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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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Von

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Sammlung Göschen

Erddruck

Futter- und Stützmauern

Von

Stadt. Baurat Dr. Ing. Felix Kann

Dozent an der Ingenieur-Akademie Wismar und Privatdozent der Technischen Hochschule Braunschweig

Mit 102 Textabbildungen

Berlin und Leipzig

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung . J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer . Karl J. Trübner • Veit & Comp.

1929

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Druck von C. G. Röder G.

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Inhaltsverzeichnis.

I. Abschnitt.

Die verschiedenen Erddrucktheorien in kritisch vergleichender Behandlung.

Seite

§ 1. Einleitung.................. .

A.    Geschichtlicher Überblick...........

B.    Grundbegriffe.................

§2. Die klassischen Erddrucktheorien......

A.    Die Theorie von Coulomb...........

a)    Die Ermittlung des) tätigen (aktiven) Erddruckes

auf eine Stützmauer..............

b)    Die Ermittlung des widerstehenden (passiven)

Erddruckes .................

c)    Die Grundwerte für verschiedene Bodengattungen 20

B.    Die Theorie von Rankine...........

a)    Der Widerspruch in der Coulombschen Theorie 22

b)    Das Involutionszentrum ..........

c)    Erddruckberechnung nach Culmann und Mohr 28

§3. Neuere Arbeiten unter Zugrundelegung gebrochener und gekrümmter Gleitflächen ...    35

A.    Die Theorie der Spannungsellipse nach Dr. Ing. e. h.

Krey . ...................

B.    Die verschiedenen Vorschläge für das Rechnen mit

gekrümmter Gleitfläche............

a)    Die kreiszylindrische Gleitfläche...... .

b)    Die Gleitlinie als logarithmische Spirale ...    52

c)    Die gebrochene Gleitlinie..........

d)    Vergleichsrechnungen............

C.    Berücksichtigung der Kohäsion nach Prof. Fellenius

(Stockholm).................

10

10

12

18

22

24

35

47

47

i 53

65

Seite

a)    Nur Kohäsion (innere Reibung Null), ebene

Gleitfläche.................

b)    Zusammenwirkung von Reibung und Kohäsion

ebene Gleitfläche..............

c)    Nur Kohäsion, krumme (kreiszylindrische) Gleitfläche ...................

d)    Reibung und Kohäsion, krumme Gleitfläche 64

§4. Bodenmechanik................

A.    Versuche zur Ermittlung der Grundwerte der Erddruckrechnung ................

a)    Experimentelle Ermittlung der Reibung (des Gleitwiderstandes) zwischen Erde und Wand ...    69

b)    Messung des Gleitwiderstandes (innere Reibung und Kohäsion) im Boden selbst .......

B.    Die Gleichgewichtsstörungen (Gleitflächenbildungen)

im bindigen Boden..............

62

63

64

67

69

71

77

II. Abschnitt.

Konstruktion und Festigkeitsberechnung von Stütz- und Futtermauern.

§5. Allgemeines. Einteilung der Stütz-und Futtermauern nach ihrer baulichen Durchbildung §6. Mauern aus Stein und vollem Beton.....

A.    Ermittlung der Stärke einer Mauer bei gegebener

Form der Rückwand und gegebener Richtung der Vorderfläche (Müller-Breslau) .........

B.    Berechnung der Querschnitte auf Biegung und Druck

mittels der Kernpunktsformeln und Kernpunktsdiagramme ..................

C.    Gleitwiderstand und Kippsicherheit.......

D.    Einiges über die Herstellung von Mauern aus vollem

Beton....................

§7. Aufgelöste Bauweise.............

§ 8. Eisenbetonwinkelstützmauern........

§9. Verankerte Spundwände...........

Sachverzeichnis...................

79

83

83

84

88

89

90

93

112

121

Literaturverzeichnis.

Berrer, A., Standsicherheitsuntersuchung von Kaimauern in weichem Lehmboden. Die Bautechnik, Jg. 1925, Heft 52.

Betonkalender 1928. Berlin 1927.

und

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Crämer, H., Wider den sogenannten Kippsicherheitsgrad von Stützmauern. Die Bautechnik, Jg. 1925, Heft 44.

Ehrenberg, J., und Tiedemann, Baugrundforschung. Über Werdegang, Aufgaben und Arbeiten der Erdbauabteilung der staatlichen Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau in Berlin. Zentralblatt der Bauverwaltung, Jg. 1928, Heft 51.

Esselborn, Lehrbuch des Tiefbaues. Bd. 1. Leipzig 1922.

Fellenius, W., Erdstatische Berechnungen mit Reibung und Kohäsion (Adhäsion) und unter Annahme kreiszylindrischer Gleitflächen. Berlin 1927.

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—    Erddruckversuche im natürlichen Maßstabe. Der Bauingenieur, Jg. 1928, Heft 48 und 44.

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—    Neue Wege in der Erddruckforschung. Zentralblatt der Bauverwaltung, Jg. 1928, Heft 13.

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Kleinlogel, A., Bewegungsfugen im Beton- und Eisenbetonbau. Berlin 1927.

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Krey, H., Erddruck, Erdwiderstand und Tragfähigkeit des Baugrundes, Gesichtspunkte für die Berechnung, praktische Beispiele und Erddrucktabellen. S.Aufl. Berlin 1926.

—    Gebrochene und gekrümmte Gleitflächen bei Aufgaben des Erddruckes. Die Bautechnik, Jg. 1926, Heft 19.

Mayer, M., Die Sicherheit der Bauwerke und ihre Berechnung nach Grenzkräften anstatt nach zulässigen Spannungen. Berlin 1926.

Mehrtens, G. Chr., Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen und Festigkeitslehre. Bd. 2. Leipzig 1904.

—    ______ «ux    Berlin 1924.

Möller, M., Erddrucktabellen mit Erläuterungen über Erddruck und Verankerungen. 2. Aufl. Leipzig 1922.

— Messung des Gleitwiderstandes an Baustoffen auf Boden und die Wahl des Systems der Rheinbrücke Köln-Mülheim. Der Bauingenieur, Jg. 1927, Heft 38.

Mörsch, E., Die Berechnung der Winkelstützmauern. Beton und Eisen, Jg. 1925, Heft 20.

Müller-Breslau, H. F., Erddruck auf Stützmauern. Stuttgart 1906. Petersen, R., Erddruck auf Stützmauern.

Sonderdruck aus Der

—    Grenzzustände des Erddruckes auf Stützmauern.

Bauingenieur, 6. Jg. 1925, Heft 13.

Pihera, H., Druckverteilung, Erddruck, Erdwiderstand, Tragfähigkeit. Wien 1928.

Schroeter, A., Der Nachweis der Kippsicherheit bei Stützmauern. Beton und Eisen, Jg. 1915, Heft 19 und 20.

Schultze, J., Gekrümmte Erdgleitflächen. Beton und Eisen, Jg. 1915, Heft 19 und 20.

Streck, A., Beitrag zur Frage des Erd Widerstandes (passiver Erddruck). Der Bauingenieur, Jg. 1926, Heft 1 und 2.

—    Die Frage der Grundwerte bei der Erddruckberechnung. Die Bautechnik, Jg. 1926, Heft 29.

—    Fortschritte auf dem Gebiete der Baugrundforschung. Zentralblatt der Bauverwaltung, Jg. 1928, Heft 19.

Terzaghi, K., Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grundlage. Leipzig und Wien 1925.

I. Abschnitt.

Die verschiedenen Erddrucktheorien in kritisch vergleichender Behandlung.

§ 1. Einleitung.

A. Geschichtlicher Überblick¹).

Die ältesten Regeln für die Bemessung von Stützmauern rühren von dem Franzosen Vauban (1687) her, der als Erbauer zahlreicher französischer Festungen genannt wird. Es ist jedoch nicht bekannt, ob Vauban bereits eine Theorie im eigentlichen Sinne angewendet oder vielmehr seine Stützmauern nur nach praktischen Regeln gebaut hat. Sehr ausführliche Angaben über die ältesten Erddrucktheorien finden sich in einem Werke von Mayniel. Hiernach wurde der Erddruck berechnet auf Grund der Annahme, daß ein Erdkeil längs der natürlichen Böschungsfläche abgleite. Dabei dachte man sich das Gewicht des Erdkeils in seinem Schwerpunkte vereinigt und den Gegendruck in der Gleitfläche normal zu dieser; die Richtung des Erddruckes nahm man parallel zur Böschung an. Nach Mayniel war dieser Gedankengang schon enthalten in den Werken der Architekten Bullet und Rondelet (1691).

x) Die geschichtlichen Angaben sind entnommen hauptsächlich dem bekannten Lehrbuch Mehrtens, Vorlesungen über Statik der Baukonst'ruktionen, Bd. 2, S. 255ff., Leipzig 1904; ferner einem Aufsatz von Freund, Untersuchung der Erddrucktheorie von Coulomb zu ihrem 150jährigen Bestehen, Bautechnik 1924, Heft 12 und der „Erdbaumechanik auf bodenpliysikalischer Grundlage“ von Dr.-Ing. K. Terzaghi, S. 302—305, Leipzig und Wien 1925.

Es sind dies die Vorläufer der Coulombschen Erddrucktheorie. Couplet (1726—1728) ist der Schöpfer einer ersten, einigermaßen wissenschaftlichen Erddrucktheorie. Er behandelte die Hinterfüllung als Kugelschüttung. Leider ging er von falschen Voraussetzungen aus, es bleibt ihm immerhin doch das Verdienst, der Erste gewesen zu sein, der den Einfluß der Reibung auf die Größe des Erddruckes berücksichtigt hat. Coulomb (1773) begnügte sich nicht damit, die Gleitebene mit der Ebene der natürlichen Böschung zusammenfallen zu lassen oder sonst willkürlich anzunehmen wie seine Vorgänger. Er behandelte vielmehr die Ermittlung der maßgebenden Gleitlinie als eine Aufgabe der Maximum- und Minimumrechnung. In Übereinstimmung mit seinen Vorgängern betrachtete er die Gleitfläche als eine Ebene, war aber nicht mehr darüber im Zweifel, daß diese Fläche in Wirklichkeit gekrümmt ist. Die Bedeutung der theoretischen Arbeiten Coulombs ist daran zu erkennen, daß in der Hauptsache seine Theorie auch heute noch die Grundlage für die Berechnung von Stützmauern bildet. Allerdings hat er, wie im Verlauf der Entwicklungen dieses Bandes bewiesen wird, nur ein Teilproblem der Erddrucklehre erfolgreich gelöst. Coulomb ist als der Begründer der klassischen Erddrucktheorie anzusehen. Woltmann (1794—1799) führte an Stelle der Reibungsziffer zwischen Erde und Erde die Tangente des natürlichen Böschungswinkels ein. Wie später gezeigt wird, sind jedoch natürlicher Böschungswinkel und innerer Reibungswinkel im allgemeinen nicht miteinander gleich. Die erste graphische Behandlung des Erddruckproblems lieferte, gestützt auf die Coulombsche Grundannahme, der Franzose Poncelet (1844). Rebhann (1871) verstand es, das rechnerische und zeichnerische Verfahren miteinander zu vereinigen. Er und Winkler (1872) gaben der Theorie hinsichtlich ihres Anwendungsgebietes ihre heutige Gestalt.

In den fünfziger Jahren des vorigen Jahrhunderts entwickelte sich unter dem Einfluß der Elastizitätslehre die sog. „neuere Erddrucktheorieu, die vom Spannungszustand im unbegrenzten und gleichmäßigen Erdkörper ausgeht. Sch eff 1er (1851) gebührt das Verdienst, zuerst Betrachtungen über den Druck im Innern einer Erdmasse angestellt zu haben. Bankine (1856) entwickelte dann die nach ihm benannte Theorie, die aber in ihrer Anwendung auf die Berechnung von Stützmauern von praktischen Erfolgen nicht begleitet gewesen ist, da die hiernach ermittelten Erddruckkräfte nur in besonderen Fällen zutreffend sind. Immerhin leistet diese Theorie wertvolle Dienste wegen ihrer einfachen und raschen Ermittlung von Näherungswerten des Erddrucks. Culm an n (1866), Mohr (1905) und Weyrauch (1881) entwickelten die auf der Rankineschen Theorie fußenden graphischen Methoden.

Die Versuchsforschung auf dem Gebiete des Erddrucks wurde gefördert von Forchheimer (1882), ferner besonders von Müller-Breslau (1906), der durch mustergültige Versuchseinrichtungen bahnbrechend in der experimentellen Erddruckf orschung’geworden ist, neuerdings von dem kürzlich verstorbenen Leiter der Berliner Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau Dr.-Ing. e. h. Kr ey und von Prof. Franzius, Leiter der Versuchsanstalt für Grundbau und Wasserbau der Technischen Hochschule Hannover. In den Vereinigten Staaten hat sich besonders J. Feld Verdienste um die Erddruckversuchsforschung erworben. Ter-zaghi ist der Begründer einer systematischen Erdbau-mechanik auf bodenphysikalischer Grundlage.

B. Grundbegriffe.

Die im Innern der Erde wirklich vorhandene Spannung können wir nicht berechnen, sondern nur zwei Grenzwerte des Erddrucks angeben, und zwar:

a)    die Größe der angreifenden Kraft in dem Augenblick, in dem eine einseitig mit Boden hinterfüllte Wand beginnt, sich unter dem Druck der Erde zu bewegen; wir nennen diese Kraft den angreifenden (aktiven) Erddruck und

b)    die Größe des Widerstands, den eine Wand höchstens gegen das Vordringen in der Erde erfährt, wenn diese Wand durch eine äußere Kraft, z. B. durch einen Ankerzug, gegen das Erdreich gepreßt wird; wir nennen die Kraft den widerstehenden (passiven) Erddruck.

Der tatsächlich vorhandene Erddruck im Zustand der Ruhe liegt zwischen diesen beiden Grenzwerten, die also für unsere Stabilitäts- und Festigkeitsuntersuchungen maßgebend sind.

Da die klassischen Erddrucktheorien, insbesondere die Coulombsche Theorie, wie später noch ausgeführt wird, zum Teil bis heute ihre Bedeutung bei der Berechnung von Stützmauern behalten haben, sollen zunächst diese Theorien kurz behandelt werden.

§ 2. Die klassischen Erddrucktheorien.

A. Die Theorie von Coulomb.

Um die Entstehung der Coulombschen Fragestellung voll zu verstehen, empfiehlt es sich, auf die Berechnung der Tragfähigkeit von Mauerpfeilern kurz einzugehen, wie sie enthalten ist in Coulombs grundlegender Arbeit ,,Sur les murs de revêtement et l’équilibre des voûtes. — Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de Statique, relatifs à l’Architecture“ (1773)¹).

Coulomb setzt die Adhäsion, d. h. den Widerstand gegen Trennung der Teile eines Körpers längs einer Linie a—a

x) Vgl. hierzu Freund, Untersuchung der Erddrucktheorie von Coulomb zu ihrem 150jährigen Bestehen, a. a. 0.

(Abb. 1) gleich der Kohäsion, vermehrt um die innere Reibung, die hervorgerufen wird durch einen Normaldruck N. Er geht dann davon aus, daß in einem durch eine lotrechte Last P mittig gedrückten Mauerpfeiler ABCD (Abb. 2) im Augenblick des Bruches sich eine Trennung nach einem schrägen Schnitt L—M, unter dem Winkel л zur Richtung des Querschnitts geneigt, vollzieht. Da man die Kraft P in eine Seitenkraft parallel zu LM und eine normal dazu zerlegen kann, so liegen die Bedingungen des in Abb. 1 dargestellten Falles vor. Nun cl^ entspricht jeder Lage des Schnittes LM eine ganz bestimmte Kraft P, die mit den inneren Widerständen (Kohäsion -f-innere Reibung) im Gleichgewicht steht.

fr

Abb. 1.

Abb. 2.

Der kleinste Wert von P genügt, um den Bruch des Mauerpfeilers herbei- L zuführen, somit stellt diejenige Last P, die als Funktion des veränderlichen Winkels oc ein Mini mu m ist, nach Cou- C-* lomb die Tragfähigkeit des Mauerpfeilers dar. Selbstverständlich steht diese Auffassung mit unseren heutigen Anschauungen über die Tragfähigkeit von Bauteilen in vollkommenem Widerspruch — wir wissen heute, daß die Druckfestigkeit eines Baustoffes, ebenso wie jede andere Grenzbelastung, eine dem Material typische, physikalische Eigenschaft darstellt. Die Berechnung der Tragfähigkeit eines Pfeilers als mathematisch-statische Minimumaufgabe ist jedoch sicherlich von geschichtlichem Interesse und bildet andererseits den Schlüssel zum Verständnis der Lösung des Erddruckproblems nach Coulomb. Auch hierbei hat man es mit einer der eben angedeuteten ganz analogen Aufgabe zu tun, die beim tätigen Erddruck allerdings auf eine Maximumrechnung,

beim widerstehenden Erddruck wieder auf ein Minimum — wie hier bei der Tragfähigkeitsberechnung des Mauerpfeilers — führt.

a) Die Ermittlung des tätigen (aktiven) Erddruckes auf eine Stützmauer (Abb. 3).

Coulomb nahm an, daß beim Nachgeben der mit Erde hinterfüllten Stützwand sich eine ebene Riß- oder Gleitfläche (AC in Abb. 3) ausbildet, so daß der hierdurch ent-

iX

Æs

eF,

/ e'm

е\ g

Abb. 3 a.

Abb. 3. Gleichgewicht am? Erdkeil.

stehende „Gleitkeil ABC längs der Wandrückenfläche AB und der Gleitfläche AC abzurutschen trachtet. Daher wirken die Reaktionen E und Q, die dem Gewicht G des Gleitkeils das Gleichgewicht halten, nicht normal zu den Flächen AB bzw. AC, sondern unter den Reibungswinkeln d (zwischen Erde und Wand) bzw. q (zwischen Erde und Erde, innere Reibung, natürlicher Böschungswinkel) zu den Loten der betreffenden Flächen.

Für irgendeinen angenommenen Winkel Я der Gleitebene mit der Wagerechten durch den Fußpunkt A der Stützwand

erhält man somit das Kräftedreieck (Abb. 3 a) und hieraus für die Erddruckreaktion den Wert G sin (Д-р), sin (A — q + ф) ф ist der Winkel zwischen E und der Lotrechten. Hierdurch ist E als Funktion von A ausgedrückt und es ist nun diejenige Gleitlinie AC m ermitteln, die Emax, den tätigen Erddruck liefert. Hierfür gibt es zwei Wege. Zunächst

(i)

TV

Ca Ci

-fi-

max

ij/l

'/h*

"ч

Abb. 4. Culmannsche E-Linie.

soll die unter dem Namen ,,Culmannsche E- Li nie“ bekannte Konstruktion erläutert werden.

Diese graphische Lösung der Maximumaufgabe besteht darin, daß das Kräftedreieck der Abb. 3 a in die Figur des Erdkeils hineingelegt wird, indem die Gewichte G der einzelnen Keile in einem gewählten Maßstabe auf der natürlichen Böschung AN von A aus abgetragen und durch die Endpunkte dieser Strecken Gerade unter dem Winkel ф zu AN gezogen werden, wie dies aus Abb. 4 ersichtlich ist. Für verschiedene Lagen der Gleitebene AC wandert der

Endpunkt J der zugehörigen Erddruckkraft E auf der Cul-mannschen B-Linie, q und ф sind feste Winkel, veränderlich ist nur Я und daher О; E nung der zur Geraden AN parallelen Tangente an die E-Linie. Der Berührungspunkt liefert gleichzeitig den maßgebenden Erddruck und die zugehörige Gleitlinie (durch Verbindung mit A). Die beiden Grenzlagen der Gleitlinie AC: Natürliche Böschung (AN) und Wandrücken (AB)

findet man durch Zeich-

max

7F

Ч\//Я

\>л

/ V"

AI — } АП = 1

USW.

Abb. 5. Culmannsche E-Linie bei ebenem Gelände.

geben für E den Wert Null. Durch den Fußpunkt A zeichnet man unter dem Winkel ф zur natürlichen Böschung oder unter dem Winkel d+ q zur Verlängerung des Wandrückens AB die Stellungslinie AS, die die Richtung von E im Kräftedreieck angibt.

Abb. 5 zeigt den Sonderfall der ebenen Geländeoberfläche. Da die Längen Bl, В 2, В 3 usw. den Gewichten der zugehörigen Gleitkeile proportional sind, hat man nur diese Längen von A aus auf der natürlichen Böschung ab-zutrageii (А I, А II, А III usw.) und durch die Punkte I, II, III usw. die Parallelen zur Stellungslinie AS zu zeichnen.

