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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

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Theoretische Physik

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von

Dr. Gustav Jäger

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prof Dr. ъ. SîPOboba.

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mit H deytFàrtcben unö Diagrammen nnb einer Karteber 2tlpeneinteilunq Don ptofeffor Dr. <ÿrdU3 Betbert#

63 £änberfunbe ber auf;er=

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oon Sdjulbireftor K. Sepfert.

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oon Dr. ttritb fernerer.

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Dr. ffiricb Sernefer.

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non Dr. £пф Berneter.

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fi eilige, oon prof. Dr. Hermann §фи*. btrt. Jn 3t»eifarb Drucf.

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prof. Dr m Dotfcb.

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fenfd?ûfî oon prof. Dr. dmund Sarbp.

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fepiepte oon prof. Dr. bar! IDetfer.

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gefehlte oon Prof. Dr. Aiireb ©ertfe.

71    Æbernie, Allgemeine и.

рЬрйГаШфе, oon Dr. Шаг Hudolpbi.

72projeftme ©eometrie

oon Dr. Sari Doeplematm. mit 57 3um Cell 3toelfarbtgen Figuren.

oon Dr. 1Шфае1 fcaberlandt. ГПН

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ZlUUlir $фи1зе. ШИ 56 Abbildgn. I

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pon prof. Dr. K. Sternfeld

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Stenogiapbie (Sifflent Sto^Scbref) oon Dr Âmfel.

73Pôlferftmbe

56 Abbildungen.

74 Sie Banfimft 5. Abend=

laude* oon Dr. &. бфа^ег. mit 22 Abbildungen.

87    Ъ obere AnalpfteliDift; (егепИаНефпипд. D,„

Dr. 5г!>г. 3mUv. mit 63 51g.

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oon (Earl Rautpmann. mit 3 Beilagen und 59 Abbildungen.

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med?anif und AfufHf. Don Prof. Dr. ©uftap Jäger, mit Dtelen Abbildgn.

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Cidjt und IDdrme. Don prof. Dr. ф uftat) Jäger, mit otelen Abbildgn.

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(Eleftridtät und magnettsmus. Don prof. Dr. ©uftap Jäger, mitoielen Abbildgn.

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jSrdr Jnnf'T. ШИ 85 5iąu-en.

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Jabrbunbert. Aulturbijî. (Erlóuterunaen 3. ntbelungenlłed и. зиг Audrun. Dor

prof. Dr. Jul. Dieffenbaeber. m: otelen Abbildgn.

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oon Sari d)tto Start* maun, mit 3at)Ir. Ab*

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95 Paläontologie, d" §2»

94 photographie.

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von

Nr. 41.

Nr. 47.

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Nr. 81.

Sammlung Göschen

Theoretische Physik

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Mechanik und Akustik

von

Dr. Gustav Jäger

Professor der Physik an der Universität Wien

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Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung

1898

№ 5-5COÎ3)

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Das Recht der Uebersetzung Vorbehalten.

biblioteka mnftiiiMll

KRAKÓW

Àkc. Nr.

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Druck und Einband von Carl Rem hold & Co. in Heilbronn.

Vorwort

Inhalt.

Seite

Mechanik eines Massenpunkts.

§ 1. Grundbegriffe — Bewegung — Bahn — Weg § 2. Geschwindigkeit — gleichförmige und ungleichförmige

Bewegung ...........

§ 3. Beschleunigung — gleichförmig beschleunigte Bewegung 12 § 4. Komponenten der Geschwindigkeit und Beschleunigung — resultierende Geschwindigkeit und Beschleunigung § 5. Parallelogramm der Geschwindigkeiten und der Beschleunigungen ............

§ 6. Beharrungsvermögen — Kraft — Massenpunkt — Kräfteparallelogramm ..........

§ 7. Wurfbewegung — freier Fall.......

§ 8. Krummlinige Bewegung — Centripetalbeschleunigung —

Fliehkraft...........

§ 9. Das Pendel — schwingende Bewegung .

§ 10. Pendel im widerstehenden Mittel — gedämpfte Schwingung

— logarithmisches Decrement . ......

§ 11. Bewegungsgrösse — Zeitintegral der Kraft ....

§ 12. Stoss unelastischer und elastischer Kugeln .

§ 13. Arbeit — Wegintegral der Kraft — kinetische Energie .    28

§ 14. Kraftfunktion — Potential — Gesetz der Erhaltung der Energie

11

11

13

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16

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25

26

a» «oo a» ooo «о»

I—I    h* Ь- !-»■

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Fallbewegung auf willkürlicher Bahn . Kepplers Gesetze — Gravitationsgesetz Prinzip der virtuellen Verschiebungen .

Prinzip von d’Alembert.....

Lagrange’s Folgerungen.....

Mechanik starrer Körper.

Seite

32

32

38

41

42

«ОЭСОО    coo    ooo ooo ten un coo coo    а»    aoocoooeecooccocoococa»«»«»

pg    ÎS    g g g g P 2    g    gppggggpgg

Punktsystem...........

Schwerpunkt — Massenmittelpunkt.....

Schwerpunkt einer Linie........

Schwerpunkt einer Fläche.......

Schwerpunkt eines Körpers.......

Kräfte, welche nicht im Schwerpunkt eines starren Körpers

angreifen...........

Steiners Satz ..........

Physisches Pendel — reduzierte Pendellänge

Reversionspendel..........

Trägheitsmoment eines Parallelepipeds    ....

Trägheitsmoment einer Kugel.......

Trägheitsmoment um eine beliebige Achse — Trägheits-

ellipsoid...........

Bewegung eines festen Körpers um einen festen Punkt —

Euler’sche Gleichungen........

Freie Achse...........

Kreiselbewegung. — Präcession — Nutation .

44

44

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62

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67

69

Mechanik nicht starrer Punktsysteme.

75

§ 43. . Gleichungen für die relative Bewegung eines Körpers auf

der Erdoberfläche.........

§ 44. Fall und Wurf mit Berücksichtigung der Erddrehung g 45. Horizontaibewegung mit Berücksichtigung der Erddrehurig 85 § 46. Foucaults Pendelversuch

76

77

80

83

Seite

Hydromechanik.

cosies«»«» ot/saooaoocûoaoncosooooooamcosc/xiaoo соосоэ

S S S ï S g S S g g £ S 82 § P S5

Hydrostatische Grundgleichungen......

Abhängigkeit des Drucks von der Schwere in tropfbaren Flüssigkeiten — Hydrostatisches Paradoxon Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Flüssigkeit

Barometrische Höhenformel......

Kapillaritätskonstanten.......

Erste Hauptgleichung der Kapillarität «... Zweite Hauptgleichung der Kapillarität Steighöhe in Röhren und zwischen Platten .

Blasen und Tropfen........

Kapillarröhren.........

Hydrodynamische Grundgleichungen .... Ausflussgeschwindigkeit einer tropfbaren Flüssigkeit

Ausflussgeschwindigkeit der Gase.....

Transformation der Euler’schen hyrodynamischen Grund

gleichungen..........

Wirbelbewegung.........

Stationäre Bewegung einer idealen Flüssigkeit .

Wasserwellen.........

Innere Reibung — Ausfluss aus ehgen Röhren .

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91

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10 i

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119

Akustik.

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et» aoscoooOOceocooüOscoscoscoscosooocODeoîoODCOO«»

Gegenstand der Akustik — Wellenbewegung — schwingende

Bewegung .........

Gleichungen für die Schallbewegung in der Luft

Punktförmige Schallquelle.....

Geradlinige Fortpflanzung des Schalls .

Planwellen........

Reflexion des Schalls......

Brechung des Schalls......

Dopplers Prinzip......

Interferenz der Schallwellen .... Schwebungen — Differenztöne ....

Einfach schwingende Bewegung Einfluss eines widerstehenden Mittels

Resonanz........

Bewegungsgleichung schwingender Saiten .

Lösung von d’Alembert.....

Unendlich lange Saite.....

Einseitig begrenzte Saite.....

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.    123

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.    14L

142

Seite

145

14G

147

§ 82. Schwingungsdauer einer in zwei Punkten befestigten Saite 144 § 83. Bernoullis Lösung § 84. Grundton und Obertöne § 85. Klänge ....

. 150

§ 86. Gleichungen für die Longitudinalschwingungen in Stäben 148 § 87. Töne eines an beiden Enden freien Stabs .

. 152

§ 88. Töne eines an einem Ende befestigten Stabs

152

§ 89. Offene Pfeifen.......

§ 90. Gedeckte Pfeifen.......

[Lehrbücher der Mechanik und Akustik].

Vorwort.

In dem vorliegenden, drei Bändchen umfassenden kleinen Werk ist der Versuch gemacht, die Grundzüge der theoretischen Physik mit Hilfe der höheren Analysis darzustellen. Es wurde damit der Zweck verfolgt, allen jenen, welche dereinst Gelegenheit hatten, Physik zu hören und in ihrem Beruf an zu wenden, für geringe Kosten ein leicht verständliches Nachschlagebuch der theoretischen Physik zu bieten, wobei in erster Linie an die Bedürfnisse der Techniker in den verschiedensten Berufen gedacht wurde. Ferner wendet sich das Werk-chen an alle jene, welche in ihrer rein wissenschaftlichen Thätigkeit der Physik als Nebenwissenschaft nicht entbehren können. Es dürfte daher Physiologen, Chemikern, Geologen, Meteorologen, Geographen u. s. w. willkommen sein. Schliesslich soll es den Studierenden der Physik selbst zur Vorbereitung und Erleichterung des Studiums der oft nur schwer verständlichen Vorlesungen dienen. Darnach ezgab sich als Hauptaufgabe, aus dem grossen Gebiet der theoretischen Physik den Stoff gewissenhaft auszuwählen und in einfacher, klarer W eise darzustellen. Auf subtile theoretische Erörterungen, auf lange Deduktionen mit einem verhältnismässig geringfügigen Endresultat, auf Fragen, welche noch Streitgebiet der

Wissenschaft sind, konnten wir uns nicht einlassen. Umsomehr bemühten wir uns, alle jene Begriffe, welche in konkreten Fällen immer wieder auftauchen, so wiederzugehen, dass sich der Studierende deren selbstständige Handhabung leicht aneignen kann. Wo es daher möglich war, wurde jeder allgemeine Satz durch seine Anwendung auf häufig aufstossende Beispiele illustriert.

Freilich wird sich eine gewisse subjektive Färbung nicht haben vermeiden lassen. Als ehemaliger Schüler J. Stefans, eines Meisters leicht fasslicher Darstellung, gab sich der Verfasser möglichst Mühe, dessen Ton zu treffen, was allerdings auf dem zur Verfügung stehenden kargen Baum nur teilweise erreicht werden konnte.

Mechanik eines Massenpunktes.

§ 1. Grundbegriffe — Bewegung — Balm — Weg.

Mechanik ist die Lehre von den Bewegungs-erscheinungen, welche sich auf die Begriffe des Baums, der Zeit und der Masse zurückführen lassen.

Ein Punkt bewegt sich, wenn er zu verschiedenen Zeiten gegenüber einem festgelegten Baum verschiedene Lagen einnimmt. Die Verbindungslinie sämtlicher Lagen nennt man die Bahn des Punkts. Nach der Gestalt derselben unterscheiden wir gradlinige und krummlinige Bewegungen. Die Länge der Bahn, welche von dem Punkt in der Zeit t zurückgelegt wird, nennen wir den Wegs.

§ 2. Geschwindigkeit — gleichförmige und ungleichförmige Bewegung.

Weg und Zeit stehen also mit einander in Beziehung, was wir durch die Gleichung

= f(t)

darstellen können, f (t) kann nun sehr mannigfaltig sein. Der einfachste Fall ist

= f (t) = vt,

wobei V eine Constante ist. Die Bewegung, welche dieser Gleichung entspricht, nennen wir eine gleich-

förmige, weil in gleichen Zeiten auch immer gleiche Wege zurückgelegt werden. Der Weg v, welcher in der Sekunde beschrieben wird, heisst die Geschwindigkeit des Punktes. Wir messen also die Geschwindigkeit v durch das Verhältnis des Wegs zur zugehörigen Zeit,

Da die Geschwindigkeit nur eine Verhältniszahl ist, so ist bei deren Bestimmung die absolute Grösse des Wegs bezgl. der Zeit ganz gleichgiltig. Unsere Definition der Geschwindigkeit gilt demnach auch für einen unendlich kleinen Weg ds, woraus

ds

(1)

V-~dt

folgt. Auf diese Weise sind wir in der Lage, für einen ganz bestimmten Punkt der Bahn die Geschwindigkeit anzugeben, und erkennen weiter, dass sie sich von Punkt zu Punkt ändern kann; in letzterem Fall haben wir dann eine ungleichförmige Bewegung.

§ 3. Beschleunigung — gleichförmig beschleunigte Bewegung.

Wir sahen, dass bei der ungleichförmig beschleunigten Bewegung nicht nur der Weg, sondern auch die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit ist. Wählen wir wiederum die einfachste Funktion, setzen wir also v = bt,

unter b abermals eine Constante verstanden, so erhält in jeder Sekunde die Geschwindigkeit den Zuwachs b, welchen wir die Beschleunigung nennen. Für unser

Componenteji der Geschwindigkeit u, Beschleunigung. 13

gewähltes Beispiel ist die Beschleunigung also eine constante Grösse. Eine derartige Bewegung nennt man deshalb eine gleichförmig beschleunigte.

Auch die Beschleunigung

b=T

ist nur eine Verhältniszahl. Wir können deshalb hier ganz dieselbe Ueberlegung wie bei der Geschwindigkeit machen. Für eine bestimmte Zeit, oder an einem bestimmten Punkt der Bahn ist demnach die Beschleunigung durch den Differentialquotienten der Geschwindigkeit nach der Zeit gegeben. Wir erhalten so mit Berücksichtigung von (1) die Gleichung

(2)

_dv d²s

^dt^dt²’ und wir erkennen ohneweiters, dass auch die Bescheuni-gung im Allgemeinen eine Funktion der Zeit sein wird.

§ 4. Komponenten der Geschwindigkeit und Beschleunigung — resultierende Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Projicieren wir die jeweilige Lage eines sich bewegenden Punktes auf die drei Achsen eines recht-winkeligen Koordinatensystems, so besitzen die drei Projektionen ebenfalls gewisse Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Die Bahnen der Projektionen sind dabei die drei Achsen. Ihre Geschwindigkeiten u, v, w, lassen sich genau wie oben entwickeln, ebenso ihre Beschleunigungen, f, g, h. Wir erhalten somit

dz

dx

и=Ж’ v= dF’w= dP

d²x _ d²y _ d²z f _ dt" g~ dt²’ h~ ’■*

dtr

Ist die Bahn des Punkts geradlinig und schliesst sie mit den Achsen die Winkel a, ß, y ein, so erkennt man ohneweiters, dass

dx

dt

àj

dt“

dz

pJ p_i pj pj qJ P-i

C+-1 OO erM OD Cf И

cos a,

cos ß,

COS y,

ist. Gleicherweise erhält man die Beschleunigung nach den drei Achsen, indem man die wirkliche Beschleunigung mit den Richtungscosinus der Bahn multipliziert.

Man sieht weiter ein, dass ein Punkt, welcher die Geschwindigkeiten u, v, w parallel zu den drei Achsen gleichzeitig besitzen soll, nur eine Geschwindigkeit von ganz bestimmter Grösse und Richtung im Baum haben kann. Man nennt diese letztere die resultierende Geschwindigkeit der Komponenten u, v, w. Ganz dasselbe gilt wiederum auch für die Beschleunigung.

§ 5. Parallelogramm der Geschwindigkeiten und der Beschleunigungen,

Was für ein rechtwinkeliges Koordinatensystem gilt, können wir ohneweiters auf ein schiefwinkeliges übertragen.

Haben wir bloss zwei Geschwindigkeiten, welche gleichzeitig ein Punkt annehmen soll, so erhalten wir die resultierende Geschwindigkeit, wenn wir von dem Punkt aus zwei Gerade ziehen, welche in Richtung und

Grösse den Geschwindigkeiten entsprechen. Ergänzen wir diesen Winkel zu einem Parallelogramm, so giebt die von dem beweglichen Punkt aus gezogene Diagonale die Grösse und Richtung der resultierenden Geschwindigkeit an.

§ 6. Beharrungsvermögen — Kraft — Massenpunkt — Kräfteparallelogramm,

Bewegt sich ein Körper mit gleichförmiger Geschwindigkeit geradlinig vorwärts, so sagen wir, er sei frei von allen Kräften, hingegen er sei von Kräften beeinflusst, wenn die geradlinige, gleichförmige Bewegung gestört wird. Während uns die gleichförmige, geradlinige Bewegung zum Begriff des Beharrungsvermögens führt, nennen wir jede Ursache der Aenderung einer derartigen Bewegung eine Kraft.

Die Erfahrung lehrt, dass nicht jeder Körper in gleicher Weise von ein und derselben Kraft beeinflusst wird. Während der eine eine grosse Beschleunigung erfährt, gewinnt der andere nur eine geringe. Wir schreiben diesen Unterschied der Masse der Körper zu. Je grösser seine Masse, desto kleiner die Beschleunigung, welche dem Körper eine Kraft zu erteilen vermag. Das Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung b kann daher als Mass der Kraft P gelten. Wir erhalten somit die wichtige Gleichung

d²s

dv

P = mb = m¥ = mdT,

Die Masse eines Körpers haben wir als eine von der Lage desselben und der Zeit völlig unabhängige

Grösse zu denken. Sie ist nichts als ein konstanter Faktor der Beschleunigung.

Ist der Körper geometrisch sehr klein, so können wir uns seine ganze Masse in einem Punkt vereinigt denken, den wir dann einen Massenpunkt nennen. Nur Massenpunkte wollen wir vorläufig der Betrachtung unterziehen.

Wie von einer Zerlegung und Zusammensetzung der Beschleunigungen, kann man auch von solchen der Kräfte sprechen, was uns unmittelbar auf das Kräfte-par-all elogram m und ähnliches führt. Wir können jede Kraft P in drei auf einander senkrechte Komponenten X, Y, Z zerlegen, welche parallel den Achsen eines Koordinatensystems wirken. Das Mass der Teil-kräfte ist dann gegeben durch

d²x

m dt²

d²z

md? = z

§ 7. Wurfbeweguiig* — Freier Fall.

Wirkt auf einen Massenpunkt eine Kraft von bestimmter Bich tung, so kann dessen Bewegung nur in einer Ebene stattfinden, da zur ursprünglichen Bewegungsrichtung nur noch die Bichtung der Kraft hinzukommt.

Eine solche Kraft ist die Schwerkraft. Bloss unter dem Einfluss der Schwerkraft muss demnach die Bahn geworfener Körper eine ebene Kurve sein. Wurfrichtung und Richtung der Schwere bestimmen diese Ebene, in welche wir ein rechtwinkeliges ebenes Koordinatensystem so legen wollen, dass die x-Achse horizontal, die y-Achse vertikal ist.

Die Schwerkraft Y wirkt parallel zur y-Achse. Parallel zu dieser wird also die Bewegung des Körpers durch die Gleichung

d¹y v

m d? = Y

bestimmt. Parallel zur x-Achse haben wir

d¹x

m w=°-

Aus der Erfahrung wissen wir, dass die Schwerkraft sich innerhalb eines beschränkten Raumes weder mit der Zeit, noch mit dem Ort ändert, und dass sie immer proportional der Masse m des Körpers ist? auf welchen sie wirkt. Wir können daher Y — — mg

setzen, wenn die Constante g die Beschleunigung der Schwere ist. Y ist negativ, weil die y-Achse nach oben gerichtet ist, während die Schwere entgegengesetzt nach unten wirkt. Unsere Bewegungsgleichungen reduzieren sich daher auf

d¹x

= 0 und

dt¹

Aus der ersten finden wir

d¹y

dt¹

g-

dx

-г- = а

dt

(3),

X == at + a'

(4),

aus der zweiten

tly

dt = -gt + b

gt¹

(5), у — — Y + bt + b' (6).

Die vier Constanten а, а', Ъ und b' ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, d. h. aus der Lage, Geschwindigkeit und Richtung des Körpers zur Zeit t = 0. Es ist demnach a die Geschwindigkeit parallel zur x-Achse, a' die Abscisse, b die Geschwindigkeit parallel zur y-Achse und b' die Ordinate unseres Körpers zu Beginn seiner Bewegung. Wir können durch passende Wahl des Koordinatensystems die Bewegung immer im Ursprung desselben beginnen lassen. Es ist dann a' = b' —0. Es genügen jetzt zur Bestimmung der Lage des Punkts die Gleichungen

gt²

X = at und y — bt — —•

Eliminieren wir aus diesen beiden Gleichungen die Zeit t, so erhalten wir die B a h n g 1 e -i c h u n g bx gx3 У = Т — 2аГ

Es beschreibt daher ein geworfener Körper, welcher sich bloss unter dem Einfluss der Schwere befindet, eine Parabel.

y wird ausser im Anfang noch ein zweites Mal 2ab

gleich Null, wenn x — -— wird. Dies ist die Wurf⁻weite.

g

Die Wurfhöhe hat der Körper nach Zurücklegung der

b²

2g*

halben Wurfweite erreicht, sie ist demnach y ==

Die Gleichungen für den senkrechten Wurf erhalten wir aus jenen des schiefen, wenn wir einfach a = 0 setzen. Für den horizontalen Wurf ist hin-

gegen b — 0 anzunehmen. Die Bewegungsgleichung wird dann

gx2 2a² ‘

Wählen wir schliesslich a = b = 0, so ergeben (5) und (6) die Gesetze des freien Falls.

Zu gebräuchlichen Formeln gelangen wir auch, wenn wir anstatt der Componenten a und b die Anfangsgeschwindigkeit c selbst und den Winkel « einführen, welchen die Anfangsrichtung mit der x-Achse, d. i. dem Horizont, bildet. Es ist darnach a = c cos a, b — c sin «,

die Wurfweite

2c²

X =-cos a sin «,

die Wurf höhe

c²

y = 2isinS “•

Letztere* errÖ$J*fc also ihren grössten Wert für а = 90°, d. h. weflwwir bei sonst gleicher Anfangsgeschwindigkeit den Körper senkrecht empor werfen. Die Wurfweite lässt sich wegen

sin 2 а — 2 cos « sin а

auch

sin 2 а

schreiben. Ihr grösster Wert wir^ für a==-j-, d. i. bei 45° Elevation erreicht.

Jede kleinere Wurfweite kann man durch

л

zwei verschiedene a erzielen, da bei a = -^-+ ß

71

sich derselbe Wert für sin 2 a ergibt, wie bei a = —— ß

§ 8. Krummlinige Bewegung — Zentripetalbeschleunigung — Fliehkraft.

Ж'

Ôï

Mi

Fig. 1.

Die Beschleunigung, welche ein Massenpunkt in irgend einem Punkt einer krummlinigen Bahn besitzt, können wir in eine Komponente, die mit der Tangente der Kurve zusammenfällt, und in eine К o m-ponente senkrecht darauf, also nach der Bich-tung der Normalen zerlegen. Wir betrachten einen Massenpunkt, welcher sich von M (Fig. 1) nach M' bewegt. Seine Geschwindigkeit in M sei V, in M' v'. Die Komponente der Geschwindigkeit parallel zur Richtung MN ist demnach in M' v cos cp, senkrecht dazu v sin cp. Auf dem Weg von M nach M' verstreicht die Zeit t. Die В e-schleunigung inderRich-4 tun g der Tangente ist sodann

br = lim

v' cos cp—v

in der Richtung der Normale

v' sin cp

bn = lim

da in M die Geschwindigkeit in der Richtung der

Normalen gleich Null ist. Beim Grenzübergang wird cos (p = 1 sin (p = cp. Es ist demnach

V²

br =dv

dt ’    ~ r

Hat der Massenpunkt die Masse m; so können die auf ihn wirkenden Kräfte in eine Tangential- und eine Normalkraft zerlegt werden. Erstere wird gegeben sein durch

d² s ¹¹¹ dt*⁻’

letztere durch

m V²

Diese nennt man auch Zentripetalkraft und die dadurch hervorgerufene ebenso grosse Gegenkraft des beweglichen Massenpunkts dessen Fliehkraft.

§ 9. Das Pendel — schwingende Bewegung.

Eine kleine schwere Kugel von -der Masse m sei an einem sehr dünnen \ festen Faden aufgehängt. Die Masse des Fadens soll gegen jene der Kugel vernachlässigt werden können. Bringen ^ wir die Kugel aus ihrer Kuhelage und geben sie dann frei, so beginnt sie zu schwingen. Wir betrachten bloss die Schwingungen in einer Y er-tikalebene. Diese sind vorhanden? jç wenn die Kugel keinen seitlichen Stoss erhält. Auf die Kugel in M (Fig. 2) wirkt die Schwerkraft

Fig. 2.

MN == — mg.

