + P₃ P₄)* .

10.    Sind P₄, P₂, Q₄, Q₂ harmonische Punkte (P₄ und P₂ zugeordnet) und ist О die Mitte von P₁P₂, so ist OPI = OPI = OQx- OQ₂.

11.    Zu beweisen: Sind P₄, P₂, P₃, P₄ beliebige Punkte einer Geraden, so ist

А А • AA = AA • А А + А А • AA •

12.    Ein Punkt P hat die Abszisse ein Punkt 0' die Abszisse а. Wie groß ist die Abszisse xf von P, wenn 0' als neuer Nullpunkt betrachtet wird ?

Res. : xf — x — а .

§ 2. Punkte und Strecken in der Ebene; Teilpunkt einer Strecke.

Bei Aufgaben, bei welchen über den Achsenwinkel nichts angegeben ist, ist das Koordinatensystem rechtwinklig zu nehmen.

13.    Ein Punkt P hat die Koordinaten a\b ; wie groß ist seine Entfernung von O?¹)

1) а = 8, b = 6-    2) —5|12 ;    3) 21|20 .

14.    Die Punkte P₁ und P₂ haben die Koordinaten a₁\b₁ und a₂\b₂ . Wie lang ist P± P₂ ?

= -2,

CO

1) % ⁼ 5j — 4, tt₂ = 9, b₂ — 7 ; b± ⁼⁼ 7 , a₂ = о : b₂ =    17;    3)    ^ = 6 ,

a₂ = 5 , 6₂ = 18 .

Res.: 1) 5;    2) 25 ;    3) 13.

15.    Dieselbe Aufgabe wie Nr. 14, es sei aber der Achsenwinkel 45°.

Res.: 1) 2/25 + 12/2;    2) /l69 - 60 /2 ;

3) /841 — 420 /2.

16.    Dieselbe Aufgabe wie Nr. 14, aber der Achsen-winkel sei 60°.

Res.: 1) /37;    2) /793;    3) /721.

17.    Ein regelmäßiges Sechseck liegt so, daß sein Mittelpunkt nach О fällt und zwei Gegenecken auf der

G Es ist zweckmäßig, zu den Zahlenbeispielen die Figuren zu zeichnen; bei rechtwinkligen Koordinaten ist es nützlich, quadriertes, sogenanntes Milli met er papier zu verwenden.

X-Achse liegen. Was sind die Koordinaten der Ecken, wenn die Seitenlange a ist?

18. "Von einem regelmäßigen Fünfeck mit der Seitenlange a liegt eine Seite, welche einen Endpunkt in О hat, auf der + X-Achse. Die Gegenecke dieser Seite liegt im ersten Feld; es sollen die Koordinaten der Ecken berechnet werden.

tx

Fig. 1.

Res.:    a\0 :

toi Ö

j/5 + 2/5;

№ + 3) “YlO + гУб ;

“(yF-i)j-irioTiW.

19. Die Koordinaten der Endpunkte P₁ und P2 einer Strecke sind x₁\y₁ und x₂\y₂ . Welches sind die

Koordinaten des Punktes Q, der PtP₂ im Verhältnis m : n teilt?

1)    = 5 j = 10 , x₂ = 35 ,    y2 ⁼⁼ 20 ,

m : w•= 1:2.

3:2.

2)    —3|8 ,    12| — 1

3)    7| — 8 , ' 6|6 ,

4)    11|2 ,• 24| — 3 ,    —2:3.

5)    xx = 3 p — q , y₁ = q — 2 p ,    = p + 2 g ,

y₂ = 5p — 3g , m :    = 4 : — 3 .

Res.: *4) —15|12 ;    5) — 5p + 11 g|26p — 15 q .

20.    Die Koordinaten der Ecken eines Dreieckes sind a\b, at\b1: a₂\b₂. Welches sind die Längen der Seiten, die Koordinaten ihrer Halbierungspunkte und diejenigen des Schwerpunktes ?

1)    a = 2, b =—3, a± = 8 , \ = 5 , a₂ — 14 ,

5₂ = 11 .

2)    —5|17 ,    11|3,    3| 15 .

Res. 1) 10, У340, У72 ; 5|1, 11|8, 8|4 ; 8|4£. 2) ]/452, Уб8, У208; 3|10, 7|9, —1|16; 3|llf.

21.    Von einer Strecke P± P₂ sind die Koordinaten а±\Ь± des Anfangspunktes und diejenigen oc\ß des Punktes, der P₁P₂ im Verhältnis m : n teilt, gegeben. Es sollen die Koordinaten a₂\b₂ des Endpunktes ermittelt werden.

СЧ CO

1)    «i = 0, &! = 0, a = 5, ß=3, m:n—l: •

2)    (h = 7,    = 2, а = 12, £ = — 1, w:« = 5: .

22. Yon einem Dreieck sind gegeben die Koordinaten a\b und a± \ zweier Ecken, sowie diejenigen des Schwerpunktes oc ß. Es sind die Koordinaten a₂\b₂ der dritten Ecke zu suchen.

b = -1,

1)    a —    7 ,

a = 0, ß = 0 .

a₄ = 15

oc = 4,

2)    а — 2 , Ъ = 11 ß'= 10 .

Res. i a₂ = 3 oc — (a —j- aß) , b₂ ■=. 3 ß — (b -f- bßj .

23. Yon einem Yiereck P₁P₂PSP± sind die Koordinaten    a₂\b₂, a₃|&₃, a₄|6₄ der Ecken gegeben.

Die Seiten werden der Reihe nach in Q±, Q₂> O3 > O4? die Diagonalen in Q₅ und Q₆ halbiert. Es sollen die Koordinaten der Halbierungspunkte осг\ßn oc₂\ß₂ , ocs\ßs von Q₁ Q₃, Q₂ Q₄ , Q₅ Q₆ berechnet werden.

Res. :

Res. : a₂ =

oc (m + n) — na

b₂ =

ß (m + n) — nb

ai a2 "f“ аг H⁻ %

Was folgt aus dem Resultat, wenn man das Yiereck samt seinen Diagonalen als Projektion eines Tetraeders betrachtet ?

24. Yon einem Fünfeck P₁P₂ . . Pb sind die Koordinaten der Ecken al\bi usf. gegeben. Die Seiten sind der Reihe nach in Q₁, Q₂ , . . Q₅ halbiert. Der Halbierungspunkt M der Ql Qs wird mit Pb verbunden und PbM durch S im Yerhältnis 4 : 1 geteilt. Es sollen die Koordinaten von S berechnet werden.

Was ist der Fall, wenn man Q₂ Q₄ für Qx Q₃ und I\ für P₅ nimmt?

25.    Die Seiten eines beliebigen Sechseckes sind der Reihe nach in Q₂ . . . Q₆ halbiert; bestimme den Schwerpunkt von A Q± Q₃ Q₅ und ebenso von A Q₂ Q± Q₆ ; was zeigt sich?

26.    Eine Strecke ist über ihre Endpunkte a₄|bx und a₂\b₂ hinaus je um ihr Я fâches verlängert; welches sind die Abszissen der Endpunkte der Verlängerungen?

(1 —j- Я) et₄ — Я cl₂ ;

Res.:

27. Die Koordinaten dreier in gerader Linie liegender Punkte sind \b±, a₂\b₂ , a₃\b₃ . Es sollen die Koordinaten des vierten harmonischen Punktes berechnet werden, wenn der erste und der dritte einander zugeordnet sind?

Res. :

' r—i

2 a±a₃ — a₂ (ax + a₃) CL^ —J— Q>₃ — 2 CL₂

Was ergibt sich, wenn a₂\b₂ die Mitte zwischen a±W und a₂\b₂ ist?

28. Einen Punkt zu bestimmen, der gleichweit von О und von den Punkten 612 und 317 entfernt ist.

Res.:

II. Abschnitt.

Die gerade Linie.

§ 3. Punkt und Gerade; mehrere gerade Linien.

29.    Zu untersuchen, ob Punkt 3j 5 , ebenso —2j 1 , 5[0 , Oj — 7 auf einer der folgenden Geraden liegt, deren Gleichungen sind:

b) 2 X — 3    = 10 ;

d) 7 X — 5 y = 35 .

a) 6 X + 7 y = 53 ;

c) 4 y — 9 X = 22 ;

30.    Ebenso, ob Punkt

b    ос

а — auf bx — (2 a — ос) у — b — 2    2

2 а 4- c h „ li 2 a — cf c \

2    4~2    —(’•-2-V

-Л» »d0|-^.uf£-p = l.

31.    Bestimme die^ Gleichung für die Geraden, welche durch Punkt —2|7 geht*und auf der Y-Achse ein Stück топ der Länge 19 abschneidet.

Res.: у = 6x + 19 .

32.    Bestimme die Achsenabschnitte der Geraden in Aufgabe 29 und 30.

33. Zeichne die Lage der Geraden, die durch folgende Gleichungen dargestellt sind, wenn der Achsenwinkel

a) 90°, b) 60° ist.

1) ж=    ;

4) ж —    = О ;

2) y = +3 ;

5) X — y = 2 ;

3) y = -7;

6) x — y = — 2j

7)* + «/ = 2;    8) 2/ == 2 ж ;

10) î/ = 2 ж + 3 ;

⁹^= 2 ;

11) 4tx—3y = —24 :

./•

12) - +

rH

• CO

o\\ &

34. Die Gleichung der Verbindungslinie der Punkte *i |«/i, ж₂|«/2 anzugeben.

х± = 5

со

ах —J— б?2

«/1=3

х₂ = 7 У% = 4:

CO 00 о

2% — а

2\ — Ъ

ж — у = —10 ; 3 ж — & У = 0 ;

Res. : x — 2 у = — 1 ;

— 3^+ by = —21 ;

ж + (2 а — ах)у = 2 аЪг ;

у — Ьх = —

{а — ах) у — (Ъ — bj) X — а \ — а± b .

а--

(X = 60° ;    2) 3|0,    135°;

35. Die Gleichung einer Geraden anzugeben, welche durch. Punkt x₁\y₁ geht und den Kichtungswinkel oc (Winkel mit der -f- X-Achse) hat.

1) Xl = 8

2/1 = 3

3) 0| —2,    70°.

36. Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden L und Lx zu berechnen.

Ь)

с)

<0

е)

a) L^ i 6 X -j- 11 y = 6 7 , 3x+ by = 28 8 X — 3 y = 5 , ax — b у = а² — Ъ²,

(а + &)ж + (а —%

= 2(а2 + &²),

L₂ : 2 X— 5 у = 31 ;

11« + 3^/ = —20 ; 9 у — 24 ж = —15 ; (а + Ь)х + (а — Ъ)у — а² + 2 а Ъ — 6² ; (а — 6) ж + (а + Ъ)у = 2 (а² - Ь²) .

zu-

37. Zu untersuchen, ob folgende Punktetripel auf einer und derselben Geraden liegen, und was ist treffenden Falles ihre Gleichung?

a)    6(6,    3(5 ,    —6|2 ;

b)    7|10    —4|7,    0|8 ;

c)    a\— ,    a-\-b\a — 5, a-\-2b\2a — b.

Res.: a) x — 3y = —12 ; c) ax — by =

ien, A \\^ \

38. Zu untersuchen, ob die drei gemd^Xdn welche je durch eine der folgenden Gr^ÿênДЙг6 chungen dargestellt sind, durch^^eféénTÿdd^ d^#> Punkt gehen oder nicht. Wasvjgind aią^Kf" des gemeinschaftlichen Punktes?

Bür kl en, Aufgabensamml. z. analyt. Geo\k. d. Ebene

a) 7 X + 3 y = 41

—10 X -f- y — —48 ;

7 X — 3 y = 24,5

b) 5x — 6 y = —31

Зж + 11 y = 32,5 ;

с) 4ж+5?/=19,    2x-{-9y =—29

11X — 10 y = —8 ;

2x — b y La — д b

d) 7x-{-3y = 14: a-\-3b

3 ax+ 7by = 6 a² + 7 5² .

Res.: a) 5|2 , b) — 2\3-\ , d) 2 a\b .

Gran g der Lösung. A) Berechne aus zwei der gegebenen Gleichungen die gemeinschaftlichen Werte von X und y und untersuche, ob dieselben die dritte Gleichung befriedigen.

Oder B) benutze einen der folgenden Sätze:

1)    Sind Lt = 0 , L₂= 0 die Gleichungen zweier Geraden, so stellt die Gleichung L±-\-^L₂ = 0, worin Я ein beliebiger Zahlfaktor ist, eine Ge-rade dar, welche durch den Schnittpunkt der beiden ersten geht (Я Prinzip oder Prinzip der linearen Kombination).

2)    Sind L± = 0, L₂ = 0 , Ls = 0 die Gleichungen dreier Geraden, so gehen diese durch einen gemeinsamen Punkt, wenn sich , bzw. Ях und Я₂ so bestimmen lassen, daß

oder daß

Lt + Ях L₂ ~ L

+ Я₁ L₂ -j- Я₂ L₃ = 0 .

39.    Die Gleichung einer Geraden zu bestimmen, welche durch den Punkt x±\yx 1) parallel, 2) senkrecht zu L gezogen wird.

L: mx + n у = c ;

7 ж + 4 2/ = 12 ;

9 ж — 11 у — 0 ;

(а + Ъ) x + (а — Ъ)у = с) у = Зх — 8 ;

У =    + 3 .

a)    xi = 0, ?/i = 0,

b)    5 6 ,

c)    4|—3 ,

d)    a\2b,

e)    4=| — 2 ,

f)    01-8,

Res. 2): b) 4ж—7y=—22; c)    9y= 17 ;

d)    (а — Ъ) X — (a + fyy = а ² — Sah — 2 b² ;

e)    x+3y = ~2 • f) 5.x + %y = —16 .

40.    Yon einem Parallelogramm P₄P₂P₃P₄ sind die Koordinaten der Ecken P₁, P₂, P₃ gegeben, es sollen die von P₄ berechnet werden.

Res.: ж₄ = ж₄ + ж₃ — ж₂ .

41.    Auf der Geraden x — 3 ?/ + 6 = 0 einen Punkt so zu bestimmen, daß er von dem Punkt der Geraden, welcher zu der Abszisse 1 gehört, den Abstand 5 hat.

Res.:

x = 1 + "(/22,5 ,

. (Zwei Punkte.)

„    7+У2 2,5

У    3

42. Gegeben sind zwei Punkte P₄ und P₂. In der Mitte Ж von P₁P₂ wird das Lot errichtet; es soll auf diesem ein Punkt gefunden werden, der von M den gegebenen Abstand d hat.

P₂ : 11 [ 12 , d=\f260.

А : 3|-2

27

Res.: Zwei Punkte, 9 —

«у-

43.    Yon einem im ersten und zweiten Feld liegenden Quadrat liegt eine Ecke in 0, eine zweite im Punkt x± yY. Welches sind die Koordinaten der anderen Ecken?

— Vixi •

Res.: xx + yx\xx — yl ,

44.    Von den in Nr. 22 angegebenen Dreiecken die Gleichungen und Längen der Seiten, der Schwerlinien und der Mittellote zu den Seiten anzugeben, sowie aus den betreffenden Gleichungen, oder allgemein, nachzuweisen, daß die Höhen, die Schwerlinien, die Mittellote der Seiten je sich in einem Punkt JL, bzw. S, 0 schneiden, ferner zu zeigen, daß diese drei Punkte in gerader Linie liegen und daß sich HS: SO = 1:2 verhält.

Res. : Höhen : 19 у Ą- 11 x — — 96;

lly+16x = —131 ;    8 у — 5x = 35 .

Schwerlinien : x — 7 ?/ = 0 ;    9 ж —2 у — 0 ;

10 X — 9 у = 0 .

Mittellote :

19 у + 11 x = 48 ;

11 у + 16 х = 65-1- ; Sy — 5х = —17} .

Anmerkung: Für den allgemeinen Nachweis bezüglich H, S, О kann man eine Seite, etwa Рг P₂ als Y-Achse und den Halbierungspunkt von P± P₂ als Nullpunkt nehmen.

45.    Durch den zu der Abszisse x — 4 gehörigen Punkt der Geraden 5 x + 3 у = 30 eine Gerade zu ziehen, welche auf der +X-Achse ein Stück von der Länge 7 abschneidet.

Ees. : 10 ж + 9 y — 70 = 0.

46. Die Gleichung einer Geraden L₃ zu finden, welche durch den Schnittpunkt der Geraden L± und L2 und durch den Punkt x₁\y₁ geht.

L₂ : 15& — 19?/+ 24 = 0 , 2) хг = —1

Lx : 31ж + 47?/ — 12 = 0

Ух — — 2 .

1) xx = 0 , Ух = o ;

Ees.: 1) 77ж+75?/ = 0;

2) 832 я + 1972/+ 438 = 0 .

2) 9 X — 14 у — 4 = 0

47. Durch den Schnittpunkt der Geraden

1) 4x+ ly — 15 = 0 , eine Gerade zu ziehen, welche

a)    parallel zur Y-Achse,

b)    parallel zu der Geraden 3) 2 x — 3 у — 9 = 0,

c)    senkrecht zu der ersten Geraden ist,

d)    mit +X- ünd Y-Achse ein Dreieck vom Inhalt

1681

210

bildet.

b) 2x— 3y — 1 = 0,

Ees.: a) x = 2

c) Ix — 4y— 10 = 0, d) 3æ + 35 ?/ = 41 ,

35 ж + 12 у = 82 . (Zwei Lösungen.)

48. Auf der +X-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems ist OB = a, auf der + Y-Achse ОС—Ъ abgetragen und auf OB in В und auf OC in C je in der Eichtung der negativen Achse ein Lot BD — OB bzw. CE = OC errichtet, ferner ist OH_LBC gezogen.

Es soll bewiesen werden, daß CD und BE — Hilfslinien des Euklidischen Beweises des Kathetensatzes — sich mit OH in einem Punkt schneiden.

+Y

Л.

+JT

Fig. 2.

49.    Durch den Schnittpunkt der Geraden Lx = 0 und L₂ = 0 eine Gerade zu ziehen, welche auch durch den Schnittpunkt der Geraden Ls = 0 und LL = 0 geht.

L₂ : 7 ж + 8 у — 23 = 0 Lł : 9 у — 10 X — 53 = 0.

Z/x : 3x — 4у — 47 = 0,

L₃ : 4x + 11 y+ 65 = 0,

Res.: 2 X -j- 17 у 67 = 0 .

50.    Zu beлуeisen: Fällt man vom Fußpunkt einer Höhe eines Dreieckes Lote auf die beiden anderen Höhen und die zu diesen gehörigen Seiten, so liegen die Fußpunkte dieser vier Lote in einer Geraden.

51. Auf der +X-Achse eines beliebigen Koordi-natensystemes liegt Punkt A, auf der X-Achse В, auf der —X-Achse (7, auf der —X-Achse D. Von einem

В;

GA

+X

///

Fig. 3.

Punkt P der X-Achse werden zwei Geraden gezogen, von weichen die eine А В in Q₁, B G in Q₂, die andere CD in Q₃, DA in Q± trifft. Es soll nachgewiesen werden, daß Q₁ Q₄ und Q₂ Qs sich in einem Punkt der X-Achse treffen.

52.    Durch welche gemeinsame Gleichung kann man die Geraden, deren Gleichungen A± x -f B₁ y + Ct = 0 und A₂ x -f- B₂ y + C₂ = 0 sind, darstellen?

53.    Beweise, daß die homogene Gleichung Ax² + Bxy + Gy² = 0 zwei durch den Ursprung gehende gerade Linien darstellt, und daß sie reell und verschieden, reell und zusammenfallend oder imaginär sind, je nachdem B² = 4 AC ist.

54.    Welche gerade Linien sind in folgenden Gleichungen enthalten?

1) x² y² = 0 ,

2) xy — 0

4) 6 y² — xy — 15 x² = 0

3) x² -j- y² = 0

co О

5) 16ж²— 5Łxy — lSly² =    ,

6) 15ж³— 113ж²2/ — 57ж2/² + 8^/ =0.

55.    In einem beliebigen Koordinatensystem ist die Gleichung у = mx einer beliebigen durch О gehenden Geraden gegeben. Es soll die Gleichung derjenigen durch О gehenden Geraden gefunden werden, welche, der gegebenen zugeordnet, mit dieser und den Koordinatenachsen einen harmonischen Yierstrahl bildet.

Res.: у — —mx .

Was folgt hieraus, wenn das Koordinatensystem rechtwinklig ist?

56.    Gegeben vier durch О gehende Strahlen

1) у ~ x, 2) y = m₂ x, 3) у — т% х, 4) у = ш₄ х.

Es soll die Bedingung dafür gefunden werden, daß diese Strahlen ein harmonisches Büschel bilden, wobei

1) und 3) zugeordnet sind.

Res. : (m₁ -f- m₃) (m₂ -f- m₄) = 2 (тг m₃ -f- m₂ m₄) . Anmerkung: Leite aus diesem Resultat Kr. 55 ab.

57. Es soll die Beziehung a) zwischen Reaumur-und Celsiusgraden und ebenso zwischen b) Reaumur- und Fahrenheit- und c) Celsius- und Fahrenheitgraden durch eine Gleichung ausgedrückt werden, indem man dabei die gegebene Réaumur-, bzw. Celsiuszahl als Abszisse und die gesuchte Celsius- oder Fahrenheitgradzahl als Ordinate betrachtet.

Res.: a) y= \x\ b) y = -f-ж+ 32; c) y = \x-[-32.

Anmerkung: Zeichnet man die durch diese Gleichungen dargestellten geraden Linien auf quadriertes Papier (Millimeterpapier) auf, so hat man eine graphische Tafel, an welcher man ohne weiteres die Anzahl Grade einer Skala ablesen kann, welche einer Anzahl Grade einer andern Skala entsprechen.

§ 4. Größenbestimmungen.

§ 8. Der Kreis als geometrischer Ort.

§ 11. Sekante, Tangente.

§ 16. Ellipse und Gerade; Pol und Polare.

(X + e)2 y^_

+ _»!_= 1 fl ' p Ъ 2

+ (6t — 62) b± b2

§ 33. Einzelne einfache Linien 4. Grades.

80 Pf.

so m.

Sammlung ööscfien

§ 4. Größenbestimmungen.

Abstand eines Punktes von einer Geraden, paralleler Geraden, Winkel zweier Geraden, Inhaltsbestimmungen.

58. Welches ist der Abstand des Punktes х±\уг von der Geraden 1) Ax By C = 0,    2) у = mx-\~ e,

wenn der Achsenwinkel I. со = 90°, II. oo — 60° ist?

3|3;

0|7 ;

Beispiele: a) 3x -\- Ły — 14 =

b) 15 ж — 8 y+ 13 = 0

0, x^ 2, y ^    7 ;

с) у = 5 X,

420 ^29~ *

d) ²⁰⁵ У3 /1161 ‘

59. Welches ist der Abstand des Ursprungs von jeder der Geraden in Nr. 58, со = 90 °?

Res.: a) 2,8; b) 13:17; c) 0; d)

60.    Wie groß ist der Abstand der parallelen Greraden L± und L₂ ?

b)

lx+2Ly — 35 = 0; 12x— by — 10 = 0 .

а) Lx:Gx + Sy — 11 = 0, L₂:Sx + ±y — 20,5 = 0 ; lx-\- 2Ly + 10 = 0 ,

c)

Res.: I. a) 4; b) 2 ; c) 7 : /26 ; d)

¹⁷ Уз

410 i)

29 ‘

о CO

И- а)гУ39; b) Jg

J с) 0,7 ]/ÏÔ ;

12x— by— 29 = 0,

Res.: a) 3 ; b) 1,8 ; с) 1 .

61.    Die Gleichung einer durch Punkt xt\yt gehenden Geraden zu finden, welche von О den Abstand p hat.

62.    Die Gleichung einer durch den Punkt x₁\y1 gehenden Geraden zu finden, welche von dem Punkt x₂\y₂ den Abstand d hat.

*1 = 3, y₁ = 7

x₂ = — 5

19

) Da hinsichtlich der Zeichen für die Abstände keine Übereinstimmung herrscht, so sind in den Resultaten nur die absoluten Werte der Abstände angegeben.

Res.: Es gibt zwei Gerade der gesuchten Art;

280

27

7623

X -j-

y=*Ï5x+~5

63. Durch den Punkt 5|1 eine Gerade zu ziehen, welche die Strecke zwischen den Punkten 217 und 4| —3 im Verhältnis A : 1 teilt. Was ergibt sich, wenn 2 = 0, 2 = oo, 2=1

und y =

1209

1209 *

2 = —1 ist?

Res. :

42-

3 + 2 v ' '

2 = 0 gibt у = — 2 æ + П , geht durch 2|7 ;

2 = oo

2 = 1

2 = — 1 „ 2/= -5^+26, II P₂P₃

4ж — 19

41 — 3 ;

64. Durch den Punkt xx\y₁ eine Gerade so zu ziehen, daß ihre Abstände von den Punkten x₂\y₂ und xs\ys sich wie 2:1 verhalten. Was ergibt sich, wenn 2 = 0, 2=1, 2 = oo, 2 = — 1 wird?

Vi + Я (ys — Ух) — Ух

(x — Xx) .

65.    Durch den Schnittpunkt der Geraden

1) y = x + 10,    2) y = bx + 22

eine Gerade zu ziehen, deren Abstand vom Punkt 0|7 die Länge 5 hat.

Res. : у — 7 = + \ г (x + 3). (Deutung.)

66.    Zu beweisen, daß, wenn man durch den Sclrwer-punkt S eines Dreieckes P₁P₂ P₃ (s. Nr. 44, Anm.) eine

Res.:

x₂ + 2 (xs — x±) — x₁

beliebige Gerade zieht und auf dieselbe von den Ecken Lote fällt, das auf der einen Seite der Geraden liegende Lot gleich der Summe der beiden auf der andern Seite liegenden Lote ist.

67.    Welche Beziehung muß zwischen den Konstanten a, b , c der Gleichung ax -\- b y c = 0 bestehen, damit die dadurch dargestellte Gerade L die Strecke zwischen den Punkten P₁(x₁\y-₍) und P₂{x₂\У2) im Verhältnis Я : 1 teilt? Was muß der Fall sein, wenn L a) die Strecke P₁P₂ halbieren, b) wenn L durch P₁, c) durch P₂ gehen, d) L\\ P₁P₂ sein soll?

Res. : a x± -f- b y₁ + с + Я (а x₂ -f- Ъ y₂ + c) — 0 .

68.    Den Richtungswinkel für jede der folgenden Geraden zu bestimmen:

b) у = —x + 5 ,

с) У = — ïx+ 12,

f) a?pos70°

а) у = X

d)    у = х^Ъ — 4, e) 8.ж+15з/ = 21 + 2/sin70 ⁰ — 12 = 0 , g) Ix—12 у + 18 = 0

(hierbei Achsenwinkel со = 72°) .

Res.: a) 45°, b) 135°, c) 153⁰ 26'6", d) 60°,

e)    151°55'39", f) 160°, g) 22°58'7".

69.    Durch den gegebenen Punkt x₁\y₁ eine Gerade zu ziehen, deren Richtimgswinkel a) oc , b) 2 R — oc ,

c) 30°, d)120°, e)40° bei Achsenwinkel со = 110°.

Res. : а) у — y± = tg oc (x — xx) ,

e) У — У1

tg40°(l +cosll0°)

sin 110 ⁰

(x - xt).

70.    Die Winkel des von den Geraden L± : Зя + 4у— 11 = 0, L₂ : 7x- 2±y- 33 = 0,

L₃ : 12 ж— 5 у + 25 = О gebildeten Dreieckes zu berechnen.

Res.: 53°7/48,/, 75°45/l", 51°7/12//.

71.    Die Gleichungen der Halbierungslinien der Innen- und der Außenwinkel des in der vorigen Aufgabe gegebenen Dreieckes zu berechnen.

Res. : Halbierungslinien von

11 ж — 2 у = 44

1)    <£(L₁L₂):4:X+ 22y = 11,

209ж+ 187 з/ = —1054 391ж — 437 у = —196 ,

— 21х+ 77 ?/ = 268 11 ж + 3?/ = 2    .

2)    <K(AA):{

3)    Al) :

73. Yon einem Dreieck sind die Koordinaten der

72. Zu beweisen, daß die Halbierungslinien zweier Nebenwinkel senkrecht auf einander steh en. (Beispiele s. Nr. 71.)

Ecken gegeben; es soll der Inhalt berechnet werden.

a) 0|0, c) 5|3,

, 3|7 ; b) 5| — 1,    217 ,    —3| — 4 ;

,    9|5 .

Res.: a) 18; b) 36-|-; c) 0.

74. Den Inhalt J des von den drei Geraden 1) at X + Ъ± y + •= 0 , 2) a₂ x + Ъ₂ у + c₂ = 0 ,

3) a₃ x + bs у + cs = 0 gebildeten Dreieckes zu berechnen.

Res. : J =\ К (b₂ ся — b₃ с,) + a., (bs ct — bt c₃)

+ «8 (èi c2 - K ci)]²

: 2 (at b₂ — a₂ bx) (a₂ bä — a₈ b₂) (as \ — аг bs).

Was ergibt sieh aus J = 0 und / = oo ?

75. Beweise, unter Berücksichtigung der Vorzeichen der Dreiecksflächen, daß, wie auch die Punkte О und Ox liegen mögen, stets

A OP₁P₂ -f- OP₂P₃ . . . + ОРпР± —    + • • • ~Ь 0₁РпР₁ .

76. Den Inhalt des Vieleckes P₁P₂...Pn zu ermitteln.

Res. : \ [% b₂ — a₂ \ -f- o₂ b₃ — a₃ b₂ + . . .

+ <*n- 1 К — ein К- 1 + ein \ — % K] •

77. Die beiden Punkte P₄ und P₂ der Geraden 2 у — X — 1 = 0 haben die Abszissen x± = 1 und x₂ = 6 . Zwei weitere Punkte P₃ und P₄ haben die Koordinaten 5|4-|-, 2|4. Was ist der Inhalt des Viereckes Pt P₂ P₃ P₄ ?

Res. :    8 .

§ 5. Die gerade Linie als geometrischer Ort.

78. Was ist die Gleichung des geometrischen Ortes für einen Punkt, der sich so bewegt, daß seine Abstände von der X- und der Y- Achse sich wie Я: 1 verhalten? a) Für das rechtwinklige, b) das schiefwinklige System, c) wenn Я = 1 ist.

79. Gegeben eine durch О gehende Gerade у — mx. Ein Punkt P bewegt sich so, daß sein Abstand e

von der X-Achse zu seinem Abstand von jener Geraden wie Я : 1 sich verhält. Was ist der Ort von P

a) im rechtwinkligen, b) im schiefen System (Achsenwinkel со)?

Res. :

у = Я--=

±yi +

(y — m x) sin со

m² — 2 m cos œ

80.    Es ist der geometrische Ort des Punktes zu bestimmen, der von den Punkten x₁\y₁ und x₂\y₂ gleiche Entfernungen hat.

Res. :    2 (x₂ — xj x+2(y₂—yt)y + y\ — y\

-f- x\ — x₂ — 0 .

81.    Es ist der geometrische Ort für einen Punkt zu bestimmen, der sich so bewegt, daß seine Abstände von den Geraden ах -f- bу -f- c — 0 und a₁x -f- b±y -\-c₁ = 0 einander gleich sind.

Res. :

ах + by с _ ах x + \ y + ct

~i~ jdj ~b b\

Уа² + 6²

Wie lautet das Ergebnis der Aufgabe, wenn die Geradengleichungen in Normalform gegeben sind, und was ergibt sich, wenn die Abstände sich wie Я : 1 verhalten sollen?

82.    Es soll der geometrische Ort eines Punktes P bestimmt werden, dessen Abstand von О sich zu seinem Abstand von der Geraden у = f x wie 2 : 1 verhält.

Res.: 23 x² — 48 xy 3 y². Der Ort zerfällt in die beiden Geraden 2/ == (8 + -J-У47)ж .

83. Den geometrischen Ort eines Punktes zu finden, für welchen die Differenz der Quadrate seiner Abstände топ den Punkten x₁\y₁ und x₂\y₂ gleich einem gegebenen Wert d² ist.

Res.: 2 (x₂ — хг)х + 2 (y₂ — y±) у + y\ — y\ — x\

H⁻ x\ + d² = 0 .

84. Auf der + Al-Achse liegt Punkt A (a|0). Gesucht der Ort des Punktes P, der sich so bewegt, daß t gPOA = к tg PA О ist.

Res.:

1 -f- к

85. Gegeben sind drei Punkte Px, P₂, P₃ ; ein Punkt P bewegt sich so, daß А PP± P₂ : PP₂ P₃ = Я : 1. Was ist der Ort von P?

Res.: Nimmt man P₂P₃(=a₁) als + Al-, P₂Pj (= a₃) als + P-Achse, so folgt als Ortsgleichung:

ai

y = TA-X-.

J 1 a±

AVas ergibt sich mit 2=1? — AVo liegt P, wenn Д PI\ P₂ = PP₂ P₃ = PP₃ P, ?

86.    Zu beweisen, daß der geometrische Ort für alle Punkte, deren Abstände von zwei festen Geraden eine gegebene Summe oder Differenz haben, ein System von vier geraden Linien ist.

87.    In ein unveränderliches Dreieck P₁P₂P₃ sind über P₂ P₃ alle möglichen Rechtecke gezeichnet. Es soll bewiesen werden, daß der geometrische Ort des Schnittpunktes der Rechtecksdiagonalen eine Gerade ist, welche durch die Halbierungspunkte von P₂ P₃ und der zu dieser Seite gehörigen Höhe geht.

88.    Den Ort eines Punktes zu finden, dessen Entfernungen von einer Anzahl Geraden eine gegebene Summe haben. .

89. In dem Dreieck P₁P₂P₃ ist ein beweglicher Punkt P. Es ist PD II PtP₂ bis P₂P₃, PE II P₂P3 bis P₃Pl5 PF\\PSP₁ bis PXP₂ gezogen.

Was ist der Ort von P, a) wenn PD = Я • PP, b) PD + PE+ PF= s, c) PD + PP — PP?

а) у = Я

Res.:

a?shm2 sin ’

b) сж(sinoc₂ — sin^1) + sin#1 (c — a)У = c(s — ajsina^ ,

o) cx (sin (x± + sin oc₂) + sin осг (а — c)y = a csin <x± .

Es sind hierbei Р₂Рз und P₂Рг als + X-, bzw. + F- Achse genommen,

< Д i*P-i — «1 usf., P₂P₃ = a, P₁P₂ = c .

+F

J)///

Fig. 4.

90. Eine Gerade bewegt sich so, daß siö auf den Achsen eines rechtwinkligen Systems die gleichen Stücke

Bürklen, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

OP' und OP" abschneidet; über P'P" ist ein Reclit-eck PP'P"P'" so konstruiert, daß sich P'" auf einer festen Geraden L bewegt, welche auf der X-Achse a auf der Y- Achse b abschneidet. Was ist der Ort der Ecke P? (S. Fig. 4.)

СГ- «

Res.:

Anmerkung: Was ergibt sich, wenn P'P" parallel der Geraden у = mx ist?

91.    Was ist der geometrische Ort des Schnittpunktes Q der P' P (s. Er. 90) mit einer durch P'" zur X-Achse gezogenen Parallelen?

Res.: y(a 2 b) —bx = ab] der Ort geht durch — a\0 und 2 b\b .

92.    Ein Punkt P bewegt sich in der Ebene so, daß seine Koordinaten zu der Zeit t bestimmt sind durch die Gleichungen

2) ж = 7 t.

y = n t -f- b .

, y = 8^ — 22 ;

3) X = m t -f- a,

Welche Linie beschreibt er, wo befindet er sich zu der Zeit t = 0 ; in welchem Zeitpunkt und wo trifft er die X- und die Y-Achse?

1) X = 5 t —-4

У —    — 6 ;

Res.: 1)8ж —52/=92,    2) 3ж — 28у = 168,

3) nx — my = na — mb .

93. Durch О sind zwei gerade Linien L± und L2 у = mxxund у = m₂x gezogen, welche von einer beweglichen, zu der X-Achse parallelen Geraden in Pt und P₂ geschnitten werden. Es wird nun auf L± in P± und auf L₂ in P₂ das Lot errichtet; beide Lote treffen sich in P. Was ist der Ort von P ?

Res. : (1 — mx m₂) x -f- (т± + m₂) у = 0 .

94. Von einem Dreieck P₁P₂PS liegt die Seite P₂ P₃ auf der -j-X- Achse und P₂ in О . Es soll bewiesen werden, daß der Ort für den Schwerpunkt, den Um- und Inkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt des Dreieckes je eine Gerade ist, wenn <^PtP₂P3 unveränderlich bleibt und P₂ P₃ sich parallel weiter bewegt.

95. Eine Gerade schneidet die Schenkel eines Win

kels, dessen Spitze in P₁ ist, in P₂ und P₃ . Was ist der Ort für einen Punkt P, welcher P₂P₃ im Verhältnis l : 1 teilt, wenn sich P₂ P₃ so bewegt, daß die Summe oder Differenz von P₁P₃ und P₁P₂ a ist ?

Res.: Betrachtet man P₁P₂ als -\-X- und P₁P3 als + ^-Achse, so hat der Ort die Gleichung:

x±ly =

dl

1 -)- 2

96.    Die Ecken В und C des Dreieckes ABC sind fest, und die dritte bewegt sich auf einer Geraden. Es soll bewiesen werden, daß die Ecken und der Mittelpunkt des einbeschriebenen Quadrates, von dem eine Seite auf BC liegt, gerade Linien beschreiben.

97.    Von dem beweglichen Punkt P einer festen Geraden L, welche auf den Koordinatenachsen die Stücke a und b abschneidet, sind Lote auf die Koordinatenachsen gefällt. Es soll der Ort des Punktes gesucht werden, welcher die Verbindungsstrecke dieser Lote im Verhältnis l : 1 teilt.

Res.:

4xhl

1+Я •

III. Abschnitt.

Der Kreis.

§ 6. Die Kreisgleichung; Punkt und Kreis.

98. "Wie lautet die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt ab und dessen Halbmesser r ist? Was ergibt sich, wenn r zu Null wird?

1) o = 3,    6=4, r = 7    2) — 5|0 ,    6

3) —4=| — 6 ,    3 ;    4) 0|8

00

;    5) 8] 15 ,    1 .

99.    Bestimme die Schnittpunkte der in der vorigen Aufgabe gegebenen Kreise mit den Koordinatenachsen.

100.    Unter welcher Bedingung liegt Punkt x₁\y1 außerhalb, auf, innerhalb des Kreises um Punkt a\b mit Halbmesser r?

101.    Bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes und den Halbmesser des Kreises, der durch die Gleichung

a)    X² -J- y² — 2 ax — 2by + P = 0 ,

b)    A X² -f- A y² + Cx + D y -f- F = О dargestellt ist. Was ist der Fall, wenn А = 0 wird?

Beispiele:

1)    X² Ą- y² — 8 X — 6 ?/ + 16 = 0 ,

2)    X² + y² -(- 14 X — 10 у 18 = 0 ,

3)    4x² + 4y² — 20 у — 24 = 0 ,

■4) -l*² + -l«/² +Юж+7«/ —^

⁴⁾ \X + Z2) ⁺(2/ + t) “

15\2

159    .

102.    Gib die geometrische Bedeutung von P in Kr. 101a an.

103.    Ton einem Kreis sind die Mittelpunktskoordinaten a und b und ein Punkt x₁\y₁ gegeben; wie lautet seine Bleichung?

