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BIBLIOTEKA GtÖWNA

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Perspektive ebener Gebilde Kegelschnitte

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Von

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Pro£ Dr. Robert Haußner

Mit SO Fagmxm

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(Löschen

Unser heutiges Wissen in kurzen, klaren,

allgemeinverständlichen

Einzeldarstellungen

Jede Nummer in eleg. Leinwandband 80

G. I. Göschen'sche Verlagshandlung G. m. b. L. Berlin W. 35

Qtoetf und Ziel der „Sammlung Göschen" ist, in Eiu-zeldarstellungen eine klare, leichtverständliche und

übersichtliche Einführung in sämtliche Gebiete der Wissenschaft und Technik zugeben; in engem Rahmen, aus streng wissenschaftlicher Grundlage und unter Berücksichtigung des neuesten Standes der Forschung bearbeitet, soll jedes Bändchen zuverlässige Belehrung bieten. Jedes einzelne Gebiet ist in sich geschloffen dargestellt, aber dennoch stehen alle Bändchen in innerem Zusammenhange miteinander, so daß das Ganze, wenn es volles DarstellI

Ein am Numm

erschienenen

Bändchens

Dom V Januar ^3 ab beträgt der preis der Sammlung Göschen 90 Pf. für den Band

Mathematische Bibliothek aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eieg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschieht© der Mathematik von Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr. 226.

Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert. Nr. 47.

Beispiel Sammlung zur Arithmetik und Algebra von Professor Dr. Hermann Schubert.    Nr. 48.

Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig.v. Prof. G. Mahler. Nr. 41.

Nr. 99.

Ebene und sphärische Trigonometrie mit 70 Figuren von Prof. Dr. Gerhard Hessenberg.

Nr. 97.

Stereometrie mit 66 Figuren von Dr. Glaser.

Niedere Analysis m. 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer. Nr. 53.

Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 87.

Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 146.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 65

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor O. Th. Bürklen. Nr. 256.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 8 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.    Nr. 309.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Fig. von Professor Dr. K. Doehlemann.    Nr. 72.

Darstellende Geometrie I mit 110 Figuren von Professor Dr. Rob. Haußner.    Nr. 142.

--II. Mit 40 Figuren.

Nr. 143.

Wahrscheinlichkeitsrechnung von Dr. Franz Hack, Professor am Eberhard-Ludwigs-Gymnasium in Stuttgart. Mit 15 Figuren im Text.    Nr. 508.

von Prof. Dr. Hermann Schubert.

Nr. 81.

Vierstellige Logarithmen

In zweifarbigem Druck.

Fünfstellige Logarithmen von Prof. Aug. Adler, Direktor der k. k. Staatsoberrealschule in Wien.    Nr. 423.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 51.

Wendenl

Aasten^Quü5?:*« m^5Figoi” TafA'dpro,¹wTlh¹\VdU)^ht*IN*.*M2

Velitopanalyel» mit 11 Figuren von Professor Dr. Siegfr. Valentinet.

Determinanten von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Ober-realschule zu Qroß-Lichterfelde.    Nr. 402.

Alaebraisohe Kurven von Eugen Beutel, Oberreallehrer in ⁹VaiMngen-Enz. I. Kurvendiskussion. Mit * Figuren im Text.

Theorie und Kurven dritter und vierter Ordnung.^ MU

--II:

52 Fig. im Text.

Koordinatensysteme von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groß-Lichtenfelde.    Nr.    oui.

Einführung ln die geometrische Optik von Dr.W. Hinrichs in Wilmersdorf-Berlin.    Nr-

Einleitung in die Funktionentheorie (Theorie der komplexen Zahlenreihen) von Oberlehrer Max Rose in Berlin-Wilmersdorf. Mit 10 Figuren.    Nr.    581.

Versloherungemathematik v. Prof. Dr. Alfred Loewy. Nr. 180.

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.    Nr. 58.

Vermessungskunde von Oberlehrer Dipl.-Ing. P. Werkmeister. 2 Bändchen mit 255 Abbildungen.    Nr. 468, 469.

c. Kurzer Abriß des täglich an Bord von Handelsschiffen ange-dtTeils d.Schiffahrtskunde m.56 Abb.v.Dr.Franz Schulze. Nr.84.

Sammlung Göschen

Darstellende Geometrie

Zweiter Teil

Perspektive ebener Gebilde; Kegelschnitte

Von

Dr. Robert Haußner

o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena

Mit 80 Figuren im Texte

Leipzig

G. J. Göschen'sche Verlagshandlung 1908

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzung^recht, von der Verlagshandlung vorbehalten.

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Akc. Nr»

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Spamersche Buchdruckerei in Leipzig.

Inhalt.

I. Abschnitt.

Elemente der Perspektive ebener Gebilde im Raume und in der Ebene.

Messen von Strecken und Winkeln......

Das Abstandsverhältnis.........

5.    Das Doppel Verhältnis.........

6.    Harmonische Punkte und Strahlen......

7.    Unveränderlichkeit des Doppelverhältnisses bei der Projektion ...........

8.    Aufgabe über Doppelverhältnisse......

Perspektive von Geraden........

Perspektive ebener Figuren im Raume .....

14. Besondere Arten der Perspektive......

15—16. Zwei Perspektive Figuren bleiben perspektiv bei Drehung

ihrer Ebenen.........

17—20. Perspektive Figuren in derselben Ebene ....

21. Satz von Desargues; Aufgabe.......

1- 2. 3- 4.

9-10.

11—13.

Seite

12

13

15

17

18

20

24

24

28

33

II. Abschnitt.

Harmonische Eigenschaften des Vierecks und des Kreises.

22.

23.

24-25.

26-27.

28.

29-31. 32- 33.

34.

35.

36.

Das vollständige Viereck und Vierseit.....

Perspektive Verwandlung eines beliebigen Vierecks in ein

Rechteck.........

Harmonische Eigenschaften des Vierecks

Potenz und Potenzlinie bei Kreisen.....

Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise.....

Perspektive Verwandtschaft zweier Kreise . Harmonische Eigenschaften des Kreises Sätze über Pol und Polare eines Kreises Harmonische Pole und Polaren eines Kreises Perspektive Abbildung eines Kreises auf sich selbst Satz über den Kreis.......

III. Abschnitt.

Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte.

38.    Definition der Kegelschnitte.......

39.    Grundeigenschaften der Kegelschnitte.....

40—41. Pol und Polare von Kegelschnitten......

42—43. Verschiedene Arten von Kegelschnitten ....

44. Mittelpunkt und Durchmesser.......

63

64

66

68

Die Ellipse.

Sätze über Tangenten und Polaren einer Ellipse Zwei konjugierte Durchmesser bestimmen eine Ellipse Konstruktion der Ellipse aus zwei konjugierten Durch

messern..........

Jede Tangente schneidet auf zwei parallelen Tangenten Strecken ab, deren Produkt konstant ist Abschnitte einer Tangente auf zwei konjugierten Durch

messern..........

Tangenten- und Sehnenviereck......

Je zwei konjugierte Halbmesser bilden ein Dreieck von

konstantem Inhalte.......

Produkt der Strecken einer Tangente zwischen zwei kon jugierten Durchmessern......

Die Hyperbel.

53—55. Sätze über die Hyperbel........

56—58. Zwei konjugierte Durchmesser bestimmen eine Hyperbel;

drei Konstruktionen derselben.....

59.    Bestimmung der Achsen aus zwei konjugierten Durch

messern ...........

60.    Bestimmung der Asymptoten einer gezeichnet vorliegenden

Hyperbel ..........

61—62. Sätze über Tangenten; Tangenten- und Sehnenviereck . 63. Die gleichseitige Hyperbel........

Die Parabel.

96

64—65. Sätze über die Parabel.........

66.    Zwei Tangenten und ihre Berührungspunkte bestimmen

103

eine Parabel; Konstruktion derselben und Bestimmung der Achse.......

67.    Zwei Punkte, die Tangente in einem derselben und die

Durchmesserrichtung bestimmen eine Parabel; Konstruktion derselben und Bestimmung der Achse 1(B

68.    Eine Parabel ist durch Angabe des Parameters ihrer Ge

stalt nach bestimmt

IV. Abschnitt.

69-70.

71—73.

75-76.

77—78.

79-80.

82-84.

85-86.

Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte: Brennpunktseigen schäften.

Schnitte des geraden Kreiskegels......

Brennpunkte der Kegelschnitte.......

74. Leitlinien der Kegelschnitte.......

Winkel zwischen der Tangente eines Kegelschnittes und

den Brennstrahlen.........

Konstruktion der Ellipse und Hyperbel aus den Brennpunkten und der Parabel aus Brennpunkt und Leitlinie. Konfokale Kegelschnitte ....

Eigenschaft der Brennpunkte.......

81. Sätze über Tangenten aller Kegelschnitte .... Eigenschaften der Tangenten der Ellipse und Hyperbel Eigenschaften der Tangente einer Parabel .... 87. Alle Kegelschnitte können aus geraden Kreiskegeln erhalten werden.........

Seite

108

110

116

118

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125

127

132

135

V. Abschnitt.

Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte: Krümmungskreise.

138

88—89. Hilfsformeln...........

90. Krümmungskreis einer Kurve.......

91—92. Beziehung zwischen den Krümmungsradien einer Kurve und ihrer Projektion. Besondere Fälle .

93. Konstruktion der Srheitelkrümmungskreise einer Ellipse 145 94—95. Formeln für den Krümmungsradius in einem Punkte

einer Ellipse oder Hyperbel......

96—98. Konstruktionen des Krümmungskreises einer Ellipse oder

Hyperbel..........

99. Formel für den Krümmungsradius in einem Punkte einer

Parabel...........

100. Konstruktion des Krümmungskreises einer Parabel • . .    162

141

142

147

152

158

Wegen der angewandten Bezeichnungen siehe die Tafel auf den Seiten 7 und 8 des ersten Teiles.

Literatur.

K. Polilke, Darstellende Geometrie. Berlin, I. Abteilung, 4. Auflage 1876; II. Abteilung 1876.

W. Fiedler, Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage. Leipzig, I. Teil, 4. Auflage 1904; II. und III. Teil, 3. Auflage 1885 und 1888.

Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie.

Leipzig, I. Band 1884; II. Band 1887.

K. Rohn und E. Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Leipzig, 3. Auflage in drei Bänden, 1906.

I. Abschnitt.

Elemente der Perspektive ebener Gebilde im Raume und in der Ebene.

Messen von Strecken und Winkeln.

1. In der elementaren Planimetrie zieht man nur die Länge einer Strecke in Betracht, ohne auf die Richtung, in welcher ihre Länge gemessen ist, Rücksicht zu nehmen. Für die folgenden Betrachtungen dagegen ist es von grundlegender Bedeutung, auch die Richtung, in welcher die Länge gemessen ist, zu beachten.

Ist eine Strecke von den beiden Punkten A und B begrenzt, so soll ihre absolute Länge, d. i. ihre Länge ohne Rücksicht auf die Richtung, in welcher die Strecke beim Messen durchlaufen wird, mit AB oder BA bezeichnet werden. Faßt man aber auch die Richtung ins Auge, so soll die Strecke mit AB oder BA bezeichnet werden, je nachdem die Strecke von A nach B oder von B nach A gemessen werden soll. In diesem Falle kennzeichnet also die Reihenfolge der Buchstaben die Richtung der Strecke (gerichtete Strecke).

Um in der Rechnung den Unterschied der beiden Richtungen einer Strecke zum Ausdruck zu bringen, nimmt man ihre Länge positiv oder negativ, je nachdem die Strecke in der einen oder der anderen Richtung durchlaufen wird. Dementsprechend bezeichnet man die eine Richtung der Strecke als die positive, die entgegen-gesetzte als die negative Richtung. Welche von beiden Richtungen man als positive wählt, ist willkürlich; nur wählt man für alle Strecken einer Geraden g dieselbe Richtung als positive. In der Figur 1 bezeichnet der der Geraden g beigefügte Pfeil die positive Richtung. Ist die

Fi g. 1.

absolute Länge der Strecke AB gleich a Längeneinheiten, so ist also für die linksstehende Figur AB = a, BA — —er und für die rechtsstehende AB = —a, BA = a. Wie man mithin auch die positive Richtung wählen mag, stets ist für eine gerichtete Strecke

AB ----- —BA oder AB + BA ----- 0 .

Zwei gerichtete Strecken von gleicher absoluter Länge können demnach nur dann einander gleich sein, wenn sie in derselben oder in parallelen Geraden liegen und gleichgerichtet sind.

Nimmt man auf g einen dritten Punkt C noch hinzu, so überzeugt man sich, wie auch G zu A und B liegen mag, leicht von der Richtigkeit der Gleichung

ÄB+ BC=AC oder ÄB+ BC+ CA = 0 .

2. Um den von zwei sich schneidenden Geraden (Strahlen) a und b gebildeten Winkel unzweideutig bestimmen zu können, setzt man zunächst für jede Gerade die positive Richtung und ferner für die Ebene ab den positiven Drehsinn willkürlich fest. Dann soll <^ab den Winkel bezeichnen, um den man den Strahl a in positivem Sinne um 0 = a X b drehen muß, bis er mit dem Strahle b so zusammenfällt, daß sich auch die positiven Richtungen decken. Die Figuren 2 veranschaulichen die verschiedenen Möglichkeiten; die den Kreisbögen an-

D-

(O

'S

Fig. 2.

gefügte Pfeilspitze gibt den positiven Drehsinn und zugleich ab an. Für jede mögliche Annahme aber gilt stets

und mithin

<£a6 + <£6a = 360°

sin ab — —sin 6 a .

Das Ab Stands Verhältnis.

3. Das Verhältnis zweier gerichteter Strecken derselben Geraden g ist nach § 1 eine positive oder negative Zahl, je nachdem beide Strecken gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind.

Im besonderen ist das Abstands Verhältnis AG

~=r — X eines Punktes G von den Endpunkten einer CB

Strecke AB eine positive Zahl, wenn G ein innerer, d. h. zwischen A und B gelegener Punkt ist (z. B. Fig. 1, rechts), dagegen eine negative Zahl, wenn G ein äußerer Punkt ist (z. B. Fig. 1, links).

Läßt man nun C die ganze unendliche Gerade g durchlaufen, so nimmt X alle Zahlenwerte von —oo bis -fooan. Fällt nämlich G mit A zusammen, so ist X gleich Null; durchläuft dann C die Strecke von A nach B, so wächst AG, während CB abnimmt, und folglich durchläuft X stetig alle positiven Zahlen bis +<x>. Für den Halbierungspunkt H ist X = 1.

Liegt C außerhalb der endlichen Strecke AB, so ist AC> CB, wenn G über B hinausliegt, und AC<C CB, wenn C jenseits A liegt. Dementsprechend hat X in dem ersteren Falle Werte < — 1 und in dem letzteren solche > — 1 und < 0 . Läßt man G von einem äußeren Punkte her sich B unbegrenzt annähern, so strebt X gegen —oo. Wenn aber G unendlich fern liegt, sei es auf der Seite von A oder auf der von B, so ist

AG AB + BG AB-GB

CB

GB

CB

A B

da AB endlich, GB unendlich groß, also -=r = 0 ist.

CB

Bedient man sich der Ausdrucksweise, daß jede Gerade nur einen unendlich fernen Punkt besitzt — einer Ausdrucksweise, deren Zweckmäßigkeit sich fortwährend zeigen wird —, so entspricht auf einer Geraden g, nach Wahl der beiden Punkte A und B, jedem beliebigen Punkte G ein bestimmtes Abstands-AC

Verhältnis -=- — X, und umgekehrt jedem Werte CB

von X ein bestimmter Punkt C; nur dem Punkte B entsprechen die uneigentlichen Zahlen -f-oo und —oo.

4. In ganz ähnlicher Weise bestimmt man die Lage eines durch den Schnittpunkt 0 zweier Strahlen a und b gehenden dritten Strahles c durch das Abstandsverhältnis A eines beliebigen seiner Punkte P von a und b. Der Wert dieses Abstandsverhältnisses ist, wie leicht ersichtlich, für alle Punkte von c gleich

sin ac sineb

und unabhängig von der Wahl der positiven Richtung von c. Die Betrachtungen über die Werte, welche A annimmt, wenn man c eine halbe Umdrehung ausführen

To

hi

Fig. 3.

läßt, sind dieselben wie in § 3, und der an seinem Schlüsse ausgesprochene Satz läßt sich wörtlich auf Strahlen übertragen. Der Wert A =* 1 entspricht dem Halbierungsstrahle h des Winkels a b, der Wert A — — 1 dem Halbierungsstrahle k seines Nebenwinkels (Fig. 3).

Das Doppelverhältnis.

5. Nimmt man zu dem Punkte C, der die Strecke A B

AG

in dem Verhältnisse ----- k teilt, noch einen vierten

CB

Punkt D (vgl. Fig. 4) hinzu, der dieselbe Strecke in dem AlD

Verhältnisse-- — a teilt, so nennt man den Quotienten

DB

dieser beiden Abstandsverhältnisse

AG AD

GB DB

r—- = k : JUL — V

das Doppel Verhältnis der vier Punkte A, B, G, D und bezeichnet es durch

{AB CD),

wo die Reihenfolge der Buchstaben wesentlich ist*).

Unter dem Doppel Verhältnisse von vier durch einen Punkt 0 gehenden Strahlen a, b, c, d versteht man entsprechend den Quotienten

sin ac sin ad sincb * sine?6

und bezeichnet es mit

{abcd) .

Wie man sich leicht überzeugt, bleibt der Wert von {abcd) ungeändert, wenn man als positive Richtung

*) Zur Bildung des Doppelverhältnisses aus dem Symbole

I Y-|V

(AB CD) merke man sich das Schema A B C D.

LU

AD __ 1 AG IDE ~ v CB

bzw.

eines oder mehrerer Strahlen die der gewählten entgegengesetzte Richtung nimmt.

Wählt man

Punkte A , B, Baus einer Geraden g Strahlen a, ö, c durch einen Punkt 0

Punkte Dt . Strahle d) em bestimmter Wert v des Doppel Verhältnisses zu, und umgekehrt entspricht jedem Werte von v ein Punkt D auf g Strahl d durch 0 Punkt D die Gerade g, bzw. dreht sich der Strahl d um 0, so nimmt ja und folglich auch — aber in anderer Reihenfolge — der Quotient X : [a — v, da X eine bestimmte endliche Zahl ist, alle Werte von —oo bis +<x> an. Ist aber umgekehrt v gegeben, so kann man den zugehörigen Punkt D oder Strahl d auf Grund der Gleichung

drei

fest, so

gehört jedem beliebigen vierten j

und nur ein

. Denn durchläuft der

sin ad    1 sinac

sindb    v sincb

eindeutig bestimmen.

6. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, daß der Wert v des Doppel Verhältnisses gleich —1 ist. Vier Punkte oder Strahlen, deren Doppel Verhältnis den Wert — 1 besitzt, nennt man harmonische Punkte bzw. harmonische Strahlen.

Da aus v = —1 folgt, daß ja = —X ist, also die Abstandsverhältnisse der Punkte (7, D (Strahlen c, d) von den Punkten A, B (Strahlen a, b) einander entgegengesetzt gleich sind, so muß einer der Punkte G und D zwischen A und B, der andere außerhalb liegen, bzw. der eine der beiden Strahlen c und d den <$iab, der andere seinen Nebenwinkel teilen.

Ist X z. ß. > 0 , so teilt der Punkt G die Strecke AB innerlich, der Punkt D die Strecke AB äußerlich in demselben absoluten Verhältnisse. Da aber

{ABCD) ---

AG AD _ GA CB CB ’ DB~ Id' BD

= {CD AB)

ist, so teilen auch die Punkte A und B die Strecke CD harmonisch, d. h. so, daß

GA

CB

BD

AD

ist.

Vier harmonische Punkte gruppieren sich also in zwei Paare getrennter Punkte. Die Punkte jedes Paares bezeichnet man als zueinander konjugierte Punkte {A und B] C und D); die Punkte des einen Paares konjugierter Punkte liegen durch die Punkte des anderen Paares harmonisch getrennt.

Ist besonders X = 1, so ist ju = — 1, d. h. es ergibt sich (vgl. § 3) der Satz: Zu dem Halbierungspunkte einer Strecke gehört als konjugierter harmonischer Punkt der unendlich ferne Punkt der durch die Strecke bestimmten Geraden.

Für vier harmonische Strahlen findet man auf gleiche Weise, daß die Strahlen des einen Paares konjugierter Strahlen den von den Strahlen des anderen Paares bestimmten Winkel und seinen Nebenwinkel harmonisch, d. h. in demselben absoluten Abstandsverhältnisse, teilen.

Für X — 1 halbiert der Strahl c den Winkel a b und der Strahl d den Nebenwinkel, und folglich erhält man den Satz:

Halbiert von vier harmonischen Strahlen ein Strahl den von seinen beiden benachbarten gebildeten Winkel, so steht der konjugierte Strahl auf ihm senkrecht und umgekehrt (vgl. Fig. 3, wo die Strahlen a, b; h, k vier derartige harmonische Strahlen sind).

Sr

G kV x.v/, Y PA ro

My

-SAXx '

/S

~9

Fig. 4.

7. Für die Doppel Verhältnisse von vier Strahlen und von ihren vier Schnittpunkten mit einer beliebigen Greraden gilt der folgende wichtige Satz:

Vier durch einen Punkt 0 gehende Strahlen a, b, c, d schneiden eine beliebige Gerade g in vier Punkten A, B, (7, D so, daß das Doppelverhältnis der vier Strahlen gleich dem der vier Punkte ist.

Beweis. (Fig. 4.) Bezeichnet h den senkrechten Abstand des Punktes 0 von g, so erhält man, indem man die doppelten Flächeninhalte der Dreiecke ACO und GBO in zweifacher Weise ausdrückt, die auch dem Vorzeichen nach richtige Gleichung

AC-h

OA • OG • sinac

OB • h

OG• OB • sineö

oder

AG    OA sinae

Q ß    OB sin cb

In gleicher Weise ergeben die Dreiecke ADO und DBO

DB

AD OA sin ad ~OB* sindb '

folglich durch Division

(i)

w. z. b. w.

(AB CD) = (ab cd),

Für eine beliebige andere Gerade gt findet man

ebenso

(At Bt Gx D±) = (abcd)

und folglich auch

(2)

(ABCD) = (A₁B₁C₁D₁),

d. h. projiziert man vier beliebige Punkte einer Geraden g von einem nicht auf ihr gelegenen Punkte 0 aus auf irgend eine andere Gerade in der durch 0 und g bestimmten Ebene, so haben die Projektionen der Punkte das gleiche Doppelverhältnis wie die Punkte selbst.

Verbindet man andererseits A, B, C, D mit einem Punkte O' durch die Strahlen a', b\ c\ d', so ist auch

(ABGD) --- (a'b'c'd')

und folglich

(3)

(abcd) — (a'b'c'd')

d. h. schneiden sich vier von einem Punkte ausgehende Strahlen mit vier von einem anderen Punkte ausgehenden Strahlen so, daß die Schnittpunkte entsprechender Strahlen (a X a\ . . .) auf einer Gieraden liegen, so ist das Doppel Verhältnis der ersten vier Strahlen gleich dem der zweiten.

8. Die Sätze des vorigen Paragraphen geben sofort auch die Lösung der folgenden

Aufgabe. Gegeben drei Punkte A, B, C einer Geraden g; man soll einen vierten Punkt D auf g so bestimmen, daß {ABCB) ----- v wird, wo v eine vorgegebene Zahl ist.

Man ziehe (Fig. 5) durch C eine beliebige Gerade gx, wähle Bx auf ihr willkürlich und bestimme dann Ax so, daß AXC ——v • CBx ist*). Darauf ziehe man durch 0 = AAX X BBX eine Parallele d zu gx ; diese schneidet

Fig. 5.

g in dem gesuchten Punkte D. Denn wenn Dx den unendlich fernen Punkt von gt bezeichnet, so ist A₁D₁:D₁B₁ = — 1, und da nach Konstruktion Ax Cx: CXBX = — v ist, so ist (Ax Bx Cx Df) = v, und folglich nach § 8 (2) {AB CD) --- {A₁B₁C₁D₁) = y .

*) Figur 5 entspricht der Annahme eines negativen Wertes für v.

Haußner, Darstellende Geometrie II.

Diese Lösung ist für jeden Wert von v brauchbar, gleichgültig ob C ein innerer oder äußerer Punkt der Strecke AB ist.

Die entsprechende Aufgabe für Strahlen von einem Punkte S aus führt man am einfachsten auf die soeben gelöste zurück, indem man'die drei gegebenen Strahlen a, &, c mit einer beliebigen Geraden g in A, B: G schneidet und zu ihnen den Punkt D so bestimmt, daß {ABCD) = v ist; SD = d ist dann der gesuchte vierte Strahl.

Perspektive von Geraden.

9. Die Zentralprojektionen oder Perspektiven Bilder aller Punkte einer Geraden g auf eine Ebene TT (Bildebene) liegen [vgl. I, 4¹)] auf der Projektion gc der Geraden; die Bild gerade gc ist die Schnittgerade der durch g und das Projektionszentrum oder Zentrum der Perspektive 0 gelegten projizierenden Ebene mit der Bildebene TT; G = g X 9c ist der Spurpunkt von g.

Die zwischen den Strecken einer Geraden und ihren Zentral Projektionen bestehende metrische Beziehung folgt unmittelbar aus den Sätzen des § 7. Betrachtet man in Figur 6 vier beliebige Punkte auf g und ihre Projektionen, so liefert die Gleichung (2) jenes Paragraphen

{AB CD) = {AcBcCcDc)

d. h. die Doppel Verhältnisse von vier Punkten einer Geraden und von ihren Zentralprojektionen auf eine beliebige Ebene sind einander gleich.

Ist g I TT, so ist ge || g und dann geht der vorstehende Satz in den einfacheren über: Zur Projektionsebene parallele Strecken verhalten sich wie ihre Projektionen.

Rückt 0 in das Unendliche, so werden alle Projektionsstrahlen AAC, BBc: . . . einander parallel, die Dreiecke AG AC1 BGBC, . . . einander ähnlich, und man erhält den eben ausgesprochenen speziellen Satz für beliebig gerichtete Strecken (I, 9).

-A.

BZ; ,

TTy

I)

Fig. 6.

10. Einem Punkte auf g sowohl, wie einem auf gc kommt eine ausgezeichnete Bedeutung zu.

Zieht man durch 0 den Projektionsstrahl, welcher parallel zu gc ist, so verschwindet die Projektion des Punktes Gv, in welchem er g schneidet, im Unendlichen. Man nennt daher Gv den Ver sch windungspunkt der Geraden g. Der g parallel gerichtete Projektionsstrahl dagegen schneidet gc in dem Punkte G>°, welcher als Projektion eines auf g — gleichgültig nach der einen oder andern Seite — in das Unendliche entflohenen Punktes aufzufassen ist; er heißt der zu g gehörende Fluchtpunkt.

Aus dem Vorstehenden folgt sofort weiter (Fig. 7), daß die Perspektiven Bilder aller Geraden, welche den Ver sch windungspunkt gemeinsam haben (z. B. g und h), sich im Unendlichen schneiden

:JV

TT/

WH¹

v~

Fig. 7.

müssen, d. h. parallel sind. Andrerseits haben alle parallelen Geraden (z. B. h und i) denselben Fluchtpunkt    Jc°°.

Perspektive ebener Figuren.

11. Bei der Zentralprojektion einer nicht durch 0 gehenden Ebene E auf die Ebene TT erhält man in gleicher Weise zwei ausgezeichnete Gerade ev und es³.

Legt man (Fig. 8) durch 0 zwei projizierende Ebenen, die eine parallel zu TT, die andere parallel zu E, so schneidet die erstere die Ebene E in der Verschwin-dungslinie ev, die letztere die Ebene TT in der zu E gehörenden Fluchtlinie e™. Alle Punkte der Ebene E , deren Projektionen in das Unendliche fallen, müssen auf ev liegen; umgekehrt projizieren sich alle unendlich fernen Punkte von E in die Punkte von e™. Die beiden

Geraden ev und e£° sind untereinander und zu der Spuriinie e von E in TT parallel.

Legt man noch durch 0 eine Ebene e, welche E in der Fallinie n schneidet, so erkennt man sofort, daß

V-

:jjv

/ 0/

fev

\:

iU

fe

JL

Fig. 8.

der senkrechte Abstand des Zentrums 0 von der Verschwindungslinie (bzw. Fluchtlinie) gleich dem senkrechten Abstande der Spurlinie von der Fluchtlinie (bzw. Verschwindungslinie), also OUv = UrU, 0 LT =UVU ist.

12. Da sich die unendlich fernen Punkte aller Parallelen in denselben Punkt, ferner alle unendlich fernen Punkte von E in eine einzige Gerade projizieren, und da alle zu E parallelen Ebenen dieselbe Fluchtlinie besitzen, so sagt man, die in § 3 eingeführte Ausdrucksweise in folgerichtiger Weise weiterbildend:

Parallele Gerade besitzen denselben unendlich fernen Punkt. Jede Ebene E besitzt nur eine unendlich ferne Gerade, die sie mit allen parallelen Ebenen gemeinsam hat und die der geometrische Ort der unendlich fernen Punkte aller zu E parallelen Geraden ist. Die unendlich ferne Gerade der Projektionsebene TT ist das Bild der Yerschwindungslinie von E.

E,

li

TT

Ai

TTj

€/

J/

VT,

Fig. 9.

13. Projiziert man (Fig. 9) äas in der Ebene E gelegene Dreieck ABC auf die Ebene TT, so erhält man — falls, wie vorausgesetzt wird, 0 nicht in E liegt — wieder ein Dreieck AcBcCc. Jede Seite und ihre Projektion müssen sich in der Spur e der Ebene E schneiden, z. B. AB und ACBC in G. Umgekehrt kann man aber auch ABC als Zentralprojektion des Dreiecks ACBCGC ansehen. Dann hat e£° die Bedeutung der Verschwindungs-linie und ev die der Fluchtlinie für die Ebene TT als Originalebene.

Demnach entspricht jedem Punkte, jeder Geraden der einen Ebene ein Punkt, eine Gerade der andern Ebene so, daß beide Zentralprojektionen voneinander sind; jeder Figur der einen Ebene entspricht also eine bestimmte Figur der andern Ebene. Jeder Punkt der Schnittgeraden beider Ebenen entspricht sich selbst.

Zwei ebene Figuren, von denen jede die Zentralprojektion der andern ist, nennt man perspektiv oder zentral - kollinear; die zwischen ihnen bestehende geometrische Verwandtschaft heißt Perspektive oder zentrale Kollineation. Die charakteristischen Eigenschaften zweier zentral kollinearer Figuren sind:

1)    Alle Verbindungslinien entsprechender Punkte gehen (als Projektionsstrahlen) durch denselben Punkt; sie heißen auch Perspektivitäts-oder Kollineationsstrahlen, das Projektionszentrum auch Zentrum der Perspektive oder Kolline-ationszentrum.

2)    Die Schnittpunkte je zweier entsprechender Geraden liegen in einer Geraden, der Schnittlinie der Ebenen beider Figuren, welche Achse der Perspektive oder Kollineationsachse heißt (vgl.

auch I, 11).

Ist im besonderen eine Gerade der Achse der Perspektive parallel, so ist es auch die ihr entsprechende Gerade und es gilt für beide der spezielle Satz des § 9.

14. Die Perspektive umfaßt als spezielle Fälle:

1)    Die Perspektive Ähnlichkeit oder Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage, bei welcher die Kolline-ationsachse im Unendlichen liegt und daher die beiden Ebenen einander parallel sind. Man erkennt leicht, daß in diesem besonderen Fall die Originalfigur und ihr Bild einander ähnlich sind.

2)    Die Perspektive Affinität, bei welcher das Zentrum 0 unendlich fern liegt und daher die Projektionsstrahlen einander parallel sind (1,11).

Die Perspektive Symmetrie ergibt sich als besonderer Fall von (1), wenn das Kollineationszentrum in der Mitte zwischen der Bild- und der Originalebene liegt. Die affine Symmetrie und die Kongruenz sind als besondere Fälle von (2) bereits in 1,11 besprochen; die Kongruenz kann auch noch als besonderer Fall von (1) aufgefaßt werden.

15. Zwei Perspektive Figuren bleiben zueinander perspektiv, wenn die Ebene E der einen um die Achse e in eine beliebige neue Lage gedreht wird. Das Zentrum dreht sich hierbei um die Fluchtlinie e£° von E um denselben Winkel und in derselben Dichtung, wie E um die Achse e.

Beweis. (Fig. 10.) Die Ebene E ist um e in die neue Lage Ej gedreht, wodurch die Figur AB . . . in die neue Lage AaBa ... gekommen ist²). Zieht man mm eine beliebige Gerade in E und die ihr entsprechenden in Ea und TT, z. B. AB, AaBa und ACB , welche sich in O auf e schneiden, und bezeichnet die unendlich

fernen Punkte der Geraden GA, GAa , GAC mit 6?°°, G^j Gvc, so ist nach Voraussetzung

(GG°°AB) = (GG?ACBC).

V"

TT

Fig. 10.

Da infolge der Drehung von E in die Lage Ej die Punkte A, B, G°° affin den Punkten Aj, Bj, G°£ entsprechen, so ist

(GG°°AB) = (GGZAaBa)

und folglich auch

(GGZAaBa) = (GG?AcBc).

Die Strahlen Aj Ac, Bj Bc und die Parallele zu GAa durch den Punkt G™ müssen sich also nach der Umkehrung des zweiten Satzes ³) in § 7 in

einem Punkte 0A, dem Projektionszentrum für EA und TT, schneiden, und folglich ist auch die gedrehte Figur AaBa ... perspektiv zu ACBC . . . . Die Versehwindungslinie ev ist durch die Drehung von E in die Lage evA gekommen und Verschwindungslinie für E A ; denn aus (GGvaAaBa) — (G GVAB) — (G Gc ACBC) folgt, daß GA sich in den unendlich fernen Punkt von GAC projiziert, also ist GA Oj || GvO .

Der zweite Teil des Satzes folgt daraus, daß*)

GG* # G?0, GGva# G?Oa und folglich

GG* = GG\

G?0 = GTOa

ist.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke G^ 00A und GAAa folgt noch, daß 00A || AAa ist; die Verbindungslinie der beideh Zentren 0 und 0A ist also den Sehnen der Kreisbögen parallel, die die Punkte von E bei der Drehung in die Lage Ej beschreiben.

16. Der Satz gilt augenscheinlich noch, wenn die Ebene E in der einen oder der andern Richtung so weit gedreht wird, bis sie mit der Ebene TT zusammenfällt. Folglich:

Die Zentralprojektion einer ebenen Figur ist zu der in die Projektionsebene umgelegten

sprechender Punkte von g und g± durch denselben Punkt.11 Man bestimme 0 = A A± X BB₁ und verbinde 0 mit C und Ot. Angenommen, OC falle nicht mit OC₁ zusammen, sondern schneide g₁ in C'. Dann ist nach § 7 (2) (6r A B C) — (GA₁B₁ (7Z) und wegen der Voraussetzung auch    CJ

= (GA± Bt C;), was unmöglich ist nach § 3, wenn C' nicht mit 0₁ zusammenfällt.

*) TT bedeutet parallel und gleich.

Originalfigur perspektiv. Die Schnittgerade beider Ebenen ist die Achse, und das um die Fluchtlinie e£° in gleicher Richtung umgelegte Projektionszentrum ist das Zentrum der Perspektive.

In der folgenden Figur 11, die einen senkrecht zu e längs u geführten Schnitt durch die Figur 8 darstellt, sind die beiden Umlegungen von E in TT [— • — - und Index 0: Drehung im Sinne des Uhrzeigers und Index A : Drehung im entgegengesetzten Sinne] aus-

//W

u \ \ \

V \ I

-4

Fig. 11.

geführt. Der Abstand der umgelegten Yerschwindungs-linie von der Achse ist gleich dem Abstande des umgelegten Zentrums von der Fluchtlinie. Je nach der Richtung, in der die Umlegung geschieht, liegen Yerschwindungs-und Fluchtlinie zwischen der Achse und dem Zentrum, oder die beiden letzteren liegen zwischen den ersteren.

Man erkennt leicht, daß — von einem Falle abgesehen — ein umgelegter Punkt nicht mit seiner

Zentralprojektion, z. B. Aj , bzw. A₀ nicht mit Ac zusammenfallen kann. Da OO₀ || AA₀ ist (§ 15), so fällt jedoch der Punkt P, in dem OO₀ die Ebene E trifft, nach der Umlegung mit seinem Bildpunkte Pc und mit O₀ zusammen; desgleichen bei der Umlegung in dem entgegengesetzten Sinne Q = 00a X E mit Oj . Nach erfolgter Umlegung von E in TT ist also außer den Punkten der Achse der Perspektive nur das Zentrum der Perspektive ein sich selbst entsprechender Punkt.

Perspektive Figuren in derselben Ebene.

17. Wie die Definition der räumlichen Affinität (I, 11) versagte, um zwei affine Figuren in derselben Ebene zu definieren (I, 13), so wird aus dem gleichen Grunde die Definition der räumlichen Perspektive in § 13 unbrauchbar, wenn man Perspektive Figuren derselben Ebene direkt, d. h. ohne erst von der räumlichen Figur auszugehen und eine Umlegung vorzunehmen, definieren will. Wohl aber können die in § 13 abgeleiteten Eigenschaften dazu benutzt werden.

Demnach nennt man zwei in derselben Ebene gelegene Figuren perspektiv oder zentral-kollinear, wenn

1)    jedem Punkte der einen Figur wieder ein Punkt der andern, jeder Geraden wieder eine Gerade entspricht,

2)    alle Verbindungslinien entsprechender Punkte (Perspektivitäts- oder Kol linea tions-strahlen) durch denselben Punkt (Zentrum der Perspektive oder Kollineationszentrum) gehen und

3) die Schnittpunkte je zweier entsprechender Geraden in einer Geraden (der Achse der Perspektive oder Kollineationsach.se) liegen.

Hieraus folgt, daß jeder Punkt der Achse der Perspektive tät und ebenso jede durch ihr Zentrum gehende Gerade sich selbst entsprechen. Nach § 7 (2) haben auch vier Punkte und die ihnen perspektiv entsprechenden dasselbe Doppelverhältnis. Für zur Achse parallele Strecken gilt wieder d. r spezielle Satz des § 9.

Um auf Grund dieser Definition zu einer Figur die Perspektive zu konstruieren, kann man noch gewisse Elemente willkürlich wählen, z. B. die Achse e, das Zentrum 0 und zwei einander entsprechende Punkte A und A₀ , die nur in gerader Linie mit 0 liegen müssen. Dann aber ist zu jedem andern Punkte der Ebene sein perspektives Bild eindeutig bestimmt.

Man findet zu einem beliebigen Punkte B den Perspektiven B₀, indem man (Fig. 12) die Verbindungsgerade g von A mit B zieht und den Punkt G — g X 6 mit A₀ verbindet; dann ist GA₀ = g₀ die zu g Perspektive Gerade und B₀ = g₀ \ BO der gesuchte Punkt.

18. Der zu g₀ parallele Perspektivitätsstrahl schneidet g in dem Ver schwin dun gsp unkte Gv, dem also der unendlich ferne Punkt von g₀ perspektiv zugeordnet ist; umgekehrt ist dem unendlich fernen Punkte von g der Schnittpunkt des zu g parallelen Perspektivitäts-strahles mit g₀ als Fluchtpunkt G™ zugeordnet.

Zieht man durch Gv und G™ die Parallelen ev und e?° zu e und durch 0, A, A₀ die Senkrechten zu e, so erhält man die beiden Paare ähnlicher Dreiecke A₀LG, OFvGv und AKG, OFS°Gg°, mithin

A₀L:OFV = A₀G: 0GV, AK: OFS° --- AG: OÖg° .

Nun sind weiter die Dreiecke AA₀G, AOGv, OA₀Geinander ähnlich, daher

A₀G : OGV = AA₀:AO, AG : OG™ = AA₀ : A₀O,

und schließlich mit Hilfe der ersten Proportionen

J₀O

OFv =

AO

.A₀L, OF^ =

AA₀

. AK.

AA₀

Die Längen der Strecken auf der rechten Seite hängen nur von den Konstanten der Perspektive (e, 0, A, A₀), nicht von der besonderen Wahl der durch A gezogenen

X"xX

!\

\,

/\

go

/' /

Fig. 12.

und    sind daher für alle

Geraden g ab. durch vd gehenden Geraden # konstant. Wiederholt man nun die ganze Konstruktion für eine beliebige andere durch A gehende Gerade, so müssen demnach die durch

ihren Yerschwindungs- und Fluchtpunkt gezogenen Parallelen zu e mit ev und e? zusammenfallen.

folglich • ist auch d. h. Hv ist der Yerschwindungspunkt

Zieht man ferner eine Parallele h zu g, so gehört zu beiden, da sie denselben unendlich fernen Punkt besitzen, derselbe Fluchtpunkt G?. Die Dreiecke G?GH und OGvHv sind aber kongruent («£ G = < Gv, G?GA£OGv, GII # GVHV) ;

G?H || OHv von h.

