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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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SAMMLUNG GÖSCHEN BAND 1131

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SAMMLUNG GÖSCHEN BAND 1131

EINFÜHRUNG

II. Teilbarkeitseigenschafteil.

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pe | x2— 1= (x— 1) (x + 1).

79 braucht als Zahl der Form 8n-\- 1 wirklich vier

12 18

a,

(45 m) = R(- 1) ß(2) R(- 4) • B(l) R(- 2) Ä(4) der

m = 901 = 302 + l2 = 262 + 152.

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EINFÜHRUNG

IN DIE ZAHLENTHEORIE

Von

Dr. Arnold Scholz

Dozent der Mathematik an der tTniversität Kiel

Walter de

Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

Berlin 1939

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der V e r 1 a g s h a n d 1 u n g Vorbehalten

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Archi v-Nr. 111131

Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35 Printed in Germany

Akc. Nr.

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Inhalt.

Seite

I. Die Arithmetik der natürlichen Zahlen.

§ 1. Einleitung.......................

§ 2. Die natürliche Zahlenreihe................

§ 3. Addition und Multiplikation...............

§ 4. Teilbarkeit. Die unendliche Folge der Primzahlen. Zermelos

Beweis der eindeutigen Zerlegung in Primfaktoren.....

§ 5. Division mit Rest ...................

11. Teilbarkeitseigenschaften.

§ 14. Ein Satz von Thue. Wilsonscher Satz. . .

§ 15. Simultane Kongruenzen.........

§16. Algebraische Kongruenzen. Lösungsanzahl .

§ 17. Der Fermatsche Satz..........

§ 18. Primitivwurzeln. Restklassengruppe ....

§ 19. Potenzreste...............

§ 20. Quadratsummendarstellung........

IV.    Quadratische Reste.

§ 21. Zurückführung der quadratischen Kongruenz § 22. Eulersches Kriterium. Legendre-Symbol . .

jj 23. Das Gaußsche Lemma. Erweitertes Legendre-Symbol ....    74

§24. Die zweite Hauptfrage.................

§ 25. Das quadratische Reziprozitätsgesetz. Quadratischer Restalgorithmus .......................

§ 26. Der dritte Gaußsche Beweis...............

§ 27. Anwendungen. Biquadratische und kubische Reste ....    82

V. Quadratische Formen.

§ 28. Darstellbarkeit. Diskriminante.............

§ 29. Äquivalenz der Formen................

§ 30. Reduktion der definiten Formen. Komposition. Geschlechter 94 § 31. Reduktion der indefiniten Formen § 32. Automorphe Substitutionen. Die Pellsche Gleichung .... 107

12

15

22

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36

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. .    45

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79

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87

89

100

Inhalt. — Weitere ausgewählte Literatur.

Seite

VI. Algorithmisches Rechnen.

§ 33. Allgemeines. Prüfung rationaler Rechnungen § 34. Lösung simultaner Auswahlkongruenzen. .

§ 35. Primzahl tafeln. Meißelsche Zählung . . .

§ 36. Primprüfung und -Zerlegung durch Quadratsummen .... 123 § 37. Index- und Restcharaktertafeln § 38. Auflösung der reinen Kongruenz § 39. Andere algebraische Kongruenzen

113

116

119

131

133

135

Sach- und Namenverzeichnis

/14—20

§-Abhängigkeit in III: 12—13^-15—16\

18—19

\l7---------------^

Der Fermat-Satz läßt sich also bald nach Einführung der Kongruenzen entwickeln, ist aber auch für § 20 noch entbehrlich.

Weitere ausgewählte Literatur.

Dickson-Bodewig: Einführung in die Zahlentheorie. Leipzig 1931.

Dirichlet-Dedekind: Vorlesungen über Zahlentheorie. 3. Aufl. 1879; 4. Aufl. 1894. (Braunschweig.) s. auch Dedekind, Ges. Werke.

Hecke: Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen. Vgl. auch die Zeittafel am Ende des Buches. Leipzig 1923.

Hilbert: Bericht über die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresber. d. Dtsch. Math. Vgg. 4 (1894). s. auch Hilbert, Ges. Werke.

Kraitchik: Théorie des nombres I. Paris 1922, II 1926. Récherches sur la . ..; 1924. (Öfters als Quelle verwandt.)

Im folgenden bringt der kleiner gedruckte Text Seitenbemerkungen und weitere Ausführungen; wer zum erstenmal Zahlentheorie treibt, mag ihn übergehen.

I. Die Arithmetik der natürlichen Zahlen.

§ 1. Einleitung.

Gegenstand der Zahlentheorie sind in erster Linie die natürlichen Zahlen 0,1, 2, 3, 4 ..zu einander in Beziehung gesetzt durch die beiden rationalen Hauptverknüpfungsarten, die Addition und die Multiplikation. Gerade die beschränkte Umkehrbarkeit dieser Operationen (Ausführbarkeit der Subtraktion und Division) im Bereich der natürlichen Zahlen liefert der Zahlentheorie ihr Arbeitsfeld. Insbesondere gilt dies für die Multiplikation, da die Frage, ob eine gegebene Zahl c durch eine gegebene Zahl a teilbar ist, d. h. ob es zu den Zahlen a und c eine Zahl x gibt, die die Gleichung a- x = c löst, nicht wie die entsprechende Frage der Addition schon durch die natürliche Anordnung der Zahlen entschieden ist. Die Frage der Teilbarkeit steht daher naturgemäß im Vordergrund der Zahlentheorie, und zwar sind in der klassischen Theorie alle Fragen mehr oder weniger vom Teilbarkeitsbegriff abhängig geworden, und man hat sich daran gewöhnt, bald mit dem „Ring“ aller ganzen rationalen Zahlen (einschließlich der negativen) zu rechnen, in dem die Subtraktion stets eindeutig ausführbar bleibt. (Während die Algebra im Gegensatz zur Zahlentheorie gleich vom Körper aller rationalen Zahlen ausgeht, in dem auch die Division durch Zahlen verschieden von Null unbeschränkt eindeutig ausführbar ist.)

Wenn nun auch die Heranziehung der negativen ganzen Zahlen bei einem verhältnismäßig elementaren Zweig der Zahlentheorie wie der Darstellungstheorie der quadratischen Formen unentbehrlich ist und in der höheren Zahlentheorie (bei Bereichserweiterung vornehmlich durch algebraische Irrationalitäten) der Ringbegriff überhaupt grundlegend ist, so muß man auf der andern Seite beachten, daß fast alle elementar zahlentheoretischen Beweise aus geschickt vereinigter Verwendung vorhandener Anordnungen und Teilbarkeiten hervorgehn (Algorithmus) und auch in der höheren Zahlentheorie Normierungen durch natürliche Zahlen vorgenommen werden. Hinzukommt, daß in der neuesten Forschung die anzahlmäßig arbeitende „additive Zahlentheorie“ stärker hervortritt, in der die Anordnung die Teilbarkeit verdrängt. Wir werden darum vorwiegend im natürlichen Zahlbereich arbeiten.

Wenn wir so bei der Untersuchung von Eigenschaften der natürlichen Zahlen zuerst mit der Arithmetik Zusammengehen, so verfolgen wir doch nicht ihre Grundlegung, sondern nehmen insbesondere die Existenz der natürlichen Zahlenreihe als geordnete Menge mit den nachher geforderten kennzeichnenden Eigenschaften hin.

§ 2. Die natürliche Zahlenreihe.

Die natürliche Zahl läßt folgende konkrete, ursprüngliche Deutungen zu, an die wir uns gern halten: einmal als Anzahl einer endlichen Menge von Dingen (0 als Anzahl der „leeren Menge“), ferner als Ordnungszahlen der beim Abzählen der Menge entstehenden Ordnung der Dinge; wobei alle unterhalb ihrer Anzahl liegenden Zahlen als Ordnungszahlen verwandt werden, wenn man mit 0 zu zählen beginnt. Beide Deutungen aufnehmend brauchen wir folgende grundlegenden Sätze:

Satz 1 (vom kleinsten Element): Jede nicht leere Menge natürlicher Zahlen hat ein kleinstes Element.

Satz 2 (vom vollständigen Indnktionsschlnß). Erste Form: Folgt die Richtigkeit einer Behauptung für jede Zahl n unter der Voraussetzung, daß sie für alle n vorangehenden Zahlen richtig sei, so ist die Behauptung für alle natürlichen Zahlen richtig.

Zweite Form: Ist eine Behauptung für die Zahl 0 richtig, und folgt für jede weitere Zahl n ihre Richtigkeit aus der für die n vorangehende Zahl, soistdieBe-hauptung für alle n richtig.

Während diese Form des Induktionsschlusses den besonderen Nachweis für die Zahl 0 erfordert, ist dies bei der ersten Form als unmittelbarer Anwendung von Satz 1 nicht nötig, wenn der Beweis nicht ausdrücklich von der Existenz etwa k vorangehender Zahlen abhängig ist; dann müßte er für alle kleineren Zahlen als k besonders bewiesen werden. Es kann auch sein, daß der Induktionsschluß zwar nicht auf die Existenz vorangehender Werte, für die er richtig sei, zurückgreift, aber nur für n^m gilt; dann kann man wenigstens behaupten, daß auch der S a t z für n ^ m richtig ist.

Satz 3 (von der Definition durch vollständige Induktion) : Wird j eder Zahl n ein Ding A(n) zugeordnet auf Grund einer für alle m<n bereits vorliegenden Zuordnung A(m), so gibt es genau eine Funktion F, die F(n) = A(n) für alle n erfüllt. (Anwendung in § 11 !)

Versteht man unter dem Abschnitt von n die Menge aller Zahlen unterhalb n, so gilt

Satz 4 (Anzahlsatz): Verschiedene Abschnitte der natürlichen Zahlenreihe haben eine verschiedene Anzahl, d. h. es lassen sich ihre Elemente auch außer der Reihenfolge nicht gegenseitig eindeutig zuordnen.

Satz 5 (Dirichletsches Schubfächerprinzip): Verteilt man n Dinge auf mKlassen,undistm<n,somüssen, ob eine Klasse leer bleibt oder nicht, in irgendeiner Klasse wenigstens zwei Dinge Vorkommen.

Diesen Sätzen liegen folgende Begriffsbildungen zugrunde:

Die natürliche Zahlenreihe Z definiert man als geordnete Menge 0,1, 2, 3 . . . mit folgenden Eigenschaften:

A.    Sie besitze ein erstes, allen vorangehendes Element 0.

B.    Jedes ihrer Elemente besitze ein unmittelbar folgendes.

C.    Jeder ihrer echten Abschnitte besitze ein letztes Element.

Dabei heißt eine Menge unter Einführung einer Beziehung <

(„vor“ oder „kleiner“) geordnet, wenn in ihr zwischen je zwei verschiedenen Elementen a und b genau eine der Beziehungen a < b oder b < a besteht und mit a < b und b < c auch a < c gilt. Die Schreibweise a >b (a „hinter“ oder „größer“ b) bedeute nur b < a, =j= Verschiedenheit, ^ kleiner oder gleich, ^ größer oder gleich.

Positiv heißt ein a > 0 (als Anzahl einer wirklichen Menge).

Abschnitt der Menge heiße jede Teilmenge, der mit irgend einem Element auch jedes kleinere angehört, echter Abschnitt, wenn sie weder leer noch die volle Menge ist.

Endlich heißt eine Menge, die auf einen echten Abschnitt der natürlichen Zahlenreihe abbildbar ist (abzahlbar ist mit den Zahlen bis zu einer Zahl n). Sonst unendlich. Satz 4 läßt sich dann auch so aussprechen, daß eine endliche Menge nicht auf einen echten Teil von sich abbildbar ist, wobei unter Abbild immer eine gegenseitig eindeutige Zuordnung zu verstehen ist.

(An sich ist das eine Verschärfung von Satz 4, die aus ihm erst folgt, wenn man schon hat, daß die Abzählung der Menge mit diesem echten Teil begonnen werden darf, wie beim Beweis von Satz 5 gezeigt wird.)

Beweis für Satz 1: Für eine Menge T ist der Satz klar, wenn 0 zu T gehört. Sonst nehme man zu T alle Zahlen v hinzu, die wenigstens eine Zahl aus T übertreffen: v > t für ein t aus T. Die so ergänzte Menge heiße V. Alle Zahlen, die nicht in V Vorkommen, sind kleiner als die Zahlen aus V und bilden daher einen echten Abschnitt A von Z. Das auf A (auf alle a aus A) folgende Element q liegt in V, und da es nicht hinter einem t kommt, auch in T; q ist also kleinstes Element von T.

Folgerung 1: Ist E eine bei natürlichen Zahlen vorkommende Eigenschaft, so gibt es eine kleinste Zahl dieser Eigenschaft.

Folgerung 2: Ein für natürliche Zahlen behaupteter Satz ist entweder allgemein richtig, oder es gibt eine kleinste Zahl q, für die er falsch ist.

Satz 2 folgt jetzt so: Die Induktionsannahme erster Art ist, daß der Satz auch für q richtig, wenn wie oben für alle vorangehenden Zahlen. Also bleibt nur die Möglichkeit: allgemeinrichtig. Für den Induktionsschluß zweiter Art muß man wissen, daß der Satz für 0 richtig; dann kann man aus der Richtigkeit des Satzes für den vorhandenen Vorgänger von q wieder auf die Richtigkeit für q schließen.

Beweis für Satz 3: Die Definition führt für jedes n vorerst zu einer Funktion Fn, die für alle m^n definiert ist durch Fn (m) = A (m).

Bei festem m gilt diese Gleichung für jedes n^m. Dieser gemeinsame Wert muß nun F(rri) werden, was durch die Festsetzung F(m) — Fnl(m) erreicht wird. (F entsteht durch ,,Verschmelzung“ der Fn).

Als Anwendung hiervon der Nachweis, daß die Gestalt der Zahlenreihe Z durch die Forderungen A., B., C. festliegt, d. h. daß zwei geordnete Mengen Z',Z", die A., B., C. erfüllen, unter Erhaltung ihrer Ordnung aufeinander abbildbar sind: man ordnet nach Abbildung eines echten Abschnittes von Z' auf einen Abschnitt von Z" stets dem darauffolgenden Element von Z' das darauffolgende von Z" zu, was nach B. wegen C. möglich, verschmelzt die Zuordnungen und zeigt mit Satz 1, daß auch kein Element von Z" überbleibt.

Bemerkung: Die Eindeutigkeit der Gestalt von Z wurde in Satz 3 noch nicht verwandt; im Gegenteil braucht für das Verschmelzungsverfahren wie für Satz 1 und den Induktionsschluß erster Art nur eine wohlgeordnete Menge vorzuliegen, d. h. eine solche, die außer A. die in BC. enthaltene Eigenschaft D. hat, daß auf jeden echten Abschnitt unmittelbar ein Element folgt.

Beweis von Satz 4: Im gegenteiligen Fall gäbe es eine kleinste Zahl n, deren Abschnitt auf den einer kleineren Zahl m abbildbar wäre. Sind sich in dieser Abbildung die letzten Abschnittselemente n' und m' zugeordnet, so entsteht durch ihre Streichung eine Abbildung des Abschnitts von n' auf den von m' <n', gegen die Annahme, daß n die kleinste Zahl der Eigenschaft sei. War aber nf auf ein m" < m' abgebildet und dann auf m' ein n" < n', so vertausche mau diese Zuordnungen und streiche wieder n', m'.

Man nennt dann bei einer endlichen Menge n die Anzahl ihrer Elemente, wenn sie auf den Abschnitt von n abbildbar ist.

Satz 5 folgt jetzt so: Bildet man die Dinge auf den Abschnitt von n ab und die Klassen so auf den Abschnitt von m, daß die nicht leerbleibenden Klassen vor den etwa leer bleibenden kommen, somit auf den Abschnitt einer Zahl m' abgebildet werden, so erhielte man für den Fall, daß in jeder Klasse höchstens ein Ding läge, dadurch eine Abbildung des Abschnittes von n auf den von m'.

Die Möglichkeit, in der Abzählung der Klassen die nichtleeren voranzustellen, folgt mit Induktion von m — 1 auf m Klassen: Liegt eine Abzählung K₀, Kl, . . . der m Klassen vor, so darf man annehmen, daß die ersten m — 1 Klassen bereits vorschriftgemäß untereinander geordnet sind. Dann sind es auch alle Klassen, falls die letzte leer ist; andernfalls vertausche man diese mit der ersten leeren Klasse.

Schließlich gilt noch, daß eine Teilmenge T einer endlichen Menge M wieder endlich ist; denn durch ihre Vorwegnahme in der Abzählung von M wird sie auf den Abschnitt einer Zahl m' abgebildet.

Eine Menge von Zahlen, die kleiner als eine feste Zahl n sind, ist also endlich.

§ 8. Addition und Multiplikation.

Wir wollen jetzt die beiden Hauptverknüpfungsarten der natürlichen Zahlen, Addition und Multiplikation, so definieren, daß sich die Grundregeln des Rechnens daraus ableiten lassen. Die Summe m-\- n zweier Zahlen m und n definieren wir so :

Es sei m + 0 == m und m + 1 die auf m folgende Zahl. Allgemein definieren wir m + n durch vollständige Induktion : liegt m + n' schon für alle n' <n fest, so sei m + n die auf alle m -f n' folgende Zahl. Einfacher nach dem zweiten Induktionsprinzip definiert :

a)

m+w=(m+n')+l für n = n' + 1 oder m + (n + 1) = (m + n) + 1.

Das Produkt m • n oder mn definieren wir so: m • 0 = 0, m-1 = m, m • 2 = m + m, allgemein m • n — m • ri + m für n = n' + 1 •

(2)

Also bei schrittweisem Anwachsen des Multiplikators n als schrittweise wiederholte Addition des Multiplikanden m.

Für die Addition und Multiplikation gelten folgende Hauptrechenregeln

1.    Assoziativität der Addition : l-\-(m-\- n)= (1 + m)-{- n.

2.    Umkehrbarkeit der Addition: Es gibt für m ^ n genau eine Zahl x, die die Gleichung m + x = n erfüllt.

Wir schreiben dann x als Differenz x = n — m.

Für n <m gibt es kein x.

3.    Vergleichbarkeit von Summen : Es ist Z + r < m + w, wenn l ^ m und r < n.

4.    Kommutativität der Addition : m + n = n + m.

5.    Assoziativität der Multiplikation : l • mn = Im, • n.

6.    Distributives Gesetz: Z(m+ n) = Im + ln. Für m^:n: l(m — n) — Im — ln.

7.    Vergleichbarkeit von Produkten: Es ist l • r <.tn • n, wenn 0 < l ^ m und r < n.

Insbesondere gilt also mn >0 für m > 0, n > 0.

Die Umkehrbarkeit der Multiplikation, d. h. die Lösbarkeit der Gleichung Ix = m, die „Teilbarkeit von m durch 2“, ist als eine Besonderheit zu betrachten, die uns vom nächsten § an vorwiegend beschäftigen wird. Jedoch gilt:

8.    Eindeutigkeit der Division: Die Gleichung Ix = m besitzt für 14= 0 höchstens eine Lösung. (Ist 1 = 0, so führt jedes x auf m = 0; es ist dann für m 4= 0 kein x, für m = 0 jedes x Lösung.)

9.    Kommutativität der Multiplikation: m • n = n • m.

Beweise: Daß die Definition (1) dieselbe Addition liefert wie die

vorangestellte Definition, folgt so: die Addition (1) könnte höchstens eine kleinere Summe liefern; dann müßte es einen kleinsten Summanden n der Art geben, und das führt sofort zum Widerspruch.

1. gilt für n = 0 und n = 1 laut Definition (1). Allgemein schließt man mit vollständiger Induktion von n' < n auf n so : Es ist (l -f m) + n nach Definition die auf alle (l + m) + n' folgende Zahl, während l + (m + n) die auf alle l + (m + n') folgende ist; denn m + n folgt unmittelbar auf die Zahlen m + n'. Mit

I + (m + n') = (l + m) + n' für n' < n gilt also auch l + (m + n) = (l -j- m) + n.

2.    Daß es nur ein die Gleichung n — m + x lösendes x geben kann, folgt aus der ursprünglichen Definition der Addition: es ist danach m 4- y > wi + # für y > x. (x im Abschnitt von y.) Dann ist mit m + 0 ^ m + x aber m die kleinste aus m durch Addition hervorgehende Zahl. Ist dann n' = m + xf darstellbar für m ^ n' < nf so auch n—m + x mit dem auf die x' folgenden x.

3.    ist nur noch für l< m zu beweisen. Ist x die Lösung der Gleichung l + x = m, so gilt

m + w= Z-f-z + n^Z + w>Z + r,

wenn man zeigt, daß x + n ^ n ist. Dies folgt so: ist es richtig für n' < n, so gilt x + n > x + n' ^ n', also x + n > n' für alle n' < n und damit x + n ^ n.

4. Es ist n + 0 = n, aber auch 0 + n = n, wie durch Induktion folgt. Es ist auch 1 + n = n -f 1, was für n — 0 richtig ist und für n= n' + 1 aus 1 -f n' = n' + 1 nach dem zweiten Induktionsprinzip so folgt:

1 + n = 1 + (»' + 1) = (1 + w') + 1 = » + 1.

Allgemein gilt für n = n' -f 1, wenn m + n' = n' + m als richtig bereits erkannt ist,

m + n = m + n' + l = n' + m-\-l — n' + l-\-m = n + m. Nachdem nun die Reihenfolge der Summanden einer Summe als gleichgültig festgestellt ist, hat man für die einer Zahl n > 0 vorangehende Zahl die Schreibweise n — 1 zur Verfügung, die wir ursprünglich für die Lösung der Gleichung 1 + x = n gebrauchten. Auch haben wir jetzt für m, n > 0 nicht nur m + n > m, was aus 3. mit l = m, r = 0 folgte, sondern auch m + w > n.

Beweis von 5. und 6. durch Induktion für n.

7.    kann auf die schärfere Form Ir <ln^ Im gebracht werden. Die erste Ungleichung folgt dann aus 3. mit (2), die zweite mit Induktion von n — 1 auf n:

ln = l(n — 1) -f l ^ m{n — 1) + m = mn.

Der Fall r = 0 liefert dann mn > 0 bei m, n > 0.

8.    Ist m— Ix = ly bei y > x, so l (y — x) = ly — Ix — 0 nach

6. und 3. imd dann nach 7. ein Faktor 0, also l = 0.

9.    ist klar für n= 0. Die Induktion gelingt von n — 1 auf n, wenn man n- m — (n — 1) < m + m zeigt. Das ist nun wieder richtig für m = 1 und allgemein durch Induktion von m — 1 auf m aus (2) zu gewinnen.

Bemerkung: Eine rein anzahlmäßige Definition ist so möglich : Hat man eine Menge M von m Dingen und eine Menge N von n Dingen, so bedeute das Produkt mn die Anzahl der Kombinationen je eines Elementes aus M und N. (Vgl. die Anwendung in (7); man veranschauliche sich die so definierte Multiplikation mit ihren Rechenregeln durch Anordnung der Kombinationen in einem Rechteck!)

Man hat den Vorteil einer sofort kommutativ definierten Multiplikation, braucht jedoch zur Einordnung dieser Begriffsbildung in die Zahlenreihe den Anzahlsatz.

Nach Regel 9. darf man jetzt auch 6. und 7. mit vertauschten „Faktoren“ schreiben.

Einführung der Potenz: Wie wir die Multiplikation als wiederholte Addition eingeführt haben, verwendet man für wiederholte Multiplikation abkürzenderweise die „Potenzierung“ :

• a,

an = an-1

begonnen mit a° = 1, a¹ — a, a²— a-a, (Quadrat), a³ = a² • a (Kubus). Es wird

10.

11.

am+n — o/fi. an amn ₌

12.

amn = außer in besonderen Fällen. Die Potenzierung ist also nicht assoziativ, ebensowenig kommutativ. Doch gilt wegen 9. noch ein distributives Gesetz (ac)n = an • cn.

Aufgaben: Man führe die Beweise von 10.—12. aus! Man führe den Induktionsbeweis für 5. und 6. aus ! Man versuche die Multiplikation allein auf Grund der Wohlordnungsbedingungen A. und D. (s. S. 8 u.) ohne Heranziehung von B. zu definieren und 5.-7. so unter Verwendung des ersten Induktionsprinzips zu beweisen! Man beweise l + (m — n) = (l + m) —n, für m ^ n\ Ebenso l — (m — n) = l — m + n, wenn außerdem    — n\ § 4. Teilbarkeit. Die unendliche Folge der Primzahlen. Zermelos Beweis der eindeutigen Primfaktorenzerlegung.

Wir nennen die Zahl m durch die Zahl l teilbar oder ein Vielfaches von l, wenn die Gleichung Ix = m eine Lösung besitzt. Zugleich heißt l ein Teiler von m, geschrieben 11 m, oder eine in m aufgehende Zahl. 1 geht in allen Zahlen auf und ist nur durch sich teilbar, während 0 durch alle Zahlen teilbar ist und nur in sich auf geht. Für alle n > 1 gilt ohne Zusammenfallen 11 n | 0.

Satz 6: Gilt zugleich m | n und n | m, so ist m = n. Aus 11 m und m | n folgt l \ n.

Denn mit n = mx und m= ly gilt n = lyx\ für 1 = n wird dabei yx — 1, also x — y = 1 und m = n.

Im Bereich N der Zahlen n > 1 besteht jede Zerlegung m = kl aus Faktoren k, l, die kleiner sind als ihr Produkt m. Wir stellen uns die Aufgabe, für eine gegebene Zahl n eine möglichst weitgehende Faktorenzerlegung vorzunehmen, also in möglichst viele kleine Faktoren. Wir teilen darum zuerst die Zahlen n > 1 in Primzahlen, die keine Zerlegung zulassen, und zusammengesetzte (zerlegbare) Zahlen ein. Für die Primzahlen ist unsere Aufgabe als gelöst zu betrachten. Im Bereich Z können wir sie auch so kennzeichnen:

Eine Primzahl p ist eine Zahl, die nur die beiden Teiler 1 und p besitzt. 1 zählt also nicht als Primzahl; sie wäre in einer Zerlegung doch unwesentlicher Faktor.

Wir wollen einen Teiler t > 1 einen wesentlichen Teiler nennen und einen Teiler t <m von m einen echten Teiler. Es gilt dann der

Satz 7: Jede Zahl m aus N hat wenigstens einen Primteiler; nämlich der kleinste wesentliche Teiler q von m ist eine Primzahl. Denn aus 1 < p \ q folgt p \ m mit q | m und dann p — q.

Die Menge der Primzahlen, beginnend mit p₁ = 2,p₂ = 3, p₃ = 5, Pi = 7,..., ist entweder endlich, d. h. auf einen echten Abschnitt der Zahlenreihe abbildbar, endigend mit einem pn. Oder sie ist unendlich und auf die ganze Zahlenreihe abbildbar; es gibt dann, nach unserer Numerierung, zu jedem positiven n eine Primzahl p.,. Wir werden mit Euklid zeigen :

Satz 8: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis: Ist q eine Primzahl, etwa q = pn, so bilde man das Produkt P = p± • p₂ • • • pn der ersten n Primzahlen bis q. Der kleinste wesentliche Teiler von P + 1 ist dann eine neue Primzahl r > q. Denn da die Primzahlen pv p₂, .. . q in P

(3)

aufgehn und größer als 1 sind, gehen sie alle nicht in P + 1 auf. Also gibt es mit r auch eine auf q — pn unmittelbar folgende Primzahl, was zu beweisen war. Es gilt nun der Satz 9 (Fundamentalsatz): In N ist jede Zahln eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellbar:

n = p₁p₂---ps    (s^l).

Natürlich ist die Darstellung nur abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Man könnte etwa die Prim-faktoren der Größe nach ordnen und bekäme dann eine Darstellung

(4)

n = p\'pl'-• • pa/ mit p± < p₂ < ps < • • • < pr und positiven Exponenten.

Die Existenz einer Zerlegung (3) folgt bereits aus Satz 7: Sind alle m < n in Primfaktoren zerlegbar, so sei, wenn n nicht selbst Primzahl, p₁ sein kleinster Primteiler und n= p± nr, also 1 < n'< n. Dann führt jede Primzerlegung n' = p₂ • • • p8 zu einer Primzerlegung n = pxp₂ • • • ps.

Dieser Beweis liefert zugleich ein bestimmtes Verfahren zur Gewinnung einer Darstellung (4): Man spaltet vom übrigbleibenden Faktor n' wieder den kleinsten Primteiler p₂ ab (n' = p₂n") und so weiter, bis nur noch ein Primfaktor übrigbleibt. So erhält man eine bestimmte Zerlegung n = p₁p₂--pSf in der px ^ p₂    ps ist. Hätte nämlich in einer Teil

zerlegung n = PiP₂ * * * Pef der Restfaktor f einen Primteiler p <pe, so wäre auch p\pef und somit pe nicht der kleinste Teiler von pe f. Man braucht also zur Fortsetzung der Zerlegung f= pe_]_₁ • • • ps nur Primzahlen p^pe daraufhin zu prüfen, ob sie in f aufgehn, anderseits auch nur solche, deren Quadrat f nicht übersteigt ; denn soll noch f — ph zerlegbar sein, und ist p² > f, so h² < f. — Diese Zerlegung nach aufsteigenden Faktoren besagt aber noch nicht die Eindeutigkeit der Zerlegbarkeit (3) überhaupt.

Wir bringen jetzt den Eindeutigkeitsbeweis von Zer-melo: Angenommen, die Primzerlegung sei nicht für alle n eindeutig. Dann müßte es wieder eine kleinste Zahl m dieser Eigenschaft geben, die also wenigstens zwei verschiedene Zerlegungen besäße. Dieses m besitzt genau eine Zerlegung (näm-(5)

lieh die durch die obige Methode gelieferte), in der sein kleinster Teiler q vorkommt; denn ist m = qk, so ist k .< m bereits eindeutig zerlegbar. Hat man eine zweite Zerlegung mit dem Primteiler p, und ist m = pl, so bilde man jetzt m' = m — ql = (p — q)l.

Diese wegen p > q positive Zahl m' < m muß noch eindeutig zerlegbar sein. Nun ist

q | m' = q (k — l), wegen m = qk, müßte also in der Zerlegung der rechten Seite von (5) Vorkommen, also, da l nur Primfaktoren > q besitzt, in der Zerlegung von p— q. Aus p— q= qr folgte aber p = q(r + 1), und p wäre keine Primzahl. — Also kann auch m nur eine Zerlegung haben.

Der Fundamentalsatz gibt uns sofort Aufschluß über sämtliche Teiler einer Zahl n, wenn wir ihre Primzahlpotenzzerlegung (4) kennen: es ist jede Zahl

(6)

m = p\J¹ p°² • • • pcrr mit 0 ^ e. ^ a.

Teiler von n, und umgekehrt hat jeder Teiler t von n diese Gestalt; denn einmal nach dem Eindeutigkeitssatz gehen keine andern Primzahlen in n auf als px, • • • pr, und es darf auch nicht etwa cx > sein ; denn dann wäre

p“l+11 t \ n = Pi¹⁺¹v; pa£ • • • parr = p±v, was nicht geht. Die Anzahl aller Teiler von n, einschließlich 1 und n, ist daher

(?)

r(w) =K + 1)(«₂ + 1) • • • (a, + 1) , das Produkt der Werteanzahlen, die jedes c{ unabhängig von den andern durchläuft (vgl. die Bemerkung zu 9. in § 3).

§ 5. Division mit Rest.

Es sei 0 und 1. Dann läßt sich eine „Division mit Rest“ von m durch n auf die folgende Weise ausführen: Es gibt eine größte Zahl q, für die nq^m ist; denn es ist bereits    anderseits    Die x, die die

Gleichung nx^m lösen, bilden daher einen echten Abschnitt der natürlichen Zahlenreihe, und der besitzt ein größtes Eie-ment q. Es ist q = 0, wenn m < n, sonst positiv. Setzt man nun m = nq + r, so nennt man diese durch m und n gegebene Darstellung eine Division mit Rest. Dabei ist nach Definition von q der „Rest“ r = m—nq ^ 0, und zwar =0 genau dann, wenn n | m. Anderseits ist r < n; denn sonst wäre noch n(q + 1) 5^ m, gegen Voraussetzung. Zusammenfassend haben wir gewonnen:

Satz 10: Es gibt zu je zwei Zahlen m^O und 1 genau eine Darstellung

(8)

m = nq-\-r mit 0^r<n.

Dabei ist q = 0 kennzeichnend für m<w undr = 0

für n | m. Den Quotienten q bezeichnen wir auch mit ^ , genannt: das „Ganze von m durch nu, zum Unterschied von dem für r > 0 (hier nicht vorkommenden) gebrochenen Quotienten —. Für r = 0 darf die Klammer fortbleiben. Eben-

n

*YYl    YYl

falls in einer Ungleichung — < t oder — ^ t bei ganzem t. Oft schreiben wir m : n statt —.

[m : n] ~

Für die ganzen Quotienten bestätigt man sofort folgende Rechenregeln :

(9)

ns ’

% -f m₂

J + 0 oder 1,

1 ₊ 2 n

je nachdem in den Darstellungen m₁ = nq₁-\-r₁ und m₂ = nq₂ + r₂ die Summe rr+ r₂<n oder ^ n ausfällt. Ist insbesondere rx = r₂ = 0, also n |    m₂, so auch n | m₁ + m₂.

(Man stelle dieselbe Betrachtung für Differenzen an!)

Erste Formel (9) folgt so: Sind m = nq-\- r; q = sv-\- w Divisionen mit Rest, so gibt v die linke Seite von (9). Es wird dann m — n (sv + w) + r = nsv + nw+ r eine Division durch ns mit dem Quotienten v und dem Rest nw + r <nw-\- n = n(w + 1) ns. Also steht auch rechts v.

Die Division mit Rest ist ein wichtiges Hilfsmittel für zahlentheoretische Rechnungen und Beweise. Auf sie stützt sich folgender neue Beweis von G. Klappauf für die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Entweder ist jede Zahl aus N eindeutig zerlegbar, oder es gibt eine kleinste Zahl m mit einer Doppelzerlegung

Jedes p muß hier von jedem q verschieden sein; denn wäre etwa p± = qx, so besäße bereits ^ zwei verschiedene Zerlegungen. Sei nun qx die kleinste der Primzahlen p₁ bis qu so führe man für alle px bis ps die Division mit q₁ aus und erhält so für ihr Produkt m eine Darstellung

m = (QiQi + ^1) (<I1Q2 H⁻ ^2) • • • WiQs + R$) = <hQ + -ß » indem nach wiederholter Anwendung des Distributivgesetzes bis auf das letzte Glied R = R₁. .. Rs alle Glieder zu qxQ zusammengefaßt werden. Weil q₁ < pv . . . ps und Mchtteiler aller p, sind .. . Qs, Rv . . . Rs alle positiv, und daher gilt 0 < R < m. Ńun ist qx | R, hingegen R= R±. . . Rs eine Zerlegung in Faktoren < qx, deren Primzerlegung also qx nicht aufweist! Dies widerspricht der Annahme, daß ein kleineres R < m eine eindeutige Zerlegung besitzt.

Der hier gegebene Beweis braucht zwar schon mehr Hilfsmittel als der Zermelosche, der mit einer Subtraktion und Abspaltung je eines Primfaktors zweier m-Zerlegungen auskommt, gibt aber mit dem größeren Reduktionsschritt von m auf R einen weiteren Einblick in zahlentheoretische Verhältnisse. Für einen Induktionsbeweis leistet jedoch ein kleiner Schritt dasselbe.

II. Teilbarkeitseigenschafteil.

§ 0. Der Ring der ganzen Zahlen. Moduln.

Vielfachsummen.

Kommen wir im folgenden zwar weithin mit den natürlichen Zahlen aus, so ist es doch zur Vereinfachung von Rechnungen und für die Ausdrucksweise vorteilhaft, auch die negativen ganzen Zahlen zur Verfügung zu haben, schon um Summen und Differenzen nicht unterscheiden zu brauchen. Im wesentlichen werden wir aber bei den natürlichen Zahlen bleiben.

Scholz, Zahlentheorie.

Wir führen den „Ring“ der ganzen rationalen Zahlen als eine solche Erweiterung Z des natürlichen Zahlbereichs Z ein, in der eine entsprechend erweitert definierte Addition und Multiplikation sowie die Subtraktion als Umkehrung der Addition unbeschränkt ausführbar sind. Und zwar verfahren wir so:

Wir ergänzen den natürlichen Ordnungstypus zu einem symmetrischen

.. .., — 4, — 3, — 2, — 1, i 0, + 1, + 2, + 3, + 4,.... indem wir ein getreues Abbild + 0, + 1, . . ., + n, . . . . der natürlichen Zahlen, für das + n die n-te auf + 0 folgende Zahl ist, mit einem umgekehrten Abbild . . .    — n,. ..— 1,

— 0, bei dem — n die n-te der — 0 vorangehende Zahl ist, unter Übereinstimmung von — 0 mit + 0 koppeln. Dies ergibt, soll eine geordnete Menge herauskommen, die einzige Anordnungsmöglichkeit

(10)

— n< — m < — 0 = +0< + m< + ^ für 0 < m < n.

Diese so geordnete Zahlenreihe besitzt folgende kennzeichnende Eigenschaften :

B.    Jedes Element hat ein unmittelbar folgendes und ein unmittelbar vorangehendes Element (A. geht verloren.)

C.    Jeder echte Abschnitt besitzt ein letztes, jeder echte Rest ein erstes Element. (Rest = Menge der Art V auf S. 8 u.)

Man nennt jetzt ein a > 0 positiv, ein a < 0 negativ und bezeichnet als Absolutwert | a | von a die natürliche Zahl w, für die a = + n oder — n ist; also den Abstand der Zahl a von 0. Durch Gleichsetzung von + n mit n ordnet man Z als Teil in Ź ein.

Die Rechenoperationen führen wir in Z so ein : Addition : Wie in Z sei a + 0 = a und a + m für m > 0 die m-te auf a folgende Zahl, während a + (— m) die m-te Zahl vor a sei, die nach C. immer existiert. Subtraktion: c — a sei die nach B., C. immer existierende und eindeutige Lösung x der Gleichung a + x = c. Man setzt 0 — a — — a. Es ist dann c — a = c + (— a). Multiplikation mit positiven Zahlen sei wie in Z als wiederholte Addition definiert, a * 0 = 0, a (— 1) = — a, a * (— n) = (— a) ■ n, Dies ist. dann gleichzeitig — (a • w), und allgemein ist

Dor King der ganzen Zahlen. Moduln. Vielfachsummen. 19

(— a) • c = a ■ (— c) = — ac, (— a) * (— c) = + ac.

Sind a und c =t= 0, so auch ac = ± | a | • | c |.

Die Rechenregeln 1.—9. aus § 2 erfahren inZ folgende Abänderungen: Entgegen 2. existiert die Differenz n^-m, wie gesagt, auch für n < m; bei 7. (Vergleichbarkeit der Produkte) behält man l ^ 0, m > 0 als Bedingung, aber keine Vorzeichenbedingung für r und n. Sonst bleiben alle Regeln erhalten. — Potenzierung wird als wiederholte Multiplikation nur mit natürlichen Exponenten verwandt.

Unter Restdivision eines a durch ein m > 0 wird neben der Darstellung mit „kleinstem positiven Rest“

m\ + r’

auch die Darstellung mit „kleinstem Absolutrest“

— m ^ m 2 (2)W —

verstanden, z. B. 8 = 6 • 1 + 2, 9 = 6 • 1 + 3, 10 = 6 • 2— 2.

Durch wiederholte Division mit kleinstem Absolutrest gewinnt man (8) entsprechend eine Entwicklung nach Potenzen von m

(12) a = mkak + * • • + mlai + mi~¹

(ii)

a = mv + w,

i H-----hw-ą + ao,

wo

| a — mkak | ^ \mk, allgemein    ¹    + • • • + a₀

selbst absolut kleinster Rest nach ml, wenn für m= 2n auch — n als Koeffizient zugelassen und da anstatt n genommen wird, wo der Rest nach ml~¹ positiv ist. Beispiel: 108 = 6²*3; 109 = 6³ — 6² • 3 + 1.

Als besonderes Ergebnis liefert die wiederholte Restdivision

Satz 11: Eine Summe von Zahlen, die alle bis auf eine durch mk teilbar sind, ist nicht durch mk, sondern nur durch die Potenz m% die in dieser einen Zahl aufgeht, teilbar.

Ist also mk | x₁ + • • • + x₈, ohne daß mk \ xx, so gibt es wenigstens zwei Summanden, die nur durch die in allen Summanden aufgehende Potenz von m teilbar sind.

Wir bezeichneten den Bereich der ganzen rationalen Zahlen als „Ring“, weil in ihm die Addition, Subtraktion und Multiplikation unter Gültigkeit der Rechenregeln 1., 4., 5, 6. uneingeschränkt ausführbar sind und die Produkte ac je zweier Zahlen wieder alle Zahlen

des Bereichs liefern, nämlich schon für 1.x) (Der Bereich „reproduziert sich durch Multiplikation“. Für die Addition folgt das schon aus der vorhandenen Subtraktion). Die Kommutativität der Multiplikation zählt man gewöhnlich nicht zu den allgemeinen Ringeigenschaften, sondern spricht dann von einem „kommutativen Ring“, ferner von einem ,,Ring ohne Nullteiler“, wenn ac — 0 bei a, c =j= 0 im Ring nicht vorkommt. Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler heißt auch „Integritätsbereich“.

Ist im Ring schließlich wie in Z eine Ordnungsbeziehung eingeführt, und gelten die Vergleichbarkeitsregeln 3., 7., so spricht man von einem „geordneten Ring“. Z ist also ein ,geordneter Integritätsbereich⁴⁴.

Zwei weitere wichtige Begriffe sind „Modul⁴⁴ und „Vielfachsumme⁴⁴.

Modul heißt ein Bereich mit assoziativer und kommutativer Addition und unbeschränkter Subtraktion. Ein Modul ganzer rationaler Zahlen ist danach eine Teilmenge von Z, der mit zwei Zahlen a, c auch a + c und a — c angehören. Das ist im allgemeinen noch kein Ring; es gilt hier

Satz 12: Jeder Modul ganzer rationaler Zahlen, der eine von 0 verschiedene Zahl enthält, besteht aus den Vielfachen einer einzigen Zahl m, der kleinsten positiven, die in ihm liegt.

Beweis : Liegt a=\= 0 in M, so auch 0 — a = — a und wegen wiederholbarer Addition alle ganzzahligen Vielfachen von a, von denen der eine Teil positiv ist. Also gibt es eine kleinste positive Zahl m in M. Nun dividiere man a = mv+ r mit 0 ^ r < m.

Dann liegt mit a, m auch mv und a — mv = r in M. Also kann wegen r < m nicht r > 0 sein, da m die kleinste positive Zahl in M, und es ist r = 0, d. h. a = mv selbst ein Vielfaches von m, wie Satz 12 behauptet.

Da auch umgekehrt die Vielfachen einer Zahl m immer einen Modul (m) = (— m) bilden, sind somit alle Moduln ganzer rationaler Zahlen festgestellt.

x) Für die Definition des allgemeinen Ringes ist es sinngemäß, das Vorhandensein einer Eins c, die ac — a für alle a erfüllt, zu fordern; vgl. W. Krall, Elementare Algebra, Sammlung Göschen, Bd. 930. Reproduktive Multiplikation gewährleistet noch keine Eins.

Der Ring der ganzen Zahlen. Moduln. Vielfachsummen. 21

Da ferner die Produkte je zweier Zahlen aus (m) durch m² teilbar sind, ist die Multiplikation nur für (m) = (1), d. h. M — Z, und (m) = (0) reproduktiv.

Vielfachsummen. Eine Zahl a heißt Vielfachsumme der Zahlen a1? a₂,. . . an, wenn sie sich in der Form

(13)

a = a₁x₁-\- a₂x₂ + • • • + anxn = Eai

mit ganzen xv ... xn darstellen läßt oder, was hier dasselbe ist, als Differenz von Summen der a{.

Satz 13: Die Gesamtheit ((av . . . an)) der Vielfachsummen der bilden einen Modul, fallen also nach Satz 12 mit den Vielfachen der kleinsten in der Form (13) darstellbaren Zahl s zusammen.

Jeder gemeinsame Teiler der Zahlen av .. . an geht in jeder ihrer Vielfachsummen auf.

Beweis: Mit Ea^ und Ea^ ist auch 27^^^ Eaiyi = Vielfachsumme. Und ist t\ai=tci, so ist

EaiXi = t • EciXi.

Umgekehrt ist ein gemeinsamer Teiler aller Ea{x{ auch Teiler aller a{\ nämlich die ai sind selbst Vielfachsummen

(14)

ai = Eajeij mit e{j = 0 für i=ł=j, eu=l.

Bemerkung: Ist eine unendliche Folge    gegeben,

so sind die Vielfachsummen der an natürlich Summen und Differenzen nur je endlich vieler dieser an. Eine einzelne Vielfachsumme läßt sich also in der Form

v = ax xx + ••• + &/- xr

mit einem von v abhängigen r schreiben. Summe und Differenz zweier Vielfachsummen sind wieder Vielfachsummen; alle v bilden darum einen Modul und sind Vielfache der kleinsten Vielfachsumme

(15)

$ = axzx H-----h amzm,

also auch Vielfachsummen einer vom einzelnen v unabhängigen endlichen Teilmenge av ..., am der an.