104.    Auf welche bestimmte Form läßt sich die Gleichung eines Kreises bringen, dessen Mittelpunkt der unendlich ferne Punkt der G-eraden у = Mx ist und der durch Punkt x₁\y₁ geht?

Auflösung: Setzt man in der Kreisgleichung

1) X² -\- y² — 2ax — 2by -\- P = 0 ]

o!

Kes. :

1)    (X - 4)2 + (y - 3)2 = 32 ,

2)    (* + 7)2 + ^-5)2 = 26,

3)    x²+(y-

LO Ol

49

P'

so geht 1) über in

2) ж² + ß —

2 ar X -f- 2 У у — p'

hieraus folgt durch Multiplikation mit Я

3) Я (x² + У²) — 2 а' X — 2 V у + рг = 0 .

oder in

Mit Я = 0 wird а = оо, Ъ = оо und es geht 3) über in

4) — 2 а'-ж. — 2 6' у + p' = 0

b' pr

а'

а'

4') +2ж+ 2 —2/ + 1-= 0,

und da x₁\y₁ auf dem Kreis liegt, so muß sein 6 ) 2 x₁ -f- 2 My₁ — lim — = 0 .

als

rf

Aus 5) und 6) folgt durch Entfernung von lim —

а

gesuchte Kreisgleichung :

7) 2 (x — Xy) + 2 M(y — yy) = 0

oder

70

Da a\b auf y = Mx liegt, so ist Ъ = Ma, also auch b' =

4') über in

Ma', folglich lim-^-

5) 2 x -j- 2 My — lim = 0 ;

= lim — = M. Hiermit geht

af

a'

У — Ух = — ^ (x — xi) •

G-eometrische Deutung von l')\

105.    Wie lautet die Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte \y±, x₂\y₂ geht uud dessen Mittelpunkt auf der Geraden у — Mx liegt?

X\ — 1, у ^ — 2 , x₂ — 4 , у 2 —    3 , у — 3 x — 10.

Res.: (x — 7)² + (y — 2)² = 16 .

106.    Wie lautet die Gleichung eines Kreises, der die X-Achse im Punkt 5|0 berührt und aus der Y-Achse eine Sehne von der Länge 10 ausschneidet?

Res.: (x— 5)² + (y — 5 /2)² = 50 .

107.    Wie lautet die Gleichung eines Kreises, der die X-Achse in О berührt und durch den Punkt 15125 geht?

Res.: x² + (y— 17)²= 17² .

108. Die Gleichung eines Kreises zu finden, der durch die Punkte P1? P₂ und P₃ geht.

Beispiele: a) 0|0 ,    4|6 ,    12|10 ; b) 0|11 ,

21—4 ,    8|12 ; c) 1 2 ,    13 7 ,    117 .

Res.:

a) 14,751 — 5,5,    15,66;

b)

8,5;

301 491 a    a ku

61 122 °der nmd 5I⁴

c) 7(4,5 ,    6,5 .

von

109.    Die Gleichung eines Kreises vom Halbmesser 50 zu finden, welcher auf der + X-Achse eine Sehne der Länge 28 ausschneidet und durch den Punkt 0|8 geht.

Res.: (x — 30)² + (y — 48)² = 50² .

110.    Die Gleichung eines Kreises zu finden, der durch den Punkt 32|81 geht und die beiden Koordinatenachsen berührt.

Res.: r = 41 oder 185 .

111. Die Koordinaten der Ecken eines Dreieckes seien x₁\y₁ usf., die des Umkreismittelpunktes xQ\y₀ . Es soll bewiesen werden, daß die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises der neun Punkte

Vi + У2 + Уз - У О

und

X1 X2 + xs — xo

sind.

112. Es soll die Gleichung in x und у für die Linie gefunden werden, welche bestimmt ist durch die beiden Gleichungen

у = Ъ -f- r sin i , wobei t ein veränderlicher Parameter und r konstant ist.

x = а + r cos t

113.    Ebenso, wenn a?=2rcos²£, y = r$m2t.

114.    Graphische Tafel zur Berechnung recht

winkliger Dreiecke. Man bezeichne zwei durch einen Hauptpunkt 0 eines quadratischen Netzes (Millimeteroder besser Doppelmillimeterpapier) gehende gerade Netzlinien als Koordinatenachsen, beschreibe um О mit den Halbmessern 1;    1,5;    2;    2,5;    3 usf. Kreise und

beziffere jeden mit der zugehörigen Halbmesserzahl. Soll nun z. B. aus der Hypotenuse von der Länge 8 eines rechtwinkligen Dreieckes und der einen Kathete 3,1 die andere Kathete bestimmt werden, so sucht man auf dem Kreis 8 denjenigen Punkt, der zu der Abszisse 3,1 gehört. Die Maßzahl 7,38 seiner Ordinate, welche man abliest, gibt die Länge der andern Kathete an. — Sind die beiden Katheten 4,2 und 9,7 gegeben, so wird die Hypotenuse durch die Ziffer des Kreises angegeben, der durch den Punkt mit den Koordinaten 4,219,7 geht. Ist unter den gezeichneten Kreisen keiner, der durch diesen Punkt geht, so wird ein solcher mit dem Auge eingeschaltet (d. h. seine Ziffer wird geschätzt).

Wie berechnet man mit Hilfe dieser Tafel und etwa einer noch einzuzeichnenden Geraden:

1.    die Höhen von gleichseitigen Dreiecken aus der Seitenlange und die Seite aus der Höhe?

2.    die Hypotenuse eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreieckes aus der Kathete und umgekehrt?

3.    die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes aus der Hypotenuse und dem spitzen Winkel ß?

4.    die Länge der Sehne aus dem Kreishalbmesser und ihrem Mittelpunktsabstand?

115.    Ein kreisbogenförmiger Brückenbogen A A± soll eine Spannweite A'Ai = 80 m und eine Scheitelhöhe BS = 20 m erhalten. Wie groß sind die zu den in

Abständen von je 10 m angenommenen Punkten Cv C₂ ... der AA± gehörigen Höhen 0₁D₁ , C₂D₂ , . . .?

JS

A<

Fig. 5.

Hes. :

G%D± = 10 ,

G₂D₃ = —30 + 10 ] 2Î = 15,83 CSD₃ = —30 + 20Уб = 18,99 .

§ 7. Kreis und Gerade; Pol und Polare.

116. Die Koordinaten der gemeinschaftlichen Punkte eines Kreises und einer Geraden zu finden.

Beispiele:

1)    x² + У² = 289 ,

2)    X² + y² = 100 ,

3)    5 ж² + 5 у² + 24 ж — 12 у + 16 = 0 ,

3æ — 4^/ + 12 = 0.

8 ж — 15 у = 289 ; 7 ж + 24 2/ = 300 ;

Res.: 1) 8| —15 ;

2) imaginär ;    3) —

—4|0 .

4 12

12 Т

117. Die Gleichung der Tangente zu finden, welche an den um О mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreis in dem zu der Abszisse x₁ gehörigen im ersten Peld liegenden Punkt gezogen ist.

a) r == 25 ,    = 7 ] b) r = 13 ,    = 12 .

Res.: а) 7ж + 24?/= 25²; Ъ) 12ж + 5у = 13².

118. Die Bedingung zu finden, unter welcher die Gerade у = Mx C a) den Kreis um О mit r, b) den Kreis um a\b mit r schneidet, oder berührt oder nicht trifft. Wie lauten die Gleichungen der zu у = Mx parallelen Tangenten?

a)

b) r^l + \b—Ma—C\ .

119. Die Gleichungen der vom Punkt x₁\y₁ an den um О mit r beschriebenen Kreis gezogenen Tangenten zu finden.

Res. :

Beispiel: 617 , r = 2 .

Res.: у — Ъ

(x — d) ;

Ъ + r ]/a² + b² — r²

r² — а²

Зж - 4 ?/ + 10 = 0 ,    15 2/ — 8у — 34 = 0 .

120. Die Bedingung zu finden, unter welcher die durch О gehende Gerade у = Mx den um Punkt a\b mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreis schneidet, berührt oder nicht trifft.

Res.:

b — Ma

y.i + if²

121. An den um O mit r beschriebenen Kreis eine Tangente zu ziehen, daß

a) das zwischen die +АГ- und -f- Y- Achse fallende Stück derselben eine gegebene Länge s habe;

Kreis und Gerade; Pol und Polare.

43

b) die zwischen dem Berührungspunkt und den Koordinatenachsen liegenden Stücke sich wie X : 1 verhalten ;

c) der Inhalt des Dreieckes, das die Tangente mit der -\-X- und + Y-Achse bildet, gleich f² ist.

Res. : a) Die Koordinaten des Berührungspunktes sind

r~— (/s -f 2r + Уs — 2 r) ,

rf2 .

2 fs

Ist die Gleichung der Tangente in der Form xcosa, + у sin oc — r = 0 gesucht, so ergibt sich oc aus

г У2

sin 2 oc = —¹—

b) <£ oc folgt aus tg ос = УЯ .

с) <£ ос ergibt sich aus sin 2 oc —

122. Yon dem Ursprung sind Tangenten an den um Punkt a\b mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreis gezogen. Welches sind die Gleichungen und die Längen der Tangenten?

Res.:

ab + r]/a² -f b² — r2 y= ж;

У«² -f- b² — r² .

Was ergibt sich, wenn a — r oder b = r ?

123. An den um O mit r = 12 beschriebenen Kreis eine Tangente so zu legen, daß das zwischen dem Berührungspunkt und der -\-X- Achse liegende Stück die Länge 35 habe.

Res.: 12 x + 35 y = 444 .

124.    Die Gleichung eines Kreises vom Halbmesser r— 53 zu finden, der die Gerade 45ж-f- 28 у — 1433 = О im Punkt mit der Abszisse x₁ = 25 berührt.

Ees. : Zwei Kreise,

+ 20)2 + (2/ + 17)2 = 53^

(x— 70)² + (y — 39)² = 53².

125.    Die Gleichung eines um den Punkt 6|7 beschriebenen Kreises zu finden, der die Gerade у = T⁵Tx — 2 berührt.

Res.: (x — 6)² + (y — 7)² = 6² .

126. Die Gleichung eines Kreises zu finden, der durch Punkt 9|2 geht und die Koordinatenachsen berührt.

Res.: Zwei Kreise,

(x_17)2 + (^_₁₇₎2₌₁72?

(x — 5)2 + (y— 5)2 = 52 .

127. Die Koordinaten des Mittelpunktes eines Kreises zu berechnen, der durch die Punkte 3|1 und 9|5 geht und die X-Achse berührt.

Res. : Zwei Kreise,

3 +]/65 39 + 3 /65

128. Die Gleichung des Inkreises zu finden für das von den Geraden у = 0 , у = fx -j- 3 , у = —T⁵Y& + 25 gebildete Dreieck.

Res.: (x — 5)² + (у — 3)² = 3² .

Kreis und Gerade ; Pol und Polare.

45

129. Die Gleichung eines Kreises zu finden, der die Gerade 3x-\-2y = ll in dem Punkt mit der Abszisse 3 berührt und durch den Punkt 9|3 geht.

63\²

Res. :

x__, + lî/_^²₌i³⁰^

11/ ⁺ V 11/    121 '

130.    Die Gleichung eines Kreises zu finden, der durch die Punkte 2|4, 5jO und die zu ihnen in bezug auf die Y- Achse symmetrischen Punkte geht.

Res.: Ł x²4c y²b y— 100 = 0.

131.    Die Gleichungen der beiden Tangenten zu finden, welche an den um 0 mit r = 17 beschriebenen Kreis so gezogen werden können, daß sie senkrecht zu der Geraden lb x—8?/=10 sind.

Res.: 8&+15 2/ = +17².

132.    Die Gleichung der Polaren des Punktes x₁\y1 in bezug auf den um 0 mit r beschriebenen Kreis zu finden und zu zeichnen,

r = 12 ; 7|2, 3|4, 5|0, 0| — 6,    1|2, 0|0 .

133.    Die Gleichung der Polaren in Beziehung auf den um O mit r beschriebenen Kreis für den durch die Gerade у = Mx + G gegebenen unendlich fernen Punkt zu finden.

Res.: x -f My == 0 .

134.    "Wie lautet die Gleichung der Polaren des Punktes x± yt a) für einen Kreis um О, dessen Halbmesser unendlich klein, b) für einen Kreis, dessen Halbmesser unendlich groß ist? In letzterem Fall sei der Kreis (Gerade gleich Kreis von unendlich großem Halbmesser) gegeben durch die Gleichung

Ax -f- By +(7=0.

Ees. : a) x± x + y₁ y = 0 , die Polare geht also durch 0 und steht auf seiner Verbindungslinie mit dem Pol senkrecht.

b) A (x + Xj) + B(y + yx) + 2 C = 0 .

135. Die Koordinaten des Poles für die Gerade Ax -f- By + C = 0 bezüglich des Kreises x² y² = r2 zu finden.

5 2/ + 12 = 0 , b) ж — 3 = 0.

Beispiele: r = 6 : a) 7 x

Res.:

Ar² Br²

136.    Zu beweisen, daß die Polaren zu vier harmonischen Punkten ein harmonisches Büschel bilden. (S. Kr. 56.)

137.    Es soll bewiesen werden, daß, wenn man von jedem von zwei Punkten auf die Polare des anderen das Lot fällt, die Längen dieser Lote sich verhalten wie die Abstände der Punkte vom Mittelpunkte. (Satz von Salmon.)

§ 8. Der Kreis als geometrischer Ort.

138. Durch О werden Geraden gezogen und von dem festen Punkte P auf der + X-Achse (OP=c) Lote auf sie gefällt. Es soll der Ort der Fußpunkte dieser Lote gefunden werden.

139. Durch die Punkte des um О mit r beschriebenen Kreises werden Parallelen von der Länge а in den beiden Richtungen der Geraden у = mx + c abgetragen. Was ist der Ort der Endpunkte der Parallelen ?

Res.:

+ [y+

am

]/l + m²t

— V².

у 1 + m²

Was ist der Fall, wenn a = r ist?

140. Auf der X-Achse eines Koordinatensystemes sind zwei Punkte Px und P₂ mit den Abszissen -\-a und

Gerade gezogen, welche die Y - Achse in Qx, bzw. Q2 schneidet. Was ist der Ort des Schnittpunktes P der P± Q₁ und P₂ Q₂ , wenn die Geraden Pt Qi und P₂ Q2 sich so bewegen, daß О Qx • О Q₂ = a² ist, und Q1 und Q₂ stets auf derselben Seite bleiben?

a gegeben. Durch P₁ und P₂ wird je eine

Res.: X² -f- y² = a² .

141. Gegeben Kreis К um О mit Halbmesser r. Ein Punkt P bewegt sich so,

a)    daß die von ihm an К gezogenen Tangenten die Länge c haben,

b)    den <£ 2 ос einschließen (besonderer Fall 2 oc — 90°),

c)    daß die Berührungssehne die Länge 2 s hat. AYas ist die Gleichung für den Ort von P?

sin²öc

Res.: a) x² + y² = r² + c² , b) x² + У² =

c) x² + У² =

r4

r² — s²

142. Die Grundlinie B G = a eines Dreieckes ABC ist fest. Die Spitze A bewegt sich so, daß AB: A C

= 2:1. Was ist der Ort von A ? Was ergibt sich für 2=1?

Res.: Nimmt man B G als +JA -Achse, В als Ursprung, so ergibt sich

(1 — 2²) (ж² + y²) + 2 2² ax — 2² а² = 0 .

143.    Auf der X- Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems sind zwei Punkte A₁ und A₂ mit den Abszissen -\-a und —a gegeben. Ein Punkt P bewegt sich so, daß

a)    A±P² + IA₂P² = c², (Probe mit 2 = 1, c = 2 a).

b)    A + PA₂ =2 + P² ,

c)    tg A₂A±P= 2 tgA₁ PA₂ .

Was ist der geometrische Ort von P?

Res. : а) (1 + 2) (ж² + У*) — 2 а x (1 — 2)

+ (1 +2)a² —c² = 0,

b)    2 ( x² 4- y²) — 2 2 а ж — а ?/ + 2 а² = 0 ,

c)    ж² + з/² + 2 2 а ж — а² (1 + 2 2) = 0 ,

144.    Was ergibt sich als Ort von P, wenn P' sich so bewegt, wie P in Nr. 143 a, b, c, und wenn P Schwerpunkt des Dreieckes A₁ A₂ P' ist ? *)

Res. : a) 9(1+ 2) (ж² + y²) — 6 а (1 — 2) ж + (1 + 2) а² — c² = 0 ,

b) 9 2 (ж² + у²) — 6 2 а ж — 3 n ?/ + 2 а² = 0 ,

с) (x±py+y² = jï1±1).

О S. Neuifer, Progr. d. R.-Gr. Ulm 1902.

145. Um Punkt der vorigen Aufgabe ist ein Kreis mit Halbmesser r beschrieben; von dem Punkt A2 ist nach dem beweglichen Punkt P/ des Kreises ein Strahl A₂P/ gezogen. Dieser ist durch P a) halbiert, b) im Verhältnis A:1 geteilt. Was ist der Ort von P?

r² A²

Res.:

«(1 — A)\²

i + r)

+ У² =

(1 + A)² ’

Fig. 6.

146. Durch den Punkt P' des Kreises in Aufgabe 145 ist die Parallele zu der Y- Achse gezogen und darauf in der Richtung der -\~Y- Achse P/P" = c abgetragen. Es wird AP" durch P im Verhältnis A:1 geteilt.

Es ist der Ort des Teilungspunktes zu suchen. Was ergibt sich mit c = 0 ?

Res. :

X -J-

a( 1 — A)

-Г4

Pr²

1+jJ ~ (1 + A)² ’

Bür kl en, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

147.    Verallgemeinere Aufgabe 146 dahin P'P" = c von P' aus in einer der beiden Richtungen y = Mx abgetragen wird.

daß

148.    Um die Punkte A₁ (-f-a|0) und A₂ (—a\0) der АГ-Achse drehen sich zwei Strahlen Lt und L> mit gleicher Winkelgeschwindigkeit; die Richtungs-

P2L

Jz

4e

■1

tr

Fig. 7.

winkel ihrer Anfangslagen sind um <£ oc verschieden. Auf Lx bewegt sich der Punkt P', auf L₂ Punkt P". Was ist der Ort eines Punktes P, der sich so bewegt, daß P'P = c₁ und parallel zur F-Achse, P" P = c2 und parallel zur X-Achse ist?

Res. : tg oc (x² + y* — c₂x — e₁ y -f- a² — ac₂)

= X -f- (2 a — c₂) y + c± c₂ — ac± .

Besondere Bälle:

c₂ —    .

1) * = 45°;    2) ot = 45°,

149. Den geometrischen Ort eines Punktes P zu ermitteln, der sich so bewegt, daß die Summe der Quadrate seiner Abstände von drei gegebenen Punkten Pt, P₂ , P₃ gleich c² ist.

Res.: 3 (ж² + у²) — 2 (ж₁ + ж₂ + ж₃) ж — 2    + у.₂

+ Уз) У = с2 — (xi + А + хз + у\ + У\ + Уз) ■

Oeometrische Deutung des Kreismittelpunktes.

Kann die Aufgabe für n Punkte und dahin verallgemeinert werden, daß \ . P±P² + k₂P₂P² + k₃P₃P² + . . . + knPnP² = c2 ist?

150.    Ein Punkt bewegt sich so, daß die Summe der Quadrate seiner Abstände von den Katheten eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieckes gleich d² ist; den Ort des Punktes zu ermitteln.

Res. : Man nehme die Hypotenuse (Länge 2 c) als X-Achse, ihren Halbierungspunkt als 0, dann ergibt sich der Kreis x² -f- {y — c)² = d² .

151.    Gegeben sei ein Kreis К von Halbmesser r um 0. Von dem festen gegebenen Punkt P wird ein Strahl PP' nach К gezogen und durch Q im Verhältnis l : 1 geteilt. Es soll der Ort von Q gefunden werden, wenn P' auf К wandert.

Res.: Die Koordinaten von P seien x₁\y₁]

\²    / Ir V

x-r+i

Г+Я/ “ \T+ X! *

152.    Auf der Strecke P₁P₂= 2 a sind in P₁ und P₂ zwei Lote Lx und L₂ errichtet; durch P± und P2 werden zwei Strahlen gezogen, welche L₂ und L₁ auf der nämlichen Seite von РгР₂ in Q₂ und Q₁ treffen. Es soll der Ort des Schnittpunktes P von P± Q₂ und P₂ Q₁ gefunden werden, Avenn sich die Strahlen um P₁ und P₂ so drehen, daß stets Pt Qx • P₂Q₂ — 4 а² ist.

Res.: Ein Kreis über P₁P₂ als Durchmesser.

153.    Die Punkte Q₁ und Q₂ (s. Aufgabe 152) bewegen sich auf derselben Seite von P₁P₂ so, daß P₁ Q₁ • P₂ Q₂ — a² ist. Q₁ und Q₂ Averden mit dem Halbierungspunkt О von P₁P₂ verbunden, ferner werden P₁ und P₂ mit den Halbierungspunkten C± und C₂ лтоп О Q₁ und О Q₂ verbunden. AVas ist der Ort des Schnittpunktes P von P± C± und P₂ C₂ ?

Res.: О Ursprung, P±P₂ X-Achse, x² + y² — a².

154.    Ein um Omit r beschriebener Kreis schneidet die Y-Achse in P±. Auf der in Px gezogenen Tangente bewegt sich Punkt P'; von P' Avird die zAveite Tangente gezogen, aveiche К in P" berührt. Es soll der Ort für den Höhen Schnittpunkt P im Dreieck P^P'P" gefunden Averden.

Res.: x² -f- (y — r)² ~ r² .

155.    In dem Endpunkt P₂ einer Strecke P₁P₂ ist ein Lot gezogen, auf welchem sich ein Punkt Pf bewegt. Auf P₁ P' liegt P so, daß Px P' • Px P = 4 r2 ist. Es soll der Ort атоп P gefunden Averden.

Res.: P₂ Kullpunkt, P± P₂ Y-Achse, x² + (y — r)² = r² .

156.    Von dem Punkt P₁ wird nach einem auf der Geraden L beAveglichen Punkt P' der Strahl P±P' gezogen und auf demselben Punkt P so bestimmt, daß P±P • P₁P' = a² ist. Es ist der Ort von P zu finden. Der Abstand des Punktes Pt von L ist h ; PtP und PP' sollen gleichgerichtet sein. L sei X-Achse, das Lot von P₁ auf L sei Y - Achse.

а⁴

Pes.:

24

2 Ъ² — а²'

4 Ъ² *

Was ergibt sich mit

1) а = 0 ,    2) 5 = 0,    3) 5 = а ?

Anmerkung: Nimmt man P₁ als Pol und das Lot P±P₂ -L L als Polarachse eines Koordinatensystemes,

а²

so ist die Ortsgleichung r = —coscp .

157.    Von dem Ursprung О ist nach dem auf einem Kreis (Mittelpunkt oc\ß , Halbmesser g) wandernden Punkt P± der Strahl OP₁ gezogen und auf ihm P so bestimmt, daß OP • OPx = k². Es soll der Ort von P bestimmt und für den Fall, daß der Kreis durch О geht, untersucht werden. (Eeziproke Radien.)

Res. :

(oc² + ß² - g²)(x² + y²)- 2k² (ocx + ßy) + &⁴ = 0 .

Gleht der Kreis durch 0, so ist oc² + ß² — g² = 0, k²

also ос X + ß у--— = 0 Ortsgleichung.

158.    Im Abstand a von 0 auf der -f-X-Achse ist der Punkt Pt gegeben, von welchem aus die in dem um 0 mit Halbmesser r beschriebenen Kreis bewegliche und veränderliche Sehne P'P" stets unter einem rechten Winkel gesehen wird. Was ist der Ort des Poles P von P'P"?

Res. : (a² — r²) (x² + y²) — 2 a r² x -f- 2 r⁴ = 0 .

159. Den geometrischen Ort des Halbierungspunktes der Sehne P'P" von Aufgabe 158 zu finden. Was ist der Fall : 1) wenn a — 0 , 2) wenn a — r ist ? (Geometrische Betrachtung dieses Falles!)

Res. :

2 r² — а²

+ 2/²=    4

160. Den Ort des Fußpunktes des von P₁ auf die Sehne P'P" in Aufgabe 158 gefällten Lotes zu finden.

Res.: Derselbe Ort wie in 159. (Geometrischer Nachweis !)

161. Durch den Endpunkt P₁ eines Durchmessers P±P₂ eines Kreises vom Halbmesser r ist die Sehne P₁P' gezogen; sie wird über P; hinaus 1) um P'P = P-i.P' ч 2) Pf P = Я • P₁Pf verlängert. Was ist der Ort von P, wenn P' auf dem Kreis wandert? P₁P2 + W-Achse, Рг Nullpunkt.

Res.: 2) (x — À r)² + y² = (Я r)² .

162. Zu beweisen, daß der Ort eines Punktes, der sich so bewegt, daß die Fußpunkte der Lote, die von ihm auf die drei Seiten eines Dreieckes gefällt werden, in gerader Linie liegen, der Umkreis desselben ist.

§ 9. Zwei oder mehrere Kreise.

163. Ein Kreis Kx ist gegeben durch seinen Mittelpunkt ax Ъг und seinen Halbmesser ?\ , ein zweiter K2 durch a₂ b₂ und r₂ .

Welche Bedingungen müssen stattfinden,

a)    wenn K± und K₂ sich in zwei reellen und verschiedenen Punkten treffen,

b)    wenn sie sich von außen,

c)    wenn sie sich von innen berühren sollen,

d)    wenn K₂ völlig außerhalb K±,

e)    wenn K₂ völlig innerhalb K± liegen soll, ohne daß sie einen Punkt gemeinschaftlich haben?

164. Was ist die Bedingung dafür, daß die Kreise

und

2) ж² + у² + А;, ж + В.₂ у + С₂ = О konzentrisch sind?

165.    Wie lautet die Gleichung eines beliebigen Kreises, welcher durch die Schnittpunkte des Kreises

= 0 mit dem Kreis K₂ — 0 geht?

Bes. : K± + Я K₂ = 0 .

Beispiele:

Кг = x²-\-y² — 6 ж + 4 ?/ — 12 = 0,

K₂ = X² + У² - 10 ж — 16 у + 40 = 0 .

166.    Wie lautet die Gleichung eines Kreises, der durch die Schnittpunkte der beiden Kreise des vorigen Beispieles und a) durch den Nullpunkt, b) durch den Punkt 5| — 2 geht?

10

Bes.: a) 13 x² -f- 13 y² — 90 x — 8^ = 0, Я =

17

b) ßx² + 6y² — 43ж — 11 у + 19 = 0 , Я = ^-.

167.    Es soll nachgewiesen werden, daß die Kreise

1) ж² + y² — 400 = 0 ,

2) X² -f- y² — 10 a? — 24 y -f- 120 = 0

sieli berühren ; es soll sodann die Gleichung eines dritten Kreises gefunden werden, der die X-Achse und die beiden Kreise in ihrem Berührungspunkt berührt.

Res.: 5 x² -j- 5 y² — 96 x — 40 y -f- 80 = 0 , x² + y² — 480 y — 200 ж + 1000 = 0 .

168.    Durch die Schnittpunkte zweier Kreise und K₂ einen Kreis von gegebenem Halbmesser r zu legen.

Beispiel: K± = x² + У² + 24ж — 14 = 0 , K₂ = x² + y² - 24 = 0

Res.: Zwei Kreise:

8 x² -j- 8 y² -}- 24 x — 182 = 0 ,

9x² + 9 y² — 12 x — 221 = 0 .

169.    Durch die Schnittpunkte der Kreise K± = 0 und K₂ = 0 einen Kreis zu legen, dessen Mittelpunkt auf der Geraden L liegt.

K± = x² + y² — 6 ж + Ły — 12 = 0 ,

K₂ = ж² + у² — 10 ж — 16 у + 40 = 0 , L~8x — Зу — 2 = 0.

Res.: ж² + у² — 14ж — 36 у + 92 = 0 .

170.    Die Gleichungen der gemeinschaftlichen Tangenten an zwei Kreise zu finden.

171.    Gegeben ist die Gleichung eines Kreises K± — 0 und die einer ihn in P berührenden Geraden L = 0 ; es soll die Gleichung irgend eines Kreises angegeben werden, der К in P berührt.

Res. : К + À L = 0 .

Was ist der Fall, wenn an Stelle von К ein Punkt (Nullkreis) tritt?

172.    Die Gleichung eines Kreises iT₄ zu finden, der drei gegebene Kreise Kx, K₂, iT₃ berührt.

173.    Was ist die Potenz л des Punktes x\y in Beziehung auf den Kreis 1) um a\b mit r, 2) um О mit. r, und was ist 3) die Potenz des Nullpunktes in bezug auf den Kreis um ci\b mit r?

Res.: 1) л = (x — a)² -f- (y — b)² — r² ,

2) x² -j- y² — r²,    3) a² + b² — r² .

174.    Was ist der Ort eines Punktes, dessen Potenz in Beziehung auf den um a\b mit r beschriebenen Kreis л ist?

Res.: (x — a)² + (j/ — b)² = r² + л .

175. Gegeben sind zwei Kreise Kt und K₂ durch ihre Gleichungen

1)    + У² — 6 ж + 4 у — 25 = 0 ,

2)    x² Ą- у² — lb x — 2^/ + 2 = 0.

a)    Was ist die Gleichung ihrer Potenzlinie?

b)    Welcher Punkt der X-Achse hat gleiche Potenz für beide Kreise und was ist diese?

Res.: a) 3x + 2y = 9 , b) 3|0 ;    34 .

176. Den Punkt gleicher Potenz für drei Kreise

1) x²-\-y² — 36 = 0, 2) x²Ą-y²—2x— by — 5 = 0, 3) x² -\- y² § X 1\ y — 125 = 0

zu finden und die Länge der von diesem Punkt an die Kreise gezogenen Tangenten zu berechnen.

Bes.: 13|1 ;    /Ï34 .

177. Es soll ein Kreis gefunden werden, der den Kreis x² -f- y² — 2 x Ą- by — 5 = 0 rechtwinklig schneidet, durch den gegebenen Punkt 6|1 geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden 9 ^ -f- 4= ?/ = 47 liegt.

Res. : Der Mittelpunkt ist 71 — 4, der Halbmesser ]/26 .

178. Den Ort für den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises zu finden, der die Peripherie zweier gegebener Kreise halbiert.

Res.: Sind a\b und ax\\ die Mittelpunktskoordinaten, r und die Halbmesser, so ist die Ortsgleichung :

(x — a)² -f- (y — b)² + r² — (x — ax)² + (y — bх)² + rï oder

2(a± — a)x-\-2{b₁ — b)y = a\ -\-b\-\- r\ — (<a² + b²-j- r²), der Ort ist also eine Parallele zur Potenzlinie.

179.    Zu beweisen, daß die Kreise, welche über den als Durchmesser genommenen Diagonalen eines vollständigen Yierseits beschrieben werden, dieselbe Potenzlinie haben.

180.    Zu suchen ist der Ort für einen Punkt P, der sich so bewegt, daß die Summe der Quadrate der von ihm an zwei gegebene Kreise K± und K₂ gezogenen Tangenten PP' und PP" gleich a² ist.

Res.: Wird M± als Ursprung, MtM₂ als X-Achse und MXM₂ = c genommen, so ergibt sich als Ort der Kreis

X² -f- y² — r\ + (x — c)² y² — r₂ = a² .

Bemerkungen:

1)    Besondere Fälle: a) rx = 0 , b) r₂ — 0 .

2)    Welcher Ort ergibt sich, wenn statt der Summe die Differenz der beiden Quadrate genommen wird, welcher Ort, wenn m₁PP/2 + m₂PP"² = a² sein soll?

3)    Läßt sich die gegebene Aufgabe auf mehr als zw ei Kreise ausdehnen?

181. Gegeben ist die Gleichung

1) X2 Ą.y2 _ 2Xy-)rP = 0 ,

worin X ein veränderlicher Faktor ist. Es soll bewiesen werden :

a)    daß alle Kreise, welche durch 1) dargestellt sind, die X-Achse in denselben beiden Punkten schneiden, also ein Büschel bilden;

b)    daß die Polaren des festen Punktes x₁\yl in bezug auf diese Kreise alle durch einen und denselben Punkt gehen, und es sollen die Koordinaten dieses Punktes angegeben werden.

Gang für b): Schreibe die Gleichung der Polaren des Punktes x₁\y₁ in bezug auf 1) an; sie kann in die Form Lx + À L₂ = 0 gebracht werden, wobei L± und L₂ lineare Ausdrücke in x und y sind, folglich geht die Polare für jeden Wert von X durch den Schnittpunkt der Geraden L± = 0 und L₂ = 0. Schnittpunkt:

Ih ■

y\ —P

182.    Gegeben eine Gerade y = g . Es sollen die Koordinaten ihres Poles in bezug auf das Kreisbüscliel x² -f- У² — % ky -\-]) = 0 gefunden und ermittelt werden, welche Werte man der Konstanten c zu geben hat, wenn die Gerade in bezug auf jeden Kreis des Büschels denselben Pol haben soll.

Bes.: 0|+ j/p .

183.    Den Ort der Mittelpunkte der Kreise zu finden, die von zwei gegebenen Punkten О und Q unter gegebenen Winkeln oc und ß gesehen werden.

Res. : Nimmt man О als Ursprung und O Q (Länge a) als -\-X- Achse, so findet man den Kreis

(sin²& — sin²/?) (X² + У²) + 2 sin²/? а ж = a²sin²/? .

Beispiel:

(X = 90°,    /? = 45 ⁰ ; (x + 2 a)² + y² ^ 6 a² .

IY. Abschnitt.

Die Parabel.

§ 10. Hauptlagen; wichtigste Gleichungsformen.

Der Parameter, welcher gleich dem vierfachen Abstand des Brennpunktes vom Scheitel ist, sei mit 2 p bezeichnet.

Die Gleichung der Parabel, deren Scheitel in О und deren Achse auf der X-Achse liegt, ist

y² = 2 px .

Hauptlagen; wichtigste Gleichungsformen. 61

Je nachdem 2 p positiv oder negativ ist, fällt die Parabelachse mit der -fX- oder —X-Achse zusammen, d. h. öffnet sich die Parabel in der Richtung der +X- oder —X-Achse.

184.    Wie lautet die Gleichung einer Parabel, deren

Scheitel die Koordinaten a\b sind, deren Parameter die Länge 2p und deren Achse die Richtung 1) der +X-, 2) —X-,    3) der -f-K-,    4) der —Y-Achse hat?

Res.:    a) (y — b)² = 2p (x — a) ,

b)    (y — b)² = —2p {x — a) ,

c)    (:x — a)² = 2p{y — b) ,

d)    (x — d)² = —2p(y — b) ,

Zeichne für jeden der vier Fälle aus freier Hand den ungefähren Verlauf der Kurve in dem Koordinatensystem , wenn a und b positiv sind ; ebenso wenn a — 0 und h ^ 0 , a ^ 0 und b = 0 ist.

185.    Zeige durch Zurückführung auf eine der in Nr. 184 gegebenen Formen, daß jede der folgenden Gleichungen eine Parabel dar stellt, und gib für jede die Lage und Bestimmungsstücke an.

1)    y² — 6y— 12x + 57 = 0 ,

2)    y² —j- 6 x —J— 2 y —}- 31 = 0 ,

3)    y² + 10 ж + 50 = 0 ,

4)    у² — 8х—14?/ —49 = 0 ,

5)    x² -j- 6 x -j- у -j- 6 j- == 0 j

6)    x²—Ąy- 18 = 0,

7)    x² + Вх + Су + D = 0 ,

8)    у² + Вх    Су + D = 0 .

Res.:

1) (y — З)² = 12 (x — 4), Scheitelkoordi-

naten 4|3, Parameter 12, Achsenrichtung in der Ą-Х- Achse;

С² — 4 В

В В² — 4P

4(7

186.    Von einer Parabel, deren Scheitel in О und deren Achse auf der + .X-Achse liegt, ist ein Punkt xi\y± gegeben. Es soll ihre Gleichung gefunden werden.

187.    Es soll die Gleichung einer Parabel gefunden werden, wenn drei Punkte derselben durch ihre Koordinaten gegeben sind und ihre Achse parallel einer Koordinatenachse ist.

Beispiele: Bei 1), 2), 4) ist die Kurvenachse parallel der X - Achse, bei 3) und 5) parallel zur Y - Achse.

1) 0|0,    0|0,    f|5;    2) —5|3,    1|9,    19| — 9 ;

3) —12|2, —18|8, 0|98 ; 4) 0| —17 , 0|7, 6|H-1 .

— а — 2 b\ -f- а,

5) 0|-(a+2ft),

2 Ъ²

2 Ъ²

— а — 2 61— а .

р    ¹

Res.: 1) у² — 15 ж; 3) (x -f- 14)² = 2 у)

5) у² =

2) (у-3)* = 6(^ + 5);

4) (У+ 5)2 = —18(Ж — 8).;

(x -f- a -f- 2 b) .

а² р

Yb²

188. Zu zeigen, daß ein kleiner Teil einer Kreislinie annäherungsweise als Bogen einer Parabel, deren Parameter gleich dem Kreisdurchmesser ist, aufgefaßt

Hauptlagen; wichtigste G-leichungsformen.

63

werden kann. Welches ist dann die Lage des Brennpunktes ? (Breimspiegel = Paraboloidsegment = Kugel-liaube von kleiner Höhe.)

189. Ein Brückenbogen AxOA soll die Form einer Parabel vom Parameter 10 erhalten; die Spannweite AXA soll 24 m werden. Wie groß sind die Höhen

ą с, с л

Fig. 8.

CD, C₁D₁ ..., welche zu den in Abständen von je 3 m angenommenen Punkten (7, C± ... gehören?

Ees.: 6,3;    10,8;    13,5 ;    14,4 m.

190. Gregeben sind zwei Punkte Pt und P₂ mit den Koordinaten —10|42, 5| — 3. Die Strecke PXP2 wird durch Q im Verhältnis À : 1 geteilt. Es soll 1 so bestimmt werden, daß Q auf der Parabel y² = 18 ж liegt.

Res.: Я = 4 oder —6 .

§ 11. Sekante, Tangente.

191. Die gemeinschaftlichen Punkte einer Parabel und einer Geraden zu finden.

6 X -f- y — 18 ;

3) y² = 10 X , y — Mx + G .

Beispiele: 1) y² = 18x,

2) y² = 15ж, Sx— 2 y ——5;

4) y² = 2px,

Res.: 1) 2|6,    4,5| — 9;    2) |-|5 (Tangente);

3) x =

(keine reellen Schnittpunkte);

— 9 + i УПб

4) X =

p — MC + -]/p (P — MC)

M²

P i Yp (P — MG)

192.    Beweise aus dem Ergebnis des Beispieles

4) von Nr. 191, daß die Halbierungspunkte paralleler Sehnen, deren Richtungskoeffizient M ist, auf dem

V

Durchmesser y = liegen.

ЛИ.

P

193.    Beweise, daß die Gerade у = Mx + tpiTj

y ²

Parabel y² = 2p x berührt und daß y = die Ordinate des Berührungspunktes ist. Zeige ferner hieraus und aus dem Abschnitt der Tangente auf der Y- Achse, daß der Scheitel die Subtangente halbiert. (Hieraus folgt eine Tangentenkonstruktion.)