Den zweiten Weg zur Ermittlung des „Prismas vom größten Druck“ bietet der Rebhannsche Satz. Rebhann fand durch eine einfache Maximumrechnung:

„Der größte tätige Erddruck E wenn die Gleitlinie AC so zu liegen kommt, daß das Gewicht des Erdkeils ABC — G genannt — gleich ist dem Gewicht des Prismas ACD oder —

max

tritt dann auf,

I/

Abb. 6. Erddruckermittlung nach dem Rebhannschen Satz.

mit anderen Worten —, wenn die Flächen ABC und ACD inhaltsgleich sind“ (Abb. 6). CD ist dabei parallel zur Stellungslinie AS.

Die Größe des Erddrucks auf 1 m Wandlänge (normal zur Zeichenfläche) wird ferner erhalten durch den Inhalt des gleichschenkligen Dreiecks DC F (DF —DC) multipliziert mit ye, dem Raumgewicht der Hinterfüllungserde.

Auf dem Rebhannschen Satz beruht die nachstehende Ponceletsche Konstruktion, die für den Sonderfall

ebener Geländeoberfläche gilt: Man ermittelt den ' Punkt D, indem man die Länge AD als geometrisches

Су

«F

/    /Х-/

i ''' / //

Si

J⁹

Abb. 7. Ponceletsche Konstruktion.

Mittel der beiden Strecken AN und AJ (wobei B J || AS) auf zeichnerischem Wege findet. Also AD= ]/JN~^AJ.

Der Beweis hierfürgwird auf geometrischem Wege erbracht. Es verhält sich

und

Nun ist und somit: oder also

AN : AD = CN: OC (da DO || AG)

DN : JD = CN: BC (da DC\\JB) BC=OC

AN : AD = DN: JD

AN : AD = (AN — AD): (AD — AJ),

AN : AD = AD: AJ.

Darauf gründet sich die bekannte, in Abb. 7 dargestellte Konstruktion des Punktes D und des gleichschenkligen Erddruckdreieckes DCF.

Für den Sonderfall der lotrechten Wandrückenfläche AB, der wagerechten Oberfläche der Hinterfüllung und der verschwindenden Reibung (d = 0) zwischen Erde

XD

Jy

ш/'

Abb. 8. Sonderfall.

und Wand erhält • man (Abb. 8), da die beiden Dreiecksflächen ABC und AD C j etzt nicht nur flächengleich, sondern kongruent sind, für den tätigen (aktiven) Erddruck auf 1 m Länge der Mauer die g e s chi о s-sene Formel:

L'SP-

■ave

BC = CN

Abb. 9. Sonderfall.

Ea

= \-уЛ*-Ч* (450

(2)

Kann, Erddruck.

Die Abb. 9 und 10 zeigen noch die Sonderfälle „Geländelinie parallel zur Stellungslinie“ und „Geländelinie parallel zur natürlichen Böschung“.

C beliebig

\ó+<?

Abb. 10. Sonderfall.

b) Die Ermittlung des widerstehenden (passiven) Erddruckes (Abb. 11).

Die Festlegung der Gleitlinie AC für den widerstehenden Erddruck nach Coulomb führt auf eine Minimumaufgabe, bei der analog wie beim tätigen Erddruck mittels der Ponceletschen Konstruktion die Gleitlinie und die

DC\\BJ\\AS AD = AJ' = j/ZjZTV.

Größe des Erddrucks gefunden werden kann. Es ist hier jedoch — wie aus Abb. 11 hervorgeht — der natürliche Böschungswinkel q als negativ einzuführen und somit in der Zeichnung anstatt nach oben, nach unten abzutragen. Ebenso schließt die Stellungslinie AS mit der Verlängerung des Wandrückens А В nun den Winkel ö — q (jetzt negativ) ein. Wieder ist:

und

Der widerstehende (passive) Erddruck auf 1 m Wandlänge und die ganze Höhe ist dargestellt durch die Fläche des gleichschenkligen Erddruckdreieckes DC F (DF = DC), multipliziert mit dem Raumgewicht der Hinterfüllung.

C&a

ГЛ\

\sF,

ОJ'

Abb 11. Ermittlung des passiven Erddruckes.

Für lotrechte Wand, wagerechte Oberfläche der Hinterfüllung und Wandreibung d = 0 gilt die geschlossene Formel (s. Abb. 12).

C s''

ß/

Abb. 12. Ermittlung des^passiven Erddruckes.

Ep =

(45°+)

(3)

c) Die Grundwerte (q und ye) für verschiedene Bodengattungen.

Mittelwerte von ç und ye sind für verschiedene Erdarten in der nachstehenden Tabelle¹) zusammengestellt:

Erdart

ye in kg/m³

Dammerde, trocken .

natürlich-

35°—40°

0,700—0,839

1400

feucht Dammerde, gesättigt-

45°

1,000

1600

naß

Sand, trocken . . . „ natürlich-feucht „ gesättigt-naß . Lehmboden, trocken .

„ naß . . Tonerde, trocken . .

„ naß .... Kies, trocken .... Gerolle, eckig .... rundlich. . .

27°

30°—35°

0,510

1800

40°

25°

40°—45° 20°—25° 40°—50° 20°—25° 35°—40°

45°

30°

0,577—0,700

1580—1650

0,839

0,466

0,839—1,000

0,364—0,466

0,839—1,192

0,364—0,466

0,700—0,839

1,000

0,577

1800

2000

1500

1900

1600

2000

1800—1850

1800

1800

Für die praktische Anwendung sehr wertvoll sind auch die Erddrucktabellen von Möller²).

Beschreibungen von ausgeführten Versuchen zur Ermittlung der Grundwerte sind an späterer Stelle (im Kapitel ,,Bodenphysik“) eingeschaltet.

Es soll jedoch schon hier darauf hingewiesen werden, daß eine der wichtigsten Aufgaben der Erddruckforschung zur Zeit darin besteht, die Frage der Grundwerte weiter zu klären, da — wie auch Prof. Petersen³), Danzig, in Übereinstimmung mit anderen modernen Erddruckforschern

*) Entnommen aus Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern, S.3. Stuttgart 1906.

*) Dr.-Ing. e. h. Max Möller, Erddrucktabellen mit Erläuterungen über Erd-druek und Verankerungen. Leipzig 1922.

a) Petersen, Erddruek auf Stützmauern. Berlin 1924.

(Krey und Terzaghi) feststellt — die Ungenauigkeit bei der Berechnung von Stützmauern weniger in der Mangelhaftigkeit der statischen Erddrucktheorie als vielmehr in der Unsicherheit der ziffernmäßigen Bewertung der physikalischen Eigenschaften der Hinterfüllungserde (natürlicher Böschungswinkel, Raumgewicht, zulässige Bodenpressung, Gleitwiderstand zwischen Baustoff und Boden, Kohäsion des Bodens usw.) zu suchen ist und daher auch eine weitere Verfeinerung der Theorie ziemlich aussichtslos erscheint.

In seiner Abhandlung ,,Die Frage der Grundwerte bei der Erddruckberechnung“ zeigt Dr.-Ing. A. Streck¹), Hannover, indem er an Terzaghis²) Arbeiten anknüpft, daß der Reibungswinkel der inneren Reibung keineswegs ein eindeutig festliegender Begriff ist, der etwa — wie fast immer angenommen wird — identisch ist mit dem natürlichen Böschungswinkel, sondern daß diese beiden Winkel nicht miteinander übereinstimmen. Man muß überhaupt drei verschiedene Winkel unterscheiden, nämlich:

1.    den natürlichen Böschungswinkel,

2.    den sog. Standwinkel und

3.    den inneren Reibungswinkel.

Zunächst kann der natürliche Böschungswinkel definiert werden als Neigungswinkel der Ebene, auf der lose aufgebrachte Materialteile sich gerade im Grenzzustande des Gleichgewichts gegen Abrollen befinden. Nun zeigt aber die Beobachtung, daß dasselbe Material — insbesondere Ton- und Lehmboden mit Kohäsion aber auch erdfeuchter Sandboden — auf begrenzte Höhen auch mit wesentlich steilerer als der natürlichen Böschung freistehen kann. In § 3 C wird bei Behandlung der Kohäsion auf diese Tatsache näher eingegangen (vgl. hierzu S. 66) und die

*) Die Bautechnik, Jg. 1926, Heft 29.

*) Terzaghi, Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grundlage. Leipzig und Wien 1925.

theoretische Begründung hierfür erbracht. Diesen steileren Winkel, unter dem das Material nur auf eine beschränkte, von dieser Neigung abhängige Höhe frei — also ohne Abstützung —- stehen bleibt, nennt man den Standwinkel.

Es ist nun wahrscheinlich, daß weder der natürliche Böschungswinkel noch irgendein Standwinkel ein unmittelbares Maß für die im Innern des Erdkörpers auf tretenden Bewegungshindernisse darstellen, also gleich dem in der klassischen Erddrucktheorie angenommenen Reibungswinkel sind, da die Reibungswiderstände an der Oberfläche nicht mit dem bedeutend verwickelteren ReibungsVorgang im Innern des Erdkörpers gleichgesetzt werden können.

Der in den Vereinigten Staaten durch die experimentelle Erddruckforschung besonders bekanntgewordene Fachmann J. Feld¹) zitiert, um den Unterschied zwischen den Begriffen „natürlicher Böschungswinkel“ und „innerer Reibungswinkel“ klarzustellen, Boussinesq, der im Jahre 1883 darauf hingewiesen hat, daß „bei den Erddruckerscheinungen sich die Masse zunächst in Ruhe befinde und erst im Laufe der Vorgänge in einen unstabilen Zustand bzw. in Bewegung übergehe, während der natürliche Böschungswinkel nach erfolgtem Übergang der Masse aus dem Zustand der Bewegung in jenen der Ruhe gemessen wird“. Treffender und anschaulicher kann man wohl den Unterschied der beiden in Frage kommenden Winkel nicht charakterisieren !

B. Die Theorie von Rankine.

a) Der Widerspruch in der Co ul о mbs ch en Theorie²).

Die Coulombsche Theorie enthält in ihren grundlegenden Voraussetzungen einen Widerspruch, der darin besteht

A) Vgl. Terzaghi, a. a. O. S.305.

²) Kann, Über den Widerspruch in den Grundlagen der Coulombschen Erddrucktheorie. Die Bautechnik, Jg. 1928, Heft 14.

(Abb. 13), daß bei Zugrundelegung einer starren Wand und starren Gleitfläche sowie der daraus folgenden geradlinigen Druckverteilung längs der Wand und der als eben angenommenen Gleitfläche — also wie beim Flüssigkeitsdruck — die drei Kräfte Erddruckreaktion E, Gewicht des Gleitkeils G und Reaktion des stehengebliebenen Bodens Q, die sich gegenseitig das Gleichgewicht halten sollen, sich im allgemeinen nicht in einem Punkt schneiden. Rankine versucht diesen Widerspruch aus der Welt zu schaffen, indem er die Erddruckrichtung für die lotrechte Wand parallel zur Oberfläche festlegt.

:h Kankine)

AB lotrechte Wand

Diese Theorie, die für den unbegrenzten, gleichmäßigen Erdkörper aufgestellt ist, kann jedoch für den Erddruck auf Stütz- ^b. 13. Der Widerspruch in der Coulombschen

Theorie.

mauern keine allgemeine Gültigkeit besitzen, sondern ist vielmehr nur als ein Sonderfall aufzufassen, d. h. die nach Rankine sich ergebende Richtung des Erddrucks stimmt nur dann mit der tatsächlichen überein, wenn die Rauhigkeit der Wand zufälligerweise genau so groß ist, daß der Reibungswinkel den Wert hat, den nach der Rankineschen Theorie die Erddruckrichtung mit der Senkrechten zur Wand einschließt, also bei lotrechter Wand gleich ist der Oberflächenneigung.

Nach Rankine ist also der Erddruck im unbegrenzten Erdkörper auf die lotrechte Wand parallel zur Oberfläche und — umgekehrt — der Erddruck auf eine Par-

allele zur Oberfläche lotrecht, die beiden zueinander gehörigen Richtungen (Flächenrichtung und Druckrichtung) sind daher miteinander vertauschbar (Abb. 14). Nach den

El

Ep

Ei

Ep

Abb. 14.

Regeln der projektiven Geometrie liegt dann eine Involution vor und man nennt zwei solche Richtungen konjugierte Richtungen.

b) Das Involutionszentrum.

Trägt man (Abb. 15) von einem beliebigen Punkt des Kreisumfanges (0) mehrere \    Paare zugeordneter

\    Richtungen — a₁b₁ —

a₂ b₂ usw. auf und zeich-/ \s₂    ⁴ J / net die Sehnen sv s₂

-—-    usw., so schneiden sich

\    /    die Sehnen in einem

—д    Punkt, dem Involu

tionszentrum J. Kennt man daher J, so kann man nach Belieben weitere Paare von zugeordneten Richtungen finden, man hat nur die Endpunkte einer durch J gehenden Sehne mit 0 zu verbinden.

aft

.1

a*

b±

fff

*"V-

Abb. 15. Paare zugeordneter Richtungen.

Für die Anwendung auf das Erddruckproblem liegt die Sache so, daß ein Paar voneinander zugeordneten Richtungen gegeben ist (die Lotrechte und die Parallele zur Oberfläche), ferner gilt die Bedingung, daß der kleinste Winkel zwischen zwei zusammengehörigen Richtungen (Erddruck- und Wandrichtung) nicht kleiner als 90° weniger dem Reibungswinkel q sein darf, da sonst ein Abgleiten

H.E

GI.E

GLE. T * ¹

//

//' ‘

I'?.

/,

60?

//

Abb. 16 a. Gleitebenen und Hauptebenen.

Abb. 16 b.

der Erde längs der Wand die Folge wäre. Daraus geht hervor, daß J sich auf einem konzentrischen Kreis mit dem Halbmesser R • sin q befinden muß (Abb. 16 a und b). Die Abbildung läßt erkennen, daß ein auf dem Umfang des kleinen Kreises liegendes Involutionszentrum J für die kürzeste Sehne durch den Punkt J die beiden Richtungen (O-Gl. E.) liefert, die den Winkel 90° — q miteinander einschließen, somit die Richtungen der Gleitebenen darstellen, wohingegen die Verbindung der Endpunkte des Durchmessers durch J die Hauptebenen ergibt, das ist

jenes Paar zugeordneter Richtungen, die aufeinander senkrecht stehen.

Im folgenden soll die Erddruckermittlung auf die Rückenfläche einer Stützmauer nach Rankine gezeigt werden. Handelt es sich beispielsweise um Größe und Richtung des Erddrucks auf die schräge Fläche 1—1 in Abb. 17 a, so

/4

\<x

i Ei

El

tRsinç\

Ei

Abb. 17 a, b, c. Erddruckermittlung nach Rankine.

zeichnet man (Abb. 17 b) zunächst durch den beliebigen Punkt 0 des Kreisumfangs die Lotrechte und die Parallele zur Geländelinie (l und Ei). Die Verbindungssehne schneidet den konzentrischen Kreis (s. oben) in zwei Punkten, von denen der obere Ja das Involutionszentrum für den aktiven Erddruck, der untere Jv jenes für den passiven Erddruck gibt.

Nun findet man die zur Wandrichtung 1—1 gehörige Erddruckrichtung Ei in der vorhin beschriebenen Weise. Da die Größe des Gewichtes Gx des Erdprismas bekannt ist, ergeben sich die Größen von Ei und Ei aus dem Kräftedreieck der Abb. 17 c. Die Größe von Ei kann man übrigens auch mittels der Ponceletschen .Konstruktion erhalten für ô = (X, d. h. Reibungswinkel gleich Geländeneigung.

Wie bereits erläutert, stellt die Rankinesche Theorie nur einen Sonderfall dar, d. h. sie hat für den Erddruck auf die Rückenfläche einer Mauer nur Gültigkeit, wenn der Reibungswinkel — bei lotrechter Wand — gleich ist der Ge-

er.

<>v

to

Abb. 18. Natürlicher Gleitkeil.

ländeneigung. Man kann jedoch den Erddruck auf eine Eisenbeton-Winkelstützmauer stets nach Rankine berechnen (vgl. hierüber den Aufsatz von Prof. Mörsch in ,,Beton und Eisen“, 1925), da sich hier im allgemeinen der natürliche Gleitkeil wie im unendlichen Erdkörper ausbilden kann und die vordere Gleitebene nirgends in die Wandrückenfläche einschneidet, somit der natürliche Spannungszustand des unbegrenzten gleichmäßigen Erdkörpers durch den Einbau der Wand nicht gestört wird (Abb. 18). Dies ist aber der Fall, für den die Rankinesche Theorie ihre Gültigkeit hat. Im übrigen wird hier auch auf die statische Berechnung einer Winkelstützmauer aus Eisenbeton im II. Abschnitt dieses Bändchens verwiesen sowie auf die Darlegungen Müller-Breslaus in seinem Lehrbuch „Erddruck auf Stützmauern“, S. 62. Auch für die Berechnung des Erddruckes auf einen Gewölberücken wird die in

f<v

IT

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РчК' kt

_ G,

Gl

VI

Ei

Eü

Abb. 19 а.

w>

Vin

/Ш jr

mY

m\ wrY

Abb. 19b. Erddruck auf einen Gewölberücken.

Abb. 17 a—c angegebene Darstellung des Erddruckes gute Dienste leisten (Abb. 19).

c) Erddruckberechnung nach Culmann und Mohr.

In seinen „Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik“ gibt Otto Mohr¹) nachstehende Erddruckkonstruktion, deren Ergebnisse im Einklang mit der

ł) Mohr, Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. 2. Aufl. Berlin 1913.

Rankineschen Theorie stehen. Auch von Culmann sind die gleichen Entwicklungen schon früher als von Mohr durchgeführt worden.

Zunächst ist in Abb. 20 der tätige Erddruck für lotrechte Wand AB und wagerechtes Gelände mittels des ,.Mohrschen Kreises“ ermittelt. Man в schlägt die Höhe h Г auf die Wagerechte durch A herunter nach Q und zeichnet durch Q den Kreis, der die Geraden AN und AN' (unter dem natürlichen Bö-schungswinkel q von А der Wagerechten nach oben und unten abgetragen) berührt.

Solcher Kreise gibt AP = x es zwei: der kleinere Kreis (/) entspricht dem tätigen, der größere (II) dem widerstehenden

druck. Die Strecke

AP = AP' liefert den spezifischen Erddruck in der Tiefe h und das Dreieck AP' В den gesamten tätigen Erddruck auf die Wand AB. Denn es ist:

.V/ '

Erd-

sin

H.A.

ov/

/

,V

Лр.А'-'Æ A..W-

НИ. / ■ +

*лч :    -

Г\\ , /    - '

H.A.

Abb. 20. Mohrscher Kreis; Sonderfall.

MG

Q MA'

h — x= 2- MG, ln+ x= 2* MA.

Daher

h — X

‘me=ï+ï

oder

und

X 1 — Sin Q

h 1 + sin q

tSS

4-

Cg

DO I

x=h- tg² |45°

Somit Fläche A B P' — ^ • х-h

и

0/|<M H |(M

’S

Cg

DOf'O

Also ist A BP das Erd druck drei eck, denn nach Gleichung (2) ist für den hier vorliegenden Sonderfall

= \ïe-lb4tf (450-!).

2 Л(т)У(?.п лг~~

b*V?

IŁ

Eu

= \ïe-lb4tf (450-!).

Gleichung (2) gilt für den Fall, daß der Reibungswinkel d=o ist, was mit der Rankineschen Bedingung ,,Erddruck auf die Lotrechte parallel zur Oberfläche“, also hier wagerecht, übereinstimmt.

Nun ist M J — r • sin q und J nach früherem das Involutionszentrum. GG' ist die kürzeste Sehne durch /, daher geben die Richtungen PG und PG' die Gleitlinien (sie schließen den kleinsten Winkel 90° — q miteinander ein).

In der folgenden Abb. 21 ist der Mauerrücken schräg, das Gelände wagerecht.

Man trägt von A aus AQ — ln ab und zeichnet wieder die beiden Kreise durch Q, berührend an die Geraden AN und AN'. Der kleinere Kreis gilt für den tätigen Erddruck.

Im Schnittpunkt der Wagerechten durch A mit der Berührungssehne GG' liegt das Involutionszentrum J. Die Hauptachsen gehen lotrecht und wagerecht durch P, da zur lotrechten hier die wagerechte Richtung (Oberfläche) konjugiert ist und die Hauptspannungen sind durch die Strecken HP. (zur lotrechten Fläche) und AQ (zur wagerechten Fläche) dargestellt. PG und PGf sind wieder die Gleitebenen. Die Richtung und Größe des Erddruckes auf die schräge Wand AB wird wie folgt gefunden:

Man zieht PP' parallel zu AB, verbindet P' mit J, erhält R und somit die zu AB zugeordnete Kraftrichtung

fco

i;*:)

V--.Ä

JV-

N' Я

Abb. 21. Mohrscher Kreis; Sonderfall.