Diese zerlegen wir in eine Komponente in der Richtung des gespannten Fadens, welcher durch die Spannung des Fadens das Gleichgewicht gehalten wird, und in eine Komponente senkrecht darauf. Diese ist MC = — mg sin

das ist die Kraft, welche die Kugel in die Ruhelage A zurückzutreiben sucht. Die Bewegungsgleichung wird daher sein

(7)

d² s

m-^2 = — mg sin cp.

Hier ist der Weg s = 1 wobei wir 1 die Pendellänge nennen. Wir wollen ferner nur kleine Schwingungen voraussetzen, so dass sin cp — cp angenommen werden kann. Dann wird Gleichung (7) d²y _

mr~

Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit -jj- dt und integrieren wir, so folgt

<P² + A.

Die Konstante A wird утр₀², wenn wir unter cp₀ jenen Winkel verstehen, bei welchem die Winkelgeschwin-

d cp

digkeit — 0 wird. Das heisst cp₀ ist der grösste

Ausschlagswinkel des Pendels oder, wie man auch sagt, die Amplitude der Schwingung. Dieser Wert ergibt nach Trennung der Variablen

ïdt

oder

Ф = <P₀ sin

Die Konstante В ergibt sich aus den Anfangsbedingungen. Ist für t = 0, <p = (p₀, so muss sin В = 1,

71    .

d. h. В = — sein. Mithin ist 2

Ф = <p₀ cos

Diese Gleichung bestimmt die Bewegung des Pendels.

Wollen wir die Winkelgeschwindigkeit für eine beliebige Zeit t kennen lernen, so brauchen wir bloss den Winkel nach der Zeit zu differenzieren, also

(m

ч ~ - Ут" ».

zu bilden.

j/-y- t = Ti ist çp = — (pQ, d. h. das Pendel

Das Integral dieser Gleichung ist arc sin —

g.

+ B,

Für

hat eine Schwingung von einer Seite zur andern gemacht. Die dazu benötigte Zeit, die Schwingungsdauer, ist also

§ 10. Pendel im widerstehenden Mittel — gedämpfte Schwingung — logarithmisches Decrement.

■ = —rsm f

§ 50. Barometrische Höhenformel«

, dP*

§ 88. Töne eines an einem Ende befestigten Stabs.

¹

äger, Theoretische Physik.

§ 10. Pendel im widerstehenden Mittel — gedämpfte Schwingung — logarithmisches Decrement.

Wir machen jetzt die Voraussetzung, dass das Pendel in einem widerstehenden Mittel schwingt, u. z, soll der Widersta-nd w proportional der

Geschwindigkeit der Pendelkugel sein. Wir können ihn also als eine negative Kraft von der Form

ds

“ dt

darstellen. Die Pendelgleichung wird somit

d²s    .    d

= — mg sin (p    cc -y.

4>

mdt

a d cp

Wir setzen wiederum nur kleine Schwingungen voraus, können also die Bewegungsgleichung dV _

"dt²    y

а², — = 2b einführen. Es ¹ m

schreiben. Wir wollen y = ergibt sich dann

d²9

d<p

dt² + 2b ж + a> = °-

Eine Lösung dieser Gleichung ist

(p = e

At

indem

d<p

dt~Äe Gleichung auf reduziert, woraus

At

dV

At

und yy₂ = A²e ist, so dass sich die Л² —j— 2b À -f- a² = 0

A — — b + fb²—a²

folgt. Diese Grösse ist nur reel, wenn b > a ist, d. h. wenn der Widerstand, den die schwingende Kugel erfährt, ein sehr grosser ist. Dann kommt aber überhaupt keine Schwingung zustande, sondern die Kugel nähert sich einfach allmählich der Ruhelage.

Tst hingegen a > b, dann ist A komplex, indem

Л = _1 + i J/а²— b²

(C cos j/a²—b² t + D sin Уа²—b² t).

Wir haben demnach eine schwingende Bewegung von immer kleiner werdender Amplitude, eine sogenannte gedämpfte Bewegung.

Die Schwingungsdauer ist jetzt

71

¹    t'a²— b²

Sie ist also grösser als beim widerstandsfreien Pendel.

zu

Beginnt das Pendel mit einer Amplitude q>0 schwingen, so ist nach n Schwingungen die Amplitude

— nb z

Daraus folgt

lgp₀—l<Pn

wird. Die Bewegung des Pendels ist in diesem Fall nach bekannten Pegeln gegeben durch

— bt + it ÿa²—b²

<P = A, e

+ A₂e

— bt — it /а²—b²

nr

Diese Grösse nennt man das logarithmische Dekrement, doch wird auch das Produkt br häufig so genannt.

§ 11. Bewegungsgrösse — Zeitintegral der Kraft.

Lassen wir eine Kraft К während einer kleinen Zeit dt auf eine Masse m wirken, so wird sich deren Geschwindigkeit ändern, u. z. wird die Aenderung umso beträchtlicher ausfallen, je grösser die Kraft und je grösser dt ist. Die Gesamtänderung wird demnach dem

Produkt К dt proportional gesetzt werden können. Für eine endliche Zeit erhalten wir dann den Gesamteinfluss der Kraft auf die bewegliche Masse m, wenn wir J К dt bilden. Da nun

d²s

¹¹¹ dt² ~~*dt’

so

JK dt

Г dv

= m J

= my — m v₀,

wenn die Geschwindigkeit zu Beginn v₀ und zu Ende der Zeit t v war.

Die Grösse m v nennt man die Bewegungsgrösse der Masse m. Die Einwirkung der Kraft durch eine gegebene Zeit auf eine bewegliche Masse m kann demnach durch die Differenz der Bewegungsgrössen zu Beginn und zu Ende dieser Zeit gemessen werden. Die Kraft ist also unmittelbar durch den Zuwachs der Bewegungsgrösse bestimmt, welchen das Bewegliche in der Sekunde erfährt.

Man nennt den Ausdruck f К dt auch das Zeitintegral der Kraft.

§ 12. Stoss unelastischer und elastischer Kugeln.

Yom Zeitintegral der Kraft können wir eine Anwendung beim Zusammenstoss zweier Kugeln machen. Wir setzen voraus, dass die Bewegung der Kugeln in der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte erfolgt. Ihre Bewegungsgrössen seien vor dem Zusammenstoss m c bezügl m' c'. Sind die Kugeln v o likom-

Stoss unelastischer und elastischer Kugeln.

27

men unelastisch, so wirken sie heim Zusammen-stoss so lange auf einander, bis sie dieselbe Geschwindigkeit u angenommen haben. Die neuen Bewegungsgrössen sind also m u und mf u. Mithin hat die erste Kugel m (c—u) an Bewegungsgrösse verloren, während die zweite m' (u—c') gewonnen hat. Beide Grössen müssen einander gleich sein, da auf beide Kugeln ja dieselbe Kraft während derselben Zeit wirkt. Es ist also

m (c—u) = m' (u— c'),

oder die Geschwindigkeit nach dem Stoss m c m' c' m -f- m'

Sind die Kugeln vollkommen elastisch, so hört die Einwirkung derselben auf einander bei gleich-werdender Geschwindigkeit noch nicht auf, da die elastischen Kräfte die Kugeln wieder auseinandertreiben. Und zwar ist das Zeitintegral vor und nach dem Gleichwerden der Geschwindigkeit gleich gross. Sind die Endgeschwindigkeiten v und v', so werden wir ausser der Gleichung

m (c—u) = m' (u—c')

auch noch die haben

woraus dann folgt

m c + m' c'

v = 2 -Tr-—;—

m + m'

und

m c + m' c'

2    --T—

m + m' Bei gleichen Massen wird

v' —

— c'.

v = c'; v' — c, d. h. die Kugeln vertauschen nach dem Stoss ihre Gechwindigkeiten. Ist in' = cd, was wir beim Stoss gegen eine feste Wand annehmen können, so wird V = — c,

d. h. die Kugel wird mit unveränderter Geschwindigkeit zurückgeworfen.

§ 13. Arbeit — Wegintegral der Kraft — kinetische Energie*

Wirkt eine Kraft К auf ein Bewegliches, welches in der Richtung der Kraft den Weg ds zurücklegt, so nennt man Kds die Arbeit der Kraft К auf dem Weg ds. Das ist z. B. der Fall, wenn wir ein Gewicht

si

von der Grösse К um die Höhe ds heben. J* К ds ist

so

demnach die Arbeit, welche die Kraft К von s₀ bis sx leistet. Es ist aber

si

si

d²S

J*Kds = mJm dt,

ds = m

si

si

г    f* ds

dt m J dt

PU

ds

TT dv =

so

so

so

S1

= m I V dv ===

mV,

mv₀

so

m V²

Die Grösse —^—nennen wir die lebendige Kraft

oder die kinetische Energie der Masse m. Es ist demnach die Aenderung der lebendigen Kraft des Beweglichen gleich der Arbeit, welche die Kraft auf dem Weg sx—s₀ geleistet hat.

Den Ausdruck/ Kds nennt man das Wegint e-

si

so

gral der Kraft.

Eine jede Kraft К können wir bekanntlich in drei senkrecht aufeinanderstehende Komponenten X, Y, Z zerlegen. Die Projektionen des Weges ds auf die Koordinatenachsen sind entsprechend dx, dy, dz. Lassen wir nun die Kraft К auf dem Wege ds wirken, so leisten die drei Kraftkomponenten die Arbeit Xdx, Ydy, Zdz. Wir können diese drei Grössen addieren und zwischen den Grenzen s₀ und s₄ integrieren. Wie leicht ersichtlich, ergiebt dies

So

So

dz d²z

dt dë

mVj² mv₀²

Auch so können wir die Beziehung zwischen Arbeit und lebendiger Kraft darstellen,'was besonders dann am Platz ist, wenn gleichzeitig mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt m einwirken, und die verschiedenen Bichtungen der Kräfte mit dem Weg des Beweglichen nicht zusammenfallen.

Haben die Kräfte die Resultierende K, welche mit den Achsen des Koordinatensystems die Winkel Л, v,

einschliesst, während der Weg die Richtungswinkel a,. ß: y} hat, so ist

S'; fr g?| fr Kj

X = К At = К cos Z = К cos V,

= cos а = Y cos a cos ß = у cos ß

COS y = V COS y

Und wir erhalten

si

si

/(4+4+4b-.fKv₍.

so    so

os A cos «

К cos & vdt

-j- COS p COS ß -f- COS V cos y) dt =

si

К cos #ds,

=J

so

wenn der Winkel zwischen der Richtung der resultierenden Kraft und dem Weg $ ist.

Sind also Kraft und Weg nicht gleich gerichtet, so ist die geleistete Arbeit gleich dem Produkt aus Kraft und Weg multipliziert mit dem Kosinus des von den Richtungen beider eingeschlossenen Winkels.

§ 14. Kraftfunktion — Potential — Gesetz der Erhaltung der Energie.

Es kommt in der Natur der Fall häufig vor, dass die drei Kraftkomponenten, welche auf einen Massenpunkt wirken, sich darstellen lassen durch

ist das Potential der Kräfte.

Durch Einführung dieser Begriffe können wir unsere Arbeitsgleichung folgendermassen umgestalten. Es ist

d¥ dx d¥ dy Эх dt Эу dt

dF

3¥

d¥

dj’ ^    dz

Wir nennen dann die Funktion F die Kraft-funktion. Der negative Wert davon

Эх’

so    so

si

d¥ dz dz dt

)-Г

dt

dt -

mvt ²    mv₀²

so

Die geleistete Arbeit ist also nicht nur der Aenderung der lebendigen Kraft, sondern auch der Aenderung der Kraftfunktion gleich.

Führen wir das Potential ein, so ergiebt sich

“V , TT 2

mV> _LTT

~T + H’

Die Summe zwischen kinetischer und potentieller Energie ist eine konstante Grösse. Man muss nämlich das Potential einer Energie gleichwertig erachten, weshalb man es auch potentielle Energie nennt. Der von uns zuletzt gewonnene Satz wird das Prinzip von der Erhaltung der Energie genannt.

§ 15. Fallbewegung auf willkürlicher Bahn.

Als Beispiel eines Potentials können wir die

Funktion

H = mgz

ansehen, wenn wir unter g die Beschleunigung der Schwere auf die Masse m und unter z die Höhe verstehen, in welcher sich die Masse befindet. In der That ist dann

X= —

dH

dH

dH

= 0, Z = — dz

Ein Körper, welcher lediglich der Schwerkraft unterworfen ist, wird demnach der Gleichung gehorchen

¹¹'J- + mgz = "y- + mg z₀ = Const.

Das heisst, in jeder besimmten Höhe z hat der Körper auch immer eine ganz bestimmte Geschwindigkeit v. Wie beschaffen dabei die Form der Bahn ist, auf der der Körper fällt oder steigt, ist ganz gleich-gütig.

dx

= 0, Y=_

= — mg.

Schreiben wir die Gleichung mv² mv₀²

mg(z — z₀),

so sehen wir ohne weiters, dass die zum Heben des Gewichts mg um die Höhe z—z₀ nötige Arbeit unmittelbar durch die Aenderung der lebendigen Kraft bestimmt ist.

§ 16. Keppler’s Gesetze — Gravitationsgesetz.

Aus den Gesetzen, welche К epp 1er für die Planetenbewegung fand, schloss Newton, dass sich zwei Punkte von den Massen M und m und der Entfernung r mit einer Kraft anziehen, welche gleich ist

hMm

r²

Es ist dies das berühmte Gravitationsgesetz. Wir wählen das negative Vorzeichen, weil die Kraft den Abstand r zu verkleinern sucht, h nennt man die Gravitationskonstante.

Wir denken uns M fest und m vollkommen frei beweglich. Da für die Lage der Bahn nur die Anfangsrichtung der Bewegung von m und die Richtung der Kraft, welche in der Verbindungsgeraden beider Massen liegt, massgebend ist, so findet die Bewegung in einer Ebene statt. Es genügt daher zur Bahnbestimmung ein ebenes Koordinatensystem, in dessen Ursprung die Masse M liegen soll, m habe die Koordinaten x, y, der Radiusvektor r schliessemit der y-Achse den Winkel cp ein, dann ist

x, = r sin ф, у = r cos cp.

Die Komponenten parallel zur x- und y-Achse sind dex

mdÜ

hMm

r²

sin

hMm x Ф    r² r ’

d²y

hMm

hMm у

, (8)

cos cp = —

mdt²

Multiplizieren wir die erste dieser Gleichungen mit y, die zweite mit x und subtrahieren sie vor einander, so erhalten wir

r²

r² r

d²x

oder

d²y

ydt?—x ae ~ ⁰

dt)⁼ °>

d/ dx dt\ydt~

dy

x -L

Jäger, Theoretische Physik.

daher

dx

dy

ydt_xdt=2c

wobei c konstant ist.

Schreitet unsere Masse m in der Zeit dt um die beiden Wegkomponenten dx und dy vorwärts, so beschreibt dabei der Radiusvektor r die Fläche ydx — xdy r²d<p

‘Ä der Zeiteinheit wird er demnach die Fläche

J\Jdt

bestreichen. Man nennt deshalb die Grösse c auch die Flächengeschwindigkeit der Masse m, die für unsern Fall eine constante Grösse ist..

x dt]

r² dtp

2 dt C

0)

dx

Multiplizieren wir die Gleichungen (8) mit be-dy

züglich und addieren sie, so ergiebt sich m d

Tat

[£>■+$]-

hMm dr

hMm

rs

/ dx dy\

(xdt +ydtj=

Г² dt

ЬМшт:

dt

da ja x² у² = r², mithin

dx dy dr

Xdt+ycK==rdt

ist.

Ferner ist

V²

wobei also v die Geschwindigkeit der Masse m bedeutet. Sonach wird durch Integration

mv² hMm , i ~2~ ⁼ r ^ A"

Die Konstante A finden wir leicht aus den Anfangsbedingungen, für welche die Geschwindigkeit v₀ und der Radiusvektor r₀ vorhanden sein soll. Somit ist mv₀²

woraus folgt

hMm

---h A

ro

mv* mv₀²

hMm hMm

ro

(10)

So gestaltet sich der Satz von der Erhaltung der Energie für unsern speziellen Fall.

hMm “r⁵⁷“’

das Potential der Kraft —

hMm

ist demnach

Den unendlich kleinen Weg ds können wir nun in zwei Komponenten in der Richtung des Radiusvektor und senkrecht darauf zerlegen. Diese sind dr und rd<p, und es besteht die Beziehung

(dS)a = (dr)² + (rd,,)’,

mithin auch

Aus Gleichung (9) und (10 folgt nun leicht

dr dr d(p    dr 2c +]/ ₂ 2hM 2hM 4c²

dt d(p * dt d(p ’ г² Г⁰ r₀ + r r² * Diese Gleichung können wir noch verwandeln in -|- 2cdr

r²

d (p

Vv

2hM , h²M*    /Ш    2cy

4ca    \2c — г )

so gewinnen wir die einfache Form

dqp.

Wählen wir

vo

2hM h²M2 r₀ 4o2 hM 2c

2c

У>

+ dy

la² — y*

Das gieht integriert

у

arc cos — = <P + C*

y = « cos (cp + С).

►Setzei^. wir nun für у wieder seinen Wert ein, so erhalten wir nach einigen Umformungen

4c²

i* —

hM

2ca

hM

cos (cp -f- C)

Wir wollen den Winkel cp so zählen, dass für cp = 0 r ein Minimum wird. Dies ist der Fall, wenn wir die Konstante С,— n setzen. Unsere Gleichung wird nun

4 c²

И)

hM

2 ca

¹⁺hMcosy

Je nachdem v

2cq< hm >.

ist, haben wir in (11) die Gleichung einer Ellipse,

Parabel oder Hyperbel vor uns. Diese drei Kurven sind also an die Bedingung

2 h M _< Q.

ro

geknüpft, was man leicht erhält, wenn man den Wert für a wieder einführt.

Sind für eine Ellipse die beiden Halbachsen a und

S3

b, setzen wir a² — b² — e² und — — e, so gilt die Gleichung

r_ a-o.

1-fecos (p

Die Fläche der Ellipse ist f = n ab = n a² y 1 — £'². Id unserem Fall ist die Fläche aber auch gleich cT, wenn T die Umlaufszeit des Massenpunkts m um M ist. Es ist demnach

c T = л? a² j/1 — e²

c² T² — л² a⁴ (1—e²).

oder

■=a(l — e²),

Gleichung (11) ergibt aber 4 c²

hM

mithin

4 c²

c2T2=*2a3hM

oder

a³ hM

(12)

Den von uns gerechneten Fall können wir auf die Planetenbewegung anwenden, wenn wir M als die Sonne, m als einen Planeten anseh en. Keppler fand dafür folgende Gesetze:

„1. Der Radiusvektor von der Sonne nach dem Planeten beschreibt in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

2.    Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet.

3.    Die Quadrate der U mlaufszeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Würfel der halben grossen Achsen ihrer Bahnen.“

Wir finden diese drei Gesetze in den Gleichungen (9), (11) und (12).

§ 17. Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

Wirken auf einen Punkt verschiedene Kräfte nach verschiedenen Richtungen und geben wir ihm eine sehr kleine Verschiebung 6 s, so wird jede Kraft P dabei eine Arbeit 6 A leisten, welche nach § 13 gegeben ist durch

6 A — 2 P 6 s cos

wenn # der Winkel ist, welchen Kraft und Verschiebungsrichtung einschliessen. Es ist also

6 s cos ^ = 6 p

die Projektion der Verschiebung auf die Richtung der Kraft. Ist nun

^P6p=0,

so wird bei der Verschiebung keine Arbeit geleistet, d. h. die Kräfte müssen in der Verschiebungsrichtung eine Resultierende gleich Null haben, sie müssen im Gleichgewicht sein.

Zerlegen wir die Kräfte nach den drei Achsen eines Koordinatensystems, so wird unser Gleichgewichtssatz J£P6p —X6x +Y 6y = Z6z = 0.    (13)

Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

39

Sollen die Kräfte nach allen Richtungen des Raums im Gleichgewicht sein, so muss

Xôx = Yôy = Zôz = 0

mithin auch

(14)

sein, da wir ja die Verschiebung auch in einer der Koordinatenachsen vornehmen können, und dann werden die Projektionen auf die beiden anderen von selbst gleich Null. Die Kräfte heben sich also wirklich gegenseitig auf.

Dieses Prinzip für das Gleichgewicht eines Systems von Kräften nennt man das Prinzip dervirtuellen Verschiebungen. Es rührt von Lagrange her und kann etwa folgendermassen formuliert werden : Ein System von Kräften befindet sich im Gleichgewicht, wenn bei einer unendlich kleinen Verschiebung des Angriffspunkts keine Arbeit geleistet wird.

Ist der Punkt nicht nach allen Richtungen frei beweglich, sondern ist er genötigt, auf einer bestimmten Fläche oder Linie zu bleiben, so kann dies folgendermassen in Rechnung gezogen werden, Die Gleichung der Fläche, welche der Punkt nicht verlassen kann, sei F(x, y, z) = 0.

Geben wir daher dem Punkt eine Verschiebung 8 s, deren Komponenten öx, Sy, 5 z sind, so muss auch die Gleichung

F (x + 8 x, y + <5 y, z + <5 z) = F (x, y, z)

91,

ô z = 0

+ ex

erfüllt sein und damit auch

40

Mechanik eines Massenpunktes. d F

—ô X 4

О X    ¹

Wir drücken damit lediglich aus, dass die Kräfte in jeder Richtung, welche in unsere Fläche hineinfällt, sich das Gleichgewicht halten, damit werden natürlich auch die Komponenten derselben gleich Null, folglich gilt auch

дУ

*y-f

aF

öz=0.

aF

was wir mit (14) zu vereinigen können

■П,х=Ъ,г‘-л>‘=Ь

folgender Gleichgewichtsbedingung

Х + Д5--0,

8F

Y + *ä=: = 0,

(15)

Z+Л dz ~°-

Hätten wir die Bedingung gestellt, der Punkt müsse auf einer Linie bleiben, so wären zwei Bedingungsgleichungen, etwa f (x, y, z) =0 und f, (x, y, z) = 0 zu (14) hinzugekommen. Das Resultat wäre dann

dît

df

x+Ad^+ftgI=o,

,di , dtl

Y+Ädj+fldJ⁼⁰’

di

df,

Z + Ad^+/*dT⁼⁼⁰-

A und (г sind ganz willkürliche Faktoren, deren Wert sich aus den vorhandenen Kräften ermitteln lässt. Es liegt auf der Hand, wie sich unsere Formeln für beliebig viele Bedingungsgleichungen gestalten werden.

Nehmen wir an, ein Massenpunkt in, auf den nur * die Schwerkraft wirkt, soll auf einer Kugelfläche bleiben, deren Gleichung

x² -]-y² z³ — a² = 0.

Es ist also

dF

dF

x = y = 0, z=—mg,^=2x,g—=2y,-^-=2z.

Nach den Gleichungen (15) ist daher

2 Лх — 2 Лу = 0,

das heisst

x — у — 0.

Für z folgt jetzt aus der Kugelgleichung z = + a.

Der Massenpunkt ist also bloss an zwei Punkten, nämlich am obersten und untersten der Kugel im Gleichgewicht. Darnach ergibt sich auch der Wert von Л aus der Gleichung

— mg + 2 vla = 0.

§ 18. Prinzip yon d’Alembert.

d²z_ m dt2 z

Dieses lautet: Sind die Kräfte, welche auf einen Punkt wirken, nicht im Gleichgewicht, so können wir immer eine Kraft hinzufügen, welche ihnen das Gleichgewicht hält und sodann das Prinzip der virtuellen Verschiebungen anwenden. Die Komponenten der zugefügten Kraft müssen natürlich der Grösse nach gleich, der Richtung nach entgegengesetzt den Komponenten der übrigen Kräfte sein. Sind letztere d²x

so muss die hinzugefügte Kraft, welche das Gleichgewicht hersteilen soll, die Komponenten —X,—Y, — Z haben. Dann lässt sich nach Gleichung (13) das Prinzip in die Form kleiden (x—m4t?)⁶ x+ (Y—тт/)⁰ y+(Z—m^)dz==0.

woraus wiederum leicht die gewöhnlichen Bewegungsgleichungen

X—

d*x m_dt^

folgen, was die Richtigkeit des Prinzips beweist.

§ 19. Lagrange’s Folgerungen:

Stellen wir die Bedingung, dass der bewegliche Massenpunkt m auf einer Fläche

F(x,y,z)=0

дх

bleiben soll, so verwandeln sich mit Berücksichtigung von (16) die Gleichungen (15) nach Lagrange in d²x

CV>

mdT d²y VJ_ , mlë=Y+/l

d²z

m^F=Z + /l ez

was wiederum leicht auf beliebig viele Bedingungsgleichungen erweitert werden kann.