Verschiedene Arten der Kegelschnitte.

iz-

SM

Ableitung einer Hilfsformel.

Deutschen Personennamen, Die, v. Dr. Rud. Kleinpau

internationalen Verträge von Dr. Wien. Mit 56 Abbi

¹

In dieser Weise werden kurz die Paragraphen des ersten Bändchens zitiert.

²

Wegen der besseren Übersichtlichkeit sind in der Figur nur die Punkte A, B; Aa , Ba ; Ac, Bc gezeichnet.

³

Diese Umkehrung lautet: „Sind die Punkte zweier Geraden g und gt einander so zugeordnet, daß für drei beliebige Punkte A, B, C auf g und ihre entsprechenden Punkte Ax, Blf Cx auf gt stets {GABC) = (GA₁B₁C₁) ist, wo G — g X gx, so gehen die Verbindungslinien ent-

G?H || OHv von h.

Daher sind ev und 6>o° die geometrischen Orte der Yerschwindungs- und Fluchtpunkte aller Geraden der Ebene und heißen deshalb auch Yerschwindungs- und Fluchtlinie. Es kommen ihnen alle Eigenschaften zu, die die gleichnamigen Linien bei der Perspektive zweier verschiedener Ebenen besitzen. Insbesondere folgt auch, da OG? # GVG ist, daß OFS° = FVF ist, d. h. (wie in § 16)

Abst. (0, eS°) — Abst. (e®, e) ,

und daß entweder ev und zwischen 0 und e oder umgekehrt liegen.

19. Der Punkt Fq° ist der Fluchtpunkt aller zu e senkrechten Geraden. Man kann mithin, wenn ev und eg0 bestimmt sind, den zu A Perspektiven Punkt (vgl. Fig. 12) in bequemer Weise auch dadurch bestimmen, daß man von A das Lot auf e fällt, seinen Fußpunkt K mit F? verbindet; diese Yerbindungslinie, die die Perspektive Gerade zu dem Lote von A ist, schneidet OA in dem gesuchten Punkte A₀.

Hieraus erkennt man, daß zur Festlegung einer Perspektive in einer Ebene auch das Zentrum und zwei parallele Gerade als Achse und Yerschwindungslinie oder als Achse und Fluchtlinie gegeben werden können, wo diese Bestimmungsstücke nur die am Ende des vorigen Paragraphen angegebenen Bedingungen erfüllen müssen.

20. Dreht man (Fig. 13) die Ebene mit g und ev um e in eine beliebige räumliche Lage Ej und bezeichnen

'' Ar

/e

es

'C

V.

"o>\

JE/

®5T

vä

Fig. 13.

G°°, G^o die unendlich fernen Punkte von g, gA , g₀ , so ist wegen der Drehung von g in gA und der Perspektiven Beziehung zwischen g und g₀

(GVA QAa Ba) = (G* GA B) = (GqGA₀ B₀) , (G7GAaBa) = (G°° GAB) = (G?GA₀B₀) .

Folglich müssen sich (nach dem Satze in der Anmerkung auf S. 25) die Strahlen AaA₀, BAB₀, 0A Ov₀1| gQ, G™(r§° || gA in demselben Punkte 0A schneiden. Mithin ist auch GGva = G^ 0A , d. h. das neue Zentrum der Perspektive erhält man durch Drehung von 0 um rS° in demselben Sinne und um den gleichen Winkel, wie ev um e gedreht ist.

Zwei Perspektive Figuren in derselben Ebene werden daher durch jede beliebig große Drehung der einen Figur um die Achse stets in solche Lage gebracht, daß sie Zentralprojektionen voneinander sind. Die beiden Definitionen der Perspektive (§ 13 und § 17) sind also völlig gleichbedeutend.

Satz von Desargues.

21. Nach diesen Darlegungen kann man jeden Satz, der für Perspektive Figuren des Raumes bewiesen ist, ohne weiteres auf Perspektive Figuren in derselben Ebene übertragen. Oft kann man auf diese Weise wichtige Sätze für die Ebene aus sinnfälligen, räumlichen Beziehungen gewinnen. Als Beispiel hierfür diene der berühmte Satz von Desargues¹):

Grellen dieVerbindungslinien entsprechender Ecken zweier Dreiecke ABC und A₀B₀C₀ (Fig. 14) durch denselben Punkt 0, so schneiden sich die entsprechenden Seiten beider Dreiecke auf einer Geraden e und umgekehrt.

Für den Raum (vgl. Fig. 9) ist der Satz selbstverständlich, wenn man ABC und A₀BQC₀ als Schnitte der dreiseitigen Pyramide OABC auffaßt. Denn entsprechende Seiten beider Dreiecke müssen sich auf e = E X TT schneiden, da sie in derselben dritten Ebene liegen. Folglich gilt der Satz auch für die Ebene.

So

c \b e

ji'-

Fig. 14.

Liegt e unendlich fern, so erhält man den besonderen Fall ähnlicher und ähnlich gelegener Dreiecke.

Man kann diesen Satz benutzen, um eine Gerade durch einen gegebenen Punkt, z. B. A, nach dem Schnittpunkte zweier Geraden, z. B. h und &, zu ziehen, der entweder unzugänglich oder (wenn die Geraden unter sehr spitzem Winkel zusammentreffen) nur ungenau gegeben ist. Man schneide h und k

durch zwei beliebige Gerade a und a₀ in B, C und B₀ , C₀ , verbinde B mit A durch c und ziehe c₀ durch B₀ willkürlich. Hierauf verbinde man G = c X c₀ H==ay^a0 und ziehe noch durch den Schnittpunkt J von AG mit GH die Gerade JC₀, die c₀ in A₀ schneidet. Dann ist AA₀ die gesuchte Gerade. — Legt man keinen Wert darauf, das Ziehen von Parallelen zu vermeiden, was die eben gegebene Konstruktion tut, so ist es einfacher, e als die unendlich ferne Gerade anzunehmen, also a₀ || a (a beliebig) und dann b₀ || CA, c₀ || AB zu ziehen, um A₀ = b₀ X c₀ zu erhalten.

II. Abschnitt.

Harmonische Eigenschaften des Vierecks und des Kreises.

Perspektive Verwandlung eines beliebigen Vierecks in ein Rechteck.

22. Man bezeichnet vier Punkte A, B, (7, D einer Ebene, von denen nicht drei in gerader Linie liegen, und ihre sechs Verbindungslinien als Ecken und Seiten des vollständigen Vierecks ABCD. Je zwei

Vv 7

JmX,

X;

z¹

Fig. 15a.

Fig. 15b.

Seiten, die sich nicht in einer Ecke schneiden, nennt man Gegenseiten, der. n es demnach drei Paare (Fig. 15a) gibt: AB, CD; A (7, BZ); MB, BB. Die Schnittpunkte X , Y, Z dieser Gegen seiten paare nennt man Diagonalpunkte des vollständigen Vierecks; sie bilden das Diagonaldreieck XYZ.

Perspektive Verwandlung eines beliebigen Vierecks usw. 37

Als Seiten und Ecken eines vollständigen Vierseits bezeichnet man vier Gerade a, 6, e, d einer Ebene (Fig. 15b), von denen nicht drei durch einen Punkt gehen, und ihre sechs Schnittpunkte. Je zwei Ecken, die nicht auf derselben Seite liegen, heißen Gegen ecken, deren es drei Paare gibt: crXö, e X ^X 6, b X d; KX & Xc. Die Verbindungslinien x, y, % dieser Gegen ecken heißen Diagonalen des vollständigen Vierseits; sie bilden das Diagonal drei seit xy%.

Für die Zwecke dieses Bändchens genügt es, die Betrachtungen für das vollständige Viereck durchzuführen. Durch die parallel durchgeführten Untersuchungen für das vollständige Vierseit erhält man analoge Sätze über harmonische Strahlen, wie sie im folgenden für harmonische Punkte abgeleitet werden.

Bilden A, i?, (7, D die Ecken eines Parallelogramms (Fig. 16), so fallen die beiden Diagonalpunkte X und Z

i*

DT

Xz

Fig. 16.

und die sie verbindende Seite des Diagonaldreiecks ins Unendliche. Der dritte Diagonalpunkt Y liegt im Schnittpunkte der beiden Diagonalen des Parallelogramms und die durch ihn gehenden Seiten x, % des Diagonaldreiecks sind den Seiten des Parallelogramms parallel.

23. Soll ein beliebiges Viereck AB CD in ein perfektives Parallelogramm verwandelt werden, so braucht man nur die Perspektive so zu wählen, daß die Schnittpunkte zweier Hegenseitenpaare, z. B. AB X CD — X und AD\BC—Z auf der Versehwindungslinie ev liegen (Fig. 17). Wie man dann auch die Achse der Perspektive e (|| ev) und das Zentrum 0 wählen mag, stets muß das zu AB CD Perspektive Viereck ein Parallelogramm sein (vgl. § 10). Wählt man 0 auf dem über

ev

L,

'o

V

Z"

A"-

Fig. 17.

XZ als Durchmesser konstruierten Kreise, so wird A₀B₀C₀D₀ ein Rechteck, da OX_LOZ ist und man die Seiten von A₀ B₀ C₀ D₀ erhält, indem man (nach §18) durch die Schnittpunkte X\ X" der Seiten AB und CD mit 6 Parallelen zu OZ, durch die Schnittpunkte Z', Z" von AD und BC mit e Parallelen zu OZ zieht.

Schneidet die Diagonale BD die Verschwindungs-linie ev in T, so ist die Diagonale B₀D₀ des Rechtecks || 0 T.

Folglich wird das zu AB CD Perspektive Rechteck zum Quadrate, wenn noch <£ XOT= TOZ = 45° ist. Konstruiert man also über X T oder TZ als Sehne einen Kreis, in dem über dieser Sehne der Peripheriewinkel 45°, d. h. der Zentriwinkel 90° steht, so ist sein Schnittpunkt

X'

'X

//;

i/i

g..a

(\jg

H²"""

A° z

Fig. 18.

mit dem Kreise über XZ das Zentrum 0 (Fig. 18), für welches AB CD in ein Quadrat übergeht, dessen Seitengröße von dem Abstande (e, ev) abhängt und mit ihm beliebig verändert werden kann.

Harmonische Eigenschaften des Vierecks.

24. Da also jedes Viereck in ein perspektives Rechteck übergeführt werden kann, so kommen jedem beliebigen Vierecke die harmonischen Eigenschaften des Rechtecks zu. Nun halbieren im Rechtecke die beiden im Endlichen gelegenen Seiten seines Diagonaldreiecks, die sieh im Mittelpunkte Y des Rechtecks schneiden, die Seiten des Rechtecks; die Ecken irgend einer Seite, ihr Halbierungspunkt und ihr unendlich ferner Punkt bilden vier harmonische Punkte (§6, S. 14). Bei der Perspektiven Verwandlung einer Figur in eine andere gehen aber vier harmonische Punkte einer Geraden wieder in vier harmonische Punkte über (§17, S. 29). Man erhält also die Sätze:

Je zwei Ecken eines vollständigen Vierecks werden harmonisch getrennt durch die Schnittpunkte ihrer Verbindungsseite mit den Seiten des Diagonaldreiecks; je zwei Ecken dieses letzteren werden harmonisch getrennt durch die Schnittpunkte ihrer Verbindungsseite mit den Seiten des vollständigen Vierecks.

Hach § 7 (1):

Die in jeder Ecke des Diagonaldreiecks zusammenstoßenden vier Strahlen sind vier harmonische Strahlen.

Nebenbei sei noch bemerkt, daß die vier Punkte X₁Z₁X₂Z₂ (Fig. 15a) ein zweites vollständiges Viereck bestimmen, dessen Diagonaldreieck YYXY₂ ist. Dies erkennt man leicht aus Figur 16, da dort XxZ₂ || X₂ Zx || AC und X₁Z₁ || X₂ Z₂ || BD ist. Zieht man in der Figur 15a noch diese Linien, so treffen in jedem Punkte, mit Ausnahme der Ecken A, B, (7, 7), vier harmonische Strahlen zusammen.

25. Die obigen Sätze kann man benutzen eine Strecke AB harmonisch zu teilen

um

wenn

einer der Teilpunkte, z. B. As, gegeben ist (Fig. 19). Nimmt man dann Z willkürlich an und zieht durch As eine beliebige Gerade, deren Schnittpunkte G und D mit ZA und ZB im Verein mit A und B ein

Viereck bestimmen; verbindet man schließlich Z mit Y = AC X BJD, so erhält man den gesuchten Punkt als Schnittpunkt X₂ von ZY mit AB. — Das Bemerkenswerte an dieser Lösung ist, daß sie nur die Benutzung des Lineals, nicht auch des Zirkels erfordert.

Dl

\C

"f

/XfHAV

* B

Fig. 19.

Js ft A

Fig. 20.

Man kann auch die Eigenschaften des vollständigen Vierecks benutzen, um die auf S. 34 mit Hilfe des Satzes von Desargues gelöste Aufgabe zu lösen, durch einen gegebenen Punkt Y eine Gerade nach dem unzugänglichen oder ungenau bestimmten Schnittpunkte X zweier Geraden h und k zu ziehen (Fig. 20). Man ziehe durch Y zwei Gerade beliebig, die h und k in A, B und (7, D schneiden. Dann verbinde man A mit D und B mit G und ziehe durch Z = AD X BG eine beliebige Gerade, welche h und k in F und E schneidet. Y ---- CF X BE mit Y verbunden, gibt die gesuchte Gerade YX.

Mit Hilfe der Sätze über das vollständige Viereck kann man auch vier harmonische Punkte oder Strahlen rein geometrisch, ohne Benutzung des Doppelverhältnisses, definieren.

Potenz, Potenzlinie und Ähnlichkeitspunkte.

26.    In der Planimetrie wird gezeigt, daß für jede beliebige durch einen Punkt P gezogene Gerade, die von einem Kreise k in den Punkten A und B geschnitten wird, das Produkt ihrer Abschnitte PA • PB konstant und zwar gleich dem Quadrate des Abstandes d des Punktes P vom Mittelpunkte M des Kreises vermindert um das Quadrat des Kreisradius r ist*):

PA* PB = d² — r² .

Dieses Produkt nennt man die Potenz des Punktes P für den Kreis k. Je nachdem P im Innern, auf der Peripherie oder außerhalb des Kreises liegt, ist die Potenz negativ, Null oder positiv. In dem letzten Falle kann man von P zwei Tangenten an k ziehen; berühren ihn diese in Tx und T₂, so ist die Potenz von P dann auch gleich PTl = PT'i.

27.    Für je zwei nicht konzentrische Kreise gibt es eine Gerade, die Potenzlinie oder Chordale, die der geometrische Ort aller Punkte gleicher Potenz für beide Kreise ist. Besitzen beide Kreise gemeinsame Tangenten, schneiden oder berühren sie sich, so verbindet die Chordale offenbar die Halbierungspunkte der gemeinsamen Tangenten (vgl. Fig. 22b), bzw. die Schnittpunkte der Kreise oder ist ihre gemeinsame Tangente im Berührungspunkte; in jedem Falle steht die Chordale auf der Zentrale senkrecht. Haben die Kreise keinen Punkt gemeinsam,

*) Bezeichnet H den Halbierungspunkt von AB, so ist

PA - PB = {PH + HÄ) (PH—BIP) = PH² — HA2 = {PH² + HM²) — {HA² + HM²)

= PM² — MA² = d² — r².

so liegt die Chordale außerhalb beider Kreise²) (vgl. Fig. 21 und 22).

Es seien drei Kreise k, k₀, kx gegeben und es bezeichne p die Chordale von k und k₀, q die von k und kx, q0 die von k₀ und kx. Dann besitzt der Schnittpunkt von q und q₀ gleiche Potenz für k, k₀ und kx , also muß auch p durch ihn hindurchgehen; diesen Punkt P gleicher Potenz für alle drei Kreise nennt man ihren Potenzoder Chordalpunkt. Man benutzt ihn, um die Chordale zweier sich nicht schneidender Kreise zu zeichnen, wie es die Figur 21 zeigt, indem man einen Kreis kx beliebig, nur so hinzunimmt, daß er k und k₀ schneidet, und von Q = q X <7₀ das Lot auf die Zentrale fällt³).

28. Die Verbindungslinien (Ähnlichkeitsstrahlen) der Endpunkte je zweier paralleler, gleichgerichteter Radien zweier Kreise, z. B. MA und N₀ A₀ in Figur 21, schneiden sich sämtlich in demselben Punkte S der Zentrale, dem äußeren Ähnlichkeitspunkte beider Kreise; ebenso schneiden sich die Ähnlichkeitsstrahlen, die irgend zwei parallele, aber entgegengesetzt gerichtete Radien, z. B. MA und JV₀B₀, verbinden, in demselben Punkte S' der Zentrale, dem inneren Ähnlichkeitspunkte. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke SMA und SN₀A₀ bzw. S'MA und S'N₀B₀ folgt

SM: SiV₀ = MS': Fno = r : r₀

//

•//

z/-

4:

Fig. 21.

und damit nicht nur die vorstehenden Behauptungen, sondern weiter: Die Zentrale zweier Kreise wird von den beiden Ähnlichkeitspunkten harmonisch geteilt. Durch jeden Ähnlichkeitspunkt gehen (falls sie existieren, wie z. B. in Fig. 22b) je zwei gemeinsame Tangenten beider Kreise.

Perspektive Verwandtschaft zweier Kreise.

29. Soll ein Kreis k einem anderen Kreise k₀ per-spektiv entsprechen, so muß jedem Punkte des einen

Kreises ein Punkt des anderen und der Tangente des ersten Punktes die des zweiten entsprechen.

Von dem Falle, daß sämtliche Tangenten von k den perspektiv entsprechenden von k₀ parallel sind, kann man absehen. Denn dann liegt die Achse, auf der sich entsprechende Tangenten schneiden, im Unendlichen. Das Zentrum der Perspektive liegt im äußeren oder inneren Ähnlichkeitspunkte, wie man leicht erkennt, wenn man beachtet, daß die Endpunkte paralleler Radien als Berührungspunkte paralleler Tangenten einander perspektiv entsprechen. Es liegt also der besondere Fall der ähnlichen Lage vor.

30. Kann zwischen den beiden Kreisen k und k0 eine allgemeine Perspektive Beziehung hergestellt werden, so schneiden sich alle entsprechenden Tangenten beider Kreise im Endlichen, nur die zur Achse e parallelen im Unendlichen. Folglich sind die zu e parallelen Tangenten p, q und p₀, q₀ und daher auch ihre Berührungspunkte P, Q und P₀, Q₀ [Fig. 22⁴)] einander perspektiv zugeordnet; mithin entsprechen sich auch die zu e senkrechten Durchmesser P Q und P₀ Q₀. Da sich diese aber auch auf e schneiden müssen, so liegen sie in der Zentrale MN₀ beider Kreise. In diese fallen aber auch die Perspektivitätsstrahlen PP₀ und Q Q₀ ; folglich muß das Zentrum der Perspektive 0 auf der Zentrale MN0 liegen und die Achse der Perspektive auf der Zentrale senkrecht stehen.

Um nun das Zentrum der Perspektive 0 zu bestimmen, denke man sich einen beliebigen Strahl durch 0 gezogen, welcher die Kreise in den entsprechenden

Punkten A, B und A₀ , B₀ schneidet (Fig. 22). Da ferner die Tangenten in diesen Punkten einander entsprechen, so sind auch ihre Schnittpunkte H und r/₀ einander per-spektiv zugeordnet. Die von diesen Punkten auf OA ge-

\/

<?

Ml

y-

Fig. 22a.

fällten Senkrechten IIF und 7/₀ (j₀ müssen durch die Mittelpunkte ilf und 7V₀ gehen. Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke OFH und OG₀II0J OFM und 0 Gr₀ N₀ folgt

(1)

IIF: FM = HqO₀ : G₀N₀

und aus den rechtwinkligen Dreiecken HAM, H₀B₀ N₀ ferner (2) AF* = HF.FM, B₀Gl = H₀G₀ • G₀N₀ ; aus (1) und (2) ergibt sich aber

d. h.

HF: FA: FM = jJo0o :    : G₀N₀ ,

A HFA cv3 A //o^oBo , A AFM<*> A B₀G₀N₀ ,

daher, da noch ylB und B₀ G₀ in derselben zu HM und H₀N₀ senkrechten Geraden liegen,

HA II H₀B₀ , AMW B₀1SL

und ebenso

BMW A₀N₀.

Folglich muß der Perspektivitätsstrahl AA₀ durch einen Ähnlichkeitspunkt gehen. Sollen sich also zwei Kreise perspektiv entsprechen, so muß einer ihrer Ähnlichkeitspunkte als Zentrum der Perspektive genommen werden. In Figur 22a ist der innere, in Figur 22b der äußere Ähnlichkeitspunkt als Zentrum der Perspektive gewählt. Als entsprechende Punkte sind die Schnittpunkte eines Perspektivitätsstrahles mit beiden Kreisen einander zuzuordnen, in denen die Tangenten nicht parallel sind, also A und A₀, B und B₀.

HB\\H₀A₀,

\Q

'Q

Fig. 22b.

Um nun die Achse der Perspektive e zu bestimmen, ziehe man durch 0 einen zweiten Perspektivitätsstrahl, der k und k₀ in Cr, D und (7₀, D₀ schneidet. Dann sind z. B. AC und A₀ C₀ perspektiv entsprechende Gerade und ihr Schnittpunkt E muß auf der Achse liegen. Beachtet man, daß MA || N₀B₀ , MD || N₀C₀ ist, so folgt

< C₀ A₀ B₀ = £ <£ C₀ N₀ B₀ = | < D MA = < D CA - 180° — <£ ACC₀ .

In Figur 22a ist also

<MAQ) = 1800 - < c₀AA = accq .

Durch die vier Punkte ^4(7J₀(7₀ läßt sich daher ein Kreis legen, nach dem Satze über die Peripheriewinkel über demselben Bogen. Für Figur 22b folgt dasselbe, da < C₀A₀B₀ + <£ACC₀ = 180° und folglich ACC₀A₀ ein Sehnenviereck ist. In jedem Falle ist mithin nach § 26

El-EC= EA₀ - EC₀ ,

d. h. E liegt auf der Potenzlinie von k und k₀ , die demnach die Achse der Perspektive ist.

Es sei noch hervorgehoben, daß bei der allgemeinen Perspektive zweier Kreise den Durchmessern des einen Kreises nicht Durchmesser des anderen Kreises und also auch ihre Mittelpunkte einander nicht entsprechen, was auch in der Bezeichnungsweise zum Ausdrucke gebracht ist. Nur in den besonderen Fällen der Perspektiven Ähnlichkeit und der Affinität entsprechen sich die Durchmesser und Mittelpunkte beider Kreise.

31. Es gibt unendlich viele Perspektiven, die einen Kreis und ein ihm eingeschriebenes Sehnenviereck in einen Kreis und ein Sehnenrechteck überführen oder, was dasselbe ist, die einen Kreis so in einen anderen Kreis überführen, daß einem beliebigen Punkte Y im Innern des einen Kreises der Mittelpunkt Y₀ des anderen Kreises entspricht.

Man hat nur die Konstruktion des § 23 mit dem Resultate des vorigen Paragraphen zu vereinigen, indem man (Fig. 23) X = AB X CD mit Z = AD X BC verbindet, über X Z einen Halbkreis beschreibt und diesen mit der Heraden NY oder ihrer Verlängerung schneidet; dieser Schnittpunkt 0 ist dann das Zentrum der Perspektive. Wie später (§ 34) gezeigt wird, ist stets NY J_ev, und folglich braucht der zu k Perspektive Kreis /c₀ nur so gewählt zu werden, daß 0 für beide Kreise (äußerer oder innerer) Ähnlichkeitspunkt ist. Wählt man Y₀ auf der Geraden NO ganz willkürlich, so hat

fr

Fig. 23.

man zu einem beliebigen Radius NF von k eine Parallele durch K₀ zu ziehen und diese mit OF zum Schnitte G zu bringen; dann ist Y₀ G der Radius des zu k Perspektiven Kreises k₀, dessen Mittelpunkt K₀ dem Punkte Y im Innern von k entspricht. OD schneidet k0 in der Ecke D₀ des Rechtecks, dessen Seiten parallel zu OX und OZ sind. Die Achse der Perspektive ist die

Haußner, Darstellende Geometrie II.

Potenzlinie beider Kreise, die in der Figur nur durch die Schnittpunkte (o) entsprechender Seiten angedeutet ist. — Von der Wahl des Punktes Y₀ auf NO hängt die Größe des Radius von k₀ und natürlich auch die Lage der Achse ab. Nimmt man im besonderen an, daß Y0 mit dem Mittelpunkte N des Kreises k zusammenfällt, so geht der Kreis k bei der Perspektive in sich selbst über;, das Sehnenviereck AB CD und das zu ihm Perspektive Rechteck sind also dann demselben Kreise eingeschrieben. Über diese besondere Perspektive siehe Ausführlicheres in § 36.

Harmonische Eigenschaften des Kreises.

32. Definition. Zwei Punkte, die die Sehne eines Kreises harmonisch teilen, heißen harmonische Pole des Kreises [z. B. und der unendlich ferne Punkt X₀ in Figur 24, und X₂ und Al in Figur 25, da (ABX°₂Xo) --- —1 und (ABX₂X) = — 1 ist].

Auf Grund des Ergebnisses von § 31 ergeben sich auch die harmonischen Eigenschaften des Kreises aus einer speziellen Figur in ähnlicher Weise, wie in § 24 die harmonischen Eigenschaften des vollständigen Vierecks gefunden worden sind.

Man betrachte zu dem Zwecke (Fig. 24) ein Rechteck A₀B₀C₀D₀ und den ihm umschriebenen Kreis. Dann sind der Halbierungspunkt einer beliebigen Sehne und ihr unendlich ferner Punkt harmonische Pole. Nun haben alle parallelen Sehnen denselben unendlich fernen Punkt; folglich liegen alle Punkte, die mit diesem unendlich fernen Punkte ein Paar harmonischer Pole bilden, auf dem zu den parallelen Sehnen senkrechten Kreisdurchmesser. In Figur 24 z. B. gehören in dieser Weise der unendlich ferne Punkt Z₀ der Richtung

J₀D₀\\ XlX%\\ B₀C₀ und der Durchmesser z₀J_ J₀D0 zusammen. Umgekehrt sind die dem Kreismittelpunkte, d. i. dem Halbierungspunkte aller Durchmesser, zugeordneten harmonischen Pole die Punkte der unendlich fernen Geraden.

__

>4,

^<v--

''is

a:

Fig. 24.

F₀, 6r₀, H₀ Parallele zu den Seiten des einge-

Zieht man in den Ecken des Rechtecks die Tangenten an den Kreis, so bilden sie einen Rhombus E₀ FqGqIIq , dessen Diagonalen die Seiten des Rechtecks AqB₀C₀D₀ halbieren und deren Schnittpunkt im Kreis-mittelpunkte liegt. Zieht man noch durch die Ecken K i

schriebenen Rechtecks, so bildet jede dieser Parallelen mit der Diagonale der betreffenden Ecke zwei konjugierte Strahlen, welche die von dieser Ecke ausgehenden Tangenten harmonisch trennen (§ 6, S. 15).

33. Da nun durch eine geeignet gewählte Perspektive ein Kreis und ein ihm eingeschriebenes beliebiges Sehnenviereck in einen Kreis und ein ein-geschriebenes Rechteck umgewandelt werden kann, so ergeben sich unmittelbar die harmonischen Eigenschaften des Kreises in voller Ali gern ein heit.

Bei dieser Perspektiven Verwandlung geht das dem Rechteck A₀B₀C₀D₀ umschriebene Tangentenviereck EqF₀GqHq (in Eig. 24) über in das dem Lehnenviereck ABCD umschriebene Tangenten viereck EFGH (in Eig. 25). Da die unendlich ferne Gerade (Eig. 24) die Schnittpunkte der Gegenseitenpaare sowohl des Rechtecks A₀B₀C₀D₀ als auch des T.mgentenrhombus E₀F₀G₀H0 enthält, da ferner jede Diagonale des Tangentenvierecks denselben unendlich fernen Punkt hat, wie die beiden ihr parallelen Seiten des Sehnenrechtecks, und endlich die Diagonalen beider Vierecke sich in demselben Punkte Y₀ schneiden, so ergibt sich unmittelbar der folgende Satz:

- Umschreibt man (Eig. 25) einem Kreise k in den Ecken eines beliebigen Sehnenvierecks ABCD ein Tangenten viereck EFGH, so schneiden sich die Gegenseiten paare des Sehnenvierecks sowohl, als des Tangenten Vierecks in den Punkten As, Z; /, K einer Geraden y. Ferner geht jede Diagonale des TangentenVierecks durch den Schnittpunkt zweier Gegenseiten des Sehnenvierecks

(X = ABXCDX FH, Z = ADXBCXEG)

und endlich schneiden sich die Diagonalen AC, BD des Sehnenvierecks und EG, FH des Tangentenvierecks in demselben Punkte Y.

Mit Benutzung der für das vollständige Vierseit gebrauchten Benennungen (§ 22, 8. 37) kann man diesem Satze, wie aus dem Perspektiven Rechtecke leicht zu folgern ist, auch die folgende kürzere und zugleich allgemeinere Fassung geben:

Umschreibt man (Fig. 25) einem Kreise k in den Ecken eines beliebigen vollständigen Sehnen Vierecks ABCD ein vollständiges Tan-gentenvierseit abcd, so liegen je zwei Diagonalpunkte des Sehnenvierecks auf einer Diagonale des Tangentenvierseits (X, Y auf FH=z; y, Z auf EG = x; Z, X auf JK ----- y) .

x\ X

1»7

/'<

Fig. 25.

Das Diagonaldreieck XYZ des ersteren fällt mit dem Diagonaldreiseit des letzteren zusammen.

34. Da jede zu parallele Gerade⁵) einer Geraden durch den Punkt Z entspricht und z₀ der geometrische Ort der harmonischen Pole zu Z₀ ist, so folgt, daß auch die zu z₀ Perspektive Gerade % der geometrische Ort der harmonischen Pole, die zu Z gehören, ist. Umgekehrt gehört zu allen Punkten des Durchmessers z₀ als harmonischer Pol der unendlich ferne Punkt Z₀ des zu zQ senkrechten Durchmessers. Folglich ist auch Z harmonischer Pol zu allen Punkten der zu z₀ Perspektiven Geraden %.

In gleicher Weise erkennt man, daß y geometrischer Ort der harmonischen Pole zu Y und umgekehrt ist.

Folglich gelten die Sätze:

I.    Die zu einem gegebenen Pole (z. B. K, bzw. Z) harmonischen Pole eines Kreises k liegen auf einer Geraden («/, bzw. z), die Polare des gegebenen Poles heißt.

Die zu den Punkten einer gegebenen Geraden (Polaren) (y, bzw. z) harmonischen Pole fallen sämtlich in einen und denselben Punkt (Y bzw. Z), den Pol der gegebenen Polaren.

II.    Jede Sehne des Kreises k, die durch einen gegebenen Pol geht, wird von ihm und seiner Polaren harmonisch geteilt.

Da die Tangenten von dem unendlich fernen Punkte Z₀ parallel zu x₀ sind, also den Kreis in seinen Schnittpunkten mit der Polare z₀ des Poles Z₀ berühren, und da die vier Verbindungslinien der Endpunkte zweier zu z₀ senkrechter Sehnen, z. B. J₀ D₀ und P₀ Q₀, sich auf z₀ schneiden, so folgt:

III.    Liegt der Pol (z. B. Z) außerhalb des Kreises k, so schneiden sich die vier Verbindungslinien der Punkte, in denen zwei beliebige durch den Pol gezogene Sekanten den Kreis schneiden, auf der Polare (z) des Poles (Z). Diese geht auch durch die Berührungspunkte der durch den Pol gehenden Kreistangenten.

Das letztere muß auch noch gelten, wenn der Pol auf dem Kreise liegt. Dann aber fallen die beiden Tangenten in die eine zusammen, deren Berührungspunkt der gegebene Pol ist. Folglich:

IV.    Liegt der Pol auf dem Kreise, so fällt seine Polare mit der Kr eis tangente dieses Punktes zusammen.

Die Tangenten in den Endpunkten eines jeden Durchmessers schneiden sich auf der unendlich fernen Geraden (?/₀), der Polare des Mittelpunktes (Y₀). Den Durchmessern in Figur 24 entsprechen aber die Lehnen durch Y in Figur 25. Mithin:

V.    Liegt der Pol (z. B. Y) innerhalb des Kreises so schneidet seine Polare (y) den Kreis nicht. Legt man durch den Pol zwei beliebige Sehnen, so schneiden sich die vier Verbindungslinien ihrer Endpunkte in zwei Punkten der Polaren. Die Kreistangenten in den Endpunkten der Sehnen schneiden sich ebenfalls auf ihr.

Auch hieraus folgt Satz IV. Denn liegt der Pol auf k, so haben alle Sehnen durch ihn den Pol als einen Endpunkt und folglich auch die Kreistangente in ihm gemeinsam.

Die Sätze III und V gestatten, die zu einem gegebenen Pole in bezug auf einen Kreis gehörige Polare zu konstruieren. Man zieht durch den gegebenen Pol zwei den Kreis schneidende Gerade; die vier Verbindungslinien ihrer vier Schnittpunkte mit dem Kreise schneiden sich in zwei Punkten der gesuchten Polaren.

Aus den Sätzen III und V folgt auch, daß für den Kreis die Polare senkrecht auf der Verbindungslinie des Poles mit dem Kreismittelpunkte steht. Denn liegt der Pol außerhalb, so ist seine Polare die Berührungssehne

der von ihm an den Kreis gezogenen Tangenten. Liegt der Pol im Innern des Kreises, so muß seine Polare parallel sein zu den Tangenten in den Endpunkten des Durchmessers, der den Pol mit dem Mittelpunkte verbindet. Hiermit ist auch die im § 31, S. 49 ohne Beweis aufgestellte Behauptung, daß in Figur 23 die Gerade NYJ_ev = XZ ist, als richtig nachgewiesen, da ev die Polare von Y in bezug auf k ist.

Da die Pole aller Durchmesser eines Kreises auf der unendlich fernen Geraden liegen, und da umgekehrt die Polaren aller unendlich fernen Punkte die Durchmesser sind, so folgt durch Perspektive Übertragung von Figur 24 auf Figur 25 der wichtigste Satz der Polarentheorie:

VI.    Dreht sich eine Gerade um einen Punkt (z. B. Y oder Z), so bewegt sich ihr Pol auf der Polare des Punktes (-/, bzw. n) und umgekehrt.

Diesen Satz kann man, da der Pol Z von % auf y, der Polaren von F, liegt, auch so aussprechen:

VI'. Liegt der Pol einer Geraden auf einer zweiten Geraden, so liegt auch der Pol der letzteren auf der ersteren. Geht umgekehrt die Polare eines Punktes durch einen zweiten Punkt, so geht auch die Polare des letzteren durch den ersten Punkt.

Besitzt ein Dreieck die Eigenschaft, daß in bezug auf einen Kreis k jede Ecke der Pol der gegenüberliegenden Seite ist, so nennt man es ein Polardreieck des Kreises k.

VII.    Umschreibt man einem Kreise k in den Ecken eines beliebigen vollständigen Sehnenvierecks ABGD ein vollständiges Tangenten-vierseit abcd, so ist das Diagonaldreieck XYZ des ersteren, das mit dem Diagonaldreiseit xyz des letzteren zusammenfällt, ein Polardreieck.

Die Sätze VI oder VI' gestatten, den Pol zu konstruieren, wenn die Polare gegeben ist. Man bestimmt nämlich zu zwei beliebigen Punkten derselben nach dem auf S. 55 gegebenen Verfahren die Polaren, deren Schnittpunkt der gesuchte Pol ist.

35. Mit Hilfe des Satzes VD kann man auch die in § 32 gegebene Definition harmonischer Pole erweitern und zugleich harmonische Polaren allgemein definieren.

Harmonische Pole in bezug auf einen Kreis nennt man je zwei Punkte, von denen jeder auf der Polare des andern gelegen ist.

Harmonische Polaren in bezug auf einen Kreis nennt man je zwei Herade, deren jede durch den Pol der andern hindurchgeht.

No

~~/k

\\

*y /    ' i

/ v :

,y

Fig. 25.

Daß diese Definition harmonischer Pole die frühere als speziellen Fall umfaßt, ist ohne weiteres ersichtlich (z. B. X und Y in Fig. 25). Sie gilt aber auch dann noch, wenn die Herade durch die beiden Pole den Kreis nicht schneidet, in welchem Falle die frühere Definition versagt, z. B. für X und Z in Figur 25.

Falls zwei harmonische Polaren sich außerhalb des Kreises schneiden, so teilen sie den Winkel, den die von ihrem Schnittpunkte an den Kreis gelegten Tangenten einschließen, und seinen Nebenwinkel harmonisch. Z. B. sind in Figur 25 EX und EY zwei harmonische Polaren, denn X ist der Pol von EY, und folglich liegt nach VI' der Pol von EX auf EY; es ist nämlich E der Pol von AB und also X₂ = EY\AB der Pol von EX. Nun ist aber (ABX₂X) — —1 (nach § 32), also sind die Strahlen von E nach A, B, X₂ , X vier harmonische Strahlen.

Jede Kreistangente ist ihre eigene harmonische Polare.

36. Ein beliebiger, aber nicht auf dem Kreise k gelegener Punkt und seine Polare in bezug auf k bilden stets das Zentrum und die Achse einer Perspektive, die den Kreis k auf sich selbst abbildet.

Tt=k₀

7/

\o

GH

Fig. 2ßa.

Fig. 2Gb.

Ist in den Figuren 26 der Punkt 0 der Pol der Geraden 6, so schneidet jeder Strahl durch 0 den Kreis k in sich entsprechenden Punkten, z. B. A und A₀, B und B₀. Die Verbindungslinien g = AB und g₀ = A₀B₀ schneiden

sich nach den Sätzen III und V auf der Polare e, die also Achse der Perspektive ist. Faßt man aber A₀ als Originalpunkt auf, so ist A sein Bildpunkt und folglich auch, wenn g₀ = h als Originalgerade betrachtet wird, h₀ = g ihre Bildgerade. Demnach fallen die Verschwindungspunkte von g und h mit den Fluchtpunkten von h und g und daher auch die Verschwindungslinie ev mit der Fluchtlinie e” zusammen. Da (§ 11) Abst. (0, ev) — Abst. (e, eJ5°) ist, so muß ev = e™ den senkrechten Abstand des Poles 0 von der Polaren e halbieren.

Diese besondere Perspektive, bei der das Bild A0 eines Punktes A zugleich der Originalpunkt des in A liegenden Bildpunktes ist, nennt man involutorische Perspektive oder wohl auch Perspektive Spiegelung. Zwei zugeordnete Punkte A und A₀ werden durch den Schnittpunkt von AA₀ mit der Achse e und das Zentrum harmonisch getrennt.

Umgekehrt läßt sich mit Hilfe der Polarentheorie leicht zeigen, daß jede Perspektive, deren Flucht- und Verschwindungsgerade zusammenfallen und also den senkrechten Abstand des Zentrums von der Achse halbieren, jeden Kreis der Ebene, für den Zentrum und Achse der Perspektive Pol und Polare sind, in sich selbst überführt. Figur 26 a zeigt an 1c± die Konstruktion eines Kreises, für den eine gegebene Oerade e und ein gegebener Punkt 0 Polare und Pol sind: Gerade 0 Tbeliebig durch 0, durch ihren Schnittpunkt 7" mit e eine Senkrechte zu OT] letztere schneidet das von 0 auf e gefällte Lot in dem Mittelpunkte M₁ des gesuchten Kreises, dessen Radius Mt T ist. Soll 0 innerhalb der Kreise liegen, so führt man die gleiche Konstruktion für die Hilfsgerade || e durch 0 und den Fußpunkt des von 0 auf e gefällten Lotes aus, wie es Figur 26b zeigt.

37. Von der Perspektiven Spiegelung soll jetzt Anwendung gemacht werden, um einen Satz über den Kreis abzuleiten.

In I, 18 sind die folgenden Sätze für den Kreis bewiesen worden:

Schneidet man die Geraden, die einen beliebigen Punkt P (Fig. 27) eines Kreises mit den Endpunkten eines Durchmessers AB verbinden, durch irgend eine Parallele FG zu den Tangenten in A und P, so schneiden sich die Verbindungslinien dieser Schnittpunkte G und F

--

Ä-

23r- *-

Jl

f-K

V X'

68

Fig. 27.

mit A und B in einem Punkte Q des Kreises. Die Halbierungspunkte der Strecken, welche von AP und BP auf beliebigen Parallelen zu den Tangenten in A und B ausgeschnitten werden, liegen auf der Tangente in P; z. B. BJ —JE, FK — KG.