R P. Die Strecke A Pf — A P" gibt die Größe des spezifischen Erddruckes in der Tiefe h (auf A) und die Dreiecksfläche AP" В das Erddruckdreieck.

Schneidet die Gerade PP' den Kreis unter einem sehr flachen Winkel, d. h. liegt P' sehr nahe an P, so zeichne man QP' normal zu AB, was den Punkt P' wesentlich genauer liefert.

Zum Schlüsse ist noch der allgemeinste Fall zu behandeln, nämlich der, daß schräge Kückenfläche und ansteigendes Gelände gegeben sind (Abb. 22).

Da zur Oberflächenrichtung (unter dem Winkel oc gegen die Wagerechte) die lotrechte Kraftrichtung zugeordnet ist,

{а

bo

% r

Abb. 22, Mohrscher Kreis; allgemeiner Fall.

ÄH,/

so ist auf der Parallelen zur Oberfläche, durch den Punkt А gezeichnet, die Strecke AQ = h₀ abzutragen.

Abb. 22 zeigt für den unteren Grenzzustand, also für den tätigen Erddruck die Darstellung des Spannungskreises und der zur Wandrichtung А В gehörigen Erddruckspannung AP': Man mache wieder PP' parallel AB oder besser (da genauer) 8 P' J_ А В ; dann ist AP' ~ А P" der spezifische Erddruck oder die Erddruckspannung im Punkt A und A BP" das Erddruckdreieck, ferner RP die Druckrichtung. Die Hauptspannungen fallen in die Richtungen Px und Pz und haben die Größen ax = Ax und oz — Az.

Ermittlung der Hauptspannungen auf rechnerischem Wege.

Die Hauptspannungen können auch leicht berechnet werden, denn es ist (Abb. 22):

AQ ⁼⁼ h/Qj

MG

Ox

Oz + Ox

(ö)

Oz

MA

= Sill Q — —

Daher

ox_l — sin q _ a* 1 + sin q

tg² ^45° — j

CO 'S

(6)

Aus der Figur folgt:

(7 a)

AP AQ= 2 - AM • cos&,

(7 b)

AP-AQ = ÄG² = AM²-cosV Aus (7a) und (7b) wird AP eliminiert und AQ gefunden

zu

AQ — AM - (cos oc ± |/cos²(X Nun ist AQ = ln₀ und somit

AM =

COS² (?) .

(8)

cos oc

dh ycos² oc— cos²(>

(9)

Das Minuszeichen im Nenner der Gleichung (9) sowie der folgenden Gleichungen (10) und (11) gilt für den oberen Grenzzustand, d. h. für den widerstehenden, das Pluszeichen hingegen für den tätigen Erddruck.

Aus AM lassen sich die Hauptspannungen berechnen. Nach Gleichung (5) bzw. (6) ist

А X : А M : Az = (1 — sin (?) : 1 : (1 + sin (?) .

Daher

(10)

ox— A X = A M - (1 — sin q) = h₀ (1 — sin (?)

COS OC

± |/cOS² OC — COS² (?

und

a₂ = Az = AM • (1 + sin q) =

₌____(1 + sin q)

COS OC ± У cos² oc — COS² Q Zwei Sonderfälle:

1.    ос = 0 (Gelände wagrecht) h₀ (1 — sin q)

1 ± sin Q

_ Äq (1 + sin <?)    ’

1 ± sin

2.    & = ^ (Gelände parallel zur natürlichen Böschung) h₀ (1 — sin q)

cos Q

_h₀(l+ sin q)

Gz —

COS Q

Im letzteren Falle sind die beiden Grenzwerte miteinander identisch, d. h. der tätige gleich dem widerstehenden Erddruck.

Bemerkenswert ist die Kritik, die Altmeister Mohr in der Einleitung zum Kapitel ,,Erddruck“ seines bekannten Lehrbuches mit Bezug auf die Unbestimmtheit und Unsicherheit in den grundlegenden Annahmen der Erddrucktheorie an diesen übt. Mohr sagt dort wörtlich:

„Es bleibt für die rechnungsmäßige Ermittlung des Erddrucks nur der Weg übrig, der seit jeher beschritten wurde: Man muß Annahmen über die Spannungszustände des Erdkörpers einführen und ihre Zulässigkeit oder ihre Wahrscheinlichkeit durch Erfahrung festzustellen suchen. Die größte Schwierigkeit, der man auf diesem Wege begegnet“ — und dies gilt heute fast noch genau wie damals — ,,be-

Gx —

Gx —

ai)

(12)

(13)

steht in der Gewinnung zuverlässiger Versuchsergebnisse. Eine große praktische Wichtigkeit kann den theoretischen Erörterungen über den Erddruck also nicht zuerkannt werden“.

§ 3. Neuere Arbeiten unter Zugrundelegung gebrochener und gekrümmter Gleitflächen.

A) Die Theorie der Spannungsellipse nach Dr.-Ing. e. h. Krey¹).

Die klassischen Erddrucktheorien haben uns eine voll befriedigende, einwandfreie Lösung des Erddruckproblems nicht gebracht. Die Coulombsche Theorie leidet infolge der Annahme ebener Gleitflächen, wie wir gesehen haben, an einem inneren Widerspruch und ist daher im allgemeinen nur als eine allerdings sehr gute Näherungsrechnung aufzufassen, die Rankinesche Theorie enthält diesen Widerspruch zwar nicht, gilt aber nur für den Spannungszustand im natürlichen, unbegrenzten, gleichmäßigen Erdkörper allgemein, dagegen für den Erddruck auf Stützmauern nur in einem Sonderfall. Um zu einwandfreien Grundlagen zu kommen, muß man daher die Coulombsche Annahme der ebenen Gleitfläche fallen lassen. Der Übergang von der ebenen zur gekrümmten Gleitfläche, der keineswegs neu ist — schon Kötter, Müller-Breslau und Reißner haben ihn behandelt—, ergibt sich nämlich nicht nur aus den Mängeln der Coulombschen Theorie, sondern auch aus der Anschauung und Baustellenerfahrung sowie aus Versuchen. So hat Müller-Breslau durch Versuche gezeigt, daß die Gleitflächen flach gekrümmt sind, und tatsächlich lehrt auch die Baustellenpraxis, daß diese Flächen nicht eben, sondern krumm sind. Um rein theoretisch zu beweisen, daß die Gleitflächen

*) Krey, Erddruck, Erdwiderstand und Tragfähigkeit des Baugrundes. 3. Aufl., S. 24—62. Berlin 1926.

keine Ebenen sein können, gehen wir am besten von der Theorie der Spannungsellipse aus, wie sie in anschaulicher Darstellung von Oberregierungs- und Oberbaurat Krey in der dritten Auflage seines Lehrbuches „Erddruck, Erdwiderstand und Tragfähigkeit des Baugrundes“ gebracht wird. Krey zeigt, wie man bei gegebenem natürlichen Böschungswinkel q und gegebenem Reibungswinkel d zwischen Erde und Wand zunächst die Richtungen der Hauptspannungen und sodann die Richtung der Gleitlinien rechnerisch ermitteln kann. Die betreffenden Überlegungen sind sehr beachtenswert, es soll im folgenden daher etwas näher darauf eingegangen werden.

Spannungsverteilung im gleichmäßigen Erdkörper.

Die Ergebnisse der Untersuchungen der Spannungsverteilung in einem Punkte eines festen Stoffes, wie sie aus der Mechanik fester Stoffe bekannt sind, müssen auch für ч /    Erdmassen stimmen, sc-

!    lange ; sich die einzelnen

s/    Teile der Erdmasse im

Gleichgewicht befinden.

Wir betrachten ein kleines dreieckig-rechtwinkliges Prisma (Abb. 23) mit den Katheten d x und dy und der Hypotenuse ds. Auf die Seitenfläche sollen die Kräfte

dS₁=a₁,dx, dS₂— o₂ - dy und dS₃= o₃ds wirken, die im Gleichgewicht stehen. Zerlegt man dS₃

/rjds's

dx

ds\

dy

d$

ds

Abb. 23.

nach den Eichtungen § • ds und rj • ds, so

tH

P-

.£

о

LQ

und

LTrt

со CO ^3 ^

oder

Ci    Q irrx

dx

ds

dy

= COS (X

— = sin oc

ds

Daher

Ci

tot« M

S'

Dies ist die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse in schiefwinkligen Koordinaten. Da £, und rj nach (14) die Koordinaten von Ellipsenpunkten sind, so folgt, daß die Spannungen gs — als Mittelkräfte von § und rj — für verschiedene Werte von oc, von einem Punkt aus nach Größe und Eichtung aufgetragen, als geometrischen Ort der Endpunkte eine Ellipse, die sog. Spannungsellipse, liefern. Die beiden Hauptachsen der Spannungsellipse geben die größte und kleinste Spannung in dem fraglichen Punkt an und heißen Hauptspannungen.

Das Verhältnis der Hauptspannungen

ft

bedingt die Größe der höchsten auftretenden Schubkraft bzw. den Höchstwert der Neigungen der Spannungen gegen die Flächensenkrechten, die bei den Hauptspannungen gleich Null sind. Dieser größte Neigungswinkel der Kraft gegen die Flächensenkrechte ist identisch mit dem natürlichen Böschungswinkel oder inneren Eeibungs-

winkel (> des Bodenmaterials. Ist die innere Reibung Null wie beim Flüssigkeitsdruck, dann ist

und

- 1.

Die Spannungsellipse wird zum Spannungskreis, d. h. alle Richtungen liefern Hauptspannungen.

Beziehung zwischen dem Verhältnis der Hauptspannungen und dem Höchstwert der

Spannungsneigung gegen die Flächensenk-S rechte max ô = q.

In Abb. 24 ist wieder ein rechtwinklig-dreieckiges Prisma dargestellt, das so gelegt ist, daß die Kathetenflächen Hauptspannungsrichtungen sind. Die Hypotenusenfläche schließe den beliebigen Winkel i mit der Richtung von dx ein. Die auf die Hypotenuse wirkende Mittelkraft 8 schließe mit dem Lot zur Fläche den Winkel ö ein. Es ist:

•s

Abb. 24.

Ql=q₁-dx,

Qz= Чг-ày.

Der Winkel zwischen der Mittelkraft S und der Richtung von Qi wird mit к bezeichnet, somit ist (s. Abb.) der Neigungswinkel des Druckes gegen die Flächensenkrechte

<£ d = г — к und tg i =

dcc

dy

da

Go'    CTQ

Qi

Ql

tg i

oder tg i = n • tg к .

(15)

Demnach ist tg ô = tg (г — к) = wegen Gleichung (15)

tg i — tg к 1 + tg i tg к

oder

(n — 1 ) • tg к 1 + nJg² к ’

Gleichung (16) stellt ô als Funktion des veränderlichen Winkels к und der Verhältniszahl n dar. ô wird daher ein Maximum bei gegebener Verhältniszahl n, wenn

tgd =

(i6)

ist.

d tg d Q

d tg к

(17)

Durch Differentiation der rechten Seite von (16) nach tg к erhält man aus (17), nach Kürzung durch (n — 1) und Zusammenfassung :

1—wtg²fc ^

(1 + n tg² k)

Da der Nenner auf der linken Seite von (18) gleich unendlich hier nicht in Frage kommt, —k== 90° liefert aus Gleichung (16) d= 0, also die eine der Hauptspannungen—, ist der Zähler Null zu setzen. Also:

(18)

1 — n tg² к =    ,

tgfc= ±

(19)

und gemäß (16):

max tg ô = tg q = ±

(* — !)•

Kr.

(20)

Gleichung (20) stellt die gesuchte Beziehung zwischen

und dem

dem Verhältnis der Hauptspannungen n = ^ inneren Beibungswinkel q dar.

Die nachstehende kleine Tabelle enthält für verschiedene Werte von n die zugehörigen von q.¹)

n = 1,0 1,25 1,50 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0 6,0 (>=0° 6V₂° HV2⁰ 197₂⁰ 257з° 30° 33a/₈° 36³/₄° 41³/₄° 45Va°

Sy

\K

Ermittlung des Wandwinkels kx (zwischen großer Achse der Spannungsellipse und Wand) aus dem Verhältnis n der Hauptspannungen und dem Neigungswinkel ó des Druckes gegen die Wandnormale (s. Abb. 25).

Wir gehen von der Gleichung (16) aus

tgó' =

tg к (n — 1)

1 -f- n tg² к ’

Abb. 25. Spannungsellipse.

Wenn п und d gegeben sind, kann die obige Gleichung nach tg к aufgelöst werden. Man findet (indem anstatt к nun kx geschrieben wird):

(21)

2 Л(т)У(?.п лг~~

2 n tg o \ \2 n • tg 0/ n

Das Minuszeichen entspricht dem tätigen, das Pluszeichen (geklammert) dem widerstehenden Erddruck. Durch den Winkel k± ist die Neigung der großen Achse der Spannungsellipse gegen die Wand festgelegt. Sind die Achsen der Spannungsellipse bekannt, so sind auch die Gleitebenen leicht zu ermitteln, da der Winkel zwischen großer Achse und den Gleitebenen beim tätigen Erddruck durch die

Gleichung

(22)

ko =

90° — q

gegeben ist (Abb. 26). Für den passiven Erddruck ist an-

_ 90°+ q

statt

90° —q

л der Wert k2 2 ²

zu schreiben. Diese

H.E.

Gl.E.

GLE.

90

~2

90-

JP

№..

7 90-Ç

- HE.

Abb. 26. Hauptebenen und Gleitebenen.

Ausdrücke ergeben sich auch aus Gleichung (21) für kx, wenn für tg d der Wert max tg ö = tg q aus (20) eingesetzt wird.

Abb. 27 zeigt, wie durch Aneinandertragen Winkel k± und k₂ an die T-gegebene Wandrichtung die Richtung der Gleitebene eingezeichnet (bzw. j1 berechnet) werden kann.

Bezeichnet oc den Winkel zwischen Wand und der Lotrechten (positiv nach links), dann ist der Winkel den die Gleitebene mit der Wagerechten einschließt (s. Abb.),

der

: 9j2i?

II/

MT

^ = 90° -f- oc — kx — k₂ .

(23) Abb. 27. Neigung der Spannungsellipse.

Die Richtung der Gleitfläche an der Erdoberfläche (in größerer Entfernung von der Wand).

Natürliche und erzwungene Gleitebene.

Die Richtung der Gleitfläche an der Oberfläche können wir aus der Bedingung finden, daß in der Nähe der Oberfläche angenähert der Erddruck auf die lotrechte Fläche parallel zur Oberfläche, also die Spannungsneigung d gleich der Oberflächenneigung ist. Wir finden somit nach Gleichung (21) den Winkel k± der großen Achse der Spannungsellipse mit der Lotrechten und ferner die zugehörige Richtung der Gleitebene.

Jedenfalls ist klar, daß man auf diese Weise zwei verschiedene Gleitlinienrichtungen erhält, nämlich eine Gleitlinie für den Boden unmittelbar an der gegebenen Wand und eine zweite Gleitlinie für den Erdkörper in größerer Entfernung von der Wand, also in der Nähe der Oberfläche, welch letztere der Rankineschen Theorie folgt, also sich ergibt aus der Bedingung: „Erddruck auf die lotrechte Richtung parallel zur Oberfläche“. Nur, wenn zufällig der durch die Wandrauhigkeit vorgeschriebene Wert des Reibungswinkels ö mit demjenigen Winkel übereinstimmt, den im sog. Rankineschen Sonderfall“ — wie Krey dies nennt — die Erddruckrichtung mit der Normalen zur Wand einschließt, stimmen auch die beiden Gleitlinienrichtungen (in unmittelbarer Wandnähe und an der Oberfläche) vollkommen miteinander überein. Daraus folgt also, daß —-abgesehen von diesem Rankineschen Sonderfall — die Gleitlinie im ganzen keine Gerade sein kann. Wir bezeichnen nach Brandt¹) die beiden Gleitlinienrichtungen mit: Natürliche Gleitlinie, das ist jene im unbegrenzten, unberührten Erdkörper bzw. jene in größerer Entfernung von der Stützwand, also an der Oberfläche, und erzwun-

*) Brandt, Die Grenzen der Gültigkeit der Erddrucktheorien von Rankine und Coulomb. Die Bautechnik, Jg. 1926, Heft 52.

gene Gleitlinie, das ist jene in der Nähe der Wand, durch die Wandrauhigkeit bedingt. Man sieht, daß man durch Wahl einer gebrochenen bzw. gekrümmten Gleitlinie den Gegensatz zwischen der Rankineschen und Coulombschen Theorie völlig beseitigen kann. Beide behalten nebeneinander ihre Gültigkeit. Dabei gibt es nun zwei Möglichkeiten, je nachdem der Reibungswinkel d größer bzw. klei-

Тт>

\d

Abb. 29.

Abb. 2S.

Erzwungene und natürliche Gleitlinien.

ner ist als der Winkel, den im Rankineschen Sonderfall die Erddruckrichtung mit der Normalen zur Wand einschließt. Zwischen diesen beiden Fällen liegt als    ,

Grenze der Rankinesche    *

Abb. 30.

Sonderfall.

1.    Ist d größer als beim Rankineschen Sonderfall, dann ergibt sich, wie die Krey-schen Entwicklungen in Übereinstimmung mit seinen Versuchen lehren, die erzwungene Gleitlinie flacher als die natürliche Gleitlinie (Abb. 28).

2.    Ist d kleiner als beim Rankineschen Sonderfall oder gar negativ, dann ist die erzwungene Gleitlinie steiler als die natürliche (Abb. 29).

3. Beim Rankineschen Sonderfall ist die ganze Gleitlinie, wie schon erläutert, geradlinig. Hier stimmt bekanntlich die Coulombsche mit der Rankineschen vollkommen überein (Abb. 30).

Fall 1 ist der normale, Fall 2 kommt in Frage bei stark vorgeneigten Wänden, wenn die Neigung der Wand zwischen der dem Rankineschen Sonderfall entsprechenden einerseits und der vorderen natürlichen Gleitrichtung andererseits liegt.

Dies gilt für den aktiven Erddruck. Für den passiven Erddruck ist es gerade umgekehrt. Hier ergibt sich, da für den Winkel k± (zwischen großer Achse der Spannungsellipse und Wand) in Gleichung (21) jetzt das Pluszeichen einzusetzen ist, eine viel flacherer Lage der ganzen Spannungsellipse, wie auch der Gleitlinie, jedoch ist nun im Falle 1 die erzwungene Gleitlinie steiler als die natürliche (t9’x > ч9о), im Falle 2 die natürliche steiler als die erzwungene ($1 < #₀). Auch mittels des Satzes vom Involutionszentrum kann man die beiden Gleitlinienrichtungen finden, was zu den gleichen Ergebnissen wie die Rechnung führen muß.

Damit der Leser sich eine Vorstellung davon machen kann, wie groß der Winkel zwischen erzwungener und natürlicher Gleitlinie in praktischen Fällen ist, soll nachstehend ein kleines Zahlenbeispiel durchgerechnet werden. Es ist einleuchtend, daß der Winkel zwischen den beiden Gleitlinienrichtungen um so stumpfer ist, je weniger der betreffende Fall vom Rankineschen Sonderfall abweicht, denn in diesem Sonderfall fallen bekanntlich die beiden Gleitlinienrichtungen in eine einzige zusammen. Wir werden sehen, daß selbst bei größerer Abweichung vom genannten Sonderfall der Winkel zwischen natürlicher und erzwungener Gleitrichtung immer noch ein sehr stumpfer ist.

Gegeben sei: q=^30°, d=20°, Gelände wagerecht, Wandrückenfläche lotrecht (Abb. 31).

1. Lösung mittels der Spannungsellipse.

Zunächst ist aus der kleinen Tabelle auf S. 40 für q = 30°

die Yerhältniszahl n = —-■= 3,0 zu entnehmen. Sodann

Bcr

Di

ç=30°

0°

Abb. 31. Zahlenbeispiel.

bestimmt sich nach Gleichung (21) der Wandwinkel kx der großen Achse der Spannungsellipse (mit n — 3,0 und ô — 20°) zu :

= 0,21

6 • tg 20°

tg kx =

fcjL = 11° 35'.

Ferner ist k₂ = -

90°—

to

= 30°.

und

Daher für die erzwungene Gleitlinie: , кг + k₂ = 41° 35'

^ = 90° — kx — k₂ = 90° — 41° 35' = 48° 25'.

Für die natürliche Gleitlinie ist, da das Gelände wagerecht, ô = 0, also k₁= 0 (d. h. die große Achse der Spannungsellipse fällt mit der lotrechten Wand zusammen); k2 ist wieder 30°, somit

und

ki + k₂ = 30°

&₀ = 90° — ki — k.₂= 60° (Abb. 31).