Aufgaben: Man zeige, daß der Ordnungstypus von Z durch die Axiome B., C. bestimmt ist, d. h. daß je zwei geordnete Modelle Z', Z", die B., C. erfüllen, unter Erhaltung der Ordnung aufeinander abbildbar sind. Man beachte: Die Abbildung zweier Modelle der natürlichen Zahlenreihe war eindeutig infolge Auszeichnung der Null als kleinstes Element. Hier aber sind alle Elemente in ihrer

Anordnung „gleichberechtigt“: es kann bei der Abbildung der Modelle Zf und Z" zuerst ein willkürliches Paar (0', 0") aus ihnen einander zugeordnet werden. Die Auszeichnung der Null und dann aller Zahlen geschieht bei Einführung der Addition.

Man versuche die Elemente aus Z konkret als Operationen, nämlich Additionen und Subtraktionen natürlicher Zahlen, zu deuten und diese wieder als ordnungsgetreue Abbildungen von Z auf sich. Was liefert dann die Multiplikation für Abbildungen?

Man beweise die bei Einführung der Rechenoperationen in Z aufgestellten Behauptungen und prüfe die Rechenregeln 1—9 !

§ 7. Kleinstes gemeinsames Vielfaches. Größter gemeinsamer Teiler. Euklidischer Algorithmus.

Gegegeben seien die positiven Zahlen av a₂,. .. an. Ihr Produkt ist ein gemeinsames Vielfaches von a±,... an; sie besitzen daher ein (positives) kleinstes gemeinsames Vielfache m = [av ..., an). Von diesem gilt

Satz 14: Das kleinste gemeinsame Vielfache geht in allen gemeinsamen Vielfachen auf.

Beweis: Summe und Differenz gemeinsamer Vielfacher sind wieder gemeinsame Vielfache. Die gemeinsamen Vielfachen bilden also einen Modul, der nach Satz 12 aus den Vielfachen seiner kleinsten positiven Zahl besteht, also hier des kleinsten gern. Vielfachen von av ... an.

Beispiel: {4, 6, 9} = 36 J 4.6.9 = 36.6.

Ferner betrachten wir die gemeinsamen Teiler der Zahlen %,... ftp, deren kleinster 1 ist. Im Gegensatz zu den Vielfachen gibt es nur endlich viele gemeinsame Teiler; sie können z. B. ax nicht übertreffen. Infolgedessen gibt es hier einen größten gemeinsamen Teiler d =(%,..., an).

Satz 15 (vom größten gemeinsamen Teiler): Der größte gemeinsame Teiler d = (av .. ., an) der Zahlen a±,... an ist

A.    durch alle gemeinsamen Teiler teilbar,

B.    als Vielfachsumme von av . . . an darstellbar:

(16)

d — %    -}■*** ~b xn.

Beweis: Nach Satz 13 und wegen (15) gilt ^ | s | %, ..ctn

(17)

für jeden gemeinsamen Teiler t der %, wenn s die kleinste Viel-fachsumme der a{ ist. Also ist dieses s, das die Eigenschaft B besitzt, selbst ein gemeinsamer Teiler mit der Eigenschaft A, also der größte: s = d in (16).

Die Eigenschaft A sieht man als die wesentliche des gr. gem. T. an und führt ihn in Bingen ohne Ordnungsbeziehung auch so ein.

Ergänzende Definitionen: Auch für beliebige ganze Zahlen sollen {a^,. . . an} und (al5 . .. an, .. . .) einen Sinn erhalten, und zwar soll [av .. . aw} = 0 sein, wenn irgendein ai = 0; denn dann ist 0 das einzige gemeinsame Vielfache; dagegen («j,. ..) = 0 nur, wenn alle a{ = 0. Im übrigen werden als gemeinsame Teiler und Vielfache nur die positiven betrachtet und bleiben die Definitionen dieselben. Kl. gem. V. und gr. gem. T. sind dann immer natürliche Zahlen und ändern sich nicht, wenn man ein % durch — a* ersetzt.

Der gr. gem. T. behält, wie hier schon angedeutet, auch für unendlich viele ai seinen Sinn; nach (15) sind dabei die durch endlich viele aus ihnen ersetzbar, wegen Satz 15.

Weiter folgt aus den Definitionen und Satz 15: Notwendige und hinreichende Merkmale für (%,. .. an) = (cv .. . cm) sind einzeln

a)    daß die gemeinsamen Teiler der a{ und c{ übereinstimmen,

b)    daß K,.. .an)\Ci und (cv . . . em) | a₄,

der Teiler durch Vielfache.)

c)    daß die a{ und ^ dieselben Vielfachsummen haben. (Kriterien a) und b) auch für das kl. gem. V. bei Ersetzung

Ferner gelten die Kegeln:

1.    (ftj_, $₂, %) — (0*1? **2)’ **3)'

{**1? **2’ ^*3} ⁼⁼ ({**1? **2}’ **s)*

Die Wiederholung des Verfahrens läßt Zusammenfassungen

((**1, • • • **m)? * * •? (**/•? • • •? **w))

2.    (fltj, $2? **3? • • •? **n)

(**1? **2    **1 ?/2’ **3    %2/3? * * •>    ^iVn)'

3.    (C0i> ca2i • • • Can) = I C I •    • • • an)'

{cav . . . can} =\c\- {av

4. (a₀, «l5... a„) | (%,.. ,a„), dabei = (%,. . . an), wenn ein anderes | ^₀. Insbesondere (a, 0) =    (a, 1) = 1.

{av . . . an} | {a₀, %,.. . aw}; Gleichheit, wenn a₀ | av {a,l} = a; {a, 0} = 0. Regel 3 liefert das Kriterium

d) Ein gemeinsamer Teiler d \ av . . . an mit a{ = da\ ist genau dann der größte, wenn (ai, . . ., a'n) = 1.

Beweise (durchgeführt nur für den gr. gem. T.):

1.    Es ist d = (av a₂, a₃,.. . an) als Teüer von und a₂

auch Teiler von (av a₂), außerdem von    also auch von

d' = ((oj, a₂), a₃,. . . an). Umgekehrt geht d' außer in a₃,... auch in den Vielfachen av a₂ von (av a₂) auf.

2.    Die Vielfachsummen sind links und rechts dieselben. Ohne Verwendung von Kriterium c): Aus 11 av folgt 11 di — axyi und hieraus umgekehrt mit 11 ax zusammen 11 a{.

3.    Ist (av .. . an) = d, so gilt cd | cax,. . . can, also (cav . . . can) = | c | de nach Satz 15 A. Aus cde \ ca{ folgt aber de | aalso e—1.

4.    (a₀, av ... an) ist gem. T. von av ... an; ist ax | a₀, so auch (%,.. . an) | a₀, gleichzeitig von av . . . an und daher von (,%,. .. an).

Wir werden jetzt ein Verfahren kennenlernen, den gr. gern. T. von n Zahlen zu bestimmen ; für w = 2 ist es der Euklidische ,, Algorithmus“.

Ist a± die kleinste der (positiv genommenen) Zahlen %,..., an, deren gr. gem. T. wir feststellen wollen, so dividiere man alle durch av am vorteilhaftesten mit kleinstem Absolutrest

«i = «

Dann ist nach Rechenregel 2.

(a₁,a₂,...a„)=(a₁,r₂,...r„).

Hierbei sind r₂,. . . rn < al5 und ist dabei etwa r₂ die kleinste positive dieser Zahlen — eine solche gibt es, wenn nicht ! a₂,.. . an\ d = a± —so verfahre man jetzt mit r₂,... rn, ax wie vorher mit av a₂,.. . a,}, dividiere also alles durch r₂, lasse dabei aber die = 0 wieder fort. Da die kleinste Klammerzahl bei jeder Division abnimmt und eine abnehmende

Größter gemeinsamer Teiler. Euklidischer Algorithmus. 25

Folge natürlicher Zahlen nach dem Ende von § 2 endlich ist, so muß das Verfahren abbrechen und mit einem Klammerpaar (id, dt₂,. . . dtk) = (d, 0,. . . 0) enden.

Euklidischer Algorithmus. (89,144)

144 = 89-2—34 89 = 34-3— 13 34=13-3 —

13 = 5-3 —

= 2-2 +

= 1-2.

Beispiele für n — 2. (91,133)

133 = 91 • 1 + 42 91 = 42-2+ 7 42= 7-6

DO CP

(133, 91) = (91, 42) = (42, 7) = 7.

(144, 89) = (89, 34) = (34,13) = (13,5) = (5,2) = (2,1)=1. Ein Beispiel für n = 3: (481, 629, 663) = (481, 148, 182) = (148, 34, 37) = (37, 3, 0) = 1. Anders:

(481, 629, 663) = (629, 34,148) = (34,17,14) = (17,3,0) = 1.

Wie die Durchführung der Rechnung zeigt, ist es bisweilen einfacher, statt des kleinsten bleibenden Restes einen solchen als Divisor für die nächste Division zu nehmen, der in der Nähe eines anderen Restes liegt. Auch wird man häufig die Rechenregel 1. der paarweisen Bildung des gr. gem. T. verwenden, insbesondere wenn sich von einem Paar (av a₂) aus (+, a₂,... an) sofort der gr. gem. T. feststellen läßt. Ist dieser gar 1, so auch (%,. . . an). Bei unübersichtlich großen Zahlen bringt jedoch die simultane Division durch eine Klammerzahl die Reste schneller auf niedrige Zahlen.

Der Algorithmus gibt auch ein Verfahren,[den gr. gem. T. als Vielfachsumme darzustellen: Hat man

(18)

(av a₂,... an) = (<+ r₂,. . . rn)

«i =    + U

und bereits eine Darstellung

(19)

gewonnen, so gilt gleichzeitig

^ = al2/l + r22/2 H-----\-rnVn

(20)

d = «!%+ a₂x₂-j-----f- anxn

mit xx=yx—q₂y2 Als Beispiel nehmen wir das obige für n — 3. Es ist

qnyn,    xn = ?/₂, ...yn.

1 = 37 • 1— 3 • 12 = 148 • 0 + 34 • 12— 37 -11 =148 • 21

+ 182 • 12— 481 • 11 = 629 • 21+ 663 • 12 — 481 • 44.

Bemerkung: Im Gegensatz zu den oben ausgeführten Algorithmen müssen in (19) die Reste ri immer mit dem Vorzeichen behaftet sein, das sie bei der Division in (18) erhalten ; nur dann stimmt (20) mit x₂ = y₂,. . .. Ferner ist für (av . . . an) — d += 1, eit = dal, die Lösung der Aufgabe (20) gleichwertig mit der Lösung der einfacheren Aufgabe:

1 = ai xi -j-----1- a'n xn.

xt + ka₂, x₂ — ka[ ergeben für n = 2 aus einer Lösung (20) bei beliebig ganzem k alle Lösungen von (20). Auch fürn > 2 gibt es unendlich viele Lösungen.

Zwischen dem kl. gem. V. und dem gr. gem. T. bestehen folgende Beziehungen: Es gilt Rechenregel

5. Für (%, a₂) = d, {ax, a₂} = m gilt axa₂ = md. Insbesondere {al5 a₂} — m für teilerfremde av a₂. — Allgemeiner:

Satz 16: Für A = a₁q₁ = a₂q₂ = •• • • = anqn gilt A = {Oj,    (qv ...q„) = (%, ...an) {qv

Beweis: Ist v ein in A aufgehendes gern. Vielfaches der ai: so folgt aus A = vw = a^qi und | v, daß w | qi9 also ein gern. Teiler der q^ Zu jedem v der Eigenschaft v | A gehört dabei ein w — A : v und zwar zum kleinsten v₀ = {a. .. an} das größte w₀. (Das wegen v₀ | v durch alle w teilbar ist.) Nun ist aber d — (qv . .. qn) selbst ein w; denn ist A = de = a^, so folgt aus d | daß | e. Also ist d = w₀.

Dieser Beweis läßt gleichzeitig Satz 15 A über den gr. gem. T. als eine Folge des Satzes 14 über das kl. gem. V. erscheinen. Für A = ax a₂ • • • an und n = 2 erhält man Rechenregel 5. Für + = axa₂a₃ lautet z. B. die entsprechende Regel

⁼⁼    ß₂, #3} (^2%î ®1^3î ^1^2) *

Aufgaben: Man untersuche für d= (%, a₂, a₃) die Lösungen von d = axzx + a₂z₂ + a₃zz.

Man zeige, daß im Euklidischen Algorithmus

K, «2) = («i» *) = (n *)

für a₁<a₂, sofern ava₂,r #= 0 ausfällt und man bei der Division

immer den kleinsten Absolutrest wählt, bereits s ^ ^ wird, also

o

Teilerfremdheit. Klassischer Beweis des Fundamentalsatzes. 27

die kleinere Klammerzahl nach dem zweiten Schritt höchstens noch den fünften Teil der ursprünglichen ergibt.

Für (a₁₅ a₂, a₃) = (av rv r₂) = (r1? sv s₂) ist, falls keine Division

aufgeht, sogar s₁ oder s₂ ^ ~ .

§ 8. Teilerfremdheit. Klassischer Beweis des Fundameiital-satzes.

Wenn zwei Zahlen a und c keinen andern gemeinsamen Teiler als 1 besitzen, wenn also (a,c) — 1 ist, nennt man a und c „teilerfremd“, „relativ prim“ oder „prim“ zueinander und schreibt auch a w c. Auch n Zahlen av . . . an heißen teilerfremd, wenn (al5. . . an) = 1, dagegen „paarweis teilerfremd“, wenn je zwei der Zahlen av . .. an teilerfremd sind, was schon für n = 3 mehr bedeutet: im letzten Algoritlimus-beispiel ist weder 481 ^ 629 noch 629 w 663 noch 481 w 663, aber (481, 629, 663) = 1. Ein Kriterium für paarweise Teiler-fremdheit liefert Satz 20; wir kehren zur bloßen Teilerfremdheit zurück und beweisen

Satz 17 (der Teilerfremdheit) : Ist (a, l) = (a, c) = 1,

so auch (a, bc) = 1.

Beweis (durch wiederholte Anwendung von Satz 15 A): Es ist (a, bc) | ac, bc; also («, bc) | (ac, bc) = (a, b) • c = c. Da zugleich (a, bc) | a, ist (a, bc) | (a, c) = 1.

Folgerung 1 : (a,a₂ • • • am, c, • • • cn) = 1, wenn (a,h ck) = 1 für jedes Paar i, k.

Wie wiederholte Anwendung von Satz 17 liefert.

Folgerung 2: Aus (a, b) = 1; a \ bc folgt a | c. Weil dann zugleich a | (ac, bc) = (a, b) c.

Wir wenden diese Ergebnisse auf Primzahlen und ihre Potenzen an. Da eine Primzahl p nur die Teiler 1 und p hat, ist (p, a) = 1 oder p,

d. h. eine Zahl a ist zu einer Primzahl entweder teilerfremd oder durch sie teilbar. Für zwei verschiedene Primzahlen gilt dann

(p, q) = 1.

Infolgedessen liefert Satz 17 für eine Primzahl p = a:

Hauptsatz 18: Geht die Primzahl p weder in m noch in n auf, so geht sie auch im Produkt mn nicht auf. Positiv: Geht eine Primzahl p in einem Produkt mn auf, so geht sie wenigstens in einem der Faktoren m, n auf.

Wiederholte Anwendung ergibt: Potenzen pr und qs verschiedener Primzahlen sind teilerfremd. Ferner:

Satz 19: Geht einPrimzahlpotenzprodukt pj¹* • -pj!r mit positiven Exponenten in einem andern cfë - - - qcss auf, so kommen alle Primfaktoren des linken Produkts auch als Faktoren des rechten Produkts vor, und zwar mit demselben oder einem höheren Exponenten.

Kommt nämlich px unter den q₂ bis qs nicht vor, so ist (;Vai * Ql* * * * <fss) = 1, also p®¹1 q[l wegen pJ¹1 q{¹ • • • <f*.

Dieses Ergebnis enthält aber den Fundamentalsatz.

Schließlich liefert Satz 17 das Kriterium für paarweise Teilerfremdheit von av a₂,... an:

(21) (a^ag • • • än—i,    • • ^n—2an^ • • • • ? ^2% * * * ^n) ⁼ ^ •

In der Klammer stehn alle Produkte von je n— 1 der Zahlen a{. Dies Kriterium ergibt nach Satz 16 der

Satz 20: {%, a₂, ... an} = axa₂ • • • an gilt genau dann, wenn av a₂,. .. an paarweis teilerfremd.

Beweis: Paarweise Teilerfremdheit ist jedenfalls notwendig; denn ist etwa (a₁,a₂)=d=j= 1, so ist bereits

ai(l~ a3 * ’ ' an ein Vielfaches der a1?... an. Daß sie auch hinreichend ist, besagt für n = 2 Kegel 5. des § 7 und folgt induktiv so: Ist für je n— 1 paarweis teilerfremde Zahlen das kl. gem. V. gleich dem Produkt, so ist bei paarweis teilerfremden av ... an das Produkt a₂ • • • an — {a2:... an) | {ax, a₂,... an}, aber auch % | {a^ ...an} und daher {av a₂ • • • an} | {av a₂,... an}, anderseits {al5 a₂ • • • an} = % • a₂- • • an, weil mit (av a₂) = • • • = (%, an) = 1 nach Satz 17 auch (%, a₂ • • • an) = 1 gilt. Hiermit ist Satz 20 bewiesen.

Nach dem Satz über den gr. gem. T. gibt es dann für jede Zerlegung A = a₁a₂ • • • an der Zahl A in paarweis teilerfremde Faktoren a{ eine Darstellung

xn — Ay,

der im Bereich der rationalen Zahlen die Partialbruchzerlegung

(22)

xi +

a₂

X2 + ’ ’ ’ "t"

(23)

X1

X2

- 1)

cl₂

entspricht. Legt man xi auf 0 ^ xi < a* oder — a{<2x^ fest, so sind xv ... xn, y eindeutig.

§ 9. Primzahlverteüung.

Ein sehr altes und immer noch brauchbares Verfahren, eine Primzahltafel von 2 bis zu einer gegebenen Zahl n aufzustellen, ist das ,,Sieb des Eratosthenesu :

Es werden die Zahlen von 2 bis n auf geschrieben, 2 bleibt als Primzahl stehn und alle höheren geraden Zahlen werden als zusammengesetzt gestrichen; sodann bleibt von den ungeraden Zahlen 3 als Primzahl stehn, und alle höheren Vielfachen 3m von 3 sind wieder zu streichen. Allgemein geht das Verfahren so: sind durch die Aussiebung 2, 3, 5, ... p als Primzahlen festgestellt und die höheren Vielfachen dieser Primzahlen gestrichen, so ist die erste auf p folgende stehngebliebene Zahl q die nächste Primzahl, da sie durch keine der Primzahlen 2, 3,. . . p teilbar ist; zu streichen sind nun wieder alle noch dastehenden höheren Vielfachen von q, das sind aber die qm^n mit m > 1 und (m, 2 • 3 • • • p) = 1, als erste q² ; denn geht eine der Primzahlen bis p in m auf, so wurde qm schon früher gestrichen. Das Verfahren braucht daher nur solange fortgesetzt zu werden, bis ein r mit r² > n als Primzahl stehn bleibt.

Wir wollen hier eine Tafel der Primzahlen bis 300 aufstellen und nehmen an, die Aussiebung sei schon für die Vielfachen von 2, 3, 5 durchgeführt. Wir brauchen dann nur 2, 3, 5 und die höheren zu 30 teilerfremden Zahlen aufzuschreiben:

• • • • • - --• • • • • • •

Zuerst fallen die unterstrichenen Zahlen 7.7, 7.11, 7.13, fort, dann die mit zwei, drei und vier Punkten versehenen Vielfachen von 11,13,17. Die übrigen sind Primzahlen. Vgl. weiter Kap. VI. § 35.

Die periodische Wiederkehr der zu 2 • 3 • • • p teilerfremden Zahlen kann in der Primzahlreihe keine Periodizität zur Folge haben, da bei ihrer Fortsetzung immer neue Streichungen vorzunehmen sind; schon die erste Periode der zu 2 • 3 • 5 • 7 = 210 Teilerfremden weist mehrere zusammengesetzte (oben punktierte) Zahlen auf. Es besitzt überhaupt jede ,,arithmetische Progression“

(24)

r, r + m, r + 2m, r + 3m,. . .

zusammengesetzte Zahlen, z. B. r + 2rm + rm² = r(m + l)². Umgekehrt besagt der berühmte Dirich letsche Satz über die arithmetische Progression, daß jede „teilerfremde Progression“ (24), d. h. in der (r, m) = 1 gilt, unendlich viele Primzahlen enthält. Dieser Satz ist bisher als Ganzes nur mit höheren Mitteln bewiesen worden; jedoch lassen sich Teile dieses Satzes (Satz 49) auf arithmetischem Wege ähnlicl dem Euklidischen Satze von der unendlichen Anzahl der Prim zahlen überhaupt beweisen. Der Dirichletsche Satz liefert sogar eine gewisse Gleichverteilung der Primzahlen auf die verschiedenen teilerfremden Progressionen einer Differenz m.

Über die Häufigkeit der Primzahlen kann man aus dem Siebverfahren entnehmen, daß sie allmählich seltener werden, wenn auch in recht unregelmäßiger Folge und sehr langsam. Immerhin wird die Primzahlfolge beliebig dünn; aber man muß in einer Primzahltabelle von n aus schon bis etwa n2 weiterblättern, um die Primzahldichte auf die Hälfte herabzubringen. Während man z. B. in einer Tafel der Quadrate schon bei 4n dasselbe erreicht. (Analytischer Maßstab: die

Summe 2j ~ der reziproken Primzahlen divergiert, was Euler

zum Nachweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen verwandte; die Reziprokensumme der Quadratzahlen aber konvergiert.) Das prägnanteste Ergebnis über die Verteilung der Primzahlen ist der von Gauß schon vermutete und Hadamard und de la Vallée-Poussin bewiesene Primzahlsatz, daß das Verhältnis der Anzahl n(n) der Primzahlen bis n und der Funktion n : log n (oder das Verhältnis der n-ten Primzahl pn zu n-logw) mit wachsendem n gegen 1 geht.

Kann man auf diese Weise Aussagen über die Häufigkeit der Primzahlen im großen ganzen machen, so sind im einzelnen ihre Abstände sehr unregelmäßig. Aus dem Primzahlsatz kann man zwar entnehmen und in einzelnen Teilen einfacher beweisen, daß von gewissem n an das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Primzahlen enger als ein vorgegebenes h : h-j-1 ist, aber in der Differenz tauchen an einigen Stellen plötzlich für die ganze Umgebung ungewöhnlich hohe Lücken auf. So liegt z. B. zwischen 1327 und 1361 keine Primzahl; diese Lücke wird zum erstenmal wieder durch das Primzahlpaar 8467, 8501 erreicht und durch 9551,9587 überboten. Anderseits sind „Primzahlzwillinge“ q, q + 2 weithin recht häufig (sogar Primzahlvierlinge gibt es zwischen 290000 und 300000 noch: 294311,13,17,19; 295871, 73, 77, 79; 299471, 73, 77, 79). Ob es unendlich viele gibt, weiß man noch nicht; ihre Reziprokensumme ist nach Viggo Brun konvergent.

Aufgabe: Man zeige, daß es in einem Hundert aufeinanderfolgender Zahlen höchstens 23 zu 2.3.5.7.11.13.17 prime Zahlen gibt, daß es daher in einem Hundert oberhalb 17 höchstens 23 Primzahlen geben kann, wie tatsächlich von 18 bis 117!

Daß es umgekehrt primzahlfreie Hunderte gibt, wird aus § 15 folgen, ebenfalls, daß es unter den Hunderten mit zu 2.3.5 ... 17 primen 23 Zahlen auch solche gibt, wo die 23 Zahlen zu allen Primzahlen bis zu einer Zahl p prim sind.

Merkwürdige Unregelmäßigkeiten in der Primzahlfolge finden sich auch in einzelnen arithmetischen Progressionen. So ist in der Kraitchikschen Tafel der Primzahlen von der Form 2⁹k + 1 die

erste 7681 = 512 *15 + 1, während eine Differenz der Mindestgröße 512 • 15 erst wieder nach der 37. Primzahl der Tabelle auf tritt.

Ein besonderes Interesse haben die Mersenneschen Primzahlen der Form 2m— 1 und die (Fermat-) Gaußschen der Form 2m+ 1 gewonnen. Allgemeiner gefragt: Welche algebraischen Teiler von xn — 1 sind für x = 2 Primzahlen ?

2m — 1 kann nur für eine Primzahl m = p wieder Primzahl sein; denn für m = pm' mit m > 1 ist 2V — 1 echter Teiler von 2m— 1, und m = 1 ergibt 1. Es liefern

(25)

p = 2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 61, 89,107,127 wirklich Primzahlen 2P—1. Dagegen gilt 23 | 2H—1. 47 | 2²³ — 1, 167 | 2⁸³ — 1 (vgl. § 27);    223 | 2³⁷ — 1.

233 | 2²⁹— 1, 431 | 2⁴³ — 1. Für die übrigen p < 100 ist 2P— 1 auch zusammengesetzt.

Von größerem Interesse, nämlich für die Frage der Kreisteilung mit Hilfe von Zirkel und Lineal, sind die Gaußschen Primzahlen der Form 2m + 1. Hier muß m selbst eine Zweierpotenz sein : m= 2S. Denn für m = 2S • u mit ungeradem u > 1 gilt 2²* + 1 | 2m + 1. Man kennt nur fünf Primzahlen dieser Gestalt, nämlich

(26)

16

p = 3, 5, 17, 257, 65537 m= 1,2, 4,    8,

4.

8=0,1, 2,    3,

Während (entgegen einer Behauptung von Fermat, alle 22S + 1 seien Primzahlen) bereits für s = 5

(27)

5 • 2⁷+ 1 = 641 | 2³² + 1 (vgl. § 27) und auch s — 6, 7, 8, 9,11,12 zusammengesetzte Zahlen (Kraitchik II, 221) liefern.

Nach Gauß gelingt die ^-Teilung des Kreises mit Zirkel und Lineal für ungerades t nur, wenn t ein quadratfreies Produkt Gaußscher Primzahlen (kombinierbar durch Partialbruchzerlegung, z. B. die 255-Teilung durch Halbierung der Differenz des fünfzehnten und siebzehnten Kreisteils). Die maximal bisher mögliche Ungeradteilung ist die in 3 • 5 • 17 • 257 • 65537 = 2³² — 1 gleiche Teile.

Allgemein kann man von den Fermatschen Zahlen Fs = 22S + 1 wenigstens sagen, daß sie unendlich viele Primteiler besitzen;

denn alle Primteiler der Fs (s < r) gehen in deren Produkt 22r — 1 = Fr — 2 auf, also nicht in Fr, und daher muß die Primzerlegung von Fr aus lauter neuen Faktoren bestehn.

Eine andere Folge mit immer neuen Primteilern ist Ci = cx c₂ ... ą_i + 1 mit cx — 2.

Es werden c₂ = 3, c₃ = 7, c₄ =43, cb = 1807 = 13 139. Schließlich zeigen wir:

Satz 21: Jedes ganzzahlige Polynom A (x) = an xn + • • • + % x + a₀ (an >0, n > 0) besitzt unendlich viele Primteiler.

Eine Primzahl heißt dabei Primteiler von A(x), wenn p | A(a) für irgend ganzzahlige a. Und zwar weist die Folge y₀ = A(x₀), yx = A{x₁), ...,y, = A(xt),... immer neue Primteiler auf bei einer Argumentewahl *0 > ² I ai I > X1 = xo + yl, allgemein x₈₊₁ = x₈+ y\.

Beweis: Dadurch, daß x₀ das Doppelte der Koeffizienten-Vbsolutwerte von A(x) übertrifft, stellt A(x₀) eine Entwicklung (12) nach x₀ dar, und es gilt daher

xn x^

A(x₀) > anx% — y ^ y >1.

Also besitzt y₀ = A (x₀) wenigstens einen Primteiler, und dieser geht in = A (x₀ + y%) — A(x₀) + y%B(x₀, y₀) in gleicher Potenz wie in y₀ auf, weil y₀ | yv aber (yv yl) = y₀; für yx = y₀q± ist also (qv y₀) — 1. Daher kann sich qx nur aus Nichtteilern von y₀ zusammensetzen, liefert also wirklich neue Primteiler für A(x), wenn qt > 1. Und dies ist der Fall wegen

Vln

J‘\

+ Vl > ² I ai |, yx>an

2"

2\>y«-

Ebenso gilt allgemein ys= ys—iQs mit (qs, y₈—i) = 1 und q₈ > 1. Jedesmal kommt also wenigstens ein neuer Primteiler hinzu. Obendrein hat man gewonnen:

Die Wertfolge A(0), A(l),... A(n),.. . eines Polynoms A kann nicht nur aus Primzahlen bestehn, sondern stellt auch zusammengesetzte Werte dar. Eine besonders lange Primzahlfolge (— 39^ x^A 40) hat das Polynom A (x) = x² — x -f 41.

Scholz, Zahlentheorie.

§ 10. Zahlentheoretische, summatorische, distributive Funktion.

Zahlentheoretische Funktion heißt eine Funktion f(n), die jeder positiven ganzen Zahl n wieder einen ganzzahligen Funktionswert zuordnet oder allgemeiner einen Funktionswert f(n) aus irgendeinem die ganzen Zahlen umfassenden Ring, z. B. eine reelle Zahl. Im Bedarfsfall wird f(0) = 0 hinzugenommen.

Jedes Polynom stellt z. B. für seine ganzen positiven Argumente eine zahlentheoretische Funktion im Ring der ganzen Zahlen dar. In der Regel denkt man aber an Anzahlfunktionen, von denen wir in (7) schon kennenlernten die Funktion t (w) = Anzahl der Teiler von n. Ihr Bildungsprinzip erzeugt einen neuen zahlentheoretischen Begriff:

Summatorische Funktion F(n) = Sf(n) von f(n) heißt die Funktion

(28)

F(n)= Zf (d).

Die Summierung wird also über alle und nur die Argumente erstreckt, die Teiler von n sind, einschließlich 1 und n.

Aus den Potenzen entstehen so die Teilerfunktionen

**(»)=

d | n

Dabei ist a₀(n) = r(n) unsere Teileranzahl und ax(n) = a(n) die ebensohäufig vorkommende Summe der Teiler von n.

Diese sowie andere wichtige zahlentheoretische Funktionen haben die Eigenschaft der „Distributivität“:

Distributive Funktion heißt eine zahlentheoretische Funktion, wenn

(29)

f(«i • >h) = /(%) • f(n₂) für (%, w₂) = 1 gilt, für n = p“¹ pl*... parr also

(30)

Insbesondere f(l) = 1, wenn man die Funktion f(n) = 0 nicht als distributiv zählt. Gilt außerdem f(pa) = f(p)a und somit fin^z) = /(%) • f(n₂) für jedes Paar (nv n₂), so heißt f eine multiplikative Funktion. r(n) ist nach (7) z. B. distributiv, aber nicht multiplikativ. Es gilt nun der

Zahlentheoretische, summatorische, distributive Funktion. 35

Satz 22: Die summatorische Funktion einer distributiven Funktion ist wieder distributiv.

Beweis: Sei f{n) distributiv und w n₂, so wird

(31)

£ m = £ f{*i ■ d₂) = £ fUh) ■ £ f(d₂).

d\n

(n=itin₂)

di |nt d% j n2

dx\rii

Dabei gewinnt man die Ffa) • F(n₂) ergebende Produktdarstellung rechts in (31) mit Hilfe des distributiven Bechengesetzes aus dem mittleren Ausdruck und diesen aus dem linken so: die Produkte d₁d₂ durchlaufen sicher alle Teiler von n, und zwar für % w n₂ auch nur einmal ; denn bei n = p“¹. . . pass un(l passender Anordnung der Primfaktoren Pi wird dann % = p*¹. . . parr mit r < s, und dv d₂, dxd haben alle Exponentenkombinationen c± bis cr, cr+1 bis c₈, cx bis cs mit 0 ^ ci ^ zu durchlaufen.

Da die Potenzen na gewiß distributive Funktionen sind, so auch als ihre Summatorfunktionen die Teilerfunktionen, die sich daraufhin leicht berechnen lassen:

ar (pa) = 1 + Pr + P²' H-----Yvar =

und dann ar{TIpa) — Uar(pa). Insbesondere Pii+1 — 1 Pi— 1

j₎r(a+1)_ ^

pr—l

<r(n) = fl

für n = JJpf.

(32)

Vi\n

Ein frühes Interesse haben die ,vollkommenen“ Zahlen, die gleich der Summe ihrer übrigen Teiler sind, gewonnen, also der Fall a(n) — 2n. Vollkommene Zahlen sind nach (32) jedenfalls die 2P—l(2p — 1), wo 2^ — 1 Primzahl. Ist umgekehrt n= 2S—1 •u eine gerade vollkommene Zahl (s > 1, u ungerade), so muß

2®« = <r(2s—1w) = (2® — 1) • ff(m)

sein, also 2⁸ — 1 | weil prim zu 2S. Bei u = (2S — 1) q ergibt das: a{u) = 2sq = q + u. Danach sind q und u die einzigen Teiler von u und dann q = 1 und u = 2S — 1 Primzahl. — Für ungerade vollkommene Zahlen sind nur stark einschränkende Bedingungen bekannt, nichts aber über ihre Existenz.

Bemerkenswert ist noch die Beziehung

fl

wegen — = 0 für m > n nach oben nicht begrenzt zu wer-

fYl

n— 11

= 1 für m I w, sonst 0, m

'fl

den braucht, so gilt — also h(n) — h(n — 1) = r (n).

§ 11. Die Möbiussche und die Eulersche Funktion.

d\n

Wir behandeln jetzt die umgekehrte Aufgabe, aus einer Summatorfunktion F (ri) = 2Jf(d) die ursprüngliche Funktion

f(ri) zu ermitteln. Wir beweisen zuerst

Satz 23: Zu jeder zahlentheoretischen Funktion F(ri) gibt es genau eine Funktion f(n), deren Summatorfunktion sie ist. Ist F(n) distributiv, so auch f(ri) und dann

(34)

f(n)=n(F(va)-F(Va~¹)) für w = flp#. v

Induktionsbeweis : Es sei richtig, daß es genau eine für die Zahlen m<n definierbare Funktion f(m) mit der Eigenschaft gibt.

Dann gibt es genau eine Fortsetzung /(l),.. . f(n— 1), f(n). für die auch £f(d) =F(n) wird; denn man braucht nur

f(n) = F(n) — Zf(d), d echter Teiler von n,

zu definieren, und dies ist, nachdem f( 1) bis f(n—1) festliegen, die einzige Möglichkeit, um (28) zu erfüllen.

Daß mit F (ri) auch f(ri) distributiv ist, folgt nun zugleich mit (34) so : Es ist jedenfalls f(pa) = F (pa) — F (p*¹—¹) wegen

F(pa) = f( 1) + f(p) H-----h + /(/)•

(33)

^ T (a-) —

yi    'ïl

-4-: tw

WÏîl L

(Links nicht summatorische Funktion von r, sondern von 1 bis n durchsummiert!)

Bezeichnet nämlich h (n) die rechte Summe, deren Summierung

(1 = 1

Man definiere jetzt eine distributive Funktion

Die Möbiussche und die Eulersche Funktion.

37

ä (n) = TI (F (Va) ~ F (^-¹))î n = JI pÄ,

die für n= pa mit f(w) übereinstimmt. Ihre Summatorf unk-tion H(ri) ist nach Satz 22 ebenfalls distributiv, und es ist durch Definition H(pa) — F(pa). Beides zusammen ergibt H(n) = F (n), also f(n) = h(ri).

Für die distributiven Funktionen ist damit die Aufgabe, f(ri) aus F (n) zu bestimmen, gelöst. Wir suchen nun allgemein einen geschlossenen Ausdruck, der f(ri) als Yielfachsumme der F(m), m\n, darstellt:

(35) f (ri) — [ä±F (ri) + • • • + j +----b FdF

+ * * * + FnF (1).

Die Argumente seien nach fallenden Teilern von n geordnet. Es wird sich zeigen, daß jud = /u (d) nur von d, nicht aber von n und F abhängt: Jedenfalls muß schon /u₁= 1 sein, da f(n) bei summatorischer Zerlegung der F (t) nach (28) nur in F (ri) vorkommt. Die übrigen f(d) müssen hingegen nach Einsetzen von (28) aus der Darstellung (35) herausfallen. Dabei

als Summand vor und

\dj

aus

kommt f(^j zum letztenmal bei F vorher bei allen F ^-yj, wo t echter Teiler von d. Hat man daher alle fit (t < d) schon so bestimmt, daß f(^jj für 1 < t < d

der Teilsumme fi₁F(ri) + • • • + /bitF^jj von (35) und damit ganz aus (35) herausfällt, so braucht man jetzt nur ptd als negative Summe aller pLt mit echtem Teiler t von d anzusetzen, und es fällt auch heraus.

Nach diesem Ansatz hängt /i(d) tatsächlich nur von d ab, und man hat eine Darstellung (35), kennt man nur die Möbiussche Funktion pi(d). Für sie gilt nach (35):

i f.;r w i

„ n> 1.

Ihre summatorische Funktion o(ri) ist also distributiv und daher nach Satz 23 auch ju(ri). Nach (34) liefert (36):

(36)    JSM*) = °(») = o    ’

Mi) = Mp) ⁼ —

1, ju(^) = ju(p 3) = ... = ₀.

ju(n) = 0

Zusammenfassend haben wir gewonnen :

(37) fi(n) — (— l)r für quadratfreies n — p± • • • pr, für quadratbehaftetes n.

Satz 24 (Möbiussche Umkehrungsformel) : Ist F(n) die summatorische Funktion von f(n), so ist f(n) rückwärts aus F bestimmbar durch die Formel

(38)

Hierbei ist ju(n) die durch (37) angegebene Funktion.

Wir wenden diese Ergebnisse auf die Eulersche Funktion <p {n\ die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen von 1 bis n (0 bis n— 1), an, eine Funktion von Bedeutung für das nächste Kapitel. Wir stellen fest, daß

g

CO

SS

05 CD

rC« »> <£>

§ CD (M

lO ^

^ ca co ca ca th

i-i th

i-i o

T—I T—I

DO

CD

00

QO

Beweis von (39): Man ordne die Zahlen r von 1 bis n nach ihrem gr. gem. T. d mit n. Aus (r, n) = d mit r = dq,n = dm folgt (q, m) — 1 und umgekehrt. Ebenfalls bedingt sich 0 < r n und 0 < q ^ m gegenseitig, und daher ist <p (m) als Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen von 1 bis m zugleich die Anzahl der Zahlen von 1 bis n, die mit n den gr. gem. T d = n:m haben. Geht man alle d | n durch, so wird damit die Anzahl n aller Reste die Summe der <p (m) mit m \ n. Man hat

Satz 25: Die Eulersche Funktion <p(ri) hat n ab Summatorfunktion, ist daher distributiv, und es ist <p{pa) = pa — pa~¹, nach (34) für n=IJ pa also

(40) <p (n) = J-J (pa — pa    l)p“

V |»

= n fjl---” in Bruchform geschrieben.

V\ n V

<p{n)=£ pWt

(41)

Eine Verallgemeinerung des eben Gewonnenen ist folgende Aufgabe: Man bilde die nk Systeme av . .ak der unabhängig voneinander die Zahlen von 0 bis n — 1 durchlaufenden a{ und verteile sie nach dem gr.gem. T. d = (a±,... ak, n) in Klassen. Die Anzahl der Systeme mit d — 1 heiße cpk(n). Es gilt dann entsprechend

2j 9h{m) = n\ <pk(m)=2J /»Wÿ-

m J n

Wir stellen die gewonnenen distributiven Funktionen in (dnem Schema zusammen, in dem jeweils die rechts von einer Funktion stehende deren summatorische ist:

<Pk, nk,ak.

n, o, 1, r;

<p, n,a;

III. Kongruenzen.

§ 12. Rechnen mit Kongruenzen. Der Restklassenriug.

Die Restdivision a — mv + r durch eine positive Zahl m teilt alle ganzen rationalen Zahlen nach dem Rest r in m Restklassen r — Ö, Ï,... m— 1 ein. Wie wir sehen werden, hängt die Restklasse einer Summe und eines Produktes von Zahlen nur von den Restklassen dieser Zahlen ab. Dies wird die Bildung eines ,,Restklassenringes modulo mu ermöglichen, in dem außerdem die Multiplikation in weiterem Maße umkehrbar ist als im Ring der ganzen Zahlen. Die Kongruenzen, die wir gleich definieren werden, sind im wesentlichen nichts anderes als Gleichungen zwischen Restklassen, nur daß eine Kongruenz eine Beziehung zwischen einzelnen Zahlen aus den Restklassen darstellt, zwischen ,,Resten“, indem man zwei Zahlen als „kongruent“ erklärt, wenn sie derselben Restklasse angehören.

Wir werden indes den Begriff der Kongruenz lieber etwas anders einführen, nämlich so, daß er in allen Teilbarkeitsbereichen auch ohne eine bestimmte Division mit Eest anwendbar ist. Wir definieren nun :

(42)

a'~ a mod m bedeute m\a' — a.

Gesprochen: a' kongruent a modulo m; oft kürzer geschrieben a! = a (m) oder nur a' = a, wenn der Modul m bekannt ist. Die Bezeichnung Modul entspricht unserer früheren Definition des Moduls insofern, als z = 0(m) genau für die Zahlen z des Moduls (m) gilt.

mit a'= a

,, a' = a und a" = a'.

SS

i a . und ßtt __

Die Kongruenz ist eine Äquivalenzbeziehung, d. h. es gilt Symmetrie Transitivität

Denn es ist mit m\a! — a auch m\ a — a' und, wenn außerdem m | a" — a', auch m | (a" — a') + (a' — a) = a" — a. Ferner gilt a= a (Reflexivität, die aus Symmetrie und Transitivität auf dem Wege a= a'= a folgt).

Jede Äquivalenzbeziehung liefert eine Einteilung in „Klassen untereinander äquivalenter Elemente“ (hier kongruente! Zahlen) derart, daß zwei Elemente verschiedener Klassei inäquivalent sind (hier inkongruent : a ^ b (m), wenn m Ą' a— b). Diese Klassen nennen wir hier Restklassei mod m und jeden Vertreter einer Klasse einen Rest.

Wie schon erwähnt, sind Addition (Subtraktion) und Multiplikation invariant gegen Kongruenzübergänge: Ist a'=a, b' = b, c' = c mod m,

so gilt

a' ± V = a ± & wegen m | (a' — a) ± (&' — b)

= (a'±b')-(a±b); „    m\(a'—a)c = a'c—ac\

(43)

a'c = ac a'c'= a'c= ac.

Durch beliebige Verbindung der Ringoperationen erhält man für x~ y, xt = yi allgemein

(44) und

ao + a\x + • * * + ak x1c = ao + ai V + * * * + aic yk A{x^ .. . æw)= A^y^ . . ., yn).

Hierbei bedeute A ein Polynom in mehreren Variabein mit ganzen Koeffizienten, also A(xv . . . xn) einen Ausdruck, der aus xv ... xn durch Additionen und Multiplikationen liervor-gellt. Der jedem System ganzer ... xn dabei zugeordnete Funktionswert A (xj, ... xn) ist daher wieder nur von den Restklassen abhängig, in denen die xi liegen. Auch dürfen die Koeffizienten durch kongruente Werte ersetzt werden, immer mod m. Nicht aber dürfen Exponenten von Potenzen mod m abgeändert werden (jedoch oft mod<p(m); vgl. § 17), um wieder eine Kongruenz mod m zu erhalten.

Daß für Kongruenzen auch die Rechengesetze eines Ringes gelten, erhält man am besten durch Bildung des Restklassenringes mod m. Man definiert als Summe, Differenz, Produkt zweier Restklassen mod m diejenige Restklasse, die die Summe, Differenz, das Produkt je einer Zahl aus den beiden Restklassen enthält; sie ist nach (43) eindeutig bestimmt. So erhält man einen Restklassenring mod m, der die in § 6 gestellten Forderungen eines kommutativen Ringes erfüllt. Wir werden jedoch der Restklassengleichung die Kongruenz als einfachere Ausdrucksweise vorziehn.

ICO | T-I

= 4 = -L_

9. 3 •    = 3 • 4 == 3 • 7 = 3.

3 • (4— 7) = 3- (— 3) = Ö.

Beispiele: m=b. 3-m =

Im Kongruenzen geschrieben:

3 • 3== 9= 4= — 1 mod 5.

3.1eee3-4e=3-7-=3 mod 9 . ...

Das zweite Beispiel zeigt schon, daß der Ring mod 9 Nullteiler besitzt und daher keine eindeutig umkehrbare Multiplikation. Für zusammengesetztes m = kl (k,l < m) hat der Ring mod m stets Nullteiler, nämlich die Restklassen k und /; denn es gilt kl = 0 (m) bei k, l =£ 0. Ist hingegen m Primzahl, so gibt es nach Hauptsatz 18 kein solches Paar k, l, und daher ist der Restklassenring eines Primzahlmoduls nullteilerfrei (vgl. § 13).