194. An die Parabel y² = 2p x ist eine Tangente zu ziehen, welche mit der -fX-Achse einen Winkel von a) 45°, b) 60°, c) oc° macht. — Wie viel zu einer Geraden parallele Tangenten an eine Parabel sind möglich ?

с) y = xtgoc + — ctg a .

Res.:

195. Eine Tangente an die Parabel y² = 2px schneidet auf der Y - Ache das Stück C ab. Wie lautet die Gleichung der Tangente?

Res.:

/'

y = 2ÖX+C-

196. Die Gleichung der Tangente im Punkt x₁\y1 zu finden, wenn gegeben ist:

xi i ’ У\ ^ ^ i Ух =-2/7 ;

a)    y² = 24 x,

b)    y² = 14 x,

xi —    2/1^0.

Ь) У = —iV7 (x + 2) ;

c)    y² = —10 x Res. : a) y — 3 x + 2 ;

с) у = 2,5 ж + 1 .

197.    Die Gleichung einer Parabel zu finden, welche die Gerade y = Mx + G berührt, ihren Scheitel in 0 und ihre Achse auf der -|-A-Achse hat.

Res.: y² = 2 GMx .

198.    Die Gleichimgen der beiden vom Punkt x₁\y1 an die Parabel y²=2px möglichen Tangenten zu finden.

Res.:

(x — x±).

2 x₁

Bür kl en, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

Wann sind die beiden Tangenten reell und verschieden, wann reell und zusammenfallend oder imaginär?

199. Die Gleichungen der Tangenten, die vom Nullpunkt an die Parabel (y — h)² = 2 p (x — a) gezogen werden können, zu finden.

Res.:

b + ]/&² -f- 2 ap 2a

200.    Die Gleichung der Normalen im Punkt x₁\y1 der Parabel, sowie die Länge der Subnormalen und die der Normalen — letztere zwischen x₁\y₁ und der X- Achse genommen — zu finden.

Res.:

y₁x+py = x₁y₁+py₁-,    p-,    ]/p² + y\ ..

Aus der Länge der Subnormalen folgt eine Konstruktion der Normalen im Punkt x₁\y₁ .

201.    Die Gleichungen der vom Punkt P (жх|0) der X - Achse an der Parabel y² = 2 px möglichen Nor-

3 7)

malen zu finden. Wie verlaufen diese für x₁ = — ,

wie für xx =p? Für welche Werte von x₁, d. h. für welche Lage von P sind keine Normalen möglich?

Res.: p у = -f- (x — xx) ]/2 p (x± —p) .

202.    Die Gleichung der Tangente zu finden, die senkrecht auf der Geraden y = Mx -f- C steht.

Res.:

,Mp\

M 2 / *

203.    An die Parabel y² = 2px eine Normale zu ziehen, welche senkrecht zu der Geraden y=—tx-{-12 ist.

Res.: 10ж — 4у = 412,5 .

204. Durch den Punkt x₁\y₁ die Sehne zu ziehen, welche in diesem Punkt halbiert wird.

2/1 = 7.

Beispiel: y = — 12x\ x₁ — 3

Res.:

y% = — (x — *i) ;

Vi

ßx+ 7y= 67 .

205.    Wie lautet für die Parabel y² = 2p x die Gleichung des Durchmessers, der die unter dem Winkel von 45° gegen die Achse gezogenen Sehnen halbiert?

Res. : у = p •

206.    Die Gleichungen der gemeinschaftlichen Tangenten für die Parabel y² = 2px und den Kreis x² + У² = r² zu finden.

Beispiel: y² = 15 ж, x² + y² = 8² .

Res.: у = +-fæ + 10 .

207.    Um den Punkt a\0 der X-Achse soll ein Kreis beschrieben луerden, der die Parabel y² = 2 p x berührt.

Res. : (x — a)² Ą- y² = p (2 а — p) .

Wie verläuft der Halbmesser zum Berührungspunkt?

Für welche Werte von a ergibt sich kein Kreis? Wie gestaltet sich die Berührung, wenn а = p ?

208. Gegeben ist die Parabel y² = 2p x und auf ihr der Punkt P (a\b). Es soll die Gleichung dieser Parabel für ein Koordinatensystem gefunden werden, dessen Abszissenachse (PA') der durch P gezogene Durchmesser imd dessen Ordinatenachse (PY') die in P gezogene Parabeltangente ist.

Res. : у'² — 2 (2 а + p>) x' = 2 p' xf .

Anmerkung: Man nennt 2(2 ap) den Nebenparameter.

209.    Zu beweisen, daß der Nebenparameter 2p' gleich der durch den Brennpunkt parallel zur Y - Achse gezogenen Sehne ist.

210.    Die Gleichung der Tangente in Punkt a'\b' an die Parabel in dem in Nr. 208 gegebenen schiefen System zu finden.

Res. : b'y' = p' (x! + cd) .

§ 12. Pol und Polare.

211. Die Gleichung der Polaren eines Punktes in Beziehung auf eine Parabel zu finden.

7|8 ;

212. Die Koordinaten des Poles der Geraden

b) y² = —5 X

31 — 7 .

Beispiele: a) y² = 14 X

a) y = M X + C, b) m x + n y = c ,

in bezug auf die Parabel y²= 2px zu finden. Wo liegt der Pol, wenn m — 0 , oder n = 0, oder c — 0 ?

fei¹«

Res. :

213. Die Gleichung der Polaren des durch die Gerade y = Mx -j- C gegebenen unendlich fernen Punktes zu bestimmen.

V

y = — (Verlauf, Folgerung, vgl. Kr. 192).

Jy±

214. Den Pol des Durchmessers y = к zu finden.

Res. :

Res.: Es ist der unendlich ferne Punkt der Geraden

P

У = -г

215.    Zu beweisen, daß, wenn man durch einen Punkt P einen Durchmesser zieht, welcher die Parabel in C und seine Polare in D trifft, PC — CD ist.

216.    Es soll durch den Punkt x₁\y₁ eine Sehne in der Parabel y² = 2p x gezogen werden, welche durch den Durchmesser у = к halbiert wird.

p

Res. : у — y₁ = — (x — x^) ; besonderer Fall к = 0 .

217.    Die Gleichung der Polaren des Brennpunktes der Parabel у² = 2p x zu finden.

218.    Zu beweisen, daß die Lote, welche man von zwei beliebigen Punkten der Scheiteltangente auf die zugehörigen Polaren fällt, sich auf der -X-Achse schneiden.

219.    Zu beweisen, daß das vom Brennpunkt auf eine Tangente gefällte Lot sie in einem Punkt der Scheiteltangente trifft.

220.    Zu beweisen, daß die Länge einer durch den Brennpunkt gezogenen Parabelsehne gleich dem vierfachen Brennstrahl nach dem Berührungspunkt der ihr parallelen Tangente ist.

221.    Zwei Punkte Px und P₂ haben die Polaren L₁ und L₂ . Es soll bewiesen werden, daß der Quotient aus dem Verhältnis der durch eine Gerade Ls auf P₁P₂ erzeugten Abschnitte und dem Verhältnis der Abstände des Poles der P₃ von L± und L₂ konstant ist.

§ 13. Geometrische Örter.

222.    Vom Scheitel 0 der Parabel y² = 2px werden Sehnen gezogen und es wird jede Sehne OP a) um sich selbst, b) um ihr Doppeltes, c) um ihre Hälfte,

d) um das Я fache bis P₁ verlängert. Was ist der Ort von P₁ ?

Res.: d) у² = 2 (1 + X)px .

223.    Vom Scheitel 0 der Parabel y² = 2p x werden Sehnen gezogen und es wird jede Sehne OP von О aus durch P₁ a) halbiert, oder im Verhältnis b) 2:3,

с) Я : 1 geteilt. Was ist der Ort von P₁ ?

Res.:

e) ÿ² =

px .

224.    Durch jeden Punkt P der Parabel y² = 2 p x wird eine Parallele zur X - Achse gezogen und darauf in der Richtung a) der + X - Achse, b) der —X-Achse, c) der + Y- Achse, d) der — Y- Achse ein Stück PP± = c abgetragen. Was ist der Ort von P₁ ?

Res.: y² = 2p (x + c) : (y + c)² = 2px .

225.    Die Ordinaten der Parabel y² = 2px werden a) halbiert, b) von der Achse aus im Verhältnis Я : 1 geteilt, c) um sich selbst, d) um das Я fache verlängert. Was ist der Ort des Teilpunktes, bzw. des Endpunktes der Verlängerungen ?

Res. : a) und b) У² =

2 Я2 (Я + 1)

c) und d) y² = 2 (Я + 1 )²px .

226. Durch jeden Punkt der Parabel y² = 2p x wird eine Parallele zur X-Achse gezogen und darauf die Länge der zugehörigen Ordinate abgetragen. Was ist der Ort des Endpunktes des abgetragenen Stückes? (Die negativen Ordinaten sind in der Richtung der —X-Achse abzutragen.)

Res. :

(y+P)² = 2 p[x+^) ■

227. Jeder Punkt der Parabel y² = 2px wird um die Strecke c in der Richtung einer Geraden, die mit

JT

's

+X

Fig. 9.

der -f-X-Achse den Winkel ы macht, verschoben. Was ist der Ort der erhaltenen Punkte?

Res.: (y — csin#)² = 2p {x — ccosa:) .

228. Durch den Punkt x₁\y₁ werden Sekanten an die Parabel у² — 2p x gezogen. Was ist der Ort der

Halbierungspunkte der auf ihnen abgeschnittenen Sehnen? Was ergibt sich, wenn x₁ = 0 und

2)    —    3) xt =    — oder 4) x₁\y₁

ein Parabelpunkt ist?

Wink: Der Ortspunkt ist Schnittpunkt der Sekante mit dem Durchmesser, der ihrer Richtung zugeordnet ist.

Res.:

y\

= p\x + ---xA.

Łp

229.    Durch einen Punkt P der Parabel y² = 2p x wird das Lot auf die X- Achse gefällt bis zum zweiten Schnittpunkt P± mit der Kurve. Durch P wird die Parallele zur Achse, durch P± eine Gerade unter 45° gegen die Achse gezogen; was ist der Ort des Schnittpunktes dieser Geraden?

Res.: (y + 2p)² = 2p (x + 2p) .

230.    Der auf der Parabel y²=2px bewegliche Punkt P wrird auf die W- Achse senkrecht nach Q projiziert. Durch P wird die Parallele zur Achse, durch Q die Parallele zu OP gezogen. Gesucht wird der Ort des Schnittpunktes beider Parallelen.

Res.: y²=px.

231.    Yom Brennpunkt der Parabel y² ~ 2p x werden Strahlen nach den Punkten der Kurve gezogen und jeder wird um sein Я fâches verlängert. Was ist der Ort der Endpunkte der Verlängerungen?

Res.:

У² = 2 P (* + 1) (x + y) .

232. Es soll der Ort der Mittelpunkte aller Kreise, die eine gegebene Gerade und einen gegebenen Kreis (diesen von außen) berühren, gefunden werden.

Man nehme die Gerade als Y- Achse und das Lot F О vom Mittelpunkt F dieses Kreises auf sie als X-Achse. Es sei FO = c, der Kreishalbmesser r.

Res.: y² = 2 (r -f- c) (x + ?    . (Probe aus r = 0 .)

233. Den Ort für den Mittelpunkt eines Kreises zu finden, der eine gegebene Gerade berührt und einen gegebenen Kreis vom Halbmesser r rechtwinklig schneidet.

Die Gerade sei Y- Achse, das Lot vom Mittelpunkt auf sie sei X-Achse, die Abszisse des Mittelpunktes sei c.

. (Probe aus r = 0.)

Res.: y²==2c[x-\-

r2 — c2'

234.    Zu der X-Achse ist die Parallele L im Abstand Ъ gezogen. Der Nullpunkt ist mit dem Punkt P' der L verbunden, durch P' ist die Parallele zu der K-Achse und auf OP' in О das Lot gezogen. Welchen Ort beschreibt der Schnittpunkt P dieser beiden Geraden, wenn P' auf L wandert?

Res.: X² = —Ъ у .

235.    Über BO=a steht das Dreieck ABC mit der zu BO gehörigen Höhe h. Welchen Ort beschreibt der Höhenschnitt H des Dreieckes, wenn A sich auf einer Parallelen zu BC bewegt? (ВО sei X-Achse, О Nullpunkt.)

236. In dem auf der Parabel у² = 2p x wandernden Punkt P ist die Tangente gezogen, welche die K-Achse in P± trifft. Was ist der Ort des Schnittpunktes der Mittellote auf OP und OPx (Umkreismittelpunkt des Dreieckes OPPt) ?

co|^

Res. :

237.    Auf der Geraden у = Ъ bewegt sich der Punkt P. Yon P wird das Lot auf seine in bezug auf die Parabel y²=2px genommene Polare gefällt. Was ist der Ort des Fußpunktes dieses Lotes?

Res.:

У (P² — Ъ²) -f- 2 Ър X = p² Ъ .

238.    Ein um О mit r beschriebener Kreis trifft die +X-Achse in А ; von dem auf dem Kreis beweglichen Punkt P wird das Lot PC auf die Y-Achse gefällt und um sich selbst über P hinaus verlängert bis Pt. Was ist der Ort des Schnittpunktes von OP und AP±?

Res.:

CO

V. |<M

239. Auf dem um О mit r beschriebenen Kreis bewegt sich der Punkt P, die durch ihn gezogene Tangente schneidet das im Schnittpunkt A des Kreises mit der -f-X-Achse errichtete Lot in C. Durch C ist die Parallele zur X-Achse gezogen; sie schneidet die OP in Q. Es soll der Ort von Q gefunden werden.

(-?)■

Res.:

240. Auf der Geraden x — a bewegt sich ein Punkt P. Yon ihm wird auf seine in bezug auf die

Parabel y² = 2px genommene Polare das Lot gefällt. Was ist der Ort des Fußpunktes dieses Lotes?

Res. :

to|^ś

Besprechung für a = О ,

241.    Yon dem auf der Parabel y²—2px wandernden Punkt P wird auf die Scheiteltangente das Lot P C gefällt und dieses um sich selbst über C hinaus verlängert bis Q ; Q wird mit О verbunden. Die durch P zu OQ gezogene Parallele schneidet die Parabel in P₁. Was ist der Ort der Mitte von PP₁ ?

Res. : у² = \p x .

242.    Durch den Scheitel О der Parabel у² = 2px wird eine Sehne OP und zu dieser der zugeordnete Durchmesser gezogen. Yon seinem Schnittpunkt mit der Leitlinie wird das Lot auf OP gefällt. Es soll der Ort des Fußpunktes gefunden werden.

МГ

Res.:

+ y² =

p²

16 *

243. In dem Punkt P der Parabel y² =2px ist die Normale PN gezogen; P ist mit dem Brennpunkt F verbunden und durch den Scheitel О ist zu PN die Parallele gezogen, welche FP in Q trifft. Was ist der Ort von 0, wenn P sich auf der Parabel bewegt ?

Res.:

(ж-| У+у² =

p²

244. Gegeben ist ein Kreis 0 mit Halbmesser r7 der die -\-N- Achse in A schneidet. Über OA als

Durchmesser ist ein zweiter Kreis beschrieben. An diesem gleitet eine Tangente. Welchen Ort beschreibt ihr in bezug auf den Kreis um 0 genommener Pol?

Res. : y² = —4 r (x — r) .

245. Durch einen Punkt P (а^|y±) ist eine Gerade gezogen, welche die Leitlinie der Parabel y² = 2px

₊r

,P

2)

Fi g. 10.

in D trifft. Auf PD ist in D das Lot errichtet. Was ist der Ort des Halbierungspunktes M der auf diesem Lot von der Parabel ausgeschnittenen Sehne?

Res. : г/² (p — 2 xj — 2 p yy у = jo² [x + Pj .

246. A¥as ist in bezug auf die Parabel у² = der Ort des Poles einer Geraden, welche die Parabel x² = 2 p у berührt ?

247. An die Parabel y² = 2px ist in P die Tangente gezogen. Was ist der Ort des in bezug auf den mn 0 mit r beschriebenen Kreis genommenen Poles ?

Bes.:

2 r²

§14. Benutzung der Parabel zum graphischen Rechnen.

248.    Graphische Tafel zum Quadrieren und Quadratwurzelausziehen. — Zeichne die Parabel у = X² auf Millimeter- oder Doppelmillimeter-Papier, dann kann an der Ordinate des zu x gehörigen Parabelpunktes X² und an der zu у gehörigen Abszisse fy abgelesen werden. Die Kurve kann bei der Aufzeichnung an den zu ж = 10, 20 . . . gehörigen Punkten gebrochen und die Fortsetzung an der X-Achse bei x = 10, 20 . . . wieder angesetzt werden.

Genauigkeit ein bis zwei Dezimalen, wenn als Einheit 1 cm oder 2 cm genommen wird.

249.    Beweise, daß die vom Punkt P (a\b) an die Parabel x² = 4 y gezogenen Tangenten auf der X-Achse Stücke abschneiden, deren Länge gleich den Wurzeln xx und x₂ der Gleichung

(O

x² — ах + b = 0

Wird die Parabel auf Millimeterpapier auf-

Bes.:

xy = —

p²

ist. Zeige ferner, daß, wenn man um P mit F (F Brennpunkt) einen Kreisbogen beschreibt, welcher die Leitlinie in P₁ und P₂ trifft, die Abszissen von Px und P2 doppelt so groß als die Wurzeln der Gleichung (1) sind.

gezeichnet und die Skala auf der Leitlinie für dcrppelte Größe numeriert, so kann Gleichung (1) durch einen Kreisbogen um P mit PF graphisch gelöst werden.

tT

'7i

<P

Fi g. 11.

Zeige, daß, wenn a\b außerhalb, auf, innerhalb der Parabel liegt, Gleichung (1) zwei reelle und verschiedene, zwei reelle und zusammenfallende, zwei imaginäre Wurzeln hat.

250. Es sei die Funktion

y = A X² + Bx -f- G

gegeben. Für welchen Wert von x erreicht y einen kleinsten oder größten Wert?

Auflösung: Man bringe die gegebene Gleichung, welche eine Parabel darstellt, auf die Form

(x — a)² = 2p{y — b),

so sind a\b Scheitelkoordinaten der Parabel und es erreicht, wie ans der Figur ersichtlich, y für x = a den kleinsten oder größten Wert b je nachdem die Parabelachse die Richtung der + Y- oder der — F-Achse hat, d. h. je nachdem 2 p ^ 0 ist.

+x

Fig. 12.

251.    Ein Rechteck soll einen Umfang von 200 m erhalten. Wie müssen die Seitenlangen gewählt werden, damit es einen größten Inhalt erhält?

Res.: Je 50 m. (Quadrat.)

252.    Eine gegebene Strecke a so in zwei Teile zu teilen, daß die Summe der Quadrate derselben ein Minimum wird.

n    л 2

Die Teile sind — , das Minimum — .

2 ’ 2

Res. :

V. Abschnitt.

Die Ellipse.

§15. Hauptlagen, wichtigste Gleichungsformen; Punkt und Ellipse.

Vorbemerkungen: Die Halbachsen seien mit a und Ъ bezeichnet, wobei a> b (sofern nichts anderes bemerkt ist oder sich aus der Aufgabe nichts anderes ergibt), die lineare Exzentrizität, d. h. der Abstand eines Brennpunktes vom Mittelpunkt mit /, die numerische Exzentrizität mit £, der Parameter mit 2 p bezeichnet. Es ist also

h²

f= ]/a² — b²

Ellipsen sind ähnlich, wenn die Halbachsen proportional sind. •

Ähnliche und ähnlich liegende (homothe tische) Ellipsen sind bei konstantem к und veränderlichem а dargestellt durch die Gleichung

X²

-T +

CL²

(к а)²

ebenso bei konstantem a und b und bei veränderlichem к durch

X²

(k a)

■ y²

^ (kh)²

253.    Die große, auf der X-Achse liegende Achse einer Ellipse ist 34, die kleine, welche auf der Y-Achse liegt, ist 16. Wie lautet ihre Gleichung und was ist der Abstand eines Brennpunktes vom Mittelpunkt?

Res.: / = 15 .

254.    Die große Achse einer Ellipse ist 10, der Abstand der Brennpunkte 2 f = 8 ; wie groß ist die kleine Achse und wie lautet die Gleichung der Kurve? (Lage wie in Nr. 253.)

255.    Eür eine Ellipse ist b = 24 , / = 7 ; wie groß ist a und £?

256.    Eür einen Kometen (Tempel) ist die große

Halbachse der elliptischen Bahn rund а = 3,5, /=1,4; für einen anderen (Enke) ist а = 2,2,    £=0,85.

Zeichne die entsprechenden Kurven, wobei die Längeneinheit gleich 3 cm genommen werden soll.

Unter den Planeten hat der Merkur weitaus die größte Exzentiizität, nämlich 0,2. Zeichne die ihr entsprechende Ellipse.

257.    Es ist а = 25 , г = 0,96 ; wie groß ist f und 5?

258.    Es ist jp = 7,2 , £ = 0,6 ; wie groß ist /, a und b?

259.    Yon einer Ellipse, deren Achsen auf den Koordinatenachsen liegen, sind zwei Punkte 10|5, 6113 gegeben; es sollen die Halbachsen berechnet werden.

Res.:

а = E yiÏÏ , b = 5 yiÖ .

О

260.    Eine Ellipse berührt die Y-Achse in einem Punkt mit der Ordinate 3, sie schneidet die X-Achse in Punkten mit den Abszissen 3 und 7. Wie lautet ihre Gleichung?

Bür kl en, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

Kes.:

(x — 5)²

5²

Die Ellipse.

(У - 3)2

75

261. Die Achsen einer Ellipse sind parallel zu den Koordinatenachsen, die Mittelpunktskoordinaten sind ax und \, die Halbachsen a und h. Wie lautet die Gleichung der Kurve? Wie lautet sie:

a)    wenn die Ellipse im ersten Feld liegt und beide Koordinatenachsen berührt,

b)    wenn die Ellipse die К-Achse in О berührt und der Mittelpunkt auf der -f-X-Achse liegt (Scheitelgleichung),

c)    wenn die Ellipse die X-Achse berührt und der Mittelpunkt auf der — Y-Achse liegt?

(x — ax)²

Res. :

(у — M²

a²

262.    Unter welcher Bedingung stellt die Gleichung Ax² -f- Cy² + Dx + Ey + F = 0 eine Ellipse dar ? Wann ist diese ein Kreis?

263.    Gib von den durch die folgenden Gleichungen dargestellten Ellipsen die Mittelpunktskoordinaten und die Halbachsen an:

a)    2bx² + 9y² — 50x — 54,v — 119 = 0 ;

b)    9x² + Ły² — 6x + 10?/ — 15 = 0 ;

c)    4x² + 25 y² — 40 ж + 150 у — 225 = 0 ;

d)    x² + 4 у² + a x + Ъ у — с² = 0 .

(У - З)² _ ₁ .

о-    —    ¹ ?

Res. :

а)

(X - 1)2

25

Hauptlagen, wichtigste Grleichungsfbrmen.

83

0 1| — o) 5| —

d)

, it89; , /22;

■J- /4 a² + Z>² + 16 c²

•1-/4 a* + 6² + 16 c² .

264.    Yon der Ellipse b²x² + a²y² = a²b² sind gegeben die Koordinaten 10|27 eines Punktes und die Achse 2 а = 4 ; wie groß ist die andere Achse ?

Res. : 2ö = 18.

265.    Untersuche, ob die Punkte 317, 61 — 2, — 11 j 1 innerhalb oder außerhalb der Ellipse

5²x² + 12V = 5² • 12²

liegen.

266. In die Ellipse

y²

4- 7— = 1 ein Rechteck ein-o²

zubeschreiben, dessen Seiten sich wie l : 1 verhalten (а > Ъ , Я > 1) und den Koordinatenachsen parallel sind.

а Ъ

y~x ix* ъч- + «² '

Res. : X =

/Я²&² + а²

267. In die Ellipse der vorigen Aufgabe ein Rechteck so zu zeichnen, daß zwei (xegenecken in die Brennpunkte fallen. Was sind die Koordinaten der im ersten Feld liegenden Ecke? Was ist der Fall, wenn Ъ = f ist?

h²

Das Rechteck

ist nur möglich, wenn /*> Ъ .

268. Die Gleichung in x und y für die Linie zu finden, für welche

x = acostf, y = h&mt .

269. Ebenso für

y = ß + Ъ sin t.

x = а + acostf,

270. Ebenso für

2bt

y i + f² '

а (1 — t²)

/у»-- ⁴__

b( l+.t²)

Res.: ö² ж² -f- а²у² = а² b² .

271. Um den Punkt P der X-Achse (OP=a₁) soll ein Kreis beschrieben werden, der die Ellipse b² x² + а² у² = а² b² berührt. Wie groß ist der Halbmesser des Kreises und wann ist ein solcher Kreis nicht mehr möglich?

Res.: r² = b² (f² — a\) : f²

№ -\-p²a²

272. Die Gleichung einer Parabel von gegebenem Parameter 2p, deren Achse auf die X-Achse fällt, so zu bestimmen, daß diese Kurve die Ellipse b² x² -f- a²y² = a²b² berührt.

Res.: y² = +2_p (x — <%), wobei a± = +

273. Die Gleichung einer Parabel aufzustellen, welche die Ellipse b² x²a² y² = a² b² in dem auf der + Y - Achse liegenden Scheitel berührt und durch die Brennpunkte geht.

Res.:

x² —

§ 16. Ellipse und Gerade; Pol und Polare.

274.    Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden y = Mx -f- C mit der Ellipse b²x² + a²y² — a²b². Wie muß G gewählt werden, damit die Gerade die Ellipse schneidet, berührt oder nicht trifft?

Bes.:

I C\ Щ, У&2 _f_ a2 .

275.    Beweise vermittels der in Nr. 274 berechneten Schnittpunktskoordinaten, daß die Halbierungs-punkte paralleler Sehnen auf einem Durchmesser liegen.

276.    An die Ellipse

X² y²

T²⁺ 322

sollen zwei Tangenten gelegt werden, welche parallel zu der Geraden 24 æ -f- 7 y = 11 sind.

Bes.: 24x + 7y = +280 .

277.    Leite vermittels des Ergebnisses von Nr. 274 die Gleichung der Tangente und daraus die der Normalen an die Ellipse b² x² + a² y² = a² b² im Punkte x₁\y₁ her.

278.    Ebenso die Gleichungen der vom Punkt x₁\y1 gezogenen Tangenten. Besonderer Fall: a = b = r .

Bes.:

x₁ y₁ + ]/&² x\ + a² y\ — a² b²

x\ — а²

(x — x±).

x² y²

--L ——

^ 24²

279. Wie lautet die Gleichung der Tangente an die Ellipse

7²

welche auf der ~\-X- und -|-K-Achse gleiche Stücke abschneidet? (Umbeschriebenes Quadrat.)

Ees.: y — —x -j- 25 .

280. Wie lautet die Gleichung der an die Ellipse in Nr. 277 gezogenen Tangente, wenn ihre Abschnitte auf der -\-Y- und + ^Y-Achse sich wie Л:1 verhalten ?

у = —Ix + Уb² + № а² .

Res.:

281. Unter welcher Bedingung berührt die Gerade и x + V y -R 1 = 0 , die Ellipse von Nr. 2 7 7 ?

Res.: a²u² -f- b² v² — 1 = 0, Gleichung der Ellipse in Linienkoordinaten.

282. Die Gleichung der Tangente im Punkt x₁\y1 an eine Ellipse zu finden, deren Achsen parallel den Koordinatenachsen sind und die Größe 2 a und 2 b haben und deren Mittelpunktskoordinaten a± und bt sind.

а²

K    (xi - ai)(x - «i)

283. Es soll die Gleichung einer Ellipse gefunden werden, deren Mittelpunkt in 0, deren eine Achse (=2 a) auf der X- Achse liegt, welche die Gerade у = mx -j- c berührt.

X²

c² — m² a²

284. Untersuche, ob es eine Normale gibt, die durch einen Brennpunkt der Ellipse geht.

Res.: Die Normale im Punkt mit den Koordinaten

Res.:

b²

— und — — i geht durch einen Brennpunkt, d. h. es gibt keine solche Normale.

285. Bestimme die Ausdrücke für die Abschnitte, welche die Normale auf den Achsen abschneidet, und ermittele aus diesen Ausdrücken die Ellipsenpunkte, für welche jeder Abschnitt seinen größten und seinen kleinsten Wert erlangt. Was ist die Grenze dieser äußersten Werte?

*i = 0;

x± = a,

Res. :

286. Die gemeinschaftlichen Tangenten an die Ellipse Ь² X² + а² у² = а² b² und die Parabel у² = 2px zu finden.

Res.: Die Gleichungen der Tangenten sind gegeben

durch

wobei

M=±

— fr² Hr ]/&⁴ + cc²2j2

2 a²

287.    Wie muß p bestimmt werden, damit die Gerade X cos cp -f- У sin (p — p~ 0 die Ellipse Ь²х² + a²y² = a²b2 berührt ?

Res.: p² = a²cos²(p -f- b²mi²cp .

288.    Beweise mit Hilfe von Nr. 274, daß die Gerade у = Mx -f- G die dort gegebene Ellipse berührt, wenn sie auf dem in den Scheiteln der 2 a Achse errichteten Lote Stücke abschneidet, deren Produkt b² ist.

289.    Beweise, daß, wenn man über dem Stück einer Ellipsentangente, das zwischen den Scheiteltangenten der großen Achse liegt, als Durchmesser einen Kreis beschreibt, dieser durch die Brennpunkte geht.

290.    Beweise, daß das Produkt der Abstände der Brennpunkte von einer Ellipsentangente konstant und gleich Ъ² ist.

291.    Die Gleichung der Polaren eines Punktes x₁\y₁ in Beziehung auf eine gegebene Ellipse zu finden.

Beispiele:

2)

‘SK

X²

3 ос²

ui

У²

ß²

X± = (X ,

У\

to "Co

Res. :

1) 4 ж + 25 ?/= 25 ;    2) 8ßx — 3 (xy = 6otß.

292. Auf der Gferaden 10 ж + 9 ?/= 40,8 einen Punkt so zu bestimmen, daß seine Polare in bezug auf die Ellipse 9ж²+25?/² = 225 a) parallel, b) senkrecht zu der gegebenen Geraden ist.

Res. :

a) 3

со Ю

00

toi OI

ol

293. Die Gleichung der Polaren des unendlich ferne]i Punktes, der durch die Geradengleichung А x + В у = О gegeben ist, in bezug auf die Ellipse b²x² + a²y² — a²h2 zu finden.

Bx

a²

Res. :

h²

Anmerkung: Diese beiden Geraden heißen konjugierte Durchmesser, jeder geht durch den Pol des anderen.

294.    Für dieselbe Ellipse den Pol der Geraden Ax By C = 0 zn bestimmen.

h²B

Res.:

a² A

xx =

Vi -

~7T’

Was folgt hieraus 1) für einen Durchmesser, 2) für die unendlich ferne Gerade?

295.    Durch den Punkt x±\y± eine Gerade zu ziehen, von welcher durch die in Nr. 294 gegebene Ellipse eine Sehne abgeschnitten wird, welche in diesem Punkt halbiert wird.

Ees.: Die gesuchte Gerade ist parallel zu dem Durchmesser, welcher der Verbindungslinie von x₁\yi mit О zugeordnet ist (s. 293).

296.    Durch den Punkt x±\y₁ in der Ellipse

Ъ²х² + a²y² — а²Ъ²

eine Sehne zu ziehen, welche durch den Durchmesser А X + В у = 0 halbiert wird. ₉

Res. :

A(x — x^)

297. Gegeben ist der Punkt х±\ух und die Gerade Ax By C = 0 ] wie müssen die auf den Koordinatenachsen liegenden Halbachsen einer Ellipse gegeben werden, damit die Gerade Polare des Punktes ist?

Clh

Res. :

Cxx

В *

298. Zu beweisen: Wenn zwei Ellipsen die Brennpunkte gemeinschaftlich haben und es wird eine Tangente der einen Kurve als Polare in Beziehung auf die zweite genommen, so liegt der zugehörige Pol auf der

durch den Berührungspunkt jener Tangente gehenden Normalen der ersten Kurve.

299.    Beweise, daß die Brennpunkte und die Punkte N und T, in welchen die zu einem Punkt P der Ellipse gehörige Normale und die Tangente die große Achse schneiden, harmonisch liegen.

300.    Es soll bewiesen werden, daß, wenn man von dem Punkt, in welchem eine Tangente die kleine Achse schneidet, auf den längeren der beiden zum Berührungspunkt gehörigen Brennstrahlen das Lot fällt, dieses auf dem Brennstrahl ein Stück gleich der kleinen Achse abschneidet.

301.    Welche Beziehung muß zwischen den Koordinaten x± Iy₁, x₂ \y₂ zweier Punkte Px und P₂ bestehen, damit ihre Verbindungslinien mit dem Mittelpunkt der

X²

Ellipse

£/²

₂ -|-    = 1 konjugierte Durchmesser sind?

Bes. :

xt x₂

Vl У 2

Ъ²

302. Zwei konjugierte, einander gleiche Durchmesser für die Ellipse von Nr. 301 zu bestimmen.

Res.:

9-±-z;

Länge

i /а²+Ъ²

\

303. Beweise, daß, wenn die Punkte P± und P2 von Nr. 301 Endpunkte konjugierter Durchmesser mit den Längen 2 A und 2 В sind, dann folgende Beziehungen gelten:

1) *? + *! = «² ;

2)    yl + yl = w-

3)    A² + S² = а² + й² .

wenn

304.    Beweise, das jedes Dreieck Pt OP₂, das durch zwei konjugierte Halbmesser OI\ und OP₂ einer Ellipse

gebildet wird, unveränderlichen Inhalt ^ hat.

и

305.    Welche Beziehung nmß zwischen M und Mt bestehen, damit y = Mx und у = M₁x konjugierte Durchmesser der Ellipse b² x² + а² у² = а² b² sind ? Was folgt für die konjugierten Durchmesser a — b ist ?

Bes. :

MM± = —

Ъ²

a²

306.    Bestimme vermittels eines konjugierten Durchmessers die Berührungspunkte der Tangenten, die parallel zu einer gegebenen Geraden an eine gegebene Ellipse gezogen werden können.

307.    Beweise, daß, wenn man einen beliebigen Ellipsenpunkt mit den Endpunkten eines Durchmessers verbindet, die Verbindungslinien zwei konjugierten Durchmessern parallel sind. — Hieraus folgt:

Die Seiten jedes einer Ellipse einbeschriebenen Parallélogrammes sind konjugierten Durchmessern parallel.

308.    Beweise, daß die Diagonalen des einer Ellipse umbeschriebenen Parallélogrammes konjugierte Durchmesser sind.

309.    Gegeben ist die Ellipse 5 x² + 9y² = 452 und der Punkt 10121. Durch diesen wird der Durchmesser gezogen. Es soll die Gleichung des zu ihm konjugierten gefunden werden.

Bes.: 50ж+189£/ = 0.

310.    Jede Seite eines einer Ellipse umbeschriebenen Parallélogrammes wird durch ihren Berührungspunkt so in zwei Abschnitte geteilt, daß das Rechteck derselben gleich ist dem Quadrat des parallelen Halbmessers.

311.    Die Länge der zu dem Ellipsenpunkt x₁\y1 gehörigen Brennstrahlen zu finden.

Res. :

r = a — x± s ,

rt = a +    8 •

312.    Das Bechteck aus den Brennstrahlen eines Ellipsenpunktes ist gleich dem Quadrat des Halbmessers, welcher dem durch den Punkt gehenden konjugiert ist.

313.    Wird einer Ellipse ein — veränderliches — Bechteck umbeschrieben, so bestimmen die Berührungspunkte ein Parallelogramm von konstantem Umfang.

§ 17. Geometrische Örter.

314.    Yon dem Punkt P des um О mit r beschriebenen Kreises wird das Lot PQ auf die Y- Achse gefällt und PQ über P hinaus

a)    um sich selbst,

b)    um die Hälfte von P Q ,

c)    um das -§- fache,

d)    um das Я fache

verlängert bis Pr. Was ist der Ort von P', wenn P auf dem Kreis wandert?

Bes.: d) ж² + (1 + X)²y² = (1 + Я)²г² .

315.    Yon dem auf der negativen Y- Achse liegenden Scheitel S der Ellipse Ъ²х² -f- a² y² == a² b² wird die Sehne SP gezogen und über P hinaus

a)    um sich selbst,

b)    um das Я fache

verlängert bis P'. Was ist der Ort von P', wenn sich die Sehne um S dreht, und was ist

c) der SP ist?

Res. :

Ort von 0, wenn Q Halbierungspunkt von

b)

X²

{у-Щ²

тН

«I

<N

с)

to\ CJ-

tH

816. a) Durch den Punkt 0 werden Sekanten in die Ellipse Ь²х² + a²y² = а²Ъ² gezogen; jede darauf abgeschnittene Sehne wird halbiert. Was ist der Ort des Halbierungspunktes Q ?

b) Dieselbe Aufgabe für den Punkt x₁\y₁ . Anmerkung: Q kann als Schnittpunkt der Sekante mit dem ihrer Richtung konjugierten Durchmesser angesehen werden.

Res. : b)

(»-!)■

h² x\ + a² y\

Ь² x\ + а² y\

4 b²

4 a²

Was ergibt sich, wenn x₁\y₁ 1) auf die Ellipse, 2) nach O, 3) ins Unendliche fällt, und 4) wenn b = а = T ist ?

317. Der Pimkt P der Ellipse von Nr. 316 wird auf die X-Achse nach Q projiziert; durch P wirdeine Parallele zur X- Achse und durch Q eine Parallele zu OP gezogen. Was ist der Ort des Schnittpunktes dieser Parallelen ?

Res. :

(x — 2a)²    у²

----= 1 .

4 a² ^ 7£>

b²

318. Es ist ein Kreis К um 0 mit. r gegeben; er schneidet die    Achse ûi А. Über O A ist ein

zweiter Kreis K± beschrieben. Es soll der Ort für die Mittelpunkte aller Kreise gefunden werden, welche К und K± zugleich berühren.

Res. :

(-t)’

9 r²

16

319. Gesucht der Ort für den Mittelpunkt eines Kreises, der den Kreis um 0 vom Halbmesser r von

r    r

innen und den Kreis vom Halbmesser — um — 0 von

3    3

außen berührt.

4 r2

Res. :

12

->•

Fi g. 13.

Was ist

320. Um О dreht sich OP± = c± mit der Winkel geschwind igkeit w₁ um P₁ dreht TX~ sich 1\ P = c2 mit der Winkel-geschwindigkeit —w.

der Ort von P, wenn P₁ und P im Anfang der Bewegung auf der -f- X-Achse liegen und P± zwischen О und P liegt?

X¹

Res. :

(<ï — e₂)¹

(G1 + C2)

321. Der Punkt P der vorigen Aufgabe wird mit dem Punkt A± auf der -\-X-Achse (OAt = a±) ver-bxmden. Was ist der Ort des Halbierungspunktes Q von AP?

?y2

Res. :

322. Von dem Punkt P der Ellipse Ъ¹ X¹ -f- a¹y¹ — a¹ b¹

ist auf die Y-Achse das Lot PC gefällt und um sich selbst über P hinaus verlängert bis Pt. Es soll der Ort des Schnittpunktes der OP mit der AP₁ gefunden werden, wobei A der auf der +X-Achse liegende Scheitel ist.

2 b¹

<!