Der Winkel zwischen den beiden Gleitrichtungen beträgt daher :

48° 25' + 120°= 168°25'.

Das ist also bei einer ^ ziemlich großen Abweichung vom Rankineschen Sonderfall (d = 20° anstatt d = 0) immer noch ein sehr stumpfer Winkel.

Wäre das Gelände ansteigend (anstatt horizontal), dann hätte sich der Winkel zwischen den beiden Gleitrichtungen noch stumpfer, d. h. noch Abb. 32. Zahlenbeispiel; zeichn. Lösung. näher an 180°, ergeben

und man erkennt, daß in der Tat die Coulombsche Annahme einer ebenen Gleitfläche im allgemeinen eine recht gute Näherung darstellt.

/łc

fl /

J'PT'-A

>0

//

2. Lösung mittels des Involutions Zentrums.

In Abb. 32 ist dieselbe Aufgabe auf zeichnerischem Wege gelöst durch Anwendung des Satzes vom Involutionszentrum. Man erhält für den aktiven Erddruck zwei Involutionszentren J und J' und durch Ziehen der Tangenten an den kleinen Kreis in den Punkten J und J' die Richtungen der natürlichen und der erzwungenen Gleitlinien (ta und tc), die mit den vorhin errechneten Richtungen tatsächlich übereinstimmen.

B. Die verschiedenen Vorschläge für das Rechnen mit gekrümmter Gleitfläche.

a) Die kreiszylindrische Gleitfläche.

Der schwedische Ingenieur Leutnant K. E. Petterson hat das Auftreten kreisförmiger Gleitflächen bei dem Einsturz der Kaimauer in Gothenburg festgestellt. Ausführlich sind diese Gleitflächen behandelt von M. Möller¹), von H. Krey²) und von W. Fellenius³). Der letztgenannte Forscher berücksichtigt außer der inneren Reibung auch die Kohäsion des Bodens, so daß seine Theorie besonders wertvoll ist für die Erddruckberechnungen bei Lehm- und Tonboden.

Zunächst wird die Ermittlung des tätigen und des widerstehenden Erddruckes unter Zugrundelegung kreisförmiger Gleitlinien ohne Berücksichtigung der Kohäsion gezeigt (Krey, a. a. O. S. 100—102). Auf die Berücksichtigung der etwa vorhandenen Kohäsion des Bodens soll erst im folgenden Kapitel näher eingegangen werden.

In Abb. 33 ist die Ermittlung des tätigen Erddrucks auf Grund von kreisförmigen Gleitlinien als Maximumaufgabe ersichtlich gemacht. Man berechnet zuerst die Richtung

x) Möller, a. a. 0.

²)    Krey, a. a. 0.

³)    Fellenius, Erdstatische Berechnungen mit Reibung und Kohäsion (Adhäsion) und unter Annahme kreiszylindrischer Gleitflächen. Berlin 1927.

der erzwungenen Gleitlinie (AC) in der vorhin gezeigten Weise (durch Antragung der Winkelsummen 1сг + &₂ an die gegebene Wandrichtung). Hierauf zeichnet man das Lot O A im Punkte A zu АС, auf dem man der Reihe nach verschiedene Mittelpunkte Ov 0₂,0₃ usw. von kreisförmigen Gleitlinien durch A, berührend an AC, wählt. Nun ermittelt man die Schwerlinien (G±, G₂, Gs usw.) der hier-

9'T

U*.

Kt

g2

G3\

es

Ез

Ern ах.

AG3

g₂ 3

fi*

CL

Abb. 33. Erddruckermittlung auf Grand kreisförmiger Gleitlinien.

durch begrenzten Gleitkeile BAKV BAK₂, BAK₃ usw., bringt diese zum Schnitt mit E und zieht von den so erhaltenen Schnittpunkten die Tangenten an die konzentrischen Kreise R± sin q, R₂ sin q und so fort. Dies liefert die Richtungen der Reaktionen Q, so daß man nun mittels der zugehörigen Kräftedreiecke (Abb. 33) die Æ-Kräfte und durch Verbindung der Endpunkte eine Kurve findet, der man E max als maßgebenden tätigen Erddruck entnimmt. Die ganze Konstruktion ist nur eine Näherung, da die Rieh-tungen der Reaktionen Q nicht genau stimmen (nur die Elementarkräfte Д Q berühren die Kreise R • sin q, aber nicht ihre Mittelkraft Q!). Die auf diese Weise gefundenen Erddrücke unterscheiden sich nur sehr wenig von den nach der Coulombschen Theorie ermittelten Werten.

Die obige Konstruktion kann sinngemäß für den widerstehenden Erddruck angewendet werden, indem die (flacher liegende) erzwungene Gleitlinie für den passiven Erddruck ermittelt wird und — da der Winkel q jetzt nega-

/

Abb. 34. Widerspruch bei Annahme kreisförmiger Gleitflächen.

tiv einzuführen ist — die unteren Tangenten an die Kreise R • sin q als Richtungen der Q-Kräfte angenommen werden. Der kleinste Wert (Minimum) von E in der E-Kurve des zugehörigen Kräfteplanes ist nun maßgebend als passiver Erd druck Ep.

Eine ganz einfache Überlegung lehrt, daß auch bei der kreisförmigen Gleitlinie die drei Kräfte E, G und Q am Gleitkeil sich ebensowenig in einem Punkte zu schneiden brauchen wie bei der geraden Gleitlinie, sofern man an der geradlinigen Spannungsverteilung längs Wand und Gleitflächen festhält (Abb. 34). Die Kräfte E und Q in der Ab-

Kann, Erddruck.

bildung greifen in den unteren Drittelspunkten der Wand bzw. Gleitfläche an.

Für die Berechnung einer Stütz- oder Ufermauer gegen Abgleiten kann jedoch unter Umständen das Rechnen mit der Möglichkeit einer kreis zylindrischen Gleitfläche von großem Nutzen zur Abwendung von Gefahr, also zur Erhöhung der Sicherheit, sein. Betrachten wir z. B. die skizzierte Stützwand (Abb. 35). Häufig begnügt man sich damit, daß zur Herstellung der erforderlichen Sicherheit gegen Abgleiten die Mittelkraft R mit der Fugensenkrechten einen

Et

cf

Abb. 35. Untersuchung gegen Abgleiten.

Winkel einschließt, der * höchstens gleich dem Reibungswinkel zwischen Baustoff und Boden ist, also oc < d. Diese Bedingung würde genügen, wenn wir sicher wüßten, daß die Fundamentfuge A—В auch tatsächlich die Gleitfuge ist. Schon Möller sowie Krey und neuerdings Fel-lenius haben aber gezeigt, daß die Rechnung mit einer kreisförmigen Gleitlinie, wie in Abb. 35 gezeichnet, unter Umständen ungünstigere Ergebnisse liefert. Man hat dann einerseits den aktiven Erddruck von rechts her auf die Lotrechte EC, andererseits den passiven Erddruck von links her zu ermitteln und zu prüfen, ob die Sicherheit, das ist

das Verhältnis n =

J>ass >1,5 ist. Die Gefahr ist näm-Eakt

lieh die, daß der Keil I BD den Keil II EA vor sich herschiebt. Obige Forderung für das Verhältnis n gilt für diejenige Gleitfläche, welche von allen möglichen Werten n den kleinsten liefert. Man wird also mehrere Untersuchungen für verschiedene Lagen des Gleitkreises durchführen.

Derartige kreiszylindrische Gleitflächen haben sich bei der Rutschung der Kaimauer in Gothenburg (Schweden) und bei den Rutschungen in Rosengarten bei Frankfurt

-h

'S

ÄS

___\

gfe#

ST-

Or

Or

га

Or

Abb. 35a. Untersuchung einer Hafenmauer in Schanghai.

Or

a. d. Oder gezeigt. Die Berechnung der Stigbergskai-Verlängerung in Gothenburg ist von Prof. Dr. Max Möller nach dem oben angedeuteten Verfahren mittels kreis zylindrischer Gleitflächen durchgeführt worden (vgl. Möller, Erddrucktabellen, 2. Liefg., S. 58/65). Abb. 35 a zeigt die Be-

Die Sicherheit gegen Gleiten betrug hier nur n —

rechnung einer Hafenmauer in Schanghai unter Zugrundelegung einer krummen Gleitfläche in weichem Lehmboden¹).

1E±

JhZ

= 1,20.

b) Die Gleitlinie als logarithmische Spirale (Abb. 36).

Die im vorigen Kapitel behandelte kreiszylindrische Gleitfläche steht im Widerspruch mit der Forderung, daß an der Geländeoberfläche die Richtung der natürlichen Gleitlinie (^o) maßgebend ist. Lediglich die erzwungene Gleitlinie im Fußpunkt der Wand berührt den Gleitlinienkreis, der jedoch das Gelände unter irgendeinem Winkel trifft, der im allgemeinen von verschieden ist.

⁷d

Abb. 36.

Strecke BCDE — log. Spirale.

Von Dr. Joachim Schultze²) rührt ein Verfahren her, bei dem der Übergang zwischen den beiden zunächst gegebenen Gleitlinienrichtungen — unmittelbar an der Mauer und nächst der Oberfläche — durch eine Kurve vermittelt wird, die die Eigenschaft besitzt, daß alle durch den oberen Wandpunkt gehenden Strahlen diese Kurve unter dem konstanten Winkel 90° — q schneiden (Abb. 36). Diese Kurve ist — wie sich leicht zeigen läßt — eine logarithmische Spirale. Hierbei ist nämlich vorausgesetzt, daß die Gegengleitfläche — das ist die zur Hauptgleitfläche konjugierte Richtung -— stets durch den oberen Wandpunkt hindurch-

Lehmboden.

*) Berrer, Standsicherheitsuntersucbung von Kaimauern in weichem Die Bautechnik Jg. 1925, Heft 52.

²) Schultze, Gekrümmte Erdgleitflächen. Beton und Eisen. 1915, Heft 19/20.

geht. Mit der Anschauung bzw. Baustellenerfahrung stimmt dies insofern überein, als nach Ablösung eines Erdkeils längs der Hauptgleitfläche ein Zusammenbruch des Keils nach derjenigen Gegengleitfläche sich vollzieht, die durch die obere Kante des Wandrückens geht.

Auch Dr.-Ing. H. Pihera gibt in seinem kürzlich erschienenen Buch¹) die logarithmische Spirale als Gleitlinienform an.

c) Die gebrochene Gleitlinie (Abb. 37).

D)

Schon Engesser²) führt in seiner „Geometrischen Erddrucktheorie⁴⁴ (Zeitschrift für Bauwesen 1880) eine Näherungskonstruktion an, in der die gekrümmte Gleitfläche durch zwei sich schneidende Ebenen ersetzt wird. Engesser weist bereits dort nach, daß im seitlich begrenzten Erdreich die Gleitflächen im allgemeinen keine Ebenen sein können. Er nimmt an (Abb. 37), daß innerhalb des Gleitkeils BEF, der durch АЬЬ.37. Gebrochene Gleitlinie nach die natürlichen Gleitflächen

gebildet wird, die Gleitfläche eben ist und die Richtung der natürlichen Gleitfläche EF hat, dagegen ist links von BE die Gleitfläche gekrümmt (in der Abbildung gestrichelt) und berührt in A die erzwungene Gleitfläche.

Dieser gekrümmte Teil wird nun durch die Gerade AD ersetzt, deren Richtung Engesser als Gleitfläche in dem Keil ABE nach seinem Keilverfahren ermittelt.

Auch vom Verfasser selbst ist eine Lösung ausgearbeitet

x) Pihera, Druckverteilung, Erddruck, Erdwiderstand, Tragfähigkeit. Wien 1928.

a) Vgl. Zuschrift von Dr. Kammüller. Die Bautechnik 1928, Heft 36.

und veröffentlicht¹) worden (Abb. 38), bei der die gekrümmte Gleitfläche durch zwei oder drei sich schneidende Ebenen ersetztwird. Das Verfahren soll im folgenden erläutert werden.

В    d' cj

4 o>

2h

G,

X-^

* r₂ a

Abb. 38 a. Gebrochene Gleitlinie nach Dr. Kann.

Яг

g₂

Wir stellen uns die Aufgabe: Wie kann der Knickpunkt zwischen den beiden nunmehr bekannten Gleitrichtungen (t9’₁ und #₀), deren erstere durch den unte-j>P ren Fußpunkt A der Wand hindurchgeht, festgelegt werden, derart, daß an dem hierdurch begrenzten Gleitkeil (zwischen Mauerrücken, Erdoberfläche und Gleitlinienzug) Gleichgewicht zwischen den auftretenden Kräften herrscht?

Abb. 38b.

Die Wand sei hier lotrecht vorausgesetzt (Abb. 38 a), die Geländelinie wagrecht angenommen. Denken wir uns den Punkt D bereits gefunden. Auf den Gleitkeil ABCDA, den wir uns durch die Lotrechte DD' in zwei Teile zerlegen, wirken die fünf Kräfte

l) Kann, a. a. 0.

Gv 6r₂, Q₂ und die Erddruckreaktion E, die sich untereinander im Gleichgewicht befinden müssen. Die Gewichte G± und G₂ können wir berechnen. Die Kräfte Q wirken unter dem Winkel q (der natürlichen Böschung) zur Normalen auf die betreffende Seite des Gleitkeiles, die Kraft E unter dem gegebenen Reibungswinkel ö zur Wandnormalen. Mit Rücksicht auf die festzuhaltende geradlinige Spannungsverteilung sind ferner die Angriffspunkte der Kräfte Q± und Q₂ (als Trapez- bzw. Dreieckschwerpunkt) ebenso wie jener von E gegeben. Es ist weiter klar, daß daher aus geometrischen Gründen sich die Kräfte Q mit den entsprechenden Gewichtskräften G (in Punkten 1, 2) auf den Seiten des Gleitlinienzuges MD bzw. DC schneiden müssen. Soll nun E mit den beiden Teilmittelkräften Rx (von G± und Qi) und R₂ (von G₂ und Q₂) im Gleichgewicht stehen, so kann dies dadurch erreicht werden, daß der Erddruck E (wie in Abb. 38 a bereits richtig gezeichnet) durch den Schnittpunkt D der beiden Gleitrichtungen und hindurchgeht, da der Linienzug A21C als ein Seilpolygon zu den Teilmittelkräften Rx und R2 und D als Schnittpunkt der ersten und letzten Seite dieses Seileckes aufgefaßt werden können. Hieraus folgt also die einfache Regel:

Man verlängert die durch den unteren Wandfußpunkt A gelegte erzwungene Gleitrichtung (-#1) bis zum Schnittpunkt D mit der gegebenen Richtungslinie von E (durch den unteren Drittelpunkt der Höhe unter dem gegebenen Reibungswinkel ô zur Wandnormalen gezeichnet) und zieht durch D die Parallele DC zur natürlichen Gleitrichtung

W-

Damit ist die gebrochene Gleitlinie ADC gefunden.

Abb. 38b zeigt den zugehörigen Kräfteplan, aus dem die Größe von E durch Abgreifen gefunden wird.

Analoge Lösungen lassen sich selbstredend auch für den widerstehenden Erddruck angeben. In seinem Aufsatz „Beitrag zur Frage des Erdwiderstandes“ in der Zeitschrift „Der Bauingenieur“ bringt Herr Dr.-Ing. A. Streck, Hannover, einen Vorschlag (Abb. 39), den passiven Erddruck mittels gebrochener Gleitflächen zu berechnen. Streck schlägt nämlich vor, die erzwungene Gleitlinie F В bis zum Schnittpunkt В mit der Halbierenden des Winkels oc

C' C gleitlinie AB des natürlichen Erd-

zwischen der Gegen-

90°-r+V

Abb. 39. Gebrochene Gleitlinie nach Dr. Streck.

keils und der Wandrückenfläche AF und von В ab die natürliche Gleitrichtung В C gelten zu lassen. Dieser Vorschlag paßt sich den Ergebnissen der von Prof. Franzius in der Versuchsanstalt für Grund- und Wasserbau der Technischen Hochschule Hannover ausgeführten Versuche über den Erdwiderstand an.

d) Vergleichsrechnungen.

Um ein Urteil über den praktischen Wert der verschiedenen Vorschläge zur Berichtigung der Coulombschen Theorie zu gewinnen, ist zum Schlüsse ein einfaches Beispiel nach drei verschiedenen Verfahren durchgerechnet, nämlich mittels kreisförmiger, mittels gebrochener und mittels ebener Gleitfläche, d. h. nach der Coulombschen Theorie.

Gegeben sei lotrechte Wand von 10,0 m Höhe, wagerechtes Gelände, Böschungswinkel q = 30° Reibungswinkel zwischen Erde und Wand d = 20°.

Gesucht ist der Erddruck (vgl. hierzu Abb. 40, auch Abb. 31 und 32).

Die Richtungen der erzwungenen und natürlichen Gleitlinie sind bereits für die gleichen Werte von q und ö auf S. 46 ermittelt worden, und zwar beträgt

#!= 48° 25', $₀= 60° 0'.

Die Winkel ^ und werden mittels ihrer trigonometri“ sehen Tangenten von A aus aufgetragen. Es folgt nun die

Gf-7,5'%? G₂=33,2-re ЕтахЛЗ.ОУе

6,67m

PP

I.

oooi

TD

G,

Л’

\Gi

333m

60°

Q=30°

\Qz

Abb. 40. Zahlenbeispiel.

Ermittlung der gebrochenen Gleitlinie ADC (DC parallel zu 'S'q durch Schnittpunkt D der erzwungenen Gleitrichtung mit der Richtungslinie von E), die Ausrechnung der Lamellengewichte Gx und 6r₂, die Eintragung der Richtungslinien der vier Kräfte Gv G₂, Qx und Q₂ und schließlich die Auftragung des Kräfteplanes, wobei Rx parallel zur Oberfläche gezeichnet wird. Dies alles läßt sich aus Abb. 40 im Verein mit den vorausgegangenen Entwicklungen ohne weitere Erklärungen ersehen. Man findet für E durch Ab-

greifen aus dem Kräfteplan: E= 15,0-y. Den gleichen Wert erhält man auch nach der Coulombschen Theorie (entweder durch Anwendung der bekannten Ponceletschen Konstruktion oder aber mittels der am Schlüsse des Krey-schen Buches enthaltenen Tabellen für die la-Werte. Für

OO'Ol

*1 Л

Emax'15,5-Ге

' 26°^

Abb. 41. Zahlenbeispiel.

Q = 30°, Ô = 20° findet man auf S. 262, Tab. 54 la = 0,300 und E = la * fr² • y = 15,0 • y).

и

In Abb. 41 ist dieselbe Aufgabe noch mittels kreisförmiger Gleitlinie gelöst. Es fand sich E — 15,5 • y.

Diese Vergleichsrechnung führt zu der Erkenntnis, daß durch die Verfeinerung der Erddrucktheorie und die Einführung gekrümmter Gleitlinien ein nennenswerter Fortschritt auf diesem Gebiete nicht mehr zu erzielen ist, daß vielmehr die Coulombsche Theorie und die auf ihr beruhende Ponceletsche Konstruktion eine für praktische Zwecke genügend genaue Annäherung liefern. Wie bereits bei Erörterung der „Grundwerte“ betont wurde, ist daher ein Fortschritt in der Lehre vom Erddruck nur zu erreichen durch Vertiefung und Erweiterung unserer Kenntnisse über die der Rechnung zugrunde gelegten physikalischen Größen, die uns die neue Wissenschaft der „Bodenmechanik“ vermittelt.

Dieser erst im Entstehen begriffene Wissenszweig — auch als bautechnische Bodenkunde oder Bodenphysik bezeichnet — nimmt also zur Erddrucktheorie ungefähr die gleiche Stellung ein, wie etwa die Stoffkunde bzw. Ela-stizitäts- und Festigkeitslehre des Eisens zur Theorie der Tragwerke des Eisenbaues, und es wäre widersinnig, sich auf die verfeinerte Berechnung eines mehrfach unbestimmten Systems im Eisenbau einzulassen, wenn man nicht genau unterrichtet wäre über Mindestfestigkeit, Bruchdehnung und Elastizitätsmodul usw. des zu verwendenden Eisen- oder Stahlmaterials. Es ist daher einleuchtend, daß eine Genauigkeitssteigerung um wenige Hunderstel, wie sie durch Einführung krummer Gleitflächen erzielt wird, zwecklos ist, solange in den physikalischen Grundlagen der Berechnung noch Fehler von 100 und mehr Prozent enthalten sind.

Im folgenden 4. Kapitel soll nun auf die Erdbaumechanik näher eingegangen und einerseits die wichtigsten zur Klärung der physikalischen Grundwerte der Erddruckrechnung dienenden Versuche, andererseits das Kräfte- und Bewegungsspiel im Boden nach Terzaghis Lehrbuch der Erdbaumechanik besprochen werden.