Der Umstand, daß der Restklassenring modm eine endliche Menge ist, wird uns manche wertvolle Schlußweise liefern und macht es ferner möglich, vollständige Additions- und Multiplikationstabellen aufzustellen, Z. B,

iOOH(MCO^

cd

2

(MCO^iOOH . H (M CO ^ »O O ^ OH(MCO^iO<h

2 3 4 5 0 4 0 2 4 0 303030 420420 543210 000000 Mult, mod 6

t—i Cd

Mult, mod 7

T—! CM CO

COCIXNIQH^

Dabei steht das Produkt (die Summe) eines Restes r am linken Rande mit einem Rest s am oberen Rand in derselben Zeile wie r und Spalte wie s, und es ist die Multiplikation 0-r=r-0=0in der Tabelle mod 7 kürzehalber fortgelassen. Als Vertreter seiner Restklasse wurde jedesmal der kleinste positive Rest verwandt; es könnte auch irgendein Vertreter für jede Restklasse gewählt werden, mod 7 z. B. 1, 9, 3, 18, 12,-1, 7.

Ein solches System R, das aus jeder Restklasse modw genau eine Zahl enthält, heißt ein vollständiges Restsystem mod m. Dieses ist durch je zwei der folgenden drei Eigenschaften bereits gekennzeichnet :

1.    R enthält genau m Zahlen.

2.    Je zwei Zahlen aus R sind einander inkongruent.

3.    Jede ganze Zahl ist einer Zahl aus R kongruent.

Jede der drei Eigenschaften folgt aus den andern beiden, jeweils unter Verwendung des Anzahlsatzes (Satz 4).

Hat man ein bestimmtes vollständiges Restsystem R mod m festgelegt, so „reduziert“ man eine Kongruenz, indem man in ihr jede Zahl durch die zu ihr kongruente aus R ersetzt.

Bemerkung 1. Der Restklassenring Rm mod m geht allein schon aus dem Begriff der natürlichen Zahl hervor: um die Restklasse — Î zu definieren, braucht man die negativen Zahlen nicht einzuführen, denn die Gleichung 5) + Ï = Ö ist lösbar durch die Restklasse x = m — 1; sie ist also keine Neueinführung. Ähnlich verhält es sich mit der Umkehrung der Multiplikation im nächsten Paragraphen.

Bemerkung 2. Den Ring der ganzen rationalen Zahlen kann man selbst als den „Restklassenring modO“ auffassen, weil in ihm die Restklasse 0 aus der den Modul (0) erschöpfenden Zahl 0 allein besteht. Die Nullteilerfreiheit, die bei ihm schon aus der Ordnung seiner Elemente folgt, hat er mit den Primzahlmodul-Restklassen-ringen gemein. Bei diesen hat man aber wie bei allen eigentlichen Restklassenringen nur eine zyklische Anordnung seiner Elemente,

Mit a'= a (m) gilt a'= a (t).

Übergang von einem Modul m = dt zu einem Modulteiler t.

(45)

Mit a' = a (t) gilt a'd = ad (m) und umgekehrt. Nämlich t\a—a' ist gleichbedeutend mit dt\da—da'. Während a' = a mod m, also dt | a! — a mehr sagt.

§ 13. Kongruenzdivision. Bruchdarstellung.

Restklassenkörper.

Satz 26: Die Kongruenz ax~ c modm ist genau dann lösbar, wenn (a, m) | (c, m) und besitzt in diesem Fall gerade (a, m) einander inkongruente Lösungen.

Für den Hauptfall (a, m) = 1 gehört also zu jedem c eine mod m eindeutige Kongruenzlösung.

(46)

Beweis: Nach Definition der Kongruenz bedeutet ax= c mod m, daß sich ax von c nur um ein Vielfaches von m unterscheidet, also ax — c + my für irgend ganzes y oder c = ax — my.

Zu jeder Lösung der linearen Kongruenz ax=c(m) gehört somit ein Lösungspaar x, y der diophantischen Gleichung (46), und umgekehrt liefert das x eines Lösungspaares von (46) stets eine Lösung der linearen Kongruenz. Durch ax — my sind aber gerade alle Vielfachen von (a, m) darstellbar. Also ist (a, m) | c oder (a, m) | (c, m) die notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit der Kongruenz ax= c{m).

Ist nun (a, m) = d, a — a'd, c = c'd, m = m'd, so ist ax~c(m) nach (45) gleichwertig mit a'x = cf (m'), wie sich ja auch (46) auf a! x—m'y = c' reduziert, und aus einer Lösung x erhält man alle durch x' = x + m' z mit beliebig ganzem z (vgl. §7); denn es ist a'x' = a'x (m') oder m' | a'(x'— x) wegen (a',m') = 1 nur für m' \ x'— x.

Ist von vornherein (a, m) = 1, so gilt x'=x (m); man hat in diesem Falle, wie behauptet, eine mod m eindeutige Lösung. Sonst sind, sofern (a, m) | c gilt, x, x + m', x + 2m', ... x + (d — 1) m' alle d einander modm inkongruenten Lösungen; anders ausgedrückt: die Lösung ist eindeutig mod m'. Damit ist alles bewiesen.

Für (a, m) = 1 verwendet man zur Bezeichnung der eindeutigen Lösung der Kongruenz ax = c modm gern die Bruch

form # = — mod m. Wir führen aber mit dieser Bruchschreib-

a

weise nicht die rationalen Zahlen ein, auch nicht die mit zu m fremdem Nenner. Das letzte ginge an sich, würde aber den Begriff der Kongruenz mod m sowie der Teilbarkeit überhaupt verschieben. Es gelten aber hier dieselben Bechenregeln wie für rationale Brüche:

er c

_ cs ar as ’    da-^~ ds das

Die Bruchschreibweise kann die Auflösung von Kongruenzen sehr vereinfachen. Dies sei an zwei Beispielen dargetan:

27æ= 1 (100) : #=~

99

11

111

27“    27“    3“

T=

— 37

oder

189

r-=63.

S1

81

148

37

67#= 81 (139) : #=    — g-= — g ~ = — ~2~ ^

oder

162

o-l SS

CO |

rH

51

Das Prinzip ist folgendes: den Nenner des gegebenen Bruches dadurch allmählich auf 1 herabzudrücken, daß man Zähler wie Nenner durch kongruente Zahlen ersetzt, entweder kleinere oder aber so zerfallende, daß der Bruch nach (47) kürzbar wird. Bisweilen

81 162

kann auch eine Brucherweiterung wie oben ^    das Ver

fahren beschleunigen; der in Zähler und Nenner hinzukommende Faktor muß dabei aber zu m prim sein. In der Regel kommt man mit dem Bruchrechnungsverfahren viel schneller zum Ziel als durch Auflösung einer diophantischen Gleichung (46) nach dem Muster des Euklidischen Algorithmus. Umgekehrt lohnt es sich, wenn (46) gegeben, eine Bruchkongruenz daraus zu machen, wobei noch die Auswahl zwischen a und m als Modul steht.

Eine besondere Würdigung verdient der Fall, daß der Modul der Kongruenz eine Primzahl ist. Auf ihn werden sich (§ 16) die Kongruenzen nach beliebigem Modul im wesentlichen zurückführen lassen. Es gilt hier

Satz 27: Der Restklassenring eines Primzahlmoduls ist ein Körper.

Körper heißt dabei ein kommutativer Ring, in dem jede

Gleichung ax = c für a 4= 0 eine, und zwar dann eindeutige,

c

Lösung besitzt, die restlose Division — also ausführbar ist.

Die Eindeutigkeit folgt hier aus der allgemeinen Existenz der Lösung : Gilt zugleich ax = ay = c, so a (x — y) == 0 bei x — y 4= 0. Es hat dann nach Festsetzung auch (x — y) z = 1 eine Lösung 0, und es gilt a = a(x — y) 0 = 0 • 0 = 0. Für a 4= 0 ist daher die Lösung eindeutig.

Umgekehrt kann man nur für Ringe mit endlich vielen Elementen schließen: Sind alle ax verschieden, wenn x den Ring durchläuft, so ergeben die ax nach Satz 4 alle Ringelemente. Es ist darum ein nullteilerfreier endlicher Ring ein Körper, also auch der in § 12 bereits als nullteilerfrei festgestellte Rv. Dagegen ist der unendliche Ring der ganzen Zahlen zwar nullteilerfrei, aber kein Körper.

Die Körpereigenschaft des Restklassenringes Rp mod p folgt jedoch unmittelbar aus Satz 26; denn ax= c ist mod p für jedes a ^ 0(p), d.h. jedes nicht durch p teilbare a lösbar, weil dann (a, p) = 1.

Die Lösung x = a' von ax= 1 (p) heißt der zu a reziproke Rest. Hat man eine Reziprokentafel mod p, so kann man Divisionen durch Multiplikationen ersetzen.

§ 14. Ein Satz von Thue. Wilsonscher Satz.

Wir bringen jetzt einige Anwendungen der Restdivision, zuerst in verallgemeinerter Form einen Satz von Axel Thue, der sowohl für zahlentheoretische Rechenverfahren (YI) als für abzählende Beweise (§ 20) wertvoll ist:

Satz 28: Sind e und f zwei natürliche Zahlen, deren Produkt die Primzahl p übersteigt, dabei 1 < e, f p, so lassen sich alle Reste r mod p auf die Gestalt bringen:

mit 0 < x<e, 0 < y <f. (Bei Thue ist f = e und e das Minimum, für das e² > p.)

(48) r= 0 oder ^ ^

Beweis mit Hilfe der Dirichletschen Schubfächermethode:

Ist r ein fester Rest ^ 0 mod p, so bilde man alle Ausdrücke v + Tw mit 0 v < e, 0    <f. Das sind ef, also mehr

als p, Ausdrücke; also sind wenigstens zwei unter ihnen einander kongruent, etwa v' + rw' = v" + rw" und dabei w'^w", weil sonst auch v'=v". Dann ist aber, wie zu zeigen war,

r=± |w,_w,/| mit 0 < | v'— v"\<e, 0 < | w’— w" | < f.

Die Unterbringung der Reste im Bruchrechteck 0 < x < e, 0 < y <f liefert dabei selbst im quadratischen (Thueschen) Fall e = f eine sehr ökonomische Verteilung : für p — 3,1, 23, 47

hat man nur je eine Darstellung ^ ~ mit (x, y) = 1 für die Reste 1,... p— 1.

Für sonstige p haben mehr als die Hälfte aller Reste auch nur eine Darstellung: der Überschuß an Darstellungsmöglichkeiten beträgt weniger als die halbe Restzahl. Für große p bleibt der Überschuß zwischen 21 und 22%- [1,215 < Q(n) : n² < 1,216 für großes n

bei§(n) = i 21 (p (m) — 1 Darstellungen 0, i — für ein p zwischen m^n    V

n² und (n + l)².]

Nun eine Anwendung der Reziprokenbildung modp:

Satz 29 (Wilsonscher Satz, bewiesen von Lagrange): Für jede Primzahl p gilt

(49)    {p— 1)! = 1 • 2 • 3 • • • (p— 1) = — 1 modp;

(50)    mit j²=

(51)

= ±1(P)

1 (p) für p = in + 1, für p = in — 1.

Das wichtigste Ergebnis liegt hier in (50): daß die Kongruenz x² = —1 (p) lösbar ist für p= 1(4). Wann in (51) + 1 und wann — 1 steht, vgl. S. 97/98.

Beweis von (49): Ist x' jeweils der reziproke Rest zu x, also xx' = 1 (p\ so ordne man das Produkt (49) nach Paaren x, x' unter Voranstellung der Selbstreziproken x' = x, für die also x²~ 1 gilt, d. h. ^ | x²— 1 = (x— 1) (x + 1) und dann p1 x— 1 oder af+ 1; x = ^ l(p). Es folgt

(p — 1) ! == — 1-1-Uxx' = — 1 mod p.

Beweis von (50), (51) für p = 2k-\-l aus (49): Es ist —1= (p— 1) != 1 - 2 - - - fc (— fc) - • (—2)(—1)= (—1)* (fc!)a-Für p = £n-{-l(k gerade) also (k\)² =—1; k\ = j, für p = in—1 aber (fc!)²=-j-1; k ! = ^ 1.

§ 15. Simultane Kongruenzen.

Satz 30 (Hauptsatz über simultane Kongruenzen):

Gegeben seien r paarweis teilerfremde Moduln m₁,m₂,...mr mit dem Produkt m und zu jedem mi ein Best a{. Dann gibt es modm genau einen Best x, der die Kongruenzen

(52)

x= dh(%), x= a₂(m₂),... x= ar(mr) zugleich erfüllt, wie auch die a{ gewählt seien.

Die aus der Verbindung der Kongruenzen (52) hervorgehende Kongruenz mod m ist dabei gleichwertig mit (52), weil auch umgekehrt aus ihr alle Kongruenzen (52) folgen.

Folgerung: Eine Kongruenz nach einem zusammengesetzten Modul ist gleichwertig mit einer Schar von Kongruenzen nach seinen Prim-zahlpotenzfaktoren.

Beweis von Satz 30 : Ist m =    und dann (qv... qr) = 1

wegen paarweiser Teilerfremdheit der mh so ist

l =    -----1" irVr

darstellbar. Setzt man dabei q^Vi — z^ so hat man

(53)    1 =z₁+zz-\-----h mit    für j 4= i.

Nämlich m{ | q^ = m :nij \ Zj und daher zi= l(m*). Setzt man nun

X~ axZx + CL₂Z2 + • • * + a,Zr m°d W&,

(54)

so ist (52) erfüllt, und jede (52) erfüllende Zahl x (m) hat, weil x' — x durch alle mi teilbar sein muß, denselben Best mod m. (54) liefert mit (53) ein Bechenverfahren.

Beispiel: x = 2 mod 7, x = 4 mod 8, #*= 1 mod 9.

Wird bei (7, 8) = (7, 9) = (8, 9) = 1 durch einen bestimmten Rest mod 7- 8-9 = 504 erfüllt. Es ist qx = 72= 2 (7); q₂ = 63 = — 1 (8);    #₃ = 56= 2 (9). Für die Rechnung

genügt es, (53) als Kongruenz mod m anzusetzen; man hat dann für y{ nur qiyi=l{mi) zu lösen, und hat

Î1 Vi -----1- qr yr = 1 (wij) ; hier also 2y₁ = 1 ; yx = 4 mod 7,

î/₂ = —1 mod 8, 2/₃ ==—4 mod 9. Diese y in (53) eingesetzt ergibt

z±= 288, z₂ = — 63, % = — 224 (504). Also x = 2 - 288 — 4 • 63— 224 = 100 mod 504.

Dies Verfahren ist vorteilhaft, wenn mehrere Kongruenzverbindungen nach denselben Moduln vorzunehmen sind. Soll z. B. jetzt x= 5(7), x = 1 (8), x= 3(9) bestimmt werden, so erhält man mit denselben z jetzt

2-4-27—63—3-4-56 = —72— 63+ 6-56=201.

Hat man jedoch nur ein System simultaner Kongruenzen zu vereinigen, so ist es oft vorteilhafter, statt der Kongruenzen qiyi= 1 gleich X{ = a,i aufzulösen und dann x = xx + • • • + xr zu bilden. Jedenfalls beachte man, daß der Multiplikand von q^ nur von seiner Restklasse mod m,i abhängt und daher mod m^ reduziert werden kann, wie im letzten Beispiel oben geschehn, auch unter Verwendung von Bruchdarstellungen, deren Nenner jedoch bei der Aufstellung von (54) zu m prim sein muß.

Anderes Rechenverfahren : Man vereinige die Kongruenzen (52) der Reihe nach so, daß man zuerst das erste Paar durch eine einzige Kongruenz mod m₁m₂ ersetzt und x durch x— ax:

x— % = 0 (%); x— %= a₂—    (m₂),

d>₂ ßj

mod m₂.

m₁

(55) x— a±=    a₂— %(m₂); y=

y muß, etwa nach dem Bruch verfahren unter (47), ganzzahlig ausgedrückt werden und liefert dann ein x = a₁₂modm₁m₂. Nun fahre man wie oben fort mit der Vereinigung von

x— %₂= 0(m₁m₂)\ x— a₁₂ = a₃— a₁₂(m₃)

und gelangt zu x = a₁₂₃    ; x = aA (m₄) ; ... x = ar (m, ).

Ausgeführt am zweiten obigen Beispiel x= 201 (504):

x — b=ly=l — 5 mod 8; y= 4, x=b+ 7-4= 33(56). x— 33 = 56 2= 3— 6 mod 9; z = 3, x = 33 + 168(504).

(56)

Dies i. allg. günstigere Verfahren gestattet auch, æ= a±(mx); x= a₂(m₂) bei (mv m₂) — d

als Aufgabe zu behandeln. Hier muß ax= a₂ (m₁,m₂) sein, damit (mv m₂) \ x — alT x — a₂, und dies reicht auch für die Lösbarkeit von (56); denn setzt man durchweg n— du' für d | n, so bleibt für y in (55) nur eine Kongruenz m{y= (a₂— %)' mod mz zu lösen, und durch dies mod eindeutig bestimmte y ist auch x — mxy nach dem Modul mxm₂ = {mv m₂} bestimmt. Das allgemeine Ergebnis lautet hier:

Satz 31: Die Kongruenzen (52) sind allgemein genau dann erfüllbar, wenn

(57)

ak mod (m$, mk) für jedes Paar i,k

gilt, und dann ist x genau mod m, dem kl. gem. V. der mi? bestimmt.

Beweis: Klar ist, daß (57) gelten muß, wenn eine Lösung x existieren soll, daß dann ferner x, weil nach allen m*, auch mod m festliegen muß und mit x auch jedes x + mq Lösung ist. Daß (57) auch hinreichend ist, folgt mit Induktionsschluß so: Satz 31 sei richtig für ein System von r- 1 simultanen Kongruenzen. Dann gibt es also für die ersten r— 1 Kongruenzen (52) ein gemeinsames

x= a mod m' = {m1?. . . mr_D,

und es bleibt

x— a = 0 (m'); x— a= ar— a (mr) zu vereinigen, was möglich ist, wenn (m', mr) | ar — a. Tatsächlich gehen wegen a=a{ mod mi für i= 1,. . . r — 1 alle (m^, mr) in ar— a auf, wenn (57) gilt, und damit auch ihr kl. gem. V. m" = {(m1? mr),... (mr_i, mr)}, das aber = (m', mr) ist: denn eine Primzahl p, die in mr in der e-ten und in mi in der erten Potenz aufgeht, geht sowohl in m" als in (m', mr) in der e-ten Potenz auf, wenn ein ^ e ist, sonst aber, wenn alle ei < c, in der höchsten der erten Potenzen.

Scholz, Zahlentheorie,

Oft lautet die Aufgabe: alle Zahlen zu ermitteln, die je eine der Kongruenzen

x= an, a₁₂, . .. aUi mod    x= arl,... arCf mod mf

«•

erfüllen. Hierbei seien aiv ai2,... untereinander inkongruente, zur Auswahl stehende Reste mod m,£, und die Verbindung je eines Restes mod bis mod mr liefert eine simultane Kongruenz. Bei paarweis teilerfremden mi hat man somit cxc₂ • • cr simultane Kongruenzen mit je einer Lösung mod m = TI m

Beispiel: Es sollen alle „teilerfremden Reste“ modw ermittelt werden. (Der gr. gern. T. (a>, m) hängt nur vom Rest a mod m ab!) Ist m = pl¹ • • • perr, so sind alle Werte

(58)

x =£ 0 mod pv x^O mod p₂, ..., x ^ 0 mod pr zu kombinieren. Es bleibt hier nur eine Aufgabe mod px p₂ • • • pr zu lösen. Nach diesem Modul gibt es (p₁ — 1) (p₂ — 1) - • • (pr — 1) Werteverbindungen(58), also ebensoviel teilerfremde Reste mod Tip als Kongruenzlösungen von (58). Dies sind mod m <p(m) = (Pl — i) • • • (pr — i) npf~l teilerfremde Reste, eine neue Ableitung für die Anzahl 99 (m). Die Bestimmungen der Lösungen vgl. § 34.

Ein Vertretersystem der teilerfremden Reste mod m heißt ein reduziertes Restsystem.

§ 16. Algebraische Kongruenzen. Lösungsanzahl.

Die Ergebnisse des vorigen Paragraphen werden wir nun verwenden, um Bedingungskongruenzen nach einem beliebigen Modul auf Kongruenzen nach Primzahlpotenzmoduln zurückzuführen, und für diese werden wir auch eine gewisse Zurückführung der Kongruenz mod pe auf Kongruenzen mod p gewinnen und zwar folgender Art : Gilt x= a mod pe~¹, so gilt eine der Kongruenzen

(59)

x= a + pe~xy mod pe, y=0,l,...p—1.

Um also ein mod pe~¹ bereits festliegendes x mod pe festzulegen, ist noch eine zusätzliche Kongruenz für y mod p aufzustellen, und auf diese wird dann die ursprüngliche schrittweise zurückgeführt.

Besonders für algebraische Kongruenzen (solche zwischen Polynomen), die wir hier betrachten wollen, ist es wichtig, auf Kongruenzen nach einem Primzahlmodul p zu kommen; denn ist der Koeffizientenbereich der betrachteten Polynome ein Körper, hier Bestklassenkörper modp, so gelten die bekannten Sätze über die Lösungsschar eines linearen Gleichungssystems und die eindeutige Zerlegbarkeit der Polynome in unzerlegbare Faktoren. Wir werden diese nur für die Linearfaktoren mod p der Polynome einer Yariabeln brauchen. Wir definieren

(60)

A (xv ... xn) = B (xv ... xn) mod m, wenn alle Koeffizienten von A— B durch m teilbar sind. Also A = B für die Polynome, deren Koeffizienten die zugehörigen Bestklassen modm sind; womit jede Kongruenz wieder eine Bestklassengleichung darstellt.

Für ein Polynom in einer Variabein x heißt f der Grad von A(x) modm, wenn xf die höchste in A vorkommende Potenz mit einem Koeffizienten ^ 0 mod m ist. Einem A(x)= 0 modm sei kein Grad zugeordnet.

Beispiel: 12x³ + 9æ² -f 4 hat mod 5 den Grad 3, mod 4 den Grad 2, mod 3 den Grad 0 und ist z. B. = 2x³ — x² — l mod 5, = x² mod 4, = 1 mod 3. x³ — x hat mod 3 den Grad 3 und ist insbesondere 3= 0, obwohl es für jedes x = 0,1, 2 den Rest 0 ergibt. Es können demnach verschiedene Restklassenpolynome an allen Stellen übereinstimmen. Vgl. hier §18!

Wir behandeln jetzt die beiden Zurückführungsaufgaben und zwischen ihnen die Polynomkongruenz mod p.

Aufgabe A. Zurückführung der Lösung von Kongruenzen A (xv .. . xn)= 0 mod m auf Kongruenzen mod pe.

Es sei m = pl¹ • • • perr\ pei=mi, die Lösungen von A(xv .. . xn)= 0 mod mi seien bekannt, und es sei x±= x[ , x₂= x'₂ ,. . . xn = x'n irgendeine Lösung mod mx; x±= x'{ , x₂= x^ ,xn= x„ ,,    ,,    mod m₂;

xi= x\ \ *2=    •••*»= x'n »    » mod mr.

Dann gibt es nacli Satz 30 ein mod m eindeutig bestimmtes

xk, das die Kongruenzen der k-ten Spalte dieses Schemas zugleich erfüllt. Dies für k = 1,n durchgeführt ergibt die das Schema erfüllende Lösung x₁== x\,..xn= mod m. Hat A(%)= 0 mod genau    verschiedene Lösungen

(xv . . . xn), die also zu je zweien in irgendeiner Yariabeln xk mod mi abweichen, so lassen sich • • • cr verschiedene Schemata aufstellen, deren Lösung x% jeweils A(xk)== 0 mod mi für alle i erfüllt und damit A=Omodm. Es entstehen so cx • • • cr verschiedene Lösungen mod m, die immer nach wenigstens einem verschiedene Lösungen schon darstellen. Umgekehrt liefert jede Lösung (æ1? ... xn) von A~ 0 mod m, weil sie zugleich A= 0 mod mi erfüllt, ein Lösungsschema obiger Art. Es gibt daher keine weiteren Lösungen, insbesondere überhaupt keine, sobald nur eine Kongruenz A=0{mi) unlösbar ist. Wir haben:

Satz 32: Die Anzahl a(m) der endlichvielen Lösungen einer Kongruenz A(xv . . . xn) = 0 modw ist eine distributive Funktion von m. Man erhält alle Lösungen mod m durch unabhängige Vereinigung der Lösungen nach den einzelnen Prim-potenzteilern von m.

Auch für gemeinsame Lösungen mehrerer Kongruenzen mod m ist die Anzahl distributiv. Und die Aufgabe wird einfacher, wenn man die Kongruenzen erst nach den pp löst, die gemeinsamen Lösungen aussiebt und dann zu Lösungen mod m vereinigt. Eine Aussiebung ist bei Kongruenzen, wo es sich um endlich viele, oft nur sehr wenige Lösungen handelt, meist einem algebraischen Verfahren vorzuziehen.

x² + y² = 7 mod 15. ₉ .    ₉= 1 mod 3;

*² + «/²_ 2 mod 5.

Beispiel :

Zerlegung:

Lösungen mod 3: xe=0, y= ^ 1 oder umgekehrt. a= 4.

,, mod 5: x = ^ 1, y = ± 1, unabh. kombin. a= 4.

a= 16.

„ mod 15: x=± 6, y= ^ 1,^ 4

oder umgekehrt, bei unabh. Kombination.

Weiterhin nur Polynome einer Variabein betrachtend bestimmen wir, als allgemeines Beispiel, die

Anzahl der Lösungen der Kongruenz x² == 1 modm.

Für eine Lösung x mod pe muß gelten

(61)

pe | x²— 1= (x— 1) (x + 1).

Ist p > 2, so geht p nicht zugleich in x— 1 und x + 1 auf; also gilt entweder pe | x— 1 oder pe \ x+ 1. Man hat die zwei Lösungen x==±l(pe).

Für p = 2 und e — 1 ist x= + 1 = —1 mod 2 die einzige Lösung; bei e = 2, also mod 4, sind das wieder zwei Lösungen; für 3 kommen nun noch neue Lösungen hinzu; es sind x— 1 und x + 1 zugleich gerade, jedoch nur eine der beiden Zahlen durch 4 teilbar. Diese muß daher durch 2e—1 teilbar sein, und das genügt, damit x² — 1 durch 2e teilbar. Man hat

x= i 1 mod 2e~¹, =£1, i 1 + 2e~¹ mod 2e

als die Lösungen von x² = 1 mod 2e, und dies sind mod 2e vier inkongruente Lösungen, sobald e > 2. Für e = 3, m = 8, sind noch alle primen Reste 1, 3, 5, 7 Lösungen. Für m = 16 nur noch die Reste 1, 7, 9,15.

„    , zusammenfaßbar in x = ^ 1, ± 19 (30).

Aufgabe B. Behandlung der Kongruenz Ä(x)= 0 mod

Für beliebiges m ist nun Satz 32 anzuwenden; man erhält, wenn m = 2spe^ • • • p[r, pi die ungeraden Primteiler von m, ei > 0 und s^O, 2r Lösungen für s < 2, 2r+1 Lösungen für s = 2 und 2r+2 für s > 2. Durch Vereinigung der Primpotenzmodullösungen erhält man z. B. für x²= 1 mod45: vier Lösungen x=± 1, ^ 19(45); mod 120: 16

A (x) = xn + xn~¹ + • • • + an.

Für die Lösungen (Wurzeln) der Kongruenz, die sich durch Einsetzen eines vollständigen Restsystems mod p für x feststellen lassen, bestehen folgende Zusammenhänge:

Satz 33: Es ist r genau dann Wurzel einer Kongruenz A(x)= 0 nach irgendeinem Modul m, wenn A(x)= (x—r)Q(x) mod m zerlegbar ist.

Beweis: Für jedes r gilt, sogar als Gleichung,

A(a0— A(r) = (xn— rn) + a₁(^“¹—r^¹) +•••+    r)

= (x— r) Qr (x) wegen x— r | xl — rl.

(62)

Für A(r)= 0 mod m ist daher A(x)= (x—r)Qr(x)\ die Umkehrung ist klar.

Satz 34: Sind rx, r₂,... rk einander inkongruente Lösungen von A(x)= 0 mod p und p eine Primzahl, so gilt eine Kongruenz

A{x)= (x— rx) (x— rg) • • • (x— rk) Ak(x).

Ist nämlich A{x)= (x—- r-Q • • • (x— r*) A±(x) und r eine zu bis ri inkongruente Lösung von A (x) = 0 mod p, so folgt aus A(r)= (r— rj • • • (r— r<) ^(r)= 0, aber r— rl9 . ..,r—r^E^O, daß J^(r)= 0, weil p Primzahl. Also gilt für die zu rx bis r< hinzukommende Kongruenzwurzel r nicht nur x— r | A(x), sondern auch x— r | Ai(x). Induktionsschluß liefert jetzt (62).

Folgerung: Eine Kongruenz n-ten Grades hat höchstens n Wurzeln mod p und zerfällt in diesem Falle (63)

A (x) = (x—rj (x—r₂)- • • (x—rn). Anwendung: Für jeden teilerfremden Eest r gilt eine Kongruenz rh= 1 (p), da r, r²,. . . rm, . . . nicht alle einander inkongruent sein können und mit rm = rn bei m > n zugleich rm—n=l(p). Das kleinste h dieser Eigenschaft heißt der Exponent oder die Ordnung von r mod p. Es gilt dann

(64)

fh —- y2h    fSh . . . =: ^ .

Während 1, r, r²,. . . rh—¹ untereinander inkongruent sind, weil sonst unter ihnen ein Quotient rm~n= 1 mit m— n < h vorkäme. Alle Potenzen von r genügen nach. (64) der Kongruenz xh —1 = 0 (p), und h ist zugleich die Anzahl der inkongruenten; daher gilt mit (63)

(65) xh— 1 = (x— 1) (x— r) (x— r²) • • • (x— rh~l), wenn r mod p zum Exponenten h gehört, — Ferner

Satz 35: Zerfällt BC mod p, so ist nicht nur jede Wurzel von B(x)= 0 oder C(x)= 0 eine der Wurzeln von A(x)= 0, sondern es kommt auch jedes ri bei B oder C als Wurzel vor. Gilt insbesondere (63), so sind B und C mod ^ je ein Produkt dieser Linearfaktoren.

Ist nämlich B fo) ^ 0, so ist mit A(rt-) auch C(^) durch p teilbar, also der erste Teil von Satz 35 richtig. Für (63) seien bis rm die Wurzeln von B= 0. Dann müssen die übrigen Ti Wurzeln von C= 0 sein und, weil BC nur den Grad n hat,

i>m

Aufgabe C. Zurückführung der Lösung von Kongruenzen mod pe auf Kongruenzen mod pe~¹. (e > 1.)

Es seien rv r₂,. . . rk mod pe~~¹ ein vollständiges System inkongruenter Lösungen der Kongruenz A(x)~ 0 (pe~¹): (66) A (a;) = (x— r{) Qd (x) + A (r₄) mit j/~l | A fa).

Nun kommt es darauf an, ob Qi(ri) ^ 0 oder = 0 mod p (in algebraischer Sprechweise: ob ,,einfache“ oder „mehrfache“ Wurzel von A{x) = 0 mod p ist).

Im ersten Fall entspricht der Lösung mod pe~x genau eine Lösung r\ =    -j- pe~¹ y mod pe (y irgend ein Rest mod p).

Setzt man nämlich r\ mit beliebigem y an, so wird nach

(66) , wenn Qi(ri)= c mod p,

(67)

A(r'i)=(r'i-ri)QM)+Mri)

= pe~¹y • c + pe~¹a mod pe.

(Es gilt auch Q(rJ)=c mod p wegen r'^r^p).) Nach Voraussetzung ist c ^ 0(p) und daher y • c= — a für genau ein y mod p erfüllt, und dies liefert A (r^).= 0 (pe).

Zweiter Fall:    (r{) = 0 mod p. Nach (67) wird:

A(r^)== pe~la (pe) für jedes = ri (p*—¹).

Also ist jedes Lösung, wenn a=0(p), sonst keins.

Von den einzelnen Kongruenzwurzeln mod p zu denen mod pe in e — 1 Schritten aufsteigend, erhält man bei festbleibendem Qi = c mod p insgesamt:

Satz 36: Seien n,... rk sämtliche Kongruenzwurzeln von A(#)=0 mod p, und alle Wurzeln „einfach“, d. h.

A(x)~ (x— rx)(Æ— r₂) • • • (x— rk) Q(x) mod p mit Q(r) ^ 0(p) für alle Reste r, so gibt es auch g en aux ^ Lösungen mod pe, die aus den Lösungen

nach den niederen Potenzen von p schrittweise hervorgehen: die zu gehörige Lösung mod pe unterscheidet sich von der mod pe~~x höchstens um ein Vielfaches von pe~¹.

Ist allgemein einfache, r?- mehrfache Wurzel mod p, also    Q(r?)=0 mod p, so hat A == 0

mod pe genau eine Wurzel, die = mod p, dagegen Wurzeln = ry mod p entweder keine oder Scharen von je p Wurzeln desselben Restes mod pe~¹.

Von zwei Lösungen mod pe~l, die aus einer mehrfachen Wurzel mod p hervorgehn, kann sehr wohl die eine ohne die andere Lösung mod pe sein (Beispiel 3, 4), da A(ri) in (66) nicht nur von ri mod p abhängt.

Beispiele (wir wählen p = 3) :

Zwei einfache Wurzeln

1.    x² + 11 = O mod 3e. x = ± 1, 4, 4, 31, 31, 274 ... mod 3, 9, 27, 81, 243, 729,. ..

2.    A{x) = x² + x + 1 = 0. A(x)= (x — l)(x + 2) + 3.

Eine mehrfache Wurzel + 1 mod 3, schon keine Wurzel mod 9.

3.    x³ —19 = 0 (3e). Mehrfache Wurzel:

x = 1 mod 3; 1, 4, 7, mod 9; 7,16, 25 mod 27;....

(Die Lösungen, aus denen die der höheren Potenz hervorgehn, sind unterstrichen. Diese Werte sind dann auch jeweils in (66) für ri einzusetzen.)

4.    A (x) s= x (x — 1) (x — 4) == 0 mod 3e. Eine einfache Wurzel 0 mod 3e; eine mehrfache Wurzel x = 1 mod 3; 1, 4, 7 mod 9; 1, 4,10,13,19, 22 mod 27; 1,4, 28, 31, 55, 58 mod 81; . .. .

§ 17. Der Fermatsche Satz.

Wir kommen nun zu dem Satz der Kongruenzlehre, der für fast alle weiteren Ergebnisse grundlegend ist, dem Fer-matschen Satz. Er lautet:

Satz 37: Für jede Primzahl p und jeden Rest x mod p gilt die Kongruenz

(68)

xv= x mod p.

(69)

Oder für jeden zu p teilerfremden Rest r rv~~¹ ^ 1 mod p.

Dieser von Fermat (1601—65) aufgestellte und bewiesene Satz wird oft der „kleine Fermat“ genannt; dagegen wird als „großer Fermat“ eine von Fermat aufgestellte, immer noch unbewiesene Behauptung bezeichnet, daß xn + yn = zn für n > 2 in ganzen Zahlen x, y, z unlösbar sei. Für einzelne n ist der Beweis gelungen, oft mit großen Schwierigkeiten; n — 4 vgl. § 20. An Wichtigkeit ist der große Fermat dem kleinen Fermat weit unterlegen.

Um den Fermatsatz in der Form (68) zu beweisen, beachte man, daß allgemein

(x + yf == z? -J- yv mod p

(70)

= 0 mod p für i < p.

für Zahlen, Variable, Polynome x, y güt. Nämlich xv~~l yl hat für i = 1, 2,.. . einen Koeffizienten p(p—!)--• (p—i+l)

1-2- •-i

Für y = 1 gilt also (x + l)p = xv + lv = x + 1 mod p mit xP= x. Dies liefert einen Induktionsbeweis für (68); die Anwendung der Induktion darf sich dabei auf ein vollständiges Bestsystem mod p beschränken.

Ein andrer Beweis, der auf (69) ausgeht, liefert zugleich den allgemeineren Eulerschen Satz:

(72)

Satz 38: Ist <p(m) die Anzahl der teilerfremden Beste mod m und r einer von diesen, so gilt r9>(w)== i mod m.

Beweis : Sei rv r₂,... r^ ein reduziertes Bestsystem mod m und r einer dieser Beste, so gilt

(73)

denn links steht in (73) gerade jeder zu m fremde Best in der Form rri einmal da, weil die Kongruenz rx~ rk mod m genau eine Lösung x =ri^f m hat. Also ist nach (73)

und das liefert (72).

Eine unmittelbare Folge von Satz 37 ist, daß der Exponent h eines teüerfremden Bestes r ein Teiler von <p (m) ist, da cp (m) unter der Exponentenreihe (64) Vorkommen muß.

Ebenfalls ist der „gemeinsame Exponent“ aller teilerfremden Peste, die kleinste Zahl ip (m), für die alle r w m die Kongruenz    1 mod m erfüllen, als kl. gem. V. der Expo

nenten von rx bis r<p ein Teiler von <p(m). Es fragt sich: für welche m ist y)(m) ein echter Teiler von <p(m), läßt sich mithin das Ergebnis (72) verschärfen, und wann ist y)(m) = <p(m)? Vor allem gilt da

Satz 39: Ist yj(m) der kleinste Exponent, der (72) an Stelle von cp (m) erfüllt, und ist m = q₁---qs die Primpotenzzerlegung von m, so gilt (74)

Ist nämlich v durch alle y){q_i) teilbar, so gilt xv= 1 mod qi (i = 1,. . . s), also mod m, für jedes x ^ m. Und umgekehrt.

Aus (74) schließt man sofort, daß %p{m) echter Teiler von cp (m), sobald mehrere & > 2; denn xp(m) ist nach (74) wegen y(q)\<p(q) ein Teiler von {<p (qj,... <p(qs)} und dies ein Teiler des halben Produktes TI cp (qi) — cp (m),

weil (p ((qx) und cp (q₂) gerade sind, wenn ql9 q₂ > 2.

Auch für m = 2e und c ^ 3 ist y) (m) | \cp (m). Denn nach § 16 ist x²=l mod 8 und dann æ⁴ = 1 mod 16, æ⁸ = 1 mod 32,... xie~‘² = 1 (2e), weil nach (61) allgemein z²~ 1 mod 2S, wenn z= 1 mod 2*_1. Umgekehrt galt = 1 mod 2S nur für z=±l mod 2S~l. Daher gehört 9 mod 2e zum Exponenten 2e~³ und 3 zu 2e~². Es ist also \p (2e) = 2e~¹ = -Jcp (2e) für e

Hingegen werden wir y)(q) = cp (q) = y) (2q) = cp (%q) in § 18 für ungerade Primpotenzen q zeigen. Daher

r(») = {r(2e)> <?>(?')> <?>(«")> • • •}

(75)

bei m = 2eq'q" - * , e ^ 0; y)(2e) = \cp für e^ 3, sonst = cp.

Es ist y) = 1, 2,    4,    6, 8, 10,    12,    16

noch für m = 2, 24, 240, 504, 480, 264, 65520,16320.

Wir werden bald zeigen, daß es immer einen Pest der Ordnung y)(m) gibt, der dann für y) = cp alle teilerfremden Peste durch seine Potenzen darstellt.

Anwendung des Fermatsatzes auf periodische Dezimalbrüche:

Ohne auf die Entstehung der unendlichen Dezimalbrüche näher einzugehen, stellen wir fest: Der periodische Dezimalbruch w = 0, c±c₂ • • • ckaxa₂ • * • an

mit Ziffern c und a von 0 bis 9 und der immer wiederkehrenden Folge av ... an stellt den echten Bruch

0.^2 ' * *

10* 10* (10” — 1)

mit im Dezimalsystem geschriebenen Zähler dar, und es wird 10*(10w — 1) w eine ganze Zahl. — Umgekehrt ist jede Rationalzahl r= g + w darstellbar, wo g ganz und w ein periodischer Dezimalbruch wie oben: Jedenfalls ist r = g + l : 10*m darstellbar mit eindeutigem g,k,l,m bei (m, l) = (m, 10) = 1, 1^0 (10) und < 10km. Ist dann n der Exponent von 10 mod m, so ist sicher m 110n — 1 und

* an

® • • dnyi 10n —1

darstellbar, somit r = g + w mit obigem w. Die Periode fängt noch nicht früher an, d. h. es ist ck 4= an ; denn sonst reichte 10Æ—¹ im r-Nenner, entgegen l ^ 0 (10). Und Periodenlänge ist wirklich m, es liegt also keine mehrfache Wiederholung einer kürzeren Periode etwa der Länge h vor; denn dann wäre bereits 10^(10Ä — 1) w ganz und m | 10Ä — 1 wegen (m, 101) = 1, während doch n die kleinste Zahl mit m | 10w — 1 ist.

Nach dem Fermatsatz ist n ein Teiler von cp (m). Es ist n — (p{m) z. B. für die Potenzen von 7,17,19. Es wird

»=lfürm = 3,9;w=2fürm=ll; 3 für 27, 37;

4 für 101; 5 für 41, 271; 6 für 7,13.

Daraus nach (75) z. B. n = 12 für 1 : 2727, n = 6 für 1: 481.

§ 18. Primitivwurzeln. Restklassengruppe.

Primitivrest oder Primitivwurzel mod m heißt ein Rest v, dessen Potenzen alle teilerfremden Reste mod m darstellen. Kennzeichen dafür ist, daß er zum Exponenten <p (m) gehört.

Satz 40: Das Polynom xv~^—1 zerfällt mod p linear :

(76) xv~l— 1= (x— 1)(æ— 2) • • • (x— (p— 1)) mod p.

(xv— x ist also das Produkt aller inkongruenten Linearfaktoren mod p.) Genau <p(p — 1) Reste sind Primitiv wurzeln.

Ebenso besitzt ein ungerader Primpotenzmodul q — pe Primitivwurzeln und zwar

<p(<p(pe)) = <p(P~ !)• (p—l)pe~².

Für 2 sind es die Feste, die mod j? Primitivwurzeln sind, aber nicht der Kongruenz a;p—1= 1 mod ??² genügen.

Beweis für p: Die Kongruenz (76) folgt aus dem Fermat-satz in Verbindung mit Satz 34; es tritt Fall (63) ein.

Ist f(t) die Anzahl der Beste mod p, die zum Exponenten t gehören, so ist F (d) = Zf(t), 11 d, die Anzahl der Wurzeln der Kongruenz xd— 1=0. Ist nun d\p — 1, so wird F (d) = d\ denn dann ist xd — 1 als Teiler von xv~~¹ — 1 nach Satz 35 ebenfalls ein Produkt von Linearfaktoren mod p. Nach Satz 25/23 ist dann f(t) — <p(t) für die Teiler t von p— 1, insbesondere f(p—1 ) = <p(p—1) die Anzahl der Primitivwurzeln für p.

Man beachte: es ist f(t) = q?(t) nur für 11 p — 1, sonst = 0; daher allgemein F{n) = (n, p — 1) ! — Setzt man x = 0 in (76), so erscheint von neuem der Wilsonsche Satz.

M o d p² : Damit alle teilerfremden Beste als Potenzen eines Bestes v darstellbar seien, muß dieser sicher Primitivrest mod p sein. Ist nun die Zahl w ein Primitivrest mod p, so erfüllt genau eines der w( 1 + W)> V — 0,1,... p — 1, die Kongruenz xp~x — 1=0 mod p², wie auch Satz 36 liefert, doch unmittelbar so folgt : Für = 1 + ap ist

(77) vp ¹ (1 + ypf-¹ = (1 + ap) (1 + (p — 1) yp + zp²) = 1 + (a—y)p mod??²,

w also vom Exponenten p — 1 mod p² für y=a. Die übrigen v = w( 1 + yp) sind wirklich Primitivwurzeln mod??²: es ist vh== 1 mod?? schon nur für ??— 1 | Ji, mit (77) aber

(78)

v(p—i)i^ 1    — y) p mod ??²,

also erst v^v~1)v=l mod??².

Über die Kongruenz rv~¹= l(p²) vgl. Kap. VI.

Mod pe bleibt bei e, p > 2 jede Zahl v Primitivrest, die es mod p² ist: Allgemein ist bei p = 2k1

(79)

(1 + zP⁸)p = 1 + zps+1 + z²kp²⁸⁺¹ + yp*s = 1 + zp⁸⁺¹ mod ps+2.

Ist nun vp~] = 1 + zp, so also v^v~1)v= 1 + zp²(ps) und allgemein v^v~1 4- zpe~l mod pe\ dabei z 4= O(^), wenn v Primitivrest mod p². Daraus folgt aber, daß v mod pe wirklich zum Exponenten (p— 1) pe~x gehört; denn für *4 = 1 (pe) muß wieder p — 1 | h gelten, und h— (p — 1) pr~2 reicht nicht aus.