Res.:

Diese Parabel geht durch die Scheitel auf der Y- Achse.

323. In dem auf der -{-F-Achse liegenden Scheitel der Ellipse von Nr. 322 ist die Tangente und in dem beweglichen Pimkt P der Ellipse ebenfalls die Tangente gezogen, welche die erstere in C trifft; durch C ist die Parallele zur F-Achse gezogen, welche die OP in Q schneidet. Was ist der Ort von Q?

Res. :

X¹ =

У~2Г

324. In dem auf der +АГ-Achse liegenden Scheitel der Ellipse Ъ²х² -f- а² у² = а²Ъ² ist die Tangente gezogen. Von jedem ihrer Punkte ist auf seine zugehörige Polare das Lot gefällt. Was ist der Ort der Fuhpunkte dieser Lote?

Res.:

2 a² — b²\²

+ y² =

4 a² '

325. In dem einen Scheitel Sx der großen auf der X - Achse liegenden Achse (2 a) einer Ellipse wird die

Fig. 14.

Tangente S± T gezogen. Der zunächst liegende Brennpunkt Ft wird mit dem auf der Kurve wandernden Punkt P verbunden und von P das Lot PT auf Sx T gefällt. Es ist der Ort des Schnittpunktes Q der S±P und der Fx T zu finden.

Res. :

h² (2 a X — fx + cP)² + a²(f — а)² у² = а² Ъ² (x — f)² .

326. Auf der Achse der Parabel y² = 2p x sind in gleichen Abständen vom Scheitel О die Punkte A1 und A₂ gegeben [OA-^—a). Punkt P bewegt sich auf der Kurve. A₂ P schneidet die Scheitel tangente in (7; durch C ist die Parallele CQ zu OAt gezogen. Was ist der Ort des Schnittpunktes dieser Parallelen mit А±Р?

Res. :

<:t' P- -I—= 1 . Besonderer Fall: а =

a²

ap

327. Was ist der Ort des Höhenschnittpunktes in dem Dreieck A±A₂P, weim A₁A₂ eine Achse und P beweglicher Punkt der Ellipse h² x² -f- a²y² — а² Ъ2 ist ? (At A₂ = 2 a) .

Besonderer Fall Ъ — а .

Res. :

ж²

у²

+ -V=1.

cP

Ъ²

328. In der Ellipse Ъ² x²a² y² = а² Ъ² bewegt sich die Sehne P± P₂ parallel zur К-Achse (s. Fig. 15); P₁P₂ schneidet die W-Achse in G. Was ist der Ort des Schnittpunktes R der B±C mit OP₂, wenn B₁ der mit P₁ auf derselben Seite liegende Scheitel auf der F-Achse ist?

Res.:

x² —

2 h²

329. Was ist (s. №. 328) der Ort des Schnittpunktes U der A±P₂ mit B±C? A± ist der Scheitel auf der -f-Al-Achse (s. Fig. 15).

Bürklen, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

330. РгС (s. Nr. 328) sei über Px hinaus längert um P₁L = P₁C, L sei mit B₁ verbunden und es sei B₁L in V halbiert. Was ist der Ort von V?

ver-

Res.:

X²

a²

b\²

y--2,

к—*

OTT

Fig. 15.

331. An der Ellipse ~ -f- ^ = 1 bewegt sich

eine Tangente. Sie wird als Polare des Hauptkreises x² y² = a² betrachtet. Was ist der Ort ihres Poles?

Res.:

b²

332. Der Punkt P bewegt sich auf der einen Leitlinie der Ellipse b²x² -f- a² y² — a² b² ; die zu P gehörige Polare sei QR. Yom Mittelpunkt О wird auf QR das

Lot gefällt. Es soll der Ort des Schnittpunktes dieses. Lotes mit QE gefunden werden.

Res.:

(x-Ç) + y² =

333. Der auf der Ellipse von Kr. 332 sich bewegende Punkt P wird auf die Y-Achse projiziert; die Projektion C wird mit dem auf der + X-Achse liegenden Scheitel A₁ verbunden. Es soll der Ort des Schnittpunktes Q der A±C mit der OP gefunden werden.

Res. :

y² =

2 b²

X--—

334. Eine Strecke von imveränderlicher Länge bewegt sich so, daß der eine Endpunkt P₁ auf der X-Achse, der andere P₂ auf der Y-Achse gleitet. Welchen Ort beschreibt der Punkt Q der Strecke, der sie in die Abschnitte P₂Q — a und QP± = b teilt? Besonderer Fall: a = b.

Res. :

X²

-5 +

a²

Anwendung ani den Ellipsen Zirkel.

335. Die Ellipse Ъ²х² -|- a²y² = а²Ъ² schneide die X-Achse in den Punkten A₁ und A₂ ; P sei ein auf der Kurve wandernder Punkt. Was ist der Ort für den Schwerpunkt 1) des Dreieckes AtA₂P, 2) des Dreieckes OA±P?

X²

Res.: 1) ±-} a²

a²

+ TT-1 •

6²

336. Die Ellipse von Nr. 335 hat die Brennpunkte F mid Fv Über FFX als Durchmesser ist ein Kreis beschrieben. Um ihn bewegt sich eine ihn berührende Gerade. Was ist der Ort ihres Poles in bezug auf die Ellipse?

X²

y2 + Ur

Res. :

337. In der Ellipse von Nr. 335 ist über OA₁ als Durchmesser ein Kreis beschrieben. An ihm bewegt sich eine Tangente. "Was ist der Ort ihres in bezug auf die Ellipse genommenen Poles?

(x — а) .

Res.:

4 Ъ*

а³

338. Eine Gerade bewegt sich so, daß sie die

Ellipse гг = ------- berührt. Was ist der Ort

а* Ъ± a² + b²    x2 2

ihres Poles in bezug auf die Ellipse — + — = 1 ?

a²    b²

Res.: x² Ą- y² — a² b² .

339. Der Punkt P der Ellipse b²x² + Py² — a²b2 ist mit dem Brennpunkt F verbunden; durch F benachbarten Scheitel A± auf der X-Achse wird die Parallele At Q zu der durch P gehenden Normalen PN gezogen. Was ist der Ort des Schnittpunktes der PF mit der AtQ?

cP (a² - f²)

(x - fY + y* =

f²

Res.:

340. Yon dem einen Brennpunkt der Ellipse von

Nr. 339 wird auf jede ihrer Tangenten das Lot gefällt. Was ist der Ort für den Fußpunkt dieses Lotes?

Res. : x² y² ~ a² .

Dieser Kreis über der großen Achse 2 a heißt Haupt-kreis der Ellipse.

341. Yon dem Punkt P der Ellipse b² x² Ą-a² y² = a² b2 ist das Lot PC auf die X-Achse gefällt; es schneidet den Hauptkreis (s. Nr. 340) in B. Durch В ist die Parallele zu A±A₂ gezogen. Was ist der Ort ihres Schnittpunktes Q mit dem Lot, das man von О auf die in P gezogene Tangente fällt?

Res.:

X² y²^

b²    а ²

342. Im Punkt P der Ellipse von Nr. 341 ist die Normale gezogen, welche die große Achse A±A₂ (= 2a) in N trifft; verlängere PN um sich selbst über P bis B, ziehe OB und durch A± zu PN die Parallele. Was ist der Ort ihres Schnittpunktes mit OB, wenn P auf der Ellipse wandert ?

Res. :

a (a² + b²)

X = -тг- .

г-

343. Durch den Punkt P der Ellipse von Nr. 34J,. ist die Parallele PQ zur großen und durch Pun die Parallele CQ zu der kleinen Achse gezögert ist der Ort des Schnittpunktes Q der ParaЦь£еп^<л^ ^ \\

as

.V

Res. :

X²

f*

b²

344. Es wird der Punkt Q der Aufgabe 343 mit О verbunden und zu OQ der konjugierte Durchmesser O Qf gezogen. Was ist der Ort seines Schnittpunktes mit der Geraden, welche durch A₁ (Scheitel auf der + X - Achse) parallel zu der in P gelegten Tangente gezogen wird?

a³

Res.:

345.    Was ist der Ort für die Spitze eines rechten Winkels, der sich so bewegt, daß seine Schenkel stets Tangenten an der Ellipse Ъ²x² + а²у² = а² Ъ² sind?

Res.: x² + y² — a² -f- b² .

346.    Beweise, daß die Potenzlinie zwischen dem in Nr. 345 gefundenen Kreis und dem Leitkreis der Ellipse (Kreis um f\ 0 mit Halbmesser 2 a) Leitlinie der Ellipse ist.

347.    Gegeben sind zwei konfokale Ellipsen

a²

Ъ²

und

h\

Ein rechter Winkel bewegt sich so, daß der eine Schenkel die eine, der andere Schenkel die andere Ellipse berührt. Was ist der Ort der Spitze?

Anmerkung: Zwei Ellipsen heißen konfokal, weim sie die Brennpunkte gemeinschaftlich haben, wenn also а² — Ъ² = al — Ъ\ ist.

Res. : x² -f- y² = (P + b\ oder x² + y² = a\ + b².

AVie ergibt sich hieraus der Ort von Nr. 345 ? Wie ist das Resultat zu deuten, wenn \ = Ъ = 0 wird?

348. Zu beaveisen: Verändert sich ein Parallelogramm, das einer Ellipse umbeschrieben ist so, daß

sein Umfang konstant bleibt, so bewegen sich die Eckpunkte in einer Ellipse, welche der gegebenen konfokal ist und deren Halbachsen a± und \ sich aus den Halbachsen der gegebenen Ellipse durch

а± = Ila (ia -f- b) ,    \ = ]/ô {a + b)

bestimmen.

349. Über der großen Achse A₁A₂ = 2a der Ellipse b² X² + а² У² = a<2 № ist ein Kreis beschrieben.

+Y

/

/>

\l

\!

i!

\

v\

~ё~~Х

'!

+JT

Fi g. 16.

Yon dem Punkt P des Kreises ist auf A₁Ą das Lot PC gefällt, das die Ellipse in Px schneidet. Auf OAt ist P₂ so bestimmt, daß J₂ P> = A₂ P ist. Was ist der Ort des Schnittpunktes Q der durch P₂ zu ALA₂ gezogenen Senkrechten mit A₂ 1\ ?

¹

a¹

Res.:

(X + e)²    y^_

4 cP ⁺4 b²

350. Durch den Punkt P (s. Fig. 16) wird PR parallel zu OA₁ gezogen. Was ist der Ort des Schnittpunktes R der ОРл mit PR ?

Res.:

351. Durch A₂ (s. Fig. 16) wird zu der in P₁ gezogenen Tangente das Lot gefällt. Was ist der Ort seines Schnittpunktes mit PR (s. Nr. 342) ?

Res.:

(x + a)² y²

7 О    I - О

a²

352.    Gregeben ist die Ellipse h²x² + a²y² = a²b², die große Achse ist A₁A₂ = 2 a . Es wird in dem Punkt P die Tangente PT und die Normale PN gezogen. Die kleine Achse wird von PN in W, von PT in T getroffen. Was ist der Ort des Schnittpunktes der F₁N und der F₂ T? (F± und F₂ Brennpunkte.)

Res.: x² y² = a² — b² .

353.    Zu F₁N (s. Nr. 352) und F₂T werden Parallelen durch A±, bzw. A₂ gezogen. Was ist der Ort des Schnittpunktes dieser Parallelen?

Res.: X² -f- y² = a² .

354.    Durch den Punkt P der Ellipse von Nr. 352 ist die Normale gezogen, welche die große Achse A₁A2 in Nt trifft. PN± wird über P hinaus um sich selbst verlängert bis Рг ; P₁ wird mit dem Fußpunkt C des von P auf AxA₂ gefällten Lotes verbunden. Was ist der Ort des Schnittpunktes der Px G mit dem zu PN parallel gezogenen Durchmesser?

Res.:

y²

4 a2 + Ta*

355. Von dem auf der Ellipse h² x² + a² y² = a²h2 wandernden Punkt P wird auf die dem Brennpunkt F1 (/*|0) zugehörige Leitlinie das Lot PD gefällt, und der Fußpunkt D wird mit dem Punkt D₁ der großen Achse 2 a verbunden, der von F± ebensoweit entfernt ist, als jene Leitlinie. Was ist der Ort des Schnittpunktes der DD± mit F₁P?

Res.:

x² + y² =

VI. Abschnitt.

Die Hyperbel.

§ 18. Hauptlagen, wichtigste Gleichungsformen; Punkt und Hyperbel.

Vorbemerkungen: Die Gleichung der Hyperbel, bezogen auf ihre Kurvenachsen als Koordinatenachsen, lautet, falls die reelle Achse auf der X-Aclise liegt:

X²

<N I <N

falls diese auf der Y-Achse liegt:

2)

X-

1) und 2) heißen konjugierte Hyperbeln. Die Brennpunkte F₁ und F₂ haben vom Mittelpunkt О die Entfernung f=^a²-\-b²‘ f heißt die lineare, f

— die numerische Exzentrizität der Hyperbel.

ct

Ist b = a, so heißt die Hyperbel gleichseitig. 2 b²

2 u =- heißt der Parameter.

а

Hyperbeln sind ähnlich, wenn die Halbachsen proportional sind.

Ähnliche und ähnlich liegende (homothetische) Hyperbeln sind bei konstantem к und veränderlichem а dargestellt durch die Gleichung

X²

a²

{к а)²

ebenso bei konstantem a und b und bei veränderlichem к durch die Gleichung

X²

(kb)²

(к а)²

2) f= 25 , a = 24 b = 8 .

356. Yon einer Hyperbel ist gegeben 1) /* =5, a = 3 j

3) f= 17

Wie lautet die Gleichung der Hyperbel, wenn die reelle Achse a) auf der X-Achse, b) auf der Y-Achse liegt?

357. Aus der numerischen Exzentrizität e und der reellen Achse 2 a die imaginäre zu finden.

Res.: b²=a²(e² — l).

358. Zeige, daß

wenn in Gleichung 4) к — 0 wird, die Hyperbel in ein Geradenpaar ausartet, das

für die durch 4) dargestellte Schar ähnlicher Hyperbeln die gemeinsamen Asymptoten bildet.

359. Die Koordinaten des Mittelpunktes einer Hyperbel sind a± und \. Die reelle Achse hat die Größe 2 a, die imaginäre die Größe 2 Ъ. Was ist die Gleichung der Kurve, wenn die reelle Achse a) parallel der Al-Achse, b) parallel der Y- Achse ist?

(:У — biY

Res. : a)

(x — a±)²

Ъ²

a²

b)

*    Ъ²

(x — a±)²

а²

360. Zeige, daß jede Gleichung von der Form Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 ,

wobei A und C entgegengesetzte Zeichen haben, eine Hyperbel darstellt, deren Achsen parallel den Koordinatenachsen sind, und bestimme, durch Umänderung dieser Gleichung in die Form a) oder b) in Kr. 359, die Mittelpunktskoordinaten und die Halbachsen der Kurve.

1)    9 ж² — 25 y² — 18 ж + 200 у — 616 = 0 ;

2)    5 ж² — 7 у² + 20 ж + 42 у — 78 = 0 ;

3)    Ła²x² — Ъ²у² — 8 а³х — 60а⁴ = 0 ;

4)    $а2у2 _ 3£2Ж2 ßa²by — За²Ъ² = 0 .

(У - 4)²

Res. :

i)

(х — I)²

5²

З²

2)

(х + 2)² (у - З)²

3)

(x — a)²

(4 а)²

8 a²\²

4)

со I

x²

1ьУ

4 a²

:>

361. In der Hyperbel Ь² x² — a² y² = a²6² die Sehne P₁P₂ parallel zur H-Achse so zu ziehen, daß sie Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes ist, für welches die Spitze des rechten Winkels in dem Brennpunkt F₁ (f\0) liegt.

Res.:

a² f+ ab²V2 x =---— .

а² — Ъ²

362. Es soll ein Rechteck so bestimmt werden, daß zwei Gegenecken in den Brennpunkten F und Fx und die beiden anderen Ecken auf der Hyperbel von Hr. 361 liegen.

x =    ]/&² + f² : f.

363.    Gegeben ist der Kreis x² + y² == a² und die gleichseitige Hyperbel x² — y² = a² . An den Kreis wird in einem beliebigen Punkt P die Tangente gezogen, welche die X-Achse in C schneidet. Es soll gezeigt werden, daß die Tangente PC gleich der zu C gehörigen Ordinate der Hyperbel ist.

364.    Yon einer Hyperbel, deren reelle Achse auf der Y-Achse und deren Mittelpunkt in О liegt, sind zwei Punkte durch ihre Koordinaten 4,51 — 1, 618 gegeben. Es sollen die Halbachsen gefunden werden.

Res.:

Res.:

а = /20 , Ъ = /80.

365. Eine Hyperbel, deren Mittelpunkt M auf der negativen X-Achse im Abstand 15 von О liegt, deren imaginäre Achse parallel zur Y- Achse ist, und für welche О ein Brennpunkt ist, schneidet die Y- Achse in Punkten mit den Ordinaten +12. Was ist die Gleichung der Kurve ?

(X + 15)²

9²

12²

Res.:

366. Gegeben ist die Hyperbel b²x² — а²у² = а²b². Es soll durch den Punkt x₁\y₁ eine zu der gegebenen ähnliche und ähnlich liegende gelegt werden.

Res.:

b² X² — a²y² = b² x\ — a² y\ .

367. Durch den gegebenen Punkt x₁\y₁ eine Hyperbel zu legen, deren Halbachsen a und b sich wie 1 : к verhalten, deren reelle Achse auf die X-Achse und deren Mittelpunkt nach О fällt.

Was ist die Bedingung dafür, daß die Hyperbel reell oder imaginär ist, oder daß sie in ein Geradenpaar ausartet, und was ist dessen Gleichung?

Res.:

ik²x\ a = —к

— y\

b — ka — yX² x\ — y\ .

368. Gegeben ist die Hyperbel b²x² — a²y² = a²b². Es soll eine Parabel gefunden werden, deren Achse auf die Y-Achse fällt, und welche die Hyperbel in den Punkten berührt, in welchen sie von der Geraden у = \ geschnitten wird.

b\ — b²

(y

Res.:

21h

X² —

369.    Beweise, daß eine Hyperbel und eine Ellipse, welche die Brennpunkte gemeinschaftlich haben, also konfokal sind, sich rechtwinklig schneiden.

370.    Zu beweisen: Subtrahiert man von dem Quadrat einer Ordinate einer Asymptote das Quadrat der zugehörigen Ordinate der Hyperbel b² x² — a²y² = а² b², so ist diese Differenz gleich Ъ².

371.    Zu beweisen, daß die Gleichungen ж==-^,

у = btgt eine Hyperbel darstellen.

372.    Wie lautet die Gleichung emer Hyperbel, deren Asymptoten parallel zu den Achsen eines schiefwinkligen Koordinaten systèmes sind, und deren Mittelpunkt die Koordinaten a und b hat?

Res.: (X — a) (y — b) = +c² .

373.    Beweise durch Zurückführung auf die Gleichung yon Kr. 372, daß jede Gleichung у on der Form Axy + В X -f- С у + D = 0 eine Hyperbel darstellt, deren Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

Beispiele:

1)    X у — 6 X — 5 2/+ 16 = 0;

2)    xy + QX — y+l 0;

3)    X у — 11 у — 25 =    ;

4)    6 xy — 15 X + 14 у — 185 = 0 .

Es sind für jede die Mittelpunktskoordinaten und die Asymptoten anzugeben.

374.    Die Gleichung einer Hyperbel zu finden, deren Asymptoten den Koordinatenachsen parallel sind, und welche durch die Schnittpunkte der G-eraden

2) г/ = 2 a? + 3 ,    3) y = —x -f- 8

1) y — X = 0 geht.

Bes. : 3xy — 5x 2 y — 36 = 0.

§19. Hyperbel und Gerade; Pol und Polare.

375. Bestimme die Schnittpunkte des Durchmessers y = mx mit der Hyperbel h²x² — a²y² = a²h². Wann sind sie reell und verschieden, reell und zusammenfallend, imaginär ?

\m\

Bes. :

wird X =

oo und y = <зо, d. h. der

Für m =

~h —

— a

Durchmesser wird zur Asymptote.

heißt der Durchmesser imagi-

h

Je nachdem m ^ —

när oder reell.

376. Es soll parallel zu y — Mx + G eine Tangente an die Hyperbel von Nr. 375 gelegt werden.

Bes.: Es gibt zwei Tangenten, ihre Gleichungen sind y = Mx + b² + a² M² ; sie sind reell und verschieden, reell und zusammenfallend, imaginär, je nachdem

— h² -f- Q? M² = 0 , also \M\ Щ

Beeile Tangenten sind also nur in Bichtungen von imaginären Durchmessern möglich.

an

377. Leite vermittels des Besultates von Nr. 376 die Gleichungen der Tangenten vom Punkt x₁\y1 die Hyperbel her.

Res.:

У —Уi =

xi Vi i 1 — b²x\ -f- a² y\ + a² Ъ²

x\ — a²

Von welchen Punkten der Ebene sind keine Tangenten möglich?

378.    Leite aus Nr. 377 die Gleichung der Tangente im Punkt x₁\y₁ her.

379.    Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte

= 1 mit folgenden Geraden:

der Hyperbel

X²

18²    24²

1) 33*/— 52ж+504 = 0,    2) 20x — 9y — 288 = 0,

3) 5 x — 3y lb — 0 .

Res.: 1) 30|32,    38£|45 ;    2) 22-JJ18 , Tangente;

3) Die Schnittpunkte sind imaginär.

380.    Gib für die Hyperbel in Nr. 379 Gleichungen beliebiger reeller und ebenso imaginärer Durchmesser an.

381.    Die Bedingung anzugeben, unter welcher die Gerade ux-\-v у + 1 = 0 die Hyperbel b² x²—a²y² = a²b2 berührt.

Res.: a²u² — b²v² = 1 . (Gleichung der Hyperbel in Linienkoordinaten.)

382. Gib die Gleichungen der Asymptoten für die Hyperbeln

(;X — a±)

a²

(?/ - V)² г

b²

und

(У -

а²

(;x — а±)²

an.

b /

Res. :

= dt ~ (x — ai) •

CI

383.    Die Länge der Subtangente und Subnormale für die Hyperbel von Nr. 379 zu bestimmen.

384.    Zu beweisen: Es seien über derselben reellen Achse eine Reihe von Hyperbeln konstruiert und zu dieser Achse ein beliebiges Lot gezogen, welches die Kurven schneidet. Zieht man in den Schnittpunkten Tangenten an die Hyperbeln, so schneiden sie jene Achse in demselben Punkt.

385.    Auf der X-Achse einen Punkt xJO derart zu bestimmen, daß die von ihm an die Hyperbel

а² b²

gezogenen 1) Tangenten, 2) Normalen mit den zugehörigen Sehnen ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck bilden. Was ist der Fall für аЩЪ ?

Res.: 1) x₁ = У а² — b² , 2) x± = f : У a² — b² .

386.    Dieselbe Aufgabe für einen Punkt der Y-Achse.

387.    Die Gleichung der Tangente im Punkte x₁\y1 an die Hyperbel xy = c² zu finden.

Res.: ayĄ-bx = 2c².

388.    Zu beweisen: Das zwischen den Asymptoten gelegene Stück einer Hyperbeltangente wird durch den Berührungspunkt halbiert.

Zum Beweise bestimme die Länge der Abschnitte der Tangente auf den Asymptoten.

Welche Konstruktion der Tangente in einem Hyperbelpunkt folgt aus obigem Satze?

Bürklen, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

389.    Zu beweisen: Die zwischen den Asymptoten und der Hyperbel liegenden Abschnitte auf einer Sekante sind einander gleich.

Hieraus folgt die Konstruktion einer Hyperbel aus einem ihrer Punkte und den beiden Asymptoten.

390.    Durch den auf der + K-Achse im Abstand b von О liegenden Punkt P eine die Hyperbel xy = c

Р/

0/

TT

Fig. 17.

in P± und P₂ schneidende Gerade so zu ziehen, daß PP± = ргр₂ ist.

Res. : 9 с² у -f- 2 b² x — 9 Ъ c² .

391. In dem Punkt x₁\yl der Hyperbel b² x² — a²y² — a²b²

ist die Tangente gezogen und auf sie von dem Brenn-

394. Die Gleichung einer Hyperbel zu finden, deren Mittelpunkt nach O, deren reelle Achse auf die X-Achse fällt, und welche die Geraden y = mx-\-c und у = mx X + c± berührt.

c² — c\

Bes. : a²

m² — m

Ъ² = m² x\ — y² .

punkt f\ 0 das Lot gefällt. Es soll bewiesen werden, daß das Produkt aus der Länge des Lotes und der Länge der in x₁ \ y₁ gezogenen Normalen (Stück zwischen x₁\y₁ und der X-Achse) gleich dem Produkt aus dem Halbparameter p und dem zu xl \ yt gehörigen Brennstrahl ist.

392. An die Hyperbel von Nr. 391 eine Tangente zu ziehen, die vom Nullpunkt einen gegebenen Abstand c hat.

Bes. :

y = m X + y —b² -f- m²

wobei

m² =

b²    c²

cf

also y = mx -J-

^ a² — c²

393. Gegeben ist die Gerade y = mx und der Punkt x₁\y₁ . Es soll die Gleichung einer durch diesen Punkt gehenden Hyperbel gefunden werden, deren Mittelpunkt nach О, deren reelle Achse auf die X-Achse fällt, und für welche die gegebene Gerade Asymptote ist.

a² — c²

Bes. : a² =

m² x\ — y\

m²

m² c\ — m\c2 m² — m\

395. An die Hyperbel b² x² — а²у² = а²Ъ² sind die beiden Scheiteltangenten und eine beliebige dritte Tangente gezogen. Es soll bewiesen werden, daß das

zwischen den Scheiteltangenten liegende Stück der dritten Tangente von jedem Brennpunkt aus unter rechtem Winkel gesehen wird.

Dieser Satz läßt sich auf folgenden erweitern: Der Winkel, unter welchem das zwischen zwei festen Tangenten liegende Stück einer beweglichen Tangente von einem Brennpunkt aus gesehen wird, ist unveränderlich.

Dieser und der vorige Satz gelten auch für die Ellipse und damit für den Kreis.

396. Die reelle Achse 2 <2 =10 einer Hyperbel liege auf der X- Achse, die imaginäre 2 6=6 auf der Y- Achse. Es soll die Gleichung der Polaren des Punktes x₁\y₁ gefunden werden, wenn

1) xt =

3) x₁ =

2) xx =

4) xl =

5) x₁\y₁ ein Brennpunkt.

397. Was ist die Gleichung der Polaren eines unendlich fernen Punktes in bezug auf die Hyperbel b²x²— a²y² — a²b²j wenn er durch die Gleichung y = mx gegeben ist ?

Cb о

2/i = 7;

2/1 = —8 ;

2/i = 0;

*/1=11,

b-

Res. : Der Durchmesser y = —— x .

u a²m

Anmerkung: Dieser Durchmesser und der gegebene heißen einander zugeordnet (konjugiert). Die Sehnen, welche parallel zu dem einen sind, werden durch den anderen halbiert.

Die Durchmesser y = mx und y = m±x sind zu-Ъ²

geordnet, wenn ттл =    - ist.

а²

398. Zeige, daß die Polare des unendlich fernen Punktes einer Asymptote diese Asymptote selbst ist.

399.    Beweise a) geometrisch (mit Nr. 398), b) analytisch, daß die Polare jedes Punktes einer Asymptote parallel zu dieser Asymptote ist.

400.    Zu beweisen: Zieht man in den Endpunkten eines Durchmessers Tangenten, so sind diese dem zugeordneten Durchmesser parallel.

401.    Zu beweisen: Zieht man von einem beliebigen Punkt eines Durchmessers Tangenten, so wird die zugehörige Berührungssehne von dem Durchmesser halbiert.

402. Ebenso: Verbindet man einen beliebigen Hyperbelpunkt mit den Endpunkten eines Durchmessers, so sind diese Verbindungslinien zwei konjugierten Durchmessern parallel.

403. Die Grleichung

X²

y²

а² Ъ²

= Я² stellt eine Hy-

perbel mit den Halbachsen a und Ъ dar. Wird Я = 0 , so artet sie in ein Greradenpaar aus. Was ist in Beziehung auf dieses Geradenpaar die Grleichung der Polaren des Punktes x₁\yl?

x₁ X

Res.:

У1У

404. Was sind die Koordinaten des Poles x₁\y1 für folgende gerade Linien in bezug auf die angegebenen Hyperbeln ?

1) 4z X — 25 2/ = 25 ₇

X²

5²

СО

2) Łx — 5 г/ = 0 ,

3) m X -f- n у = c ,

2/²

ft²

35

Res.: 1) 4(9 ;    2) der durch y = -—x bestimmte

711 d² тъ b ^

unendlich ferne Punkt; 3) —

c

405.    Die Gleichung einer durch den Punkt x₁\y1 gehenden Geraden zu finden, von welcher die Hyperbel b²x² — a²y² — a²b² eine Sehne abschneidet, welche in diesem Punkt halbiert wird.

b²xt

aiyl

406.    Durch den Punkt x₁\yl eine Gerade so zu ziehen, daß die von der Hyperbel von №. 405 auf ihr abgeschnittene Sehne von dem Durchmesser y — m x halbiert wird.

Res.:

Res.:

(x - x±) .

У — У1 =

b²

(x — x±) .

407. Es sollen zwei konjugierte Durchmesser OD und OD± der Hyperbel so bestimmt werden, daß OD den Winkel zwischen der + X-Achse und OD± halbiert.

У = m₁x{OD₁) ,

Res. : y = m x (OD)

und

wobei

±b

m± —

b²

^2a² + b² ’

408. Die Gleichungen zweier konjugierter Durchmesser zu bestimmen, die einen Winkel von 45° miteinander bilden.

Res.: Die Richtungsfaktoren der Durchmesser sind

— (a² + b²) ± ]/4 a²b² + (a² + b²)²

2 a²

a² m

409.    Die Längen der zu einem Punkt P (Abszisse x±) der Hyperbel b²x² — a²y² = a²b² gehörigen Brenn-strahlen zu finden.

Bes. :    s — a ; e + a .

410.    Von dem Schnittpunkt der zu dem Brennpunkt F gehörigen Leitlinie mit der reellen Achse ist an die Hyperbel eine Tangente gezogen. Von einem beliebigen Punkt P dieser Tangente ist auf die reelle Achse das Lot PC gefällt, welches die Kurve in E schneidet. Es soll bewiesen werden, daß FE = PC ist.

411.    Zu beweisen: Wenn zwei Hyperbeln, oder eine Ellipse und eine Hyperbel die beiden Brennpunkte gemeinschaftlich haben und es wird eine Tangente der ersten Kurve als Polare in Beziehung auf die zweite genommen, so liegt der zugehörige Pol auf der durch den Berührungspunkt jener Tangente gehenden Normalen der ersten Kurve.

412.    Zu beweisen: Eine Ellipse berührt in ihren Scheiteln die Seiten eines Bechteckes, dessen Diagonalen Asymptoten einer Hyperbel sind, deren reelle Achse mit einer der Ellipsenachsen zusammenfällt. Zieht man aus einem beliebigen Punkt P (s. Fig. 18) der einen Kurve zwei Tangenten an die andere, so ist die durch die Berührungspunkte gelegte Gerade eine Tangente der ersten Kurve. Zieht man aus ihrem Berührungspunkt P± wieder zwei Tangenten an die zweite Kurve, so berührt die durch die neuen Berührungspunkte bestimmte Gerade die erste Kurve im Punkt P. Zeige ferner, daß

P imd P± symmetrisch zu der gemeinschaftlichen Achse beider Kurven liegen.

+x

Fig. 18.

413.    Zu beweisen: Das Lot von einem Punkt der Leitlinie einer Hyperbel auf die Polare dieses Punktes trifft diese Polare im Brennpunkt. (Ebenso für Ellipse und Parabel.)

414.    Zieht man von einem Hyperbelpunkt eine Parallele zu einer Asymptote bis zu einer der Leitlinien, so hat diese Parallele die Länge des Abstandes des Hyperbelpunktes von dem entsprechenden Brennpunkt.

§ 20. Geometrische Örter.

415.    Auf der X- Achse eines rechtwinkligen Ko-ordinatensystemes sind die Punkte F und F₁ mit den Abszissen -\-f und —f gegeben. Um den Punkt F1 ist ein Kreis mit dem Halbmesser beschrieben. Es soll der Ort des Punktes P gefunden werden, der sich so bewegt, daß die Differenz zwischen der von ihm an den Kreis gezogenen Tangente und seinem Abstand von F eine gegebene Größe 2 a habe. (/*>a.) Was ergibt sich mit rx = 0 ?

416.    Erweitere die vorige Aufgabe dahin, daß an Stehe des Abstandes PF die Länge der Tangente von P an den um F mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreis tritt, (/* > a.)

(P — a²)x² + — (r² — rf) —■ a²y²

и

Res. :

= а² {p — a²) — TV (r² — rf)² + y 0/2 (r2 + ri) •

417. Eine Gerade beлvegt sich so, daß sie beständig die Hyperbel b²x² — a² y² — a² Ъ² berührt. IVas ist der Ort ihres Poles in bezug auf die Parabel y² = 2 ax?

Res.:

418. Was ist der Ort für den Fußpunkt des von einem Brennpunkt auf eine Hyperbeltangente gefällten Lotes ?

Res.: Der Kreis über der reellen Achse.

419. Yom Ursprung werden nach den Punkten der Hyperbel b² x² — a²y² — a²b² Sehnen OP, OP₁ ... gezogen und jede über P, Pt... hinaus um das a) J- fache,

b) — fache verlängert. Was ist der geometrische Ort n

der Endpunkte der Verlängerungen ?

(m -j- n)² h²

Res.:    b)

X²

(m + w)² a²

n²

n²

420.    Es ist ein Rechteck OPtP₂P₃ gegeben, für welches OP₁ = а, OP₃ = b ist. Ein Punkt P bewegt sich so, daß das Produkt seiner Abstände von den Gegenseiten OPt und P₂P₃ das m fache des Produktes der Abstände von P₁P₂ und OPs ist. Was ist der Ort von P? (OPx X-Achse, OP₃ Y-Achse.)

Res.: X² -j- y² — ах + bx — 0, wobei je die oberen und die unteren Zeichen aufeinander zu beziehen sind.

421.    Was ist der Ort für einen Punkt, der sich so bewegt, daß die von ihm an die Hyperbel

Ь² x² — a²y² = a²b²

gezogenen Tangenten senkrecht aufeinander stehen ?

(a

b.)

Res.: x² Ą- y² = a² — b² .

422.    Gegeben sind zwei konfokale Hyperbeln. Ein rechter Winkel bewegt sich so, daß der eine Schenkel Tangente an die eine, der andere Tangente an die andere Hyperbel ist. Was ist der Ort der Spitze des Winkels?

Res.: x² + y² = a² — b\ (= a\ — b²). a, b und a±, b₁ seien die Halbachsen.

423.    Eine Gerade bewegt sich so, daß sie beständig Tangente an die Hyperbel b²x² — a²y² = a²b² bleibt. Was ist der Ort ihres Poles a) in bezug auf die Ellipse

+ al у² — a\ b\, b) in bezug auf die Hyperbel b\ x² — a\y² = a\ b\ ?

Res.:

X²

y²

424. Ein Punkt P bewegt sich auf der einen Leitlinie der Hyperbel b² x² — a²y² = a²b². Die zu P gehörige Polare sei QR. Yom Mittelpunkt 0 der Kurve wird auf QR das Lot gefällt. Es soll der Ort des Eußpunktes ermittelt werden.

Pes.:

+ У² =

425.    Auf der X- Achse eines rechtwinkligen Koordinaten systèmes liegen die beiden festen Punkte A und A± in gleichen Abständen a von О. Durch А und At sind Parallelen zu der Y- Achse gezogen, welche von einer beweglichen, zur X-Achse parallelen Geraden in P und geschnitten werden. Es wird AP₁ und A₁P und zu APt in A das Lot gezogen, welches A₁IJ in Q trifft. Was ist der Ort von Q?

Res. : x² — y² = a² .

426.    Auf der gleichseitigen Hyperbel x² — y² = a², deren Scheitel Pt und P₂ sind, bewegt sich Punkt P. Was ist der Ort des Höhenschnittpunktes des Dreieckes PP,P₂?

Res. : (x² — a²) (x² — y² — a²) = 0 .

Diese Gleichung zerfällt in

x² — а² — 0 (Scheiteltangenten, parasitische Gebilde) und x2 — у2 — q2 q ursprüngliche Hyperbel).

Inwiefern entspricht dieses letztere Ergebnis dem Satz vom Winkel im Halbkreis?

427.    Auf der    Achse ist der Punkt A mit der

Abszisse a gegeben. Auf der Y- Achse bewegt sich Punkt P± . Durch P₁ wird die Parallele zur X-Achse gezogen und darauf' in der Richtung der -f-X-Achse P₁P=AP₁ abgetragen. Was ist der Ort von P?

Res. : x² — y² = a² .

428.    Gegeben ist die gleichseitige Hyperbel

X² — y² = a² ;

Von dem auf der

ferner auf der X-Achse zwei Punkte A und Ax mit den Abszissen -\-a und Hyperbel beweglichen Punkt Q ist das Lot QP± auf die Y- Achse gefällt und über Q hinaus um sich selbst verlängert bis P. Was ist der Ort des Schnittpunktes der AP mit der А±Рг ?

у² — —2 а

(*+!)•

Res.:

429. In dem auf der Hyperbel Ъ²х² — а²у² = а²Ъ2 beweglichen Punkt P ist die Tangente gezogen. Es soll der Ort des Höhenschnittpunktes in dem von dieser Tangente, dem Durchmesser OP und der reellen Achse gebildeten Dreieck ermittelt werden. Was ist der Fall, wenn Ъ = a ist ?

X²

Res.:

a² u⁴

Ъ²

430. In der Hyperbel von Nr. 429 ist die zu der reellen Achse senkrechte und bewegliche Sehne Q± Q₂

gezogen. Q± ist mit dem Brennpunkte F₁, Q₂ mit F2 verbunden. Es soll der Ort des Schnittpunktes P von F₁Q₁ und F₂Q₂ gefunden werden.

X²

Res.:

a² ’

+ _»!_= 1 fl ' p Ъ 2

431. Die reelle Achse der Hyperbel in Nr. 429 ist Grundlinie eines Dreieckes, dessen Spitze sich auf der Kurve bewegt. Es soll der Ort a) des Schwer-jmnktes, b) des Höhenschnittpunktes des Dreieckes gefunden werden.

Ees. : a)

wi 's hi

r4

СГ

432. In dem beweglichen Punkt P der Hyperbel von Hr. 429 ist die Normale gezogen, welche die reelle Achse AxA₂ in N schneidet. PN ist über P hinaus um sich selbst verdoppelt bis Px und von P ist auf A₁A₂ das Lot PC gefällt. Es soll der Ort für den Schnittpunkt der P±C mit dem zu der Normalen parallelen Durchmesser ermittelt werden.

Kes.:

X²

У²

4 a² 4 a⁴

433. Jeder Punkt der gleichseitigen Hyperbel xy — c² wird in der Richtung der Halbierungslinie des ersten Feldes um die Strecke 2 s parallel verschoben. Was ist die Gleichung der entstehenden Linie? (S. Fig. 19.)

Res. : (x — s /2) (y — s V2) = c².