Vorerst wird jedoch noch unter C die Erddruckberechnung unter Berücksichtigung der Kohäsion behandelt, die für die plastischen Bodenarten (Ton- und Lehmboden) unerläßlich ist.

C. Berücksichtigung der Kohäsion nach Professor Fellenius (Stockholm)¹).

Bis hierher wurde der Boden als vollkommen kohäsionslos vorausgesetzt, also der Schubwiderstand des Bodens nach Coulomb gleich der inneren Reibung angenommen, mit anderen Worten, es wurde nicht das allgemeine Problem des Erddruckes, sondern nur das Teilproblem des Sanddruckes oder Kiesdruckes auf Stützwände behandelt. Für bindige Böden, wie Lehm- und Tonboden, hat die Vernachlässigung der Kohäsion keine Berechtigung mehr. Wenn man trotzdem in der Praxis heute noch auch bei den letztgenannten Böden das Coulombsche Prinzip anwendet, also die Kohäsion nicht berücksichtigt, so ist dies hauptsächlich deshalb berechtigt, weil ihr Einfluß ein geringfügiger ist und man ohne Kohäsion überdies ungünstiger rechnet. Voraussetzung für diese Vernachlässigung ist aber dabei²), daß man die Reibung dann richtig festgestellt hat und nicht etwa den gemessenen gesamten Schubwiderstand als Reibung ansieht und somit diese viel zu hoch einschätzt.

Besonders für große Bauwerkstiefen würde man auf diese Weise falsche Rechnungsergebnisse erhalten. Unbedingt notwendig ist daher eine genauere Untersuchung der Reibung und Kohäsion bei Stützhöhen oder Gründungstiefen von 10 m und mehr, wenn die mit dem Bauwerk in Berührung kommenden Bodenschichten aus plastischen Erdarten bestehen.

Währelid die innere Reibung dem Normalflächendruck proportional ist, also mit dem Quadrate der Höhe der Hinterfüllung wächst, ist die Kohäsion der Fläche proportional, nimmt also mit der ersten Potenz der Höhe der Hinter-

ł) Fellenius, a'a. 0.

*) Krey, a. a. O. S. 8 und 64.

füllung zu. Der gesamte Schubwiderstand einer Fläche ist gleich der Summe aus Reibungswiderstand plus Kohäsion, also

(24)

T = N tg q + ks • F Reibung Kohäsion*

(24 a)

Gleichung (24a) stellt die Beziehung zwischen Schub-

ks ist hierin der Kohäsionsanteil. Dividiert man beiderseits durch die Fläche F, so erhält man z = ö • tg q -f- ks.

Abszissen: Ordinaten: г

_ Д5аг Kohäsion (Л)

Abb. 42. Beziehung zwischen Schubspannung und Einheitsflächendruck.

Spannung und Einheitsflächendruck (Normalspannung) dar und ist die Gleichung einer Ger a den, in Abb. 42 durch rechtwinklige Koordinaten aufgetragen (Linie I).

Sonderfälle sind: Reibung gleich Null (nur Kohäsion) — Linie II — und Kohäsion gleich Null (nur Reibung) — Linie III.

Über die Methoden zur experimentellen Ermittlung des Gleitwiderstandes und der hieraus sich ergebenden Größen q und ks wird im folgenden Kapitel,,Bodenmechanik“ kurz berichtet. Hier soll vor allem gezeigt werden, wie man nach

Prof. Fellenius den Erddruck auf lotrechte Wand bei wage-rechter Geländeoberfläche für folgende vier Fälle ermittelt:

a)    Nur Kohäsion (innere Reibung Null), ebene Gleitfläche.

b)    Zusammenwirkung von Reibung und Kohäsion, ebene Gleitfläche.

c)    Nur Kohäsion, krumme (kreiszylindrische) Gleitfläche.

d)    Reibung und Kohäsion, krumme Gleitfläche.

Abb. 43. Erddruck nach Prof. Fellenius. Nur Kohäsion, ebene Gleitfäche.

Zu a: Nur Kohäsion, ebene Gleitfläche (Abb. 43). Hier ist die ungünstigste Gleitebene, d. h. jene, die den größten tätigen Erddruck liefert, unter 45° zur Wagerechten geneigt. Man erhält dann (vgl. Fellenius, a. a. 0.):

2 k₈ • h

(25)

F ***

E==~I~

d. h. der Erddruck ist gleich dem Flüssigkeitsdrucke, vermindert um das doppelte Produkt aus Kohäsionsanteil und Wandhöhe.

Setzt man in Gleichung (25)

die ungünstigste Gleitebene die Neigung

Zu b: Wird außer der Kohäsion auch innerer Bei-bungswiderstand als vorhanden angenommen (Abb.44) (natürlicher Böschungswinkel q), dann hat — wie Felle-nius zeigt

45° + ~ gegen die Wagrechte und man findet

и

to /О

E = tg² (45° — J— 2 ks ■ h ■ tgüö⁰ —;    (27)

Abb. 44. Erddruck nach Prof. Fellenius. Reibung + Kohäsion, ebene Gleitfläche.

so kann man diejenige Höhe berechnen, auf welche der Boden ohne Abstützung lotrecht frei stehenbleibt.

4 k₈

n =-----.

Man erhält

Уе

(26)

Die gefährlichste Gleitebene halbiert den Winkel zwischen Wandrücken und natürlicher Böschung, ist also unabhängig von der Kohäsion, und der Erddruck ist nach Gleichung (27) gleich dem Erddruck bei fehlender Kohäsion, vermindert um das doppelte Produkt aus Kohäsionsanteil und freier Oberfläche des Gleitkeils (BD in Abb. 44).

Die Höhe, auf welche der Boden ohne Abstützung lotrecht stehenbleibt, ist jetzt mit E = 0 in Gleichung (27) gegeben durch:

7    4 ks

h = — cotg

Die Gleichungen (25) und (26) ergeben sich aus den entsprechenden (27) und (28) als Sonderfall für q — 0.

Zu c: Nur Kohäsion, krumme Gleitfläche (Abb. 45). Der maßgebende Erddruck ist, wie man auf Grund einer Maximumrechnung findet,

/•

2222&

Abb. 45.

Erddruck nach Fellenius. Nur Kohäsion, krumme Gleitlläche.

(29)

— 2 ks • h ■ 0,958

für # = 47¹/₂° und oc = 15° (von Fellenius durch Probieren ermittelt).

Vergleicht man die Gleichung (29) mit der analogen für ebene Gleitfläche — Gleichung (25) —, so erkennt man, daß die Ergebnisse in beiden Fällen nicht erheblich voneinander abweichen, so daß man der Einfachheit halber für die praktische Anwendung wohl bei ebenen Gleitflächen verbleiben dürfte* Allerdings erhält man E dann etwas zu klein.

Zu d: Zusammenwirkung von Reibung und Kohäsion, krumme Gleitfläche.

Die Untersuchung muß hier auf graphischem Wege geführt werden, und zwar analog wie dies in den Abb. 33 und 41 gezeigt wurde, nur mit dem Unterschiede, daß im Kräfteplan noch die Kohäsionskräfte hinzukommen. Es gilt auch hier, daß der Unterschied gegenüber der Annahme ebener Gleitflächen nur wenige Prozente beträgt, so daß für Erd-druckberechnungen das Rechnen mit kreisförmiger Gleitfläche keine praktische Bedeutung hat.

Bemerkenswert ist jedoch, daß bei Böschungsberechnungen die Form der Gleitlinie — eben oder kreiszylin-

B

Abb. 46. Stabilität einer Böschung.

drisch — einen sehr großen Einfluß hat. Es wären hier wieder die gleichen vier Fälle zu unterscheiden wie eben zuvor (a bis d), von denen aber nur der erste Fall hier, behandelt werden soll.

Berechnung der Stabilität einer Böschung.

Nur Kohäsion, ebene Gleitfläche (Abb. 46).

Soll sich die Böschung AB, unter dem Winkel ß zur Wagrechten geneigt, im Ruhezustand befinden, dann muß das Gewicht des Gleitkeils ABD mit den Kräften N (Normaldruck auf AD) und К (Kohäsion) im Gleichgewicht stehen.

ye h sin # sin (ß — S')

Aus der Projektionsgleichung in Richtung AD findet Fellenius¹) für die Kohäsion (mit den Bezeichnungen der Abb. 46):

(30)

2    sin ß

Die ungünstigste Gleitebene ist die, für welche ks einen Größtwert annimmt, daher:

(31)

*-!•

und somit

ks =

■уЛ

(32)

Ohne Abstützung steht daher der Boden unter dem Böschungswinkel ß auf eine Höhe

-L 4 Jl= —

(33)

7e

• cotg • -.

Diese Formel lehrt, daß bei bindigen Bodenarten, also solchen, die eine Kohäsion aufweisen, der Boden auf eine gewisse Höhe auch wesentlich steiler frei stehenbleibt, als unter dem inneren Beibungswinkel oder natürlichen Böschungswinkel q (der im vorliegenden Fall sogar Null ist), und daß daher — wie schon bei Erörterung der „Grundwerte“ klargestellt —, diese steilere Böschung (Stand-winkel) nicht etwa mit dem Winkel q der natürlichen Böschung oder inneren Reibung verwechselt werden darf. (Vgl. hierzu auch die Darlegungen im Kapitel „Erdbaumechanik“ betr. die experimentelle Bestimmung der Grundwerte.)

Gleichung (33) ist aber — wie Fellenius zeigt — nur für große Böschungswinkel ß benutzbar, bei kleinen Böschungswinkeln liefert sie Resultate (für die Höhe h), die sehr verschieden sind von denen, die man unter Zugrundelegung kreisförmiger Gleitflächen erhält, und zwar ergeben sich bei kleinen Böschungswinkeln nach (33) viel zu große Höhen h, oder umgekehrt, bei gegebenen Höhen h viel zu große Böschungswinkel ß. In diesem Fall ist es also tatsächlich nötig, auf die Theorie der kreisförmigen Gleitfläche einzugehen, dagegen nicht bei der Ermittlung der Größe des Erddrucks auf Mauern.

§ 4. Bodenmechanik.

Die Bodenmechanik (auch Erdbaumechanik genannt) ist im Gegensatz zur „geometrischen Erddrucklehre“ eine mehr oder weniger beschreibende Wissenschaft und hat nach Ter-zaghi¹) eine doppelte Aufgabe, und zwar:

1.    die Laboratoriumsmethoden für die Untersuchung von Bodenproben und die ziffernmäßige Beschreibung ihrer physikalischen Eigenschaften (Grundwerte) zu finden (Stoffkunde, Bodenphysik) und

2.    die planmäßige Verarbeitung einerseits der auf den Baustellen mit den nach 1 gekennzeichneten Bodengattungen gemachten Erfahrungen statischer Art, also besonders das Studium der Gleichgewichtsstörungen im Boden (Kutschung, Setzung, Grundbruch usw.) in ursächlichem Zusammenhang mit den physikalischen Bodeneigenschaften, und andererseits der Ergebnisse der in Laboratorien mit diesen Bodenarten angestell-ten Modellversuche, das Kräfte- und Bewegungsspiel im Boden betreffend (Bodenmechanik im engeren Sinn).

Dabei umfaßt die Bodenmechanik nicht nur die den aktiven und passiven Erddruck betreffenden Probleme, sondern auch die Tragfähigkeit des Bodens bei Gründungen, also dessen Verhalten bei lotrechten Belastungen. Hier

sollen, entsprechend dem Rahmen des ganzen Bändchens, nur jene Gebiete der Bodenmechanik gestreift werden, die für die Berechnung des aktiven und passiven Erddruckes von Bedeutung sind, dagegen nicht die die Tragfähigkeit des Baugrundes behandelnden Gebiete.

Der erwähnte Ausbau der Yersuchsmethoden muß von den Laboratorien der technischen Hochschulen oder der sonstigen staatlichen Materialprüfungsanstalten erfolgen, die Verarbeitung der auf den Baustellen gemachten Erfahrungen erfordert die Mitarbeit der Praxis — also der Baubehörden, Bauherren und Bauunternehmer — und jene der Geologen.

Während in verschiedenen ausländischen Staaten eine derartige Organisation der Zusammenarbeit von Forschungsstellen und Praxis schon seit längerer Zeit besteht — Amerika und Schweden besitzen seit 1913 solche Einrichtungen —, wurde in Deutschland erst im Jahre 1927 von der Gesellschaft für Bauingenieurwesen der „Ausschuß für Baugrundforschung“ ins Leben gerufen, der sich die Vereinheitlichung der Bodenbezeichnungen und der Bodenuntersuchungen für Baustelle und Versuchsanstalt zur Aufgabe macht, und vor kurzem erst wurde vom Reichsverkehrsminister, von der Deutschen Reichsbahngesellschaft und dem preußischen Minister für Wissenschaft die „Deutsche Forschungsgesellschaft für Bodenmechanik“ gegründet und den neu zu errichtenden Instituten für Physik und Bauingenieurwesen der Berliner Technischen Hochschule angegliedert. Bisher haben auf dem Gebiete der Erddruckversuche besonders die Versuchsanstalten der Technischen Hochschule in Berlin (Müller-Breslau), die Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau in Berlin (Krey), die Versuchsanstalt für Grund- undWasser-bau der Technischen Hochschule Hannover (Franzius) und die der Bergakademie Freiberg i. Sa. (Kogler) gearbeitet.

Von einschneidender Bedeutung ist das Erscheinen des Werkes von Terzaghi über Erdbaumechanik, das das erste systematische Lehrbuch auf diesem Gebiet darstellt und bahnbrechend für die weitere Forschung ist. Terzaghi hat als erster die Erddrucklehre von dem Teilgebiet des kohäsionslosen Sandes erweitert auf das Gebiet der kolloidreichen, wasserhaltigen Böden (Ton- und Lehmböden).

Im folgenden sollen zunächst einige der wichtigsten neueren Versuchsmethoden zur Ermittlung der Grundwerte des Bodens an Hand von Abbildungen mitgeteilt und anschließend ganz kurz auf die Mechanik der Ton- und Lehmböden nach Terzaghi eingegangen werden.

A. Versuche zur Ermittlung der Grundwerte der Erddruckrechnung.

a) Experimentelle Ermittlung der Reibung (des Gleitwiderstandes) zwischen Erde und Wand. Den Gleit wider st and

РШ1

zwischen Erde und Bau- @-

stoff ermittelt man am Г, ^ besten entweder mittels | der von Müller-Breslau p

oder der von Möller,

Braunschweig, angegebe-

Versuchseinrich- Abb. 47. Versuch von Müller-Breslau zur Ermittlung des Gleitwiderstandes.

nen

tungen.

Müller-Breslau¹) verwendet den in Abb. 47 im Prinzip skizzierten Apparat. Auf einen Kasten wird ein die Seitenwände verlängernder Rahmen gesetzt, hierauf der Kasten mit Sand gefüllt, die Oberfläche glatt gestrichen und der obere Rahmen abgehoben. Auf die nun vollkommen ebene Oberfläche wird eine aus dem fraglichen Material erstellte

Platte (bei Müller-Breslau Holz mit Schmirgelleinwand bekleidet) gelegt und mit Gewichten beschwert. Nun wird an einem in Ebene der Plattenunterkante angreifenden Zugband _    aus Stahl ein durch

meßbarer

Abb. 48 a.

□Er

Abb. 48 b.

Gewichte Zug auf die Platte ausgeübt (Müller-Breslau verwendete eine Wagschale an einem Winkelhebel, in Abb. 47 ist anstatt dessen eine Bolle angedeutet) und untersucht, bei welcher Größe des Zuges P der Gleichgewichtszustand aufhört. Ist die lotrechte Last (Platteneigengewicht + Auflast) gleich Q, dann ist der Tangens des Kei-bungswinkels gegeben durch :

/'

(34)

- -Л

> ; =.•-* •=-ош

—¹

Abb. 49.

Abb. 48 und 49. Versuch von Möller Ermittlung des Gleitwiderstandes.

tg Ö = -

Prof. Möller¹) Braunschweig, gibt zur Ermittlung des Gleitwiderstandes zwischen Baustoff undBoden das nachstehende Verfahren an (Abb. 48 a und b und Abb. 49).

¹) Möller, Messung des Gleitwiderstandes an Baustoffen auf Boden usw Der Bauingenieur 1927, Heft 38.

Ein Stab aus Holz stützt sich unten gelenkartig auf die Platte aus dem zu untersuchenden Baustoff (z. B. Beton), und zwar durch Vermittlung einer Holzkappe; die Versuchsplatte liegt auf dem zu prüfenden Bodenmaterial satt auf. Die am oberen Ende des Stabes wirkende Last Q ist bekannt. Mittels eines horizontalen Seiles oder deren zwei ist der Stab oben gehalten. Durch Nachlassen der um lotrechte Pfosten geschlungenen Seile wird die Neigung des Stabes immer kleiner, bis schließlich das Abgleiten der Platte einsetzt. Die Stabneigung ist dabei fortwährend zu messen (Abb. 48 a). Die Anordnung muß so getroffen werden, daß die Mittelkraft die Plattenunterfläche in deren Mitte schneidet. Die Gleitrichtung ergibt sich durch Zusammensetzung der in die Stabrichtung fallenden Komponente von Q mit dem Eigengewicht der Betonplatte.

Aus den gewonnenen Ergebnissen zieht Möller den Schluß, daß der Beibungsbeiwert eines auf fest abgelagertem Kies aufgestampften Betonkörpers etwa die Größe tgd = 0,8, also d = 38° 40' erreichen dürfte. Allerdings ist dieser Wert wahrscheinlich — wie auch Möller feststellt — der Gleitwiderstand zwischen Kies und Kies und nicht zwischen Beton und Kies, denn der Kies haftet an der unter Druck satt aufliegenden Betonfläche. Dieser Einwand trifft aber natürlich auch bei der Versuchsanordnung von Müller-Breslau zu. Während jedoch der Müller-Breslausche Versuch nur für die Anwendung im Laboratorium in Frage kommt, kann und soll die Möllersche Versuchsanordnung auf jeder Baustelle leicht und bequem durchgeführt werden.

b) Messung des Gleitwiderstandes (innere Keibung und Kohäsion) im Boden selbst.

Hier sollen die Versuche besprochen werden, die von Prof. Franzius, Hannover, zur Ermittlung des Schub-

Widerstandes im Boden durchgeführt worden sind¹) (Abb. 50). Hierbei wurde der Widerstand einer in dem zu untersuchenden Bodenmaterial eingelegten kreisrunden Platte gegen Drehung in ihrer eigenen Ebene gemessen, wie dies in ähnlicher Weise auch bei Schub versuchen des amerikanischen Fundierungsausschusses („American Foundation Committee“) und auch bei schwedischen Versuchen (an der Technischen Hochschule Stockholm) angewendet worden ist²).

Die von Franzius benutzte Versuchseinrichtung besteht

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/г-i X

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о )НЧго

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Abb. 50. Messung des Gleitwiderstandes nach Franzius.

in der Hauptsache aus einem zur Aufnahme des Bodenmaterials dienenden zylindrischen Eisenbehälter a (in Abb. 50), der auf einem Betonklotz Ъ verankert und oben durch einen drehbaren Kolben c geschlossen ist. Die Unterseite des Kolbens ist mit 10 mm hohen radialen Kippen d versehen, die den Zweck haben, eine Bodenschicht von dieser Höhe mitzunehmen. Zur Verhütung einer Reibung des Kolbens an der Gefäßwand dient ein eiserner King e (am Umfang des Kolbens), wobei die Fuge zwischen Kolben und Gefäßwand durch eine geölte Lederdichtung / geschlossen wird. Um den Austritt des Porenwassers zu ermöglichen, sind am Boden und an der Unterseite des Kolbens Filterschichten angeordnet. Der Kolben kann durch

*) Streck, Fortschritte auf dem Gebiete der Baugrundforschung. Zentral* blatt der Bauverwaltung 1928, Heft 19.

*) Fellenius, a. a. O., S. 17 und 18.

eine Hebeleinrichtung g belastet werden. Die Drehbewegung des Kolbens wird durch ein Drehmoment auf ein mit dem Kolben konzentrisch verbundenes Eisenrad h bewirkt, die hierbei ausgeübten Zugkräfte durch Stahldrähte i übertragen und durch ein eingebautes Dynamometer к gemessen.

/i At, 2l*Kohäsionscmteil rr

о io 2.0    3.0 t*.o Ъд/cjn*

Abb. 51. r-Werte für Kleiboden.