Hiermit ist Satz 40 bewiesen. Man folgert aus ihm: Die Wurzeln der Kongruenz xp~¹— 1= 0 (pe) gehen aus denen mod p (die ein reduziertes Restsystem durchlaufen) durch Erhebung in die pe—1-te Potenz hervor. Jedoch findet für q = pe > p keine Übereinstimmung zwischen a^> — 1 und dem Produkt seiner Linearfaktoren x—v{ mehr statt.

Ferner läßt sich jetzt leicht modm ein Rest mit der in (75) angegebenen Ordnung %p (m) bestätigen : mod 2e hatte 3 (auch 5) diese Eigenschaft und mod q jeder Primitivrest. Ist m = 2eqx. . . qs und vt Primitivrest mod q{, so hat

t7 = 3 (8), » = %(&),... v = vs(q,)

eine Simultanlösung der Ordnung \p{m) mod m; denn vh= 1 mod 2e II (h erfordert ip(2e), (p(g_i) \ h. Wichtiger ist folgende Anwendung simultaner Kongruenzen auf Primitivwurzeln : Ein Rest r w m = 2e qx • • • qs ist darstellbar

(80) r r= r₀r₁ • * • rg (m) Dabei

mit r₀= r (2e), = l(q₁-- qe); und rt=r (&), = 1 (m : qt).

U = mit vt==v (qt), = 1 (m : q.); r₀ : t# mit v₀ = iql - qs+ 1,

für 4 | m nur r oder — r. D. h. löst man die simultanen Kongruenzen rechts in (80), so erhält man die Darstellungen links, als multiplikatives Gegenstück zu (53), (54); es gilt

Satz 41 : Jeder zu m teilerfremde Rest ist darstellbar

(81)

r = (— l)cvg°V}¹ • • • vcf mod m = 2e• • • qs

mit Hilfe der ,,Basis“ — 1, v₀, vv . . . v₈, wie unter (80) definiert. Dabei ist die volle Basis nur für8|mzur Darstellung der gesamten reduzierten Restklassengruppe mod m („Gruppe“ wegen umkehrbar ausführbarer Multiplikation) nötig. Für e = 2 fällt vQ und fiire<2 außerdem — 1 aus der Basis heraus. Sodann sind die in (81) zur Darstellung verwandten Exponenten nach ihren Ordnungen eindeutig: c mod 2, mod 2e—2, ci mod <p (q^ eindeutig.

(Um also eine eindeutige Darstellung (81) zu erhalten, darf man für den Exponenten a ein vollständiges Restsystem nach der Ordnung von v zulassen und für c bei 4 | m die Werte 0 und 1 ; sonst aber nur c = 0, weil dann — 1 =    • • • vls mod m mit ^ = \cp (^).)

(82)

Der Fall der eingliedrigen Basis ist durch die Existenz einer Primitivwurzel v ausgezeichnet; (81) geht über in r= vc, 0^ c < <p(m).

Hier nennt man c bei fester Basis v den Index von r modm und schreibt c = ind r. Indextafeln sind für Kongruenzrechnungen oft wertvoll; ihre Berechnung vgl. § 37. Wir stellen hier ie eint mod 7, 9,13 auf:

m = 9; v = 2

m = 7; v = 3

CM rH

o o

T—i T—I

CD CO Oi OO iO lO 00 CO

CO H CD iO CM CM OD 1—10    ’-t- CM

co ^

00 CO D- rJH

iO iO ^ CM CM rH

T—I O

i—!

5h

Oi

“ES

§ 19. Potenzreste.

Ein teilerfremder Rest a mod m heißt n-ter Potenzrest modm, wenn die Kongruenz

(88)

xn = a mod m

lösbar ist, also mit einem zu m fremden x. Die teilerfremden Reste stehen gerade bei dieser Frage so im Vordergrund -

und man wird die Lösung von (83) für anderes a wie in § 21 immer auf den Fall a w m zurückführen— daß nur auf diese die Bezeichnung ,,n-ter Potenzrest“ angewandt wird. In der Theorie der Potenzreste sind die Hauptfragen:

A.    Welches sind die n-ten Potenzreste modm?

B.    Für welche Moduln m ist a ein n-ter Potenzrest?

(C. Ein wie hoher Potenzrest ist a modm?)

Während A. und C. durch Ausrechnung zu beantworten

sind, ist B. für n > 2 eine Frage, die höhere zahlentheoretische Hilfsmittel zur Beantwortung erfordert. Man wird die Fragen aber sofort auf den Fall des Primpotenzmoduls zurückführen, da (83) für m = qt- • • q₈ gleichwertig mit

xn = a mod ... xn= a mod qs.

Für einen ungeraden Primzahlpotenzmodul q gilt nun das allgemeine Eulersche Kriterium:

Satz 42: Hie Zahl a ist genau dann n-ter Potenzrest mod q=pe, p>2, wenn

(84)    = 1 mod q bei y)n(q) = <p (q) : (n, (p).

(pn(q) = (n, (p(q)) ist dabei zugleich die Anzahl der Lösungen der Kongruenz xn= 1 (q).

Für q = 2e(e ^ 2, n gerade) muß außerdem a= 1(4) sein, und dann gilt für a das Kriterium (84) mit 2e—2 statt <p. (Beide Fälle zusammengefaßt: (84) mit xp(q) statt<p(q) und a = 1 (4, 2n, q) für n-ten Potenzrest a.)

Beweis: Tatsächlich ist für (n,y)(q)) = n' bereits jeder n'-te Potenzrest ein n-ter Potenzrest; denn aus a = zn> folgt bei n' = en + ky) zugleich a = zcn. Eigentlich sinnvoll ist daher die Potenzrestfrage nur für n\ yi (q), insbesondere n | 2ß—2 für q = 2e. Während jede Zahl n-ter Best ist, wenn (n, <p) = 1. Für 4 I q ist daher, wie oben durch a= 1(4, 2n, q) vermerkt, a = 1(4) nur für gerades n zu fordern und nur da (84) zu untersuchen.

Mit Hilfe der Indexrechnung (für q= 2e mit der Basis 5) schließen wir nun: (84) ist gleichbedeutend mit

^ninda=0 mod 9;;

und dies mit ind a = 0 mod %p : y)n — n', und das heißt, daß a ein n'-ter Potenzrest ist, was von (84) noch zu beweisen blieb.

Daß n' für ungerades q zugleich die Anzahl der Lösungen der Kongruenz xn=l(q) ist, folgt ebenso: es ist n ind x= 0 mod yj (q)

zu erfüllen oder ind x = 0 (y) : n'). Dies ergibt n' Lösungen ind x = zy)n mit 0 5g z < n'.

Für q = 2e ist entsprechend n' = (n, y) («q)) die Anzahl der Lösungen von xn= 1 (q); x=l (4, q), für 4 j q und gerades n also 2n' die Lösungszahl von xn= 1 (q), weil dann (— x)n = xn, somit zu jeder Lösung x, die außerdem = + 1 mod 4, eine Lösung —x=—1(4) hinzutritt.

Für einen beliebigen Modul m güt nur:

Satz 43: Ein w-ter Potenzrest a mod m muß die Kongruenz xN=l mod m erfüllen; N Anzahl der w-ten Potenzreste. Zugleich gilt    ==ç?(m), wo %n(m)

die Lösungsanzahl der Kongruenz xn= 1 modm.

Beweis: Sind av a₂,..aN alle n-ten Potenzreste und a einer von ihnen, so stellen aav . . ., aaN wieder alle n-ten Reste dar, weil a^= {xy)n mit a= xn und    yn. Also

liai = aNüai\ aN = 1.

Ferner folgt N • %n = <p daraus, daß %n für jeden w-ten Rest a die Anzahl der Lösungen von xn= a(m) ist, und das folgt so : durchläuft z% alle Lösungen der Kongruenz xn = 1 (m), und ist y eine Lösung von xn= a(m), so auch jedes yzund das sind alle Lösungen, da umgekehrt der Quotient zweier Lösungen dieser Kongruenz eine Lösung von x¹¹ = 1 ist.

Für Primzahlmoduln m gewinnt man so einen neuen, die Existenz einer Primitivwurzel nicht verwendenden Beweis von Satz 42 : wenn man hinzufügt, daß die Kongruenz xN = 1 mod p nur N Wurzeln haben kann und daher auch jede dieser Wurzeln einer der N w-ten Potenzreste sein muß.

Schließlich liefert die Distributivität der Lösungsanzahl (Satz 32), weil XniQ) = <P (?)) für q = pe, jedoch = 2 (n, yj(q)) = (2n,<p(q)) für 4 | g und gerades n:

Satz 44: Für jeden n-ten Potenzrest amodm ist die Anzahl der Lösungen der Kongruenz xn= a mod m, wenn m — q₁...q₈ in Primpotenzen einschließlich Zweierpotenzen zerfällt:

8

X» (m) = II («(2, n, qt), <p (&)).

(85)

§ 20. Quadratsummendarstellung.

Wir bringen jetzt noch Anwendungen des abzählenden Schubfächerprinzips in Kongruenzen, die vom multiplikativen Fermatsatz unabhängig sind. Wir werden beweisen:

Satz 45: Jede Primzahl p der Form 4n-\- 1 ist die Summe zweier Quadrate: p=x²-\-y².

Satz 46: Die Primzahlen p der Form 4^+1 und ihre Doppelten sind dadurch gekennzeichnet, daß sie genau eine Darstellung der Form x²-\- y² mit (x, y) = 1 und keine mit (x, y) > 1 besitzen.

Und zwar hat eine natürliche Zahl m eine Darstellung m = x² + y² mit (x, y) = t nur, wenn m = t²h und zugleich h = u² + v² eigentlich darstellbar ist, d. h. mit (w, v) = 1. Eigentliche Darstellungen besitzen dann alle und nur die Zahlen m, die Produkte von Primzahlen der Form 4n + 1 sind, und ihre Doppelten, nur eigentliche Darstellungen die quadratfreien unter ihnen, und zwar mehrere, wenn sie mehrere Primfaktoren besitzen (2r“¹ bei r Faktoren).

Satz 47: Jede natürliche Zahl ist als Summe von vier Quadraten darstellbar.

Infolge des Wüsonschen Satzes, Formel (50), reicht es, Satz 45 ,,für die Primzahlen p mit lösbarer Kongruenz 2²eeee—1 (p)u zu beweisen. Und das wird nach Thue aus Satz 28 sofort folgen, weiter mit wenigen Zusätzen

Satz 48: Es ist eine Primzahl p=x²-\-dy² für d = 1, 2, 3, 7 darstellbar, wenn z²=—dmodp lösbar ist, ferner für d= 5,13, 37, wenn außerdem p = \n + 1. Wieder sind diese p unter den ungeraden Zahlen durch eindeutige und zugleich eigentliche Dar-stellbarkeit ausgezeichnet.    ►

Satz 48 werden wir zur Primzahlprüfung (§^36) vorteilhaft verwenden. Der Beweis von Satz 47 wird ferner erleichtert, indem man zuvor beweist:

Scholz, Zahlentheorie.

Für jede Primzahl p = 2k + 1 stellt sich dar — 1 = x² -\-y² mod p.

(86)

Beweis: Ein jeder Best a=r² mod p ist Quadrat von höchstens zwei Besten; Schluß weise wie bei (61) durch Zerlegung von x²— r². Unter den Besten O², l², 2²,I)2 sind daher mindestens k + 1 Inkongruente. Büdet man nun die Paare (0, —1), (1, —2),..., (k, k) sämtlicher Beste mit der Summe — 1 mod p, so ist entweder die Kongruenz x²= k=— \ mod p

lösbar und dann y — x eine Lösung von (86), oder sonst gibt es immer noch k + 1 Quadratreste unter den Paaren (0,— 1) bis (Ä: — 1, r— k), und dann muß nach dem Schubfächerprinzip ein Paar (a, — a — 1) zwei Quadratreste a= x², —a — 1 = y2 enthalten, die dann x² + y²=^ l(p) liefern. (Gültig auch mod pe.)

Satz 47 folgt jetzt so : Weil das Produkt zweier Summen von vier Quadraten wieder als Summe von vier Quadraten darstellbar ist, nämlich

(87) (,a² + b² + c² + d²) (x² + y²+ z² + w²) =

A² + B² + C² + P>²

mit

A= ax-\- ly + cz + dw; B = ay—Ix—cw + dz ;

C = az+ Iw— cx— dy\ D = aw— bz-{- cy— dx,

wie man durch Ausrechnung bestätigt, braucht nur die Dar-stellbarkeit der Primzahlen als Summe von vier Quadraten bewiesen zu werden. Hier liefert (86) schon, daß jede Primzahl p Vielfache mp = x² + y² + l² + 0² besitzt. Setzt man dabei die Lösung von (86) mit \x\, \y\^\p an, so ist mfA\p und läßt sich weiter auf 1 herabdrücken: Es sei nämlich, wenn noch m > 1 ist, a= x (m) der kleinste Absolutrest von x mod m, ebenso b der von y. Dann ist auch

a² + b² + 1 = 0 mod m,

also = mm', wo m' ^ | m. Nach (87) wird jetzt (88) m²pm'= (ax-\-byA-1)²+ (ay-bx)²-\- (a—æ)²+ (b—y)². Dabei sind alle Summanden durch m² teilbar, nämlich ax by + 1 = a² -f b² + 1 = 0 (m),

ebenso m\ay — bx, a —x,b — y. Division aller Quadrate in (88) durch m² ergibt dann eine Darstellung von pm' als Viererquadratsumme. Entweder ist dabei schon m! = 1, oder es ist wieder ein kleineres pm" darstellbar.

Der Beweis ergibt, wenn eine Lösung von (86) bekannt, einen Darstellungsalgorithmus für das p.

Beispiel: p = 79. — 1 == 157 = 11* + 6²;

11² + 6² + l² + O² == 2 • 79; 2 = l² + O² + l² + 0²;

4 • 79 = 12² + 6² + 10² + 6²; 79 = 6² + 5² + 3² + 3².

79 braucht als Zahl der Form 8n-\- 1 wirklich vier Quadrate zur Darstellung, d. h. keines darf 0 sein; denn in m = a² + b² + c² + d² = 7 (8) müssen drei Quadrate ungerade sein und dann je== 1 (8), das vierte also= 4(8) und nicht 0. Ebenso bedarf das Vierfache einer Zahl, die vier Quadrate zur Darstellung braucht, wieder vier Quadrate, da jedes gerade sein muß, der Faktor 4 also hebbar ist. Also brauchen alle Zahlen der Gestalt 4*(8w+ 7) vier Quadratsummanden. Alle übrigen kommen mit drei Quadratsummanden aus; aber das ist nicht so leicht zu zeigen. Wann zwei Quadrate reichen, sagt Satz 45/46.

Beweis von Satz 45 durch 48 (ohne Verwendung des Vorigen) : Für d = 1 sei e die kleinste Zahl mit e² > p. Dann ist nach Thue die Lösung der Kongruenz z² =— l(p) als Bruch x : y mit 0 < x, y < e darstellbar, also x², y² < p, und es ist x² + y²~ (z² + 1) y= 0 mod p. Also x²-\-y² = mp und dabei m = 1 wegen 0 < x² < p ; 0 < y² < p.

Ebenso erhält man für jedes d bei Lösbarkeit der Kongruenz z² = — d mod p aus einer Lösung z= x: y mit 0 < x, y < e eine Darstellung x² + dy² = mp mit 1 m ^ d. Für die Fälle des Satzes 48 lassen sich dann die m > 1 durch Kongruenzen entweder ausschließen oder auf m= 1 zurückführen. Wir wollen dies nur für d = 37 ausführen, da aber Satz 28 in der allgemeinen Form verwenden :

Es seien e und f die kleinsten Zahlen mit e² >6p, f² > ip /x\%    37

— 37 E= mit x < e, y < /. 0 < x² + 37y² <6p-\-~§P und dann p= 3 mod 4.

< 13 p, aber durch p teilbar. Also

x² + 37y² — mp mit 1 5g m ^ 12.

Da Heraushebung von (x, y) auf kleineres m führt, braucht nur (x, y) = 1 betrachtet zu werden. Also x, y nicht beide gerade und mp = 1 oder 2 mod 4. Wegen p = An + 1 daher m = 1, 2, 5, 6, 9 oder 10. Da auch nicht x== y= 0(3), wird mp = 1 oder 2 mod 3, daher m 4= 6, 9. Da nun x² = 0, + 1, 37y²= 0, + 2 mod 5,

aber nicht x= y= 0, scheidet auch m = 5, 10 aus. Bleibt m = 1 oder 2. Aber für m = 2; x = y = 1(2) ist x² + 37t/² = 1+5=6 mod 8

Aus dem Beweis von Satz 48 geht ferner hervor, daß — 1 nichtquadratischer Best der Primzahlen p = An + 3 ist, weil x² + y² = 4w + 3 unlösbar. Ebenso folgt, daß — 2 „Nichtrest“ der Primzahlen p = Sn + 5, 7 ist und— 3 Nichtrest der Primzahlen p = 6n + 5, weil x² + 2y² = 5, 7 (8) und x² + 3y² = 5 (6) unlösbar sind und auch hier im Lösbarkeitsfalle p selbst darstellbar ist.

Beweis von Satz 46 : Ist p = An + 3 | m, so besitzt m keine eigentliche Darstellung durch x² + y², da sonst — 1= (x : y)² mod p.

Es muß also dann in einer Darstellung von m schon p \ x, y und p² I m gelten. Wie auch 4 | m nur für 2 | x, y. Es bleiben die Produkte von Primzahlen der Form 4w + 1 und ihre Doppelten zu betrachten. Zunächst besitzen diese bestimmt Darstellungen: Ist m = pxp₂‘ • • pr und p. = x% + 7/?= 1(4), so multipliziere man, wenn schon eine Darstellung für Pi ‘ • Pi_ 1 gefunden, diese nach der aus (87) durch Einsetzen von c = d = z = w = 0 hervorgehenden Formel (89) und erhält so schrittweise eine Darstellung für m. Für eine Faktorenzahl r > 1 gibt es dabei immer noch eine weitere Darstellung: Ist px • - •    = a² + b²\ pr — x² + y², so wird

(89)    (a² + l²) (x² + y²) = (ax + ly)² + (ay— Ix)²

= (ay + Ix)² + (ax— ly)²

bei vertauschtem x, y. Ist dabei a >b> 0 ; x> y > 0 (;x = y nur für ein 2q²), so ist (ax + by)² größer als alle andern Quadrate in (89) und daher beide Darstellungen verschieden. Auch für 2m erhält man aus ihnen durch Multiplikation mit (1²+1²) zwei verschiedene Darstellungen.

Eigentlich wird hier auch für quadrathaftes m die Darstellung, wenn für die Multiplikation eines a² + b² = t mit einem in ihm aufgehenden p — x²Ą- y² bei x:y= a :b mod y die obere Darstellung (89) gewählt wird und (a, b) = 1 ist. Sind jetzt pv . . . ps die verschiedenen Primteiler von m, ist P ihr Produkt und ein Teilprodukt t = p₁- pi_₁ = a² + b2 dargestellt, ferner p = pi = x² + y², so erhält man für tp nach (89) zwei eigentliche Darstellungen mit

(90)

(ax + by) : (ay — bx) = b : a (it), = x : y (p) ;

(ay -j- bx) : (ax — by) = b: a (t), = y : x (p).

Die so entstehenden 2S—1 Bildungen P = A² + B² sind daher verschieden ; denn als Quotient A : B oder B : A = — A : B mod P kommt hier jede der 2* Lösungen von z²= — 1 mod P, nämlich jede Kombination der Lösungen ^ ji von z²=— 1 mod Pi,

einmal vor, wie durch schrittweise Anwendung von (90) folgt. Ygl. die Verwertung dieses Ergebnisses für Primzerlegung durch Quadratsummendarstellung (§36)! — Jeder Darstellung P = A² + B² entspricht dann eine eigentliche m = X²+Y² mit X:Y=A:B mod P.

Jetzt bleibt noch zu zeigen, daß m = p = 4n + 1 sowie m—2p nur eine Darstellung besitzen. Sei

m = x²y² = u² v², u, v, x, y > 0 und u,v so angeordnet, daß u:v=x:y(p), so hat man m² = (ux + vy)² + (uy— vx)² mit p | uy— vx. Beide Summanden sind sogar durch m teilbar, weil u, v, x, y für m=Zp ungerade sind. Also ux + vy = m\ uy— vx — 0 und u = x, v = y wegen (u, v) = (x, y) = 1. — Entsprechende Multiplikationen zeigen, daß es oben bei m nicht mehr als 2S~¹ eigentliche Darstellungen gibt.

Damit ist Satz 46 in allen Teilen bewiesen. — Aus einer Lösung von z²= — 1 (p) die Darstellung p = x² + y² zu erhalten, ist auch hier mittels (88) möglich ; z. B. 22² == — 1 (97) ; 22² + l² = 97 • 5 ; (222 + 12) (22 + 12) ₌ 452 + 20² ; 97 = 9² + 4².

Jedoch tritt praktisch eher die umgekehrte Aufgabe auf.

Erwähnt sei noch die Existenz einer (89) und (87) einbegreifenden Multiplikation, die ein Produkt zweier Summen von acht Quadraten wieder als Summe von acht Quadraten darstellt. Eine solche Formel gibt es jedoch nur für 2, 4 und 8 Summanden. — Als Anwendung des vorigen bringen wir

Satz 49: Es gibt je unendlich viele Primzahlen der Formen 4m + 1, 4m—1, 3m + 1, 3m—1.

Beweis : Ist, wie bei Satz 8, P = 2 • 3 • • • q das Produkt der Primzahlen bis q und q ^ 3, so haben P — 1, P +1, P² +1 und 3P² _j_ 1 nur Primteiler > q, und zwar hat P — 1 wenigstens einen solchen der Form 3m—1, weil P—1 = —1 mod 3 ist und ein Produkt von Primzahlen = + 1 (3) selbst = + 1 wäre. Ebenso hat P + 1 = — 1 (4) einen Primteiler der Form 4m— 1. Dagegen hat P² + 1 nach dem obigen nur Primteiler der Form 4m + 1 und 3P² + 1 nur Primteiler der Form 3m + 1. Es gibt also zwischen q und 4g!² sicher in jeder dieser vier arithmetischen Progressionen eine Primzahl, in jeder überhaupt daher unendlich viele.

Unabhängig vom vorigen zeigen wir schließlich

Satz 50: Eine eigentliche Darstellung x² + y² = z2 hat zur Voraussetzung eine Darstellung

(91)

x = a² — b², y = 2ab, z — a² + b².

Ferner ist die Gleichung g⁴ = z² (außer mit y — 0) unlösbar und damit die Fermatgleichung für den Exponenten 4.

Beweis : Da x w y sein soll, kann man x als ungerade ansetzen; y ist dann aber gerade, da 2²^2(4), und dann z ungerade. Nun ist in der obigen Quadratsumme

æ² = (z— y) (z+ y)

und dabei (z + y, z — y) = (z — y, 2y) = 1 wegen (z, 2) = (z, y) = 1.

Also sind z + y = c² und z— y = d² einzeln Quadrate und ungeradheitshalber noch c= a-\- b, d = a— 1 darstellbar, woraus (91) folgt.

Zurückführung der quadratischen Kongruenz.

71

Soll oA + y* = z² sein, bei kleinstem z, so muß bei y² = 2AB und x² = A² — B² das B gerade und mit x^> y auch A^j B sein und dann A = a², B = 2b². Das ergibt x² + (2b²)² = ö⁴ und damit 2b² = 2CD, a² = C² + D². Und wieder C w D und dann C = c², D = d². Also : a² = c⁴ + dA\ dabei 2 = n⁴ + 4fc⁴ > a⁴ ^ a, weil mit y > 0 auch 6 > 0, d. h. z wäre nicht die kleinste Zahl, deren Quadrat die Summe zweier Biquadrate.

IY. Quadratische Reste.

§ 21. Zurückführung der quadratischen Kongruenz.

In diesem Abschnitt werden wir die in § 19 für die w-ten Potenzreste gestellten Hauptfragen A., B. für die quadratischen Beste behandeln; also: Welches sind die quadratischen Beste mod m? Für welche m ist eine gegebene Zahl quadratischer Rest? Oder einzeln: gegeben r w m; ist x²=r mod m lösbar? Für diese Fragen haben wir zwei wichtige Kriterien, das schon in § 19 erwähnte Eulersche (§22) und das Gaußsche Lemma (§ 23), das uns eine überraschend einfache Antwort (§ 24) geben wird: Ob r für eine Primzahl p quadratischer Best ist, hängt nur von der Bestklasse mod 4r ab, in der p liegt. Eine so einfache Einteilung kommt bei höheren Potenzresten nicht vor. Sie liefert ferner das Beziprozitätsgesetz der quadratischen Beste (§ 25), das über das gegenseitige quadratische Bestverhalten zweier Primzahlen aussagt. Wir werden wieder alle Fragen auf den Fall des Primzahlmoduls zurückführen, sogar die allgemeine Kongruenz

(92)

ax² + bx + c= 0 mod m auf den Fall x²=r mod p\ p > 2.

Dies führen wir sogleich aus: (92) ist gleichwertig mit 4a²#² + 4abx + 4ac = (2ax + b)²— (b²— 4ac)= 0 mod 4am. D = b²— 4ac heißt die Diskriminante von (92). Setzt man 2ax -\~b = y, so bleibt eine reine Kongruenz

(93)

y²= D mod 4am mit y= b mod 2a als Nebenbedingung zu lösen. Dabei war die Erweiterung des

Moduls m mit 4 nur nötig bei geradem m, und mit a nur, soweit die Primteiler von a in m aufgehn, da sonst Bruchrechnung anwendbar.

Die Lösung von (93) läßt sich auf teilerfremden Rest zurückführen; es güt

Satz 51A: Die reine quadratische Kongruenz xz= D mod m ist für (D,m) = d; d=e²f, f quadratfrei; D — dD', m=dm' genau dann lösbar, wenn f ^ m' und fD' quadratischer Rest mod m' ist.

Nämlich wenn e² in m und D aufgeht, so auch in x², also x = ey, und y hat noch die Kongruenz y² = fD' mod fm' zu erfüllen. Es muß daher f in y² aufgehn, quadratfreiheitshalber dann auch in y. Mit y = fz bleibt fz²= D' mod m' zu lösen, was nach Satz 26 (/*, m') \ (D\ m') = 1 erfordert und gleichwertig wird mit / w m' und

(94)

{x = efz.)

y²= fD' mod m' ; y — fz.

Jetzt bleibt nur die Frage, ob ein gegebener teilerfremder Rest a mod m quadratischer Rest oder Nichtrest.

Hier liefern die Sätze 30, 36, 41 (und 42):

Satz 51B : Es ist a genau dann quadratischer Rest mod m, wenn a quadratischer Rest aller Primteiler von m ist und für die Fälle 4 | m, 8 | m selbst = 1 mod 4, 8.

Praktische Auflösung quadratischer Kongruenzen in § 38.

§ 22. Eulersches Kriterium. Legendre-Symbol.

Satz 52 (Eulersches Kriterium): Für eine Primzahl p ='2Ä; -f- 1 ist Z)*=+l,—1,0 mod^>, jenach-dem D quadratischer Rest, Nichtrest oder =0 modjö ist.

(95)

1)

- + 1»

()=->• ( )

(„D für pu) ist das Legendresche Symbol für diese drei Arten von Restverhalten. Für das Legendre-Symbol gilt

(96)    = Dk mod p, = ^ j für D' = D. 2

v-¹ ID

D==0 \V

= 0.

(97)

Ausführlich sagt (97): Das Produkt eines quadratischen Restes mit einem Nichtrest ergibt einen Nichtrest, das Produkt zweier Reste oder zweier Nichtreste aber einen Rest modp. (Rest 0, wenn ein Faktor 0.)

Ist einer der Faktoren quadratischer Rest, so gilt das auch für jeden Modul m, da für m w r = x² (m) mit s y² auch rs == (xy)2 gilt und umgekehrt. Hingegen ist nicht trivial und gilt auch nur für 4 und ungerade Primpotenzmoduln, daß das Produkt zweier Nichtreste stets Rest ist.

Beweis von Satz 52 mit (96), (97): Bei Zugrundelegung eines Primitivrestes sind die quadratischen Reste die mit geradem, Nichtreste die mit ungeradem Index, woraus (97) nach Absonderung des Restes 0 folgt, ferner, daß es je k Reste und Nichtreste gibt und darum die Summenformel (96) gilt. Der Index von Dk ist = k mod p — 1 = 2k für Nichtrest D und durch 2k teilbar für Rest D. Daraus Satz 52.

Beweis ohne Primitivrest und Fermatsatz: Man ordne die Reste 1, 2,... p— 1 zu Paaren (x, y) mit xy = D ^ OQ?). Für Nichtrest D ist stets y=%= x; es gibt also Je Paare, die im Produkt (p—1 )\=Bk ergeben. Für D== y- z)² bleiben, neben k— 1 Paaren, z und — z einzeln, und da ihr Produkt = — D, wird hier (p — 1)1 = — Dk == — 1, wenn man D= 1 einsetzt, und darum allgemein    1 für Rest, —1 für

Nichtrest. Von neuem erhält man (p— 1)! = — 1 und durch Quadrierung von Dk den Fermat. (97) jetzt aus Dk, und durch Multiplikation aller Reste mit einem Nichtrest, daß die Anzahl in beiden Klassen dieselbe.

— 1 ist nach dem Eulerschen Kriterium Rest für gerades k, also p = 4n + 1, Nichtrest für k = 2n +1, p = An + 3. Ein für Satz 48 aufschlußreiches Kriterium gewinnt man mit (97):

Satz 53: Die Kongruenz ax²-\-cy²~0 mod p ist

lösbar.

mit x, y^0(p) genau für

Setzt man nämlich x — yz, so bleibt az²~ — c(p) zu lösen oder aw=— c durch einen quadratischen Rest w.

Z. B. kann 2a:² + 3y² nicht durch 13,17,19, 23 teilbar sein, wohl aber durch 5, 7,11, 29, ..., und von diesen Primzahlen sind wiederum die von der Form 6n + 5, wie sich nach dem Verfahren von Satz 48 beweisen läßt, selbst durch 2x² + 3y² darstellbar. Näheres vgl. §§ 24, 30!

§ 23. Gaußsches Lemma. Erweitertes Legendre-Symbol.

Wir bringen ein Kriterium für quadratische Reste, das sowohl für Einzelfeststellungen als besonders für den gegenseitigen Zusammenhang der quadratischen Reste wertvoll ist. Zuvor definieren wir als Halbsystem mod m = 2k + 1 ein System von Zahlen (Resten) %, a₂,.. . ak, das alle Reste mod m durch 0, ±0$ (i= 1,. . . k) darstellt. Ein solches bilden vor allem die untere Resthälfte 1, 2,... k wie die obere k +1,... m — 1 oder — k,.. . — 1.

Satz 54 (Gaußsches Lemma): Ist p = 2k + 1 Primzahl und a nicht durch p teilbar, ferner av .. . ak ein Halbsystem mod p und /jl die Anzahl der ai, die bei Multiplikation mit a in das entgegengesetzte Halbsystem —% übergehn, so gilt

o=

(99)

(-1 r-

Beweis: Da ein Halbsystem von einem Paar ^ r entgegengesetzter Reste ^ 0 immer genau einen enthält, gehen zwei Halbsysteme durch Vorzeichenwechsel einzelner Reste auseinander hervor. Entsteht c±, .. . ck aus ax, . . . ak durch ^ Vorzeichenwechsel, so gilt für sein Produkt

exe₂ • ck = (— iyla±a₂ * ak mod p.

(100)

Nun ist aber aat, aa₂ aak ein Halbsystem ; denn aus aai~ ^ aaj oder 0 folgte    Jt: aj oder 0. Also

(101)

SI©

In Anlehnung an (99) definieren wir jetzt ein ,,Gauß-Symbol“ ^ j = (— l)*⁴ für beliebig ungerades m und a w m, indem wir

1, . . . k als Halbsystem wählen ; jn sei dann die Anzahl der ai (i — 1, . .. &), die in die obere Resthälfte mod m fallen. Es gilt dann

Das Gaußsche Lemma. Erweitertes Legendre-Symbol.    75

Satz 55: Das Gauß-Symbol j = (—1/* ist

A.    vom gewählten Halbsystem unabhängig,

B.    ein Restcharakter %(a) mod m, d. h.

(102)    x(a') = x(a) für a'=a und xW = x(a) *(&).

C.    für eine Primzahl m das Legendre-Symbol.

(D. Für a> 0 außerdem ein Restcharakter mod 4a.) Beweis: C. gilt nach Satz 54, D. wird mit Satz 57 und (116) bewiesen. A. folgt so: Der Übergang von einem Halbsystem zum andern ist schrittweise durch einzelne Vorzeichenwechsel erzielbar. Es braucht daher nur gezeigt zu werden, daß fx beim Übergang vom Halbsystem av a₂, • • • ak zum Halbsystem cv c₂,...    =

— av + a₂,... + ajc sich allenfalls um eine gerade Zahl ändert. Die Multiplikation der Ci mit a kann aber durch die Übergänge

(103)

C^—> Q>i~+    CbCi

mit

1, JX,

Vorzeichenwechseln geschehn. Das sind beim Übergang von ą zu aą entweder /u + 2, /u oder ju — 2 Wechsel.

Schließlich folgt B. so: Treten bei Multiplikation des Halbsystems ai mit a genau fx{a) Vorzeichenwechsel (Abwanderungen ins entgegengesetzte Halbsystem) auf und jx(b) Wechsel bei Multiplikation des neuen Halbsystems mit b, so ju(a) + ju(b) — 2r (r Anzahl der Rückwechsel) bei Multiplikation der mit a b. Also

Q- (-i,«g)(i).

(104)

Bemerkung: In (104) liegt, daß ein quadratischer Rest a mod m

(w) ⁼    ^ hat.    jedo(dl die Umkehrung, sobald m

immer

verschiedene Primfaktoren besitzt, und daher sagt (104) über- das quadratische Restverhalten des Produktes zweier Nichtreste nichts aus. Für m = p ist (97) neu bewiesen.

Wir wenden das Gaußsche Lemma sogleich auf a— — 1 und £2 an und erhalten

Satz 56: Es ist — 1 quadratischer Rest für die Primzahlen der Form 4n-\-1, Nichtrest für p = An-\- 3; + 2 Rest für p = 8n±l, Nichtrest für

2 Rest für p=8n-fl und 8w+3, Nichtrest für Sn + 5, 7.

Nämlich bei Multiplikation mit — 1 gehn alle &Reste eines Halbsystems ins entgegengesetzte über, und k ist gerade für p = in + 1 ; multipliziert man— 2 mit der unteren Resthälfte, so fallen — 2, — 4,... bis — (k— 1) oder — k in die obere Resthälfte, eine gerade Anzahl für k = 4n, in + 1, also

sind es

P_8»+l,3. Bei +2 mit (A) _ (=') (=-!)

gerade die übrigen Vielfachen, die in die obere Resthälfte fallen; ihre Anzahl ist 2n für p — 8n+ 1 und 2w+ 1 für p = Sn + 3, 5.

Aufgabe: Man berechne ebenso, daß — 3 quadratischer Rest für p = 6n +1, +3 für p = 12w + 1 ; +5 für p == lOn + 1 und— 5 für p = 20n + 1, 3, 7, 9 !

§ 24. Die zweite Hauptfrage.

Satz 57 (Hauptsatz für quadratische Reste): Es ist

für a=in-\-0,1

(105)

>0.

„ a — 4w+2, 3

Ob a also quadratischer Rest für eine Primzahl ist, hängt nur von deren Restklasse mod 4a ab. Satz 58: Für positives a gilt ferner

(106)

Es ist danach

für jedes m, insbesondere alle Primzahlen bekannt, wenn für die ungeraden m \j a zwischen 0 und u.

In a aufgehende Quadrate sind dabei heraushebbar, auch 4. Beispiele:

p = 28 t + 1    3    5    9    11 13 15    17    19 23 25 27/+ Rest

7 für p: +    q---1--—---1---p + j— Nichtrest

p = 40 t + 1    3    7    9    11 13    17    19 21 23    27 29 31 33 37 39

10 für p: -|—|---|---1------1 1 1—f-

11 15 17 19 21 23 25

- - +--+ +

+ CD

co +

p = 26 t +    1

13 für p: +

Die Schemata müssen nach Satz 58 symmetrisch ausfallen, und es muß nach Satz 57 für a = 7,10 die zweite Schemahälfte entgegengesetzt zur ersten verlaufen und daher das zweite Viertel antisymmetrisch zum ersten, das allein zu berechnen bleibt. Entweder geschieht diese Berechnung wieder nach der Lemmamethode, oder man beschränkt sich auf Legendre-Symbole und Feststellung quadratischer Beste, indem man etwa, statt 10 für 9 zu bestimmen, feststellt, daß 10 Nichtrest für 11 und wegen der Antisymmetrie dann 10 Rest für p = 4Cb + 9, z. B. p = 89.

Auch für die nachfolgenden Beweise der Sätze 57—60 ist

zu

bemerken, daß man überall mit Legendresymbolen auskommt und also den tieferliegenden Satz 55 vermeiden kann.

Beweis von Satz 57 : Wir wenden das Gaußsche Lemma an und legen als Halbsystem die untere Resthälfte zugrunde. Wir haben also zum Vergleich von „a für 2a + m“ mit „a für m“, wenn wir nicht nach dem Modul reduzieren, die zwischen 0 und \ ma liegenden Vielfachen von a, das sind a, 2ß, . .. ka, in Intervalle 1₁ bis Ia je von der Länge einzuteilen, wobei U von %m(i— 1) bis \mi reicht, ebenso für m' = 2a + m die Vielfachen von a bis \ m'a in Intervalle /{,... 7a der Länge £m'.

a = 6; m = 19, m' = 31.

24    30 36    42    48 54

Beispiel:

CD

12 18

12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

Sind nun jm und jm die Anzahlen der Vielfachen von a in den Intervallen U und U (i = 1,... a), so ist ^ = jm + 1, weil das Intervall 11 beim selben Rest mod a beginnend wie h, genau a ganze Zahlen, also ein volles Restsystem mod a mehr enthält als h. Die Anzahlen der Vielfachen von a in den oberen Resthälften mod m und m' sind dann, wenn a = 2r oder

2r+l,

P =^2+^4+‘*‘ + /V

[*’ =    + / ’ * +    — l¹ + r*

Für gerades r, also a = 4w + 0, 1, liefert (99) somit

(107)

für a = 4n + 2, 3.

(£)=(£)• dagegen (£) = -(£)

Sind demnach p und q = 2at + V Primzahlen, so hat a bei geradem t denselben quadratischen Restcharakter für q wie für p, während bei ungeradem t der Rest von a mod 4 entscheidet, wie Satz 57 behauptet.

Beweis von Satz 58 : Sei m! = iat — m > 0 und wieder jlli und jLt'i die Anzahlen der Vielfachen von a, die in das &-te Halbintervall mod m und m' fallen, ihre Teilsummen

si ⁼ ftl + * * ’ + und

also die Anzahl der Vielfachen von a, die ^ \ im und ^ \im! sind, so wird

mi

(4 at— m)i'

(108) * =

2a ⁵

» si + si —    — 1,

das letzte nach (9), weil 2a nicht in mi aufgeht. Also [H +    — 1,

aber ja₂+ ju₂ = ju₃ + /Ą = • • = jua +    = 2t. Infolge

dessen

(109)    + jll' = ju₂ + ju'₂ + /U4 +    -----h/J₂r+/4. = 2rt

Wir betrachten noch den Fall a < 0, dessen Restverhalten man zwar auch aus dem von — a ableiten könnte, was jedoch für a = 1 (4) ein Umweg. Hier wird Satz 57 in der Form (105) erhalten bleiben, während (106) das Vorzeichen wechselt. Setzt man nämlich jetzt a = —2r+0,1, wobei r wieder ungerade für a== 2, 3 (4), und teilt man die k ersten Vielfachen von a in Halbintervalle mod m auf mit Vielfachen zwischen —\m{i—1) und —\mi, so ist jetzt P = ^1 +    + • • • + [x2r_ 1 die Anzahl der in die oberen

Resthälften fallenden Vielfachen (r obere und r oder r— 1 untere Halbintervalle, je nachdem \a \ — 2r oder = 2r— 1!), und es gilt für m' = 2 | a 11 + m wieder ju' = pc + rt. Für m' = 4 I a I t — m gelten hier zwar ebenfalls die Beziehungen

(108) mit I a | statt a; jedoch wird p, + ja' = jax + /Ą = 1 mod 2. Das gibt

\m' ]    \m)

(110)

Satz 59: Für negatives a gilt noch (105), aber bei m' = 4:\a\t—m> 0.

Das Reziprozitätsgesetz. Quadratischer Restalgorithmus. 79 Definiert man schließlich der ursprünglichen Bedeutung des

entsprechend    ^, so gilt (105) und (106) für

Moduls

(110) das Vorzeichen ändert und dann Rest von m mod 4a bestimmt ist.

positives a ohne Rücksicht auf das Vorzeichen des Nenners, während für negatives a ein Vorzeichenwechsel des Nenners in (105) und

nicht allein durch den

§ 25. Das quadratische Reziprozitätsgesetz. Quadratischer Restalgorithmus.

Satz 60 (Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste) :

Für zwei ungerade positive Zahlen?? und q gilt

«)=-(!)•

(in)

oder

je nachdem wenigstens eine der Zahlen von der Form 4n+l ist oder beide von der Form 4w— 1. Auf eine Form gebracht, unter Zulassung negativer Nenner:

(112)

1. j _ (_\yci+vw

bei ?? = 2fc + 1 = (— l)v \ p\, q = 2l+l = (-l)w\q\^p. Wählt man die Vorzeichen so, daß p > 0 und g = 4n+l, so gilt die erste Form (111): die direkte Umkehrung.

Sind also p und q Primzahlen, und ist der quadratische Restcharakter von gmod?? bekannt, so liefert (111) den von p mod q.

Beweis (aus Satz 54,57,58 so geführt, daß für Primzahl-??, q nur Legendre-Symbole Vorkommen und Satz 55 vermieden wird) :

A. p= q (4). Bei p— q = 4r wird (113) je nachdem ??=^= ^ 1 (4).

B. p ^ #(4). Bei p + q = 4r wird (114)

Damit ist das Reziprozitätsgesetz für positive p und q bewiesen. (Satz 57 und 58 werden in (113) und (114) beim Übergang von q zu 4r + q und 4r—q verwandt. Alle Nenner bleiben Primzahl.) Und es gilt (112) mit v = w = 0.

Um (112) auch für vorzeichenbehaftete p, q zu beweisen, beachte man: beim Übergang von q zu —q ändert sich l mod 2

und j sein Vorzeichen nur für k ^ v mod 2 ; während

Be weis variante für B. : Ohne Satz 58 zu verwenden, schließt man mit dem Gauß-Symbol aus (113) und Satz 57:

(115)

fl) — ( A \    /P±2g\_M

\p)~\p+w~\ ? )~ur wenn p= — 1, q= + 1(4). Es wird dann p + 2q~ 1(4).

Aufgabe : Man beweise so wie Satz 57, daß ^ j für 4 | a von m

nur mod a abhängt. Man braucht dann in (113) nicht erst 4r in r überzuführen und dann auch nicht, daß das Gauß-Symbol ein Charakter ist.

Aus dem Reziprozitätsgesetz folgt nun für das Gauß-Symbol:

g)-/7g) für u-nt.

(116)

Das ist die Jacobische Definition des quadratischen Restsymbols, die man bisweilen ergänzt durch

(117)

oder = + 1 für D = 1 (8), — 1 für D == 5 (8).

Beweis von (116): Zerlegt man a = ±2eD so, daß D= 1 (4) wird, so bleibt, da (116) für a = — 1, 2 aus Satz 56

folgt, nur zu schließen:

Das Reziprozitätsgesetz liefert einen Algorithmus zur Berechnung des quadratischen Restsymbols wie folgt:

+1.

— 1.

/19427 \    /19427 \    /2W5W9\

1118291 j ⁼ ~ V1729 ) ⁼ “ [7 ) lîsj [ü) ⁼ + ¹‘

Das erste Beispiel verwendet nur Legendre-Symbole, das zweite Gauß-Symbole und das dritte diese als Jacobi-Symbole.

§ 26. Der dritte Gaußsche Beweis.

Wir bringen noch den dritten, von Eisenstein vereinfachten der acht Gaußschen Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, der wie die meisten der zahlreichen veröffentlichten Beweise unmittelbar vom Gaußschen Lemma ausgeht, ohne den Hauptsatz der quadratischen Reste zu streifen. Er ist dadurch weniger durchsichtig als der vorausgeschickte, dafür durch seine geschlossene Form, die Subtraktionen mod 2 in Additionen verwandelt, um so eleganter.

Sei wieder p = 2k+l, q=2l-\-l, und betrachten wir

zuerst

, indem wir wie im Lemma die k ersten Vielfachen

qx'

p+ rx, x = 1, 2,... k,

(118)

bilden und dabei von den nach der Größe geordneten Resten

(119)

die ersten À in der unteren und die folgenden /n in der oberen Resthälfte liegen, so daß für das Halbsystem (119)

(120)    A + G =(%+••• + cix) + (ci + * * * + cn) —

q_p..._)_ Je — ^k(k 1) = ! (p²    1).