434. Durch den auf der + Y - Achse im Abstand C liegenden Punkt P ist nach dem auf der Hyperbel

'i

Fi g. 19.

X у = c² liegenden Punkt der Strahl PP± gezogen ; er wird um sich selbst über P± hinaus verlängert bis P₂ . Was ist der Ort von P₂, луепп auf der Kurve wandert?

Res. : X (y + b) = 4 e² .

Was sind die Gleichungen der gemeinschaftlichen Tangenten beider Kurven?

435.    Erweitere die Aufgabe Nr. 434 dahin, daß der Punkt P nicht auf der Y-Achse liegt, sondern die Koordinaten a\b hat.

436.    Durch den Punkt a₁\bl wird eine Sekante an die Hyperbel b²x² — a²y² = a²b² gezogen. Was ist der Ort des Halbierungspunktes der auf ihr abgeschnittenen Sehne, wenn sich die Sekante um a\b dreht?

a\

b\

Res. :

(-*)■ (*-ï)

4a² 4b² *

Besondere Fälle: Punkt a₁\b₁ fällt 1) auf die Hyperbel, 2) nach 0, 3) ins Unendliche; 4) a = b.

437. Dieselbe Aufgabe für die Hyperbel xy = c².

Res.:

4 ’

Was folgt daraus, daß diese Gleichung c nicht

enthält ?

In welchem Zusammenhang steht dieses Resultat mit demjenigen, das sich für dieselbe Aufgabe in Beziehung auf den Kreis ergibt? (Vgl. auch Kr. 436,

FaH 4.)

Was ergibt sich, wenn c = 0 ist ?

438. Ein auf der Hyperbel b² x² — a² y² = a² b2 beweglicher Punkt P wird auf die Y - Achse nach Q projiziert und es wird Q mit dem auf der -j-W-Achse liegenden Scheitel S verbunden. Was ist der Ort des Schnittpunktes dieser Verbindungslinien mit dem vom Ursprung nach P gezogenen Strahl?

Res.:

439. Eine Gerade bewegt sich so, daß sie beständig Tangente an den Kreis x² + у² = r² bleibt. Was ist der Ort ihres Poles in bezug auf die Hyperbel

IfY

CA,

Fig. 20.

h²x²— а²у² — а²Ъ² und was ist der Fail, wenn b = а = r ist ?

Is I

Kes.:

440.    An der Ellipse b² x² + a² y² — a² b² gleitet eine Tangente; was ist der Ort ihres Poles in bezug auf die Hyperbel b²x² — а² у² — а² Ъ² ?

Res.: Die Ellipse selbst.

441.    Suche den Ort des Poles in Aufgabe Nr. 411.

dessen Grundlinie

442.    Dreiteilung des Winkels (s. Eig. 20): Die Spitze P eines Dreieckes PAXA A±A₂ von unveränderlicher Länge 3 a ist, bewege sich so, daß der Außenwinkel A₂PD an der Ecke P das Dreifache des Winkels PA₂A₁ ist. Es soll der Ort der Spitze gefunden werden.

Gang: Man nehme den Punkt 0, der A₂At im Verhältnis 2 :1 teilt, als Nullpunkt (A₂ 0 = a, 0A₁ = 2 a), 0A₁ als X- Achse. Es ist nun ^DPd₂ = 3ä₂, <£ PAX A₂ =    = 2 oc₂. Sind x und у die Koordinaten

von P, so läßt sich tgoc± und ebenso tgoc₂ in ж, у und a und tgoCi in tgoc₂ ausdrücken. Hieraus folgt als gesuchte Ortsgleichung

X²

а²

За²

Verbindet man einen beliebigen Punkt P dieser Hyperbel mit At und A₂, so ist also <$: PA₂Al = \-A₂ PD. Die Parallele PO zu A₁A₂ schneidet also ein Drittel von <£ A₂PD ab.

Bürklen, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

VII. Abschnitt.

Die Kegelschnitte im allgemeinen.

§ 21. Vorbemerkungen.

a) Bezeichnung: Die allgemeine Gleichung zweiten Grades lautet: *

1) Ax* + Bxy+ Cy* + Dx +Ey + F= 0,

oder 2) аиж² + 2а₁₂жг/ + а₂₂г/²+2а₁₃ж+2а₂₃г/+а₃з =0; symbolische Bezeichnung :

3) fix, y) = 0 .

b)    1) bzw. 2) stellt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel dar, je nachdem

B² — 4 А C = 0 , oder a?₂ — an a₂₂ = 0 .

c)    Die Koordinaten des Mittelpunktes ergeben sich aus

und

ifx = <hix + ai2 У + ais = ⁰

ify = ai2 X 4" ü22 У 4" a2Z ⁼ 0 1 oder als Schnittpunkte der Mittelparallelen der beiden zur X-Achse bzw. Y- Achse parallelen Tangenten.

d) Die Gleichung des Durchmessers, der zu der Richtung y = mx zugeordnet ist, lautet:

f'x + mf'y = 0 .

e)    Die Eichtungen der Hauptachsen können dadurch ermittelt werden, daß man diejenige Sehnenrichtung sucht, die auf ihrem zugeordneten Durchmesser senkrecht steht.

f)    Die Gerade y — mx + e (oder x = ny + d) ist Asymptote eines Kegelschnittes, wenn die beiden Linien zwei zusammenfallende unendlich ferne Punkte gemeinschaftlich haben, wenn also die Auflösung der Gleichungen der Geraden und des Kegelschnittes nach x (oder y) zwei Wurzeln x = oo (bzw. y — oo) liefert. Aus den beiden Bedingungen hierfür ergeben sich m und c (bzw. n und d).

g) Die Gleichung der Tangente im Punkt x₁\y₁

lautet :

dy

(x — xx)f'Xl + (y — yx)f'yi = 0 oder y — yx = ~d~{x — xx). h) Die Gleichung der Polaren des Punktes xx\yx

lautet:

(x — xx) f'Xl + {y — yx) f',h + 2f(xx\yx) = 0 .

i) Koordinatenänderung¹):

(x) Parallele Verschiebung durch die Einsetzung

x — a Ç , y — Ъ -f- 7]    (a\b neuer Nullpunkt).

ß) Drehung um О um den Winkel cp durch die Einsetzung

x = f cos<p — r\ sin cp , у = f sin 99 + r) sin cp .

l) Über:

„Bestimmung von Gestalt und Lage eines Kegelschnittes aus einer Gleichung zweiter Ordnung ohne Koordinatenänderung“ s. Thaer, Progr. Nr. 817, 1902.

Die Richtung der Hauptachsen, von welchen die eine mit der X-Achse den Winkel x bildet, ergibt sich aus

tg 2 oc =

2 «₁₂

^11 ^22

Durch Drehung des Koordinatensystem.es um den Winkel oc kommt in der Gleichung 2. Grades das Glied mit xy in Wegfall.

k)    Kegelschnittbüschel. Sind Kx = 0 , K₂ = 0 die Gleichungen von Kegelschnitten, Lt = 0 , L₂ = 0 Gleichungen von Geraden, so bedeutet

l)    Kx + XK₂ = 0 einen Kegelschnitt, der durch die Schnittpunkte von K± = 0 und K₂ = 0 geht;

2)    K± -f- Л Lx L₂ = 0 einen Kegelschnitt, der durch die Schnittpunkte von K± = 0 mit den Geraden 1^=0 und L₂ = 0 geht;

3)    + Â L\ = 0 einen Kegelschnitt, der = 0 in seinen Schnittpunkten mit Lx = 0 berührt;

4)    LxL₂ -f Я L₃L₄ = 0 einen Kegelschnitt, der durch die Schnittpunkte des Geradenpaares L±L₂ = 0 mit dem Geradenpaar LnL± = 0 geht;

5)    Z/₂ + Я Hg = 0 einen Kegelschnitt, der das Geradenpaar L±L₂ = 0 in seinen Schnittpunkten mit L₃ = 0 berührt.

§ 22. Gemeinsame Gleichungen der Kegelschnitte ; allgemeine Gleichung 2. Grades.

443. Beweise, daß durch die Gleichung 1) у** = 2px + qx¹,

ebenso durch

Ellipse, Parabel oder Hyperbel dargestellt ist, je nachdem q = 0 , bzw. s = 1 ist. Wie liegt das Koordinatensystem zu der betreffenden Kurve?

444. Zeige, daß, wenn die große Achse einer Ellipse auf der -\-X- Achse und ein Scheitel in О liegt, sie sich durch die Gleichung

V

y² = 2 j)x--— X²

darstellen läßt (2 p Parameter, 2 a große Achse).

445.    Zeige ähnliches für die Hyperbel.

446.    Was wird aus der Ellipse von Kr. 444, wenn а — oo wird ?

447.    Zeige durch Auflösung nach x oder у, daß folgende Gleichungen reelle oder imaginäre Geradenpaare darstellen:

a)    21 x² -f xy — 10 y² = 0 ;

b)    4 xy—llx²Ą-3Łx—12 у — 3 = 0;

c)    4 x² -1- 20 xy 4- 25 y²— 18 ж — 45 у + 8 = 0 ;

d)    x² + 9 у² + 12 у + 10 x -f- 29 = 0 ;

e)    ж² — \±xy + 49.P² + 25 = 0 ;

f)    18x² + 30xy + 13y² + 18ж+13г/+2 = 0 .

Als Ausartung welches Kegelschnittes ist nach dem Kennzeichen В² — 4HG jedes dieser Geradenpaare aufzufassen ?

448.    Zeige durch Zerlegung der linken Seite in Faktoren, daß folgende Gleichungen (reelle oder imaginäre) Geradenpaare darstellen:

b) xy — ay Ą-Ъх — ab = 0;

a) x у = 0 ;

с) x² — ху — ах = 0 ; d) х² — у² = О ; е) X² -f- у² — О .

449. Den Ort der Halbierungspunkte der Sehnen zu finden, die in folgenden Kegelschnitten parallel

a) zu der X-Achse, b) zu der Y - Achse gezogen werden, und die Koordinaten der Mittelpunkte zu bestimmen.

1)    3 X² -j- 2xy — 6 X Sy — 4 = 0;

2)    X² — 6 X y + 2 y² — 6 = 0 .

— 4115 .

æ + 4 = 0 ,

— 3 x + 2 y = 0 ,

450. Die Gleichungen der a) zu der X-Achse, b) zu der Y - Achse parallelen Tangenten an die Kegelschnitte von Aufgabe №. 449 zu finden.

1)    ?/= 12 +/204,

2)    die Tangenten parallel zur X- und Y- Achse sind imaginär,

Res.: 1) 3 xу— 3 = 0,

010 .

2) x — 3 у = 0 ,

x = —4 (Asymptote) ;

451. Gib die Art der Kegelschnitte, die durch folgende Gleichungen dargestellt sind, an, löse die Gleichung bei 1) nach y, bei 2) nach ж, bei 3) nach x und у auf.

Gib die geometrische Bedeutung der Werte von x und у an, die aus der Nullsetzung der sich einstellenden Quadratwurzel fließen, und bestimme die Schnittpunkte oder Berührungspunkte der Kurven mit den Achsen.

Bestimme die Lage des Mittelpunktes, wo ein solcher vorhanden ist, ferner bei 2) die Asymptoten und skizziere aus den erhaltenen Ergebnissen den Verlauf jeder Kurve.

1)    6 X² — 4:xy -f- 9y²— 4zX—32 y—6 = 0;

2)    4 X² -|- 2 xy + 3 y—12 = 0;

3)    4 X² — Lxy y² — 8ж — 8 ?/ + 4 = 0 ;

4)    X² — 6 xy lly² — 2ж+б2/ + 2 = 0.

Bes.: 1) Reelle Ellipse, Mittelpunkt 2|1.

2)    Reelle Hyperbel ; Asymptoten 2 x + 3 = 0 ,

3

3 = 0; Mittelpunkt —— 6 .

2

3)    Parabel, berührt die X-Achse im Punkt 1|0 , schneidet die К-Achse im Punkt 0|4 + ]/cT.

4)    Imaginäre Ellipse.

452. Für die Kegelschnitte

1) 6 x² — Lxy-\-9y²— Lx—32 y—6 = 0,

>    2) 4ж² + %xy + Ъу — 12 = 0    (s. Nr. 451, 1 u. 2)

die Geraden, auf welchen die Hauptachsen liegen, zu finden.

Ees. : 1) y — 1 = $ (x — 2) ;

2) y — 6 — (— 2 + /б) (ж + f) •

453. Verschiebe für folgende Kegelschnitte das Koordinatensystem parallel, je durch den Mittelpunkt:

1)    4 xy — 11ж² + 34ж — 12 у — 3 = 0 (s.Nr. 447b),

2)    6ж² — Аху-\- 9у² — Lx — 322/—6 = 0 (s.Nr.45!-^

3)    4х² + 2ху + 3у— 12 = 0 (s. Nr. 451₂).

454. Bestimme für die dritte Kurve in №. 451 die Richtung der Hauptachse und der Scheiteltangente; bringe durch Drehung des Koordinatensysternes um О das Glied mit xy zum Wegfall. Was sind die Scheitelkoordinaten der Parabel für das ursprüngliche und das neue System?

Res. : Richtung der Hauptachse у = 2x, der Scheiteltangente у = —\x .

Gleichung der Parabel im neuen System:

/ ,    4 V 24

V ⁺ 5 /5/    5 У5

Scheitelkoordinaten im neuen System

J-i 5 50 ]

Cn

: io

im ursprünglichen System

23 3

50 25

455.    Löse die Aufgaben №.451, 452, 454 auch für folgende Kurven:

1)    x² — Qxy-\-y²-\-Lx-\-b = (),

2)    X² — lOxy -f- 26 y² + 2 X—ly—9 = 0,

3)    X² — 2xy y² — 3 x Ъ y — 12 = 0.

456.    Beweise, daß, wenn in der allgemeinen Gleichung 2. Grades A — C und B^O ist, das Glied mit xy wegfällt, wenn das Koordinatensystem um 90° gedreht wird.

457.    Die Gleichungen der Tangenten zu finden, welche parallel zu der Geraden

a) y = 8 X — 1 , b) y = 3 X -\- Ł , с) y = 4.x    1

an die Kurve

8 X² — 6 X y -j- ?/² + 4 X -f- 5 = 0 gezogen werden können.

Res.: a) y = 8x — 10 + ]/24 ,

b) imaginär,

с) y = 4 X — 2 ; es gilt nur eine Tangente,

diese ist Asymptote.

458. Suche die Schnittpunkte der Geraden

y = 2 X + G

mit der Kurve in Kr. 457, was zeigt sich? Welchen Wert hat man c zu geben, damit beide Schnittpunkte in einen zusammenfallen ? Welche geometrische Bedeutung hat alsdann die Gerade ? (c = 2 , Asymptote.)

459. Die Gleichungen der Tangenten zu finden, die parallel zu der Geraden y = 3 x — 1 an die Kurve

X² — 2 xy -\- y² — 3 x (j y — 12 = 0 gezogen werden können.

139

Res.:

Warum ergibt sich nur eine Tangente?

460. Die Gleichung für den Ort der Halbierungspunkte der Sehnen zu finden, welche parallel zu der Geraden y = 5 x + 2 in dem Kegelschnitt

6ж² — 4xy 9 y² — 4ж — 32 у — 6 = 0 gezogen werden können.

Res.: 4 x + 43 у = 82 .

461. Dieselbe Aufgabe für die imaginäre Ellipse von Kr. 451₄ .

Res.: Ix —20 y—1 = 0.

462.    Löse dieselbe Aufgabe auch für die Geraden-paare in Kr. 447, a, b, c.

463.    Untersuche Art und gegenseitige Lage der

Kurven

X² + 2xy — c² = 0 und 2xy — c² = 0 .

Ziehe an jede in den Schnittpunkten mit der Geraden X — c Tangenten ; wo schneiden diese die Y - Achse ?

464. Wie muß m gewählt werden, damit die Halbierungspunkte der Sehnen, die in dem Kegelschnitt

Lx²-\-2xy-\-3y — 12 = О

parallel der Geraden gezogen werden,

a)    auf einer Parallelen zu der X - Achse liegen,

b)    auf einer Geraden liegen, welche auf der F-Achse ein Stück von der Länge 9 abschneidet,

c)    auf einer Parallelen zu der Geraden y = — 5 x + 2 ,

d)    auf einer durch 0 gehenden Geraden liegen?

Res.: a) m = —4 ; b) m = — 6 ; c) m = 1 ;

d) m = 0 .

465. Was ist die Bedingung dafür, daß die durch die Gleichung

Äx² + Bxy + Cy² + Dx + Ey -f- F = О dargestellte Kurve

a)    durch 0 geht,

b)    die X - Achse,

c)    die Y- Achse berührt,

d)    die X-Achse in 0 berührt,

e)    die Y- Achse in 0 berührt,

f)    die X-Achse in einem unendlich fernen Punkt schneidet, d. h. daß sie eine Parallele zur X-Achse als Asymptote hat,

g)    die X-Achse in zwei unendlich fernen Punkten trifft, daß also die X-Achse selbst Asymptote ist,

h)    symmetrisch zu der X-Achse,

i)    symmetrisch zur Y- Achse ist,

k)    den Mittelpunkt als Ursprung hat,

l)    symmetrisch zu der Halbierungslinie des ersten und dritten Feldes,

m) symmetrisch zu der Halbierungslinie des zweiten und vierten Feldes ist?

466. Aus der numerischen Exzentrizität s eines Kegelschnittes, den Koordinaten x₀ \y₀ eines Brennpunktes F und der Gleichung ж cos oc -j- 2/sinoc —jp = 0 der zu dem gegebenen Brennpunkt gehörigen Leitlinie soll die Gleichung des Kegelschnittes gefunden werden²).

Auflösung: Ist P{x\y) ein Punkt der Kurve, PD

PF

sein Abstand von der Leitlinie, so ist = e, hieraus ergibt sich die Ortsgleichung von P

ax³ -j- 2 bxy cy³ -\- 2 dx Ą- 2 ey f= 0

wobei

£³ cos³oc — 1 = а ,

£²COSOCCOSß = b ,

£²COS² ß = C ,

#0 — e²^cosa = d ,

2/o — £²P cosß == e i

fi²^² —xl — yl = f.

Anmerkung: Zwischen den Koeffizienten a, fr, c besteht die Beziehung

467. Die Gleichung einer Parabel zu finden, für welche der Abstand p der Leitlinie vom Kulipunkt die Länge 2 hat. Der Richtungswinkel oc von sei gegeben durch cos oc = J-, der Brennpunkt habe die Koordinaten 6|5 .

Res.: Mit Hilfe der Formeln der vorigen Aufgabe erhält man

16X² — 24xy + 9y² — 240x — 170y -f- 1425 = 0 .

468. Die Gleichung einer Ellipse zu finden, wenn gegeben sind: die Koordinaten 3| 13 des Brennpunktes, der am nächsten bei О liegt, die numerische Exzentrizität s = f , die große Halbachse 10 und der Richtungswinkel oc der großen Achse durch cos л: = т⁵^.

Res.: 3825x² — 1920xy + 1921 y² — 24690 ж

— 106586 y -f- 750894 = 0 .

§ 23. Geometrische Örter; Kegelschnittbüschel ; vermischte Aufgaben.

469.    Gegeben sind die beiden Kegelschnitte I. Ax² -f Bxy + Gy² + 1Эх -f Ey + F = 0 ,

II.    A₁ X² + B± X y + G± y² + D± ^ + Ex y -f- F± = 0 .

a)    In wieviel (imaginären oder reellen) Punkten schneiden sie sich?

b)    Die Gleichung eines beliebigen oder durch die Schnittpunkte von I. und II. gehenden Kegelschnittes lautet:

III.    (A + X A±) X² + (B + X Ą)xy + (G+X ą) y2 -f- (D -|- X Di) X -(- (E -j- X E^) y -f- F -J- X F± — 0 .

Wie muß X gewählt werden, daß der Kegelschnitt III

c)    durch О geht,

d)    die X-Achse,

e)    die Y- Achse berührt,

f)    durch den Punkt a\b geht,

g)    die Gerade у = mx + c berührt,

h)    die Strecke zwischen den Punkten P(a\b) und P₁ (%]£>!) im Verhältnis к : 1 teilt,

i)    eine Ellipse oder Hyperbel ist, deren Achsen den Koordinatenachsen parallel sind,

k) eine Parabel ist?

470.    Gegeben ist ein Kreis К um О mit dem Halbmesser r und eine zu der X-Achse parallele Gerade L im Abstand -|-b. Es soll durch die Schnittpunkte der L mit К und durch die Schnittpunkte der X-Achse mit К

1)    ein Kreis,

2)    eine Parabel,

3)    eine gleichseitige Hyperbel, deren reelle Achse parallel der X-Achse ist,

fJC

Fig. 21.

4) eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Abstand

ö

von 0 liegt, gelegt werden.

Wie lautet die betreffende Gleichung?

Res.: x² -j- (1 + Я) у² — lb у — г² = О Я hat hierbei die Werte О, —1, —2

Untersuche jede der gefundenen Kurven für den Fall, dab b = r ist.

471. Gegeben ist ein Kreis vom Halbmesser r (s. Fig. 21), dessen Mittelpunkt auf der -\- Y-Achse liegt, und der die X-Achse in 0 berührt, ferner die beiden Geraden

2 ’ y 2 '

seifigen Hyperbel, die durch 0 geht. Es soll die Gleichung einer Parabel gefunden werden, welche durch die Schnittpunkte beider Kurven geht. Welche Stücke schneidet diese Parabel auf den Koordinatenachsen ab und wie lautet die Gleichung ihrer Tangente in 0?

Sie sind Asymptoten einer gleich-

Res.: Es gibt zwei Parabeln:

X² + 2 X у -f- у² — r X — 3 r y = 0 ,

X² — 2 rxy-\-y²-\-rx — ry = 0 .

Die zweite zerfällt in zwei parallele Linien.

4) Зх +y - 6 = 0

472. Durch die Schnittpunkte der Geraden

1) X — 3 y — 12 — 0 mit den Geraden 3) y- 4 = 0,

soll ein Kegelschnitt gelegt werden, der

a)    durch 0 geht,

b)    auf der X-Achse ein Stück von der Länge ]/88 abschneidet,

c)    eine Parabel ist,

d)    die Y-Achse berührt.

Res.: Die gesuchte Gleichung ist von der Form A. ^2 + A ^3 At ⁼⁼ 0 ,

hierbei hat A den "Wert

a) 5, b) —\

c)

37 + 4]/85

d) 195 + 121/10.

473.    Die Gleichung eines Kegelschnittes zu bestimmen, der durch die Punkte ljO, 0|3, 2|7, 4|1 und durch den Nullpunkt geht.

Res. : Ix² — 11 x у Sy² — Ix — 24г/ = 0.

474.    Gegeben ist die Parabel y²=2px und die Gerade x = а. Es soll die Gleichung eines Kreises gefunden werden, der die Parabel in den Schnittpunkten mit der Geraden berührt.

Res. : x² + y² — 2 (a + p) x + a² = 0 .

Welche Berührungsart entsteht, wenn а = 0 wird?

475.    Es soll eine gleichseitige Hyperbel durch die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel in der vorigen Aufgabe so gelegt werden, daß sie die Parabel in ihren Schnittpunkten mit der Geraden berührt und ihre Achsen parallel den Koordinatenachsen sind.

Res. : y² — (x — \a — p\)² = P (2 а — p) .

Untersuchung für 2 аЩр und für а — 0 .

476.    Die Gleichung einer Parabel zu finden, welche die X-Achse und die Halbierungslinie des ersten und dritten Feldes in den Schnittpunkten mit den Geraden x — а = 0 berührt. Was ist der Fall, wenn а = 0 wird ?

Res. : x² — 4 x у + 4 у² — 2 a x + a² = 0 .

477. Die Gleichung eines Kreises zu finden, der durch die Schnittpunkte der Geraden

l)y — 3 = 0,2) 1/ — ж=0, Ъ)у— 5 ж—12 = 0 geht.

Der durch die Gleichung

JLiy D₂ “i⁻ ^>1 D₂ Dg —J- Я₂ Dg Dl = 0

Er ist ein Kreis,

D₂ — 0 , Dg = 0 .

dargestellte Kegelschnitt geht durch die Schnittpunkte von — 0 ,

wenn die Faktoren von x² und у² einander gleich und der Faktor von xy Null ist. Hieraus bestimmen sich und l₂ .

Res.: 5x² + by² — 6x+ 6y— 90 = 0.

478. Die Gleichungen einer Hyperbel zu finden, welche den Kegelschnitt

1)    3x² — 2 xy 5y² — x -j- у = 0

in den Schnittpunkten mit der Geraden 2) ж — 2 гу + 1 = 0

berührt, und für welche die eine Asymptote parallel zur X- Achse ist.

Res.: 10 xy — 7 y² —7 x + 13 у — 3 = 0 .

479. Auf der X-Achse ist ein Punkt mit der Abszisse +1 und auf der Y- Achse ein Punkt mit der Ordinate +2 gegeben.

a) Es soll die Gleichung der Parabel gefunden werden, welche die Koordinatenachsen in diesen Punkten berührt.

b) Es soll der Ort der Mittelpunkte aller Zentralkegelschnitte gefunden werden, welche die Koordinatenachsen in diesen Punkten berühren.

10

Bürklen, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

Res.: a) 4x² — 4xy -j- y² — 8a: - 4 2/ -f- 4 = 0

und

Doppelgerade;

(2 X + y — 2)² = 0 b) y = 2 X .

480. Gegeben sind die Kegelschnitte

1)    4 (ж — 2)² + 25 2/² = 100 ,

2)    9х² — 16 (у — З)² = 144 .

a)    Welches ist die Gleichung einer beliebigen Linie 2. Grades, welche durch die Schnittpunkte von 1) und

2) geht?

b)    Unter welcher Bedingung ist diese Linie ein

Kreis ?

c) Was ist der Ort der Mittelpunkte aller möglichen durch die Schnittpunkte von 1) und 2) gehenden Zentralkegelschnitte ?

Res.: a) 4 (x — 2)² + 25 y² - 100

+ À(9x² — 16 [у- З]²— 144) = 0,

b) ^ ⁼ fi?

с) 289 xy— 192 x — 128 y + 384 = 0 .

481.    Die Gleichung einer Parabel zu finden, welche

den Kreis um О mit r in seinen Schnittpunkten mit der    und    Achse berührt.

Res. : x² — 2 x y + y² -f- 2 r (x -f- y) — 3 r² — 0 .

482.    Die Gleichung eines Kreises zu finden, der die Hyperbel x² — 4 у² = 1 in ihren Schnittpunkten mit der Geraden 2 у — 3 = 0 berührt.

Res.: x² — 4 y² -f- I (2 у — 3)² = 0 , wobei Я = -f-.

— = 1 und auf

X²

483. Es ist die Hyperbel

и ö

ihr im ersten Feid ein Punkt mit der Abszisse 13 gegeben. Es soll ein Kegelschnitt gefunden werden, welcher die Hyperbel in dem gegebenen Punkt berührt und durch den Punkt 1|2 geht.

Res. :

117ж² —325?/² — 1027 ж+1580 2/-950 = 0 .

484. Um einen Punkt M der JA-Achse ist ein Kreis mit dem Halbmesser a beschrieben, der durch О

geht; ferner ist die Gerade x = -^ gezogen. Es sollen

и

die Gleichung einer Parabel und ihre Bestimmungsstücke so ermittelt werden, daß die Parabel den Kreis in seinen Schnittpunkten mit der Geraden berührt.

Res.:

(x — a)² = —a (y —    .

485.    Sind K± = 0 und K₂ = 0 die Gleichungen zweier Kegelschnitte und ist, bei veränderlich gedachtem Л,

+ X K₂ = 0 die Gleichung des Kegelschnittbüschels, das durch die Schnittpunkte der Kegelschnitte K± und K2 bestimmt ist, wie findet man dann

a)    die Parabeln, die in dem Büschel enthalten sind,

b)    die Geradenpaare desselben,

c)    den Ort der Mittelpunkte der Zentralkegelschnitte des Büschels?

486.    Den Ort der Mittelpunkte zu finden für die Kegelschnitte, welche durch die Schnittpunkte der Geraden

1) ж-12 = 0,

2) хАгу — 5 = 0

und der Parabel

3) y² ■— 10 X = 0

gehen.

Res.: 2xyy²—lly-\-bx— 60 = 0 eine Hyperbel, deren Asymptoten

2y + 5 = 0 und bx+2y — 39 = 0 und deren Mittelpunktskoordinaten

ю |<m

sind.

487.    Es ist ein die Y-Achse in 0 berührender Kreis vom Halbmesser r (der Mittelpunkt auf der -{-X-Achse) und Punkt P(a\b) gegeben. Durch P zieht man eine beliebige, die Y-Achse in C schneidende Gerade. Was ist der Ort für den Punkt, in welchem die Polare von C in Beziehung auf den Kreis die PC schneidet? Wann ist der Ort eine Ellipse, Parabel, Hyperbel, ein Kreis, eine gleichseitige Hyperbel? Zeige, daß der Ort durch P und den Punkt a|0 geht.

Res.: rx² — Ъху Ą- ay² — arx= 0 , je nachdem Ъ² —    ^ 0 , Kreis, wenn Ъ = 0 und

а = r, gleichseitige Hyperbel, wenn Ъ = 0 und а = —r ist.

Wenn P sich auf der Parabel y² — 4rx = 0 bewegt, bleibt der Ort eine Parabel.

488.    Es ist ein Rechteck OP₁P₂P₃ gegeben, wobei OPt = а, OPs =- Ъ. Durch P₂ wird eine bewegliche, die OP± in Q₁ und die OP₃ in Q₂ schneidende Gerade gezogen. Was ist der Ort des Schnittpunktes P von Q₁P₃ mit Q₂ P± ?

Res.: Es werde OPx als X- und OP₃ als Y-Achse genommen, dann ist die Ortsgleichung

b² x² -f- a² y² -f- ab xy — ab²x — a²by = 0 .

-z

_\_

\>

Fig. 22.

Der Ort ist eine Ellipse, welche durch 0, P₁ und P₃, 2a 2b

sowie durch den Punkt--— geht. Die Tangente

-    Ó ö

in 0 ist der Diagonale P₁PS parallel; P₁P₂ berührt in J\ , P₂P₃ in P₃.

489. Zu beweisen: Wenn die Seiten eines Drei-eckes P₁P₂P₃ sich um drei feste Punkte Aly A₂, A3 drehen und es bewegen sich zwei Ecken P₁ und P2 auf zwei festen Geraden L± und P₂, dann ist der Ort der dritten Ecke ein Kegelschnitt.

490.    Eine Ecke eines Dreieckes liegt in 0, eine zweite В auf der -fX-Achse im Abstand a von 0. Was ist der Ort für die dritte Ecke, wenn der Höhen-schnittpunkt des Dreieckes sich auf der Geraden у = m X -f- о bewegt ?

Res. : X² + mxy — а x -f- о у — О .

Was ist der Fall, wenn m — 0 ist ?

491.    Gegeben ist ein Winkel oc mit der Spitze А und der feste Punkt A₁. Durch A± wird eine bewegliche, die Winkel Schenkel in Pt und P₂ schneidende Gerade gezogen und auf den Schenkeln werden in Px und P₂ Lote errichtet; was ist der Ort ihres Schnittpunktes ?

Res.: Man nehme die Schenkel als Koordinatenachsen , Ax habe die Koordinaten ax J\ , dann ist die Ortsgleichung

(x cos ос + У) (x + У cos л:) — ax (oleosa + y)

— \ (x + ycosot) = 0 .

492.    Gegeben ist ein Winkel oc mit der Spitze A. Eine die Schenkel in Px und P₂ schneidende Gerade bewegt sich so, daß der Inhalt des Dreieckes APXP2 unveränderlich und gleich а² ist. In Px wird auf APX, in P₂ auf AP₂ je das Lot errichtet. Es soll die Gleichung für den Ort der Schnittpunkte dieser Lote gefunden werden.

sina ’

Res.: (x -f ycosoc) (y + æcos<%) = +

APX und AP₂ sind Koordinatenachsen, der Ort besteht aus zwei konjugierten Hyperbeln, deren Mittelpunkt M, deren eine Achse die Halbierungslinie des

Winkels (X ist und deren Asymptoten die Lote auf den Schenkeln in О sind.

493. Die allgemeine Gleichung einer Parabel zu finden, die durch die drei Ecken eines gegebenen Dreieckes О AB geht.

Auflösung: Nimmt man O A als X-Achse und OB als Y- Achse, wobei O A = a und OB = Ъ, so ist die Gleichung irgend einer durch О gehenden Parabel

(y — Ix)² + D X + E у = 0.

D und E ergeben sich daraus, daß die Parabel durch A und В gehen soll, Я bleibt unbestimmt; man erhält also

(y — Я x)² — Я² а X — Ъ у = 0 .

494. Den geometrischen Ort der Spitze P eines Dreieckes PP₁P₂ zu finden, die sich so bewegt, daß die Differenz der Winkel an der Grundlinie konstant und gleich oc bleibt.

Res. : Es sei P₁P₂ = 2 a, die Mitte О von Рг P2 Nullpunkt, Pt auf der -f--A-Ach.se und der an Pl liegende Winkel sei der größere, dann ergibt sich als Ortsgleichung

x² — y2 _j_ 2 x у ctg oc — a² = 0 .

Der Ort ist also eine Hyperbel. Bringt man das

л    В — ос

O um <£—-—

Glied mit x у durch Drehung um zum Wegfall, so lautet die Ortsgleichung

£2 — yj2 ₌ a2sin ^ .

Wenn P in das Unendliche fällt, so sind P₁P und P₂ P parallel ; sie haben dann die Richtung einer Asymptote. Die Winkel in P₁ und P₂ sind dann

co|

495. G-egeben ist eine Gerade L und außerhalb derselben zwei Punkte P₁ und P₂ . Man soll den Ort eines Punktes P finden, der sich so bewegt, daß die von ihm durch P₁ und P₂ gezogenen G-eraden von L ein Stück von der Länge c ausschneiden.

Res.: Nimmt man L als X-Achse und sind a₁\bi und a₂\b₂ die Koordinaten von P± und P₂, dann erhält man als Ortsgleichung

(«i — a₂ — С)У² — (bi — b₂)xy + (c [W + Z>₂] + a₂    b₂) y — bt b₂ e = 0 .

Der gesuchte Ort ist also eine Hyperbel, die durch Pt und P₂ geht, weil av\b± und a₂\b₂ die G-leichung befriedigen.

Sind PtP und P₂P parallel, so geben sie eine Asymptotenrichtung an. Zieht man durch I\ die Parallele zu L und trägt darauf Pt Q₁ und P₁Q₂ = c nach beiden Seiten hin ab, so sind P₂ Q₁ und P₂ Q₂ die Asymptotenrichtungen. Der Mittelpunkt liegt auf L.

Wie vereinfacht sich die Ortsgleichung,

a)    wenn РгР₂ parallel L ist,

b)    wenn P₁P₂ als Y - Achse angenommen wird, wobei aber PtP₂ nicht parallel zu L ist?

496. G-egeben sei eine Gerade P, ein Punkt О auf ihr und zwei Punkte P₁ und P₂ außerhalb. Es soll der Ort eines Punktes P gefunden werden, der sich so bewegt, daß die von ihm durch Px und P₂ gezogenen G-eraden gleich lange Stücke von О aus gerechnet auf L abschneiden.

Auflösung der Gleichungen 3. und 4. Grades.

153

Res.: Man nehme L als X-Achse, 0 als Nullpunkt; die Y-Achse gehe durch den Halbierungspunkt von PtP₂, alsdann ergibt sich, wenn a\b₁ und —a\b2 die Koordinaten von I\ und P₂ sind, als Ortsgleichung

(W + b₂)xy — 2 \ b₂x — a(bt — b₂)y = 0 .

Her Ort ist also eine Hyperbel, die durch Pl und P2 geht, ihre Asymptoten sind den Koordinatenachsen parallel und haben die Gleichungen

¹

y¹ — 2px — (1 — £¹) x¹

²

) S. Ad. Breuer, Die Hormalgleichung der allgem.

³

Kegelschnittsgleichung. 1888.

y = W+b₂-

+ (6t — 6₂) b± b₂

Ist P₁ P₂ parallel A, so geht die Hyperbel in zwei gerade Linien über.

§ 24. Auflösung von Gleichungen 3. und 4. Grades durch Kegelschnitte.

Führt die Elimination von y aus den Gleichungen

1) Fi (*, У) = 0 , auf die Gleichung

2) F₂ (ж, у) = О

3) W(x) = 0 ,

so bedeuten die Wurzeln der Gleichung 3) geometrisch die Abszissen der Schnittpunkte der durch die Gleichungen 1) und 2) dargestellten Kurven.

497. Beweise, daß die Wurzeln der Gleichung X² -f- p X -f- q — 0

bestimmt sind durch die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel

und der Geraden

у +px +5 = 0;

Die Kegelschnitte im allgemeinen, ebenso durch die Abszissen der Schnittpunkte des Kreises

154

to re

(«+ j

mit der X-Achse.

498. Beweise, daß die Wurzeln der kubischen Gleichung

хг p x q = 0

bestimmt sind durch die Abszissen der Schnittpunkte

der Parabel

у = x² mit der

der Parabel der Parabel

2)

gleichseitigen Hyperbel xy-\-px-\-q~0, у = X² und

У² + РУ +    = о .

In dem letzteren Falle ist von der Wurzel x = 0 abzusehen.

499. Beweise, daß die Wurzeln der Gleichung

1) x² — ту

mit der Parabel 2) m² у² + p т у + qx + r = 0

А) x⁴ + p x² + q x + r = 0 Abszissen der Schnittpunkte der Parabel

sind.

500. Jede der Linien 1) und 2) von Kr. 499 kann auch ersetzt werden durch eine Linie, welche durch die Schnittpunkte von 1) und 2) hindurchgeht. Die Gleichung einer beliebigen solchen Linie ist

3) Â (x² — ту) + m² y²-\-pmy-\-qx-{~r = 0 .

Nimmt man À = m², so stellt 3) einen Kreis dar mit den Mittelpunktskoordinaten

m² — p

2 m² ’

lind dem Halbmesser R, für welchen

R² = a2 b2 _

ist.

Trifft dieser Kreis, für welchen m beliebig gewählt werden kann, die Parabel 1) in 4, 2, 0 reellen Punkten, so hat Gleichung A) 4, 2, 0 reelle Wurzeln. Ist R² < 0, so ist der Kreis imaginär.

501. Wende Nr. 499 und 500 auf die kubische Gleichung

x³ -j-px -j- q = 0

an,

nachdem diese durch Multiplikation mit x auf eine Gleichung 4. Grades erweitert worden ist.

§25. Flächeninhalte bei Parabel, Ellipse und Hyperbel.

502. An die Parabel y² = 2px sind in den Punkten P₁ {x^y^) und P₂ (x₂\y₂) Tangenten gezogen, die sich in T schneiden. Die zu P₁P₂ parallele Tangente berühre in Q; es sei ferner

p₁c\\p₂d\\ qt.

Es ist zu zeigen, daß

1) das zu P₁P₂ gehörige Segment

C, _ (jh — УзУ _ Ж! — ж₂ (tfr — y₂)2    _

12j>    6 Уг+lh '

ist P₁P₂ _L zur Achse, so ist q 4

s = ~3Xl&1 ;

2)    Segment    P± P₂ Q    :    P± CDP₂ = 2:3;

3)    Segment    Pt P₂ Q    :    Л P₁P₂ Q = 4 : 3 ;

4)    Segment    Pt P₂ Q    :    Л P₁P₂ T = 2 : 3 .