Unterwirft man nun die Figur des vorstehenden Satzes der Perspektiven Spiegelung, bei der dem Durch-messen AB eine beliebig vorgegebene Sehne J₀B₀ entspricht, dann ist AA₀ X FB₀ = 0 das Zentrum und die Polare von 0 die Achse dieser Perspektive. Den Tangenten in A und B und ihrem unendlich fernen Punkte entsprechen die Tangenten in A₀ und B₀ und ihr Schnittpunkt L₀, der Pol von A₀ B₀. Durch L0 geht auch die Bildgerade F₀G₀ von FO. Da ferner BJ = JE, FK = KG ist, so folgt, daß B₀, E₀ , J₀ , L₀ und P₀, G₀ , 7s₀, L₀ je vier harmonische Punkte sind. Mithin lassen sich die obigen Kreissätze folgendermaßen vei allgemeinem:

I.    Schneidet man die Gieraden, die einen beliebigen Punkt P₀ eines Kreises k mit den Endpunkten einer beliebigen Sehne J₀B₀ verbinden, durch eine Gerade, die durch den Pol L0 von J₀B₀ geht, so schneiden sich die Verbindungslinien dieser Punkte G₀ und F₀ mit A0 und B₀ in einem Punkte Q₀ des Kreises.

II.    Die Tangente in P₀ teilt zusammen mit L0 die Strecke, die auf einer beliebigen durch den Pol L₀ gehenden Geraden von den Geraden A₀P0 und B₀P₀ ausgeschnitten wird, harmonisch.

III. Abschnitt.

Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte.

Die Perspektiven Bilder des Kreises.

38. In dem vorigen Abschnitte sind diejenigen besonderen Perspektiven behandelt, die einen Kreis in einen andern Kreis oder in sich selbst verwandeln. Jetzt sollen diejenigen Kurven untersucht werden, die eine willkürlich gewählte Perspektive aus einem Kreise entstehen läßt.

Definition. Die Perspektiven Bilder von Kreisen nennt man Kegelschnitte.

Läßt man den Kegelschnitt durch Zentralprojektion eines Kreises auf eine andere Ebene entstehen, so bilden die Projektionsstrahlen den Mantel eines geraden oder schiefen Kreiskegels, je nachdem das Projektionszentrum senkrecht über dem Mittelpunkte des Kreises liegt oder nicht. Jede zu einem Kreise Perspektive Kurve kann daher als Schnitt der Bildebene mit dem Mantel eines Kreiskegels aufgefaßt werden, wodurch die Benennung Kegelschnitte für die zu einem Kreise Perspektiven Kurven gerechtfertigt ist (vgl. § 69).

Nach den Ergebnissen von § 15—20 kann man zwei Perspektive Figuren nach Belieben durch eine ebene oder eine räumliche Perspektive miteinander verbunden betrachten. Hiervon wird im folgenden Gebrauch gemacht; zunächst werden für die Herleitung der Grundeigenschaften und der Lehre von den konjugierten Durch-messern Kreis und Kegelschnitt in derselben Ebene liegend angenommen und dann im folgenden Abschnitte die metrischen Eigenschaften aus den Schnitten eines Kreiskegels abgeleitet.

39. Bei der Zentralprojektion ändern sich die Lagebeziehungen zweier ebener Gebilde nicht. Aus dieser Bemerkung folgen eine Reihe der wichtigsten Sätze über Kegelschnitte.

Da dem Schnittpunkte zweier Kurven der Schnittpunkt ihrer Perspektiven Bilder entspricht, und da jeder Kreis von einer Geraden seiner Ebene in höchstens zwei Punkten geschnitten wird, so gilt auch:

Jeder Kegelschnitt kann von einer Geraden seiner Ebene in höchstens zwei Punkten geschnitten werden.

Fallen die Schnittpunkte der Sekante eines Kreises in einen einzigen zusammen, so geschieht das gleiche für die Schnittpunkte der entsprechenden Sekante eines zu dem Kreise Perspektiven Kegelschnittes. Daher entspricht der Tangente eines Kreises und ihrem Berührungspunkte eine Tangente des Perspektiven Kegelschnittes und ihr Berührungspunkt, wenn (entsprechend I, 17) als Tangente eines Kegelschnittes jede Gerade seiner Ebene bezeichnet wird, die mit ihm nur einen Punkt, den Berührungspunkt, gemeinsam hat.

Von einem Punkte der Ebene eines Kreises lassen sich höchstens zwei Tangenten an denselben legen, folglich:

Von einem Punkte der Ebene eines Kegelschnittes lassen sich höchstens zwei Tangenten an ihn legen.

Kur von den Punkten außerhalb der geschlossenen Kreislinie lassen sich stets zwei Tangenten an den Kreis legen, während sich von den Punkten innerhalb des

Kreises keine Tangente an ihn legen läßt. Dementsprechend sagt man:

Ein Kegelschnitt teilt die Punkte seiner Ebene in außerhalb und innerhalb gelegene; von den ersteren lassen sich zwei Tangenten an den Kegelschnitt legen, von den letzteren keine.

Aus diesen Sätzen folgt unmittelbar weiter, daß der in § 33 aufgestellte Satz unverändert für Kegelschnitte gilt:

Umschreibt man einem Kegelschnitte in den Ecken eines vollständigen Sehnenvierecks ein vollständiges Tangenten vier seit, so liegen je zwei Diagonalpunkte des Sehnenvierecks auf einer Diagonale des Tan gen ten vier sei ts. Das Diagonaldreieck des ersteren fällt mit dem Dia-gonaldreiseit des letzteren zusammen.

Pol und Polare von Kegelschnitten.

40. Ferner ist nach § 7 das Doppelverhältnis von vier Punkten oder Strahlen gleich dem ihrer Perspektiven Bilder. Vier harmonischen Elementen entsprechen also wieder vier harmonische Elemente und mithin gelten die in § 34, I—VII und § 35 aufgestellten Definitionen und Sätze über Pol und Polare ohne weiteres für Kegelschnitte. Je ein Punkt und je eine Gerade in der Ebene eines Kegelschnittes sind also einander als Pol und Polare so zugeordnet, daß die auf einer beliebigen durch den Pol gehenden Geraden vom Kegelschnitte ausgeschnittene Sehne durch den Pol und die Polare harmonisch geteilt wird. Von einer Wiedergabe der Sätze der Polarentheorie für die Kegelschnitte kann, um Raum zu sparen, hier abgesehen werden, da in den obengenannten Sätzen alles ungeändert bleibt bis auf das Wort „Kreis", das stets

durch „Kegelschnitt“ zu ersetzen ist, genau so, wie aus dem Satze in § 33 der Satz des vorigen Paragraphen hergeleitet ist.

Auch die auf den Seiten 55 und 57 angegebenen Konstruktionen, für einen gegebenen Pol die zugeordnete Polare und für eine gegebene Polare den zugeordneten Pol zu finden, übertragen sich unverändert auf Kegelschnitte⁶).

Man kann auch auf Grund der Polarentheorie die

Punkte der Ebene eines Kegelschnittes in innere und äußere unterscheiden. Allen Punkten im Innern des Kegelschnittes sind Polaren zugeordnet, die ihn nicht schneiden; allen Punkten außerhalb des Kegelschnittes aber sind Polaren zugeordnet, die ihn in zwei getrennten Punkten schneiden. Liegt der Punkt auf dem Kegelschnitte, so ist seine Polare die Tangente des Kegelschnittes in diesem Punkte.

Um von einem Punkte P außerhalb eines Kegelschnittes die Tangenten an ihn zu ziehen, konstruiert man nach § 34, III seine Polare und verbindet die beiden Punkte, in denen sie den Kegelschnitt trifft, mit P.

41. In den Sätzen des § 37 sind nur Beziehungen enthalten, die durch Zentralprojektion nicht geändert werden. Folglich gelten beide Sätze unverändert auch für Kegelschnitte.

Der Pol L₀ der gegebenen Sehne A₀B₀ ist als Schnittpunkt der Tangenten an den Kegelschnitt in den Endpunkten A₀ und B₀ der Sehne bestimmt (§ 34, V).

Folglich ist ein Kegelschnitt bestimmt durch drei seiner Punkte und die Tangenten in zweien derselben. Mit Hilfe des Satzes I in § 37 können dann beliebig viele weitere Punkte des Kegelschnittes unmittelbar— also ohne auf die Perspektive Beziehung des Kegelschnittes zum Kreise zurückzugehen werden: Sind A₀, B₀ und P₀ die gegebenen Punkte und L₀ der Schnittpunkt der ebenfalls gegebenen Tangenten in A₀ und B₀ , so schneidet man die Strahlen A₀P₀ und B₀ P₀ mit einer beliebigen Geraden durch L₀ ; ihre Schnittpunkte F₀ und G₀ mit jenen Strahlen verbindet man mit B₀ und Aq und erhält in dem Schnittpunkte Q₀ dieser Verbindungslinien einen weiteren Punkt des Kegelschnittes.

konstruiert

Aus dem Vorstehenden folgt aber weiter:

Das Perspektive Bild eines Kegelschnittes ist wieder ein Kegelschnitt.

Denkt man sich nämlich den gegebenen Kegelschnitt nach dem obigen Verfahren aus drei Punkten und den Tangenten in zweien derselben erzeugt, so entsprechen den gegebenen Bestimmungsstücken bei einer beliebigen Perspektive drei Punkte und zwei Tangenten der zu dem Kegelschnitte Perspektiven Kurve. Weitere Punkte dieser letzteren Kurve können ebenfalls nach dem obigen Verfahren ermittelt werden, da dieses bei jeder Projektion unbeeinflußt bleibt.

¹

Desargues, Gerard, geb. 1593 in Lyon, gest. 1661 oder 1662 ebenda. D. war zuerst Offizier und machte die Belagerung von La Rochelle mit; dann lebte er als Privatmann in Paris und auf seinem Landgute bei Condrieux. Der obige Satz ist bewiesen in dem von Bosse herausgegebenen Werk Maniere universelle de M. Desargues pour pratiquer la perspective, Paris 1648.

Haußner, Darstellende Geometrie II.

²

Angenommen, es gebe für zwei beliebige Kreise k und k₀ (Radien r und r₀) stets einen Punkt, z. B. D (Fig. 21), der für beide gleiche Potenz hat. Dann fälle man von D das Lot DC auf die Zentrale. Nach Voraussetzung ist DM² — r²

—    DNq — rl. Auf beiden Seiten CD² subtrahiert, gibt

nach dem pythagoreischen Satze: GM² — r² = CN$ —    -

Ist E irgend ein anderer Punkt der Senkrechten DC und addiert man wieder CE² auf beiden Seiten, so ist EM² — r²

—    E N² — rl. E hat also auch für beide Kreise gleiche Potenz, und folglich alle Punkte der Geraden CD. (Die Verbindungslinien von D und E mit M und N₀ sind in der Figur 21 nicht gezogen.)

³

Aus dieser Konstruktion folgt zugleich, daß die Annahme des in der vorigen Anmerkung gegebenen Beweises stets zutrifft und daß zwei Kreise auch nur eine Chordale besitzen.

⁴

Der besseren Übersichtlichkeit wegen sind p, q, Po, q₀ nicht gezeichnet.

⁵

Bei diesen Betrachtungen beziehen sich die mit dem Index 0 versehenen Buchstaben auf Figur 24, die ohne diesen Index auf Figur 25.

⁶

Um Mißverständnisse von vornherein auszuschließen, sei hier aber ausdrücklich betont, daß die Polare in bezug auf einen Kegelschnitt im allgemeinen nicht auf der Verbindungslinie des Poles mit dem Mittelpunkte (§ 41) des Kegelschnittes senkrecht steht, was bei dem Kreise stets der Fall ist (S. 56).

Haußner, Darstellende Geometrie II.

Verschiedene Arten der Kegelschnitte.

42. Von besonderer Bedeutung für das Perspektive Bild ist die Lage des Kreises k zu der Verschwindungs-linie ev der gewählten Perspektive. Da nur die Perspektiven Bilder der Punkte von ev ins Unendliche fallen, so hat der zu k Perspektive Kegelschnitt kQ keinen, einen oder zwei unendlich ferne Punkte, je nachdem der Kreis k

die Verschwindungslin ie nicht schneidet, sie berührt oder sie in zwei Punkten schneidet. Demnach erhält man drei verschiedene Arten von Kegelschnitten, die man als Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln unterscheidet.

Die Ellipse besitzt keinen unendlich fernen Punkt und ist eine im Endlichen geschlossene Kurve. Die jetzt definierte Ellipse stimmt mit der als affines Bild des Kreises definierten (I, 15) gleichnamigen Kurve überein, wie in § 46 gezeigt werden wird.

Die Parabel besitzt einen unendlich fernen Punkt, und da dieser das Perspektive Bild des Punktes der Verschwindungslinie ev ist, in dem sie den Kreis k tangiert, so sagt man: Die Parabel besitzt in ihrem unendlich fernen Punkte die unendlich ferne Gerade ihrer Ebene als Tangente.

Die Hyperbel hat zwei unendlich ferne Punkte, die die Perspektiven Bilder der zwei getrennten Schnittpunkte des Kreises k mit ev sind. Da die Kreistangenten in diesen Schnittpunkten nicht mit ev zusammenfallen, so können ihre Perspektiven Bilder nicht mit der unendnen fernen Geraden zusammenfallen, sondern liegen im Endlichen. Diese beiden Hyperbeltangenten, deren Berührungspunkte mit der Hyperbel ihre unendlich fernen Punkte sind, nennt man Asymptoten der Hyperbel.

Da durch eine Parallelprojektion die unendlich fernen Elemente einer Ebene sich in die unendlich fernen Elemente der Bildebene projizieren, so folgt mit Benutzung des Satzes am Ende von § 41:

Durch Parallelprojektion geht ein Kegelschnitt stets in einen Kegelschnitt gleicher Art über.

43. Die Perspektive, durch welche ein Kreis k in einen Kegelschnitt k₀ übergeführt werden soll, mag durch

Angabe der Achse 6, des Zentrums 0 und der Ver-schwindungslinie ev bestimmt sein. Um dann zu Punkten von k die entsprechenden von k₀ zu finden, wendet man am bequemsten das in § 19 gegebene Verfahren an und

ev

Fig. 23.

bestimmt danach die Perspektiven Bilder der Endpunkte von Kreissehnen, die senkrecht zu ev sind, wie es Figur 28 für die Sehne AB zeigt. Auf diese Weise sind die zu dem Kreise k Perspektiven Kegelschnitte in den Figuren 29, 35 und 45 konstruiert.

Mittelpunkt und Durchmesser.

44. Alle Kreissehnen durch den Pol M der Ver-schwindungslinie werden durch den Pol und ihre Schnittpunkte mit der Verschwindungslinie harmonisch geteilt. Da die Perspektiven Bilder der letzteren Punkte unendlich fern liegen, so halbiert das Perspektive Bild MQ von M alle durch M₀ gehenden Sehnen des Kegelschnittes k₀. Aus diesem Grunde nennt man M₀, das Bild des Poles M der Verschwindungslinie e", den Mittelpunkt des Kegelschnittes k₀ und die durch ihn gehenden Sehnen Durchmesser desselben.

Zwei Durchmesser des Kegelschnittes, die zwei harmonischen Polaren (§ 35) des Kreises durch den Pol M der Verschwindungslinie entsprechen, nennt man konjugierte Durchmesser.

Zwei konjugierte Durchmesser eines Kegelschnittes, die aufeinander senkrecht stehen, heißen Achsen derselben; ihre Endpunkte Scheitel.

Der unendlich ferne Punkt eines Durchmessers ist in bezug auf den Kegelschnitt der Pol des konjugierten Durchmessers.

Die auf den Mittelpunkt und die Durchmesser eines Kegelschnittes bezüglichen Untersuchungen führt man am besten für die drei Arten von Kegelschnitten gesondert durch.

Die Ellipse.

45. Bei einer Perspektive, die aus einem Kreise k eine Ellipse k₀ entstehen läßt, schneidet die Verseil windungslinie ev den Kreis nicht; folglich liegt ihr Pol M in bezug auf den Kreis k innerhalb desselben und der zu ihm Perspektive Mittelpunkt M₀ der Ellipse ebenfalls in ihrem Innern. Jede durch M gehende Gerade wird von k in zwei Punkten geschnitten; jeder Durchmesser der Ellipse schneidet sie also ebenfalls in zwei Punkten (vgl. Fig. 29).

Um für den Kreis k irgend zwei harmonische Polaren durch M zu erhalten, braucht man nur¹) zwei beliebige Sehnen AG und BJD durch M zu ziehen, deren Endpunkte auf vier Geraden liegen, die sich nach Satz V

des § 35 paarweise in zwei Punkten X und Z auf der Polare ev von M schneiden. Dann sind MX = %, die Polare von Z, und MZ = x, die Polare, von X, zwei harmonische Polaren. Jede Sehne durch X wird von X und x harmonisch geteilt (§ 35, I); ebenso wird jede Sehne durch Z von Z und n harmonisch geteilt. Die Tangenten in den Schnittpunkten von x, bzw. % mit k gehen durch die Pole X und Z. Die Tangenten in A und B und die in C und D schneiden sich auf x, während sich die Tangenten in A und D und die in B und C auf £ schneiden.

Bei der Perspektiven Abbildung des Kreises k in die Ellipse k₀ werden die Bilder aller Geraden, die sich in einem Punkte von ev schneiden, einander parallel (nach § 18), und folglich liefern die vorstehenden Bemerkungen für die Ellipse die Sätze:

I.    Die zu einem Durchmesser parallelen Sehnen werden von dem konjugierten Durchmesser halbiert (vgl. I, 16).

II.    Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind parallel dem konjugierten Durchmesser. Die Tangenten in den Scheiteln einer Achse stehen auf ihr senkrecht (vgl. I, 17).

In Figur 25 liegen die Pole E von AB und X₂ von EX auf der Geraden x, deren zugeordnete harmonische Polare & sich mit AB und EX in X auf y = ev schneidet. Für die Ellipse folgt also daraus der weitere Satz:

III.    Die Polare eines Punktes ist parallel zu dem Durchmesser, der zu dem durch den gegebenen Punkt gehenden Durchmesser konjugiert ist.

Die Tangenten in den Endpunkten einer Sehne schneiden sich auf dem Durchmesser, der

zu dem der Sehne parallelen konjugiert ist. (Z. B. projiziert man die Figur 25 so, daß der Kreis k in eine Ellipse übergeht, so schneiden sich die Tangenten in den Punkten A₀ und B₀ auf dem Durchmesser x₀, da sich in Figur 25 die entsprechenden Tangenten in A und B auf der Geraden x schneiden.)

Die Pole paralleler Sehnen liegen auf dem zu ihrer Richtung konjugierten Durchmesser.

ev

FZ

\ sh)

Bl

\!jV X

I,

9o

Fig. 29.

In Figur 29 sind als harmonische Polaren x und z des Kreises die Parallele und die Senkrechte zu ev durch M genommen; der Pol der letzteren Geraden ist der unendlich ferne Punkt von ev (nach § 34, III). Die Figur zeigt die Konstruktion der ihnen entsprechenden konjugierten Durchmesser der Ellipse und der Tangenten in ihren Endpunkten. Zugleich ersieht man, daß die

Ellipse ganz zwischen den Tangenten in den Endpunkten eines beliebigen Durchmessers liegt.

46. Eine Ellipse ist völlig bestimmt durch irgend zwei (ihrer Länge und Lage nach gegebene) konjugierte Durchmesser.

Denn sind (Fig. 30) zwei konjugierte Durchmesser AB und CD²) gegeben, so sind damit auch die Tangenten in ihren Endpunkten gegeben; die Ellipse kann also nach §41 konstruiert werden aus einem Durchmesser, z. B. AB, den Tangenten in seinen Endpunkten und dem einen Endpunkte des konjugierten Durchmessers, z. B. G. Da der Pol von AB der unendlich ferne Punkt von CD ist, so werden alle Geraden FG jener Konstruktion parallel zu CD und die Konstruktion der Ellipse stimmt überein mit der in I, 18 gegebenen.

Ts

TT

D\

--b-v

TT

Fig. 30.

Hieraus folgt aber unmittelbar, daß die als per-spektives Bild des Kreises definierte Ellipse übereinstimmt mit der in I, 15 als affines Bild des Kreises definierten gleichnamigen Kurve. Es gelten mithin alle früher (I, 15 — 27) abgeleiteten Haupteigenschaften und Konstruktionen unverändert. Dort

ist auch gezeigt, daß die Ellipse Achsen besitzt, und ihre Konstruktion angegeben.

Hier sollen nur einige früher nicht erwähnte Eigenschaften abgeleitet werden.

47. Bezeichnet man in der Konstruktion des vorigen Paragraphen den Schnittpunkt von AG und der Tangente in G mit N₂ und von CD und BF mit Nx (Fig. 30), ferner die Schnittpunkte der Ellipsentangente in Q und der Tangenten in A und B mit T und 17, so ist

also

ABGA™ ACGN2l

AB : N₂G = HG : KG — HG :\FG

also auch

(nach § 37, II); und da GH|| CD, so folgt weiter HG :FG = MC :NXC,

AB:N₂C=2-MC:N₁C CW: CN₂ = CM: CH± .

Ist nun CNt -----Zahl ist, so ist

~ • CAs, wo n irgend eine positive

cn₂ = — CW.

⁸ n

Hiermit hat man folgende Ellipsenkonstruktion aus zwei konjugierten Durchmessern 2aA, 2bt gefunden:

Man zeichnet das Parallelogramm, das die Tangenten in den Endpunkten beider Durchmesser bilden, schneidet dann DM und DV (bzw. CM und CW) durch eine Parallele zu der Diagonale VW' (bzw. V'W) und verbindet ihren Schnittpunkt auf DC mit B, den auf DV (bzw. CW) mit A; der Punkt, in dem sich diese beiden Geraden schneiden, ist ein Punkt der gesuchten Ellipse.

In Figur 30 ist die Konstruktion in der Weise ausgeführt, daß DM=b±, DV=a₁ und GM—\, GWin dieselbe Anzahl (4) gleicher Teile geteilt sind. Will man auch für die obere Hälfte des Parallelogramms Ellipsenpunkte konstruieren, so hat man die Teilpunkte auf D G mit A und diejenigen auf DV' bzw. GW' mit B zu verbinden.

48. Aus der Figur 30 läßt sich noch ein weiterer Satz über die Ellipse ableiten (Fig. 31). Die Gerade QK ist (nach 37, II) die Ellipsentangente in Q; es ist also VTUV' ein Tan gen ten viers eit, dessen Berührungs-

i>W-

*v

Fig. 31.

punkte die Ecken des Sehnen Vierecks AQBD sind. Der Diagonalpunkt R = DQ y^AB des letzteren muß nach dem letzten Satze in § 39 auf den Diagonalen VUund V' T des Tangentenvierseits liegen. Folglich ist

ARBTJco ARAV

und

mithin

ARATco ARBV',

BU: VA = BR : RA

A T: V'B = RA :BR

und also BU- AT = VA - V'B = DM² = b\ :

Das Produkt der von den Berührungspunkten aus gemessenen Strecken, die auf zwei parallelen Tangenten einer Ellipse von einer beweglichen dritten Tangente abgeschnitten werden, ist konstant und zwar gleich dem Quadrate des den beiden festen Tangenten parallelen Ellipsenhalbmessers.

Man kann diesen Satz benutzen, um die Gleichung der Ellipse bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser als Koordinatenachsen abzuleiten.

49. Es sollen noch die Abschnitte berechnet werden, die eine Tangente der Ellipse auf zwei konjugierten Durchmessern abschneidet.

Zieht man in der Figur 31 durch den Berührungspunkt Q der Tangente XY noch die Parallelen QEX und QE₂ zu den konjugierten Durchmessern, so ist (nach Satz III) X der Pol von QE₁ und Y derjenige von QE₂ in bezug auf die Ellipse. Folglich wird der Durchmesser AB durch die Punkte JA und Ex harmonisch geteilt, d. h.

oder, da

AX\BX= E±A : BEt

BM = MA

ist,

(MX - MA) : (MX + MA) = (ÄL4 - ~MEt) : (MA + MEt) woraus der gesuchte Abschnitt MX folgt:

a?

MÄ²

MEt MEt

In gleicher Weise findet man

m- S »

ME2    EXQ

50.    Umschreibt man einer Ellipse Je (Fig. 32) ein beliebiges Tangentenparalleiogramm EFGH, so sind

//

seine Diagonalen, da sie (nach § 39) harmonische Polaren und zugleich Durchmesser sind, konjugierte Durchmesser. In ihren unendlich fern liegenden Polen ^    schneiden sich aber die Gegen

Di

seiten des einbeschriebenen Sehnenvierecks ABCD, die da-her jenen Durchmessern parallel /    sind. Da aber jedem Tangenten-

1/    Parallelogramm ein Sehnen-

fg    Parallelogramm einbeschrieben

V/

werden kann und umgekehrt, so gilt allgemein:

Fig. 32.

Die Diagonalen eines beliebigen Tangentenparallelogramms einer Ellipse sind konjugierte Durchmesser; die Seiten eines Sehnen Parallelogrammes sind konjugierten Durchmessern parallel und seine Diagonalen schneiden sich im Mittelpunkte der Ellipse.

51.    Zum Schlüsse sollen noch zwei Sätze abgeleitet werden, deren erster sich am einfachsten ergibt, wenn man die Ellipse wieder als senkrechte Projektion eines Kreises auffaßt und dabei den folgenden Hilfssatz benutzt.

Hilfssatz. Der Flächeninhalt J' der senkrechten Projektion eines Dreiecks auf eine Ebene TT ist gleich dem Flächeninhalte J des gegebenen Dreiecks multipliziert mit cos 5, wo e den Neigungswinkel der Dreiecksebene gegen die Projektionsebene bezeichnet.

Beweis. (Fig. 33.) Durch eine Ecke des gegebenen Dreiecks ABC, z. B. B, zieht man in der Dreiecksebene die Parallele BD zu derProj ektions-ebene TT und fällt von den beiden andern Ecken A und C die Lote AE und CF auf BD. Dann ist die Projektion B'D' parallel und gleich BD, und es sind A'E' und C'F' ebenfalls

recht zu B'D'

(I, 64). Die Neigungswinkel zwischen den Loten

senk-

TT

A.t

jß

•iE'

\/F'

V'j

Fig. 33.

ihren Projektionen sind daher gleich s. Folglich ist

C'F' = CF- cosf

A E, CF und

A'E' = AE- cos£

und

J' = \ B'D' - {A'E' + C'F'}

= ^BD-{AE + CF} - cos£

= J - COS 5 ,

w. z. b. w.

Projiziert man nun einen Kreis vom Radius a auf eine Ebene TT, deren Neigungswinkel e gegen die Kreisebene durch goss — — bestimmt ist, so sind bekanntlich

(I, 16) die Projektionen je zweier zueinander senkrechter Kreisdurchmesser zwei konjugierte Ellipsendurchmesser; die beiden zueinander senkrechten Kreisdurchmesser, deren einer zu TT parallel ist, ergeben die Achsen. Jedes durch zwei rechtwinklige Kreishalbmesser bestimmte Dreieck hat den Flächeninhalt

J=\a².

Seine Projektion hat den Flächeninhalt J' — bx • sin co , bzw. J' — a b ,

je nachdem sie zwei konjugierte Halbmesser a± , b₁, die den Winkel co miteinander bilden, oder die Halbachsen a, b als Seiten enthält. Nach dem obigen Hilfssatze ist folglich

\    \ • sin co = a² cose

\ab = \-a² cose

und

und mithin

a b = ax \ sin co ,

d. h.: Verbindet man die Endpunkte zweier beliebiger konjugierter Halbmesser einer Ellipse, so entsteht ein Dreieck von konstantem Flächeninhalte.

52. Mit Hilfe dieses Satzes und der für die Durchmesserabschnitte einer Tangente in § 49 gefundenen Werte läßt sich leicht noch ein Satz über das Produkt der beiden Strecken einer Tangente zwischen ihrem Berührungspunkte und ihren Schnittpunkten mit zwei beliebigen konjugierten Durchmessern ableiten.

Sind (Fig. 34) MA — a, , MC = bt zwei konjugierte Halbmesser, XY die Tangente in dem Ellipsenpunkte Q und zieht man

QE₁ || \ , QE₂ II ^

QM₁±a₁, Qff₂±b₁,

so ist der doppelte Flächeninhalt der Dreiecke XQM und QYM gleich

und

XQ • KM = MX • H± Q QY• KM = MY• H₂Q •

£LÄ

\i

E)

Ji

'K

X'

Fig. 34.

Man setze noch KM = d, MQ = a₂, den zu MQ konjugierten Halbmesser, der parallel zur Tangente XY ist, gleich b₂ , und die von a± und bx , bzw. a₂ und b2 eingeschlossenen spitzen Winkel gleich co, bzw. cö. Setzt man ferner für MX und MY die in § 49 gefundenen Werte ein, wobei jetzt nur die Längen in Betracht gezogen zu werden brauchen, so liefern die obigen Gleichungen:

a?

XQ • d =

QY-d =

• ME₂ sin co ,

• sin co ,

folglich ist

Da nun

XQ-QY-d² = a\b\. sin*cd .

d = a₂ • sin co

und nach dem Satze des vorigen Paragraphen • sin co = a₂ b₂ • sincö ist, so erhält man schließlich

XQ.QY=b\.

Das Produkt aus den Abschnitten einer Tangente zwischen ihrem Berührungspunkte und zwei beliebigen konjugierten Durchmessern ist konstant und zwar gleich dem Quadrate des der Tangente parallelen Halbmessers.

Die Hyperbel.

53. Bei einer Perspektive, die aus einem Kreise Je eine Hyperbel Jc₀ entstehen läßt, liegt der Pol M der Verschwindungslinie ev außerhalb des Kreises, da ev den Kreis schneidet. Der Mittelpunkt M₀ der Hyperbel liegt daher außerhalb der Hyperbel. Die von M an den Kreis Je gelegten Tangenten berühren ihn in seinen Schnittpunkten mit ev; ihre Bilder geben also die Asymptoten der Hyperbel, die sich in ihrem

Mittelpunkte schneiden; in jeder Asymptote liegen (vgl. § 35, Schluß) zwei konjugierte Durchmesser vereinigt.

Um für den Kreis k irgend zwei harmonische Polaren durch M zu erhalten, braucht man nur*) zwei beliebige Sekanten AB und CD durch M zu ziehen; die vier Verbindungslinien ihrer Schnittpunkte mit dem Kreise k schneiden sich paarweise in zwei Punkten Y und Z auf der PoJare ev von M. Dann sind MY und ilfZ, von denen die eine den Kreis k schneidet, die andere ihn nicht schneidet, harmonische Polaren. Jede Sehne durch Y oder Z wird von Y und y bzw. Z und % harmonisch geteilt. Die Tangenten in den Schnittpunkten von y und n mit k schneiden sich in den Polen Y und Z dieser

Geraden. Die Tangenten in A, C und die in £, D schneiden sich auf y und die Tangenten in A, D und B, C auf x. Je zwei harmonische Polaren durch M bilden mit den Tangenten dieses Punktes vier harmonische Strahlen (§ 35).

Bei der Perspektiven Abbildung des Kreises k in die Hyperbel k₀ werden die Bilder aller Geraden, die sich auf ev schneiden, einander parallel, und folglich erkennt man aus den vorstehenden Bemerkungen:

Die in § 45 für die Ellipse aufgestellten Sätze I—III gelten auch für die Hyperbel.

Ferner ergeben sich für die Hyperbel die weiteren

Sätze:

IV. Je zwei konjugierte Durchmesser teilen die von den Asymptoten gebildeten Winkel harmonisch.

Aus diesem Satze folgt sofort auf Grund des Satzes am Ende von § 6:

*) Vgl. Figur 25, in der man sich jetzt M statt X, ev statt x gesetzt denke.

Haußner, Darstellende Geometrie II.

V. Die Hyperbel besitzt, wie die Ellipse, zwei Achsen, und diese sind die Halbierungslinien der von den Asymptoten gebildeten Winkel.

In Verbindung mit Satz I folgt, daß die Achsen Symmetrielinien für die Hyperbel sind. Man braucht also nur einen Hyperbelquadranten genau zu zeichnen und kann dann die anderen durch bloßes Umklappen um die Achsen erhalten.

Da, wie oben bemerkt, von zwei harmonischen Polaren durch M nur die eine den Kreis schneidet, so folgt:

YI. Von zwei konjugierten Durchmessern schneidet nur der eine die Hyperbel, der andere nicht.

In den Endpunkten des ersteren Durchmessers sind also Hyperbelnngenten vorhanden, die nach § 45, II parallel zu dem konjugierten Durchmesser sind.

Die Hyperbel hat also nur zwei Scheitel, während die Ellipse deren vier hat (vgl. I, 16). Die Hyperbelachse, auf welcher diese Scheitel liegen, heißt Hauptachse, die andere Nebenachse. In gleicher Weise sollen zwei konjugierte Durchmesser als Haupt-und Nebendurchmesser unterschieden werden.

In Figur 35 sind als harmonische Polaren z und x wieder die zu ev senkrechte Sekante und die (in der Figur nicht gezeichnete) Parallele zu ev gewählt und die Bilder P₀, i?₀ der Schnittpunkte P, R der ersteren mit k konstruiert. Ferner sind die Asymptoten u₀, v₀ konstruiert, die durch M₀ und die Schnittpunkte der Kreistangenten u und v mit der Achse e gehen müssen. Die beiden Asymptoten teilen die Ebene in vier Winkel, von denen nur zwei, sich als Scheitelwinkel gegenüberliegende die Hyperbel enthalten. Die Hyperbel besteht daher aus zwei Ästen oder Zweigen, die im End-

liehen nicht zusammenhängen; beide nähern sich den Asymptoten zwar unbegrenzt an, erreichen sie aber nicht im Endlichen.

Ferner ist in der Figur die Halbierungslinie a₀ des Asymptotenwinkels gezeichnet, welche die Hauptachse

e°

k\

T)

VfX

x^.

Fig. 35.

der Hyperbel enthält. Diese Halbierungslinie ist das Perspektive Bild der Verbindungslinie a von M mit dem Schnittpunkte von a₀ und e. Die Bilder der Schnittpunkte S, T von a und k ergeben die Scheitel S₀, T0 der Hyperbel.

54. Zieht man (Fig. 36) durch irgend einen Funkt Z auf e? eine beliebige Herade, die den Kreis k in £7, V,

die Tangenten u, v in U\ V' und die zu Z gehörige Polare * in H schneidet, so ist, da die Strahlen w, v, y, z vier harmonische Strahlen sind, (U'V'ZH) = — 1

und, da % die Polare von Z ist, auch (TJVZH) = -1. Bei der Perspektiven Abbildung von k in die Hyperbel k₀ fällt das Bild von Z ins Unendliche, und daher halbiert der Bildpunkt H0 von H sowohl die Hyperbelsehne U₀ V₀ als auch die auf derselben Geraden von den

Vj

z)

\fr"

3T\

ev

- Asymptoten ausgeschnittene Strecke UqVJ, woraus U₀Uq — V₀Vq folgt:

VH. Auf jeder beliebigen Geraden liegen ihr eAsy mp toten Schnittpunkte gleich weit von den entsprechenden Hy-

Fig. 36*).

p erbelschnitt punkten ab. In Figur 37 z. B.: ULF = FF, UU[ = V₁ V[.

Da ferner die Tangente von Z an k ihren Berührungspunkt in W=kX% hat, so ist auch (U" V"ZW) = -l und daher:

VHI. Der Berührungspunkt jeder beliebigen Hyperbeltangente halbiert die von den Asym-

*) Figur 36 ist als Ergänzung von Figur 35 zu betrachten; die entsprechenden Hyperbelpunkte sind der besseren Übersichtlichkeit wegen in Figur 36 nicht eingetragen; man findet sie in Figur 37, wo aber, wie weiterhin bei allen auf die Hyperbel bezüglichen Bezeichnungen, der Index 0 fortgelassen ist.

ptoten ausgeschnittene Strecke derselben. In Figur 37 z. B.: TXV = VP₂ .

Es mag die zwischen den Asymptoten gelegene Strecke einer Tangente bezeichnet werden als Länge des Nebendurchmessers, der dem nach dem Berührungspunkte gehenden Hauptdurchmesser konjugiert ist, und die entsprechende Strecke der Scheiteltangenten als Länge- der Nebenachse.

U/

Upfu

Tt/

lu

55. Aus den Sätzen VII und VIII ergeben sich leicht zwei weitere wichtige Sätze für die Hyperbel. Zieht man (Fig. 37) durch zwei beliebige Punkte UV einer Hyperbel die verbindende Gerade und die Parallelen zu den Asymptoten. so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke V'P₉U und V'Q₂V:

Fig. 37.

[V

T,

P₂V':Q₂V' = P₂U:Q₂V= MPx : MQX.

Mit Hilfe von Satz VII schließt man, daß:

A VQ₂V' ^ A U'PXU, also Q₂V' = PXU = MP₂

und P₂ V' = P₂Q₂ -f Q₂ V' = M Q₂ ist. Die vorstehende Proportion liefert daher:

Da U und V beliebige Punkte der Hyperbel sind, so gilt der Satz:

IX. Die Parallelen zu den Asymptoten durch einen Hyperbelpunkt schneiden auf ihnen Strecken ab, deren Produkt für alle Punkte der Hyperbel konstant ist.

Ferner ist, da nach Satz YIH A Qt A Q₂ VT₂ ,

Q± — Q% V — M Qi 1 9i H — Q₂ T₂ — M Q2 j also:

Mrl\ - MT₂ --- 4 MQ₁ . MQ₂ = 4 MP₁ • MP₂ .

X. Jede Hyperbeltangente schneidet auf den Asymptoten Strecken ab, deren Produkt konstant ist.

Bezeichnet man die Länge der halben Hauptachse MA = MB mit a, die der halben Nebenachse BG mit b, so ergibt sich leicht, wenn man beachtet, daß MEX ----- ME₂

ist, für die Konstante des vorletzten Satzes

und

a² + b²

für die des letzten Satzes a² + b².

Dem Satze X kann auch die Fassung gegeben werden: Die Hyperbeltangenten bilden mit den Asymptoten Dreiecke von konstantem Flächeninhalte.

Bezeichnen ax, bt die halben Längen zweier konjugierter Durchmesser (z. B .MV und VTX) und co den von ihnen eingeschlossenen Winkel, so ist mithin

ab = ax\> sin co .

56. Eine Hyperbel ist völlig bestimmt durch irgend zwei (ihrer Länge und Lage nach gegebene) konjugierte Durchmesser (Fig. 38). Es seien AB= 2ax der gegebene Hauptdurchmesser und CB = 2 \ der kon-

jn gierte Neben durch m e sser *). Man ziehe durch A die zu CD parallele Gerade, die Tangente in A ist, und trage von A aus nach beiden Seiten die Länge bt ab; dann sind MTX und MT₂ die Asymptoten Z₁, f₂ der Hyperbel. Mithin sind jetzt drei Punkte der Hyperbel (A und die unendlich fernen Punkte) und die Tangenten in ihnen bekannt. Nach § 41 ist also die Hyperbel völlig bestimmt.

Aus der dort gegebenen allgemeinen Konstruktion läßt sich eine einfache Konstruktion der Hyperbel ableiten, wenn man für die dort mit A₀ und B0 bezeichneten Punkte die unendlich fernen Punkte der Hyperbel wählt. Nimmt man dann als weiteren gegebenen Punkt (P₀ in § 41) den Punkt M, so entsprechen den früheren Strah- F) len A₀Pq und P₀P₀ jetzt die Parallelen zu den Asymptoten durch den Punkt A und dem y Punkte L₀ der Mittelpunkt M] ebenso entsprechen den Strahlen A₀ G₀ und B₀ F₀ Parallelen zu den Asymptoten. Folglich ergibt sich als erste Konstruktion der Hyperbel die folgende.

Durch A zieht man die Parallelen zu den Asymptoten und schneidet diese mit beliebigen Strahlen Ex E₂ , Fx F₂ durch M. Hierauf zieht mau durch Ex und E₂ , Fx und F₂ Parallelen zu t₂ und t± , die sich in den Hyperbel punkten E und F schneiden. Will man noch

.m

/ / : /', v /

ik /

■ AD

\ 7 Ae

Fig. 38.

*) Die Punkte CD sind also nicht Hyperbelpunkte, sondern geben nur die Länge des Nebendurchmessers an.

die Tangente in einem dieser Punkte, z. B. F, konstruieren, so hat man nur durch F die Parallele f zu der Verbindungslinie der Punkte F[, F₂, in denen FXF^ F₂F die Asymptoten schneiden, zu ziehen; denn F[F₂ wird von MF halbiert und also das zwischen tx und t₂ gelegene Stück von f durch den Punkt F, folglich ist f Tangente (Satz VIII).

L.