Das Beispiel des früheren Paragraphen liefert uns also folgende Bewegungsgleichungen d²x

mg4-2>îz.

d²z

m“d?

d’y

m —г7о

dt²

= 2Ay

Nach diesen Gleichungen muss sich demnach ein Massenpunkt auf einer Kugelfläche bewegen, wenn er bloss der Schwerkraft unterlegen ist.

Nehmen wir an, pie Bewegung finde bloss in der (x, z)-Ebene statt, und setzen wir jetzt x = asinqp, z = acosqp,

d. h. zählen wir den Winkel cp von der negativen z-Achse aus, sei ferner x gegen z immer sehr klein, was

nur möglich ist, wenn sin cp sehr klein ist, so kann sin cp = cp₎ cos cp = 1,

also

x = a<p, z = — a.

gesetzt werden, und wir erhalten die Bewegungsgleichung

à²cp _2Л

dt²

<P

und

Demnach ist A =

0 = — mg — 2 Л a

«na

d²

dt²

—ç?. a

Das ist aber die aus § 9 bekannte Pendelgleichung, wobei wir unter a die Pendellänge zu verstehen haben. Thatsächlich ist ja auch die dort behandelte Pendelbewegung nichts anderes als ein spezieller Fall der Bewegung eines Punkts, welcher auf einer Kugelfläche zu bleiben gezwungen ist.

Aber ancli unser allgemeiner Fall setzt sich, wie uns die drei Gleichungen lehren, aus drei schwingenden Bewegungen, parallel den Koordinatenachsen, zusammen, welche den Pendelgesetzen folgen.

Mechanik starrer Körper.

§ 20, Punktsystem.

Alle Lehrsätze, welche wir in den vorhergehenden Paragraphen für die Bewegung eines Massenpunkts kennen gelernt haben, gelten auch für ein Punktsystem. Unter einem solchen versteht man einen Komplex von Massenpunkten, welche sich durch Kräfte gegenseitig beeinflussen. Wir brauchen zur Lösung eines speziellen Falls nur die Bewegungsgleichungen unter Berücksichtigung aller vorkommenden Kräfte für einen jeden Punkt aufzustellen.

Erst an einem System materieller Punkte können wir so recht den Katzen der verschiedenen Prinzipien erkennen. So genügt z. B. zur Gleichgewichtsbestim-mung der einfachen Maschinen vollkommen das Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

§ 21. Schwerpunkt — Massenmittelpunkt.

so haben wir einen

Ist die gegenseitige Lage der materiellen Punkte unveränderlich

Auf diesen wirke nur die

starren Körper vor uns.

Schwerkraft, und wir stellen uns die Frage, ob es einen Punkt gibt, welcher unterstützt den Körper in jeder

beliebigen Lage im Gleichgewicht hält.

Schwerpunkt.

45

Wir benutzen zur Beantwortung dieser Frage das Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Nach § 17 muss für ein Punktsystem die Gleichung 2,(Xdx-fY(5y-fZ(5z) = 0

gelten. Für die Schwerkraft reduziert sich diese Gleichung auf

2Zöz = 0,

da diese ja nur parallel zur z-Achse wirkt, weshalb von vornherein zu setzen ist.

Wir verlegen den Unterstützungspunkt in den Ursprung des Koordinatensystems und geben dem Körper nur eine kleine Drehung öcp um die y-Achse. Ein Punkt in der Entfernung r von der y-Achse von der Masse m und der Abscisse x erhält die Verschiebung ÖS = röcpj

deren Componente

Öz = ÖS — = xöcp

ist. Die Schwerkraft leistet dabei die Arbeit — mgx<$<p, welche für sämtliche vorhandenen Massenpunkte zusammengenommen gleich Null sein muss. Daraus folgt

2 — mgx^9 = — g öy2 mx = 0,

also auch

Vollführen wir die Drehung um die x-Achse, so erhalten wir als Gleichgewichtsbedingung

JS'my = 0.

Da es nun für den Unterstützungspunkt gleichgiltig sein

^mx = 0.

soü, welche Lage immer der Körper einnimmt, so folgt, dass auch sein muss.

Selbstverständlich gibt es für jeden Körper einen Punkt, welcher diesen Bedingungen genügt. Man nennt ihn den Schwerpunkt des Körpers oder auch den Massenmittelpunkt; denn man kann sich in ihm die gesamte Masse des Körpers vereinigt denken, da nur dieser Punkt unterstützt zu werden braucht, um der Schwerkraft das Gleichgewicht zu halten.

Liegt der Schwerpunkt nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sondern hat er die Koordinaten |, ^ f, so können wir die Koordinaten der einzelnen Massen-p unkte

x = xi + l J = 7i + *h z = zi + £ setzen. Wiederum muss dann gelten

also auch

2mXj — 2myx = 2mzl = 0.

woraus folgt

^m(x—I) = 0,

oder

^mx = |J£m,

^mz

JS'mx

,₌_„₌ № ₌_

⁵ J2m ’ ^ J?m⁹ 2m Das sind die Formeln, nach welchen man den Schwerpunkt des Körpers findet.

§ 22. Schwerpunkt einer Linie«

Haben wir einen linienförmigen Körper, etwa einen Draht, dessen Längeneinheit die Masse p besitzt, so ist für denselben

2ш — j fidï — ^1,

2mx = J ^xdl,

wenn wir unter 1 die Länge des Körpers verstehen. Darnach wird

J xdl    J xdl

Jdl

Es liege z. B. ein Kreisbogen von der Länge 1 und dem Оeffnungswinkel 2 <pQ symmetrisch zur x-Achse in der (x, z)-Ebene. Für ihn ist x = r cos ф, db — rd cp, daher

+ Фо

und

J xdl —J r² cos ф d cp = 2 r² sin <p0 — Фо

er

2 r² sin ф₀

wenn c die Länge der Sehne ist. Für den Halbkreis gilt somit, da c = 2r und 1 = n r ist,

irr*

2r

§ 23. Schwerpunkt einer Fläche.

Nach demselben Vorgang wie bei einem linienförmigen Körper erhalten wir für einen flächenförmigen die Gleichung

JxdF

wobei F die Fläche des Körpers bedeutet. Analoge Formeln ergeben sich für rj und f.

Fig. 3.

Wir wollen z. B. aus einer

z² = 2px

Parabel, deren Gleichung

ist, eine Fläche herausschneiden, welche von den Strecken а, c und dem Parabelbogen (Fig. 3) begrenzt ist. Wir finden

F = J*zdx = J*}/ 2p ]/

0 0

J* xdF = J* xdx dz = xzdx = |*x |/ 2p

X dx =

2 _ ^ 2

-3-^2p a/â= -y ac.

ferner

X clx —

Das ist zwischen den Grenzen о und a zu nehmen, daher

xdF =

-|-а³с

5 und

JxdF 3

Gleicherweise finden wir

8 C<

Tragen wir | und f als Al)scisse und Ordinate auf, so haben wir den Schwerpunkt S (Fig. 3) gefunden.

§ 24. Schwerpunkt eines Körpers.

Für einen Körper ist

'J'rr

JxdY JydV _ JzdV “ Y ’ v ~ Y ’    “ Y ’

wobei Y das Yolnmen des Körpers bedeutet.

Als Beispiel für eine derartige Schwerpunktsberech-111mg möge folgende Aufgabe gelöst werden. Es ist der

За

■ЦЛ

Schwerpunkt eines Kugelsegments zu bestimmen. Die Gleichung der Kugel sei

X² + y² + z² = a².

Wir legen durch den Punkt A (Fig. 4) eine Ebene senkrecht zur x-Achse und in der Entfernung dx eine parallele dazu. Dadurch wird aus der Kugel eine Scheibe vom Volumen

■e

-X

Fig. 4.

rtAC²dx = л (a²—X²) dx

herausgeschnitten. Das Volumen des Kugelsegments ist demnach

a2«+ir

)'

OL

wobei a der kleinste Wert von x ist. Ferner haben wir zu bilden

I V= fjj xdxdydz = J тгх (a² — x²) dx —

-G

а² а²

')•

Betrachten wir den Fall der Halbkugel, so а = 0, dann

8*

§ 25. Gnldin’s Theorem.

Wenn die ebene Kurve AB (Fig. 5) um die Achse ox rotiert, so erzeugt sie eine Rotationsfläche von Inhalt Jäger, Theoretische Physik.

fr

ds

Fig. 5.

0 = 2л J zdl.

für die Ordinate des Schwerpunkts gilt

X daher ist

Jzdl

⁵~ 1 ’

0 = 2^fl.

Das heisst, alle Kurven von derselben Länge und demselben Schwerpunkt erzeugen Rotationskörper gleicher Oberfläche.

Es rotiere z. B. ein Halbkreis (Fig. 6). Die dadurch entstehende Kugelober^ fläche ist

4тга²= . я:а = 2я:ва£, woraus

li

2a

Fig. 6.

folgt, was wir bereits im § 22 gefunden haben.

Durch die Rotation des Kreises (Fig. 7) erhält man einen Wulst. Dessen Oberfläche muss nach unserer Regel

0 = 2трЬ.2лгс = 4 Tt²bc

sein.

Lassen wir anstatt einer

Cs

Kurve ein beliebig begrenztes Stück F der xy-Ebene um die x-Achse rotieren, so gilt für dessen Schwerpunktsordinate die Gleichung

fr

-X

Fig. 7,

£ F = J zdxdy.

Ortsveränderung eines starren Körpers.

51

Das Volumen des Rotationskörpers ist jj 2 л z dx dz = 2

Als Beispiele dafür können uns die bereits betrachteten Fälle dienen. Der Inhalt der durch Rotation des Halbkreises (Fig. 6) entstehenden Kugel ist 4^a³    7i a²

3    ' “2“’

woraus folgt

4a

Ъп

Für den Inhalt des Wulsts (Fig. 7) ergiebt sich 2 71 b . 71 C² — 2 7Г² b c².

Diese Beziehung zwischen Oberfläche und Inhalt eines Rotationskörpers und der Schwerpunkt ordinate der erzeugenden Kurve bildet den Inhalt des nach seinem Entdecker Guldin benannten Theorems.

§ 26. Ortsveränderung* eines starren Körpers.

Jede Lagenänderung eines starren Körpers kann in zwei Vorgänge zerlegt werden, nämlich in eine Ortsveränderung des Schwerpunkts, wobei sich alle übrigen Punkte parallel zum Schwerpunkt und zu sich selbst bewegen, und in eine Drehung um den Schwerpunkt.

Jedes Kräftesystem, das eine Resultierende gibt, die nur im Schwerpunkt angreift, wird nur eine Parallelverschiebung des Körpers bewirken können aber keine Drehung, wie wir dies am Beispiel der Schwerkraft gesehen haben. Umgekehrt dürfen Kräfte, welche nur eine Drehung des Körpers

den Schwerpunkt hervorbringen sollen, keine

um

Componente besitzen, welche im Schwerpunkt angreift.

§ 27. Kräftepaar.

Zwei Kräfte, welche gleichgross und entgegengesetzt gerichtet an zwei verschiedenen Punkten eines Körpers angreifen, nennt man ein Kräftepaar. Dieses hat die Eigenschaft, keine Schwerpunktsbewegung bewirken zu können, was man unmittelbar aus einer virtuellen Parallelverschiebung des Körpers erkennt. Jede Kraft leistet dabei dieselbe Arbeit aber in entgegengesetztem Sinn, d. h. die Gesamtarbeit ist gleich Null, bezüglich des Schwerpunkts befinden sich die Kräfte im Gleichgewicht. Die Drehung des Körpers muss um eine Achse vor sich gehen, welche senkrecht auf der Ebene des Kräftepaars steht, da keine Kraftcomponente parallel zur Achse vorhanden ist.

§ 28. Dreliungsmoment — Trägheitsmoment«

Infolge des Kräftepaars AB (Fig. 8) dreht sich ein Körper um die Achse 0, welche senkrecht zur Bildebene zu denken ist. A und В seien die Angriffspunkte der Kräfte P. Ihr Abstand von 0 sei a und b und die Senkrechten von 0 auf P entsprechend pt und p₂.

Wir lassen den Körper

\(t

\A

r*

P^B'

tfig. 8.

eine Drehung um den Winkel 6cp machen. Dabei leisten die Kräfte P die Arbeit

Pa<5<p cos a — Ppt bcp und Pb&p cos ß = Pp₂ Scp.

Die Gesamtarbeit ist also

P (Pi + Pa) ö<p = Pp<fy,

wenn wir mit p den Abstand A' B' der parallelen Kräfte bezeichnen.

Nennen wir den Abstand eines Massenpunkts in von der Drehungsachse r, so beschreibt er den Weg s = vsy.

Die Kraft, welche auf ihn wirkt, ist gegeben durch

d²s

à² cp

mdF2=mr dt*’

Das Produkt aus Kraft und Weg ergiebt sodann die à² cp

geleistete Arbeit mr²

alle Massenpunkte muss gleich der Arbeit des Kräftepaars sein.

dt²

äcp. Die Summe davon für

d²cp

Am r² Scp — Pp 6cp

oder

(17)

d²op

2mr* = Pp.

Die Grösse Pp wird das Drehungsmoment des Kräftepaars genannt. Die Grösse mr², d. h. das Produkt aus der Masse eines Punkts in das Quadrat seiner Entfernung von der Drehungsachse nennt man sein Trägheitsmoment. Die Summe aller Trägheitsmomente Amr² heisst dann das Trägheitsmoment des Köders bezüglich der Achse 0.

§.2Ü. Ärmlichkeiten zwischen geradliniger und drehender Bewegung.

Falls (p der Drehungswinkel ist, welchen ein Körper in einer bestimmten Zeit beschreibt, so können wir in

d<p

seine Winkel-

Analogie zur geradlinigen Bewegung ^

d²

geschwindigkeit und - seine Winkelbeschleunigung nennen.

Für eine bestimmte Lage der Drehungsachse ist das Trägheitsmoment eine konstante Grösse. Wir erfahren dann aus Gleichung (17), dass das Drehungsmoment einfach proportional der Winkelbeschleunigung zu setzen ist. Wir können also die drehende Bewegung eines Körpers mit der Bewegung eines Massenpunkts in vollständige Analogie bringen, wenn wir die Begriffe der Masse, Beschleunigung und Kraft durch jene des Trägheitsmoments, der Winkelbeschleunigung und des Drehungsmoments ersetzen.

Diese Analogie geht noch weiter. Projizieren wir die Fläche, welche der Radius vektor eines Massenpunkts bei der Drehung um einen gewissen Wink elbeschreibt, auf die drei Ebenen eines rechtwinkeligen Koordinatensystems, so können wir die so erhaltene Fläche als von Drehungen herrührend ansehen, welche der Punkt um die x-, y- und z-achse macht. Es sind das also die drei Komponenten, während umgekehrt die ursprüngliche Drehung die Resultierende dieser drei Komponenten ist.

Dasselbe gilt auch für das Drehungsmoment Pp. Wir können es durch ein Rechteck von den Seiten P und p dar stellen. Die Projektionen auf die drei Koordinatenebenen bilden dann wieder Parallelogramme, deren Fläche die Grösse der Drehungsmomente um die x-, y-und z-achse darstellt.

Unsere Gleichung (17) sagt gar nichts darüber aus, wo die Angriffspunkte der Kräfte zu liegen haben und wie sie gerichtet sind. Daraus geht ohne weiters hervor, dass man ein Kräftepaar ohne seine Wirkung zu ändern, in jeder Weise verschieben kann, wofern nur die Normale zu seiner Ebene immer dieselbe Richtung behält.

§ 30. Kräfte, welche nicht im Schwerpunkt eines starren Körpers angreifen.

Лу

Л'

/к-

Fig. 9.

Wir lassen nun ganz allgemein eine Kraft K (Fig. 9) in einem beliebigen Punkt A eines starren Körpers von der Masse M angreifen. Im Schwerpunkt S bringen wir zwei neue Kräfte K' und K" an, welche entgegengesetzt gerichtet, im übrigen jedoch der Kraft К parallel und gleich sein sollen. Infolge der Kraft K' = К wird der Körper eine fortschreitende Bewegung erhalten, für welche wir die Gleichungen aufstellen können, als wäre die ganze Masse M im Schwerpunkt vereinigt. Gleichzeitig erhält der Körper aber auch durch das Kräftepaar K AS eine Drehung um den Schwerpunkt, wie sie durch Gleichung (17) dargestellt wird.

Die Kraft К habe die Komponenten X, Y, Z, der Angriffspunkt die Koordinaten x, y, z. Die Kraft X erzeugt somit um die y-achse ein Drehungsmoment Xz um die z-achse das Moment — Xy. Aehnlich verhält es sich mit den Kräften Y und Z, so dass wir um die x-achse das Drehungsmoment

Zy — Yz

und gleicherweise um die y-achse das Moment Xz — Zx,

und die z-achse

Yx — Xy

erhalten. Wir müssen nämlich ein Drehungsmoment positiv oder negativ setzen, je nachdem es, gegen den Ursprung des Koordinatensystems betrachtet, eine Drehung im Sinne des Uhrzeigers oder entgegengesetzt hervorbringt.

§31. Steiner’s Satz.

Wir nahmen bisher an, der Körper sei völlig frei beweglich und die Drehung geschehe um den Schwerpunkt. Wir wollen jetzt den Körper so lagern, dass er sich nur um eine feste Achse drehen kann. Genau wie im §. 28 können wir auch für den jetzigen Fall die Gleichung (17) ableiten, nur bezieht sich dann das Trägheitsmoment 2 inr² auf die feste Drehungsachse des Körpers.

Wir hängen einen Körper in einem beliebigen Punkt A (Fig. 10) so auf, dass er sich nur um eine Achse senk-recht zur Bildebene drehen kann. Wir suchen bezüglich dieser Achse A das Trägheitsmoment ^mr².

Fig. 10.

Den Schwerpunkt 0 machen wir zum Ursprung eines recht winkeligen

Physisches Pendel.

57

Koordinatensystems. Die z-achse geht also durch A und es sei OA = d. Dann ist

r² — r^2 _|_ cp — 2 rx dj cos a, und das Trägheitsmoment

2 mra = 2 mrx² -j- d² 2 m — 2d 2 mrA cos a.

Nun ist aber ^m^M, d. i. gleich der Masse des Körpers, während

2 mrx cos a = 2 mz = 0

ist, da die Koordinatenachse durch den Schwerpunkt geht. Es hleiht also

2 mr² = 2 mrj² + Md².

Das Trägheitsmoment um eine willkürliche Achse setzt sich also aus zwei Trägheitsmomenten zusammen. Das eine Md² wäre vorhanden, wenn wir uns die gesamte Masse des Körpers im Schwerpunkt vereinigt dächten. Dazu kommt noch ein Trägheitsmoment bezüglich einer Achse, die durch den Schwerpunkt des Körpers geht und zur eigentlichen Drehungsachse parallel ist. Dieser Satz rührt von Steiner her.

§ 32. Physisches Pendel — reduzierte Pendellänge. Ein starrer Körper soll sich nur um die y-achse drehen können. Das Drehungsmoment ist dann nach § 30 Xz—Zx. Drehende Kraft sei nur die Schwere. Ein Massenpunkt hat daher die Komponenten X = 0, Z = — mg

Das gesamte

und übt ein Drehungsmoment mg x aus. Drehungsmoment des Körpers wird also 2 mg x = gM I sein, wenn M seine Masse und | die Schwerpunktsab-scisse ist.

Nach (17) gilt nun die Gleichung cl²®

K-d-f = gMl,

“ths.

wenn wir das Trägheitsmoment des Körpers 2 mr² = К setzen. Ist der Abstand von der Drehungsachse a und scbliesst ein Radius vektor mit der z-achse den Winkel (p ein, so I = a sin <p, der Winkel mit der negativen z-achse = n — cp. Die Gleichung wird jetzt d²    gMa .

■ = —rsm f

Das ist aber genau dieselbe Gleichung, wie wir sie für das einfache Pendel in § 9 erhalten haben, wenn wir

ersetzen. Wir nennen daher einen in

dieser Weise schwingenden Körper ein physisches Pendel im Gegensatz zum einfachen oder mathematischen Pendel.

Dieses hat eine Schwingungsdauer

das physische hingegen

Für gleiche Schwingungsdauern muss also

Ma

1 = =^-

sein, weshalb man diese Grösse auch die reduzierte Pendellänge nennt.

§ 33. Reversionspendel.

Wir wissen bereits, dass das Trägheitsmoment K - T + Ma²

Reversionspendel.

59

ist, wobei wir unter T das Trägheitsmoment bezüglich einer parallelen Achse durch den Schwerpunkt verstehen. Die reduzierte Pendellänge ist demnach

T JL

Ma

_Sa + a'

Zur Bestimmung von a erhalten wir eine quadratische Gleichung

a² —al-f-^r .= 0.

(18)

aus

Die Wurzeln dieser Gleichung seien aL und a₂. Ziehe ich daher um den Schwerpunkt zwei Kreise vom Radius aA und a₂, so hat der Körper für jeden Aufhänge-punkt, der in eine solche Kreisperipherie fällt, dieselbe Schwingungsdauer, deren reduzierte Pendellänge, wie (18) folgt 1 = aL a2 Sucht man daher zwei Punkte auf, welche mit dem Schwerpunkt in einer Geraden liegen, vom Schwerpunkt verschiedene Entfernung haben, aber gleiche Schwingungsdauer bewirken, so ist der Abstand dieser Punkte die reduzierte Pendellänge. Ein solches Pendel nennt man ein Ke versionsp en del, und es dient dazu, die Beschleunigung der Schwere g ?u ermitteln.

Kenne ich den Schwerpunkt, so ist mir auch at und a₂, folglich auch nach der Gleichung

T

M ~ ai ^

welche aus (18) folgt, das Trägheitsmoment bekannt.

§ 34. Trägheitsmoment eines Parallelepipeds.

Wir nehmen den Mittelpunkt des Parallelepipeds als Ursprung eines Koordinatensystems an, dessen Achsen parallel den Seiten des Parallelepipeds liegen. Die Drehachse gehe durch den Mittelpunkt parallel zur y-aclise. Das Trägheitsmoment ^mr² ist daher gegeben durch

8 ahc q

—3— (a² + cr)

-f-a -f-b +c

T =    ^ Ç Q (x² - j-z*) dx dy dz =

— “g" (^² + C⁸),

wenn wir die Seiten des Parallelepipeds a; h und c nennen, ein Massenteilchen

m = q dx dy dz

setzen, wobei q also die Masse der Volumeinheit, die Dichte, des Körpers ist, und überlegen, dass r² = x² + + z² ist.

Mc²

Wir nehmen nun an, das Prisma sei sehr schmal, so dass a gegenüber c vernachlässigt werden kann. Dann ist

Für dieses Prisma suchen wir zwei Aufhängepunkte, die ein Reversionspendel ergehen. Nach Gleichung (18) haben wir

c²

a²—l a 4- -y = О,

Ist die Gesamtlänge des Stabes 2c = L, so erhalten wir für a nur dann einen möglichen Wert, wenn

Ferner muss aber auch

2 >a

cm.

sein, woraus für ein Pendel von gegebener Schwingungsdauer ganz bestimmte Grenzen der Stablänge folgen. Für ein Sekundenpendel liegen dieselben zwischen ungefähr 150 und 170

§ 35. Trägheitsmoment einer Kugel.

Der Mittelpunkt der Kugel sei wiederum der Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems. Wegen der allseitigen Symmetrie ist natürlich für jede Achse durch den Mittelpunkt das Trägheitsmoment dasselbe. Für eine Kugelschale vom Kadius r gilt daher

2 m (y² -j- z²) = 2 m (x² + z²) = 2 m (x² -f- y²). Alle drei Summen addiert, ergibt

3T — 2 ^ m (x² + y² + z²) = 2 2mr²,

oder

2 mr2 Ô

Dehnen wir dieses Resultat auf die Vollkugel aus, so können wir

m = 4 л q r² dr

setzen, und es wird

^mr²

= 4:tiq I 0

r⁵.

wenn r der Radius der Yollkugel ist. Die Masse dieser Kugel ist

71Q Г³.

Das Trägheitsmoment der Yollkugel kann daher auch geschrieben werden

2    2

-5- 2 m r² == — M r². о    5

Hängen wir demnach eine Kugel an einem sehr dünnen Draht von der Länge L auf, dessen Masse gegenüber jener der Kugel vernachlässigt werden kann, so wird die reduzierte Pendellänge

¹ Ma"

or to

Mr² + (L + r)²M

= L + r4-

2 r²

5 L-j-r*

M (L + r)

Es ist die reduzierte Pendellänge also grösser als die wirkliche, doch wird der Unterschied für eine kleine Kugel sehr gering.

§ 36. Trägheitsmoment um eine beliebige Achse — Träglieitsellipsoid.

kel a, /?, y. punkt m habe die Koordinaten X, y, z, also r² — X² -f-y² + z², und es schliesse r X mit OA den Winkel & ein. p sei die Entfernung des

Die Achse O A (Pig. 11) werde als Drehungsachse gewählt. Sie bilde mit den Koordinatenachsen die Win-Ein Massen-

r,

Fig. 11.