Mit der beschriebenen Versuchseinrichtung hat Franzius 18 Monate hindurch eine ganze Anzahl Versuche mit verschiedenen Bodenarten (Sand, Klei- und Moorboden) durchgeführt. Die auf diese Weise gefundenen Beziehungen zwi- ^ sehen Schubspannung und Flächendruckspannung entsprechen der Form nach der Gleichung (24 a):

г = ks+ в - tgç,

Kohäsumsanteil Ö,68 У 1,91    3,1*2    5,67

o io 2.0 3.0 jo 5.0 6,0 7,0 3,0 kg/cm ²

Abb. 52. r-Werte für Moorboden.

er

sind also im all- t' gemeinen linear. 30 Eine besondere Rolle spielen dabei allerdings die sog. hydrodynamischen Gleitwiderstände. Man versteht darunter jene Reibungskräfte, die im Innern des Bodens wirken, wenn das Porenwasser gespannt ist, d. h. unter Druck steht, während der hydrostatische Gleitwiderstand erst wirksam wird, wenn durch Abströmen des überschüssigen Porenwassers ein Druckausgleich erfolgt ist, wofür bei Bodenarten mit geringer Durchlässigkeit meist ein längerer Zeitraum erforderlich ist. Die Abb. 51 und 52 zeigen die von Franzius ermittelten Kurven des hydrostatischen Schubwiderstandes für Kleiboden bzw. Moorboden; auch für Sandboden ergab sich ein ähn-

liches Bild, nur mit dem Unterschied, daß bei Sand der Kohäsionsanteil (auf der x- Achse abgeschnitten) sehr klein

ist.

Die entsprechenden Gleichungen lauten: a) für Sand (Sorte I)

г kg/cm² = 0,01 + 0,68 • о (q = 34°),

b) für Kleiboden

X kg/cm² = 0,1 + 0,456 • а (q — 24°),

c) für Moorboden

X kg/cm² = 0,5 + 0,42 • а (<? = 23°).

Um die hydrodynamischen Gleitziffern für die beiden letzten Bodenarten (Kleiboden und Moorboden) zu ermitteln, wurden nun die Bodenproben sehr rasch (um 0,6 Atm. pro Minute) von den „Anfangsbelastungen“ ausgehend, höheren Drücken ausgesetzt, und zwar bis 8,0 kg/cm². Es zeigte sich, daß bei einer plötzlichen Laststeigerung der Gleitwiderstand seine Anfangsgröße annähernd beibehielt (vgl. Abb. 53 und 54). Die Erklärung für diese Erscheinung liegt darin, daß in der kurzen Zeitspanne zwischen Laststeigerung und Versuchsbeginn infolge der dichten Struktur der bindigen Bodenarten ein nennenswerter Wasseraustritt nicht erfolgen kann und die gesamte Drucksteigerung wegen der geringen Elastizität des Wassers von dem Porenwasser aufgenommen werden muß. Da aber das Wasser als Flüssigkeit eine innere Reibung nicht besitzt, so bleibt der Gleitwiderstand unverändert. Die r-Linien in den Abb. 53 und 54 sind also annähernd parallel zur Abszissen- (a-) Achse.

Beim Moorboden zeigt sich eine ganz geringe Zunahme. Allmählich wird infolge Ausströmens des Porenwassers und Druckausgleichs der Gleitwiderstand den oberen Grenzwert, nämlich die Kurve der hydrostatischen Werte (in den Abb. 53 und 54 gestrichelt) erreichen.

Rechnet man aus dem Versuch den Reibungswinkel nach Gleichung (24a) zurück, so findet man:

(24 b)

г — h

Da für den hydrodynamischen Schubwiderstand, gemäß

iäd

*r-

hg/cm2 ад

\ hydrodyn-) ScTuibroiderst•

jo jo 3,0 Ь.О 5.0 6,0    7,0 в,о hg/суп *

Flächendruch (Tkg/cm²

Abb. 53. Hydrodynamische Schub widerstände.

er*

hy/cTTi²

SçVH

b*V?

hydro dyn• Schubroiderst -

h4iir:

0,68    3,12    5r67

o 1,0 t Ź.O 3,0    4,0 5.0    6,0 7,0 ephg/cm2

Flächen druck (T tog/cm 2

Abb. 54. Hydrodynamische Schubwiderstände.

Abb. 53 und 54, г annähernd konstant bleibt, so ist der Zähler in (24 b) konstant, und somit wird der Wert von q für wachsendes g immer kleiner, d. h. q ist für ein und denselben Boden nicht konstant. Das unter Druck stehende Porenwasser der bindigen Böden wirkt demnach — wie man sieht — reibungsvermindernd oder (wie Terzaghi es ausdrückt) als Schmiermittel.

Während die Kohäsion bei bindigen Böden zur Folge hat, daß Anschüttungen mit steilerer als der natürlichen Böschung frei stehen, hat das überschüssige Porenwasser die Wirkung, daß die innere Reibung mit zunehmendem Normalflächendruck, also mit wachsender Höhe der Schüttung oder Hinterfüllung abnimmt. Infolgedessen wird bei solchen Hinterfüllungsböden der aktive Erddruck größer, der passive dagegen kleiner als unter sonst gleichen Verhältnissen. Bei größeren Stützmauerhöhen muß dies unbedingt bei der Festlegung von q berücksichtigt werden und kommt dann der Sicherheit zugute, denn mit der Zeit fließt das Porenwasser ab und der Reibungswinkel wird größer. Für alle Fälle tut man gut daran, durch Anlage von Sickergräben an der Rückseite von Stützmauern für rasche Entwässerung zu sorgen.

Von der echten Kohäsion wohl zu unterscheiden ist die scheinbare Kohäsion, die ihre Ursache in der Kapillarwirkung des Bodens hat. Infolge des verdunstenden Kapillarwassers entsteht nämlich eine Oberflächenspannung, wodurch sich der Schubwiderstand vergrößert. Durch zeitweilige Überflutung des Bodens können jedoch diese Kräfte aufgehoben werden, indem die Oberflächenspannung und mit ihr die scheinbare Kohäsion verschwindet.

Experimentelle Ermittlung der Kohäsion bei bekanntem Reibungswinkel p und bekanntem Ra|um'-gewicht ye des Bodens.

Bei den Versuchen von Prof. Franzius wurden gleichzeitig die beiden Grundwerte der inneren Reibung und der Kohäsion gefunden. Ist der Wert des inneren Reibungswinkels eines Bodens und außerdem sein Raumgewicht ye von vornherein bekannt (z. B. aus früheren Versuchen), dann kann man Gleichung (28) dazu benutzen, den Wert ks der Kohäsion zu berechnen. Man braucht dann nur durch den Versuch festzustellen, auf welche Höhe (h) das zu untersuchende Bodenmaterial in lotrechter Wand frei, also ohne abgestützt zu werden, stehenbleibt. Aus (28) erhält man:

ks

Zum Beispiel (Abb. 55):

(28 a)

ye = 1,8 t/m3 h = 4,0 m q= 30°

Kohäsion: ks

. tg 30° = 1,04 t/m² = 0,104 kg/cm².

Abb. 55.

Nach dieser Methode ermittelte Knoke¹) die Kohäsion des Schotterkieses im Mittel zu 0,4 kg/cm² und der fetteren Erdarten, wie Dammerde, Letten, Klei, zu etwa dem doppelten Wert. Diese Werte sind wesentlich höher als die von Fran-zius gefundenen; die letzteren dürften jedoch mit Rücksicht auf die wissenschaftlichere Untersuchungsmethode der Wahrheit näherkommen.

B. Die Gleichgewichtsstörungen (Gleitflächenbildungen) im bindigen Boden.

Für den Sandboden sind, sofern er trocken und gleichmäßig gelagert ist, die Gleitebenen diejenigen Richtungen, die von allen einander paarweise zugeordneten Richtungen miteinander den kleinsten Winkel (90° weniger dem natürlichen Böschungswinkel) einschließen, so daß hier die Reibung eben noch hinreicht, um das Abgleiten zu verhindern. Es ist bereits gezeigt worden, wie man diese Richtungen

x) Knoke, Über Zahlenwerte der Kohäsion beim Erddruck. Die Bautechnik 1925, Heft 11.

nach dem Satze vom Involutionszentrum oder mittels der Spannungsellipse, also als Aufgabe der Statik, findet. Anders liegen die Verhältnisse beim Tonboden. Hier finden wir in der benannten Arbeit von Terzaghi folgende einleuchtende Deutung des Zustandekommens einer Gleitfläche. — Einen Beitrag zu diesem Kapitel „Gleitflächen bei Rutschungen im Tonu hat im „Zentralblatt der Bauverwaltung“ Reichsbahnrat K. Backofen, Stettin, veröffentlicht¹), der auch die nachstehende Begriffserläuterung für „Gleitfläche“ enthält. Eine Gleitflâche ist hiernach eine Fläche geringsten Widerstandes, also eine Schwächestelle, d. h. ein geometrischer Ort der geringsten Scherkräfte. Eine solche

Schwächestelle

Abb. 56. Gleitflächenbildung im Ton nach Terzaghi.

braucht aber nicht nur etwa dadurch zu entstehen, daß die auf die Fläche wirkende Kraft einen sehr schiefen Winkel mit dieser einschließt, sie kann z. B. auch dadurch entstehen, daß sich in einer Fuge des Bodens nasser Ton befindet und als „Schmiermittel“ wirkt, wodurch also der innere Reibungswiderstand herabgemindert wird. — Terzaghi gibt folgende Erklärung hierfür: „Lotrecht in die Erde hineingehende Spalten öffnen dem Tageswasser den Eintritt. Durch die Sprengwirkung wird die Spalte erweitert (Abb. 56) und der Boden in Blöcke zerteilt. Auch wagerecht werden die Blöcke durch die Wirkung des Wassers abgelöst, und das Wasser tritt in die Scherrisse ein. Der Tonboden schwillt und hebt die Blöcke an.

Die beim Schwellen auftretenden hebenden Kräfte betragen mehrere hundert Atmosphären. In den Rissen findet sich Wasser und flockiger Ton. Sobald die Massen das Gleichgewicht verlieren, wirkt dieser Ton als Schmiermittel, indem sein Porenwasser unter Druck kommt. Es tritt die hydrodynamische Reibung an Stelle der statischen Reibung, und die zerborstenen Schollen gleiten auf der schwach geneigten, geschmierten Scherfläche talwärts.“ Die eben angestellte Betrachtung ist keine statische, sondern vielmehr eine rein physikalische ; der Statiker ist hier sozusagen ganz ausgeschaltet. Dagegen werden für derartige Betrachtungen in erster Linie die Hydrodynamik, an zweiter Stelle die Geologie als Hilfswissenschaften in Betracht kommen.

II. Abschnitt.

Konstruktion und Festigkeitsberechnung von Stütz- und Futtermauern.

§ 5. Allgemeines; Einteilung der Stütz- und Futtermauern nach ihrer baulichen Durchbildung.

Während im ersten Abschnitt lediglich die Ermittlung der Erdkräfte auf die Rückenfläche von Mauern erörtert wurde, soll im vorliegenden Abschnitt die bauliche Durchbildung und die Festigkeitsberechnung der Stütz- und Futtermauern einer eingehenden Behandlung unterzogen werden.

Unter Stützmauern versteht man alle Mauerkonstruktionen, die Erddruckkräfte durch die Hinterfüllung aufzunehmen haben, also für statische Wirkungen zu berechnen sind, unter Futtermauern dagegen solche Konstruktionen, die hauptsächlich als Sicherung gegen Rutschungen,

Verwitterung, Frost u. dgl., also als Verkleidung von an und für sich standfestem Boden dienen und somit keine statischen Erddruckkräfte erhalten. Futtermauern oder Verkleidungsmauern dürfen daher im allgemeinen wesentlich schwächer bemessen werden als eigentliche Stützmauern.

Die im Erdbau verwendeten Mauerkonstruktionen können

TW*77FjrV

Abb. 57a—d. Verschiedene Querschnittslormen von vollen Stützmauern.

wärm

CL

Abb. 58 a—f. Verschiedene Querschnittsformen von vollen Stützmauern.

in baulicher Hinsicht in vier Hauptgruppen eingeteilt werden, und zwar:

1. Volle Mauern aus Bruchsteinmauerwerk oder aus un-bewehrtem Beton, auch Schwergewichtsmauern genannt

(§6).

2.    Aufgelöste Mauern aus Mauerwerk, Beton oder Eisenbeton (§ 7).

3.    Winkelstützmauern aus Eisenbeton (§ 8).

4.    Verankerte Spundwände (§ 9).

Schnitt Т-П

I-

-Щ

jt4*3/rh*

б'/У?/777У~г i

Abb. 59 a—c. Winkelstützmauern.

Die Abb. 57 a—d und 58 a—f stellen die verschiedenen üblichen Querschnittsformen voller Mauerkonstruktionen dar, und zwar zum Teil mit lotrechter, zum Teil mit vor-geneigterVorderflache. Als am zweckmäßigsten in statischer und auch wirtschaftlicher Hinsicht muß dasjenige Profil bezeichnet werden, das sich dem Verlauf der Mittelkraft am besten anpaßt. Es sind dies die etwas geneigten, rückwärts unterschnittenen Querschnitte der Abb. 58 c—f, evtl, auch Abb. 57d. Der ideale Querschnitt wäre jener der Abb.58f mit stetig gekrümmter Brust- und Bückenfläche, jedoch werden die umständliche Schalung und die hiermit verbundenen hohen Arbeitslöhne die Materialersparnisse meist wieder hinfällig machen.

Kann, Erddruck.

Aus Abb. 59 a, b und c sind die Grundformen der Eisenbetonwinkelstützmauer ohne bzw. mit Rippen ersichtlich.

Eine Zwischenstellung zwischen der j    vollen und der

/C22 Winkelstützmauer Ą    nimmt die Mauer

ä    mit Strebepfei

Abb. 60 a u. b. Wände mit Strebepfeilern.

CI

lern (Abb. 60aund b) ein, die sowohl

1-20

in Stampfbeton und Bruchsteinmauerwerk, als auch in Eisenbetonkonstruktion erstellt werden kann. Die Abb. 61 schließlich zeigt die bei Ufer-und Kaimauern

Verankerte Wand

mr e n, tu i /n ï^

Abb. 61.

häufig verwendete verankerte Spundwand.

Im folgenden wird im einzelnen auf die statische Berechnung und die Konstruktion der vier verschiedenen Grundformen eingegangen. Ausführungsbeispiele aus der Bauingenieurpraxis sollen dem Leser das Verständnis für das hier Gebrachte erleichtern.

§ 6. Mauern aus Stein und vollem Beton.

A. Ermittlung der Stärke einer Mauer bei gegebener Form der Rückwand und gegebener Richtung der Vorderfläche (Müller-Breslau¹).

ln Abb. 62 ist gezeigt, wie man bei gegebener Form der Rückenfläche und Richtung der Vorderfläche die für eine bestimmte Bodenpressung (Randspannung) notwendige Stärke der Stützmauer ermittelt. Das von Müller-Breslau herrührende Verfahren besteht darin, daß zunächst die Erddruckkräfte (Ex, E₂, Es usw.), die ja nur von der Form der Rückenfläche abhängig sind, berechnet und zu einer Mittelkraft zusammengesetzt werden.

Diese Mittelkraft ER wird sodann mit dem Gewicht des in der Abbildung schraffierten Mauerprismas ABC DE zusammengesetzt (Mittelkraft ĄJ²).

Das vor der Trennungslinie DE Ъ befindliche Parallelepiped wird nunnmehr durch zur Vorderflucht parallele Teilungslinien in schmale Lamellen von gleicher Breite zerlegt. Die Gewichte dieser Lamellen werden fortlaufend mit der bereits gefundenen Teilmittelkraft R₁ zu Mittelkräften (R₂, R₃, Ä₄ usw.) zusammengesetzt und hierauf die Randspannungen in der Basisfläche für die jeweils vorne durch die

\D

//

E₃

Er

Abb. 62.

Untersuchung nach Müller-Breslau.

г) Müller-Breslau, a. a. O., S. 76—80.

²) Die Ä-Kräfte sind in Abb. 62 nicht eingetragen.

Lamellenteilungslinien und rückwärts durch das Polygon ABCD begrenzten Mauer quer schnitte berechnet. Die berechneten Kantenpressungen о, in den Kanten 1, 2, 3, 4 usw. als Ordinaten von einer Wagerechten aus abgetragen, ergeben in ihrer Gesamtheit eine Kurve, die sog. Ö-Linie. In dieser sucht man nun den Punkt auf, der der gegebenen größten zulässigen Baugrundpressung entspricht und erhält auf diese Weise lotrecht darüber die vordere Begrenzung und hiermit die ganze Form der gesuchten Stützmauer.

Diese Zerlegung des Stützmauerquerschnitts parallel zur Yorderfläche ist demnach zweckmäßiger als die meist übliche Aufteilung durch Parallele zur Basisfläche.

В. Berechnung der Querschnitte auf Biegung und Druck mittels der Kernpunktsformeln und Kernpunktsdiagramme.

Für die Untersuchung einer beliebigen Fuge in der Mauer sowie auch der Fundamentsohle ist die Mittelkraft in die normale und tangentielle Komponente zu zerlegen, worauf die beiden Seitenkräfte getrennt weiter verfolgt werden. Die normale Komponente erzeugt im allgemeinen außermittigen Druck, die tangentielle Komponente muß durch den Gleitwiderstand (in der Bodenfuge) bzw. durch den Schubwiderstand (in den verschiedenen Mauerfugen) aufgenommen werden.

Die Kantenspannungen bei außermittigem Druck berechnet man mittels der Kernpunktsformeln:

(35)

Hierin bedeuten c die Exzentrizität (Abstand des Lastdurchgangspunktes vom Fugenschwerpunkt) und к den

Kernhalbmesser, der für den rechteckförmigen Querschnitt

mit — einzusetzen ist. о

\f

-1

Abb. 63. Spannungsdiagramm.

Auf

zeichnerischem Wege ermittelt man die Eandspannungen meist mittels der Kernpunktsdiagramme (vgl. Abb. 63). Prof. Möller gibt anstatt dessen das nachstehende einfache, in Abb. 64 dargestellte Verfahren an, bei dem zunächst ein Hilfs-

—s —*—

г ф-о

2t-s

trapez mit den Parallelseiten 2 t—s und 2 s—t gezeichnet und durch den Schnittpunkt 0 die Verbindungsgerade nach dem Endpunkt der Schwerpunktspannung Os gelegt wird ; s und t sind hierbei die Abstände der Mittelkraft-Normalkomponente N von A und C.

Abb. 64. Spannungsdiagramm.

Fällt die Mittelkraft außerhalb des Querschnittskerns, so ist bei Ausschluß von Zugfestigkeit mit offener oder klaffender Fuge zu rechnen (s. Abb. 65).

Unter der Überschrift „Gefahr trotz zulässiger Spannungen bei Stützmauern“ bringt Dr.-Ing. Max Mayer¹) einen .    sehr bemerkenswerten Hinweis, zu

\    welcher „höchst bedauerlichen und

\    unheilvollen Täuschung über die

-л*

2Х—Ч

Bauwerkssicherheit das Verfahren ^\В    der zulässigen Spannungen“ — hier

(Xd

Abb. 65.

ist an die eben erläuterte Rechnung mit offener Fuge gedacht — ,,von jeher besonders bei den Stützmauern geführt habe“. Abb. 66, die der

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Abb. 66. Gefahr trotz zulässiger Spannungen.

Mayerschen Schrift über die Sicherheit der Bauwerke ent-

x) Mayer, Die Sicherheit der Bauwerke und ihre Berechnung nach Grenzkräften anstatt nach zulässigen Spannungen, S. 52—54. Berlin 1926.

nommen ist, zeigt in einfachster Form das Wesentlichste der üblichen Untersuchung. Um die Beanspruchung an der Fundamentoberfläche zu beurteilen, hat man die Druckspannungen am Band, wie angedeutet, mit offener oder klaffender

2 N

Fuge, d. h. nach der Gleichung а = — zu berechnen,derart,

ob X

daß sie im Rahmen der zulässigen Druckspannungen verbleiben. Es wäre aber gefehlt, zu vermuten, daß man nun vielleicht eine 6—10fache Sicherheit hat, wenn die zulässige Betonpressung mit ¹/₆ bis ¹/₁₀ der Druckfestigkeit des Fundamentbetons festgelegt worden ist. Denn schon eine Vergrößerung des Erddruckes um 10% (in Abb. 66 gestrichelt angedeutet) verdoppelt die Bandspannung und bei einer Vergrößerung des Erddruckes um 20% wird sie unendlich groß. Die Sicherheit ist also anstatt 6—10 höchstens 1,20.