JD

TI

tl

Fig. 23.

Die letzte Beziehung kann zur näherungsweisen Quadratur einer beliebigen krummlinigen Fläche Anwendung finden.

503. Der Inhalt der zwischen der kleinen Achse und der im Abstand xx dazu parallelen Sehne liegenden Ellipsenzone ist

= — (xx ]/a² — x\ + a² arc sin —j ;

die gesamte Ellipsenfläche ist J = ab n .

Sind ax und \ die Längen zweier konjugierter Halbmesser und ist cp der von ihnen ein geschlossene Winkel, so ist die Ellipsenfläche

J = л Ъ± sin cp .

504. Inhalt des Hyperbelsegmentes, das durch die im Abstand x₁ zu der imaginären Achse gezogene Parallele abgeschnitten wird:

Inhalt der von der Hyperbel xy = c², der A-Achse und den Geraden x = хл und x = x₉ eingeschlossenen Fläche :

U = c² (lx₂ — lx^) .

505.    Es soll der Inhalt eines Segmentes gefunden луerden, das die Gerade 6 ж -f- у — 18 mit der Parabel у² — 18 x bildet.

Res.: 31-J-.

506.    Welches Segment schneidet die durch den Brennpunkt a) senkrecht, b) unter einem Winkel von 45° gegen die Achse gezogene Sehne von der Parabel y² — 16 x ab ?

Res.: a) 42f, b) Ц&Р .

507.    Gegeben sind die beiden Parabeln y² = 12 x imd y² = 8 x . Welchen Inhalt hat das Flächenstück, das von ihnen und von der durch 0 unter 60° gehenden Geraden eingeschlossen wird?

5 УЗ

Res.:

2 *

508. Von einem Parabelsegment, dessen Seime senkrecht zu der Parabelachse ist, ist gegeben der Inhalt S und die Sehnenlänge 2 у ; es soll der Parameter der Parabel gefunden werden.

Res.:

SS '

509. Zwischen Mittelpunkt und Scheitel einer Ellipse ist auf der großen Achse (Länge = 2 a) ein Lot errichtet; wie groß ist das von diesem Lot abgeschnittene Segment?

Res.:

/ n ]3 \

510. Yon einer Ellipse ist die lineare und die numerische Exzentrizität gegeben; was ist ihr Inhalt?

yi - S² .

Res. :

71 P

511. Gegeben ist eine Ellipse mit der großen Halbachse a und der linearen Exzentrizität f und eine dazu konfokale Hyperbel. Es soll die von dem einen Hyperbelzweig und der Ellipse begrenzte Fläche ermittelt werden.

а У&² — p ^ — arc sin e

Res.:

- f(a + a,) (1 -se,)- a, jet* - pi(eL + y ej - l) .

YIII. Abschnitt.

Polarkoordinaten.

§26. Punkt und gerade Linie.

Bezeichnung: Die Polarkoordmaten eines Punktes seien r und cp (г* und cp,) .

512. Bestimme die Lage der Punkte, welche folgende Polarkoordinaten haben:

72°,    1|54°, 4j — 60°,

,    3|270°,    3|360°,

/31-600 .

СО о

2|30°,    5|45°

3,25|90°,    3

513.    Gib für die Punkte der vorigen Aufgabe die rechtwinkligen Koordinaten an.

514.    Gib die Polarkoordinaten für die Punkte an, deren rechtwinklige Koordinaten sind:

% i

5|0 ,    0|4,    —3|0,    0| —2,    3/2|3/2 ,

-l|/3, 15| —8 ,    —7| — 24 .

515.    Welches ist die Polargleichung einer durch О und den Punkt x₁\y₁ gehenden Geraden?

516.    Welches ist die Polargleichung für die Geraden

1) x = a, 2) у = b ,    3) 05 = — 4,    4) y = — 5?

517.    Welches ist die Polargleichung einer Geraden, für welche das Lot vom Ursprung die Länge p und den Richtungswinkel oc hat?

Res.: rcos(ç9 •— oc) =p .

518.    Zu der in Nr. 517 gegebenen Geraden werden die beiden im Abstand e möglichen Parallelen gezogen. Was sind ihre Gleichungen?

Res.: rcos(99 — a) = p + e .

519.    Welches ist die Polargleichung einer Geraden, die zu der in Nr. 517 gegebenen Geraden senkrecht ist und von О den Abstand p₁ hat?

Res.: rcos(99 — [oc + R?]) = jp₁ .

520.    Bestimme den Abstand zweier Punkte, deren Koordinaten r^cp-^ und r₂\cp₂ sind.

521.    Die Polargleichung der Verbindungslinie der Punkte rt\<pt und r₂\p₂ zu finden.

Res. :

*1 r sin (99 — ф±) + r₂ r sin (<p — cp₂) + r±r₂ sin (<pt — <p₂)= 0.

522.    Den Inhalt des durch , r₂\cp₂ und О bestimmten Dreieckes zu ermitteln.

Res. : \rxr₂ sin (ср± — cp₂).

§27. Polargleichung des Kreises, der Ellipse, Parabel und Hyperbel.

528. Bestimme die durch die Gleichungen

2) r — 2 asinç?

525.    Die Polargleichung eines Kreises vom Halbmesser a zu finden, dessen Mittelpunktskoordinaten

1)    c\oc , 2) a\oc sind.

Res.: 1) r² — 2 c rcos(<p — oc) = a² — c² ,

2) r = 2 «cos(<p — oc) .

526.    Es soll die Polargleichung 1) der Ellipse,

2)    der Hyperbel gefunden werden, wenn der Mittelpunkt Pol und die große bzw. reelle Achse Polarachse ist. Aus der Gleichung soll je der kleinste und der größte Halbmesser gefolgert werden.

Res.: 1) r² =

b²

— b²

2) r² =

1 — e²cos²(f ’

527. In der Ellipse der vorigen Aufgaben ist ein Halbmesser r₁ und ein weiterer auf ihm senkrechter von der Länge r₂ gezogen. Es soll, mit Hilfe der Beziehimgen x = r cos cp und y = r sin cp , bewiesen werden, daß

1 — g²cos²cp ’

ist.

r\ ^ r\ a² ^ b²

528. Eür die Hyperbel in Nr. 526 ist ein Halbmesser rt und zu ihm in der konjugierten Hyperbel ein Halbmesser von der Länge r₂ gezogen. Es soll bewiesen werden, daß

ist.

Res. :

tg(p = +

а У/⁻² — b² ’

also nur möglich, wenn f^>b.

530.    In dem einen Brennpunkt der Ellipse von Nr. 526 wird auf der großen Achse das Lot errichtet. Es soll die Länge des zu seinem Schnittpunkt mit der Ellipse gehenden Fahrstrahles ermittelt werden.

Res.: r — Уа² — b²£² .

531.    Es soll die Polargleichung der Parabel ermittelt werden, wenn der Brennpunkt Pol ist und die Richtung vom Brennpunkt zu dem Scheitel die Richtung der Polarachse ist.

+ p

Г _    —-L-

1 + COS99

532. Es soll 1) für die Ellipse, 2) für die Hyperbel die Polargleicbung gefunden werden, wenn der eine Brennpunkt Pol und die Richtung von diesem Brennpunkt zu dem nächsten Scheitel der Kurve die Richtung der Polarachse ist.

±P

1 + £ COS (p

Res.:

Res.:

(Zeichen s. Nr. 532.)

±P

1 + £ COS 99 ’

wobei je die oberen und ebenso die unteren Zeichen zusammengehören. Yon den unteren, der Rückverlän-gerung des Fahrstrahles entsprechenden Zeichen kann abgesehen werden.

533. Setze in Nr. 532 cpx~<p und <p₂ = 180° -f- tpx und beweise, daß für die zu <p₁ und cp₂ gehörigen Strahlen r± und r₂ der Satz gilt:

rt r₂ ==

(n + rt).

Polargleichung des Kreises, der Ellipse, Parabel. 163

534. Für die Kurve

sin 99 cos cp

eine Konstruktion zu finden und zu zeigen, daß sie eine gleichseitige Hyperbel mit den Asymptoten r sin cp = c und r cos 99 = c ist,

Konstruktion: Ziehe zu der Polarachse die Senkrechte AA₁ (r cos 99 = c) und die Parallele В B₁ (У sin 99 = c) je im Abstand c von О . Ein durch О gehender Strahl О C± trifft die BB₁ in C₁, die AA₁ in C. Trägt man C±P = OG auf der Verlängerung von OCx ab, so ist P ein Punkt der Kurve. — Trifft erst die Rückverlängerung des Strahles ОСг über О die AAL in G, so ist OG negativ zu nehmen, und umgekehrt.

535. Konstruktion, Verlauf und Art der Kurve

a cos 99 cos 2 99

zu finden.

Res.: Gleichseitige Hyperbel mit dem Mittelpunkt auf der Polarachse im Abstand ~ von 0. Die Polar-

Li

achse ist reelle Achse.

IX. Abschnitt.

Aufgaben über höhere Kurven.

§ 28. Die kubische Parabel.

c² y = Xs

536. Den Verlauf der kubischen Parabel aus ihrer Gleichung

zu ermitteln.

⁴ ja ja

&_____

Fig. 24.

X²

537. Eine Konstruktion der Kurve aus der Grlei-chungsform

herzuleiten.

Die kubische Parabel.

165

OB = c (s. Fig. 24)

OG = x, < CDE =90°

<£BCD = 90°,

dann ist

ж²

OD = —

OE - x = OB²,

also

c²

PC = P±0 = OE =

538. Die Gleichung der Tangente nnd der Normale im Punkt, a\b herzuleiten und die Länge der Subtangente und der Subnormale anzugeben.

Ees.: Tangente 3 hx — ay = 2 ab ,

Normale 3 h y -\- ax — 3 &² + a² ,

а

Subtangente — ,

О

3 b²

Subnormale---.

539.    Aus der Gleichung der Tangente im Punkt ab eine Konstruktion für die Tangente herzuleiten, sowie die Koordinaten des dritten Schnittpunktes der Tangente mit der Kurve zu bestimmen.

Für den dritten Schnittpunkt ist x = — 2a.

540.    Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes und den Krümmungshalbmesser für den Punkt a\b zu bestimmen.

(«2 _|_ 9 J2)f

15 6² + a²

Res. : a² — 9 b²

6 ab

541. Erzeugung der kubischen Parabel aus der gleichseitigen Hyperbel¹).

G Siehe Haas, Beiträge zur graphischen Darstellung der höheren Plankurven, Progr. d. Eberh.-Ludw. G. Stuttg. 1895.

Es sei die Hyperbel xy = c² gegeben. Durch den Nullpunkt wird eine beliebige, die Hyperbel in В (und Ą) schneidende Gerade gezogen. Die durch В (bzw. В±) zur X-Achse gezogene Parallele trifft die reelle Achse der Hyperbel im C (bzw. Ct). Durch C (bzw. C±) wird die Parallele zur Y-Achse gezogen; sie trifft die • erste Gerade BB₁ in P (bzw. Px). Es soll gezeigt werden, daß der Ort von P (und Pt) die Gleichung

c² у = X³

hat.

§29. Die Rückkehr- oder Neilsche Parabel.

542. Den Verlauf der Neilschen Parabel, die auch semikubische Parabel genannt wird, aus ihrer Gleichung

cy² = X³

zu ermitteln.

543.    Bestimme den Schnittpunkt der Geraden у = m X mit der Kurve und leite daraus folgende Konstruktion derselben her:

Trage топ О aus auf der —X-Achse О А = c ab, ziehe zu der Geraden у = m x durch A die Parallele, welche die Y-Achse in В trifft; errichte auf AB in В das Lot, das die X-Achse in G schneidet, und errichte in C auf О C das Lot. Sein Schnittpunkt P mit der ersten Geraden ist ein Kurvenpunkt.

544.    Die Gleichung der Tangente im Punkt ab, ihren dritten Schnittpunkt mit der Kurve zu ermitteln und aus dem Abschnitt der Tangente auf der X- oder der Y- Achse eine Konstruktion der Tangente herzuleiten.

Res.: Tangente 3 hx — 2 ay = ab .

Die Rückkehr- oder Neilsehe Parabel,

167

Für den dritten Schnittpunkt ist x =    ,

545. Beweise, daß, wenn man in den Schnittpunkten der Geraden x = a mit den Rückkehrparabeln c± y² = x³, c₂y² = xs usf. an diese Kurven Tangenten zieht, diese die X-Achse in demselben Punkt schneiden, und daß daher umgekehrt die Berührungspunkte der von einem Punkt der X-Achse an die Kurvenschar

gezogenen Tangenten auf einem Lot zur X-Achse liegen.

Dieser

546. Es soll der Ort der Fußpunkte der von dem Brennpunkt der Rückkehrparabel cy² = x³ auf die Tangenten gefällten Lote gesucht werden. Brennpunkt hat die Koordinaten —^cjO¹).

4c

16

Res.:

г/² —

J 27

*+ 2JicK

547.    Nachzuweisen, daß die Evolute der Parabel у² = 2px eine Rückkehrparabel ist.

548.    Herleitung der Rückkehrparabel aus der Kegelschnittsparabel (s. Haas a. a. 0.).

Es sei die Parabel y² = 2 px und die Gerade DDl (s. Fig. 25), x = a, gegeben; zu letzterer ziehe man eine beliebige, die Parabel in В und B₁ schneidende Parallele, ferner durch В (und B±) die Parallele zur X-Achse, welche DD± in C (bzw. С±) trifft. Ziehe OG (und 0СХ) bis zum Schnitt P (und P±) mit BBt und beweise, daß der Ort von P (und von Px) die Rückkehrparabel

у² == —|ж³, oder wenn man ^— = c setzt, cy² = x³ ist.

0 S. Fuchs, Untersuchungen der Brennpunktseigensch. höh. alg. Kurven. 1887.

549. Untersuche den Verlauf der Kurve x³ = c(y — b x) (y -f- b x)

und zeige, daß, wenn b zu Kuli wird, ihr Doppelpunkt in einen Rückkehrpunkt übergeht.

/

C--.

I)

(/

k\

их

Fig. 25.

550. Gegeben ist die Parabel ^/² = 2рж, ferner die Gerade CD, x = b, und auf der X-Achse im Abstand O A = a vom Kulipunkt 0 der Punkt A. Eine beliebige Parallele zur Y-Achse trifft die Parabel in В (und Ą); die Parallele durch В (bzw. Ą) zur X-Achse trifft die Gerade CD in C (bzw. C±); CA ( C₁ Ä) schneidet BBX in P (und Px). Es soll die Gleichung des Ortes von P (und Px) ermittelt und die dadurch dargestellte Kurve näher untersucht werden.

Res. : (a -f- b)² y² = 2 px(x — a)².

Die Kurve berührt die Y- Achse in 0, sie hat in A einen Doppelpunkt und läuft symmetrisch zur X-Achse ins Unendliche. Sie heißt Schleifenparabel.

(a + b)²

Mit

2p

= c und a — 0 geht sie in die Rückkehr-

parabel über.

551. Untersuche und vergleiche den Verlauf der Kurven mit folgenden Gleichungen:

a<b<c ; a <5 ; a <b ;

1)    y² = (x — a) (:X — b) (x — c)

2)    y² = {x — d) (x — b)² ,

3)    y² = {x — a)² (x — b) ,

4)    y² = [x — a)³ , besonderer Fall а = 0 .

§ 30. Die binomische Hyperbel.

552. Den Verlauf der binomischen Hyperbel aus ihrer Gleichung

xy² = cs

zu ermitteln.

553. Konstruktion der binomischen Hyperbel: Auf der —X-Achse ist OG = c abgetragen; C wird mit einem beliebigen Punkt A der Y-Achse verbunden, auf AG in G wird das Lot errichtet, das die Y-Achse in В trifft. Auf B G in В wird wieder das Lot errichtet, das die + X-Achse in D trifft. Durch A wird die Parallele zur X-Achse, durch D eine solche zur

Y-Achse gezogen; beide Parallelen treffen sich in P. Es soll gezeigt werden, daß P die binomische Hyperbel beschreibt, wenn A auf der Y- Achse wandert.

554. Erzeugung der binomischen Hyperbel aus der Parabel y² = 2px. Es sei die Gerade DD1 durch ihre Gleichung x = a gegeben. Man ziehe zu DJ\ eine beliebige Parallele, welche die Parabel in В (und B±) trifft; ziehe OB (und OB±) bis zum Schnitt C (und C±) mit jDD₁ und ziehe durch C (und C\) Parallelen zur X-Achse, welche BB₁ in P (und P±) schneiden. Es soll der Ort von P (und Px) gesucht werden.

Res.: xy² = 2pa²{ = cs) .

555. Die Gleichung der Tangente im Punkt a\b an die Kurve xy² = c³ zu finden und aus ihrem Abschnitt auf der X-Achse eine Konstruktion der Tangente herzuleiten.

Res. : Ъ x -f- 2 а у = 3 ab .

§ 31. Die Kissoide.

556. In einem Kreis vom Halbmesser r sind zwei senkrechte Durchmesser O A und CD, ferner eine zu O A senkrechte Sehne EF und die zu ihr in bezug auf CD symmetrische Sehne ElF₁ gezogen. OF und OE schneiden E₁F₁ in P und Q. Es soll für den Ort, der von P und Q beschrieben wird, wenn EF parallel verschoben wird, die Gleichung gefunden und der Verlauf der Kurve, welche Kissoide (Efeulinie) genannt wird, untersucht werden.

Res.: Nimmt man 0 als Nullpunkt, OA als +X-Achse, so ergibt sich die Gleichung

oder

xs

2 r — x *

О ist Eückkehrpunkt, die in A gezogene Tangente ist Asymptote.

AT^X

Fig. 26.

Die Schnittpunkte der OE₁ und OF₁ mit EF sind ebenfalls Punkte der Kurve.

Verlängert man OE bis zum Schnitt G mit der in A gezogenen Tangente A T, so kann der Kurvenpunkt P auch ohne Benutzung von E₁F₁, durch OP = EG erhalten werden.

557. In dem Rechteck О ABC ist die Seite О А von unveränderlicher Länge a; die Seite OC ist veränderlich. Yon C wird auf die Diagonale OB das Lot CP gefällt. Es soll gezeigt werden, daß der Ort des Fußpunktes P eine Kissoide ist.

558. Herleitung der Kissoide aus der Parabel: Fällt man vom Scheitel der Parabel y² = —Srx auf die Tangenten an diese Kurve Lote, so liegen die Fußpunkte dieser Lote auf der Kissoide

ж³

У² =

559. Zieht man von О nach dem auf der Parabel y² = —8 rx wandernden Punkt Q den Strahl OQ und bestimmt auf der Rückverlängerung über О den Punkt P so, daß

OQ . OP=—lßr² ,

so beschreibt P die Kissoide

X³

2 r — X *

560. Die Gleichung der Tangente im Punkt x₁y1 der Kissoide zu finden.

Res. : Tangente у — У\ =

2y₁(2r — xx)

(x — xt) .

§ 32. Diskussion einzelner Gleichungen 3. Grades.

561.

х3 + У³ =    ,

Die Kurve ist symmetrisch zu der Geraden у = x ; у x = 0 ist Asymptote.

Die Kurve verläuft durch das erste, zweite und vierte Feld und schneidet auf den Koordinatenachsen

Stücke von der Länge c ab. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind Wendepunkte. Der Schnittpunkt mit der Symmetrieachse y = x ist ein Scheitel. Gleichung der Tangente x\x + Vi У = ß3 •

562.

Xs — ys = c³ .

563. xs -f ys — 3axy = 0 (Blatt des Descartes). О ist Doppelpunkt, die Kurve berührt die Koordinatenachsen in 0; sie ist symmetrisch zu y — x.

Auf dieser Geraden ist der Punkt ^ ^ ein Scheitel.

и и

y -f- x 4- cc = 0 ist Asymptote.

3,—

Zu x = а ]/ 2 gehört ein höchster Punkt. 564.

x²y — a²x -f- a²y = 0 .

0 ist Mittelpunkt, die X-Achse ist Asymptote; sie hat drei Wendepunkte, nämlich

ap |y₃

Wendetangente in 0 ist у — x = 0 , höchster Punkt a ,

О,

—аУ 3 —-

DO

-Уз.

tiefster —а

565.

xs -f- x² — у² = О .

Die Kurve ist symmetrisch zur X-Achse, 0 ist Doppelpunkt; x + у = 0 sind die Tangenten in 0. Höchster und tiefster Punkt — f | + -f ]/3 .

566.

xs — x² — y² = 0 .

Die Kurve ist symmetrisch zur X-Achse; 0 ist Einsiedlerpunkt.

x²y -f- X² — y² = О .

567.

Die Kurve ist symmetrisch zur Y-Achse ; x + у = 0 sind die Tangenten in dem Doppelpunkt O.

у = — 1 ist Asymptote.

568.    Yon dem Punkt P der Parabel y² = 2px wird auf die Scheiteltangente das Lot PD gefällt und über P hinaus um PQ = OP (0 Nullpunkt) verlängert. Es soll der Ort von Q gefunden werden, wenn P auf der Parabel wandert.

xy² — p(x² — y²) = 0 .

x² у — x² — у² — О .

Die Kurve ist symmetrisch zur Y-Achse, 0 ist Einsiedlerpunkt. 212 sind äußerste Punkte, also x = + 2 Tangenten an die Kurve. Die Gerade у = 1 ist Asymptote.

570.

Res.:

569.

к²у — У + 1 = 0 .

Die Y-Achse und die Geraden x = +1 sind Asymptoten. Die Gerade у = 1 liefert] x = + 0 , sie ist also Tangente in einem höchsten Punkt.

571.

xs —xy + 1=0.

x = 0 ist Asymptote; der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist Wendepunkt; y = Зж+l ist Wendetangente. Die Gerade у = h berührt die Kurve, wenn die Gleichung xs — hx -f- 1 = 0 zwei gleiche reelle

Wurzeln hat; dies ist der Fall für xx = x₂ =

x₃ =    2 У* , Ъ — J- ]/ 2 .

xs ys — x = 0 .

572.

— 10 ;

О ist Mittelpunkt; drei Wendepunkte 0|0 ,    +1|0

Wendetangenten x = 0 , x = +1 ;

Asymptote y — —x ; höchste und tiefste Punkte ]/||+-|- )/ 2 . x²y xy² — 1 = 0.

Die Kurve ist symmetrisch zu der Halbierungslinie des ersten Feldes.

Drei Asymptoten, nämlich x — 0 , y = 0 , höchster Punkt    —/4 ; äußerster Punkt — У41)/-§-.

573.

У = — x;

₊T

lZLT

±x

Fig. 27.

574. In dem Kreis К vom Halbmesser a (s. Fig. 27) ist der Durchmesser A MX und zu ihm der senkrechte

DMD± (g) gezogen. Auf der Уerlängerung des Durchmessers А X ist der Punkt О gegeben. Eine Gerade parallel DD1 trifft den Kreis in В und B₁ ; die Geraden AB und ABt treffen DD₁ in C und G₁. Ziehe OG und ОС± bis zu den Schnittpunkten P und P₁ mit BB₁. Was ist die Gleichung des Ortes von P und Pt ? Es sei OM -f-X-Achse, О Nullpunkt, OA = AM=a.

Res. : ж³ -f- 4 xy² — r (4 y² -j- 3 x²) = 0 .

О ist Einsiedlerpunkt, x = a Asymptote. Die Kurve geht durch die Endpunkte des Durchmessers DD± und durch X.

575. Zeige, daß die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel

und der Geraden

У +P^ 7h Я = 0

Wurzeln der kubischen Gleichung

x³ -f- p x + q = 0

sind.

1 + t .

1 — t ;

3 at2 y = i +    ’

У = t— 2 ts.

576. Untersuche den У erlauf der Kurven: 14    1 + 2t

1 + t³ ’

2) x =

3) x = t²

§ 33. Einzelne einfache Linien 4. Grades.

577. Untersuche den Verlauf der Kurve а³ т/ =    ,

und leite aus der Gleichungsform

eine Konstruktion der Kurve her.

578. Untersuche den Verlauf der Kurve

wobei

y =    — Ъх² + g ,

und

ist.

Ъ² > 4 с

Die Kurve hat für x = 0 einen höchsten, für

il

x = —J—

tiefste Punkte, für x = + J/ — Wendepunkte. Sie trifft die X-Achse in vier reellen, in Beziehung auf 0 symmetrischen Punkten.

Mit c = 0 fallen zwei der Schnittpunkte nach 0, die X- Achse wird in 0 zweipunktig berührt.

Mit b = 0 und c — 0 fallen alle vier Schnittpunkte der Kurve mit der X-Achse nach 0, die X-Achse wird vierpunktig in 0 berührt. Hieraus erklärt sich die Entstehung des Elachpunktes in Kr. 577.

579.    Untersuche den Verlauf der Kurve

— x^ ,

erörtere ihren Schnitt mit der X- und der Y-Achse.

580.    Untersuche den Verlauf der Kurve

ж⁴ -j- (b²x² — y²)y = 0 .

Der Nullpunkt ist ein dreifacher Punkt, die Kurve bildet also bei 0 zwei Schleifen. Die Tangenten in 0 sind

b x -j- y = 0 .

12

Bür kl en, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

Für b = 0 fallen alle drei Tangenten mit der X-Achse zusammen, die beiden Schleifen schrumpfen in einen Punkt, den Spitzpunkt, zusammen. Der Spitzpunkt geht also aus dem dreifachen Punkt in ähnlicher Weise wie der Rückkehrpunkt aus dem Doppelpunkt hervor.

581. Untersuche den Yerlauf der Kurve

xs у = c⁴

und suche aus der Form eine Konstruktion derselben.

+Г

7Г~ТТ

Fig. 28.

582. In einem Kreise vom Halbmessern (s. Fig. 28) ist der Durchmesser O A und zu ihm der senkrechte DDl gezogen. Eine zu O A parallele Sehne A± A₂ schneidet DD± in C und die Gerade OG trifft die durch A± und A₂ parallel zu DĄ gezogenen Geraden in Pt und P₂. Es soll die Gleichung und der Verlauf des Ortes von P₁ und P₂ ermittelt werden.

О A +X-Achse,    О Nullpunkt.

Res. :    — 2 r x³ + r² y² = 0 .

Die Kurve ist symmetrisch zur XAchse, О ist Rückkehrpunkt, O A Rückkehrtangente. Aus

X I—--г

у = + — У 2 r x — x²

folgt, daß reelle Punkte nur für 0 ^ x ^ 2 r möglich sind.

3 r 3 r ~2~ 4

Уз;

Höchster Punkt:

Wendepunkte:

3 — 13 r i/-7=-

—£—r ±2-13/3-9.

583. Untersuchung von

у² (1 — x²) — 1 .

Die Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen, also О Mittelpunkt; x =+1 sind Asymptoten.

Aus

У=±

und

x=±~]y²

У i — ж²

folgt, daß reelle Punkte nur für —l^x^-\-l und I у I > 1 möglich sind ; die Kurve ist also zwischen die

1.2*

Asymptoten eingeschlossen; auf jeder Seite der X-Achse ein ins Unendliche laufender Zweig.

höchster 0—1 .

Tiefster Punkt 0| + 1 ,

584. Untersuchung von

x²y² — X² -f- y² = 0 .

Res.: Die Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen, О Mittelpunkt, Doppelpunkt und Wendepunkt für die beiden in ihm sich treffenden Zweige; x + у = 0 sind die Tangenten in О; у =+1 sind Asymptoten.

Aus

Vi — 2/

folgt, daß reelle Kurvenpunkte nur für —1 ^y möglich sind.

585. Untersuchung von

y² (1 + xl) — 1 •

Res.: Die Kurve ist symmetrisch zu beiden Koordinatenachsen; О ist Mittelpunkt, die X-Achse ist Asymptote für beide Zweige der Kurve, von welchen der eine zwischen у = +1 und у = 0 , der andere zwischen у = — 1 und у = 0 liegt. Die Schnittpunkte mit der Y- Achse sind Scheitel der Kurve. Wendepunkte für x =    .

586. Untersuchung von

X⁴ — 2/⁴ — xy .

Res.: О ist Mittelpunkt und Doppelpunkt; x = 0 und у — 0 sind Tangenten in 0. Für sehr kleines у kann yL vernachlässigt werden ; hierdurch vereinfacht sich die Kurvengleichung auf xs == y\ ebenso kann ж⁴ bei sehr kleinem x vernachlässigt werden, hieraus ergibt sich y³ = —x. Die Kurve zerfällt in zwei Zweige, die durch den Ursprung verlaufen wie x³ = y und y³ = —x.

587.

y = -\-x sind Asymptoten für die beiden Zweige. Ж⁴ —    = x .

Res.: Die Kurve ist symmetrisch zur X-Achse, sie schneidet die X-Achse in О und in ljO ; sie zerfällt in zwei Zweige links und rechts von der Y- Achse, für welche у = Asymptoten sind.

588. Die Konchoide des Nikomedes. Es ist der feste Punkt Q und die Gerade L gegeben. Q wird

'C

-L

Qi

Fig. 29.

mit dem Punkt A der L verbunden; auf QA wird von A aus nach beiden Seiten AP = AP' gleich der konstanten Strecke c abgetragen. Der Ort, den P und P' beschreiben, wenn A auf L wandert, heißt Konchoide (Muschellinie).

Es soll ihre Gleichung gefunden werden, wenn L X-Achse, das Lot QO von Q auf L Y-Achse und QO = b ist; Q liege auf der — Y-Achse.

1)    (y -f- b)² (iо² — y²) = X²y² .

Res.:

Legt man die X-Achse parallel zu L durch Q, so lautet die Kurvengleichung

2)    (y — b)² (x² -f- y²) — c² y² .

Die Kurve, welche symmetrisch zur Y-Achse ist, zerfällt in zwei durch L getrennte Zweige.

Aus 2) folgt, daß die Kurve in Q einen eigentlichen Doppelpunkt, einen Rückkehrpunkt oder einen isolierten Punkt hat, je nachdem b = c ist, denn die gemeinsame Gleichung der beiden Tangenten in О ist b² x²    (b² — с²) у² — 0 .

Die L ist Asymptote für beide Zweige der Kurve.

Anmerkung: Andere Konchoiden ergeben sich, wenn an Stelle der geraden Linie L Linien anderer Art treten.

589. Die Gleichung der Tangente an die Konchoide in dem zu 1) in Nr. 588 gehörigen Koordinatensystem zu finden.

Res. : Tangente y — У\ —

Vil/c² — У\

y\ +C² b

590. Die Lemniskate (Cassinische Kurve). Auf der X-Achse sind auf beiden Seiten von 0, je im Abstand a von 0, die Punkte F und gegeben. Ein Punkt P bewegt sich so, daß das Produkt seiner Entfernungen von F und F± konstant und gleich, c² ist. Es soll die Gleichung des Ortes von P ermittelt und der Ort näher untersucht werden.

Res.: (x² -f- y²)² — 2 a² (x² — y²) — e⁴ — aA .

Die Kurve ist symmetrisch zur X- und zur X-Achse, О ist Mittelpunkt.

Sie verläuft nur im Endlichen.

1)    e < а ; die Kurve zerfällt in zwei getrennte, geschlossene Blätter.

2)    c — а ; die Kurve, welche in diesem Fall eigentliche oder schlichte Lemniskate heißt, geht durch 0, 0 ist eigentlicher Doppelpunkt und Wendepunkt, die Tangenten in 0 haben die Gleichungen

sie schneidet die X-Achse in der Entfernung a]/ 2 auf beiden Seiten von O.

Höchste und tiefste Punkte hat man für

e |<n

Ci Г~~

x = ±jfs 1

Die Strahlen yon 0 nach diesen Punkten bilden mit der X-Achse Winkel von 30°. Ein Kreis um О mit a beschrieben geht durch diese Punkte.

3) c> a] die Kurve bildet eine geschlossene, die X-Achse in dem Abstand )/'c² + а² und die Y- Achse im Abstand \c² — a² von О je zweimal schneidende Linie, welche in den Schnittpunkten mit der Y- Achse einen höchsten bzw. einen tiefsten Punkt hat.

591. Zu beweisen: Fällt man vom Mittelpunkt der gleichseitigen Hyperbel

X² — y² — 2 a²

die Lote auf die Tangenten an diese Kurve, so ist der Ort der Fußpunkte dieser Lote die Lemniskate

(x² + у²)² — 2 а² (x² — y²} = 0 .

592.    Zu beweisen, daß, wenn man vom Mittelpunkt О der gleichseitigen Hyperbel

x² — у² = 2 а²

nach dem Punkt P₁ dieser Kurve den Strahl OPx zieht und darauf P so bestimmt, daß

OP . OP± = 2 a²

ist, der Ort von P die einfache Lemniskate ist.

593.    Vom Mittelpunkt der Ellipse

X²

y²

a²

h²

+ ^=1

werden Lote auf die Tangenten gefällt; es soll der Ort der Fußpunkte gefunden werden. Was muß der Fall sein, wenn Ъ = a wird ?

Res.: (x² -|- у²)² = a² x² + b²y² .

594. Auf der -\-X- Achse liegt im Abstand a von О der Punkt M . Um M ist mit a ein Kreis beschrieben. Yon О sind auf die Tangenten des Kreises Lote gefällt. Was ist die Gleichung für den Ort der Fußpunkte ?

Res.: (x² -f- y²)² — 2 ax(x² -j- у²) — a²y² = 0 .

Der Ort, welcher in О einen Rückkehrpunkt hat und den Kreis in seinem Schnittpunkt mit der -f-X-Achse berührt, heißt Kardioide (Herzlinie).

595.

a²y² — x²(a² — x²) .

Geschlossene Kurve, О ist Doppelpunkt, Mittelpunkt und Wendepunkt.

to s

Vä

Höchste Punkte:

y²(a — x)² = x³ (2 a — x) .

596.

Reelle Punkte nur für 0

x ^ 2 a ; О ist Rückkehrpunkt *, zwei durch die Asymptote x = a getrennte Zweige.

y² = x² (x² — 1 .

597.

Zwei ins Unendliche laufende Zweige; Wendepunkte für x = + \ Уб .

у² (1 — x²) = 1 .

x — +1 sind Asymptoten ; reelle Punkte nur für x ^ +1 ; höchster Punkt 0| +1, tiefster 0| — 1.

598.

§ 34. Gleichungen algebraischer Kurven in Polarkoordinaten.

Bezeichnungen: r Radius vektor, cp Richtungswinkel , (X Richtungswinkel der Tangente gegen die Polarachse , ß Winkel der Kurventangente mit dem Fahrstrahl zum Berührungspunkt.

599. Folgende, auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogene Gleichungen in solche in Polarkoordinaten überzuführen, wobei die -{-Al-Achse Polarachse und О Pol ist:

Res. :

a) r² = tg cp : cos²99 ,

c) r = tg² op : cos 99

b) rn -¹ = tg cp : cosw ~¹99, d) r³ = c³ : cos (p sin² cp .

600.    Die Gleichung der Kissoide aus der in Kr. 556 gegebenen Konstruktion in Polarkoordinaten aufzustellen. (Der Kreisdurchmesser werde mit a bezeichnet.)

Res. : r = a sin 99 tg‘99 .

601.    Ebenso aus der in Kr. 557 gegebenen Konstruktion.

602.    Auf der Polarachse OL ist der feste Punkt Q gegeben (OQ = c) . In Q ist das Lot errichtet, durch О wird ein Strahl gezogen, der das Lot in А trifft; auf OA m A wird das Lot gezogen, das OL in В schneidet, und auf OL in В wird wiederum das Lot errichtet, das О A in C trifft. Es soll die Gleichung des Ortes ermittelt werden, den О beschreibt, wenn sich der Strahl O A um О dreht.

Res.:

COS³ (p 71

Wendepunkte für 99 = + — ,•

D

603. Die Polargleichungen der beiden Zweige der Konchoide (s. Kr. 588), wenn die Parallele zu L durch Q als Polarachse und Q als Pol genommen wird.

Res.:

cos cp

COS (p

604.    Die Polargleichung der schlichten Lemniskate (s. Kr. 590) zu finden.

Res.: r² = 2 a²cos2 op .

605.    Den Richtungswinkel der Tangente an die schlichte Lemniskate (s. Kr. 604) zu bestimmen.

j+3<p.

Res.:

606. Beweise, daß der Winkel, welchen die Normale der schlichten Lemniskate mit dem zugehörigen Yektor bildet, doppelt so groß als der Winkel des Yektors mit der Polarachse ist.

+X

Fig. 30.

607. In einem Kreis K (s. Fig. 30) ist der Durchmesser O A = a und durch О die Sehne OQ gezogen. OQ wird über Q hinaus um QP verlängert. Es soll die Polargleichung des Ortes von P gefunden und die von P erzeugte Kurve untersucht werden.

Res.: r = a(l -f- cosç>) .

Der Ort ist eine Karclioide (s. Nr. 594). Höchster

71

Punkt zu cp = — .

Ó

608.    Man verlängere die Sehne OQ (s. Nr. 607) nicht um den Durchmesser des Kreises, sondern um eine andere gegebene Länge Ъ . Es soll die Gleichung des entstehenden Ortes (Pascalsehe Schnecke) gefunden werden.

Res.: r = Ъ -f- aesosep .

Für Ъ < a hat die Kurve in О einen Doppelpunkt, für b = a einen Rückkehrpunkt (s. Nr. 607); für Ъ > а ist О kein Punkt der Kurve.

609.    Für welchen Punkt der Kardioide in Nr. 607 sind Subtangente und Subnormale einander gleich?

71

Res. : Für r = a und

610.    Den Krümmungshalbmesser der Kardioide zu berechnen.

Res.: £ = |-acos99.

611.    An den Kreis, der um den Pol О mit dem Halbmesser a beschrieben ist (s. Fig. 31), wird in dem beweglichen Punkt Q die Tangente gezogen, die das in О errichtete Lot in S trifft; durch S wird zur Polarachse OX die Parallele gezogen, welche OQ in P trifft. Es soll die Polargleichung des Ortes von P gesucht und untersucht werden.

а

— 2"tg99 ,

sin ² cp

hieraus folgt die Tangentenkonstruktion.

Res.:

n

Tiefster, bzw. höchster Punkt mit cp = + — ;

Ci

Wendepunkte zu sin cp = + ]/|^ .

tX

Fig. 81.

§ 35. Transzendente Kurven.

612. Um den Pol О dreht sich mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit c ein Strahl OL und auf ihm bewegt sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit ct der Punkt P. Es soll die Gleichung des Ortes von P gefunden werden. Am Anfang der Bewegung liege OL auf der Polarachse OX und P in О .

Res. :

ci

oder, wenn

r = a cp .

Diese Kurve heißt archimedische Spirale. Zeichne sie für a = 1 .

Mit Hilfe der archimedischen Spirale kann jede Addition, Subtraktion, Vervielfachung und Teilung von Winkeln auf Addition, Subtraktion, Vervielfachung und Teilung von Strecken zurückgeführt werden :

613. Es soll der Verlauf der archimedischen Spirale untersucht und gezeigt werden:

1)    daß die Kurve auf einem und demselben Fahrstrahl unendlich viele Strecken von der Länge 2 an abschneidet;

2)    daß die Polarachse in О berührt wird;

3)    daß tg ß gleich der Maßzahl von cp , also der Winkel ß spitz ist und sich mit wachsendem cp der

Grenze ~ nähert;

и

4) daß die Subnormale konstant und gleich a ist; hieraus folgt Konstruktion der Monnaie und der Tangente ;

5) daß die Subtangente gleich a² cp ist.