Punktes m von der Drehachse. Dann ist das Trägheitsmoment

2 mp² — 2 mr² sin² & = 2 m (r²-—r² cos² #). Wir wissen weiters, dass

COS & =

x , У

— cos a ~\--

r    r

worn ach wir für das Trägheitsmoment erhalten К = 2 m (r² — r² cos² ft) =

= 2 m (x² -|- y² 4" z² — x2 cos2 « — У² cos²^ — z² cos² у — — 2y z cos ß cos у — 2xz cos у cos а — 2xycos« cos ß). Bedenken wir noch, dass

also

cos² а + cos² ß + cos² у = 1, x² — x² cos² а = x² cos² ß -f- x² cos² у u. s. w. ist, so können wir das Trägheitsmoment leicht auf die Form bringen

К = cos² a 2m (y²-f- z²) 4* cos² ß 2m (z² + x²) +

4“ cos² у 2m (x² + y²) — 2 cos ß cos у 2 my z —

— 2 cos у cos « 2 mzx — 2 cos « cos 2 mxy.

Wir wollen nun von О aus auf der Achse OA die

Strecke

УК

ON = À

abschneiden, Es ist daher

= A cos² а + В cos² ß 4~ C cos²/ — 2D cos ß cos у —

— 2 E cos у cos а — 2 F cos a cos ß.

Wir haben hier 2 m (y² 4" z²) = A u. s. w. gesetzt.

Für N seien die Koordinaten x, y, z, also ON cos a = = x, u. s. w. Dann folgt für unsere Gleichung, wenn wir beide Seiten mit ON² multiplizieren,

1 = Ax² + By² 4- Cz² — 2 Dyz — 2 Ezx — 2 F x y.

Das ist die Gleichung eines Ellipsoids. Ein Hyperboloid kann sie nicht darstellen, weil sonst auch Trägheitsmomente von beliebig kleiner Grösse vorhanden sein müssten, was ein Widerspruch wäre.

Eallen die Koordinatenachsen mit den Achsen des Ellipsoids zusammen, so erhalten wir eine einfachere Gleichung, welche nur die Glieder mit x², y² und z2 enthält.

Für einen jeden Körper ist also für jede beliebige Drehungsachse durch obiges Ellipsoid das Trägheitsmoment gegeben, weshalb man es auch das Trägheits-ellipsoid nennt. Dasselbe kann für spezielle Fälle natürlich auch ein Rotationsellipsoid oder eine Kugel sein. Die drei Achsen des Ellipsoids nennt man die Hauptachsen des Trägheitsmoments oder kürzer die Hauptachsen der Trägheit.

§ 37. Bewegung eines festen Körpers um einen festen Punkt — Euler’sche Gleichungen.

M'

Fig. 12.

Wir machen den festen Punkt, um welchen die Drehung des Körpers stattfinden soll, zum Koordinaten-Z Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems. Die Winkelgeschwindigkeit w habe die Componenten p, q, r. Die Bewegung, welche ein Punkt infolge einer kleinen Drehung um ^ die x-Achse macht, ergiebt sich leicht aus Fig. 12. In derselben ist die x-Achse senkrecht zur Bildebene gedacht In der Zeit dt gelange der Punkt M nach M'. Diesen Weg

zerlegen wir in die Komponenten M P parallel zur y-Achse und P M' parallel zur z-Achse. Nun ist MP = — M M' . sin <p = — O M p dt sin cp = — zp dt, da OM sin <p = z die Ordinate des Punktes M ist. Gleicherweise ergibt sich parallel zur z-Achse P M' = y p d t.

Auf analoge Weise können wir die Drehungen um die y- und z-Achse in Bewegungen parallel zu den drei Achsen zerlegen.

Infolge sämtlicher drei Drehungen wird also der d X

Punkt eine Geschwindigkeit parallel zur x-Achse

u. s. w. erlangen, welche wir leicht erhalten, wenn wir den gesamten Weg parallel zur Achse durch die Zeit d t dividieren. Das Ergebnis ist

dx

dy

dt = rX-PZ’

dz

(lt = I>y--qx.

Erinnern wir uns nun, dass das Drehungsmoment um die x-Achse durch Z y — Y z (§ 30) gegeben ist,

d²z dt²

die Bewegungsgleichungen des Körpers finden d X

wir unsere Werte für тг u. s. w. benutzen.

wobei Y — 2 m

d²y

"dt*

und Z = 2 m

ist, so können wir

wenn

dt

Wir bilden vorerst

dz

dy

у — z -J^ = py² —qxy —rxz + pz² = p (y? + z²)-

Jäger, Theoretische Physik.

— X (q y + r z) = p (x² + y² + Z²) — X (p X + qy + rz)= = p p² — x (p x + q y + r z), wobei X² -f- y² -f- z² = p² gesetzt wurde.

Durch Differentiation dieser Gleichung nach t erhalten wir nun

(px + qy + rz) —

d²z    d²y dp ₂ dx

y at2 — z it²⁼ate — dt

dp

dq

dr

dP’

Das Glied

dx

dy

pdt +q dt +r dt⁻⁰-

Es sind nämlich —, —, w w

die Kichtungskosinus der

Drehungsachse und das vernachlässigte Glied stellt demnach nichts anderes als die Geschwindigkeit parallel dieser Achse dar. Eine solche Geschwindigkeit ist aber nicht vorhanden.

dx

Wir setzen nun jetzt anstatt ^wieder seinen Wert

q z — г y ein, multiplizieren aus, summieren über sämtliche Massenpunkte und lassen den Körper nur um eine der drei Hauptträgheitsachsen drehen. Für diesen Fall werden alle Glieder, welche die Koordinaten nicht als Quadrate enthalten, gleich Null, und es bleibt uns nur y d²z

Nennen wir nun die Drehungsmomente um die drei Achsen L, M, N, die Trägheitsmomente A, В, C, so erhalten wir die drei Gleichungen

dr

dp

A^ + (C-B)qr = L, b||+(A-C)pr = M,

(19)

Cdt +(B-A)pq = N.

Wir können nämlich 2*m(y² —    (x²-J-y²— x²—z²)

= C — В setzen.

#Diese Grleichungen wurden von Euler aufgestellt. Sie setzen voraus, dass die Trägheitsmomente А, В, C konstante Grössen sind. Das wird aber, wenn die Drehungsachse mit der Zeit ihre Lage ändert, im Allgemeinen nicht der Fall sein. Dem können wir aber ausweichen, wenn wir einfach nach dem Vorgang Eulers während der Rotation des Körpers das Koordinatensystem sich ebenfalls so bewegen lassen, dass die Bedingung konstanter Trägheitsmomente erhalten bleibt.

§ 38. Freie Achse.

Ein Körper drehe sich sehr rasch um die z-Achse, habe hingegen sehr geringe Winkelgeschwindigkeiten um die x- und y-Achse. Es ist also r gegen p und q sehr gross, so dass wir das Produkt pq gegen r überhaupt vernachlässigen können. Ferner soll an unserm Körper kein Drehungsmoment angreifen, also L = M — N = 0 sein. Wir erhalten dann aus den Gl eich un-gen (19)

dt - °’ r — const.

Setzen wir nun

С—A

А Г-Л’

А—С

- Г — fl,

so ergibt sich weiter

dp

+ A q — 0,

dt +^p-°-

Differenzieren wir die erste Gleichung nach t, so

ś!p + л És = о

dta + /tdt u

dq

und für seinen Wert aus der zweiten Gleichung eingesetzt

d²p

dt2 —

Nach dieser Gleichung ist p eine periodische Punktion der Zeit, wenn A ft negativ ist, eine exponentielle, wenn A ft positiv (§§ 9, 10). In letzterem Pall wird unsere Gleichung aber wertlos, da wir sie ja unter der Bedingung abgeleitet haben, dass p immer klein bleibe. Wir haben also lediglich zu untersuchen, wenn A ft

__ (С —В) (A — C) r²

AB

negativ ist. Dies trifft in zwei \ A    / A

Fällen zu, entweder wenn C^> oder wenn C ^ ist.

Das eine Mal ist also die Rotationsachse die grösste Hauptachse der Trägheit, das andere Mal die kleinste* In diesen beiden Fällen kann ein rasch rotierender

Körper kleine Stösse und sonstige Störungen erleiden, ohne dass dadurch seine Rotationsachse eine wesentliche

Lagenänderung erleidet, sondern sie macht nur kleine Schwankungen um ihre ursprüngliche Lage. Ein solcher Körper heliält also seine Lage im Wesentlichen hei, wir sagen, er rotiert um eine freie Achse.

Jeder Rotationskörper hat als Trägheitsellipsoid ein Rotationsellipsoid. Wir können daher, wenn wir die Achse des Körpers als Drehungsachse mit der Winkelgeschwindigkeit r wählen, A = В setzen und erhalten strenge

dr

cdt = °-

Die Achse eines solchen Körpers können wir also nach Belieben drehen und wenden, ohne seine Winkelgeschwindigkeit zu verändern.

§ 39. Kreiselbewegung — Praecession — Nutation.

Ein rechtwinkeliges Coordinatensystem О X Y Z

-X

"и:

Fig. 13.

(Fig. 13) legen wir fest, so dass die Z-Achse vertikal steht. 0 sei der Unterstützungspunkt des Kreisels. Er drehe sich um die Achse 0 C, welche die eine Achse des beweglichen Koordinatensystems sein und mit O Z den Winkel #einschliesen soll. O A und О В seien die beiden andern Achsen. Die Gerade, in welcher die А В-Ebene die XY-Ebene schneidet, nennen wir OU, eine zweite Gerade senkrecht auf OU in der AB-Ebene OY. OU bilde mit OX den Winkel y, mit O A den Winkel <p, diesen Winkel bildet auch OY mit OB. Es gehören nun zu den Achsen O A, OB, ОС die Winkelgeschwindigkeiten des Kreisels p, q, r. Zu den Achsen OU und O Y die Winkelgeschwindigkeiten u und v.

Bei einer Drehung um OC ändert sich in der Zeit dt bloss der Winkel um rdt, bei der Drehung um OU nur der Winkel# um udt, bei der Drehung um OY der Winkel^; um

UU'

UUt _ vdt sin # sin #’

der Winkel

4>

um

— UjU' = — UU' cos # ⁼⁼ —

vdt

cos #,

sin #

Wir erhalten demnach folgende Winkelgeschwindigkeiten:

Y COS #

sin # ■

d çp_

dt _Г

dt=u> dt sin # ’

oder

¹¹ “ dt’

n d V*

v=sm* di»

dm .d tft

r= dt+ dt ⁰⁰⁸ *•

Die Winkelgeschwindigkeiten p und q setzen sich bloss aus den Winkelgeschwindigkeiten u und v zusammen, welche um Achsen in derselben Ebene OUAVB vorhanden sind. Darnach ist

t-Q

= u cos (p -f- v sin y,

= v cos (p — u sin <p,

Wir bilden nun die kinetische Energie К unseres Kreisels. Sie ist gleich der Summe der Energien um drei auf einander senkrechte Achsen (§§ 13, 39) und wird dargestellt durch das halbe Produkt aus dem Trägheitsmoment in das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit, also

}(Ap! + Bq4Cr!).

Wir setzen voraus, der Kreisel sei ein Rotationskörper, somit А = В und

l- A (p* + q²) + i- Cr! = A a(u²+v²) + -*- C r².

Führen wir die Winkel #, <p, у ein, so wird

Cr².

Auf unsern Kreisel wirke nur die Schwerkraft. Dieselbe erzeugt ein Drehungsmoment M g a sin #, wenn M die Masse, a der Abstand des Schwerpunkts vom Unterstützungspunkt О des Kreisels ist.

Die geleistete Arbeit muss immer gleich der Aen-derung der kinetischen Energie sein, also dK = Mga sin # d #,

was integriert

К = Cj — Mga cos # —    — D cos &

ergibt, wenn wir M g a = D einführen. Setzen wir den Wert für К ein, so erhalten wir die Gleichung

+ ~2~ C r² = Cj — D cos #, und da C r² ebenfalls konstant ist, indem wir ja kein

("Г

Drehungsmoment um die О C - Achse haben, so wird unsere Gleichung

2D

-д- cos (20)

sin² #

Die Schwere kann natürlich kein Drehungsmoment um eine Уertikalachse hervorbringen. Es muss deshalb die Bewegungsgrösse des Kreisels auf eine Vertikalachse bezogen eine konstante Grösse bleiben. Als solche haben wir hier das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit einzuführen (§ 29), erhalten für unser Beispiel demnach

C r cos # -j- А V sin & = C₃, und für у seinen obigen Wert wieder eingesetzt

(21)

A sin² &    + C r cos # = C₃.

Für t == 0 bilde die Kreiselachse mit der Z-Achse

den Winkel #₀. Ferner sei = 0 und = 0. Für

diese Werte wird Gleichung (20)

2D

— cos

c^ä

C₃ = 0 r cos #₀.

und Gleichung (21)

Mit Einführung dieser Ausdrücke für die Konstanten C₂ und C₃ in die Gleichungen (20) und (21) erhalten wir nun

sin² &

ЛЬ/Л² , (d&y 2D

\dt/ ⁺ \dtj

О II

(cos #₀ — cos #),

(22)

. J „ d ę г sm * dt= А

(cos — cos #).

Aus Gleichung (22) folgt, dass beständig cos #₀ > cos # sein muss, da alle übrigen Grössen dieser Gleichung

(23)

d гр

positiv sind. Damit folgt aber nach (28) auch für

ein positiver Wert, d. h. die Achse des Kreisels dreht sich beständig in ein und derselben Richtung um die Vertikalachse. Aus (22) und (28) können wir leicht finden

dt

--■ГГ — -f- j/ (cosflft—cos#)

2D

C² r*

(cos #₀—cos #) .

А    A² sin²#

Es wird demnach mit wachsender Zeit # zuerst zunehmen bis es einen gewissen Wert erreicht hat, bei welchem

dt

gleich Null, weiterhin dann negativ wird. Das

negative Vorzeichen der Wurzel springt wieder in das

positive um, sobald # wieder #₀ geworden ist. # ist

daher eine periodische Funktion der Zeit. Dasselbe

finden wir aber dann auch für den Winkel гр. Unsere

Kreiselachse macht zwei Bewegungen. Die Winkel-

d#    .    .    d гр

bewegung ^^ nennen wir die Nutation, die Präcession

des Kreisels,

= ° und -(lt

Ist der Kreisel im Schwerpunkt unterstützt, so ist a = o, also auch D = o, dann muss konstant 0 = #₀,

0 bleiben. Ein solcher Kreisel zeigt

d#

"dt

weder Präcession noch Nutation. In gleicher Weise kann & von #₀ um so weniger verschieden werden, je grösser die Winkelgeschwindigkeit r des Kreises ist. Wir können daher bei einem rasch rotierenden Kreisel zwar die Präcession, nicht aber die Nutation beobachten.

d#

Bilden wir durch Division von durch den

dt

dt

d#

Ausdruck -j-p so erhalten wir die Gleichung der Bahn,

welche der Schwerpunkt beschreibt. Projicieren wir dieselbe auf eine Horizontalebene, so nimmt dieselbe, wie wir aus der Diskussion der Gleichung leicht erkennen, die in Eig. 14 wiedergegebene Gestalt an.

Fig. 14.

Unsere Erde ist ebenfalls ein Kreisel, und da die Anziehungskraft der Sonne, weil die Erde keine vollkommene Kugel ist, ihren Angriffspunkt nicht in deren Schwerpunkt hat, so zeigt auch die Erdachse die bekannte Erscheinung der Präcession und Nutation.

Prinzip der Erhaltung des Schwerpunkts.

75

Mechanik nicht starrer Punktsysteme.

§ 40. Prinzip der Erhaltung des Schwerpunkts.

d²y

d²z

= 2*Y,    = 27i.

Sind nun gar keine Kräfte vorhanden, so d²x    d²y d²z

jjy    ^ m-j^₂    0»

Integrieren wir, so resultiert

2X, 2 m

Wir erwähnten bereits, dass wir alle Lehrsätze, welche wir für einen Massenpunkt gefunden haben, ohne weiteres auf ein System von Punkten anwenden können, falls wir nur für jeden einzelnen auch alle auf ihn wirkenden Kräfte in unseren Formeln berücksichtigen (§ 26). Wir werden daher die Bewegungsgleichungen eines Punktsystems schreiben können d²x

dt²

dt²

dx

^mdt=dt^mX = Mdt=C-Aehnliche Gleichungen ergeben sich für die übrigen Koordinaten. Wir sehen daraus, dass die Geschwindigkeit und Richtung des Schwerpunkts unseres Systems völlig unverändert bleibt, sobald keine Kräfte auf die Punkte ein wirken.

Wir können aber diesen Satz noch erweitern. 2 X u. s. w. wird nämlich ebenfalls gleich Null, wenn nur innere Kräfte vorhanden sind, d. h. Kräfte, welche die Punkte des Systems auf einander ausüben. Die Komponenten einer jeden solchen Kraft kommen dann immer zweimal, einmal positiv und einmal negativ in den Summen vor, sie tilgen sich also gegenseitig. Der Satz, dass sich der Schwerpunkt eines Systems, auf

welches keine äusseren Kräfte ein wirk en, mit konstanter Richtung und Geschwindigkeit bewegt, nennt man das Prinzip der Erhaltung des Schwerpunkts.

Dasselbe lässt sich auf unzählige bekannte Bewegungserscheinungen anwenden. Ist der Schwerpunkt von vornherein in Ruhe, so bleibt er es auch weiterhin. Feuern wir aus einem sehr leicht beweglichen Geschütz ein Geschoss ab, so erhält das Geschütz den sogenannten Rückstoss. Der Schwerpunkt zwischen Geschoss und Geschütz bleibt bei vollständig freier Beweglichkeit beider vor und nach dem Schuss unbeweglich an derselben Stelle. Explodiert ein fliegendes Geschoss, so bewegt sich der Schwerpunkt sämtlicher Sprengstücke genau so weiter, als es das unversehrte Geschoss gethan hätte.

Auf dem Satz der Erhaltung des Schwerpunkts basieren alle sogenannten Reaktionserscheinungen.

§ 41. Prinzip der Erhaltung der Flächenräume.

Das Drehungsmoment, welches ein Punktsystem um die x-Achse eines Koordinatensystems erhält, lässt sich durch die Gleichung

/d²z

² (Zy — Yz) = 2mbj-^y

d’y

dt²

Z)

/dz dy \

mldty""dtZj

darstellen (§ BO). Sind keine «äusseren Kräfte vorhanden, so sind nach dem vorigen Paragraphen die Komponenten У und Z gleich Null, daher ist

Bewegimgsgleiclmngen von Lagrange.

77

dy

/dz

dtZ) = °-

dz dy

dT ^ — ïtZ    n*c^s an(^eres a^s die doppelte Fläche,

welche der Radiusvektor in der Zeiteinheit beschreibt, oder kurz die doppelte Flächengeschwindigkeit. Wir erhalten demnach den Satz, dass die Summe aller Flächengeschwindigkeiten heim Fehlen äusserer Kräfte eine konstante Grösse ist. Man nennt dies das Prinzip der Erhaltung der Flächenräume.

Ein Beispiel dafür lernten wir in der Planetenbe-wegung kennen (§ 16). Infolge der Erhaltung der Flächenräume fällt eine Katze immer auf die Fusse. Indem sie nämlich während des Fallens mit den Füssen eine drehende Bewegung beschreibt, zwingt sie ihren Körper sich entgegengesetzt zu drehen.

§ 42. Bewegungsgleichungen von Lagrange — generalisierte Koordinaten

Nach dem Prinzip von d’Alembert gilt für ein System von Massenpunkten folgende Gleichung

p—&)'*+(

+ (z—“ЙМ-0-(§ 18.) Wir führen nun anstatt der Koordinaten x, y, z, beliebige andere Grössen, die sogenannten generalisierten Koordinaten yj . . . ein, welche mit den ursprünglichen Koordinaten durch Gleichungen verbunden sind. Es sei also

u. s. w. Darnach wird

Analoge Ausdrücke ergeben sich für 6 у und 6 z.

Wir können demnach folgende Gleichung bilden:

/d²x

n4dF'5x +

, d²z \ d²x/ć>

<Sy+ d^<5z)=md^ lg

\ i d²y/0y ,

J+mdt^l^<5,P ⁺

d²y

dt²

<5qp +

<5^ + • •

^y

-(

d /dx -m dt \(

d²xdj d²y dj d²zdz df² Fm dt² dip ‘ eft² W,

dz dz\

I ⁶

W

•z

О)! 03

CD!

<p

dy d²y

Oj ~4~

dîd

<P —

m(

dx ć>²x

dt dt#

<P

d² z

dt did

d t d t d (p.

)ôq> + ...

Setzen wir

И !+=>

“X’dt

<P

u. s. w.? so

woraus folgt

И I э* со |со

Оз| Оз

I X

CD

'и

CD

Es ist demnach

d <p' d cp

dx dx dt 'dw

daher weiter

dx'

-- --

x <y

= -f-l

Bewegungsgleichungen von Lagrange.

79

mdt da ja

Cb <Cb

031 03

cp

dy

+dt-

• -)=

<р/

d d /mv²\ dt «ÿ \~2/’

X'² + y'² + z'² = V²

ist, wenn wir unter v die Geschwindigkeit des Punktes m verstehen.

mv²

Für die lebendige Kraft ^ wollen wir den Buchstaben L einführen. Man sieht leicht ein, dass /dx d²x dy d²y dz d² z \ d /mv²\ m\dtdtd«? dt dtdrß dtdtdg?) д<Д 2 /

⁽f

03i 03

ist. Mit Berücksichtigung alles dessen können wir unsere obige Gleichung demnach schreiben

/d²x    d²y    d²z \

m(dp 5x+dP<5y‘bdP<5z) ⁼

d dL дЪ

dt дcp¹ d q)

Aehnliche Gleichungen ergeben sich natürlich für die übrigen generalisierten Koordinaten ^ u. s. w.

Haben wir eine Funktion U von der Eigenschaft,

dass -— ô (p~f-    (5 q> -j- . . . die hei einer kleinen Ver

schiebung geleistete Arbeit darstellt, so gilt die Gleichung d²x

rc

ÔX-}

d²y

dt²

.    , d²z \ au e ,

<Sy+^-5,) = —^ +

4-

was ja nichts anderes als das Princip von d’Alembert ist. Beziehen wir die lebendige Kraft L auf sämtliche Massenpunkte und überlegen wir, dass die Wahl der Koordinaten ganz willkürlich ist, so ergeben sich uns schliesslich die Gleichungen

_d_2L dL_dU d t д у* d (p dcp ’

d_0L dL _dJJ

dt dip' dip d ip’

welche man die Bewegungsgleichungen von Lagrange nennt.

§ 43. Gleichungen für die relative Bewegung eines Körpers auf der Erdoberfläche.

Ein Punkt der Erdachse sei der Ursprung eines festen Koordinatensystems O^HZ; die -Ff-Achse gehe durch den Südpol. Es dreht sich also die Erde um diese Achse im positiven Sinn. Die Koordinaten eines Punktes M bezogen auf dieses feste Koordinatensystem seien    Fest mit der Erde verbunden denken wir

uns jetzt ein zweites Koordinatensystem Ox'y'z', welches mit dem ersten den Ursprung gemeinsam hat. Ferner fällt die y'-Achse mit der if-Achse zusammen, die x'-Achse wird hingegen zu einer bestimmten Zeit mit der Я-Achse einen bestimmten Winkel и einschlies-sen, welchen auch die z'-Achse mit der Z-Achse bildet. a ändert sich beständig mit der Drehung der Erde.

da

Es ist = nichts anderes als die Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung. Auf das neue Koordinatensystem bezogen wird also

I = x' cos а + z' sin J = z' cos a — x' sin a.

Wir verschieben nun das bewegliche Koordinatensystem parallel zu sich selbst in der Richtung der z'-Achse, bis der Ursprung auf die Erdoberfläche zu liegen kommt. Er hat dabei die Strecke p zurückgelegt, und wir wollen nun die neue Lage des Koordinatensystems mit о, x", y", z" bezeichnen. Die neuen Koordinaten x", y", z" des Punktes M stehen also mit den früheren in folgender Beziehung

x' = x", y' = y", z' = z" + p,

I = x" cos Cf + (p + z") sin a, n = У"»

f = (p + z") cos a — x" sin «.

Wir drehen jetzt das ganze Koordinatensystem um die x"-Achse, bis die z"-Achse vertical steht. Der Winkel Vs um welchen zu drehen ist, ist demnach nichts anderes als die nördliche Breite des Ursprungs unseres Koordinatensystems. Die jetzige Lage sei o, x, y, z mit den zugehörigen Koordinaten x, y, z, welche also folgenden Bedingungen unterliegen. Es ist x" = x, y" = y cos ^ — z sin z"= z cos яр + y sin y, folglich

I = x cos a + (p + z cos v> + У sin y) sin a, 7j = y cos гр — z sin

f == (p + z cos v> + У sin cos а — x sin ce. Aus diesen Gleichungen wollen wir nun

V²

bilden.