Daraus folgt, daß der Ingenieur bei der Wahl der Grundwerte der ganzen Erddruckberechnung sehr vorsichtig sein muß, weil ja schon geringe Unterschiede in der Wahl von q und ye große Unterschiede in den Erddruckwerten zur Folge haben (vgl. hierzu die Bemerkungen des Verfassers auf S. 59, betreffend die Unsicherheit in den grundlegenden Annahmen der Erddruckrechnung). Der ungünstigste Erddruck tritt auf, wenn der Boden hinter der Mauer vollständig durchnäßt und durchweicht ist, weshalb nach Mayer zu fordern ist, daß die Berechnung von Stützmauern für diesen Grenzfall durchgeführt werden müsse. Dies allein bedeutet eine wirkliche Erhöhung der Sicherheit, und es dürften wahrscheinlich, wenn die Ingenieure der Praxis sich solchen Erwägungen nicht verschließen würden, in manchen Fällen Einstürze, Kippbewegungen und „Wanderungen“ von Stützmauern vermieden werden.

C. Gleitwiderstand und Kippsicherheit.

Die Wand muß ferner hinreichende Sicherheit bieten:

a)    gegen seitliche, insbesondere horizontale Verschiebung,

b)    gegen Umkippen, d. h. gegen die Wirkung des Drehmomentes der angreifenden aktiven Erddruckkräfte.

Was die Sicherheit gegen Gleiten längs der Fundamentfuge betrifft, so ist schon im I. Abschnitt darauf hingewiesen worden, daß dieser Sicherheitsgrad mindestens den Wert 1,5 haben soll, d. h. also (Abb. 35), der Winkel zwischen Mittelkraft und Fugennormalen muß kleiner sein als der Reibungswinkel ô zwischen Baustoff und Boden, und zwar

tg d

soll die Sicherheit n — —> 1,5 sein. Es ist dort gleich-t goc —

zeitig gezeigt worden, wie man mittels kreisförmiger oder anderweitig gekrümmter Gleitlinien die Gleitsicherheit einer Ufermauer nachweisen kann. (Vgl. hierzu die Abb. 35 und 35 a betr. die Untersuchungen der Kaimauer in Gothenburg und der Hafenmauer in Schanghai.) Hier ergibt sich der Sicherheitsgrad n als Verhältnis des passiven Erddruckes zum aktiven.

Eine vielumstrittene Frage bildet die Kippsicherheit einer Stützmauer. Hierunter versteht man (Abb. 67) das Verhältnis des Standmomentes V • v zum Umsturzmoment H • h. Auch hier ist

V-v

daran festzuhalten (s. Möller, Erddrucktabellen), daß

1,5 bis 2,0 ist.

H-h

Abb. 67.

Manche Fachleute stehen auf dem Standpunkte, daß der Kippsicherheitsnachweis überflüssig sei¹), und begründen dies in

*) Cramer, Wider den sogenannten Kippsicherheitsgrad von Stützmauern. Die Bautechnik 1925, Heft 44.

verschiedener Weise z. B. damit, daß bei Stützmauern auf nachgiebigem Untergrund nicht die Vorderkante, sondern ein anderer Punkt der Fundamentfuge, nämlich der Nullpunkt der Bodenpressung der Drehpunkt sei. Nach Ansicht des Verfassers ist dies jedoch nicht stichhaltig, da die sehr kleine Verdrehung der Fundamentfuge infolge der verschieden großen elastischen Einsenkungen derselben nichts zu tun hat mit der durch den Kippsicherheitsnachweis auszuschaltenden Gefahr des Kippens der Mauer um die Vorderkante (Kippkante), also mit dem Übergang in den labilen Zustand. Es dürfte sich daher empfehlen, den Kippsicherheitsnachweis mit n — 1,5 bis 2 in allen Fällen beizubehalten, vor allem schon deshalb, weil, wie aus den Darlegungen des I. Abschnittes dem Leser klar geworden sein dürfte, die Erddruckkräfte sich niemals mit vollkommener Genauigkeit aufstellen lassen.

D. Einiges über die Herstellung von Mauern aus vollem Beton.

Neuerdings werden größere Ausführungen in unbewehrter Betonkonstruktion als Gußbetonbauten hergestellt. Abb. 68 zeigt eine derartige Ausführung einer Ufermauer

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Abb. 68. Gußbetonbau.

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(Aus „Der Bauingenieur 1928, Heft 51. Verlag J. Springer, Berlin.)

auf der Werft Kiel der Deutschen Werke Kiel A.-G.¹). Der Beton wurde hierbei mittels eines elektrisch angetriebenen fahrbaren Förderbandes in die Schalung eingebracht.

Betreffend die Anlage von Temperaturausdehnungsfugen und Schwindfugen bei langen Stütz-, Futter- und Ufermauern wird auf die Darlegungen in § 8 (Eisenbetonwinkelstützmauern) verwiesen.

Was die Ausbildung der Ansichtsflächen bei Stampfbetonmauern anlangt, so ist zu bemerken, daß diese entweder in Vorsatzbeton²) mit werksteinmäßiger Bearbeitung oder aber — was natürlich entsprechend kostspieliger ist — durch eine Verblendung mit Werksteinen oder auch mit Klinkern erfolgen kann. Bei der in der Abbildung dargestellten Ufermauer in Kiel wurde die Verkleidung in Klinkermauerwerk ausgeführt.

§ 7. Aufgelöste Mauern aus Mauerwerk, Beton oder Eisenbeton.

Um an Material zu sparen, ist man vielfach, anstatt den Mauerquerschnitt voll auszubilden, zur sog. „aufgelösten Bauweise“ übergegangen, bei der Strebepfeiler in gleichen Abständen angeordnet und zwischen diesen entweder wagerechte Gewölbe aus Mauerwerk oder unbewehrtem Beton oder aber ebene, auf Biegung beanspruchte, wagerecht durchlaufende Platten aus Eisenbeton gespannt wurden. Diese Bauweise kann als ein Vorläufer der im folgenden Paragraphen behandelten Winkelstützmauer betrachtet werden.

In Abb. 69 a—d ist diese Ausbildung an einer allgemein gültigen Figur dargestellt. Die mittlere Entfernung der Strebepfeiler beträgt etwa 4—8 m. Um eine entsprechende

x) Kiehne, Neubau einer Ufermauer auf der Werft Kiel der Deutschen Werke Kiel Aktiengesellschaft. Der Bauingenieur 1928, Heft 51.

*) Vgl. hierzu auch Abb. 87.

Strebe- 'Я§ pfèiler ///^

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й Eisenbeton

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Stampfbeton

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Kronenbreite bei einer solch aufgelösten Stützmauer zu erhalten, werden häufig die Pfeiler oben durch lotrechte Gewölbe (evtl, auch durch Eisenbetonbalken) miteinander verbunden (Abb. 69 d, auch Abb. 60a), so daß die Mauerkrone dann meist den Bürgersteig einer oben entlang führenden Yerkehrsstraße aufnehmen kann.

Bei der Kaimauer

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zu Geestemünde¹)

I Querschnitt (Abb-J°a u|id b) wur-*    den Hohlraume da-

durch geschaffen, daß erdseitig horizontale Gewölbe

Pfeilern, wasserseitig eine nur 1 m starke, volle Wand gebaut und die entstehenden Hohlräume Schluß mit Magerbeton ausgefüllt wurden. Der Anlauf der Vorderwand betrug hier 1: ¹/1 Wenn es sich um die örtliche Verbreiterung eines Straßen-

I Grundriß

2‘

zwischen

zum

4 Abb. 70a und 70b.

Kaimauer zu Geestemünde.

(Aus „Esselborn, Lehrbuch des Tiefbaues“ Verlag W. Engelmann, Leipzig.)

oder Eisenbahndammes handelt, kann ^ die in Abb. 71 a und b L skizzierte Ausfüh- ras* rungsart Yerwen-dung finden, bei der die zwischen Strebepfeilern wagerecht gespannte Wand(durch-laufende Platte) nur bis zur Böschung heruntergeführtwird, derart, daß also die Böschungsfläche, wie in der Abbildung angedeutet, zwischen den Pfeilern noch ™ sichtbar hervortritt.

*

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Straßen- oder Eisenbahndammes.

§ 8. Eisenbetonwinkelstützmauern.

Die Grundidee der Winkelstützmauer beruht darauf, daß durch die Bodenplatte (das ist der in den Boden hineingehende, mehr oder weniger wagerechte Schenkel der Winkelstützmauer) das Gewicht des darüberlagernden Erdpris-

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Ansicht

Abb. 71 a und b. örtliche Verbreiterung eines

mas nutzbar gemacht und hierdurch die Summe der lotrechten, also der die Stabilität der Mauer gewährleistenden Kräfte vergrößert wird. Es ist einleuchtend, daß sich durch Anwendung dieses Konstruktionsgrundsatzes Ersparnisse an Massen, also wirtschaftliche Vorteile gegenüber vollen Stampfbetonmauern ergeben. Ein Bindeglied in der Entwicklung von der vollen Mauer zur Winkelstützmauer ist verkörpert durch die ab und zu verwendete volle Mauer mit sog, „Sporn“ (Abb. 72). Der nach hinten ausladende

Sporn

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Abb. 72. Stützmauer mit Sporn.

Abb. 73.

Sporn aus Eisenbeton — etwa in halber Mauerhöhe angebracht — hat gleichfalls den Zweck, durch Nutzbarmachung des aufruhenden Erdgewichtes eine günstigere Druckverteilung in der Fundamentsohle herbeizuführen. Nach diesem Prinzip ist beispielsweise die Kaimauer im Zollhafen von Düsseldorf ausgeführt¹). Von besonderem Vorteil ist die Anwendung des Sporns bei nachträglich zu verstärkenden Stützmauern, da bei dieser Ausführungsart der Anschluß an eine bestehende, erhärtete Betonmauer viel weniger Schwierigkeiten bereitet als etwa eine Verbreiterung der Mauer in voller Höhe.

Die eigentliche Winkelstützmauer besteht in ihrer ursprünglichen Form lediglich aus zwei Schenkeln, nämlich der Wand- und der Bodenplatte (oder Fußplatte, Abb.73), beide Platten als Eisenbetontragplatten ausgebildet. Die Forderung, daß die Mittelkraft R der Fundamentfuge nicht zu nahe an den vorderen Rand (die Kippkante) herankommt, führte dann zur Ausbildung nach Abb. 74, bei der vorne noch ein vorspringender Teil der Fußplatte vorhanden ist. Die Eisenführung erfolgt zweckmäßig nach Abb. 74 b; die Schleife hat denVorteil, daß die gezo-genen Eisen nicht um die Ecke geführt zu werden brauchen, wodurch ein Heraustreten der Zugeisen aus dem Beton verhindert wird.

Abb. 74 a und b. Winkeistützmauer ohne Rippen.

je fr • p 7

Bei größeren Wandhöhen wendet man — wie schon in Abb. 59 b und c dargestellt — die Winkelstützmauern mit Querrippen an, bei denen sowohl die Wandplatte als auch die Bodenplatte als Durchlaufträger über den Rippen gestützt sind Und Somit wagerechte Abb. 75. Winkelstützmauer

Bewehrung erhalten. Häufig gibt

man dann der Fußplatte nach Abb. 75 rückwärts noch eine Verstärkung (Nase) nach unten, die den Zweck hat, bei weichem Baugrund seitliche Verschiebungen (ein Ab-

gleiten der Bodenplatte) zu verhindern. Gleichzeitig können die Hauptbewehrungseisen der Rippe, wie in der Abbildung angedeutet, in dieser Nase verankert werden.

Eine Winkelstützmauer mit „Sporn“ in halber Höhe zeigt Abb. 76. Hierbei wird gegenüber der Ausbildung mit unten erweiterter Grundplatte (in der Abb. 76 strichpunktiert eingezeichnet) an Bodenaushub viel gespart. Eine solche Stützwand wurde ausgeführt am Quai Débilly zu Paris¹). Bei schlechtem Unter-

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Abb. 76. Stützwand am Quai Débilly, Paris. (Aus „Esselborn“, a. a. 0. W. Engelmann, Leipzig.)

grund hat man neuerdings auch Kaimauern ausgeführt, bei denen das Prinzip der Senkkasten-angewendet

gründung wurde, also eine Eisenbetonkastenkonstruktion als Trog abseits auf einer Holzbühne

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10,10

(oder in einem Trockendock) in Gußbetonbauweise hergestellt, sodann schwimmend über das durch Rammpfähle vorbereitete Fundament gefahren und hierauf durch Belastung der Hohlräume des

Abb. 77.

Kaimauer im Hafen von Kobe.

Senkkastens mit Beton oder Sand abgesenkt wurde. Abb. 77 zeigt einen derartigen Eisenbetonsenkkasten im Querschnitt^ wie er verwendet wurde bei dem Bau einer Kaimauer im Hafen von Kobe (Japan)¹).

Das folgende Beispiel (Abb. 78—80) stellt eine von der Firma Wayss & Freytag A.-G. für Herrn P. J. Manz, Architekt in Stuttgart, ausgeführte Winkelstützmauer dar.

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Erddruck -Spannung

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10 о io 20 30 W

Abb. 78 a. Eisenbetonwinkelstützmauer mit Rippen.

Die Vorderwand ist durch Rippen in der Bodenplatte verankert, auf die das Gewicht des darüberliegenden Erdreiches wirkt. Durch die Nutzbarmachung des Erdgewichtes wird also an Material gespart. Die statische Berechnung sei hier kurz mitgeteilt:

x) Die Bautechnik 1926, Heft 44, S. 650 und 651.

Kann, Erddruck.

Annahmen: Spez. Gewicht der Hinterfüllung: ye= 1,8 t/m³. Natürlicher Böschungswinkel: q= 30°. Reibungswinkel zwischen Wand und Hinterfüllung : d = 15°.

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Die Vorderwand wurde als

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9,50

Si

~x

durchlaufender Träger mit veränderlichem Trägheitsmoment — in Abständen von 2,50 m auf die Rippen gestützt — berechnet und hierfür das von Dr. Max Ritter in der Schweizerischen Batfzeitung¹) angegebene Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Festpunkte angewendet. Ritter fin-

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Abb. 78 b.

Abb. 79 a.

М-Ч-

l'

Abb. 79 b. Festpunkte unter Berücksichtigung desveränderl. Trägheitsmoments.

det auf Grund eingehender Entwicklungen, daß die Berücksichtigung der Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes

in einfacher Weise möglich ist, wenn das Trägheitsmoment von der Mitte (Jm) gegen die Auflager (Ja) nach dem allgemeinen Gesetz (Abb. 79a)

(36)

J m

zunimmt, worin

Ja

und r (im Mittel) =2,0.

Wenn dieses Gesetz Geltung hat, so läßt sich die bekannte Rittersche Konstruktion (Kreuzlinienmethode) allgemein benützen, nur ist die Bestimmung der Festpunkte eine fc/j! andere. Man erhält nämlich für den Abstand 'xL-fr ' des Festpunktes J' vom benachbarten Auflager (Abb. 79 b) die Gleichung

a’

(37)

Abb. 80.

(38)

C1 + C2 * Iх —

Hierin ist

_ 5 (n + 2)    '

Cl n + 4

2 (2 n + 3)

^2 = -;——-    .

n + 4

li= r J

Für den Sonderfall konstanten Trägheitsmomentes ist in (37) (da n = 1)

c₁= 3 und c₂ = 2

einzusetzen.

Dr. Ritter weist dann an Beispielen nach, daß es auf den genauen Wert von n nicht mehr ankommt, wenn nur n kleiner als г/₅ ist; man setzt einfach n — ¹/₅.

7*

Wie aus Abb. 78 hervorgeht, ist die Vorderwand nach der Höhe in vier Zonen eingeteilt. Für die Zone 3 (Tiefe 5,0—7,5 m) ergab sich z. B.

p = 3,7 t/m²,

2,5²

M = 3,7

₁₇ = 1,36 mt

d = 18 cm, je = 9,4 cm2 eingelegt 4 0 12 + 4 0 14 = 10,68 cm²,

Mittelöffnung: M = 3,7

Endöffnung:

2,5²

₂₇ = 0,855 mt

d= 14 cm, je = 7,8 cm2 eingelegt 4 0 10    4 0 12 = 7,66 cm².

Berechnung der Bodenplatte.

Auf die Bodenplatte wirkt von unten die Bodenpressung, von oben der Druck der Überschüttung. Die Bemessung der Platte hat, wie in Abb. 78 a dargestellt, für die Differenz der beiden Drücke zu erfolgen. Dieser Unterschied von Bodenpressung und Gewicht der Erdauflast ist in der Abbildung eng schraffiert. Im übrigen ist die Berechnung der durchlaufenden, auf die Rippen gestützten Bodenplatte mit veränderlichem Trägheitsmoment in analoger Weise wie jene der Vorderwand durchgeführt. Wegen der wechselnden Belastung ist auch die Bodenplatte in einzelne Zonen zu unterteilen.

Berechnung der Rippen.

Der Erddruck wird von der Vorderwand auf die Rippen übertragen, wodurch letztere auf Biegung beansprucht werden. Um irgendeinen Querschnitt in einer angenommenen Höhe zu berechnen, muß man gemäß Abb. 80 das Moment für diesen Schnitt ermitteln zu

M = R- v.

Dividiert man M durch den Normalabstand г der Eiseneinlage vom Druckmittelpunkt, dann wird die dort wirksame Zugkraft

R-r

Z= -

Hierfür ist die Eiseneinlage zu bemessen. Für die Berechnung der Betondruckspannung ist zu berücksichtigen, daß der Normalschnitt das Plattenbalkenprofil aufweist; die Vorderwand ist dabei die Druckplatte.

= 23,5 t.

So ergab sich z. B. nach Abb. 78 b für den Schnitt in 7x/₂ m Tiefe: M = 75,2 mt und _    7520

320

Die Kippe besitzt außer dem für die Biegung erforderlichen Eisen noch wagrechte Bügel, um den Erddruck der Vorderwand in die Rippen zu übertragen, und lotrechte Bügel, um ein Abreißen der Bodenplatte zu verhindern.

Im vorliegenden Falle wurde der Erddruck nach der Coulombschen Theorie und daher die Richtung der Erddruckkräfte unter dem gegebenen Reibungswinkel von 15° zwischen Wand und Hinterfüllung (vgl. Abb. 78 a) angenommen. Wie jedoch schon im I. Abschnitt auf S. 27 auseinandergesetzt wurde, ist es zulässig, bei Winkelstützmauern die Rankinesche Erddrucktheorie des unbegrenzten Erdkörpers in aller Strenge anzuwenden, da sich hier der natürliche Gleitkeil (Abb. 18) ausbilden kann. Prof. Mörsch hat dies durch seine Versuche mit Modellwinkelstützmauern bestätigt gefunden¹). Die obige Berechnung müßte daher besser — da das Gelände wagrecht ist — mit d = 0 anstatt d = 15° durchgeführt, also sämtliche Erdkräfte auf die lotrechte Trennungslinie HR in Abb. 78a wagerecht angenommen und mit den Gewichtskräften zusammengesetzt werden.

¹) Mörsch, Die Berechnung der Winkelstützmauern. Beton und Eisen 1925, Heft 20.

Bei Kai- und Ufermauern findet man sehr häufig die auf einem Schrägpfahlrost ruhende Winkelstützmauer. [Eine der ersten Ausführungen dieser Art — die 6 m hohe Eisenbetonstützmauer am Boßkanal in Hamburg — ist in Abb. 81 dargestellt. Die Bodenplatte trägt sich frei zwischen durchgehenden Längsbalken, liegt hier also hohl. 1m Hierdurch wird das Gewicht der überlagernden Hinterfüllung nutzbar gemacht, das sich mit den mehr oder weniger wagerechten Erddruckkräften zu einer schrägen Mittelkraft zusammensetzt; diese wird durch die Querrippen auf den Schrägpfahlrost übertragen. Damit die Konstruktion staff* tisch bestimmt ist, sind unter jeder Querrippe drei Pfähle erforderlich, näm-1 lieh zwei Schrägpfähle als festes und ein lotrechter Pfahl (Pendelstütze) als bewegliches Auflager. Von den beiden Schrägpfählen ist demnach im allgemeinen der eine ein Druck-, der andere hin-

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Abb. 81.

Stützmauer am Roßkanal in Hamburg.

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Abb. 82a und b. Ermittlung der Pfahlkräfte.

gegen ein Zugpfahl (s. Schema Abb. 82 a und b). In Abb. 81 ist vorne (auf der Wasserseite) das bewegliche, rückwärts (an der Landseite) das feste Auflager der Querrippe angenommen¹). Die rückwärtige Pfahlreihe ist dabei durch die zum Abschluß der Hinterfüllung erforderliche Spundwand ersetzt. Auf diese Weise erhält man eine statisch klarere Konstruktion als bei Anwendung der in § 9 besprochenen verankerten Spundwand.

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) Backofen, Gleitflächen bei Rutschungen im Ton. Zentralblatt der Bauverwaltung 1927, Nr. 31 und 32.

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Abb. 83. Kaimauer im Hafen von Flensburg¹.

Die obige Ausführungsweise wurde von der Firma Chri-stiani & Nielsen, Hamburg, bereits vor dem Kriege²) angewendet.