71

\i

'\ :

V/ V\ / ii • 4-vV / j\i

SV'v / X

57. Eine zweite, einfachere Konstruktion liefert der Satz VIL Man zieht (Fig. 39) durch A beliebige Gerade A' E\ A₁F/ und trägt die zwischen A und tx gelegenen Strecken A'A, AXA \ von den Schnittpunkten der betreffenden Geraden mit t₂ ab: E'E -= A'A, F'F=A₁A. E und F sind dann Punkte der Hyperbel. — Will man noch die Tangente in F konstruieren, so verfährt man wie oben: FF₂ || tx , |U FF{ II t₂; f\\    .

\ \\    58. Eine Konstruktion, die

/•

Fig. 89.

x: ;\ i zuerst die Tangenten der Hyperbel ^iV.Vi liefert, folgt aus Satz X. Denkt #N\| man sich nämlich (Fig 39) noch % eine beliebige Tangente U₁U₂ gezogen, so ist nach jenem Satze: MUt: MTt = MT₂ : MU₂ , mithin A l\ MT₂ ~ A TxMU₂ und folglich Tt U₂ !| T₂ L\. Hieraus folgt die dritte Konstruktion:

Man ziehe durch T± und T₂ beliebige Parallelen (7^ U₂ || T₂IJ₁, Tt V₂ || T₂ Vt); die Verbindungslinien ihrer Schnittpunkte mit den Asymptoten (Z7₂, V₁ V₂) sind Tangenten der Hyperbel, die von ihnen in den Halbierungspunkten F, E berührt wird.

Nimmt man umgekehrt CD als Haupt- und AB als Nebendurchmesser, so erhält man eine zweite Hyperbel, die dieselben Asymptoten hat wie die erste, aber in den Nebenwinkeln der Asymptoten liegt. Man bezeichnet zwei solche Hyperbeln, die dieselben Durchmesser haben und in den vier Asymptoten winkeln liegen, als konjugierte Hyperbeln.

59. Aus zwei konjugierten Durchmessern oder, was auf dasselbe hinauskommt, aus den Asymptoten und einem Punkte sind die Achsen einer Hyperbel zu bestimmen.

T/

\JL

XX

-is

£ "V'x

¹

Vgl. Figur 25, in der man sich M statt Y, ev statt y gesetzt denke.

²

Der Index 0 ist fortan bei allen auf die Ellipse bezüglichen Bezeichnungen fortgelassen.

iz-

Fig. 40.

Ist T± T₂ (Fig. 40) die Tangente in dem gegebenen Punkte P und C₁C₂ die gesuchte Scheiteltangente, so muß nach Satz X:

MT± - MT₂ = MC₁ - MC₂ = MCI

sein. Man erhält also für MG₁ die folgende Konstruktion: Man trägt MT₂ = MU auf tt ab und konstruiert die mittlere Proportionale MV zu MTX und MU, die gleich der gesuchten Länge ist. C₁C₂ ist dann die Nebenachse, -Mvl(_L C±C₂) die halbe Hauptachse.

60. Für eine gezeichnet vorliegende Hyperbel sollen die Asymptoten bestimmt werden.

Man zieht (Fig. 41) zwei Paare paralleler Sehnen und erhält in dem Schnittpunkte der Verbindungslinien I1₁PI₂ und K±K₂ ihrer Halbierungspunkte den Mittelpunkt M. Ein beliebiger Kreis um M schneidet aus der Hyperbel die Sehne PQ aus, deren Halbierungspunkt R mit M verbunden die Hauptachse — MA — a bestimmt. Es handelt sich nun noch um die Bestimmung der Länge der halben Nebenachse AC = b.

Denkt man sich für einen Augenblick die Asymptoten schon bestimmt und durch einen beliebigen Punkt P der Hyperbel PUW t₂ gezogen, so ist, wenn man noch

a² + b²

MU= u, UP — v setzt, nach Satz IX: uv =

Bezeichnet man den Winkel CMA mit oc und denkt sich noch von U Lote auf MR und RP gefällt, so erhält man: (u + v) cosoc — MR und (u — v) sinn — RP. Aus dem Dreiecke MAG aber folgt MA

cos<% = -

MC

fa² + S² '

AG

sin/x ---- - „    ,______________ ,

MG yst2 ₊ })2

= (u v)² — (u — v)² = 4 u v = a² + b²

und mithin gilt für jeden Hyperbelpunkt P: MR²    RP*

cos ²oc    sin²n

= cos 99, dann folgt aus der

pZ. '

E/

V-

Fig. 41.

oder

J/P² PP²

a²

b²

= 1¹).

Man setze noch

MR

letzten Gleic hung b — PP« cot cp und damit die weitere Konstruktion:

Über MR beschreibt man einen Halbkreis und trägt in ihn ME = MA als Sehne ein; dann ist RME = cp. Auf. ER trägt man von R aus RG = RP ab und zieht GE || EM₎ wodurch man in GF die gesuchte Länge b erhält und dann die Asymptoten zeichnen kann.

61. Umschreibt man einer Hyperbel (Fig. 42) ein Tangenten vierseit VT UV', gebildet von zwei parallelen Tangenten, einer Asymptote V'V und einer beliebigen Tangente TU, und in dieses das Sehnenviereck AQBD, dessen Ecken in den Berührungspunkten der Tangenten liegen, so gelten die Betrachtungen in § 48 unverändert für die Hyperbel; es ist also

AT.BU= VA • VR = —b\ ,

da VA und V'B entgegengesetzt gerichtet sind:

Das Produkt dervon den Berührungspunkten aus gemessenen Strecken, die auf zwei parallelen Tangenten einer Hyperbel von einer beweglichen dritten Tangente abgeschnitten werden, ist gleich dem negativen Quadrate des den festen Tangenten parallelen Nebenhalbmessers.

Mittels dieses Satzes kann man die Gleichung der Hyperbel, bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser, als Koordinatenachsen ableiten.

Der Abschnitt MX (Fig. 42) einer Hyperbeltangente auf einem Hauptdurchmesser 2 a₁ berechnet sich in gleicher Weise wie in § 49 zu

a\

MX=-=A=-.

MEt

Dagegen versagt das dort angewandte Verfahren bei der Berechnung des Abschnittes MY auf dem Nebendurchmesser, da er die Hyperbel nicht schneidet; hierzu benutzt

man vielmehr die vier ähnlichen Dreiecke mit der Spitze in X und findet

folglich

XEx : XA = QEX: TA , MX:BX==MY: HÜ,

— -XE . MX - -

TA * BU — ¹.....-    = QE.-MY.

BX-XA

fr*

-Z,

"’y

\ :/

Fig. 42.

Nun ist == MA — MX, BX

MA + MX,

XEx = MEX — H, also mit Berücksichtigung des

Wertes von IfX:

- MX

MEt-MX—MX

BX-XA

Da nach dem obigen Satze noch

AT-BIJ= —TA'BÜ= r-b\

b\

ist, so folgt schließlich

MY =__,

QEX

welcher Wert, vom Vorzeichen abgesehen, mit. dem entsprechenden Werte ‘für die Ellipse (§ 49) übereinstimmt.

62. Auch für die Hyperbel gilt der Satz, daß das Produkt aus den Abschnitten einer Tangente zwischen ihrem Berührungspunkte und zwei konjugierten Durchmessern gleich dem Quadrate des der Tangente parallelen (Neben-) Halbmessers

,'h

dW

ist. Der in § 52 gegebene Beweis gilt unverändert auch /für die Hyperbel, wobei der / Satz des § 51 durch den entsprechenden für die Hyperbel (am Ende des § 55) zu ersetzen ist.

V-

Fig. 43.

Bei der Hyperbel sind die Diagonalen eines be-\\ liebigen Tangentenpar-Y' all elo gram ms konju-\ gierte Durchmesser und die Seiten eines Sehnenparallelogramms konjugierten Durchmessern parallel, während sich seine Diagonalen im Mittelpunkte der Hyperbel schneiden (Fig. 43).

Der Beweis ist derselbe wie für den entsprechenden Ellipsensatz (§ 50), da die ihm zugrunde liegenden Sätze für Ellipse und Hyperbel gelten.

63. Wie aus dem Kreise durch senkrechte Projektion sich alle Ellipsen ableiten lassen, so kann man in gleicher Weise alle Hyperbeln aus einer besonderen Hyperbel, der sogenannten gleichseitigen Hyperbel, erhalten. Die gleichseitige Hyperbel ist dadurch ausgezeichnet, daß die Asymptoten aufeinander senkrecht stehen und also Haupt- und Nebenachse die gleiche Länge haben. Zieht man (Fig. 44) einen beliebigen anderen Haupthalbmesser ME und die Tangente in A7, so ist E₁ME₂ ein rechtwinkliges Dreieck und folglich die Mitteltransversale

\ _~E

Pz

u/

-JX

ME — EEX = EE₂ .

Fig. 44.

Bei der gleichseitigen Hyperbel hat daher jeder Hauptdurchmesser die gleiche Länge wie sein konjugierter Nebendurchmesser und die Winkel zwischen beiden werden von den Asymptoten halbiert.

Ist die Hauptachse AB = 2 a der gleichseitigen Hyperbel gegeben, so beschreibt man, um sie zu konstruieren, mit a einen Kreis um As, zieht die Tangente in A und bringt mit dieser einen beliebigen Radius MS zum Schnitte Q; durch Q zieht man die Parallele zu AB und trägt auf ihr von Q aus die zwischen Q und dem Kreise gelegene Strecke SQ ab, SQ = QP. Dann ist P ein Punkt der gleichseitigen Hyperbel. Denn es ist MU= FU+ MF= (RP+MB) cos45° ,

UP ----- (BP - MB) cos45° ,

also

MU- UP = (RP² - MR²) cos²45° .

Nun ist cos 45° == —Lr und nach Konstruktion RP — MQ, also

2 • MU • UP = IsQ² — AQ² = MA² = a²,

woraus nach Satz IX die Richtigkeit der Konstruktion sich ergibt.

Projiziert man nun die gleichseitige Hyperbel senkrecht auf eine durch ihre Nebenachse gehende Ebene, die mit der Ebene der Hyperbel den Winkel e einschließt, so erhält man eine Hyperbel mit der Hauptachse 2 a • coss und der Nebenachse 2 a. Geht dagegen die Projektionsebene durch die Hauptachse und schließen beide Ebenen wieder den Winkel e ein, so entsteht als senkrechte Projektion eine Hyperbel mit der Hauptachse 2 a und der Nebenachse 2a« cose. Konjugierte Durchmesser der gleichseitigen Hyperbel sind auch konjugierte Durchmesser für die Projektion.

Die Parabel.

64. Soll aus einem Kreise durch eine Perspektive eine Parabel entstehen, so muß die Verschwindungslinie ev den Kreis berühren, und der Berührungspunkt M ist zugleich der Pol von ev in bezug auf den Kreis Je. Die Bilder aller Sehnen durch M sind mithin parallele Gerade. Ihre Richtung findet man leicht (Fig. 45), indem man (nach § 43) das Bild des Durchmessers MP(_Le) konstruiert (MP X e = E, FS°E ist das Bild von ME und ist II OM [§ 18]; dem Punkte P entspricht P₀ — OP X Eq°E)] das Bild einer anderen Sehne MS ist dann die Parallele zu Fq°E durch den Punkt (e X MS).

Der Pol iV jeder Sehne MS durch M liegt auf ev, da er der Schnittpunkt der Kreistangente t in S mit ev ist. Andererseits aber liegt der Pol M von ev auf jeder Sehne durch M. Mithin ist jede Sehne durch M harmonische Polare zu ev und daher ihre Bildgerade konjugierter Durchmesser der Parabel zu der unendlich fernen Geraden:

t,

ev

c\

FZ.

Fig. 45.

I. Die sämtlichen Durchmesser der Parabel sind einander parallel und schneiden die Parabel nur in je einem (im Endlichen gelegenen) Punkte.

Von einem Mittelpunkte (im eigentlichen Sinne) kann man daher bei der Parabel nicht reden, ebensowenig

Haußner, Darstellende Geometrie II.

wie von Sehnen, die zu einem Durchmesser parallel sind. Es bedürfen somit die Sätze I und II in § 45 gewisser Abänderungen.

Zieht man durch den Pol N einer Sehne MS eine beliebige Gerade, so wird die auf ihr von k ausgeschnittene Sehne AB durch C — MS AB und N harmonisch geteilt. Die Perspektiven Bilder aller Geraden durch N werden aber, da N auf ev liegt, zueinander parallel und C₀ halbiert also die Parabelsehne A₀B₀. Mithin erhält man den Satz:

II. Jeder Durchmesser der Parabel halbiert alle Sehnen, die zu der Tangente in seinem Endpunkte parallel sind.

Man bezeichnet diese Tangente und die parallelen Sehnen als konjugiert zu dem Durchmesser.

Beachtet man, daß (nach § 18) das Bild jeder Sehne durch M II OM und das Bild jeder Sehne durch N || ON ist, so erkennt man, daß der Winkel MON gleich dem Winkel zwischen dem entsprechenden Parabeldurchmesser und seiner konjugierten Sehnenrichtung ist²). Um nun die Achse der Parabel, welche also die zu ihr senkrechten Sehnen halbiert, zu konstruieren, zieht man durch 0 eine Senkrechte zu OM und von ihrem Schnittpunkte N mit ev die Tangente t an k. Dem Berührungspunkte S von t und k entspricht der Scheitel S₀ der Parabel, den man als Schnittpunkt von OS mit der Parallelen t₀ zu ON durch B = e X t erhält; t₀ ist die Scheiteltangente. Da für die Parabel die Achse Symmetrielinie ist, so braucht man nur eine Hälfte der Parabel genau zu zeichnen und kann die andere durch Umklappen um die Achse erhalten.

65. Um weitere Sätze für die Parabel abzuleiten, denke man sich die Figur 25 einer Perspektive unterworfen, deren Verschwindungslinie ev mit der Tangente a in dem Punkte A zusammenfällt. Figur 46 veranschaulicht das Ergebnis dieser Perspektiven Verwandlung; die Bezeichnung ist dieselbe wie in Figur 25, da von der Anfügung des Index 0 hier abgesehen werden konnte.

7t

D'

J[

Vi.

g-v-

,1

Fig. 46.

Alle G-eraden, deren Schnittpunkte in Figur 25 auf der Tangente a liegen, sind hier einander parallel (FG || IZ, BE || YZII XE, DH II XY)- im besonderen sind BA, CA, DA und KA in Figur 46 Durchmesser der Parabel. Da sich in Figur 25 die Geraden XH und ZE in V----- BD X AC schneiden, so schneidet sich hier die Parallele zu DH durch X mit der Parallelen zu BE durch Z in dem Schnittpunkte Y von BD mit dem Durchmesser durch C. Nach § 24 sind die vier Strahlen, die in den Diagonalpunkten X, Y, Z des vollständigen Vierecks AB CD zusammentreffen, harmonische Strahlen. Bezeichnet man noch in Figur 25 den Schnittpunkt von BD und a mit W, so wird durch die vier harmonischen Strahlen aus Y die Strecke HE in A und W harmonisch geteilt. Projiziert man diese vier Punkte von K aus auf BD in die Punkte D, B, L (in Fig. 25 nicht gezeichnet) und W, so ist ebenfalls (DBLW) — —1. In der zur Figur 25 Perspektiven Figur 46 liegt W im Unendlichen, folglich halbiert KA die Parabelsehne BD. Daher:

III.    Die Tangenten in den Endpunkten einer Sehne der Parabel schneiden sich auf dem zu der Sehne konjugierten Durchmesser. Bei der hier auf die Figur 25 angewandten Perspektive sind die Bilder von x und KB parallel, da das Bild von E = x X KB unendlich fern liegt; das Bild von XB aber ist ein Durchmesser. Folglich enthält man den weiteren Satz: Die Polare eines Punktes ist parallel der Tangente, die zu dem durch den gegebenen Punkt gehenden Durchmesser konjugiert ist. (In Figur 46 ist also z. B. die Polare ZY von X parallel zu der Tangente KB.)

Umgekehrt erhält man einen Durchmesser der Parabel, wenn man den Schnittpunkt zweier Tangenten mit dem Halbierungspunkte ihrer Berührungssehne verbindet.

Die vier harmonischen Strahlen in X (Fig. 25) schneiden die Tangente c in den vier harmonischen Punkten <7, Bt, F, J. Da das Bild von J im Unendlichen liegt, so halbiert F die Strecke B₁C. Mithin ist AFCU^ AFB±B, und folglich BF = FU, BB1 = B'G = C U.

IV.    Die Strecke einer beliebigen Parabeltangente zwischen dem Berührungspunkte und dem Schnittpunkte mit irgend einem Durchmesser wird von der Tangente in dem Endpunkte des letzteren halbiert.

Der Endpunkt jedes Durchmessers halbiert die Strecke, welche von einer konjugierten Sehne und den Tangenten in ihren Endpunkten auf ihm abgeschnitten wird.

Aus der Figur 46 ist unmittelbar der folgende Satz

abzulesen:

V. Zieht man durch die Schnittpunkte (F, G) einer Parabeltangente (c) mit zwei anderen (b, d) Parallelen zu diesen, so liegt ihr Schnittpunkt (Y) auf der Berührungssehne (BB) der beiden letzten Tangenten, und zwar in dem Schnittpunkte dieser Sehne mit dem zu der ersten Tangente (c) konjugierten Durchmesser.

Hieraus folgt sofort

BF: FY = YG : GD

oder, da YF = GK, YG = FK ist,

folglich:

BF: FK = KG : GD ,

VI. Die Strecken zweier Parabeltangenten zwischen den Berührungspunkten und ihrem Schnittpunkte werden von jeder dritten Tangente in gleichem Verhältnisse geteilt.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BtXC und B±BC, BXBC und BtZC folgt ferner

und

also

B₁G:CB₁ ---- BxX: BB1 B₁G:CB₁ = BBX: BXZ ,

B₁C² : GBl = BBt. BtX : BBt • B±Z = BXB : BtB = CB': CB',

da B₁X= BXZ ist.

Bezeichnet man die Strecken, die auf einem festen, aber willkürlich gewählten Durchmesser und seiner konjugierten Tangente von Parallelen durch einen Parabelpunkt abgeschnitten werden, als Abszisse und Oidinate dieses Punktes, so liefert die vorstehende Proportion den Satz:

VII. Für jeden Punkt der Parabel ist das Verhältnis des Quadrates der Ordinate zu der Abszisse konstant³).

Der Wert dieser Konstanten hängt ab von der Wahl des Durchmessers. Sie werde für den Fall, daß man

er

\\

Fig. 47.

Abszisse und Ordinate auf die Achse und die Scheiteltangente bezieht, mit 2 p bezeichnet. Dann ist also (Fig. 47) für einen beliebigen Punkt B der Parabel B'B³: SB'=2p.

Zieht man in B die Tangente bis zum Schnitte mit der Achse und die Normale BN, so folgt aus den ähnlichen Dreiecken UB'B und BB'N:

ÜB': B'B = B'B: B'N, und, da (nach Satz IV) US = SB' ist,

B'B² : 2 SB' = B'N,

also B'N = p .

Man bezeichnet B'N, die Projektion der Normale auf die Achse, als Subnormale und p als Parameter der Parabel:

VIII. Alle Subnormalen einer Parabel haben dieselbe Länge wie ihr Parameter.

66. Eine Parabel ist völlig bestimmt durch zwei Tangenten und ihre Berührungspunkte.

Diese Behauptung widerspricht scheinbar dem allgemeinen Satze des § 41, nach dem drei Punkte und die Tangenten in zweien derselben nötig sind, um einen Kegelschnitt zu bestimmen. Der dritte Punkt ist aber hier durch die Forderung gegeben, daß der Kegelschnitt eine Parabel sein soll. Denn zieht man (vgl. Fig. 46 oder 48a) die Gerade durch den Mittelpunkt der Berührungssehne L und den Schnittpunkt K der gegebenen Tangenten, so ist sie (nach Satz III) ein Durchmesser der Parabel, womit ihr unendlich ferner Punkt bestimmt ist.

Die Figur 46 liefert unmittelbar zwei Konstruktionen der Parabel aus den gegebenen Stücken und damit die Richtigkeit der Behauptung.

Erste Konstruktion (Fig. 48a). Sind die Punkte B, D einer Parabel und die Tangenten BK, DK gegeben, so bestimme man zuerst, wie oben angegeben, den Durchmesser KL, zu dem die Sehne BD konjugiert ist. Der Mittelpunkt von LK ist der Schnitt dieses Durchmessers mit der Parabel. Wählt man dann auf BK einen Punkt ^ willkürlich, zieht FY\\ KD und durch den Schnittpunkt Y dieser Parallelen mit BD die Gerade YG || BK, so verhält sich BF: FK= BY: YD =. KG :GD, also ist (nach Satz VI und V) FG eine Tangente der Parabel, deren Berührungspunkt C gefunden wird als Schnittpunkt von FG mit dem Durchmesser durch Y.

Sk

. »

*• -

/>

IX

-V-"

Fig. 48a.

Um noch die Achse der Parabel zu finden, zieht man eine beliebige Senkrechte P' Q' zu der Durchmesserrichtung. Den Schnittpunkt B! der durch P/ und Q' zu den gegebenen Tangenten gezogenen Parallelen verbindet man mit K und erhält in R = R'K X BD einen Punkt der Achse. Die Parallelen durch R zu den gegebenen Tangenten bestimmen auf ihnen die Punkte P und Q der Scheiteltangente.

Die Konstruktion gestaltet sich besonders bequem, wenn man BK, KD, BD in dieselbe Anzahl gleicher Teile teilt; die Verbindungslinien der entsprechenden Teilpunkte auf den gegebenen Tangenten liefern Tangenten der Parabel, deren Berührungspunkte auf ihnen von den Durchmessern durch die entsprechenden Teilpunkte der Strecke BD ausgeschnitten werden.—

Auf jeder Geraden kann man auch die betreffende Teilstrecke über die Endpunkte hinaus abtragen, um weitere Tangenten der Parabel zu erhalten, wie es Figur 48a zeigt (5 5, ff).

Fig. 48b.

Sind B und D gleichweit von K entfernt, so ist KL die Achse der Parabel und die Figur wird symmetrisch für diese (Fig. 48b).

67. (Fig. 49.) Ist eine Parabeltangente c nebst ihrem Berührungspunkte C, ein zweiter Parabelpunkt D und die Durchmesserrichtung DDX gegeben, so empfiehlt sich die folgende zweite Konstruktion, die unmittelbar aus der Figur 46 und den an diese geknüpften Untersuchungen sich ergibt.

Man zieht durch C einen beliebigen Strahl GZ und durch seinen Schnittpunkt Z mit DDX eine Parallele zur Tangente c, welche die Sehne DG in X schneidet. Der Durchmesser durch X schneidet den Strahl GZ in dem

Punkte B der Parabel. Bezeichnet Bx wieder den Schnittpunkt von BX mit der Tangente c, so ist BXG: CD1 = BxX: DD₁ und, da BxX = D₁Z ist, auch B₁C: CDX = D₁Z : DD₁. Will man also mehrere Parabelpunkte konstruieren, so empfiehlt es sich, DDX und Dx C in dieselbe Anzahl gleicher Teile zu teilen; die Durchmesser durch die Teilpunkte auf c sind dann zum Schnitte zu bringen mit den Strahlen durch G nach den Teilpunkten auf DZ)

>v.

⁶*.;-

Fig. 49.

Um die Achse und den Scheitel zu erhalten, hat man nach dem obigen Verfahren nur den Parabelpunkt 0 zu bestimmen, der zu C symmetrisch in bezug auf die Achse liegt (GZ _L DDt, ZX\\c, 1 = ZXXDC, XÖ II DD± ,C = XG X GZ). Die Parallele zuDD₁ durch die Mitte R von GG ist die Achse; halbiert man noch die von R und der Tangente c begrenzte Strecke R T der Achse, so erhält man den Scheitel S der Parabel.

Die Tangente b in B muß B mit dem Halbierungspunkte von CBX verbinden (nach Satz IV); es kann also auf Grund dieser Bemerkung die Tangente für jeden Parabelpunkt leicht konstruiert werden.

68. Eine Parabel ist der Gestalt nach bestimmt durch Angabe des Parameters p •

Man nehme einen beliebigen Strahl a als Achse und seinen Endpunkt S als Scheitel der Parabel an (vgl. Fig. 47). Um die senkrecht zu irgend einem Punkte B' der Achse gelegenen Parabelpunkte zu konstruieren, trage man die Strecke SB' auf der Verlängerung des Strahles a über S

\U

Fig. 47.

hinaus bis U und von B' aus die gegebene Länge p bis N ab. Der Kreis über UN als Durchmesser schneidet die Senkrechte zu a durch B' in den beiden Punkten B und B der Parabel. £7B, UB sind die Tangenten und BN, BN die Normalen der Parabel in diesen beiden Punkten.

Liegt eine Parabel genau gezeichnet vor, so ermittelt man ihre Durchmesserrichtung als Verbindungslinie der Mitten zweier beliebiger paralleler Sehnen; der Halbierungspunkt einer zur Durchmesserrichtung senkrechten Sehne bestimmt dann einen Punkt der Achse.

IV. Abschnitt.

Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte: Brennpunktseigenschaften.

Schnitte des geraden Kreiskegels.

69. Wie schon in § 38 erwähnt wurde, kann man die Kegelschnitte auch als ebene Schnitte eines schiefen oder geraden Kreiskegels betrachten. Ein Kreiskegel wird von einer unbegrenzten Geraden erzeugt, die sich um einen ihrer Punkte, die Spitze O des Kegels, dreht und dabei längs eines Kreises kx als Leitlinie gleitet. Die einzelnen Lagen der Geraden ergeben die Mantellinien des Kegels. Parallele Ebenen zur Ebene des Kreises kt schneiden den Kegel ebenfalls in Kreisen

(§ 14- 1).

Legt man nun zu einer gegebenen Ebene TT eine parallele Ebene TT' durch die Spitze 0, so schneidet sie den Kegel entweder gar nicht, oder berührt ihn längs einer Mantellinie, oder schneidet ihn in zwei Mantellinien. Die Ebene TT selbst ist mithin keiner, einer oder zwei Mantellinien des Kegels parallel, und folglich hat ihre Schnittkurve mit dem Kegel keinen, einen oder zwei unendlich ferne Punkte, ist also eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel. In dem Falle, daß TT einer Mantellinie parallel ist, gibt diese die Richtung der Parabeldurchmesser; ist TT zwei Mantellinien parallel, so sind diese den Asymptoten der Hyperbel parallel.

Faßt man den Kegel als Perspektive auf, die Mantellinien also als Projektionsstrahlen, so ist die Schnittlinie von TT/ mit der Ebene des Kreises kx die Yerschwindungs-linie ev, die in dem ersten der obigen Fälle kx nicht schneidet, in dem zweiten kx berührt und in dem letzten kx schneidet, in Übereinstimmung mit der Definition der drei Kurven in § 42.

Jetzt sollen im besonderen die ebenen Schnitte eines geraden Kreiskegels betrachtet und verschiedene wichtige Eigenschaften derselben abgeleitet werden. Später (§ 82) wird gezeigt, daß man auch jeden Kegelschnitt aus einem geraden Kreiskegel ausschneiden kann, und daß also alle für die ebenen Schnitte eines geraden Kreiskegels gefundenen Eigenschaften allgemein für alle Kegelschnitte gelten.

Bei einem geraden Kreiskegel steht die durch die Spitze 0 und den Mittelpunkt des Leitkreises kx gehende Gerade senkrecht auf der Ebene von kx und heißt Achse des Kegels. Jede Mantellinie schließt mit der Kegelachse denselben spitzen Winkel ein, der gleich dem halben Öffnungswinkel des Kegels ist, wo als Öffnungswinkel 2 cp der Winkel bezeichnet ist, den zwei in einer durch die Achse gehenden Ebene gelegene Mantellinien einschließen.

Ist o der Neigungswinkel der Kegelachse gegen die schneidende Ebene TT, wobei es genügt, o als nicht stumpfen Winkel vorauszusetzen, so erhält man als Schnittkurve eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem o größer, gleich oder kleiner als cp ist, wie man leicht erkennt, wenn man die zu TT parallele Ebene* TT⁷ durch 0 legt. Für ö=90° gehen die Schnittellipsen in Kreise über.

70. Beschreibt man einem Winkel cp einen Halbkreis (Fig. 50) so ein, daß sein Durchmesser in dem einen

Schenkel a liegt und er den andern Schenkel b berührt, so entsteht durch Drehung der Figur um den ersten Schenkel a ein gerader Kreiskegel mit einer eingeschriebenen Kugel. Einem geraden Kreiskegel können also unendlich viele Kugeln eingeschrieben werden, deren Mittelpunkte auf der Kegelachse liegen und deren jede den Kegel längs eines Kreises (mit zur Kegelachse senkrechter Ebene) berührt.

Th

Fig. 50.

Ist nun noch eine den Kegel schneidende Ebene TT gegeben, so gibt es unter diesen Kugeln augenscheinlich zwei, die die Ebene berühren, wenn o cp ist, und nur eine, wenn o = op ist. Diese beiden Kugeln sollen benutzt werden, um die wichtigsten Brennpunktseigenschaften der Kegelschnitte abzuleiten [Verfahren von Dandelin⁴)].

Brennpunkte und Leitlinien.

71. Die folgenden drei Figuren 51, 58 und 54 entsprechen den drei Fällen o > cp, o < cp, o = cp und zeigen in schiefer Parallelprojektion⁵) einen Kegel, der von einer Ebene TT geschnitten wird, und die eingeschriebenen Kugeln, die die Ebene TT berühren. Als Zeichenebene W ist die Ebene durch die Kegelachse, die _L TT ist, gewählt.

Eine besondere Begrenzung der Ebene TT ist nicht gezeichnet, sondern nur ihre Schnittkurve k mit dem Kegel angegeben. Die Kugeln mit den Mittelpunkten Mx und M2 berühren den Kegel längs der Kreise , k₂ und die Ebene in den Punkten Ft, F₂ . Die parallelen Ebenen dieser Kreise sind ebenfalls nicht besonders begrenzt; es sind nur ihre Schnittgeraden lx und l₂ mit der Ebene TT angegeben. Da alle drei Ebenen auf der Zeichenebene senkrecht stehen, so sind auch die Geraden lx und l2 senkrecht zu ihr.

Die Zeichen ebene W schneidet die Kreise in den Durchmessern Ax Bx, A₂B₂ und den Kegelschnitt in der Achse AB] das letztere folgt daraus, daß W eine Symmetrieebene für die ganze Raumfigur ist. Die Punkte A und B sind also Scheitel des Kegelschnittes. Auf der Achse AB liegen die Berührungspunkte Fx, F₂ der Kugeln.

In allen drei Figuren ist ferner eine beliebige Mantellinie gezogen, die k, kx bzw. k₂ in den Punkten P, Pl9 bzw. P₂ schneidet, und P mit den Punkten Fx und F₂ verbunden.

72. In dem Falle o > (p (Fig. 51) liegen die beiden Kugeln in derselben Hälfte des Kegels, die deshalb auch nur gezeichnet ist (vgl. I, 27).

sehr klein gewählt. Infolgedessen können als scheinbare Umrisse des Kegels und der Kugeln mit hinreichender Genauigkeit ihre Schnittlinien mit der Projektionsebene angesehen werden. Im Interesse der Deutlichkeit mußte die Notwendigkeit vermieden werden, noch besondere scheinbare Umrisse zeichnen zu müssen.

Nun ist PFX == PP₁ und PF₂ ----- PP₂ , da alle von einem Punkte an eine Kugel gezogenen Tangenten gleiche Länge haben, wie auch aus der Erzeugung des Kegels und einer eingeschriebenen Kugel in § 70 folgt. Mithin ist PF± + PP₂ = P±P+ PP₂ = P,P₂ .

I,

/l

¹

Setzt man MR = x, RR = y, so hat man damit die Gleichung der Hyperbel, bezogen auf die Achsen als Koordinatenachsen.

²

In der Figur ist speziell ON± OM angenommen.

³

Bezeichnet man die Abszisse mit cv, die Ordinate mit y und die Konstante mit 2 x, so gibt der Satz die Gleichung der Parabel: y² — 2 k • x .

⁴

Dandelin, (Terminal Pierre, geb. 12. April 1794 in Bourget bei Paris, gest. 15. (oder 17.) Februar 1847 in Brüssel. D. war zuerst Professor der Bergbaukunst an der Universität Lüttich, dann Professor der Physik in Namur, zuletzt belgischer Ingenieuroberst und Mitglied der Akad. d. Wiss. zu Brüssel.

⁵

Die Projektionsstrahlen fallen ziemlich steil auf die Projektionsebene auf und das Verkürzungsverhältnis (I, 30) ist

SM

Fig. 51.

Die Länge P₂ ist aber von der Lage des Punktes Paus k unabhängig, da alle Mantellinien zwischen kx und k₂ gleiche Länge haben. Bezeichnet man diese Länge mit 2 a, so ist also für alle Punkte P der Ellipse"

(i)

PP, + PP₂ = 2st.

Läßt man P mit A oder B zusammenfallen, so ist auch AFX -f AF₂ = BFX + BF₂ = 2 a, woraus folgt, daß AFt = BF₂ und AFX +AF₂ = BF₂+AF₂ = AB = 2 a ist.

(2)

Errichtet man in dem Mittelpunkte M von AB (Fig. 52) eine Senkrechte zu AB, die die Ellipse in den Punkten C und D schneidet, so ist CFX ----- CF₂ — a, und, wenn man noch FXF₂ = 2 e (e < a), (7D — 2 ö setzt, b² = a² — e² .

Die beiden Punkte , i^₂ liegen somit auf der großen Achse der Ellipse und heißen die Brennpunkte. Aus dem Vorstehenden ergibt sich zugleich ihre Konstruktion, wenn die Achsen der Ellipse ge- b geben sind.

Die bisherigen Ergebnisse lassen sich in den Satz zusammenfassen:

V\

Fig. 52.

Für alle Punkte einer Ellipse ist die Summe ihrer Abstände von zwei festen Punkten der großen Achse — den Brennpunkten — gleich der Länge der großen Achse. Die Brennpunkte liegen auf der großen Achse innerhalb der Ellipse und in gleicher Entfernung von den Scheiteln.

Den Abstand e eines Brennpunktes vom Mittelpunkte nennt man die lineare Exzentrizität der Ellipse, im Gegensatze zu der numerischen Exzentrizität, unter der man das Verhältnis der linearen Exzentrizität

versteht; für die Ellipse

zu der halben großen Achse e

ist — < 1 .

Haußner, Darstellende Geometrie II.

Die letztere Größe kann auch durch die Winkel cp und o ausgedrückt werden. Beachtet man, daß die Kugelradien M, P,, M₂P₂_L P₁ P₂ und M, F, , M₂F₂ J_ F, F₂ sind, so ergibt sich P,P₂ = M,M₂ • cos(p und F,F₂ = M,M₂ • cos a, also

(3)

cosa

COS cp

73. Ist a < 99, so sind die beiden Kugeln den beiden Kegelhälften (einem Kegel und seinem Scheitelkegel) eingeschrieben (Fig. 53). Aus jeder Kegelhälfte schneidet die Ebene TT einen Zweig der Hyperbel aus.

Aus dem gleichen Grunde wie im vorigen Falle ist

PF, = PP,, PF₂ = PP₂ ,

aber jetzt ist

PF₂ - PF, = PP₂ - PP, - PtP₂ .

Wird die konstante Länge P, P₂ aller Mantellinien zwischen 7c, und k₂ wieder mit 2 a bezeichnet, so gilt für alle Punkte P des einen Hyperbelzweiges:

(i)

PF₂ — PF, = 2 a , bzw. für einen Punkt des andern Zweiges:

(!')

PF, — PP₂ = 2a .

Läßt man P in die Scheitel H und P fallen, so ist iP₂ — AF, = BF, — PP₂ = 2 a, woraus leicht

und

folgt.

AF, = BF₂

AF₂ — AF, = AF₂ — BF₂ = AB = 2 a

Für alle Punkte einer Hyperbel ist demnach die Differenz ihrer Abstände von zwei festen

///

'//

fj /

/i

7,

"'s

t,

ji

SS

fr- "K

Ta,i

1/

f\

i i//

Fig. 53.

Punkten der Hauptachse — den Brennpunkten — gleich der Länge der Hauptachse. Die Brenn-

punkte liegen innerhalb der Hyperbel auf ihrer Hauptachse und in gleicher Entfernung von den Scheiteln.

Setzt man Fx F₂ = 2 e, so heißt e wieder die lineare Exzentrizität der Hyperbel und ist größer als a; folglich ist für die Hyperbel die numerische Exzentrizität — > 1 . Später (§ 84) wird noch gezeigt werden, daß für die halbe Hebenachse b der Hyperbel die Beziehung gilt:

(2)

b² — e² — a².

In gleicher Weise wie für die Ellipse findet man auch für die Hyperbel die Beziehung

(3)

cos o

COS (p

ln Figur 53 sind noch die beiden Mantellinien mx und m₂ gezeichnet, die zu der schneidenden Ebene TT und also auch zu den Asymptoten der Hyperbel k parallel sind.

74. Zieht man durch einen Punkt P eines Kegelschnittes eine Senkrechte zu den Ebenen der beiden Kreise, deren Fußpunkte Gx, G₂ al1^ den Kreisradien Nx Px und N₂P₂ liegen müssen (Fig. 51, 53 und 54), so ist, da diese Senkrechte parallel der Zeichenebene ¥ ist, die durch sie parallel zu W gelegte Ebene senkrecht zu lx und l₂ ; infolgedessen sind Gx Hx und PHX _L lx, G₂H₂ und PH₂ _j_ Z2¹). Folglich ist <PXPGX

= ^CP₂PG₂ = (p und <H₁PG₁ = <H₂PG₂-=o. Aus den rechtwinkligen Dreiecken P₁G₁P, Hx GXP ergibt sich

PGX — PPX • cos 99 — PFX • cos 99

und

also

PGX — Pi^ • cos o ,

(4)

PPi ^ PHX -

COS (7

cos 99

/:

>•

ft.

1,

..

Fig. 54.

118 IV. Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte, und ebenso erhält man für die beiden ersten Fälle

(40

PF, = ph₂ .

cos o

= PK. -

cos 99

Für die Scheitelpunkte im besonderen ist

BFi = BK • — ,

AF₁ = L₁A, a

folglich

-1 .

= i£L : Ä =    : 4b =

LjB L^B LtB

Mithin wird die Brennpunktsachse (d. i. die Achse, auf der die Brennpunkte liegen) einer Ellipse oder Hyperbel durch den Brennpunkt Ft und die zu ihr senkrechte Her ade l± harmonisch geteilt; das gleiche gilt für F₂ und l₂ . Bei der Parabel wird die Strecke der Achse zwischen dem Brennpunkte und der Leitlinie halbiert. Da die Polare eines Brennpunktes (nach Satz III in §§ 45, 53 und 65) senkrecht auf der durch ihn gehenden Achse stehen muß, so folgt, daß 4 die Polare von Fx und 4 die Polare von F₂ ist; diese Polaren heißen die Leitlinien des Kegelschnittes.

Für jeden Kegelschnitt hat das Abstandsverhältnis irgend eines Punktes von dem Brennpunkte und von der Polare desselben — seiner zugehörigen Leitlinie — den konstanten Wert gleich der numerischen Exzentrizität des Kegelschnittes. Je nachdem eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel vorliegt, ist also das Abstandsverhältnis <, =,>1.

75. Die Tangenten t, t± und t₂ in den Punkten P, P₁ und P₂ sind zueinander perspektiv, folglich schneiden sich t und 4 in einem Punkte auf l±, t und t₂ in

einem Punkte T₂ auf l₂ *). Alle drei Tangenten liegen in derselben Ebene, die den Kegel längs der Mantellinie OP berührt (Tangentialebene).

V-

H.

fV⁶'

/ \i

\K

a:

/i

-je

Fig. 51.

Ist die Schnittkurve eine Ellipse oder Hyperbel (Fig. 51 u. 53), so ist

und

APPXTX ££ APFXTx

_ APP₂ T₂ cg APF₂ t₂

*) Diese Linien sind nur in Figur 51 gezeichnet. Bei der Ellipse halbiert die Normale, bei der Hyperbel die Tangente den von den Brennstrahlen selbst eingeschlossenen Winkel.

weil die entsprechenden Seiten der Dreiecke einander gleich sind als Tangenten an Kugeln. Die linksstehenden Dreiecke sind rechtwinklig bei P₁ und P₂ , da und t2 _L OP sind; folglich ist auch <£PP₁7⁷₁ = <£ PF₂T2 = 90°. Da noch <P₁P T± = <P₂PP₂ ist, so folgt

<T₁PP₁ = <T₂PF₂ ,

d. h., wenn man noch PF₁ und PF₂ als Brennstrahlen von P bezeichnet:

Die Tangente und Normale eines jeden Punktes einer Ellipse oder Hyperbel halbieren die von den Brennstrahlen nach diesem Punkte und ihren Verlängerungen gebildeten Winkel.