Die Winkelgeschwindigkeit unserer Erde ist so

/d ci\²

klein, dass wir das Quadrat derselben f-j^j =

ct>² in un-

Jäger, Theoreticche Physik.

serer Formel ohne weiteres vernachlässigen können. Mit Rücksicht darauf erhalten wir, wie man sich leicht überzeugen kann,

⁼fn) ⁺Ш) ⁺(<n) +² йр+zcos^+y sin

sin,/J)dT

V²

dy

/dz

-2x\Ttcosf + Tb

Mit Zuhilfenahme dieser Gleichung für v² bilden wir nun die Bewegungsgleichungen von Lagrange, indem wir als Koordinaten die x, y, z einführen. Für d TT

dx

diesen Fall ist — x die Kraft nach der x-Achse

u. s. w. Wir erhalten demnach d dL dL

dt dx dx

u. s. f., wenn wir ^ = x setzen. Wir geben der Einfachheit halber unserm Punkt M die Masse Eins. Seine lebendige Kraft ist also L —    . Beachten wir

d² a

noch, dass ^ = 0 ist, da ja die Rotation der Erde

mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ы vor sich geht, so können wir folgende Gleichungen bilden

d²x

f 2o>

d²y

(ifcos*+itsin4

dx

dt²

2(o^sm ip,

dt d j dj d dL dL „ d²z    dx

9z_Z_dt2 2"dtcos^

dt d±

dy

= — gt -f- 2 w cos у. X -f- c.

Führen wir nun diese Ausdrücke in die obigen Gleichungen ein und vernachlässigen wir wieder alle Glieder mit w², so d² X

j-p ⁼ — 2 o) cos 'ip (c — gt) — 2 o) sin ^. b,

d²y

= 2 а со sin y,

d²z

§ 44. Fall und Wurf mit Berücksichtigung der Erddreliung.

Auf unsern Massenpunkt wirke nur die Schwerkraft; dann ist X = Y = Ot Z =— g. Die im vorhergehenden Paragraph gefundenen Bewegungsgleichungen werden demnach d²x

dz

2 со cos ip

_    . dx

d^⁼²“sin^dt’

d²z    __

^ = -g + 2o,cos V-Tt-

Daraus folgt

dt²

d²y

dx

— 2 (o sin Ц

dx

Q-l P-

(24)

^ =— 2 со cos гр • z — 2wsint/> .y + a,

j^2 = — g + 2aeocos^.

Durch Integration erhalten wir dx

— 2 w cos

= 2 a co sin гр. t -j- b,

dy

- = — g t -f* 2 а со cos гр. t -f- c, was abermals integriert ergiebt

/    g t³\

X = — со cos 'ip ( ct² — -g-1 — со sin ip. b t² -f- a t «,

у — а со sin гр. t² -j- b t + ßi g t²

z — — —+ a,û>cos^. ta + ct_|_y.

A

Es sei nun für t = 0 der Körper in der Höhe h in vollständiger Rübe, also x = y —0, z = h, a = b = c = 0. Dann bleibt von unseren Gleichungen nur

gt³

X = CO COS

О

7=0,

1*1

z h ₂

übrig. Wir haben also die gewöhnlichen Fallgesetze, jedoch fällt der Körper nicht vertical, sondern er erhält eine kleine Abweichung nach Osten, da ja die x-Achse nach Osten gerichtet ist.

Werfen wir den Körper senkrecht nach oben, so gestalten sich; wie leicht zu finden, unsere Gleichungen folgendermassen

/ gt³\

сосозгр let² — -g- J,

У=0,

gt²

z = ct —

Nach der Zeit t =

2c

kommt der Körper wieder

c t² cos d. h. der о

auf die Erde. Dann ist x= —

Körper fällt westlich vom Aufstiegsort nieder.

§ 45. Horizoutalbeweguug mit Berücksichtigung der Erddrehung.

Wir wollen jetzt bloss die Bewegung in einer

Horizontalebene betrachten. Wir setzen deshalb

Es bleibt uns dann von den Gleichungen (24) nur d²x    . dv

dt~2 = — ² “ Sln ^ • dt’

d²y    . dx

<U’ = ²<W.rt.

= 0.

(25)

dx

Bewegt sich der Punkt nach Osten, so ist

positiv, er erhält eine Beschleunigung nach Süden, d. h. er weicht von der geraden Bahn nach rechts ab. d X

Ist jy negativ, so erfolgt eine Ablenkung nach Norden , also wiederum nach rechts. Dasselbe geschieht bei der Bewegung nach Süden und Norden, wobei

^ £ positiv bezüglich negativ ist. Es erlangt dadurch

der Punkt eine Beschleunigung nach Westen, beziehungsweise nach Osten.

Wir haben also das Besultat, dass wohin immer sich ein Körper auf der Erdoberfläche bewegt, er infolge der Erddrehung eine Ablenkung nach rechts erhält.

dt

Das hat einen gewissen Einfluss auf die Bewegung der Winde. Auch will man daraus folgern, dass das rechte Ufer der Flüsse mehr ausgewaschen wird als das linke.

C+- I N

und addieren sie, so ergibt dies

Multiplizieren wir die Gleichungen (24) der Reihe nach mit

dt dt

<t)

dz

dt

g d?

d. h. wir erhalten dieselbe Bewegungsgleichung, als wäre gar keine Erdrotation vorhanden (§ 15). Es lässt sich also durch keinen Mechanismus, der auf der Erde selbst ruht, die lebendige Kraft der Erddrehung in Arbeit umsetzen.

§ 46. Foucaults Pendelyersucli.

.    / dx dy\

2<o₈my[xTt + JTt),

Aus den Gleichungen (25) wollen wir folgende bilden d²y d²x x dta — ydV oder integriert

XIt — y^=(x2 + y!)wsin^ + C-

Setzen wir x² + y² = Q², so können wir die doppelte Flächengeschwindigkeit auch folgendermassen darstellen ₂d cp dy dx    .

*dt==xdt“yTt ⁼ «

oder

d (p

dt-0>Sinf.

Das heisst : können wir eine Richtung unab-

Hydrostatische Grundgleichungen.

87

hängig von der Erde fixieren, so scheint dieselbe sich mit einer Winkelgeschwindig-

(o sin um eine Vertikalachse zu

к eit

d (p

dt “ drehen.

Eine solche fixierte Lage hat z. B. die Schwingungsebene eines Pendels. Dieselbe scheint sich also im Lauf der Zeit zu drehen, und es wies ja Foucault bekanntlich auf diese Weise die Erdrotation nach.

Wir wissen auch, dass ein rotierender Körper, dessen Botationsachse eine freie Achse ist, seine Lage nicht ändert. Ist eine solche Achse frei beweglich horizontal aufgehängt, so wird auch sie infolge der Erddrehung eine scheinbare Drehung gleich der Schwingungsebene des Foucaultschen Pendels machen.

Hydromechanik.

§ 47. Hydrostatische Grundgleichungen.

In der Hydromechanik behandeln wir die Lehre vom Gleichgewicht und von der Bewegung der Flüssigkeiten und Gase.

Legen wir durch irgend eine ruhende Flüssigkeit eine Ebene, so wird auf sie von jeder Seite und zwar senkrecht zu ihr ещ Druck, der sogenannte hydrostatische Druck ausgeübt. Dieser Druck p per Flächeneinheit ist von der Bichtung der Ebene unabhängig, d. h. er ist nach allen Bichtungen gleich gross.

Denken wir uns ein Elementarparallelepiped der Flüssigkeit, dessen Seiten «, ß, у parallel den Achsen eines reclitwinkeligen Koordinatensystems sind. Die Kräfte, welche parallel zur x-Achse wirken, sind der Druck p, welcher auf der linken Seite ß у lastet, entgegengesetzt der Druck — p' auf der rechten Seite und dann die x-Komponente der äusseren Kräfte. Diese sollen, wie etwa die Schwerkraft, proportional der Masse der Flüssigkeit sein, und ihre Komponenten auf die Masseneinheit seien X, Y, Z. Dann wirkt also auf unser Element parallel zur x-Achse die Kraft Q aßY X, wenn q die Dichte der Flüssigkeit. Alle Kräfte sollen im Gleichgewicht, d. h. es muss

Р#Г-р^У + ?«#гХ = 0 sein. Wir nehmen nun an, der Druck p sei eine Funktion der Koordinaten, so

dp

P/ = P+ ТЧ. “•

führen wir diesen Wert in unsere Gleichung ein, dividieren wir durch a ß у und überlegen wir, dass wir in ganz ähnlicher Weise auch bei den übrigen Komponenten Vorgehen können, so ergehen sich die Gleichungen

CD! Cd

?x-

dp

(•Y-    = 0,

(26)

dJ

0p

dz o.

Diese Gleichungen bedingen das Gleichgewicht einer Flüssigkeit, weshalb man sie die hydrostatischen Grundgleichungen nennt.

Haben die Kräfte ein Potential ist mithin X

дгр

dx

•3

ф

ьо

Form

u. s. f. an

О/

<ь>| S. И

X ТО

zusammenziehen.

dp = — ędip.

§ 48. Abhängigkeit des Drucks топ der Schwere in tropfbaren Flüssigkeiten — hydrostatisches Paradoxon.

Lassen wir die x-Achse vertikal nach oben gehen und führen wir als äussere Kraft nur die Schwere ein, so ist

X = Y = 0, Z = — g. Unsere Gleichungen werden

dp

dp dp

dx    d y

Für tropfbare Flüssigkeiten können wir die Dichte als vom Druck unabhängig ansehen; die Integration der Gleichungen ergibt daher

p = konst.

Für alle Punkte einer Horizontalebene, welche man auch eine Niveaufläche nennt, und

P = c — egz

für die Abhängigkeit des Drucks von der Höhe*

Die Oberfläche der Flüssigkeit muss daher eine Horizontalebene sein. Legen wir sie in die xy-Ebene, so P = — e g z>

d. li. der Druck ist proportional der Tiefe. Die Form des Gefässes spielt in den Gleichungen gar keine Holle, d. h. sie ist für den Druckder

Flüssigkeit vollsandig gleich giltig, eine Erscheinung, die man das hydrostatische Paradoxon nennt.

Dasselbe Resultat erhalten wir natürlich auch, wenn wir die Gleichung dp = — q d яр integrieren. Da q konstant, so

(27)

während яр — g z ist.

§ 49. Gleichgewichtsiigur einer rotierenden Flüssigkeit.

Dreht sich ein teilweise mit Flüssigkeit angefülltes zylindrisches Gefäss um seine Achse, so rotiert bald die ganze Flüssigkeit mit und bildet dabei eine einwärts gewölbte Oberfläche. Lassen wir ein Koordinatensystem, dessen z-Achse die Zylinderachse ist; in gleicher Geschwindigkeit mit dem Gefäss rotieren, so können wir die Flüssigkeit in Bezug auf dieses System als ruhend ansehen und unsere Gleichungen darauf anwenden. Ist die Winkelgeschwindigkeit со, so erlangt ein Teilchen die Beschleunigungen

X = co² X, Y = (o²y, Z = — g. Für diese Kräfte haben wir das Potential

lp =. -

\ r² + g Z,

wenn wir X² -f- y² = r² einführen. Nach Gleichung (27) ist somit der Druck

Die Flächen konstanten Drucks oder die Ni-veauflächen und damit auch die Oberfläche sind Rotationsparaboloide.

§ 50. Barometrische Höhenformel«

Wollen wir die hydrostatischen Grundgleichungen auf Ixase anwenden, so haben wir zu bedenken, dass hei diesen die Beziehung zwischen Druck und Dichte durch das Boyle’sche Gesetz

l = R

gegeben ist, wobei R eine Konstante bedeutet.

Lassen wir bloss die Schwerkraft mit dem Potential ip — gz wirken, so wird die Gleichung dp = — q d гр sich verwandeln in

dp = —egdz = — ^dz,

oder

Durch Integration erhalten wir

lp--— g z + 1C;

p = Ce R

Für z = 0 sei p = p₀. Dann wird

P = Poe

- Jz.

ХЪ

Nach dieser Gleichung nimmt der Luftdruck mit wachsender Höhe ab.

§ 51. Kapillaritätskonstanten«

Man nimmt an, dass die kleinsten Teilchen einer Flüssigkeit Anziehungskräfte, die sogenannten Kapillarkräfte, auf einander ausüben, die allerdings nur auf sehr kleine Entfernungen wirksam sind. Das hat zur Folge, dass ein Teilchen im Innern einer Flüssigkeit sich so verhält, als wären derartige Kräfte nicht vorhanden, weil sie nach allen Richtungen gleichmässig wirken, sich daher gegenseitig aufheben. Die Teilchen an der Oberfläche erfahren jedoch einen Zug gegen das Innere der Flüssigkeit. Es ist daher eine Arbeit zu leisten, um ein Flüssigkeitsteilchen aus dem Innern an die Oberfläche zu bringen. Die Уergrösserung der Oberfläche erfordert Arbeit.

Befindet sich eine Flüssigkeit in einem Gefäss, so ist sie im Allgemeinen teils von der freien Oberfläche, teils von den Gefässwänden begrenzt. Diese dem Gefäss und der Flüssigkeit gemeinsame Fläche nennen wir die gemeinsame Oberfläche. Wollen wir die freie Oberfläche um die Flächeneinheit vergrössern, so haben wir die Arbeit a zu leisten, ebenso bei der Vergrößerung der gemeinsamen Oberfläche um die Flächeneinheit die Arbeit ß. a und ß nennt man die Kapillaritätskonstanten der Flüssigkeit.

§ 52. Erste Hauptgleichung der Kapillarität.

Um die Gleichgewichtsfigur der freien Oberfläche einer Flüssigkeit zu finden, benutzen wir wieder das Prinzip von d'Alembert. Als äussere Kraft sei nur die Schwere vorhanden. Dieselbe leistet bei einer virtuellen Verschiebung die Arbeit

Ш — Q g 5 z • dx dJ dz>

wenn Sz die Komponente der Verschiebung parallel zur z-Achse ist.

Auf der Oberfläche der Flüssigkeit laste der Druck P. Einer Verschiebung 5n in der Richtung der Nor-

malen entspricht demnach die Arbeitsleistung der Kräfte — Я P ô n d 0.

Diese Arbeit ist gleich Null, wenn, wie wir annehmen wollen der Druck P als auch das Volumen der

Flüssigkeit konstante Grössen sind. Es ist dann JJPöndO = P J\f (5 n d 0 = 0,

da ja

J7 8 n d О = 0

nichts anderes als die Volumsänderung ist.

Bei der Vergrösserung der freien Oberfläche leisten die Kräfte die Arbeit

— a ô F.

Die gemeinsame Oberfläche ändert sich nicht.

Die Bedingung, dass das Gesamtvolumen der Flüssigkeit konstant bleiben soll, lässt sich durch folgende Gleichung ausdrücken

n;s(dxdydz)=JJJ( dx

d<Sx dSy döz

dy

dz

jdxdy dz —0.

(28)

Wir können nämlich leicht die Transformation vornehmen

= dx dy dz ^

5 (dx dy dz) = dy dz d (Sx -f- dx dz d §y -j- dx dy dsz = döx day döz\ dx +    + "dz? e

Alle angeführten Bedingungen lassen sich in eine Gleichung zusammenfassen, wenn wir Gleichung (28) mit einem willkürlichen Faktor Л multiplizieren und sie zur Summe aller Arbeiten addieren. Das ergibt wie leicht zu finden

ddx, dsy dSz dy ‘ dz

/

Ш[—    + dx

jdxdy dz — «SF —0.

Es ist nun

Ш.л

dx dy dz = Я dz . Лах — JJJöx^dxdydz.

Sind f, fi} f die Winkel, welche die Normale eines Oberflächenelements dO mit den Koordinatenachsen ein-schliesst, so können wir

dy dz = dO cos I u. s. w. setzen, und es wird

Я dy dz ^Öx+JJdzdx.^ay + H dxdy.ЛЪг = JJ^dOdn, da ja

S X cos I -|- a y cos y\ -j- a z cos f = a n

ist.

Obige Gleichung lässt sich daher umwandeln in

j <5zj| dx dy dz -f-

г Г СГ дл дл / i дл

JJJ b«?âx_«7'ï_(fe+5î

+ ЯЛаБМп — aôF = 0.

Wir haben hier für dO das Differential dF eingeführt, da ja nur die freie Oberfläche ein von Null verschiedenes dn haben kann.

Das Volumen unserer Flüssigkeit kann natürlich ganz willkürlich gewählt werden, weshalb in unseren Gleichungen das dreifache Integral für sich gleich Null werden muss. Dies ist erfüllt, wenn wir

(29)

ci ~ (>gz

setzen, wobei Cj eine beliebige Konstante ist. Es bleibt demnach nur noch

(30)

я ÀôndF — aôF = 0.

Für ein Oberflächenelement dO können wir nach einem Lehrsatz der Geometrie zwei senkrecht auf einander stehende Ebenen angeben, deren eine die Kurve des grössten, die an-de re jene des kleinsten Krümmungsradius des Flächenelements enthält. Diese Radien seien r und r'. Wir lassen sie von den entsprechenden Krümmungsmittelpunkten aus die Winkel d cp bezgl. d^ beschreiben und erhalten so das Oberflächenelement dO = rr' d(p d^.

Verschieben wir das Element nach der Normalen um S n, so erhalten wir das neue Element

dO'

= (r + <5n) (r'+(5n) d(p ày = rr' dqpdt/> (1+

Der Zuwachs des Oberflächenelements ist mithin

dO' —dO = dO

Auf die freie Oberfläche angewandt können wir daher

и +?).**

setzen. Darnach wird also Gleichung (30)

d Fdn = 0.

Nun ist aber

Я dF<Sn = 0,

weil dies die Volumsänderung der Flüssigkeit darstellt. Es genügt daher

= C2>

oder mit Zuhilfenahme von (29)

(^² + «(у+^) = с

(31)

zu setzen, wobei die Konstante c aus bekannten Werten von r,r' und z gefunden werden muss.

Gleichung (31) nennt man die erste Hauptgleichung der Kapillarität.

§ 53. Zweite Hauptgleichung der Kapillarität.

Wir berücksichtigten bisher nicht die Möglichkeit, dass auch die gemeinsame Oberfläche bei der virtuellen V erschiebung eine Grössenänderung erfährt. AB (Fig. 15) sei die Gefässwand, CD die freie Oberfläche. Beide bilden mitsammen den sogenannten Bandwinkel i.

Machen wir eine virtuelle Verschiebung (5n in der Bichtung der Normalen, so erfährt dadurch sowohl die gemeinsame als die freie Oberfläche einen Zuwachs. Nennen wir die

nXc"

.Peripherie des Gefässes p, so ist der Zuwachs der freien Oberfläche längs des Umfangsdifferentials dp durch C' C" dp, jener der gemeinsamen durch CC' dp gegeben. Die bei der virtuellen Verschiebung längs des ganzen Umfangs geleistete Arbeit muss für den Fall des Gleichgewichts wiederum gleich Null sein, Stornach wir die Gleichung erhalten

— a J* C'C" dp — ß $ CC' dp = 0.

JE

Fig. 15.

Nun ist

daher

C'C" = CC' cos i,

was erfüllt ist, wenn wir

J* CC' (a cos i + ß) dp = 0,

a cos i -f- ß = 0

setzen. Das ist die zweite H a up t gl eich un g der Kapillarität.

§ 54. Steighöhe in Röhren und zwischen Platten.

Wir können die erste Hauptgleichung in der Form

es z = —

“(tA)

Steighöhe in Röhren und zwischen Platten.

97

schreiben. Dabei ist der Krümmungsradius r positiv, wenn er innerhalb der Flüssigkeit liegt, wenn wir also eine konvexe Oberfläche haben. Dies ist bei Quecksilber in einer Glasröhre der Fall. Ist die Röhre eng genug, so können wir die Oberfläche des Quecksilbers, den Meniskus, als Halbkugel ansehen, deren Radius mit jenem der Röhre übereinstimmt. Wählen wir die Quecksilberoberfläche in einem weiten Gefäss als xy-ebene, so ist für dieselbe z = 0, r = r' = oo, also c = 0, und wir erhalten

)■

•-i I h*

41

?gz =— ce^ +

Für eine enge Röhre vom Radius r, die wir in das Quecksilber eintauchen, wird diese Gleichung

2a

Haben wir zwei parallele ebene Platten vom Abstand 2r, so bildet die Quecksilberoberfläche eine Zylinderfläche, deren einer Krümmungsradius gleich r, während der andere gleich go ist. Für diese Anordnung erhalten wir demnach

?gz = —

Zwischen zwei Platten, deren Abstand gleich dem Durchmesser einer Röhre ist, steht also die Quecksilberoberfläche halb so tief unter dem normalen Niveau als in der Röhre.

Ist die Oberfläche nicht konvex, sondern konkav, so liegen die Krümmungsradien ausserhalb der Flüssigkeit. Wir müssen sie dann als negativ ansehen, d. h. eine benetzende Flüssigkeit steigt in Jäger, Theoretische Physik.

einer engen Röhre, n. z ist die Steighöhe verkehrt proportional dem Krümmungsradius und im ohigen Sinn doppelt so gross als zwischen zwei Platten. Dies alles gilt jedoch nur dann, wenn wir den Durchmesser der Röhre gegenüber der Steighöhe vernachlässigen können. Die genauere Formel werden wir im § 56 kennen lernen.

0-

§ 55. Blasen und Tropfen.

Wir betrachten die Gestalt der Oberfläche längs

einer geraden Wand. Wir erhalten eine Zylinderfläche, der eine Krümmungsradius ist daher -X v' — Qo. Für die Leitlinie OC der Zylinderfläche (Fig. 16) gilt

Fig. 16.

c/

rts

rd cp

= ds oder —

dcp

r ds '

а

Da aber nach unserer ersten Hauptgleichung pgz = so auch

d(p

d cp

à cp    dx

egZ = “ “ds ⁼ “ dx • & = “ C0S(pIx-d z

Wir haben ferner j-- = tgqp, also

dz    d cp    . d cp

egZ d^ ⁼ “ C0S V tg V d7 ⁼ “ sm f dx •

Durch Integration dieser Gleichung erhalten wir pgz²

— — a cos

und

(1 — cos cp).

Für z = 0 wird auch cp — 0, daher C

pgz²

■— — ct

Für den Punkt an der Gefässwand erkennt man ohne weiteres, dass der Winkel cp das Komplement des Randwinkels i ist. Die Erhebung zt der Flüssigkeit am Rand über das normale Niveau ist also durch

— 2— = « (1 — sin 1)

gegeben. Infolge der quadratischen Form der Gleichung erkennt man jedoch nicht, ob die Erhebung positiv oder negativ ist, aber wir wissen, dass eine Erhebung nur bei benetzenden Flüssigkeiten vorhanden ist.

-X

Eine nicht benetzende Flüssigkeit auf eine ebene Unterlage gebracht bildet einen Tropfen. Ist er so gross, dass wir seine Höhe gegenüber seinem Durchmesser vernachlässigen können, so lässt sich auf ihn unsere Gleichung anwenden. Im Punkt C (Fig. 17) stehe die Tangente an die Durchschnittskurve des Tropfens senkrecht.

Fig. 17.

Der Winkel S ist 90°, cos cp z=z 0. Der Punkt C liegt daher um h tiefer als der höchste Punkt des Tropfens. Wir erhalten für ihn die Formel

eg’

nach welcher wir die Kapillaritätskonstante berechnen können. Die Figur 17 können wir umkehren und haben dann den Fall einer Luftblase unter einer Glasplatte, welche die Flüssigkeit oben abschliesst. Solche Blasen ergeben also ebenfalls ein Mittel zur Berechnung der Konstanten «.

§ 56. Capillarröliren.

Tauchen wir einen beliebig begrenzten Cylinder vom Umfang L mit seiner Achse senkrecht in eine Flüssigkeit und machen wir jetzt, indem wir entweder die Flüssigkeit oder den Cylinder heben oder senken eine virtuelle Verschiebung, so muss für den Fall des Gleichgewichts die Summe sämtlicher Arbeiten gleich Kuli sein.

Bei einer Capillalröhre vom Radius r können wir folgendermassen verfahren. Wir heben die Flüssigkeit in derselben um ô h. Dabei erhalten wir eine Ver-

grösserung der gemeinsamen Oberfläche 2 л r <5 h. Die Arbeit ist — 2nßröh. Die Arbeit, um die Flüssigkeitssäule vom Gewicht G zu heben ist Gdh, und für den Fall des Gleichgewichts muss

— 2?ißröh. — G (5 h = 0

sein, was wir auch so schreiben können

G = — 2 л ßr.