Durch Summierung von (118) für alle x erhält man V --?= JS f^P+ A+fj,p — G,

x=l L V J

p²— 1

(121)

qx —

rx = ax, a₂,... aÄ9 p— cv ... p—

OC

qx

— + ju, + A + C mod 2,

Scholz, Zahlentheorie.

Quadratische Reste, wegen (120) also /j, = Z[qx : p\ Es gilt dann nach dem Gauß

82

schen Lemma, wenn man die gleiche Betrachtung für

macht,

und es ist das Reziprozitätsgesetz (112) für p, q > 0 bewiesen, wenn man zeigt

Es gilt sogar Gleichheit in (122): Bildet man die Ausdrücke qx — py, so sind Z± Ausdrücke positiv, keiner null und 272 negativ; nämlich bei festem x=l,...lc ist qx—py>0 für y = 1,. . . [qx : p], was für alle x insgesamt Z₁ Ausdrücke gibt ; ebenso qx — py <0 oder py > qx bei festem y 1 für x^[py:q], insgesamt Z₂ Ausdrücke; während py = qx wegen 0 < x < p unmöglich.

(122)

+ 2;

py

Cr-

§ 27. Anwendungen. Bi quadratische und kubische Reste.

Daß 2 quadratischer Rest für p == 8n i 1 und 3 Nichtrest für p = 12n + 5, kann zur Entscheidung, ob eine Zahl 2W ^ 1 Primzahl sei, beitragen. Zuerst ist

₃₂m_i__i mod2™+l

(m^ 2)

(123)

notwendig und hinreichend dafür, daß 2m -\- 1 eine Primzahl. Nämlich im Primzahlfall ist m gerade, falls m > 1, und dann 2m + 1 = 5 (12), also 3 Nichtrest, und da <p (p) = 2m, gilt nach dem Eulerschen Kriterium (123). Umgekehrt folgt aus (123), daß 3²™ == + 1, und daraus mit (123), daß 3 nach wenigstens einem p | 2m + 1 die Ordnung 2m hat, was nur für p = 1 mod 2m, also p — 2m + 1 möglich.

Nach § 9 konnte + 1 nur für m = 2S Primzahl sein. Die Untersuchung durch Teilerprobe führt hier weit: zunächst

hat 2 wegen 2²* = — 1 mod p | 2

+ 1 die Ordnung 2S+1. Also p= 1 (2S+1), == 1 (8) für s > 1 und dann 2 quadratischer Rest mod p und seine Ordnung 2S+1| £(p—1); p = l mod2s+2.

So kommen für 2³² ^ 1 von vornherein nur Primteiler der Form 128n + 1 in Frage, also p = 257, 641, 769,. .., wovon 257 als Teiler von 2³² — 1 ausscheidet und 641 sich gleich als Teiler erweist. Ohne Verfeinerung des Verfahrens wächst die Zahl der Proben mit s allerdings sehr stark.

Ist p und q = 2p+1 Primzahl, so ist 2P — 1 keine Primzahl, sondern durch q teilbar, wenn p=— 1(12). Denn dann ist q = — 1 (8), also 2 qu. Rest und 2P = 1 mod q, aber q < 2P — 1 bei p > 3. p = 11, 23, 83,...

Wir bringen nun eine Anwendung auf die Theorie der biquadratischen Reste, die im wesentlichen nur für die Primmoduln der Form 4n+ 1 Bedeutung hat. Hier gilt zunächst die einzigdastehende Tatsache:

Satz 61: Die Zahl— 4 ist für alle Primzahlen der Form 4w+ 1 biquadratischer Rest, also für alle Zahlen, für die sie überhaupt quadratischer Rest

ist.

Beweis: Die Zahl — 1, die außer mod 2 stets von der Ordnung 2 ist, ist darum biquadratischer Rest für ein p= 1(8) und Mchtrest für p = 5 (8). Dieselbe biquadratische Restverteilung gilt aber für die Zahl 4; denn 4 ist als Quadrat von 2 da biquadratischer Rest, wo 2 quadratischer Rest ist. Also ist das Produkt — 4 sicher für ein p = Sn + 1 biquadratischer Rest, aber auch für p — 8n + 5 ; weil dann ind (— 1) = 4n+ 2 und etwa ind 4 = 4m— 2, somit ind (— 4) == 4(m + n).

Satz 62 (Gauß): Die Zahl 2 ist biquadratischer Rest für die Primzahlen der Form x²+64y² und nur für diese.

Stellt man dar: p = 4n -f 1 = a² + W = a² + c², so ist gerades b kennzeichnend für quadratischen Rest 2 (Fall p — Sm +1) ; hier wird nun behauptet: 4 | b ist kennzeichnend für biquadratischen Rest 2.

(124)

somit bei c= ja; j²=

Beweis (Dirichlet) : Mit den obigen Bezeichnungen ist (a + c)²= 2ac mod p = a² + c², l(p) und nach (96):

e=2 nancn

= (2jy(£)s2*j“inodp,

(125) (“t e) = (a+c)²*

^j = 1 mit p = in + 1 = c² mod a. Ferner

weil

(—pp) =1 bei 2p= (a+c)² + («— <0²-

(126)

Nun läßt sich der quadratische Charakter von 2 darstellen

m²—1

(127)

da m²= 1(16) für m=± 1(8), = 9(16) für m= ^ 3(8). Dies gibt mit (126) auf (125) angewandt

;2w

(128) 2-j*= (*-± ')= (4P - (4P - (- ir - T

(129)

mit 8w—{aĄ-cY— 1 = p— 1 + 2ac = 4n-\- Aab, also 2njn=jn+ab-f 2n^jabmodp.

Das Eulersche Kriterium dafür, daß 2 biquadratischer Rest ist, lautet aber 2n= l(p), d. h. hier 4 | ab oder 4 | b.

Im ganzen läßt sich die Theorie der biquadratischen Reste nicht so durchführen wie die der quadratischen Reste. Man kann zwar vom Eulerschen Kriterium aus noch ein Gaußsches Lemma durch Bildung von Viertelsystemen V mod p erhalten, die von je vier Resten ± a, ja genau einen enthalten und durch Multiplikation mit j zyklisch auseinander hervorgehn. Es gilt dann für p = in + 1

(130)

an — jf*    p _ x _j_ 2y + 3z,

wenn x, y, z die Anzahlen der Reste aus V sind, die bei Multiplikation mit a in Vj, Vj², Vj³ übergehn. Weil nun aber j für jedes p anders ausfällt und schon darum keine einheitliche Einteilung in Viertelsysteme gestattet, erhält man im Rationalen keine Lösung der zweiten Hauptfrage durch arithmetische Progressionen und kein Reziprozitätsgesetz. Sondern man muß hier mit Gauß in den aus der vierten Einheitswurzel i (i² — — 1) gebildeten Ring r der Zahlen x -f iy, x und y ganz rational, hineingehn, in dem jedes p = \n + 1 zerfällt

(131) p — a² + b² = (a + bi) (a — bi) sowie 2 = —i{ 1 + i)²,

während die p der Form 4n — 1 unzerfallen bleiben. Hier hat man bei Einführung der Kongruenz durch (42) den kleinen Fermat in der Form (72), wenn p wieder die Anzahl aller teilerfremden

Reste mod m ist (z. B. cp = p — 1 für das a + bi in (131); p² — 1 für unzerfallenes p), ferner für jeden Primmodul m einen Primitivrest und das Eulersche Kriterium (84). Dies besagt, weil außer für m=l-\-i immer (p(m) = 4Jc ausfällt, im biquadratischen Fall

+ 1,-1 oder i i mod m,

(132)

OC*

W/4

je nachdem a in T biquadratischer, nur quadratischer oder nichtquadratischer Rest mod m. Zugleich ist in (132) ein biquadratisches Restsymbol definiert, das = V* mit dem p, aus (130) wird,

wenn man das Bildungsverfahren des Gaußschen Lemmas anwendet. Hier erhält man nun bei quadratischer Anordnung der Zahlen x + yi feste Resteviertel mod m, die durch Multiklikation mit dem jetzt von m unabhängigen Rest i ineinander übergehn und zusammen ein reduziertes Restsystem modra in Quadratform ergeben (vgl. Gauß, Werke, Band 2, S. 313 ff.).

Hieraus eine Lösung der zweiten Hauptfrage für biquadratische Reste durch arithmetische Progressionen im Gaußschen Ring und ein biquadratisches Reziprozitätsgesetz dortselbst.

Im Rationalen hat man jedoch kein biquadratisches Reziprozitätsgesetz und keine lineare Lösung der zweiten Hauptfrage; ihre Entscheidung hängt vielmehr vom Zerfall des Moduls in F noch ab. Sie kann aber im Zusammenhang damit aus der Darstell-barkeit durch gewisse rationalzahlige quadratische Formen getroffen werden wie oben in Satz 62.

Ähnlich verhält es sich mit der Frage nach den kubischen Resten der Moduln p — 3n + 1. Hier erhält man, wenn r ein Rest der Ordnung 3, mit Restedritteln T, Tr, Tr² und entsprechend 3j geändertem ju ein kubisches Lemma (130) mit r statt j. Zur Lösung t der zweiten Hauptfrage führt man mit Eisenstein den Ring P=R(q) ;i der aus der die Gleichung x² + x + 1 = 0 befriedigenden dritten Einheitswurzel q gebildeten Zahlen a -f gb ein, in dem die

(133)

p = 3n + 1 = a² + Sb² = (a + br) (a — br), t = 2q + 1,

zerfallen, während die p = 3n — 1 unzerfallen bleiben. Alle Primmoduln m außer t haben dann ein cp (m) = 3k, und es entscheidet

— 3 = T² ;

<x*

=(-) =

w₃

i. e> e².

(134)

ob a kubischer Rest oder Nichtrest mod«. Endergebnis: ein kubisches Reziprozitätsgesetz in P, das im Rationalen so anwendbar:

r ist kubischer Rest für p in (133), wenn in P für a + br. So gilt z. B. für ungerades a + c

= Qac =1 nur für 3 | c;

(135)

rational:

Ka + er,

2 ist kubischer Rest gerade für die Primzahlen p der Form a² + 21b².

Offen blieb noch die Frage, ob in R(i) und R(q) die Primfaktorenzerlegung bis auf Faktoren, die in 1 aufgehn, eindeutig sei. Dies bestätigt sich in R(i) durch Satz 46 in Verbindung mit (89) und (90), ähnlich für R(q) bei den entsprechenden Folgerungen aus Satz 48 ; man muß nur von a + bi, a + bg erst den rationalen Faktor (a, b) abspalten, um mit eigentlichen Darstellungen wie in (131), (133) vergleichen zu können. Dasselbe gilt (vgl. nächstes Kap. bis Def. (158) !) für alle R (/d), wo zur Diskriminante D nur eine Klasse quadratischer Formen gehört. Dagegen scheitert die eindeutige Primzahlzerlegung in R(]/—ö) z. B. an der Zusatzbedingung p = 4w+ 1 in Satz 48: es ist

21 = 3 • 7 = (l + 2|/^5)(l -2J/-5) = l² + 5 • 2²

1 und 21 == 1 (4), während 3

darstellbar, bei

und 7, weil = — 1 (4) keine Zerlegung haben.

Die PrimzcrTilzerlegung ist aber für die höhere Zahlentheorie nicht so maßgebend; es kommt hauptsächlich darauf an, für die Kongruenztheorie die Zerlegung in Kongruenzen mit Restklassenkörpern zu haben, wie sie in § 16 fürs Rationale aus der eindeutigen Primzahlzerlegung folgte. Und das läßt sich für algebraische Zahlringe geeigneten Umfangs in Form einer eindeutigen Primideal-zerlegung erreichen: Die Moduln bestehen hier nicht mehr aus den Vielfachen einer Zahl p, sondern haben die allgemeinere Gestalt (13). Jedoch muß (43) halber mit und ß nicht nur oc ± ß, sondern auch jedes Àoc (A Ringzahl) dem Modul angehören, den man dann ein Ideal nennt. Vom Primideal v< rlangt man, daß sein Restklassenring nullteilerfrei ist, bei Endlichkeit nach Satz 27 also ein Körper.

Es erweist sich so jede Kongruenz nach einem Modul m als gleichwertig mit einer simultanen Kongruenz nach eindeutig durch m festliegenden Moduln (,,m =    — • qr“), die ihrerseits

Potenzen von Primidealen ^ in dem Sinne werden, daß sich zu jedem q ein n findet, für das (n, q) — p Primideal wird (a = ß mod (tt, q) heißt: a == ß -f nA mod q), und das mit yr^^O(q)

jeder Zahl oc eine eindeutige Darstellung

oc = oc₀ -f- ocxn -f • • • + oce_₁71e—¹ mod q (,,q = pe “)

aus Zahlen eines festen Eestsystems modp gibt, im Einklang mit Aufgabe C in § 16. Zerlegungen mit e = 1 s. § 39 Ende.

Kapitel Y. Quadratische Formen.

§ 28. Darstellbarkeit. Diskriminante.

Wir haben schon in § 20 und 22 einige Fälle der Darstellbarkeit insbesondere von Primzahlen p durch quadratische

Formen ax² + cy² betrachtet und    — 1 a^s notwendige

Bedingung gefunden. Hier werden wir uns allgemeiner mit den quadratischen Formen

F (x, y) = ax² + bxy + cy² = (<a, b, c),

(136)

wie man sie gern durch ihre hier ganz-rationalen Koeffizienten a, b, c abkürzt, beschäftigen, insbesondere mit den durch sie darstellbaren Zahlen und deren Darstellungen. Dabei werden wir wie früher eine Zahl k als durch die Form (a, b, c) „eigentlich darstellbar“ bezeichnen, wenn k = ax² + bxy -j- cy² mit zueinander teilerfremden Zahlen x und y darstellbar ist. Es wird genügen, die durch eine gegebene Form eigentlich darstellbaren Zahlen zu betrachten, da die andern aus ihnen durch Multiplikation mit den Quadratzahlen hervorgehn : aus k = F (x, y) folgt F (tx, ty) = t²k. Ebenfalls reicht es, primitive Formen (a, &, c) zu betrachten, d. h. Formen mit teilerfremden a,b,c\ denn die durch (ta, tb, tc) darstellbaren Zahlen sind einfach die ^-fachen der durch (a, b, c) darstellbaren.

Als notwendige Bedingung für die eigentliche Darstellbarkeit der Zahl m durch die primitive Form (a, b, c) werden wir in Erweiterung des oben erwähnten Falles b = 0 erhalten, daß die Diskriminante

D = b² — 4 ac von ax² + bxy + cy²

(137)

einem Quadrat mod m kongruent ist. Ist dabei m zu D teilerfremd, also D quadratischer Rest für m, so ist umgekehrt m wenigstens durch irgendeine Form der Diskriminante D dar* stellbar, wenn 1) überhaupt als Diskriminante vorkoinmt. Wir teilen darum alle quadratische Formen zuerst nach ihrer Diskriminante ein.

Diskriminantenzahlen sind die positiven und negativen Zahlen der Form 4n und 4n-\-1. Denn D = 0 oder 1 (4) muß nach (137) erfüllt sein ; dann aber braucht man nur b = D mod 2 zu wählen, und man hat mit b² — D = 4c zur Diskriminante D die Form (1, b, c), die für b = 0 oder 1 die Hauptform heißt.

Die Quadratzahlen sind dabei die Diskriminanten der zerfallenen Formen: Ist

(138)

ax² + bxy + cy² = (kx + ly) (mx -f ny),

so D = (kn -f Im)² — 4klmn = (kn — Im)², und umgekehrt folgt aus b² — 4ac = q² oder 4ac = (b + q) (b — q) mit b -f q = 2r, b — q= 2s eine Zerlegung (138) mit

(139)    k=(a,r); l=(c,s); m=a:(a,r)\ n—c:(c,s).

Dann ist km = a, ln = c und auch kn + Im = b — r + s; denn aus rs = ac folgt (a, r)c= (ac, rc) = (rs, rc) = r(c, s) und in

(139)    dann kn = r; entsprechend Im = s.

Da bei zerfallener Form eine lineare Darstellungsaufgabe entsteht, schließen wir Quadratdiskriminanten im folgenden von der Betrachtung aus. Von den übrigen sind am wichtigsten die Fundamentaldiskriminanten; das sind die, die keine echte Zerlegung D = dq², bei der d wieder Diskriminante ist, besitzen. Es darf also D durch kein ungerades Primquadrat teilbar sein, und für 4 | D muß D= 8 oder 12 mod 16 sein. Zu einer Fundamentaldiskriminante gehören nur primitive Formen, weil (aq, bq, cq) die Diskriminante (b² — 4ac) q² hat. Jede Diskriminante D steht zu genau einer Fundamental-diskriminante d in einer Beziehung D = dq². Über die Darstellungsverwandtschaft von D und d vgl. (159).

Schließlich ist die Unterscheidung der Fälle D > 0 und D < 0 sehr wichtig. Jede Form positiver Diskriminante ist indefinit, d. h. sie stellt sowohl positive als negative Zahlen dar. Denn für x 4= 0, y = 0 hat F (x, y) das Vorzeichen von a\ für x — — b, y; = 2a aber hat

F (x, y) = ab²— 2ab² + 4a²c = — aD

(140)

das entgegengesetzte Vorzeichen, wenn D > 0.

Ist jedoch Z) < 0, so hat F (æ, ^/) stets das Vorzeichen von a außer für x = y = 0, wo F = 0 ist. Eine solche Form nennt man definit. Es ist nämlich (141) 4aF — (2ax + ly)² — Dy² >0 für D < 0, y 4= 0.

Für D < 0 werden wir nur die positiv definiten Formen betrachten, also a, und c, positiv annehmen. Das reicht, weil &, — c) immer — k darstellt, wenn k durch (a, b, c)

(—«.

dargestellt wird.

Im folgenden ist „Form“ stets primitiv und „Darstellung“ stets eigentlich gemeint. Wir beweisen schon

Satz 63: Jede Form F=(a,b,c) stellt Zahlen k dar, die zu gegebenem m teilerfremd sind.

Denn die Werte

F(l,0) = a, F(0,l) = c, F(l,l) = a+b+c sind bei primitivem F teüerfremd; daher gibt es zu jedem Primteiler pi von m ein Paar xi9 ifo mit F (xt, yi) ^ 0 mod pi% Ist nun x = x^ y = yi (pj eine Simultanlösung für alle p^, so ist F (x, y) w m.

§ 29. Äquivalenz der Formen.

Wir wollen jetzt die Formen einer festen Diskriminante D nach den durch sie darstellbaren Zahlen ordnen. Es gilt

Satz 64 A: Zwei quadratische Formen (a, b, c) und (a',b'₉ć) der Diskriminante D stellen dieselben Zahlen dar, wenn sie durch lineare Substitution auseinander hervorgehn.

Eine lineare Substitution S an der Form F = (a, b, c) vornehmen bedeute dabei folgendes : man ersetze x, y in F durch

x' = rx + vy y' = SX + wy

-G )■

(142)

, vermerkt durch S

Dann wird

(143) F (x', y') — ax’² +    + cy'² = a' æ² + F#?/ + c'?/²

mit

a' = ar² + fcrs + es²; F = 2arv + b(rw-\- sv) + 2csiv; c' = flw² + bvw + cw²; D' = b'²— 4aV == Z) (rw— sv)².

Dies bestätigt man durch Ausrechnung wie auch, daß wx' — vy' = xj — sx' + ry' = yj x und y sind dann auch umgekehrt ganz durch x’ und y' aus-drückbar, und (a', b', c') ist zugleich mit (a, b, c) primitiv, wenn die „Substitutionsdeterminante“ j = d= 1 ist, und das heißt nach (144) gerade, daß D bei S ungeändert bleibt. Dann stellt aber nach (143) die aus F mit (142) hervorgehende Form

mit j — rw — sv.

(145)

Fs= (a, b, c)s = (a', b\ć)

(146)

dieselben Zahlen dar wie F. Daß auch umgekehrt zwei Formen, die dieselben Zahlen darstellen, durch lineare Substitution auseinander hervorgehn, liegt tiefer, ist aber für definite Formen aus (156) und (157) zu entnehmen.

Wir teilen jetzt die quadratischen Formen der Diskrimi-nante D in Klassen äquivalenter Formen ein, indem wir zwei Formen als äquivalent oder eigentlich äquivalent bezeichnen, wenn sie mittels einer „eigentlich unimodularen“ Substitution S, d. h. Determinante j (8) — + 1, auseinander hervorgehn, und als uneigentlich äquivalent im Falle j(S) = —1.

Diese Klasseneinteilung entsteht so: Wird F durch 8 ⁼ (^sl^j in Fs = G übergeführt und G durch T = ^jin GT = H, so F mH = FST mit

ST =

rv + vw 5' sv'4-ww'

(147)

Und rückwärts F — Gs 1 nach (145) mit

); j(ST)=mnn

; ÄS,_1 = E

(148)

Danach wird oben H mit F (und F mit H) eigentlich äquivalent, wenn beide Formen mit G eigentlich äquivalent sind oder beide uneigentlich. Bezeichnung: TI ~F. Dagegen wird H ~F (uneigentlich äquivalent), wenn G ~F und H ~G.

Obwohl es für die Darstellungsaufgabe nicht nötig wäre, zwei nur uneigentlich äquivalente Formen in verschiedene Klassen zu tun, so gibt doch die Klasseneinteilung nach eigentlicher Äquivalenz gerade für die Darstellung zusammengesetzter Zahlen eine bessere Übersicht. (Ygl. in § 30 die Kompositionstheorie.)

Man erhält so Paare zueinander uneigentlich äquivalenter Klassen von Formen und einzelne ,,zweiseitige“ Klassen, deren Formen einander zugleich eigentlich und uneigentlich äquivalent sind (vgl. in § 32 die zweiseitigen Formen). Zu den zweiseitigen Klassen gehört die Hauptklasse mit der Hauptform

a,

Wir werden bald zeigen, daß es zu jeder Diskriminante D nur eine endliche Anzahl von Formenklassen gibt, die man kurz die Klassenzahl h(D) von D nennt.

Die Substitution ST in (147) ist durch Aufeinanderfolge von S und T gebildet. Infolgedessen gilt das Assoziativgesetz S(TV) = (ST)V; selten aber ist TS = ST; z. B. wird

Ferner ist (ST)-¹ = T~¹S~¹ und (Ó"¹)⁻¹ = S~a, wenn man mit Sa und S~“ das u-fach angewandte 8 und S~l bezeichnet. Man bildet auch

\sw Ww'l \

r + r' v + v' vs + s' w + w'

und —

\s w) \— s — w)

tution

Schließlich erhalten, wenn man der Form F = (a, &, c) die Substi-mit der Determinante —D zuordnet, die

xx' + yy' = 2F bei (x, y)® = (x', y') liefert, die Transformationen (144) die Gestalt

wo S' — ^ Q die ,,Transponierte“ von S und G = Fs =

(149)

(a', V, cf).

Die Darstellungsaufgabe wird nun völlig eine Äquivalenzfrage; es gilt

Satz64B: Stellt die Form (a, b, c) die Zahl k dar, so gibt es eine zu (a, c) äquivalente Form (k,l,m).

Ist nämlich k = ax² + bxy + aß mit x w y, so gibt es ein

Zahlenpaar v, w mit xw — yv = 1. Die Substitution S = ^ Vj

führt dann (a, b, c) nach (144) in eine äquivalente Form mit dem ersten Koeffizienten k über, wie Satz 64B sagt.

Führte hier ein festes Paar v, iv zur Form (k, l, m), so entsteht bei der zulässigen Ersetzung von v, w durch v + xt, wß yt

eine Form (k, V, m') mit V = Ï+ 2kt, wie (144) oder die Zer-legung

(150)

X V + xt

y w+yt ergibt. Dies sind aber auch alle aus einer festen Darstellung von k hervorgehenden Formen, eine,,Schar paralleler Formen⁴'.

Es können aber auch zwei verschiedene Darstellungen von k durch F = (a, b, c), etwa k = F (x, y) = F (x\ ?/'), dieselbe

Form G = (k, l, m) hervorbringen mit S — ^ V j und

T = ^    . Aus G = FS = Ft folgt aber, daß A = S⁻¹ T

eine „automorphe⁴⁴ Substitution von F ist, d. h. FÄ = F. Kennt man die automorphen Substitutionen von F (vgl. § 32), oder die zu F selbst gehörigen Darstellungen von a durch F, so gewinnt man aus einer Darstellung von k durch F alle zur selben Formenschar Çk,    gehörigen. Ist diese

Aufgabe gelöst, bleibt nur zu untersuchen, welche Formen

(k, l, m) mit P — 4km = D und — k <l^k

(151)

der Form (a, &, c) äquivalent sind, um alle Darstellunger von k durch (a, b, c) zu bekommen. Die Anzahl dieser Former ist für eine Fundamentaldiskriminante D gleich der Anzahl der Lösungen der Kongruenz z^~D mod 4k; für andere D = Heß sind unter den (k, l, m) in (151) noch die imprimi tiven zu streichen, die jedoch nur für (k, q) ^ 1 auftreten Zusammenfassend haben wir

Satz 65: Eine Zahl k ist durch irgendeine Form der Diskriminante D genau dann darstellbar, wenn die Kongruenz l²= D mod4fc lösbar, l² = D + 4km und dabei m^ (k,l) ist, eine Primzahl p also sicher

für = 1, auch für p\D^0(p²), nicht aber für — 1.

Durch eine bestimmte Form F = (a^b, c) der Diskriminante D ist k aber erst dann darstellbar, wenn eine der Formen (151) zu F äquivalent ist. k = 1 nur, wenn F zur Hauptklasse gehört. Die Gesamtheit der Darstellungen k — F(x, y) entspringen den linken Zahlen x, y der Substitutionen, die die Form (a,b,c) in die verschiedenen Formen (151) überführen. Diese Formen teilen die Darstellungen von k durch F in Scharen solcher ein, die durch automorphe Substitution von F ineinander übergehn, wie umgekehrt die einzelnen Darstellungen alle zu F äquivalenten (ik,l',m') nach Scharen paralleler Formen ordnen.

Dabei heißen zwei äquivalente Formen (a, b, c) und (a, b\ c') parallel, wenn b'=b mod 2a. Substitution: P(t) aus (150).

Andere häufig vorkommende Äquivalenzen mit {a, b, c) sind : Die komplementäre Form (c, — b, a) = (a, b, c)L mit

0 1\/1 0

1 0/ VO -1/’

hier zusammengesetzt aus zwei Substitutionen, die einzeln zwei uneigentliche Äquivalenzen hervorbringen: die zu (a, b, c) assoziierte Form (a, b, c)M — (c, b, a) und die entgegengesetzte Form (a, b, c)N = (a, — b, c). Für die Reduktion der quadratischen Formen sind am wichtigsten die rechts benachbarten Formen oder Nachbarformen

MN =

(152) (a,b,c)R=(c,-b+2ct, F(—l, t));    ^) = LP,

also die zur komplementären Form parallelen Formen.

Beispiele für Darstellungen:

& + y² = 5. k = 5, F = (1, 0,1), D —— 4.

2² = — 4 mod 20 hat mod 10 die Lösungen A 4. Zugeordnete Formen: (k, l, m) = (5, 4,1) und (5, — 4,1). Beide stellen die Eins dar und sind daher ~ (1, 0,1) und zwar Nachbarformen. Es wird z. B. (5, 4,1) = (1, 0, 1)Ä und (5,— 4,1)

. Da FA = F

1.

= (1) 0,1)T mit S =^2 Î)

und T

“(l o)

J) (vg¹- § 32), gehören zu (5, 4,1) die aus AS hervorgehenden Darstellungen x, y = 1, 2;

-2,1; -l,

tem x, y.

2.    x*+xy+6y² = 6. F = (1,1, 6), D = — 23.

z² = 1 (24). Lösungen: ± 1? zb ^ mod 12. Zugeordnete Formen: (6, A 1,1) und (6, A 5, 2). Das letzte Paar ist zu F inäquivalent, da 2 nach (141) bei —Dy²^ 23 nicht durch F darstellbar. Für das Formenpaar FSt ^ = (6, ₌(₌ 1,1) hat man

S =

für A = ±E und

2; 2,— 1; zu (5.— 4,1) mit vertausch-

-ß .)

und T

, und da hier nur A E

automorph sind (vlg. § 32), die einzigen Lösungen A (1,— 1) und A (0,1).

3. x² + xy + ly² =9. D — — 27. 2² = 9 mod 36. z == 3(6); =9,£3 mod 18. Primitive Formen sind (k, l, m) — (9, A 3,1); l — 9 scheidet aus. Da nur A E automorph, bleiben nur die Lösungen A (1,1) und A (2,— 1).

Darstellungen durch indefinite Formen am Ende von § 31.

r-1 0,

§ 30. Reduktion der definiten Formen. Komposition.

Geschlechter.

Die Form (a, b, c) sei positiv definit, also a, c > 0 und D = b² — iac<0. D = — A \ A = 3,4, 7,8,11,12,. ...

Gelingt es, in jeder Formenklasse von D eine ausgezeichnete Form (a, b, c) festzulegen und ein Verfahren, eine gegebene Form (k, l, m) der Diskriminante D durch eigentlich unimodulare Substitution in die zu ihr äquivalente

ausgezeichnete überzuführen, zu „reduzieren“, so kann man die Darstellbarkeit von k durch die Form F = (/*, g, h) dadurch entscheiden, daß man F und die Formen (151) reduziert: führt die Reduktion einer dieser Formen auf die ausgezeichnete Form der Klasse vonF, so ist k durch F darstellbar nach Satz 65/64. (Die Anzahl der Darstellungen wird nach § 32 das Sechsfache, Vierfache, Doppelte der zu F äquivalenten Formen (151), je nachdem A = 3, 4 oder > 4.)

(<a, 5, c) heiße nun eine reduzierte Form, wenn

(153)    | & | a5g c. Folge: A = 4ac— &²^> 3&².

Satz 66: A. Jede definite Form läßt sich durch eine Kette benachbarter Formen in eine reduzierte Form überführen.

B. Zwei reduzierte Formen sind einander inäquivalent, außer wenn sie einander entgegengesetzt sind und dabei in (153) einmal das Gleichheitszeichen gilt. Also es sind

(154)    (a, a, c) = (a, — a, e)p und (a, &, a) = (a, — a)L

die einzigen Äquivalenzfälle reduzierter Formen.

In diesen Fällen wählt man als ausgezeichnete Form die mit positivem mittleren Koeffizienten.

Beweis von A.: Ist a die kleinste in der Klasse K darstellbare Zahl, so gibt es in ihr eine Form (a, Z, m). Zu der ist genau eine Form F = {a, b, c) mit — a < b 5^ a parallel. Dabei ist a, weil a die kleinste in K darstellbare Zahl. Also ist F reduziert.

Eine gegebene Form reduziert man nun so: Zuerst führt man sie in die parallele Form G = (k, 1, m) mit — k    m

über; ist dann m^.k, so ist G reduziert. Sonst büde man die Komplementärform (m, — l, k) und reduziere — l mod 2m so, daß eine Form (m,    mit — m<V ^ m entsteht.

So fortfahrend bildet man eine Kette benachbarter Formen (155) (k, l, m) ~ (m, V, m') ~ (m', l", m") ~ • • • in der jeweils — f < g ^ f, also die erste Ungleichung in (153) erfüllt ist. Da aber die Folge k, m, m', m",... der äußeren

Formenzahlen nicht ständig abnehmen kann, tritt in der Kette eine Form (a, b, c) mit a c auf, die dann reduziert ist.

Beweis von B. Daß außer den Parallel- und Komplementäräquivalenzen (154) keine Äquivalenz zwischen reduzierten Formen besteht, folgt so: Ist (a, b, c) reduziert, so sind die bei x, y = 1, 0; 0,1; 1, ± 1 auftretenden Werte

(156)

a ^ c a— | 6 | + e

die kleinsten durch (a, b, c) darstellbaren Zahlen ; denn für I x I = X ^ | y | = F und \ b\ = B wird

(157) ax² + bxy + cy² ^ aX²

ÆXF + cF2 ^ (a — B)XY + cY²^ (a — B+c) Y²

Entsprechend ^ (a — B + c) X² für Y ^ X. Also F(x,y)â a — B+ c bei X, FJ> 1.

(Die eigentlichen Darstellungen mit x oder y = 0 sind oben erledigt.

Ist nun (a\ b\ c') ebenfalls reduziert und ~ (a, b, c), so müssen die Zahlen (156) auch die kleinsten durch (a\ b',c') darstellbaren sein, also sicher a' = a und bei c > a, ć > a' auch c' = c und dann \ b' | = | b |. Dasselbe gilt für c = a. ć = a!. Daß aber etwa c — a und c' > a', kommt nicht in Frage; denn dann wäre jetzt c' ^ a — B -\- c — 2a— B und A = 4a² — b² = 4a'c' — b'²^Sa² — 4aB — b'² und b'² ^ 4tt²— 4aB + B² = (2a — B)² > a² = a'². Also wäre (a\ V, c') nicht reduziert.

Zu (a, b, c) kann also höchstens (a, — b, c) äquivalent sein. Dies, bleibt zu beweisen, ist für B < a < c nicht der

Fall: es müßte bei (a,— b, c) = (a,b, c)s und S = hier a = a#² + bxy + cy² sein; die einzigen Lösungen sind nach (157) bei a < c aber # — ^ 1, y — 0, d.h. $ = i fj

und dann (a, — b, c) parallel zu (a, b, c), also a | & und nicht 0 < 5 < a.

Damit ist Satz 66 bewiesen. Aus A. folgt mit (153) :

Satz 67: Die Klassenzahl der quadratischen Formen einer negativen Diskriminante ist endlich.

Sie läßt sich durch Aufstellung aller ausgezeichneten Formen leicht bestimmen: zuerst ordne man nach B = | b |. Es kommt nur B = A mod 2 mit 35² ^ A nach (153) in Frage und hier das Gleichheitszeichen nur für A = 3, da es nur die Form (5, B, B) zuläßt. Also reicht B = 1 für ungerades A ^27; 5 = 1,3 für A = 31 bis 75; B = 1,3,5 für A = 79 bis 147; ... B = 0 für A = 4, 8,12; B = 0, 2 für gerades zl = 16 bis 48 usw. Nun ist A + 5² = 4w = 4ac beliebig so zu zerlegen, daß (153) gilt. So erhält man alle ausgezeichneten Formen (a, fr, c) mit b = B für (154), b = Az B sonst. Beispiele:

D = — 3 5=— 4 D= — 23 D=—39 P= —156 Z)= —163

(1,1,41)

(1,1,1) (1,0,1) (1,1,6)    (1,1,10) (1, 0, 39)

(2, ±1,3) (2, ±1,5) (3,0,13)

(4,3,4)    (5, ±2, 8)

Ä=4 h=1

h = 1 h = 1 ä = 3 ä = 4

sind die Klassenzahlen dieser Diskriminanten.

Die Abzählung der Klassen kann dabei ohne Aufstellung der reduzierten Formen durch Abzählung der zulässigen Teilungen n= ac erfolgen, nach B summiert: h= 275 (B, n), H die Anzahl der ausgezeichneten Formen (a, fr, c) mit | b \ = B und ac = n, d. i. bei fundamentalem D < — 4 für B = 0 die halbe Anzahl der Teiler von n und für B > 0 der Überschuß an Teilern > B über die < B.

Beispiel: D = — 167. h = 5(1, 42) + H{3, 44) + H(5, 48) + 5(7, 54) = 7 + 2 + 2 + 0 = 11.

D = -168. h = 5(0, 42) + 5(2, 43) + 5(4, 46) + 5(6, 51)

= 4-j-0-f-0 + 0=4. (Die Differenz aufeinanderfolgender n liegt zwischen den zugehörigen 5.)

Tiefer liegt folgende (zur Bestimmung der Klassenzahl nicht so geeignete) Tatsache: Für eine Primzahl p = 8m — 1 ist die Klassenzahl von D — — p der Überschuß der quadratischen Reste in der unteren Resthälfte mod p über die Nichtreste, während für die p = 8m + 3 > 3 der Überschuß die dreifache Klassenzahl ergibt, der also immer positiv ist.

Hieraus gewinnt man das Vorzeichen in (51): es ist k\ = (— l)1 für p = 2k + 1, wenn i die Anzahl der Nichtreste von 1 bis kt weil —1 selbst Nichtrest. Dies gibt mit obiger Tatsache

Scholz, Zahlentheorie.

p = 8m —1: h + 2i = k = 4m — 1 ; i = 2m — \ (h + 1), p = 8m + 3 : Sh + 2i = k = Am + 1 ; i = 2m — \ (Sh — 1), fc! = (-l)4(A+1>.

k

Auch für jedes quadratfreie d ——2k — 1 wird 27 ( - ) die Kiassen-

n—

zahl /i(4d); daraus alle h(D) nach (159) mit (117).

Komposition der Formen. Geschlechter. Die Kompositionstheorie, die wir schon hier erwähnen, weil sie sich an Beispielen definiter Formen genügend erläutern läßt, behandelt die Frage:

Bekannt seien die Klassen der Diskriminante D, in denen die Zahlen a und k darstellbar sind. Was lassen sich dann für Aussagen über die Klassen von D machen, die die Zahl ak darstellen?

Die Beantwortung gelingt durch eine Formenkomposition:

(158)

(a k, l, m) = (a, l, km) (k, l, am)

soll dabei jedenfalls gelten, und dann faßt man im Einklang mit Satz 64 B die Parallelformenschar zu (ak, Ï, m) als Kompositum der Scharen (a, l + 2at,...) und (k, l + 2kt\ ...) auf. Dies gibt eine beschränkt ausführbare, aber eindeutige Scharenkomposition, deren Ursprung mit (89) zusammengeht.

Beispiele: (2,    3, 4) (3, 5, 4) —(2,-1, 3) (3,-1, 2)= (6,-1,1).

(D= —23)

(2,-3, 4) (3, 5, 4)-(2,    5,    6)    (3,    5,4)=    (6,    5,2).

(2,    5, 6) (4, 5, 3) -(2,-3, 4) (4,-3, 2) = (8,-3,1).

Die Kompositionsbedingung ist bei a\jk eine erfüllbare Simultankongruenz für l. Für (a, k) > 1 kann sie unerfüllbar sein; z. B. ist (2, 5, 6) mit (4, 3, 2) nicht komponierbar. Ist sie erfüllt, so verlangt der dritte Koeffizient dazu eine Kongruenzverschärfung für l, die aber (s. o.) erfüllbar ist, wenn (a, k) kj D. Es zeigt sich ferner:

Die Klasse eines Scharenkompositums ist durch die Klassen seiner Faktoren bestimmt. Dies ergibt eine eindeutige Komposition je zweier Klassen C und K: durch Komposition irgendeiner Form (a, h, c) aus C mit einer Form (k, l, m) aus K, bei der k w a; diese liefert Satz 63 mit 64 B. Man kann alle Klassen wie früher die Restklassen in (81) als Potenzprodukte gewisser Basisklassen Cv .. .C8 erhalten. Ihre Eins ist die Hauptklasse mit der Form (1,.,.); sie ist das Produkt assoziierter Klassen, da («a,h, c)(c,h,a)= (ac,&,1), also das Quadrat der zweiseitigen Klassen.

Hat man durch geeignete Komposition reduzierter Formen die Klassengruppe von D auf eine Basis gebracht, so hat man die vollständige Antwort auf die ursprüngliche Frage. Stellt z. B. das

assoziierte Klassenpaar K±l die Primzahl p dar und L±l die Primzahl q =|= p, so ist pq in den Klassen KL, R~~l L, KL~l, darstellbar, die wie oben bei D = — 23 teils zusammenfallen können. Dagegen ist p², da es nicht durch Komposition je einer Form aus K und K~l entsteht, nur in K±2 darstellbar (bei Existenz nur zweier Formen (151) !), und auch nur für p Ą' D\ für p | D ist weder p mit p komponierbar noch p² zugleich mit p durch eine Form von D darstellbar.

W) = Q h(D) mit Q q — (2) = Qn.

Beim Übergang von D zu Dq², q Primzahl, gehen aus jeder Klasse eines D < — 4 genau q — j Klassen von Dq² hervor, die dieselben zu q fremden Zahlen darstellen, während für D — 4 (159)

(Das n vgl. mit § 32 H; n = 2 für D = — 4, n = 3 für D = — 3.)

Die Geschlechtertheorie behandelt die Frage: Wieweit lassen sich die in den einzelnen Klassen von D darstellbaren Zahlen durch arithmetische Progressionen, in denen sie liegen, kennzeichnen? Antwort gibt

Satz 68: Teilt man die quadratischen Formenklassen so in Geschlechter ein, daß zwei Klassen genau dann demselben Geschlecht angehören, wenn die in ihnen darstellbaren Zahlen nach beliebigem Modul dieselben Restklassen durchlaufen, so besteht das 1 darstellende Geschlecht, das ,,Hauptgeschlecht“, aus den Klassen von D, die die quadratischen Reste mod D darstellen, und das sind im Sinne der Komposition die Quadrate der Klassen.

Für ungerades D = qx- • • qr, primpotenzzerlegt, stellt das Hauptgeschlecht nur quadratische Reste mod D dar. Es hat D dann 2r—¹ Geschlechter, indem die Bedingung für Darstellbarkeit von k durch eine Form von D alle 2r—1 Verteilungen quadratischen Restverhaltens nach den qi, bei denen eine gerade Anzahl Nichtreste auftreten, zuläßt. Für gerades D muß man, je nach D mod 32, oft D durch 4D ersetzen, um im Hauptgeschlecht nur Darstellungen quadratischer Reste mod D zu haben.

Beispiele: D=—39 (s. o.). Zwei zweiklassige Geschlechter, weil h = 4 ist und D zwei Primfaktoren hat. Das Nebengeschlecht mit den Formen (2, ± 1, 5) stellt nur Zahlen k dar, die zugleich für 3 und 13 quadratischer Nichtrest sind. In beiden Geschlechtern

1, wenn k w D, mit

1 für

p | k. Die Klasse von (2,1, 5) hat selbst die Ordnung 4; also ist die Klassengruppe zyklisch.

D = —168. Vier einklassige Geschlechter. Das Hauptgeschlecht mit (1, 0, 42) stellt solche k dar, die == 1 oder 3 mod 8 sind und quadratischer Rest für 3 und 7. In den drei andern Geschlechtern ist hingegen je eine der drei Restbedingungen erfüllt. Um eine Trennung der k mod 8 zu erhalten, muß man zu 4D mit acht einklassigen Geschlechtern übergehn. (13, 2,13), (12,12,17), (8, 0, 21) liefern eine Basis für die Klassengruppe von 4D, die der Basis 13,17,29 der darstellbaren Reste mod 168 entspricht. In der Potenzproduktdarstellung der Formen- und Restklassen durch diese Basen entsprechen sich jedoch die Exponenten immer nur mod 2.

Allein von Kongruenzangaben abhängig ist die Darstellbarkeit durch Formen der Diskriminante D wie im letzten Beispiel und Satz 48 eben nur, wenn jede Klasse von D ein Geschlecht für sich bildet, zum Quadrat also die Hauptklasse hat. Während das bei indefiniten Formen überwiegend der Fall zu sein scheint, gibt es nur endlich viel definite einklassige Geschlechter. Die höchstbekannte Diskriminante ist hier — 7392 = — 2⁵ • 3 • 7 • 11 (h = 16) wie —163 die mit h= 1.

§ 81. Reduktion der indefiniten Formen.

D(a, h, c) = &² — 4ac>0. D = 5, 8,12,13,17, 20, 21,... Wie schon angedeutet, werden die Klassenzahlen hier vorwiegend niedrig bleiben. Demnach wird die Auswahl ausgezeichneter Formen und die Feststellung, ob zwei vorgelegte Formen der Diskriminante D äquivalent seien, besonders im verneinenden Fall hier schwieriger sein.

(160)

f sei dabei die kleinste Zahl mit f²>D. Folge: ac < 0.

Eine indefinite Form (a, b, c) heiße reduziert, wenn 0 <b < f; | 2a | und | 2c | ^ f— b.

Die Anzahl der reduzierten Formen ist wieder endlich; denn es ist mit 0 <b <f auch \ ac \ < D. Wir zeigen

Satz 69: A. Jede indefinite Form läßt sich durch eine Kette benachbarter Formen in eine geschlossene Kette reduzierter Formen überführen. Die Klassenzahl ist also endlich.

B. Die verschiedenen Ketten sind einander inäquivalent.

Beweis für A.: Zur Form (k, l, m) gibt es eine eindeutige Kette von Nachbarformen (a, b, c), deren mittlerer Koeffizient in seiner Restklasse mod A= \ 2a\ so gewählt ist, daß bereits f—    b < f gilt, die Hälfte der Reduktions

bedingungen. Wir beweisen dann:

1.    Es gibt in jeder Kette eine Form (a, b, c) mit b > — f.

2.    Jede darauf folgende Form ist bereits reduziert. Damit ist dann gezeigt, daß jede Form (k, l, m) mit einer reduzierten äquivalent ist und auf die erste reduzierte Form ihrer Kette nur noch reduzierte folgen. Wegen ihrer endlichen Anzahl münden sie in einen Zyklus wiederkehrender Formen ein, deren erste (a, b, c) sei. Diese folgt bei nichtreduziertem (k, l, m) zuerst auf die letzte nicht wiederkehrende Form (</', ln', a) und später auf die letzte wiederkehrende (g, h, a). Da diese reduziert ist und ln' ==ln= — b mod A, aber Iri =j= h, so ist f—A <^h' <f nicht erfüllt, also (a, b, c) die erste reduzierte Form der Kette. Die reduzierten Formen bilden alsdann die Periode.