Im Falle der Parabel als Schnittkurve (Fig. 54) ist

wieder

und ferner

APP^^ APP^ ;

APF^^ APH^ ,

da in den Dreiecken PT₁ = PT₁, PF₁ = PH₁ und < PF± Tt = < Pi7₃ Ti ----- 90° ist. Folglich ist

<P₁PT₁=<J3₁PT₁ ,

d. h. die Tangente einer Parabel ist gegen den Brennstrahl nach ihrem Berührungspunkte und gegen die Achse gleich geneigt.

(Bemerkung. Auf diesen Sätzen beruht die Verwendung von Ellipse und Parabel in der Optik. Nach dem Reflexionsgesetze wird ein auf einer spiegelnden Linie oder Fläche auffallender Lichtstrahl so reflektiert, daß auffallender und zurückgeworfener Lichtstrahl mit der Normale der spiegelnden Linie gleiche Winkel bilden. Jeder von dem einen Brennpunkte einer spiegelnden Ellipse ausgehende Strahl wird also von ihr in den anderen

Brennpunkt reflektiert; jeder in der Richtung eines Parabeldurchmessers auffallende Lichtstrahl wird von der Parabel als Spiegel in den Brennpunkt reflektiert, und alle vom Brennpunkte einer Parabel ausgehenden Lichtstrahlen werden parallel zur Achse reflektiert.)

76. Die Tangente und Normale eines Ellipsen- oder Hyperbelpunktes bilden also mit den Brenn strahlen desselben vier harmonische Strahlen (§ 6); jede Gerade, also auch die Brennpunktsachse, wird mithin von ihnen in vier harmonischen Punkten (§7) geschnitten:

Die von den Brennpunkten einer Ellipse oder Hyperbel begrenzte Strecke der Achse wird von der Tangente und Normale eines jeden Kurvenpunktes harmonisch geteilt.

Bei der Parabel bilden die Tangente und Normale irgend eines Punktes mit dem Brennstrahle und dem Durchmesser desselben ebenfalls vier harmonische

Strahlen. Da nun der Durchmesser der Achse parallel ist, so liegt einer der harmonischen Punkte, in denen die vier Strahlen die Achse schneiden, im Unendlichen, und folglich:

Der Brennpunkt einer Parabel halbiert die Strecke, die von der Tangente und Normale eines beliebigen Parabelpunktes auf der Achse begrenzt wird.

77. Die Sätze in § 72 und 73 kann man auch benutzen, um eine Ellipse oder Hyperbel aus ihren Brennpunkten Fx, F₂ und der großen bzw. Hauptachse 2 a zu konstruieren, indem man (Fig. 55) Kreise um die Brennpunkte beschreibt und die Schnittpunkte je zweier Kreise um Fx und F₂ , für die die Summe bzw. Differenz der Radien gleich 2 a ist, miteinander verbindet. Diese Konstruktion empfiehlt sich jedoch nur, wenn es sich darum handelt, mehrere Ellipsen und Hyperbeln mit denselben Brennpunkten zu konstruieren, wie es Figur 55 zeigt, wo zwei Ellipsen mit den großen Achsen AiB₁, A₂ B₂ durch Kreise O und zwei Hyperbeln mit den Hauptachsen G₁Hl, G₂H₂ durch Kreuzehen X hervorgehoben sind. Kegelschnitte mit denselben Brennpunkten bezeichnet man als konfokale (focus = Brennpunkt).

y yl

Fig. 55.

Eine Ellipse schneidet jede konfokale Hyperbel rechtwinklig und umgekehrt, d. h. die Tangenten in den Schnittpunkten beider Kurven stehen aufeinander senkrecht. Denn die Hyperbeltangente in P halbiert nach dem ersten Satze in § 73 den von den Brenn strahlen eingeschlossenen Winkel und die Ellipsentangente seine Nebenwinkel. Zwei konfokale Ellipsen oder Hyperbeln schneiden sich dagegen nicht.

78. Für die Parabel liefert der Satz in § 74 eine Konstruktion aus der Leitlinie und dem Brennpunkte F, die sich besonders auch für die Konstruktion mehrerer konfokaler Parabeln empfiehlt. Die von F auf die Richtung der Leitlinie lx gefällte Senkrechte FAX (Fig. 56)

*ZJ

y z

H • ---

-N

Al A

Fig. 56.

ist die Achse. Punkte der Parabel erhält man dann als Schnittpunkte des in einem beliebigen Punkte Gx der Achse errichteten Lotes mit dem Kreise um F, dessen Radius gleich dem senkrechten Abstande Gx L± des Punktes Gx von der Leitlinie lx ist. Je nachdem die Leitlinie rechts oder links von F gelegen ist, erhält man zwei Scharen von konfokalen Parabeln, von denen in der Figur zwei Parabeln der einen Schar (mit den Scheiteln At, A₂) und eine der anderen Schar (mit dem Scheitel Ox) durch o bzw. X bezeichnet sind. Jede Parabel der einen Schar schneidet jede der anderen Schar rechtwinklig, denn in ihrem Schnittpunkte P fallen die Durchmesser in dieselbe Gierade und ihre Tangenten halbieren die beiden von dem Durchmesser in P mit dem Brennstrahle gebildeten Winkel (§ 75, 2. Satz). Je zwei Parabeln derselben Schar können sich nicht schneiden.

79.    Wie schon bemerkt, folgt aus der Kongruenz der Dreiecke PPX Tx und PFX Tx, bzw. PP₂ T₂ und PF₂ T2 (Fig. 51, 53 u. 54), daß die Winkel bei Fx und F₂ , die die Brennstrahlen nach dem Berührungspunkte einer Tangente und die Strahlen nach ihren Schnittpunkten mit den Leitlinien bilden, rechte Winkel sind:

Die Strecke einer beliebigen Kegelschnittstangente zwischen ihrem Berührungspunkte und einer Leitlinie wird von dem zur letzteren gehörenden Brennpunkte unter einem rechten Winkel gesehen.

Da nun für jeden Kegelschnitt die Leitlinie l (Fig. 57) die Polare des zugehörigen Brennpunktes F ist, so liegt (§ 34; VI) der Pol jeder Gieraden durch F auf l. Der Pol der Berührungssehne PF muß aber auch auf der Tangente in P liegen, ist also ihr Schnittpunkt T mit l. Der Pol von TF liegt daher (nach § 35, VIz) auch auf PF und ist folglich der Schnittpunkt S beider Gieraden:

In den Brennpunkten eines Kegelschnittes stehen je zwei harmonische Polaren aufeinander senkrecht.

80.    Wenn man einen Kreis in einen Kegelschnitt durch eine Perspektive überführt, deren Zentrum in dem

Mittelpunkte des Kreises liegt, so ist er zugleich ein Brennpunkt des Kegelschnittes. Denn je zwei zueinander senkrechte Durchmesser des Kreises sind harmonische Polaren, da der unendlich ferne Punkt des einen der Pol des anderen ist. Da nun aber jeder durch das Zentrum der Perspektive gehende Strahl ^ sich selbst entspricht, so sind bei dieser besonderen Perspektive je zwei zueinander senkrechte Kreisdurchmesser zu- T gleich harmonische Polaren des Perspektiven Kegelschnittes, woraus auf Grund des obigen Satzes die ausgesprochene Behauptung folgt. Die Fluchtlinie der Perspektive ergibt hierbei die Leitlinie des Kegelschnittes, welche dem in den Kreismittelpunkt fallenden Brennpunkte zugeordnet ist.

/’

Fig. 57.

Aus dieser Perspektive lassen sich ebenfalls alle Brennpunktseigenschaften ableiten, worauf hier nicht eingegangen werden kann²).

81. Ist wiederum (Fig. 58) F der Brennpunkt eines beliebigen Kegelschnittes k, l die zugehörige Leitlinie und sind TP und TQ zwei Tangenten an k, so ist ihre Berührungssehne PQ die Polare ihres Schnittpunktes T\ folglich muß der Pol von FT auf P Q und auf der Polare l von F liegen, ist also der Punkt S = l X PQ • Mithin sind FS und FT harmonische Polaren und stehen, da sie durch den Brennpunkt gehen, nach dem vorigen Paragraphen aufeinander senkrecht. Andererseits ist G = FT X PQ der Pol von TS und mithin harmonischer Pol zu S. Die Sehne PQ wird daher von G und $ harmonisch geteilt, und die Strahlen FP, FQ, FG, FS sind also har-

JL

Ol Co

Fig. 58.

monische Strahlen, deren beide letzte einen rechten Winkel einschließen; folglich halbiert (nach dem letzten Satze in § 6) FG den Winkel PFQ. Daher gilt der Satz:

Die Strahlen von einem Brennpunkte nach den Berührungspunkten zweier Tangenten eines beliebigen Kegelschnittes sind gleich geneigt gegen den Strahl, der diesen Brennpunkt mit dem Schnittpunkte der beiden Tangenten verbindet.

Zieht man noch eine beliebige dritte Tangente, welche die beiden ersten in E7, V schneidet und R zum Berührungspunkte hat, so ist auf Grund dieses Satzes:

< PFU= 4: UFR = PFR , ^QFV = <£VFR = \*£QFR ,

also

^UFV=\^PFQ ,

unabhängig von der Lage der dritten Tangente:

Die Strahlen von einem Brennpunkte eines beliebigen Kegelschnittes nach den Schnittpunkten einer beweglichen Tangente mit zwei festen schließen einen konstanten Winkel ein, der gleich der Hälfte des von den Brennstrahlen nach den Berührungspunkten der festen Tangenten eingeschlossenen Winkels ist.

(V,

ßyQ

Fig. 59.

82. Die Sätze des § 75 und der erste Satz des vorigen Paragraphen gestatten leicht, einen weiteren Satz für die Ellipse und Hyperbel abzuleiten. Verbindet man (Fig. 59) den Schnittpunkt T zweier Tangenten mit den Brennpunkten Fx und F₂ , so finden die durch die gleichen griechischen Buchstaben in der Figur angegebenen Winkelgleichheiten statt. Auf Grund des Satzes über den

Außenwinkel am Dreiecke erhält man dann die Beziehungen :

y + £ = oc

y + y + C=ß

d + f = 180° - ß , ö + f + rj = 180° — (x ,

und durch Subtraktion der unteren von den darüber stehenden Gleichungen:

£ — y — £ = <x — ß

—£ — y + £ = <x — ß,

woraus £ — £ und daher der Satz folgt

Der von dem Schnittpunkte zweier Tangenten einer Ellipse oder Hyperbel nach dem einen Brennpunkte gezogene Strahl schließt mit der einen Tangente den gleichen Winkel ein, wie der nach dem anderen Brennpunkte gezogene Strahl mit der anderen Tangente.

83. (Eig. 60% 61a.) Fällt man von den Brennpunkten F₁, F₂ einer Ellipse oder Hyperbel die Lote auf eine Tangente t, die die Kurve in P berührt, und verlängert jedes Lot über seinen Fußpunkt hinaus um seine eigene Länge (F₁G₁ = G₁Hl, F₂ G₂ = G₂H₂), so erhält man die Punkte H₁ und H₂ , die als die Gegenpunkte der Brennpunkte in bezug auf die Tangente t bezeichnet werden sollen.

Verbindet man noch P mit F₁, F₂ ,    , H₂ und M

mit Gt, G₂ , so sind die rechtwinkligen Dreiecke Fx Gt P und H₁ Gx P, F₂G₂P und H₂G₂P kongruent. Folglich ist, da nach dem Satze in § 75 <£:F₁PG₁ = *$:F₂PG2 ist, auch

<£FlPG₁ = ^H₂PG₂ =<£H₁PG₁ = ^F₂PG₂ ;

die Linien    und F₂PH₁ sind also gerade Linien,

und es ist

F₂P + PHX = E₂P+ PFt = F₂P+ PF₁=2a für die Ellipse (Fig. 60a),

F₂P - PHt = F₂P - PFt = F₂P - PFt= 2 a für die Hyperbel (Fig. 61a).

M    v

'eX"' ''X

J','    " - . \r \F\ ,

/.'

j>r

E!

w;

K.

Xd

Ki«. 61a.

Mg. 60a.

Weil nun 0₁, 6r₂, M die Strecken F₁Hl, F₂H₂, FtF₂ halbieren, so ist

A MFt A F₂F₁H₁ , A MF₂ G₂ ~ A tf₂ , also    = MG₂ : FXH₂ =    : i^₂ ,

woraus MG₁ = MG₂ = a folgt. Daher:

Die Fußpunkte der von den beiden Brennpunkten einer Ellipse oder Hyperbel auf die Tangenten gefällten Lote liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt mit dem der Kurve zusammenfällt und dessen Radius gleich der

Haußner. Darstellende Geometrie II.

halben großen Achse der Ellipse, bzw. der halben Hauptachse der Hyperbel ist.

Die Gegenpunkte eines Brennpunktes für alle Tangenten liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt im anderen Brennpunkte liegt und dessen Radius gleich der großen Achse der Ellipse bzw. Hauptachse der Hyperbel ist.

Man kann also Ellipse und Hyperbel auf Grund des ersten Satzes als Tangentengebilde konstruieren, wie es die Figuren 60b und 61b zeigen. Will man dann noch

MW

Fi g. 60b

Fig. 61b

zu-

die Berührungspunkte haben, so braucht man nur die Gegenpunkte des einen Brennpunktes in bezug auf alle Tangenten zu bestimmen (nach dem zweiten Satze) und diese mit dem anderen Brennpunkte zu verbinden; der Schnitt jeder dieser Verbindungsgeraden mit der gehörigen Tangente gibt ihren Berührungspunkt.

Will man von einem Punkte Q außerhalb einer Ellipse oder Hyperbel, deren Brennpunkte und große bzw. Hauptachse gegeben sind, die Tangenten ziehen, so braucht man nur den Kreis über QFX (oder QF₂) als Durchmesser zum Schnitt zu bringen mit dem Kreise über der großen bzw. Hauptachse AB als Durchmesser; die Schnittpunkte Jt, Lx sind die Fuß punkte der von Ft (oder F₂) auf die gesuchten Tangenten gefällten Lote, wodurch diese {^Q ^ LXQ) bestimmt sind (vgl. Fig. 60a). Die Berührungspunkte ermittelt man nach dem oben angegebenen Verfahren, wie es die Figur erkennen läßt.

Fällt man noch von M das Lot MK auf t, dessen Länge gleich d sei, so ist

sinG₁PF₁ = sinKG₂M -----welcher Wert bei der Ermittlung der Krümmungshalbmesser (§ 95) Verwendung finden wird.

84. Für die Hyperbel ergibt sich noch, wenn man die Tangenten von den Brennpunkten an den Kreis mit der halben Hauptachse um M zieht, z. B. F₂G in Figur 61a, daß die zu F₂C senkrechte Hyperbeltangente durch den Kreismittelpunkt geht, also, weil dieser zugleich auch Mittelpunkt der Hyperbel ist, eine Asymptote der Hyperbel liefert. Ist BD = b die Scheiteltangente, so ist AMCF₂ ^ AMBD und folglich MD = MF₂ . Die halbe Exzentrizität MF₂ war mit e bezeichnet worden, und folglich besteht zwischen cr, ö, 6 für die Hyperbel die in § 73 erwähnte Beziehung

e² = a² + b² .

Ist also a und b gegeben, so trägt man a auf den Asymptoten ab, errichtet in den Endpunkten Lote, die die Hauptachse in den Brennpunkten Fx und F₂ schneiden.

Eine weitere Eigenschaft der Hyperbel ergibt sich noch aus dem zweiten Satze des § 81. Schneidet (Fig. 61a) die Tangente t in P die Asymptoten in R und Q, so ist auf Grund jenes Satzes, da die Strahlen von den Brenn-

9*

punkten nach den Berührungspunkten der Asymptoten diesen letzteren parallel sind,

<RF₂Q = i<£-RMQ ---- <^RMF₁ ,

< RFX Q = -i < (3600 - PlsQ) = < RMF₂ ;

folglich ist

+ 180°.

Nach dem Satze über das Sehnenviereck liegen daher die Punkte P, Q auf einem durch die Brennpunkte gehenden Kreise:

Jede Hyperbeltangente schneidet die Asymptoten in zwei Punkten, die auf einem durch beide Brennpunkte gehenden Kreise liegen.

Auch diesen Satz kann man zur Konstruktion von Hyperbeltangenten benutzen, wenn die Brennpunkte und die Hauptachsen der Hyperbel gegeben sind.

85. Für die Parabel erfahren die Sätze des § 83 eine Abänderung. Wie in § 74 gezeigt ist, halbiert der Scheitel A die Strecke der Achse zwischen dem Brennpunkte F und der Leitlinie l (Fig. 62a), folglich halbiert die Scheiteltangente a auf jedem durch den Brennpunkt gehenden Strahle die Strecke, die zwischen ihm und der Leitlinie l liegt. Fällt man nun von P das Lot PH auf l und verbindet H mit F und G mit P, so ist PF = PH und FG — HG, also

AFGP&AHGP

und

A^FPG = <^HPG , <£FGP= <^HGP= 90° .

Die Lime PG ist also die Tangente der Parabel in P und steht senkrecht auf FG:

Die Fußpunkte der von dem Brennpunkte auf die Tangenten einer Parabel gefällten Lote liegen auf ihrer Scheiteltangente, die Gegen-punkte auf der Leitlinie.

Man kann den ersten Teil dieses Satzes benutzen, um die Parabel als Tangentengebilde zu zeichnen (Fig. 62b). Den Berührungspunkt jeder Tangente erhält man, indem man den auf ihr senkrechten Brennstralil bis zum Schnitte mit der Leitlinie verlängert und durch diesen Punkt eine Parallele zur Achse zieht, die die Tangente in dem Berührungspunkte schneidet.

CL

k⁽

MF

jf

Fig. 62b.

Fig. 62a.

Um von einem Punkte Q die beiden Tangenten an eine Parabel zu ziehen (Fig. 62a), beschreibt man den Kreis über dem Durchmesser FQ; durch seine Schnittpunkte J und L mit der Scheiteltangente a gehen die gesuchten Tangenten JQ und L Q.

Zieht man von dem Punkte As, in dem eine Tangente der Parabel die Leitlinie schneidet, die zweite Tangente an die Parabel und verbindet den Punkt /, in dem sie die Scheiteltangente schneidet, mit dem Brennpunkte Fj so steht nach dem vorigen Satze diese Linie FJ senkrecht auf der Tangente KJ. Es ist also FJKGt ein Sehnenviereck in dem Kreise, der FK zum Durchmesser hat. Nun halbiert aber die Scheiteltangente diese Diagonale, da die Projektionen von FE und EK auf die Achse, nämlich FA und AL, gleiche Länge haben; folglich ist der Diagonalenschnittpunkt E des Sehnenvierecks der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises und auch die andere Diagonale J G ein Durchmesser desselben. Mithin sind auch JFG und GKJ rechte Winkel, woraus folgt:

Je zwei zueinander senkrechte Tangenten einer Parabel schneiden sich auf der Leitlinie und umgekehrt.

Zieht man in Figur 62a noch die Normale im Punkte P bis zum Schnitte N mit der Achse und fällt auf letztere von P das Lot, so ist AHL'F^ A PBN, da die entsprechenden Seiten parallel sind und HL' = PB ist; folglich ist L'F = 2 A F = BN = p , wo p wieder den Parameter (§ 65) der Parabel bezeichnet, und AF = p/2 :

Der Abstand des Brennpunktes einer Parabel vom Scheitel ist gleich ihrem halben Parameter.

86. Auch für die Parabel gestattet der letzte Satz in § 81 die Ableitung eines Satzes, der dem letzten Satze über die Hyperbel in § 84 entspricht.

Zieht man drei Tangenten an eine Parabel (Fig. 63), die sich in R, S, T schneiden, bezeichnet die unendlich fernen Punkte von RT, ST mit U, V und beachtet, daß die unendlich ferne Gierade ebenfalls Tangente der Parabel ist, so ist, wenn man RS und die unendlich ferne Gierade als die festen Tangenten jenes Satzes auffaßt und ihn auf die beiden anderen Tangenten anwendet, <£RFU ----- SFV. Hieraus folgt sofort

<£RTS = <£ üFV= «£RFS .

Aus der Gleichheit dieser Winkel ergibt sich der Satz:

Der durch die Schnittpunkte je dreier Tangenten einer Parabel gelegte Kreis geht auch durch ihren Brennpunkt.

9'

zz±

Fig. 63.

87. Es ist nun noch die in § 69 ausgesprochene Behauptung zu beweisen, daß man jeden Kegelschnitt als Schnitt eines geraden Kreiskegels erhalten kann.

In § 46 und 56 ist gezeigt worden, daß eine Ellipse oder Hyperbel durch zwei konjugierte Durchmesser, also auch durch die Achsen, und in § 68, daß eine Parabel durch den Parameter p bestimmt ist.

Bezeichnet wieder cp den halben Öffnungswinkel eines geraden Kreiskegels und o den Neigungswinkel der schneidenden Ebene TT gegen die Kegelachse, so waren in § 72 die folgenden Beziehungen zwischen diesen Winkeln und den Achsen einer Ellipse abgeleitet:

b² = a² — e² ,

e    cos o

a    cos cp '

woraus für b der Wert folgt:

b --

—— l/cos²<n — cos² o . cos cp

Läßt man nun o abnehmen von 90° bis cp (ausschließlich), welche Werte für die Ellipse allein in Betracht kommen, so nehmen die Werte von b, da cos 90° — 0 ist, ab von a

bis zu beliebig kleinen Werten. Das Achsen Verhältnis —

kann also jeden vorgeschriebenen Wert zwischen 1 und 0 (ausschließlich) durch passende Wahl von o erhalten. Verschiebt man die Ebene TT parallel zu sich, so ändert

man damit die Länge AB= 2 a . Da mithin a und — beliebig für die Schnittellipse vorgeschrieben werden können, so gilt dies auch für a und b selbst.

Aus jedem geraden Kreiskegel können also alle möglichen Ellipsen ausgeschnitten werden. Für dieHyperbel waren die F ormeln abgeleitet (§73):

b² = e² — a² ,

also

cos o cos cp

b --

--Vcos²ö — cos² cp .

COS 99 r

Da o < cp ist, so ist cosa > cos 99, und die Werte von b wachsen von beliebig kleinen Werten bis zu a • tgcp, wenn o von 99 (ausschließlich) abnimmt bis zu Null; das

Achsenverhältnis kann daher jeden Wert von 0 (ausschließlich) bis tg cp annehmen. Durch Parallelverschiebung der Ebene läßt sich wieder die Länge der Hauptachse

beliebig verändern. Da aber — = tgoc ist, wenn oc den

von den Asymptoten mit der Hauptachse gebildeten Winkel bezeichnet, so folgt:

Aus einem geraden Kreiskegel läßt sich jede Hyperbel ausschneiden, deren Asymptotenwinkel nicht größer ist als der Öffnungswinkel des Kegels.

Ist der Asymptotenwinkel gleich dem Öffnungswinkel des Kegels, so geht die Ebene TT durch die Achse des Kegels und schneidet ihn in zwei Mantellinien. Wählt man also noch cp passend, so kann man jede Hyperbel als Schnitt eines geraden Kreiskegels erzeugen.

Für die Parabel endlich ist o = 99, und wenn r1 den Radius der die Ebene TT und den Kegel berührenden Kugel (vgl. Fig. 54) bezeichnet, so ist AFt = 7\ • tg99 .

Der Abstand AFX des Brennpunktes der Parabel von ihrem Scheitel war aber gleich der Hälfte des Parameters p gefunden. Folglich ist

p = 2 rx • tg 99 .

Durch Parallelverschiebung der Ebene TT kann aber r± und somit p beliebig verändert werden. Folglich:

Aus jedem geraden Kreiskegel können alle möglichen Parabeln ausgeschnitten werden.

Y. Abschnitt.

Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte: Krümm ungskreise.

¹

Die sämtlichen Linien sind nur in der Figur 51 gezeichnet; Figur 53 enthält von diesen Linien nur alle mit dem Index 1 versehenen. Im Falle der Figur 54 gibt es, wie erwähnt, nur eine die Ebene TT berührende eingeschriebene Kugel; es kommen also alle Elemente mit dem Index 2 überhaupt nicht vor.

²

Dies ist z. B. in Rohn-Papperitz, Lehrbuch d. darst. Geom., III. Bd., S. 61 (1906) geschehen.

Ableitung einer Hilfsformel.

88. Der Radius r des einem Dreiecke PQR umschriebenen Kreises ist gleich dem Produkte der drei Seiten, dividiert durch den vierfachen Flächeninhalt des Dreiecks.

Beweis. Zieht man (Fig. 64) den durch eine der Ecken des Dreiecks, z. B. R gehenden Durchmesser RS

des umschriebenen Kreises, erner die Verbindungslinie von S mit P und fällt von R die Höhe RH auf die Gegenseite, so ist

A SPR A QHR und mithin verhält sich

Fig. 64.

SR: RP = QR: RH . Da aber SR = 2r und der Flächeninhalt des Dreiecks A = ^ PQ • RH ist, so folgt

W. Z. b. W.

PQ-QR-RP

89. Projiziert man nun das Dreieck PQR von einem beliebigen Punkte 0 des Raumes aus auf irgend eine

Ableitung einer Hilfsformel.

139

Bildebene TT (Fig. 65) und haben r₀ und Ac die gleiche Bedeutung für das Dreieck PeQcRc, wie r und A für das ursprüngliche Dreieck, so ist

Pc Qc • QcPc ' Pc Pc 4 4

r _ PQ QR RP re PCQC QCRC RCPC '

Das Volumen V der Pyramide OPQR kann ausgedrückt werden, indem man das Dreieck PQR als Grundfläche und den senkrechten Abstand h des Punktes 0 von der Dreiecksebene als Höhe benutzt:

Y=iA-h.

und daher

re =

(i)

•fjc

TTy

Fig. 65.

Fällt man von einer Ecke des Dreiecks PQR, z. B. von 0, das Lot QL auf die gegenüberliegende Seitenfläche der Pyramide, so ist auch, da der Flächeninhalt von ORP gleich \RP-OP- sin OPR ist,

V=r 1RP. OP-fänOPR-QL .

Bezeichnet ß den Neigungswinkel von OQ gegen die Seitenfläche ORP, so ist

QL= OQ-sinß

und folglich

V — \RP* OP - OQ-sinOPR-sinß .

Bezeichnet Vc das Volumen der Pyramide OP₀QcRe und hc den senkrechten Abstand des Punktes 0 von der Ebene TT, so findet man in gleicher Weise

Ve = Ae - hc = ■£- RCPC - OPc -OQc- sin OPcRe - sin/? , folglich

»NI N

(2)

und

A-h

Ac-h₀

(3)

RP- OP-OQ - sinO PE Yc~^Pc-OPc-OQc-sinOPcRc '

Berechnet man V und Vc, indem man die anderen Seitenflächen der Pyramiden als Grundflächen betrachtet, so erhält man noch

(4)

V PQ- OQ-OR-sinOQP V~c ~ Pe Qe . 0 Qe • 0 Rc • sin 0 Qe Pe

(5)

QR- OR • OP - sinOPO — 0₆P<, - ORe • OP„ • sin OP„ Qe '

Drückt man andererseits den Flächeninhalt des Dreiecks ORP durch

lOP-OR-smROP

aus, so erhält man

V= jrOP-OQ-OR-smROP-sinß ,

ebenso

Ve = % OPc - OQc - OEc - smROP-smß

und daher auch

(6)

OP- OQ-OR Vg~ OPc-OQc-ORe *

Multipliziert man nun die Gleichungen (8), (4) und (5) ineinander, so wird

PQ - QR -RP

OP- OQ-OR

OPc - OQc- OR₀

Pc Qc - QJ?c • RCPC

sin OQP- sin ORQ «sin OPR

sinOQcPe- sinORcQc- sinOPcRc und also auf Grund der Gleichung (6)

V__ PQ - QR - RP sin OQP- sinORQ - smOPR Ve PCQC-QCRC-RCPC s\nOQcPc-s'mORcQc-smOPcRc'

Ersetzt man die linke Seite durch ihren Wert aus der Gleichung (2) und den ersten Bruch auf der rechten Seite durch seinen aus der Gleichung (1) folgenden Wert, so erhält man schließlich:

(7)

hc sinOQP- sinORQ - sinOPR h sin0 QCPC - sin 0RC Qc - sinOPcRc

Kriimmungskreis.

90. Liegen die drei Punkte P, Q, R auf einer Kurve k (Fig. 66) und bewegen sich die Punkte Q und E auf der Kurve k dem Punkte P zu, so ändern sich für jede Lage der beweglichen Punkte auch die Lage und Größe des durch sie und den festen Punkt P gehenden Kreises. Tritt nun der Fall ein, daß dieser Kreis in einen bestimmten Grenzkreis übergeht, wenn schließlich die Punkte Q und P mit dem Punkte P zusammenfallen, so nennt man diesen Grenzkreis den Krümmungskreis der Kurve k in dem Punkte P; sein Radius heißt der Krümmungsradius und sein Mittelpunkt der Krümmungsmittelpunkt. Bei diesem Grenzübergange gehen die Sekanten P Q und PP schließlich in die Tangente über, die die Kurve k in dem Punkte P berührt. Folglich liegt der Mittelpunkt des Krümmungskreises auf der Normale der Kurve k in dem Punkte P und hat mit der Kurve die Tangente im Punkte P gemeinsam. Von allen Kreisen, die mit einer Kurve k die Tangente in einem Punkte P gemeinsam haben, schmiegt sich nach der oben geschilderten Erzeugung der Krümmungskreis am innigsten der Kurve an.

h\

Fig. 66.

Auf Grund dieser Erzeugung des Krümmungskreises und der bei der Tangente, als Grenzlage einer Sekante gebrauchten Ausdrucksweise (vgl. I, 17) sagt man, daß er drei unendlich benachbarte Punkte und zwei unendlich benachbarte Tangenten mit der Kurve gemeinsam hat.

Ist im besonderen die Kurve k ein Kreis, so fällt der Krümmungskreis in jedem Punkte ganz mit k zusammen.

Die Konstruktion des Krümmungskreises empfiehlt sich oft, um eine Kurve genauer zeichnen zu können.

Beziehung zwischen den Krümmungsradien einer Kurve und ihrer Projektion.

91. Bewegen sich die Punkte Q und P auf einer ebenen Kurve k dem Punkte P zu, so bewegen sich ihre Pro-

Beziehung zwischen d. Krümmungsradien einer Kurve usw. 143

->o

jektionen (Fig. 67) auf der Projektion ke von k der Projektion Pc von P zu und fallen mit der letzteren zusammen, wenn Q und R mit P zusammenfallen. Die durch die Punkte P, Q, R und Pc°,

Qc, Rc bestimmten Kreise gehen mithin gleichzeitig in die Krümmungskreise und die Sekanten PQ, PR und PCQC,

-b

Fig. 67.

PeRe in die Tangenten t, tc der Kurven k,kcm den Punkten P und Pc über. Zugleich er- , sieht man hieraus, / daß die Kurve kc in / einem Punkte Pc einen Krümmungskreis besitzt, wenn dies für die Kurve k in dem entsprechenden Punkte P der Fall ist.

Die Winkel OQP, OPQ, OPR gehen bei dieser Bewegung in einen der Winkel über, den der Strahl OP mit der Tangente t bildet. Die Sinus dieser Winkel also werden gleich sin y, wenn y den spitzen Winkel zwischen dem Projektionsstrahle OP und der Tangente t bezeichnet. In gleicher Weise werden sin OQcPc, smOReQc und sin OPcRc gleich sinyc, wenn yc der spitze Winkel zwischen OPc und tc ist. Sind noch q und qc die Krümmungsradien von k und kc in P und Pc, d. h. also die Werte, die r und rc bei dem obigen Grenzübergange schließlich annehmen, so liefert die Formel (7) des vorigen

Krümmungskreise in den Scheiteln einer Ellipse. 145

Rückt nun 0 unendlich weit fort, so wächst h über alle Grenzen, während H G seine endliche Länge unverändert

HG

behält. Mithin nähert sich in diesem Falle

unbegrenzt

der Null an und daher ist für Parallelprojektion

COS£

und folglich

Q / sin r \

cos £ \sin yc )

3) Im Falle senkrechter Projektion auf die Ebene TT ist außerdem stets

(II)

Qc —

7c = 900 .

Bezeichnet man in diesem Falle noch den Winkel der Tangente t in P gegen ihre Projektion V in P' mit ß, so ist y -f- ß =. 90° und mithin

(ui)

Qc

cos³/?

Q--.

COS 6

Ist im besonderen noch t' \\t, so ist ß = 0° und

(ino

Q

Qc =-

cos 6

Krümmungskreise in den Scheiteln einer Ellipse.

93. Da die Kegelschnitte Projektionen des Kreises sind und der Kreis mit dem Krümmungskreise, wie oben bemerkt, zusammenfällt, so folgt, daß auch die Kegelschnitte in jedem Punkte Krümmungskreise besitzen, für die im folgenden einfache Konstruktionen abgeleitet werden sollen.

10

Haußner, Darstellende Geometrie II.

Zunächst soll die in I, 25 ohne Beweis gegebene Konstruktion der Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse abgeleitet werden. Da die Ellipse stets als senkrechte Projektion des Kreises betrachtet werden kann, so finden die Formeln (III) hier Anwendung.

Faßt man die Ellipse mit den Halbachsen a und b (a > b) als senkrechte Projektion eines Kreises vom Radius a auf, so ist die Ebene des Kreises gegen die Projektionsebene unter dem spitzen Winkel s geneigt, der

— bestimmt ist (I, 26). Den-

durch die Beziehung coss -----

selben Winkel s schließt die Tangente in jedem Scheitel der großen Ellipsenachse mit der Kreistangente, deren Projektion sie ist, ein; die Tangenten in den Scheiteln der kleinen Halbachse sind den entsprechenden Kreistangenten parallel.

Um also den Krümmungsradius qa in den Scheiteln der großen Achse zu berechnen, hat man in der Formel (III), da hier ß = e ist, zu setzen:

COS yd = COS L -----    ,

und erhält

Qc Qa

(A)

b²

Qa =

Den Krümmungsradius Qc in den Scheiteln der kleinen Achse liefert die Formel (IIP) unmittelbar:

a²

(0)

Qc = T'

Hieraus ergibt sich leicht die in I, 25 gegebene Konstruktion für die Scheitelkrümmungskreise der Ellipse:

Paragraphen die folgende Beziehung¹) zwischen den Krümmungsradien in entsprechenden Punkten einer Kurve und ihrer Zentralprojektion:

(I)

Qc —

K ( sin/ \s ® h \sin yc)

92. Diese Formel vereinfacht sich in gewissen Fällen. 1) Sind die Tangenten t und tc einander parallel, so ist

PO

Qc Q ¹

Jv

TT

Fig. 68.

2) Bezeichnet man den Neigungswinkel der Ebene E der ursprünglichen Figur PQR gegen die Bildebene TT mit e, so ist (Fig. 68) auch

und mithin

<FOH = e

OGT    OH HG_

h h    ^ h

COS E

HG

+ 1T’

Man verbinde (Fig. 69) die Endpunkte A und G der beiden Achsen und fälle von dem Schnittpunkte E der Tangenten in diesen Scheiteln das Lot auf AC: dieses Lot schneidet die beiden Achsen in den Mittelpunkten MÄ und Mc der Scheitelkrümmungskreise.

/■ A

Fig. 60.

Denn aus der Ähnlichkeit der Dreiecke MÄAE, ECMCl GMA folgt:

MÄA : AE = EG : GMC = GM: AM, oder, da MA = GE — a, MG = AE = b ist:

also

MaA =

b²

a²

MCG — ₇“

Ma A    qa ,

McC = QC ? w* z- h. w.

Formel für die Krümmungsradien von Ellipse und Hyperbel.

94. Die übrigen Konstruktionen der Krümmungskreise von Kegelschnitten erhält man mittels der Formel (I),

indem man den Kegelschnitt als Zentralprojektion eines Kreises, für die das Zentrum senkrecht über dem Mittelpunkte des Kreises liegt, d. i. also als Schnitt eines geraden Kreiskegels betrachtet, wie es die Figuren 51, 53 und 54 zeigen.

Betrachtet man in diesen Figuren den Kreis kt, dessen Ebene mit E bezeichnet sei, als denjenigen, dessen Zentralprojektion auf die Ebene TT den Kegelschnitt k

liefert, so ist zunächst das Produkt q zu ermitteln,

was zunächst für die Ellipse geschehen soll.

A-r j ~-a

Fig. 70.

Zeichnet man den Durchschnitt durch die Figur 51 längs der mit der Zeichenebene zusammenfallenden Symmetrieebene ¥, wie es die Figur 70 zeigt, so werden die Ebenen E und TT des Kreises /% und der Ellipse k durch die Linien A₁B₁ und AB dargestellt, und ihre senkrechten Abstände ON± und OTJ von 0 sind die

Strecken h und hc. Bezeichnet man den Radius der Kugel, die den Kegel in dem Kreise k± und die Ebene TT in dem Brennpunkte F₁ der Ellipse berührt, mit rx, so ist der Radius NXA± des Kreises Jc± in der Formel (I) an Stelle von q zu setzen, und es ist, da <£ N₁A₁M₁ = ^i A₁ON₁ — (p ist,

Q

ri = —-COS Cp

Ferner ist:

AA± = AFt = a — e ,

BB₁ = BFX = a + e ,

wo a und e die frühere Bedeutung haben. Der Flächeninhalt des Dreiecks OAB ist gleich

\ AB• OU = \ OA • OB• sin2 99

= \{AB + OA + OB) rx ,

also

a - he und

a - he

= («

^—j sin 99 - cos 99

= (2 a + -ß—) -2— .

X    sin 99/ cos 99

Die erste Gleichung läßt sich mit Hilfe der zweiten Gleichung umformen in

a - hc

= {a 2_e2 ₊ _ß_.^_ {    sin 99    q

a • //cj sin 99 . cos 99

woraus folgt

a • hc — (a² — e²) cot 99 .

Da aus A ON₁A₁ sich noch cot cp — — ergibt, so erhält

man schließlich für das gesuchte Produkt:

hc a² — e2 eh ⁼ ~~a    ⁼

Für die Hyperbel erhält man denselben Wert

[O

<p

4/

für q - . Figur 71 stellt

den Durchschnitt längs der Ebene Wdurch die Figur 53 dar. Man hat bei der Ableitung nur zu beachten, daß jetzt AFX = e — a ,

0 A = e — a + -ß— , sin cp

Ai- - a, v

/p\-----•

OB = BB₁ — OB1 = e + a---ß—

sin 9?

und

Fig. 71

\AB • 0 U = \ OA • OP • sin 2 cp — \(AB — CU + OP)rx

ist.

95. Soll nun für eine Ellipse oder Hyperbel der Krümmungsradius gc in einem Punkte P, der Projektion des Punktes Pt auf kx, bestimmt werden, so ist (Fig. 51 u. 53)

<OP₁T₁ = y, <OPT₁ = ye.

Die Tangente P₁T₁ — t± steht auf der Ebene ON₁P₁, folglich auch auf OP₁ senkrecht, und daher ist

y = 90° .

In § 75 ist gezeigt worden, daß <OP7^ = < T₁PF₁, d. h. gleich dem Winkel ist, den die Kegelschnittstangente in P mit dem Brennstrahle FXP bildet. Für den Sinus

dieses Winkels war aber in § 83 der Wert — abgeleitet

a

worden, wo d den senkrechten Abstand des Kurvenmittelpunktes von der Tangente t in P bezeichnet, und daher ist

Die Formel (I) liefert mithin für den Krümmungsradius in einem beliebigen Punkte P einer Ellipse oder Hyperbel den Wert:

a² b²

QP =

wo QP anstatt qc gesetzt ist.

Sind ax, bx die beiden konjugierten Halbmesser einer Ellipse oder Hyperbel, deren letzterer \ der Tangente in dem Punkte P parallel ist und die miteinander den Winkel co einschließen, so ist (vgl. § 51 u. 55)

und

also

ab = ax \ sin co sin co = d , ab = \ d ,

und mithin ist der Krümmungsradius im Punkte P gleich

b\

(p)

Ist der Punkt P einer der Endpunkte der Brennpunktsachse, so ist bt = b und d = a, also wird der Krümmungsradius qa in diesen Punkten (A) ist P einer der Endpunkte der kleinen Achse einer Ellipse, so ist in (P) bt = a und d — b zu setzen, und man erhält

a²

(C)

Qc = T'

Beide Werte sind für die Ellipse bereits in § 93 mit Hilfe der Formeln (III) und (HF) abgeleitet; der erstere kann auch in einfacher Weise aus der Formel (F) unmittelbar hergeleitet werden.

Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes einer Ellipse oder Hyperbel.

96. Zwei konjugierte Durchmesser einer Ellipse oder Hyperbel sind ihrer Lage und Größe nach gegeben; es soll der Krümmungskreis in dem Endpunkte eines dieser Durchmesser konstruiert werden.