Haben wir keinen Kreiscylinder, so brauchen wir bloss 2лy durch den Umfang L zu ersetzen und erhalten die allgemeinere Formel

G = — ßh = a cosi. L,

welch letztere Beziehung unmittelbar aus der zweiten Hauj)tgleichung folgt.

Benetzt eine Flüssigkeit die Gefässwand vollkommen, so können wir i = 0, cos i — 1 setzen. Dann wird für einen Kreiscylinder

G = 2 л r ce.

Für ein genügend enges Rohr lässt sich der Meniskus als Halbkugel auffassen. Kennen wir die Höhe des tiefsten Punkts des Meniskus über dem normalen

Kiveau h, so ist das gehobene Gewicht

2

Q g (яг² h + n Г². г — -g- П г³) =

= (> g (гг г² h +-д ггг³) = 2 ггга,

oder

h+3r =

egr

Es ist dies die genauere Formel für die Steighöhe von Flüssigkeiten in Capillarröhren.

Nach ganz demselben Vorgang lässt sich das Gewicht der gehobenen Flüssigkeit berechnen, wenn man eine kreisrunde Platte aus ihr herauszieht, was eine Methode ergiebt, mit Hilfe der Wage die Capillar i tat s-konstante zu bestimmen, indem man das Gewicht sucht, welches zum Abreissen einer Platte von der Flüssigkeitsoberfläche erforderlich ist.

Ebenso können wir einen Einfluss der Capillar-kräfte auf den Stand des Aräometers nachweisen, da das Gewicht desselben scheinbar um das Gewicht der gehobenen Flüssigkeit vermehrt wird.

§ 57. Hydrodynamische Grundgleichungen.

du

Ein Elementarparallelepiped von den Seiten a, ß, y parallel zu den 3 Achsen eines Koordinatensystems hat die Masse q a ß y. Die Kraft, welche parallel der x-Achse auf dasselbe wirkt, kann also gemessen werden durch d²x

ea/Jrdt>

wenn wir mit u, v, w die Geschwindigkeitskomponenten der Flüssigkeit bezeichnen. Die Kräfte auf die Masseneinheit seien wieder dieselben wie in § 43

«e'rdF

also

X — — 7^-* Wir erhalten demnach q dx

du

^r— = X - -

dt

<^>| Qd

Es ist nun

du

dt

031 03

И CS

dt ' dy * dt 'dz dt dt^ dx .du du + V-+Wd^

dy

Durch Einführung dieses Werts in unsere Gleichung erhalten wir

du

et +u

du    du    du

ö--rvä—Hw

dx    dy    dz

1 dp

о dx

5T + V

1 dp

(32)

+ *Tz = Y-^

e dy’

dw    dw dw    dw    1 dp

dt ¹ dx ¹ dy    dz    q dz

wobei die zwei letzten Gleichungen analog der ersten gebildet sind. Zu diesen Gleichungen kommt noch die sogenannte Kontinuitätsgleichung. Sämtliche Gleichungen nennt man die Euler’ sehen Grundgleichungen der Hydrodynamik.

Die Kontinuitätsgleichung giebt uns die Massenänderung oder, wenn man will, die Dichtenänderung an einem bestimmten Ort an. Dieselbe ist für die Zeit dt in unserem Elementarparallelepiped

dx

de

gleich « ß y ^ d t, und sie muss gleich sein der in das

Yolumelement während der Zeit dt einströmenden Flüssigkeit vermindert um die während derselben Zeit ausströmenden. Von links strömt durch die Fläche ßy

Ausflussgeschwindigkeit einer tropfbaren Flüssigkeit. ЮЗ

die Menge ßy^udt ein, rechts ß y q' u' d t aus. Aehn-lich verhält es sich mit der oberen und unteren, vorderen und hinteren Fläche des Parallelepipeds.

Nun ist

dx,

Q'u' = Q4+ dx

daher

3 ( xi)

ß у £ udt — ß у (/u' d t =— ct/?y — Der Gesamtmassenzuwachs ist daher

a/?Ydt|_ dx ‘

woraus wir die Kontinuitätsgleichung

dt.

aßy^ät = -

d(^u) d(çv) d(ç w)

dJt

dt

i ⁸(eu) i ⁸(?y) i ⁸(?w) = 0 r dx    dj ^ dz

erhalten.

§ 58. Ausflussgescliwindigkeit einer tropfbaren Flüssigkeit.

Wir machen in den Boden eines Gefässes ein Loch, ans welchem senkrecht nach unten die Flüssigkeit strömen soll. In die Bichtung des Strahls legen wir die z-Achse. Es ist dann X = Y = u = v = 0, Z = g. Die Gleichungen (32) reduzieren sich demnach auf

T0.ÎÎ-0.

и Fd

d w d w _+w_.=g_

1 dp q dz

Ist die Grösse des Lochs im Vergleich zum Querschnitt des Gefässes zu vernachlässigen, so können wir. für eine bestimmte Zeit das Elüssigkeitsidveau als код-

s tant, also auch den ganzen Strömungsvorgang als stationär d w

ansehen.

Dann wird -тгг — 0, und es bleibt uns nur d t ⁷

dw 1 dp

was integriert ergiebt

wd7 + 7di⁼^’

ï+^=gZ + c.

J Q

An einem Punkt im Innern des Gefässes von der

Ordinate z = zt sei w = 0, p = (h — zt) q g, das ist der hydrostatische Druck. Dann ist (h — zt) g = — g z¹ -f~ G, also C = hg. Unmittelbar unter der Oeffnung ist der Druck auf die Plüssigkeit gleich Null. Für diesen

Punkt setzen wir z

w²

= 0. Wir erhalten daher — = h g

oder

w = ]/2gh,

das bekannte Ausflussgesetz von Torricelli.

Es lässt sich natürlich dieses Gesetz auch ohne weiters aus dem Princip von der Erhaltung der Energie ahleiten. Es muss ja die lebendige Kraft der Teilchen beim Ausfluss gleich der Arbeit sein, welche die Schwere beim Wandern der Teilchen von der Flüssigkeitsoberfläche bis zum Ausfluss leistet. Dies ergiebt dann für die Ausflussgeschwindigkeit einfach die Geschwindigkeit, wie sie die Fallgesetze verlangen.

§ 59. Ausilussgeschwindigkeit der Gase.

Wir nehmen an, ein Gefäss enthalte komprimierte Luft, welche durch ein feines Loch in dünner Wand ausströmt. Die Ausströmungsrichtung sei die x-Achse,

äussere Kräfte seien mclit vorhanden. Dann haben wir nach (82) vorausgesetzt, dass wir die Strömung wiederum als stationär ansehen können,

rö rd

Cb

P-i

£S3

= 0.

Nach Boyle ist

also

du

К dp dx    p dx'

oder integriert

lp = —

u²

+ 1C.

2B,

Im Innern des (refasses sei p = p} und u = 0, ausserhalb p = p₀. Dann wird C = p1? also

iPl_ p 2B,’

wornacli wir für die Ausströmungsgeschwindigkeit u₀ die Gleichung

i2l ₌ V

Po

2R

erhalten. Wir lassen nun zwei verschiedene Gase unter ganz denselben Bedingungen ausströmen. Die Ausströmungsgeschwindigkeiten seien u₀ und u'₀. Die zugehörigen К sind demnach — und woraus die Gleich

un gen folgen

em

V

2 R 2K’

llo

Q'

oder schliesslich

uo

u'

Es verhalten sich die Quadrate derAusfluss-geschwindigkeiten wie umgekehrt dieDichten, ein Gesetz von Graham, nach welchem Bunsen seine bekannte Methode, die Dichte der Gase zu bestimmen, begründete.

§ 60. Transformation der Euler’schen hydrodynamischen Grundgleichungen.

Die Elüssigkeitsmenge, welche in einem Elementar-parallelepiped enthalten ist, wird infolge der verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten in den einzelnen Punkten der Flüssigkeit mit derZeit ihre Gestalt nicht beibehalten können, was zur Folge hat, dass neben der fortschreitenden auch noch eine drehende Bewegung der Flüssigkeit in Betracht zu ziehen ist.

^'Es sei z. B. A B C D (Fig. 18) die X_7\ der xz-Ebene parallele Fläche des Flüssigkeitselements mit den Seiten dx und dz. Die Geschwindigkeit u parallel zur x-Achse sei in В grösser als in A, die Geschwindigkeit w parallel zur z-Achse grösser in D als in A. Nach der Zeit dt hat daher unser Kechteck die Gestalt А B'C'D'angenommen. Es hat sich die Seite AB = dz um den Winkel «, dieSeite AD — dx um —ß

В_BL

dz

D'

jt

dx

Fig. 18.

gedreht. Wir können daher als mittlere Drehung des

setzen.

a — ß

gesamten Rechtecks um die y-Achse—^—

Nun ist

ad z = (u' — u) dt,

parallel zur В verstehen. Es ist also

wenn wir unter u die Geschwindigkeit der Flüssigkeit x-Achse in A, unter u' dieselbe Grösse in

dz

а — —— dt

und analog

ß = ~w~d t.

Die mittlere Drehung um die y-Achse in der Zeit dt ist demnach

a-ß

Ий-й¹ dt

Durch cyklische Vertauschung der Buchstaben finden wir dann für den mittleren Drehungswinkel um die

x-Achse

1 Id w dv\

¥[dj~d^)dt’

um die z-Achse

Dividieren wir die Drehungswinkel durch die Zeit dt, so erhalten wir die Winkelgeschwindigkeiten des Fllisssigkeitselements um die drei Achsen

1 (dw

1    /d d w\

2    \dz du) 1 Id V d u \

~~ 2 \dX dyj

(33)

Werden diese drei Grössen Null, so findet in der

Flüssigkeit keine Rotation der Teilchen um sich seihst statt. Für diesen Fall muss demnach d w_ d V d u    d w d v    d u

dz'¹ dz    dx ? dx    dj

sein. Können wir eine Funktion der Veränderlichen t, X, y, z angeben von der Eigenschaft, dass

fp

—, V =

(34)

d cp

>w=:=

d cp

⁻ dz

ist, so sind damit die Gleichungen (34) erfüllt. Die Funktion cp steht hier in demselben Verhältnis zu den Geschwindigkeiten u, y, w, wie das Potential einer Kraft zu deren Komponenten. Man nennt daher nach v. Helmholtz (p auch das Geschwindigkeits-

potential.

In der ersten der hydrodynamischen Grundgleichungen (32)

du

du

du

^ = X-i

St + u + v dj + W dz können wir nach den Gleichungen (33)

du

— 2{

und

du

d z

setzen und erhalten dann

du

du

dv

dt + ndi + y dx

dw

+ w ^4-2(w«? — vf) = X

1 dp

Q dx

Zwei ähnliche Gleichungen erscheinen bezüglich der beiden anderen Achsen. Beachten wir noch, dass

du

dw

2 dx

ist, wenn wir n² -f- v² -f- w² = c² einführen, so erhalten wir das Gleichungssystem

du

1 Эр 1 dc²

dv

CD CD CD

CD CD

И "о

(35)

il+!(.i-,f) = T-7 ; 2äy,

M + 2(v£-«,) = Z-i|S-i~

Wir differenzieren nun die zweite dieser Gleichungen nach z, die dritte nach y, beachten, dass nach den Gleichungen (33)

dw

d|

2 „ =

et

und erhalten so

d w d v dy dz

, д ,    ₄    0 ,    , IfflZ Я\

0t ⁺ 0ÿ(T^u^-0i(uff-wÔ ⁼ -2 ^“0l)

d§

Für eine inkompressible Flüssigkeit — und nur mit solchen wollen wir uns hier befassen — ist die

Kontinuitätsgleichung (§ 57)

du

dv

dw

0x ^ 5y ^ dz ' Die Gleichungen (33) ergeben

VT⁻ —

dz

Damit können wir unsere Gleichungen verwandeln in

dx

dy

d|

CD¹ <CD

et + u +v

di

du

du

_ ^ /dZ _ dY\

“ 2 \dy dzj*

Fassen wir ein ganz bestimmtes Flüssigkeitsteilchen ins Auge, so sind seine Winkelgeschwindigkeiten Funk-

tionen der Zeit dt und der Koordinaten x, y, z. Ist daher zu einer bestimmten Zeit t I = f (t, x, y, z), so haben wir nach der Zeit dt

I = f (t + dt, x + u dt, y -f V dt, z -f- w dt).

Daraus folgt

df

dg

dg

dt~Tt+n8^+Y

und wir erhalten schliesslich

dg

0.1 о

du

du

CD CD

+ Ш

2 \8y

und ähnliche Ausdrücke für -. 7 und

dt dt

Haben die Kräfte ein Potential y, so dass

dxf)

dy>

ist ferner zu irgend einer Zeit

£ = * = ? = 0.

d. h. ist keine Rotation der Flüssigkeitsteilchen vorhanden, so tritt in einer idealen Flüssigkeit — das ist eine ohne innere Reibung — nie eine drehende Bewegung der Teilchen ein. Hingegen werden jene Teilchen, welche rotieren, nie ihre Rotationsbewegung verlieren.

§ 61. Wirbelbewegung.

Wir denken uns eine Flüssigkeit, welche so um die z-achse rotiert, dass alle Teilchen einer konzentrischen Cylinderfläche denselben Bewegungszustand haben. Ist in der Entfernung r von der z-achse die Winkelgeschwindigkeit der Flüssigkeit oj so ist

u = — tóy. V == cox, w = 0.

dû)

folglich wird

1 fdv du ~~ 2 \dx dy ) ~~ W 2 dr*

Es soll nun für r < r₀ J = J₀ und für r > r₀ J = о sein, wobei J₀ und r₀ Konstanten bedeuten. Innerhalb des Cylinders vom Radius r₀ haben wir demnach

dw

So =

Daraus folgt

y²

dû)

dû> dr У dr dy 9    dr у

da wegen x² -f- у² = r²,    — — ist. Desgleichen wird

■7=«+T

CDl cd

= — со

— со —

r * dr?

cd

x² dû)

* dr*

Г dr

was wir umformen können in

= 0.

Durch Integration erhalten wir

1 r² + 1 (ü) — J₀) = 1 A

oder

Г² (со - J«) = A,

P-

Da in der z-achse selbst die Rotationsgeschwindigkeit nicht unendlich werden soll, so haben wir A = 0 zu setzen. Wir erhalten also

со = Jo.

Das heisst: Der Flüssigkeitscylinder vom Radius r₀ rotiert wie ein fester Körper um die z-achse.

Setzen wir hingegen J = 0, so haben wir die Gleichung * ⁺ ir d7_0

d со

zu

lösen. Dies ergibt

Da wir eine Unstetigkeit ausschliessen, so müssen für r = r₀ die beiden со einander gleich werden, d. h. es muss

. Д-V

sein. Die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Flüssigkeit um die z-achse bewegt, ist sonach

G    ?.r„²

YCO = - = —----.

Wir haben also wohl zu unterscheiden zwischen der Gesamtbewegung der Flüssigkeit und der rotierenden Bewegung der einzelnen Teilchen um sich selbst. Während wir nämlich für unseren Flüssigkeitswirbel, sobald r > r₀ ist, zwar eine rotierende Bewegung der gesamten Flüssigkeit haben, macht jedes Teilchen um sich selbst keine Drehung.

§ 62. Stationäre Bewegung einer idealen Flüssigkeit.

Ist die Geschwindigkeit und deren Bich tun g in jedem Punkt einer Flüssigkeit von der Zeit unabhängig, so nennen wir dies einen stationären Zustand. Für diesen wird also

St 8t 8t ~° werden. Die Gleichungen (32) geben dann, wenn wir für die Kräfte das Potential V einführen, sie addieren und integrieren

wobei c² — u² -f- y² -(- w² bedeutet. Schwere, so ist

Wirkt nur die

Y = gz,

daher der Druck

c²\

P = Q (C — gz ~ JJ-

Diese Gleichung wollen wir benützen, um den Druck zu berechnen, welchen eine Flüssigkeit, die parallel zur x-Achse mit der Geschwindigkeit u₀ Giesst, ausüht, wenn wir in dieselbe einen kreiscylindrischen Stab vom Radius R stecken. Die Stabachse bilde die z-Achse eines

Koordinatensystems. Es wird natürlich dadurch in der Umgebung des Stabs die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung der Flüssigkeit geändert. Denken wir uns den Stab jedoch unendlich lang, so wird sich diese Aenclerung nur auf u und v, nicht aber auf w beziehen. Es bleibt also w — 0, und wir brauchen bloss den Vorgang in der xy-Ebene der Betrachtung zu unterziehen.

Wir setzen x² -f- y² == r². Nach der Kontinuitätsgleichung

du dv    dw

dx ' д y    dz    ^

muss also für das Geschwindigkeitspotential die Gleichung

d²

, ^V, v_Æ_c.

dx² dy² dz²

existieren, welche sich in unserm Fall auf

(36)

⁸У I 3*У......n

dx² + df - 0 aeduziert, da ja w = 0 ist.

Jäger, Theoretische Physik. I.

Diese Bedingungsgleichung wird erfüllt durch

cp — ф — uo X,

wenn für r = go Ф = 0 wird, und die Beziehung besteht

д²Ф д²Ф _

ax2 + ay²

Wir haben dann in der That im obigen Sinn nur eine Strömung parallel zur x-Achse mit der Geschwindigkeit u₀. Es wird sich im Späteren zeigen, dass die Funktion

Ax

Ф = —r-

r* ’

mithin

Ax

<P —    — uo x

allen gestellten Anforderungen genügt. Vorerst sieht man durch Differentiation ohne weiteres, dass Gleichung (36) erfüllt ist.

Senkrecht zur Oberfläche des Cylinders kann natürlich keine Geschwindigkeitskomponente vorhanden sein, d. h. es muss

№) =o \ar/ß

X

sein. Wir wollen — = cos у setzen und erhalten so )

= —cosy — rUo cos r,

mithin

(d,A _ Ä

\ drjR

— ^2 cos T — u₀ cos у = 0.

Daraus folgt

und

A — — u₀ R²

daher

,    , R²\

= uo (1 +

2 u₀ x² ß²

r⁴

d (p

2u₀ R²xy

r⁴

Für die Oberfläche des Cylinders erhalten wir nun

c! = ul + v²

_ 4u₀²y2 “ ß2 -

Setzen wir diesen Wert in die Gleichung für den Druck ein, so ergibt dies schliesslich

P = ()(C—gz —

_gz_lVjq

⁸    ß² )•

Es wird demnach auf die linke Seite des Cylinders genau derselbe Druck wie auf die rechte ausgeübt. Dasselbe ist der Fall, wenn sich in ruhender Flüssigkeit der Cylinder parallel zu sich selbst fortbewegt. Er erfährt dann gar keinen Widerstand. Auch für eine Kugel und für ein Ellipsoid kann man diese auffallende Erscheinung nachweisen. Allerdings muss die Flüssigkeit eine ideale sein.

§ 63. Wasserwellen.

Wir denken uns Wasserwellen, welche in der Richtung der x-Achse fortschreiten. Die Wasserteilcffen machen also nur Bewegungen parallel zur x- und z-Achse. Es verwandelt sich daher die Kontinuitätsgleichung

OD OD

du

03 OD

wegen

= 0 in

d X ^    ^

oder wenn wir das Geschwindigkeitspotential einführen,

__n

ax²^az²“u-

Wir untersuchen nun, oh die Wellenbewegung eine harmonische sein kann. Wir setzen demnach (p = 3 e°s a (x — c t),

wobei 3 eine Funktion von z allein darstellen soll. Es ist also

= — a² 3 cos a (x — c t),

d²3

Л* cos a (x — c t),

az²

Beide Gleichungen addiert müssen Null geben, was zur Folge hat

d²3

a ² 3*

dz²

Als Lösung dieser Gleichung haben wir 3 — A eaz -f- B e — az.

Am Boden des Gefässes, d. h. für z = 0 kann nun keine Bewegung parallel zur z-Achse stattfinden, es muss hier w = 0, also auch

az

sein. Es ist aber

a cp    .

^- = a(Aeaz

— В e — a z) cos a (x — c t).

Soll dies für z = 0 ebenfalls Null werden, so muss A = B

sein, woraus resultiert

q> = A (e a z + e a z) cos a (x — et).

Zur Bestimmung der Geschwindigkeit c bedienen wir uns der hydrodynamischen Grundgleichungen (32), in welchen wir die Geschwindigkeiten durch deren Potential ersetzen wollen. Ferner wollen wir annehmen, dass wir es nur mit kleinen Amplituden zu thun haben,

so dass wir die Produkte u u- s* w* vernachlässigen können. Wir erhalten dann

JL ßy\ dx\d t)

ау_£ ékp

d X Q дх

und zwei analoge Gleichungen nach den beiden anderen Bichtungen des Koordinatensystems. Unter V verstehen wir das Potential der Kräfte X, Y, Z. Durch Integration erhalten wir also

dcp

Ph| S'

= 0.

ät + v +

Auf die Flüssigkeit wirke bloss die Schwere. Dann ist У = g z und

d cp

db+gz + 7 Da wir nur kleine Amplituden annehmen, so können wir den Druck an irgend einer Stelle der Flüssigkeit als unabhängig von der Zeit ansehen, so dass wir durch Differentiation nach t die Gleichung d²cp    dz—n

W + ⁸ Jt~°

= c.

erhalten. Nun ist aber

d cp

dt

mithin

d²cp

d cp

dt* + g Ш - °-

Aus unserer Lösung für cp finden wir jetzt

— - = — а² c A (e az_f e a z) cos a (x c

und

d(p

a A (e a z — e - a z) cos a (x — c t).

Setzen wir liier für z eine beliebige Höbe li der i Rissigkeit ein und bilden mit den so erhaltenen Werten die

Gleichung    + g = 0, so erhalten wir daraus

den Wert der Fortpflanzungsgeschwindigkeit c für die betreffende Höhe h der Flüssigkeit. Dieser ist gegeben durch

a h_0 — ah

'eah+ e~ah'

Den Wert für a können wir sehr leicht finden,

;i

wir die Wellenlänge Л einführen. Wächst nämlich sich derselbe Zustand wiederholen.

wen x um

Es muss also a A = 2 тг, folglich

Л,

so muss

2 TU

sein, woraus folgt

2 71 h — 2 7t h

e Л — e Л

gЛ

— 2 Tlh

C² ==

2 71 *    2 71 h

e -j- e Л

Es ist also die F ortpflanzungsge sch windig-keit von der Weilenlänge abhängig, was zur Folge hat, dass Dispersion der Wellen eintritt. Ferner ändert sie sich mit der Höhe der Flüssigkeit. Jede Störung in einer Flüssigkeit wird daher bei der

Fortpflanzung sofort ihre Gestalt ändern nicht einer harmonischen Kurve entspricht. Ist h über Л sehr gross, so wird

wenn sie gegen-

-u-

Diese Formel gilt demnach an der Oberfläche tiefer Gewässer. Es ist dort also die Fortpflanzungsge-sch windigkeit der Wellen einfach der Wurzel der Weilenlänge proportional.

§ 64. Innere Reibung* — Ausfluss aus engen Röhren.

Eine bewegte Flüssigkeit, welche in einem Gefäss sich selbst überlassen wird, kommt allmählich zur Ruhe. Die Ursache davon ist die innere Reibung der Flüssigkeit. Strömen nämlich zwei parallele Flüssigkeitsschichten mit verschiedener Geschwindigkeit, so ü b t die schnellere auf die langsamere eine Beschleunigung, die langsamere auf die schnellere eine Verzögerung aus.

Wir nehmen der Einfachheit halber ebene Schichten an. Die Geschwindigkeit ändere sich von Schicht zu Schicht in linearem Verhältnis. Nach Newton ist dann die innere Reibung

P-.I ^

(37)

R    tji z»

Diese Gleichung besagt folgendes. Aendert sich die Geschwindigkeit u der Schichte senkrecht zu ihrer Bewegungsebene im Verhältnis^, so übt auf eine Ebene

von der Grösse f die darunter befindliche Flüssigkeitsschichte in der Richtung der Bewegung einen Zug

aus. 7; ist eine Konstante der Flüssigkeit. Man

PLJ CU

~ 7/f

nennt sie die Reibungs konstante oder den Reibungs к oefficienten.

Wir wollen den Einfluss der inneren Reibung auf die Bewegung von Flüssigkeiten in engen Böhren untersuchen. Bezüglich der Böhrenachse sei alles symmetrisch an geordnet. Wir bilden uns einen Ele-meutar-Cylinder, indem wir um die Achse zwei Cylinder-flächen vom Radius r und r -f- d r legen. Die Länge des Cylinders sei f. Die Bewegung der Flüssigkeit sei stationär, d. h. die Summe aller Kräfte, welche an unserem Cylinder angreifen, muss Null sein. Auf die linke Seite des Cylinders, dessen Achse wir uns horizontal denken, wirke der Druck p, das ergiebt die Kraft 2^rdr.p. Von der rechten Seite her haben wir die Kraft — 2^rdrp/. Nun ist

, dP*

P' ⁼ P⁺dx^’

mithin der resultierende Druck

2 n r d r (p — p') = — 2 n r £    ^ d r.