Es bleiben also die Behauptungen 1. und 2. zu beweisen. Zum Beweis von 1. zeigen wir: Hat die Form (a,b,c) der Kette noch ein b ^ — f, so gilt für die Nachbarform (c, d, e) schon d > b + f, und das folgt so :

Für b — f ist b² f² > D = b²— 4ac, also ac > 0 und dann D = b² — AC, wenn man auch \2c\ — C setzt. Wegen AC < b² und A ^ f— b, CA^ f— d wird

f— d ^ C <b² : (f— b) <\b\=-b; also d>b+f.

Nunmehr sei b > — f, also jetzt b² < D = b² + AC bei ac < 0. Hieraus folgt mit A^f— b bereits

(161)

f+h.

f-b

D — b² f² — b2 A <

(Bei reduzierter Form gilt dann auch A < f + b.) Dies gibt für die Nachbarform (c, d, e) von (a,b,c) mit C^f—d

(162) d> — b\ d — — b-±-tC,t> 0; E = A-{-t(b—d). A,C,E=\2a\, | 2e |, \ 2e\.

Denn mit b < f wird d > — f und dann D = d² + CE.

Die Behauptung 2., daß (c, d, e) eine reduzierte Form ist, folgt nun so:

wenn

d > 0 gilt nach (162) sicher für C > b, insbesondere T<; 0. Ist aber C ^ &, so d ^ f—C ^ f—b > 0. E ^ f— d gilt mit /— b sicher für t = 1 und auch für b^d, auch d = f—1. Für t ^ 2, b<d^f—2 ist aber 2C ^ t C = b + d < 2d, somit dE > CE = D — d2 >d(f—d), weil df^(f—2)f<D.

Die Aufstellung der Perioden erfolgt leicht nach (162): D = 89. (1, 9, - 2) - (- 2, 7, 5) - (5, 3, - 4) - (- 4, 5, 4) - (4, 3,-5) - (-5, 7, 2) - (2, 9,-1)----.

Es folgen noch sieben Formen, deren äußere Koeffizienten aus diesen durch Umkehrung der Vorzeichen entstehen. Da nur b = 9, 7, 5, 3,1 sein kann und alle (160) genügenden Zerlegungen D — b² = AC schon in der obigen Kette Vorkommen, ist die Klassenzahl h = 1.

B = 105    i96g₄    3^^ g3 ^2^2^

¹12₁12¹ ³10₄6⁷8₃10⁴6₇8³ ³8?6 10₃8⁷6₄10³

13₅7⁹11₃13⁵7q113 3llg7⁵13₃ll⁹7₅13³

D = 148 Ä = 3 Z> = 229 i T= 3 ' ^lô

Hierbei sei abcde die Abkürzung für (a, b, — c)~ (— c, d, e). Die Bildung der Ketten sei nochmal an der mittleren von 148 erläutert: Nachdem & = 12 erledigt, kommt höchstens b = 10 in Frage. Primitiv und reduziert sind hier nur (± 3,10, ± 4). (Für & = 10, 8, 6,. . . müssen j\a |, | c | ^ 2, 3, 4,... sein.) Die Entwicklung erfolgt so: Für \c\^ b wird d = C — b („Spiegelung von b an | c |“); für | c | < b ist b am nächsthöheren Vielfachen von c zu spiegeln, wenn das ein d< f ergibt, sonst am nächstniederen. Das e liefert (162).

Besonderes an obigen Beispielen: D = 105 hat vier einklassige Geschlechter. Da —1 nichtquadratischer Rest für Z), ist sie nicht in der Hauptklasse darstellbar und kommt erst in der zweiten Kette vor. — Die drei Klassen von D = 148 gehen aus der einen von D = 37 durch Substitutionen der Determinante 2 hervor (vgl. (159) und § 32 H.). D — 229 ist die kleinste positive Prim-diskriminante mit mehreren Klassen. Vermutlich gibt es unendlich viele mit der Klassenzahl 1.

Die Inäquivalenz der verschiedenen Ketten (Satz 69 B.) folgt nun aus dem schärferen

Satz 70 (Mertens): Sind F und G = FS zwei reduzierte indefinite Formen, so ist die eine der Substitutionen ^ S±:L das Produkt aufeinanderfolgender Nachbarsubstitutionen der von F oder G aus gebildeten Kette, der dann also auch die andere Form angehört.

(163)

Ist insbesondere^ = F, also S automorph, so gilt ±S±1 = Aa oder ^ = ±^.±a,

wo A das Produkt eines von F aus genommenen ' vollen Umlaufs von Nachbarsubstitutionen ist und a die Anzahl der Umläufe. Die Darstellung

(163)    ist eindeutig; es gibt also unendlich viele Automorphe.

Beweis: Sei F = (a,b, c), G = (a', F, F) und $ =    Æ,

F± = (c, d, e) = FR der Kettennachbar von F, somit

s' = q±r + s w' =qxv + w ’

mit

(164)    S=RT = ([ - )(U' _*£)

und G = (c, d, e)r. Es wird genügen zu zeigen, daß bei rechter Wahl zwischen 8 und $⁻¹ die von F ausgehenden Nachbarsubstitutionen R — R (qj, R (q₂),... in (164) rechts einen Divisionsalgorithmus erzeugen. Wir dürfen dabei a, a' > 0, also c, ć < 0 annehmen; denn die andern Vorzeichenverteilungen kommen bei den Nachbarformen von F und G vor, und ein Nachbaraustausch macht für Satz 70 nichts aus. Bei dieser Vorzeichenverteilung ist rsvw 4=0, nämlich G zu

For

F weder benachbart noch parallel. Außerdem gilt rw > 0 ; denn aus (144) folgt unter Verwendung von rw—sv = 1

(165)

a'vw — c'rs = arv — csw.

Wegen rsvw > 0 und a'c', ac < 0 hat — csw das Vorzeichen von arv, ebenfalls dann a'vw und — c'rs. Also (rv) (vw) > 0 und

rw> 0, sv> 0. Unter den ± S*¹ — ± (g ± (_*s r)

hat dann genau eine lauter positive Zahlen. Trifft dies für 8 zu, so behaupten wir, daß 8 oder — S das geforderte Produkt wird. Gilt nämlich

(166)

0 <*s'<r<^s und 0 < w' 5^ v < w,

wie wir unten zeigen, so wird G für s' = 0 zu F₁ benachbart und als reduzierte Form der Kettennachbar F₂ zu Fv somit

^, weil sonst G nur parallel zu F₂

v = q₂ m T = (__°₁_ würde, für s' > 0 aber 8 = —R(q₁)B(q,)8’ mit S’ =(£ und G = F₂S’.

Dann gilt, weil schon s',w' > 0, für S' auch 0 < r' ^ s', 0 < v' < w' und damit

0 < r' < r, 0 < s' < s, 0<v'<v, 0 <w'<w, und es folgt eine Darstellung S = (— 1 )m R(q₁) • • • F{q2m).

Bleibt (166) zu zeigen: Mit v^w wäre c' ^ (a+ l + c)w* ^ ab— | c | ^ 0 nach (160), (161). Ebenso wäre a' = er²— drs' — | c | s'² ^ (e-— d— | c |) s'² ^ 0 für s' ^ r. Also v < w, s' < r und damit r ^ s, w' ^ v wegen rw — sv =, rw'— s'v = 1. Hiernach sind auch mit r, v > 0 von den restlichen Behauptungen s' ^ 0, w' > 0 oder keine erfüllt.

Setzt man schließlich (165) für Fx statt F an, so wird a'vw' — c'rs' = erv — cs'w' > 0, weil — c, erv > 0 und sV^ 0, also a'vw'> c'rs' und dann s'^0, w'>0; denn sonst wäre a'vw' ^ 0 < c'rs'.

Damit ist die Inäquivalenz der Ketten durch Satz 70 bewiesen, und es besitzt F auch keine andern Automorphen

als die in (163), weil ein Æ(^)-Produkt erst dann wieder zu F zurückführt, wenn es aus vollen Zyklen besteht. Da

—1 Qn    —2

Sn    —i C[n    Sn—2

bei r₀ = 0, s₀ = 1; rif s{ < 0 für i= 1,2(4), sonst > 0, ferner

mit

(168)

'I s< I

Kl

LKI

~ Kl .K-ll. I S»_l I

wie aus (167) rechts unter Vorzeichengleichheit der Summanden folgt, so ist immer sn > rn_x und nur eins der ^ ein R (^-Produkt. Ebenso wird nie An = E, und darum ist die Anzahl der Automorphen unendlich.

ki 1 =

Mit / — C ^ d = — b + C | q₁ | < /, F₁ = (c, d, e), wird b + f-1

b + \/D

— 2c

im geordneten Ring der Zahlen

,,zu F = (a, b, c) gehörigen -2c

WurZel“ -h+]/D=iAW

Kettenbruch (vgl. Perron, Kettenbrücke) hat dann die periodischen Nenner | qn | und die Näherungsbrüche | sn | : | rn | nach (168).

Die Reduktion der Formen liefert ein brauchbares Ver-

— d+ŸD

in einen

fahren zur Gewinnung von Darstellungen. Beispiele:

F (x, y) = x² + 9xy — 2y² = -— 1; 2; 10. D = 89 (s. o.).

Reduktion: (— 1, 9, 2) = (1, 9,-2)« mit S =(**

(168) und    V* V

nach

t—I t—!

OJ r—I lQ

CO CM oa

13

14

6|    7

— 5 j — 23 I 212 II - 23001 - 212000 14 — 23| — 106 | 977 ! —106000 —977001

1 und die Darstellungen F (5, 23)

Hieraus F (23,106) =

= F (212, 977) = 2, die zu (2, 9, — 1) und (2, 7, — 5) gehören. Aus diesen erhält man alle Darstellungen mit x > 0 durch wiederholte Bildung r₁₃x + ruy = xslsx + suy — y' und

j. Z. B. geht mit A

rückwärts mit A—1 =

su ru

~~ S13    r!3

der Lösung x = 212, y = 977 für 2 die Lösung x' = r₇ = 212, y' = rß = — 23 hervor, am einfachsten so : es geht (1,9, — 2) in (— 1, 9, 2) rückwärts durch R{qu)~¹ • • • R{qs)~¹

⁼ (*s »'«) Über’ WeÜ allSemein (— «» h— <0 '»ei (_g

in (— 1c, l, — m) übergeht und umgekehrt bei (

/\

(a,b,c) bei L WJ in (k,l,m) übergeht; wie auch oben zur Berechnung von A aus S vorteilhaft verwandt wird.

Die Darstellungen von 10 ordnen sich nach den halb reduzierten Formen (10, ± 3, — 2) und (10, ±7, — 1) in viel Scharen. Zu G = (10, + 3, — 2) - (— 2, 9, 1) - (1, ...)

₌ #R(-3)ä(9)₅

kleinste Darstellung x = 28, y = — 3, zu (10, — 3, — 2) = (1, 9, — 2)p'⁽³⁾, P' (q) =    J), die Darstellung x= 1, y= 3,

(10, ±7,-1), G = (2, 9, - l)pD\ -1)^(8) = FS«P'W die Darstellungen

und

, wenn

also £ = FÄ;

8 =    gehört die

G, H =

H = (2, 9, -

x = 5 ± 1 • 23 = 28, y = 23 + 1 • 106 = 129 æ = 5 ± 8 • 23 = 189, y = 23 + 8 • 106 = 871. (Letzte Lösung geht bei A~x in x = 1189, y = — 129 über.)

F (x, i/) = 11 æ² ± 19xy ± 3y² = 25. D = 229. Von den Formen G = (25,— 23,. ..) und H= (25, — 27,.. ,)~F ist hier nur G ~F. Es gibt darum nur eine Schar von Lösungen. Zu ihrer Bestimmung führen wir F vorwärts und G rückwärts in die Kette:

zu

(11,19,3) — (3,11, — 9)—(-9,7,5)—(5, -27,25)—(25, -23,..) R(b) •    Ä(-l) • R(- 2)

-Ui-î)

Hieraus die Lösung x = 1, y = — 7, nach einmaligem Rechtsumlauf x = 286, y = — 1627 ; linksherum x = 59, y = — 38.

Die Lösungen liegen hier dichter als oben; automorph für

F ist hier

— 29 — 45\ _ (0 — \ /31 135\ (    5 1\

256/ “ \1    / \45 196/    1 0/

165

Cn H-¹

, dabei

(45 m) = R(- 1) ß(2) R(- 4) • B(l) R(- 2) Ä(4) der

Substitutionszyklus der mit (3,11, — 9) beginnenden Kette (s. 0. D = 229).

§ 32. Automorphe Substitutionen. Die Pellsche Gleichung.

Durch Satz 70 war die Frage nach sämtlichen Darstellungen einer Zahl k durch eine indefinite Form (a, b, c) schon gelöst, und zwar gab die Kettenentwicklung der Formen ein Verfahren zur Gewinnung der Darstellungen. Auch im definiten Fall konnte man aus (157) die Anzahl der Darstellungen der kleinsten in einer Klasse darstellbaren Zahl, sechs bei (1, Az 1,1), vier bei (a, Az a) und zwei bei den andern reduzierten Formen, gewinnen und daraus die Anzahl der automorphen Substitutionen, wobei zu beachten, daß zu (a, b, a) bei a > 1 zwei Formen (151) gehören, somit nur zwei Automorphe vorhanden sind. Ferner gilt: Ist A für F automorph und Fs = G, so ist S^AJS = As eine automorphe Substitution für G.

Zwischen den Automorphen aller Formen einer Diskri-uinante D besteht folgender Zusammenhang: Für Fs — F

=    rw— sv = + 1, gilt nach (149)

mit 8

(169)

(rs)ßa b\ ₌ /2a b W

\«? wj\ 6 2c)    \ b 2e)\—s    r)’

einzeln :

bs = a (w — r) ; — bv = c (w — r) ; cs = — av. Also a | s wegen a I bs, cs und a w (b, c). Mit s = au, w + r = t wird

(170) r =    — bu), s = au, v = — eu, w — %(t + bu);

4(rw— sv) = t²-    Du2, = 4.

(171)

)ies ist die „Pellsche Gleichung“, die nach Satz 70 unendlich ziele Lösungen für D > 0 besitzt. (Den klassischen Dirichlet-schen Beweis s. u.) Für D <— 4 hat sie nur die trivialen Lösungen t = ^ 2, u — 0, zu der nach (170) die automorphen Substitutionen ± E gehören. Für D — —4 kommen noch

t = 0, u =    1 und für D = — 3 als dritte bis sechste

Lösung | 11 = | u | = 1 hinzu. Für D > 0 ist die zu einer von (a, b, c) ausgehenden Periode gehörige Lösung von (171) eine mit kleinstem \u\, also T,Az U), wo T, U die kleinste positive Lösung der Pellschen Gleichung; denn bei Potenzierung der Substitution (170) vergrößern sich t, u\ es gelten die Rekursionsformeln

T₀ =2, T₁= T, T₂= T² — 2. üo = 0,U₁=U,ü₂= TU.

Tn_₂.

n—2’

— U,

Tn = TTn_x ⁽¹⁷^ Un=TUn_i

T₃= Ts — 3T; U₃ = (T²— 1) ü,... Hierbei sind Tw, Un die durch Bildung von An in (163) entstehenden positiv genommenen Lösungen von (171). Tn,— Un ergibt die zur Substitution von Tn, Un inverse.

Auch für irgendeine Lösung t, u und die Potenzen der zugehörigen Automorphen A gelten die entsprechenden Rekursionen (172) und folgen sie durch gliedweise Addition in (170) mit

An _|_ An-2 = An-1 (A + ^-1) = t. jn-1 Mso .

Satz 71: Die Lösungen der Pellschen Gleichung (171) vermitteln durch (170) die eigentlich automorphen Substitutionen aller quadratischen Formen der Diskriminante D. Ihre Anzahl ist fürZ)>0 unendlich, und es gehen die positiven Lösungen t,u> 0 aus ihrer kleinsten durch (172) hervor.

Betrachten wir auch die Formenklassen mit uneigentlich automorphen Substitutionen! Wir zeigen, daß jede solche Klasse eine zweiseitige Form (k, kl, m), d. h. eine zu ihrer

(1 l \

entgegengesetzten parallele Form, enthält, für die U =L __ ^ I

fr v\

automorph ist. Ist nämlich 8 = ( J mit rw— sv — — 1

(— w v \

muß (169) rechts mit I

w = — r, av — br + cs

(r² + sv = 1).

automorph für (a, b, c), so gelten und die auch hinreichenden Bedingungen

(173)

Eine Substitution T, die (a, ö, c) in eine zweiseitige Form überführt, die also S in die Gestalt U transformiert, braucht, wie der Ansatz ST = TU oder ergibt, nur die wegen r² + sv = 1 verträglichen Bedingungen

(174)    y \ x — —(r—1) : v = s : (r + 1) mit x w y

zu erfüllen; dann erhält U die vorderen Zahlen 1, 0 und damit — 1 als vierte. Weiter folgt k \ D = kH²— 4km, und diese Schlüsse gelten bei Fundamental-Z) für die darstellbaren Teiler (k 4= 4n) auch rückwärts, also

Satz72: Alle zweiseitigen Klassen stellen Diskriminantenteiler dar, für eine Fun dament al-diskriminante auch nur die zweiseitigen.

Genau sind es für D < 0 immer ein Paar Diskriminantenteiler mit dem Produkt — D, für D > 0 zwei Paare, und zwar in der Hauptklasse oft ±1, ± D, öfters 1, P, — Q, — D mit PQ = D. Dies führt zur wichtigen Frage:

Wann ist —1 in der Hauptklasse darstellbar? Oder: Welches sind die Bedingungen für die Lösbarkeit der ,,Mcht-Pellschenu Gleichung

Du² = — 4?

(175)

(Der Zusammenhang beider Fragen ist allgemein: Ist k in der Hauptklasse darstellbar, also k = x² + bxy + cy² mit D = b² — 4c, so wird (2x + ly)² — Dy² = 4k und umgekehrt.)

Ist (175) lösbar, und setzt man die Lösungen in (170) ein, so haben die Substitutionen, die die Form (a, l, c) in

(— a, l,— c)

. Denn es ist hier rechts

in (169) a, c durch — a, — c zu ersetzen, und dann bleibt bei beiderseitiger Ersetzung von r, s durch — r, — s alles weitere

überführen, die Gestalt V = ( T V )

\—s w)

/— f — y\

richtig. TF = I    ) führt dann (— a, l,— c) in (a, l, c)

über, und für kleinstes positives t, u werden ^ VWVWV ...,

WVWV ... bei reduziertem F, G die Substitutionen, die F und G in der Kette nach rechts abwechselnd ineinander und in sich überführen. Die zugehörigen Werte tn, un(tx = t,ux = u) erfüllen abwechselnd (175) und (171) und haben bei

svw—$ = (if — F-i) = sf/_o{

wie man durch Einsetzen von S = E,W, VW, WVW,... und Ko effizient en vergleich erhält, die Bekursionsformeln

tn — t tn—i -f- tn—2* Un = tun—1 -p Un—2*

(176)

4 ⁼    “I“ 2 ; £3 = t³ -p St;...

U₂ = tu\ u₃= (t² + 1 )u;...

t\ — Dux = ta— Duo — • • • — — 4. fern, U2m — Tm, Um in (172).

13

Beispiele *

r co"

21

73

(Aufeinanderfolgende Lösungen von (175) und (171); diese durch Striche getrennt, wo (175) unlösbar.)

Klar ist, daß t²— Du² = ■— 4 für D = q² + 1, q² + 4 lösbar ist und unlösbar für D = q²— 1, q²— 4, ferner, wenn D einen Primfaktor der Form 4n— 1 hat. Weiter gilt Satz 73: Ist D Primzahl, so ist (175) lösbar.

Ist nämlich T, U die kleinste Lösung von (171), D =p = l (4), so ist T wegen T² — 4 = DU² =£ — 4(16) nicht durch 4 teilbar. Es ist dann (T + 2, T— 2) = 1 oder 4 und damit

(177) T— 2 = t², T + 2 = pu² mit tu = U

oder umgekehrt p | T— 2, was aber eine kleinere Lösung von (171) lieferte. Also gilt (177) und t²— pu² = — 4.

Allgemein geht aus dieser Überlegung eine Darstellung Pt² — Qu² = 4 hervor mit PQ — D, aus der das in der Hauptklasse darstellbare Teilerpaar P, — Q =1= 1, — D entspringt. Für D — pq, Produkt zweier Primzahlen der Form 4w + 1, die zueinander quadratischer Nichtrest sind, kann dies nur das Paar pq, — 1 sein, und (175) ist lösbar (auch wenn p und q zwar quadratische, aber nicht biquadratische Reste zueinander sind, dagegen nicht lösbar, wenn q für p biquadratischer Rest, aber nicht umgekehrt; was jedoch tiefer liegt).

Zum Abschluß bringen wir unter Einführung des nach den Regeln 3. und 7. des § 3 geordneten Körpers R (j/Z)) den Dirichletschen Beweis des Satzes 71 in der Form:

Satz 74: Die Pellsche Gleichung t²—Z)w² = 4 ist für jedes D > 0, =1= q² lösbar. Ordnet man der Lösung t, u die „Pellsche Einheit⁴⁴ e =    u]/D) zu, die

e (;t, u) • e(t, — u) = 1

erfüllt, so gehen alle Lösungen aus der Einheit E = e(T, U) der kleinsten Lösung durch s = zL E±a eindeutig hervor, wo a alle natürlichen Zahlen durchläuft.

Beweis: A. Zu jedem positiv-ganzen m gibt es Paare ganzer teilerfremder x, y mit

\x-yÿD\<l

^ I m

und 0 < y ^ m.

(178)

Wählt man nämlich zu jedem y = 0,1,... m ein x(y) so, daß 0^2= x{y) — y ŸD < 1, so hat man m + 1 verschiedene z(y), von denen nach dem Schubfächerprinzip mindestens zwei in eins

m — 1

der m Intervalle 0 ^ z < — bis

— ^ z < 1 fallen müssen.

Die Differenz zweier solcher z hat aber die Eigenschaft (178), auch nach Division durch (x, y).

B. Es gibt unendlich viele Paare x, y mit

I x — y]/D | < y

(179)

Man wähle nämlich mv yv m₂, y₂,. . . nacheinander so, daß

lr>\x₁-y₁]pD\>ll >\xi-yi)/D\>^ >\x₃-y₃ÿD\>~ f'1'2

Dies ist nach A. mit y^ ^ m,i möglich, wie (179) fordert.

C. Für die unendlich vielen (179) erfüllenden Paare x w y ist

\a?-Dy*\ = \x-y\/D\\x + yÿD\<±(±+2yÿD]J<l + 2ÿD.

Unter dieser Absolutgrenze ist dann wenigstens eine Zahl h = x² — Dy² unendlich oft eigentlich darstellbar.

D. Hierunter gibt es sicher zwei Darstellungen x, y und x', y' mit x' = x, y' == y mod k. Bildet man (x + y]/D) (x' — y'ŸD = v + w]/D, so hat man

mod Ä;

fQO'i

v = xx' — yy'D = x² — Dy² == 0 7/; = yx' — xy' =0

aber w 4= 0, weil beides eigentliche Darstellungen. Daraus (181) v² — Dw² = (x² — Dt/²) [x'² — Dy'²) = k²\ r² — Z)s²=l.

Man hat also schon eine gerade Lösung t = 2r, u = 2s von (171).

E. Sind t', u' und t", u" Lösungen, so auch das durch Multiplikation 2 e(t', u') e(t", u") — t -f- u^D hervorgehende Paar t, u; denn es werden t und u ganz und

(182) £ (t, u) • £ (£, — u) = £ (V, u') £ (r, ■«") £ (^, ■— tt') e(r, — u") = 1.

Also wird e' e" = £ wieder Pellsche Einheit, ebenfalls £ ¹ und — e ±1.

F.    Die Potenzen der ,,Fundamentaleinheit“ E = \(T + U^D) liefern bei E > 1 bereits unendlich viele Lösungen. (Für D = — 3 und — 4 entstehen hingegen bei T ^ 0, Ł/ > 0 die zyklisch sich wiederholenden 6. und 4. Einheitswurzeln.)

G.    Alle Pellschen Einheiten haben die Gestalt ± D±a. Es gäbe sonst ein s mit t,u> 0, für das eine Ungleichung E¹¹ < s<En+1 gilt, und es wäre auch eE~~n eine Einheit e(t', u') zwischen 1 und E, also mit 0 < V < T, 0 < uf < Z7, entgegen der Definition von T, U.

Damit ist Satz 74 bewiesen. Wir fügen hinzu:

H.    Die kleinste Lösung (181) liefert mit t = 2r,u — s die kleinste' für t² — 4D • u² = 4, und für D selbst ist 2r = Tn, 2s = Un und dabei n = 1 für D = 1 (8), n= 1 oder 2 für I) = 0(4) und n— 1 oder 3 für D = 5 (8), wie Rechnung ergibt. Vgl. hiermit (159) für q= 2!

I. Ist t² — Dw² = — 4 lösbar und # = \(t + u \^D) die zugehörige ,,Nicht-Pellsche Einheit“ mit der Norm — 1, so wird H² = E für kleinstes tf u. Aus H² — TH + 1, Hn= tHn~¹-\-Hn~~² folgen die Rekursionsformeln (176) wie (172) aus E² = TE — 1.

K. Die Überlegung von D. ist verallgemeinerungsfähig: Gehören zwei Darstellungen x, y und x', y' von k === ax² + bxy + cy² zur selben Schar, also

(183)

so ist

x' — | {t — bu) x — cuy\ y' = aux + \ {t + bu) y, xy' — yx' — {ax² + bxy + cy²) u = ku.

Ist umgekehrt k | xy' — yx' (y' : y == x' : x mod ä), so gilt

(184)    4Ä;² = 4 {ax² + bxy + cy²) (ax'² + bx'y' + cy'²)

= (2axx' -f b \xy’ + yx') + %cyy')² — D (xy' — yx')2 = k² • (t² — Du²).

Setzt man die hier gewonnene Lösung der Pellschen Gleichung in (183) ein, so entstehen wirklich xf und y'. Man hat

Satz 75: Zwei Darstellungen einer Zahl k durch dieselbe Form gehören genau dann zur selben Schar (durch die Lösungen der Pellschen Gleichung ineinander übergehender Darstellungen), wenn sie modle proportional sind

(x' = jx, y' = jy wie in (90) mit j²=lmod&).

VI. Algorithmisches Rechnen.

§ 33. Allgemeines. Prüfung rationaler Rechnungen.

Algorithmen hatten wir in § 7, 25, 30 und 31: zur Bestimmung des größten gern. Teilers, des quadratischen Restcharakters und zur Reduktion der quadratischen Formen. Gemeinsam war den einzelnen Schritten dieser Algorithmen die Bestimmung einer Zahl durch Angabe eines Intervalls, in dem sie liegen soll, verbunden mit Kongruenzen, die sie erfüllen soll. Diese Rechenart, mit der wir auch die Ergebnisse des § 20 gewannen, wollen wir als algorithmisch bezeichnen. Sie liefert ein eindeutiges Ergebnis, wenn nur ein Rest nach einem die Intervallänge übertreffenden Modul in Frage kommt wie nachher bei den Restproben.

Meist ist es für zahlentheoretische Rechnungen vorteilhaft, mehrere Verfahren bereit zu haben, aus denen man das jeweils geeignetste wählt. Man vermeidet so auch Eintönigkeit im Rechnen und erwirbt sich ein weiteres heuristisches Bild über Zahleneigenschaften. Jedoch wird man die Auswahl auf wenige, etwa zwei bis drei Verfahren oder eine Mischung von zweien beschränken, da es oft nicht entschieden ist, welches das einfachste sei. Auch Verfahren, die nicht immer, meist dafür aber sehr schnell zum Ziel führen, wird man in der Zahlentheorie gern verwenden, um so mehr, als oft gleich nur wenige Lösungen in Frage kommen, die man allgemeine Rechnungen vermeidend schließlich einzeln prüfen kann.

Scholz, Zahlentheorie,

Wir beginnen mit der Prüfung ganz-rationaler Rechnungen durch die bekannte Neuner- und Elferprobe sowie weitere Restproben. Haben wir etwa gerechnet 19 • 379 = 7201, so prüfen wir die Rechnung mod 9 : Es ist 19 = 1 ;

379= 3+ 7+ 9= 1,

also 19 • 379= 1 und wirklich 7+2+0+l=l mod 9. Eine Prüfung mod 11 ergibt

19= 9— 1 = 8, 379= 9— 7 + 3 = 5, also 19 • 379 = 8 • 5 = — 4 und wirklich

7201= 1 + 2— 7 =— 4 mod 11.

Hätte man 7021 statt 7201 herausbekommen, so hätte man mod9 noch nichts gemerkt; aber modli stimmte die Rechnung nicht mehr. Man weiß also: wenn bei den Proben kein Rechenfehler gemacht wurde, ist 7021 bestimmt falsch gerechnet, 7201 hingegen kann richtig gerechnet sein und ist es sogar mod 99, auch mod 2 • 99, da eine ungerade Zahl herauskommen muß. Verbindet man jetzt aber diese Restproben mit einer Größenabschätzung, indem man das Ergebnis in ein Intervall von höchstens 198 aufeinanderfolgenden Zahlen einengt, so wird die Prüfung der Rechnung vollständig. Wir schätzen hier etwa ab :

19 • 379 > 19 • 375 = 19 • f • 1000 = 7^ • 1000;

19 * 379 < 19 • 380 = 7600 (1 — è) < ⁷³⁰⁰ •

Zwischen 7125 (auch 7100) und 7300 ist aber 7201 die einzige Zahl = 1 mod 2, 1 mod 9, — 4 mod 11. Also ist 7201 richtig, wenn alle Proben stimmen. (Auf die Intervallänge legt man sich besser nicht gleich fest; dann schätzt man oben bequemer ab: 19 • 380 < 20 • 370 = 7400; das Ergebnis liegt also zwischen 7100 und 7400, und es genügt nach der Neuner- und Elferprobe die weitere Feststellung, daß es von der Form 4n+ 1 sein muß, um eindeutig 7201 zu bekommen.) Anderes Beispiel:

Q == 256² + 37 • 81² = 65536 + 999 • 243 = 308293.

Abschätzung nach unten : 256² > 255² > 250 • 260 = 65000 ; 37 • 81² > 37 • 80² = 3700(27 • 2 + 10) > 236000. Nach oben

256² < 260² = 67600 ; 37 • 81² < 37 • 6600 < (2000 + 37 • 12)

• 100 < 245000. Also 301000 <Q< 313000.

Es genügt nun, den Rest von Q nach einem Modul m < 12000 zu bestimmen, etwa m=4- 9 • 11 • 41. Wegen 100000 = 1 mod41 (vgl. §17 Ende) wird 308293= 8296= 96= 14 mod 41, während einzeln 256= 10, 256²= 100= 18; 37 = —4; 81²= (— l)² = 1; Q = 18-    4 • 1 mod 41. Ebenso bestätigt

man Kongruenz mod 4, 9,11.

Selbst die Ausführung einer rationalen Rechnung gelingt oft schneller auf algorithmischem Wege; doch wird man hier schärfer abschätzen als bei den Rechenproben, um die Vereinigung vieler simultaner Kongruenzen zu vermeiden.

Beispiel: P = 83 • 167. Aus (x — z) (y + 2) > x • y für x>y>z> 0 . folgt 13600 = 80 • 170 < P < 90 -160 = 14400. Letzte Ziffer: 1. Aus P = 2 • 5 = 1 mod 9, = — 5*2=1 mod 11, folgt dann P — 13861, da 1386 die einzige Zahl = 0 mod 9 • 11 zwischen 1360 und 1440.

z = x³ = 2713³. Man gewinnt aus 27³ = 19683 und 13³ = 2197 zuerst z = 199 .... 1097, wobei die höchste der vier punktierten Stellen 6 oder 7 ist; die vorderen Stellen liefert die Abschätzung 2700³ + 3 * 2700² * 13 < 0 < 2700³ + 0,13 (2800³ — 2700³), zweite Glieder: 2187 13 > 27700; 13(28³ — 27³) < 29700, zusammen: (19683 + 277) 10³ = 1996 -10⁷ < 2 < 1998 • 10⁷.

Mod 10⁴ ist 2 = 2197 + 3 • 13² - 2700 = 1097 bei 3 • 13² * 27 = — 11 (100).

Nun die mittleren Stellen: Wir setzen 0= 19960001097 + 10xy\ 0 5^ y < 2000. Mit x = 4 (9) ist x³ = 10 (27) und mit 0 = 19 — 39 + 1 + 97 + Vdy mod 27 • 37

dann y = 4(27). Ebenso y = 17 (37) bei x = 12(37). Vereinigt gibt das zuerst y = 17 — 37 mod 3 • 37 und bei

— 20 = 7, 3 • 37 = 3 mod 27

dann y == — 20 — 111 mod 37 - 27. Also y = 868 oder 1867. Die Elferprobe entscheidet dann für 0 = 19968681097.

wenn nur- z — 19

Die umgekehrte Aufgabe, die Kubikwurzel x zu bestimmen, 97 als Kubus gegeben, ist leichter: die letzten zwei Stellen müssen 13 lauten; denn #³= 97 (100) hat wegen (97,100) — (3, (p(100)) = 1 nach (85) nur eine Lösung. Da 0 elfstellig ist, wird x vierstellig, und zwar = 2713, da 28³ > 20000 und

26,13³ < 19000 ist, nämlich unter der Mitte von 26³ und 27³ liegt Uber die Einfachheit des Wurzelausziehens vgl. Ph. Männchen Geheimnisse der Rechenkünstler, Math. Bibi. (Lietzmann), Bd. 13

Zur 27er-Probe zeige man: Eine Zahl zwischen 000 und 999 ist genau dann durch 27 teilbar, wenn sie je eine Ziffer p = 1. q = 2 und r = 0 mod 3 hat und bei der Ziffernfolge pqr, qrp. rpq die Quersumme 18, sonst aber die Quersumme 9.

§ 34. Lösung simultaner Auswahlkongruenzen.

Aufgabe (anschließend an § 15) : Es sollen alle Zahlen der Form Sn + 3 bestimmt werden, die quadratischer Rest für 3, 7, 11 und Nichtrest für 5 sind, ausführlich: die je eine der folgenden Kongruenzen erfüllen

(185) SE= 3(8); x = 1(3); ssss 2, 3 (5); x= 1, 2, 4 (7); s==l,3, 4,5,9 (11).

Nach dem Reziprozitätsgesetz sind — 1 ; 2, 3, 5, 7, 11 quadratische Nichtreste dieser x, und zu den Diskriminanten D = — x gehören verhältnismäßig wenig reduzierte quadratische Formen und niedrige Klassenzahlen.

Lösung: x= 3(8), = 1(3) gibt x= 19(24) und das mit x= 2, 3(5) vereinigt x=e 43, 67 (120). Diese Reste stellen wir zu ihrer Vereinigung mit x= 1, 2, 4 (7) durch ihre Restklassen mod 120 • 7 = 840 dar:

(186)

mod 840.

43 163 283 403 523 643 763 67 187 307 427 547 667 787

Die unterstrichenen Zahlen sind dabei die quadratischen Reste mod 7, die noch mit denen mod 11 zu vereinigen bleiben. Man ‘ erhält sie so : In (186) ist die Spaltendifferenz 120 = 1 (7), in der oberen Zeile 43= 1(7), also dort die erste, zweite, vierte Zahl zu unterstreichen ; in der unteren Zeile ist aber 547 = 1 (7). die Unterstreichung gegen die obere Zeile somit um vier nach rechts „zyklisch“ zu verschieben, d. h. man setzt die durch Addition von 120 sich wiederholenden Reste 67,187,.. mod 840 rechts an und verschiebt dann. Die sechs Lösungen mod 840 stellen sich mod 840 • 11 = 9240 dar:

(187)

Die 30 unterstrichenen Reste mod9240 sind jetzt die endgültigen Lösungen unserer Aufgabe. Man beginnt die Unterstreichung etwa in der mit den Resten 1, 5, 9,... mod 11 beginnenden zweiten Zeile und sucht dann in jeder Zeile die Zahl auf, die = 1 mod 11. Das „zyklische Verschieben“ läßt sich nach der Methode von Kraitchik so erleichtern, daß man nach Festlegung eines Einheitsabstandes der Spaltenmitten in (187) einen Streifen

(188) 4815926 10 37048159

herstellt, dessen Zahlen im Einheitsabstand die Differenz 840= 4 mod 11 haben, und auf dem alle Lösungsreste bis auf einen (hier 3) doppelt Vorkommen. Diesen Streifen legt man jetzt in jeder Zeile von (187) so an, daß der Einzelsrest 3 unter der zu ihm kongruenten Zahl mod 11 liegt, und überträgt die Unterstreichungen auf die Zeüe.

Soweit der Platz es zuläßt, tauscht man für dieses Streifenverfahren in (187) besser Zeüen und Spalten und bildet einen Längsstreifen (188). Läßt eine hinzukommende Auswahlkongruenz die Mehrzahl der Reste zu, so unterstreicht man besser die ausscheidenden.

Weitere Aufgabe: Alle a < 100000 aufzustellen, für die

(189)

— 1 und

(p Primzahl < 37)

Diese Eigenschaft besitzt z. B. die Zahl 163; § 30 gab (1,1, 41) ils einzige reduzierte Form der Diskriminante —163 ; wir suchen nier nun weitere im Verhältnis zu ]l~D niedrige Klassenzahlen.

Algorithmisches Rechnen.

118

Mit a = — 1 (4) formt sich die Aufgabe auf

(190) a=

3(8), (V) -

-1 für 29 < 37,

(w) *¹

nach dem Reziprozitätsgesetz um. Man wird die Vereinigung der Kongruenzen etwa bis p = 11 wie oben vornehmen, dann die

(191) x — r + sM < 100000, M = 9240, r aus (187),

nehmen, unter denen die Lösungen von (189) zu suchen sind. Es sind für jedes r < 7600 die Werte 0 5g 10 zu untersuchen, für r > 7600 die s ^ 9.

Nun bilde man für die Primzahlen p = 13 bis 37 je einen Längsstreifen der Länge p + 10 aus einer Folge von absolut kleinsten Resten der Differenz M mod p ; hierbei Meee—3 mod 13, —8 mod 17, 6 mod 19,...,— 10 mod 37, und suche, (190) lösend, für jeden der 30 Werte — r von unten her auf jedem der Streifen seinen Absolutrest auf, bringe diese Stellen der Streifen in eine Zeile und prüfe, ob in dieser oder einer der zehn darüberstehenden Zeilen lauter quadratische Nichtreste stehen oder bis p = 31 Nichtreste und der Rest 0 für p = 37. So liest man aus allen — x — — r — sM recht schnell die — a ab, die (190) erfüllen, und hat dann alle Lösungen a von (189). Wir erläutern dies hier für r — 3763 :

13 17 19 23    29    31    37

SM — r

5    7    8 11

• QO •

3    17 Lösung 1

— M— r— —3

—r= —6—6—1

2 —7 —8 —11 —14 —16 7 —12

11

Hat man so für jedes r die Streifen aufs neue aneinandergelegt, so erhält man als einzige Lösungen

m + 3763 = 77683 = 131 • 593 und m + 2347 = 85507 = 37 • 2311.

163,

Beiläufig haben die Diskriminanten — 77683 und — 85507 beide die Klassenzahl 22; die erste ist noch Nichtrest für 41 und 43, die zweite, durch 37 teilbare, noch für 41 bis 59; erst für diese ist D: h² > 163. — Die umgekehrte Aufgabe, — 1 und alle Primzahlen unter k, somit alle Zahlen zwischen ± k zu quadratischen Resten zu machen, ist bei Kraitchik Rc, S. 41/46 behandelt. Daß dort in den (186), (187) entsprechenden Schemen die teilerfremden Quadrate selbst auftreten, erleichtert die Unterstreichung wesentlich.

Da simultane Kongruenzen oft für alle Primzahlen unter einer Grenze aufgestellt werden, für die kleinsten Primzahlen teils in höherer Potenz (vgl. Primzahltafel § 35 und Kongruenzausscheidung §36!), so lohnt es, etwa für M = 2 • 3 • 5 • 7 = 210, 2³ • 3 • 5 • 7 = 840, 2⁵ • 3² • 5²= 7200, 2-3-5-7-11 = 2310 und 2³ • 3 • 5 • 7 • 11 = 9240 Streifen mit der Restdifferenz M nach den niedrigsten zu M fremden p anzufertigen. Man wird die gegebene Simultankongruenz erst nach einem der M wie in (187) lösen, dabei im Auswahlfall M um so höher wählen, je weniger Kongruenzlösungen in Frage kommen und dann das Streifenverfahren anwenden. Bisweilen kommt man leichter auf ein i¥-Vielfaches; z. B. x² = 1 mod 630 • 13 • 19 • 23 liefert bald x==±l, 41, 139, 181 (630).

Nun wird man aber die Streifen p = 13, 19, 23 von M = 210 nehmen und nur jede dritte Zeile ablesen. Auf diese Weise langt ein mäßiger Streifenvorrat für viele Kongruenzaufgaben.

§ 35. Primzahltafeln. Meißelsche Zählung.

Wir stellen als Aufgabe, unsere Primzahltafel aus § 9 über 300 hinaus fortzusetzen, etwa bis 100000. Wir denken daran, daß die Primzahlen zwischen n und N <Ln² die dazwischenliegenden Lösungen der simultanen Auswahlkongruenz x =|= 0 mod p für alle p 5^ n sind. Man kann also die Aufstellung einer Primzahltafel ganz als Kongruenzaufgabe in Teilabschnitten n,N; N, N';... mit steigender Kongruenzanzahl behandeln und wird darum mit Vorteil das Streifenverfahren aus § 34 verwenden können. Für dies wählen wir hier M = 210 und prüfen etwa mit zwanzig Streifen der

Differenz M mod p ; p = 11,13,... 89 die nach Spalten des Schemas

(192)

307 311 313 317 319 323 331 337 341 . 517 521 323 527 529 533 541 547 551 . 727 731 733 737 739 743 751 757 ....

ZO l>*

^ cr> oo

05 05 iH <N I> 05

99847

99997

geordneten 48 teilerfremden Restklassen mod M nach den zu 11 bis 89 primen Zahlen, die sich dadurch auszeichnen, daß auf den Streifen in ihrer Zeile kein Rest 0 ist. Da in (192) eine Spalte 475 Zahlen enthält, wird man zu ihrer Absuchung die Streifen öfters nachschieben müssen. Um dies für die kleinen p nicht zu oft zu tun, wählen wir ein Vielfaches mp ^ 37 als Länge des p-Streifens, beginnend mit dem Rest von Af, endigend mit 0.

43 haben. Die zu streichenden pq berechnet

Hat man so alle Zahlen unter 100000 ausgesiebt, die durch keine der Primzahlen bis 89 teilbar sind — einen p-Streifen brauchte man dabei immer erst ab p² anzusetzen — so ist die Primzahltafel bis 9400 fertig; oberhalb hat man aber noch zu streichen: 97-97 bis 97-1021, 101-101 bis 101-983,... bis 313 • 317; kurz: alle Produkte pq < 100000 zweier Primzahlen über 89; Produkte von mehr Primzahlen stehen nicht mehr da; sie müßten nämlich bei 47³ > 100000 wenigstens einen Faktor

man am besten für jedes p nacheinander für die q^ p durch Addition der häufig wiederkehrenden Differenzen.

Jetzt hat man die Primzahltafel bis 100000 fertig. Die vom gewöhnlichen Siebverfahren abweichende gemeinsame Aussiebung der Zahlen, deren kleinster Primteiler zwischen zwei Schranken (hier 10 und 90) liegt, verwendet in technischer Vervollkommnung neuerdings D. Lehmer zur Herstellung von Primzahltafeln über 10⁷ hinaus.

Eine andere Möglichkeit wäre, die Aussiebung im Schema (192) graphisch vorzunehmen: man müßte dazu die Spalten des Schemas im natürlichen Abstandsverhältnis aufschreiben. Zur Ausscheidung z. B. der durch 11 teilbaren Zahlen verbinde man 319 = 11*29 in der ersten Zeile mit 517 = 11*47 in der zweiten, parallel dazu 341 (über die Stelle 539 der zweiten Zeile) mit 737 in der dritten Zeile, dieses nun in doppeltem und einfachem Abstand abwechselnd wiederholend. (Man trifft dabei als leere Stellen die Plätze der Zahlen mit kleinstem Primteiler 5 oder 7.) Dies Verfahren, ähnlich auf andere p angewandt, lohnt die Durchführung allenfalls bis 29 =61; dann ist das halbe Schema schon gestrichen und der Übergang zur pg-Berechnung wie oben vorzuziehn.