Um den

Für die Ellipse gilt folgende Konstruktion (Fig. 7 2), wenn MP — a± und MQ = MB = b± die gegebenen konjugierten Halbmesser sind. Krümmungsmittelpunkt MP für P zu finden, verbinde man U = (QB X Normale in P) mit dem Schnittpunkte X der Tangenten in P und B und fälle von dem Schnittpunkte Y der Tangenten in Q und P das Lot auf XU] dieses letztere schneidet die Normale PU in dem gesuchten Punkte MP.

Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes usw. Beweis.

A UPX A YPMP (denn <£ UXP = <£ YMPP), also

UP : PX=YP: PMi

PX-YP

PM'=-üp

= £p

nach Formel (P).

Id

>x

Fig. 72.

Man kann auch C7 mit F verbinden und von X das Lot auf Z7F fällen, das dann PU in MP schneidet.

Für die Scheitelpunkte der Ellipse versagt diese Konstruktion, da die Normale mit der betreffenden Achse zusammenfällt, und es ist dann die Konstruktion des § 93 zu verwenden.

97. Um die entsprechende Konstruktion für die Hyperbel durchzuführen, zeichne man zunächst ihre Asymptoten. Dann verbinde man (Fig. 73) den Schnittpunkt der Tangente in P und der einen Asymptote, z. B. X. mit dem Punkte Z7, in dem die Hyperbelnormale den Nebendurchmesser schneidet, und errichte in X ein Lot auf XU, das die Normale in dem gesuchten Punkte MP trifft.

Zum Beweise beachte man, daß AUPX <*> AXPMP und folglich UP : PX = PX:MPP ist. Da UP gleich

Fig. 73.

dem senkrechten Abstande d des Hyperbelmittelpunktes von der Tangente in P ist, so folgt hieraus

bi

MPP — — — Qp .

Sind die beiden Achsen der Hyperbel gegeben und soll der Krümmungsmittelpunkt für einen der Scheitel konstruiert werden, so versagt diese Konstruktion aus dem gleichem Grunde, wie bei der Ellipse, und wird durch die folgende einfachere ersetzt.

Konstruktion des Krtimmungsmittelpunktes usw.

155

In dem Schnittpunkte R (Fig. 74) der Scheiteltangente mit der einen Asymptote errichtet man das Lot auf der Asymptote, welches die Hauptachse in dem gesuchten Punkte MÄ schneidet. Denn AMAR^ ARAMÄ und folglich

MaA = — = qa

MA : AR — AR : MÄA , [nach Formel (A)].

yf

Cb

Fig. 74.

98. Die Formel (P) liefert unmittelbar eine einfache Konstruktion des Krümmungsradius in einem beliebigen Punkte P einer Ellipse oder Hyperbel, wenn zwei konjugierte Durchmesser ihrer Lage

nach — ihre Länge braucht nicht gegeben zu sein —, eine Tangente t der Kurve und ihr Berührungspunkt P gegeben sind²).

(Fig. 75 u. 76.) Es mögen X und Y die Schnittpunkte der Tangente t mit den gegebenen konjugierten Durchmessern MX und MY bezeichnen. Dann ergibt

i"

\co

ftp

Fig. 75.

die folgende Konstruktion den zu P gehörigen Krümmungsmittelpunkt MP und damit zugleich den Krümmungsradius qp = MPP:

Man verbinde den Punkt X mit dem Schnittpunkte V der Kurvennormale in P und der Parallelen zu der Tangente durch den Kurvenmittelpunkt M und fälle von Y das Lot YV auf TJX ; der Schnittpunkt dieses Lotes YV mit der Nor-

Konstruktion des Krümmunsgmittelpunktes usw.

male PU ist der gesuchte Krümmungsmittelpunkt. Man kann auch Y mit U verbinden und von X das Lot

157

x\>

Fig. 76.

auf YU fällen, welches dann die Kurvennormale ebenfalls in MP schneidet.

Beweis.

A YPMP ~ A UPX (denn < YMPP = < ÜXP\ folglich

oder

MPP :YP= XP:UP

XP-YP

MP P = üp

Nach dem Satze in § 52 und 62 ist auf der rechten Seite der Zähler gleich b\; ferner ist UP gleich dem senkrechten Abstande d des Mittelpunktes M von t, also

w. z. b. w.

MpP — —j- — Qp ,

Die vorstehende Konstruktion ist die weittragendeste, da sich aus ihr auch die in § 93 und 96 gegebenen besonderen Konstruktionen leicht ableiten lassen. Für die Ellipse hat man nur zu beachten, daß nach § 50 die Diagonalen eines jeden Tangentenparallelogramms einer Ellipse konjugierte Durchmesser sind. Man kann also in § 96 z. B. auch die konjugierten Halbmesser MX und M Y, den Punkt P und seine Tangente XY als gegeben betrachten, und ähnlich in § 93, wo ME und die Parallele zu A C durch M als konjugierte Durchmesser zu nehmen sind. Um die für die Hyperbel in § 97 gegebenen Konstruktionen abzuleiten, hat man nur zu beachten, daß in jeder Asymptote zwei konjugierte Durchmesser der Hyperbel zusammenfallen (vgl. § 53); folglich sind die drei Punkte X, Y, V der Figur 76 in dem Punkte X der Figur 73 bzw. R der Figur 74 vereinigt liegend zu denken, während der Punkt U der Figur 76 in der Figur 73 dem Punkte U entspricht, in der Figur 74 aber mit M zusammenfällt.

Formel für den Krümmungsradius der Parabel.

99. Um die Formel für den Krümmungsradius der

K

Parabel abzuleiten, hat man zunächst das Produkt q~

in ähnlicher Weise zu berechnen, wie es in § 94 für die Ellipse und Hyperbel geschehen ist. Zeichnet man zu dem Zwecke den Durchschnitt der Figur 54 mit ihrer Symmetrieebene !F, wie es Figur 77 zeigt, so sind, wie in den Figuren 70 und 71, die Ebenen E und TT des Kreises und der Parabel durch die Linien A₁B₁ und AQ dargestellt, und ihre senkrechten Abstände ONx und OTJ von 0 sind h und hc, während JSs₁A₁ = q ist.

,-4

u\    As    9 W,    \ Tt

\ f !P s    \ü'

AX-l

F\

cp

Fig 77.

Da hier das Dreieck OAQ gleichschenklig ist, so ist QMX = Mx 0 und folglich

h₀ — OU — 2 - MxFt — 2 • AFX» cot99 ;

nach § 85 ist 2 • AFX gleich dem Parameter p der Parabel

und tgcp -----(aus A ONxA^ mithin

Q-h~=p.

Ferner läßt die Figur 54 erkennen, daß in der Formel (I) des § 91

7==<0P₁T₁ = 900, yc==<0PTi = <FiPTi = v ?

wo v den Winkel zwischen der Tangente des Punktes P ' und der Durchmesserrichtung der Parabel bezeichnet (vgl. den zweiten Satz in § 75). Schreibt man für qc wieder qp , so erhält man schließlich für den Krümmungsradius QP in einem Punkte P einer Parabel den Wert:

(p)

Qp —

sin³*'

Für den Scheitel A der Parabel ist v — 90° und

folglich

Qa =P ,

d. h. der Krümmungsradius im Scheitel einer Parabel ist gleich dem doppelten Abstande des Brennpunktes vom Scheitel.

Hiernach ist der Krümmungsmittelpunkt MÄ für den Scheitel ohne weiteres zu konstruieren, wenn Scheitel- und Brennpunkt A und F einer Parabel gegeben sind, indem man AF über F hinaus um sich selbst verlängert (Fig. 78). Auch für einen beliebigen Punkt P läßt sich der Krümmungsmittelpunkt in diesem Falle leicht konstruieren:

Man konstruiere (Fig. 78) die Tangente in dem Punkte P (AG = AB, t — CP), errichte in ihrem Schnittpunkte G mit der Achse auf ihr ein Lot, welches mit der Achse auf der Normale des Punktes eine Strecke NH, die gleich dem Krümmungsradius qp ist, begrenzt. Um also noch den Krümmungsmittelpunkt MP zu finden, verlängert man PN über N hinaus um die Strecke NMP = PH.

Fällt man zum Beweise der Richtigkeit dieser Konstruktion noch von dem Brennpunkte F das Lot F G auf

II

ga

,!

ft fl 'J \ma

FB

Fig. 78.

die Tangente t, so ist G zugleich der Schnittpunkt von t und der Scheiteltangente (§ 85) und also AGF = v. Folglich ist

GF =

AF

sinr 2 sinr

und

GP ----- 6rP * cotr —

p • cosr 2 • sin²r

Da noch CP = 2 CP ist, so folgt

CP p • cosr sinr sin³r

Haußner, Darstellende Geometrie II.

GH =

162 V. Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte, und schließlich

NH =

= QP .

sin³y

100. Sind P und Q (Fig. 79) zwei beliebige Punkte einer Parabel, deren Scheitel A ist, und schneidet die

P,

\V

/c

Fig. 79.

Tangente ^ in P die Achse in G und den Durchmesser des Punktes Q in D, so ist nach § 65, VII (S. 103):

P2)2    pc 2

DQ ~~ ~GÄ J da ferner PB = PO • siny und nach Satz IV (S. 101) desselben Paragraphen GA = AB ist, so folgt weiter PD² _ PB²    1

. DQ AB sin²r Nach dem erstgenannten Satze ist aber ferner PB² : AB == 2 p , folglich

PD²

D Q    sin²r

p _ PB²    1

und

Pp —

sin³r 2 • DQ sinr ’

Mit Hilfe dieses Ausdrucks für qp läßt sich nun leicht eine Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes in einem Punkte P einer Parabel ableiten, wenn die Parabel nicht durch Scheitel- und Brennpunkt, sondern durch die beiden Punkte P und Q, die Tangente t in P und die Durchmesserrichtung gegeben ist.

II

:v

Fig. 80.

Konstruktion. (Fig. 80.) Auf dem durch Q gehenden Durchmesser errichte man im Schnittpunkte D mit der Tangente t das Lot, welches die Normale des Punktes P in H schneidet, und trage die Strecke DQ von Q bis E ab. Das von D auf die Gerade PE gefällte Lot schneidet die Normale in G, so daß GH die Länge des gesuchten Krümmungsradius MPP = qp liefert.

Zum Beweise beachte man, daß ADPE^AHGD ist, da entsprechende Seiten beider Dreiecke aufeinander senkrecht stehen. Folglich verhält sich

DE: PD = HD : GH , oder, da HD — PD : sinr ist,

GH =

w. z. b. w.

PD²

2 • D Q sinr

Bemerkt sei noch, daß PE der Tangente und also DG der Normale der Parabel in Q parallel ist.

Sammlung

so Pf. (Höschen

Jeder Band in Leinw. geb.

Verzeichnis der bis jetzt erschienenen Bände.

Abwässer. Wasser und Abwässer. Ihre Zusammensetzung, Beurteilung u. Untersuchung von Professor Br. Emil Haselhoff, Vorsteher der landw. Versuchsstation in Marburg in Hessen. Nr. 473.

Ackerbau- u.Pflanzenbaulehre v. Dr. Paul Rippert i. Essen u. Ernst Lan-genbeck, Gr.-Lichterfelde. Nr. 232.

Agrarwesen und Agrarpolitik von Prof. Dr. W. Wygodzinski in Bonn. 2 Bändchen. I: Boden u. Unternehmung.

Nr, 592.

--II: Kapital u. Arbeit in der

Landwirtschaft. Verwertung der landwirtschaftl. Produkte. Organisation des landwirtschaftl. Berufsstandes. Nr. 593.

Agrikulturchemie I: Pflanzenernährung v. Dr. Karl Grauer. Nr. 329.

Agrikulturchemische Koutrollwesen, Das, v. Dr. Paul Krische in Leo-poldshall-Staßfurt. Nr. 304.

—    Untersuchungsmethoden von Prof. Dr. Emil Haselhoff, Vorsteher der landwirtschaftl. Versuchsstation in Marburg in Hessen. Nr. 470.

Akustik. Theoret. Physik I: Mecha-nik tt. Akustik. Von Dr. Gustav Jäger, Prof, an d. Techn. Hochschule in Wien. Mit 19 Abb. Nr. 76.

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Algebra. Arithmetik und Algebra von Dr. H. Schubert, Professor an der Gelehrtenschule des Johan-neums in Hamburg. Nr. 47.

—    Beispielsammlung z. Arithmetik u. Algebra v. Dr. Herrn. Schubert, Prof. a. d. Gelehrtenschule des Jo-hanneums in Hamburg. Nr. 48.

Algebraische Kurven v. Eugen Beutel, Oberreallehrer in Baihingen-Enz. I: Kurvendiskussion. Mit 57 Fig. im Text. Nr. 435.

— — II: Theorie u. Kurven dritter u. vierter Ordnung. Mit 52 Fig. im Text. Nr. 436.

Alpen, Die, von Dr. Rob. Sieger, Professor an der Universität Graz. Mit 19 Abb. u. 1 Karte. Nr. 129.

Althochdeutsche Literatur mit Grammatik, Übersetzung u. Erläuterungen v. Th. Schauffler, Prof, am Realgymnasium in Ulm. Nr. 28.

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Amphibien. Das Tierreich III: Reptilien u. Amphibien v. Dr. Franz Werner, Prof, an der Universität Wien. Mit 48 Abbild. Nr. 383.

Analyse, Techn.-Chem., von Dr. G. Lunge, Prof. a. d. Eidgen. Poln-technischen Schule in Zürich. Mit 16 Abb. Nr. 195.

Analysis, Höhere, I: Differentialrechnung. Von Dr. Frdr. Junker, Rektor des Realgymnasiums u. der Oberrealschule in Göppingen. Mit 68 Figuren. Nr. 87.

--Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung von Dr. Frdr. Junker, Rektor d. Realgymnas. u. b. Oberrealsch. in Göppingen. Mit 46 Fig. Nr. 146.

--II: Integralrechnung. Von Dr.

Friedr. Junker, Rektor des Realgymnasiums u. d. Oberrealschule in Göppingen. Mit 89 Fig. Nr. 88.

Analysis, Höhere. Repetitorium und Ätherische    Ole und    Niechstofse    von

Aufgabensammlung znr Integral-    Dr. F.    Rochussen    in Miltitz.    Mil

rechnung von Dr. Friedr. Junker, 9 Abbildungen. Nr. 446.

Rektor des Realgymnasiums und Aufsatzentwürfe v. Oberstudienrat Dr. der Oberrealschule in Göppingen. L.W. Straub, Rektor des Eberhard-Mit 50 Figuren. Nr. 147.    Ludwigs-Gymnas. i.Stuttg. Nr. 17.

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Sporer in Ehingen. Mit 5 Fig. thode der kleinsten Quadrate von Nr. 53.    Wilh. Weitbrecht, Prof, der Geo-

Arbeiterfrage, Die gewerbliche, von    däsie in    Stuttgart.    Mit 15 Figuren

Werner Sombart, Prof, an der    und 2 Tafeln. Nr. 302.

Handelshochschule Berlin. Nr. 209. Außereuropäische Erdteile, Länder-Arbeiterversicherung siehe: Sozial-    künde der, von Dr. Franz Heiderich,

Versicherung.    j    Professor an der Exportakademie in

Archäologie von Dr. Friedrich    Koepp.    I    Wien. Mit 11 Textkärtchen und

Prof, an der Universität Münster Profilen. Nr. 63. i. W. 3 Bändchen. M. 28 Abb. int Australien. Landeskunde u. Wirt-Text u. 40 Tafeln. Nr. 538/40.    schaftsgeographie des Festlandes

Arithmetik u. Algebra von Dr. Herm.    Australien von Dr. Kurt Hassert,

Schubert, Prof. a. d. Gelehrten-    Prof. d. Geographie an d. Handelsschule des Johanneums in Ham-    Hochschule in Köln. Mit 8 Abb.,

bürg. Nr. 47.    6 graph. Tab. u. 1 Karte. Nr. 319.

—    — Beispielsammlung zur Arith- Autogenes Schweiß- und Schneid-

metik und Algebra von Dr. Herm.    verfahren von Ingen. Hans Niese

Schubert, Prof. a. d. Gelehrten-    in Kiel. Mit 30 Figuren. Nr. 499.

schule des Johanneums in Ham- Bade- u. Schwimmanstalten, Offent-bürg. Nr. 48.    liche, v. Dr. Karl Wolfs, Stadtober-

Armeepferd, Das, und die    Versorgung    baur., Hannover. M.5O Fig. Nr.38O.

der modernen Heere mit Pferden v. Baden. Badische Geschichte von Dr. Felix von Damnitz, General der Karl Brunner, Prof, am Gymnas. Kavallerie z. D. u. ehemal. Preuß. in Pforzheim u. Privatdozent der Remonteinspektor. Nr. 514.    Geschichte an der Technischen Hoch-

Armenwesen und Armenfürsorge.    schule in Karlsruhe. Nr. 230.

Einführung in d. soziale Hilfsarbeit — Landeskunde von Baden vonPrvf. v. Dr. Adolf Weber, Prof, an der    Dr. O. Kienitz i. Karlsruhe. Mit

Handelshochschule in Köln. Nr. 346.    Profil., Abb. u. 1 Karte. Nr. 199.

Ästhetik, Allgemeine, von Prof. Dr. Bahnhöfe. Hochbauten der Bahnhöfe Max Diez, Lehrer a.d.Kgl.Akademie    v. Eisenbahnbauinspekt. C. Schwab,

d.bild. Künste in Stuttgart. Nr. 300.    Vorstand d. Kgl. E.-Hochbausektion

Astronomie. Größe, Bewegung n. Ent-    Stuttgart II. I: Empfangsgebäude,

fernung der Himmelskörper v. A. F.    Nebengebäude. Güterschuppen.

Möbius, neu bearb. von Dr. Herm    Lokomotivschuppen. Mit 91 Ab-

Kobold, Prof, an der Universität    bildungen. Nr. 515.

Kiel. I: Das Planetensystem. Mit Balkanstaaten. Geschichte d. chrift-33 Abbildungen. Nr. 11.    lichen BaUanstaaten (Bulgarietr,

-7- — II: Kometen, Meteore u. das    Serbien, Rumänien, Montenegro,

Sternsystem. Mit 15 Figuren und    Griechenland) von Dr. K. Roth in

2 Sternkarten. Nr. 529.    Kempten. Nr. 331.

Astronomische Geographie von Dr. Bankwesen. Technik des Bankwesens Siegm. Günther, Professor an der j von Dr. Walter Conrad, stellvert. Technischen Hochschule in München, j    Vorsteher der statist. Abteilung der

Mit 52 Abbildungen. Nr. 92. I    Reichsbank in Berlin. Nr. 484.

Astrophysik. Die Beschaffenheit der Bauführung. Kurzgefaßtes Handbuch Himmelskörper v. Prof. W. F.    über das Wesen der Bauführung v.

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Banstoffkunde, Die, v. Prof. H. Haber-    Jhering. Mit 12 Abbildungen    und

ftrob, Oberl. a. d. Herzogl. Bau-    ¹ Karte.. Nu 373.

gewerkschule Holzminden. Mit Brauerelwesen Mälzerei von Dr. 36 Abbildungen. Nr. 506.    ^^.?^verhoff, Drr. der Brmrer-

Bayeru. Bayerische Geschichte von    fjSÄä’⁵¹¹Ä*

Sj*' ifoan5 0CfeI m Osburg. Britisch-Nordamerika. Landeskunde

—    Landeskunde    des Königreichs    Sf" fsri^0st^^"a v. Prof.

Bayern v. Dr. W. Göh, Prof. a. d.    \ Karte Nr 284^^

Kgl. Techn. Hochschule München.

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M?30^Bil^'e?nO^Nr^566' ^Burgenkunde, Abriß der, von Hofrat Mit 30 Bildern. Nr. 569,    Dr. Otto Piper in München. Mit

Be,chwerderecht. Das Disziplinär- u. 30 Abbildungen. Nr. 119.

Beschwerderecht für Heer u. Ma- Bürgerliches Gesetzbuch siehe: Recht ritte v. Dr. Max E. Mayer, Prof. des BGB. a. d. Univ. Straßburg i. E. Nr. 517. Byzantinisches Reich. Geschichte des Betriebskraft, Die zweckmäßigste, von byzantinischen Reiches von Dr. Friedr. Barth, Oberingen. in Nürn- K. Roth in Kempten. Nr. 190. berg. 1. Teil: Einleitung. Dampf- Chemie, Allgemeine tu physikalische, kraftanlagen. Verschied. Kraft-    von Dr. Max Rudolphi, Prof, an

Maschinen. M. 27 Abb. Nr. 224.    der Techn. Hochschule in Darmstadt.

— --II: Gas-, Wasser- u. Wind-    Mit 22 Figuren. Nr. 71.

Kraftanlagen. M. 31 Abb. Nr. 225. —Analytische, von Dr. Johannes

--III: Elektromotoren. Betriebs-    Hoppe in München. I: Theorie und

kostentabellen. Graph. Darstell. Gang der Analyse. Nr. 247.

Wahl d. Betriebskraft. M. 27 Abb.--II: Reaktion der Metalloide und

Nr. 474.    Metalle. Nr. 248.

Bewegungsspiele v. Dr. E. Kohlrausch, — Anorganische, von Dr. Jos. Klein oirof. am Kgl. Kaiser Wilhelms- in Mannheim. Nr. 37.

G.)mn. zu Hannover. M. 15 Abb. — Geschichte der, von Dr. Hugo Nr. 96.    Bauer, Assist, am chemischen Labo-

Bleicherei. Textil-Jndustrie III:    ratorium der Kgl. Techn. Hochschule

Wäscherei, Bleicherei, Färberei    Stuttgart I: Von den ältesten

und ihre Hilfsstoffe v. Dr. WM.    Zeiten bis z. Verbrennungstheorie

Massot, Prof. a. d. Preuß. höh. von Lavoisier. Nr. 264.

Fachschule für Textilindustrie in ---II: Bon Lavoisier bis zur

Krefeld. Mit 28 Fig. Nr. 186. Gegenwart. Nr. 265.

Chemie der Kohlenstoffverbindungen von Dr. Hugo Bauer, Assistent am chem. Laboratorium d. Kgl. Techn. Hochschule Stuttgart. I. II: Aliphatische Verbindungen. 2 Teile. Nr 191 192

--III: Karbocyklische Verbindungen. Nr. 193.

--IV: Heterocyklische Verbindungen. Nr. 194.

—    Organische, von Dr. Jos. Klein in Mannheim. Nr. 38.

—    Pharmazeutische, von Privat-dozent Dr. E. Mannheim in Bonn. 3 Bändchen. Nr. 543/44 u. 588.

—    Physiologische, von Dr. med. A. Legahn in Berlin. I: Assimilation. Mit 2 Tafeln. Nr. 240.

--II: Dissimilation. M. 1 Tafel.

Nr. 241.

—    Toxikologische, von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. Mit 6 Abbildungen. Nr. 465.

Chemische Industrie, Anorganische, Dr. Gust. Rauter in Charlottenburg. I: Die Leblancsoda-industrie und ihre Nebenzweige. Mit 12 Tafeln. Nr. 205.

—    — II: Salinenwesen, Kalisalze, Düngerindustrie u. Verwandtes. Mit 6 Tafeln. Nr. 206.

--III: Anorganische chemische

Präparate. M. 6 Taf. Nr. 207.

Chemische Technologie, Allgemeine, von Dr. Gust. Rauter in Charlottenburg. Nr. 113.

Chemisch-Technische Analyse von Dr. G. Lunge, Prof, an der Eidgen. Polytechnischen Schule in Zürich. Mit 16 Abbild. Nr. 195.

Christlichen Literaturen des Orients, Die, von Dr. Anton Baumstark. I: Einleitung. — Das christlicharamäische u. d. koptische Schrifttum. Nr. 527.

--II: Das christl.-arab. und das

äthiop. Schrifttum. — Das christl. Schrifttum d. Armenier und Georgier. Nr. 528.

Dampfkessel, Die. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Beispielen für das Selbststudium u. den praktischen Gebrauch von Oberingenienr Friedr. Barth in Nürnberg. I: Kesselsysteme und Feuerungen. Mit 43 Fig. Nr. 9.

—    — II: Bau und Betrieb der Dampfkessel. M. 57 Fig. Nr. 521. I

von

Dampfmaschinen, Die. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Beispielen für das Selbststudium und den praktischen Gebrauch von Friedr. Barth, Oberingenieur in Nürnberg. 2 Bdchn. I: Wärmetheoretische und dampftechnische Grundlagen. Mit 64 Fig. Nr. 8.

--II: Bau und Betrieb der

Dampfmaschinen. Mit 109 Fig. Nr. 572.

Dampfturbinen, Die, ihre Wirkungsweise u. Konstruktion von Ingen. Herm. Wilda, Prof. a. staatl. Technikum in Bremen. Mit 104 Abb. Nr. 274.

Desinfektion von Dr. M. Christian, Stabsarzt a. D. in Berlin. Mit 18 Abbildungen. Nr. 546.

Determinanten von P. B. Fischer, Oberl. a. d. Oberrealsch. z. Groß-Lichterfelde. Nr. 402.

Deutsche Altertümer von Dr. Franz Fuhfe, Dir. d. städt. Museums in Braunschweig. M. 70 Abb. Nr 124.

DeutscheFortbildungsschulwesen,Das, nach seiner geschichtlichen Entwicklung u. in seiner gegenwärt. Gestalt von H. Siercks, Revisor gewerbl. Fortbildungsschulen in Schleswig. Nr. 392.

Deutsches Fremdwörterbuch von Dr. Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 273.

Deutsche Geschichte von Dr. F. Kurze, Prof. a. Kgl. Luisengymnas. in Berlin. I: Mittelalter (bis 1519). Nr. 33.

--II: Zeitalter der Reformation

und der Religionskriege (1517 bis 1648). Nr. 34.

--III: Vom Westfälischen Frie-

den bis zur Auflösung des alten Reichs (1648—1806). Nr. 35.

--siehe auch: Quellenkunde.

Deutsche Grammatik und kurze Geschichte der deutschen Sprache von Schulrat Prof. Dr. O. Lyon irr Dresden. Nr. 20.

Deutsche Handelskorrespondenz von Prof. Th. de Beaux, Öfficier de l’Instruction Publique. Nr. 182.

Deutsches Handelsrecht von Dr. Karl Lehmann, Prof, an der Universität Göttingen. 2 Bde. Nr. 457 u. 458.

Deutsche Heldensage, Die, von Dr. Otto Luitpold Jiriczek, Prof, an d. Universität Würzburg. Nr. 32.

Deutsches Kolonialrecht von Dr. H. Edler von Hoffmann, Prof, an der Kgl. Akademie Posen. Nr. 318.

Deutsche Kolonien. I: Togo und Kamerun von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Tafeln u. 1 lithogr. Karte. Nr. 441.

—    II: Das Südseegebiet und Kian-tschou von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Tafeln it. 1 litt). Karte. Nr. 520.

—    III: Ostafrika von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16 Tafeln u. 1 lithogr. Karte. Nr. 567.

Deutsche Kulturgeschichte von Dr. Reinh. Günther. Nr. 56.

Deutsches Leben im 12. u. 13. Jahrhundert. Realkommentar zu den Volks- u. Kunstepen u. zum Minnesang. Von Prof. Dr. Jul. Dieffen-bad)er in Freiburg i. B. I: Öffentliches Leben. Mit zahlreichen Abbildungen. Nr. 93.

--II: Privatleben. Mit zahl-

reichen Abbildungen. Nr. 328.

Deutsche Literatur des 13. Jahrhunderts. Die Epigonen d. höfischen Epos. Auswahl a. deutsckien Dichtungen des 13. Jahrhunderts von Dr. Viktor Junk, Aktuarius der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. Nr. 289.

Deutsche Literaturdenkmäler des 14. u. 15. Jahrhunderts. Ausgewählt und erläutert von Dr. Hermann Janhen, Direktor d. Königin Luise-Schule in Königsberg i.Pr. Nr. 181.

—    16. Jahrhunderts. I: Martin Luther u. Thom. Murner. Ausgewählt u. mit Einleitungen u. Anmerkungen versehen von Prof. G. Berlit, Oberlehrer am Nikolaigymnasium zu Leipzig. Nr. 7.

--II: Hans Sachs. Ausgewählt u.

erläut. v. Prof. Dr. I. Sahr. Nr.24.

--III: Von Braut bis Rollenhagen: Brant,Hutten,Fischart, sowie Tierepos u. Fabel. Ausgew. u. erläut. von Prof. Dr. Julius Sahr. Nr. 36.

—    des 17. und 18. Jahrhunderts bis Klopstock. I: Lyrik von Dr. Paul Legband in Berlin. Nr. 364.

--II: Prosa v. Dr. Hans Legband

in Kassel. Nr. 365.

Deutsche Literaturgeschichte von Dr. Max Koch, Prof, an der Universität Breslau. Nr. 31.

Deutsche Literaturgeschichte der Kla-sfikerzeit v. Carl Weitbrecht, durchgesehen u. ergänzt v. Karl Berger. Nr. 161.

--des 19. Jahrhunderts von Carl

Weitbrecht, neu bearbeitet von Dr. Rich. Weitbrecht in Wimpfen. I. II. Nr. 134. 135.

Deutschen Mundarten, Die, von Prof. Dr. H. Reis in Mainz. Nr. 605.

Deutsche Mythologie. Germanische Mythologie von Dr. Eugen Mogk, Prof. a. d. Univers. Leipzig. Nr. 15.

¹

Vgl. C. Heumann, Zur Theorie der Krümmung nach den Methoden der darstellenden Geometrie (Archiv der Mathematik und Physik, 3. Reihe, 6. Band, S. 283), wo die Formel in ähnlicher Weise abgeleitet ist.

²

Daß durch die angegebenen Stücke eine Ellipse bzw. Hyperbel bestimmt ist, erkennt man leicht, wenn man beachtet, daß nach § 52 und 62 das Produkt QX QY = b\, wo bx den zu a± — MP konjugierten und der Tangente t parallelen Halbmesser bezeichnet. Man kann also \ konstruieren und kennt dann zwei konjugierte Halbmesser der Grröße und Lage nach, wodurch die Kurve bestimmt ist (§ 46 u. 56).

Deutschen Personennamen, Die, v. Dr. Rud. Kleinpaul i. Leipzig. Nr. 422.

Deutsche Poetik von Dr. K. Borinski, Prof. a. d. Univ. München. Nr. 40.

Deutsche Nedelehre von Hans Probst, Gymnasialprof. i. Bamberg. Nr.61.

Deutsche Schule, Die, im Auslande von Hans Amrhein, Seminaroberlehrer in Rheydt. Nr. 259.

Deutsches Seerecht v. Dr. Otto Brandts, Oberlandesgerichtsrat in Hamburg. I: Allgem. Lehren: Personen u. Sachen d. Seerechts. Nr. 386.

--II: Die einzelnen seerechtlichen

Schuldverhältnisse: Verträge des Seerechts u. außervertragliche Haftung. Nr. 387.

Teutsche Stammeskunde v. Dr. Rud. Much, a. o. Prof. a. d. Univ. Wien. Mit 2 Kart. u. 2 Taf. Nr. 126.

TeutschesUnterrichtswesen. Geschichte des deutschen Nnterrichtswesens v. Prof. Dr. Friedrich Seiler, Direktor des Kgl. Gymnasiums zu Luckau. I: Bon Anfang an bis zum Ende des 18. Jahrhunderts. Nr. 275.

--II: Vom Beginn d. 19. Jahrb.

bis auf die Gegenwart. Nr. 276.

Deutsche Urheberrecht, Das, an literarischen, künstlerischen u. gewerblichen Schöpfungen, mit besonderer Berücksichtigung der internat. Verträge v. Dr. Gust. Rauter, Patentanwalt in Charlottenburg. N. 263.

Deutsche Volkslied, Das, ausgewählt u. erläutert von Prof. Dr. Jul. Sahr^ 2 Bändchen. Nr. 25 u. 132.

Deutsche Wehrverfasfung von Karl Endres, Geheimer Kriegsrat u. vortragender Rat imKriegsministerium in München. Nr. 401.

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2    Teile. Nr. 286, 287.    ™ frefeld. Mit 28 Frg. Nr. 186.

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Dr. Johannes Mcisenhcimer, Prof. 'l¹*"“"¹ d llMtörtecKn Äkademie der Zoologie an der Universität    »j» Lrfi.m, hj!

Jenm I: Furchung, Primi,idack-    ELäL feit Ech übruna »2

lagen, Larven, Formbildung, Em- ae^oaenen ^nfanterieaewebr^ bi" m?°3^ÜnCn'    4b Figuren. einichl. der^rsindiln/ des räuckü

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Epigonen,' Die, des höfische» Epos. ~    t'et"

Answahl aus deutschen Dichtungen    ftÄT’K³

des 13. Jahrhunderts von Dr. Pik-    ÄiÄ

tot Junk, Aktuarius der Kaiser-    ?Ä«b ' M”® ⁶    " *

”menid,<,ften ssernsprechwes-.k T°s. v°n Dr. Pud-IN Wien 111 cay.    wig Rellstab in Berlin. Mit 47 Fig.

Erdmagnetismus, Erdstrom, Polar- unb t Tafel. Nr. 155.

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Erdteile, Länderkunde der außereuro- Diplom-Ingenieur in Mannheim, päischeu, von Dr. Franz Heiderich, Mit 42 Figuren. Nr. 491. Professor an der Exportakademie Fette, Die, und Ole sowie die Seifenin Wien. Mit 11 Textkärtchen und u. Kerzenfabrikat, u. d. Harze,Lacke, Profilen. Nr. 63.    Firnisse m. ihren wicht.. Hilfsstoffen

Ernährung und Nahrungsmittel von von Dr. Karl Braun in Berlin. I: Oberstabsarzt Professor H. Bischofs Eins, in d. Chemie, Besvrech. einiger in Berlin. Mit 4 Abbildungen. Salze u. d. Fette u. Ole. Nr. 335. Nr. 464.    —7- — II: Die Seifenfabritation, die

Ethik von Prof. Dr. Thomas Achelis Seifenanalyse und die Kerzenfabri-in Bremen. Nr. 90.    kation. Mit 25 Abbild. Pr. 336.

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---des Raumes von Prof. Dr. Figuren. Nr. 604.

M. Simon in Straßburg. Mit Gesetzbuch, Bürgerliches, siehe: Recht 28 Abbildungen. Nr. 89.    des Bürgerlichen Gesetzbuches.

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--II: Die Entwicklung der heutigen Geschütze der Fußartillerie seit Einführung des rauchschwachen Pulvers 1890 bis zur Gegenwart. Mit 33 Textbildern. Nr. 362.

Gesundheitslehre. Ter menschliche Griechische Altertumskunde v. Prof. Körper, sein Bau und seine Tätig-    Dr. Rich. Maisch, neu bearbeitet v.

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Professor an der Handelshochschule s    Wissenschaften v. Dr. Alfred Gerde,

Berlin. I. II. Nr. 203, 204.    Prof, an der Univ. Breslau.

Gewerbliche Arbeiterfrage, Die, von    2 Bändchen. Nr. 70 u. 557.

Werner Sombart, Prof. a. d. Han- Griechischen Sprache, Geschichte der, delshochschule Berlin. Nr. 209.    l: Bis zum Ausgange d. klassischen

Gewerbliche Bauten. Industrielle    Zeit v. Dr. Otto Hoffmann, Prof,

und gewerbliche Bauten (Speicher,    a. d. Univ. Münster. Nr. 111.

Lagerhäuser u. Fabriken) v. Archi- Griechische u. römische Mythologie v. tekr Heinr. Salzmann in Düsseldorf.    Prof. Dr. Herm. Steuding, Rekt. d.

I: Allgemeines über Anlage und    Gymnas. in Schneeberg. Nr. 27.

Konstruktion der industriellen und ; Grundbuchrecht, Das formelle, von gewerblichen Bauten. Nr. 511. j Oberlandesgerichtsr. Dr.F.Kretzsch-— — II: Speicher und Lagerhäuser. mar in Dresden. Nr. 549.

Mit 123 Figuren. Nr. 512.    Handelspolitik, Auswärtige, von Dr.

Gewichtswesen. Maß-, Münz- u. Ge-    Heinr. Sieveking, Professor an

wichtswefenv.Dr.Aug.Blind,Prof.    der Universität Zürich. Nr. 24 5.

a. d. Handelsschule in Köln. Nr. 283. Handelsrecht, Deutsches, von Dr. Karl Gießereimaschinen von Dipl.-Jng.    Lehmann, Prof, an d. Universität

Emil Treiber in Heidenheim a. B.    Göttingen. I: Einleitung. Der

Mit 51 Figuren. Nr. 548.    | Kaufmann u. seine Hilfspersonen.

Gtrs- und keramische Industrie    Offene Handelsgesellschaft. Kom-

(Fndnstrie der Silikate, der Ban-    mandit- u. stille Gesellsch. Nr. 457.

steine und des künstlichen Mör---II: Aktiengesellschaft. Gesellsch.

tels I) v. Dr. Gust. Rauter in War-    m. b. H. (Sing. Gen. Handelsgesetz,

lottenburg. Mit 12 Tafeln. Nr. 233.    Nr. 458.

Glerchstrommaschine, Die, von Ing. Handelsschulwesen, Das deutsche, Dr. C. Kinzbrunner in Manchester. von Direktor Theodor Blum inr Mit 81 Figuren. Nr. 257.    Dessau. Nr. 558.

Gletscherkunde v. Dr. Fritz Machacek Handelsstand, Der, von Rechtsanwalt in Wien. Mit 5 Abbildungen im Dr. jur. Bruno Springer in Leipzig Text und 11 Tafeln. Nr. 154.    (Kaufm. Rechtst. Bd. 2). Nr. 545.

Gotische Sprachdenkmäler mit Gram- Handelswesen, Das, von Geh. Ober* matik, Übersetzung u. Erläutergn.    regierungsrat Dr. Wilh. Leris, Pro-

v. Dr. Herm. Iantzen, Direktor d.    fessor an der Universität Göttingen.

Königin Luise-Schule in Königs-    I: Das Handelspersvnal und der

berg i. Pr. Nr. 79.    Warenbandel. Nr. 296.

Gottfried von Straßburg. Hartmann — — II: Die Effektenbörse und die von Ane. Wolfram von Eschen- innere Handelspolitik. Nr. 297. bach und Gottfried von Straß- Handfeuerwaffen, Die Entwicklung bürg. Auswahl a. d.höfisch.Epos m.    der, seit der Mitte des 19. Jahr-

Anmerk. u. Wörterbuch v. Dr. K.    Hunderts u. ihr heutiger Stand von

Marold, Prof, am Kgl. Friedrichs-    G. Wrzodek, Hauptmann u. Kom-

Ko legium z.Königsberg/Pr. Nr.22.    pagniechef im Inf.-Reg. Freiherr

Graphischen Künste, Die, von Carl    Hiller von Gärtringen (4. Poser-

Kampmann, k. k. Lehrer an der k k.    sches) Nr. 59 in Soldau. Mit

Graphischen Lehr- und Versuchs-    21 Abbildungen. Nr. 360.

statt in Wien. Mit zahlreichen Ab- Harmonielehre von A. Halm. Mit bildungen u. Beilagen. Nr. 75. i vielen Notenbeispielen. Nr. 120.

Hartmann von Aue, Wolfram von Hygiene des Städtebaus, Die, von Eschenbach und Gottfried von    Prof. H. Chr. Nußbaum in Han-

Straßburg. Auswahl aus d. höfi-    nover. Mit. 30 Abb. Nr. 348.

fchen Epos mit Anmerk. u. Wörter- — des Wohnungswesens, Die, von buch von Dr. K. Marold, Prof, am    Prof. H. Chr. Nußbaum in Han-

Königl. Friedrichs-Kollegium zu    nover. Mit 5 Abbild. Nr. 363.

Königsberg i. Pr. Nr. 22.    Iberische Halbinsel. Landeskunde der

Ha ze, Lacke, Firnisse von Dr. Karl Iberischen Halbinsel von Dr. Friß Braun in Berlin. (Die Fette und Regel, Prof. a. d. Univ. Würzburg. Lle III). Nr. 337.    M. 8 Kärtchen u. 8 Abb. im Text it.

Hau-tliteraturen, Die, des Orients 1 Karte in Farbendruck. Nr. 235

Dr. Edmund Hardy. Nr. 83.

t. Uni®!öien L II'R-NgionSn-schich.evon Pros.

*e6SAunaCwnrU°Wfft6etm'    Sprachwissenschas. von

Wilda Bremen Mit    SS» Abb'    Dr «• Meringer, Prosessor an der

m 4M    M1    UbÖ' !    Univers. Graz. M. 1 Tafel. Nr. 59.