Zu dieser Kraft kommen noch die Reibungskräfte. Für die innere Cylinderfläche haben wir nach Gleichung (37)

du

für die äussere

R'=K+~di\

Beide Kräfte wirken aber in entgegengesetztem Sinn,

weshalb wir sie von einander zu subtrahieren haben, wonach wir erhalten

dB

В — В' = — -г— d r =

dr

d / du\

2w^d?(rdF)

dr.

Die Summe aller Kräfte, welche an unserem Elementar-cylinder angreifen, ist also

woraus folgt

-2*rf|fdr + 2*|,^(r^)dr = 0,

d / du\ л П dr \Г dr/

Da der Druck p von r völlig unabhängig angenommen werden soll, so genügt für unsere Gleichung, p = ax + b

zu setzen, was zur Folge hat, dass

r^~

dx

du

ar-^d7 r dr,

und integriert

ar² du

T-’rd? = 0

wird. Schreiben wir diese Gleichung

ar

du

2    ^ dr r

und integrieren nochmals, so bleibt

ar²

-j--1? u = С1 r + D.

Für r = 0 kann nun die Geschwindigkeit u nicht unendlich gross werden, es muss also C = 0 sein. Ferner sei die Geschwindigkeit an der Böhrenwand Null, d. h.

_ ari²

für r = Tj ist u = 0, daher D

Demnach wird

Gleichung

unsere

ll = -4^(r.’-r2)-

Diese Formel für die Geschwindigkeit der Flüssigkeit können wir nun benützen, um die Ausflussmenge zu bestimmen. Durch das Querschnittselement 2^rdr wird in der Sekunde das Flüssigkeitsvolumen

2 л u r d r == —

2^(ri¹ 2 3 —r2)rdr fliessen. Durch den ganzen Querschnitt strömt daher die Menge

ri

f(r,²

о

— r²) r dr =.

к a I i\² r² r ⁴ |r*

n ar⁴

_Io

8 7]

— ^(Pi — P»)rl 8₄1 ’

wenn wir unter pA den Druck am Anfang unter p₀ jenen am Ende verstehen und 1 die Länge der Möhre ist, da ja dann Pi—Po

Gleichungen für die Schallbewegung in der Luft. 123

Akustik.

§ 65. Gegenstand der Akustik — Wellenbewegung — schwingende Bewegung.

Wir behandeln in der Akustik, der Lehre v о m Schall, jene Bewegungserscheinungen, welche immer in Begleitung einer Schallwahrnehmung in der Aussenwelt auftreten und die man deshalb mit Recht als die physikalische Ursache des Schalls ansieht.

Unser Gehör wird durch die Bewegungen der Luft erregt, welche in unsere Ohrmuschel gelangen. Die Luft pflanzt also den Schall fort, man sagt, sie vollführt eine Wellenbewegung.

Gesetzmässigkeiten der Schallerregung hat man nur in jenen Erscheinungen gefunden, denen eine sich regelmässig wiederholende Bewegung als Begleiterscheinung entspricht. Es sind dies die Klänge. Ein Klang wird demnach durch eine sogenannte periodische, eine schwingende Bewegung erzeugt und vom umgebenden Medium, gewöhnlich Luft, zum Ohr fortgepflanzt. Es wird daher unsere Hauptaufgabe sein, die Wellenbewegung und die schwingende Bewegung zu untersuchen.

§ 66. Gleichungen für die Schallbewegung in der Luft.

Die Bewegung der uns umgebenden Luft muss sich durch die im § 57 abgeleiteten hydrodynamischen Grundgleichungen darstellen lassen. Für unsern Zweck vereinfachen sie sich bedeutend, da wir äussere Kräfte völlig ausschHessen wollen, ferner sollen alle vorkommenden Geschwindigkeiten sehr klein sein, so dass auch die auftretenden Dichtenänderungen sehr klein ausfallen, weshalb alle Produkte und höheren Potenzen solcher kleinen Grössen unbedenklich vernachlässigt werden können.

Die Dichte wollen wir darstellen durch

? = Po a + «),

wobei q₀ die Dichte der ruhenden Luft sein soll, während a. die Abweichung der Dichte von ihrem normalen Zustand angibt. Die Kontinuitätsgleichung wird demnach, da

dQ

da

dt    Q0 dt’

ferner u, u, v, w sehr kleine Grössen sind

(38)

d a    du . dv d w ^

at ⁺ dx ⁺ dy + az

au

Die Bewegungsgleichungen werden, da auch u» s. w. sehr kleine Grössen sind.

(39)

at

£ dx

u. s. w. Wir haben hier die fünf Grössen u, u, v, w, p, deren Abhängigkeit von der Zeit und dem Ort bestimmt werden soll. Dazu ist neben den vier vorhandenen Gleichungen noch eine fünfte nötig. Wir benützen als solche das Poisson’sehe Gesetz

(40)

pvk = Po V₀k,

welches in der mechanischen Wärmetheorie begründet wird und die Beziehung zwischen Druck und Volumen eines Gases angibt, wenn die Zustandsänderung eine sogenannte adiabatische ist, d. h. eine solche, bei welcher die Bewegungen so rasch vor

Gleichungen für die Schallbewegung m der Luft. 125

sich gehen, dass dahei auftretende Temperaturdifferenzen sich nicht ausgleichen können. и ist das Verhältnis der spezifisch en Wärme der Luft hei konstantem Druck zu jener bei konstantem Volumen und besitzt einen konstanten Wert.

Es unterscheidet sich dieses Gesetz wesentlich vom В о y 1 e’ sehen

pv = p₀v₀,

welches die sogenannte isotherme Zustands ander un g angibt, bei welcher die Bewegungen so langsam vor sich gehen, dass sich die auftretenden Temperaturunterschiede immer ausgleichen können.

Da Dichte und Volumen verkehrt proportional sind, so können wir Gleichung (40) auch schreiben P    Po

ek    e₀k’

oder

= 1 “b УКТ-

Daraus folgt, dass

д <r

= ■ P- “ 0Ï

ist. Die Gleichungen (39) werden demnach

u__Pp и

"t “ — Qo dx

f indem wir wieder beachten, dass die Produkte

до

u. s. w.

sehr kleiner Grössen weggelassen werden können.

Differenzieren wir diese Gleichungen der Reihe nach nach x, y, z und addieren sie, so erhalten wii

av . r.

1 (î± + il +    =

at lax ^ ay ^ dz)

Po«

дго

av\ dz‘ r

Nach Gleichung (38) ist aber dt\dx ^

dh

at²’

was mit Rücksicht auf die vorhergehende Gleichung ergibt

dw\ ^ dz)

dp

W ~ ÿo

Po И

/d²« dV dV\

ldx²⁺ dya + dz²/'

(41)

§ 67. Punktförmige Schallquelle.

In der Regel entsteht der Schall an einem Punkt, von wo aus er sich nach allen Richtungen fortpflanzt. Einen solchen Punkt wollen wir als Ursprung eines Koordinatensystems ansehen, so dass wir x² -f- y² z2 = r² setzen können. Dann ist

da

dx

<=>

d²a_dV dr д^~д7‘ ' dl ‘

r * dx

1 da x da _ dr_ V⁸ ~r

- + -r r

d(j    1    da

d r # r    dr

d'o

~ 8 r² ' r²

x²

Analoge Gleichungen ergeben sich für я - und

Alle drei Gleichungen addiert liefern ev d\ dja

dx¹ "** dy² ^ dz*

dp _2_

dir² ' r

ÇV)' ^

Nun ist weiter

— л.    =

d r² r d r

1—I    rH

(’M)

1 d_ r d r

H+f

___ 1 d* (rci) r d r² ’

woniach Gleichung (41) in

d²o _ p₀ и d² (rer) dt⁸    £₀r dr²

übergeht, was wir noch in

0*(ro) _ г д'Ы-

dt²

~ dr²

umwandeln können, wenn wir —— = a² setzen. Wir

Qo

wollen etwa noch rer = a schreiben und erhalten so die Gleichung in ihrer einfachsten Form’

(У*а __ ₂d^a d t²“a dr²'

§ 68. Geradlinige Fortpflanzung des Schalls.

Wir haben als allgemeine Lösung der zuletzt gewonnenen Gleichung, wie man sich leicht überzeugen kann, oc = f (r — at).

Mithin ist

er =

L f (r — at).

Daraus geht hervor, dass sich jede Dicht en änder-u n g im Erregungspunkt des Schalls in Form einer Кuge 1 we 11 e fortpflanzt, dass jedoch die Stärke der Dichtenänderung verkehrt proportional dem Radiusvektor r ist.

Ist zur Zeit t' die Welle in r', zur Zeit t" in r" angekommen, so muss r' = at', r" = at" oder r" — r' t" —

sein, d. h. a ist die Fortpflanzungsgesc li w i n d i g-keit des Schalls. Wir wissen, dass

a = л/Ы

F po

ist. In der That liefern die entsprechenden Werte des Po, £₀ und и für Luft als Schallgeschwindigkeit die beobachtete Grösse.

Kewton, welcher schon eine mathematische Theorie der Fortpflanzung des Schalls gab, erhielt für die Ge-

schwindigkeit ]/—

F Po

, einen zu kleinen Wert, weil er für

die Zustandsänderung der Luft das Boyle’sche Gesetz als richtig voraus setzte.

§ 69. Planwelleii.

Hat sich der Schall schon weit von seinem Ursprung entfernt, so können wir ein kleines Stück der Kugelwelle als eben, mithin eine einzige Fortpflanzungsrichtung des Bewegungszustands aller Punkte annehmen. Eine solche Welle nennen wir dann eine Plan welle.

Wir wollen für ihre Bewegung Gleichung (41) in der Form

d*o

«Г

(42)

d'o

dz²

benützen. Wie durch Differentation leicht zu erkennen, haben wir als allgemeine Lösung dafür

a = f (x cos « + y cos ß -f- z cos y — at).

Es pflanzt sich in diesem Fall der Schall demnach un-geschwächt in jener Pachtung fort, welche mit den Achsen des Koordinatensystems die Winkel a, /?, y ein-schlièsst.

§ 70. Reflexion des Schalls.

Gellt die Schallbewegung bloss parallel zur xz-Ebene vor sich, so ist cos ß = 0, es wird

(43)

a = f (x cos a + z cos y — at).

Die xy-Ebene sei nun eine starre Wand, auf welche die Planwelle trifft. Die Geschwindigkeit der Luftteilchen parallel zur z-Achse muss in dieser Ebene beständig gleich Null sein, d. h. es muss Po*

dt ~

sein, was erfüllt ist, wenn

?o *

ist.

te I N

Finden in einem Punkt infolge mehrerer durchgehender Wellen mehrere Dichtenänderungen statt, so ist die resultierende Dichtenänderung gleich der algebraischen Summe der einzeln auftretenden. d

Soll daher die Bedingung ^ ■ = 0 für die xy-Ebene erfüllt sein, so brauchen wir zur vorhandenen Welle nur noch eine zweite hinzuzufügen, welche dem Punkt in der xy-Ebene die entgegengesetzte Bewegung zu erteilen sucht. Für unsere Welle ist nun

da    «

dz = c0s 7 • f •

Konstruieren wir also noch eine zweite, für welche

da

„    = — cos y . f'

dz    '

ist, so erfüllen beide Weilen die Bedingung, dass in der xy-Ebene keine Geschwindigkeit parallel zur z-Achse vorkommt.

J ä g e r, Theoretische Physik. I.

Während also nach Gleichung (43) ein Wellenzug von oben kommend die xy-Ebene durchsetzt, muss gleichzeitig ein zweiter als vorhanden gedacht werden, für welchen

a = f (x cos a — z cos y — at), der also genau das Spiegelbild des ersten ist. Trifft demnach die Planwelle auf die starre xy-Ebene, so wird sie durch eine neue ersetzt, deren Richtung nach den bekannten Gesetzen der Reflexion gefunden wird.

§ 71. Brechung des Schalls.

Wir untersuchen jetzt, welchen Weg der Schall nimmt, wenn er von einem Gas in ein anderes übergeht, das etwa vom ersteren durch eine sehr dünne Kautschukmembran getrennt ist. Die Trennungsfläche sei eine Ebene, die wir zur xy-Ebene machen.

Trifft ein Wellenzug von oben auf die Trennungsfläche, so wird dadurch die weitere Fortpflanzung gestört werden. Es werden im Allgemeinen neue Re-wegungserscheinungen auftreten, die sich teilweise im alten Medium, teilweise im neuen fortpflanzen. Für die Trennungsfläche selbst müssen wir der Kontinuität halber annehmen, dass dort der Druck und ebenso die Geschwindigkeit der Teilchen senkrecht zur z-Achse in beiden Gasen gleich ist. Nun wissen wir, dass der Druck

p=p-fe)”

= Po(¹+o)*=Po(l + *°)

ist, indem wiederum о als klein vorausgesetzt wird. Für ein zweites Gas haben wir

Pi = Po о + *. °i)*

Für die Gleichung beider Drucke gilt 7i a = jCj av.

d w

Ferner soll die Geschwindigkeit w also auch für beide

Gase an der Trennungsebene dieselbe sein. Wir wissen, dass

d z*

Es muss daher die Gleichung bestehen

_ = eĄ

Ti ¹ dz

a²

dt

da

Die Dichtenänderung a rührt zum Teil von der einfallenden, zum Teil von der reflektierten Bewegung her. Wir wollen deshalb 0—& + a"

setzen. Es sei

0* = A'f

X cos a* + y cos ß⁴ + z cos y*

•)

оu = A" F

Von der Möglichkeit dieser Lösung für Gleichung (42) kann man sich leicht überzeugen. Analog sei X cos au + y cos ßu ~t-z cos ytl

und

— Ai <p

X cos ~h y cos jîj -f z cos yx

ai

*)•

Wir wollen cos ß⁴ = 0 wählen, d. h. die Fortpflanzung der ursprünglichen Erregung geschehe parallel zur xy-Ebene. Es ist dann

</ = A'f

(-

X cos a' + z cos y⁴

Für alle Werte von x, y und t soll nun и o' + а ои — Ttt ax sein. Dies ist erstens nur möglich, wenn auch о“ und (7a von у völlig unabhängig, d. h. wenn cos ßu = cos ß₁ — 0

(44)

ist. Es liegt demnach die Fortpflanzungsrichtung der reflektierten und der im zweiten Medium weiter gehenden Bewegung mit der ursprünglichen in einer Ebene.

Soll Gleichung (44) für alle Werte des x gelten, so wird für x = 0

Ti A' f (— t) -f~ и A" F (— t) = иА Aa cp (— t). Das ist aber nur möglich, wenn

ist. Desgleichen hat (44) für alle Zeiteu, also auch für t — 0 zu gelten, wonach

Tta' f

/x cos a'\

\ä j

/x cos а'Л    /х cos аЛ

Ti (Jtl f

wird. Wir gelangen darnach zur Folgerung x cos a' x cosa" x cos at

ai

Diese Gleichung enthält sowohl das Reflexions- als das Brechungsgesetz; denn aus ihr folgt cos a' =cos au oder

aJ=a“

und

cos a⁴ cosaA

ai

oder, da cos a⁴ = sin cos aA = sin /A,

sin y⁴_ a

sin yt

ai

§ 72. Dopplers Prinzip.

Wir wollen von nun an nur noch periodische Bewegungen der Luft in Betracht ziehen. Die einfachste Form derselben ist

G = C COS

Eine solche einfache schwingende Bewegung

nennen wir einen Ton. c ist die Amplitude, x die Dauer

Die

die Phase der Schwingung. Schwingungsdauer г oder der deren reciproker Wert,

die Schwingungszahl n — bestimmt die Tonhöhe.

Wir nehmen an, wir hätten eine Plan welle, welche sich parallel zur x-Achse bewegt, so gilt für sie die Gleichung

₂^g ~a dx*>

dt*

da die übrigen Glieder der Gleichung (42) Null werden. Als Lösung haben wir

а = f (x — at).

Wir nehmen nun an, unser Ohr bewege sich ebenfalls parallel zur x-Achse mit der Geschwindigkeit v. Dann ist die relative Geschwindigkeit des Schalls gegenüber unserm Ohr nicht mehr a, sondern a —v. Dasselbe ist der Fall, wenn unser Ohr in Buhe ist, hingegen sich die Schallquelle mit der Geschwindigkeit — v parallel zur x-Achse bewegt. Die Schallquelle erzeuge einen Ton. Wir wollen demnach

а — c cos a (x — a t)

setzen. Wir sehen ohne weiteres, dass wir für ein konstantes X eine periodische Bewegung, einen Ton haben für welchen oder

П =.—

ist. Ist hingegen die Schallquelle oder unser Ohr in Bewegung, so haben wir anstatt a den Wert а — у zu setzen, und wir erhalten

а (а — у)

n'

n (а — у)

2 71 d. h. die Schwingungszahl wird kleiner, mithin auch der wahrgenommene Ton tiefer. Entfernt sich also die Schallquelle vom Ohr, so ist der Ton tiefer, nähert sie sich, so ist er höher, als wenn die Entfernung Schallquelle — Ohr constant bleibt. Man nennt diese scheinbare Yergrösserung, bezgl. Verkleinerung der Schwingungszahl durch die Bewegung des schwingenden Körpers in der Fortpflanzungsrichtung nach seinem Begründer das Doppler'sche Prinzip.

§ 73. Interferenz der Schallwellen.

Wirken mehrere Kräfte in einem Punkt so zusammen, dass gleichzeitig mehrere Dichtenänderungen derselben Periode daselbst entstehen würden, so wird

(2 я t \

'-■)

2 711

= cos —— 2 c cos e +

i •    •

-f- sin 2 c sin e

¹    T

sein. Dieser Ausdruck stellt wieder eine einfache harmonische Schwingung dar; denn setzen wir

2 c cos s = r cos ÏÏ, 2 c sin e = r sin #,

so wird

'2 я t

а — г cos

r und # lassen sich leicht bestimmen, da ja r² = (2 cos e)² -j-    c sin г)²

und

tg# =

2 c sin £

2 c cos e

ist. Die Erfahrung bestätigt unsere Formel, bleibt doch eine Melodie dieselbe, ob sie von einem einzigen Instrument oder vom ganzen Orchester unisono gespielt wird. Diese Vereinigung mehrerer Schwingungen zu einer einzigen nennt man Interferenz der Schwing

ungen.

Wir wollen als speziellen Fall das Zusammenwirken zweier Schwingungen betrachten. Wir erhalten dafür r² = (c cos e c' cos p)² (c sin e -f- c' sin p)² =

= c² + c'² + 2 c c' cos (e — P).

Die Grösse der neuen Amplitude hängt also wesentlich vom Phasenunterscliied £ — £⁴ ab. Ist £ — e* = 2 к тг, wobei к = 0, 1, 2 u. s. w. sein kann, so ist r = c -j- c'.

Für £ — £* ~ (2 к I 1) л wird

r = c — c'.

In dem einen Fall tritt eine Verstärkung, im andern eine Schwächung des Tons ein, ja ist c = c', so liehen sich im letztem Fall die Schwingungen vollständig auf. Es entsteht überhaupt kein Ton. Es zeigen sich diese Erscheinungen am besten an Quinckes Interferenz-r Öhren und Stefans Interferenz apparat.

§ 74. Schwebungen — Differenztöne.

Wir lassen jetzt zwei Schwingungen verschiedener Dauer auf einen Punkt ein wirken. Wir haben dann

a = c cos

Im allgemeinen stellt a keine harmonische Schwingung dar, ja wenn г und P inkommensurable Grössen sind, so wiederholt sich ein gegebener Zustand überhaupt nie wieder.

Wir wollen

— m, -,

setzen und m und n die Schwingungszahlen nennen. Wir haben jetzt

а = c cos (2 7i m t — £) -j- c' cos (2^nt — *') =

= c cos (2 л m t — e) -f- c' cos [2 n m t — 2 л (m — n) t — e'j. Ist m von n nur wenig verschieden, so vermag das Ohr die beiden Töne nicht mehr zu unterscheiden, da ja für die Tonhöhe lediglich die Schwingungszahl massgebend ist. Die Amplitude des Tons ist nun nach dem Vorhergehenden

r = |/ c² —j— c'a + 200' cos [— 2 n (m — n) t -f- e — Р]. Es ist demnach die Amplitude eine Funktion der Zeit. Setzen wir der Einfachheit halber e — e‘ = 0, so wird r = c + c'

• • •>

ein Maximum für 2 л (m — n) t = 0, 2 л, 4 л . hingegen wird

r = c — c'

vor

ein Minimum für 2 л (m — n) t = щ 3 яг, 5 л . . . Wir haben also wiederum eine periodische Bewegung uns, die sich als Anschwellen und Abnehmen des Tons,

als Schwebung geltend macht. Die Dauer einer Schwebung ist

m— n‘

m — n können wir analog die Schwingungsz a h 1 Wird m — n genügend gross, so hören wir

nennen.

nennen.

beide Töne und auch die Schwebungen nehmen den Charakter eines Tons an, den wir den Differenzton Der Differenzton wird um so tiefer sein, je näher an einander die zwei erzeugenden Töne liegen.

§ 75. Einfach schwingende Bewegung.

Wir betrachten ein materielles System, welches sich nur so bewegen kann, dass durch die Lage eines einzelnen Punkts die jeweilige Lage des Systems bestimmt ist. Das wäre z. B. der Fall für einen starren Körper, welcher keine Drehung vollführt, sondern nur fortschreitende Bewegung. Das System habe die Eigenschaft, dass jede Verlegung aus seiner Buhelage Kräfte hervorruft , welche proportional der Entfernung von der Buhelage sind und das System in die Buhelage zurückzubringen suchen. Ist die Masse des Systems m, seine Entfernung aus der Buhelage s, so erhalten wir die Kraftgleichung

d²s

a s.

m dt²

Wir haben als Lösung dafür

s = A cos (at — e)

(§ 9), wenn wir = a² setzen. Das System macht also eine einfach schwingende Bewegung, erzeugt einen Ton von der Schwingungszahl

n q .

7t

§ 76. Einfluss eines widerstehenden Mittels.

Unser Körper soll in einem Mittel schwingen, welches einen Wider stan d proportional der Geschwindigkeit des Körpers leistet. Dann wird die Be-wegungsgleichung

d²s

ds

ß dt⁻

— as

m dt²"

Hiefür ist die Lösung (§ 10)

s — A ë" b ¹ cos (}/a² — b² t — e),

wenn

zahl ist

aß

— ■= а², — = 2 h gesetzt wird. Die Scliwingungs-

n = ---

2 7t

Es wird also erstens der Ton gedämpft, der Körper hört allmählich auf zu tönen, ferner wird die Tonhöhe erniedrigt.

§ 77. Resonanz«

Auf unser System im widerstehenden Mittel wirke eine periodische Kraft, etwa die Luftschwingungen eines in seiner Nähe erzeugten Tons. Die Kraft-, welche diese periodische Bewegung auf misera Körper ausübt, sei durch Pcospt gegeben. Die Bewegungsgleichung wird demnach

d² s    d s

ш d t7 = - as—ß d t + P cos p t,

Bewegungsgleichung schwingender Saiten.

139

oder

d²s

ds

wenn

B’l

5^2 4- a² s + 2 b ^ = E cos p t,

= E. Als ein Integral dieser Gleichung

können wir

s = A cos (p t — «) d s    d² s

anselien. Bilden wir tt⁻ und ^ ferner dt    dt

E cos p t = E cos [(p t — e) -(- e] = E cos s cos (p t — e) — — E sin s sin (p t — e),

und beachten wir, dass s ganz willkürlich, so müssen die Glieder mit dem Faktor cos (p t — e) für sich, ebenso jene mit dem Faktor sin(pt — e) die Gleichung befriedigen. Daraus ergiebt sich

A (a² — p²) = E cos e, 2 Ab p = E sin e,

E sine

t g£ =

2 bp

2bp a² — p

Wir werden also unter sonst gleichen Verhältnissen die grösste Amplitude erhalten, d. h. der Körper wird unter dem Einfluss der äusseren Kraft um so heftiger ins Mitschwingen geraten, je grösser sin e und je kleiner b wird, b muss einen endlichen Wert haben. Ist a = p, so wird tg£=oo, sin e = 1, hat somit seinen grössten Wert, d. h. wir erhalten die stärkste Resonanz, wenn die auf den Körper einwirkende Kraft dieselbe Periode hat wie die Eigenschwingung des Körpers.

§ 78. Bewegungsgleichung schwingender Saiten.