614. Den Flächeninhalt des zwischen den zwei Halbmessern r und ?\ und dem zugehörigen Kurvenbogen liegenden Sektors der archimedischen Spirale zu ermitteln.

Res.:

gesetzt wird,

L(r3_r3).

615. Den Verlauf der parabolischen Spirale deren Gleichung

r² = a² cp

К !<м

ist, zu ermitteln und die zu cp = —

gehörigen Punkte zu zeichnen.

616. Es sollen einzelne Punkte der hyperbolischen Spirale konstruiert werden aus ihrer Gleichung

r cp = a .

617. Es soll der Verlauf der hyperbolischen Spirale untersucht und gezeigt werden, daß

1)    für (p — 0 , Г — OG Und für (p = OG , r — 0

wird, daß also О asymptotischer Punkt ist;

2)    die Gerade r sin cp — a Asymptote der Kurve ist ;

3)    die Subtangente die Länge a, die Subnormale

^•2

die Länge — hat ;

4)    der Krümmungshalbmesser

cosд О TP

ist, wobei О Pol, T der Schnittpunkt der in P gezogenen Tangente mit dem in О auf OP errichteten Lot ist.

618. Den Verlauf der logarithmischen Spirale, deren Gleichung

r — a emv(a > 0 , m > 0),

zu untersuchen. Res.:

1)    Mit cp — -f- oG wird r — ос ;

2)    „

cp = 0

cp =

3)    *

- OO

es ist also О asymptotischer Punkt;

4)    der Winkel zwischen Tangente und Vektor zum Berührungspunkt ist konstant;

5)    die Länge der Tangente, Normale, Subtangente, Subnormale ist bzw.

Anmerkung: Über die Anwendung der logarith-mischen Spirale auf das graphische Rechnen s. Favaro-Terrier, Le calcul graphique, Paris 1885.

619. Um einen Kreis vom Halbmesser a ist ein undehnbarer Faden gelegt. Derselbe wird in dem einen Endpunkt festgehalten und vom anderen Endpunkt A aus in gespanntem Zustand abgewickelt. Es soll die Gleichung des von dem Endpunkt des abgewickelten Teiles beschriebenen Ortes gefunden werden.

Res.: Man nehme den Kreismittelpunkt als Nullpunkt, die O A als + X-Achse und bezeichne den Richtungswinkel des Halbmessers OQ zum Berührungspunkt Q des gespannten Fadens mit cp ; dann ist der Kreisevolvente genannte Ort dargestellt durch die Gleichungen

X = a COS99 + a cp sin cp , y — a sin cp — a cp cos cp .

620. Die Zykloide. Ein Kreis vom Halbmesser ar der eine Gerade OX in О berührt, rollt auf OX. Es soll die Gleichung des Ortes gefunden werden, welchen der auf dem Halbmesser M О des Kreises im Abstand at von О befindliche Punkt P beschreibt. OX sei X-Achse, О Nullpunkt.

X = at — a± sint,

Bes. :

y = a —    cos t,

wobei t = slycPMX, X Berührungspunkt des Kreises auf OX ist.

Ist    , so heißt die Kurve verschlungene

bzw. gestreckte, ist % = a die gewöhnliche Zykloide.

Die verschlungene Zykloide hat in der ursprünglichen Lage von P einen Doppelpunkt, die gewöhnliche einen Bückkehrpunkt, die gestreckte einen tiefsten Punkt.

621. Es soll nachgewiesen werden, daß für jede Zykloide die Normale durch den Berührungspunkt des Wälzungskreises geht.

Hieraus folgt die Konstruktion der Normale und der Tangente.

622. Es soll für die gewöhnliche Zykloide nachgewiesen werden, daß

|сч

1) die Normale die Länge 2 a sin ,

2)    der Krümmungshalbmesser die Länge 4 a sin—,

и

also die doppelte Länge der Normalen hat;

3)    die Evolute wieder eine gewöhnliche Zykloide,

4)    die von dem einer vollen Umdrehung des Kreises entsprechenden Zykloidenbogen und der X- Achse eingeschlossene Fläche das Dreifache der Kreisfläche und

5)    die Länge dieses Zykloidenbogens das Achtfache des Kreishalbmessers ist.

623. Epizykloide. Auf einem festen Kreis К mit dem Mittelpunkt О und dem Halbmesser R rollt

13

Bürklen, Aufgabensamml. z. analyt. Geom. d. Ebene.

auf der Außenseite ein zweiter Kreis Kx mit dem Mittelpunkt M (Anfangslage) und dem Halbmesser r. Es soll die Gleichung des Ortes gefunden werden, welche ein bestimmter Punkt A von K± beschreibt.

AI

Fig. 32.

Res.: Beim Beginn der Bewegung liege der beschreibende Punkt A mit О und M in einer Geraden. Diese werde als +X-Achse, О als Nullpunkt angenommen; es sei Mt irgend eine Lage von M und A:MOMl = 99, dann ist der gesuchte Ort, der Epi-zykloide heißt, dargestellt durch

(R + r) cp

X = (R -f- r) COS99 — r cos

(В -f- r) cp

у = (X _|- r) sin cp — r sin

Rollt der Kreis X₁ auf der Innenseite von X, so heißt der von A beschriebene Ort Hypozykloide; ihre Gleichungen sind

. _    R — r

X = (R — r) cos cp + r cos--

y — (R — r) sin cp — r sin

R — r

cp .

624.    Zu beweisen: Die Normale der Epi- und der Hypozykloide geht durch den Berührungspunkt von К und Kt.

625.    Zu beweisen: Ist r = R, so wird die Epizykloide zur Kardioide.

626.    Wenn R und r in einem rationalen Verhältnis stehen, so gelangt der beschreibende Punkt A der Nr. 623 nach einer endlichen Anzahl von Umwälzungen des Kreises wieder an die anfängliche Stelle, und die erzeugte Kurve besteht aus einer endlichen Anzahl unter sich kongruenter Züge. Es soll die Hypozykloide gezeichnet und untersucht werden:

1)    für r = \R (Durchmesser OA),

2)    für r = $R (dreispitzige Hypozykloide, sogenannte Steinersche Kurve),

3)    für r = \R (vierspitzige Hypozykloide, Astroide).

627.    Man nehme nicht den Punkt Ä des Kreises Kx von Nr. 623 als erzeugenden Punkt, sondern einen Punkt P auf MA. Das Koordinatensystem sei dasselbe wie in Nr. 623, ferner sei MP =h₁ <^.M₁OM=cp . Es soll gezeigt werden, daß die Gleichungen der so entstehenden allgemeineren Epizykloide

R+r

X = (R -f- r) cos cp — h cos

<P »

y — (R -f- r) sin cp — h sin

13*

und die Gleichungen der allgemeineren Hypozykloide

<P

,    , _ . В — r

X = (B — r) cos (p -f- h sm-

R _ y

<P

y — (R — r) sin (p — h sin-

sind.

Ferner soll gezeigt werden, daß

1)    für beliebiges li und r= В die Hypozykloide in eine Ellipse und

2)    für beliebiges h und r = В in eine Pasealsche Schnecke übergeht.

Cebrer-Verein

== für Uaturkunde =

Breslau.

so m.

üerßetdjnis 6er erfdjienenen Bänbe.

gtnaltjft*, $i>Jjere, Repetitorium unb aufgabenfammlung зиг 3ntegral* redjnung oon Dr. $riebr. 3unfer, Prof, am Karlsgqmnafium in Stutt-gart. XUit 50 5ig- Rr. 147.

— Ше&ггг, oon prof. Dr. Bcnebift Sporer in CEtjingen. IRit 5 5ig. Rr. 53.

glie gcmcvMirirc, Юегпег Sombart, Prof, an ber Unio. Breslau. Rr. 200. ^Urbeiieroerftdievmtg, gilt, oon Dr.

Rlfreb manes in Berlin. Rr. 267. JUritljmetih rntfc iAlgclmt oon Dr. Ijerm. Säubert, prof, an ber (De* Iehrtenfdjule bes 3oi)anneums in Hamburg. Rr. 47.

--Beifpielfammlung зиг Hritfymetif

u. algebra o. Dr. Hermann Schubert, Prof, an ber ©elel)rtenfd)ule bes 3o-.. banneums in Hamburg. Rr. 48. Jlßketfk. ^Ugcmeine, oon prof. Dr. ÏÏÏaç Вкз, Serrer an b. Kgl. afabe-mie ber bilbenben Künfte in Stutt-gart. Rr. 300.

gljiroiumm. ©rö&e, Bewegung unb (Entfernung ber fjimmelsïôrper oon a.B- môbius.neubearb. o. Dr. U). $. tôislicenus, prof. a. b. Unioerf.Strajj-burg. КШЗбаьЬ.и.1 Sternî. Rr. 11. Jtffropbqfth. Die Befd)affenï)eit ber Ijimmelsförper oon Dr. R)alter $. RHsIicenus, prof, an ber Unioerfitât Strasburg, mit 11 abbilb. Rr.91. ^Utfgabrnjamtnlg. f. ^Umlnt. (Öko-metvie b. ©beiueo. (D. <X1). Biirïlen, Prof, am Realgqmnafium in Sd)m.-©münb. mit 32 5iguren. Rr. 236.

--b.flrtîuneer oon Ф. Щ. Biirïlen,

Prof, am Realgtjmnafium in SĄw.-©münb. mit 8 5ig. Rr- 309.

— pi|ttJtkaltfd)e, o. ©. maller, Prof, ber matljem. u. Phqfiï am ©pmnaf. in Ulm. mit b. Refultaten. Rr. 243. gUifrabeittnuirfc oon (Dberftubienrat Dr. £. R). Straub, Reïtor bes (Ebers harb-£ubmig$-©r)mnafiums in Stuttgart. Rr. 17.

^Ukevban- tt.Pflattreubintlcljreoon Dr. Paul Rippert in Berlin u. (Ernft £angenbec! in Bodjum. Rr. 232.

^gvilmltiirrijemifdie gtontrollnte-fen, Ba*, oon Dr. Paul KrifĄe in (Böttingen. Rr. 304. gUmftih. ©beoret. PbpUï I.TEell:me. djaniï u. aiuftii. Bon Dr. ©uf t. 3äger, prof an ber Unioerf. R)ien. mit 19 abbilb. Rr. 76.

— ШпОкаНГФс, о. Dr. Karl £.S<bäfer, Do3ent an ber Unioerf. Berlin, mit 35 abbilb. Rr. 21.

^Ugebra. aritbmeti! u. algebra о. Dr.

Schubert, prof. a. b. ©elebrtenfdjule b. 3ol)anneums in Hamburg. Rr. 47.

Ripest, glie, oon Dr. Rob. Sieger, prof, an ber Unioerfitât unb an ber ©jportafabemie bes Î. !. fjanbelsmu* feums in R)ien. mit 19 abbilb. u. 1 Karte. Rr. 129.

JUiertmtm*, Bie betttftkett, o. Dr.

5гапз 5ubfe, Direltor b.ftäbt. IRufe-ums in Braunfdjweig. mit 70 Rbb. Rr. 124.

^Uevtum^lmnbe, (SrierfUrdk* oon prof. Dr. Rid}. maifeb, neubearb.

mmer.

Reïtor Dr. $ranj роЫ1}<* mit 9 Bollbilbern. Rr. 16.

— JUsmifdic, oon Dr. £eo Blöd) in mien, mit 8 Bollb. Rr. 45.

3UuiU)f£, ®cd|tt.-©bem., oon Dr. ©. £unge, prof. a. b. (Eibgen. polqtedjn. Sd}ulei.3ürid}. mit 16 abb. Rr.195.

^mUnltcv, giölrere, I: Differential* redjnung. Bon Dr. $rbr. 3unïer, Prof, am Karlsgtjmnafium in Stuttgart. mit 68 5ig. Rr. 87.

---Repetitorium unb Rufgaben-

fammlung 3. Differentialrechnung о. Dr.Sriebr. 3unîer, Prof, am Karls-gtjmnafium in Stuttgart, mit 46 5ig. Rr. 146.

--II: 3ntegralred)nung. Bon Dr.

$riebr. 3unïer, Prof, am Karlsgpm-nafium in Stuttgart, mit 89 5ig. Rr. 88.

oon

oon

80 Pf.

Am^ßleW)U«g0 V edm un g^ n a rir^ ber

!?atc oon 1ВШ). ШейЬгеф!, Prof, ber ©eobäfie in Stuttgart, mit 15 Figuren unb 2 ©afeln. Kr 302. Ranimait, #He, be$ gtbenblaitbe^ oon Dr. К. $фа|ег, affiftent am (Beroerbemufeum in Bremen, mit

28 $ig. Hr. 186.

^rewereintelen I : КШзет oon Dr. Paul Dreoert)off, Direîtor b. Brauch и. НШзег|фи1е зи ©rimma. mit 16 Hbbilb. Hr. 303.

gZiubfiUjrttug in ет1афеп unb bop* pelten poften oon Hob. Stern, (Dber* lebrer ber (Dffentl. l)anbelslebranft. u. D03. b. 1)апЬеЫ)оф1фи1ез. Ieip3ig. mit oielen Formularen. Hr. 115.

22 abbiib. Kr. 74. gletriebekruft, Ше fu»ednmi#igfte, oon 5пеЬпф Bartl), (Dberingenieur in Hürnberg. 1. ©eil: Die mil Dampf betriebenen ÎÏÏotoren nebft 22 ©abeilen über фге Hn^affungs* unb Betriebsloften. mit 14 Hbbilb. Hr. 224.

--2. ©eil: Вег1ф1еЬспе ÎÏÏotoren

nebft 22 ©abellen über iljre Hn= 1фа11иидз* unb Betriebsloften. mit 29 abbiib. Hr. 225. glewegungerptele oon Dr. ©. Kol)l* гаи1ф, prof, am Kgl. Kaifer H)ib belms * ©tjntnafium зи фаппооег. mit 14 Hbbilb. Hr. 96. biologie ber ^flnttfen oon Dr. Ю. migula, prof, an ber Forftaïabemie ©Непаф. mit 50 Hbbilb. Hr. 127. biologie ber Шеге I: ©ntftcbung и. H)eiterbilb. b. ©iermelt, ВезгеЬипдеп Зиг огдап^феп Hatur o. Dr. l)einr. Simrotl), prof, an ber Untoerfi* tat leip3ig. mit 33 Hbbilb. Hr. 131. — II: Bc3ieî)ungen ber ©iere 3 organ. Hatur oon Dr.ï)einr. Simrotl), Prof, an ber Unioerf. £eip3ig. mit 35 Hb* bilb. Hr. 132.

$ietdtcrrt. ©eptib3nbuftrie III: ÎDâfcberei, Bietern, Färberei unb it)re l)iIfsftoffc oon IDilf)elm îlîaffot, leerer an ber preufc. bol). 5аф1фи1е f. ©eptilinbuftrie in Krefelb. mit

*3ubbl)(* non ürof. Dr. ©bmunb ïfarbt). Hr. 174.

^nrgenhtmbe, |lbrl$ ber, oon f?of-rat Dr. (Dtto Piper in НШпфеп. Hitt 30 Hbbilb. Kr. 119.

©bemte, Allgemeine nnb plftjftka-Щфе, oon Dr. ÎÏÏapKubolpbi,Prof. a. b. ©ефп. 1)оф1фи1е in Darmftabt. mit 22 Fig. Hr. 71.

—    3Uu*U)ttfri)£, oon Dr. 3ol)annes Ąoppe. I: teorie unb (Bang ber Hnalpfe. Itr. 247.

--II : Reaïüon ber metalloibe unb

metalle. Hr.24S.

—    ^morgaitifriie, oon Dr. 3of. Klein in ÎÏÏannbeim. Rr. 37.

--fielje аиф: metalle. — metalloibe.

©Ijentie, <öejii)id?te ber, oon Dr. fjugo Bauer, affiftent аш фет. laboratorium ber Kgl. ©ефпЦфеп 1)оф1фи1е Stuttgart. I: Bon ben älteften Seiten bis зиг Berbrennungs» théorie oon laooifier. Hr. 264.

—    H: Bon laooifier bis зиг ©egemoart. ITr. 265.

—    ber gtobleitftsfTuerbinbungen

oon Dr. tfugo Bauer, Hffiftent am фет. laboratorium ber Kgl. ©ефп. ^)oфfфule Stuttgart. I. II: НИ-pbatifĄe Berbinbungen. 2 ©eile. Hr. 191. 192.

--Ill: КагЬосрПЦфе Berbinbungen.

Hr. 193.

--IV: 1)е1егосг)1Щфе Berbinbungen.

Hr. 194.

—    ©rganirrfje, oon Dr. 3of. Klein in ÎÏÏannbeim. Hr. 38.

—    iUjnltoUgtrrbe, oon Dr. med. a. legabn in Berlin. I : affimilation. mit 2 ©afeln. Hr. 240.

--II: Diffimilation. mit einer

©afel. Hr. 241.

©bemifïb - ©*Ит1Г<Ь* A*tftlnle oon Dr. (5. lunge, prof, an ber ©ib* genöff. polpteĄn. Schule in Зйпф.

mit 16 abbiib. nr. 195.

glampfkelTel,üte. Kur3gefafcteslebr* Ьиф mit Beifpielen für bas Selbft-f tubium u. b. ргаШ1феп (ВсЬгаиф oon 5пеЬпф Bartl), (Dberingenieur in Hürnberg. mit 67 Fig- Kr. 9.

$amtitluitd Göschen

80 m.

6. J. GöfcbenTcbe VerlagsbancUinig, Ł-eipztg.

oon Dr.

aus beutfdjen Did)tungen bes 13. Jal)rl)unberts non Dr.Diftor 3unf, Hltuarius ber Kaiferlid)en Hfabemie berH)iffenfd)aften in mien. Hr. 289.

glrtntpfitmrdfine, &ie. Kurçgefafites £et)rbudj m. Beifpièlen fur bas Selbft» ftubium unb ben praft. ©cbraud) oon 5riebrid) Baril), ©beringenieur in Hürnberg. mit 48 $ig. Br. 8. g!ampf;uviriite»t, gîte, ihre IDir* fungstoeife unô Konftruïtion non 3n* genieur Ifermann IDilba in Bremen, îïïit 89 flbbilö. Hr. 274. güiilttmgcn a. tmtteUjodjbeutrrijrv #rüi)!eit. 3n Eustoal}! m. (Einltg. u. tüôrterb. Ijerausgegeb o. Dr. ïfertn. Janzen, Direîtor ber Königin £uife* Sdjule in Königsberg i. pr. Hr. 137. glietridiepen. Kubrunu. I)ietrid)epen. ïîtit Einleitung uub tDôrterbud) oon Dr. (D. £. 3iric3ef, Drof. an ber Unioerf. ÎÏÏünfter. Hr. 10. gUfïevrwtialvedjmmgi non Dr. $rbr. 3un!er, prof. a. Karlsgqmnafium in Stuttgart. ÎÏÏit 68 5ig. Hr. 87.

—    Hepetitorium u. Hufgabenfammlung 3. Differentialredptung non Dr.$rbr. Junler, prof, am Karlsgqmnafium in Stuttgart. Iïïit 46 $ig. Hr. 146.

QBbfraliedetr mit ©rammatif, Über* fetpmg unb Erläuterungen

H) ill)clm Hanifd), ©t)mnafial*©ber* leerer in ©snabrüd. Hr. 171.

©ifenl)iittcn!m«î»c oon Я. Kraufj, bipl. Ifütteningen. I. Eeil: Das Hol)* eifen. ÎÏÏitl75ig.u.4Eafeln. Hr. 152.

—    II. Eeil : Das Sdpniebeifen. mit 25 5iguren unb 5 Eafeln. Hr. 153.

(SdektHfitiit. Efyeoret. Phpfiî III.Eeil: EIe!tri3itât u.magnetisrnus. Don Dr. ©uft. Jäger, prof. a. b. Unioerf. mien, mit 33 Hbbilbgn. Hr. 78. C£lcktt*0djemie non Dr.ïfeinr.Danneel, Prioatbo3ent in Breslau. I. Eeil: Él)eoretifd)e Ele!trod)emie unb il)re phqfifalifd) * cî)emifd)en ©runblagen. mu 18 $ig. Hr. 252. <ßiektr0iedjuik. Einführung in bie mobeme ©leid)* unb IDechfelftrom* ted)ni! oon 3- Ąerrmann, profesor ber Eleftrotedjnil an ber Kgl. Eedpt.

I) od)fd)uIe Stuttgart. 1 : Die pt)t)fi* ГаЩфеп ©runblagen. mit 47 5ig. Hr. 106.

©Ickttrotedmik II: Die ©leid)ftrom* ted)nif. mit 74 £ig. Hr. 197.

— Ill: Die med)feIftrornted)niî. mit 109 $ig. Hr. 198.

Q£pi00nen, gîte, be* Iräftrdicjt©*^*. Husmal)!

çBirbmagnettetmt#, ©vbftföttt, P0-larlidît non Dr. Я. Hippolbt fr., ïïïitglieb bes Königl. Preufpfdjen meteorologifd)en 3nftituts зи Pots» bam. mit 14 abbilb. unb 3 Eaf. Hr. 175.

©tljik oon Profeffor Dr. Et)ouu*s adjelis in Bremen. Hr. 90. ©skuvft«m*fl0ra »0« gJetttfdjlewb

3um Beftimmcn ber häufigeren in Deutfd)lanb toilbtoad)fenbenpflan3en oon Dr. m. migula, profeffor an ber 5orfta!abemie Eifenad). l.Eeil.

mu 50 abbiib. m. 268.

--2. Eeil. mit 50 abbilb. Hr. 269.

|fantUiem*edjt. Hedjt bes Bürger* Iid)en ©efe^budjes. Diertes Bud): 5amilienred)t oon Dr ïfeinrid) Eit)e, Prof. a. b. Unio. ©öttingen. Hr. 3u5. Ifävbcrci. Eejtil*3nbuftrie III: mäfd)erei, Bleicherei, Färberei и. ü)re ïfilfsftoffe о. D r. mill). lïïaf fot, £ehrer a. b.preufj. 1)01).5аф1фи1е f.Eejtilin* buftriei.Krefelb. Iïï.285ig. Hr. 186. ^е1Ъве|К)йф, glas* m0ï>er«e, I: Die Enttoidlung bes 5elbgefd)ü^es feit Einführung bes ge3ogenen3nfanterie* gemehrs bis einfchliefjlid) ber Er» finbungbes raud)Iofen puloers, etma 1850 bis 1890, oon ©bcrftleutnant m. Ifepbenreid), militärlehrer an ber militärtechn. Hlabemie in Berlin, mu i abbiib. Hr. зов.

— — И: Die Entioidlung bes heutigen 5elbgefd)ii^es auf ©runb ber Er*. finbungbesraud)Iofen puloers, etma 1890 bis зиг ©egenmart, oon (Dberft* leutnant m. Ifepbenreid), militär* lehrer an ber lUilitärtedpi. aiabemie in Berlin, mit 11 abbilb. Hr. 307.

so m.

ООП

mu

1?е1*иГ|Н*г dime few, jDa*, oon Dr. £ubmig Rellftab in Berlin, mit 47 $ig. unb 1 ©afel. Иг. 155. jfeftigbeit*leljre oon XD. Räuber, Diplom Ingenieur, mit 56 5ig* Иг. 288.

IfÜjtfrtbribatian. ©ejtil*3nbuftrie IT: IDeberei, UKrlerei, pofamentiererei, Spieen* unb ©arbinenfabrifation unb 5il3fabri!ation oon prof. Rîaç ©ürtler, Direltor ber Königl. ©ed)n. 3entraHtelIe für ©eçtil*3nbuftrie зи Berlin, mit 27 $iq. Иг. 185. ilimminiiITeufd|aft о. Präfibent Dr.

R. oan ber Borget in Berlin. Иг. 148. Ififdievei unb £ifd|?ud|t o. Dr. Karl ©dftein, Prof, an ber Sorftalabemie ©berstoalbe, Hbteilungsbirigent bei ber Ifauptftation bes forftlidjen Der3 fud)smefens. Rr. 159. gavmcirammUtng, ill a tl« mat., u. Repetitorium b. TRatljematif, entl). bie TOid)tigften Formeln unb £el)rfäfee b. Hritl)metif, HIgebra, algebraifd)en Hnalpfes, ebenen ©eometrie, Stereos metrie, ebenen u. fpl)ärifd)en ©rigo* nometrie, matl). ©eograpljie, analpt, ©eometrie b. (Ebene u. b. Raumes, b. Different.* u.3ntegralred)n. о. Ф. ©1). Bürflen, prof, am Kgl. Realgpmn. in Sd)to.=©münb. mit 18 $ig Rr. 51. — yinjlthalirriie, oon Ф. Klarier, Prof.

a. ©pmn.inUIm. Rtit655ig Иг. 136. 4J>r|tmifrenfdjaftoon Dr. Hb.Sdjtoap* pad), profeffor an ber $orftalabemie ©berstoalbe, Hbteilungsbirigent bei ber Ijauptftation bes forftlicĘen Der* fud)smefens. Иг. 106.

4frembnmi*t, Фа*, im *Dettird)ett oon Dr. Rub Kleinpaul in £eip3ig. Иг. 55. 4£rembmär4rrbud|, феиШ)с*, oon Dr. Rub. Kleinpaul in £eip3ig. Иг. 273.

©arbinewfabvikatian. ©eçtil * 3n* buftrie II: ШеЬerei, tDirlerei, pofa* mentiererei, Spifeen* unb ©arbinen* fabrifation unb 5il3fabrifation oon Prof, Rîaç ©ürtler, Direltor ber Königl. ©ed)nifd)en 3entralftelle für ©e£til=3nbuftrie зи Berlin, mit 27 $ig. Иг. 185.

©rabaftc oon Dr. C. Reinfeerfe, prof, on ber aedjn. Ejod)fd)uIe ffannooer. ITtit 66 Hbbilb. Itr. 102.

©jeagrapl)«, Jljttranamifdje,

Dr. Siegm. ©Untrer, prof, an ber ©ed)n f)od)fd)ule in Шйпфеп.

52 Hbbilb. Hr. 92.

—    pl)i)|ifri)c, oon Dr. Siegm. ©Untrer, ürof. anber Königl. ©ed)n. l)od)fd)uIe in Шйпфеп. îïïit 32 Hbbilb. Ilr. 26.

—    f. aud): £anbes!unbe. Cänberfunbe.

©eaîogic oon prof. Dr. (Eberl). 5raas

in Stuttgart, mit 16 Hbbilb. unb 4 ©af. mit über 50 5ig* Иг 13.

©romrtr«, a\nalutiitijc, bet? ©bei« oon Prof. Dr. m. Simon in Strafe* bürg, mit 57 5ig. Иг. 65.

--Aufgabenfammlmig utrAita-

tilttnijcn (Geometrie ber ©bette non (D. ©1). Bürflen, Prof, am Kgl. Realgpmitafium in Sd)toäb.*©münb. mit 32 5ig. Иг. 256.

—    £.itaittttfd«, be** fîanmc* non prof. Dr. m. Simon in Strafeburg. ШИ 28 Hbbilb. Rr. 89.

--^tifgabenfamutlung f. gltta-

lt)t. ©cometvie b. Цпите* non G). ©1). Bürllen, prof. a. Realgpmn. i. Sd)toâb.*©münb. m. 8 5ig. Иг. 809.

—    garfteilenbe, oon Dr. Robert fjaufener, prof, an ber Unio. Зепа. I. mit 110 5tg. Иг. 142.

—    ©bene, oon ©. Klarier, prof, am ©qmnajium in Ulm. mit 111 3toei* farb. 5ig. Иг. 41.

—    IJvoiebtme, in fpntljet. Bel)anblung oon Dr. Karl Doeljlemann, prof, an ber Unioerfitat Rlünd)cn. mit 91 $ig. Rr. 72.

©elriiidite, ^abifdre, non Dr. Karl Brunner, prof, am ©pmnafium in Pfor3l)eim unb prioatbo3ent ber ©ез fd)id)te an ber ©ed)n. ljod)fd)ule in Karlsruhe. Иг. 280.

—    sSatjrrifdte, oon Dr. Ifans ©del in Hugsburg. Иг. 160.

—    be* $t)?anttmrd|en $eidje* oon Dr. K. Rott) in Kempten. Иг. 190.

—    £e«trdje, I: iWittelaltctr (bis 1519) oon Dr. $. Кигзе, prof, am Kgl. Cuifengqmn. in Berlin. Иг. 33.

(öleid)flrantntarditnc, flie, Don (E. КтзЬгиппег, Ingenieur unb Bo3ent für (Eleitrotedjnii an ber municipal Sd)ool of Hedjnologt) in Rtandjefter. mit 78 $ig. Hr. 257. (öletfdierhuuhe Don Dr. $ritj Hta* d)acei in mien, mit 5 Hbbtlb. im Heft unb 11 Gaf. Hr. 154. (öattfrieh nan 5»tra£bnrg. Hartmann Don Яие, molfrarn Don (Efdjenbad) u. (Bottfrieb non Strasburg. Husmai)! aus bem l)öf. (Epos mit flnmeriuugen unb mörterbud) Don Dr. K. lïïarolb, prof, am KgL 5riebrid)sioIIegium зи Königsberg

CÖerd)id|te, glentfdje II: Zeitalter her Kcfovumticm ttnh her fte-ligianahtiege (1500—1648) Don Dr. $. Кигзе, Profeffor am Königl. Suifengqmnafium in Berlin. Itr. 34.

--III : |lam IjDeJtfiiliiri)cn ^rieben bi* fur ^ttflälung he* alten |teidt* (1648—1806) Don Dr. $. Кигзе, prof am Kgl. £uifen-gqmnafium in Berlin. Hr. 35.

—    — fieije aud): GUiellentuube.

—    Ifranfäftfdte, uon Dr. H. Sternfelb, Prof. a. b. Uniuerf. Berlin. Hr. 85.

—    (Öriediifdje, non Dr. Ifeinrid) Stooboba, Prof, an ber beutfdjen Unioerf. Prag. Hr. 49.

—    he* 19. |lat)rlfunhert* d. ©siar 3äger, o. Honorarprofeffor an ber Unioerf. Bonn. l.Bbdjn.: 1800-1852. Hr. 216.

—    - 2^Bbd)n.: 1853bis(Enbeb.3al)rl}.

—    |ï*rael* bis auf öie grted). Seit oon Lie. Dr. 3* Вепзшдег. Hr. 231.

—    £>tbrin0en*, non Dr. fjerm. Berid)sroeiler, (Bei). Hegierungsrat in Strasburg. Hr. 6.

—    bed alten £ltorgenlanhe* Don Dr. 5r. Rommel, prof. a. b Unioerf. Шйпфеп. Ш. 6 Bilb. u.l Kart. Hr. 43.

—    ©efterretritifrije, I : Bon ber Нгзей bis зит lEobe König Hlbiedjts II. (1439) юоп prof. Dr. $гапз t>on Krones, neubearbeitet Don Dr. Karl Ш)Игз, prof, an ber Uniu. (Вгаз. mit 11 Stammtaf. Hr. 104.

--II: Bon 1526 bis зиг (Begenroart

uon l)ofrat Dr. 5гапз non Krones, Prof. a. b. Unioerf. (Вгаз. Kr. 105.

—    Köntifdie, oon Realgpmnafial-Bir. Dr. ЗШ.Коф in (Bruneroalb. Hr. 19.

—    ^«mrd|e,ü. Dr. ©iii). Heeb, ©beri. am ©ftergpmnafium in RTain3. Hr. 4.

—    9ad)|trd}e, Don Profeffor ©tto Kaemmel, Heitor bes Hiiolaigpm-nafiums зи £eip3ig. Hr. 100.

—    £ri}«»cuevtfriie, Don Dr. K. Dänb* lifer, prof.a.b.Uniü.3ürid). Hr. 188.

—    iftpanirdje, Don Dr. (BuftaD Dierds. Hr. 266.

—    her ©Ijentie fiei)e: (Ei)emie.

(öefdjidjte her |t!n level fielje: HTalerei.

—    her ïttatljematik f. : HTatĄematii.

—    her H-lufte fieije: Hîufiî.

—    het* pähaßaath fiel)e: päbagogii

—    her fUnfliU fieije: pi)t)fii.

—    he* heutrd)cu|ianmnaf.:Roman.

—    her hnttrdtew gpradje fiei)e : (Brammatii, Beutfd)e.

—    he* heutfdjeu |lntervid)t*-шеГen* fiel)e: Unterrid)tsœefen.

(Sefd)id)t*n»ilTenrd)aft, (Einleitung in hie, Don Dr. (Emft Bernheim, Prolan ber Unioerf. (Breifstoalb.

(öejebbnd), t3iirgevlid)c*. Red)t bes Burgerlidjen (Befetjbudjes, niertes Bud) : 5amilienred)t, uon Dr fjeinr. lEi^e, prof, an b. Uniuerf. (Böttingen. Hr. 305.

(öernnhl)eit*leljre. Ber menfd)lid)e Körper, fein Bau unb feine lEätig* leiten, non <E. Hebmann, ©berfd)ul* rat in Karisruije. Hlit (Befunb-l)eitslel)re Don Dr. med. Б. Seiler, mit 47 ЯЬЬ. и. 1 ÎTaf. Hr. 18.

(öetuerbewefen Don Шегпег Sombart, Prof, an b. Unioerf. Breslau. I. II. Hr. 203. 204.

(öen>id|t*n»eren. Ilîafj*, ПШпз- unb (Bemid)tsroefen uon Dr. Яид. Blinb, Brof. an ber l)anbelsfd)ule in Köln. Itr. 283.

3ein elegantem Ceimnanbbanb

Sammlung йокЬеа

80 ©f.

6. 7» GöfebenTebe Verlagshancllung, Hetpztg.

wan

©rammatih, gUittfrlft* unb furçe ©efd)id}te oer beutfdien Spraye non Schulrat profeffor Dr. Ф. £qon in Dresben. Hr. 20.

—    (öt*i*d)trd;*, ï: Formenlehre non Dr. I7ans Kleiner, prof, an ber KIofterfd)uIe3umauIbronn. Hr. 117.

—    — 11: Bebeutungslehre unb Sqntaj non Dr. l)ans melier, prof, an ber Klofterfd)ule зи maulbronn. Hr. 118.

—    gatehtirdi*. ©runbrift ber Iatei* nifdjen Sprad)lel)re non prof. Dr. H). Dotfd} in magbeburg. Hr. 82.

—    XUitteUjadtbcutrdt*. Der Hibe* lunge Hot in Hustoahl unb mittel-hod)beutfd)e ©rammati! mit lucern Ulörterbud) non Dr. H). ©oltljer, Prof, an her Uninerf. Hoftod. Hr. 1.

—    fcUtlltldje, non Dr. ©rid} Bernefcr, Prof, an ber Uninerf. Prag. Hr. 66.

--fielje aud} : Huffifdjes ©efprad}s*

bud}. - £efebud}.

|Janbel<alu>rrcrpaitbenf, gleutfdi*, non Prof, ©h. be Beauj, (Officier be l’3nftruction Publique. Hr. 182.

—    ©nettl'd)*, non ©. ©. tDhitfielb, M. A., (Oberlehrer an King ©broarb VII ©rammar Sd}Ool in King’s £t}nn. Hr. 237.

—    ÿvaufâf. non prof. ©I}, be Beauj, ©ffider be I’3nftruction publique. Hr. 183.

—    3>fali*itifdr*, non prof. HIberto 6e Beauj, (Oberlehrer am Kgl. Snftitut S. S.flnnun3iata in Florey. Hr. 219.

—    £*$mmfrt)*, non Dr. Hlfrebo Habal be тапезеиггепа. Hr. 295.

^anfcciepoUito, Auemiittige, non Dr. ffeinr. Sieneling, prof, an ber Uninerf. Htarburg. Hr. 245.

fjrtitbclnntclen, glad, non Dr. mill). £eyis, prof. a. b. Uninerf. ©öttingen. I: Das Ijanbelsperfonal unb ber marenhanbel. Hr. 296.

--II: Die ©ffeftenbörfe unb bie

innere fjanbelspolitif. Hr. 297.

gavmotticlekrc non Я. Ifalm. mit nielen Hotenbeilagen. Hr. 120.

Hartmann van Aue, JUalfram wen ©fdiettbad} unb ©aitfrieb fitru^burg. Hustnal}! aus bem fyöfifctjen ©pos mit Hnmerfungen unb IDörterbud) non Dr. K. ÎÏÏaroIb, Prof, am Königlichen Friebrid)Ss follegium зи Königsberg t. pr. Hr. 22.

fjrtuptlitevatnteii, Ш*, fc. (Orients n. Dr. ÎÏÏ.Ï7aberIanbt, prinatbo3. a. b. Uninerf. ïüien. I. II. lîr. 1G2. 163.

gfetbenfage, $ie fceutrd)*, non Dr. ©tto Cuitpolb 3trtc3cï# prof, an ber Uninerf. ÏÏlünfter. Hr. 32.

—    fielje aud): IłTtjtljoIogie.

3«bu|tHc, gUtareattifd)* Cljetui-

fd?*, n. Dr. ©uft. Kauter in ©har« lottenburg. I: Die £ebIancfobainbu« ftrie unb ihre Heben3roeige. Hlit 12 ©af. Hr. 205.

--II: Salinemnefen, Kalifal3e,

Düngerinbuftrie unb Derœaubtes. Hlit 6 ©af. Hr. 206.

---Hi: Hnorganifd)e ©hemifcheprä*

parate, mit 6 ©afeln. Hr. 207.

—    bet*    btv kitttJU. &ли-

fłetneunb fcc*5$tövtcU. I : ©las* unb feramifehe Imbuftrie non Dr. ©uftan Hauter in ©fjarlottenburg. mit 12 ©af. Hr. 233.

--II: Die 3nbuftrie ber fünftlidjen

Baufteine unb bes mortels, mit 12 ©af. Hr. 234.

JJnicerairjerbmtttg non Dr. Friebr. 3un!er, prof, am Karlsgqmn. in Stuttgart, mit 89 Fig. Hr. 83.

gniegvalvedjmtttg. Hepetitorium unb Hufgabenfammlung зиг Sntcgral* redjnung non Dr. Fnebrid) 3un!er, Prof, am Karlsgqmn. in Stuttgart, mit 50 Fig. Hr. 147.

glartenJmnbe, gefd)id}tlich bargeftellt non ©. ©elcid), Direltor ber !. f. Hautifdjen Sdjule in £uffinpicco!o unb $. Sauter, prof, am Kealgqmn. in Ulm, neu bearb. non Dr. paul Dinfe, Hfjiftent ber ©efellfdjaft für ©rbtunbe in Berlin, mit 70 Hbbilb. Hr. 30.

Sammlung 0ö$cftcu

3ein elegantem £eintoanbbanb

6. 3- 6öfcb erflehe VertagobandUmg, Leipzig.

80

IPtirdtenlteb. ÎÏÏariin Sutler, Офот. Rîurner, unö bas Kirdjenlieb bes Î6. 3al)rl)unberts. unb mit (Einleitungen unb Hn» merfutigen oerfeljen oon Prof. (Б. Berlit, (öbcrleljrcr am Kilolaigqnts nafium 3ц £eip3ig. ITr. 7. gUtmakttnbe Ï : allgemeine Klimas lehre non prof. Dr. Ю. Koppen, ÎÏÏetcoroIoge ber Seemarte Hamburg. Kîit 7 tXaf. unb 2 $\q. Kr. 114. gtolanmlgerdńdjłe oon Dr. Dietrid) SĄafer, Prof, ber (5efd)id)te an ber Unioerf. Berlin. Kr. 156.