Heeresorganisation, Die Entwicklung Jndttstrielle u. gewerbliche Bauten der, seit Einführung der stehenden (Speicher, Lagerhäuser u.Fabrrken-Heere von Otto Neuschler, Haupt- von Architekt Hemr. Salzmann in mann u. Batteriechef in    Ulm. I:    Düsseldorf. I: Allgemeines ub. An-

Geschichtl. Entwicklung    bis zum    *rt9e u- Instruktion d. industriellen

Ausgange d. 19. Jahrh.    Nr. 552.    u- ^werblichen Bauten, dir. 511.

Heizung u. Lüftung v. Ing. Johannes —    '“§f?stU'et'

Körting in Düsseldorf.    I: Das    Mit 123 Figuren. Nr. 512.

Wesen u. die Berechnung der Hei- Infektionskrankheiten, Die, und ihre zungs- u. Lüftungsanlagen. Mit    Verhütung von Stabsarzt Dr. W.

34 Figuren. Nr. 342.    Hoffmann in Berlin. Mit 12 vom

--II: Die Ausführung d. Hei-    Verfasser gezeichneten Abbildungen

zungs- u. Lüftungsanlagen. Mit und einer Fiebertafel. Nr. 327. 191 Figuren. Nr. 343.    Insekten. Das Tierreich V: Insekten

Hessen. Landeskunde des Groß-    von Dr. I. Groß in Neapel (Sta-

herzogtums Hessen, der Provinz    zione Zoologica). Mit 56 Abbil-

Hessen-Nassau und des Fürsten-    düngen. Nr. 594.

tums Wald eck v. Prof. Dr. Georg Jnstrumentenlehre v. Musikdir. Franz Greim in Darmstadt. Mit 13 Ab- Mayerhoff in Chemnitz. I: Text. bildungen und 1 Karte. Nr. 37 6. Nr. 437.

Hieroglyphen von Geh. Regier.-Rat--- II: Notenbeispiele. Nr. 438.

Dr. Ad. Erman, Prof, an der Uni- Integralrechnung von Dr. Friedr. versität Berlin. Nr. 608.    Junker, Nekt. d. Realgymnasiums

Hochspannungstechnik von Dr.-Jng. u. d. Oberrealschule in Göppingen. K. Fischer in Hamburg-Bergedorf. Mit 89 Figuren. Nr. 88.

Mit vielen Figuren. Nr. 609.    — Repetitorium tu Aufgabensamm-

Holz, Das. Aufbau, Eigenschaften u.    lung zur Integralrechnung von Dr.

Verwendung v. Ing. Prof. Herm.    Friedr. Junker, Rekt. d, Realgym-

Wilda in Bremen. Mit 33 Abb.    nasiums u. der Oberrealschule in

Nr. 459.    Göppingen. M. 52 Fig. Nr. 147.

Hotels. Gasthäuser und Hotels von Israel. Geschichte Israels bis auf Archit. Max Wühler in Düsseldorf.    die griechische Zeit von Die. Dr.

I: Die Bestandteile u. d. Einrichtg.    I. Benzinger. Nr. 231.

d. Gasthauses. M. 70 Fig. Nr. 525. Italienische Handelskorrespondenz v.

--II: Die verschiedenen Arten von Prof. Alberto de Beaux, Oberlehrer

Gasthäusern. Mit 82 Figuren. am Königl. Institut S. S. Annun-Nr. 526.    ziata in Florenz. Nr. 219.

Hydraulik v. W. Hauber, Dipl.-Jng. Italienische Literaturgeschichte von in Stuttgart. Mit 44 Figuren.    Dr. Karl Boßler, Professor an der

Nr. 397.    Universität München. Nr 125.

Kalkulation, Die, int Maschinenbau j Kirchenrecht v. Dr. E. Setzling, ord. von Ingen. H. Bethmann, Dozent Prof.d.Rechte in Erlangen. Nr.377. ant Technikum Altenburg. Mit Klimakunde I: Allgemeine Klimalehre 63 Abbildungen. Nr. 486.    vonProf. Dr. W. Koppen, Meteoro-

Kältemaschinen. Die thermodyna- loge der Seewarte Hamburg. Mit mischen Grundlagen der Wärme- 7 Taf. u. 2 Figuren. Nr. 114. kraft- und Kältemaschinen von M. Kolonialgeschichte von Dr. Dietrich Röttinger, Dipl.-Jng. in Mann- Schäfer, Professorder Geschichte an heim. Mit 73 Figuren. Nr. 2.    der Universität Berlin. Nr. 156.

Kamerun. Die deutschen Kolonien Kolonialrecht, Deutsches, von Dr. H. I: Togo und Kamerun von Prof.    Edler von Hoffmann, Prof,    an der

Dr. Karl Dove. Mit 16 Tafeln und    Kgl. Akademie Posen. Nr.    318.

einer lithogr. Karte. Nr. 441. Kometen. Astronomie. Größe, Be-Kanal- und Schleusenbau von Re- wegung u. Entfernung d. Himmelc-gierungsbaumeister Otto Rappold    körper v. A. F. Möbius, neu bearb.

in Stuttgart. Mit 78 Abb. Nr. 585.    v. Dr. Herm. Kobold, Prof, an der

Kant, Immanuel. (Geschichte der    Univ. Kiel. II: Kometen, Meteore

Philosophie Bd. 5) von Dr. Bruno    u. das Sternsystem. Mit 15 Fig.

Bauch, Prof. a. d. Univ. Jena    u. 2 Sternkarten. Nr. 529.

Nr. 536.    Kommunale Wirtschaftspflege von

Kartell u. Trust v. Dr. S. Tschierfchky    Dr. Alfons Rieß, Magistratsassessor

in Düsseldorf. Nr. 522.    in Berlin. Nr. 534.

Kartenkunde von Dr. M. Groll, Kompositionslehre. Musikalische For-Kartograph in Berlin. 2 Bändchen.    menlehre v. Steph. Krehl. I. II. M.

I: Die Projektionen. Mit 53 Fig.    viel. Notenbeispiel. Nr. 149, 150.

Nr. 30.    Kontrapunkt. Die Lehre von der selb-

—    — II: Der Karteninhalt und das    ständigen Stimmführung v. Steph.

Messen auf Karten. Mit 36 Fig.    Krehl in Leipzig. Nr. 390.

Nr. 599.    Kontrollwesen, Das agrikulturchemi-

Kaufmännische Rechtskunde. I: Das sche, von Dr. Paul Kirsche in Leo-Wechselwesen v. Rechtsanwalt Dr. poldshall-Staßfurt. Nr. 304.

Rud. Mothes in Leipzig. Nr. 103. Koordinatensysteme v.Paul B. Fisch er,

—    II: Der Handels stand v. Rechtsan-    Oberl. a. d. Oberrealschule zu Großwall Dr. jur. Bruno Springer,    Lichterfelde. Mit 8 Fig. Nr. 507.

Leipzig. Nr. 545.    Körper, Ter menschliche, sein Bau

Kaufmännisches Rechnen von Prof.    und seine Tätigkeiten von E. Reb-

Richard Just, Oberlehrer a. d.    mann, Oberschulrat in Karlsruhe.

Offentl. Handelslehranstalt d. Dres-    Mit Gesundheitslehre v. Dr. med.

dener Kaufmannschaft. I. II. III    H. Seiler. Mit 47 Abb. u. 1 Tafel.

Nr. 139, 140, 187.    Nr. 18.

Keramische Industrie. Die Industrie > Kostenanschlag siehe: Veranschlagen, der Silikate, der künstlichen Bau- Kriegsschiffban. Die Entwicklung des steine und des Mörtels von Dr.    Kriegsschiffbaues vom Altertunt

Gust. Rauter. I: Glas- u. lernn.    bis zur Neuzeit. Von Tjard

Industrie. Mit 12 Taf. Nr. 233.    Schwarz, Geh. Marineba trat und

Kerzenfabrikation. Die Seisenfabri-    Schiffbau-Direktor. I. Teil: Das

kation, die Seifenanalyse und die    Zeitalter der Ruderschiffe u. der

Altertum bis 1840.

Kerzenfabrikation von Dr. Karl    Segelschiffe für die Kriegsführung

Braun in Berlin. (Die Fette u    zur See vom

Ole II.) Mit 25 Abb. Nr. 336    Mit 32 Abbildungen. Nr. 471.

Kiautschou. Die deutschen Kolonien--II. Teil: Das Zeitalter der

II: Das Südseegebiet und Kian-    Dampfschiffe für die Kriegsführung

tschou v. Prof. Dr. K. Dove. Mit    zur See von 1840 bis zur Neuzeit.

16 Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 520. !    Mit 81 Abbildungen. Nr. 472.

Kinematik von Dipl.-Jng. Hans Pol- Kriegswesens, Geschichte des, von Dr. ster, Assist, a. d. Kgl. Techn. Hoch- j Emil Daniels in Berlin. I: Das schule Dresden. M. 76 Abb. Nr. 584. antike Kriegswesen. Nr. 488.

Lateinische Sprache. Geschichte der lateinischen Sprache von Dr. Friedrich Stolz, Professor an der Universität Innsbruck. Nr. 492.

Kriegswesens, Geschichte des, v. Dr.

Emil Daniels in Berlin. II: Das mittelalterl. Kriegswesen. Nr. 498.

--III: Das Kriegswesen der Neuzeit. Erster Teil. Nr. 518.

--IV: Das Kriegswesen der Neuzeit. Zweiter Teil. Nr. 537.

--V: Das Kriegswesen der Neuzeit. Dritter Teil. Nr. 568.

Kristallographie v. Dr. W. Bruhns, Prof. a. d. Bergakademie Clausthal. Mit 190 Abbild. Nr. 210.

Kudrun und Dietrichepen. Mit Einleitung und Wörterbuch von Dr. O. L. Jiriczek, Professor an der Universität Würzburg. Nr. 10.

Kultur, Die, der Renaissance. Gesittung, Forschung, Dichtung v. Dr.

Licht. Theoretische Physik II. Teil: Licht und Wärme. Von Dr. Gust. Jäger, Prof, an der Techn. Hochschule in Wien. M. 47 Abb. Nr. 77. Logarithmen. Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches it. trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von Dr. Herrn. Schubert, Prof, an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg. Nr. 81.

— Fünfstellige, von Professor August Adler, Direktor der k. k. Staatsoberrealschule in Wien. Nr. 423.

Robert F. Arnold, Professor an der Logik. Psychologie und Logik zur Ein-Universität Wien. Nr. 189.    führung in die Philosophie von

Kulturgeschichte, Deutsche, von Dr.    Professor Dr. Th. Elsenhans. Mit

Reinh. Günther. Nr. 56.    !    13 Figuren. Nr. 14.

Kurvendiskussion. Algebraische Kur- Lokomotiven. Eisenbahnfahrzeuge ven von Eug. Beutel, Oberreal-    von H. Hinnenthal. I: Die Loko-

lehrer in Vaihingen-Enz. I: Kur-    motiven. Mit 89 Abb. im Text u.

vendiskussion. Mit 57 Fig. im    2 Tafeln. Nr. 107.

_    Nr- 435.    Lothringen. Geschichte Lothringens

Kurzschrift stehe: Stenographre.    von Dr. Herrn. Derichsweiler, Geh.

Küstenartrllerie. DreEntwicklung der    Regierungsrat in Straßburg. Nr. 6.

Schrffv- und Küstenartrllerre brs — Landeskunde v. Elsaß-Lothringen zur Gegenwart v.Korvettenkapitän    b. Prof. Dr. R. Langenbeck in

Hunmg. Mit Abbildungen und    Straßburg i. E. Mit 11 Abb. u.

Tabellen. Nr. 606.    1 $slrte Nr 215

aaXrBn²te9)eriinif($iele®?e Miros,rvrubierttmbe.' Qualitative so? w³”* ⁵ “ Analyse mit Hilsc des Lötrohrs ,,„s    von Dr. Watt. Henglein in Freiberg

8O0m'/ihtMiV    i. Sa. Mit 10 Figuren. Nr. 483.

Lagerhäuser^ ü Fabrik^ wn Lübeck. LanbeSlunbe b. Gros.herzog.

SKSsSÄt £ 1=

lauf«: Mit' IW Flg Nr. 5?2    Schwarz, Direktor ber Realschule

Länder- und Völkernamen von Dr.    ^)°m    Mit^l? Ab-

Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 478.    büdungen undharten rm ^ext und

Landstraßenbau von Kgl. Oberlehrer    ¹ graphischen Karte. Nr. 48,.

A. Liebmann, Betriebsdirekt, a. D. Luft- und Meeresströmungen von Dr. i.Magdeburg. Mit 44 Fig. Nr. 598 Franz Schulze, Direktor der Navi-Landwirtfchaftliche Betriebslehre v.    gatwnsschule zu Lübeck. Mit 27 Ab- -

E. Langenbeck in Groß-Lichterfelde.    bildungen und Tafeln. Nr. 551.

Nr. 227.    Lüftung. Heizung und Lüftung von

Landwirtschaftlichen Maschinen, Die,    Ing. Johannes Körting in Düssel-

von Karl Walther, Diplom.-Jng.    dorf. I: Das Wesen und die Bein Mannheim. 3 Bändchen. Mit    rechnung d. Heizungs- u. Lüftungs-

vielen Abbildgn. Nr. 407—409.    anlagen. Mit 34 Fig. Nr. 342.

Lateinische Grammatik. Grundriß der--II: Die Ausführung der Hei-

latein. Sprachlehre v. Prof. Dr. W.    zungs- und Lüfturcgsanlagen. Mit

Botsch in Magdeburg. Nr. 82.    ¹    191 Figuren. Nr. 343.

Luther, Martin, und Thom. Murner. Mathematik, Geschichte der, von Dr.

Ausgewählt und mit Einleitungen    A. Sturm, Prof, am Obergyrn-

u. Anmerkungen versehen v. Prof.    nasium in Seitenstetten. Nr. 226.

Berlit, Oberlehrer llnr Nikolai- : Mathematische Formelsammlung und ^ Ohmnaftum öu ^erpzrg. Nr. ..    Repetitorium der Mathematik, ent*

ast netu»dhhsrk haltend die wichtigsten Formeln u.

u. Magnetr^"    Lehrsätze d. Arithmetik, Algebra,

mus. Bon vr. Gustav Jager, Prof.    algebraischen Analysis, ebenenGeo

Hochschule Wien.    metrie, Stereometrie, ebenen und

Abbüdungen. Nr. 78.    _    sphärischen Trigonometrie, math.

Malzereu ^^^^klwesen I: Malzerer    Geographie, analyt. Geometrie der

d- ^^^brhofs, Direktor d.    Ebene und des Raumes, der Diffe-

Offentliche nund I.Sachf. Bersuchv-    rential- und Integralrechnung von

statron für Brauerei und Mälzerei, ; a Th. Bürklen, Professor am Kgl. soww der Brauer- und Malzerschule    Realgymnasium in Schw.-Gmünd.

_ SU Grimma. Nr. 603    Mit 18 Figuren. Nr. 51.

Maschinenbau, Die Kalkulation ,m,

uon Ingenieur 6. Bethmann, $05. Maurer, imb S cmha,.erarbeiten von am Technikum Altcnburg. Mit 63 I    phil. und Dr.-Jng. Ed.

Abbildungen. Nr. 486.    Schnntt .n Darm,ladt 3 Bändchen

— Die Materialien des Maschinen-    dN>l vielen Abbild. Nr. 419 421.

baues und der Elektrotechnik von Mechanik. Theoret. Physik I. Teil-Ingenieur Prof. Hermann Wilda. Mechanik und Akustik. Bon Dr Mit 3 Abbildungen. Nr. 476.    Gust. Jäger, Prof, an der Tech-

Maschinenelemente, Die. Kurzgefaß-    nischen Hochschule in Wien. Mit

tes Lehrbuch mit Beispielen für das    19 Abbildungen. Nr. 76.

Selbststudium u. d. praktischen Ge- Mechanische Technologie von Geh.Hofbrauch von Fr. Barth, Obermgen. ; rat Professor A. Lüdicke in Brauu-,4.. V¹! ?Zltrn⁶.eJ°" 86 Fig. ^Nr. 3. schweig. 2 Bändchen. Nr. 340, 341.

‘J ⁰Ing"^Richard^Schstfne/'inarm- Mecklenburg. Landeskunde d. Gros;-brunn. I: Grundbegriffe, Einfache Herzogtümer Mecklenburg u. der Maschinenteile bis zu den Kuppe- I ftmeit    rstadt Lübeck von

lungen. Mit 60 Tafeln. Nr. 589. ' Zr. Sebald Schwarz, Direktor der

--II: Lager, Riemen- und Seil- | Realschule zum Dom m Lübeck. Mit

scheiben, Zahnräder, Kolbenpumpe.    unb

Mit 51 Tafeln. Nr. 590.    1 Karte tn Lithographie. Nr. 48/.

Maßanalyse von Dr. Otto Röhrn in Mecklenburgische Geschichte von Ober-Darmstadt. Mit 14 Fig. Nr. 22i.    lehrerOttoBitenseinNeubranden-

Maß-, Münz-und Gewichtswesen von bürg i. M. Nr. 610.

Meereskunde, Physische, von Prof. Dr. Gerhard Schott, Abteilungsvorsteher bei d. Deutschen Seewarte in Hamburg. Mit 39 Abbildungen im Xetf und 8 Tafeln. Nr. 112.

Dr. August Blind, Professor an der Handelsschule in Köln. Nr. 283.

Meeresströmungen. Lust- u. Meeresströmungen v. Dr. Franz Schulze, Dir. d. Navigationsschule zu Lübeck. Mit 27 Abbildungen und Tafeln. Nr. 551.

Materialprüfungswesen. Einführung in die moderne Technik d. Materialprüfung von K. Memmler, Dipl.-Ingenieur, ständ. Mitarbeiter am Kgl. Material- Prüfungsamte zu;

Groß-Lichterfelde. I: Material- ! eigenschaften.— Festigkeitsversuche. I — Hilfsmittel für Festigkeitsversuche. Mit 58 Figuren. Nr. 311. ;

--II: Metallprüfung und Prüfung Menschliche Körper, Der, sein Bau u.

von Hilfsmaterialien d. Maschinen- i seine Tätigkeiten von E. Rebmann, baues. — Baumaterialprüfung. — j Oberschulrat in Karlsruhe. MitGe-Papiervrüfung. — Schmiermittel- sundheitslehre v. Dr. med. H. Sei-prüfung. — Einiges über Metallo- ler. Mit 47 Abbildgn. u. 1 Tafel, graphie. Mit 31 Fig. Nr. 312.    Nr. 18.

Metallographie. Kurze, gemeinfaß- i Mörtel. Die Industrie d. künstlichen liche Darstellung der Lehre von den    Bausteine und des Mörtels von

Metallen u.ihren Legierungen unter    Dr. G. Rauter in Charloltenburg.

besond. Berücksichtigung der Metall-    Mit 12 Tafeln. Nr. 234.

Mikroskopiev.Prof. E. Heynu.Prof. Mundarten, Die deutschen, von Prof. O. Bauers. Kgl. Materialprüfung^- Dr. H. Reis in Mainz. Nr. 605. amt (Gr.-Lichterfelde) d.K.Techu. Mundarten, Plattdeutsche, von Dr. Hochschule zu Berlin. I: Allgem.    Hubert Grimme, Professor an der

Münzwesen. Maß-, Münz- und Gewichtswesen von Dr. Aug. Blind, Professor an der Handelsschule in Köln. Nr. 283.

Murner, Thomas. Martin Luther u. Thomas Murner. Ausgewählt u. m. Einleitungen u.Anmerk. versehen von Prof. G. Berlit, Oberlehrer am Nikolaigymnas. zu Leipzig. Nr. 7.

Musik,Geschichte der alten und mittelalterlichen, v. Dr. A. Möhler in Steinhaußen. 2 Bdch. Mit zahlr. Abb. u. Musikbeil. Nr. 121 u. 347.

Musikalische Akustik von Professor Dr. Karl L. Schäfer in Berlin. Mit 35 Abbildungen. Nr. 21.

Musikal.Formenlehre(Kompositions-lehre) von Stephan Krehl. I. II. Mit viel. Notenbeisp. Nr. 149,150.

Musikästhetik von Dr. Karl Grunsky in Stuttgart. Nr. 344.

Musikgeschichte des 17. und 18. Jahrhunderts von Dr. Karl Grunsky in Stuttgart. Nr. 239.

Musikgeschichte seit Beginn des 19. Jahrhunderts v. Dr. K. Grunsky in Stuttgart. I. II. Nr. 164, 165.

Musiklehre, Allgemeine, von Stephan Krehl in Leipzig. Nr. 220.

Nadelhölzer, Die, von Dr.F. W.Neger, Prof, an der Königl. Forstakademie zu Tharandt. Mit 85 Abbildungen, 5 Tabellen und 3 Karten. Nr. 355.

Nahrungsmittel. Ernährung u. Nahrungsmittel v. Oberstabsarzt Prof. H. Bischofs in Berlin. Mit 4 Abbildungen. Nr. 464.

Nautik. Kurzer Abriß d. täglich Bord von Handelsschiffen angew. Teils d. Schiffahrtskunde. Bon Dr. Franz Schulze, Dir. d. Navigationsschule zu Lübeck. Mit 56 Abbildgn. Nr. 84.

Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch mit besond. Berücksichtigung d. Umgangssprache v. Dr. Johannes Kalitsunakis, Doz. am Seminar für Orient. Sprache in Berlin. Nr. 585.

Teil. Mit 45 Abb. im Text und 5 !    Univers. Münster i. W. Nr. 461.

Lichtbildern auf 3 Tafeln. Nr. 432.

--II: Spez. Teil. Mit 49 Abbildungen irrt Text und 37 Lichtbildern auf 19 Tafeln. Nr. 433.

Metallurgie von Dr. August Geitz in Kristianssand (Norwegen). I. II.

Mit 21 Figuren. Nr. 313, 314.

Meteore. Astronomie. Größe, Bewegung u. Entfernung der Himmelskörper von A. F. Möbius, neu bearbeitet von Dr. Herm. Kobold,

Prof. a. d. Univ.Kiel. II: Kometen,

Meteore u. das Sternensystem. Mit 15 Fig. u. 2 Sternkarten. Nr. 529.

Meteorologie v. Dr. W. Trabert, Prof, an der Universität Wien. Mit 49 Abbild. it. 7 Tafeln. Nr. 54.

Militärstrafrecht von Dr. Max Ernst Mayer, Prof, an d. Univ. Straßburg i. E. 2 Bde. Nr. 371, 372.

Mineralogie von Geheimer Bergrat Dr. R. Brauns, Prof, an d. Univ.

Bonn. Mit 132 Abbild. Nr. 29.

Minnesang und Spruchdichtung.

Walther von der Bogelweide mit Auswahl aus Minnesang und Spruchdichtung. Mit Anmerkungen u. einem Wörterb. von O. Güntter,

Prof, an d. Oberrealschule u. an d.

Techn. Hochschule i. Stuttgart.Nr.23.

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an

Mittelhochdeutsche Grammatik. Der Nibelnnge Not in Auswahl und mittelhochdeutsche Grammatik mit kurz. Wörterb. v. Dr. W. Golther,

Prof. a. d. Univ. Rostock. Nr. 1.

Morgenland. Geschichte des alten Morgenlandes v. Dr. Fr. Hommel,

Prof, an d. Universität München.

Mit 9 Bildern u. 1 Karte. Nr. 43.

Morphologie und Organographie der Pflanzen v. Prof. Dr. M. Nordhausen i.Kiel. M. 123 Abb. Nr. 141.

Neunzehntes Jahrhundert. Geschichte Ortsnamen im Deutschen, Die, ihre des 19. Jahrhunderts von Oskar    Entwicklung    u. ihre Herkunft von

Jäger, o. Honorarprof. a. d. Nniv.    Dr. Rudolf    Kleinpaul in Leipzig-

Bonn. l.Bdch.: 1800—1852.9fa.2l6.    Gohlis. Nr. 573.

— — 2. Bändchen: 1853 bis Ende des Oftafrika. (Die deutsch. Kolonien III) Jahrhunderts. Nr. 217.    von Prof. Dr. K. Dove. Mit 16

Neutestamentliche Zeitgeschichte von    Taf. u. 1 lithogr. Karte. Nr. 567.

Lic. Dr. W. Staerk, Prof. a. der Österreich. Österreichische Geschichte Unit), in Jena. I: Der historische u.    von Prof. Dr. Franz v.Krones, neu*

kulturgeschichtl. Hintergrund d. Ur-    bearb. von Dr. Karl Uhlirz, Prof,

christentums. M. 3 Karten. Nr. 325.    a. d. Univ Graz. I: Bon d. Urzeit

---II: Die Religion d. Judentums    b. z. Tode    König Albrechts II.

int Zeitalter des Hellenismus und    (1439). Mit    11 Stammtaf. Nr. 104.

der Römerherrschaft. Mit 1 Plan---II: Bom Tode König Albrechtsll.

skizze. Nr. 326.    ‘    bis z. Wests. Frieden (1440—1648).

Nibelunge Nüt, Der. in Auswahl und f’⁴AIFT’I'HK"'

mittelhochdeutsche Grammatik mit “ Landeskunde «. Österre.q.Nngarn kurzem Wörterb. v. Dr. W.Golther,    ®r- Mred Grund, Pros. an

Prof, an der Univ. Rostock. Nr. l! i>. Universität Prag Mit 10 Text. Nordische Literaturgeschichte I: Die

irländ. u. nonoeg. Literatur des    mnrlft”

Mittelalters v. Dr Wolsg. Golther,

fwf an der Universität Rostock. Ziehenin\xa^xtSm. S&2&

Nutz»,lau,-n von Prof. Dr. I. Beh. P°d""°gik    Professor

rens, Vorst, d. Großhcrzogl. land-    Direktor ch Pädagog.

wirtschaftl. Versuchsanst. Augusten- surlrflirfitr sVr‘ ün^KfrprTpTiEr*nr‘ Berg. mit 53 Figuren. Nr 123.    ”

Cte. Die Fette u.Ole sowie d Seifen- Paläogeographie. Geolog. Geschichte u. Kerzenfabrtkatton u. d. Harze,    ber Meere und Festländer von Dr.

Lacke, Frrmsse Mit ihren wichtigsten    Franz Kossmat in Wien. Mit 6

Hilfsstoffen von Dr. Karl Braun m ehrten Nr 406 Berlin. I: Anführung in d. Chemie, Paläoklim'atologie von Dr. Wilh. R. Besprechung einiger Salze u. der Eckardt i.Weilburg (Lahn). Nr. 432. ^ette und Ole. Nr. 335.    Paläontologie von Dr. Rud. Hoernes,

Ole und Riechstoffe, Ätherische, von Professor an der Universität Graz. ?™J^0C^jeVn    mt Mit 87 Abbildungen. Nr. 95.

9 Abbildungen. Nr. 446.    — und Abstammungslehre von Dr.

Optik. Einführung in d. geometrische Karl Diener, Prof, an der Univers. Optik von Dr. W. Hinrichs in Wil- Wien. Mit 9 Abbild. Nr. 460. mersdorf-Berlin. Nr. 532.    Palästina. Landes- und Volkskunde

Orientalische Literaturen. Die Lite-    Palästinas von Lic. Dr. Gustav

ratnren des Orients von Dr. M.    Hölscher in Halle. Mit 8 Vollbil-

Haberlandt, Privatdoz. an d. Uni-    dern und 1 Karte. Nr. 345.

versität Wien. I: Die Literaturen Parallelperspektive. Rechtwinklige u. Ostasiens und Indiens. Nr. 162. schiefwinklige Axonometrie v. Prof.

--II: Die Literaturen d. Perser, I. Bonderlinn in Münster. Mit

Semiten und Türken. Nr. 163.    121 Figuren. Nr. 260.

— Die christlichen Literaturen des j Personennamen, Die deutschen, v. Dr. Orients von Dr. Ant. Baumstark, j Rud. Kleinpaul in Leipzig. Nr. 422. I: Einleitg. — Das christl.-aramäi- Petrographie v. Dr. W. Bruhns, Prof, sche u. d. kopt. Schrifttum. Nr. 527.    an der Bergakademie Clausthal.

--II: Das christlich-arabische und ’ Mit 15 Abbildungen. Nr. 173.

von Prof. Dr. E. Dennert. Mit 96 Abbildungen. Nr. 44.

das äthiopische Schrifttum. — Das Pflanze, Die, ihr Bau und ihr Leben christliche Schrifttum der Armenier j und Georgier. Nr. 528.    -

von

r an

Pslanzenbaulehre. Ackerbau- und Pflanzenbaulehre von Dr. Paul Rippert in Essen u. Ernst Langen-beck in Groß-Lichterfelde. Nr. 232. Pflanzenbiologie v. Dr. W. Migula, Professor an d. Forstakademie Eisenach. I: Allgemeine Biologie. Mit 43 Abbildungen. Nr. 127. Pflanzenernährnng. Agrikulturchemie I: Pflanzenernährung v. Dr. Karl Grauer. Nr. 329.

Pflanzengeographie von Professor Dr. Ludwig Diels in Marburg (Hessen). Nr. 389.

Pflanzenkrankheiten von Dr. Werner Friedr. Bruck, Privatdoz. i. Gießen. Mit 1 färb. Tafel und 45 Abbildgn. Nr. 310.

Pflanzenmorphologie. Morphologie

u.    Organographie d. Pflanzen von Prof. Dr. M. Nordhausen in Kiel. Mit 123 Abbildungen. Nr. 141.

Pslanzenphysiologie von Dr. Adolf Hansen, Prof, an der Universität Gießen. Mit 43 Abbild. Nr. 591. Pflanzenreichs, Die Stämme des, von Privatdoz. Dr. Rob. Pilger, Kustos am Kgl. Botan. Garten in Berlin-Dahlem. Mit 22 Abb. Nr. 485. Pflanzenwelt, Die, der Gewässer von Dr. W. Migula, Prof. a. d. Forstak. Eisenach. Mit 50 Abb. Nr. 158. Pflanzenzellenlehre. Zellenlehre und Anatomie der Pflanzen von Prof. Dr. H. Miehe in Leipzig. Mit 79 Abbildungen. Nr. 556. Pharmakognosie. Bon Apotheker F. Schmitthenner, Assist, a. Botan. Institut d. Techn. Hochschule Karlsruhe. Nr. 251.

Pharmazeutische Chemie von Privatdozent Dr. E. Mannheim in Bonn. 3 Bändchen. Nr. 543/44 u. 588. Philologie, Geschichte d. klassischen,

v.    Dr. Wilh. Kroll, ord. Prof. a. d. Univ. Münster in Wests. Nr. 367.

Philosophie, Einführung in die,

Dr. Max Wentscher, Professo der Universität Bonn. Nr. 281. Philosophie, Gesch. der, IV: Neuere Philosophie bis Kant von Dr. B. Bauch, Professor an der Universität Jena. Nr. 394.

— — V: Immanuel Kant von Dr. Bruno Bauch, Professor an d. Universität Jena. Nr. 536.

Philosophie, Geschichte der, VI: Die Philosophie im ersten Drittel des 19. Jahrhunderts von Arthur Drews, Prof, der Philosophie an d. Techn. Hochschule in Karlsruhe. Nr. 571.

—    Hauptprobleme der, v. Dr. Georg Simmel, Professor an der Universität Berlin. Nr. 500.

—    Psychologie und Logik zur Eins. in d. Philosophie von Prof. Dr. Th. Elsenhans. Mit 13 Fig. Nr. 14.

Photographie, Die. Bon H. Keßler, Prof, an d. k. k. Graphischen Lehr-und Versuchsanstalt in Wien. Mit 3 Taf. und 42 Abbild. Nr. 94.

Physik, Theoretische, von Dr. Gustav Jäger, Prof, der Physik an der Techn. Hochschule in Wien. I. Teil: Mechanik und Akustik. Mit 24 Abbildungen. Nr. 76.

--II. Teil: Licht u. Wärme. Mit

47 Abbildungen. Nr. 77.

--III. Teil: Elektrizität u. Magnetismus. Mit 33 Abbild. Nr. 78.

--IV. Teil: Elektromagnet. Lichttheorie und Elektronik. Mit 21 Fig. Nr. 374.

—    Geschichte der, v. Prof. A. Kistner in Wertheim a. M. I: Die Physik bis Newton. Mit 13 Fig. Nr. 293.

--II: Die Physik von Newton bis

z. Gegenwart. Mit 3 Fig. Nr. 294.

Physikalisch »Chemische Rechenaufgaben von Prof. Dr. R. Abegg und Privatdozent Dr. O. Sackur, beide an der Univ. Breslau. Nr. 445.

PhysikalischeAusgabensammlung von G. Mahler, Prof, der Mathematik u. Physik am Gymnasium in Ulm. Mit den Resultaten. Nr. 243.

Physikalische Formelsammlung von G. Mahler, Prof, am Gymnasium in Ulm. Mit 65 Fig. Nr. 136.

Physikalische Messungsmethoden von Dr. Wilh. Bahrdt, Oberlehrer an d. Oberrealschule in Groß-Lichterfelde. Mit 49 Figuren. Nr. 301.

Physiologische Chemie von Dr. med. A. Legahn in Berlin. I: Assimilation. Mit 2 Tafeln. Nr. 240.

Physische Geographie von Dr. Siegm. Günther, Prof, an der Kgl. Techn. Hochschule in München. Mit 32 Abbildungen. Nr. 26.

Physische Meereskunde von Prof. Dr. Preußische Geschichte. Brandenbnrc Gerh. Schott, Abteilungsvorst, b. d. j    gisch-Preußische Geschichte v. Prof.

Deutschen Seewarte in Hamburg.    Dr. M. Thamm, Direktor d. Kaiser

Mit 39 Abbildungen im Text und ,    Wilhelms-Gymnasiums in Monta-

8 Tafeln. Nr. 112.    baur. Nr. 600.

Pilze, Die. Eine Einführung in die ; Preußisches Staats recht von Dr. Fritz Kenntnis ihrer Formenreihen von ¹ Stier-Somlo, Prof, an der Univ. Prof. Dr. G. Lindau in Berlin. Mit Bonn. 2 Teile. Nr. 298, 299.

10 Figurengruppen i.Text. Nr. 574. Psychiatrie, Forensische, von Professor Planetensystem. Astronomie (Größe,    Dr. W. Wepgandt, Dir. der Irren-

Bewegung u. Entfernung d. Him-    anstatt Friedrichsberg in Hamburg,

melskörper) von A. F. Möbius, neu i    2 Bändchen. Nr. 410 und 411.

bearb. von Dr. Herm. Kobold, Prof. Psychologie und Logik zur Einführung a. d. Univ. Kiel. I: Das Planeten- in d. Philosophie v. Prof. Dr. Th. syftem. Mit 33 Abbild. Nr. 11.    > Elsenhans. Mit 13 Fig. Nr. 14.

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Poetik, Deutsche, v. Dr. K. Borinski,    Universität Tübingen. 1. Band.

Prof. a. d. Univ. München. Nr. 40. Nr. 279.

Polarlicht. Erdmagnetismus, Erd- Radioaktivität von Dipl.-Ing Wilh. ström u. Polarlicht von Dr. A.    Fromme!. Mit 21 Abbildungen.

Nippoldt, Mitglied des Kgl. Preuß. m Rr. 317.    , .

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Pommern. Landeskunde von Pom-

mern von Dr. W. Deecke, Prof, an    von Prof. Richard

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schÄeMmchen' X lia’"' ⁶°d’'    ■    chPersoneuin

d°^«°r°r-i. T-rtU.Jnd,.stric II- Prof, a,"d! Univ, Erlangen"«"^!

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re>, Spitzen- und G-rd,nensabr,-    machung u. Schutz der Rechte von

k°t,onu»dF,lzfabrikat,onv, Prof    Dr i$nuI Oertmnnn, Professor an

9Koe ©Urtier, Geh, Regierungsrat    der Universität Erlangen, Rr, 448,

!L.,^^ai-^°bKe«erbeamt zu - Zweites Buch: Schuldrecht, I. Ab. •Berlin. Mit 29 Fig, Nr, 185, j    teilung: Allgemeine Lehren von

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Inspektor in Bonn, Nr, 425.    ; der Universität Erlangen, Nr, 328.

Preßluftwerkzeuge, Die, von Diplom---II. Abt.: Die einzelnen Schuld-

Jng. P. Iltis, Oberlehrer an der . Verhältnisse v. Dr. Paul Oertmann, Kais. Techn. Schule in Straßburg. ! Prof, an der Universität Erlangen. Mit 82 Figuren. Nr. 493.    Nr. 324.

Recht des Bürgerlichen Gesetzbuchs. Riechstoffe. Ätherische Ole und Drittes Buch: Sachenrecht von Dr. Riechstoffe von Dr. F. Rochussen in F. Kretzschmar, Oberlandesgerichts- ¹ Miltitz. Mit 9 Abb. Nr. 446. rat in Dresden. I: Allgem. Lehren. „joman, Geschichte des deutsche» Besch und Eigentum. Nr. 48V    Romans von Dr. Hellm. Mette.

--II: Begrenzte Rechte. Nr. 481. mt 2<,₉    v

—    Viertes Buch: Familienrecht von

Dr. Heinrich Titze, Proscssor an der    SS tol f t lini»

Rechtsgeschichte, Römische, von Dr. «... ®t2' J.    l

Robert von Mayr, Pros. an der    .Altertumskunde von Dr.Leo

Deutschen Uuivers. Prag. 1. Buch:    Bloch in Wien. M.s Bollb. Nr. 4o.

Die Zeit d. Volksrechtes. 1. Halste: Römische Geschichte von Nealghm-Das öffentliche Recht. Nr. 577.    nasial-Direktor Dr. Jul. Koch in

--2.Hälfte:DasPrivatrecht. Nr.578. Grunewald. Nr. 19.

Rechtsschuv, Der internationale ge- Römische Literaturgeschichte von Dr. werbliche, von I. Neuberg, Kaiser!. 6ernt. Joachim in Hamburg. Nr.52. Regierungsrat, Mitglied d. Kaiser!. Römische und griechische Mythologie

aj j^?^rramrjr    ²⁷¹\ von Professor Dr. Hermann Steu-

Rechtswissenschaft, Einführung tu ding, Rektor des Gymnasiums in die, von Dr. Theodor Sternberg Schneeberg. Nr. 27.

am

Quetten ehre    """ «"filnnt,. Russische Geschichte von

_ - ii: Das Shstcm. Nr. 470.    Dr- »ilh. Reeb, Oberlehrer

Redelehre, Deutsche, v. Hans Probst, Ostergymnasium in Mainz. 4.

Gymnafialprof. inBamberg. Nr.61. ~ Landeskunde    Europäischen

Redeschrift siehe: Stenographie.    Rußlands nebst Finnlands von

Reichsfinanzen, Die Entwicklung der,    Professor^Dr. A. Philippson in

von Präsident Dr. R. van der Halle a. S. Nr. 359.

Borght in Berlin. Nr. 427. Russisch-Deutsches Gesprüchsbuch von Religion, Die Entwicklung der chrift-    Dr. Erich Berneker, Professor an

lichen, innerhalb des Neuen Testa-    der Universität München. Nr. 68.

ments von Professor Dr. Lic. Russische Grammatik von Dr. Erich Carl Giemen. Nr. 388.    Berneker, Professor an der Uni-

—    Die, des Judentums im Zeitalter versität München. Nr. 66.

des Hellenismus u. d. Römerherr- Russische Handelskorrespondenz von schaft von Die. Dr. W. Staerk (Neu- Dr. Theodor von Kawraysky in testamentl. Zeitgeschichte II.) Mit Leipzig. Nr. 315. einet Planskizz^ Nr 326.    Russisches Lesebuch mit Glossar von

Religionen der Naturvölker, Die,    Dr. Erich Berneker, Professor an

von Dr. Th. Nchelis, Professor in    her Universität München. Nr. 67.

Religionswissenschaft,Abriß derber- ^"MAfm^Lektor^

gleichenden, von Professor Dr. ^chme, Lektor a d. Handelshoch-

Th. Achelis in Bremen. Nr. 208.

Renaissance. Die Kultur der Re-    fübrlicken Anmerkunaen uÄk?ent-

Nr. 403.

naissance. Gesittung, Forschung,    BBnno *    9 M*ent

Dichtung v. Dr. Robert F. Arnold, bezeichnung.

Prof. a. d. Univers. Wien. Nr. 189.    ~ ~ IL Teil: BreBo^oAi, raprann-B

Reptilien. Das Tierreich III: Rep-    Mit Anmerkungen und

tüten und Amphibien. Non Dr. Akzentbezeichnungen. Nr. 404. Franz Werner, Prof. a. b. Univers. Russische Literaturgeschichte von Dr. Wien. Mit 48 Abb. Nr. 383.    Georg Polonskij in München.

Rheinprovinz, Landeskunde der, von Nr. 166.

Dr. V. Steinecke, Direktor d. Real- Russisches Vokabelbuch, Kleines, von gymnasiums in Essen. Mit 9 Abb.,    Dr. Erich Boehme, Lektor an der

3 Kärtchen und 1 Karte. Nr. 308.    Handelshochschule Berlin. Nr. 475.

Schuldrecht. Recht des Bürgerl. Ge-setzbuches. Zweites Buch: Schuldrecht. I. Abteilung: Allgemeine Lehren von Dr. Paul Oertmann, Prof. a.d.Nniv. Erlangen. Nr. 323.