Wir denken uns eine Saite in zwei Punkten А, В (Fig. 19) mit der Spannung P befestigt und bringen sie aus ihrer Ruhelage, jedoch so, dass sie eine ebene Kurve bildet. Das kleine Stück MN gelange dabei

M'

Fig. 19.

nach M' Ж Die Entfernung aus der Ruhelage sei eben-falls sehr klein, so dass die Aenderung der Spannung gegenüber der ursprünglichen Spannung völlig zu vernachlässigen ist. An dem Saitenstück M'N' greifen nun zwei Kräfte an, welche verschiedene Richtungen, nämlich jene der Tangenten in den Punkten M' und N' an die Saiten haben. Die Ruhelage der Saite sei die x-Achse eines Koordinatensystems und а der Winkel, welchen sie mit der Tangente einschliesst. Dann haben wir in M' eine Kraft

P sin a =

дх

pfy

parallel zur y-Achse, da wir wegen der Kleinheit des Winkels a Sinus und Tangente desselben vertauschen können. Gleicherweise wirkt in N' die Kraft Psin«'. Nun ist

J^Td*-dl ⁺ Fy? dx’

wenn wir M N = d x setzen. Die Kraft in N' wirkt in der Richtung der y-Achse, die in M entgegengesetzt. Die Resultierende ist also

sin a' — sin a -}

d sin a

p dh

dx²

Ist die Dichte der Saite «, der Querschnitt q, so hat das Stück MN die Masse q«dx, und seine Re-wegungsgleichung wird

P sin «' — P sin a =

dx.

, 2⁸y    p^’y,

qa'lx ^ = P^dx

oder

a^y_ p_ d*j dt² q<7* dx²’ d²y _ , ₂ d²j dt² a d x²’

(45)

wenn wir —- = a² setzen.

q<7

§ 79. Lösung von (PAlembert.

Wir erhielten für die Transversalschwingungen einer Saite dieselbe Gleichung wie für eine Planwelle im Luftraum (§ 69). Wir lernten dort die von d’Alembert gefundene Lösung

kennen. Aber auch

y = f(x —at)

y = F(x + at)

ist eine Lösung, wie man sich leicht durch Differentiation überzeugen kann. Es gilt daher auch

y = F (x at) + f (x — at).

Die Funktionen F und f bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen der Bewegung. Es genügt, für t=0 die Elongationen y und die Geschwindig

keiten

sämtlicher Punkte zu kennen. Es sei dem

nach für den Anfang

y = <P«, gl

ę (x).

Wir haben dann

und

cp (x) = F (x) + f (x)

(x) = a F' (x) — a P (x).

Durch Integration erhalten wir

JV (x) d 0

x = Г (x) f (x).

Diese Gleichung mit jener für ç>(x) ergiebt

r(x) — Ij ?(x)+ 27 ff(x)dx

und

f(x) =

tO ь-*

₉(x) —

LJ^(x)dx,

о

daher

y = F(x + at) + f(x —at) = ~2 ₉(x + at)

x -f- a t

1    1 Г

+ “2 9 (x — at) + 2äj f W dx-§ 80. Unendlich lange Saite.

Die von uns gefundene Lösung gilt nur für eine unendlich lange Saite, da wir nur in diesem Fall für jeden Wert der Zeit auch Werte der Funktionen <p und гр haben.

Wir nehmen nun an, dass für t = 0 kein Punkt der Saite in Bewegung sei, dass also für jedes x (x) = 0 ist. Unsere Lösung geht dann in die einfachere über

т-l 73

₉ (x + a t) + g qp(x— at).

(46)

Für alle Punkte der nach beiden Richtungen unendlich langen Saite sei y = 0, nur für eine kleine Stelle um den Nullpunkt habe y = cp (x) endliche Werte. Nach Gleichung(46) teilt sich dieser Wert in zwei Teile, d. h. die ursprüngliche Ausbuchtung der Saite teilt sich in zwei halb so grosse, welche mit der Geschwindigkeit a die eine nach rechts, die andere nach links längs der Saite fortlaufen.

§ 81. Einseitig begrenzte Saite.

Wir

Läuft eine Welle gegen einen bestimmten Punkt der Saite, so können wir uns gleichzeitig von der andern Seite eine zweite Welle kommend denken, welche dem Punkt genau die entgegengesetzte .Elongation geben würde. Das hat den Erfolg, dass der Punkt selbst immer in Ruhe bleibt, können ihn daher von vornherein fest machen und den einen Teil der Saite ganz weglassen. Gelangt dann eine Wellenbewegung gegen diesen Punkt, so wird sie einfach mit entgegengesetzter Amplitude reflektiert.

Wir stellen nun die Bedingung, dass der Endpunkt einer einseitig begrenzten Saite eine bestimmte Bewegung y = f(t) mache. Für t = 0 sei die ganze Saite noch in Ruhe. Es gilt für sie dann Gleichung (46), und es muss für x = 0 demnach sein. Machen wir noch die Voraussetzung, dass für t = 0 auch sämtliche Punkte der Saite in ihrer Ruhelage sind, dann ist für alle positiven Werte von z die

Grösse (p (z) = 0. Es bleibt also nur cp (— at) = f(t),

was weiter ergiebt

у = ф(х — at) = ф [—(at — х)] = f—    1

Es pflanzt sich also der jeweilige Bewegungs-zustand am Anfangspunkt mit der Geschwindigkeit a längs der Saite fort.

§ 82. Schwingungsdauer einer in zwei Punkten befestigten Saite,

Bringen wir einen Punkt einer an beiden Enden befestigten Saite aus seiner Buhelage und überlassen dann die Saite sich selbst; so wird sich diese Deformation nach beiden Bichtungen der Saite in halber Stärke fortpflanzen. Wie wir in § 81 gesehen haben, wird an den Befestigungspunkten die Welle mit entgegengesetzter Amplitude reflektiert, sie durchläuft dann die ganze Saite, wird am andern Befestigungspunkt ebenfalls reflektiert und kehrt so, wie sie ausgegangen ist, wieder in ihre ursprüngliche Lage zurück. Dort beginnt dann das Spiel von Neuem. Die Zeit; welche dabei verfliesst; können wir die Schwingungsdauer der Saite nennen. Die Saite habe die Länge 1, ein Punkt in der Entfernung x vom Anfangspunkt werde aus seiner Buhelage gebracht und dann sich frei überlassen. Es bewegt sich nach links und rechts von x aus eine Welle mit der Geschwindigkeit a. Die Welle, welche nach rechts geht, legt bis zur ersten Beflexion den Weg 1—x, von hier bis zur zweiten den Weg 1 und von hier bis zur ursprünglichen Lage den Weg x,

im Ganzen also

1 — X + 1 + X = 21

zurück. Denselben Weg durcheilt die entgegengesetzt laufende Welle. a ist die Wellengeschwindigkeit, daher

21

г — — a

die Zeit des Durchlaufens, d. i₄ die Schwingungsdauer

P

der Seite. Wegen a² =— haben wir demnach für die

qo

Schwingungsdauer

F’

i=21 y 92

für die Schwingungszahl

--fi

eine Formel, die sich experimentell bestätigt.

§ 83. Bernoullis Lösung.

Wir versuchen, ob Gleichung (48) durch J = XT

befriedigt wird, wobei X eine Funktion von x, T eine Funktion von t ist. t ist also in X, x in T n i c h t enthalten. Es ist somit

а²х

at²

dt²’ 0х*

дхг>

und es muss

а²т

a²x

X    _n²T

d t²    d x²’

i а²т __ i a²x a²T“ât' “ x * dx²

sein. Da wir hier auf der einen Seite nur die Zeit t, auf der andern nur die Abscisse x als Veränderliche Jäger, Theoretische Physik. I.

haben, so ist die Gleichung nur möglich, wenn jeder dieser Ausdrücke gleich einer Konstanten — b² ist. Wir erhalten so zwei Gleichungen

d²X

d²T

a²b²T,

-TT = — b²X, 2 dx²    ’ dt²

deren Lösungen periodische Funktionen sind (§ 9), die

wir zusammenfassen können in

y = (A sin — В cos —) sin at + a    â /

cos at,

(C sin " + D cos

wenn wir b = — setzen.

§ 84. Grundton und Obertöne.

Die Saite sei an beiden Enden fest. Es muss dann zu jeder Zeit für x = 0 und x = l, auch у = 0 werden, woraus erstens В = D == 0 folgt und nur

sin (A sin at + C cos at)

übrig bleibt. Damit ferner für x = 1, у = 0 wird,

:    ^    ,    «1    k

— — 0 oder — = n. 2 . а    а

?га 2/га

Т’ ~т • • i

muss sin

ах

• •>

кяа

sein.

2/г

Wieder ist hier z = — die Schwingungsdauer

ka

2я 21’    21 ' ‘ * 21

die Schwingungszahl. Es kann also die Saite eine u n-

Klänge.

147

endliche Zahl von Tönen hervorbringen, deren tiefster

П~21

ist, eine Lösung, die wir schon früher fanden (§ 80). Diesen tiefsten Ton nennt man den Grundton, die übrigen die Ober töne der Saite, und da sie ganzzaliligeVielfache des Grundtons sind, harmonische Obertöne. Gibt die Saite nur den ersten Oberton, so schwingt sie in zwei Teilen, sie hat in der Mitte einen Knoten. Beim zweiten Oberton schwingt sie in drei Teilen mit zwei Knoten u. s. w.

§ 85. Klänge.

Die Saite kann nicht nur einzeln ihren Grundton und ihre Obertöne geben, sondern auch alle gleichzeitig, da ja

(47)

y — 2 sin —j— (Ak sin к at -f- Ck cos к at)

ebenfalls unsere Gleichung (45) befriedigt. Wir haben dann keinen einfachen Ton, sondern einen Klang. Die Gleichung dafür ist also im Allgemeinen eine unendliche Reihe, welche bestimmt ist, sobald wir den Anfangszustand der Saite, d. h. die Elongation und die Geschwindigkeit eines jeden Punktes kennen, wenn also für t = 0 die Form der Saite durch J — (p (x), ihre

= У (x) gegeben ist. Wir

Geschwindigkeit durch haben dann

<p (x) = C, sin

71X

•>

, ч A . ях    . 2ях

(х) = Aj a sill-у + 2 А₂ а sill у- + . . . .

Es wird in der höheren Analysis nun gezeigt, dass für eine derartige Reihe die Konstanten A und C durch die Formel bestimmt sind

Ck = y J* (p (x) sin yX dx.

Wir sind somit in der Lage, auf diese Weise die Werte der A und 0, d. h. die Amplitude der einzelnen Obertöne zu finden.

§ 86. Gleichung für die Longitudinalschwingungen in Stäben.

Denken wir uns einen Stab mit seiner Länge }эаг-allel zur x-Achse eines Koordinatensystems, so nennt man Longitudinalschwingungen jene, bei welchen sich die Teilchen parallel zur x-Achse bewegen.

Wir legen senkrecht durch unsern Stab zwei parallele Ebenen, welche um dx von einander entfernt sind. Diese schneiden aus dem Stab ein Stück von der Masse q dx a heraus, wenn q der Querschnitt, о die Dichte des Stabs ist. Befindet sich dieses Stabelement nicht in seiner Ruhelage, so werden auf beiden Seiten Spannkräfte wirken.

Wenn wir einen Stab mit der Kraft P dehnen, so erfährt er eine Verlängerung

- JZ

x ~ p

wenn 1 die Länge des Stabes ist. Die Konstante E nennt man den Elastizitätskoeffizienten. Dar-

nach finden wir die Spannkräfte, welche auf unser Stab-eleinent wirken, folgendermassen. Der Querschnitt in der Entfernung x erlangt nach der Dehnung die Lage X £, jener in der Entfernung x -f- dx die Lage x -f-dx    Betrachten wir £ als Funktion von x, so

di

Die Verlängerung des Stabelements ist nun

dx.

di

Daraus folgt

P = Eq

di

dx *

Während nun diese Kraft auf der Vorderseite des Stab-elements nach links wirkt, greift auf der rechten Seite in entgegengesetzter Pachtung eine Kraft

an.

dP

P' = P -f- dx

Es wirkt mithin die resultierende Kraft

dH

p' - p = dx = E<1 dP dx-

Diese Kraft muss gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Stahelements sein. Wir erhalten demnach die Gleichung

8²i

d²i

dP dx>

qdxu

oder

ć)’ł

wenn wir a² = — setzen.

Wir haben also auch hier genau dieselbe Gleichung wie für die Transversalschwingungen der Saiten oder für die Fortpflanzung einer Planwelle in der Luft. Der einzige Unterschied ist die physikalische Bedeutung der Grösse a.

Unsere Gleichung können wir auch ohne weiters auf die Longitudinalschwingungen in gespannten Saiten anwenden, da eine ursprünglich vorhandene Spannung auf die Longitudinalwellen gar nicht von Einfluss ist, indem dieselbe ja über die ganze Saite konstant ist, somit das Saitenelement nach beiden Seiten mit derselben Kraft zu ziehen trachtet. Alle Lösungen, welche wir für die Transversalschwingungen der Saiten fanden, können wir nun ohneweiters auf die Longitudinalschwingungen der Stäbe übertragen.

§ 87. Töne eines an beiden Enden freien Stabes. Eine Lösung unserer Gleichung

0 t* 0x*

ist (§ 83)

sin a t.

•Г'Т

A sin —--1- В cos

а    а

Für ein freies Stabende ist die Spannung natür-lieh gleich Null, also E q ^ = 0, was nur möglich ist, wenn

dx

ist. Das eine Stabende sei im Ursprung des Koordinatensystems, für das andere ist also x = 1, unter 1 die

Töne eines an beiden Enden freien Stabes.

151

Länge des Stabs verstanden. Dann mus für x = 0 und

dg

x = 1    = 0 sein. Daraus folgt A = 0 und

sin — — 0, a

oder

-— = к тг,

und da а = 2 n n, so

Das ist die Schwingungszahl des Tons, welchen der Stab gibt. Da к jede beliebige ganze Zahl sein kann,

а

so sind unendlich viele Töne möglich.    ist die

Schwingungszahl des Grundtons. Er ist also derselbe wie bei der schwingenden Saite. Ausser ihm haben wir eine unendliche Reihe harmonischer Obertöne.

Für die Schwingung selbst haben wir

ё = В cos sin a t.

а

Wegen «

. Für к = 1 wird cos —

к n a . a x к тг x ist-=

Das heisst, für den

= 0, wenn wir x — 2 se^zen*

Grundton hat der Stab in seiner Mitte einen Knoten, beim ersten Oberton im ersten und dritten Viertel seiner Länge u. s. w.

Aus der bekannten Schwingungszahl eines Stabs können wir umgekehrt seinen Elaatizitäts-koefizienten berechnen.

¹

ird. Die von uns gewonnene Gleichung

²

enthält das Gesetz von Poiseuille, nach welchem die

³

Ausflussmenge der 4. Potenz des Radius und

⁴

dem Druck unterschied am Anfang und Ende der Möhre direkt, ihrerLänge verkehrt proportional ist.

§ 88. Töne eines an einem Ende befestigten Stabs.

Ist der Stab an seinem Anfangspunkt fest, so muss für X — 0 auch | = 0 sein, woraus für die Lösung

A sin

ax

--kB cos — sin at

а    а /

В = 0 folgt. Es ist demnach

а    а X .

= — A cos- sin a t,

was für X = 1 ebenfalls Null werden muss. Das läuft

a 1

darauf hinaus cos —- = 0 zu setzen, was

-T=(2k+¹)ï

zur Folge hat, unter к wieder eine beliebige ganze Zahl verstanden. Es muss demnach

« = 2,n = (2k+l) |f

sein. Dies ergibt für die Schwingungszahl des Grundtons

П = 4Г

Ein solcher Stab gibt also die tiefere Oktav eines gleichartigen an beiden Enden freien Stabs. Der nächste Oberton hat die Schwingungszahl 3a    5

n = ^ p der zweitnächste — u. s. f. Es entfallen also alle ungeraden harmonischen Obertöne.

§ 89. Offene Pfeifen.

Wir fanden für die Fortpflanzung einer Planwelle in der Luft die Gleichung (§ G9)

Gedeckte Pfeifen.

153

₂д\_

at² ~ a d X²*

Dieselbe Gleichung bestimmt uns die Bewegung der Luft in Pfeifen, da diese ja auch in nichts anderem als Longitudinalwellen parallel zur Pfeifenachse bestehen. Wir haben daher wieder die bekannte Lösung

a = (A sin —--1- В cos ) sin at.

⁴    a    a /

Bei einer offenenen Pfeife steht die innere Luft an beiden Enden der Bohre mit der äusseren in Verbindung. An diesen Stellen wird daher keine Dichtenänderung stattfinden können. Denken wir uns also die Achse der Pfeife mit der x-Achse eines Koordinatensystems zusammenfallend, während sich die eine Oeffnung im Ursprung X = 0, die andere in der Entfernung x = 1, d. i. die Läng; der Bohre, befindet. Für diese Punkte muss somit а = 0 werden. Daraus folgt В — 0, ferner

al

was für die Schwing-

= к 7Г, oder а = 2тгп ungszahl

ктга

ka

n“ 21

ergibt. Eine offene Pfeife verhält sich also genau so wie ein an beiden Enden freier, longitudinal schwingender Stab.

§ 90. Bedeckte Pfeifen.

Am gedeckten Ende einer Pfeife können die Luftteilchen keine longitudinalen Bewegungen machen. Es muss demnach hier die Geschwindigkeit u = 0 (§ 70) sein. Desgl. ist natürlich auch

Po” £0;

= 0.

dt

Со ' дх

Als Bedingung für ein gedecktes Pfeifenende erhalten wir demnach

to I и

= 0.

Dies ist bei unserer Pfeife für x = 1 der Fall, während für x = 0, <j — 0 werden muss. Letztere Bedingung ist in der Lösung

а = A sin

erfüllt. Darnach wird

да    а А

= - cos

ax

sin «t

dx

— sin at,

und es muss nach dem obigen

cos —

= 0, also —— = (2 к -f 1) 2

werden, woraus wir wegen в = 2яд

n -    (2k + 1) —

erhalten.

Eine solche Pfeife verhält sich demnach ganz so wie ein an einem Ende befestigter Stab. Sie gibt als Grundton die tiefere Oktav einer gleich langen offenen Pfeife, ferner nur die geradzahligen, harmonischen Obertöne.

Zur Weiterbildung auf dem Gebiet der Mechanik

und Akustik empfehlen wir:

V. Lang, Einleitung in die theoretische Physik, Braunschweig 1891.

Christiansen, Elemente der theoretischen Physik, Leipzig 1894.

Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik und Mechanik, Leipzig 1883.

Thomson undTait, Handbuch der theoretischen Physik, Braunschweig 1871.

V. Helmholtz, die Lehre von den Tonempfindungen etc., Braunschweig 1877.

Riemann, Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen, Braunschweig 1869.

Zur Wahrung vor geringen Nachbildungen dieser Original-Apparate, wie sie von verschiedenen Lehrmittel-Anstalten angeboten werden, und häufig nur zusammengestoppelte Spielzeuge erhalten, wird empfohlen, sich stets an den Autor u. Herausgeber direkt zu wenden unter der Adresse :

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Urteile ber greffe über „Sammlung (Sofdjett".

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651 o b и 3 : фоегиеЗ, llrgefdftdjfe $)et bemaprte gmtjd)er auf оот де|фН)Шфеш (Gebiete giebt fjier tu fnappfter Догт bie lelfrreidje 3« fammeaftettung be£ ⁴2Bi[feu$merteftm her Urgefcb^te, ISortrcfflidj geeignet диг föitfüfyrung tutb дит Ueberbitif

За^ггвЬепф1е ber($efd)tdjt£n)(jifftv<beft; pommel, auf bem (Gebiet ber altonentalifdjen ®eftf|td)te eine auerfannte Autorität, beljanbelf m öiefem sBäubd)en bie morgenlänbtfd)? 05efd)iфte mit großer ©enaitigfett unb rDtffetiftĄaftIicĄer 6jrünblid|feit in fnappfter 5orm *5)а$ fleine $3иф1ет пш[з toarm empfohlen roerben

S!pä_g r. 3tg- (*®*Не,ОФ Seil): „^le$j!ait$e" oott Di\($. Bennert Manen nur befielt^ empfehlen 3U fünfter, fnappefter, feljr flavcr unb oerffäuMidjcr gönn шеф feilt s-8erfaffer alles Sßiffensmertefte über ben inneren unb äufjeren 23au unb über bie £eben3ben:id)timgen ber fßflaitge ^ut 5lnfd)amtng $u bringen, тоди feine gan^ oortrcfflidjeu, fclbftge= seidjuetcu Se^tabbflbungen апбсгогЬспШф oiel beitragen geifert.

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3 e it f ф r. f. b. tfteat fdpitto. : (£§ mat ein gtüdtidjer (Sebanfe ber rührigen Sertagêtjanbtung, bie Wbfaffung beś ber (Sinfüfyrung in bie 5ïritîjmetif unb ШдеЬга bieneuben ЗЗапЬфепЗ фгег „©ammtung" bem ^ocbgeaĄteten Заф* unb ©фиЬпаппе ^Srof. Dr. ©Hubert ди über* tragen * Фег ^Serfaffer tunkte bie ©djtoierigfeiten mit großem (55efct)icf ди bemattigen, inbem er Ьигф einen ftreug ftjftemat^en Aufbau beś aritßmetifeßen Seßrgebäube^ ber Çaffungêtraft be§ Stnfaugerś mögtidjft Щефпипд trug uub babei nur ba§ §апДО{афИфе inś Йиде faßte — 3’ormeifommlung uub ШереШогшт ber SWatßematif non 4$rof. Surften . . . . $ie Ьигф reinen Фгий unb gcfdjmatfbotte SlnSftattung ftdj au^etĄnenbe „^ormelfammlung" mirb infolge itjrеё retdjcii uicifeittgcn З'п^айеё, itjrer ^medentfbreebenben Wnorbnung unb orientierenben (Stieberung аЫ 32аф(ф1адеБиф Ьог^йдКфе ^ienfte teiften (Sreu^boten: ФаЗ $rembtt>ort tnt éentfdjen non Dr. ЩиЬ Шешраи(» (Sin fctjrreidjeê Südjtein, baê in feinen engen Söänben eine Jÿâüe non 0ЬгафЬс1с1)гиид bietet, bie jeben feffetn muß, ber um einigermaßen ba§ Sebürfuté füßtt, fieß über ©ргафЬтде Wufftärung s berfebaffen. Фег ^Serfaffer t>at рф feßon Ьигф $а|1тфе botfStümticße ' Шфег über bie ©ргафе unb фг Beben befannt gemalt, er ßat eine auëgebreitete, fixere l^euntnté ber ©ргаф* unb 2öortgefcßid)te, tjat mit Sïuêbauer auf btefem (Sebiete gefammett unb weiß feinen ©toff tmmei gefeßieft $u gruppieren unb bor§utragen. .

Aar unb ungetrübt nneberfßiegde. liefer Çorbenwg gercdjt $u metben. (jat Mtttjof in mcifterfyafter SSetfe berftanbeu.

Statter f. b. batjr (Stymn.*©d)utto.: ©tooboba, (Sriedj. (Se idjidjte ©фоп ber 9?ame imb ber #îuf beê SSerfafferé bürgt bafür, baß toit uic^t ettoa bloß eine trocfciie $ompiîation bor uu3 tjaben, übereß geigen fidj bit ©fmren felbftaiibigcr Arbeit.

S taft ©ф ut mann ©etjfert, ©фи^га^З. (£3 totrb in gc orängter ^arftettung ein retdjer, woljtburdjbt^ter, ben neueften babagogtfd)cn Seftrcbuiigcit geredet toerbenber Qntjatt geboten unb für ben, ber tiefer einbringeu toiHr ift geforgt Ьигф reidtbaftige Sitteratur пафтеЦе

et n<

©taatêanjeiger: Фге Шотффе 2itteraturgefd)id)te iß getftbotte gfätt^enbe Arbeit, (Sinfenber ßat biejelbe bon Anfang bis (Snbe mit größtem (Senuß burcßgelefen unb babei 9trt unb (Snimidtung beê römifeßen ©cßrifttum^ unb bamit beê römifeßen (Seifteêtebenë über-*

, ßaupt beffer unb grünbît^er berfte^cn gelernt, al$ burĄ тапфе^ biel-ftünbtge Uniberfttatéfoïïeg ober bidleibige §апЬЬифег.

SJteteorotogif фе gdtf фrif t: Srabert ßat m ber 9Jtetec' rotogie feine feßmierige Aufgabe bortrefßicß getöft a^en fragen bertritt er beit neueften unb testen ©tanbtmnft.

©d)met§erifcße Beßrer^eitung: 3Ber bie 4$erfbeftibe bon S^et)berger imb ba§ (Seometrifdje 3e^ucn bon Seder bitrd)geßt, mirb feine ^reube baran ßabeu. ©0 biet für jo menig (Selb toirb moßt fanm anber^mo geboten. 25te QHuftrationen ftnb fauber unb eçaft. Фег %eęt ift fnaßß unb flar uub аиф ba, то er meßr an-beutet atê au^füßrt, anregenb.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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