Will man nun unsere Primzahltafel mit denselben Streifen etwa bis 10³ fortsetzen, so hätte man schon sehr viele pq zu streichen, außerdem 97³; 97² 101, 103; 97 -101². Doch ist diese Einteilung, bis p = 89 das Steifenverfahren anzuwenden, zur Abzahlung der Primzahlen bis 10⁶ noch sehr brauchbar. Macht man, um die Primzahlen bis z abzuzählen, den Schnitt bei ³J/z, so hat man die

Meißelsche Primzahlzählung. Es soll die Anzahl n (z) der Primzahlen von 2 bis z bestimmt werden. Seien x und y die kleinsten Primzahlen mit x? > z und y² > z. Ferner sei Vm (n) die Anzahl der Zahlen von 1 bis w, die keinen Primteiler p <m haben. Sodann gilt (193) n{z) = Vx(z)+n(x)— 2— Y U(Ü — (p) +1)

x^v<y

Denn Vm{n) zählt für n<m² die Menge ab, die aus 1 und den Primzahlen von m bis n besteht; ihr sind dien(m— 1) Primzahlen unter m beizufügen und die Eins wegzunehmen, um die Anzahl n(n) zu erhalten. Für m² n < m³ muß man außer-

weg-

dem noch die Primprodukte pq mit mA,piAq^L~

nehmen, um nur die Primzahlen bis n zu behalten, deren Anzahlen nach p geordnet für n = z die Summanden rechts in (193) ergeben. Zu ihrer Feststellung braucht man bereits eine

Z    .    2

Primtafel bis —, also fast bis z³. Das Vx(z) berechnet man nach der Rekursionsformel

^ j ; p die Primzahl vor q.

Vt(n)=Vp(n)-V

(194)

(Um Vq aus Vp zu erhalten, hat man die Vielfachen pv von p auszuscheiden, die, zugleich mit v, keinen Primteiler unter p

haben; dabei v ^ Mit (194) bringt man ein Vq auf eine (Es sind hier k reduzierte Restsysteme mod P zu nehmen, oben dazu nochmal die primen Reste von 1 bis r, unten aber die primen Reste von 0 oder — 1 bis — (r — 1) einmal zu streichen.) Wir rechnen ein Beispiel durch:

z = 30000. Statt mit Vx, x = 37, fangen wir kürzehalber mit 7₂₉ an, haben dann nur außer den pq mit 29 ^ p ^ q noch 29³, 29² -31, 29 • 31² und 31³ auszuschalten.

nach (194),

Fn-Summe herab und verwendet

(195)    Vv(n)=n(n) —    2 für n<p²,

(196)    Vi(kP+r) = k<p{P)+ Vq(r)

(197)    Vq(kP— r) = k(p{P)— Vq{r— 1)

(s. o.),

p=np,

p<q

30000 = 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13— 30; cp (30030) - 5760. 7₂₉ (30000) = 7₂₃ (30000) — 7₂₃ (1304),

- 7₁₉ (30000)- 7₁₉(1578)- 7₁₉(1304)+ 7₃₉ (68) = 7₁₇ (30000)— 7₁₇ (1764) — 71?(1578)+ 19— 7₁₇(1304)

+ 16+13

(für zweistellige Argumente nach (195) ausgerechnet)

= 5755— 7₁₃ (1764) + 28— 7₁₃(1578) + 26— 7₁₃(1304)

+ 21+48

= 5878— 7U (1764) + 7n(160)— 7U (1578) + 7n (143)

— 7n (1304) + 27 (49) -Fu(108) - yu(66)

— Vn (44)— 48-19 (Verwendung von (196/7) für q = 11 mit P = 210; y = 48.) = 4910.

Äusscheidende pq und pqr mit p ^ 29. Anzahl: 1669 + 4.

p q A.

- 5905— 7n (84)

q Anz. p q A. p q 1034 165    61    491    77    101 297

967 153    67    447    68    103 291

810 129    71    422    63    107 280

731 117    73    410    60    109 275

697 112    79    379    54    113 265

638 101    83    361    50    127 236

566 88    89    337    45    131 229

508 80    97    309    39    137 218

n (30000)

= 4910

—1669 —

= 3245.

§ 36. Primprüfung und -Zerlegung durch Quadratsummen.

Will man eine einzelne Zahl prüfen, ob sie Primzahl sei, wird man meist mit der Darstellung durch quadratische Formen am besten zu Rande kommen. Wir nehmen zuerst an, die zu prüfende Zahl m sei von der Form 4n + 1. Wir wissen, daß es dann genau eine Darstellung m = x² + y² gibt (dabei x w wenn m Primzahl ist, sonst mehr oder keine. Wir prüfen so z. B. m = 2713. Ist m = x² + y², so x, y 52, und zwar hat man sofort die Lösung y= 52; x = 3. Es fragt sich, ob es noch eine gibt. Sei darin y wieder die gerade Zahl, so muß y durch 4 teilbar sein, damit x² zugleich mit m= 1 mod 8. Wegen m= 4 mod 9 muß x oder y durch 3 teilbar sein und die andere Zahl = ^ 2 mod 9. Es kann danach noch y — 12, 16, 20, 24, 36, 48 sein, und wegen m = 3 mod 5 bleibt davon nur y= 12, 48. Doch 2713— 12² und 2713— 48² sind keine Quadrate. Also ist x = 3 ; y — 52 die einzige Darstellung und m eine Primzahl.

y²= 025, 225 (1000) oder 625 mod 5000,

Besonders, wenn m von der Form 20n + 1 oder 9 ist, ist die Primprüfung durch x² + y² vorteühaft und der durch x² + by² vorzuziehen. In diesem Falle muß nämlich x oder y durch 5 teilbar sein, weil die Summe zweier zu 5 fremden Quadrate = 0 oder ^ 2 mod 5 ist. Sei also etwa 5 | y, so untersuche man zuerst die Möglichkeit 10 \y, also x² = m{ 100), was mod 100 vier Lösungen gibt, oder ein Paar ^ a mod 50, das man bald kennt. Für den andern Fall y = 5 (10) ; x² = m — 25 verwendet man (198)

vor allem y= 25(200), was schon nur das eine Paar 3:=^« mod 100 zuläßt. Beispiele:

m = 1501. a) a;=il(50); also x = 1, aber 1500 kein Quadrat, b) x²~ 76(100); x = i 24 (50), = 24 oder 26, aber 1501 — 576, 676 nach (198) keine Quadrate. Also keine Darstellung m = x² + y² und m keine Primzahl.

a) x = i 3 (50) liefert zwei Lösungen :

m = 6409.

x = 3, 53; y = 80, 60. Also m schon keine Primzahl. Näheres aus b) 35 = ^ 22(50), wo #= 22 mod 200 ausscheidet. Also x ~    28(100) mit zwei Lösungen x = 28, 72; y = 75, 35.

Nach Satz 46 ist dann 6409 ein Produkt von drei Primzahlen der Form 4n-\- 1.

Bei größeren m wird man vor Untersuchung der Darstellungen x² + y² feststellen, ob etwa ein 13 oder p = 31 \ m, und hierzu m mod 1001 = 7 • 11 • 13 wie mod 999 reduzieren {jp = 2, 3, 5 stets vorweggenommen). Auch wird man vor Ausrechnung der möglichen x mehr Kongruenzausscheidungen machen als oben bei m = 2713. Beispiel :

m =s 129061. m = 1 (30); == 190 (999);    = 5 (37);

= — 68(1001). Also ist m durch keins der genannten p teilbar (wegen m — — 68 + 1001 • 129 und 17 | 68,    129 auch

nicht durch 17, ebenso wegen der 190 oben nicht durch 19). Nach diesen Vorprüfungen suchen wir die Darstellungen m = x² + y² und nehmen 5 | y. Aus m= 1 (9) folgt 3 | xy und x oder y = ± 1(9), aus m = 5(8), daß y= 2(4), also y²= 4(32) und bei m= 5(32) dann x=± 1(16), oder umgekehrt x= 2(4), y= i 1(16). Wie oben scheiden wir nach a) y= 0 und b) y= 5 (10).

a)    x=± 19(50) und <360 läßt bei #=^1(16) zu: = 31, 81, 319. Davon scheiden 31 und 319 mod 9 aus; doch = 81 ergibt die Darstellung: m — 81² + 350².

b)    ^6(100) wegen æ==2(4). Nach Ausscheidung mod 9 bleiben x = 6, 206, 294, 306 mit m— x²= 205, 625, 625, 425 (1000), aber 3= 625 (5000). Bliebe nur x = 6; aber 2~5 (m — x²) = 5161 ist kein Quadrat.

Also ist 129061 = 81² + 350² eine Primzahl.

m = 153949. m = —11 (30), == 103 (999), = - 205 (1001).

5(8), - 3(32), 4(9), - 2(7), 4(11), 3(13).

a)    £=^7(50). Da y²= 4(32) wird, so x²= 25(32) und x~ ±5(16). m= 4(9) gibt x= ^ 2(9) oder 3\x. Es bleiben mit x < 400 nur x — 43 und 357. Doch scheidet 357 wegen m= 5(7) aus; als Darstellung bleibt m = 43² + 390².

b)    x — ^ 18 (100). Nach Ausscheidung mod 9 bleiben x = 18,182, 218, 282, 318, hiervon nach Ausscheidung mod 7 nur 218 und 282; doch ist 218² = 282² = 524(1000) und m— 524 = 425 =|= i/²(1000). Also ist auch 153949 eine Prim

zahl.

Auch die Darstellung durch x² + 37y², die nach Satz 48 möglich ist, wenn m = An + 1 quadratischer Rest mod 37, entsprechend x² + 13y², wird man zur Verminderung des y besonders für m= 13,17 (20) heranziehn. Beispiel:

2/² < 8500 ; y <93

m = 308293 = x² + 37y² . m— y²= x² mod 2⁴ • 3² • 5² • 7 • 11 erfordert

y=zh2(4) oder 1(8); 0(3) oder 4(9); 1(5) oder 8(25);

= ± 1 oder 3 mod 7; 1, 3 oder 4 mod 11.

m = 256² + 37 • 81² ist also Primzahl.

Die oberen Moduln lassen zu : y = 6,9,31,39,49,54,66,81,86 ; 33, 42, 58. Hiervon scheiden aber alle bis auf 81 mod 7 oder 11 aus.

Endlich prüfen wir noch ein m = in— 1 durch x² + ly², m = 300007. m=l(7), also eindeutige Darstellung durch v² + ly² für Primzahl entscheidend. m= 7(32), 1(9), 7(25), 4(11) läßt zu: y = ± 1(8); 0(3), 7(9); 2(5), 1(25); 0, 2, 4, 5(11). Bleiben y = 7, 33, 57, 97,137,183, 207 mit y<L 207. Hiervon mod 37 nur 7 und 207 zulässig; einzige Lösung x=S, y = 207.

Für Nichtreste m mod 7 bleiben noch x² + 2y² und x² + 3y² zur Probe. Alle versagen nur fürm = 47,143,167 (168).

Zieht man auch Darstellungen m = x² + xy + cy² mit c — 3, 5,11,17, 41 heran, so versagen nur etwa zwei von tausend Fällen ganz.

Das Verfahren der Darstellung durch quadratische Formen ist auch zurZerlegung von Zahlen mit mehreren Darstellungen brauchbar. Wir zeigen das unter Hinweis auf (89), aus dem folgende Rechnung hervorgeht, am Beispiel

m = 901 = 30² + l² = 26² + 15².

Man bildet (30— 26) : (15— 1) = 2 : 7 und gewinnt den Faktor 2² + 7² = 53; 901 = 53-17. Den Faktor 17 hätte man aus (30— 26) : (15 + 1) — 1: 4 gewonnen.

Ein andres, immer anwendbares und oft das beste Verfahren zur Zerlegung von ungeradem m ist das durch Darstellung m — x² — y². Hier gibt es stets die Darstellung x— y = 1, x-\- y = m und nur sie, wenn m Primzahl. Zur Auffindung einer wirklichen Zerlegung m— (x -\- y) (x. — y) wird man m zuerst auf kleine Primteiler prüfen, um x in mäßigen Grenzen zu halten, sodann Kongruenzausscheidungen wie oben vorzunehmen. Beispiel:

m == 29719. Sei schon festgestellt, daß p > 37 für p | m. Dann x—y^.Al, x-{-y<72b und #< 400; nämlich x<x-\- y < m : 75 < 400 für x— y > 75, sonst aber (x + y) +    — y)    = 2x > 800.

Ferner x^    173 und 4 | x= ^ 1 (9), = ^ 12(25)    oder    0(5)

x — 188, 388 ; 260, 280. Mod 7 und 11 nur noch x = 188 mi y = 75. m = 113 • 263.

§ 37. Index- und Restcharaktertafeln.

Eine Indextafel mod pe, s. (82), kann man so auf stellen daß man einen Primitivrest sucht, seine Potenzen mod p bildet und unter den ausgerechneten Rest jeweils den Expo nenten schreibt. Primitivrest ist aber jeder Rest v, der für keh q | <p (pe) ein q-ter Potenzrest mod p? ist, also für keinen Prim teiler von p — 1 und bei e ^ 2 auch nicht für q = p. Ist z. B. p = 211, p— 1 = 2 • 3 • 5 • 7, so ist schon 2 kein quadratischer Rest,    auch kein kubischer,    da 211 =4= +    27y²,    aber

auch kein 5. oder 7. Potenzrest:    es müßte sonst    (2⁷)⁶    oder

(2⁵)⁶ = 1 (p) sein, also 32 • 4 oder 32 der Kongruenz x² — x + 1 = 0 (p), also x² = x — 1,

genügen (Exponent von 2⁵ ist, s.o., mindestens 6); doch ist 32² = — 31 ; 32²4² = — 496 =*= 127 (211). Also ist 2 Primitivrest mod p. Auch noch modp², nämlich 2²¹⁰ ^ 1(211²); man rechne nach, daß 2¹⁰⁵ = — 1 + 51p ! Das kleinste p, für das 2p—¹= 1 (p²), ist 1093; hier gilt bereits 2³⁶⁴= 1 (s. u.).

Für p = 439 findet sich nicht sofort ein Primitivrest: Es ist p— 1 = 2 • 3- 73; 2, 5, 7,11,13 quadratischer und 2, 3, 7 kubischer Rest (439 = 243 + 14², s. u.!); erst 3 • 5 ist beides nicht, aber auch kein 73. Rest; sonst hätte 15 den Exponenten 6, während 15² =4= 14. Also Primitivrest.

Um die Primitivreste aus den quadratischen Nichtrestei leichter herauszufinden, wird man für die kleineren Prim zahlen q eine Tafel der q-ten Potenzreste nach den p = 1 (q) p < A, anlegen. Wir bringen hier auf S. 127 eine kubiscln

61

67

73

79

97

103

2 3 5 7 10 11 10 0 2 10 2 0 112 2 1111 10 2 2

109

127

139

151

157

163

0 111 0 10 1 12 2 2 10 11 0 110 12 0 1

181

193

199

211

223

229

12 0 0 10 12 110 1 110 1 0 12 0 0 12 2

241

271

277

283

307

313

12 0 1 10 2 1 0 12 2 0 12 2 0 0 12 12 0 0

331

337

349

367

373

379

112 0 12 0 0 12 2 1 10 0 0 1110 12 0 2

397

409

421

433

439

0 12 1 12 0 2 12 2 0 0 112 0 0 10 0 10 2

Kubische Restcharaktertafel.

11,„17,^ 23^31

13

19

37

0 12 2 2 111 2 10 1 2 10 2 2 12 0 2 0 2 1

0 2 2 0 12 2 1 2 112 2 2 2 1 2 111 0 10 0

2 3 5 7 112 0 110 0 0 0 11 10 12 12 10 10 2 1

11,„17

13

19

29

31

37

112 2 12 2 0 2 0 11 0 2 0 2 110 2 1112

0 2 12 10 10 2 2 0 0 2 2 2 1 2 0 11 2 0 0 1

2 10 0 2 12 0 112 1 12 10 12 11 2 0 0 2

0 12 2 12 12 0 12 2 10 11 0 0 2 2 0 2 0 0

12 10 10 12 0 111 12 2 0 10 2 1 10 12

2 2 12 0 2 10 10 2 1 12 2 1 2 110 10 0 2

0 10 1 2 0 2 0 110 2 12 10 0 10 0 10 0 2

2 2 10 0 0 11 0 10 1 0 0 11 2 0 0 1 0 0 0 2

2 0 0 2 0 0 12 112 2 0 2 11 12 12 112 1

12 0 1 0 0 0 1 10 2 0 112 0 0 10 2 1111

112 2 2 12 1 2 0 10 2 111 2 2 2 0 10 11

12 2 2 2 12 2 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2 0 1 12 11

12 0 1 10 2 0 2 0 2 0 2 2 2 0 110 0 1110

0 111 0 0 0 1 2 110 10 12 2 2 2 1 0 2 11

0 0 11 0 10 1 0 10 1 12 2 0 10 11 110 0

0 2 12 0 2 10 10 12 2 2 12 2 2 2 2 2 2 0 2

0 111 10 2 1 112 0 2 2 11 2 0 2 2 112 2

2 112 0 10 1 0 10 2 1112 2 0 0 0 1111

1112 12 2 1 12 0 0 2 0 12 0 2 0 2 0 0 10

10 11 0 12 0 110 1 112 0 10 0 0 12 2 1

1112 1110 0 2 2 0 0 12 1 2 0 2 1 0 0 2 2

2 2 0 1 2 0 10 2 0 2 1 2 0 0 2 1110 1112

110 1 0 0 10 10 10 1111 2 2 11 0 10 2

110 1 12 0 1 10 2 0 2 110 2 2 11 12 2 0

12 11 1110 112 2 0 0 12 12 12 10 2 2

0 2 0 2 2 10 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2 2 12 0 2 0 1

2 0 11 2 10 0 0 12 2 2 0 11 0 2 12 0 0 2 2

10 12 0 0 0 1 10 12

12 0 2 112 2 10 10

<1

CO l> Ci CO rH I> O 00 Ci <M T*

571

577

601

607

613

619

631

643

661

673

691

709

727

733

739

751

757

769

787

811

823

829

853

859

877

883

907

919

937

967

991

2 0 10 2 2 0 0 0122    1009

997

Resttafel in der Form, daß wir für 60 < p < 1020 den kubischen Restcharakter der Primzahlen a bis 37 vermerken durch Angabe des Exponenten e = 0,1, 2 in der Kongruenz

(199) an= re mod p = 3n + 1; r Rest der Ordnung 3.

Wir legen r dadurch fest, daß wir für den kleinsten kubischen Nichtrest e — 1 setzen. Ein Produkt der a ist dann kubischer Rest, wenn ihre e-Summe = 0(3). Die Ablesung ist hiernacl für jeden Rest x nach einem p der Tafel so möglich: enthält x etwa Primteiler über 37, so führt mit 37 x > p die Division

z    1

p = xy ± z zu æ = + — mit einem 37 und z^-^x.

Hat z noch einen großen Primteiler, so verfahre man mit dem wieder wie mit x. So erhält man bald einen Quotienten von Faktoren bekannten Rest Charakters. Beispiel: 199 ist kubischer Rest mod 691; es ist 691 = 199*4— 105 (besser als 199*3+ 94), 199 = 3*5*7 : 4 mod 691 und e (199)= 1+ 0 + 2— 0 mod 3.

37

43

(200)

Für die p < 61 geben wir alle kubischen Reste außer +1 an : mod 13 19    31

± 5    7,8 2,4,8,15 6,8,10,11,14 2,4,8,11,16,21

Für p ^ 61 verwende man dann die Tafel S. 127, deren Berechnung wir an zwei Beispielen erläutern. Zuerst sucht man den kleinsten kubischen Nichtrest, der ^ 7 für p < 5113. Wir wissen: 2 ist kubischer Rest für die p=x*-\-21y², und merken uns: 3 ist für diese p nur bei 3 | y kubischer Rest (allgemein für ein p = x² + xy + 61 y²), 5 nur bei 5 | xy, 7 nur bei 7 | xy (11 schon nicht nur bei 111 xy), also 2, 3, 5 und 7 nur für ein p = x² + 243^² mit 35 | xz. Nun sucht man p (auch 2p) als Summe oder Differenz zweier Zahlen mit kleinen Primteilern und kubischen Faktoren darzustellen und erhält dann die Restcharaktere so:

29 = 211. £>+æ² + 27£/²; e(2) = l. 3⁵ = t9+2⁵; e(3) = l. 2? + 5 = 6³; e(5) = 0. ^ —1 = 7-30; e(7) = l. p —11 = 8-5²; e(ll) = 0.29+13=7*2⁵; e(13) = 0. Jetzt p = lly+ z;.. .(s.o.).

79 = 727. 79=22² + 243; e(2) = e(3) =e(ll) = 0. (Auch 79 +2 = 3⁶; 79 — 1 = 6* ll².) Kleinster Nichtrest 5 ; e (5) = 1.

p— 7 = 2⁴3³. k-\-z= 4æ+3 y\

29+ 2 = 3²7².

29 + 1 = 2³5-11. 4a;+3 — y = 0(438).

p — 7 = 5- 12²; e(l) — 1.    29+1 = 13-7-8; e(13)=2.

p— 13 = 17 * 42; e(17) = l. 29-5 = 2-192; e(19) = 2. 29 + 23 = 6 • 5³; e(23) = 0. Jetzt das Divisionsverfahren.

Die so errechneten Werte kann man bereits als die mod 3 genom menen Indizes einer Indextafel auflassen. Trägt man in der kubischen Tafel für die 29 = 1(3+ + 1(3*⁺¹) gleich den 3Men Restcharakter ein und bildet ebensolche 5Me, 7l-te, . . . Potenzresttafeln, so geht eine Indextafel mod p für 29— 1 =11 ql aus den Werten der ql-tm Potenzresttafeln als Simultankongruenz hervor. Beispiel:

y = ind 79 mod 211. (g) = (=+) = (J) (|) = 1-    0 (2)

y= 0(3)

79=2-13 : 3

kubischer Rest.

5. Rest- a 2 3 5 7 11 13 Erste Feststellung:

4    — 2¹⁰ = 31 = 2 • ll² 2/= 2(5)

4    3⁷ = 77 = 2⁵3²

• charaktery 13 2 4

7. „

e₇ 1 1 6 6 y= 0(6);

y— 4(7) y =102.

= —3(35):

Dabei wurde wirklich mit der Basis 2 gerechnet, weil in allen Potenzresttafeln e(2) = 1 war. In diesen wurde aus e(2) = 1 nach „erster Feststellung“ c₅(ll) = 2 und e₇(3) = 1 gewonnen.

Will man in die Tafel nur die Indizes der kleinen Primzahlen aufnehmen, so ist das hier gewonnene Verfahren kürzer als das der Basispotenzierung. Man rechnet sogar 2¹⁰² = 79 (211) schneller Überind 3 = 43; 2¹⁰² = 3² - 2¹⁶.

Man kann die Indextafel mod p für die kleinen Primzahlen, sobald man eine passende Basis v hat, auch ohne getrennte Potenzrestrechnung unmittelbar gewinnen, indem man Darstellungen mp — A — B mit kleinen Primfaktoren sucht (jetzt ohne Multiplikation mit q-ten Potenzen, die für große q | p— 1 ohnedies selten werden). Beispiel:

p = 439 =    + 1. v = 15. ind —

lO I

11

x= 2 2/+ 2 (4æ+ 3 y). 29+ll = 15²2. w= 2+æ;

Hieraus y in der zweiten Kongruenz eingesetzt gibt 39#=— 24(438) oder, da 6 | x bekannt, 13x =— 8(73). äse 5(73); x=78.

Ähnlich verwertet E. Gottschalk (Math. Ann. 115, S. 157/8) Lösungsbedingungen der Fermat-Gleichung: Soll xv + yv = zv mit xyz kj p lösbar sein, so muß nach Morishima u. a. rv~v = 1 (p²) für r < 37 gelten. Das geht aber nicht, wenn sich eine Zerlegung mp = A ± B mit m < p findet, in der A und B nur Primfaktoren 5^ 31 haben; denn das gäbe AP~X = (3z B)p~l = 1 (p²) entgegen (A — mpy—¹ == A + Amp~²p. Für p < 3600 ist p = 99 g + oder — r (r < 99) eine solche Zerlegung, also die Fermatgleichung mit xyz w p unlösbar. Wir betrachten eingehender

p = 1093 = 2²3⁵ + ll² = 3²11² + 4; 3⁷ = 2p + 1.

Hiernach ist schon 3P—1 ^ 1 (p²), auch 33^— l, wenn 2p~l = l(p²). Dies prüfen wir: Oben erschien 2 als kubischer Rest und 3 mod p als Rest der Ordnung 7 ; bei p — 1 = 3 • 7 • 52 rechnen wir dann 2¹⁰ == p — 69; 2¹⁴ = 16p —1104 = 15p — 11. 2⁵² = 2¹⁴ * ³+¹⁰.

mod p².

2⁴² = — ll³ + 3 • ll²15p = -1331 + (p — 4) 5p = - 238 - 21p 2⁵² = 7 (34 + 3p) (69 - p) = 238 • 69 + 7 • 173p

= (3* — 5) 3 • 23 + 118p = £((2p + 1) 23 - p + 58) + 118p

= 27 + 133p .

2³⁶⁴ = (27 + 133p)⁷ = (1 + 2p)³ + 7 • 133 • 3¹⁸p

= 1 + 6p — 6 • 3³ • 3⁴p = 1 (p²).

Eine Indextafel mod p² liefern im wesentlichen schon die Indizes der Reste 1 — p, 2 — p,.. . — 1 ; 1, 2,... p — 1. Man schreibe sie in zwei Zeilen auf und entnimmt dann (201) ind (r + kp) = ind r + k (ind r — ind (r — p)), k mod p,

aus den Indizes der r-ten Spalte. Ist nämlich vv~~¹ = 1 + zp,

so mit (78) rv^v~¹⁾¹ = r + rlzp(p²) und bei k=lrz{p)

ind (r -f- kp) = ind r + (p— 1) l; /= k : rz{p).

Da ind(— r) = indr4- \(p— 1), reicht eine Tafelhälfte:

20 11 58 62 34 0 188 2 74

U112 p r . —10 — 9— 8 — 7— 6 T mod ll² Reste. 1    2    3    4    5 Indizes.

Berechnung durch Potenzrestverfahren (die Zerlegung nach Charakteren ist hier wegen 3⁵= 1 (ll²) ratsam!) oder Bildung der Potenzen ^ 2C, c — 0,... 9, dabei z. B. die letzte Spalte

aus 4 = ind(5±ll) und 64 = ind(5—33) = ind(—512) bei 9 = ind 512. — Will man nun ind 91 ablesen, zerlegt man 91 = 3 + 8 • 11 ; ind 91 = 88 + 8 • 30s 108 (110). Ebenso gewinnt man eine Indextafel mod pe mit Zeilenabstand pe~l.

§ 88. Auflösung der reinen Kongruenz.

Reine quadratische und kubische Kongruenzen löst man oft am einfachsten mit dem Differenzverfahren des § 37:

z³ = 2 mod p —1093. Zur Lösung nimmt man etwa p ± 2⁵ = 3²5³; p— ll² = 2²3⁵; p—5³ = 2³11². Daraus

; also 16 =

to| o<

; 4-9=e

ll²

25\³

25

33 = x . .

= - (p) aus tf+ xy+ y² = p.

Lösungen : z = ^

^= 17(257). Diese Aufgabe zerlege man in i/² = 17; x² = y und bilde

15²=— 32; 16² = — 1; 17²= 32; 22²=—30 ; 23² = 15. 17 = — 240 = — 15-16= (23 • 16 • 4)²= 70².

a;² = ± 70; — 5 • 14 = 18 • 14² =

-3-14

)-

50².

x=±h0, ±29.

Höhere unzerlegbare Wurzelausziehungen wird man mit Indexrechnung machen. Schon, um eine Aufgabe z⁷ = 6 (463) nach obiger Art zu rechnen, wird man aus den brauchbaren Zerlegungen p = A ± B(A = 448, 450, 455, 462, 468, 484) schneller die Indizes von 2 bis 13 erhalten und aus ihnen dann indz=\ ind 6 ± 66k zusammensetzen. z=—72- (—§/.

Zur Lösung der quadratischen Kongruenz mod p wird man jedoch vorzugsweise von Satz 48 Gebrauch machen, z. B.:

z² = 37 (65537). Man zerlege hier 37 = (— 1) (— 37). Da — 1 und — 37 quadratische Reste sind, stellt sich das p — x? ± y² = v² ± 37w². x = 256, y = 1 ; v= 122, w= 37. Kongruenzlösung: z = 256 •    = 13243.

Versagt dieses und das Differenzverfahren, so liefert die

Darstellung x²—Dy² = pt, vgl. (202), ein zur Lösung von z²=D(p) allgemein geeignetes Verfahren. Beispiel:

2²= 257 (65537). Für ef>p (hier p = 2¹⁶ + 1) gibt es nach Satz 28 ein x < e und ein y <f mit x : y= z(p). Es wird p ! x²— 257 y² und für e = 1025 und f — 64

x², 2bly² < 2²⁰; x²— 2bly² = pt mit 11 | < 16.

Jede Lösung x, y, t mit x w y gibt eine Kongruenzlösung z. Wir ermitteln nun die Paare t, y, die ein x² liefern, durch Kongruenzausscheidung: Es muß t quadratischer Rest für 257 sein, außerdem ungerade oder durch 8 teilbar. Also t = — 1, +1,    —11, +11, —13, +13, —8,    +8.

2(4)    5(16)    9(16)    2 (4)    1(2)    1(2)

1(5), 7(25) 0,1(5) 0,2(5) 0,1(5) 0,2(5) 1(3)    1(3)    0(3), 4(9

y > 15 y < 64 y > 52 y < 56 y > 56 y < 28 y > 43 y< 48 — ±1(8)    0(4)

2(5), 4(25) 1(5), 3(25)

1(3)

1(3)    0(3), 2(9)

0(3), 4(9)

Unter den möglichen Werten t stehen oben: eine Schranke und Kongruenzbedingungen für zugehörige y, gewonnen aus

257y² = x² — pt

mit x ^ 1024 und F = 2bly² + pt= x² (2⁵ • 5² • 3²).

Weiter:

(Ausrechnung wie in § 36 bei m = 129061 und 153949; y Kjtl)

-1

-8

23 33 57 63 7 7 11 49 55 59 61 13 1 7² 7

4 16 28 44 56 ¹7 ll² 7 11 7 3 5 13 15 23 27 33 45 7 13 11 13 11

-11

58 62    2 10 22

13    ¹⁶ 7 11 37

21

11 rj -13

13 7

Zu jedem t sind die hier zulässigen y zur weiteren Ausscheidung mod#= 7, 11, 13, 37; 7², ll² gesammelt und das kleinste der q, nach dem ein y ausscheidet, daruntergesetzt.

F = by² + 3t == 4; 2, 3, 0 für y = + 0; 1, 2, 3 in t — — 8, — 1,13. Dort scheidet also y= + 2 aus und bleibt ±3 bei F == 0(7) noch mod49 offen.

Schließlich verbleiben die Paare t = — 1, y = 63; t = 8, y =27; t = — 11, y = 58. Das letzte gibt F = 379². Also « - 379; y = 58. ± * =    = 6* +    759|e= - 10163.

Allgemein ist so z² = D (p) durch eine Darstellung

(202) x²—Dy² = pt mit x^Yp • \/\ D], y^ŸP'-]/\D\',

\t\<2]/\D\

Mod 7 wird so

Andere algebraische Kongruenzen, lösbar, dabei t > 0 für D < 0 und 111 < ]/D für D > 0.

Q

Große D kann man durch Brüche — — ersetzen und dann

a

ax² + cy² = pt lösen ; dadurch verkleinert man zwar selten das t, kann aber bei kleinzerfallenden a, c leichter mehr Kongruenzausscheidungen für t vornehmen.

Aus dem letzten Grunde rechnet man für kleines p mit y = 1, also ganzem | z\<\p und \t \ <lp.

Schließlich kann man auch die reine kubische Kongruenz durch eine Darstellung ax³ + cys = pt lösen, kommt aber mit | 11 bis 2p statt bis 2 ]/p wie in (202) hinauf, was nur bei starker Ausscheidungsmöglichkeit lohnt, etwa bei 91æ³ + 19z/³ = 9191.

§ 39. Andere algebraische Kongruenzen.

Mit der Kongruenz f (z) = a₀^ + xxzn~xĄ-----\- an = 0(p)

X

wird man i. allg. auch so verfahren, daß man z= — darstellt und dann a₀x^ + x?1 1y-J- • • • + anyn = 0 löst. Dabei läßt sich f(z) für die in na₀ nicht aufgehenden p durch

h(z)= —f(z— Ü1 \    •

W «0 V nao!

einfacher behandeln. Wir wählen ein kubisches Beispiel:

A.    für p = 307,

B.    für alle p ^ 307.

f(z) = z*— 3z— 1= 0 (p) zu lösen In beiden Fällen reicht es,

F (x, y)= x? — 3xy² — yz für 0 ^ x ^ 21 und 0 < | y \ ^ 13 (ef = 22 • 14 = 308) zu betrachten, wobei wir das Vorzeichen

von z =

dem y zuteilen, weil y nur in einem Glied von F

nichtquadratisch ist. Im Fall A. reduziert man F für jedes x, y bald mod 307 ; bei B. aber rechnet man alle angegebenen F (x, y) aus und zerlegt sie in Primfaktoren. Man wird hier erhalten: f(z)= 0(p) hat je drei Wurzeln für die p = 9ni 1, eine dreifache Wurzel für p = 3, sonst keine Wurzel. (Erklärung s. u.).

Man untersuche ferner den kubischen Restcharakter der Wurzeln und findet sofort: entweder haben sie alle denselben oder alle ver-

schiedenen Restcharakter. Woraus folgt das hier? Wie verhalten sich die Fälle zum kubischen Charakter von 3 mod p = 9n -f-1 ?

So groß der in der Verkleinerung der Summanden bestehende Vorteil der Ersetzung von f(z)= 0 durch F (x, y)= 0 gerade für Scharen von Kongruenzmoduln ist, so lohnen für einzelnes kleineres p, da man die Zahl der zu untersuchenden Fälle immerhin vermehrt, allenfalls Nenner V — 2, 3.

Manchmal läßt sich Probenverminderung erzielen: weiß man von f(z) = z³ + sz + t = 0 bereits, daß es keine oder drei Wurzeln mod p hat (das ist der Fall, wenn D = — 4s³ — 21t² quadratischer

Rest für p), so braucht man nur die Reste r = ± 0,1,...,    — 1

ô

zu prüfen, ob sie f(z) = 0 lösen; denn für den Fall dreier Wurzeln haben, wenn man ihre absolut kleinsten Reste nimmt, entweder alle Wurzeln gleiches Vorzeichen und eine Summe + r₂ + r₃ = ± p, die ja mit dem z²-Glied in / zugleich = 0(p), aber < 2p ist; also ist

eine der inkongruenten Wurzeln ^ -g- — 1. Sonst aber ist etwa

ri “ r2 und | ri | < °der sogar rx = 0. Man spalte dann z — rx von f(z) ab und behält eine quadratische Kongruenz zu lösen.

Mod p > 3 besteht auch die Möglichkeit, eine Kongruenz

3. oder 4. Grades nach dem Schema der allgemeinen Gleichung 3. und 4. Grades mit Hilfe von Wurzelausziehungen aufzulösen, weil in den Nennern nur Potenzen von 2 und 3 auf-treten. Eine Lösung im elementar zahlentheoretischen Sinne setzt jedoch voraus, daß bei Ausziehung einer n-ten Wurzel unter der Wurzel ein n-ter Potenzrest steht (Fall des § 38).

Andernfalls gäbe das eine Erweiterung des Restklassenkörpers mod p, deren Vergleich mit einer entsprechenden Erweiterung des Ringes der ganzen rationalen Zahlen einige Überlegung erfordert. Stellen wir den Vergleich aber für den Fall einer rationalen Kongruenzwurzel an, etwa x² = 2(7), so hat man ± 4 als rationale Kongruenzwurzel, im Ring V der a + &]/2 mit ganzen a, b aber außerdem i |/2, ohne daß dort j/2 = 4 oder 3 mod 7 zu setzen ist, also vier Lösungen in V, vereinigt aus den je zwei Lösungen

± 4 mod (7, 4 — 1/2) und (7, 4 + j/2), vgl. § 27 Ende. Die Vielfachsummen von 7 und 4 — j/2 sind da-

bei die Vielfachen von 3 + j/2. Dies liegt anders in R (/30), wo die vier Lösungen ±4, )/30 von æ²e=2(7) sich auch aus denen înodp, p' = (7, 4 ± ]/3Ö) vereinigen, doch p und p' nicht aus den Vielfachen einer Zahl bestehen. Ebenso nicht die Moduln q, q' = (l3, 2 ± l/3Ö). Eine Kongruenz mod91 ist in Ä (j/3Ö) die Vereinigung je einer Kongruenz modp, p', q, q'. Jede paarweise Vereinigung dieser Kongruenzen liefert eine Kongruenz, deren Modul aus den Vielfachen einer der in R(|/30) unzerlegbaren Zahlen 7, 13; 11 ± V 30; 19 ±31/30, dreier Paare mit dem Produkt 91, besteht.

Bei der Kongruenz 0³ — z — 1=0 bestätigt sich nun wenigstens für die p = 9n -f 1 die Existenz dreier Wurzeln daraus, daß die Gleichungswurzeln die Summen einander reziproker neunter Einheitswurzeln sind und xd — 1 mod p = 9n + 1 voll zerfällt.

Sach- und Namenverzeichnis.

assoziierte Form F^, 93 — Klasse 98

Auswahlkongruenz 116, 50 ausgezeichnete Form 94 Automorphe (Substitution) 92

uneigentliche 108

Basis 62, 98 Bedingungskongruenz, algebraische 50 lineare 43

bi quadratisches Restsymbol und Reziprozitätsgesetz 85

Bruchkongruenz 44

Abbild 7

Abschnitt einer Menge 7 Definite Form 89 Absolutrest, kleinster 19 Differenzverfahren 128 ff. Absolutwert 18    Diophantische Gleichung

abzahlbar 7    43

Algorithmus 5, 113    Dirichlet 7, 30, 83, 111

Divisions- 81, 103    Discriminante 87, 71

Euklidischer 25    distributive Funktion 34

Anzahl 6, 9    Distributivgesetz

Äquivalenz 40, 90 y "    ⁴ ■    \

arithmetische Progression Echter Teil(ep) 7, 13

eigentlic he Darstellung 65p

V    3

y

A    ^ «    7

\a\    18

a\A 12

aJjf'A (Nichtteiler) 40 a KJ A 27

(«i, • • -, «n)>    {«i,... ,an}

22

a ==, =£ ä (m), mod m 40 A~ B, ~ B 90

16

C)

57

72, 75

Assoziativität 10, 9

eindeutige Primzerlegung 14, 86

Eisenstein 81, 85 endlicne Menge 7 entgegengesetzte Form FN 93

Euklid 13, 24 Euler 31, 57 —sehe Funktion 38 — —s Kriterium 63 Exponent eines Restes 54

Fermat 32

—scher Satz, kleiner, großer 56, 57 Formenschar 92 Fundamentaldiskrimi-nante 88

Fundamentaleinheit 112 Funktion, zahlentheoretische 34, 7

Gauß 32, 81, 83 —sches Lemma, —Symbol 74

geordnete Menge 7 Gottschalk, E. 130 Grad eines Restklassenpolynoms 51

c hn ic*

22

Quadratfrei, -haft 38 quadratisches Restsymbol 72, 80

gr. gem. T. = größter gemeinsamer Teiler 22 Gruppe 62 Hadamard 31 Halbsystem 74 Hasse 124 Hauptform 88 Hauptfragen der Potenzreste 63, 76 Hauptgeschlecht 99 Hauptklasse 91 heuristische Verfahren 113 Ideal, Primideal 86 indefinite Form 88 Index 62, 126 Induktionsschluß 6 inkongruent 40

die —en Lösungen 43 Integritätsbereich 20 inverse Substitution S~l 90, 108

Jacobisymbol 80 Kette reduzierter Formen 101

Kettenbruch 105 Klappauf, G. 17 Klasse eigentlich äquivalenter Formen 90 Klassengruppe 98 Klassenzahl 91 kl. gem. V. = kleinstes gemeinsames Vielfaches kleinster positiver Rest 19 Komplementärform FR 93 Komposition der Formenscharen und -klassen98 Kongruenzausscheidung 123 ff.

Kongruenzlösung,

eindeutig mod m 43 Kongruenzrest 40 Kongruenz wurzel, einfache, mehrfache mod p 55 Körper 45

kubische Reste 86, 127/28 Lagrange 46 Legrende-Symbol 72 Lehmer 120

Linearfaktoren, inkongruente 54, 60 Lösungsanzabl 53, 64

Männchen 116 Meißelsche Zählung 121 Mersennesche Primzahl 32 Mertens 103

Möbiussche Funktion 37 — Umkehrformel 38 Modul (Kongruenz-) 20,

40

Modulwechsel 43 Morishima 130 multiplikative Funktion

34

Nachbarform FR 93 —enkette 95, 101 Nachbarsubstitution 103 natürliche Zahl(enreihe)

N (Bereich) 13 Neuner( Elfer-)probe 114 Nichtrest (quadratischer)

7:;

Nullteiler 41

nullteilerfreier Ring 20 Ordnung mod m 54 Ordnungszahl 6 Paarweis teilerfremd 27

Parallele Form Fp 93 Partialbruchzerlegung 29 Pellsche Einheit 111 Pellsche Gleichungen 107,

109

positive Zahl 7, 18 Potenzrest, n-ter 62 prim, relativ 27 primitive Form 87 Primteiler, -faktor 13 Primteiler eines Polynoms 33 Primzahl 13 Primzahlsatz 31 Prim(zahlpotenz)zerle-gung 14

Primzahltafeln 30, 120 Primitivrest, -wurzel 59

Reduzieren einer Form 95 — — Kongruenz 42 reduzierte Form 95, 100 Rekursionsformeln 108,

110

reproduktiv 20

Rest 16, 40

teilerfremder 50 Resthälfte, untere, obere

74

Restklasse 40 Restklassenkörper 51, 134 Restklassenring mod m 41

—    modO 42 Restproben 114 Restsystem, reduziertes 50

—    vollständiges 42 reziproker Rest 45 Reziprozitätsgesetz 79 —algorithmus 81 Ring 18

ohne Nullteiler 20

Schubfächerprinzip 7, 46

Sieb des Eratosthenes 29 Simultankongruenz 47 Streifenverfahren 117, 118 Substitution, lineare 89 —sdeterminante 90 Summator(ische) Funktion 34

Symmetrie 40, 77

Teilbarkeit, Teiler 10, 12 teilerfremd 27 Teilerfunktionen 15,    34

Thuescher Satz 45 Transitivität 40 Transponierte 91

Unimodular, eig., uneig. 90

Vallée-Poussin, de la 31 Vereinigung (Verbindung simultaner Kongruen zen 47

Verschmelzung 8 Vielfachsumme 21 Viggo Brun 31 vollkommene Zahl 35

Wohlgeordnete Menge 8 Wurzelausziehung bei Kongruenzen 134

Zermelo 14 zweiseitige Form 108 — Klasse 91 zyklische Gruppe 100 = Gruppe mit eingliedriger Basis

zyklische Verschiebung

117

um

Mathematische und verwandte Literatur

in Auswahl

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a) AUS DER SAMMLUNG GÖSCHEN

Geschichte der Mathematik. Von Prof. Dr. Heinrich Wieleitner. 2 Bände. I: Von den ältesten Zeiten bis zur Wende des 17. Jahrhunderts. 136 Seiten. Neudruck 1939. II: Von 1700 bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. 154 Seiten. Neudruck 1939. (Samml. Göschen Nr. 226, 875i

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Fünfstellige Logarithmen. Mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlwerten. Von Professor A. Adler. Zweite Aufl. 117 S. u. 1 Taf. 1929. (Samml. Göschen Bd. 423) Geb. RM. 1.62 Der Band enthält die gemeinen Logarithmen der ganzen Zahlen bis iooo, die der goniometrischen Funktionen, die wirklichen Werte dieser Funktionen und die Reihe von mathematischen, physikalischen und astronomischen Hilfstafeln, wie sie fünfstelligen Logarithmentafeln gewöhnlich beigegeben sind.

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Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Neue Ausgabe von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. 175 Seiten. Neue Auflage. 1938. (Samml. Göschen Bd. 81) . . .

Mathematische Formelsammlung. Von Professor O. Th. Bürklen f. Vollständig umgearbeitete Neuausgabe von Dr. F. Ringleb. Mit 37 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. 272 Seiten. 1936. (Sammlung Göschen Bd. 51)    .....................Geb. RM. 1.62

Formelsammlung zur praktischen Mathematik. Von Dr. Günther Schulz. Mit 10 Abbild. 147 S. 1937. (Sammlung Göschen Bd. 1110.) Geb. RM. 1.62

Mengenlehre. Von Professor Dr. E. Kamke. Mit 6 Figuren. 160 Seiten.

1928. (Samml. Göschen Bd. 999) . . . .