Husgetoählt

#атра|Шап#1е1гге.

mufüalifdje Sormenlehre oon Stephan Krehl. I. II. mit oielen Kotenbeifpielen. Kr. 149. 150.

^antvaUmefen, agvihttUtti*-djenttfdje, non Dr. Paul Krifd^e in (Böttingen. Kr. 304.

ДО??**?, bev mcitfrijllrirc, fei« $*m »mb Telne ©ätigkeiteu,

<E. Rebmann, ©berfdjulrat in Karlss ruhe. mit <5efunbl)eitslel)re non Dr. med. V). Seiler, mit 47 Hbbilö. unb 1 ®af. Kr. 18.

^viftnIlogriutlfic oon Dr. U). Brunns, Prof, an ber Unioerf. Strasburg, mit 190 Hbbilö. Kr. 210. ghtbvun wtb fUctindrcpcn. mit (Einleitung unb tDörterbud) oon Dr. ©. £. 3inc3ef, prof, an ber Unis oerf. münfter. Kr. 10.

--fiehe auch : £eben, Deutfd)es, im

12. 3«IirI)unöert.

fmltnv, pte, bev PemtilTitnee. (Be* fiitung, 5orfdjung, Dichtung Dr. Robert $. Hrnolb, Prioatbo3ent an ber Unioerf. K)ien. Kr. 189. frtuünvgefditdtte, gïentrdje, oon Dr. Reinl). (Bünther. Kr. 56. ^uutße, Ше gvaphifdyen, oon (Earl Kampmann, $ad)ïehrer a. b. ï. !. ®rapl)ifd}en £ehrs unb Derfud}s= anftalt in töien. mit за!)1гегфеп Hbbilö. unb Beilagen. Kr. 75. gluvfrdjvift fielje : Stenographie.

ООП

ООП

gänbeeimnbe turn ©«»пара non Dr. 5гапз Ifeiberid), prof, am 5ranciscos3ofepf)inum in Rtöbling. mit 14 tieytf'ärtcben unö Dias grammen unb einer Karte ber Hlpeneinteilung. Kr. 62.

—    bev ouficveuvopäilVhc» ©Abteile non Dr. 5гапз ïjeiberich, prof, a. 5ranciscos3ofcpt)inum in möbling. mit 11 ®e;rtf art d}en u. profil. Kr. 63.

Ilanbealmnbe umt ^itben non prof. Dr. (D.Kienitj in Karlsruhe, m.profil, Hbbilb. unb 1 Karte. Kr. 199.

—    be# Hönuuciduv *Jm)ern »on Dr. К). <5öfc, prof an ber Kgl. ®ефп. 1)оф|фц1е тйпфеп. mit Profilen, Hbbilö.u. 1 Karte. Kr. 176.

^viitfriî-ilovîmutevtoa Prof. Dr.H. (Dppel in Bremen, mit 13 Kbbilb. unö 1 Karte. Kr. 284. i ŒiraftsgotlKhtgcu oon Prof. R. £angenbcct in Strafjburg i. <E. mit 11 Hbbilbgn. u.l Karte. Kr. 215.

—    ber fUterifrijeu Ifjaütinrcl oon Dr. 5ri^ Regel, Prof, an ber Unis oerf. ШйгзЬигд. mit 8 Kärtchen unö 8 Hbbilö. im ®ejt unb 1 Karte in Sarbenbrud Kr. 235.

—    »tan ©ftetrreidj - gfngtmt oon Dr. aifreb <5runb, prof cf for ап ber Unioerf. Berlin, mit 10 ®ejts illuftraüon. unb 1 Karte. Kr. 244.

—    ke# giantgvetrit# Stadjfeu 0. Dr. З. Semmrid), Oberlehrer am Reals gpmnaf. in piauen. mit 12 Hbs bilb. u. 1 Karte. Kr. 25S.

—    ran gthanbiiuunen (Sdjtoeöen, Kormegen unb Dänemar!) oon Heinrich Kerp, £ebrer am (Бртпа* fium unb £el)rer ber (Erblunbe am (TonteniussSeminar 3U Bonn, mit 11 Hbbilö. unö 1 Karte. Kr. 202.

—    be# Köntgi-etrijo Itîiuttembevg oon Dr. Kurt Ifaffert, Prof, ber ®eograpl}ie an ber Efanbelshod)* fdiule in Köln, mit 16 Dollbilöern и. 1 Karte. Kr. 157.

$anbtt»irt|7liafttob£ $еШ*Ь#Ыцг* oon OErnft £angenbed in Bodmrn. Kr. 227.

wau

non

— »tan

Dr.

geben, gcutrdfe#, im 12. gtobr- gitetraturgerdtidtte, gleutrdje, non lumber*. Kulturfjiftorifdje (Er* Dr. Шар Коф, profeffor an ber Iauterungen зит nibelungenlieb Unioerf. Breslau. Itr. SI.

1шЬ    Bon Prof.. Dr. gietttrdK« bnr jftlanTilUYffit oon

3ul. Dteffenbadjer in 5retburg t. B.    Carl ШеКЬгеф^ Prof, an ber ©ефп.

ÎUit 1 ©af. unb 30 flbbilb. Пг. 93. ^od|fd)uIe Stuttgart. Hr. 161.

Ä -

Dr. Ш. Dotid). Itr. A    Œedin. fywtifäule Stuttgart. I. II.

—    Ittiima tt. йаг«1;г1т. ÎÏÏttHnm. Hr. 134. 135.

-, ,°Г to™№el- ”Г; ⁵;,    - @nali|Yt|e. »on Dr. Kart mcifer

gidît. tnjeoretifĄe pf?t)ftf II. ©etl :    tn tüien. Пг. 69.

£id|t unb tBärme. Bon Dr. ©uft.--©гипЬзйде unb Efaupttppen ber

Jäger, prof an ber Umoerf. IBten. епдЩфеп £iteraturgefd)id)te non Dr. ÎÏÏtt 47 Hbbilb. Пг. 77.    Hrnolö Ш. Ш. Sdjröer, Prof, an ber

giteratur, ^Utlfodfbentfdie, ntit    l)anbcIsI]od}fd)uIe in Köln. 2 ©eile,

©rammatif, Überfettung unb (Er* Hr. 286. 287.

Iauterungen non Щ Sdjauffler, _ ©Hediifdie, mit Berüdfid|tigung Prof, am Kealgpmnaïium tn Ulm.    öcr ©cfd)id}te ber tDiffenfd)aften

Br. 28.    _    oon Dr. Hlfreb ©erde, Prof, an

giteratnrbenlmuiler Ъее 14. tt. 15. ber Unioerf. ©reifsroalb. Пг. 70.

SSSë ■ ßÄ««

Königsberg i. pr. Пг. 181.    ‘    * T tu : г- к-сл

alters oon Dr. IDolfgang ®oItt)er,

flusgemäVtmit ^ an b• mive* Ro'toct- «*• *“■

(Einleitungen unb Hnmerfungcn oer* — yorhtgiejtrdte, non Dr. Karl oon feïjen oon prof. Ф. Berlit, (Dber*    Reinljarbftoettner, Prof, an ber Kgl.

Цгег am Hifolaigpmnafium зи    ©ефп. l?od)fdiuIe ГПйпфеп. Пг. 2i8.

£eip3tg. Пг. 7.    _ lUrtmlrlje, oon Dr. Hermann

--II: glatt# gtnrir#. flusgeroäljlt 3oad|im in Hamburg. Пг. 52.

unb erläutert oon prof. Dr. 3ul. _ ^„fftrdrc, oon Dr. ©eorg potonsüj Sal)r. Пг. 21.    in тйпфеп. Пг. 166.

~    - §I<»»«rd)*, oon Dr._3ofef Karàjet

г-ЖягЕ^1!«/'«ЛГ5лЬ.Гя^ tu TOtCTi. 1. Heil : Altere Siteratur пт, ПгпГ bis зиг TOiebergeburt. Пг. 277.

Dr 4uus Sab? Пг 30 P '--2-tteU: Das 19. 3af)rl)- Пг.278.

tiUeLatnm? ate be A ôvicitto -    »on Dr. Kubolf Beer

S*I©Sens öl»««- L IL Пг. 107. 108. unb 3nbiens o. Dr. Ш. fjaberlanbt, gagarttljtnett. Bierftelligc ©afeln Prioatbo3ent an ber Unioerf. IDien. unb ©egentafeln für logaritĄmifdjes Пг. 102.    unb    trigonometries Rechnen in

-    II. ©eil: Die £iteraturen ber    per*    pei    5arben 3ufammengefteIIt oon

fer, Semiten unb    ©iirfen, oon    Dr.    Dr.    Hermann Säubert, prof, an

Ш. Ijaberlanbt,    prioatbo3ent    an    ber    ©elel)rtenfd)ule bes 3<фап*

ber Unioerf. U)ien. Hr. 163.    neums in Hamburg. Hr. SI.

Sammlung Göschen srrr

0.J. 6öfcberffcbe Verlagsbandlung, Leipzig.

Bon Dr.

Cagik. Pft)d)ologie unb £ogi! зиг (Einführung in bic pt)iIofopl)tc non Dr. al). (Elfenhans. Ittit 13 fig. Hr. 14.

gutljev, Plrt*ti«,    pturtuv

tmfc fca# $irdj£ttlieb be* 16.

Husgetoäl)lt unb mit (Einleitungen unb Hnmerfungen nerfehen non Prof. (Б. Berlit, ФЬег* leerer am Hifolaigpmnafium зи £eip3ig. Hr. 7.

ÜHagnettentM#. ©heoretifd)e Phqftf

III.    Heil: (EIeftri3ität unb ïïïagnetis* mus. Bon Dr. ©uftan 3äger, Prof, an ber Uninerf. ÎBien. Itlit 33 Hbbilb. Hr. 78.

m*i*vc'h вгГФДОе bev, h II. III.

IV.    V. non Dr. Шф. ITtuther, Prof, an b. Uninerf. Breslau. Hr. 107—111.

ptälfcvei. Brauereimefen I: ITtä^erei non Dr. p. Breoerhoff, Bireftor b. Öffentl. u. I. Säd)f. Berfud)sftat. für Brauerei u. ÏÏÏâl3erei, fotoie ber Brauer* u. IHäl3erjd)uIe зи ©rimma. Hr. 303.

Plardttnenelentente. Jlie. Кигз* gefaxtes £et)rbud) mit Beifpielen für bas Selbftftubium unb ben praït. ©e* braud) uon fr. Bartl), (Dberingenieur in Hürnberg. Itlit 86 f ig. Hr. 3.

Ula#-, 3$Шп|- ttufc ©eiwtdit*-turfen non Dr. HuguftBlinb, prof, an berlfanbelsfdjule in Köln. Hr. 283.

IftaßanaUfr* non Dr. ФКо Höl)m in Stuttgart. Hr. 221.

i#at*Hal)mifuttg0tu£rru. (Einführ, i.b. mob. ©ed)niï b. Itlaterialprüfung non K. Itlemmler, Biplomingenieur. Stänb.Ittitarbeiter a. Kgl material* Prüfungsamte зи ©ro&*£id)terfelbe. I: Ittaterialeigenfd)aften. — heftig* !eitsnerfud)e. — fjilfsmittel f. §eftig* leitsoerfudje. mit58fig. Hr. 311.

--11 -. metallprüfung и. Prüfung n.

Ifilfsmaterialien b. Ittafdjinenbaucs — Baumaterialprüfung — Papier* Prüfung. — Sdjtniermittelprüfung. — (Einiges über Ittetallographie. mit 31 fig. Hr. 312.

ptatljematilt, (fSefdUdtte non Dr. Я. Sturm, profeffor am ФЬег. gqmnafium in Seitenftetten. Hr. 226. |$t£d)amlt. ©heoret. pi)i)fif I. ©eil: IÏÏed)anif unb Hfuftiî.

©uftan 3äger, Prof, an ber Unin. mien, mit 19 Hbbilb. Hr. 76. i$t£CV£#ltUttfc£, Pljtjftrdrc, ПОП Dr. ©erharb Sd)ott, Hbteilungsnorftehcr an ber Beutfd)en Seetnarte in Ejam* bürg, mit 28 Hbbilb. im ©ejt unb 8 ©af. Hr. 112. PUnungjHttetlraben.

n. Dr. milhelrn Baljrbt, ©berlehrer an ber ®berrealfd)ule in ©rofj* £id)terfelbe. mit 49 #9- Hr. 301. gUetaiU (Hnorganifd)e (Ehemie 2. ©eil) n. Dr. ®sfarSd)mibt, bipl.3ngenieur, Hffiftent an ber Königl. Baugemer!» fd)ule in Stuttgart. Hr. 212. PUtaU*ib£ (Hnorganifd)e ©hemie

l.    ©eil) non Dr. ®s!ar Sdjmibt, bipl. 3ngenieur, Hffiftent an ber Kgl. Bau* gemerffdjule in Stuttgart. Hr. 211.

IftetaUurgi* non Dr. Hug ©etfc, biplom. ©hemifer in ïîîünd)en, I. IL mu 2i fig- Hr. 313. зи. IHctcavalogie non Dr. Ш. ©rabert, Prof, an ber Uninerf. 3nnsbrud. mit 49 Hbbilb. unb 7 ©af. Hr. 54. tttinevaiagi* non Dr. R. Brauns, Prof, an ber Uninerf. Kiel. Itlit 130 Hbbilb. Hr. 29.

JUimtefang itnb §pVMrbbtd)tttitg. malthernon berBogelrneibemit Hus* mahl aus minnefang unb Sprud)* bid)tung. Itlit Hnmertungen unb einem IDörterbud) oon ФКо ©üntter, prof, an ber ФЬеггеаЬ fd)ule unb an ber ©ed)n. ï)od)fd)ule in Stuttgart. Hr. 23. |Hai‘pljalagt£, Anatomie и. Щу-Ralagic b*r Pflanfen. Bon Dr.

m.    migula, prof. a. b. f orftaïabemie ©ifenad). mit 50 Hbbilb. Hr. 141.

3$Шп*п>£Г*п. Ша|*, тйпз* unb Фе* mid)tsmefen non Dr. Hug. Blinb, Prof, an ber Ifanbelsfdmle in Köln. Hr. 283.

$aitmluitg Göschen Ä

6.% 6öfcbeti7cbc Verlagsban diun g, Leipzig.

Per, Pot in Husmahl lhod)beutfd)e ©rammatif

Pat*allelnei‘fpelttine. Redjtminflige unb fdjieftoinflige Hfonometrie oon prof.3. Donberlirtn in Breslau, mit 121 5ig. Hr. 260.

Perfpektine nebft einem Hnfjang üb. Sdjattcnlonftruftion unb parallel* perfpeftioe oon Hrchiteft fjans $req* berger, (Dberl. an ber Baugeœerf* fd)ule Köln, mit 88 Hbbilb. Hr. 57.

Petrographie oon Dr ID. Brufjns, Prof. a. b. Unioerf. Strasburg i. ©. mit 15 Hbbilb. Hr. 173.

pturner, Одета*« Rîartin £utl)er, Sljoinas îîîurner unb bas Kirdjenlieb bes 16. 3af)rï). Husgeioählt unb mit (Einleitungen unb Hnmerfungen oerfeïjen oon prof. (5. Berlit, (Dberl. am Hifolaigpmn. зи £eip3ig. Hr. 7. Ptuflit, (»5erd|iri}te bev alten unb inittelalterlidjen, non Dr. Я. mouler, mit 3aï)ïrei<iien Hbbilb. unb ÏÏÏufifbeilagen. Hr. 121. PluflUalifrire ^ormcnleljre (pont-pofltiouoleljre) o. Stephan Krehl. I. II. mit Dielen Hotenbeifpielen. Hr. 149. 150.

iPuflUgerdiiriite be* 17. unb 18. Aalirlrunbett* non Dr. K. ©runs* fp in Stuttgart. Hr. 289.

—    be* 19. ^afleljunbert* non Dr. K. ©runsfp in Stuttgart. I. II. Hr. 164. 165.

ptuflUlelrre, Allgemeine, и. Stephan Kreï)l in £eip3ig. Hr. 220. pîntljologie, ^evmanifdre, Don Dr. (Eugen ÏÏÏogf, prof, an ber Unioerf. £eip3ig. Hr. 15.

—    On*icri)ifri|e unb romifrfre, non Dr. ïferm. Steubing, Prof, am Kgï. ©îpnnafium in Юигзеп. Hr. 27.

—    fieï)e auch: Ifelbenfage. lîantth. Кигзег Hbrifc bes iaglid) an

Borb Don Ijanbelsfchiffen ange* toanbten ©eils ber Sdjiffahrtsfunbe. Don Dr. 5гапз S<hul3c, Direftor ber HaoigationssScfyule зи £übed. mit 56 Hbbilb. Hr. 84. gUbelunge, unb mittel mit furent ÎDôrterbuch non Dr. H), ©olther, prof, an ber Unio. Roftod. Hr. 1.

--fieïje audj: £eben, Deutfdjes, im

12. 3at)rl)unbert.

glnbnflaufen oon Prof. D r. 3- Behrens, Dorft. b. ©rofch- lanbroirtfchaftl. Der* fudjsanft. Huguftenberg. mit 53 5ig. Hr. 123.

pübagogik im ©runbrifj Don prof. Dr. m. Rein, Direftor bes päbagog. Seminars an ber Unio. Зека. Hr. 12.

—    (Öefrijirijte bet*, oon (Dberlefjrer Dr.tj. IDeimerin tDiesbaben. Hr.145.

Paläontologie о. Dr. Rub. Ifoernes, prof, an ber Unio. ©газ. lîtit 87 Hbbilb. Hr. 95.

Pflanze, pie, iljr Bau unb ihr £eben oon (Oberlehrer Dr. (E. Dennert. mit 96 Hbbilb. Hr. 44.

Pflanzenbiologie oon Dr. W. tîîigula, prof. a. b. 5orftafabemie (Eifenadj. mit 50 Hbbilb. Hr. 127.

Pflanzenltranltijeiten d. Dr. tDerner 5riébrich Brud in ©iefeen. mit 1 farb. ©af. u. 45 Hbbilb. Hr. 310.

Pflanzen - ptorpljelogie, -Anatomie unb -Phnflologie oon Dr. H), migula, Prof, an ber Sorftafab. (Eifenach. mit 50 Hbbilb. Hr. 141.

Pflanzenreich, pa*. (Einteilung bes gefamten pflan3enreid)s mit ben roiĄtigften unb befannteften Hrten oon Dr. $. Reinede in Breslau unb Dr. H), migula, prof, an ber 5orft* afab. (Eifenad}. mit 50 5ig. Hr. 122.

Pflanzenwelt, Pie, bet* (öcwäfler oon Dr. ID. migula, Prof, an ber •Çorftafabemie (Eifcnad}. mit 50 Hb--bilb. Hr. 158.

Pharmakognofle. Don Hpothefer $. Sdjmitthenner, Hffiftent am Bo* tan. 3nftitut ber tEedjnifdien ïjod)» jdjule Karlsruhe. Hr. 251.

Philofopljie, (Einführung in bie, oon Dr. Rtaç tDentfdjer, prof. a. b. Unioerf. Königsberg. Hr. 281.

— Pfndjologie unb £ogi! зиг (Einführ, in bie Philofophie oon Dr. ©h-(Elfenhans. mit 13 $iq. Hr. 14.

Dr.

am

non

mit

ÇUjotagrapljtc, &lie. Don If. Ke&ler, Prof, an bet !. î. ©rapl)ifd)en £е!)г* unb Derfudjsanftalt in mien. HUt 4 Saf. unb 52 Hbbilb. Hr. 94. Ityijftk*    I. Seil : Шефа*

ni! unb Hfuftif. Don Dr. ©uftao 3âger, prof, an ber Unioerf. mien, mit 19 Hbbilb. Hr. 7в.

—■ — II. Seil: £id)t unb ÎDarme. Don Dr. ©uftao 3âger, prof, an ber Unit), mien, mit 47 Hbbilb. Hr. 77.

--III. Seil: Sleftraitât unb Htagne*

tismus. Don Dr. ©uftao 3äger, Prof, an ber Unioerf. mien, mit 35 Hbbilb. Hr. 78.

— Œtefdjirijt* fcrr, oon H. Kiftner, Prof, an ber ©rofcl). Kealfdjule ш Sinsheim a. S. I: Die pi)t}fif bis Hetoton. mit 13 $ig. Hr. 293.

--11 : Die pi)t)fi! oon Hetoton bis зиг

©egemoart. mit 3 5ig. Hr. 294. IMWltkaUrd)« ^ufgabcnfammUutg oon Ф. marier, prof. b. НШ1)ет. u. pi)t)fiî am ©qmnafium in Ulm. mit ben Hefultaten. Hr. 243. yijtjjtkaltfriie ÆavmclfammUtng oon Ф. mailer, prof, am ©t)m* nafiuminUlm. mit65$ig. Hr.l3G. lUjijI'thalirrije ülcITung^nietljabeu о. Dr. milîjelm Baljrbt, ©berleljrer an ber 0berreaIfd)ule in ©rof;= £id)terfelbe. mit 49 5ig- Hr 3U1. pioitth, £lie, be# ;\i»enbian£>c# oon ïfans Stegmann, Konferoator ©erman. Hationalmufeum 3ц Hürnberg. mit 23 Saf. Hr. 116. ItoetiU, gewtfrfje, oon Dr. K.Borinsfi, prof. a. b. Unio. ÏÏÏündjen. Hr. 40. Ilaratnentiererci. Sejtib3nbuftrie II: meberei, mirferei, pofamentiererei, Spitjen* unb ©arbinenfabrilation unb 5il3fobriîation oon prof. Hta£ ©ürtler, Direftor ber Königl. Sedjn. 3entralftelle für Se£til=3nb. 3U Berlin, mit 27 5ig. Hr. 185. Iträrijalogte mil* £ogilt зиг Sinfüljr. in bie pi)ilofopl)ie, non Dr. SI). Slfenfjans. mit 13 $ig. Hr. 14. |lfi|rijapi;ijrtk, Cliumbvib ber,

Dr. Ф. $. £ipps in £eip3ig.

3 $ig. Hr. 98.

Ifttmpett, Ijijbraultfrije unb ptteu-matifdjc Anlage». Sin !игзег Uberblid oon Hegierungsbaumeifter Hubolf Dogöt, (Oberlehrer an ber !gl. l)öl}eren mafd)inenbaufd)ule in Pofen. mit за!)1г. Hbbilb. Hr. 290.

(QueUenhunfre fuo £»e«ifrijeu <ôc-frijirijte oon Dr. Sari 3acob, prof, an ber Unioerf. Sübingen. 2 Böe. Hr. 279. 280.

lUrijncu, $aufmämtirrije*r, oon Hid)arb 3uft, ©berleljrcr an ber ©ffentlidjen fjanbelsleljranftalt ber DresbenerKaufmannfdjaft. I. II. III. Hr. 139. 140. 187.

Iterijt bc& i3m*gerltrijru ((ЗсГеф-bttrijc*. Diertes Bud) : 5amilien* red)t oon Dr. Ijcinrid) Sit$e, prof, an ber Unioerf. ©öttingen. Hr. 305.

Ilerijt^ldjrc, ^Ugcmcine, oon Dr. SI). Sternberg, prioatbo3. an ber Unioerf. £aufanne. I : Die IHetbobe. Hr. 169.

—    И : Das Spftern. Hr. 170.

lUrijtefrijui?, Qcv intermiiianale

genm’Midje, oon 3 Heuberg, Kaiferl. Hcgierungsrat, mitglieb bes Kaiferl.patentamts зиВегПп. Hr.271.

Ilebelcljve, jpeuifrije, o. l}ans probft, ©pmnafialprof. in Bamberg, mit einer Saf. Hr. 61.

iUltgiatt^gerdjidji*, &ШеГ1атен1-lirije, oon D. Dr. Шар Ш)г, prof, an ber Unioerf. Breslau. Hr. 292.

—    Sinbifrije, con Prof. Dr. Sbmunb ïjarbt). Hr. 83.

--fiel)e aud) Bubbl)a.

JUligiongmiOenfrijatt,    betr

t»*vgUidjenb*it, oon prof. Dr. SI). Hdjelis in Bremen. Hr. 208.

^enaiJTanr*. Die Kultur b. Henaiffance. ©efittung. 5orfd)ung, Dichtung oon Dr. Hobert $. Hrnolb, prioatbo3. an ber Unio. mien. Hr. 189.

teaman. ©efd)idjte b. beutfdjen Homans oon Dr. Ifellmutl) Httelfe. Hr. 229.

|l«fftrrij-peutfrijt# <öefpriirijtfbitrij oon Dr. Srid) Bernefer, prof, an ber Unioerf. Prag. Hr. 68.

non

ghtfTtrdje* gefebudi mit ©Ioffar non Dr. ©rid) Benteler, prof, an ber Uninerf. prag. Ur. 67.

--fiehe аиф: ©rammatif.

§adm,    Uusgemahlt unb er*

läutert non prof. Dr. 3ulius Sahr. Ur. 24.

Süttgetiere. Das Sierreid} I : Säuge* tiere non ©berftubienrat prof. Dr. Kurt £ampert, Dorftehcr bes Kgl. Uaturalienfabinetts in Stuttgart, mit 15 Ubbilb. Ur. 282. Sdiatteitkonjteuktionen n. prof. 3-Donberlinn in Breslau, mit 114 5tg* Ur. 236.

Sdimavo^et* «. Sdmtarottcttnm ht fret? ®iermelt. SrfteSinfUhrung in bie tierifehe Sdjmaro^erfunbe

n. Dr. $птз n. magner, a. o. Prof, a. b. Uninerf. ©iefjen. Blit 67 Ub* bilb. Ur. 151.

Sdmle, me beutrdre,tm3luolrtt^e, non Ifans Umrhein in Italie a. S. Ur 259

Sdjulprcmo. methobil ber Dolls* fd)ule non Dr. R. Sepfert, Seminar* Oberlehrer in Unnab erg. Ur. 50.

Simpliem* ^impliciffimu* Don Bans 3alob ©hriftoffel n. ©rimmels* häufen. 3n Uusœahl herausgegeb. non prof. Dr. $. Bobertag, Dojent an ber Uninerf. Breslau. Ur. 138.

Soriologie non prof. Dr. Shomas Udjelis in Bremen. Ur. 101.

Spikcttfabviimtiou. Seytil*3nbuftrie II : meberei, mirlerei, pofamen* tiererei, Spi^en* unb ©arbinen* fabrilation unb 5il3fabrilation non prof, may ©Urtier, Direltor ber Kgl. Sedm. Sentralftelle für Seytil*3n* buftrie3U Berlin, mit 27 $ig. Ur. 185. SpvadjbcnkmiiUr, (Ototifd)*» wit ©rammatil, Uberfetjung unb Sr* Iäuterungen n. Dr. tjerrn. 3anfcen, Direltor ber Königin £uife*$<hule in Königsberg i. pr. Ur. 79.

SlMmdimiffettfdirtft, ©crmentfdj*, n. Dr. Rid). £oeme in Berlin. Ur.238.

— |ïn&O0cvmamrdir,n. Dr.R.merin* aer, prof, a b. Unin. ©газ. Ulit einer Śaf. Ur. 59.

SrpnsrijmiJIfettrrfTcxft, §?оптт|7ке, non Dr. Ubolf Sauner, prbatbo3ent an ber Uninerf. mien. I: £autlet}re u. mortlehre 1. Hr. 128.

—    — 11 : mortlehre 11 u. Sqntar. Hr. 250.

—    »fremitiIxif*, non Dr. S." Brodel* mann, prof, an ber Uninerf. Königs* berg. Hr. 291.

§t*mt*vcdît, IJeett^tfriie^, non Dr. 5rih Stier*Somlo, prof, an ber Uni* nerf. Bonn. 2 Seile. Hr. 298 u. 299.

Stammer kttnfcc,    gleutfrbe, non

Dr. Kubolf Bîud}, a. o. prof, an ber Uninerf mien. Blit 2 Karten unb 2 Saf. Ur. 126.

Strttik, I. Seil : Die ©runblehren ber Statil ftarrer Körper n. Ш. Räuber, DipIom.*3ng. îïïit 82 $ig. Ur. 178.

—    II. Seil: Hngemanbte Statil. mit 61 $ig. Ur. 179.

Strnogtmphie nad) bem Spftem non 5. 3£. ©abelsberger non Dr. Ulbert Schramm, mitglieb bes Kgl. Stenogr. 3nftituts Dresben. Ur. 246.

—    £el)rbu<h ber Dereinfadjten Deutfdjen Stenographie (Sinig.*Spftem Stol3e* Sdjrep) nebft Sdjlüffel, £efeftüden u. einem Unhang n. Dr. Umfel, ФЬег* Iehrer bes Kabettenhaufes Фгатеп* ftein. Ur. 86.

gUvevAjemic non Dr. <E. mebelinb, Prof, an ber Uninerf. Siibingen. mit 34 Ubbilb. Ur. 201.

Stereometrie non Dr. R. ©lafer in Stuttgart, mit 44 5ig. Ur. 97.

Stilkunbe non Karl ФКо Hartmann, ©etoerbefdjuloorftanb in £aljr{ mit 7 Dollbilbern unb 195 Seyt*31lu* ftrationen. Ur. 80.

®ed)itoloeie, aUgemcine djemirdte, Dr. ©uft. Rauter in Shar* Iottenburg. Ur. 113.

©eerfarbltotfr, ^ie, mit befonberer Beriidfichtigung ber fpnthetifdjen Utethoben non Dr. Ijans Budjerer, prof, an ber Kgt. Sedjn. tfodjfdjule Dresben. Ur. 214.

@:elegrapltie, file elektrifdie, non Dr.£ub.ReIIftab. m.l9$ig. Ur.172.

Sammlung ööscben

6. % ©ofcbenTcbc Verlagsban dlimg, Hetpzig.

©jejfantent. Die (Entstehung bes Alten IlntcrviditomclVn, gLt* äffcnilidj*. deftaments non Lie. Dr. ED. Staerl gicutrdjltml»* t. Ъ. ©egennmrt in 3ena. Itr. 272.    non Dr. Paul Stötjner, (BtjmnaSial*

—    Die (Entstehung bes Iteuen defta*    Oberlehrer in Smidau. Hr. 130.

ments non Prof. Lie. Dr. (Earl dienten — (öefdjtdjt* fceutfd?*« §lnt*tr-in Bonn. Hr. 285.    *id|tewef*tt* non prof. Dr. 5rieb*

®*rtU-lfn&u|lH* II: EDeberei, EDir* rid) Seiler, Direltor bes Kgl. ©pm* fereC pofamentiererei, Spitzen* unb    nafiums зи £ud'au. I. deil : Don

©arbinenfabrilation unb 5ü3fabri*    Anfang an bis 3unt (Enbe bes 18.

fation non prof. Eïïaç ©ürtler, Dir.    3ahrl)unberts. Hr. 275.

ber Koniglidjen ded)it. 3entralftelle--II. deil: Dom Beginn bes 19.

für dejtil*3nbuîtrie зи Berlin, mit    3<iMmtberts bis auf bie ©egen*

27 $ig. Hr. 185.    roart. Hr. 276.

IlvgefdUdtte betr PteufdUreit d. Dr. mort3 Ejoernes, prof, an ber Unio. EDien. mit 53 Abbilb. Hr. 42.

|lvhcbevved)t, Dacv bentfdîe. an Iiterarifdjen, !unftlerifd)en unb ge* roerblidjen Schöpfungen, mit befon* berer Berüdîidjtigung ber inter* nationalen Derträge oon Dr. ©uftao Rauter, patentanroalt in dharlotten* burg. Hr. 263.

gfjctTtdîevungentittlrcttmttU oon Dr. Alfreb £oeu>t), prof, an ber Unio. 5reiburg i. B. Etr. 180.

Pet*ftd|etruu00nteren, 33a#, oon Dr. iur. Paul ERoIbenhauer, Do3ent ber Derfid)erungstüiSSenSd)aft an ber E)anbelshod)|d)uIe Köln. Hr. 262.

Puihevhunbe oon Dr. EHtdjael E}abcr* Ianbt, f. u. ï. Kuftos ber ethnogr. Sammlung bes naturhijtor. Ejof* mufeums и prioatbo3. an b. Uniuerî. EDien. mit 56 Abbilb. Hr. 73.

PallteUeb, gla* beutfdje, aus* gemählt unb erläutert oon prof. Dr. 3ul. Sal)r. Hr. 25.

glDUt^mirtrdraftelehve ». Dr. darï 3ohs. 5ud)s, prof, an ber Unioerî. Jreiburg i. B. Hr. 133.

IMkenifrtrdtaftepDliito oon Prä* îibent Dr. R. oan ber Borght in Ber* lin. Hr. 177.

DKHUthnrUieb, ЗР»*#, im Dersmafje befHlrSdjrift überlebt unb erläutert oon prof. Dr. 1). Althof, (Oberlehrer a. RealgqmnaSium i.EDeimar. Hr. 46

—    Ill: EDäfdjerei, Bleicherei, Särberei unb ihre f)i!fsftoffe non Dr. EDill}.

ERafSot, £et)rer an ber preujj. höh-5a<hld)ule für dejtilinbuftrie in Krefelb. mit 28 $ig. Hr. 186.

dÜievnto&qtutmUt (ded)nifd)e EDärrne* lehre) Don K. EDalther unb EU.

Röttinger, Dipl. Ingenieuren, mit 54 5ig- Hr. 212.

©irvbtoiagic I: (Entstehung unb EDeiterbilbung ber diermelt, Be*

3iehungen зиг organischen Hatur Don Dr. Ejeinrid) Simroth, Prof, an ber UniDerj. £eip3ig. mit 33 Ab* bilb. Hr. 131.

—    II: Be3tehungen ber diere зиг or* ganifehen Hatur Don Dr. Ejeinrid)

Simroth, Prof, an ber Uninerf.

£eip3ig. mit 35 Abbilb. Hr. 132.

dUergeogtraplji* non Dr. Arnolb 3acobi, prof, ber 3ooïogie an ber Kgl. 5orîta!abemie зи dharanbt. mit 2 Karten. Hr. 218.

ШегкииЬе D. Dr. 5гапз d. EDagner,

Prof, an ber Unioerf. ©ieften. mit 78 Abbilb. Hr. 60.

fla«, I: Säugetiere Don (Dberftubiênrat prof. Dr. Kurt £am= pert, Dorjteher bes Kgl. Haturalien* ïabinetts in Stuttgart, mit 15 Ab* büb. Rr. 282.

©terutdjtUljrr, Allgemeine unb fpe3b elle, Don Dr. Paul Rippert in Berlin.

ETr. 228.

©viganamctvte, (ßlrene unb rplja-vifdie, non Dr. ©erl). Ifeffenberg, prioatbo}. an ber dedm. Eîodrtdmle in Berlin, mit 70 $ig. Hr. 90.

Sammlung ööscfien

6. 7. боГсЬспТсЬе Vcrlagsbandlung, Leipzig.

fjfcînltljet* ttau bet* &t(»gcinmb* mit    HeętiL3nbuftrie П: Ше>

Husmai)I aus tltinnefang u. Sprud}*    beret, tDirferei, pofamentiererei,

bid}tung. mit Hnmertungen unb    Spieen* unb (Barbinenfabrifation

einem IDörterbud} non Фtto (Büntter,    unb 5i№brifation oon Prof ÎÏÏaç

Prof. a. b. ©berrealfdjule unb a. b.    (Bürtler, Direftor ber Königl. Hed}n.

Hed}n. ïfodifd}. in Stuttgart, tir. 23.    Sentralftelle für He£tib3nbuftrie 3U

JDavenlumbr, non Dr. Karl tfaffad,    Berlin, mit 27 5i9- Ht- 185.

IDolfrrttn t»<m GErritettinuIj. Ifart* mann u. aue, tDolfram u. Hfdjen* Ьаф unb (Bottfrieb uon Strasburg. Huswahl aus bem I)öf. (Epos mit Hnmertungen unb IDörterbud} uon Dr. K. lÏÏarolb, Prof, am Königl. 5riebrid}sfolleg. 3. Königsberg i.pr. Itr. 22.

gttürtetrbttriî nad} ber neuen beutfdjen Kedjtfdjreibung uon Dr. tjeinrid) Шепз. tir. 200.

— JDentfrire*, uon Dr. $erb. Detter, prof, an ber llniuerfität präg. Пг. 64.

Seirfienfrijttle uon prof. K. Kimmid} in Ulm. mit 18 Haf. in Hon*, Farben* unb (Bolbbrud u. 200 Doll» unb Hejtbilbern. tir. 30.

3ctrlt»ten, (^comctHfdic*, uon tj. Beder, Hrd}itett unb £etjrer an ber Baugemerîfd}ule in tTCagbeburg, neu bearb. u. prof. 3- Donberlinn, biplom. unb ftaatl. gepr. 3ngenieur in Breslau, mit 290 5ig. unb 23 Hafeln im Heyt. tir. 58.

profeffor an ber tDiener tfanbels* afabemie. I. Heil : Unorganifd)e tDaren. mit 40 Hbbilb. Пг. 222.

— IL Heil: ©rganifdje tDaren. mit 36 Hbbilb. Hr. 223. genuine. tEf)eoretifd)e pi}t}fif II. Heil :

£id}t unb rodrme. Don Dr. (Buftau 3âger, prof, an ber Uniuerf. IDien. mit 47 Hbbilb. tir. 77.

tuobmmmtk) oon K. IDaltljer u. m. Köttinger, Dipl. * 3ngenieure. mit 54 $ig. Пг. 242.

JjtHiirrfîevet. He£til = 3nbuftrie III: tDäfdjerei, Bleicherei, Färberei unb ihre ^ilfsjtoffe non Dr. ШШ). maffot,

Serrer an ber preufj. bol}* 5ad}fd}uie für Heętilinbujtrie in Krefelb. mit 28 $ig. Пг. 186.

gjßitfTev,    unb feine Derroenbung

in 3nbuftrie unb (Beioerbe oon Dr.

(Ernft £el}er,Dipb3ngen. inSaalfelb. mit 15 abbilb. Hr. 261. płebcrci. Hertib3nbuftrie II : IDe* berei, tDirferei, pofamentiererei,

Spieen* unb (Barbinenfabrifation unb 5ilsfabrifation uon prof. ÎÏIaç (Bürtler, Direftor ber Königl. Нефп.

3U Berlin, mit 27 $ig. Пг. 185.

3entralftelle für HejtilOnbuftrie

rOeitere Bänbe erfd]einen in rafdjer 50Î9e-

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung in Leipzig.

In unserem Verlage erscheint ferner die

^ammlung Qchubert

Sammlung mathematischer Lehrbücher,

die, auf wissenschaftlicher Grundlage beruhend, den Bedürfnissen des Praktikers Rechnung tragen und zugleich durch eine leichtfaßliche Darstellung des Stoffes auch für den Nichtfachmann verständlich sind. In systematisch sich aufbauenden, selbständigen Einzeldarstellungen bildet das Unternehmen einen einheitlich angelegten Lehrgang der gesamten Mathematik, von den ersten Anfangsgründen der Arithmetik und AlgebrabiszurhöherenMathematik.

Ausführliche Verzeichnisse unberechnet und pastirei.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung in Leipzig.

Vi ёР*ц

Biblioteka Politechniki Krakowskiei §

1-301436

£i

"Ж

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297966