Es ist jedoch nicht unbedingt notwendig, daß die abschließende Spundwand — wie in Abb. 81 — rückwärts

¹)    Eine Theorie der Pfahlroste unter Berücksichtigung der elastischen Verkürzung der Pfähle findet man in der Schrift „Nökkentved, Berechnung von Pfahlrosten“, Berlin 1928.

²)    Christiani, Über Eisenbetonkaimauern der norddeutschen Häfen. Deutsche Bauzeitung, Zementbeilage, 1913, Nr. 13, S. 97ff.

landseitig) angeordnet wird, diese kann vielmehr auch nach vorne (wasserseitig) gelegt werden, da das Gewicht der Hinterfüllung im Grenzfalle des Gleichgewichts, also vor Eintreten des Kippens, auch zur Wirkung kommt, wenn die Bodenplatte nicht hohl liegt. Aus Abb. 83 ist eine solche

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Abb. 84. Ufermauer am Südufer in Berlin.

Konstruktion ersichtlich, die die von der Wayss & Frey-tag A.-G. ausgeführte Kaimauer im Hafen von Flensburg darstellt¹).

Der vorhin erwähnten Ausbildung nach Abb. 81 sehr ähnlich ist die beim Ausbau der Lösch- und Ladestraße am

Südufer in Berlin angewendete Ufermauerkonstruktion. (Erbaut 1914—1916 unter der örtlichen Bauleitung des Verfassers ; Bauherr war die Städtische Tiefbaudeputation des Berliner Magistrats.) Den Querschnitt der von der Firma Wayss & Freytag A.-G.,

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Niederlassung Berlin, erbauten Strecke der Kaimauer am Spandauer Schiffahrtskanal—

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Abb. 85. Austeilung der Ausdehnungsfugen.

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113,3=

Baulos II, ca. 214 m lang, zwischen Fennbrücke und Berliner Nordring gelegen — zeigt Abb. 84. Die Winkelstützmauer aus Eisenbeton steht hier gleichfalls auf einem Pfahlrost, der hinten zwei Pfähle, vorne einen Pfahl aufweist. Der vordere lotrechte Pfahl wurde zur Erhöhung der Sicherheit unter jeder zweiten Rippe angeordnet (als vierter Pfahl des Joches). Von den die Bodenplatte tragenden beiden Hauptlängsbalken war der vordere in die ca. 2 m hohe Betonvorderwand hineingelegt. Die Querrippen erhielten hier keine Belastung von der Bodenplatte, sondern dienten lediglich zur Versteifung. Entsprechend der Abb. 82 hat der rückwärtige lotrechte Pfahl Zugkräfte, der hintere Schrägpfahl dagegen Druck zu übernehmen. Die Pfahlböcke standen in Abständen von 3,30 m, die Pfähle selbst waren in Eisenbeton hergestellt und mit Längs- und Spiraleisen bewehrt.

Aus dem Übersichtsgrundriß der Abb. 85 ist insbesondere die Länge der einzelnen zusammenhängenden Bauteile und der Abstand der Ausdehnungsfugen ersichtlich. Die letz-

teren wurden ungefähr alle 36 m angelegt, wobei die beiden Hauptlängsbalken als Kragarme — Ausladung gleich der halben Pfahljochentfernung, d. h. gleich 1,65 m — ausgebildet wurden. Bei der vorhin erwähn-; ten Stützmauer der Firma Christiani j & Nielsen (Abb. 81) betrug die Entf er-j nung der Bewegungsfugen sogar 50 m, ai n was allerdings als reichlich weit be-Dehnungsfuge durch zeichnet werden muß. Prof. Kleinlog el¹) gibt als Grenzen der Abstände der Bewegungsfugen bei langgestreckten Stütz- und Futter-

Winkeleisen.

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Bossen

fuge

Bossen

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gestockt

Abb. 87. Ansicht der Dehnungsfuge.

l) Kleinlogel, Bewegungsfugen im Beton- und Eisenbetonbau, S. 100. Berlin 1927.

Abb. 88. Einrammen von Schrägpfählen. (Vgl. hierzu Abb. 84.)

mauern 10—40 m an. Die Dehnungsfugen werden ca. 2 cm breit gemacht und entweder — wie bei den erwähnten Stützmauern der Ladestraße am Südufer — mit einem

Dichtungsmaterial ausgefüllt oder aber nach Art der Abb. 86 durch Winkeleisen und schleifende Bleche abge-

Г/

Abb. 89. Verlegen der Eiseneinlagen für die Ufermauer am Südufer in Berlin.

Abb. 90. Rückansicht der Ufermauern nach Ausschalung.

schlossen. Häufig wird auch eine Verzahnung an Stelle des stumpfen Aneinanderstoßens angewendet. Abb. 87 zeigt im Lichtbild die Ansicht des unteren Teiles der Dehnungsfuge in der straßenseitigen Stampfbetonfuttermauer am Südufer. Hier wurde die Fuge beiderseits durch Bossen eingefaßt, um [die architektonische Wirkung zu verbessern.

Die Lichtbilder Abb. 88 bis einschließlich 91 stellen verschiedene Stadien des Bauloses II der mehrfach erwähnten Bauausführung der Ladestraße am Südufer des Berlin-Spandauer Schiffahrtskanals dar. So zeigt Abb. 88 das Einrammen eines Schrägpfahles durch die Wayss & Freytag

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Abb. 91. Ladestraße am Süduferjin Berlin. Vorderansicht.

A.-G., Abb. 89 das Verlegen der Eisen für den Aufbau der Winkelstützmauer (vgl. hierzu auch Abb. 84), Abb. 90 die Rückansicht der ausgeschalten, noch nicht hinterfüllten Wand, und endlich Abb. 91 die Vorderansicht der fertigen Anlage des Loses II.

Das Prinzip der Winkelstützmauer auf Schrägpfahlrost ist auch angewendet worden bei dem in den Jahren 1924 und 1925 erfolgten Ausbau des rund 1000 m langen Colum-buskais in Bremerhaven. Aus Abb. 92¹) ist der Quer-

schnitt der Anlage ersichtlich. Mit Rücksicht auf die hier gewählten mächtigen Abmessungen der Betonkonstruktion war eine Eisenbewehrung im allgemeinen nicht erforderlich, lediglich über den Pfahlköpfen liegt ein Maschennetz von

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Abb. 92. Ufermauer in Bremerhaven.

wagerechter Bewehrung. Der Beton ist hier wasserseitig mit Werksteinen verblendet.

Eine Stützmauer von bemerkenswerter Bauart ist von der Société Française des pieux Franki für die Eisenwerke Maubeuge in Louvrail am Ufer der Sambre gebaut

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worden, nachdem eine massive Bruchsteinmauer auf Betonsockel an der betreffenden Stelle noch vor der Vollendung eingestürzt war (Abb. 93¹). Der von der Firma Franki ausgearbeitete Entwurf bestand zunächst aus zwei Beihen von Betonpfählen; diese trugen eine Eisenbetonplatte von 3,95 m Breite, auf der die ebenfalls in Eisenbeton ausgeführten Widerlagerrippen verankert waren. Letztere waren nach Abb. 93 b durch fünf Längsrippen verbunden und die so entstehenden Gefache mit Ziegelmauerwerk in Zementmörtel ausgemauert (vgl. Vorderansicht Abb. 93 c), dessen Stärke nach unten zunahm. Die Kippen waren durch Eisenbetonanker und Ankerplatten nach hinten gehalten, so daß die hier angewendete Bauweise schon eine Art von verankerter Konstruktion darstellt, wie solche im folgenden Paragraphen noch besprochen werden.

§9. Verankerte Spundwände.

Zum Schluß sollen der Vollständigkeit halber auch noch die verankerten Spundwände (gemäß Abb. 61) kurz behandelt werden, obwohl diese in statischer und wirtschaftlicher Hinsicht weniger vorteilhaft sind als die Winkelstützmauern auf Pfahlböcken, und zwar hauptsächlich wegen der statischen Unklarheit, die mit der teilweisen Einspannung der Spundwand in den Baugrund verbunden ist. Zunächst möge die freistehende (unverankerte) Spundwand näher betrachtet und ihre statische Berechnung erläutert werden, weil diese auch die Grundlage zur Berechnung der verankerten Spundwand bildet²).

Aus Abb. 94 ist die Spannungsverteilung an einer auf die Tiefe lic unter Gelände beiderseits im Boden eingespannten Wand ersichtlich. Von rechts wirkt der aktive Erd-

*) Vgl. Beton und Eisen 1926, Heft 13,'S. 245—250; und auch den Bericht von R. Verwilghen^in: Technique des Travaux 1926, Heft 2. a) Vgl. hierzu Krey, a. a. O., S. 176 und 177.

druck längs der Höhe AD, auf die Strecke BD von links die Differenz des passiven und aktiven Druckes Ep — E*a und auf die Strecke DC von rechts der passive Erddruck Ep. Der Drehpunkt D wird berechnet unter Anwendung der beiden statischen Gleichgewichtsbedingungen

EH = О IMC = 0.

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Abb. 94. Freistehende Spundwand nach Krey.

Diese Gleichungen dienen zur Ermittlung der beiden unbekannten Längen d und e, wodurch die ganze ^

Verteilungsfigur bestimmt ist. Bei gutem Baugrund und entsprechender Rammtiefe hc ist es nach Krey zulässig, vollkommene Einspannung in den Boden (also Ev= oo) anzunehmen, wodurch sich die Verteilungsfigur der Abb. 95 ergibt. Hier ist gegeben der tätige Erddruck Ea\ zur Festlegung des Drehpunktes dienen die beiden Längen e und /, zu deren Berechnung man wieder zwei

Kann, Erddruck.

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Abb. 95. Freistehende Spundwand nach Кгэу.

Bedingungsgleichungen aufstellt, die für ô = 0 (wagrechte Erddrücke) lauten:

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Bei gegebenem ye, ç>, a, p und hc können die Gleichungen (39) nach e und / aufgelöst werden, wodurch die Spannungsverteilung bestimmt ist.

Ist die Spundwand oben durch einen Anker gehalten, so tritt zu den zwei statischen Gleichgewichtsbedingungen (39) als dritte Bedingung der Satz von Minimum der Formänderungsarbeit (Castigliano), da die Ankerzugkraft Z überzählig und die Aufgabe nun einfach statisch unbestimmt ist. Man kommt hier am besten durch Probieren zum Ziel, indem man die Einspannstelle der Spundbohle im Boden, d. h. den Angriffspunkt von Ep zunächst annimmt, z. B. in einer Tiefe von г/г • hc unter dem Punkt В (Abb. 95). Ist die Ankerzugkraft Z gefunden, so ist das Problem auf das frühere der freistehenden Spundwand zurückgeführt. Aus der hieraus sich ergebenden Verteilungsfigur (nach Abb. 95) berechnet man Größe und Lage der Mittelkräfte Ep und Ep und prüft nun, ob Ep — wenigstens annähernd — mit der hierfür angenommenen

Lage zu Beginn der Rechnung übereinstimmt. Ist dies nicht der Fall, so ist die Rechnung mit der neuen Lage von Ep zu wiederholen.

Bei der vorstehenden Betrachtung war vollkommene Einspannung der Spundbohlen in den Boden vorausgesetzt, da einerseits die Spannungsverteilung nach Abb. 95, andererseits der Lehrsatz von Castigliano, der ja nicht für elastische Einspannung am Ende eines Trägers Gültigkeit hat, zugrunde gelegt wurden. Bei weniger widerstandsfähigem Boden tut man jedoch besser, vorsichtigerweise die Verteilung gemäß Abb. 94 zu berücksichtigen und muß daher — entsprechend der teil weisen Einspannung der Spundbohlen im Boden — von dem nach Castigliano er-rechneten Einspannmoment der vollen Einspannung nur die Hälfte in Rechnung stellen, hierfür den Ankerzug Z ermitteln und das obige Verfahren anwenden.

Im Hinblick auf die mit der hier angegebenen Berechnungsweise der verankerten Spundwände verbundene Unsicherheit sind in allen Fällen Eisenbetonwinkelstützmauern auf Pfahlböcken (nach §8) als statisch klar und bestimmt vorzuziehen.

Nachdem nun das Wesentliche der Berechnung von Spundwänden erläutert worden ist, wird im folgenden auf die bauliche Durchbildung von Uferkonstruktionen unter Verwendung von Spundwänden eingegangen. Den einfachsten Fall einer unverankerten Spundwand zeigt Abb.96. Diese Anordnung ist natürlich nur dann anwendbar, wenn die Höhe der einseitigen Hinterfüllung der Wand sehr gering, die Rammtiefe, also Einspannungslänge der Wand, dagegen entsprechend groß ist. In allen andern Fällen wird man eine Verankerung nach rückwärts durch eiserne Zugstangen oder eine Eisenbetonkonstruktion zur Anwendung bringen. Aus den beider! Abb. 97 und 98 sind solche Ausführungen ersichtlich. Die erstere zeigt ein Uferdeckwerk

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Abb. 96.

Unverankerte Spundwand.

Abb. 97. Uferdeckwerk am Spreekanal.

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Abb. 98. Anlage an der Ostseite des Barking Creek (England).

am Spree kan al¹), bei dem über dem hölzernen Holm einer Grundpfahlreihe in Abständen von 1,5 bis 2,0 m Ständer aus Profileisen angebracht und durch zwei Ankerlagen aus 30 mm Rundeisen nach hinten gehalten wurden. Zwischen den Flantschen dieser Ständer spannen sich Monierplatten von je 60—100 cm Höhe und 6—7,5 cm Stärke. Die letztere Abbildung stellt eine an der Ostseite des Barking Creek in England für die Zündholzfabriken J. John Masters & Co. fertiggestellte Anlage als bemerkenswertes Beispiel einer einfachen Uferbefestigung in Eisenbeton dar²). Sie besteht aus Eisenbetonspundpfählen von 30,5 x 35,6 cm in Abständen von 2,44 m von Mitte zu Mitte; die Pfähle waren fest in den Kiesboden eingerammt und in ihren Nuten Eisenbetondielen von 11,5 cm Dicke und 30,5 cm Höhe so lose eingelassen, daß sie sich später setzen konnten. Der obere Abschluß erfolgte durch einen Eisenbetonholm von 15 cm Höhe. Die Verankerung bestand aus 32 mm starken Rundeisenankern, die in Betonschwellen einbetoniert waren; letztere waren gegen Pitch-Pine-Pfosten abgestützt.

Grundsätzlich weichen die beiden Ausführungen der Abb. 97 und 98 nicht erheblich voneinander ab.

Die in Abb. 99 (vgl. auch Abb. 61) dargestellte Ufermauer — Baulos I zwischen Nordring und Torf Straßenbrücke — der schon im § 8 beschriebenen Ladestraße am Südufer in Berlin wurde gleichfalls als verankerte Eisenbetonspundwand gebaut und nach Abb. 101 (analog der SpannungsVerteilungsfigur Abb. 94) mit halber Einspannung der Spundbohlen im Boden berechnet. Abb. 100 zeigt die Vorderansicht der fertigen Wand. Ausführende Firma war die A.-G. für Hoch- und Tiefbauten, vorm. Gebrüder Helfmann, Niederlassung Berlin. Die Kosten dieser 252 m

*) Esselborn, a. a. O., Bd. 1, S. 229.

*) Vgl. Die Balltechnik 1924, Heft 24, S. 248 bzw. Concrete and Constructional Engineering vom April 1924.

langen Ufermauer beliefen sich auf 372 Goldmark für das laufende Meter, während der Einheitspreis der 214 m langen Wand des Loses II (vgl. § 8) laut Angebot 388 Goldmark für 1 m betrug.

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Abb. 99. Verankerte Spundwand am Südufer in Berlin.

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Abb. 100. Vorderansicht zu Abb. 99.

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Neuerdings bricht sich im Eisenbetonbau allgemein das Bestreben nach Verwendung von sog. ,,Fertigkonstruktionen“ immer mehr Balm, und zwar einerseits aus wirt-

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Abb. 101. Spannungsverteilung zu Abb. 99.

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schaftlichen Gründen und andererseits auch mit Rücksicht auf die einwandfreiere, von den Zufälligkeiten der Baustelle, wie Witterung, Temperaturschwankungen usw., unabhängige Herstellungsmöglichkeit und Gütekontrolle der einzelnen Konstruktionsteile. Eine solche Eisenbetonfertigkonstruktion ist die Spundwand Bauart Ravier¹) (Abb. 102). Sie besteht aus Elementen (Pfähle, Spundbohlen), die auf der Baustelle zu einem Ganzen, nämlich einer Wand, zusammengesetzt werden. Nach rückwärts ist diese Wand durch Eisenbetonanker versteift, die — gleichfalls fertig zur Baustelle kommend — zwischen zwei Laschen am Kopf der Pfähle eingepaßt und mit ihnen durch 25 cm starke, runde Eisenbetonbolzen verbunden sind. Nur der den oberen Abschluß bildende Betonholm wird an Ort und Stelle hergestellt. Eine solche Ausführung wurde von der Compagnie Internationale des pieux Franki am Kanal Lüttich—Maastricht bei Lanaye bewerkstelligt. Die Kosten stellten sich auf 631,25 Franken für das laufende Meter.

x) Die Bautechnik 1926, Heft 41, S. 620. Ferner Bericht von Waeyen-berghe in: La Technique des Travaux vom Juli 1926.

SaclrVerzeichnis.

15.

18.

Aktiver Erddruck 10.

Anker 114.

Ankerplatten 112.

Ankerzugkraft 114.

Aufgelöste Bauweise 90,

Ausdehnungsfugen bei Stützmauern 105.

Aussohuß für Baugrundforschung 68.

Bauliche Durchbildung 79,

Betonholm 120.

Bewogungsfugen 106.

Bodenmechanik 67,

Bodenphysik 67.

Bossen 109.

Coulombsohe Theorie 10.

Culmann’sehe E-Linie 13.

Dehnungsfugen 107.

Deutsohe Forsohungsge* sellsohaft für Bodenmechanik 68.

Durchlaufender Träger mit veränderlichem Trägheitsmoment 98.

Ebene Gleitfläohen 12, Eisenbetonspundwand 117, Eisenbeton winkelstützmauern 93. Erdbaumeuhanik 67, Erddruokdreieok 30, Erddruoktabellen 20, Experimentelle Ermittlung der Reibung zwischen Erde und Wand 69.

Fertigkonstruktionen 118,

Festigkeitsbereohnung von Stütz- und Futtermauern 79.

Festpunkte 98.

Futtermauern 79,

Geometrisohe Erddruok-lehre 67.

Gleichgewichtsstörungen im bindigen Boden 77.

Gleit.fläohen, ebene 12.

Gleitfläehen, gekrümmte, 47,

Gleitkeil 12.

Gleitlinien, erzwungene, 42,

Gleitlinien, natürliohe, 42.

Gleitwiderstand 88.

Grundwerte f. verschiedene Bodengattungen 20,

Gnßbetonbauten 89.

Hauptebenen 25,

Holm 117.

Hydrodynamischer Gleit-widerstand 73,

Hydrostatischer Gleitwiderstand 73.

Innerer Reibungswinke!

21.

Involutionszentrum 24,

Kaimauer 92.

Kernpunktsdiagramm 85.

Kernpunktsformel 84.

Kippsicherheit 88.

Klassische Erddrucktheorien 10.

Kohäsion 60.

Kreiszylindrische Gleit-fläohen 47.

Kreuzlinienmethode 99.

Lehrsatz vom Minimum der Form ände rungs ar-beit 114, 115.

Logarithmische Spirale

52.

Messung des Gleitwider-Standes 71. Modellversuche 67. Mobrsoher Kreis 29, Monierplatten 117.

Nase einer Fuß platte 95. Natürlicher Böschungswinkel 12.

Passiver Erddruok 18.

Ponoeletsohe Konstruktion

Quersohnittsformen der Stützmauern 81.

Rankinesoher Sonderfall42. Rankinesohe Theorie 22. Rebhannsoher Satz 15. Reibungswinkel 21,

Rippen 95,

Rutsohungen im Ton 78.

Soheinbare Kohäsion 76. Schrägpfahlrost 102. Schwindfugen 90. Senkkastengründung 96. Spannungsellipse 35.

Sporn 94.

Stabilität einer Böschung 65.

Standwinkel 21, Stellungslinie 14. Strebepfeiler 82. Stützmauern 79.

Tätiger Erddruok 12. Temperaturausdehnungsfugen 90,

Überblick, geschichtlicher, 7.

Ufermauern 89, 102, 104.

Verankerte Spundwände

112.

Vergleiohsreohnungen 56. Verschwindende Reibung 17.

Versuohe zur Ermittlung der Grundwerte 69. Vorsatzbeton 90,

Widerspruoh in der CoulombsohenTheorie22. Widerstehender Erddruck

Winkelstützmauer 27.

Zusammenwirkung von ReibungundKohäsion64.

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