Sachenrecht. Recht d. Bürgerl. Gesetzbuches. Drittes Buch: Sachenrecht von Dr. F. Kretzschmar, Ober-landesgerichtsrati.Dresden. I: Allgemeine Lehren. Besitz ».Eigentum. --II: Begrenzte Rechte. Nr. 480,

--II. Abteilung: Die einzelner:

481.

Schuldverhältnisse von Dr. Paul Sachs, Hans. Ausgewählt u. erläut.    Oertmann, Professor a. d. Um*

v. Prof. Dr. Julius Suhr. Nr. 24.    versität Erlangen. Nr. 324.

Sachsen. Sächsische Geschichte v. Prof. Schule, die deutsche, im Auslande von Otto Kaemmel, Rektor d. Nikolai-    Hans Amrhein, Seminar-Obergymnasiums zu Leipzig. Nr. 100.    lehrer in Rheydt. Nr. 259.

— Landeskunde des Königreichs Schulhaus. Die Baukunst des Schul-Sachsen v. Dr. I. Zemmrich, Ober-    Hauses von Prof. Dr.-Jng. Ernst

lehrer am Realgymnas. in Plauen.    Vetterlein in Darmstadt. I: Das

Mit 12 Abb. u. 1 Karte. Nr. 258.    Schulhaus. Mit 33 Abbild. II: Die

Säugetiere. Das Tierreich I: Säuge-    Schulräume — Die Nebenanlagen,

tiere von Oberstudienrat Prof. Dr.    Mit 31 Abbild. Nr. 443 und 444.

Kurt Lampert, Vorsteher des Kgl. Schulpraxis. Methodik d. Volksschule Naturalienkabinetts in Stuttgart. von Dr. R. Seyfert, Seminardirek-Mit 15 Abbildungen. Nr. 282.    tor in Zschopau. Nr. 50.

Schattenkonstruktionen von Professor Schwedisch-deutsches Gesprächsbuch I. Vonderlinn in Münster. Mit 114 von Johannes Neuhaus, Dozent Figuren. Nr. 236.    der neunordischen Sprachen an der

Schiffs- und Küftenartillerie bis zur Universität Berlin. Nr. 555. Gegenwart, Die Entwicklung der, Schwedisches Lesebuch zur Einführung von Korvettenkapitän Hüning. Mit in die Kenntnis des heutig. Schwe-Abbild. und Tabellen. Nr. 606.    dens mit Wörterverzeichnis von Jo-

Schleswig-Holstein. Landeskunde von Hannes Neuhaus, Dozent der neu-Schleswig-Holstein, Helgoland u. nordischen Sprachen an der Umber freien und Hansestadt Ham- versität Berlin. Nr. 554. bürg von Dr. Paul Hambruch, Ab- Schweiß- und Schneidverfahren, Das teilungsvorsteher am Museum für    autogene, von Ingenieur Hans

Völkerkunde in Hamburg. Mit Abb. j Niese in Kiel. Mit30Fig. Nr. 499. Plänen, Profilen und 1 Karte in Schweiz. Schweizerische Geschichte Lithographie. Nr. 563.    von Dr. K. Dändliker, Professor an

Schleusenban. Kanal- u. Schleusen-    der Universität Zürich. Nr. 188.

bau von Regierungsbaumeister — Landeskunde der Schweiz von Otto Nappold in Stuttgart. Mit    Prof. Dr. H. Walser in Bern. Mit

78 Abbildungen. Nr. 585.    16 Abb. und 1 Karte. Nr. 398.

Schmalspurbahnen (Klein-, Arbeits- Schwimmanstalten. Offentl. Bade-u. Feldbahnen) v. Dipl.-Jng. Aug.    und Schwimmanstalten von Dr.

Boshart in Nürnberg. Mit 99 Ab-    Karl Wolfs, Stadt-Oberbaurat in

bildungen. Nr. 524.    Hannover. Mit 50 Fig. Nr. 380.

Schmarotzer und Schmarotzertum in Seemacht, Die, in der deutschen Ge-der Tierwelt. Erste Einführung in    schichte von Wirkl. Admiralitätsrat

die tierische Schmarotzerkunde von    Dr. Ernst von Halle, Professor au

Dr. Franz v. Wagner, a.o. Prof. a.    der Universität Berlin. Nr. 370.

d. Univ. Graz. Mit 67 Abb. Nr.15i. Seerecht, Das deutsche, von Dr. Otto Schreiner-Arbeiten Tischler-. (Schrei- j Brandts, Oberlandesgerichtsrat in ner-) Arbeiten I: Materialien,    Hamburg. I: Allgemeine Lehren:

Handwerkszeuge, Maschinen,Ein-    Personen und Sachen des See-

zelverbindungen, Fußböden, Fen- rechts. Nr. 386.

ster,Fensterladen,Treppen, Aborte--II: Die einzelnen seerechtlichen

von Prof. E. Biehweger, Architekt    Schuldverhältnisse: Verträge des

in Köln. Mit 628 Fig. auf 75 Ta-    Seerechts und außervertragliche

seht. Nr. 502.    Haftung. Nr. 387.

Seifenfabrikation, Die, die Seifen- Spinnerei. Textilindustrie I: Spin-analyse und d. Kerzensaürikation    nerei und Zwirnerei von Prof,

v. Dr. Karl Braun in Berlin. (Die    Max Gürtler, Geh. Regierungsrat

Fette u. Llell.) Mit 25 Abbildgn.    im Königl. Landesgewerbeamt zn

Nr. 336.    Berlin. Mit 39 Figuren. Nr. 184.

Semitische Sprachwissenschaft von Spitzenfabrikation. Textilindustrie Dr. C. Brockelmann, Professor an    II: Weberei, Wirkerei, Po säurender Univers. Königsberg. Nr. 291.    tiererei, Spitzen- und Gardinen

Silikate. Industrie der Silikate, der    sabrikat. u. Filzfabrikation von

künstlichen Bausteine und des    Prof. Max Gürtler, Geh. Regie-

Mörtels von Dr. Gustav Rauter in    rungsrat im Kgl. Landesgewerbe-

Charlottenburg. I: Glas u. kerami-    amt zu Berlin. Mit 29 Fig. Nr.185.

sche Industrie. M. 12 Taf. Nr. 233. Spruchdichtung. Walther von dev

--II: Die Industrie der künstlichen Vogelweide mit Auswahl aus

Bausteine und des Mörtels. Mit    Minnesang und Spruchdichtung.

12 Tafeln. Nr. 234.    Mit Anmerkgn. u. einem Wörter-

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Skandinavien, Landeskunde von,    versität Straßburg i. E. Nr. 358.

(Schweden, Norwegen u. Däne- Staatsrecht, Allgemeines, von Dr. mark) von Heinrich Kerp, Kreis-    Julius Hatschek, Prof. d. Rechte

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Literatur bis zur Wiedergeburt.    tät Bonn. 2 Teile. Nr. 298, 299.

Nr. 277.    Stammeskunde, Deutsche, von Dr.

--II: Das 19. Jahrh. Nr. 278. Rudolf Much, a. o. Prof. a. d. Univ.

Soziale Frage. Die Entwicklung der Wien. M. 2 Kart. u. 2 Taf. Nr. 126. sozialen Frage von Professor Dr. Statik von W. Hauber, Dipl.-Jng.

. Ferdin. Tönnies. Nr. 353.    I. Teil: Die Grundlehren der Sta-

Sozialversicherung von Prof. Dr. Al- tik starrer Körper. Mit 82 Fig. freb Manes in Berlin. Nr. 267. j Nr. 178.

Soziologie von Prof. Dr. Thomas--II. Teil: Angewandte Statik.

Achelis in Bremen. Nr. 101.    Mit 61 Figuren. Nr. 179.

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Rud. Beer, Wien. I. 11. Nr. 167, Stenographie n. d. System v. F. X,

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Die Redeschrift des Gabelsverger-schen Systems von Dr. Albert Schramm, Landesamtsassessor in Dresden. 9?r: 368.

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Stöchiometrische Aufgabensammlung--II: Die Stellung d. deutsch.Tele-

von Dr. Wilh. Bahrdt, Oberl. an    graphenwesens im öffentl. Rechte,

d. Oberrealschule in Groß-Lichter-    besonderer Teil. Das Telegraphenfelde. Mit den Resultaten. Nr. 452.    Strafrecht. Rechtsverhältnis d.

Straßenbahnen von Dipl.-Ing. Aug.    Telegraphie z. Publikum. Nr. 510.

Boshart in Nürnberg. Mit 72 Ab- Telegraphie, Die elektrische, v. Dr. bildungen. Nr. 559.    Lud. Rellstab. Mit 19 Fig. Nr. 172.

Strategie von Löffler, Major im Kgl. Testament. Dre Entstehung des Alten Sächs. Kriegsmin. i.Dresd. Nr.505.    Testaments v. Ine. Dr. W. Staerk,

Ströme und Spannungen in Stark- !    Zrörä« t>t mtnp« ,

ftromncticn ». Jos. Herzog. Dip,.. ~ J »    Lic Tr Gart

Elektroing. in Budapest u. Clarence fatmnn

Feldmann. Pros. d. Elektotechnit in xeMitt^duktde®i Suinnerej Steif 1. Mit 68 Abb. Nr. 456.    «bT mLI „

® 1töfecnctiiet STie deutschen Kolonien    sReg.-SRaHm Sgl. Landesge-

!,1 $a„⁸ Sndsecgeb.et und Sioii-    werbeamt, Berlin. Mit S9 Fi-

tschau v. Prof vr K Tove. M. 16 z    fluten. Nr. 184.

^•nf- u- I ®arte- dkr. 520. j — ii: Weberei, Wirkerei, Posamen-Talmud. Die Entstehung des Tal-    tiererei, Spitzen- und Gardinenmuds von Dr. S. Funk in Bosko- -    fabrikation und Filzfabrikation

wih. Nr. 479.    v. Prof. M. Gürtler, Geh. Regie-

Talmudproben von Dr. S. Funk in rungsrat i. Kgl. Landesgewerbe-Boskowitz. Nr. 583.    amt zu Berlin. M. 29 Fig. Nr. 185

Textilindustrie. III : Wäscherei, Tischler- (Schreiner-)Arbeiten I: Ma-Bleicherei, Färberei und ihre    terialien, Handwerkszeuge, Ma-

Hilfsstoffe von Dr. Wilh. Massvr,    schinen,Einzelverbindungen, Fuß-

Pros. a. d. Preuß. höheren Fach-    böden, Fenster, Fensterladen,Trep-

schule f. Textilindustr. in Krefeld.    pen, Aborte von Prof. E. Vieh-

Mit 28 Fig. Nr. 186.    meger, Architekt in Köln. Mit 628

Thermodynamik (Technische Wärme-    Figuren auf 75 Tafeln. Nr. 502.

lehre) v. K. Walther u. M. Röttin- Togo. Die deutschen Kolonien I: Togo ger, Dipl.-Jng. M. 54 Fig. Nr. 242. und Kamerun von Prof. Dr. Karl

enter

—    Die thermodynamischen Grund- Dove. Mit 16 Tafeln und

lagen der Wärmekrast-und Kälte- lithographischen Karte. Nr. 441. Maschinen v. M. Röttinger, Dipl.- Toxikologische Chemie von Privat-Jng. in Mannheim. Nr. 2.    dozent Dr. E. Mannheim in Bonn.

Thüringische Geschichte v. Dr. Ernst Mit 6 Abbildungen. Nr. 465.

Devrient in Leipzig. Nr. 352. Trigonometrie, Ebene und sphärische, Tierbiologie. Abriß der Biologie der    von Prof. Dr. Gerh. Hessenberg

Tiere v. Dr. Heinrich Simroth, i    in Breslau. Mit 70 Fig. Nr. 99.

Prof a. d. Univ. Leipzig. Nr. 131. Tropenhygiene v. Medizinalrat Prof. Tiere, Entwicklungsgeschichte der, von Dr. Nocht, Direktor des Instituts Dr. Johs. Meisenheimer, Prof, der    für Schiffs- und Tropenkrank-

Zoologie a. d. Universität Jena. heiten in Hamburg. Nr. 369.

I: Furchung, Primitivanlagen, Trust. Kartell und Trust von Dr. S. Larven, Formbildung, Embryonal- Tschierschky in Düsseldorf. Nr. 522. hüllen. Mit 48 Fig. Nr. 378. Turnkunst, Geschichte der, von Dr. Ru-

--II: Organbild. Mit 46 Fi- :    dolf Gasch, Prof. a. König-Georg-

guren. Nr. 379.    Gymnasium Dresden. Mit 17 Ad-

Tiergeographie v. Dr. Arnold Jacob!, | bildungen. Nr. 504.

Professor der Zoologie a. d. Kgl. Ungarn. Landeskunde von Ofterreich-Forstakademie zu Tharandt. Mit    Ungarn von Dr. Alfred Grund,

2 Karten. Nr. 218.    Prof, an der Universität Prag. Mit

Tierkunde von Dr. Franz v. Wagner, io Textillustr. u. 1 Karte. Nr. 244.

S,roJr‘s.?;r^‘ Uniüer!ltöt J*ra5‘    Ungarische Literatur, Geschichte der,

,8 Abbildungen. Nr..60.    oon Prof. Dr. Ludwig Katona und

Tlerrelch, Das, I: Saugetiere v. Ober-    Dr. Franz Szinnyei, beide an der

Mrdrenr Prof. Dr Kurt Lampert,    Universität Budapest. Nr. 550.

Borst. d. Kgl. Naturalienkabrnetts    ,***.;?.*»    * n,. cynt»?

in Stuttgart. M. 15 Abb. Nr. 282.    Sprachlehre v. Dr Joses

—    III: Reptilien und Amphibien von    U

Dr. Franz Werner, Prof. a.d. Univ.    ^^rfitat Budapest. Nr. .    .

Wien. Mit 48 Abb. Nr. 383. Unterrichtswesen. Geschichte d. deut-

—    IV: Fische von Prof. Dr. Max    MenNnterrrchtswesens von Prof

Raulher in Neapel. Nr. 356.    Zr Friedrich Seiler, Direktor des

—    V: Insekten von Dr. I. Groß in    Kgl. Gymnasiums zu Luckan.

Neapel (Stazione Zoologica). Mit    -- Teü: Bon Anfang an bis zum

56 Abbildungen. Nr. 594.    Ende d. 18. Jahrh. M. 275.    ^

—    VI: Die wirbellosen Tiere von Dr.    o*

Ludw. Böhmig, Prof. d. Zool. a.d.    y* Jahrhunderts bi» auf die

Univ. Graz. I: Urtiere, Schwämme, Gegenwart. Nr. 276.

Nesseltiere, Rippenquallen und Untersuchungsmethoden, Agrikultur-Würmer. Mit 74 Fig. Nr. 439.    chemische, von Prof. Dr. Emil

---II: Krebse, Spinnentiere, Tau- Haselhoff, Vorsteher der landwirt-

sendfüßer, Weichtiere, Moostier-    schaftlichen Versuchsstation in Märchen, Armfüßer, Stachelhäuter und    bürg in Hessen. Nr. 470.

Manteltiere. M. 97 Fig. Nr. 440. Urgeschichte der Menschheit von Dr. Tierzuchtlehre, Allgemeine und spe-    Moritz Hoernes, Professor an der

zielte, von Dr. Paul Rippert in    Universität Wien. Mit 53 Abbild.

Essen. Nr. 228.    Nr. 42.

Urheberrecht, Das, an Werken der Versicherungswesen, Das, von Dr. iur. Literatur und der Tonkunst, das Paul Moldenhauer, Professor der Verlagsrecht und das Urheberrecht Bersicherungswissenschaft an der an Werken d. bildenden Künste u. Handelshochschule Köln. I: Allge-Photographie v. Staatsanw. Dr. I. meine Bersicherungslehre. Nr. 262. Schlittgen in Chemnitz. Nr. 361. Völkerkunde v. Dr. Michael Haber-— Das deutsche, an literarischen, künst-    landt, k. u. k. Kustos d.    ethnogr.

lerischen u. gewerbl. Schöpfungen,    Sammlung d naturhift.    Hofmu-

mit besonderer Berücksichtigung der    seums u. Privatdozent a.    d. Univ.

internationalen Verträge von Dr.    Wien. Mit 56 Abbild.    Nr. 73.

Gustav Rauter, Patentanwalt in Völkernamen. Länder- u. Völker-Charlottenburg. Nr. 263.    namen von Dr. Rudolf Kleinpaul

Urzeit. Kultur der Urzeit von Dr. ^^ipzig. Nr. 478

Moritz Hoernes, o. ö. Prof, an der Volksbrbliotheken (Bücher- u. Lese-Univ. Wien. 3 Bändch. I: Stein-    hallen), chre Einrichtung    u. Ver-

zeit. Mit 40 Bildergrupp. Nr. 564.    waltung v. Emil Jaeschke, Stadt-

--II: Bronzezeit. Mit 36 Bilder-    bibliothekar in Elberfeld. Nr. 332.

gruppen. Nr. 565.    Volkslied, Das deutsche, ausgemahlt

--III: Eisenzeit. Mit 35 Bilder-    und erläutert von Prof. Dr. Jul.

gruppen. Nr. 566.    Sahr. 2 Bändchen. Nr. 25, 132.

Vektoralanalysis v. Dr. Siegfr. Balen-    ,bbn Dr ®arI

tiner, Prof, an der Bergakademie n°¥"m ^qQ ^er in Clausthal. Mit ll Figuren. „ Unwersitat Tübingen Nr 133 Nr. 354.    Bolkswirtschaftspolrtrk v. Präsident

Veranschlagen, Das, im Hochbau. **r. ban ber dorght, Berlin.

®nrbgeftoiftena^4[aflf’v^Ärchttek't Wahrscheinlichkeitsrechnung von Dr. Emil »eutinger, Assistent an der    Profe sor am Eberhard-

Technischen Hochschule in Darm-    SJ" ®*rt 0.nS

stobt. Mit vielen Fig. Nr. 385.    f}¹*    Text. Nr. 508.

Bereinigte Staaten. Landeskunde der ^afV Vereinigten Staaten von Nord-

amerika von Professor Heinrich L^assau und' des Fürstentum^ Fischer, Oberlehrer am Luisenstädt.    m°r$n?.i i?C9n?

Realgymnasium in Berlin. I. Teil:    /    U B

Mit 22 Karten und Figuren im    iS^p'rsJÜJ&p hpr

Text und 14 Tafeln. Nr. 381. E»-l«-rMed. DaS. rm Vermäße der

--II. Teil: Mit 3 Karten im Text,    & ft

¹ isX^v Ultit* f ar« *rf²a Realgymnas. in Weimar. Nr. 46. Eergrl. Dre^Gedichte des P. Vergrlms Walther von der Vogelweide, mit Maro, ^n Auswahl mit einer ©m-    Auswahl a. Minnesang u. Spruchleitung u. Anmerkungen herausgeg.    dichtung. Mit Anmerkgn. u. einem

von Dr. Julius Ziehen. I: Ern-    Wörterbuch v. Otto Güntter, Prof,

leitung und Aeneis. Nr. 497.    a ^ Oberrealschule und an der

Vermessungskunde von Dipl.-Jng.    Techn. Hochsch. in Stuttgart. Nr.23.

P. Werkmeister, Oberlehrer an der Walzwerke. Die, Einrichtung und Be-Kais. Techn. Schule in Straßburg    trieb. Von Dipl.-Jng. A. Holver-

i: E. I: Feldmessen und Nivel- |    scheid, Oberlehrer a. d. Kgl. Matteren. Mit 146 Abb. Nr. 468. ,    schinenbau- u. Hüttenschule in Duis-

--II: Der Theodolit. Trigono- i bürg. Mit 151 Abbild. Nr. 580.

metrische u. barometr. Höhenmes- Warenkunde von Dr. Karl Hassack, sung. Tachymetrie. Mit 109 Ab- ;    Prof. u. Leiter der k. k. Handelsbildungen. Nr. 469.    !    akademie in Graz. I. Teil: Unorga-

Bersicherungsmathematik von Dr.    nische Waren. M. 40 Abb. Nr. 222.

Alfred Loewy, Professor an der j--II. Teil: Organische Waren.

Universität Freiburg i. B. Nr. 180. Mit 36 Abbildungen. Nr. 223.

rie III: Wä-

Königl. Landesgewerbeamt zu Berlin. Mit 29 Figuren. Nr. 185.

Warenzeichenrecht, Das. Nach dem Gesetz z. Schutz d. Warenbezeichnungen v. 12. Mai 1894. Bon Reg.-Rat I. Neuberg, Mitglied des Kais. Patentamts zu Berlin. Nr. 360.

Wärme. Theoretische Physik II. T.: Licht u. Wärme. Bon Dr. Gustav Jäger, Prof. a. d. Techn. Hochschule Wien. Mit 47 Abbildgn. Nr. 77.

Wärmekraftmaschinen. Die thermodynamischen Grundlagen der Wärmekrast- u. Kältemaschinen von M. Röttinger, Diplom-Jng. in Mannheim. M. 73 Fig. Nr. 2.

Wärmelehre, Technische, (Thermodynamik) v. K. Walther u. M. Röttinger, Dipl.-Jng. Mit 54 Figuren. Nr. 242.

Wäscherei. Textilindust

scherei, Bleicherei, Färberei und ihre Hilfsstoffe von Dr. Will,. Massot, Prof, an der Preuß. höh. Fachschule für Textilindustrie in Krefeld. Mit 28 Figuren. Nr. 186.

Wasser, Das, und seine Verwendung in Industrie und Gewerbe v. Dr. Ernst Leher, Dipl.-Jng. in Saalfeld. Mit 15 Abbildungen. Nr. 261.

Wasser und Abwässer. Ihre Zusammensetzung, Beurteilung u. Untersuchung v. Prof. Dr. Emil Haselhoff, Borst. d. landwirtsch. Versuchsstation in Marburg in Hessen. Nr. 473.

Wasserinstallationen. Gas- und Wasserinstallationen mit Einschluß der Abortanlagen v. Prof. Dr. phil. u. Dr.-Jng. Eduard Schmitt in Darmstadt. Mit 119 Abbild. Nr. 412.

Wasserturbinen, Die, von Dipl.-Jng. P. Holl in Berlin. I: Allgemeines. Die Freistrahlturbinen. Mit 113 Abbildungen. Nr. 541.

— —II: Die Überdruckturbinen. Die Wasserkraftanlagen. Mit 102 Abbildungen. Nr. 542.

Wasserversorgung der Ortschaften v. Dr.-Jng. Robert Weyrauch, Prof, an der Kgl. Technischen Hochschule Stuttgart. Mit 85 Fig. Nr. 5.

Weberei. Textilindustrien: Weberei, Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- u. Gardinenfabrikation und Filzfabrikation von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat im

Wechselstromerzeuger von Ing. Karl Pichelmayer, Prof, an der k. k. Technischen Hochschule in Wien. Mit 40 Figuren. Nr. 547.

Wechselwesen, Das, v. Rechtsanw. Dr. Rudolf Mothes in Leipzig. Nr. 103.

Wehrverfassung, Deutsche, von Geh. Kriegsrat Karl Endres, vortr. Rat i. Kriegs minist, i. München. Nr. 401.

Werkzeugmaschinen für Holzbearbeitung, Die, von Ing. Professor Hermann Wilda in Bremen. Mit 125 Abbildungen. Nr. 582.

Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung, Die, von Ing. Prof. Hermann Wilda in Bremen. I: Die Mechanismen der Werkzeugmaschinen. Die Drehbänke. Die Fräsmaschinen. Mit319Abb. Nr. 561.

— — II: Die Bohr- und Schleifmaschinen. Die Hobel-, Shaping-U. Stoßmaschinen. Die Sägen u. Scheren. Antrieb u. Kraftbedarf. Mit 199 Abbild. Nr. 562.

Westpreußen. Landeskunde der Provinz Westpreußen von Fritz Braun, Oberlehrer am Kgl. Gymnasium in Graudenz. Mit 16 Tafeln, 7 Textkarten u. 1 lith. Karte. Nr. 570.

Wettbewerb, Der unlautere, von Rechtsanwalt Dr. Martin Wassermann in Hamburg. I: Generalklausel, Reklameauswüchse, Ausverkaufswes., Angestelltenbestechung. Nr. 339.

--II: Kreditschädigung, Firmeu-

u. Namenmißbrauch, Verrat v. Geheimnissen,Ausländerschutz. Nr.'535.

Wirbellose Tiere. Das Tierreich VI: Die wirbellosen Tiere von Dr. Ludwig Böhmig, Prof. d. Zoologie an der Univ. Graz. I: Urtiere, Schwämme, Nesseltiere, Rippenquallen u. Würmer. Mit 74 Fig. Nr. 439.

--II: Krebse, Spinnentiere, Tausendfüßer, Weichtiere- Moostierchen, Armfüßer, Stachelhäuter u> Manteltiere. Mit 97 Fig. Nr. 440.

Wirkerei. Textilindustrie II: Weberei, Wirkerei, Posamentiererei, Spitzen- u. Gardinenfabrikation und Filzfabrikation von Prof. Max Gürtler, Geh. Regierungsrat im Königl. Landesgewerbeamt zn Berlin. Mit 29 Figuren. Nr. 185.

Wirtschaftlichen Verbände, Die, v. Dr. Zeitungswesen, Das deutsche, von Leo Müffelmannin Rostock. Nr.586.    Dr. R. Brunhuber, Köln a. Rh.

Wirtschaftspflege. Kommunale Wirt- Nr. 400.

lehre) von Dr. Robert Brun Huber in Köln a. Rh. Nr. 320.

Zeitungswesen, Allgemeine Geschichte des, von Dr. Ludwig Salomon in Jena. Nr. 351.

Zellenlehre und Anatomie der Pflanzen von Prof. Dr. H. Mi ehe in Leipzig. Mit 79 Abbild. Nr. 556.

Zentral-Perspektive von Architekt Hans Freyberger, neu bearbeitet von Professor I. Bonderlinn, Direktor der Königl. Baugewerkschule in Münster i. Wests. Mit 132 Fig. Nr. 57.

Zimmerarbeiten von Carl Opitz, Oberlehrer an der Kais. Techn. Schule in Straßburg i. E. I: Allgemeines, Balkenlagen, Zwischendecken und Deckenbildungen, hölz. Fußböden, Fachwerkswände, Hänge- und Sprengwerke. Mit 169 Abbildungen. Nr. 489.

--II: Dächer, Wandbekleidungen,

Simsschalungen, Block-, Bohlen-und Bretterwände, Zäune, Türen, Tore, Tribünen und Baugerüste. Mit 167 Abbildungen. Nr. 49».

Zivilprozeßrecht, Deutsches, von Prof. Dr. Wilhelm Kisch in Straßburg i. E. 3 Bände. Nr. 428—430.

Zoologie, Geschichte der, von Prof. Dr. Rud. Burckhardt. Nr. 357.

schaftspflege von Dr. Alfons Rieß, — Das moderne, (Syst. d. Zeitungs-Magistratsass. in Berlin. Nr. 534.

Wohnungsfrage, Die, v. Dr. L. Pohle,

Prof, der Staatswissenschaften zu Frankfurt a. M. I: Das Wohnungswesen i. b. mod. Stadt. Nr. 495.

—    — II: Die städtische Wohnungsund Bodenpolitik. Nr. 496.

Wolfram von Eschenbach. Hartmann v. Aue, Wolfram v. Eschenbach und Gottfried von Straßburg.

Auswahl aus dem höf. Epos mit Anmerkungen und Wörterbuch von Dr. K. Marold, Prof, am Königl.

Friedrichskollegium zu Königsberg i. Pr. Nr. 22.

Wörterbuch nach der neuen deutschen Rechtschreibung von Dr. Heinrich Klenz. Nr. 200.

—    Deutsches, von Dn Richard Loewe in Berlin. Nr. 64.

—    Technisches, enthaltend die wichtigsten Ausdrücke des Maschinenbaues,

Schiffbaues und der Elektrotechnik von Erich Krebs in Berlin. I. Teil:

Deutsch-Englisch. Nr. 395.

•--II. Teil: Engl.-Dtsch. Nr. 396.

—    — III. Teil: Dtsch.-Franz. Nr. 453.

--IV. Teil: Franz.-Dtsch. Nr. 454.

Württemberg. Württembergische Geschichte v. Dr. Karl Weller, Prof, a. Karlsgymn. t. Stuttgart. Nr. 462.

—    Landeskunde des Königreichs Württemberg von Dr. K. Hassert,

Zündwaren von Direktor Dr. Alfons Bujard, Vorstand des Städtischen Chem. Laboratoriums Stuttgart. Nr. 109.

Zwangsversteigerung, Die, und die Zwangsverwaltung von Dr. F. Kretzschmar, Oberlandesgerichtsrat in Dresden. Nr. 523.

Zwirnerei. Textilindustrie I: Spinnerei und Zwirnerei von Prof. Mar Gürtler, Geh. Negierungsrat int Königl. Landesgewerbeamt zu Berlin. Mit 39 Figurerl. Nr. 184.

Professor der Geographie an der Handelshochschule in Köln. Mit 16 Vollbildern u. 1 Karte. Nr. 157.

Zeichenschule von Prof. K. Kimmich in Ulm. Mit 18 Tafeln in Ton-,

Farben- und Golddruck und 200 Voll- und Textbildern. Nr. 39.

Zeichnen, Geometrisches, von H.

Becker, Architekt und Lehrer an der Baugewerkschule in Magdeburg, neu bearbeitet von Prof. I. Von-derlinn, Direktor der königl. Baugewerkschule zu Münster. Mit 290 Fig. u. 23 Taf. im Text. Nr. 58.

------- Weitere Bände sind in Vorbereitung. ------

Soeben erschien:

Der deutsche Student

Von

Prof. Dr. Theobald Ziegler

Eiste und zwölfte Auflage Gebunden M. 3.50

'TNicfe ..Studentenpredigten", wie sie Paulsen genannt hat, haben sich unter 'U der studierenden Jugend diele Freunde erworben. Und so war es nicht zu verwundern, daß das Buch seit seinem Erscheinen fast alljährlich eine neue Auflage erlebte. Herausgewachsen war es aus der fin-de-siecle-Stimmtma vor der Jahrhundertwende, die besonders in studentischen Kreisen die Herzen höher schlagen und das Blut rascher kreisen ließ, eben deswegen aber auch nach besonnener Führung sich sehnte. Eine solche fanden sie hier. Den Auflagen im neuen Jahrhundert fügte der Verfasser eine Nachtragsvorlesung hinzu zur Überleitung in ruhigere Bahnen und zur Ergänzung durch manches inzwischen Neugewordene. Im Winter 1905/OG aber hat er in Straßburg die Vorlesung über den deutschen (5 tub entert noch einmal gehalten und hier vor allem die Vorgänge jener bewegten Zeit, des sogenannten „Hochschul-ftreites" und des Kampfes gegen die konfessionellen Korporationen freimütig und kritisch besprochen. Der neuen Auslage ist die Vorlesung in dieser späteren Fassung, wenigstens in der ersten größeren Hälfte, zugrunde gelegt worden. Die krn-cke-siöele-Stimmung ist verschwunden, dafür sind die Probleme, die das Studentenleben im ersten Jahrzehnt des 20sten Jahrhunderts bewegt haben und bewegen, in den Vordergrund gerückt und so das Buch durchaus modernisiert und wieder ganz aktuell geworden. Dabei hat es eine nicht unbeträchtliche Erweiterung erfahren. Und doch ist der Geist des Buches der alte geblieben, es ist der Geist der Freiheit, die als akademische Studenten imb Professoren gleichmäßig am Herzen liegt, und der Geist eines kräftigen sittlichen Idealismus, der sich nicht fürchtet, Jünglinge zu wagen, damit Männer aus ihnen werden. Und auch der alte gute Freund des deutschen Studenten ist der Verfasser geblieben, der ihn versteht, weil er ihn liebt. Das zeigt gleich von vornherein die Widmung des Buches an die Straßburger Studentenschaft. So ist es beim Abgang Zieglers von Siraßburg zu einem Vermächtnis an seine jungen Freunde auf allen deutschen Hochschulen geworden, und soll nun auch in der neuen Gestalt wieder vielen eine Hilfe werden und ein Halt.

Soeben erschien:

Das Gefühl

Eine psychologische Untersuchung

Von

Pros. Dr. Theobald Ziegler

Fünfte, durchgesehene und verbesserte Auflage Broschiert M. 4.20, gebunden M. 5.20

Hsls dieses Buch vor 19 Jahren zum ersten Male erschien, da wirkte die ^ Theorie des Verfassers von der Priorität des Gefühls und von dem Einfluß desselben auf alle Gebiete des geistigen Lebens, vor allem auch auf Bewußtsein und Apperzeption, trotz des Vorgangs von Horwicz wie ein ganz Neues, das als gegen den Strom der vorwiegend intellektualistischen oder auch schon voluntaristischen Auffassung der Psychologie schwimmend wenig Gläubige fand. Allein es hat sich trotz dieser anfänglichen Ablehnung durchgesetzt und gehört heute zu den meist gelesenen Schriften über Psychologie; die Anschauung, die es vertritt, steht längst nicht mehr vereinzelt da. Zu diesem Sich-Durchsetzen hat auch der Stil und die ganze Haltung des Buches beigetragen, die gleichweit entfernt sind von unwissenschaftlicher Popularität wie von trockener pedantischer Gelehrsamkeit. Auch die ästhetischen und religionsphilosophischen ethischen Abschnitte haben ihm viele Freunde erworben. Die neue, fünfte Auflage, die schon nach vier Jahren wieder notwendig geworden ist, hält an dem vom Verfasser als richtig Erkannten durchaus fest, sie zieht sogar die Linien da und dort noch schärfer und bestimmter; insbesondere sind die Kapitel über das körperliche Gefühl und über tie Gefühlsäußerungen in diesem Sinne und unter Berücksichtigung der neueren Forschung und ihrer Ergebnisse umgearbeitet und erweitert worden, überhaupt trägt die neue Auflage nach, was seit dem Erscheinen der vierten Auflage zur Lehre vom Gefühl wertvolles Neues zutage gefördert worden ist, und setzt sich dabei gelegentlich auch polemisch mit allerlei Angriffen und entgegenstehenden Anschauungen auseinander. So ist das Buch durchaus auf den neuesten Stand der psychologischen Forschung gebracht und ergänzt, und doch ist in seinen Grundanschauungen und in seiner Anlage nach wie vor das «Ite geblieben.

Soeben erschien:

Grundriß einer Philosophie des Schaffens

als Kulturphilosophie

Einführung in die Philosophie als Weltanschauungslehre Von

Dr. Otto Braun

Privatdozent, der Philosophie in Münster i. W.

Broschiert M. 4.50, gebunden M. 5.—

'Tyt Verfasser findet das Wesen der Philosophie darin, daß sie Gesamt-^ Wissenschaft, d. h. Weltanschauungslehre ist: sie erhebt sich auf dem Fundament aller übrigen Wissenschaften und sucht (induktiv) zu einem Weltbilde vorzudringen, dessen „Wahrheit" durch seine personale Einheitlichkeit bedingt ist. Nachdem der Verfasser sich eine erkenntnistheoretische Basis geschaffen — es wird ein Real-Idealismus vertreten —, sucht er an ein Grunderlebnis anzuknüpfen, das er durch den Begriff „Schaffen" bezeichnet. Dieses Schaffen führt zur Entwicklung einer Kulturphilosophie — die Formen und Stoffe des Schaffens werden untersucht und dann die Hauptgebiete des Kulturlebens in den Grundzügen dargestellt: Wissenschaft, Kunst, Religion, soziales Leben, Staat, Recht, Sitte, Ethik finden ihre Würdigung. So wird der Versuch gemacht, aus dem Wesen des modernen Geistes heraus eine systematische Weltanschauung zu gewinnen, wobei der kulturimmanente Standpunkt ausschlaggebend ist, wenn auch eine kosmisch-metaphysische Vertiefung sich als notwendig zeigt, der Begriff des Schaffens wird durch einen geschichtsphilosophischen Überblick über das 19. Jahrhundert als notwendig und berechtigt erwiesen.

I. F. Herbart

Grundzüge seiner Lehre

Von

Friedrich Franke

Broschiert M. 1.50, gebunden M. 2.—

^7>iese Darstellung sucht in Herbarts System möglichst direkt einzuführen, ^ ohne von den späteren Fortbildungen auszugehen, läßt immer nach Herbarts eigenen Weisungen die prinzipiellen Teile zuerst einzeln entstehen und danach in den Zusammenhang treten, den die Betrachtung unserer praktischen Anliegen verlangt. Dabei ist dann auch vielfach Gelegenheit, auf die empirische Detailforschung und ihre philosophische Bearbeitung, auf die Kunstbewegung, die sozialen und politischen Aufgaben und anderes, was die Gegenwart bewegt, Blicke zu werfen.

Friedrich Nietzsche

Eine intellektuale Biographie

Von

Dr. S. Friedlaender

Broschiert M. 2.80

ITm einen Denker, wie Nietzsche, voll und ganz zu verstehen, ist vor allem ^ die Erkenntnis des Werdegangs seiner Ideen notwendig. Bei dieser schwierigen Arbeit ist das Buch von Friedlaender ein zuverlässiger Führer und Wegweiser. Denn der. Untertitel „Intellektuale Biographie" bedeutet eben nichts anderes als eine Darstellung der philosophischen Entwicklung Friedrich Nietzsches. Von dem richtigen Grundsatz ausgehend, daß der späteste Nietzsche nur aus dem frühesten verstanden werden kann, behandelt der Verfasser nach einer orientierenden Einleitung zuerst dessen geniales Erstlingswerk: „Die Geburt der Tragödie aus dem Geiste der Musik", um dann darauf die späteren Schriften und deren Grundgehalt einzeln zu erläutern und den Fortschritt, der darin enthalten, festzustellen.

Die Reichsversicherungsordnung

Handausgabe mit gemeinverständlichen Erläuterungen in vier Bänden

Dr. Mentzel

von

Dr. Manes

Professor    Regierungsrat

Dozent der Handelshochschule Berlin Mitglied des Reichsversicheruugsamts

Dr. Schulz

Regierungsrat

Mitglied des Reichsversicherungsamts Band 1: Die für alle Bersicherungszweige geltenden Bestimmungen der Reichsversicherungsordnung nebst Einleitung und Einführungsgesetz. Band 2:    Die    Krankenversicherung.

Band ß:    Die    Unfallversicherung.

Band 4:    Die    Invaliden- und Hinterbliebenenversicherung.

In    vier Leinenbände    gebunden    M.    20.—

Jeder Band ist auch einzeln zu haben. Preis für Band 1 gebunden M. 7.—; Band 2 geb. M. 4.80; Band 3 geb. M. 6.—;    Band 4 geb. M. 4.20.

Kommentar zum

Versicherungsgesetz für Angestellte

Handausgabe mit ausführlichen Erläuterungen

von

Dr. Alfred Manes und Dr. Paul Königsberger

Professor    Landrichter

In Leinwand gebunden M. 12.—

Praktikum des Zivilprozetzrechtes

von

Dr. Wilhelm Kisch

Professor an der Universität Straßburg i. E.

In Leinwand gebunden M. 4.80

Einführung in das

Deutsche Kolonialrecht

Von

Professor H. Edler von Hosfmcmn

Studiendirektor der Akademie für kommunale Verwaltung in Düsseldorf

In Leinwand gebunden M. 6.—

Das Buch will ein rechtswissenschaftliches sein, kolonialpolitische Erörterungen treten deshalb völlig zurück, jedoch ist, wo dies notwendig ist, stets auf die kolonialpolitischen Gesichtspunkte verwiesen worden, durch die die Gesetzgebung bestimmt wird.

Qsnet)r und mehr wendet sich die wissenschaftliche Arbeit dem Kolonial-rechte zu, das sich auch als Gegenstand des wissenschaftlichen Unterrichtes eingebürgert hat. Es fehlte aber bisher an einem auf den Resultaten der neueren Forschung beruhenden Lehrbuche des Deutschen Kolonialrechts. Das vorliegende Werk versucht es, diese Lücke auszufüllen. Es will aber nicht nur der Ergänzung des akademischen Unterrichts dienen, es will auch dem Kolonialpraktiker ein Wegweiser durch die Unzahl von kolonialen Rechtsnormen sein. Die ganze Anlage des Werkes ist dadurch bedingt, daß es sich um eine „Einführung" handelt, d. h. nicht um eine Zusammenstellung all und jeder kolonialrechtlichen Normen, sondern um eine dogmatische Behandlung des wichtigsten Stoffes. Dem Lehrzwecke entsprechend, ist zur besseren Be- . leuchtung und Hervorhebung der deutschen Rechtsnormen das fremde Kolomalrecht- insbesondere das englische, zum Vergleiche herangezogen worden.

Rohberg'sche Buchdruckern, Leipzig

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