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Arithmetik. Von Studienrat Prof. Paul B. Fischer. Mit 19 Abbildungen 152 Seiten. 1938. (Sammlung Göschen Bd. 47) ... . Geh. RM. 1.62 Dieses Bändchen ist als einführendes Werk gedacht, es beschäftigt sich infolgedessen nur mit der niederen Arithmetik; einige weit er führ ende Dinge werden wenigstens gestreift. Sechs Abschnitte, Zählen und Zahlen (I), Bereich der natürlichen (II), ganzen (III), rationalen (IV), reellen (V), komplexen (VI) Zahlen, und ein Anhang über einfache arithmetische und geometrische Reihen, Zinseszins- und Rentenrechnung, Kombinatorik und den binomischen Lehrsatz stellen den äußeren Rahmen dar.

Elementare Algebra vom höheren Standpunkt. Von Dr. Wolfgang Krull, o. Professor an der Universität Bonn. Mit 6 Zeichnungen. 1939. (Sammlung Göschen Bd. 930.)....

Höhere Algebra. Von Dr. Helmut Hasse, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Göttingen.

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(Samml. Göschen Bd. 931) . .

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Aufgabensammlung zur höheren Algebra. Von Dr. Helmut Hasse, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Göttingen. 160 Seiten.

1934. (Sammlung Göschen Bd. 1082)

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Einführung in die Zahlentheorie. Von Dr. Arnold Scholz, Dozent der Mathematik an der Universität Kiel. 136 Seiten. 1939. (Sammlung Göschen Band 1131)

Gruppentheorie. Von Dr. Ludwig Baumgartner in München. Mit 8 Figuren.

120 Seiten. 1921. (Samml. Göschen Bd. 837) . .

. . Geb. RM. 1.62

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Determinanten. Von Studienrat Professor Paul B. Fischer. Dritte, verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 136 Seiten. 1932. (Samml Göschen Bd. 402)

Differentialrechnung. Von Prof. Dr. A. Wlttlng, Oberstudienrat i. R. ln Dresden. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 94 Figuren und 189 Beispielen. 191 Seiten. 1936. (Samml. Göschen Bd. 87) . . Geb. RM. 1.62

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Integralrechnung. Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat i. R. in Dresden. Mit 63 Figuren und 190 Beispielen. 176 Seiten. 1933. (Samml Göschen Bd. 88) . .

Von

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung.

Professor Dr. A. Witting. Mit 58 Figuren und 405 Beispielen und Auf gaben. 136 Seiten. 1935. (Samml. Göschen Bd. 146)    . Geb. RM. 1.62

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung. Von Prof. Dr. A. Witting. Mit 32 Figuren und 305 Beispielen. 118 Seiten. 1934.

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Elementare Reihenlehre. Von Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 4 Figuren im Text. 136 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 943)

Komplexe Reihen nebst Aufgaben Uber reelle und komplexe Reihen. Von

Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 3 Figuren im Text. 140 Seiten. 1931. (Samml. Göschen Bd. 1027) . Geb. RM. 1.62

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. Dritte, neubearbeitete Auflage. 126 Seiten. 1938. (Samml. Göschen Bd. 920)

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. . Geb. RM. 1.62

Partielle Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. 159 Seiten. 1928. (Samml. Göschen Bd. 1003) . . .

Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Von Professor Dr. G. Hoheisel. 148 Seiten. 1933. (Sammlung Göschen Bd. 1059)..............Geb. RM. 1.62

Integralgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. 136 Seiten. 1936. (Samml Göschen Bd. 1099) . . .

Variationsrechnung I. Von Dr. Lothar Koschmieder, o. Professor an der Deutschen Technischen Hochschule in Brünn. Mit 21 Fig. 128 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1074)    . .

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Elemente der Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, o. Prof, an der Universität Tübingen. Mit 23 Fig. 144 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 1109.)

Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, o. Professor an der Universität Tübingen.

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Erster Teil : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. Mit 8 Figuren. Fünfte, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 668)

Zweiter Teil: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. Mit 7 Figuren. Vierte, verbesserte Auflage. 138 Seiten. 1931. (Samml.

Göschen Bd. 703)    . .

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Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, o. Professor an der Universität Tübingen.

Erster Teil: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. Zweite, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1931. (Samml. Göschen Bd. 877)

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Zweiter Teil: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie. 143 Seiten. 1928. (Samml. Göschen Bd. 878).............Geb. RM. 1.62

Einführung in die konforme Abbildung. Von Dr. Ludwig Bieberbach, o. ö. Professor an der Universität Berlin. Dritte Auflage. Mit 42 Zeichnungen. 136 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 768). Geb. RM. 1.62

Ebene und sphärische Trigonometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Mit 59 Figuren. Vierte Auflage. 171 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 99)...................Geb. RM. 1.62

Analytische Geometrie der Ebene. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Zweite, verb. Auflage. Mit 60 Figuren. 164 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 65)...........Geb. RM. 1.62

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Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene mit den vollständigen Lösungen. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 22 Figuren im Text. 139 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 256)

Analytische Geometrie des Raumes. Von Dr. Robert Haußner o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 36 Figuren im Text. 132 Seiten.

1935. (Samml. Göschen Bd. 89)

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Koordinatensysteme. Von Professor Paul B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 128 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 507) . . . Geb. RM. 1.62

Nichteuklidische Geometrie. Von Professor Dr. Richard Baldus. Mit 71 Figuren. 152 Seiten. 1927. (Samml. Göschen Bd. 970)    . . Geb. RM. 1.62

Algebraische Kurven. Neue Bearbeitung von Prof. Dr. H. Wieleitner.

Erster Teil: Gestaltliche Verhältnisse. Mit 97 Figuren. Durchgesehener Neudruck. 146 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 435) Geb. RM. 1.62 Zweiter Teil: Allgemeine Eigenschaften. Mit 35 Figuren. Neudruck. 123 Seiten. Neudruck 1939. (Samml. Göschen Bd. 436). Geb. RM. 1.62

Projektive Geometrie. Von Professor Dr. Karl Doehlemann. Neue einbändige Ausgabe von Dr. H. Timerding, Prof, an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit 37 Figuren. 131 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 72)...................Geb. KM. 1.62

Aufgabensammlung zur projektiven Geometrie. Von Dr. H. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit 65 Figuren. 140 Seiten. 1933. (Sammlung Göschen Bd. 1060). . . . Geb. HM. 1.62

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Differentialgeometrie I: Raumkurven und Anfänge der Flächentheorie. Von Dr. Rudolf Rothe, o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin. Mit 32 Abbildungen. 132 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 1113)

Vektoranalysis. Von Dr. Siegfried Valentiner, Professor für Physik an der Bergakademie Clausthal. Mit 16 Figuren. Fünfte, erneut durchges. Auflage. 136 Seiten. 1938. (Samml. Göschen Bd. 354) . Geb. RM. 1.62

Darstellende Geometrie. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena.

Erster Teil: Elemente; Ebenflächige Gebilde. Vierte, verbesserte Auflage. Mit 110 Figuren im Text. 207 Seiten. 1930. (Samml. Göschen

Bd. 142)

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Zweiter Teil: Perspektive ebener Gebilde; Kegelschnitte. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 88 Figuren im Text. 168 Seiten.

1930. (Samml. Göschen Bd. 143)

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Dritter Teil: Zylinder, Kegel, Kugel, Rotations- und Schraubenflächen, Schattenkonstruktionen, Axonometrie. Von Dr. Robert Haußner, o.ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. Wolf gang Haack, Dozent für Mathematik an der Technischen Hochschule Danzig-Langfuhr. Mit 65 Figuren im Text. 141 Seiten. 1931. (Sammlung Göschen Bd. 144)

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Vierter Teil: Freie und gebundene Perspektive, Photogrammetrie, kotierte Projektion. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. Wolfgang Haack, Dozent für Mathematik an der Techn. Hochschule Danzig-Langfuhr. Mit 76 Figuren im Text. 144 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1063). Geb. RM. 1.62

Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von Professor Dr. Otto Knopf.1.112 Seiten. 1923. 11. Mit 10 Figuren. 112 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 508

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Ausgieichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Vod

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Der erste Band behandelt den Zins als erste, die Sterbetafel als zweite Rechnungsgrundlage, die Prämienreserve und die Versicherung verbundener Leben Der zweite Band enthält außer einer eingehenden Behandlung der Lebensver Sicherungsmathematik eine Einführung in die technischen Grundlagen der Sozial Versicherung.

Politische Arithmetik. (Zinseszinsen-, Renten- und Anleiherechnung.) Von Dr. Emil Foerster, Honorardozent an der Technischen Hochschule in Wien. Mit 7 Figuren. 155 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 879)

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Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik. Von Professor Dr. M. Piran i. Zweite, verbesserte Auflage, besorgt durch Dr. J. Runge. Mit 71 Abbildungen. 149 Seit. 1931. (Samml. Göschen Bd. 728) Geb. RM. 1.62 Von der einlachen Darstellung von Größen mit unbekanntem Zusammenhang in Form von Kurven oder Skalen ausgehend, geht der Verfasser zur Darstellung von Größen bekannter Abhängigkeit (Funktionsskalen, insbesondere lo gar ithmische projektive Teilung) über und bespricht dann die Aufstellung von Rechentafeln namentlich mit der Methode der fluchtrechten Punkte oder mit Hilfe mehrerer gekreuzter Linien.

Numerische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 2 Figuren.

116 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 864)

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Graphische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 63 Figuren. 142 Seiten. 1920. (Samml. Göschen Bd. 801)

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Praktisches Zahlenrechnen. Von Professor Dr.-Ing. P. Werkmeister. Mit 60 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 405). . .

Mathematische Instrumente. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 68 Figuren. 144 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 922) . . Geb. RM. 1.62

Geodäsie (Landesvermessung u. Erdmessung). Von Prof. Dr.Gustav Förster. Mit 33 Figuren. 122 Seiten. 1927. (Samml.Göschen Bd.102) Geb. RM. 1.62

Vermessungskunde. Von Professor Dr.-Ing. P. Werkmeister.

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162 Seiten. 1938. (Samml. Göschen Bd. 468) . . . Geb. RM. 1.62 II: Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 93 Figuren. Vierte Auflage. 147 Seiten. 1939. (Samml. Göschen Bd. 469) . . . Geb. RM. 1.62 III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Topographie. Mit 63 Figuren. Dritte Auflage. 144 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 862)

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Statik. I. Teil: Die Grundlagen der Statik starrer Körper. Von Professor Dr.-Ing. Ferd. Schleicher in Berlin. Mit 47 Abbildungen. 143 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 178)

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b) WEITERE LITERATUR

Band 167 Band 169RM. 35—,Band 170RM. 35.

Journal für die reine und angewandte Mathematik. Gegründet von A. L. Crelle 1826. Herausgegeben von Helmut Hasse. Band 1 —140 Preise auf Anfrage, Band 141—144 je RM. 16.—, Band 145—147 je RM. 12.—, Band 148—151 je RM. 10.—, Band 152 RM. 12.—, Band 153 RM. 17.50, Band 154 RM. 30.—, Band 155 u. 156 je RM. 36.—, Band 157 u. 158 (Jubiläumsband I/II), Band 159—166 je KM. 36.

RM. 56—, Band 168 RM. 36.

Band 171—180 je RM. 30.

Das von A. L. Crelle gegründete Journal für die reine und angewandte Mathe matik¹¹ darf auf eine über hundertjährige ruhmvolle Vergangenheit zurückblicken Seit seiner Gründung im Jahre 1826 wurde es der Sammelplatz für die Arbeiten der großen Männer, welche seit dieser Zeit der Mathematik einen neuen Aufschwung gaben.

Jahrbuch Uber die Fortschritte der Mathematik. Herausgegeben ab Band 51 von der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Schriftleitung: Helmut Grunsky. Jeder der neueren Jahrgänge umfaßt 8—9 Hefte à 10 Druckbogen. Preis jedes Heftes RM. 18.—. Die Preise der früheren Jahrgänge werden auf Wunsch mitgeteilt.

Das „Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik" bringt eingehende Besprechungen sämtlicher periodischen und nichtperiodischen Neuerscheinungen auf dem Gebiete der Mathematik und ihrer wichtigsten Anwendungen. Auch die Geschichte und die Grundlagen der Mathematik finden sorgfältige Berücksichtigung.

Das Jahrbuch kann ab Band 51 (1925) nicht nur als Ganzes, sondern auch in einzelnen Sonderheften bezogen werden. Jedes Sonderheft umfaßt einen oder zwei der Hauptabschnitte des Jahrbuchs. Es erscheinen folgende Sonderhefte: I. Geschichte. Grundlagen der Mathematik Abstrakte Mengenlehre. II. Arithmetik und Algebra. III. Analysis. IV. Geometrie. V. Angewandte Mathematik. — Preise auf Anfrage.

Geschichte der Mathematik. I. Teil: Von den ältesten Zeiten bis Cartesius. Von Professor Dr. S. Günther in München. Mit 56 Figuren. VIII, 428 Seiten. Neudruck 1927. (Samml. Schubert Bd. 18) . Geb. RM. 17.40 II. Teil: Von Cartesius bis zur Wende des 18. Jahrhunderts. Von Prof. Dr. Heinrich Wieleitner. 1. Hälfte: Arithmetik, Algebra, Analysis. Mit 6 Figuren. VIII, 251 Seiten. 1911. (Samml. Schubert, Bd. 63.) Geb. RM. 8.40. 2. Hälfte: Geometrie und Trigonometrie. Mit 13 Figuren. VI, 220 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd.64) .... Geb. RM. 3.50

Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung. Von

Professor Dr. Johannes Tropfte, Oberstudiendirektor i. R., Berlin. Lexikon-Oktav.

Band 1: Rechnen. VII, 222 Seiten. 3. Aufl., 1930.

RM. 12.—, geb. RM. 13.20

Band 2: Allgemeine Arithmetik. IV, 266 Seiten. 3. Aufl., 1933.

RM. 12.

geb. RM. 13.20

Band 3: Proportionen, Gleichungen. IV, 239 Seiten. 3., verbesserte u.

vermehrte Aufl., 1937 ......RM. 10.—, geb. RM. 11.—

Band 4: Ebene Geometrie. IV, 240 Seiten. 2. Aufl., 1922.

RM. 9.—, geb. RM. 10.— Band 5: I. Ebene Trigonometrie. II. Sphärik und sphärische Trigonometrie. IV, 185 Seiten. 2. Aufl., 1923. RM. 7.50, geb. RM. 8.50 Band 6: Analysis, Analytische Geometrie. IV, 169 Seiten. 2. Aufl., 1924.

RM. 7.—, geb. RM. 8.—

Band 7: Stereometrie. Verzeichnisse. V, 128 Seiten. 2. Aufl., 1924.

RM. 6.50, geb. RM. 7.50

. . RM. 0.80

Mathematische Forschung in den letzten 20 Jahren. Rede, gehalten am 31. Januar 1921 vor der Mathematischen Gesellschaft Benares von deren Vorsitzendem Ganesh Prasad. Aus dem Englischen übersetzt von Dr. Friedrich Lange. Groß-Oktav. 37 Seiten. 1923 .... RM. 0.80 Dasselbe in englischer Sprache. 1923 . . .

Neu« Rechentafeln. Für Multiplikation und Division mit allen ein- bis vierstelligen Zahlen. Herausgegeben von Professor Dr. J. Peters. Observator am Astronomischen Recheninstitut. Folio-Format. VI, 500 Seiten.

1909    ......................Geb. KM 20.—

Geb. Je RM. 20.—

Diese Rechentafeln von Peters sind ebenfalls in französischer wie englischer Ausgabe zu haben

Dr. A. L. Creiles Rechentafeln, welche alles Multiplizieren und Dividieren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei größeren Zahlen aber die Rechnung erleichtern und sicherer machen. Neue Ausgabe. Besorgt von O. Seeliger. Mit Tafeln der Quadrat- und Kubikzahlen von 1—1000.

VII, 501 Seiten. Folio. 1938.

Geb. RM. 22

Geb. je RM 22 —

Diese Rechentafeln von Crelle liegen auch in englischer und französischer Ausgabe vor.

Rechen-Resultate. Tabellen zum Ablesen der Resultate von Multiplikationen und Divisionen bis 100 x 1000 = 100 000 in Bruchteilen und ganzen Zahlen sowie für Rechnen mit Zahlen jeder Größe, Radizieren (Wurzelsuchen) nach vereinfachtem Verfahren. Von F. Triebei, Technischem Oberinspektor der Reichsdruckerei i. R. Sechste Auflage, 21.—25. Tausend. Mit Seitenregistern. 290 Seiten. (Verlag von M. Krayn,Berlin).

Geb. RM 18 —

Fünfstellige Logarithmentafeln der trigonometrischen Funktionen für jede Zeitsekunde des Quadranten. Herausgegeben von Prof. Dr. J. Peters, Observator am Astronomischen Recheninstitut. Lexikon-Oktav. IV, 82 Seiten. 1912.................Geb. RM. 7.—

Vollständige logarlthmischo und trigonometrische Tafeln. Von Professor Dr. E. F. August. Neunundvierzigste Auflage in der Bearbeitung von Professor Dr. F. August. Oktav. VII, 204 Seiten. 1931 Geb. RM. 2.—

Vierstellige Logarithmentafeln. Von Professor Dr. Max Zacharias und Dr. Paul Meth. Groß-Oktav. 43 Seiten. 1927

Logarithmische Rechentafeln für Chemiker, Pharmazeuten, Mediziner un. Physiker. Gegründet von Professor Dr. F. W. Küster f. Für den Gebrauch im Unterrichtslaboratorium und in der Praxis berechnet und mit Erläuterungen versehen. Nach dem gegenwärtigen Stande der Forschung bearbeitet von Dr. A. Thiel, o. ö. Professor der physikalischen Chemie, Direktor des Physik.-Chem. Instituts der Universität Marburg Einundvierzigste bis fünfundvierzigste Auflage. Oktav. 216 Seiten

1935

Geb. EM. Ö.St

Fünfstellige Tafeln der Kreis- und Hyperbelfunktionen sowie der Funktioner

«x und e—x mit den natürlichen Zahlen als Argument. Von Dr.-Ing Keiichi Hayashi, Professor an der Kaiserlichen Kyushu-Universitä Fukuoka-Hakosaki, Japan. Oktav. IV, 182 Seiten. Neudruck 1938

RM. 9.—

Der bekannte japanische Verfasser hat aus der Notwendigkeit, die Wert, beider Funktionsarten gleichzeitig zur Verfügung zu haben, Tafeln berechnet, in denen nicht nur die Hyperbelfunktionen, sondern auch die Kreisfunktionen mi verschieden großen Abstufungen, auf fünf Dezimalstellen angewendet sind. Dit Anordnung dieser Tafeln ist äußerst praktisch, Druck und Papier sind ausge zeichnet, so daß die Benutzung sich bequem und einfach gestaltet. Für alle, di, zahlenmäßige Rechnungen mit den genannten Funktionen häufiger auszuführei haben, ist der Gebrauch der Tafeln als praktisch und zeitsparend zu empfehlen

Mathematische Mußestunden. Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunst stücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur. Von Prof Dr. Hermann Schubert.Fünfte Auflage, neu bearbeitet von Professo Dr. F. Fitting, München-Gladbach. Oktav. 260 Seiten. 1935. Geb. RM.4.8C Dieses bekannte hier in der 5. Auflage erscheinende Buch wendet sich in erster Linie an den mathematischen Laien, den es in leicht faßlicher und spannendet Form in das Wesen der verbreiteten mathematischen Spiele einführen will. Doch sind auch einzelne Abschnitte auf genommen, welche sich, oft durch kleineren Druck gekennzeichnet, hauptsächlich an den mathematisch interessierten Leser wenden und diesem Anregungen zu eigenen Untersuchungen auf dem Gebiete der Unterhaltungsmathematik geben wollen.

Lehrbuch der Mathematik für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik. Eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie. Von Professor Dr. Georg Scheffers. Mit 438 Fig. Siebente Aufl. Lex.-Okt. VIII, 743 S. 1938 Geb. RM. 15.— Dieses vor allem für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik geschriebene Lehrbuch ist in erster Linie für den Selbstunterricht bestimmt und geht daher von dem denkbar geringsten Maß von Vorkenntnissen aus: der Leser braucht nur im Buchstabenrechnen, in der Auflösung von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten und in der niederen Geometrie bewandert zu sein.

Lehrbuch der höheren Mathematik für Universitäten und Technische Hochschulen, bearbeitet nach den Vorlesungen von Dr. Gerhard Kowalewski o. Prof, an der Technischen Hochschule zu Dresden, o. Mitglied dei Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 3 Bände. 1933.

Geb. je RM. 3.80

Jeder Band ist einzeln käuflich........

I. Vektorrechnung und analytische Geometrie.

II. Hauptpunkte der analytischen Geometrie des Raumes. — Grund begriffe der Differential- und Integralrechnung.

III. Fortsetzung der Differential- und Integralrechnung. — Differential gleichungen. Differentialgeometrie. Funktionen einer komplexer Veränderlichen. — Probleme der Variationsrechnung.

„ . . . Klare und anschauliche Darstellung, mathematische Strenge, pädago gisches Geschick in der Verwertung der jeweils geeigneten Methoden (ich weise auf die durchgängige Verwendung der Vektorrechnung hin), Geschlossenheit in

dem Sinn, daß alle Hilfsmittel, die fût die Darstellung nötig sind, in dem Werk selbst bereitgestellt werden, Allgemeinheit der leitenden Gesichtspunkte und Weite des Blicks sowie Veranschaulichung der vorgetragenen Theorien durch geeignete Anwendungen zeichnen es aus.¹¹

Unterrichtsblätter für Mathematik, Nr. 5, 1935.

Geb. RM. 5 —

Grundbegriffe und Hauptsätze der höheren Mathematik, insbesondere für Ingenieure und Naturforscher. Von Dr. Gerhard Kowalewski, o. Professor an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 40 Figuren. Groß-Oktav. 156 Seiten. 1938 Dieses Buch will den jungen Ingenieuren und Naturforschem behilflich sein, die Grundbegriffe und Hauptsätze der höheren Mathematik klar zu erfassen. Es stützt sich auf eine fast 40-jährige Lehrerfahrung des Verfassers an Universitäten und Technischen Hochschulen. Angesichts der starken Zurückdrängung der Mathematik in den Lehrplänen unserer höheren Schulen ist es an den Hochschulen mehr denn je notwendig, mit allen Mitteln vereinfachender DafStellungskunst dafür zu sorgen, daß wenigstens die Grundkenntnisse der höheren Mathematik fest angeeignet werden, ohne die ein gedeihliches Studium def Technik und Naturwissenschaft undenkbar ist. Hierbei will dieses Buch mithelfen. Inhalt: Vektorrechnung und Determinantentheorie. — Lehre von den Grenzwerten. — Differential- und In tegralrechnung.

. . RM. 9.—, geb. RM. 10.50

Einführung in die Axiomatik der Algebra. Von Dr. H. Beck, u. Professor an der Universität Bonn. X, 197 Seiten. 1926. (Göschens Lehrbücherei Bd. 6)    . .

Das vorliegende Buch enthält im wesentlichen den Stoff einer an der Bonner Universität gehaltenen Anf ängervorlesung ; es erschöpft sich nicht in axiomatischen Dingen, sondern bringt darüber hinaus eine Reihe anderer Gebiete, die der Studierende braucht.

Algebra I: Die Grundlagen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 301 Seiten. 1932. (Göschens Lehrbücherei Bd. 8) Geb. RM. 11.50

Algebra II: Theorie der algebraischen Gleichungen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 5 Figuren. VIII, 261 S. 1933. (Göschens Lehrbücherei Bd. 9)

Geb. RM. 9.50

Band I enthält die Grundbegriffe, es folgt ein Kapitel über den polynomischen und den Taylorschen Satz und der für den Ingenieur wichtige Abschnitt übet Determinanten. Anschließend folgen Kapitel über symmetrische Funktionen Teilbarkeit und über die Existenz von Wurzeln. Band II ist der Gleichungstheorie gewidmet.

geb. RM. 15.50

. . RM. 14.

Einführung in die Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten. Von Dr. Gerhard Kowalewski, o. Professor an der Technischen Hochschule in Dresden. Zweite, verbesserte Auflage. Groß-Oktav. IV , 304 Seiten. 1925 . .

Grundlehren der neueren Zahleniheorie. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Dritte, neu durchgesehene Auflage. Herausgegeben von Dr. Robert Haußner, ord. Professor an der Universität Jena. Mit 10 Figuren. XVI, 252 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 3) RM. 9.50, geb. RM. 10.50

Synthetische Zahlentheorie. Von Dr. Rudolf Fueter, o. Professor an der Universität Zürich. Zweite, verbesserte Auflage. VIII, 27 6 Seiten. 1925. (Göschens Lehrbücherei Bd. 4) . . .

Das Fermatproblem In seiner bisherigen Entwicklung. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Oktav. VIII, 160 Seiten. 1919 .... RM. 2.50 In der vorliegenden Abhandlung gibt der Verfasser eine Übersicht von den B exe eisverfahr en und den Theorien, welche Euler, Legendre, Gauß, Dirichlet, Kummer und andere Forscher in ihren Studien über das allgemeine Fermat-problem angewandt und entwickelt haben.

Irrationalzahlen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität Zweite, durchges. Aufl. VIII, 199 Seiten. 1939. ( Oöschens

. . .Geb. RM. 9.80

Komplex-Symbolik, eine Einführung in die analytische Geometrie mehrdimensionaler Räume. Von Prof. Dr. Roland Weitzenböck. (Sammlung Schubert Band LVII.) Gr. 8° VI, 191 S. 1908. Geb. RM. 6.40

Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik. Von Dr. Josef Lense, o. ö. Professor der Technischen Hochschule München. Mit 30 Abbildun-

Geb. RM. 9.50

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, em. o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Dritte Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 195 Seiten. 1937. (Göschens Lehrbücherei Bd. 10). Geb. RM. 10.50

Partielle Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, em. o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, umgearbeitete Auflage. Mit 8 Figuren. VIII, 228 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 14)

RM. 11.

Grundzöge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten. Von Dr. H. Dölp. Neu bearbeitet von Dr. Eugen Netto, 18. Auflage. Oktav. 214 Seiten. 1935. (Verlag von Alfred Töpelmann, Berlin W 35.)

Das Bändchen stellt eine elementare Aufgabensammlung zur Differential- und Integralrechnung mit eingefügten Erläuterungen dar. Der erste Abschnitt, Differentialrechnung für Funktionen einer und mehrerer Veränderlichen, bringt die Differentiation der elementaren Funktionen, einschließlich implizite Funktionen, die Ermittlung der Werte unbestimmter Formen, Maxima und Minima, Taylor-Der zweite Abschnitt, Integralrechnung, führt das Integral als unbestimmtes ein, entwickelt die Integrationsformeln im Bereiche der elementaren Funktionen und geht dann kurz auf das bestimmte Integral ein. Schließlich werden noch verhältnismäßig ausführlich geometrische Anwendungen der Infinitesimalrechnung gebracht: Tangentenbestimmung, singuläre Punkte, Krümmung; Quadratur, Rektifikation, Kubatur.

Integralgleichungen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, o. Professor an der Technischen Hochschule Dresden. Mit 11 Figuren. Groß-Oktav. 302 Seiten.

geb. RM. 16.50

München.

Lehrbücherei Bd. 1) . .

gen. 178 Seiten. 1933

geb. RM. 12.—

RM. 1.95

sehe Reihe.

1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 18)    . . RM. 15.

Differential- und Integralrechnung. Unter besonderer Berücksichtigung neuerer Ergebnisse. Von Dr. Otto Haupt, Professor an der Universität Erlangen. Unter Mitarbeit von Dr. Georg Aumann, Professor an der Universität Frankfurt (Main). Groß-Oktav. 1938.

1. Band: Einführung in die reelle Analysis. Mit 2 Figuren. 196 Seiten.

Geb. RM. 11.20 . . Geb. RM. 9.80 . . Geb. RM. 10.60

2.    Band: Differentialrechnung. 168 Seiten . . .

3.    Band: Integralrechnung. 183 Seiten.....

(Göschens Lehrbücherei Band 24, 25, 26.)

Der erste Band bringt alles für das Verständnis der Differential- und Integralrechnung Erforderliche und damit zugleich eine Einführung in die wichtigsten Begriffsbildungen und Verfahren der reellen A \ialysis überhaupt. In Rücksicht auf den Anfänger, welcher noch keine weitgehenden Kenntnisse besitzt, werden die benötigten Hilfsmittel im Buche selbst entwickelt. Unbeschadet der Wahrung eines elementaren Standpunktes werden dabei auch

neuete, insbesondere fût die Anwendungen wichtige Betrachtungsweisen herangezogen. Im zweiten Bande erscheint die Integralrechnung lediglich als Umkehrung der Differentialrechnung, während sie im dritten Bande ausgehend von der Lehre vom Flächeninhalt entwickelt wird. Im Rahmen eines elementaren Standpunktes werden dabei auch neuere wichtige Ergebnisse dargestellt, die in einführenden Lehrbüchern bis jetzt noch nicht behandelt worden sind. Für das Verständnis des einzelnen Bandes ist lediglich das erforderlich, und dies nur gelegentlich, was in den vorausgehenden Bänden schon entwickelt wurde.

Funktionentheoretische Vorlesungen. Von Heinrich Burkhardt. Neu herausgegeben von Dr. Georg Faber, o. Professor an der Technischen Hochschule in München.

I. Band 1. Heft.    Dritte, umgearbeitete Auflage.    Groß-Oktav. X,

. . RM. 6.—, geb. RM. 7.20

182 Seiten. 1920 . .

I.    Band 2. Heft.    Fünfte, umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. X,

. . RM. 9.

geb. RM. 10.50

286 Seiten. 1921 . . .

II.    Band. Dritte, vollständig umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. VI,

444 Seiten. 1920 ............RM. 14.—. geb. RM. 15.50

. . RM. 13.—, geb. RM. 14.50

Elliptische Funktionen. Von Dr. R. König, o. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. M. Krafft, a. o. Professor an der Universität Marburg i. H. Mit 4 Figuren. 263 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 11)

Elliptische Funktionen. Von Dr. Karl Boehm, Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe.

I. Teil : Theorie der elliptischen Funktionen aus analytischen Ausdrücken entwickelt. Mit 11 Figuren. Oktav. XII, 356 Seiten, Neudruck 1930. (Samml. Schubert Bd. 30) . . Geb. RM. 20.— II. Teil: Theorie der elliptischen Integrale. Umkehrproblem. Mit 28 Figuren. Oktav. VII, 180 Seiten. 1910. (Samml. Schubert Bd. 61)

Geb. RM. 7.80

. . RM. 3.50, geb. RM. 4.—

Einführung in die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen. Von Heinrich W. E. Jung, o. ö. Professor an der Universität Halle-Wittenberg. Mit 35 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VI, 246 Seiten. 1923 . .

. . RM. 6.50, geb. RM. 7.80

Grundlagen der Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Herausgegeben von Dr. W. Schwan. Mit 77 Figuren. 143 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 17)    . .

Inhalt: I. Gleichheit, Ordnung und Stetigkeit. II. Die Messung durch Zahlen. (Streckenmessung, Winkelmessung, Flächenmessung.) III. Die projektive Geometrie in der Ebene. (Der Fundamentalsatz. Analyse des Fundamentalsatzes. Beweis des Fundamentalsatzes.) IV. Die projektive Geometrie im Raume. (Der Fundamentalsatz. Der Desarguessche Satz. Die Koordinatengeometrie.) V. Künstliche Geometrien.

Grundzüge der ebenen Geometrie. Von Professor Dr. F. Bohnert in Hamburg. Mit 220 Figuren. VIII, 223 Seiten. 1915. (Samml. Schubert Bd. 2)

Geb. RM. 3.90

. . Geb. RM. 4.40

Ebene und sphärische Trigonometrie. Von Prof. Dr. F. Bohnert in Hamburg. Zweite Auflage. Dritter Neudruck. Mit 63 Figuren. VIII, 167 Seiten. 1919. (Samml. Schubert Bd. 3) . .

Einführung in die analytische Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Kowalewski. Mit 112 Figuren. Dritte, unveränderte Auflage. Lexikon-

Oktav. VIII, 360 Seiten. 1929

Geb. RM. 11.20

Das aus Vorlesungen entstandene Buch ist namentlich zum Gebrauch für Studierende bestimmt.

Elementargecmetrie der Ebene und des Raumes. Von Professor Dr. Max Zacharias, Studienrat in Berlin. Mit 196 Figuren im Text. 252 Seiten 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 16) . . . KM. 13.—, geh. RM. 14.50 Die Elementar geometrie wird nicht vom Standpunkte des Schulunterrichts, sondern von dem der Wissenschaft aus behandelt. Ausgangspunkt ist das (etwas modifizierte) Hilbert sehe A xiomensystem. In der Darstellung treten zwei Mo mente in den Vordergrund: die geschichtliche Entwicklung und die prinzipiell i Begründung der einzelnen Gebiete.

Analytische Geometrie auf der Kugel. Von Dr. Richard Heger, Professor an der Technischen Hochschule in Dresden. Mit 4 Figuren. (Sammlung Schubert Bd. LIY.) Gr.-Oktav. VII, 152 S. 1908 . . . Geb. RM. 5.20

geb. RM. 13.—

Punkt- und Vektor-Rechnung. Von Dr. Alfred Lotze, Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule Stuttgart. Mit 7 Figuren. 192 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 13) . . . RM. 12.

Kreis und Kugel. Von Dr. Wilhelm Blaschke, o. Prof. a. d. Univ. Hamburg. Mit 27 Fig. im Text. Groß-Oktav. X, 169 S. 1916. RM. 4.40, geb. RM. 5.50

Liniengeometrie mit Anwendungen. Von Professor Dr. Konrad Zindler in Innsbruck. I. Teil. Mit 87 Figuren. Neudruck. VIII, 380 Seiten. 1928.

(Samml. Schubert Bd. 34) . .

II. Teil. Mit 24 Figuren. VII, 252 Seiten. 1906. (Samml. Schubert Bd. 51)

Geb. RM. 9.50

. . Geb. RM. 18.—

. . Geb. RM. 9.—

Projektive Liniengeometrie. Von Dr. Robert Sauer, Prof, an der Technischen Hochschule Aachen. Mit 36 Abbild. Groß-Oktav. 194 Seiten. 1937. (Göschens Lehrbücherei Bd. 23) . . .

Geometrische Transformationen. Von Dr. Karl Doehlemann, weil. Professor an der Technischen Hochschule München. Zweite Auflage, herausgegeben von Dr. Wilhelm Olbrich, Professor an der Hochschule für Bodenkultur in Wien. Mit 89 Figuren im Text und 4 Abbildungen. 254 Seiten. 1930. ( Göschens Lehrbücherei Bd. 15) RM. 13.—, geb. RM. 14.50

Vorlesungen über allgemeine natürliche Geometrie und Liesche Transformationsgruppen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, o. ö. Professor der reinen Mathematik an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 16 Figuren. Groß-Oktav. 280 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 19)

. . Geb. RM. 10.—

RM. 15.50 geb. RM. 17.— Affine Differentialgeometrie. Von Dr. Erich Salkowskl, o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin. Groß-Oktav. Mit 23 Figuren. 200 Seiten. 1934. (Göschens Lehrbücherei Bd. 22) ... .

Die vorliegende Darstellung ist aus Vorlesungen hervor ge gangen, die der Verfasser an den Technischen Hochschulen Hannover und Berlin gehalten hat. Das Ziel dieses neuen Bandes von Göschens Lehrbücher ei ist, den Anfänger, dem nur die Grundtatsachen der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie geläufig sein müssen, mit den BegriffstIdungen der Tensorrechnung vertraut zu machen, die für das Verständnis der neueren differential-geometrischen und mathematischphysikalischen Forschung unentbehrlich sind. Dabei wurde darauf Bedacht genommen, von den einfachsten, allgemein bekannten Tatsachen ausgehend und in dauernder Verbindung mit der geometrischen Anschauung den Formelapparat der Ricci-Rechnung allmählich so zu entwickeln, daß er dem Lernenden nicht als ein analytisches Kunststück entgegentritt, sondern sich als ein naturgemäßes Hilfsmittel der geometrischen Forschung aufbaut. Aus diesem Grunde wurde die Untersuchung auf die einfachsten Gegenstände beschränkt und grundsätzlich nur zweidimensionale analytische Gebilde betrachtet.

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie. Von

Professor Dr. Georg Scheffers. I. Mit 107 Fiauren. Dritte, verbesserte

Auflage. XII, 482 Seiten. 1923 ......RM. 18.—, geb. RM. 14.50

II. Mit 110 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. XI, 582 Seiten. 1922.

RM. 15.—, geb. RM. 16.50

Theorie der Raumkurven und krummen Flächen. Von Oberstudiendirektor Prof. Dr. V. Kommerell in Tübingen und Prof. Dr. K. Kommerell in Tübingen. I: Krümmung der Raumkurven und Flächen. Vierte Auflage. Mit 38 Figuren. 205 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 20)

Geb. RM. 10.—

II: Kurven auf Flächen. Spezielle Flächen. Theorie der Strahlensysteme. Vierte Auflage. Mit 22 Figuren. 194 Seiten. 1931. Geb. RM. 10.—

Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von Dr. Karl Rohn, Geh. Rat, weiland Professor an der Universität Leipzig, und Dr. Erwin Papperitz, Geh. Rat, Professor an der Bergakademie in Freiberg i. Sa. Drei Bände. Groß-Oktav. I. Orthogonalprojektion. Vielflache, Perspektivität ebener Figuren, Kurven, Zylinder, Kugel, Kegel, Rotations- und Schraubenflächen. Vierte, erweiterte Auflage. XX. 502 Selten. Mit 351 Figuren. Neudruck 1932..................Geb. RM 18.90

II.    Axonometrie, Perspektive, Beleuchtung. Vierte, umgearbeitete Auflage. VI. 194 Seiten. Mit 118 Figuren. Neudruck 1932. Geb. RM. 8.55

. . .Geb. RM. 12.—

III.    Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, Regel-, abwickelbare und andere Flächen. Flächenkrümmung. Vierte, unveränderte Auflage. X, 334 Seiten. Mit 157 Figuren. 1923 . .

Darstellende Geometrie. Von Theodor Schmid, o. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien. I. Teil: Eckige Körper, Kugel, Zylinder, Kegel, Plankurven und Raumkurven mit den zugehörigen Torsen im Normalriß verfahren und in orthogonaler Axonometrie. Dritte Auflage. Mit 170 Figuren. 283 S. 1922. (Samml. Schubert Bd. 65) Geb. RM. 6.— II. Teil: Schiefe und zentrale Projektion. Dreh-, Rohr-, Schrauben- und Regelflächen. Geländedarstellung, Kartenprojektion, Nomographie. Zweite Auflage. Mit 163Fig. 340S. 1923.(Samml. Schubert Bd. 66) Geb.RM. 7.50

RM. 3 —

Die Lehre von der Zentralprojektion im vierdimensionalen Raume. Von Dr. H. de Vries, Professor an der Universität zu Amsterdam. Mit 25 Figuren. Lex.-8® 178 S. 1905

Angewandte Potentialthcorie in elementarer Behandlung. !. Bd. Von Professor E. Grimsehl. Mit 74 Fig. [Sammlung Schubert Bd. XXXVIII.]

Gr. 8° VII, 219 S. 1905

Geb. RM 7.40

Methoden der praktischen Analysis. Von Professor Dr. Fr. A. Widers. Mit 132 Figuren. 344 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 12)

geb. RM. 21.50

RM. 20.

Der Band gibt dem Mathematiker einen Einblick in die Anwendungsmöglichkeiten der Methoden und macht den Naturwissenschaftler und Ingenieur mit den theoretischen Grundlagen bekannt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung für Nichtmathematiker. Von Dr. Karl Dörge, o. Professor an der Universität Köln, unter Mitwirkung von Hans Klein.

Groß-Oktav. 113 Seiten. 1939 . .

. . Geb. RM. 6.—

Ballistik. Von Professor Dr. Theodor Vahlen. Mit 53 Abbildungen. Groß-Oktav. XII, 231 Seiten. 1922 ......RM. 9.— , geb. RM. 10.—

Flugtechnisches Handbuch. Unter Mitarbeit zahlreicher Fachleute herausgegeben von Roland Eisenlohr.

4 Bände. I: Aerodynamik und Flugzeugbau. II: Flugzeugführung, Luftverkehr und Segelflug. III: Triebwerk und Sondergebiete des Flugwesens. IV: Flugwetterkunde, Ballone, Luftschiffe.

Jeder Band kart. RM. 7.50

. . RM. 15.—, geb. RM. 16.50

Aerodynamik des Fluges. Eine Einführung in die mathematische Tragflächentheorie. Von Professor Dr. Harry Schmidt. Mit 81 Figuren. VII, 258 Seiten. 1929 . . .

ALLE WISSENSGEBIETE

finden Sie vertreten in der Zeitschrift

GEISTIGE ARBEIT

Zeitung aus der wissenschaftlichen Welt

Die „Geistige Arbeit“ will nicht eine „Fachzeitschrift“ sein, sondern einen Querschnitt geben durch das wissenschaftliche und geistige Leben. Zu diesem Zweck bringt die Zeitschrift u. a. regelmäßige Berichte über Leistungen, Fortschritte und Probleme einzelner Gebiete der Wissenschaft, über die historische Entwicklung, den Stand und die Organisation in- und ausländischer Forschung, sie bringt biographische und historische Rückblicke und gibt eine Übersicht über die wichtigsten Neuerscheinungen durch zusammenhängende Besprechungen.

Die „Geistige Arbeit“ kostet jährlich RM. 6.—, vierteljährlich RM. 1.50, monatlich RM.—.50. Besser als alle Worte unterrichtet Sie eine Probenummer über Sinn und Ziele der Zeitschrift. Diese Probenummer stellen wir Ihnen auf Wunsch gern zur Verfügung.

WALTER DE GRUYTER & CO / BERLIN W 35

MINERVA

JAHRBUCH DER GELEHRTEN WELT

Herausgegeben von Dr. GERHARD LÜDTKE 33. Jahrgang

Abteilung:

Universitäten und Fachhochschulen

Band i: Europa

Oktav. 1330 Seiten. 1938. Gebunden RM. 42.—

Band ii: Die außereuropäischen Hochschulen

Oktav. 1029 Seiten. 1938. Gebunden RM. 38.— 32.Jahrgang

Abteilung:

Forschungsinstitute, Observatorien, Bibliotheken, Archive, Museen, Kommissionen, Gesellschaften

Oktav. 1765 Seiten. 1937. Gebunden RM. 58.—

Weltkalender der Gelehrten

Herausgegeben von Dr. GERHARD LÜDTKE Redaktionelle Leitung Dr. FRIEDRICH RICHTER

Oktav. VIII. 1481 Seiten. 1936. Gebunden RM.45.—

WALTER DE GRUYTER & CO. / BERLIN W 35

Handbuch der neuzeitlichen Wehrwissenschaften

Herausgegeben im Aufträge der Deutschen Gesellschaft für Wehrpolitik und Wehrwissenschaften und unter Mitarbeit zahlreicher Sachverständiger von HERMANN FRANKE, Generalmajor a. D.

4 Bände. Lexikon-Oktav.

Bisher sind erschienen:

1. B a n d : Wehrpolitik und Kriegführung. Mit 81 farbigen und schwarzen Tafeln und 147 Skizzen im Text. XIII, 749 Seiten. 1936.

2. Band: Das Heer. XII, 804 Seiten. 1937.

Subskriptionspreis für Band 1 und 2 bei Bezug des Gesamtwerkes gebunden je RM. 32.—, bei Einzelbezug gebunden je RM. 36.—.

3. Band: l.Teil: Die Kriegsmarine. Mit 27 farbigen und schwarzen Tafeln und 113 Abbildungen bzw. Skizzen im Text. XII, 451 Seiten. 1938.

2. Teil: Die Luftwaffe. Mit 46 farbigen und schwarzen Tafeln und 105 Abbildungen bzw. Skizzen im Text. XII, 451 Seiten. 1938.

Subskriptionspreis für Band 3, 1. und 2. Teil bei Bezug des Gesamtwerkes geb. je RM. 27.—, bei Einzelbezug geb. je RM. 30.—.

In Vorbereitung befindet sich:

Band 4: Wehrwirtschaft und Wehr technik.

.. Insgesamt kann man von diesem ausgezeichneten, mit ungewöhnlichem Fleiß und Verständnis aufgebauten Nachschlagewerk, das alle Fragen der Wehrpolitik und Kriegführung beantwortet, nur wünschen, daß es die allerweiteste Verbreitung finden möge. Dankenswerterweise hat der Verlag eine ratenweise Bezahlung zugebilligt, so daß auch der junge Offizier und jeder kriegswissenscbaft-lich interessierte Leser sich das Werk beschaffen kann. Es ist dabei zu bemerken, daß der Band bei der Fülle des Inhalts, insbesondere in Ansehung der vielen kostspieligen Skizzen, als preiswert zu bezeichnen ist, da das Werk die Beschaffung vieler Bücher erübrigt.“ General d. Inf. Wetzeil im Militär-Wochenblatt Nr. 37, 1936.

Das Werk wird durch Ergänzungs-hefte vor dem Veralten geschützt.

WALTER DE GRUYTER & CO., BERLIN W35

IV. 39.

Buchdruckerei Otto Regel GmbH., Leipzig

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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